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; S: <Strg>+ ; f: <Strg>+
Der senkrechte rote Strichkursor ist für die Texteingabe und Textmanipulation vorgesehen.
Der blaue L-förmige Cursor ist Bestandteil des graphischen Editors zur Eingabe und Bearbeitung von mathematischen Ausdrücken. Er kann mit der <Einf>-Taste links- oder rechtsbündig gesteuert werden. Eine Aktion auf einem Mathcad-Arbeitsblatt kann bis zu 200 Mal (Einstellung im Menü-Extras-Einstellungen) rückgängig (<Strg>+
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Beschreibung der Oberfläche
Zum senkrechten und waagrechten Ausrichten von ausgewählten Bereichen benützt man die folgenden Symbole in der Symbolleiste:
Ausgewählte Bereiche können mit der Taste <Entf> oder mit der Rückwärtstaste gelöscht werden. 1.6.1 Texteingabe und Formatierung Textbereiche können an jeder Stelle in ein Mathcad-Dokument eingefügt werden. Es gibt mehrere Möglichkeiten, um einen Textbereich anzulegen: x Menü - Einfügen - Textbereich, x Durch drücken der Taste < " > , x Man schreibt eine Variable und drückt anschließend die
Abb. 1.42
In der Formatierungsleiste können die Standardformate Variable, Konstanten, Benutzer 1 bis Benutzer 7 (Abb 1.38) ausgewählt werden. Die Namen der Formate Benutzer 1 bis Benutzer 7 können im Menü-Format-Gleichung geändert werden.
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Beschreibung der Oberfläche
In Mathcad stehen eine Reihe von Operatoren zur Verfügung. Arithmetische Operatoren (+, -, *, /) können auch mit der Tastatur oder über die Symbolleiste-Rechnen-Taschenrechner eingegeben werden. Die Vergleichsoperatoren findet man in der Symbolleiste-Rechnen-Boolsche Operatoren. Andere Operatoren findet sich in den verschiedenen Symbolleisten-Rechnen. Bei der Zuweisung eines Strings auf eine Variable , muss vor der Texteingabe ein Anführungszeichen eingegeben werden: Abb. 1.43 Wenn in einem mathematischen Ausdruck keine Operatoren oder Klammern vorkommen, so kann dieser durch drücken der Leertaste in einen Text umgewandelt werden. 1.6.3 Einfügen von Diagrammen und Grafiken Auch Diagramme und Grafiken können an jeder Stelle in ein Arbeitsblatt eingefügt werden. Zweidimensionale Diagramme: Menü-Einfügen-Diagramm-(X-Y)-Diagramm bzw. Kreisdiagramm, oder Symbolleiste-Rechnen-Diagramm, oder <@> bzw. <Strg>+<7>. Das Formatierungsfenster erhält man auch durch Doppelklick auf die Grafik. Ein Farbhintergrund kann mit der rechten MaustasteEigenschaften-Farbe ausgewählt bzw. mit MenüFormat-Eigenschaften gesetzt werden. Abb. 1.44 Dreidimensionale Diagramme: Menü-Einfügen-Diagramm-Flächendiagramm usw., oder Symbolleiste-Rechnen-Diagramm, oder <Strg>+<2>. Das Formatierungsfenster erhält man auch durch Doppelklick auf die Grafik. Ein Farbhintergrund kann mit der rechten MaustasteEigenschaften-Farbe ausgewählt bzw. mit Menü-FormatEigenschaften gesetzt werden. Es können gleichzeitig mehrere 3-D Diagramme in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Die Argumente für jedes einzelne 3D-Diagramm muss aber in Klammer stehen (siehe Abb. 1.45). Ein Vektorfelddiagramm und andere 3D-Diagramme können ebenfalls gleichzeitig dargestellt werden, jedoch nicht mehrere Vektorfelddiagramme in einem einzelnen Graph. ( X Y Z) ( X1 Y1 Y2)
Abb. 1.45
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Beschreibung der Oberfläche
Bilder einfügen: Menü-Einfügen-Bild, oder Symbolleiste-Rechnen-Matrix, oder <Strg>+
Abb. 1.46
Drückt man mit der rechten Maustaste auf das Bild, so erhält man das rechts stehende Kontextmenü, mit dem zahlreiche Manipulationen vorgenommen werden können. Ein Klick mit der rechten Maustaste in den oberen Bereich liefert die rechts abgebildete Bild-Symbolleiste.
Abb. 1.47
Bilder, die z.B. mit Paint erzeugt wurden, können über die Zwischenablage eingefügt werden. Über Menü-Einfügen-Objekt können ebenfalls Bilder eingefügt werden.
1.6.4 Region einfügen, sperren und ausblenden Menü-Einfügen-Region fügt zwei Linien ein. Sie werden bei einem Ausdruck des Arbeitsblattes nicht gedruckt! Die Begrenzungslinien lassen sich durch Anklicken verschieben. Die Region kann nach Anklicken einer Linie über Menü-Format-Region gesperrt, freigegeben, ausgeblendet oder erweitert werden (Sperren und ausblenden ist auch mit der rechten Maustaste auf eine Linie möglich).
Eine gesperrte Region kann zwar nicht mehr gelöscht, jedoch der Inhalt (durch Ziehen mit gedrückter linken Maustaste) kopiert werden!
Abb. 1.48
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Beschreibung der Oberfläche
Einer Region können ein Name oder andere Anzeigeattribute zugewiesen werden. Eine Linie der Region zuerst mit der linken Maustaste anklicken und dann mit der rechten Maustaste aus dem Kontextmenü Eigenschaften auswählen (bzw. über Menü-Format-Eigenschaften).
Abb. 1.49
1.6.5 Hyperlink einfügen und bearbeiten Hyperlink einfügen auf einen markierten Text: Menü-Einfügen-Hyperlink, oder <Strg>+
Abb. 1.50
Ein Hyperlink kann auf jede beliebige Datei gesetzt werden. Bei einer Nicht-MathcadDatei wird bei Aktivierung eines Hyperlinks zuerst die zugehörige Applikation gestartet, sofern sie installiert ist.
Abb. 1.51
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Beschreibung der Oberfläche
Mithilfe von Bereichs-Tags besteht auch die Möglichkeit, Hyperlinks zu bestimmten Bereichen von Arbeitsblättern zu erstellen. So kann ein Hyperlink, mit dem auf einen bestimmten Bereich in einem Arbeitsblatt verwiesen wird, z. B. wie folgt aussehen: Am Ende eines Arbeitsblattes wird auf einen Text ein Bereichs-Tag gesetzt:
Mit der rechten Maustaste auf den markierten Text erhält man das bereits bekannte Kontextmenü Eigenschaften. Hier wird z.B. der Bereichs-Tag "Ende der Seite" eingegeben. Ein Tag kann aus mehreren Worten, Zahlen oder Leerzeichen bestehen, jedoch nicht aus Symbolen! Ein Tag darf keinen Trennungspunkt in einem Text enthalten!
Abb. 1.52 Am Seitenanfang wird nun z.B. auf einen Text Seitenende ein Hyperlink gesetzt. Nach dem Dateinamen ist nach Eingabe einer Raute der Tag "Ende der Seite" einzugeben. Wenn man sich innerhalb eines einzelnen Arbeitsblatts befindet, ist keine Pfadangabe erforderlich.
Abb. 1.53
Bemerkung: Beim Kopieren eines Textes mit Hyperlinks in einen anderen bereits existierenden Textbereich werden Hyperlinks nicht kopiert. Wenn man jedoch den Text eines Hyperlinks in einen neuen leeren Bereich kopiert, wird der Link beibehalten.
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Beschreibung der Oberfläche
1.6.6 Verweis auf eine Datei einfügen Von einem Arbeitsblatt kann durch einen Verweis (Menü-Einfügen-Verweis) auf den Inhalt eines ungeöffneten anderen Arbeitsblattes zugegriffen werden.
Abb. 1.54 Verweis:C:\ Mathcad\ Einführung\ Beispiele.mcd(R)
Die Datei Beispiele.mcd kann durch einen Doppelklick auf den Verweis (wie ein Hyperlink) geöffnet werden. Nach diesem Verweis kann nun auf gespeicherte Funktionen ect. im Arbeitsblatt Beispiele.mcd direkt zugegriffen werden. 1.6.7 Komponente einfügen Eine Komponente kann über Menü-Einfügen-Komponente oder mit dem "Komponente einfügen" Symbol in der Symbolleiste eingefügt werden. Hier können verschiedene Schnittstellen zu installierten Softwareprodukten bzw. Dateien hergestellt werden.
Ein Farbhintergrund kann bei einem Objekt mit der rechten MaustasteEigenschaften-Farbe ausgewählt bzw. mit MenüFormat-Eigenschaften gesetzt werden.
Abb. 1.55
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Beschreibung der Oberfläche
1.6.8 Objekt einfügen Ein Objekt kann über Menü-Einfügen-Objekt eingefügt werden. Das Objekt kann durch einen Doppelklick bearbeitet werden (die zugehörige Software wird geöffnet).
Bitmap
Ein Objekt wird bei einem Doppelklick Inplace aktiviert, wenn es z.B. über die Zwischenablage kopiert wurde. Falls die Applikation installiert ist, werden sonst anstatt der Menüs und Symbolleisten von Mathcad die Menüs und Symbolleisten der zugehörigen Applikation angezeigt.
Die angezeigten Objekte sind abhängig von der am Computer installierten Software.
Abb. 1.56
1.6.9 Speichern und schützen von Mathcad-Arbeitsblättern Die Dateispeicherorte, wo ein Mathcad Arbeitsblatt standardmäßig gespeichert werden soll bzw. die eigene HTML-Seite gespeichert ist, kann über Menü-Extras-Einstellungen gewählt werden. Auf der Registerkarte Speichern können das Standarddateiformat MCD (natives Mathcad-Binärformat), XMCD-Format (Mathcad-XML-Format) oder XMCDZ-Format (komprimiertes XML-Format) ausgewählt werden.
Abb. 1.57
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Beschreibung der Oberfläche
Ein Mathcad-Arbeitsblatt wird über Menü-Datei-Speichern oder über das Dikettensymbol in der Symbolleiste in der in Abb. 1.57 gezeigten Form gespeichert. Wählt man Menü-Datei-Speichern unter, so ergeben sich nach Auswahl von Dateityp verschiedene Speichermöglichkeiten: x Als Mathcad Arbeitsblatt in Version 2001, 2001i und 11, x als Mathcad Vorlage (*.mct) bzw. Mathcad XML-Vorlage (*.xmct), x als RTF-Datei (Microsoft Word), x als HTML-Datei. x als Mathcad-Arbeitsblatt (*.mcd) x als komprimiertes Mathcad-XML-Dokument (*xmcdz) x als Mathcad-XML-Dokument (*xmcd) Über Menü-Datei kann ein Mathcad Arbeitsblatt auch direkt als Web-Seite gespeichert werden. Vor der Speicherung als Web-Seite sollen die Einstellungen im Registerblatt HTML-Optionen Menü-Extras-Einstellungen überprüft werden:
Abb. 1.58
Mithilfe dieser Registerkarte kann festgelegt werden, wie Mathcad Dokumente in das HTML-Format exportiert werden sollen. Die als als HTML-Dateien gespeicherte Dokumente können ohne Funktionalitätseinbußen wieder in Mathcad importiert werden (Microsoft Internet-Explorer-Menü-Datei-Bearbeiten mit Mathcad Application). Bilder speichern als: Grafiken können entweder im JBG- oder PNG-Format exportiert werden. PNG ist ein verlustfreies Format, d.h. es gehen keine Daten verloren. Aber die so gespeicherten Dateien sind größer. Bei Auswahl von JPEG kann man außerdem die Qualität der Kompression festlegen. Je höher dieser Wert ist, desto weniger werden die Bilder komprimiert und desto größer sind die so gespeicherten Bilddateien. Layout speichern als: Für Bereiche in Mathcad-Arbeitsblättern, die in das HTML Format exportiert wurden, kann eine feste oder relative Positionierung verwendet werden. Web-Seitenvorlage: Die Arbeitsblätter können mithilfe von benutzerdefinierten HTML-Vorlagen exportiert werden, um eventuelle Formatanforderungen erfüllen zu können. XML-Optionen können auch über Menü-Datei-Eigenschaften eingestellt werden.
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Beschreibung der Oberfläche
Zum Schutz eines Arbeitsblattes stehen drei Sicherheitsebenen zur Verfügung. Menü-Extras-Arbeitsblatt schützen:
Abb. 1.59
Anstatt einen Bereich lediglich zu sperren, kann auch das ganze Arbeitsblatt geschützt werden. Geschützte Arbeitblätter können nicht im XML-Format (XMCD oder XMCDZ) gespeichert werden. Für den Schutz des Arbeitsblatts bietet Mathcad drei Stufen: Datei Beim Schutz auf Dateiebene kann das Arbeitsblatt nur als Datei des Typs Mathcad 2001i oder höher, als RTF-Datei, als Mathcad-Vorlage (*.mct) oder als HTML-Datei, die nicht wieder in Mathcad eingelesen werden kann, gespeichert werden. Inhalt Zusätzlich zu den bereits unter Datei aufgeführten Einschränkungen können vorhandene Bereiche nicht geändert werden. Es ist möglich, neue Bereiche zu erstellen und geschützte Bereiche zu kopieren. Bearbeiten Zusätzlich zu den bereits unter Datei und Inhalt aufgeführten Einschränkungen können geschützte Bereiche nicht bearbeitet oder kopiert werden. Im Arbeitsblatt können keine neuen Bereiche angelegt werden. Kennwort Die Eingabe eines Kennworts ist optional. Ebenso kann ein markierter Bereich geschützt werden. Kontextmenü-Eigenschaften Registerblatt-Schützen (mit rechter Maustaste):
Abb. 1.60 Sobald das Arbeitsblatt auf Inhalts- oder Bearbeitungsebene geschützt ist (Abb. 1.59), können Bereiche, für die dieses Kontrollkästchen markiert ist, nicht mehr bearbeitet werden.
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Beschreibung der Oberfläche
1.7 Allgemeine Hinweise Das Dialogfeld Zeilen löschen: Wenn man mit der rechten Maustaste auf eine freie Stelle des Arbeitsblatts klickt und Zeilen löschen wählt, erscheint ein Fenster, in der die maximale Anzahl der zu löschenden Zeilen gewählt werden kann. Dokumentinformationen (Metadaten): Über Menü-Datei-Eigenschaften können Informationen über ein Dokument (Metadaten), z. B. Autor, Organisation usw., eingesehen und bearbeitet werden. Metadaten können in Mathcad-Dokumenten auf verschiedenen Ebenen hinzugefügt werden: dem ganzen Dokument, einzelnen Bereichen oder sogar einzelnen Zahlen. Außerdem fügt die automatische Nachverfolgung Herkunfts- bzw. Quellinformationen eines Mathcad-Ausdruckes automatisch hinzu, wenn er von einem Dokument in ein anderes kopiert wird. Über Menü-Ansicht-Anmerkungen können Bereiche im Arbeitsblatt eingesehen werden, die Anmerkungen enthalten. Anmerkungen können erstellt und eingesehen werden, wenn man mit der rechten Maustaste auf einen Rechenbereich, einen Teilausdruck eines Rechenbereichs, eine einzelne Variable oder Konstante klickt und Anmerkungsauswahl wählt. Wenn Menü-Ansicht-Anmerkungen eingeschaltet ist, weisen alle Bereiche und Teilausdrücke mit Anmerkungen grüne Klammern auf. Ist diese Option nicht aktiviert, erscheinen die Klammern nur dann, wenn der Ausdruck ausgewählt ist (z.B. mit linker Maustaste). Näheres siehe dazu unter "lernprogramme" Mathcad Ressourcen (Abb. 1.62) Globale Einstellungen: Im Menü-Extras-Arbeitsblattoptionen und Registerblatt-Berechnung finden sich folgende globale Einstellungen:
Abb. 1.61 x
Wenn "Automatisch neu berechnen" aktiviert ist, berechnet Mathcad alle sichtbaren Ergebnisse und Diagramme automatisch neu. Ist die Option nicht aktiviert, werden die Ergebnisse und Diagramme nur dann neu berechnet, wenn "Jetzt Berechnen (
x
Wenn "Bei Matrizen strikte Singularitätsprüfung durchführen" aktiviert ist, führt Mathcad eine strenge Prüfung auf Matrixsingularitäten durch .
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Beschreibung der Oberfläche
x
Wenn "Ausdrücke vor der Berechnung optimieren" aktiviert ist, ist die Optimierung eingeschaltet. Der symbolische Prozessor versucht hier jeden Ausdruck, der sich rechts neben ":=" oder "=" befindet, zu vereinfachen. Ist dies möglich, kennzeichnet er den Bereich mit einem Sternchen und führt die Berechnung anhand des vereinfachten Ausdrucks durch. Wird auf das Sternchen ein Doppelklick gemacht, so wird der vereinfachte Ausdruck angezeigt.
x
Wenn "Genaue Gleichheit für Boolsche Vergleiche verwenden" aktiviert ist, dürfen zwei Zahlen nur um weniger als die maximale Genauigkeit des Gleitkommaprozessors voneinander abweichen, um als gleich zu gelten (Zahlen zwischen -10 -307 und 10 -307 gelten als 0). Wenn diese Option nicht aktiviert ist, muss der Betrag der Differenz zwischen zwei Zahlen geteilt durch ihren Durchschnitt kleiner 10 -12 sein, damit sie als gleich gelten.
x
Wenn "Benutzen Sie ORIGIN zur Indizierung der Zeichen" aktiviert ist, legt man fest, welcher Startwert für das ersten Zeichen einer Zeichenfolge (String) verwendet wird. Wenn diese Option aktiviert ist, gehen die Zeichenfolgefunktionen (siehe Anhang und Mathcad Hilfe) davon aus, dass der Arbeitsblattwert für ORIGIN der Index des ersten Zeichens ist.
Mathcad-Ressourcen Center: Das Mathcad-Ressourcen Center (Abb. 162) stellt ein elektronisches Buch dar und kann über Menü-Hilfe oder Symbolleiste-Ressourcen geöffnet werden. Es handelt sich hier um das Online- Informationszentrum in Mathcad, das eine Reihe von Lernprogrammen, Beispielen (Quicksheets) und Verweistabellen sowie ein Benutzerhandbuch (Adobe Acrobat Reader erforderlich) und Versionshinweise enthält. Darüber hinaus gibt es einen interaktiven World-Wide-Web-Dienst (lernprogramm-Weitere Hilfsquellen), über den man Kontakt mit einer Mathcad- Benutzergemeinde erhält (siehe auch Menü-Hilfe). Auf den verschiedenen Internetseiten von Mathsoft findet man Mathcad-Beispieldateien, mathematisches Referenzmaterial, Berichte über mathematische Forschungen und Hinweise über Produkte für Mathcad und andere Anwendungen. Für das Web-Browsing in Mathcad benötigt man den Microsoft Internet Explorer 5.5 oder höher. Dieser muss aber nicht der Standard-Browser sein.
Abb. 1.62
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Variablen, Operatoren und Funktionen
2. Variablen, Operatoren und Funktionen
Abb. 2.1 Die griechischen Buchstaben erhält man in einem Rechen- oder Textbereich auch, wenn man einen lateinischen Buchstaben eingibt und daraufhin die Tasten <Strg> +
a1
_oben
C
C1
Länge
D
D1
Oberfläche
'
'1
ab
C°
a%b
Quadratische_Funktion
D_winkel
In der Formatierungsleiste ein Benutzerformat (Benutzer 1 bis 7) auf Fett und Unterstreichen setzen (z.B. für komplexe Variablen).
z
z1
Z
U
a1
Ds
*1
Fab Der Literalindex (einfaches Tiefstellen) wird durch Eingabe eines Punktes nach dem Zeichen erzeugt.
s'
s''
y'
a&
y1,2
A1,2,3
a
A
Das Primsymbol wird am einfachsten nach der Variablen mit <Strg>+
c$
> H2 O @
y''
Ca,b,c
> H2 SO4 @
Zuerst ein Zeichen und z.B. Literalindex 1 eingeben, dann in den Textmodus wechseln mit <Strg>+
a
i
Der Feldindex i kann durch die vorhergehende Eingabe eines Punktes noch etwas tiefer gestellt werden.
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Variablen, Operatoren und Funktionen
Manche Zeichen können auch aus der Zeichentabelle (z.B. Charmap.exe) ausgewählt und in Mathcad in einen Text eingefügt werden (START-Programme-Zubehör). Bei Variablen wird nach dem Einfügen z.B. in der Formatierungsleiste ein Benutzerformat ( Benutzer 1 bis 7) auf den Zeichensatz Bookshelf Symbol 4 gesetzt: ,
$
Abb. 2.2
Manche Zeichen können auch über die numerische Tastatur eingegeben werden. In der letzten Zeile der Zeichentabelle (Abb. 2.2) erscheint der HEX-Code für das gewählte Zeichen. Dieser kann mit Mathcad in den Dezimal-Code folgendermassen umgerechnet werden: 078h
120
Hält man nun die Taste
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Variablen, Operatoren und Funktionen
Bemerkung: Beim Rechnen mit Einheiten ist bei der Definition von Variablen darauf zu achten, dass die Variablennamen nicht mit vordefinierten Einheitennamen des SI-Systems übereinstimmen (z.B. N, A, s, usw.) ! In Mathcad sind nämlich die Einheiten selbst als Variablen definiert ! Außerdem sollten keine bereits vordefinierten Namen für Funktionen und Konstanten verwendet werden. Sie verlieren sonst ihre Bedeutung! Warnmeldungen können über Menü-Extras-Einstellungen-Warnmeldungen aktiviert werden! Es erscheint bei fehlerhaften Variablen- oder Funktionsnamen eine grüne Wellenlinie. Mathcad unterscheidet nicht zwischen Variablennamen und Funktionsnamen. Wird z.B. f(x) und später auf dem gleichen Arbeitsblatt f als Variable definiert, so funktioniert die Funktion f(x) nachher nicht mehr. Mathcad unterscheidet zwischen Klein- und Großschreibung. Mathcad prüft die Formate und nicht die Schriften! So sind a bzw. a verschiedene Variablen und f(x) bzw. f(x) verschiedene Funktionen. Um Namenskonflikte auszuschließen, könnte auch der Namensraum-Operator (<Strg>+
§ ©
m
sin ( x) sin[mc] ¨ x x
f ( x) e
· 180 ¹ S
f ( 0)
1
sin ( 60 ) f ( x) f[doc] ( x) 1
f ( 0)
Man beachte, dass die Benutzung des Namensraum-Operators komplett vermieden werden kann, wenn grundsätzlich verschiedene Namen auf den beiden Seiten einer Definition verwendet werden! Dies bringt mehr Klarheit in einem Arbeitsblatt. 2.1.2 Ungültige Variablennamen Ein Variablenname darf nicht mit einer Ziffer, einem Punkt oder dem Unendlich-Zeichen beginnen. Eine Zuweisung auf eine Variable mit Vektorpfeil ist ebenfalls nicht erlaubt. o 1 5 .a .Höhe 4a 9AB fA x 2.2 Operatoren Einige wichtige Operatoren sind aus der oben angegebenen Übersicht ( Symbolleiste-RechnenAuswertung und Boolesch ) zu entnehmen. Fünf wichtige Operatoren seien hier jedoch speziell erwähnt:
Z.B.
a 3
Lokaler Zuweisungsoperator ( Tastatureingabe mit < : > ). Der rechts stehende Ausdruck wird auf die links stehende Variable zugewiesen.
Z.B.
b { 25
Globaler Zuweisungsoperator ( < Alt Gr> + < ~ > ). Der rechts stehende Ausdruck wird auf die links stehende Variable zugewiesen.
Z.B.
3 x= 5 2 x
logischer Vergleichsoperator ( < Strg > + < + > )
Z.B.
a
numerischer Auswertungsoperator ( < = > )
Z.B.
3 a o 9
3
symbolischer Auswertungsoperator ( < Strg > + < . > )
Operatoren können aber auch selbst definiert werden (siehe dazu später Kapitel 17).
Seite 26
Variablen, Operatoren und Funktionen
Eine Reihe von Operatoren kann global im Arbeitsblatt umgestellt werden (Menü-Extras-Arbeitsblattoptionen Registerblatt-Anzeige ):
Abb. 2.3
Einige Operatoren können auch lokal umgestellt werden. Eine lokale Umstellung erreicht man über das Kontextmenü, das mit der rechten Maustaste aufgerufen werden kann:
Abb. 2.4
Abb. 2.5
Seite 27
Variablen, Operatoren und Funktionen
2.3 Variablendefinitionen Verschiedene Variable sind in Mathcad bereits mit einem festen Wert global vordefiniert, bzw. als Systemvariable im Menü-Extras-Arbeitsblattoptionen veränderbar (Abb. 2.6): Index des ersten Elementes eines Vektors oder einer Matrix bzw. eines Strings (kann auch lokal neu festgelegt werden): ORIGIN
0
Numerische Toleranz TOL bei Näherungsberechnungen (kann auch lokal neu festgelegt werden): TOL
1 u 10
3
Numerische Toleranz CTOL bei Näherungsberechnungen mit Nebenbedingungen (kann auch lokal neu festgelegt werden): CTOL
1 u 10
3
Zahlen, die kleiner als TOL bzw. CTOL sind, werden von Mathcad als Null dargestellt ! Abb. 2.6 Dezimalstellen, wenn Daten in eine ASCII-Datei geschrieben werden (kann lokal neu festgelegt werden):
Spaltenbreite, wenn Daten in eine ASCII-Datei geschrieben werden (kann lokal neu festgelegt werden):
PRNPRECISION
PRNCOLWIDTH
4
8
Zählvariable zur Steuerung von Animationen:
Eine Stringvariable, die das Verzeichnis des Arbeitsblattes angibt:
FRAME
CWD
0
Die Systemvariable ERR gibt die Größe des Fehlervektors für Näherungslösungen an: ERR
"C:\Mathcad\Einführung\"
Unendlich (<Strg>+
1 u 10
307
Die Zahl S mit max. 15 Stellen: <Strg>+
Die Eulersche Zahl e mit max. 15 Stellen:
Für Prozentrechnungen:
S
e
%
3.14159265358979
2.71828182845905
Seite 28
0.01
Variablen, Operatoren und Funktionen 2.3.1 Lokale Variablen Beispiel 2.1: a 2
b 10 a
a 4 b 10 a
b
20
b
20
b
40
Die Auswertung wird im Dokument von oben nach unten und in jeder Zeile von links nach rechts durchgeführt. Einer lokale Variable ist also erst ab der Zeile, in der sie festgelegt wurde, gültig !
Beispiel 2.2: Die Variable k wurde erst nachher definiert.
Beispiel 2.3: Die Variable x wurde vorher nicht definiert.
Beispiel 2.4: Pfad "c:\Name\Name1\Dat.prn" Fehlermeldung "Temperatur > 1000 °C"
Zeichenketten- oder Stringvariable (zuerst <"> eingeben) Für die Verarbeitung von Zeichenketten stehen zahlreiche Zeichenkettenfunktionen (Stringfunktionen) zur Verfügung (siehe Anhang Funktionen).
2.3.2 Globale Variablen Beispiel 2.5: s1 20 t s1
60
Die Definition der globalen Variablen t erfolgt erst unterhalb des Ausdrucks, der s1 definiert.
t{3 t 10 s1
s1 20 t s1
Die lokale Redefinition von t hat keine Auswirkungen auf s1 !
60
200
Der Wert t = 3 der globalen Variablen wird durch die lokale Neudefinition des Wertes t = 10 "abgeschattet" ! Die lokale Zuweisung ist daher meist die bessere Wahl!
2.3.3 Indizierte Variablen (Vektoren und Matrizen) Indizierte Variablen können erzeugt werden mit: < Alt Gr > + < [ > oder mit
oder mit
Allgemeiner Bereich der Variablen ORIGIN: ...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Beispiel 2.6: ORIGIN 0
Der Index beginnt nach dieser Festlegung bei Null ( lokale Zuweisung). Eine globale Festlegung erfolgt über Menü-Extras-Arbeitsblattoptionen.
Seite 29
Variablen, Operatoren und Funktionen
i 2 a0
ai i 0
a1
0
a2
2
§¨ 0 · a ¨0 ¸ ¨2 © ¹
Ausgabe des Vektors in Matrixform oder mit Spaltenund Zeilenbeschriftungen.
Die Darstellungsform eines Vektors kann über das Ergebnisformat Anzeige-Option und Matrix-Anzeigeformat (Abb. 2.7) geändert werden (Doppelklick auf die Tabelle oder Menü-Format-Ergebnis): Eine Umstellung eines Vektors in gewohnter Matrixform (Vektorform) auf die Form mit Zeilen- und Spaltenbeschriftung ist erst dann möglich wenn zuerst das Matrix-Anzeigeformat auf Tabelle umgestellt wird !
Abb. 2.7
Die Komponenteneigenschaften können über Eigenschaften in diesem Kontextmenü (Abb. 2.8) gewählt werden. Die Zeilen- und Spaltenbeschriftung (Abb. 2.9) ist davon abhängig, auf welchen Wert der ORIGIN gesetzt ist.
Abb. 2.8
Abb. 2.9
Seite 30
Variablen, Operatoren und Funktionen
Jede Darstellung als Tabelle kann nachträglich noch bearbeitet werden (Kontextmenü-rechteMaustaste). Dabei kann die Ausrichtung (Abb. 2.10) eingestellt und Teile der Tabelle kopiert oder in eine Datei exportiert werden.
Abb. 2.10
Beispiel 2.7: ORIGIN 1 i 2 b1
ORIGIN lokal zuweisen
bi i 0
2
b2
§0 · ¨ ©2 ¹
Ausgabe als Vektor
§0 · ¨ ¨0 ¸ c ¨0 ¸ ¨ ©2 ¹
Ausgabe als Vektor
b
Beispiel 2.8: ORIGIN 1 i 2 c 1
ORIGIN lokal zuweisen
ci i 0
c0
0
c1
0
c2
2
Beispiel 2.9: ORIGIN 1 i 2
ORIGIN lokal zuweisen j 2
Ai j i j A1 1
0
A1 2
0
A2 1
0
A2 2
4
komponentenweise Ausgabe
A
§0 0 · ¨ ©0 4 ¹
Seite 31
Ausgabe als Matrix
Variablen, Operatoren und Funktionen
2.3.4 Bereichsvariablen Bereichsvariablen (Laufvariable) sind Variablen, deren Werte mit konstanter Schrittweite 'x = 1 oder 'x z1 in einem vorgegebenen Intervall variieren. Sie können erzeugt werden durch < ; > oder mit
aus der Symbolleiste Matrix.
Beispiel 2.10:
Beispiel 2.11:
Bereichsvariable mit Schrittweite 'x = 1:
Bereichsvariable mit Variablen definiert:
i 1 4
a 1
b 4
k a b
Die Ausgabe von "i =" bzw. "k=" erzeugt eine Tabelle (Liste). Es handelt sich hier aber nicht um einen Vektor! Die Darstellungsform kann, wie oben beschrieben ( Abb. 2.8, 2.9), geändert werden. k
1 1 2 3 4
i
1 2 3 4
1 2 3
Tabelle mit Spaltenund Zeilenbeschriftung
ohne Spaltenund Zeilenbeschriftung
4
Beispiel 2.12:
Beispiel 2.13:
Beispiel 2.14:
Beispiel 2.15:
i 1 2.5
j 2.5 1
k 1.5 1.5
m 1 4
i
j
k
m
1 2 3 4
1 -1 0 1 2
1 2.5 1.5 0.5 -0.5
1 2 3 4
1 2 3 4
1 1.5 0.5 -0.5 -1.5
2 1
1 2 3 4
1 4 9 16
Beispiel 2.16:
Beispiel 2.17:
Bereichsvariable mit Schrittweite 'x z 1:
Bereichsvariable mit Variablen definiert:
x 1 0.5 1
aufsteigend
a 1
x1 1 0.5 1
absteigend
y a a 'x b
x
x1 1 1 2 3 4 5
-1 -0.5 0 0.5 1
y 1
1 2 3 4 5
1
1 0.5 0 -0.5 -1
1 2 3 4 5
Seite 32
-1 -0.5 0 0.5 1
b 1
'x 0.5
Variablen, Operatoren und Funktionen
Beispiel 2.18: Unterschied zwischen globaler und lokaler Bereichsvariable: global 1 1
-1
2
0
3
1
4
2
global { 1 2
Lokale Variablen können oberhalb einer lokalen Zuweisung nicht ausgewertet werden !
lokal 1 2
2.4 Funktionen In Mathcad sind bereits viele Funktionen vordefiniert. Sie können über den Menüpunkt Einfügen-Funktion (oder mit <Strg>+ <E> bzw. mit f(x) in der Symbolleiste) oder händisch eingefügt werden. Viele Funktionen können reelle-, komplexe-, Vektor- oder Matrixargumente bzw. Stringargumente annehmen. Siehe dazu die Mathcad Hilfe und im Anhang dieses Buches. Funktionen können aber auch selbst definiert werden, wie nachfolgend gezeigt wird.
Abb. 2.11
2.4.1 Einige nützliche vordefinierte Funktionen: wenn ( Bed A1 A2 )
Bedingte Bewertung: Diese Funktion liefert als Ergebnis den Ausdruck A1, wenn die logische Bedingung Bed wahr ist und sonst A2.
f ( x) wenn ( x 0 1 1)
f ( 2)
ceil ( x)
Gibt die kleinste ganze Zahl zurück, die größer gleich x (reell) ist. Das Argument darf keine Einheiten enthalten. Siehe auch Ceil(x,y).
floor ( x)
Gibt die größte ganze Zahl zurück, die kleiner gleich x (reell) ist. Das Argument darf keine Einheiten enthalten. Siehe auch Floor(x,y).
1
f ( 3)
Seite 33
1
Variablen, Operatoren und Funktionen
Abb. 2.12
ceil ( 4.76)
4
floor ( 4.76)
ceil ( 2.34)
5
3
floor ( 2.34)
2
Liefert den ganzzahligen Anteil einer reellen Zahl x . Das Argument darf keine Einheiten enthalten. Siehe auch Trunc(x,y).
trunc ( x) trunc ( 2.13)
2
trunc ( 12.0043)
rund ( x n)
Rundet eine reelle Zahl x auf n Stellen. Das Argument darf keine Einheiten enthalten. Siehe auch Rund(x,y).
rund ( 3.12451 3)
3.125
rund ( 3.12451 4)
rund ( 3.12451 0)
3
rund ( 3.12451)
sign ( 1) mod ( x y)
rund ( 3.612 )
3.12
4
sign ( 0)
0
sign ( 3)
1
1
mod ( 3 16 )
mod ( 3.45 2.15)
3
1.3
Heaviside-Sprungfunktion ( )(x) = wenn( x < 0 , 0, 1 ) ). ) ( 1)
0
) ( 0)
0
) ( 0.2)
1
1
Kronecker-Delta- oder Stoßfunktion ( G(m,n) = wenn( m = n , 1, 0 ) ).
G ( m n)
G ( 2 4)
0
G ( 3 3)
0
1
Liefert gleichverteilte Zufallszahlen zwischen 0 und x.
rnd ( x) 2.35
rnd ( 3)
gcd ( x y .. )
ª ¬
1
mod ( 4 3)
0
) ( x)
rnd ( 3)
3
rund ( 3.12451 2)
Modulus von x durch y ( wobei das Ergebnis das Vorzeichen wie x hat). Liefert den Rest der Division, wenn der Zähler größer als der Nenner ist. Ist der Zähler kleiner als der Nenner, so ist das Ergebnis gleich dem Zähler.
mod ( 4 2)
G ( 5 2)
3.1245
Vorzeichenfunktion: Liefert 0 für x = 0, 1 für x > 0 und sonst -1.
sign ( x)
) ( 0.2)
12
Liefert den größten gemeinsamen Teiler von x, y, ... (greatest common divisor).
§ 1071 816 · º 1275» © 765 2703 ¹ ¼
gcd «306 ¨
lcm ( x y .. ) 56 · · ¨§ §¨ lcm ¨ ¨ 72 ¸ ¸ ¨ ¨ 100 ©© ¹¹
Setzt man den Cursor auf rnd und drückt die F9-Taste, so erhält man eine neue Zufallszahl !
1.56
51
Liefert das kleinste gemeinsame Vielfach von x, y, ... (least common multiple). 12600
a 72
b 4
gcd ( a b) lcm ( a b)
Seite 34
288
a b
288
Variablen, Operatoren und Funktionen
2.4.2 Selbstdefinierte Funktionen Beispiel 2.19: Bestimmung des Dezimalanteils einer positiven reellen Zahl: mantisse ( x) x floor ( x) mantisse ( 1.13)
0.13
mantisse ( 8.34)
0.34
Beispiel 2.20: Runden einer positiven reellen Zahl: runden ( x) wenn ( mantisse ( x) 0.5 floor ( x) ceil ( x) ) runden1 ( x) wenn ( x floor ( x) t 0.5 ceil ( x) floor ( x) ) runden ( 5.53)
6
runden1 ( 5.53)
runden ( 9.13)
6
runden1 ( 9.13)
9 9
runden ( 9.51) runden1 ( 9.51)
10 10
Beispiel 2.21: Definition einer quadratischen Funktion (lokal): 2
f ( x) 2 x 2
Die Werte der Argumente einer Funktion müssen vor der Definition einer Funktion noch nicht festgelegt werden.
a 1
Anfangswert des Intervalls [a,b]
b 5
Endwert des Intervalls [a,b]
n 8
Anzahl der Schritte im Intervall [a,b]
'x
ba n
'x
Schrittweite
0.5
x a a 'x b
Bereichsvariable (Laufvariable)
ORIGIN 1
ORIGIN für den Beginn der Zeilen- und Spaltenbeschriftung festlegen
x
f ( x) 1
1
1
1
1
4
2
1.5
2
6.5
3
2
3
10
4
2.5
4
14.5
5
3
5
20
6
3.5
6
26.5
7
4
7
34
8
4.5
8
42.5
9
5
9
52
Seite 35
Variablen, Operatoren und Funktionen
Beispiel 2.22: Definition einer Funktion mit Fehlermeldung (lokal): Fehlermeldung "Der Logarithmus ist für x <= 0 nicht definiert !"
Eine Zeichenkette (String) ist zwischen Anführungszeichen einzuschließen!
g ( x) wenn ( x ! 0 ln ( x) Fehlermeldung) g ( 1) g ( 0)
"Der Logarithmus ist für x <= 0 nicht definiert !" "Der Logarithmus ist für x <= 0 nicht definiert !"
g ( 1)
0
g ( e)
1
Beispiel 2.23: Definition der Funktion h und f als Funktion mit 2 Argumenten (lokal): h ( f x y) f ( x y) 5 f ( x y) 2
2
Definition einer verketteten Funktion h(f(x,y))
f ( x y)
x y
Definition einer Funktion f
h ( f 2 6)
37.947
Funktionswertberechnung durch direktes Einsetzen der Argumente
f ( 2 6)
Funktionswertberechnung durch direktes Einsetzen der Argumente
6.325
Beispiel 2.24: Definition der Funktion R(-) global (Lineare Temperaturabhängigkeit eines Widerstandes ): ORIGIN 1
ORIGIN für den Beginn der Zeilen- und Spaltenbeschriftung festlegen
°C 1
Definition der Temperatureinheit °C (keine SI-Einheit!)
R20 100 :
Widerstand bei 20° Celsius
D 0.0011 °C
1
'- 0 °C 0 °C 4 °C 40 °C
Temperaturkoeffizient in °C -1 Temperaturbereich in °C
R R20 D '-
°C
: 1
Nachträgliche Definition der Funktion global:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
R R20 D '- { R20 ( 1 D '- )
Seite 36
'-
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
100 100.44 100.88 101.32 101.76 102.2 102.64 103.08 103.52 103.96 104.4
Variablen, Operatoren und Funktionen
Beispiel 2.25: Definition einer Funktion, die gleichverteilte ganzzahlige Zufallszahlen im Bereich von 0, 1, 2, ..., N liefert. Definition einer Funktion, mit der entschieden werden kann, ob eine natürliche Zahl ungerade ist. rndganz ( N) floor ( rnd ( N 1) )
ungerade ( N) mod ( N 2) ! 0
i 0 3
N 3
rndganz ( i) 0 1 1 1
Setzt man den Cursor auf rndganz oder floor bzw. rnd und drückt F9, so erhält man hier verschiedene Zufallszahlenreihen !
N1 4
ungerade ( N) ungerade ( N1 )
1 0
1 steht für wahr und 0 für falsch!
Beispiel 2.26: Definition einer Logarithmusfunktion mit den Basen a bzw. b. lb ( x) lb ( 10 )
ln ( x) ln ( 2) 3.322
oder
loga ( x)
b 2
logb ( x) log ( x b)
lb ( x) log ( x 2)
lg ( x) log ( x)
lb ( 10 )
lg ( 10 )
3.322
ln ( x)
a 2
ln ( a)
oder
loga ( 10 )
3.322
logb ( 10 )
3.322
lg ( x) log ( x 10 )
1
Tritt ein Fehler bei der Auswertung auf, so wird dieser angezeigt. Ein auftretender Fehler kann zurückverfolgt werden (den Cursor mit der rechten Maustaste auf den fehlerhaften Bereich setzen- Abb. 2.13). Die Rückverfolgung (Abb. 2.14) ist nicht immer möglich! Abb. 2.13
Abb. 2.14
Beispiel 2.27: Definition von Temperaturfunktionen. °C 1
Definition von °C (keine SI-Einheit)
T ( - ) ( - 273.15) K - ( T)
§ T 273.15· ¨ ©K ¹
T ( 100 °C )
373.15 K
- ( 100 K)
173.15 °C
Seite 37
Temperatur in Kelvin Temperatur in °C
Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten
3. Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten Das Numerische-Ergebnisformat ist über Menü-Format-Ergebnis wählbar. Durch Doppelklicken auf ein numerisches Ergebnis kann ebenfalls das Ergebnisformat geändert werden.
Abb. 3.1
3.1 Numerisches Rechnen Rechnen mit reellen Zahlen: Die Anzahl der Dezimalstellen im Dialogfeld Ergebnisformat erlaubt einen Maximalwert von 17. Beispiel 3.1: 10
15
1 u 10
15
10
16
Die Anzahl der Dezimalstellen ist hier numerisch maximal 15 !
0
Hier wird im Nenner die größtmögliche Zahl 10307 in Mathcad überschritten ! Optimiert man diesen Ausdruck (Kontextmenü über rechte Maustaste (Optimieren) bzw. Menü-Extras-Optimieren ), so erscheint ein Sternchen. Dieses Sternchen gibt an, dass eine exakte Lösung gefunden wurde. Nach zweifaches Anklicken des rechten Ausdrucks (mit Sternchen) erscheint eine Dialogbox, in der das exakte Ergebnis angezeigt wird ( oder Klick der rechten Maustaste auf den auszuwertenden Ausdruck - Optimierung anzeigen) !
3y 4
a 3.25
3
1
ein anderer Divisionsoperator (siehe Taschenrechner)
0.75 a
13
Ergebnisformat Bruch
4
gemischtzahlige Darstellung (siehe Taschenrechner)
3.2
5
7
5 4
1
3.75
4.2
§S· ©2¹
sin ¨
7.25
1
5
2
2
8
7
1
232.2
56 5 3
6.403
4
456.125 12.36
5 217.363 1
56
56
cos ( 0)
1
S
3.142
tan ( S )
Seite 38
0
6
720
ln ( 5.76)
1.751
4.59
Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten
3
1 10
3 e
1
5
6.608 u 10
4
120
e
2.718
log ( 100)
2
Um eine reine Dezimalausgabe zu erhalten, muss die Exponentialschwelle im Ergebnisformat-Fenster Registerblatt-Zahlenformat um einen Wert höher (hier auf 5) gesetzt werden.
Bei Berechnungen müssen oft auch signifikanten Stellen beachtet werden. Mathcad kann nicht automatisch signifikanten Stellen handhaben. Man muß dies selbst vornehmen, d.h. die Anzahl der Dezimalstellen eines Ergebnisses ändern. Die Null-Toleranz auf der Registerkarte Toleranz (Abb. 3.1) kann zwischen 0 und 307 liegen. Die NullToleranz besagt, wie klein eine Zahl sein muss, bevor sie als Null angezeigt wird. Die Standardeinstellung von 17 beispielsweise besagt, dass jede Zahl kleiner als 10
-15
als Null dargestellt wird.
Darstellung von reellen Zahlen x im Binär (b), Oktal (o)- oder Hexadezimalsystem (h) : Alle Zahlen müssen |x| < 2 31 sein. Die Basis für das System kann im Ergebnisformat-Fenster Anzeige-Optionen geändert werden. Die Standardeinstellung ist Dezimal.
Abb. 3.2
Beispiel 3.2: x 11110000b
x
360o
x
0f0h
x
240
x 360o
x
0f0h
x
11110000b
x
240
235
235
0ebh
353o
bzw. umgekehrt
0ebh
235
353o
235
Bei der Eingabe einer Hex-Zahl, z.B. 5AB, fügt der Editor von Mathcad nach der Ziffer 5 einen Multiplikationsoperator ein. Dieser muss nach der Eingabe der Hex-Zahl gelöscht werden, bevor sie mit "=" ausgewertet werden kann ! 5ABh
1.451 u 10
3
Rechnen mit komplexen Zahlen: Für die imaginäre Einheit wird hier j verwendet (global auf i oder j einstellbar - siehe Ergebnisformat-Anzeige-Optionen ). Bei einer symbolischen Auswertung mit den Symbolischen Operatorenoder über das Symbolik-Menü wird selbst bei einer Einstellung im Ergebnisformat-Fenster der imaginären Einheit auf j immer i ausgegeben ! Zu beachten ist, dass j immer als 1j (ohne Malpunkt) eingegeben wird ! Eine konjugiert komplexe Variable oder Zahl wird mit der Taste < " > eingegeben.
Seite 39
Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten
Gaußsches Koordinatensystem:
1 Abb. 3.3
j
Imaginäre Einheit.
Eine komplexe Zahl kann als Punkt, Strecke oder als Zeiger ("Ortsvektor") im Gaußschen Koordinatensystem dargestellt werden.
Beispiel 3.3: x 23.5
y 16.6
z x y j
Komplexe Zahl in Komponentenform (Benutzerformat Fett und Unterstreichen)
z
Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl
23.5 16.6j
z 23.5 16.6j
Konjugierte komplexe Zahl in Komponentenform. z eingeben und mit Cursor markieren, dann die Anführungszeichentaste <"> drücken.
r r
Betrag der komplexen Zahl (Länge des Zeigers)
z 28.772
Re ( z )
23.5
Im ( z )
Real- und Imaginärteil von z
16.6
Der Winkel zwischen reeller Achse und Zeiger kann auf verschiedene Art und Weise berechnet werden: M arg ( z )
S arg ( z ) d S
M
Winkel in Radiant
0.615
M
35.237 Grad
Winkel in ° (Grad im Platzhalter nach der Dezimalzahl eingeben)
M1
0.615
atan2 im Bereich -S < M2 d S
M 2 atan ¨
M2
0.615
atan im Bereich -S/2 < M1 < S/2
M 3 winkel ( x y)
M3
0.615
Winkel im Bereich 0 d M3 < 2S
M 1 atan2 ( x y)
§ y· © x¹
z r ( cos ( M ) j sin ( M ) ) z
23.5 16.6j
Es gilt: atan2(x,y) = arg(x + y*j)
Komplexe Zahl in Polarkoordinatenform Ausgabe in Komponentenform
z cos ( arg ( z ) ) z sin ( arg ( z ) ) j
23.5 16.6j
( r M ) r ( cos ( M ) j sin ( M ) )
Versor Darstellung einer komplexen Zahl (Siehe Kapitel 17)
z1 r M
Eingabe mit dem Infix-Operator (Symbolleiste-Auswertung)
z1
23.5 16.6j
(r M )
23.5 16.6j
Seite 40
Auswertung in Komponentenform
Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten
Mithilfe der Eulerschen Beziehungen erhält man die Exponentialform: j M
e
j M
= cos ( M ) j sin ( M )
e
j M
j M
z1 r e
z2 r e
23.5 16.6j
z1
= cos ( M ) j sin ( M )
z2
Komplexe Zahlen in Exponentialform
23.5 16.6j
Ausgabe in Komponentenform
Beispiel 3.4: z 1 5.3451 0.000781 j z1
5.3451 7.81j u 10
z1
5.3451
z2 z3 2
z2
z2
Komplexe Toleranzschwelle 4 (Siehe Ergebnisformat-Fenster Registerblatt-Toleranz). Komplexe Toleranzschwelle 3 (unterdrückt bzw. setzt Im(z)=0!)
z2 3 4 j z1 z2
4
z 3 1 j
8.345 4.001j
3.5 0.5j
z3
o
3
7 24j
z3 3
2 j
M arg z 2 k 0 1
z2
z2 z3 7 2
1 2
i
2 2j 0.794 0.794j
z3 M
4 5j
53.13 Grad
k1 0 2
§ M k2S · 2 ¹ z2 e ©
z2 z3
z k1
3
§ M k12S · 3 ¹ z2 e ©
Summe, Differenz und Produkt zweier komplexer Zahlen
numerische und symbolische Auswertung eines Quotienten
Potenzen komplexer Zahlen
Die Wurzeln liefern natürlich nur den Hauptwert ! Auch bei der 3. Wurzel wird nur der Hauptwert berechnet ! Winkel Bereichsvariable
j ¨
zk
1 7j
z
§ 2 j · ¨ © 2 j ¹
Haupt- und Nebenwert!
z
§¨ 1.629 0.52j · ¨ 1.265 1.151j ¸ ¨ 0.364 1.671j © ¹
Haupt- und Nebenwerte!
j ¨
Seite 41
Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten 3.2 Numerische- und symbolische Auswertung Es gibt zwei Arten der symbolischen Auswertung von mathematischen Ausdrücken: x Menügesteuerte Auswertung über Menü Symbolik. Das Auswertungsformat kann für die menügesteuerte Auswertung im Menü-Symbolik-Auswertungsformat eingestellt werden. x Live-symbolische Auswertung mithilfe der Symbolleiste "Symbolische Operatoren" bzw. mit dem symbolischen Gleichheitszeichen (Operator "o" aus der Symbolleiste- Auswertung oder <Strg>+<.>). Die symbolische Auswertung erfolgt mit einem eingeschränkten Maple Kern. Es kann daher nicht erwartet werden, dass im Vergleich zum vollständigen Mapple-Kern, ein symbolisches Ergebnis gefunden werden kann !
Abb. 3.4
Beispiel 3.5: 1 13 1 13
1 13 1 13 1 13
1 10 1 10
1 10 1 10 1 10
1 11 1
123
11
1430
1 11 1 11 1 11
numerische Auswertung mit "="
0.086
o
Das Ergebnis kann über das Ergebnisformat-Fenster Registerblatt- Zahlenformat auf Bruchdarstellung umgestellt werden. Hier ist jedoch Vorsicht geboten, denn Mathcad arbeitet natürlich mit Maschinenzahlen. So lässt sich demnach eine irrationale Zahl auch als Bruch darstellen !
123
symbolische Auswertung mit Operator "o"
1430
ergibt
123 1430
Menügesteuerte symbolische Auswertung: Auswertungsformat: "Horizontal" und "Kommentare anzeigen". Menü-Symbolik Auswerten-Symbolisch (Liefert das gleiche Ergebnis wie der Operator "o").
Gleitkommaauswertung ergibt
.086013986013986013986
Menü-Symbolik-Auswerten-Gleitkomma . Die Nachkommastellen können bei der Auswertung eingestellt werden. Die Standardeinstellung ist 20. Bis zu 4000 Nachkommastellen können hier eingestellt werden. Bei zu hoher Anzahl von Nachkommastellen wird man jedoch aufgefordert, das Ergebnis über die Zwischenablage als Textregion einzufügen.
Seite 42
Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten
Beispiel 3.7:
Beispiel 3.6: 3
4
1.732 1
3o3
1
2
4 o ( 4)
Gleitkommaauswertung ergibt
3
sin ¨
©3¹
o
1 2
3
§S·
2
cos ¨
©4¹
o
4
ergibt
1
4
Gleitkommaauswertung ergibt
4
Auswertung über komplexer Ebene ergibt 2 i
1 2
2
2 3j 1 2j
2 2j
o
8 5
ergibt
1 2j 2 3j
1 5
i
2 2j o 2 2
8 5
1 5
i
Gleitkommaauswertung ergibt
1 2j 2 3j
Auswertung über komplexer Ebene ergibt
5
1 5
1.6 .20 i
2 1
2 2
2
2 2j
ergibt
2 2j
Gleitkommaauswertung ergibt
2.828
2 2j
1 2j
2.828 1
2 3j
8
2. i
Beispiel 3.9:
1.6 0.2j
1 2j
2 i
2
Beispiel 3.8: 2 3j
2
1.732050808
1
§S·
Im Ergebnisformatfenster wurde die imaginäre Einheit auf j gestellt. Die numerische Auswertung liefert j und die symbolische Auswertung liefert jedoch i !
2j
Auswertung über komplexer Ebene ergibt 2
i
2
Zur symbolischen Auswertung mit der "live symbolic" (Symbolleiste "Symbolische Operatoren") stellt Mathcad auch eine Reihe von Schlüsselwörtern zur Verfügung.
Abb. 3.5
Seite 43
Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten
Beispiel 3.10: 26 10 26 10 26 10
1 13 1 13 1 13
5 29 5 29 5 29
gleit o 2.8493368700265251989 gleit 4 o 2.849 vereinfachen o
5371
Ausdruck markieren und in der Symbolleiste "Symbolische Operatoren" gleit wählen, bzw. zuerst den symbolischen Auswertungsoperator mit <Strg>+
1885
Beispiel 3.11: 20 vereinfachen o 2432902008176640000 70 gleit 50 o 1.1978571669969891796072783721689098736458938142546 10
100
§ 1 · gleit 30 o .877582561890372716116281582604 © 2¹
cos ¨
cos ( 0.5) gleit 30 o .87758256189037271612 Beispiel 3.12: n
n 21
2
p 2 1
p faktor o 7 127 337
Beispiel 3.13: 3
2
3
2
3.0005 j ( 2.22 j ) komplex o 3.9284 1.4395 i 3.0005 j ( 2.22 j ) gleit 3 o 3.93 1.44 i Beispiel 3.14: ln ( 2 2 j ) komplex o
1 2
ln ( 8)
1 4
iS
Mathcad berechnet nur den Hauptwert !
Beispiel 3.15: j M1
r1 e
o r1 exp ( i M1) komplex o r1 cos ( M1) i r1 sin ( M1)
Durch einem Klick mit der rechten Maustaste auf ein Produkt erhält man ein Kontextmenü (Abb. 3.6), in dem die Multiplikation auf verschiedene Art und Weise dargestellt werden kann:
Abb. 3.6
Seite 44
Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten
3.3 Rechnen mit Einheiten Über die Menüoption Extras-Arbeitsblattoptionen Registerblatt-Einheitensystem kann man das gewünschte Einheitensystem wählen: SI, MKS, CGS, US oder keine Einheiten. Im RegisterblattDimensionen können die Dimensionsnamen angezeigt und geänder t werden. Für das SI-System sind 7 Basiseinheiten, Kilogramm (kg), Meter (m), Sekunde (s), Ampere (A), Kelvin (K), Candela (cd) und Mol (mol), festgelegt. Es ist immer darauf zu achten, dass bei Berechnungen mit Einheiten keine Variablen definiert werden, die mit einer vordefinierten Einheit übereinstimmen (z.B. s, A usw.) !
Abb. 3.7 Die vordefinierten Einheiten können bei Berechnungen direkt über die Tastatur eingegeben oder über den Menüpunkt Einfügen-Einheit oder mit <Strg>+ bzw. über das Bechersymbol in der Symbolleiste ausgewählt und eingefügt werden. Einige abgeleitete Einheiten sind bereits vordefiniert oder können direkt im Mathcad Arbeitsblatt definiert (lokal oder global) werden. Werden öfters mehrere abgeleiteten Einheiten in einem Arbeitsblatt verwendet, so ist es zweckmäßig, diese in einem eigenen Arbeitsblatt zusammenzufassen und dieses dann jeweils mit einem Verweis (Menüpunkt Einfügen-Verweis) in das jeweilige Arbeitsblatt einzubeziehen. Durch Eingabe der gewünschten Einheit in den rechts von einer Einheit stehenden Platzhalter, kann die Einheit händisch geändert werden. Mittels Doppelklick auf den Platzhalter öffnet sich das Fenster Einheit einfügen (Abb. 3.8). Die Einheit kann dann daraus ausgewählt werden. Das Ergebnis eines Ausdruckes mit Einheiten wird immer in Basiseinheiten angezeigt.
Abb. 3.8
Seite 45
Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten
Beispiel 3.16: Normdarstellung (normierte Gleitkommadarstellung) von Zahlen: Jede Zahl x lässt sich in genormter Gleitkommadarstellung, d.h. als Produkt einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz, schreiben: x und x = ± a * 10 k mit 1 d a < 10. 2
8
510000000 km
0.000000000056357 m 3
2
5.1 u 10 km
60000 0.0002
Oberfläche der Erde
5.6357 u 10
4
72000000 0.0012
1.92901 u 10
5
11
m
6
Durchmesser eines Elektrons
Bruchberechnung
Beispiel 3.17: Berechnung der Fallhöhe h1 (h ist die Einheit für Stunden und t steht für Tonne) eines Körpers ohne Luftwiderstand:
h1 t 1 g
9.807
g 2
2
t1
Funktion zur Berechnung der Fallhöhe
m s
h1 ( 10 s )
g ist in Mathcad bereits vordefiniert !
2
Fallhöhe nach 10 s
490.332 m
t1 0 s 1 s 5 s
Bereichsvariable für die Zeit
h1 t 1
t1
h1 t 1
m
0 s
0.000 m
0.000
1
4.903
4.903
2
19.613
3
44.130
44.130
4
78.453
78.453
5
122.583
122.583
bzw:
19.613
Verschiedene Ausgabemöglichkeiten für Tabellen mit Einheiten (siehe auch Kapitel 2)
Beispiel 3.18: Berechnung der Gravitationskraft zweier Körper: m1 5000 kg
m2 100000 kg
r 0.5 m
Abstand der Körper
J 6.67 10
11
m
3
kg s FG ( r) J
Masse der Körper
m1 m2 2
2
Gravitationskonstante
Gravitationskraft als Funktion definiert
r
Seite 46
Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten
FG ( r)
0.133 N
FG ( 5 m )
Berechnung der Kraft für verschiedene Abstände
0.001 N
r 0.1 m 0.1 m 0.1 m 0.6 m
Bereichsvariable für verschiedene Abstände
Verschiedene Ausgabemöglichkeiten für Tabellen mit Einheiten (siehe auch Kapitel 2).
Beispiel 3.19: Berechnung der Coloumbkraft zweier Ladungen: Q1 300 1.602 10 r 10
10
FC ( r)
Q2 10
13
C
Ladungen Abstand der Körper
pF
elektrische Feldkonstante
m 1
4 S H0
Q1 Q2
Coloumbkraft als Funktion definiert
2
r
4.320 N Berechnung der Kraft für verschiedene Abstände
FC ( 5 r) r 10
C
m
H 0 8.854
FC ( r)
19
10
0.173 N m 2 10
10
m 5 10
10
m
Bereichsvariable für verschiedene Abstände
FC ( r) r
FC ( r) 1·10 -10 2·10 -10 3·10 -10
m
-4.3195
N N
-4.3195
-1.0799 -0.4799
-1.0799
bzw.
-0.4799
4·10 -10
-0.27
-0.27
5·10 -10
-0.1728
-0.1728
Verschiedene Ausgabemöglichkeiten für Tabellen mit Einheiten (siehe auch Kapitel 2)
Seite 47
Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten
Beispiel 3.20: Berechnung von Funktionswerten, wenn die Einheiten bereits in der Funktionsgleichung auftreten:
2
f t1 t1 min
Funktionsgleichung mit Einheiten
t1 0 3
Bereichsvariable
Tage Tag
Definition von Tage (Tag ist als Einheit bereits vordefiniert).
f t1
f t1
f t1
f t1
s
min
h
Tage
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
60
1
1
1
0.017
1
0.001
2
240
2
4
2
0.067
2
0.003
3
540
3
9
3
0.15
3
0.006
Beispiel 3.21: Eine Pipeline ist 1250 km lang. Der Außendurchmesser der Rohre beträgt 1.24 m. Ist sie auf der ganzen Länge mit Öl gefüllt, so enthält sie 1.460 * 10 Wieviel Stahl der Dichte 7.70 g * cm L1 1250 km
Liter Öl. Welche Wandstärke hat das Rohr?
war zur Herstellung nötig?
9
Volumen innen in Liter
2
Volumen außen
Va ( 0.62m) S L1 Wandstärke 0.64 m
t
9
Länge des Rohres
Vi 1.46 10 l
Masse
-3
Vi S L1
Va Vi 7.7 t m 3 3
1 u 10 kg
Wandstärke
Masse
0.03 m
8
3.814 u 10 kg
Masse
381421.579 t
t ist als Einheit für Tonne definiert
Beispiel 3.22: Die Sonne ist näherungsweise eine Kugel mit dem Radius 6.96 * 10 1.41 g * cm
-3.
5
3
U s 1.41 gm cm 4 3
km und der mittleren Dichte
Welche Masse hat die Sonne ?
Rs 6.96 10 km
Ms
5
3
S Rs U s
Sonnenradius mittlere Dichte (für Gramm g wird in Mathcad gm verwendet) Ms
1.991 u 10
30
Seite 48
kg
Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten
Beispiel 3.23: Welche Masse hat ein Wasserstoffatom ? mp 1.6726231 10 me 9.1093897 10 matH 1.007825
27
31
kg
Masse des Protons
kg
Masse des Elektrons
gm
Atomgewicht vom Wasserstoff (für Gramm g wird in Mathcad gm verwendet)
mol
NA 6.0221367 10
23
mol
mh m p m e matH NA
1
Avogadro Konstante
mh o 1.6735340389700000000 10
o 1.6735339136356702099 10
-24
matH
gm oder
NA
-27
kg
Masse des Wasserstoffs
gleit 5 o 1.6735 10
-24
gm
matH NA
1
mh
Beispiel 3.24: Der in der Deutschland bis heute angefallene radioaktive Abfall füllt einen Würfel mit der Kantenlänge 50 m. Die mittlere Dichte des Abfalls betrage 6 g * cm -3 . Wieviele Lastwagen mit 7t Nutzlast braucht man zum Transport des Abfalls ? Wie lang wird die Reihe, wenn man sich alle Lastwagen hintereinander gestellt denkt, wobei jeder 10 m Platz braucht ? 3 3
3
m0 50 m 6 gm cm
§ m0 ·
ceil ¨
© 7t ¹
107143
m0
Anzahl der Lastwagen
m0 7t
8
7.5 u 10 kg 10m
1071.43 km
Masse M der Abfallmenge
Länge der Lastwagenkette
Beispiel 3.25: Man berechne das Volumen des nachfolgend gegebenen Trichters.
L0 17 m
D 10 m
Abb. 3.9
Seite 49
gegebene Daten
Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten
Vol ( L D)
"Volumen eines Trichters" "Seitenlänge L, R - Radius der Grundfläche" Rm
Dieses Unterprogramm wird mithilfe der Symbolleiste Programmierung erstellt (siehe dazu Kapitel 18).
D 2 2
hm
2
L R
Abb. 3.10
2
AmSR Vm
Vol L0 D
1 3
Ah
425.374 m
3
oder
Vol ( 17 m 10 m)
425.374 m
In den Platzhalter m 3 eingeben (L steht für Liter)
3
3.3.1 Winkelmaße Winkelmaße werden standardmäßig in Radiant (rad) angegeben. Multipliziert man mit Grad, so erhält man das Gradmaß. M 3.31
sin ( M )
0.168
sin ( M rad)
M 30 Grad
sin ( M )
0.5
sin ( 30 Grad)
°
S 180
° Grad
Definition von Grad
sin ( 30 °)
Definition von Grad
sin ( 30°)
0.168 0.5
0.5 0.5
Winkelangaben in Grad, Minuten und Sekunden in Radiant umwandeln:
§ gr mi se · 2 180 ¨ 60 60 ¹ © S
uwf ( gr mi se)
Definition einer Umwandlungsfunktion.
Umwandlung von M = 26°17'13" : gr 26
mi 17
se 13
uwf ( gr mi se)
0.4587937308
Winkel in Radiant
uwf ( gr mi se)
26.2869444444 Grad
Winkel in Dezimalgrad
3.3.2 Festlegung von nicht vordefinierten Einheiten (lokal oder global) Vordefinierte 7 Basiseinheiten: m
1m
kg
1 kg
s
1s
A
1A
K
1K
cd
1 cd
mol
1 mol
Zusätzlich ist noch das ebene und räumliche Winkelmaß rad und steradiant definiert: rad
1 rad
str
1 str
Seite 50
Mol
1 mol
Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten
Einige vordefinierte abgeleitete Einheiten: Pm
mm
Ps
ms
gm
1 u 10
3
kg
bar
t
0.001 m
1000 kg
Pa
cm
0.01 m
min
60 s
km
3.6
1000 m
h
3600 s
Tag
km h
1
m s 4
8.64 u 10 s
kN
1 Pa
MPa
Selbstdefinierte Einheiten und Einheitenvereinfachung: 1
Monat
12
Jahr
2420 Tag
Woche 7 Tag
Woche
Tage Tag
48 h
ps 10
12
3 kg 6 m 18 s
2
3.571 u 10
10472335900200 W
s
0.0025763004 s 3 kg 6 m
1N
Woche
168 h
2 Tage
2.8 A
W
12
5
6.048 u 10 s
100000 V
9
G: 10 : TW 10
79.509 Monat
18 s
2
2
1J
5
G:
10.472 TW 9
2.576 u 10 ps Die Einheiten werden durch die Einstellungen, wie in Abb. 3.11 abgebildet, vereinfacht.
Doppelklick mit der Maustaste auf das Ergebnis oder Menü-Format-Ergebnis "Einheiten formatieren" und "Einheiten wenn möglich vereinfachen" aktivieren.
Abb. 3.11
a 2 m
SIUnitsOf ( a)
°C 1
- 5 °C
Mit dieser Funktion kann die Einheit ermittelt werden. -
Nicht SI-gerechte Definition für die Temperatur.
5 °C
Seite 51
Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten
1
U/min n 30
Nicht SI-gerechte Definition (Schrägstrich mit <Strg>+
60s 1
n
s
z 30 cm
1800 U/min
z 0.2 cm
0.302 m
ceil ( z 0.2 cm)
Mathcad rechnet mit SI-Basiseinheiten! Achtung beim Rechnen mit Einheiten in Argumenten von Funktionen!
§ z 0.2· cm 31 cm © cm ¹
ceil ¨
Liefert hier das richtige Ergebnis.
Der Potenzierungs-Operator ist nicht in der Lage, auf die Dimensionen in Berechnungen zu schließen: a 3 m
x
x 3
a
27 m
3
aber
3
a
27 m
3
Vorsilben und Einheiten (zusammengefasst in einer Matrix bzw. in Vektoren):
§ Yotta ¨ ¨ ¨ Zetta ¨ ¨ Exa ¨ ¨ Peta ¨ Tera ¨ ¨ Giga ¨ ¨ Mega ¨ ¨ Kilo ¨ ¨ Hekto ¨ Deka ¨ ¨ Dezi ¨ ¨ Zenti ¨ ¨ Milli ¨ ¨ Mikro ¨ ¨ Nano ¨ ¨ Piko ¨ ¨ Femto ¨ ¨ Atto ¨ ¨ Zepto ¨ © Yocto
Y
10
24
·
z
¸ ¸ 18 ¸ 10 ¸ 15 ¸ 10 ¸ 12 ¸ 10 ¸ 9 ¸ 10 ¸ 6 ¸ 10 ¸ 3 ¸ 10 ¸ 100 ¸ 10 ¸ ¸ 1 ¸ 10 ¸ 2 ¸ 10 ¸ 3 ¸ 10 ¸ 6 ¸ 10 ¸ 9 10 ¸ ¸ 12 10 ¸ 15 ¸ 10 ¸ 18 ¸ 10 ¸ 21 ¸ 10 ¸
y
10
Z E P T G M k h da d c m P n p f a
10
21
24
¹
§ 10 24 · ¨ ¨ 21 ¸ ¨ 10 ¸ § Yotta · ¨ 10 18 ¸ ¸ ¨ ¨ ¨ Zetta ¸ ¨ 10 15 ¸ ¸ ¨ Exa ¸ ¨ ¸ ¨ 10 12 ¸ ¨ ¸ ¨ Peta ¸ ¨ ¨ Tera ¸ ¨ 10 9 ¸ ¸ ¸ ¨ ¨ ¨ Giga ¸ ¨ 10 6 ¸ ¸ ¨ Mega ¸ ¨ ¸ ¨ 10 3 ¸ ¨ ¸ ¨ Kilo ¸ ¨ ¨ Hekto ¸ ¨ 100 ¸ ¸ ¨ 10 ¸ ¨ ¸ ¨ Deka ¸ ¨ ¨ Dezi ¸ ¨ 10 1 ¸ ¸ ¸ ¨ ¨ ¨ Zenti ¸ ¨ 10 2 ¸ ¸ ¨ Milli ¸ ¨ ¸ ¨ 10 3 ¸ ¨ ¨ Mikro ¸ ¨ 6 ¸ ¨ Nano ¸ ¨ 10 ¸ ¸ ¨ 9 ¸ ¨ ¨ Piko ¸ ¨ 10 ¸ ¨ Femto ¸ ¨ 12 ¸ ¸ ¸ ¨ 10 ¨ Atto ¸ ¨ 15 ¸ ¨ ¸ ¨ Zepto ¸ ¨ 10 ¨ ¨ 18 ¸ © Yocto ¹ ¨ 10 ¸ ¨ 21 ¸ ¸ ¨ 10 ¨ 24 © 10 ¹
§Y· ¨ ¨Z ¸ ¨E¸ ¨ ¸ ¨P¸ ¨T ¸ ¨ ¸ ¨G ¸ ¨M ¸ ¨ ¸ ¨k ¸ ¨h ¸ ¨ ¸ ¨ da ¸ ¨d ¸ ¨ ¸ ¨c ¸ ¨m ¸ ¨ ¸ ¨P ¸ ¨n ¸ ¨ ¸ ¨p ¸ ¨ f ¸ ¨ ¸ ¨a ¸ ¨z ¸ ¨ ©y ¹
Seite 52
§ Yotta · ¨ ¨ Zetta ¸ ¨ Exa ¸ ¸ ¨ ¨ Peta ¸ ¨ Tera ¸ ¸ ¨ ¨ Giga ¸ ¨ Mega ¸ ¸ ¨ ¨ Kilo ¸ ¨ Hekto ¸ ¸ ¨ ¨ Deka ¸ ¨ Dezi ¸ ¸ ¨ ¨ Zenti ¸ ¨ Milli ¸ ¸ ¨ ¨ Mikro ¸ ¨ Nano ¸ ¸ ¨ ¨ Piko ¸ ¨ Femto ¸ ¸ ¨ ¨ Atto ¸ ¨ Zepto ¸ ¨ © Yocto ¹
Beispiele: Mikro
1 u 10
Nano
1 u 10
Kilo Deka
1 u 10 10
3
6
9
P
1 u 10
n
1 u 10
k
1 u 10
da
10
6
9 3
Umformen von Termen
4. Umformen von Termen
Vor einer Auswertung über das SymbolikMenü sollte zuerst das Auswertungsformat eingestellt werden.
Abb. 4.1
Symbolleiste Symbolische Operatoren. Hier stehen zahlreiche Operatoren und einige Modifikatoren für die symbolische Auswertungen zur Verfügung.
Abb. 4.2 4.1 Polynome Bei den nachfolgenden Beispielen wird jeweils von verschiedenen Umformungsmöglichkeiten ( Symbolische Auswertung (Menü-Symbolik) und die Auswertung mit Symbolischen Operatoren) Gebrauch gemacht. Auch das Auswertungsformat wurde voreingestellt (z.B. Horizontal und Kommentare anzeigen). 4.1.1 Multiplikation und Summe von Polynomen Auswerten: Vereinfachen: Erweitern: Faktorisieren: Zusammenfassen:
Symbolische und komplexe Auswertung. Vereinfachung eines Ausdrucks. Ausmultiplizieren von Potenzen und Produkten. Herausheben von Faktoren und Zusammenfassen von Ausdrücken. Nach gleichen (meist fallenden) Potenzen ordnen.
Beispiel 4.1: 1 5 6 5
2
( 2 x 1) ( 3 x 1) 2
x
x
1 6
1 5
x
x
1 6
1 5
6
erweitert auf
5
durch Faktorisierung, ergibt
faktor o
1 6
( 2 x 1) ( 3 x 1)
1 5
2
x
1 5
x
1 5
z.B. auch mit
( 2 x 1) ( 3 x 1) z.B. auch mit
1· § 1· § ¨ ¨ 2 2 x 5 faktor 5 o © x 5 ¹ © x 5 ¹
Seite 53
2
Umformen von Termen
Beispiel 4.2: ( a b) ( c d)
a c a d b c b d
erweitert auf
( a b) ( c d) entwickeln o a c a d b c b d Beispiel 4.3: ( a b) ( a b)
2
2
a b
erweitert auf 2
2
( a b) ( a b) entwickeln o a b 2
2
2
2
a b
( a b) ( a b)
durch Faktorisierung, ergibt
a b faktor o ( a b) ( a b) Beispiel 4.4:
7 x3 6 x2 5 x 4 x2 3 x 5 erweitert auf 28 x5 3 x4 33 x3 45 x2 25 x 7 x3 6 x2 5 x 4 x2 3 x 5 entwickeln x o 28 x5 3 x4 33 x3 45 x2 25 x 5 4 3 2 2 2 28 x 3 x 33 x 45 x 25 x durch Faktorisierung, ergibt x 4 x 3 x 5 7 x 6 x 5 5 4 3 2 2 2 28 x 3 x 33 x 45 x 25 x faktor o x 4 x 3 x 5 7 x 6 x 5 Beispiel 4.5:
2 x
2 x
( x 2) x ( x 2) x
2
2 entwickeln o x 2 x 2 x 4
3
2
3
2
x 2 x 2 x 4
3
2
x 2 x 2 x 4
erweitert auf 3
2
2
( x 2) x 2
durch Faktorisierung, ergibt
2
x 2 x 2 x 4 faktor o ( x 2) x 2 Beispiel 4.6:
2 2 ( x 1) x 4 x 1 entwickeln
( x 1) x 4 x 1 erweitert auf
3
2
3
2
3
2
x 3 x 3 x 1
3
2
x 3 x 3 x 1 3
2
o x 3 x 3 x 1
2
2
( x 1) x 4 x 1
durch Faktorisierung, ergibt
x 3 x 3 x 1 faktor o ( x 1) x 4 x 1 3
2
x 3 x 3 x 2 faktor o x 3 x 3 x 2
Keine Faktorisierung möglich (alle Lösungen der Gleichung f(x) = 0 sind nicht ganzzahlig oder reell)!
Beispiel 4.7: ( x 2 y) ( x y) ( x 4 y)
3
2
2
3
x 7 x y 14 x y 8 y
erweitert auf 3
2
2
3
( x 2 y) ( x y) ( x 4 y) entwickeln o x 7 x y 14 x y 8 y 3
2
2
3
3
2
2
3
x 7 x y 14 x y 8 y
durch Faktorisierung, ergibt
( x 2 y) ( x y) ( x 4 y)
x 7 x y 14 x y 8 y faktor o ( x 2 y) ( x y) ( x 4 y)
Seite 54
Umformen von Termen
Beispiel 4.8: 4
3
x x y
y5ª¬ 8 x y2 (1 y)2º¼
5
3
4
7
5
6
7
x y x 8 y x y 2 y y
erweitert auf
Bei den nachfolgenden Beispielen zuerst x bzw. y mit Cursor markieren: 5
3
4
7
5
6
7
5
3
4
7
5
6
7
x y x 8 y x y 2 y y
x y x 8 y x y 2 y y
durch Zusammenfassen von Termen, ergibt
durch Zusammenfassen von Termen, ergibt
5
3
4
7
5
6
7
5
3
4
7
5
6
7
7
x y x 8 y x y 2 y y
6
5
3
4
5
( 8 x 1) y 2 y y y x x 5
3
4
7
5
6
7
x y x 8 y x y 2 y y sammeln x o x y x 8 y x y 2 y y Beispiel 4.9: ( 3 4j) ( 5 2j)
Auswertung über komplexer Ebene ergibt
( 3 4j) ( 5 2j)
erweitert auf
23 14 i
z.B. auch mit
23 14 i Symbolisch wird die imaginäre Einheit immer mit i (auch wenn j im Ergebnisformat-Fenster eingestellt ist) ausgewertet! ( 3 4j) ( 5 2j) entwickeln o 23 14 i 4.1.2 Potenzgesetze und Potenzen von Polynomen Auswerten: Vereinfachen: Erweitern: Faktorisieren: Zusammenfassen:
Symbolische und komplexe Auswertung. Vereinfachung eines Ausdrucks. Ausmultiplizieren von Potenzen und Produkten. Herausheben von Faktoren und Zusammenfassen von Ausdrücken. Nach gleichen (meist fallenden) Potenzen ordnen.
Beispiel 4.10: Potenzgesetze (Alle Gesetze gelten für positive und negative ganze und rationale Exponenten): n m
n
m
vereinfacht auf
x
x y
n
n
vereinfacht auf
( x y)
xn
vereinfacht auf
xn
vereinfacht auf
x
x x
m
1 n
n
m
n
n
1
n
n m
vereinfachen o x
x y vereinfachen o ( x y)
xn
m
n
x
m
n
vereinfachen o x
n
m
Kann nicht vereinfacht werden!
n
vereinfachen o x
x
n
x
vereinfacht auf
m
n
x
n m
x
m
x
§ a· ¨ © b¹
n
x x
nm
vereinfachen o x
x n
vereinfacht auf
§ a· ¨ © b¹
n
n
§ a · vereinfachen o § a · ¨ ¨ © b¹ © b¹
Seite 55
n
Kann nicht vereinfacht werden!
Umformen von Termen
Beispiel 4.11: ( a b)
2
2
2
2
a 2 a b b
2
2
a 2 a b b
erweitert auf
2
2
2
2
( a b) entwickeln o a 2 a b b ( a b)
durch Faktorisierung, ergibt
2
Beispiel 4.12: ( a b)
2
2
2
2
a 2 a b b
2
2
a 2 a b b
erweitert auf
( a b) entwickeln o a 2 a b b ( a b)
durch Faktorisierung, ergibt
2
Beispiel 4.13: ( a b)
3
erweitert auf
a 3 a b 3 a b b
3
2
2
3
( a b) entwickeln o a 3 a b 3 a b b
( a b)
3
erweitert auf
a 3 a b 3 a b b
3
3
2
2
3
3
2
2
3
( a b) entwickeln o a 3 a b 3 a b b
3
3
2
2
3
4
3
2
2
3
4
4
3
2
2
3
4
Beispiel 4.14: ( a b)
4
erweitert auf
a 4 a b 6 a b 4 a b b
( a b)
4
erweitert auf
a 4 a b 6 a b 4 a b b
Beispiel 4.15: ( x y)
8
erweitert auf 8
7
6
2
3
5
4
4
3
5
2
6
7
8
x 8 x y 28 x y 56 y x 70 x y 56 x y 28 x y 8 y x y durch Faktorisierung, ergibt ( x y)
8
Beispiel 4.16: ( x y) 10
x
10
erweitert auf 9
8
2
3
7
6
4
5
5
4
6
10 x y 45 x y 120 y x 210 x y 252 x y 210 x y 7
3
2
8
9
10
120 y x 45 x y 10 x y y
Zeilenumbruch von langen Ausdrücken: 1. Cursor nach dem Operator setzen, an dem umgebrochen werden soll. 2. Mit der Tastenkombination <Strg>+<Eingabe> umbrechen. 3. Den sich daraus ergebenden Platzhalter löschen. Nach einem symbolischen Operator ist ein Zeilenumbruch nicht möglich (ändert man im nachfolgenden Beispiel z.B. den Exponenten auf 10, so kann der Ausdruck nicht mehr umgebrochen werden)! f ( x y) ( x y)
6 6
5
4
2
3
3
2
4
5
6
f ( x y) entwickeln o x 6 x y 15 x y 20 x y 15 x y 6 x y y
Seite 56
Umformen von Termen
Beispiel 4.17: (a b c)
2
2
2
2
a 2 a b 2 a c b 2 b c c
erweitert auf 2
2
( a b c ) entwickeln o a 2 a b 2 a c b 2 b c c 2
2
( a b c ) sammeln a o a ( 2 b 2 c ) a ( b c ) 2
2
a 2 a b 2 a c b 2 b c c
2
2
2
2
(a b c)
durch Faktorisierung, ergibt
2
Beispiel 4.18:
3 x2 5 x 4
2
3 x2 5 x 4
2
4
4
3
2
9 x 30 x 49 x 40 x 16
erweitert auf
4
3
2
entwickeln o 9 x 30 x 49 x 40 x 16
3
2
9 x 30 x 49 x 40 x 16
durch Faktorisierung, ergibt
3 x2 5 x 4
2
Beispiel 4.19: Bei den nachfolgenden Beispielen zuerst x bzw. y mit dem Cursor markieren:
x y z2 x 2y z2
x y z2 x 2y z2
durch Zusammenfassen von Termen, ergibt
durch Zusammenfassen von Termen, ergibt
2
2
x 1 2 y 2 z
2
2
x y z2
2
2
x y z2 x 2y z2 sammeln x 2
2
2
z 2 y
y 2 2 x 2 z
o x 1 2 y 2 z
2
2
y x z 2
x y z2
2
2
3
3
3
3
durch Faktorisierung, ergibt
2
2
8x 27y faktor o ( 2 x 3 y) 4 x 6 x y 9 y 2
x 9 faktor o ( x 3) ( x 3) 2
2
x 3 faktor o x 3
2
1· § 1· § ¨ ¨ 2 2 2 x 3 faktor 3 o © x 3 ¹ © x 3 ¹
Beispiel 4.21: ( 5 6j)
3
Auswertung über komplexer Ebene ergibt
415 234 i
3
( 5 6j) komplex o 415 234 i ( 5 6j)
3
erweitert auf
2
( 2 x 3 y) 4 x 6 x y 9 y
415 234 i
3
( 5 6j) entwickeln o 415 234 i
Seite 57
2
z x
z 2 y
Beispiel 4.20: 8x 27y
2
Umformen von Termen
4.2 Bruchterme (ganzrationale Terme) Auswerten: Vereinfachen: Erweitern: Faktorisieren: Zusammenfassen: Teilbruchzerlegung:
Symbolische und komplexe Auswertung. Vereinfachung eines Ausdrucks. Ausmultiplizieren von Potenzen und Produkten. Herausheben von Faktoren und Zusammenfassen von Ausdrücken. Nach gleichen (meist fallenden) Potenzen ordnen. Variable-Partialbruchzerlegung
4.2.1 Addition, Subtraktion und Division Beispiel 4.22: 3x 2y 4 5 3x 2y 4 5 3x 2y 4 5
2x 3y 6 5 2x 3y 6 5 2x 3y 6 5
5x 3y 2 5 5x 3y 2
5
5 6
vereinfacht auf
5 5x 3y 2
6
ergibt
vereinfachen o
5 6 5
x x
x
8 5
8 5 8 5
y y
y
12 5 12 5
12 5
Beispiel 4.23: 3x 1 3x 3 3x 1 3x 3
4x 1 4x 4 4x 1 4x 4
11x 5
2
1
vereinfacht auf
x 1
12x 12 11x 5
2
vereinfachen o
12x 12
1 x 1
Beispiel 4.24: 2
2
4 x 2 x 1
erweitert auf
( x 1) ( x 1)
4 x 2 x 1
Vor der Auswertung wurde nur der Nenner mit dem Cursor markiert!
2
x 1
Beispiel 4.25: 2 ( 3 a y)
2
2
4 ( x 2 y)
vereinfacht auf
2
2
2
2
x 4 x y 6 y 18 a 12 a y 2
( 3 a y) ( x 2 y)
2
y mit dem Cursor markieren und Menü-Symbolik-Variable-Partialbruchzerlegung wählen: 2
2
2
2
x 4 x y 6 y 18 a 12 a y 2
( 3 a y) ( x 2 y)
2
in Partialbrüche zerlegt, ergibt
2 ( 3 a y)
Seite 58
2
4 ( x 2 y)
2
Umformen von Termen
Beispiel 4.26: 3
2
x 6 x 11 x 6
vereinfacht auf 1 x
2
Die Polynomdivision wird nur dann durchgeführt, wenn die Division ohne Rest möglich ist ! Sonst muss die Division durch Partialbruchzerlegung durchgeführt werden.
x 5 x 6 3
2
3
x 6 x 11 x 7
vereinfacht auf
2
2
x 6 x 11 x 7 2
x 5 x 6 3
x 5 x 6
2
x 6 x 11 x 7
1 x
in Partialbrüche zerlegt, ergibt
2
x 5 x 6
1 x 2
1 x 3
Beispiel 4.27: 5
4
2
54 x 27 x 39 x 5 x 12 2
6 x 3 x 2 5
4
16 x 2
3
9 x 3 x 5
in Partialbrüche zerlegt, ergibt
2
6 x 3 x 2
2
54 x 27 x 39 x 5 x 12
3
konvert teilbruch x o 9 x 3 x 5
2
6 x 3 x 2
2 16 x 2
6 x 3 x 2
Beispiel 4.28: 5 4 3j · § ¨ 2j 3 © 5 2j ¹
ergibt
5 § 4 3j · 2j 3 © 5 2j ¹
Auswertung über komplexer Ebene ergibt
5 § 4 3j · 2j 3 © 5 2j ¹
vereinfacht auf
2j 3
2j 3
2j 3
¨
¨
127862974 266644937
132296893 266644937
127862974 266644937
i
z.B. auch mit
127862974 266644937
132296893 266644937
132296893
i
266644937
i
5 § 4 3j · komplex o 127862974 132296893 i 2j 3 © 5 2j ¹ 266644937 266644937
2j 3
¨
Beispiel 4.29: 1 R jZL 1 R jZL
R
Auswertung über komplexer Ebene ergibt
2
2
2
R Z L komplex o
R 2
2
2
R Z L
iZ
L 2
2
2
R Z L
Seite 59
iZ
L 2
2
2
R Z L
Umformen von Termen
4.3 Logarithmische Ausdrücke Auswerten: Vereinfachen: Erweitern:
Komplexwertige Auswertung. Vereinfachung eines Ausdrucks. Zerlegen in eine Summe.
Beispiel 4.30: Logarithmus Gesetze: ln ( x y) vereinfacht auf ln ( x) ln ( y)
§ x· © y¹
ln ¨
Diese Eigenschaften von natürlichen Logarithmen gelten auch für Logarithmen zur einer beliebigen Basis. In Mathcad ist auch der Logarithmus zur Basis 10 (log(x)) oder der Logarithmus zu einer beliebigen Basis a (log(x,a)) vordefiniert.
vereinfacht auf ln ( x) ln ( y)
r
vereinfacht auf r ln ( x)
ln x
ln ( e)
1
log ( 10 )
log ( 2 2)
1
i §¨ 1
ln ( x) komplex o ln x
©2
1
2
1
· ¹
signum ( x) S
Beispiel 4.31: 3ln( a)
vereinfacht auf
e
3
ln( x)
a
e
vereinfachen o x
Beispiel 4.32:
§ x · ln ( y) ©z¹
ln ( x y) ln ¨
vereinfacht auf
2 ln ( y) ln ( z )
Beispiel 4.33:
§ x y · 1 ln § x · ln x ln x2 ¨ 2 2 ©z¹ z © ¹
ln ¨
erweitert auf
ln ( x) ln ( y)
3 2
ln ( z )
Beispiel 4.34:
§ 5 a b c · entwickeln o ln ( 5) ln ( 3) ln ( a) ln ( b) ln ( c) ln ( x) ln ( y) © 3 x y ¹
ln ¨
§5 a b c· © 3 x y ¹
log ¨ 1
ln ( 10 )
ln ( 5)
erweitert auf 1 ln ( 10 )
ln ( 3)
1 ln ( 10 )
ln ( a)
1 ln ( 10 )
ln ( b)
1 ln ( 10 )
ln ( c )
1 ln ( 10 )
ln ( x)
4.4 Trigonometrische Ausdrücke Beispiel 4.35: 2
sin ( M ) cos ( M )
2
vereinfacht auf
1
2
2
sin ( M ) cos ( M ) vereinfachen o 1
Beispiel 4.36: 2
sin ( 2 x y) entwickeln o 2 cos ( y) sin ( x) cos ( x) 2 sin ( y) cos ( x) sin ( y)
Seite 60
1 ln ( 10 )
ln ( y)
Umformen von Termen
Beispiel 4.37: sin ( x y)
erweitert auf
sin ( x) cos ( y) cos ( x) sin ( y)
sin ( x y)
erweitert auf
sin ( x) cos ( y) cos ( x) sin ( y)
cos ( x y)
erweitert auf
cos ( x) cos ( y) sin ( x) sin ( y)
cos ( x y)
erweitert auf
cos ( x) cos ( y) sin ( x) sin ( y)
tan ( D E ) entwickeln o
Summensätze 1. Art
tan ( E ) tan ( D ) 1 tan ( E ) tan ( D )
Beispiel 4.38: sin ( 2 x)
2 sin ( x) cos ( x)
erweitert auf
sin ( 2 x) entwickeln o 2 sin ( x) cos ( x)
Beispiel 4.39: sin ( 6 x)
5
3
32 sin ( x) cos ( x) 32 sin ( x) cos ( x) 6 sin ( x) cos ( x)
erweitert auf 2
sin ( ln ( a b) ) vereinfachen trig o 1 cos ( ln ( a b) )
2
Beispiel 4.40: 1 2
( 1 cos ( 2 t ) ) erweitert auf
1 cos ( t)
1
2
2
( 1 cos ( 2 t ) ) entwickeln o 1 cos ( t )
Beispiel 4.41: cos ( x) sin ( x) cos ( x)
durch Faktorisierung, ergibt
cos ( x) ( 1 sin ( x) )
Beispiel 4.42: j nM
e
j nM
e
Auswertung über komplexer Ebene ergibt
cos ( n M ) i sin ( n M )
komplex o cos ( n M ) i sin ( n M )
4.5 Andere Umformungen Polynom-Koeffizienten: Ersetzen: Annehmen:
Polynom-Koeffizienten ermitteln. Ersetzen von Ausdrücken. Eingeschränkte Auswertung (unter der Annahme ...).
Beispiel 4.43:
§¨ 1 · 3 x 2 x 1 hat Koeffizienten ¨ 2 ¸ ¨3 © ¹ §¨ 1 · 2 3 x 2 x 1 koeff x o ¨ 2 ¸ ¨3 © ¹ 2
Beispiel 4.44: 3
2 cos ( x) cos ( x)
hat Koeffizienten
§0 · ¨ 3 ¨1 ¸ 2 cos ( x) cos ( x) koeff cos ( x) o ¨0 ¸ ¨ ©2 ¹
Zuerst x markieren!
§0 · ¨ ¨1 ¸ ¨0 ¸ ¨ ©2 ¹
z.B. auch mit
Zuerst cos(x) mit dem Cursor markieren!
Seite 61
2
Umformen von Termen
Beispiel 4.45: sin(t) zuerst kopieren, dann x unter der Wurzel markieren und Symbolik-Variable-Ersetzen wählen.
sin ( t )
1
1 sin (t)2 2
durch Ersetzen, ergibt
2
1 x
1
2
1 x ersetzen x = sin ( t ) o 1 sin ( t )
2
2
Beispiel 4.46: 1 2
2
2
2
2
x y ersetzen x = r cos ( M ) y = r sin ( M ) o r cos ( M ) r sin ( M )
2
2
Beispiel 4.47: 1 2
2
x y
2 ersetzen x = sin ( t ) y = cos ( t) 2 o 2 cos ( t) 1 vereinfachen
Beispiel 4.48: ersetzen x = ( u 1)
x 3
entwickeln
2
x
2
o
Drückt man nach der Eingabe des 1. symbolischen Operators <Strg>+
2
u 2 u 4 4
3
2
u 4 u 6 u 4 u 1
Beispiel 4.49: 2
s1 vereinfachen o csgn ( s1) s1
s1
annehmen s1 ! 0 o s1 vereinfachen
2
s1
2
annehmen s1 0 o s1 vereinfachen
2
s1 vereinfachen annehmen = RealRange ( 10 5) o s1 Beispiel 4.50: ersetzen x = r cos ( M ) y = r sin ( M ) 2
2
x y
annehmen r ! 0
or
vereinfachen Beispiel 4.51: x 1 2 x annehmen x = RealRange ( 1 2) o ( x 1) ( 2 x) reeller Zahlenbereich für x von 1 bis 2 1 x y 1 annehmen x = RealRange ( 0 1) o 1 x y 1 Beispiel 4.52: 2
sin ( ln ( a b) ) vereinfachen trig o 1 cos ( ln ( a b) )
2
Seite 62
reeller Zahlenbereich für x von 0 bis 1
Summen und Produkte
5. Summen und Produkte
Abb. 5.1 Die symbolischen Auswertungen erfolgen wie im Kap. 4 beschrieben.
Abb. 5.2
Abb. 5.3 5.1 Numerische Auswertung von Summen und Produkten Die Summation und die Produktbildung wird normalerweise über ganze Zahlen mit der Schrittweite 1 ausgeführt. In Mathcad sind aber auch reelle Bereichsvariablen zugelassen, wenn die Bereichsvariable vordefiniert wird.
Seite 63
Summen und Produkte
Beispiel 5.1:
Beispiel 5.2:
k 0 5
5
x 0.1 0.2 1 1
¦ 2k
1
¦ 2x
k
6.966
x
Beispiel 5.3: m 20
j
Beispiel 5.4:
j 1 m
j · § ln ¨ 1 m¹ ©
¦
Bereichsvariable 20
¦
8.07
j
k 2 10
k
10
0.1
k
j
j 2 m
§1 1 · ¨ j¹ ©
m
0.1
j
0.1
0.1
j 1 3 5
Bereichsvariable
3
¦ ¦ ( i j)
2
§1 1 · ¨ j¹ ©
Beispiel 5.10:
j 1 3 5
1
2
§1 1 · ¨ k¹ ©
Bereichsvariable
Beispiel 5.9:
i
8.07
Beispiel 5.8:
Beispiel 5.7:
1
· 20 ¹ j
Bereichsvariable
§1 1 · ¨ k¹ ©
m 10
§ ©
ln ¨ 1
Beispiel 5.6:
Beispiel 5.5:
1.969
k
0 2
k
1.969
1
¦
Bereichsvariable
Bereichsvariable
3
¦¦
45
j
j i
( i j)
45
1
5.2 Symbolische Auswertung von Summen und Produkten Auswerten: Vereinfachen: Erweitern: Faktorisieren: Zusammenfassen:
Symbolische Auswertung Vereinfachung eines Ausdrucks. Ausmultiplizieren von Potenzen und Produkten. Herausheben von Faktoren und Zusammenfassen von Ausdrücken. Nach gleichen (meist fallenden) Potenzen ordnen.
Beispiel 5.11: 5
¦ k
1 k
1 2
ergibt
31 32
5
¦ k
1 k
1 2
Seite 64
vereinfacht auf
31 32
Summen und Produkte
Beispiel 5.12: 10
10
§ 1 1 · ergibt ¨ k¹ ©
k
2 10
0.1
10
k
2
2 10
§1 1 · o 1 ¨ k¹ 10 ©
k
1
k
2
§1 1 · ¨ k¹ ©
1
vereinfacht auf
10
1 §1 1 · vereinfachen o ¨ k 10 © ¹
Beispiel 5.13: n 1
¦
k
k
2
1
ergibt
1
3
n
3
2
2
n
1 6
n
durch Faktorisierung, ergibt
n
durch Faktorisierung, ergibt
1 6
n ( 2 n 1) ( n 1)
1
Bereichsvariable von 1 bis n - 1:
¦
2
1
ergibt
n
1
3
n
3
2
2
n
1 6
1 6
n ( 2 n 1) ( n 1)
n
Beispiel 5.14: n
¦ i
i
ergibt
5
1 4
n 1
5
n
5
¦
4
1 n
¦ i
i i
5 o
1 4
n1
5
i
5
¦
4
1
i
5
4
5 4
1 n
5
n 1
1
vereinfacht auf
i
5 vereinfachen o
1 4
n1
5
5 4
1
Beispiel 5.15: n
¦
1 k
ergibt
1 2
k
§ 1· © 2¹
2 ¨
n1
1
vereinfacht auf
n
2
1
Beispiel 5.16: Binomischer Lehrsatz: n
¦ k
0 n
¦ k
0
n § k n k· a b ¨ k ( n k ) © ¹
ergibt
n
§ a b· © b ¹
n
b ¨
n § k n k· n a b vereinfachen o ( a b) ¨ © k ( n k) ¹
Seite 65
vereinfacht auf
( a b)
n
Summen und Produkte
Beispiel 5.17: n 1
p1
¦ ¦
k
1 m
n 1
( k m)
2
2
p n n p
1
2
p n
2
1 2
2
n
1 2
n
1 2
2
p
1 2
p
1
p1
¦ ¦
k
1
ergibt
1 m
( k m) faktor o
1 2
( p 1) ( n 1) ( n p)
1
Beispiel 5.18: Wahrscheinlichkeitsdichte, Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung: n
¦ k
0 n
¦ k
0 n
¦ k
0
n ª k n kº p ( 1 p) « » vereinfachen o 1 ¬ k ( n k) ¼ n ª k n kº k p ( 1 p) « » vereinfachen o n p k ( n k ) ¬ ¼ n ª 2 k n kº 2n ( k n p) p ( 1 p) « » vereinfachen o ª¬ p ( 1) º¼ n p ¬ k ( n k) ¼
5.3 Funktionen mit Summen und Produkten Beispiel 5.19: 3
f ( x)
¦ k
k
x
f ( 2.2)
17.688
f ( 2.2) o
2211 125
1
Beispiel 5.20: Bedingte Summation (mit einer logischen UND-Verknüpfung): 5
g ( x)
¦ k
ª¬k 2 ( k d x)º¼
x 0 5
g ( x) 0
0
k dx liefert 1 für wahr und 0 für falsch !
0
0
1
1
2
5
3
14
4
30
5
55
Seite 66
Das Ergebnis wird hier nicht auf (1- p)*n*p vereinfacht!
Summen und Produkte
Beispiel 5.20: Binomialkoeffizient n über k (n > 0, k > 0, n t k): k
n i 1
C1 ( n k )
i
i
120
C1 ( 1 1)
1
C2 ( 10 3)
120
C2 ( 1 1)
1
1
n
C2 ( n k )
C1 ( 10 3)
k ( n k )
C1 ( 150 50 )
2.013 u 10
40
C1 ( 150 50 ) o 20128660909731932294240234380929315748140
C2 ( 150 50 )
2.013 u 10
40
C2 ( 150 50 ) o 20128660909731932294240234380929315748140
C1 ( 300 90 )
1.947 u 10
78
C1 ( 300 90 ) o 1946635498490378393024696802826000981225950718515399657284768616301601314834800 Für n > 170 ist n! numerisch nicht mehr auswertbar !
C2 ( 300 90 ) o 1946635498490378393024696802826000981225950718515399657284768616301601314834800 Beispiel 5.21: Funktionsdefinition durch Produktbildung. x
P ( x)
k
1
2
k
e
P ( 5)
3.269 u 10
6
1 3
4
5
e e e e e
3.269 u 10
6
P ( 5) o exp ( 1) exp ( 2) exp ( 3) exp ( 4) exp ( 5) x x
3.269 u 10
6
Redefinition
ª 1 ( x 1) xº » ¬2 ¼
P ( x) o exp «
ª1 º exp « ( 5 1) 5» ¬2 ¼
3.269 u 10
Seite 67
6
Vektoren und Matrizen
6. Vektoren und Matrizen Eine Matrix oder ein Vektor kann über Menü-Einfügen-Matrix, Symbolleiste-Matrix oder mit <Strg>+<M> eingefügt werden. Wird eine Variable mit dem Cursor markiert, so kann sie mit der Taste < [ > oder xn-Taste aus der Symbolleiste Matrix bzw. mit der Taste x2 aus der Standard Symbolleiste indiziert werden.
Abb. 6.1
Die symbolischen Auswertungen erfolgen wie in Kap. 5 beschrieben.
Abb. 6.2
Abb. 6.3
Beim Arbeiten mit Vektoren oder Matrizen (Datenfelder) erweist es sich manchmal als günstig, den global voreingestellten ORIGIN-Wert (ORIGIN = 0) im Menü Extras-Arbeitsblattoptionen auf 1 umzustellen oder diesen Wert lokal im Dokument neu festzulegen. Um eine bessere Unterscheidung zu anderen Variablen zu erreichen, werden im Folgenden Vektoren und Matrizen in Fettschreibweise dargestellt (Menü- Format-Gleichung, Gleichungsformat z.B. von Benutzer1 ... auf "Fettschrift" ändern).
Seite 68
Vektoren und Matrizen
In einem Mathcad-Arbeitsblatt können mithilfe von Matrix einfügen normalerweise keine Vektoren mit mehr als 100 Elementen und Matrizen mit mehr als 10x10 Elementen erzeugt werden. Man kann nur dann größere Datenfelder erhalten, wenn man Bereichsvariable verwendet, Datenfelder mithilfe der Funktionen "erweitern" bzw. "stapeln" zusammenfügt oder Tabellen mit Zahlenwerten aus einer Datei einliest (die Größe ist hier nur vom Systemspeicher abhängig). Datenfelder (auch Tabellen-Listen) mit mehr als 10 Zeilen oder 10 Spalten werden von Mathcad als rollbare Ausgabetabellen dargestellt. 6.1 Erstellen von Vektoren und Matrizen 6.1.1 Erstellen mithilfe von Bereichsvariablen Beispiel 6.1: ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
i 1 2 ai i
3
j 1 2
Indexlaufbereich (Breichsvariablen)
bj 1
Ai j i j
2
B2 2 5
Ausgabe als Liste (Tabelle): a
b
A
1
1
B 1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
4
1
0
0
2
8
2
1
2
2
8
2
0
5
Mit einem Doppelklick auf das Ergebnis kann das Ergebnisformat-Fenster aufgerufen werden und im Registerblatt Anzeige-Optionen das Matrix-Anzeigeformat geändert werden (siehe Kapitel 2). Die Spalten- und Zeilenbeschriftung kann über den Menüpunkt Eigenschaften (rechter Mausklick auf die Tabelle) aktiviert werden. Ausgabe als Vektor bzw. als Matrix: a
§1 · ¨ ©8 ¹
b
§1 · ¨ ©1 ¹
A
§1 4 · ¨ ©2 8 ¹
B
§0 0 · ¨ ©0 5 ¹
6.1.2 Erstellen mit der Symbolleiste Matrix Beispiel 6.2:
§¨ A ¨ ¨ ©
· ¸ ¹
Die Platzhalter können mit der Taste
§¨ 3 8 9 · A ¨5 2 9 ¸ ¨ 1 2 3 © ¹
Beispiel 6.3:
§¨ 3 8 9 · A ¨5 2 9 ¸ ¨ 1 2 3 © ¹ §¨ 3 8 9 · A ¨5 2 9 ¸ ¨ 1 2 3 © ¹
A Rechts steht das Ergebnis nach dem Löschen bzw. Einfügen von einer Zeile und einer Spalte im Fenster Matrix einfügen, wobei vorher der Cursor auf die Zahl 1 gesetzt wurde.
Seite 69
§8 9 · ¨ ©2 9 ¹
§3 ¨ ¨5 A ¨1 ¨ ©
8
9·
2
9¸
2 3 ¸
¹
Vektoren und Matrizen
6.2 Vektor- und Matrizenoperationen Für Matrizenoperationen stellt Mathcad viele Operatoren (Symbolleiste Matrix) und Funktionen zur Verfügung. Nachfolgend wird davon eine Auswahl getroffen. 6.2.1 Vektor- und Matrizenoperatoren Beispiel 6.4: Ändern und Ausgeben von Werten:
§¨ 1 · a ¨ 1 ¸ ¨3 © ¹ a2 5
§¨ 4 8 6 · A ¨ 5 2 9¸ ¨ 1 2 3 © ¹ a3 7
§¨ 1 · a ¨5 ¸ ¨7 © ¹
A2 2 10
A3 3 15
Einige Werte ändern (ORIGIN ist oben auf 1 gesetzt)
§¨ 4 8 6 · A ¨ 5 10 9 ¸ ¨ 1 2 15 © ¹
Beispiel 6.5: Hochgestellte Indizes - Selektieren von Spalten und Zeilen:
§¨ 4 8 6 · A ¨ 5 2 9¸ ¨ 1 2 3 © ¹
¢1² A
§¨ 4 · ¨5 ¸ ¨1 © ¹
¢2² A
§¨ 8 · ¨2 ¸ ¨ 2 © ¹
¢1²
A T
§¨ 4 · ¨8 ¸ ¨6 © ¹
Tasten <Strg>+<6> bzw. mit M< > bzw. MT aus der Symbolleiste Matrix
Beispiel 6.6: Addition und Subtraktion: a
§1 · ¨ © 2 ¹
Z1
b
§2 · ¨ © 3 ¹
j · §2j ¨ © 2 4j 1 2j ¹
§ 4 6 · ¨ © 5 9¹
A
Z2
B
§ 1 4 · ¨ ©9 5 ¹
4 § j · ¨ © 1 2j 2 3j ¹
Numerische und symbolische Auswertung: a b
§3 · ¨ © 5 ¹
a bo
§3 · ¨ © 5 ¹
a b
§ 1 · ¨ ©1 ¹
a bo
§ 1 · ¨ ©1 ¹
A B
§ 3 2 · ¨ © 14 14 ¹
A Bo
§ 3 2 · ¨ © 14 14 ¹
A B
§ 5 10 · ¨ © 4 4 ¹
A Bo
§ 5 10 · ¨ © 4 4 ¹
Z1 Z2
§ 2 2i 4 i · ¨ © 3 6i 1 i ¹
Z1 Z2 o
§2 2 i 4 i · ¨ © 3 6 i 1 i ¹
Z1 Z2
§ 2 4 i · ¨ © 1 2i 3 5i ¹
Z1 Z2 o
4 i · § 2 ¨ ©1 2 i 3 5 i ¹
Seite 70
Vektoren und Matrizen
i 1 2
k 1 2
Bereichsvariablen
Ci k Ai k Bi k
C
§ 3 2 · ¨ © 14 14 ¹
A
§ 4 6 · ¨ © 5 9¹
Beispiel 6.7: Multiplikation:
§1 · a ¨ © 2 ¹ Z1
§2 · b ¨ © 3 ¹
j · §2j ¨ © 2 4j 1 2j ¹
Z2
§ 1 4 · ¨ ©9 5 ¹
B
4 § j · ¨ © 1 2j 2 3j ¹
Numerische und symbolische Auswertung: 3 a
a
§3 · ¨ © 6 ¹
§3 · ¨ © 6 ¹
4 A
§ 1 · ¨ ©2 ¹
a b
A
a b o 8
8
A B
Skalarprodukt
§ 1 3i 5 2i · ¨ © 1 2i 12 9i ¹
Z1 Z2
§¨ 1 · a ¨2 ¸ ¨4 © ¹
au b
3 a o
§¨ 6 · ¨ 13 ¸ ¨ 5 © ¹
§ 16 24 · ¨ © 20 36 ¹ § 4 6 · ¨ © 5 9 ¹
§ 16 24 · ¨ © 20 36 ¹
Skalare Multiplikation
Negation (Multiplikation mit -1)
§ 50 46 · ¨ © 86 25 ¹
Z1 Z2 o
4 A o
A B o
§ 50 46 · ¨ © 86 25 ¹
§1 3 i 5 2 i · ¨ © 1 2 i 12 9 i ¹
Matrizenmultiplikation
Matrizenmultiplikation
§¨ 2 · b ¨ 1 ¸ ¨5 © ¹ §¨ 6 · a u b o ¨ 13 ¸ ¨ 5 © ¹
Kreuzprodukt oder Vektorprodukt Tasten <Strg>+<8> bzw. mit dem Vektorproduktsymbol aus der Symbolleiste Matrix
Beispiel 6.8: Potenz einer Matrix (Matrizenmultiplikation):
§ 4 6 · A ¨ © 5 9¹
§O 1 O · M (O ) ¨ ©1 2 O ¹
j · § 2 j Z ¨ © 2 4j 1 2j ¹
§¨ 1 · a ¨2 ¸ ¨4 © ¹
Numerische und symbolische Auswertung: 2
A
§ 46 30 · ¨ © 25 111 ¹
A A
§ 46 30 · ¨ © 25 111 ¹
2
A o
Seite 71
§ 46 30 · ¨ © 25 111 ¹
Taste < ^> oder mit dem Symbol x2 aus der Standard Symbolleiste
Vektoren und Matrizen
i 1 2
k 1 2 2
Di k
Ai j Aj k
¦
j
§ 46 30 · ¨ © 25 111 ¹
ªO 2 1 O 3 O ( 1 O ) º « » « 2 » 1 O 4 O ¼ ¬ 3 O
ergibt
§ 7 6i 1 3i · ¨ © 2 14i 1 2i ¹
2
D
1
2 §O 1 O · ¨ ©1 2 O ¹
Z
Bereichsvariablen
2
Z o
ªO 2 1 O 3 O ( 1 O ) º « » M (O ) o « 2» 1 O 4 O ¼ ¬ 3 O 2
§ 7 6 i 1 3 i· ¨ © 2 14 i 1 2 i ¹
Inverse Matrix und Potenz der inversen Matrix: Die inverse Matrix erzeugt man mit der Taste < ^>, mit dem Symbol x2 in der Standard Symbolleiste und mit x-1 aus der Symbolleiste Matrix. Die Auswertung kann auch über Menü-Matrix-Invertieren und über M-1 aus der Symbolleiste Symbolische Opreratoren durchgeführt werden. 1
A
§ 0.136 0.091 · ¨ © 0.076 0.061 ¹
§ 4 6 · ¨ © 5 9¹
1
A
o
§ 9 6 · 66 © 5 4 ¹ 1
¨
§¨ 3 1 · ¨ 22 11 ¸ ¨ 5 2 ¸ ¨ 66 33 © ¹
durch Matrixinvertierung, ergibt
1 §O 1 O · 1 § 2 O 1 O · o ¨ ¨ 2 O ¹ ©1 2 O ¹ 2 O 1 O © 1
Z
1
E A A
2
A
Z
2
1 a
M (O )
0.2 § 0.4 0.2i · ¨ © 0.8 0.4i 0.2 0.4i ¹
1
E
§1 0 · ¨ ©0 1 ¹
Z
A
§ 0.04 0.08i 0.04 0.12i · ¨ © 0.08 0.56i 0.28 0.24i ¹
Z
1
a
2
§¨ 1 · ¨ 0.5 ¸ ¨ 0.25 © ¹
2
1
1
o
o
1 5
§ 2 O 1 O · 2 O ¹ 2 O 1 O © 1 1
¨
§ 1 2 i i · © 2 4 i 2 i ¹
i¨
ZE Z Z
Einheitsmatrix
§ 0.025 0.007 · ¨ © 0.006 0.011 ¹
§¨ 1 · ¨ 0.5 ¸ ¨ 0.25 © ¹
1 § 4 6 · 1 § 9 6 · o ¨ ¨ 66 © 5 4 ¹ © 5 9¹
1
ZE
§1 0 · ¨ ©0 1 ¹
Einheitsmatrix
5 · §¨ 37 ¨ 1452 726 ¸ entwickeln o ¨ 25 23 ¸ ¨ 4356 2178 © ¹
Potenz der inversen Matrix
§ 1 2 i 1 3 i · 25 © 2 14 i 7 6 i ¹
Potenz der inversen Matrix
o
1
¨
Bei der Kehrwertbildung eines Vektors erzeugt Mathcad einen Vektor mit den Kehrwerten der Komponenten !
Seite 72
Vektoren und Matrizen
Beispiel 6.9: Transponieren eines Vektors oder einer Matrix: a
§1 · ¨ © 2 ¹
T
b (5 7 )
A
§ 4 6 · ¨ © 5 9¹
§O 1 O · ¨ ©1 2 O ¹
M (O )
Z
j · § 2 j ¨ © 2 4j 1 2j ¹
Numerische und symbolische Auswertung: Die transponierte Matrix erzeugt man mit den Tasten <Strg>+<1> oder MT aus der Symbolleiste Matrix. Die Auswertung kann auch über Menü-Matrix-Achsen vertauschen und über MT aus der Symbolleiste Symbolische Opreratoren durchgeführt werden. T
a
T
A
§5 · ¨ ©7 ¹ § 4 6 · ¨ © 5 9¹
T
( 1 2 )
a o ( 1 2 )
§ 4 5 · ¨ © 6 9¹
A o
T
§ 4 5 · ¨ © 6 9¹
T 1 · §O 1 O · § O o¨ ¨ ©1 2 O ¹ ©1 O 2 O ¹ T
Z
bo
b
T
M (O ) o
§ 2 i 2 4i · ¨ © i 1 2i ¹
T
Z o
§5 · ¨ ©7 ¹
durch Matrixtransponierung, ergibt
§ 4 5 · ¨ © 6 9¹
1 · § O ¨ ©1 O 2 O ¹
§2 i 2 4 i · ¨ © i 1 2 i¹
Beispiel 6.10: Betrag eines Vektors und Determinante einer Matrix: a
§1 · ¨ © 2 ¹
A
§ 4 6 · ¨ © 5 9¹
M (O )
§O 1 O · ¨ ©1 2 O ¹
Z
j · § 2 j ¨ © 2 4j 1 2j ¹
Numerische und symbolische Auswertung: Den Betrag eines Vektors bzw. die Determinante einer Matrix erzeugt man mit dem Symbol |x| aus der Symbolleiste Taschenrechner bzw. Symbolleiste Matrix . Klickt man mit der rechten Maustaste auf den Operator mit dem vertikalen Absolutstrichen, so kann aus dem Kontextmenü (Abb. 6.4) zwischen absoluten Wert und quadratische Matrix-Determinante gewählt werden. Die Determinante einer Matrix kann nicht mit Einheiten bestimmt werden. Die Auswertung kann auch über Menü-Matrix-Determinante und über MT aus der Symbolleiste Symbolische Opreratoren durchgeführt werden. 1
a
a o5
2.236
§ 4 6 · ¨ © 5 9¹
2
A
besitzt die Determinante
66
A o 66
66 Abb. 6.4
§O 1 O · 2 o 2 O 1 O ¨ ©1 2 O ¹
§O 1 O · ¨ ©1 2 O ¹
besitzt die Determinante
2 O 1 O
j · §2j ¨ © 2 4j 1 2j ¹
besitzt die Determinante
5 j
2
2
M (O ) o 2 O 1 O Z
5i
Z o 5 i
Seite 73
Vektoren und Matrizen
Beispiel 6.11: Konjugiert komplexe Matrix: j · §2j ¨ © 2 4j 1 2j ¹
Z1
Numerische und symbolische Auswertung: Eine konjugiert komplexe Matrix erzeugt man mit der Taste < " >. i · § 2 i ¨ © 2 4i 1 2i ¹
Z1
Z1 o
i § 2 i · ¨ ©2 4 i 1 2 i ¹
Z1 komplex o
i § 2 i · ¨ ©2 4 i 1 2 i ¹
Beispiel 6.12: Aufsummieren von Vektorelementen: T
a ( 1 6 2 10 9 8 6 0.5 2 7 )
Numerische und symbolische Auswertung:
¦a
¦ a o 29.5
29.5
ORIGIN 1
Das Summenzeichen 6v erhält man mit den Tasten <Strg>+<4> oder aus der Symbolleiste Matrix.
ORIGIN festlegen
10
¦
k
ak
29.5
die Summe über den Index gebildet
1
Beispiel 6.13: Vektorisieren eines Ausdrucks: Zwei quadratische Gleichungen x 2 + 2 x + 1 = 0 und -2 x2 + 2 x -1 = 0 sollen gelöst werden: a
§1 · ¨ © 2 ¹
b
§2 · ¨ ©2 ¹
c
o x1
b
2 a
§ 1 · x1 ¨ © 0.5 0.5i ¹
Koeffizienten der Gleichungen
o
2
b 4 a c
§1 · ¨ © 1 ¹
x2
b
2
b 4 a c 2 a
Vektorisieren mit den Tasten <Strg>+< - > oder mit dem Symbol aus der Symbolleiste Matrix. Entfernen des Vektorpfeils: Ausdruck unterhalb des Vektorpfeils mit Eingabecursor markieren und dann mit der Taste <Entf> entfernen. o
§ 1 · x2 ¨ © 0.5 0.5i ¹
Probe:
Seite 74
§ a x 2 b x c· 2 2 © ¹
§0 · ¨ ©0 ¹
Vektoren und Matrizen
Beispiel 6.14: Winkel zwischen zwei Vektoren:
§¨ 4 · u ¨ 5 ¸ ¨ 2 © ¹
§¨ 4 · v ¨ 3 ¸ ¨7 © ¹
cosBD
oo uv o o u v
D acos ( cosBD)
D
76.981 Grad
Achtung: Auf eine Speichervariable darf kein Vektorpfeil gesetzt werden! Zur Auswertung könnten aber sehr wohl Vektorpfeile verwendet werden. Beispiel 6.15: o S ·· ¨§ §¨ S 2 ¸¸ ¨¨ sin ¨¨ S S ¸¸
§ · ¨ © 0.866 0.707 ¹ 0
1
¨¨ ©© 3 4 ¹¹ §¨ x2 2 sin ( x) · ¸ ¨ 3 x 1 ¸ x ¨ A ( x) 2 ¸ ¨ ¨ x ¸ ¨ x 2 x 4 © ¹
o 4 16 § ·
§2 4 · ¨ ©6 5 ¹
¨ © 36 25 ¹
A ( 2)
§¨ 4 2 0.909 · ¨8 1 1 ¸ ¨ 2 4 0.5 © ¹
elementeweise Auswertung mit dem Vektorisierungsoperator
Matrixfunktion
Beispiel 6.16:
§ 1.2 · ¨ ¨ 0 ¸ ¨ 3.5 ¸ S ¨ ¸ ¨ 6.04 ¸ ¨ 0 ¸ ¨ © 5.1 ¹
¦
o ( S = 0)
2
Wie oft kommt die Zahl 0 im Vektor S vor ?
6.2.2 Vektor- und Matrixfunktionen Beispiel 6.17: Funktionswerte mit beliebigen Argumenten: T
x ( 1.2 0 2.4 4.7 10.5 )
vorgegebene x Werte
i 1 5
Bereichsvariable
2
f ( x) x 2 x 4
Funktion definieren
yi f xi
Funktionswerte berechnen und in einem Vektor speichern
§¨ 1.2 · ¨ 0 ¸ ¨ 2.4 ¸ x ¸ ¨ ¨ 4.7 ¸ ¨ 10.5 © ¹
§¨ 7.84 · ¨ 4 ¸ ¨ 4.96 ¸ y ¸ ¨ ¨ 16.69 ¸ ¨ 93.25 © ¹
f xi
7.84 4 4.96 16.69 93.25
Seite 75
Vektoren und Matrizen
Beispiel 6.18: Funktionswerte mit beliebigen Argumenten:
§¨ D · ¨E ¸ ¨J © ¹
T S S S 2 S 3 S 3 S § · M ¨0 S 2 S 3 4 2 © 4 3 2 ¹
i 1 9
Bereichsvariable
f ( x) sin ( x)
Funktion definieren
yi f M i
§¨ 45 · ¨ 60 ¸ Grad ¨ 90 © ¹
vorgegebene Winkel
Funktionswerte berechnen und in einem Vektor speichern
§¨ 0 · ¨ 0.707 ¸ ¨ 0.866 ¸ ¸ ¨ ¨ 1 ¸ ¨ 0.866 ¸ y ¸ ¨ ¨ 0.707 ¸ ¨ 0 ¸ ¸ ¨ ¨ 1 ¸ ¨ 0 © ¹
§¨ §¨ D · · f ¨¨ E ¸¸ ¨¨ J ©© ¹¹
§¨ 0.707 · ¨ 0.866 ¸ ¨ 1 © ¹
Beispiel 6.19: Verschiedene Funktionen, angewandt auf nachfolgende Vektoren und Matrizen:
§¨ 1 · ¨3 ¸ ¨9 ¸ a ¨ ¸ ¨ 2 ¸ ¨5 © ¹
§¨ 10 ¨ 1 ¨4 A ¨ ¨0 ¨8 ©
§¨ 2 · b ¨ 20 ¸ ¨ 40 © ¹
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
· 9 8 2 1 9 ¸ ¸ 7 2 5 1 5 ¸ 13 7 4 2 6 ¸ 3 4 5
2
6 3 2
5
6
7
B
§ 20 16 · ¨ © 14 13 ¹
Z
§ 2 2j 6 3j · ¨ © 4 0.2j 5 ¹
¹
Mit dem Zufallsgenerator erzeugte 5x5 Matrix mit ganzen Zahlen im Bereich 12 d Ci j d 12 : i 1 5
j 1 5
Bereichsvariablen
Ci j floor ( rnd ( 25 ) 12 )
§¨ 11 ¨ 1 ¨ 8 C ¨ ¨0 ¨ 10 ©
10 7 2
· 2 ¸ ¸ 2 ¸ 2 ¸ 3
2
9
3
1
6
3
6
3
8
6
4
5 5 ¹
C
1 2 3 4 5
1 11 -1 -8 0 10
2 10 2 1 6 6
Seite 76
3 -7 9 -6 3 4
4 -2 3 3 8 -5
5 3 2 2 2 -5
Ergebnisformat: Matrix bzw. Tabelle.
Vektoren und Matrizen
amax max ( a)
amax
9
amin min ( a)
amin
2
Amax max ( A)
Amax
Amin min ( A)
Amin
max ( 45 B 15 b) min ( 45 B 15 b)
maximaler- und minimaler-Wert eines Vektors bzw. einer Matrix 13 9
45
maximaler- und minimaler-Wert von Zahlen, Vektoren und Matrizen
2
az länge ( a)
az
id letzte ( a)
id
zeil zeilen ( A)
zeil
Anzahl der Elemente des Vektors
5
Index des letzten Elements des Vektors
5 5
Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix spa spalten ( A)
einheit ( 3)
spa
6
§¨ 1 0 0 · ¨0 1 0 ¸ ¨0 0 1 © ¹
Einheitsmatrix
¢k² e ( k n) einheit ( n)
e ( 2 3)
L geninv ( B)
LB
eigenvektoren ( B)
eigenwerte ( B)
Re ( Z)
§2 0 · ¨ ©4 5 ¹
as sort ( a)
§¨ 0 · ¨1 ¸ ¨0 © ¹
liefert einen Basisvektor der Länge n der an der k-ten Position eine 1 hat, sonst 0
§1 0 · ¨ ©0 1 ¹
linke inverse Matrix
§ 0.803 0.647 · ¨ © 0.596 0.763 ¹
Eigenvektoren einer Matrix
§ 31.87 · ¨ © 1.13 ¹
Eigenwerte einer Matrix
Im ( Z)
§ 2 18 · ¨ © 0.2 0 ¹
§¨ 2 · ¨1 ¸ ¨3 ¸ as ¨ ¸ ¨5 ¸ ¨9 © ¹
Realteile und Imaginärteile
Vektorelemente aufsteigend sortieren
Seite 77
Vektoren und Matrizen
as umkehren ( sort ( a) )
B
§ 20 16 · ¨ © 14 13 ¹
§¨ 9 · ¨5 ¸ ¨3 ¸ as ¨ ¸ ¨1 ¸ ¨ 2 © ¹
Vektorelemente absteigend sortieren
T
umkehren ( B)
§ 14 20 · ¨ © 13 16 ¹
Zeilen vertauschen und dann transponieren
Assp spsort ( A 1)
Asz zsort ( A 1)
sp ( B)
Asz
§¨ 2 ¨ 9 ¨7 ¨ ¨ 13 ¨5 ©
3 4 5
6
10 ·
8 2 1
9
1 ¸
7 4 2
6
¸ ¸ 0 ¸
6 3 2
7
8
2 5 1 5
4
Matrix nach der 1. Zeile sortieren
¹
33
§ § 20 16 · · © © 14 13 ¹ ¹
sp ¨ ¨
rg ( B)
Matrix nach der 1. Spalte sortieren
Spur der quadratischen Matrix B (Summe der Hauptdiagonalelemente) 33
2
§ § 20 16 · · © © 14 13 ¹ ¹
rg ¨ ¨
Rang der Matrix B (Anzahl der linear unabhängigen Zeilen bzw. Spalten) 2
U submatrix ( A 1 3 1 2)
§¨ 10 2 · U ¨ 1 9 ¸ ¨4 7 © ¹
Untermatrix mit Zeilen 1 bis 3 und Spalten 1 bis 2
Zeile ( M m) submatrix ( M m m 1 spalten ( M) ) Zeile ( B 1)
( 20 16 )
selbstdefinierte Zeilen- und Spaltenextrahierungsfunktion
Spalte ( M n) submatrix ( M 1 zeilen ( M) n n) Spalte ( B 2)
§ 16 · ¨ © 13 ¹ Seite 78
Vektoren und Matrizen
Weitere gegebene Matrizen und Matrixfunktionen:
§4 2 · A1 ¨ ©1 3 ¹
§3 5 · B1 ¨ ©4 6 ¹ §4 2 3 5 · ¨ ©1 3 4 6 ¹
erweitern ( A1 B1)
x · §1 f ( x) ¨ ¨© x2 sin ( x) ¹
Die Funktion erweitern(A,B) fügt zwei oder mehr Matrizen bzw. Matrixfunktionen gleicher Zeilenzahl zu einer Matrix zusammen.
erweitern ( A1 erweitern ( A1 B1) )
§4 2 4 2 3 5 · ¨ ©1 3 1 3 4 6 ¹
h ( x) erweitern ( f ( x) g ( x) )
2 §1 x x x · ¨ h ( x) o ¨ 2 3 4 © x sin ( x) x x ¹
stapeln ( A1 B1 )
§4 ¨ ¨1 ¨3 ¨ ©4
ª« §¨ 2 · »º stapeln «0 ¨ 20 ¸ 9» « ¨ 40 » ¬ © ¹ ¼
index ( x v)
h ( 2)
§1 2 2 4 · ¨ © 4 0.909 8 16 ¹
2· 3¸ 5¸ 6¹
§¨ 0 · ¨2 ¸ ¨ 20 ¸ ¨ ¸ ¨ 40 ¸ ¨ 9 © ¹
h ( x) stapeln ( f ( x) g ( x) )
§ 10 · ¨ ¨ 80 ¸ a ¨5 ¸ ¨ ©3 ¹
§ x x2 · ¨ g ( x) ¨ 3 4 ©x x ¹
i 1 letzte ( a)
Die Funktion stapeln(A,B) stapelt zwei oder mehr Matrizen bzw. Matrixfunktionen gleicher Spaltenzahl übereinander.
x · §1 ¨ 2 ¨ x sin ( x) ¸ h ( x) o ¨ ¸ 2 x ¸ ¨x ¨ 3 4 x ©x ¹ letzte ( a)
4
h ( 2)
§1 2 · ¨ ¨ 4 0.909 ¸ ¨2 4 ¸ ¨ © 8 16 ¹
Vektor und Bereichsvariable
¦ ª¬i vi = x º¼
selbstdefinierte index-Funktion mithilfe einer UND-Verknüpfung
3
das Element 3 besitzt den Wert 5
i
index ( 5 a)
index ( max ( a) a)
den größten Wert besitzt Element 2
2
istinvektor ( x v)
¦
istinvektor ( 3 a)
1
o ( v = x) ! 0
delbstdefinierte Prüffunktion, ob ein Element in einem Vektor enthalten ist Element 3 ist im Vektor a enthalten
Seite 79
Vektoren und Matrizen
i 1 15
Bereichsvariable
ai ceil ( rnd ( 4) )
Erzeugung von 2 Vektoren mithilfe des Zufallsgenerators "rnd"
bi ceil ( rnd ( 4) ) T
1
a
2
1
3
1
T
4
1
b
1
2 3
¦ G ai bi
4
5
1 3
1
1 4
3
6 3
5 1
7 3
6 1
8 2
7 4
9
10
2 8
3
1 9
2
11 3
10 2
12 4
11 3
13 4
12 3
14 2
13 3
15 1
14 1
4 15
1
4
Berechnet, wie oft in den Vektoren a und b zwei Elemente mit dem gleichen Index gleich sind (mithilfe des Kronecker Symbols G(m,n)).
5
i
Spalten- und zeilenweise Anordnung von Matrixelementen: ORIGIN 0 i 0 4
j 0 2
Bereichsvariablen
A1i j 10 ( i 1) j
A1
§¨ 10 ¨ 20 ¨ 30 ¨ ¨ 40 ¨ 50 ©
Erzeugen einer Matrix
11 12 · 21 22 ¸
¸ ¸ 41 42 ¸ 31 32
51 52 ¹
ze zeilen ( A1 )
ze
5
n ze sp
n
15
vsk A1
T
vs
0
vzk A1
T
vz
0
sp spalten ( A1 )
sp
Zeilen- und Spaltenanzahl
3
k 0 n 1
Bereichsvariable
§ k · mod( k sp) © sp ¹
floor¨
0 10
1 11
2 12
3 20
§k· © ze ¹
1 20
2 30
5 22
6 30
7 31
8 32
9 40
10 41
11 42
12 50
13 51
14 52
Bei größeren Vektoren erscheint nach dem Anklicken der Vektoren mit der Maus ein Rollbalken.
mod( k ze) floor¨
0 10
4 21
3 40
4 50
5 11
6 21
7 31
Seite 80
8 41
9 51
10 12
11 22
12 32
13 42
14 52
Vektoren und Matrizen
6.2.3 Verschachtelte Datenfelder Ein Feldelement muss nicht unbedingt eine skalare Größe, sondern jedes Feldelement kann selbst wieder ein Datenfeld sein. Die meisten Operatoren und Funktionen für Matrizen können dabei, weil sie auch keinen Sinn machen, nicht angewendet werden (erlaubt sind: transponieren; zeilen; spalten; länge; letzte; submatrix; erweitern; stapeln). Beispiel 6.20: Verschachtelte Datenfelder mithilfe von Bereichsvariablen erstellen: ORIGIN 1 i 1 3
j 1 3
Bereichsvariablen
f ( x) x
gegebene Funktion
A2i j einheit ( i)
Datenfeld
A2
§¨ {1,1} {1,1} {1,1} · ¨ {2,2} {2,2} {2,2} ¸ ¨ {3,3} {3,3} {3,3} © ¹
A3i f ( i) o 3
A21 1
(1 )
Datenfeld mit drei Vektoren
§1 0 · ¨ ©0 1 ¹
A22 2
A23 2
§¨ 1 0 0 · ¨0 1 0 ¸ ¨0 0 1 © ¹
Die vollständige Anzeige der verschachtelten Felder kann im Menü-Format-Ergebnis (oder Doppelklick auf die Matrix), im Registerblatt Anzeige-Optionen mit Geschachtelte Felder erweitern (Abb. 6.5) , aktiviert werden (nicht für beliebige Größen).
A2
T
A3
ª (1 ) « « §¨ 1 0 · « ©0 1 ¹ « «§¨ 1 0 0 · «¨ 0 1 0 ¸ «¨ ¬© 0 0 1 ¹
º » §1 0 · §1 0 · » ¨ ¨ ©0 1 ¹ ©0 1 ¹ » » §¨ 1 0 0 · §¨ 1 0 0 · » ¨0 1 0 ¸ ¨0 1 0 ¸» ¨0 0 1 ¨0 0 1 » © ¹ © ¹¼ (1 )
(1 )
(1 2 3 )
Abb. 6.5 Mithilfe einer Matrixeingabe: a
§2 · ¨ ©3 ¹
b
Elementweise Eingabe:
§4 · ¨ ©5 ¹
c1 ( 3 4 )
§a · X ¨ ¨© bT ¹ X
§ {2,1} · ¨ © {1,2} ¹
X1
§2 · ¨ ©3 ¹
X2
(4 5 )
Seite 81
c2 1
M
c1
M
( {1,2} 1 {2,1} )
M1 1
c2 d
(3 4 )
d
§ 10 · ¨ © 11 ¹
M1 2
1
M1 3
§ 10 · ¨ © 11 ¹
Funktionsdarstellungen
7. Funktionsdarstellungen In Mathcad sind bereits sehr viele Funktionen vordefiniert (Menü-Einfügen-Funktion oder <Strg>+<e> ) bzw. Funktionssymbol f(x) in der Standard Symbolleiste. Zahlreiche Diagramme können aus Menü-Einfügen-Diagramm oder aus Symbolleiste-RechnenDiagramm ausgewählt werden:
Abb. 7.1
7.1 X-Y Diagramm (Kartesisches Koordinatensystem) Ein X-Y-Diagramm wird mit den oben angezeigten Möglichkeiten (Abb 7.1) oder mit den Tasten
Die Achsengrenzen können nachträglich individuell direkt im Diagramm geändert werden. Objekte, wie Texte, Rechenbereiche und Grafiken können mit Drag & Drop auf eine Mathcad Grafik gezogen werden. Es können maximal 16 Funktionen auf zwei y-Achsen in einem Koordinatensystem gleichzeitig dargestellt werden. Verschiedene Bereichsvariablen und Funktionswerte werden durch Beistriche getrennt eingegeben. Abb. 7.2 Die Formatierung der Grafik erreicht man durch Öffnen des Formatierungsfensters:
Es gibt mehrere Möglichkeiten, das Formatierungsfenster zu öffnen: x x
Ein Doppelklick auf die Grafik. Ein Klick mit der rechten Maustaste auf die Grafik öffnet das links stehende Kontextmenü (Eigenschaften (Hintergrundfarbe, Rahmen setzen), Formatieren, Koordinaten ablesen und Zoomen).
Abb. 7.3
Seite 82
Funktionsdarstellungen
Eine andere Möglichkeit, das Diagramm zu formatieren: Menü-Format-Diagramm. In dem sich öffnenden Kontextmenü können auch Koordinaten der Grafik abgelesen werden. Ein Zoomen der Grafik ist ebenfalls möglich. Abb. 7.4 Das Formatierungsfenster bietet in den Registerblättern eine Reihe von Einstellungsmöglichkeiten, wie die nachfolgenden Abbildungen zeigen:
Abb. 7.5
Abb. 7.6
Seite 83
Funktionsdarstellungen
Für die Beschriftungen einer Grafik kann über Menü-FormatGleichung die Schriftart Mathematische Textschriftart geändert werden. Abb. 7.7
Abb. 7.8
Wie aus Abb. 7.3 und 7.4 ersichtlich ist, kann man die Grafik-Koordinaten ablesen oder einen Ausschnitt zoomen: Klick mit der rechten Maustaste auf die Grafik oder über das Menü-FormatDiagramm .
Abb. 7.9
Abb. 7.10
Seite 84
Funktionsdarstellungen
Beispiel 7.1: Offenes Polygon: T
x-Koordinaten für die Punkte
y (1 6 5 2 5 )
T
y-Koordinaten für die Punkte
P erweitern ( x y)
Vektor x und y zu einer Matrix zusammenfassen
x (1 2 3 4 5 )
0
P
1
0
1
1
1
2
6
2
3
5
3
4
2
4
5
5
Jede Zeile der Matrix P enthält die Koordinaten eines Punktes
n 0 4
Bereichsvariable für die Vektoren
i 0 4
Bereichsvariable für die Zeilen von P
k 0 1
Bereichsvariable für die Spalten von P 7
7
6
6
5
5
4
y
yn
3
4 3
2
2
1
1
0
0
1
2
3
4
5
0
6
0
1
2
x
3
4
5
xn
Spur 1
Spur 1
Abb. 7.11
Abb. 7.12
Die x-Achse bzw. y-Achse wird hier durch min(x)-1 und max(x)+1 bzw. min(y)-1 und max(y)+1 begrenzt. 7 6 5 Pi 1
Spur1: Symbol: Kreis Format: Linien
4 3 2 1 0
Abb. 7.13 0
1
2
3
4
5
6
Pi 0
Die x-Achse bzw. y-Achse wird hier durch 0 und 6 bzw. 0 und 7 begrenzt.
Seite 85
6
Funktionsdarstellungen
Beispiel 7.2: Darstellung eines Ortsvektors und eines komplexen Zeigers: x1 4 y1 3
x- und y-Koordinate für einen Punkt
z x1 j y1
Komplexer Zeiger in Komponentendarstellung
§0 · ¨y © 1¹
5
5
4
4
3
§ 0 · ¨ ©Im( z) ¹
2 1 0
3
Spur1: Symbol: + Format: Linien
2 1
0
1
2
3
4
0
5
§0 · ¨x © 1¹
0
1
2
3
4
5
· § ¨ ©Re( z) ¹ 0
Abb. 7.14
Abb. 7.15
Die x-Achse und die y-Achse wird hier durch 0 und 5 begrenzt. Beispiel 7.3: Punkt, waagrechte und senkrechte Linie:
x1
y1 ( 5 6 )
xw
0
x1 x1
ys
0
0 y1
xd
0
x1
T
yd
0
y1
T
Punkt festlegen
T
Koordinaten der Punkte für die waagrechte und senkrechte Linie
T
Koordinaten der Punkte (Ursprung und ein Punkt) für die Linie vom Ursprung zu einem Punkt
10 8 6 4 2
y1 ys 10 yd
8
6
4
2
2 4 6 8 10
Spur1: Symbol: Kreis Format: Punkte Spur2 und Spur3: Format: Linien 0
2
4
6
8
10
Achsenformat: Kreuz Die x-Achse und y-Achse wird hier durch -10 und 10 begrenzt. Abb. 7.16
x1 xw xd
Seite 86
Funktionsdarstellungen
Beispiel 7.4: Zufallserzeugte Bit-Sequenz: N 20
Länge der Bitsequenz
B rbinom ( N 1 0.5)
Bit Sequenz mit Zufallsgenerator rbinom erzeugen
T
0
B
0
1 0
2 0
3 1
i 0 N 1
4 0
5 1
6 1
7 1
8 0
9 0
10 0
12 1
13 1
14 0
1
Bereichsvariable für B
Spur1 und Spur2: Format: Fehl Spur3: Symbol: Kreis Format: Punkte
1
Bi 0
11 1
0.5
Achsenformat: Kasten
Bi
Die x-Achse bzw. y-Achse wird hier durch -1 und 19 bzw. -0.1 und 1.1 begrenzt.
0 0
5
10
15
20
i
Abb. 7.17
Beispiel 7.5: Bemerkung: Es können sogenannte Quick-Plots erzeugt werden, ohne den Definitionsbereich (Bereichsvariable) explizit angeben zu müssen. Z.B. Eingabe von: sin(x), cos(x), 1/2 x+1 bzw. 1/x, 1/x 2 (den blauen Eingabecorsor nicht verlassen) und Diagramm wählen. Es wird dann eine Grafik für diese Funktionen erzeugt (immer im Bereich von -10 bis +10). 2
5
sin( x)
1 x
cos ( x) 1 2
x 1
10
5
0
5
10
1 x
10
5
0
5
2
2
5 x
x
Abb. 7.18 Die y-Achse wird hier durch -2 und 2 begrenzt.
Abb. 7.19 Die y-Achse wird hier durch -5 und 5 begrenzt.
Seite 87
10
Funktionsdarstellungen
Beispiel 7.6 Funktion und Asymptoten (Quick-Plot): x
f ( x)
gegebene Funktion (Pol an der Stelle x = -1 mit Asymptotengleichung x = -1 und einer weiteren Asymptote bei y = 1
1 x
xmin 4
xmax 4
ymin 10
Bereiche der x- und y-Achsen
ymax 10
§¨ xmin · ¨x © max ¹
x_Asy
§¨ ymin · y_Asy ¨y © max ¹
y_Asy
x_Asy
§ 4 · ¨ ©4 ¹ Bereiche der Asymptoten in Vektorform
§ 10 · ¨ © 10 ¹
k 0 1
Bereichsvariable
10 8
Spur1,Spur2 und Spur3: Format: Linien
6 4
f( x)
Achsenformat: Kreuz
2 y_Asyk
4
2
2
1
0
2
4
4
Die x-Achse bzw. y-Achse wird hier durch xmin und x max bzw. ymin und y max begrenzt
6 8
Abb. 7.20
10 x 1 x_Asyk
Beispiel 7.7: Explizite Funktionsdarstellung: 2
2
f ( x) x fu ( x)
f1 ( x c ) x c
Umkehrfunktion
x
a 0
linkes und rechtes Intervallende von [a,b]
b 2
n 50 'x
Funktionsdefinition ohne und mit Parameter c
Anzahl der Intervallschritte
ba
Schrittweite
n
x a a 'x b
c 0 5
Bereichsvariable für x und den Parameter c
Seite 88
Funktionsdarstellungen
Parabel und Wurzelfunktion
y-Achse
4
f( x)
2
0
f1( x c)
0
0.5
1
1.5
Format: Punkte wählen
5 4 3 2 1 1 0 2 3 4 5
2
x x-Achse
0.5
1
1.5
2
x
Quadratische Funktion
Abb. 7.21
Abb. 7.22
Beispiel 7.8: Angewandte Funktionen mit Einheiten: Senkrechter Wurf nach oben ohne Luftwiderstand. m v0 30 s g 2 s 1 ( t) v0 t t 2 ts
v0
Anfangsgeschwindigkeit g
m s
ts
g
9.807
2
3.059 s
Funktionsdefinition (g ist in Mathcad bereits vordefiniert)
Steigzeit
2
s max
v0
2 g
s max
45.887 m
Maximale Steighöhe
t1 0 s
Anfangszeitpunkt
t2 2 ts
Endzeitpunkt
n 100
Anzahl der Schritte
't
t2 t1 n
t t1 t 1 't t 2
Schrittweite Bereichsvariable für die Zeit Die Grafik wird wie oben beschrieben erzeugt und formatiert. Die Gleichungen werden durch Division der Einheiten einheitenfrei gemacht. Dies ist insbesondere bei der Darstellung von mehreren Funktionen mit verschiedenen Einheiten in einem Koordinatensystem notwendig ! Es können bis zu 16 Funktionen in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Abb. 7.23
Seite 89
Funktionsdarstellungen
Beispiel 7.9: Flächenfüllungen am Beispiel einer Normalverteilung: n 30000 P 10
Anzahl der Punkte, die eine Region füllen sollen V 3
x0 P 4
Mittelwert und Standardabweichung
Begrenzungsstellen der kritischen Region
x1 P 4 Rx0 "L"
Richtung von x0 bzw. x1, welche die Region beschreibt (R für Rechts von x 0 bzw. x1 , L für Links von x0 bzw. x1 ), die
Rx1 "R"
ausgefüllt werden soll.
xmin qnorm ( 0.00001 P V )
xmin
2.795
xmax qnorm ( 0.99999 P V )
xmax
f ( x) dnorm ( x P V )
Normalverteilung (nach Gauß)
i 0 n 1
Bereichsvariable
Bereich für die Verteilungsfunktion
22.795
X wenn Rx0 = "R" runif n x0 xmax runif n xmin x0
X1 wenn Rx1 = "R" runif n x1 xmax runif n xmin x1
Yi rnd f Xi
bzw. x1 ausgefüllt werden soll.
Y-Zufallswerte bzw. Y1-Zufallswerte (erzeugt mit rnd) für die zu füllende Region
Y1i rnd f X1i
Gleichverteilte X-Zufallswerte bzw. X1-Zufallswerte (erzeugt mit runif) mit Auswahl, ob links oder rechts von x0
x floor xmin floor xmin 0.1 ceil xmax
Bereichsvariable für die Verteilungsfunktion
Abb. 7.24
Seite 90
Funktionsdarstellungen
§¨ x0 · ¨x © 0¹
§6 · ¨ ©6 ¹
§ 0 · ¨f x © 0 ¹ 0 §¨ x1 · ¨x © 1¹
0
§ 14 · ¨ © 14 ¹
§ 0 · ¨f x © 1 ¹ 0
0
Rx0 "R"
§ 0 · ¨f x © 0 ¹
§ 0 · ¨ © 0.055 ¹
§ 0 · ¨f x © 0 ¹ 1
0.055
§ 0 · ¨f x © 1 ¹
§ 0 · ¨ © 0.055 ¹
§ 0 · ¨f x © 1 ¹ 1
0.055
Begrenzungspunkte für die Senkrechte Gerade bei x 0
Begrenzungspunkte für die Senkrechte Gerade bei x 1
Richtung von x0 ,welche die Region beschreibt (R für Rechts von x 0 ), die ausgefüllt werden soll.
X wenn Rx0 = "R" runif n x0 xmax runif n xmin x0
Yi rnd f Xi
Gleichverteilte X-Zufallswerte (erzeugt mit runif) mit Auswahl, ob links oder rechts von x0 ausgefüllt werden soll.
Y-Zufallswerte (erzeugt mit rnd) für die zu füllende Region
Abb. 7.25
Der oben in den Grafiken angegebene Korrekturfaktor 0.02 dient einzig und alleine dafür, um keine Punkte auf die senkrechte Linie zu zeichnen. Um eine Fläche wie in Abb. 7.25 zwischen x-Achse und einer Kurve zu füllen, könnte man einfacher auch wie folgt vorgehen: 1. Anlegen einer eigenen Bereichsvariable mit Startwert x 0 ; 2. Die Funktion f(x) wird nochmals in Abhängigkeit von dieser Bereichsvariable im Diagramm dargestellt; 3. Im Formatierungsfenster wird dann im Registerblatt-Spuren das Format auf "Säule" oder "Gefüllt" gestellt.
Seite 91
Funktionsdarstellungen
Beispiel 7.10 Parameterdarstellung eines Kreises: M1 0
linkes Intervallende für den Parameter
M2 2 S
rechtes Intervallende für den Parameter
n 300
Anzahl der Schritte
'M
M2 M1
Schrittweite
n
M M 1 M 1 'M M 2
Bereichsvariable für den Parameter M
r 4
Gewählter Kreisradius
x ( M ) r cos ( M )
Parametergleichungen eines speziellen Kreises in Hauptlage
y ( M ) r sin ( M )
5
y( M )
5
0
5
Die Grafik wird wie oben beschrieben erzeugt und formatiert. Abb. 7.26
5 x( M )
Beispiel 7.11 Parameterdarstellung einer Lissajous-Figur: t1 0
linkes Intervallende für den Parameter
t2 2 S
rechtes Intervallende für den Parameter
n 500
Anzahl der Schritte
Lw( a b n)
hm
ba n
for i 0 n xi m a i h
Dieses Unterprogramm erzeugt eine Bereichsvariable in Vektorform (erstellt mithilfe der Programmierung-Symbolleiste).
x
t Lw t 1 t 2 n
Bereichsvariable in Vektorform umwandeln
Seite 92
Funktionsdarstellungen
x ( t ) cos ( 3 t ) Parametergleichungen einer Funktion (Lissajous-Figur) y ( t ) sin ( 2 t )
§ cos ( 3 t) · ¨ © sin ( 2 t) ¹
X ( t)
Darstellung der Funktion als Vektorfunktion
1
y( t)
1
X( t) 1
0
1
1
0.5
0
0.5
0
1
1
1
0.5
0
0.5
1
X( t) 0
x( t)
Abb. 7.27
Abb. 7.28
Diese Grafiken werden wie oben beschrieben erzeugt und formatiert. Beispiel 7.12: Darstellung von Vektordaten: 3
f ( x) x
Funktionsdefinition
a 0
linkes Intervallende
b 10
rechtes Intervallende
n 20
i 0 n
Anzahl der Schritte und Bereichsvariable für die Vektorindizes
b a
h
Schrittweite (Abstand zwischen den Argumentwerten)
n
xi a i h
Vektor der Argumentwerte
yi f xi
Vektor der Funktionswerte
1000
y
1000
Spur1: Symbol: Kreise Format: Linie
500
0
0
5
y
0
10
Spur1: Format: Punkte
500
0
5
x
x
Abb. 7.29
Abb. 7.30
Seite 93
10
Funktionsdarstellungen
Beispiel 7.13: Reguläres Polygon mit n Seiten: n 8
Seitenanzahl
k 0 n
Bereichsvariable
§ 2Skj · ¨ n x1 k Re © e ¹
§ 2Skj · ¨ n y1k Im © e ¹
Eckpunkte (Koordinaten aus Real- und Imaginärteil)
Regelmäßiges Vieleck
T
T
P stapeln x1 y1
1
y1 1
0.5
0
0.5
1
T
P
1 x1 Spur 1
§¨ 1 ¨ 0.707 ¨ 0 ¨ ¨ 0.707 ¨ 1 ¨ ¨ 0.707 ¨ 0 ¨ ¨ 0.707 ¨ 1 ©
· 0.707 ¸ ¸ 1 ¸ 0.707 ¸ ¸ 0 ¸ 0.707 ¸ ¸ 1 ¸ 0.707 ¸ 0
0
¹
Koordinaten der Eckpunkte
Abb. 7.31
7.2 Logarithmisches Koordinatensystem Beispiel 7.14: Doppelt-logarithmisches Papier oder Potenzpapier: f ( x) 2
x
Funktionsdefinition
a 0.1
linkes Intervallende
b 1000
rechtes Intervallende
n 200
Anzahl der Schritte
'x
ba n
x a a 'x b
Schrittweite Bereichsvariable x
Punkte in logarithmischen Abständen können mit der Funktion logspace(min, max, Punkteanzahl) erzeugt werden. Siehe dazu auch die Funktion logpts(minexponent,dekade,PunkteproDekade) .
Seite 94
Funktionsdarstellungen
100
Die Grafik wird wie oben beschrieben erzeugt und formatiert.
10
Die x - Achse und die y - Achse werden logarithmiert, die
f( x) 1
Potenzfunktion y = a * x n wird zur Graden. 0.1 0.1
1
10
1 10
3
100
Abb. 7.32
x
Beispiel 7.15: Spannungsübertagungsfunktion des Bandpasses (Wiengliedes): Es soll der Amplitudengang, der Phasengang und die Ortskurve (Nyquist) dargestellt werden. Angenommene Werte für die Kapazität C =1 PF und dem Widerstand R = 1 k: C 1
R 1
Abb. 7.33 Parallelschaltung von R und C (nach Z2 auflösen):
Serienschaltung von R und C : Z1 = R
G(Z ) =
1
1
jZC
Z2
Ua
=
Ue
Z2
1 R
1
hat als Lösung(en)
1
Z2 ersetzen Z2 =
1 i Z C R
j ZC
1 jZC o
R
1 j Z C R
Z 2
3 Z i Z i
Symbolische Auswertung (aus j wird i, auch wenn im Ergebnisformat-Fenster für die imaginäre Einheit j gewählt wurde !)
vereinfachen
§
·
Z
RE ( Z R C) Re ¨
2
© 3 Z i Z i¹
§
Z
IM ( Z R C) Im ¨
·
2 © 3 Z i Z i¹
A ( Z R C)
R
Spannungsübertragungsfunktion
Z1 Z2
ersetzen Z1 = R Z1 Z2
=
Z 2
Realteil und Imaginärteil als Funktion mit drei Parametern definiert
Amplitudengang
3 Z i Z i
Seite 95
Funktionsdarstellungen
1 2 · § Z vereinfachen o ¨ 2 ¨ 7 Z2 Z4 1 3 Z i Z i © ¹
Z
§
·
Z
M ( Z R C) arg ¨
2
Betrag von G(Z) symbolisch ausgewertet
S arg ( z ) d S
Phasengang
2
© 3 Z i Z i¹
2 2 ª º Z Z Z 1 § · « » arg ¨ komplex o atan2 3 Z 2 2 2» « 2 2 2 2 © 3 Z i Z i¹ 9 Z Z 1 ¼ ¬ 9 Z Z 1
Hinweise: Die Funktion "atan2" steht zu den Funktionen "atan" und "arg" wie folgt in Beziehung: atan2(x,y) = atan(y/x) ("atan=arctan" gibt nur Werte zwischen - S/2 und S/2 zurück!) atan2(x,y) = arg(x + j y). Die zurückgegebenen Werte liegen stets zwischen S< M d S. Wird ein positives Ergebnis zurückgegeben, wird der Winkel von der x-Achse aus entgegen dem Uhrzeigersinn gemessen. Wird ein negatives Ergebnis zurückgegeben, wird der Winkel von der x-Achse aus im Uhrzeigersinn gemessen. x und y müssen reell sein. Der Amplituden- und der Phasengang wird halblogarithmisch mit der Variablen Z dargestellt: N 4
Anzahl der Dekaden
Z min 10
N
Z max 10
N
Frequenzbereich
n 40 N
Anzahl der Schritte
ln Z max ln Z min
'Z
Schrittweite
n
k 1 n
Anzahl der Vektorkomponenten k'Z
Bereichsvariable der Z-Werte (Vektorkomponenten) Oder mit: Z := logspace(Zmin,Zmax,40 N)
Z k Zmin e
Amplitudengang
0.4
1 3
Die Grafik wird wie oben beschrieben erzeugt und formatiert.
0.3
A Zk R C
0.2
Die x - Achse wird logarithmiert, die Potenzfunktion A = f(Z) wird geglättet.
0.1 0 4 3 1 10 1 10
0.01
0.1
1 Zk
10
Seite 96
100
1 10
3
1 10
4
Abb. 7.34
Funktionsdarstellungen S
Phasengang
2
2
Die Grafik wird wie oben beschrieben erzeugt und formatiert.
1
M Zk R C
Die x - Achse wird logarithmiert, die arctan-Funktion M = f(Z) wird geglättet.
0 S 1
2
2 4 3 1 10 1 10
k1 0 1
0.01
0.1
1 Zk
10
100 1 10
3
1 10
Abb. 7.35
0.4
Die Grafik wird wie oben beschrieben erzeugt und formatiert. Die komplexen Zeiger liegen auf einem Kreis.
4
Bereichsvariable Nyquist-Ortskurve
0.2
0.1
IM Z k R C
0 § · ¨ IM Z R C ¹ k1 © 75
0
0.1
0.2
0.3
0.1
Abb. 7.36
0.2
§
RE Z k R C ¨
0
©RE Z 75 R C
·
¹ k1
7.3 Ebenes Polarkoordinatensystem Ein Kreisdiagramm wird mit den oben angezeigten Möglichkeiten oder mit den Tasten <Strg> + <7> erzeugt.
Die Formatierung der Grafik erreicht man auch hier in analoger Weise wie oben beschrieben. Ein Koordinatenablesen und das Zoomen von Funktionsteilen ist ebenso möglich.
Abb. 7.37
Seite 97
Funktionsdarstellungen
Beispiel 7.16: Bemerkung: Es können auch hier sogenannte Quick-Plots erzeugt werden, ohne den Definitionsbereich (Bereichsvariable) explizit angeben zu müssen. Polarkoordinatendarstellung eines Kreises: r(T ) 5
Kreis mit Radius 5 90 6 5 4 3 2 1 0
120 150 r( T )
180
Direkte Eingabe der Kreisgleichung r(t) = 2 sin(t) 90 60
120 30
0
210
0.5 180
300
0
300 270 t
Abb. 7.38
Abb. 7.39
Beispiel 7.17: Polarkoordinatendarstellung einer Lemniskate: Redefinition von M
r(M )
4 cos ( 2 M )
x ( M ) r ( M ) cos ( M ) y ( M ) r ( M ) sin ( M )
Funktionsdefinition für eine Lemniskate in Polarkoordinatenform bei gegebener Polarform lassen sich immer zwei Parametergleichungen in nebenstehender Form angeben
M1 0
linkes Intervallende für den Polarwinkel
M2 2 S
rechtes Intervallende für den Polarwinkel
n 10000
Anzahl der darzustellenden Bildpunkte
'M
M2 M1 n
Schrittweite
§ 0 · ¨ ¨ S ¸ § D0 · ¸ ¨ ¨ 1 ¨ D1 ¸ ¨ 3S ¸ ¸ ¨D ¸ ¨ ¨ 2 ¸ d x( M ) = 0 auflösen M o ¨ 1 S ¸ ¸ ¨ D 3 ¸ dM ¨ 3 ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ D4 ¸ ¨ 2S ¸ ¸ ¨ ¨ 3 © D5 ¹ ¨ 2 ¸ ¨ S © 3 ¹
0
330 240
270 T
M M
30
1
210
330 240
1.5
150 2sin( t)
60
Winkel für die vertikalen Tangenten der Lemniskate in Polarform
Seite 98
Funktionsdarstellungen
§ 1S · ¨ ¨ 2 ¸ ¨ 1 ¸ § E0 · ¨ 2 S¸ ¨ ¨ ¸ ¨ E1 ¸ 1 ¨ ¸ ¨E ¸ S ¨ ¸ 6 2 ¨ ¸ d y ( M ) = 0 auflösen M o ¨ ¸ ¨ E 3 ¸ dM 5 ¨ S ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 6 ¨ E4 ¸ ¨ ¸ 1 ¨ ¨ ¸ E S © 5¹ ¨ 6 ¸ ¨ 5 ¸ ¨ S © 6 ¹
Winkel für die horizontalen Tangenten der Kardioide in Polarform
k 0 5
Bereichsvariable für die errechneten Winkel
M M 1 M 1 'M M 2
Bereichsvariable für den Polarwinkel
Lemniskate-Polarform 90 3
120
r E k
2
150
r( M )
60
30
1
r Dk
180
0
Die Grafiken werden wie oben beschrieben erzeugt und formatiert.
0
210
Abb. 7.40
330
240
300 270 M D k E k
Lemniskate-Parameterform
1 0.5 y( M )
0
Abb. 7.41
0.5 1
2
1
0
1
x( M )
Seite 99
2
Funktionsdarstellungen
Beispiel 7.18: Polarkoordinatendarstellung einer Kardioide: f ( t) 1 cos ( t )
Funktionsdefinition für eine Kardioide in Polarkoordinatenform
x = f ( t) cos ( t)
Bei gegebener Polarform lassen sich immer zwei Parametergleichungen in nebenstehender Form angeben!
y = f ( t) sin ( t ) j t
Bei gegebener Polarform kann auch eine komplexe Darstellung gewählt werden!
Z ( f t) f ( t) e
§ f ( t) cos ( t) · ¨ © f ( t) sin ( t) ¹
X ( f t)
Darstellung der Funktion als Vektorfunktion
t1 0
linkes Intervallende für den Polarwinkel
t2 2 S
rechtes Intervallende für den Polarwinkel
n 200
Anzahl der darzustellenden Bildpunkte
Lw( a b n)
hm
ba
Dieses Unterprogramm erzeugt eine Bereichsvariable in for i 0 n Vektorform (erstellt mithilfe der xi m a i h Programmierung-Symbolleiste). n
x
t Lw t 1 t 2 n
Bereichsvariable in Vektorform
k 0 n
Bereichsvariable Polarkoordinatendarstellung 120
90 2
Parameterdarstellung 2
60
1.5 150 f( t)
1
30
1
0.5 180
X f tk 1
0
0
210
2
1
0 1
330 240
300 2
270 t
X f tk 0
Abb. 7.42
Abb. 7.43
Die Grafiken werden wie oben beschrieben erzeugt und formatiert.
Seite 100
1
Funktionsdarstellungen
Abb. 7.44
Abb. 7.45
Spur1: Format-Balken 7.4 X-Y-Z Diagramm (Räumliches kartesisches Koordinatensystem) Ein 3D-Diagramm wird mit den oben angezeigten Möglichkeiten oder mit den Tasten <Strg> + <2> erzeugt.
Zusätzlich steht auch noch ein 3D-Diagrammassistent zur Verfügung (Menü-Einfügen-Diagramm). Vergrößern und verkleinern kann man das Diagramm, wenn man zuerst auf das Diagramm klickt und an den vorgesehenen schwarzen Randquadraten das Diagramm mit der Maus anfasst und zieht. Mit gedrückter linker Maustaste kann mit dem Mauszeiger das Diagramm beliebig perspektivisch gedreht werden. Mit gedrückt gehaltener Strg-Taste und linker Maustaste kann mit dem Mauszeiger das Diagramm beliebig vergrößert oder verkleinert werden.
Abb. 7.46
Hält man die Shift-Taste gedrückt, so kann durch Ziehen mit der linken Maustaste über das Diagramm und anschließendes loslassen der Maustaste das Diagramm in ständige Rotation gebracht werden.
Zur Darstellung einer Fläche oder Raumkurve müssen in Mathcad Matrizen bzw. Vektoren erzeugt werden. Bei mehreren 3D-Diagrammen in einem Koordinatensystem müssen die Matrizen bzw. Vektoren in Klammer gesetzt und durch einen Beistrich getrennt werden.
Seite 101
Funktionsdarstellungen Beispiel 7.19: Hyperbolisches Paraboloid (Sattelfläche): Funktion z = f(x, y) = x2 - y2 in kartesischen Koordinaten (explizite Form). ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
2
2
f ( x y) x y
skalarwertige Funktionsdefinition
n 10
Anzahl der Gitternetzlinien je Achse
i 0 n 1
j 0 n 1
Bereichsvariable i und j
xi 1 0.2 i
y j 1 0.2 j
x- und y-Werte als Vektor definiert
Zi j f xi y j
Matrix der Funktionswerte in den Gitterpunkten
Abb. 7.47
Die Formatierung der Grafik erreicht man durch Öffnen des 3D-Diagrammformatfensters: Ein Doppelklick auf die Grafik, oder ein Klick mit der rechten Maustaste auf die Grafik (Formatieren u.a.m.), bzw. über das Menü-Format-Diagramm.
Klickt man mit der rechten Maustaste auf den unteren Rand des Diagramms, so können aus dem sich öffnenden Kontextmenü die Eigenschaften gewählt werden (z.B. Hintergrundfarbe).
Abb. 7.48
Abb. 7.49
Seite 102
Funktionsdarstellungen
Abb. 7.50
Abb. 7.51
Abb. 7.52
Seite 103
Funktionsdarstellungen
Abb. 7.53
Abb. 7.54
Abb. 7.55
Seite 104
Funktionsdarstellungen
Abb. 7.56
Abb. 7.57
Drahtmodell
Allgemein: Flächendiagramm Darstellung: Drahtmodell Volltonfarbe (rot)
Abb. 7.58
Z
Seite 105
Funktionsdarstellungen
Umrissdiagramm Umrissdiagramm mit beschrifteten Niveaulinien (Höhenschichlinien): Die Grafik wird wie oben beschrieben erzeugt und formatiert. Allgemein: Umrissdiagramm Darstellung: Keine Füllung Umrisslinien Volltonfarbe (rot) Spezial: Linien zeichnen Autom. Umrisse Nummeriert Abb. 7.59 Z
Umrissdiagramm Darstellung: Umrisse füllen Umrisslinien Volltonfarbe (rot) Spezial: Füllen Linien zeichnen Autom. Umrisse
Abb. 7.60 Z Bemerkung: Jedes 3D-Diagramm kann mithilfe der Option Darstellungsart (3D-Diagrammformat) in ein anderes 3D-Diagramm umgewandelt werden (Diagrammtyp anwählen und auf Übernehmen oder OK klicken). Säulendiagramm:
Säulendiagramm
Die Grafik wird wie oben beschrieben erzeugt und formatiert. Allgemein: Säulendiagramm Rahmen anzeigen 3D-Rahmen Darstellung: Säulen füllen Gouraud Schattierung Farbschema Drahtsäulen Volltonfarbe (schwarz) Spezial: Matrix Abb. 7.61
Z
Seite 106
Funktionsdarstellungen
Beispiel 7.20: 3D-Streuungsdiagramm: In Streuungsdiagrammen werden, im Gegensatz zu anderen Flächendiagrammen, die Koordinaten (x,y,z) eines Punktes getrennt in einem Vektor gespeichert ! i 0 2 40
Bereichsvariable
x1 i i sin ( i)
y1i cos ( i)
z1i x1 i y1i
x1, y1 und z1-Werte als Vektor definiert (Parametrisierte Punkte im Raum)
Abb. 7.62
Beispiel 7.21: Vektorfelddiagramm: Jedem Punkt in der X-Y-Ebene wird ein zweidimensionaler Vektor zugewiesen. n 8
i 0 n 1 2
f ( z) z
k 0 n 1
1
Funktion
2
§ ©
ai 0.1 ¨ i
Bereichsvariablen
n·
§ ©
bk 0.1 ¨ k
2¹
X2i k Re f Z2i k
n· 2¹
Y2i k Im f Z2i k
Z2i k ai j bk
Vektoren a und b bzw. komplexe Matrix Z2
Datenfelder X2 und Y2
Die Grafik wird wie oben beschrieben erzeugt und formatiert. Allgemein: Vektorfelddiagramm Darstellung: Füllungsoption (Pfeile füllen, Volltonfarbe (schwarz)) Linienoption(keine Linien)
Abb. 7.63
Seite 107
Funktionsdarstellungen
Beispiel 7.22: Bemerkung: Es können auch 3D-Quick-Plots in kartesischen Koordinaten erzeugt werden, ohne den Definitionsbereich (Bereichsvariable) explizit angeben zu müssen. M ( x y) sin ( x) cos ( y)
skalarwertige Funktionsdefinition
Die Quickplot-Daten (Bereich der x- und y-Achse und das Koordinatensystem) sind im Registerblatt QuickPlot-Daten einzugeben bzw. auszuwählen (siehe Abb. 7.66).
Abb. 7.64
Abb. 7.65
Beispiel 7.23: P-V-T Diagrammm (Qick-Plot): R 8.314 p ( V T)
J mol K n R T V
n 1mol
Gaskonstante und Stoffmenge
Allgemeines Gasgesetz (ideale Gase)
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Funktionsdarstellungen
p-V-T Diagramm Die Quickplot-Daten (Bereich der x- und y-Achse und das Koordinatensystem) sind im Registerblatt QuickPlot-Daten einzugeben bzw. auszuwählen. Bereich1: Beginn 1; Ende 2 Bereich2: Beginn 100; Ende 500 Schrittweite: 5 Koordinatensystem: Kartesisch
Abb. 7.66 p
Beispiel 7.24: Darstellung einer Ebene, von der die z-Werte einiger Punkte in einer Matrix Z gespeichert werden. ORIGIN 0 Z
ORIGIN festlegen
§0 1 2 · ¨ ©3 4 5 ¹
zeilen ( Z)
2
gegebene Matrix mit den z-Werten von 6 Punkten
spalten ( Z)
3
Anzahl der Zeilen und Spalten
Die x-Achse reicht von 0 bis 1, weil die Z-Matrix zwei Zeilen besitzt (ORIGIN = 0 also Index 0 und 1). Die y-Achse reicht von 0 bis 2, weil die Z-Matrix 3 Spalten besitzt (Index 0, 1, 2). Der Punkt mit z = 0 wird für x = 0 und y = 0 gezeichnet, weil z = 0 in der Zeile 0 und Spalte 0 der Matrix Z liegt. Der Punkt mit z = 5 wird für x = 1 und y = 2 gezeichnet, weil z = 5 in der 1. Zeile und 2. Spalte liegt. Analoges gilt für die anderen Punkte.
Abb. 7.67 Z
Seite 109
Funktionsdarstellungen
i 0 zeilen ( Z) 1
j 0 spalten ( Z) 1
x1 10 i i j
x1
§0 0 0 · ¨ © 10 10 10 ¹
x-Vektor (Zeilen von 0 bis 10)
y1 10 j i j
y1
§ 0 10 20 · ¨ © 0 10 20 ¹
y-Vektor (Spalten von 0 bis 20)
Bereichsvariablen
x1 y1 Z
x1 y1 Z Abb. 7.68
Abb. 7.69
Eine einzelne Fläche (die Matrizen in Klammer gesetzt).
Drei verschiedene Flächen (keine Klammer gesetzt).
Beispiel 7.25: ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
2
2
f ( x y) 500 x y i 30
j 30
Z matrix ( i j f)
skalarwertige Funktionsdefinition obere Begrenzungen für die x-Achse bzw. y-Achse Matrix der Funktionswerte (erzeugt mit der Funktion matrix(i,j,f))
Abb. 7.70
Seite 110
Funktionsdarstellungen
7.5 Flächen in Parameterform Beispiel 7.26: Bemerkung: Es können auch 3D-Quick-Plots in Parameterform erzeugt werden, ohne den Definitionsbereich (Bereichsvariable) explizit angeben zu müssen. 0dM dS
Kugel und Würfel:
0 d T d 2 S
X ( M T ) sin ( M ) cos ( T ) Y ( M T ) sin ( M ) sin ( T )
Parametergleichungen der Kugel mit Radius 1 (Kugelkoordinaten)
Z ( M T ) cos ( M )
Abb. 7.71 Die Quickplot-Daten (Bereich der beiden Winkeln und das Koordinatensystem) sind im Registerblatt QuickPlot-Daten einzugeben bzw. auszuwählen (siehe Abb. 7.66).
Mit der Funktion Polyeder können bis zu 180 verschiedene 3D-Abbildungen erzeugt werden.
Beispiel 7.27: Spiralfeder und Zylinder: ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
m1 120
n 60
R 6
r 0.5
i 0 m1 1
j 0 n 1
Indexlaufbereiche für die Spiralfeder Spiralfederradien
x ( u v) ( R r sin ( v) ) cos ( u) y ( u v) ( R r sin ( v) ) sin ( u) z ( u v) r cos ( v) ui 13 S
i m1 1
XSi j x ui v j n1 40
4 S
Parametergleichungen für die Spiralfeder
u vj 2 S
YSi j y ui v j
i 0 n1 1
j
Parameterlaufbereiche (Vektoren)
n1
ZSi j z ui v j
j 0 n1 1
XS, YS und ZS müssen für die Parametergleichungen als Matrizen definiert werden Indexlaufbereiche für den Zylinder
Seite 111
Funktionsdarstellungen
R1 8 Mi 2 S
Radius des Zylinders i n1 1
z j 50
Parameterlaufbereiche für den Winkel M und für die z-Komponente (Vektoren)
j n1 1
XZi j R1 cos M i
XZ, YZ und ZZ müssen für die Zylinderkoordinaten als Matrizen definiert werden
YZi j R1 sin M i ZZi j z j
Abb. 7.72
Bei mehreren Flächendiagrammen werden die in Klammer gesetzten Matrizen durch einen Beistrich getrennt.
7.6 Animation Bei Animationen kann ein Parameter FRAME in ganzzahligen Schritten von einem Minimalwert bis zu einem Maximalwert variiert werden.
Seite 112
Funktionsdarstellungen
Beispiel 7.28: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Wurf nach unten): m v0 30 s
Anfangsgeschwindigkeit
g 2 s1 ( t ) v0 t t 2
Weg-Zeit Gesetz
t t
Redefinition für die symbolische Auswertung
v( t)
d
v ( t ) o 30
s1 ( t )
dt
m
g t
s
Geschwindigkeit-Zeit Gesetz
s t t1 t s1 t 1 v t1 t t1
Tangentengleichung an der Stelle t 1
t 0 s 0.01 s 10 s
Bereichsvariable t für s und v
t1 3 s
FRAME 5
s
FRAME: 0 bis 25 mit 2 Bildern/s
tt t 1 2 s t 1 1.99 s t 1 2 s
c t2 st t1 t1 1 s
t2 t1 1 s t1 t1
k c t 1 c t1 1 m s t t 1 t1 k1 0
m s
1
m s
v t1
Bereichsvariable t t für die Tangente Untere Kathete des Steigungsdreiecks (Länge 1) Zweite Kathete des Steigungsdreiecks (ist gleich der Steigung der Tangente) Funktionswert an der v(t) Kurve
Abb. 7.73
Seite 113
Funktionsdarstellungen
Erstellen einer Animation: 1. Menü-Extras-Animation-Aufzeichnen wählen.
Abb. 7.74
2. Minimal- und Maximalwert für FRAME eingeben. 3. Mit Bildern/s die Anzahl der Bilder pro Sekunde festlegen. 4. Mit dem Mauszeiger ein Markierungsrechteck um die Animationsgrafik ziehen. 5. Auf die Schaltfläche "Animieren" klicken. Nach der Erstellung der Animation öffnet sich der Mathcad Video-Player.
Abb. 7.75
Seite 114
Funktionsdarstellungen
6. Um die Animation ablaufen zu lassen, klickt man auf auf den PLAY-Knopf (siehe Abbildung rechts). 7. Um Änderungen an der Animation vorzunehmen, klickt man im auf den Menü-Knopf (siehe Abbildung rechts). In diesem Kontextmenü sind folgende Einstellungen möglich: Einstellung der Fenstergröße; Einstellung der Ablaufgeschwindigkeit der Animation; Öffnen einer Animationsdatei vom Typ AVI; Schließen der Animation; Kopieren der Animation in die Zwischenablage; Konfigurationseinstellungen; MCI-Kommando ausführen. Abb. 7.76
8. Die Animation kann im Fenster-Animation aufzeichnen (Abb. 7.74) mit "Speichern unter" als Animationsdatei z.B. Tangente_Ableitung.AVI gespeichert werden. Mit Optionen kann zum Speichern eine Komprimierungsmethode gewählt werden. Eine Wiedergabe der Animation ist über Menü-Extras-Animation-Wiedergeben möglich.
Eine andere Möglichkeit besteht darin, mit Kopieren (siehe Abb. 7.76) die Animation zu kopieren und die Animation mit Inhalte-einfügen (rechte Maustaste) in ein Mathcad-Dokument zu integrieren. Auch mit Drag & Drop kann eine AVI Datei auf ein Mathcad Dokument gezogen, und anschließend mit einem Doppelklick gestartet werden.
Abb. 7.77
Dieses Fenster erscheint, wenn die Animation mit Inhalte-einfügen (rechte Maustaste) in ein Mathcad Dokument integriert werden soll. Mit OK wird die Animation in das Mathcad Arbeitsblatt eingefügt.
Seite 115
Funktionsdarstellungen
Abb. 7.78 Mittels Doppelklick auf die Grafik kann die Animation gestartet werden. Per Drag & Drop kann man das Dateisymbol einer gespeicherten Animation auch direkt aus dem Windows-Explorer auf das Mathcad-Arbeitsblatt gezogen werden. Mittels Doppelklick auf die Grafik kann die Animation gestartet werden. Ein Video (Animation) kann auch mittels Doppelklick auf einen Hyperlink-Text gestartet werden. Es wird dabei z.B. der Windows Media Player gestartet. Hyperlinktext Tangente_Ableitung.AVI Beispiel 7.29: Animierte 3D-Grafik: n 40
Anzahl der Parameterwerte
i 0 n 1 Mi 2 S
j 0 n 1 i
Tj S
n 1
j n1
Laufvariablen i und j Parameterwerte Mi (Azimut) und Tj (Polwinkel) als Vektorkomponenten
Parameterdarstellung der Fläche (Kugelkoordinaten mit variablen Radius): r(T )
cos ( FRAME T )
X3i j r T j cos M i sin T j
Y3i j r T j sin M i sin T j Z3i j r T j cos T j
Radius in Abhängigkeit vom Polwinkel (für FRAME = 0 ergibt sich die Kugeloberfläche mit Radius cos(0) = 1) X3, Y3, und Z3 müssen, wie schon erwähnt wurde, als Matrizen definiert werden. Die Matrizen X3i,j ,Y3i,j ,Z3i,j hängen dabei von den Parametern Mi und Tj ab.
Seite 116
Funktionsdarstellungen
Die Kugel kann wie oben beschrieben animiert werden (z.B. FRAME von 0 bis 10 und 1 Bild/s)
Abb. 7.79
Beispiel 7.30: Animierte 3D-Grafik: i 0 40
j 0 40
Laufvariablen
§ 2 S i· © 40 ¹
xi j 2 cos ¨
§ 2 S i· © 40 ¹
yi j 2 sin ¨ zi j
Parameterdarstellung eines Zylinders (Zylinderkoordinaten). x, y, und z müssen wieder als Matrizen definiert werden.
j 20 5
Der innere Zylinder kann wie oben beschrieben animiert werden. FRAME von 0 bis 8 und 1 Bild/s.
Abb. 7.80
Seite 117
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
8. Gleichungen, Ungleichungen und Systeme 8.1 Allgemeines Viele Gleichungen, Ungleichungen, sowie Gleichungs- und Ungleichungssysteme können in Mathcad symbolisch exakt gelöst werden (mit dem Symboloperator " o " und dem Schlüsselwort "auflösen" (Symbolleiste Rechnen "Symbolische Operatoren") oder über das Menü-Symbolik-Variable-Auflösen). Wenn beim Lösen von Gleichungen, Ungleichungen, sowie Gleichungs- und Ungleichungssystemen alle symbolischen Methoden versagen, können nur noch numerische Methoden zum Ziel führen. Diese haben den großen Vorteil, dass sie unabhängig vom Gleichungstyp sind ( Nachteil: Rundungsfehler). Die numerischen Methoden sind alle iterative Methoden (Iterationsmethoden). Zum Lösen von Gleichungen, Ungleichungen, sowie Gleichungs- und Ungleichungssystemen stehen in Mathcad mehrere implementierte numerische Methoden zur Verfügung: 1. Jede Gleichung der Form L(x) = R(x) hat als Lösungsmenge genau die Nullstellenmenge der Funktion f(x) : = L(x) - R(x) und umgekehrt. Durch Vorgabe eines Startwertes (Schätzwertes) x0 (reell oder komplex) bzw. der Grenzen a und b, zwischen denen eine Nullstelle liegt, erhält man mit der Funktion wurzel( f(x 0 ), x0 ) bzw. mit wurzel( f(x), x,a,b) eine Näherungslösung der Gleichung. Die Genauigkeit der Lösung kann durch Änderung der Konvergenztoleranz (vordefinierte Variable TOL im Menü ExtrasArbeitsblattoptionen) eingestellt werden. 2. Von jeder algebraischen Gleichung der Form a0 + a1 x +a2 x2 + ... + an xn = 0 mit dem Koeffizientenvektor a = ( a0 , a1 , a2 , ... , an ) erhält man mit der Funktion nullstellen(a) einen reellen bzw. komplexen Lösungsvektor. Für fehlende Koeffizienten muss 0 eingegeben werden. Die Genauigkeit der Lösung kann durch Änderung der Konvergenztoleranz (vordefinierte Variable TOL) eingestellt werden. 3. Lineare Gleichungssysteme können auf mehrere Arten gelöst werden: Fasst man die Koeffizienten a i,k und die Konstanten c i eines Gleichungssystems zu einer Matrix A bzw. zu einem Vektor c zusammen, dann liefert die Funktion llösen(A,c) bzw. x := A-1.c den Lösungsvektor (reelle und komplexe Lösungen). A muss aber eine reguläre Matrix sein. Die Genauigkeit der Lösungen kann durch Änderung der Konvergenztoleranz (vordefinierte Variable TOL) eingestellt werden. 4. Lineare Gleichungssysteme (eventuell auch mit Nebenbedingungen (Gleichheiten oder Ungleichheiten), nicht lineare Gleichungssysteme (eventuell auch mit Nebenbedingungen (Gleichheiten oder Ungleichheiten)), Maximierung oder Minimierung (Optimierung; eventuell auch mit Nebenbedingungen (Gleichheiten oder Ungleichheiten)) einer Funktion sowie Lineare Optimierung einer Funktion f(x1 ,x2 ,..xn) = a0 + a1 x1 +a2 x2 + ... + an xn (wobei alle Nebenbedingungen Gleichheiten oder Ungleichheiten sind, die lineare Funktionen mit Konstanten vergleichen) und quadratische Optimierung einer Funktion, die auch quadratische Terme enthält (alle Nebenbedingungen sind linear) löst man mit einem Lösungsblock, der aus dem Wort Vorgabe und einer Mathcadfunktion Suchen, Maximieren, Minimieren oder Minfehl besteht . Zuerst werden alle Startwerte (Schätzwerte) für alle unbekannten Variablen definiert, nach denen sie aufgelöst werden sollen. Danach wird das Wort Vorgabe eingegeben. Mathcad erkennt an diesem Wort, dass ein System (eventuell auch mit Nebenbedingungen) eingegeben wird. Nach dem Wort Vorgabe stehen dann (in beliebiger Reihenfolge) die Gleichungen und Ungleichungen. Die Gleichungen sind mit dem logischen Gleichheitszeichen zu formulieren. Ungleichungen enthalten die Ungleichheitszeichen (<, >, d, t). Das Ungleichheitszeichen (z), Ungleichungen der Form a < b < c und eine Zuweisung wie x := 2 dürfen nicht in einem Lösungsblock enthalten sein. Nach den Gleichungen und Ungleichungen steht eine der vorher genannten Funktionen.
Seite 118
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
Eine Verschachtelung von Lösungsblöcken ist nicht möglich. Die Genauigkeit der Lösungen kann durch Änderung der Konvergenztoleranz (vordefinierte Variable TOL im Menü Extras-Arbeitsblattoptionen) und die Genauigkeit der Nebenbedingungen kann durch Änderung der Bedingungstoleranz (vordefinierte Variable CTOL im Menü Extras-Arbeitsblattoptionen) eingestellt werden. TOL und CTOL können auch lokal am Arbeitsblatt festgelegt werden ! Standardmäßig wird in Mathcad zum Lösen von Gleichungen bzw. Ungleichungen eine automatische Auswahl ( AUTOSELECT) getroffen, um einen geeigneten Lösungsalgorithmus zu finden. Wenn man aber andere Algorithmen wählen will, so genügt es, den Funktionsnamen Suchen, Maximieren, Minimieren bzw. Minfehl anzuklicken und mit der rechten Maustaste das folgende Kontextmenü zu öffnen:
Abb. 8.1
Diese Default Einstellungen nehmen bereits auf 99.99 % aller Fälle Rücksicht.
Autom. Auswahl (AUTOSELECT): Wählt einen geeigneten Algorithmus. Linear: Zur Lösung von linearen Problemen ( Schätzwerte sind nicht erforderlich ). Nichtlinear: Zur Lösung von nichtlinearen Problemen mit verschiedenen Algorithmen. Der Lösungsalgorithmus für konjugierte Gradienten (falls der Lösungsalgorithmus nicht konvergiert), der LevenbergMarquart-Lösungsalgorithmus und falls auch der scheitert, der Quasi-Newtonsche Lösungsalgorithmus . Schätzwerte haben einen erheblichen Einfluss auf die Lösung . Der Punkt Erweiterte Optionen bezieht sich ausschließlich auf die Lösungsalgorithmen für nichtlineare Gradienten und das QuasiNewton-Verfahren. Diese Optionen bieten eine größere Einflussnahme beim Ausprobieren verschiedener Algorithmen für Überprüfungen und Vergleiche. Außerdem können die Werte der Systemvariablen TOL und CTOL angepasst werden. Ist die "Automatische Auswahl" ausgeschaltet , so wird, falls nichts anderes gewählt wird, bei linearen Problemen "Linear" sonst "Nichtlinear" gewählt und das Gradientenverfahren angewendet. Der Name Quadratisch erscheint nur, wenn das Solving & Optimization Extension Pack für Mathcad installiert ist (Zusatzsoftware). Es zeigt an, dass es sich um ein quadratisches Problem handelt, und es werden quadratische Verfahren angewendet.
Seite 119
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
Mit Mathcad 12 können lineare Systeme mit bis zu 500 Variablen, nichtlineare Systeme mit bis zu 200 Variablen gelöst werden. Mit dem Solving & Optimization Extension Pack kann man lineare Systeme mit bis zu 1000 Variablen, nichtlineare Systeme mit bis zu 250 Variablen und quadratische Systeme mit bis zu 1000 Variablen lösen. Kurze Beschreibung der wichtigsten numerischen Lösungsfunktionen: Suchen(var1, var2, ...), gibt die Werte von var1, var2... zurück, die die Gleichungen und Ungleichungen zugleich erfüllen. Bei der Auflösung nach n Variablen muss das Gleichungssystem n Gleichungen enthalten. Die Funktion Suchen gibt einen Wert zurück, bei nur einer Variablen, andernfalls wird ein Vektor zurückgegeben. Die Funktion Suchen kann in gleicher Weise verwendet werden wie andere mathematische Funktionen. Man kann daher auch eine anders benannte Funktion mit Suchen definieren. Dadurch können von einem Gleichungssystem aus andere Gleichungssysteme aufgerufen werden, um Parameter oder Konstanten in diesem zu variieren. Annäherungslösungen mit Minfehl: Minfehl(var1, var2, ...), gibt die Werte von var1, var2... zurück, die den Lösungen der Gleichungen und Ungleichungen in einem Lösungsblock am nächsten kommen. Der Unterschied zwischen Minfehl und Suchen besteht darin, dass Minfehl auch dann einen Wert zurückgibt, wenn der Lösungsalgorithmus die Lösung nicht weiter verbessern kann. Die Funktion Suchen dagegen gibt eine Fehlermeldung aus, aus der hervorgeht, dass keine Lösung gefunden werden konnte. Mit zusätzlich eingefügten Ungleichungen kann Mathcad zur Suche nach anderen Lösungen gezwungen werden. Die Funktion Minfehl gibt einen Wert zurück, bei nur einer Variablen, andernfalls wird ein Vektor zurückgegeben. Wenn es keine Bedingungen gibt, muss das Wort Vorgabe nicht eingegeben werden. Die Funktion Minfehl liefert ein Ergebnis mit minimierten Fehlern für die Bedingungen . Sie kann allerdings nicht feststellen, ob das Ergebnis ein absolutes Minimum für die Fehler dieser Bedingungen darstellt. Beim Einsatz in einem Lösungsblock sollten immer zusätzliche Überprüfungen auf Plausibilität der Ergebnisse vorgesehen werden. Die Systemvariable ERR gibt die Größe des Fehlervektors für Näherungslösungen an. Es gibt aber keine Systemvariable, mit der sich die Größe des Fehlers für einzelne Lösungen der Unbekannten angeben ließe. Die Funktion Minfehl ist besonders für die Lösung bestimmter nichtlinearer Probleme kleinster Quadrate geeignet. Auch die Funktion genanp eignet sich zur Lösung nichtlinearer Probleme kleinster Quadrate. Die Funktion Minfehl sollte verwendet werden: 1. Wenn "Suchen" nach mehreren Schätzungen keine Lösung liefert. 2. Wenn man weiß (z.B. grafisch), dass das System keine exakte Lösung hat. 3. Wenn man eine Funktion minimieren oder maximieren will, die nicht explizit definiert ist. Minimieren(f, var1, var2, ...), gibt die Werte var1, var2, ... zurück, die die Bedingungen (Gleichungen und Ungleichungen) zugleich erfüllen und die dafür sorgen, dass die Funktion f (f ist eine über dem Wort Vorgabe definierte Funktion) ihren kleinsten Wert annimmt. Die Funktion Minimieren gibt einen Wert zurück, bei nur einer Variablen, andernfalls wird ein Vektor zurückgegeben. Wenn es keine Bedingungen gibt, muss das Wort Vorgabe nicht eingegeben werden. Maximieren(f, var1, var2, ...), gibt die Werte var1, var2, ... zurück, die die Bedingungen (Gleichungen und Ungleichungen) zugleich erfüllen und die dafür sorgen, dass die Funktion f (f ist eine über dem Wort Vorgabe definierte Funktion) ihren größten Wert annimmt. Die Funktion Maximieren gibt einen Wert zurück, bei nur einer Variablen, andernfalls wird ein Vektor zurückgegeben. Wenn es keine Bedingungen gibt, muss das Wort Vorgabe nicht eingegeben werden.
Seite 120
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
8.2 Gleichungen und Ungleichungen Beispiel 8.1: a) Symbolisches Lösen einer Gleichung 2
x 3 x 2 = 0 hat als Lösung(en)
2
x 3 x 2 = 0 auflösen x o
§1 · ¨ ©2 ¹
Cursor auf x stellen. Menü-Symbolik: Auswertungsformat einstellen und Variable-Auflösen (oder:
§1 · ¨ ©2 ¹
Bemerkung: Im Menü-Symbolik-Auswerten-Gleitkomma ist die Gleitkommaauswertung auf 20 Nachkommastellen voreingestellt. Eine Beschränkung der Nachkommastellen erreicht man die Anwendung des symbolischen Operators "gleit".
3
x 6
1.8171 § · auflösen x ¨ o ¨ .90855 1.5737 i ¸ gleit 5 ¨ .90855 1.5737 i © ¹
1 § ¨ 1 ¨ ¨ 1 1 i 3 2 3 2 x = 1 auflösen x o ¨ 2 ¨ 1 ¨ 1 1 ¨ i 32 © 2 2
· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸
Gleichung eingeben. Symbolleiste-Rechnen "Symbolische Operatoren" aufrufen: "auflösen" anklicken und beim Platzhalter x eingeben.
¹ Gleichung und Nebenbedingung als Vektorkomponenten eingeben. Symbolleiste-Rechnen "Symbolische Operatoren" aufrufen: "auflösen" anklicken und beim Platzhalter x eingeben.
§¨ x3 = 1 · auflösen x o 1 ¨© x ! 0 ¹ f ( x)
2
2
x 1
x
Funktion definieren.
2
1 ª « 2 1· «§ «¨ 2 ©2 2 2 ¹ « x f ( x) auflösen x o « 1 « 2 1· « § « ¨ 2 ¬ © 2 2 2 ¹
o f ( x)
§0 · ¨ ©0 ¹
Term eingeben. Symbolleiste-Rechnen "Symbolische Operatoren" aufrufen: "auflösen" anklicken und beim Platzhalter x eingeben, "gleit" anklicken und beim Platzhalter 5 eingeben.
x0
2.197
x1
º » » » » » » » » ¼
2.197
Funktionsterm einem Vektor zuweisen. Symbolleiste-Rechnen "Symbolische Operatoren" aufrufen: "auflösen" anklicken und beim Platzhalter x eingeben.
Probe mit Vektorisierungsoperator durchführen und komponentenweise Ausgabe.
Seite 121
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
ª« ª« « 1 « b b2 4 a c « 2 a ¬ 2 f ( a b c ) a x b x c auflösen x o « ª« « « 1 « 2 « 2 a ¬ b b 4 a c ¬ f ( 1 3 4)
§ 1.5 1.323i · ¨ © 1.5 1.323i ¹ § 0.707 0.707i · ¨ © 0.707 0.707i ¹
f ( j 0 1)
§ 0.5 0.5i · ¨ © 0.5 0.5i ¹
f ( 2 2 1)
§ 0 · ¨ © 0.5 ¹
f ( 2 1 0)
1º
» »º »» ¼» Die Lösung der Gleichung » als Vektor-Funktion 1º » » definiert. 2 » » ¼» ¼ 2
Die Lösungen der quadratischen Gleichung für verschiedene a, b und c Werte.
Vorgabe 2
Ax Bx C= 0
ª« « 1 « 2 A T Suchen ( x) o « « « 1 « 2 A ¬
ª« « 2 ¬ B B 4 A C
» »º »» ¼» » 1º » ª« » 2 » « 2 » ¬ B B 4 A C ¼ » ¼
1º 2
Lösungsblock mit Vorgabe und "Suchen". Für eine Spaltenvektorausgabe ist Suchen(x), also das Ergebnis, zu transponieren.
b) Numerisches Lösen einer Gleichung D) Graphische Veranschaulichung Um sich eine bessere Vorstellung des zu lösenden Problems machen zu können und einen brauchbaren Startwert (Schätzwert) angeben zu können, ist es günstig, zuerst eine grafische Darstellung zu wählen (eventuell den Bereich der Nullstellen zoomen). 2
f ( x) x 3 x m 2 m
2
x 1 m 0.99 m 4 m
Funktion mit Einheiten Bereichsvariable mit Einheiten
6 4 f( x) m
2
2
Abb. 8.2 1
0
1
2
2 x m
Seite 122
3
4
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
E) Näherungslösungen mit der Funktion wurzel: x01 0 m
x1 wurzel f x01 x01 x1
x02 2.5 m
Startwert
1m
Startwert
x2 wurzel f x02 x02 x2
2m
Oder durch Intervallangabe: wurzel ( f ( x) x 0.5 m 1.5 m)
1m
wurzel ( f ( x) x 1.5 m 2.5 m)
2m
J) Lösungsblock mit Vorgabe und der Funktion Suchen: x01 0.5 m
Startwert
Vorgabe
f x01 = 0 m
2
x1 Suchen x01 x1
Lösung
1m
x02 2.5 m
Startwert
Vorgabe
f x02 = 0 m
2
x2 Suchen x02 x2
2m
Lösung
Beispiel 8.2: a) Symbolisches Lösen einer Gleichung x x ln ( x 1) = cos ( x)
Redefinition hat als Lösung(en) .88451061616585253368
ln ( x 1) = cos ( x)
auflösen x o .88451 gleit 5
Cursor auf x stellen. Menü-Symbolik: Auswertungsformat einstellen und Variable-Auflösen wählen. Gleichung eingeben. Symbolleiste-Rechnen "Symbolische Operatoren" aufrufen: "auflösen" anklicken und beim Platzhalter x eingeben, "gleit" anklicken und beim Platzhalter 5 eingeben.
f ( x) ln ( x 1)
Links- und Rechtsterm der Gleichung definieren.
g ( x) cos ( x) x1 f ( x) = g ( x) auflösen x o .88451061616585253368 x1
Gleichung auf x 1 zuweisen. Symbolleiste-Rechnen "Symbolische Operatoren" aufrufen: "auflösen" anklicken beim Platzhalter x eingeben.
0.885
Seite 123
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
b) Numerisches Lösen einer Gleichung D) Grafische Veranschaulichung f ( x) ln ( x 1)
Funktion (Linksterm)
g ( x) cos ( x)
Funktion (Rechtsterm)
x 0 0 0.01 2
Bereichsvariable
1.5 x1
1 f( x) 0.5
g ( x)
Abb. 8.3
0 0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
E) Näherungslösungen mit der Funktion wurzel x0 1 TOL
Startwert 1 u 10
3
voreingestellte Konvergenztoleranz
x1 wurzel f x0 g x0 x0 x1
Ergebnisformat: Anzahl der Dezimalstellen 17
0.88453328378582
f x1 g x1 TOL 10
2.95642593759471 u 10
5
6
geänderte Konvergenztoleranz
x1 wurzel f x0 g x0 x0 x1
Ergebnisformat: Anzahl der Dezimalstellen 17
0.884510620870069
f x1 g x1 TOL 10
6.13545936278825 u 10
9
9
nochmals geänderte Konvergenztoleranz
x1 wurzel f x0 g x0 x0 x1
Ergebnisformat: Anzahl der Dezimalstellen 17
0.884510616165867
f x1 g x1
1.865 u 10
14
Seite 124
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
Beispiel 8.3: a) Symbolisches Lösen einer Gleichung in x mit einem Parameter c
x1
e
= c x1
2
hat als Lösung(en)
§ 2 W §¨ 1 · · ¨ 1¸ ¨ ¨ ¸ ¨2 c2 ¸ ¨ © ¹ ¨ ¸ ¨ 2 W §¨ 1 · ¸ 1¸¸ ¨ ¨ ¨ ¨2 c2 © © ¹¹
Cursor auf x1 stellen. Menü Symbolik: Auswertungsformat einstellen und Variable-Auflösen wählen. Liefert verständlicherweise kein anschauliches Ergebnis ! Mathcad liefert den Namen, nicht den Wert der Maple Funktion W (W ist die inverse Funktion von x * exp(x) für x < -1/e).
§ §¨ 1 · · ¨ 2 W 1¸ ¨ ¨ ¸ ¨2 c2 ¸ ¨ © ¹ x1 2 e = c x1 auflösen x1 o ¨ ¸ ¨ 2 W §¨ 1 · ¸ 1¸¸ ¨ ¨ ¨ ¨2 c2 © © ¹¹
Symbolleiste-Rechnen "Symbolische Operatoren": "auflösen" anklicken und beim Platzhaltern die Gleichung und die Variable x1 eingeben. Liefert verständlicherweise wieder kein anschauliches Ergebnis !
b) Numerisches Lösen einer Gleichung in x mit einem Parameter c D) Grafische Veranschaulichung x
f ( x) e
Funktion (Linksterm) 2
g (x c) c x
Funktion (Rechtsterm)
x 1 1 0.01 1
Bereichsvariable
f( x) g( x 1) g( x 5) g ( x 10)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Abb. 8.4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
E) Näherungslösungen mit der Funktion wurzel TOL 10
3
Voreingestellte Konvergenztoleranz
L ( x c ) wurzel ( f ( x) g ( x c ) x)
Lösungsfunktion
c 1 15
Laufbereich der Parameterwerte c
x0 1
anfänglicher Startwert (Achtung Vektoreingabe)
Seite 125
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
xc L xc1 c c
Der Startwert für die einzelnen Parameterwerte c ist die Lösung aus dem vorangegangenen Parameterwert c.
g xc c
f xc
xc
f xc g xc c
1
-0.704
0.495
0.495
-0.00007
2
-0.54
0.583
0.583
-0.000031
3
-0.459
0.632
0.633
-0.000949
4
-0.408
0.665
0.665
-0.000411
5
-0.371
0.69
0.69
-0.000216
6
-0.344
0.709
0.709
-0.000129
7
-0.322
0.725
0.725
-0.000084
8
-0.304
0.738
0.738
-0.000058
9
-0.289
0.749
0.749
-0.000042
10
-0.276
0.759
0.759
-0.000031
11
-0.264
0.768
0.768
-0.000024
12
-0.254
0.776
0.776
-0.000019
13
-0.245
0.782
0.783
-0.000994
14
-0.237
0.789
0.79
-0.000897
15
-0.23
0.794
0.795
-0.00079
Beispiel 8.4: Gleichung in mehreren Variablen ("Formel umformen"): a 2 s = s0 v t t 2
hat als Lösung(en)
1º º ª« ª « »» « 1 « 2 v 2 § v2 2 a s 2 a s · 2 » » 0¹ ¼ » © « 2 a ¬ « » 1º » ª « » 2 » « 1 «« 2 § · « 2 a ¬ 2 v 2 © v 2 a s 2 a s 0¹ »¼ » ¬ ¼
ª« « 1 « 2 a1 a1 2 s = s0 v t t auflösen t o « 2 « « 1 « 2 a1 ¬
Cursor auf t stellen. Menü-Symbolik: Auswertungsformat einstellen und Variable-Auflösen wählen.
Symbolleiste-Rechnen "Symbolische Operatoren" : "auflösen" anklicken und beim Platzhaltern die Gleichung und die Variable t eingeben.
1º º ª « »» 2 2 » « 2 v 2 § v 2 a1 s 2 a1 s 0· » ¬ © ¹ ¼» » 1º » ª « » 2 » 2 « § · 2 v 2 v 2 a1 s 2 a1 s 0 » » ¬ © ¹ ¼¼
Beispiel 8.5: Symbolisches Lösen einer Ungleichung: Lineare Ungleichungen: 3 v 5 vd 5
hat als Lösung(en)
5 2
dv
Cursor auf v stellen. Menü-Symbolik: Auswertungsformat einstellen und Variable-Auflösen wählen.
Seite 126
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
5
3 v 5 v d 5 auflösen v o
2
Symbolleiste-Rechnen "Symbolische Operatoren" : "auflösen" anklicken und beim Platzhaltern die Gleichung und die Variable v eingeben
dv
Grafische Veranschaulichung: f ( v) 3 v 5 v
Funktion
v 10 9.99 10
Bereichsvariable
20
Spur 1: Format: Gefüllt Spur 2: Format: Linie
5
15
2
10 5
f( v)
0
5
5 10 15 20
10
7.5
5
2.5
0
2.5
5
7.5
10
Abb. 8.5
v
Quadratische Ungleichungen: 2
x x 2 hat als Lösung(en)
2
x1 x1 2 auflösen x1 o
§ x 2 · ¨ © 1 x ¹
L = ]-1, 2[
§ 1 x1 · ¨ © x1 2 ¹
2
x 3 x 2 ! 0 hat als Lösung(en)
2
Lösung: x > -1 und x < 2
x1 3 x1 2 ! 0 auflösen x1 o
§ x 2 · ¨ © 1 x ¹
Lösung: x < -2 oder x > -1, also x aus den reellen Zahlen außerhalb des abgeschlossenen Intervalls von -2 bis -1. L = ]- f , - 2[ ]-1 , f [
§ x1 2 · ¨ © 1 x1 ¹
Bruchungleichungen:
2 r 3 5 r 4
2 r 3 r 5
1 ª º « » 1 9 2 r 87 « » 4 4 « » hat als Lösung(en) « 1·» § «§ 4 · ¨ 9 1 2 » «¨© 5 r¹ ¨© r 4 4 87 ¹ » « » 5 r ¬ ¼
9 4 9 4
1 4 1 4
87
4.582
87
0.082
L = { r | (r < - 4.582) ((r > - 0.8) (r < 0.082)) (r > 5)} = ] - f , - 4.582 [ ] - 0.8 , 0.082 [ ] 5 , f[ L = \ ([ - 4.582, - 0.8 ] [ 0.082, 5 ])
Seite 127
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
Ungleichungen mit Parametern: annehmen a1 = RealRange ( 1 f ) b1 = RealRange ( 1 f ) b1 ozd auflösen z a1
a1 z b1 d 0
a1 z b1 d 0 auflösen z o signum ( a1 ) z d signum ( a1 )
Betragsungleichungen: z1 z1 t3
b1 a1
§¨ 3 d z · ¨ 2 ¸ ¨ 3 ¸ ¨z d 2 ¹ ©
hat als Lösung(en)
2
z 1 z 1 3
3
3
2
2
2
0
Graphische Veranschaulichung (Quick-Plot)
2
Abb. 8.5 2 z
Beispiel 8.6: Nullstellen eines Polynoms: a0 5
a1 5
a2 10
Koeffizienten eines Polynoms
2
Funktion
f ( x) a0 a1 x a2 x
a0
a
a1 a2
T
T
( 5 5 10 )
a
Koeffizientenvektor (Reihenfolge der Eingabe beachten!)
§¨ 5 · a1 f ( x1) koeff x1 o ¨ 5 ¸ ¨ 10 © ¹
Eine einfachere Möglichkeit ist die Koeffizientenbestimmung mit dem Symboloperator "koeff"
x nullstellen ( a)
Berechnung der Nullstellen
x
x1 nullstellen ( a1 )
§ 1 · ¨ © 0.5 ¹
f x0
0
x1
f x1
§ 1 · ¨ © 0.5 ¹
0
Nullstellen bzw. Lösungen der quadratischen Gleichung (f(x) = 0) Probe
Grafische Veranschaulichung: x 2 1.99 2 Bereichsvariablen k 0 1
Seite 128
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
60
f( x)
40
§f x0 · ¨ ©f x1 ¹ k
20
Abb. 8.6 2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
20
§x 0 ·
x ¨
©x 1 ¹ k
§ x0 · ¨ © x1 ¹ 0
1
§ f x0 · ¨ © f x1 ¹ 0
§ x0 · ¨ © x1 ¹ 1
0
0.5
§ f x0 · ¨ © f x1 ¹ 1
0
zwei Punkte in Vektorform
8.3 Lösen eines linearen Gleichungssystems Beispiel 8.7: Lineares Gleichungssystem mit drei Variablen: 0.5 x 0.4 y 6.5 z = 1.2 4.0 x 1.2 y 0.6 z = 0.3 7.5 x 9.0 y 10.1 z = 2.5 Das lineare Gleichungssystem in Form einer Matrixgleichung dargestellt:
§¨ 0.5 0.4 6.5 · A ¨ 4.0 1.2 0.6 ¸ c ¨ 7.5 9.0 10.1 © ¹
§¨ 1.2 · ¨ 0.3 ¸ ¨ 2.5 © ¹
A x = c
Es sind keine gemischten Einheiten in einer Matrix oder in einem Vektor zulässig ! Eventuell Gleichungen einheitenfrei machen.
Ein anderes lineares Gleichungssystem mit Einheiten: R1 8 :
R2 12 :
R3 15 :
U01 20 V
gewählte Werte
I1 I2 I3 = 0 A I1 R1 I2 R2 = U01
Lineares Gleichungssystem mit drei Variablen
I3 R3 I2 R2 = 0 V Das lineare Gleichungssystem mit Einheiten in Form einer Matrixgleichung dargestellt:
§ 1 : 1 : 1 : · ¨ 0 : ¸ R2 R ¨ R1 ¨ 0 : R R3 2 © ¹
§0 V · ¨ U ¨ U01 ¸ ¨ ©0 V ¹
R I = U
Seite 129
Es sind keine gemischten Einheiten in einer Matrix oder in einem Vektor zulässig ! Einheitengerecht einsetzen !
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
a) Symbolisches Lösen eines linearen Gleichungssystems Lösungsblock mit Vorgabe und der Funktion Suchen: Vorgabe 0.5 x1 0.4 y1 6.5 z1 = 1.2 4.0 x1 1.2 y1 0.6 z1 = 0.3 7.5 x1 9.0 y1 10.1 z1 = 2.5
§¨ x1 · §¨ .1722 · ¨ y1 ¸ Suchen ( x1 y1 z1) gleit 4 o ¨ .2460 ¸ ¨ z1 ¨ .1562 © ¹ © ¹ Probe: 0.5 x1 0.4 y1 6.5 z1
1.2
4.0 x1 1.2 y1 0.6 z1
0.3
7.5 x1 9.0 y1 10.1 z1
2.5
Das oben angegebene Gleichungssystem mit Einheiten gelöst: R1 8 :
R2 12 :
R3 15 :
U01 20 V
gewählte Werte
Vorgabe I1 I2 I3 = 0 A I1 R1 I2 R2 = U01
Die Gleichungen müssen Einheitengerecht dargestellt werden!
I3 R3 I2 R2 = 0 V
§¨ 1.363636364 ¨ §¨ I1 · ¨ I ¸ Suchen I I I gleit 10 o ¨¨ .7575757576 1 2 3 ¨ 2¸ ¨ ¨© I3 ¹ ¨ ¨© .6060606061
V : V : V :
Probe: I1 I2 I3
3 u 10
10
I1 R1 I2 R2
20 V
I3 R3 I2 R2
0V
A
Seite 130
· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹
Ergebnisformat: 3 Nachkommastellen
§¨ I1 · ¨I ¸ ¨ 2¸ ¨© I3 ¹
§¨ 1.364 · ¨ 0.758 ¸ A ¨ 0.606 © ¹
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
b) Numerisches Lösen eines linearen Gleichungssystems D) Grafische Veranschaulichung Gleichungen nach z auflösen: -2
hat als Lösung(en)
7.6923 10
4.0 x 1.2 y 0.6 z = 0.3
hat als Lösung(en)
6.6667 x 2. y .50000
7.5 x 9.0 y 10.1 z = 2.5
hat als Lösung(en)
.74257 x .89109 y .24752
f1 ( x y) 7.6923 10
-2
x 6.1538 10
-2
x 6.1538 10
-2
0.5 x 0.4 y 6.5 z = 1.2
y .18462
y .18462 Funktionen für die drei Flächen definieren
f2 ( x y) 6.6667 x 2. y .50000 f3 ( x y) .74257 x .89109 y .24752 i 20
k 20
X matrix i k f 1
Anzahl der Gitterlinien
Y matrix i k f 2
Z matrix i k f 3
Matrizen für die Flächen erzeugen
3D-Darstellung der drei Flächen Abb. 8.7
XYZ E) Lösungsblock mit Vorgabe und den Funktionen Suchen, Minimieren, Maximieren und Minfehl x 0.1
y 0.1
z 0.1
Vorgabe
Geeignete Startwerte sind oft schwierig zu finden, müssen aber bei einem Lösungsblock meist nicht sehr genau gewählt werden.
0.5 x 0.4 y 6.5 z = 1.2 4.0 x 1.2 y 0.6 z = 0.3 7.5 x 9.0 y 10.1 z = 2.5
Suchen ( x y z )
§¨ 0.17223 · ¨ 0.24598 ¸ ¨ 0.15623 © ¹
Lösung mit 5 Nachkommastellen (Standardeinstellung ist 3)
Seite 131
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
Lösung des Gleichungsystem in Matrizenform:
§¨ 0.5 0.4 6.5 · A ¨ 4.0 1.2 0.6 ¸ ¨ 7.5 9.0 10.1 © ¹
§¨ 1.2 · c ¨ 0.3 ¸ ¨ 2.5 © ¹
T
x ( 0.1 0.1 0.1 )
Koeffizientenmatrix und Konstanten-Vektor
Startwerte in Vektorform
Vorgabe A x = c
Suchen ( x)
§¨ 0.17223 · ¨ 0.24598 ¸ ¨ 0.15623 © ¹
Lösung mit 5 Nachkommastellen (Standardeinstellung ist 3)
Das oben angeführte Gleichungssystem mit Einheiten gelöst: R1 8 :
R2 12 :
I1 1 A
R3 15 :
I2 1 A
U01 20 V
I3 1 A
gewählte Startwerte
Vorgabe I1 I2 I3 = 0 A I1 R1 I2 R2 = U01
Die Gleichungen müssen Einheitengerecht dargestellt werden!
I3 R3 I2 R2 = 0 V
Suchen I 1 I 2 I 3
§¨ 1.364 · ¨ 0.758 ¸ A ¨ 0.606 © ¹
Lösung mit 3 Nachkommastellen (Standardeinstellung)
Lösung des Gleichungssystem mit Einheiten in Matrizenform: R1 8 :
R2 12 :
§ 1 : 1 : 1 : · ¨ 0 : ¸ R2 R ¨ R1 ¨ 0 : R R3 2 © ¹ T
I (1 A 1 A 1 A )
R3 15 :
§0 V · ¨ U ¨ U01 ¸ ¨ ©0 V ¹
U01 20 V Keine gemischten Einheiten in einer Matrix oder in einem Vektor zulässig ! Hier wird einheitengerecht eingesetzt !
Startwerte
Vorgabe R I = U
Suchen ( I)
§¨ 1.364 · ¨ 0.758 ¸ A ¨ 0.606 © ¹
Lösung mit 3 Nachkommastellen (Standardeinstellung)
Seite 132
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
Lösung des Gleichungssystems durch optimieren:
§¨ 0.5 0.4 6.5 · A ¨ 4.0 1.2 0.6 ¸ c ¨ 7.5 9.0 10.1 © ¹ f ( x)
A x c
Minimieren ( f x)
§¨ 1.2 · ¨ 0.3 ¸ ¨ 2.5 © ¹
Koeffizientenmatrix und Konstanten-Vektor
Die zu optimierende Funktion f(x) soll ein Minimum werden (|A x - c| = 0).
§¨ 0.17232 · ¨ 0.24608 ¸ ¨ 0.15622 © ¹
Lösung des Gleichungssystems mit Einheiten durch Optimieren: R1 8 :
R2 12 :
R3 15 :
§ 1 : 1 : 1 : · ¨ 0 : ¸ R2 R ¨ R1 ¨ 0 : R R3 2 © ¹ g ( I)
R I U
Minimieren ( g I)
§0 V · ¨ U ¨ U01 ¸ ¨ ©0 V ¹
U01 20 V
Koeffizientenmatrix und Konstanten-Vektor
Die zu optimierende Funktion g(I) soll ein Minimum werden (|R I - U| = 0).
§¨ 1.364 · ¨ 0.757 ¸ A ¨ 0.606 © ¹
Lösung mit 3 Nachkommastellen (Standardeinstellung)
Lösung des Gleichungssystems mithilfe der linearen Optimierung:
§¨ 0.5 0.4 6.5 · A ¨ 4.0 1.2 0.6 ¸ c ¨ 7.5 9.0 10.1 © ¹ T
§¨ 1.2 · ¨ 0.3 ¸ ¨ 2.5 © ¹
Koeffizientenmatrix und Konstanten-Vektor
x ( 0.1 0.1 0.1 )
Startwerte
f ( x) 1
Irgendeine konstante Funktion definieren. Maximieren gibt den Wert x zurück, der dafür sorgt, dass die Funktion f ihren größten Wert annimmt.
Vorgabe A x = c Maximieren ( f x)
§¨ 0.17223 · ¨ 0.24598 ¸ ¨ 0.15623 © ¹
Seite 133
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
Lösung des Gleichungssystems mit Einheiten mithilfe der linearen Optimierung: R1 8 :
R2 12 :
R3 15 :
§ 1 : 1 : 1 : · ¨ 0 : ¸ R2 R ¨ R1 ¨ 0 : R R3 2 © ¹
U01 20 V
§0 V · ¨ U ¨ U01 ¸ ¨ ©0 V ¹
T
gewählte Werte mit Einheiten
Koeffizientenmatrix und Konstaten-Vektor
I (1 A 1 A 1 A )
Startwerte
g ( I) 1 A
irgendeine konstante Funktion definieren
Vorgabe R I = U
§¨ 1.364 · ¨ 0.758 ¸ A ¨ 0.606 © ¹
Maximieren ( g I)
Lösung mit 3 Nachkommastellen (Standardeinstellung)
Lösung des Gleichungssystems mit der Funktion Minfehl: x 3.2
y 3.2
z 3.2
gewählte Startwerte
Vorgabe 0.5 x 0.4 y 6.5 z = 1.2 4.0 x 1.2 y 0.6 z = 0.3 7.5 x 9.0 y 10.1 z = 2.5
§¨ 0.17223 · ¨ 0.24598 ¸ ¨ 0.15623 © ¹
Minfehl ( x y z )
Lösung des Gleichungssystems mit Einheiten mit der Funktion Minfehl: R1 8 :
R2 12 :
I1 1 A
R3 15 :
I2 1 A
I3 1 A
U01 20 V gewählte Startwerte
Vorgabe I1 I2 I3 = 0 A I1 R1 I2 R2 = U01 I3 R3 I2 R2 = 0 V
Minfehl I 1 I2 I 3
§¨ 1.364 · ¨ 0.758 ¸ A ¨ 0.606 © ¹
Lösung mit 3 Nachkommastellen (Standardeinstellung)
Seite 134
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
J) Lösen des linearen Gleichungssystems mit der Funktion llösen
§¨ 0.5 0.4 6.5 · A ¨ 4.0 1.2 0.6 ¸ c ¨ 7.5 9.0 10.1 © ¹
§¨ 1.2 · ¨ 0.3 ¸ ¨ 2.5 © ¹
Koeffizientenmatrix und Konstanten-Vektor
Reguläre Matrix (Determinante ist ungleich null)
157.78
A oder:
( A = 0)
( A z 0)
0
x llösen ( A c)
Das Ergebnis 0 bedeutet "falsch" und 1 bedeutet "wahr".
1
§¨ 0.17223 · x ¨ 0.24598 ¸ ¨ 0.15623 © ¹
Lösungsvektor
Lösung des Gleichungssystems mit Einheiten: R1 8 :
R2 12 :
R3 15 :
§ 1 : 1 : 1 : · ¨ 0 : ¸ R2 R ¨ R1 ¨ 0 : R R3 2 © ¹ R
Koeffizientenmatrix und Konstanten-Vektor
Reguläre Matrix (Determinante ist ungleich null)
396
:
§0 V · ¨ U ¨ U01 ¸ ¨ ©0 V ¹
U01 20 V
I llösen ( R U)
I
§¨ 1.364 · ¨ 0.758 ¸ A ¨ 0.606 © ¹
Lösungsvektor Lösung mit 3 Nachkommastellen (Standardeinstellung)
G) Lösen des linearen Gleichungssystems mithilfe der inversen Matrix bzw. der Determinatenmethode
§¨ 0.5 0.4 6.5 · A ¨ 4.0 1.2 0.6 ¸ c ¨ 7.5 9.0 10.1 © ¹
§¨ 1.2 · ¨ 0.3 ¸ ¨ 2.5 © ¹
Reguläre Matrix (Determinante ist ungleich null)
157.78
A
1
x A
c
Koeffizientenmatrix und Konstanten-Vektor
§¨ 0.17223 · x ¨ 0.24598 ¸ ¨ 0.15623 © ¹
Lösungsvektor
Für i 0 2 bilden wir mithilfe von Unterprogrammen (Symbolleiste Programmierung) die Matrizen A1, A2 und A3. Diese sind genau die Matrizen, die sich durch Ersetzen der Spalten in der Koeffizientenmatrix durch den Vektor c ergeben. ¢i² A1
c if i = 0 ¢i² otherwise A
¢i² A2
c if i = 1 ¢i² otherwise A
Seite 135
¢i² A3
c if i = 2 ¢i² otherwise A
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
Damit ergibt sich der Lösungsvektor x zu:
§¨ A1 · ¨ A2 ¸ A ¨ © A3 ¹ 1
x
§¨ 0.17223 · x ¨ 0.24598 ¸ ¨ 0.15623 © ¹
Lösen des linearen Gleichungssystems mit Einheiten: R1 8 :
R2 12 :
R3 15 :
§ 1 : 1 : 1 : · ¨ 0 : ¸ R2 R ¨ R1 ¨ 0 : R R3 2 © ¹ R
U01 20 V
§0 V · ¨ U ¨ U01 ¸ ¨ ©0 V ¹
Koeffizientenmatrix und Konstanten-Vektor
Reguläre Matrix (Determinante ist ungleich null)
396
:
1
I R
U
I
§¨ 1.364 · ¨ 0.758 ¸ A ¨ 0.606 © ¹
Lösungsvektor
Für i 0 2 (ORIGIN = 0) bilden wir mithilfe von Unterprogrammen (Symbolleiste Programmierung) die Matrizen R1, R2 und R3. Dies sind genau die Matrizen, die sich durch Ersetzen der Spalten in der Koeffizientenmatrix durch den Vektor U ergeben (Die Einheiten kürzen !). ¢i² R1
U V ¢i² R :
¢i² R2
if i = 0
U V ¢i² R
otherwise
:
if i = 1
¢i² R3
otherwise
U V ¢i² R :
if i = 2
otherwise
Damit ergibt sich der Lösungsvektor I nach der "Cramer Regel" zu:
I
§¨ R1 · ¨ R2 ¸ A R ¨ R3 © ¹ : 1
I
§¨ 1.364 · ¨ 0.758 ¸ A ¨ 0.606 © ¹
H) Lösen des linearen Gleichungssystems mit Hilfe der generalisierten inversen Matrix (Funktion geninv) bzw. mithilfe der Zeilenreduktion (Funktionen zref und erweitern) geninv(A) gibt die generalisierte inverse Matrix A -1 von A zurück. zref(A) gibt die zeilenreduzierte Echolon-Form von A zurück.
§¨ 0.5 0.4 6.5 · A ¨ 4.0 1.2 0.6 ¸ c ¨ 7.5 9.0 10.1 © ¹ x geninv ( A) c
§¨ 1.2 · ¨ 0.3 ¸ ¨ 2.5 © ¹
§¨ 0.17223 · x ¨ 0.24598 ¸ ¨ 0.15623 © ¹
Koeffizientenmatrix und Konstanten-Vektor
¢3² zref ( erweitern ( A c) )
Seite 136
§¨ 0.17223 · ¨ 0.24598 ¸ ¨ 0.15623 © ¹
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
Lösen des linearen Gleichungssystems mit Einheiten: R1 8 :
R2 12 :
R3 15 :
§ 1 : 1 : 1 : · ¨ 0 : ¸ R2 R ¨ R1 ¨ 0 : R R3 2 © ¹ I geninv ( R) U
I
U01 20 V
§0 V · ¨ U ¨ U01 ¸ ¨ ©0 V ¹
Koeffizientenmatrix und Konstaten-Vektor
§¨ 1.364 · ¨ 0.758 ¸ A ¨ 0.606 © ¹
¢3²
§ § R U ·· zref ¨ erweitern ¨ © © : V ¹¹
§¨ 1.364 · ¨ 0.758 ¸ ¨ 0.606 © ¹
8.4 Lösen eines nichtlinearen Gleichungssystems mit und ohne Nebenbedingungen Beispiel 8.8: a) Symbolisches Lösen eines nichtlinearen Gleichungssystems D) Lösungsblock mit Vorgabe und der Funktion Suchen: x 1
y 1
Startwerte
x y =6
2
Kreis
x y=2
Gerade
Vorgabe 2
1 1 § · ¨ 2 2 §¨ x1 x2 · ¨1 2 2 1 ¸ Suchen ( x y) o ¨y y ¨ 1 1 ¸ © 1 2¹ ¨ 2 2 ©2 1 1 2 ¹
§1 2 2 1 · ¨ © 2 1 1 2¹
§ 0.414 2.414 · ¨ © 2.414 0.414 ¹
Matrix mit den Lösungen. Die Koordinaten der Lösungspunkte werden hier in einer Matrix zusammengefasst. Probe: 2
2
x1 y1 x1 y1
6 2
2
2
x2 y2 x2 y2
6 2
E Lösungsblock mit dem Symboloperator auflösen: 1 1 § · ¨ 2 2 §¨ r1 s1 · § r2 s2 = 6 · ¨1 2 2 1 ¸ ¨ auflösen r s o ¨r s ¨ 1 ¨ 1 ¸ © 2 2¹ © r s = 2 ¹ ¨ 2 2 ©2 1 1 2 ¹
Probe: 2
2
2
r1 s 1 r1 s 1
6 2
2
r2 s 2 r2 s 2
6 2
Seite 137
Gleichungssystem in einem Vektor zusammenfassen und Anwendung des symbolischen Operators "auflösen". Achtung: Unter D) erhält man die Lösungspunkte als Spaltenvektor, unter E) liegen aber die Lösungspunkte als Zeilenvektor vor !
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
b) Numerisches Lösen eines nichtlinearen Gleichungssystems D) Grafische Veranschaulichung k o ( x)
2
6 x
oberer und unterer Halbkreis 2
k u ( x) 6 x g ( x) 2 x
Gerade
x 3 2.999 3
Bereichsvariable
4
2
ko( x) ku( x)
4
2
0
2
4
Abb. 8.8
g ( x) 2
4 x
E) Lösungsblock mit Vorgabe und der Funktion Suchen x 1
y 3
Startwerte
x y =6
2
Kreis
x y=2
Gerade
Vorgabe 2
§¨ x1 · Suchen ( x y) ¨ y1 © ¹
§¨ x1 · ¨ y1 © ¹
Eine Lösung mit einem Fehler von:
§ 0.414 · ¨ © 2.414 ¹ ERR
0
Vergleiche dazu den Betrag des minimalen Fehlervektors: y 1
Startwerte
x 2
x y =6
2
Kreis
x y=2
Gerade
Levenberg-Marquardt Verfahren. Auswählbar mit rechter Maustaste auf dem Funktionsnamen "Suchen".
§x 2 ¨ 1 ¨ x © 1
y1 6 · 2
y1 2
0
¹
Vorgabe 2
Suchen ( x y)
Levenberg-Marquardt Verfahren. Auswählbar mit rechter Maustaste auf dem Funktionsnamen "Suchen".
§ 2.414 · ¨ © 0.414 ¹
Eine Lösung mit einem Fehler von:
ERR
0
Seite 138
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
x 0
y 0
Startwerte
x y =6
2
Kreis
x y=2
Gerade
Vorgabe 2
§ 2.414 · ¨ © 0.414 ¹
Suchen ( x y)
Vergleiche hier Levenberg-Marquardt Verfahren, Gradientenverfahren und Quasi-Newton Verfahren. W egen zu schlechter Startwerte wird hier mit dem Gradientenverfahren und QuasiNewton Verfahren keine Lösung gefunden !
Eine Lösung mit einem Fehler von:
ERR
0
Beispiel 8.9: Nichtlineares Gleichungssystem mit einer Nebenbedingung: 2
2
x y =6
Kreis
x y=2
Gerade
x!a
Nebenbedingung: Es sollen nur jene Lösungen gefunden werden, für die x > a gilt.
a) Grafische Veranschaulichung k o ( x)
2
2
6 x
k u ( x) 6 x
g ( x) 2 x
Gerade
a 2
Bedingung x > 2
x 3 2.999 3
Bereichsvariable
oberer und unterer Halbkreis
Bedingung x > a 2
ko ( x) ku ( x) g ( x)
2
0
2
Abb. 8.9
x 2
x x x a
Seite 139
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
b) Lösungsblock mit Vorgabe und der Funktion Suchen x 1
y 0
absichtlich schlecht gewählte Startwerte
Vorgabe 2
2
x y =6
Kreis
x y=2
Gerade
x!2
eine Nebenbedingung
Suchen ( x y)
§ 2.414 · ¨ © 0.414 ¹
Levenberg-Marquardt Verfahren Gesuchte Lösung mit einem Fehler: ERR
0
Beispiel 8.10: Nichtlineares Gleichungssystem mit mehreren Nebenbedingungen. Lösungsblock mit Vorgabe und der Funktion Suchen: Vorgabe 2
2 x y 2 z = 4
Voreingestellte Konvergenztoleranz
3
y 4 z = 2
Gleichungen
TOL
1 u 10
3
x y z = a Voreingestellte Bedingungstoleranz
xt0 yd0
Nebenbedingungen
CTOL
1 u 10
3
z!0 L ( x y z a) Suchen ( x y z )
L ( 0 0 0 0)
§¨ 1.879 · ¨ 0.269 ¸ ¨ 0.505 © ¹
Gradientenverfahren
Lösungsvektor einer Lösung (Vorgegebene Startwerte x = 0, y = 0, z = 0 und a = 0)
Beispiel 8.11: Lösungsblock mit Vorgabe und der Funktion Minfehl: T
x ( 0.555 1.000 1.5505 2.000 2.500 3.100 )
gegebene Datenvektoren T
y ( 2.710 3.512 3.921 4.700 4.152 5.551 )
Es soll mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate nach Gauß eine optimale Ausgleichsgerade durch die Datenpunkte gefunden werden. n länge ( x)
n
6
Bereichsvariable
F ( x k d) k x d
lineare Anpassungsfunktion
ORIGIN
ORIGIN ist hier auf Null gesetzt!
0
Seite 140
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
n1
yi F xi k d 2
¦
G ( k d)
i
k 1
Die Fehlerquadratfunktion nach Gauß soll ein Minimum werden!
0
d 2
Startwerte
Vorgabe G ( k d) = 0
§k · ¨ Minfehl ( k d) ©d ¹ k
0.9589944953
d
2.3799140744
G ( k d) n
Lösungen in einem Vektor gespeichert. Vergleiche: Gradientenverfahren, Levenberg-Marquardt und Quasi-Newton. Auswählbar mit rechter Maustaste auf dem Funktionsnamen "Minfehl". Vergleiche dazu die Werte der Funktionen "neigung" und "achsenabschn":
neigung ( x y)
0.9589944947
achsenabschn ( x y)
2.3799140729
mittlerer quadratische Fehler
0.1109755773
Grafische Veranschaulichung: i 0 n Bereichsvariable
x 0 5
Datenpunkte und Ausgleichsgerade
8 F( x k d )
6
yi
Abb. 8.10
4 2
0
1
2
3
4
5
x xi
Beispiel 8.12: Lösungsblock mit Vorgabe und der Funktion Minfehl: x 0.4
y 0
Startwerte
Vorgabe 2x
y= 2 e
y 2 x= 1
§¨ xmin · Minfehl ( x y) ¨y min © ¹
Die Lösungen werden in einem Vektor gespeichert. Vergleiche: Gradientenverfahren, Levenberg-Marquardt und Quasi-Newton.
Seite 141
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
§¨ xmin · ¨ ymin © ¹
§ 0.24 · ¨ © 1.003 ¹
der gefundene Lösungspunkt
Betrag des minimalen Fehlervektors: 2xmin · § ¨ ymin 2 e ¨ © ymin 2 xmin 1 ¹
0.537
bzw.
ERR
0.537
Grafische Veranschaulichung: 2x
f ( x) 2 e
Funktionen
g ( x) 2 x 1 x 1 0.99 0.5
Bereichsvariable Vergleich beider Kuven
Der Lösungspunkt sollte genau dort liegen, wo beide Kurven den kleinsten Abstand haben !
10
f( x) 5
g ( x)
Die Minfehl-Funktion liefert das Minimum der Quadratsumme:
ymin 1
0.5
0
0.5
y 2 e2x
2
( y 2 x 1)
5
Abb. 8.11
x x xmin
8.5 Numerisches Suchen von Minima und Maxima einer Funktion Beispiel 8.13: Lösungsblock mit Vorgabe und den Funktionen Minimieren bzw. Maximieren: 2
2
f ( x y) x 2y 10
Flächenfunktion
i 0 40
Bereichsvariable
Xi j
j 0 40
i 20 3
o Z f ( X Y)
§¨ X · M ¨Y ¸ ¨Z © ¹
Yi j
j 20 3
X und Y Variablen als Matrix
Z Variable als Matrix
Matrix der X, Y und Z Matrizen
Seite 142
2
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
Flächen- und Umrissdiagramm:
Ausgewählte Region im Definitionsbereich (x-y-Ebene): x 0 0.1 5
6 5x
Abb. 8.12
y 0 0.1 5
Bereichsvariable
Eingeschränkte Grenzen
5 4
y
3
0
2
Abb. 8.13
1 0 1
1
0
1
MM
2
3
4
5
x 0 x
x 1
y 4
Startwerte
Vorgabe xt0 yt0
Einschränkung des Definitionsbereichs durch Nebenbedingungen
yd5 x
§¨ xmin · Minimieren ( f x y) ¨y © min ¹ §¨ xmin · ¨y © min ¹
§0 · ¨ ©5 ¹
x 4
f xmin ymin
Gradientenverfahren
40
y 2
ein Minimum im Punkt P( 0 | 5 | -40 )
Startwerte
Vorgabe xt0 Einschränkung des Definitionsbereichs durch Nebenbedingungen
yt0 yd5 x
§¨ xmin · Maximieren ( f x y) ¨y min © ¹ §¨ xmin · ¨y © min ¹
§5 · ¨ ©0 ¹
f xmin ymin
Gradientenverfahren
35
ein Maximum im Punkt P( 5 | 0 | 35)
Seite 143
6
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
x 0
y 1
Startwerte
Vorgabe xt0 Einschränkung des Definitionsbereichs durch Nebenbedingungen
yt0 yd5 x
§¨ xmax · Maximieren ( f x y) ¨ ymax © ¹ §¨ xmax · ¨ ymax © ¹
§0 · ¨ ©0 ¹
Gradientenverfahren
f xmax ymax
ein Maximum im Punkt P( 0 | 0 | 10 )
10
Beispiel 8.14: Vergleich zwischen "Suchen" und "Minimieren": x 2
y 2
Startwerte
Vorgabe 2
2
x 6 y = 25 nichtlineares Gleichungssystem 2 x y= 5
§¨ x1 · Suchen ( x y) ¨ y1 © ¹ f ( x y)
§¨ x1 · ¨ y1 © ¹
x2 6 y2 25
x 2
y 2
2
§ 3.272 · ¨ © 1.544 ¹
( 2x y 5)
Gradientenverfahren
2
Startwerte
§¨ x1 · Minimieren ( f x y) ¨ y1 © ¹
§¨ x1 · ¨ y1 © ¹
§ 3.272 · ¨ © 1.544 ¹
Gradientenverfahren
Beispiel 8.15: Lokale Minima und Maxima einer Funktion in einer Variablen: 3
2
g ( Z ) Z 25 Z 50 Z 1000
gegebene Funktion
Quickplot der gegebenen Funktion 6000 4000
g( Z )
Abb. 8.14
2000
10
0
10
20
Z
Seite 144
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
Z s1 1
Z s2 12
xmin Minimieren g Z s1
Startwerte
xmax Maximieren g Z s2
xmin
xmax
0.946
g xmin
17.613
g xmax
975.919 Gradientenverfahren 4172.229
Beispiel 8.16: Lokale Minima und Maxima einer Funktion in zwei Variablen: 4
3
2
2
f1 ( x y) 1000 3 x 9 x 65 x 145 x 40 y
gegebene Funktion
Quickplot der gegebenen Funktion
Abb. 8.15
f1 Lokales Maximum: x1 4.5
y1 0
Startwerte
§¨ x1max · Maximieren f 1 x1 y1 ¨y 1max © ¹
x1max
1271.136
1535.472
4.157
y1max
0
f1 x1max y1max
2.907
y2max
0
f1 x2max y2max
Globales Maximum: x2 4
y2 0
Startwerte
§¨ x2max · Maximieren f 1 x2 y2 ¨y 2max © ¹ X10 x1max
X11 x2max
Y10 y1max
Y11 y2max
x2max
Z10 f1 x1max y1max
Z11 f1 x2max y2max
Seite 145
Die Koordinaten der Punkte werden in einem Vektor gespeichert.
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
X1
§ 4.157 · ¨ © 2.907 ¹
§0 · ¨ ©0 ¹
Y1
§ 1271.136 · Z1 ¨ © 1535.472 ¹
§¨ X1 · P12 ¨ Y1 ¸ ¨ Z1 © ¹
Zuerst ein Streuungsdiagramm erzeugen. Dann für Diagramm1 Streuungsdiagramm und für Diagramm2 Flächendiagramm (Quickplot) einstellen.
( X1 Y1 Z1) f 1
P12 f1 Abb. 8.16
Abb. 8.17
Beispiel 8.17: Extremwertaufgaben mit Einheiten: Eine oben offene quaderförmige Blechbox soll eine Oberfläche O = 0.5 m2 besitzen. Wie ist die Länge l, die Breite b und die Höhe h zu wählen, damit das Volumen V der Blechbox maximal wird ? Vol ( l b h) l b h
Funktion zur Berechnung des Volumens soll ein Maximum werden
O ( l b h) l b 2 l h 2 h b
Funktion zur Berechnung der Oberfläche
l 0.8 m
h 0.2 m
b 0.2 m
Startwerte
Vorgabe O ( l b h) = 0.5 m
2
Nebenbedingung
§¨ l · ¨ b ¸ Maximieren ( Vol l b h) ¨h © ¹
Gradientenverfahren
l
h
0.408 m
O ( l b h)
b 0.5 m
2
0.408 m Vol ( l b h)
0.034 m
0.204 m
Gesuchte Maße für die Blechbox
3
Oberfläche und maximales Volumen
Seite 146
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
8.6 Numerisches Lösen von linearen Optimierungsaufgaben Beispiel 8.18: Lösungsblock mit Vorgabe und den Funktionen Minimieren bzw. Maximieren: Bei einer linearen Optimierungunsaufgabe muss eine lineare Funktion z = f(x,y,...), die von zwei oder mehreren Variablen abhängt, unter vorgegebenen Nebenbedingungen minimiert oder maximiert werden. Meist verwendet man zur Lösung solcher Extremwertaufgaben die Simplexmethode, die ebenfalls in Mathcad zur Verfügung steht (siehe elektronisches Buch-Numerical Recipes Funktion "simplex" ). In der Standardversion von Mathcad stehen die Funktionen Minimieren, Maximieren bzw. Minfehl zur Verfügung. Bei der linearen Optimierung sucht man ein globales Minimum oder Maximum, und dieses liegt am Rande des zulässigen Lösungsbereichs. f ( x y) = 54 x 62 y
Die angenommene Zielfunktion soll ein Maximum werden, unter der Bedingung, dass alle Gleichungen bzw. Ungleichungen erfüllt sind.
14 x 12 y d 8500 25 x 15 y d 14200
Die ersten drei Nebenbedingungen lassen sich auch als Matrizenungleichung schreiben: A X d c.
15 x 35 y d 18400 xt0
yt0
Zwei weitere Nebenbedingungen
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
§¨ 14 12 · A ¨ 25 15 ¸ ¨ 15 35 © ¹
§¨ 8500 · c ¨ 14200 ¸ ¨ 18400 © ¹
Die Koeffizienten und die Konstanten der ersten drei Ungleichungen werden zu einer Matrix bzw. zu einem Vektor zusammengefasst.
a 54
b 62
Koeffizienten der Zielfunktion
a) Grafische Veranschaulichung Die zu erfüllenden linearen Ungleichungen in den Variablen x und y teilen die x-y-Ebene jeweils in eine erlaubte und eine unerlaubte Halbebene auf. Die Durchschnittsmenge der erlaubten Halbebenen ergibt ein konvexes Vieleck und stellt den Lösungsbereich für alle Ungleichungen dar. Die Zielfunktion z = f(x,y) ist eine lineare Funktion in den gesuchten Größen x und y. Kurven mit z = konstant stellen deshalb Geraden in der x-y-Ebene dar. Diese Geradenschar besteht aus lauter parallelen Geraden mit unterschiedlichen z-Werten. Das konvexe Vieleck wird von zwei dieser Geraden berührt. Eine dieser Berührungsgeraden ist die gesuchte optimale Lösung mit maximalem z-Wert. fz ( x z )
y1 ( x)
y2 ( x)
y3 ( x)
z a x b
Gerade für z = konstant in der x-y-Ebene
c1 A1 1 x A1 2 c2 A2 1 x A2 2 c3 A3 1 x
Die erlaubten und unerlaubten Halbebenen werden durch die Trenngeraden voneinander getrennt. Diese Trenngeraden erhalten wir durch Umformen der Ungleichungen nach y und Ersetzen das Ungleichheitszeichen durch ein Gleichheitszeichen.
A3 2
Seite 147
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
ymin ( x) min y1 ( x) y2 ( x) y3 ( x)
§ § c1 xmax max ¨ ¨ A ©©
x 0
xmax 300
1 1
c2
c3
··
A2 1
A3 1
¹¹
xmax
Darstellung der Lösungsmenge des Ungleichungssystem
Wegen yt 0 kann für x ein maximaler Wert aus den Ungleichungen bestimmt werden.
Bereichsvariable
800
y1 ( x) y2 ( x)
600
y3 ( x) ymin( x)
400
fz( x 42000) fz( x 39000) 200
0
0
200
400
600
800
1000
1200
x
Abb. 8.18 Durch Änderung des z-Wertes in der Funktion f z(x,z), kann graphisch die optimale Lösung (die Gerade berührt das konvexe Vieleck) bestimmt werden. b) Berechnung der optimalen Lösung für die Zielfunktion f f ( x y) a x b y
die zu optimierende Zielfunktion
x 200
Startwerte (Näherungsweise aus dem Diagramm abgelesen)
k
y 400
§a · ¨ ©b ¹
die Konstanten der Zielfunktion zu einem Vektor zusammengefasst T
x (x y )
die Variablen der Zielfunktion zu einem Vektor zusammengefasst
f1 ( x) k x
die zu optimierende Zielfunktion in Vektorform dargestellt
Seite 148
Gleichungen, Ungleichungen und Systeme
Vorgabe A x d c xt0
Nebenbedingungen yt0
§¨ xmax · Maximieren f 1 x ¨y max © ¹ §¨ xmax · ¨y © max ¹
§ 247.419 · ¨ © 419.677 ¹
Linear-Verfahren. Auswählbar mit rechter Maustaste auf dem Funktionsnamen "Maximieren".
f xmax ymax
39380.645
Maximalwert der Zielfunktion
c) Das Minimum der Kehrwertfunktion Das Minimum der Kehrwertfunktion f kw liefert ebenfalls das Maximum der Funktion f: f ( x y) a x b y fkw ( x y) x 200
1 f ( x y) y 400
die zu optimierende Zielfunktion Kehrwert der Zielfunktion Startwerte (Näherungsweise aus dem Diagramm abgelesen)
Vorgabe A1 1 x A1 2 y d 8500 A2 1 x A2 2 y d 14200
Nebenbedingungen
A3 1 x A3 2 y d 18400 xt0
yt0
§¨ xmax1 · Minimieren f kw x y ¨y max1 © ¹ §¨ xmax1 · ¨y © max1 ¹
§ 247.419 · ¨ © 419.677 ¹
Gradientenverfahren. Auswählbar mit rechter Maustaste auf dem Funktionsnamen "Minimieren".
f xmax1 ymax1
Seite 149
39380.645
Maximalwert der Zielfunktion
Folgen - Reihen - Grenzwerte
9. Folgen - Reihen - Grenzwerte Das Summenzeichen und die Grenzwerte erhält man aus der Symbolleiste Differential/Integral: Das " f " Zeichen erhält man auch mit: <Strg> +
Abb. 9.1
9.1 Folgen Beispiel 9.1: ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
n 1 12
Bereichsvariable
an
1
allgemeines Folgeglied
n
T
1
a
2
1
1
3 0.5
4
0.333
5
0.25
6 0.2
7
0.167
8
0.143
0.125
9
10
0.111
0.1
Durch einen Doppelklick auf die Tabelle kann das Ergebnisformat geändert werden. Beispiel 9.2:
Eine Folge durch eine Rekursionsformel (Differenzengleichung) festlegen: ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
n 0 12
Bereichsvariable
a0 1
erstes Folgeglied (Anfangswert) 2
an1 an n T
0
a
0
Bildungsgesetz für die Nachfolgeglieder (rekursive Berechnung) 1
1
2 1
3 2
4 6
15
5 31
6 56
7 92
8
9
10
11
12
141
205
286
386
507
Beispiel 9.3: Auf welchen Betrag wachsen 1000 € in 5 Jahren bei einer jährlichen Kapitalisierung und konstanten Verzinsung von 3,5 % ? ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
n 1 10
Bereichsvariable
€ 1
Währungsdefinition
Seite 150
Folgen - Reihen - Grenzwerte
K1 1000 €
Anfangskapital
p 3.5 %
Zinsfuß
p · § Kn1 K1 ¨ 1 100 % ¹ ©
n
geometrische Folge
1400 5
Kapital
1300 Kn
1200
€
1100
K5
1000 900
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
K1
1000 €
K5
1147.523 €
11
n Jahre
Abb. 9.2 9.2 Endliche Reihen Werden die Glieder einer endlichen Zahlenfolge aufsummiert, so entsteht eine endliche Reihe. Beispiel 9.3: Symbolische Auswertung: m
¦
k
( 2 k 1)
2
( m 1) 2 m 1
ergibt
vereinfacht auf
m
2
1
m
¦
k
( 2 k 1) vereinfachen o m
2
1
Partialsummenfolge: ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
n
¦
sn
k
( 2 k 1)
s5
25
s10
100
fünfte und zehnte Partialsumme
1
Beispiel 9.4: Symbolische Auswertung: m
¦
k
m 1 a1 a § a qk1· o 1 q © 1 ¹ q q1 q 1
endliche geometrische Reihe
1
Seite 151
Folgen - Reihen - Grenzwerte
a1 q
m 1
q
q 1
m
m
a1
q 1 vereinfachen o a1 q1 q1
für q
z1
m § a qk1· vereinfachen o a q 1 1 q 1 © 1 ¹
¦
k
1
9.3 Unendliche Reihen f
¦
u1 u2 u3 u4 .. un .. =
k
uk
unendliche Reihe
1
Von jeder Reihe können Partialsummen gebildet werden: s 1 = u1 s 2 = u1 u2 s 3 = u1 u2 u3 ....................................... n
s n = u1 u2 u3 .. un =
¦
k
uk
1
u1 u2 u3 u4 .. un .. heißt konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen, also < s 1 s 2 s 3 .. s n .. > konvergent ist. Die unendliche Reihe
Der Grenzwert s =
lim nof
s n heißt Summe der Reihe.
Symbolische Auswertung: Beispiel 9.4: f
¦
f
1
¦
k
f
1
f
ergibt
k
Beispiel 9.8:
¦
k
¦
k
k
x k
0 2 k
2
o
1 8
S
2
Beispiel 9.7:
1
f
1 ( 2 k 1)
k
Beispiel 9.6: f
1
¦
o2
k 0 2
k
Beispiel 9.5:
1
ergibt
k
1
Beispiel 9.9:
§ 1 x· ©2 ¹
o exp ¨
f
¦
k
Seite 152
k
2k
( 1) x 2k
0 2
( 2 k )
§ 1 x· ©2 ¹
o cos ¨
f
Folgen - Reihen - Grenzwerte
Beispiel 9.10: f
k j Z e ¦
k
Auswertung über komplexer Ebene ergibt
2
( cos ( Z ) 1) sin ( Z )
2
sin ( Z )
i
2
( cos ( Z ) 1) sin ( Z )
2
0
( cos ( Z ) 1) 2
( cos ( Z ) 1) sin ( Z )
2
sin ( Z )
i
2
( cos ( Z ) 1) sin ( Z )
f
k j Z e ¦
k
ergibt
k j Z e ¦
2
vereinfacht auf
1 2
cos ( Z ) 1 i sin ( Z ) cos ( Z ) 1
1 iZ
e
0
f
k
( cos ( Z ) 1)
1
komplex
1 cos ( Z ) 1 i sin ( Z ) o vereinfachen 2 cos ( Z ) 1
0
9.4 Grenzwerte
Eine Folge an heißt konvergent gegen a, wenn der Grenzwert
Beispiel 9.11: ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
n 1 20
Bereichsvariable
an 1 lim nof
1
allgemeines Folgeglied
n
§1 ¨ ©
1· n¹
o1
an a H
Grenzwert der Folge (a = 1)
H-Umgebung von a
Für H = 1/ 10 gilt: |an - 1| = | 1 - 1/n - 1 | = 1/n < H
daher ist n > 10
Seite 153
lim nof
an = a existiert.
Folgen - Reihen - Grenzwerte
2
1
1 10
1
1 1
1
Abb. 9.3
10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
an
1 n
Fast alle an liegen in dem Streifen a rH (HUmgebung von a = 1), nämlich ab n = 11. Bei der Grenzwertberechnung können unbestimmte Ausdrücke folgender Form auftreten: 0 f 0 0 f 0 ff f0 f 1 0 f Für diese Fälle lässt sich die Regel von De L'Hospital unter gewissen Voraussetzungen anwenden. Diese Regel muss aber nicht in jedem Fall ein Ergebnis liefern. Deshalb ist auch nicht zu erwarten, dass Mathcad bei der Grenzwertberechnung immer erfolgreich ist. Beispiel 9.12: Grenzwert symbolisch auswerten: 2
3 n 2
lim
n o f 4 n2 5 n
o
2
3
lim
3 n 2
n o f 4 n2 5 n
4
vereinfacht auf
3 4
Beispiel 9.13: Grenzwert symbolisch auswerten: lim nof
lim nof
lim nof
§1 1 · ¨ n¹ ©
n
§1 1 · ¨ n¹ ©
n
§1 1 · ¨ n¹ ©
n
vereinfacht auf
1
e
exp ( 1) = e = e
o exp ( 1)
vereinfachen o exp ( 1)
Beispiel 9.14 Grenzwert symbolisch auswerten (unendliche geometrische Reihe): f
¦
k
1
§ 1· ¨ © 2¹
k 1
o2
Man vergleiche: a = 1, q = 1/2.
s
1 1
Seite 154
1 2
s
2
Folgen - Reihen - Grenzwerte
f
¦
k
1
f
¦
k
1
§ 1· ¨ © 2¹
k 1
§ 1· ¨ © 2¹
k 1
vereinfacht auf
2
vereinfachen o 2
9.5 Grenzwerte und Stetigkeit von reellwertigen Funktionen Eine Funktion f: y = f(x) heißt an der Stelle x 0 D stetig, wenn dort der Grenzwert existiert und mit dem Funktionswert übereinstimmt: lim
f ( x) = a
x o x0
und a = f x0 .
Beispiel 9.15: Stetigkeit (Animation): f ( x)
x if 0 d x d 3 Funktionsgleichung
x 1 if x ! 3 x1 3
f x1
x2 3.5
3
f x2
'x x2 x1
'x
FRAME 35
2.5
Koordinaten von zwei Punkten der Kurve und Animationsparameter FRAME. FRAME: 0 bis 15 mit 1 Bild/s.
Differenz
0.5
x 0 0.01 5
Bereichsvariable Stetigkeit
4
Linksseitiger Grenzwert
lim x o x1
x o3
x1
f x1 'x
x2
f x1
3 y-Achse
f( x)
f x2 f x1
2
lim x o x1
( x 1) o 2
Abb. 9.4
1
Rechtsseitiger Grenzwert 0
1
2
3 x x1 x2 x-Achse
Seite 155
4
5
Folgen - Reihen - Grenzwerte
Beispiel 9.16: 3
3
x 2
lim xo2
o 12
x 2 3
3
x 2
lim xo2
vereinfachen o 12
x 2
Beispiel 9.17: sin ( x)
lim
x
xo0
sin ( x)
lim
x
xo0
o1
2 x sin ( x)
f ( x)
vereinfachen o 1
x 3 ln ( x 1) f ( x) o
lim xo0
3 4
Beispiel 9.18: Links- und rechtsseitiger Grenzwert: x
S 2
0.1
S 2
0.1 0.0001
S
0.1
2
f ( x) tan ( x)
Bereichsvariable Funktionsgleichung
10 S
Rechtsseitiger Grenzwert:
S
2
lim
2
5
xo f( x)
2
1
0
1
S 2
2
lim 10
xo x
Abb. 9.5 Beispiel 9.19: Links- und rechtsseitiger Grenzwert:
g ( x)
x x
f ( x) o f
Linksseitiger Grenzwert:
5
x 15 15
Bereichsvariable Funktionsgleichung
Seite 156
S 2
f ( x) o f
Folgen - Reihen - Grenzwerte
2
Format: Punkte
1 g ( x)
20
10
lim g ( x) o 1 xo0 0
10
20
lim g ( x) o 1 xo0
1 2
Abb. 9.6
x
Beispiel 9.20: Links- und rechtsseitiger Grenzwert: x 4 S 4 S 0.01 4 S f ( x)
sin ( x) x
if x z 0
Bereichsvariable
D= \ {0}
0 otherwise
Funktionsgleichung und Definitionsmenge (Lücke bei x = 0) Vergleiche dazu die sinc-Funktion! Die Lücke kann hier, weil der Grenzwert existiert, geschlossen werden!
2
lim xo0
1
f( x)
sin ( x)
1 15
10
5
0
5
10
15
lim xo0
x
sin ( x)
x
o1
o1
1
Abb. 9.7
x 0
Beispiel 9.21: Verschiedenen Grenzwerte: x 2 2 0.001 4 f ( x)
1
Bereichsvariable Funktionsgleichung und Definitionsmenge
D= \ {1}
x 1
lim xo1
10 1
lim xo1
f( x)
2
0
2
4
f ( x) o f f ( x) o f f ( x) o 0
lim xof
10
lim
f ( x) o 0
xof
x
Einschränkung der y-Achse auf den Bereich -10 bis 10.
Seite 157
Abb. 9.8
Ableitungen von Funktionen
10. Ableitungen von Funktionen Symbolleiste Differential/Integral:
Erste Ableitung:
d
Taste: < ? >
d Höhere Ableitungen:
d
Tasten: < Strg >+
d Abb. 10.1 Eine globale Einstellung der partiellen Ableitungsoperatoren erhält man durch die Einstellung im Menü-Extras-Arbeitsblattoptionen-Anzeige-Ableitung (partielle Ableitung) :
Partielle Ableitungen: Eine lokale Einstellung eines partiellen Ableitungsoperators erhält man durch die Einstellung im nachfolgenden Kontextmenü (zuerst mit der rechten Maustaste auf den normalen Ableitungsoperator klicken).
Abb. 10.2
Auswertungsmöglichkeiten: x Variable mit Cursor ( | ) markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Variable-Differenzieren wählen. x Den zu integrierenden Ausdruck mit dem Cursor markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Auswerten-Symbolisch wählen. x Symboloperator " o " und Schlüsselwörter (Abb. 10.3) . x Numerische Auswertung mit dem "=" Operator. Kurzschreibweisen für die Ableitungen: y' fx ( x)
y'' fxx ( x)
usw.
Das Primsysmbol ( ' ) erhält man mit den Tasten <Strg>+
Seite 158
Ableitungen von Funktionen
10.1 Ableitungen von Funktionen in einer Variablen Es sei hier nur die Differenzierbarkeit von Funktionen in einer Variablen in expliziter Form kurz erwähnt: Eine Funktion f: y = f(x) ( D und W ) heißt an der Stelle x0 D differenzierbar, wenn der folgende Grenzwert existiert :
f ' x0 =
dx d
f x0 =
'y
lim
'x o 0 'x
=
lim
f x0 'x f x0 'x
'x o 0
Eine Funktion f: y = f(x) heißt an jeder Stelle x D differenzierbar, wenn in ganz D die Grenzwerte existieren .
10.1.1 Symbolische Ableitungen Beispiel 10.1: Variable mit Cursor ( | ) markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Variable-Differenzieren wählen:
x2 c c2 x 4 2
sin x 4 2x
2
3 2 x c c 2
4 x c c x
durch Differentiation, ergibt
2 cos x 4 x
durch Differentiation, ergibt
4 x e
2
2
e
2
durch Differentiation, ergibt
2x
z.B. auch mit
2
Zuerst Ableitungsoperator erzeugen und Ausdruck eintragen. Ausdruck mit Auswahlbox markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Auswerten-Symbolisch wählen:
d dx
x2 c c2 x 4
2
d
2
2
sin x 4
2
2
3 2 x c c 2
ergibt
4 x c c x
ergibt
4 sin x 4 x 2 cos x 4
ergibt
4 exp 2 x
2
2
2
dx
2
d
2
2x
2
e
2
16 x2 exp 2 x2
dx
Symboloperator und Schlüsselwörter: d dx
x2 c c2 x 4 o 4 x2 c c2 x 3 2 x c c2
2
d
2
2
2
2
2
sin x 4 o 4 sin x 4 x 2 cos x 4
dx
2
d
2
2x
e
2
2
o 4 exp 2 x
16 x2 exp 2 x2
dx
Seite 159
z.B. auch mit
Ableitungen von Funktionen
f ( x) sin ( 2 x) cos ( 4 x) f ( x)
sin ( x)
fx ( x) fx ( x)
x
d dx d dx
f ( x) o 2 cos ( 2 x) 4 sin ( 4 x) f ( x) vereinfachen o
cos ( x) x sin ( x) 2
x
Beispiel 10.2: Symbolisches Differenzieren definierter Funktionen mit dem logischen Gleichheitszeichen. Variable mit Cursor ( | ) markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Variable-Differenzieren wählen: f ( x) = 4 exp ( 2 x) d dx
f ( x) = 8 exp ( 2 x)
durch Differentiation, ergibt
d dx
durch Differentiation, ergibt
f ( x) = 8 exp ( 2 x)
d d dx dx
fx ( x) = 8 exp ( 2 x)
durch Differentiation, ergibt
g ( x) = sin ( 3 x)
durch Differentiation, ergibt
y' ( x) = atan ( x)
durch Differentiation, ergibt
d dx d dx d
f ( x) = 16 exp ( 2 x)
fx ( x) = 16 exp ( 2 x)
g ( x) = 3 cos ( 3 x)
y' ( x) =
dx
1 2
1x
Beispiel 10.3: Differenzieren von Summen und Produkten. Variable mit Cursor ( | )markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Variable-Differenzieren wählen:
¦ (x n)
2
2
durch Differentiation, ergibt
2 x n n n
durch Differentiation, ergibt
2 x k k k
durch Differentiation, ergibt
( x 2) ( x 3) ( x 4) ( x 1) ( x 3) ( x 4) ( x 1) ( x 2) ( x 4) ( x 1) ( x 2) ( x 3)
n
k 1
¦
m
( x m)
2
2
0
4
i
1
( x i)
Das Ergebnis wurde hier umgebrochen ! Siehe dazu Kapitel 4.1.2.
Seite 160
Ableitungen von Funktionen
10.1.2 Symbolische Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung Beispiel 10.4: Gegeben: Funktion in Polarkoordinatendarstellung: r : [0, 2S> R; r(M) := M. Damit lässt sich die Funktion in Parameterdarstellung f : [0, 2S> 2 ; f(M) := (M.cos(M), M.sin(M)) darstellen. Die erste und zweite Ableitung von y nach x erhält man mithilfe der Kettenregel: d y' =
d
y=
dx
d dM
y
d
M =
dx
dM d dM
y'' =
d
y' =
dx
y'' =
d dM
y'
d
y = x
d
M =
dM
dx
yM ( M ) xM ( M )
yMM ( M ) xM ( M ) xMM ( M ) yM ( M ) yM ( M ) 1 d M = 2 xM ( M ) xM ( M ) dx xM ( M )
xM ( M ) yMM ( M ) yM ( M ) xMM ( M ) xM ( M )
x ( M ) = M cos ( M )
3
y ( M ) = M sin ( M )
Parameterdarstellung der Funktion
x ( M ) = M cos ( M )
durch Differentiation, ergibt
y ( M ) = M sin ( M )
durch Differentiation, ergibt
d
y=
dx d dM d dM
yM ( M ) xM ( M )
=
sin ( M ) M cos ( M )
d dM d dM
x ( M ) = cos ( M ) M sin ( M ) y ( M ) = sin ( M ) M cos ( M )
erste Ableitung von y nach x
cos ( M ) M sin ( M )
x ( M ) = cos ( M ) M sin ( M )
durch Differentiation, ergibt
y ( M ) = sin ( M ) M cos ( M )
durch Differentiation, ergibt
2
d
2
y=
d d dM dM d d dM dM
x ( M ) = 2 sin ( M ) M cos ( M )
y ( M ) = 2 cos ( M ) M sin ( M )
( cos ( M ) M sin ( M ) ) ( 2 cos ( M ) M sin ( M ) ) ( sin ( M ) M cos ( M ) ) ( 2 sin ( M ) M cos ( M ) ) ( 2 sin ( M ) M cos ( M ) )
dx
3
( cos ( M ) M sin ( M ) ) ( 2 cos ( M ) M sin ( M ) ) ( sin ( M ) M cos ( M ) ) ( 2 sin ( M ) M cos ( M ) ) ( 2 sin ( M ) M cos ( M ) )
3
Durch Vereinfachen des Zählers ergibt sich: 2
d
2
dx
y=
2 M
2
( 2 sin ( M ) M cos ( M ) )
3
zweite Ableitung von y nach x
Seite 161
Ableitungen von Funktionen
10.1.3 Numerische Ableitungen Bei der ersten Ableitung lässt sich eine Genauigkeit von 7 bis 8 signifikanten Stellen erzielen, wenn der Ableitungswert nicht zu nahe an einer Singularität der betreffenden Funktion liegt. Die Genauigkeit nimmt aber mit jedem Grad der Ableitung um eine Stelle ab. Beispiel 10.5: Ableitungen von Funktionen an einem fest vorgegebenen Argumentwert: 2
x 4 d dx d dx
f ( x) 2 x 4
2 x2 4
2 x2 4 2
2
d
16
4
gx ( x)
oder
dx 0.291
sin ( 2 x)
1
d
oder
1
sin ( 2 x)
d dx
6
d
0.291
6
dx
2
d
2
sin ( 2 x)
3.957
d d
oder
dx dx
dx
f ( x) o 4 x
gxx ( x)
2
d
2
f ( x) o 4
dx
Eine numerische Auswertung ist nur bis n = 5 möglich !
sin ( 2 x)
dx 3.957
sin ( 2 x)
Beispiel 10.6: Ableitung an mehreren Stellen: Bereichsvariable:
Vektorargumente: ORIGIN 1
x 1 1 2
d
f '' ( x)
2
2x
e
Bereichsvariable
i 1 3
zweite Ableitung
§¨ 0 · x ¨S ¸ ¨5 © ¹
dx
1
29.556
2
4
3
0.541
1
Tabellenausgabe
3
d
3
sin ( x)
dritte Ableitung
dx
x 2 2
1
-1
2
1
3
-0.284
o g''' ( x)
§¨ 1 · ¨ 1 ¸ ¨ 0.284 © ¹
Tabellen- und Vektorausgabe
Bereichsvariable 2
f ( x) 2 x x 3
f ( x)
g''' ( x)
g''' xi
1
f '' ( x)
ORIGIN festlegen
d
fx ( x)
dx
fx ( x) 1
f ( x)
2
d
fxx ( x)
2
dx
fxx ( x) 1
1
1
3
1
-7
1
4
2
-2
2
-3
2
4
3
-3
3
1
3
4
4
0
4
5
4
4
5
7
5
9
5
4
Seite 162
f ( x)
Funktion und Ableitungen
Ableitungen von Funktionen
Beispiel 10.7: Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte: ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
x x
Redefinition von x
3
1
f ( x)
2
x 9 x 23 x 5
10
Funktion
Nullstellen:
N f ( x) = 0
.20 § · auflösen x ¨ o ¨ 4.61 1.92 i ¸ gleit 3 ¨ 4.61 1.92 i © ¹
xn N1
yn 0
reelle Nullstelle
Extremstellen:
E
d
auflösen x § 4.15 · o¨ gleit 3 © 1.85 ¹
f ( x) = 0
dx x1 E1
Notwendige Bedingung
x2 E2 2
d
f '' ( x)
2
mögliche Extremstellen
f '' xi z 0
f ( x)
dx
hinreichende Bedingung
0.69
f '' x1 ! 0
1
Tiefpunkt an der Stelle x 1
0.69
f '' x2 0
1
Hochpunkt an der Stelle x 2
f '' x1 f '' x2
y1 f x1
y1
1.692
y2 f x2
y2
2.308
Extremstellen
Wendepunkte: W
2
d
2
f ( x) = 0 auflösen x o 3
notwendige Bedingung
dx
xw W
f ''' ( x)
yw f xw 3
d
3
f ( x)
dx
f ''' xw z 0
1
x 1 0.95 6
f ''' xw z 0
möglicher Wendepunkt
hinreichende Bedingung
Es liegt bei x w ein Wendepunkt vor! Bereichsvariable
Seite 163
Ableitungen von Funktionen
3
H W
f( x)
2
yn
T 1
N
xn
0.2
yn
0
T
x1
4.15
y1
1.692
H
x2
1.85
y2
2.308
W
xw
3
yw
2
y1
N y2
2
yw
1
0
1
2
3
4
5
6
1
2
Abb. 10.4
x xn x1 x2 xw
Beispiel 10.8: Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte: ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
x x
Redefinition von x x
2
f ( x) 4x e
Funktion
Erste, zweite und dritte Ableitung: d
fx ( x)
2 1 2 x2
fx ( x) faktor o 4 exp x
f ( x)
dx
fxx ( x) fxxx ( x)
d dx
2 3 2 x2
fxx ( x) faktor o 8 x exp x
fx ( x)
d dx
2 3 12 x2 4 x4
fxxx ( x) faktor o 8 exp x
fxx ( x)
Nullstellen: Vorgabe f ( x) = 0 T
z Suchen ( x) o 0
N ( z f ( z) ) o
§0 · ¨ ©0 ¹
Extremstellen: Vorgabe fx ( x) = 0
notwendige Bedingung
1 § ¨ 1 ¨ 22 T ¨ 2 z Suchen ( x) o ¨ 1 ¨ 1 2 ¨ 2 © 2
· ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ Seite 164
Nullstelle
Ableitungen von Funktionen
6.862
6.862
fxx z 1 fxx z 2 H
hinreichende Bedingung
z1 f z1 T
H
§ 0.707 · ¨ © 1.716 ¹
Hochpunkt
T
z2 f z2 T
T
§ 0.707 · Tiefpunkt ¨ © 1.716 ¹
Wendestellen: Vorgabe fxx ( x) = 0
notwendige Bedingung
§ 0 ¨ 1 ¨ ¨ 1 62 T z Suchen ( x) o ¨ 2 ¨ 1 ¨ 1 ¨ 62 © 2
24
10.71
10.71
fxxx z 1 fxxx z 2 fxxx z 3
§ z 1 f z1 · ¨ W ¨ z 2 f z2 ¸ ¨z f z © 3 3 ¹
· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹
hinreichende Bedingung
§¨ · W ¨ 1.225 1.093 ¸ ¨ 1.225 1.093 © ¹ 0
Wendepunkte
0
x 3 3 0.01 3 Bereichsvariable
Abb. 10.5
Seite 165
W1
z1 f z1 T
W2
z2 f z2 T
W3
z3 f z3 T
Ableitungen von Funktionen
Beispiel 10.9: Von einem Hubwerk mit Frequenzumsetzer (FU), Asynchronmotor (ASM) und Getriebe (G) soll mittels eines gewählten Drehzahlprofils das davon abgeleitete Drehmoment und Leistungsprofil dargestellt werden.
Abb. 10.6
Motordaten: PN 10 kW Nennleistung MN
nN 2900 min
PN
MN
2 S nN
1
32.93 N m
Drehzahl
J R 0.0085 kg m
2
Rotorträgheitsmoment
Nennmoment
Getriebedaten: i 24
Übersetzung
J L 1.5 kg m
2
K 0.9
Wirkungsgrad
ML 160 N m Lastdrehmoment
tB ta
Bremszeit
tD 0.3 s
Lastträgheitsmoment
ta 0.5 s
Beschleunigungszeit
d 220 mm
Durchmesser der Umlenkwalze
Dauer der konstanten Geschwindigkeit
Festlegung der Drehzahlzeitabschnitte für das Drehzahlprofil: t1 0 s n ( t)
t2 ta
t3 t2 tD
§ t· nN sin ¨ S © s¹
t4 t3 tB
2
ª § t t4 ·º » nN sin «S ¨ ¬ © s ¹¼
nN
1
ta
t
if t 3 d t t 4
if t 5 d t t 6
t t7 · § if t 7 d t t 8 nN ¨ 1 ¨© tB ¹ 0 min
t8 t7 tB
Unterprogramms (siehe Kapitel 18). Es sollen eine
2
nN if t 6 d t t 7
1
t7 t6 tD
sin2 (x) Funktion und eine lineare Rampe miteinander vergleichen werden.
if t4 d t t5
t t5
t6 t5 ta
Festlegung des Drehzahlprofils n(t) mithilfe eines if t1 d t t2
nN if t 2 d t t 3
0 min
t5 t4 tD
otherwise
s1 ( t )
d S ´ µ n ( t ) dt ¶ i
Verlauf des Weges über der Zeit
t4 d S ´ µ n ( t ) dt ¶ i
Maximal zurückgelegter Weg
0
s max s max
0
1114 mm
Ma1 ( t) 2 S J R Ma2 ( t) 2 S M2 ( t ) ML
Seite 166
JL i
d
n ( t)
Beschleunigungsmoment primär (bezogen auf Motorwelle)
n ( t)
Beschleunigungsmoment sekundär (bezogen auf Getriebeausgang)
dt d dt
Lastdrehmoment des Hubwerks
Ableitungen von Funktionen
1 M ( t) Ma1 ( t) M2 ( t) Ma2 ( t) iK
Drehmoment an der Motorwelle
P ( t) 2 S n ( t) M ( t) ta t t1 t 50 8
t8
Motorleistung Bereichsvariable für den Zeitbereich
2.9 s
Drehzahlprofil
4000
t4
n( t)
smax
t5
mm
2000
1
min
s1( t)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
mm
Abb. 10.7
2000
4000 t
Drehmomentenverlauf
20
t4
t5
10
M( t)
Abb. 10.8
Nm 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
2.5
3
10 t
Leistung
6 t4
3
t5
P( t) kW
0
0.5
1
1.5
2
3 6 t
N1 200 k 1 N1 o max M ( t) 18.27 N m
o mittelwert P ( t)
1.31 kW
tk
k N1
t8
max. Drehmoment
Bereichsvariable und Abtastvektor o max. Leistung max P ( t) 4.29 kW
Durchschnittliche Leistung
Seite 167
Abb. 10.9
Ableitungen von Funktionen
Beispiel 10.10: Es soll einem Viereck mit b = 3/5 und l = 3 ein Dreieck so umschrieben werden, dass die Hypotenuse L minimal wird.
Abb. 10.10
ORIGIN
ORIGIN festlegen
1
x x
Redefinition von x 2
§ ©
( y 3) ¨ x
L ( x y)
3·
2
Länge der Hypotenuse
5¹
Als Nebenbedingung erhält man mithilfe des Strahlensatzes (ähnliche Dreiecke): y 3
=
3
9
hat als Lösung(en)
x
Gleichung nach x auflösen. x ist also:
5 y
x=
9 5 y
5
§¨ ¨ d ersetzen L ( x y) = L ( x ( y) y) ¨ dy ¨ 1 ¨ o 3 3 9 ¨ 5 ersetzen x ( y) = 5 y ¨ 10 ¨ 1 auflösen y ¨ 3 3 ¨ 10 5 ©
y L ( x y) = 0
· ¸ 5 5 ¸ 1 1 ¸ ¸ 3 2 3 i3 5 ¸ 10 ¸ 1 1 ¸ 3 2 3 ¸ 1
3
10
3
i3
5
Die Lösungen werden hier mit mehreren Symbol- Operatoren gefunden. Es ist nur die erste Lösung reell.
¹
1
ymin y1
L ymin
L ( y)
3
ymin o 5 5
3
ymin
ymin 3 2 §¨ 5 y
9
©
2
( y 3)
y 0.2 0.21 10
§ 9 3· ¨ © 5 y 5¹
min
1.026
3· 5
¹
2
kleinster y-Wert
L ymin
4.664
minimale Länge
2
Funktionsdefinition für die Länge
Bereichsvariable
Seite 168
Ableitungen von Funktionen
14 13
ymin
12 11 10 9
L ( y)
Abb. 10.11
8 7 6
L ymin
5 4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
Andere Lösungsmethoden: Numerische Lösungen mit "Vorgabe und Suchen" bzw. "wurzel": y1 1
Startwert
Vorgabe d
L ( y1) = 0
dy1 ymin Suchen ( y1) y1 1
ymin
1.026
ymin
1.026
L ymin
4.664
Startwert
§d · L ( y1) y1 © dy1 ¹
ymin wurzel ¨
L ymin
4.664
Beispiel 10.11: Waagrechter Wurf ohne Luftwiderstand. Gesucht: Ortsvektor, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor, Tangenteneinheitsvektor, Normaleinheitsvektor und Krümmung. ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
t t
Redefinition von t
m v0 30 s
Anfangsgeschwindigkeit
a g
Beschleunigung (g ist in Mathcad vordefiniert)
s x ( t) v0 t
Wegkomponente in x-Richtung
sy ( t)
r ( t)
a 2
t
2
§¨ s x( t) · ¨ s ( t) © y ¹
Wegkomponente in y-Richtung
Ortsvektor (Vektorfunktion)
Seite 169
Ableitungen von Funktionen
t1 0 s 0.1 s 4 s
8 16
0
Bereichsvariable
20
40
60
80
100
120
24 32 r ( t1) 2 40 48 56
Abb. 10.12
64 72 80 r( t1) 1
§d · ¨ r ( t) 1 ¸ ¨ dt v ( t) ¸ ¨d ¨ r ( t) 2 © dt ¹ § ¨ ¨ a ( t) ¨ ¨ ¨ ©
dt
2
r ( t) 1
2
d
dt
2
v ( 2 s)
§ 30 · m ¨ © 19.613 ¹ s
Geschwindigkeitsvektor
·
2
d
§ m· 30 s v ( t) o ¨ ¨ © g t ¹
r ( t) 2
.
¸ ¸ ¸
a ( t) o
§0 · ¨ © g ¹
a ( 2 s)
§ 0 ·m ¨ © 9.807 ¹ s2
Beschleunigungsvektor
¹ 1
2 ª º m · § 2 « v ( t) o 900 ¨ g t » ¬ © s ¹ ¼
2
a ( t) o g
Betrag von v und a
50 10
a( t1)
v( t1) m
m
40
2 s
s
30
0
1
2
3
4
0
0
2
t1
t1
s
s
Abb. 10.13 t 0 s 1 s 4 s
5
Abb. 10.14
Bereichsvariable
Seite 170
4
Ableitungen von Funktionen
Zeit
Ortsvektoren
t
r ( t) 1 0 s
Geschwindigkeitskomponenten
r ( t) 2 0 m
v ( t) 1 0 m
30 m
0 m
-9.807 m
31.562 s 35.842
0
-9.807
-29.42
42.018
0
-9.807
-39.227
49.383
0
-9.807
60
-19.613
3
90
-44.13
30
4
120
-78.453
30
N ( t)
1
Tangenteneinheitsverktors
tp ( t)
Normaleinheitsvektor
Krümmung
v ( t)
aT ( t) a ( t) t0 ( t)
Tangential-Komponente der Beschleunigung
aN ( t) a ( t) n0 ( t)
Normal-Komponente der Beschleunigung
Zeit
Komponenten des Tangenteneinheitsvektors
t
t0 ( t) 1 0 s
t0 ( t) 2
Tangential-Komponente der Beschleunigung
Normal-Komponente der Beschleunigung
aT ( t)
aN ( t) 0 m
9.807 m
1
0
1
0.951
-0.311
3.047
2
0.837
-0.547
5.366
3
0.714
-0.7
6.866
7.002
4
0.607
-0.794
7.79
5.957
Zeit
Komponenten des Normaleinheitsvektors
t
n0 ( t ) 1
s
2
Krümmung
N ( t)
n0 ( t ) 2
-1.773·10 -14
-1
0.011 1
1
-0.311
-0.951
2
-0.547
-0.837
0.009 m 0.006
3
-0.7
-0.714
0.004
4
-0.794
-0.607
0.002
0 s
2
Ableitung dt0 / dt des
tp ( t)
tp ( t)
0
s
Tangenteneinheitsvektor
§d · ¨ t0 ( t) 1 ¨ dt ¸ tp ( t) ¨d ¸ ¨ t0 ( t) 2 © dt ¹ n0 ( t )
a ( t) 2
0 m
2
v ( t)
a ( t) 1
-9.807 s -19.613
-4.903
v ( t)
v ( t)
30 s 30
30
1
v ( t) 2
Beschleunigungskomponenten
30 m
1
t0 ( t)
Geschwindigkeiten
Seite 171
9.321 8.208
s
2
-9.807
s
2
Ableitungen von Funktionen
10.2 Ableitungen von Funktionen in einer Variablen in impliziter Form Gegeben sei eine Funktion in impliziter Form F: F(x,y) = c ( D x und W = { c } ; c sei eine Konstante aus ). Beispiel 10.12: 2
2
2 x y 4 x y 4 x = x
gegebene Relation
2
Linksterm und Rechtsterm zusammengefasst
2
f ( x y) 2 x y 4 x y 4 x x
ersetzen f ( x y) = f ' ( x y) f ( x y) = 0
d dx
f ( x y ( x) ) 2
o d ersetzen y ( x) = y' y ( x) = y dx
Implizite Ableitung mit Hilfe von symbolischen Operatoren
y x 2 y 2 x ( 4 y 1)
auflösen y' Das Strichsymbol (Primsymbol) mit Leerzeichen über f erzeugt man nach Eingabe von f mit
2
2 x y 4 x y 4 x x = 0
Gleichung nach y auflösen
1 ª « 1 1 « ( 15 4 x) 2 4 4 hat als Lösung(en) « « 1 « 1 1 2 « ( 15 4 x) ¬ 4 4
x 3 3.01 10
º » » » » » » ¼
1
y1 ( x)
1 4
1 4
( 15 4 x)
2
Anteile der Wurzelfunktion 1
y2 ( x)
1 4
1 4
( 15 4 x)
2
Bereichsvariable
1.5 6
1
0.5
y1 ( x) 0.5 y2 ( x)
3
0.5
0.5
1
1
4
5
6
7
2 x x 6 6
x 6
Stelle x = 6 0.5
9
10 1
1.5
y1 ( x)
8
y2 ( x)
1
Funktionswerte an der Stelle x = 6
Seite 172
Abb. 10.15
Ableitungen von Funktionen
d dx d dx
0.167
y1 ( x)
Ableitungswerte an der Stelle x = 6 0.167
y2 ( x)
f ' x y2 ( x) f ' x y1 ( x)
0.167 Ableitungswerte in den Punkten P 1 ( 6 | 0.5) und P2 ( 6 | -1)
0.167
10.3 Ableitungen von Funktionen in mehreren Variablen Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen x und y stellen in der grafischen Veranschaulichung Flächen dar. Gegeben sei eine Funktion in expliziter Form f: z = f(x,y) ( D x und W ). Wir nehmen an, dass f(x,y) in einer offenen Umgebung um (x ; y) definiert ist und dort stetige partielle Ableitungen existieren. Wir bezeichnen den bei festgehaltenem y bzw. x gebildeten Grenzwert f ( x 'x y) f ( x y) w z x = z x ( x y) = f ( x y) = lim als partielle Ableitung 1. Ordnung nach x 'x wx 'x o 0 bzw. z y = z y ( x y) =
w wy
f ( x y) =
f ( x y 'y) f ( x y)
lim 'x o 0
'y
als partielle Ableitung 1. Ordnung nach y.
Durch fortgesetztes partielles Differenzieren erhält man:
z xx =
z yy = z yx =
w w wx wx w w wy wy w w wx wy
2
w
f ( x y) =
2
f ( x y)
zweite partielle Ableitung nach x,
f ( x y)
zweite partielle Ableitung nach y,
wx 2
w
f ( x y) =
2
wy
f ( x y)
z xy =
w w wy wx
f ( x y) gemischte zweite partielle Ableitungen.
Satz von Schwarz: Ist z = f(x,y) eine stetige Funktion, so stimmen die gemischten Ableitungen zweiter Ordnung überein: z xy = z yx .
10.3.1 Symbolische Ableitungen in mehreren Variablen Beispiel 10.13: 2x
f ( x y) = e
2x
f ( x y) = e
sin ( y)
durch Differentiation, ergibt
sin ( y)
durch Differentiation, ergibt
Seite 173
w wx w wy
f ( x y) = 2 exp ( 2 x) sin ( y)
f ( x y) = exp ( 2 x) cos ( y)
Ableitungen von Funktionen
w wx w wy w wx w wy
f ( x y) = 2 exp ( 2 x) sin ( y)
durch Differentiation, ergibt
f ( x y) = exp ( 2 x) cos ( y)
durch Differentiation, ergibt
f ( x y) = 2 exp ( 2 x) sin ( y)
durch Differentiation, ergibt
f ( x y) = exp ( 2 x) cos ( y)
durch Differentiation, ergibt
w w wx wx w w wy wy w w wy wx w w wy wx
f ( x y) = 4 exp ( 2 x) sin ( y)
f ( x y) = exp ( 2 x) sin ( y)
f ( x y) = 2 exp ( 2 x) cos ( y)
f ( x y) = 2 exp ( 2 x) cos ( y)
Beispiel 10.14: Gradient , Divergenz, Rotation und Laplace-Operator: ORIGIN 1 x x
ORIGIN festlegen y y
z z
Redefinitionen
Skalarfeld: Ein Skalarfeld ordnet den Punkten eines ebenen oder räumlichen Bereiches in eindeutiger Weise Skalare zu. 2
2
f3 ( x y z ) x y z 2
3
2
f2 ( x y) x y
räumliches Skalarfeld ebenes Skalarfeld
Gradient eines differenzierbaren Skalarfeldes: Unter dem Gradienten eines differenzierbaren räumlichen Skalarfeldes f 3 (x,y,z) bzw. ebenen Skalarfeldes f 2 (x,y) verstehen wir den aus den partiellen Ableitungen 1. Ordnung von f 3 bzw. f2 gebildeten Vektor.
§w · ¨ f3 ( x y z) ¸ ¨ wx ¸ ¨w grad3 ( f3 x y z ) ¨ f3 ( x y z ) ¸ ¸ ¨ wy ¸ ¨w ¨ f3 ( x y z ) © wz ¹ § 2 x · ¨ grad3 f 3 x y z o ¨ 2 y ¸ ¨ 2 ©3 z ¹
bzw.
§w · ¨ f2 ( x y) ¸ ¨ wx grad2 ( f2 x y) ¸ ¨w ¨ f2 ( x y) © wy ¹
grad2 f 2 x y o
Seite 174
§2 x· ¨ ©2 y¹
Ableitungen von Funktionen
Der Gradient kann auch mithilfe des vektoriellen Differentialoperators ( Nabla-Operator ) definiert werden ( grad ( f) = f ) :
§w · ¨ f (x y z) ¸ ¨ wx ¸ o §w ¨w o §w · o §w · · grad ( f) = f = ¨ f ( x y z ) ¸ = ex ¨ f ( x y z ) ey ¨ f ( x y z ) ez ¨ f ( x y z ) © wx ¹ © wy ¹ © wz ¹ ¸ ¨ wy ¸ ¨w ¨ f ( x y z) © wz ¹
§w · ¨ f ( x y z) ¸ ¨ wx ¸ ¨w 3 ( f x y z ) ¨ f ( x y z ) ¸ ¸ ¨ wy ¸ ¨w ¨ f (x y z) © wz ¹
§w · ¨ f ( x y) ¸ ¨ wx 2 ( f x y) ¸ ¨w ¨ f ( x y) © wy ¹
bzw.
§ 2 x · ¨ 3 f3 x y z o ¨ 2 y ¸ ¨ 2 ©3 z ¹
2 f 2 x y o
§2 x· ¨ ©2 y¹
Divergenz eines Vektorfeldes: Unter der Divergenz eines räumlichen Vektorfeldes F3(x,y,z) bzw. eines ebenen Vektorfeldes F2(x,y) versteht man das skalare Feld:
w
div3 ( F3 x y z )
div2 ( F2 x y)
wx
w wx
F3 ( x y z ) 1 w
F2 ( x y) 1
3
2
wy
u1 ( x y z ) 2 x 3 y z 2
3
v1 ( x y z ) 2 y x 4 z 2
2
w wy
F3 ( x y z ) 2
w wz
F3 ( x y z ) 3
bzw.
F2 ( x y) 2
3
2
Komponenten eines räumlichen Vektorfeldes 4
w1( x y z ) 2 z 2 x 5 y
§¨ u1 ( x y z ) · F3 ( x y z ) ¨ v1 ( x y z ) ¸ ¨ w1( x y z) © ¹ 2
div3 ( F3 x y z ) o 6 x 4 y 4 z
räumliches Vektorfeld
Divergenz des räumlichen Vektorfeldes
Seite 175
Ableitungen von Funktionen
3
2
u2 ( x y) 2 x 3 y 2
Komponenten eines ebenen Vektorfeldes
3
v2 ( x y) 2 y x
F2 ( x y)
§ u2 ( x y) · ¨ © v2 ( x y) ¹
ebenes Vektorfeld
2
div2 ( F2 x y) o 6 x 4 y
Divergenz des ebenen Vektorfeldes
Die Divergenz kann aus dem Skalarprodukt des vektoriellen Nabla-Operators ( )und dem Feldvektor F gebildet werden ( div ( F) = F ) :
§w ¨ ¨ wx ¨w div ( F) = F = ¨ ¨ wy ¨w ¨ © wz
· ¸ § Fx · ¸ ¨ w w w ¸ ¨ Fy ¸ = Fx ( x y z ) Fy ( x y z ) Fz ( x y z ) wy wz ¸ ¨ ¸ wx ¨ F ¸ © z¹ ¹
Rotation eines Vektorfeldes: Unter der Rotation eines räumlichen Vektorfeldes F3(x,y,z) v ersteht man das Vektorfeld rot ( F3) =
§w · o w ¨ F3z F3y ex wz © wy ¹
§w · o w ¨ F3x F3z ey wx © wz ¹
o §w · w ¨ F3y F3x ez . wy © wx ¹
Rotation eines räumlichen Vektorfeldes:
§w · w ¨ F3 ( x y z) 3 F3 ( x y z ) 2 wz ¸ ¨ wy ¸ ¨w w rot3 ( F3 x y z ) ¨ F3 ( x y z ) 1 F3 ( x y z ) 3 ¸ wx ¸ ¨ wz ¸ ¨w w ¨ F3 ( x y z) 2 F3 ( x y z) 1 wy © wx ¹ § 20 y3 8 z · ¨ rot3 ( F3 x y z ) o ¨ 3 z 2 4 x ¸ ¨ ¸ ¨ 2 © 3 x 6 y ¹
Bei einem ebenen Vektorfeld werden sowohl die x-Komponente als auch die yKomponente 0.
Rotation des räumlichen Vektorfeldes
Seite 176
Ableitungen von Funktionen
Die Rotation eines Vektorfeldes F kann auch als Vektorprodukt aus dem Nabla-Operator und dem Feldvektor F gebildet werden ( rot ( F) = u F ) :
§d ¨ ¨ dx ¨d div ( F) = u F = ¨ ¨ dy ¨d ¨ © dz
· ¸ ¸ ¸u ¸ ¸
§w · w ¨ F ( x y z) z F ( x y z) y wz ¨ wy ¸ ¨w ¸ w = ¨ F ( x y z) x F ( x y z) z ¸ wx ¨ wz ¸ ¨w ¸ w ¨ F (x y z)y F (x y z)x wy © wx ¹
§¨ Fx · ¨F ¸ ¨ y¸ ¨© Fz ¹
¹
Laplace Operator: Der Laplace-Operator ' kann als das skalare Produkt des Nabla-Operators mit sich selbst aufgefasst werden ( ' = = 2 ). Es gilt: div( grad( f ) ) = ( f) =( ) f = 'f 2
w
' (f x y z)
2
2
w
f ( x y z)
2
wy
wx
2
2
f3 ( x y z ) o x y z
2
w
f (x y z)
wz
2
f (x y z)
3
f ( x y z ) grad3 f3 x y z
div3 ( f x y z ) o 4 6 z
§ 2 x · ¨ f ( x y z) o ¨ 2 y ¸ ¨ 2 ©3 z ¹
' f3 x y z o 4 6 z
10.3.2 Numerische Ableitungen in mehreren Variablen Beispiel 10.15: Ableitungen von einer Funktion an zwei fest vorgegebenen Argumentwerten: z ( x y) sin ( x 3 y)
Gegebene Funktion
Gesucht sind alle partiellen Ableitungen im Punkt P( 2 | 1 ) : x0 2
y0 1
z x ( x y)
z xx ( x y)
z yx ( x y)
z xy ( x y)
w wx
z ( x y) 2
w
2
z ( x y)
wx
w w wxwy w w wywx
z ( x y)
z ( x y)
z x x0 y0
z xx x0 y0
w
z y ( x y)
0.54
wy
z yy ( x y)
0.841
2.524
2.524
z yx x0 y0
z xy x0 y0
z ( x y) 2
w
2
wy
z ( x y)
z y x0 y0
1.621
z yy x0 y0
7.573
Die gemischten Ableitungen sind hier gleich (Satz von Schwarz)!
Seite 177
Ableitungen von Funktionen
Beispiel 10.16: Fehlerabschätzung: Gegeben sei ein Dreieck mit den Seiten a, b und dem eingeschlossenen Winkel J(in Grad). Alle Messgrößen (a, b, J) seien fehlerbehaftet. a0 220.4 cm
b0 122.1 cm
J 0 30.55 Grad
'a 0.2 cm
'b 0.3 cm
'J 0.09 Grad
Gesucht ist eine Abschätzung des maximalen absoluten und des relativen Fehlers für die Fläche des Dreiecks. a b
A (a b J)
2
sin ( J )
Abzuschätzende Funktion
Abschätzung des absoluten Fehlers mit Hilfe des totalen Differentials:
§w · §w · §w · ¨ A ( a b J ) 'a ¨ A ( a b J ) 'b ¨ A ( a b J ) 'J © wa ¹ © wb ¹ © wJ ¹
'Aab ( a b J )
2
A a0 b0 J 0
2
'Aab a0 b0 J 0
maximaler absoluten Fehler
41.212 cm
'Aab a0 b0 J 0
'Arel 'Arel
Wert für die Fläche
6839.257 cm
relativer Fehler
A a0 b0 J 0
Wert für den relativen Fehler in Prozent
0.603 %
Beispiel 10.17: Minimum und Maximum einer Flächenfunktion: ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
f ( x y) sin ( x y) cos ( x y) x 1
gegebene Flächenfunktion
2
2
x y d1 n 30 Xi j
j n
Definitionsbereich i 0 n
j 0 n
§ 2S · © n¹
Yi j
cos ¨ i
Zi j f X i j Y i j
j n
Bereichsvariablen
§ 2S · © n¹
sin ¨ i
X und Y-Werte als Matrizen definiert
Z-Werte in Matrixform
Seite 178
Ableitungen von Funktionen
Zwei Flächendiagramme
Abb. 10.16
( X Y Z) ( X Y Z 0)
Zu finden ist ein globales Maximum und ein globales Minimum, falls sie existieren, mithilfe der partiellen Ableitungen (siehe Bsp. 10.18) oder mithilfe der Funktionen "Maximieren" und "Minimieren". Es scheint nach der graphischen Darstellung, dass der höchste Punkt bei x = 1 und y = 0 und der niedrigste bei x = -1 und y = 0 liegt. x 1
y 0
Startwerte
Vorgabe 2
2
x y d1
Bedingung (Definitionsbereich)
§¨ xmax · Maximieren ( f x y) ¨y © max ¹
§¨ xmax · ¨y © max ¹
§ 0.918 · ¨ © 0.396 ¹
z max f xmax ymax
x 1
y 0
Startwerte
2
Bedingung (Definitionsbereich)
z max
3.209
xmax
ymax z max
( 0.918 0.396 3.209 )
Vorgabe 2
x y d1
§¨ xmin · Minimieren ( f x y) ¨y © min ¹
z min f xmin ymin
§¨ xmin · ¨y © min ¹ z min
0.618
§ 0.839 · ¨ © 0.545 ¹
xmin
ymin z min
Seite 179
( 0.839 0.545 0.618 )
Ableitungen von Funktionen
Beispiel 10.18: Maximum und Minimum einer Flächenfunktion: x x
y y
Redefinitionen 2
g ( x y)
5 ( x 2) ( y 4)
2
gegebene Flächenfunktion
Notwendige Bedingungen: x0
w wx
g ( x y) = 0 auflösen x o 2
z 0 g x0 y0
z0
y0
w wy
g ( x y) = 0 auflösen y o 4
2.236
Hinreichende Bedingungen: ' ( x y)
2
d
2
2
d
g ( x y)
2
dx
H
x0
dy
2
d
z xx ( x y)
g ( x y)
2
§d d · g ( x y) ¨ © dx dy ¹
g ( x y)
z xx x0 y0
H
dx
y0 z 0
2
0.447
( 2 4 2.236 )
' x0 y0
ist größer null
0.2
' x0 y0 ! 0
1
Es liegt ein absolutes Maximum vor! Hochpunkt
Beispiel 10.19: Gradientenfeld einer skalaren Funktion f(x,y): ORIGIN 0 z ( x y)
ORIGIN festlegen 2
2
2 x 2 y
Definition einer skalaren Funktion f(x,y), die eine radialsymmetrische Schwingung darstellt
f ( x y) sin ( z ( x y) ) n 41
Anzahl der x- und y-Werte
i 0 n 1
j 0 n 1
xmin 2 S
xmax 2 S
ymin 2 S
ymax 2 S
i xi xmin xmax xmin n 1 j
Bereichsvariablen i und j
minimale und maximale x- und y-Werte
y j ymin ymax ymin n1
Koordinatenvektoren x und y
Seite 180
Ableitungen von Funktionen
§w · ¨ f ( x y) ¨ wx ¸ ( f x y) ¨w ¸ ¨ f ( x y) © wy ¹
Gradi j f xi y j
fx i j
Gradi j 0
Zi j f xi y j
Der Gradient einer skalaren Funktion ist ein Vektorfeld. Die Vektoren zeigen immer in die Richtung der größten Änderung von f.
Gradientenmatrix
fy i j
Gradi j 1
Die Komponenten fx und fy des Gradientenfeldes müssen in Form von Matrizen vorliegen!
Z-Wertematrix für die Flächendarstellung
fx fy
Z Abb. 10.17
Abb. 10.18
Seite 181
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
11. Bestimmtes- und unbestimmtes Integral Symbolleiste Differential/Integral:
Abb. 11.1
Unbestimmtes Integral:
Tasten: <Strg> + < i >
Bestimmtes Integral:
Taste: < & >
Mehrfachintegrale (hintereinander eingeben):
Auswertungsmöglichkeiten: 1. Variable mit Cursor ( | ) markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Variable-Integrieren wählen. 2. Integral mit der Auswahlbox markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Auswerten-Symbolisch wählen. 3. Symboloperator " o " und Schlüsselwörter (Abb. 11.2). 4. Numerische Auswertung mit dem "=" Operator.
Abb. 11.2
Beim Integrieren sind folgende Regeln zu beachten: 1. Die Integrationsgrenzen müssen reell sein. Der Integrand kann reell oder komplex sein (bei unendlichen Integrationsgrenzen muss er reell sein ! ). 2. Falls die Integrationsvariable Einheiten enthält, müssen auch die Grenzen Einheiten besitzen. 3. Falls im Integranden Singularitäten oder Unstetigkeiten auftreten, kann es zu Schwierigkeiten kommen und die Lösung unbrauchbar sein ( Integrationsmethode wählen - mit der rechten Maustaste auf den Integranden- Kontextmenü Abb. 11.3 ). 4. Im Integranden können auch Bereichsvariable eingesetzt werden. 5. Beim Auswerten eines bestimmten Integrals versucht der symbolische Prozessor ein unbestimmtes Integral für den Integranden zu finden, bevor er die Grenzen einsetzt. Wenn die Näherungen nicht konvergieren, so liefert Mathcad eine Fehlermeldung. 6. Der numerische Integrationsalgorithmus nimmt Bezug auf eine vordefinierte Variable TOL. Diese kann, wie bereits besprochen, geändert werden. 7. Mathcad verfügt auch bei der numerischen Integration über eine AutoSelect-Eigenschaft (Automatische Auswahl). Wünscht man ein bestimmtes Verfahren zur numerischen Integration, so können aus einem Kontextmenü (siehe Abb. 11.3), welches sich nach dem Anklicken des Integrals mit der rechten Maustaste öffnet, verschiedene Verfahren ausgewählt werden.
Seite 182
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
Romberg (ist kein Teil der Autom. Auswahl): Standard-Romberg Integrationsmethode (das Integrationsintervall wird in gleich große Teile zerlegt - Trapez Näherung). Adaptiv: Adaptiver Quadratalgorithmus (wenn der Integrand im Integrationsintervall wesentliche Größenunterschiede aufweist). Unendlich an der Integrationsgrenze: Algorithmus für eine unzulässige Integralauswertung, falls eine der Integrationsgrenzen unendlich ist. Singularität an der Integrationsgrenze: Dieses Verfahren benützt nicht die Intervallrandpunkte, wenn der Integrand an einer dieser Grenzen nicht definiert ist. Weist das Integral z.B. Singularitäten oder Unstetigkeiten auf, kann das Ergebnis möglicherweise ungenau sein ! Abb. 11.3 8. Bei der symbolischen Auswertung von Integralen wird keine Integrationskonstante ausgegeben. 9. Mathcad kann auch komplexe Kurvenintegrale auswerten. Dabei ist für die Kurve eine Parameterdarstellung zu verwenden. Ist der Parameter keine Bogenlänge, so muss auch die Ableitung der Parametrisierung als Korrekturfaktor im Integranden angegeben werden. 10. Es können auch Mehrfachintegrale ausgewertet werden. 11.1 Einfache Integrale Ist eine Funktion f: D = [a,b], y = f(x) stetig, so ist die Funktion f in D integrierbar ("wiederherstellbar"). x
´ Die Funktion F mit F(x) = µ f ( t) dt heißt Integralfunktion von f. ¶ a
Jede Funktion F(x), für die F'(x) = f(x) gilt, heißt Stammfunktion von f(x). ´ Stellt x einen bestimmten Wert b dar, so heißt µ ¶
b
f ( x) dx bestimmtes Integral.
a
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Ist F:[a,b] ------------> eine beliebige Stammfunktion der stetigen Funktion f:[a,b] -------> , x |------------> F(x) x |---------> f(x) dann ist F differenzierbar mit F'(x) = f(x) und es gilt: ´ µ ¶
b
f ( x) dx = F ( b) F ( a) . Der Wert eines bestimmten Integrals ist von der Stammfunktion
a
unabhängig ; er errechnet sich als Differenz des Stammfunktionswertes der oberen und der unteren Grenze. Bemerkung: Die Integralfunktion F ist diejenige Stammfunktion, für die gilt: F(a) = 0.
Seite 183
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
11.1.1 Symbolische Integration Beispiel 11.1: Variable mit Cursor ( | ) markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Variable-Integrieren wählen: 3
1 4 x 4
durch Integration, ergibt
x
2
c x
durch Integration, ergibt
sin ( Z t)
durch Integration, ergibt
1 3
Z.B. auch mit
3
c x
cos ( Z t) Z
Beispiel 11.2: Integral mit der Auswahlbox markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Auswerten-Symbolisch wählen: ´ µ µ ¶
x dx
´ µ µ ¶
c x dx
´ µ µ ¶
e cos ( x) dx
3
ergibt
2
ergibt
x
ergibt
x
´ µ sin ( Z t) dt ¶
ergibt
1 4 x 4 1 3 1 2
3
c x
exp ( x) cos ( x)
cos ( x Z ) Z
0
´ µ ¶
b
´ µ ¶
r
3
ergibt
x dx
a
2
2
S r x
dx
r
ergibt
Z.B. auch mit
1 4
4
b
1 4
1 2
exp ( x) sin ( x)
1 Z
4
a
4 3 r S 3
Beispiel 11.3: Auswertung mit dem Symboloperator: x
f ( x) e cos ( x) ´ µ µ ¶
f ( x) dx o
1 2
exp ( x) cos ( x)
Funktionsdefinition
1 2
exp ( x) sin ( x)
Seite 184
Auswertung ohne Integrationskonstante
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
´ µ µ ¶
F ( x C)
f ( x) dx C o
1 2
exp ( x) cos ( x)
1 2
exp ( x) sin ( x) C
Auswertung mit hinzugefügter Integrationskonstante C
Stammfunktionen
2000 F( x 50) F( x 200)
Quickplot mit eingegrenzten Koordinatenachsen
1000
F( x 500) 0
2
4
6
8
10
Abb. 11.4
1000 x x
´ F ( x) µ sin ( 2 t ) dt ¶
2
F ( x) o cos ( x) 1
Integralfunktion
0
Integralfunktion
1
S 2
sin( 2 t1)
§S· ©2¹
0.5
F¨
Quickplot mit eingegrenzten Koordinatenachsen
1
Abb. 11.5 0
0.5
1
1.5
t1
´ F ( a b) µ ¶
b
2
sin ( 2 x) dx o cos ( b) cos ( a)
2
Bestimmtes Integral
a
Bestimmtes Integral
1
S sin( 2 x)
2
§ ©
0.5
F¨0
0
S·
1
2¹
0.5
1 x
Seite 185
1.5
Quickplot mit eingegrenzten Koordinatenachsen
Abb. 11.6
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
Beispiel 11.4: Integrale, mit Integranden der Form f( a x + b ), können mittels Substitution gelöst werden: ´ µ f ( a x b) dx = µ µ ¶
´ µ µ ¶
f ( u)
Substitution: u = a x + b du = a dx
du
a
3
2x 2
durch Integration, ergibt
3 x b
3 x b
e
´ µ µ ¶
3 1
durch Integration, ergibt
e
´ µ µ ¶
1
3 x b1
e
1
ergibt
dx
dx o
1 3
3
3
( 2 x 2)
2
3 x b
e
3 x b
e
´ µ µ µ ¶
exp ( 3 x b1 )
u
e
3
vereinfachen du
1 o exp ( 3 x b1 ) ersetzen u = 3 x b1 3
Integrale, mit Integranden der Form f( u(x) ) u '(x), können mittels Substitution gelöst werden: ´ µ µ µ ¶
f ( u ( x) )
d
u ( x) dx =
dx
4
sin ( x) cos ( x)
´ µ µ ¶
sin ( x) cos ( x) dx
´ µ µ ¶
sin ( x) cos ( x) dx o
4
´ µ µ µ ¶ ´ µ µ µ ¶
1
ergibt
4
1 5
sin ( x)
5
ln ( x) x
ln ( x) x
dx
dx o
1
ergibt
1 2
ln ( x)
2
sin ( x)
5
sin ( x)
5
5
5
1
durch Integration, ergibt
x
1
durch Integration, ergibt
´ µ µ ¶
ln ( x)
Substitution: u(x) = sin(x) du = cos(x) dx
f ( u ( x ( x) ) ) du
ln ( x)
2
ln ( x)
2
2
2
Seite 186
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
Integrale, die durch partielle Integration gelöst werden können: ´ µ µ ¶
f ( x) g ( x) dx = u v
x
2
x e ´ µ µ ¶
x
2
x e
´ µ µ ¶
u = f(x) du = f(x) dx dv = g(x) dx
v du
2
x
2
x
durch Integration, ergibt
x e
ergibt
x e
dx
x
2 x e
x
2 x e
x
2e
x
2e
Integrale, die durch Partialbruchzerlegung gelöst werden können: 3
x
durch Integration, ergibt
2
x 1 ´ µ µ µ µ ¶
3
x 2
1 2 1 1 x ln ( 1 x) ln ( 1 x) 2 2 2
ergibt
dx
1 2 1 1 x ln ( 1 x) ln ( 1 x) 2 2 2
x 1 4
x 1 3
durch Integration, ergibt
2
x
1 2 1 1 3 x ln ( 1 x) ln ( 1 x) 2 2 1 x 2
x
1 2 1 1 3 x ln ( 1 x) ln ( 1 x) 2 2 1 x 2
x x x 1 ´ µ µ µ µ ¶
4
x 1 3
dx
2
ergibt
x x x 1 1
durch Integration, ergibt
2
ln ( 1 x) ln ( 2 x)
x 3x 2 ´ µ µ µ ¶
1 2
dx
ln ( 1 x) ln ( 2 x)
ergibt
x 3x 2
Beispiel 11.5: Ableitungen von Integralen: x
d ´ µ sin ( Z t) dt dx ¶
ergibt
sin ( x Z )
ergibt
2 sin x Z x
0
2
´x d µ sin ( Z t) dt dx ¶
2
0
Seite 187
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
Beispiel 11.6: Summen von Integralen: 4
¦
n
¦
ergibt
cos ( x)
ergibt
exp ( t )
25
t
´ k x µ e dx ¶ 0
1
12
0
1
3
k
x
´ µ sin ( n t ) dt ¶
11 6
1 2
1 2
cos ( 2 x)
exp ( 2 t )
1 3
1 3
cos ( 3 x)
1 4
cos ( 4 x)
exp ( 3 t )
Beispiel 11.7: Berechnung des Umfangs eines Kreises: 2
y ( x r)
2
r x
´ µ u = 4µ µ ¶
kartesische Darstellung der Funktionsgleichung (oberer Halbkreis)
r 2
1
§d · ¨ y( x r) dx © dx ¹
annehmen r ! 0 o u = 2rS vereinfachen
0
x ( M r) r cos ( M ) Parameterdarstellung des Kreises y ( M r) r sin ( M ) S
´2 µ u = 4µ µ ¶
2
2
§d · §d · ¨ x ( M r) ¨ y( M r) dM © dM ¹ © dM ¹
annehmen r ! 0 o u = 2rS vereinfachen
0
r1 ( M r) r
Polarkoordinatengleichung
S
´2 µ u = 4µ µ ¶
2
§d · r1 ( M r) ¨ r1 ( M r) dM © dM ¹ 2
annehmen r ! 0 o u = 2rS vereinfachen
0
Beispiel 11.8: Berechnung der Kreisfläche: 2
y ( x r)
2
r x
kartesische Darstellung der Funktionsgleichung (oberer Halbkreis)
r
´ 2 A = 4 µ y ( x r) dx vereinfachen o A = r S ¶ 0
x ( M r) r cos ( M ) Parameterdarstellung des Kreises y ( M r) r sin ( M )
Seite 188
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
0
´ d 2 µ A = 4 y ( M r) x ( M r) dM vereinfachen o A = r S µ dM µ ¶S 2
Sektorfläche von Leibnitz: ´ 1 A = µ 2 µ ¶
2S
§ · d d ¨ x ( M r) y ( M r) y( M r) x( M r) dM dM dM © ¹
annehmen r ! 0 2 o A = r S vereinfachen
0
r1 ( M r) r 1 ´ A = µ 2 ¶
Polarkoordinatengleichung
2 S
2
2
r1 ( M r) dM o A = r S
0
Beispiel 11.9: Berechnung des Kugelvolumens: Volumen aus der Querschnittsfläche: ´ V=µ ¶
b
´ A ( x) dx = S µ ¶
a
2
b 2
y dx
a
2
2
y =r x ´ V = S µ ¶
r
Kreisgleichung
r2 x2 dx vereinfachen
r
oV=
4 3
3
S r
Volumen eines um die x-Achse rotierenden Drehkörpers: ´ V ( a b) = S µ ¶
b 2
f ( x) dx
a
y ( x r)
2
2
r x
´ V ( r h) S µ ¶
kartesische Darstellung der Funktionsgleichung (oberer Halbkreis)
r
r
2
y ( x r) dx o
4 3
3
S r
Seite 189
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
Beispiel 11.10: Schwerpunktsberechnung eines Rotationskörpers: ´ S µ ¶ xs ( a b) =
b
´ µ ¶
2
x f ( x) dx
a
´ S µ ¶
=
b 2
b
x dV
a
V ( a b)
x-Koordinate des Schwerpunktes eines Rotationskörpers
f ( x) dx
a
Drehkegel mit Radius r und Höhe h:
r h
=
y x
ähnliche Dreiecke
Abb. 11.7
º ª´ h 2 » «µ x § · x» d S « µ x ¨ r µ © h¹ «¶ » 0 ¬ ¼ o 3 h xs ( h) ´ µ S µ µ ¶
h
4
2
Der Schwerpunkt ist h/4 von der Grundfläche des Kegels entfernt.
§r dx ¨ © h¹ x·
0
Beispiel 11.11: Durchschnittliche Leistung eines Wechselstroms (Mittelwertsatz):
P=
1 ´ µ T ¶
T
p ( t ) dt =
0
1 ´ µ T ¶
T
u ( t ) i ( t ) dt
Z = 2S f =
0
p = u i = Umax sin ( Z t) I max sin ( Z t M )
2S T
zeitabhängige Leistung
2 S
´ Z µ 1 P= µ Umax sin ( Z t) I max sin ( Z t M ) dt vereinfachen o P = Umax Imax cos ( M ) 2 S ¶ 2 1
Z
P=
1 2
0
Umax I max cos ( M )
ersetzen Umax = Ueff 2 o P = Ueff Ieff cos ( M ) ersetzen I max = Ieff 2
Seite 190
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
Beispiel 11.12: Effektivwert eines Wechselstromes (quadratischer Mittelwert): 1 ´ µ T ¶
Ieff =
T 2
2S
Z = 2S f =
i ( t ) dt
T
0
I max
i ( t) =
2
Ieff =
cos ( 2 Z t)
´ µ 1 µ T µ ¶
T
´ µ 1 µ T µ ¶
T
gegebener Wechselstrom
1
2
1
§ Imax § 2 S t · · dt o I = 1 8 2 § I 2 · 2 ¨ cos ¨ 2 eff © max ¹ 8 © 2 © T ¹¹
0
oder:
Ieff =
2
§ Imax
§ 2 S t · · dt ¨ cos ¨ 2 © 2 © T ¹¹
1
annehmen I max ! 0 1 2 o Ieff = 2 Imax 4 vereinfachen
0
11.1.2 Numerische Integration Beispiel 11.13: Genauigkeit der numerischen Integralauswertung: ´e µ µ ¶
5
1 t
ergibt
dt
5
symbolisch exakte Lösung
1
´e µ µ ¶
5
1 t
dt
5.000000000068 numerische Auswertung (voreingestellte Standard Toleranz TOL = 10
1
Größere Toleranz: ´e µ µ ¶
TOL 0.1
5
1 t
dt
5.000000054378
1
Kleinere Toleranz: ´e µ µ ¶
TOL 10
5
5
1 t
dt
5
1
Seite 191
-3)
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
Beispiel 11.14: Symbolische und numerische Integralauswertung: 1
´2 µ 1 § 1· dx o atan ¨ µ 2 © 2¹ µ 1 x ¶ 0
´ µ µ µ ¶
0.5
1 2
dx o .46364760900080611621
1 x
0
1
´2 µ 1 dx I µ µ 1 x2 ¶
§ 1· © 2¹
I o atan ¨
I
0.463647609
0
Beispiel 11.15: Integralauswertung mit verschiedenen Methoden: ´ µ ¶
1
´ µ ¶
2 S
3
x dx
Automatische Auswahl und Adaptive Methode (Auswahl mit rechter Maustaste auf das Integral)
0.25
0 4
sin ( 1000 M ) dM
2.356
0
Romberg Methode (Auswahl mit rechter Maustaste auf das Integral)
Beispiel 11.16: Integralfunktion: x
´ t A ( x) µ e dt ¶
A ( 2)
0.233
A ( 2) gleit 15 o .232544157934829
1
Integralfunktion und Matrixauswertung: t
´ x f ( t ) µ e dx ¶
f ( t) o exp ( t ) 1
0
o §§ 1 3 ·· f ¨¨ 2
2
¨¨ ©© 1 2 ¹¹
§ 0.393 0.777 · ¨ © 0.632 0.865 ¹
Auswertung mit dem Vektorisierungsoperator
Beispiel 11.17: Integralauswertung mit Einheiten: v( t) g t ´ s1 µ ¶
Funktionsdefinition (g ist in Mathcad bereits vordefiniert)
2 s
0 s
v ( t ) dt
s1
19.613 m
Seite 192
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
Beispiel 11.18: Integralauswertung für verschiedene Integrationsgrenzen: ORIGIN 1 x
i 1 3
f ( x) e
Bereichsvariable für obere Integrationsgrenze und Funktionsdefinition
§¨ 1.718 · A ¨ 6.389 ¸ ¨ 19.086 © ¹
i
´ Ai µ f ( x) dx ¶ 0
Beispiel 11.19: Integralauswertung für verschiedene Potenzen im Integranden: n 1 3 ´ In µ ¶
Bereichsvariable
I
§¨ 0.636 · ¨ 0.325 ¸ ¨ 0.179 © ¹
I
§¨ 1 · ¨ 0.785 ¸ ¨ 0.667 © ¹
2 n
x ln ( x) dx
1 S
´2 µ n In µ sin ( x) dx ¶ 0
11.2 Uneigentliche Integrale Das bestimmte Integral heißt uneigentliches Integral, wenn mindestens eine der Integrationsgrenzen unendlich ist oder der Integrand f(x) im Intervall [a , b] nicht beschränkt ist, d.h. eine oder mehrere Polstellen hat.
Beispiel 11.20: Integralauswertung symbolisch und numerisch ( Auswahl mit rechter Maustaste auf das Integral-Unendlich an der Integrationsgrenze): Standard Toleranz: ´ µ µ µ ¶
f
sin ( x)
TOL 10
3
6
dx
5
x
ergibt
2 ln ( 2)
27 16
ln ( 3)
0.467613876008
0
´ µ µ µ ¶
f
sin ( x)
6
dx
5
0.467582751776
x
0
´ µ µ µ ¶
f
sin ( x) 5
6
dx gleit 30 o .46761387600754448539501209438
x
0
Seite 193
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
´ µ ¶
f
´ µ µ ¶
f
x
ergibt
dx
e
1
0
x
2
Gleitkommaauswertung ergibt
dx
e
.88622692545275801365
0
´ µ µ µ ¶
f
1
dx o ln ( 2)
x
1e
0
Fehler! Die größtmögliche Zahl wird überschritten. Daher keine numerische Auswertung möglich.
´ µ µ ¶
f
1 x
dx o f
1
´ µ µ µ ¶
f
1 2
´ µ µ µ ¶
dx o 1
x
1
f
1 2
dx
1
x
1
Beispiel 11.21: Integralauswertung mit Symboloperator und symbolischen Operatoren: ´ µ ¶
f
´ µ ¶
f
´ µ ¶
f
x
e
dx o 1
0
´ µ ¶
f
´ µ µ ¶
f
´ µ ¶
f
x
a dx annehmen a = RealRange ( 0 1) o
0
a t
e
dt annehmen a ! 0 o
0
b t
e
dt o
lim tof
0
b 3
´ µ ¶
f
0
b t
e
1 a
§ 1 exp ( b t) 1 · ¨ b¹ ©b
dt o
2
a t
e
dt annehmen a = reell o
0
1 2
a a( b) t
e
0
1 3
Seite 194
dt annehmen a 0 b 0 o
1 ab
1 ln ( a)
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
Beispiel 11.22: Integralauswertung mit spezieller Methode: ´ µ µ µ ¶
f
1
dx
3.708
4
x 1
Unendlich an der Integrationsgrenze (Auswahl mit rechter Maustaste auf das Integral)
f
17
x
10 ´ µ µ 1 µ 2S ¶
x
2
t
e
2
dt gleit 25 o .9554345372414569605125675
f
´ µ µ µ ¶
f
1 cosh ( x)
dx o 2
2
Unendlich an der Integrationsgrenze (Auswahl mit rechter Maustaste auf das Integral)
f
Beispiel 11.23: Singularität an der Integrantionsgrenze (symbolische Auswertung): ´ µ µ µ ¶
1
1
ergibt
dx 2
1x
1 2
S
0
´ µ lim µ Ho1 µ ¶
H
1
dx
ergibt
2
1x
1 2
S
0
Beispiel 11.24: Integralauswertung mit spezieller Methode: ´ µ ¶
3
´ µ µ µ µ ¶
4
sin ( ln ( t ) ) dt
Singularität an der Integrationsgrenze (Auswahl mit rechter Maustaste auf das Integral)
0.654
0
2
1 1
( x 1)
dx o
3 2
3
3
Singularität an der Integrationsgrenze (Auswahl mit rechter Maustaste auf das Integral)
3
1
Seite 195
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
11.3 Linien- oder Kurvenintegrale Gegeben sei eine Raumkurve in Parameterform x =x(t), y = y(t) und z = z(t). Die Kurve wird häufig auch durch den Ortsvektor (Kurvenvektor) r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k dargestellt. i, j und k sind die RaumEinheitsvektoren. Zur Darstellung von Feldern (Kraftfelder, Geschwindigkeitsfelder, Strömungsfelder usw.) werden ebenfalls Vektoren verwendet. So wird jedem Punkt P(x,y,z) ein Vektor zugeordenet, der die in diesem Punkte vorliegende Feldgröße (z.B. die Kraft) symbolisch darstellt. Diese von Ort zu Ort veränderlichen Feldvektoren, die ein stationäres (zeitunabhängiges) räumliches Feld beschreiben, legen wir folgendermaßen fest: F(x,y,z) = F1 (x,y,z) i + F2 (x,y,z) j + F3 (x,y,z) k. Wir betrachten ein Kraftfeld F(x,y,z), in dem sich unter dem Einfluss des Feldes ein Massenpunkt längs der Raumkurve mit dem Ortsvektor r(t) bewegt. Um die von dem Feld am Massenpunkt verrichtete Arbeit zu berechnen, greift man auf der Kurve den beliebigen Punkt P(x,y,z) heraus. Die Kraft ist dort F. Das zu diesem Punkt gehörige Arbeitsdifferential erhält man, indem man die in Kurvenrichtung liegende Tangentialkomponente von F mit dem Wegdifferential ds = | dr | multipliziert, also dW = | F | | dr | cos(D). Das ist das skalare Produkt der Vektoren F und dr. Die Arbeit zwischen zwei Punkten P 1 und P2 längs einer Raumkurve ist dann P
´ 2 W=µ F dr . ¶P 1
Weil aber das Integral längs einer Raumkurve gebildet werden soll, ist die Parameterdarstellung einzusetzen: t
´2 µ µ µ t2 ´ µ d W = µ F r ( t ) dt = µ µ dt µ ¶t 1 µ µ µ ¶t
§d · ¨ x( t) dt ¸ § F1 ( x ( t ) y ( t ) z ( t ) ) · ¨ ¨d ¸ ¨ ¨ F2 ( x ( t ) y ( t ) z ( t ) ) ¸ ¨ y ( t ) ¸ d t . ¸ ¨ ( x ( t ) y ( t ) z ( t ) ) ¨ dt © F2 ¹ ¨d ¸ ¨ z ( t) © dt ¹
1
Wir nennen dieses Integral Linien- oder Kurvenintegral. Dieses Arbeitsintegral gibt stets die vom Kraftfeld verrichtete Arbeit an. Für ein Kraftfeld in der Ebene F(x,y) entfällt die z-Komponente im Arbeitsintegral.
Beispiel 11.25: Ein Körper der Masse m werde längs einer Windung der Schraubenlinie r(t) = cos(t) i + sin(t) j + h/2S t k um h im Kraftfeld der Erde gehoben. Welche Arbeit ist aufzuwenden, wenn die z-Achse vom Erdmittelpunkt weg zeigt ?
§¨ 0 · F=¨ 0 ¸ ¨ m g © ¹ § cos ( t) · ¨ sin ( t ) ¸ r ( t) = ¨ ¨ h ¸ t ¨ © 2S ¹
Kraftfeld für den gesamten Bereich der Spirale
§ sin ( t) · ¨ cos ( t) ¸ d r ( t) = ¨ ¨ h ¸ dt ¨ © 2S ¹
Ortsvektor und dessen Ableitung
Seite 196
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
´ µ µ W=µ µ µ µ ¶
2 S
§ sin ( t) · §¨ 0 · ¨ cos ( t) ¸ dt o W = m g h ¨ 0 ¸ ¨ ¸ ¨ h ¨ m g © ¹¨ © 2S ¹
Die vom Kraftfeld verrichtete Arbeit!
0
Beispiel 11.26: Um eine elastische Schraubenfeder der Länge 25 cm um 0.5 cm zu dehnen, wird eine Kraft von 100 N benötigt. Welche Arbeit ist notwendig, um die Feder von 27 cm auf 30 cm dehnen ? Unter der Annahme des Hookschen Gesetzes gilt: F ( s) = k s
F ( 0.5 cm) = k 0.5cm = 100 N
Daraus folgt:
k = 200
Das Arbeitsintegral vereinfacht sich zu: s
´ W µ µ ¶
´ 2 W = µ Fs ( s ) ds ¶s 1
5 cm
200
N cm
s ds
W
21 J
2 cm
Beispiel 11.27: Es soll ein komplexes Kurvenintegral (Integration über einen Halbkreis) gelöst werden: t1 0
t2 S
x ( t ) cos ( t)
Intervallrandpunkte y ( t ) sin ( t)
z ( t) x ( t) j y ( t) F ( z)
Parameterdarstellung eines Kreises zeitabhängige komplexe Ortskurve
1
komplexe Funktion
z
t
´2 µ F ( z ( t ) ) d z ( t ) dt µ dt ¶t
3.142j
1
t t1 t1 0.001 t2
Bereichsvariable Halbkreis
1
y( t)
0.5
0
Abb. 11.8
1
0.5
0
0.5
1
x( t)
Seite 197
N cm
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
11.4 Mehrfachintegrale Wegen der sehr umfangreichen Theorie für Mehrfachintegrale werden hier nur einige Beispiele behandelt. Beispiel 11.28: Wie groß ist der Flächeninhalt der Fläche, die von den Kurven y = 2 x und y = x 2 sowie x = 1 eingeschlossen wird ? x 1 1 0.01 2
Bereichsvariable
f ( x) 2 x Begrenzungskurven
2
g ( x) x
4 3 f( x) 2
´ A1 = µ µ ¶
g ( x)
A1
1
§0 · ¨ ©4 ¹
1
0
1
0
1
´ µ ¶
2x
x
1 dy dx o A 1 = 2
2 3
Maßzahl der Fläche
2
1 2
§1 · ©1 ¹
Abb. 11.9
x x ¨
Beispiel 11.29: Wie groß ist der Flächeninhalt der Kreisfläche mit Radius r ? 2
2
r r x ´ ´ 2 A1 = 4 µ µ 1 dy dx o A 1 = r S ¶ ¶ 0
0
Oder in Polarkoordinaten: ´ A1 = µ ¶
2 S
r
´ 2 µ U dU dM o A 1 = r S ¶ 0
0
Beispiel 11.30: Über der durch die Gleichung x 2 + y2 = 16 gegebenen Kreis der x-y-Ebene steht ein gerader Zylinder. Er wird durch die Ebene z = f(x,y) = x + y + 2 schief abgeschnitten. Wie groß ist das Volumen zwischen den Ebenen z = 0 und z = x + y + 2 ? ´ V1 = µ ¶
4 ´ 16 x
0
µ ¶
0
2
( x y 2) dy dx o V1 =
128 3
8S
Seite 198
Maßzahl des Volumens
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
Beispiel 11.31: Masse und Massenmittelpunkt eines dreieckförmigen dünnen Körpers: a 0m
b 1m
c1 0 m
d1 1 m
Grenzen des Dreiecks im Bereich a < x < b und c1 < y < d1
c ( x) 0 m
Ankathete
d ( x) x
Hypothenuse
ba
'x
Schrittweite
100
x a a 'x b
y c ( b) c ( b) 'x d ( b)
Bereichsvariablen
1
c( x) d ( x)
Abb. 11.10
y 0
0.5
0
0.5
1
1.5
x x b
2 kg 3
2
U ( x y)
x y
die Dichtefunktion U(x,y) des dreieckförmigen Körpers
m
´ mD µ ¶
b
a
xm
´ µ ¶
d1
U ( x y) dy dx
mD
0.765 kg
Masse
c1
´ µ mD ¶ 1
b
a
´ µ ¶
d1
x U ( x y) dy dx
c1
Koordinaten des Massenmittelpunktes ym
´ µ mD ¶ 1
b
a
M
§ xm · ¨ © ym ¹
´ µ ¶
d1
y U ( x y) dy dx
c1
M
§ 0.574 · m ¨ © 0.574 ¹
Seite 199
Massenmittelpunkt
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
Beispiel 11.32: 2
2
2
Oberfläche einer Funktion über einem Kreis ( x y d r ): 2
2
Flächenfunktion
j 1 2 20
Bereichsvariablen
f ( x y) 4 x y i 1 2 20
§ i 10 j 10 · 5 ¹ © 5
zi j f ¨
Matrix der Funktionswerte
Abb. 11.11
zz r 2
Radius des kreisförmigen Integralbereichs
´ µ Ao µ µ µ ¶
r
r
2
´ r x µ µ µ µ ¶ 2
2
2
1
r x
2
§d · §d · ¨ f ( x y) ¨ f ( x y) dy dx © dx ¹ © dy ¹
Ao
36.177
Maßzahl der Oberfläche
2
Mit ebenen Polarkoordinaten (x = U cos(M); y = U sin(M)) und symbolischer Auswertung folgt:
´ µ ¶
2 S
0
3
´ µ ¶
r 2
1 4 U U dU dM
0
ergibt
1 6
2
S 1 4r
2
1 6
S
3
1 6
2
S 1 4r
2
1 6
S
36.177
Maßzahl der Oberfläche
Seite 200
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
Beispiel 11.33: Symbolische Optimierung: Normalerweise kommunizieren die numerischen und symbolischen Prozessoren von Mathcad nicht miteinander. Man kann jedoch über Menü-Extras-Optimieren veranlassen, dass bei einer numerischen Auswertung der symbolische Prozessor zur Hilfestellung angefordert wird, bevor eine Auswertung vorgenommen wird. Dabei wird der Bereich der Auswertung mit einem Stern markiert. Wenn eine einfachere Form des eingegebenen Ausdrucks gefunden wird, wird der äquivalente einfachere Ausdruck ausgewertet. Wird ein solcher Ausdruck gefunden, so wird er mit einem roten Stern markiert, der mit einem Doppelklick (oder Klick der rechten Maustaste auf den auszuwertenden Ausdruck - Optimierung anzeigen) angezeigt wird. Die Optimierung kann im gleichen Menü oder im Menü-Extras wieder entfernt werden. u 2
v 2
w 2
gewählte Grenzen
Symbolische und numerische Auswertung: ´ µ µ µ ¶
u
0
´ µ µ µ ¶
v
0
´ µ µ µ ¶
w 2
2
2
§ x · § y · § z · dx dy dz ¨ ¨ ¨ © 2¹ © 2¹ © 2¹
1
ergibt
12
3
w v u
1 12
3
v wu
1 12
3
u wv
8
0
Optimierung des Ausdrucks:
Ein optimimierter Ausdruck wird mit einem roten Stern ( * ) markiert !
Mit einem Doppelklick auf den optimierten Ausdruck oder einem Klick der rechten Maustaste auf den auszuwertenden Ausdruck (Optimierung anzeigen) erscheint dieses Fenster mit dem Resultat.
Abb. 11.12
Dieses Kontextmenü erhält man durch Klick mit der rechten Maustaste auf das Integral. Zum Vergleich die numerische Auswertung: u 2 ´ µ µ µ ¶
u
0
´ µ µ µ ¶
v
0
v 2 ´ µ µ µ ¶
w
ª§ x · 2 «¨ ¬© 2 ¹
0
Abb. 11.13
Seite 201
w 2 2 2 § y · § z · »º dx dy dz ¨ ¨ © 2¹ © 2¹ ¼
8
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
Beispiel 11.34: Wie groß ist das Volumen eines Drehzylinders mit Radius R und Höhe h ? ´ V1 = µ ¶
2 S
0
´ µ ¶
R
´ µ ¶
0
h
2
U dz dU dM o V 1 = S R h
0
Beispiel 11.35: Wie groß ist das Volumen einer Kugel mit Radius R ? ´ V1 = µ ¶
2 S
0
´ µ ¶
S
0
´ µ ¶
R 2
U sin ( T ) dU dT dM o V1 =
0
4 3
3
S R
Beispiel 11.36: Eine Parabel mit der Gleichung z = y 2 rotiere um die z-Achse. Das Volumen des entstehenden Paraboloides soll berechnet werden, wenn die Höhe des Paraboloides h = 9 sei.
´ V1 = µ µ ¶
3
3
´ 9x µ µ ¶
2
9 x
2
´ µ ¶
9
1 dz dy dx o V 1 = 2
x y
2
81 2
S
In Zylinderkoordinaten: ´ V1 = µ µ ¶
2 S
0
´ µ µ ¶
3
0
9
´ 81 S µ r dz dr dM o V 1 = 2 ¶2 r
Seite 202
Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen
12. Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen Auswertungsmöglichkeiten einer Funktionenreihe: x x x
Variable mit Cursor ( | ) markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Variable-Reihenentwicklung wählen. Symboloperator o und Schlüsselwort "reihe". Numerische Auswertung mit dem "=" Operator.
Abb. 12.1 12.1 Potenzreihen f
Funktionen der Form s ( x) =
¦
k
§ a xk· heißen Potenzreihen. © k ¹
0
Die Reihe konvergiert, wenn x r mit r =
ak
lim
a
kof
.
k 1
r nennt man den Konvergenzradius.
12.2 Taylorreihen Für eine beliebig oft differenzierbare Funktion y = f(x) heißt f
s x0 ( x) =
¦
n
0
ª f ( n) x º « 0 n» x x 0 »¼ bzw. s (x) = « n ¬
f
¦
n
0
ª f ( n) ( 0) nº « x» ¬ n ¼
Taylorreihe der Funktion y = f(x) mit der Entwicklungsstelle x 0 bzw. x0 = 0.
Seite 203
Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen
a) Die Taylorreihe kann auch in folgender Form geschrieben werden:
º ª« f ( k) x 0 k» x x 0 »¼ Rn1(x) « k ¬
n
s x0 ( x) =
¦
k
0
n-tes Taylorpolynom + Restglied
b) Für das Restglied R n+1 (x) gilt z.B. die Abschätzung nach Lagrange:
ª« f ( n1) ª x T x x º 0¼ ¬ 0 n1 Rn1( x) d max « x x0 ( n 1) ¬
º» » Maximaler Wert für T ] 0, 1 [ . ¼
Bemerkung: Für alternierende Reihen gilt auch die Abschätzung: Rn1( x) d
f
( n 1)
( 0)
( n 1)
n1
x
Beispiel 12.1: Variable mit Cursor ( | ) markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Variable-Reihenentwicklung wählen (Entwicklung an der Stelle 0): Taylorreihe für cos(x): cos ( x)
1
konvertiert in die Reihe
1 2
1
2
x
24
4
x
1 720
6
x
1 40320
8
x
Symboloperator und Schlüsselwörter (Entwicklung an der Stelle x = 0) : cos ( x) reihe x 9 o 1
cos ( x)
1 2
2
x
1 24
1
4
x
720
1
6
x
Achtung auf den Grad der abgebrochenen Reihe!
8
40320
x
reihe x 9 2 -2 4 -3 6 -5 8 o 1. .5000 x 4.167 10 x 1.389 10 x 2.480 10 x gleit 4
Bestimmung der Koeffizienten der (abgebrochenen) Reihe: f3 ( x) cos ( x) reihe x 8 o 1
§¨ 1 ¨ 0 ¨ 1 ¨ ¨ 2 ¨ 0 c f 3 ( x) koeff x o ¨ ¨ 1 ¨ 24 ¨ ¨ 0 ¨ 1 ¨© 720
· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹
1 2
2
x
1
4
24
x
T
c
T
1 720
6
x
( 1 0 0.5 0 0.042 0 0.001 )
§ ©
c o ¨1 0
1
Seite 204
2
0
1 24
0
1 720
· ¹
Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen
Restglied nach Lagrange: 2n
n x R2n ( x) = ( 1) ( 2n )
Konvergenzintervall: 1 n an = ( 1) ( 2 n)
r=
an
lim nof
1 2n
lim nof
n 1
= ] - r, r [ = ] - f, f [
of
1
a
( 2n 2 )
Grafische Veranschaulichung: a 4
x a a 0.002 a
Bereichsvariable
f ( x) cos ( x) f1 ( x) 1 f2 ( x) 1 f3 ( x) 1
gegebene Funktion
1
2
x
2 1
2
1
2
24 1
x
2 1
x
2
Partialsummen (Näherungspolynome) der Taylorreihe
4
24
x
1
4
x
720
6
x
Funktion und Taylorpolynome f( x)
1
f1( x) f2( x)
4
3
2
1
0
1
2
3
4
Abb. 12.2
f3( x) 1
x
Beispiel 12.2: Die Funktion f(x) = cos(x)2 soll an den Stützstellen x 0 -h, x0 -h/2, x0 , x0 +h/2 und x0 +h mit h = S/2 durch ein Näherungspolynom angenähert werden. Dieses Näherungspolynom soll graphisch mit einem geeigneten Taylorpolynom verglichen werden. Für x 0 soll vorerst 0 angenommen werden. ORIGIN 0 f ( x) cos ( x)
ORIGIN festlegen 2
gegebene Funktion
Seite 205
Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen
h
S
Schrittweite
2
x0 0 x1 x0 h x2 x0 x3 x0
h
Stützstellen
2 h 2
Abb. 12.3
x4 x0 h T
x
( 0 1.571 0.785 0.785 1.571 )
§ ©
T
x o ¨0
1 2
1
S
4
1
S
4
S
1 2
S
· ¹
Stützstellenvektor
symbolische Auswertung
Zu bestimmen sind die Koeffizienten des Näherungspolynoms: 1
2
3
4
f ( x) = a0 a1 x a2 x a3 x a4 x
Setzt man die Stützstellen ein, so erhält man das lineare Gleichungssystem:
1
2
3
4
1
2
3
4
f x0 = a0 a1 x0 a2 x0 a3 x0 a4 x0 f x1 = a0 a1 x1 a2 x1 a3 x1 a4 x1 ..........................................................................
1
2
3
4
f x4 = a0 a1 x4 a2 x4 a3 x4 a4 x4
Dieses lineare Gleichungssystem lässt sich in Matrixform schreiben (könnte auch mit Lösungsblock Vorgabe und suchen gelöst werden): K a = y
ª«1 « «1 « K «1 « «1 « «1 ¬
x0
x0 2 x0 3 x0 4 º»
x1
x1 2 x1 3
x2
x2 2 x2 3
x3
x3 2 x3 3
x4
x4 2 x4 3
25.721
K
» x1 4 » » x2 4 » » 4» x 3 » 4» x4 ¼
§¨ f x0 · ¨ f x1 ¸ ¨ ¸ y ¨ f x2 ¸ ¨f x ¸ ¨ 3 ¸ ¨© f x4 ¹
Es liegt eine reguläre Matrix vor!
Die gesuchten Koeffizienten ergeben sich dann aus: 1
a=K
y
Seite 206
Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen
Die Koeffizientenmatrix kann auch in einfacherer Weise hergestellt werden: Mit n:= 5 (Anzahl der Datenpunkte) und den Bereichsvariablen i:= 0..n-1, j:= 0..n-1 (ORIGIN = 0); e rzeugt man die Koeffizientenmatrix durch Ki,j := (xi) j oder mit der Zuweisung K := x i .
1
a K
§¨ 1 · ¨ 0 ¸ ¨ 0.946 ¸ a ¸ ¨ ¨ 0 ¸ ¨ 0.219 © ¹
y
Koeffizientenvektor
Das gesuchte Näherungspolynom lautet somit: 4
¦
P ( x) a0
k
§ ak xk· © ¹
1
1 · §¨ 0 ¨ 1.571 0 ¸ ¨ 0.785 0.5 ¸ ¸ ¨ ¨ 0.785 0.5 ¸ ¨ 1.571 0 © ¹
Stützstellen :
P erweitern ( x y)
P
Taylorpolynom zum Vergleich: reihe x = x0 5 2 4 o 1. 1. x .3333 x gleit 4
g1 ( x) f ( x)
x 4 4 0.01 4
Bereichsvariable
2 x0
f( x)
f x0
1
P( x)
Abb. 12.4
y g1( x) 4
3
2
1
0
1 x x x x
Man vergleiche z.B. auch x 0 = -1 oder x0 = 1!
Seite 207
1
2
3
4
Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen
Beispiel 12.3: Variable mit Cursor ( | ) markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Variable-Reihenentwicklung wählen (Entwicklung an der Stelle x = 0) : x
1 x
konvertiert in die Reihe
e
1 2
2
x
1
1
3
x
6
1
4
x
24
1
5
120
x
1
6
720
x
7
5040
Symboloperator und Schlüsselwörter (Entwicklung an der Stelle x = 0) : x
f ( x) e
g ( x) f ( x) reihe x 8 o 1 1 x
1 2
2
x
1 6
3
x
1 24
1
4
x
120
5
x
1
6
720
x
1 5040
7
x
reihe x 6 2 3 -2 4 -3 5 o 1. 1. x .500 x .167 x 4.17 10 x 8.33 10 x gleit 3
g ( x) f ( x)
Restglied nach Lagrange: n1
Rn1( x) =
x
( n 1)
Tx
e
Konvergenzintervall: 1 an = n
r=
lim nof
1 n
lim nof
f
= ] - f, f [
x a a 0.02 a
Bereichsvariable
ergibt
1
an a
n 1
( n 1)
Grafische Veranschaulichung: a 4 x
f ( x) e
Funktion 1 2 g2 ( x) g1 ( x) x 2
g1 ( x) 1 x
1 3 g3 ( x) g2 ( x) x 6
Taylorpolynome
Taylorpolynome 9 f( x) g 1 ( x) g 2 ( x)
Abb. 12.5
4
g 3 ( x)
4
3
2
1
1
0
1
x
Seite 208
2
3
4
x
Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen
Beispiel 12.4: ln ( x1 1) reihe x1 8 o 1 x1
1
1
2
x1
2
3
1
3
x1
4
x1
4
1
5
x1
5
1 6
1
6
x1
x1
7
7
Für ln(x) ist eine Entwicklung an der Stelle 0 nicht möglich, aber z.B. an der Stelle x = 1: 1
ln ( x1) reihe x1 = 1 6 o 1 ( x1 1)
1
2
( x1 1)
2
1
3
( x1 1)
3
1
4
( x1 1)
4
5
( x1 1)
5
Beispiel 12.5: atan ( x1) reihe x1 12 o 1 x1
1
1
3
x1
3
5
1
5
x1
7
7
x1
1
1
9
x1
9
11
x1
11
konvergiert für x d 1
Beispiel 12.6: 1
tan ( x1) reihe x1 12 o 1 x1
3
2
3
x1
17
5
15
x1
62
7
x1
315
1382
9
2835
x1
155925
x1
11
Beispiel 12.7: 1 sin ( Z ) cos ( Z )
reihe Z 8 o 1 1 Z
1 2
2
Z
1
3
Z
3
5
2
4
Z
24
15
61
5
Z
6
720
Z
17 315
Z
7
Beispiel 12.8 t0 1
Entwicklungsstelle
1 1 2 3 f ( t) sin ( t) reihe t = t 0 4 o sin ( 1) cos ( 1) ( t 1) sin ( 1) ( t 1) cos ( 1) ( t 1) 2 6 f ( 1)
0.841
Beispiel 12.9: Die Funktion f(x) = 1 / x ist an der Stelle x = 0 nicht entwickelbar. Wir wählen die Entwicklungsstelle x = 1. 1
2
x1
3
4
reihe x1 = 1 6 o 1 1 ( x1 1) 1 ( x1 1) 1 ( x1 1) 1 ( x1 1) 1 ( x1 1)
5
Die Transformationen u = x - 1 bzw. x = u + 1 führen auch zum gleichen Ergebnis: 1 u 1
reihe u 6
2
3
4
o 1 1 ( x1 1) 1 ( x1 1) 1 ( x1 1) 1 ( x1 1) 1 ( x1 1) ersetzen u = x1 1
Beispiel 12.10: Entwicklung der Binomialreihe: n
( 1 x1) reihe x1 4 o 1 n x1
1 2
2
n ( n 1) x1
1 6
n ( n 1) ( 2 n) x1
3
Beispiel 12.11: sinh ( x1) reihe x1 12 o 1 x1
cosh ( x1) reihe x1 12 o 1
1 2
1 6
3
x1
2
x1
1 24
1
5
120
x1
4
x1
1 720
1
1
7
5040 6
x1
x1
Seite 209
362880
1 40320
1
9
8
x1
x1
39916800
1 3628800
x1
10
x1
11
5
Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen
Beispiel 12.12: Vergleich der Reihenentwicklung von reellen und komplexen Funktionen: 1
cosh ( j x1) reihe x1 10 o 1 cos ( x1) reihe x1 10 o 1 Damit gilt:
1 2
24
1
2
x1
x1
40320
1
6
720
1
6
x1
720
1
4
x1
24
1
4
x1
40320
x1
x1
8
8
cosh ( j x) = cos ( x) 1
cosh ( x1) reihe x1 10 o 1
1
2
x1
2
cos ( j x1) reihe x1 10 o 1 Damit gilt:
2
1
2
x1
1 2
24 1
2
x1
1
4
x1
24
720 1
4
x1
1
6
x1
40320 1
6
720
x1
x1
40320
8
x1
8
cos ( j x) = cosh ( x)
Beispiel 12.13: Vergleich von Realteil und Imaginärteil der Reihenentwicklung der komplexen Exponentialfunktionen mit der Basis e: reihe x1 6 1 1 1 1 2 3 4 5 o 1 i x1 x1 i x1 x1 i x1 komplex 2 6 24 120
j x1
e
j x1
e
reihe x1 6 1 1 1 1 2 3 4 5 o 1 i x1 x1 i x1 x1 i x1 komplex 2 6 24 120
cos ( x1) reihe x1 8 o 1
1 2
sin ( x1) reihe x1 8 o 1 x1
1
2
x1 1 6
24
1
3
x1
1
4
x1
720
x1
5
120
x1
6
1 5040
x1
7
Damit gelten die Eulersche Beziehungen: j x
e
= cos ( x) j sin ( x) und
j x
e
= cos ( x) j sin ( x)
Beispiel 12.14: Reihenentwicklung für Funktionen in mehr als einer Variablen (auf die Theorie wird hier nicht näher eingegangen): f(x,y) = ex + y2 für x = 1 und y = 0 ; f(x,y) = sin(x+y) für x = 0 und y = 0 ; f(s,t) = ln(s + t1/2) für s = -1 und t = 4. x1
e
2
y1 reihe x1 = 1 y1 4 o exp ( 1) exp ( 1) ( x1 1)
sin ( x1 y1) reihe x1 y1 4 o x1 y1
ln s
t reihe s = 1 t = 4 3 o s
1 4
1 6
3
x1
t
1 2
1 2
1 2 2
2
y1 x1 2
( s 1)
Seite 210
1 4
2
exp ( 1) ( x1 1) y1 1 2
2
y1 x1
1 6
( s 1) ( t 4)
y1 3 64
1 6
exp ( 1) ( x1 1)
3
( t 4)
2
3
Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen
Beispiel 12.15: Mehrdimensionale Taylor-Approximation im graphischen Vergleich mit der Originalfunktion. ORIGIN 0
§ x · cos ( 2 y) © 3¹
f ( x y) sin ¨
Flächenfunktion
n 5
Grad der Approximation
g n 1 x0 0
y0 0
Entwicklungspunkt der Taylorentwicklung
x0 r d x d x0 r
Definitionsbereich (Region) der Darstellung
y0 r d y d y0 r Taylor-Polynom: 1 2 1 2 1 1 2 3 4 5 3 2 P ( x y) f ( x y) reihe x = x0 y = y0 g o x x y x x y x x y 3 3 162 9 29160 81 N ceil ( 20 r) Xk j
N
40
x0 r (2 r) N k
Zf k j f Xk j Yk j
ZDk j 2
k 0 N Yk j
j 0 N
Bereichsvariablen
y0 r (2 r) N j
ZPk j P Xk j Yk j
Die x- und y-Koordinaten müssen Matrizen sein!
Die z-Komponenten müssen Matrizen sein!
Definitionsbereich um -2 verschoben, damit die Grafik anschaulicher wird.
Vergleich der Originalfunktion mit dem aproximierenden Taylorpolynom. Durch die Änderung von r kann der Bereich beliebig geändert werden. r wird hier global definiert, damit die Änderung in der Grafik sofort sichtbar wird. r{ 2
Abb. 12.6 ( X Y ZD) ( X Y Zf ) ( X Y ZP )
Seite 211
Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen
12.3 Laurentreihen Falls eine zu entwickelnde Funktion im Entwicklungspunkt eine Singularität besitzt, so liefert Mathcad die Laurententwicklung. Ein Satz der Funktionentheorie besagt: Jede Funktion f(z), die im Inneren eines Kreisringes zwischen zwei konzentrischen Kreisen mit dem Mittelpunkt z 0 und den Radien r1 und r2 analytisch ist, kann in eine verallgemeinerte Potenzreihe, die Laurentreihe, entwickelt werden: f
f ( z) =
ª a z z nº = .... a 1 z z 1 a a z z a z z 2 .... 0 ¼ 0 0 1 0 2 0 ¬ n
¦
f
n
Den Koeffizienten a-1 der Potenz (z - z 0 )-1 in der Laurent-Entwicklung von f(z) bezeichnet man als Residuum der Funktion f(z) im singulären Punkt z 0 .
Beispiel 12.16: Bestimmung von Residuen: 1 x ( x 3)
Die Funktion hat an der Stelle x = 0 einen Pol 1. Ordnung und die Entwicklung in eine Reihe liefert dadurch automatisch die Laurentreihe an der Stelle x = 0. Die Laurentreihe liefert gleichzeitig das Residuum der Funktion an der Stelle x = 0, nämlich den Koeffizienten vor 1/x. Das Residuum ist also 1/27.
3
1 x1 ( x1 3)
3
reihe x1 6 o
1 27
x1
1
1
27
2 81
x1
10 729
2
x1
5
3
729
x1
7 2187
x1
4
Es soll nun auch das Residuum an der zweiten Polstelle (x = - 3 ; Pol 3. Ordnung) ermittelt werden. Durch Transformation von u = x + 3 bzw. x = u - 3 erhält man: ersetzen x1 = u 3 1 3 1 2 1 1 1 1 1 2 o u u u u u bzw. reihe u 3 9 27 81 243 729
1 x1 ( x1 3)
3
1 x1 ( x1 3)
3
reihe x1 = 3 5 o
1 3
( x1 3)
3
1 9
( x1 3)
2
1 27
( x1 3)
1
1 81
1 243
( x1 3)
Residuum -1/27 an der Stelle u = 0 bzw. x1 = - 3 . Beispiel 12.17: Residuum von 1/ (sin(x))2 im Pol 2. Ordnung (x = 0): 1 sin ( x)
2
2
1 x
konvertiert in die Reihe
1 3
1 15
2
2
x
189
6
4
x O x
Das Residuum ist 1.
Beispiel 12.18: Residuum von tan(x) im Pol x = S/2: Es wird zuerst die Transformation u = x - S/2 durchgeführt: x x
Redefinition ersetzen x = u
tan ( x)
reihe u = 0 8
S 2
1
o 1 u
1 3
u
1 45
3
u
Seite 212
2 945
5
u
1 4725
7
u
Das Residuum ist -1.
Fourierreihen und Fourierintegral
13. Fourierreihen und Fourierintegral Symbolische Auswertungsmöglichkeiten (Fourierreihen und Fouriertransformationen): x x
Variable mit Cursor ( | ) markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Transformation-Fourier (bzw. Fourier invers) wählen. Symboloperator o und Schlüsselwörter "fourier" bzw. "invfourier".
Abb. 13.1 Numerische Auswertungsmöglichkeiten: x x
Integralauswertung der Fourier-Koeffizienten. Fast-Fourier-Transformation (Schnelle diskrete Fourier-Transformation) . Für diesen Zweck stehen in Mathcad mehrere Funktionen zur Verfügung.
13.1 Darstellung von periodischen Signalen Es gibt heute zahlreiche Teilgebiete der Physik und Technik, für die Fourier-Reihen unentbehrlich sind. In der Physik und Technik spielen periodische Vorgänge eine große Rolle. Sie werden durch periodische Funktionen, also Funktionen der Form f(t + k p) = f(t) dargestellt. Für die theoretische Untersuchung von akustischen Vorgängen, mechanischen und elektrischen Schwingungen ist die ideale Kurvenform die Sinus- oder Kosinuskurve. Mechanische und elektrische Schwingungen verlaufen jedoch in vielen Fällen nicht sinusförmig. An einigen Beispielen soll hier gezeigt werden, wie nichtsinusförmige Schwingungen mit Mathcad realisiert werden können. Zur Darstellung von periodischen Funktionen eignen sich insbesonders die Heaviside-Funktion )(t), die Modulo-Funktion mod(t 1 ,t2 ) und die Funktion floor(t). Die Funktion "wenn" oder ein Unterprogramm (erzeugt über die Programmierpalette) sind ebenfalls oft unverzichtbare Hilfen. Beispiel 13.1: T0 2 S
Periodendauer (muss nicht 2Ssein)
t 1 2 T0
unterer Zeitbereich
t 2 2 T0
oberer Zeitbereich
Seite 213
Fourierreihen und Fourierintegral
n 600 't
Anzahl der Schritte
t2 t1
Schrittweite
n
A0 1
Amplitude
Heavisidefunktion und deren Verschiebungen um eine halbe Periode: V ( t) ) ( t)
Heaviside-Sprungfunktion (Abb. 13.2)
§
V L ( t) ) ¨ t
T0 ·
Sprungfunktion, um T 0 /2 nach links verschoben
2 ¹ © § T0 · V R ( t) ) ¨ t 2 ¹ © § T0 · § T0 · V Imp ( t) ) ¨ t ) ¨t 2 ¹ 2 ¹ © © § § T0 · · f ( t ) A0 ¨ ) ( t ) 2 ) ¨ t 2 ¹¹ © ©
Sprungfunktion, um T 0 /2 nach rechts verschoben Rechteckimpuls im Bereich -T 0 /2 < t < T0 /2 Zeitfunktion im Bereich 0 < t < T0
t t1 t 1 't t 2
Zeitbereich (Bereichsvariable)
2 1 V ( t)
15
10
5
0
5
10
15
Abb. 13.2
5
10
15
Abb. 13.3
5
10
15
Abb. 13.4
1 2 t
V L ( t)
15
10
T0 2
2
T0
1
5
2 0
1 2 t
V R ( t)
15
10
T0 2
2
T0
1
5
2 0
1 2 t
Seite 214
Fourierreihen und Fourierintegral
Rechteckimpuls (Spur1: Format Linie bzw. Punkte):
V Imp( t)
20
2 T0 T0
10
2
2 0
10
V Imp( t)
20
20
2 T0 T0
10
2
2
2 0
10
20
2 t
t
Abb. 13.5
Abb. 13.6
Für die periodische Fortsetzung einer über eine Periode definierten Funktion könnten folgende selbstdefinierten Funktionen herangezogen werden:
fp2 f t T0
fp1 f t T0 wenn mod t T0 0 f mod t T0 T0 f mod t T0
f mod t T0
f mod t T0 T0
if mod t T0 0
Programmierte Funktion (Symbolleiste Programmierung) mithilfe der mod-Funktion.
otherwise
§ § t ·· fp3 f t T0 f ¨ t T0 floor ¨ © © T0 ¹ ¹
Definiert mit der floor-Funktion.
t1 0 't T0
Bereichsvariable
t 2 T0 2 T0 't 2 T0
Bereichsvariable
2
Definiert mit der wenn- und mod-Funktion.
T0
T0
2 f( t1) 0.5
fp1 f t T0
Abb. 13.7 15
10
5
0
5
10
15
Zeitfunktion im Bereich 0 < t < T0 und periodische Fortsetzung
2 t1 t
2
fp2 f t T0
T0
T0
2 10
5
0
Abb. 13.8 5
2 t
Seite 215
10
Spur1: Format Punkte
Fourierreihen und Fourierintegral
2
fp3 f t T0
T0
T0
2
10
5
0
5
10
Abb. 13.9
2 t
Die Heaviside-Funktion ) und die floor-Funktion können ebenfalls zur Erzeugung einer periodischen Rechteckspannung verwendet werden: U0 3
Amplitude
§ § t · T0 · u ( t ) U0 ) ¨ t T0 floor ¨ ¨© © T0 ¹ 2 ¹
Periodische Rechteckfunktion
t 0 't 4 T0
Bereichsvariable
4 2T0
T0 2
u ( t)
Abb. 13.10 0
5
10
15
20
25
30
t
Beispiel 13.2: Periodischer Rechteckimpuls: T0 2 S 't
Periodendauer (muss nicht 2Ssein)
4 T0
Schrittweite
600
t1 0 't T0
Bereichsvariable
t 2 T0 2 T0 't 2 T0
Bereichsvariable
Rechteckimpuls nullzentriert mit periodischer Fortsetzung: Rechteck endet bei Wund die Rechtecke haben einen Abstand von T 0 - W
W 1
ª1 u ( t ) = wenn « ª ( t d W ) ªt t T0 W ¬ ¬2 ¬
º¼ º¼ 1 0º»¼
Funktionsdefinition mit der wenn-Funktion
Seite 216
Fourierreihen und Fourierintegral
u ( t)
1 if
1 2
ª ( t d W ) ªt t T0 W
¬
¬
º¼ º¼
Programmierte Zeitfunktion (Symbolleiste Programmierung)
0 otherwise 2 W
fp3 u t T0
u t1 0.5
T0
1
Abb. 13.11 10
5
0
5
10
fp3 von Beispiel 13.1
1 t1 t
Rechteckimpuls nullzentriert mit einer Länge von b < T 0 W 1
Das Rechteck startet bei W und hat eine Breite von b
b 3
u ( t ) = wenn [ [ t t ( W ) ] [ t d ( W b) ] 1 0]
Funktionsdefinition mit der wenn-Funktion
u ( t)
Programmierte Funktion (Unterprogramm) (Symbolleiste Programmierung)
1 if ( t t W ) [ t d ( W b) ] 0 otherwise
2 W
fp3 u t T0
u t1 0.5
T0
1
Abb. 13.12 fp3 von
10
5
0
5
10
Beispiel 13.1
1 t1 t
Rechteckimpuls: W
T0
W kann nicht größer als T 0 sein
2
u ( t ) = wenn t = 0 1 wenn t d W 1 wenn t ! T0 W 1 0 u ( t)
Funktionsdefinition mit der wenn-Funktion
1 if t d W 1 if t ! T0 W
Programmierte Zeitfunktion (Symbolleiste Programmierung)
0 otherwise t 0 't 4 T0
Bereichsvariable
Seite 217
Fourierreihen und Fourierintegral
2 W
T0
1
u t1 0.5
fp3 u t T0
0
5
10
15
20
25
Abb. 13.13 fp3 von Beispiel 13.1
1
2 t1 t
Beispiel 13.3 Sägezahnkurven: T0 2 S
Periodendauer (muss nicht 2Ssein)
4 T0
't
Schrittweite
600
t1 0 't T0
Bereichsvariable
t 2 T0 2 T0 't 2 T0
Bereichsvariable
Zentralsymmetrische Sägezahnschwingung: 2
u ( t)
T0 2 T0
t if 0 t d
t T0
if
T0 2 T0 2
Programmierte Zeitfunktion (Symbolleiste Programmierung) t d T0
2 T0
1
u t1 1
fp3 u t T0
T0
2
Abb. 13.14
fp3 von 10
5
0
1 t1 t
Seite 218
5
10
Beispiel 13.1
Fourierreihen und Fourierintegral
Sägezahnschwingung nur mit positiven Werten: U0 2 u ( t)
Amplitude
§U t · t d T 0 ¨ 0 T 0¹ ©
Zeitfunktion im Bereich 0 < t < T 0
4 T0
fp3 u t T0
u t1 1
T0
2
Abb. 13.15
2
fp3 von Beispiel 13.1 10
5
0
5
10
t1 t
Die vorhergehende Sägezahnfunktion lässt sich auch mit der floor-Funktion darstellen: U0 2 u ( t)
Amplitude U0
§ § t ·· ¨ t T0 floor ¨ T0 © © T0 ¹ ¹
periodische Sägezahnschwingung
2T0
T0
2 u ( t)
Abb. 13.16 10
5
0
5
10
t
Zwei weitere Sägezahnfunktionen mithilfe der mod -Funktion: U0 2
Amplitude
· § U0 t U0 ¨© T0 ¹
u ( t ) mod ¨
periodische Sägezahnschwingung
t1 0 't 4T0
Bereichsvariable
2T0
T0
2
u t1
Abb. 13.17
5
0
5
10 t1
Seite 219
15
20
25
Fourierreihen und Fourierintegral
u ( t ) mod t T0
periodische Sägezahnschwingung
10 2T0
T0
u t1
5
Abb. 13.18 5
0
5
10
15
20
25
t1
Beispiel 13.4 Halbsymmetrische Funktion: T0 2 S
Periodendauer (muss nicht 2Ssein)
4 T0
't
Schrittweite
600
t 2 T0 2 T0 't 2 T0 u ( t)
2 T0
t if 0 t d
Bereichsvariable
T0 2
T0 § T0 · ¨t if t d T0 2 ¹ 2 T0 ©
Programmierte Zeitfunktion (Symbolleiste Programmierung)
2
2
T0
fp3 u t T0
T0
2
u ( t) 1
Abb. 13.19 10
5
0
5
10
fp3 von Beispiel 13.1
2 t
Beispiel 13.5 Sinus-Halbwelle (Einweggleichrichtung): T0 2 S Z0
't
2 S T0 4 T0 600
t1 0 't T0
Periodendauer (muss nicht 2Ssein)
Kreisfrequenz
Schrittweite
Bereichsvariable
Seite 220
Fourierreihen und Fourierintegral
t 2 T0 2 T0 't 2 T0
u ( t)
sin Z 0 t 0 if
T0
if 0 d t d
Bereichsvariable T0 2
Programmierte Zeitfunktion (Symbolleiste Programmierung)
t d T0
2
T0 1
u ( t) 0.5
fp3 u t T0
T0
2
Abb. 13.20
fp3 von 10
5
0
5
Beispiel 13.1
10
t
Beispiel 13.6 Phasenanschnittsteuerung einer Sinusfunktion (Thyristor): T0 2 S
Periodendauer (muss nicht 2Ssein)
4 T0
't
Schrittweite
600
t1 0 't T0
Bereichsvariable
t 2 T0 2 T0 't 2 T0
Bereichsvariable
u ( t)
sin Z 0 t
if
T0 · § 5 T0 § T0 · ¨ dtd ¨ d t d T0 2 ¹ © 8 © 8 ¹
Programmierte Zeitfunktion (Symbolleiste Programmierung)
0 otherwise 2 T0
fp3 u t T0
2
1
u t1 0.5
15
10
5
0
Abb. 13.21
T0
5
10
15
Sprur1 und Spur2: Format Punkte fp3 von Beispiel 13.1
1 t1 t
Seite 221
Fourierreihen und Fourierintegral
13.2 Fourierreihen Jede periodische Funktion f(t) mit f(t) = f(t + n T 0 ) die stückweise monoton und stetig ist, lässt sich eindeutig als Fourierreihe darstellen:
f ( t) =
a0 2
f
¦ an cos n Z 0 t bn sin n Z 0 t
n
mit
T0 =
2 S Z0
1
.
Diese Reihe ist periodisch mit der Periode T 0 Berechnung der Fourierkoeffizienten: Der konstante Anteil wird hier mit a 0 /2 angegeben, damit man die Integrale zur Berechnung der Fourierkoeffizienten a n und bn einheitlich darstellen kann: t T ´0 0 µ a0 = f ( t ) dt T0 µ ¶t 0 t T0
´0 µ bn = T0 µ ¶t 2
t T0
´0 µ an = T0 µ ¶t
2
2
f ( t) cos n Z 0 t dt
0
f ( t) sin n Z 0 t dt
0
Bei vorliegender Symmetrie der Zeitfunktion f vereinfachen sich die Berechnungen der Fourierkoeffizienten: Bei geraden Funktionen (axialsymmetrische Funktionen) gilt : T0
´ 2 µ 4 a0 = f ( t) dt , an = µ ¶ T0 0 T0 4
T0
´ 2 µ f ( t) cos n Z 0 t dt , bn = 0 . µ ¶
0
Bei ungeraden Funktionen (zentralsymmetrische Funktionen) gilt : T0
a0 = 0 ,
´ 2 µ bn = f ( t) sin n Z 0 t dt . µ T0 ¶ 0 4
an = 0 ,
Trägt man die Fourierkoeffizienten in Abhängigkeit der zugehörigen Frequenz in einem Diagramm auf, so erhält man das Amplituden- oder Frequenzspektrum (auch Linienspektrum genannt).
Seite 222
Fourierreihen und Fourierintegral Verwendet man
an 2 bn 2
An =
§ bn ·
und M n = arctan ¨
© an ¹
und ersetzt an , bn durch an = An cos M n und
bn = An sin M n , so erhält man mit der Beziehung cos(n Z0 t) cos(Mn) - sin(n Z0 t) sin(Mn) = cos(n Z0 t + Mn ) schließlich die Fourierreihe mit phasenverschobenen Sinus- und Kosinusgliedern:
f ( t) =
f
a0
¦ An cos n Z 0 t M n =
2
n
f
a0
2
1
¦
n
1
§ A sin § n Z t M S · · . ¨ n ¨ 0 n 2 © © ¹¹
Mit \n = Mn + S/2 vereinfacht sich die Reihe zu:
f ( t) =
f
a0
¦ An sin n Z 0 t \ n .
2
n
1
Beispiel 13.7: Symbolische Auswertung der Fourierkoeffizienten mithilfe von Symbol-Operatoren: n n
Redefinition von n
§ ©
§ ©
f ( t T U) U ¨ ) ( t) 2 ) ¨ t
2 ´ µ T ¶
T
2 ´ an = µ T µ ¶
T
a0 =
f ( t T U) dt
0
T ··
Gegebene Zeitfunktion im Bereich 0 < t < T mithilfe der Heavisidefunktion.
2 ¹¹
annehmen U ! 0 o a0 = 0 annehmen T ! 0
§ ©
f ( t T U) cos ¨ n
2 S T
doppelter Mittelwert
annehmen U ! 0 U o an = ( sin ( 2 n S ) 2 sin ( n S ) ) annehmen T ! 0 n S
· ¹
t dt
0
Die Koeffizienten a n sind gleich 0 (für alle n ²gilt: sin ( 2 n S ) = 0) ! 2 ´ bn = µ T µ ¶
T
annehmen U ! 0
§ 2 S t· t f ( t T U) sin ¨ n d T © ¹
annehmen T ! 0o bn = ( cos ( 2 n S ) 2 cos ( n S ) 1) vereinfachen
0
Für gerade n ²gilt: bn = 0 ! Für ungerade n ²gilt: cos( 2 n S) = 1 und cos( (2 n+1) S) = - 1. Wir erhalten dann:
bn = ( cos ( 2 S n) 2 cos ( S n) 1)
U n S
ersetzen cos ( 2 S n) = 1 cos ( S n) = 1 U o bn = 4 vereinfachen n S
Seite 223
U n S
Fourierreihen und Fourierintegral
Beispiel 13.8: Fourieranalyse einer Sägezahnspannung u(t) = U0 1/T0 t (numerische Auswertung) : T0 2 S s 't
Z0
2 S T0
Z0
1s
1
gewählte Periodendauer (muss nicht 2Ssein) und Kreisfrequenz
2 T0
Schrittweite
600
U0 4 V U0
Amplitude
4V
T ·· § § ¨ ¨t 0 U0 ¨ 2 ¸¸ ¨ u ( t) t T0 T0 floor ¨ T T0 ¨ © © 0 ¹¹
gegebene Sägezahnspannung
t1 T0 T0 't T0
Bereichsvariable Die Spur auf Format-Punkte einstellen, denn mit Format-Linie werden alle Punkte mitsamen verbunden.
4
2
T0
u t1
8
V
6
42
2
T0 0
2
2 4
6
8
Zeitbereich (Originalbereich) der Spannung u(t) mit der Periodendauer T 0 .
2 4
Zentralsymmetrische Funktion. t1
Abb. 13.22
s
Fourier- Koeffizienten: n n
Redefinition von n
ORIGIN 0
TOL
1 u 10
3
ORIGIN festlegen und Ausgabe der Standard-Toleranz
T0
a0
´ 2 µ 1 U0 t dt µ T0 µ T0 µT ¶ 0 2
a0
doppelter Mittelwert
0V
2
nmax 16
n 1 nmax
Bereichsvariable
T0
an
´ 2 µ 1 U0 t cos n Z 0 t dt µ T0 µ T0 µT ¶ 0
2
an wenn an TOL V 0 V an
Koeffizienten, deren Wert unter der Toleranzgrenze liegt, werden ausgeschieden !
2
Seite 224
Fourierreihen und Fourierintegral
T0
´ 2 µ 1 U0 t sin n Z 0 t dt µ T0 µ T0 ¶
4
bn
bn wenn bn TOL V 0 V bn
0s
an
bn V
0
V
1.273
0
-0.637
0
0.424
0
-0.318
0
0.255
0
-0.212
0
0.182
0
-0.159
0
0.141
0
-0.127
0
0.116
0
-0.106
0
0.098
0
-0.091
0
0.085
0
-0.08
Koeffizienten, deren Wert unter der Toleranzgrenze liegt, werden ausgeschieden !
Frequenzbereich (Spektralbereich - Bildbereich): Amplituden- oder Frequenzspektrum (auch Linienspektrum genannt) der Sägezahnspannung. Frequenzspektrum
2 1.5 bn
1 0.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 n
Abb. 13.23 Die Amplitude der Grundschwingung (n = 1) und die Amplituden der Oberschwingungen mit den Frequenzen f = n * f 0 . Es kommen in diesem Spektrum nur ganzzahlige Frequenzanteile vor, daher spricht man von einem diskreten Spektrum. Dies ist charakteristisch für periodische Funktionen.
Rücktransformation (Fouriersynthese): n max
up ( t)
¦ bn sin n Z 0 t
n
Fourierpolynom aus n max = 16 Gliedern
1
4 u ( t)
T0
2
u p( t) V
T0
2
V 8
6
4
2
0 2 4 t s
Abb. 13.24
Seite 225
2
4
6
8
Fourierreihen und Fourierintegral
Komplexe Darstellung einer Fourierreihe: Neben der reellen Darstellung gibt es noch die komplexe Darstellung eines periodischen Vorganges. Diese Darstellung ist sowohl für reelle als auch komplexe Zeitfunktionen geeignet. Durch Addition bzw. Subtraktion der beiden Eulerschen Beziehungen e
jnZ 0t
jnZ 0t
= cos n Z 0 t j sin n Z 0 t , e
erhält man:
sin n Z 0 t =
ª
1
cos n Z 0 t =
¬e
2
jnZ 0t
ª
1 2 j
¬e
jnZ 0t
¼
º .
jnZ 0t
e
º ,
jnZ 0t
e
= cos n Z 0 t j sin n Z 0 t
¼
Setzt man auch noch in der oben angeführten reellwertigen Darstellung, a0 2 2 = A0 = c0 , An = an bn = 2 cn , 2 an = cn c n = cn cn = 2 cn cos M n = 2 Re cn , bn = j cn cn = j cn c n = 2 cn sin M n = 2 Im cn , 1 1 mit cn = an j bn und cn = c n = an j bn , 2 2 so erhält man durch Umformung die komplexe Fourierreihe, die im Amplitudenspektrum eine Darstellung nach "positiven" und "negativen" Frequenzen bedeutet:
f
¦
n
f ( t) =
jnY 0t· § © cn e ¹=
f
f
¦
cn cos n Z 0 t
f
j
f
n
¦ cn sin n Z 0 t .
n
f
Die komplexen Fourier-Koeffizienten erhält man aus:
cn =
t T ´0 0
µ µ T0 ¶t 0 1
cn = c n
T0
j nY 0t
f ( t) e
dt
´ 2 T0 jnY 0t 1 µ f ( t) e µ dt . : cn = bzw. für t0 = T0 µ T 2 ¶ 0
,
c0 =
an 2
2
= An ,
An 1 S 2 2 cn = cn = an bn = , \ n = arg cn 2 2 2 Ist f(t) eine gerade Funktion ( f(t) = f(- t) ), so sind die komplexen Fourierkoeffizienten cn reell, bei einer ungeraden Funktion ( f(t) = - f(- t) ) imaginär. Andernfalls lassen sie sich in Real- und Imaginärteile bzw. Betrag und Phase zerlegen.
Seite 226
Fourierreihen und Fourierintegral
Das oben angeführte Beispiel 13.8 komplex gerechnet: ORIGIN 16
TOL
ORIGIN und voreingestellte Toleranz
0.001
n 16 15 16
Bereichsvariable
T0
cn
´ 2 µ jnZ 0t 1 U0 te µ dt T0 µ T0 µ T ¶ 0 1
komplexe Fourierkoeffizienten
2
cn wenn cn TOL V 0 V cn T
-16
c
-16
-0.04i
-16 -16
-14
-13
0.042i
T
komplexe Fourierkoeffizienten
-15
An wenn n z 0 2 cn c0 A
0.08
-0.045i
-16
an
-14
-13
-12
-11
-10
0.091
0.098
0.106
0.116
0.127
-14
3.142
S·
T
-13 0
-12
3.142
T
-15
-14
-13
-12
-11
-10
0
0
0
0
0
0
0
-9
0.071i
-8
0.141
-10
3.142
-8 0
0.08
-7
0.159
V
-6
0.182
-9 0
-7 0
-6
V
0.212
-8
-7
3.142
0
-5 0
-15
-14
-13
-12
-11
-10
0.085
0.091
0.098
0.106
0.116
0.127
0
3.142
-4 0
-3 0
-2 0
-1 0
0 0
V 0
-9
-8
0.141
-7
0.159
-6
0.182
V
0.212
Frequenzspektrum
1 cn
-0.064i
reelle Fourierkoeffizienten
-16 -16
-9
reelle Fourierkoeffizienten
bn 2 cn b
-9
-11 0
-16 -16
-10
Phasen aller Teilschwingungen
2¹
cn cn
a
0.058i
-15
-15 0
-0.053i
0.085
-16
-11
Amplituden aller Teilschwingungen
§ ©
T
0.049i
\ n wenn ¨ cn TOL V 0 arg cn \
-12
5Z 0
5Z 0
0.5
0
17
15
13
11
9
7
5
3
1
1 n
Abb. 13.25
Seite 227
3
5
7
9
11
13
15
17
Fourierreihen und Fourierintegral
Phasenspektrum
4 \n
S
2
0
17
15
13
11
9
7
5
3
1
1
3
5
7
9
11
13
15
17
n
Abb. 13.26 n max
Rücktransformation: up ( t)
¦ An sin n Z0 t \ n
n
Fourierpolynom aus n max = 16 Gliedern
1
4 u ( t)
T0
2
u p( t) V
T0
2
V 8
6
4
2
0
2
4
6
8
2 4 t s
Abb. 13.27 13.3 Fast-Fourier-Transformation und inverse Transformation Die Fast-Fourier-Transformation (FFT) ist eine gängige Methode zur numerischen Ermittlung des Frequenzspektrums von diskreten Daten (z. B. Analyse von Spektren jeglicher Art (Spektralanalysen) und Weiterverarbeitung von Messdaten; Bildanalysen und Bildbearbeitung (Ultraschall-Scannern, Röntgenaufnahmen, Satellitenbildern usw.). Zur linearen Signalanalyse steht in Mathcad auch die WaveletTransformation zur Verfügung (siehe wave und iwave Funktion in der Mathcad-Hilfe). Oft ist es auch notwendig, ein analoges Signal zu digitalisieren. Dies wird z.B. bei einer CD- Aufnahme und anderen Analog-Digital-Umwandlungen genützt. Es gibt zwei Kriterien der Digitalisierung. Das erste ist die " sampling-Rate". Ein Signal ist komplett charakterisiert, wenn es mindestens mit zweifacher Bandweite gesampelt wird. Das ist als Nyquist-Sampling-Theorem (Abtasttheorem) bekannt. Das Signal kann oversampled werden, um eine gute Rekonstruktion des Signals zu erreichen. Wenn kleinere Samplingraten benutzt werden, dann werden Signalkomponenten höherer Frequenz mit Signalkomponenten niedriger Frequenz überlagert. Dieses Phänomen wird Aliasing genannt, welches die Informationen, die von einem Signal getragen werden, zerstört. Das zweite Kriterium für eine effektive Digitalisierung ist die Größe des " sampling-Intervalls". Die genaue Kenntnis der analytischen Funktion eines Signals in Form einer Funktionsgleichung ist in der Praxis sehr oft unbekannt. Man hat es also mit periodischen Signalen zu tun, von denen man in äquidistanten Abtastzeitpunkten t k = (T 0 /N) * k (k = 0,1,2,...,N-1 ; T0 = 2S/Z ... Periodendauer des Signals ) die N aufgenommenen Abtastwerte y k = f(tk ) mit den zugehörigen Frequenzen fk = (fs /N) * k (fs = 1/T 0 die Abtastfrequenz oder Samplingfrequenz ) des Signals kennt, die z.B. mit einem Messdatenerfassungssystem aufgenommen wurden.
Seite 228
Fourierreihen und Fourierintegral In Mathcad stehen für die Fast-Fourier-Transformation und inverse Transformation die nachfolgend angeführten Funktionen zur Verfügung. Dabei ist zu beachten, dass der ORIGIN vor dem Einsatz dieser Funktionen auf null gesetzt wird ! Schnelle diskrete Fourier-Transformation für reelle Daten:
fft ( Y)
Cn =
k § j2S n· ¨ N © Yk e ¹
N 1
1
¦
N
k
ifft ( C)
Yn =
N1
1
¦
N
0
k
k § j2S n· ¨ N © Ck e ¹
0
j ist die imaginäre Einheit. n = 0,1,2,...,N/2. N ² ist die Anzahl der reellen diskreten Daten (Messungen in regelmäßigen Abständen im Zeitbereich) des Vektors Y, wobei dieser Vektor genau 2m = N Daten enthalten muss. Die Fast-Fourier-Transformierte fft(Y) liefert einen Vektor Cn mit 2m-1 + 1 Elementen zurück. Die Invers-Fast-Fourier-Transformierte ifft(C) liefert einen Vektor Yn mit 2m-1 + 1 Elementen zurück. Diese Funktionen sind invers zueinander: ifft(fft(Y)) = Y . Diese Funktionen gehen von einer Symmetrie der Transformation aus, daher sind auch genau 2m Daten erforderlich.
FFT ( y)
cn =
1 N
N1
¦
k
k § j2S n· ¨ N © yk e ¹
k § j2S n· ¨ N © ck e ¹
N1
IFFT ( c)
yn =
¦
k
0
0
j ist die imaginäre Einheit. n = 0,1,2,...,N/2. N ² ist die Anzahl der reellen diskreten Daten (Messungen in regelmäßigen Abständen im Zeitbereich) des Vektors y, wobei dieser Vektor genau 2m = N Daten enthalten muss. Die Fast-Fourier-Transformierte FFT(y) liefert einen Vektor cn mit 2m-1 + 1 Elementen zurück. Die Invers-Fast-Fourier-Transformierte IFFT(c) liefert einen Vektor yn mit 2m-1 + 1 Elementen zurück. Diese Funktionen sind invers zueinander: IFFT(FFT( y)) = y. Diese Funktionen gehen ebenfalls von einer Symmetrie der Transformation aus, daher sind auch genau 2 m Daten erforderlich. FFT(y) bzw. IFFT(c) unterscheiden sich von fft(Y) bzw. ifft(C) nur dadurch, dass anstatt des Normierungsfaktors 1/ N (amerikanische Version) der Faktor 1/N verwendet wird und der Exponent der e-Funktion negativ ist. Schnelle diskrete Fourier-Transformation für reelle und komplexe Daten:
cfft ( Y)
Cn =
1 N
N1
¦
k
k § j2S n· ¨ N © Yk e ¹
icfft ( Y)
0
Yn =
1 N
N 1
¦
k
k § j2S n· ¨ N © Ck e ¹
0
j ist die imaginäre Einheit. n = 0,1,2,...,N-1. N ² ist die Anzahl der reellen oder komplexen diskreten Daten des Vektors (oder Matrix) Y (beliebiger Größe). Die Fast-Fourier-Transformierte cfft(Y) liefert einen Vektor (oder Matrix) Cn derselben Größe wie der als Argument übergebene Vektor Y bzw. wie die als Argument übergebenen Matrix zurück. Die Invers-Fast-Fourier-Transformierte icfft(C) liefert einen Vektor (oder Matrix) Yn derselben Größe wie der als Argument übergebene Vektor C bzw. wie die als Argument übergebenen Matrix zurück. Diese Funktionen sind invers zueinander: icfft(cfft( Y)) = Y. Diese Funktionen gehen nicht von einer Symmetrie der Transformation aus.
Seite 229
Fourierreihen und Fourierintegral
CFFT ( y)
cn =
N1
1
N
¦
k
k § j2S n· ¨ N © yk e ¹
N 1
ICFFT ( c)
yn =
0
¦
k
k § j2S n· ¨ N © ck e ¹
0
j ist die imaginäre Einheit. n = 0,1,2,...,N-1. N ² ist die Anzahl der reellen oder komplexen diskreten Daten des Vektors (oder Matrix) y (beliebiger Größe). Die Fast-Fourier-Transformierte CFFT(y) liefert einen Vektor (oder Matrix) cn derselben Größe wie der als Argument übergebene Vektor y, bzw. wie die als Argument übergebenen Matrix zurück. Die Invers-Fast-Fourier-Transformierte ICFFT(c) liefert einen Vektor (oder Matrix) yn derselben Größe wie der als Argument übergebene Vektor c, bzw. wie die als Argument übergebenen Matrix zurück. Diese Funktionen sind invers zueinander: ICFFT(CFFT( y)) = y. CFFT(y) bzw. ICFFT(c) unterscheiden sich von cfft(Y) bzw. icfft(C) nur dadurch, dass anstatt des Normierungsfaktors 1/ N (amerikanische Version) der Faktor 1/N verwendet wird und der Exponent der e-Funktion negativ ist. In allen oben angegebenen Summen gilt: Z 0 t k = 2 S
k N
.
tk sind die äquidistanten Abtastzeitpunkte. Das Fourierpolynom kann nach FFT folgendermaßen in komplexer Schreibweise dargestellt werden:
n max
yp nmax t = c0
¦
n
inZ 0t inZ 0t· § N cn e © cn e ¹ mit nmax d 2 .
1
N/2 ergibt sich aus Symmetriegründen der Fourierkoeffizienten.
Beispiel 13.9: Es soll ein periodisches Rechtecksignal (periodische Funktion f(t) mit Periodendauer T 0 ) an N äquidistanten Stellen abgetastet werden. ORIGIN 0 Z0 1 T0 2
't
f0 S Z0
T0 500
A0 2
ORIGIN festlegen
T0
Z0 2 S 6.283
f0
0.159
Frequenz des Messsignals
Periodendauer des abzutastenden Signals
Schrittweite
Amplitude
Seite 230
Fourierreihen und Fourierintegral
f t A0
A0 if 0 t A0 if
T0 2 gegebene Zeitfunktion (Symbolleiste Programmierung)
T0
t T0 2
0 otherwise t1 0 't T0
Bereichsvariable 4 2
f t1 A0
2
1
T0 0
1
2
2 3
T0 4
5
6
7
8
Abb. 13.28
2 4 t1 s
Zuerst wird wegen fehlender Messdaten eine strukturierte ASCII-Datei MESSDATEN.DAT mit den entsprechenden Messwerten erstellt. Die Anzahl der Abtastwerte sei eine Zweierpotenz. N sollte mindestens doppelt so groß wie die höchste Oberwelle im Messsignal sein (Abtasttheorem). Eine Rechteckschwingung besitzt unendlich viele Oberwellen, daher ist das Abtasttheorem nicht streng erfüllbar und eine exakte Rücktransformation mittels Fast-Fourier ist ohne Fehler nicht möglich.
m 5 m
N 2
N
32
k 0 N 1 tk
T0 N
Bereichsvariable
k
Abtastzeitpunkte
yk f tk A0
Abtastwerte
M1 erweitern ( t y)
Messdatenmatrix aus Abtastzeitpunkten und Abtastwerten
PRNPRECISION 4
Genauigkeit der Messdaten in der ASCII-Datei
PRNSCHREIBEN ( "MESSDATEN.DAT" ) M1
Strukturierte ASCII-Datei erstellen
Einlesen einer Messdatendatei (Siehe auch Kapitel 19 Schnittstellen): M1 PRNLESEN ( "MESSDATEN.DAT" )
¢0² N länge M1
N
32
Die Anzahl der (tk,yk) Abtastwerte kann mit der länge-Funktion bestimmt werden.
¢0² t M1
¢1² y M1
Die Datenvektoren werden aus der eingelesen Datenmatrix extrahiert.
Seite 231
Fourierreihen und Fourierintegral
T
0
t
0
0
T
0
y
0
N
1 0.196 1
0
2
2 2
0.393 3
2
4
0.589
4 2
k 0 N 1
32
3
5 2
0.785 6
2
5 0.982
7 2
6
8 2
7
1.178 9
2
10 2
8
1.374 11
2
2
9
1.571 12
13
2
10
1.767 14
2
1.963
15
2
16
2
0
Bereichsvariable Abgetastetes Meßsignal
2
T0
T0
2 yk 0
1
2
3
4
5
6
7
2 tk
Abb. 13.29 Fast-Fouriertransformation (FFT): c FFT ( y)
Berechnung der FFT-Koeffizienten
Frequenz- Linien- oder Amplitudenspektrum: n 0
N
Bereichsvariable
2
a1 n cn cn
a1 0 c0
3
2 c n
Frequenzspektrum
3
a1n
1.5
b1n j cn cn
die reellwertigen Fourierkoeffizienten
Frequenzspektrum
3
b1n
1.5
Frequenzspektrum
1.5
0 2 4 6 8 101214 16
0 2 4 6 8 101214 16
0 2 4 6 8 10121416
n
n
n
Abb. 13.30
Seite 232
Fourierreihen und Fourierintegral
Inverse Fast-Fouriertransformation (IFFT): y IFFT ( c)
Berechnung der IFFT-Koeffizienten
1.8
T0
T0
2 yk
0.2 0
1
2
3
4
5
6
2.2 tk
Abb. 13.31 Fourierkoeffizienten einer Rechteckschwingung mit Amplitude A 0 : a2 n 0 T1
´ 2 4 µ 2 S § · b2n = A01 sin ¨ n1 t2 dt2 µ T1 µ T1 © ¹ ¶ 0
ª
b2n wenn « n = 0 0
¬
annehmen A 01 ! 0 annehmen T1 ! 0 o b2n = 2 A01
cos ( n1 S ) 1 n1 S
vereinfachen
ª¬ 1 ( 1) nº¼ º» n S ¼
2 A0
Fourierkoeffizienten der Rechteckschwingung mit Fast-Fourierkoeffizienten im Vergleich: a2 n
a1 n
b2n
b1n
0
0
0
0
0
-2.626·10 -13
2.5465
2.5383
0
0
0
0
0
1.897·10 -12
0.8488
0.8241
0
0
0
0
0
-3.363·10 -13
0.5093
0.4677
0
0
0
0
0
1.828·10 -12
0.3638
0.3046
0
0
0
0
0
-2.127·10 -14
0.2829
0.2052
Der aufsummierte quadratische Fehler sollte verschwinden:
¦ a2n a1n
2
¦ b2n b1n
2
0
n
0.057
n
Je größer die Abtastwerte N , desto besser ist die Übereinstimmung der Fourierkoeffizienten und der Fast-Fourierkoeffizienten. Abtastwerte der Funktion f(t) und Fourierpolynom y p(nmax,t) im Vergleich:
yp t nmax c0
nmax
¦
n
inZ 0t inZ 0t· § cn e © cn e ¹
1
Seite 233
Fourierpolynom in komplexer Formulierung
7
Fourierreihen und Fourierintegral
T0 2
yk
T0
2
yp t1 5 yp t1 2
0
1
2
3
4
5
6
§ N· yp ¨t1 © 2¹ 2
tk t1 t1 t1
Abb. 13.32 Beispiel 13.10: Es soll ein verrauschtes Messsignal gefiltert werden, und dann das Originalsignal soweit wie möglich wieder hergestellt werden: m 7 m
N 2
N
128
Die Anzahl der Abtastwerte sei eine Zweierpotenz. N sollte mindestens doppelt so groß wie die höchste Oberwelle im Messsignal sein (Abtasttheorem).
k 0 N 1
Bereichsvariable
u ( t ) = 1 V sin 3 Z 0 t 2 V cos 5 Z 0 t Es gilt: n Z 0 tk = n 2 S
k
Gegebenes periodisches Signal T0
k . N N Damit erhalten wir die Abtastwerte für das gegebene periodische Signal:
§ ©
uk 1 V sin ¨ 3 2 S
k· N¹
mit den Abtastzeitpukten tk
§ ©
2 V cos ¨ 5 2 S
k· N¹
Wir fügen nun ein zufälliges Rauschen mithilfe der rnd-Funktion zum Signal hinzu ((rnd(2) - 1) liefert eine Zufallszahl zwischen -1 und +1) und bekommen dann ein verrauschtes Messsignal:
Spannung
uvk uk ( rnd ( 2) 1) V
uk uvk
0
20
40
60
80
100
120
Abb. 13.33
k Originalsignal Verr. Messsignal
Seite 234
Fourierreihen und Fourierintegral
U FFT ( uv) n 0
Fast-Fourier Koeffizienten des verrauschten Messsignals
N
Bereichsvariable im Frequenzbereich
2
D 0.15 V
Schwelle für die spektrale Rauschreduktion Frequenzspektrum
Spannung
1 Un D
m Messignal 0.5
0
0
10
20
30
40
50
60
m Schwelle m Rauschen
n Frequenz
Abb. 13.34 Wir filtern nun jene harmonischen Oberschwingungen heraus, deren Amplitude | Un | kleiner als die Schwelle D ist. Um sie auf null zu setzen, benützen wir die Heaviside-Funktion: Uf n Un )
Un D
Gefilterte Fast-Fourier Koeffizienten
Eine Alternative zur Heaviside-Funktion wäre auch noch die wenn-Funktion: Ufn := wenn( | Un | < D , 0 , Un ). Es könnten aber auch andere Filter eingesetzt werden.
Spannung
1 Ufn D
0.5
0
0
10
20
30
40
50
60
n Frequenz
Abb. 13.35 Das gefilterte Messsignal wird nun mittels IFFT in den Zeitbereich zurücktransformiert und anschließend grafisch mit dem Originalsignal verglichen: uf IFFT ( Uf )
Seite 235
Spannung
Fourierreihen und Fourierintegral
uk uvk 0
20
40
60
80
100
120
ufk
k Originalsignal Verrauschtes Messsignal Gefiltertes Messsignal
Abb. 13.36 Durch die Erhöhung der Anzahl der Abtastwerte kann eine bessere Übereinstimmung erzielt werden. 13.4 Fouriertransformation Bei periodischen Funktionen y = f(t) führt die Fourier- Analyse stets zu einem Linienspektrum . Bei nichtperiodischen Funktionen ist ein kontinuierliches Spektrum zu erwarten. In der Praxis treten viele einmalige Vorgänge auf, die nicht periodisch sind. Die Analyse nichtperiodischer Funktionen, wie z. B. einem einmaligen Impuls, leitet man aus einer periodischen Funktion her, indem man die Periode immer größer werden läßt. Eine Vergrößerung der Periodenlänge T 0 ist gleichbedeutend mit der Verkleinerung der Frequenz von f 0 bzw ZIm Frequenzspektrum (Amplituden oder Linienspektrum) des periodischen Vorganges rücken die einzelnen Spektrallinien immer näher zusammen. Durch den Grenzübergang T 0 o f entsteht schließlich ein kontinuierliches Spektrum, weshalb k Z0 als ein Kontinuum Z beschreibbar ist, und alle Frequenzen zwischen - f und + f enthält (Frequenzoder Amplitudendichtespektrum). Anstelle der trigonometrischen Summe der Fourierreihe tritt ein Integral, das Fourierintegral, das sich über alle Frequenzen von -f bis +f erstreckt. In der Naturwissenschaft und Technik ist die Fouriertransformation eine sehr wichtige Integraltransformation. Dabei wird einer Zeitfunktion y = f(t) ihr Frequenzspektrum F(Z) zugeordnet und umgekehrt. Die unendlichen Summen der komplexen Fourierreihe gehen durch den Grenzübergang in das FourierIntegral über. Die Fouriertransformierte F(Z), als eine kontinuierlich verteilte Funktion von Z, ergibt sich zu: T0
F { f(t) } =
´ 2 f µ j kZ 0t ´ j Zt dt . F (Z ) = f ( t) e f ( t) e lim µ dt = µ ¶ T0 o f µ T0 f ¶ 2
Die Fourierrücktransformierte (inverse Fouriertransformation), also die Zeitfunktion f(t), erhalten wir aus analogem Übergang der Fourierreihe für T0 o f :
F
-1
{ F( Z) } = f ( t) =
f
´ j Zt µ dZ F (Z ) e 2 S ¶ f 1
.
Seite 236
Fourierreihen und Fourierintegral
Die Fourieranalyse hat heute eine besondere Bedeutung in der praktischen Auswertung in Form der Fast-Fourier-Transformation (FFT- siehe oben), die einem zeitdiskreten Signal f(t) der jetzt normierten Zeitvariablen tn = n * 't (n = 0, 1, ... N-1 und 't = 1) ein frequenzdiskretes Spektrum an den Stellen k = 0, 1 ... N-1 der jetzt normierten Frequenzvariablen f = k/N ('f = 1/(N*'t) = 1/N) zuordnet. Durch die Diskretisierung des Fourierintegrals über ein endliches Intervall mit N-Punkten ergibt sich: ´ F (Z ) = µ ¶
f
j Zt
f ( t) e
f
k § j2S n· ¨ N © yn e ¹
N1
dt
| Fk =
¦
n
mit k = 0, 1 ... N-1.
0
Die Rücktransformation erhält man aus: f
´ jZt f ( t) = µ F (Z ) e dZ 2 S ¶ f 1
| yn =
1 N
N 1
¦
k
k § j2S n· ¨ N © Fk e ¹mit n = 0, 1 ... N-1.
0
Der Transformationsalgorithmus ist für N = 2 m besonders effizient. Hierdurch werden die Grenzen zur Fourierreihe verwischt, denn die diskreten Spektren gehören zu Funktionen, die auf der Zeitachse mit N und der Frequenzachse mit 1 periodisch sind. Bemerkung: Vergleicht man die hier angegebenen Näherungen für F und y mit den in Kapitel 13.3 angeführten Funktionen FFT und IFFT von Mathcad, so gilt: FFT ( y) =
1 N
F und IFFT ( F) = N y .
G-Impuls und Heaviside-Sprungfunktion ): Neben dem Einheitssprung (Heavisidefunktion )) spielt der Dirac-Impuls G eine besondere Rolle (kurzer und starker Impuls zum Zeitpunkt t = 0 s wie z.B. Spannungsstoß, Kraftstoß, punktförmige Ladung). Der Dirac-Impuls ist ein idealisierter, technisch nur näherungsweise darstellbarer Impuls. Er tritt zwar in der Natur nie exakt auf (physikalische Größen können keine unendlichen Werte annehmen), bei der mathematischen Beschreibung von Systemen bietet er aber vielfach sehr bequeme und genau Näherungen an das tatsächliche dynamische Verhalten. Die Reaktion eines Systems auf die Impulsfunktion als Eingangsgröße heißt Impuls-Antwort bzw. Gewichtsfunktion. Mathematisch wird er als Ableitung des Einheitssprungs definiert, was wegen der Unstetigkeit von )(t) allerdings Schwierigkeiten bereitet. Man stellt sich daher besser die Dirac-Funktion als Grenzwert für T o 0 vor, den ein "differenzierendes System" liefert. Der G-Impuls oder Dirac-Impuls stellt keine Funktion, sondern eine Distribution dar! In der Symbol-Engine von Mathcad ist der Dirac-Impuls G(t) durch '(t) = 0 für t z0 bzw. '(Z) = 0 für Z z0 definiert. Für t = 0 bzw. Z = 0 ist der Dirac-Impuls f Der Dirac-Impuls kann natürlich nicht als Funktion (z.B. f(t) := '(t)) dargestellt werden!
Seite 237
Fourierreihen und Fourierintegral
Beispiel 13.11: Übergang vom Rechteckimpuls zum G-Impuls (Veranschaulichung mit Mathcad): G ( t) =
ª 1 ( ) ( t) ) ( t T) )º « » ¬T ¼
lim To0
1
f ( t T)
T
und
´ µ ¶
f
G ( t ) dt = 1
f
( ) ( t ) ) ( t T) )
Rechteckimpuls
T
Siehe auch Kapitel 19. Aus dem Kontextmenü (rechte Maustaste auf dem Slider) können die Mathsoft Slider Control-Objekt Eigenschaften eingestellt werden: Minimum: 2; Maximum 30; Teilstrichfähigkeit 1.
13 1
T
T
T
Periodendauer
0.077
t 1 1 0.001 1
Bereichsvariable Fläche des Rechteckimpulses der Höhe 1/T:
Sprungfunktion und Dirac-Impuls 1 T
f( t T) 3 ) ( t)
´ µ ¶
f
f ( t T) d t o 1
f
10
2 ) ( t T)
Berechnung mit dem Mathcad Dirac-Impulses '(t):
1
0.5
0
0.5
t
1
´ µ ¶
f
' ( t ) dt o 1
f
Abb. 13.37 Beispiel 13.12: In Beispiel 13.9 wurde das Linienspektrum einer periodischen Rechteckfunktion ermittelt. Hier soll das Spektrum eines Rechteckimpulses (Spannungsimpuls) untersucht werden: ORIGIN 40
ORIGIN festlegen
n 40 39 40
Bereichsvariable
Z0 1 s T0
Û
1
2 S Z0 1 T0
Vs
Kreisfrequenz
T0
6.283 s
Periodendauer
Amplitude
Seite 238
Fourierreihen und Fourierintegral
§ §
T0 ·
© ©
2
u ( t) Û ¨ ) ¨ t
¹
§
) ¨t
T0 · ·
©
2
periodische Rechteckspannung
¹¹
t T0 T0 0.99 T0
Bereichsvariable Periodische Rechteckspannung
0.2
T0
u ( t)
Die periodische Rechteckspannung wird hier nur über eine Periode dargestellt.
T0
2
2 0.1
8
6
4
2
0
2
4
6
8
Abb. 13.38
t
Numerische Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten für die periodische Rechteckspannung: 1
c1 n
s
´2 jnZ 0t 1 µ u ( t) e µ dt T0 µ 1 ¶ s
c1 n wenn c1 n TOL V 0 V c1 n
2
Amplituden- oder Frequenzspektrum
0.03
1 df = f0 = T0
0.02 c1n 0.01
0
Abb. 13.39 40
20
0
20
40
n
Eine Vergrößerung der Periodendauer T 0 (f0 = 1/T 0 ) ist gleichbedeutend mit der Verkleinerung der Frequenz von f0 bzw. Z0 ( Z = 2 Sf 0 ; f = n f0 ). Das bedeutet, dass im Amplitudenspektrum die Spektrallinien immer näher zusammenrücken. Mit T0 o fentsteht ein kontinuierliches Spektrum. Fouriertransformation eines Spannungsimpulses: Direkte symbolische Auswertung des Fourierintegrals: T
´2 ´ 1 µ jZt j Zt dt dt = µ F (Z ) = µ u ( t) e e ¶ T µ T f ¶ f
2
Seite 239
Fourierreihen und Fourierintegral
Symbolisch vereinfacht über das Symbolik-Menü und weiter umgeformt ergibt: T
´2 1 µ jZt µ dt vereinfacht auf e T µ T ¶
§ 1 T Z· §1 · sin ¨ T Z 2 2 © ¹ = © ¹ = sinc § 1 T Z · ¨ TZ 1 ©2 ¹ TZ
sin ¨ 2
sinc-Funktion (Spaltfunktion)
2
2
Auswertung über das Symbolik-Menü:
§ § T © © 1
¨) ¨t
T· 2¹
§ ©
) ¨t
T ··
Cursor auf t stellen und mit Symbolik-MenüTransformation-Fourier auswerten (oder:
2 ¹¹
hat Fourier-Transformation
§ 1 i T Z · § S ' ( Z ) i · exp § 1 i T Z · § S ' ( Z ) i · º ¨ ¨ ¨ » Z¹ Z ¹¼ ©2 ¹ © ©2 ¹ ©
ª T ¬ 1
'(Z) bedeutet den Diracschen DeltaImpuls G(Dirac-Stoß)
« exp ¨
vereinfacht auf
§ 1 T Z· ©2 ¹
sin ¨ 2 i ( S ' ( Z ) Z i)
TZ
§ 1 T Z· ©2 ¹
sin ¨ ' Z 0 für Z z0, also folgt daraus:
2
TZ
Auswertung mit den symbolischen Operatoren: t t
T T
§ § T © © 1
¨) ¨t
§ § T © © 1
¨) ¨t
§ § T © © 1
¨) ¨t
T· 2¹ T· 2¹
T· 2¹
Redefinitionen
§ ©
) ¨t
§ ©
) ¨t
§ ©
) ¨t
T ·· 2 ¹¹ T ·· 2 ¹¹
T ·· 2 ¹¹
§ 1 T Z· ©2 ¹
sin ¨
fourier t
o 2 i ( S ' ( Z ) Z i) vereinfachen
TZ
§ §1 § 1 i T Z · · · exp ¨ i T Z exp ¨ ¨ fourier t 1 ©2 ¹ i ©2 ¹ o ¨ i annehmen Z ! 0 T © Z Z ¹ fourier t
§1 · TZ 2 © ¹
sin ¨
annehmen Z ! 0o 2
TZ
vereinfachen
Rücktransformation in den Zeitbereich mit den symbolischen Operatoren:
§ 1 T Z· ©2 ¹
sin ¨ 2
TZ
invfourier Z
1
o vereinfachen 2
§ ©
) ¨ t
1 2
· ¹
§ ©
T ) ¨ t
1 2
§ ©
· ¹
T ) ¨t
1 2
· ¹
T
Eine Vereinfachung wird hier in Mathcad bei der Rücktransformation nicht durchgeführt !
Seite 240
§ ©
T ) ¨ t
1 2
· ¹
T
Fourierreihen und Fourierintegral
Grafische Darstellung des Spannungsimpulses im Zeitbereich: T 1
Impulsbreite
§ § T © © 1
u ( t)
¨) ¨t
T· 2¹
§ ©
) ¨t
T ··
Spannungsimpuls
2 ¹¹
t 2 T 2 T 0.99 2 T
Bereichsvariable
Einzelner Impuls im ZEITBEREICH 2
u ( t)
1
T
T
2
2
T
Abb. 13.40 2
1
0
1
2
t
Grafische Darstellung des fouriertransformierten Spannungsimpulses im Frequenzbereich: F (Z ) Z
j ZT
§ 1 j Z T· j exp § 1 j Z T· ¨ ©2 ¹ ZT ©2 ¹
komplexwertige Darstellung der Fouriertransformierten
exp ¨
10 S 9.99 S 10 S T T T
Bereichsvariable
Der fouriertransformierte Spannungsimpuls (Spektralfunktion) liefert im Frequenzbereich ein kontinuierliches Frequenzspektrum: FREQUENZBEREICH
FREQUENZBEREICH
1
Re( F( Z ) )
0.5
Re( F( Z ) )
Im( F( Z ) ) 40
20
0
20
1 2S
2S
T
T
0.5
40
0.5
40
20
0
20
40
Z
Z
Abb. 13.41
Abb. 13.42
Die reellwertige Darstellung der Fouriertransformierten heißt sinc-Funktion oder Spaltfunktion (sie ist in Mathcad bereits definiert):
§ 1 T Z· ©2 ¹
sin ¨ F (Z ) =
1 2
ZT
Diese Funktion besitzt bei Z = 0 eine Lücke. Diese kann jedoch geschlossen werden, weil der Grenzwert mit Z o0 existiert.
Seite 241
Fourierreihen und Fourierintegral § 1 T Z· ©2 ¹
F ( Z ) sinc ¨
Reellwertige Spektralfunktion FREQUENZBEREICH 1
2S
2
T
F( Z ) 40
30
20
10
0
S T 10
20
30
1 Z
Abb. 13.43 Beispiel 13.13: Fast-Fourier- und Inverse Fast-Fourier-Analyse eines Rechteckimpulses: ORIGIN 0 T 9
Impulslänge -1 1
p ( t)
T
) ( T t)
Rechteckimpuls
t 0 T 1
Bereichsvariable Einzelner Impuls im ZEITBEREICH
0.2
1 T
p ( t) 0.1
Abb. 13.44
0
5
10 t
m
m 10
N 2
N
1024
Die Anzahl der Abtastwerte sei eine Zweierpotenz.
k 0 N 1
Bereichsvariable
tk k
Abtastzeitpunkte
pk p tk
Abtastwerte
F N FFT ( p)
Frequenzfunktionswerte (FFT ist mit N zu multiplizieren! Siehe Bemerkung oben.)
n 0 fn
n N
N 2
Fourierfrequenz Index
Frequenzvektor
Seite 242
40
Fourierreihen und Fourierintegral
FREQUENZBEREICH
1.5
Betrag der Spaltfunktion (sinc-Funktion)
1
Fn
0.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Abb. 13.45
fn
IFFT ( F)
pr
Zeitfunktionswerte (IFFT ist durch N zu dividieren! Siehe Bemerkung oben.)
N
Zeitfunktion und Rücktransformierte
1 T
pt
Zeit- und Rücktransformierte stimmen gut überein!
0.1
pr 0.002 t
0.05
0
2
4
6
8
10
Abb. 13.46
t
Beispiel 13.14: Symbolische Auswertungen des Dirac-Impulses: t t
Redefinition
´ G ( t) = µ ¶
f
' ( t ) dt
ergibt
´ G ( t) = µ ¶
G ( t) = 1
f
´ µ ¶
' ( t ) dt o G ( t ) = 1
f
f
' ( t ) f ( t ) dt
ergibt
´ µ ¶
f ( 0)
f
' ( n 1)
f
f
' ( t a) f ( t) dt
ergibt
f ( a)
ergibt
' ( n 1 t)
f
ergibt
d
0
dt
' ( n t)
Fouriertransformation des Dirac-Impulses: ' ( t)
hat Fourier-Transformation
1
hat inverse Fourier-Transformation
Auswertung über Symbolik-Menü oder Cursor auf t und
Cursor auf 1 und
Seite 243
' ( t)
Fourierreihen und Fourierintegral
Beispiel 13.15: Fouriertransformation und inverse Fouriertransformation eines Cosinus-Impulses : Z0 Z0
cos Z 0 t
Z Z
t t
Redefinitionen
S ' Z Z0 S ' Z Z0 1 2
exp i Z 0 t
1 2
1
hat inverse Fourier-Transformation
exp i Z 0 t
S ' Z Z0 S ' Z Z0
hat Fourier-Transformation
cos Z 0 t
vereinfacht auf
2
bzw.
exp i Z 0 t
1 2
exp i Z 0 t
cos Z 0 t fourier t o S ' Z Z 0 S ' Z Z 0
invfourier Z
S ' Z Z0 S ' Z Z0
o cos Z 0 t vereinfachen
Beispiel 13.16: Bei einer Messung ist man grundsätzlich am analytischen Signal interessiert, doch solche Signale sind von ungewollten Komponenten überlagert, die als "Rauschen" klassifiziert werden. Es gibt dabei verschiedene Kategorien. Wir wollen hier nur ein zufällig überlagertes "Rauschen" betrachten, das bei jedem Signal präsent und unabhängig von der Signalstärke ist. Es ist statistischen Ursprungs und kann nicht eliminiert, sondern nur minimiert werden. Für die meisten Messungen ist das zufällige "Rauschen" konstant und unabhängig von der Stärke des analytischen Signals. Wir simulieren nun ein analytisches Signal. Es beinhaltet eine Serie von Lorentz-Bändern. Dies könnte ein typisches Signal repräsentieren, welches bei irgendeiner spektroskopischen Messung aufgenommen wurde. 10
N 2
k 0 N 1
Datenanzahl und Bereichsvariable
A 100
BW 20
Signalamplitude und Bandweite A
Sigk
A N· § 4 ¨k 4¹ © 1 BW
2
ZR rnorm ( N 0 RP)
2
A
2
N· § 4 ¨k 2 4¹ © 1 BW
2
2
3
N· § 4 ¨ k 2.5 4¹ © 1 BW
2
Lorentz Signal
2
Zufälliges "Rauschen" erzeugt mit dem Zufallsgeneratur rnorm. Verrauschtes Signal
Sig k
80
Abb. 13.47
Sig k ZRk 30
20
0
200
400
600 k
Seite 244
800
1000
Fourierreihen und Fourierintegral RP { 10
Rauschpegel (Globale Zuweisung zur Simulation)
Nachfolgend soll aus dem Signal das zufällige Rauschen soweit als möglich entfernt werden, um das analytische Signal sichtbar zu machen. Dazu werden Filter eingesetzt. Ein Digital-Filter bietet gegenüber einem Analog-Filter eine bessere Kontrolle der Output-Daten. Signal-Filter sind Computer basierend und man kann daher leicht verschiedene alternative Filter einsetzen. Es ist aber Vorsicht geboten ! Einen Filter zu wählen, welches das meiste Rauschen entfernt, kann auch das analytische Signal zerstören. Wir versuchen hier einen einfachen Gauß-Filter einzusetzen. n 0
N
Fourierfrequenz Index
2 n
4ln( 2)
2
BW1
GFn e
Gaußfilterfunktion (Digitalfilter)
2
FTSig N FFT ( Sig ZR)
Fast Fouriertransformation vom verrauschten Signal
FTFiltern FTSign GFn
Gefiltertes Signal mit Digital-Filter
GSig
1 N
IFFT ( FTFilter)
Inverse Transformation des gefilterten Signals FT vom verrauschten Signal
1 10
4
Re FTSign
Feste Einstellung der Frequenzachse zwischen 0 und 511.
5000
0
5000
0
100
200
300
400
500
Abb. 13.48
n Fourier-Frequenzen
Original Signal und gefiltertes Signal
Feste Einstellung der Achsen: 0 bis N-1 bzw. - 2 RP und 1.1 A.
80 GSigk Sigk 30
20
0
200
400
600
800
1000
k Gefiltertes Signal Original Signal
BW1 { 150
Abb. 13.49
Filterbandweite des Gaußfilters (Globale Zuweisung zur Simulation). Damit sollte auf jedem Fall experimentiert werden (z.B. 100 u.a. Werten).
Seite 245
Laplace- und z-Transformation
14. Laplace- und z-Transformation Symbolische Auswertungsmöglichkeiten: x x
Variable mit Cursor ( | ) markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Transformationen-Laplace bzw. Z (Laplace oder Z invers) wählen. Symboloperator " o " und Schlüsselwörter "laplace", "ztrans" bzw. "invlaplace", "invztrans".
Abb. 14.1
14.1 Die Laplacetransformation Integraltransformationen, wie Fouriertransformation, Laplacetransformation und z-Transformation ermöglichen in vielen Fällen die symbolische Lösung vieler Gleichungen und linearer Gleichungssysteme folgender Typen: Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen , Integralgleichungen und Differenzengleichungen. Die Laplacetransformation eignet sich besonders zum Lösen von linearen Differentialgleichungen und Differentialgleichungssystemen. Die Differentialgleichung wird mittels Transformation in eine algebraische Gleichung umgewandelt. In der Regelungstechnik werden z.B. die Stabilitätskriterien rückgekoppelter Netzwerke nicht im Zeitbereich, sondern gleich im Bildbereich (Laplace-Bereich) untersucht. Eine physikalische Interpretation der Transformation (wie bei der Fouriertransformation) ist aber nicht möglich. Zusammenhang zwischen Fouriertransformation und Laplacetransformation:
Die Konvergenzbedingung für das Fourier Integral lautet:
´ µ ¶
f
f ( t ) dt f .
f
Diese Bedingung ist aber leider bereits für einfache und praktisch wichtige Zeitfunktionen (wie z. B. Sprungfunktion) nicht erfüllt ! Wenn man jedoch die Zeitfunktion für t < 0 identisch 0 setzt und für t t 0 mit e- Gt (G > 0) multipliziert, geht die Fouriertransformation in die Laplacetransformation über. Bei vielen Anwendungen existieren derartige Integrale. Dies ist der Grund, weshalb insbesondere bei Ausgleichsvorgängen (z.B. Einschaltvorgängen in der Regelungstechnik) die Laplacetransformation oft bevorzugt wird.
Seite 246
Laplace- und z-Transformation
Die Fouriertransformation
F { f(t) }
=
´ F (Z ) = µ ¶
f
j Zt
f ( t) e
dt geht mit der Multiplikation
f
von e - Gt und der komplexen Frequenzvariablen s = G + j Z G, Z ) über in die Laplacetransformation. Der Zeitfunktion f(t) wird ihre einseitige Laplacetransformierte zugeordnet:
L
´
f
Gt
{ f(t) } = F ( s) = µ ¶
f ( t) e
j Zt
e
f
´ dt = µ ¶
f
st
f ( t) e
dt (Bildbereich).
0¯
Um aus dem Bildbereich wieder in den Originalbereich zurückzukehren, ist die inverse Laplacetransformation zu bilden aus
L
-1
{ F(s) } =
c jf
´ st µ f ( t) = F ( s ) e ds 2 S j ¶c jf 1
,
bzw. mithilfe des Residuensatzes
L
-1
Residuen F (s) est
¦
{ F(s) } = f ( t) =
.
( Pole( F( s) )
F(s) stellt die spektrale Dichte der Zeitfunktion f(t) dar. Typische Vertreter sind z.B. Spannungen U(s) und Ströme I(s)) über der Einheit der komplexen Kreisfrequenz 1/sec = sec -1=2S Hz, sodass eine adäquate Einheit z.B. so aussieht: [ F(s) ] = [ f(t) ] / (2SHz) = [ f(t) ] sec. In Fällen, wo Verwechslungen der Laplacevariablen s und der Zeiteinheit s (Sekunde) möglich sind, ist es eventuell zweckmäßig, die Sekunde mit sec abzukürzen oder überhaupt die Laplace-Variable mit p zu bezeichnen.
14.1.1 Laplacetransformationen elementarer Funktionen Beispiel 14.1: Sprungfunktion (Einheitssprung )(t) - Heavisidefunktion): t 2 2 0.001 2 Bereichsvariable 2 1 ) ( t) 2
1
0
1
1 t
Abb. 14.2
Seite 247
2
Laplace- und z-Transformation
L {)(t)} =
´ F (s) = µ ¶
f
st
1 e
dt =
§ st0 s0· e © e ¹ = 1
lim
Transformation der Sprungfunktion
s
s
t0 o f
0
Symbolische Auswertung des Laplaceintegrals: ´ µ ¶
f
st
1 e
dt o
lim tof
0
´ µ ¶
§ 1 exp ( s t) 1 · ¨ s¹ ©s
f
st
1 e
dt annehmen s ! 0 o
0
1 s
Auswertung über das Symbolik-Menü bzw. mit symbolischen Operatoren: ) ( t) 1
1
hat Laplace-Transformation
s
hat inverse Laplace-Transformation
s t t
Auf t Strichcursor setzen und mit Menü-SymbolikTransformation-Laplace auswerten. Oder:
1
Redefinition
1 laplace t o
1
1
s
s
invlaplace s o 1
Beispiel 14.2: Zeitverschobene Sprungfunktion: W 2
Konstante
f ( t) ) ( t W )
Zeitfunktion
t 1 1 0.001 4
Bereichsvariable 2 W 1
f( t)
Abb. 14.3 1
0
1
2
3
4
1 t
L {)(t-W)} =
´ F (s) = µ ¶
f
0
st
) (t W ) e
´ dt = µ ¶
f
st
1 e
dt =
W
Symbolische Auswertung des Laplaceintegrals: ´ µ ¶
f
W
st
1 e
dt o
lim tof
§ 1 exp ( s t) 1 exp ( 2 s) · ¨ s ©s ¹ Seite 248
1 s
Ws
e
Transformation der zeitverschobenen Sprungfunktion (Verschiebungssatz).
Laplace- und z-Transformation
W W f
´ µ ¶
Redefinition st
1 e
dt annehmen s ! 0 o
W
1 s
exp ( W s )
Auswertung über das Symbolik-Menü bzw. mit symbolischen Operatoren: 2s
) ( t 2)
Auf t Strichcursor setzen und mit MenüSymbolik-Transformation-Laplace auswerten. Oder:
e
hat Laplace-Transformation
s
2s
e
hat inverse Laplace-Transformation
s
´ µ ¶
f
st
) (t W ) e
dt annehmen s ! 0 o
W
1 s
Auf s Strichcursor setzen und mit MenüSymbolik-Transformation-Inverse Laplace auswerten. Oder:
) ( t 2)
1
exp ( W s )
s
annehmen W ! 0 o ) (t W ) invlaplace s
Ws
e
Beispiel 14.3: Rechteckimpuls: a 2
Konstante
f ( t) ) ( t) ) ( t a)
Zeitfunktion
t 1 1 0.001 3
Bereichsvariable
2 a 1 f( t)
Abb. 14.4 1
0
1
2
3
1 t
Transformation des Rechteckimpulses (Additions- und Verschiebungssatz):
L {f(t)} =
´ F ( s) = µ ¶
f
st
f ( t) e
0
´ dt = µ ¶
a
st
( ) ( t) ) ( t a) ) e
dt =
0
1 s
1 s
Symbolische Transformation und inverse Transformation: a a ´ µ ¶
a
t t
Redefinition st
( ) ( t) ) ( t a) ) e
dt annehmen s ! 0 a ! 0 o
0
Seite 249
( exp ( s a) 1) s
sa
e
sa
=
1e
s
Laplace- und z-Transformation
) ( t) ) ( t a)
annehmen a ! 0 1 exp ( a s ) o laplace t s s
as
1
s
annehmen a ! 0 o 1 ) ( t a) invlaplace s
e
s
Beispiel 14.4: Entstehung einer Sprungfunktion V(t) = )(t) und Stoßfunktion (oder Dirac-Impuls) G(t) = '(t) aus einer Rampenfunktion:
f1 t t0
t t0
) ( t)
f2 t t0
f t t0 f1 t t0 f2 t t0
f ' t t0
d dt
t t0 t0
) t t0
Zeitfunktionen (einfache Rampen)
Rampenfunktion
f t t0
Ableitung der Rampenfunktion
t 2 2 0.001 3
Bereichsvariable
2
2
1
2
1
§ 1· f¨t © 2¹
f( t 1) 1
0
1
2
2
1
1
§ 1· f¨t © 10 ¹ 0
1
2
1 t
2
2
1
1
§ ©
f '¨ t
f '( t 1 ) 1
1
5 2.5 0 2.5 5
1 t
2
2
0
1
2
1·
t 11 8
§ ©
f '¨ t
2¹ 5
2.5
1
0 2.5
· 10 ¹ 1
5
2 5 2.51 0 2.5 5
1 t
5
t
Abb. 14.5 Mit größer werdender Steigung der Rampe wächst die Impulshöhe über alle Grenzen. Die Fläche unter dem Impuls bleibt aber konstant gleich 1 !
L{t}=
´ F ( s) = µ ¶
f
st
te
dt =
* ( 2)
0
L { G(t) } =
s
´ F ( s) = µ ¶
f
st
G ( t) e
2
=
dt = 1
1 s
2
Transformation einer einfachen Rampenfunktion
Transformation der Stoßfunktion
0
Seite 250
t
Laplace- und z-Transformation
Symbolische Transformation und inverse Transformation: t t ´ µ ¶
Redefinition
f
st
te
1
dt annehmen s ! 0 o
0
´ µ ¶
s
f
st
' ( t) e
2
dt annehmen s ! 0 o 1
0
t laplace t o
1
1 s
2
s
' ( t) laplace t o 1
invlaplace s o t
2
1 invlaplace s o ' ( t)
Auswertung des Laplaceintegrals für die oben angegebene Rampe: ´ µ µ µ ¶
f
0
t t0 §¨ t · st ) ( t) ) t t0 e dt ¨© t0 t0 ¹
annehmen s ! 0 t 0 ! 0 1 exp s t0 o 2 vereinfachen s t0
Beispiel 14.5: Exponentialfunktionen: D1 1
Konstante D1t
D1t
f ( t) e
g ( t) e
Zeitfunktionen
t 2 2 0.001 2
Bereichsvariable
4 3 f( t)
2
g ( t)
1 2
Abb. 14.6
1
0
1
2
1 t Dt
L {e
}=
´ F (s D) = µ ¶
f
D t
e
st
e
dt =
0
1 (s D)
Transformation der Exponentialfunktion (Vergleiche Dämpfungssatz)
- Dt
L {e
´
f
} = F (s D) = µ ¶
0
D t
e
st
e
dt =
1 (s D)
Transformation der Exponentialfunktion
Seite 251
Laplace- und z-Transformation
Symbolische Transformation und inverse Transformation: t t ´ µ µ ¶
Redefinition
f
D 1t
e
s1t
e
annehmen s1 ! 0 D 1 0 1 o D 1 s1 vereinfachen
dt
0
´ µ µ ¶
f
D 1t
e
s1t
e
dt
0 D t
e
laplace t o
1 sD
annehmen s1 ! 0 D 1 ! 0 1 o D 1 s1 vereinfachen
1
D t
e
sD
1
invlaplace s o exp ( D t)
sD
laplace t o
1 sD
invlaplace s o exp ( D t)
Beispiel 14.6: Sinus- und Kosinusfunktion: Z0 1
Kreisfrequenz
f ( t) sin Z 0 t
f ( t) =
e
jZt
g ( t ) cos Z 0 t
jZt
e
g ( t) =
2 j
t 0 0.001 10
e
jZt
jZt
e 2
Bereichsvariable
Zeitfunktionen Komplexe Zeitfunktionen erhält man mit den Eulerschen Beziehungen durch Addition bzw. Subtraktion: e j Zt = cos(Zt) + j sin(Zt), e - j Zt = cos(Zt) - j sin(Zt).
1
f( t) 0
g ( t)
5
10
Abb. 14.7
1 t
Mithife des Additionssatzes und dem Ergebnis von Beispiel 14.5 erhält man:
L {sin(Zt)} = L {1/(2j) (ejZt - e-jZt)} = 1/(2j) ( L {ejZt} - L {e-jZt} ) = = 1/2j (1/(s - j Z) - 1/(s + j Z) = Z/ (s2 +Z2)
L {cos(Zt)} = L {1/2 (ejZt + e-jZt)} = 1/2 ( L {ejZt} + L {e-jZt} ) = = 1/2 (1/(s - j Z) - 1/(s + j Z) = s/ (s2 + Z2) Seite 252
Laplace- und z-Transformation
Symbolische Transformation und inverse Transformation: ´ µ ¶
f
st
sin ( Z t) e
2
s Z
0
´ µ ¶
Z
Z
dt annehmen s ! 0 o
f
st
cos ( Z t) e
dt annehmen s ! 0 o
2
s Z
2
s
s 2
s Z
0
2
2
2
s Z
2
invlaplace s o sin ( Z t)
invlaplace s o cos ( Z t)
Beispiel 14.7: Ableitungs- und Integralfunktion: L 1
C 1
Z 1
i ( t ) sin ( Z t) d
uL ( t) L
dt
Induktivität, Kapazität und Kreisfrequenz Stromfunktion (Zeitfunktion) Spannung an der Induktivität (Ableitungsfunktion)
i ( t)
t 0 0.01 2 S
Bereichsvariable
1
i ( t) u L( t)
0
2
4
6
8
Abb. 14.8
1 t
Symbolische Transformation und inverse Transformation: L L
Z Z
t t
Redefinitionen
i ( t ) sin ( Z t) uL1 ( t) = L L
d dt
d dt
Zeitfunktion
i ( t ) o uL1 ( t ) = L cos ( Z t) Z
i ( t ) laplace t o L Z
L Z
s 2
s Z s 2
s Z 1 uc ( t) = C
´ µ µ ¶
2
Spannung an der Induktivität (Ableitungsfunktion)
Transformation der Ableitungsfunktion
2
invlaplace s o L Z cos ( Z t)
i ( t ) dt o uc ( t) =
cos ( Z t) Z
Inverse Transformation
Kondensatorspannung
Seite 253
Laplace- und z-Transformation
1 ´ µ C µ ¶ 1 Z
i ( t ) dt laplace t o s
2
s Z
2
1 Z
s
2
s Z
invlaplace s o
1 Z
Transformation der Kondensatorspannung
2
cos ( Z t)
Inverse Transformation
Beispiel 14.8: Diverse Zeitfunktionen (Dämpfungssatz): D t
e
cos ( Z t) laplace t o
sD
sD 2
(s D) Z D t
e
sin ( Z t) laplace t o
2
2
(s D) Z Z
Z 2
(s D) Z
2
2
2
(s D) Z
2
invlaplace s o exp ( D t) cos ( Z t)
invlaplace s o exp ( D t) sin ( Z t)
14.1.2 Allgemeines Prinzip zum Lösen von Differentialgleichungen Eine direkte Lösung einer Differentialgleichung, die das Verhalten eines Systems im Zeitbereich (Originalbereich) beschreibt, ist oft recht aufwendig. Der Umweg über den Laplacebereich (Bildbereich) bietet eine bequeme Methode zur Lösung einer linearen zeitinvarianten (Koeffizienten sind von der Zeit unabhängig) Differentialgleichung. Die physikalischen Größen hängen nicht mehr von der Zeit ab, sondern von der Variablen s. Eine Rücktransformation der Lösung in den Zeitbereich ist oft recht rechenaufwendig. Meist ist sie aber gar nicht erforderlich, weil sehr viele Systemeigenschaften ( z.B. Einschwingverhalten, Stabilität und Stationärverhalten) direkt im Laplacebereich erkennbar sind. Für ein lineares, zeitinvariantes System, mit einer einzigen Ausgangsgröße y(t) und einer einzigen Eingangsgröße x(t), gilt die Differentialgleichung: n
¦
k
0
m §¨ · k d y ( t) = ak ¨ k dt © ¹ k 0
¦
0
0
d
dt
§¨ · k d x ( t) . bk ¨ k dt © ¹
y( t) = y( t) ;
0
d
dt
0
x ( t ) = x ( t ) ; ak und bk sind konstante Koeffizienten.
Unter der Annahme verschwindender Anfangsbedingungen ( y(0) = 0, y' (0) = 0 , ....) kann die Differentialgleichung mithilfe des Ableitungssatzes einfach laplacetransformiert werden: n
¦
k
0
§ a sk Y ( s)· = © k ¹
m
¦
k
§ b sk X ( s)· . © k ¹
0
Seite 254
Laplace- und z-Transformation
Diese algebraische Gleichung in s kann nun durch elementare Umformungen gelöst werden:
§ b sm bm1 sm1 .... b s b · 1 0¹ © m Y (s) = X ( s) ; § a sn an1 sn1 .... a s a · 1 0¹ © n Y ( s) = G ( s) X ( s) . G(s) heißt Übertragungsfunktion und beschreibt das dynamische Verhalten eines linearen zeitinvarianten Systems vollständig. Mit der Übertragungsfunktion können drei Grundaufgaben formuliert werden: Y ( s ) = G ( s ) X ( s ) ... Analyse X ( s ) =
1 G ( s)
Y ( s ) ... Synthese G ( s ) =
Y (s) X (s)
... Identifikation
Für geschaltete Sinus- oder Kosinussignale ist aber eine Laplacetransformation möglich. Ist das Eingangssignal ein Sinus- oder Kosinussignal im eingeschwungenen Zustand, so ist eine Laplacetransformation nicht möglich! Sie wird aber auch nicht benötigt, weil die Komplexrechnung angewandt werden kann. Wird ein lineares zeitinvariantes System mit einer sinus- oder kosinusförmigen Eingangsgröße angeregt, so ist die Ausgangsgröße ebenfalls eine sinus- oder kosinusförmige Größe mit derselben Frequenz, aber im Allgemeinen mit einer anderen Amplitude und anderen Phasenlage. Will man das Frequenzverhalten im komplexen Zahlenbereich eines lineares zeitinvariantes System auf eine sinusförmige Eingangsgröße im eingeschwungenen Zustand untersuchen, so braucht in der Laplacetransformierten Gleichung Y(s) = G(s) . X(s) die Variable s nur durch j Z ersetzt werden. Wir erhalten dann: Y ( j Z) = G( j Z) X ( j Z) , mit j Zt
Y ( j Z ) = yamax e
j M
e
(komplexe Ausgangsgröße) und
j Zt
X ( j Z ) = yemax e (komplexe Eingangsgröße) sowie yamax j M G( j Z) = e . yemax Die Übertragungsfunktion G(j Z) heißt Frequenzgang und beschreibt das Frequenzverhalten des Systems, d.h. die Reaktion des Systems auf eine Eingangsgröße in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz. Der Betrag des Frequenzganges ist das Amplitudenverhältnis zwischen der Ausgangsgröße y(t) und der Eingangsgröße x(t) (bei sinusförmiger Anregung!). Sein Argument ist die Phasenverschiebung zwischen den beiden Größen. Es gilt daher: G( j Z) =
yamax yemax
j M
e
jarg( G( jZ ) )
= G( j Z) e
= Re ( G ( j Z ) ) j Im ( G ( j Z ) ) .
G ( Z ) = G ( j Z ) nennt man Amplitudengang und M ( Z ) = arg ( G ( j Z ) ) den Phasengang.
Seite 255
Laplace- und z-Transformation
Die grafische Darstellung des Frequenzganges erfolgt entweder über Ortskurven oder FrequenzKennliniendiagramme (Bodediagramme) . Bodediagramme sind die Darstellung des Amplitudenganges und des Phasenganges in Abhängigkeit der Kreisfrequenz Z. Die Frequenzachsen und G(Z) werden dabei logarithmisch dargestellt. Siehe dazu auch Kapitel 7 Funktionen, Beispiel 7.15. Es gelten noch die Zusammenhänge aus der Komplexrechnung: 2
G ( j Z ) = G (Z ) =
2
Re ( G ( j Z ) ) Im ( G ( j Z ) ) ;
Re ( G ( j Z ) ) = G ( j Z ) cos ( M ) ; Im ( G ( j Z ) ) = G ( j Z ) sin ( M ) ;
§ Im ( G ( j Z ) ) · . © Re ( G ( j Z ) ) ¹
M ( Z ) = arg ( G ( j Z ) ) = arctan ¨
Beispiel 14.9: Die folgende Differentialgleichung soll durch Laplacetransformation und Rücktransformation gelöst werden. Anfangs- und Endwerte der Funktion y(t) sollen im Laplacebereich mit dem Anfangs- und Endwerttheorem untersucht werden. 2
d
dt
2
y( t) 5
d dt
y ( t) 6 y( t) = V ( t)
V ( t) = ) ( t)
Gegebene Differentialgleichung (y(t) bedeutet die Ausgangsfunktion und V(t) die Eingangsfunktion).
Gegebene Anfangsbedingungen: y(0) = 0 und y' (0) = 0. 2
s Y ( s) 5 s Y ( s) 6 Y ( s) =
2
s Y ( s) 5 s Y ( s) 6 Y ( s) =
s1 s1 1 6 s1 lim
1
2
5 s1 6 1 3 ( s1 3)
y ( t) =
tof
lim
to0
y( t)
lim so0
y ( t) =
to0
lim
lim sof
y' ( t ) =
lim sof
1
Laplacetransformierte algebraische Gleichung
s 1 s
auflösen Y ( s ) o
2 ( s1 2)
Übertragungsfunktion
s s 5 s 6
konvert teilbruch s1 o 1
2
1
1 6 s1
invlaplace s1 o
1 6
1 3 ( s1 3)
1 3
1 2 ( s1 2)
exp ( 3 t)
1 2
Partialbruchzerlegung
exp ( 2 t) Rücktransformation
1 ªs º o lim y( t) = 1 « » 2 6 tof ¬ s s 5 s 6 ¼
Endwert
1 ªs º o0 « » 2 ¬ s s 5 s 6 ¼
Anfangswert
1 ª s2 º « » o0 2 s s 5 s 6 ¼ ¬
Anfangssteigung
§ 1 1 exp ( 3 t) 1 exp ( 2 t) · ) ( t) ¨ 2 ©6 3 ¹
Seite 256
Zeitfunktion im Zeitbereich
Laplace- und z-Transformation
t 1 1 0.001 4
Bereichsvariable 1
0.2
6
y( t)
0.1
Abb. 14.9
1
0
1
2
3
4
t
Beispiel 14.10: Das dynamische Verhalten eines RC-Gliedes wird durch die nachfolgende Differentialgleichung beschrieben. Zum Zeitpunkt t = 0 soll eine konstante Spannung U 0 durch Schließen eines Schalters angelegt werden. Gesucht ist die laplacetransformierte Ausgangsspannung Ua = Uc am Kondensator und die rücktransformierte Kondensatorspannung u a (t) = uc (t). Die Funktion ua (t) = uc (t) soll im Laplacebereich mit dem Anfangs- und Endwerttheorem untersucht werden. Für diese Schaltung lautet die Differentialgleichung: u'c ( t)
1 R1 C1
uc ( t) =
1 R1 C1
ue ( t)
ue ( t) = U0 V ( t) = U0 ) ( t) Anfangsbedingung: u c (0) = 0 . Abb. 14.10 R1 C1 u'c ( t) uc ( t) = ue ( t)
umgeformte Differentialgleichung
1 R1 C1 s Uc ( s ) Uc ( s ) = U0 s
Laplacetransformierte algebraische Gleichung
U0 1 R1 C1 s Uc ( s ) Uc ( s ) = U0 auflösen Uc ( s ) o s s ( R1 C1 s 1) U0 s1 ( R1 C1 s1 1)
konvert teilbruch s1 o
U0
C1 U0 R1 R1 C1 s1 1 s1 lim tof
lim to0
uc ( t) =
uc ( t) =
lim so0
lim sof
U0 s1
C1
U0 R1 R1 C1 s1 1
invlaplace s1 § § t · · o U0 ¨ 1 exp ¨ faktor © © R1 C1 ¹ ¹
Übertragungsfunktion Partialbruchzerlegung (s wird hier auf s1 geändert)
Rücktransformation
U0 ª º «s » o lim uc ( t) = U0 ¬ s ( R1 C1 s 1) ¼ tof
Endwert
U0 ª º «s » o0 ¬ s ( R1 C1 s 1) ¼
Anfangswert
Seite 257
Laplace- und z-Transformation
lim to0
uc' ( t) =
R1 1
lim sof
U0 ª 2 º 1 «s » o uc' ( 0) = U0 R1 C1 s ( R1 C1 s 1) ¼ ¬
C1 1
U0 1
Anfangssteigung
gewählte Größen (ohne Einheit)
§ § t · · ) ( t) uc ( t) U0 ¨ 1 exp ¨ © © R1 C1 ¹ ¹
Zeitfunktion im Zeitbereich
t 1 1 0.001 4
Bereichsvariable
1.2
U0
1 0.8 u c( t)
0.6
Abb. 14.11
0.4 0.2 1
0
1
2
3
4
t
Beispiel 14.11: Für die folgende Differentialgleichung soll eine Laplacetransformation und deren Rücktransformation durchgeführt werden. Die Funktion y1(t) soll im Laplacebereich mit dem Anfangs- und Endwerttheorem untersucht werden. 2
d
dt
2
y1 ( t ) 2
d dt
y1 ( t) 5 y1 ( t) = V ( t)
V ( t) = ) ( t) gegebene Differentialgleichung (y1(t) bedeutet die Ausgangsfunktion und V(t) die Eingangsfunktion)
Anfangsbedingungen: y(0) = 0 und y' (0) = 0. 2
s Y1 ( s ) 2 s Y1 ( s ) 5 Y1 ( s ) = 2
s Y1 ( s ) 2 s Y1 ( s ) 5 Y1 ( s ) =
1
2
1
Laplacetransformierte algebraische Gleichung
s 1 s
auflösen Y1 ( s ) o
1 5 s1
s1 s1 2 s1 5 2
Übertragungsfunktion
s s 2 s 5
konvert teilbruch s1 o
s1 2 s1 5 = 0 auflösen s1 o
2
1
§ 1 2 i · ¨ © 1 2 i ¹
1 5
s1 2
Partialbruchzerlegung
2
s1 2 s1 5
Die Übertragungsfunktion besitzt zwei konjugiert komplexe Polstellen.
Besitzt die Übertragungsfunktion konjugiert komplexe Polstellen, so ist das zugehörige System schwingungsfähig ! Die Realteile sind negativ, daher ist das System stabil ! Rücktransformation: 1 5 s1
1 5
s1 2 2
s1 2 s1 5
invlaplace s1 o
1 5
1 5
exp ( t ) cos ( 2 t )
Seite 258
1 10
exp ( t ) sin ( 2 t )
Laplace- und z-Transformation
lim
y1 ( t) =
tof
lim
so0
y1 ( t) =
to0
lim
lim sof
y1' ( t) =
to0
y1 ( t )
lim
lim sof
1 ªs º o lim y1 ( t) = 1 « » 2 5 tof ¬ s s 2 s 5 ¼
Endwert
1 ªs º o0 « » 2 ¬ s s 2 s 5 ¼
Anfangswert
1 ª s2 º « » o0 2 s s 2 s 5 ¼ ¬
Anfangssteigung
ª 1 e t § 1 cos ( 2 t) 1 sin ( 2 t) · º ) ( t) « ¨ » 10 ¬5 ©5 ¹¼
Zeitfunktion im Zeitbereich
t 1 1 0.001 6
Bereichsvariable
1 5
0.2 y1( t)
Abb. 14.12 0.1
1
0
1
2
3
4
5
6
t
Beispiel 14.12: Ein ohmscher Widerstand R = 5 k: und ein Kondensator C = 367 nF sind in Serie geschalten. Man stelle den Frequenzgang (Ortskurve) im Bereich Z = 0 s-1 und 1000 s-1 dar. G ( s) =
1
Die Übertragungsfunktion für dieses Netzwerk.
1 s R C
Wir setzen s = j Zund erhalten den komplexen Frequenzgang : G(j Z ) =
1 1 j Z R C 1 · § © 1 j Z R C¹
RE ( Z R C) Re ¨
1 · § © 1 j Z R C¹
Realteil des Frequenzganges als Funktion definiert
IM ( Z R C) Im ¨
Imaginärteil des Frequenzganges als Funktion definiert
C C
Redefinition
Amplitudengang: G ( Z R C)
1
1
1 j Z R C
1 j Z R C
komplex o
1 1
1 Z 2 R2 C2 Seite 259
2
Laplace- und z-Transformation
Phasengang: 1 § · © 1 j Z R C¹
1 § · komplex o atan2 ( 1 Z R C) © 1 j Z R C¹
M ( Z R C) arg ¨
arg ¨
R 5 k:
ohmscher Widerstand
C 367 nF
Kapazität des Kondensators
Z 0 s
1
50 s
1
10000 s
1
k 0 1
Bereichsvariable für die Kreisfrequenz Bereichsvariable
Z=f
Z=0
Ortskurve
0 0.11 0.22 0.33 0.44 0.55 0.66 0.77 0.88 0.99 1.1 0.1 IM( Z R C )
§ ¨ ©IM
0
·
0.2
Darstellung des Frequenzganges in der Gaußschen Zahlenebene. lim
400s 1 R C ¹ k 0.3
RE ( Z R C) o 0
Zof
0.4
lim
IM ( Z R C) o 0
Zof
0.5 0.6
§
RE ( Z R C ) ¨
©RE
Z 0 s
1
0.1 s
1
10000 s
1
·
0
400s
1
R C
¹k
Abb. 14.13
Bereichsvariable für die Kreisfrequenz
Darstellung der Ortskurve in einem Polarkoordinatensystem (Kreisdiagramm).
Abb. 14.14
Seite 260
Laplace- und z-Transformation
Beispiel 14.13: Man stelle das Bodediagramm eines PT 1 -Verzögerungsgliedes erster Ordnung dar. Die Übertragungsfunktion G(s) ist gegeben durch: G ( s) =
k
k 10
1 s T1
T1 2
Wir setzen s = j Zund erhalten dann den komplexen Frequenzgang : G(j Z ) =
k 1 j Z T1
Amplitudengang: Z Z
Redefinition
G Z k T1
k
k
1 j Z T1
1 j Z T1
§
·
© 1 j Z T1 ¹
1
Zk
k
Zk
T1
· komplex o atan2 ( 1 2 Z ) © 1 j Z T1 ¹ k
arg ¨
Bereichsvariable für die Kreisfrequenz Amplitudengang
100
2
Knickfrequenz
0.5
Z 0.01 0.01 0.01 100
G Z k T1
§
1
1 4 Z 2
Phasengang: M Z k T1 arg ¨
10
komplex o
Beide Achsen sind logarithmiert.
Zk
10 1 0.1 0.01 0.01
0.1
1
10
100
Abb. 14.15
Z
Phasengang
0
M Z k T1 Grad
Zk
45
Die Frequenzachse ist logarithmiert.
50 90 100 0.01
0.1
1
10
Z
Seite 261
100
Abb. 14.16
Laplace- und z-Transformation
14.2 z-Transformation Die z-Transformation ist ebenfalls, wie schon erwähnt, eine Integraltransformation. Sie ist die Verallgemeinerung der Fouriertransformation. Sie wird benötigt, um z.B. das Frequenz- und Antwortverhalten eines digitalen Filters bestimmen zu können. Dabei wird einer Folge von abgetasteten Messwerten y n =f(tn) mit Zeitverzögerungen, Rückkopplungen, Addierern und Multiplizierern eine Funktion F(z) zugewiesen. Mit dieser Transformation können aber auch lineare Differentialgleichungen bzw. Differenzengleichungen gelöst werden. Bei ganzzahligen Werten von n schreibt man yn = f(tn) = f(n) = fn. Transformationsgleichungen: Für eine Folge f =
Z(f) = F(z) = f0 + f1 z-1 + f2 z-2 + ...
(z )
(einseitige) z-transformierte von f, falls die Reihe konvergiert. Es wird also jeder Zahlenfolge eine unendliche Reihe zugeordnet (Bildfunktion F(z)), die im Falle der Konvergenz als z-transformierte bezeichnet wird. f
Z {f(n)} =
F ( z) =
¦
n
0
§ f ( n) 1 · ¨ n z ¹ ©
Bildfunktion.
Mit der z-Transformation wird einer Folge von Zahlenwerten eine Funktion der komplexen Variablen zugeordnet. Bei der Umkehrung der z-Transformation soll aus einer gegebenen Funktion der komplexen Variablen z auf die dazugehörige Zahlenfolge geschlossen werden. Die Rücktransformation (Umkehrtransformation) ist ein komplexes Kurvenintegral längs einer Kurve C in der komplexen z-Ebene. Die Kurve C schließt den Ursprung ein und liegt im Gebiet der Konvergenz von F(z). Ein anderes Verfahren zur Rücktransformation ist oft einfacher als die Lösung des Kurvenintegrals. Als Beispiel dafür sei hier der Residuensatz angeführt. -1
Z { F(z) } =
f ( n) =
´ µ µ 2 S j ¶ 1
F ( z) z
n1
dz
C -1
Z { F(z) } =
f ( n) =
¦
Residuen F (z) zn1
( Pole( F( z) )
14.2.1 z-Transformationen elementarer Funktionen Beispiel 14.14: Einheitssprungfolge (Einheitssprung V(n) = )(n) - Heavisidefunktion). Sie bewirkt in einem diskreten System eine Ausgangsfolge, die als ihre digitale Sprungantwort bezeichnet wird. V ( n) ) ( n)
Einheitssprungfolge
n 2 5
Bereichsvariable
Seite 262
Laplace- und z-Transformation
2
Spur1: Symbol: o Format: Stamm
1 V ( n) 3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
1
Abb. 14.17 n
f
¦
Z{V(n)} =
n
0
ª § 1 · nº z 1 «1 ¨ »= = mit |z| > 1 1 z z 1 ¬ © ¹ ¼ 1z
Transformation der Einheitssprungfolge. Hier liegt eine geometrische Reihe vor mit q = 1/z und |q| < 1.
Symbolische Auswertung der z-Transformation: f
¦
1
0 z
n
z
ergibt
n
z1
Symbolische Transformation und inverse Transformation:
) ( n) z
z1
hat inverse Z-Transformation
z1 n n
Auf n Strichcursor setzen und mit Menü-SymbolikTransformation-Z auswerten. oder:
z
hat Z-Transformation
1
Auf s Strichcursor setzen und mit Menü-SymbolikTransformation-Z invers auswerten. oder:
Redefinition
) ( n) ztrans n o
z
z
Hat eine Nullstelle bei z = 0 und eine Polstelle bei z = 1
z1
z1
invztrans z o 1
Beispiel 14.15: Einheitsimpuls oder Delta-Impuls (entspricht der analogen Dirac-Funktion G(n) = '(n)): G ( n)
1 if n = 0 0 if n z 0
Definierter Delta-Impuls
G1 n n0
1 if n = n0 0 if n z n0
Verzögerter Delta-Impuls
Ebenso kann der Einheitssprung durch die laufende Summe des Einheitsimpulses dargestellt werden: f
n
V ( n) =
¦
k
n 2 5
G ( k ) und
f
¦
n
G ( n) = 1 .
f
Bereichsvariable
Seite 263
Laplace- und z-Transformation
2
2
1
1
G ( n)
G1 ( n 1) 3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
3
2
1
1
0
1
2
3
4
5
1 n
n
Abb. 14.18
Abb. 14.19
f
n 0 ¦ G (n) z = z = 1 .
Z{G(n)} =
n
Transformation des Delta-Impulses
0
Symbolische Transformation und inverse Transformation: n n
Redefinition
' ( n) ztrans n o 1
1 invztrans z o ' ( n)
Beispiel 14.16: Rampenfolge: f ( n) n
Rampenfolge
n 0 5
Bereichsvariable 6 5 4 3 2 1
f( n)
1
1
Spur1: Symbol: o Format: Stamm
0
1
2
3
4
5
6
Abb. 14.20
n f
Z{n} =
n ¦ n z
n
Es gilt
0
d dz
z
n
f
Z{n} =
Transformation der Rampenfolge
¦
n
0
= n z
n 1
und damit n z
§ d n· d = z ¨z z dz © dz ¹
n
f
¦
n
0
z
n
= z
d dz
= z
z
n
d
. 1
dz 1 z 1
=
z ( z 1)
2
Hat eine Nullstelle bei z = 0 und eine doppelte Polstelle bei z = 1
Bemerkung: Eine konvergente Reihe kann innerhalb ihres Konvergenzbereiches termweise differenziert werden.
Seite 264
6
Laplace- und z-Transformation
Symbolische Auswertung der z-Transformation: f
n ¦ n z
n
z
ergibt
( z 1)
0
2
Symbolische Transformation und inverse Transformation: n n
Redefinition z
z
n ztrans n o
( z 1)
2
( z 1)
2
invztrans z o n
Beispiel 14.17: Exponentialfolge e n : f ( n) e
n
Exponentialfolge
n 0 6
Bereichsvariable 400
f( n)
Spur1: Symbol: o Format: Stamm
200
0
1
2
3
4
5
6
7
Abb. 14.21
n
Z{
n
e
f
}=
¦ e
n
n
z
n
0
f
= ¦ n
0
n
§ e· = ¨ ©z¹
1 1
e
=
z ze
mit
e z
1
z
.
Transformation der Exponentialfolge. Hier liegt eine geometrische Reihe vor mit q = e/z und |q| < 1.
Symbolische Auswertung der z-Transformation: f
¦
n
0
§ en 1 · ¨ n z ¹ ©
ergibt
z ze
Symbolische Transformation und inverse Transformation: n n n
Redefinition
e ztrans n o
z z exp ( 1)
Hat eine Nullstelle bei z = 0 und eine Polstelle bei z = e.
Seite 265
z ze
invztrans z o exp ( 1)
n
Laplace- und z-Transformation
Beispiel 14.18: Symbolische z-Transformation und inverse z-Transformation von f(n) = n 2 : 2
n
z1
z
hat Z-Transformation
( z 1)
2
n
( z 1)
2
ztrans n
o entwickeln
z1
z
3
z z 3
z1
z
2
z 3 z 3 z 1
3
( z 1)
2
hat inverse Z-Transformation
n
2
3
invztrans z o n
oder: 2
n
ztrans n
2
o konvert teilbruch z
( z 1)
3
3 ( z 1)
2
1 z1
2 ( z 1)
3
3 ( z 1)
2
1 z1
2
invztrans z o n
Beispiel 14.19: Gesucht ist die z-Transformation der gegebenen Funktion und deren Rücktransformation:
§ 6· f ( n) ¨ © 10 ¹
n
gegebene diskrete Funktion
f ( n) ztrans n o 5
z 5 z 3
§ 3· 5 invztrans z o ¨ 5 z 3 © 5¹ z
z
oder
F ( z ) f ( n) ztrans n o 5
oder
§ 3· f ( n) F ( z ) invztrans z o ¨ © 5¹
n
5 z 3 n
Beispiel 14.20: Gesucht ist die z-Transformation der gegebenen Funktion und deren Rücktransformation: 2
f ( n) e
10
n
gegebene diskrete Funktion z
F ( z ) f ( n) ztrans n o
§ 1 · ©5¹
z exp ¨
§ 1 · f ( n) F ( z ) invztrans z o exp ¨ ©5¹
Beispiel 14.21: z-Transformierte eines abgetasteten Kosinussignals (Rechtsseitige Kosinusfolge):
u n : 0 U01 U01 cos n : 0
u n : 0 U01 ztrans n o U01 z
gegebene diskrete Funktion
2 1 2 z cos : 0 z cos : 0 z
Seite 266
n
Laplace- und z-Transformation
14.2.2 Allgemeines Prinzip zum Lösen von Differenzengleichungen Seit Jahren findet zunehmend eine Umstellung von der analogen Technik auf die Digitaltechnik statt. Am wirksamsten ist die digitale Darstellung bei der Speicherung und Übertragung von Signalen . Die Vermittlung jeder Information geschieht durch ein physikalisches Medium, dem die Nachricht in Form eines Signals aufgeprägt wird. Zur Übertragung und Speicherung ist oft eine Umwandlung vorteilhaft. Die Information ist damit in der kontinuierlichen Änderung einer Zeitfunktion enthalten. Die Zeitfunktion y = f(t) beschreibt also den Zusammenhang der a bhängigen Variablen y von der unabhängigen Variable t (siehe Fouriertransformation und Laplacetransformation). Im Unterschied dazu ist ein zeitdiskretes Signal y n = f(n) = fn nur für ganzzahlige Werte der unabhängigen Variablen n definiert. Einerseits kann für ein zeitdiskretes Signal die unabhängige Variable von sich aus bereits diskret sein, adererseits können zeitdiskrete Signale f(n) durch aufeinanderfolgende Stichprobenentnahmen der Amplituden eines Vorganges mit kontinuierlicher unabhängiger Variablen entstehen, wie z.B. digitale Audiosignale. Zwischen den kontinuierlichen und zeitdiskreten Signalen bestehen daher sehr enge Beziehungen, und die für kontinuierliche Signale gültigen Gesetze und Methoden können sehr häufig auf zeitdiskrete Signale übertragen werden. Normalerweise findet die Diskretisierung der Zeitachse in gleichförmigen Abständen statt. Der Zeit entspricht eine Nummerierung n der Abtastzeitpunkte ( t = n T s mit Ts als Abtastperiodendauer). Neben der Diskretisierung der Zeitachse ergibt sich bei der digitalen Darstellung auch eine Diskretisierung der Amplituden. Diese wird durch die Wortbreite des verwendeten Zahlenformats bestimmt. Ein zeitdiskretes Signal kann so als eine mathematische Folge geschrieben werden. Einige sehr wichtige einfache Signale für die grundlegenden Beobachtungen zeitdiskreter Systeme wurden bereits im vorhergenden Abschnitt angeführt. Der Zusammenhang eines kontinuierlichen Signals sin Z0 t) = sin(2 Sf0 t) zu einem zeitdiskreten Signal ergibt sich folgendermaßen: Für eine bestimmte Abtastfrequenz (Samplingfrequenz) f s ergibt sich in Abhängigkeit von N die resultierende Frequenz des Signals durch f0 = fs /N . Mit den Abtastzeitpunkten t = tn = n Ts ( n = 1, 2, ..., N) und Ts = 1/fs läßt sich dann folgender Zusammenhang herstellen:
§
fs
©
N
sin 2 S f 0 t n = sin ¨ 2 S
·
§ 2 S n · = sin : n mit : = 2 S f0 = 2 S . 0 0 N fs © N ¹
n Ts = sin ¨
¹
Im Gegensatz zu periodischen Signalen wächst die Frequenz bei wachsendem Abtastimpulsabstand :0
j : 0 2S n
j2Sn
j: 0n
j 2Sn
. nicht immer weiter an, denn es gilt: e =e e =e Das bedeutet, dass :0 identisch zu :0 + 2S und demnach mit 2S periodisch ist. Es braucht daher bei der Behandlung zeitdiskreter Signale nur ein Frequenzbereich der Länge 2 S betrachtet werden (0 d: 0 d2S und 0 df0 dfs ) . Bei weiterer Überlegung zeigt sich, dass :0 nur dann periodisch ist, wenn :0 /2S eine rationale Zahl ist. Ein System kann als beliebiger Prozess zur Transformation von Signalen aufgefasst werde n. Das Eingangssignal x(n) = x n wird durch das System in das Ausgangssignal y(n) = yn übergeführt. Dabei kann aus verschiedenen Teilprozessen durch Zusammenschalten ein komplexes System entstehen. Für die Eingangsgrößen und Ausgangsgrößen schreibt man auch: x(n) = xn bzw. y(n) = yn (oder auch x(t) = xt bzw. y(t) = yt ). In der Praxis der digitalen Systeme sind sowohl die Genauigkeit der Eingangssignale als auch die Darstellungsgenauigkeit der Koeffizienten und die Rechengenauigkeit beschränkt. Daraus ergeben sich weitreichende Konsequenzen , die sich in Quantisierungsrauschen, Instabilität, Rundungsrauschen und verringerter Aussteuerbarkeit bemerkbar machen.
Seite 267
Laplace- und z-Transformation
Die Eigenschaften "Linearität" und "Zeitinvarianz" sind für die Analyse von Systemen sehr wesentlich. Systeme mit diesen Eigenschaften werden als lineare zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme bzw. LTD-Systeme "linear, time invariant, discret") bezeichnet (siehe auch Kapitel Laplacetransformation). Ein Großteil dieser Systeme lässt sich durch lineare Differenzengleichungen beschreiben. Gleichungen dieses Typs beschreiben das sequentielle Verhalten vieler verschiedener Vorgänge. Einen wichtigen Sonderfall der allgemeinen Differenzengleichungen bilden Gleichungen, bei denen das Ausgangssignal y(n) aus dem gewichteten Momentanwert x(n ), den vergangenen Eingangswerten x(n-i) und den vergangenen Ausgangswerten y(n-i) (i ²0 ) gebildet wird. Eine einfache Differenzengleichung 1. Ordnung , die nur Verzögerungen um ein Zeitintervall berücksichtigt, schreibt sich: y(n) = b0 x(n) + b1 x(n-1) - a1 y(n-1). Eine Differenzengleichung 2. Ordnung enthält zweifach verzögerte Glieder des Eingangs- und Ausgangssignals: y(n) = b0 x(n) + b1 x(n-1) + b2 x(n-2) - a 1 y(n-1) - a2 y(n-2). Es müssen nicht alle Glieder in der Gleichung aufscheinen. Systeme beliebiger Ordnung lassen sich nach Einführung des redundanten Parameters a 0 (ohne Einschränkung kann a 0 = 1 gesetzt werden; a N, bM z 0) durch eine allgemeine Differenzengleichung beschreiben: N
M
¦ ak y(n k) = ¦
k
0
k
M
0
N
¦ bk x(n k) ¦ ak y(n k) .
bk x ( n k ) bzw. y ( n) =
k
0
k
1
Die konstanten Koeffizienten a k und bk charakterisieren das lineare zeitinvariante System. Um die Reaktion des beschriebenen Systems auf ein Eingangssignal x(n) angeben zu können, müssen die Anfangsbedingungen y(n 0 -1), ..., y(n0 -N) gegeben sein. Die Folgeglieder y(n 0 +n) können dann für aufeinanderfolgende Werte iterativ berechnet werden. Da für die folgenden Werte immer die Werte der vorausgegangenen Berechnung benötigt werden, wird die zu dieser rekursiven Verfahrensweise gehörige Gleichung als rekursive Gleichung bezeichnet. Im Spezialfall N = 0 reduziert sich die oben angeführte Gleichung zu: M
¦ bk x(n k) .
y ( n) =
k
0
In diesem Fall berechnet sich der Ausgangswert nur aus momentanen und vergangenen Eingangswerten und nicht aus vergangenen Ausgangswerten. Diese Gleichung wird daher nichtrekursive Gleichung genannt. Die oben angeführte allgemeine Differenzengleichung für lineare zeitinvariante Systeme kann nun mithilfe der z-Transformation in die nachfolgende Gleichung übergeführt werden: N
¦
k
§ a z k Y ( z)· = © k ¹
0
M
¦
k
§ b z k X ( z)· © k ¹
( Ya( z ) = Y ( z ) und X ( z ) = Ye( z ) ).
0
Die Systemfunktion oder Übertragungsfunktion G(z) erhält man durch Umformung: M
G( z ) =
Y ( z) X ( z)
¦
=
k
0
N
¦
k
0
M
§ b z k· © k ¹
¦
=
§ a z k· © k ¹
k
0
N
¦
k
§ b zN k· © k ¹ .
§ a zN k· © k ¹
0
Seite 268
Laplace- und z-Transformation
Die Form mit den negativen Exponenten geht in die Form mit den positiven Exponenten über, wenn man Zähler und Nenner erweitert. Die Übertragungsfunktion ist immer rational. Der Konvergenzbereich muss gesondert überprüft werden. Anhand der Pol- und Nullstellen der Übertragungsfunktion kann die Kausalität (der Zählergrad von G(z) darf nicht größer als der Nennergrad bezüglich z sein) und die Stabilität überprüft werden. Für ein stabiles System müssen alle Pole innerhalb des Einheitskreises liegen. Wird z auf dem Einheitskreis ermittelt ( z = e jZ ), dann reduziert sich G(z) auf den Frequenzgang G(Z) des Systems, vorausgesetzt der Einheitskreis liegt im Konvergenzbereich für G(z). G(Z) ist wie alle Transformierten von Abtastfunktionen periodisch mit Z = 2S/T s .
Beispiel 14.22: Gegeben sei eine Differenzengleichung 1. Ordnung der Form y t+1 + a yt = b (a, b ) mit dem Anfangswert y 0 . Man berechne die Lösungsfolge für n = 0,1, ... , 10 und a = 0.8, b = 5 und y 0 = 4. ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
a 0.8
b 5
Konstanten
y0 4
Anfangswert
t 0 10
Bereichsvariable
yt1 a yt b
Rekursive Berechnung der Differenzengleichung
T
0
y
1
0
tG
4
b
3
3.56
2.152
4
5
3.278
2.377
y ( x) a x b
y1 ( x) x
7
8
2.521
9
2.983
2.614
Bereichsvariable und Hilfsfunktionen Die graf. Konvergenz zeigt dieses Cobweb
5
6
tG
y( x)
4
y1( x) yt
6 3.098
Fixpunkt (Schnittpunkt der Geraden y = x und y = - a x + b)
1a
x 0 5
2 1.8
tG
3
y0
4
yt yt
2
2
1
0
5
0
10
2 x x yt 1 yt 1
t
Abb. 14.22
Abb. 14.23
Seite 269
4
6
Laplace- und z-Transformation
Beispiel 14.23: Ein RL-Serienkreis soll bei anliegender Gleichspannung oder Wechselspannung bzw. Rampenspannung eingeschalten werden. Die zugehörige Differentialgleichung soll jeweils in eine Differenzengleichung umgeformt und gelöst werden. Gegebene Daten: ms 10
s
Konstante Spannung
uG ( t) U0 ) ( t)
Gleichspannung
uw ( t Z )
2 U0 sin ( Z t) ) ( t)
Wechselspannung
t ) ( t)
Rampenspannung
2 V ms
f 50 Hz
Frequenz
Z 2 S f
Kreisfrequenz
L 0.1 H
Induktivität
R 20 :
ohmscher Widerstand
L
W L di dt 'i 't
W
R di dt
L
'i =
Zeitkonstante
5 ms
R i = u ( t) R
1 W
i=
i=
Einheitendefinition
U0 220 V
uR ( t)
Abb. 14.24
3
inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
u ( t)
di
L
dt
1 W
i=
u ( t) L
u ( t)
umgeformte Differentialgleichung
Differentialquotient durch Differenzenquotienten ersetzt
L
§ u ( t) 1 i· 't ¨ W ¹ © L
Umgeformte Gleichung
i n 1 i n =
§ u tn 1 · ¨ in 't W © L ¹
Differenzengleichung für den gesuchten Strom
i n 1 = i n
§ 1 u t 1 n· 't n W ¨ ©L ¹
umgeformte Differenzengleichung
Rekursive Berechnung der Lösungen: In weiterer Folge werden die Abkürzungen un = u(tn) und T s = 't = tn+1 - tn (Abtastzeitpunkt) verwendet. Wahl des darzustellenden Zeitintervalls t 1 und der Zahl N1 der Rechenschritte (die Abtastzeit T s sollte viel kleiner als die Zeitkonstante W sein): W
5 ms
Zeitkonstante
Seite 270
Laplace- und z-Transformation
t1 30 ms
gewähltes Zeitintervall
N1 500
Anzahl der Rechenschritte
t1
Ts
Ts
N1
n 0 N1
Abtastzeit
0.06 ms
Bereichsvariable
uG uG n Ts n
diskretisierte Gleichspannung
i0 0 A
Anfangsbedingung
i n 1 i n
§1 u 1 i · T ¨ n © L Gn W ¹ s
I0 max ( i)
I0
k 10
n 0 k N1
10.974 A
rekursive Berechnung
maximaler Strom Bereichsvariable für ausgewählte Werte
15
I0
10
W
5W
ms
ms
A
in A
5
0
5
10
15
20
nTs ms
Abb. 14.25 n 0 N1 T
1
Bereichsvariable T
f
20 ms
uw uw n Ts Z n i n 1 i n k 10
§1 u 1 i · T ¨ n © L wn W ¹ s n 0 k N1
Periodendauer diskretisierte Wechselspannung
rekursive Berechnung
Bereichsvariable für ausgewählte Werte
Seite 271
25
30
Laplace- und z-Transformation
2U 0 400
V
T ms in A
200
20
uw
n
0
5
10
15
20
25
30
V 200
400 nTs ms
Abb. 14.26 n 0 N1
Bereichsvariable
uR uR n Ts n i n 1 i n
diskretisierte Rampenspannung
§ 1 u 1 i · T rekursive Berechnung der Differenzengleichung ¨ n © L Rn W ¹ s
k 2
n 0 k N1
Bereichsvariable für ausgewählte Werte
10
in A
20
uR
5 n
V
0
0.5
1
1.5
2
2.5 nTs ms
Abb. 14.27
Seite 272
3
3.5
4
4.5
5
Laplace- und z-Transformation
Beispiel 14.24: In einem elektrischen einfachen Netzwerk aus T-Vierpolen können die Spannungen mit einer nachfolgend angegebenen homogenen Differenzengleichung 2. Ordnung beschrieben werden. Wir suchen die Lösungsfolge mithilfe der z-Transformation. u ( n 2) 3 u ( n 1) u ( n) = 0
Anfangsbedingungen:
u ( 0) = 0
u ( 1) = 1
Will man diese Gleichung über das Symbolik-Menü lösen, so ist für n eine Verschiebung vorzunehmen ! Wir wählen eine Verschiebung um n = 2: u ( n 2) 3 u ( n 1) u ( n) = 0
Auf n Strichcursor setzen und mit MenüSymbolik-Transformationen-Z auswerten. oder:
u ( n 2) 3 u ( n 1) u ( n) hat Z-Transformation 2
2
z ztrans ( u ( n) n z ) u ( 0) z u ( 1) z 3 z ztrans ( u ( n) n z ) 3 u ( 0) z ztrans ( u ( n) n z ) Diese Bildfunktion (z-Transformierte) wird nun unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen übersetzt und nach U1(z) aufgelöst: z
2
F ( z ) z U1 ( z ) z 3 z U1 ( z ) U1 ( z ) auflösen U1 ( z ) o
Bildfunktion (z-Transformierte)
2
z 3 z 1 Eine Alternative dazu wäre die direkte Übersetzung der Differenzengleichung mithilfe des Verschiebungssatzes unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen: F ( z) z
2
U1 ( z ) z
1
3 z
1
U1 ( z ) U1 ( z ) auflösen U1 ( z ) o
z 2
z 3 z 1 Rücktransformation mithilfe von symbolischem Operatoren: n ª § º 1· « » n invztrans z ¨ 1 1 n n § · » 2 2 o 5 2 « © 3 5 ¹ ( 1) ¨ vereinfachen 5 1 « ¨ ¸ » « ¨ 3 5 2 » ¬ © ¹ ¼ 1
u ( n) F ( z )
n 0 8
Bereichsvariable
un u ( n)
gesuchte Lösungsfolge
T
0
u
0
1 0
2 1
3 3
4 8
21
5 55
6
7
8
144
377
987
Seite 273
Laplace- und z-Transformation
Beispiel 14.25: Ein digitales Filter 1. Grades wird durch eine Einheitssprungfolge x(n) = 2 V(n) angesteuert. Für dieses Filter gelte die Differenzengleichung y(n+1) + k y(n) = x(n) mit dem Anfangswert y 0 = 0 und k = - 0.5. Man untersuche das System im Zeitbereich und im Frequenzbereich. Untersuchung des Filters im Zeitbereich: 4
N 2
Anzahl der Abtastwerte
n 0 N 1
Bereichsvariable
xn 2 ) ( n)
Die Eingangsgröße sei der Einheitssprung (Einheitssprungfolge)
y0 0
Anfangswert für die Differenzengleichung
k 0.5
gegebene Konstante (Multiplikator)
yn1 k yn xn
Differenzengleichung für die Sprungantwort (rekursive Berechnung)
yG = k yG 2
Aus dieser Gleichung folgt der Grenzwert für die Sprungantwort (Schnittpunkt von y =x und y = - k x + d ; d/(1+k)).
yG
2
yG
1k
Fixpunkt
4
Einheitsspf. u. Sprungantwort d. Systems
5
yG
4 xn
3
yn
2
Spur1: Format: Stamm Spur 2: Format: Punkte Spur3: Format: Treppe
yn 1 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
1
Abb. 14.28 n
z-Transformation und inverse z-Transformation: Y (z) k z
G ( z) =
X (z) G ( z)
1
Y (z) X (z) z z1 2 zk
=
Y (z) = 2 z 2 z
1
1
1 kz
1
=
X (z) 2
zk
z-Transformierte Differenzengleichung
digitale Übertragungsfunktion
z-Transformierte des Einheitssprunges )(n) Digitale Übertragungsfunktion für das System. Das System konvergiert für |z| > k und verhält sich stabil für |z| < 1.
Seite 274
Laplace- und z-Transformation
Y ( z) G ( z) X ( z)
Die z-Transformierte der Sprungantwort hat Pole bei z = - k und z = 1.
Wir wählen für die inverse z-Transformation einen geeigneten Radius für einen kreisförmigen Integrationsweg. Die Pole von Y(z) müssen innerhalb des Integrationsweges der z-Ebene liegen. r wenn ( k 1 2 2 k )
Gewählter Radius des Integrationsweges.
x ( M ) r cos ( M )
Parameterdarstellung für den kreisförmigen Integrationsweg.
y ( M ) r sin ( M )
M 0 0.01 2 S
Bereichsvariable
Integrationsweg und Polstellen 2
Die Polstellen liegen innerhalb des gewählten Kreises.
1
y( M ) 0 2
0
1
0
1
2
1
Abb. 14.29 2 x( M ) k 1 2S
n
yn
´ µ 2 S ¶0 r
5
j M
Y r e
ejnM dM
Inverse z-Transformation nach Substitution z = r e jM
Einheitsspf. u. Sprungantwort d. Systems yG
4 xn
3
yn
2
Spur 1: Format: Stamm Spur 2: Format: Punkte Spur 3: Format: Treppe
yn 1 10.0588 0.881.822.763.714.655.596.537.478.419.3510.29 11.24 12.18 13.12 14.0615
Abb. 14.30
1 n
Untersuchung des Filters im Frequenzbereich: G ( z) =
2 zk
Ts 10
4
s
Digitale Übertragungsfunktion für das System. Das System konvergiert für |z| > k und verhält sich stabil für |z| < 1. gewählte Abtastzeit
Seite 275
Laplace- und z-Transformation
2 S
Zs
Zs
Ts
4 1
6.3 u 10 s
2
G(Z )
Die zugehörige analoge Übertragungsfunktion (Frequenzgang)
j ZTs
1
erhält man mit der Substitution z = e digitalen Übertragungsfunktion.
k
e Z 0 s
0.001 Z s 2 Z s
G( Z )
6 5 4 3 2 1 0
Samplingkreisfrequenz
jZTs
(Einheitskreis) aus der
Bereichsvariable
Amplitudengang
1
0
0.5
1
1.5
2
Z Zs
Abb. 14.31
arg( G( Z ) )
S
Phasengang
4 2 0
1
S
2 4
0
0.5
1
1.5
2
Z Zs
Abb. 14.32 Amplituden- und Phasengänge digitaler Filter sind (durch die Abtastung bedingt) mit der Abtastkreisfrequenz Zs periodisch. Der Frequenzgang ist ausserdem symmetrisch zu Zs /2. Aufgrund des Abtasttheorems kann aber der Frequenzgang nur bis Zs /2 genützt werden.
Seite 276
Differentialgleichungen
15. Differentialgleichungen Eine Gleichung, die mindestens einen Differentialquotienten enthält, heißt Differentialgleichung. Man unterscheidet zwischen gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen . Mathcad stellt zum Lösen von Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme zahlreiche Werkzeuge zur Verfügung. Symbolische Auswertungsmöglichkeiten: Im Falle einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten der Form y(n) = f(x,y,...,y(n-1)) kann eine Lösung in klassischer Form , durch Auswerten der Integrale über Menü-Symbolik-Auswerten, oder mittels Laplacetransformation (siehe auch Kapitel 14.) gefunden werden. Numerische Auswertungsmöglichkeiten von Anfangs- und Randwertproblemen: Lösungsblock für Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme Mit der Funktion Gdglösen, die intern das Runge-Kutta-Verfahren 4.Ordnung verwendet, steht ein Verfahren zur Verfügung, Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme n-ter Ordnung, abhängig von Anfangs- oder Randbedingungen, mithilfe eines Lösungsblocks numerisch zu lösen. Voraussetzung ist, dass der Ableitungsterm der höchsten Ableitung linear ist (die Terme mit Ableitungen niedriger Ordnung können auch nichtlinear sein) und die Anzahl der Bedingungen gleich der Ordnung der Differentialgleichung ist. Ein Randwertproblem wird bei der Lösung zuerst in ein äquivalentes Anfangswertproblem umgewandelt. Der Lösungsblock kann z.B. folgendes Aussehen haben: Vorgabe 2
d
y ( x) y ( x) = 0 oder in Primnotation: y'' ( x) y ( x) = 0 (Primsymbol mit <Strg> +
y' ( 0) = 5 Ableitung in Primnotation !
Oder Randwertproblem: y ( 0) = 1
y ( 2) = 3
y:= Gdglösen x xb Schritte
Gibt eine Funktion y(x) zurück !
Vorgabe 2
d
2
u ( t) = 3 v( t)
dx Anfangswertproblem: u ( 0) = 1.2
u' ( 0) = 1.2
2
d
2
u ( t) = 2
dx
v ( 0) = 1
2
d
dt
2
v ( t) 4 u ( t)
v' ( 0) = 1
Ableitung in Primnotation !
§f · ª§ u · º ¨ := Gdglösen «¨ tb Schritte» Gibt einen Vektor mit Funktionen f(t) und g(t) zurück ! ©g ¹ ¬© v ¹ ¼
Seite 277
Differentialgleichungen
Argumente: x ist die reelle Integrationsvariable bzw. ein Vektor mit den gesuchten Funktionen. xb bzw. tb ist der reelle Wert des Endpunktes des Integrationsintervalls. Schritte ist ein optionaler Parameter (ganzzahlig) für die Anzahl der zu berechnenden Punkte. Fehlt dieser, so verwendet Mathcad eine interne Schrittweite. Standardmäßig verwendet Gdglösen für die Lösung ein Runge Kutta-Verfahren mit fester Schrittweite . Klickt man mit der rechten Maustaste auf den Namen Gdglösen, so kann auch im Kontextmenü ein adaptives Verfahren gewählt werden. Numerische Auswertungsmöglichkeiten von Anfangswertproblemen: Allgemeiner Differentialgleichungslöser rkfest Für gewöhnliche Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit Anfangsbedingungen oder für ein Differentialgleichungssystem kann die Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung mit fester Schrittweite angewendet werden. Dazu wird die Funktion rkfest bereitgestellt. Allerdings muss zuerst eine Differentialgleichung n-ter Ordnung y (n) = f(x,y,...,y(n-1)) und auch die Anfangswerte in ein System 1. Ordnung umgeschrieben werden: Y0 = y ; Y '0 = Y 1 (= y ' ) ; Y '1 = Y 2 (= y'' ) ; Y '2 = Y 3 (= y''' ) ; ... ; Y 'n-1 = f(x, Y 0 , Y1 , ..., Yn-1) (= y(n) ). Die Anfangswerte y(xa ), y '(xa ), ..., y(n-1)(xa ) müssen in Form eines Vektors aw geschrieben werden. Außerdem ist eine Vektorfunktion D(x,Y) zu definieren, deren letzte Komponente die explizite Differentialgleichung enthält. Y ist ein Vektor mit unbekannten Funktionswerten .
ª y xa º « » « y' xa » aw:= « » « ....... » « ( n 1) xa »¼ ¬y
Y1 ª º « » ..... « » D(x,Y):= « » Y n 1 « » «y( n) x Y Y .... Y » n 1 ¼ ¬ 0 1
Y ' = D(x,Y)
Z := rkfest aw xa xb N D
Argumente: aw muss ein Vektor aus n Anfangswerten oder einem einzelnen Anfangswert sein. xa , xb sind Endpunkte des Intervalls, an dem die Lösung für Differentialgleichungen ausgewertet wird. Anfangswerte in aw sind die Werte bei x a . N ist die Anzahl der Punkte hinter dem Anfangspunkt, an denen die Lösung angenähert werden soll. Hiermit wird die Anzahl der Zeilen (1 + N) in der Matrix bestimmt, die von rkfest zurückgegeben wird. Z ist eine Matrix von der Größe (N+1) x (n+1). Die erste Spalte enthält die x-Werte (oder Zeitpunkte für x = t) x = xa , xa +'x ... xb mit der Schrittweite 'x = (xb - xa ) / N, die zweite Spalte die gesuchte Lösung y zu den entsprechenden x-Werten, die 3. Spalte die erste Ableitung y' und die Spalte n die (n-1)-te Ableitung y(n-1). Allgemeiner Differentialgleichungslöser Bulstoer Wenn man weiß, dass die Lösung stetig ist, erzielt man eine genauere Lösung mit der Funktion Bulstoer (Bulirsch-Stoer-Verfahren) an Stelle von rkfest. Die Argumente dieser Funktion unterscheiden sich nicht von rkfest.
Z : = Bulstoer aw xa xb N D
Seite 278
Differentialgleichungen Allgemeiner Differentialgleichungslöser Rkadapt Bei einer festen Anzahl von Punkten kann man eine Funktion genauer approximieren, wenn man mehr Berechnungen an den Stellen macht, an denen sich die Funktionswerte schnell verändert. Dementsprechend weniger Berechnungen werden dort angestellt, wo die Veränderungen in der Funktion langsamer sind. Wenn die gesuchte Funktion diese Eigenschaft hat, erzielt man mit der Funktion Rkadapt bessere Ergebnisse als mit rkfest. Anders als die Funktion rkfest, die in Schritten mit gleicher Weite integriert, um eine Lösung zu finden, untersucht Rkadapt, wie schnell sich eine Lösung ändert , und verändert die Schrittweite dementsprechend. Rkadapt verwendet beim Lösen der Differentialgleichung intern ungleichmäßige Schrittweiten, gibt die Lösung jedoch an Punkten mit gleichem Abstand zurück. Die Argumente dieser Funktion unterscheiden sich nicht von rkfest .
Z : = Rkadapt aw xa xb N D
Allgemeine Differentialgleichungslöser für steife Systeme Ein Differentialgleichungssystem der Form y' = A * y + h heißt steif, wenn die Matrix A fast singulär ist. Unter diesen Bedingungen kann eine von rkfest bestimmte Lösung oszilieren oder instabil sein . Zur Lösung solcher Systeme sind drei Funktionen Radau, Stiffb bzw. Stiffr vorgesehen. Stiffb und Stiffr benötigen gegenüber von rkfest noch ein zusätzliches Argument J. J bedeutet die Jakobi-Matrix (n * (n+1) Matrix) mit den partiellen Ableitungen von D.
Z : = Radau aw xa xb N D
Implizites Runge-Kutta-Radau 5-Verfahren
Z : = Stiffb aw xa xb N D J
Bulirsch- Stoer bzw.
Z : = Stiffr aw xa xb N D J
§w ¨ D1 ¨ wx ¨ .... J:= ¨ ¨w ¨ wxDn ©
w wy0
D1 ....
.... w wy0
w wyn 1
D1
....
....
Dn ....
Rosenbrock Verfahren
w wyn 1
Dn
· ¸ x Y Y 0 x · ¸ z.B.: D ( x Y) = §¨ 1 · J ( x Y) = §¨ 1 ¸ © 1 Y1 Y0 ¹ © 0 1 Y1 1 Y0 ¹ ¸ ¹
Allgemeine Differentialgleichungslöser zum Auswerten des Endwertes Wird nur der Wert der Lösung am Endpunkt y(xb ) benötigt, und nicht der Wert über eine Anzahl von x-Werten in regelmäßigen Abständen im Integrationsintervall [xa ,xb ], so können die folgenden Funktionen verwendet werden:
Z : = bulstoer aw xa xb Genau D kmax Abstand Z : = rkadapt aw xa xb Genau D kmax Abstand
Z : = radau aw xa xb Genau D kmax Abstand
Z : = stiffr aw xa xb Genau D J kmax Abstand Z : = stiffb aw xa xb Genau D J kmax Abstand
Diese Funktionen werden klein geschrieben und haben die gleichen Eigenschaften wie die schon oben angeführten Funktionen. Sie haben aber einige zusätzliche Argumente: "Genau" bestimmt die Genauigkeit der Lösung (Ein Wert um 0.001 liefert gewöhnlich gute Lösungen). "kmax" gibt die maximale Anzahl von Zwischenpunkten an. "Abstand" legt den kleinsten zulässigen Abstand zwischen den Werten fest.
Seite 279
Differentialgleichungen
Numerische Auswertungsmöglichkeiten von Randwertproblemen: Die bereits oben angeführten Lösungsfunktionen setzen voraus , dass die Werte der Lösungen und ihrer ersten (n-1) Ableitungen am Anfang des Integrationsintervalls bekannt sind. Sie sind also zur Lösung von Anfangswertproblemen einsetzbar. Bei vielen Anwendungsfällen kann aber davon ausgegangen werden, dass die Werte der Lösung an den Randpunkten bekannt sind. Kennt man zwar einige aber nicht alle Werte der Lösung und ihrer ersten (n-1)-Ableitungen am Anfang xa bzw. am Ende xe des Integrationsintervalls, so müssen die fehlenden Anfangswerte bestimmt werden. Dazu stellt Mathcad die Funktionen sgrw bzw. grwanp bereit. Sind die fehlenden Anfangswerte an der Stelle xa bestimmt, so kann ein Randwertproblem als Anfangswertproblem mithilfe der Funktionen sgrw bzw. grwanp und der oben angeführten Funktionen gelöst werden.
S := sgrw v xa xe D lad abst
Argumente: v ist ein Vektor mit Schätzwerten für die in xa nicht angegebenen Größen. xa , xe sind die Grenzen des Intervalls, an dem die Lösung für die Differentialgleichung ausgewertet wird. D(x,Y) ist die n-elementige vektorwertige Funktion, welche die ersten Ableitungen der unbekannten Funktion enthält. lad(xa ,v) ist eine vektorwertige Funktion, deren n Elemente mit den n unbekannten Funktionen in xa korrespondieren. Einige dieser Werte werden Konstanten sein, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt sind. Andere werden zunächst unbekannt sein, aber von sgrw gefunden werden. abst(xa ,Y) ist eine vektorwertige Funktion mit genausoviel Elementen wie v. Jedes Element bildet die Differenz zwischen der Anfangsbedingung an der Stelle xe und dem zugehörigen Erwartungswert der Lösung. Der Vektor abst misst, wie genau die angebotene Lösung die Anfangsbedingungen an der Stelle x e trifft. Eine Übereinstimmung wird mit einer Null in jedem Element angezeigt. S ist das von sgrw gelieferte Vektorergebnis mit den in xa nicht spezifizierten Werten. Falls zwischen x a und xe die Ableitung eine Unstetigkeitsstelle x s aufweist, sollte anstatt der Funktion sgrw die Funktion grwanp eingesetzt werden.
S := grwanp v1 v2 xa xe xs D lad1 lad2 abst Argumente: v1 , v2 : v1 ist ein Vektor mit Schätzwerten für die in xa nicht angegebenen Größen, v2 für die Größen in xe . xa , xe sind die Grenzen des Intervalls, an dem die Lösung für die Differentialgleichung ausgewertet wird. xs ist ein Punkt (Unstetigkeitsstelle) zwischen xa und xe . D(x,Y) ist die n-elementige vektorwertige Funktion , welche die ersten Ableitungen der unbekannten Funktion enthält. lad1(xe ,v1 ) ist eine vektorwertige Funktion, deren n Elemente mit den n unbekannten Funktionen in x a korrespondieren. Einige dieser Werte werden Konstanten sein, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt sind. Falls ein Wert unbekannt ist, soll der entsprechende Schätzwert von v 1 verwendet werden. lad2(xe ,v2 ) entspricht der Funktion lad1, allerdings für die von den n unbekannten Funktionen bei x e angenommenen Werte. abst(xs,Y) ist eine n-elementige vektorwertige Funktion, die angibt, wie die Lösungen bei x s übereinstimmen müssen. S ist das von grwanp gelieferte Vektorergebnis mit den in xa nicht spezifizierten Werten. Mit den in S gelieferten Anfangswerten kann dann mit den oben angeführten Funktionen das Anfangswertproblem gelöst werden.
Seite 280
Differentialgleichungen
Zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen stehen eine Reihe anderer Funktionen zur Verfügung (siehe Kapitel 15.6). Bemerkung: Nicht alle oben angeführten numerischen Lösungsmethoden liefern beim Lösen von Differentialgleichungen immer ein brauchbares Ergebnis. Es sollten daher, speziell bei nichtlinearen Differentialgleichungen, immer mehrere Lösungsmethoden verglichen werden !
15.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung F( x, y(x), y'(x) ) = 0
Implizite Form.
y'(x) = f( x, y(x) )
Explizite Form, wenn sich die Differentialgleichung nach y' auflösen läßt.
Das Richtungsfeld zu einer Differentialgleichung: Die Lösungsfunktionen der Differentialgleichung können in einem Richtungsfeld gut sichtbar gemacht werden. Dazu wird in jedem Punkt P(x|y) der Ebene ein Vektor mit der Steigung y' aufgetragen. Ein Vektorfeld ist eine Funktion F(x,y), die einen Vektor zu jedem Punkt P(x|y) der Ebene zuweist. Ein Richtungsfeld zeigt die Richtung der Lösungen von y' = f(x,y) bei jedem Punkt. Das Richtungsfeld kann als Vektorfeld-Diagramm der folgenden komplexen Funktion 1 f ( x y) j
F ( x y)
1 f ( x y) j
veranschaulicht werden. Die Funktion wird normiert, also im Nenner durch die Länge der Vektoren dividiert, damit alle Vektoren dieselbe Länge besitzen.
Beispiel 15.1 d dt
y ( t ) = cos ( y ( t) ) sin ( t )
f ( t y) cos ( y) sin ( t )
Gegebene Differentialgleichung 1. Ordnung. Der rechte Term als Funktion definiert.
Definition der Bereiche von t und y, für die Lösungen betrachtet werden sollen: t max t min
n1 20
tmin 0
tmax 10
i 0 n1
ti tmin i
m1 20
ymin 0
ymax 10
j 0 m1
y j ymin j
Fi j
1 f ti y j j
1 f ti y j j
n1 ymax ymin m1
Mathcad erwartet für ein Vektorfeld-Diagramm eine Matrix!
Seite 281
Differentialgleichungen
Vektorfeld-Diagramm
F Abb. 15.1 15.1.1 Integration der linearen Differentialgleichung 1. Ordnung y' + p(x) y = 0
Homogene lineare Differentialgleichung 1.Ordnung.
y' + p(x) y = q(x)
Inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung (q(x) heißt Störfunktion).
a) Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung nach der klassischen Methode Die Lösung der homogenen Differentialgleichung 1. Ordnung ergibt sich ohne bzw. unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung x 0 , y0 = y(x 0 ) zu: x
´ µ µ p( x) dx ¶
´ µ p( t) dt ¶x
yh = C e
yh = y0 e
0
b) Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung nach der klassischen Methode Allgemeine Lösung:
y = y h + yp
yh ... Lösung der homogenen Differentialgleichung durch Trennen der Variablen. yp ... Partikuläre also spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (sie wird durch Variation der Konstanten ermittelt). Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 1. Ordnung ergibt sich ohne bzw. unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung x 0 , y0 = y(x 0 ) zu: ´ µ µ p( x) dx ¶
y = yh yp = e
§´ ¨µ ´ µ ¨µ µ ¶ ¨µ µ q ( x) e ¨¶ ©
· p ( x) dx
¸ ¸
dx C
Seite 282
¹
Differentialgleichungen
x
´ µ p( t) dt ¶x
y = yh yp = e
0
§ ¨ ¨ ¨ y0 ¨ ©
· ´ t µ ´ µ p ( x) dx ¸ µ ¶x µ 0 ¸ q ( t ) e dt µ ¶x x
¹
0
c) Lösung der linearen Differentialgleichung mithilfe der Laplace Transformation Liegt eine lineare Differentialgleichung mit Anfangsbedingungen und konstanten Koeffizienten vor, so kann die Lösung nach Anwendung der Laplace Transformation mittels einer algebraischen Gleichung der Bildfunktion erfolgen. Durch Rücktransformation der Lösung der algebraischen Gleichung in den Originalraum ergibt sich dann die gesuchte Lösung der Differentialgleichung . Die Vorzüge der Anwendung der Laplace Transformation bei der Lösung von Differentialgleichungen liegen darin, dass einmal die Anfangsbedingungen sofort berücksichtigt werden, ohne erst eine allgemeine Lösung angeben zu müssen. Weiter ist es bei inhomogenen Differentialgleichungen nicht erforderlich , erst die homogene und dann die inhomogene Differentialgleichung zu lösen, sondern die inhomogene Differentialgeichung kann sofort, allerdings über die Bildfunktion, gelöst werden. Siehe dazu Kapitel 14. d) Numerisches Lösen einer Differentialgleichung Eine näherungsweise Lösung einer Differentialgleichung ist mit den am Beginn dieses Abschnitts vorgestellten Funktionen möglich, oder eventuell wie im Kapitel 14 besprochen, durch die Überführung in eine Differenzengleichung. Beispiel 15.2: In einem Gleichstromkreis sind ein ohmscher und ein induktiver Widerstand parallel geschaltet. Gesucht: Strom i(t) beim Ausschalten des Gleichstromkreises, wenn zur Zeit t = 0 der Strom I 0 fließt. Klassische Lösung einer homogenen Differentialgleichung: Nach der Maschenregel gilt: u R + uL = 0 i R L
d
d
i=0
dt
dt
i
R L
i=0
Homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten und der Anfangsbedingung i(0) = I 0 .
Berücksichtigt man die Zeitkonstante W = L / R, so vereinfacht sich die Differentialgleichung: d dt
i
1 W
i=0
Die Lösungen lauten damit (p(t) = 1/ W): ´ µ µ µ ¶
1 W
i ( t) = C e
dt
1
ergibt
i ( t) = C e
W
t
symbolische Auswertung
Anfangsbedingung einsetzen und nach C auflösen: 1
I0 = C e
W
0
hat als Lösung(en)
1
i ( t) = I0 e
W
I0
(nach Variable C auflösen ergibt C = I 0 )
t
gesuchte Lösungsfunktion
Seite 283
Differentialgleichungen
ms 10
3
s
Zeiteinheit festlegen
L 1 H
Induktivität
R 100 :
ohmscher Widerstand
I0 5 A
Strom
W
L
W
R
1 W
i ( t) I0 e
Zeitkonstante
0.01 s t
Stromstärkefunktion
d
Probe:
i ( t)
dt
t 0 s 0.0001 s 5 W
1 W
i ( t ) vereinfachen o 0
Bereichsvariable
6 5 I0
4
A 3
Abb. 15.2
i ( t) 2
A
1 0
0
10
20
30
40
50
t ms
Unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung lässt sich die Lösung einfacher berechnen: I0 I0
W W
t t
i i
Redefinitionen
t
´ µ p ( x) dx ¶t
t0 0
allgemeine Lösung unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung
0
i t p t 0 i0 i0 e i0 I 0
1
p ( x)
Anfangsbedingung und p(x) festlegen
W
§ t · i t p t 0 i0 vereinfachen o I 0 exp ¨ ©W¹
gesuchte Lösung
dt
Probe
d
i t p t 0 i0
1 W
i t p t 0 i0 vereinfachen o 0
Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe der Laplace-Transformation: d dt
i ( t)
1 W
i ( t) = 0
Anfangsbedingung:
i ( 0) = I0
Seite 284
Zeitbereich
Differentialgleichungen
Man stellt im linken Term der Gleichung den Strichcursor auf t und transformiert mit SymbolischTransformationen-Laplacetransformation die Gleichung: d dt
1
i ( t)
i ( t)
W
hat Laplace-Transformation
1 I ( s) s I0 I ( s ) = 0 W 1 I ( s) s I0 I ( s ) W
s laplace ( i ( t ) t s ) i ( 0)
1 W
laplace ( i ( t ) t s )
Differentialgleichung in die Laplacetransformierte übersetzt
auflösen I ( s ) § t · o I0 exp ¨ invlaplace s ©W¹
Lösung der Gleichung im Bildbereich und Rücktransformation in den Zeitbereich
t W
i ( t) = I0 e
Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich
Numerische Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von rkfest: d dt
1
i ( t)
i ( t) = 0
W
ms 10
3
s
Anfangsbedingung:
Zeiteinheit festlegen
L 1 H
Induktivität
R 100 :
ohmscher Widerstand
I0 5 A
Strom
W
L
W
R
aw 0
i ( 0) = I0
0.01 s
I0
Zeitkonstante aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung n-ter Ordnung
A
D ( t I) s
1 W
1
Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der I0
Darstellung D(t,I):=(I1 ,...,In-1,i(n)(I)) T. Die letzte Komponente ist die nach i (n) umgeformte Differentialgleichung. In rkfest sind keine Einheiten zulässig, daher werden sie gekürzt !
n 300
Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung
ta 0 s
Anfangszeitpunkt
te 5 W
Endzeitpunkt
§
Z rkfest ¨ aw
©
ta te · Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine Matrix. Die n D erste Spalte Z <0> enthält die Zeitpunkte t, die nächste Spalte s s ¹ <1> Z die Lösungsfunktion i(t). In rkfest sind keine Einheiten zulässig, daher werden sie gekürzt !
¢0² t Z s
Vektor der Zeitwerte
¢1² i Z A
Vektor der Stromwerte
Seite 285
Differentialgleichungen
k 0 zeilen ( Z) 1
Bereichsvariable
6 5 I0
4
A
3
ik
Abb. 15.3
2
A
1 0
0
10
20
30
40
50
tk ms
Numerische Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von Gdglösen: ms 10
3
s
Zeiteinheit festlegen
L 1 H
Induktivität
R 100 :
ohmscher Widerstand
I0 5 A
Strom
W
L R
W
Zeitkonstante
0.01 s
n 100
Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung
Vorgabe 1
d
W
i ( t)
dt
i ( 0) =
s
1
i ( t) = 0
I0
Der Lösungsblock darf keine Einheiten enthalten, daher werden sie gekürzt !
Anfangsbedingung
A
§ ©
i Gdglösen ¨ t 5
W s
· ¹
Das Kontextmenü erhält man mit einem Klick der rechten Maustaste auf Gdglösen (rkfest, rkadapt, Steif)
n
t 0 s 0.001 s 5 W
Bereichsvariable
Seite 286
Differentialgleichungen
6 5 I0
i ( 0)
5
4
A
i ( 0.01)
3
1.839
i ( t) 2
A
i ( 0.031 )
0.225
1 0
0
10
20
30
40
50
Abb. 15.4
t ms
Alternative: Vorgabe 1
d dt
W
i ( t)
i ( 0) =
s
1
i ( t) = 0
I0 A
§ ©
i ( W ) Gdglösen ¨ t 5
W s
· ¹
Für die gesuchte Funktion i können die in der Differentialgleichung vorkommenden Parameter angegeben werden!
n
W1 0.1 s
W2 0.05 s
verschieden gewählte Zeitkonstanten
i1 i ( W1)
i2 i ( W2)
Berechnungen für verschiedene Zeitkonstanten W
t 0 s 0.001 s 5 W1
Bereichsvariable
6 I0
5
A
4
i1( t) A i2( t)
3
Abb. 15.5 2
A 1 0
0
100
200
300
400
t ms
Seite 287
500
Differentialgleichungen Beispiel 15.3: Ein R-L-Serienkreis wird an eine sich sprunghaft ändernde Gleichspannung u(t) = U 0 )(t) gelegt. Gesucht ist der Strom i(t) beim Einschalten des Serienkreises, wenn zur Zeit t = 0 der Strom i = 0 ist. Klassische Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung 1. Ordnung: i ( t) R L
uR(t) + uL(t) = U0 .)(t) d
i ( t)
R
i ( t) =
dt
L
t t
L L
U L
d dt
) ( t)
i ( t ) = U0 ) ( t)
W =
Inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung.
L R
umgeformte Differentialgleichung
R R
W W
I0 I0
Redefinitionen
Ohne Anfangsbedingung: ´ µ µ µ ¶
i ( t) = e
§´ ¨µ ´ µ R µ dt ¨ µ µ L ¨µ µ U ¶ ¨ µ e ¨µ L ©¶
· R L
dt
¸ ¸ dt C¸
R
ergibt
i ( t) = e
¹
L
t
R § · ¨ 1 L t ¨ e U C ©R ¹
oder: ´ µ µ p ( t) dt ¶
i ( t p q C) e
p ( t)
R
q ( t)
L
U L
§´ ¨µ ´ µ ¨µ µ ¶ ¨µ µ q ( t) e ¨¶ ©
) ( t)
· p( t) dt
¸ ¸
dt C
¹
Nichtdefinierte Variablen werden als Fehler angezeigt. Dies stört jedoch vorerst nicht beim Auswerten!
§ R t· ª§ ) ( t) L exp § R t· ) ( t) L· U Cº «¨ ¨ » R © L ¹ ¬© R ©L ¹ ¹ L ¼
i ( t p q C) o exp ¨
mit Symboloperator ausgewertet
Mit der Anfangsbedingung t 0 und i0 : t0 0
i0 0
t
´ µ p( x) dx ¶t
i t p q t 0 i0 e
p ( t)
R L
q ( t)
0
U L
§ ¨ ¨ ¨ i0 ¨ ©
· ´ x ´ µ µ p ( t) dt ¸ µ ¶t µ 0 ¸ q ( x ) e dx µ ¶t t
¹
0
Nichtdefinierte Variablen werden als Fehler angezeigt. Dies stört jedoch vorerst nicht beim Auswerten! Die Heaviside-Funktion wird hier weggelassen.
Seite 288
Differentialgleichungen
ersetzen U = R I 0
i t p q t 0 i0
dt d
ersetzen R =
i t p q t 0 i0
L 1 H ms 10
R L
W
i t p q t 0 i0 vereinfachen o
R 40 :
3
§ t · § exp § t · I ¨ ¨ © W ¹ © ©W¹ 0
o exp ¨
L
I0 5 A
s
1 · § t ¨ W i ( t) I0 © 1 e ¹ ) ( t)
I0 W
Probe
L L
W
R
0.025 s
Gewählte Größen
Zeiteinheit festlegen
t 0.01 s 0.01 s 0.0001 s 5 W
ta ( t)
W
U
· Symbolische Auswertung ¹ mit der Anfangsbedingung.
I0
Bereichsvariable
Stromfunktion (händisch vereinfachte Lösung)
t ) ( t)
Anlauftangente
7 6 I0) ( t)
5
A
4
) ( t)
W
5W
ms
ms
3
i ( t)
2
ta( t)
Abb. 15.6
1 20
0
20
40
60
80
100
120
140
1 t ms
Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mithilfe der Laplace-Transformation: d dt
i ( t)
R L
i ( t) =
U L
) ( t)
i ( 0) = 0
Differentialgleichung und Anfangsbedingung im Zeitbereich
Man stellt in der Gleichung den Strichcursor auf t und transformiert mit Symbolisch-TransformationenLaplacetransformation die Gleichung: d dt
i ( t)
R L
i ( t)
U L
) ( t)
hat Laplace-Transformation
Seite 289
Differentialgleichungen
R
s laplace ( i ( t ) t s ) i ( 0) I ( s) s 0 R R
R L
I (s) =
L
U
I ( s) s 0
L
U L s
Differentialgleichung in die Laplacetransformierte übersetzt
L s
L L
R
laplace ( i ( t ) t s )
Redefinitionen
I (s)
auflösen I ( s ) § 1 1 exp § R t · · o U ¨ ¨ invlaplace s L ¹¹ ©R R ©
U L s
t § R · ¨ L i ( t) = I0 © 1 e ¹
Lösung der Gleichung im Bildbereich und Rücktransformation in den Zeitbereich.
Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich (händisch vereinfacht)
Eine Rücktransformation kann auch mithilfe der Residuen durchgeführt werden. Die Residuen werden aus der Laurentreihe bestimmt (siehe dazu Kapitel 14.1). I ( s) s 0
R L
I (s)
U L s
auflösen I ( s ) o
U s ( L s R)
Zu bestimmen sind die Residuen von: st
I ( s) e
=
U
st
s ( L s R)
e
Bestimmung der Polstellen: s ( L s R) = 0
§ 0 · ¨ R ¨ © L ¹
hat als Lösung(en)
Es liegen zwei Polstellen vor.
Residuumbestimmung beim Pol s = 0 durch Reihenentwicklung: U
st
s ( L s R) 1 R
U s
1
Residuum 1:
e
1 R
konvertiert in die Reihe
U t
1 2
U L
R
§ 1 U t2 1 U L t 1 U L2· s O s2 ¨2 R 2 3 R R © ¹
Reihenentwicklung in s.
U R
Residuumbestimmung beim Pol s = -R/L durch Reihenentwicklung. Es wird zuerst eine Transformation in einen Pol bei s = 0 durchgeführt: u=s u=s t t
R L R L
Transformationsgleichung
hat als Lösung(en)
u L R L
Gleichung nach s aufgelöst
Redefinition
Seite 290
Differentialgleichungen
U
st
s ( L s R)
e
ersetzen s =
uL R
U ( u L R) u
L
e
R
U ( u L R) u
§ u L R t· © L ¹
exp ¨
konvertiert in die Reihe R R · § t t ¨ 1 1 L L t U L e O ( u) ¨ R U e 2 R © ¹ R
Residuum 2:
L
o
t
R · § t ¨ 1 1 L u ¨ U e ©R ¹
1
u L R
U e
L
Reihenentwicklung in u
t
Die Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich lautet dann: i ( t) =
Residuen F (s) est
¦
Pole( F( s) R
i ( t) =
U R
U
R
L
e
t
R · § t ¨ L = I0 © 1 e ¹
Numerische Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mithilfe von rkfest: d dt
i ( t)
R
i ( t) =
L
L 1 H
U
i ( 0 s) = 0 A
L
R 40 :
Differentialgleichung und Anfangsbedingung im Zeitbereich
I0 5 A
U R I0
W
L R
W
0.025 s
Gewählte Größen
aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung n-ter Ordnung
aw 0 0
D ( t I)
U
R
V
:
L
H
L
Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der I0
H
Darstellung D(t,I):=(I1 ,...,In-1,i(n)(I)) T. Die letzte Komponente ist die nach i (n) umgeformte Differentialgleichung. In rkfest sind keine Einheiten zulässig, daher werden sie gekürzt !
n 300
Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung
ta 0 s
Anfangszeitpunkt
te 5 W
Endzeitpunkt Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1)
§
Z rkfest ¨ aw
©
ta te · n D s s ¹
Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die Zeitpunkte t, die nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion i(t). In rkfest sind keine Einheiten zulässig, daher werden sie gekürzt !
¢0² t Z s
Vektor der Zeitwerte
¢1² i Z A
Vektor der Stromwerte
Seite 291
Differentialgleichungen
k 0 zeilen ( Z) 1
Bereichsvariable
6 5 I0
5W
4
A
ms
3
ik
Abb. 15.7
2
A
1 0
0
20
40
60
80
100
120
140
tk ms
Numerische Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mithilfe von Gdglösen: ms 10
3
s
Zeiteinheit festlegen
L 1 H
Induktivität
R 40 :
ohmscher Widerstand
I0 5 A
Strom
U I0 R
Spannung
W
L R
W
Zeitkonstante
0.025 s
n 100
Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung
Vorgabe R
d
i ( t)
dt
L 1
U V
i ( t) =
L
s
Der Lösungsblock darf keine Einheiten enthalten, daher werden sie gekürzt !
H
Anfangsbedingung
i ( 0) = 0
§ ©
i Gdglösen ¨ t 5
W s
Das Kontextmenü erhält man mit einem Klick der rechten Maustaste auf Gdglösen (rkfest, rkadapt, Steif)
· ¹
n
t 0 s 0.001 s 5 W
Bereichsvariable
Seite 292
Differentialgleichungen
6 5 I0
5W
4
ms
A 3 i ( t) A
Abb. 15.8
2 1 0
0
20
40
60
80
100
120
140
t ms
15.2 Differentialgleichungen 2. Ordnung F( x,y(x),y'(x),y''(x) ) = 0
Implizite Form.
y''(x) = f( x,y(x),y'(x) )
Explizite Form (wenn sich die Diffgl. nach y'' auflösen läßt).
Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung 2. Ordnung enthält 2 Integrationskonstanten. Daher sind zu deren Bestimmung auch zwei Bedingungen notwendig: Anfangswertproblem:
y(x0 ) = y0 und y'(x0 ) = y0 '
Randwertproblem:
y(x1 ) = y1 und y(x2 ) = y2
15.2.1 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten y'' + a 1 * y' + a0 * y = s(x)
s(x) heißt Störfunktion.
s(x) = 0 ... Homogene Differentialgleichung, sonst inhomogene Differentialgleichung. a) Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung nach der klassischen Methode y'' + a 1 * y' + a0 * y = 0 Allgemeine klassische Lösung: y h = C1 y1 + C2 y2 Charakteristische Gleichung:
O2 + a1 O + a0 = 0
Je nach Beschaffenheit der Diskriminante (D = (a 1 /2)2 - a0 ) der charakteristischen Gleichung unterscheidet man: D > 0:
yh = C1 eO1 x + C2 eO2 x
D = 0:
yh = (C 1 +C2 x) eO x
D < 0:
O1 = N + j Z O N - j Z
N = - a1 /2
Z = (4 a0 - a1 2)1/2
yh = eN x (C1 cos( Z x) + C2 sin( Z x))
Seite 293
Differentialgleichungen
b) Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung nach der klassischen Methode y'' + a 1 * y' + a0 * y = s(x) Allgemeine klassische Lösung: y = yh + yp yh ... allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung yp ... partikuläre ( spezielle ) Lösung der inhomogenen Differentialgleichung yp erhält man durch die Methode der Variation der Konstanten oder mit einem angepassten Ansatz durch Vergleich der Koeffizienten. c) Lösung der linearen Differentialgleichung mithilfe der Laplace Transformation Die Vorzüge wurden bereits beschrieben. Siehe auch Kapitel 14. d) Numerisches Lösen einer Differentialgleichung Eine näherungsweise Lösung einer Differentialgleichung ist mit den bereits vorgestellten Funktionen möglich, oder, wie im Kapitel 14 besprochen, durch die Überführung in eine Differenzengleichung. Beispiel 15.4: Klassische Lösung einer homogenen Differentialgleichung: In einem Gleichstromkreis sind ein kapazitiver, ein ohmscher und ein induktiver Widerstand in Serie geschaltet. Der Kondensator soll zum Zeitpunkt t=0 aufgeladen sein, also eine Spannung U 0 besitzen. Gesucht ist der Strom i(t) beim Schließen des Serienkreises. Anfangsbedingungen: z.B. i(0) = 0 und für t = 0 ist u L(0) = - u C(0) = U0 d.h. i'(0) = U0 /L.
L
uL(t) + uR(t) + uC(t) = 0
d
i ( t) R i ( t)
dt
1 ´ µ C µ ¶
Differential-Integralgleichung
i ( t ) dt = 0
Durch Differentiation der Differential-Integralgleichung und Umformung erhält man die Differentialgleichung: 2
d
L
dt
2
Mit G =
2
d
dt
2
i ( t) R
d
i ( t)
dt
1 C
i ( t) = 0
2
d
dt
2
1 R d i ( t) i ( t) = 0 L C L dt
i ( t)
1 2 und Z 0 = erhält man schließlich die Differentialgleichung in vereinfachter Form: L C 2 L R
i ( t) 2 G
d dt
2
i ( t) Z 0 i ( t) = 0
Charakteristische Gleichung (charakteristisches Polynom 2. Ordnung): 2
2
O 2 G O Z0 = 0
ª « « G « « « « G ¬
1
§ G 2 Z 2· 0 ¹ ©
2
1
§ G 2 Z 2· 0 ¹ ©
2
º » » » » » » ¼
hat als Lösung(en)
2
2
O 2 = G
G Z0
O 1 = G
G Z0
2
2
Seite 294
D=
G Z0
Dämpfungsfaktor
Differentialgleichungen
a) Freie ungedämpfte Schwingung (D = 0) G=0
O1 = j Z0
O2 = j Z0
ih = C1 cos Z 0 t C2 sin Z 0 t
Lösungen der charakteristischen Gleichung
allgemeine Lösungen der Differentialgleichung
C2 2 2 und C1 C2 , tan ( M ) = C1 cos(D- E) = cos(D) cos(E) + sin(D) sin(E) erhält man schließlich: Mit C1 = I max cos ( M ) , C2 = Imax sin ( M ) , Imax =
ih = i = Imax cos Z 0 t M Imax 10 A
Z0
allgemeine Lösung
1
i ( t ) Imax cos Z 0 t M
S
M
s
gewählte Größen
3
allgemeine Lösung
t 0 s 0 s 0.001 s 20 s
Bereichsvariable
10 5 i ( t)
0
5
10
15
20
Abb. 15.9
5 10 t
b) Freie gedämpfte Schwingung ( 0 < D < 1 ) G Z0
O 1 = G j
N = G
Z=
G t
ih = e
2
Z0 G
2
Z0 G
2
O 2 = G j
2
Z0 G
2
2
Lösungen der charakteristischen Gleichung Dämpfungsfaktor und Schwingfrequenz
C1 cos ( Z t) C2 sin ( Z t)
allgemeine Lösungen der Differentialgleichung
C2 2 2 und C1 C2 , tan ( M ) = C1 cos(D E) = cos(D) cos(E) - sin(D) sin(E) erhält man schließlich: Mit C1 = I max cos ( M ) , C2 = Imax sin ( M ) , Imax =
G t
ih = i = Imax e U0 100 V G
Z0
R
cos ( Z t M )
R 200 : G
2 L 1 L C
Z0
Imax =
L 0.01 H
U0 ZL
C 100 nF
4 1
gewählte Größen Dämpfungsfaktor
1 u 10 s
3.16228 u 10
allgemeine Lösung und Scheitelwert
41
Eigenkreisfrequenz
s
Seite 295
Differentialgleichungen
2
Z
Z0 G
2
Z
U0
Imax
3 u 10
Imax
ZL G t
i ( t ) Imax e
41
Schwingkreisfrequenz
s
0.333 A
cos ( Z t M )
Stromfunktion
uR ( t) R i ( t ) uL ( t) L
d
Scheitelwert
Spannung am ohmschen Widerstand Spannung am induktiven Widerstand
i ( t)
dt
uC ( t) uR ( t) uL ( t)
Spannung am kapazitiven Widerstand
t 0 ms 0.001 ms 0.5 ms
Bereichsvariable
200
133.33
i( t) mA
66.67
u R( t) V u L( t)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
V 66.67
u C( t) V
Abb. 15.10
133.33
200 t ms
c) Aperiodischer Grenzfall ( D = 1) und aperiodischer Fall (Kriechfall D > 1) Grenzfall: G = Z0
O 1 = O 2 = G
Dämpfungsfaktor und Lösungen der charakteristischen Gleichung
G t
ih = C1 C2 t e
allgemeine Lösungen der Differentialgleichung
Anfangsbedingungen: i(0) = 0 und für t=0 ist u L(0)= - uC(0) = U0 d.h. i'(0) = U0 /L:
G 0
Mit ih ( 0) = C1 C2 0 e G t
C2 t e Mit
= 0 folgt C1 = 0 .
durch Differentiation, ergibt
C2 exp ( G t) C2 t G exp ( G t)
U0 U0 folgt C2 = . ih ( 0) = C2 exp ( G 0) C2 0 G exp ( G 0) = L L dt d
Seite 296
Differentialgleichungen
U0 100 V
R 1 :
1
Z0
Z0
L C U0
iG ( t )
1s
L 0.5 H
1
G
C 2 F
R
G
2 L
1s
gewählte Größen für den Grenzfall
1
Eigenkreisfrequenz und Dämpfungsfaktor
Z 0t
te
L
Stromfunktion für den Grenzfall
Kriechfall: G ! Z0
O 1 = G 2
2
2
G Z0
2
G Z0
w=
G t
ih = e
G t
ih = e
§ C1 e
wt
©
ª A1
«
¬ 2
2
G Z0
Dämpfungsfaktor und Lösungen der charakteristischen Gleichung
Konstante
C1 C2 = A1
Mit
2
O 2 = G
wt·
C2 e
allgemeine Lösungen der Differentialgleichung
¹
C1 C2 = B1
und
wt e wt
e
B1 2
erhält man eine andere Darstellung durch Umformung:
wt e wt ȼ = e G 1t A1 cosh (w t) B1 sinh (w t)
e
¼
Anfangsbedingungen: i(0) = 0 und für t=0 ist u L(0)= - uC(0) = U0 d.h. i' (0) = U0 /L: G 10
Mit ih ( 0) = e G 1t
e
A1 cosh ( w 0) B1 sinh ( w 0) = 0
B1 sinh ( w t )
folgt A1 = 0 .
durch Differentiation, ergibt
G1 exp G1 t B1 sinh (w t) exp G1 t B1 cosh (w t) w Mit
U0 U0 folgt B1 = . ih ( 0) = G 1 exp G 1 0 B1 sinh ( w 0) exp G 1 0 B1 cosh ( w 0) w = L w L dt
d
U0 100 V Z 01
w1 iK ( t )
R 2 :
1
Z 01
L C 2
G 1 Z 01 U0 w1 L
L 0.5 H 1
2
G 1t
e
1s
sinh w1 t
t 0 s 0.001 s 15 s
R
G1
2 L
w1
1.732 s
C 2 F G1
2s
1
1
gewählte Größen für den Kriechfall
Eigenkreisfrequenz und Dämpfungsfaktor
Konstante
Stromfunktion für den Kriechfall
Bereichsvariable
Seite 297
Differentialgleichungen
100 i G( t)
75
A i K( t) A
50
Abb. 15.11 25
0
2
4
6
8
10
12
14
16
t s
Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe der Laplace-Transformation: 2
d
dt
2
i ( t) 2 G
d dt
2
I ( s) s s 0 U0 U0
U0 L
2
2 G s I ( s) 2 G 0 Z 0 I ( s)
L L
2
I ( s) s s 0
Anfangsbedingungen: i(0) = 0 und für t = 0 ist uL(0) = - u C(0) = U0 d.h. i'(0) = U0 /L.
2
i ( t) Z 0 i ( t) = 0
G G
Z0 Z0
Differentialgleichung in die Laplacetransformierte übersetzt.
Z Z
U0
Redefinitionen U0
2
2 G s I ( s ) 2 G 0 Z 0 I ( s ) auflösen I ( s ) o L
L §s 2 G s Z 0 © 2
Freie ungedämpfte Schwingung (D = 0) G 0
Dämpfungsfaktor invlaplace s
U0 L §s 2 G s Z0 ©
2·
2
¹
vereinfacheno entwickeln
U0 L Z0
sin Z 0 t
Freie gedämpfte Schwingung ( 0 < D < 1 ) G G
Redefinition
G Z0
Z=
2
Z0 G
2
invlaplace s U0 L §s 2 G s Z0 © 2
2·
¹
2
ersetzen ª Z 0 G Z 0 G º = Z o ¬ ¼ annehmen Z ! 0 vereinfachen
Seite 298
U0 L
exp ( G t) Z
sin ( Z t)
2·
¹
Differentialgleichungen
Aperiodischer Grenzfall ( D = 1) und aperiodischer Fall (Kriechfall D > 1) Grenzfall: G = Z0 U0 U0
L L
Z0 Z0
U0 2 2 L §s 2 Z0 s Z0 · © ¹
iG ( t ) =
U0
Redefinitionen
Z 0t
te
L
U0
invlaplace s o
L
t exp Z 0 t
Stromfunktion für den Grenzfall
Kriechfall: G ! Z0
Z=
2
2
G Z0
1
G 2
Z0 1
2
Z
2
G Z0
Zo3
2
vorgegebene Größen
§ 1 · ¨ 2 2 exp ( 2 t) 3 sinh © 3 t¹ 1
U0
invlaplace s o
2 2 L §s 2 G s Z0 · © ¹
iK ( t ) =
U0 ZL
G t
e
sinh ( Z t)
1
U0
3
L
Stromfunktion für den Kriechfall
Numerische Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von rkfest: 2
d
dt
2
i ( t) 2 G
d
2
dt
i ( t) Z 0 i ( t) = 0
Differentialgleichung
Anfangsbedingungen: i(0) = 0. Im Zeitbereich ist für t = 0 u L(0) = - uC(0) = U0 d.h. i'(0) = U0 /L Umwandlung der Differentialgleichung 2. Ordnung in ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung durch Substitution: I0 = i
I1 =
U0 5
d dt
I0 =
d dt
L 0.5
i
I2 =
d dt
2
I1 =
dt
Z0 1
§¨ 0 · aw ¨ U0 ¸ ¨ L © ¹ I1 · § D ( t I) ¨ ¨ 2 G I1 Z 2 I0 0 © ¹
d
2
i
G 0.5
vorgegebene Größen
aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung n-ter Ordnung Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der Darstellung D( t,I):=(I1 ,...,In-1,i(n)(I))T. Die letzte Komponente ist die nach i (n) umgeformte Differentialgleichung. In rkfest sind keine Einheiten zulässig, daher werden sie gekürzt !
Seite 299
Differentialgleichungen
n 400
Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung
ta 0
Anfangszeitpunkt
te 10
Endzeitpunkt
Z rkfest aw ta t e n D
Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die Zeitpunkte t, die
¢0² t Z
nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion i(t), und die letzte
¢1² i Z
¢2² i´ Z
Spalte Z
k 0 zeilen ( Z) 1
Bereichsvariable Freie gedämpfte Schwingung
10 ik
5
i´k
Abb. 15.12 0
2
4
6
8
10
12
5 tk
Numerische Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von Gdglösen: U0 5
Spannung
L 0.5
Induktivität
Z0 1
Eigenfrequenz
G 0.5
Dämpfungskonstante
n 100
Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung
Vorgabe 2
d
dt
2
i ( t) 2 G
i ( 0) = 0
d dt
2
i ( t) Z 0 i ( t) = 0
i' ( 0) =
U0
Differentialgleichung
Anfangsbedingungen
L
Das Kontextmenü erhält man mit einem Klick der rechten Maustaste auf Gdglösen (rkfest, rkadapt, Steif)
i Gdglösen ( t 15 n)
t 0 0.01 10
Bereichsvariable
Seite 300
Differentialgleichungen
Freie gedämpfte Schwingung
10 5
i( t)
Abb. 15.13 0
2
4
6
8
10
5 t
Alternative: Vorgabe 2
d
dt
2
i ( t) 2 G
i ( 0) = 0
d dt
2
i ( t) Z 0 i ( t) = 0
i' ( 0) =
Differentialgleichung
U0
Anfangsbedingungen
L
Für die gesuchte Funktion i werden die in der Differentialgleichung vorkommenden Parameter angegeben !
i G Z 0 Gdglösen ( t 15 n)
Mathsoft Slider Control-Objekt Eigenschaften (siehe Kap. 19.2.3.7): Minimum 0 Minimum 1 Maximum 10 Maximum 5 Teilstrichfähigkeit 1 Teilstrichfähigkeit 1 Skript bearbeiten: Outputs(0).Value = Slider.Position/10
G1
Z 01
2 G1
1 Z 01
0.2
i1 i G 1 Z 01
t 0 0.01 10
Stromfunktion in Abhängigkeit von G und Z0 Bereichsvariable Verschiedene Lösungsfälle
10
i1( t)
1
3.33 3.33
0
2
4
6
8
10 t
Seite 301
10
Abb. 15.14
Differentialgleichungen
Beispiel 15.5: Für einen mechanischen Oszillator, bestehend aus einer elastischen Feder, Masse und Dämpfung, der mit einer periodischen Kraft mit der Frequenz Ze angeregt wird, gilt folgende Beziehung: F - F D - F e = F(t) (Beschleunigungskraft - Dämpfungskraft - Federkraft = Periodische Antriebskraft). Durch Einsetzen der Kräfte ergibt sich die zugehörige Differentialgleichung: m0 2
d
dt
2
2
d
dt
2
dt
2
d
y( t) E
y( t)
Mit G =
d
2
dt E
d
m 0 dt
y ( t ) k y ( t ) = F0 sin Z e t
y( t)
k m0
y( t) =
F0 m0
lineare inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung
sin Z e t
umgeformte Differentialgleichung
F0 k 2 , Z0 = und a = erhält man schließlich die Differentialgleichung in der Form: m0 m0 2 m0 E
y( t) 2 G
d dt
2
y ( t ) Z 0 y ( t ) = a sin Z e t
Klassische Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung: Für die homogene Differentialgleichung lautet die Lösung (siehe letztes Beispiel): Gt
ih ( t ) = e
G t
C1 cos ( Z t) C2 sin ( Z t) = A e
cos ( Z t M )
C2 2 2 , Z= C1 C2 , tan ( M ) = C1
C1 = A cos ( M ) , C2 = A sin ( M ) , A =
2
Z0 G
2
Für die partikuläre Lösung wird folgender Ansatz gemacht:
yp ( t) = A1 cos Z e t A2 sin Z e t = A0 cos Z e t M 0
Mithilfe der Eulerschen Beziehung kann der Ansatz für die partikuläre Lösung und die anregende periodische Kraft auch komplex geschrieben werden:
j Z et M 0
yp ( t) = A0 e
j Z et
F ( t ) = F0 e
Die gesuchte Lösung der Differentialgleichung lautet dann: G t
y ( t ) = yh ( t) yp ( t) = A e
cos ( Z t M ) A0 cos Z e t M 0
Die unbestimmten Konstanten A 0 und M0 (bzw. C1 und C2 ) müssen durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden. A 0 und M0 (bzw. A1 und A 2 ) hängen im Wesentlichen von den Parametern G und Z0 und der Amplitude F 0 ab. Die Lösung der homogenen Differentialgleichung wird stets nach einer Anfangszeit vernachlässigbar klein. Solange beide Lösungsanteile wirksam sind, spricht man von einem Einschwingvorgang. Nach dem Einschwingen wirkt nur noch die partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. Sie wird stationäre Lösung genannt. Die Ableitungen und die periodische Kraft werden nun in die Differentialgleichung eingesetzt, um A 0 und M0 zu bestimmen:
Seite 302
Differentialgleichungen
j Z et M 0
yp ( t) = A0 e d dt
d
durch Differentiation, ergibt
dt
yp ( t) = j A0 Z e exp ªj Z e t M 0 º ¬ ¼
yp ( t) = j A0 Z e exp ªj Z e t M 0 º ¬ ¼
durch Differentiation, ergibt dd dt dt
2
yp ( t) = A0 Z e exp ªj Z e t M 0 º ¬ ¼
§ A Z 2 2 G Z A j Z 2 A · ej Z etM 0 = a ejZ et e 0 0 0¹ © 0 e Vereinfachen, Herausheben und Erweitern: j M 0
A0 e
2
a
=
2
= a
2
A0 e
2
§ Z 2 Z 2· 2 G Z j 2 e ¹ e © 0
Z0 Ze 2 G Ze j
j M 0
2
Z0 Ze 2 G Ze j
2 2 ª º Z0 Ze 2 G Ze « » = a « j» 2 2 « § Z 2 Z 2· 2 G Z 2 § Z 2 Z 2 · 2 G Z 2 » e ¹ e e ¹ e ¬© 0 © 0 ¼
Bildet man den Betrag und erweitert man die Wurzel, dann ergibt sich die Resonanzamplitude A 0 zu: A0 =
a 2
§ Z 2 Z 2· 2 G Z 2 e ¹ e © 0
Den Phasenwinkel erhält man aus tan(M0 ) = Im(z)/Re(z):
tan M 0 =
2 G Ze 2
2
Z0 Ze
§ 2 G Ze ·
M 0 = atan ¨
¨Z 2 Z 2 e ¹ © 0
Das Maximum der Resonanzamplitude ergibt sich dann, wenn der Ausdruck unter der Wurzel in A 0 ein Minimum annimmt. Also die Ableitung nach Ze null wird. 2
§ Z 2 Z 2· 2 G Z 2 e ¹ e © 0
4 § Z 0 Z e © 2
2·
durch Differentiation, ergibt
2 ¹ Ze 8 G Ze = 0
hat als Lösung(en)
Seite 303
4 § Z 0 Z e © 2
2·
2 ¹ Ze 8 G Ze
0 º ª « » 1 « » 2 «§ 2 2· » Die zweite Lösung ist « © Z 0 2 G ¹ » die einzig brauchbare! « 1» « » 2 « § 2 2· » ¬© Z 0 2 G ¹ ¼
Differentialgleichungen
Die Resonanzfrequenz liegt bei:
Ze = Zr = Z0 1 s
2
1
G 0.25 s
Dämpfungsfaktor
D
Z0
Dämpfung
0.25
m0 0.5 kg
Masse des Schwingers
F0 1 N
Amplitude der periodischen Kraft 2
Zr
Z0 2 G
2
Zr
F0
a
a
m0
2
1
Resonanzfrequenz
m
Kraft pro Masse (Beschleunigung)
2
atan ¨
if Z Z
e 0 ¨Z 2 Z 2 e ¹ © 0 § 2 G Ze · S atan ¨ if Z e ! Z 0 ¨Z 2 Z 2 e ¹ © 0
0.01 s
1
3 s
Bereichsvariable Resonanzkurve
A0 a Z 0 G Z r
Z rZ 0
4
Phasenverschiebung
1
5
A0 a Z 0 G Z e
Resonanzamplitude
2
§ Z 2 Z 2· 2 G Z 2 e ¹ e © 0 § 2 G Ze ·
M0 Z0 G Ze
1
a
A0 a Z 0 G Z e
Ze 0 s
0.935 s
s
D = G/Z0 Dämpfung
Eigenfrequenz
1
G
D
2
§ G · = Z 1 2 D2 Z0 2 G = Z0 1 2 ¨ 0 © Z0 ¹ 2
3
Abb. 15.15
2 1 0
0
0.5
1
1.5 Ze
Seite 304
2
2.5
3
Differentialgleichungen
Phasenverschiebung
0
S
Z0
2
M0 Z0 G Ze
Abb. 15.16
2 S
4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Ze
Numerische Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mithilfe von Gdglösen: Z e 0.99
Erregerfrequenz
Z0 1
Eigenfrequenz
G 0.25
Dämpfungskonstante
a 0.5
F0 /m0 (Beschleunigung)
n 400
Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung
Vorgabe 2
d
dt
2
y( t) 2 G
y ( 0) = 1
d dt
2
y ( t ) Z 0 y ( t ) = a sin Z e t
Anfangsbedingungen
y' ( 0) = 0
Das Kontextmenü erhält man mit einem Klick der rechten Maustaste auf gdglösen (rkfest, rkadapt, Steif)
y Gdglösen ( t 30 n)
t 0 0.01 30
Bereichsvariable
2
Die inhomogene Differentialgleichung zeigt Resonanzverhalten wenn die Erregerfrequenz Ze in die Nähe der
2S Z0
0.67 y( t) 0.67
0
5
10
15
20
25
30
Eigenfrequenz Z0 gelangt. T=
2
2 S Z0
Abb. 15.17
t
Seite 305
Differentialgleichungen 15.2.2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten Beispiel 15.6: n 400
Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung
Vorgabe 2
x
2
d
2
y ( x) x
d
y ( x) 10 y ( x) = 0
homogene lineare Diffgl. 2. Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten
dx
dx
y ( 1) = 0
Anfangsbedingungen
y' ( 1) = 3
y Gdglösen ( x 20 n) f ( x) x sin ( 3 ln ( x) )
exakte Lösung der Differentialgleichung
x 0 0.01 20
Bereichsvariable
20
10
y( x) f( x)
Abb. 15.18
0
10
5
10
15
20
x
Beispiel 15.7: k 1
Parameter
n 400
Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung
Vorgabe 2
x
2
d
2
y ( x) x
2
y ( x) x k
dx
dx y ( 1) =
d
1
y' ( 1) =
2
2
y(x) = 0
1
homogene lineare Diffgl. 2. Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten Anfangsbedingungen
4
y Gdglösen ( x 20 n) f ( x) Jn ( k x)
exakte Lösung der Differentialgleichung (Siehe auch Besselfunktionen)
1 y( x)
0.5
f( x)
Abb. 15.19
0 0.5
5
10
15 x
Seite 306
20
Differentialgleichungen
15.3 Differentialgleichungen höherer Ordnung F( x,y(x),y'(x),y''(x),...,y(n)(x) ) = 0
Implizite Form.
y(n)(x) = f( x,y(x),y'(x),...,y(n-1)(x) )
Explizite Form (wenn sich die Diffgl. nach y (n) auflösen lässt).
Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung n-ter Ordnung enthält n Integrationskonstanten. Daher sind zu ihrer Bestimmung auch n Bedingungen notwendig. 15.3.1 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten
an
n 1
n
d
s(x) ... Störfunktion.
d d y ( x) an1 y ( x) .... a1 y ( x) a0 y ( x) = s ( x) n n 1 dx dx dx
ai ... reelle Koeffizienten.
s(x) = 0 ... Homogene lineare Differentialgleichung, sonst inhomogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung. Beispiel 15.8: Gegeben sei die nachfolgende Differentialgleichung 3. Ordnung mit den Anfangsbedingungen y(0) = y0 = 1, y'(0) = y' 0 = 10 und y''(0) = y''0 = - 3. 3
d
dt
3
y( t) 5
2
d
dt
2
y ( t) 8
d dt
y( t) 4 y ( t) = 0
Homogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung.
Klassische Lösung der inhomogenen Differentialgleichung: 3
2
3
2
O 5 O 8 O 4 = 0 O 5 O 8 O 4 = 0
charakteristische Gleichung
§¨ 1 · ¨ 2 ¸ ¨ 2 © ¹
hat als Lösung(en)
Die allgemeine Lösung ist eine Linearkombination von y1 (t), y2 (t), und y3 (t): 1t
y ( t ) = c 1 y1 ( t) c 2 y2 ( t) c 3 y3 ( t) = c 1 e
2t
c2 e
2t
c3 t e
Die Konstanten c 1 , c2 und c 3 werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt. Dazu werden zuerst einige Definitionen durchgeführt: 1t
y1 ( t) e y'1 ( t)
y''1 ( t)
d dt
2t
y2 ( t) e
y1 ( t)
y'2 ( t)
y'1 ( t)
y''2 ( t)
d dt
d dt
2t
y3 ( t) t e
y2 ( t)
y'3 ( t)
y'2 ( t)
y''3 ( t)
d dt
d dt
y3 ( t)
d dt
y'3 ( t)
Seite 307
Differentialgleichungen
Damit kann jetzt zur Bestimmung der Konstanten mithilfe der Anfangsbedingungen ein Gleichungssystem formuliert werden: y0 = c 1 y1 ( 0) c 2 y2 ( 0) c 3 y3 ( 0) y'0 = c 1 y'1 ( 0) c 2 y'2 ( 0) c 3 y'3 ( 0)
lineares Gleichungssystem
y''0 = c 1 y''1 ( 0) c 2 y''2 ( 0) c 3 y''3 ( 0)
§¨ y0 · §¨ y1 ( 0) y2 ( 0) y3 ( 0) · § c1 · ¨ y' ¸ = ¨ y' ( 0) y' ( 0) y' ( 0) ¸ ¨¨ c2 ¸ 2 3 ¨ 0¸ ¨ 1 ¸ ¨© y''0 ¹ ¨© y''1 ( 0) y''2 ( 0) y''3 ( 0) ¹ ¨© c3 ¹ § c1 · ¨ ¨ c2 ¸ ¨c © 3¹
§¨ y1 ( 0) y2 ( 0) y3 ( 0) · ¨ y' ( 0) y' ( 0) y' ( 0) ¸ 2 3 ¨ 1 ¸ ¨© y''1 ( 0) y''2 ( 0) y''3 ( 0) ¹
§ c1 · ¨ ¨ c2 ¸ ¨c © 3¹
§¨ 41 · ¨ 40 ¸ ¨ 29 © ¹
1
lineares Gleichungssystem in Matrixform
§¨ y0 · ¨ y'0 ¸ ¨ ¸ ¨© y''0 ¹
umgeformte Matrixgleichung
Lösungsvektor
y ( t ) c 1 y1 ( t) c 2 y2 ( t) c 3 y3 ( t)
allgemeine Lösungsfunktion
t 0 0.01 10
Bereichsvariable
6
Globale Definition der Anfangsbedingungen (damit kann hier sehr gut experimentiert werden):
4
y0 { 1
y( t) 2
0
Abb. 15.20 0
2
4
6
8
t
Seite 308
10
y'0 { 10
y''0 { 3
Differentialgleichungen
Numerische Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von Gdglösen: Vorgabe 3
d
dt
3
x( t) 5
2
d
dt
2
x ( 0) = 1
x ( t) 8
d dt
x( t) 4 x ( t) = 0
Differentialgleichung
x'' ( 0) = 3
x' ( 0) = 10
Anfangsbedingungen
x Gdglösen ( t 15 )
Das Lösungsintervall wurde hier von 0 bis 15 gewählt (ohne Zeitschritte).
t 0 0.01 10
Bereichsvariable
6
4
x( t) y( t)
Abb. 15.21 2
0
0
2
4
6
8
10
t
Beispiel 15.9: Gegeben sei die nachfolgende Differentialgleichung 4. Ordnung mit den Anfangsbedingungen y(0) = 0, y'(0) = 1, y''(0) = 2, y'''(0) = 3. 2
4
y'''' 2 a y'' a y = 0 Lineare homogene Differentialgleichung 4. Ordnung. Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von rkfest: a 4
gewählte Konstante
§0 · ¨ ¨1 ¸ aw ¨2 ¸ ¨ ©3 ¹ Y1 · § ¨ Y2 ¨ ¸ D ( t Y) ¨ ¸ Y3 ¨ ¸ ¨ 2 4 © 2 a Y2 a Y0 ¹
erste Ableitung
n 400
Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung.
aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung n-ter Ordnung
zweite Ableitung dritte Ableitung vierte Ableitung
Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der Darstellung D(t,Y):=(Y 1 ,...,Yn-1,y(n)(Y))T. Die letzte Komponente ist die nach y (n) umgeformte Differentialgleichung. In rkfest sind keine Einheiten zulässig, daher werden sie gekürzt !
Seite 309
Differentialgleichungen ta 0
Anfangszeitpunkt
te 2
Endzeitpunkt
Z rkfest aw ta t e n D ¢0² t Z
Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die t-Werte, die nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion y(t), und die letzte Spalte
¢1² y Z
¢2² y' Z
Z
k 0 zeilen ( Z) 1
Bereichsvariable
100
yk 50
Abb. 15.22
y'k
0
0
0.5
1
1.5
2
tk
Beispiel 15.10: Gegeben sei die nachfolgende Differentialgleichung 3. Ordnung mit den Anfangsbedingungen y(0) = 0, y'(0) = 5, y"(0) = 1 . 4 y''' y = sin ( x)
Inhomogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung.
Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mithilfe von Gdglösen: Vorgabe 4
3
d
3
y ( x) y ( x) = sin ( x)
dx
y ( 0) = 0
y' ( 0) = 5
Anfangsbedingungen
y'' ( 0) = 1
y Gdglösen ( x 5.5)
Das Lösungsintervall wurde hier von 0 bis 5.5 gewählt (ohne Schritte).
x 0 0.01 5.5
Bereichsvariable
20
10
y ( 0)
0
y ( 1)
5.456
y ( 3)
15.523
y( x) 0
1
2
3
4
5
10
6
Abb. 15.23 x
Seite 310
Differentialgleichungen
Beispiel 15.11: Gegeben sei die nachfolgende Differentialgleichung 3. Ordnung mit den Randbedingungen u(0) = u0 = 1, u(S) = u1 = -1, u'(S) = u'1 = - 2. u''' ( x) u'' ( x) u' ( x) u ( x) = 0
Homogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung
Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von rkfest: Rückführung der Differentialgleichung auf ein System 1. Ordnung: U0 ' = U1 Es fehlen hier die Anfangswerte U 1 (0) und U 2 (0).
U1 ' = U2 U2 ' = U2 U1 U0 xa 0
Anfangs- und Endwert des Lösungsintervalls
xe S
v
§ 1 · Schätzwert für u''(0) ¨ © 1 ¹ Schätzwert für u'''(0)
§1 · ¨ lad xa v ¨ v0 ¸ ¨v © 1¹
Spaltenvektor für die Schätzungen der Anfangswerte im Punkt xa , die nicht gegeben sind.
u(0) (bekannt) Schätzwerte
U1 § · ¨ U2 D ( x U) ¨ ¸ ¨ U U U 1 0¹ © 2
abst xe U
lad xa v
§¨ 1 · ¨1 ¸ ¨1 © ¹
Dieser Vektor enthält zuerst die gegebenen Anfangswerte und anschließend die Schätzwerte aus dem Vektor v für die fehlenden Anfangswerte an der Stelle x a .
Vektorfunktion für die Differentialgleichung (wie bei Anfangswertproblem).
§ U0 1 · ¨ © U1 2 ¹
Dieser Vektor hat die gleiche Anzahl der Komponenten wie der Schätzvektor v und enthält die Differenzen zwischen den Funktionen U i (U0 = U; U 1 = U' ) und ihren Randwerten an der Stelle xe .
S sgrw v xa xe D lad abst S
§2 · ¨ © 1 ¹
Berechnung der fehlenden Anfangsbedingungen u'(0) und u''(0).
u'(0) u''(0)
Die von sgrw gelieferten fehlenden Anfangswerte u'(0) = 2 und u''(0) = -1 gestatten nun die Lösung der Aufgabe als Anfangswertproblem mit rkfest:
§1 · ¨ aw ¨ S0 ¸ ¨S © 1¹
u (0) = 1 u'(0) = 2
aw ist ein Vektor mit den Angsbedingungen. für die Differentialgleichung n-ter Ordnung.
u''(0) = -1
Seite 311
Differentialgleichungen n 20
Anzahl der Schritte für die numerische Berechnung.
Z rkfest aw xa xe n D
Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die x-Werte, die
¢0² x Z ¢1² u Z
nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion u(x), und die letzte ¢2² u' Z
Spalte Z
k 0 zeilen ( Z) 1
Bereichsvariable
u ( x) cos ( x) 2 sin ( x)
exakte Lösung der Differentialgleichung zum Vergleich
x 0 0.01 S 10
uk
5
u'k
Abb. 15.24 u ( x) 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
5 xk xk x
Beispiel 15.12: Gegeben sei die nachfolgende Differentialgleichung 5. Ordnung mit den Randbedingungen x(0) = 0, x(1) = 1, x'(0) = 7, x'(1) = 10, x''(1) = 5. ( 5)
x
( t) x ( t) = 0
Homogene lineare Differentialgleichung 5. Ordnung
Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von rkfest: ta 0 te 1
§¨ 1 · Schätzwert für x''(0) v ¨ 1 ¸ Schätzwert für x'''(0) ¨ 1 Schätzwert für x''''(0) © ¹
Anfangs- und Endwert des Lösungsintervalls
Spaltenvektor für die Schätzungen der Anfangswerte im Punkt ta , die nicht gegeben sind.
Seite 312
Differentialgleichungen
§0 · ¨ ¨7 ¸ lad t a v ¨ v0 ¸ ¨ ¸ ¨ v1 ¸ ¨v © 2¹
y(0) (bekannt) y'(0) (bekannt)
Schätzwerte
§¨ X1 · ¨ X2 ¸ ¨ ¸ D ( t X) ¨ X3 ¸ ¨X ¸ ¨ 4 ¸ ¨© X0 ¹
Dieser Vektor enthält zuerst die gegebenen Anfangswerte und anschließend die Schätzwerte aus dem Vektor v für die fehlenden Anfangswerte im Punkt ta .
Vektorfunktion für die Differentialgleichung (wie bei Anfangswertproblem).
Dieser Vektor hat die gleiche Anzahl der Komponenten wie der Schätzvektor v und enthält die Differenzen zwischen den Funktionen X i ( X 0 = X; X1 = X'; X2 = X'' ) und ihren Randwerten
§ X0 1 · ¨ abst t e X ¨ X1 10 ¸ ¨ © X2 5 ¹
an der Stelle te .
Die von sgrw gelieferten fehlenden Anfangswerte x''(0), x'''(0), x''''(0) gestatten nun die Lösung der Aufgabe als Anfagswertproblem mit rkfest:
S sgrw v ta t e D lad abst
S
Berechnung der fehlenden Anfangsbedingungen.
§¨ 85.014 · x''(0) ¨ 348.107 ¸ x'''(0) ¨ 516.257 x''''(0) © ¹
§0 · ¨ ¨7 ¸ aw ¨ S0 ¸ ¨ ¸ ¨ S1 ¸ ¨S © 2¹
aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen n-ter Ordnung.
n 400
Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung.
Z rkfest aw ta t e n D ¢0² t Z ¢1² y Z
Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die t-Werte, die nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion x(t), und die letzte Spalte
¢2² y' Z
k 0 zeilen ( Z) 1
Z
Seite 313
Differentialgleichungen
10 5 yk 0
y'k
0.2
0.4
0.6
0.8
Abb. 15.25
5 10 tk
15.4 Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Ein lineares inhomogenes Differentialgleichungssystem 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat folgende Form: d dt
y1 ( t) = a1 1 y1 ( t) a1 2 y2 ( t) ......... a1 n yn ( t) s 1 ( t)
d
y2 ( t) = a2 1 y1 ( t) a2 2 y2 ( t) ......... a2 n yn ( t) s 2 ( t) dt ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------d yn ( t) = an 1 y1 ( t) an 2 y2 ( t) ......... an n yn ( t) s n ( t) dt Durch Einführung der Vektoren
§d · ¨ y1 ( t) ¨ dt ¸ §¨ y1 ( t) · §¨ s 1 ( t) · ¨d ¸ ¨ y ( t) ¸ ¨ s ( t) ¸ ¨ y2 ( t) ¸ 2 ¨ ¸ ¨ 2 ¸ dt d ¨ ¸ Y ( t) = , Y ( t) = ¨ . ¸ und S ( t) = ¨ . ¸ , ¨ . ¸ dt ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ . . ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ . ¸ ¨ ¨ y s ( t ) ( t ) ¨d ¸ © n ¹ © n ¹ y ( t ) ¨ n © dt ¹ kann das Differentialgleichungssystem mit der quadratischen Matrix A (n x n Matrix) in Matrixform geschrieben werden: d dt
Y ( t) = A Y ( t) S ( t).
o Ist S ( t) = 0 , so ist das Differentialgleichungssystem homogen.
Seite 314
Differentialgleichungen
Beispiel 15.13: Gegeben sei ein gedämpfter Zweimassenschwinger, wie in Abb. 15.26 dargestellt. Man ermittle die zeitlichen Positionen x 1 (t) und x2 (t) der Massen m1 und m 2 sowie deren Geschwindigkeiten v 1 (t) und v2 (t), wenn keine periodisch anregende Kraft auf das System wirkt. Für den Fall, dass eine periodische Kraft F(t) = 1/m2 sin(Z*t) auf das System wirkt, stelle man den Frequenz- und Phasengang dar. Anfangsbedingungen: x1 ( 0 s ) = x01 = 0.25 m x2 ( 0 s ) = x02 = 0 m m v0 ( 0 s ) = v01 = 0 s m v2 ( 0 s ) = v02 = 0 s
Abb. 15.26 m1 1.6 kg
Masse 1
m2 2 kg
Masse 2
2
d
dt
2
2
d
dt
2
ª¬x1( t)º¼ =
ª¬x2( t)º¼ =
k1 m1 k2 m2
x1( t)
k 1 75
N m
k 2 100 k2 m1
N m
§ m· E 1 0.6 N ¨ ©s¹
1
Federkonstante 1
§ m· E 2 0.9 N ¨ ©s¹
1
Federkonstante 2
ª¬ x2( t) x1( t) º¼
ª¬ x2( t) x1( t) º¼
E2
E1
d ªx1( t)º¼ m 1 dt ¬ 1
d
Reibungskoeffizient 2
Zugehöriges gekoppeltes inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
F ( t) ªx2( t)º¼ m2 m 2 dt ¬
Reibungskoeffizient 1
Das Differentialgleichungssystem wird mit folgenden Substitutionen in ein System 1. Ordnung übergeführt:
v1 ( t) =
d dt
x1 ( t)
v2 ( t) =
d dt
x2 ( t)
d dt
2
v1 ( t) =
d
dt
d
x ( t) 2 1
dt
Damit gilt:
ª x1( t) º « » « x2( t) » d « » dt « v1( t) » « v ( t) » ¬ 2 ¼
v1( t) ª « v2( t) « « k k E « 1 x ( t) 2 ª x ( t) x ( t)º 1 d ªx ( t)º = 1 2 1 ¼ 1 ¼ ¬ « m1 m1 m 1 dt ¬ « E2 « k2 1 d « m ª¬ x2( t) x1( t)º¼ m ª¬x2( t)º¼ m F ( t) 2 2 dt ¬ 2
Seite 315
º » » » » » » » » ¼
2
v2 ( t) =
d
dt
x ( t) 2 2
Differentialgleichungen
Dieses lineare Differentialgleichungssystem kann für den homogenen Fall (F(t) = 0 nun als Matrixgleichung geschrieben werden:
ª x1( t) º ª x1( t) º « » « » « x2( t) » « x2( t) » d d z ( t) = « » = A « » = A z ( t) ( t ) v dt dt « v1( t) » 1 « » « v ( t) » « v ( t) » ¬ 2 ¼ ¬ 2 ¼ ORIGIN 1 0 0 1 0 § · ¨ 0 0 0 1 ¨ ¸ ¨ k k ¸ E1 1 2 2 k2 2 ¨ ¸ 0 s s s A m1 m1 ¨ m1 ¸ ¨ ¸ E2 k2 ¨ k2 2 ¸ 2 s s 0 ¨ m s m2 m2 2 © ¹
Die Koeffizientenmatrix muss dimensionslos sein ! Die Größen werden hier einheitenfrei gemacht.
Die allgemeine Lösung für das homogene lineare Gleichungssystem 1. Ordnung lässt sich aus folgender Linearkombination bilden: O 1t
z ( t) = b1 e
O 2t
v1 b2 e
O 3t
v2 b3 e
O 4t
v3 b4 e
v4
Dabei bedeuten die Oi die Eigenwerte und die v i die Eigenvektoren der Matrix A. Die Koeffizienten bi werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt. O eigenwerte ( A)
O
§ 0.197 11.956i · ¨ ¨ 0.197 11.956i ¸ ¨ 0.215 4.043i ¸ ¨ © 0.215 4.043i ¹
v eigenvektoren ( A)
vier verschiedene komplexe Eigenwerte
0.001 0.073i 0.007 0.134i 0.007 0.134i · §¨ 0.001 0.073i ¨ 3.722 u 10 4 0.039i 3.722 u 10 4 0.039i 0.011 0.199i 0.011 0.199i ¸ v ¨ ¸ 0.542 0.001i 0.542 0.001i ¸ 0.878 0.878 ¨ ¨© 0.472 0.003i 0.806 0.806 0.472 0.003i ¹
o v
§ 0.073 ¨ ¨ 0.039 ¨ 0.878 ¨ © 0.472
0.073 0.134 0.134 · 0.039 0.199 0.199 ¸ 0.878 0.542 0.542 ¸ 0.472 0.806 0.806 ¹
o ¢1² v
§ 0.073 · ¨ ¨ 0.039 ¸ ¨ 0.878 ¸ ¨ © 0.472 ¹
Seite 316
Differentialgleichungen
f
T
§ 1.903 · ¨ ¨ 1.903 ¸ f ¨ 0.643 ¸ ¨ © 0.643 ¹
Im ( O ) 2 S
o 2 S
§ 0.526 · ¨ ¨ 0.526 ¸ ¨ 1.554 ¸ ¨ © 1.554 ¹
T
Im ( O )
Eigenfrequenzen in Hz
Periodendauer in s (T = 1/f)
Mit den Anfangsbedingungen gilt: x01 0.25
x02 0
v01 0
v02 0
§ x01 · ¨ ¨ x02 ¸ O 10 O 20 O 30 O 40 z ( 0) = b1 e v1 b2 e v2 b3 e v3 b4 e v4 = ¨ ¸ ¨ v01 ¸ ¨ v0 © 2¹ Die Gleichung vereinfacht sich zu:
§ x01 · ¨ ¨ x02 ¸ b1 v1 b2 v2 b3 v3 b4 v4 = ¨ ¸ ¨ v01 ¸ ¨ v0 © 2¹
bzw.
§ b1 · § x01 · ¨ ¨ ¨ b2 ¸ ¨ x02 ¸ v ¨ ¸ = ¨ ¸ ¨ b3 ¸ ¨ v01 ¸ ¨b ¨ © 4 ¹ © v02 ¹
Die Lösungen der Koeffizienten bi erhält man durch Umformung der Matrixgleichung:
§ b1 · § x01 · ¨ ¨ ¨ b2 ¸ ¨ x02 ¸ 1 ¸ ¨ ¸ v ¨ ¨ b3 ¸ ¨ v01 ¸ ¨b ¨ v0 © 4¹ © 2¹
§ b1 · ¨ ¨ b2 ¸ ¨ ¸ ¨ b3 ¸ ¨b © 4¹
§ 0.002622 1.251082i · ¨ ¨ 0.002622 1.251082i ¸ ¨ 0.003654 0.248232i ¸ ¨ © 0.003654 0.248232i ¹
Die Lösung des homogenen linearen Gleichungssystem lautet dann: O 1t
z ( t) b1 e
z ( 0)
§ 0.25 · ¨ ¨ 0 ¸ ¨ 0 ¸ ¨ © 0 ¹
¢1² O 2t ¢2² O 3t ¢3² O 4t ¢4² v b2 e v b3 e v b4 e v
z ( 0.1)
§ 0.13 · ¨ ¨ 0.054 ¸ ¨ 2.109 ¸ ¨ © 0.92 ¹
z ( 0.2)
§ 0.081 · ¨ ¨ 0.137 ¸ ¨ 1.632 ¸ ¨ © 0.489 ¹
Seite 317
Differentialgleichungen
x1 ( t) z ( t) 1 m
Position der 1.Masse
x2 ( t) z ( t) 2 m
Position der 2.Masse
m v1 ( t) z ( t) 3 s m v2 ( t) z ( t) 4 s
Geschwindigkeit der 1. Masse Geschwindigkeit der 2. Masse
t 0 s 0.01 s 5 s
Bereichsvariable Weg-Zeitdiagramm
x1( t)
0.19
m x2( t)
0.0132
m
Abb. 15.27 0.21
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
t s Position der Masse 1 Position der Masse 2
Weg-Geschwindigkeitsdiagramm von m1 x1 ( t)
0.17
m v1 ( t ) 10 m
Abb. 15.28
0.0275
s
0.23
0
0.5
1
1.5
2
2.5 t
Position der Masse 1 Geschwindigkeit * 10 der Masse 1
Seite 318
3
3.5
4
4.5
5
Differentialgleichungen
Weg-Geschwindigkeitsdiagramm von m2 x2( t) m
0.054
v2( t) 10
Abb. 15.29
0.046
0.15
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
t Position der Masse 2 Geschwindigkeit * 10 der Masse 2
Auf das System wirke eine periodische Kraft F(t) = 1/m 2 sin(Z*t). Die Kraft kann komplex in folgender j Zt
Form dargestellt werden: F ( t) = F0 e in Matrixform: 0 · § x1 · § x1 · §¨ ¨ ¨ 0 ¸ ¨ x2 ¸ ¨ x2 ¸ ¨¨ d j Zt ¨ ¸ = A ¨ ¸ ¨ 0 ¸¸ e dt ¨ v1 ¸ ¨ v1 ¸ ¨ 1 ¸ ¨v ¨v © 2¹ © 2 ¹ ¨© m2 ¹
. Das Differentialgleichungssystem lautet dann
d dt
jZt
z ( t ) = A z ( t ) F0 e
jZt
Wir machen nun den komplexen Ansatz z ( t) = z 0 e d dt
jZt
z ( t) = j Z z 0 e j Zt
j Z z0 e
und setzen z(t) und die Ableitung
in die Matrixgleichung ein: j Zt
= A z0 e
j Zt
F0 e
Durch Vereinfachen und Umformung erhalten wir schließlich die Matrixgleichung zur Bestimmung von z 0 : j Z z 0 = A z 0 F0
ª §1 « ¨ «A j Z ¨ 0 « ¨0 « ¨ ¬ ©0
A z 0 j Z z 0 = F0
( A j Z E ) z 0 = F0
§¨ 0 · » ¨ 0 ¸ 1 0 0 ¸» ¨ ¸ z0 = 0 ¸ » ¨ ¸ 0 1 0 » ¨ 1 ¸ 0 0 1 ¹¼ ¨ m2 © ¹ 0 0 0 ·º
ª §1 « ¨ « ¨0 z0 ( Z ) A j Z s « ¨0 « ¨ ¬ ©0
0 0 0 ·º
»
1 0 0 ¸» 0 1 0 ¸»
»
0 0 1 ¹¼
1
§¨ 0 · ¨ 0 ¸ ¸ ¨ 0 ¸ ¨ ¨ kg ¸ ¨ m2 © ¹
Matrixgleichung einheitenfrei gemacht!
Seite 319
Differentialgleichungen
x1 ( Z )
z0 (Z ) 1
Frequenzgang für die Masse 1
x2 ( Z )
z0 (Z ) 2
Frequenzgang für die Masse 2
Phasengang für die Masse 1
Phasengang für die Masse 2
M 1 ( Z ) arg z 0 ( Z ) 1 M 2 ( Z ) arg z 0 ( Z ) 1 Z min 1
Kreisfrequenzbereich
Z max 100 n 300 'Z
Anzahl der Schritte
ln Z max ln Z min n
k 1 n k'Z
s
1
Kreisfrequenzvektor Frequenzgang
1
0.1
x1 Z k
Schrittweite Bereichsvariable
Z k Zmin e
x2 Z k
0.01
1 10
3
1 10
4
Abb. 15.30
1
10
100
Zk
Phasengang
200
M1 Zk
180
100
Grad
M2 Zk
Abb. 15.31
0
Grad 100
200
180
1
10 Zk
Seite 320
100
Differentialgleichungen 15.5 Nichtlineare Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme Beispiel 15.14: Eine Masse m0 = 0.5 kg mit einer Querschnittsfläche A = 40 cm 2 und einem c w -Wert von 0.9 soll aus einer Höhe h0 = 1000 m zum Zeitpunkt t a = 0 s fallengelassen werden. Der freie Fall soll te = 6 s dauern. Die Luftdichte betrage an der Erdoberfläche U = 1.28 kg/m3 . Wir nehmen an, dass der Luftdruck für r= r e + H0 (Höhe H0 = 8000 m und Erdradius r e = 6340 km) auf (1/e) U abgefallen ist. Man stelle grafisch das Weg-Zeitdiagramm und das GeschwindigkeitsZeitdiagramm dar. Die Bewegungsgleichung lautet: 2
m y'' = k ( r) y' m0 g ( r) Nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung. y'' =
k ( r) m0
2
y' g ( r)
k ( r) = c w A
§ r re · ¨© H0 ¹
U ( r)
U ( r) = U exp ¨
2
U 1.28
re 6340000
H0 8000
c w 0.9
A 0.0040
m0 0.8
gegebene Daten
§ r re · U ( r) U exp ¨ ¨© H0 ¹
k 1 ( r)
c w U ( r) A 2 m0
g1 ( r)
g m s
§ re · ¨ ©r¹
2
2
Lösung der nichtlinearen Differentialgleichung mithilfe von rkfest: Umwandlung der Differentialgleichung 2. Ordnung in ein System 1. Ordnung durch Substitution: Y0 = y
Y1 =
d dt
Y0 =
d dt
y
Y2 =
d dt
2
Y1 =
d
dt
2
y
ORIGIN 0 r0 re 1000
Anfangshöhe
v0 0
Anfangsgeschwindigkeit
aw
§¨ r0 · ¨v © 0¹
aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung n-ter Ordnung Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differential-
Y1 º gleichung in der Darstellung D(t,Y):=(Y1,...,Yn-1,y(n)(Y))T. ª » (n) D ( t Y) « «k Y0 Y1 2 g1 Y0 » Die letzte Komponente ist die nach y umgeformte ¬ 1 ¼ Differentialgleichung. In rkfest sind keine Einheiten zulässig, daher werden sie gekürzt ! n 400
Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung.
ta 0
Anfangszeitpunkt
te 6
Endzeitpunkt
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Differentialgleichungen
Z rkfest aw ta t e n D
Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die Zeitpunkte t, die nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion y(t), und die letzte Spalte Z
¢0² t Z s
Zeitvektor
¢1² y Z m
Wegvektor
¢2² m v Z s
Geschwindigkeitsvektor y-t Diagramm
1000
y rem 900
m
800
Abb. 15.32
0
1
2
3
4
5
6
4
5
6
t s
v-t Diagramm 0
1
2
3
15
v m
30
s
Abb. 15.33 45 60 t s
Beispiel 15.15: Wir betrachten ein gewöhnliches Pendel, bei dem der Aufhängepunkt periodisch mit der Erregerfrequenz hin und her bewegt werden kann. Das Pendel sollte auch rotieren können, d.h. auch Winkel die größer als 90° sind, werden damit möglich. Berücksichtigt wird ein zur Winkelgeschwindigkeit Z proportionaler Dämpfungsterm. Die Anfangsauslenkung betrage M(0) = Ma = S/4 und die Anfangswinkelgeschwindigkeit M'(0) = Za = 0. 2
ml
2
d
dt
2
M ( t) E
d dt
M ( t) m g l sin ( M ( t) ) = A cos Z e t
Bewegungsgleichung - inhomogene nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung.
Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung + Reibungsmoment (wirkt der Pendelbewegung entgegen) + rücktreibendes Drehmoment (infolge der Schwerkraft) = externes Drehmoment (periodisch mit Erregerfrequenz Ze ).
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Differentialgleichungen
2
d
dt
2
2
d
dt
2
E
M ( t)
ml
M ( t) J
2
d dt
M ( t)
g l
sin ( M ( t) ) =
ml
§ 2 J M ( t) ¨ Z 0 4 dt ©
2·
d
A
¹
2
cos Z e t
umgeformte Differentialgleichung
umgeformte Differentialgleichung mit substituierten Größen
sin ( M ( t) ) = a cos Z e t
E
J=
ml
g
Z0 =
a=
Dämpfungskonstante
2
l
J
2
4
A ml
2
Eigenfrequenz des Pendels
Erregeramplitude
Lösung der inhomogenen nichtlinearen Differentialgleichung mithilfe von rkfest, Stiffr und Stiffb: Dieses Beispiel zeigt auf, dass die numerische Integration einer Bewegungsgleichung mit großer Vorsicht behandelt werden muss. C haotische Bewegungen führen bei kleinen Ungenauigkeiten im Anfangsstadium zu ganz unterschiedlichen Endzuständen. Daher sollte man die Bewegungsgleichung unbedingt mit unterschiedlichen Schrittweiten integrieren und untersuchen, ob sich die Lösung dabei noch ändert. Selbst wenn eine genügend kleine geeignete Schrittweite gefunden wurde, so treten nach mehreren Perioden immer numerische Fehler auf. Die Runge-Kutta-Methode verwendet einen fixen Zeitschritt, daher ist es sinnvoll, andere Integrationsmethoden wie Bulirsch-Stoer oder Rosenbrock zum Vergleich zu verwenden. Diese Methoden verwenden bei der Integration einen variablen Zeitschritt. Nur wenn mehrere numerische Lösungsmethoden dieselbe Lösung liefern, kann von einer vertrauenswüdigen Lösung ausgegangen werden! Anfangsbedingungen: S M ( 0) = M a = 4 d dt
M ( 0) = Z a = 0
aw
§¨ M a1 · ¨Z © a1 ¹
Anfangsauslenkung
Anfangswinkelgeschwindigkeit
aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung n-ter Ordnung. Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der Darstellung D(t,)):=()1 ,...,)n-1,M(n)()))T. Die letzte Komponente ist die nach M(n) umgeformte Differentialgleichung. In rkfest sind keine Einheiten zulässig !
)1 º ª « » 2 D ( t ) ) «ª º § » J1 · 2 « ¨ J1 ) Z sin ) 0 » a1 cos Ze1 t » « 1 0e 4 ¹ ¬¬ © ¼ ¼
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Differentialgleichungen
5
np 2
Anzahl der Perioden des frei schwingenden Pendels
7
n 2 np
Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung
ta 0
Anfangszeitpunkt
te
te
np 2 S
Endzeitpunkt
Z 0e te
201.062
32
2 S
Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1)
Z rkfest aw ta t e n 1 D
Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die Zeitpunkte t, die nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion M(t), und die letzte Spalte Z
¢0² t Z
Zeitvektor
¢1² M Z
Vektor der Winkel
¢2² Z Z
Winkelgeschwindigkeitsvektor
Bulirsch-Stoer und Rosenbrock Methode benötigen für die Integration die Jakobimatrix. Diese setzt sich aus den partiellen Ableitungen von D(t,)) nach der Zeit t und den Koordinaten ) zusammen: 0 1 º 0 ª « » 2· J1 ( t ) ) « ª§ º » J1 2 cos ) 0 » J1 » «a1 Ze1 sin Z e1 t «¨ Z 0e 4 ¹ ¬ ¬© ¼ ¼
ZSr Stiffr aw ta te n 1 D J1
Rosenbrock-Methode
¢1² M Sr ZSr
Vektor der Winkel
¢2² ZSr ZSr
Winkelgeschwindigkeitsvektor
ZSb Stiffb aw ta t e n 1 D J1
Bulirsch-Stoer-Methode
¢1² M Sb ZSb
Vektor der Winkel
¢2² ZSb ZSb
Winkelgeschwindigkeitsvektor
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Differentialgleichungen
Nur in dem Zeitbereich, in dem alle drei Methoden übereinstimmen und der Einfluss des Zeitschrittes ausgeschaltet ist, ist die Lösung vertrauenswürdig ! J1 { 0.02
Dämpfungskonstante
Z 0e { 1
Eigenfrequenz des Pendels
a1 { 1
Erregeramplitude
Z e1 { 0.95 Z 0e
Erregerfrequenz
Anfangsauslenkung
Z a1 { 0
Anfangswinkelgeschwindigkeit
M a1 {
S 4
Die Parameter wurden hier global zur Simulation definiert. Für a1 = 0 erhält man eine freie gedämpfte Schwingung. Bei großemJ1erhält man eine gewöhnliche erzwungene Schwingung. Für Ze1 = Z0e erhält man Resonanzerscheinungen, und wenn die Gleichung näherungsweise erfüllt ist, Schwebungen. Auch die Änderung der Anfangsbedingungen liefern interessante Ergebnisse für das Pendel.
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Differentialgleichungen
Beispiel 15.16: Die nachfolgende steife Differentialgleichung soll numerisch mit dem Runge-Kutta (fest) Verfahren, dem Runge-Kutta (adaptiv) Verfahren und dem Bulirsch-Stör-Verfahren für verschiedene Zeitschritte gelöst und graphisch verglichen werden. d
y ( t ) = b y ( t )
2
Gegebene steife Differentialgleichung
dx y ( 0) = 1
Anfangsbedingung
b 4
Konstante
Lösung der inhomogenen nichtlinearen Differentialgleichung mithilfe von rkfest, rkadaptiv und Bulstoer: aw 0 1
Vektorkomponente mit der Anfangsbedingung
2
D ( t Y) b Y
Vektorfunktion mit der umgeformten Differentialgleichung
ta 0
Anfangszeitpunkt
te 6
Endzeitpunkt
Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1)
ZRf rkfest aw ta t e Zs D
Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die t Werte, die nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion y(t).
¢0² tRf ZRf
Vektor der Zeitwerte
¢1² yRf ZRf
Vektor der Funktionswerte
ZRa Rkadapt aw t a te Zs D
Rkadapt-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die t Werte, die nächste Spalte Z<1> die L