Моделирование процессов и устройств в частотной области в системе Mathcad: Учебное пособие

Ф Е Д Е Р АЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О

О Б Р АЗО В АН И Ю

Г о сударственно ео бразо вательно еучреж дениевысш его о бразо вания В О Р О Н Е Ж С КИ Й Г О С УД АРС Т В Е Н Н Ы Й УН И В Е Р С И Т Е Т

М О Д Е Л И Р О В АН И Е П Р О Ц Е С С О В И УС Т Р О ЙС Т В В Ч АС Т О Т Н О Й О Б Л АС Т И В С И С Т Е М Е MATHCAD Учебно епо со бие С пец иально сть Радио ф изика и электро ника 010801 (013800)

В О РО Н Е Ж 2006

2

Утверждено научно -м ето дическим со вето м ф изическо го ф акультета ( о т 07 .02.06 г. про то ко л№ 2 )

Авто ры:

Р адченко Ю .С . Ко ро бо ва А.Д .

Учебно епо со биепо дго то влено на каф едрах электро ники и радио ф изики ф изическо го ф акультета В о ро нежско го го сударственно го университета. Р еко м ендуется для студенто в 4 курса ф изическо го ф акультета спец иально сти « Радио ф изика и электро ника» (о чная ф о рм а о бучения) и 5,6 курсо в ф изическо го ф акультета спец иально сти « Радио ф изика и электро ника» (о чно -зао чная ф о рм а о бучения)

3

М одел и р ова н и е в ч а сто тн ой обл а сти вкл ю ч а ет р еш ен и е одн ой и л и н ескол ьки х з а да ч : - модел и р ова н и епр о цессов (га р мон и ч ески й а н а л и з и си н тез); - модел и р ова н и есхемн ых фун кци й устр ойств и си стем в ч а сто тн ой обл а сти ; - модел и р о ва н и е пр охожден и я си гн а л ов ч ер ез л и н ейн ые и н ел и н ейн ые устр ойства . I. О бщ иесо о тно ш ения О сн овой модел и р ова н и я в ч а стотн ой о бл а сти явл яется па р а пр еобр а з ова н и й Фур ье [1-10,16,17], кото р а я опр едел яется ти по м а н а л и з и р уемой фун кци и : а ) s(t) – н епр ер ывн а я н епер и о ди ч еска я фун кци я н а и н тер ва л еt∈[-∞, ∞]: ∞

∫ s(t )e

S ( jω ) = s(t ) =

1 2π

− jωt

−∞ ∞

dt. (1.1)

∫ s( jω )e

jωt

dω.

−∞

Э та па р а пр еобр а з о ва н и й н а з ыва ется и н тегр а л ом Фур ье. б) s(t)=s(t+Tn) – н епр ер ывн а я пер и о ди ч еска я фун кци я: 1 S (k ) = Tn

Tn

∫ s(t )e

− j 2πkt / Tn

dt ,

0

(1.2)

∞

s(t ) = ∑ s (k )e j 2πkt / Tn . −∞

Выр а жен и едл я s(t) н а з ыва ется р ядо м Фур ьев ко мпл ексн ой фор ме. в) s(t)=s(nT)– пр оцесс явл яется ди скр етн ой н епер и оди ч еской фун кци ей с отсч ета ми в момен ты t=nT, гдеT – и н тер ва л ди скр ети з а ци и , а n∈[-∞, ∞] – н а тур а л ьн о еч и сл о : ∞

F (ω ) = ∑ s (nT )e − jωT , −∞

s(nT ) =

T 2π

π /T

∫ F (ω )e

−π / T

(1.3) jωnT

dω.

4

О собен н остью спектр а F(ω) явл яется его пер и оди ч еское по втор ен и е ч ер ез и н тер ва л 2π/T. г) s(nT)=s((n+N)T – си гн а л явл яется ди скр етн ой пер и оди ч еской фун кци ей с пер и одом по вто р ен и я Tn=NT, пер и одом ди скр ети з а ци и T: F (k ) = s (n) =

N −1

∑ s(n)e − j 2πkn / N ,

n =0 1 N −1 .

(1.4)

∑ F (k )e j 2πkn / N .

N k =0 Па р а пр еобр а з о ва н и й Фур ье (1.4) н а з ыва ется ди скр етн ым пр еобр а з о ва н и ем Фур ье (Д ПФ). Из (1.4) ви дн о, ч то си гн а л явл яется ди скр етн ым и по вто р яю щи мся ч ер ез N отсч ето в, спектр F(k) та кжеявл яется ди скр етн ым и пер и оди ч ески повтор яю щ и мся ч ер ез N о тсч ето в в ди а па з он е ч а сто т 2π/T С о седн и ега р мон и ки р а з дел ен ыч а сто тн ым и н тер ва л ом 2π/Tn=2π/NT. Та к ка к р еа л ьн ыепр о цессыобл а да ю т кон еч н ой э н ер ги ей, то ∞

1 ∫ s (t )dt = 2π 2

−∞ ∞

.

∑ s (k )

−∞

2

∞

∫ S ( jω )

2

dω < ∞,

−∞ ∞

< ∞, ∑ s 2 (nT ) < ∞. −∞

С л едова тел ьн о, пр оцессы во вр емен н ой и ч а стотн о й обл а сти явл яю тся убыва ю щи ми фун кци ями свои х а р гумен то в и бескон еч н ые пр едел ы в ч и сл ен н ых р а сч ета х мо жн о з а мен и ть н а ко н еч н ые. 2. Г арм о нический анализнепрерывных про ц ессо в Есл и s(t) – н епр ер ывн а я фун кци я, то выч и сл ен и е ее спектр а л ьн ых ха р а ктер и сти к, согл а сн о (1.1), (1.2), своди тся к выч и сл ен и ю и н тегр а л о в b

b

A(ω ) = ∫ s (t ) cos ωtdt , B (ω ) = ∫ s (t ) sin ωtdt , a

(2.1)

a

где ω=2πf пр и н и ма ет н епр ер ывн о е мн о жество з н а ч ен и й дл я н епер и оди ч ески х пр оцессо в; ω=2πk/Tn, (k=0, 1, 2… .) пр и н и ма ет ди скр етн ый р яд з н а ч ен и й дл я пер и оди ч еской фун кци и . Ин тер ва л

(а , b) о пр едел яется л и бо пер и одом повтор ен и я Tn, л и бо

обл а стью опр едел ен и я фун кци и s(t), в котор о й s (t ) > ε = 10− 4 ÷ 10−5.

Ин тегр а л ыти па (2.1) о т осци л л и р ую щ и х фун кци й могут быть выч и сл ен ы р а з л и ч н ыми спо соба ми [1-3, 16-18].

5

2.1.П рям о еинтегриро вание Д л я выч и сл ен и я (2.1) можн о пр и мен ять одн у и з ква др а тур н ых фор мул (пр ямо угол ьн и ков, тр а пеци й, Си мпсон а и т.д.). Пр и э том и н тегр и р уемыми фун кци ями явл яю тся s(t)cosωt и s(t)sinωt. Ш а г и н тегр и р о ва н и я н еобходи мо выби р а ть пер емен н ым h = t j +1 − t j = 2π /( 20 ÷ 50)ω. Пр и мен и мость метода огр а н и ч ен а ма л ыми ω. К он тр ол ьн ые р а сч еты спектр а кол окол ьн ого и мпул ьса ∞

∫

−∞

5

exp(− x / 2) cos ωxdx = 2 ∫ exp(− x 2 / 2) cos ωxdx = 2π exp(−ω 2 / 2) 2

0

по фор мул е тр а пеци й пока з ыва ю т, ч то пр и ω(b,a)>25 отн оси тел ьн а я по гр еш н ость выч и сл ен и я дости га ет двух и бол ее пор ядков да же пр и и спол ьз о ва н и и ш а га и н тегр и р ова н и я h=2π/(100÷260)ω. (т.е. 100-250 точ ек н а пер и од осци л л яци и cosωx). 2.2.

М ето ды, о сно ванныена алгебраическо м интерпо лиро вании

Есл и н а и н тер ва л е[a, b] s(t) явл яется доста точ н о гл а дкой фун кци ей, то s(t) можн о и н тер пол и р о ва ть пол и н о мо м, н а пр и мер , и спол ьз уя и н тер пол яци он н ую фор мул у Л а гр а н жа [1-3, 16-18]: s(t ) = Pn (t ) =

n

∑ sk lk (t ),

(2.2)

k =0

где n

l k (t ) = ∏ (t − ti ) /(tk − ti ), sk = s(t k ). i =0 i≠k

b

По ско л ьку

и н тегр а л ы

ви да

∫t

a

−i

b

cos ωtdt , ∫ t i sin ωtdt

выч и сл яю тся

a

а н а л и ти ч ески , то точ н о сть и н тегр и р о ва н и я фор мул (2.1) опр едел яется тол ько по гр еш н остью и н тер пол яци и и н ез а ви си т о т ч а сто тыω. Н а пр а кти кеэ тот метод и спол ьз уется сл едую щи м обр а з ом: и н тер ва л [a, b] р а з би ва ется н а m по дын тер ва л о в, вн утр и ко тор ых s(t) и н тер пол и р уется пол и н омом Pn(t) ма л ого пор ядка (n=0, 1, 2). Пол уч ен н ые выр а жен и я, н а з ыва емые фор мул а ми Фи л он а , а н а л о ги ч н ы «соста вн ым» фор мул а м пр ямо уго л ьн и ков, тр а пеци й, С и мпсон а [1-3, 16-18]:

6

а ) n=0 (ступен ч а та я и н тер пол яци я s(t)): b

∫ s(t )

a

m −1 cos cos ωtdt = α n ∑ s(ti ) ωt , sin sin i =0

(2.3)

1 где ti = a + (2 − h), h = (b − a ) / m – ш а г и н тер пол яци и н а по дын тер ва л е, 2 2 α 0 = sin(ωh / 2). ω б) n=1 (кусо ч н о-л и н ейн а я и н тер пол яци я s(t)): b

m −1

a

i =1

b

m −1

a

i =1

∫ s(t ) cos ωtdt = 2α1 ∑ s(ti ) cos ωti + s(a)[α1 cos ωa − β1 sin ωa] +

+ s(b)[β1 sin ωb + α1 cos ωb],

(2.4)

∫ s(t ) sin ωtdt = 2α1 ∑ s(ti ) sin ωti + s(a)[β1 cos ωa + α1 sin ωa ] +

s(b)[α1 sin ωb − β1 cos ωb], гдеti=a+ih, 1 1 α1 = (1 − cos ωh), β1 = (ωh − sin ωh). ω 2h ω 2h в) n=2 (кусо ч н о-па р а бол и ч еска я и н тер пол яци я s(t)): b

∫ s(t )

a

(2.5)

m −1 cos cos ωtdt = γ 2 ∑ s(t 2i +1) ωt 2i +1 + sin sin i =0

+ 2α 2

m −1

cos



cos

cos



∑ s(t2i ) sin ωt2i + s(a)α 2 sin ωa m β 2 sin ωa  +

i =0





(2.6)

cos   cos s(b) α 2 ωb ± β 2 ωb , sin   sin гдеh=(b-a)/2m, 1 3 1  α2 = ωh + ωh cos 2ωh − sin 2ωh, 2 3  2 2  h ω 1  2 2  ω h − 1 + ωh sin 2ωh + cos 2ωh, (2.7) 2 3  2  h ω 1 [sin ωh − ωh cos ωh]. γ2 = h 2ω 3 Пр и h→0 фор мул ы (2.3.), (2.4.), (2.6.) пер еходят в обыч н ые соста вн ые фор мул ыпр ямо угол ьн и ков, тр а пеци й, Си мпсон а . β2 =

1

7

2.3. Д искретно епрео бразо ваниеФ урье Д и скр етн ое пр ео бр а з ова н и е Фур ье, н а з ыва емое в выч и сл и тел ьн ой ма тема ти кеметодом н а и высш ей тр и гон ометр и ч еской то ч н ости , может быть пр и мен ен о к пер и оди ч ески м (пер и о ди ч ески пр одол жен н ым) си гн а л а м s(t) с пер и одом Tn с о гр а н и ч ен н ым спектр ом S(j ω )=0 пр и ω>W. С тр ого говор я, та ки е си гн а л ы дол жн ы быть ди ффер ен ци р уемы бескон еч н оеч и сл о р а з . Есл и си гн а л s(t) ди скр ети з и р о ва н с ш а го м h≤π/W, то 1 N −1 . s(nh) = F ( k )e j 2πkn / N , ∑ N k =0 .

F (k ) =

(2.8)

N −1

∑ s(nh)e− j 2πkn / N ,

n =0

гдеN=Tn/h. .

.

Есл и си гн а л s(t) явл яется действи тел ьн о й фун кци ей, то F (k ) = F ( N − k ) . Та ки м обр а з о м, фо р мул ы(2.8) по з вол яю т выч и сл и ть одн о з н а ч н о то л ько га р мон и ки с N н о мер ом k ≤ − 1. . 2 Есл и пер ейти от ко мпл ексн ых фун кци й к действи тел ьн ым, то Ak 2 = Bk Tn s (n) =

cos 2πkt cos 2πkn 2 N −1 ( ) = ( ) , s t dt s n ∑ ∫ sin Tn sin N N k =0 0

Tn

1 N −1

∑ ( Ak cos

N k =0

(2.9)

2πkn 2πkn + Bk sin ). N N

Из свойств Д ПФ сл едует, ч то Ak=AN-K, Bk=-BN-K.. Р еализац ия со о тно ш ений (1.1) – (2.9) для спектрально го анализа про ц ессо в средствам и систем MathCAD –2001, 2001i, 11 пр едусма тр и ва ет р а з л и ч н ыево з мо жн о сти [4-10]: - и спол ьз ова н и е ста н да р тн ых ср едств си стемы (выч и сл ен и е и н тегр а л ов и сумм) с пр и мен ен и ем а ппа р а та пр о гр а мми р о ва н и я и л и и н декси р о ва н н ых пер емен н ых; - пр и мен ен и еста н да р тн ых фун кци й си стемы ( fft(v), FFT(v), cfft(v), CFFT(v) дл я а н а л и з а и ifft(v), IFFT(v), icfft(v), ICFFT(v) дл я си н теза ) [4-9]; - и спол ьз о ва н и еси стемыси мвол ьн ых выч и сл ен и й (фун кци и fourier, infourier). В цел ях и л л ю стр а ци и и з л ожен н ых ч и сл ен н ых методов о ста н ови мся подр обн еен а пер вых двух подхода х. Пр и мен ен и епер во го подхода пока з а н о н а р и с.1-6.

8

Пр огр а мма опр едел ен и я коэ ффи ци ен тов р яда Фур ье ("К л а сси ч ески й" спектр а л ьн ый а н а л и з )

 ⌠T    f ( t) dt   ⌡− T  〈〉 FC ( f , N , T) := R 0 ←   2 ⋅T   for n ∈ 1 .. N

 ⌠T    f ( t) ⋅cos  n⋅π ⋅t  dt      T   ⌡  −T    T 〈 〉 Rn ←  T ⌠  n⋅π ⋅t     f ( t) ⋅sin  dt  T     ⌡− T   T   T

( R)

Пр и мер ыспектр а л ьн ого а н а л и з а и си н теза си гн а л ов "Выпр ямл ен н а я" си н усои да f ( t) := sin( π ⋅t)

T := 1

N := 5

С пектр а л ьн ый а н а л и з

С и н тез си гн а л а

res := FC ( f , N , T) 〈〉 A := res 0

〈〉 B := res 1

N

fs( t) := A0 +

∑

n=1

 0.637   0    − 0.424  A=  0   −0.085     0 

0 0   0 B=  0 0   0

  n⋅π ⋅t   n⋅π ⋅t    An ⋅cos   + Bn ⋅sin    T   T 

1

f ( t) 0.5

fs ( t)

0

1

Р и с.1

0.5

0

0.5

1

9

Пр и мер ыспектр а л ьн ого а н а л и з а и си н теза си гн а л ов Р ди ои мпул ьс f ( t) :=

if −1 ≤ t ≤ .5

0

T := 1

sin( 6 ⋅π ⋅t) if −.5 < t ≤ .5

N := 10

if t > .5

0

С пектр а л ьн ый а н а л и з

С и н тез си гн а л а

res := FC ( f , N , T) 〈〉 A := res 0

〈〉 B := res 1

N

fs( t) := A0 +

∑

n=1 T

A =

0 0 0

T

B =

1 0

2 0

0 0

0

3 0

1 0.109

4 0

5 0

6 0

2

3

0 -0.141

7 0

8

9

0

0

4 0

  n⋅π ⋅t   n⋅π ⋅t    An ⋅cos   + Bn ⋅sin    T   T 

5 0.347

6 0.5

7

8

0.294

0 -0.085

1

0.5

f ( t) fs ( t)

0

0.5

1

1

0.5

0

t

Р и с.2

0.5

9

1

10

"К л а сси ч ески й" спектр а л ьн ый а н а л и з и си н тез За да н и е си гн а л а Y1 := ( 0

0

T := 4 ⋅ 10 − 6

.5

.5

1

1

1

1

0

M :=

(пер и од)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0)

0

TOL :=

(ч и сл о га р мон и к )

10

0

0.00001

Пр едста вл ен и еси гн а л а в ви дефун кци и Y := Y1

T

N := length ( Y ) i := 0 .. N −

T N −

dt :=

k :=

1

0 ..

M

j := 1

f1 :=

ts i := i ⋅ dt

1

p := 2π ⋅ f1

T

y ( t ) := linterp ( ts , Y , t )

С пектр а л ьн ый а н а л и з

⌠T a k :=   ⋅  y ( t ) ⋅ cos ( p ⋅ k ⋅ t ) dt  T  ⌡0 2

M k := a k + j ⋅ b k

−1

⌠T b k :=   ⋅  y ( t ) ⋅ sin ( p ⋅ k ⋅ t ) dt  T  ⌡0 2

Ψ k := − arg ( a k + j ⋅ b k )

0.6

5

0.4

Mk

Ψk

0.2 0

0

5

0

5

10

0

5

k

ys ( t ) :=

− a0 2

+

10

k

∑ ( M k ⋅ cos ( p ⋅ k ⋅ t + Ψ k) )

- С и н тез си гн а л а

k

1.5

ys ( i⋅dt ) Yi

1 0.5 0 0.5

0

5

10

i

Р и с. 3

15

20

11

"С та н да р тн ый" спектр а л ьн ый а н а л и з и си н тез За да н и е си гн а л а Y1 := ( 0 f1 :=

0

.5

.5

1

1

1

0

M :=

(ч а стота )

250000

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

)

(ч и сл о га р мон и к )

10

Ч и сл ен н ый спектр а л ьн ый а н а л и з Y := Y1 k := a k :=

T

0 ..

∑

N := length ( Y ) i :=

M

0 ..

Y i⋅ cos ( p ⋅ k ⋅ i)

N −

j :=

−1

dt :=

1

p := 2π ⋅ f1 ⋅ dt

f1 ⋅ N

1

b k :=

i

∑

Y i⋅ sin ( p ⋅ k ⋅ i)

i

M k :=

ak + j ⋅bk ⋅

2

N

Ψ k := − arg ( a k + j ⋅ b k )

0.6 5 0.4

Mk Ψk

0.2 0

0

5

0

10 5

k

0

5

k

С и н тез си гн а л а N :=

dt := 2 ⋅ 10 − 7

20

ys ( t ) :=

−a0 N

+

10

p1 := 2 ⋅ π ⋅ f1

∑ (M k ⋅ cos (p1 ⋅ k ⋅ t + Ψ k )) k

1.5

ys ( i⋅ dt ) Yi

1 0.5 0 0.5

0

5

10

i

Р и с.4

15

20

12

"С та н да р тн ый" спектр а л ьн ый а н а л и з и си н тез с кор р екци ей За да н и е си гн а л а Y1 := ( 0 f1 :=

0 .5 .5 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )

Y := Y1T

N := length( Y)

k := 0 .. M ak :=

M :=

(ч а стота )

250000

i := 0 .. N − 1

∑ if (Yi

10

(ч и сл о га р мон и к )

j := −1

dt :=

δΨ k := π ⋅

0 , 0 , Yi⋅ cos ( p ⋅ k ⋅ i)

)

k N

bk :=

i

Mk :=

2

N

1

f1 ⋅N

∑ if (Yi

p := 2π ⋅f1 ⋅ dt

0 , 0 , Yi⋅ sin( p ⋅ k ⋅ i)

i

(



sin δΨ k



δΨ k

ak + j ⋅ bk ⋅ if  k > 0 ,

)



Ψk := −arg( ak + j ⋅ bk)

, 1



0.6 5 0.4

Mk Ψk

0.2 0

0

5

0

10 5

k

0

5

С и н тез си гн а л а N :=

dt := 2⋅ 10− 7

20

ys ( t) :=

−a0 N

+

10

k

p1 := 2 ⋅π ⋅ f1

∑ if (Mk

0 , 0 , Mk ⋅ cos

(p1⋅k⋅t + Ψk))

5

10

15

k

1.5

ys( i⋅dt) Yi

1 0.5 0 0.5

0

)

i

Р и с.5

20

13

"С та н да р тн ый" спектр а л ьн ый а н а л и з и си н тез с и н тер пол яци ей За да н и е си гн а л а Y1 := ( 0 f1 :=

0

.5

.5

1

1

(ч а стота )

250000

Y := Y1 T

1

1

1

0

M :=

20

N1 := length ( Y )

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0)

(ч и сл о га р мон и к )

- л и н ейн а я и н тер пол яци я си гн а л а

1

dt :=

i := 0 .. N1 − 1 t1 i := i ⋅ dt y ( t ) := linterp ( t1 , Y , t ) f1 ⋅ N1 Ч и сл ен н ый спектр а л ьн ый а н а л и з N := 2 ⋅ M i := 0 .. N − 1 1

dt := a k :=

Y i := y ( i ⋅ dt )

f1 ⋅ N

∑ if ( Y i

0 , 0 , Y i⋅ cos

p := 2π ⋅ f1 ⋅ dt ( p ⋅ k ⋅ i) )

j :=

∑ if (Y i

b k :=

2

1

Mk

5

Ψk

0.5

0

0 , 0 , Y i⋅ sin ( p ⋅ k ⋅ i)

Ψ k := − arg ( a k + j ⋅ b k )

ak + j ⋅ bk

N

k := 0 .. M

i

i

M k :=

−1

0

10

0

5

20

0

10

k

k

С и н тез си гн а л а ys ( t ) :=

− a0 N

+

20

N =

∑ if (M k

0 , 0 , M k ⋅ cos

40

p1 := 2 ⋅ π ⋅ f1

( p1 ⋅ k ⋅ t + Ψ k ) )

k

1

ys ( i⋅dt ) Yi

0

1

0

5

10

15

Р и с.6

20

i

25

30

35

40

)

14

О пр едел ен и е коэ ффи ци ен тов р яда Фур ье дл я а н а л и ти ч ески з а да н н ой пер и оди ч еской (с по л упер и одо м T) фун кци и и л л ю стр и р ует р и с.1. Д л я э то го и спол ьз о ва н а фун кци я пол ьз ова тел я FC(f,N,T). Фун кци я осн ова н а н а пр едста вл ен и и коэ ффи ци ен то в Фур ье в ви де и н тегр а л ов (2.9) («кл а сси ч ески й» га р мо н и ч ески й а н а л и з [4-7]) и з а пи са н а пр и по мо щи пр огр а ммн ых ср едств си стемы MathCAD [8]. Испол ьз ова н и е фун кци и дл я пр остых пр и мер ов пока з а н о н а р и с.1,2. О пр едел ен и екоэ ффи ци ен то в р яда Фур ьедл я фун кци и , з а да н н о й та бл и цей з н а ч ен и й, с и спол ьз ова н и ем и н тегр а л о в (2.9) и л и н ейн ой и н тер пол яци и и сходн ой фун кци и без пр и мен ен и я пр о гр а ммн ых ср едств и л л ю стр и р ует р и с.3. Га р мон и ч ески й а н а л и з фун кци и , з а да н н ой р ядом о тсч ето в з а пер и од, с и спол ьз о ва н и ем ступен ч а той а ппр о кси ма ци и («ста н да р тн ый» спектр а л ьн ый а н а л и з ), спектр а л ьн ый а н а л и з с ко р р екци ей, спектр а л ьн ый а н а л и з с л и н ейн ой и н тер пол яци ей [4-7] пока з а н ы соответствен н о н а р и с 4,5,6. Р езул ьта ты пр оведен н ого с и спо л ьз ова н и ем э ти х фор мул си н теза по з вол яю т сдел а ть выводыо точ н ости а н а л и з а и во з мо жн остях о сл а бл ен и я э ффекта Ги ббса . Воз можн ость и спол ьз о ва н и я ста н да р тн ых фун кци й си стемы MathCAD и л л ю стр и р ую т р и с.7,8. Вер си и си стемы MathCAD – 2001, 2001i, 11 пр едусма тр и ва ю т та кже воз можн ость пр и мен ен и я сл едую щ и х фун кци й пр ямого и обр а тн о го пр еобр а з ова н и я Фур ье[4-8]: fft(v) – быстр оепр еобр а з о ва н и еФур ьедл я да н н ых, пр едста вл ен н ых в ви де вещ ествен н ых ч и сел в вектор еv с 2N э л емен та ми (N – цел о еч и сл о), фун кци я N воз вр а ща ет вектор р а з мер ом 2 +1(ко э ффи ци ен ты р а з л о жен и я в р яд Фур ье фун кци и , з а да н н ой вектор ом v); FFT(v) – а н а л оги ч н а я fft(v) фун кци я с др угой н ор ми р овкой (соответствует (1.4),(2.8)); cfft(A) - быстр оепр еобр а з о ва н и еФур ьедл я ма сси ва компл ексн ых ч и сел A, фун кци я воз вр а ща ет ма сси в того жер а з мер а , ч то и A; CFFT(A) - а н а л оги ч н а я сfft(A) фун кци я с др уго й н ор ми р овкой (соответствует (1.4),(2.8); ifft(v) – обр а тн ое пр еобр а з ова н и е Фур ье, соответствую щ ее фун кци и fft, вектор v и меет р а з мер н о сть 2N+1 (N – цел ое ч и сл о), фун кци я во з вр а щ а ет вектор р а з мер о м 2N (соо тветствует з н а ч ен и ям фун кци и , коэ ффи ци ен ты р а з л ожен и я кото р ой в р яд Фур ье, з а да н ывекто р о м v); IFFT(v) - о бр а тн оепр еобр а з о ва н и еФур ье, соо тветствую щ еефун кци и FFT (н ор ми р о вка соо тветствует (1.4),(2.8)); icfft(A) - обр а тн ое пр еобр а з о ва н и е Фур ье, соответствую щее фун кци и сfft, фун кци я воз вр а ща ет ма сси в того жер а з мер а , ч то и A; ICFFT(A) о бр а тн оепр еобр а з ова н и еФур ье, соответствую щ еефун кци и CFFT (н ор ми р о вка соо тветствует (1.4),(2.8)). Пр и мен ен и е ди скр етн ого пр еобр а з ова н и я Фур ье (2.8) с н ор ми р овкой, соо тветствую щ ей ста н да р тн ой фун кци и fft(v), к спектр а л ьн о му а н а л и з у би га р мон и ч еско го си гн а л а с ш умовой соста вл яю щей и пр ямо угол ьн ого

15

Пр и мен ен и ебыстр ого пр еобр а з ова н и я Фур ьедл я спектр а л ьн ого а н а л и з а си гн а л а , з а да н н ого а н а л и ти ч ески N := 2

8

N = 256

i := 0 .. N − 1

v1 :=

Err := rnorm ( N , 0 , 1 ) 1 10

v2 :=

1 5

За да н и еби га р мон и ч еского си гн а л а н а фон е н ор ма л ьн ого ш ума

y i := sin ( 2π ⋅ v1 ⋅ i) + sin ( 2π ⋅ v2 ⋅ i) + Err i( sin ( 2 ⋅ π ⋅ v1 ⋅ i) + sin ( 2 ⋅ π ⋅ v2 ⋅ i) ) С пектр а л ьн ый а н а л и з f1 n :=

N −1

1 N

⋅

∑

N 2 N1 := 128 j := 0 .. N1 n := 0 ..

i⋅2 ⋅π ⋅k ⋅n N

yk ⋅ e

v j :=

k=0 10

5

yj

f1 j

0

5

0

50

100

5

0

150

0

0.2

0.4

0.6

vj

j

Пр и мен ен и ебыстр ого пр еобр а з ова н и я Фур ьедл я спектр а л ьн ого а н а л и з а си гн а л а , з а да н н ого р ядом з н а ч ен и й. С р а вн ен и есо вср оен н ой фун кци ей БПФ i := 0 .. 127

q i := 0

i := 8 .. 40

q i := 1

- пр ямоугол ьн ый и мпул ьс

С пектр а л ьн ый а н а л и з N n := 0 .. 2

N := 128

f1 n :=

f := fft ( q ) f

T

=

0

T

f1 =

1

2.917

0

0 0

2.917

1 N

∑

N

3

-1.272+1.272i

1 0.998+2.41i

qk ⋅ e

k=0 2

0.998+2.41i

i⋅2 ⋅π ⋅k ⋅n

N −1

2 -1.272+1.272i

Р и с.7

4

-0.725-0.3i 3 -0.725-0.3i

0.088i 4 0.088i

j N

16

Пр и мен ен и е вср оен н ых фун кци й быстр ого пр еобр а з ова н и я Фур ье дл я спектр а л ьн ого а н а л и з а и си н теза си гн а л а , з а да н н ого а н а л и ти ч ески За да н и еси гн а л а , состоящ его и з тр ех га р мон и к н а фон е ш ума N := 2

10

N = 1.024 × 10

i := 0 .. N − 1

v1 :=

3

1 4

Err := rnorm ( N , 0 , 1 ) v2 :=

1 5

v3 :=

1 6

E i := Err i( sin ( 2 ⋅ π ⋅ v1 ⋅ i) + sin ( 2 ⋅ π ⋅ v2 ⋅ i) + sin ( 2 ⋅ π ⋅ v3 ⋅ i) ) y i := sin ( 2π ⋅ v1 ⋅ i) + sin ( 2π ⋅ v2 ⋅ i) + sin ( 2 ⋅ π ⋅ v3 ⋅ i) + E i С пектр а л ьн ый а н а л и з си гн а л а F := fft ( y ) N1 := last ( F )

N1 = 512

j := 0 .. N1

10

yj

j N

20

Fj

0

10

v j :=

0

200

400

10

0

600

j

0

0.2

0.4

0.6

vj

С пектр а л ьн ый си н тез си гн а л а IF := ifft ( ( F ) ) 10

length ( IF ) = 1.024 × 10 IF i

0

10

3

max ( y − IF ) = 1.444 × 10 0

200

400

600

i

Р и с.8

− 11

17

и мпул ьса и л л ю стр и р ует р и с.7. Д л я ср а вн ен и я пока з а н ы та кже з н а ч ен и я ко э ффи ци ен тов Фур ье, н а йден н ые по фо р мул е и пр и пр и мен ен и и ста н да р тн ой фун кци и fft(v). Испо л ьз о ва н и е встр оен н ой фун кци и fft(v) дл я спектр а л ьн ого а н а л и з а сл о жн о го си гн а л а , со сто ящего и з тр ех га р мо н и ч ески х си гн а л ов и ш умовой соста вл яю щей, по ка з а н о н а р и с.8. П рим еры 1. О пр едел и ть спектр а л ьн ый соста в си гн а л а s(t), з а да н н ого та бл и цей и з двен а дца ти з н а ч ен и й н а пол упер и оде i

1

s(ti) 7

4

5

6

Tn =π : 2

2

3

7

8

9

10

11

11

13,5 15,4 17,4 20,5 25,4 32,5 27,7 19,2 10

12 0

(Пр одол жен и е си гн а л а н а втор ом пол упер и оде явл яется з ер ка л ьн о отр а жен н ым отн о си тел ьн о о си ор ди н а т по вто р ен и ем з н а ч ен и й н а пер во м пол упер и оде). Р а сч ет спектр а л ьн о го со ста ва си гн а л а и л л ю стр и р ует докумен т MathCAD, пр едста вл ен н ый н а р и с. 9,10. Исходн ый си гн а л з а да н ма сси вом YS, соста вл ен н ым и з двух ма сси вов. Пер вый ма сси вY1S соответствует з а да н н ым з н а ч ен и ям н а пол упер и одефун кци и , вто р ой ма сси в Y2S явл яется з ер ка л ьн о отр а жен н ым отн оси тел ьн о оси ор ди н а т по втор ен и ем пер во го. С оеди н ен и е ма сси вов пр о веден о с и спол ьз о ва н и ем фун кци и augment(y1,y2). Д л я н а хо жден и я подын тегр а л ьн ой фун кци и , н ео бходи мо й дл я «кл а сси ч еского » спектр а л ьн о го а н а л и з а , пр и мен ен а фун кци я л и н ейн о й и н тер пол яци и linterp(ts,YS,t). Р езул ьта ты спектр а л ьн ого а н а л и за и л л ю стр и р ую тся ма сси ва ми коэ ффи ци ен тов aK, bK и ди а гр а ммой модул ей и фа з коси н усн о го р а з л ожен и я (р и с.9,10). Д л я ср а вн ен и я пр и веден ви д и сходн ого си гн а л а и си гн а л а , си н тези р о ва н н ого по р езул ьта та м га р мон и ч еско го а н а л и з а . 2. О пр едел и ть спектр а л ьн ую пл о тн о сть си гн а л ов: а ) ко л о кол ообр а з н ого (га уссо вско го) и мпул ьса с дл и тел ьн о стью 1 мс и а мпл и тудо й 1 В; б) пр ямо угол ьн о го и мпул ьса с теми жепа р а метр а ми . Д л я опр едел ен и я спектр а л ьн о й пл о тн о сти и спол ьз о ва н а фор мул а (1.1) пр и огр а н и ч ен и и пр едел о в и н тегр и р ова н и я в соответстви и с ви дом си гн а л а . Д о кумен т, соста вл ен н ый в си стемеMathCAD дл я опр едел ен и я спектр а л ьн ой пл отн о сти си гн а л ов, и ср а вн ен и е р езул ьта та с а н а л и ти ч ески м ви до м спектр а л ьн ой пл о тн ости пр едста вл ен ын а р и с.10,11.

18

Пр и мер спектр а л ьн ого а н а л и з а и си н теза си гн а л а , з а да н н ого та бл и цей з н а ч ен и й За да н и е си гн а л а T := 2 ⋅ π

M :=

(пер и од)

Y1S := ( 0

7

11

13.5

Y2S := − Y1S

15.4

TOL :=

(ч и сл о га р мон и к )

10

17.4

20.5

25.4

32.5

27.7

0.001

10 )

19.2

YS := augment ( Y1S , Y2S ) Пр едста вл ен и еси гн а л а в ви дефун кци и

Y := YST dt :=

N := length ( Y ) i := 0 .. N −

T N−

j := 1

1

f1 :=

ts i := i⋅ dt

k := 0 .. M

1

−1

p := 2π ⋅ f1

T

y ( t) := linterp ( ts , Y , t)

С пектр а л ьн ый а н а л и з T

T

⌠ 2 a k :=   ⋅  y ( t) ⋅ cos ( p ⋅ k ⋅ t) dt  T  ⌡0

⌠ 2 b k :=   ⋅  y ( t) ⋅ sin ( p ⋅ k ⋅ t) dt  T  ⌡0

Ψ k := − arg ( a k + j ⋅ b k)

M k := ak + j ⋅ b k 40

Mk

2 0

Ψk

20

2 0

0

5

4

10

0

5

k

aT =

bT =

10

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0.435

-8.452

-0.766

2.97

0.138

0.818

0.39

-0.476

-0.083

-0.023

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

24.597

0.783

5.655

1.323

-0.06

0.408

0.375

0.201

0.642

Р и с.9

19

С и н тез си гн а л а − a0

ys ( t ) :=

2

+

∑ (M k ⋅cos (p ⋅k ⋅ t + Ψ k)) k

40

ys ( i⋅dt )

20

y ( i⋅dt ) Yi

0

20

40

0

5

10

15

20

25

i

Пр и мер ыопр едел ен и я спектр а л ьн ой пл отн ости си гн а л ов К ол окол ообр а з н ый (га уссовски й) и мпул ьс − 2⋅

ti :=

10− 3

A :=

1

s ( t ) := A ⋅ e

t2 ti2

5 ⋅ 10 − 3

⌠ − i ⋅om ⋅t S ( om ) :=  s ( t) ⋅ e dt ⌡− 5 ⋅10 − 3 2

s ( t)

S ( om )

1

0

0.001

0 4 1 .10

0

t

0

om

Р и с.10

1 .10

4

20

Пр ямоугол ьн ый и мпул ьс (р а сч ет спектр а л ьн ой пл отн ости и ср а вн ен и ес а н а л и ти ч ески м ви дом) ti :=

10− 3

s ( t) :=

U := 0

0

if t < if t >

1

− ti 2 2

ti 2

s ( t)

U otherwise

0

0

t 5 ⋅10 − 3

⌠ − i ⋅om ⋅t s ( t) ⋅ e S ( om ) :=  dt ⌡− 5 ⋅10 − 3

SA ( om ) := 2 ⋅ U ⋅ ti ⋅

ti   sin om ⋅ 2





om ⋅ ti

SA ( om)

SA ( om) 0.001

S ( om)

S ( om)

0

0

2 .10

4

0

2 .10

1 .10

4

4

om

om 0.001

S ( om) 5 .10

0

4

0 4 1 .10

0

om

Р и с.11

1 .10

4

1 .10

4

21

Задачи 1. Р а ссч и та йтеспектр а л ьн ую пл отн ость си гн а л о в s(t), з а да н н ых сл едую щи ми соо тн ош ен и ями : 1. s (t ) = e

−α t

, α = 103 c −1; 5 ⋅ 103 c −1, 104 c −1;

1 − t / 2τ u , t ≤ τ u / 2, ; 2. s(t ) =  τи= 1 мс , 5 мс , 10 мс ,1 мк с ; > 0 / 2 t τ u  cos ω0t , t ≤ τ H / 2, , τи= 1 мс , 5 мс , 10 мс ,1 мк с ; 3. s (t ) =  0, [t ] > τ u / 2  4. s(t ) = exp(−t 2 / 2τ u2 ), τ u = 1 мс , 5 мс , 10 мс sin ωt 5. s(t ) = , f = 1 к Г ц ,5к Г ц , 10 к Г ц ,1 М Г ц . ωt

6. s(t ) = exp(−αt ) cos ω0t , α = 10c −1, f 0 = 1 мГ ц , 10 мГ ц . 2. Р а ссч и та йте н а осн ове ч и сл ен н ого пр еобр а з ова н и я Фур ье спектр а л ьн ую пл отн о сть Л Ч М р а ди о си гн а л а с оги ба ю щ ей в ви депр ямо угол ьн ого и мпул ьса 2  U 0 cos(ω N t + µt ) s(t ) =  2  0

t ≤ τu / 2 , t > τu / 2

с а мпл и тудой U0 = 10 B , н есущей ч а сто той fH =1 М Гц, скор остью и з мен ен и я ч а стоты µ = 103 р а д/с2 (fД = 5 К Гц), дл и тел ьн о стью и мпул ьса оги ба ю щей τu = 5мс. К а к и з мен яется фор ма спектр а пр и и з мен ен и и ч а сто ты деви а ци и (µ = 5 109 р а д/с2, 1010 р а д/с2). Пр овер ьте, ка к согл а суется Ва ш р езул ьта т с а н а л и ти ч ески м ви дом спектр а дл я си гн а л ов с доста точ н о бол ьш о й ба з ой (В >100). 3. Р а ссч и та йтеч и сл ен н ыми метода ми спектр а л ьн ую пл о тн о сть Л Ч М р а ди оси гн а л а с кол око л ообр а з н ой оги ба ю щей: 2 2 u (t ) = Ae −α t cos(ω H t + µt 2 / 2) при А = 10 В , f H = 1 М Г ц , α = 10 4 с −1,

µ = 10 6 , 108 , 109 ра д / с 2 .

22

4. Пр оведи теспектр а л ьн ый а н а л и з пер и оди ч ески х си гн а л ов, з а да н н ых р ядо м отсч ето в: t/Ti 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

1,2846

0,6029 -0,6029 1,28

u1

-1,0

-0,3335

-0,0151

0,0151 0,3335 1,000

u2

0,875

0,5545

0,3785

0,2832 0,2588 0,3250 0,4523

T1 = 1 мкч ,

0,8

0,9

0,7029 1,0349

1,13

T2 = 1 мс.

5. О пр едел и те спектр пер и оди ч еской по сл едо ва тел ьн ости тр еугол ьн ых и мпул ьсов с а мпл и тудо й 1 В, пер и о до м 1 мс, дл и тел ьн остью 0,5 мс: u (t ) = U (1 − 2 t / τ u ) . 6. Выч и сл и те спектр по сл едо ва тел ьн ости тр а пецеи да л ьн ых и мпул ьсо в с пер и одом Т=1 мс, дл и тел ьн остью τu=1 мс, дл и тел ьн остью фр он та τф =0,25 мс, а мпл и тудо й U = 1 В. 7. Н а пр и емн и к с пол осой ∆F=1 кГц с цен тр а л ьн о й ч а стотой 500 кГц воз действует по меха , пр едста вл яю ща я и з себя посл едова тел ьн ость пр ямо уго л ьн ых и мпул ьсов с а мпл и тудой 10 мВ, пер и одо м Т n=50 мкс, сква жн о стью Tn/τu=20. О пр едел и те спектр а л ьн ый соста в помехи , и спол ьз уя ч и сл ен н о е н а хо жден и е коэ ффи ци ен тов Д ПФ. Н а йди те ур о вен ь по мех н а выхо депр и емн и ка . 8. Р а ссч и та йте спектр а л ьн ую пл о тн ость и мпул ьсн ых си гн а л ов, з а да н н ых сл едую щи ми з н а ч ен и ями пр и t ≤ τ u (τ u = 1.6 мс к ) :

t, мкс

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

S1

5

4,375

3,75

3,225

2,5

1,875

1,25

10,625 0

S2

10

9,808

9,239

8,315

7,071

5,56

2,164

0,22

0

S3

3,0

3,0

3,0

3,0

3,0

2,25

1,5

0,75

0

23

3. Г арм о нический синтезпро ц ессо в Га р мон и ч ески м си н тезом будем н а з ыва ть з а да ч у во сста н овл ен и я си гн а л а s(t) по ко э ффи ци ен та м и собствен н ым фун кци ям р яда Фур ье[1-3] N N A 2πkt 2πkt s N (t ) = 0 + ∑ ( Ak cos + Bk sin ) = ∑ S (k )e j 2πkt / Tn Tn Tn 2 k =1 k =− N

.

(3.1)

К о н еч н ое ч и сл о ч л ен ов р яда N пр и во ди т к по явл ен и ю осци л л яци й си гн а л а sN(t) c ч а сто той 2 π N/Tп и воз н и кн овен и ю

э ффекта Ги ббса –

н еустр а н и мых выбр осов в точ ка х р а з р ыво в sN(t). С цел ью осл а бл ен и я осци л л яци й и устр а н ен и я выбр о сов си гн а л sN(t)

сгл а жи ва ю т с помощ ью

допо л н и тел ьн ой ч а сто тн ой фи л ьтр а ци и . Есл и ввести безр а з мер н ую пер емен н ую x = 2πt / Tn ∈ [ −π , π ] , то с уч ето м допо л н и тел ьн ой фи л ьтр а ци и си н тези р ова н н ый си гн а л можн о з а пи са ть в ви де N A0 N s( x) = + ∑ hk ( Ak cos kx + Bk sin kx) = ∑ hk S k e jkx 2 k =1 k=N

.

(3.2)

Весовые коэ ффи ци ен ты hk н а з ыва ю тся «спектр а л ьн ым окн ом». Н а и бол ее употр еби тел ьн ысл едую щ и е«спектр а л ьн ыеокн а »: а ) пр ямо угол ьн ое 1, k ≤ N hk =  ; 0 , k > N  б) моди фи ци р ова н н о епр ямо уго л ьн ое  1 k N  в) Л а н цо ш и  sin(πkN ) / πk / N , k ≤ N hk =  ; k >N 0, г) Га н н а 0.5(1 + cos πk / N ), k ≤ N hk =  ; k >N  0,

24

д) Х емми н га b + 2 a cos(πk / N ), k ≤ N hk =  ; k >N  0, гдеb=0,54, a=0,23; е) К а йз ер а  I (α 1 − ( k / N ) 2 ) / I (α ), 0 hk =  0 k >N 0, 

k ≤N

,

гдеI0(u) – фун кци я Бессел я н ул евого пор ядка мн и мого а р гумен та , па р а метр α ко н тр ол и р ует фор му окн а . П ро ведение спектрально го синтеза средствам и систем ы MathCAD пр едусма тр и ва ет н ескол ько воз можн остей [4-9]: - и спол ьз о ва н и еста н да р тн ых ср едств (в ч а стн ости , выч и сл ен и есуммы (3.1) ста н да р тн ыми ср едства ми си стемыпо з а да н н ым ко э ффи ци ен та м р яда Фур ье); - и спол ьз о ва н и еспеци а л ьн ых фун кци й, опи са н н ых в р а з дел е2.2; - пр и мен ен и еси стемыси мвол ьн ых выч и сл ен и й. Пр и си н тезе и схо дн ые да н н ые могут быть пр едста вл ен ы ка к а н а л и ти ч ески , та к и в ви де ма сси вов. Испол ьз ова н и е фор мул (3.1) пр и а н а л и ти ч еском з а да н и и коэ ффи ци ен тов р яда Фур ье пр ямо уго л ьн о го и пи л ообр а з н о го си гн а л о в пр ои л л ю стр и р о ва н о в докумен тен а р и с.12. Пр и мер ы си н теза си гн а л о в по з а да н н ым вектор а м коэ ффи ци ен то в р яда Фур ьепока з а н ы н а р и с.1-6,10. Пр и мен ен и е специ а л ьн ой фун кци и обр а тн ого пр еобр а з о ва н и я Фур ье ifft(v) к си н тезу си гн а л а в сл уч а ез а да н и я ма сси ва ко э ффи ци ен то в р яда Фур ье р а з мер ом 512 пр ои л л ю стр и р ова н о н а р и с.8. П рим ер О цен и ть во з можн ости фи л ьтр а ци и а н а л ого вого си гн а л а с и спол ьз о ва н и ем быстр ого пр еобр а з о ва н и я Фур ье. Р а ссмотр еть би га р мон и ч ески й си гн а л , пр и н и ма емый н а фон е ш ума с р а вн омер н ым р а спр едел ен и ем. Д л я фи л ьтр а ци и и спол ьз ова ть ч а стотн ый фи л ьтр с пр ямо уго л ьн о й ха р а ктер и сти кой. Д окумен т си стемы MathCAD, и л л ю стр и р ую щи й р еш ен и е з а да ч и , пр и веден н а р и с 13. О н содер жи т а н а л и ти ч еское з а да н и е вектор а отсч ето в пол езн о го си гн а л а q р а з мер н остью 128, з а да н и е ш ума с р а вн омер н ым р а спр едел ен и ем и сумма р н ого си гн а л а s. Пр ямое пр еобр а з о ва н и е Фур ье осуществл яется фун кци ей fft. Испо л ьз уется фи л ьтр с пр ямо угол ьн ой ха р а ктер и сти кой, в р езул ьта теч его фор ми р уется спектр си гн а л а , з а пи са н н ый в ма сси ве g. Пр ои з води тся о бр а тн ое пр еобр а з ова н и е Фур ье (пр и мен яется фун кци я сfft) дл я спектр а и сходн о го си гн а л а f - hs и спектр а g - hg. С р а вн ен и е р езул ьта тов (си гн а л ы hs и hg ) и и схо дн ых си гн а л о в q и s по з вол яю т оцен и ть э ффекти вн ость фи л ьтр а ци и .

25

Га р мон и ч ески й си н тез си гн а л ов по а н а л и ти ч ески м соотн ош ен и ям дл я коэ ффи ци ен тов р яда Фур ьe N := 200

Cи н тез меа н др а i := 1 , 3 .. 5

Y5 j :=

1 ⋅ sin ( i⋅ k j) i

∑ i

i := 1 , 3 .. 25

Y25 j :=

∑

j := 0 .. N

k j := 2 ⋅ π ⋅

∑

i := 1 , 3 .. 9 Y9 j :=

1 ⋅ sin ( i⋅ k j) i

j N

1 ⋅ sin ( i⋅ k j) i

i

i

1 Y5 j Y9 j

0

Y25 j

1

0

50

100

150

200

j

Cи н тез тр еугол ьн ого си гн а л а i := 1 .. 5

Y5 j :=

∑

( −1) ⋅ sin ( i⋅ k j) i

i

i := 1 .. 25

Y25 j :=

∑

i := 1 .. 9

Y9 j :=

( − 1) ⋅ sin ( i⋅ k j) i

∑

( −1) ⋅ sin ( i⋅ k j) i

i

i

2 Y5 j

1

Y9 j

0

Y25 j 1 2

0

50

100 j

Р и с.12

150

200

26

Фи л ьтр а ци я а н а л огового си гн а л а с и спол ьз ова н и ем быстр ого пр еобр а з ова н и я Фур ье

 i⋅ 14 ⋅ π   i⋅ 19 ⋅ π   + cos    128   128 

q i := sin 

i := 0 .. 127 4

4 2

2 qi

si

0

0 2

s i := q i + rnd ( 2 ) − 1

2 0

50

100

4

150

0

50

i

g j := f j ⋅ Φ ( f j − a ) О бр а тн оепр еобр а з ова н и е Фур ье

6

4

hs := ifft ( f )

gj Φ ( f j − 2.5 )

2

0

hg := ifft ( g) 0

50

С и гн а л посл ефи л ьтр а ци и и и сходн ыеси гн а л ы

100

j 4 si hsi

a := 2.5

Фи л ьтр а ци я:

j := 0 .. 64

fj

150

i

Пр ямоепр еобр а з ова н и еФур ье f := fft ( s )

100

4

2

2 qi

0

hgi

2 4

0 2

0

50

100

4

150

i

0

50

100 i

Р и с.13

150

27

Задачи По з а да н н ым коэ ффи ци ен та м р яда Фур ье пр о веди те ч и сл ен н ый си н тез си гн а л ов и ср а вн и тер езул ьта тыс а н а л и ти ч ески м ви дом си гн а л ов: 1.

ak =

(−1) k +1 1 , 2 π k −1/ 4

x f ( x) = cos , ( x < π ); 2

N = 2,5,8; .

π (δ = π , ), N = 5, 10 , 20 , 2 δ x+ 2 , ( x < δ ); f ( x ) = − sgn x ⋅ rect δ 2

2j sin 2 k δ / 4 , S (k ) = πk

2.

.

δ sin kδ / 2 π 2 , ( x < δ ); , (δ = π , ), N = 5, 10, 20; f ( x ) = rect Sk = πk 2 δ 2 x+

3.

4.

4 /(πk ) 2 k − нечет ное x ak =  , , N = 2, 5, 8; f ( x) = 1 − , ( x < π ); k − чет ное π  0,

5.

j S k = (−1) k , n

6.

1 α Sk = , (α = 2,3), N = 2, 5, 8, 15; π α2 + k2

7.

bk =

.

N = 5, 10, 20;

f ( x) = x, ( x < π ); .

(−1) k +1 2k , π k 2 − 1/ 4

N = 2, 8, 15;

f ( x) = e

−α x

, ( x < π );

x f ( x ) = sin , ( x ≤ π ); 2

.

8.

1 −k 2 / 4 Sk = e , π

N = 2, 4, 8;

2

f ( x) = e − x , ( x ≤ π ).

28

4. М о делиро ваниевчасто тно й о бласти схем ных ф ункц ий устро й ств В з а ви си мо сти о т и сходн ых да н н ых о пр едел ен и е схемн ых фун кци й устр ойств может быть пр о веден о пр и и спол ьз ова н и и 1) и з вестн ой схемн ой мо дел и ; 2) и з вестн ой ма тема ти ч еской модел и мо дел и р о ва н и я во

вр емен н о й

обл а сти

(М М ); 3) р езул ьта то в

(пер еходн ых

и

и мпул ьсн ых

ха р а ктер и сти к). В ка ч естве схемн ых фун кци й обыч н о р а ссма тр и ва ю тся коэ ффи ци ен ты пер еда ч и , входн ыеи выходн ыесопр оти вл ен и я, S- и Y-па р а метр ыи т.д. Пр оа н а л и з и р уем компл ексн ый коэ ффи ци ен т пер еда ч и устр ойства K(jω). В общем ви де (а ) и л и в соо тветстви и с ви дом пер еда точ н ой фун кци и (б) его пр и н ято з а пи сыва ть ка к а ) K ( jω ) = K1 (ω ) + jK 2 (ω ), P (ω ) + jP2 (ω ) б) K ( jω ) = 1 , Q1 (ω ) + jQ2 (ω ) где P1(ω), P2(ω), Q1(ω), Q2(ω) –

(4.1) пол и н о мы, ко э ффи ци ен ты ко тор ых

опр едел яю тся и сходн ой модел ью . А мпл и тудн о -ч а стотн а я (А Ч Х ) и фа з о -ч а стотн а я (ФЧ Х )

ха р а ктер и сти ки

соо тветствен н о и мею т ви д [13-15] а ) K (ω ) = K12 (ω ) + K 22 (ω ) , Ψ (ω ) = arctg

K 2 (ω ) , K1 (ω )

б) K (ω ) = [ P12 (ω ) + P22 (ω )] /[Q12 (ω ) + Q22 (ω )], P (ω )Q1 (ω ) − P1 (ω )Q2 (ω ) (4.2) Ψ (ω ) = arctg 2 . P1 (ω )Q1 (ω ) + P2 (ω )Q2 (ω ) А л гор и тм ч и сл ен н ого опр едел ен и я ч а стотн ых ха р а ктер и сти к пр и пер вых подхода х своди тся к 1) з а да н и ю по сл едо ва тел ьн ости з н а ч ен и й ч а стот f1, f2… . в ди а па з он е f∈[fmin, fmax]; 2) фор ми р о ва н и ю н а ка ждо й ч а стоте си стемы ур а вн ен и й, опи сыва ю щ и х устр ойство; 3) р еш ен и ю э то й си стемы одн и м и з ч и сл ен н ых методов (н а пр и мер , дл я л и н ейн ых цепей методом Га усса ; 4) выч и сл ен и ю K1(ω), K2(ω); 5) выч и сл ен и ю и выводу А Ч Х и ФЧ Х (4.2.). Пр и

29

р а сч етепо фо р мул а м (4.1.), (4.2.) втор ой и тр ети й э та пы а л гор и тма мо гут быть з а мен ен ы о бр а щен и ем к выч и сл ен и ю пер еда точ н ой ха р а ктер и сти ки и ко э ффи ци ен тов пол и н омов P1(ω), P2(ω), Q1(ω), Q2(ω). Ба з о й дл я модел и р о ва н и я в пер вых сл уч а ях сл ужа т методы опр едел ен и я топол оги ч ески х и компон ен тн ых ур а вн ен и й схемотехн и ч еско й модел и в ди а па з он е ч а стот

и

методы

р еш ен и я

ди ффер ен ци а л ьн ых ур а вн ен и й модел и .

си стем

а л гебр а и ч ески х

и

Пр и э то м уч и тыва я сл о жн о сть

соо тн ош ен и й, опи сыва ю щ и х совр емен н ые э л ектр о н н ые устр ойства , дл я а н а л и з а схемн ых фун кци й в бол ьш и н ствеста н да р тн ых з а да ч цел есоо бр а з н о и спол ьз о ва ть па кеты схемо техн и ч еского мо дел и р о ва н и я, н а пр и мер , OrCAD и л и Microwave Office [11,12]. Пр и р еа л и з а ци и тр етьего подхода могут быть с успехом и спол ьз о ва н ы си стемы компью тер н ой ма тема ти ки , в ч а стн ости па кет MathCAD [10]. Р а ссмотр и м

подр обн ее

ха р а ктер и сти к

по

ч и сл ен н ое

и з вестн ым

пер еходн ым

модел и р ова н и е h(t)

и

ч а стотн ых

и мпул ьсн ым

g(t)

ха р а ктер и сти ка м. В его осн овел ежа т фор мул ы дл я связ и K(jω) с g(t) па р ой пр еобр а з ова н и й Фур ье(1.1) [10,13-15] K ( jω ) =

∞

∫

g (t )e

− jωt

dt ,

−∞

1 g (t ) = 2π

∞

∫ K ( jω )e

jωt

dω.

(4.3)

−∞

Испол ьз ую тся та кжесоо тн ош ен и я, связ ыва ю щ и епер еходн ую и и мпул ьсн ую ха р а ктер и сти ки g (t ) =

d h(t ), dt

t

g (t ) = ∫ g (τ ) dτ . 0

Пр и з а да н и и ха р а ктер и сти к g(t), h(t) в ко н еч н ом и н тер ва л е [0, t0] опи сыва ется ка к

K(jω)

t0

K ( jω ) = h(0) + ∫ h / (t )e jωt dt = h(0) + K1 (ω ) − jK 2 (ω ), 0

где

(4.4)

30 t0

K1 (ω ) = ∫ g (t ) 0

cos sin

t0

ωtdt = ∫ h / (t ) 0

cos sin

ωtdt ,

а А Ч Х и ФЧ Х и мею т ви д K (ω ) K (ω ) = K12 (ω ) + K 22 (ω ) , Ψ (ω ) = arctg 2 K1 (ω )

Д л я р еа л и з а ци и соотн о ш ен и й (4.4) н а Э ВМ

пр и мен и мы р а сч етн ые

фор мул ы р а з дел а 2. Пр и з а да н и и и мпул ьсн ой ха р а ктер и сти ки р ядом отсч ето в gi(i=1, 2, … ) н а и н тер ва л еt=[0, to] с ш а гом ∆t и а ппр окси ма ци и g(t) р а сч етн ые фор мул ыдл я со ста вл яю щи х K(jω) и мею т ви д а ) ступен ч а та я и н тер пол яци я g(t): K1 (ω ) N ∆t = g cos (ωi∆t ); K 2 (ω ) ∑ i sin i =1 ∆t

(4.5)

б) уточ н ен н а я ступен ч а та я и н тер по л яци я g(t): ω∆t K1 (ω ) sin N cos 2 ∆t = gi (ωi∆t ); ∑ K 2 (ω ) ω∆t / 2 sin i =1 ∆t

(4.6)

в) кусо ч н о-л и н ейн а я и н тер пол яци я g(t): N −1 cos α cos cos K1(ω ) ωi∆t + 1 g 0 + [α1 ωN∆t + β1 ωN∆t ]g N = 2α1 ∑ gi K 2 (ω ) β sin sin sin − 1 i =1

где

, (4.7)

α1 =

1 ω 2 ∆t

[1 − cos ω∆t ], β1 =

1 ω 2 ∆t

[α1∆t − sin ω∆t ].

Р а сч ет ч а стотн ых ха р а ктер и сти к по ви ду пер еходн ой ха р а ктер и сти ки , з а да н н ой р ядом о тсч етов hi, с ш а гом ∆t (i=1, 2, … .N) можн о пр о вести с уч етом и н тер пол яци и h/(t). Удобн ые выр а жен и я пол уч ен ы пр и h −h а ппр окси ма ци и h / (t ) ≈ i i −1 и то ч н о м и н тегр и р о ва н и и в пр едел а х ка ждо го ∆t ш а га ∆t:

31

ω∆t K1 (ω ) sin 2 N sin ω∆t = (2i − 1)] (hi − hi −1 ) [ ∑ K 2 (ω ) ω∆t / 2 i =1 cos 2

(4.8)

Д л я си н теза ха р а ктер и сти к во вр емен н ой обл а сти (h(t), g(t)) по и з вестн ым ч а стотн ым спр а ведл и вы фор мул ы дл я обр а тн ого пр еобр а з о ва н и я Фур ье(4.3) р а сч етн ыефор мул ыр а з дел а 2, соотн ош ен и я (4.5) – (4.7).

И спо льзо вание средств систем ы

MathCAD для м о делиро вания

схем ных ф ункц ий устро й ств [4-7.10] пр едпо л а га ет пр и мен ен и е мето до в р а сч ета пр ямого и о бр а тн ого пр ео бр а з ова н и я Фур ье, опи са н н ых р а н ее. О н о вкл ю ч а ет и спол ьз ова н и е ста н да р тн ых ср едств си стемы дл я пр оведен и я и н тегр и р ова н и я и р еа л и з а ци ю фор мул ч и сл ен н ого и н тегр и р о ва н и я (4.4) (4.8)

на

о сн ове пр и мен ен и я пр огр а ммн ых ср едств си стемы и

пр и

опр едел ен и и сумм ср едства ми па н ел и Calculus. П рим ер Р а ссч и та ть пер ехо дн ую ха р а ктер и сти ку л и н ейн о й си стемы, есл и з а да н ви д ееопер а тор н ой фун кци и : y(p)=p/(p2+p+1). Р а сч ет пер еходн ой ха р а ктер и сти ки h(t) и л л ю стр и р ует до кумен т р и с 14. О н вкл ю ч а ет опр едел ен и еч а стотн ой ха р а ктер и сти ки си стемы пр и уч етеp=jω и р а сч ет по втор ой и ч етвер той фор мул а м (4.3), связ ыва ю щ и м пер еходн ую и ч а стотн ую ха р а ктер и сти ки , ви да h(t). Р и с. 14 и л л ю стр и р ует та кжеср а вн ен и е ви да и скомой ха р а ктер и сти ки , н а йден н ой н а осн о вепр и веден н ых фор мул , и пр и

пр и мен ен и и

си мво л ьн о го

опр едел ен и я о бр а тн ого

Л а пл а са (фун кци я си стемыMathCAD - invlaplase).

пр еобр а з о ва н и я

32

Постр оен и еч а стотн ых и пер еходн ой ха р а ктер и сти к си стемыпо ееопер а тор н ой фун кци и y ( p) :=

p

j :=

2

p +p+1

−1

TOL := 0.001

Выч и сл ен и епер еходн ой ха р а ктер и сти ки си стемыпо ее опер а тор н ой фун кци и



10



0

2 ⌠ h ( t) := ⋅  π  ⌡ hi ( t) :=



sin ( ( w ⋅ t ) Re ( y ( w ⋅ j) ) ⋅ dw  w 



y ( p) 2  −1 ⋅ t  ⋅ 3 ⋅sin  1 ⋅ 3 ⋅ t  invlaplace , p → ⋅ exp     p 3  2  2  Ч а стотн ыеха р а ктер и сти ки си стемы АЧ Х

ФЧ Х 2

1 y ( j ⋅w)

arg ( y( j ⋅w) )

0.5 0

0

2

0

2

4

0

2

4 w

w

Пер еходн а я ха р а ктер и сти ка си стемы 1 h( t)

0.5

hi( t) 0 0.5

0

2

4

6 t

Р и с.14

8

10

33

Задачи 1. Р а ссч и та йте А Ч Х

и

ФЧ Х

уси л и тел ей по и з вестн ым и мпул ьсн ым

ха р а ктер и сти ка м t⋅108, c 0 g1 ⋅10 -7 1,5 g2 ⋅ 10-7 4,57

0,7 0,8 1,0167 0,9617 1,3911 1,1672

0,1 1,4189 3,9857

0,9 0,9098 0,9794

0,2 1,3423 3,3443

1,0 0,8606 0,8218

0,3 1,2697 2,8062

1,1 0,8114 0,6896

0,4 1,2011 2,3547

1,2 0,7701 0,5886

0,5 1,1362 1,9758

1,3 0,7285 0,4855

1,4 0,6891 0,4074

0,6 1,0748 1,6578

1,5 0,6519 0,3418

2. Пр оведи те р а сч ет ч а сто тн ых ха р а ктер и сти к уси л и тел ей по и з вестн ому а н а л и ти ч ескому ви ду и мпул ьсн ой ха р а ктер и сти ки : 1. g (t ) = − Ke −t / τ 0

пр и

а ) K ⋅ 10− 7 = 10;15;20 τ 0 = 0,1;0,18;0,4 мс б) K ⋅10 − 7 = 4;4,75;5,5 τ 0 = 200;570;1000 . 1 1 2. g (t ) = K [ e − t / τ 1 − e − t / τ 2 ] пр и τ1 τ2 а ) K = 1, τ 1 = 10 − 5 c,τ 2 = 10 − 2 c б) K = 1, τ1 = 10 − 3 c, τ 2 = 10 − 4 c.

3.Пер ехо дн а я ха р а ктер и сти ка цепи (р и с.15) и меет ви д h(t) = 0,667+0,333 e-750t О пр едел и те н а

осн о ве ч и сл ен н о го

.

пр ео бр а з ова н и я Фур ье ч а стотн ые

ха р а ктер и сти ки цепи . Ср а вн и те и х с ч а сто тн ыми ха р а ктер и сти ка ми цепи , н а йден н ыми н епоср едствен н о и з ур а вн ен и й модел и . Па р а метр ысхемы: R1=2 К о м, R2 = 4 К ом, С =1 мкф. 4. Р а ссч и та йте, и спол ьз уя ч и сл ен н о е пр ео бр а з ова н и е Фур ье и ч а стотн ую ха р а ктер и сти ку, опр едел ен н ую по ви ду модел и , и мпул ьсн ую ха р а ктер и сти ку тр а н з и стор н ого уси л и тел я (р и с.16) с па р а метр а ми RH=2 К ом, С Н =100 пкф,

34

Ri=20 KOм, S=15 мА /В. С р а вн и те ее с ха р а ктер и сти ко й, опр едел ен н ой н епо ср едствен н о по схемеи р а ссч и та н н ой дл я да н н ых па р а метр о в.

E RH

R1

C R2

C

UВ Х

Р и с. 15

UВ Ы Х

Р и с.16

5. О пр едел и те и мпул ьсн ую

ха р а ктер и сти ку схемы, есл и

и з вестн ы ее

ч а стотн ыеха р а ктер и сти ки , з а да н н ыета бл и цей: ω, с-1 К (ω) ϕ(ω)0

0 0,4285 0

500 0,5571 21,80

1000 0,7276 22,83

1500 0,8321 19,44

2000 0,8904 16,22

2500 0,9241 13,71

С р а вн и те р езул ьта т выч и сл ен и й с ви дом и мпул ьсн о й ха р а ктер и сти ки , опр едел ен н о й н епоср едствен н о по схеме(р и с.1 пр и R1=160 Oм, R2=12 Oм, G=12,5 мкФ).

35

5.

М о делиро ваниево здей ствия сигнало вна линей ныеи нелиней ные устро й ства (спектральныем ето ды) М о делиро вание на Э В М

во здей ствия сигнало в на линей ные

устро й ства по и з вестн ым ч а сто тн ым ха р а ктер и сти ка м можн о пр о вести пр и и спол ьз о ва н и и а ) общего подхода и ч и сл ен н ых методо в р а сч ета пр ямого и обр а тн ого пр еобр а з ова н и я Фур ье; б) и з вестн ых а н а л и ти ч ески х фор мул дл я откл и ка си стемы с з а да н н ой а мпл и тудн о -ч а сто тн ой ха р а ктер и сти кой н а пр ои з вол ьн о евоз действи еSbx(t). В пер во м сл уч а е и спол ьз ую тся фор мул ы (2.3) - (2.9) дл я выч и сл ен и я и н тегр а л о в ти па (1.1) – (1.4). Пр и мен яется сл едую щ и й а л гор и тм: 1. О пр едел яю тся ха р а ктер и сти ки

модел и

си гн а л а

sвx(t) в ч а сто тн ой

обл а сти – коэ ффи ци ен ты р яда Фур ье Sвx(k) (1.2) дл я пер и оди ч ески х си гн а л ов и спектр а л ьн а я пл отн ость Sвx(jω) (1.2) - дл я н епер и оди ч ески х. 2. Р а ссч и тыва ется спектр си гн а л а н а выходеустр ойства с з а да н н ым ко мпл ексн ым коэ ффи ци ен том пер еда ч и K(jω) . .

S вы х(k ) = S вх(k ) K (ω k )e jΨ (ω k ) S вы х( jω ) = S вх( jω ) K (ω )e jψ (ω ) Пр и н еобходи мости ч а сто тн ыеха р а ктер и сти ки устр ойства K(ω), ψ(ω) р а ссч и тыва ю тся о дн и м и з методов р а з дел а 4. 3. Пр о и з води тся си н тез си гн а л а н а выходеустр ойства sвых(t) по и з вестн ому спектр у (п.2) пр и и спол ьз ова н и и (1.1), (1.2), (3.1), (3.2). В ка ч ествеа н а л и ти ч ески х соо тн ош ен и й дл я р еа л и з а ци и втор о го подхода мо жн о и спол ьз ова ть та кжевыр а жен и я дл я вектор а выходн о го си гн а л а sвых(t) и мгн о вен н ого з н а ч ен и я откл и ка xвых(t) [10,13-15] sвы х(t ) = S1 (t ) + jS 2 (t ), S (t ) xвы х(t ) = S12 (t ) + S 22 (t ) sin[ arctg 2 + ϕ / (t )], S1 (t )

(5.1)

36

где m ϕ / (t ) = 2π 1 t Tn

дл я пер и оди ч ески х си гн а л о в с пер и одом Тn ,

f i ϕ / (t ) = 2π 0 t m2

дл я н епер и оди ч ески х си гн а л ов,

m1 – н о мер га р мон и ки си гн а л а , бл и жа йш ей к цен тр а л ьн ой ч а сто тепол осы пр опуска н и я устр ойства f0: m2 – и н декс, з а ви сящи й от f0 – ш и р и н ы пол осы пр опуска н и я ∆F в ч и сл ер а з би ен и й n спектр а н епер и оди ч еско го си гн а л а пр и ди скр ети з а ци и m2=nf0/∆F. Выво д фор мул (5.1) о сн ова н н а з а пи си со ста вл яю щи х спектр а си гн а л а , в ко тор ом он и пр едста вл яю тся в одн ой компл ексн о й пл оскости . Пл о ско сть вр а ща ется с ч а стотой соста вл яю щей, бл и жа йш ей к цен тр а л ьн ой ч а сто те устр ойства f0. Д л я н епер и оди ч ески х си гн а л о в и спо л ьз уется ди скр ети з а ци я спектр а . М о делиро вание во здей ствия сигнала на нелиней но е устро й ство в общем ви деявл яется сл о жн ой н а уч н ой з а да ч ей и мо жет быть пр о веден о в р яде сл уч а ев пр и пр и мен ен и и специ а л ьн ых си стем схемо техн и ч еско го и э л ектр о ди н а ми ч еско го пр о екти р о ва н и я (н а пр и мер , [11,12]). Д л я р еш ен и я н екотор ых з а да ч , н а пр и мер , пр и а н а л и з еспеци фи ч ески х устр ойств (устр о йств с N- и Λ -о бр а з н ыми ха р а ктер и сти ка ми , па р а метр и ч ески х устр о йств), а та кже пр и

а н а л и з е н екото р ых явл ен и й (н а пр и мер , э ффектов пр и

и н тен си вн ых

по мех

и

т.п.)

тр ебуется р а з р а бо тка

и

действи и

и спол ьз ова н и е

а н а л и ти ч ески х методов с посл едую щ и м пр и мен ен и ем Э ВМ . Д л я ч а стн ых сл уч а ев могут и спол ьз о ва ться специ а л ьн ые и н жен ер н ые методы а н а л и з а [13,14]. Ц ел ь методов – опр едел ен и еспектр а л ьн о го соста ва си гн а л а н а выхо де устр ойства . Р а з л и ч и е методо в опр едел яется р а з л и ч н ым ви до м ха р а ктер и з ую щи х устр о йство з а ви си мостей ур овн я си гн а л а н а выходе от си гн а л а н а входеy=f(x), а та кжеви дом и ха р а ктер и сти ка ми си гн а л а н а входеустр ойства x(t). Н а и бол ееи з вестн ыми и з пр и мен яю щи хся ста н да р тн ых

37

методо в явл яю тся [13,14]: дл я си стем со сл а бой н ел и н ейн о стью – мето ды тр ех, пяти , двен а дца ти ор ди н а т; дл я си стем с си л ьн ой н ел и н ейн о стью – метод а ппр окси ма ци и

f(x)

степен н ым

пол и н о мо м;

метод,

и спол ьз ую щ и й

тр и гон о метр и ч ески ефор мул ы кр а тн ого а р гумен та ; дл я си стем с отсеч кой – метод Бер га ; дл я си стем, ха р а ктер и сти ки

котор ых а ппр о кси ми р ую тся

э кспон ен ци а л ьн ыми фун кци ями и пол и н о ма ми , - метод, и спол ьз ую щ и й мо ди фи ци р о ва н н ыефун кци и Бессел я. В ка ч ествепр и мер а р а ссмотр и м метод Бер га и метод пяти ор ди н а т. М етод Бер га

(метод отсеч ки ) [13]

пр и мен яется в сл уч а е, есл и

пер еда точ н а я фун кци я y=f(x) может быть пр едста вл ен а 2 отр езка ми пр ямых (р и с.17а )

(со ответствует р а бо те а кти вн ых

э л емен тов в р езон а н сн ых

уси л и тел ях, умн о жи тел ях ч а стоты и т.д.). То гда пр и входн ом во з действи и x(t)=x0+xmcosωt

угол

отсеч ки

θ=arccos[(X0-x0)/xm],

а

н ор ми р ова н н ые

а мпл и тудысоста вл яю щи х спектр а си гн а л а н а выходеустр о йства и мею т ви д y0 sin θ − θ cos θ , = ym π (1 − cos θ )

ym1 θ − sin θ cos θ , = π (1 − cos θ ) ym

(5.2)

ymn 2 sin nθ cos θ − n cos θ sin θ = . ym π n( n 2 − 1)(1 − cos θ )

П рим енение систем ы MathCAD [4-7] к опр едел ен и ю ко э ффи ци ен то в Бер га α0(θ), α1(θ), α(n,θ) ка к фун кци й угл а отсеч ки

θ и пр и мер си н теза

си гн а л ов н а выходе си стемы дл я р а з л и ч н ых з н а ч ен и й угл а отсеч ки пр и действи и н а входега р мо н и ч еско го си гн а л а и л л ю стр и р ую т р и с. 18,19. М етод

пяти

о р ди н а т [13,14]

пр и мен и м

дл я си стем

со

сл а бой

н ел и н ейн о стью пр и и з вестн ой фун кци и f(x) и пр и усл ови и воз действи я си гн а л а ви да : x(t)=x0+xmcosrot. Испол ьз ую тся з н а ч ен и я фун кци и у=f(x) в пяти точ ка х (р и с.17б): ор ди н а ты y1, y5, соответствую щи еми н и муму и ма кси муму y=f(x(t)) пр и ωt=0, π; y3 соо тветствую щ а я ωt =

π , 3

2π . С р едн еез н а ч ен и е 3

38

y y = f(x) ym

X0

x0

θ

x

π

2π

θ π

xm

ωt Р и с. 17 а

y5 y

y4 y3 y2 y1

0

x0

x x 0 + xmcos ω t ωt

Р и с.17 б

39

Р а сч ет коэ ффи ци ен тов Бер га α0 ( θ ) :=

sin( θ ) − θ ⋅ cos ( θ )

α ( n , θ ) :=

α1 ( θ ) :=

π ⋅ ( 1 − cos ( θ ) )

θ − sin( θ ) ⋅cos ( θ ) π ⋅ ( 1 − cos ( θ ) )

2 sin( n ⋅ θ ) ⋅ cos ( θ ) − 2n ⋅ cos ( n ⋅ θ ) ⋅ sin( θ )

(

)

π ⋅ n ⋅ n − 1 ⋅ ( 1 − cos ( θ ) ) 2

π  = 0.318 2  π α  2 ,  = 0.212  2

π  = 0.5 2  π α3 ,  = 0  2

α0 

α1 

θ t := t ⋅

t := 0 , 10 .. 180

π 180

 

α0  θ1 ⋅

α0 ( θ t) α1 ( θ t)

0.4

α ( 3 , θ t)

0.2

0.5

π  0.4  α1  θ1 ⋅   180 

α ( 2 , θ t)

0

π   180 

π   α  2 , θ1 ⋅  180  

0

100

0.3 0.2

π   α  3 , θ1 ⋅  180   0.1

t 0

100

0

100 θ1

Р и с.18

40

С и н тез си гн а л а по коэ ффи ци ен та м Бер га

N := 8

A := 1

t := 0 , .1 .. 14

  s ( t , θ ) := A ⋅ α 0 ( θ ) + α 1 ( θ ) ⋅ cos ( t ) +  

N

∑

n = 2

 α ( n , θ ) ⋅ cos ( n ⋅ t )   

1

 

π   4 

 

π  0.5  3 

 

π   2 

s t, s t, s t,

0 0

2

4

6

8 t

Р и с.19

10

12

14

41

у0 а мпл и туды га р мон и к н а выхо деустр ойства уmi (i =1,2,3,4) и ко э ффи ци ен т н ел и н ейн ых и ска жен и й Kни р а ссч и тыва ю тся по фор мул а м y0 = [ y1 + y5 + 2( y2 + y4 )] / 6, ym1 = [ y1 − y5 + y2 − y4 ] / 2, ym2 = [( y1 + y5 ) / 2 − y3 ], ym3 = [ ym1 − ( y2 − y4 )] / 2,

(5.4)

2 2 2 1/ 2 / ym1. K ни = [ ym 2 + ym3 + y m 4 ]

ym4 = ym 2 − y0 + y3 ,

Пр о гр а ммн а я р еа л и з а ци я метода дол жн а содер жа ть опр едел ен и еор ди н а т yi (i=1… .5) по а н а л и ти ч ески з а да н н ой фун кци и f(x) и л и путем и н тер пол яци и фун кци и , з а да н н ой та бл и ч н о, и р а сч ет по пр и веден н ым фор мул а м. П рим ер Пер еда то ч н а я ха р а ктер и сти ка н ел и н ейн ого устр ойства з а да н а та бл и цей:

Uвх, В

1

Uвых,В 48

3

7

46,1 38,9

10

13

16

18

32

26

21

18

Посто ян н а я со ста вл яю щ а я воз действи я н а

входе соста вл яет 10 В.

А мпл и туда га р мо н и ч еского воз действи я ко л ебл ется о т 0,8 до 8 В. Р а ссч и та ть з а ви си мость коэ ффи ци ен та

га р мон и к о т а мпл и туды во з действую щ его

си гн а л а . Р еш ен и е з а да ч и

пока з а н о

в до кумен те MathCAD

на

р и с.20,21.

Пер еда точ н а я ха р а ктер и сти ка з а да н а двумя векто р а ми н а пр яжен и й: н а входе си стемы X

и н а выхо де си стемы Y. Пр о води тся спл а йн -и н тер пол яци я

ха р а ктер и сти ки устр ойства с куби ч ески м пр о дол жен и ем (фун кци и cspline, interp).

Посл е э того

дл я 10

а мпл и туд

вхо дн ого

во з действи я (он и

соо тветствую т i=1,2… 10) по фор мул а м (5.4) с введен и ем дл я удо бства пр омежуто ч н ых пер емен н ых опр едел ен ы и

и з обр а жен ы коэ ффи ци ен ты

га р мон и к Kg дл я р а ссма тр и ва емых а мпл и туд входн ого воз действи я.

42

Р а сч ет коэ ффи ци ен та га р мон и к методом пяти ор ди н а т За да н и еи и н тер пол яци я пер еда точ н ой ха р а ктер и сти ки устр ойства X := ( 1 3 7 10 13 16 18 ) T Y := ( 48 46.1

38.9

32 26 21 18 ) T

Ин тер пол яци я пер еда точ н ой ха р а ктер и сти ки устр ойства YS := cspline ( X , Y )

F ( v ) := interp ( YS , X , Y , v )

60 F ( v)

40

Y 20 0

0

5

10

15

20

v,X

За да н и епостоян н ой соста вл яю щ ей воз действи я и его а мпл и туды X0 := 10

Xmax := 8

i := 1 .. 10

DX i := 0.1 ⋅ Xmax ⋅ i

Р а сч ет коэ ффи ци ен та га р мон и к Y1 i := F ( X0 − DX i)

Y2 i := F ( X0 − 0.5 ⋅ DX i)

Y4 i := F ( X0 + 0.5 ⋅ DX i)

Y3 i := F ( X0 )

Y5 i := F ( X0 + DX i)

Y1 i + Y5 i + 2 ⋅ Y2 i + 2 ⋅ Y4 i Y0 i := 6

YM1 i :=

Y1 i + Y5 i − 2 ⋅ Y3 i YM2 i := 4

YM3 i :=

Р и с.20

Y1 i − Y5 i + Y2 i − Y4 i 3 YM1 i + Y4 i − Y2 i 2

43

Р а сч ет коэ ффи ци ен та га р мон и к методом пяти ор ди н а т (окон ч а н и едокумен та ) YM4 i := YM2 i − Y0 i + Y3 i

Kg i :=

( YM2 i) 2

+

( YM3 i) 2

+

( YM4 i) 2

YM1 i

0.06

Kg i

0.04 0.02 2

4

6 DX i

DX i =

Kg i =

0.8

0.013

1.6

0.024

2.4

0.031

3.2

0.037

4

0.041

4.8

0.043

5.6

0.046

6.4

0.048

7.2

0.051

8

0.056

Р и с. 21

8

44

Задачи 1. Выч и сл и те н а осн ове ч и сл ен н ого спектр а л ьн о го а н а л и з а спектр а л ьн ую пл отн о сть и н а йди те си гн а л н а выходе ди ффер ен ци р ую щи й RC-цепи пр и пода ч ен а вход и мпул ьса s(t ) = A exp(−αt )(t ≥ 0). Па р а метр ыси гн а л а - A=10B, α=4 ⋅106 c-1; па р а метр ыцепи - RC= 0,5; 1; 2 мкс. . 2. Р а ссч и та йте ви д си гн а л а Sвы х(t) н а выхо де и н тегр и р ую щей RC-цепи пр и усл ови и з а да ч и 1. 3. Пр о веди те р а сч ет спектр а

S(ω)

и

ви да

си гн а л а

s(t) н а

выходе

ди ффер ен ци р ую щ ей RC-цепи пр и пода ч ен а вхо деси гн а л а s(t ) = At exp(−αt ) пр и А =104 В с-1, α=103 с -1 и з н а ч ен и й по стоян н о й вр емен и цепи 2; 4 мс. 4. Р еш и тепр едыдущ ую з а да ч у дл я и н тегр и р ую щ ей RC-цепи . 5. Р а ссч и та йте ч и сл ен н ым спектр а л ьн ым методом то к в посл едова тел ьн о м ко л еба тел ьн о м кон тур е(R=10 Oм, L=1 мГн , С =103 пФ) пр и по да ч ен а н его пр ямо уго л ьн о го и мпул ьса н а пр яжен и я с а мпл и тудой 100 В и дл и тел ьн остью 2⋅10-7 В. 6. Р еш и те пр едыдущ ую з а да ч у н а о сн ове пр и бл и жен н о го спектр а л ьн о го метода . Д л я э того пр едва р и тел ьн о опр едел и те ч и сл ен н ым спектр а л ьн ым методом по ви ду ч а стотн ой ха р а ктер и сти ки и мпул ьсн ую ха р а ктер и сти ку цепи и ср а вн и тееес р а сч ета ми по уко р о ч ен н о му а н а л и ти ч еско му выр а жен и ю g (t ) =

ω p −α t e cos ω p t , где ωp – р езон а н сн а я ч а стота , Q – до бр отн о сть ρ

ко н тур а , α=ωр /2Q. 7. Н а пр и мер еЛ Ч М -си гн а л а с па р а метр а ми н а з а да ч и 2 р а з дел а 2 р а ссч и та йте пр охожден и еси гн а л а ч ер ез со гл а со ва н н ый фи л ьтр с ха р а ктер и сти кой µτ u µτ u   1, ωн − 2 ≤ ω ≤ ωн + 2 K с огл(ω ) =  µτ µτ 0, ω < ωн − u , ω > ω Н + u  2 2 ϕ (ω ) =

(ω − ω Н ) 2 − ωt 0 . 2µ

.

45

Испол ьз уя р езул ьта ты ч и сл ен н о го а н а л и з а , пр ои л л ю стр и р уйте фа кт пр опор ци он а л ьн о сти ко э ффи ци ен та сжа ти я Л Ч М -си гн а л а пр и пр охожден и и согл а сова н н о го фи л ьтр а ба з еси гн а л а . 8. По з а да н н ой та бл и ч н о пер еда точ н о й фун кци и ка ска да н а мо щн ом М Д Птр а н з и стор е: U3, B

1

3,5

6

8,5

11

Uc, B

46,6

38,

32

26

21

опр едел и теспектр а л ьн ый соста в н а пр яжен и я н а сто кепр и пода ч ен а з а твор га р мон и ч еского си гн а л а Uвх=U0+Umcos ω t с па р а метр а ми : а ) U0=6 B, Um=5; 2,5 B; б) U0=5 B, Um=4; 2 B; в) Uo=1 B, Um=2; 4; 6 B. 9.О пр едел и те спектр а л ьн ый

со ста в ко л л ектор н о го

тока

уси л и тел я

мо щн ости н а би пол яр н ом тр а н з и стор е пр и пода ч е н а его вход си гн а л а uвх=U0+Umcos ω t, есл и и з вестн а з а ви си мость IК (Uвх): Uвх, B

0,7

1,2

1,7

2,2

2,7

IК , A

0,04

0,17

0,3

0,42

0,51

а ) U0=1,7 В, Um=1; 0,5 B, б) U0=1 B, Um=0,3 B. 10. К усоч н о-л и н ейн а я а ппр о кси ма ци я пр о ходн ой ха р а ктер и сти ки би пол яр н ого тр а н з и стор а опи сыва ется кр уи з н ой S и н а пр яжен и ем точ ки и з л ома U1. Р а ссч и та йте спектр а л ьн ый соста в тока пр и пода ч е н а ба з у тр а н з и стор а си гн а л а Uвх=U0+Umcos ω t дл я р а з л и ч н ых ха р а ктер и сти к си гн а л а и па р а метр ов ха р а ктер и сти ки : а ) S=400 мА /В, U1=0,1 B: U0=0,1 B, Um=0,6; 0,8; 1 B; U0=0,5 B, Um=0,6; 0,8; 1 B; U0=0,6 B, Um=0,6; 0,8; 1 B; б) S=50 мА /В, U1=0,5 B: U0=0,1; 0,5; 0,6 B, Um=0,6; 0,8; 1,0 B.

46

Реко м ендуем ая литература О сн о вн а я л и тер а тур а 1. Ба хва л о в Н .С. Ч и сл ен н ые мето ды / Н .С . Ба хва л ов, Н .П. Ж и дко в, Г.М . К о бел ьков. - М . : БИН О М Л а бор а тор и я з н а н и й, 2006. - 636 с. 2.Вер жби цки й В.М . О сн овы ч и сл ен н ых методов / В.М . Вер жби цки й. - М .: Высш . ш к., 2002. - 840 с. 3.К ор н Г. С пр а воч н и к по ма тема ти кедл я н а уч н ых р а ботн и ко в и и н жен ер ов / Г. К ор н , Т. К ор н . - С Пб. : Л а н ь, 2004. - 832 с. 4. Д ьякон ов В.П. Э н ци кл опеди я MathCAD 2001i и MathCAD 11 / В.П. Д ьяко н ов. – М . : С О Л О Н - Пр есс, 2004 – 832 с. 5. Д ьякон о в В.П. MathCAD-2001 : специ а л ьн ый спр а воч н и к / В.П. Д ьякон ов. – С Пб. : Пи тер , 2002. - 832 с. 6. Д ьякон ов В.П. К омпью тер н а я ма тема ти ка . Теор и я и пр а кти ка / В.П. Д ьяко н ов. - М . : Н ол и дж, 2001. - 1296 с. 7. Д ьякон ов В.П. MathCAD-2000 : уч ебн ый кур с / В.П. Д ьякон о в. - С Пб. : Пи тер , 2001. - 592 с. 8. Гур ски й Д .А . Выч и сл ен и я в MathCAD / Д .А . Гур ски й. - М и н ск : Н ово е з н а н и е, 2003. - 814 с. 9. Пл и с А .И. MathCAD-2000. М а тема ти ч ески й пр а кти кум / А .И. Пл и с, Н .А . С л и ви н а . - М .: Фи н а н сыи ста ти сти ка , 2000. - 656 с. 10. К а га н ов В.И. Р а ди отехн и ка + компью тер + MathCAD / В.И. К а га н о в. – М . : Гор яч а я л и н и я – Тел еко м, 2001. – 416 с. Д опол н и тел ьн а я л и тер а тур а 11. Р а з еви г В.Д . С и стема пр оекти р о ва н и я OrCAD 9.2. / В.Д . Р а з еви г. - М . : С О Л О Н -Р , 2001. – 519 с. 12. Р а з еви г В.Д . Пр оекти р о ва н и е СВЧ -устр о йств пр и помощи Microwave Office / В.Д . Р а з еви г, Ю .В. По та по в, А .А . К ур уш и н .– М . : С О Л О Н -Пр есс, 2003. - 496 13. Па вл о в В.Н . Схемо техн и ка а н а л о говых э л ектр он н ых устр ойств / В.Н . Па вл ов, В.Н . Н оги н . – М . : Го р яч а я л и н и я – Тел еком, 2003. – 320 с. 14. С хемотехн и ка э л ектр он н ых си стем. А н а л о го выеи и мпул ьсн ыеустр о йства / В.И. Бойко [и др .]. – С Пб. : БХ В-Петер бур г, 2004. – 496 с. 15. К уз о вки н В.А . Э л ектр он и ка / В.А . К уз овки н . – М . : Л о гос, 2005. – 328 с. 16. А мосо в А .А . Выч и сл и тел ьн ыеметодыдл я и н жен ер о в / А .А . А мосов, Ю .А . Д уби н ски й, Н .В. К о пч ен о ва . - М . : Высш . ш к., 1994. - 544 с. 17. С пр а во ч н и к по специ а л ьн ым фун кци ям с фор мул а ми , гр а фи ка ми и ма тема ти ч ески ми та бл и ца ми / под р ед. М . А бр а мови ца , И. С ти га н а . - М . : Н а ука , 1979. - 832 с. 18.Пи р умов У.Г. Ч и сл ен н ыеметоды/ У.Г. Пи р умов - М . : Д р офа , 2003. - 224 с

47

А втор ы:

Р еда ктор

Р а дч ен ко Ю р и й С тепа н ови ч К ор обова А л л а Д ми тр и евн а Ти хоми р о ва О . А .