Angewandte Mathematik mit Mathcad, Band 1. Einfuehrung in Mathcad

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Josef Trölß Angewandte Mathematik mit Mathcad Lehr- und Arbeitsbuch Band 1: Einführung in Mathcad

SpringerWienNewYork

Josef Trölß Puchenau/Linz, Österreich

Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. © 2005 Springer-Verlag/Wien Printed in Austria Springer-Verlag Wien New York ist ein Unternehmen von Springer Science + Business Media springer.at Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürfen. Produkthaftung: Sämtliche Angaben in diesem Fachbuch/wissenschaftlichen Werk erfolgen trotz sorgfältiger Bearbeitung und Kontrolle ohne Gewähr. Insbesondere Angaben über Dosierungsanweisungen und Applikationsformen müssen vom jeweiligen Anwender im Einzelfall anhand anderer Literaturstellen auf ihre Richtigkeit überprüft werden. Eine Haftung des Autors oder des Verlages aus dem Inhalt dieses Werkes ist ausgeschlossen. Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors Druck: Börsedruck Ges.m.b.H., 1230 Wien, Österreich Gedruckt auf säurefreiem, chlorfrei gebleichtem Papier - TCF SPIN: 11545972

Mit zahlreichen Abbildungen Bibliografische Informationen der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.

ISBN-10 ISBN-13

3-211-28905-4 SpringerWienNewYork 987-3-211-28905-1 SpringerWienNewYork

Vorwort Dieses Lehr- und Arbeitsbuch, aus dem vierbändigen Werk "Angewandte Mathematik mit Mathcad", richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler und Anwender, speziell im technischen Bereich, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme informieren wollen und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten. Das vierbändige Werk wird noch ergänzt durch das Lehr- und Arbeitsbuch "Einführung in die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung und in die Qualitätssicherung mithilfe von Mathcad". Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und erfahren heute eine weitreichende Anwendung. Bei ingenieurmäßigen Anwendungen kommen CAS und CNV nicht nur für anspruchsvolle mathematische Aufgabenstellungen und Herleitungen in Betracht, sondern auch als Engineering Desktop Software für alle Berechnungen. Mathcad stellt gerade ab der Version 7 Professional eine Vielfalt an Werkzeugen zur Verfügung. Die laufenden Neuerscheinungen heben sich dank zahlreicher Verbesserungen und Erweiterungen deutlich von den Vorgängerversionen ab. Konsistent mit älteren Versionen verbindet Mathcad mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt. So lassen sich Berechnungen und ihre Resultate besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren. Werden dabei einzelne Parameter variiert, passt die Software umgehend alle betroffenen Formeln und Diagramme des Arbeitsblattes an diese Veränderungen an. Spielerisch lässt sich so das "Was-wäre-Wenn" untersuchen. Damit eignet sich diese Software in hervorragender Weise zur Simulation vieler Probleme. Auch die Visualisierung durch Animation kommt nicht zu kurz. Ein weiterer Vorteil besteht auch darin, dass die meisten mathematischen Ausdrücke mit modernen Editierfunktionen in gewohnter standardisierter mathematischer Schreibweise dargestellt werden können. Zusätzliche Erleichterung schaffen übersichtliche Symbolleisten, welche die vorhandenen Symbole zur Auswahl anbieten. In der Seitengestaltung rückt Mathcad weitere Schritte näher an professionelle Textverarbeitungen heran. Mithilfe eines Lineals lassen sich Tabulatoren platzieren, an denen Textabschnitte, mathematische Formeln oder Grafiken exakt ausgerichtet werden können. Die frei gestaltbaren Arbeitsblätter können aber auch mit verschiedenen Schriften und Farben versehen werden, sodass sich letztendlich ein schönes druckbares Gesamtbild ergibt. Mithilfe neuer Werkzeuge lassen sich Arbeitsblätter mit Hyperlinks versehen und über Hyperlinks zu "elektronischen Büchern" samt Inhaltsverzeichnis und Index zusammenfassen. Thematisch sortiert stellt die Firma MathSoft bereits mit der Software in der Ressourcen-Symbolleiste solche elektronische Bücher zur Verfügung. In ihm sind Lernprogramme, QuickSheets und Verweistabellen zusammengestellt, die vom Anwender mit wenigen Handgriffen an die eigene Aufgabenstellung angepasst werden können. Über die Ressourcen-Symbolleiste können auch noch ein Benutzerhanduch (pdf-File) und Versionshinweise aufgerufen werden. Außerdem unterstützt Mathcad den Microsoft-Standard OLE 2 (Object Linking and Embedding) für die Zusammenarbeit mit anderen Programmen. Damit werden Drag&Drop sowie die Inplace-Aktivierung sowohl auf dem Client als auch auf dem Server möglich. Dass sich Daten, wie ASCII Dateien und Daten gängiger Programme, wie Excel, Matlab, SmartSketch oder AutoCAD u.a.m., ohne Probleme importieren und weiter verarbeiten lassen, ist für Mathcad-Anwender daher inzwischen eine Selbstverständlichkeit. Mathcad verarbeitet aber auch Daten aus anderen Anwendungen und stellt auch eigene Resultate für eine Weiterverarbeitung zur Verfügung. So können u.a. Mathcad-Arbeitsblätter als OLE-Objekt in Visual Basic oder in C++ Programmen eingebettet werden. Außerdem lassen sich neue Add-Ins für Excel und AutoCAD aus dem Internet herunterladen. Sie machen das gesamte Mathematik- und Grafik-Potential von Mathcad innerhalb von Excel und AutoCAD nutzbar. Mithife des Hypermedia-Browsers kann mit Mathcad ein Arbeitsblatt als Internetseite gespeichert werden. Solche Internetseiten können dann wieder als Arbeitsblatt eingelesen werden. Noch einen Schritt weiter gehen die "Extension Packs". Sie bieten zusätzliche Bibliotheken und erweitern so die Software-Fähigkeiten. Weiters kann auch der Funktionsumfang von Mathcad durch selbstgeschriebene DLL's erweitert werden. Last but not least können mit dem Mathcad Application Server interaktive Berechnungen ohne Skripterstellung und MarkupSprachen im Web veröffentlicht werden.

Gliederung des ersten Bandes In diesem erstem Band sollen die Funktionalitäten des heute weitverbreiteten CAS- und CNV-Systems Mathcad vorgestellt und anhand theoretischer und allgemein verständlicher praktischer Berechnungen erläutert werden. Dieses Buch wurde weitgehend mit Mathcad 12 erstellt, sodass die vielen angeführten Beispiele leicht nachvollzogen werden können. Sehr viele Aufgaben können aber auch mit älteren Versionen von Mathcad gelöst werden. Die einzelnen Themen werden für das Verständnis möglichst kurz gefasst, sodass sich der Leser schnell einarbeiten kann. Natürlich kann nicht immer auf alle Details und alle verfügbaren Funktionen eingegangen werden, denn dies würde den Umfang dieses Buches bei weitem sprengen. Die Themen wurden im Wesentlichen in 19 Kapitel eingeteilt. Die ersten 8 Kapitel sollte vor allem der Anfänger zuerst durcharbeiten. Aber auch der fortgeschrittene Anwender wird vielleicht in diesen Kapiteln einige Anregungen finden. Im Kapitel 20 wurden die derzeit verfügbaren Funktionen in Kurzform zusammengefasst. Kapitel 1: In einer verkürztem Darstellungsform wird hier die Oberfläche von Mathcad beschrieben. Dazu werden die wesentlichen Fenster, Paletten und Kontextmenüs aufgezeigt. Kapitel 2: Hier findet sich eine Einführung über die Darstellung und Handhabung der Variablen. Kapitel 3: Dieses Kapitel behandelt das Rechnen mit beliebigen Zahlen und die Handhabung der SI-Einheiten. Kapitel 4: Wie mit Termen und allgemeinen Ausdrücken symbolisch gerechnet werden kann, wird in diesem Kapitel aufgezeigt. Kapitel 5: Das numerische und symbolische Rechnen mit Summen und Produkten wird hier kurz abgehandelt. Kapitel 6: In diesem Kapitel wird auf das Wesentliche der sehr wichtigen Vektor- und Matrizenrechnung eingegangen. Kapitel 7: Dieses Kapitel zeigt den Umgang mit den wesentlichen 2D- und 3D-Grafiken. Auch auf die Video-Animation wird hier kurz eingegangen. Kapitel 8: Wie Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme und Ungleichungssysteme gelöst werden können, wird hier anhand von zahlreichen Beispielen aufgezeigt. Kapitel 9: Der Einstieg in die höhere Mathematik beginnt hier mit der Behandlung von Folgen, Reihen und Grenzwerten. Kapitel 10: Die numerische und symbolische Differentiation von Funktionen mit einer und mehreren Variablen sind Inhalt dieses Kapitels. Kapitel 11: Verschiedene Integrale und ihre numerische und symbolische Auswertungsmöglichkeit sollen hier aufgezeigt werden. Kapitel 12: Hier wird auf die Taylor- und Laurent-Reihen Bezug genommen. Kapitel 13: Ein umfangreiches Kapitel stellen die Fourrierreihen und das Fourrierintegral dar. Kapitel 14: Laplace- und z-Transformation sind bei vielen Anwendungen sehr nützlich und stellen daher eine wichtige Grundlage dar. Kapitel 15: Auf die Beschreibung dynamischer Systeme mithilfe von Differentialgleichungen und deren Lösungsmöglichkeiten wird hier eingegangen. Kapitel 16: Bei vielen Datenauswertungen ist die Fehler- und Ausgleichsrechnung sowie die Interpolation ein wichtiges Hilfsmittel.

Kapitel 17: In Mathcad können auch Operatoren selbst erstellt werden. Kapitel 18: In diesem Kapitel wird der Umgang mit logischen Ausdrücken und logischen Verknüpfungen sowie das Programmieren von selbsterstellten Funktionen erklärt. Kapitel 19: Dieses sehr umfangreiche Kapitel befasst sich mit den zahlreichen Schnittstellen in Mathcad. Seit den letzten Mathcad-Versionen stehen neue Funktionen aus dem Finanz- und Geschäftsbereich zur Verfügung. Diese Werkzeuge eignen sich sehr gut zu Kredit- oder Cashflow-Berechnungen sowie zur Bestimmung von Investitionskosten. Auf diese Funktionen wird hier jedoch nicht weiter eingegangen. Im angefügten Literaturverzeichnis finden sich Hinweise darauf. Darüber hinaus stehen noch viele statistische Verteilungen, die in der Praxis häufig benötigt werden, samt ihren Umkehrungen zur Verfügung. Näheres dazu kann meinem Statistik-Buch (siehe Literaturverzeichnis) entnommen werden.

Spezielle Hinweise Beim Erstellen eines Mathcad-Dokuments ist es hilfreich, viele mathematische Sonderzeichen verwenden zu können. Dafür stehen z.B. folgende Schriftarten zur Verfügung: Symbol, Bookshelf Symbol 2, Bookshelf Symbol 4, Bookshelf Symbol 5, MT Extra, UniversalMath1 PT und IBM techexplorer Symbol A bis D. Einige Sonderzeichen stehen auch im "Ressourcen-Menü" von Mathcad zu Verfügung (QuickSheets Rechensymbole). Zum Einfügen verschiedener Zeichen ist z.B. das Programm Charmap.exe sehr nützlich. Dieses Programm findet man unter Zubehör-Zeichentabelle in Microsoft-Betriebssystemen. Viele Zeichen können aber auch aus dem ASCII-Code gewählt werden (Eingabe mit Alt-Taste und Zifferncode mit dem Numerischen Rechenblock der Tastatur). Damit Variable zur Darstellung von Vektoren und Matrizen von normalen Variablen unterschieden werden können, werden diese hier in Fettschreibweise dargestellt. Die Darstellung von Vektoren mit Vektorpfeilen als Variablen ist in Mathcad nicht möglich. Der Vektorpfeil über mathematische Ausdrücke stellt einen Vektorisierungsoperator dar. Zur Darstellung von komplexen Variablen wird hier die Fettschreibweise mit Unterstreichung gewählt. Texte und Variable werden in diesem Buch in der Schriftart Arial dargestellt. Damit Variable, denen bereits ein Wert zugewiesen wurde, Wertunabhängig auch für nachfolgende symbolische Berechnungen mit den Symboloperatoren (live symbolic) verwendet werden können, werden diese einfach redefiniert (z.B. x:=x). Davon wird öfters Gebrauch gemacht. Tasten und Tastenkombinationen werden in spitzen Klammern dargestellt. Z.B. bei <Strg>+ wird die Strg-Taste gedrückt gehalten und dann die C-Taste gedrückt. Angaben wie +STF bedeuten, dass bei gehaltener Alt-Taste die Tasten S, T und F hintereinander gedrückt werden müssen. Über das Hilfe-Menü gelangt man, falls ein Internetanschluss zur Verfügung steht, zu den Benutzerforen, zur Webseite von MathSoft und zur Mathcad-Aktualisierung. Damit die Online-Hilfe und die Ressourcen-Symbolleiste genützt werden kann, ist der Internet-Explorer 5.5 oder höher erforderlich. Er muss aber nicht der StandardBrowser sein. Wenn die Grafikkarte des Computers OpenGL unterstützt, werden 3D-Diagramme schneller dargestellt.

Versionshinweise Versionshinweise für Mathcad 12 findet man in der Ressourcen-Symbolleiste unter QuickSheets und Home oder in der Datei Relnotes.htm im Verzeichnis MatSoft\Mathcad12\doc. Dieses Dokument enthält die neuesten Informationen zu Mathcad 12: 1. Systemanforderungen 2. Inhalt der Mathcad-Installations-CD 3. Installation von Mathcad 4. Aktivierung von Mathcad 5. Mathcad.com 6. Weitere Hilfe zu Mathcad 7. Voraussetzungen für Anwendungskomponenten 8. Fehlersuche und -behebung 9. Weitere Informationsquellen Neben der Version Mathcad 12 stehen noch Mathcad 12 Premium und Mathcad Enterprise zur Verfügung. Mathcad Enterprise wurde für die Nutzung von Mathcad in größeren Organisationen entwickelt. Zusätzliche Standards ermöglichen eine Anwendung im Netz- bzw. Serverbetrieb. Mathcad Enterprise unterstützt Microsoft Sharepoint mit Netzzugriff, Check-in/Check-out, Versionsverwaltung und Zugriffssteuerung.

Eine große Hilfe waren b eim Erstellen dieses Buches die vielen Beiträge im Internet und einige im Anhang angeführte Bücher, von denen ich viel gelernt habe, und deren Ideen und Vorschläge sich in einigen Bereichen dieser Arbeit widerspiegeln. Mein außerordentlicher Dank gebührt meinen geschätzten Kollegen Reinhard Scheiblhofer, Reinhard Leitner und Bernhard Roiss für ihre Hilfestellungen bei der Herstellung des Manuskriptes, für wertvolle Hinweise und zahlreiche Korrekturen. Hinweise, Anregungen und Verbesserungsvorschläge sind jederzeit willkommen. Linz, im August 2005

Josef Trölß

Mathcad, Electronic Book, QuickSheets und Collaboratory sind eingetragene Warenzeichen von MathSoft Engineering & Education, Inc. Microsoft und Windows sind eingetragene Warenzeichen der Microsoft Corp. MATLAB ist ein eingetragenes Warenzeichen von The Math, Inc. OpenGL ist ein eingetragenes Warenzeichen von Silicon Graphics, Inc. SmartSketch ist ein eingetragenes Warenzeichen der Intergraph Corporation. Andere genannte Marken- und Produktnamen sind Warenzeichen oder eingetragene Warenzeichen Ihrer jeweiligen Eigentümer.

Inhaltsverzeichnis

1. Beschreibung der Oberfläche und Bearbeitung eines Arbeitsblattes

1 ... 23

1.1 Mathcad-Oberfläche

1

1.2 Menüleiste

1

1.3 Standard-Symbolleiste

8

1.4 Formatierungsleiste

9

1.5 Arbeitsblatt erstellen

9

1.6 Bearbeiten von Arbeitsblättern

12

1.6.1 Texteingabe und Formatierung

13

1.6.2 Eingabe von mathematischen Ausdrücken und Formatierung

13

1.6.3 Einfügen von Diagrammen und Graphiken

14

1.6.4 Region einfügen, sperren und ausblenden

15

1.6.5 Hyperlink einfügen und bearbeiten

16

1.6.6 Verweis auf eine Datei einfügen

18

1.6.7 Komponente einfügen

18

1.6.8 Objekt einfügen

19

1.6.9 Speichern und schützen von Mathcad-Arbeitsblättern

19

1.7 Allgemeine Hinweise

2. Variablen, Operatoren und Funktionen 2.1 Gültige und ungültige Variablennamen

22

24 ... 37

24

2.1.1 Gültige Variablennamen

24

2.1.2 Ungültige Variablennamen

26

2.2 Operatoren

26

2.3 Variablendefinitionen

28

2.3.1 Lokale Variablen

29

2.3.2 Globale Variablen

29

2.3.3 Indizierte Variablen (Vektoren und Matrizen)

29

2.3.4 Bereichsvariablen

32

2.4 Funktionen

33

2.4.1 Einige nützliche vordefinierte Funktionen

33

2.4.2 Selbstdefinierte Funktionen

35

3. Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten

38 ... 52

3.1 Numerisches Rechnen

38

3.2 Numerische und symbolische Auswertung

42

Inhaltsverzeichnis

3.3 Rechnen mit Einheiten

45

3.3.1 Winkelmaße

50

3.3.2 Festlegung von nicht vordefinierten Einheiten (lokal oder global)

50

4. Umformen von Termen 4.1 Polynome

53 ... 62

53

4.1.1 Multiplikation und Summe von Polynomen

53

4.1.2 Potenzgesetze und Potenzen von Polynomen

55

4.2 Bruchterme (ganzrationale Terme) 4.2.1 Addition, Subtraktion und Division

58 58

4.3 Logarithmische Ausdrücke

60

4.4 Trigonometrische Ausdrücke

60

4.5 Andere Umformungen

61

5. Summen und Produkte

63 ... 67

5.1 Numerische Auswertung von Summen und Produkten

63

5.2 Symbolische Auswertung von Summen und Produkten

64

5.3 Funktionen mit Summen und Produkten

66

6. Vektoren und Matrizen 6.1 Erstellen von Vektoren und Matrizen

68 ... 81

69

6.1.1 Erstellen mithilfe von Bereichsvariablen

69

6.1.2 Erstellen mit der Symbolleiste Matrix

69

6.2 Vektor- und Matrizenoperationen

70

6.2.1 Vektor- und Matrizenoperatoren

70

6.2.2 Vektor- und Matrizenfunktionen

75

6.2.3 Verschachtelte Datenfelder

81

7. Funktionsdarstellungen

82 ... 117

7.1 X-Y Diagramm (Kartesisches Koordinatensystem)

82

7.2 Logarithmisches Koordinatensystem

94

7.3 Ebenes Polarkoordinatensystem

97

7.4 X-Y-Z Diagramm (Räumliches Koordinatensystem)

101

Inhaltsverzeichnis

7.5 Flächen in Parameterform

111

7.6 Animation

112

8. Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

118 ... 149

8.1 Allgemeines

118

8.2 Gleichungen und Ungleichungen

121

8.3 Lösen eines linearen Gleichungssystems

129

8.4 Lösen eines nichtlinearen Gleichungssystems mit und ohne Nebenbedingungen

137

8.5 Numerisches Suchen von Minima und Maxima einer Funktion

142

8.6 Numerisches Lösen von linearen Optimierungsaufgaben

147

9. Folgen - Reihen - Grenzwerte

150 ... 157

9.1 Folgen

150

9.2 Endliche Reihen

151

9.3 Unendliche Reihen

152

9.4 Grenzwerte

153

9.5 Grenzwerte und Stetigkeit von reellwertigen Funktionen

155

10. Ableitungen von Funktionen 10.1 Ableitungen von Funktionen in einer Variablen

158... 181

159

10.1.1 Symbolische Ableitungen

159

10.1.2 Ableitung von Funktionen in Parameterdarstellung

161

10.1.3 Numerische Ableitungen

162

10.2 Ableitungen von Funktionen in einer Variablen in impliziter Form

172

10.3 Ableitungen von Funktionen in mehreren Variablen

173

10.3.1 Symbolische Ableitungen in mehreren Variablen

173

10.3.2 Numerische Ableitungen in mehreren Variablen

177

11. Bestimmtes und unbestimmtes Integral 11.1 Einfache Integrale

182 ... 202

183

11.1.1 Symbolische Integration

184

11.1.2 Numerische Integration

191

11.2 Uneigentliche Integrale

193

11.3 Linien- oder Kurvenintegrale

196

11.4 Mehrfach-Integrale

198

Inhaltsverzeichnis

12. Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen

203 ... 212

12.1 Potenzreihen

203

12.2 Taylorreihen

203

12.3 Laurentreihen

212

13. Fourierreihen und Fourierintegral

213 ... 245

13.1 Darstellung von periodischen Signalen

213

13.2 Fourierreihen

222

13.3 Fast-Fourier-Transformation und inverse Transformation

228

13.4 Fouriertransformation

236

14. Laplace- und z-Transformation

246 ... 276

14.1 Die Laplacetransformation

246

14.1.1 Laplacetransformationen elementarer Funktionen

247

14.1.2 Allgemeines Prinzip zum Lösen von Differentialgleichungen

254

14.2 z-Transformation

262

14.2.1 z-Transformationen elementarer Funktionen

262

14.2.2 Allgemeines Prinzip zum Lösen von Differenzengleichungen

267

15. Differentialgleichungen

277 ... 334

15.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung

281

15.1.1 Integration der linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung

282

15.2 Differentialgleichung 2. Ordnung

293

15.2.1 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

293

15.2.2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten

306

15.3 Differentialgleichungen höherer Ordnung

307

15.3.1 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten

307

15.4 Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten

314

15.5 Nichtlineare Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme

321

15.6 Partielle Differentialgleichungen

328

16. Fehler- und Ausgleichsrechnung

335 ... 361

16.1 Auswertung und Beurteilung einer Messreihe

335

16.2 Untersuchung der Fortpflanzung von zufälligen Messabweichungen

342

Inhaltsverzeichnis

16.3 Bestimmung einer Ausgleichs- oder Regressionskurve

345

16.4 Interpolation und Prognose

356

17. Operatoren

362 ... 363

18. Programmieren

364 ... 388

18.1 Boolesche Ausdrücke und Funktionen

364

18.2 Unterprogramme

371

18.2.1 Sequenz (Abfolge)

372

18.2.2 Auswahlstruktur (Verzweigung)

374

18.2.3 Bedingte Schleifen

377

18.2.4 Zählerschleifen

380

19. Schnittstellenbeschreibung

389 ... 439

19.1 Allgemeines

389

19.2 OLE Objekte in Mathcad

391

19.2.1 Bildverarbeitung

391

19.2.2 Benutzerdefiniertes Objekt

392

19.2.3 Spezielle Objekte (Komponenten) in Mathcad

395

19.2.3.1 Datenerfassung

399

19.2.3.2 Matlab-Komponente

400

19.2.3.3 Excel-Komponente

401

19.2.3.4 ODBC-Komponente (Open Database Connectivity)

405

19.2.3.5 Skriptobjekt-Komponente

408

19.2.3.6 SmartSketch-Komponente

419

19.2.4 Mathcad als OLE-Automatisierungsserver (OLE Automation Interface)

420

19.2.5 Weitere spezielle Objekte (Komponenten) in Mathcad

425

19.2.5.1 Eingabetabelle-Komponente

425

19.2.5.2 Datendatei lesen- bzw. Datendatei schreiben-Komponente

427

19.3 Dateizugriffsfunktionen

431

19.3.1 ASCII Dateien bearbeiten

431

19.3.2 Binär-Dateien bearbeiten

434

19.3.3 WAV-Dateien bearbeiten

435

19.4 Mathcad-Arbeitsblätter für das Web

437

Inhaltsverzeichnis

20. Mathcadfunktionen

440 ... 460

20.1 Rundungsfunktion

440

20.2 Abbruchfunktionen

440

20.3 Modulo- und Winkelberechnungsfunktion, ggT und kGV

440

20.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen

441

20.5 Trigonometrische- und Arcusfunktionen

441

20.6 Hyperbolische- und Areafunktionen

441

20.7 Funktionen für komplexe Zahlen

442

20.8 Bedingte (unstetige) Funktionen

442

20.9 Zeichenfolgefunktionen

442

20.10 Ausdruckstypfunktionen

443

20.11 Vektor- und Matrixfunktionen

443

20.12 Sortierfunktionen

444

20.13 Funktionen zur Lösung von Gleichungen

444

20.14 Funktionen zur Funktionsoptimierung

444

20.15 Kombinatorische Funktionen

445

20.16 Statistische Funktionen

445

20.16.1 Datenanalysefunktionen

445

20.16.2 Dichtefunktionen, Verteilungsfunktionen und Zufallszahlen

446

20.16.3 Interpolation und Prognosefunktionen

450

20.16.4 Datenglättungsfunktionen

453

20.16.5 Kurvenanpassungsfunktionen

453

20.17 Lösungsfunktionen für Differentialgleichungen

454

20.18 Besselfunktionen

455

20.19 Fouriertransformationsfunktionen

456

20.20 Dateizugriffsfunktionen

457

20.21 Spezielle Funktionen

458

20.22 Finanzmathematische Funktionen

459

Anhang

Literaturverzeichnis

461

Erweiterungspakete und elektronische Bücher zu Mathcad

462 ... 463

Tastaturbefehle

464 ... 467

Sachwortverzeichnis

468 ... 474

Beschreibung der Oberfläche

1. Beschreibung der Oberfläche und Bearbeitung eines Arbeitsblattes 1.1 Mathcad-Oberfläche Die Mathcad Oberfläche beinhaltet die Menüleiste, die Standard-Symbolleiste, die Formatierungsleiste die Statusleiste und andere Symbolleisten. Auf einem Mathcad-Arbeitsblatt kann an jeder Stelle eine Text-Region, eine Mathematik-Region in gewohnter Notation und eine Grafik-Region plaziert werden.

Abb. 1.1 1.2 Menüleiste Von der Menüleiste kann man auf die einzelnen Mathcad-Menüs zugreifen.

Abb. 1.2 Die Inhalte dieser Menüs werden nachfolgend kurz beschrieben:

Seite 1

Beschreibung der Oberfläche

ÕGeöffnete Seite schließen. ÕUmschalten auf ein anderes geöffnetes Arbeitsblatt. Abb. 1.3 Datei-Menü: Õ Neues Arbeitsblatt anlegen oder eine Arbeitsblattvorlage wählen. Vorhandenes Arbeitsblatt öffnen. Schliessen eines Arbeitsblattes. Õ Speichern eines Arbeitsblattes. Speichern unter: Speichern einer Datei im Mathcad MCD-Format 2001, 2001i, 11 und 12; als Mathcad Vorlage MCT und XML; RTF, HTM, XMCD und XMCDZ Format. Als Web-Seite speichern im HTML Format. Õ Seite einrichten (Papierformat, Ausrichtung, Ränder, Druckerauswahl). Seitenansicht und Drucken. Breite einer Seite drucken aktivieren, wenn rechts vom 1. Seitenrand Bereiche stehen (sonst werden unnötige Leerseiten gedruckt). Õ Arbeitsblatt mit e-mail senden. Õ Arbeitsblatteigenschaften festlegen.

Õ Anzeige der zuletzt bearbeiteten Arbeitsblätter.

Õ Mathcad beenden. Abb. 1.4 Bearbeiten-Menü: Õ Man vergleiche auch die rechts abgebildeten Kontextmenüs, die sich mit der rechten Maustaste aufrufen lassen (Cursor steht in einem Text bzw. ausserhalb). Õ Suchen und Ersetzen in Text- und Rechenbereichen. Õ Seitenauswahl. Õ Verknüpfungen bearbeiten. Õ Objekt bearbeiten oder öffnen. Abb. 1.5

Seite 2

Abb. 1.6

Beschreibung der Oberfläche

Ansicht-Menü: Õ Siehe Abb. 1.8. Õ Lineal und Statusleiste. Õ Kopf- und Fußzeile bearbeiten. Õ Bereiche (Text- Rechen- und Grafikbereiche) im Arbeitsblatt hervorheben. Arbeitsblatthintergrund wird grau gefärbt. ÕAnmerkungen bei mathematischen Ausdrücken anzeigen Õ Neuaufbau des Bildschirms. Õ Arbeitsblatt zoomen (Siehe auch Standard Symbolleiste). Abb. 1.7

Õ Symbolleisten ein- oder ausblenden.

Õ Die auch aus der Symbolleiste-Rechnen (Rechnen-Palette) aufrufbaren verschiedenen Symbolleisten (Abb.1.10).

Abb. 1.9

Abb. 1.8

Abb. 1.10

Seite 3

Beschreibung der Oberfläche

Einfügen-Menü: Õ Verschiedene Diagramme einfügen. Vergleiche auch die auch aus der Symbolleiste-Rechnen-Diagramme aufrufbaren verschiedenen Diagramme (Abb. 1.12).

Abb. 1.12

Abb. 1.11

Õ Õ Õ Õ

Matrix einfügen. Vordefinierte Funktionen einfügen. Physikalische Einheiten einfügen. Bilder einfügen.

Õ Regionen am Arbeitsblatt zum Sperren einfügen. Õ Seitenumbruch einfügen. Õ Rechenbereiche in Textbereiche einfügen. Õ Textbereich einfügen. Õ Komponente Einfügen. Õ Tabelle einfügen. Datei Ein-Ausgabe (Abb.1.14). Õ Ein Steuerelement einfügen (Abb. 1.15). Õ Ein Objekt einfügen. Õ Einen Verweis einfügen. Õ Einen Hyperlink einfügen. Abb. 1.13 Õ Tabelle einfügen. Õ Datei Ein-Ausgabe.

Abb. 1.14

Õ Steuerelemente (ActivX-Controls).

Abb. 1.15

Õ Web-Steuerelemente (für Arbeitsblätter, die zur Verwendung mit dem Mathcad ApplicationServer erstellt werden)

Seite 4

Beschreibung der Oberfläche

Format-Menü: Õ Gleichungsformatvorlagen ändern, Farbe der Gleichungen wählen. Õ Numerische Ergebnisformate ändern. Õ Textformat ändern. Õ Absatzformat in einem Text wählen. Õ Tabulatorposition festlegen. Õ Textformatvorlagen erstellen, ändern und löschen. Õ Bereichseigenschaften vergeben (Rahmen, Hintergrundfarbe usw.). Õ Diagrammformate ändern (Abb.1.17). Õ Hintergrundfarbe etc. ändern (Abb. 1.18). Õ Region sperren/freigeben, ausblenden und erweitern (Abb. 1.19). Õ Überlappende Bereiche trennen. Õ Bereiche horizontal bzw. vertikal ausrichten (Abb. 1.20). Õ Seiten automatisch umbrechen (z.B. bei überlappenden Bereichen). Abb. 1.16

Õ Diagramme formatieren, Koordinaten ablesen und zoomen.

Abb. 1.17 Õ Hintergrundfarbe für ein Arbeitsblatt. Õ Bereichsfarbe aller hervorgehobenen Bereiche ändern. Õ Änderungen in einem elektronischen Buch hervorheben. Õ Optimiert die Standardpalette, sodass alle Bitmaps im Arbeitsblatt mit der bestmöglichen 256-Farben-Palette dargestellt werden.

Abb. 1.18

Õ Region einrichten, sperren und freigeben.

Abb. 1.19 Õ Markierte Bereiche horizontal und vertikal ausrichten. Abb. 1.20

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Extras-Menü: Õ Rechtschreibprüfung. Õ Animation und Einstellungen (Abb. 1.22). Õ Das Arbeitsblatt kann für "Datei", "Inhalt" und "Bearbeitung" mit Kennwort geschützt werden. Õ Berechnungsoptionen (Abb. 1.23). Õ Gleichung. bzw. Arbeitsblatt optimieren (Abb. 1.24). Õ Auswertung eines mathematischen Ausdruckes deaktivieren. Õ Auftretenden Fehler im Arbeitsblatt zrückverfolgen. Õ Arbeitsblattoptionen. Õ Allgemeine Einstellungen (Programmstart-Optionen und Tastatur) und Inteneteinstellungen. Die Windows Tastatur ist hier standardmäßig eingestellt.

Abb. 1.21

Õ Aufzeichnung von Videos und Wiedergabe. Abb. 1.22 Õ Ausdruck neu berechnen. Õ Arbeitsblatt neu berechnen. Õ Automatische Berechnung des Arbeitsblattes bei einer Änderung. Abb. 1.23 Õ Aktiviert bzw. deaktiviert die symbolische Optimierung für eine Gleichung oder für das gesamte Arbeitsblatt. Abb. 1.24 Symbolik-Menü: Õ Auswerten -Symbolisch, -Gleitkomma, -Komplex (Abb. 1.26). Õ Õ Õ Õ

Symbolisches Vereinfachen von Ausdrücken. Symbolisches Erweitern von Ausdrücken. Symbolisches Faktorisieren von Ausdrücken. Symbolisches Zusammenfassen von Ausdrücken.

Õ Ermittelt die Koeffizienten eines Polynoms. Õ Ausdruck nach einer Variablen auflösen usw. (Abb. 1.27). Õ Matrix Transponieren (Achsen vertauschen), Invertieren, Bilden der Determinante (Abb. 1.28). Õ Fourier-, Laplace- und z-Transformation (Abb. 1.29). Õ Symbolisches Auswertungsformat festlegen (Abb. 1.30). Abb. 1.25 Õ Auswerten -Symbolisch, -Gleitkomma, -Komplex. Abb. 1.26

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Õ Gleichung nach Variable auflösen. Õ Variable in einer Gleichung durch einen Ausdruck ersetzen. Õ Funktion nach einer Variable differenzieren. Õ Funktion nach einer Variable integrieren. Õ Reihenentwicklung einer Funktion. Õ Partialbruchzerlegung eines Bruchterms. Abb. 1.27 Õ Matrix transformieren. Õ Matrix invertieren. Õ Determinante einer Matrix berechnen. Abb. 1.28

Õ Fourier- Laplace und z-Transformation.

Abb. 1.29

Õ Bevor eine symbolische Auswertung über das Symbolik-Menü durchgeführt wird, sollte das Auswertungsformat eingestellt werden.

Abb. 1.30 Fenster-Menü:

Õ Fenstereinstellungen von mehreren geöffneten Mathcad-Files.

Õ Geöffnete Mathcad-Files.

Abb. 1.31

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Hilfe-Menü: Zur Aktivierung der Hilfe muss der Internet Explorer 5.5 oder höher am Computer installiert sein. Dieser muss aber nicht der Standard-Browser sein. Die Mathcad-Hilfe wurde in den letzten Versionen erheblich ausgebaut. Manche Beschreibungen liegen jedoch nur in Englisch vor.

Abb. 1.32

Õ Allgemeine Online Hilfe. Õ Ruft das kontextspezifische Hilfesystem auf (Menübefehle, Symbolleisteneigenschaften, Formatierungsleiste). Õ Entwicklungsreferenz (DLL, DAC, Controls, OLE, AI und SDK). Õ Referenz zur Erstellung eines Elektronikbuches. Erstellen einer HTML-Webseite. Õ Elektronisches Buch Lernprogramme aufrufen. Õ Elektronisches Buch QuickSheets (Beispiele) aufrufen. Õ Elektronisches Buch Verweistabellen aufrufen. Õ Andere elektronische Bücher aufrufen, falls welche zusätzlich installiert sind. Õ Zugang zu den Benutzerforen (Internetanschluss erforderlich). Õ Zugang zur Webseite von Mathsoft (Internetanschluss erforderlich). Õ Mathcad-Aktualisierung (Internetanschluss erforderlich). Õ Information über Mathcad. Õ Mathcad Registrierung (Internetanschluss erforderlich).

Abb. 1.32 Kontextbezogene Hilfe z.B. für eine Funktion: Funktionsname anklicken und < F1 > Taste oder ? in der Symbolleiste drücken. 1.3 Standard-Symbolleiste Die Symbolleiste bietet einen schnellen Zugriff zu vielen verschiedenen Anwendungen, die bereits in den Menüs aufgezählt wurden. Zur Zeit nicht verfügbare Funktionen werden grau gefärbt dargestellt. Stellt man den Mauszeiger auf ein Symbol, so gibt ein Tooltip einen Hinweis auf die Funktionanlität.

Abb. 1.33 Die Standard-Symbolleiste ist benutzerdefinierbar. Mit der rechten Maustaste auf die Symbolleiste klicken und aus dem Kontextmenü Anpassen wählen.

Abb. 1.34

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1.4 Formatierungsleiste Die Formatierungsleiste zeigt die Eigenschaften des verwendeten Textes oder Variablen an. Mit Ihr können Schriftart, Grösse, Stil, Positionierung, Aufzählung sowie Hoch- und Tiefstellen festgelegt werden. Das Tiefstellen bei Variablen bedeutet aber das Anlegen eines Vektorindex. Auch hier geben Tooltips Hinweise auf die Funktionanlität.

Abb. 1.35 1.5 Arbeitsblatt erstellen Ein neues Arbeitsblatt basiert auf der Standardvorlage NORMAL.MCT. Es kann über Menü-Datei-Neu bzw. über das Arbeitsblattsymbol in der Symbolleiste gewählt werden. Hier kann auch ein Arbeitsblatt gewählt werden, das auf einer anderen vorgegebenen Vorlage als NORMAL.MCT beruht. Meist wird man sich jedoch eine eigene Vorlage erstellen. Nachfolgend soll kurz gezeigt werden, wie man z.B. dabei vorgeht: 1. Zuerst wird ein leeres Arbeitsblatt, basierend auf der Vorlage NORMAL, geöffnet. 2. Seite einrichten (Menü-Datei): Hier können folgende Einstellungen vorgenommen werden: Papierformat, Ausrichtung, Ränder, Breite einer Seite drucken und Druckereinstellungen.

Brauchbare Einstellungen, wie hier angezeigt.

Mit "Breite einer Seite drucken" kann festgelegt werden, ob über den rechten Seitenrand (der ersten Spalte) hinausgedruckt werden darf oder nicht. Abb. 1.36

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3. Kopf- und Fußzeile einrichten (Menü-Ansicht):

Abb. 1.37 4. Gleichungsformat einrichten (Menü-Format): Variable und Konstanten auf Schrift-Arial ändern. Es stehen 7 freie Benutzerformate zur Verfügung. Z.B.: Benutzer 1 auf Arial und Fettschrift ändern. Neuer Name der Vorlage: Vektor oder Matrix. Benutzer 2 auf Arial und Fettschrift und Unterstreichen ändern. Neuer Name der Vorlage: Komplex.

Abb. 1.38

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5. Numerisches Ergebnisformat einrichten (Menü-Format-Ergebnis):

Abb. 1.39 6. Textformatvorlage ändern (Menü-Format-Formatvorlage):

Z.B. Schriftart auf Marineblau ändern.

Abb. 1.40 7. Einheitensystem und Anzeige ändern (Menü-Extras-Arbeitsblattoptionen): Hier soll auch noch im RegisterblattEinheitensystem das SI-System gewählt werden. Im Registerblatt "Anzeige" kann hier auch noch das Erscheinungsbild folgender Operatoren eingestellt werden: x Ableitung (regulär oder partiell) x Multiplikation (Punkt, kleiner Punkt, großer Punkt, x, kleiner Abstand, kein Abstand) x Tiefgestellter Index (groß oder klein) x Lokale Definition (:= oder =) x Globale Definition ({ oder =) x Fettes Gleichheitszeichen (= oder =)

Abb. 1.41

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8. Speichern als Mathcadvorlage: Menü-Datei-Speichern unter wählen, dann im erscheinenden Fenster den Namen und Dateityp Mathcadvorlage ( *.mct ) festlegen und anschließend im Mathcad-Unterverzeichnis TEMPLATE speichern. Das Unterverzeichnis TEMPLATE befindet sich im Mathcad-Installationsverzeichnis. 1.6 Bearbeitung von Arbeitsblättern Ausführliche Hinweise zum Bearbeiten von Arbeitsblättern finden sich im Hilfe-Menü-Lernprogramme oder im "Ressourcen Fenster" unter Lernprogramme . Hier sollen nur einige wichtige Hinweise zum Bearbeiten von Arbeitsblättern gegeben werden. Für die Bearbeitung von Texten, Mathematischen Ausdrücken etc. gelten im Wesentlichen die Tasten und Tastenkombinationen wie bei Windows Softwareprodukten , wenn das Kästchen im Menü-Extras-Einstellungen Standardmäßige Windows-Tastaturbefehle markiert ist. Nachfolgend einige Beispiele von Windows-Tastaturbefehle und andere Tastenkombinationen (Näheres siehe dazu im Anhang dieses Buches): Einfügen: <Strg>+; Bereich löschen: <Strg>+; Rückgängig: <Strg>+; Wiederholen: <Strg>+; Alles markieren: <Strg>+; Suchen: <Strg>+; Ersetzen: <Strg>+; Funktion einfügen: <Strg>+<E>; Drucken: <Strg>+

; S: <Strg>++

; f: <Strg>++; Rechenbereiche in Text einfügen: <Strg>++; Chemischer Modus: <Strg>++<J>; Seitenumbruch einfügen: <Strg>+<Eingabe>; Neue Zeile in einem Textabsatz: +<Eingabe>; Verlassen eines Textbereichs: <Strg>++<Eingabe>; Umschalten in den Textmodus zum Eingeben von Symbolen in eine Variable: <Strg>++; usw. Nachfolgend wird davon ausgegangen, dass die Windows-Tastatur aktiviert ist. Auf einem Mathcad-Arbeitsblatt stehen zur Positionierung, Eingabe und Bearbeitung folgende Cursor zur Verfügung: Der Rote Kreuzcursor (Fadenkreuz) dient zur Positionierung eines Textes, eines MathematikAusdruckes, einer Grafik oder eines anderen Objektes.

Der senkrechte rote Strichkursor ist für die Texteingabe und Textmanipulation vorgesehen.

Der blaue L-förmige Cursor ist Bestandteil des graphischen Editors zur Eingabe und Bearbeitung von mathematischen Ausdrücken. Er kann mit der <Einf>-Taste links- oder rechtsbündig gesteuert werden. Eine Aktion auf einem Mathcad-Arbeitsblatt kann bis zu 200 Mal (Einstellung im Menü-Extras-Einstellungen) rückgängig (<Strg>+) gemacht oder wiederholt werden: Symbole in der Symbolleiste Regionen (Bereiche) wie Text, Mathematische-Ausdrücke, Graphiken u.a. können nach einer Auswahl mit einer gepunkteten Linie ausgerichtet, verschoben oder gelöscht werden: Die Auswahl der gepunkteten Linie erreicht man wie folgt: x Einzelne Bereiche: Um ein Auswahlfeld mit einer gepunkteten Linie zu erhalten, drückt man zuerst die Taste <Strg> oder die und klickt anschließend mit der linken Maustaste auf den Bereich; x Mehrere Bereiche: Um mehrere Bereiche mit einer gepunkteten Linie auszuwählen, hä lt man die linke Maustaste gedrückt und ziehen Sie über mehrere Bereiche. Einmal ausgewählte Bereiche können mithilfe der Pfeiltasten der Tastatur beliebige Schrittweiten nach oben <Ï>, unten <Ð>, rechts <Î> oder links <Í> verschoben werden. Wird der Mauszeiger an den Rand der ausgewählten Bereiche verschoben, ändert sich der Mauszeiger in eine greifende schwarze Hand . Durch Drücken und Halten der linken Maustaste können die Bereiche frei über das Arbeitsblatt gezogen werden.

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Zum senkrechten und waagrechten Ausrichten von ausgewählten Bereichen benützt man die folgenden Symbole in der Symbolleiste:

Ausgewählte Bereiche können mit der Taste <Entf> oder mit der Rückwärtstaste gelöscht werden. 1.6.1 Texteingabe und Formatierung Textbereiche können an jeder Stelle in ein Mathcad-Dokument eingefügt werden. Es gibt mehrere Möglichkeiten, um einen Textbereich anzulegen: x Menü - Einfügen - Textbereich, x Durch drücken der Taste < " > , x Man schreibt eine Variable und drückt anschließend die . Das Editieren eines Textes erfolgt wie gewohnt mit , <Entf>, <Einfg> etc. Die gedrückte rechte Maustaste auf einen Text öffnet ein Kontextmenü, in dem auch eine Reihe von Textmanipulationen vorgenommen werden können. Um eine bestimmte Breite eines Textbereichs festzulegen, schreibt man zuerst die erste Zeile auf die gewünschte Breite, gibt dann ein Leerzeichen ein und drückt die Tasten <Strg>+<Eingabetaste>. Eine Ausrichtung mit dem aktivierten Lineal (Menü-Ansicht) ist ebenfalls möglich. Die Maßeinheiten des Lineals können durch Anklicken mit der rechten Maustaste eingestellt werden. Eine neue Zeile im Textbereich erhält man durch Drücken der <Eingabetaste> oder mit +<Eingabetaste>. Ein Absatz kann mit Menü-Format-Absatz oder aus dem Kontextmenü (rechte Maustaste) Absatz formatiert werden. Zur Formatierung eines Absatzes kann aber auch eine andere Textformatvorlage (automatisch wird immer das Format NORMAL benutzt) verwendet (Menü-Format-Formatvorlage) oder selbst definiert werden. Suchen und Ersetzen (Menü-Bearbeiten-Suchen bzw. Ersetzen ) kann auf Text- und Rechenbereiche angewandt werden ( z.B. griechische Sonderzeichen in das Eingabefenster kopieren- sie erscheinen dann statt I als \f oder M als \j usw.). Es können auch Sonderzeichen gesucht und ersetzt werden : Für Tabulator: ^t ; Absatzzeichen: ^d ; Zeilenumbruch: ^l ; Backslash: ^\ . In jedem Text können Rechenbereiche eingefügt werden (Menü-Einfügen-Rechenbereich bzw. mit <Strg>++). Eingebettete Rechenbereiche können über das Kontextmenü ( rechte Maustaste) deaktiviert werden. 1.6.2 Eingabe von mathematischen Ausdrücken und Formatierung Wie bei Textbereichen können auch Rechenbereiche an jeder Stelle in ein Arbeitsblatt eingefügt werden. Die Eingabe von mathematischen Ausdrücken ist mit dem graphischen Editor sehr einfach. Gibt man einen Ausdruck in ein Mathcad-Arbeitsblatt ein, so befindet man sich sogleich im Mathematik-Modus. Es erscheint ein spezieller blauer Cursor, der mit der Einfügetaste rechts- und linksbündig gesteuert werden kann. Die Größe des blauen Eingabe-Curser kann mit der Leertaste bzw. den Pfeiltasten gesteuert werden.

Abb. 1.42

In der Formatierungsleiste können die Standardformate Variable, Konstanten, Benutzer 1 bis Benutzer 7 (Abb 1.38) ausgewählt werden. Die Namen der Formate Benutzer 1 bis Benutzer 7 können im Menü-Format-Gleichung geändert werden.

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In Mathcad stehen eine Reihe von Operatoren zur Verfügung. Arithmetische Operatoren (+, -, *, /) können auch mit der Tastatur oder über die Symbolleiste-Rechnen-Taschenrechner eingegeben werden. Die Vergleichsoperatoren findet man in der Symbolleiste-Rechnen-Boolsche Operatoren. Andere Operatoren findet sich in den verschiedenen Symbolleisten-Rechnen. Bei der Zuweisung eines Strings auf eine Variable , muss vor der Texteingabe ein Anführungszeichen eingegeben werden: Abb. 1.43 Wenn in einem mathematischen Ausdruck keine Operatoren oder Klammern vorkommen, so kann dieser durch drücken der Leertaste in einen Text umgewandelt werden. 1.6.3 Einfügen von Diagrammen und Grafiken Auch Diagramme und Grafiken können an jeder Stelle in ein Arbeitsblatt eingefügt werden. Zweidimensionale Diagramme: Menü-Einfügen-Diagramm-(X-Y)-Diagramm bzw. Kreisdiagramm, oder Symbolleiste-Rechnen-Diagramm, oder <@> bzw. <Strg>+<7>. Das Formatierungsfenster erhält man auch durch Doppelklick auf die Grafik. Ein Farbhintergrund kann mit der rechten MaustasteEigenschaften-Farbe ausgewählt bzw. mit MenüFormat-Eigenschaften gesetzt werden. Abb. 1.44 Dreidimensionale Diagramme: Menü-Einfügen-Diagramm-Flächendiagramm usw., oder Symbolleiste-Rechnen-Diagramm, oder <Strg>+<2>. Das Formatierungsfenster erhält man auch durch Doppelklick auf die Grafik. Ein Farbhintergrund kann mit der rechten MaustasteEigenschaften-Farbe ausgewählt bzw. mit Menü-FormatEigenschaften gesetzt werden. Es können gleichzeitig mehrere 3-D Diagramme in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Die Argumente für jedes einzelne 3D-Diagramm muss aber in Klammer stehen (siehe Abb. 1.45). Ein Vektorfelddiagramm und andere 3D-Diagramme können ebenfalls gleichzeitig dargestellt werden, jedoch nicht mehrere Vektorfelddiagramme in einem einzelnen Graph. ( X  Y  Z)  ( X1  Y1  Y2)

Abb. 1.45

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Bilder einfügen: Menü-Einfügen-Bild, oder Symbolleiste-Rechnen-Matrix, oder <Strg>+. Am Platzhalter kann z.B. der Name einer Bitmap-Datei "Baum.BMP" , JPEG-, GIF-, PCX-Datei (u.a.m.) oder eine Matrix eingegeben werden.

Abb. 1.46

Drückt man mit der rechten Maustaste auf das Bild, so erhält man das rechts stehende Kontextmenü, mit dem zahlreiche Manipulationen vorgenommen werden können. Ein Klick mit der rechten Maustaste in den oberen Bereich liefert die rechts abgebildete Bild-Symbolleiste.

Abb. 1.47

Bilder, die z.B. mit Paint erzeugt wurden, können über die Zwischenablage eingefügt werden. Über Menü-Einfügen-Objekt können ebenfalls Bilder eingefügt werden.

1.6.4 Region einfügen, sperren und ausblenden Menü-Einfügen-Region fügt zwei Linien ein. Sie werden bei einem Ausdruck des Arbeitsblattes nicht gedruckt! Die Begrenzungslinien lassen sich durch Anklicken verschieben. Die Region kann nach Anklicken einer Linie über Menü-Format-Region gesperrt, freigegeben, ausgeblendet oder erweitert werden (Sperren und ausblenden ist auch mit der rechten Maustaste auf eine Linie möglich).

Eine gesperrte Region kann zwar nicht mehr gelöscht, jedoch der Inhalt (durch Ziehen mit gedrückter linken Maustaste) kopiert werden!

Abb. 1.48

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Einer Region können ein Name oder andere Anzeigeattribute zugewiesen werden. Eine Linie der Region zuerst mit der linken Maustaste anklicken und dann mit der rechten Maustaste aus dem Kontextmenü Eigenschaften auswählen (bzw. über Menü-Format-Eigenschaften).

Abb. 1.49

1.6.5 Hyperlink einfügen und bearbeiten Hyperlink einfügen auf einen markierten Text: Menü-Einfügen-Hyperlink, oder <Strg>+, bzw. mit dem Symbol Hyperlink einfügen in der Symbolleiste. Hyperlinktext Ein Farbhintergrund kann über das Kontextmenü (Eigenschaften siehe Abb. 1.50) mit rechter Maustaste auf den hinterlegten Bereich bzw. mit Menü-Format-Eigenschaften gewählt werden.

Abb. 1.50

Ein Hyperlink kann auf jede beliebige Datei gesetzt werden. Bei einer Nicht-MathcadDatei wird bei Aktivierung eines Hyperlinks zuerst die zugehörige Applikation gestartet, sofern sie installiert ist.

Abb. 1.51

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Mithilfe von Bereichs-Tags besteht auch die Möglichkeit, Hyperlinks zu bestimmten Bereichen von Arbeitsblättern zu erstellen. So kann ein Hyperlink, mit dem auf einen bestimmten Bereich in einem Arbeitsblatt verwiesen wird, z. B. wie folgt aussehen: Am Ende eines Arbeitsblattes wird auf einen Text ein Bereichs-Tag gesetzt:

Mit der rechten Maustaste auf den markierten Text erhält man das bereits bekannte Kontextmenü Eigenschaften. Hier wird z.B. der Bereichs-Tag "Ende der Seite" eingegeben. Ein Tag kann aus mehreren Worten, Zahlen oder Leerzeichen bestehen, jedoch nicht aus Symbolen! Ein Tag darf keinen Trennungspunkt in einem Text enthalten!

Abb. 1.52 Am Seitenanfang wird nun z.B. auf einen Text Seitenende ein Hyperlink gesetzt. Nach dem Dateinamen ist nach Eingabe einer Raute der Tag "Ende der Seite" einzugeben. Wenn man sich innerhalb eines einzelnen Arbeitsblatts befindet, ist keine Pfadangabe erforderlich.

Abb. 1.53

Bemerkung: Beim Kopieren eines Textes mit Hyperlinks in einen anderen bereits existierenden Textbereich werden Hyperlinks nicht kopiert. Wenn man jedoch den Text eines Hyperlinks in einen neuen leeren Bereich kopiert, wird der Link beibehalten.

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1.6.6 Verweis auf eine Datei einfügen Von einem Arbeitsblatt kann durch einen Verweis (Menü-Einfügen-Verweis) auf den Inhalt eines ungeöffneten anderen Arbeitsblattes zugegriffen werden.

Abb. 1.54 Verweis:C:\ Mathcad\ Einführung\ Beispiele.mcd(R)

Die Datei Beispiele.mcd kann durch einen Doppelklick auf den Verweis (wie ein Hyperlink) geöffnet werden. Nach diesem Verweis kann nun auf gespeicherte Funktionen ect. im Arbeitsblatt Beispiele.mcd direkt zugegriffen werden. 1.6.7 Komponente einfügen Eine Komponente kann über Menü-Einfügen-Komponente oder mit dem "Komponente einfügen" Symbol in der Symbolleiste eingefügt werden. Hier können verschiedene Schnittstellen zu installierten Softwareprodukten bzw. Dateien hergestellt werden.

Ein Farbhintergrund kann bei einem Objekt mit der rechten MaustasteEigenschaften-Farbe ausgewählt bzw. mit MenüFormat-Eigenschaften gesetzt werden.

Abb. 1.55

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1.6.8 Objekt einfügen Ein Objekt kann über Menü-Einfügen-Objekt eingefügt werden. Das Objekt kann durch einen Doppelklick bearbeitet werden (die zugehörige Software wird geöffnet).

Bitmap

Ein Objekt wird bei einem Doppelklick Inplace aktiviert, wenn es z.B. über die Zwischenablage kopiert wurde. Falls die Applikation installiert ist, werden sonst anstatt der Menüs und Symbolleisten von Mathcad die Menüs und Symbolleisten der zugehörigen Applikation angezeigt.

Die angezeigten Objekte sind abhängig von der am Computer installierten Software.

Abb. 1.56

1.6.9 Speichern und schützen von Mathcad-Arbeitsblättern Die Dateispeicherorte, wo ein Mathcad Arbeitsblatt standardmäßig gespeichert werden soll bzw. die eigene HTML-Seite gespeichert ist, kann über Menü-Extras-Einstellungen gewählt werden. Auf der Registerkarte Speichern können das Standarddateiformat MCD (natives Mathcad-Binärformat), XMCD-Format (Mathcad-XML-Format) oder XMCDZ-Format (komprimiertes XML-Format) ausgewählt werden.

Abb. 1.57

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Ein Mathcad-Arbeitsblatt wird über Menü-Datei-Speichern oder über das Dikettensymbol in der Symbolleiste in der in Abb. 1.57 gezeigten Form gespeichert. Wählt man Menü-Datei-Speichern unter, so ergeben sich nach Auswahl von Dateityp verschiedene Speichermöglichkeiten: x Als Mathcad Arbeitsblatt in Version 2001, 2001i und 11, x als Mathcad Vorlage (*.mct) bzw. Mathcad XML-Vorlage (*.xmct), x als RTF-Datei (Microsoft Word), x als HTML-Datei. x als Mathcad-Arbeitsblatt (*.mcd) x als komprimiertes Mathcad-XML-Dokument (*xmcdz) x als Mathcad-XML-Dokument (*xmcd) Über Menü-Datei kann ein Mathcad Arbeitsblatt auch direkt als Web-Seite gespeichert werden. Vor der Speicherung als Web-Seite sollen die Einstellungen im Registerblatt HTML-Optionen Menü-Extras-Einstellungen überprüft werden:

Abb. 1.58

Mithilfe dieser Registerkarte kann festgelegt werden, wie Mathcad Dokumente in das HTML-Format exportiert werden sollen. Die als als HTML-Dateien gespeicherte Dokumente können ohne Funktionalitätseinbußen wieder in Mathcad importiert werden (Microsoft Internet-Explorer-Menü-Datei-Bearbeiten mit Mathcad Application). Bilder speichern als: Grafiken können entweder im JBG- oder PNG-Format exportiert werden. PNG ist ein verlustfreies Format, d.h. es gehen keine Daten verloren. Aber die so gespeicherten Dateien sind größer. Bei Auswahl von JPEG kann man außerdem die Qualität der Kompression festlegen. Je höher dieser Wert ist, desto weniger werden die Bilder komprimiert und desto größer sind die so gespeicherten Bilddateien. Layout speichern als: Für Bereiche in Mathcad-Arbeitsblättern, die in das HTML Format exportiert wurden, kann eine feste oder relative Positionierung verwendet werden. Web-Seitenvorlage: Die Arbeitsblätter können mithilfe von benutzerdefinierten HTML-Vorlagen exportiert werden, um eventuelle Formatanforderungen erfüllen zu können. XML-Optionen können auch über Menü-Datei-Eigenschaften eingestellt werden.

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Zum Schutz eines Arbeitsblattes stehen drei Sicherheitsebenen zur Verfügung. Menü-Extras-Arbeitsblatt schützen:

Abb. 1.59

Anstatt einen Bereich lediglich zu sperren, kann auch das ganze Arbeitsblatt geschützt werden. Geschützte Arbeitblätter können nicht im XML-Format (XMCD oder XMCDZ) gespeichert werden. Für den Schutz des Arbeitsblatts bietet Mathcad drei Stufen: Datei Beim Schutz auf Dateiebene kann das Arbeitsblatt nur als Datei des Typs Mathcad 2001i oder höher, als RTF-Datei, als Mathcad-Vorlage (*.mct) oder als HTML-Datei, die nicht wieder in Mathcad eingelesen werden kann, gespeichert werden. Inhalt Zusätzlich zu den bereits unter Datei aufgeführten Einschränkungen können vorhandene Bereiche nicht geändert werden. Es ist möglich, neue Bereiche zu erstellen und geschützte Bereiche zu kopieren. Bearbeiten Zusätzlich zu den bereits unter Datei und Inhalt aufgeführten Einschränkungen können geschützte Bereiche nicht bearbeitet oder kopiert werden. Im Arbeitsblatt können keine neuen Bereiche angelegt werden. Kennwort Die Eingabe eines Kennworts ist optional. Ebenso kann ein markierter Bereich geschützt werden. Kontextmenü-Eigenschaften Registerblatt-Schützen (mit rechter Maustaste):

Abb. 1.60 Sobald das Arbeitsblatt auf Inhalts- oder Bearbeitungsebene geschützt ist (Abb. 1.59), können Bereiche, für die dieses Kontrollkästchen markiert ist, nicht mehr bearbeitet werden.

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1.7 Allgemeine Hinweise Das Dialogfeld Zeilen löschen: Wenn man mit der rechten Maustaste auf eine freie Stelle des Arbeitsblatts klickt und Zeilen löschen wählt, erscheint ein Fenster, in der die maximale Anzahl der zu löschenden Zeilen gewählt werden kann. Dokumentinformationen (Metadaten): Über Menü-Datei-Eigenschaften können Informationen über ein Dokument (Metadaten), z. B. Autor, Organisation usw., eingesehen und bearbeitet werden. Metadaten können in Mathcad-Dokumenten auf verschiedenen Ebenen hinzugefügt werden: dem ganzen Dokument, einzelnen Bereichen oder sogar einzelnen Zahlen. Außerdem fügt die automatische Nachverfolgung Herkunfts- bzw. Quellinformationen eines Mathcad-Ausdruckes automatisch hinzu, wenn er von einem Dokument in ein anderes kopiert wird. Über Menü-Ansicht-Anmerkungen können Bereiche im Arbeitsblatt eingesehen werden, die Anmerkungen enthalten. Anmerkungen können erstellt und eingesehen werden, wenn man mit der rechten Maustaste auf einen Rechenbereich, einen Teilausdruck eines Rechenbereichs, eine einzelne Variable oder Konstante klickt und Anmerkungsauswahl wählt. Wenn Menü-Ansicht-Anmerkungen eingeschaltet ist, weisen alle Bereiche und Teilausdrücke mit Anmerkungen grüne Klammern auf. Ist diese Option nicht aktiviert, erscheinen die Klammern nur dann, wenn der Ausdruck ausgewählt ist (z.B. mit linker Maustaste). Näheres siehe dazu unter "lernprogramme" Mathcad Ressourcen (Abb. 1.62) Globale Einstellungen: Im Menü-Extras-Arbeitsblattoptionen und Registerblatt-Berechnung finden sich folgende globale Einstellungen:

Abb. 1.61 x

Wenn "Automatisch neu berechnen" aktiviert ist, berechnet Mathcad alle sichtbaren Ergebnisse und Diagramme automatisch neu. Ist die Option nicht aktiviert, werden die Ergebnisse und Diagramme nur dann neu berechnet, wenn "Jetzt Berechnen ( Taste)" bzw. "Arbeitsblatt berechnen <Strg>+" im Menü-Extras-Berechnen gewählt wird. Diese Option kann auch mithilfe "Automatische Berechnung" im Menü-Extras-Berechnen aktiviert bzw. deaktiviert werden

x

Wenn "Bei Matrizen strikte Singularitätsprüfung durchführen" aktiviert ist, führt Mathcad eine strenge Prüfung auf Matrixsingularitäten durch .

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x

Wenn "Ausdrücke vor der Berechnung optimieren" aktiviert ist, ist die Optimierung eingeschaltet. Der symbolische Prozessor versucht hier jeden Ausdruck, der sich rechts neben ":=" oder "=" befindet, zu vereinfachen. Ist dies möglich, kennzeichnet er den Bereich mit einem Sternchen und führt die Berechnung anhand des vereinfachten Ausdrucks durch. Wird auf das Sternchen ein Doppelklick gemacht, so wird der vereinfachte Ausdruck angezeigt.

x

Wenn "Genaue Gleichheit für Boolsche Vergleiche verwenden" aktiviert ist, dürfen zwei Zahlen nur um weniger als die maximale Genauigkeit des Gleitkommaprozessors voneinander abweichen, um als gleich zu gelten (Zahlen zwischen -10 -307 und 10 -307 gelten als 0). Wenn diese Option nicht aktiviert ist, muss der Betrag der Differenz zwischen zwei Zahlen geteilt durch ihren Durchschnitt kleiner 10 -12 sein, damit sie als gleich gelten.

x

Wenn "Benutzen Sie ORIGIN zur Indizierung der Zeichen" aktiviert ist, legt man fest, welcher Startwert für das ersten Zeichen einer Zeichenfolge (String) verwendet wird. Wenn diese Option aktiviert ist, gehen die Zeichenfolgefunktionen (siehe Anhang und Mathcad Hilfe) davon aus, dass der Arbeitsblattwert für ORIGIN der Index des ersten Zeichens ist.

Mathcad-Ressourcen Center: Das Mathcad-Ressourcen Center (Abb. 162) stellt ein elektronisches Buch dar und kann über Menü-Hilfe oder Symbolleiste-Ressourcen geöffnet werden. Es handelt sich hier um das Online- Informationszentrum in Mathcad, das eine Reihe von Lernprogrammen, Beispielen (Quicksheets) und Verweistabellen sowie ein Benutzerhandbuch (Adobe Acrobat Reader erforderlich) und Versionshinweise enthält. Darüber hinaus gibt es einen interaktiven World-Wide-Web-Dienst (lernprogramm-Weitere Hilfsquellen), über den man Kontakt mit einer Mathcad- Benutzergemeinde erhält (siehe auch Menü-Hilfe). Auf den verschiedenen Internetseiten von Mathsoft findet man Mathcad-Beispieldateien, mathematisches Referenzmaterial, Berichte über mathematische Forschungen und Hinweise über Produkte für Mathcad und andere Anwendungen. Für das Web-Browsing in Mathcad benötigt man den Microsoft Internet Explorer 5.5 oder höher. Dieser muss aber nicht der Standard-Browser sein.

Abb. 1.62

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Variablen, Operatoren und Funktionen

2. Variablen, Operatoren und Funktionen

Abb. 2.1 Die griechischen Buchstaben erhält man in einem Rechen- oder Textbereich auch, wenn man einen lateinischen Buchstaben eingibt und daraufhin die Tasten <Strg> + drückt. Z.B.: j <Strg> + ergibt M bzw. J <Strg> + ergibt -. 2.1 Gültige und ungültige Variablennamen 2.1.1 Gültige Variablennamen a

a1

_oben

C

C1

Länge

D

D1

Oberfläche

'

'1

ab

C°

a%b

Quadratische_Funktion

D_winkel

In der Formatierungsleiste ein Benutzerformat (Benutzer 1 bis 7) auf Fett und Unterstreichen setzen (z.B. für komplexe Variablen).

z

z1

Z

U

a1

Ds

*1

Fab Der Literalindex (einfaches Tiefstellen) wird durch Eingabe eines Punktes nach dem Zeichen erzeugt.

s'

s''

y'

a&

y1,2

A1,2,3

a

A 

Das Primsymbol wird am einfachsten nach der Variablen mit <Strg>+ eingegeben. Zuerst ein Zeichen Eingeben und dann in den Textmodus wechseln mit <Strg>++ (Es erscheint ein roter Cursor). Das $ Zeichen etc. kann dann eingegeben werden. Abschließend wieder mit derselben Tastenkombination in den Mathematikmodus wechseln.

c$

> H2 O @

y''

Ca,b,c

> H2 SO4 @

Zuerst ein Zeichen und z.B. Literalindex 1 eingeben, dann in den Textmodus wechseln mit <Strg>++ und weitere Zeichen eingeben. Abschließend wieder mit derselben Tastenkombination in den Mathematikmodus wechseln. Zuerst mit <Strg>++<J> Klammern erzeugen. Der Index kann mit den Tasten +<[> erzeugt werden. Darstellung von Vektoren und Matrizen (z. B. Benutzerformat Fett) als indizierte Variable (Feldindex - kein Literalindex !). Eingabe mit dem Symbol in der Symbolleiste-Matrix x n bzw. Symbolleiste x2 oder mit eckiger Klammer ( [ ) .

a

i

Der Feldindex i kann durch die vorhergehende Eingabe eines Punktes noch etwas tiefer gestellt werden.

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Variablen, Operatoren und Funktionen

Manche Zeichen können auch aus der Zeichentabelle (z.B. Charmap.exe) ausgewählt und in Mathcad in einen Text eingefügt werden (START-Programme-Zubehör). Bei Variablen wird nach dem Einfügen z.B. in der Formatierungsleiste ein Benutzerformat ( Benutzer 1 bis 7) auf den Zeichensatz Bookshelf Symbol 4 gesetzt: ,

$





Abb. 2.2

Manche Zeichen können auch über die numerische Tastatur eingegeben werden. In der letzten Zeile der Zeichentabelle (Abb. 2.2) erscheint der HEX-Code für das gewählte Zeichen. Dieser kann mit Mathcad in den Dezimal-Code folgendermassen umgerechnet werden: 078h

120

Hält man nun die Taste gedrückt und gibt mit den Zifferntasten der numerischen Tastatur die Ziffer 0 und den Dezimalcode ein, so erhält man nach dem loslassen der Taste das gewünschte Zeichen ( 0120). In einem Text wird das gewählte Zeichen markiert und der zugehörige Zeichensatz in der Formartierungsleiste gewählt. Für Variablen wählt man anschließend in der Formatierungsleiste ein geeignetes Benutzerformat für den gewünschten Zeichensatz ( Benutzer 1 bis 7). Wählt man ein Zeichen für eine Variable aus dem Symbol-Zeichensatz, so genügt es nach der Eingabe des lateinischen Zeichens anschließend noch die Tasten <Strg> + zu drücken. Sonderzeichen für Variablen findet man auch im Ressourcen-Fenster unter QuickSheet.

Seite 25

Variablen, Operatoren und Funktionen

Bemerkung: Beim Rechnen mit Einheiten ist bei der Definition von Variablen darauf zu achten, dass die Variablennamen nicht mit vordefinierten Einheitennamen des SI-Systems übereinstimmen (z.B. N, A, s, usw.) ! In Mathcad sind nämlich die Einheiten selbst als Variablen definiert ! Außerdem sollten keine bereits vordefinierten Namen für Funktionen und Konstanten verwendet werden. Sie verlieren sonst ihre Bedeutung! Warnmeldungen können über Menü-Extras-Einstellungen-Warnmeldungen aktiviert werden! Es erscheint bei fehlerhaften Variablen- oder Funktionsnamen eine grüne Wellenlinie. Mathcad unterscheidet nicht zwischen Variablennamen und Funktionsnamen. Wird z.B. f(x) und später auf dem gleichen Arbeitsblatt f als Variable definiert, so funktioniert die Funktion f(x) nachher nicht mehr. Mathcad unterscheidet zwischen Klein- und Großschreibung. Mathcad prüft die Formate und nicht die Schriften! So sind a bzw. a verschiedene Variablen und f(x) bzw. f(x) verschiedene Funktionen. Um Namenskonflikte auszuschließen, könnte auch der Namensraum-Operator (<Strg>+ +N) verwendet werden (siehe dazu die Mathcad Hilfe): m  10.5 ˜ m[unit]

§ ©

m

sin ( x)  sin[mc] ¨ x ˜ x

f ( x)  e

· 180 ¹ S

f ( 0)

1

sin ( 60 ) f ( x)  f[doc] ( x)  1

f ( 0)

Man beachte, dass die Benutzung des Namensraum-Operators komplett vermieden werden kann, wenn grundsätzlich verschiedene Namen auf den beiden Seiten einer Definition verwendet werden! Dies bringt mehr Klarheit in einem Arbeitsblatt. 2.1.2 Ungültige Variablennamen Ein Variablenname darf nicht mit einer Ziffer, einem Punkt oder dem Unendlich-Zeichen beginnen. Eine Zuweisung auf eine Variable mit Vektorpfeil ist ebenfalls nicht erlaubt. o 1 5 .a .Höhe 4a 9AB fA x 2.2 Operatoren Einige wichtige Operatoren sind aus der oben angegebenen Übersicht ( Symbolleiste-RechnenAuswertung und Boolesch ) zu entnehmen. Fünf wichtige Operatoren seien hier jedoch speziell erwähnt:

Z.B.

a 3

Lokaler Zuweisungsoperator ( Tastatureingabe mit < : > ). Der rechts stehende Ausdruck wird auf die links stehende Variable zugewiesen.

Z.B.

b { 25

Globaler Zuweisungsoperator ( < Alt Gr> + < ~ > ). Der rechts stehende Ausdruck wird auf die links stehende Variable zugewiesen.

Z.B.

3˜ x= 5  2˜ x

logischer Vergleichsoperator ( < Strg > + < + > )

Z.B.

a

numerischer Auswertungsoperator ( < = > )

Z.B.

3˜ a o 9

3

symbolischer Auswertungsoperator ( < Strg > + < . > )

Operatoren können aber auch selbst definiert werden (siehe dazu später Kapitel 17).

Seite 26

Variablen, Operatoren und Funktionen

Eine Reihe von Operatoren kann global im Arbeitsblatt umgestellt werden (Menü-Extras-Arbeitsblattoptionen Registerblatt-Anzeige ):

Abb. 2.3

Einige Operatoren können auch lokal umgestellt werden. Eine lokale Umstellung erreicht man über das Kontextmenü, das mit der rechten Maustaste aufgerufen werden kann:

Abb. 2.4

Abb. 2.5

Seite 27

Variablen, Operatoren und Funktionen

2.3 Variablendefinitionen Verschiedene Variable sind in Mathcad bereits mit einem festen Wert global vordefiniert, bzw. als Systemvariable im Menü-Extras-Arbeitsblattoptionen veränderbar (Abb. 2.6): Index des ersten Elementes eines Vektors oder einer Matrix bzw. eines Strings (kann auch lokal neu festgelegt werden): ORIGIN

0

Numerische Toleranz TOL bei Näherungsberechnungen (kann auch lokal neu festgelegt werden): TOL

1 u 10

3

Numerische Toleranz CTOL bei Näherungsberechnungen mit Nebenbedingungen (kann auch lokal neu festgelegt werden): CTOL

1 u 10

3

Zahlen, die kleiner als TOL bzw. CTOL sind, werden von Mathcad als Null dargestellt ! Abb. 2.6 Dezimalstellen, wenn Daten in eine ASCII-Datei geschrieben werden (kann lokal neu festgelegt werden):

Spaltenbreite, wenn Daten in eine ASCII-Datei geschrieben werden (kann lokal neu festgelegt werden):

PRNPRECISION

PRNCOLWIDTH

4

8

Zählvariable zur Steuerung von Animationen:

Eine Stringvariable, die das Verzeichnis des Arbeitsblattes angibt:

FRAME

CWD

0

Die Systemvariable ERR gibt die Größe des Fehlervektors für Näherungslösungen an: ERR

"C:\Mathcad\Einführung\"

Unendlich (<Strg>++). In numerischen Berechnungen wird eine Zahl mit begrenztem Wert eingesetzt. In symbolischen Berechnungen repräsentiert diese Zahl eine "unendliche" Größe ! f

1 u 10

307

Die Zahl S mit max. 15 Stellen: <Strg>++

Die Eulersche Zahl e mit max. 15 Stellen:

Für Prozentrechnungen:

S

e

%

3.14159265358979

2.71828182845905

Seite 28

0.01

Variablen, Operatoren und Funktionen 2.3.1 Lokale Variablen Beispiel 2.1: a 2

b  10 ˜ a

a 4 b  10 ˜ a

b

20

b

20

b

40

Die Auswertung wird im Dokument von oben nach unten und in jeder Zeile von links nach rechts durchgeführt. Einer lokale Variable ist also erst ab der Zeile, in der sie festgelegt wurde, gültig !

Beispiel 2.2: Die Variable k wurde erst nachher definiert.

Beispiel 2.3: Die Variable x wurde vorher nicht definiert.

Beispiel 2.4: Pfad  "c:\Name\Name1\Dat.prn" Fehlermeldung  "Temperatur > 1000 °C"

Zeichenketten- oder Stringvariable (zuerst <"> eingeben) Für die Verarbeitung von Zeichenketten stehen zahlreiche Zeichenkettenfunktionen (Stringfunktionen) zur Verfügung (siehe Anhang Funktionen).

2.3.2 Globale Variablen Beispiel 2.5: s1  20 ˜ t s1

60

Die Definition der globalen Variablen t erfolgt erst unterhalb des Ausdrucks, der s1 definiert.

t{3 t  10 s1

s1  20 ˜ t s1

Die lokale Redefinition von t hat keine Auswirkungen auf s1 !

60

200

Der Wert t = 3 der globalen Variablen wird durch die lokale Neudefinition des Wertes t = 10 "abgeschattet" ! Die lokale Zuweisung ist daher meist die bessere Wahl!

2.3.3 Indizierte Variablen (Vektoren und Matrizen) Indizierte Variablen können erzeugt werden mit: < Alt Gr > + < [ > oder mit

oder mit

Allgemeiner Bereich der Variablen ORIGIN: ...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Beispiel 2.6: ORIGIN  0

Der Index beginnt nach dieser Festlegung bei Null ( lokale Zuweisung). Eine globale Festlegung erfolgt über Menü-Extras-Arbeitsblattoptionen.

Seite 29

Variablen, Operatoren und Funktionen

i 2 a0

ai  i 0

a1

0

a2

2

§¨ 0 · a ¨0 ¸ ¨2 © ¹

Ausgabe des Vektors in Matrixform oder mit Spaltenund Zeilenbeschriftungen.

Die Darstellungsform eines Vektors kann über das Ergebnisformat Anzeige-Option und Matrix-Anzeigeformat (Abb. 2.7) geändert werden (Doppelklick auf die Tabelle oder Menü-Format-Ergebnis): Eine Umstellung eines Vektors in gewohnter Matrixform (Vektorform) auf die Form mit Zeilen- und Spaltenbeschriftung ist erst dann möglich wenn zuerst das Matrix-Anzeigeformat auf Tabelle umgestellt wird !

Abb. 2.7

Die Komponenteneigenschaften können über Eigenschaften in diesem Kontextmenü (Abb. 2.8) gewählt werden. Die Zeilen- und Spaltenbeschriftung (Abb. 2.9) ist davon abhängig, auf welchen Wert der ORIGIN gesetzt ist.

Abb. 2.8

Abb. 2.9

Seite 30

Variablen, Operatoren und Funktionen

Jede Darstellung als Tabelle kann nachträglich noch bearbeitet werden (Kontextmenü-rechteMaustaste). Dabei kann die Ausrichtung (Abb. 2.10) eingestellt und Teile der Tabelle kopiert oder in eine Datei exportiert werden.

Abb. 2.10

Beispiel 2.7: ORIGIN  1 i 2 b1

ORIGIN lokal zuweisen

bi  i 0

2

b2

§0 · ¨ ©2 ¹

Ausgabe als Vektor

§0 · ¨ ¨0 ¸ c ¨0 ¸ ¨ ©2 ¹

Ausgabe als Vektor

b

Beispiel 2.8: ORIGIN  1 i 2 c 1

ORIGIN lokal zuweisen

ci  i 0

c0

0

c1

0

c2

2

Beispiel 2.9: ORIGIN  1 i 2

ORIGIN lokal zuweisen j 2

Ai  j  i  j A1  1

0

A1  2

0

A2  1

0

A2  2

4

komponentenweise Ausgabe

A

§0 0 · ¨ ©0 4 ¹

Seite 31

Ausgabe als Matrix

Variablen, Operatoren und Funktionen

2.3.4 Bereichsvariablen Bereichsvariablen (Laufvariable) sind Variablen, deren Werte mit konstanter Schrittweite 'x = 1 oder 'x z1 in einem vorgegebenen Intervall variieren. Sie können erzeugt werden durch < ; > oder mit

aus der Symbolleiste Matrix.

Beispiel 2.10:

Beispiel 2.11:

Bereichsvariable mit Schrittweite 'x = 1:

Bereichsvariable mit Variablen definiert:

i  1  4

a 1

b 4

k  a  b

Die Ausgabe von "i =" bzw. "k=" erzeugt eine Tabelle (Liste). Es handelt sich hier aber nicht um einen Vektor! Die Darstellungsform kann, wie oben beschrieben ( Abb. 2.8, 2.9), geändert werden. k

1 1 2 3 4

i

1 2 3 4

1 2 3

Tabelle mit Spaltenund Zeilenbeschriftung

ohne Spaltenund Zeilenbeschriftung

4

Beispiel 2.12:

Beispiel 2.13:

Beispiel 2.14:

Beispiel 2.15:

i  1  2.5

j  2.5  1

k  1.5  1.5

m  1  4

i

j

k

m

1 2 3 4

1 -1 0 1 2

1 2.5 1.5 0.5 -0.5

1 2 3 4

1 2 3 4

1 1.5 0.5 -0.5 -1.5

2 1

1 2 3 4

1 4 9 16

Beispiel 2.16:

Beispiel 2.17:

Bereichsvariable mit Schrittweite 'x z 1:

Bereichsvariable mit Variablen definiert:

x  1  0.5  1

aufsteigend

a  1

x1  1  0.5  1

absteigend

y  a  a  'x  b

x

x1 1 1 2 3 4 5

-1 -0.5 0 0.5 1

y 1

1 2 3 4 5

1

1 0.5 0 -0.5 -1

1 2 3 4 5

Seite 32

-1 -0.5 0 0.5 1

b 1

'x  0.5

Variablen, Operatoren und Funktionen

Beispiel 2.18: Unterschied zwischen globaler und lokaler Bereichsvariable: global 1 1

-1

2

0

3

1

4

2

global { 1  2

Lokale Variablen können oberhalb einer lokalen Zuweisung nicht ausgewertet werden !

lokal  1  2

2.4 Funktionen In Mathcad sind bereits viele Funktionen vordefiniert. Sie können über den Menüpunkt Einfügen-Funktion (oder mit <Strg>+ <E> bzw. mit f(x) in der Symbolleiste) oder händisch eingefügt werden. Viele Funktionen können reelle-, komplexe-, Vektor- oder Matrixargumente bzw. Stringargumente annehmen. Siehe dazu die Mathcad Hilfe und im Anhang dieses Buches. Funktionen können aber auch selbst definiert werden, wie nachfolgend gezeigt wird.

Abb. 2.11

2.4.1 Einige nützliche vordefinierte Funktionen: wenn ( Bed  A1  A2 )

Bedingte Bewertung: Diese Funktion liefert als Ergebnis den Ausdruck A1, wenn die logische Bedingung Bed wahr ist und sonst A2.

f ( x)  wenn ( x  0  1  1)

f ( 2)

ceil ( x)

Gibt die kleinste ganze Zahl zurück, die größer gleich x (reell) ist. Das Argument darf keine Einheiten enthalten. Siehe auch Ceil(x,y).

floor ( x)

Gibt die größte ganze Zahl zurück, die kleiner gleich x (reell) ist. Das Argument darf keine Einheiten enthalten. Siehe auch Floor(x,y).

1

f ( 3)

Seite 33

1

Variablen, Operatoren und Funktionen

Abb. 2.12

ceil ( 4.76)

4

floor ( 4.76)

ceil ( 2.34)

5

3

floor ( 2.34)

2

Liefert den ganzzahligen Anteil einer reellen Zahl x . Das Argument darf keine Einheiten enthalten. Siehe auch Trunc(x,y).

trunc ( x) trunc ( 2.13)

2

trunc ( 12.0043)

rund ( x  n)

Rundet eine reelle Zahl x auf n Stellen. Das Argument darf keine Einheiten enthalten. Siehe auch Rund(x,y).

rund ( 3.12451  3)

3.125

rund ( 3.12451  4)

rund ( 3.12451  0)

3

rund ( 3.12451)

sign ( 1) mod ( x  y)

rund ( 3.612 )

3.12

4

sign ( 0)

0

sign ( 3)

1

1

mod ( 3  16 )

mod ( 3.45  2.15)

3

1.3

Heaviside-Sprungfunktion ( )(x) = wenn( x < 0 , 0, 1 ) ). ) ( 1)

0

) ( 0)

0

) ( 0.2)

1

1

Kronecker-Delta- oder Stoßfunktion ( G(m,n) = wenn( m = n , 1, 0 ) ).

G ( m  n)

G ( 2  4)

0

G ( 3  3)

0

1

Liefert gleichverteilte Zufallszahlen zwischen 0 und x.

rnd ( x) 2.35

rnd ( 3)

gcd ( x  y  .. )

ª ¬

1

mod ( 4  3)

0

) ( x)

rnd ( 3)

3

rund ( 3.12451  2)

Modulus von x durch y ( wobei das Ergebnis das Vorzeichen wie x hat). Liefert den Rest der Division, wenn der Zähler größer als der Nenner ist. Ist der Zähler kleiner als der Nenner, so ist das Ergebnis gleich dem Zähler.

mod ( 4  2)

G ( 5  2)

3.1245

Vorzeichenfunktion: Liefert 0 für x = 0, 1 für x > 0 und sonst -1.

sign ( x)

) ( 0.2)

12

Liefert den größten gemeinsamen Teiler von x, y, ... (greatest common divisor).

§ 1071 816 · º  1275» © 765 2703 ¹ ¼

gcd «306  ¨

lcm ( x  y  .. ) 56 · · ¨§ §¨ lcm ¨ ¨ 72 ¸ ¸ ¨ ¨ 100 ©© ¹¹

Setzt man den Cursor auf rnd und drückt die F9-Taste, so erhält man eine neue Zufallszahl !

1.56

51

Liefert das kleinste gemeinsame Vielfach von x, y, ... (least common multiple). 12600

a  72

b 4

gcd ( a  b) ˜ lcm ( a  b)

Seite 34

288

a˜ b

288

Variablen, Operatoren und Funktionen

2.4.2 Selbstdefinierte Funktionen Beispiel 2.19: Bestimmung des Dezimalanteils einer positiven reellen Zahl: mantisse ( x)  x  floor ( x) mantisse ( 1.13)

0.13

mantisse ( 8.34)

0.34

Beispiel 2.20: Runden einer positiven reellen Zahl: runden ( x)  wenn ( mantisse ( x)  0.5  floor ( x)  ceil ( x) ) runden1 ( x)  wenn ( x  floor ( x) t 0.5  ceil ( x)  floor ( x) ) runden ( 5.53)

6

runden1 ( 5.53)

runden ( 9.13)

6

runden1 ( 9.13)

9 9

runden ( 9.51) runden1 ( 9.51)

10 10

Beispiel 2.21: Definition einer quadratischen Funktion (lokal): 2

f ( x)  2 ˜ x  2

Die Werte der Argumente einer Funktion müssen vor der Definition einer Funktion noch nicht festgelegt werden.

a 1

Anfangswert des Intervalls [a,b]

b 5

Endwert des Intervalls [a,b]

n 8

Anzahl der Schritte im Intervall [a,b]

'x 

ba n

'x

Schrittweite

0.5

x  a  a  'x  b

Bereichsvariable (Laufvariable)

ORIGIN  1

ORIGIN für den Beginn der Zeilen- und Spaltenbeschriftung festlegen

x

f ( x) 1

1

1

1

1

4

2

1.5

2

6.5

3

2

3

10

4

2.5

4

14.5

5

3

5

20

6

3.5

6

26.5

7

4

7

34

8

4.5

8

42.5

9

5

9

52

Seite 35

Variablen, Operatoren und Funktionen

Beispiel 2.22: Definition einer Funktion mit Fehlermeldung (lokal): Fehlermeldung  "Der Logarithmus ist für x <= 0 nicht definiert !"

Eine Zeichenkette (String) ist zwischen Anführungszeichen einzuschließen!

g ( x)  wenn ( x ! 0  ln ( x)  Fehlermeldung) g ( 1) g ( 0)

"Der Logarithmus ist für x <= 0 nicht definiert !" "Der Logarithmus ist für x <= 0 nicht definiert !"

g ( 1)

0

g ( e)

1

Beispiel 2.23: Definition der Funktion h und f als Funktion mit 2 Argumenten (lokal): h ( f  x  y)  f ( x  y)  5 ˜ f ( x  y) 2

2

Definition einer verketteten Funktion h(f(x,y))

f ( x  y) 

x y

Definition einer Funktion f

h ( f  2  6)

37.947

Funktionswertberechnung durch direktes Einsetzen der Argumente

f ( 2  6)

Funktionswertberechnung durch direktes Einsetzen der Argumente

6.325

Beispiel 2.24: Definition der Funktion R(-) global (Lineare Temperaturabhängigkeit eines Widerstandes ): ORIGIN  1

ORIGIN für den Beginn der Zeilen- und Spaltenbeschriftung festlegen

°C  1

Definition der Temperatureinheit °C (keine SI-Einheit!)

R20  100 ˜ :

Widerstand bei 20° Celsius

D  0.0011 ˜ °C

1

'-  0 ˜ °C  0 ˜ °C  4 ˜ °C  40 ˜ °C

Temperaturkoeffizient in °C -1 Temperaturbereich in °C

R R20  D  '-

°C

: 1

Nachträgliche Definition der Funktion global:



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11



R R20  D  '- { R20 ˜ ( 1  D ˜ '- )

Seite 36



'-

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

100 100.44 100.88 101.32 101.76 102.2 102.64 103.08 103.52 103.96 104.4



Variablen, Operatoren und Funktionen

Beispiel 2.25: Definition einer Funktion, die gleichverteilte ganzzahlige Zufallszahlen im Bereich von 0, 1, 2, ..., N liefert. Definition einer Funktion, mit der entschieden werden kann, ob eine natürliche Zahl ungerade ist. rndganz ( N)  floor ( rnd ( N  1) )

ungerade ( N)  mod ( N  2) ! 0

i  0  3

N 3

rndganz ( i) 0 1 1 1

Setzt man den Cursor auf rndganz oder floor bzw. rnd und drückt F9, so erhält man hier verschiedene Zufallszahlenreihen !

N1  4

ungerade ( N) ungerade ( N1 )

1 0

1 steht für wahr und 0 für falsch!

Beispiel 2.26: Definition einer Logarithmusfunktion mit den Basen a bzw. b. lb ( x)  lb ( 10 )

ln ( x) ln ( 2) 3.322

oder

loga ( x) 

b 2

logb ( x)  log ( x  b)

lb ( x)  log ( x  2)

lg ( x)  log ( x)

lb ( 10 )

lg ( 10 )

3.322

ln ( x)

a 2

ln ( a)

oder

loga ( 10 )

3.322

logb ( 10 )

3.322

lg ( x)  log ( x  10 )

1

Tritt ein Fehler bei der Auswertung auf, so wird dieser angezeigt. Ein auftretender Fehler kann zurückverfolgt werden (den Cursor mit der rechten Maustaste auf den fehlerhaften Bereich setzen- Abb. 2.13). Die Rückverfolgung (Abb. 2.14) ist nicht immer möglich! Abb. 2.13

Abb. 2.14

Beispiel 2.27: Definition von Temperaturfunktionen. °C  1

Definition von °C (keine SI-Einheit)

T ( - )  ( -  273.15) ˜ K - ( T) 

§ T  273.15· ¨ ©K ¹

T ( 100 ˜ °C )

373.15 K

- ( 100 ˜ K)

173.15 °C

Seite 37

Temperatur in Kelvin Temperatur in °C

Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten

3. Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten Das Numerische-Ergebnisformat ist über Menü-Format-Ergebnis wählbar. Durch Doppelklicken auf ein numerisches Ergebnis kann ebenfalls das Ergebnisformat geändert werden.

Abb. 3.1

3.1 Numerisches Rechnen Rechnen mit reellen Zahlen: Die Anzahl der Dezimalstellen im Dialogfeld Ergebnisformat erlaubt einen Maximalwert von 17. Beispiel 3.1: 10

 15

1 u 10

 15

10

 16

Die Anzahl der Dezimalstellen ist hier numerisch maximal 15 !

0

Hier wird im Nenner die größtmögliche Zahl 10307 in Mathcad überschritten ! Optimiert man diesen Ausdruck (Kontextmenü über rechte Maustaste (Optimieren) bzw. Menü-Extras-Optimieren ), so erscheint ein Sternchen. Dieses Sternchen gibt an, dass eine exakte Lösung gefunden wurde. Nach zweifaches Anklicken des rechten Ausdrucks (mit Sternchen) erscheint eine Dialogbox, in der das exakte Ergebnis angezeigt wird ( oder Klick der rechten Maustaste auf den auszuwertenden Ausdruck - Optimierung anzeigen) !

3y 4

a  3.25

3

1

ein anderer Divisionsoperator (siehe Taschenrechner)

0.75 a

13

Ergebnisformat Bruch

4

gemischtzahlige Darstellung (siehe Taschenrechner)

3.2

5

7

5 4

1

3.75

4.2

§S· ©2¹

sin ¨

7.25

1

5

2

2

˜8 

7

1

232.2

56  5 ˜ 3

6.403

4

456.125  12.36

5 217.363 1

56

56

cos ( 0)

1

S

3.142

tan ( S )

Seite 38

0

6

720

ln ( 5.76)

1.751

4.59

Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten

3

1 10

3˜ e

1

5

6.608 u 10

4

120

e

2.718

log ( 100)

2

Um eine reine Dezimalausgabe zu erhalten, muss die Exponentialschwelle im Ergebnisformat-Fenster Registerblatt-Zahlenformat um einen Wert höher (hier auf 5) gesetzt werden.

Bei Berechnungen müssen oft auch signifikanten Stellen beachtet werden. Mathcad kann nicht automatisch signifikanten Stellen handhaben. Man muß dies selbst vornehmen, d.h. die Anzahl der Dezimalstellen eines Ergebnisses ändern. Die Null-Toleranz auf der Registerkarte Toleranz (Abb. 3.1) kann zwischen 0 und 307 liegen. Die NullToleranz besagt, wie klein eine Zahl sein muss, bevor sie als Null angezeigt wird. Die Standardeinstellung von 17 beispielsweise besagt, dass jede Zahl kleiner als 10

-15

als Null dargestellt wird.

Darstellung von reellen Zahlen x im Binär (b), Oktal (o)- oder Hexadezimalsystem (h) : Alle Zahlen müssen |x| < 2 31 sein. Die Basis für das System kann im Ergebnisformat-Fenster Anzeige-Optionen geändert werden. Die Standardeinstellung ist Dezimal.

Abb. 3.2

Beispiel 3.2: x  11110000b

x

360o

x

0f0h

x

240

x  360o

x

0f0h

x

11110000b

x

240

235

235

0ebh

353o

bzw. umgekehrt

0ebh

235

353o

235

Bei der Eingabe einer Hex-Zahl, z.B. 5AB, fügt der Editor von Mathcad nach der Ziffer 5 einen Multiplikationsoperator ein. Dieser muss nach der Eingabe der Hex-Zahl gelöscht werden, bevor sie mit "=" ausgewertet werden kann ! 5ABh

1.451 u 10

3

Rechnen mit komplexen Zahlen: Für die imaginäre Einheit wird hier j verwendet (global auf i oder j einstellbar - siehe Ergebnisformat-Anzeige-Optionen ). Bei einer symbolischen Auswertung mit den Symbolischen Operatorenoder über das Symbolik-Menü wird selbst bei einer Einstellung im Ergebnisformat-Fenster der imaginären Einheit auf j immer i ausgegeben ! Zu beachten ist, dass j immer als 1j (ohne Malpunkt) eingegeben wird ! Eine konjugiert komplexe Variable oder Zahl wird mit der Taste < " > eingegeben.

Seite 39

Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten

Gaußsches Koordinatensystem:

1 Abb. 3.3

j

Imaginäre Einheit.

Eine komplexe Zahl kann als Punkt, Strecke oder als Zeiger ("Ortsvektor") im Gaußschen Koordinatensystem dargestellt werden.

Beispiel 3.3: x  23.5

y  16.6

z  x  y˜ j

Komplexe Zahl in Komponentenform (Benutzerformat Fett und Unterstreichen)

z

Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl

23.5  16.6j

 z 23.5  16.6j

Konjugierte komplexe Zahl in Komponentenform. z eingeben und mit Cursor markieren, dann die Anführungszeichentaste <"> drücken.

r r

Betrag der komplexen Zahl (Länge des Zeigers)

z 28.772

Re ( z )

23.5

Im ( z )

Real- und Imaginärteil von z

16.6

Der Winkel zwischen reeller Achse und Zeiger kann auf verschiedene Art und Weise berechnet werden: M  arg ( z )

S  arg ( z ) d S

M

Winkel in Radiant

0.615

M

35.237 Grad

Winkel in ° (Grad im Platzhalter nach der Dezimalzahl eingeben)

M1

0.615

atan2 im Bereich -S < M2 d S

M 2  atan ¨

M2

0.615

atan im Bereich -S/2 < M1 < S/2

M 3  winkel ( x  y)

M3

0.615

Winkel im Bereich 0 d M3 < 2S

M 1  atan2 ( x  y)

§ y· © x¹

z  r ˜ ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) z

23.5  16.6j

Es gilt: atan2(x,y) = arg(x + y*j)

Komplexe Zahl in Polarkoordinatenform Ausgabe in Komponentenform

z ˜ cos ( arg ( z ) )  z ˜ sin ( arg ( z ) ) ˜ j

23.5  16.6j

‘ ( r  M )  r ˜ ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) )

Versor Darstellung einer komplexen Zahl (Siehe Kapitel 17)

z1  r ‘ M

Eingabe mit dem Infix-Operator (Symbolleiste-Auswertung)

z1

23.5  16.6j

‘ (r  M )

23.5  16.6j

Seite 40

Auswertung in Komponentenform

Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten

Mithilfe der Eulerschen Beziehungen erhält man die Exponentialform: j ˜M

e

 j ˜M

= cos ( M )  j ˜ sin ( M )

e

j ˜M

 j ˜M

z1  r ˜ e

z2  r ˜ e

23.5  16.6j

z1

= cos ( M )  j ˜ sin ( M )

z2

Komplexe Zahlen in Exponentialform

23.5  16.6j

Ausgabe in Komponentenform

Beispiel 3.4: z 1  5.3451  0.000781 ˜ j z1

5.3451  7.81j u 10

z1

5.3451

z2 z3 2

z2

z2

Komplexe Toleranzschwelle 4 (Siehe Ergebnisformat-Fenster Registerblatt-Toleranz). Komplexe Toleranzschwelle 3 (unterdrückt bzw. setzt Im(z)=0!)

z2  3  4 ˜ j z1  z2

4

z 3  1  j

8.345  4.001j

3.5  0.5j

z3

o

3

7  24j

z3 3

2 j



M  arg z 2 k  0  1

z2

z2  z3 7 2

1 2

˜i

2  2j 0.794  0.794j

z3 M



4  5j

53.13 Grad

k1  0  2

§ M  k˜2˜S · 2 ¹ z2 ˜ e ©

z2 ˜ z3

z k1 

3

§ M k1˜2˜S · 3 ¹ z2 ˜ e ©

Summe, Differenz und Produkt zweier komplexer Zahlen

numerische und symbolische Auswertung eines Quotienten

Potenzen komplexer Zahlen

Die Wurzeln liefern natürlich nur den Hauptwert ! Auch bei der 3. Wurzel wird nur der Hauptwert berechnet ! Winkel Bereichsvariable

j ˜¨

zk 

1  7j

z

§ 2 j · ¨ © 2  j ¹

Haupt- und Nebenwert!

z

§¨ 1.629  0.52j · ¨ 1.265  1.151j ¸ ¨ 0.364  1.671j © ¹

Haupt- und Nebenwerte!

j ˜¨

Seite 41

Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten 3.2 Numerische- und symbolische Auswertung Es gibt zwei Arten der symbolischen Auswertung von mathematischen Ausdrücken: x Menügesteuerte Auswertung über Menü Symbolik. Das Auswertungsformat kann für die menügesteuerte Auswertung im Menü-Symbolik-Auswertungsformat eingestellt werden. x Live-symbolische Auswertung mithilfe der Symbolleiste "Symbolische Operatoren" bzw. mit dem symbolischen Gleichheitszeichen (Operator "o" aus der Symbolleiste- Auswertung oder <Strg>+<.>). Die symbolische Auswertung erfolgt mit einem eingeschränkten Maple Kern. Es kann daher nicht erwartet werden, dass im Vergleich zum vollständigen Mapple-Kern, ein symbolisches Ergebnis gefunden werden kann !

Abb. 3.4

Beispiel 3.5: 1 13 1 13

1 13 1 13 1 13











1 10 1 10

1 10 1 10 1 10











1 11 1

123

11

1430

1 11 1 11 1 11

numerische Auswertung mit "="

0.086

o

Das Ergebnis kann über das Ergebnisformat-Fenster Registerblatt- Zahlenformat auf Bruchdarstellung umgestellt werden. Hier ist jedoch Vorsicht geboten, denn Mathcad arbeitet natürlich mit Maschinenzahlen. So lässt sich demnach eine irrationale Zahl auch als Bruch darstellen !

123

symbolische Auswertung mit Operator "o"

1430

ergibt

123 1430

Menügesteuerte symbolische Auswertung: Auswertungsformat: "Horizontal" und "Kommentare anzeigen". Menü-Symbolik Auswerten-Symbolisch (Liefert das gleiche Ergebnis wie der Operator "o").

Gleitkommaauswertung ergibt

.086013986013986013986

Menü-Symbolik-Auswerten-Gleitkomma . Die Nachkommastellen können bei der Auswertung eingestellt werden. Die Standardeinstellung ist 20. Bis zu 4000 Nachkommastellen können hier eingestellt werden. Bei zu hoher Anzahl von Nachkommastellen wird man jedoch aufgefordert, das Ergebnis über die Zwischenablage als Textregion einzufügen.

Seite 42

Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten

Beispiel 3.7:

Beispiel 3.6: 3

4

1.732 1

3o3

1

2

4 o ( 4)

Gleitkommaauswertung ergibt

3

sin ¨

©3¹

o

1 2

˜3

§S·

2

cos ¨

©4¹

o

4

ergibt

1

4

Gleitkommaauswertung ergibt

4

Auswertung über komplexer Ebene ergibt 2 ˜ i

1 2

˜2

2  3j 1  2j

2  2j

o

8 5



ergibt

1  2j 2  3j

1 5

˜i

2  2j o 2 ˜ 2

8 5



1 5

˜i

Gleitkommaauswertung ergibt

1  2j 2  3j

Auswertung über komplexer Ebene ergibt

5

1 5

1.6  .20 ˜ i

2 1

2˜ 2

2

2  2j

ergibt

2  2j

Gleitkommaauswertung ergibt

2.828

2  2j

1  2j



2.828 1

2  3j

8

2. ˜ i

Beispiel 3.9:

1.6  0.2j

1  2j

2˜ i

2

Beispiel 3.8: 2  3j

2

1.732050808

1

§S·

Im Ergebnisformatfenster wurde die imaginäre Einheit auf j gestellt. Die numerische Auswertung liefert j und die symbolische Auswertung liefert jedoch i !

2j

Auswertung über komplexer Ebene ergibt 2˜

˜i

2

Zur symbolischen Auswertung mit der "live symbolic" (Symbolleiste "Symbolische Operatoren") stellt Mathcad auch eine Reihe von Schlüsselwörtern zur Verfügung.

Abb. 3.5

Seite 43

Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten

Beispiel 3.10: 26 10 26 10 26 10

  

1 13 1 13 1 13

  

5 29 5 29 5 29

gleit o 2.8493368700265251989 gleit  4 o 2.849 vereinfachen o

5371

Ausdruck markieren und in der Symbolleiste "Symbolische Operatoren" gleit wählen, bzw. zuerst den symbolischen Auswertungsoperator mit <Strg>+ <.> erzeugen. Nach "gleit" steht eine Zahl zwischen 0 und 250. Standardmäßig sind 20 Stellen eingestellt.

1885

Beispiel 3.11: 20 vereinfachen o 2432902008176640000 70 gleit  50 o 1.1978571669969891796072783721689098736458938142546 ˜ 10

100

§ 1 · gleit  30 o .877582561890372716116281582604 © 2¹

cos ¨

cos ( 0.5) gleit  30 o .87758256189037271612 Beispiel 3.12: n

n  21

2

p 2  1

p faktor o 7 ˜ 127 ˜ 337

Beispiel 3.13: 3

2

3

2

3.0005 ˜ j  ( 2.22  j ) komplex o 3.9284  1.4395 ˜ i 3.0005 ˜ j  ( 2.22  j ) gleit  3 o 3.93  1.44 ˜ i Beispiel 3.14: ln ( 2  2 ˜ j ) komplex o

1 2

˜ ln ( 8) 

1 4

˜i˜S

Mathcad berechnet nur den Hauptwert !

Beispiel 3.15: j ˜M1

r1 ˜ e

o r1 ˜ exp ( i ˜ M1) komplex o r1 ˜ cos ( M1)  i ˜ r1 ˜ sin ( M1)

Durch einem Klick mit der rechten Maustaste auf ein Produkt erhält man ein Kontextmenü (Abb. 3.6), in dem die Multiplikation auf verschiedene Art und Weise dargestellt werden kann:

Abb. 3.6

Seite 44

Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten

3.3 Rechnen mit Einheiten Über die Menüoption Extras-Arbeitsblattoptionen Registerblatt-Einheitensystem kann man das gewünschte Einheitensystem wählen: SI, MKS, CGS, US oder keine Einheiten. Im RegisterblattDimensionen können die Dimensionsnamen angezeigt und geänder t werden. Für das SI-System sind 7 Basiseinheiten, Kilogramm (kg), Meter (m), Sekunde (s), Ampere (A), Kelvin (K), Candela (cd) und Mol (mol), festgelegt. Es ist immer darauf zu achten, dass bei Berechnungen mit Einheiten keine Variablen definiert werden, die mit einer vordefinierten Einheit übereinstimmen (z.B. s, A usw.) !

Abb. 3.7 Die vordefinierten Einheiten können bei Berechnungen direkt über die Tastatur eingegeben oder über den Menüpunkt Einfügen-Einheit oder mit <Strg>+ bzw. über das Bechersymbol in der Symbolleiste ausgewählt und eingefügt werden. Einige abgeleitete Einheiten sind bereits vordefiniert oder können direkt im Mathcad Arbeitsblatt definiert (lokal oder global) werden. Werden öfters mehrere abgeleiteten Einheiten in einem Arbeitsblatt verwendet, so ist es zweckmäßig, diese in einem eigenen Arbeitsblatt zusammenzufassen und dieses dann jeweils mit einem Verweis (Menüpunkt Einfügen-Verweis) in das jeweilige Arbeitsblatt einzubeziehen. Durch Eingabe der gewünschten Einheit in den rechts von einer Einheit stehenden Platzhalter, kann die Einheit händisch geändert werden. Mittels Doppelklick auf den Platzhalter öffnet sich das Fenster Einheit einfügen (Abb. 3.8). Die Einheit kann dann daraus ausgewählt werden. Das Ergebnis eines Ausdruckes mit Einheiten wird immer in Basiseinheiten angezeigt.

Abb. 3.8

Seite 45

Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten

Beispiel 3.16: Normdarstellung (normierte Gleitkommadarstellung) von Zahlen: Jede Zahl x lässt sich in genormter Gleitkommadarstellung, d.h. als Produkt einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz, schreiben: x   und x = ± a * 10 k mit 1 d a < 10. 2

8

510000000 ˜ km

0.000000000056357 ˜ m 3

2

5.1 u 10 km

60000 ˜ 0.0002

Oberfläche der Erde

5.6357 u 10

4

72000000 ˜ 0.0012

1.92901 u 10

5

 11

m

6

Durchmesser eines Elektrons

Bruchberechnung

Beispiel 3.17: Berechnung der Fallhöhe h1 (h ist die Einheit für Stunden und t steht für Tonne) eines Körpers ohne Luftwiderstand:



h1 t 1  g

9.807

g 2

2

˜ t1

Funktion zur Berechnung der Fallhöhe

m s

h1 ( 10 ˜ s )

g ist in Mathcad bereits vordefiniert !

2

Fallhöhe nach 10 s

490.332 m

t1  0 ˜ s  1 ˜ s  5 ˜ s

Bereichsvariable für die Zeit



h1 t 1



t1

h1 t 1

m

0 s

0.000 m

0.000

1

4.903

4.903

2

19.613

3

44.130

44.130

4

78.453

78.453

5

122.583

122.583

bzw:

19.613

Verschiedene Ausgabemöglichkeiten für Tabellen mit Einheiten (siehe auch Kapitel 2)

Beispiel 3.18: Berechnung der Gravitationskraft zweier Körper: m1  5000 ˜ kg

m2  100000 ˜ kg

r  0.5 ˜ m

Abstand der Körper

J  6.67 ˜ 10

 11

m

˜

3

kg ˜ s FG ( r)  J ˜

Masse der Körper

m1 ˜ m2 2

2

Gravitationskonstante

Gravitationskraft als Funktion definiert

r

Seite 46

Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten

FG ( r)

0.133 N

FG ( 5 ˜ m )

Berechnung der Kraft für verschiedene Abstände

0.001 N

r  0.1 ˜ m  0.1 ˜ m  0.1 ˜ m  0.6 ˜ m

Bereichsvariable für verschiedene Abstände

Verschiedene Ausgabemöglichkeiten für Tabellen mit Einheiten (siehe auch Kapitel 2).

Beispiel 3.19: Berechnung der Coloumbkraft zweier Ladungen: Q1  300 ˜ 1.602 ˜ 10 r  10

 10

FC ( r)

Q2  10

 13

˜C

Ladungen Abstand der Körper

pF

elektrische Feldkonstante

m 1

4 ˜ S ˜ H0

˜

Q1 ˜ Q2

Coloumbkraft als Funktion definiert

2

r

4.320 N Berechnung der Kraft für verschiedene Abstände

FC ( 5 ˜ r) r  10

˜C

˜m

H 0  8.854 ˜

FC ( r) 

 19

 10

0.173 N ˜ m  2 ˜ 10

 10

˜ m  5 ˜ 10

 10

˜m

Bereichsvariable für verschiedene Abstände

FC ( r) r

FC ( r) 1·10 -10 2·10 -10 3·10 -10

m

-4.3195

N N

-4.3195

-1.0799 -0.4799

-1.0799

bzw.

-0.4799

4·10 -10

-0.27

-0.27

5·10 -10

-0.1728

-0.1728

Verschiedene Ausgabemöglichkeiten für Tabellen mit Einheiten (siehe auch Kapitel 2)

Seite 47

Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten

Beispiel 3.20: Berechnung von Funktionswerten, wenn die Einheiten bereits in der Funktionsgleichung auftreten:



2

f t1  t1 ˜ min

Funktionsgleichung mit Einheiten

t1  0  3

Bereichsvariable

Tage  Tag

Definition von Tage (Tag ist als Einheit bereits vordefiniert).

f t1



f t1



f t1



f t1

s

min

h

Tage

0

0



0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

60

1

1

1

0.017

1

0.001

2

240

2

4

2

0.067

2

0.003

3

540

3

9

3

0.15

3

0.006

Beispiel 3.21: Eine Pipeline ist 1250 km lang. Der Außendurchmesser der Rohre beträgt 1.24 m. Ist sie auf der ganzen Länge mit Öl gefüllt, so enthält sie 1.460 * 10 Wieviel Stahl der Dichte 7.70 g * cm L1  1250 ˜ km

Liter Öl. Welche Wandstärke hat das Rohr?

war zur Herstellung nötig?

9

Volumen innen in Liter

2

Volumen außen

Va  ( 0.62m) ˜ S ˜ L1 Wandstärke  0.64 ˜ m 

t

9

Länge des Rohres

Vi  1.46 ˜ 10 ˜ l

Masse 

-3

Vi S ˜ L1

Va  Vi ˜ 7.7 ˜ t ˜ m 3 3

1 u 10 kg

Wandstärke

Masse

0.03 m

8

3.814 u 10 kg

Masse

381421.579 t

t ist als Einheit für Tonne definiert

Beispiel 3.22: Die Sonne ist näherungsweise eine Kugel mit dem Radius 6.96 * 10 1.41 g * cm

-3.

5

3

U s  1.41 ˜ gm ˜ cm 4 3

km und der mittleren Dichte

Welche Masse hat die Sonne ?

Rs  6.96 ˜ 10 ˜ km

Ms 

5

3

˜ S ˜ Rs ˜ U s

Sonnenradius mittlere Dichte (für Gramm g wird in Mathcad gm verwendet) Ms

1.991 u 10

30

Seite 48

kg

Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten

Beispiel 3.23: Welche Masse hat ein Wasserstoffatom ? mp  1.6726231 ˜ 10 me  9.1093897 ˜ 10 matH  1.007825 ˜

 27

 31

˜ kg

Masse des Protons

˜ kg

Masse des Elektrons

gm

Atomgewicht vom Wasserstoff (für Gramm g wird in Mathcad gm verwendet)

mol

NA  6.0221367 ˜ 10

23

˜ mol

mh  m p  m e matH NA

1

Avogadro Konstante

mh o 1.6735340389700000000 ˜ 10

o 1.6735339136356702099 ˜ 10

-24

matH

˜ gm oder

NA

-27

˜ kg

Masse des Wasserstoffs

gleit  5 o 1.6735 ˜ 10

-24

˜ gm

matH NA

1

mh

Beispiel 3.24: Der in der Deutschland bis heute angefallene radioaktive Abfall füllt einen Würfel mit der Kantenlänge 50 m. Die mittlere Dichte des Abfalls betrage 6 g * cm -3 . Wieviele Lastwagen mit 7t Nutzlast braucht man zum Transport des Abfalls ? Wie lang wird die Reihe, wenn man sich alle Lastwagen hintereinander gestellt denkt, wobei jeder 10 m Platz braucht ? 3 3

3

m0  50 m ˜ 6 ˜ gm ˜ cm

§ m0 ·

ceil ¨

© 7t ¹

107143

m0

Anzahl der Lastwagen

m0 7t

8

7.5 u 10 kg ˜ 10m

1071.43 km

Masse M der Abfallmenge

Länge der Lastwagenkette

Beispiel 3.25: Man berechne das Volumen des nachfolgend gegebenen Trichters.

L0  17 ˜ m

D  10 ˜ m

Abb. 3.9

Seite 49

gegebene Daten

Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten

Vol ( L  D) 

"Volumen eines Trichters" "Seitenlänge L, R - Radius der Grundfläche" Rm

Dieses Unterprogramm wird mithilfe der Symbolleiste Programmierung erstellt (siehe dazu Kapitel 18).

D 2 2

hm

2

L R

Abb. 3.10

2

AmS˜R Vm





Vol L0  D

1 3

˜A˜h

425.374 m

3

oder

Vol ( 17 ˜ m  10 ˜ m)

425.374 m

In den Platzhalter m 3 eingeben (L steht für Liter)

3

3.3.1 Winkelmaße Winkelmaße werden standardmäßig in Radiant (rad) angegeben. Multipliziert man mit Grad, so erhält man das Gradmaß. M  3.31

sin ( M )

0.168

sin ( M ˜ rad)

M  30 ˜ Grad

sin ( M )

0.5

sin ( 30 ˜ Grad)

°

S 180

°  Grad

Definition von Grad

sin ( 30 °)

Definition von Grad

sin ( 30°)

0.168 0.5

0.5 0.5

Winkelangaben in Grad, Minuten und Sekunden in Radiant umwandeln:

§ gr  mi  se · 2 180 ¨ 60 60 ¹ © S

uwf ( gr  mi  se) 

Definition einer Umwandlungsfunktion.

Umwandlung von M = 26°17'13" : gr  26

mi  17

se  13

uwf ( gr  mi  se)

0.4587937308

Winkel in Radiant

uwf ( gr  mi  se)

26.2869444444 Grad

Winkel in Dezimalgrad

3.3.2 Festlegung von nicht vordefinierten Einheiten (lokal oder global) Vordefinierte 7 Basiseinheiten: m

1m

kg

1 kg

s

1s

A

1A

K

1K

cd

1 cd

mol

1 mol

Zusätzlich ist noch das ebene und räumliche Winkelmaß rad und steradiant definiert: rad

1 rad

str

1 str

Seite 50

Mol

1 mol

Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten

Einige vordefinierte abgeleitete Einheiten: Pm

mm

Ps

ms

gm

1 u 10

3

kg

bar

t

0.001 m

1000 kg

Pa

cm

0.01 m

min

60 s

km

3.6 ˜

1000 m

h

3600 s

Tag

km h

1

m s 4

8.64 u 10 s

kN

1 Pa

MPa

Selbstdefinierte Einheiten und Einheitenvereinfachung: 1

Monat 

12

˜ Jahr

2420 ˜ Tag

Woche  7 ˜ Tag

Woche

Tage  Tag

48 ˜ h

ps  10

12

3 ˜ kg ˜ 6 ˜ m 18 ˜ s

2

3.571 u 10

10472335900200 ˜ W

˜s

0.0025763004 ˜ s 3 ˜ kg ˜ 6 ˜ m

1N

Woche

168 h

2 Tage

2.8 ˜ A

˜W

 12

5

6.048 u 10 s

100000 ˜ V

9

G:  10 ˜ : TW  10

79.509 Monat

18 ˜ s

2

2

1J

5

G:

10.472 TW 9

2.576 u 10 ps Die Einheiten werden durch die Einstellungen, wie in Abb. 3.11 abgebildet, vereinfacht.

Doppelklick mit der Maustaste auf das Ergebnis oder Menü-Format-Ergebnis "Einheiten formatieren" und "Einheiten wenn möglich vereinfachen" aktivieren.

Abb. 3.11

a 2˜ m

SIUnitsOf ( a)

°C  1

-  5 ˜ °C

Mit dieser Funktion kann die Einheit ermittelt werden. -

Nicht SI-gerechte Definition für die Temperatur.

5 °C

Seite 51

Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten

1

U/min  n  30 ˜

Nicht SI-gerechte Definition (Schrägstrich mit <Strg>++ eingeben).

60s 1

n

s

z  30 ˜ cm

1800 U/min

z  0.2 ˜ cm

0.302 m

ceil ( z  0.2 ˜ cm)

Mathcad rechnet mit SI-Basiseinheiten! Achtung beim Rechnen mit Einheiten in Argumenten von Funktionen!

§ z  0.2· ˜ cm 31 cm © cm ¹

ceil ¨

Liefert hier das richtige Ergebnis.

Der Potenzierungs-Operator ist nicht in der Lage, auf die Dimensionen in Berechnungen zu schließen: a 3˜ m

x

x 3

a

27 m

3

aber

3

a

27 m

3

Vorsilben und Einheiten (zusammengefasst in einer Matrix bzw. in Vektoren):

§ Yotta ¨ ¨ ¨ Zetta ¨ ¨ Exa ¨ ¨ Peta ¨ Tera ¨ ¨ Giga ¨ ¨ Mega ¨ ¨ Kilo ¨ ¨ Hekto ¨ Deka ¨ ¨ Dezi ¨ ¨ Zenti ¨ ¨ Milli ¨ ¨ Mikro ¨ ¨ Nano ¨ ¨ Piko ¨ ¨ Femto ¨ ¨ Atto ¨ ¨ Zepto ¨ © Yocto

Y

10

24

·

z

¸ ¸ 18 ¸ 10 ¸ 15 ¸ 10 ¸ 12 ¸ 10 ¸ 9 ¸ 10 ¸ 6 ¸ 10 ¸ 3 ¸ 10 ¸ 100 ¸ 10 ¸ ¸ 1 ¸ 10 ¸ 2 ¸ 10 ¸ 3 ¸ 10 ¸ 6 ¸ 10 ¸ 9 10 ¸ ¸  12 10 ¸  15 ¸ 10 ¸  18 ¸ 10 ¸  21 ¸ 10 ¸

y

10

Z E P T G M k h da d c m P n p f a

10

21

 24

¹

§ 10 24 · ¨ ¨ 21 ¸ ¨ 10 ¸ § Yotta · ¨ 10 18 ¸ ¸ ¨ ¨ ¨ Zetta ¸ ¨ 10 15 ¸ ¸ ¨ Exa ¸ ¨ ¸ ¨ 10 12 ¸ ¨ ¸ ¨ Peta ¸ ¨ ¨ Tera ¸ ¨ 10 9 ¸ ¸ ¸ ¨ ¨ ¨ Giga ¸ ¨ 10 6 ¸ ¸ ¨ Mega ¸ ¨ ¸ ¨ 10 3 ¸ ¨ ¸ ¨ Kilo ¸ ¨ ¨ Hekto ¸ ¨ 100 ¸ ¸ ¨ 10 ¸ ¨ ¸ ¨ Deka ¸  ¨ ¨ Dezi ¸ ¨ 10  1 ¸ ¸ ¸ ¨ ¨ ¨ Zenti ¸ ¨ 10  2 ¸ ¸ ¨ Milli ¸ ¨ ¸ ¨ 10  3 ¸ ¨ ¨ Mikro ¸ ¨  6 ¸ ¨ Nano ¸ ¨ 10 ¸ ¸ ¨ 9 ¸ ¨ ¨ Piko ¸ ¨ 10 ¸ ¨ Femto ¸ ¨  12 ¸ ¸ ¸ ¨ 10 ¨ Atto ¸ ¨  15 ¸ ¨ ¸ ¨ Zepto ¸ ¨ 10 ¨ ¨  18 ¸ © Yocto ¹ ¨ 10 ¸ ¨  21 ¸ ¸ ¨ 10 ¨  24 © 10 ¹

§Y· ¨ ¨Z ¸ ¨E¸ ¨ ¸ ¨P¸ ¨T ¸ ¨ ¸ ¨G ¸ ¨M ¸ ¨ ¸ ¨k ¸ ¨h ¸ ¨ ¸ ¨ da ¸  ¨d ¸ ¨ ¸ ¨c ¸ ¨m ¸ ¨ ¸ ¨P ¸ ¨n ¸ ¨ ¸ ¨p ¸ ¨ f ¸ ¨ ¸ ¨a ¸ ¨z ¸ ¨ ©y ¹

Seite 52

§ Yotta · ¨ ¨ Zetta ¸ ¨ Exa ¸ ¸ ¨ ¨ Peta ¸ ¨ Tera ¸ ¸ ¨ ¨ Giga ¸ ¨ Mega ¸ ¸ ¨ ¨ Kilo ¸ ¨ Hekto ¸ ¸ ¨ ¨ Deka ¸ ¨ Dezi ¸ ¸ ¨ ¨ Zenti ¸ ¨ Milli ¸ ¸ ¨ ¨ Mikro ¸ ¨ Nano ¸ ¸ ¨ ¨ Piko ¸ ¨ Femto ¸ ¸ ¨ ¨ Atto ¸ ¨ Zepto ¸ ¨ © Yocto ¹

Beispiele: Mikro

1 u 10

Nano

1 u 10

Kilo Deka

1 u 10 10

3

6

9

P

1 u 10

n

1 u 10

k

1 u 10

da

10

6

9 3

Umformen von Termen

4. Umformen von Termen

Vor einer Auswertung über das SymbolikMenü sollte zuerst das Auswertungsformat eingestellt werden.

Abb. 4.1

Symbolleiste Symbolische Operatoren. Hier stehen zahlreiche Operatoren und einige Modifikatoren für die symbolische Auswertungen zur Verfügung.

Abb. 4.2 4.1 Polynome Bei den nachfolgenden Beispielen wird jeweils von verschiedenen Umformungsmöglichkeiten ( Symbolische Auswertung (Menü-Symbolik) und die Auswertung mit Symbolischen Operatoren) Gebrauch gemacht. Auch das Auswertungsformat wurde voreingestellt (z.B. Horizontal und Kommentare anzeigen). 4.1.1 Multiplikation und Summe von Polynomen Auswerten: Vereinfachen: Erweitern: Faktorisieren: Zusammenfassen:

Symbolische und komplexe Auswertung. Vereinfachung eines Ausdrucks. Ausmultiplizieren von Potenzen und Produkten. Herausheben von Faktoren und Zusammenfassen von Ausdrücken. Nach gleichen (meist fallenden) Potenzen ordnen.

Beispiel 4.1: 1 5 6 5

2

˜ ( 2 ˜ x  1) ˜ ( 3 ˜ x  1) 2

˜x 

x 

1 6

1 5

˜x

˜x

1 6

1 5

6

erweitert auf

5

durch Faktorisierung, ergibt

faktor o

1 6

˜ ( 2 ˜ x  1) ˜ ( 3 ˜ x  1)

1 5

2

˜x 

1 5

˜x

1 5

z.B. auch mit + SE

˜ ( 2 ˜ x  1) ˜ ( 3 ˜ x  1) z.B. auch mit + SF

1· § 1· § ¨ ¨ 2 2 x  5 faktor  5 o © x  5 ¹ ˜ © x  5 ¹

Seite 53

2

Umformen von Termen

Beispiel 4.2: ( a  b) ˜ ( c  d)

a˜ c  a˜ d  b˜ c  b˜ d

erweitert auf

( a  b) ˜ ( c  d) entwickeln o a ˜ c  a ˜ d  b ˜ c  b ˜ d Beispiel 4.3: ( a  b) ˜ ( a  b)

2

2

a b

erweitert auf 2

2

( a  b) ˜ ( a  b) entwickeln o a  b 2

2

2

2

a b

( a  b) ˜ ( a  b)

durch Faktorisierung, ergibt

a  b faktor o ( a  b) ˜ ( a  b) Beispiel 4.4:

7 ˜ x3  6 ˜ x2  5 ˜ x ˜ 4 ˜ x2  3 ˜ x  5 erweitert auf 28 ˜ x5  3 ˜ x4  33 ˜ x3  45 ˜ x2  25 ˜ x 7 ˜ x3  6 ˜ x2  5 ˜ x ˜ 4 ˜ x2  3 ˜ x  5 entwickeln  x o 28 ˜ x5  3 ˜ x4  33 ˜ x3  45 ˜ x2  25 ˜ x 5 4 3 2 2 2 28 ˜ x  3 ˜ x  33 ˜ x  45 ˜ x  25 ˜ x durch Faktorisierung, ergibt x ˜  4 ˜ x  3 ˜ x  5 ˜  7 ˜ x  6 ˜ x  5 5 4 3 2 2 2 28 ˜ x  3 ˜ x  33 ˜ x  45 ˜ x  25 ˜ x faktor o x ˜  4 ˜ x  3 ˜ x  5 ˜  7 ˜ x  6 ˜ x  5 Beispiel 4.5:



2 ˜ x



2 ˜ x

( x  2) ˜ x  ( x  2) ˜ x 



2



2 entwickeln o x  2 ˜ x  2 ˜ x  4

3

2

3

2

x  2˜ x 2˜ x  4



3



2

x  2˜ x 2˜ x  4

erweitert auf 3

2

2

( x  2) ˜ x  2

durch Faktorisierung, ergibt

2

x  2 ˜ x  2 ˜ x  4 faktor o ( x  2) ˜ x  2 Beispiel 4.6:

2 2 ( x  1) ˜  x  4 ˜ x  1 entwickeln

( x  1) ˜ x  4 ˜ x  1 erweitert auf

3

2

3

2

3

2

x  3˜ x  3˜ x 1

3

2

x  3˜ x  3˜ x 1 3

2

o x  3˜ x  3˜ x 1

2

2



( x  1) ˜ x  4 ˜ x  1

durch Faktorisierung, ergibt



x  3 ˜ x  3 ˜ x  1 faktor o ( x  1) ˜ x  4 ˜ x  1 3

2

x  3 ˜ x  3 ˜ x  2 faktor o x  3 ˜ x  3 ˜ x  2

Keine Faktorisierung möglich (alle Lösungen der Gleichung f(x) = 0 sind nicht ganzzahlig oder reell)!

Beispiel 4.7: ( x  2 ˜ y) ˜ ( x  y) ˜ ( x  4 ˜ y)

3

2

2

3

x  7 ˜ x ˜ y  14 ˜ x ˜ y  8 ˜ y

erweitert auf 3

2

2

3

( x  2 ˜ y) ˜ ( x  y) ˜ ( x  4 ˜ y) entwickeln o x  7 ˜ x ˜ y  14 ˜ x ˜ y  8 ˜ y 3

2

2

3

3

2

2

3

x  7 ˜ x ˜ y  14 ˜ x ˜ y  8 ˜ y

durch Faktorisierung, ergibt

( x  2 ˜ y) ˜ ( x  y) ˜ ( x  4 ˜ y)

x  7 ˜ x ˜ y  14 ˜ x ˜ y  8 ˜ y faktor o ( x  2 ˜ y) ˜ ( x  y) ˜ ( x  4 ˜ y)

Seite 54

Umformen von Termen

Beispiel 4.8: 4



3

x ˜ x y

 y5ª¬ 8 ˜ x ˜ y2  (1  y)2º¼

5

3

4

7

5

6

7

x  y ˜ x  8˜ y ˜ x y  2˜ y  y

erweitert auf

Bei den nachfolgenden Beispielen zuerst x bzw. y mit Cursor markieren: 5

3

4

7

5

6

7

5

3

4

7

5

6

7

x  y ˜ x  8˜ y ˜ x y  2˜ y  y

x  y ˜ x  8˜ y ˜ x y  2˜ y  y

durch Zusammenfassen von Termen, ergibt

durch Zusammenfassen von Termen, ergibt

5

3

4

7

5

6

7

5

3

4

7

5

6

7

7

x  y ˜ x  8˜ y ˜ x y  2˜ y  y

6

5

3

4

5

( 8 ˜ x  1) ˜ y  2 ˜ y  y  y ˜ x  x 5

3

4

7

5

6

7

x  y ˜ x  8 ˜ y ˜ x  y  2 ˜ y  y sammeln  x o x  y ˜ x  8 ˜ y ˜ x  y  2 ˜ y  y Beispiel 4.9: ( 3  4j) ˜ ( 5  2j)

Auswertung über komplexer Ebene ergibt

( 3  4j) ˜ ( 5  2j)

erweitert auf

23  14 ˜ i

z.B. auch mit + SUK

23  14 ˜ i Symbolisch wird die imaginäre Einheit immer mit i (auch wenn j im Ergebnisformat-Fenster eingestellt ist) ausgewertet! ( 3  4j) ˜ ( 5  2j) entwickeln o 23  14 ˜ i 4.1.2 Potenzgesetze und Potenzen von Polynomen Auswerten: Vereinfachen: Erweitern: Faktorisieren: Zusammenfassen:

Symbolische und komplexe Auswertung. Vereinfachung eines Ausdrucks. Ausmultiplizieren von Potenzen und Produkten. Herausheben von Faktoren und Zusammenfassen von Ausdrücken. Nach gleichen (meist fallenden) Potenzen ordnen.

Beispiel 4.10: Potenzgesetze (Alle Gesetze gelten für positive und negative ganze und rationale Exponenten): n m

n

m

vereinfacht auf

x

x ˜y

n

n

vereinfacht auf

( x ˜ y)

xn

vereinfacht auf

xn

vereinfacht auf

x

x ˜x

m

1 n

n

m

n

n

1

n

n m

vereinfachen o x

x ˜ y vereinfachen o ( x ˜ y)

xn

m

n

x

m

 n

vereinfachen o x

n

m

Kann nicht vereinfacht werden!

n

vereinfachen o x

x

n

x

vereinfacht auf

m

n

x

n m

x

m

x

§ a· ¨ © b¹

n

x ˜x

nm

vereinfachen o x

x n

vereinfacht auf

§ a· ¨ © b¹

n

n

§ a · vereinfachen o § a · ¨ ¨ © b¹ © b¹

Seite 55

n

Kann nicht vereinfacht werden!

Umformen von Termen

Beispiel 4.11: ( a  b)

2

2

2

2

a  2˜ a˜ b  b

2

2

a  2˜ a˜ b  b

erweitert auf

2

2

2

2

( a  b) entwickeln o a  2 ˜ a ˜ b  b ( a  b)

durch Faktorisierung, ergibt

2

Beispiel 4.12: ( a  b)

2

2

2

2

a  2˜ a˜ b  b

2

2

a  2˜ a˜ b  b

erweitert auf

( a  b) entwickeln o a  2 ˜ a ˜ b  b ( a  b)

durch Faktorisierung, ergibt

2

Beispiel 4.13: ( a  b)

3

erweitert auf

a  3˜ a ˜ b  3˜ a˜ b  b

3

2

2

3

( a  b) entwickeln o a  3 ˜ a ˜ b  3 ˜ a ˜ b  b

( a  b)

3

erweitert auf

a  3˜ a ˜ b  3˜ a˜ b  b

3

3

2

2

3

3

2

2

3

( a  b) entwickeln o a  3 ˜ a ˜ b  3 ˜ a ˜ b  b

3

3

2

2

3

4

3

2

2

3

4

4

3

2

2

3

4

Beispiel 4.14: ( a  b)

4

erweitert auf

a  4˜ a ˜ b  6˜ a ˜ b  4˜ a˜ b  b

( a  b)

4

erweitert auf

a  4˜ a ˜ b  6˜ a ˜ b  4˜ a˜ b  b

Beispiel 4.15: ( x  y)

8

erweitert auf 8

7

6

2

3

5

4

4

3

5

2

6

7

8

x  8 ˜ x ˜ y  28 ˜ x ˜ y  56 ˜ y ˜ x  70 ˜ x ˜ y  56 ˜ x ˜ y  28 ˜ x ˜ y  8 ˜ y ˜ x  y durch Faktorisierung, ergibt ( x  y)

8

Beispiel 4.16: ( x  y) 10

x

10

erweitert auf 9

8

2

3

7

6

4

5

5

4

6

 10 ˜ x ˜ y  45 ˜ x ˜ y  120 ˜ y ˜ x  210 ˜ x ˜ y  252 ˜ x ˜ y  210 ˜ x ˜ y  7

3

2

8

9

10

 120 ˜ y ˜ x  45 ˜ x ˜ y  10 ˜ x ˜ y  y

Zeilenumbruch von langen Ausdrücken: 1. Cursor nach dem Operator setzen, an dem umgebrochen werden soll. 2. Mit der Tastenkombination <Strg>+<Eingabe> umbrechen. 3. Den sich daraus ergebenden Platzhalter löschen. Nach einem symbolischen Operator ist ein Zeilenumbruch nicht möglich (ändert man im nachfolgenden Beispiel z.B. den Exponenten auf 10, so kann der Ausdruck nicht mehr umgebrochen werden)! f ( x  y)  ( x  y)

6 6

5

4

2

3

3

2

4

5

6

f ( x  y) entwickeln o x  6 ˜ x ˜ y  15 ˜ x ˜ y  20 ˜ x ˜ y  15 ˜ x ˜ y  6 ˜ x ˜ y  y

Seite 56

Umformen von Termen

Beispiel 4.17: (a  b  c)

2

2

2

2

a  2˜ a˜ b  2˜ a˜ c  b  2˜ b˜ c  c

erweitert auf 2

2

( a  b  c ) entwickeln o a  2 ˜ a ˜ b  2 ˜ a ˜ c  b  2 ˜ b ˜ c  c 2

2

( a  b  c ) sammeln  a o a  ( 2 ˜ b  2 ˜ c ) ˜ a  ( b  c ) 2

2

a  2˜ a˜ b  2˜ a˜ c  b  2˜ b˜ c  c

2

2

2

2

(a  b  c)

durch Faktorisierung, ergibt

2

Beispiel 4.18:

3 ˜ x2  5 ˜ x  4

2

3 ˜ x2  5 ˜ x  4

2

4

4

3

2

9 ˜ x  30 ˜ x  49 ˜ x  40 ˜ x  16

erweitert auf

4

3

2

entwickeln o 9 ˜ x  30 ˜ x  49 ˜ x  40 ˜ x  16

3

2

9 ˜ x  30 ˜ x  49 ˜ x  40 ˜ x  16

durch Faktorisierung, ergibt

3 ˜ x2  5 ˜ x  4

2

Beispiel 4.19: Bei den nachfolgenden Beispielen zuerst x bzw. y mit dem Cursor markieren:

x  y  z2  x  2y  z2

x  y  z2  x  2y  z2

durch Zusammenfassen von Termen, ergibt

durch Zusammenfassen von Termen, ergibt

2



2

x  1  2˜ y 2˜ z

2

2

˜ x  y  z2

2

2

x  y  z2  x  2y  z2 sammeln  x 2

2



2

 z  2˜ y

y  2  2˜ x 2˜ z



o x  1  2˜ y 2˜ z

2

2

˜ y   x  z 2

˜ x  y  z2

2

2

3

3

3

3

durch Faktorisierung, ergibt





2

2

8x  27y faktor o ( 2 ˜ x  3 ˜ y) ˜ 4 ˜ x  6 ˜ x ˜ y  9 ˜ y 2

x  9 faktor o ( x  3) ˜ ( x  3) 2

2

x  3 faktor o x  3

2



1· § 1· § ¨ ¨ 2 2 2 x  3 faktor  3 o © x  3 ¹ ˜ © x  3 ¹

Beispiel 4.21: ( 5  6j)

3

Auswertung über komplexer Ebene ergibt

415  234 ˜ i

3

( 5  6j) komplex o 415  234 ˜ i ( 5  6j)

3

erweitert auf

2

( 2 ˜ x  3 ˜ y) ˜ 4 ˜ x  6 ˜ x ˜ y  9 ˜ y

415  234 ˜ i

3

( 5  6j) entwickeln o 415  234 ˜ i

Seite 57



2

z x

 z  2˜ y

Beispiel 4.20: 8x  27y

2

Umformen von Termen

4.2 Bruchterme (ganzrationale Terme) Auswerten: Vereinfachen: Erweitern: Faktorisieren: Zusammenfassen: Teilbruchzerlegung:

Symbolische und komplexe Auswertung. Vereinfachung eines Ausdrucks. Ausmultiplizieren von Potenzen und Produkten. Herausheben von Faktoren und Zusammenfassen von Ausdrücken. Nach gleichen (meist fallenden) Potenzen ordnen. Variable-Partialbruchzerlegung

4.2.1 Addition, Subtraktion und Division Beispiel 4.22: 3x  2y  4 5 3x  2y  4 5 3x  2y  4 5

  

2x  3y  6 5 2x  3y  6 5 2x  3y  6 5

  

5x  3y  2 5 5x  3y  2

5

5 6

vereinfacht auf

5 5x  3y  2

6

ergibt

vereinfachen o

5 6 5

˜x ˜x

˜x

8 5

8 5 8 5

˜y ˜y

˜y

12 5 12 5

12 5

Beispiel 4.23: 3x  1 3x  3 3x  1 3x  3





4x  1 4x  4 4x  1 4x  4

11x  5



2

1

vereinfacht auf

x 1

12x  12 11x  5



2

vereinfachen o

12x  12

1 x 1

Beispiel 4.24: 2

2

4˜ x  2˜ x 1

erweitert auf

( x  1) ˜ ( x  1)

4˜ x  2˜ x 1

Vor der Auswertung wurde nur der Nenner mit dem Cursor markiert!

2

x 1

Beispiel 4.25: 2 ( 3 ˜ a  y)

2



2

4 ( x  2 ˜ y)

vereinfacht auf

2

2˜

2

2

x  4 ˜ x ˜ y  6 ˜ y  18 ˜ a  12 ˜ a ˜ y 2

( 3 ˜ a  y) ˜ ( x  2 ˜ y)

2

y mit dem Cursor markieren und Menü-Symbolik-Variable-Partialbruchzerlegung wählen: 2

2˜

2

2

x  4 ˜ x ˜ y  6 ˜ y  18 ˜ a  12 ˜ a ˜ y 2

( 3 ˜ a  y) ˜ ( x  2 ˜ y)

2

in Partialbrüche zerlegt, ergibt

2 ( 3 ˜ a  y)

Seite 58

2



4 ( x  2 ˜ y)

2

Umformen von Termen

Beispiel 4.26: 3

2

x  6 ˜ x  11 ˜ x  6

vereinfacht auf 1  x

2

Die Polynomdivision wird nur dann durchgeführt, wenn die Division ohne Rest möglich ist ! Sonst muss die Division durch Partialbruchzerlegung durchgeführt werden.

x  5˜ x 6 3

2

3

x  6 ˜ x  11 ˜ x  7

vereinfacht auf

2

2

x  6 ˜ x  11 ˜ x  7 2

x  5˜ x 6 3

x  5˜ x 6

2

x  6 ˜ x  11 ˜ x  7

1  x 

in Partialbrüche zerlegt, ergibt

2

x  5˜ x 6

1 x 2



1 x 3

Beispiel 4.27: 5

4

2

54 ˜ x  27 ˜ x  39 ˜ x  5 ˜ x  12 2

6˜ x  3˜ x 2 5

4

16 ˜ x  2

3

9˜ x  3˜ x 5 

in Partialbrüche zerlegt, ergibt

2

6˜ x  3˜ x 2

2

54 ˜ x  27 ˜ x  39 ˜ x  5 ˜ x  12

3

konvert  teilbruch  x o 9 ˜ x  3 ˜ x  5 

2

6˜ x  3˜ x 2

2  16 ˜ x 2

6˜ x  3˜ x 2

Beispiel 4.28: 5 4  3j · § ˜¨ 2j  3 © 5  2j ¹

ergibt

5 § 4  3j · 2j  3 © 5  2j ¹

Auswertung über komplexer Ebene ergibt

5 § 4  3j · 2j  3 © 5  2j ¹

vereinfacht auf

2j  3

2j  3

2j  3

˜¨

˜¨

127862974 266644937



132296893 266644937

127862974 266644937



˜i

z.B. auch mit + SUS

127862974 266644937

132296893 266644937



132296893

˜i

266644937

˜i

5 § 4  3j · komplex o 127862974  132296893 ˜ i 2j  3 © 5  2j ¹ 266644937 266644937

2j  3

˜¨

Beispiel 4.29: 1 R j˜Z˜L 1 R j˜Z˜L

R

Auswertung über komplexer Ebene ergibt

2

2

2

R  Z ˜L komplex o

R 2

2

2

R Z ˜L

 i˜Z ˜

L 2

2

2

R Z ˜L

Seite 59

 i˜Z ˜

L 2

2

2

R  Z ˜L

Umformen von Termen

4.3 Logarithmische Ausdrücke Auswerten: Vereinfachen: Erweitern:

Komplexwertige Auswertung. Vereinfachung eines Ausdrucks. Zerlegen in eine Summe.

Beispiel 4.30: Logarithmus Gesetze: ln ( x ˜ y) vereinfacht auf ln ( x)  ln ( y)

§ x· © y¹

ln ¨

Diese Eigenschaften von natürlichen Logarithmen gelten auch für Logarithmen zur einer beliebigen Basis. In Mathcad ist auch der Logarithmus zur Basis 10 (log(x)) oder der Logarithmus zu einer beliebigen Basis a (log(x,a)) vordefiniert.

vereinfacht auf ln ( x)  ln ( y)

 r

vereinfacht auf r ˜ ln ( x)

ln x

ln ( e)

1

log ( 10 )

log ( 2  2)

1

 i ˜ §¨ 1

ln ( x) komplex o ln  x

©2

1



2

1

· ¹

˜ signum ( x) ˜ S

Beispiel 4.31: 3˜ln( a)

vereinfacht auf

e

3

ln( x)

a

e

vereinfachen o x

Beispiel 4.32:

§ x ·  ln ( y) ©z¹

ln ( x ˜ y)  ln ¨

vereinfacht auf

2 ˜ ln ( y)  ln ( z )

Beispiel 4.33:



§ x ˜ y ·  1 ˜ ln § x ·  ln  x  ln x2 ¨ 2 2 ©z¹ z © ¹

ln ¨

erweitert auf

ln ( x)  ln ( y) 

3 2

˜ ln ( z )

Beispiel 4.34:

§ 5 ˜ a ˜ b ˜ c · entwickeln o ln ( 5)  ln ( 3)  ln ( a)  ln ( b)  ln ( c)  ln ( x)  ln ( y) © 3˜ x˜ y ¹

ln ¨

§5˜ a˜ b˜ c· © 3˜ x˜ y ¹

log ¨ 1

ln ( 10 )

˜ ln ( 5) 

erweitert auf 1 ln ( 10 )

˜ ln ( 3) 

1 ln ( 10 )

˜ ln ( a) 

1 ln ( 10 )

˜ ln ( b) 

1 ln ( 10 )

˜ ln ( c ) 

1 ln ( 10 )

˜ ln ( x) 

4.4 Trigonometrische Ausdrücke Beispiel 4.35: 2

sin ( M )  cos ( M )

2

vereinfacht auf

1

2

2

sin ( M )  cos ( M ) vereinfachen o 1

Beispiel 4.36: 2

sin ( 2 ˜ x  y) entwickeln o 2 ˜ cos ( y) ˜ sin ( x) ˜ cos ( x)  2 ˜ sin ( y) ˜ cos ( x)  sin ( y)

Seite 60

1 ln ( 10 )

˜ ln ( y)

Umformen von Termen

Beispiel 4.37: sin ( x  y)

erweitert auf

sin ( x) ˜ cos ( y)  cos ( x) ˜ sin ( y)

sin ( x  y)

erweitert auf

sin ( x) ˜ cos ( y)  cos ( x) ˜ sin ( y)

cos ( x  y)

erweitert auf

cos ( x) ˜ cos ( y)  sin ( x) ˜ sin ( y)

cos ( x  y)

erweitert auf

cos ( x) ˜ cos ( y)  sin ( x) ˜ sin ( y)

tan ( D  E ) entwickeln o

Summensätze 1. Art

tan ( E )  tan ( D ) 1  tan ( E ) ˜ tan ( D )

Beispiel 4.38: sin ( 2 ˜ x)

2 ˜ sin ( x) ˜ cos ( x)

erweitert auf

sin ( 2 ˜ x) entwickeln o 2 ˜ sin ( x) ˜ cos ( x)

Beispiel 4.39: sin ( 6 ˜ x)

5

3

32 ˜ sin ( x) ˜ cos ( x)  32 ˜ sin ( x) ˜ cos ( x)  6 ˜ sin ( x) ˜ cos ( x)

erweitert auf 2

sin ( ln ( a ˜ b) ) vereinfachen  trig o 1  cos ( ln ( a ˜ b) )

2

Beispiel 4.40: 1 2

˜ ( 1  cos ( 2 ˜ t ) ) erweitert auf

1  cos ( t)

1

2

2

˜ ( 1  cos ( 2 ˜ t ) ) entwickeln o 1  cos ( t )

Beispiel 4.41: cos ( x)  sin ( x) ˜ cos ( x)

durch Faktorisierung, ergibt

cos ( x) ˜ ( 1  sin ( x) )

Beispiel 4.42: j ˜n˜M

e

 j ˜n˜M

e

Auswertung über komplexer Ebene ergibt

cos ( n ˜ M )  i ˜ sin ( n ˜ M )

komplex o cos ( n ˜ M )  i ˜ sin ( n ˜ M )

4.5 Andere Umformungen Polynom-Koeffizienten: Ersetzen: Annehmen:

Polynom-Koeffizienten ermitteln. Ersetzen von Ausdrücken. Eingeschränkte Auswertung (unter der Annahme ...).

Beispiel 4.43:

§¨ 1 · 3 ˜ x  2 ˜ x  1 hat Koeffizienten ¨ 2 ¸ ¨3 © ¹ §¨ 1 · 2 3 ˜ x  2 ˜ x  1 koeff  x o ¨ 2 ¸ ¨3 © ¹ 2

Beispiel 4.44: 3

2 ˜ cos ( x)  cos ( x)

hat Koeffizienten

§0 · ¨ 3 ¨1 ¸ 2 ˜ cos ( x)  cos ( x) koeff  cos ( x) o ¨0 ¸ ¨ ©2 ¹

Zuerst x markieren!

§0 · ¨ ¨1 ¸ ¨0 ¸ ¨ ©2 ¹

z.B. auch mit + SP

Zuerst cos(x) mit dem Cursor markieren!

Seite 61

2

Umformen von Termen

Beispiel 4.45: sin(t) zuerst kopieren, dann x unter der Wurzel markieren und Symbolik-Variable-Ersetzen wählen.

sin ( t )

1

1  sin (t)2 2

durch Ersetzen, ergibt

2

1 x

1



2

1  x ersetzen  x = sin ( t ) o 1  sin ( t )

2

2

Beispiel 4.46: 1 2

2

2

2

2

x  y ersetzen  x = r ˜ cos ( M )  y = r ˜ sin ( M ) o r ˜ cos ( M )  r ˜ sin ( M )

2

2

Beispiel 4.47: 1 2

2

x y





2 ersetzen  x = sin ( t )  y = cos ( t) 2 o 2 ˜ cos ( t)  1 vereinfachen

Beispiel 4.48: ersetzen  x = ( u  1)

x 3

entwickeln

2

x

2

o

Drückt man nach der Eingabe des 1. symbolischen Operators <Strg>++<.>, so kann das nächste Schlüsselwort eingegeben werden !

2

u  2˜ u  4 4

3

2

u  4˜ u  6˜ u  4˜ u  1

Beispiel 4.49: 2

s1 vereinfachen o csgn ( s1) ˜ s1

s1

annehmen  s1 ! 0 o s1 vereinfachen

2

s1

2

annehmen  s1  0 o s1 vereinfachen

2

s1 vereinfachen  annehmen = RealRange ( 10  5) o s1 Beispiel 4.50: ersetzen  x = r ˜ cos ( M )  y = r ˜ sin ( M ) 2

2

x y

annehmen  r ! 0

or

vereinfachen Beispiel 4.51: x  1 ˜ 2  x annehmen  x = RealRange ( 1  2) o ( x  1) ˜ ( 2  x) reeller Zahlenbereich für x von 1 bis 2 1  x  y  1 annehmen  x = RealRange ( 0  1) o 1  x  y  1 Beispiel 4.52: 2

sin ( ln ( a ˜ b) ) vereinfachen  trig o 1  cos ( ln ( a ˜ b) )

2

Seite 62

reeller Zahlenbereich für x von 0 bis 1

Summen und Produkte

5. Summen und Produkte

Abb. 5.1 Die symbolischen Auswertungen erfolgen wie im Kap. 4 beschrieben.

Abb. 5.2

Abb. 5.3 5.1 Numerische Auswertung von Summen und Produkten Die Summation und die Produktbildung wird normalerweise über ganze Zahlen mit der Schrittweite 1 ausgeführt. In Mathcad sind aber auch reelle Bereichsvariablen zugelassen, wenn die Bereichsvariable vordefiniert wird.

Seite 63

Summen und Produkte

Beispiel 5.1:

Beispiel 5.2:

k  0  5

5

x  0.1  0.2  1 1

¦ 2k

1

¦ 2x

k

6.966

x

Beispiel 5.3: m  20

j

Beispiel 5.4:

j  1  m

j · § ln ¨ 1  m¹ ©

¦

Bereichsvariable 20

¦

8.07

j

k  2  10

k

10

–

0.1

k

j

j  2  m

§1  1 · ¨ j¹ ©

m

–

0.1

j

0.1

0.1

j  1  3  5

Bereichsvariable

3

¦ ¦ ( i  j)

2

§1  1 · ¨ j¹ ©

Beispiel 5.10:

j  1  3  5

1

2

§1  1 · ¨ k¹ ©

Bereichsvariable

Beispiel 5.9:

i

8.07

Beispiel 5.8:

Beispiel 5.7:

–

1

· 20 ¹ j

Bereichsvariable

§1  1 · ¨ k¹ ©

m  10

§ ©

ln ¨ 1 

Beispiel 5.6:

Beispiel 5.5:

–

1.969

k

0 2

k

1.969

1

¦

Bereichsvariable

Bereichsvariable

3

¦¦

45

j

j i

( i  j)

45

1

5.2 Symbolische Auswertung von Summen und Produkten Auswerten: Vereinfachen: Erweitern: Faktorisieren: Zusammenfassen:

Symbolische Auswertung Vereinfachung eines Ausdrucks. Ausmultiplizieren von Potenzen und Produkten. Herausheben von Faktoren und Zusammenfassen von Ausdrücken. Nach gleichen (meist fallenden) Potenzen ordnen.

Beispiel 5.11: 5

¦ k

1 k

1 2

ergibt

31 32

5

¦ k

1 k

1 2

Seite 64

vereinfacht auf

31 32

Summen und Produkte

Beispiel 5.12: 10

10

§ 1  1 · ergibt ¨ k¹ ©

– k

2 10

–

0.1

10

k

2

2 10

§1  1 · o 1 ¨ k¹ 10 ©

– k

1

– k

2

§1  1 · ¨ k¹ ©

1

vereinfacht auf

10

1 §1  1 · vereinfachen o ¨ k 10 © ¹

Beispiel 5.13: n 1

¦

k

k

2

1

ergibt

1

3

˜n 

3

2

2

˜n 

1 6

˜n

durch Faktorisierung, ergibt

˜n

durch Faktorisierung, ergibt

1 6

˜ n ˜ ( 2 ˜ n  1) ˜ ( n  1)

1

Bereichsvariable von 1 bis n - 1:

¦

2

1

ergibt

n

1

3

˜n 

3

2

2

˜n 

1 6

1 6

˜ n ˜ ( 2 ˜ n  1) ˜ ( n  1)

n

Beispiel 5.14: n

¦ i

i

ergibt

5

1 4

n 1

˜5



n

5

¦

4

1 n

¦ i

i i

5 o

1 4

n1

˜5



i

5

¦

4

1

i

˜5

4



5 4

1 n

5

n 1

1

vereinfacht auf

i

5 vereinfachen o

1 4

n1

˜5



5 4

1

Beispiel 5.15: n

¦

1 k

ergibt

1 2

k

§ 1· © 2¹

2 ˜ ¨

n1

1

vereinfacht auf

n

2

1

Beispiel 5.16: Binomischer Lehrsatz: n

¦ k

0 n

¦ k

0

n § k n  k· ˜a ˜b ¨ k ˜ ( n  k ) © ¹

ergibt

n

§ a  b· © b ¹

n

b ˜¨

n § k n  k· n ˜a ˜b vereinfachen o ( a  b) ¨ © k ˜ ( n  k) ¹

Seite 65

vereinfacht auf

( a  b)

n

Summen und Produkte

Beispiel 5.17: n 1

p1

¦ ¦

k

1 m

n 1

( k  m)

2

2

˜ p ˜ n  n˜ p 

1

2

˜ p˜ n 

2

1 2

2

˜n 

1 2

˜n

1 2

2

˜p 

1 2

˜p

1

p1

¦ ¦

k

1

ergibt

1 m

( k  m) faktor o

1 2

˜ ( p  1) ˜ ( n  1) ˜ ( n  p)

1

Beispiel 5.18: Wahrscheinlichkeitsdichte, Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung: n

¦ k

0 n

¦ k

0 n

¦ k

0

n ª k n kº ˜ p ˜ ( 1  p) « » vereinfachen o 1 ¬ k ˜ ( n  k) ¼ n ª k n  kº ˜ k ˜ p ˜ ( 1  p) « » vereinfachen o n ˜ p k ˜ ( n  k ) ¬ ¼ n ª 2 k n kº 2˜n ˜ ( k  n ˜ p) ˜ p ˜ ( 1  p) « » vereinfachen o ª¬ p  ( 1) º¼ ˜ n ˜ p ¬ k ˜ ( n  k) ¼

5.3 Funktionen mit Summen und Produkten Beispiel 5.19: 3

f ( x) 

¦ k

k

x

f ( 2.2)

17.688

f ( 2.2) o

2211 125

1

Beispiel 5.20: Bedingte Summation (mit einer logischen UND-Verknüpfung): 5

g ( x) 

¦ k

ª¬k 2 ˜ ( k d x)º¼

x  0  5

g ( x) 0

0

k dx liefert 1 für wahr und 0 für falsch !

0

0

1

1

2

5

3

14

4

30

5

55

Seite 66

Das Ergebnis wird hier nicht auf (1- p)*n*p vereinfacht!

Summen und Produkte

Beispiel 5.20: Binomialkoeffizient n über k (n > 0, k > 0, n t k): k

n i 1

–

C1 ( n  k ) 

i

i

120

C1 ( 1  1)

1

C2 ( 10  3)

120

C2 ( 1  1)

1

1

n

C2 ( n  k ) 

C1 ( 10  3)

k ˜ ( n  k )

C1 ( 150  50 )

2.013 u 10

40

C1 ( 150  50 ) o 20128660909731932294240234380929315748140

C2 ( 150  50 )

2.013 u 10

40

C2 ( 150  50 ) o 20128660909731932294240234380929315748140

C1 ( 300  90 )

1.947 u 10

78

C1 ( 300  90 ) o 1946635498490378393024696802826000981225950718515399657284768616301601314834800 Für n > 170 ist n! numerisch nicht mehr auswertbar !

C2 ( 300  90 ) o 1946635498490378393024696802826000981225950718515399657284768616301601314834800 Beispiel 5.21: Funktionsdefinition durch Produktbildung. x

P ( x) 

– k

1

2

k

e

P ( 5)

3.269 u 10

6

1 3

4

5

e ˜e ˜e ˜e ˜e

3.269 u 10

6

P ( 5) o exp ( 1) ˜ exp ( 2) ˜ exp ( 3) ˜ exp ( 4) ˜ exp ( 5) x x

3.269 u 10

6

Redefinition

ª 1 ˜ ( x  1) ˜ xº » ¬2 ¼

P ( x) o exp «

ª1 º exp « ˜ ( 5  1) ˜ 5» ¬2 ¼

3.269 u 10

Seite 67

6

Vektoren und Matrizen

6. Vektoren und Matrizen Eine Matrix oder ein Vektor kann über Menü-Einfügen-Matrix, Symbolleiste-Matrix oder mit <Strg>+<M> eingefügt werden. Wird eine Variable mit dem Cursor markiert, so kann sie mit der Taste < [ > oder xn-Taste aus der Symbolleiste Matrix bzw. mit der Taste x2 aus der Standard Symbolleiste indiziert werden.

Abb. 6.1

Die symbolischen Auswertungen erfolgen wie in Kap. 5 beschrieben.

Abb. 6.2

Abb. 6.3

Beim Arbeiten mit Vektoren oder Matrizen (Datenfelder) erweist es sich manchmal als günstig, den global voreingestellten ORIGIN-Wert (ORIGIN = 0) im Menü Extras-Arbeitsblattoptionen auf 1 umzustellen oder diesen Wert lokal im Dokument neu festzulegen. Um eine bessere Unterscheidung zu anderen Variablen zu erreichen, werden im Folgenden Vektoren und Matrizen in Fettschreibweise dargestellt (Menü- Format-Gleichung, Gleichungsformat z.B. von Benutzer1 ... auf "Fettschrift" ändern).

Seite 68

Vektoren und Matrizen

In einem Mathcad-Arbeitsblatt können mithilfe von Matrix einfügen normalerweise keine Vektoren mit mehr als 100 Elementen und Matrizen mit mehr als 10x10 Elementen erzeugt werden. Man kann nur dann größere Datenfelder erhalten, wenn man Bereichsvariable verwendet, Datenfelder mithilfe der Funktionen "erweitern" bzw. "stapeln" zusammenfügt oder Tabellen mit Zahlenwerten aus einer Datei einliest (die Größe ist hier nur vom Systemspeicher abhängig). Datenfelder (auch Tabellen-Listen) mit mehr als 10 Zeilen oder 10 Spalten werden von Mathcad als rollbare Ausgabetabellen dargestellt. 6.1 Erstellen von Vektoren und Matrizen 6.1.1 Erstellen mithilfe von Bereichsvariablen Beispiel 6.1: ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

i  1  2 ai  i

3

j  1  2

Indexlaufbereich (Breichsvariablen)

bj  1

Ai  j  i ˜ j

2

B2  2  5

Ausgabe als Liste (Tabelle): a

b

A

1

1

B 1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

4

1

0

0

2

8

2

1

2

2

8

2

0

5

Mit einem Doppelklick auf das Ergebnis kann das Ergebnisformat-Fenster aufgerufen werden und im Registerblatt Anzeige-Optionen das Matrix-Anzeigeformat geändert werden (siehe Kapitel 2). Die Spalten- und Zeilenbeschriftung kann über den Menüpunkt Eigenschaften (rechter Mausklick auf die Tabelle) aktiviert werden. Ausgabe als Vektor bzw. als Matrix: a

§1 · ¨ ©8 ¹

b

§1 · ¨ ©1 ¹

A

§1 4 · ¨ ©2 8 ¹

B

§0 0 · ¨ ©0 5 ¹

6.1.2 Erstellen mit der Symbolleiste Matrix Beispiel 6.2:

§¨ A ¨ ¨ ©

· ¸ ¹

Die Platzhalter können mit der Taste oder dem Mauszeiger besetzt werden.

§¨ 3 8 9 · A  ¨5 2 9 ¸ ¨ 1 2 3 © ¹

Beispiel 6.3:

§¨ 3 8 9 · A  ¨5 2 9 ¸ ¨ 1 2 3 © ¹ §¨ 3 8 9 · A  ¨5 2 9 ¸ ¨ 1 2 3 © ¹

A Rechts steht das Ergebnis nach dem Löschen bzw. Einfügen von einer Zeile und einer Spalte im Fenster Matrix einfügen, wobei vorher der Cursor auf die Zahl 1 gesetzt wurde.

Seite 69

§8 9 · ¨ ©2 9 ¹

§3 ¨ ¨5 A ¨1 ¨ ©

8

9·

2

9¸

2 3 ¸

¹

Vektoren und Matrizen

6.2 Vektor- und Matrizenoperationen Für Matrizenoperationen stellt Mathcad viele Operatoren (Symbolleiste Matrix) und Funktionen zur Verfügung. Nachfolgend wird davon eine Auswahl getroffen. 6.2.1 Vektor- und Matrizenoperatoren Beispiel 6.4: Ändern und Ausgeben von Werten:

§¨ 1 · a  ¨ 1 ¸ ¨3 © ¹ a2  5

§¨ 4 8 6 · A ¨ 5 2 9¸ ¨ 1 2 3 © ¹ a3  7

§¨ 1 · a ¨5 ¸ ¨7 © ¹

A2  2  10

A3  3  15

Einige Werte ändern (ORIGIN ist oben auf 1 gesetzt)

§¨ 4 8 6 · A ¨ 5 10 9 ¸ ¨ 1 2 15 © ¹

Beispiel 6.5: Hochgestellte Indizes - Selektieren von Spalten und Zeilen:

§¨ 4 8 6 · A ¨ 5 2 9¸ ¨ 1 2 3 © ¹

¢1² A

§¨ 4 · ¨5 ¸ ¨1 © ¹

¢2² A

§¨ 8 · ¨2 ¸ ¨ 2 © ¹

¢1²

A T

§¨ 4 · ¨8 ¸ ¨6 © ¹

Tasten <Strg>+<6> bzw. mit M< > bzw. MT aus der Symbolleiste Matrix

Beispiel 6.6: Addition und Subtraktion: a

§1 · ¨ © 2 ¹

Z1 

b

§2 · ¨ © 3 ¹

j · §2j ¨ © 2  4j 1  2j ¹

§ 4 6 · ¨ © 5 9¹

A

Z2 

B

§ 1 4 · ¨ ©9 5 ¹

4 § j · ¨ © 1  2j 2  3j ¹

Numerische und symbolische Auswertung: a b

§3 · ¨ © 5 ¹

a bo

§3 · ¨ © 5 ¹

a b

§ 1 · ¨ ©1 ¹

a bo

§ 1 · ¨ ©1 ¹

A B

§ 3 2 · ¨ © 14 14 ¹

A Bo

§ 3 2 · ¨ © 14 14 ¹

A B

§ 5 10 · ¨ © 4 4 ¹

A Bo

§ 5 10 · ¨ © 4 4 ¹

Z1  Z2

§ 2  2i 4  i · ¨ © 3  6i 1  i ¹

Z1  Z2 o

§2  2 ˜ i 4  i · ¨ © 3  6 ˜ i 1  i ¹

Z1  Z2

§ 2 4  i · ¨ © 1  2i 3  5i ¹

Z1  Z2 o

4  i · § 2 ¨ ©1  2 ˜ i 3  5 ˜ i ¹

Seite 70

Vektoren und Matrizen

i  1  2

k  1  2

Bereichsvariablen

Ci  k  Ai  k  Bi  k

C

§ 3 2 · ¨ © 14 14 ¹

A

§ 4 6 · ¨ © 5 9¹

Beispiel 6.7: Multiplikation:

§1 · a ¨ © 2 ¹ Z1 

§2 · b ¨ © 3 ¹

j · §2j ¨ © 2  4j 1  2j ¹

Z2 

§ 1 4 · ¨ ©9 5 ¹

B

4 § j · ¨ © 1  2j 2  3j ¹

Numerische und symbolische Auswertung: 3˜ a

a

§3 · ¨ © 6 ¹

§3 · ¨ © 6 ¹

4˜ A

§ 1 · ¨ ©2 ¹

a˜ b

A

a˜ b o 8

8

A˜ B

Skalarprodukt

§ 1  3i 5  2i · ¨ © 1  2i 12  9i ¹

Z1 ˜ Z2

§¨ 1 · a  ¨2 ¸ ¨4 © ¹

au b

3˜ a o

§¨ 6 · ¨ 13 ¸ ¨ 5 © ¹

§ 16 24 · ¨ © 20 36 ¹ § 4 6 · ¨ © 5 9 ¹

§ 16 24 · ¨ © 20 36 ¹

Skalare Multiplikation

Negation (Multiplikation mit -1)

§ 50 46 · ¨ © 86 25 ¹

Z1 ˜ Z2 o

4˜ A o

A˜ B o

§ 50 46 · ¨ © 86 25 ¹

§1  3 ˜ i 5  2 ˜ i · ¨ © 1  2 ˜ i 12  9 ˜ i ¹

Matrizenmultiplikation

Matrizenmultiplikation

§¨ 2 · b ¨ 1 ¸ ¨5 © ¹ §¨ 6 · a u b o ¨ 13 ¸ ¨ 5 © ¹

Kreuzprodukt oder Vektorprodukt Tasten <Strg>+<8> bzw. mit dem Vektorproduktsymbol aus der Symbolleiste Matrix

Beispiel 6.8: Potenz einer Matrix (Matrizenmultiplikation):

§ 4 6 · A ¨ © 5 9¹

§O 1  O · M (O )  ¨ ©1 2 ˜ O ¹

j · § 2 j Z ¨ © 2  4j 1  2j ¹

§¨ 1 · a  ¨2 ¸ ¨4 © ¹

Numerische und symbolische Auswertung: 2

A

§ 46 30 · ¨ © 25 111 ¹

A˜ A

§ 46 30 · ¨ © 25 111 ¹

2

A o

Seite 71

§ 46 30 · ¨ © 25 111 ¹

Taste < ^> oder mit dem Symbol x2 aus der Standard Symbolleiste

Vektoren und Matrizen

i  1  2

k  1  2 2

Di  k 

Ai  j ˜ Aj  k

¦

j

§ 46 30 · ¨ © 25 111 ¹

ªO 2  1  O 3 ˜ O ˜ ( 1  O ) º « » « 2 » 1  O  4˜ O ¼ ¬ 3˜ O

ergibt

§ 7  6i 1  3i · ¨ © 2  14i 1  2i ¹

2

D

1

2 §O 1  O · ¨ ©1 2 ˜ O ¹

Z

Bereichsvariablen

2

Z o

ªO 2  1  O 3 ˜ O ˜ ( 1  O ) º « » M (O ) o « 2» 1  O  4˜ O ¼ ¬ 3˜ O 2

§ 7  6˜ i 1  3˜ i· ¨ © 2  14 ˜ i 1  2 ˜ i ¹

Inverse Matrix und Potenz der inversen Matrix: Die inverse Matrix erzeugt man mit der Taste < ^>, mit dem Symbol x2 in der Standard Symbolleiste und mit x-1 aus der Symbolleiste Matrix. Die Auswertung kann auch über Menü-Matrix-Invertieren und über M-1 aus der Symbolleiste Symbolische Opreratoren durchgeführt werden. 1

A

§ 0.136 0.091 · ¨ © 0.076 0.061 ¹

§ 4 6 · ¨ © 5 9¹

1

A

o

§ 9 6 · 66 © 5 4 ¹ 1

˜¨

§¨ 3 1 · ¨ 22 11 ¸ ¨ 5 2 ¸ ¨ 66 33 © ¹

durch Matrixinvertierung, ergibt

1 §O 1  O · 1 § 2 ˜ O 1  O · o ˜¨ ¨ 2 O ¹ ©1 2 ˜ O ¹ 2 ˜ O  1  O © 1

Z

1

E A˜ A

2

A

Z

2

1 a

M (O )

0.2 § 0.4  0.2i · ¨ © 0.8  0.4i 0.2  0.4i ¹

1

E

§1 0 · ¨ ©0 1 ¹

Z

A

§ 0.04  0.08i 0.04  0.12i · ¨ © 0.08  0.56i 0.28  0.24i ¹

Z

1

a

2

§¨ 1 · ¨ 0.5 ¸ ¨ 0.25 © ¹

2

1

1

o

o

1 5

§ 2 ˜ O 1  O · 2 O ¹ 2 ˜ O  1  O © 1 1

˜¨

§ 1  2 ˜ i i · © 2  4 ˜ i 2  i ¹

˜i˜¨

ZE  Z ˜ Z

Einheitsmatrix

§ 0.025 0.007 · ¨ © 0.006 0.011 ¹

§¨ 1 · ¨ 0.5 ¸ ¨ 0.25 © ¹

1 § 4 6 · 1 § 9 6 · o ˜¨ ¨ 66 © 5 4 ¹ © 5 9¹

1

ZE

§1 0 · ¨ ©0 1 ¹

Einheitsmatrix

5 · §¨ 37 ¨ 1452 726 ¸ entwickeln o ¨ 25 23 ¸ ¨ 4356 2178 © ¹

Potenz der inversen Matrix

§ 1  2 ˜ i 1  3 ˜ i · 25 © 2  14 ˜ i 7  6 ˜ i ¹

Potenz der inversen Matrix

o

1

˜¨

Bei der Kehrwertbildung eines Vektors erzeugt Mathcad einen Vektor mit den Kehrwerten der Komponenten !

Seite 72

Vektoren und Matrizen

Beispiel 6.9: Transponieren eines Vektors oder einer Matrix: a

§1 · ¨ © 2 ¹

T

b  (5 7 )

A

§ 4 6 · ¨ © 5 9¹

§O 1  O · ¨ ©1 2 ˜ O ¹

M (O ) 

Z

j · § 2 j ¨ © 2  4j 1  2j ¹

Numerische und symbolische Auswertung: Die transponierte Matrix erzeugt man mit den Tasten <Strg>+<1> oder MT aus der Symbolleiste Matrix. Die Auswertung kann auch über Menü-Matrix-Achsen vertauschen und über MT aus der Symbolleiste Symbolische Opreratoren durchgeführt werden. T

a

T

A

§5 · ¨ ©7 ¹ § 4 6 · ¨ © 5 9¹

T

( 1 2 )

a o ( 1 2 )

§ 4 5 · ¨ © 6 9¹

A o

T

§ 4 5 · ¨ © 6 9¹

T 1 · §O 1  O · § O o¨ ¨ ©1 2 ˜ O ¹ ©1  O 2 ˜ O ¹ T

Z

bo

b

T

M (O ) o

§ 2  i 2  4i · ¨ © i 1  2i ¹

T

Z o

§5 · ¨ ©7 ¹

durch Matrixtransponierung, ergibt

§ 4 5 · ¨ © 6 9¹

1 · § O ¨ ©1  O 2 ˜ O ¹

§2  i 2  4 ˜ i · ¨ © i 1  2˜ i¹

Beispiel 6.10: Betrag eines Vektors und Determinante einer Matrix: a

§1 · ¨ © 2 ¹

A

§ 4 6 · ¨ © 5 9¹

M (O ) 

§O 1  O · ¨ ©1 2 ˜ O ¹

Z

j · § 2 j ¨ © 2  4j 1  2j ¹

Numerische und symbolische Auswertung: Den Betrag eines Vektors bzw. die Determinante einer Matrix erzeugt man mit dem Symbol |x| aus der Symbolleiste Taschenrechner bzw. Symbolleiste Matrix . Klickt man mit der rechten Maustaste auf den Operator mit dem vertikalen Absolutstrichen, so kann aus dem Kontextmenü (Abb. 6.4) zwischen absoluten Wert und quadratische Matrix-Determinante gewählt werden. Die Determinante einer Matrix kann nicht mit Einheiten bestimmt werden. Die Auswertung kann auch über Menü-Matrix-Determinante und über MT aus der Symbolleiste Symbolische Opreratoren durchgeführt werden. 1

a

a o5

2.236

§ 4 6 · ¨ © 5 9¹

2

A

besitzt die Determinante

66

A o 66

66 Abb. 6.4

§O 1  O · 2 o 2˜ O  1  O ¨ ©1 2 ˜ O ¹

§O 1  O · ¨ ©1 2 ˜ O ¹

besitzt die Determinante

2˜ O  1  O

j · §2j ¨ © 2  4j 1  2j ¹

besitzt die Determinante

5 ˜ j

2

2

M (O ) o 2 ˜ O  1  O Z

5i

Z o 5 ˜ i

Seite 73

Vektoren und Matrizen

Beispiel 6.11: Konjugiert komplexe Matrix: j · §2j ¨ © 2  4j 1  2j ¹

Z1 

Numerische und symbolische Auswertung: Eine konjugiert komplexe Matrix erzeugt man mit der Taste < " >. i · § 2 i ¨ © 2  4i 1  2i ¹

 Z1

 Z1 o

i § 2 i · ¨ ©2  4 ˜ i 1  2 ˜ i ¹

 Z1 komplex o

i § 2 i · ¨ ©2  4 ˜ i 1  2 ˜ i ¹

Beispiel 6.12: Aufsummieren von Vektorelementen: T

a  ( 1 6 2 10 9 8 6 0.5 2 7 )

Numerische und symbolische Auswertung:

¦a

¦ a o 29.5

29.5

ORIGIN  1

Das Summenzeichen 6v erhält man mit den Tasten <Strg>+<4> oder aus der Symbolleiste Matrix.

ORIGIN festlegen

10

¦

k

ak

29.5

die Summe über den Index gebildet

1

Beispiel 6.13: Vektorisieren eines Ausdrucks: Zwei quadratische Gleichungen x 2 + 2 x + 1 = 0 und -2 x2 + 2 x -1 = 0 sollen gelöst werden: a

§1 · ¨ © 2 ¹

b

§2 · ¨ ©2 ¹

c

 o x1 

b 

2˜ a

§ 1 · x1 ¨ © 0.5  0.5i ¹

Koeffizienten der Gleichungen

 o

2

b  4˜ a˜ c

§1 · ¨ © 1 ¹

x2 

b 

2

b  4˜ a˜ c 2˜ a

Vektorisieren mit den Tasten <Strg>+< - > oder mit dem Symbol aus der Symbolleiste Matrix. Entfernen des Vektorpfeils: Ausdruck unterhalb des Vektorpfeils mit Eingabecursor markieren und dann mit der Taste <Entf> entfernen.  o

§ 1 · x2 ¨ © 0.5  0.5i ¹

Probe:

Seite 74

§ a ˜ x 2  b ˜ x  c· 2 2 © ¹

§0 · ¨ ©0 ¹

Vektoren und Matrizen

Beispiel 6.14: Winkel zwischen zwei Vektoren:

§¨ 4 · u ¨ 5 ¸ ¨ 2 © ¹

§¨ 4 · v  ¨ 3 ¸ ¨7 © ¹

cosBD 

oo u˜v o o u ˜ v

D  acos ( cosBD)

D

76.981 Grad

Achtung: Auf eine Speichervariable darf kein Vektorpfeil gesetzt werden! Zur Auswertung könnten aber sehr wohl Vektorpfeile verwendet werden. Beispiel 6.15: o S ·· ¨§ §¨ S 2 ¸¸ ¨¨ sin ¨¨ S S ¸¸

§ · ¨ © 0.866 0.707 ¹ 0

1

¨¨ ©© 3 4 ¹¹ §¨ x2 2 sin ( x) · ¸ ¨ 3 x 1 ¸ x ¨ A ( x)  2 ¸ ¨ ¨ x ¸ ¨ x 2˜ x 4 © ¹

 o 4 16 § ·

§2 4 · ¨ ©6 5 ¹

¨ © 36 25 ¹

A ( 2)

§¨ 4 2 0.909 · ¨8 1 1 ¸ ¨ 2 4 0.5 © ¹

elementeweise Auswertung mit dem Vektorisierungsoperator

Matrixfunktion

Beispiel 6.16:

§ 1.2 · ¨ ¨ 0 ¸ ¨ 3.5 ¸ S ¨ ¸ ¨ 6.04 ¸ ¨ 0 ¸ ¨ © 5.1 ¹

¦

o  ( S = 0)

2

Wie oft kommt die Zahl 0 im Vektor S vor ?

6.2.2 Vektor- und Matrixfunktionen Beispiel 6.17: Funktionswerte mit beliebigen Argumenten: T

x  ( 1.2 0 2.4 4.7 10.5 )

vorgegebene x Werte

i  1  5

Bereichsvariable

2

f ( x)  x  2 ˜ x  4

Funktion definieren



yi  f xi

Funktionswerte berechnen und in einem Vektor speichern

§¨ 1.2 · ¨ 0 ¸ ¨ 2.4 ¸ x ¸ ¨ ¨ 4.7 ¸ ¨ 10.5 © ¹

§¨ 7.84 · ¨ 4 ¸ ¨ 4.96 ¸ y ¸ ¨ ¨ 16.69 ¸ ¨ 93.25 © ¹



f xi

7.84 4 4.96 16.69 93.25

Seite 75

Vektoren und Matrizen

Beispiel 6.18: Funktionswerte mit beliebigen Argumenten:

§¨ D · ¨E ¸  ¨J © ¹

T S S S 2˜ S 3˜ S 3˜ S § · M  ¨0 S 2˜ S 3 4 2 © 4 3 2 ¹

i  1  9

Bereichsvariable

f ( x)  sin ( x)

Funktion definieren



yi  f M i

§¨ 45 · ¨ 60 ¸ ˜ Grad ¨ 90 © ¹

vorgegebene Winkel

Funktionswerte berechnen und in einem Vektor speichern

§¨ 0 · ¨ 0.707 ¸ ¨ 0.866 ¸ ¸ ¨ ¨ 1 ¸ ¨ 0.866 ¸ y ¸ ¨ ¨ 0.707 ¸ ¨ 0 ¸ ¸ ¨ ¨ 1 ¸ ¨ 0 © ¹

§¨ §¨ D · · f ¨¨ E ¸¸ ¨¨ J ©© ¹¹

§¨ 0.707 · ¨ 0.866 ¸ ¨ 1 © ¹

Beispiel 6.19: Verschiedene Funktionen, angewandt auf nachfolgende Vektoren und Matrizen:

§¨ 1 · ¨3 ¸ ¨9 ¸ a ¨ ¸ ¨ 2 ¸ ¨5 © ¹

§¨ 10 ¨ 1 ¨4 A ¨ ¨0 ¨8 ©

§¨ 2 · b  ¨ 20 ¸ ¨ 40 © ¹

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

· 9 8 2 1 9 ¸ ¸ 7 2 5 1 5 ¸ 13 7 4 2 6 ¸ 3 4 5

2

6 3 2

5

6

7

B

§ 20 16 · ¨ © 14 13 ¹

Z

§ 2  2j 6 ˜ 3j · ¨ © 4  0.2j 5 ¹

¹

Mit dem Zufallsgenerator erzeugte 5x5 Matrix mit ganzen Zahlen im Bereich 12 d Ci  j d 12 : i  1  5

j  1  5

Bereichsvariablen

Ci  j  floor ( rnd ( 25 )  12 )

§¨ 11 ¨ 1 ¨ 8 C ¨ ¨0 ¨ 10 ©

10 7 2

· 2 ¸ ¸ 2 ¸ 2 ¸ 3

2

9

3

1

6

3

6

3

8

6

4

5 5 ¹

C

1 2 3 4 5

1 11 -1 -8 0 10

2 10 2 1 6 6

Seite 76

3 -7 9 -6 3 4

4 -2 3 3 8 -5

5 3 2 2 2 -5

Ergebnisformat: Matrix bzw. Tabelle.

Vektoren und Matrizen

amax  max ( a)

amax

9

amin  min ( a)

amin

2

Amax  max ( A)

Amax

Amin  min ( A)

Amin

max ( 45  B  15  b) min ( 45  B  15  b)

maximaler- und minimaler-Wert eines Vektors bzw. einer Matrix 13 9

45

maximaler- und minimaler-Wert von Zahlen, Vektoren und Matrizen

2

az  länge ( a)

az

id  letzte ( a)

id

zeil  zeilen ( A)

zeil

Anzahl der Elemente des Vektors

5

Index des letzten Elements des Vektors

5 5

Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix spa  spalten ( A)

einheit ( 3)

spa

6

§¨ 1 0 0 · ¨0 1 0 ¸ ¨0 0 1 © ¹

Einheitsmatrix

¢k² e ( k  n)  einheit ( n)

e ( 2  3)

L  geninv ( B)

L˜B

eigenvektoren ( B)

eigenwerte ( B)

Re ( Z)

§2 0 · ¨ ©4 5 ¹

as  sort ( a)

§¨ 0 · ¨1 ¸ ¨0 © ¹

liefert einen Basisvektor der Länge n der an der k-ten Position eine 1 hat, sonst 0

§1 0 · ¨ ©0 1 ¹

linke inverse Matrix

§ 0.803 0.647 · ¨ © 0.596 0.763 ¹

Eigenvektoren einer Matrix

§ 31.87 · ¨ © 1.13 ¹

Eigenwerte einer Matrix

Im ( Z)

§ 2 18 · ¨ © 0.2 0 ¹

§¨ 2 · ¨1 ¸ ¨3 ¸ as ¨ ¸ ¨5 ¸ ¨9 © ¹

Realteile und Imaginärteile

Vektorelemente aufsteigend sortieren

Seite 77

Vektoren und Matrizen

as  umkehren ( sort ( a) )

B

§ 20 16 · ¨ © 14 13 ¹

§¨ 9 · ¨5 ¸ ¨3 ¸ as ¨ ¸ ¨1 ¸ ¨ 2 © ¹

Vektorelemente absteigend sortieren

T

umkehren ( B)

§ 14 20 · ¨ © 13 16 ¹

Zeilen vertauschen und dann transponieren

Assp  spsort ( A  1)

Asz  zsort ( A  1)

sp ( B)

Asz

§¨ 2 ¨ 9 ¨7 ¨ ¨ 13 ¨5 ©

3 4 5

6

10 ·

8 2 1

9

1 ¸

7 4 2

6

¸ ¸ 0 ¸

6 3 2

7

8

2 5 1 5

4

Matrix nach der 1. Zeile sortieren

¹

33

§ § 20 16 · · © © 14 13 ¹ ¹

sp ¨ ¨

rg ( B)

Matrix nach der 1. Spalte sortieren

Spur der quadratischen Matrix B (Summe der Hauptdiagonalelemente) 33

2

§ § 20 16 · · © © 14 13 ¹ ¹

rg ¨ ¨

Rang der Matrix B (Anzahl der linear unabhängigen Zeilen bzw. Spalten) 2

U  submatrix ( A  1  3  1  2)

§¨ 10 2 · U ¨ 1 9 ¸ ¨4 7 © ¹

Untermatrix mit Zeilen 1 bis 3 und Spalten 1 bis 2

Zeile ( M  m)  submatrix ( M  m  m  1  spalten ( M) ) Zeile ( B  1)

( 20 16 )

selbstdefinierte Zeilen- und Spaltenextrahierungsfunktion

Spalte ( M  n)  submatrix ( M  1  zeilen ( M)  n  n) Spalte ( B  2)

§ 16 · ¨ © 13 ¹ Seite 78

Vektoren und Matrizen

Weitere gegebene Matrizen und Matrixfunktionen:

§4 2 · A1  ¨ ©1 3 ¹

§3 5 · B1  ¨ ©4 6 ¹ §4 2 3 5 · ¨ ©1 3 4 6 ¹

erweitern ( A1  B1)

x · §1 f ( x)  ¨ ¨© x2 sin ( x) ¹

Die Funktion erweitern(A,B) fügt zwei oder mehr Matrizen bzw. Matrixfunktionen gleicher Zeilenzahl zu einer Matrix zusammen.

erweitern ( A1  erweitern ( A1  B1) )

§4 2 4 2 3 5 · ¨ ©1 3 1 3 4 6 ¹

h ( x)  erweitern ( f ( x)  g ( x) )

2 §1 x x x · ¨ h ( x) o ¨ 2 3 4 © x sin ( x) x x ¹

stapeln ( A1  B1 )

§4 ¨ ¨1 ¨3 ¨ ©4

ª« §¨ 2 · »º stapeln «0  ¨ 20 ¸  9» « ¨ 40 » ¬ © ¹ ¼

index ( x  v) 

h ( 2)

§1 2 2 4 · ¨ © 4 0.909 8 16 ¹

2· 3¸ 5¸ 6¹

§¨ 0 · ¨2 ¸ ¨ 20 ¸ ¨ ¸ ¨ 40 ¸ ¨ 9 © ¹

h ( x)  stapeln ( f ( x)  g ( x) )

§ 10 · ¨ ¨ 80 ¸ a ¨5 ¸ ¨ ©3 ¹

§ x x2 · ¨ g ( x)  ¨ 3 4 ©x x ¹

i  1  letzte ( a)

Die Funktion stapeln(A,B) stapelt zwei oder mehr Matrizen bzw. Matrixfunktionen gleicher Spaltenzahl übereinander.

x · §1 ¨ 2 ¨ x sin ( x) ¸ h ( x) o ¨ ¸ 2 x ¸ ¨x ¨ 3 4 x ©x ¹ letzte ( a)

4

h ( 2)

§1 2 · ¨ ¨ 4 0.909 ¸ ¨2 4 ¸ ¨ © 8 16 ¹

Vektor und Bereichsvariable

¦ ª¬i ˜ vi = x º¼

selbstdefinierte index-Funktion mithilfe einer UND-Verknüpfung

3

das Element 3 besitzt den Wert 5

i

index ( 5  a)

index ( max ( a)  a)

den größten Wert besitzt Element 2

2

istinvektor ( x  v) 

¦

istinvektor ( 3  a)

1

o  ( v = x) ! 0

delbstdefinierte Prüffunktion, ob ein Element in einem Vektor enthalten ist Element 3 ist im Vektor a enthalten

Seite 79

Vektoren und Matrizen

i  1  15

Bereichsvariable

ai  ceil ( rnd ( 4) )

Erzeugung von 2 Vektoren mithilfe des Zufallsgenerators "rnd"

bi  ceil ( rnd ( 4) ) T

1

a

2

1

3

1

T

4

1

b

1

2 3

¦ G ai  bi

4

5

1 3

1

1 4

3

6 3

5 1

7 3

6 1

8 2

7 4

9

10

2 8

3

1 9

2

11 3

10 2

12 4

11 3

13 4

12 3

14 2

13 3

15 1

14 1

4 15

1

4

Berechnet, wie oft in den Vektoren a und b zwei Elemente mit dem gleichen Index gleich sind (mithilfe des Kronecker Symbols G(m,n)).

5

i

Spalten- und zeilenweise Anordnung von Matrixelementen: ORIGIN  0 i  0  4

j  0  2

Bereichsvariablen

A1i  j  10 ˜ ( i  1)  j

A1

§¨ 10 ¨ 20 ¨ 30 ¨ ¨ 40 ¨ 50 ©

Erzeugen einer Matrix

11 12 · 21 22 ¸

¸ ¸ 41 42 ¸ 31 32

51 52 ¹

ze  zeilen ( A1 )

ze

5

n  ze ˜ sp

n

15

vsk  A1

T

vs

0

vzk  A1

T

vz

0

sp  spalten ( A1 )

sp

Zeilen- und Spaltenanzahl

3

k  0  n  1

Bereichsvariable

§ k ·  mod( k  sp) © sp ¹

floor¨

0 10

1 11

2 12

3 20

§k· © ze ¹

1 20

2 30

5 22

6 30

7 31

8 32

9 40

10 41

11 42

12 50

13 51

14 52

Bei größeren Vektoren erscheint nach dem Anklicken der Vektoren mit der Maus ein Rollbalken.

mod( k  ze)  floor¨

0 10

4 21

3 40

4 50

5 11

6 21

7 31

Seite 80

8 41

9 51

10 12

11 22

12 32

13 42

14 52

Vektoren und Matrizen

6.2.3 Verschachtelte Datenfelder Ein Feldelement muss nicht unbedingt eine skalare Größe, sondern jedes Feldelement kann selbst wieder ein Datenfeld sein. Die meisten Operatoren und Funktionen für Matrizen können dabei, weil sie auch keinen Sinn machen, nicht angewendet werden (erlaubt sind: transponieren; zeilen; spalten; länge; letzte; submatrix; erweitern; stapeln). Beispiel 6.20: Verschachtelte Datenfelder mithilfe von Bereichsvariablen erstellen: ORIGIN  1 i  1  3

j  1  3

Bereichsvariablen

f ( x)  x

gegebene Funktion

A2i  j  einheit ( i)

Datenfeld

A2

§¨ {1,1} {1,1} {1,1} · ¨ {2,2} {2,2} {2,2} ¸ ¨ {3,3} {3,3} {3,3} © ¹

A3i  f ( i) o 3

A21  1

(1 )

Datenfeld mit drei Vektoren

§1 0 · ¨ ©0 1 ¹

A22  2

A23  2

§¨ 1 0 0 · ¨0 1 0 ¸ ¨0 0 1 © ¹

Die vollständige Anzeige der verschachtelten Felder kann im Menü-Format-Ergebnis (oder Doppelklick auf die Matrix), im Registerblatt Anzeige-Optionen mit Geschachtelte Felder erweitern (Abb. 6.5) , aktiviert werden (nicht für beliebige Größen).

A2

T

A3

ª (1 ) « « §¨ 1 0 · « ©0 1 ¹ « «§¨ 1 0 0 · «¨ 0 1 0 ¸ «¨ ¬© 0 0 1 ¹

º » §1 0 · §1 0 · » ¨ ¨ ©0 1 ¹ ©0 1 ¹ » » §¨ 1 0 0 · §¨ 1 0 0 · » ¨0 1 0 ¸ ¨0 1 0 ¸» ¨0 0 1 ¨0 0 1 » © ¹ © ¹¼ (1 )

(1 )

(1 2 3 )

Abb. 6.5 Mithilfe einer Matrixeingabe: a

§2 · ¨ ©3 ¹

b

Elementweise Eingabe:

§4 · ¨ ©5 ¹

c1  ( 3 4 )

§a · X ¨ ¨© bT ¹ X

§ {2,1} · ¨ © {1,2} ¹

X1

§2 · ¨ ©3 ¹

X2

(4 5 )

Seite 81

c2  1

M

 c1

M

( {1,2} 1 {2,1} )

M1  1

c2 d

(3 4 )

d

§ 10 · ¨ © 11 ¹



M1  2

1

M1  3

§ 10 · ¨ © 11 ¹

Funktionsdarstellungen

7. Funktionsdarstellungen In Mathcad sind bereits sehr viele Funktionen vordefiniert (Menü-Einfügen-Funktion oder <Strg>+<e> ) bzw. Funktionssymbol f(x) in der Standard Symbolleiste. Zahlreiche Diagramme können aus Menü-Einfügen-Diagramm oder aus Symbolleiste-RechnenDiagramm ausgewählt werden:

Abb. 7.1

7.1 X-Y Diagramm (Kartesisches Koordinatensystem) Ein X-Y-Diagramm wird mit den oben angezeigten Möglichkeiten (Abb 7.1) oder mit den Tasten + <@> erzeugt. Vergrößern und verkleinern kann man das Diagramm, wenn man zuerst auf das Diagramm klickt und an den vorgesehenen schwarzen Randquadraten das Diagramm mit der Maus anfasst und zieht.

Die Achsengrenzen können nachträglich individuell direkt im Diagramm geändert werden. Objekte, wie Texte, Rechenbereiche und Grafiken können mit Drag & Drop auf eine Mathcad Grafik gezogen werden. Es können maximal 16 Funktionen auf zwei y-Achsen in einem Koordinatensystem gleichzeitig dargestellt werden. Verschiedene Bereichsvariablen und Funktionswerte werden durch Beistriche getrennt eingegeben. Abb. 7.2 Die Formatierung der Grafik erreicht man durch Öffnen des Formatierungsfensters:

Es gibt mehrere Möglichkeiten, das Formatierungsfenster zu öffnen: x x

Ein Doppelklick auf die Grafik. Ein Klick mit der rechten Maustaste auf die Grafik öffnet das links stehende Kontextmenü (Eigenschaften (Hintergrundfarbe, Rahmen setzen), Formatieren, Koordinaten ablesen und Zoomen).

Abb. 7.3

Seite 82

Funktionsdarstellungen

Eine andere Möglichkeit, das Diagramm zu formatieren: Menü-Format-Diagramm. In dem sich öffnenden Kontextmenü können auch Koordinaten der Grafik abgelesen werden. Ein Zoomen der Grafik ist ebenfalls möglich. Abb. 7.4 Das Formatierungsfenster bietet in den Registerblättern eine Reihe von Einstellungsmöglichkeiten, wie die nachfolgenden Abbildungen zeigen:

Abb. 7.5

Abb. 7.6

Seite 83

Funktionsdarstellungen

Für die Beschriftungen einer Grafik kann über Menü-FormatGleichung die Schriftart Mathematische Textschriftart geändert werden. Abb. 7.7

Abb. 7.8

Wie aus Abb. 7.3 und 7.4 ersichtlich ist, kann man die Grafik-Koordinaten ablesen oder einen Ausschnitt zoomen: Klick mit der rechten Maustaste auf die Grafik oder über das Menü-FormatDiagramm .

Abb. 7.9

Abb. 7.10

Seite 84

Funktionsdarstellungen

Beispiel 7.1: Offenes Polygon: T

x-Koordinaten für die Punkte

y  (1 6 5 2 5 )

T

y-Koordinaten für die Punkte

P  erweitern ( x  y)

Vektor x und y zu einer Matrix zusammenfassen

x  (1 2 3 4 5 )

0

P

1

0

1

1

1

2

6

2

3

5

3

4

2

4

5

5

Jede Zeile der Matrix P enthält die Koordinaten eines Punktes

n  0  4

Bereichsvariable für die Vektoren

i  0  4

Bereichsvariable für die Zeilen von P

k  0  1

Bereichsvariable für die Spalten von P 7

7

6

6

5

5

4

y

yn

3

4 3

2

2

1

1

0

0

1

2

3

4

5

0

6

0

1

2

x

3

4

5

xn

Spur 1

Spur 1

Abb. 7.11

Abb. 7.12

Die x-Achse bzw. y-Achse wird hier durch min(x)-1 und max(x)+1 bzw. min(y)-1 und max(y)+1 begrenzt. 7 6 5 Pi  1

Spur1: Symbol: Kreis Format: Linien

4 3 2 1 0

Abb. 7.13 0

1

2

3

4

5

6

Pi  0

Die x-Achse bzw. y-Achse wird hier durch 0 und 6 bzw. 0 und 7 begrenzt.

Seite 85

6

Funktionsdarstellungen

Beispiel 7.2: Darstellung eines Ortsvektors und eines komplexen Zeigers: x1  4 y1  3

x- und y-Koordinate für einen Punkt

z  x1  j ˜ y1

Komplexer Zeiger in Komponentendarstellung

§0 · ¨y © 1¹

5

5

4

4

3

§ 0 · ¨ ©Im( z) ¹

2 1 0

3

Spur1: Symbol: + Format: Linien

2 1

0

1

2

3

4

0

5

§0 · ¨x © 1¹

0

1

2

3

4

5

· § ¨ ©Re( z) ¹ 0

Abb. 7.14

Abb. 7.15

Die x-Achse und die y-Achse wird hier durch 0 und 5 begrenzt. Beispiel 7.3: Punkt, waagrechte und senkrechte Linie:

 x1



y1  ( 5 6 )

xw 

0

x1 x1

ys 

0

0 y1



xd 

0

x1

T

yd 

0

y1

T

Punkt festlegen

T

Koordinaten der Punkte für die waagrechte und senkrechte Linie

T

Koordinaten der Punkte (Ursprung und ein Punkt) für die Linie vom Ursprung zu einem Punkt

10 8 6 4 2

y1 ys 10 yd

8

6

4

2

2 4 6 8 10

Spur1: Symbol: Kreis Format: Punkte Spur2 und Spur3: Format: Linien 0

2

4

6

8

10

Achsenformat: Kreuz Die x-Achse und y-Achse wird hier durch -10 und 10 begrenzt. Abb. 7.16

x1  xw xd

Seite 86

Funktionsdarstellungen

Beispiel 7.4: Zufallserzeugte Bit-Sequenz: N  20

Länge der Bitsequenz

B  rbinom ( N  1  0.5)

Bit Sequenz mit Zufallsgenerator rbinom erzeugen

T

0

B

0

1 0

2 0

3 1

i  0  N  1

4 0

5 1

6 1

7 1

8 0

9 0

10 0

12 1

13 1

14 0

1

Bereichsvariable für B

Spur1 und Spur2: Format: Fehl Spur3: Symbol: Kreis Format: Punkte

1

Bi 0

11 1

0.5

Achsenformat: Kasten

Bi

Die x-Achse bzw. y-Achse wird hier durch -1 und 19 bzw. -0.1 und 1.1 begrenzt.

0 0

5

10

15

20

i

Abb. 7.17

Beispiel 7.5: Bemerkung: Es können sogenannte Quick-Plots erzeugt werden, ohne den Definitionsbereich (Bereichsvariable) explizit angeben zu müssen. Z.B. Eingabe von: sin(x), cos(x), 1/2 x+1 bzw. 1/x, 1/x 2 (den blauen Eingabecorsor nicht verlassen) und Diagramm wählen. Es wird dann eine Grafik für diese Funktionen erzeugt (immer im Bereich von -10 bis +10). 2

5

sin( x)

1 x

cos ( x) 1 2

˜ x 1

10

5

0

5

10

1 x

10

5

0

5

2

2

5 x

x

Abb. 7.18 Die y-Achse wird hier durch -2 und 2 begrenzt.

Abb. 7.19 Die y-Achse wird hier durch -5 und 5 begrenzt.

Seite 87

10

Funktionsdarstellungen

Beispiel 7.6 Funktion und Asymptoten (Quick-Plot): x

f ( x) 

gegebene Funktion (Pol an der Stelle x = -1 mit Asymptotengleichung x = -1 und einer weiteren Asymptote bei y = 1

1 x

xmin  4

xmax  4

ymin  10

Bereiche der x- und y-Achsen

ymax  10

§¨ xmin · ¨x © max ¹

x_Asy

§¨ ymin · y_Asy  ¨y © max ¹

y_Asy

x_Asy 

§ 4 · ¨ ©4 ¹ Bereiche der Asymptoten in Vektorform

§ 10 · ¨ © 10 ¹

k  0  1

Bereichsvariable

10 8

Spur1,Spur2 und Spur3: Format: Linien

6 4

f( x)

Achsenformat: Kreuz

2 y_Asyk

4

2

2

1

0

2

4

4

Die x-Achse bzw. y-Achse wird hier durch xmin und x max bzw. ymin und y max begrenzt

6 8

Abb. 7.20

10 x   1  x_Asyk

Beispiel 7.7: Explizite Funktionsdarstellung: 2

2

f ( x)  x fu ( x) 

f1 ( x  c )  x  c

Umkehrfunktion

x

a 0

linkes und rechtes Intervallende von [a,b]

b 2

n  50 'x 

Funktionsdefinition ohne und mit Parameter c

Anzahl der Intervallschritte

ba

Schrittweite

n

x  a  a  'x  b

c  0  5

Bereichsvariable für x und den Parameter c

Seite 88

Funktionsdarstellungen

Parabel und Wurzelfunktion

y-Achse

4

f( x)

2

0

f1( x  c)

0

0.5

1

1.5

Format: Punkte wählen

5 4 3 2 1 1 0 2 3 4 5

2

x x-Achse

0.5

1

1.5

2

x

Quadratische Funktion

Abb. 7.21

Abb. 7.22

Beispiel 7.8: Angewandte Funktionen mit Einheiten: Senkrechter Wurf nach oben ohne Luftwiderstand. m v0  30 ˜ s g 2 s 1 ( t)  v0 ˜ t  ˜ t 2 ts 

v0

Anfangsgeschwindigkeit g

m s

ts

g

9.807

2

3.059 s

Funktionsdefinition (g ist in Mathcad bereits vordefiniert)

Steigzeit

2

s max 

v0

2˜ g

s max

45.887 m

Maximale Steighöhe

t1  0 ˜ s

Anfangszeitpunkt

t2  2 ˜ ts

Endzeitpunkt

n  100

Anzahl der Schritte

't 

t2  t1 n

t  t1  t 1  't  t 2

Schrittweite Bereichsvariable für die Zeit Die Grafik wird wie oben beschrieben erzeugt und formatiert. Die Gleichungen werden durch Division der Einheiten einheitenfrei gemacht. Dies ist insbesondere bei der Darstellung von mehreren Funktionen mit verschiedenen Einheiten in einem Koordinatensystem notwendig ! Es können bis zu 16 Funktionen in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Abb. 7.23

Seite 89

Funktionsdarstellungen

Beispiel 7.9: Flächenfüllungen am Beispiel einer Normalverteilung: n  30000 P  10

Anzahl der Punkte, die eine Region füllen sollen V 3

x0  P  4

Mittelwert und Standardabweichung

Begrenzungsstellen der kritischen Region

x1  P  4 Rx0  "L"

Richtung von x0 bzw. x1, welche die Region beschreibt (R für Rechts von x 0 bzw. x1 , L für Links von x0 bzw. x1 ), die

Rx1  "R"

ausgefüllt werden soll.

xmin  qnorm ( 0.00001  P  V )

xmin

2.795

xmax  qnorm ( 0.99999  P  V )

xmax

f ( x)  dnorm ( x  P  V )

Normalverteilung (nach Gauß)

i  0  n  1

Bereichsvariable

Bereich für die Verteilungsfunktion





22.795







X  wenn Rx0 = "R"  runif n  x0  xmax  runif n  xmin  x0











X1  wenn Rx1 = "R"  runif n  x1  xmax  runif n  xmin  x1

 

Yi  rnd f Xi

 



bzw. x1 ausgefüllt werden soll.

Y-Zufallswerte bzw. Y1-Zufallswerte (erzeugt mit rnd) für die zu füllende Region

Y1i  rnd f X1i



Gleichverteilte X-Zufallswerte bzw. X1-Zufallswerte (erzeugt mit runif) mit Auswahl, ob links oder rechts von x0







x  floor xmin  floor xmin  0.1  ceil xmax



Bereichsvariable für die Verteilungsfunktion

Abb. 7.24

Seite 90

Funktionsdarstellungen

§¨ x0 · ¨x © 0¹

§6 · ¨ ©6 ¹

§ 0 · ¨f x ©  0 ¹ 0 §¨ x1 · ¨x © 1¹

0

§ 14 · ¨ © 14 ¹

§ 0 · ¨f x ©  1 ¹ 0

0

Rx0  "R"



§ 0 · ¨f x ©  0 ¹

§ 0 · ¨ © 0.055 ¹

§ 0 · ¨f x ©  0 ¹ 1

0.055

§ 0 · ¨f x ©  1 ¹

§ 0 · ¨ © 0.055 ¹

§ 0 · ¨f x ©  1 ¹ 1

0.055

Begrenzungspunkte für die Senkrechte Gerade bei x 0

Begrenzungspunkte für die Senkrechte Gerade bei x 1

Richtung von x0 ,welche die Region beschreibt (R für Rechts von x 0 ), die ausgefüllt werden soll.









X  wenn Rx0 = "R"  runif n  x0  xmax  runif n  xmin  x0

 

Yi  rnd f Xi

Gleichverteilte X-Zufallswerte (erzeugt mit runif) mit Auswahl, ob links oder rechts von x0 ausgefüllt werden soll.

Y-Zufallswerte (erzeugt mit rnd) für die zu füllende Region

Abb. 7.25

Der oben in den Grafiken angegebene Korrekturfaktor 0.02 dient einzig und alleine dafür, um keine Punkte auf die senkrechte Linie zu zeichnen. Um eine Fläche wie in Abb. 7.25 zwischen x-Achse und einer Kurve zu füllen, könnte man einfacher auch wie folgt vorgehen: 1. Anlegen einer eigenen Bereichsvariable mit Startwert x 0 ; 2. Die Funktion f(x) wird nochmals in Abhängigkeit von dieser Bereichsvariable im Diagramm dargestellt; 3. Im Formatierungsfenster wird dann im Registerblatt-Spuren das Format auf "Säule" oder "Gefüllt" gestellt.

Seite 91

Funktionsdarstellungen

Beispiel 7.10 Parameterdarstellung eines Kreises: M1  0

linkes Intervallende für den Parameter

M2  2 ˜ S

rechtes Intervallende für den Parameter

n  300

Anzahl der Schritte

'M 

M2  M1

Schrittweite

n

M  M 1  M 1  'M  M 2

Bereichsvariable für den Parameter M

r 4

Gewählter Kreisradius

x ( M )  r ˜ cos ( M )

Parametergleichungen eines speziellen Kreises in Hauptlage

y ( M )  r ˜ sin ( M )

5

y( M )

5

0

5

Die Grafik wird wie oben beschrieben erzeugt und formatiert. Abb. 7.26

5 x( M )

Beispiel 7.11 Parameterdarstellung einer Lissajous-Figur: t1  0

linkes Intervallende für den Parameter

t2  2 ˜ S

rechtes Intervallende für den Parameter

n  500

Anzahl der Schritte

Lw( a  b  n) 

hm

ba n

for i  0  n xi m a  i ˜ h

Dieses Unterprogramm erzeugt eine Bereichsvariable in Vektorform (erstellt mithilfe der Programmierung-Symbolleiste).

x





t  Lw t 1  t 2  n

Bereichsvariable in Vektorform umwandeln

Seite 92

Funktionsdarstellungen

x ( t )  cos ( 3 ˜ t ) Parametergleichungen einer Funktion (Lissajous-Figur) y ( t )  sin ( 2 ˜ t )

§ cos ( 3 ˜ t) · ¨ © sin ( 2 ˜ t) ¹

X ( t) 

Darstellung der Funktion als Vektorfunktion

1

y( t)

1

X( t) 1

0

1

1

0.5

0

0.5

0

1

1

1

0.5

0

0.5

1

X( t) 0

x( t)

Abb. 7.27

Abb. 7.28

Diese Grafiken werden wie oben beschrieben erzeugt und formatiert. Beispiel 7.12: Darstellung von Vektordaten: 3

f ( x)  x

Funktionsdefinition

a 0

linkes Intervallende

b  10

rechtes Intervallende

n  20

i  0  n

Anzahl der Schritte und Bereichsvariable für die Vektorindizes

b a

h

Schrittweite (Abstand zwischen den Argumentwerten)

n

xi  a  i ˜ h

Vektor der Argumentwerte



yi  f xi

Vektor der Funktionswerte

1000

y

1000

Spur1: Symbol: Kreise Format: Linie

500

0

0

5

y

0

10

Spur1: Format: Punkte

500

0

5

x

x

Abb. 7.29

Abb. 7.30

Seite 93

10

Funktionsdarstellungen

Beispiel 7.13: Reguläres Polygon mit n Seiten: n 8

Seitenanzahl

k  0  n

Bereichsvariable

§ 2˜S˜k˜j · ¨ n x1 k  Re © e ¹

§ 2˜S˜k˜j · ¨ n y1k  Im © e ¹

Eckpunkte (Koordinaten aus Real- und Imaginärteil)



Regelmäßiges Vieleck

T

T

P  stapeln x1  y1



1

y1 1

0.5

0

0.5

1

T

P

1 x1 Spur 1

§¨ 1 ¨ 0.707 ¨ 0 ¨ ¨ 0.707 ¨ 1 ¨ ¨ 0.707 ¨ 0 ¨ ¨ 0.707 ¨ 1 ©

· 0.707 ¸ ¸ 1 ¸ 0.707 ¸ ¸ 0 ¸ 0.707 ¸ ¸ 1 ¸ 0.707 ¸ 0

0

¹

Koordinaten der Eckpunkte

Abb. 7.31

7.2 Logarithmisches Koordinatensystem Beispiel 7.14: Doppelt-logarithmisches Papier oder Potenzpapier: f ( x)  2 ˜

x

Funktionsdefinition

a  0.1

linkes Intervallende

b  1000

rechtes Intervallende

n  200

Anzahl der Schritte

'x 

ba n

x  a  a  'x  b

Schrittweite Bereichsvariable x

Punkte in logarithmischen Abständen können mit der Funktion logspace(min, max, Punkteanzahl) erzeugt werden. Siehe dazu auch die Funktion logpts(minexponent,dekade,PunkteproDekade) .

Seite 94

Funktionsdarstellungen

100

Die Grafik wird wie oben beschrieben erzeugt und formatiert.

10

Die x - Achse und die y - Achse werden logarithmiert, die

f( x) 1

Potenzfunktion y = a * x n wird zur Graden. 0.1 0.1

1

10

1 10

3

100

Abb. 7.32

x

Beispiel 7.15: Spannungsübertagungsfunktion des Bandpasses (Wiengliedes): Es soll der Amplitudengang, der Phasengang und die Ortskurve (Nyquist) dargestellt werden. Angenommene Werte für die Kapazität C =1 PF und dem Widerstand R = 1 k: C 1

R 1

Abb. 7.33 Parallelschaltung von R und C (nach Z2 auflösen):

Serienschaltung von R und C : Z1 = R 

G(Z ) =

1

1

j˜Z˜C

Z2

Ua

=

Ue

Z2

1 R

1



hat als Lösung(en)

1

Z2 ersetzen  Z2 =

1  i˜ Z ˜ C˜ R

j ˜Z˜C

1 j˜Z˜C o

R

1  j ˜ Z ˜ C˜ R

Z 2

3˜ Z  i˜ Z  i

Symbolische Auswertung (aus j wird i, auch wenn im Ergebnisformat-Fenster für die imaginäre Einheit j gewählt wurde !)

vereinfachen

§

·

Z

RE ( Z  R  C)  Re ¨

2

© 3 ˜ Z  i ˜ Z  i¹

§

Z

IM ( Z  R  C)  Im ¨

·

2 © 3 ˜ Z  i ˜ Z  i¹

A ( Z  R  C) 

R

Spannungsübertragungsfunktion

Z1  Z2

ersetzen  Z1 = R  Z1  Z2

=

Z 2

Realteil und Imaginärteil als Funktion mit drei Parametern definiert

Amplitudengang

3˜ Z  i˜ Z  i

Seite 95

Funktionsdarstellungen

1 2 · § Z vereinfachen o ¨ 2 ¨ 7 ˜ Z2  Z4  1 3˜ Z  i˜ Z  i © ¹

Z

§

·

Z

M ( Z  R  C)  arg ¨

2

Betrag von G(Z) symbolisch ausgewertet

S  arg ( z ) d S

Phasengang

2

© 3 ˜ Z  i ˜ Z  i¹

2 2 ª º Z Z Z 1 § · « » arg ¨ komplex o atan2 3 ˜  Z ˜ 2 2 2» « 2 2 2 2 © 3 ˜ Z  i ˜ Z  i¹ 9˜ Z  Z  1 ¼ ¬ 9˜ Z  Z  1









Hinweise: Die Funktion "atan2" steht zu den Funktionen "atan" und "arg" wie folgt in Beziehung: atan2(x,y) = atan(y/x) ("atan=arctan" gibt nur Werte zwischen - S/2 und S/2 zurück!) atan2(x,y) = arg(x + j y). Die zurückgegebenen Werte liegen stets zwischen S< M d S. Wird ein positives Ergebnis zurückgegeben, wird der Winkel von der x-Achse aus entgegen dem Uhrzeigersinn gemessen. Wird ein negatives Ergebnis zurückgegeben, wird der Winkel von der x-Achse aus im Uhrzeigersinn gemessen. x und y müssen reell sein. Der Amplituden- und der Phasengang wird halblogarithmisch mit der Variablen Z dargestellt: N 4

Anzahl der Dekaden

Z min  10

N

Z max  10

N

Frequenzbereich

n  40 ˜ N

Anzahl der Schritte







ln Z max  ln Z min

'Z 



Schrittweite

n

k  1  n

Anzahl der Vektorkomponenten k˜'Z

Bereichsvariable der Z-Werte (Vektorkomponenten) Oder mit: Z := logspace(Zmin,Zmax,40 N)

Z k  Zmin ˜ e

Amplitudengang

0.4

1 3

Die Grafik wird wie oben beschrieben erzeugt und formatiert.

0.3



A Zk  R  C



0.2

Die x - Achse wird logarithmiert, die Potenzfunktion A = f(Z) wird geglättet.

0.1 0 4 3 1 10 1 10

0.01

0.1

1 Zk

10

Seite 96

100

1 10

3

1 10

4

Abb. 7.34

Funktionsdarstellungen S

Phasengang

2

2

Die Grafik wird wie oben beschrieben erzeugt und formatiert.

1



M Zk  R  C



Die x - Achse wird logarithmiert, die arctan-Funktion M = f(Z) wird geglättet.

0 S 1

2

2 4 3 1 10 1 10

k1  0  1

0.01

0.1

1 Zk

10

100 1 10

3

1 10

Abb. 7.35

0.4

Die Grafik wird wie oben beschrieben erzeugt und formatiert. Die komplexen Zeiger liegen auf einem Kreis.

4

Bereichsvariable Nyquist-Ortskurve

0.2

0.1



IM Z k  R  C



0 § · ¨ IM Z  R  C ¹ k1 ©  75

0

0.1

0.2

0.3

0.1

Abb. 7.36

0.2





§

RE Z k  R  C  ¨

0



©RE Z 75  R  C

·

¹ k1

7.3 Ebenes Polarkoordinatensystem Ein Kreisdiagramm wird mit den oben angezeigten Möglichkeiten oder mit den Tasten <Strg> + <7> erzeugt.

Die Formatierung der Grafik erreicht man auch hier in analoger Weise wie oben beschrieben. Ein Koordinatenablesen und das Zoomen von Funktionsteilen ist ebenso möglich.

Abb. 7.37

Seite 97

Funktionsdarstellungen

Beispiel 7.16: Bemerkung: Es können auch hier sogenannte Quick-Plots erzeugt werden, ohne den Definitionsbereich (Bereichsvariable) explizit angeben zu müssen. Polarkoordinatendarstellung eines Kreises: r(T )  5

Kreis mit Radius 5 90 6 5 4 3 2 1 0

120 150 r( T )

180

Direkte Eingabe der Kreisgleichung r(t) = 2 sin(t) 90 60

120 30

0

210

0.5 180

300

0

300 270 t

Abb. 7.38

Abb. 7.39

Beispiel 7.17: Polarkoordinatendarstellung einer Lemniskate: Redefinition von M

r(M ) 

4 cos ( 2 ˜ M )

x ( M )  r ( M ) ˜ cos ( M ) y ( M )  r ( M ) ˜ sin ( M )

Funktionsdefinition für eine Lemniskate in Polarkoordinatenform bei gegebener Polarform lassen sich immer zwei Parametergleichungen in nebenstehender Form angeben

M1  0

linkes Intervallende für den Polarwinkel

M2  2 ˜ S

rechtes Intervallende für den Polarwinkel

n  10000

Anzahl der darzustellenden Bildpunkte

'M 

M2  M1 n

Schrittweite

§ 0 · ¨ ¨ S ¸ § D0 · ¸ ¨ ¨ 1 ¨ D1 ¸ ¨ 3˜S ¸ ¸ ¨D ¸ ¨ ¨ 2 ¸  d x( M ) = 0 auflösen  M o ¨ 1 ˜ S ¸ ¸ ¨ D 3 ¸ dM ¨ 3 ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ D4 ¸ ¨ 2˜S ¸ ¸ ¨ ¨ 3 © D5 ¹ ¨ 2 ¸ ¨ ˜S © 3 ¹

0

330 240

270 T

M M

30

1

210

330 240

1.5

150 2˜sin( t)

60

Winkel für die vertikalen Tangenten der Lemniskate in Polarform

Seite 98

Funktionsdarstellungen

§ 1˜S · ¨ ¨ 2 ¸ ¨ 1 ¸ § E0 · ¨ 2 ˜S¸ ¨ ¨ ¸ ¨ E1 ¸ 1 ¨ ¸ ¨E ¸ ˜S ¨ ¸ 6 2 ¨ ¸  d y ( M ) = 0 auflösen  M o ¨ ¸ ¨ E 3 ¸ dM 5 ¨ ˜S ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 6 ¨ E4 ¸ ¨ ¸ 1 ¨ ¨ ¸ E ˜ S © 5¹ ¨ 6 ¸ ¨ 5 ¸ ¨ ˜S © 6 ¹

Winkel für die horizontalen Tangenten der Kardioide in Polarform

k  0  5

Bereichsvariable für die errechneten Winkel

M  M 1  M 1  'M  M 2

Bereichsvariable für den Polarwinkel

Lemniskate-Polarform 90 3

120

 r E k

2

150

r( M )

60

30

1

r Dk

180

0

Die Grafiken werden wie oben beschrieben erzeugt und formatiert.

0

210

Abb. 7.40

330

240

300 270 M  D k E k

Lemniskate-Parameterform

1 0.5 y( M )

0

Abb. 7.41

0.5 1

2

1

0

1

x( M )

Seite 99

2

Funktionsdarstellungen

Beispiel 7.18: Polarkoordinatendarstellung einer Kardioide: f ( t)  1  cos ( t )

Funktionsdefinition für eine Kardioide in Polarkoordinatenform

x = f ( t) ˜ cos ( t)

Bei gegebener Polarform lassen sich immer zwei Parametergleichungen in nebenstehender Form angeben!

y = f ( t) ˜ sin ( t ) j ˜t

Bei gegebener Polarform kann auch eine komplexe Darstellung gewählt werden!

Z ( f  t)  f ( t) ˜ e

§ f ( t) ˜ cos ( t) · ¨ © f ( t) ˜ sin ( t) ¹

X ( f  t) 

Darstellung der Funktion als Vektorfunktion

t1  0

linkes Intervallende für den Polarwinkel

t2  2 ˜ S

rechtes Intervallende für den Polarwinkel

n  200

Anzahl der darzustellenden Bildpunkte

Lw( a  b  n) 

hm

ba

Dieses Unterprogramm erzeugt eine Bereichsvariable in for i  0  n Vektorform (erstellt mithilfe der xi m a  i ˜ h Programmierung-Symbolleiste). n

x





t  Lw t 1  t 2  n

Bereichsvariable in Vektorform

k  0  n

Bereichsvariable Polarkoordinatendarstellung 120

90 2

Parameterdarstellung 2

60

1.5 150 f( t)

1

30

1



0.5 180

X f  tk 1

0

0

210

2

1

0 1

330 240

300 2

270 t



X f  tk 0

Abb. 7.42

Abb. 7.43

Die Grafiken werden wie oben beschrieben erzeugt und formatiert.

Seite 100

1

Funktionsdarstellungen

Abb. 7.44

Abb. 7.45

Spur1: Format-Balken 7.4 X-Y-Z Diagramm (Räumliches kartesisches Koordinatensystem) Ein 3D-Diagramm wird mit den oben angezeigten Möglichkeiten oder mit den Tasten <Strg> + <2> erzeugt.

Zusätzlich steht auch noch ein 3D-Diagrammassistent zur Verfügung (Menü-Einfügen-Diagramm). Vergrößern und verkleinern kann man das Diagramm, wenn man zuerst auf das Diagramm klickt und an den vorgesehenen schwarzen Randquadraten das Diagramm mit der Maus anfasst und zieht. Mit gedrückter linker Maustaste kann mit dem Mauszeiger das Diagramm beliebig perspektivisch gedreht werden. Mit gedrückt gehaltener Strg-Taste und linker Maustaste kann mit dem Mauszeiger das Diagramm beliebig vergrößert oder verkleinert werden.

Abb. 7.46

Hält man die Shift-Taste gedrückt, so kann durch Ziehen mit der linken Maustaste über das Diagramm und anschließendes loslassen der Maustaste das Diagramm in ständige Rotation gebracht werden.

Zur Darstellung einer Fläche oder Raumkurve müssen in Mathcad Matrizen bzw. Vektoren erzeugt werden. Bei mehreren 3D-Diagrammen in einem Koordinatensystem müssen die Matrizen bzw. Vektoren in Klammer gesetzt und durch einen Beistrich getrennt werden.

Seite 101

Funktionsdarstellungen Beispiel 7.19: Hyperbolisches Paraboloid (Sattelfläche): Funktion z = f(x, y) = x2 - y2 in kartesischen Koordinaten (explizite Form). ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

2

2

f ( x  y)  x  y

skalarwertige Funktionsdefinition

n  10

Anzahl der Gitternetzlinien je Achse

i  0  n  1

j  0  n  1

Bereichsvariable i und j

xi  1  0.2 ˜ i

y j  1  0.2 ˜ j

x- und y-Werte als Vektor definiert



Zi  j  f xi  y j



Matrix der Funktionswerte in den Gitterpunkten

Abb. 7.47

Die Formatierung der Grafik erreicht man durch Öffnen des 3D-Diagrammformatfensters: Ein Doppelklick auf die Grafik, oder ein Klick mit der rechten Maustaste auf die Grafik (Formatieren u.a.m.), bzw. über das Menü-Format-Diagramm.

Klickt man mit der rechten Maustaste auf den unteren Rand des Diagramms, so können aus dem sich öffnenden Kontextmenü die Eigenschaften gewählt werden (z.B. Hintergrundfarbe).

Abb. 7.48

Abb. 7.49

Seite 102

Funktionsdarstellungen

Abb. 7.50

Abb. 7.51

Abb. 7.52

Seite 103

Funktionsdarstellungen

Abb. 7.53

Abb. 7.54

Abb. 7.55

Seite 104

Funktionsdarstellungen

Abb. 7.56

Abb. 7.57

Drahtmodell

Allgemein: Flächendiagramm Darstellung: Drahtmodell Volltonfarbe (rot)

Abb. 7.58

Z

Seite 105

Funktionsdarstellungen

Umrissdiagramm Umrissdiagramm mit beschrifteten Niveaulinien (Höhenschichlinien): Die Grafik wird wie oben beschrieben erzeugt und formatiert. Allgemein: Umrissdiagramm Darstellung: Keine Füllung Umrisslinien Volltonfarbe (rot) Spezial: Linien zeichnen Autom. Umrisse Nummeriert Abb. 7.59 Z

Umrissdiagramm Darstellung: Umrisse füllen Umrisslinien Volltonfarbe (rot) Spezial: Füllen Linien zeichnen Autom. Umrisse

Abb. 7.60 Z Bemerkung: Jedes 3D-Diagramm kann mithilfe der Option Darstellungsart (3D-Diagrammformat) in ein anderes 3D-Diagramm umgewandelt werden (Diagrammtyp anwählen und auf Übernehmen oder OK klicken). Säulendiagramm:

Säulendiagramm

Die Grafik wird wie oben beschrieben erzeugt und formatiert. Allgemein: Säulendiagramm Rahmen anzeigen 3D-Rahmen Darstellung: Säulen füllen Gouraud Schattierung Farbschema Drahtsäulen Volltonfarbe (schwarz) Spezial: Matrix Abb. 7.61

Z

Seite 106

Funktionsdarstellungen

Beispiel 7.20: 3D-Streuungsdiagramm: In Streuungsdiagrammen werden, im Gegensatz zu anderen Flächendiagrammen, die Koordinaten (x,y,z) eines Punktes getrennt in einem Vektor gespeichert ! i  0  2  40

Bereichsvariable

x1 i  i ˜ sin ( i)

y1i  cos ( i)

z1i  x1 i  y1i

x1, y1 und z1-Werte als Vektor definiert (Parametrisierte Punkte im Raum)

Abb. 7.62

Beispiel 7.21: Vektorfelddiagramm: Jedem Punkt in der X-Y-Ebene wird ein zweidimensionaler Vektor zugewiesen. n 8

i  0  n  1 2

f ( z)  z 

k  0  n  1

1

Funktion

2

§ ©

ai  0.1 ˜ ¨ i 



Bereichsvariablen

n·

§ ©

bk  0.1 ˜ ¨ k 

2¹

X2i  k  Re f Z2i  k





n· 2¹

Y2i  k  Im f Z2i  k



Z2i  k  ai  j ˜ bk

Vektoren a und b bzw. komplexe Matrix Z2

Datenfelder X2 und Y2

Die Grafik wird wie oben beschrieben erzeugt und formatiert. Allgemein: Vektorfelddiagramm Darstellung: Füllungsoption (Pfeile füllen, Volltonfarbe (schwarz)) Linienoption(keine Linien)

Abb. 7.63

Seite 107

Funktionsdarstellungen

Beispiel 7.22: Bemerkung: Es können auch 3D-Quick-Plots in kartesischen Koordinaten erzeugt werden, ohne den Definitionsbereich (Bereichsvariable) explizit angeben zu müssen. M ( x  y)  sin ( x)  cos ( y)

skalarwertige Funktionsdefinition

Die Quickplot-Daten (Bereich der x- und y-Achse und das Koordinatensystem) sind im Registerblatt QuickPlot-Daten einzugeben bzw. auszuwählen (siehe Abb. 7.66).

Abb. 7.64

Abb. 7.65

Beispiel 7.23: P-V-T Diagrammm (Qick-Plot): R  8.314 p ( V  T) 

J mol ˜ K n˜ R˜ T V

n  1mol

Gaskonstante und Stoffmenge

Allgemeines Gasgesetz (ideale Gase)

Seite 108

Funktionsdarstellungen

p-V-T Diagramm Die Quickplot-Daten (Bereich der x- und y-Achse und das Koordinatensystem) sind im Registerblatt QuickPlot-Daten einzugeben bzw. auszuwählen. Bereich1: Beginn 1; Ende 2 Bereich2: Beginn 100; Ende 500 Schrittweite: 5 Koordinatensystem: Kartesisch

Abb. 7.66 p

Beispiel 7.24: Darstellung einer Ebene, von der die z-Werte einiger Punkte in einer Matrix Z gespeichert werden. ORIGIN  0 Z

ORIGIN festlegen

§0 1 2 · ¨ ©3 4 5 ¹

zeilen ( Z)

2

gegebene Matrix mit den z-Werten von 6 Punkten

spalten ( Z)

3

Anzahl der Zeilen und Spalten

Die x-Achse reicht von 0 bis 1, weil die Z-Matrix zwei Zeilen besitzt (ORIGIN = 0 also Index 0 und 1). Die y-Achse reicht von 0 bis 2, weil die Z-Matrix 3 Spalten besitzt (Index 0, 1, 2). Der Punkt mit z = 0 wird für x = 0 und y = 0 gezeichnet, weil z = 0 in der Zeile 0 und Spalte 0 der Matrix Z liegt. Der Punkt mit z = 5 wird für x = 1 und y = 2 gezeichnet, weil z = 5 in der 1. Zeile und 2. Spalte liegt. Analoges gilt für die anderen Punkte.

Abb. 7.67 Z

Seite 109

Funktionsdarstellungen

i  0  zeilen ( Z)  1

j  0  spalten ( Z)  1

x1  10 ˜ i i j

x1

§0 0 0 · ¨ © 10 10 10 ¹

x-Vektor (Zeilen von 0 bis 10)

y1  10 ˜ j i j

y1

§ 0 10 20 · ¨ © 0 10 20 ¹

y-Vektor (Spalten von 0 bis 20)

Bereichsvariablen

x1  y1  Z

x1  y1  Z Abb. 7.68

Abb. 7.69

Eine einzelne Fläche (die Matrizen in Klammer gesetzt).

Drei verschiedene Flächen (keine Klammer gesetzt).

Beispiel 7.25: ORIGIN  0

ORIGIN festlegen



2

2

f ( x  y)  500 ˜ x  y i  30

j  30

Z  matrix ( i  j  f)



skalarwertige Funktionsdefinition obere Begrenzungen für die x-Achse bzw. y-Achse Matrix der Funktionswerte (erzeugt mit der Funktion matrix(i,j,f))

Abb. 7.70

Seite 110

Funktionsdarstellungen

7.5 Flächen in Parameterform Beispiel 7.26: Bemerkung: Es können auch 3D-Quick-Plots in Parameterform erzeugt werden, ohne den Definitionsbereich (Bereichsvariable) explizit angeben zu müssen. 0dM dS

Kugel und Würfel:

0 d T d 2˜ S

X ( M  T )  sin ( M ) ˜ cos ( T ) Y ( M  T )  sin ( M ) ˜ sin ( T )

Parametergleichungen der Kugel mit Radius 1 (Kugelkoordinaten)

Z ( M  T )  cos ( M )

Abb. 7.71 Die Quickplot-Daten (Bereich der beiden Winkeln und das Koordinatensystem) sind im Registerblatt QuickPlot-Daten einzugeben bzw. auszuwählen (siehe Abb. 7.66).

Mit der Funktion Polyeder können bis zu 180 verschiedene 3D-Abbildungen erzeugt werden.

Beispiel 7.27: Spiralfeder und Zylinder: ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

m1  120

n  60

R 6

r  0.5

i  0  m1  1

j  0  n  1

Indexlaufbereiche für die Spiralfeder Spiralfederradien

x ( u  v)  ( R  r ˜ sin ( v) ) ˜ cos ( u) y ( u  v)  ( R  r ˜ sin ( v) ) ˜ sin ( u) z ( u  v)  r ˜ cos ( v)  ui  13 ˜ S ˜



i m1  1

XSi  j  x ui  v j n1  40



4 S

Parametergleichungen für die Spiralfeder

˜u vj  2 ˜ S ˜



YSi  j  y ui  v j

i  0  n1  1

j

Parameterlaufbereiche (Vektoren)

n1





ZSi  j  z ui  v j



j  0  n1  1

XS, YS und ZS müssen für die Parametergleichungen als Matrizen definiert werden Indexlaufbereiche für den Zylinder

Seite 111

Funktionsdarstellungen

R1  8 Mi  2 ˜ S ˜

Radius des Zylinders i n1  1

z j  50 ˜

Parameterlaufbereiche für den Winkel M und für die z-Komponente (Vektoren)

j n1  1



XZi  j  R1 ˜ cos M i



XZ, YZ und ZZ müssen für die Zylinderkoordinaten als Matrizen definiert werden

YZi  j  R1 ˜ sin M i ZZi  j  z j

Abb. 7.72

Bei mehreren Flächendiagrammen werden die in Klammer gesetzten Matrizen durch einen Beistrich getrennt.

7.6 Animation Bei Animationen kann ein Parameter FRAME in ganzzahligen Schritten von einem Minimalwert bis zu einem Maximalwert variiert werden.

Seite 112

Funktionsdarstellungen

Beispiel 7.28: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Wurf nach unten): m v0  30 ˜ s

Anfangsgeschwindigkeit

g 2 s1 ( t )  v0 ˜ t  ˜ t 2

Weg-Zeit Gesetz

t t

Redefinition für die symbolische Auswertung

v( t) 

d

v ( t ) o 30 ˜

s1 ( t )

dt



  

m

 g˜ t

s

Geschwindigkeit-Zeit Gesetz



s t t1  t  s1 t 1  v t1 ˜ t  t1

Tangentengleichung an der Stelle t 1

t  0 ˜ s  0.01 ˜ s  10 ˜ s

Bereichsvariable t für s und v

t1  3 ˜ s 

FRAME 5

˜s

FRAME: 0 bis 25 mit 2 Bildern/s

tt  t 1  2 ˜ s  t 1  1.99 ˜ s  t 1  2 ˜ s





c t2  st t1  t1  1 ˜ s



 

t2  t1  1 ˜ s  t1  t1





k  c t 1  c t1  1 ˜ m  s t t 1  t1 k1  0 ˜

m s

1˜

m s



 v t1

Bereichsvariable t t für die Tangente Untere Kathete des Steigungsdreiecks (Länge 1) Zweite Kathete des Steigungsdreiecks (ist gleich der Steigung der Tangente) Funktionswert an der v(t) Kurve

Abb. 7.73

Seite 113

Funktionsdarstellungen

Erstellen einer Animation: 1. Menü-Extras-Animation-Aufzeichnen wählen.

Abb. 7.74

2. Minimal- und Maximalwert für FRAME eingeben. 3. Mit Bildern/s die Anzahl der Bilder pro Sekunde festlegen. 4. Mit dem Mauszeiger ein Markierungsrechteck um die Animationsgrafik ziehen. 5. Auf die Schaltfläche "Animieren" klicken. Nach der Erstellung der Animation öffnet sich der Mathcad Video-Player.

Abb. 7.75

Seite 114

Funktionsdarstellungen

6. Um die Animation ablaufen zu lassen, klickt man auf auf den PLAY-Knopf (siehe Abbildung rechts). 7. Um Änderungen an der Animation vorzunehmen, klickt man im auf den Menü-Knopf (siehe Abbildung rechts). In diesem Kontextmenü sind folgende Einstellungen möglich: Einstellung der Fenstergröße; Einstellung der Ablaufgeschwindigkeit der Animation; Öffnen einer Animationsdatei vom Typ AVI; Schließen der Animation; Kopieren der Animation in die Zwischenablage; Konfigurationseinstellungen; MCI-Kommando ausführen. Abb. 7.76

8. Die Animation kann im Fenster-Animation aufzeichnen (Abb. 7.74) mit "Speichern unter" als Animationsdatei z.B. Tangente_Ableitung.AVI gespeichert werden. Mit Optionen kann zum Speichern eine Komprimierungsmethode gewählt werden. Eine Wiedergabe der Animation ist über Menü-Extras-Animation-Wiedergeben möglich.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, mit Kopieren (siehe Abb. 7.76) die Animation zu kopieren und die Animation mit Inhalte-einfügen (rechte Maustaste) in ein Mathcad-Dokument zu integrieren. Auch mit Drag & Drop kann eine AVI Datei auf ein Mathcad Dokument gezogen, und anschließend mit einem Doppelklick gestartet werden.

Abb. 7.77

Dieses Fenster erscheint, wenn die Animation mit Inhalte-einfügen (rechte Maustaste) in ein Mathcad Dokument integriert werden soll. Mit OK wird die Animation in das Mathcad Arbeitsblatt eingefügt.

Seite 115

Funktionsdarstellungen

Abb. 7.78 Mittels Doppelklick auf die Grafik kann die Animation gestartet werden. Per Drag & Drop kann man das Dateisymbol einer gespeicherten Animation auch direkt aus dem Windows-Explorer auf das Mathcad-Arbeitsblatt gezogen werden. Mittels Doppelklick auf die Grafik kann die Animation gestartet werden. Ein Video (Animation) kann auch mittels Doppelklick auf einen Hyperlink-Text gestartet werden. Es wird dabei z.B. der Windows Media Player gestartet. Hyperlinktext Tangente_Ableitung.AVI Beispiel 7.29: Animierte 3D-Grafik: n  40

Anzahl der Parameterwerte

i  0  n  1 Mi  2 ˜ S ˜

j  0  n  1 i

Tj  S ˜

n 1

j n1

Laufvariablen i und j Parameterwerte Mi (Azimut) und Tj (Polwinkel) als Vektorkomponenten

Parameterdarstellung der Fläche (Kugelkoordinaten mit variablen Radius): r(T ) 

cos ( FRAME ˜ T )







X3i  j  r T j ˜ cos M i ˜ sin T j











Y3i  j  r T j ˜ sin M i ˜ sin T j Z3i  j  r T j ˜ cos T j

Radius in Abhängigkeit vom Polwinkel (für FRAME = 0 ergibt sich die Kugeloberfläche mit Radius cos(0) = 1) X3, Y3, und Z3 müssen, wie schon erwähnt wurde, als Matrizen definiert werden. Die Matrizen X3i,j ,Y3i,j ,Z3i,j hängen dabei von den Parametern Mi und Tj ab.

Seite 116

Funktionsdarstellungen

Die Kugel kann wie oben beschrieben animiert werden (z.B. FRAME von 0 bis 10 und 1 Bild/s)

Abb. 7.79

Beispiel 7.30: Animierte 3D-Grafik: i  0  40

j  0  40

Laufvariablen

§ 2 ˜ S ˜ i· © 40 ¹

xi  j  2 ˜ cos ¨

§ 2 ˜ S ˜ i· © 40 ¹

yi  j  2 ˜ sin ¨ zi  j 

Parameterdarstellung eines Zylinders (Zylinderkoordinaten). x, y, und z müssen wieder als Matrizen definiert werden.

j  20 5

Der innere Zylinder kann wie oben beschrieben animiert werden. FRAME von 0 bis 8 und 1 Bild/s.

Abb. 7.80

Seite 117

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

8. Gleichungen, Ungleichungen und Systeme 8.1 Allgemeines Viele Gleichungen, Ungleichungen, sowie Gleichungs- und Ungleichungssysteme können in Mathcad symbolisch exakt gelöst werden (mit dem Symboloperator " o " und dem Schlüsselwort "auflösen" (Symbolleiste Rechnen "Symbolische Operatoren") oder über das Menü-Symbolik-Variable-Auflösen). Wenn beim Lösen von Gleichungen, Ungleichungen, sowie Gleichungs- und Ungleichungssystemen alle symbolischen Methoden versagen, können nur noch numerische Methoden zum Ziel führen. Diese haben den großen Vorteil, dass sie unabhängig vom Gleichungstyp sind ( Nachteil: Rundungsfehler). Die numerischen Methoden sind alle iterative Methoden (Iterationsmethoden). Zum Lösen von Gleichungen, Ungleichungen, sowie Gleichungs- und Ungleichungssystemen stehen in Mathcad mehrere implementierte numerische Methoden zur Verfügung: 1. Jede Gleichung der Form L(x) = R(x) hat als Lösungsmenge genau die Nullstellenmenge der Funktion f(x) : = L(x) - R(x) und umgekehrt. Durch Vorgabe eines Startwertes (Schätzwertes) x0 (reell oder komplex) bzw. der Grenzen a und b, zwischen denen eine Nullstelle liegt, erhält man mit der Funktion wurzel( f(x 0 ), x0 ) bzw. mit wurzel( f(x), x,a,b) eine Näherungslösung der Gleichung. Die Genauigkeit der Lösung kann durch Änderung der Konvergenztoleranz (vordefinierte Variable TOL im Menü ExtrasArbeitsblattoptionen) eingestellt werden. 2. Von jeder algebraischen Gleichung der Form a0 + a1 x +a2 x2 + ... + an xn = 0 mit dem Koeffizientenvektor a = ( a0 , a1 , a2 , ... , an ) erhält man mit der Funktion nullstellen(a) einen reellen bzw. komplexen Lösungsvektor. Für fehlende Koeffizienten muss 0 eingegeben werden. Die Genauigkeit der Lösung kann durch Änderung der Konvergenztoleranz (vordefinierte Variable TOL) eingestellt werden. 3. Lineare Gleichungssysteme können auf mehrere Arten gelöst werden: Fasst man die Koeffizienten a i,k und die Konstanten c i eines Gleichungssystems zu einer Matrix A bzw. zu einem Vektor c zusammen, dann liefert die Funktion llösen(A,c) bzw. x := A-1.c den Lösungsvektor (reelle und komplexe Lösungen). A muss aber eine reguläre Matrix sein. Die Genauigkeit der Lösungen kann durch Änderung der Konvergenztoleranz (vordefinierte Variable TOL) eingestellt werden. 4. Lineare Gleichungssysteme (eventuell auch mit Nebenbedingungen (Gleichheiten oder Ungleichheiten), nicht lineare Gleichungssysteme (eventuell auch mit Nebenbedingungen (Gleichheiten oder Ungleichheiten)), Maximierung oder Minimierung (Optimierung; eventuell auch mit Nebenbedingungen (Gleichheiten oder Ungleichheiten)) einer Funktion sowie Lineare Optimierung einer Funktion f(x1 ,x2 ,..xn) = a0 + a1 x1 +a2 x2 + ... + an xn (wobei alle Nebenbedingungen Gleichheiten oder Ungleichheiten sind, die lineare Funktionen mit Konstanten vergleichen) und quadratische Optimierung einer Funktion, die auch quadratische Terme enthält (alle Nebenbedingungen sind linear) löst man mit einem Lösungsblock, der aus dem Wort Vorgabe und einer Mathcadfunktion Suchen, Maximieren, Minimieren oder Minfehl besteht . Zuerst werden alle Startwerte (Schätzwerte) für alle unbekannten Variablen definiert, nach denen sie aufgelöst werden sollen. Danach wird das Wort Vorgabe eingegeben. Mathcad erkennt an diesem Wort, dass ein System (eventuell auch mit Nebenbedingungen) eingegeben wird. Nach dem Wort Vorgabe stehen dann (in beliebiger Reihenfolge) die Gleichungen und Ungleichungen. Die Gleichungen sind mit dem logischen Gleichheitszeichen zu formulieren. Ungleichungen enthalten die Ungleichheitszeichen (<, >, d, t). Das Ungleichheitszeichen (z), Ungleichungen der Form a < b < c und eine Zuweisung wie x := 2 dürfen nicht in einem Lösungsblock enthalten sein. Nach den Gleichungen und Ungleichungen steht eine der vorher genannten Funktionen.

Seite 118

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

Eine Verschachtelung von Lösungsblöcken ist nicht möglich. Die Genauigkeit der Lösungen kann durch Änderung der Konvergenztoleranz (vordefinierte Variable TOL im Menü Extras-Arbeitsblattoptionen) und die Genauigkeit der Nebenbedingungen kann durch Änderung der Bedingungstoleranz (vordefinierte Variable CTOL im Menü Extras-Arbeitsblattoptionen) eingestellt werden. TOL und CTOL können auch lokal am Arbeitsblatt festgelegt werden ! Standardmäßig wird in Mathcad zum Lösen von Gleichungen bzw. Ungleichungen eine automatische Auswahl ( AUTOSELECT) getroffen, um einen geeigneten Lösungsalgorithmus zu finden. Wenn man aber andere Algorithmen wählen will, so genügt es, den Funktionsnamen Suchen, Maximieren, Minimieren bzw. Minfehl anzuklicken und mit der rechten Maustaste das folgende Kontextmenü zu öffnen:

Abb. 8.1

Diese Default Einstellungen nehmen bereits auf 99.99 % aller Fälle Rücksicht.

Autom. Auswahl (AUTOSELECT): Wählt einen geeigneten Algorithmus. Linear: Zur Lösung von linearen Problemen ( Schätzwerte sind nicht erforderlich ). Nichtlinear: Zur Lösung von nichtlinearen Problemen mit verschiedenen Algorithmen. Der Lösungsalgorithmus für konjugierte Gradienten (falls der Lösungsalgorithmus nicht konvergiert), der LevenbergMarquart-Lösungsalgorithmus und falls auch der scheitert, der Quasi-Newtonsche Lösungsalgorithmus . Schätzwerte haben einen erheblichen Einfluss auf die Lösung . Der Punkt Erweiterte Optionen bezieht sich ausschließlich auf die Lösungsalgorithmen für nichtlineare Gradienten und das QuasiNewton-Verfahren. Diese Optionen bieten eine größere Einflussnahme beim Ausprobieren verschiedener Algorithmen für Überprüfungen und Vergleiche. Außerdem können die Werte der Systemvariablen TOL und CTOL angepasst werden. Ist die "Automatische Auswahl" ausgeschaltet , so wird, falls nichts anderes gewählt wird, bei linearen Problemen "Linear" sonst "Nichtlinear" gewählt und das Gradientenverfahren angewendet. Der Name Quadratisch erscheint nur, wenn das Solving & Optimization Extension Pack für Mathcad installiert ist (Zusatzsoftware). Es zeigt an, dass es sich um ein quadratisches Problem handelt, und es werden quadratische Verfahren angewendet.

Seite 119

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

Mit Mathcad 12 können lineare Systeme mit bis zu 500 Variablen, nichtlineare Systeme mit bis zu 200 Variablen gelöst werden. Mit dem Solving & Optimization Extension Pack kann man lineare Systeme mit bis zu 1000 Variablen, nichtlineare Systeme mit bis zu 250 Variablen und quadratische Systeme mit bis zu 1000 Variablen lösen. Kurze Beschreibung der wichtigsten numerischen Lösungsfunktionen: Suchen(var1, var2, ...), gibt die Werte von var1, var2... zurück, die die Gleichungen und Ungleichungen zugleich erfüllen. Bei der Auflösung nach n Variablen muss das Gleichungssystem n Gleichungen enthalten. Die Funktion Suchen gibt einen Wert zurück, bei nur einer Variablen, andernfalls wird ein Vektor zurückgegeben. Die Funktion Suchen kann in gleicher Weise verwendet werden wie andere mathematische Funktionen. Man kann daher auch eine anders benannte Funktion mit Suchen definieren. Dadurch können von einem Gleichungssystem aus andere Gleichungssysteme aufgerufen werden, um Parameter oder Konstanten in diesem zu variieren. Annäherungslösungen mit Minfehl: Minfehl(var1, var2, ...), gibt die Werte von var1, var2... zurück, die den Lösungen der Gleichungen und Ungleichungen in einem Lösungsblock am nächsten kommen. Der Unterschied zwischen Minfehl und Suchen besteht darin, dass Minfehl auch dann einen Wert zurückgibt, wenn der Lösungsalgorithmus die Lösung nicht weiter verbessern kann. Die Funktion Suchen dagegen gibt eine Fehlermeldung aus, aus der hervorgeht, dass keine Lösung gefunden werden konnte. Mit zusätzlich eingefügten Ungleichungen kann Mathcad zur Suche nach anderen Lösungen gezwungen werden. Die Funktion Minfehl gibt einen Wert zurück, bei nur einer Variablen, andernfalls wird ein Vektor zurückgegeben. Wenn es keine Bedingungen gibt, muss das Wort Vorgabe nicht eingegeben werden. Die Funktion Minfehl liefert ein Ergebnis mit minimierten Fehlern für die Bedingungen . Sie kann allerdings nicht feststellen, ob das Ergebnis ein absolutes Minimum für die Fehler dieser Bedingungen darstellt. Beim Einsatz in einem Lösungsblock sollten immer zusätzliche Überprüfungen auf Plausibilität der Ergebnisse vorgesehen werden. Die Systemvariable ERR gibt die Größe des Fehlervektors für Näherungslösungen an. Es gibt aber keine Systemvariable, mit der sich die Größe des Fehlers für einzelne Lösungen der Unbekannten angeben ließe. Die Funktion Minfehl ist besonders für die Lösung bestimmter nichtlinearer Probleme kleinster Quadrate geeignet. Auch die Funktion genanp eignet sich zur Lösung nichtlinearer Probleme kleinster Quadrate. Die Funktion Minfehl sollte verwendet werden: 1. Wenn "Suchen" nach mehreren Schätzungen keine Lösung liefert. 2. Wenn man weiß (z.B. grafisch), dass das System keine exakte Lösung hat. 3. Wenn man eine Funktion minimieren oder maximieren will, die nicht explizit definiert ist. Minimieren(f, var1, var2, ...), gibt die Werte var1, var2, ... zurück, die die Bedingungen (Gleichungen und Ungleichungen) zugleich erfüllen und die dafür sorgen, dass die Funktion f (f ist eine über dem Wort Vorgabe definierte Funktion) ihren kleinsten Wert annimmt. Die Funktion Minimieren gibt einen Wert zurück, bei nur einer Variablen, andernfalls wird ein Vektor zurückgegeben. Wenn es keine Bedingungen gibt, muss das Wort Vorgabe nicht eingegeben werden. Maximieren(f, var1, var2, ...), gibt die Werte var1, var2, ... zurück, die die Bedingungen (Gleichungen und Ungleichungen) zugleich erfüllen und die dafür sorgen, dass die Funktion f (f ist eine über dem Wort Vorgabe definierte Funktion) ihren größten Wert annimmt. Die Funktion Maximieren gibt einen Wert zurück, bei nur einer Variablen, andernfalls wird ein Vektor zurückgegeben. Wenn es keine Bedingungen gibt, muss das Wort Vorgabe nicht eingegeben werden.

Seite 120

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

8.2 Gleichungen und Ungleichungen Beispiel 8.1: a) Symbolisches Lösen einer Gleichung 2

x  3 ˜ x  2 = 0 hat als Lösung(en)

2

x  3 ˜ x  2 = 0 auflösen  x o

§1 · ¨ ©2 ¹

Cursor auf x stellen. Menü-Symbolik: Auswertungsformat einstellen und Variable-Auflösen (oder: +SVA) wählen. Symbolleiste-Rechnen "Symbolische Operatoren" aufrufen: "auflösen" anklicken und bei den Platzhaltern die Gleichung und die Variable eingeben.

§1 · ¨ ©2 ¹

Bemerkung: Im Menü-Symbolik-Auswerten-Gleitkomma ist die Gleitkommaauswertung auf 20 Nachkommastellen voreingestellt. Eine Beschränkung der Nachkommastellen erreicht man die Anwendung des symbolischen Operators "gleit".

3

x 6

1.8171 § · auflösen  x ¨ o ¨ .90855  1.5737 ˜ i ¸ gleit  5 ¨ .90855  1.5737 ˜ i © ¹

1 § ¨ 1 ¨ ¨ 1  1 ˜ i ˜ 3 2 3 2 x = 1 auflösen  x o ¨ 2 ¨ 1 ¨ 1 1 ¨  ˜ i ˜ 32 © 2 2

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸

Gleichung eingeben. Symbolleiste-Rechnen "Symbolische Operatoren" aufrufen: "auflösen" anklicken und beim Platzhalter x eingeben.

¹ Gleichung und Nebenbedingung als Vektorkomponenten eingeben. Symbolleiste-Rechnen "Symbolische Operatoren" aufrufen: "auflösen" anklicken und beim Platzhalter x eingeben.

§¨ x3 = 1 · auflösen  x o 1 ¨© x ! 0 ¹ f ( x) 

2

2

x 1

x

Funktion definieren.

2

1 ª « 2 1· «§ «¨ 2 ©2  2 ˜ 2 ¹ « x  f ( x) auflösen  x o « 1 « 2 1· « § « ¨ 2 ¬ © 2  2 ˜ 2 ¹

o f ( x)

§0 · ¨ ©0 ¹

Term eingeben. Symbolleiste-Rechnen "Symbolische Operatoren" aufrufen: "auflösen" anklicken und beim Platzhalter x eingeben, "gleit" anklicken und beim Platzhalter 5 eingeben.

x0

2.197

x1

º » » » » » » » » ¼

2.197

Funktionsterm einem Vektor zuweisen. Symbolleiste-Rechnen "Symbolische Operatoren" aufrufen: "auflösen" anklicken und beim Platzhalter x eingeben.

Probe mit Vektorisierungsoperator durchführen und komponentenweise Ausgabe.

Seite 121

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

ª« ª« « 1 ˜ « b  b2  4 ˜ a ˜ c « 2˜ a ¬ 2 f ( a  b  c )  a ˜ x  b ˜ x  c auflösen  x o « ª« « « 1 « 2 « 2 ˜ a ˜ ¬ b  b  4 ˜ a ˜ c ¬ f ( 1  3  4)

§ 1.5  1.323i · ¨ © 1.5  1.323i ¹ § 0.707  0.707i · ¨ © 0.707  0.707i ¹

f ( j  0  1)









§ 0.5  0.5i · ¨ © 0.5  0.5i ¹

f ( 2  2  1)

§ 0 · ¨ © 0.5 ¹

f ( 2  1  0)

1º

» »º »» ¼» Die Lösung der Gleichung » als Vektor-Funktion 1º » » definiert. 2 » » ¼» ¼ 2

Die Lösungen der quadratischen Gleichung für verschiedene a, b und c Werte.

Vorgabe 2

A˜x  B˜x C= 0

ª« « 1 « 2˜ A T Suchen ( x) o « « « 1 « 2˜ A ¬

ª« « 2 ˜ ¬ B  B  4 ˜ A ˜ C

» »º »» ¼» » 1º » ª« » 2 » « 2 » ˜ ¬ B  B  4 ˜ A ˜ C ¼ » ¼









1º 2

Lösungsblock mit Vorgabe und "Suchen". Für eine Spaltenvektorausgabe ist Suchen(x), also das Ergebnis, zu transponieren.

b) Numerisches Lösen einer Gleichung D) Graphische Veranschaulichung Um sich eine bessere Vorstellung des zu lösenden Problems machen zu können und einen brauchbaren Startwert (Schätzwert) angeben zu können, ist es günstig, zuerst eine grafische Darstellung zu wählen (eventuell den Bereich der Nullstellen zoomen). 2

f ( x)  x  3 ˜ x ˜ m  2 ˜ m

2

x  1 ˜ m  0.99 ˜ m  4 ˜ m

Funktion mit Einheiten Bereichsvariable mit Einheiten

6 4 f( x) m

2

2

Abb. 8.2 1

0

1

2

2 x m

Seite 122

3

4

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

E) Näherungslösungen mit der Funktion wurzel: x01  0 ˜ m



x1  wurzel f x01  x01 x1

x02  2.5 ˜ m

Startwert



1m

Startwert



x2  wurzel f x02  x02 x2



2m

Oder durch Intervallangabe: wurzel ( f ( x)  x  0.5 ˜ m  1.5 ˜ m)

1m

wurzel ( f ( x)  x  1.5 ˜ m  2.5 ˜ m)

2m

J) Lösungsblock mit Vorgabe und der Funktion Suchen: x01  0.5 ˜ m

Startwert

Vorgabe



f x01 = 0 ˜ m

2



x1  Suchen x01 x1

Lösung

1m

x02  2.5 ˜ m

Startwert

Vorgabe



f x02 = 0 ˜ m

2



x2  Suchen x02 x2

2m

Lösung

Beispiel 8.2: a) Symbolisches Lösen einer Gleichung x x ln ( x  1) = cos ( x)

Redefinition hat als Lösung(en) .88451061616585253368

ln ( x  1) = cos ( x)

auflösen  x o .88451 gleit  5

Cursor auf x stellen. Menü-Symbolik: Auswertungsformat einstellen und Variable-Auflösen wählen. Gleichung eingeben. Symbolleiste-Rechnen "Symbolische Operatoren" aufrufen: "auflösen" anklicken und beim Platzhalter x eingeben, "gleit" anklicken und beim Platzhalter 5 eingeben.

f ( x)  ln ( x  1)

Links- und Rechtsterm der Gleichung definieren.

g ( x)  cos ( x) x1  f ( x) = g ( x) auflösen  x o .88451061616585253368 x1

Gleichung auf x 1 zuweisen. Symbolleiste-Rechnen "Symbolische Operatoren" aufrufen: "auflösen" anklicken beim Platzhalter x eingeben.

0.885

Seite 123

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

b) Numerisches Lösen einer Gleichung D) Grafische Veranschaulichung f ( x)  ln ( x  1)

Funktion (Linksterm)

g ( x)  cos ( x)

Funktion (Rechtsterm)

x  0  0  0.01  2

Bereichsvariable

1.5 x1

1 f( x) 0.5

g ( x)

Abb. 8.3

0 0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

E) Näherungslösungen mit der Funktion wurzel x0  1 TOL

Startwert 1 u 10

3



voreingestellte Konvergenztoleranz



x1  wurzel f x0  g x0  x0 x1



Ergebnisformat: Anzahl der Dezimalstellen 17

0.88453328378582



f x1  g x1 TOL  10

2.95642593759471 u 10

5

6

geänderte Konvergenztoleranz





x1  wurzel f x0  g x0  x0 x1



Ergebnisformat: Anzahl der Dezimalstellen 17

0.884510620870069



f x1  g x1 TOL  10

6.13545936278825 u 10

9

9

nochmals geänderte Konvergenztoleranz





x1  wurzel f x0  g x0  x0 x1



Ergebnisformat: Anzahl der Dezimalstellen 17

0.884510616165867



f x1  g x1

1.865 u 10

 14

Seite 124

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

Beispiel 8.3: a) Symbolisches Lösen einer Gleichung in x mit einem Parameter c

x1

e

= c ˜ x1

2

hat als Lösung(en)

§ 2 ˜ W §¨ 1 · · ¨ 1¸ ¨ ¨ ¸ ¨2˜ c2 ¸ ¨ © ¹ ¨ ¸ ¨ 2 ˜ W §¨ 1 · ¸ 1¸¸ ¨ ¨ ¨ ¨2˜ c2 © © ¹¹

Cursor auf x1 stellen. Menü Symbolik: Auswertungsformat einstellen und Variable-Auflösen wählen. Liefert verständlicherweise kein anschauliches Ergebnis ! Mathcad liefert den Namen, nicht den Wert der Maple Funktion W (W ist die inverse Funktion von x * exp(x) für x < -1/e).

§ ˜ §¨ 1 · · ¨ 2 W 1¸ ¨ ¨ ¸ ¨2˜ c2 ¸ ¨ © ¹ x1 2 e = c ˜ x1 auflösen  x1 o ¨ ¸ ¨ 2 ˜ W §¨ 1 · ¸ 1¸¸ ¨ ¨ ¨ ¨2˜ c2 © © ¹¹

Symbolleiste-Rechnen "Symbolische Operatoren": "auflösen" anklicken und beim Platzhaltern die Gleichung und die Variable x1 eingeben. Liefert verständlicherweise wieder kein anschauliches Ergebnis !

b) Numerisches Lösen einer Gleichung in x mit einem Parameter c D) Grafische Veranschaulichung x

f ( x)  e

Funktion (Linksterm) 2

g (x  c)  c ˜ x

Funktion (Rechtsterm)

x  1  1  0.01  1

Bereichsvariable

f( x) g( x  1) g( x  5) g ( x  10)

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Abb. 8.4

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

E) Näherungslösungen mit der Funktion wurzel TOL  10

3

Voreingestellte Konvergenztoleranz

L ( x  c )  wurzel ( f ( x)  g ( x  c )  x)

Lösungsfunktion

c  1  15

Laufbereich der Parameterwerte c

x0  1

anfänglicher Startwert (Achtung Vektoreingabe)

Seite 125

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme



xc  L xc1  c c



Der Startwert für die einzelnen Parameterwerte c ist die Lösung aus dem vorangegangenen Parameterwert c.





g xc  c

f xc

xc







f xc  g xc  c

1

-0.704

0.495

0.495

-0.00007

2

-0.54

0.583

0.583

-0.000031

3

-0.459

0.632

0.633

-0.000949

4

-0.408

0.665

0.665

-0.000411

5

-0.371

0.69

0.69

-0.000216

6

-0.344

0.709

0.709

-0.000129

7

-0.322

0.725

0.725

-0.000084

8

-0.304

0.738

0.738

-0.000058

9

-0.289

0.749

0.749

-0.000042

10

-0.276

0.759

0.759

-0.000031

11

-0.264

0.768

0.768

-0.000024

12

-0.254

0.776

0.776

-0.000019

13

-0.245

0.782

0.783

-0.000994

14

-0.237

0.789

0.79

-0.000897

15

-0.23

0.794

0.795

-0.00079



Beispiel 8.4: Gleichung in mehreren Variablen ("Formel umformen"): a 2 s = s0  v ˜ t  ˜ t 2

hat als Lösung(en)

1º º ª« ª « »» « 1 ˜ « 2 ˜ v  2 ˜ § v2  2 ˜ a ˜ s  2 ˜ a ˜ s · 2 » » 0¹ ¼ » © « 2˜ a ¬ « » 1º » ª « » 2 » « 1 «« 2 § · « 2 ˜ a ˜ ¬ 2 ˜ v  2 ˜ © v  2 ˜ a ˜ s  2 ˜ a ˜ s 0¹ »¼ » ¬ ¼

ª« « 1 « 2 ˜ a1 a1 2 s = s0  v ˜ t  ˜ t auflösen  t o « 2 « « 1 « 2 ˜ a1 ¬

Cursor auf t stellen. Menü-Symbolik: Auswertungsformat einstellen und Variable-Auflösen wählen.

Symbolleiste-Rechnen "Symbolische Operatoren" : "auflösen" anklicken und beim Platzhaltern die Gleichung und die Variable t eingeben.

1º º ª « »» 2 2 » ˜ « 2 ˜ v  2 ˜ § v  2 ˜ a1 ˜ s  2 ˜ a1 ˜ s 0· » ¬ © ¹ ¼» » 1º » ª « » 2 » 2 « § · ˜ 2 ˜ v  2 ˜ v  2 ˜ a1 ˜ s  2 ˜ a1 ˜ s 0 » » ¬ © ¹ ¼¼

Beispiel 8.5: Symbolisches Lösen einer Ungleichung: Lineare Ungleichungen: 3˜ v 5˜ vd 5

hat als Lösung(en)

5 2

dv

Cursor auf v stellen. Menü-Symbolik: Auswertungsformat einstellen und Variable-Auflösen wählen.

Seite 126

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

5

3 ˜ v  5 ˜ v d 5 auflösen  v o

2

Symbolleiste-Rechnen "Symbolische Operatoren" : "auflösen" anklicken und beim Platzhaltern die Gleichung und die Variable v eingeben

dv

Grafische Veranschaulichung: f ( v)  3 ˜ v  5 ˜ v

Funktion

v  10  9.99  10

Bereichsvariable

20

Spur 1: Format: Gefüllt Spur 2: Format: Linie

5

15

2

10 5

f( v)

0

5

5 10 15 20

10

7.5

5

2.5

0

2.5

5

7.5

10

Abb. 8.5

v

Quadratische Ungleichungen: 2

x  x  2 hat als Lösung(en)

2

x1  x1  2 auflösen  x1 o

§ x2 · ¨ © 1  x ¹

L = ]-1, 2[

§ 1  x1 · ¨ © x1  2 ¹

2

x  3 ˜ x  2 ! 0 hat als Lösung(en)

2

Lösung: x > -1 und x < 2

x1  3 ˜ x1  2 ! 0 auflösen  x1 o

§ x  2 · ¨ © 1  x ¹

Lösung: x < -2 oder x > -1, also x aus den reellen Zahlen außerhalb des abgeschlossenen Intervalls von -2 bis -1. L = ]- f , - 2[ ‰ ]-1 , f [

§ x1  2 · ¨ © 1  x1 ¹

Bruchungleichungen:

2˜ r  3 5˜ r  4



2˜ r  3 r 5

1 ª º « » 1 9 2 r  ˜ 87 « » 4 4 « » hat als Lösung(en) « 1·» § «§ 4 · ¨ 9 1 2 » «¨© 5  r¹ ˜ ¨© r  4  4 ˜ 87 ¹ » « » 5r ¬ ¼

9 4 9 4

 

1 4 1 4

˜

87

4.582

˜

87

0.082

L = { r | (r < - 4.582) › ((r > - 0.8) š (r < 0.082)) › (r > 5)} = ] - f , - 4.582 [ ‰] - 0.8 , 0.082 [ ‰] 5 , f[ L =  \ ([ - 4.582, - 0.8 ] ‰[ 0.082, 5 ])

Seite 127

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

Ungleichungen mit Parametern: annehmen  a1 = RealRange ( 1  f )  b1 = RealRange ( 1  f ) b1 ozd auflösen  z a1

a1 ˜ z  b1 d 0

a1 ˜ z  b1 d 0 auflösen  z o signum ( a1 ) ˜ z d signum ( a1 ) ˜

Betragsungleichungen: z1  z1 t3

b1 a1

§¨ 3 d z · ¨ 2 ¸ ¨ 3 ¸ ¨z d 2 ¹ ©

hat als Lösung(en)

2

z 1  z 1  3

3

3

2

2

2

0

Graphische Veranschaulichung (Quick-Plot)

2

Abb. 8.5 2 z

Beispiel 8.6: Nullstellen eines Polynoms: a0  5

a1  5

a2  10

Koeffizienten eines Polynoms

2

Funktion

f ( x)  a0  a1 ˜ x  a2 ˜ x

 a0

a

a1 a2

T

T

( 5 5 10 )

a

Koeffizientenvektor (Reihenfolge der Eingabe beachten!)

§¨ 5 · a1  f ( x1) koeff  x1 o ¨ 5 ¸ ¨ 10 © ¹

Eine einfachere Möglichkeit ist die Koeffizientenbestimmung mit dem Symboloperator "koeff"

x  nullstellen ( a)

Berechnung der Nullstellen

x

x1  nullstellen ( a1 )

§ 1 · ¨ © 0.5 ¹



f x0

0

x1



f x1

§ 1 · ¨ © 0.5 ¹

0

Nullstellen bzw. Lösungen der quadratischen Gleichung (f(x) = 0) Probe

Grafische Veranschaulichung: x  2  1.99  2 Bereichsvariablen k  0  1

Seite 128

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

60

f( x)

40

§f x0 · ¨ ©f x1 ¹ k

20

Abb. 8.6 2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

20

§x 0 ·

x ¨

©x 1 ¹ k

§ x0 · ¨ © x1 ¹ 0

1

§ f  x0 · ¨ © f  x1 ¹ 0

§ x0 · ¨ © x1 ¹ 1

0

0.5

§ f  x0 · ¨ © f  x1 ¹ 1

0

zwei Punkte in Vektorform

8.3 Lösen eines linearen Gleichungssystems Beispiel 8.7: Lineares Gleichungssystem mit drei Variablen: 0.5 ˜ x  0.4 ˜ y  6.5 ˜ z = 1.2 4.0 ˜ x  1.2 ˜ y  0.6 ˜ z = 0.3 7.5 ˜ x  9.0 ˜ y  10.1 ˜ z = 2.5 Das lineare Gleichungssystem in Form einer Matrixgleichung dargestellt:

§¨ 0.5 0.4 6.5 · A  ¨ 4.0 1.2 0.6 ¸ c  ¨ 7.5 9.0 10.1 © ¹

§¨ 1.2 · ¨ 0.3 ¸ ¨ 2.5 © ¹

A˜ x = c

Es sind keine gemischten Einheiten in einer Matrix oder in einem Vektor zulässig ! Eventuell Gleichungen einheitenfrei machen.

Ein anderes lineares Gleichungssystem mit Einheiten: R1  8 ˜ :

R2  12 ˜ :

R3  15 ˜ :

U01  20 ˜ V

gewählte Werte

I1  I2  I3 = 0 ˜ A I1 ˜ R1  I2 ˜ R2 = U01

Lineares Gleichungssystem mit drei Variablen

I3 ˜ R3  I2 ˜ R2 = 0 ˜ V Das lineare Gleichungssystem mit Einheiten in Form einer Matrixgleichung dargestellt:

§ 1 ˜ : 1 ˜ : 1 ˜ : · ¨ 0˜ : ¸ R2 R  ¨ R1 ¨ 0 ˜ : R R3 2 © ¹

§0 ˜ V · ¨ U  ¨ U01 ¸ ¨ ©0 ˜ V ¹

R˜ I = U

Seite 129

Es sind keine gemischten Einheiten in einer Matrix oder in einem Vektor zulässig ! Einheitengerecht einsetzen !

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

a) Symbolisches Lösen eines linearen Gleichungssystems Lösungsblock mit Vorgabe und der Funktion Suchen: Vorgabe 0.5 ˜ x1  0.4 ˜ y1  6.5 ˜ z1 = 1.2 4.0 ˜ x1  1.2 ˜ y1  0.6 ˜ z1 = 0.3 7.5 ˜ x1  9.0 ˜ y1  10.1 ˜ z1 = 2.5

§¨ x1 · §¨ .1722 · ¨ y1 ¸  Suchen ( x1  y1  z1) gleit  4 o ¨ .2460 ¸ ¨ z1 ¨ .1562 © ¹ © ¹ Probe: 0.5 ˜ x1  0.4 ˜ y1  6.5 ˜ z1

1.2

4.0 ˜ x1  1.2 ˜ y1  0.6 ˜ z1

0.3

7.5 ˜ x1  9.0 ˜ y1  10.1 ˜ z1

2.5

Das oben angegebene Gleichungssystem mit Einheiten gelöst: R1  8 ˜ :

R2  12 ˜ :

R3  15 ˜ :

U01  20 ˜ V

gewählte Werte

Vorgabe I1  I2  I3 = 0 ˜ A I1 ˜ R1  I2 ˜ R2 = U01

Die Gleichungen müssen Einheitengerecht dargestellt werden!

I3 ˜ R3  I2 ˜ R2 = 0 ˜ V

§¨ 1.363636364 ˜ ¨ §¨ I1 · ¨ I ¸  Suchen I  I  I gleit  10 o ¨¨ .7575757576 ˜  1 2 3 ¨ 2¸ ¨ ¨© I3 ¹ ¨ ¨© .6060606061 ˜

V : V : V :

Probe: I1  I2  I3

3 u 10

 10

I1 ˜ R1  I2 ˜ R2

20 V

I3 ˜ R3  I2 ˜ R2

0V

A

Seite 130

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

Ergebnisformat: 3 Nachkommastellen

§¨ I1 · ¨I ¸ ¨ 2¸ ¨© I3 ¹

§¨ 1.364 · ¨ 0.758 ¸ A ¨ 0.606 © ¹

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

b) Numerisches Lösen eines linearen Gleichungssystems D) Grafische Veranschaulichung Gleichungen nach z auflösen: -2

hat als Lösung(en)

7.6923 ˜ 10

4.0 ˜ x  1.2 ˜ y  0.6 ˜ z = 0.3

hat als Lösung(en)

6.6667 ˜ x  2. ˜ y  .50000

7.5 ˜ x  9.0 ˜ y  10.1 ˜ z = 2.5

hat als Lösung(en)

.74257 ˜ x  .89109 ˜ y  .24752

f1 ( x  y)  7.6923 ˜ 10

-2

˜ x  6.1538 ˜ 10

-2

˜ x  6.1538 ˜ 10

-2

0.5 ˜ x  0.4 ˜ y  6.5 ˜ z = 1.2

˜ y  .18462

˜ y  .18462 Funktionen für die drei Flächen definieren

f2 ( x  y)  6.6667 ˜ x  2. ˜ y  .50000 f3 ( x  y)  .74257 ˜ x  .89109 ˜ y  .24752 i  20

k  20





X  matrix i  k  f 1

Anzahl der Gitterlinien





Y  matrix i  k  f 2





Z  matrix i  k  f 3

Matrizen für die Flächen erzeugen

3D-Darstellung der drei Flächen Abb. 8.7

XYZ E) Lösungsblock mit Vorgabe und den Funktionen Suchen, Minimieren, Maximieren und Minfehl x  0.1

y  0.1

z  0.1

Vorgabe

Geeignete Startwerte sind oft schwierig zu finden, müssen aber bei einem Lösungsblock meist nicht sehr genau gewählt werden.

0.5 ˜ x  0.4 ˜ y  6.5 ˜ z = 1.2 4.0 ˜ x  1.2 ˜ y  0.6 ˜ z = 0.3 7.5 ˜ x  9.0 ˜ y  10.1 ˜ z = 2.5

Suchen ( x  y  z )

§¨ 0.17223 · ¨ 0.24598 ¸ ¨ 0.15623 © ¹

Lösung mit 5 Nachkommastellen (Standardeinstellung ist 3)

Seite 131

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

Lösung des Gleichungsystem in Matrizenform:

§¨ 0.5 0.4 6.5 · A  ¨ 4.0 1.2 0.6 ¸ ¨ 7.5 9.0 10.1 © ¹

§¨ 1.2 · c  ¨ 0.3 ¸ ¨ 2.5 © ¹

T

x  ( 0.1 0.1 0.1 )

Koeffizientenmatrix und Konstanten-Vektor

Startwerte in Vektorform

Vorgabe A˜ x = c

Suchen ( x)

§¨ 0.17223 · ¨ 0.24598 ¸ ¨ 0.15623 © ¹

Lösung mit 5 Nachkommastellen (Standardeinstellung ist 3)

Das oben angeführte Gleichungssystem mit Einheiten gelöst: R1  8 ˜ :

R2  12 ˜ :

I1  1 ˜ A

R3  15 ˜ :

I2  1 ˜ A

U01  20 ˜ V

I3  1 ˜ A

gewählte Startwerte

Vorgabe I1  I2  I3 = 0 ˜ A I1 ˜ R1  I2 ˜ R2 = U01

Die Gleichungen müssen Einheitengerecht dargestellt werden!

I3 ˜ R3  I2 ˜ R2 = 0 ˜ V





Suchen I 1  I 2  I 3

§¨ 1.364 · ¨ 0.758 ¸ A ¨ 0.606 © ¹

Lösung mit 3 Nachkommastellen (Standardeinstellung)

Lösung des Gleichungssystem mit Einheiten in Matrizenform: R1  8 ˜ :

R2  12 ˜ :

§ 1 ˜ : 1 ˜ : 1 ˜ : · ¨ 0˜ : ¸ R2 R  ¨ R1 ¨ 0 ˜ : R R3 2 © ¹ T

I  (1 ˜ A 1 ˜ A 1 ˜ A )

R3  15 ˜ :

§0 ˜ V · ¨ U  ¨ U01 ¸ ¨ ©0 ˜ V ¹

U01  20 ˜ V Keine gemischten Einheiten in einer Matrix oder in einem Vektor zulässig ! Hier wird einheitengerecht eingesetzt !

Startwerte

Vorgabe R˜ I = U

Suchen ( I)

§¨ 1.364 · ¨ 0.758 ¸ A ¨ 0.606 © ¹

Lösung mit 3 Nachkommastellen (Standardeinstellung)

Seite 132

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

Lösung des Gleichungssystems durch optimieren:

§¨ 0.5 0.4 6.5 · A  ¨ 4.0 1.2 0.6 ¸ c  ¨ 7.5 9.0 10.1 © ¹ f ( x) 

A˜ x  c

Minimieren ( f  x)

§¨ 1.2 · ¨ 0.3 ¸ ¨ 2.5 © ¹

Koeffizientenmatrix und Konstanten-Vektor

Die zu optimierende Funktion f(x) soll ein Minimum werden (|A x - c| = 0).

§¨ 0.17232 · ¨ 0.24608 ¸ ¨ 0.15622 © ¹

Lösung des Gleichungssystems mit Einheiten durch Optimieren: R1  8 ˜ :

R2  12 ˜ :

R3  15 ˜ :

§ 1 ˜ : 1 ˜ : 1 ˜ : · ¨ 0˜ : ¸ R2 R  ¨ R1 ¨ 0 ˜ : R R3 2 © ¹ g ( I) 

R˜ I  U

Minimieren ( g  I)

§0 ˜ V · ¨ U  ¨ U01 ¸ ¨ ©0 ˜ V ¹

U01  20 ˜ V

Koeffizientenmatrix und Konstanten-Vektor

Die zu optimierende Funktion g(I) soll ein Minimum werden (|R I - U| = 0).

§¨ 1.364 · ¨ 0.757 ¸ A ¨ 0.606 © ¹

Lösung mit 3 Nachkommastellen (Standardeinstellung)

Lösung des Gleichungssystems mithilfe der linearen Optimierung:

§¨ 0.5 0.4 6.5 · A  ¨ 4.0 1.2 0.6 ¸ c  ¨ 7.5 9.0 10.1 © ¹ T

§¨ 1.2 · ¨ 0.3 ¸ ¨ 2.5 © ¹

Koeffizientenmatrix und Konstanten-Vektor

x  ( 0.1 0.1 0.1 )

Startwerte

f ( x)  1

Irgendeine konstante Funktion definieren. Maximieren gibt den Wert x zurück, der dafür sorgt, dass die Funktion f ihren größten Wert annimmt.

Vorgabe A˜ x = c Maximieren ( f  x)

§¨ 0.17223 · ¨ 0.24598 ¸ ¨ 0.15623 © ¹

Seite 133

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

Lösung des Gleichungssystems mit Einheiten mithilfe der linearen Optimierung: R1  8 ˜ :

R2  12 ˜ :

R3  15 ˜ :

§ 1 ˜ : 1 ˜ : 1 ˜ : · ¨ 0˜ : ¸ R2 R  ¨ R1 ¨ 0 ˜ : R R3 2 © ¹

U01  20 ˜ V

§0 ˜ V · ¨ U  ¨ U01 ¸ ¨ ©0 ˜ V ¹

T

gewählte Werte mit Einheiten

Koeffizientenmatrix und Konstaten-Vektor

I  (1 ˜ A 1 ˜ A 1 ˜ A )

Startwerte

g ( I)  1 ˜ A

irgendeine konstante Funktion definieren

Vorgabe R˜ I = U

§¨ 1.364 · ¨ 0.758 ¸ A ¨ 0.606 © ¹

Maximieren ( g  I)

Lösung mit 3 Nachkommastellen (Standardeinstellung)

Lösung des Gleichungssystems mit der Funktion Minfehl: x  3.2

y  3.2

z  3.2

gewählte Startwerte

Vorgabe 0.5 ˜ x  0.4 ˜ y  6.5 ˜ z = 1.2 4.0 ˜ x  1.2 ˜ y  0.6 ˜ z = 0.3 7.5 ˜ x  9.0 ˜ y  10.1 ˜ z = 2.5

§¨ 0.17223 · ¨ 0.24598 ¸ ¨ 0.15623 © ¹

Minfehl ( x  y  z )

Lösung des Gleichungssystems mit Einheiten mit der Funktion Minfehl: R1  8 ˜ :

R2  12 ˜ :

I1  1 ˜ A

R3  15 ˜ :

I2  1 ˜ A

I3  1 ˜ A

U01  20 ˜ V gewählte Startwerte

Vorgabe I1  I2  I3 = 0 ˜ A I1 ˜ R1  I2 ˜ R2 = U01 I3 ˜ R3  I2 ˜ R2 = 0 ˜ V





Minfehl I 1  I2  I 3

§¨ 1.364 · ¨ 0.758 ¸ A ¨ 0.606 © ¹

Lösung mit 3 Nachkommastellen (Standardeinstellung)

Seite 134

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

J) Lösen des linearen Gleichungssystems mit der Funktion llösen

§¨ 0.5 0.4 6.5 · A  ¨ 4.0 1.2 0.6 ¸ c  ¨ 7.5 9.0 10.1 © ¹

§¨ 1.2 · ¨ 0.3 ¸ ¨ 2.5 © ¹

Koeffizientenmatrix und Konstanten-Vektor

Reguläre Matrix (Determinante ist ungleich null)

157.78

A oder:

( A = 0)

( A z 0)

0

x  llösen ( A  c)

Das Ergebnis 0 bedeutet "falsch" und 1 bedeutet "wahr".

1

§¨ 0.17223 · x ¨ 0.24598 ¸ ¨ 0.15623 © ¹

Lösungsvektor

Lösung des Gleichungssystems mit Einheiten: R1  8 ˜ :

R2  12 ˜ :

R3  15 ˜ :

§ 1 ˜ : 1 ˜ : 1 ˜ : · ¨ 0˜ : ¸ R2 R  ¨ R1 ¨ 0 ˜ : R R3 2 © ¹ R

Koeffizientenmatrix und Konstanten-Vektor

Reguläre Matrix (Determinante ist ungleich null)

396

:

§0 ˜ V · ¨ U  ¨ U01 ¸ ¨ ©0 ˜ V ¹

U01  20 ˜ V

I  llösen ( R  U)

I

§¨ 1.364 · ¨ 0.758 ¸ A ¨ 0.606 © ¹

Lösungsvektor Lösung mit 3 Nachkommastellen (Standardeinstellung)

G) Lösen des linearen Gleichungssystems mithilfe der inversen Matrix bzw. der Determinatenmethode

§¨ 0.5 0.4 6.5 · A  ¨ 4.0 1.2 0.6 ¸ c  ¨ 7.5 9.0 10.1 © ¹

§¨ 1.2 · ¨ 0.3 ¸ ¨ 2.5 © ¹

Reguläre Matrix (Determinante ist ungleich null)

157.78

A

1

x A

˜c

Koeffizientenmatrix und Konstanten-Vektor

§¨ 0.17223 · x ¨ 0.24598 ¸ ¨ 0.15623 © ¹

Lösungsvektor

Für i  0  2 bilden wir mithilfe von Unterprogrammen (Symbolleiste Programmierung) die Matrizen A1, A2 und A3. Diese sind genau die Matrizen, die sich durch Ersetzen der Spalten in der Koeffizientenmatrix durch den Vektor c ergeben. ¢i² A1 

c if i = 0 ¢i² otherwise A

¢i² A2 

c if i = 1 ¢i² otherwise A

Seite 135

¢i² A3 

c if i = 2 ¢i² otherwise A

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

Damit ergibt sich der Lösungsvektor x zu:

§¨ A1 · ˜ ¨ A2 ¸ A ¨ © A3 ¹ 1

x

§¨ 0.17223 · x ¨ 0.24598 ¸ ¨ 0.15623 © ¹

Lösen des linearen Gleichungssystems mit Einheiten: R1  8 ˜ :

R2  12 ˜ :

R3  15 ˜ :

§ 1 ˜ : 1 ˜ : 1 ˜ : · ¨ 0˜ : ¸ R2 R  ¨ R1 ¨ 0 ˜ : R R3 2 © ¹ R

U01  20 ˜ V

§0 ˜ V · ¨ U  ¨ U01 ¸ ¨ ©0 ˜ V ¹

Koeffizientenmatrix und Konstanten-Vektor

Reguläre Matrix (Determinante ist ungleich null)

396

:

1

I R

˜U

I

§¨ 1.364 · ¨ 0.758 ¸ A ¨ 0.606 © ¹

Lösungsvektor

Für i  0  2 (ORIGIN = 0) bilden wir mithilfe von Unterprogrammen (Symbolleiste Programmierung) die Matrizen R1, R2 und R3. Dies sind genau die Matrizen, die sich durch Ersetzen der Spalten in der Koeffizientenmatrix durch den Vektor U ergeben (Die Einheiten kürzen !). ¢i² R1 

U V ¢i² R :

¢i² R2 

if i = 0

U V ¢i² R

otherwise

:

if i = 1

¢i² R3 

otherwise

U V ¢i² R :

if i = 2

otherwise

Damit ergibt sich der Lösungsvektor I nach der "Cramer Regel" zu:

I

§¨ R1 · ˜ ¨ R2 ¸ ˜ A R ¨ R3 © ¹ : 1

I

§¨ 1.364 · ¨ 0.758 ¸ A ¨ 0.606 © ¹

H) Lösen des linearen Gleichungssystems mit Hilfe der generalisierten inversen Matrix (Funktion geninv) bzw. mithilfe der Zeilenreduktion (Funktionen zref und erweitern) geninv(A) gibt die generalisierte inverse Matrix A -1 von A zurück. zref(A) gibt die zeilenreduzierte Echolon-Form von A zurück.

§¨ 0.5 0.4 6.5 · A  ¨ 4.0 1.2 0.6 ¸ c  ¨ 7.5 9.0 10.1 © ¹ x  geninv ( A) ˜ c

§¨ 1.2 · ¨ 0.3 ¸ ¨ 2.5 © ¹

§¨ 0.17223 · x ¨ 0.24598 ¸ ¨ 0.15623 © ¹

Koeffizientenmatrix und Konstanten-Vektor

¢3² zref ( erweitern ( A  c) )

Seite 136

§¨ 0.17223 · ¨ 0.24598 ¸ ¨ 0.15623 © ¹

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

Lösen des linearen Gleichungssystems mit Einheiten: R1  8 ˜ :

R2  12 ˜ :

R3  15 ˜ :

§ 1 ˜ : 1 ˜ : 1 ˜ : · ¨ 0˜ : ¸ R2 R  ¨ R1 ¨ 0 ˜ : R R3 2 © ¹ I  geninv ( R) ˜ U

I

U01  20 ˜ V

§0 ˜ V · ¨ U  ¨ U01 ¸ ¨ ©0 ˜ V ¹

Koeffizientenmatrix und Konstaten-Vektor

§¨ 1.364 · ¨ 0.758 ¸ A ¨ 0.606 © ¹

¢3²

§ § R U ·· zref ¨ erweitern ¨  © © : V ¹¹

§¨ 1.364 · ¨ 0.758 ¸ ¨ 0.606 © ¹

8.4 Lösen eines nichtlinearen Gleichungssystems mit und ohne Nebenbedingungen Beispiel 8.8: a) Symbolisches Lösen eines nichtlinearen Gleichungssystems D) Lösungsblock mit Vorgabe und der Funktion Suchen: x 1

y 1

Startwerte

x y =6

2

Kreis

x y=2

Gerade

Vorgabe 2

1 1 § · ¨ 2 2 §¨ x1 x2 · ¨1  2 2  1 ¸  Suchen ( x  y) o ¨y y ¨ 1 1 ¸ © 1 2¹ ¨ 2 2 ©2  1 1  2 ¹

§1  2 2  1 · ¨ © 2  1 1  2¹

§ 0.414 2.414 · ¨ © 2.414 0.414 ¹

Matrix mit den Lösungen. Die Koordinaten der Lösungspunkte werden hier in einer Matrix zusammengefasst. Probe: 2

2

x1  y1 x1  y1

6 2

2

2

x2  y2 x2  y2

6 2

E Lösungsblock mit dem Symboloperator auflösen: 1 1 § · ¨ 2 2 §¨ r1 s1 · § r2  s2 = 6 · ¨1  2 2  1 ¸  ¨ auflösen  r  s o ¨r s ¨ 1 ¨ 1 ¸ © 2 2¹ © r  s = 2 ¹ ¨ 2 2 ©2  1 1  2 ¹

Probe: 2

2

2

r1  s 1 r1  s 1

6 2

2

r2  s 2 r2  s 2

6 2

Seite 137

Gleichungssystem in einem Vektor zusammenfassen und Anwendung des symbolischen Operators "auflösen". Achtung: Unter D) erhält man die Lösungspunkte als Spaltenvektor, unter E) liegen aber die Lösungspunkte als Zeilenvektor vor !

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

b) Numerisches Lösen eines nichtlinearen Gleichungssystems D) Grafische Veranschaulichung k o ( x) 

2

6 x

oberer und unterer Halbkreis 2

k u ( x)   6  x g ( x)  2  x

Gerade

x  3  2.999  3

Bereichsvariable

4

2

ko( x) ku( x)

4

2

0

2

4

Abb. 8.8

g ( x) 2

4 x

E) Lösungsblock mit Vorgabe und der Funktion Suchen x  1

y 3

Startwerte

x y =6

2

Kreis

x y=2

Gerade

Vorgabe 2

§¨ x1 ·  Suchen ( x  y) ¨ y1 © ¹

§¨ x1 · ¨ y1 © ¹

Eine Lösung mit einem Fehler von:

§ 0.414 · ¨ © 2.414 ¹ ERR

0

Vergleiche dazu den Betrag des minimalen Fehlervektors: y 1

Startwerte

x 2

x y =6

2

Kreis

x y=2

Gerade

Levenberg-Marquardt Verfahren. Auswählbar mit rechter Maustaste auf dem Funktionsnamen "Suchen".

§x 2  ¨ 1 ¨ x  © 1

y1  6 · 2

y1  2

0

¹

Vorgabe 2

Suchen ( x  y)

Levenberg-Marquardt Verfahren. Auswählbar mit rechter Maustaste auf dem Funktionsnamen "Suchen".

§ 2.414 · ¨ © 0.414 ¹

Eine Lösung mit einem Fehler von:

ERR

0

Seite 138

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

x 0

y 0

Startwerte

x y =6

2

Kreis

x y=2

Gerade

Vorgabe 2

§ 2.414 · ¨ © 0.414 ¹

Suchen ( x  y)

Vergleiche hier Levenberg-Marquardt Verfahren, Gradientenverfahren und Quasi-Newton Verfahren. W egen zu schlechter Startwerte wird hier mit dem Gradientenverfahren und QuasiNewton Verfahren keine Lösung gefunden !

Eine Lösung mit einem Fehler von:

ERR

0

Beispiel 8.9: Nichtlineares Gleichungssystem mit einer Nebenbedingung: 2

2

x y =6

Kreis

x y=2

Gerade

x!a

Nebenbedingung: Es sollen nur jene Lösungen gefunden werden, für die x > a gilt.

a) Grafische Veranschaulichung k o ( x) 

2

2

6 x

k u ( x)   6  x

g ( x)  2  x

Gerade

a 2

Bedingung x > 2

x  3  2.999  3

Bereichsvariable

oberer und unterer Halbkreis

Bedingung x > a 2

ko ( x) ku ( x) g ( x)

2

0

2

Abb. 8.9

x 2

x x x a

Seite 139

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

b) Lösungsblock mit Vorgabe und der Funktion Suchen x  1

y 0

absichtlich schlecht gewählte Startwerte

Vorgabe 2

2

x y =6

Kreis

x y=2

Gerade

x!2

eine Nebenbedingung

Suchen ( x  y)

§ 2.414 · ¨ © 0.414 ¹

Levenberg-Marquardt Verfahren Gesuchte Lösung mit einem Fehler: ERR

0

Beispiel 8.10: Nichtlineares Gleichungssystem mit mehreren Nebenbedingungen. Lösungsblock mit Vorgabe und der Funktion Suchen: Vorgabe 2

2˜ x y 2˜ z = 4

Voreingestellte Konvergenztoleranz

3

y  4˜ z = 2

Gleichungen

TOL

1 u 10

3

x˜ y  z = a Voreingestellte Bedingungstoleranz

xt0 yd0

Nebenbedingungen

CTOL

1 u 10

3

z!0 L ( x  y  z  a)  Suchen ( x  y  z )

L ( 0  0  0  0)

§¨ 1.879 · ¨ 0.269 ¸ ¨ 0.505 © ¹

Gradientenverfahren

Lösungsvektor einer Lösung (Vorgegebene Startwerte x = 0, y = 0, z = 0 und a = 0)

Beispiel 8.11: Lösungsblock mit Vorgabe und der Funktion Minfehl: T

x  ( 0.555 1.000 1.5505 2.000 2.500 3.100 )

gegebene Datenvektoren T

y  ( 2.710 3.512 3.921 4.700 4.152 5.551 )

Es soll mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate nach Gauß eine optimale Ausgleichsgerade durch die Datenpunkte gefunden werden. n  länge ( x)

n

6

Bereichsvariable

F ( x  k  d)  k ˜ x  d

lineare Anpassungsfunktion

ORIGIN

ORIGIN ist hier auf Null gesetzt!

0

Seite 140

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

n1

yi  F xi  k  d 2

¦

G ( k  d) 

i

k 1

Die Fehlerquadratfunktion nach Gauß soll ein Minimum werden!

0

d 2

Startwerte

Vorgabe G ( k  d) = 0

§k · ¨  Minfehl ( k  d) ©d ¹ k

0.9589944953

d

2.3799140744

G ( k  d) n

Lösungen in einem Vektor gespeichert. Vergleiche: Gradientenverfahren, Levenberg-Marquardt und Quasi-Newton. Auswählbar mit rechter Maustaste auf dem Funktionsnamen "Minfehl". Vergleiche dazu die Werte der Funktionen "neigung" und "achsenabschn":

neigung ( x  y)

0.9589944947

achsenabschn ( x  y)

2.3799140729

mittlerer quadratische Fehler

0.1109755773

Grafische Veranschaulichung: i  0  n Bereichsvariable

x  0  5

Datenpunkte und Ausgleichsgerade

8 F( x  k  d )

6

yi

Abb. 8.10

4 2

0

1

2

3

4

5

x  xi

Beispiel 8.12: Lösungsblock mit Vorgabe und der Funktion Minfehl: x  0.4

y 0

Startwerte

Vorgabe 2˜x

y= 2˜ e

y 2˜ x= 1

§¨ xmin ·  Minfehl ( x  y) ¨y min © ¹

Die Lösungen werden in einem Vektor gespeichert. Vergleiche: Gradientenverfahren, Levenberg-Marquardt und Quasi-Newton.

Seite 141

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

§¨ xmin · ¨ ymin © ¹

§ 0.24 · ¨ © 1.003 ¹

der gefundene Lösungspunkt

Betrag des minimalen Fehlervektors: 2˜xmin · § ¨ ymin  2 ˜ e ¨ © ymin  2 ˜ xmin  1 ¹

0.537

bzw.

ERR

0.537

Grafische Veranschaulichung: 2˜x

f ( x)  2 ˜ e

Funktionen

g ( x)  2 ˜ x  1 x  1  0.99  0.5

Bereichsvariable Vergleich beider Kuven

Der Lösungspunkt sollte genau dort liegen, wo beide Kurven den kleinsten Abstand haben !

10

f( x) 5

g ( x)

Die Minfehl-Funktion liefert das Minimum der Quadratsumme:

ymin 1

0.5

0

0.5

y  2 ˜ e2˜x

2

 ( y  2 ˜ x  1)

5

Abb. 8.11

x  x  xmin

8.5 Numerisches Suchen von Minima und Maxima einer Funktion Beispiel 8.13: Lösungsblock mit Vorgabe und den Funktionen Minimieren bzw. Maximieren: 2

2

f ( x  y)  x  2y  10

Flächenfunktion

i  0  40

Bereichsvariable

Xi  j 

j  0  40

i  20 3

o  Z  f ( X  Y)

§¨ X · M  ¨Y ¸ ¨Z © ¹

Yi  j 

j  20 3

X und Y Variablen als Matrix

Z Variable als Matrix

Matrix der X, Y und Z Matrizen

Seite 142

2

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

Flächen- und Umrissdiagramm:

Ausgewählte Region im Definitionsbereich (x-y-Ebene): x  0  0.1  5

6 5x

Abb. 8.12

y  0  0.1  5

Bereichsvariable

Eingeschränkte Grenzen

5 4

y

3

0

2

Abb. 8.13

1 0 1

1

0

1

MM

2

3

4

5

x 0  x

x 1

y 4

Startwerte

Vorgabe xt0 yt0

Einschränkung des Definitionsbereichs durch Nebenbedingungen

yd5 x

§¨ xmin ·  Minimieren ( f  x  y) ¨y © min ¹ §¨ xmin · ¨y © min ¹

§0 · ¨ ©5 ¹

x 4



f xmin  ymin

Gradientenverfahren



40

y 2

ein Minimum im Punkt P( 0 | 5 | -40 )

Startwerte

Vorgabe xt0 Einschränkung des Definitionsbereichs durch Nebenbedingungen

yt0 yd5 x

§¨ xmin ·  Maximieren ( f  x  y) ¨y min © ¹ §¨ xmin · ¨y © min ¹

§5 · ¨ ©0 ¹



f xmin  ymin

Gradientenverfahren



35

ein Maximum im Punkt P( 5 | 0 | 35)

Seite 143

6

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

x 0

y 1

Startwerte

Vorgabe xt0 Einschränkung des Definitionsbereichs durch Nebenbedingungen

yt0 yd5 x

§¨ xmax ·  Maximieren ( f  x  y) ¨ ymax © ¹ §¨ xmax · ¨ ymax © ¹

§0 · ¨ ©0 ¹

Gradientenverfahren



f xmax  ymax



ein Maximum im Punkt P( 0 | 0 | 10 )

10

Beispiel 8.14: Vergleich zwischen "Suchen" und "Minimieren": x 2

y 2

Startwerte

Vorgabe 2

2

x  6 ˜ y = 25 nichtlineares Gleichungssystem 2˜ x y= 5

§¨ x1 ·  Suchen ( x  y) ¨ y1 © ¹ f ( x  y) 

§¨ x1 · ¨ y1 © ¹

x2  6 ˜ y2  25

x 2

y 2

2

§ 3.272 · ¨ © 1.544 ¹

 ( 2x  y  5)

Gradientenverfahren

2

Startwerte

§¨ x1 ·  Minimieren ( f  x  y) ¨ y1 © ¹

§¨ x1 · ¨ y1 © ¹

§ 3.272 · ¨ © 1.544 ¹

Gradientenverfahren

Beispiel 8.15: Lokale Minima und Maxima einer Funktion in einer Variablen: 3

2

g ( Z )  Z  25 ˜ Z  50 ˜ Z  1000

gegebene Funktion

Quickplot der gegebenen Funktion 6000 4000

g( Z )

Abb. 8.14

2000

10

0

10

20

Z

Seite 144

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

Z s1  1

Z s2  12



xmin  Minimieren g  Z s1



Startwerte



xmax  Maximieren g  Z s2

xmin



xmax

0.946









g xmin

17.613

g xmax

975.919 Gradientenverfahren 4172.229

Beispiel 8.16: Lokale Minima und Maxima einer Funktion in zwei Variablen: 4

3

2

2

f1 ( x  y)  1000  3 ˜ x  9 ˜ x  65 ˜ x  145 ˜ x  40 ˜ y

gegebene Funktion

Quickplot der gegebenen Funktion

Abb. 8.15

f1 Lokales Maximum: x1  4.5

y1  0

Startwerte

§¨ x1max ·  Maximieren  f 1  x1  y1 ¨y 1max © ¹

x1max





1271.136





1535.472

4.157

y1max

0

f1 x1max  y1max

2.907

y2max

0

f1 x2max  y2max

Globales Maximum: x2  4

y2  0

Startwerte

§¨ x2max ·  Maximieren  f 1  x2  y2 ¨y 2max © ¹ X10  x1max

X11  x2max

Y10  y1max

Y11  y2max

x2max



Z10  f1 x1max  y1max



Z11  f1 x2max  y2max

Seite 145



Die Koordinaten der Punkte werden in einem Vektor gespeichert.

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

X1

§ 4.157 · ¨ © 2.907 ¹

§0 · ¨ ©0 ¹

Y1

§ 1271.136 · Z1 ¨ © 1535.472 ¹

§¨ X1 · P12  ¨ Y1 ¸ ¨ Z1 © ¹

Zuerst ein Streuungsdiagramm erzeugen. Dann für Diagramm1 Streuungsdiagramm und für Diagramm2 Flächendiagramm (Quickplot) einstellen.

( X1  Y1  Z1)  f 1

P12  f1 Abb. 8.16

Abb. 8.17

Beispiel 8.17: Extremwertaufgaben mit Einheiten: Eine oben offene quaderförmige Blechbox soll eine Oberfläche O = 0.5 m2 besitzen. Wie ist die Länge l, die Breite b und die Höhe h zu wählen, damit das Volumen V der Blechbox maximal wird ? Vol ( l  b  h)  l ˜ b ˜ h

Funktion zur Berechnung des Volumens soll ein Maximum werden

O ( l  b  h)  l ˜ b  2 ˜ l ˜ h  2 ˜ h ˜ b

Funktion zur Berechnung der Oberfläche

l  0.8 ˜ m

h  0.2 ˜ m

b  0.2 ˜ m

Startwerte

Vorgabe O ( l  b  h) = 0.5 ˜ m

2

Nebenbedingung

§¨ l · ¨ b ¸  Maximieren ( Vol  l  b  h) ¨h © ¹

Gradientenverfahren

l

h

0.408 m

O ( l  b  h)

b 0.5 m

2

0.408 m Vol ( l  b  h)

0.034 m

0.204 m

Gesuchte Maße für die Blechbox

3

Oberfläche und maximales Volumen

Seite 146

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

8.6 Numerisches Lösen von linearen Optimierungsaufgaben Beispiel 8.18: Lösungsblock mit Vorgabe und den Funktionen Minimieren bzw. Maximieren: Bei einer linearen Optimierungunsaufgabe muss eine lineare Funktion z = f(x,y,...), die von zwei oder mehreren Variablen abhängt, unter vorgegebenen Nebenbedingungen minimiert oder maximiert werden. Meist verwendet man zur Lösung solcher Extremwertaufgaben die Simplexmethode, die ebenfalls in Mathcad zur Verfügung steht (siehe elektronisches Buch-Numerical Recipes Funktion "simplex" ). In der Standardversion von Mathcad stehen die Funktionen Minimieren, Maximieren bzw. Minfehl zur Verfügung. Bei der linearen Optimierung sucht man ein globales Minimum oder Maximum, und dieses liegt am Rande des zulässigen Lösungsbereichs. f ( x  y) = 54 ˜ x  62 ˜ y

Die angenommene Zielfunktion soll ein Maximum werden, unter der Bedingung, dass alle Gleichungen bzw. Ungleichungen erfüllt sind.

14 ˜ x  12 ˜ y d 8500 25 ˜ x  15 ˜ y d 14200

Die ersten drei Nebenbedingungen lassen sich auch als Matrizenungleichung schreiben: A X d c.

15 ˜ x  35 ˜ y d 18400 xt0

yt0

Zwei weitere Nebenbedingungen

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§¨ 14 12 · A  ¨ 25 15 ¸ ¨ 15 35 © ¹

§¨ 8500 · c  ¨ 14200 ¸ ¨ 18400 © ¹

Die Koeffizienten und die Konstanten der ersten drei Ungleichungen werden zu einer Matrix bzw. zu einem Vektor zusammengefasst.

a  54

b  62

Koeffizienten der Zielfunktion

a) Grafische Veranschaulichung Die zu erfüllenden linearen Ungleichungen in den Variablen x und y teilen die x-y-Ebene jeweils in eine erlaubte und eine unerlaubte Halbebene auf. Die Durchschnittsmenge der erlaubten Halbebenen ergibt ein konvexes Vieleck und stellt den Lösungsbereich für alle Ungleichungen dar. Die Zielfunktion z = f(x,y) ist eine lineare Funktion in den gesuchten Größen x und y. Kurven mit z = konstant stellen deshalb Geraden in der x-y-Ebene dar. Diese Geradenschar besteht aus lauter parallelen Geraden mit unterschiedlichen z-Werten. Das konvexe Vieleck wird von zwei dieser Geraden berührt. Eine dieser Berührungsgeraden ist die gesuchte optimale Lösung mit maximalem z-Wert. fz ( x  z ) 

y1 ( x) 

y2 ( x) 

y3 ( x) 

z  a˜ x b

Gerade für z = konstant in der x-y-Ebene

c1  A1  1 ˜ x A1  2 c2  A2  1 ˜ x A2  2 c3  A3  1 ˜ x

Die erlaubten und unerlaubten Halbebenen werden durch die Trenngeraden voneinander getrennt. Diese Trenngeraden erhalten wir durch Umformen der Ungleichungen nach y und Ersetzen das Ungleichheitszeichen durch ein Gleichheitszeichen.

A3  2

Seite 147

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme



ymin ( x)  min y1 ( x) y2 ( x) y3 ( x)

§ § c1 xmax  max ¨ ¨ A ©©

x  0

xmax 300

1 1



c2

c3

··

A2  1

A3  1

¹¹

 xmax

Darstellung der Lösungsmenge des Ungleichungssystem

Wegen yt 0 kann für x ein maximaler Wert aus den Ungleichungen bestimmt werden.

Bereichsvariable

800

y1 ( x) y2 ( x)

600

y3 ( x) ymin( x)

400

fz( x  42000) fz( x  39000) 200

0

0

200

400

600

800

1000

1200

x

Abb. 8.18 Durch Änderung des z-Wertes in der Funktion f z(x,z), kann graphisch die optimale Lösung (die Gerade berührt das konvexe Vieleck) bestimmt werden. b) Berechnung der optimalen Lösung für die Zielfunktion f f ( x  y)  a ˜ x  b ˜ y

die zu optimierende Zielfunktion

x  200

Startwerte (Näherungsweise aus dem Diagramm abgelesen)

k

y  400

§a · ¨ ©b ¹

die Konstanten der Zielfunktion zu einem Vektor zusammengefasst T

x  (x y )

die Variablen der Zielfunktion zu einem Vektor zusammengefasst

f1 ( x)  k ˜ x

die zu optimierende Zielfunktion in Vektorform dargestellt

Seite 148

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme

Vorgabe A˜ x d c xt0

Nebenbedingungen yt0

§¨ xmax ·  Maximieren  f 1  x ¨y max © ¹ §¨ xmax · ¨y © max ¹

§ 247.419 · ¨ © 419.677 ¹

Linear-Verfahren. Auswählbar mit rechter Maustaste auf dem Funktionsnamen "Maximieren".



f xmax  ymax



39380.645

Maximalwert der Zielfunktion

c) Das Minimum der Kehrwertfunktion Das Minimum der Kehrwertfunktion f kw liefert ebenfalls das Maximum der Funktion f: f ( x  y)  a ˜ x  b ˜ y fkw ( x  y)  x  200

1 f ( x  y) y  400

die zu optimierende Zielfunktion Kehrwert der Zielfunktion Startwerte (Näherungsweise aus dem Diagramm abgelesen)

Vorgabe A1  1 ˜ x  A1  2 ˜ y d 8500 A2  1 ˜ x  A2  2 ˜ y d 14200

Nebenbedingungen

A3  1 ˜ x  A3  2 ˜ y d 18400 xt0

yt0

§¨ xmax1 ·  Minimieren  f kw  x  y ¨y max1 © ¹ §¨ xmax1 · ¨y © max1 ¹

§ 247.419 · ¨ © 419.677 ¹

Gradientenverfahren. Auswählbar mit rechter Maustaste auf dem Funktionsnamen "Minimieren".



f xmax1  ymax1



Seite 149

39380.645

Maximalwert der Zielfunktion

Folgen - Reihen - Grenzwerte

9. Folgen - Reihen - Grenzwerte Das Summenzeichen und die Grenzwerte erhält man aus der Symbolleiste Differential/Integral: Das " f " Zeichen erhält man auch mit: <Strg> + + .

Abb. 9.1

9.1 Folgen Beispiel 9.1: ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

n  1  12

Bereichsvariable

an 

1

allgemeines Folgeglied

n

T

1

a

2

1

1

3 0.5

4

0.333

5

0.25

6 0.2

7

0.167

8

0.143

0.125

9

10

0.111

0.1

Durch einen Doppelklick auf die Tabelle kann das Ergebnisformat geändert werden. Beispiel 9.2:

Eine Folge durch eine Rekursionsformel (Differenzengleichung) festlegen: ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

n  0  12

Bereichsvariable

a0  1

erstes Folgeglied (Anfangswert) 2

an1  an  n T

0

a

0

Bildungsgesetz für die Nachfolgeglieder (rekursive Berechnung) 1

1

2 1

3 2

4 6

15

5 31

6 56

7 92

8

9

10

11

12

141

205

286

386

507

Beispiel 9.3: Auf welchen Betrag wachsen 1000 € in 5 Jahren bei einer jährlichen Kapitalisierung und konstanten Verzinsung von 3,5 % ? ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

n  1  10

Bereichsvariable

€ 1

Währungsdefinition

Seite 150

Folgen - Reihen - Grenzwerte

K1  1000 ˜ €

Anfangskapital

p  3.5 ˜ %

Zinsfuß

p · § Kn1  K1 ˜ ¨ 1  100 ˜ % ¹ ©

n

geometrische Folge

1400 5

Kapital

1300 Kn

1200

€

1100

K5

1000 900

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

K1

1000 €

K5

1147.523 €

11

n Jahre

Abb. 9.2 9.2 Endliche Reihen Werden die Glieder einer endlichen Zahlenfolge aufsummiert, so entsteht eine endliche Reihe. Beispiel 9.3: Symbolische Auswertung: m

¦

k

( 2 ˜ k  1)

2

( m  1)  2 ˜ m  1

ergibt

vereinfacht auf

m

2

1

m

¦

k

( 2 ˜ k  1) vereinfachen o m

2

1

Partialsummenfolge: ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

n

¦

sn 

k

( 2 ˜ k  1)

s5

25

s10

100

fünfte und zehnte Partialsumme

1

Beispiel 9.4: Symbolische Auswertung: m

¦

k

m 1 a1 a § a ˜ qk1· o 1 ˜ q  © 1 ¹ q q1 q 1

endliche geometrische Reihe

1

Seite 151

Folgen - Reihen - Grenzwerte

a1 q

m 1

˜

q

q 1

m

m

a1

q 1 vereinfachen o a1 ˜ q1 q1

für q

z1

m § a ˜ qk1· vereinfachen o a ˜ q  1 1 q 1 © 1 ¹

¦

k



1

9.3 Unendliche Reihen f

¦

u1  u2  u3  u4  ..  un  .. =

k

uk

unendliche Reihe

1

Von jeder Reihe können Partialsummen gebildet werden: s 1 = u1 s 2 = u1  u2 s 3 = u1  u2  u3 ....................................... n

s n = u1  u2  u3  ..  un =

¦

k

uk

1

u1  u2  u3  u4  ..  un  .. heißt konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen, also < s 1  s 2  s 3  ..  s n  .. > konvergent ist. Die unendliche Reihe

Der Grenzwert s =

lim nof

s n heißt Summe der Reihe.

Symbolische Auswertung: Beispiel 9.4: f

¦

f

1

¦

k

f

1

f

ergibt

k

Beispiel 9.8:

¦

k

¦

k

k

x k

0 2 ˜ k

2

o

1 8

˜S

2

Beispiel 9.7:

1

f

1 ( 2 ˜ k  1)

k

Beispiel 9.6: f

1

¦

o2

k 0 2

k

Beispiel 9.5:

1

ergibt

k

1

Beispiel 9.9:

§ 1 ˜ x· ©2 ¹

o exp ¨

f

¦

k

Seite 152

k

2˜k

( 1) ˜ x 2˜k

0 2

˜ ( 2 ˜ k )

§ 1 ˜ x· ©2 ¹

o cos ¨

f

Folgen - Reihen - Grenzwerte

Beispiel 9.10: f

k j ˜Z  e ¦

k

Auswertung über komplexer Ebene ergibt

2

( cos ( Z )  1)  sin ( Z )

2

sin ( Z )

 i˜

2

( cos ( Z )  1)  sin ( Z )

2

0

( cos ( Z )  1) 2

( cos ( Z )  1)  sin ( Z )

2

sin ( Z )

 i˜

2

( cos ( Z )  1)  sin ( Z )

f

k j ˜Z  e ¦

k

ergibt

k j ˜Z  e ¦

2

vereinfacht auf

1 2

˜

cos ( Z )  1  i ˜ sin ( Z ) cos ( Z )  1

1 i˜Z

e

0

f

k

( cos ( Z )  1)

1

komplex

1 cos ( Z )  1  i ˜ sin ( Z ) o ˜ vereinfachen 2 cos ( Z )  1

0

9.4 Grenzwerte

Eine Folge an heißt konvergent gegen a, wenn der Grenzwert

Beispiel 9.11: ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

n  1  20

Bereichsvariable

an  1  lim nof

1

allgemeines Folgeglied

n

§1  ¨ ©

1· n¹

o1

an  a  H

Grenzwert der Folge (a = 1)

H-Umgebung von a

Für H = 1/ 10 gilt: |an - 1| = | 1 - 1/n - 1 | = 1/n < H

daher ist n > 10

Seite 153

lim nof

an = a existiert.

Folgen - Reihen - Grenzwerte

2

1

1 10

1

1 1

1

Abb. 9.3

10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

an

1 n

Fast alle an liegen in dem Streifen a rH (HUmgebung von a = 1), nämlich ab n = 11. Bei der Grenzwertberechnung können unbestimmte Ausdrücke folgender Form auftreten: 0 f 0 0 f  0˜ ff  f0 f 1 0 f Für diese Fälle lässt sich die Regel von De L'Hospital unter gewissen Voraussetzungen anwenden. Diese Regel muss aber nicht in jedem Fall ein Ergebnis liefern. Deshalb ist auch nicht zu erwarten, dass Mathcad bei der Grenzwertberechnung immer erfolgreich ist. Beispiel 9.12: Grenzwert symbolisch auswerten: 2

3˜ n  2

lim

n o f 4 ˜ n2  5 ˜ n

o

2

3

lim

3˜ n  2

n o f 4 ˜ n2  5 ˜ n

4

vereinfacht auf

3 4

Beispiel 9.13: Grenzwert symbolisch auswerten: lim nof

lim nof

lim nof

§1  1 · ¨ n¹ ©

n

§1  1 · ¨ n¹ ©

n

§1  1 · ¨ n¹ ©

n

vereinfacht auf

1

e

exp ( 1) = e = e

o exp ( 1)

vereinfachen o exp ( 1)

Beispiel 9.14 Grenzwert symbolisch auswerten (unendliche geometrische Reihe): f

¦

k

1

§ 1· ¨ © 2¹

k 1

o2

Man vergleiche: a = 1, q = 1/2.

s

1 1

Seite 154

1 2

s

2

Folgen - Reihen - Grenzwerte

f

¦

k

1

f

¦

k

1

§ 1· ¨ © 2¹

k 1

§ 1· ¨ © 2¹

k 1

vereinfacht auf

2

vereinfachen o 2

9.5 Grenzwerte und Stetigkeit von reellwertigen Funktionen Eine Funktion f: y = f(x) heißt an der Stelle x 0  D stetig, wenn dort der Grenzwert existiert und mit dem Funktionswert übereinstimmt: lim

f ( x) = a

x o x0



und a = f x0 .

Beispiel 9.15: Stetigkeit (Animation): f ( x) 

x if 0 d x d 3 Funktionsgleichung

x  1 if x ! 3 x1  3



f x1

x2  3.5 



3

f x2

'x  x2  x1

'x

FRAME 35

2.5

Koordinaten von zwei Punkten der Kurve und Animationsparameter FRAME. FRAME: 0 bis 15 mit 1 Bild/s.

Differenz

0.5

x  0  0.01  5

Bereichsvariable Stetigkeit

4

Linksseitiger Grenzwert

lim x o x1



x o3

x1

 f x1 'x

x2

f x1

3 y-Achse

f( x)

 f x2 f x1

2

lim x o x1



( x  1) o 2

Abb. 9.4

1

Rechtsseitiger Grenzwert 0

1

2

3 x  x1  x2 x-Achse

Seite 155

4

5

Folgen - Reihen - Grenzwerte

Beispiel 9.16: 3

3

x 2

lim xo2

o 12

x 2 3

3

x 2

lim xo2

vereinfachen o 12

x 2

Beispiel 9.17: sin ( x)

lim

x

xo0

sin ( x)

lim

x

xo0

o1

2 ˜ x  sin ( x)

f ( x) 

vereinfachen o 1

x  3 ˜ ln ( x  1) f ( x) o

lim xo0

3 4

Beispiel 9.18: Links- und rechtsseitiger Grenzwert: x

S 2

 0.1 

S 2

 0.1  0.0001 

S

 0.1

2

f ( x)  tan ( x)

Bereichsvariable Funktionsgleichung

10 S

Rechtsseitiger Grenzwert:

S

2

lim

2

5

xo f( x)

2

1

0

1

S 2

2

lim 10

xo x

Abb. 9.5 Beispiel 9.19: Links- und rechtsseitiger Grenzwert:

g ( x) 

x x

f ( x) o f

Linksseitiger Grenzwert:

5

x  15  15



Bereichsvariable Funktionsgleichung

Seite 156

S 2



f ( x) o f

Folgen - Reihen - Grenzwerte

2

Format: Punkte

1 g ( x)

20

10

lim g ( x) o 1  xo0 0

10

20

lim g ( x) o 1  xo0

1 2

Abb. 9.6

x

Beispiel 9.20: Links- und rechtsseitiger Grenzwert: x  4 ˜ S  4 ˜ S  0.01  4 ˜ S f ( x) 

sin ( x) x

if x z 0

Bereichsvariable

D= \ {0}

0 otherwise

Funktionsgleichung und Definitionsmenge (Lücke bei x = 0) Vergleiche dazu die sinc-Funktion! Die Lücke kann hier, weil der Grenzwert existiert, geschlossen werden!

2

lim xo0

1

f( x)

sin ( x) 

1 15

10

5

0

5

10

15

lim xo0

x

sin ( x) 

x

o1

o1

1

Abb. 9.7

x 0

Beispiel 9.21: Verschiedenen Grenzwerte: x  2  2  0.001  4 f ( x) 

1

Bereichsvariable Funktionsgleichung und Definitionsmenge

D= \ {1}

x 1

lim xo1

10 1

lim xo1

f( x)

2

0

2

4

 

f ( x) o f f ( x) o f f ( x) o 0

lim xof

10

lim

f ( x) o 0

xof

x

Einschränkung der y-Achse auf den Bereich -10 bis 10.

Seite 157

Abb. 9.8

Ableitungen von Funktionen

10. Ableitungen von Funktionen Symbolleiste Differential/Integral:

Erste Ableitung:

d

Taste: < ? >

d Höhere Ableitungen:

d

Tasten: < Strg >++< ' >

d Abb. 10.1 Eine globale Einstellung der partiellen Ableitungsoperatoren erhält man durch die Einstellung im Menü-Extras-Arbeitsblattoptionen-Anzeige-Ableitung (partielle Ableitung) :

Partielle Ableitungen: Eine lokale Einstellung eines partiellen Ableitungsoperators erhält man durch die Einstellung im nachfolgenden Kontextmenü (zuerst mit der rechten Maustaste auf den normalen Ableitungsoperator klicken).

Abb. 10.2

Auswertungsmöglichkeiten: x Variable mit Cursor ( | ) markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Variable-Differenzieren wählen. x Den zu integrierenden Ausdruck mit dem Cursor markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Auswerten-Symbolisch wählen. x Symboloperator " o " und Schlüsselwörter (Abb. 10.3) . x Numerische Auswertung mit dem "=" Operator. Kurzschreibweisen für die Ableitungen: y' fx ( x)

y'' fxx ( x)

usw.

Das Primsysmbol ( ' ) erhält man mit den Tasten <Strg>+ Abb. 10.3

Seite 158

Ableitungen von Funktionen

10.1 Ableitungen von Funktionen in einer Variablen Es sei hier nur die Differenzierbarkeit von Funktionen in einer Variablen in expliziter Form kurz erwähnt: Eine Funktion f: y = f(x) ( D Ž  und W Ž ) heißt an der Stelle x0  D differenzierbar, wenn der folgende Grenzwert existiert :



f ' x0 =

 dx d

f x0 =

'y

lim

'x o 0 'x

=

lim





f x0  'x  f x0 'x

'x o 0

Eine Funktion f: y = f(x) heißt an jeder Stelle x  D differenzierbar, wenn in ganz D die Grenzwerte existieren .

10.1.1 Symbolische Ableitungen Beispiel 10.1: Variable mit Cursor ( | ) markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Variable-Differenzieren wählen:

x2 ˜ c  c2 ˜ x 4 2

sin x  4  2˜x

2

3 ˜  2 ˜ x ˜ c  c 2

4˜ x ˜ c  c ˜ x

durch Differentiation, ergibt

2 ˜ cos x  4 ˜ x

durch Differentiation, ergibt

4 ˜ x ˜ e

2

2

e

2

durch Differentiation, ergibt

 2˜x

z.B. auch mit + SVD

2

Zuerst Ableitungsoperator erzeugen und Ausdruck eintragen. Ausdruck mit Auswahlbox markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Auswerten-Symbolisch wählen:

d dx

x2 ˜ c  c2 ˜ x 4

2

d

2

2

sin x  4

2

2

3 ˜  2 ˜ x ˜ c  c 2

ergibt

4˜ x ˜ c  c ˜ x

ergibt

4 ˜ sin x  4 ˜ x  2 ˜ cos x  4

ergibt

4 ˜ exp 2 ˜ x

2

2

2

dx

2

d

2

 2˜x



2

e

2

 16 ˜ x2 ˜ exp 2 ˜ x2

dx

Symboloperator und Schlüsselwörter: d dx

x2 ˜ c  c2 ˜ x 4 o 4 ˜ x2 ˜ c  c2 ˜ x 3 ˜ 2 ˜ x ˜ c  c2

2

d

2

2

2

2

2

sin x  4 o 4 ˜ sin x  4 ˜ x  2 ˜ cos x  4

dx

2

d

2

 2˜x

e

2



2

o 4 ˜ exp 2 ˜ x

 16 ˜ x2 ˜ exp 2 ˜ x2

dx

Seite 159

z.B. auch mit + SUS

Ableitungen von Funktionen

f ( x)  sin ( 2 ˜ x)  cos ( 4 ˜ x) f ( x) 

sin ( x)

fx ( x)  fx ( x) 

x

d dx d dx

f ( x) o 2 ˜ cos ( 2 ˜ x)  4 ˜ sin ( 4 ˜ x) f ( x) vereinfachen o

cos ( x) ˜ x  sin ( x) 2

x

Beispiel 10.2: Symbolisches Differenzieren definierter Funktionen mit dem logischen Gleichheitszeichen. Variable mit Cursor ( | ) markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Variable-Differenzieren wählen: f ( x) = 4 ˜ exp ( 2 ˜ x) d dx

f ( x) = 8 ˜ exp ( 2 ˜ x)

durch Differentiation, ergibt

d dx

durch Differentiation, ergibt

f ( x) = 8 ˜ exp ( 2 ˜ x)

d d dx dx

fx ( x) = 8 ˜ exp ( 2 ˜ x)

durch Differentiation, ergibt

g ( x) = sin ( 3 ˜ x)

durch Differentiation, ergibt

y' ( x) = atan ( x)

durch Differentiation, ergibt

d dx d dx d

f ( x) = 16 ˜ exp ( 2 ˜ x)

fx ( x) = 16 ˜ exp ( 2 ˜ x)

g ( x) = 3 ˜ cos ( 3 ˜ x)

y' ( x) =

dx

1 2

1x

Beispiel 10.3: Differenzieren von Summen und Produkten. Variable mit Cursor ( | )markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Variable-Differenzieren wählen:

¦ (x  n)

2

2

durch Differentiation, ergibt

2˜ x˜ n  n  n

durch Differentiation, ergibt

2˜ x˜ k  k  k

durch Differentiation, ergibt

( x  2) ˜ ( x  3) ˜ ( x  4)  ( x  1) ˜ ( x  3) ˜ ( x  4)   ( x  1) ˜ ( x  2) ˜ ( x  4)  ( x  1) ˜ ( x  2) ˜ ( x  3)

n

k 1

¦

m

( x  m)

2

2

0

4

–

i

1

( x  i)

Das Ergebnis wurde hier umgebrochen ! Siehe dazu Kapitel 4.1.2.

Seite 160

Ableitungen von Funktionen

10.1.2 Symbolische Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung Beispiel 10.4: Gegeben: Funktion in Polarkoordinatendarstellung: r : [0, 2S>  R; r(M) := M. Damit lässt sich die Funktion in Parameterdarstellung f : [0, 2S>  2 ; f(M) := (M.cos(M), M.sin(M)) darstellen. Die erste und zweite Ableitung von y nach x erhält man mithilfe der Kettenregel: d y' =

d

y=

dx

d dM

y˜

d

M =

dx

dM d dM

y'' =

d

y' =

dx

y'' =

d dM

y' ˜

d

y = x

d

M =

dM

dx

˜

yM ( M ) xM ( M )

yMM ( M ) ˜ xM ( M )  xMM ( M ) ˜ yM ( M ) yM ( M ) 1 d ˜ M = ˜ 2 xM ( M ) xM ( M ) dx xM ( M )

xM ( M ) ˜ yMM ( M )  yM ( M ) ˜ xMM ( M ) xM ( M )

x ( M ) = M ˜ cos ( M )

3

y ( M ) = M ˜ sin ( M )

Parameterdarstellung der Funktion

x ( M ) = M ˜ cos ( M )

durch Differentiation, ergibt

y ( M ) = M ˜ sin ( M )

durch Differentiation, ergibt

d

y=

dx d dM d dM

yM ( M ) xM ( M )

=

sin ( M )  M ˜ cos ( M )

d dM d dM

x ( M ) = cos ( M )  M ˜ sin ( M ) y ( M ) = sin ( M )  M ˜ cos ( M )

erste Ableitung von y nach x

cos ( M )  M ˜ sin ( M )

x ( M ) = cos ( M )  M ˜ sin ( M )

durch Differentiation, ergibt

y ( M ) = sin ( M )  M ˜ cos ( M )

durch Differentiation, ergibt

2

d

2

y=

d d dM dM d d dM dM

x ( M ) = 2 ˜ sin ( M )  M ˜ cos ( M )

y ( M ) = 2 ˜ cos ( M )  M ˜ sin ( M )

( cos ( M )  M ˜ sin ( M ) ) ˜ ( 2 ˜ cos ( M )  M ˜ sin ( M ) )  ( sin ( M )  M ˜ cos ( M ) ) ˜ ( 2 ˜ sin ( M )  M ˜ cos ( M ) ) ( 2 ˜ sin ( M )  M ˜ cos ( M ) )

dx

3

( cos ( M )  M ˜ sin ( M ) ) ˜ ( 2 ˜ cos ( M )  M ˜ sin ( M ) )  ( sin ( M )  M ˜ cos ( M ) ) ˜ ( 2 ˜ sin ( M )  M ˜ cos ( M ) ) ( 2 ˜ sin ( M )  M ˜ cos ( M ) )

3

Durch Vereinfachen des Zählers ergibt sich: 2

d

2

dx

y=

2 M

2

( 2 ˜ sin ( M )  M ˜ cos ( M ) )

3

zweite Ableitung von y nach x

Seite 161

Ableitungen von Funktionen

10.1.3 Numerische Ableitungen Bei der ersten Ableitung lässt sich eine Genauigkeit von 7 bis 8 signifikanten Stellen erzielen, wenn der Ableitungswert nicht zu nahe an einer Singularität der betreffenden Funktion liegt. Die Genauigkeit nimmt aber mit jedem Grad der Ableitung um eine Stelle ab. Beispiel 10.5: Ableitungen von Funktionen an einem fest vorgegebenen Argumentwert: 2

x 4 d dx d dx

f ( x)  2 ˜ x  4

2 ˜ x2  4

2 ˜ x2  4 2

2

d

16

4

gx ( x) 

oder

dx 0.291

sin ( 2 ˜ x)

1

d

oder

1

sin ( 2 ˜ x)

d dx

6

d

0.291

6

dx

2

d

2

sin ( 2 ˜ x)

3.957

d d

oder

dx dx

dx

f ( x) o 4 ˜ x

gxx ( x) 

2

d

2

f ( x) o 4

dx

Eine numerische Auswertung ist nur bis n = 5 möglich !

sin ( 2 ˜ x)

dx 3.957

sin ( 2 ˜ x)

Beispiel 10.6: Ableitung an mehreren Stellen: Bereichsvariable:

Vektorargumente: ORIGIN  1

x  1  1 2

d

f '' ( x) 

2

 2˜x

e

Bereichsvariable

i  1  3

zweite Ableitung

§¨ 0 · x  ¨S ¸ ¨5 © ¹

dx

1

29.556

2

4

3

0.541

1

Tabellenausgabe

3

d

3

sin ( x)

dritte Ableitung

dx



x  2  2

1

-1

2

1

3

-0.284

o g''' ( x)

§¨ 1 · ¨ 1 ¸ ¨ 0.284 © ¹

Tabellen- und Vektorausgabe

Bereichsvariable 2

f ( x)  2 ˜ x  x  3

f ( x)

g''' ( x) 

g''' xi

1

f '' ( x)

ORIGIN festlegen

d

fx ( x) 

dx

fx ( x) 1

f ( x)

2

d

fxx ( x) 

2

dx

fxx ( x) 1

1

1

3

1

-7

1

4

2

-2

2

-3

2

4

3

-3

3

1

3

4

4

0

4

5

4

4

5

7

5

9

5

4

Seite 162

f ( x)

Funktion und Ableitungen

Ableitungen von Funktionen

Beispiel 10.7: Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte: ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

x x

Redefinition von x

3

1

f ( x) 



2

˜ x  9 ˜ x  23 ˜ x  5

10

Funktion

Nullstellen:

N  f ( x) = 0

.20 § · auflösen  x ¨ o ¨ 4.61  1.92 ˜ i ¸ gleit  3 ¨ 4.61  1.92 ˜ i © ¹

xn  N1

yn  0

reelle Nullstelle

Extremstellen:

E

d

auflösen  x § 4.15 · o¨ gleit  3 © 1.85 ¹

f ( x) = 0

dx x1  E1

Notwendige Bedingung

x2  E2 2

d

f '' ( x) 

2

mögliche Extremstellen



f '' xi z 0

f ( x)

dx

hinreichende Bedingung



0.69

f '' x1 ! 0

1

Tiefpunkt an der Stelle x 1



0.69

f '' x2  0

1

Hochpunkt an der Stelle x 2

f '' x1 f '' x2



y1  f x1

y1

1.692



y2  f x2

y2

2.308

Extremstellen

Wendepunkte: W

2

d

2

f ( x) = 0 auflösen  x o 3

notwendige Bedingung

dx



xw  W

f ''' ( x) 

yw  f xw 3

d

3

f ( x)

dx

f ''' xw z 0

1

x  1  0.95  6



f ''' xw z 0

möglicher Wendepunkt

hinreichende Bedingung

Es liegt bei x w ein Wendepunkt vor! Bereichsvariable

Seite 163

Ableitungen von Funktionen

3

H W

f( x)

2

yn

T 1

N

xn

0.2

yn

0

T

x1

4.15

y1

1.692

H

x2

1.85

y2

2.308

W

xw

3

yw

2

y1

N y2

2

yw

1

0

1

2

3

4

5

6

1

2

Abb. 10.4

x  xn  x1  x2  xw

Beispiel 10.8: Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte: ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

x x

Redefinition von x x

2

f ( x)  4x ˜ e

Funktion

Erste, zweite und dritte Ableitung: d

fx ( x) 

 2 ˜ 1  2 ˜ x2

fx ( x) faktor o 4 ˜ exp x

f ( x)

dx

fxx ( x)  fxxx ( x) 

d dx

 2 ˜ 3  2 ˜ x2

fxx ( x) faktor o 8 ˜ x ˜ exp x

fx ( x)

d dx

 2 ˜ 3  12 ˜ x2  4 ˜ x4

fxxx ( x) faktor o 8 ˜ exp x

fxx ( x)

Nullstellen: Vorgabe f ( x) = 0 T

z  Suchen ( x) o 0

N  ( z f ( z) ) o

§0 · ¨ ©0 ¹

Extremstellen: Vorgabe fx ( x) = 0

notwendige Bedingung

1 § ¨ 1 ¨ ˜ 22 T ¨ 2 z  Suchen ( x) o ¨ 1 ¨ 1 2 ¨ ˜2 © 2

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ Seite 164

Nullstelle

Ableitungen von Funktionen



6.862



6.862

fxx z 1 fxx z 2 H

hinreichende Bedingung

 z1 f z1 T

H

§ 0.707 · ¨ © 1.716 ¹

Hochpunkt

T

 z2 f z2 T

T

§ 0.707 · Tiefpunkt ¨ © 1.716 ¹

Wendestellen: Vorgabe fxx ( x) = 0

notwendige Bedingung

§ 0 ¨ 1 ¨ ¨ 1 ˜ 62 T z  Suchen ( x) o ¨ 2 ¨ 1 ¨ 1 ¨ ˜ 62 © 2



24



10.71



10.71

fxxx z 1 fxxx z 2 fxxx z 3

§ z 1 f  z1 · ¨ W  ¨ z 2 f  z2 ¸ ¨z f z © 3  3 ¹

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

hinreichende Bedingung

§¨ · W ¨ 1.225 1.093 ¸ ¨ 1.225 1.093 © ¹ 0

Wendepunkte

0

x  3  3  0.01  3 Bereichsvariable

Abb. 10.5

Seite 165

W1 

 z1 f z1 T

W2 

 z2 f z2 T

W3 

 z3 f z3 T

Ableitungen von Funktionen

Beispiel 10.9: Von einem Hubwerk mit Frequenzumsetzer (FU), Asynchronmotor (ASM) und Getriebe (G) soll mittels eines gewählten Drehzahlprofils das davon abgeleitete Drehmoment und Leistungsprofil dargestellt werden.

Abb. 10.6

Motordaten: PN  10 ˜ kW Nennleistung MN 

nN  2900 ˜ min

PN

MN

2 ˜ S ˜ nN

1

32.93 N ˜ m

Drehzahl

J R  0.0085 ˜ kg ˜ m

2

Rotorträgheitsmoment

Nennmoment

Getriebedaten: i  24

Übersetzung

J L  1.5 ˜ kg ˜ m

2

K  0.9

Wirkungsgrad

ML  160 ˜ N ˜ m Lastdrehmoment

tB  ta

Bremszeit

tD  0.3 ˜ s

Lastträgheitsmoment

ta  0.5 ˜ s

Beschleunigungszeit

d  220 ˜ mm

Durchmesser der Umlenkwalze

Dauer der konstanten Geschwindigkeit

Festlegung der Drehzahlzeitabschnitte für das Drehzahlprofil: t1  0 ˜ s n ( t) 

t2  ta

t3  t2  tD

§ t· nN ˜ sin ¨ S ˜ © s¹

t4  t3  tB

2

ª § t  t4 ·º » nN ˜ sin «S ˜ ¨ ¬ © s ¹¼

nN ˜

1

ta

t

if t 3 d t  t 4

if t 5 d t  t 6

t  t7 · § if t 7 d t  t 8 nN ˜ ¨ 1  ¨© tB ¹ 0 ˜ min

t8  t7  tB

Unterprogramms (siehe Kapitel 18). Es sollen eine

2

nN if t 6 d t  t 7

1

t7  t6  tD

sin2 (x) Funktion und eine lineare Rampe miteinander vergleichen werden.

if t4 d t  t5

t  t5

t6  t5  ta

Festlegung des Drehzahlprofils n(t) mithilfe eines if t1 d t  t2

nN if t 2 d t  t 3

0 ˜ min

t5  t4  tD

otherwise

s1 ( t ) 

d˜ S ´ ˜ µ n ( t ) dt ¶ i

Verlauf des Weges über der Zeit

t4 d˜ S ´ ˜ µ n ( t ) dt ¶ i

Maximal zurückgelegter Weg

0

s max  s max

0

1114 mm

Ma1 ( t)  2 ˜ S ˜ J R ˜ Ma2 ( t)  2 ˜ S ˜ M2 ( t )  ML

Seite 166

JL i

˜

d

n ( t)

Beschleunigungsmoment primär (bezogen auf Motorwelle)

n ( t)

Beschleunigungsmoment sekundär (bezogen auf Getriebeausgang)

dt d dt

Lastdrehmoment des Hubwerks

Ableitungen von Funktionen



1 M ( t)  Ma1 ( t)  ˜ M2 ( t)  Ma2 ( t) i˜K



Drehmoment an der Motorwelle

P ( t)  2 ˜ S ˜ n ( t) ˜ M ( t) ta t  t1   t 50 8

t8

Motorleistung Bereichsvariable für den Zeitbereich

2.9 s

Drehzahlprofil

4000

t4

n( t)

smax

t5

mm

2000

1

min

s1( t)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

mm

Abb. 10.7

2000

4000 t

Drehmomentenverlauf

20

t4

t5

10

M( t)

Abb. 10.8

N˜m 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

2.5

3

10 t

Leistung

6 t4

3

t5

P( t) kW

0

0.5

1

1.5

2

3 6 t

N1  200 k  1  N1  o max M ( t) 18.27 N ˜ m







o mittelwert P ( t)



1.31 kW

tk 

k N1

˜ t8

max. Drehmoment

Bereichsvariable und Abtastvektor o max. Leistung max P ( t) 4.29 kW

Durchschnittliche Leistung

Seite 167





Abb. 10.9

Ableitungen von Funktionen

Beispiel 10.10: Es soll einem Viereck mit b = 3/5 und l = 3 ein Dreieck so umschrieben werden, dass die Hypotenuse L minimal wird.

Abb. 10.10

ORIGIN

ORIGIN festlegen

1

x x

Redefinition von x 2

§ ©

( y  3)  ¨ x 

L ( x  y) 

3·

2

Länge der Hypotenuse

5¹

Als Nebenbedingung erhält man mithilfe des Strahlensatzes (ähnliche Dreiecke): y 3

=

3

9

hat als Lösung(en)

x

Gleichung nach x auflösen. x ist also:

5˜ y

x=

9 5˜ y

5

§¨ ¨ d ersetzen  L ( x  y) = L ( x ( y)  y) ¨ dy ¨ 1 ¨ o 3 3 9 ¨ ˜5 ersetzen  x ( y) = 5˜ y ¨ 10 ¨ 1 auflösen  y ¨ 3 3 ¨ 10 ˜ 5 ©

y  L ( x  y) = 0

· ¸ ˜5 5 ¸ 1 1 ¸ ¸ 3 2 3  ˜i˜3 ˜5 ¸ 10 ¸ 1 1 ¸ 3 2 3 ¸ 1

3



10

3

˜i˜3

˜5

Die Lösungen werden hier mit mehreren Symbol- Operatoren gefunden. Es ist nur die erste Lösung reell.

¹

1

ymin  y1





L ymin 

L ( y) 

3

ymin o ˜ 5 5

3

ymin

ymin  3 2  §¨ 5 ˜ y

9

©

2

( y  3) 

y  0.2  0.21  10

§ 9  3· ¨ © 5 ˜ y 5¹

min



1.026

3· 5

¹

2

kleinster y-Wert



L ymin



4.664

minimale Länge

2

Funktionsdefinition für die Länge

Bereichsvariable

Seite 168

Ableitungen von Funktionen

14 13

ymin

12 11 10 9

L ( y)

Abb. 10.11

8 7 6





L ymin

5 4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y

Andere Lösungsmethoden: Numerische Lösungen mit "Vorgabe und Suchen" bzw. "wurzel": y1  1

Startwert

Vorgabe d

L ( y1) = 0

dy1 ymin  Suchen ( y1) y1  1

ymin

1.026

ymin

1.026



L ymin



4.664

Startwert

§d · L ( y1)  y1 © dy1 ¹

ymin  wurzel ¨



L ymin



4.664

Beispiel 10.11: Waagrechter Wurf ohne Luftwiderstand. Gesucht: Ortsvektor, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor, Tangenteneinheitsvektor, Normaleinheitsvektor und Krümmung. ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

t t

Redefinition von t

m v0  30 ˜ s

Anfangsgeschwindigkeit

a g

Beschleunigung (g ist in Mathcad vordefiniert)

s x ( t)  v0 ˜ t

Wegkomponente in x-Richtung

sy ( t)  

r ( t) 

a 2

˜t

2

§¨ s x( t) · ¨ s ( t) © y ¹

Wegkomponente in y-Richtung

Ortsvektor (Vektorfunktion)

Seite 169

Ableitungen von Funktionen

t1  0 ˜ s  0.1 ˜ s  4 ˜ s

8 16

0

Bereichsvariable

20

40

60

80

100

120

24 32 r ( t1) 2 40 48 56

Abb. 10.12

64 72 80 r( t1) 1

§d · ¨ r ( t) 1 ¸ ¨ dt v ( t)  ¸ ¨d ¨ r ( t) 2 © dt ¹ § ¨ ¨ a ( t)  ¨ ¨ ¨ ©

dt

2

r ( t) 1

2

d

dt

2

v ( 2 ˜ s)

§ 30 · m ¨ © 19.613 ¹ s

Geschwindigkeitsvektor

·

2

d

§ ˜m· 30 s v ( t) o ¨ ¨ © g ˜ t ¹

r ( t) 2

.

¸ ¸ ¸

a ( t) o

§0 · ¨ © g ¹

a ( 2 ˜ s)

§ 0 ·m ¨ © 9.807 ¹ s2

Beschleunigungsvektor

¹ 1

2 ª º m · § 2 « v ( t) o 900 ˜ ¨   g˜ t » ¬ © s ¹ ¼

2

a ( t) o g

Betrag von v und a

50 10

a( t1)

v( t1) m

m

40

2 s

s

30

0

1

2

3

4

0

0

2

t1

t1

s

s

Abb. 10.13 t  0 ˜ s  1 ˜ s  4 ˜ s

5

Abb. 10.14

Bereichsvariable

Seite 170

4

Ableitungen von Funktionen

Zeit

Ortsvektoren

t

r ( t) 1 0 s

Geschwindigkeitskomponenten

r ( t) 2 0 m

v ( t) 1 0 m

30 m

0 m

-9.807 m

31.562 s 35.842

0

-9.807

-29.42

42.018

0

-9.807

-39.227

49.383

0

-9.807

60

-19.613

3

90

-44.13

30

4

120

-78.453

30

N ( t) 

1

Tangenteneinheitsverktors

tp ( t)

Normaleinheitsvektor

Krümmung

v ( t)

aT ( t)  a ( t) ˜ t0 ( t)

Tangential-Komponente der Beschleunigung

aN ( t)  a ( t) ˜ n0 ( t)

Normal-Komponente der Beschleunigung

Zeit

Komponenten des Tangenteneinheitsvektors

t

t0 ( t) 1 0 s

t0 ( t) 2

Tangential-Komponente der Beschleunigung

Normal-Komponente der Beschleunigung

aT ( t)

aN ( t) 0 m

9.807 m

1

0

1

0.951

-0.311

3.047

2

0.837

-0.547

5.366

3

0.714

-0.7

6.866

7.002

4

0.607

-0.794

7.79

5.957

Zeit

Komponenten des Normaleinheitsvektors

t

n0 ( t ) 1

s

2

Krümmung

N ( t)

n0 ( t ) 2

-1.773·10 -14

-1

0.011 1

1

-0.311

-0.951

2

-0.547

-0.837

0.009 m 0.006

3

-0.7

-0.714

0.004

4

-0.794

-0.607

0.002

0 s

2

Ableitung dt0 / dt des

˜ tp ( t)

tp ( t)

0

s

Tangenteneinheitsvektor

§d · ¨ t0 ( t) 1 ¨ dt ¸ tp ( t)  ¨d ¸ ¨ t0 ( t) 2 © dt ¹ n0 ( t ) 

a ( t) 2

0 m

2

˜ v ( t)

a ( t) 1

-9.807 s -19.613

-4.903

v ( t)

v ( t)

30 s 30

30

1

v ( t) 2

Beschleunigungskomponenten

30 m

1

t0 ( t) 

Geschwindigkeiten

Seite 171

9.321 8.208

s

2

-9.807

s

2

Ableitungen von Funktionen

10.2 Ableitungen von Funktionen in einer Variablen in impliziter Form Gegeben sei eine Funktion in impliziter Form F: F(x,y) = c ( D Ž x  und W = { c } ; c sei eine Konstante aus  ). Beispiel 10.12: 2

2

2˜ x˜ y  4˜ x˜ y  4˜ x = x

gegebene Relation

2

Linksterm und Rechtsterm zusammengefasst

2

f ( x  y)  2 ˜ x ˜ y  4 ˜ x ˜ y  4 ˜ x  x

ersetzen  f ( x  y) = f ' ( x  y)  f ( x  y) = 0

d dx

f ( x  y ( x) ) 2

o d ersetzen  y ( x) = y'  y ( x) = y dx

Implizite Ableitung mit Hilfe von symbolischen Operatoren

y  x  2 ˜ y  2 x ˜ ( 4 ˜ y  1)

auflösen  y' Das Strichsymbol (Primsymbol) mit Leerzeichen über f erzeugt man nach Eingabe von f mit +<Strg>+ , eventuell Leerzeichen, <Strg>+ und dann wieder aus dem Textmodus zurück mit +<Strg>+. 2

2

2˜ x˜ y  4˜ x˜ y  4˜ x  x = 0

Gleichung nach y auflösen

1 ª « 1 1 «  ˜ ( 15  4 ˜ x) 2 4 4 hat als Lösung(en) « « 1 « 1 1 2 «  ˜ ( 15  4 ˜ x) ¬ 4 4

x  3  3.01  10

º » » » » » » ¼

1

y1 ( x) 

1 4



1 4

˜ ( 15  4 ˜ x)

2

Anteile der Wurzelfunktion 1

y2 ( x) 

1 4



1 4

˜ ( 15  4 ˜ x)

2

Bereichsvariable

1.5 6

1

0.5

y1 ( x) 0.5 y2 ( x)

3

0.5

0.5

1

1

4

5

6

7

2 x x 6 6

x 6

Stelle x = 6 0.5

9

10 1

1.5

y1 ( x)

8

y2 ( x)

1

Funktionswerte an der Stelle x = 6

Seite 172

Abb. 10.15

Ableitungen von Funktionen

d dx d dx

0.167

y1 ( x)

Ableitungswerte an der Stelle x = 6 0.167

y2 ( x)

 f '  x  y2 ( x) f ' x  y1 ( x)

0.167 Ableitungswerte in den Punkten P 1 ( 6 | 0.5) und P2 ( 6 | -1)

0.167

10.3 Ableitungen von Funktionen in mehreren Variablen Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen x und y stellen in der grafischen Veranschaulichung Flächen dar. Gegeben sei eine Funktion in expliziter Form f: z = f(x,y) ( D Ž x  und W Ž  ). Wir nehmen an, dass f(x,y) in einer offenen Umgebung um (x ; y) definiert ist und dort stetige partielle Ableitungen existieren. Wir bezeichnen den bei festgehaltenem y bzw. x gebildeten Grenzwert f ( x  'x  y)  f ( x  y) w z x = z x ( x  y) = f ( x  y) = lim als partielle Ableitung 1. Ordnung nach x 'x wx 'x o 0 bzw. z y = z y ( x  y) =

w wy

f ( x  y) =

f ( x  y  'y)  f ( x  y)

lim 'x o 0

'y

als partielle Ableitung 1. Ordnung nach y.

Durch fortgesetztes partielles Differenzieren erhält man:

z xx =

z yy = z yx =

w w wx wx w w wy wy w w wx wy

2

w

f ( x  y) =

2

f ( x  y)

zweite partielle Ableitung nach x,

f ( x  y)

zweite partielle Ableitung nach y,

wx 2

w

f ( x  y) =

2

wy

f ( x  y)

z xy =

w w wy wx

f ( x  y) gemischte zweite partielle Ableitungen.

Satz von Schwarz: Ist z = f(x,y) eine stetige Funktion, so stimmen die gemischten Ableitungen zweiter Ordnung überein: z xy = z yx .

10.3.1 Symbolische Ableitungen in mehreren Variablen Beispiel 10.13:  2˜x

f ( x  y) = e

 2˜x

f ( x  y) = e

˜ sin ( y)

durch Differentiation, ergibt

˜ sin ( y)

durch Differentiation, ergibt

Seite 173

w wx w wy

f ( x  y) = 2 ˜ exp ( 2 ˜ x) ˜ sin ( y)

f ( x  y) = exp ( 2 ˜ x) ˜ cos ( y)

Ableitungen von Funktionen

w wx w wy w wx w wy

f ( x  y) = 2 ˜ exp ( 2 ˜ x) ˜ sin ( y)

durch Differentiation, ergibt

f ( x  y) = exp ( 2 ˜ x) ˜ cos ( y)

durch Differentiation, ergibt

f ( x  y) = 2 ˜ exp ( 2 ˜ x) ˜ sin ( y)

durch Differentiation, ergibt

f ( x  y) = exp ( 2 ˜ x) ˜ cos ( y)

durch Differentiation, ergibt

w w wx wx w w wy wy w w wy wx w w wy wx

f ( x  y) = 4 ˜ exp ( 2 ˜ x) ˜ sin ( y)

f ( x  y) = exp ( 2 ˜ x) ˜ sin ( y)

f ( x  y) = 2 ˜ exp ( 2 ˜ x) ˜ cos ( y)

f ( x  y) = 2 ˜ exp ( 2 ˜ x) ˜ cos ( y)

Beispiel 10.14: Gradient , Divergenz, Rotation und Laplace-Operator: ORIGIN  1 x x

ORIGIN festlegen y y

z z

Redefinitionen

Skalarfeld: Ein Skalarfeld ordnet den Punkten eines ebenen oder räumlichen Bereiches in eindeutiger Weise Skalare zu. 2

2

f3 ( x  y  z )  x  y  z 2

3

2

f2 ( x  y)  x  y

räumliches Skalarfeld ebenes Skalarfeld

Gradient eines differenzierbaren Skalarfeldes: Unter dem Gradienten eines differenzierbaren räumlichen Skalarfeldes f 3 (x,y,z) bzw. ebenen Skalarfeldes f 2 (x,y) verstehen wir den aus den partiellen Ableitungen 1. Ordnung von f 3 bzw. f2 gebildeten Vektor.

§w · ¨ f3 ( x  y  z) ¸ ¨ wx ¸ ¨w grad3 ( f3  x  y  z )  ¨ f3 ( x  y  z ) ¸ ¸ ¨ wy ¸ ¨w ¨ f3 ( x  y  z ) © wz ¹ § 2˜ x · ¨ grad3  f 3  x  y  z o ¨ 2 ˜ y ¸ ¨ 2 ©3 ˜ z ¹

bzw.

§w · ¨ f2 ( x  y) ¸ ¨ wx grad2 ( f2  x  y)  ¸ ¨w ¨ f2 ( x  y) © wy ¹





grad2 f 2  x  y o

Seite 174

§2 ˜ x· ¨ ©2 ˜ y¹

Ableitungen von Funktionen

Der Gradient kann auch mithilfe des vektoriellen Differentialoperators ( Nabla-Operator ’ ) definiert werden ( grad ( f) = ’ f ) :

§w · ¨ f (x  y  z) ¸ ¨ wx ¸ o §w ¨w o §w · o §w ·  · grad ( f) = ’ f = ¨ f ( x  y  z ) ¸ = ex ˜ ¨ f ( x  y  z )  ey ˜ ¨ f ( x  y  z )  ez ˜ ¨ f ( x  y  z ) © wx ¹ © wy ¹ © wz ¹ ¸ ¨ wy ¸ ¨w ¨ f ( x  y  z) © wz ¹

§w · ¨ f ( x  y  z) ¸ ¨ wx ¸ ¨w ’3 ( f  x  y  z )  ¨ f ( x  y  z ) ¸ ¸ ¨ wy ¸ ¨w ¨ f (x  y  z) © wz ¹

§w · ¨ f ( x  y) ¸ ¨ wx ’2 ( f  x  y)  ¸ ¨w ¨ f ( x  y) © wy ¹

bzw.

§ 2˜ x · ¨ ’3  f3  x  y  z o ¨ 2 ˜ y ¸ ¨ 2 ©3 ˜ z ¹





’2 f 2  x  y o

§2 ˜ x· ¨ ©2 ˜ y¹

Divergenz eines Vektorfeldes: Unter der Divergenz eines räumlichen Vektorfeldes F3(x,y,z) bzw. eines ebenen Vektorfeldes F2(x,y) versteht man das skalare Feld:

w

div3 ( F3  x  y  z ) 

div2 ( F2  x  y) 

wx

w wx

F3 ( x  y  z ) 1  w

F2 ( x  y) 1 

3

2

wy

u1 ( x  y  z )  2 ˜ x  3 ˜ y  z 2

3

v1 ( x  y  z )  2 ˜ y  x  4 ˜ z 2

2

w wy

F3 ( x  y  z ) 2 

w wz

F3 ( x  y  z ) 3

bzw.

F2 ( x  y) 2

3

2

Komponenten eines räumlichen Vektorfeldes 4

w1( x  y  z )  2 ˜ z  2 ˜ x  5 ˜ y

§¨ u1 ( x  y  z ) · F3 ( x  y  z )  ¨ v1 ( x  y  z ) ¸ ¨ w1( x  y  z) © ¹ 2

div3 ( F3  x  y  z ) o 6 ˜ x  4 ˜ y  4 ˜ z

räumliches Vektorfeld

Divergenz des räumlichen Vektorfeldes

Seite 175

Ableitungen von Funktionen

3

2

u2 ( x  y)  2 ˜ x  3 ˜ y 2

Komponenten eines ebenen Vektorfeldes

3

v2 ( x  y)  2 ˜ y  x

F2 ( x  y) 

§ u2 ( x  y) · ¨ © v2 ( x  y) ¹

ebenes Vektorfeld

2

div2 ( F2  x  y) o 6 ˜ x  4 ˜ y

Divergenz des ebenen Vektorfeldes

Die Divergenz kann aus dem Skalarprodukt des vektoriellen Nabla-Operators ( ’ )und dem Feldvektor F gebildet werden ( div ( F) = ’ ˜ F ) :

§w ¨ ¨ wx ¨w div ( F) = ’ ˜ F = ¨ ¨ wy ¨w ¨ © wz

· ¸ § Fx · ¸ ¨ w w w ¸ ˜ ¨ Fy ¸ = Fx ( x  y  z )  Fy ( x  y  z )  Fz ( x  y  z ) wy wz ¸ ¨ ¸ wx ¨ F ¸ © z¹ ¹

Rotation eines Vektorfeldes: Unter der Rotation eines räumlichen Vektorfeldes F3(x,y,z) v ersteht man das Vektorfeld rot ( F3) =

§w · o w ¨ F3z  F3y ˜ ex  wz © wy ¹

§w · o w ¨ F3x  F3z ˜ ey  wx © wz ¹

o §w ·  w ¨ F3y  F3x ˜ ez . wy © wx ¹

Rotation eines räumlichen Vektorfeldes:

§w · w ¨ F3 ( x  y  z) 3  F3 ( x  y  z ) 2 wz ¸ ¨ wy ¸ ¨w w rot3 ( F3  x  y  z )  ¨ F3 ( x  y  z ) 1  F3 ( x  y  z ) 3 ¸ wx ¸ ¨ wz ¸ ¨w w ¨ F3 ( x  y  z) 2  F3 ( x  y  z) 1 wy © wx ¹ § 20 ˜ y3  8 ˜ z · ¨ rot3 ( F3  x  y  z ) o ¨ 3 ˜ z 2  4 ˜ x ¸ ¨ ¸ ¨ 2 © 3 ˜ x  6 ˜ y ¹

Bei einem ebenen Vektorfeld werden sowohl die x-Komponente als auch die yKomponente 0.

Rotation des räumlichen Vektorfeldes

Seite 176

Ableitungen von Funktionen

Die Rotation eines Vektorfeldes F kann auch als Vektorprodukt aus dem Nabla-Operator ’ und dem Feldvektor F gebildet werden ( rot ( F) = ’ u F ) :

§d ¨ ¨ dx ¨d div ( F) = ’ u F = ¨ ¨ dy ¨d ¨ © dz

· ¸ ¸ ¸u ¸ ¸

§w · w ¨ F ( x  y  z) z  F ( x  y  z) y wz ¨ wy ¸ ¨w ¸ w = ¨ F ( x  y  z) x  F ( x  y  z) z ¸ wx ¨ wz ¸ ¨w ¸ w ¨ F (x  y  z)y  F (x  y  z)x wy © wx ¹

§¨ Fx · ¨F ¸ ¨ y¸ ¨© Fz ¹

¹

Laplace Operator: Der Laplace-Operator ' kann als das skalare Produkt des Nabla-Operators ’ mit sich selbst aufgefasst werden ( ' = ’ ’ = ’ 2 ). Es gilt: div( grad( f ) ) = ’ ( ’ f) =( ’ ’) f = 'f 2

w

' (f  x  y  z) 

2

2

w

f ( x  y  z) 

2

wy

wx

2

2

f3 ( x  y  z ) o x  y  z

2

w

f (x  y  z) 

wz

2

f (x  y  z)



3

f ( x  y  z )  grad3 f3  x  y  z



div3 ( f  x  y  z ) o 4  6 ˜ z

§ 2˜ x · ¨ f ( x  y  z) o ¨ 2 ˜ y ¸ ¨ 2 ©3 ˜ z ¹





' f3  x  y  z o 4  6 ˜ z

10.3.2 Numerische Ableitungen in mehreren Variablen Beispiel 10.15: Ableitungen von einer Funktion an zwei fest vorgegebenen Argumentwerten: z ( x  y)  sin ( x  3 ˜ y)

Gegebene Funktion

Gesucht sind alle partiellen Ableitungen im Punkt P( 2 | 1 ) : x0  2

y0  1

z x ( x  y) 

z xx ( x  y) 

z yx ( x  y) 

z xy ( x  y) 

w wx

z ( x  y) 2

w

2

z ( x  y)

wx

w w wxwy w w wywx

z ( x  y)

z ( x  y)





z x x0  y0





z xx x0  y0

w

z y ( x  y) 

0.54

wy

z yy ( x  y) 

0.841





2.524





2.524

z yx x0  y0

z xy x0  y0

z ( x  y) 2

w

2

wy

z ( x  y)





z y x0  y0



1.621



z yy x0  y0

7.573

Die gemischten Ableitungen sind hier gleich (Satz von Schwarz)!

Seite 177

Ableitungen von Funktionen

Beispiel 10.16: Fehlerabschätzung: Gegeben sei ein Dreieck mit den Seiten a, b und dem eingeschlossenen Winkel J(in Grad). Alle Messgrößen (a, b, J) seien fehlerbehaftet. a0  220.4 ˜ cm

b0  122.1 ˜ cm

J 0  30.55 ˜ Grad

'a  0.2 ˜ cm

'b  0.3 ˜ cm

'J  0.09 ˜ Grad

Gesucht ist eine Abschätzung des maximalen absoluten und des relativen Fehlers für die Fläche des Dreiecks. a˜ b

A (a  b  J) 

2

˜ sin ( J )

Abzuschätzende Funktion

Abschätzung des absoluten Fehlers mit Hilfe des totalen Differentials:

§w · §w · §w · ¨ A ( a  b  J ) ˜ 'a  ¨ A ( a  b  J ) ˜ 'b  ¨ A ( a  b  J ) ˜ 'J © wa ¹ © wb ¹ © wJ ¹

'Aab ( a  b  J ) 





2

A a0  b0  J 0





2

'Aab a0  b0  J 0

maximaler absoluten Fehler

41.212 cm





'Aab a0  b0  J 0

'Arel  'Arel

Wert für die Fläche

6839.257 cm





relativer Fehler

A a0  b0  J 0

Wert für den relativen Fehler in Prozent

0.603 %

Beispiel 10.17: Minimum und Maximum einer Flächenfunktion: ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

f ( x  y)  sin ( x ˜ y)  cos ( x ˜ y)  x  1

gegebene Flächenfunktion

2

2

x y d1 n  30 Xi  j 

j n



Definitionsbereich i  0  n

j  0  n

§ 2S · © n¹

Yi  j 

˜ cos ¨ i ˜

Zi  j  f X i  j  Y i  j



j n

Bereichsvariablen

§ 2S · © n¹

˜ sin ¨ i ˜

X und Y-Werte als Matrizen definiert

Z-Werte in Matrixform

Seite 178

Ableitungen von Funktionen

Zwei Flächendiagramme

Abb. 10.16

( X  Y  Z)  ( X  Y  Z ˜ 0)

Zu finden ist ein globales Maximum und ein globales Minimum, falls sie existieren, mithilfe der partiellen Ableitungen (siehe Bsp. 10.18) oder mithilfe der Funktionen "Maximieren" und "Minimieren". Es scheint nach der graphischen Darstellung, dass der höchste Punkt bei x = 1 und y = 0 und der niedrigste bei x = -1 und y = 0 liegt. x 1

y 0

Startwerte

Vorgabe 2

2

x y d1

Bedingung (Definitionsbereich)

§¨ xmax ·  Maximieren ( f  x  y) ¨y © max ¹



§¨ xmax · ¨y © max ¹

§ 0.918 · ¨ © 0.396 ¹

z max  f xmax  ymax



x  1

y 0

Startwerte

2

Bedingung (Definitionsbereich)

z max

3.209

 xmax

ymax z max



( 0.918 0.396 3.209 )

Vorgabe 2

x y d1

§¨ xmin ·  Minimieren ( f  x  y) ¨y © min ¹



z min  f xmin  ymin



§¨ xmin · ¨y © min ¹ z min

0.618

§ 0.839 · ¨ © 0.545 ¹

 xmin

ymin z min

Seite 179



( 0.839 0.545 0.618 )

Ableitungen von Funktionen

Beispiel 10.18: Maximum und Minimum einer Flächenfunktion: x x

y y

Redefinitionen 2

g ( x  y) 

5  ( x  2)  ( y  4)

2

gegebene Flächenfunktion

Notwendige Bedingungen: x0 

w wx

g ( x  y) = 0 auflösen  x o 2





z 0  g x0  y0

z0

y0 

w wy

g ( x  y) = 0 auflösen  y o 4

2.236

Hinreichende Bedingungen: ' ( x  y) 

2

d

2

2

d

g ( x  y) ˜

2

dx

H

 x0

dy

2

d

z xx ( x  y) 

g ( x  y) 

2



§d d · g ( x  y) ¨ © dx dy ¹



g ( x  y)

z xx x0  y0



H

dx

y0 z 0

2

0.447

( 2 4 2.236 )





' x0  y0

ist größer null

0.2

' x0  y0 ! 0

1

Es liegt ein absolutes Maximum vor! Hochpunkt

Beispiel 10.19: Gradientenfeld einer skalaren Funktion f(x,y): ORIGIN  0 z ( x  y) 

ORIGIN festlegen 2

2

2˜ x  2˜ y

Definition einer skalaren Funktion f(x,y), die eine radialsymmetrische Schwingung darstellt

f ( x  y)  sin ( z ( x  y) ) n  41

Anzahl der x- und y-Werte

i  0  n  1

j  0  n  1

xmin  2 ˜ S

xmax  2 ˜ S

ymin  2 ˜ S

ymax  2 ˜ S



i xi  xmin  ˜ xmax  xmin n 1 j



Bereichsvariablen i und j

minimale und maximale x- und y-Werte



y j  ymin  ˜ ymax  ymin n1

Koordinatenvektoren x und y

Seite 180

Ableitungen von Funktionen

§w · ¨ f ( x  y) ¨ wx ¸ ’ ( f  x  y)  ¨w ¸ ¨ f ( x  y) © wy ¹



Gradi  j  ’ f  xi  y j

fx  i j

Gradi  j 0 

Zi  j  f xi  y j

Der Gradient einer skalaren Funktion ist ein Vektorfeld. Die Vektoren zeigen immer in die Richtung der größten Änderung von f.



Gradientenmatrix

fy  i j

Gradi  j 1



Die Komponenten fx und fy des Gradientenfeldes müssen in Form von Matrizen vorliegen!

Z-Wertematrix für die Flächendarstellung

fx  fy

Z Abb. 10.17

Abb. 10.18

Seite 181

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

11. Bestimmtes- und unbestimmtes Integral Symbolleiste Differential/Integral:

Abb. 11.1

Unbestimmtes Integral:

Tasten: <Strg> + < i >

Bestimmtes Integral:

Taste: < & >

Mehrfachintegrale (hintereinander eingeben):

Auswertungsmöglichkeiten: 1. Variable mit Cursor ( | ) markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Variable-Integrieren wählen. 2. Integral mit der Auswahlbox markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Auswerten-Symbolisch wählen. 3. Symboloperator " o " und Schlüsselwörter (Abb. 11.2). 4. Numerische Auswertung mit dem "=" Operator.

Abb. 11.2

Beim Integrieren sind folgende Regeln zu beachten: 1. Die Integrationsgrenzen müssen reell sein. Der Integrand kann reell oder komplex sein (bei unendlichen Integrationsgrenzen muss er reell sein ! ). 2. Falls die Integrationsvariable Einheiten enthält, müssen auch die Grenzen Einheiten besitzen. 3. Falls im Integranden Singularitäten oder Unstetigkeiten auftreten, kann es zu Schwierigkeiten kommen und die Lösung unbrauchbar sein ( Integrationsmethode wählen - mit der rechten Maustaste auf den Integranden- Kontextmenü Abb. 11.3 ). 4. Im Integranden können auch Bereichsvariable eingesetzt werden. 5. Beim Auswerten eines bestimmten Integrals versucht der symbolische Prozessor ein unbestimmtes Integral für den Integranden zu finden, bevor er die Grenzen einsetzt. Wenn die Näherungen nicht konvergieren, so liefert Mathcad eine Fehlermeldung. 6. Der numerische Integrationsalgorithmus nimmt Bezug auf eine vordefinierte Variable TOL. Diese kann, wie bereits besprochen, geändert werden. 7. Mathcad verfügt auch bei der numerischen Integration über eine AutoSelect-Eigenschaft (Automatische Auswahl). Wünscht man ein bestimmtes Verfahren zur numerischen Integration, so können aus einem Kontextmenü (siehe Abb. 11.3), welches sich nach dem Anklicken des Integrals mit der rechten Maustaste öffnet, verschiedene Verfahren ausgewählt werden.

Seite 182

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Romberg (ist kein Teil der Autom. Auswahl): Standard-Romberg Integrationsmethode (das Integrationsintervall wird in gleich große Teile zerlegt - Trapez Näherung). Adaptiv: Adaptiver Quadratalgorithmus (wenn der Integrand im Integrationsintervall wesentliche Größenunterschiede aufweist). Unendlich an der Integrationsgrenze: Algorithmus für eine unzulässige Integralauswertung, falls eine der Integrationsgrenzen unendlich ist. Singularität an der Integrationsgrenze: Dieses Verfahren benützt nicht die Intervallrandpunkte, wenn der Integrand an einer dieser Grenzen nicht definiert ist. Weist das Integral z.B. Singularitäten oder Unstetigkeiten auf, kann das Ergebnis möglicherweise ungenau sein ! Abb. 11.3 8. Bei der symbolischen Auswertung von Integralen wird keine Integrationskonstante ausgegeben. 9. Mathcad kann auch komplexe Kurvenintegrale auswerten. Dabei ist für die Kurve eine Parameterdarstellung zu verwenden. Ist der Parameter keine Bogenlänge, so muss auch die Ableitung der Parametrisierung als Korrekturfaktor im Integranden angegeben werden. 10. Es können auch Mehrfachintegrale ausgewertet werden. 11.1 Einfache Integrale Ist eine Funktion f: D = [a,b], y = f(x) stetig, so ist die Funktion f in D integrierbar ("wiederherstellbar"). x

´ Die Funktion F mit F(x) = µ f ( t) dt heißt Integralfunktion von f. ¶ a

Jede Funktion F(x), für die F'(x) = f(x) gilt, heißt Stammfunktion von f(x). ´ Stellt x einen bestimmten Wert b dar, so heißt µ ¶

b

f ( x) dx bestimmtes Integral.

a

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Ist F:[a,b] ------------>  eine beliebige Stammfunktion der stetigen Funktion f:[a,b] ------->  , x |------------> F(x) x |---------> f(x) dann ist F differenzierbar mit F'(x) = f(x) und es gilt: ´ µ ¶

b

f ( x) dx = F ( b)  F ( a) . Der Wert eines bestimmten Integrals ist von der Stammfunktion

a

unabhängig ; er errechnet sich als Differenz des Stammfunktionswertes der oberen und der unteren Grenze. Bemerkung: Die Integralfunktion F ist diejenige Stammfunktion, für die gilt: F(a) = 0.

Seite 183

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

11.1.1 Symbolische Integration Beispiel 11.1: Variable mit Cursor ( | ) markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Variable-Integrieren wählen: 3

1 4 ˜x 4

durch Integration, ergibt

x

2

c ˜x

durch Integration, ergibt

sin ( Z ˜ t)

durch Integration, ergibt

1 3

Z.B. auch mit + SVI. Alt-Taste halten und nacheinander die Tasten S,V und I drücken.

3

˜c ˜x

cos ( Z ˜ t) Z

Beispiel 11.2: Integral mit der Auswahlbox markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Auswerten-Symbolisch wählen: ´ µ µ ¶

x dx

´ µ µ ¶

c ˜ x dx

´ µ µ ¶

e ˜ cos ( x) dx

3

ergibt

2

ergibt

x

ergibt

x

´ µ sin ( Z ˜ t) dt ¶

ergibt

1 4 ˜x 4 1 3 1 2

3

˜c ˜x

˜ exp ( x) ˜ cos ( x) 

cos ( x ˜ Z ) Z

0

´ µ ¶

b

´ µ ¶

r

3

ergibt

x dx

a

2

2

S˜ r  x

dx

r

ergibt

Z.B. auch mit + SUS. Alt-Taste halten und nacheinander die Tasten S,U und S drücken.

1 4

4

˜b 

1 4



1 2

˜ exp ( x) ˜ sin ( x)

1 Z

4

˜a

4 3 ˜r ˜S 3

Beispiel 11.3: Auswertung mit dem Symboloperator: x

f ( x)  e ˜ cos ( x) ´ µ µ ¶

f ( x) dx o

1 2

˜ exp ( x) ˜ cos ( x) 

Funktionsdefinition

1 2

˜ exp ( x) ˜ sin ( x)

Seite 184

Auswertung ohne Integrationskonstante

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

´ µ µ ¶

F ( x  C) 

f ( x) dx  C o

1 2

˜ exp ( x) ˜ cos ( x) 

1 2

˜ exp ( x) ˜ sin ( x)  C

Auswertung mit hinzugefügter Integrationskonstante C

Stammfunktionen

2000 F( x  50) F( x  200)

Quickplot mit eingegrenzten Koordinatenachsen

1000

F( x  500) 0

2

4

6

8

10

Abb. 11.4

1000 x x

´ F ( x)  µ sin ( 2 ˜ t ) dt ¶

2

F ( x) o cos ( x)  1

Integralfunktion

0

Integralfunktion

1

S 2

sin( 2 ˜ t1)

§S· ©2¹

0.5

F¨

Quickplot mit eingegrenzten Koordinatenachsen

1

Abb. 11.5 0

0.5

1

1.5

t1

´ F ( a  b)  µ ¶

b

2

sin ( 2 ˜ x) dx o cos ( b)  cos ( a)

2

Bestimmtes Integral

a

Bestimmtes Integral

1

S sin( 2 ˜ x)

2

§ ©

0.5

F¨0 

0

S·

1

2¹

0.5

1 x

Seite 185

1.5

Quickplot mit eingegrenzten Koordinatenachsen

Abb. 11.6

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Beispiel 11.4: Integrale, mit Integranden der Form f( a x + b ), können mittels Substitution gelöst werden: ´ µ f ( a ˜ x  b) dx = µ µ ¶

´ µ µ ¶

f ( u)

Substitution: u = a x + b du = a dx

du

a

3

2˜x  2

durch Integration, ergibt

3 ˜ x b

3 ˜ x b

e

´ µ µ ¶

3 1

durch Integration, ergibt

e

´ µ µ ¶

1

3 ˜ x b1

e

1

ergibt

dx

dx o

1 3

3

3

˜ ( 2 ˜ x  2)

2

3 ˜ x b

˜e

3 ˜ x b

˜e

´ µ µ µ ¶

˜ exp ( 3 ˜ x  b1 )

u

e

3

vereinfachen du

1 o ˜ exp ( 3 ˜ x  b1 ) ersetzen  u = 3 ˜ x  b1 3

Integrale, mit Integranden der Form f( u(x) ) u '(x), können mittels Substitution gelöst werden: ´ µ µ µ ¶

f ( u ( x) ) ˜

d

u ( x) dx =

dx

4

sin ( x) ˜ cos ( x)

´ µ µ ¶

sin ( x) ˜ cos ( x) dx

´ µ µ ¶

sin ( x) ˜ cos ( x) dx o

4

´ µ µ µ ¶ ´ µ µ µ ¶

1

ergibt

4

1 5

˜ sin ( x)

5

ln ( x) x

ln ( x) x

dx

dx o

1

ergibt

1 2

˜ ln ( x)

2

˜ sin ( x)

5

˜ sin ( x)

5

5

5

1

durch Integration, ergibt

x

1

durch Integration, ergibt

´ µ µ ¶

ln ( x)

Substitution: u(x) = sin(x) du = cos(x) dx

f ( u ( x ( x) ) ) du

˜ ln ( x)

2

˜ ln ( x)

2

2

2

Seite 186

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Integrale, die durch partielle Integration gelöst werden können: ´ µ µ ¶

f ( x) ˜ g ( x) dx = u ˜ v 

x

2

x ˜e ´ µ µ ¶

x

2

x ˜e

´ µ µ ¶

u = f(x) du = f(x) dx dv = g(x) dx

v du

2

x

2

x

durch Integration, ergibt

x ˜ e

ergibt

x ˜ e

dx

x

 2 ˜ x˜ e

x

 2 ˜ x˜ e

x

 2˜e

x

 2˜e

Integrale, die durch Partialbruchzerlegung gelöst werden können: 3

x

durch Integration, ergibt

2

x 1 ´ µ µ µ µ ¶

3

x 2

1 2 1 1 ˜ x  ˜ ln ( 1  x)  ˜ ln ( 1  x) 2 2 2

ergibt

dx

1 2 1 1 ˜ x  ˜ ln ( 1  x)  ˜ ln ( 1  x) 2 2 2

x 1 4

x 1 3

durch Integration, ergibt

2

x

1 2 1 1 3 ˜ x  ˜ ln ( 1  x)   ˜ ln ( 1  x) 2 2 1  x 2

x

1 2 1 1 3 ˜ x  ˜ ln ( 1  x)   ˜ ln ( 1  x) 2 2 1  x 2

x  x  x 1 ´ µ µ µ µ ¶

4

x 1 3

dx

2

ergibt

x  x  x 1 1

durch Integration, ergibt

2

ln ( 1  x)  ln ( 2  x)

x  3˜x  2 ´ µ µ µ ¶

1 2

dx

ln ( 1  x)  ln ( 2  x)

ergibt

x  3˜x  2

Beispiel 11.5: Ableitungen von Integralen: x

d ´ µ sin ( Z ˜ t) dt dx ¶

ergibt

sin ( x ˜ Z )

ergibt

2 ˜ sin x ˜ Z ˜ x

0

2

´x d µ sin ( Z ˜ t) dt dx ¶

2

0

Seite 187

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Beispiel 11.6: Summen von Integralen: 4

¦

n

¦

ergibt

cos ( x) 

ergibt

exp ( t ) 

25

t

´ k˜ x µ e dx ¶ 0

1



12

0

1

3

k

x

´ µ sin ( n ˜ t ) dt ¶

11 6



1 2

1 2

˜ cos ( 2 ˜ x) 

˜ exp ( 2 ˜ t ) 

1 3

1 3

˜ cos ( 3 ˜ x) 

1 4

˜ cos ( 4 ˜ x)

˜ exp ( 3 ˜ t )

Beispiel 11.7: Berechnung des Umfangs eines Kreises: 2

y ( x  r) 

2

r x

´ µ u = 4˜µ µ ¶

kartesische Darstellung der Funktionsgleichung (oberer Halbkreis)

r 2

1

§d · ¨ y( x  r) dx © dx ¹

annehmen  r ! 0 o u = 2˜r˜S vereinfachen

0

x ( M  r)  r ˜ cos ( M ) Parameterdarstellung des Kreises y ( M  r)  r ˜ sin ( M ) S

´2 µ u = 4˜µ µ ¶

2

2

§d · §d · ¨ x ( M  r)  ¨ y( M  r) dM © dM ¹ © dM ¹

annehmen  r ! 0 o u = 2˜r˜S vereinfachen

0

r1 ( M  r)  r

Polarkoordinatengleichung

S

´2 µ u = 4˜µ µ ¶

2

§d · r1 ( M  r)  ¨ r1 ( M  r) dM © dM ¹ 2

annehmen  r ! 0 o u = 2˜r˜S vereinfachen

0

Beispiel 11.8: Berechnung der Kreisfläche: 2

y ( x  r) 

2

r x

kartesische Darstellung der Funktionsgleichung (oberer Halbkreis)

r

´ 2 A = 4 ˜ µ y ( x  r) dx vereinfachen o A = r ˜ S ¶ 0

x ( M  r)  r ˜ cos ( M ) Parameterdarstellung des Kreises y ( M  r)  r ˜ sin ( M )

Seite 188

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

0

´ d 2 µ A = 4˜ y ( M  r) ˜ x ( M  r) dM vereinfachen o A = r ˜ S µ dM µ ¶S 2

Sektorfläche von Leibnitz: ´ 1 A = ˜µ 2 µ ¶

2S

§ · d d ¨ x ( M  r) ˜ y ( M  r)  y( M  r) ˜ x( M  r) dM dM dM © ¹

annehmen  r ! 0 2 o A = r ˜S vereinfachen

0

r1 ( M  r)  r 1 ´ A = ˜µ 2 ¶

Polarkoordinatengleichung

2˜ S

2

2

r1 ( M  r) dM o A = r ˜ S

0

Beispiel 11.9: Berechnung des Kugelvolumens: Volumen aus der Querschnittsfläche: ´ V=µ ¶

b

´ A ( x) dx = S ˜ µ ¶

a

2

b 2

y dx

a

2

2

y =r x ´ V = S ˜µ ¶

r

Kreisgleichung

r2  x2 dx vereinfachen

r

oV=

4 3

3

˜S ˜r

Volumen eines um die x-Achse rotierenden Drehkörpers: ´ V ( a  b) = S ˜ µ ¶

b 2

f ( x) dx

a

y ( x  r) 

2

2

r x

´ V ( r  h)  S ˜ µ ¶

kartesische Darstellung der Funktionsgleichung (oberer Halbkreis)

r

r

2

y ( x  r) dx o

4 3

3

˜S ˜r

Seite 189

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Beispiel 11.10: Schwerpunktsberechnung eines Rotationskörpers: ´ S ˜µ ¶ xs ( a  b) =

b

´ µ ¶

2

x ˜ f ( x) dx

a

´ S ˜µ ¶

=

b 2

b

x dV

a

V ( a  b)

x-Koordinate des Schwerpunktes eines Rotationskörpers

f ( x) dx

a

Drehkegel mit Radius r und Höhe h:

r h

=

y x

ähnliche Dreiecke

Abb. 11.7

º ª´ h 2 » «µ x § · x» d S ˜ « µ x˜ ¨ r ˜ µ © h¹ «¶ » 0 ¬ ¼ o 3 ˜h xs ( h)  ´ µ S ˜µ µ ¶

h

4

2

Der Schwerpunkt ist h/4 von der Grundfläche des Kegels entfernt.

§r˜ dx ¨ © h¹ x·

0

Beispiel 11.11: Durchschnittliche Leistung eines Wechselstroms (Mittelwertsatz):

P=

1 ´ ˜µ T ¶

T

p ( t ) dt =

0

1 ´ ˜µ T ¶

T

u ( t ) ˜ i ( t ) dt

Z = 2˜S ˜f =

0

p = u ˜ i = Umax ˜ sin ( Z ˜ t) ˜ I max ˜ sin ( Z ˜ t  M )

2˜S T

zeitabhängige Leistung

2˜ S

´ Z µ 1 P= ˜µ Umax ˜ sin ( Z ˜ t) ˜ I max ˜ sin ( Z ˜ t  M ) dt vereinfachen o P = ˜ Umax ˜ Imax ˜ cos ( M ) 2˜ S ¶ 2 1

Z

P=

1 2

0

˜ Umax ˜ I max ˜ cos ( M )

ersetzen  Umax = Ueff ˜ 2 o P = Ueff ˜ Ieff ˜ cos ( M ) ersetzen  I max = Ieff ˜ 2

Seite 190

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Beispiel 11.12: Effektivwert eines Wechselstromes (quadratischer Mittelwert): 1 ´ ˜µ T ¶

Ieff =

T 2

2˜S

Z = 2˜S ˜f =

i ( t ) dt

T

0

I max

i ( t) =

2

Ieff =

˜ cos ( 2 ˜ Z ˜ t)

´ µ 1 ˜µ T µ ¶

T

´ µ 1 ˜µ T µ ¶

T

gegebener Wechselstrom

1

2

1

§ Imax § 2 ˜ S ˜ t · · dt o I = 1 ˜ 8 2 ˜ § I 2 · 2 ¨ ˜ cos ¨ 2 ˜ eff © max ¹ 8 © 2 © T ¹¹

0

oder:

Ieff =

2

§ Imax

§ 2 ˜ S ˜ t · · dt ¨ ˜ cos ¨ 2 ˜ © 2 © T ¹¹

1

annehmen  I max ! 0 1 2 o Ieff = ˜ 2 ˜ Imax 4 vereinfachen

0

11.1.2 Numerische Integration Beispiel 11.13: Genauigkeit der numerischen Integralauswertung: ´e µ µ ¶

5

1 t

ergibt

dt

5

symbolisch exakte Lösung

1

´e µ µ ¶

5

1 t

dt

5.000000000068 numerische Auswertung (voreingestellte Standard Toleranz TOL = 10

1

Größere Toleranz: ´e µ µ ¶

TOL  0.1

5

1 t

dt

5.000000054378

1

Kleinere Toleranz: ´e µ µ ¶

TOL  10

5

5

1 t

dt

5

1

Seite 191

-3)

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Beispiel 11.14: Symbolische und numerische Integralauswertung: 1

´2 µ 1 § 1· dx o atan ¨ µ 2 © 2¹ µ 1 x ¶ 0

´ µ µ µ ¶

0.5

1 2

dx o .46364760900080611621

1 x

0

1

´2 µ 1 dx I µ µ 1  x2 ¶

§ 1· © 2¹

I o atan ¨

I

0.463647609

0

Beispiel 11.15: Integralauswertung mit verschiedenen Methoden: ´ µ ¶

1

´ µ ¶

2˜ S

3

x dx

Automatische Auswahl und Adaptive Methode (Auswahl mit rechter Maustaste auf das Integral)

0.25

0 4

sin ( 1000 ˜ M ) dM

2.356

0

Romberg Methode (Auswahl mit rechter Maustaste auf das Integral)

Beispiel 11.16: Integralfunktion: x

´ t A ( x)  µ e dt ¶

A ( 2)

0.233

A ( 2) gleit  15 o .232544157934829

1

Integralfunktion und Matrixauswertung: t

´ x f ( t )  µ e dx ¶

f ( t) o exp ( t )  1

0

 o §§ 1 3 ·· f ¨¨ 2

2

¨¨ ©© 1 2 ¹¹

§ 0.393 0.777 · ¨ © 0.632 0.865 ¹

Auswertung mit dem Vektorisierungsoperator

Beispiel 11.17: Integralauswertung mit Einheiten: v( t)  g ˜ t ´ s1  µ ¶

Funktionsdefinition (g ist in Mathcad bereits vordefiniert)

2˜ s

0˜ s

v ( t ) dt

s1

19.613 m

Seite 192

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Beispiel 11.18: Integralauswertung für verschiedene Integrationsgrenzen: ORIGIN  1 x

i  1  3

f ( x)  e

Bereichsvariable für obere Integrationsgrenze und Funktionsdefinition

§¨ 1.718 · A ¨ 6.389 ¸ ¨ 19.086 © ¹

i

´ Ai  µ f ( x) dx ¶ 0

Beispiel 11.19: Integralauswertung für verschiedene Potenzen im Integranden: n  1  3 ´ In  µ ¶

Bereichsvariable

I

§¨ 0.636 · ¨ 0.325 ¸ ¨ 0.179 © ¹

I

§¨ 1 · ¨ 0.785 ¸ ¨ 0.667 © ¹

2 n

x ˜ ln ( x) dx

1 S

´2 µ n In  µ sin ( x) dx ¶ 0

11.2 Uneigentliche Integrale Das bestimmte Integral heißt uneigentliches Integral, wenn mindestens eine der Integrationsgrenzen unendlich ist oder der Integrand f(x) im Intervall [a , b] nicht beschränkt ist, d.h. eine oder mehrere Polstellen hat.

Beispiel 11.20: Integralauswertung symbolisch und numerisch ( Auswahl mit rechter Maustaste auf das Integral-Unendlich an der Integrationsgrenze): Standard Toleranz: ´ µ µ µ ¶

f

sin ( x)

TOL  10

3

6

dx

5

x

ergibt

2 ˜ ln ( 2) 

27 16

˜ ln ( 3)

0.467613876008

0

´ µ µ µ ¶

f

sin ( x)

6

dx

5

0.467582751776

x

0

´ µ µ µ ¶

f

sin ( x) 5

6

dx gleit  30 o .46761387600754448539501209438

x

0

Seite 193

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

´ µ ¶

f

´ µ µ ¶

f

x

ergibt

dx

e

1

0

x

2

Gleitkommaauswertung ergibt

dx

e

.88622692545275801365

0

´ µ µ µ ¶

f

1

dx o ln ( 2)

x

1e

0

Fehler! Die größtmögliche Zahl wird überschritten. Daher keine numerische Auswertung möglich.

´ µ µ ¶

f

1 x

dx o f

1

´ µ µ µ ¶

f

1 2

´ µ µ µ ¶

dx o 1

x

1

f

1 2

dx

1

x

1

Beispiel 11.21: Integralauswertung mit Symboloperator und symbolischen Operatoren: ´ µ ¶

f

´ µ ¶

f

´ µ ¶

f

x

e

dx o 1

0

´ µ ¶

f

´ µ µ ¶

f

´ µ ¶

f

x

a dx annehmen  a = RealRange ( 0  1) o

0

 a˜ t

e

dt annehmen  a ! 0 o

0

 b˜ t

e

dt o

lim tof

0

b 3

´ µ ¶

f

0

 b˜ t

e

1 a

§ 1 ˜ exp ( b ˜ t)  1 · ¨ b¹ ©b

dt o

2

 a ˜t

e

dt annehmen  a = reell o

0

1 2

a a˜(  b) ˜ t

e

0

1 3

Seite 194

dt annehmen  a  0  b  0 o

1 a˜b

1 ln ( a)

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Beispiel 11.22: Integralauswertung mit spezieller Methode: ´ µ µ µ ¶

f

1

dx

3.708

4

x 1

Unendlich an der Integrationsgrenze (Auswahl mit rechter Maustaste auf das Integral)

f

17

x

10 ´ µ µ 1 ˜µ 2˜S ¶

x

2

t

e

2

dt gleit  25 o .9554345372414569605125675

f

´ µ µ µ ¶

f

1 cosh ( x)

dx o 2

2

Unendlich an der Integrationsgrenze (Auswahl mit rechter Maustaste auf das Integral)

f

Beispiel 11.23: Singularität an der Integrantionsgrenze (symbolische Auswertung): ´ µ µ µ ¶

1

1

ergibt

dx 2

1x

1 2

˜S

0

´ µ lim µ Ho1 µ ¶

H

1

dx

ergibt

2

1x

1 2

˜S

0

Beispiel 11.24: Integralauswertung mit spezieller Methode: ´ µ ¶

3

´ µ µ µ µ ¶

4

sin ( ln ( t ) ) dt

Singularität an der Integrationsgrenze (Auswahl mit rechter Maustaste auf das Integral)

0.654

0

2

1 1

( x  1)

dx o

3 2

˜3

3

Singularität an der Integrationsgrenze (Auswahl mit rechter Maustaste auf das Integral)

3

1

Seite 195

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

11.3 Linien- oder Kurvenintegrale Gegeben sei eine Raumkurve in Parameterform x =x(t), y = y(t) und z = z(t). Die Kurve wird häufig auch durch den Ortsvektor (Kurvenvektor) r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k dargestellt. i, j und k sind die RaumEinheitsvektoren. Zur Darstellung von Feldern (Kraftfelder, Geschwindigkeitsfelder, Strömungsfelder usw.) werden ebenfalls Vektoren verwendet. So wird jedem Punkt P(x,y,z) ein Vektor zugeordenet, der die in diesem Punkte vorliegende Feldgröße (z.B. die Kraft) symbolisch darstellt. Diese von Ort zu Ort veränderlichen Feldvektoren, die ein stationäres (zeitunabhängiges) räumliches Feld beschreiben, legen wir folgendermaßen fest: F(x,y,z) = F1 (x,y,z) i + F2 (x,y,z) j + F3 (x,y,z) k. Wir betrachten ein Kraftfeld F(x,y,z), in dem sich unter dem Einfluss des Feldes ein Massenpunkt längs der Raumkurve mit dem Ortsvektor r(t) bewegt. Um die von dem Feld am Massenpunkt verrichtete Arbeit zu berechnen, greift man auf der Kurve den beliebigen Punkt P(x,y,z) heraus. Die Kraft ist dort F. Das zu diesem Punkt gehörige Arbeitsdifferential erhält man, indem man die in Kurvenrichtung liegende Tangentialkomponente von F mit dem Wegdifferential ds = | dr | multipliziert, also dW = | F | | dr | cos(D). Das ist das skalare Produkt der Vektoren F und dr. Die Arbeit zwischen zwei Punkten P 1 und P2 längs einer Raumkurve ist dann P

´ 2 W=µ F dr . ¶P 1

Weil aber das Integral längs einer Raumkurve gebildet werden soll, ist die Parameterdarstellung einzusetzen: t

´2 µ µ µ t2 ´ µ d W = µ F ˜ r ( t ) dt = µ µ dt µ ¶t 1 µ µ µ ¶t

§d · ¨ x( t) dt ¸ § F1 ( x ( t )  y ( t )  z ( t ) ) · ¨ ¨d ¸ ¨ ¨ F2 ( x ( t )  y ( t )  z ( t ) ) ¸ ˜ ¨ y ( t ) ¸ d t . ¸ ¨ ( x ( t )  y ( t )  z ( t ) ) ¨ dt © F2 ¹ ¨d ¸ ¨ z ( t) © dt ¹

1

Wir nennen dieses Integral Linien- oder Kurvenintegral. Dieses Arbeitsintegral gibt stets die vom Kraftfeld verrichtete Arbeit an. Für ein Kraftfeld in der Ebene F(x,y) entfällt die z-Komponente im Arbeitsintegral.

Beispiel 11.25: Ein Körper der Masse m werde längs einer Windung der Schraubenlinie r(t) = cos(t) i + sin(t) j + h/2S t k um h im Kraftfeld der Erde gehoben. Welche Arbeit ist aufzuwenden, wenn die z-Achse vom Erdmittelpunkt weg zeigt ?

§¨ 0 · F=¨ 0 ¸ ¨ m ˜ g © ¹ § cos ( t) · ¨ sin ( t ) ¸ r ( t) = ¨ ¨ h ¸ ˜t ¨ © 2˜S ¹

Kraftfeld für den gesamten Bereich der Spirale

§ sin ( t) · ¨ cos ( t) ¸ d r ( t) = ¨ ¨ h ¸ dt ¨ © 2˜S ¹

Ortsvektor und dessen Ableitung

Seite 196

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

´ µ µ W=µ µ µ µ ¶

2˜ S

§ sin ( t) · §¨ 0 · ¨ cos ( t) ¸ dt o W = m ˜ g ˜ h ¨ 0 ¸ ˜¨ ¸ ¨ h ¨ m ˜ g © ¹¨ © 2˜S ¹

Die vom Kraftfeld verrichtete Arbeit!

0

Beispiel 11.26: Um eine elastische Schraubenfeder der Länge 25 cm um 0.5 cm zu dehnen, wird eine Kraft von 100 N benötigt. Welche Arbeit ist notwendig, um die Feder von 27 cm auf 30 cm dehnen ? Unter der Annahme des Hookschen Gesetzes gilt: F ( s) = k ˜ s

F ( 0.5 ˜ cm) = k ˜ 0.5cm = 100 ˜ N

Daraus folgt:

k = 200 ˜

Das Arbeitsintegral vereinfacht sich zu: s

´ W µ µ ¶

´ 2 W = µ Fs ( s ) ds ¶s 1

5 ˜ cm

200 ˜

N cm

˜ s ds

W

21 J

2˜ cm

Beispiel 11.27: Es soll ein komplexes Kurvenintegral (Integration über einen Halbkreis) gelöst werden: t1  0

t2  S

x ( t )  cos ( t)

Intervallrandpunkte y ( t )  sin ( t)

z ( t)  x ( t)  j ˜ y ( t) F ( z) 

Parameterdarstellung eines Kreises zeitabhängige komplexe Ortskurve

1

komplexe Funktion

z

t

´2 µ F ( z ( t ) ) ˜ d z ( t ) dt µ dt ¶t

3.142j

1

t  t1  t1  0.001  t2

Bereichsvariable Halbkreis

1

y( t)

0.5

0

Abb. 11.8

1

0.5

0

0.5

1

x( t)

Seite 197

N cm

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

11.4 Mehrfachintegrale Wegen der sehr umfangreichen Theorie für Mehrfachintegrale werden hier nur einige Beispiele behandelt. Beispiel 11.28: Wie groß ist der Flächeninhalt der Fläche, die von den Kurven y = 2 x und y = x 2 sowie x = 1 eingeschlossen wird ? x  1  1  0.01  2

Bereichsvariable

f ( x)  2 ˜ x Begrenzungskurven

2

g ( x)  x

4 3 f( x) 2

´ A1 = µ µ ¶

g ( x)

A1

1

§0 · ¨ ©4 ¹

1

0

1

0

1

´ µ ¶

2x

x

1 dy dx o A 1 = 2

2 3

Maßzahl der Fläche

2

1 2

§1 · ©1 ¹

Abb. 11.9

x x ¨

Beispiel 11.29: Wie groß ist der Flächeninhalt der Kreisfläche mit Radius r ? 2

2

r r x ´ ´ 2 A1 = 4 ˜ µ µ 1 dy dx o A 1 = r ˜ S ¶ ¶ 0

0

Oder in Polarkoordinaten: ´ A1 = µ ¶

2˜ S

r

´ 2 µ U dU dM o A 1 = r ˜ S ¶ 0

0

Beispiel 11.30: Über der durch die Gleichung x 2 + y2 = 16 gegebenen Kreis der x-y-Ebene steht ein gerader Zylinder. Er wird durch die Ebene z = f(x,y) = x + y + 2 schief abgeschnitten. Wie groß ist das Volumen zwischen den Ebenen z = 0 und z = x + y + 2 ? ´ V1 = µ ¶

4 ´ 16 x

0

µ ¶

0

2

( x  y  2) dy dx o V1 =

128 3

 8˜S

Seite 198

Maßzahl des Volumens

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Beispiel 11.31: Masse und Massenmittelpunkt eines dreieckförmigen dünnen Körpers: a  0˜m

b  1˜m

c1  0 ˜ m

d1  1 ˜ m

Grenzen des Dreiecks im Bereich a < x < b und c1 < y < d1

c ( x)  0 ˜ m

Ankathete

d ( x)  x

Hypothenuse

ba

'x 

Schrittweite

100

x  a  a  'x  b

y  c ( b)  c ( b)  'x  d ( b)

Bereichsvariablen

1

c( x) d ( x)

Abb. 11.10

y 0

0.5

0

0.5

1

1.5

x x b

2 kg 3

2

U ( x  y) 

x y ˜

die Dichtefunktion U(x,y) des dreieckförmigen Körpers

m

´ mD  µ ¶

b

a

xm 

´ µ ¶

d1

U ( x  y) dy dx

mD

0.765 kg

Masse

c1

´ ˜µ mD ¶ 1

b

a

´ µ ¶

d1

x ˜ U ( x  y) dy dx

c1

Koordinaten des Massenmittelpunktes ym 

´ ˜µ mD ¶ 1

b

a

M

§ xm · ¨ © ym ¹

´ µ ¶

d1

y ˜ U ( x  y) dy dx

c1

M

§ 0.574 · m ¨ © 0.574 ¹

Seite 199

Massenmittelpunkt

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Beispiel 11.32: 2

2

2

Oberfläche einer Funktion über einem Kreis ( x  y d r ): 2

2

Flächenfunktion

j  1  2  20

Bereichsvariablen

f ( x  y)  4  x  y i  1  2  20

§ i  10  j  10 · 5 ¹ © 5

zi  j  f ¨

Matrix der Funktionswerte

Abb. 11.11

zz r 2

Radius des kreisförmigen Integralbereichs

´ µ Ao  µ µ µ ¶

r

r

2

´ r x µ µ µ µ ¶ 2 

2

2

1

r x

2

§d · §d · ¨ f ( x  y)  ¨ f ( x  y) dy dx © dx ¹ © dy ¹

Ao

36.177

Maßzahl der Oberfläche

2

Mit ebenen Polarkoordinaten (x = U cos(M); y = U sin(M)) und symbolischer Auswertung folgt:

´ µ ¶

2˜ S

0

3

´ µ ¶

r 2

1  4 ˜ U ˜ U dU dM

0

ergibt

1 6



2

˜S ˜ 1  4˜r



2



1 6

˜S

3

1 6



2

˜S ˜ 1  4˜r



2



1 6

˜S

36.177

Maßzahl der Oberfläche

Seite 200

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Beispiel 11.33: Symbolische Optimierung: Normalerweise kommunizieren die numerischen und symbolischen Prozessoren von Mathcad nicht miteinander. Man kann jedoch über Menü-Extras-Optimieren veranlassen, dass bei einer numerischen Auswertung der symbolische Prozessor zur Hilfestellung angefordert wird, bevor eine Auswertung vorgenommen wird. Dabei wird der Bereich der Auswertung mit einem Stern markiert. Wenn eine einfachere Form des eingegebenen Ausdrucks gefunden wird, wird der äquivalente einfachere Ausdruck ausgewertet. Wird ein solcher Ausdruck gefunden, so wird er mit einem roten Stern markiert, der mit einem Doppelklick (oder Klick der rechten Maustaste auf den auszuwertenden Ausdruck - Optimierung anzeigen) angezeigt wird. Die Optimierung kann im gleichen Menü oder im Menü-Extras wieder entfernt werden. u 2

v 2

w 2

gewählte Grenzen

Symbolische und numerische Auswertung: ´ µ µ µ ¶

u

0

´ µ µ µ ¶

v

0

´ µ µ µ ¶

w 2

2

2

§ x ·  § y ·  § z · dx dy dz ¨ ¨ ¨ © 2¹ © 2¹ © 2¹

1

ergibt

12

3

˜ w ˜ v˜ u 

1 12

3

˜v ˜w˜u 

1 12

3

˜u ˜w˜v

8

0

Optimierung des Ausdrucks:

Ein optimimierter Ausdruck wird mit einem roten Stern ( * ) markiert !

Mit einem Doppelklick auf den optimierten Ausdruck oder einem Klick der rechten Maustaste auf den auszuwertenden Ausdruck (Optimierung anzeigen) erscheint dieses Fenster mit dem Resultat.

Abb. 11.12

Dieses Kontextmenü erhält man durch Klick mit der rechten Maustaste auf das Integral. Zum Vergleich die numerische Auswertung: u 2 ´ µ µ µ ¶

u

0

´ µ µ µ ¶

v

0

v 2 ´ µ µ µ ¶

w

ª§ x · 2 «¨  ¬© 2 ¹

0

Abb. 11.13

Seite 201

w 2 2 2 § y ·  § z · »º dx dy dz ¨ ¨ © 2¹ © 2¹ ¼

8

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Beispiel 11.34: Wie groß ist das Volumen eines Drehzylinders mit Radius R und Höhe h ? ´ V1 = µ ¶

2˜ S

0

´ µ ¶

R

´ µ ¶

0

h

2

U dz dU dM o V 1 = S ˜ R ˜ h

0

Beispiel 11.35: Wie groß ist das Volumen einer Kugel mit Radius R ? ´ V1 = µ ¶

2˜ S

0

´ µ ¶

S

0

´ µ ¶

R 2

U ˜ sin ( T ) dU dT dM o V1 =

0

4 3

3

˜S ˜R

Beispiel 11.36: Eine Parabel mit der Gleichung z = y 2 rotiere um die z-Achse. Das Volumen des entstehenden Paraboloides soll berechnet werden, wenn die Höhe des Paraboloides h = 9 sei.

´ V1 = µ µ ¶

3

3

´ 9x µ µ ¶ 

2

9 x

2

´ µ ¶

9

1 dz dy dx o V 1 = 2

x y

2

81 2

˜S

In Zylinderkoordinaten: ´ V1 = µ µ ¶

2˜ S

0

´ µ µ ¶

3

0

9

´ 81 ˜S µ r dz dr dM o V 1 = 2 ¶2 r

Seite 202

Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen

12. Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen Auswertungsmöglichkeiten einer Funktionenreihe: x x x

Variable mit Cursor ( | ) markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Variable-Reihenentwicklung wählen. Symboloperator o und Schlüsselwort "reihe". Numerische Auswertung mit dem "=" Operator.

Abb. 12.1 12.1 Potenzreihen f

Funktionen der Form s ( x) =

¦

k

§ a ˜ xk· heißen Potenzreihen. © k ¹

0

Die Reihe konvergiert, wenn x  r mit r =

ak

lim

a

kof

.

k 1

r nennt man den Konvergenzradius.

12.2 Taylorreihen Für eine beliebig oft differenzierbare Funktion y = f(x) heißt f

s x0 ( x) =

¦

n

0

ª f ( n) x º «  0 n» ˜ x  x  0 »¼ bzw. s (x) = « n ¬

f

¦

n

0

ª f ( n) ( 0) nº « ˜x» ¬ n ¼

Taylorreihe der Funktion y = f(x) mit der Entwicklungsstelle x 0 bzw. x0 = 0.

Seite 203

Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen

a) Die Taylorreihe kann auch in folgender Form geschrieben werden:

º ª« f ( k)  x 0 k» ˜ x  x  0 »¼  Rn1(x) « k ¬

n

s x0 ( x) =

¦

k

0

n-tes Taylorpolynom + Restglied

b) Für das Restglied R n+1 (x) gilt z.B. die Abschätzung nach Lagrange:

ª« f ( n1) ª x  T ˜  x  x º 0¼ ¬ 0 n1 Rn1( x) d max « ˜  x  x0 ( n  1) ¬

º» » Maximaler Wert für T  ] 0, 1 [ . ¼

Bemerkung: Für alternierende Reihen gilt auch die Abschätzung: Rn1( x) d

f

( n 1)

( 0)

( n  1)

n1

˜x

Beispiel 12.1: Variable mit Cursor ( | ) markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Variable-Reihenentwicklung wählen (Entwicklung an der Stelle 0): Taylorreihe für cos(x): cos ( x)

1

konvertiert in die Reihe

1 2

1

2

˜x 

24

4

˜x 

1 720

6

˜x 

1 40320

8

˜x

Symboloperator und Schlüsselwörter (Entwicklung an der Stelle x = 0) : cos ( x) reihe  x  9 o 1 

cos ( x)

1 2

2

˜x 

1 24

1

4

˜x 

720

1

6

˜x 

Achtung auf den Grad der abgebrochenen Reihe!

8

40320

˜x

reihe  x  9 2 -2 4 -3 6 -5 8 o 1.  .5000 ˜ x  4.167 ˜ 10 ˜ x  1.389 ˜ 10 ˜ x  2.480 ˜ 10 ˜ x gleit  4

Bestimmung der Koeffizienten der (abgebrochenen) Reihe: f3 ( x)  cos ( x) reihe  x  8 o 1 

§¨ 1 ¨ 0 ¨ 1 ¨ ¨ 2 ¨ 0 c  f 3 ( x) koeff  x o ¨ ¨ 1 ¨ 24 ¨ ¨ 0 ¨ 1 ¨© 720

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

1 2

2

˜x 

1

4

24

˜x 

T

c

T

1 720

6

˜x

( 1 0 0.5 0 0.042 0 0.001 )

§ ©

c o ¨1 0

1

Seite 204

2

0

1 24

0

1 720

· ¹

Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen

Restglied nach Lagrange: 2˜n

n x R2n ( x) = ( 1) ˜ ( 2n )

Konvergenzintervall: 1 n an = ( 1) ˜ ( 2 ˜ n)

r=

an

lim nof

1 2˜n

lim nof

n 1

 = ] - r, r [ = ] - f, f [

of

1

a

( 2˜n  2 )

Grafische Veranschaulichung: a 4

x  a  a  0.002  a

Bereichsvariable

f ( x)  cos ( x) f1 ( x)  1  f2 ( x)  1  f3 ( x)  1 

gegebene Funktion

1

2

˜x

2 1

2

1

2

24 1

˜x 

2 1

˜x 

2

Partialsummen (Näherungspolynome) der Taylorreihe

4

24

˜x

1

4

˜x 

720

6

˜x

Funktion und Taylorpolynome f( x)

1

f1( x) f2( x)

4

3

2

1

0

1

2

3

4

Abb. 12.2

f3( x) 1

x

Beispiel 12.2: Die Funktion f(x) = cos(x)2 soll an den Stützstellen x 0 -h, x0 -h/2, x0 , x0 +h/2 und x0 +h mit h = S/2 durch ein Näherungspolynom angenähert werden. Dieses Näherungspolynom soll graphisch mit einem geeigneten Taylorpolynom verglichen werden. Für x 0 soll vorerst 0 angenommen werden. ORIGIN  0 f ( x)  cos ( x)

ORIGIN festlegen 2

gegebene Funktion

Seite 205

Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen

h

S

Schrittweite

2

x0  0 x1  x0  h x2  x0  x3  x0 

h

Stützstellen

2 h 2

Abb. 12.3

x4  x0  h T

x

( 0 1.571 0.785 0.785 1.571 )

§ ©

T

x o ¨0

1 2

1

˜S

4

1

˜S

4

˜S

1 2

˜S

· ¹

Stützstellenvektor

symbolische Auswertung

Zu bestimmen sind die Koeffizienten des Näherungspolynoms: 1

2

3

4

f ( x) = a0  a1 ˜ x  a2 ˜ x  a3 ˜ x  a4 ˜ x

Setzt man die Stützstellen ein, so erhält man das lineare Gleichungssystem:



1

2

3

4



1

2

3

4

f x0 = a0  a1 ˜ x0  a2 ˜ x0  a3 ˜ x0  a4 ˜ x0 f x1 = a0  a1 ˜ x1  a2 ˜ x1  a3 ˜ x1  a4 ˜ x1 ..........................................................................



1

2

3

4

f x4 = a0  a1 ˜ x4  a2 ˜ x4  a3 ˜ x4  a4 ˜ x4

Dieses lineare Gleichungssystem lässt sich in Matrixform schreiben (könnte auch mit Lösungsblock Vorgabe und suchen gelöst werden): K˜ a = y

ª«1 « «1 « K  «1 « «1 « «1 ¬

x0

x0 2 x0 3 x0 4 º»

x1

x1 2 x1 3

x2

x2 2 x2 3

x3

x3 2 x3 3

x4

x4 2 x4 3

25.721

K

» x1 4 » » x2 4 » » 4» x  3 » 4» x4 ¼

§¨ f  x0 · ¨ f  x1 ¸ ¨ ¸ y  ¨ f  x2 ¸ ¨f x ¸ ¨  3 ¸ ¨© f  x4 ¹

Es liegt eine reguläre Matrix vor!

Die gesuchten Koeffizienten ergeben sich dann aus: 1

a=K

˜y

Seite 206

Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen

Die Koeffizientenmatrix kann auch in einfacherer Weise hergestellt werden: Mit n:= 5 (Anzahl der Datenpunkte) und den Bereichsvariablen i:= 0..n-1, j:= 0..n-1 (ORIGIN = 0); e rzeugt man die Koeffizientenmatrix durch Ki,j := (xi) j oder mit der Zuweisung K := x i .

1

a K

§¨ 1 · ¨ 0 ¸ ¨ 0.946 ¸ a ¸ ¨ ¨ 0 ¸ ¨ 0.219 © ¹

˜y

Koeffizientenvektor

Das gesuchte Näherungspolynom lautet somit: 4

¦

P ( x)  a0 

k

§ ak ˜ xk· © ¹

1

1 · §¨ 0 ¨ 1.571 0 ¸ ¨ 0.785 0.5 ¸ ¸ ¨ ¨ 0.785 0.5 ¸ ¨ 1.571 0 © ¹

Stützstellen :

P  erweitern ( x  y)

P

Taylorpolynom zum Vergleich: reihe  x = x0  5 2 4 o 1.  1. ˜ x  .3333 ˜ x gleit  4

g1 ( x)  f ( x)

x  4  4  0.01  4

Bereichsvariable

2 x0

f( x)



f x0

1

P( x)

Abb. 12.4

y g1( x) 4

3

2

1

0

1 x x x  x

Man vergleiche z.B. auch x 0 = -1 oder x0 = 1!

Seite 207

1

2

3

4

Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen

Beispiel 12.3: Variable mit Cursor ( | ) markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Variable-Reihenentwicklung wählen (Entwicklung an der Stelle x = 0) : x

1 x

konvertiert in die Reihe

e

1 2

2

˜x 

1

1

3

˜x 

6

1

4

˜x 

24

1

5

120

˜x 

1

6

720

˜x 

7

5040

Symboloperator und Schlüsselwörter (Entwicklung an der Stelle x = 0) : x

f ( x)  e

g ( x)  f ( x) reihe  x  8 o 1  1 ˜ x 

1 2

2

˜x 

1 6

3

˜x 

1 24

1

4

˜x 

120

5

˜x 

1

6

720

˜x 

1 5040

7

˜x

reihe  x  6 2 3 -2 4 -3 5 o 1.  1. ˜ x  .500 ˜ x  .167 ˜ x  4.17 ˜ 10 ˜ x  8.33 ˜ 10 ˜ x gleit  3

g ( x)  f ( x)

Restglied nach Lagrange: n1

Rn1( x) =

x

( n  1)

T˜x

˜e

Konvergenzintervall: 1 an = n

r=

lim nof

1 n

lim nof

f

 = ] - f, f [

x  a  a  0.02  a

Bereichsvariable

ergibt

1

an a

n 1

( n 1)

Grafische Veranschaulichung: a 4 x

f ( x)  e

Funktion 1 2 g2 ( x)  g1 ( x)  ˜ x 2

g1 ( x)  1  x

1 3 g3 ( x)  g2 ( x)  ˜ x 6

Taylorpolynome

Taylorpolynome 9 f( x) g 1 ( x) g 2 ( x)

Abb. 12.5

4

g 3 ( x)

4

3

2

1

1

0

1

x

Seite 208

2

3

4

˜x

Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen

Beispiel 12.4: ln ( x1  1) reihe  x1  8 o 1 ˜ x1 

1

1

2

˜ x1 

2

3

1

3

˜ x1 

4

˜ x1 

4

1

5

˜ x1 

5

1 6

1

6

˜ x1 

˜ x1

7

7

Für ln(x) ist eine Entwicklung an der Stelle 0 nicht möglich, aber z.B. an der Stelle x = 1: 1

ln ( x1) reihe  x1 = 1  6 o 1 ˜ ( x1  1) 

1

2

˜ ( x1  1) 

2

1

3

˜ ( x1  1) 

3

1

4

˜ ( x1  1) 

4

5

˜ ( x1  1)

5

Beispiel 12.5: atan ( x1) reihe  x1  12 o 1 ˜ x1 

1

1

3

˜ x1 

3

5

1

5

˜ x1 

7

7

˜ x1 

1

1

9

˜ x1 

9

11

˜ x1

11

konvergiert für x d 1

Beispiel 12.6: 1

tan ( x1) reihe  x1  12 o 1 ˜ x1 

3

2

3

˜ x1 

17

5

15

˜ x1 

62

7

˜ x1 

315

1382

9

2835

˜ x1 

155925

˜ x1

11

Beispiel 12.7: 1  sin ( Z ) cos ( Z )

reihe  Z  8 o 1  1 ˜ Z 

1 2

2

˜Z 

1

3

˜Z 

3

5

2

4

˜Z 

24

15

61

5

˜Z 

6

720

˜Z 

17 315

˜Z

7

Beispiel 12.8 t0  1

Entwicklungsstelle

1 1 2 3 f ( t)  sin ( t) reihe  t = t 0  4 o sin ( 1)  cos ( 1) ˜ ( t  1)  ˜ sin ( 1) ˜ ( t  1)  ˜ cos ( 1) ˜ ( t  1) 2 6 f ( 1)

0.841

Beispiel 12.9: Die Funktion f(x) = 1 / x ist an der Stelle x = 0 nicht entwickelbar. Wir wählen die Entwicklungsstelle x = 1. 1

2

x1

3

4

reihe  x1 = 1  6 o 1  1 ˜ ( x1  1)  1 ˜ ( x1  1)  1 ˜ ( x1  1)  1 ˜ ( x1  1)  1 ˜ ( x1  1)

5

Die Transformationen u = x - 1 bzw. x = u + 1 führen auch zum gleichen Ergebnis: 1 u 1

reihe  u  6

2

3

4

o 1  1 ˜ ( x1  1)  1 ˜ ( x1  1)  1 ˜ ( x1  1)  1 ˜ ( x1  1)  1 ˜ ( x1  1) ersetzen  u = x1  1

Beispiel 12.10: Entwicklung der Binomialreihe: n

( 1  x1) reihe  x1  4 o 1  n ˜ x1 

1 2

2

˜ n ˜ ( n  1) ˜ x1 

1 6

˜ n ˜ ( n  1) ˜ ( 2  n) ˜ x1

3

Beispiel 12.11: sinh ( x1) reihe  x1  12 o 1 ˜ x1 

cosh ( x1) reihe  x1  12 o 1 

1 2

1 6

3

˜ x1 

2

˜ x1 

1 24

1

5

120

˜ x1 

4

˜ x1 

1 720

1

1

7

5040 6

˜ x1 

˜ x1 

Seite 209

362880

1 40320

1

9

8

˜ x1 

˜ x1 

39916800

1 3628800

˜ x1

10

˜ x1

11

5

Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen

Beispiel 12.12: Vergleich der Reihenentwicklung von reellen und komplexen Funktionen: 1

cosh ( j ˜ x1) reihe  x1  10 o 1  cos ( x1) reihe  x1  10 o 1  Damit gilt:

1 2

24

1

2

˜ x1 

˜ x1 

40320

1

6

720

1

6

˜ x1 

720

1

4

˜ x1 

24

1

4

˜ x1 

40320

˜ x1

˜ x1

8

8

cosh ( j ˜ x) = cos ( x) 1

cosh ( x1) reihe  x1  10 o 1 

1

2

˜ x1 

2

cos ( j ˜ x1) reihe  x1  10 o 1  Damit gilt:

2

1

2

˜ x1 

1 2

24 1

2

˜ x1 

1

4

˜ x1 

24

720 1

4

˜ x1 

1

6

˜ x1 

40320 1

6

720

˜ x1

˜ x1 

40320

8

˜ x1

8

cos ( j ˜ x) = cosh ( x)

Beispiel 12.13: Vergleich von Realteil und Imaginärteil der Reihenentwicklung der komplexen Exponentialfunktionen mit der Basis e: reihe  x1  6 1 1 1 1 2 3 4 5 o 1  i ˜ x1  ˜ x1  ˜ i ˜ x1  ˜ x1  ˜ i ˜ x1 komplex 2 6 24 120

j ˜x1

e

 j ˜x1

e

reihe  x1  6 1 1 1 1 2 3 4 5 o 1  i ˜ x1  ˜ x1  ˜ i ˜ x1  ˜ x1  ˜ i ˜ x1 komplex 2 6 24 120

cos ( x1) reihe  x1  8 o 1 

1 2

sin ( x1) reihe  x1  8 o 1 ˜ x1 

1

2

˜ x1  1 6

24

1

3

˜ x1 

1

4

˜ x1 

720

˜ x1

5

120

˜ x1 

6

1 5040

˜ x1

7

Damit gelten die Eulersche Beziehungen: j ˜x

e

= cos ( x)  j ˜ sin ( x) und

 j ˜x

e

= cos ( x)  j ˜ sin ( x)

Beispiel 12.14: Reihenentwicklung für Funktionen in mehr als einer Variablen (auf die Theorie wird hier nicht näher eingegangen): f(x,y) = ex + y2 für x = 1 und y = 0 ; f(x,y) = sin(x+y) für x = 0 und y = 0 ; f(s,t) = ln(s + t1/2) für s = -1 und t = 4. x1

e

2

 y1 reihe  x1 = 1  y1  4 o exp ( 1)  exp ( 1) ˜ ( x1  1) 

sin ( x1  y1) reihe  x1  y1  4 o x1  y1 



ln s 



t reihe  s = 1  t = 4  3 o s 

1 4

1 6

3

˜ x1 

˜t

1 2

1 2

1 2 2

2

˜ y1 ˜ x1  2

˜ ( s  1) 

Seite 210

1 4

2

˜ exp ( 1) ˜ ( x1  1)  y1  1 2

2

˜ y1 ˜ x1 

1 6

˜ ( s  1) ˜ ( t  4) 

˜ y1 3 64

1 6

˜ exp ( 1) ˜ ( x1  1)

3

˜ ( t  4)

2

3

Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen

Beispiel 12.15: Mehrdimensionale Taylor-Approximation im graphischen Vergleich mit der Originalfunktion. ORIGIN  0

§ x · ˜ cos ( 2 ˜ y) © 3¹

f ( x  y)  sin ¨

Flächenfunktion

n 5

Grad der Approximation

g n  1 x0  0

y0  0

Entwicklungspunkt der Taylorentwicklung

x0  r d x d x0  r

Definitionsbereich (Region) der Darstellung

y0  r d y d y0  r Taylor-Polynom: 1 2 1 2 1 1 2 3 4 5 3 2 P ( x  y)  f ( x  y) reihe  x = x0  y = y0  g o ˜ x  ˜ x ˜ y  ˜ x  ˜ x˜ y  ˜x  ˜x ˜y 3 3 162 9 29160 81 N  ceil ( 20 ˜ r) Xk  j 

N

40

x0  r  (2 ˜ r) ˜ N k



Zf k  j  f Xk  j  Yk  j



ZDk  j  2

k  0  N Yk  j 

j  0  N

Bereichsvariablen

y0  r  (2 ˜ r) ˜ N j



ZPk  j  P Xk  j  Yk  j

Die x- und y-Koordinaten müssen Matrizen sein!



Die z-Komponenten müssen Matrizen sein!

Definitionsbereich um -2 verschoben, damit die Grafik anschaulicher wird.

Vergleich der Originalfunktion mit dem aproximierenden Taylorpolynom. Durch die Änderung von r kann der Bereich beliebig geändert werden. r wird hier global definiert, damit die Änderung in der Grafik sofort sichtbar wird. r{ 2

Abb. 12.6 ( X  Y  ZD)  ( X  Y  Zf )  ( X  Y  ZP )

Seite 211

Potenzreihen, Taylorreihen und Laurentreihen

12.3 Laurentreihen Falls eine zu entwickelnde Funktion im Entwicklungspunkt eine Singularität besitzt, so liefert Mathcad die Laurententwicklung. Ein Satz der Funktionentheorie besagt: Jede Funktion f(z), die im Inneren eines Kreisringes zwischen zwei konzentrischen Kreisen mit dem Mittelpunkt z 0 und den Radien r1 und r2 analytisch ist, kann in eine verallgemeinerte Potenzreihe, die Laurentreihe, entwickelt werden: f

f ( z) =

ª a ˜  z  z nº = ....  a 1 ˜  z  z  1  a  a  z  z  a ˜  z  z 2  .... 0 ¼ 0 0 1 0 2 0 ¬ n

¦

f

n

Den Koeffizienten a-1 der Potenz (z - z 0 )-1 in der Laurent-Entwicklung von f(z) bezeichnet man als Residuum der Funktion f(z) im singulären Punkt z 0 .

Beispiel 12.16: Bestimmung von Residuen: 1 x ˜ ( x  3)

Die Funktion hat an der Stelle x = 0 einen Pol 1. Ordnung und die Entwicklung in eine Reihe liefert dadurch automatisch die Laurentreihe an der Stelle x = 0. Die Laurentreihe liefert gleichzeitig das Residuum der Funktion an der Stelle x = 0, nämlich den Koeffizienten vor 1/x. Das Residuum ist also 1/27.

3

1 x1 ˜ ( x1  3)

3

reihe  x1  6 o

1 27

˜ x1

1



1



27

2 81

˜ x1 

10 729

2

˜ x1 

5

3

729

˜ x1 

7 2187

˜ x1

4

Es soll nun auch das Residuum an der zweiten Polstelle (x = - 3 ; Pol 3. Ordnung) ermittelt werden. Durch Transformation von u = x + 3 bzw. x = u - 3 erhält man: ersetzen  x1 = u  3 1  3 1  2 1 1 1 1 1 2 o ˜u  ˜u  ˜u   ˜u ˜u bzw. reihe  u 3 9 27 81 243 729

1 x1 ˜ ( x1  3)

3

1 x1 ˜ ( x1  3)

3

reihe  x1 = 3  5 o

1 3

˜ ( x1  3)

3



1 9

˜ ( x1  3)

2



1 27

˜ ( x1  3)

1



1 81



1 243

˜ ( x1  3)

Residuum -1/27 an der Stelle u = 0 bzw. x1 = - 3 . Beispiel 12.17: Residuum von 1/ (sin(x))2 im Pol 2. Ordnung (x = 0): 1 sin ( x)

2

2

1˜ x

konvertiert in die Reihe



1 3



1 15

2

2

˜x 

189

 6

4

˜x  O x

Das Residuum ist 1.

Beispiel 12.18: Residuum von tan(x) im Pol x = S/2: Es wird zuerst die Transformation u = x - S/2 durchgeführt: x x

Redefinition ersetzen  x = u 

tan ( x)

reihe  u = 0  8

S 2

1

o 1 ˜ u



1 3

˜u

1 45

3

˜u 

Seite 212

2 945

5

˜u 

1 4725

7

˜u

Das Residuum ist -1.

Fourierreihen und Fourierintegral

13. Fourierreihen und Fourierintegral Symbolische Auswertungsmöglichkeiten (Fourierreihen und Fouriertransformationen): x x

Variable mit Cursor ( | ) markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Transformation-Fourier (bzw. Fourier invers) wählen. Symboloperator o und Schlüsselwörter "fourier" bzw. "invfourier".

Abb. 13.1 Numerische Auswertungsmöglichkeiten: x x

Integralauswertung der Fourier-Koeffizienten. Fast-Fourier-Transformation (Schnelle diskrete Fourier-Transformation) . Für diesen Zweck stehen in Mathcad mehrere Funktionen zur Verfügung.

13.1 Darstellung von periodischen Signalen Es gibt heute zahlreiche Teilgebiete der Physik und Technik, für die Fourier-Reihen unentbehrlich sind. In der Physik und Technik spielen periodische Vorgänge eine große Rolle. Sie werden durch periodische Funktionen, also Funktionen der Form f(t + k p) = f(t) dargestellt. Für die theoretische Untersuchung von akustischen Vorgängen, mechanischen und elektrischen Schwingungen ist die ideale Kurvenform die Sinus- oder Kosinuskurve. Mechanische und elektrische Schwingungen verlaufen jedoch in vielen Fällen nicht sinusförmig. An einigen Beispielen soll hier gezeigt werden, wie nichtsinusförmige Schwingungen mit Mathcad realisiert werden können. Zur Darstellung von periodischen Funktionen eignen sich insbesonders die Heaviside-Funktion )(t), die Modulo-Funktion mod(t 1 ,t2 ) und die Funktion floor(t). Die Funktion "wenn" oder ein Unterprogramm (erzeugt über die Programmierpalette) sind ebenfalls oft unverzichtbare Hilfen. Beispiel 13.1: T0  2 ˜ S

Periodendauer (muss nicht 2Ssein)

t 1  2 ˜ T0

unterer Zeitbereich

t 2  2 ˜ T0

oberer Zeitbereich

Seite 213

Fourierreihen und Fourierintegral

n  600 't 

Anzahl der Schritte

t2  t1

Schrittweite

n

A0  1

Amplitude

Heavisidefunktion und deren Verschiebungen um eine halbe Periode: V ( t)  ) ( t)

Heaviside-Sprungfunktion (Abb. 13.2)

§

V L ( t)  ) ¨ t 

T0 ·

Sprungfunktion, um T 0 /2 nach links verschoben

2 ¹ © § T0 · V R ( t)  ) ¨ t  2 ¹ © § T0 · § T0 · V Imp ( t)  ) ¨ t   ) ¨t  2 ¹ 2 ¹ © © § § T0 · · f ( t )  A0 ˜ ¨ ) ( t )  2 ˜ ) ¨ t  2 ¹¹ © ©

Sprungfunktion, um T 0 /2 nach rechts verschoben Rechteckimpuls im Bereich -T 0 /2 < t < T0 /2 Zeitfunktion im Bereich 0 < t < T0

t  t1  t 1  't  t 2

Zeitbereich (Bereichsvariable)

2 1 V ( t)

15

10

5

0

5

10

15

Abb. 13.2

5

10

15

Abb. 13.3

5

10

15

Abb. 13.4

1 2 t

 V L ( t)

15

10

T0 2

2

T0

1

5

2 0

1 2 t

 V R ( t)

15

10

T0 2

2

T0

1

5

2 0

1 2 t

Seite 214

Fourierreihen und Fourierintegral

Rechteckimpuls (Spur1: Format Linie bzw. Punkte):

 V Imp( t)

20

2 T0 T0

10



2

2 0

10

V Imp( t)

20

20

2 T0 T0

10

2

2

2 0

10

20

2 t

t

Abb. 13.5

Abb. 13.6

Für die periodische Fortsetzung einer über eine Periode definierten Funktion könnten folgende selbstdefinierten Funktionen herangezogen werden:

 fp2  f  t  T0 



















fp1 f  t  T0  wenn mod t  T0  0  f mod t  T0  T0  f mod t  T0

  f  mod  t  T0



f mod t  T0  T0





if mod t  T0  0

Programmierte Funktion (Symbolleiste Programmierung) mithilfe der mod-Funktion.

otherwise

§ § t ·· fp3 f  t  T0  f ¨ t  T0 ˜ floor ¨ © © T0 ¹ ¹

Definiert mit der floor-Funktion.

t1  0  't  T0

Bereichsvariable

t  2 ˜ T0  2 ˜ T0  't  2 ˜ T0

Bereichsvariable





2

Definiert mit der wenn- und mod-Funktion.

T0

T0

2 f( t1)  0.5



fp1 f  t  T0



Abb. 13.7 15

10

5

0

5

10

15

Zeitfunktion im Bereich 0 < t < T0 und periodische Fortsetzung

2 t1  t

2



fp2 f  t  T0



T0

T0

2 10

5

0

Abb. 13.8 5

2 t

Seite 215

10

Spur1: Format Punkte

Fourierreihen und Fourierintegral

2



fp3 f  t  T0

T0

T0

2



10

5

0

5

10

Abb. 13.9

2 t

Die Heaviside-Funktion ) und die floor-Funktion können ebenfalls zur Erzeugung einer periodischen Rechteckspannung verwendet werden: U0  3

Amplitude

§ § t ·  T0 · u ( t )  U0 ˜ ) ¨ t  T0 ˜ floor ¨ ¨© © T0 ¹ 2 ¹

Periodische Rechteckfunktion

t  0  't  4 ˜ T0

Bereichsvariable

4 2˜T0

T0 2

u ( t)

Abb. 13.10 0

5

10

15

20

25

30

t

Beispiel 13.2: Periodischer Rechteckimpuls: T0  2 ˜ S 't 

Periodendauer (muss nicht 2Ssein)

4 ˜ T0

Schrittweite

600

t1  0  't  T0

Bereichsvariable

t  2 ˜ T0  2 ˜ T0  't  2 ˜ T0

Bereichsvariable

Rechteckimpuls nullzentriert mit periodischer Fortsetzung: Rechteck endet bei Wund die Rechtecke haben einen Abstand von T 0 - W

W 1

ª1 u ( t ) = wenn « ˜ ª ( t d W )  ªt t T0  W ¬ ¬2 ¬



º¼ º¼  1  0º»¼

Funktionsdefinition mit der wenn-Funktion

Seite 216

Fourierreihen und Fourierintegral

u ( t) 

1 if

1 2



˜ ª ( t d W )  ªt t T0  W

¬

¬

º¼ º¼

Programmierte Zeitfunktion (Symbolleiste Programmierung)

0 otherwise 2 W

 fp3 u  t  T0

u t1  0.5

T0

1

Abb. 13.11 10

5

0

5

10

fp3 von Beispiel 13.1

1 t1  t

Rechteckimpuls nullzentriert mit einer Länge von b < T 0  W 1

Das Rechteck startet bei W und hat eine Breite von b

b 3

u ( t ) = wenn [ [ t t ( W ) ] ˜ [ t d ( W  b) ]  1  0]

Funktionsdefinition mit der wenn-Funktion

u ( t) 

Programmierte Funktion (Unterprogramm) (Symbolleiste Programmierung)

1 if ( t t W ) ˜ [ t d ( W  b) ] 0 otherwise

2 W

 fp3 u  t  T0

u t1  0.5

T0

1

Abb. 13.12 fp3 von

10

5

0

5

10

Beispiel 13.1

1 t1  t

Rechteckimpuls: W

T0

W kann nicht größer als T 0 sein

2









u ( t ) = wenn t = 0  1  wenn t d W  1  wenn t ! T0  W  1  0 u ( t) 

Funktionsdefinition mit der wenn-Funktion

1 if t d W 1 if t ! T0  W

Programmierte Zeitfunktion (Symbolleiste Programmierung)

0 otherwise t  0  't  4 ˜ T0

Bereichsvariable

Seite 217

Fourierreihen und Fourierintegral

2 W

T0

1



u t1  0.5



fp3 u  t  T0



0

5

10

15

20

25

Abb. 13.13 fp3 von Beispiel 13.1

1

2 t1  t

Beispiel 13.3 Sägezahnkurven: T0  2 ˜ S

Periodendauer (muss nicht 2Ssein)

4 ˜ T0

't 

Schrittweite

600

t1  0  't  T0

Bereichsvariable

t  2 ˜ T0  2 ˜ T0  't  2 ˜ T0

Bereichsvariable

Zentralsymmetrische Sägezahnschwingung: 2

u ( t) 

T0 2 T0

˜ t if 0  t d





˜ t  T0

if

T0 2 T0 2

Programmierte Zeitfunktion (Symbolleiste Programmierung)  t d T0

2 T0



1

u t1  1



fp3 u  t  T0

T0

2

Abb. 13.14



fp3 von 10

5

0

1 t1  t

Seite 218

5

10

Beispiel 13.1

Fourierreihen und Fourierintegral

Sägezahnschwingung nur mit positiven Werten: U0  2 u ( t) 

Amplitude

§U ˜ t · ˜ t d T  0 ¨ 0 T 0¹ ©

Zeitfunktion im Bereich 0 < t < T 0

4 T0

 fp3 u  t  T0

u t1  1

T0

2

Abb. 13.15

2

fp3 von Beispiel 13.1 10

5

0

5

10

t1  t

Die vorhergehende Sägezahnfunktion lässt sich auch mit der floor-Funktion darstellen: U0  2 u ( t) 

Amplitude U0

§ § t ·· ˜ ¨ t  T0 ˜ floor ¨ T0 © © T0 ¹ ¹

periodische Sägezahnschwingung

2˜T0

T0

2 u ( t)

Abb. 13.16 10

5

0

5

10

t

Zwei weitere Sägezahnfunktionen mithilfe der mod -Funktion: U0  2

Amplitude

· § U0 t  U0 ¨© T0 ¹

u ( t )  mod ¨

periodische Sägezahnschwingung

t1  0  't  4T0

Bereichsvariable

2˜T0

T0

2



u t1

Abb. 13.17

5

0

5

10 t1

Seite 219

15

20

25

Fourierreihen und Fourierintegral





u ( t )  mod t  T0

periodische Sägezahnschwingung

10 2˜T0

T0



u t1

5

Abb. 13.18 5

0

5

10

15

20

25

t1

Beispiel 13.4 Halbsymmetrische Funktion: T0  2 ˜ S

Periodendauer (muss nicht 2Ssein)

4 ˜ T0

't 

Schrittweite

600

t  2 ˜ T0  2 ˜ T0  't  2 ˜ T0 u ( t) 



2 T0

˜ t if 0  t d

Bereichsvariable

T0 2

T0 § T0 · ˜ ¨t  if  t d T0 2 ¹ 2 T0 ©

Programmierte Zeitfunktion (Symbolleiste Programmierung)

2

2

T0



fp3 u  t  T0

T0

2

u ( t)  1



Abb. 13.19 10

5

0

5

10

fp3 von Beispiel 13.1

2 t

Beispiel 13.5 Sinus-Halbwelle (Einweggleichrichtung): T0  2 ˜ S Z0 

't 

2˜ S T0 4 ˜ T0 600

t1  0  't  T0

Periodendauer (muss nicht 2Ssein)

Kreisfrequenz

Schrittweite

Bereichsvariable

Seite 220

Fourierreihen und Fourierintegral

t  2 ˜ T0  2 ˜ T0  't  2 ˜ T0



u ( t) 

sin Z 0 ˜ t 0 if



T0

if 0 d t d

Bereichsvariable T0 2

Programmierte Zeitfunktion (Symbolleiste Programmierung)

 t d T0

2

T0 1

u ( t)  0.5



fp3 u  t  T0

T0

2

Abb. 13.20



fp3 von 10

5

0

5

Beispiel 13.1

10

t

Beispiel 13.6 Phasenanschnittsteuerung einer Sinusfunktion (Thyristor): T0  2 ˜ S

Periodendauer (muss nicht 2Ssein)

4 ˜ T0

't 

Schrittweite

600

t1  0  't  T0

Bereichsvariable

t  2 ˜ T0  2 ˜ T0  't  2 ˜ T0

Bereichsvariable

u ( t) 



sin Z 0 ˜ t



if

T0 · § 5 ˜ T0 § T0 · ¨ dtd ›¨ d t d T0 2 ¹ © 8 © 8 ¹

Programmierte Zeitfunktion (Symbolleiste Programmierung)

0 otherwise 2 T0

 fp3 u  t  T0

2

1

u t1  0.5

15

10

5

0

Abb. 13.21

T0

5

10

15

Sprur1 und Spur2: Format Punkte fp3 von Beispiel 13.1

1 t1  t

Seite 221

Fourierreihen und Fourierintegral

13.2 Fourierreihen Jede periodische Funktion f(t) mit f(t) = f(t + n T 0 ) die stückweise monoton und stetig ist, lässt sich eindeutig als Fourierreihe darstellen:

f ( t) =

a0 2

f



¦ an ˜ cosn ˜ Z 0 ˜ t  bn ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t

n

mit

T0 =

2˜ S Z0

1

.

Diese Reihe ist periodisch mit der Periode T 0  Berechnung der Fourierkoeffizienten: Der konstante Anteil wird hier mit a 0 /2 angegeben, damit man die Integrale zur Berechnung der Fourierkoeffizienten a n und bn einheitlich darstellen kann: t T ´0 0 µ a0 = ˜ f ( t ) dt T0 µ ¶t 0 t  T0

´0 ˜µ bn = T0 µ ¶t 2

t  T0

´0 ˜µ an = T0 µ ¶t

2

2





f ( t) ˜ cos n ˜ Z 0 ˜ t dt

0





f ( t) ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t dt

0

Bei vorliegender Symmetrie der Zeitfunktion f vereinfachen sich die Berechnungen der Fourierkoeffizienten: Bei geraden Funktionen (axialsymmetrische Funktionen) gilt : T0

´ 2 µ 4 a0 = f ( t) dt , an = ˜µ ¶ T0 0 T0 4

T0

´ 2 µ f ( t) ˜ cos n ˜ Z 0 ˜ t dt , bn = 0 . ˜µ ¶





0

Bei ungeraden Funktionen (zentralsymmetrische Funktionen) gilt : T0

a0 = 0 ,

´ 2 µ bn = f ( t) ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t dt . ˜µ T0 ¶ 0 4

an = 0 ,





Trägt man die Fourierkoeffizienten in Abhängigkeit der zugehörigen Frequenz in einem Diagramm auf, so erhält man das Amplituden- oder Frequenzspektrum (auch Linienspektrum genannt).

Seite 222

Fourierreihen und Fourierintegral Verwendet man

an 2  bn 2

An =

§ bn ·

und M n = arctan ¨

© an ¹





und ersetzt an , bn durch an = An ˜ cos M n und

bn = An ˜ sin M n , so erhält man mit der Beziehung cos(n Z0 t) cos(Mn) - sin(n Z0 t) sin(Mn) = cos(n Z0 t + Mn ) schließlich die Fourierreihe mit phasenverschobenen Sinus- und Kosinusgliedern:

f ( t) =

f

a0

¦ An ˜ cosn ˜ Z 0 ˜ t  M n =



2

n

f

a0



2

1

¦

n

1

§ A ˜ sin § n ˜ Z ˜ t  M  S · · . ¨ n ¨ 0 n 2 © © ¹¹

Mit \n = Mn + S/2 vereinfacht sich die Reihe zu:

f ( t) =

f

a0

¦ An ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t  \ n .



2

n

1

Beispiel 13.7: Symbolische Auswertung der Fourierkoeffizienten mithilfe von Symbol-Operatoren: n n

Redefinition von n

§ ©

§ ©

f ( t  T  U)  U ˜ ¨ ) ( t)  2 ˜ ) ¨ t 

2 ´ ˜µ T ¶

T

2 ´ an = ˜ µ T µ ¶

T

a0 =

f ( t  T  U) dt

0

T ··

Gegebene Zeitfunktion im Bereich 0 < t < T mithilfe der Heavisidefunktion.

2 ¹¹

annehmen  U ! 0 o a0 = 0 annehmen  T ! 0

§ ©

f ( t  T  U) ˜ cos ¨ n ˜

2˜ S T

doppelter Mittelwert

annehmen  U ! 0 U o an = ( sin ( 2 ˜ n ˜ S )  2 ˜ sin ( n ˜ S ) ) ˜ annehmen  T ! 0 n˜ S

· ¹

˜ t dt

0

Die Koeffizienten a n sind gleich 0 (für alle n ²gilt: sin ( 2 ˜ n ˜ S ) = 0) ! 2 ´ bn = ˜ µ T µ ¶

T

annehmen  U ! 0

§ 2 ˜ S ˜ t· t f ( t  T  U) ˜ sin ¨ n ˜ d T © ¹

annehmen  T ! 0o bn = ( cos ( 2 ˜ n ˜ S )  2 ˜ cos ( n ˜ S )  1) ˜ vereinfachen

0

Für gerade n ²gilt: bn = 0 ! Für ungerade n ²gilt: cos( 2 n S) = 1 und cos( (2 n+1) S) = - 1. Wir erhalten dann:

bn = ( cos ( 2 ˜ S ˜ n)  2 ˜ cos ( S ˜ n)  1) ˜

U n˜ S

ersetzen  cos ( 2 ˜ S ˜ n) = 1  cos ( S ˜ n) = 1 U o bn = 4 ˜ vereinfachen n˜ S

Seite 223

U n˜ S

Fourierreihen und Fourierintegral

Beispiel 13.8: Fourieranalyse einer Sägezahnspannung u(t) = U0 1/T0 t (numerische Auswertung) : T0  2 ˜ S ˜ s 't 

Z0 

2˜ S T0

Z0

1s

1

gewählte Periodendauer (muss nicht 2Ssein) und Kreisfrequenz

2 ˜ T0

Schrittweite

600

U0  4 ˜ V U0

Amplitude

4V

T ·· § § ¨ ¨t  0 U0 ¨ 2 ¸¸ ¨ u ( t)  ˜ t  T0  T0 ˜ floor ¨ T T0 ¨ © © 0 ¹¹

gegebene Sägezahnspannung

t1  T0  T0  't  T0

Bereichsvariable Die Spur auf Format-Punkte einstellen, denn mit Format-Linie werden alle Punkte mitsamen verbunden.

4



2

 T0

u t1

8

V

6

42

2

T0 0

2

2 4

6

8

Zeitbereich (Originalbereich) der Spannung u(t) mit der Periodendauer T 0 .

2 4

Zentralsymmetrische Funktion. t1

Abb. 13.22

s

Fourier- Koeffizienten: n n

Redefinition von n

ORIGIN  0

TOL

1 u 10

3

ORIGIN festlegen und Ausgabe der Standard-Toleranz

T0

a0 

´ 2 µ 1 U0 ˜ ˜ t dt ˜µ T0 µ T0 µT ¶ 0 2

a0

doppelter Mittelwert

0V

2

nmax  16

n  1  nmax

Bereichsvariable

T0

an 

´ 2 µ 1 U0 ˜ ˜ t ˜ cos n ˜ Z 0 ˜ t dt ˜µ T0 µ T0 µT ¶ 0



2





an  wenn an  TOL ˜ V  0 ˜ V  an



Koeffizienten, deren Wert unter der Toleranzgrenze liegt, werden ausgeschieden !

2

Seite 224

Fourierreihen und Fourierintegral

T0

´ 2 µ 1 U0 ˜ ˜ t ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t dt ˜µ T0 µ T0 ¶



4

bn 





bn  wenn bn  TOL ˜ V  0 ˜ V  bn

0˜s

an

bn V

0

V

1.273

0

-0.637

0

0.424

0

-0.318

0

0.255

0

-0.212

0

0.182

0

-0.159

0

0.141

0

-0.127

0

0.116

0

-0.106

0

0.098

0

-0.091

0

0.085

0

-0.08



Koeffizienten, deren Wert unter der Toleranzgrenze liegt, werden ausgeschieden !

Frequenzbereich (Spektralbereich - Bildbereich): Amplituden- oder Frequenzspektrum (auch Linienspektrum genannt) der Sägezahnspannung. Frequenzspektrum

2 1.5 bn

1 0.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 n

Abb. 13.23 Die Amplitude der Grundschwingung (n = 1) und die Amplituden der Oberschwingungen mit den Frequenzen f = n * f 0 . Es kommen in diesem Spektrum nur ganzzahlige Frequenzanteile vor, daher spricht man von einem diskreten Spektrum. Dies ist charakteristisch für periodische Funktionen.

Rücktransformation (Fouriersynthese): n max

up ( t) 

¦ bn ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t

n

Fourierpolynom aus n max = 16 Gliedern

1

4 u ( t)

T0

2

u p( t) V

T0

2

V 8

6

4

2

0 2 4 t s

Abb. 13.24

Seite 225

2

4

6

8

Fourierreihen und Fourierintegral

Komplexe Darstellung einer Fourierreihe: Neben der reellen Darstellung gibt es noch die komplexe Darstellung eines periodischen Vorganges. Diese Darstellung ist sowohl für reelle als auch komplexe Zeitfunktionen geeignet. Durch Addition bzw. Subtraktion der beiden Eulerschen Beziehungen e

j˜n˜Z 0˜t







 j˜n˜Z 0˜t



= cos n ˜ Z 0 ˜ t  j ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t , e

erhält man:









sin n ˜ Z 0 ˜ t =

ª

1

cos n ˜ Z 0 ˜ t =

˜ ¬e

2

j˜n˜Z 0˜t

ª

1 2˜ j

˜ ¬e



j˜n˜Z 0˜t





¼



º .

 j˜n˜Z 0˜t

e



º ,

 j˜n˜Z 0˜t

e



= cos n ˜ Z 0 ˜ t  j ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t

¼

Setzt man auch noch in der oben angeführten reellwertigen Darstellung, a0 2 2 = A0 = c0 , An = an  bn = 2 ˜ cn , 2  an = cn  c n = cn  cn = 2 ˜ cn ˜ cos M n = 2 ˜ Re cn ,  bn = j ˜ cn  cn = j ˜ cn  c n = 2 ˜ cn ˜ sin M n = 2 ˜ Im cn ,  1 1 mit cn = ˜ an  j ˜ bn und cn = c n = ˜ an  j ˜ bn , 2 2 so erhält man durch Umformung die komplexe Fourierreihe, die im Amplitudenspektrum eine Darstellung nach "positiven" und "negativen" Frequenzen bedeutet:









f

¦

n







f ( t) =













j˜n˜Y 0˜t· § © cn ˜ e ¹=

f

f

¦ 





cn ˜ cos n ˜ Z 0 ˜ t



f

 j˜

f

n

¦ cn ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t .

n

f

Die komplexen Fourier-Koeffizienten erhält man aus:

cn =

t T ´0 0

µ ˜µ T0 ¶t 0 1

 cn = c n

T0

 j ˜n˜Y 0˜t

f ( t) ˜ e

dt

´ 2 T0  j˜n˜Y 0˜t 1 µ f ( t) ˜ e ˜µ dt . : cn = bzw. für t0 = T0 µ T 2 ¶ 0 

,

c0 =

an 2

2

= An ,

An  1 S 2 2 cn = cn = ˜ an  bn = , \ n = arg cn  2 2 2 Ist f(t) eine gerade Funktion ( f(t) = f(- t) ), so sind die komplexen Fourierkoeffizienten cn reell, bei einer ungeraden Funktion ( f(t) = - f(- t) ) imaginär. Andernfalls lassen sie sich in Real- und Imaginärteile bzw. Betrag und Phase zerlegen.







Seite 226

Fourierreihen und Fourierintegral

Das oben angeführte Beispiel 13.8 komplex gerechnet: ORIGIN  16

TOL

ORIGIN und voreingestellte Toleranz

0.001

n  16  15  16

Bereichsvariable

T0

cn 

´ 2 µ  j˜n˜Z 0˜t 1 U0 ˜ ˜t˜e ˜µ dt T0 µ T0 µ T ¶ 0 1

komplexe Fourierkoeffizienten

2



cn  wenn cn  TOL ˜ V  0 ˜ V  cn T

-16

c

-16

-0.04i

-16 -16

-14

-13

0.042i



T

komplexe Fourierkoeffizienten

-15

An  wenn n z 0  2 ˜ cn  c0 A



0.08

-0.045i

-16

an 

-14

-13

-12

-11

-10

0.091

0.098

0.106

0.116

0.127

-14

3.142

S·

T

-13 0

-12

3.142

T

-15

-14

-13

-12

-11

-10

0

0

0

0

0

0

0

-9

0.071i

-8

0.141

-10

3.142

-8 0

0.08

-7

0.159

V

-6

0.182

-9 0

-7 0

-6

V

0.212

-8

-7

3.142

0

-5 0

-15

-14

-13

-12

-11

-10

0.085

0.091

0.098

0.106

0.116

0.127

0

3.142

-4 0

-3 0

-2 0

-1 0

0 0

V 0

-9

-8

0.141

-7

0.159

-6

0.182

V

0.212

Frequenzspektrum

1 cn

-0.064i

reelle Fourierkoeffizienten

-16 -16

-9

reelle Fourierkoeffizienten

bn  2 ˜ cn b

-9

-11 0

-16 -16

-10

Phasen aller Teilschwingungen

2¹

cn cn  

a

0.058i

-15

-15 0

-0.053i

0.085



-16

-11

Amplituden aller Teilschwingungen

§ ©

T

0.049i



\ n  wenn ¨ cn  TOL ˜ V  0  arg cn  \

-12

 5˜Z 0

5˜Z 0

0.5

0

17

15

13

11

9

7

5

3

1

1 n

Abb. 13.25

Seite 227

3

5

7

9

11

13

15

17

Fourierreihen und Fourierintegral

Phasenspektrum

4 \n

S

2

0

17

15

13

11

9

7

5

3

1

1

3

5

7

9

11

13

15

17

n

Abb. 13.26 n max

Rücktransformation: up ( t) 

¦ An ˜ sin n ˜ Z0 ˜ t  \ n

n

Fourierpolynom aus n max = 16 Gliedern

1

4 u ( t)

T0

2

u p( t) V

T0

2

V 8

6

4

2

0

2

4

6

8

2 4 t s

Abb. 13.27 13.3 Fast-Fourier-Transformation und inverse Transformation Die Fast-Fourier-Transformation (FFT) ist eine gängige Methode zur numerischen Ermittlung des Frequenzspektrums von diskreten Daten (z. B. Analyse von Spektren jeglicher Art (Spektralanalysen) und Weiterverarbeitung von Messdaten; Bildanalysen und Bildbearbeitung (Ultraschall-Scannern, Röntgenaufnahmen, Satellitenbildern usw.). Zur linearen Signalanalyse steht in Mathcad auch die WaveletTransformation zur Verfügung (siehe wave und iwave Funktion in der Mathcad-Hilfe). Oft ist es auch notwendig, ein analoges Signal zu digitalisieren. Dies wird z.B. bei einer CD- Aufnahme und anderen Analog-Digital-Umwandlungen genützt. Es gibt zwei Kriterien der Digitalisierung. Das erste ist die " sampling-Rate". Ein Signal ist komplett charakterisiert, wenn es mindestens mit zweifacher Bandweite gesampelt wird. Das ist als Nyquist-Sampling-Theorem (Abtasttheorem) bekannt. Das Signal kann oversampled werden, um eine gute Rekonstruktion des Signals zu erreichen. Wenn kleinere Samplingraten benutzt werden, dann werden Signalkomponenten höherer Frequenz mit Signalkomponenten niedriger Frequenz überlagert. Dieses Phänomen wird Aliasing genannt, welches die Informationen, die von einem Signal getragen werden, zerstört. Das zweite Kriterium für eine effektive Digitalisierung ist die Größe des " sampling-Intervalls". Die genaue Kenntnis der analytischen Funktion eines Signals in Form einer Funktionsgleichung ist in der Praxis sehr oft unbekannt. Man hat es also mit periodischen Signalen zu tun, von denen man in äquidistanten Abtastzeitpunkten t k = (T 0 /N) * k (k = 0,1,2,...,N-1 ; T0 = 2S/Z ... Periodendauer des Signals ) die N aufgenommenen Abtastwerte y k = f(tk ) mit den zugehörigen Frequenzen fk = (fs /N) * k (fs = 1/T 0 die Abtastfrequenz oder Samplingfrequenz ) des Signals kennt, die z.B. mit einem Messdatenerfassungssystem aufgenommen wurden.

Seite 228

Fourierreihen und Fourierintegral In Mathcad stehen für die Fast-Fourier-Transformation und inverse Transformation die nachfolgend angeführten Funktionen zur Verfügung. Dabei ist zu beachten, dass der ORIGIN vor dem Einsatz dieser Funktionen auf null gesetzt wird ! Schnelle diskrete Fourier-Transformation für reelle Daten:

fft ( Y)

Cn =

k § j˜2˜S˜ ˜n· ¨ N © Yk ˜ e ¹

N 1

1

¦

˜

N

k

ifft ( C)

Yn =

N1

1

¦

˜

N

0

k

k §  j˜2˜S˜ ˜n· ¨ N © Ck ˜ e ¹

0

j ist die imaginäre Einheit. n = 0,1,2,...,N/2. N  ² ist die Anzahl der reellen diskreten Daten (Messungen in regelmäßigen Abständen im Zeitbereich) des Vektors Y, wobei dieser Vektor genau 2m = N Daten enthalten muss. Die Fast-Fourier-Transformierte fft(Y) liefert einen Vektor Cn mit 2m-1 + 1 Elementen zurück. Die Invers-Fast-Fourier-Transformierte ifft(C) liefert einen Vektor Yn mit 2m-1 + 1 Elementen zurück. Diese Funktionen sind invers zueinander: ifft(fft(Y)) = Y . Diese Funktionen gehen von einer Symmetrie der Transformation aus, daher sind auch genau 2m Daten erforderlich.

FFT ( y)

cn =

1 N

N1

˜

¦

k

k §  j˜2˜S˜ ˜n· ¨ N © yk ˜ e ¹

k § j˜2˜S˜ ˜n· ¨ N © ck ˜ e ¹

N1

IFFT ( c)

yn =

¦

k

0

0

j ist die imaginäre Einheit. n = 0,1,2,...,N/2. N  ² ist die Anzahl der reellen diskreten Daten (Messungen in regelmäßigen Abständen im Zeitbereich) des Vektors y, wobei dieser Vektor genau 2m = N Daten enthalten muss. Die Fast-Fourier-Transformierte FFT(y) liefert einen Vektor cn mit 2m-1 + 1 Elementen zurück. Die Invers-Fast-Fourier-Transformierte IFFT(c) liefert einen Vektor yn mit 2m-1 + 1 Elementen zurück. Diese Funktionen sind invers zueinander: IFFT(FFT( y)) = y. Diese Funktionen gehen ebenfalls von einer Symmetrie der Transformation aus, daher sind auch genau 2 m Daten erforderlich. FFT(y) bzw. IFFT(c) unterscheiden sich von fft(Y) bzw. ifft(C) nur dadurch, dass anstatt des Normierungsfaktors 1/ N (amerikanische Version) der Faktor 1/N verwendet wird und der Exponent der e-Funktion negativ ist. Schnelle diskrete Fourier-Transformation für reelle und komplexe Daten:

cfft ( Y)

Cn =

1 N

N1

˜

¦

k

k § j˜2˜S˜ ˜n· ¨ N © Yk ˜ e ¹

icfft ( Y)

0

Yn =

1 N

N 1

˜

¦

k

k §  j˜2˜S˜ ˜n· ¨ N © Ck ˜ e ¹

0

j ist die imaginäre Einheit. n = 0,1,2,...,N-1. N  ² ist die Anzahl der reellen oder komplexen diskreten Daten des Vektors (oder Matrix) Y (beliebiger Größe). Die Fast-Fourier-Transformierte cfft(Y) liefert einen Vektor (oder Matrix) Cn derselben Größe wie der als Argument übergebene Vektor Y bzw. wie die als Argument übergebenen Matrix zurück. Die Invers-Fast-Fourier-Transformierte icfft(C) liefert einen Vektor (oder Matrix) Yn derselben Größe wie der als Argument übergebene Vektor C bzw. wie die als Argument übergebenen Matrix zurück. Diese Funktionen sind invers zueinander: icfft(cfft( Y)) = Y. Diese Funktionen gehen nicht von einer Symmetrie der Transformation aus.

Seite 229

Fourierreihen und Fourierintegral

CFFT ( y)

cn =

N1

1

˜

N

¦

k

k §  j˜2˜S˜ ˜n· ¨ N © yk ˜ e ¹

N 1

ICFFT ( c)

yn =

0

¦

k

k § j˜2˜S˜ ˜n· ¨ N © ck ˜ e ¹

0

j ist die imaginäre Einheit. n = 0,1,2,...,N-1. N  ² ist die Anzahl der reellen oder komplexen diskreten Daten des Vektors (oder Matrix) y (beliebiger Größe). Die Fast-Fourier-Transformierte CFFT(y) liefert einen Vektor (oder Matrix) cn derselben Größe wie der als Argument übergebene Vektor y, bzw. wie die als Argument übergebenen Matrix zurück. Die Invers-Fast-Fourier-Transformierte ICFFT(c) liefert einen Vektor (oder Matrix) yn derselben Größe wie der als Argument übergebene Vektor c, bzw. wie die als Argument übergebenen Matrix zurück. Diese Funktionen sind invers zueinander: ICFFT(CFFT( y)) = y. CFFT(y) bzw. ICFFT(c) unterscheiden sich von cfft(Y) bzw. icfft(C) nur dadurch, dass anstatt des Normierungsfaktors 1/ N (amerikanische Version) der Faktor 1/N verwendet wird und der Exponent der e-Funktion negativ ist. In allen oben angegebenen Summen gilt: Z 0 ˜ t k = 2 ˜ S ˜

k N

.

tk sind die äquidistanten Abtastzeitpunkte. Das Fourierpolynom kann nach FFT folgendermaßen in komplexer Schreibweise dargestellt werden:



n max



yp nmax  t = c0 

¦

n

i˜n˜Z 0˜t   i˜n˜Z 0˜t· § N  cn ˜ e © cn ˜ e ¹ mit nmax d 2 .

1

N/2 ergibt sich aus Symmetriegründen der Fourierkoeffizienten.

Beispiel 13.9: Es soll ein periodisches Rechtecksignal (periodische Funktion f(t) mit Periodendauer T 0 ) an N äquidistanten Stellen abgetastet werden. ORIGIN  0 Z0  1 T0  2 ˜

't 

f0  S Z0

T0 500

A0  2

ORIGIN festlegen

T0

Z0 2˜ S 6.283

f0

0.159

Frequenz des Messsignals

Periodendauer des abzutastenden Signals

Schrittweite

Amplitude

Seite 230

Fourierreihen und Fourierintegral





f t  A0 

A0 if 0  t  A0 if

T0 2 gegebene Zeitfunktion (Symbolleiste Programmierung)

T0

 t  T0 2

0 otherwise t1  0  't  T0

Bereichsvariable 4 2



f t1  A0



2

1

T0 0

1

2

2 3

T0 4

5

6

7

8

Abb. 13.28

2 4 t1 s

Zuerst wird wegen fehlender Messdaten eine strukturierte ASCII-Datei MESSDATEN.DAT mit den entsprechenden Messwerten erstellt. Die Anzahl der Abtastwerte sei eine Zweierpotenz. N sollte mindestens doppelt so groß wie die höchste Oberwelle im Messsignal sein (Abtasttheorem). Eine Rechteckschwingung besitzt unendlich viele Oberwellen, daher ist das Abtasttheorem nicht streng erfüllbar und eine exakte Rücktransformation mittels Fast-Fourier ist ohne Fehler nicht möglich.

m 5 m

N 2

N

32

k  0  N  1 tk 

T0 N

Bereichsvariable

˜k



Abtastzeitpunkte



yk  f tk  A0

Abtastwerte

M1  erweitern ( t  y)

Messdatenmatrix aus Abtastzeitpunkten und Abtastwerten

PRNPRECISION  4

Genauigkeit der Messdaten in der ASCII-Datei

PRNSCHREIBEN ( "MESSDATEN.DAT" )  M1

Strukturierte ASCII-Datei erstellen

Einlesen einer Messdatendatei (Siehe auch Kapitel 19 Schnittstellen): M1  PRNLESEN ( "MESSDATEN.DAT" )



¢0² N  länge M1



N

32

Die Anzahl der (tk,yk) Abtastwerte kann mit der länge-Funktion bestimmt werden.

¢0² t  M1

¢1² y  M1

Die Datenvektoren werden aus der eingelesen Datenmatrix extrahiert.

Seite 231

Fourierreihen und Fourierintegral

T

0

t

0

0

T

0

y

0

N

1 0.196 1

0

2

2 2

0.393 3

2

4

0.589

4 2

k  0  N  1

32

3

5 2

0.785 6

2

5 0.982

7 2

6

8 2

7

1.178 9

2

10 2

8

1.374 11

2

2

9

1.571 12

13

2

10

1.767 14

2

1.963

15

2

16

2

0

Bereichsvariable Abgetastetes Meßsignal

2

T0

T0

2 yk 0

1

2

3

4

5

6

7

2 tk

Abb. 13.29 Fast-Fouriertransformation (FFT): c  FFT ( y)

Berechnung der FFT-Koeffizienten

Frequenz- Linien- oder Amplitudenspektrum: n  0 

N

Bereichsvariable

2

 a1 n  cn  cn

a1 0  c0

3

2˜ c n



Frequenzspektrum

3

a1n

1.5



 b1n  j ˜ cn  cn

die reellwertigen Fourierkoeffizienten

Frequenzspektrum

3

b1n

1.5

Frequenzspektrum

1.5

0 2 4 6 8 101214 16

0 2 4 6 8 101214 16

0 2 4 6 8 10121416

n

n

n

Abb. 13.30

Seite 232

Fourierreihen und Fourierintegral

Inverse Fast-Fouriertransformation (IFFT): y  IFFT ( c)

Berechnung der IFFT-Koeffizienten

1.8

T0

T0

2 yk

0.2 0

1

2

3

4

5

6

2.2 tk

Abb. 13.31 Fourierkoeffizienten einer Rechteckschwingung mit Amplitude A 0 : a2 n  0 T1

´ 2 4 µ 2˜ S § · b2n = A01 ˜ sin ¨ n1 ˜ ˜ t2 dt2 ˜µ T1 µ T1 © ¹ ¶ 0

ª

b2n  wenn « n = 0  0 

¬

annehmen  A 01 ! 0 annehmen  T1 ! 0 o b2n = 2 ˜ A01 ˜

cos ( n1 ˜ S )  1 n1 ˜ S

vereinfachen

ª¬ 1  ( 1) nº¼ º» n˜ S ¼

2 ˜ A0

Fourierkoeffizienten der Rechteckschwingung mit Fast-Fourierkoeffizienten im Vergleich: a2 n

a1 n

b2n

b1n

0

0

0

0

0

-2.626·10 -13

2.5465

2.5383

0

0

0

0

0

1.897·10 -12

0.8488

0.8241

0

0

0

0

0

-3.363·10 -13

0.5093

0.4677

0

0

0

0

0

1.828·10 -12

0.3638

0.3046

0

0

0

0

0

-2.127·10 -14

0.2829

0.2052

Der aufsummierte quadratische Fehler sollte verschwinden:

¦ a2n  a1n

2

¦ b2n  b1n

2

0

n

0.057

n

Je größer die Abtastwerte N , desto besser ist die Übereinstimmung der Fourierkoeffizienten und der Fast-Fourierkoeffizienten. Abtastwerte der Funktion f(t) und Fourierpolynom y p(nmax,t) im Vergleich:





yp t  nmax  c0 

nmax

¦

n

i˜n˜Z 0˜t   i˜n˜Z 0˜t· §  cn ˜ e © cn ˜ e ¹

1

Seite 233

Fourierpolynom in komplexer Formulierung

7

Fourierreihen und Fourierintegral

T0 2

yk

T0

2

 yp  t1  5 yp t1  2

0

1

2

3

4

5

6

§ N· yp ¨t1  © 2¹ 2

tk  t1  t1  t1

Abb. 13.32 Beispiel 13.10: Es soll ein verrauschtes Messsignal gefiltert werden, und dann das Originalsignal soweit wie möglich wieder hergestellt werden: m 7 m

N 2

N

128

Die Anzahl der Abtastwerte sei eine Zweierpotenz. N sollte mindestens doppelt so groß wie die höchste Oberwelle im Messsignal sein (Abtasttheorem).

k  0  N  1

Bereichsvariable







u ( t ) = 1 ˜ V ˜ sin 3 ˜ Z 0 ˜ t  2 ˜ V ˜ cos 5 ˜ Z 0 ˜ t Es gilt: n ˜ Z 0 ˜ tk = n ˜ 2 ˜ S ˜

k



Gegebenes periodisches Signal T0

˜k . N N Damit erhalten wir die Abtastwerte für das gegebene periodische Signal:

§ ©

uk  1 ˜ V ˜ sin ¨ 3 ˜ 2 ˜ S ˜

k· N¹

mit den Abtastzeitpukten tk 

§ ©

 2 ˜ V ˜ cos ¨ 5 ˜ 2 ˜ S ˜

k· N¹

Wir fügen nun ein zufälliges Rauschen mithilfe der rnd-Funktion zum Signal hinzu ((rnd(2) - 1) liefert eine Zufallszahl zwischen -1 und +1) und bekommen dann ein verrauschtes Messsignal:

Spannung

uvk  uk  ( rnd ( 2)  1) ˜ V

uk uvk

0

20

40

60

80

100

120

Abb. 13.33

k Originalsignal Verr. Messsignal

Seite 234

Fourierreihen und Fourierintegral

U  FFT ( uv) n  0 

Fast-Fourier Koeffizienten des verrauschten Messsignals

N

Bereichsvariable im Frequenzbereich

2

D  0.15 ˜ V

Schwelle für die spektrale Rauschreduktion Frequenzspektrum

Spannung

1 Un D

m Messignal 0.5

0

0

10

20

30

40

50

60

m Schwelle m Rauschen

n Frequenz

Abb. 13.34 Wir filtern nun jene harmonischen Oberschwingungen heraus, deren Amplitude | Un | kleiner als die Schwelle D ist. Um sie auf null zu setzen, benützen wir die Heaviside-Funktion: Uf n  Un ˜ )



Un  D



Gefilterte Fast-Fourier Koeffizienten

Eine Alternative zur Heaviside-Funktion wäre auch noch die wenn-Funktion: Ufn := wenn( | Un | < D , 0 , Un ). Es könnten aber auch andere Filter eingesetzt werden.

Spannung

1 Ufn D

0.5

0

0

10

20

30

40

50

60

n Frequenz

Abb. 13.35 Das gefilterte Messsignal wird nun mittels IFFT in den Zeitbereich zurücktransformiert und anschließend grafisch mit dem Originalsignal verglichen: uf  IFFT ( Uf )

Seite 235

Spannung

Fourierreihen und Fourierintegral

uk uvk 0

20

40

60

80

100

120

ufk

k Originalsignal Verrauschtes Messsignal Gefiltertes Messsignal

Abb. 13.36 Durch die Erhöhung der Anzahl der Abtastwerte kann eine bessere Übereinstimmung erzielt werden. 13.4 Fouriertransformation Bei periodischen Funktionen y = f(t) führt die Fourier- Analyse stets zu einem Linienspektrum . Bei nichtperiodischen Funktionen ist ein kontinuierliches Spektrum zu erwarten. In der Praxis treten viele einmalige Vorgänge auf, die nicht periodisch sind. Die Analyse nichtperiodischer Funktionen, wie z. B. einem einmaligen Impuls, leitet man aus einer periodischen Funktion her, indem man die Periode immer größer werden läßt. Eine Vergrößerung der Periodenlänge T 0 ist gleichbedeutend mit der Verkleinerung der Frequenz von f 0 bzw ZIm Frequenzspektrum (Amplituden oder Linienspektrum) des periodischen Vorganges rücken die einzelnen Spektrallinien immer näher zusammen. Durch den Grenzübergang T 0 o f entsteht schließlich ein kontinuierliches Spektrum, weshalb k Z0 als ein Kontinuum Z beschreibbar ist, und alle Frequenzen zwischen - f und + f enthält (Frequenzoder Amplitudendichtespektrum). Anstelle der trigonometrischen Summe der Fourierreihe tritt ein Integral, das Fourierintegral, das sich über alle Frequenzen von -f bis +f erstreckt. In der Naturwissenschaft und Technik ist die Fouriertransformation eine sehr wichtige Integraltransformation. Dabei wird einer Zeitfunktion y = f(t) ihr Frequenzspektrum F(Z) zugeordnet und umgekehrt. Die unendlichen Summen der komplexen Fourierreihe gehen durch den Grenzübergang in das FourierIntegral über. Die Fouriertransformierte F(Z), als eine kontinuierlich verteilte Funktion von Z, ergibt sich zu: T0

F { f(t) } =

´ 2 f µ  j ˜k˜Z 0˜t ´  j ˜Z˜t dt . F (Z ) = f ( t) ˜ e f ( t) ˜ e lim µ dt = µ ¶ T0 o f µ T0  f ¶ 2

Die Fourierrücktransformierte (inverse Fouriertransformation), also die Zeitfunktion f(t), erhalten wir aus analogem Übergang der Fourierreihe für T0 o f :

F

-1

{ F( Z) } = f ( t) =

f

´ j ˜Z˜t ˜µ dZ F (Z ) ˜ e 2 ˜ S ¶ f 1

.

Seite 236

Fourierreihen und Fourierintegral

Die Fourieranalyse hat heute eine besondere Bedeutung in der praktischen Auswertung in Form der Fast-Fourier-Transformation (FFT- siehe oben), die einem zeitdiskreten Signal f(t) der jetzt normierten Zeitvariablen tn = n * 't (n = 0, 1, ... N-1 und 't = 1) ein frequenzdiskretes Spektrum an den Stellen k = 0, 1 ... N-1 der jetzt normierten Frequenzvariablen f = k/N ('f = 1/(N*'t) = 1/N) zuordnet. Durch die Diskretisierung des Fourierintegrals über ein endliches Intervall mit N-Punkten ergibt sich: ´ F (Z ) = µ ¶

f

 j ˜Z˜t

f ( t) ˜ e

f

k §  j˜2˜S˜ ˜n· ¨ N © yn ˜ e ¹

N1

dt

| Fk =

¦

n

mit k = 0, 1 ... N-1.

0

Die Rücktransformation erhält man aus: f

´ j˜Z˜t f ( t) = ˜µ F (Z ) ˜ e dZ 2 ˜ S ¶ f 1

| yn =

1 N

N 1

˜

¦

k

k § j˜2˜S˜ ˜n· ¨ N © Fk ˜ e ¹mit n = 0, 1 ... N-1.

0

Der Transformationsalgorithmus ist für N = 2 m besonders effizient. Hierdurch werden die Grenzen zur Fourierreihe verwischt, denn die diskreten Spektren gehören zu Funktionen, die auf der Zeitachse mit N und der Frequenzachse mit 1 periodisch sind. Bemerkung: Vergleicht man die hier angegebenen Näherungen für F und y mit den in Kapitel 13.3 angeführten Funktionen FFT und IFFT von Mathcad, so gilt: FFT ( y) =

1 N

˜ F und IFFT ( F) = N ˜ y .

G-Impuls und Heaviside-Sprungfunktion ): Neben dem Einheitssprung (Heavisidefunktion )) spielt der Dirac-Impuls G eine besondere Rolle (kurzer und starker Impuls zum Zeitpunkt t = 0 s wie z.B. Spannungsstoß, Kraftstoß, punktförmige Ladung). Der Dirac-Impuls ist ein idealisierter, technisch nur näherungsweise darstellbarer Impuls. Er tritt zwar in der Natur nie exakt auf (physikalische Größen können keine unendlichen Werte annehmen), bei der mathematischen Beschreibung von Systemen bietet er aber vielfach sehr bequeme und genau Näherungen an das tatsächliche dynamische Verhalten. Die Reaktion eines Systems auf die Impulsfunktion als Eingangsgröße heißt Impuls-Antwort bzw. Gewichtsfunktion. Mathematisch wird er als Ableitung des Einheitssprungs definiert, was wegen der Unstetigkeit von )(t) allerdings Schwierigkeiten bereitet. Man stellt sich daher besser die Dirac-Funktion als Grenzwert für T o 0 vor, den ein "differenzierendes System" liefert. Der G-Impuls oder Dirac-Impuls stellt keine Funktion, sondern eine Distribution dar! In der Symbol-Engine von Mathcad ist der Dirac-Impuls G(t) durch '(t) = 0 für t z0 bzw. '(Z) = 0 für Z z0 definiert. Für t = 0 bzw. Z = 0 ist der Dirac-Impuls f Der Dirac-Impuls kann natürlich nicht als Funktion (z.B. f(t) := '(t)) dargestellt werden!

Seite 237

Fourierreihen und Fourierintegral

Beispiel 13.11: Übergang vom Rechteckimpuls zum G-Impuls (Veranschaulichung mit Mathcad): G ( t) =

ª 1 ˜ ( ) ( t)  ) ( t  T) )º « » ¬T ¼

lim To0

1

f ( t  T) 

T

und

´ µ ¶

f

G ( t ) dt = 1

f

˜ ( ) ( t )  ) ( t  T) )

Rechteckimpuls

T

Siehe auch Kapitel 19. Aus dem Kontextmenü (rechte Maustaste auf dem Slider) können die Mathsoft Slider Control-Objekt Eigenschaften eingestellt werden: Minimum: 2; Maximum 30; Teilstrichfähigkeit 1.

13 1

T

T

T

Periodendauer

0.077

t  1  1  0.001  1

Bereichsvariable Fläche des Rechteckimpulses der Höhe 1/T:

Sprungfunktion und Dirac-Impuls 1 T

f( t  T) 3  ) ( t)

´ µ ¶

f

f ( t  T) d t o 1

f

10

2  ) ( t T)

Berechnung mit dem Mathcad Dirac-Impulses '(t):

1

0.5

0

0.5

t

1

´ µ ¶

f

' ( t ) dt o 1

f

Abb. 13.37 Beispiel 13.12: In Beispiel 13.9 wurde das Linienspektrum einer periodischen Rechteckfunktion ermittelt. Hier soll das Spektrum eines Rechteckimpulses (Spannungsimpuls) untersucht werden: ORIGIN  40

ORIGIN festlegen

n  40  39  40

Bereichsvariable

Z0  1 ˜ s T0 

Û

1

2˜ S Z0 1 T0

˜V˜s

Kreisfrequenz

T0

6.283 s

Periodendauer

Amplitude

Seite 238

Fourierreihen und Fourierintegral

§ §

T0 ·

© ©

2

u ( t)  Û ˜ ¨ ) ¨ t 

¹

§

 ) ¨t 

T0 · ·

©

2

periodische Rechteckspannung

¹¹

t  T0  T0 ˜ 0.99  T0

Bereichsvariable Periodische Rechteckspannung 

0.2

T0

u ( t)

Die periodische Rechteckspannung wird hier nur über eine Periode dargestellt.

T0

2

2 0.1

8

6

4

2

0

2

4

6

8

Abb. 13.38

t

Numerische Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten für die periodische Rechteckspannung: 1

c1 n 

˜s

´2  j˜n˜Z 0˜t 1 µ u ( t) ˜ e ˜µ dt T0 µ 1 ¶ ˜s



c1 n  wenn c1 n  TOL ˜ V  0 ˜ V  c1 n



2

Amplituden- oder Frequenzspektrum

0.03

1 df = f0 = T0

0.02 c1n 0.01

0

Abb. 13.39 40

20

0

20

40

n

Eine Vergrößerung der Periodendauer T 0 (f0 = 1/T 0 ) ist gleichbedeutend mit der Verkleinerung der Frequenz von f0 bzw. Z0 ( Z = 2 Sf 0 ; f = n f0 ). Das bedeutet, dass im Amplitudenspektrum die Spektrallinien immer näher zusammenrücken. Mit T0 o fentsteht ein kontinuierliches Spektrum. Fouriertransformation eines Spannungsimpulses: Direkte symbolische Auswertung des Fourierintegrals: T

´2 ´ 1 µ  j˜Z˜t  j ˜Z˜t dt dt = ˜ µ F (Z ) = µ u ( t) ˜ e e ¶ T µ T f ¶ f

2

Seite 239

Fourierreihen und Fourierintegral

Symbolisch vereinfacht über das Symbolik-Menü und weiter umgeformt ergibt: T

´2 1 µ  j˜Z˜t ˜µ dt vereinfacht auf e T µ T ¶

§ 1 ˜ T ˜ Z· §1 · sin ¨ ˜ T ˜ Z 2 2 © ¹ = © ¹ = sinc § 1 ˜ T ˜ Z · ¨ T˜Z 1 ©2 ¹ ˜T˜Z

sin ¨ 2˜

sinc-Funktion (Spaltfunktion)

2

2

Auswertung über das Symbolik-Menü:

§ § T © © 1

˜ ¨) ¨t 

T· 2¹

§ ©

 ) ¨t 

T ··

Cursor auf t stellen und mit Symbolik-MenüTransformation-Fourier auswerten (oder: + STF)

2 ¹¹

hat Fourier-Transformation

§ 1 ˜ i ˜ T ˜ Z · ˜ § S ˜ ' ( Z )  i ·  exp § 1 ˜ i ˜ T ˜ Z · ˜ § S ˜ ' ( Z )  i · º ¨ ¨ ¨ » Z¹ Z ¹¼ ©2 ¹ © ©2 ¹ ©

ª T ¬ 1

'(Z) bedeutet den Diracschen DeltaImpuls G(Dirac-Stoß)

˜ « exp ¨

vereinfacht auf

§ 1 ˜ T ˜ Z· ©2 ¹

sin ¨ 2 ˜ i ˜ ( S ˜ ' ( Z ) ˜ Z  i) ˜

T˜Z

§ 1 ˜ T ˜ Z· ©2 ¹

sin ¨ 'Z  0 für Z z0, also folgt daraus:

2˜

T˜Z

Auswertung mit den symbolischen Operatoren: t t

T T

§ § T © © 1

˜ ¨) ¨t 

§ § T © © 1

˜ ¨) ¨t 

§ § T © © 1

˜ ¨) ¨t 

T· 2¹ T· 2¹

T· 2¹

Redefinitionen

§ ©

 ) ¨t 

§ ©

 ) ¨t 

§ ©

 ) ¨t 

T ·· 2 ¹¹ T ·· 2 ¹¹

T ·· 2 ¹¹

§ 1 ˜ T ˜ Z· ©2 ¹

sin ¨

fourier  t

o 2 ˜ i ˜ ( S ˜ ' ( Z ) ˜ Z  i) ˜ vereinfachen

T˜Z

§ §1 § 1 ˜ i ˜ T ˜ Z · · · exp ¨ ˜ i ˜ T ˜ Z exp ¨ ¨ fourier  t 1 ©2 ¹  i˜ ©2 ¹ o ˜ ¨ i ˜ annehmen  Z ! 0 T © Z Z ¹ fourier  t

§1 · ˜T˜Z 2 © ¹

sin ¨

annehmen  Z ! 0o 2 ˜

T˜Z

vereinfachen

Rücktransformation in den Zeitbereich mit den symbolischen Operatoren:

§ 1 ˜ T ˜ Z· ©2 ¹

sin ¨ 2˜

T˜Z

invfourier  Z

1

o ˜ vereinfachen 2

§ ©

) ¨ t 

1 2

· ¹

§ ©

˜ T  ) ¨ t 

1 2

§ ©

· ¹

˜ T  ) ¨t 

1 2

· ¹

T

Eine Vereinfachung wird hier in Mathcad bei der Rücktransformation nicht durchgeführt !

Seite 240

§ ©

˜ T  ) ¨ t 

1 2

· ¹

˜T

Fourierreihen und Fourierintegral

Grafische Darstellung des Spannungsimpulses im Zeitbereich: T 1

Impulsbreite

§ § T © © 1

u ( t) 

˜ ¨) ¨t 

T· 2¹

§ ©

 ) ¨t 

T ··

Spannungsimpuls

2 ¹¹

t  2 ˜ T  2 ˜ T ˜ 0.99  2 ˜ T

Bereichsvariable

Einzelner Impuls im ZEITBEREICH 2



u ( t)

1

T

T

2

2

T

Abb. 13.40 2

1

0

1

2

t

Grafische Darstellung des fouriertransformierten Spannungsimpulses im Frequenzbereich: F (Z )  Z

j Z˜T

§ 1 ˜ j ˜ Z ˜ T·  j ˜ exp § 1 ˜ j ˜ Z ˜ T· ¨ ©2 ¹ Z˜T ©2 ¹

komplexwertige Darstellung der Fouriertransformierten

˜ exp ¨

10 ˜ S 9.99 ˜ S 10 ˜ S   T T T

Bereichsvariable

Der fouriertransformierte Spannungsimpuls (Spektralfunktion) liefert im Frequenzbereich ein kontinuierliches Frequenzspektrum: FREQUENZBEREICH

FREQUENZBEREICH

1

Re( F( Z ) )

0.5

Re( F( Z ) )

Im( F( Z ) ) 40

20

0

20

1  2S

2˜S

T

T

0.5

40

0.5

40

20

0

20

40

Z

Z

Abb. 13.41

Abb. 13.42

Die reellwertige Darstellung der Fouriertransformierten heißt sinc-Funktion oder Spaltfunktion (sie ist in Mathcad bereits definiert):

§ 1 ˜ T ˜ Z· ©2 ¹

sin ¨ F (Z ) =

1 2

˜Z˜T

Diese Funktion besitzt bei Z = 0 eine Lücke. Diese kann jedoch geschlossen werden, weil der Grenzwert mit Z o0 existiert.

Seite 241

Fourierreihen und Fourierintegral § 1 ˜ T ˜ Z· ©2 ¹

F ( Z )  sinc ¨

Reellwertige Spektralfunktion FREQUENZBEREICH 1

 2S

2˜

T

F( Z ) 40

30

20

10

0

S T 10

20

30

1 Z

Abb. 13.43 Beispiel 13.13: Fast-Fourier- und Inverse Fast-Fourier-Analyse eines Rechteckimpulses: ORIGIN  0 T 9

Impulslänge -1 1

p ( t) 

T

˜ ) ( T  t)

Rechteckimpuls

t  0  T  1

Bereichsvariable Einzelner Impuls im ZEITBEREICH

0.2

1 T

p ( t) 0.1

Abb. 13.44

0

5

10 t

m

m  10

N 2

N

1024

Die Anzahl der Abtastwerte sei eine Zweierpotenz.

k  0  N  1

Bereichsvariable

tk  k

Abtastzeitpunkte



pk  p tk

Abtastwerte

F  N ˜ FFT ( p)

Frequenzfunktionswerte (FFT ist mit N zu multiplizieren! Siehe Bemerkung oben.)

n  0  fn 

n N

N 2

Fourierfrequenz Index

Frequenzvektor

Seite 242

40

Fourierreihen und Fourierintegral

FREQUENZBEREICH

1.5

Betrag der Spaltfunktion (sinc-Funktion)

1

Fn

0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Abb. 13.45

fn

IFFT ( F)

pr 

Zeitfunktionswerte (IFFT ist durch N zu dividieren! Siehe Bemerkung oben.)

N

Zeitfunktion und Rücktransformierte

1 T

pt

Zeit- und Rücktransformierte stimmen gut überein!

0.1

pr  0.002 t

0.05

0

2

4

6

8

10

Abb. 13.46

t

Beispiel 13.14: Symbolische Auswertungen des Dirac-Impulses: t t

Redefinition

´ G ( t) = µ ¶

f

' ( t ) dt

ergibt

´ G ( t) = µ ¶

G ( t) = 1

f

´ µ ¶

' ( t ) dt o G ( t ) = 1

f

f

' ( t ) ˜ f ( t ) dt

ergibt

´ µ ¶

f ( 0)

f

' ( n  1)

f

f

' ( t  a) ˜ f ( t) dt

ergibt

f ( a)

ergibt

' ( n  1  t)

f

ergibt

d

0

dt

' ( n  t)

Fouriertransformation des Dirac-Impulses: ' ( t)

hat Fourier-Transformation

1

hat inverse Fourier-Transformation

Auswertung über Symbolik-Menü oder Cursor auf t und + STF

Cursor auf 1 und + STO

Seite 243

' ( t)

Fourierreihen und Fourierintegral

Beispiel 13.15: Fouriertransformation und inverse Fouriertransformation eines Cosinus-Impulses : Z0  Z0



cos Z 0 ˜ t

Z Z





t t

Redefinitionen







S ˜ ' Z  Z0  S ˜ ' Z  Z0 1 2





˜ exp i ˜ Z 0 ˜ t 





1 2





1

hat inverse Fourier-Transformation



˜ exp i ˜ Z 0 ˜ t





S ˜ ' Z  Z0  S ˜ ' Z  Z0

hat Fourier-Transformation







cos Z 0 ˜ t

vereinfacht auf





2

bzw.

+ STF





˜ exp i ˜ Z 0 ˜ t 



1 2



+ STO

˜ exp i ˜ Z 0 ˜ t



+ SR



cos Z 0 ˜ t fourier  t o S ˜ ' Z  Z 0  S ˜ ' Z  Z 0







invfourier  Z



S ˜ ' Z  Z0  S ˜ ' Z  Z0



o cos Z 0 ˜ t vereinfachen



Beispiel 13.16: Bei einer Messung ist man grundsätzlich am analytischen Signal interessiert, doch solche Signale sind von ungewollten Komponenten überlagert, die als "Rauschen" klassifiziert werden. Es gibt dabei verschiedene Kategorien. Wir wollen hier nur ein zufällig überlagertes "Rauschen" betrachten, das bei jedem Signal präsent und unabhängig von der Signalstärke ist. Es ist statistischen Ursprungs und kann nicht eliminiert, sondern nur minimiert werden. Für die meisten Messungen ist das zufällige "Rauschen" konstant und unabhängig von der Stärke des analytischen Signals. Wir simulieren nun ein analytisches Signal. Es beinhaltet eine Serie von Lorentz-Bändern. Dies könnte ein typisches Signal repräsentieren, welches bei irgendeiner spektroskopischen Messung aufgenommen wurde. 10

N 2

k  0  N  1

Datenanzahl und Bereichsvariable

A  100

BW  20

Signalamplitude und Bandweite A

Sigk 

A N· § 4 ˜ ¨k  4¹ © 1 BW

2

ZR  rnorm ( N  0  RP)

2

A

2



N· § 4 ˜ ¨k  2 ˜ 4¹ © 1 BW

2

2

3



N· § 4 ˜ ¨ k  2.5 ˜ 4¹ © 1 BW

2

Lorentz Signal

2

Zufälliges "Rauschen" erzeugt mit dem Zufallsgeneratur rnorm. Verrauschtes Signal

Sig k

80

Abb. 13.47

Sig k ZRk 30

20

0

200

400

600 k

Seite 244

800

1000

Fourierreihen und Fourierintegral RP { 10

Rauschpegel (Globale Zuweisung zur Simulation)

Nachfolgend soll aus dem Signal das zufällige Rauschen soweit als möglich entfernt werden, um das analytische Signal sichtbar zu machen. Dazu werden Filter eingesetzt. Ein Digital-Filter bietet gegenüber einem Analog-Filter eine bessere Kontrolle der Output-Daten. Signal-Filter sind Computer basierend und man kann daher leicht verschiedene alternative Filter einsetzen. Es ist aber Vorsicht geboten ! Einen Filter zu wählen, welches das meiste Rauschen entfernt, kann auch das analytische Signal zerstören. Wir versuchen hier einen einfachen Gauß-Filter einzusetzen. n  0 

N

Fourierfrequenz Index

2 n

 4˜ln( 2)˜

2

BW1

GFn  e

Gaußfilterfunktion (Digitalfilter)

2

FTSig  N ˜ FFT ( Sig  ZR)

Fast Fouriertransformation vom verrauschten Signal

FTFiltern  FTSign ˜ GFn

Gefiltertes Signal mit Digital-Filter

GSig 

1 N

˜ IFFT ( FTFilter)

Inverse Transformation des gefilterten Signals FT vom verrauschten Signal

1 10

4



Re FTSign

Feste Einstellung der Frequenzachse zwischen 0 und 511.

5000



0

5000

0

100

200

300

400

500

Abb. 13.48

n Fourier-Frequenzen

Original Signal und gefiltertes Signal

Feste Einstellung der Achsen: 0 bis N-1 bzw. - 2 RP und 1.1 A.

80 GSigk Sigk 30

20

0

200

400

600

800

1000

k Gefiltertes Signal Original Signal

BW1 { 150

Abb. 13.49

Filterbandweite des Gaußfilters (Globale Zuweisung zur Simulation). Damit sollte auf jedem Fall experimentiert werden (z.B. 100 u.a. Werten).

Seite 245

Laplace- und z-Transformation

14. Laplace- und z-Transformation Symbolische Auswertungsmöglichkeiten: x x

Variable mit Cursor ( | ) markieren, im Menü-Symbolik Auswertungsformat und Menü-Symbolik-Transformationen-Laplace bzw. Z (Laplace oder Z invers) wählen. Symboloperator " o " und Schlüsselwörter "laplace", "ztrans" bzw. "invlaplace", "invztrans".

Abb. 14.1

14.1 Die Laplacetransformation Integraltransformationen, wie Fouriertransformation, Laplacetransformation und z-Transformation ermöglichen in vielen Fällen die symbolische Lösung vieler Gleichungen und linearer Gleichungssysteme folgender Typen: Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen , Integralgleichungen und Differenzengleichungen. Die Laplacetransformation eignet sich besonders zum Lösen von linearen Differentialgleichungen und Differentialgleichungssystemen. Die Differentialgleichung wird mittels Transformation in eine algebraische Gleichung umgewandelt. In der Regelungstechnik werden z.B. die Stabilitätskriterien rückgekoppelter Netzwerke nicht im Zeitbereich, sondern gleich im Bildbereich (Laplace-Bereich) untersucht. Eine physikalische Interpretation der Transformation (wie bei der Fouriertransformation) ist aber nicht möglich. Zusammenhang zwischen Fouriertransformation und Laplacetransformation:

Die Konvergenzbedingung für das Fourier Integral lautet:

´ µ ¶

f

f ( t ) dt  f .

f

Diese Bedingung ist aber leider bereits für einfache und praktisch wichtige Zeitfunktionen (wie z. B. Sprungfunktion) nicht erfüllt ! Wenn man jedoch die Zeitfunktion für t < 0 identisch 0 setzt und für t t 0 mit e- Gt (G > 0) multipliziert, geht die Fouriertransformation in die Laplacetransformation über. Bei vielen Anwendungen existieren derartige Integrale. Dies ist der Grund, weshalb insbesondere bei Ausgleichsvorgängen (z.B. Einschaltvorgängen in der Regelungstechnik) die Laplacetransformation oft bevorzugt wird.

Seite 246

Laplace- und z-Transformation

Die Fouriertransformation

F { f(t) }

=

´ F (Z ) = µ ¶

f

 j ˜Z˜t

f ( t) ˜ e

dt geht mit der Multiplikation

f

von e - Gt und der komplexen Frequenzvariablen s = G + j ZG, Z ) über in die Laplacetransformation. Der Zeitfunktion f(t) wird ihre einseitige Laplacetransformierte zugeordnet:

L

´

f

 G˜t

{ f(t) } = F ( s) = µ ¶

f ( t) ˜ e

 j ˜Z˜t

˜e

f

´ dt = µ ¶

f

 s˜t

f ( t) ˜ e

dt (Bildbereich).

0¯

Um aus dem Bildbereich wieder in den Originalbereich zurückzukehren, ist die inverse Laplacetransformation zu bilden aus

L

-1

{ F(s) } =

c j˜f

´ s˜t ˜µ f ( t) = F ( s ) ˜ e ds 2 ˜ S ˜ j ¶c j˜f 1

,

bzw. mithilfe des Residuensatzes

L

-1

Residuen F (s) ˜ es˜t

¦

{ F(s) } = f ( t) =

.

( Pole( F( s) )

F(s) stellt die spektrale Dichte der Zeitfunktion f(t) dar. Typische Vertreter sind z.B. Spannungen U(s) und Ströme I(s)) über der Einheit der komplexen Kreisfrequenz 1/sec = sec -1=2S Hz, sodass eine adäquate Einheit z.B. so aussieht: [ F(s) ] = [ f(t) ] / (2SHz) = [ f(t) ] sec. In Fällen, wo Verwechslungen der Laplacevariablen s und der Zeiteinheit s (Sekunde) möglich sind, ist es eventuell zweckmäßig, die Sekunde mit sec abzukürzen oder überhaupt die Laplace-Variable mit p zu bezeichnen.

14.1.1 Laplacetransformationen elementarer Funktionen Beispiel 14.1: Sprungfunktion (Einheitssprung )(t) - Heavisidefunktion): t  2  2  0.001  2 Bereichsvariable 2 1 ) ( t) 2

1

0

1

1 t

Abb. 14.2

Seite 247

2

Laplace- und z-Transformation

L {)(t)} =

´ F (s) = µ ¶

f

 s˜t

1˜ e

dt =

§  s˜t0  s˜0· e © e ¹ = 1

lim

Transformation der Sprungfunktion

s

s

t0 o f

0

Symbolische Auswertung des Laplaceintegrals: ´ µ ¶

f

 s˜t

1˜ e

dt o

lim tof

0

´ µ ¶

§ 1 ˜ exp ( s ˜ t)  1 · ¨ s¹ ©s

f

 s˜t

1˜ e

dt annehmen  s ! 0 o

0

1 s

Auswertung über das Symbolik-Menü bzw. mit symbolischen Operatoren: ) ( t) 1

1

hat Laplace-Transformation

s

hat inverse Laplace-Transformation

s t t

Auf t Strichcursor setzen und mit Menü-SymbolikTransformation-Laplace auswerten. Oder: + STL Auf s Strichcursor setzen und mit Menü-SymbolikTransformation-Inverse Laplace auswerten. Oder: + STA

1

Redefinition

1 laplace  t o

1

1

s

s

invlaplace  s o 1

Beispiel 14.2: Zeitverschobene Sprungfunktion: W 2

Konstante

f ( t)  ) ( t  W )

Zeitfunktion

t  1  1  0.001  4

Bereichsvariable 2 W 1

f( t)

Abb. 14.3 1

0

1

2

3

4

1 t

L {)(t-W)} =

´ F (s) = µ ¶

f

0

 s˜t

) (t  W ) ˜ e

´ dt = µ ¶

f

 s˜t

1˜ e

dt =

W

Symbolische Auswertung des Laplaceintegrals: ´ µ ¶

f

W

 s˜t

1˜ e

dt o

lim tof

§ 1 ˜ exp ( s ˜ t)  1 ˜ exp ( 2 ˜ s) · ¨ s ©s ¹ Seite 248

1 s

 W˜s

˜e

Transformation der zeitverschobenen Sprungfunktion (Verschiebungssatz).

Laplace- und z-Transformation

W W f

´ µ ¶

Redefinition  s˜t

1˜ e

dt annehmen  s ! 0 o

W

1 s

˜ exp ( W ˜ s )

Auswertung über das Symbolik-Menü bzw. mit symbolischen Operatoren:  2˜s

) ( t  2)

Auf t Strichcursor setzen und mit MenüSymbolik-Transformation-Laplace auswerten. Oder: + STL

e

hat Laplace-Transformation

s

 2˜s

e

hat inverse Laplace-Transformation

s

´ µ ¶

f

 s˜t

) (t  W ) ˜ e

dt annehmen  s ! 0 o

W

1 s

Auf s Strichcursor setzen und mit MenüSymbolik-Transformation-Inverse Laplace auswerten. Oder: + STA

) ( t  2)

1

˜ exp ( W ˜ s )

s

annehmen  W ! 0 o ) (t  W ) invlaplace  s

 W˜s

˜e

Beispiel 14.3: Rechteckimpuls: a 2

Konstante

f ( t)  ) ( t)  ) ( t  a)

Zeitfunktion

t  1  1  0.001  3

Bereichsvariable

2 a 1 f( t)

Abb. 14.4 1

0

1

2

3

1 t

Transformation des Rechteckimpulses (Additions- und Verschiebungssatz):

L {f(t)} =

´ F ( s) = µ ¶

f

 s˜t

f ( t) ˜ e

0

´ dt = µ ¶

a

 s˜t

( ) ( t)  ) ( t  a) ) ˜ e

dt =

0

1 s



1 s

Symbolische Transformation und inverse Transformation: a a ´ µ ¶

a

t t

Redefinition  s˜t

( ) ( t)  ) ( t  a) ) ˜ e

dt annehmen  s ! 0  a ! 0 o

0

Seite 249

( exp ( s ˜ a)  1) s

 s˜a

˜e

 s˜a

=

1e

s

Laplace- und z-Transformation

) ( t)  ) ( t  a)

annehmen  a ! 0 1 exp ( a ˜ s ) o  laplace  t s s

 a˜s

1



s

annehmen  a ! 0 o 1  ) ( t  a) invlaplace  s

e

s

Beispiel 14.4: Entstehung einer Sprungfunktion V(t) = )(t) und Stoßfunktion (oder Dirac-Impuls) G(t) = '(t) aus einer Rampenfunktion:



f1 t  t0 



t t0



˜ ) ( t)

f2 t  t0  





f t  t0  f1 t  t0  f2 t  t0



f ' t  t0 

d dt

t  t0 t0





˜ ) t  t0

Zeitfunktionen (einfache Rampen)

Rampenfunktion



f t  t0

Ableitung der Rampenfunktion

t  2  2  0.001  3

Bereichsvariable

2

2

1

2

1

§ 1· f¨t  © 2¹

f( t  1) 1

0

1

2

2

1

1

§ 1· f¨t  © 10 ¹ 0

1

2

1 t

2

2

1

1

§ ©

f '¨ t 

f '( t  1 ) 1

1

5 2.5 0 2.5 5

1 t

2

2

0

1

2

1·

t 11 8

§ ©

f '¨ t 

2¹ 5

2.5

1

0 2.5

· 10 ¹ 1

5

2 5 2.51 0 2.5 5

1 t

5

t

Abb. 14.5 Mit größer werdender Steigung der Rampe wächst die Impulshöhe über alle Grenzen. Die Fläche unter dem Impuls bleibt aber konstant gleich 1 !

L{t}=

´ F ( s) = µ ¶

f

 s˜t

t˜e

dt =

* ( 2)

0

L { G(t) } =

s

´ F ( s) = µ ¶

f

 s˜t

G ( t) ˜ e

2

=

dt = 1

1 s

2

Transformation einer einfachen Rampenfunktion

Transformation der Stoßfunktion

0

Seite 250

t

Laplace- und z-Transformation

Symbolische Transformation und inverse Transformation: t t ´ µ ¶

Redefinition

f

 s˜t

t˜e

1

dt annehmen  s ! 0 o

0

´ µ ¶

s

f

 s˜t

' ( t) ˜ e

2

dt annehmen  s ! 0 o 1

0

t laplace  t o

1

1 s

2

s

' ( t) laplace  t o 1

invlaplace  s o t

2

1 invlaplace  s o ' ( t)

Auswertung des Laplaceintegrals für die oben angegebene Rampe: ´ µ µ µ ¶

f

0

t  t0 §¨ t ·  s˜t ˜ ) ( t)  ˜ )  t  t0 ˜ e dt ¨© t0 t0 ¹







annehmen  s ! 0  t 0 ! 0  1  exp s ˜ t0 o 2 vereinfachen s ˜ t0

Beispiel 14.5: Exponentialfunktionen: D1  1

Konstante D1˜t

 D1˜t

f ( t)  e

g ( t)  e

Zeitfunktionen

t  2  2  0.001  2

Bereichsvariable

4 3 f( t)

2

g ( t)

1 2

Abb. 14.6

1

0

1

2

1 t Dt

L {e

}=

´ F (s  D) = µ ¶

f

D ˜t

e

 s˜t

˜e

dt =

0

1 (s  D)

Transformation der Exponentialfunktion (Vergleiche Dämpfungssatz)

- Dt

L {e

´

f

} = F (s  D) = µ ¶

0

 D ˜t

e

 s˜t

˜e

dt =

1 (s  D)

Transformation der Exponentialfunktion

Seite 251

Laplace- und z-Transformation

Symbolische Transformation und inverse Transformation: t t ´ µ µ ¶

Redefinition

f

D 1˜t

e

 s1˜t

˜e

annehmen  s1 ! 0  D 1  0 1 o D 1  s1 vereinfachen

dt

0

´ µ µ ¶

f

 D 1˜t

e

 s1˜t

˜e

dt

0 D ˜t

e

laplace  t o

1 sD

annehmen  s1 ! 0  D 1 ! 0 1 o D 1  s1 vereinfachen

1

 D ˜t

e

sD

1

invlaplace  s o exp ( D ˜ t)

sD

laplace  t o

1 sD

invlaplace  s o exp ( D ˜ t)

Beispiel 14.6: Sinus- und Kosinusfunktion: Z0  1

Kreisfrequenz



f ( t)  sin Z 0 ˜ t

f ( t) =

e

j˜Z˜t





g ( t )  cos Z 0 ˜ t

 j˜Z˜t

e

g ( t) =

2˜ j

t  0  0.001  10

e

j˜Z˜t



 j˜Z˜t

e 2

Bereichsvariable

Zeitfunktionen Komplexe Zeitfunktionen erhält man mit den Eulerschen Beziehungen durch Addition bzw. Subtraktion: e j Zt = cos(Zt) + j sin(Zt), e - j Zt = cos(Zt) - j sin(Zt).

1

f( t) 0

g ( t)

5

10

Abb. 14.7

1 t

Mithife des Additionssatzes und dem Ergebnis von Beispiel 14.5 erhält man:

L {sin(Zt)} = L {1/(2j) (ejZt - e-jZt)} = 1/(2j) ( L {ejZt} - L {e-jZt} ) = = 1/2j (1/(s - j Z) - 1/(s + j Z) = Z/ (s2 +Z2)

L {cos(Zt)} = L {1/2 (ejZt + e-jZt)} = 1/2 ( L {ejZt} + L {e-jZt} ) = = 1/2 (1/(s - j Z) - 1/(s + j Z) = s/ (s2 + Z2) Seite 252

Laplace- und z-Transformation

Symbolische Transformation und inverse Transformation: ´ µ ¶

f

 s˜t

sin ( Z ˜ t) ˜ e

2

s Z

0

´ µ ¶

Z

Z

dt annehmen  s ! 0 o

f

 s˜t

cos ( Z ˜ t) ˜ e

dt annehmen  s ! 0 o

2

s Z

2

s

s 2

s Z

0

2

2

2

s Z

2

invlaplace  s o sin ( Z ˜ t)

invlaplace  s o cos ( Z ˜ t)

Beispiel 14.7: Ableitungs- und Integralfunktion: L 1

C 1

Z 1

i ( t )  sin ( Z ˜ t) d

uL ( t)  L ˜

dt

Induktivität, Kapazität und Kreisfrequenz Stromfunktion (Zeitfunktion) Spannung an der Induktivität (Ableitungsfunktion)

i ( t)

t  0  0.01  2 ˜ S

Bereichsvariable

1

i ( t) u L( t)

0

2

4

6

8

Abb. 14.8

1 t

Symbolische Transformation und inverse Transformation: L L

Z Z

t t

Redefinitionen

i ( t )  sin ( Z ˜ t) uL1 ( t) = L ˜ L˜

d dt

d dt

Zeitfunktion

i ( t ) o uL1 ( t ) = L ˜ cos ( Z ˜ t) ˜ Z

i ( t ) laplace  t o L ˜ Z ˜

L˜ Z ˜

s 2

s Z s 2

s Z 1 uc ( t) = C

˜

´ µ µ ¶

2

Spannung an der Induktivität (Ableitungsfunktion)

Transformation der Ableitungsfunktion

2

invlaplace  s o L ˜ Z ˜ cos ( Z ˜ t)

i ( t ) dt o uc ( t) =

cos ( Z ˜ t) Z

Inverse Transformation

Kondensatorspannung

Seite 253

Laplace- und z-Transformation

1 ´ µ ˜ C µ ¶ 1 Z

i ( t ) dt laplace  t o s

˜

2

s Z

2

1 Z

s

˜

2

s Z

invlaplace  s o

1 Z

Transformation der Kondensatorspannung

2

˜ cos ( Z ˜ t)

Inverse Transformation

Beispiel 14.8: Diverse Zeitfunktionen (Dämpfungssatz):  D ˜t

e

˜ cos ( Z ˜ t) laplace  t o

sD

sD 2

(s  D)  Z  D ˜t

e

˜ sin ( Z ˜ t) laplace  t o

2

2

(s  D)  Z Z

Z 2

(s  D)  Z

2

2

2

(s  D)  Z

2

invlaplace  s o exp ( D ˜ t) ˜ cos ( Z ˜ t)

invlaplace  s o exp ( D ˜ t) ˜ sin ( Z ˜ t)

14.1.2 Allgemeines Prinzip zum Lösen von Differentialgleichungen Eine direkte Lösung einer Differentialgleichung, die das Verhalten eines Systems im Zeitbereich (Originalbereich) beschreibt, ist oft recht aufwendig. Der Umweg über den Laplacebereich (Bildbereich) bietet eine bequeme Methode zur Lösung einer linearen zeitinvarianten (Koeffizienten sind von der Zeit unabhängig) Differentialgleichung. Die physikalischen Größen hängen nicht mehr von der Zeit ab, sondern von der Variablen s. Eine Rücktransformation der Lösung in den Zeitbereich ist oft recht rechenaufwendig. Meist ist sie aber gar nicht erforderlich, weil sehr viele Systemeigenschaften ( z.B. Einschwingverhalten, Stabilität und Stationärverhalten) direkt im Laplacebereich erkennbar sind. Für ein lineares, zeitinvariantes System, mit einer einzigen Ausgangsgröße y(t) und einer einzigen Eingangsgröße x(t), gilt die Differentialgleichung: n

¦

k

0

m §¨ · k d y ( t) = ak ˜ ¨ k dt © ¹ k 0

¦

0

0

d

dt

§¨ · k d x ( t) . bk ˜ ¨ k dt © ¹

y( t) = y( t) ;

0

d

dt

0

x ( t ) = x ( t ) ; ak und bk sind konstante Koeffizienten.

Unter der Annahme verschwindender Anfangsbedingungen ( y(0) = 0, y' (0) = 0 , ....) kann die Differentialgleichung mithilfe des Ableitungssatzes einfach laplacetransformiert werden: n

¦

k

0

§ a ˜ sk ˜ Y ( s)· = © k ¹

m

¦

k

§ b ˜ sk ˜ X ( s)· . © k ¹

0

Seite 254

Laplace- und z-Transformation

Diese algebraische Gleichung in s kann nun durch elementare Umformungen gelöst werden:

§ b ˜ sm  bm1 ˜ sm1 ˜ ....  b ˜ s  b · 1 0¹ © m Y (s) = ˜ X ( s) ; § a ˜ sn  an1 ˜ sn1 ....  a ˜ s  a · 1 0¹ © n Y ( s) = G ( s) ˜ X ( s) . G(s) heißt Übertragungsfunktion und beschreibt das dynamische Verhalten eines linearen zeitinvarianten Systems vollständig. Mit der Übertragungsfunktion können drei Grundaufgaben formuliert werden: Y ( s ) = G ( s ) ˜ X ( s ) ... Analyse X ( s ) =

1 G ( s)

˜ Y ( s ) ... Synthese G ( s ) =

Y (s) X (s)

... Identifikation

Für geschaltete Sinus- oder Kosinussignale ist aber eine Laplacetransformation möglich. Ist das Eingangssignal ein Sinus- oder Kosinussignal im eingeschwungenen Zustand, so ist eine Laplacetransformation nicht möglich! Sie wird aber auch nicht benötigt, weil die Komplexrechnung angewandt werden kann. Wird ein lineares zeitinvariantes System mit einer sinus- oder kosinusförmigen Eingangsgröße angeregt, so ist die Ausgangsgröße ebenfalls eine sinus- oder kosinusförmige Größe mit derselben Frequenz, aber im Allgemeinen mit einer anderen Amplitude und anderen Phasenlage. Will man das Frequenzverhalten im komplexen Zahlenbereich eines lineares zeitinvariantes System auf eine sinusförmige Eingangsgröße im eingeschwungenen Zustand untersuchen, so braucht in der Laplacetransformierten Gleichung Y(s) = G(s) . X(s) die Variable s nur durch j Z ersetzt werden. Wir erhalten dann: Y ( j ˜ Z) = G( j ˜ Z) ˜ X ( j ˜ Z) , mit j ˜Z˜t

Y ( j ˜ Z ) = yamax ˜ e

j ˜M

˜e

(komplexe Ausgangsgröße) und

j ˜Z˜t

X ( j ˜ Z ) = yemax ˜ e (komplexe Eingangsgröße) sowie yamax j ˜M G( j ˜ Z) = ˜e . yemax Die Übertragungsfunktion G(j Z) heißt Frequenzgang und beschreibt das Frequenzverhalten des Systems, d.h. die Reaktion des Systems auf eine Eingangsgröße in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz. Der Betrag des Frequenzganges ist das Amplitudenverhältnis zwischen der Ausgangsgröße y(t) und der Eingangsgröße x(t) (bei sinusförmiger Anregung!). Sein Argument ist die Phasenverschiebung zwischen den beiden Größen. Es gilt daher: G( j ˜ Z) =

yamax yemax

j ˜M

˜e

j˜arg( G( j˜Z ) )

= G( j ˜ Z) e

= Re ( G ( j ˜ Z ) )  j ˜ Im ( G ( j ˜ Z ) ) .

G ( Z ) = G ( j ˜ Z ) nennt man Amplitudengang und M ( Z ) = arg ( G ( j ˜ Z ) ) den Phasengang.

Seite 255

Laplace- und z-Transformation

Die grafische Darstellung des Frequenzganges erfolgt entweder über Ortskurven oder FrequenzKennliniendiagramme (Bodediagramme) . Bodediagramme sind die Darstellung des Amplitudenganges und des Phasenganges in Abhängigkeit der Kreisfrequenz Z. Die Frequenzachsen und G(Z) werden dabei logarithmisch dargestellt. Siehe dazu auch Kapitel 7 Funktionen, Beispiel 7.15. Es gelten noch die Zusammenhänge aus der Komplexrechnung: 2

G ( j ˜ Z ) = G (Z ) =

2

Re ( G ( j ˜ Z ) )  Im ( G ( j ˜ Z ) ) ;

Re ( G ( j ˜ Z ) ) = G ( j ˜ Z ) ˜ cos ( M ) ; Im ( G ( j ˜ Z ) ) = G ( j ˜ Z ) ˜ sin ( M ) ;

§ Im ( G ( j ˜ Z ) ) · . © Re ( G ( j ˜ Z ) ) ¹

M ( Z ) = arg ( G ( j ˜ Z ) ) = arctan ¨

Beispiel 14.9: Die folgende Differentialgleichung soll durch Laplacetransformation und Rücktransformation gelöst werden. Anfangs- und Endwerte der Funktion y(t) sollen im Laplacebereich mit dem Anfangs- und Endwerttheorem untersucht werden. 2

d

dt

2

y( t)  5 ˜

d dt

y ( t)  6 ˜ y( t) = V ( t)

V ( t) = ) ( t)

Gegebene Differentialgleichung (y(t) bedeutet die Ausgangsfunktion und V(t) die Eingangsfunktion).

Gegebene Anfangsbedingungen: y(0) = 0 und y' (0) = 0. 2

s ˜ Y ( s)  5 ˜ s ˜ Y ( s)  6 ˜ Y ( s) =

2

s ˜ Y ( s)  5 ˜ s ˜ Y ( s)  6 ˜ Y ( s) =

s1 ˜  s1 1 6 ˜ s1 lim

1

2



 5 ˜ s1  6 1 3 ˜ ( s1  3)

y ( t) =

tof

lim

to0

y( t) 

lim so0

y ( t) =

to0

lim



lim sof

y' ( t ) =

lim sof

1

Laplacetransformierte algebraische Gleichung

s 1 s

auflösen  Y ( s ) o

2 ˜ ( s1  2)

Übertragungsfunktion



s˜ s  5˜ s  6

konvert  teilbruch  s1 o 1

2

1

1 6 ˜ s1

invlaplace  s1 o

 1 6

1 3 ˜ ( s1  3) 

1 3



1 2 ˜ ( s1  2)

˜ exp ( 3 ˜ t) 

1 2

Partialbruchzerlegung

˜ exp ( 2 ˜ t) Rücktransformation

1 ªs ˜ º o lim y( t) = 1 « » 2 6 tof ¬ s˜ s  5˜ s  6 ¼

Endwert

1 ªs ˜ º o0 « » 2 ¬ s˜ s  5˜ s  6 ¼

Anfangswert

1 ª s2 ˜ º « » o0 2 s˜ s  5˜ s  6 ¼ ¬

Anfangssteigung













§ 1  1 ˜ exp ( 3 ˜ t)  1 ˜ exp ( 2 ˜ t) · ˜ ) ( t) ¨ 2 ©6 3 ¹

Seite 256

Zeitfunktion im Zeitbereich

Laplace- und z-Transformation

t  1  1  0.001  4

Bereichsvariable 1

0.2

6

y( t)

0.1

Abb. 14.9

1

0

1

2

3

4

t

Beispiel 14.10: Das dynamische Verhalten eines RC-Gliedes wird durch die nachfolgende Differentialgleichung beschrieben. Zum Zeitpunkt t = 0 soll eine konstante Spannung U 0 durch Schließen eines Schalters angelegt werden. Gesucht ist die laplacetransformierte Ausgangsspannung Ua = Uc am Kondensator und die rücktransformierte Kondensatorspannung u a (t) = uc (t). Die Funktion ua (t) = uc (t) soll im Laplacebereich mit dem Anfangs- und Endwerttheorem untersucht werden. Für diese Schaltung lautet die Differentialgleichung: u'c ( t) 

1 R1 ˜ C1

˜ uc ( t) =

1 R1 ˜ C1

˜ ue ( t)

ue ( t) = U0 ˜ V ( t) = U0 ˜ ) ( t) Anfangsbedingung: u c (0) = 0 . Abb. 14.10 R1 ˜ C1 ˜ u'c ( t)  uc ( t) = ue ( t)

umgeformte Differentialgleichung

1 R1 ˜ C1 ˜ s ˜ Uc ( s )  Uc ( s ) = U0 ˜ s

Laplacetransformierte algebraische Gleichung

U0 1 R1 ˜ C1 ˜ s ˜ Uc ( s )  Uc ( s ) = U0 ˜ auflösen  Uc ( s ) o s s ˜ ( R1 ˜ C1 ˜ s  1) U0 s1 ˜ ( R1 ˜ C1 ˜ s1  1)

konvert  teilbruch  s1 o

U0

C1  U0 ˜ R1 ˜ R1 ˜ C1 ˜ s1  1 s1 lim tof

lim to0

uc ( t) =

uc ( t) =

lim so0

lim sof

U0 s1

C1

 U0 ˜ R1 ˜ R1 ˜ C1 ˜ s1  1

invlaplace  s1 § § t · · o U0 ˜ ¨ 1  exp ¨ faktor © © R1 ˜ C1 ¹ ¹

Übertragungsfunktion Partialbruchzerlegung (s wird hier auf s1 geändert)

Rücktransformation

U0 ª º «s ˜ » o lim uc ( t) = U0 ¬ s ˜ ( R1 ˜ C1 ˜ s  1) ¼ tof

Endwert

U0 ª º «s ˜ » o0 ¬ s ˜ ( R1 ˜ C1 ˜ s  1) ¼

Anfangswert

Seite 257

Laplace- und z-Transformation

lim to0

uc' ( t) =

R1  1

lim sof

U0 ª 2 º 1 «s ˜ » o uc' ( 0) = ˜ U0 R1 ˜ C1 s ˜ ( R1 ˜ C1 ˜ s  1) ¼ ¬

C1  1

U0  1

Anfangssteigung

gewählte Größen (ohne Einheit)

§ § t · · ˜ ) ( t) uc ( t)  U0 ˜ ¨ 1  exp ¨ © © R1 ˜ C1 ¹ ¹

Zeitfunktion im Zeitbereich

t  1  1  0.001  4

Bereichsvariable

1.2

U0

1 0.8 u c( t)

0.6

Abb. 14.11

0.4 0.2 1

0

1

2

3

4

t

Beispiel 14.11: Für die folgende Differentialgleichung soll eine Laplacetransformation und deren Rücktransformation durchgeführt werden. Die Funktion y1(t) soll im Laplacebereich mit dem Anfangs- und Endwerttheorem untersucht werden. 2

d

dt

2

y1 ( t )  2 ˜

d dt

y1 ( t)  5 ˜ y1 ( t) = V ( t)

V ( t) = ) ( t) gegebene Differentialgleichung (y1(t) bedeutet die Ausgangsfunktion und V(t) die Eingangsfunktion)

Anfangsbedingungen: y(0) = 0 und y' (0) = 0. 2

s ˜ Y1 ( s )  2 ˜ s ˜ Y1 ( s )  5 ˜ Y1 ( s ) = 2

s ˜ Y1 ( s )  2 ˜ s ˜ Y1 ( s )  5 ˜ Y1 ( s ) =



1



2

1

Laplacetransformierte algebraische Gleichung

s 1 s

auflösen  Y1 ( s ) o

1 5 ˜ s1

s1 ˜ s1  2 ˜ s1  5 2



Übertragungsfunktion

s˜ s  2˜ s  5

konvert  teilbruch  s1 o

s1  2 ˜ s1  5 = 0 auflösen  s1 o

2

1

§ 1  2 ˜ i · ¨ © 1  2 ˜ i ¹



1 5

˜

s1  2

Partialbruchzerlegung

2

s1  2 ˜ s1  5

Die Übertragungsfunktion besitzt zwei konjugiert komplexe Polstellen.

Besitzt die Übertragungsfunktion konjugiert komplexe Polstellen, so ist das zugehörige System schwingungsfähig ! Die Realteile sind negativ, daher ist das System stabil ! Rücktransformation: 1 5 ˜ s1



1 5

˜

s1  2 2

s1  2 ˜ s1  5

invlaplace  s1 o

1 5



1 5

˜ exp ( t ) ˜ cos ( 2 ˜ t ) 

Seite 258

1 10

˜ exp ( t ) ˜ sin ( 2 ˜ t )

Laplace- und z-Transformation

lim

y1 ( t) =

tof

lim

so0

y1 ( t) =

to0

lim

lim sof

y1' ( t) =

to0

y1 ( t ) 

lim

lim sof

1 ªs ˜ º o lim y1 ( t) = 1 « » 2 5 tof ¬ s˜ s  2˜ s  5 ¼

Endwert

1 ªs ˜ º o0 « » 2 ¬ s˜ s  2˜ s  5 ¼

Anfangswert

1 ª s2 ˜ º « » o0 2 s˜ s  2˜ s  5 ¼ ¬

Anfangssteigung













ª 1  e t ˜ § 1 ˜ cos ( 2 ˜ t)  1 ˜ sin ( 2 ˜ t) · º ˜ ) ( t) « ¨ » 10 ¬5 ©5 ¹¼

Zeitfunktion im Zeitbereich

t  1  1  0.001  6

Bereichsvariable

1 5

0.2 y1( t)

Abb. 14.12 0.1

1

0

1

2

3

4

5

6

t

Beispiel 14.12: Ein ohmscher Widerstand R = 5 k: und ein Kondensator C = 367 nF sind in Serie geschalten. Man stelle den Frequenzgang (Ortskurve) im Bereich Z = 0 s-1 und 1000 s-1 dar. G ( s) =

1

Die Übertragungsfunktion für dieses Netzwerk.

1  s ˜ R˜ C

Wir setzen s = j Zund erhalten den komplexen Frequenzgang : G(j ˜ Z ) =

1 1  j ˜ Z ˜ R˜ C 1 · § © 1  j ˜ Z ˜ R ˜ C¹

RE ( Z  R  C)  Re ¨

1 · § © 1  j ˜ Z ˜ R ˜ C¹

Realteil des Frequenzganges als Funktion definiert

IM ( Z  R  C)  Im ¨

Imaginärteil des Frequenzganges als Funktion definiert

C C

Redefinition

Amplitudengang: G ( Z  R  C) 

1

1

1  j ˜ Z ˜ R˜ C

1  j ˜ Z ˜ R˜ C

komplex o

1 1

1  Z 2 ˜ R2 ˜ C2 Seite 259

2

Laplace- und z-Transformation

Phasengang: 1 § · © 1  j ˜ Z ˜ R ˜ C¹

1 § · komplex o atan2 ( 1  Z ˜ R ˜ C) © 1  j ˜ Z ˜ R ˜ C¹

M ( Z  R  C)  arg ¨

arg ¨

R  5 ˜ k:

ohmscher Widerstand

C  367 ˜ nF

Kapazität des Kondensators

Z  0˜ s

1

 50 ˜ s

1

 10000 ˜ s

1

k  0  1

Bereichsvariable für die Kreisfrequenz Bereichsvariable

Z=f

Z=0

Ortskurve

0 0.11 0.22 0.33 0.44 0.55 0.66 0.77 0.88 0.99 1.1 0.1 IM( Z  R  C )

§ ¨ ©IM

0

·

0.2

Darstellung des Frequenzganges in der Gaußschen Zahlenebene. lim

 400˜s 1  R  C ¹ k 0.3

RE ( Z  R  C) o 0

Zof

0.4

lim

IM ( Z  R  C) o 0

Zof

0.5 0.6

§

RE ( Z  R  C )  ¨

©RE

Z  0˜ s

1

 0.1 ˜ s

1

 10000 ˜ s

1

·

0

 400˜s

1

 R C

¹k

Abb. 14.13

Bereichsvariable für die Kreisfrequenz

Darstellung der Ortskurve in einem Polarkoordinatensystem (Kreisdiagramm).

Abb. 14.14

Seite 260

Laplace- und z-Transformation

Beispiel 14.13: Man stelle das Bodediagramm eines PT 1 -Verzögerungsgliedes erster Ordnung dar. Die Übertragungsfunktion G(s) ist gegeben durch: G ( s) =

k

k  10

1  s ˜ T1

T1  2

Wir setzen s = j Zund erhalten dann den komplexen Frequenzgang : G(j ˜ Z ) =

k 1  j ˜ Z ˜ T1

Amplitudengang: Z Z

Redefinition





G Z  k  T1 

k

k

1  j ˜ Z ˜ T1

1  j ˜ Z ˜ T1



§



·

© 1  j ˜ Z ˜ T1 ¹

1

Zk 

k

Zk

T1



· komplex o atan2 ( 1  2 ˜ Z ) © 1  j ˜ Z ˜ T1 ¹ k

arg ¨

Bereichsvariable für die Kreisfrequenz Amplitudengang

100



2

Knickfrequenz

0.5

Z  0.01  0.01  0.01  100

G Z  k  T1

§

1

 1  4 ˜ Z 2

Phasengang: M Z  k  T1  arg ¨

10

komplex o

Beide Achsen sind logarithmiert.

Zk

10 1 0.1 0.01 0.01

0.1

1

10

100

Abb. 14.15

Z

Phasengang

0



M Z  k  T1 Grad

Zk



 45

Die Frequenzachse ist logarithmiert.

50  90 100 0.01

0.1

1

10

Z

Seite 261

100

Abb. 14.16

Laplace- und z-Transformation

14.2 z-Transformation Die z-Transformation ist ebenfalls, wie schon erwähnt, eine Integraltransformation. Sie ist die Verallgemeinerung der Fouriertransformation. Sie wird benötigt, um z.B. das Frequenz- und Antwortverhalten eines digitalen Filters bestimmen zu können. Dabei wird einer Folge von abgetasteten Messwerten y n =f(tn) mit Zeitverzögerungen, Rückkopplungen, Addierern und Multiplizierern eine Funktion F(z) zugewiesen. Mit dieser Transformation können aber auch lineare Differentialgleichungen bzw. Differenzengleichungen gelöst werden. Bei ganzzahligen Werten von n schreibt man yn = f(tn) = f(n) = fn. Transformationsgleichungen: Für eine Folge f = (n  ²0 ) heißt die Laurentreihe

Z(f) = F(z) = f0 + f1 z-1 + f2 z-2 + ...

(z )

(einseitige) z-transformierte von f, falls die Reihe konvergiert. Es wird also jeder Zahlenfolge eine unendliche Reihe zugeordnet (Bildfunktion F(z)), die im Falle der Konvergenz als z-transformierte bezeichnet wird. f

Z {f(n)} =

F ( z) =

¦

n

0

§ f ( n) ˜ 1 · ¨ n z ¹ ©

Bildfunktion.

Mit der z-Transformation wird einer Folge von Zahlenwerten eine Funktion der komplexen Variablen zugeordnet. Bei der Umkehrung der z-Transformation soll aus einer gegebenen Funktion der komplexen Variablen z auf die dazugehörige Zahlenfolge geschlossen werden. Die Rücktransformation (Umkehrtransformation) ist ein komplexes Kurvenintegral längs einer Kurve C in der komplexen z-Ebene. Die Kurve C schließt den Ursprung ein und liegt im Gebiet der Konvergenz von F(z). Ein anderes Verfahren zur Rücktransformation ist oft einfacher als die Lösung des Kurvenintegrals. Als Beispiel dafür sei hier der Residuensatz angeführt. -1

Z { F(z) } =

f ( n) =

´ µ ˜µ 2˜ S ˜ j ¶ 1

F ( z) ˜ z

n1

dz

C -1

Z { F(z) } =

f ( n) =

¦

Residuen F (z) ˜ zn1

( Pole( F( z) )

14.2.1 z-Transformationen elementarer Funktionen Beispiel 14.14: Einheitssprungfolge (Einheitssprung V(n) = )(n) - Heavisidefunktion). Sie bewirkt in einem diskreten System eine Ausgangsfolge, die als ihre digitale Sprungantwort bezeichnet wird. V ( n)  ) ( n)

Einheitssprungfolge

n  2  5

Bereichsvariable

Seite 262

Laplace- und z-Transformation

2

Spur1: Symbol: o Format: Stamm

1 V ( n) 3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

1

Abb. 14.17 n

f

¦

Z{V(n)} =

n

0

ª § 1 · nº z 1 «1 ˜ ¨ »= = mit |z| > 1  1 z z 1 ¬ © ¹ ¼ 1z

Transformation der Einheitssprungfolge. Hier liegt eine geometrische Reihe vor mit q = 1/z und |q| < 1.

Symbolische Auswertung der z-Transformation: f

¦

1

0 z

n

z

ergibt

n

z1

Symbolische Transformation und inverse Transformation:

) ( n) z

z1

hat inverse Z-Transformation

z1 n n

Auf n Strichcursor setzen und mit Menü-SymbolikTransformation-Z auswerten. oder: + STZ

z

hat Z-Transformation

1

Auf s Strichcursor setzen und mit Menü-SymbolikTransformation-Z invers auswerten. oder: + STI

Redefinition

) ( n) ztrans  n o

z

z

Hat eine Nullstelle bei z = 0 und eine Polstelle bei z = 1

z1

z1

invztrans  z o 1

Beispiel 14.15: Einheitsimpuls oder Delta-Impuls (entspricht der analogen Dirac-Funktion G(n) = '(n)): G ( n) 

1 if n = 0 0 if n z 0

Definierter Delta-Impuls





G1 n  n0 

1 if n = n0 0 if n z n0

Verzögerter Delta-Impuls

Ebenso kann der Einheitssprung durch die laufende Summe des Einheitsimpulses dargestellt werden: f

n

V ( n) =

¦

k

n  2  5

G ( k ) und

f

¦

n

G ( n) = 1 .

f

Bereichsvariable

Seite 263

Laplace- und z-Transformation

2

2

1

1

G ( n)

G1 ( n  1) 3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

3

2

1

1

0

1

2

3

4

5

1 n

n

Abb. 14.18

Abb. 14.19

f

n 0 ¦ G (n) ˜ z = z = 1 .

Z{G(n)} =

n

Transformation des Delta-Impulses

0

Symbolische Transformation und inverse Transformation: n n

Redefinition

' ( n) ztrans  n o 1

1 invztrans  z o ' ( n)

Beispiel 14.16: Rampenfolge: f ( n)  n

Rampenfolge

n  0  5

Bereichsvariable 6 5 4 3 2 1

f( n)

1

1

Spur1: Symbol: o Format: Stamm

0

1

2

3

4

5

6

Abb. 14.20

n f

Z{n} =

n ¦ n ˜ z

n

Es gilt

0

d dz

z

n

f

Z{n} =

Transformation der Rampenfolge



¦

n

0

= n˜ z

 n 1

und damit n ˜ z

§ d  n· d = z ˜ ¨z ˜ z dz © dz ¹

n

f

¦

n

0

z

n

= z ˜

d dz

= z ˜

z

n

d

. 1

dz 1  z  1

=

z ( z  1)

2

Hat eine Nullstelle bei z = 0 und eine doppelte Polstelle bei z = 1

Bemerkung: Eine konvergente Reihe kann innerhalb ihres Konvergenzbereiches termweise differenziert werden.

Seite 264

6

Laplace- und z-Transformation

Symbolische Auswertung der z-Transformation: f

n ¦ n ˜ z

n

z

ergibt

( z  1)

0

2

Symbolische Transformation und inverse Transformation: n n

Redefinition z

z

n ztrans  n o

( z  1)

2

( z  1)

2

invztrans  z o n

Beispiel 14.17: Exponentialfolge e n : f ( n)  e

n

Exponentialfolge

n  0  6

Bereichsvariable 400

f( n)

Spur1: Symbol: o Format: Stamm

200

0

1

2

3

4

5

6

7

Abb. 14.21

n

Z{

n

e

f

}=

¦ e

n

n

˜z

n

0

f

= ¦ n

0

n

§ e· = ¨ ©z¹

1 1

e

=

z ze

mit

e z

1

z

.

Transformation der Exponentialfolge. Hier liegt eine geometrische Reihe vor mit q = e/z und |q| < 1.

Symbolische Auswertung der z-Transformation: f

¦

n

0

§ en ˜ 1 · ¨ n z ¹ ©

ergibt

z ze

Symbolische Transformation und inverse Transformation: n n n

Redefinition

e ztrans  n o

z z  exp ( 1)

Hat eine Nullstelle bei z = 0 und eine Polstelle bei z = e.

Seite 265

z ze

invztrans  z o exp ( 1)

n

Laplace- und z-Transformation

Beispiel 14.18: Symbolische z-Transformation und inverse z-Transformation von f(n) = n 2 : 2

n

z1

z˜

hat Z-Transformation

( z  1)

2

n

( z  1)

2

ztrans  n

o entwickeln

z1

z˜

3

z z 3

z1

z˜

2

z  3˜ z  3˜ z  1

3

( z  1)

2

hat inverse Z-Transformation

n

2

3

invztrans  z o n

oder: 2

n

ztrans  n

2

o konvert  teilbruch  z

( z  1)

3



3 ( z  1)

2



1 z1

2 ( z  1)

3



3 ( z  1)

2



1 z1

2

invztrans  z o n

Beispiel 14.19: Gesucht ist die z-Transformation der gegebenen Funktion und deren Rücktransformation:

§ 6· f ( n)  ¨ © 10 ¹

n

gegebene diskrete Funktion

f ( n) ztrans  n o 5 ˜

z 5˜ z  3

§ 3· 5˜ invztrans  z o ¨ 5˜ z  3 © 5¹ z

z

oder

F ( z )  f ( n) ztrans  n o 5 ˜

oder

§ 3· f ( n)  F ( z ) invztrans  z o ¨ © 5¹

n

5˜ z  3 n

Beispiel 14.20: Gesucht ist die z-Transformation der gegebenen Funktion und deren Rücktransformation: 2

f ( n)  e

10

˜n

gegebene diskrete Funktion z

F ( z )  f ( n) ztrans  n o

§ 1 · ©5¹

z  exp ¨

§ 1 · f ( n)  F ( z ) invztrans  z o exp ¨ ©5¹

Beispiel 14.21: z-Transformierte eines abgetasteten Kosinussignals (Rechtsseitige Kosinusfolge):









u n  : 0  U01  U01 ˜ cos n ˜ : 0





u n  : 0  U01 ztrans  n o U01 ˜ z ˜

gegebene diskrete Funktion

 2 1  2 ˜ z ˜ cos  : 0  z cos : 0  z

Seite 266

n

Laplace- und z-Transformation

14.2.2 Allgemeines Prinzip zum Lösen von Differenzengleichungen Seit Jahren findet zunehmend eine Umstellung von der analogen Technik auf die Digitaltechnik statt. Am wirksamsten ist die digitale Darstellung bei der Speicherung und Übertragung von Signalen . Die Vermittlung jeder Information geschieht durch ein physikalisches Medium, dem die Nachricht in Form eines Signals aufgeprägt wird. Zur Übertragung und Speicherung ist oft eine Umwandlung vorteilhaft. Die Information ist damit in der kontinuierlichen Änderung einer Zeitfunktion enthalten. Die Zeitfunktion y = f(t) beschreibt also den Zusammenhang der a bhängigen Variablen y von der unabhängigen Variable t (siehe Fouriertransformation und Laplacetransformation). Im Unterschied dazu ist ein zeitdiskretes Signal y n = f(n) = fn nur für ganzzahlige Werte der unabhängigen Variablen n definiert. Einerseits kann für ein zeitdiskretes Signal die unabhängige Variable von sich aus bereits diskret sein, adererseits können zeitdiskrete Signale f(n) durch aufeinanderfolgende Stichprobenentnahmen der Amplituden eines Vorganges mit kontinuierlicher unabhängiger Variablen entstehen, wie z.B. digitale Audiosignale. Zwischen den kontinuierlichen und zeitdiskreten Signalen bestehen daher sehr enge Beziehungen, und die für kontinuierliche Signale gültigen Gesetze und Methoden können sehr häufig auf zeitdiskrete Signale übertragen werden. Normalerweise findet die Diskretisierung der Zeitachse in gleichförmigen Abständen statt. Der Zeit entspricht eine Nummerierung n der Abtastzeitpunkte ( t = n T s mit Ts als Abtastperiodendauer). Neben der Diskretisierung der Zeitachse ergibt sich bei der digitalen Darstellung auch eine Diskretisierung der Amplituden. Diese wird durch die Wortbreite des verwendeten Zahlenformats bestimmt. Ein zeitdiskretes Signal kann so als eine mathematische Folge geschrieben werden. Einige sehr wichtige einfache Signale für die grundlegenden Beobachtungen zeitdiskreter Systeme wurden bereits im vorhergenden Abschnitt angeführt. Der Zusammenhang eines kontinuierlichen Signals sinZ0 t) = sin(2 Sf0 t) zu einem zeitdiskreten Signal ergibt sich folgendermaßen: Für eine bestimmte Abtastfrequenz (Samplingfrequenz) f s ergibt sich in Abhängigkeit von N die resultierende Frequenz des Signals durch f0 = fs /N . Mit den Abtastzeitpunkten t = tn = n Ts ( n = 1, 2, ..., N) und Ts = 1/fs läßt sich dann folgender Zusammenhang herstellen:





§

fs

©

N

sin 2 ˜ S ˜ f 0 ˜ t n = sin ¨ 2 ˜ S ˜

·

§ 2 ˜ S ˜ n · = sin : ˜ n mit : = 2 ˜ S ˜ f0 = 2 ˜ S .  0 0 N fs © N ¹

˜ n ˜ Ts = sin ¨

¹

Im Gegensatz zu periodischen Signalen wächst die Frequenz bei wachsendem Abtastimpulsabstand :0





j˜ : 0 2˜S ˜n

j˜2˜S˜n

j˜: 0˜n

j ˜2˜S˜n

. nicht immer weiter an, denn es gilt: e =e ˜e =e Das bedeutet, dass :0 identisch zu :0 + 2S und demnach mit 2S periodisch ist. Es braucht daher bei der Behandlung zeitdiskreter Signale nur ein Frequenzbereich der Länge 2 S betrachtet werden (0 d: 0 d2S und 0 df0 dfs ) . Bei weiterer Überlegung zeigt sich, dass :0 nur dann periodisch ist, wenn :0 /2S eine rationale Zahl ist. Ein System kann als beliebiger Prozess zur Transformation von Signalen aufgefasst werde n. Das Eingangssignal x(n) = x n wird durch das System in das Ausgangssignal y(n) = yn übergeführt. Dabei kann aus verschiedenen Teilprozessen durch Zusammenschalten ein komplexes System entstehen. Für die Eingangsgrößen und Ausgangsgrößen schreibt man auch: x(n) = xn bzw. y(n) = yn (oder auch x(t) = xt bzw. y(t) = yt ). In der Praxis der digitalen Systeme sind sowohl die Genauigkeit der Eingangssignale als auch die Darstellungsgenauigkeit der Koeffizienten und die Rechengenauigkeit beschränkt. Daraus ergeben sich weitreichende Konsequenzen , die sich in Quantisierungsrauschen, Instabilität, Rundungsrauschen und verringerter Aussteuerbarkeit bemerkbar machen.

Seite 267

Laplace- und z-Transformation

Die Eigenschaften "Linearität" und "Zeitinvarianz" sind für die Analyse von Systemen sehr wesentlich. Systeme mit diesen Eigenschaften werden als lineare zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme bzw. LTD-Systeme "linear, time invariant, discret") bezeichnet (siehe auch Kapitel Laplacetransformation). Ein Großteil dieser Systeme lässt sich durch lineare Differenzengleichungen beschreiben. Gleichungen dieses Typs beschreiben das sequentielle Verhalten vieler verschiedener Vorgänge. Einen wichtigen Sonderfall der allgemeinen Differenzengleichungen bilden Gleichungen, bei denen das Ausgangssignal y(n) aus dem gewichteten Momentanwert x(n ), den vergangenen Eingangswerten x(n-i) und den vergangenen Ausgangswerten y(n-i) (i  ²0 ) gebildet wird. Eine einfache Differenzengleichung 1. Ordnung , die nur Verzögerungen um ein Zeitintervall berücksichtigt, schreibt sich: y(n) = b0 x(n) + b1 x(n-1) - a1 y(n-1). Eine Differenzengleichung 2. Ordnung enthält zweifach verzögerte Glieder des Eingangs- und Ausgangssignals: y(n) = b0 x(n) + b1 x(n-1) + b2 x(n-2) - a 1 y(n-1) - a2 y(n-2). Es müssen nicht alle Glieder in der Gleichung aufscheinen. Systeme beliebiger Ordnung lassen sich nach Einführung des redundanten Parameters a 0 (ohne Einschränkung kann a 0 = 1 gesetzt werden; a N, bM z 0) durch eine allgemeine Differenzengleichung beschreiben: N

M

¦ ak ˜ y(n  k) = ¦ 

k

0

k

M



0

N

¦ bk ˜ x(n  k)  ¦ ak ˜ y(n  k) .

bk ˜ x ( n  k ) bzw. y ( n) =

k

0

k

1

Die konstanten Koeffizienten a k und bk charakterisieren das lineare zeitinvariante System. Um die Reaktion des beschriebenen Systems auf ein Eingangssignal x(n) angeben zu können, müssen die Anfangsbedingungen y(n 0 -1), ..., y(n0 -N) gegeben sein. Die Folgeglieder y(n 0 +n) können dann für aufeinanderfolgende Werte iterativ berechnet werden. Da für die folgenden Werte immer die Werte der vorausgegangenen Berechnung benötigt werden, wird die zu dieser rekursiven Verfahrensweise gehörige Gleichung als rekursive Gleichung bezeichnet. Im Spezialfall N = 0 reduziert sich die oben angeführte Gleichung zu: M

¦ bk ˜ x(n  k) .

y ( n) =

k

0

In diesem Fall berechnet sich der Ausgangswert nur aus momentanen und vergangenen Eingangswerten und nicht aus vergangenen Ausgangswerten. Diese Gleichung wird daher nichtrekursive Gleichung genannt. Die oben angeführte allgemeine Differenzengleichung für lineare zeitinvariante Systeme kann nun mithilfe der z-Transformation in die nachfolgende Gleichung übergeführt werden: N

¦

k

§ a ˜ z k ˜ Y ( z)· = © k ¹

0

M

¦

k

§ b ˜ z k ˜ X ( z)· © k ¹

( Ya( z ) = Y ( z ) und X ( z ) = Ye( z ) ).

0

Die Systemfunktion oder Übertragungsfunktion G(z) erhält man durch Umformung: M

G( z ) =

Y ( z) X ( z)

¦

=

k

0

N

¦

k

0

M

§ b ˜ z k· © k ¹

¦

=

§ a ˜ z k· © k ¹

k

0

N

¦

k

§ b ˜ zN˜ k· © k ¹ .

§ a ˜ zN˜ k· © k ¹

0

Seite 268

Laplace- und z-Transformation

Die Form mit den negativen Exponenten geht in die Form mit den positiven Exponenten über, wenn man Zähler und Nenner erweitert. Die Übertragungsfunktion ist immer rational. Der Konvergenzbereich muss gesondert überprüft werden. Anhand der Pol- und Nullstellen der Übertragungsfunktion kann die Kausalität (der Zählergrad von G(z) darf nicht größer als der Nennergrad bezüglich z sein) und die Stabilität überprüft werden. Für ein stabiles System müssen alle Pole innerhalb des Einheitskreises liegen. Wird z auf dem Einheitskreis ermittelt ( z = e jZ ), dann reduziert sich G(z) auf den Frequenzgang G(Z) des Systems, vorausgesetzt der Einheitskreis liegt im Konvergenzbereich für G(z). G(Z) ist wie alle Transformierten von Abtastfunktionen periodisch mit Z = 2S/T s .

Beispiel 14.22: Gegeben sei eine Differenzengleichung 1. Ordnung der Form y t+1 + a yt = b (a, b ) mit dem Anfangswert y 0 . Man berechne die Lösungsfolge für n = 0,1, ... , 10 und a = 0.8, b = 5 und y 0 = 4. ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

a  0.8

b 5

Konstanten

y0  4

Anfangswert

t  0  10

Bereichsvariable

yt1  a ˜ yt  b

Rekursive Berechnung der Differenzengleichung

T

0

y

1

0

tG 

4

b

3

3.56

2.152

4

5

3.278

2.377

y ( x)  a ˜ x  b

y1 ( x)  x

7

8

2.521

9

2.983

2.614

Bereichsvariable und Hilfsfunktionen Die graf. Konvergenz zeigt dieses Cobweb

5

6

tG

y( x)

4

y1( x) yt

6 3.098

Fixpunkt (Schnittpunkt der Geraden y = x und y = - a x + b)

1a

x  0  5

2 1.8

tG

3

y0

4

yt yt

2

2

1

0

5

0

10

2 x  x  yt 1  yt 1

t

Abb. 14.22

Abb. 14.23

Seite 269

4

6

Laplace- und z-Transformation

Beispiel 14.23: Ein RL-Serienkreis soll bei anliegender Gleichspannung oder Wechselspannung bzw. Rampenspannung eingeschalten werden. Die zugehörige Differentialgleichung soll jeweils in eine Differenzengleichung umgeformt und gelöst werden. Gegebene Daten: ms  10

˜s

Konstante Spannung

uG ( t)  U0 ˜ ) ( t)

Gleichspannung

uw ( t  Z ) 

2 ˜ U0 ˜ sin ( Z ˜ t) ˜ ) ( t)

Wechselspannung

˜ t ˜ ) ( t)

Rampenspannung

2˜ V ms

f  50 ˜ Hz

Frequenz

Z  2˜ S ˜ f

Kreisfrequenz

L  0.1 ˜ H

Induktivität

R  20 ˜ :

ohmscher Widerstand

L

W L˜ di dt 'i 't

W

R di dt

L



'i =

Zeitkonstante

5 ms

 R ˜ i = u ( t) R



1 W

˜i=

˜i=

Einheitendefinition

U0  220 ˜ V

uR ( t) 

Abb. 14.24

3

inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

u ( t)

di

L

dt



1 W

˜i=

u ( t) L

u ( t)

umgeformte Differentialgleichung

Differentialquotient durch Differenzenquotienten ersetzt

L

§ u ( t)  1 ˜ i· ˜ 't ¨ W ¹ © L

Umgeformte Gleichung

i n 1  i n =

§ u  tn 1 · ¨  ˜ in ˜ 't W © L ¹

Differenzengleichung für den gesuchten Strom

i n 1 = i n 

§ 1 ˜ u t  1 ˜ n· ˜ 't  n W ¨ ©L ¹

umgeformte Differenzengleichung

Rekursive Berechnung der Lösungen: In weiterer Folge werden die Abkürzungen un = u(tn) und T s = 't = tn+1 - tn (Abtastzeitpunkt) verwendet. Wahl des darzustellenden Zeitintervalls t 1 und der Zahl N1 der Rechenschritte (die Abtastzeit T s sollte viel kleiner als die Zeitkonstante W sein): W

5 ms

Zeitkonstante

Seite 270

Laplace- und z-Transformation

t1  30 ˜ ms

gewähltes Zeitintervall

N1  500

Anzahl der Rechenschritte

t1

Ts 

Ts

N1

n  0  N1

Abtastzeit

0.06 ms

Bereichsvariable



uG  uG n ˜ Ts n



diskretisierte Gleichspannung

i0  0 ˜ A

Anfangsbedingung

i n 1  i n 

§1 ˜u  1 ˜i · ˜T ¨ n © L Gn W ¹ s

I0  max ( i)

I0

k  10

n  0  k  N1

10.974 A

rekursive Berechnung

maximaler Strom Bereichsvariable für ausgewählte Werte

15

I0

10

W

5˜W

ms

ms

A

in A

5

0

5

10

15

20

n˜Ts ms

Abb. 14.25 n  0  N1 T

1

Bereichsvariable T

f



20 ms

uw  uw n ˜ Ts  Z n i n 1  i n  k  10



§1 ˜u  1 ˜i · ˜T ¨ n © L wn W ¹ s n  0  k  N1

Periodendauer diskretisierte Wechselspannung

rekursive Berechnung

Bereichsvariable für ausgewählte Werte

Seite 271

25

30

Laplace- und z-Transformation

2˜U 0 400

V

T ms in A

200

˜20

uw

n

0

5

10

15

20

25

30

V 200

400 n˜Ts ms

Abb. 14.26 n  0  N1

Bereichsvariable



uR  uR n ˜ Ts n i n 1  i n 



diskretisierte Rampenspannung

§ 1 ˜ u  1 ˜ i · ˜ T rekursive Berechnung der Differenzengleichung ¨ n © L Rn W ¹ s

k 2

n  0  k  N1

Bereichsvariable für ausgewählte Werte

10

in A

˜20

uR

5 n

V

0

0.5

1

1.5

2

2.5 n˜Ts ms

Abb. 14.27

Seite 272

3

3.5

4

4.5

5

Laplace- und z-Transformation

Beispiel 14.24: In einem elektrischen einfachen Netzwerk aus T-Vierpolen können die Spannungen mit einer nachfolgend angegebenen homogenen Differenzengleichung 2. Ordnung beschrieben werden. Wir suchen die Lösungsfolge mithilfe der z-Transformation. u ( n  2)  3 ˜ u ( n  1)  u ( n) = 0

Anfangsbedingungen:

u ( 0) = 0

u ( 1) = 1

Will man diese Gleichung über das Symbolik-Menü lösen, so ist für n eine Verschiebung vorzunehmen ! Wir wählen eine Verschiebung um n = 2: u ( n  2)  3 ˜ u ( n  1)  u ( n) = 0

Auf n Strichcursor setzen und mit MenüSymbolik-Transformationen-Z auswerten. oder: + STZ

u ( n  2)  3 ˜ u ( n  1)  u ( n) hat Z-Transformation 2

2

z ˜ ztrans ( u ( n)  n  z )  u ( 0) ˜ z  u ( 1) ˜ z  3 ˜ z ˜ ztrans ( u ( n)  n  z )  3 ˜ u ( 0) ˜ z  ztrans ( u ( n)  n  z ) Diese Bildfunktion (z-Transformierte) wird nun unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen übersetzt und nach U1(z) aufgelöst: z

2

F ( z )  z ˜ U1 ( z )  z  3 ˜ z ˜ U1 ( z )  U1 ( z ) auflösen  U1 ( z ) o

Bildfunktion (z-Transformierte)

2

z  3˜ z  1 Eine Alternative dazu wäre die direkte Übersetzung der Differenzengleichung mithilfe des Verschiebungssatzes unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen: F ( z)  z

2

˜ U1 ( z )  z

1

 3˜ z

1

˜ U1 ( z )  U1 ( z ) auflösen  U1 ( z ) o

z 2

z  3˜ z  1 Rücktransformation mithilfe von symbolischem Operatoren: n ª § º 1· « » n invztrans  z ¨ 1 1 n n § · » 2 2 o ˜ 5 ˜ 2 ˜ « © 3  5 ¹  ( 1) ˜ ¨ vereinfachen 5 1 « ¨ ¸ » « ¨ 3  5 2 » ¬ © ¹ ¼ 1

u ( n)  F ( z )

n  0  8

Bereichsvariable

un  u ( n)

gesuchte Lösungsfolge

T

0

u

0

1 0

2 1

3 3

4 8

21

5 55

6

7

8

144

377

987

Seite 273

Laplace- und z-Transformation

Beispiel 14.25: Ein digitales Filter 1. Grades wird durch eine Einheitssprungfolge x(n) = 2 V(n) angesteuert. Für dieses Filter gelte die Differenzengleichung y(n+1) + k y(n) = x(n) mit dem Anfangswert y 0 = 0 und k = - 0.5. Man untersuche das System im Zeitbereich und im Frequenzbereich. Untersuchung des Filters im Zeitbereich: 4

N 2

Anzahl der Abtastwerte

n  0  N  1

Bereichsvariable

xn  2 ˜ ) ( n)

Die Eingangsgröße sei der Einheitssprung (Einheitssprungfolge)

y0  0

Anfangswert für die Differenzengleichung

k  0.5

gegebene Konstante (Multiplikator)

yn1  k ˜ yn  xn

Differenzengleichung für die Sprungantwort (rekursive Berechnung)

yG = k ˜ yG  2

Aus dieser Gleichung folgt der Grenzwert für die Sprungantwort (Schnittpunkt von y =x und y = - k x + d ; d/(1+k)).

yG 

2

yG

1k

Fixpunkt

4

Einheitsspf. u. Sprungantwort d. Systems

5

yG

4 xn

3

yn

2

Spur1: Format: Stamm Spur 2: Format: Punkte Spur3: Format: Treppe

yn 1 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16

1

Abb. 14.28 n

z-Transformation und inverse z-Transformation: Y (z)  k ˜ z

G ( z) =

X (z)  G ( z) 

1

Y (z) X (z) z z1 2 zk

=

˜ Y (z) = 2 ˜ z 2˜ z

1

1

1 k˜z

1

=

˜ X (z) 2

zk

z-Transformierte Differenzengleichung

digitale Übertragungsfunktion

z-Transformierte des Einheitssprunges )(n) Digitale Übertragungsfunktion für das System. Das System konvergiert für |z| > k und verhält sich stabil für |z| < 1.

Seite 274

Laplace- und z-Transformation

Y ( z)  G ( z) ˜ X ( z)

Die z-Transformierte der Sprungantwort hat Pole bei z = - k und z = 1.

Wir wählen für die inverse z-Transformation einen geeigneten Radius für einen kreisförmigen Integrationsweg. Die Pole von Y(z) müssen innerhalb des Integrationsweges der z-Ebene liegen. r  wenn ( k  1  2  2 ˜ k )

Gewählter Radius des Integrationsweges.

x ( M )  r ˜ cos ( M )

Parameterdarstellung für den kreisförmigen Integrationsweg.

y ( M )  r ˜ sin ( M )

M  0  0.01  2 ˜ S

Bereichsvariable

Integrationsweg und Polstellen 2

Die Polstellen liegen innerhalb des gewählten Kreises.

1

y( M ) 0 2

0

1

0

1

2

1

Abb. 14.29 2 x( M )   k  1 2˜S

n

yn 

´ ˜µ 2 ˜ S ¶0 r

5



j ˜M

Y r˜ e

˜ ej˜n˜M dM

Inverse z-Transformation nach Substitution z = r e jM

Einheitsspf. u. Sprungantwort d. Systems yG

4 xn

3

yn

2

Spur 1: Format: Stamm Spur 2: Format: Punkte Spur 3: Format: Treppe

yn 1 10.0588 0.881.822.763.714.655.596.537.478.419.3510.29 11.24 12.18 13.12 14.0615

Abb. 14.30

1 n

Untersuchung des Filters im Frequenzbereich: G ( z) =

2 zk

Ts  10

4

˜s

Digitale Übertragungsfunktion für das System. Das System konvergiert für |z| > k und verhält sich stabil für |z| < 1. gewählte Abtastzeit

Seite 275

Laplace- und z-Transformation

2˜ S

Zs 

Zs

Ts

4 1

6.3 u 10 s

2

G(Z ) 

Die zugehörige analoge Übertragungsfunktion (Frequenzgang)

j ˜Z˜Ts

1

erhält man mit der Substitution z = e digitalen Übertragungsfunktion.

k

e Z  0˜ s

 0.001 ˜ Z s  2 ˜ Z s

G( Z )

6 5 4 3 2 1 0

Samplingkreisfrequenz

jZTs

(Einheitskreis) aus der

Bereichsvariable

Amplitudengang

1

0

0.5

1

1.5

2

Z Zs

Abb. 14.31

arg( G( Z ) )

S

Phasengang

4 2 0

1

S

2 4

0

0.5

1

1.5

2

Z Zs

Abb. 14.32 Amplituden- und Phasengänge digitaler Filter sind (durch die Abtastung bedingt) mit der Abtastkreisfrequenz Zs periodisch. Der Frequenzgang ist ausserdem symmetrisch zu Zs /2. Aufgrund des Abtasttheorems kann aber der Frequenzgang nur bis Zs /2 genützt werden.

Seite 276

Differentialgleichungen

15. Differentialgleichungen Eine Gleichung, die mindestens einen Differentialquotienten enthält, heißt Differentialgleichung. Man unterscheidet zwischen gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen . Mathcad stellt zum Lösen von Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme zahlreiche Werkzeuge zur Verfügung. Symbolische Auswertungsmöglichkeiten: Im Falle einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten der Form y(n) = f(x,y,...,y(n-1)) kann eine Lösung in klassischer Form , durch Auswerten der Integrale über Menü-Symbolik-Auswerten, oder mittels Laplacetransformation (siehe auch Kapitel 14.) gefunden werden. Numerische Auswertungsmöglichkeiten von Anfangs- und Randwertproblemen: Lösungsblock für Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme Mit der Funktion Gdglösen, die intern das Runge-Kutta-Verfahren 4.Ordnung verwendet, steht ein Verfahren zur Verfügung, Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme n-ter Ordnung, abhängig von Anfangs- oder Randbedingungen, mithilfe eines Lösungsblocks numerisch zu lösen. Voraussetzung ist, dass der Ableitungsterm der höchsten Ableitung linear ist (die Terme mit Ableitungen niedriger Ordnung können auch nichtlinear sein) und die Anzahl der Bedingungen gleich der Ordnung der Differentialgleichung ist. Ein Randwertproblem wird bei der Lösung zuerst in ein äquivalentes Anfangswertproblem umgewandelt. Der Lösungsblock kann z.B. folgendes Aussehen haben: Vorgabe 2

d

y ( x)  y ( x) = 0 oder in Primnotation: y'' ( x)  y ( x) = 0 (Primsymbol mit <Strg> + ) 2 dx Anfangswertproblem: y ( 0) = 5

y' ( 0) = 5 Ableitung in Primnotation !

Oder Randwertproblem: y ( 0) = 1

y ( 2) = 3





y:= Gdglösen x  xb  Schritte

Gibt eine Funktion y(x) zurück !

Vorgabe 2

d

2

u ( t) = 3 ˜ v( t)

dx Anfangswertproblem: u ( 0) = 1.2

u' ( 0) = 1.2

2

d

2

u ( t) = 2 ˜

dx

v ( 0) = 1

2

d

dt

2

v ( t)  4 ˜ u ( t)

v' ( 0) = 1

Ableitung in Primnotation !

§f · ª§ u · º ¨ := Gdglösen «¨  tb  Schritte» Gibt einen Vektor mit Funktionen f(t) und g(t) zurück ! ©g ¹ ¬© v ¹ ¼

Seite 277

Differentialgleichungen

Argumente: x ist die reelle Integrationsvariable bzw. ein Vektor mit den gesuchten Funktionen. xb bzw. tb ist der reelle Wert des Endpunktes des Integrationsintervalls. Schritte ist ein optionaler Parameter (ganzzahlig) für die Anzahl der zu berechnenden Punkte. Fehlt dieser, so verwendet Mathcad eine interne Schrittweite. Standardmäßig verwendet Gdglösen für die Lösung ein Runge Kutta-Verfahren mit fester Schrittweite . Klickt man mit der rechten Maustaste auf den Namen Gdglösen, so kann auch im Kontextmenü ein adaptives Verfahren gewählt werden. Numerische Auswertungsmöglichkeiten von Anfangswertproblemen: Allgemeiner Differentialgleichungslöser rkfest Für gewöhnliche Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit Anfangsbedingungen oder für ein Differentialgleichungssystem kann die Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung mit fester Schrittweite angewendet werden. Dazu wird die Funktion rkfest bereitgestellt. Allerdings muss zuerst eine Differentialgleichung n-ter Ordnung y (n) = f(x,y,...,y(n-1)) und auch die Anfangswerte in ein System 1. Ordnung umgeschrieben werden: Y0 = y ; Y '0 = Y 1 (= y ' ) ; Y '1 = Y 2 (= y'' ) ; Y '2 = Y 3 (= y''' ) ; ... ; Y 'n-1 = f(x, Y 0 , Y1 , ..., Yn-1) (= y(n) ). Die Anfangswerte y(xa ), y '(xa ), ..., y(n-1)(xa ) müssen in Form eines Vektors aw geschrieben werden. Außerdem ist eine Vektorfunktion D(x,Y) zu definieren, deren letzte Komponente die explizite Differentialgleichung enthält. Y ist ein Vektor mit unbekannten Funktionswerten .

ª y xa º « » « y'  xa » aw:= « » « ....... » « ( n 1) xa »¼ ¬y



Y1 ª º « » ..... « » D(x,Y):= « » Y n 1 « » «y( n) x  Y  Y  ....  Y » n 1 ¼ ¬  0 1

Y ' = D(x,Y)



Z := rkfest aw  xa  xb  N  D

Argumente: aw muss ein Vektor aus n Anfangswerten oder einem einzelnen Anfangswert sein. xa , xb sind Endpunkte des Intervalls, an dem die Lösung für Differentialgleichungen ausgewertet wird. Anfangswerte in aw sind die Werte bei x a . N ist die Anzahl der Punkte hinter dem Anfangspunkt, an denen die Lösung angenähert werden soll. Hiermit wird die Anzahl der Zeilen (1 + N) in der Matrix bestimmt, die von rkfest zurückgegeben wird. Z ist eine Matrix von der Größe (N+1) x (n+1). Die erste Spalte enthält die x-Werte (oder Zeitpunkte für x = t) x = xa , xa +'x ... xb mit der Schrittweite 'x = (xb - xa ) / N, die zweite Spalte die gesuchte Lösung y zu den entsprechenden x-Werten, die 3. Spalte die erste Ableitung y' und die Spalte n die (n-1)-te Ableitung y(n-1). Allgemeiner Differentialgleichungslöser Bulstoer Wenn man weiß, dass die Lösung stetig ist, erzielt man eine genauere Lösung mit der Funktion Bulstoer (Bulirsch-Stoer-Verfahren) an Stelle von rkfest. Die Argumente dieser Funktion unterscheiden sich nicht von rkfest.





Z : = Bulstoer aw  xa  xb  N  D

Seite 278

Differentialgleichungen Allgemeiner Differentialgleichungslöser Rkadapt Bei einer festen Anzahl von Punkten kann man eine Funktion genauer approximieren, wenn man mehr Berechnungen an den Stellen macht, an denen sich die Funktionswerte schnell verändert. Dementsprechend weniger Berechnungen werden dort angestellt, wo die Veränderungen in der Funktion langsamer sind. Wenn die gesuchte Funktion diese Eigenschaft hat, erzielt man mit der Funktion Rkadapt bessere Ergebnisse als mit rkfest. Anders als die Funktion rkfest, die in Schritten mit gleicher Weite integriert, um eine Lösung zu finden, untersucht Rkadapt, wie schnell sich eine Lösung ändert , und verändert die Schrittweite dementsprechend. Rkadapt verwendet beim Lösen der Differentialgleichung intern ungleichmäßige Schrittweiten, gibt die Lösung jedoch an Punkten mit gleichem Abstand zurück. Die Argumente dieser Funktion unterscheiden sich nicht von rkfest .





Z : = Rkadapt aw  xa  xb  N  D

Allgemeine Differentialgleichungslöser für steife Systeme Ein Differentialgleichungssystem der Form y' = A * y + h heißt steif, wenn die Matrix A fast singulär ist. Unter diesen Bedingungen kann eine von rkfest bestimmte Lösung oszilieren oder instabil sein . Zur Lösung solcher Systeme sind drei Funktionen Radau, Stiffb bzw. Stiffr vorgesehen. Stiffb und Stiffr benötigen gegenüber von rkfest noch ein zusätzliches Argument J. J bedeutet die Jakobi-Matrix (n * (n+1) Matrix) mit den partiellen Ableitungen von D.





Z : = Radau aw  xa  xb  N  D

Implizites Runge-Kutta-Radau 5-Verfahren

Z : = Stiffb aw  xa  xb  N  D  J

Bulirsch- Stoer bzw.

 Z : = Stiffr  aw  xa  xb  N  D  J

§w ¨ D1 ¨ wx ¨ .... J:= ¨ ¨w ¨ wxDn ©

w wy0

D1 ....

.... w wy0

w wyn 1

D1

....

....

Dn ....

Rosenbrock Verfahren

w wyn 1

Dn

· ¸ x Y Y 0 x · ¸ z.B.: D ( x  Y) = §¨ ˜ 1 · J ( x  Y) = §¨ 1 ¸ © 1 Y1 ˜ Y0 ¹ © 0 1 ˜ Y1 1 ˜ Y0 ¹ ¸ ¹

Allgemeine Differentialgleichungslöser zum Auswerten des Endwertes Wird nur der Wert der Lösung am Endpunkt y(xb ) benötigt, und nicht der Wert über eine Anzahl von x-Werten in regelmäßigen Abständen im Integrationsintervall [xa ,xb ], so können die folgenden Funktionen verwendet werden:

 



Z : = bulstoer aw  xa  xb  Genau  D  kmax  Abstand Z : = rkadapt aw  xa  xb  Genau  D  kmax  Abstand



Z : = radau aw  xa  xb  Genau  D  kmax  Abstand



 Z : = stiffr  aw  xa  xb  Genau  D  J  kmax  Abstand Z : = stiffb aw  xa  xb  Genau  D  J  kmax  Abstand

Diese Funktionen werden klein geschrieben und haben die gleichen Eigenschaften wie die schon oben angeführten Funktionen. Sie haben aber einige zusätzliche Argumente: "Genau" bestimmt die Genauigkeit der Lösung (Ein Wert um 0.001 liefert gewöhnlich gute Lösungen). "kmax" gibt die maximale Anzahl von Zwischenpunkten an. "Abstand" legt den kleinsten zulässigen Abstand zwischen den Werten fest.

Seite 279

Differentialgleichungen

Numerische Auswertungsmöglichkeiten von Randwertproblemen: Die bereits oben angeführten Lösungsfunktionen setzen voraus , dass die Werte der Lösungen und ihrer ersten (n-1) Ableitungen am Anfang des Integrationsintervalls bekannt sind. Sie sind also zur Lösung von Anfangswertproblemen einsetzbar. Bei vielen Anwendungsfällen kann aber davon ausgegangen werden, dass die Werte der Lösung an den Randpunkten bekannt sind. Kennt man zwar einige aber nicht alle Werte der Lösung und ihrer ersten (n-1)-Ableitungen am Anfang xa bzw. am Ende xe des Integrationsintervalls, so müssen die fehlenden Anfangswerte bestimmt werden. Dazu stellt Mathcad die Funktionen sgrw bzw. grwanp bereit. Sind die fehlenden Anfangswerte an der Stelle xa bestimmt, so kann ein Randwertproblem als Anfangswertproblem mithilfe der Funktionen sgrw bzw. grwanp und der oben angeführten Funktionen gelöst werden.



S := sgrw v  xa  xe  D  lad  abst



Argumente: v ist ein Vektor mit Schätzwerten für die in xa nicht angegebenen Größen. xa , xe sind die Grenzen des Intervalls, an dem die Lösung für die Differentialgleichung ausgewertet wird. D(x,Y) ist die n-elementige vektorwertige Funktion, welche die ersten Ableitungen der unbekannten Funktion enthält. lad(xa ,v) ist eine vektorwertige Funktion, deren n Elemente mit den n unbekannten Funktionen in xa korrespondieren. Einige dieser Werte werden Konstanten sein, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt sind. Andere werden zunächst unbekannt sein, aber von sgrw gefunden werden. abst(xa ,Y) ist eine vektorwertige Funktion mit genausoviel Elementen wie v. Jedes Element bildet die Differenz zwischen der Anfangsbedingung an der Stelle xe und dem zugehörigen Erwartungswert der Lösung. Der Vektor abst misst, wie genau die angebotene Lösung die Anfangsbedingungen an der Stelle x e trifft. Eine Übereinstimmung wird mit einer Null in jedem Element angezeigt. S ist das von sgrw gelieferte Vektorergebnis mit den in xa nicht spezifizierten Werten. Falls zwischen x a und xe die Ableitung eine Unstetigkeitsstelle x s aufweist, sollte anstatt der Funktion sgrw die Funktion grwanp eingesetzt werden.





S := grwanp v1  v2  xa  xe  xs  D  lad1  lad2  abst Argumente: v1 , v2 : v1 ist ein Vektor mit Schätzwerten für die in xa nicht angegebenen Größen, v2 für die Größen in xe . xa , xe sind die Grenzen des Intervalls, an dem die Lösung für die Differentialgleichung ausgewertet wird. xs ist ein Punkt (Unstetigkeitsstelle) zwischen xa und xe . D(x,Y) ist die n-elementige vektorwertige Funktion , welche die ersten Ableitungen der unbekannten Funktion enthält. lad1(xe ,v1 ) ist eine vektorwertige Funktion, deren n Elemente mit den n unbekannten Funktionen in x a korrespondieren. Einige dieser Werte werden Konstanten sein, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt sind. Falls ein Wert unbekannt ist, soll der entsprechende Schätzwert von v 1 verwendet werden. lad2(xe ,v2 ) entspricht der Funktion lad1, allerdings für die von den n unbekannten Funktionen bei x e angenommenen Werte. abst(xs,Y) ist eine n-elementige vektorwertige Funktion, die angibt, wie die Lösungen bei x s übereinstimmen müssen. S ist das von grwanp gelieferte Vektorergebnis mit den in xa nicht spezifizierten Werten. Mit den in S gelieferten Anfangswerten kann dann mit den oben angeführten Funktionen das Anfangswertproblem gelöst werden.

Seite 280

Differentialgleichungen

Zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen stehen eine Reihe anderer Funktionen zur Verfügung (siehe Kapitel 15.6). Bemerkung: Nicht alle oben angeführten numerischen Lösungsmethoden liefern beim Lösen von Differentialgleichungen immer ein brauchbares Ergebnis. Es sollten daher, speziell bei nichtlinearen Differentialgleichungen, immer mehrere Lösungsmethoden verglichen werden !

15.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung F( x, y(x), y'(x) ) = 0

Implizite Form.

y'(x) = f( x, y(x) )

Explizite Form, wenn sich die Differentialgleichung nach y' auflösen läßt.

Das Richtungsfeld zu einer Differentialgleichung: Die Lösungsfunktionen der Differentialgleichung können in einem Richtungsfeld gut sichtbar gemacht werden. Dazu wird in jedem Punkt P(x|y) der Ebene ein Vektor mit der Steigung y' aufgetragen. Ein Vektorfeld ist eine Funktion F(x,y), die einen Vektor zu jedem Punkt P(x|y) der Ebene zuweist. Ein Richtungsfeld zeigt die Richtung der Lösungen von y' = f(x,y) bei jedem Punkt. Das Richtungsfeld kann als Vektorfeld-Diagramm der folgenden komplexen Funktion 1  f ( x  y) ˜ j

F ( x  y)

1  f ( x  y) ˜ j

veranschaulicht werden. Die Funktion wird normiert, also im Nenner durch die Länge der Vektoren dividiert, damit alle Vektoren dieselbe Länge besitzen.

Beispiel 15.1 d dt

y ( t ) = cos ( y ( t) )  sin ( t )

f ( t  y)  cos ( y)  sin ( t )

Gegebene Differentialgleichung 1. Ordnung. Der rechte Term als Funktion definiert.

Definition der Bereiche von t und y, für die Lösungen betrachtet werden sollen: t max  t min

n1  20

tmin  0

tmax  10

i  0  n1

ti  tmin  i ˜

m1  20

ymin  0

ymax  10

j  0  m1

y j  ymin  j ˜

Fi  j 

 1  f  ti  y j ˜ j

1  f ti  y j ˜ j

n1 ymax  ymin m1

Mathcad erwartet für ein Vektorfeld-Diagramm eine Matrix!

Seite 281

Differentialgleichungen

Vektorfeld-Diagramm

F Abb. 15.1 15.1.1 Integration der linearen Differentialgleichung 1. Ordnung y' + p(x) y = 0

Homogene lineare Differentialgleichung 1.Ordnung.

y' + p(x) y = q(x)

Inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung (q(x) heißt Störfunktion).

a) Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung nach der klassischen Methode Die Lösung der homogenen Differentialgleichung 1. Ordnung ergibt sich ohne bzw. unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung x 0 , y0 = y(x 0 ) zu: x

´ µ  µ p( x) dx ¶

´  µ p( t) dt ¶x

yh = C ˜ e

yh = y0 ˜ e

0

b) Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung nach der klassischen Methode Allgemeine Lösung:

y = y h + yp

yh ... Lösung der homogenen Differentialgleichung durch Trennen der Variablen. yp ... Partikuläre also spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (sie wird durch Variation der Konstanten ermittelt). Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 1. Ordnung ergibt sich ohne bzw. unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung x 0 , y0 = y(x 0 ) zu: ´ µ  µ p( x) dx ¶

y = yh  yp = e

§´ ¨µ ´ µ ¨µ µ ¶ ¨µ ˜ µ q ( x) ˜ e ¨¶ ©

· p ( x) dx

¸ ¸

dx  C

Seite 282

¹

Differentialgleichungen

x

´  µ p( t) dt ¶x

y = yh  yp = e

0

§ ¨ ¨ ¨ ˜ y0  ¨ ©

· ´ t µ ´ µ p ( x) dx ¸ µ ¶x µ 0 ¸ q ( t ) ˜ e dt µ ¶x x

¹

0

c) Lösung der linearen Differentialgleichung mithilfe der Laplace Transformation Liegt eine lineare Differentialgleichung mit Anfangsbedingungen und konstanten Koeffizienten vor, so kann die Lösung nach Anwendung der Laplace Transformation mittels einer algebraischen Gleichung der Bildfunktion erfolgen. Durch Rücktransformation der Lösung der algebraischen Gleichung in den Originalraum ergibt sich dann die gesuchte Lösung der Differentialgleichung . Die Vorzüge der Anwendung der Laplace Transformation bei der Lösung von Differentialgleichungen liegen darin, dass einmal die Anfangsbedingungen sofort berücksichtigt werden, ohne erst eine allgemeine Lösung angeben zu müssen. Weiter ist es bei inhomogenen Differentialgleichungen nicht erforderlich , erst die homogene und dann die inhomogene Differentialgleichung zu lösen, sondern die inhomogene Differentialgeichung kann sofort, allerdings über die Bildfunktion, gelöst werden. Siehe dazu Kapitel 14. d) Numerisches Lösen einer Differentialgleichung Eine näherungsweise Lösung einer Differentialgleichung ist mit den am Beginn dieses Abschnitts vorgestellten Funktionen möglich, oder eventuell wie im Kapitel 14 besprochen, durch die Überführung in eine Differenzengleichung. Beispiel 15.2: In einem Gleichstromkreis sind ein ohmscher und ein induktiver Widerstand parallel geschaltet. Gesucht: Strom i(t) beim Ausschalten des Gleichstromkreises, wenn zur Zeit t = 0 der Strom I 0 fließt. Klassische Lösung einer homogenen Differentialgleichung: Nach der Maschenregel gilt: u R + uL = 0 i˜ R  L˜

d

d

i=0

dt

dt

i

R L

˜i=0

Homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten und der Anfangsbedingung i(0) = I 0 .

Berücksichtigt man die Zeitkonstante W = L / R, so vereinfacht sich die Differentialgleichung: d dt

i

1 W

˜i=0

Die Lösungen lauten damit (p(t) = 1/ W): ´ µ µ µ ¶

1 W

i ( t) = C ˜ e

dt

1

ergibt

i ( t) = C ˜ e

W

˜t

symbolische Auswertung

Anfangsbedingung einsetzen und nach C auflösen: 1

I0 = C ˜ e

W

˜0

hat als Lösung(en)

1

i ( t) = I0 ˜ e

W

I0

(nach Variable C auflösen ergibt C = I 0 )

˜t

gesuchte Lösungsfunktion

Seite 283

Differentialgleichungen

ms  10

3

˜s

Zeiteinheit festlegen

L 1˜ H

Induktivität

R  100 ˜ :

ohmscher Widerstand

I0  5 ˜ A

Strom

W

L

W

R

1 W

i ( t)  I0 ˜ e

Zeitkonstante

0.01 s ˜t

Stromstärkefunktion

d

Probe:

i ( t) 

dt

t  0 ˜ s  0.0001 ˜ s  5 ˜ W

1 W

˜ i ( t ) vereinfachen o 0

Bereichsvariable

6 5 I0

4

A 3

Abb. 15.2

i ( t) 2

A

1 0

0

10

20

30

40

50

t ms

Unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung lässt sich die Lösung einfacher berechnen: I0  I0

W W

t t

i i

Redefinitionen

t



´  µ p ( x) dx ¶t



t0  0

allgemeine Lösung unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung

0

i t  p  t 0  i0  i0 ˜ e i0  I 0

1

p ( x) 

Anfangsbedingung und p(x) festlegen

W

§ t · i t  p  t 0  i0 vereinfachen o I 0 ˜ exp ¨ ©W¹

gesuchte Lösung

 dt

Probe



d





i t  p  t 0  i0 

1 W





˜ i t  p  t 0  i0 vereinfachen o 0

Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe der Laplace-Transformation: d dt

i ( t) 

1 W

˜ i ( t) = 0

Anfangsbedingung:

i ( 0) = I0

Seite 284

Zeitbereich

Differentialgleichungen

Man stellt im linken Term der Gleichung den Strichcursor auf t und transformiert mit SymbolischTransformationen-Laplacetransformation die Gleichung: d dt

1

i ( t) 

˜ i ( t)

W

hat Laplace-Transformation

1 I ( s) ˜ s  I0  ˜ I ( s ) = 0 W 1 I ( s) ˜ s  I0  ˜ I ( s ) W

s ˜ laplace ( i ( t )  t  s )  i ( 0) 

1 W

˜ laplace ( i ( t )  t  s )

Differentialgleichung in die Laplacetransformierte übersetzt

auflösen  I ( s ) § t · o I0 ˜ exp ¨ invlaplace  s ©W¹

Lösung der Gleichung im Bildbereich und Rücktransformation in den Zeitbereich

t W

i ( t) = I0 ˜ e

Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich

Numerische Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von rkfest: d dt

1

i ( t) 

˜ i ( t) = 0

W

ms  10

3

˜s

Anfangsbedingung:

Zeiteinheit festlegen

L 1˜ H

Induktivität

R  100 ˜ :

ohmscher Widerstand

I0  5 ˜ A

Strom

W

L

W

R

aw 0 

i ( 0) = I0

0.01 s

I0

Zeitkonstante aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung n-ter Ordnung

A 

D ( t  I)  s

1 W

1

Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der ˜ I0

Darstellung D(t,I):=(I1 ,...,In-1,i(n)(I)) T. Die letzte Komponente ist die nach i (n) umgeformte Differentialgleichung. In rkfest sind keine Einheiten zulässig, daher werden sie gekürzt !

n  300

Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung

ta  0 ˜ s

Anfangszeitpunkt

te  5 ˜ W

Endzeitpunkt

§

Z  rkfest ¨ aw 

©

ta te · Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine Matrix. Die   n  D erste Spalte Z <0> enthält die Zeitpunkte t, die nächste Spalte s s ¹ <1> Z die Lösungsfunktion i(t). In rkfest sind keine Einheiten zulässig, daher werden sie gekürzt !

¢0² t Z ˜ s

Vektor der Zeitwerte

¢1² i Z ˜A

Vektor der Stromwerte

Seite 285

Differentialgleichungen

k  0  zeilen ( Z)  1

Bereichsvariable

6 5 I0

4

A

3

ik

Abb. 15.3

2

A

1 0

0

10

20

30

40

50

tk ms

Numerische Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von Gdglösen: ms  10

3

˜s

Zeiteinheit festlegen

L 1˜ H

Induktivität

R  100 ˜ :

ohmscher Widerstand

I0  5 ˜ A

Strom

W

L R

W

Zeitkonstante

0.01 s

n  100

Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung

Vorgabe 1

d

W

i ( t) 

dt

i ( 0) =

s

1

˜ i ( t) = 0

I0

Der Lösungsblock darf keine Einheiten enthalten, daher werden sie gekürzt !

Anfangsbedingung

A

§ ©

i  Gdglösen ¨ t  5 ˜

W s

· ¹

Das Kontextmenü erhält man mit einem Klick der rechten Maustaste auf Gdglösen (rkfest, rkadapt, Steif)

n

t  0 ˜ s  0.001 ˜ s  5 ˜ W

Bereichsvariable

Seite 286

Differentialgleichungen

6 5 I0

i ( 0)

5

4

A

i ( 0.01)

3

1.839

i ( t) 2

A

i ( 0.031 )

0.225

1 0

0

10

20

30

40

50

Abb. 15.4

t ms

Alternative: Vorgabe 1

d dt

W

i ( t) 

i ( 0) =

s

1

˜ i ( t) = 0

I0 A

§ ©

i ( W )  Gdglösen ¨ t  5 ˜

W s

· ¹

Für die gesuchte Funktion i können die in der Differentialgleichung vorkommenden Parameter angegeben werden!

n

W1  0.1 ˜ s

W2  0.05 ˜ s

verschieden gewählte Zeitkonstanten

i1  i ( W1)

i2  i ( W2)

Berechnungen für verschiedene Zeitkonstanten W

t  0 ˜ s  0.001 ˜ s  5 ˜ W1

Bereichsvariable

6 I0

5

A

4

i1( t) A i2( t)

3

Abb. 15.5 2

A 1 0

0

100

200

300

400

t ms

Seite 287

500

Differentialgleichungen Beispiel 15.3: Ein R-L-Serienkreis wird an eine sich sprunghaft ändernde Gleichspannung u(t) = U 0 )(t) gelegt. Gesucht ist der Strom i(t) beim Einschalten des Serienkreises, wenn zur Zeit t = 0 der Strom i = 0 ist. Klassische Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung 1. Ordnung: i ( t) ˜ R  L ˜

uR(t) + uL(t) = U0 .)(t) d

i ( t) 

R

˜ i ( t) =

dt

L

t t

L L

U L

d dt

˜ ) ( t)

i ( t ) = U0 ˜ ) ( t)

W =

Inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung.

L R

umgeformte Differentialgleichung

R R

W W

I0  I0

Redefinitionen

Ohne Anfangsbedingung: ´ µ µ µ ¶

i ( t) = e

§´ ¨µ ´ µ R µ dt ¨ µ µ L ¨µ µ U ¶ ¨ ˜ µ ˜e ¨µ L ©¶

· R L

dt

¸ ¸ dt  C¸

R

ergibt

i ( t) = e

¹

L

˜t

R § · ¨ 1 L ˜t ˜¨ ˜e ˜U C ©R ¹

oder: ´ µ  µ p ( t) dt ¶

i ( t  p  q  C)  e

p ( t) 

R

q ( t) 

L

U L

§´ ¨µ ´ µ ¨µ µ ¶ ¨µ ˜ µ q ( t) ˜ e ¨¶ ©

˜ ) ( t)

· p( t) dt

¸ ¸

dt  C

¹

Nichtdefinierte Variablen werden als Fehler angezeigt. Dies stört jedoch vorerst nicht beim Auswerten!

§ R ˜ t· ˜ ª§ ) ( t) ˜ L ˜ exp § R ˜ t·  ) ( t) ˜ L· ˜ U  Cº «¨ ¨ » R © L ¹ ¬© R ©L ¹ ¹ L ¼

i ( t  p  q  C) o exp ¨

mit Symboloperator ausgewertet

Mit der Anfangsbedingung t 0 und i0 : t0  0

i0  0

t





´  µ p( x) dx ¶t

i t  p  q  t 0  i0  e

p ( t) 

R L

q ( t) 

0

U L

§ ¨ ¨ ¨ ˜ i0  ¨ ©

· ´ x ´ µ µ p ( t) dt ¸ µ ¶t µ 0 ¸ q ( x ) ˜ e dx µ ¶t t

¹

0

Nichtdefinierte Variablen werden als Fehler angezeigt. Dies stört jedoch vorerst nicht beim Auswerten! Die Heaviside-Funktion wird hier weggelassen.

Seite 288

Differentialgleichungen



ersetzen  U = R ˜ I 0



i t  p  q  t 0  i0

 dt d

ersetzen  R =



i t  p  q  t 0  i0 

L 1˜ H ms  10

R L

W





˜ i t  p  q  t 0  i0 vereinfachen o

R  40 ˜ :

3

§ t · ˜ § exp § t · ˜ I  ¨ ¨ © W ¹ © ©W¹ 0

o exp ¨

L

I0  5 ˜ A

˜s

1 · § ˜t ¨ W i ( t)  I0 ˜ © 1  e ¹ ˜ ) ( t)

I0 W

Probe

L L

W

R

0.025 s

Gewählte Größen

Zeiteinheit festlegen

t  0.01 ˜ s  0.01 ˜ s  0.0001 ˜ s  5 ˜ W

ta ( t) 

W

U

· Symbolische Auswertung ¹ mit der Anfangsbedingung.

I0

Bereichsvariable

Stromfunktion (händisch vereinfachte Lösung)

˜ t ˜ ) ( t)

Anlauftangente

7 6 I0˜) ( t)

5

A

4

) ( t)

W

5˜W

ms

ms

3

i ( t)

2

ta( t)

Abb. 15.6

1 20

0

20

40

60

80

100

120

140

1 t ms

Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mithilfe der Laplace-Transformation: d dt

i ( t) 

R L

˜ i ( t) =

U L

˜ ) ( t)

i ( 0) = 0

Differentialgleichung und Anfangsbedingung im Zeitbereich

Man stellt in der Gleichung den Strichcursor auf t und transformiert mit Symbolisch-TransformationenLaplacetransformation die Gleichung: d dt

i ( t) 

R L

˜ i ( t) 

U L

˜ ) ( t)

hat Laplace-Transformation

Seite 289

Differentialgleichungen

R

s ˜ laplace ( i ( t )  t  s )  i ( 0)  I ( s) ˜ s  0  R R

R L

˜ I (s) =

L

U

I ( s) ˜ s  0 

L

U L˜ s

Differentialgleichung in die Laplacetransformierte übersetzt

L˜ s

L L

R

˜ laplace ( i ( t )  t  s ) 

Redefinitionen

˜ I (s) 

auflösen  I ( s ) § 1 1 ˜ exp § R ˜ t · · o U˜ ¨  ¨ invlaplace  s L ¹¹ ©R R ©

U L˜ s

t §  R˜ · ¨ L i ( t) = I0 ˜ © 1  e ¹

Lösung der Gleichung im Bildbereich und Rücktransformation in den Zeitbereich.

Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich (händisch vereinfacht)

Eine Rücktransformation kann auch mithilfe der Residuen durchgeführt werden. Die Residuen werden aus der Laurentreihe bestimmt (siehe dazu Kapitel 14.1). I ( s) ˜ s  0 

R L

˜ I (s) 

U L˜ s

auflösen  I ( s ) o

U s ˜ ( L ˜ s  R)

Zu bestimmen sind die Residuen von: s˜t

I ( s) ˜ e

=

U

s˜t

s ˜ ( L ˜ s  R)

˜e

Bestimmung der Polstellen: s ˜ ( L ˜ s  R) = 0

§ 0 · ¨ R ¨ © L ¹

hat als Lösung(en)

Es liegen zwei Polstellen vor.

Residuumbestimmung beim Pol s = 0 durch Reihenentwicklung: U

s˜t

s ˜ ( L ˜ s  R) 1 R

˜ U˜ s

1



Residuum 1:

˜e

1 R

konvertiert in die Reihe

˜ U˜ t 

1 2

˜ U˜ L 

R



§ 1 ˜ U ˜ t2  1 ˜ U ˜ L ˜ t  1 ˜ U ˜ L2· ˜ s  O s2 ¨2˜ R 2 3 R R © ¹

Reihenentwicklung in s.

U R

Residuumbestimmung beim Pol s = -R/L durch Reihenentwicklung. Es wird zuerst eine Transformation in einen Pol bei s = 0 durchgeführt: u=s u=s t t

R L R L

Transformationsgleichung

hat als Lösung(en)

u˜ L  R L

Gleichung nach s aufgelöst

Redefinition

Seite 290

Differentialgleichungen

U

s˜t

s ˜ ( L ˜ s  R)

˜e

ersetzen  s =

u˜L R

U ( u ˜ L  R) ˜ u

L

˜e

R

U ( u ˜ L  R) ˜ u

§ u ˜ L  R ˜ t· © L ¹

˜ exp ¨

konvertiert in die Reihe R R · § ˜t ˜t ¨ 1 1 L L ˜t ˜ U˜ L˜ e  O ( u) ¨ R ˜ U˜ e 2 R © ¹ R

Residuum 2:

L

o

˜t

R · § ˜t ¨ 1 1 L ˜u  ¨ ˜ U˜ e ©R ¹

1

u˜ L  R

˜ U˜ e

L

Reihenentwicklung in u

˜t

Die Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich lautet dann: i ( t) =

Residuen F (s) ˜ es˜t

¦

Pole( F( s) R

i ( t) =

U R

U



R

L

e

˜t

R · § ˜t ¨ L = I0 ˜ © 1  e ¹

Numerische Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mithilfe von rkfest: d dt

i ( t) 

R

˜ i ( t) =

L

L 1˜ H

U

i ( 0 ˜ s) = 0 ˜ A

L

R  40 ˜ :

Differentialgleichung und Anfangsbedingung im Zeitbereich

I0  5 ˜ A

U  R ˜ I0

W

L R

W

0.025 s

Gewählte Größen

aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung n-ter Ordnung

aw 0  0

D ( t  I) 

U

R

V

:

L



H

L

Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der ˜ I0

H

Darstellung D(t,I):=(I1 ,...,In-1,i(n)(I)) T. Die letzte Komponente ist die nach i (n) umgeformte Differentialgleichung. In rkfest sind keine Einheiten zulässig, daher werden sie gekürzt !

n  300

Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung

ta  0 ˜ s

Anfangszeitpunkt

te  5 ˜ W

Endzeitpunkt Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1)

§

Z  rkfest ¨ aw 

©

ta te ·   n D s s ¹

Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die Zeitpunkte t, die nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion i(t). In rkfest sind keine Einheiten zulässig, daher werden sie gekürzt !

¢0² t Z ˜ s

Vektor der Zeitwerte

¢1² i Z ˜A

Vektor der Stromwerte

Seite 291

Differentialgleichungen

k  0  zeilen ( Z)  1

Bereichsvariable

6 5 I0

5˜W

4

A

ms

3

ik

Abb. 15.7

2

A

1 0

0

20

40

60

80

100

120

140

tk ms

Numerische Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mithilfe von Gdglösen: ms  10

3

˜s

Zeiteinheit festlegen

L 1˜ H

Induktivität

R  40 ˜ :

ohmscher Widerstand

I0  5 ˜ A

Strom

U  I0 ˜ R

Spannung

W

L R

W

Zeitkonstante

0.025 s

n  100

Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung

Vorgabe R

d

i ( t) 

dt

L 1

U V

˜ i ( t) =

L

s

Der Lösungsblock darf keine Einheiten enthalten, daher werden sie gekürzt !

H

Anfangsbedingung

i ( 0) = 0

§ ©

i  Gdglösen ¨ t  5 ˜

W s

Das Kontextmenü erhält man mit einem Klick der rechten Maustaste auf Gdglösen (rkfest, rkadapt, Steif)

· ¹

n

t  0 ˜ s  0.001 ˜ s  5 ˜ W

Bereichsvariable

Seite 292

Differentialgleichungen

6 5 I0

5˜W

4

ms

A 3 i ( t) A

Abb. 15.8

2 1 0

0

20

40

60

80

100

120

140

t ms

15.2 Differentialgleichungen 2. Ordnung F( x,y(x),y'(x),y''(x) ) = 0

Implizite Form.

y''(x) = f( x,y(x),y'(x) )

Explizite Form (wenn sich die Diffgl. nach y'' auflösen läßt).

Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung 2. Ordnung enthält 2 Integrationskonstanten. Daher sind zu deren Bestimmung auch zwei Bedingungen notwendig: Anfangswertproblem:

y(x0 ) = y0 und y'(x0 ) = y0 '

Randwertproblem:

y(x1 ) = y1 und y(x2 ) = y2

15.2.1 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten y'' + a 1 * y' + a0 * y = s(x)

s(x) heißt Störfunktion.

s(x) = 0 ... Homogene Differentialgleichung, sonst inhomogene Differentialgleichung. a) Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung nach der klassischen Methode y'' + a 1 * y' + a0 * y = 0 Allgemeine klassische Lösung: y h = C1 y1 + C2 y2 Charakteristische Gleichung:

O2 + a1 O + a0 = 0

Je nach Beschaffenheit der Diskriminante (D = (a 1 /2)2 - a0 ) der charakteristischen Gleichung unterscheidet man: D > 0:

yh = C1 eO1 x + C2 eO2 x

D = 0:

yh = (C 1 +C2 x) eO x

D < 0:

O1 = N + j Z O N - j Z

N = - a1 /2

Z = (4 a0 - a1 2)1/2

yh = eN x (C1 cos( Z x) + C2 sin( Z x))

Seite 293

Differentialgleichungen

b) Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung nach der klassischen Methode y'' + a 1 * y' + a0 * y = s(x) Allgemeine klassische Lösung: y = yh + yp yh ... allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung yp ... partikuläre ( spezielle ) Lösung der inhomogenen Differentialgleichung yp erhält man durch die Methode der Variation der Konstanten oder mit einem angepassten Ansatz durch Vergleich der Koeffizienten. c) Lösung der linearen Differentialgleichung mithilfe der Laplace Transformation Die Vorzüge wurden bereits beschrieben. Siehe auch Kapitel 14. d) Numerisches Lösen einer Differentialgleichung Eine näherungsweise Lösung einer Differentialgleichung ist mit den bereits vorgestellten Funktionen möglich, oder, wie im Kapitel 14 besprochen, durch die Überführung in eine Differenzengleichung. Beispiel 15.4: Klassische Lösung einer homogenen Differentialgleichung: In einem Gleichstromkreis sind ein kapazitiver, ein ohmscher und ein induktiver Widerstand in Serie geschaltet. Der Kondensator soll zum Zeitpunkt t=0 aufgeladen sein, also eine Spannung U 0 besitzen. Gesucht ist der Strom i(t) beim Schließen des Serienkreises. Anfangsbedingungen: z.B. i(0) = 0 und für t = 0 ist u L(0) = - u C(0) = U0 d.h. i'(0) = U0 /L.

L˜

uL(t) + uR(t) + uC(t) = 0

d

i ( t)  R ˜ i ( t) 

dt

1 ´ µ ˜ C µ ¶

Differential-Integralgleichung

i ( t ) dt = 0

Durch Differentiation der Differential-Integralgleichung und Umformung erhält man die Differentialgleichung: 2

d

L˜

dt

2

Mit G =

2

d

dt

2

i ( t)  R ˜

d

i ( t) 

dt

1 C

˜ i ( t) = 0

2

d

dt

2

1 R d ˜ i ( t)  ˜ i ( t) = 0 L˜ C L dt

i ( t) 

1 2 und Z 0 = erhält man schließlich die Differentialgleichung in vereinfachter Form: L˜ C 2˜ L R

i ( t)  2 ˜ G ˜

d dt

2

i ( t)  Z 0 ˜ i ( t) = 0

Charakteristische Gleichung (charakteristisches Polynom 2. Ordnung): 2

2

O  2 ˜ G ˜ O  Z0 = 0

ª « « G  « « « « G  ¬

1

§ G 2  Z 2· 0 ¹ ©

2

1

§ G 2  Z 2· 0 ¹ ©

2

º » » » » » » ¼

hat als Lösung(en)

2

2

O 2 = G 

G  Z0

O 1 = G 

G  Z0

2

2

Seite 294

D=

G Z0

Dämpfungsfaktor

Differentialgleichungen

a) Freie ungedämpfte Schwingung (D = 0) G=0

O1 = j ˜ Z0



O2 = j ˜ Z0





ih = C1 ˜ cos Z 0 ˜ t  C2 ˜ sin Z 0 ˜ t

Lösungen der charakteristischen Gleichung



allgemeine Lösungen der Differentialgleichung

C2 2 2 und C1  C2 , tan ( M ) = C1 cos(D- E) = cos(D) cos(E) + sin(D) sin(E) erhält man schließlich: Mit C1 = I max ˜ cos ( M ) , C2 = Imax ˜ sin ( M ) , Imax =



ih = i = Imax ˜ cos Z 0 ˜ t  M Imax  10 ˜ A

Z0 



allgemeine Lösung

1



i ( t )  Imax ˜ cos Z 0 ˜ t  M

S

M

s

gewählte Größen

3



allgemeine Lösung

t  0 ˜ s  0 ˜ s  0.001 ˜ s  20 ˜ s

Bereichsvariable

10 5 i ( t)

0

5

10

15

20

Abb. 15.9

5 10 t

b) Freie gedämpfte Schwingung ( 0 < D < 1 ) G  Z0

O 1 = G  j ˜

N = G

Z=

 G ˜t

ih = e

2

Z0  G

2

Z0  G

2

O 2 = G  j ˜

2

Z0  G

2

2

Lösungen der charakteristischen Gleichung Dämpfungsfaktor und Schwingfrequenz



˜ C1 ˜ cos ( Z ˜ t)  C2 ˜ sin ( Z ˜ t)



allgemeine Lösungen der Differentialgleichung

C2 2 2 und C1  C2 , tan ( M ) =  C1 cos(D E) = cos(D) cos(E) - sin(D) sin(E) erhält man schließlich: Mit C1 = I max ˜ cos ( M ) , C2 = Imax ˜ sin ( M ) , Imax =

 G ˜t

ih = i = Imax ˜ e U0  100 ˜ V G

Z0 

R

˜ cos ( Z ˜ t  M )

R  200 ˜ : G

2˜ L 1 L˜ C

Z0

Imax =

L  0.01 ˜ H

U0 Z˜L

C  100 ˜ nF

4 1

gewählte Größen Dämpfungsfaktor

1 u 10 s

3.16228 u 10

allgemeine Lösung und Scheitelwert

41

Eigenkreisfrequenz

s

Seite 295

Differentialgleichungen

2

Z

Z0  G

2

Z

U0

Imax 

3 u 10

Imax

Z˜L  G ˜t

i ( t )  Imax ˜ e

41

Schwingkreisfrequenz

s

0.333 A

˜ cos ( Z ˜ t  M )

Stromfunktion

uR ( t)  R ˜ i ( t ) uL ( t)  L ˜

d

Scheitelwert

Spannung am ohmschen Widerstand Spannung am induktiven Widerstand

i ( t)

dt

uC ( t)  uR ( t)  uL ( t)

Spannung am kapazitiven Widerstand

t  0 ˜ ms  0.001 ˜ ms  0.5 ˜ ms

Bereichsvariable

200

133.33

i( t) mA

66.67

u R( t) V u L( t)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

V 66.67

u C( t) V

Abb. 15.10

133.33

200 t ms

c) Aperiodischer Grenzfall ( D = 1) und aperiodischer Fall (Kriechfall D > 1) Grenzfall: G = Z0

O 1 = O 2 = G





Dämpfungsfaktor und Lösungen der charakteristischen Gleichung

 G ˜t

ih = C1  C2 ˜ t ˜ e

allgemeine Lösungen der Differentialgleichung

Anfangsbedingungen: i(0) = 0 und für t=0 ist u L(0)= - uC(0) = U0 d.h. i'(0) = U0 /L:





 G ˜0

Mit ih ( 0) = C1  C2 ˜ 0 ˜ e  G ˜t

C2 ˜ t ˜ e Mit

= 0 folgt C1 = 0 .

durch Differentiation, ergibt

C2 ˜ exp ( G ˜ t)  C2 ˜ t ˜ G ˜ exp ( G ˜ t)

U0 U0 folgt C2 = . ih ( 0) = C2 ˜ exp ( G ˜ 0)  C2 ˜ 0 ˜ G ˜ exp ( G ˜ 0) = L L dt d





Seite 296

Differentialgleichungen

U0  100 ˜ V

R 1˜ :

1

Z0 

Z0

L˜ C U0

iG ( t ) 

1s

L  0.5 ˜ H

1

G

C 2˜ F

R

G

2˜ L

1s

gewählte Größen für den Grenzfall

1

Eigenkreisfrequenz und Dämpfungsfaktor

 Z 0˜t

˜t˜e

L

Stromfunktion für den Grenzfall

Kriechfall: G ! Z0

O 1 = G  2

2

2

G  Z0

2

G  Z0

w=

 G ˜t

ih = e

 G ˜t

ih = e

˜ § C1 ˜ e

w˜t

©

ª A1

˜«

¬ 2

2

G  Z0

Dämpfungsfaktor und Lösungen der charakteristischen Gleichung

Konstante

C1  C2 = A1

Mit

2

O 2 = G 

 w˜t·

 C2 ˜ e

allgemeine Lösungen der Differentialgleichung

¹

C1  C2 = B1

und

 w˜t  e w˜t 

˜ e

B1 2

erhält man eine andere Darstellung durch Umformung:

 w˜t  e w˜t »º = e G 1˜t ˜ A1 ˜ cosh (w ˜ t)  B1 ˜ sinh (w ˜ t)

˜ e

¼

Anfangsbedingungen: i(0) = 0 und für t=0 ist u L(0)= - uC(0) = U0 d.h. i' (0) = U0 /L:  G 1˜0

Mit ih ( 0) = e  G 1˜t

e





˜ A1 ˜ cosh ( w ˜ 0)  B1 ˜ sinh ( w ˜ 0) = 0

˜ B1 ˜ sinh ( w ˜ t )

folgt A1 = 0 .

durch Differentiation, ergibt

G1 ˜ exp G1 ˜ t ˜ B1 ˜ sinh (w ˜ t)  exp G1 ˜ t ˜ B1 ˜ cosh (w ˜ t) ˜ w Mit

U0 U0 folgt B1 = . ih ( 0) = G 1 ˜ exp G 1 ˜ 0 ˜ B1 ˜ sinh ( w ˜ 0)  exp G 1 ˜ 0 ˜ B1 ˜ cosh ( w ˜ 0) ˜ w = L w˜ L dt



d



U0  100 ˜ V Z 01 

w1  iK ( t ) 

R 2˜ :

1

Z 01

L˜ C 2

G 1  Z 01 U0 w1 ˜ L



L  0.5 ˜ H 1

2

 G 1˜t

˜e

1s



˜ sinh w1 ˜ t

t  0 ˜ s  0.001 ˜ s  15 ˜ s



R

G1 

2˜ L

w1

1.732 s





C 2˜ F G1

2s

1

1

gewählte Größen für den Kriechfall

Eigenkreisfrequenz und Dämpfungsfaktor

Konstante

Stromfunktion für den Kriechfall

Bereichsvariable

Seite 297



Differentialgleichungen

100 i G( t)

75

A i K( t) A

50

Abb. 15.11 25

0

2

4

6

8

10

12

14

16

t s

Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe der Laplace-Transformation: 2

d

dt

2

i ( t)  2 ˜ G ˜

d dt

2

I ( s) ˜ s  s ˜ 0  U0  U0

U0 L

2

 2 ˜ G ˜ s ˜ I ( s)  2 ˜ G ˜ 0  Z 0 ˜ I ( s)

L L

2

I ( s) ˜ s  s ˜ 0 

Anfangsbedingungen: i(0) = 0 und für t = 0 ist uL(0) = - u C(0) = U0 d.h. i'(0) = U0 /L.

2

i ( t)  Z 0 ˜ i ( t) = 0

G G

Z0  Z0

Differentialgleichung in die Laplacetransformierte übersetzt.

Z Z

U0

Redefinitionen U0

2

 2 ˜ G ˜ s ˜ I ( s )  2 ˜ G ˜ 0  Z 0 ˜ I ( s ) auflösen  I ( s ) o L

L ˜ §s  2 ˜ G ˜ s  Z 0 © 2

Freie ungedämpfte Schwingung (D = 0) G 0

Dämpfungsfaktor invlaplace  s

U0 L ˜ §s  2 ˜ G ˜ s  Z0 ©

2·

2

¹

vereinfacheno entwickeln

U0 L ˜ Z0



˜ sin Z 0 ˜ t



Freie gedämpfte Schwingung ( 0 < D < 1 ) G G

Redefinition

G  Z0

Z=

2

Z0  G

2

invlaplace  s U0 L ˜ §s  2 ˜ G ˜ s  Z0 © 2

2·

¹







2

ersetzen  ª Z 0  G ˜ Z 0  G º = Z o ¬ ¼ annehmen  Z ! 0 vereinfachen

Seite 298

U0 L

˜

exp ( G ˜ t) Z

˜ sin ( Z ˜ t)

2·

¹

Differentialgleichungen

Aperiodischer Grenzfall ( D = 1) und aperiodischer Fall (Kriechfall D > 1) Grenzfall: G = Z0 U0  U0

L L

Z0  Z0

U0 2 2 L ˜ §s  2 ˜ Z0 ˜ s  Z0 · © ¹

iG ( t ) =

U0

Redefinitionen

 Z 0˜t

˜t˜e

L

U0

invlaplace  s o

L



˜ t ˜ exp Z 0 ˜ t



Stromfunktion für den Grenzfall

Kriechfall: G ! Z0

Z=

2

2

G  Z0

1

G 2

Z0  1

2

Z

2

G  Z0

Zo3

2

vorgegebene Größen

§ 1 · ¨ 2 2 ˜ exp ( 2 ˜ t) ˜ 3 ˜ sinh © 3 ˜ t¹ 1

U0

invlaplace  s o

2 2 L ˜ §s  2 ˜ G ˜ s  Z0 · © ¹

iK ( t ) =

U0 Z˜L

 G ˜t

˜e

˜ sinh ( Z ˜ t)

1

U0

˜

3

L

Stromfunktion für den Kriechfall

Numerische Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von rkfest: 2

d

dt

2

i ( t)  2 ˜ G ˜

d

2

dt

i ( t)  Z 0 ˜ i ( t) = 0

Differentialgleichung

Anfangsbedingungen: i(0) = 0. Im Zeitbereich ist für t = 0 u L(0) = - uC(0) = U0 d.h. i'(0) = U0 /L Umwandlung der Differentialgleichung 2. Ordnung in ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung durch Substitution: I0 = i

I1 =

U0  5

d dt

I0 =

d dt

L  0.5

i

I2 =

d dt

2

I1 =

dt

Z0  1

§¨ 0 · aw  ¨ U0 ¸ ¨ L © ¹ I1 · § D ( t  I)  ¨ ¨ 2 ˜ G ˜ I1  Z 2 ˜ I0 0 © ¹

d

2

i

G  0.5

vorgegebene Größen

aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung n-ter Ordnung Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der Darstellung D( t,I):=(I1 ,...,In-1,i(n)(I))T. Die letzte Komponente ist die nach i (n) umgeformte Differentialgleichung. In rkfest sind keine Einheiten zulässig, daher werden sie gekürzt !

Seite 299

Differentialgleichungen

n  400

Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung

ta  0

Anfangszeitpunkt

te  10

Endzeitpunkt





Z  rkfest aw  ta  t e  n  D

Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die Zeitpunkte t, die

¢0² t Z

nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion i(t), und die letzte

¢1² i Z

¢2² i´  Z

Spalte Z die Ableitung i (n-1)(t). In rkfest sind keine Einheiten zulässig !

k  0  zeilen ( Z)  1

Bereichsvariable Freie gedämpfte Schwingung

10 ik

5

i´k

Abb. 15.12 0

2

4

6

8

10

12

5 tk

Numerische Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von Gdglösen: U0  5

Spannung

L  0.5

Induktivität

Z0  1

Eigenfrequenz

G  0.5

Dämpfungskonstante

n  100

Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung

Vorgabe 2

d

dt

2

i ( t)  2 ˜ G ˜

i ( 0) = 0

d dt

2

i ( t)  Z 0 ˜ i ( t) = 0

i' ( 0) =

U0

Differentialgleichung

Anfangsbedingungen

L

Das Kontextmenü erhält man mit einem Klick der rechten Maustaste auf Gdglösen (rkfest, rkadapt, Steif)

i  Gdglösen ( t  15  n)

t  0  0.01  10

Bereichsvariable

Seite 300

Differentialgleichungen

Freie gedämpfte Schwingung

10 5

i( t)

Abb. 15.13 0

2

4

6

8

10

5 t

Alternative: Vorgabe 2

d

dt

2

i ( t)  2 ˜ G ˜

i ( 0) = 0



d dt

2

i ( t)  Z 0 ˜ i ( t) = 0

i' ( 0) =

Differentialgleichung

U0

Anfangsbedingungen

L

Für die gesuchte Funktion i werden die in der Differentialgleichung vorkommenden Parameter angegeben !



i G  Z 0  Gdglösen ( t  15  n)

Mathsoft Slider Control-Objekt Eigenschaften (siehe Kap. 19.2.3.7): Minimum 0 Minimum 1 Maximum 10 Maximum 5 Teilstrichfähigkeit 1 Teilstrichfähigkeit 1 Skript bearbeiten: Outputs(0).Value = Slider.Position/10

G1 

Z 01 

2 G1

1 Z 01

0.2



i1  i G 1  Z 01



t  0  0.01  10

Stromfunktion in Abhängigkeit von G und Z0 Bereichsvariable Verschiedene Lösungsfälle

10

i1( t)

1

3.33 3.33

0

2

4

6

8

10 t

Seite 301

10

Abb. 15.14

Differentialgleichungen

Beispiel 15.5: Für einen mechanischen Oszillator, bestehend aus einer elastischen Feder, Masse und Dämpfung, der mit einer periodischen Kraft mit der Frequenz Ze angeregt wird, gilt folgende Beziehung: F - F D - F e = F(t) (Beschleunigungskraft - Dämpfungskraft - Federkraft = Periodische Antriebskraft). Durch Einsetzen der Kräfte ergibt sich die zugehörige Differentialgleichung: m0 ˜ 2

d

dt

2

2

d

dt

2

dt

2

d

y( t)  E ˜

y( t) 

Mit G =

d

2

dt E

d

˜

m 0 dt



y ( t )  k ˜ y ( t ) = F0 ˜ sin Z e ˜ t

y( t) 

k m0

˜ y( t) =

F0 m0





lineare inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung

˜ sin Z e ˜ t



umgeformte Differentialgleichung

F0 k 2 , Z0 = und a = erhält man schließlich die Differentialgleichung in der Form: m0 m0 2 ˜ m0 E

y( t)  2 ˜ G ˜

d dt



2

y ( t )  Z 0 ˜ y ( t ) = a ˜ sin Z e ˜ t



Klassische Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung: Für die homogene Differentialgleichung lautet die Lösung (siehe letztes Beispiel):  G˜t

ih ( t ) = e





 G ˜t

˜ C1 ˜ cos ( Z ˜ t)  C2 ˜ sin ( Z ˜ t) = A ˜ e

˜ cos ( Z ˜ t  M )

C2 2 2 , Z= C1  C2 , tan ( M ) =  C1

C1 = A ˜ cos ( M ) , C2 = A ˜ sin ( M ) , A =

2

Z0  G

2

Für die partikuläre Lösung wird folgender Ansatz gemacht:













yp ( t) = A1 ˜ cos Z e ˜ t  A2 ˜ sin Z e ˜ t = A0 ˜ cos Z e ˜ t  M 0

Mithilfe der Eulerschen Beziehung kann der Ansatz für die partikuläre Lösung und die anregende periodische Kraft auch komplex geschrieben werden:



j ˜ Z e˜t M 0

yp ( t) = A0 ˜ e



j ˜Z e˜t

F ( t ) = F0 ˜ e

Die gesuchte Lösung der Differentialgleichung lautet dann:  G ˜t

y ( t ) = yh ( t)  yp ( t) = A ˜ e





˜ cos ( Z ˜ t  M )  A0 ˜ cos Z e ˜ t  M 0

Die unbestimmten Konstanten A 0 und M0 (bzw. C1 und C2 ) müssen durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden. A 0 und M0 (bzw. A1 und A 2 ) hängen im Wesentlichen von den Parametern G und Z0 und der Amplitude F 0 ab. Die Lösung der homogenen Differentialgleichung wird stets nach einer Anfangszeit vernachlässigbar klein. Solange beide Lösungsanteile wirksam sind, spricht man von einem Einschwingvorgang. Nach dem Einschwingen wirkt nur noch die partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. Sie wird stationäre Lösung genannt. Die Ableitungen und die periodische Kraft werden nun in die Differentialgleichung eingesetzt, um A 0 und M0 zu bestimmen:

Seite 302

Differentialgleichungen



j ˜ Z e˜t M 0

yp ( t) = A0 ˜ e d dt



d

durch Differentiation, ergibt

dt







yp ( t) = j ˜ A0 ˜ Z e ˜ exp ªj ˜ Z e ˜ t  M 0 º ¬ ¼



yp ( t) = j ˜ A0 ˜ Z e ˜ exp ªj ˜ Z e ˜ t  M 0 º ¬ ¼

durch Differentiation, ergibt dd dt dt



2



yp ( t) = A0 ˜ Z e ˜ exp ªj ˜ Z e ˜ t  M 0 º ¬ ¼

§ A ˜ Z 2  2 ˜ G ˜ Z ˜ A ˜ j  Z 2 ˜ A · ˜ ej˜ Z e˜tM 0 = a ˜ ej˜Z e˜t e 0 0 0¹ © 0 e Vereinfachen, Herausheben und Erweitern: j ˜M 0

A0 ˜ e

2

a

=

2

= a˜

2

A0 ˜ e

2

§ Z 2  Z 2·   2 ˜ G ˜ Z ˜ j 2 e ¹ e © 0

Z0  Ze  2 ˜ G ˜ Ze ˜ j

j ˜M 0

2

Z0  Ze  2 ˜ G ˜ Ze ˜ j

2 2 ª º Z0  Ze 2 ˜ G ˜ Ze « » = a˜ «  ˜ j» 2 2 « § Z 2  Z 2·   2 ˜ G ˜ Z 2 § Z 2  Z 2 ·   2 ˜ G ˜ Z 2 » e ¹ e e ¹ e ¬© 0 © 0 ¼

Bildet man den Betrag und erweitert man die Wurzel, dann ergibt sich die Resonanzamplitude A 0 zu: A0 =

a 2

§ Z 2  Z 2·   2 ˜ G ˜ Z 2 e ¹ e © 0

Den Phasenwinkel erhält man aus tan(M0 ) = Im(z)/Re(z):



tan M 0 = 

2 ˜ G ˜ Ze 2

2

Z0  Ze

§ 2 ˜ G ˜ Ze ·

M 0 = atan ¨

¨Z 2  Z 2 e ¹ © 0

Das Maximum der Resonanzamplitude ergibt sich dann, wenn der Ausdruck unter der Wurzel in A 0 ein Minimum annimmt. Also die Ableitung nach Ze null wird. 2

§ Z 2  Z 2·   2 ˜ G ˜ Z 2 e ¹ e © 0

4 ˜ § Z 0  Z e © 2

2·

durch Differentiation, ergibt

2 ¹ ˜ Ze  8 ˜ G ˜ Ze = 0

hat als Lösung(en)

Seite 303

4 ˜ § Z 0  Z e © 2

2·

2 ¹ ˜ Ze  8 ˜ G ˜ Ze

0 º ª « » 1 « » 2 «§ 2 2· » Die zweite Lösung ist « © Z 0  2 ˜ G ¹ » die einzig brauchbare! « 1» « » 2 « § 2 2· » ¬© Z 0  2 ˜ G ¹ ¼

Differentialgleichungen

Die Resonanzfrequenz liegt bei:

Ze = Zr = Z0  1 ˜ s

2

1

G  0.25 ˜ s

Dämpfungsfaktor

D

Z0

Dämpfung

0.25

m0  0.5 ˜ kg

Masse des Schwingers

F0  1 ˜ N

Amplitude der periodischen Kraft 2

Zr 

Z0  2 ˜ G

2

Zr

F0

a

a

m0





2

1

Resonanzfrequenz

m

Kraft pro Masse (Beschleunigung)

2

atan ¨

if Z  Z

e 0 ¨Z 2  Z 2 e ¹ © 0 § 2 ˜ G ˜ Ze · S  atan ¨ if Z e ! Z 0 ¨Z 2  Z 2 e ¹ © 0

 0.01 ˜ s

1

 3 ˜ s

Bereichsvariable Resonanzkurve





A0 a  Z 0  G  Z r



Z rZ 0

4



Phasenverschiebung

1

5

A0 a  Z 0  G  Z e

Resonanzamplitude

2

§ Z 2  Z 2·   2 ˜ G ˜ Z 2 e ¹ e © 0 § 2 ˜ G ˜ Ze ·



M0 Z0  G  Ze 

1

a

A0 a  Z 0  G  Z e 

Ze  0 ˜ s

0.935 s

s



D = G/Z0 Dämpfung

Eigenfrequenz

1

G

D

2

§ G · = Z ˜ 1  2 ˜ D2 Z0  2 ˜ G = Z0 ˜ 1  2 ˜ ¨ 0 © Z0 ¹ 2

3

Abb. 15.15

2 1 0

0

0.5

1

1.5 Ze

Seite 304

2

2.5

3

Differentialgleichungen

Phasenverschiebung

0

S

Z0

2



M0 Z0  G  Ze



Abb. 15.16

2 S

4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Ze

Numerische Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mithilfe von Gdglösen: Z e  0.99

Erregerfrequenz

Z0  1

Eigenfrequenz

G  0.25

Dämpfungskonstante

a  0.5

F0 /m0 (Beschleunigung)

n  400

Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung

Vorgabe 2

d

dt

2

y( t)  2 ˜ G ˜

y ( 0) = 1

d dt



2

y ( t )  Z 0 ˜ y ( t ) = a ˜ sin Z e ˜ t



Anfangsbedingungen

y' ( 0) = 0

Das Kontextmenü erhält man mit einem Klick der rechten Maustaste auf gdglösen (rkfest, rkadapt, Steif)

y  Gdglösen ( t  30  n)

t  0  0.01  30

Bereichsvariable

2

Die inhomogene Differentialgleichung zeigt Resonanzverhalten wenn die Erregerfrequenz Ze in die Nähe der

2˜S Z0

0.67 y( t) 0.67

0

5

10

15

20

25

30

Eigenfrequenz Z0 gelangt. T=

2

2˜ S Z0

Abb. 15.17

t

Seite 305

Differentialgleichungen 15.2.2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten Beispiel 15.6: n  400

Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung

Vorgabe 2

x ˜

2

d

2

y ( x)  x ˜

d

y ( x)  10 ˜ y ( x) = 0

homogene lineare Diffgl. 2. Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten

dx

dx

y ( 1) = 0

Anfangsbedingungen

y' ( 1) = 3

y  Gdglösen ( x  20  n) f ( x)  x ˜ sin ( 3 ln ( x) )

exakte Lösung der Differentialgleichung

x  0  0.01  20

Bereichsvariable

20

10

y( x) f( x)

Abb. 15.18

0

10

5

10

15

20

x

Beispiel 15.7: k 1

Parameter

n  400

Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung

Vorgabe 2

x ˜

2

d

2

y ( x)  x ˜

2

y ( x)  x  k

dx

dx y ( 1) =

d

1

y' ( 1) =

2

2

˜ y(x) = 0

1

homogene lineare Diffgl. 2. Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten Anfangsbedingungen

4

y  Gdglösen ( x  20  n) f ( x)  Jn ( k  x)

exakte Lösung der Differentialgleichung (Siehe auch Besselfunktionen)

1 y( x)

0.5

f( x)

Abb. 15.19

0 0.5

5

10

15 x

Seite 306

20

Differentialgleichungen

15.3 Differentialgleichungen höherer Ordnung F( x,y(x),y'(x),y''(x),...,y(n)(x) ) = 0

Implizite Form.

y(n)(x) = f( x,y(x),y'(x),...,y(n-1)(x) )

Explizite Form (wenn sich die Diffgl. nach y (n) auflösen lässt).

Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung n-ter Ordnung enthält n Integrationskonstanten. Daher sind zu ihrer Bestimmung auch n Bedingungen notwendig. 15.3.1 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten

an ˜

n 1

n

d

s(x) ... Störfunktion.

d d y ( x)  an1 ˜ y ( x)  ....  a1 ˜ y ( x)  a0 ˜ y ( x) = s ( x) n n 1 dx dx dx

ai ... reelle Koeffizienten.

s(x) = 0 ... Homogene lineare Differentialgleichung, sonst inhomogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung. Beispiel 15.8: Gegeben sei die nachfolgende Differentialgleichung 3. Ordnung mit den Anfangsbedingungen y(0) = y0 = 1, y'(0) = y' 0 = 10 und y''(0) = y''0 = - 3. 3

d

dt

3

y( t)  5

2

d

dt

2

y ( t)  8 ˜

d dt

y( t)  4 y ( t) = 0

Homogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung.

Klassische Lösung der inhomogenen Differentialgleichung: 3

2

3

2

O  5˜ O  8˜ O  4 = 0 O  5˜ O  8˜ O  4 = 0

charakteristische Gleichung

§¨ 1 · ¨ 2 ¸ ¨ 2 © ¹

hat als Lösung(en)

Die allgemeine Lösung ist eine Linearkombination von y1 (t), y2 (t), und y3 (t):  1˜t

y ( t ) = c 1 ˜ y1 ( t)  c 2 ˜ y2 ( t)  c 3 ˜ y3 ( t) = c 1 ˜ e

 2˜t

 c2 ˜ e

 2˜t

 c3 ˜ t ˜ e

Die Konstanten c 1 , c2 und c 3 werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt. Dazu werden zuerst einige Definitionen durchgeführt:  1˜t

y1 ( t)  e y'1 ( t) 

y''1 ( t) 

d dt

 2˜t

y2 ( t)  e

y1 ( t)

y'2 ( t) 

y'1 ( t)

y''2 ( t) 

d dt

d dt

 2˜t

y3 ( t)  t ˜ e

y2 ( t)

y'3 ( t) 

y'2 ( t)

y''3 ( t) 

d dt

d dt

y3 ( t)

d dt

y'3 ( t)

Seite 307

Differentialgleichungen

Damit kann jetzt zur Bestimmung der Konstanten mithilfe der Anfangsbedingungen ein Gleichungssystem formuliert werden: y0 = c 1 ˜ y1 ( 0)  c 2 ˜ y2 ( 0)  c 3 ˜ y3 ( 0) y'0 = c 1 ˜ y'1 ( 0)  c 2 ˜ y'2 ( 0)  c 3 ˜ y'3 ( 0)

lineares Gleichungssystem

y''0 = c 1 ˜ y''1 ( 0)  c 2 ˜ y''2 ( 0)  c 3 ˜ y''3 ( 0)

§¨ y0 · §¨ y1 ( 0) y2 ( 0) y3 ( 0) · § c1 · ¨ y' ¸ = ¨ y' ( 0) y' ( 0) y' ( 0) ¸ ˜ ¨¨ c2 ¸ 2 3 ¨ 0¸ ¨ 1 ¸ ¨© y''0 ¹ ¨© y''1 ( 0) y''2 ( 0) y''3 ( 0) ¹ ¨© c3 ¹ § c1 · ¨ ¨ c2 ¸  ¨c © 3¹

§¨ y1 ( 0) y2 ( 0) y3 ( 0) · ¨ y' ( 0) y' ( 0) y' ( 0) ¸ 2 3 ¨ 1 ¸ ¨© y''1 ( 0) y''2 ( 0) y''3 ( 0) ¹

§ c1 · ¨ ¨ c2 ¸ ¨c © 3¹

§¨ 41 · ¨ 40 ¸ ¨ 29 © ¹

1

lineares Gleichungssystem in Matrixform

§¨ y0 · ˜ ¨ y'0 ¸ ¨ ¸ ¨© y''0 ¹

umgeformte Matrixgleichung

Lösungsvektor

y ( t )  c 1 ˜ y1 ( t)  c 2 ˜ y2 ( t)  c 3 ˜ y3 ( t)

allgemeine Lösungsfunktion

t  0  0.01  10

Bereichsvariable

6

Globale Definition der Anfangsbedingungen (damit kann hier sehr gut experimentiert werden):

4

y0 { 1

y( t) 2

0

Abb. 15.20 0

2

4

6

8

t

Seite 308

10

y'0 { 10

y''0 { 3

Differentialgleichungen

Numerische Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von Gdglösen: Vorgabe 3

d

dt

3

x( t)  5

2

d

dt

2

x ( 0) = 1

x ( t)  8 ˜

d dt

x( t)  4 x ( t) = 0

Differentialgleichung

x'' ( 0) = 3

x' ( 0) = 10

Anfangsbedingungen

x  Gdglösen ( t  15 )

Das Lösungsintervall wurde hier von 0 bis 15 gewählt (ohne Zeitschritte).

t  0  0.01  10

Bereichsvariable

6

4

x( t) y( t)

Abb. 15.21 2

0

0

2

4

6

8

10

t

Beispiel 15.9: Gegeben sei die nachfolgende Differentialgleichung 4. Ordnung mit den Anfangsbedingungen y(0) = 0, y'(0) = 1, y''(0) = 2, y'''(0) = 3. 2

4

y''''  2 ˜ a ˜ y''  a ˜ y = 0 Lineare homogene Differentialgleichung 4. Ordnung. Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von rkfest: a 4

gewählte Konstante

§0 · ¨ ¨1 ¸ aw  ¨2 ¸ ¨ ©3 ¹ Y1 · § ¨ Y2 ¨ ¸ D ( t  Y)  ¨ ¸ Y3 ¨ ¸ ¨ 2 4 © 2 ˜ a ˜ Y2  a ˜ Y0 ¹

erste Ableitung

n  400

Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung.

aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung n-ter Ordnung

zweite Ableitung dritte Ableitung vierte Ableitung

Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der Darstellung D(t,Y):=(Y 1 ,...,Yn-1,y(n)(Y))T. Die letzte Komponente ist die nach y (n) umgeformte Differentialgleichung. In rkfest sind keine Einheiten zulässig, daher werden sie gekürzt !

Seite 309

Differentialgleichungen ta  0

Anfangszeitpunkt

te  2

Endzeitpunkt





Z  rkfest aw  ta  t e  n  D ¢0² t Z

Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die t-Werte, die nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion y(t), und die letzte Spalte

¢1² y Z

¢2² y'  Z

Z die Ableitung y(n-1)(t). In rkfest sind keine Einheiten zulässig !

k  0  zeilen ( Z)  1

Bereichsvariable

100

yk 50

Abb. 15.22

y'k

0

0

0.5

1

1.5

2

tk

Beispiel 15.10: Gegeben sei die nachfolgende Differentialgleichung 3. Ordnung mit den Anfangsbedingungen y(0) = 0, y'(0) = 5, y"(0) = 1 . 4 ˜ y'''  y = sin ( x)

Inhomogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung.

Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mithilfe von Gdglösen: Vorgabe 4˜

3

d

3

y ( x)  y ( x) = sin ( x)

dx

y ( 0) = 0

y' ( 0) = 5

Anfangsbedingungen

y'' ( 0) = 1

y  Gdglösen ( x  5.5)

Das Lösungsintervall wurde hier von 0 bis 5.5 gewählt (ohne Schritte).

x  0  0.01  5.5

Bereichsvariable

20

10

y ( 0)

0

y ( 1)

5.456

y ( 3)

15.523

y( x) 0

1

2

3

4

5

10

6

Abb. 15.23 x

Seite 310

Differentialgleichungen

Beispiel 15.11: Gegeben sei die nachfolgende Differentialgleichung 3. Ordnung mit den Randbedingungen u(0) = u0 = 1, u(S) = u1 = -1, u'(S) = u'1 = - 2. u''' ( x)  u'' ( x)  u' ( x)  u ( x) = 0

Homogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung

Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von rkfest: Rückführung der Differentialgleichung auf ein System 1. Ordnung: U0 ' = U1 Es fehlen hier die Anfangswerte U 1 (0) und U 2 (0).

U1 ' = U2 U2 ' = U2  U1  U0 xa  0

Anfangs- und Endwert des Lösungsintervalls

xe  S

v

§ 1 · Schätzwert für u''(0) ¨ © 1 ¹ Schätzwert für u'''(0)

§1 · ¨ lad  xa  v  ¨ v0 ¸ ¨v © 1¹

Spaltenvektor für die Schätzungen der Anfangswerte im Punkt xa , die nicht gegeben sind.

u(0) (bekannt) Schätzwerte

U1 § · ¨ U2 D ( x  U)  ¨ ¸ ¨ U  U  U 1 0¹ © 2





abst xe  U 





lad xa  v

§¨ 1 · ¨1 ¸ ¨1 © ¹

Dieser Vektor enthält zuerst die gegebenen Anfangswerte und anschließend die Schätzwerte aus dem Vektor v für die fehlenden Anfangswerte an der Stelle x a .

Vektorfunktion für die Differentialgleichung (wie bei Anfangswertproblem).

§ U0  1 · ¨ © U1  2 ¹

Dieser Vektor hat die gleiche Anzahl der Komponenten wie der Schätzvektor v und enthält die Differenzen zwischen den Funktionen U i (U0 = U; U 1 = U' ) und ihren Randwerten an der Stelle xe .



S  sgrw v  xa  xe  D  lad  abst S

§2 · ¨ © 1 ¹



Berechnung der fehlenden Anfangsbedingungen u'(0) und u''(0).

u'(0) u''(0)

Die von sgrw gelieferten fehlenden Anfangswerte u'(0) = 2 und u''(0) = -1 gestatten nun die Lösung der Aufgabe als Anfangswertproblem mit rkfest:

§1 · ¨ aw  ¨ S0 ¸ ¨S © 1¹

u (0) = 1 u'(0) = 2

aw ist ein Vektor mit den Angsbedingungen. für die Differentialgleichung n-ter Ordnung.

u''(0) = -1

Seite 311

Differentialgleichungen n  20

Anzahl der Schritte für die numerische Berechnung.





Z  rkfest aw  xa  xe  n  D

Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die x-Werte, die

¢0² x Z ¢1² u Z

nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion u(x), und die letzte ¢2² u'  Z

Spalte Z die Ableitung u (n-1)(x).

k  0  zeilen ( Z)  1

Bereichsvariable

u ( x)  cos ( x)  2 sin ( x)

exakte Lösung der Differentialgleichung zum Vergleich

x  0  0.01  S 10

uk

5

u'k

Abb. 15.24 u ( x) 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

5 xk  xk  x

Beispiel 15.12: Gegeben sei die nachfolgende Differentialgleichung 5. Ordnung mit den Randbedingungen x(0) = 0, x(1) = 1, x'(0) = 7, x'(1) = 10, x''(1) = 5. ( 5)

x

( t)  x ( t) = 0

Homogene lineare Differentialgleichung 5. Ordnung

Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von rkfest: ta  0 te  1

§¨ 1 · Schätzwert für x''(0) v  ¨ 1 ¸ Schätzwert für x'''(0) ¨ 1 Schätzwert für x''''(0) © ¹

Anfangs- und Endwert des Lösungsintervalls

Spaltenvektor für die Schätzungen der Anfangswerte im Punkt ta , die nicht gegeben sind.

Seite 312

Differentialgleichungen

§0 · ¨ ¨7 ¸ lad  t a  v  ¨ v0 ¸ ¨ ¸ ¨ v1 ¸ ¨v © 2¹

y(0) (bekannt) y'(0) (bekannt)

Schätzwerte

§¨ X1 · ¨ X2 ¸ ¨ ¸ D ( t  X)  ¨ X3 ¸ ¨X ¸ ¨ 4 ¸ ¨© X0 ¹

Dieser Vektor enthält zuerst die gegebenen Anfangswerte und anschließend die Schätzwerte aus dem Vektor v für die fehlenden Anfangswerte im Punkt ta .

Vektorfunktion für die Differentialgleichung (wie bei Anfangswertproblem).

Dieser Vektor hat die gleiche Anzahl der Komponenten wie der Schätzvektor v und enthält die Differenzen zwischen den Funktionen X i ( X 0 = X; X1 = X'; X2 = X'' ) und ihren Randwerten

§ X0  1 · ¨ abst  t e  X  ¨ X1  10 ¸ ¨ © X2  5 ¹

an der Stelle te .

Die von sgrw gelieferten fehlenden Anfangswerte x''(0), x'''(0), x''''(0) gestatten nun die Lösung der Aufgabe als Anfagswertproblem mit rkfest:



S  sgrw v  ta  t e  D  lad  abst

S



Berechnung der fehlenden Anfangsbedingungen.

§¨ 85.014 · x''(0) ¨ 348.107 ¸ x'''(0) ¨ 516.257 x''''(0) © ¹

§0 · ¨ ¨7 ¸ aw  ¨ S0 ¸ ¨ ¸ ¨ S1 ¸ ¨S © 2¹

aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen n-ter Ordnung.

n  400

Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung.





Z  rkfest aw  ta  t e  n  D ¢0² t Z ¢1² y Z

Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die t-Werte, die nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion x(t), und die letzte Spalte

¢2² y'  Z

k  0  zeilen ( Z)  1

Z die Ableitung x(n-1)(t). In rkfest sind keine Einheiten zulässig ! Bereichsvariable

Seite 313

Differentialgleichungen

10 5 yk 0

y'k

0.2

0.4

0.6

0.8

Abb. 15.25

5 10 tk

15.4 Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Ein lineares inhomogenes Differentialgleichungssystem 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat folgende Form: d dt

y1 ( t) = a1  1 ˜ y1 ( t)  a1  2 ˜ y2 ( t)  .........  a1  n ˜ yn ( t)  s 1 ( t)

d

y2 ( t) = a2  1 ˜ y1 ( t)  a2  2 ˜ y2 ( t)  .........  a2  n ˜ yn ( t)  s 2 ( t) dt ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------d yn ( t) = an  1 ˜ y1 ( t)  an  2 ˜ y2 ( t)  .........  an  n ˜ yn ( t)  s n ( t) dt Durch Einführung der Vektoren

§d · ¨ y1 ( t) ¨ dt ¸ §¨ y1 ( t) · §¨ s 1 ( t) · ¨d ¸ ¨ y ( t) ¸ ¨ s ( t) ¸ ¨ y2 ( t) ¸ 2 ¨ ¸ ¨ 2 ¸ dt d ¨ ¸ Y ( t) = , Y ( t) = ¨ . ¸ und S ( t) = ¨ . ¸ , ¨ . ¸ dt ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ . . ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ . ¸ ¨ ¨ y s ( t ) ( t ) ¨d ¸ © n ¹ © n ¹ y ( t ) ¨ n © dt ¹ kann das Differentialgleichungssystem mit der quadratischen Matrix A (n x n Matrix) in Matrixform geschrieben werden: d dt

Y ( t) = A ˜ Y ( t)  S ( t).

o Ist S ( t) = 0 , so ist das Differentialgleichungssystem homogen.

Seite 314

Differentialgleichungen

Beispiel 15.13: Gegeben sei ein gedämpfter Zweimassenschwinger, wie in Abb. 15.26 dargestellt. Man ermittle die zeitlichen Positionen x 1 (t) und x2 (t) der Massen m1 und m 2 sowie deren Geschwindigkeiten v 1 (t) und v2 (t), wenn keine periodisch anregende Kraft auf das System wirkt. Für den Fall, dass eine periodische Kraft F(t) = 1/m2 sin(Z*t) auf das System wirkt, stelle man den Frequenz- und Phasengang dar. Anfangsbedingungen: x1 ( 0 ˜ s ) = x01 = 0.25 ˜ m x2 ( 0 ˜ s ) = x02 = 0 ˜ m m v0 ( 0 ˜ s ) = v01 = 0 ˜ s m v2 ( 0 ˜ s ) = v02 = 0 ˜ s

Abb. 15.26 m1  1.6 ˜ kg

Masse 1

m2  2 ˜ kg

Masse 2

2

d

dt

2

2

d

dt

2

ª¬x1( t)º¼ = 

ª¬x2( t)º¼ = 

k1 m1 k2 m2

˜ x1( t) 

k 1  75 ˜

N m

k 2  100 ˜ k2 m1

N m

§ m· E 1  0.6 ˜ N ˜ ¨ ©s¹

1

Federkonstante 1

§ m· E 2  0.9 ˜ N ˜ ¨ ©s¹

1

Federkonstante 2

˜ ª¬ x2( t)  x1( t) º¼ 

˜ ª¬ x2( t)  x1( t) º¼ 

E2

E1

d ˜ ªx1( t)º¼ m 1 dt ¬ 1

d

Reibungskoeffizient 2

Zugehöriges gekoppeltes inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

˜ F ( t) ªx2( t)º¼  m2 m 2 dt ¬ ˜

Reibungskoeffizient 1

Das Differentialgleichungssystem wird mit folgenden Substitutionen in ein System 1. Ordnung übergeführt:

v1 ( t) =

d dt

x1 ( t)

v2 ( t) =

d dt

x2 ( t)

d dt

2

v1 ( t) =

d

dt

d

x ( t) 2 1

dt

Damit gilt:

ª x1( t) º « » « x2( t) » d « » dt « v1( t) » « v ( t) » ¬ 2 ¼

v1( t) ª « v2( t) « « k k E « 1 ˜ x ( t)  2 ˜ ª x ( t)  x ( t)º  1 ˜ d ªx ( t)º =  1 2 1 ¼ 1 ¼ ¬ « m1 m1 m 1 dt ¬ « E2 « k2 1 d «  m ˜ ª¬ x2( t)  x1( t)º¼  m ˜ ª¬x2( t)º¼  m ˜ F ( t) 2 2 dt ¬ 2

Seite 315

º » » » » » » » » ¼

2

v2 ( t) =

d

dt

x ( t) 2 2

Differentialgleichungen

Dieses lineare Differentialgleichungssystem kann für den homogenen Fall (F(t) = 0 nun als Matrixgleichung geschrieben werden:

ª x1( t) º ª x1( t) º « » « » « x2( t) » « x2( t) » d d z ( t) = « » = A˜ « » = A ˜ z ( t) ( t ) v dt dt « v1( t) » 1 « » « v ( t) » « v ( t) » ¬ 2 ¼ ¬ 2 ¼ ORIGIN  1 0 0 1 0 § · ¨ 0 0 0 1 ¨ ¸ ¨ k k ¸ E1 1 2 2 k2 2 ¨ ¸ 0  ˜s ˜s  ˜s A m1 m1 ¨ m1 ¸ ¨ ¸ E2 k2 ¨ k2 2 ¸ 2  ˜s  ˜s 0 ¨ m ˜s m2 m2 2 © ¹

Die Koeffizientenmatrix muss dimensionslos sein ! Die Größen werden hier einheitenfrei gemacht.

Die allgemeine Lösung für das homogene lineare Gleichungssystem 1. Ordnung lässt sich aus folgender Linearkombination bilden: O 1˜t

z ( t) = b1 ˜ e

O 2˜t

˜ v1  b2 ˜ e

O 3˜t

˜ v2  b3 ˜ e

O 4˜t

˜ v3  b4 ˜ e

˜ v4

Dabei bedeuten die Oi die Eigenwerte und die v i die Eigenvektoren der Matrix A. Die Koeffizienten bi werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt. O  eigenwerte ( A)

O

§ 0.197  11.956i · ¨ ¨ 0.197  11.956i ¸ ¨ 0.215  4.043i ¸ ¨ © 0.215  4.043i ¹

v  eigenvektoren ( A)

vier verschiedene komplexe Eigenwerte

0.001  0.073i 0.007  0.134i 0.007  0.134i · §¨ 0.001  0.073i ¨ 3.722 u 10  4  0.039i 3.722 u 10  4  0.039i 0.011  0.199i 0.011  0.199i ¸ v ¨ ¸ 0.542  0.001i 0.542  0.001i ¸ 0.878 0.878 ¨ ¨© 0.472  0.003i 0.806 0.806 0.472  0.003i ¹

 o v

§ 0.073 ¨ ¨ 0.039 ¨ 0.878 ¨ © 0.472

0.073 0.134 0.134 · 0.039 0.199 0.199 ¸ 0.878 0.542 0.542 ¸ 0.472 0.806 0.806 ¹

o ¢1² v

§ 0.073 · ¨ ¨ 0.039 ¸ ¨ 0.878 ¸ ¨ © 0.472 ¹

Seite 316

Differentialgleichungen

f

T

§ 1.903 · ¨ ¨ 1.903 ¸ f ¨ 0.643 ¸ ¨ © 0.643 ¹

Im ( O ) 2˜ S

o 2˜ S

§ 0.526 · ¨ ¨ 0.526 ¸ ¨ 1.554 ¸ ¨ © 1.554 ¹

T

Im ( O )

Eigenfrequenzen in Hz

Periodendauer in s (T = 1/f)

Mit den Anfangsbedingungen gilt: x01  0.25

x02  0

v01  0

v02  0

§ x01 · ¨ ¨ x02 ¸ O 1˜0 O 2˜0 O 3˜0 O 4˜0 z ( 0) = b1 ˜ e ˜ v1  b2 ˜ e ˜ v2  b3 ˜ e ˜ v3  b4 ˜ e ˜ v4 = ¨ ¸ ¨ v01 ¸ ¨ v0 © 2¹ Die Gleichung vereinfacht sich zu:

§ x01 · ¨ ¨ x02 ¸ b1 ˜ v1  b2 ˜ v2  b3 ˜ v3  b4 ˜ v4 = ¨ ¸ ¨ v01 ¸ ¨ v0 © 2¹

bzw.

§ b1 · § x01 · ¨ ¨ ¨ b2 ¸ ¨ x02 ¸ v˜ ¨ ¸ = ¨ ¸ ¨ b3 ¸ ¨ v01 ¸ ¨b ¨ © 4 ¹ © v02 ¹

Die Lösungen der Koeffizienten bi erhält man durch Umformung der Matrixgleichung:

§ b1 · § x01 · ¨ ¨ ¨ b2 ¸ ¨ x02 ¸ 1 ¸ ¨ ¸ v ˜¨ ¨ b3 ¸ ¨ v01 ¸ ¨b ¨ v0 © 4¹ © 2¹

§ b1 · ¨ ¨ b2 ¸ ¨ ¸ ¨ b3 ¸ ¨b © 4¹

§ 0.002622  1.251082i · ¨ ¨ 0.002622  1.251082i ¸ ¨ 0.003654  0.248232i ¸ ¨ © 0.003654  0.248232i ¹

Die Lösung des homogenen linearen Gleichungssystem lautet dann: O 1˜t

z ( t)  b1 ˜ e

z ( 0)

§ 0.25 · ¨ ¨ 0 ¸ ¨ 0 ¸ ¨ © 0 ¹

¢1² O 2˜t ¢2² O 3˜t ¢3² O 4˜t ¢4² ˜ v  b2 ˜ e ˜ v  b3 ˜ e ˜ v  b4 ˜ e ˜v

z ( 0.1)

§ 0.13 · ¨ ¨ 0.054 ¸ ¨ 2.109 ¸ ¨ © 0.92 ¹

z ( 0.2)

§ 0.081 · ¨ ¨ 0.137 ¸ ¨ 1.632 ¸ ¨ © 0.489 ¹

Seite 317

Differentialgleichungen

x1 ( t)  z ( t) 1 ˜ m

Position der 1.Masse

x2 ( t)  z ( t) 2 ˜ m

Position der 2.Masse

m v1 ( t)  z ( t) 3 ˜ s m v2 ( t)  z ( t) 4 ˜ s

Geschwindigkeit der 1. Masse Geschwindigkeit der 2. Masse

t  0 ˜ s  0.01 ˜ s  5 ˜ s

Bereichsvariable Weg-Zeitdiagramm

x1( t)

0.19

m x2( t)

0.0132

m

Abb. 15.27 0.21

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

t s Position der Masse 1 Position der Masse 2

Weg-Geschwindigkeitsdiagramm von m1 x1 ( t)

0.17

m v1 ( t ) 10 m

Abb. 15.28

0.0275

s

0.23

0

0.5

1

1.5

2

2.5 t

Position der Masse 1 Geschwindigkeit * 10 der Masse 1

Seite 318

3

3.5

4

4.5

5

Differentialgleichungen

Weg-Geschwindigkeitsdiagramm von m2 x2( t) m

0.054

v2( t) 10

Abb. 15.29

0.046

0.15

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

t Position der Masse 2 Geschwindigkeit * 10 der Masse 2

Auf das System wirke eine periodische Kraft F(t) = 1/m 2 sin(Z*t). Die Kraft kann komplex in folgender j ˜Z˜t

Form dargestellt werden: F ( t) = F0 ˜ e in Matrixform: 0 · § x1 · § x1 · §¨ ¨ ¨ 0 ¸ ¨ x2 ¸ ¨ x2 ¸ ¨¨ d j ˜Z˜t ¨ ¸ = A ˜ ¨ ¸  ¨ 0 ¸¸ ˜ e dt ¨ v1 ¸ ¨ v1 ¸ ¨ 1 ¸ ¨v ¨v © 2¹ © 2 ¹ ¨© m2 ¹

. Das Differentialgleichungssystem lautet dann

d dt

j˜Z˜t

z ( t ) = A ˜ z ( t )  F0 ˜ e

j˜Z˜t

Wir machen nun den komplexen Ansatz z ( t) = z 0 ˜ e d dt

j˜Z˜t

z ( t) = j ˜ Z ˜ z 0 ˜ e j ˜Z˜t

j ˜ Z ˜ z0 ˜ e

und setzen z(t) und die Ableitung

in die Matrixgleichung ein: j ˜Z˜t

= A ˜ z0 ˜ e

j ˜Z˜t

 F0 ˜ e

Durch Vereinfachen und Umformung erhalten wir schließlich die Matrixgleichung zur Bestimmung von z 0 : j ˜ Z ˜ z 0 = A ˜ z 0  F0

ª §1 « ¨ «A  j ˜ Z ˜ ¨ 0 « ¨0 « ¨ ¬ ©0

A ˜ z 0  j ˜ Z ˜ z 0 = F0

( A  j ˜ Z ˜ E ) ˜ z 0 = F0

§¨ 0 · » ¨ 0 ¸ 1 0 0 ¸» ¨ ¸ ˜ z0 = 0 ¸ » ¨ ¸ 0 1 0 » ¨ 1 ¸ 0 0 1 ¹¼ ¨ m2 © ¹ 0 0 0 ·º

ª §1 « ¨ « ¨0 z0 ( Z )  A  j ˜ Z ˜ s ˜ « ¨0 « ¨ ¬ ©0

0 0 0 ·º

»

1 0 0 ¸» 0 1 0 ¸»

»

0 0 1 ¹¼

1

§¨ 0 · ¨ 0 ¸ ¸ ¨ ˜ 0 ¸ ¨ ¨ kg ¸ ¨ m2 © ¹

Matrixgleichung einheitenfrei gemacht!

Seite 319

Differentialgleichungen

x1 ( Z ) 

z0 (Z ) 1

Frequenzgang für die Masse 1

x2 ( Z ) 

z0 (Z ) 2

Frequenzgang für die Masse 2





Phasengang für die Masse 1





Phasengang für die Masse 2

M 1 ( Z )  arg z 0 ( Z ) 1 M 2 ( Z )  arg z 0 ( Z ) 1 Z min  1

Kreisfrequenzbereich

Z max  100 n  300 'Z 

Anzahl der Schritte







ln Z max  ln Z min n

k  1  n k˜'Z

˜s

1

Kreisfrequenzvektor Frequenzgang

1

0.1



x1 Z k



Schrittweite Bereichsvariable

Z k  Zmin ˜ e

x2 Z k



0.01

1 10

3

1 10

4

Abb. 15.30

1

10

100

Zk

Phasengang

200



M1 Zk

180

100

Grad



M2 Zk

Abb. 15.31

0

Grad 100

200

 180

1

10 Zk

Seite 320

100

Differentialgleichungen 15.5 Nichtlineare Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme Beispiel 15.14: Eine Masse m0 = 0.5 kg mit einer Querschnittsfläche A = 40 cm 2 und einem c w -Wert von 0.9 soll aus einer Höhe h0 = 1000 m zum Zeitpunkt t a = 0 s fallengelassen werden. Der freie Fall soll te = 6 s dauern. Die Luftdichte betrage an der Erdoberfläche U = 1.28 kg/m3 . Wir nehmen an, dass der Luftdruck für r= r e + H0 (Höhe H0 = 8000 m und Erdradius r e = 6340 km) auf (1/e) U abgefallen ist. Man stelle grafisch das Weg-Zeitdiagramm und das GeschwindigkeitsZeitdiagramm dar. Die Bewegungsgleichung lautet: 2

m ˜ y'' = k ( r) ˜ y'  m0 ˜ g ( r) Nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung. y'' =

k ( r) m0

2

˜ y'  g ( r)

k ( r) = c w ˜ A ˜

§ r  re · ¨© H0 ¹

U ( r)

U ( r) = U ˜ exp ¨ 

2

U  1.28

re  6340000

H0  8000

c w  0.9

A  0.0040

m0  0.8

gegebene Daten

§ r  re · U ( r)  U ˜ exp ¨  ¨© H0 ¹

k 1 ( r) 

c w ˜ U ( r) ˜ A 2 ˜ m0

g1 ( r) 

g m s

§ re · ˜¨ ©r¹

2

2

Lösung der nichtlinearen Differentialgleichung mithilfe von rkfest: Umwandlung der Differentialgleichung 2. Ordnung in ein System 1. Ordnung durch Substitution: Y0 = y

Y1 =

d dt

Y0 =

d dt

y

Y2 =

d dt

2

Y1 =

d

dt

2

y

ORIGIN  0 r0  re  1000

Anfangshöhe

v0  0

Anfangsgeschwindigkeit

aw 

§¨ r0 · ¨v © 0¹

aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung n-ter Ordnung Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differential-

Y1 º gleichung in der Darstellung D(t,Y):=(Y1,...,Yn-1,y(n)(Y))T. ª » (n) D ( t  Y)  « «k  Y0 ˜  Y1 2  g1  Y0 » Die letzte Komponente ist die nach y umgeformte ¬ 1 ¼ Differentialgleichung. In rkfest sind keine Einheiten zulässig, daher werden sie gekürzt ! n  400

Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung.

ta  0

Anfangszeitpunkt

te  6

Endzeitpunkt

Seite 321

Differentialgleichungen





Z  rkfest aw  ta  t e  n  D

Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die Zeitpunkte t, die nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion y(t), und die letzte Spalte Z die Ableitung y(n-1)(t). In rkfest sind keine Einheiten zulässig !

¢0² t Z ˜ s

Zeitvektor

¢1² y Z ˜ m

Wegvektor

¢2² m v Z ˜ s

Geschwindigkeitsvektor y-t Diagramm

1000

y re˜m 900

m

800

Abb. 15.32

0

1

2

3

4

5

6

4

5

6

t s

v-t Diagramm 0

1

2

3

15

v m

30

s

Abb. 15.33 45 60 t s

Beispiel 15.15: Wir betrachten ein gewöhnliches Pendel, bei dem der Aufhängepunkt periodisch mit der Erregerfrequenz hin und her bewegt werden kann. Das Pendel sollte auch rotieren können, d.h. auch Winkel die größer als 90° sind, werden damit möglich. Berücksichtigt wird ein zur Winkelgeschwindigkeit Z proportionaler Dämpfungsterm. Die Anfangsauslenkung betrage M(0) = Ma = S/4 und die Anfangswinkelgeschwindigkeit M'(0) = Za = 0. 2

m˜l ˜

2

d

dt

2

M ( t)  E ˜

d dt



M ( t)  m ˜ g ˜ l ˜ sin ( M ( t) ) = A ˜ cos Z e ˜ t



Bewegungsgleichung - inhomogene nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung.

Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung + Reibungsmoment (wirkt der Pendelbewegung entgegen) + rücktreibendes Drehmoment (infolge der Schwerkraft) = externes Drehmoment (periodisch mit Erregerfrequenz Ze ).

Seite 322

Differentialgleichungen

2

d

dt

2

2

d

dt

2

E

M ( t) 

m˜l

M ( t)  J ˜

2

˜

d dt

M ( t) 

g l

˜ sin ( M ( t) ) =

m˜l

§ 2 J M ( t)  ¨ Z 0  4 dt ©

2·

d

A

¹

2

˜ cos Z e ˜ t





umgeformte Differentialgleichung





umgeformte Differentialgleichung mit substituierten Größen

˜ sin ( M ( t) ) = a ˜ cos Z e ˜ t

E

J=

m˜l

g

Z0 =

a=

Dämpfungskonstante

2

l



J

2

4

A m˜l

2

Eigenfrequenz des Pendels

Erregeramplitude

Lösung der inhomogenen nichtlinearen Differentialgleichung mithilfe von rkfest, Stiffr und Stiffb: Dieses Beispiel zeigt auf, dass die numerische Integration einer Bewegungsgleichung mit großer Vorsicht behandelt werden muss. C haotische Bewegungen führen bei kleinen Ungenauigkeiten im Anfangsstadium zu ganz unterschiedlichen Endzuständen. Daher sollte man die Bewegungsgleichung unbedingt mit unterschiedlichen Schrittweiten integrieren und untersuchen, ob sich die Lösung dabei noch ändert. Selbst wenn eine genügend kleine geeignete Schrittweite gefunden wurde, so treten nach mehreren Perioden immer numerische Fehler auf. Die Runge-Kutta-Methode verwendet einen fixen Zeitschritt, daher ist es sinnvoll, andere Integrationsmethoden wie Bulirsch-Stoer oder Rosenbrock zum Vergleich zu verwenden. Diese Methoden verwenden bei der Integration einen variablen Zeitschritt. Nur wenn mehrere numerische Lösungsmethoden dieselbe Lösung liefern, kann von einer vertrauenswüdigen Lösung ausgegangen werden! Anfangsbedingungen: S M ( 0) = M a = 4 d dt

M ( 0) = Z a = 0

aw 

§¨ M a1 · ¨Z © a1 ¹

Anfangsauslenkung

Anfangswinkelgeschwindigkeit

aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung n-ter Ordnung. Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der Darstellung D(t,)):=()1 ,...,)n-1,M(n)()))T. Die letzte Komponente ist die nach M(n) umgeformte Differentialgleichung. In rkfest sind keine Einheiten zulässig !

)1 º ª « » 2 D ( t  ) )  «ª º § » J1 · 2 « ¨  J1 ˜ )  Z  ˜ sin  ) 0 »  a1 ˜ cos  Ze1 ˜ t » « 1 0e 4 ¹ ¬¬ © ¼ ¼

Seite 323

Differentialgleichungen

5

np  2

Anzahl der Perioden des frei schwingenden Pendels

7

n  2 ˜ np

Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung

ta  0

Anfangszeitpunkt

te 

te

np ˜ 2 ˜ S

Endzeitpunkt

Z 0e te

201.062

32

2˜ S





Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1)

Z  rkfest aw  ta  t e  n  1  D

Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die Zeitpunkte t, die nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion M(t), und die letzte Spalte Z die Ableitung M(n-1)(t). In rkfest sind keine Einheiten zulässig !

¢0² t Z

Zeitvektor

¢1² M Z

Vektor der Winkel

¢2² Z Z

Winkelgeschwindigkeitsvektor

Bulirsch-Stoer und Rosenbrock Methode benötigen für die Integration die Jakobimatrix. Diese setzt sich aus den partiellen Ableitungen von D(t,)) nach der Zeit t und den Koordinaten ) zusammen: 0 1 º 0 ª « » 2· J1 ( t  ) )  « ª§ º » J1 2 ˜ cos  ) 0 » J1 » «a1 ˜ Ze1 ˜ sin  Z e1 ˜ t «¨ Z 0e  4 ¹ ¬ ¬© ¼ ¼



ZSr  Stiffr aw  ta  te  n  1  D  J1



Rosenbrock-Methode

¢1² M Sr  ZSr

Vektor der Winkel

¢2² ZSr  ZSr

Winkelgeschwindigkeitsvektor



ZSb  Stiffb aw  ta  t e  n  1  D  J1



Bulirsch-Stoer-Methode

¢1² M Sb  ZSb

Vektor der Winkel

¢2² ZSb  ZSb

Winkelgeschwindigkeitsvektor

Seite 324

Differentialgleichungen

Nur in dem Zeitbereich, in dem alle drei Methoden übereinstimmen und der Einfluss des Zeitschrittes ausgeschaltet ist, ist die Lösung vertrauenswürdig ! J1 { 0.02

Dämpfungskonstante

Z 0e { 1

Eigenfrequenz des Pendels

a1 { 1

Erregeramplitude

Z e1 { 0.95 ˜ Z 0e

Erregerfrequenz

Anfangsauslenkung

Z a1 { 0

Anfangswinkelgeschwindigkeit

M a1 {

S 4

Die Parameter wurden hier global zur Simulation definiert. Für a1 = 0 erhält man eine freie gedämpfte Schwingung. Bei großemJ1erhält man eine gewöhnliche erzwungene Schwingung. Für Ze1 = Z0e erhält man Resonanzerscheinungen, und wenn die Gleichung näherungsweise erfüllt ist, Schwebungen. Auch die Änderung der Anfangsbedingungen liefern interessante Ergebnisse für das Pendel.

Seite 325

Differentialgleichungen

Beispiel 15.16: Die nachfolgende steife Differentialgleichung soll numerisch mit dem Runge-Kutta (fest) Verfahren, dem Runge-Kutta (adaptiv) Verfahren und dem Bulirsch-Stör-Verfahren für verschiedene Zeitschritte gelöst und graphisch verglichen werden. d

y ( t ) = b ˜ y ( t )

2

Gegebene steife Differentialgleichung

dx y ( 0) = 1

Anfangsbedingung

b 4

Konstante

Lösung der inhomogenen nichtlinearen Differentialgleichung mithilfe von rkfest, rkadaptiv und Bulstoer: aw 0  1

Vektorkomponente mit der Anfangsbedingung

 2

D ( t  Y)  b ˜ Y

Vektorfunktion mit der umgeformten Differentialgleichung

ta  0

Anfangszeitpunkt

te  6

Endzeitpunkt





Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1)

ZRf  rkfest aw  ta  t e  Zs  D

Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die t Werte, die nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion y(t).

¢0² tRf  ZRf

Vektor der Zeitwerte

¢1² yRf  ZRf

Vektor der Funktionswerte





ZRa  Rkadapt aw  t a  te  Zs  D

Rkadapt-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die t Werte, die nächste Spalte Z<1> die Lösungsfunktion y(t).

¢0² tRa  ZRa

Vektor der Zeitwerte

¢1² yRa  ZRa

Vektor der Funktionswerte





ZB  Bulstoer aw  t a  te  Zs  D

Bulstoer-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die t Werte, die nächste Spalte Z<1> die Lösungsfunktion y(t).

¢0² tB  ZB

Vektor der Zeitwerte

¢1² yB  ZB

Vektor der Funktionswerte

Seite 326

Differentialgleichungen

rkfest, rkadaptiv und Bulstoer

1

y Rf

0.75

y Ra 0.5 yB

Abb. 15.36

0.25

0

0

1

2

3

4

5

6

tRf  tRa  tB rkfest rkadaptiv Bulstoer

Zs { 20

Zeitschritteanzahl für die numerische Berechnung (globale Definition zum experimentieren).

Beispiel 15.17: Man löse das nachfolgende nichtlineare Differentialgleichungssystem. x'0 ( t) = D ˜ x0 ( t)  x1 ( t)  § x0 ( t)  x1 ( t) ©

2·

x'1 ( t) = D ˜ x1 ( t)  x0 ( t)  § x0 ( t)  x1 ( t) ©

2·

2 2

¹ ˜ x0 ( t)

Nichtlineares Differentialgleichungssystem.

¹ ˜ x1 ( t)

Anfangsbedingungen: x 0 (0) = 0 und x1 (0) = 1. Lösung des nichtlinearen Differentialgleichungssystems mithilfe von rkfest: D  0.05 aw 

§0 · ¨ ©1 ¹

Konstante aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen.

ª D ˜ X 0  X 1  ª  X 0 2   X 1 2º ˜ X 0 º ¬ ¼ « » D ( t  X)  « » 2 2 ª º ¬ D ˜ X1  X0  ¬  X 0   X1 ¼ ˜ X1 ¼

D enthält die Differentialgleichungen.

n  200

Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung

ta  0

Anfangszeitpunkt

te  20

Endzeitpunkt

Seite 327

Differentialgleichungen





Z  rkfest aw  ta  t e  n  D

Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die Zeitpunkte t, die nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion x 0 (t), und die letzte Spalte Z <2> die Lösungsfunktion x 1 (t). In rkfest sind keine Einheiten zulässig !

k  0  zeilen ( Z)  1

Bereichsvariable 0.4 0.2

Zk  1

0.5

0

0.5

1

Abb. 15.37

0.2 0.4 0.6 Zk  2

15.6 Partielle Differentialgleichungen Wenn man eine elliptische partielle Differentialgleichung lösen möchte, z. B. eine Poissonsche Gleichung, kann man in Mathcad die Funktion "multigit" oder "relax" verwenden. 2

d

2

u ( x  y) 

dx

2

d

2

u ( x  y) = U ( x  y)

Poissongleichung in der Ebene.

dy

Für U(x,y) = 0 ergibt sich die Laplacegleichung, ein Sonderfall der Poissongleichung: 2

d

2

dx

u ( x  y) 

2

d

2

u ( x  y) = 0

Laplacegleichung in der Ebene.

dy

G = relax ( a  b  c  d  e  S  f  r) Die relax-Funktion eignet sich gut zur Lösung der partiellen Differentialgleichung , wenn man den Wert kennt, den die unbekannte Funktion u(x, y) an allen vier Seiten eines quadratischen Bereichs annimmt. Die Argumente der Funktion: Sind quadratische Matrizen gleicher Größe , welche die Koeffizienten der a, b, c, d, e Differentialgleichung enthalten. Ist eine quadratische Matrix, welche die Position und Stärke der Quelle angibt. S Ist eine quadratische Matrix, die Grenzwerte entlang der Ränder des Bereichs sowie f Anfangsschätzwerte für die Lösung innerhalb des Bereichs enthält. Ist der Spektralradius der Jacobi-Iteration. Er kann zwischen 0 und 1 liegen, der r optimale Wert hängt jedoch von den genauen Einzelheiten des Problems ab. Hiermit wird die Konvergenz des Relaxationsalgorithmus bestimmt. Die Ausgabe von relax ist auch eine quadratische Matrix. G

Seite 328

Differentialgleichungen

G = multigit ( M  nz) Die multigit-Funktion eignet sich gut zur Lösung der partiellen Differentialgleichung , wenn die Randbedingungen an allen vier Seiten eines quadratischen Bereichs Null sind. Die multigit-Funktion hat zwei Argumente: M Quadratische Matrix M von den Grundfunktionsvariablen. Sie spezifiziert das Gitter. Die Anzahl der Zeilen muß 2n+1 sein. nz nz = 1 oder nz =2. diese Zahl legt die Anzahl der Zyklen auf jeder Ebene der multigit-Iteration fest. nz = 2 gibt im allgemeinen eine gute Näherung. Die Ausgabe G von multigit ist auch eine quadratische Matrix von der Größe von M. G

Beispiel 15.18: Es soll die Temperaturverteilung T(x,y) einer quadratischen Platte mit einer konstanten stationären internen Wärmequelle ermittelt werden. Die Grenze der Quelle soll konstant 0 °C betragen. An allen Punkten außerhalb der Wärmequelle wird daher die Poisson-Gleichung auf die Laplace-Gleichung reduziert. 2

w

2

T ( x  y) 

wx

2

w

2

n

n 5

R 2

R

( R  1) ˜ ( R  1) U

R R

T ( x  y) = 0

Laplace Gleichung in der Ebene

wy

Gittergröße

1089



 0

x1  10

Konstante für die Gittergröße

32

zeilen U

33

y1  10

Dimension der Wärmequelle U Position der Wärmequelle

E  3000

Energie der Wärmequelle

U

Wärmequelle festlegen

x1  y1

 E





T  multigit U  2

Lösungsmatrix

Flächendiagramm der Temperatur

Linien gleichbleibender Temperatur

T

T Abb. 15.38

Abb. 15.39

Seite 329

Differentialgleichungen

Beispiel 15.19: Es sei das gleiche Problem wie in Beispiel 15.18 gegeben. Hier soll jedoch das quadratische Wärmequellgebiet an zwei Ecken eingeschränkt sein.

§ ©

U ( x  y)  wenn ¨ x  y ! i  0  R

1 3

· ¹

 1 0

j  0  R

Eingeschränkte Wärmequelle an zwei Ecken Bereichsvariablen

§i  j· © R R¹

Mi  j  U ¨

Matrix der eingeschränkten Wärmequelle

Patch-Diagramm!

Abb. 15.40 M G  multigit ( M  2)

Lösungsmatrix

Flächendiagramm der Temperatur

G

Linien gleichbleibender Temperatur

G Abb. 15.41

Abb. 15.42

Bemerkung: Mit der Funktion "numol" können hyperbolische und parabolische partielle Differentialgleichungen gelöst werden. Für elliptische Gleichungen, wie z. B. die Poissonsche Gleichung, verwendet man zur Lösung die oben angeführten Funktionen "multigit" oder "relax".

Seite 330

Differentialgleichungen

Lösungsblock für Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme Mit der Funktion tdglösen, das intern das numerische Geradenverfahren verwendet, steht ein Verfahren zur Verfügung, partielle Differentialgleichungen und partielle Differentialgleichungssysteme n-ter Ordnung mit algebraischen Nebenbedingungen mithilfe eines Lösungsblocks numerisch zu lösen. Voraussetzung ist, dass die Ableitung der höchsten Ordnung linear ist (die Terme mit Ableitungen niedriger Ordnung können auch nichtlinear sein). Mithilfe dieses zeilenweisen numerischen Verfahrens können z.B. parabolische Differentialgleichungen (Wärmeleitungsgleichung) , hyperbolische Differentialgleichungen (Wellengleichung) und parabolisch- hyperbolische Differentialgleichungen (Advektionsgleichung) gelöst werden. Der Lösungsblock kann z.B. folgendes Aussehen haben: Vorgabe uxx ( x  t ) = ut ( x  t )







Differentialgleichung in Indexnotation !



u xa  t = p ( t ) u xe  t = q ( t )



Randbedingungen (Es sind nur Dirichlet u(0,t) = a oder Neumann ux (0,t) = a Randbedingungen zulässig)



u x  t a = f ( x)

ª« « ¬

u:= tdglösen u  x 

§¨ xa · §¨ ta ·»º t ¨x ¨ » e © ¹ © te ¹¼

Gibt eine Funktion u(x,t) zurück !

Vorgabe vxx ( x  t ) = ut ( x  t )

 



v xa  t = 0 v x  t a = f ( x)

vt ( x  t ) = u ( x  t )

 



v xb  t = 0 u x  ta = 0

ª«§ v · §¨ xa · §¨ ta ·º» §v · t ¨ := tdglösen «¨  x  ¨ ¨ » ©u ¹ ¬© u ¹ © xe ¹ © te ¹¼

Differentialgleichungen in Indexnotation !

Randbedingungen

Gibt einen Vektor mit Funktionen u(x,t) und v(x,t) zurück !

Argumente: tdglösen(u, x, x_Bereich, t, t_Bereich, [x_Punkte], [t_Punkte]) u ist der explizite Funktionsnamen oder Funktionsvektor (ohne enthaltene Variablen), genau wie im Gleichungssystem angezeigt. Bei einer einzelnen partiellen Differentialgleichung wird dieses Argument zu einem Skalar. x ist die räumliche Variable. x_Bereich ist ein zweielementiger Spaltenvektor, der den Anfangs- und Endwert für x enthält. Beide Werte müssen reell sein. t ist die Zeitvariable. t_Bereich ist ein zweielementiger Spaltenvektor, der den Anfangs- und Endwert für t enthält. Beide Werte müssen reell sein. x_Punkte (optional) ist die ganzzahlige Anzahl räumlicher Diskretisierungspunkte . t_Punkte (optional) ist die ganzzahlige Anzahl zeitlicher Diskretisierungspunkte .

Seite 331

Differentialgleichungen

Einige spezielle Hinweise: Wenn die unbekannten Funktionen beispielsweise u, v und w sind (entsprechend den Namen im Gleichungssystem), muss u im tdglösen-Aufruf ausdrücklich als Spaltenvektor angegeben werden. Bei der Benennung von Funktionen dürfen weder Literal- noch Feldindizies verwendet werden , damit die tiefergestellte Notation von partiellen Differentialgleichungen berücksichtigt wird. Klickt man mit der rechten Maustaste auf den Namen tdglösen, so kann im Kontextmenü eine der vier Methoden gewählt werden: Polynom-Annäherung, zentrale Unterschiede, 5-Punkt-Unterschiede und rekursive 5-Punkt-Unterschiede.

Beispiel 15.20: Es soll die nachfolgend angegebene partielle Differentialgleichung gelöst und mit der exakten Lösung grafisch verglichen werden: 2

d

2

u ( x  t) =

dx

d

u ( x  t)

partielle Differentialgleichung

dt

u ( 0  t) = p ( t) = 0

u ( 1  t) = q ( t) = 0 Randbedingungen

u ( x  0) = f ( t) = 50 ˜ sin ( S ˜ x) 2

 S ˜t

uex ( x  t )  50 ˜ e p ( t)  0

˜ sin ( S ˜ x)

exakte Lösung

q ( t)  0 Funktionen für die Randbedingungen

f ( x)  50 ˜ sin ( Sx) Vorgabe uxx ( x  t1) = ut1 ( x  t1) u ( 0  t1) = p ( t1)

Differentialgleichung in Indexnotation

u ( 1  t1) = q ( t1) Randbedingungen

u ( x  0) = f ( x)

ª ¬

§0 · § 0 ·º  t1  ¨ » ©1 ¹ © 0.5 ¹¼

u  tdglösen «u  x  ¨

Lösung für u(x,t) im Bereich x = 0 bis 1 und t = 0 bis 0.5

t  0.5

bestimmter Zeitpunkt

x  0  0.01  1

Bereichsvariable für den x-Bereich

Seite 332

Differentialgleichungen

Einzelne Lösung

0.4

u ( x  t) u ex( x  t) 0.2

Abb. 15.43

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

x x Numerische Lösung Exakte Lösung

Numerische und exakte Lösung im 3-D Vergleich. Quickplot-Daten bei beiden Diagrammen: Bereich 1: Beginn 0 und Ende 1 Bereich 2: Beginn 0 und Ende 0.5

Abb. 15.44 u  uex Beispiel 15.21: Es soll die nachfolgend gegebene eindimensionale Wellengleichung gelöst werden. 2

a ˜

2

w

2

u ( x  t) =

wx w wt

w wt

u ( x  t)

eindimensionalen Wellengleichung

v ( x  t) = u ( x  t)

v( 0  t) = 0

§ S ˜ x· v ( x  0) = sin ¨ © L ¹

Nebenbedingung

v( L  t) = 0 Randbedingungen u ( x  0) = 0

Seite 333

Differentialgleichungen

a 3

L 2˜ S

T 2˜ S

Gegebene Parameter

Die Variable x wird nachfolgend y und die Variable t gleich t2 genannt (wegen der definierten Variablen in Beispiel 15.20). Vorgabe 2

a ˜ vyy ( y  t2) = ut2 ( y  t2)

vt2 ( y  t2) = u ( y  t2)

v ( 0  t2) = 0

v ( L  t2) = 0 Randbedingungen

§ S ˜ y· v ( y  0) = sin ¨ © L ¹

u ( y  0) = 0

§v · ª§ v · § 0 · § 0 ·º ¨  tdglösen «¨  y  ¨  t2  ¨ » ©u ¹ ¬© u ¹ © L ¹ © T ¹¼ y  0  0.01  2 ˜ S

System von zwei partiellen Differentialgleichungen

Lösung für u(y,t) und v(y,t) im Bereich y = 0 bis L und t = 0 bis T

Bereichsvariable Einzelne Lösung für den Rand

1

v( y  0 ) 0

1

2

3

4

5

6

Abb. 15.45

1 y

Für die dreidimensionale grafische Darstellung wird mit der oben definierten Nebenbedingung eine Matrix mit den Gitterpunkten erstellt: M  ErstellenGitter ( v  0  L  0  T)

Abb. 15.46

M

Seite 334

Fehler- und Ausgleichsrechnung

16. Fehler- und Ausgleichsrechnung Die Fehler- und Ausgleichsrechnung beschäftigt sich mit der Erfassung, Verarbeitung und Beurteilung von Messwerten und ihren zufälligen Messabweichungen ("Zufallsfehlern") auf der Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung und beurteilenden Statistik. Zu den wichtigsten Aufgaben gehören: Auswertung und Beurteilung einer Messreihe durch a) Bildung eines Mittelwertes, b) Angabe eines Genauigkeitsmaßes für die Einzelmessungen (Varianz bzw. Standardabweichung der Einzelmessung) und c) Angabe eines Genauigkeitsmaßes für den Mittelwert (Standardabweichung des Mittelwertes, Vertrauensbereich für den Mittelwert, Messunsicherheit des Mittelwertes). 2. Untersuchung der Fortpflanzung von zufälligen Messabweichungen bei einer "indirekten Messgröße", die von mehreren direkt gemessenen Größen abhängt (Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz). 3. Bestimmung einer Ausgleichskurve, die sich den vorgegebenen Messpunkten in "optimaler" Weise anpasst. Neben den zufälligen Messabweichungen (zufällige Fehler), die durch die Einwirkung einer Vielzahl von unkontrollierbaren Störeinflüssen (z.B. Mängel an den Messinstrumenten (Temperatur-, Luftdruck und Feuchtigkeitsänderungen), mechanische Erschütterungen, magnetische Felder) entstehen, können aber auch noch andere Messabweichungen auftreten. Systematische Abweichungen (systematische Fehler) beruhen auf ungenauen Messmethoden und fehlerhaften Messinstrumenten. In vielen Fällen lassen sich jedoch systematische Abweichungen bei sorgfältiger Planung und Durchführung der Messung und unter Verwendung hochwertiger Messgeräte nahezu vermeiden oder zumindest auf ein vernachlässigbares Maß reduzieren. Grobe Fehler, die durch fehlerhaftes Verhalten des Beobachters entstehen (z.B. falsches Ablesen von Messwerten oder Verwendung eines beschädigten Messinstrumentes), sind von vorne herein vermeidbar. Die beiden zuletzt genannten Messabweichungen sind im Wesentlichen vermeidbar und sind daher auch nicht Gegenstand von Fehler- und Ausgleichsrechnung. 16.1 Auswertung und Beurteilung einer Messreihe Selbst bei größter Sorgfalt und Verwendung hochwertiger Messgeräte unterliegt jeder Messvorgang stets einer großen Anzahl völlig regelloser und unkontrollierbarer Störeinflüsse. Die bei Messungen beobachtbaren zufälligen Abweichungen (zufälligen Fehler) setzen sich additiv aus zahlreichen voneinander unabhängigen Einzelfehlern zusammen, von denen jedoch keiner dominant ist. Aus dem Zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung kann gefolgert werden, dass eine Messgröße X im Regelfall als eine (annähernd) normalverteilte Zufallsvariable (Gaußsche Normalverteilung - Modellverteilung , die der Wirklichkeit oft sehr nahe kommt) aufgefasst werden kann, deren Wahrscheinlichkeitsdichte g(x) gegeben ist durch: ( x P )



g ( x) = dnorm ( x  P  V )

dnorm ( x  P  V ) =

1 2˜ S ˜ V

2˜V

˜e

2

2

x  , V ! 0

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Messwert in das Intervall [a, b] fällt, erhält man dann aus:

G ( x) = P ( X d x) = pnorm ( x  P  V )

pnorm ( x  P  V ) =

Seite 335

1 2˜ S ˜ V

´ µ µ µ ˜µ ¶

x

f



e

( [ P ) 2˜V

2

2

d[

Fehler- und Ausgleichsrechnung P ist der Erwartungswert (Mittelwert) der Grundgesamtheit (unendliche Grundgesamtheit, die aus allen möglichen Messwerten der Größe X besteht). Er wird auch häufig "wahrer" Wert der Messgröße genannt. V2 ist die Varianz der Grundgesamtheit. V ist die Streuung (Standardabweichung) der Grundgesamtheit. Diese Parameter sind jedoch unbekannt. Die Aufgabe der Fehlerrechnung besteht nun darin, aus den vorgegebenen Messwerten (Stichprobe) x = ( x1 , x2 , ..., xn) möglichst gute Schätzwerte für diese Parameter zu bestimmen. Mittelwert und Standardabweichung einer normalverteilten Messreihe: Mittelwert ,einer Messreihe x: , := mittelwert(x)

mittelwert(x) =

1 n

n

˜

¦

i

xi

Schätzwert für P

1

Standardabweichung s einer Messreihe x (ein Maß für die Streuungen der Einzelmessungen x i):

s :=Stdev(x)

Stdev(x) =

n

1 n 1

˜

2 ¦ xi  ,

i

Schätzwert für V

1

Standardabweichung s , des Mittelwertes ,(Streuung der aus verschiedenen Messreihen erhaltenen Mittelwerte , um den "wahren" Mittelwert P): s :=

s

,

Schätzwert für V = ,

n

V n

Messergebnis und Messunsicherheit: Das Messergebnis einer aus n unabhängigen Messwerten gleicher Genauigkeit bestehenden normalverteilten Messreihe x1 , x2 , ..., xn wird in folgender Form angegeben: x = ,r'x 'x wird als Messunsicherheit (absoluter Fehler) bezeichnet. Die Messunsicherheit errechnet sich aus: s

'x = t ˜

n Der Zahlenfaktor t, der noch von der Irrtumswahrscheinlichkeit D und der Anzahl n der Messwerte abhängig ist, wird mit Hilfe der t-Verteilung (Student-Verteilung) mit f = n - 1 Freiheitsgraden bestimmt. Durch die Messunsicherheit werden die Grenzen eines Vertrauensbereichs festgelegt, in dem der unbekannte Erwartungswert P (der "wahre" Wert der Messgröße X) mit der gewählten Wahrscheinlichkeit P = 1 - D (z.B. 90%, 95% oder 99%) vermutet wird. , t˜

s n

dP d, t˜

s n

bzw.

P un d P d P ob

Seite 336

Fehler- und Ausgleichsrechnung

§ ©

P un = ,  qt ¨ 1 

D 2

· ¹

n  1 ˜

s

§ ©

P ob = ,  qt ¨ 1 

D

· ¹

n  1 ˜

s

2 n n Den t-Wert berechnet man mit der Umkehrfunktion qt (D-Quantile) der t-Verteilung. Die Angabe des Messergebnisses in der Form x = ,r'x = ,rt * s /

n

beruht auf der Voraussetzung, dass weder grobe Fehler noch systematische Abweichungen auftreten. In der Praxis jedoch lassen sich systematische Abweichungen nie ganz ausschließen. Werden diese als solche erkannt, so muss der arithmetische Mittelwert , durch ein Korrekturglied K berichtigt werden. Das endgültige Messergebnis lautet dann: x = ,k r'x = ( ,+ K)r'x In der Fehlerrechnung wird noch zwischen absoluten, relativen und prozentualen Fehlern (Messabweichungen, Messunsicherheiten) unterschieden. Zur Auswertung von Messdaten stehen in Mathcad noch weitere nützliche Funktionen zur Verfügung (siehe auch Anhang Funktionen) wie z.B.: x := sort(x)

Sortieren der Messdaten in aufsteigender Reihenfolge

x := umkehren(sort(x))

Sortieren der Messdaten in absteigender Reihenfolge

ze := zeilen(x)

Anzahl der Zeilen eines Feldvektors x

sp := spalten(x)

Anzahl der Spalten eines Feldvektors x

l := länge(x)

Länge eines Feldvektors x

n := letzte(x)

Größter Index eines Feldvektors x

R := max(x) - min(x)

Spannweite (Range)

z := stapeln(x,y)

Vektor y an Vektor x anhängen

x := rnorm(m, P, V)

Ergibt einen m-elementigen Vektor von normalverteilten Zufallszahlen

f := hist(c,x)

Ermittelt die absolute Häufigkeit der Einzelwerte x bezüglich der Klasseneinteilung c: fj ( j := 1...m) gibt die Anzahl der Stichprobenmesswerte x i ( i := 1...n) im Intervall [cj, cj+1[ an. cj ( j := 1...m+1) stellt die gewählte Klasseneinteilung dar. m ist die gewählte Klassenzahl. Die Elemente in c müssen in aufsteigender Reihenfolge stehen. Mathcad ignoriert Datenpunkte, die kleiner als der erste oder größer gleich dem letzten Wert in c sind.

H1:= Histogramm(Intv,x)

Gibt eine Matrix mit zwei Spalten zurück. Die erste Spalte enthält die Mittelpunkte der n Teilintervalle des Bereichs zwischen min(x) und max(x) gleicher Länge. Die zweite Spalte ist identisch mit hist(c,x)

Seite 337

Fehler- und Ausgleichsrechnung

Beispiel 16.1: Es wird angenommen, dass n = 100 erhobene Messdaten einer normalverteilten Grundgesamtheit angehören. Diese Messdaten sollen mit Hilfe eines Zufallsgenerators simuliert und ausgewertet werden. ORIGIN  1 n  100 P 6

Anzahl der Zufallszahlen V  0.5

Erwartungswert (Mittelwert) und Streuung (Standardabweichung) der Grundgesamtheit

x  rnorm ( n  P  V )

Normalverteilte Messwerte (mit eingebautem Zufallsgenerator erzeugt)

i  1  n

Bereichsvariable Messwerte

9

P  4˜V

7 xi

Abb.16.1 5

3

P  4˜V

0

20

40

60

80

100

i

Diese Daten können in eine ASCII-Datei MESSDATENNV.MD im aktuellen Verzeichnis geschrieben werden: PRNSCHREIBEN ( "Messdatennv.MD" )  x Falls die normalverteilten Messdaten bereits in Form eines ASCII-Files vorliegen, können diese in Mathcad eingelesen werden (siehe auch Kapitel 19): x  PRNLESEN ( "Messdatennv.MD" ) T

1

x

1

2

5.781

n  länge ( x) n m ( n) 

floor

5.66

3 5.763

Daten von Datei MESSDATENNV.MD einlesen 4

5.524

if n d 400

7 5.94

8 6.278

9 7.096

10 6.404

geeignete Klassenanzahl auswählen

20 if n ! 400 xmin  min ( x)  0.001

6 6.022

Bestimmung des tatsächlichen Datenumfangs

100

 n

5 5.157

m ( n) xmin

xmax  max ( x)  0.001 xmax

4.549 7.525

10

Kleinster und größter Wert der Daten (Korrekturwert 0.001, damit auch das Minimum bzw. Maximum der Daten bei der Bestimmung der absoluten Häufigkeiten noch in die erste bzw. letzte Klasse fallen).

Seite 338

Fehler- und Ausgleichsrechnung

D  xmax  xmin

D

D

'x 

'x

m ( n)

j  1  m ( n)  1

korrigierte Spannweite

2.976

Intervallbreite

0.298

k  1  m ( n)

Bereichsvariablen

c j  xmin  'x ˜ ( j  1) m k  ck 

Intervallrandpunkte [ cj , cj+1[ der Klassen

'x

Intervallmitte (Balkenlage) der Klassen

2

f  hist ( c  x) 1

h

¦f

absolute Häufigkeiten (ermittelt mit der hist Funktion)

˜f

relative Häufigkeiten

k

Hk 

¦

j

1

0.28 0.25 0.22 0.2 0.17 0.14 0.11 0.084 0.056 0.028 0

hk

Summenhäufigkeit

hj

Relative Häufigkeit min( x)

max ( x ) Hk 0

4 4.4 4.8 5.2 5.6 6 6.4 6.8 7.2 7.6 8

1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

Summenhäufigkeit

4 4.4 4.8 5.2 5.6 6 6.4 6.8 7.2 7.6 8

mk

mk

Abb.16.2

Abb.16.3

Intervallmitte m, absolute Häufigkeit (Anzahl der Werte/Balken) f, relative Häufigkeit h und zum Vergleich die Klassenmitten und absoluten Häufigkeiten ermittelt mit der Histogramm-Funktion: 1

m

1

1

1

4.698

1

2

1

0.02

2

4.995

2

2

2

0.02

3

5.293

3

11

3

0.11

4

5.591

4

19

4

0.19

5

0.24

5

5.888

6 7

f

h

5

24

6.186

6

21

6

0.21

6.483

7

15

7

0.15

8

6.781

8

4

8

0.04

9

7.079

9

1

9

0.01

10

7.376

10

1

10

0.01

Histogramm ( m ( n)  x)

Seite 339

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 4.699 4.996 5.293 5.591 5.888 6.186 6.483 6.781 7.078 7.375

2 2 2 11 19 24 21 15 4 1 1

Fehler- und Ausgleichsrechnung

Schätzwerte für P und V aus Stichprobenmittelwert und Stichprobenstandardabweichung:

¦  m k ˜ h k

,

,

5.939

Mittelwert bei Klasseneinteilung

s

0.49

Standardabweichung bei Klasseneinteilung

k

n

s

n 1

˜

ª

2º

¦ ¬ hk ˜ mk  , ¼ k

x  P  4 ˜ V  ( P  4 ˜ V )  0.01 ˜ V  P  4 ˜ V

Bereichsvariable

Relative Häufigkeit und Dichte , hk dnorm( x  P  V )˜'x

0.2

dnorm x  ,  s ˜'x

Abb.16.4 0.1

0

4

5

6

7

8

mk  x  x

Summenhäufigkeit und Verteilungsfunktion

1

1 Hk 0 pnorm( x  P  V )

0.5

pnorm x  ,  s

0

Abb.16.5

4

5

6

7

8

mk  x  x

Wie lauten die Vertrauensgrenzen für den "wahren" Mittelwert bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von D= 1 % bzw. D = 5 % : D 1  0.01

D 2  0.05

Messunsicherheit:

§ ©

'x ( n  s  D )  qt ¨ 1 





'x n  s  D 1

0.129

D 2

· ¹

n  1 ˜

s n





'x n  s  D 2

0.097

Seite 340

Fehler- und Ausgleichsrechnung





5.81

,  'x n  s  D 1





5.842

,  'x n  s  D 2

,  'x n  s  D 1

,  'x n  s  D 2





6.067

Vertrauensgrenzen für das gewählte Vertrauensniveau von 99%





6.036

Vertrauensgrenzen für das gewählte Vertrauensniveau von 95%

Das Messergebnis lautet: , = 5.939 r0.129 bzw. , = 5.939 r0.097. i  1  n Abweichung vom Mittelwert

7 xi ,

6

, s , s

5

Abb.16.6 4

0

5

10

15

20

25

30

35

40

i Datenpunkte Mittelwert Abweichung vom Mittelwert Abweichung vom Mittelwert

Vertrauensintervall für den Mittelwert

6.2 ,

 , 'x n  s  D 1 , 'x n  s  D 2 , 'x n  s  D 2

, 'x n  s  D 1

6.1

6

Abb.16.7

5.9

5.8

5.7

0

10

20

30 i

Seite 341

40

Fehler- und Ausgleichsrechnung

16.2 Untersuchung der Fortpflanzung von zufälligen Messabweichungen Bei vielen Anwendungen stellt sich häufig das Problem, den Wert einer Größe Y zu bestimmen, die noch von mehreren weiteren voneinander unabhängigen und normalverteilten Größen X 1 , X2 , ..., Xn abhängig ist. Der funktionale Zusammenhang sei bekannt und in der Form Y = f( X1 , X2 , ..., Xn) gegeben. Die dann ebenfalls normalverteilte Größe Y soll jedoch nicht direkt gemessen werden, sondern auf indirektem Wege aus den Messwerten X1 , X2 , ..., Xn unter Verwendung der Funktionsgleichung Y = f( X1 , X2 , ..., Xn) berechnet werden. Man spricht dann von einer "indirekten" Messgröße. Dabei sind X1 , X2 , ..., Xn die Eingangsgrößen und Y die Ausgangs- oder Ergebnisgröße. Der Mittelwert ym der "indirekten" Messgröße Y = f( X1 , X2 , ..., Xn) läßt sich aus den Mittelwerten ,1 , ,2 ,..., ,n der voneinander unabhängigen Messgrößen X1 , X2 , ..., Xn berechnen aus: ym = f(,1 , ,2 ,..., ,n).

Die Standardabweichung s y der "indirekten" Messgröße Y = f( X1 , X2 , ..., Xn) lässt sich aus den Standardabweichungen der Einzelmessungen s x1, sx2, ..., sxn der voneinander unabhängigen Messgrößen X1 , X2 , ..., Xn mit dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz (Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz für die Standardabweichung der Einzelmessung, in der "quadrierten Form" auch als Variationsfortpflanzungsgesetz bezeichnet) berechnen: 2

sy =

2

º º º ªw ªw ªw « § f  ,1  ,2  ....  ,n ˜ s x1·»  « x § f  ,1  ,2  ....  ,n ˜ s x2·»  ..  « § f  ,1  ,2  ....  ,n ˜ sxn·» ¹¼ ¹¼ ¹¼ ¬wx1 © ¬w 2 © ¬wxn ©

2

Das Messergebnis für eine von n unabhängigen Größen X1 , X2 , ..., Xn abhängige "indirekte" Messgröße Y = f( X1 , X2 , ..., Xn) lautet: y = ym r'y . Dabei ist ym = f(,1 , ,2 ,..., ,n) der Mittelwert und 'y = sy . Für eine von n unabhängigen Größen X 1 , X2 , ..., Xn abhängige "indirekte" Messgröße Y = f( X1 , X2 , ..., Xn) lautet das Messergebnis, wenn die direkt gemessenen Größen X1 , X2 , ..., Xn in der oft üblichen Form xi = ,i r'xi vorliegen: y = ym r'y . Dabei sind ,i die (arithmetischen) Mittelwerte und 'xi die Messunsicherheiten der Größen xi.

ym = f(,1 , ,2 ,..., ,n) ist der schon erwähnte Mittelwert der "indirekten" Messgröße Y . 'y ist die erwartete Messunsicherheit von y und wird mit dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz berechnet: 2

'y =

2

2

ªw ªw ªw º º º « x  f  ,1  ,2  ....  ,n ˜ 'x1 »  « x  f  ,1  ,2  ....  ,n ˜ 'x2 »  ..  « x  f  ,1  ,2  ....  ,n ˜ 'xn » . ¬w 1 ¼ ¬w 2 ¼ ¬w n ¼

Seite 342

Fehler- und Ausgleichsrechnung

Beispiel 16.2: Bestimmung der Wanddicke y eines Hohlzylinders mit Außendurchmesser D und Innendurchmesser d. Es wurden jeweils 5 Messungen durchgeführt. ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§¨ 9.98 · ¨ 9.97 ¸ ¨ 10.01 ¸ ˜ cm D ¨ ¸ ¨ 9.98 ¸ ¨ 10.02 © ¹

§¨ 9.51 · ¨ 9.47 ¸ ¨ 9.50 ¸ ˜ cm d ¨ ¸ ¨ 9.49 ¸ ¨ 9.52 © ¹

1

y ( D  d) 

2

˜ ( D  d)

w wD

y=

1

w

2

wd

y=

1 2

Wanddickefunktion und partielle Ableitungen

Dm  mittelwert ( D)

Dm

9.992 cm

Mittelwert vom Außendurchmesser

dm  mittelwert ( d)

dm

9.498 cm

Mittelwert vom Innendurchmesser

s D  Stdev ( D)

sD

0.022 cm

Standardabweichung vom Außendurchmesser

s d  Stdev ( d)

sd

0.019 cm

Standardabweichung vom Innendurchmesser

D = D m rsD = ( 9.992 r0.022 ) cm

d = dm rsd = ( 9.498 r0.019 ) cm

ym 

1 2



˜ Dm  dm 2

'y 



ym

0.247 cm

Mittelwert der Wanddicke

'y

0.014 cm

Messabweichung (absoluter Fehler)

2

§ 1 · ˜ s 2  § 1 · ˜ s 2 ¨ ¨ D d © 2¹ © 2¹

y = ym r'y = ( 0.247 r0.014 ) cm

Messergebnis

Beispiel 16.3: Bei einer Serienschaltung von zwei Widerständen und angelegter Gleichspannung wurden folgende Messergebnisse ausgewertet: U0  220 ˜ V

'U  3 ˜ V

U =U0 r 'U

R10  78 ˜ :

'R1  1 ˜ :

R1 =R 10 r 'R

R20  54 ˜ :

'R2  1 ˜ :

R2 =R 20 r 'R2

Gesucht sind der absolute und relative Fehler des Stromes.

Seite 343

Fehler- und Ausgleichsrechnung





U

I U  R1  R2 



gegebene Funktion

R1  R2



w

IU U  R1  R2 









w



w

U



7.576 u 10



0.013





0.013

IR2 U0  R10  R20

'Iabs  'Iabs



R1  R2

2

U

R1  R2

2

partielle Ableitung von I nach R1

partielle Ableitung von I nach R2

partielle Ableitung nach U der indirekten Messgrößen

S

partielle Ableitung nach R1 der indirekten Messgrößen

2

V :



3

V :

I U U0  R10  R20



U

Mittelwert der indirekten Messgröße



IR1 U0  R10  R20



partielle Ableitung von I nach U

R1  R2

IR2 U  R1  R2 o

1.667 A

IU U0  R10  R20



1

IR1 U  R1  R2 o

wR2 R1  R2





U

wR1 R1  R2

IR2 U  R1  R2 



IU U  R1  R2 o

wU R1  R2

IR1 U  R1  R2 

I U0  R10  R20



U

partielle Ableitung nach R2 der indirekten Messgrößen

2

2 ˜ 'U2  IR1 U0  R10  R20 2 ˜ 'R12  IR2 U0  R10  R20 2 ˜ 'R22 absoluter Fehler

0.029 A

Oder etwas kürzer formuliert:



2

§w · 2 ¨ I  U  R1  R2 ˜ 'U  U ©w ¹



'Iabs U  R1  R2 



I U0  R10  R20





'Irel  'Irel



0.029 A



'I abs U0  R10  R20



Mittelwert des Stromes

1.667 A

'Iabs U0  R10  R20

I U0  R10  R20



2

· §w 2 ¨ I  U  R1  R2 ˜ 'R1  R ©w 1 ¹



absoluter Fehler

relativer Fehler

1.734 %

Seite 344

2

· §w 2 ¨ I  U  R1  R2 ˜ 'R2 R ©w 2 ¹

Fehler- und Ausgleichsrechnung

16.3 Bestimmung einer Ausgleichs- oder Regressionskurve Mit den Methoden der Ausgleichsrechnung soll aus n gemessenen Wertepaaren (Messpunkten) (x i ; yi) ( i = 1, 2,..., n ) ein möglichst funktionaler Zusammenhang zwischen den Messgrößen X und Y gefunden werden. Zuerst ist eine Entscheidung darüber zu treffen, welcher Funktionstyp der Ausgleichsrechnung zugrunde gelegt werden soll (Gerade, Parabel, Potenz- oder Exponentialfunktion usw.). Eine Entscheidungshilfe liefert dabei das Streuungsdiagramm, in dem die n Messpunkte durch eine Punktwolke dargestellt wird. Als Maß für die Abweichung zwischen Messpunkt und Ausgleichskurve wählt man die Ordinatendifferenz. Der Abstand des Messpunktes (x i ; yi) von der gesuchten aber noch unbekannten Ausgleichskurve y = f(x) beträgt damit y i - f(xi). Eine objektive Methode zur Bestimmung der "optimalen" Kurve liefert die Gaußsche Methode der kleinsten Quadrate. Danach passt sich diejenige Kurve mit den enthaltenen Parametern a, b, ... den vorgegebenen Messpunkten am besten an, für die die Summe S der Abstandsquadrate aller n Messpunkte ein Minimum annimmt: n

S ( a  b  ....) =

2 ¦ yi  f xi

i

.

1

Für Ausgleichskurven (Regressions- und Glättungskurven) stehen in Mathcad zahlreiche Funktionen wie achsenabschn, neigung, regress, loess, linie, linanp, genanp, expanp, potanp, loganp, lgsanp, lnanp, sinanp, medgltt, kgltt, strgltt, stdfehl u.a.m. zur Verfügung. Siehe auch Anhang Funktionen.

Beispiel 16.4: Gesucht ist die beste Gerade durch eine "Wolke" von 10 Messwerten (x1 i, y1i). ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

Zuerst werden künstlich 10 Messwerte erzeugt: n  10

i  1  n

Bereichsvariable

'xi  rnd ( 0.2)

Fehler der Messwerte

x1 i  i  'xi y1i  i  ( 1)

fehlerbehaftete Messdatenvektoren floor( rnd( 2 ) )

˜ rnd ( 1)

MD  erweitern ( x1  y1) T

MD

1 2

1 1.01 1.68

Messdaten zu einer Matrix zusammenfassen 2 2.052 2.109

3 3.179 3.655

4 4.146 3.92

Seite 345

5 5.079 5.307

6 6.181 6.068

7 7.078 6.306

8 8.071 7.902

Fehler- und Ausgleichsrechnung

12 10 8 y1

6 4

Abb.16.8

2 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x1 Messpunkte

Zuerst wird mithilfe des Korrelationskoeffizienten geprüft, ob eventuell ein linearer Zusammenhang zwischen x1 und y1 vorliegt: korr ( x1  y1)

Korrelationskoeffizient

0.99

Damit kann die Steigung und der Achsenabschnitt für eine Ausgleichsgerade gefunden werden:

§d · ¨  linie ( x1  y1) ©k ¹

Berechnung der Steigung und des Achsenabschnittes

k

0.899

Steigung der Ausgleichsgeraden

d

0.532

Achsenabschnitt der Geraden

Alternative Möglichkeit zur Berechnung von k und d: k = neigung ( x1  y1)

d = achsenabschn ( x1  y1)

12 10 8 y1 6 k˜x1 d 4 2

Abb.16.9 0

2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x1  x1 Messpunkte Regressionskurve

Beispiel 16.5: Gegeben ist eine Messreihe (5 Messwerte) von Gleichströmen (I) mit jeweils zugehörigem Spannungsabfall (U) an einem Widerstand (R). Gesucht ist ein "optimaler" Wert, der für R angenommen werden soll. ORIGIN  1 5

f ( R) =

¦

k

1

ORIGIN festlegen

Uk  R ˜ Ik 2

Methode der minimalen Fehlerquadrate nach Gauß. Die "Summe der Quadrate der Abweichungen" zwischen gemessenem (Uk ) und berechnetem U ( = R .Ik ) soll minimal werden !

Seite 346

Fehler- und Ausgleichsrechnung

5

k

d dR

5

¦

k

Uk  R ˜ Ik 2

¦

f ( R) =

Nach Variable R symbolisch mit Mathcad differenzieren und danach nach Variable R auflösen.

1

Uk  R ˜ Ik 2 = 0 auflösen  R

U1 ˜ I1  U2 ˜ I2  U3 ˜ I3  U4 ˜ I4  U5 ˜ I5

o

 I 1 2   I 2 2   I 3 2   I 4 2   I 5 2

1

§¨ 5.2 · ¨ 6.0 ¸ ¨ 6.7 ¸ ˜ V U ¨ ¸ ¨ 8.1 ¸ ¨ 10.4 © ¹

§¨ 0.023 · ¨ 0.027 ¸ ¨ 0.030 ¸ ˜ A I ¨ ¸ ¨ 0.040 ¸ ¨ 0.053 © ¹

Messwerte

I1 ˜ U1  I2 ˜ U2  I 3 ˜ U3  I4 ˜ U4  I 5 ˜ U5

R

 I1

2



 I2

2



 I3

2



 I4

2



 I5

I1  0 ˜ A  0.0002 ˜ A  0.06 ˜ A

V

R

206.761 :

optimaler Widerstand

Bereichsvariable für den Strom

Messwerte und Regressionskurve

14 R˜I1

2

12 10 8

U V

6

Abb.16.10

4 2 0

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

I1

I  A A

Vorsicht beim Lösen dieses Ausgleichsproblems mit den zugehörigen Mathcadfunktionen: R  neigung ( I  U)

R

169.236 :

d  achsenabschn ( I  U)

d

1.424 V

Völlig unbrauchbare Ergebnisse !

Nur ein Ergänzen der Vektoren mit (0, 0)-Komponenten führt zu einem näherungsweise brauchbaren Ergebnis ! U100  0

I100  0

R  neigung ( I  U)

R

206.587 :

d  achsenabschn ( I  U)

d

0.007 V

Die Funktion "neigung" und "achsenabschnitt" berechnet die Steigung und den Achsenabschnitt nach der Methode der minimalen Fehlerquadrate nach Gauß.

Seite 347

Fehler- und Ausgleichsrechnung

Beispiel 16.6: Die Spannungs-Strom-Kennlinie einer Glühlampe U = f(I) verläuft nichtlinear und lässt sich annähernd durch eine kubische Funktion vom Typ U = f(I) = a I 3 +b I beschreiben. Für eine Glühlampe wurden folgende Messwerte ermittelt: T

I  ( 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 ) ˜ A Messdaten T

U  ( 29 51 101 174 288 446 ) ˜ V Die Parameter a und b der kubischen Funktion sollen aus den Messreihen I und U nach dem Prinzip der kleinsten Quadrate nach Gauß mithilfe der Funktion Minimieren und mithilfe des Lösungsblocks "Vorgabe und Suchen" (Lösung des inhomogenen Gleichungssystems) bestimmt werden. Die Ausgleichsfunktion und die Messpunkte sollen graphisch dargestellt werden. ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

Berechnung der Ausgleichskurve mithilfe der Funktion "Minimieren": 3

U ( I  a  b)  a ˜ I  b ˜ I

genäherte kubische Funktion

n  letzte ( I)

Anzahl der Messdaten

n n

G1 ( a  b) 

¦

k

a1 

Uk  UIk  a  b 2

G1 muß nach Gauß ein Minimum werden!

ORIGIN

2˜ V A

6

b1  20 ˜

3

V

Startwerte für das Näherungsverfahren Minimieren

A

§a · ¨  Minimieren ( G1  a1  b1 ) ©b ¹

a

1504.079

V A

3

b

200.464

Minimieren(G1, a1,b2) gibt die Werte a und b für U(I,a,b) zurück, so dass sich die Funktion optimal an die Messpunkte anpasst. V

gesuchte Lösung für a und b

A

Berechnung der Ausgleichskurve mithilfe eines Lösungsblocks: n

G1 ( a  b) 

¦

k

1

ª Uk  ªa ˜  Ik 3  b ˜ Ikº º ¬ ¬ ¼¼

2

G1 muss nach Gauß ein Minimum werden, d.h. die ersten partiellen Ableitungen müssen verschwinden.

Seite 348

Fehler- und Ausgleichsrechnung

Zuerst werden die partiellen Ableitungen symbolisch gebildet: n

w

ª Uk  ªa1 ˜  Ik 3  b1 ˜ Ikº º ¬ ¬ ¼¼

wa1 ¦ k

k

ª Uk  ªa1 ˜  Ik 3  b1 ˜ Ikº º ¬ ¬ ¼¼

wb1 ¦ k

¦

ergibt

0

n

w

n

2

0

n

2

¦

ergibt

0

ª 2 ˜ ªUk  a1 ˜  Ik 3  b1 ˜ Ikº ˜  Ik 3º ¬ ¬ ¼ ¼

k

ª2 ˜ ªUk  a1 ˜  Ik 3  b1 ˜ Ikº ˜ Ikº ¬ ¬ ¼ ¼

0

Daraus erhält man das inhomogene Gleichungssystem, das nun mit Vorgabe und Suchen gelöst wird: Vorgabe n

¦

k

1

n

¦

k

ª 2 ˜ ªUk  a1 ˜  Ik 3  b1 ˜ Ikº ˜  Ik 3º = 0 ¬ ¬ ¼ ¼

ª2 ˜ ªUk  a1 ˜  Ik 3  b1 ˜ Ikº ˜ Ikº = 0 ¬ ¬ ¼ ¼

1

§ a1 ·  Suchen ( a1  b1 ) ¨ © b1 ¹ a1

1504.079

V A

b1

3

200.464

V

gesuchte Lösungen für a und b

A

Der Vergleich mit oben zeigt eine exakte Übereinstimmung der Parameter a und b. I  0 ˜ A  0.001 ˜ A  0.7 ˜ A

Bereichsvariable Messwerte und Ausgleichsfunktion

400

Spannung

U V U( I  a  b) V

200

Abb.16.11

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4 I

I

 A A Strom

Seite 349

0.5

0.6

Fehler- und Ausgleichsrechnung

Beispiel 16.7: Es wurden Messdaten (x i,yi) aufgenommen, die zuerst ansteigen und dann eine Sättigung zeigen. Wir wählen zwei Ausgleichsfunktionen mit entsprechendem Verhalten: f 1 (x) = x / (1+x) bzw. f2 (x) = 1 - e - 2x . Gesucht ist dann jene Linearkombination y A(x)=c1 f1 (x)+c2 f2 (x), die am besten zu den Messpunkten passt (Ausgleichskurve y A). ORIGIN  1

ORIGIN festlegen T

x  (0 1 2 3 4 5 )

Messdaten T

y  ( 0 0.52 0.75 0.88 0.92 0.98 ) 1.5 1 0.5

y 2

1 0 0.5 1

1

2

3

4

5

6

Abb.16.12

x

Zuerst werden anhand der Messdaten geeignete Ausgleichsfunktionen gesucht: x § · ¨ 1  x fA ( x)  ¨ ¸ ¨  2˜ x ©1  e ¹

Allgemein gilt:

§ fA1 ( x) · ¨ ¨ fA2 ( x) ¸ fA ( x) = ¨ ¸ ¨ ...... ¸ ¨ f ( x) © Am ¹

Geeignete Ausgleichsfunktionen als Vektorfunktion definiert

Die Koeffizienten für die bestmögliche Ausgleichskurve f A(x) = c1 fA1(x) + c2 fA2(x) werden mittels der Funktion linanp bestimmt:





c  linanp x  y  fA

c

§ 1.455 · ¨ © 0.23 ¹

yA ( x)  c ˜ fA ( x)

Bestimmung der Konstanten (linanp verwendet des Prinzip der kleinsten Quadrate nach Gauß) Dieses Skalarprodukt erzeugt die richtige Linearkombination yA(x) = c1 fA1 (x) + c2 fA2 (x). Allgemein: fA(x) = c1 fA1 (x) + c2 fA2 (x) +...+ cm fAm(x).

i  1  länge ( x)

Bereichsvariable yA ( i  1)

1

xi

1

1

1

0

2

1

yi

1

0.000

1

0

2

0.520

2

0.529

3

0.750

3

0.744

3

2

4

3

4

0.880

4

0.862

5

4

5

0.920

5

0.934

6

5

6

0.980

6

0.982

Seite 350

Fehler- und Ausgleichsrechnung

x  min ( x)  min ( x)  0.001  max ( x)

Bereichsvariable

Messpunkte und Ausgleichsfunktion 1 yi yA( x) 0.5

Abb.16.13

0 1

0

1

2

3

4

5

6

xi  x

Fehler bei der Regression:



'yi 

yi  yA xi

max ( 'y)

maximaler Fehler der Einzelwerte

0.018 ˜ ª«

'yi »º ¦ « »

1

F

Abweichungen

länge ( x)

¬

2

F

mittlerer quadratischer Fehler

0.0104

¼

i

Beispiel 16.8: Aus einem periodischen Signal sollen diskrete Daten gewonnen werden. Mit diesen Daten soll mithilfe eines trigonometrischen Polynoms eine optimale Ausgleichskurve gefunden werden. T0  2 ˜ S

gewählte Periode

2˜ S

Z0 

Kreisfrequenz

T0









u ( t )  wenn ª t  0.5 ˜ T0  sin Z 0 ˜ t  0º ¬ ¼





  u  mod  t  T0

p t  T0  u 



u mod t  T0  T0

t  4 ˜ S  3.99 ˜ S  4 ˜ S

Gegebenes Signal über eine Periode





if mod t  T0  0

Bereichsvariable

1.5

T0

1



p t  T0  u



Funktion zur Bildung eines periodischen Signals

otherwise

2

T0

0.5

Abb.16.14

0 0.5 12.57

6.28

0

6.28 t

Seite 351

12.57

Fehler- und Ausgleichsrechnung

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

i  0  100

Bereichsvariable für die diskreten Daten i

ti  4 ˜ S 

˜ 8˜ S

100

diskreter Datenvektor der Zeitwerte

o y  p t  T0  u





diskreter Datenvektor für die Funktionswerte

Geeignete Ausgleichsfunktionen als Vektorfunktion definiert: T

FA ( t)  ( 1 cos ( t) sin ( t ) cos ( 2 ˜ t ) sin ( 2 ˜ t ) cos ( 3 ˜ t ) sin ( 3 ˜ t ) cos ( 4 ˜ t ) sin ( 4 ˜ t ) )





c  linanp t  y  FA T

Bestimmung der Konstanten (linanp verwendet des Prinzip der kleinsten Quadrate nach Gauß)

0

c

0

1

0.317

2

-0.004

3 0.5

yA ( t)  c ˜ FA ( t)

4

5

-0.214

0

6

-0.004

7 0

8

-0.044

0

Ausgleichskurve (Fourierpolynom) Diskrete Daten und Ausgleichskurve 1.5

T0

T0

2 1 y yA( t)

0.5

12.57

6.28

Abb.16.15

0

6.28

12.57

0.5 t t

o  korr § y  yA ( t) ·

©

Die Korrelation zwischen den diskreten Daten und dem Fourierpolynom beträgt 99.9%.

99.888 %

¹

Beispiel 16.9: Polynomanpassung mit Hilfe der Funktionen regress und interp: ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

D  PRNLESEN ( "Polynomanp.prn" )

Daten von einem Textfile einlesen

T

D

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

9.1

7.3

3.2

4.6

4.8

2.9

5.7

7.1

8.8

10.2

Seite 352

Fehler- und Ausgleichsrechnung

¢1² x D

¢2² y D

Matrixspalten extrahieren

n  zeilen ( D)

n

Anzahl der Datenpunkte

10

k 3

Grad des anzupassenden Polynoms

z  regress ( x  y  k )

Vektor zur Bestimmung der Polynomkoeffizienten und für die Funktion interp

T

1

z

2

1

3

3

3

4 9.298

3

5 -3.438

c  submatrix ( z  4  länge ( z )  1  1) T

1

c

1

2

9.298 3

yP ( x) 

i

4

0.609

Polynomkoeffizienten

-0.024

§ ci1 ˜ xi· © ¹

¦

7 -0.024

Werte aus z von Index 4 bis 7 auswählen

3

-3.438

6 0.609

Polynomausgleichskurve

0

yA ( x)  interp ( z  x  y  x)

Polynomausgleichskurve mit interp

n  50

Anzahl der Schritte und Bereichsvariable

'x 

j  1  n  1

max ( x)  min ( x)

Schrittweite

n

x1 j  min ( x)  ( j  1) ˜ 'x

Bereichsvariable

15 y



10

yA x1j



yP x1j

5

Abb.16.16 0

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x  x1j  x1j Datenpunkte Polynomausgleichskurve mit interp Polynomausgleichskurve

Beispiel 16.10: Logarithmische Regression der Form y ln1 = a ln(t+b) + c und yln2 = a1 ln(t) + b1 mithilfe der Funktion loganp bzw. lnanp: ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

Seite 353

Fehler- und Ausgleichsrechnung

Messdatentabelle: D 0

1

0

1

4.18

1

2

4.67

2

3

5.3

3

4

5.37

4

5

5.45

5

6

5.74

6

7

5.65

7

8

5.84

8

9

6.36

9

10

6.38

¢0² t D

¢1² Y D

Messdaten

8 ¢1² D

6

Abb.16.17 4 1 0 1

2

3

4 5 6 ¢0² D

7

9 10 11

extrahierte Datenvektoren

§¨ 1 · S  ¨0 ¸ ¨4 © ¹

Schätzvektor für die drei Koeffizienten a, b und c

§¨ a · ¨ b ¸  loganp ( t  Y  S) ¨c © ¹

§¨ a · ¨b ¸ ¨c © ¹

§ a1 ·  lnanp ( t  Y) ¨ © b1 ¹

§ a1 · ¨ © b1 ¹

yln1 ( t)  a ˜ ln ( t  b)  c

Anpassungsfunktion y ln1

yln2 ( t)  a1 ˜ ln ( t )  b1

Anpassungsfunktion y ln2

t  0  0.01  länge ( t)  1

Bereichsvariable

0 0

1.126

1

0.734

2

3.586

Koeffizientenvektor

0 0

0.906

1

4.126

Koeffizientenvektor

Messdaten und Anpassungsfunktionen

6.5 Y

8

6

yln1( t) 5.5 yln2( t)

Abb.16.18

5 4.5 4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

t  t t

Seite 354

9

10

11

Fehler- und Ausgleichsrechnung

o  korr § Y  yln1 ( t) ·

¹

97.353 %

o  korr § Y  yln2 ( t) ·

97.181 %

© ©

¹

letzte ( t)

¦

i

Die Korrelation zwischen dem Datenvektor und der Anpassungsfunktion y ln2 beträgt 97.2%.

ª¬Yi   a ˜ ln  ti  b  c º¼

2

quadratischer Fehler für y ln1

0.219

0

letzte ( t)

¦

i

Die Korrelation zwischen dem Datenvektor und der Anpassungsfunktion y ln1 beträgt 97.4%.

ª¬Yi   a1 ˜ ln  ti  b1 ¼º

2

quadratischer Fehler für y ln2

0.234

0

Beispiel 16.11: Für die nachfolgende Messtabelle soll eine geeignete Ausgleichskurve gefunden werden.

M 0

1

0

0.14

0.11

1

0.33

0.27

2

0.52

0.55

3

0.71

0.51

4

0.89

0.63

5

1.09

0.57

6

1.28

0.46

7

1.45

0.44

8

1.67

0.32

9

1.85

0.31

10

2.03

0.2

11

2.22

0.14

12

2.4

0.1

13

2.61

0.03

14

2.81

0.04

¢0² x M n  letzte ( y)

1

b1

Abb.16.19

0

1 ¢0² M

2

3

Extrahierte Spaltenvektoren

i  0  n

yA ( x  a  b)  a ˜ b ˜ x G1 ( a  b) 

¢1² M

¢1² y M

Messdaten

1 0.8 0.6 0.4 0.2

Bereichsvariable



b

˜ exp a ˜ x

¦ yi  yA xi  a  b

2



Angenommene Ausgleichskurve

G1 muss nach Gauß ein Minimum werden!

i

a 1

b 1

Schätzwerte für die unbekannten Koeffizienten a und b

Seite 355

Fehler- und Ausgleichsrechnung

Vorgabe G1 ( a  b) = 0

Lösungsblock mit minfehl

§a · ¨  Minfehl ( a  b) ©b ¹

§a · ¨ ©b ¹

0 0

0.551

1

1.901

gesuchte Parameter

Anstatt der Funktion Minfehl könnte auch die Funktion Minimieren angewendet werden:

§¨ a1 ·  Minimieren ( G1  a  b) ¨ b1 © ¹

§¨ a1 · ¨ b1 © ¹

0 0

0.551

1

1.901

gesuchte Parameter

x  0.01  0.1  3.5

Bereichsvariable Datenpunkte und Ausgleichskurve

1

yi yA( x  a  b ) 0.5

0

Abb.16.20

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

xi  x

o korr § y  yA ( x  a  b) ·

©

G1 ( a  b) länge ( x)

¹

0.981

0.003

Die Korrelation zwischen dem Datenvektor und der Anpassungsfunktion y A beträgt 98.1%. mittlerer quadratischer Fehler

16.4 Interpolation und Prognose Bei der Interpolation werden existierende Datenpunkte verwendet, um Werte zwischen diesen Datenpunkten vorherzusagen. Anders als die im vorhergehenden Abschnitt beschriebenen Regressionsfunktionen, müssen die Interpolationsfunktionen die vorgegebenen Daten durchlaufen. Wenn aber die Daten zu starke Schwankungen aufweisen, dann sollten Regressionsfunktionen verwendet werden. Mit Mathcad können die Datenpunkte durch eine Gerade (lineare Interpolation) oder mit Abschnitten verschiedener Spline-Funktionen (Polynomfunktionen) verbunden werden. Die Spline-Interpolation ist grundsätzlich kubisch, d.h. die Kurven beim ersten und letzten Datenpunkt haben Krümmungen, die einer Geraden, einer Parabel oder einer kubischen Parabel entsprechen. Für die Spline-Interpolation verwendet man die Mathcadfunktionen lspline, pspline, kspline oder bspline. Für die lineare Interpolation steht in Mathcad die Funktion linterp zur Verfügung. Die lineare Prognose verwendet bereits existierende Datenwerte, um zusätzliche Werte vorherzusagen. Die von den Mathcadfunktionen für Spline-Interpolation (lspline, pspline, kspline und bspline) und die Regressionsfunktionen (regress und loess) zurückgegebenen Koeffizienten werden an die erste Komponente der interp-Funktion übergeben (interp gibt die interpolierten y-Werte für die vorgegebenen x-Werte zurück).

Seite 356

Fehler- und Ausgleichsrechnung

Beispiel 16.12: Folgende Datenpaare sollen linear interpoliert werden (der Vektor x muss aufsteigend sortiert sein): T

x  (1 2 3 4 5 6 )

T

y  ( 4.00 4.54 3.98 4.00 3.83 3.15 )

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

ylin ( x)  linterp ( x  y  x)

lineare Interpolationsfunktion

ylin ( 3.5)

3.99

ylin ( 5.3)

Daten

Zwischenwerte

3.626

i  1  6

Bereichsvariable

x  1  1  0.002  6

Bereichsvariable Polygonzug

5

yi ylin( x)

4

3

Abb.16.21

1

1.86

2.71

3.57

4.43

5.29

6.14

7

xi  x

Beispiel 16.13: Kubische Spline-Interpolation (mithilfe der Mathcad-Funktionen kspline und interp): ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

D  PRNLESEN ( "Datensp.prn" )

Daten einlesen

D  spsort ( D  1)

Daten aufsteigend sortieren

1 T

D

1 2

2

1

3

3

4

4

5

5

6

6

7

8

2.6 23.16 27.57 24.26 16.63 30.41

¢1² x D

¢2² y D

11

8

12

9

10

13

47.2 50.03 60.33 59.89

Daten extrahieren

S  kspline ( x  y)

Vektor aus den zweiten Ableitungen für die Datenvektoren x und y

yku ( x)  interp ( S  x  y  x)

Kubische Anpassungsfunktion (Spline-Funktion ist an den Endpunkten kubisch)

yku ( 7)

20.073

yku ( 15 )

62.087

i  1  länge ( x) n  100

Zwischenwerte Bereichsvariable

j  1  n  1

Anzahl der Schritte

Seite 357

14

Fehler- und Ausgleichsrechnung

max ( x)  min ( x)

'x 

Schrittweite

n

x1 j  min ( x)  ( j  1) ˜ 'x 100 90 80 70 yi 60 50 yku x1j 40 30 20 10 0

Vektor von x-Werten



Abb.16.22 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

x i  x1j Datenpunkte Kubisch interpolierte Splinefunktion

Beispiel 16.14: Spline-Interpolation mithilfe der Mathcadfunktionen Ispline und interp: T

x  (1 2 3 4 5 6 )

T

y  ( 4.80 1.54 5.98 4.00 3.10 7.15 )

gegebene Daten

ORIGIN  1 S  lspline ( x  y)

Vektor aus den zweiten Ableitungen für die Datenvektoren x und y

yl ( x)  interp ( S  x  y  x)

kubische Anpassungsfunktion (Spline-Funktion ist an den Endpunkten linear)

yl ( 1.5)

2.225

yl ( 4.3)

3.221

i  1  länge ( x) n  100

Bereichsvariable j  1  n  1

Anzahl der Schritte und Bereichsvariable

max ( x)  min ( x)

'x 

Zwischenwerte

Schrittweite

n

x1 j  min ( x)  ( j  1) ˜ 'x

Vektor von x-Werten

10

yi



yl x1j

5

Abb.16.23

0

1

2

3

4

5

x i  x1j Datenpunkte Kubisch interpolierte Splinefunktion

Seite 358

6

7

Fehler- und Ausgleichsrechnung

Beispiel 16.15: Betrachtet wird eine gedämpfte Schwingung, von der für eine Periode n Messdaten (x2 i ,y2i ) aufgenommen wurden. Diese Messdaten sollen mithilfe der Mathcad-Funktionen lspline, pspline und kspline interpoliert und mitsammen grafisch verglichen werden. ORIGIN  0 

f ( x)  2 ˜ e n 5 x2 i  i ˜

ORIGIN festlegen x 3

˜ sin ( x)

gegebene gedämpfte Schwingung

i  0  n 2˜ S

Bereichsvariable



y2i  f x2 i

n

erzeugte Messdaten

Kubische Spline-Interpolation: Sl  lspline ( x2  y2)

Vektoren aus den zweiten Ableitungen für die Datenvektoren x2 und y2

Sp  pspline ( x2  y2) Sk  kspline ( x2  y2)

 yp ( x)  interp  Sp  x2  y2  x yku ( x)  interp  Sk  x2  y2  x

kubische Anpassungsfunktionen (Spline-Funktion ist an den Endpunkten linear, parabolisch bzw. kubisch)

x  0  0.01  2 ˜ S

Bereichsvariable

yl ( x)  interp Sl  x2  y2  x

Spline-Funktionen im Vergleich

1.5

y2i

1

f( x) yl ( x)

Abb.16.24

0.5 yp ( x) yku( x) 0

0.5

1

0

1

2

3

x2i  x

Seite 359

4

5

6

7

Fehler- und Ausgleichsrechnung

Quadratischer Fehler im Vergleich: x2

´ n 2 µ f ( x)  yl ( x) dx µ ¶x2





Fehler mit Spline mit linearem Ende

0.014

0

x2

´ n 2 µ f ( x)  yp ( x) dx µ ¶x2





Fehler Spline mit parabolischem Ende

0.001

0

x2

´ n 2 µ f ( x)  yku ( x) dx µ ¶x2





Fehler Spline mit kubischem Ende

0.002

0

Beispiel 16.16: Durch n gegebene Punkte P i(x i, yi) ist ein Interpolationspolynom zu legen. Man vergleiche dieses Polynom mit einer kubischen Spline-Interpolation. ORIGIN  0

ORIGIN festlegen T

x  ( 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 )

gegebene Datenpunkte T

y  ( 29 51 101 174 288 446 )

Mit 6 Datenpunkten kann ein Polynom 5. Grades angesetzt werden: 2

3

4

5

p ( x) = a0  a1 ˜ x  a2 ˜ x  a3 ˜ x  a4 ˜ x  a5 ˜ x

Durch Einsetzen der Datenpunkte ergibt sich ein inhomogenes Gleichungssystem für die Koeffizienten a i des Polynoms. Dieses Gleichungssystem lässt sich dann in Matrixform K.a = y zusammenfassen. Koeffizientenmatrix K:

ª1 « « «1 « «1 K « «1 « «1 « «1 ¬

x0

x0 2 x0 3 x0 4 x0 5 º»

x1

x1 2 x1 3 x1 4 x1 5 »

x2

x2 x2 x2

x3

x3 2 x3 3 x3 4

x4

x4 2 x4 3 x4 4

x5

x5 x5 x5

»

2

2

3

3

4

4

» x2 » » x3 5 » » 5» x  4 » 5» x5 ¼ 5

§1 ¨ ¨1 ¨1 K ¨ ¨1 ¨1 ¨ ©1

0.1 0.01 0.001

0

0.2 0.04 0.008 0.002

0

·

0

¸

0.3 0.09 0.027 0.008 0.002 ¸

¸ ¸ 0.5 0.25 0.125 0.063 0.031 ¸ 0.4 0.16 0.064 0.026

0.6 0.36 0.216

0.13

0.01

0.078 ¹

Die Koeffizientenmatrix kann auch, wie nachfolgend gezeigt, in einfacherer Weise hergestellt werden: n 6

Anzahl der Datenpunkte

i  0  n  1

Bereichsvariable

Seite 360

Fehler- und Ausgleichsrechnung ¢i² i K  x

Erzeugung der Koeffizientenmatrix 0

1

a K

˜y

a

n 1

p ( x)  a0 

¦

i

§ ai ˜ xi· © ¹

0

101

1

-1.639·10 3

2

1.238·10 4

3

-3.733·10 4

4

5.708·10 4

5

-3.167·10 4

Aus der umgeformten Matrixgleichung ergeben sich die Koeffizienten des Polynoms

Interpolationspolynom

1

Kubische Spline-Interpolation: S  kspline ( x  y)

Vektor aus den zweiten Ableitungen für die Datenvektoren x und y

yku ( x)  interp ( S  x  y  x)

Kubische Anpassungsfunktionen (Spline-Funktion ist an den Endpunkten kubisch)

x  0.1  0.1  0.001  0.7

Bereichsvariable

800

600

yi p ( x)

400

Abb.16.25

yku ( x) 200

0

0.1

0.2

0.3

0.4

xi  x

Seite 361

0.5

0.6

0.7

Operatoren

17. Operatoren Mithilfe der Symbolleiste-Auswertung können benutzerdefinierte Operatoren angewendet werden. Linksseitiger Präfix Operator Rechtsseitiger Präfix (Postfix oder Suffix) Operator Zweiseitiger Infix Operator Abb. 17.1

Zweiseitiger Baum Operator

Ein benutzerdefinierter Operator wird wie eine Funktion definiert. Zuerst gibt man den Namen des Operators, gefolgt von einem Klammernpaar, ein. Zwischen den Klammern stehen durch Beistriche getrennt die Operanden. Danach wird nach dem Zuweisungsoperator (:=) jener Ausdruck formuliert, der die "Tätigkeit" beschreibt. Mathcad stellt für Operatoren eine Reihe von Zeichen zur Verfügung (Hilfe-QuickSheetsRechensymbole). Diese Symbole können mit Drag&Drop oder durch Kopieren in das Mathcad Arbeitsblatt eingefügt werden. Das QuickSheet-Rechensymbole enthält die folgenden Zeichen aus der Schriftart "Symbol", die für Operatoren, benutzerdefinierte Funktionen u. ä. verwendet werden können (Siehe dazu auch Kapitel 2 Abschnitt 2.1.1): b

v

‡

™

i

|

‹



n

€



¡

†

…

®

c

w

ˆ

š

j

}

Œ

ž

p





¢

—

“

¾

g

x

‰

›

k

~



Ÿ

q

‚

‘

¦

u

–

h

y

Š

œ

l



Ž

 

r

ƒ

’

³

„

Beispiel 17.1: Operator aufrufen - Platzhalter ausfüllen Zuweisungsoperator eingeben und Eingabe, was der Operator mit dem Operanden tun soll.

Linksseitiger Präfix Operator: Sinusfunktion und Kosinusfunktion ohne Argumentklammer. sin ( x)  sin ( x) sin S

cos ( x)  cos ( x)

0 cos S

1

sin S o 0

Definition von Funktionen (die Variable x erscheint vorerst in roter Farbe, weil noch kein Wert zugewiesen wurde). cos S o 1

Auswerten mit dem Präfixoperator (oder als Funktion wie gewohnt).

Beispiel 17.2: Linksseitiger Präfix Operator: Normalvektor in 2 (x- und y-Komponente vertauschen und bei einer Komponente das Vorzeichen wechseln). ORIGIN  1 n0 ( ) 

n1 m

ORIGIN festlegen 2

n2 m 

Definition einer Funktion 1

n

§3 · ©1 ¹

n0 ¨

§1 · ¨ © 3 ¹

§§ 3 ·· ©© 1 ¹¹

n0 ¨ ¨

§1 · ¨ © 3 ¹

Auswerten mit dem Präfixoperator bzw. als Funktion.

Seite 362

Operatoren

Beispiel 17.3: Linksseitiger Präfix Operator: Boolsche Verneinung. NOT ( z )  wenn ( z = 0  1  0) Definition eines Verneinungs-Operators als Funktion x 0 NOT x

1

NOT ( 0)

NOT x o 1

1

NOT ( 0) o 1

Beispiel 17.4:

Operator aufrufen - Platzhalter ausfüllen Zuweisungsoperator eingeben und Eingabe, was der Operator mit dem Operanden tun soll.

Rechtsseitiger Präfix Operator: Grad in Radiant umwandeln. ° ( x)  180 °

x˜ S

Definition des Operators als Funktion

180 3.142

° ( 0)

180 ° o S

0

° ( 0) o 0

Zweiseitiger Infix Operator: Ganzzahlige Division.

§ x· © y¹

y ( x  y)  floor ¨ 22

Auswerten mit dem Präfixoperator bzw. als Funktion. Operator aufrufen - Platzhalter ausfüllen Zuweisungsoperator eingeben und Eingabe, was der Operator mit dem Operanden tun soll.

Beispiel 17.5:

180 y 8

Auswerten mit dem Präfixoperator bzw. als Funktion.

Definition des Operators als Funktion

y ( 180  8)

180 y 8 o 22

22

y ( 180  8) o 22

Auswerten mit dem Infixoperator bzw. als Funktion.

Ein neuer Operator kann auch zur Definition weiterer Operatoren verwendet werden: % ( x  y)  x  y ˜ ( x y y)

Definition eines Modulo-Operators (Restoperators) als Funktion.

180 % 8

% ( 180  8)

4

8 ˜ ( 180 y 8)  180 % 8

Auswerten mit dem Infixoperator bzw. als Funktion.

4

8 ˜ y ( 180  8)  % ( 180  8)

180

180

Beispiel 17.6: Operator aufrufen - Platzhalter ausfüllen Zuweisungsoperator eingeben und Eingabe, was der Operator mit dem Operanden tun soll.

Baum Operator: Mehrstellige logische Verknüpfung. And ( x1  x2)  wenn ( x1 ˜ x2  1  0) Verkn ( x1  x2  x3) 

Or ( x1  x2)  wenn ( x1  x2  1  0)

UND- und ODER-Operator als Funktion definiert.

Or §¨ · ¨ And ¸ Or ¨ ¸ ¨ x1 ¸ And x2 And ¨ ¸ ¨ x2 x3¹ x1 x3 ©

Verkn ( 0  0  0)

0

Verkn ( 1  1  0)

1

Verkn ( 1  0  0)

0

Verkn ( 1  0  1)

1

Verkn ( 0  1  0)

0

Verkn ( 0  1  1)

1

Verkn ( 0  0  1)

0

Verkn ( 1  1  1)

1

Abb. 17.2

Seite 363

Programmieren

18. Programmieren 18.1 Boolesche Ausdrücke und Funktionen Logische Operatoren (Symbolleiste-Boolesch): Logische Vergleichsoperatoren: 

=

!

d

t

z

Verneinungsoperator und Verknüpfungsoperatoren: ™

Abb. 18.1

š

›

†

Ein Boolescher Ausdruck kann nur den Wert "wahr" oder "falsch" annehmen. Mathcad verwendet für "wahr" den Wert 1 und für "falsch" den Wert 0. Wenn die Option "Genaue Gleichheit für Boolesche Vergleiche verwenden" im Registerblatt Menü-Arbeitsblattoptionen-Berechnung aktiviert ist, gilt folgendes: Zwei Zahlen dürfen nur um weniger als die maximale Genauigkeit des Gleitkommaprozessors des Computers voneinander abweichen, um als gleich zu gelten. Zahlen zwischen -10 -307 und 10 -307 werden als 0 angesehen. Wenn diese Option nicht aktiviert ist, muss der Betrag der Differenz zwischen zwei Zahlen geteilt durch ihren Mittelwert < 10 -12 sein, damit sie als gleich gelten. Beispiel 18.1: Logische Vergleiche und Funktionen, die einen logischen Wert liefern: ( 2 = 3)

0

( 5  3)

0

x 2

( 2 = 2)

1

( 3  5)

1

( 3 d x d 5)

Box im Registerblatt Berechnung ist aktiviert:

x1  3.5 0

3 d x1 d 5

1

Box im Registerblatt Berechnung ist nicht aktiviert:

gerade ( n)  mod ( n  2) = 0

ungerade ( n)  mod ( n  2) = 1

istint ( n)  floor ( n) = n

gerade ( 3)

0

ungerade ( 3)

istint ( 10 )

1

gerade ( 6)

1

ungerade ( 6)

istint ( 3.5)

0

1 0

Vergleichsoperatoren im Vergleich mit der Heavisidefunktion )(x): a 2

b  1

vorgegebene Werte

atb

1

) ( a  b)

1

adb

0

) ( b  a)

ata

1

) ( a  a)

1

a!b

1

1  ) ( b  a)

ab

0

1  ) ( a  b)

0

Beispiel 18.2: Verknüpfung von logischen Ausdrücken: x 4

vorgegebener Wert

[ ( 3 d x) š ( x d 5) ]

1

UND-Verknüpfung

[ ( x  3) › ( x ! 5) ]

0

nicht ausschließende ODER-Verknüpfung

Seite 364

0 1

Programmieren

a 2

b 5

Vorgegebene Werte

I1a ( a  b  x)  ( x ! a) ˜ ( x  b)

I1b ( a  b  x)  a  x  b

I1a ( a  b  3.5)

I1b ( a  b  3.5)

1

I1a ( a  b  1)

I2a ( a  b  x)  ( x ! a) š ( x  b)

logische Funktionen

0

I2b ( a  b  3.5)

1

I2a ( a  b  1)

I2b ( a  b  x)  ) ( x  a)  ) ( x  b)

I1b ( a  b  1)

0

I2a ( a  b  3.5)

1

logische Funktionen ((.) entspricht der UND-Verknüpfung)

I2b ( a  b  1)

0

1 0

Matrixdimension ( A  B)  ( zeilen ( A) = zeilen ( B) ) š ( spalten ( A) = spalten ( B) ) A

§1 2 · ¨ ©3 4 ¹

§ 2 4 · ¨ ©3 8 ¹

B

Matrixdimension ( A  B)

Funktion zur Überprüfung zweier Matrixdimensionen

1

Beispiel 18.3: Vordefinierte logische Bedingungsfunktion "wenn": Wenn die logische Bedingung B wahr ist, wird gw(x) zugewiesen,

g(x):= wenn( B, g w (x), gf(x) )

sonst gf(x). Verknüpfungen von B1 und B2: ( B1 * B2 ) bzw. ( B1 š B2 );

UND Verknüpfung

Ausschließende ODER-Verknüpfung ( B1 † B2 ); Nicht ausschließende ODER-Verknüpfung ( B1 › B2 ). maximum ( a  b)  wenn ( a ! b  a  b)

mininimum ( a  b)  wenn ( a  b  a  b)

maximum ( 3  3.25)

mininimum ( 3  3.25)

3.25

3

int ( x)  wenn ( x t 0  floor ( x)  ceil ( x) )

dezimal ( x)  mod ( x  1)

int ( 12.368)

dezimal ( 12.368)

12

0.368

parität ( x)  wenn [ ( mod ( x  2) = 0)  "gerade"  "ungerade" ] parität ( 1)

"ungerade"

parität ( 4)

"gerade"

ZfLänge ( S)  wenn ( zflänge ( S) = 14  "gültig"  "ungültig" ) x  "Betrag ="

y  "120 €"

z  1000000

S  verkett ( verkett ( x  " " )  y)

S

S1  zahlinzf ( z )

S1

ZfLänge ( S)

ZfLänge S1

"gültig"

"Betrag = 120 €" "1000000"



"ungültig"

Seite 365

zflänge ( S)



zflänge S1

14 7

Programmieren

Boolesche Operatoren: NOT (NICHT)-Operator (Logische Verneinung): A 0 1 ™1

0

™0

1

mithilfe der Heaviside Funktion )(x)

not ( a)  ) ( 0.5  a)

NOT A 1 Wahrheitstabelle 0

not ( 0)

1

not ( 1)

0

NOT ( a)  wenn ( a = 1  0  1) siehe Symbolleiste Boolesch A

o NOT ( A)

§0 · ¨ ©1 ¹

§1 · Vektorisierung des Ausdrucks ¨ ©0 ¹

Not ( a)  a = 0 Not ( 1)

0

mithilfe der wenn-Funktion

mithilfe einer Vergleichsfunktion

Not ( 0)

1

AND (UND)-Operator (Konjunktion): A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

1š1

1

A AND B 0 0 0 1

Wahrheitstabelle Abb. 18.2

siehe Symbolleiste-Boolesch UND-Verknüpfung

UND ( a  b)  a š b UND ( 1  0)

0

UND ( 1  1)

and ( a  b)  ) ( a ˜ b  0.5) and ( 1  0)

0

and ( 1  1)

1 mithilfe der Heaviside Funktion )(x) 1

AND ( a  b)  ( a = 1) ˜ ( b = 1)

mithilfe der Multiplikation

§0 · ¨ ¨0 ¸ A ¨1 ¸ ¨ ©1 ¹

§0 · ¨ o  ¨0 ¸ AND ( A  B) ¨0 ¸ ¨ ©1 ¹

§0 · ¨ ¨1 ¸ B ¨0 ¸ ¨ ©1 ¹

And ( a  b)  wenn ( a ˜ b  1  0) And ( 1  0)

0

And ( 1  1)

Vektorisierung des Ausdrucks

mithilfe der wenn-Funktion und der Multiplikation 1

OR (ODER)-Operator (Disjunktion): A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

A OR B 0 1 1 1

Wahrheitstabelle

Abb. 18.3

Seite 366

Programmieren

1›1

siehe Symbolleiste-Boolesch ODER-Verknüpfung

1

ODER ( a  b)  a › b ODER ( 0  1)

1 ODER ( 0  0)

0 mithilfe der Heaviside Funktion )(x)

or ( a  b)  ) ( a  b  0.5) or ( 0  1)

or ( 0  0)

1

0

ª ( a = 1)  ( b = 1) º » 2 ¬ ¼

OR ( a  b)  ceil «

§0 · ¨ ¨0 ¸ A ¨1 ¸ ¨ ©1 ¹

§0 · ¨ ¨1 ¸ B ¨0 ¸ ¨ ©1 ¹

o  OR ( A  B)

Or ( a  b)  wenn ( a  b  1  0) Or ( 0  1)

mithilfe der Addition und der Rundungsfunktion ceil

Or ( 0  0)

1

§0 · ¨ ¨1 ¸ ¨1 ¸ ¨ ©1 ¹

Vektorisierung des Ausdrucks

mithilfe der wenn-Funktion und der Addition

0

NAND (NOT(AND))-Operator (Anti-Konjunktion): A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

™( 1 š 1)

A NAND B 1 1 1 0

Wahrheitstabelle

siehe Symbolleiste-Boolesch NICHT- und UND-Verknüpfung

0

NichtUnd ( a  b)  ™( a š b) NichtUnd ( 0  0)

1

NichtUnd ( 1  1)

nand ( a  b)  not ( and ( a  b) ) nand ( 0  0)

1

nand ( 1  1)

NAND ( a  b)  NOT ( AND ( a  b) )

§0 · ¨ ¨0 ¸ A ¨1 ¸ ¨ ©1 ¹

§0 · ¨ ¨1 ¸ B ¨0 ¸ ¨ ©1 ¹

0

mithilfe der bereits weiter oben definierten Operatoren 0

mithilfe der bereits weiter oben definierten Operatoren

o NAND ( A  B)

§1 · ¨ ¨1 ¸ ¨1 ¸ ¨ ©0 ¹

Seite 367

Vektorisierung des Ausdrucks

Programmieren

NAnd ( a  b)  wenn ( a ˜ b  0  1) NAnd ( 0  0)

1

mithilfe der wenn-Funktion, bzw. des NOT-Operators und der Multiplikation

NAnd ( 1  1)

0

NAnd ( 1  1)

0

NAnd ( a  b)  ™( a ˜ b) NAnd ( 0  0)

1

IMP (Wenn-Dann)-Operator (Implikation) und AQV (Wenn- Dann und umgekehrt)-Operator (Äquivalenz): A 0 0 1 1

B IF A THEN B 0 1 1 0 0 1 1 1

Wahrheitstabelle

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

IF A THEN B und umgekehrt 1 0 0 1

Abb. 18.4

™( 1) › 1

siehe Symbolleiste-Boolesch NICHT- und ODER-Verknüpfung

1

Ÿ ( a  b)  ™b › a Ÿ ( 0  0)

Implikation

Ÿ ( 1  0)

1

1

œ ( a  b)  a = b œ ( 0  0)

Äquivalenz œ ( 1  0)

1

0

IMP ( a  b)  OR ( NOT ( b)  a)

§0 · ¨ ¨0 ¸ A ¨1 ¸ ¨ ©1 ¹

mithilfe der bereits weiter oben definierten Operatoren (NOT B OR A)

§0 · ¨ ¨1 ¸ B ¨0 ¸ ¨ ©1 ¹

o IMP ( A  B)

Imp ( a  b)  wenn [ ( a = 0 š b = 1)  0  1] Imp ( 0  0)

1

§1 · ¨ ¨0 ¸ ¨1 ¸ ¨ ©1 ¹

Imp ( 1  0)

Vektorisierung des Ausdrucks

mithilfe der wenn-Funktion und des UND-Operators

1

XOR (Exklusives ODER)-Operator: A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

A XOR B 0 1 1 0

Wahrheitstabelle

Seite 368

Programmieren

1†1

siehe Symbolleiste-Boolesch ausschließendes ODER

0

ExODER ( a  b)  a † b ExODER ( 0  0)

ExODER ( 0  1)

0

1 mithilfe der Heaviside Funktion )(x)

xor ( a  b)  ) ( a  b  2 ˜ a ˜ b  .5) xor ( 0  0)

xor ( 0  1)

0

1

XOR ( a  b)  AND ( OR ( a  b)  NAND ( a  b) ) XOR ( 0  0)

XOR ( 0  1)

0

mithilfe der bereits weiter oben definierten Operatoren

1

Xor ( a  b)  a z b Xor ( 0  0)

mithilfe des Ungleichheitsoperators Xor ( 0  1)

0

§0 · ¨ ¨0 ¸ A ¨1 ¸ ¨ ©1 ¹

1

§0 · ¨ ¨1 ¸ B ¨0 ¸ ¨ ©1 ¹

o  xor ( A  B)

§0 · ¨ ¨1 ¸ ¨1 ¸ ¨ ©0 ¹

§0 · ¨ o  ¨1 ¸ XOR ( A  B) ¨1 ¸ ¨ ©0 ¹ o  Xor ( A  B)

Vektorisierung des Ausdrucks

§0 · ¨ ¨1 ¸ ¨1 ¸ ¨ ©0 ¹

NOR (Anti-Disjunktion) Operator: A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

A NOR B 1 0 0 0

Wahrheitstabelle

NOR ( a  b)  ™( a › b) NOR ( 0  0)

1

siehe Symbolleiste-Boolesch NOT und ODER

NOR ( 0  1)

0

Nor ( a  b)  ™a š ™b Nor ( 0  0)

1

siehe Symbolleiste-Boolesch NOT und UND Nor ( 0  1)

0

NOr ( a  b)  ( a = 0) ˜ ( b = 0) NOr ( 0  0)

1

NOr ( 0  1)

mithilfe der Multiplikation 0

Beispiel 18.4: Digitale Signale A, B und C sollen auf verschiedene Weise verknüpft werden: T

A  (0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 )

T

B  (1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 )

T

C  (0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 )

Seite 369

Programmieren

o  D1  AND ( A  AND ( B  C) )

D1 = A AND (B AND C)

k  0  länge ( A)  1

Bereichsvariable

8 7 Ak 6 B k 4 C k 2 D1k

6 5 4 3

Abb. 18.5

2 1 0 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

k

o  D2  OR ( A  NAND ( B  OR ( C  NOT ( A) ) ) ) 8 7 Ak 6 B k 4 C k 2 D2k

6 5 4 3

Abb. 18.6

2 1 0 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

k

o  D3  OR ( C  XOR ( A  OR ( C  B) ) ) 8 7 Ak 6 B k 4 C k 2 D3k

6 5 4 3

Abb. 18.7

2 1 0 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

k

Seite 370

9

10

11

12

13

14

Programmieren

18.2 Unterprogramme In Mathcad können Unterprogramme (Funktionen) erstellt werden, die einen Wert zurückgeben. Der Wert kann ein Skalar, ein Vektor, ein Feld, ein verschachteltes Feld oder eine Zeichenfolge sein. Dafür stehen verschiedene Strukturen zur Verfügung: Sequenz, Verzweigung (if, case), Schleifen (bedingte Schleifen (while) und Zählerschleifen (for)) . Zusätzlich verfügt die Programmierumgebung noch über die Anweisungen (Symbolleiste-Programmierung) otherwise, break, continue und return, wie sie aus der C-Programmierung bekannt sind. Eine Fehlerauswertung kann mit der Anweisung on error und der Funktion Fehler vorgenommen werden. Unterprogramme können auch verschachtelt oder rekursiv definiert werden. Ein Unterprogramm kann nicht nur numerisch, sondern auch symbolisch ausgewertet werden. Die Mathcadoberfläche stellt quasi das Hauptprogramm dar, deren Anweisungen von oben nach unten (sequentiell) abgearbeitet werden. Bindet man mit Menü-Einfügen-Verweis eine Datei ein, die Unterprogramme enthält, dann erinnert dies an die Einbindung der Header Dateien (# include ) in der C-Programmierung. Um den Funktionsumfang von Mathcad zu erweitern , können auch Abb. 18.8

eigene Funktionen und Benutzer DLL's in C oder C ++ geschrieben und der Mathcad Bibliothek hinzugefügt werden (siehe dazu Menü-Hilfe Developer's Reference).

Bei der Programmierung sind folgende Punkte zu beachten: 1. Variablen, die innerhalb eines Unterprogramms definiert sind, gelten nur lokal im Unterprogramm. 2. Der Zuweisungsoperator ":=" darf in Unterprogrammen nicht verwendet werden. Dafür ist der Zuweisungsoperator " m " (Siehe Symbolleiste-Programmierung) zuständig. 3. Der zurückgelieferte Wert eines Unterprogramms steht normalerweise als letzte Anweisung im Unterprogramm. 4. Mit der break-Anweisung kann eine while- oder for-Schleife unterbrochen werden. Wird break im Hauptzweig des Unterprogramms verwendet, gibt break das Ergebnis der letzten Anweisung zurück. 5. Mit der continue-Anweisung kann in einer while- oder for-Schleife die aktuelle Iteration unterbrochen werden, sodass mit der nächsten Iteration fortgesetzt werden muss. 6. Mit der return-Anweisung wird ein Unterprogramm beendet. Es kann aber auch ein spezieller Wert zurückgegeben werden anstelle jenes Wertes, der als letzte Anweisung im Unterprogramm steht. 7. Die in der Symbolleiste-Programmierung angeführten Namen dürfen nicht händisch eingegeben werden! 8. Rekursive Funktionsdefinitionen (Funktionen verweisen in ihrer Definition auf sich selbst) sind oft elegant und kurz formuliert, benötigen aber einen hohen Rechenaufwand.

Seite 371

Programmieren

Zum Entwurf eines Programms bewähren sich die bekannten Nassi-Sneiderman Struktogramme:

Abb. 18.9 18.2.1 Sequenz (Abfolge) Beispiel 18.5: Es soll für den freien Fall (ohne Luftwiderstand) die kinetische und potentielle Energie sowie die Gesamtenergie für einen beliebigen Zeitpunkt berechnet werden:





E m1  h0  t 

vm g˜ t Ek m

1 2

2

˜ m1 ˜ v

§

g˜ t

2·

©

2

¹

Ep m m1 ˜ g ˜ ¨ h0  Eg m Ek  Ep

Abb. 18.10

§¨ Ek · ¨E ¸ ¨ p¸ ¨© Eg ¹ Seite 372

Diese Funktion liefert einen Vektor zurück.

Programmieren

Symbolische Auswertung: 1 ª« 2 2 »º ˜ m1 ˜ g ˜ t 2 « » « E  m1  h0  t vereinfachen o 1 2 » « ˜ m1 ˜ g ˜ §© 2 ˜ h0  g ˜ t ·¹ » «2 » «¬ »¼ m1 ˜ g ˜ h0 Numerische Auswertung: 3

kJ  10 ˜ J

Einheitendefinition

m1  10 ˜ kg

Masse

h0  1000 ˜ m

Fallhöhe

t  10 ˜ s

Zeitdauer



E m1  h0  t

§¨ 48.085 · ¨ 49.981 ¸ kJ ¨ 98.066 © ¹



 E  m1  h0  t 1 E  m1  h0  t 2

Energievektor

Ek  E m1  h0  t 0

Ek

48.085 kJ

kinetische Energie

Ep 

Ep

49.981 kJ

potentielle Energie

Eg

98.066 kJ

Gesamtenergie

Eg 

Beispiel 18.6: Für einen kegelförmigen Trichter mit Durchmesser D der Grundfläche A und Seitenlänge l sowie der Höhe h soll mithilfe eines Unterprogramms das Volumen berechnet werden:

Abb. 18.11 V1 ( D  l) 

"Volumen eines Trichters"

§ R m D "Radius der kreisförmigen Grundfläche" · ¨ 2 © ¹

 A m S ˜ R2 §h m © 1 3 D  20

2

2

l R

˜ A˜ h˜ m

l  25

"kreisförmige Grundfläche" "Höhe des Trichters"



Gemischte Eingabe von Zuweisung und String in eine Matrix mit jeweils einer Zeile und zwei Spalten !

· ¹

3

V1 ( D  l)

2399.431 m

Seite 373

3

Programmieren

Beispiel 18.7: Ein String, der durch ein Komma und ein nachfolgendes Leerzeichen getrennt ist, soll ausgelesen werden: Nachname ( Name ) 

Komma m strtpos ( Name  ","  0)

Funktion zum Lesen des Nachnamens

subzf ( Name  0  Komma) Vorname ( Name ) 

Komma m strtpos ( Name  ","  0) Anfang m Komma  2

Funktion zum Lesen des Vornamens

Slänge m zflänge ( Name)  Anfang subzf ( Name  Anfang  Slänge ) In den vorhergehenden Unterprogrammen werden von Mathcad bereitgestellte Stringbearbeitungsfunktionen benützt (siehe Hilfe und Anhang) !

§ "Riegler, Karl" ¨ ¨ "Mayer, Rudolf" Namen  ¨ "Zeilinger, Gert" ¨ © "Anselm, Robert"

o  Vorname ( Namen )

· ¸ ¸ ¹

§ "Karl" · ¨ ¨ "Rudolf" ¸ ¨ "Gert" ¸ ¨ © "Robert" ¹

k  0  letzte ( Namen )



VNk  Vorname Namen k

Namen, in einem Vektor zusammengefasst.

o  Nachname ( Namen )

§ "Riegler" ¨ ¨ "Mayer" ¨ "Zeilinger" ¨ © "Anselm"

· ¸ ¸

Auswertung mit Vektorisierungsoperator

¹

Bereichsvariable



§ "Karl" · ¨ ¨ "Rudolf" ¸ VN ¨ "Gert" ¸ ¨ © "Robert" ¹



NNk  Nachname Namen k

NN

§ "Riegler" ¨ ¨ "Mayer" ¨ "Zeilinger" ¨ © "Anselm"



Komponentenweise Zuweisung

· ¸ ¸

Auswertung in Vektorform

¹

18.2.2 Auswahlstruktur (Verzweigung) Beispiel 18.8: Definition unstetiger Funktionen (reelle Variable sollten nicht auf Null abgefragt werden!): f ( x) 

sin ( x) x

if ( x  0) › ( x ! 0)

1 otherwise

f ( 0)

1

f ( 0) o 1

oder f ( x) 

sin ( x) x

if x z 0

1 otherwise

Abb. 18.12

Seite 374

f ( 2)

0.455

f ( 2) o

1 2

˜ sin ( 2)

Programmieren

ª ¬

g ( x)  wenn «( x  0)  ( x ! 0) 

Alternative:

sin ( x) x

º ¼

 1»

g ( 0)

1

g ( 2)

0.455

Beispiel 18.9: Funktionen mit Fehlermeldungen (Funktion "Fehler" und der Befehl "on error"): 1

h ( x) 

x

if ( x  0) › ( x ! 0)

h ( 1)

1

Fehler ( "Sie dividieren durch Null !" ) otherwise winkelxy ( x  y) 

0 on error "Kein Winkel vorhanden" winkel ( x  y) if ( x z 0) š ( y z 0)

winkelxy ( 0  0)

"Kein Winkel vorhanden"

winkelxy ( 1  1)

0.785

Klickt man mit der rechten Maustaste bei einem auftretenden Fehler auf die Fehlermeldung, so kann aus dem erscheinenden Kontextmenü "Fehler zurückverfolgen" (Abb. 18.13) gewählt werden. Damit können im ganzen Arbeitsblatt Fehler zurückverfolgt werden.

Abb. 18.13

Beispiel 18.10: Man berechne den größten gemeinsamen Teiler ggT zweier positiver ganzer Zahlen mit einem Unterprogramm (siehe auch Mathcadfunktion gcd). ggT ( x  y) 

y if x = 0 ggT ( mod ( y  x)  x) otherwise

a  146 ggT ( a  b)

Rekursiver Aufruf im Unterprogramm !

b  32 2

ggT ( 146  32 )

2

Größter gemeinsamer Teiler berechnet mit dem Euklid-Algorithmus:

§§ x ·· ©© y ¹¹ §§ x ·· b m max ¨ ¨ ©© y ¹¹ § b· = b a if a ˜ floor ¨ © a¹

a m min ¨ ¨

GGT ( x  y) 

Rekursiver Aufruf im Unterprogramm !

GGT ( a  b  a) otherwise GGT ( a  b)

2

GGT ( 146  32 )

2

Seite 375

Programmieren

Beispiel 18.11: Für die nachfolgenden Messdaten soll zur Berechnung der Zwischenwerte eine kubische Splineinterpolation durchgeführt werden. Die Zwischenwerte sollen mithilfe eines Unterprogramms mit Einheiten berechnet werden. T

x  ( 70.0 80.0 100.0 120.0 140.0 160.0 180.0 200.0 )

gegebene Messdaten

T

y  ( 0.29 0.22 0.18 0.14 0.104 0.096 0.09 0.076 ) f ( U  x  y) 

"Kubische Spline Interpolation mit Einheiten " U

U1 m

kg m

3

Fehler ( "Fehler! " ) if U  70 ˜

kg m

3

› U ! 200 ˜

kg m

3

Die Funktionen kspline und interp erlauben keine Eingabe von Einheiten!

k m kspline ( x  y) "Die Ausgabe erfolgt in mg/Liter" 10

interp ( k  x  y  U1) ˜

U  160 ˜

kg m

U  70 ˜

kg m

3

f( U  x  y)

f ( U  x  y)

3

 71 ˜

kg m

3

 200 ˜

6

˜ kg

L

0.096

mg

berechneter Zwischenwert

L

kg m

Bereichsvariable

3

0.2

mg L

0.1

0

Abb. 18.14

60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 U kg 3 m

200˜

kg

3 ´ m µ µ f ( U  x  y) dU µ kg ¶70˜

m

0.018

kg m

2

6

berechnete Fläche zur Demonstration

3

Seite 376

Programmieren

Beispiel 18.12: Eine Fallabfrage könnte in Mathcad folgende Form haben: Fall  2

§¨ d1 · ¨d ¸  ¨ 2¸ ¨© d3 ¹

§¨ 200 · ¨ 8 ¸ ˜ m if Fall = 1 ¨ 22.5 © ¹ §¨ 210 · ¨ 10 ¸ ˜ m if Fall = 2 ¨ 30 © ¹ §¨ 225 · ¨ 15 ¸ ˜ m if Fall = 3 ¨ 35 © ¹

§¨ d1 · ¨d ¸ ¨ 2¸ ¨© d3 ¹

§¨ 210 · ¨ 10 ¸ m ¨ 30 © ¹

d1

210 m

d2

10 m

d3

30 m

18.2.3 Bedingte Schleifen Beispiel 18.13: Algorithmen zur Nullstellenbestimmung: a) Intervallhalbierung NI ( f  H  a  b) 

x1 m a x2 m b while

x2  x1 ! H

xm

x2  x1 2



x2 m x if f ( x) ˜ f x1  0 x1 m x otherwise x Abb. 18.15 Man berechne die reelle Nullstelle des Polynoms y = x 3 + x - 5 auf 3 Dezimalstellen genau. 3

f ( x)  x  x  5

x  3  3  0.01  3

gegebene Funktion und Bereichsvariable

50

f( x)

4

2

NI ( f  0.0001  1  2) 0

2

4

f ( 1.5159)

50

Abb. 18.16

x

Seite 377

0.001

1.5159 Näherungsverfahren Probe

Programmieren

b) Sekantenmethode Im Bereich P1 (a(fa)) und P2 (b,f(b)) wird die Funktion durch eine Gerade ersetzt (Sekante) und der Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse berechnet. y  f ( x) =

  ˜ (x  x1)

f x2  f x1 x2  x1

x2  x1 x = x1  f x1 ˜ f x2  f x1

  

Gleichung der Sekante

Schnittpunkt mit der x-Achse ( y = 0) liefert diese Näherung

NS ( f  a  b) 

x1 m a x2 m b im0 while

x2  x1 ! 10 6

x2  x1 x m x1  f x1 ˜ f x2  f x1 x2 m x

   if f ( x) ˜ f  x1  0

x1 m x otherwise imi1 break if i t 10 x Abb. 18.17 Das Beispiel von oben mit der Sekantenmethode: 3

f ( x)  x  x  5

gegebene Funktion

NS ( f  1  2)

Näherungsverfahren

f ( 1.516 )

1.516

Probe

0

c) Tangentenmethode (Newton-Verfahren) Wir gehen von einer Näherung a aus und legen im Punkte P(a|f(a)) an die Funktion f(x) eine Tangente.

  f  x1 x = x1  fx  x1



y  f ( x) = fx x1 ˜ x  x1

Gleichung der Tangente mit f '(x) = fx (x): Schnittpunkt mit der x-Achse ( y = 0) liefert diese Näherung

Die Näherung sollte eine Verbesserung des Startwertes x 1 sein, d. h. wenn die Bedingung f(x) * f '(x1 ) > 0 erfüllt ist.

Seite 378

Programmieren





NN x  f  f x 

im0 f ( x) ! 10

while

6

imi1 break if i ! 10 xmx NN1 ( x  f  H ) 

f ( x)

Hier wird nicht berücksichtigt, dass die Ableitung bei der Berechnung durchaus auch Null werden kann!

fx ( x)

im0 f ( x) ! H

while

imi1 break if i ! 10 xmx

f ( x) d

Abb. 18.18

Ein etwas abgeändertes Programm.

f ( x)

dx 3

2

f ( x)  x  x  5

fx ( x)  3 ˜ x  1

z ( x)  f ( x) ˜ f x ( x)

z ( 1)

x1  2

geeigneter Startwert





NN x1  f  f x

oder

1.51598

12

gegeben Funktion und Ableitungsfunktion

z ( 2)

NN1 § x1  f  10 ©

Startwert prüfen

65

 6·

1.51598

¹

Lösungen

Vergleichswert mit wurzel-Funktion: TOL  10

6

Konvergenztoleranz festlegen



wurzel f x1  x1

1.51598

angezeigte Genauigkeit mit 6 Stellen

Rekursive Berechnung: ORIGIN  1 i  1  6

Bereichsvariable

xi  2

Startwert

xi1  xi 

 fx  xi f xi

Rekursionsformel

1

xi

1

1

2

1

5

2

1.615385

2

0.830678

3

1.521293

3

0.042071

4

1.515996

4

1.278875·10-4

5

1.51598

5

1.193435·10-9

6

1.51598

6

0



f xi

Seite 379

x6



f x6

1.51598 0

gesuchte Lösung Probe

Programmieren

18.2.4 Zählerschleifen Im Bereich einer for-Schleife rechts des Symbols Elemente aus (  kann eine Liste mit Skalaren, ein Vektor oder Vektoren stehen. Beispiele für Zählerschleifen: for i  0  10

for k  17  3  5  9

for x  1  1.2  3

§¨ 2.3 · § 16 · for w  ¨ 1.5 ¸  5  8  1  ¨  ( 10 12 20 ) ¨© 10 2 ¹ ¨ 0.1 © ¹

Beispiel 18.14: Funktion zur Umwandlung einer Bereichsvariablen (Laufvariablen) in einen Vektor: Lv_in_Vektor ( a  b  sw) 

k m ORIGIN for i  a  a  sw  b vk m i kmk1 v

Abb. 18.19 n 6

Anzahl der Schritte -1

a 0

Intervallanfang

b 5

Intervallende

'x 

ba

Schrittweite

n

x  a  a  'x  b

Bereichsvariable

xb  Lv_in_Vektor ( a  b  'x)

Umrechnung der Daten der Bereichsvariablen in einem Vektor

x 1

1

1

0

1

0

2

0.833

2

0.833

3

1.667

3

1.667

xb

4

2.5

4

2.5

5

3.333

5

3.333

6

4.167

6

4.167

7

5

7

5

Bereichsvariable in Tabellenform und in Vektorform

Seite 380

Programmieren

Beispiel 18.15: Gesucht ist die Fläche zwischen der Funktion f(x) und der x-Achse in den Grenzen [a , b]. Zu diesem Zwecke wird dieser Bereich in n äquidistante Streifen geteilt und die Funktion f(x) im Teilintervall durch Interpolationspolynome approximiert. Dafür sollen einige Algorithmen zur numerischen Integration behandelt werden. Um eine höhere Genauigkeit bei der numerischen Integration zu erreichen, gibt es prinzipiell zwei Möglichkeiten: 1. Verkleinerung der Schrittweite ( höherer Rechenaufwand, Rundungsfehler ); 2. Verbesserung des Verfahrens. x

f ( x)  e

Funktion

n  10

Anzahl der Schritte -1

a 0

Intervallanfang

b 3

Intervallende

b a

h

Schrittweite

n

a) Trapezregel Zerlegung der Fläche im Integrationsintervall [a, b] in n gleich breite Trapeze mit der Höhe h = (b - a)/n.

IT =

h 2

n1

˜

¦

k

[ f( a  k ˜ h)  f [ a  ( k  1) ˜ h ] ]

Trapezformel

0

IT ( f  a  b  n) 

ba

hm

n

sm0 for k  0  n  1 xk m a  k ˜ h xk1 m a  ( k  1) ˜ h

 

s m s  f xk  f xk1 I m h˜ I Abb. 18.20 IT ( f  a  b  n) IT 

h 2

numerische Auswertung mit dem Unterprogramm

n 1

˜

¦

k

IT

19.228

19.228

[ f ( a  k ˜ h)  f [ a  ( k  1) ˜ h ] ]

Trapezformel

0

Auswertung mit der Trapezformel

Seite 381

s 2

Programmieren

b) Kepler- und Simpsonregel: Zerlegung der Fläche im Integrationsintervall [a , b] in n gleich breite Streifen. Innerhalb eines Streifens ersetzen wir den Integranden durch eine Parabel p(x) = a0 +a1 x+a2 x2 mit einer weiteren Stützstelle in der Mitte des Streifens. IK =

ba 6

§ ©

§ a  b ·  f ( b) · © 2 ¹ ¹

˜ ¨ f ( a)  4 ˜ f ¨

Keplerformel

Simpsonregel (Anwendung der Keplerregel auf alle Streifen des Intervalls): IS =

h 3

˜ § f ( a)  2 ˜

¨ ©

¦

f ( a  k ˜ h)  4 ˜

k=2  4...n  2

¦

f ( a  m ˜ h)  f ( a  n ˜ h) ·

Simpsonformel

¹

m=1  3...n 1

IS ( f  a  b  n) 

b a

hm

n

s m f ( a)  f ( b) s1 m 0 s2 m 0 for k  2  2  2  n  2 xk m a  k ˜ h



s 1 m s 1  2 ˜ f xk

for m  1  1  2  n  1 xm m a  m ˜ h



s 2 m s 2  4 ˜ f xm Im

h 3



I Abb. 18.21 IS ( f  a  b  n)

19.086

k  2  4  n  2 IS 

IS ´ µ ¶

h 3

˜ § f ( a)  2 ˜

¨ ©

numerische Auswertung mit dem Unterprogramm m  1  3  n  1

Bereichsvariablen

¦ f (a  k ˜ h)  4 ˜ ¦ f (a  m ˜ h)  f (a  n ˜ h)· k

¹

m

19.086

Auswertung mit der Simpsonformel

x

numerische Integralauswertung

3

e dx

19.086

0

Seite 382



˜ s  s1  s2

Simpsonformel

Programmieren c) Numerische Integration nach Gauß (Gauß-Quadratur): Während beim Keplerverfahren als Stützstellen die Intervallränder und die Intervallmitte verwendet werden, werden bei der Gauß-Quadratur die Intervallmitte x m und zwei symmetrische Stützstellen x m+ d, x m- d verwendet. IG ( f  a  b  n) 

ba

hm

n

sm0 h

dm

2

3

˜

5

for k  0  n  1 1· § ˜h xm m a  ¨ k  2¹ ©











s m s  5 ˜ f xm  d  8 ˜ f xm  5 ˜ f xm  d h

s˜ IG ( f  a  b  n)

18 numerische Auswertung mit dem Unterprogramm

19.086

Beispiel 18.16: Fourierreihenentwicklung: Eine periodische Funktion f(t) mit Periodendauer T 0 soll in eine Fourierreihe entwickelt werden. Nachdem nur endlich viele Koeffizienten ausgerechnet werden können, wird die Fourierreihe bei der nmax-ten Harmonischen abgebrochen. Das so entstehende Fourierpolynom und d ie komplexen Fourierkoeffizienten c n sollen mithilfe eines Unterprogramms über eine Periodendauer T0 berechnet werden (siehe Kapitel 13.2). ORIGIN  0



ORIGIN festlegen



c f  nmax  T0 

for n  0  nmax T ´ 0 2˜S µ  j ˜n˜ ˜t T0 1 µ cn m ˜µ f ( t) ˜ e dt T0 ¶0

Dieses Unterprogramm liefert den komplexen Koeffizientenvektor.

c Fourierpolynom einer Rechteckschwingung: T0  2 ˜ S

Periodendauer T0

§

T0 ·

©

2

f ( t)  ) ( t)  2 ˜ ) ¨ t  nmax  15



¹

gegebene Zeitfunktion höchste Harmonische



C  c f  nmax  T0

komplexe Fourierkoeffizienten

n  ORIGIN  nmax

Bereichsvariable

Seite 383

Programmieren

Amplitudenspektrum

1

Cn

0.5

Abb. 18.21 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

n

Vergleich des Fourierpolynoms f p(t) und der Zeitfunktion f(t):



2˜S · § j ˜n˜ ˜t ¨ ¨ Cn ˜ e T0 © ¹

nmax



fp t  C  T0  nmax 

sm

¦

n

Fourierpolynom als Unterprogramm definiert.

1

 C0  s  s t  0

T0 400

 T0

Bereichsvariable Zeitfunktion und Fourierpolynom

2

T0 f( t)



fp t  C  T0  nmax



0

1

2

3

4

5

6

Abb. 18.22

2 t

Beispiel 18.17: Das numerische Lösungsverfahren nach Runge-Kutta mit der Funktion rkfest wurde bereits besprochen (siehe Kapitel 15). Es soll nun das Runge-Kutta Verfahren 4. Ordnung als Funktion selbst definiert und auf die nachfolgende Differentialgleichung angewendet werden. xy' - 4y + 2x 2 + 4 = 0 ... Gegebene implizite Differentialgleichung 1.Ordnung mit der Anfangsbedingung x 0 = 1 und y0 = 1. d

y ( x) =

dx f ( x  y)  x0  1

4 x 4 x

˜ y ( x)  2 ˜ x  ˜ y 2˜ x y0  1

4 x

4 x

explizit aufgelöste Differentialgleichung

rechts stehender Term als Funktion definiert

Anfangsbedingung

Seite 384

Programmieren





rungekutta f  x0  y0  n  h 

x0 m x0 y0 m y0 for i  0  n  1





§

h

k 1 m f xi  yi k 2 m f ¨ xi 

 yi  h ˜

k1 ·

2 2 ¹ © k2 · § h k 3 m f ¨ xi   yi  h ˜ 2 2 ¹ ©





k 4 m f xi  h  yi  h ˜ k 3 xi1 m xi  h yi1 m yi 

h 6





˜ k1  2 ˜ k2  2 ˜ k3  k4

z m erweitern ( x  y) n  10

Anzahl der Schritte

h  0.1

Schrittweite





Z  rungekutta f  x0  y0  n  h

Liefert eine Matrix zurück, wobei in der ersten Spalte die x-Wete und in der zweiten Spalte die y-Werte stehen.

¢0² x Z

Extrahierung der Spalten

¢1² y Z 2

Exakte Lösung dieser Differentialgleichung, die durch den Punkt P( 1 | 1 ) geht.

4

y1 ( x)  x  1  x

i  0  länge ( x)  1 Bereichsvariable

Vergleich der Funktionswerte:

x1  1  1  0.01  2 xi

yi



y1 x1

5 3 1 1 3 5 7 9 11 13 15

Exakte Funktion und Näherung

1

1.2

1.4

1.6

1.8

xi  x1

Abb. 18.23

Seite 385



y1 xi

yi 1

1

1

1.1

0.746

0.746

1.2

0.367

0.366

1.3

-0.166

-0.166

1.4

-0.881

-0.882

1.5

-1.812

-1.813

1.6

-2.993

-2.994

1.7

-4.461

-4.462

1.8

-6.256

-6.258

1.9

-8.42

-8.422

2

-10.998

-11

Programmieren

Beispiel 18.18: In einer Matrix sollen die Positionen der größten und kleinsten Elemente gefunden werden. Außerdem sollen die Positionen jener Matrixelemente gefunden werden, die in einem vorgegebenen Bereich liegen. ORIGIN  1

§¨ 1 5 9 · M ¨ 3 9 4 ¸ ¨ 5 2 9 © ¹

gegebene Matrix

fmax ( x)  x = max ( M)

logische Hilfsfunktion zum Auffinden der Maxima

fmin ( x)  x = min ( M)

logische Hilfsfunktion zum Auffinden der Minima

fb ( x)  x ! 2 š x  7

logische Hilfsfunktion zum Auffinden der Elemente in einem Bereich

Position ( M  f) 

im1 for m  1  zeilen ( M) for n  1  spalten ( M)





if f Mm  n = 1 ¢i² §m · L m¨ ©n¹

Unterprogramm zum Auffinden der Position der Matrixelemente.

imi1 T

L

M

§¨ 1 5 9 · ¨3 9 4 ¸ ¨ 5 2 9 © ¹

Ausgabe der gegebene Matrix









P  Position M  f max

P  Position M  f min





P  Position M  f b

P

§1 3 · ¨ ©2 2 ¹

Maxima bei den Elementen 1,3 und 2,2

P

(3 3 )

Minimum beim Element 3,3

P

§¨ 1 2 · ¨2 1 ¸ ¨2 3 © ¹

Positionen der Elemente die größer 2 und kleiner 7 sind

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Programmieren

Beispiel 18.19: Mithilfe des Bubble-Sort-Algorithmus (Dreieckstausch) sollen in einem Vektor die Elemente aufsteigend und absteigend sortiert werden. ORIGIN  0 n  20

Anzahl der Daten-1

i  0  n

Bereichsvariable

xi  floor ( rnd ( 100) )

Vektor mit Zufallszahlen von 0 bis 100 belegen

T

0

x

0

0

1

2

3

4

5

6

7

19

58

35

82

17

71

30

sortauf ( x  n) 

bmx

8

9 9

sortab ( x  n) 

10

14

11

98

12

11

0

13 53

14 60

15 16

bmx

for i  0  n  1

for i  0  n  1

for k  ( i  1)  n

for k  ( i  1)  n

if bi ! bk

if bi  bk

c m bk

c m bk

bk m bi

bk m bi

bi m c

bi m c

return b

Sortierunterprogramme

return b

x  sortauf ( x  n) T

0

x

0

1 0

2 0

3 5

9

4

5

6

7

8

9

11

14

16

17

19

30

10 35

11 45

12 51

13 53

14 58

15 60

x  sortab ( x  n) T

x

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

98

87

82

78

71

60

58

53

51

45

10 35

11 30

12 19

13 17

14 16

15 14

Beispiel 18.20: Die Berechnung der Gitterpunkte im Bereich - x1 dx dx1 und - y1 dy dy1 für ein 3D-Diagramm einer Funktion f(x,y) soll durch ein Unterprogramm durchgeführt werden. ORIGIN  0 2

ORIGIN festlegen

§ 1 ˜ y·  y2 ˜ cos § 1 ˜ x· ¨ ©2 ¹ ©3 ¹

f ( x  y)  x ˜ sin ¨ x1  2 ˜ S n  30

y1  2 ˜ S

gegebene Funktion

x- und y-Bereich ( - x1 dx dx1 und - y1 dy dy1 ) n+1 ist die Anzahl der darzustellenden x- und y- Werte

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Programmieren





G f  n  x1  y1 

km0 for i  0  n for j  0  n x m  x1  y m  y1  ¢k² C m

2 ˜ x1 ˜ i n 2 ˜ y1 ˜ j n

Unterprogramm zur Berechnung der Gitterpunkte.

§¨ x · ¨ y ¸ ¨ f ( x  y) © ¹

kmk1 T

C





M  G f  n  x1  y1 ¢0² X M

¢1² Y M

Matrix der Gitterpunkte ¢2² Z M

extrahierte Spalten der Matrix M

Abb. 18.23

( X  Y  Z) Bemerkung: Eine zu lange Berechnung eines Ausdrucks am Arbeitsblatt kann mit der < ESC>-Taste unterbrochen werden. Es erscheint dann die folgende Dialogbox: Um die Berechnung nach einer Unterbrechung fortzusetzen, drückt man die -Taste.

Abb. 18.24

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Schnittstellenbeschreibung

19. Schnittstellenbeschreibung 19.1 Allgemeines a) OLE OLE (OLE2) Automation Interface steht für Object Linking and Embedding. Dahinter verbergen sich zwei recht unterschiedliche Verfahren, um auf Daten fremder Programme zuzugreifen. Damit werden Drag & Drop sowie die Inplace-Aktivierung (Menüs und Symbolleisten werden angezeigt) sowohl auf dem Client als auch auf dem Server möglich. b) Server und Client Client (Containerprogramm): Damit ist jenes Programm gemeint, das die aus einem anderen Programm stammenden Daten anzeigt. OLE-Server: Damit ist jenes Programm gemeint, das die Daten zur Verfügung stellt und bearbeitet. Manche Programme arbeiten als Server und als Client: Z.B. kann ein Excel-Diagramm in WinWord angezeigt werden (hier ist Excel der Server und WinWord der Client). Außerdem kann in eine Excel-Tabelle eine Corel-Draw-Graphik eingebettet werden (hier ist Excel der Client und Corel-Draw der Server. Auch in ein Mathcad-Arbeitsblatt kann eine Excel-Tabelle übernommen werden (hier ist Excel der Server und Mathcad der Client). Berechnungen in Mathcad können in einer Excel Tabelle angezeigt werden (hier ist Mathcad der Server und Excel der Client). c) Object Linking Object Linking ermöglicht es, Teile einer großen Datenmenge (z.B. Tabellenfelder, Textabsätze usw.) in einem zweiten Programm anzuzeigen. Dazu werden im OLE-Server die betreffenden Daten markiert und in die Zwischenablage kopiert. Im Client werden diese Daten über das Kommando BEARBEITENInhalte Einfügen wieder eingefügt (nicht mit dem normalen EINFÜGEN, das nur Daten statisch über die Zwischenablage einfügt !). Dies bewirkt, dass die Daten automatisch aktualisiert werden. Wenn Daten im Serverprogramm geändert werden, wird diese Änderung auch sofort im Client durchgeführt. d) Object Embedding Diese Form von OLE wird noch häufiger angewandt als Object Linking. Ein Objekt (z.B. mathematische Formel, ein Diagramm, eine Graphik usw.) wird als Ganzes in den Client eingelagert. Per Doppelklick auf das Objekt (oder über das Kontextmenü) können die Daten bearbeitet werden. Die wichtigsten zwei Unterschiede gegenüber Objekt Linking: x Die OLE-Daten sind eine abgeschlossene Einheit (also nicht Teil einer größeren Datenmenge) x Die Daten müssen vollständig vom Client verwaltet werden. Das betrifft insbesondere das Speichern und und Laden der Daten. Das OLE-Programm wird nur aufgerufen, wenn vorhandene Objekte geändert werden sollen (Bei Objekt Linking wird nur ein Verweis auf die Daten gespeichert. Die eigentlichen Daten werden vom Serverprogramm verwaltet und gespeichert. Objekt Embedding wird in den Office-Programmen und auch in Mathcad über das Kommando EINFÜGEN - Objekt aufgerufen. Aus einer Liste mit allen registrierten OLE-Programmen kann dann eines eingefügt werden (z.B. in Mathcad kann ein Objekt zum Zeitpunkt des Einfügens angelegt oder eine Datei, die bereits existiert, eingefügt werden. Ausserdem kann auch mit Kopieren & Einfügen oder mit Drag & Drop gearbeitet werden. Welche Methode man verwendet ist davon abhängig, ob das Objekt dynamisch angelegt werden sollte, ob das Objekt bereits existiert, oder ob das Objekt als ganze Datei eingefügt werden sollte. e) ActiveX Automation ActiveX Automation bezeichnet den Mechanismus zur Steuerung externer Objekte bzw. ganzer Programme, sofern diese ActiveX Automation unterstützen. D.h. der Steuermechanismus, mit dem ein Programm die von einer anderen Komponente zur Verfügung gestellten Objekte-Methoden-Eigenschaften nutzt.

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Schnittstellenbeschreibung

Es ist prinzipiell möglich, Objekte, die via OLE in ein Programm eingefügt wurden, anschließend via ActiveX Automation zu bearbeiten. Diese Variante macht OLE für die Visual-Basic Programmierung interessant. Seit Visual-Basic 4.0 können aber auch ActiveX-Server selbst programmiert werden. Die Funktionen dieser Programme können sowohl von anderen VB-Programmen als auch von VBA-Programmen wie Excel oder Access genutzt werden. Es kann auch ein selbstdefiniertes skriptfähiges Objekt aus jedem Objekt erstellt werden, das in ein Mathcad-Arbeitsblatt einfügt werden kann. So hat man z.B. die Möglichkeit, Werte aus Mathcad an Lotus 1-2-3 zu senden, sie dort zu bearbeiten, und die Ergebnisse dann zurück in das Mathcad-Arbeitsblatt zu übertragen. f) Visual Basic (VB) und Visual Basic für Applikationen (VBA) Bei Visual Basic (z.B. Version 6.0 oder höher) handelt es sich um eine compilerorientierte eigenständige objektorientierte Programmiersprache, mit der Windows-Programme erstellt werden können. Sie wird u.a. auch zur Komponenten-Programmierung (ActiveX) oder zur Datenbankprogrammierung eingesetzt. VB und VBA haben nahezu dieselbe Syntax und dieselben Basiskommandos zur Bildung von Schleifen, zum Umgang mit Dateien etc. Beide Sprachen kennen Objekte, Methoden, Eigenschaften, Ereignisse. VBA ist keine eigenständige Programmiersprache, sondern eine Makrosprache zur Steuerung des jeweiligen Anwenderprogramms (Word, Excel, Access usw.). Ein VBA-Programm ist damit fest mit der Anwendung verbunden. VBA unterstützt nicht alle Features von VB. Beispielsweise ist es in VBA nicht möglich, ActiveXSteuerelemente oder ActiveX-Server zu programmieren (Es können aber solche unter VB entwickelten Komponenten in VBA genutzt werden). In VBA existiert auch kein echter Compiler. Solche Programme sind daher langsamer. Das Problem in VBA ist das Verständnis der Objekthirachie und deren Methoden und Eigenschaften (Excel alleine kennt z.B. an die 150 Objekte, die wiederum durch ca. 1000 Eigenschaften und Methoden zu steuern sind). Die Formulare in VBA basieren auf der Microsoft-Forms-Bibliothek und einem eigenen Formular Editor. Es gibt zwar viele Ähnlichkeiten zu VB-Formularen, aber auch eine Menge Inkompatibilitäten. Interessant jedoch wird VBA für VB-Programmierer durch ActiveX Automation. Dieser Steuerungsmechanismus ermöglicht es, fremde Programme zu steuern. Mit ActiveX Automation ist es beispielsweise möglich, dass ein VB-Programm auf die Objekte, Methoden und Eigenschaften von Excel oder Access zugreift. g) Skriptsprachen VBSCRIPT: Microsoft VBScript ist ein Bestandteil der Sprache Visual Basic für Applikationen (VBA), die in Microsoft Excel, Project, Access und dem Entwicklungssystem Visual Basic (4.0, 5.0, 6.0 usw.) zum Einsatz kommt. VBScript ist als kleine und leichte interpretierte Sprache konzipiert; sie setzt also keine reinen Typen ein (nur Varianten). Da VBScript ausserdem als sicherer Bestandteil der Sprache konzipiert ist, beinhaltet es keine Datei Ein-/Ausgabe und keinen direkten Zugriff auf das zugrunde liegende Betriebssystem. VBScript wird zur Client-seitigen Programmierung in Webseiten (nicht für Netscape Browser geeignet - nur JScript) und zur Serverseitigen Programmierung (Active Server Pages -Internet Information Server), zur Batch Programmierung (Windows Scripting Host (WSH ist integraler Bestandteil von Windows ; BetriebssystemFunktionszugriffe; Zugriff auf das Dateisystem; Zugriff auf die Registrierdatenbank etc. )) sowie zur Steuerung diverser Fremdprodukte (z.B. Mathcad) und Anpassung diverser Anwendungsprogramme, die VBScript als einfache Makro-Sprache integriert haben, eingesetzt. Weiters können mit Script-Control eigene VB-Programme so erweitert werden, dass auch sie extern durch VBScript gesteuert werden können. JSCRIPT: Microsoft JScript ist ein schneller, portabler und leichter Interpreter für den Einsatz in Anwendungen, die mit ActiveX-Controls, OLE-Automatisierungsservern und Java-Applets arbeiten. JScript ist direkt mit VBScript (nicht jedoch mit Java) vergleichbar. Wie VBScript ist JScript ein reiner Interpreter (Umsetzungsprogramm), der Quellcode verarbeitet und nicht zur Erstellung von Einzel-Applets verwendet werden kann. Die oben genannten Scripting-Sprachen sind im Microsoft Internet Explorer enthalten. Neben den genannten Skript-Sprachen gibt es auch noch zahlreiche andere Sprachen. Mehr Information über VBScript und JScript: http://msdn.microsoft.com/scripting.

Seite 390

Schnittstellenbeschreibung

19.2 OLE Objekte in Mathcad Für die Objektbehandlung stehen in Mathcad folgende Möglichkeiten zur Verfügung: x x x

x

x

Eine Bild-Datei kann über das Menü-Einfügen-Bild oder über das Symbol-Bild in der SymbolleisteMatrix eingefügt werden. Ein benutzerdefiniertes Objekt kann in Mathcad mit Menü-Einfügen-Objekt (eine OLE2- kompatible Applikation), mit Kopieren & Einfügen sowie mit Drag & Drop erstellt werden. Über das Menü-Einfügen-Komponente bzw. dem Symbol "Komponente einfügen" in der Standard-Symbolleiste kann ein Komponentenassistent aufgerufen werden. Komponenten in Mathcad sind spezielle benutzerdefinierte OLE-Objekte, die es ermöglichen, innerhalb eines Mathcad Arbeitsblattes auf die Funktionen anderer Applikationen (z.B. Excel, Matlab) zugreifen zu können. In Mathcad lässt sich nicht nur ein benutzerdefiniertes Objekt , wie vorher beschrieben, anlegen. Die OLE-Automatisierungsschnittstelle von Mathcad stellt einen Mechanismus für den komplementären Prozess zur Verfügung, nämlich Mathcad als Automatisierungsserver in anderen WindowsApplikationen einzusetzen. Wenn Datenquellen und Anwendungen sowohl untereinander als auch mit Mathcad verbunden werden sollten, kann z.B. die Anwendung "VisSim" verwendet werden.

19.2.1 Bildverarbeitung Es können zwar keine Bilder in Mathcad gezeichnet, aber so gut wie alle Grafiken, die in anderen Anwendungen erstellt wurden, in ein Mathcad-Arbeitsblatt importiert werden. Grafiken können entweder als Bitmaps oder als OLE-Objekte (siehe nächstes Kapitel) importiert werden. Mit Hilfe der Bildverarbeitungsfunktionen können die Grafik-Bilder als Matrix importiert (Menü-Einfügen-Bild oder über das Symbol-Bild in der Symbolleiste-Matrix bzw. <Strg> + ), bearbeitet und dann wieder als Grafik-Bilddatei exportiert werden (siehe Funktionen Anhang). Das Einfügen einer Bilddatei kann auf dreierlei Art und Weise erfolgen: x Den Namen einer Matrix in den Platzhalter eingeben. Dadurch wird die Matrix mit bis zu 256 Graustufen angezeigt. x Den Namen (oder auch mit Pfad) einer Windows BMP-, JPEG-, GIF-, TGA-, PCX-Datei (u.a.m) als String in den Platzhalter eingeben. x Die Namen von drei Matrizen gleicher Größe (durch Kommas voneinander getrennt) in den Platzhalter eingeben, in denen die einem Farbbild entsprechenden Rot-, Grün- und Blauwerte enthalten sind. Dadurch wird ein Farbbild angezeigt. Die Bilder können über das Kontextmenü (Klick mit rechter Maustaste auf das OLE-Objekt) manipuliert werden. Mit der Bild-Symbolleiste (Klick mit der linken Maustaste auf das OLE-Objekt) können ebenfalls zahlreiche Bildmanipulationen vorgenommen werden (Abb. 19.2). Platzhalter M  BMPLESEN ( "lena.bmp" )

Abb. 19.1

Abb. 19.2

Seite 391

Schnittstellenbeschreibung

Beispiel 19.1 ORIGIN

ORIGIN anzeigen

0

Bild  "C:\mathcad\Einführung\Beispiele\bilder\stifte.jpg " RGB_Matrix  RGBLESEN ( Bild) ze  zeilen ( RGB_Matrix ) sp 

spalten ( RGB_Matrix ) 3

ze sp

Rot-, Grün- und Blau-Anteile einer Bitmap-Datei lesen.

Mit RGBLESEN werden Rot-, Grün- und Blau-Anteil nebeneinander in eine Matrix geschrieben.

223

Mit den Funktionen "zeilen" und "spalten" kann man die Zeilen- und Spaltenanzahl bestimmen.

149

Nullmatrix N mit gleicher Dimension wie R-, G- und B-Anteile erzeugen: i  0  ze  1

j  0  sp  1

Ni  j  0

Bereichsvariablen Nullmatrix

Anteile mit der Funktion submatrix extrahieren: Rot  submatrix ( RGB_Matrix  0  ze  1  0  sp  1)

Spalte 0 bis sp - 1 für Rot-Anteil

Grün  submatrix ( RGB_Matrix  0  ze  1  sp  2 ˜ sp  1)

Spalte sp bis 2 sp - 1 für Grün-Anteil

Blau  submatrix ( RGB_Matrix  0  ze  1  2 ˜ sp  3 ˜ sp  1)

Spalte 2 sp bis 3 sp - 1 für Blau-Anteil

Abb. 19.3

Rot  Grün  Blau

Rot  N  N

N  Grün  N

N  N  Blau

19.2.2 Benutzerdefiniertes Objekt Mit OLE2 in Microsoft Windows können Objekte, die in anderen Anwendungen erzeugt werden, eingefügt und bearbeitet werden. Solche Objekte können nicht nur statisch in Windows-Applikationen eingefügt werden, sondern können auch nach dem Einfügen in der jeweiligen Applikation bearbeitet werden. Ein Objekt kann in ein Mathcad-Arbeitsblatt eingebettet oder damit verknüpft werden. Ein Objekt, das eingebettet wird, kann beim Einfügen angelegt werden. Wird ein eingebettetes Objekt bearbeitet, so betreffen diese Änderungen das Objekt nur im Rahmen des Arbeitsblattes. Ein verknüpftes Objekt muss in einer extern gespeicherten Datei vorliegen. Wird ein verknüpftes Objekt verändert, werden alle diese Änderungen auch in der Originaldatei berücksichtigt. Ein Objekt wird in Mathcad über das Menü-Einfügen-Objekt (eine OLE2-kompatible Applikation) und mit Kopieren & Einfügen (über die Zwischenablage kopieren und einfügen; mit Inhalte einfügen wird das Objekt in einem der in der Zwischenablage verfügbaren Formate eingefügt) eingefügt, oder man wählt das Objekt in der Quell-Applikation und zieht es mithilfe der Maus (Drag & Drop) auf das MathcadArbeitsblatt. Welche Methode man anwendet, ist davon abhängig, ob das Objekt dynamisch angelegt werden sollte, ob das Objekt bereits existiert, oder ob das Objekt als ganze Datei eingefügt werden sollte. Die in ein Mathcad-Arbeitsblatt eingefügten Objekte können durch Doppelklick und mithilfe der Inplace-Aktivierung bearbeitet werden, falls die Inplace Aktivierung unterstützt wird. Wenn die Quell-Applikation die Inplace-Aktivierung nicht unterstützt, oder das Objekt verknüpft ist, entsteht ein anderes Verhalten. Bei einem eingebetteten Objekt wird eine Kopie des Objekts in der anderen Applikation eingefügt. Ist das Objekt verknüpft, öffnet die Quell-Applikation die Datei mit dem Objekt.

Seite 392

Schnittstellenbeschreibung

Mit der Einstellung "Verknüpfen" wird ein verknüpftes Objekt eingefügt. Wird "Als Symbol" markiert, erscheint ein Icon anstatt des Objekts. Wird "Verknüpfen" und "Als Symbol" nicht markiert, so wird das Objekt in Originalgröße eingebettet. Abb. 19.4

Abb. 19.5 Die Objekttypen, die hier bereitgestellt werden, sind davon abhängig, welche Applikationen auf dem System installiert sind. Objekt "Videoclip" als Symbol einfügen:

Rosenblätter

Start mit Doppelklick auf das Symbol. Der Objektname kann über Bearbeiten (Abb. 19.6) und Menü-BearbeitenOptionen geändert werden.

Mit einem Klick der rechten Maustaste auf das Symbol erscheint das nebenstehende Kontextmenü (oder über Menü-BearbeitenVideoclip-Objekt). Abb. 19.6

Seite 393

Schnittstellenbeschreibung

Mit "Aus Datei erstellen" (Als Symbol nicht aktivieren) Objekt "Videoclip" einfügen:

Start mit Doppelklick. Das Video wird Inplace gestartet.

Abb. 19.7

Mit Menü-Bearbeiten-Verknüpfungen kann die Verknüpfung aktualisiert, entfernt oder die Quell-Datei, mit der das Objekt verknüpft ist, geändert werden.

Die Verknüpfung kann aktualisiert, die Quelle geöffnet, die Quelle geändert und die Verknüpfung entfernt werden.

Abb. 19.8

Seite 394

Schnittstellenbeschreibung

19.2.3 Spezielle Objekte (Komponenten) in Mathcad Komponenten in Mathcad sind spezielle OLE-Objekte, die es ermöglichen, innerhalb eines Mathcad-Arbeitsblattes auf die Funktionen anderer Applikationen (z.B. Excel, Matlab) zuzugreifen. Anders als die oben angeführten Objekte, die in ein Arbeitsblatt eingefügt werden können, können statische Datendateien in unterschiedlichen Formaten importiert und exportiert werden. Außerdem kann eine Komponente Daten von Mathcad entgegennehmen, Daten an Mathcad weitergeben, oder beides, indem es das Objekt dynamisch mit den Berechnungen in einem Arbeitsblatt verknüpft. Um eine Applikationskomponente nutzen zu können, muss die Applikation für diese Komponente auf dem eigenen System installiert sein, aber nicht notwendigerweise ausgeführt werden. Komponenten enthalten Eingaben von einer oder mehreren Mathcad-Variablen , machen das, was spezifiziert worden ist mit diesen Daten, und geben in der Regel Ausgaben an andere MathcadVariablen weiter (einige Komponenten können nur Eingaben entgegennehmen oder Ausgaben senden). Eine Eingabevariable ist ein Skalar, ein Vektor oder eine Matrix, die auf dem Arbeitsblatt definiert worden ist. Ausgaben aus einer Komponente, ebenfalls ein Skalar, ein Vektor oder Matrix, werden einer Mathcad-Variablen zugewiesen. Diese Variable wird auch als Ausgabevariable bezeichnet. Einige Komponenten können nur Eingaben entgegennehmen oder nur Ausgaben senden. Das Einfügen einer Komponente erreicht man in Mathcad mit Menü-Einfügen-Komponente bzw. mit dem Symbol "Komponente einfügen" in der Standard-Symbolleiste. Klickt man mit der rechten Maustaste auf das Arbeitsblatt, so erscheint ein Kontextmenü, aus dem mit EinfügenKomponente ebenfalls der Komponentenassistent aufgerufen werden kann:

Abb. 19.9

Datenerfassung: Zugriff auf Datenerfassungskarten von National Instruments und Measurment Computing. Diese erlaubt das direkte Einlesen oder Senden von oder an mit dem Rechner verbundenen Messgeräte. Siehe dazu auch Beschreibung Menü-Hilfe-Developer's Reference. ODBC lesen (Open Database Connectivity): Ermöglicht eine direkte Verbindung zu Datenbanken. Diese Lesekomponente erlaubt das Lesen aus einer beliebigen ODBC-fähigen Datenbank, die SQL unterstützt.

Seite 395

Schnittstellenbeschreibung

Skriptobjekt: Hiermit und mithilfe einer Skript-Sprache lässt sich eine benutzerdefinierte Komponente einfügen. Man kann mit der Scriptobjekt-Komponente eine selbstdefinierte Komponente für folgende Zwecke erstellen: 1. Senden von Werten aus Mathcad an die Anwendung. 2. Verwenden der Anwendung zum Bearbeiten der Daten, ohne Mathcad zu verlassen. 3. Senden von Werten aus der anderen Anwendung zurück an Mathcad. Zum Erstellen einer Komponente für skriptfähige Objekte gelten folgende Voraussetzungen: Man benötigt die Kenntnisse einer unterstützten Skript-Sprache (z.B. Visual Basic Script oder Java Script - im Microsoft Internet Explorer integriert), die im verwendeten System installiert ist; Man muss wissen, wie OLE von der anderen Anwendung implementiert wurde; Die andere Anwendung muss im System verfügbar sein. Datenimport Assistent: Ermöglicht das einfügen von Daten aus Textdateien, Exceldateien, Binärdateien, PRN-Dateien, Lotus1-2-3 Dateien, dBase III-Dateien MATLAB: Mit dieser Komponente kann eine Verknüpfung zwischen einem Mathcad-Arbeitsblatt und einer MATLABDatei eingefügt werden. Microsoft Excel: Mit dieser Komponente lässt sich eine Verknüpfung zwischen einem Mathcad-Arbeitsblatt und einer Excel-Datei herstellen. Dabei sind bis zu vier Ein- und Ausgabevariable erlaubt, die ihrerseits auch Vektoren oder Matrizen sein können. SmartSketch: Damit können CAD Zeichnungen erstellt oder eingefügt werden, die mit Mathcad Berechnungen verknüpft sind. Mit SmartSketch LE stehen nur 2D Anwendungen zur Verfügung. Bemerkung: Um eigene Komponenten für die Mathcad Arbeitsumgebung entwickeln zu können, steht ein SDK zur Verfügung. Siehe dazu Menü-Hilfe Developer's Reference. Prinzipielle Vorgangsweise: 1. Komponente Einfügen (mit Komponentenassistenten Menü-Einfügen-Komponente): Jede Komponente hat ein bestimmtes Erscheinungsbild, doch alle haben einen oder mehrere Platzhalter für Eingabevariablen oder für Ausgabevariablen.

Beispiel: Excel-Komponente

Abb. 19.10

Seite 396

Schnittstellenbeschreibung

Mit "Weiter>" erhält man:

Hier ist die Startzelle im Excel-Arbeitsblatt anzugeben.

Hier ist der Bereich (in Excel Schreibweise wie z.B. Tabelle1!A1:C4) zum Auslesen im ExcelArbeitsblatt anzugeben.

Abb. 19.11

Mit Fertigstellen erhält man schließlich: Ausgabevariablen

§ · ¨  © ¹

(

)

Eingabevariablen 2. Konfiguration einer Komponente: Markiert man die Tabelle (ein Mausklick), so kann mit der Maus an den schwarzen Haltepunkten die Tabelle vergrößert oder verkleinert werden. Durch einen Klick mit der rechten Maustaste auf die Tabelle erscheint das links stehend Kontextmenü (Abb. 19.12): Hier können Eingabe- und Ausgabevariablen hinzugefügt oder entfernt , die Tabelle gespeichert bzw. die Argumente an der Tabelle ausgeblendet werden.

Abb. 19.12

Die Einstellungen im Dialogfeld Eigenschaften sind für die verschiedenen Komponenten unterschiedlich. Hier kann nachträglich angegeben werden, in welchen Zellen Eingabewerte abgelegt sind, und aus welchen Zellen die Ausgabe erfolgt (siehe Abb. 19.13).

Seite 397

Schnittstellenbeschreibung

Abb. 19.13

3. Zugriff auf die Applikation: Wenn eine Applikationskomponente eingefügt wurde, kann durch einen Doppelklick auf die Komponente im Mathcad-Arbeitsblatt zugegriffen werden. Die Komponente wird Inplace aktiviert, und statt der Menüs und Symbolleisten von Mathcad werden die Menüs und Symbolleisten dieser Applikation angezeigt, falls sie installiert ist. Damit hat man einen vollen Zugriff auf die Applikation, ohne Mathcad verlassen zu müssen. 4. Austausch von Daten: Nachdem außerhalb einer Komponente geklickt wird, erfolgt sofort eine Neuberechnung und der Datenaustausch. Ein Datenaustausch findet auch noch unter folgenden Bedingungen statt: a) Durch einen Klick auf die Komponente und durch Drücken der - Taste erfolgt eine Neuberechnung; b) Wenn im Menü-Extras-Berechnen die Option Automatische Berechnung aktiviert ist und eine Eingabevariable geändert wurde; c) Wenn im Menü-Extras-Berechnen die Option Arbeitsblatt berechnen gewählt wird. Zahlreiche Beispiele zu diesem Thema finden sich im Verzeichnis Mathsoft/Mathcad12/Qsheet/Samples !

Seite 398

Schnittstellenbeschreibung

19.2.3.1 Datenerfassung Mit dieser Komponente können Daten direkt von einem Messgerät gelesen und an ein Messgerät gesendet werden. Voraussetzung ist, dass im Computer eine Datenerfassungskarte von National Instruments bzw. Measurement Computing eingebaut ist. Nähere Information zu dieser Komponente findet man im Menü-Hilfe Developer's Reference.

Diese Komponente ist nur dann aktiv, wenn eine Datenerfassungskarte installiert ist.

Abb. 19.14

Durch einen Klick mit der rechten Maustaste auf das Objekt erscheint wieder das bekannte Kontextmenü. Über Eigenschaften kann nachträglich die Anzahl der Ein- und Ausgaben und der Name für das Objekt verändert werden. Außerdem können Ein- und Ausgabevariable hinzugefügt oder entfernt, und das Skript bearbeitet werden. Hat man ein Skript-Objekt eingerichtet, so kann es als eigene Skript-Objekt Komponente exportiert werden ("Als Komponente exportieren"). Mit "Mathcad Data Acquisition Contol-Objekt" können noch wichtige Eigenschaften für das Objekt gewählt werden. Abb. 19.15

Seite 399

Schnittstellenbeschreibung

19.2.3.2 Matlab-Komponente Diese Komponente ermöglicht Daten mit der Programmierumgebung Matlab Professional 4.2c oder höher von MathWorks auszutauschen und darauf zuzugreifen. Wenn nur eine statische Datendatei im Matlab Format importiert oder exportiert werden soll, wird die dargestellte Komponente Datei lesen/schreiben verwendet (siehe weiter unten). Arbeitet man mit MATLAB 5 oder 6, so müssen die MATLAB-Daten-/Umgebungsdateien (.MAT-Dateien) im Format von Version 4 gespeichert werden, bevor sie über eine der Komponenten importiert werden können. Standardmäßig werden die Daten in den Mathcad-Variablen an Matlab-Variablen mit einem Namen z.B. in0, in1, in2 und in3 weitergegeben. Die Variablen z.B. out0, out1, out2 und out3 definieren die Daten, die gegebenenfalls den Mathcad-Ausgangsvariablen übergeben werden sollen. Sie können gegebenenfalls über das Eigenschaftsfenster geändert werden. Die Variablen können auch anders benannt werden.

Ausgabevariablen

Abb. 19.16

Eingabevariablen

Mit einem Klick der rechten Maustaste auf das MATLAB Symbol kann wieder ein Kontextmenü geöffnet werden. In diesem Menü werden die Ein- und Ausgabevariablen bearbeitet. Es kann auch der Skript-Editor aufgerufen werden, mit dem die auszuführenden Matlab-Befehle geschrieben werden können.

Abb. 19.17

Seite 400

Schnittstellenbeschreibung

19.2.3.3 Excel-Komponente Diese Komponente ermöglicht Daten mit Microsoft Excel auszutauschen und auf seine Funktionen zuzugreifen. Wenn nur eine statische Datendatei im Excel Format importiert oder exportiert werden soll, wird die weiter unten beschriebene Komponente Datei lesen/schreiben verwendet. Wie im Abschnitt 1.3 beschrieben, kann die Excel-Komponente auch aus der Standard-Symbolleiste abgerufen werden.

Abb. 19.18

Die Startzelle und der Bereich der Ausgabe kann nachträglich eingestellt werden (siehe weiter unten).

Abb. 19.19

Leere Excel-Tabelle mit Ein- und Ausgabevariable:  Eingabe der Ein- und Ausgabevariablen z.B. M und Summe. Mit einem Doppelklick kann das Diagramm via Inplace Aktivierung von Excel bearbeitet werden.

Seite 401

Schnittstellenbeschreibung

Beispiel 19.2:

§¨ 10 12 15 · M  ¨ 4 6 3 ¸ Die Matrix wird an die Tabelle über die Eingabevariable übergeben. ¨2 5 1 © ¹ Summe 

Januar Februar März

Summe:

Jahr 2000 Jahr 2001 Jahr 2002 10 12 15 4 6 3 2 5 1

16

23

19

Durch einen Klick mit der rechten Maustaste erscheint ein Kontextmenü, in dem über Eigenschaften nachträglich die Ein- und Ausgabevariablen festgelegt werden können. Außerdem können Ein- und Ausgabevariablen hinzugefügt oder entfernt werden. Mit "Speichern unter" kann die Tabelle abgespeichert werden.

M Ausgabe der Summenzeile

Abb. 19.21

Abb. 19.20

Leere Excel-Tabelle mit Ein- und Ausgabevariable als Symbol (siehe Abb. 19.18 und Abb. 19.19): Summe 

M

Durch einen Doppelklick auf das Symbol mit der linken Maustaste wird Excel aktiviert, und die Tabelle kann bearbeitet werden. Wie bereits erwähnt, können durch einen Klick mit der rechten Maustaste auf das Excelblatt-Symbol die Ein- und Ausgabevariablen, sowie über Eigenschaften die Ein- und Ausgabebereiche gewählt werden. Ausgabe der Summenzeile

Seite 402

Schnittstellenbeschreibung

Beispiel 19.3: Auslesen einer Zeile und einer Spalte (siehe Abb. 19.18 und Abb. 19.19) :

§ Spalte ·  ¨ © Summe ¹

2000 10 4 2 16

Daten 1 Daten 2 Daten 3 Summe

2001 12 6 5 23

M

2002 15 3 1 19

Durch einen Klick mit der rechten Maustaste erscheint ein Kontextmenü, in dem über Eigenschaften nachträglich die Ein- und Ausgabe- variablen festgelegt werden können (Abb. 19.22).

Abb. 19.22

ª §¨ 10 · º « » « ¨4 ¸ » « ¨© 2 ¹ » « » ¬( 16 23 19 ) ¼

§ Spalte · ¨ © Summe ¹

Ergebnisformat: Felder in Felder Anzeigen.

0 0

Summe 0

16

1 23

2 19

Spalte

0

10

1

4

2

2

Seite 403

Ausgaben

Schnittstellenbeschreibung

Beispiel 19.4: Aus einer Excel-Tabelle Daten einlesen:

Abb. 19.23

Abb. 19.24

D

D

130 1 -2 14

140 4 -6 16

160 6 -15.2 18

ORIGIN

180 Text 8 -18.9 20

0

1

0

160

180

"Text"

2

3

1

6

8

0

2

-15.2

-18.9

0

3

18

20

0

4

0

ORIGIN ist auf Null gesetzt

Die Bearbeitung erfolgt wieder über das Kontextmenü (siehe Abb. 19.20). Mathcad liest immer die ganze Datei ein. Ein Komma als Beistrich wird als Punkt ausgegeben. Bei der Ausgabe wird nur der Bereich C1:E5 gelesen. Nichtzahlenwerte werden als Texte unter Anführungszeichen (Strings) ausgegeben. Fehlende Zahlenwerte in Zellen werden durch die Zahl 0 ersetzt.

Seite 404

Schnittstellenbeschreibung

19.2.3.4 ODBC-Komponente (Open Database Connectivity)

Mit ODBC-Komponente kann aus einer Datenbank gelesen werden, die in ihrem ODBC-Treiber SQL unterstützt. Die ODBC-Treiber der Datenbankanwendungen müssen SQL unterstützen , wie dies bei Microsoft Access, dBase oder FoxPro der Fall ist. Einige Programme unterstützen SQL zwar innerhalb ihrer Anwendungen, aber nicht in ihren ODBC-Treibern. Dazu gehört z. B. Microsoft Excel. Um eine ODBC-Lesen Komponente nützen zu können, muss zuerst eine Verbindung zu einer Datenbank aufgebaut werden. Dabei sollte folgende Vorgangsweise gewählt werden (Windows 2000 und XP) : 1. Öffnen der Systemsteuerung (Windows-Start Menü). 2. Öffnen des Ordners Verwaltung und Auswahl Datenquellen (ODBC). 3. Auswahl Benutzer-DSN Registerblatt: Hinzufügen Benutzerdatenbank: z.B. Microsoft Access-Datenbank. Auswahl Microsoft Access-Treiber (*.mdb). Fertigstellen. Datenquellennamen (z.B. MathDB) eingeben und Datenbank auswählen (z.B. MCdb1.mdb im QSHEET/SAMPLES/ODBC Verzeichnis von der Mathcad Installation). 4. Aufruf der ODBC-Lesen Komponente in Mathcad. Ist die Verbindung zur Datenbank hergestellt, so kann die Komponente eingefügt werden:

Abb. 19.25

Auf der zweiten Seite des Assistenten (Abb. 19.26) wird die Tabelle ausgewählt, aus der die Komponente Daten lesen soll. Nach der Auswahl der Tabelle können die zugehörigen Felder, die gelesen werden sollen, ausgewählt werden (mindestens eines ist auf jeden Fall auszuwählen). Es werden nur Felder mit den von Mathcad unterstützten Datentypen aufgeführt. Mit "Fertig stellen" wird der Assistent beendet.

Seite 405

Schnittstellenbeschreibung

Abb. 19.26

DB 

ODBC MathDB

Zugriff auf die Datenbank

0

DB

0 1 2 3 4 5 6 7

1 1 23 0 0 0 0 0 0

2 10 2 0 0 0 0 0 60

3 11 2 0 0 0 0 4 64

12 0 4 0 0 460 0 0

4 13 3 4 0 0 0 0 60

Ausgabe der aus der Tabelle und Felder ausgewählten Daten.

Klickt man mit der rechten Maustaste auf das Symbol, so erhält man über Eigenschaften ein umfangreiches Kontextmenü "Komponenteneigenschaften" (Abb. 19.27). Im Registerblatt "Datenquelle" können die Datenquelle, die Tabelle und die Felder neu ausgewählt werden. Weiters können die Daten vor dem Einlesen unter Verwendung der SQL-Anweisung "where" und geeigneter Boolescher Einschränkungen gefiltert werden. Die Einstellungen dazu erfolgen über die Registerkarte "Erweitert" (Abb. 19.28).

Seite 406

Schnittstellenbeschreibung

Abb. 19.27

Abb. 19.28

Seite 407

Schnittstellenbeschreibung

19.2.3.5 Skriptobjekt - Komponente Zwischen Mathcad Arbeitsblättern und anderen Applikationen , die OLE-Automation unterstützen, können die Daten auch dynamisch ausgetauscht werden, auch wenn es in Mathcad keine spezielle Komponente dafür gibt. Dazu wird die Komponente Skriptobjekt verwendet. Diese Komponente benützt die Microsoft ActiveX-Scripting Spezification . Es kann prinzipiell aus jedem skriptfähigem Objekt , das in ein Mathcad-Arbeitsblatt eingefügt werden kann, ein benutzerdefiniertes skriptfähiges Objekt erzeugt werden. Voraussetzungen: Die andere Applikation muss installiert sein. Man muss wissen, wie die andere Applikation OLE implementiert hat. VBScript oder JScript (siehe auch Mathcad-Hilfe und Menü-Hilfe Developer's Reference) muss installiert sein (VBScript und JScript sind im Microsoft Internet Explorer enthalten). Man kann diese Skriptsprachen auch kostenlos als Teil des Microsoft Windows-Skriptpakets unter der Adresse http://msdn.microsoft.com/scripting herunterladen. Im Komponentenassistenten wird Skriptobjekt aufgerufen und es erscheint der Skripterstellungs-Assistent, in dem eine Reihe von Objekten zur Verfügung stehen:

Abb. 19.29

Dieses Fenster (Abb. 19.29) zeigt die auf dem System installierten Server- Applikationen an. Hier kann dann eine Applikation, die OLE2- Automatisierung unterstützt, ausgewählt, oder eine existierende Datei gewählt werden. Markiert man das Kästchen "Als Symbol anzeigen", so wird anstatt des Objekts ein Icon auf dem Arbeitsplatz angelegt. Auf der zweiten Seite des Assistenten (Abb. 19.30) kann die von der Komponente verwendete Skriptsprache ausgewählt werden. Von Mathcad werden nur zwei Skriptsprachen offiziell unterstützt: VBScript und JScript. Bei der Auswahl einer dieser Optionen erstellt Mathcad eine Skriptumgebung mit den entsprechenden Ereignis-Behandlern (event handler).

Seite 408

Schnittstellenbeschreibung

Abb. 19.30

Auf der dritten Seite des Assistenten (Abb. 19.31) ist noch ein Name für das Objekt anzugeben. Dieser Name muß im Skript verwendet werden, wenn auf das Objekt zum Aufrufen seiner Automatisierungsschnittstelle verwiesen wird. Zusätzlich können hier die Anzahl der mit der Komponente verbundenen Eingangs- und Ausgangsvariablen festgelegt werden. Die Skriptobjekt-Komponente unterstützt maximal vier Eingaben und vier Ausgaben.

Abb. 19.31

Seite 409

Schnittstellenbeschreibung

A In den Platzhaltern werden die Ein bzw. Ausgabevariablen eingetragen. Die Größe des Objekts kann wie bei allen Objekten durch Ziehen mit der Maus an den Randpunkten verändert werden. E Durch einen Klick mit der rechten Maustaste auf das Objekt erscheint wieder ein Kontextmenü (Abb. 19.32). Es können hier Ein- und Ausgabevariable hinzugefügt oder entfernt, und das Skript bearbeitet werden. Mit "Arbeitsblatt Objekt" kann die Tabelle entweder via Inplace oder voll in Excel geöffnet werden. Über Eigenschaften (Abb. 19.33) können nachträglich die Anzahl der Ein- und Ausgaben und der Name für das Objekt verändert werden. Wenn der Name des Objektes geändert wird, muß auch im Skript der Name manuell geändert werden.

Abb. 19.32

Abb. 19.33

Mit "Als Komponente exportieren" kann eine fertiggestellte Komponente mit einem Komponentennamen in ein Verzeichnis als Datei (Name.MCM) exportiert werden. Diese Komponenten können damit auch weitergegeben werden. Bei der Weitergabe ist jedoch darauf zu achten, dass auch das eingebeetete Steuerelement zur Verfügung gestellt wird. Üblicherweise speichert man solche Komponenten im Verzeichnis Mathsoft\Mathcad 12\MCM. Nach dem Exportieren und einem Doppelklick auf die MCM-Datei erscheint dann eine solche Komponente nach dem starten von Mathcad im Komponentenassistenten (siehe dazu auch Menü-Hilfe-Developer's Reference).

Seite 410

Schnittstellenbeschreibung

Mathcad schützt vor möglichen Beschädigen von Code innerhalb bestimmter Typen skriptfähiger Komponenten. Enthält ein Mathcad Arbeitsblatt eine skriptfähige Komponente, so erscheint beim Öffnen das nachfolgende Dialogfenster (Abb. 19.34). Hier kann die Auswertung skriptfähiger Komponenten deaktiviert ("ja") oder aktiviert ("nein") werden.

Abb. 19.34 Wenn beim Öffnen des Arbeitsblattes die Skriptfähige Komponente deaktiviert wurde ("ja"), kann sie nachher über das Kontextmenü ( Klick mit der rechten Maustaste auf die Komponente - "Auswertung aktivieren" (Abb. 19.32)) aktiviert werden. Über das Menü-Extras-Einstellungen kann im Registerblatt-Skriptsicherheit (Abb. 19.35) das Maß für die Skriptsicherheit festgelegt werden:

Abb. 19.35

Die Sicherheit wirkt sich auf die skriptfähige Objektkomponente und alle jene Skriptkomponenten aus, die als MCM-Dateien exportiert wurden. Bei hoher Sicherheit werden beim Öffnen eines Arbeitsblattes alle Skriptkomponenten deaktiviert. Bei mittlerer Sicherheit (dies ist die Standardeinstellung) erscheint beim Öffnen eines Arbeitsblattes das Dialogfenster (Abb. 19.34), wenn Skriptkomponenten vorhanden sind. Diese können dann aktiviert oder deaktiviert werden. Bei geringer Sicherheit werden beim Öffnen eines Arbeitsblattes keine Vorkehrungen getroffen.

Seite 411

Schnittstellenbeschreibung

Das Skripting Komponentenmodel beinhaltet drei Grundereignisse:

Abb. 19.36

Die in Abb. 19.36 angeführten Ereignisse beziehen sich auf VBSkript. In JSkript (Abb. 19.37) muss bei der Eingabe von Funktionen, Methoden und Eigenschaften die Groß- und Kleinschreibung berücksichtigt werden. In VBSkript dagegen nicht. Außer den hier gezeigten Skripteditor könnte auch ab Mathcad 12 Microsoft's Visual Studio .NET (Version 7), und für ältere Versionen, der professionelle Interdev-Debugger 6.0, eingesetzt werden .

Abb. 19.37

Seite 412

Schnittstellenbeschreibung

Steuerelemente-Komponenten:

Mit den Mathsoft Steuerelementen können eigene Formularsteuerelemente (ActicX-Control Komponenten) wie Kontrollkästchen (CheckBox) , Optionsschaltfläche (RadioButton) , Schaltfläche (PushButton) , Schieberegler (Slider) , Textfeld (TextBox) und Listenfeld (ListBox) eingefügt werden. Diese Komponenten arbeiten in ähnlicher Weise wie die Formularsteuerelemente von Microsoft (siehe Abb. 19.29), die als Skriptobjekt-Komponenten eingefügt werden können. Ein Steuerelement kann entweder über Menü-Einfügen-Steuerelemente oder über die SymbolleisteSteuerelemente (Menü-Ansicht-Symbolleisten-Steuerelemente ) eingefügt werden. Die Steuerelemente sind nach dem Einfügen sofort funktionstüchtig , weil bereits ein minimaler VBScriptCode vorgegeben ist. Eine Anpassung an individuelle Wünsche ist über das Kontextmenü Abb. 19.39 möglich. Jedes MathSoft-Steuerelement kann maximal vier Eingaben und vier Ausgaben haben. Hilfe dazu findet sich unter Menü-Hilfe Developer's Reference und Beispiele dafür im Verzeichnis Mathsoft/Mathcad12/qsheet/samples/controls .

Symbolleiste-Steuerelemente (Kontrollkästchen, Optionsschaltfläche, Schaltfläche, Slider (Schieberegler), Textfeld, Listenfeld) Abb. 19.38

Durch einen Klick mit der rechten Maustaste auf das Objekt erscheint wieder das bekannte Kontextmenü (Abb.19.39). Über Eigenschaften kann nachträglich die Anzahl der Ein- und Ausgaben und der Name für das Objekt verändert werden (siehe Abb. 19.33). Außerdem können Ein- und Ausgabevariable hinzugefügt oder entfernt, und das Skript bearbeitet werden. Mit "Mathsoft Button (Slider, TextBox oder ListBox) Control-Objekt" können noch Eigenschaften für das Objekt gewählt werden. Hat man ein Skript-Objekt eingerichtet, so kann es als eigene Skript-Objekt Komponente, wie schon weiter oben beschrieben, exportiert werden ("Als Komponente exportieren").

Abb. 19.39

Seite 413

Schnittstellenbeschreibung

Über Menü-Einfügen-Steuerelement-Web-Kontrolle können Web-Steuerelemente eingefügt werden. Web-Steuerelement sind Mathsoft-Steuerelementen ähnlich. Sie sind für Arbeitsblätter gedacht, die zur Verwendung mit dem Mathcad Application-Server erstellt wurden. In einem Webbrowser werden sie als standardmäßige HTML-Formularsteuerelemente angezeigt. Mit einem Klick der rechten Maustaste auf das Steuerelement erscheint ein Kontextmenü, in dem über Eigenschaften die Komponenteneigenschaften geändert werden können. Skripts können bei diesen Steuerelementen nicht erstellt werden. Beispiel 19.5 In einem Koordinatensystem sollen die Funktionen y = k x + d, y = x 2 , y = sin(x), y = cos(x) und y = exp(x) dargestellt werden. Die Auswahl einer Funktion, die Steigung und der Achsenabschnitt der Geraden, sollen mithilfe von AktivX-Controls (Listenfeld, Textfeld und Slider) ausgeführt werden.

fk 

Gerade Parabel sin(x) cos(x) exp(x)

Sin u s- Fu n k t ion

Listenfeld

Textfeld fk

k 

d

-2 k

2

f ( x  fk) 

-1

Steigung der Geraden

d

1

Achsenabschnitt der Geraden

k ˜ x  d if fk = 1 2

x

if fk = 2

sin ( x) if fk = 3

Ein Unterprogramm zur Auswahl der Funktion

cos ( x) if fk = 4 exp ( x) if fk = 5 x  5  5  0.01  5

Bereichsvariable 1

0.5

f( x  fk)

6

4

2

0

2

0.5

1 x

Seite 414

4

6

Abb. 19.40

Schnittstellenbeschreibung

Ansichten des Skripteditors für die oben angeführten Steuerelemente:

Abb. 19.41

Abb. 19.42

Seite 415

Schnittstellenbeschreibung

Beispiel 19.6 Arbeitsblattaktionen können mithilfe einer Schaltfläche automatisiert werden. Ab der Version Mathcad 2001i wurde das Mathcad-Interface wesentlich erweitert auf das Mathcad-Worsheet-Interface (Siehe dazu Menü-Hilfe - Developer's Reference) ! Automatische Berechnung des Arbeitsblattes: Das Arbeitsblattobjekt unterstützt eine SetOption-Methode, die unter anderem über eine Option zum aktivieren und deaktivieren der automatischen Berechnung verfügt. Automatische Berechnung ist EIN

Diese Schaltfläche aktiviert bzw. deaktiviert die automatische Berechnung (siehe Menü-Extras-Berechnen ).

Abb. 19.43

Arbeitsblatt neu berechnen: Arbeitsblatt neu berechnen

Durch Aktivierung dieser Schaltfläche wird das Arbeitsblatt neu berechnet.

Arbeitsblatt speichern: Arbeitsblatt speichern

Durch Aktivierung dieser Schaltfläche wird das Arbeitsblatt gespeichert.

Seite 416

Schnittstellenbeschreibung

Abb. 19.44

Abb. 19.45

Arbeitsblatteigenschaften:

Dieses Textfeld ruft die Eigenschaft "Name des Arbeitsblattes" ab und zeigt sie an.

Schnittstellen12

Alternativen sind hier im VBSkript-Code als Kommentar ausgewiesen.

Abb. 19.46

Seite 417

Schnittstellenbeschreibung

Werte von Variablen lesen und schreiben:

Ein  10 x Wert einer Variablen lesen

x

Klickt man auf diese Schaltfläche, so wird x der Wert der Eingabevariablen Ein übergeben.

10

Wert einer Variablen ausgeben

Klickt man diese Schaltfläche, so wird der Wert x an die Ausgabevariable Aus übergeben.

x Aus

10

Abb. 19.47 Bemerkung:

Für die Variablen Ein bzw. Aus könnten auch andere Zeichen wie z.B. ein griechischer Buchstabe D oder ein Zeichen mit Literalindex A1 verwendet werden. Dafür ist im Sripteditor der Code "\a" bzw. "A.1" einzugeben.

Seite 418

Schnittstellenbeschreibung

19.2.3.6 SmartSketch-Komponente

Durch die SmartSketch Komponente können in Mathcad-Arbeitsblättern SmartSketch Zeichnungen erstellt (falls SmartSketch am Computer installiert ist) oder eingefügt werden. Diese Zeichnungen können dann mit Mathcad Variablen gesteuert werden. Beispiele dafür finden sich im Verzeichnis Mathsoft/Mathcad12/qsheet/samples/smrtskch . R  0.4 m

r  0.25 m

d  1.5 m

Abb. 19.48 Mit einem Doppelklick auf die SmartSketch Komponente kann die Zeichnung via InplaceAktivierung bearbeitet werden.

Durch einen Klick mit der rechten Maustaste auf die Zeichnung erscheint ein Kontextmenü, in dem die Ein- und Ausgabevariablen geändert werden können. Die Einstellungen im Dialogfeld Eigenschaften eröffnen einen Zugriff auf die Komponeteneigenschaften.

Abb. 19.49

Beim Erstellen einer neuen SmartSketch Zeichnung ist darauf zu achten, dass im Menü-ToolsVariablen die Variablen der Zeichnung und die Dimensionen festgelegt werden. Damit gewährleistet ist, dass Änderungen in den Bemaßungen einer Zeichnung nur in Relation zu anderen Änderungen vorgenommen werden, sollte im Menü-Tools die Option BeziehungenErhalten aktiviert sein.

Seite 419

Schnittstellenbeschreibung

19.2.4 Mathcad als OLE- Automatisierungsserver (OLE Automation Interface)

In Mathcad lässt sich nicht nur, wie vorher beschrieben, ein benutzerdefiniertes Objekt anlegen. Die OLE- Automatisierungs-Schnittstelle von Mathcad stellt einen Mechanismus für den komplementären Prozess zur Verfügung, nämlich Mathcad als Automatisierungsserver in anderen WindowsApplikationen einzusetzen. Damit können Daten dynamisch von einer anderen Applikation an Mathcad geschickt werden, Berechnungen und andere Datenmanipulationen in Mathcad vorgenommen werden und die Ergebnisse dann an die Ursprungsapplikation zurückgeschickt werden. Siehe dazu Beispiele im Ordner Mathsoft/Mathcad12/qsheet/samples . Damit die OLE-Automatisierungs-Schnittstelle genutzt werden kann, muss ein Programm in Visual Basic 5.0 oder höher oder in einer Applikation , die als Automatisierungs-Client eingesetzt werden kann (z.B. Excel 5.0 oder höher mit VBA ), geschrieben werden. Die in Mathcad definierten Variablen werden üblicherweise mit den Namen in0, in1, in2 usw. und die von Mathcad geladenen Variablen mit den Namen out0, out1, out2 usw. (max. 10) bezeichnet. Mathcad enthält zwei Applikations-Schnittstellen (Application Interfaces (API's)): 1. API für eingebettete Objekte (embbaded objects): Es gibt für diese Schnittstelle vier Automatisierungsmethoden: x x x x

GetComplex(Name, RealPart, ImagPart) lädt komplexe Daten (Realteil und Imaginärteil vom Typ Variant) aus der Mathcad-Variablen Name (out0, out1, out2 usw.). SetComplex(Name, RealPart, ImagPart) weist der Mathcad-Variablen Name (in0, in1, in2 usw.) komplexe Daten zu. Recalculate( ) berechnet erneut das Mathcad Dokument. SaveAs(Name) speichert das Mathcad-Dokument als Datei. Der Pfad wird in der Zeichenfolge Namen übergeben.

Siehe dazu Menü-Hilfe - Developer's Reference ! Vorgangsweise: x Mathcad-OLE-Objekt bereitstellen (Menü-Einfügen-Objekt), mit dem kommuniziert werden kann. x Client Applikation so einrichten, dass sie Daten an Mathcad sendet und Daten an Mathcad übernimmt. x Code schreiben, der bestimmt, welche Daten gesendet bzw. entgegengenommen werden sollte.

Beispiel 19.7 Mathcad als OLE-Automatisierungsserver in Excel. Es soll der Variablen in0 in einem Mathcad-OLE-Objekt ein Vektor mit reellen Zahlen (Anfangsgeschwindigkeit und Abschußwinkel) zugewiesen werden, die in den Zellen A4 bis A5 gespeichert sind. Mathcad soll dann eine Berechnung der x- und y-Werte durchführen und die Daten zu einer Matrix zusammenfassen. Die Daten sollen dann in der Mathcad Variablen out0 gespeichert und an Excel zurückgeliefert werden (Zellen I5 bis J14). x Mathcad OLE-Objekt in eine Excel Mappe einfügen. x Daten im Mathcad Arbeitsblatt festlegen. x Daten in Excel einrichten, die an Mathcad übergeben, und aus Mathcad übernommen werden. x VBA-Makromodul schreiben (Abb. 19.51). Bemerkung: Um Mathcad nur reelle Daten zu übergeben, sollten die Imaginärteile auf Null gesetzt werden !

Seite 420

Schnittstellenbeschreibung

Abb. 19.50

Abb. 19.51

Seite 421

Schnittstellenbeschreibung

2. API für Automation (Scipting API): Ab der Version Mathcad 2001i wurde das Mathcad-Interface wesentlich erweitert auf das Mathcad-Worsheet-Interface (siehe dazu Menü-Hilfe - Developer's Reference) ! Es beinhaltet eine Hierarchie von Atomatisationsklassen, jede mit ihren eigenen Eigenschaften, Methoden und Ereignissen. Dieses API unterstützt ein erweitertes Objekt-Modell, welches die Kontrolle über das Aussehen eines Mathcad Objektes und den Zugang zu den Aktionen von Steuerelementen ermöglicht (siehe dazu auch Abschnitt 19.2.3.5). Siehe dazu Beispiele im Ordner Mathsoft/Mathcad12/qsheet/samples . Beispiel 19.8 Mathcad Interface mit LabVIEW. Dieses Beispiel zeigt, wie Mathcad als ActivX-Server (via Skriptobjekt-Komponente) ein LabVIEW-Programm steuert. Zuerst werden in Mathcad die folgenden Daten (Parameter) festgelegt:

Amplitude  1.6

Amplitude

steps  30

Anzahl der Schritte

flow  0.1

Minimale Frequenz

fhigh  10

4

Maximale Frequenz

VIname  "\examples\apps\freqresp.llb\Frequency Response.vi"

Pfad zur LabVIEW-Datei (im LabVIEW-Verzeichnis) Frequency Response.vi setzen

Nach drücken der Schaltfläche wird LabVIEW geöffnet und die Daten über das LabVIEW Application Interface (API) übertragen. Die Datei Frequence Response.vi wird ausgeführt und zuvor das FrontPanel geöffnet. Die resultierenden Daten (in diesem Fall simuliert von einem Frequenzgenerator) werden über das gleiche API nach Mathcad übertragen. Daten 

Datenaustausch

Datenübertragung

VIname

Seite 422

Schnittstellenbeschreibung

Abb. 19.52 Script-Code für die Schaltfläche: Dim status PushBtn.LeftText = 1 PushBtn.Text = "Datenaustausch" Sub PushBtnEvent_Start() End Sub Sub PushBtnEvent_Exec(Inputs,Outputs) Dim lvapp Dim vi Dim paramNames(4), paramVals(4) Dim x,y If not(status = "") Then Set lvapp = CreateObject("LabVIEW.Application") viPath = lvapp.ApplicationDirectory + Inputs(0).value Set vi = lvapp.GetVIReference(viPath) 'Datei in den Speicher laden vi.FPWinOpen = True 'LabView (front panel) öffnen ' Die Datei Frequency Response.vi hat ' 4 Eingaben - Amplitude, Anzahl der Schritte, kleinste Frequenz & höchste Frequenz und ' 1 Ausgabe - Response Graph. paramNames(0) = "Amplitude" paramNames(1) = "Number of Steps" paramNames(2) = "Low Frequency" paramNames(3) = "High Frequency" paramNames(4) = "Response Graph"

Seite 423

Schnittstellenbeschreibung

'Eingabe-Variable zum vi initialisieren paramVals(0) = Worksheet.GetValue("Amplitude") paramVals(1) = Worksheet.GetValue("steps") paramVals(2) = Worksheet.GetValue("flow") paramVals(3) = Worksheet.GetValue("fhigh") 'paramVals(4) beinhaltet die Variable Response Graph nach Ausführung des vi. 'Ausführen des vi Call vi.Call(paramNames, paramVals) x = paramVals(4)(0) ' x co-ordinates y = paramVals(4)(1) ' y co-ordinates 'Worksheet.SetValue "LVdata",y Outputs(0).value = y End If End Sub Sub PushBtnEvent_Stop() Rem TODO: Code hier hinzufügen End Sub Sub PushBtn_Click() If status = 0 Then status = 1 Else status = 0 End If PushBtn.Recalculate() End Sub

Auswertung der von LabView rückgelieferten Daten in Mathcad:

i  0  steps  1

Bereichsvariable i

§ fhigh · © flow ¹

steps  1

fi  flow ˜ ¨

Frequenzvektor erzeugen

g ( f)  interp ( pspline ( f  Daten)  f  Daten  f)

Interpolationskurve für die Daten

20 0 20 Daten 40 g ( f)

Abb. 19.53

60 80 100 120 0.1

1

10

f f

100

Seite 424

1 10

3

1 10

4

Schnittstellenbeschreibung

Bemerkung: In ein mit Visual Basic (ab Version 5) geschriebenes Programm kann ebenfalls ein MathcadObjekt eingebettet werden. Siehe dazu Menü-Hilfe - Developer's Reference. Beispiele dazu findet man im Verzeichnis Mathsoft/Mathcad12/ qsheet/ samples/vbasic. Für verschiedene Anwendungen stehen spezielle Mathcad-Add- Ins zur Verfügung. Mithilfe eines Add-In kann ein Mathcad-Objekt in eine andere Anwendung wie Excel, AutoCAD, Visio und VisSim eingefügt und bearbeitet werden. Verfügbare Mathcad-Add-Ins finden sich im Download-Bereich auf der Mathcad-Website unter http://www.mathcad.com/. Wenn man auf ein in einer anderen Anwendung eingebettetes Mathcad-Objekt klickt, so werden in dieser Anwendung Mathcad Menüs angezeigt, mit denen man sogleich arbeiten kann.

19.2.5 Weitere spezielle Objekte (Komponenten) in Mathcad Das Einfügen einer Eingabetabelle-Komponente und Datendatei lesen bzw. schreiben Komponente erreicht man über Menü-Einfügen-Daten bzw. über die rechte Maustaste Kontextmenü-Einfügen bzw. über die Symbole in der Standard-Symbolleiste (siehe Abschnitt 1.3).

19.2.5.1 Eingabetabelle-Komponente Daten können direkt in eine Eingabetabelle geschrieben oder importiert werden und über eine Ausgabevariable gelesen (z.B. TAB ) werden. Einheiten können natürlich nicht in die Tabelle eingegeben werden.

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

TAB  1 2 3 4

1 "Spalte 1" 0 0.3 5

2 "Spalte 2" 5 6.7 5.4

TAB

1 2 3 4

1 "Spalte 1" 0 0.3 5

2 "Spalte 2" 5 6.7 5.4

Durch einen Klick der rechten Maustaste auf die Tabelle erscheint wieder ein Kontextmenü (Abb. 19.54). Hier kann über Eigenschaften-Komponenteneigenschaften (Abb. 19.55) das Zahlenformat, die Toleranz, Schriftart und Spalten- und Zeilenbeschriftungen eingestellt werden. Weiters können mit der Maus markierte Zellen der Tabelle (Auswahl kopieren) kopiert werden. Markierte Zellen können aber auch mit gedrückter linker Maustaste per Drag & Drop als Matrix-Kopie auf das Arbeitsblatt gezogen werden.

Seite 425

Schnittstellenbeschreibung

Abb. 19.55

Abb. 19.54

Klickt man zuerst mit der rechten Maustaste eine Zelle in der Tabelle an, dann öffnet sich wieder ein Kontextmenü (Abb. 19.56). Mit dem Eintrag-Importieren kann eine andere Datei (Text-Dateien, Excel-Dateien, Lotus-Dateien und dBase-Dateien) einmalig eingelesen werden (Abb.19.57). Die Daten werden hier beim Importieren nur einmal gelesen und nicht bei jeder Berechnung des Arbeitsblattes. Werden zu einem späteren Zeitpunkt im externen Datenfile Änderungen durchgeführt, hat das keine Auswirkungen auf das Mathcad Dokument. Außerdem können in der Tabelle Zellen hinzugefügt oder gelöscht werden.

Abb. 19.56

Abb. 19.57

Seite 426

Schnittstellenbeschreibung

Datei importieren: Nach Auswahl des Dateiformates kann mit "Durchsuchen" eine Datei gewählt werden. Es ist darauf zu achten, ob ein Komma als Dezimaltrennzeichen verwendet wurde (siehe Abb. 19.57). Man kann auch Daten in Mathcad oder anderen Applikationen über das "Clipboard" kopieren und nach klicken mit der rechten Maustaste in eine Zelle über "Tabelle einfügen" die Daten in die Tabelle einfügen. Dabei kann es sich auch um Daten in Textregionen handeln, die durch Zeilenvorschub oder Tabulator voneinander getrennt sind. Beispielsweise können folgende Daten (das Dezimalzeichen muss ein Punkt sein, sonst werden die Daten als Zeichenkette eingefügt) wie beschrieben in eine Tabelle kopiert werden: 1.2 2.3 5.4 3.9 2.2 3.7 4.8 2.4 DAT  1 1 2 3 4 5

2 1.2 2.2

3 2.3 3.7

4 5.4 4.8

3.9 2.4

19.2.5.2 Datendatei lesen- bzw. Datendatei schreiben-Komponente Diese Komponente ermöglicht das Importieren und Exportieren von Datendateien in einer Vielzahl von Formaten. Es werden Zeichenfolgen, numerische Werte, komplexe Zahlen oder leere Zellen übernommen. Beim Lesen und Schreiben werden diverse Begrenzungszeichen wie Kommas, Semikolons, Tabulatoren und Sonderzeichen berücksichtigt. Zu beachten ist, dass in einer Textdatei für das Komma einen Punkt gesetzt wird. In einer ExcelTabelle kann auch ein Beistrich als Komma verwenden werden. Dateien importieren (Lesen): Es können Text-Dateien, Excel-Dateien, Lotus-Dateien und dBase-Dateien gelesen werden, wie bereits im Abschnitt 19.2.5.1 beschrieben wurde.

Abb. 19.58

Seite 427

Schnittstellenbeschreibung

X 

ExcelDaten.xls Standardmäßig liest Mathcad die gesamte Datendatei ein und legt ein Feld mit dem vorgesehenen Variablennamen an. Die Daten werden hier beim Importieren und bei jeder Berechnung des Arbeitsblattes (mit <Strg>+ und beim öffnen des Arbeitsblattes) einmal gelesen. Werden zu einem späteren Zeitpunkt im externen Datenfile Änderungen durchgeführt, hat das natürlich dann Auswirkungen auf das Mathcad Dokument. Die Einstellungen im Dialogfeld Eigenschaften ( Klick mit der rechten Maustaste auf das Diskettensymbol) eröffnen einen Zugriff auf die Komponenteneigenschaften ( Abb. 19.59).

Abb. 19.59 Beim Einlesen von Daten aus Excel können im Registerblatt-Datenbereich ein spezifisches Arbeitsblatt, ein benannter Datenbereich und ein Zellbereich innerhalb der Datei ausgewählt werden. Dafür ist die in Excel übliche Notation zu verwenden.

X

1 2 3 4

1

2

3

4

1 14.2 27.4 40.6

2 12.4 22.8 33.2

3 10.6 18.2 25.8

4 8.8 13.6 18.4

5

6 5 7 9 11

6 5.2 4.4 3.6

7 7 3.4 -0.2 -3.8

8 8 1.6 -4.8 -11.2

9 9 -0.2 -9.4 -18.6

10 10 -2 -14 -26

Ausgabe der eingelesenen Tabelle

Durch einen Doppelklick auf eine Zelle der Tabelle kann das Format der Matrix wie gewohnt verändert werden. Mit einem Klick der rechten Maustaste auf die Tabelle kann über das erscheinende Kontextmenü die markierte Tabelle oder ein Teil der markierten Tabelle exportiert werden ("Exportieren"). Über "Eigenschaften" können verschiedene Komponenteneigenschaften festgelegt werden. Dateien exportieren (Schreiben): Es können Daten in Formatierte-, Tab-begrenzte, Komma-begrenzte Textdateien, MS Excel-, Lotus 1-2-3 und dBase III-Dateien geschrieben werden.

Seite 428

Schnittstellenbeschreibung

Die nachfolgende Datenmatrix soll in eine Excel-Datei mit Namen DATEN exportiert werden:

§ 120 140 160 180 · ¨ 4 6 8 ¸ ¨ 1 X ¨ 2.0 6.00 15.2 18.9 ¸ ¨ 16 18 20 ¹ © 14

Abb. 19.60

Mit "Weiter>" kann die Anfangszelle, ab der die Daten eingetragen werden sollen, ausgewählt werden:

Abb. 19.61

Seite 429

Schnittstellenbeschreibung

DATEN

Nach der Eingabe einer Eingabevariablen (hier X) wird eine EXCEL-Datei mit dem Namen DATEN.XLS erstellt, die mit dem Programm EXCEL weiterbearbeitet werden kann.

X

Mit einem Klick der rechten Maustaste auf das Diskettensymbol kann über ein Kontextmenü (Abb. 19.62) jederzeit eine Ausgabevariable hinzugefügt werden. Über Eigenschaften erhält man das Fenster Komponenteneigenschaften (Abb. 19.63).

Abb. 19.62

Abb. 19.63 In diesen beiden Registerblättern kann im Registerblatt-Dateioptionen nachträglich ein anderes Format und ein anderer Name für die Datei gewählt werden. Im R egisterblatt-Datenbereich kann die Anfangszeile und Anfangsspalte für die Ausgabe gewählt werden.

Seite 430

Schnittstellenbeschreibung

19.3 Dateizugriffsfunktionen

Die in Mathcad enthaltenen Dateizugriffsfunktionen lassen sich in vier Kategorien unterteilen: x Bildfunktionen, welche das Lesen und das Schreiben auf Dateiformate, sowie das Speichern von Bilddaten ermöglichen (siehe Kap. 19.2.1 und Kap. 20.20 ). Darauf wird hier nicht mehr näher eingegangen. x

ASCII-Datendateifunktionen , welche das Lesen, Schreiben und Ändern von strukturierten Datendateien ermöglichen. Mathcad enthält drei Funktionen für den Zugriff auf ASCII-Datendateien: PRNLESEN, PRNSCHREIBEN und PRNANFÜGEN.

x

Um eine größere Vielzahl von Dateitypen mit mehr Steuerungsmöglichkeiten einzulesen, kann neben den oben erwähnten Komponenten-Assitenten auch die Funktion READFILE benutzt werden. READFILE("Pfad\Dateiname", "Dateityp", [Spaltenbreiten], [Zeilen], [Spalten], [Füllung])

x

Binärdatendateifunktionen , welche das Lesen und Schreiben von Binärdatendateien ermöglichen. Mathcad enthält zwei Funktionen für den Zugriff auf Binärdatendateien: BINLESEN und BINSCHREIBEN.

x

WAV-Dateifunktionen , welche das Lesen und Schreiben nach dem PCM-Verfahren von im WAV-Format von Microsoft gespeicherten Dateien gestatten. Mathcad enthält drei Funktionen für den Zugriff auf WAV-Dateien: WAVLESEN, WAVSCHREIBEN und WAVINFO.

19.3.1 ASCII-Dateien bearbeiten

Hier soll noch eine andere Möglichkeit angegeben werden, wie in Mathcad strukturierte ASCII-Dateien (Textdateien) gelesen und gespeichert werden können. Strukturierte ASCII-Dateien (Textdateien) können ebenfalls von vielen Programmen (z.B. Editor, EXCEL, WORD usw.) erzeugt und gelesen werden. Dateien im ASCII-Format dürfen ausschließlich nur aus Zahlenwerten bestehen. Diese Zahlenwerte müssen ein bestimmtes Format besitzen: x Datentypen: Ganze Zahlen: z.B. -2 , 4 , 19 Reelle Zahlen: z.B. 111.16 , -0.011 (Fixkommaformat) z.B. 1.116e2 , -2.1e-5 (Gleitkommaformat) Komplexe Zahlen: z.B. 2.3+4i, -1.4-3.5i Zu beachten ist bei den Zahlen, dass sie nur Dezimalpunkte und keine Kommata , wie es oft bei Excel-Dateien üblich ist, enthalten. x Trennzeichen zwischen den Zahlenwerten: Alle Zahlenwerte müssen durch ein Trennzeichen separiert sein. Als Separationszeichen sind zulässig: ein Komma, ein oder mehrere Leerzeichen , Tabulatorzeichen oder ein Zeilenvorschub. Strukturierte ASCII-Dateien einlesen: X := PRNLESEN("Pfad\NAME.Typ") X ... Datenmatrix oder: Datei:="Pfad\NAME.Typ" Dateistring zuerst auf eine Variable zuweisen X := PRNLESEN(Datei)

Wenn kein Pfad angegeben wird, wird das aktuelle Arbeitsverzeichnis automatisch eingesetzt. Die Anordnung der Daten in der Datei muss in Matrixform erfolgen (in jeder Zeile gleich viele Zahlenwerte). Der Zeilenvorschub kann zwar auch als Trennzeichen verwendet werden, besitzt aber zusätzlich eine Sonderstellung. Zeilen mit ASCII-Texten oder Leerzeilen werden beim Einlesen nicht berücksichtigt.

Seite 431

Schnittstellenbeschreibung

Beispiel 19.9:

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

X  PRNLESEN ( "Mess1.Dat" )

Die Zahlenwerte werden aus der strukturierten Datei Mess1.Dat (im aktuellen Verzeichnis und relative Pfadangabe) gelesen. Die Anzahl der Zeilen und Spalten werden mit der Zeilen-Funktion und Spalten-Funktion bestimmt.

ze  zeilen ( X)

ze

5

sp  spalten ( X)

sp

3

¢1² x X

¢2² y X

¢3² z X

1

3

T

x

1 T

2 1

2

1

z

1

7.1

4 3

Auswahl der Spalten mit dem Spaltenoperator T

5 4

1

y

1

5

2

3

4

7.25

8.33

2.95

1.33

2 2.23

3 0.45

4 5.01

5 6.3

5 4.2

Oder lesen der Textdatei mit READFILE:

READFILE ( "Mess1.Dat"  "fixed" )

Abb. 19.64 Strukturierte ASCII Dateien erstellen: PRNSCHREIBEN("Pfad\NAME.Typ") := X X ... Datenmatrix Mit dieser Zuweisung wird versucht, eine Datei namens NAME.Typ im angegebenen Verzeichnis zu erstellen. PRNANFÜGEN("Pfad\NAME.Typ") := Y Y ... Datenmatrix Die ANFÜGEN-Funktion verwendet man, wenn Daten am Ende der Datei NAME.Typ im angegebenen Verzeichnis angefügt werden sollen.

Wenn kein Pfad angegeben wird, wird das aktuelle Arbeitsverzeichnis automatisch eingesetzt. Existiert eine Datei gleichen Namens , so wird diese ohne Vorwarnung mit den neuen Daten überschrieben ! Beim strukturierten Schreiben in eine ASCII-Datei wird als Separator ein Leerzeichen verwendet. Zusätzlich kann die Form der zu erstellenden Datei gesteuert werden: PRNCOLWIDTH bestimmt die Spaltenbreite (auf 8 Zeichen voreingestellt ). PRNPRECISION stellt die signifikante Stellenzahl dar (nicht die Anzahl der Nachkommastellen! Standardwert ist 4 Stellen ). Siehe dazu Kap. 2.3. Beispiel 19.10:

ORIGIN  1 m 3

ORIGIN festlegen k  1  m

F (Z )  2 ˜ s Z k  0.3 ˜ s



ak  F Zk

1

1

Bereichsvariable für die Datenvektoren

 j˜Z

Komplexe Frequenzfunktion (mit Einheiten)

˜k

Frequenzvektor Vektor der komplexen Funktionswerte

Seite 432

Schnittstellenbeschreibung

1

Z

1

1

0.3

2

0.6

3

0.9

s

1

a

1

2+0.3i

2

2+0.6i

3

2+0.9i

s

-1

Vektorausgabe

Z  erweitern ( erweitern ( Z  Re ( a) )  Im ( a) )

Datenvektoren mit der erweitern- Funktion zu einer Matrix zusammenfassen (Realteil und Imaginärteil werden getrennt).

PRNSCHREIBEN ( "Komplex.Dat" )  Z ˜ s

Die Datei Komplex.Dat wird mit der PRNSCHREIBENFunktion erstellt (die Einheiten müssen gekürzt werden!).

Z1k  0.9 ˜ s



1

a1 k  F Z1k

 0.3 ˜ s

1

˜k

Neuer Frequenzvektor



Neuer Vektor der komplexen Funktionswerte

Y  erweitern ( erweitern ( Z1  Re ( a1 ) )  Im ( a1 ) ) Datenvektoren wieder mit der erweitern- Funktion zu einer Matrix zusammenfassen (Realteil und Imaginärteil werden getrennt).

PRNANFÜGEN ( "Komplex.Dat" )  Y ˜ s

Ein zweite Datenmatrix Y kann mit PRNANFÜGENFunktion am Ende der strukturierten Datei angehängt werden (die Einheiten müssen gekürzt werden!).

Z

§¨ 0.3 2 0.3 · -1 ¨ 0.6 2 0.6 ¸ s ¨ 0.9 2 0.9 © ¹

Y

§¨ 1.2 2 1.2 · -1 ¨ 1.5 2 1.5 ¸ s ¨ 1.8 2 1.8 © ¹

Abb. 19.65 Schreiben, Anfügen und Lesen von komplexe Werten (Einheiten müssen gekürzt werden!):

PRNSCHREIBEN ( "Komplextest.Dat" )  a ˜ s

Komplexe Vektorkomponenten in eine Datei schreiben

PRNANFÜGEN ( "Komplextest.Dat" )  a1 ˜ s

Komplexe Vektorkomponenten an eine bestehende Datei anfügen

PRNLESEN ( "Komplextest.Dat" )

1 2 3 4 5 6

1 2+ 0.3i 2+ 0.6i 2+ 0.9i 2+ 1.2i 2+ 1.5i 2+ 1.8i

ASCII-Datei Lesen

Abb. 19.66

Seite 433

Schnittstellenbeschreibung

19.3.2 Binär-Dateien bearbeiten Binär-Datei erstellen: BINSCHREIBEN("Pfad\NAME.BIN", Typ, Endian) := X X ... Datenmatrix Mit dieser Zuweisung wird versucht, eine Datei namens NAME.BIN im angegebenen Verzeichnis zu erstellen.

Wenn kein Pfad angegeben wird, wird das aktuelle Arbeitsverzeichnis automatisch eingesetzt. Typ: Zeichenfolge (in Anführungszeichen), die den in der Datei verwendeten Datentyp angibt. Folgende Datentypen sind möglich: double (64-Bit-Gleitkomma), float (32-Bit-Gleitkomma), byte (8-Bit-Ganzzahl ohne Vorzeichen), uint16 (16-Bit-Ganzzahl ohne Vorzeichen), uint32 (32-Bit-Ganzzahl ohne Vorzeichen), int16 (16-Bit-Ganzzahl mit Vorzeichen) oder int32 (32-Bit-Ganzzahl mit Vorzeichen). Endian: Boolescher Ausdruck, der angibt, ob die Daten im Big Endian-Format (höchstwertiges Bit zuerst oder im Little Endian-Format (geringstwertiges Bit zuerst) vorliegen. Big Endian wird durch eine 1 repräsentiert, Little Endian durch eine 0. Die Standardeinstellung ist immer 0. Beim Big-Endian-Format werden die niederwertigen Bytes einer Mehr-Byte-Grösse bei höheren Adressen und die höherwertigen Bytes bei niedrigeren Adressen abgelegt. Beim Little-Endian-Format werden die höherwertigen Bytes einer Mehr-Byte-Grösse bei höheren Adressen und die niederwertigen Bytes bei niedrigeren Adressen abgelegt.

Beispiel 19.11: 1

X

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2 1.33 2.23 0.45 5.01 6.3

3 7.1 7.25 8.33 2.95 4.2

Datenmatrix von Beispiel 19.9.

BINSCHREIBEN ( "Datenbinaer.bin"  "float"  0)  X

Datenmatrix binär speichern

Binär-Datei einlesen: X := BINLESEN("Pfad\NAME.BIN", Typ,[Endian], [Spalten], [Anzahl], [MaxZeilen]) X ... Datenmatrix

oder: Datei:="Pfad\NAME.Typ" Dateistring zuerst auf eine Variable zuweisen X := BINLESEN(Datei,Typ,[Endian], [Spalten],[Anzahl],[MaxZeilen]) Wenn kein Pfad angegeben wird, wird das aktuelle Arbeitsverzeichnis automatisch eingesetzt. Typ: Zeichenfolge (in Anführungszeichen), die den in der Datei verwendeten Datentyp angibt. Folgende Datentypen sind möglich: double (64-Bit-Gleitkomma), float (32-Bit-Gleitkomma), byte (8-Bit-Ganzzahl ohne Vorzeichen), uint16 (16-Bit-Ganzzahl ohne Vorzeichen), uint32 (32-Bit-Ganzzahl ohne Vorzeichen), int16 (16-Bit-Ganzzahl mit Vorzeichen) oder int32 (32-Bit-Ganzzahl mit Vorzeichen). Endian: Boolescher Ausdruck ( Optional), der angibt, ob die Daten im Big Endian-Format (höchstwertiges Bit zuerst oder im Little Endian-Format (geringstwertiges Bit zuerst) vorliegen. Big Endian wird durch eine 1 repräsentiertt, Little Endian durch eine 0. Die Standardeinstellung ist immer 0.

Seite 434

Schnittstellenbeschreibung

Spalten (Optional): Positive Ganzzahl (Optional), welche die Anzahl der Spalten pro Zeile in der Eingabedatei angibt. Die Standardeinstellung ist 1. Anzahl (Optional): Positive Ganzzahl oder Null, welche die Anzahl der Byte angibt, die am Anfang der Datei übersprungen werden sollen, bevor mit dem Lesen der Daten begonnen wird. Der Standardwert ist 0. MaxZeile (Optional): Positive Ganzzahl oder Null, die die Anzahl der Zeilen angibt, auf die die Eingabe beschränkt werden soll. Der Standardwert ist 0.

Beispiel 19.12: X  BINLESEN ( "Datenbinaer.bin"  "float"  0  3  0  5) 1

X

2

Binäre Datei lesen

3

1

1

1.33

7.1

2

2

2.23

7.25

3

3

0.45

8.33

4

4

5.01

2.95

5

5

6.3

4.2

Datenmatrix

19.3.3 WAV-Dateien bearbeiten In Mathcad können aus impulscode-modelierten Microsoft WAV-Dateien Formatinformationen abgerufen werden. Solche WAV-Dateien können gelesen und auch gespeichert werden. Information über eine WAVE-Datei abrufen: X := WAVINFO("Pfad\NAME.WAV") X ... Datenvektor oder: Datei:="Pfad\NAME.WAV" Dateistring auf eine Variable zuweisen X := WAVINFO(Datei)

Wenn kein Pfad angegeben wird, wird das aktuelle Arbeitsverzeichnis automatisch eingesetzt. Sampling Rate (Abtastrate): Sie bestimmt beim Digitalisieren von Musik oder Geräuschen, wie oft das anliegende Audiosignal pro Sekunde von der Soundkarte abgetastet werden soll. Beim einer Sample-Rate von 44,1 kHz (Sample-Rate einer Audo-CD) wird das Audiosignal pro Sekunde 44.100 mal abgetastet. Generell gilt: Je höher dieser Wert ist, desto besser ist das gesampelte Ergebnis. Allerdings steigt der Speicherbedarf bei höherer Sample-Rate immens an. Samples: Ein Sample ist das digitale Abbild eines akustischen Ereignisses - sei es ein Geräusch, Musik oder Sprache. Unter "Sampeln" versteht man die digitale Aufzeichnung. Sampling Tiefe: Sie bestimmt zusammen mit der Sampling Rate die Qualität einer Aufnahme. Je größer die Sampling Tiefe ist, um so geringere Lautstärkeunterschiede werden erkannt. Dadurch erkennt die Soundkarte bei der Aufnahme auch leise Musikpassagen. Vor allem bei klassischer Musik ist das vorteilhaft. Die Sampling Tiefe wird in Bit angegeben. Gebräuchliche Werte sind 8 oder 16 Bit. Moderne Soundkarten sollten 16 Bit Sampletiefe besitzen.

Seite 435

Schnittstellenbeschreibung

Beispiel 19.13:

AnzKanäle § · ¨ Sampling_Rate ¸  WAVINFO ( "C:\Mathcad\Einführung\startup.wav" ) ¨ ¸ ¨ Auflösung ¨ © DurchschnBytesProSek ¹ AnzKanäle Auflösung

1

Sampling_Rate

8

Informationen über eine WAV-Datei (startup.wav) einlesen

22050

DurchschnBytesProSek

22050

Anhand dieser Informationen kann der Zeitvektor erstellt werden, der den von WAVELESEN eingelesenen Amplituden entspricht. WAV-Dateien lesen: X := WAVLESEN("Pfad\NAME.WAV") X ... Datenvektor oder: Datei:="Pfad\NAME.WAV" Dateistring auf eine Variable zuweisen X := WAVLESEN(Datei)

Wenn kein Pfad angegeben wird, wird das aktuelle Arbeitsverzeichnis automatisch eingesetzt.

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

WavDaten  WAVLESEN ( "C:\Mathcad\Einführung\startup.wav" )





¢0² n  0  länge WavDaten 1 T

WavDaten

0

Zeitn 

Wave-Datei lesen

Bereichsvariable

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

130

131

136

138

140

143

148

150

153

155

n

Zeitschritte

Sampling_Rate 300

200 ¢0² WavDaten 100

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Zeit

Abb. 19.67

Seite 436

1.2

1.4

1.6

Schnittstellenbeschreibung

WAV-Dateien erstellen: WAVESCHREIBEN("Pfad\NAME.WAV") := X X ... Datenvektor Mit dieser Zuweisung wird versucht, eine Datei namens NAME.WAV im angegebenen Verzeichnis zu erstellen. Wenn kein Pfad angegeben wird, wird das aktuelle Arbeitsverzeichnis automatisch eingesetzt.

Beispiel 19.14:

WAVSCHREIBEN ( "testwav.wav"  Sampling_Rate  Auflösung)  WavDaten

WAVINFO ( "testwav.wav" )

§ 1 · ¨ ¨ 22050 ¸ ¨ 8 ¸ ¨ © 22050 ¹

Die neuen Dateiformatinformationen sind hier dieselben wie die ursprünglichen Informationen!

Gilt für die Bitauflösung ein Wert von 1 bis 8, werden die Daten als vorzeichenlose Byte-Daten in die Datei geschrieben. Die Grenzwerte für vorzeichenlose Byte-Daten sind 0–256 (2 8 ). Bei einer Bitauflösung von 9 bis 16 werden Word-Daten (zwei Bytes) in die Datei geschrieben. Die Grenzwerte für Word-Daten liegen bei –32768 und +32767 (2 15 = 32768). 19.4 Mathcad-Arbeitsblätter für das Web

Wie bereits in Abschnitt 1.6.9 erwähnt, kann im Menü-Datei mit dem Befehl "Speichern unter" und der Dropdown-Liste "Dateityp" ein Arbeitsblatt auch als HTML-Datei gespeichert werden. Es kann aber auch mit Menü-Datei "Als Web-Seite speichern" ein Mathcad Arbeitsblatt gespeichert werden. Eine Beschreibung findet sich auch dazu im Menü-Hilfe Author's Reference.

Vor der Speicherung als Web-Seite sollten zuerst die Einstellungen im Registerblatt HTML-Optionen (Menü-Extras-Einstellungen ) überprüft werden (Abb. 19.68):

Abb. 19.68

Seite 437

Schnittstellenbeschreibung

Mithilfe dieser Registerkarte kann festgelegt werden, wie Mathcad Dokumente in das HTML-Format exportiert werden sollen. Die als HTML-Dateien gespeicherte Dokumente können ohne Funktionalitätseinbußen wieder in Mathcad importiert werden. Bilder speichern als:

Grafiken können entweder im JBG- oder PNG-Format exportiert werden. PNG ist ein verlustfreies Format, d.h. es gehen keine Daten verloren. Aber die so gespeicherten Dateien sind größer. Bei Auswahl von JPEG kann man ausserdem die Qualität der Kompression festlegen. Je höher dieser Wert ist, desto weniger werden die Bilder komprimiert und desto größer sind die so gespeicherten Bilddateien. Layout speichern als:

Für Bereiche in Mathcad-Arbeitsblättern, die in das HTML Format exportiert wurden, kann eine feste oder relative Positionierung verwendet werden. Fest: Auf der Webseite wird jeder HTML-Ausdruck fest positioniert. Das Originaldokument wird zwar sehr getreu dargestellt, aber das direkte Einfügen von anderen Elementen in die HTM-Datei wird sehr erschwert. Relativ: Beim Speichern behalten die Bereiche ihre relative horizontale und vertikale Positionierung bei. Dies ermöglicht das Bearbeiten des HTML-Dokuments ausserhalb von Mathcad und das Einfügen zusätzlicher HTML-Elemente. Diese Einstellung muss auch gewählt werden, wenn Webseiten-Vorlagen verwendet werden sollen. Webseiten-Vorlage:

Die Arbeitsblätter können mithilfe von benutzerdefinierten HTML-Vorlagen exportiert werden, um eventuelle Formatanforderungen erfüllen zu können. Eine Webseiten-Vorlage erleichtert das Erstellen von Websites. Solche Vorlagen müssen mit der Dateityp- Erweiterung MLT gespeichert werden und dieselbe Struktur aufweisen wie die Vorlage im Verzeichnis Mathsoft/Mathcad12/template/ HTMLtemplate.mlt. Öffnen einer Mathcad-Datei die als HTML-Datei abgespeichert wurde:

Über das Menü-Datei im Internet-Explorer kann mit "Bearbeiten mit Mathcad Application" die im Browser geöffnete HTML-Datei mit Mathcad bearbeitet und anschließend mit "Aktualisieren" in der Symbolleiste des Browsers wieder ausgeführt werden. Siehe dazu Mathcad-Hilfe - Author's Reference.

Seite 438

Schnittstellenbeschreibung

Abb. 19.69 Abschließende Bemerkung: Der Funktionsumfang von Mathcad kann mit selbst geschriebenen DLL's wesentlich erweitert werden. Siehe dazu Menü-Hilfe-Developer's Reference. Für den Datenimport in Mathcad ist das Data Analysis Extension Pack eine große Hilfe. Dieses Paket enthält auch einen Datenimport-Wizard und muss zusäzlich zu Mathcad dazugekauft werden.

Seite 439

Mathcadfunktionen

20. Mathcadfunktionen Vordefinierte Mathcadfunktionen können mit Menü-Einfügen-Funktionen (<Strg> + <e>) und dem f(x)-Symbol in der Symbolleiste eingefügt werden. Diese Funktionen können aber auch eingegeben werden. Eine Beschreibung der Funktionen findet man in der Hilfe von Mathcad. 20.1 Rundungsfunktion rund(z,n) Gibt z gerundet auf n Dezimalstellen zurück. Wenn n nicht angegeben wird, wird z, gerundet auf die nächste ganze Zahl, zurückgegeben (n wird dabei 0 gesetzt). Wenn n < 0, wird z, gerundet auf n Stellen links des Dezimalzeichens, zurückgegeben. Argumente: z kann eine reelle oder eine komplexe Zahl sein (dimensionslos). n muss eine ganze Zahl sein. Rund(z,y) Rundet z (reelle oder eine komplexe Zahl und dimensionslos) auf das nächstliegende Vielfache von y. y muss reell und ungleich null sein. 20.2 Abbruchfunktionen floor(z) Gibt die größte ganze Zahl d z zurück. Floor(z,y) Gibt das größte Vielfache von y kleiner oder gleich z zurück. y muss reell und ungleich null sein. ceil(z) Gibt die kleinste ganze Zahl t z zurück. Ceil(z,y) Gibt das kleinste Vielfache von y größer oder gleich z zurück. y muss reell und ungleich null sein. trunc(z) Gibt den ganzzahligen Teil von z zurück. Der Bruchteil wird entfernt. Trunc(z,y) Gibt den Wert von trunc(z/y)*y zurück. y muss reell und ungleich null sein. Argumente: z kann eine reelle oder eine komplexe Zahl sein (dimensionslos). Hinweis: Die Funktionen floor und trunc geben bei positiven Werten von z denselben Wert zurück. Bei negativen Werten von z unterscheiden sich die Ergebnisse. So ist floor(-2.6)=-3, aber trunc(-2.6)=-2.

20.3 Modulo- und Winkelberechnungsfunktion, ggT und kgV mod(x, y) Gibt x mod y zurück, den Rest aus der Division von x durch y. x und y sind reelle Zahlen. winkel(x,y) Winkel von der x-Achse zum Punkt (x,y). x und y sind reelle Zahlen. gcd(A,B,C,...) Gibt die größte ganze Zahl, die alle Elemente in den Feldern oder Skalaren A,B,C,... ohne Rest teilt, zurück (die Elemente von A,B,C... sind ganzen Zahlen). Icm(A,B,C,...) Gibt die kleinste positive ganze Zahl, die ein Vielfaches aller Werte in den Feldern oder Skalaren A,B,C,... darstellt, zurück (die Elemente von A,B,C... sind ganzen Zahlen).

Seite 440

Mathcadfunktionen

20.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen exp(z) , e z Exponetialfunktion. log(z,b) Logarithmus z zur Basis b. Wenn b weggelassen wird, so ist es der Logarithmus z zur Basis 10. ln(z) Natürlicher Logarithmus von z (Basis e). Argumente: z muss ein Skalar sein (reell, komplex oder imaginär). z muss dimensionslos sein. Für die Funktionen log und ln muss z größer Null sein. b ist ein optionales, positives Argument. b muss, wenn angegeben, ein Skalar sein. Wird b weggelassen, wird b gleich 10 gesetzt. Bei komplexem z stammen die von den log-Funktionen zurückgegebenen Werte aus dem Hauptwert dieser Funktionen. Anders ausgedrückt gilt für den Hauptwert: ln(z) = ln(|z|) + j arg(z) 20.5 Trigonometrische- und Arcusfunktionen sin(z), cos(z), tan(z), cosec(z), sec(z), cot(z), sinc(z) = sin(z)/z. Argumente: z muss in Radiant angegeben werden. z muss ein Skalar sein (reell, komplex oder imaginär). asin(z), acsc(z), acos(z), asec(z), atan(z), acot(z), atan2(x,y) Argumente: z muss ein Skalar sein. z muss dimensionslos sein. x und y sind Skalare. asin(z), atan(z), asec(z), acsc(z), acot(z) geben Winkelwerte in Radiant zwischen - S/2 und S zurück, wenn z reell ist. atan2(x,y) gibt einen Winkel (in Radiant ) zwischen - S und S (aber nicht -S) von der x-Achse zu einer Geraden zurück, die den Ursprung (0,0) und den Punkt (x,y) enthält. acos(z) gibt einen Winkelwert in Radiant zwischen 0 und S zurück, wenn z reell ist. Die zurückgegebenen Werte stammen aus dem Hauptwert dieser Funktionen. 20.6 Hyperpolische- und Areafunktionen sinh(z), cosh(z), tanh(z), coth(z), cosech(z), sech(z). Argumente: z muss in Radiant angegeben werden. z muss ein Skalar sein. z muss dimensionslos sein. arsinh(z), arcosh(z), artanh(z), acoth(z), acsch(z), asech(z) . Argumente: z muss ein Skalar sein. z muss dimensionslos sein Die zurückgegebenen Werte stammen aus dem Hauptwert dieser Funktionen.

Seite 441

Mathcadfunktionen

20.7 Funktionen für komplexe Zahlen Re(z) Gibt den Realteil von z zurück. Im(z) Gibt den Imaginärteil von z zurück. arg(z) Gibt das Argument von z, zwischen -S und S, zurück. csgn(z) Gibt 0 zurück, wenn z = 0. Ist Re(z) > 0 oder (Re(z) = 0 und Im(z > 0), wird 1 zurückgegeben, andernfalls -1. signum(z) Gibt 1 zurück, wenn z = 0 und andernfalls z/|z|. 20.8 Bedingte (unstetige) Funktionen wenn(cond, wwert, fwert) Gibt wwert zurück, wenn cond zutrifft, sonst wird fwert ausgegeben. bis(icond, x) Übergibt x solange, bis icond ( Ausdruck, der eine Bereichsvariable enthält) negativ ist. G(m, n) Kronecker-Deltafunktion. Gibt 1 zurück, wenn m = n, andernfalls 0. sign(x) Vorzeichen einer Zahl. Gibt 0 zurück, wenn x = 0. Ist x > 0, wird 1 zurückgegeben, andernfalls -1. H(i,j,k) Vollständig antisymmetrische Tensor-Funktion. )(x) Heaviside-Sprungfunktion. Gibt 0 zurück, wenn x < 0, andernfalls 1. 20.9 Zeichenfolgefunktionen verkett(S1,S2,S3,...) Hängt die Zeichenfolge S2 an das Ende von S1 an usw. Gibt eine Zeichenfolge zurück. Fehler(S) Gibt die Zeichenfolge S als Fehlerbeschreibung aus. zflänge(S) Bestimmt die Anzahl der Zeichen in der Zeichenfolge S. Gibt eine ganze Zahl zurück. subzf(S,n,m) Extrahiert eine Subzeichenfolge von S, die mit dem Zeichen an Position n beginnt und höchstens m Zeichen aufweist. Die Argumente m und n müssen ganze Zahlen sein. strtpos(S,SubS,x) Sucht die Startposition der Subzeichenfolge SubS in S, die an Position x in S beginnt. zfinzahl(S) Wandelt eine Zahlen-Zeichenfolge S in eine Konstante um. U nterstützt auch hexadezimale und binäre Zeichenfolgen (Zahlen-Strings).

Seite 442

Mathcadfunktionen

zahlinzf(x) Wandelt die Zahl x in eine Zeichenfolge um. zfinvek(S) Wandelt eine Zeichenfolge S in einen Vektor aus ASCII-Codes um. vekinzf(v) Wandelt einen Vektor aus ASCII-Codes in eine Zeichenfolge um. ASCII-Steuerzeichen 2 - 31 sind in Zeichenfolgenvariablen nicht mehr zulässig und können auch nicht mehr durch die Funktion vekinzf erzeugt werden. 2 bis 31 sind demnach nicht mehr gültige Argumente für die Funktion vekinzf. 20.10 Ausdruckstypfunktionen IsScalar(x) Gibt 1 zurück, wenn x ein Skalar ist, andernfalls 0. IsArray(x) Gibt 1 zurück, wenn x ein Vektor oder eine Matrix ist, andernfalls 0. IsString(x) Gibt 1 zurück, wenn x eine Zeichenfolge ist, andernfalls 0. SIEinhVon(x) Gibt die Einheiten von x zurück, andernfalls 1. IsNaN(x) Übergibt 1, wenn x eine NaN (Not a Number) ist. Ansonsten übergibt die Funktion 0. 20.11 Vektor- und Matrixfunktionen Verbinden von Feldern:

Spezielle Eigenschaften einer Matrix:

erweitern(A,B,C,...) stapeln(A,B,C,...)

sp(M) rg(M) norm1(M) norm2(M) norme(M) normi(M) cond1(M) cond2(M) conde(M) condi(M)

Teilfelder auswählen: submatrix(M, ir, jr, ic, jc) Erstellen von Feldern: matrix(m,n,f) ErstellenGitter(F,s0,s1,t0,t1,sgrid,tgrid,fmap) ErstellenRaum(F,t0,t1,tgrid,fmap)

Eigenwerte und Eigenvektoren: eigenwerte(M) eigenvektoren(M) eigenvek(M,z) genwerte(M,N) genvektoren(M,N)

Größe eines Felds: spalten(A) zeilen(A) länge(v) letzte(v)

Matrix-Zerlegung: Extrema eines oder mehrerer Felder: cholesky(M) qr(A) lu(M) svd(A) svds(A)

max(A,B,C,...) min(A,B,C,...)

Seite 443

Mathcadfunktionen

Spezielle Typen von Matrizen:

Suchfunktionen:

Vektoren aus log Datenpunkten:

diag(v) geninv(A) zref(A) einheit(n) kronecker(M, N)

verweis(A,B) wverweis(z,A,r) hlookup(z, A, c) vergleich(z,A)

logspace(min,max,npts) logpts(minexp, dec, dnpts))

20.12 Sortierfunktionen Mathcad verfügt über drei Funktionen zum Sortieren von Feldern und über eine Funktion, mit der die Reihenfolge der Elemente von Feldern umgekehrt werden kann: sort(v) Gibt einen Vektor mit den in aufsteigender Reihenfolge sortierten Werten in v zurück. Wenn v komplexe Elemente enthält, wird der Imaginärteil ignoriert. spsort(A,n) Gibt ein Feld zurück. Die Zeilen von A werden so umgestellt, dass die Spalte n in aufsteig ender Reihenfolge sortiert werden kann. Wenn A komplexe Elemente enthält, wird der Imaginärteil ignoriert. zsort(A,n) Gibt ein Feld zurück. Die Zeilen von A werden so umgestellt, dass die Spalte n in aufsteig ender Reihenfolge sortiert werden kann. Wenn A komplexe Elemente enthält, wird der Imaginärteil ignoriert. umkehren(A) Gibt ein Feld zurück, in dem die Elemente eines Vektors oder die Zeilen einer Matrix in umgekehrter Reihenfolge abgelegt sind. 20.13 Funktionen zur Lösung von Gleichungen Suchen(x,y,...) Lösen von Gleichungssystemen Minfehl(x,y,...) Näherungsweises Lösen von Gleichungssystemen wurzel(f(z)z) bzw. wurzel(f(z),z,a,b) Lösen genau einer Gleichung für genau eine Unbekannte llösen(M,v) Lösen von Gleichungssystemen nullstellen(v) Löst nach den Wurzeln des Polynoms auf, dessen Koeffizienten durch v definiert sind. 20.14 Funktionen zur Funktionsoptimierung Minimieren(f, var1, var2,...) Ermittelt die Werte, an denen eine Funktion ihren Minimalwert annimmt. Maximieren(f, var1, var2,...) Ermittelt die Werte, an denen eine Funktion ihren Maximalwert annimmt.

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20.15 Kombinatorische Funktionen combin(n,k) Gibt die Anzahl der Kombinationen von n Objekten bei Auswahl von k Objekten zurück. permut(n,k) Gibt die Anzahl der Permutationen von n Objekten bei Auswahl von k Objekten zurück. 20.16 Statistische Funktionen 20.16.1 Datenanalysefunktionen kvar(A,B) Kovarianz der Elemente in den beiden aus m x n bestehenden Feldern A und B. korr(A,B) Pearsonscher Korrelationskoeffizient für die beiden aus m x n bestehenden Felder A und B. correl(x,y) Übergibt die Korrelation der Vektoren x und y. correl2d(M,K) Übergibt die 2D-Korrelation von Matrix M mit Kern K. gmean(A,B,C,...) Geometrischer Mittelwerte der Elemente der Felder oder Skalare A,B,C,... (alle Elemente reell und größer 0). hmean(A,B,C,...) Harmonischer Mittelwerte der Elemente der Felder oder Skalare A,B,C,... (alle Elemente reell und größer 0). kurt(A,B,C,...) Häufigkeitsgrad der Elemente der Felder oder Skalare A,B,C,.... median(A,B,C,...) Median der Elemente der Felder oder Skalare A,B,C,... mittelwert(A,B,C,...) Arithmetischer Mittelwert der Elemente der Felder oder Skalare A,B,C,... mode(A,B,C,...) Modus der Elemente der Felder oder Skalare A,B,C,... skew(A,B,C,...) Asymmetrie der Elemente der Felder oder Skalare A,B,C,.... stdev(A,B,C,...) bzw. Stdev(A,B,C,...) Standardabweichung der Elemente der Felder oder Skalare A,B,C,... der Grundgesamtheit bzw. einer Stichprobe (Quadratwurzel der Varianz bzw. Quadratwurzel der Beispielvarianz). var(A) bzw. Var(v) Varianz der Elemente der Felder oder Skalare A,B,C,... (Populationsvarianz bzw. Beispielvarianz).

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hist(intervalle,daten) Gibt Daten für ein Balkendiagramm zurück: Wenn "intervalle" ein Vektor ist, wird ein Vektor zurückgegeben, dessen i-tes Element die Anzahl der Punkte in "daten" angibt, die zwischen dem i-ten und dem (i+1)ten Element von "intervalle" liegen. Wenn "intervalle" ein Skalar ist, wird ein Vektor zurückgegeben, der die Anzahl der Punkte in "daten" anzeigt, die in die Zahl der gleichmäßigen Intervalle fallen, die durch "intervalle" repräsentiert wird. Histogramm(n,Daten) Gibt Daten für ein Balkendiagramm zurück. n ist die Anzahl der Klassen. Die erste Spalte von Histogramm enthält die Mittelpunkte der Intervalle, während die zweite Spalte denselben Häufigkeitsvektor zurückgibt wie hist. Argumente: "intervalle" ist ein Skalar oder ein Vektor. Wenn es sich um einen Skalar handelt, stellt er die Anzahl der gleichmäßigen Intervalle dar, in die die Werte in daten sortiert werden. Handelt es sich bei "intervalle" um einen Vektor aus reellen Werten in aufsteigender Reihenfolge, stellen die Werte die Intervalle dar, in die die Elemente von daten sortiert werden. "Daten" ist ein Vektor aus reellen Datenwerten. 20.16.2 Dichtefunktionen, Verteilungsfunktionen und Zufallszahlen Wahrscheinlichkeitsdichten - Diese geben die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt. Kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Diese geben die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen Wert annimmt, der geringer oder gleich einem festgelegten Wert ist. Sie ergeben sich aus der einfachen Integration (oder gegebenenfalls Summierung) der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsdichte über einen geeigneten Zeitraum. Umgekehrte Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Diese Funktionen erhalten eine Wahrscheinlichkeit als Argument und haben ein Ergebnis wie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable geringer oder gleich dem Wert ist (je nach der als Argument angegebenen Wahrscheinlichkeit). BETA-VERTEILUNG: dbeta(x,s1,s2)

Gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Beta-Verteilung zurück.

pbeta(x,s1,s2)

Gibt die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

qbeta(x,s1,s2)

Gibt die inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

rbeta(m,s1,s2)

Gibt einen Vektor aus m Zufallszahlen zurück, die die Beta-Verteilung aufweisen.

BINOMIALVERTEILUNG: dbinom(k,n,p)

Gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Binomialverteilung zurück.

pbinom(k,n,p)

Gibt die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

qbinom(p,n,r)

Gibt die inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

rbinom(m,n,p)

Gibt einen Vektor aus m Zufallszahlen zurück, die die Binomialverteilung aufweisen.

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CAUCHY-VERTEILUNG: dcauchy(x,l,s)

Gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Cauchy-Verteilung zurück.

pcauchy(x,l,s)

Gibt die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

qcauchy(p,l,s)

Gibt die inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

rcauchy(m,l,s)

Gibt einen Vektor aus m Zufallszahlen zurück, die die Cauchy-Verteilung aufweisen.

CHI-QUADRAT-VERTEILUNG: dchisq(x,d)

Gibt die Chi-Quadrat-Verteilung zurück.

pchisq(x,d)

Gibt die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

qchisq(p,d)

Gibt die inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

rchisq(m,d)

Gibt einen Vektor aus m Zufallszahlen zurück, die die Chi-Quadrat-Verteilung aufweisen.

EXPONENTIALVERTEILUNG: dexp(x,r)

Gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Exponentialverteilung zurück.

pexp(x,r)

Gibt die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

qexp(p,r)

Gibt die inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

rexp(m,r)

Gibt einen Vektor aus m Zufallszahlen zurück, die die Exponentialverteilung aufweisen.

F-VERTEILUNG: dF(x,d1,d2)

Gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte für die F-Verteilung zurück.

pF(x,d1,d2)

Gibt die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

qF(p,d1,d2)

Gibt die inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

rF(m,d1,d2)

Gibt einen Vektor aus m Zufallszahlen zurück, die die F-Verteilung aufweisen.

GAMMA-VERTEILUNG: dgamma(x,s)

Gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Gammaverteilung zurück.

pgamma(x,s)

Gibt die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

qgamma(p,s)

Gibt die inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

rgamma(m,s)

Gibt einen Vektor aus m Zufallszahlen zurück, die die Gammaverteilung aufweisen.

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GEOMETRISCHE VERTEILUNG: dgeom(k,p)

Gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte für die geometrische Verteilung zurück.

pgeom(k,p)

Gibt die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

qgeom(p,r)

Gibt die inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

rgeom(m,p)

Gibt einen Vektor aus m Zufallszahlen zurück, die die geometrische Verteilung aufweisen.

HYPERGEOMETRISCHE VERTEILUNG: dhypergeom(m,a,b,n) Gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte für die hypergeometrische Verteilung zurück. phypergeom(m,a,b,n) Gibt die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück. qhypergeom(p,a,b,n)

Gibt die inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

rhypergeom(m,a,b,n)

Gibt einen Vektor von m Zufallszahlen zurück, die eine hypergeometrische Verteilung aufweisen.

LOGARITHMISCHE NORMALVERTEILUNG: dlnorm(x, P, V)

Gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte für die logarithmische Normalverteilung zurück.

plnorm(x, P, V)

Gibt die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

qlnorm(p, P, V)

Gibt die inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

rlnorm(m, P, V)

Gibt einen Vektor aus Zufallszahlen zurück, die eine logarithmische Normalverteilung aufweisen.

LOGISTISCHE VERTEILUNG: dlogis(x,l,s)

Gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte für die logistische Verteilung zurück.

plogis(x,l,s)

Gibt die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

qlogis(p,l,s)

Gibt die inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

rlogis(m,l,s)

Gibt einen Vektor aus m Zufallszahlen zurück, die die logistische Verteilung aufweisen.

NEGATIVE BINOMIALVERTEILUNG: dnbinom(k,n,p)

Gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte für die negative Binomialverteilung zurück.

pnbinom(k,n,p)

Gibt die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

qnbinom(p,n,r)

Gibt die inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

rnbinom(m,n,p)

Gibt einen Vektor aus m Zufallszahlen zurück, die die negative Binomialverteilung aufweisen.

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NORMALVERTEILUNG: dnorm(x,P,V)

Gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Normalverteilung zurück.

pnorm(x, P, V) Gibt die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück. knorm(x)

Gibt die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung mit dem Mittelwert 0 und der Varianz 1 zurück (knorm(x) = pnorm(x,0,1)).

qnorm(p,P,V)

Gibt die inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

rnorm(m,P,V)

Gibt einen Vektor aus m Zufallszahlen zurück, der die Normalverteilung aufweist.

fehlf(x)

Gauß'sche Fehlerfunktion.

Argumente: x ist ein reeller Skalar oder komplex. Zwischen der Fehlerfunktion und der komplementären Fehlerfunktion besteht die folgende Beziehung: erfc(x) := 1 - fehlf(x) POISSON-VERTEILUNG: dpois(k,O)

Gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Poisson-Verteilung zurück.

ppois(k, O )

Gibt die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

qpois(p, O )

Gibt die inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

rpois(m, O )

Gibt einen Vektor aus m Zufallszahlen zurück, die die Poisson-Verteilung aufweisen.

STUDENT-VERTEILUNG: dt(x,d)

Gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte für die t-Verteilung zurück.

pt(x,d)

Gibt die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

qt(p,d )

Gibt die inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

rt(m,d)

Gibt einen Vektor aus m Zufallszahlen zurück, die die Studentsche t-Verteilung aufweisen.

GLEICHMÄSSIGE VERTEILUNG: dunif(x,a,b)

Gibt die gleichmäßige Verteilung zurück.

punif(x,a,b)

Gibt die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

qunif(p,a,b)

Gibt die inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

rnd(x)

Gibt eine gleichmäßig verteilte Zufallszahl zwischen 0 und x zurück.

runif(m,a,b)

Gibt einen Vektor aus m Zufallszahlen zurück, die die gleichmäßige Verteilung aufweisen.

rnd(x) entspricht der Funktion runif(1,0,x).

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WEIBULL-VERTEILUNG: dweibull(x,s)

Gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Weibull-Verteilung zurück.

pweibull(x,s)

Gibt die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

qweibull(p,s)

Gibt die inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zurück.

rweibull(m,s)

Gibt einen Vektor aus m Zufallszahlen zurück, die die Weibull-Verteilung aufweisen.

20.16.3 Interpolation und Prognosefunktionen In Mathcad stehen drei Interpolationsverfahren und ein Verfahren für die lineare Prognose zur Verfügung: Lineare Interpolation: Verbinden von Punkten mit einer geraden Linie. Kubische Spline-Interpolation: Verbinden von Punkten mit einem kubischen Abschnitt. B-Spline-Interpolation: Verbinden von Punkten mit Polynomen eines bestimmten Grades an gegebenen Knoten. Multivariable kubische Spline-Interpolation: Erstellen einer Fläche durch ein Punktgitter. Lineare Prognose: Bestimmen von Werten über einen bestimmten Datensatz hinaus. Lineare Interpolation: linterp(vx,vy,x) Gibt einen an x linear interpolierten Wert für die Datenvektoren vx und vy zurück. Argumente: vx ist ein Vektor aus reellen Datenwerten in aufsteigender Reihenfolge. Diese entsprechen den x-Werten. vy ist ein Vektor aus reellen Datenwerten. Diese entsprechen den y-Werten. vy hat die gleiche Anzahl von Elementen wie vx. x ist der Wert der unabhängigen Variable, an der ein Ergebnis interpoliert werden soll. Dieser Wert sollte innerhalb des von vx angegebenen Bereichs liegen. Bei der linearen Interpolation verbindet Mathcad die vorhandenen Datenpunkte durch gerade Linien und interpoliert nach einem bestimmten Wert. Kubische Spline-Interpolation: kspline(vx,vy) Gibt einen Vektor aus den zweiten Ableitungen für die Datenvektoren vx und vy zurück. Dieser Vektor wird als das erste Argument der Funktion interp verwendet. Die sich dabei ergebende Spline-Kurve ist an den Endpunkten kubisch. pspline(vx,vy) Wie kspline, die sich ergebende Spline-Kurve ist an den Endpunkten jedoch parabolisch. lspline(vx,vy) Wie kspline, die sich ergebende Spline-Kurve ist an den Endpunkten jedoch linear.

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interp(vs,vx,vy,x) Führt eine Spline-Interpolation von vy am Punkt x aus und gibt den sich dabei ergebenden Wert zurück. Argumente: vx ist ein Vektor aus reellen Datenwerten in aufsteigender Reihenfolge. Diese entsprechen den x-Werten. vy ist ein Vektor aus reellen Datenwerten. Diese entsprechen den y-Werten. vy hat die gleiche Anzahl von Elementen wie vx. vs ist ein Vektor, der von kspline, pspline oder lspline generiert wurde. x ist der Wert der unabhängigen Variable, an der das Ergebnis interpoliert werden soll. Dieser Wert sollte innerhalb des von vx angegebenen Bereichs liegen. Durch kubische Spline-Interpolation können Sie eine Kurve so über eine Reihe von Punkten legen lassen, dass die erste und die zweite Ableitung der Kurve bei jedem Punkt stetig ist. Die Kurve wird dadurch zusammengesetzt, dass ein kubisches Polynom über jeweils drei benachbarten Punkten konstruiert wird. Diese kubischen Polynome werden dann zusammengesetzt und ergeben die vollständige Kurve. B-Spline-Interpolation: bspline(vx,vy,u,n) Gibt einen Vektor mit den Koeffizienten einer B-Spline n-ten Grades für die Daten in vx und vy zurück, wobei die Knoten, die durch die Werte in u angezeigt werden, gegeben sind. Der zurückgegebene Vektor wird zum ersten Argument der Funktion interp. interp(vs,vx,vy,x) Gibt einen B-Spline-interpolierten Wert von vy an einem Punkt x zurück, wobei vs das Ergebnis der Funktion bspline ist. Argumente: vx ist ein Vektor aus reellen Datenwerten in aufsteigender Reihenfolge. Diese entsprechen den x-Werten. vy ist ein Vektor aus reellen Datenwerten. Diese entsprechen den y-Werten. vy hat die gleiche Anzahl von Elementen wie vx. u ist ein reeller Vektor mit n-1 weniger Elementen als vx (wobei n 1, 2 oder 3 ist). Die Elemente in u müssen in aufsteigender Reihenfolge angeordnet sein. Die Elemente enthalten die Werte der Knoten für die Interpolation. Das erste Element in u muss kleiner gleich dem ersten Element in vx sein. Das letzte Element in u muss größer gleich dem letzten Element in vx sein. n ist eine ganze Zahl gleich 1, 2 oder 3 und gibt den Grad der individuellen stückweisen linearen (n=1), quadratischen (n=2) oder kubischen (n=3) Polynomanpassungen an. vs ist ein Vektor, der von bspline zurückgegeben wird. x ist der Wert der unabhängigen Variable, an der ein Ergebnis interpoliert werden soll. Dieser Wert sollte innerhalb des von vx angegebenen Bereichs liegen. Mit der B-Spline-Interpolation können Sie eine Kurve durch eine Reihe von Punkten laufen lassen. Diese Kurve wird berechnet, indem drei nebeneinander liegende Punkte als Grundlage genommen werden, durch die ein Polynom n-ten Grades geführt wird. Diese Polynome werden dann an den Knoten miteinander verbunden, sodass sie die endgültige Kurve bilden.

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Multivariable kubische Spline-Interpolation: Mit der zweidimensionalen kubischen Spline-Interpolation kann man eine Fläche so durch ein Raster von Punkten verlaufen lassen, dass die erste und die zweite Ableitung der Kurve an jedem Punkt stetig ist. Diese Fläche entspricht einem kubischen Polynom in x und y, bei dem die erste und zweite Ableitung in der entsprechenden Richtung an jedem Rasterpunkt stetig ist. kspline(Mxy,Mz) Gibt einen Vektor aus den zweiten Ableitungen für die Datenfelder Mxy und Mz zurück. Dieser Vektor wird als das erste Argument der Funktion interp verwendet. Die sich dabei ergebende Fläche ist an den Rändern des von Mxy abgedeckten Bereichs kubisch. pspline(Mxy,Mz) Wie kspline, die sich ergebende Fläche ist jedoch an den Rändern parabolisch. Ispline(Mxy,Mz) Wie kspline, die sich ergebende Fläche ist jedoch an den Rändern linear. interp(vs,Mxy,Mz,v) Führt eine Spline-Interpolation von Mz an den in v angegebenen x- und y-Koordinaten aus und gibt den sich dabei ergebenden Wert zurück. Argumente: Mxy ist ein aus n x 2 Elementen bestehende Matrix, deren Elemente Mxy i,0 und Mxy i,1 die x- und y-Koordinaten entlang der Diagonalen eines rechtwinkligen Gitters angeben, über das interpoliert werden soll. Die Elemente von Mxy müssen in jeder Spalte aufsteigend sortiert sein. Mz ist ein aus n x n Elementen bestehende Matrix, deren ij-tes Element die z-Koordinate des Punktes mit x = Mxyi,0 und y = Mxy j,1 ist. Mxy und Mz spielt dieselbe Rolle wie vx bzw. vy im eindimensionalen Fall. vs ist ein Vektor, der von einer der Funktionen kspline, pspline oder lspline generiert wurde. v ist ein Vektor, der die beiden x- und y-Werte für den Punkt enthält, an dem der interpolierte Wert für z ermittelt werden soll. Zugunsten der Ergebnisgenauigkeit sollten für x und y Werte gewählt werden, die im Bereich der Gitterpunkte liegen. Lineare Prognose: prognose(v,m,n) Gibt einen Vektor aus n prognostizierten Werten auf der Grundlage von m aufeinanderfolgenden Elementen von v zurück. Argumente: v ist ein Vektor, dessen Werte Stichproben entsprechen, die in gleichen Intervallen entnommen wurden. m und n sind ganze Zahlen. Die Funktion prognose prognostiziert anhand der vorhandenen Daten Datenpunkte, die hinter den vorhandenen liegen. Sie verwendet einen linearen Prognosealgorithmus, der von großem Vorteil ist, wenn die Daten gleichförmig und oszillierend sind (aber nicht unbedingt periodisch sein müssen). Die lineare Prognose kann als eine Art Extrapolationsverfahren angesehen werden, ist jedoch nicht mit Linear- oder Polynomextrapolation zu verwechseln.

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20.16.4 Datenglättungsfunktionen Bei der Datenglättung wird auf der Grundlage eines Satzes von y- und möglicherweise x-Werten ein neuer Satz von y-Werten ausgegeben, der im Vergleich zum ursprünglichen Satz glatter ist. medgltt(vy,n) Gibt einen aus m Elementen bestehenden Vektor zurück, der durch Glätten von vy mit gleitenden Mittelwerten über einem Fenster der Breite n erstellt wird. kgltt(vx,vy,b) Gibt einen aus m Elementen bestehenden Vektor zurück, der durch Glätten mit Hilfe eines Gauß'schen Kerns erstellt wird, um gewichtete Mittel der Elemente in vy zurückzugeben. strgltt(vx,vy) Gibt einen aus m Elementen bestehenden Vektor zurück, der durch die stückweise Ausführung eines symmetrischen linearen MKQ-Anpassungsverfahrens unter Berücksichtigung des k am nächsten stehenden Nachbarn erstellt wird, wobei k der jeweiligen Situation angepasst wird. 20.16.5 Kurvenanpassungsfunktionen Lineare Regression: k = neigung(vx,vy) und d = achsenabschn(vx,vy) bzw. line(vx,vy) liefert einen Vektor mit k und d. Mit ihnen kann die Gerade y = k x + d ermittelt werden, die den Datenpunkten am ehesten entspricht. medfit(vx,vy) Liefert einen Vektor mit k und d für die Gerade y = k x + d, die die Daten über die MedianMedian Regression am besten darstellt. stdfehl(vx,vy) Standardfehler für die lineare Regression. Polynomregression:

loess(vx,vy,span) Ermittelt die Polynome zweiten Grades, die bestimmten Umgebungen von Datenpunkten am ehesten entsprechen. Multivariable Polynomregression: regress(Mxy,vz,k) Ermittelt die Polynomfläche, die bestimmten Datenpunkten am ehesten entspricht. loess(Mxy,vz,span) Ermittelt die Polynome zweiten Grades, die bestimmten Umgebungen von Datenpunkten am ehesten entsprechen. Generalisierte Regression: linanp(vx,vy,F) Ermittelt die Koeffizienten, bei denen eine lineare Kombination von Funktionen bestimmten Datenpunkten am ehesten entspricht. genanp(vx,vy,vg,F) Ermittelt die Parameter, bei denen eine von Ihnen festgelegte Funktion bestimmten Datenpunkten am ehesten entspricht.

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Spezielle Regression: expanp(vx,vy,vg) Gibt die Parameterwerte für die Exponentialkurve a * e b*x + c zurück, die die Daten vx und vy am besten annähern. vg bestimmt die Schätzwerte für die unbekannten Parameter a, b und c. lgspanp(vx,vy,vg) Gibt die Parameterwerte für die logistische Kurve a/(1 + b * e -b*x) zurück, die die Daten vx und vy am besten annähern. vg bestimmt die Schätzwerte für die unbekannten Parameter a, b und c. lnanp(vx,vy) Gibt die Parameterwerte für die logarithmische Kurve a ln(x) +b zurück, die die Daten vx und vy am besten annähern. loganp(vx,vy,vg) bzw. lnanp(vx,vy) Gibt die Parameterwerte für die logarithmische Kurve a * ln(x+b) + c bzw. a * ln(x) + c zurück, die die Daten vx und vy am besten annähern. vg bestimmt die Schätzwerte für die unbekannten Parameter a, b und c. pwranp(vx,vy,vg) Gibt die Parameterwerte für die Potenzkurve a * x b + c zurück, die die Daten vx und vy am besten annähern. vg bestimmt die Schätzwerte für die unbekannten Parameter a, b und c. sinanp(vx,vy,vg) Gibt die Parameterwerte für die Sinuskurve a * sin(x +b) + c zurück, die die Daten vx und vy am besten annähern. vg bestimmt die Schätzwerte für die unbekannten Parameter a, b und c. 20.17 Lösungsfunktionen für Differentialgleichungen Lösen von gewöhnlichen Differentialgleichungen: rkfest(y,x1,x2,npunkte,D) Gdglösen(x,b,[Schritt]) mit Lösungsblock Stetige Systeme: Bulstoer(y,x1,x2,npunkte,D) Steife Systeme: Stiffb(y,x1,x2,npunkte,D,J)

Radau(y,x1,x2,npunkte,D)

Stiffr(y,x1,x2,npunkte,D,J) Sich langsam ändernde Systeme: Rkadapt(y,x1,x2,npunkte,D)

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Bestimmen des letzten Punktes im Integrationsintervall: bulstoer(y,x1,x2,gen,D,kmax,abst)

radau(y,x1,x2,gen,D,kmax,abst)

rkadapt(y,x1,x2,gen,D,kmax,abst) stiffb(y,x1,x2,gen,D,J,kmax,abst) stiffr(y,x1,x2,gen,D,J,kmax,abst) Lösen von Zweipunktrandwertproblemen: grwanp(v1,v2,x1,x2,xf,D,lad1,lad2,entspr)

lad(x1,v)

entsp(x2,y)

sgrw(v,x1,x2,D,lad1,lad2,entspr) Lösen von partiellen Differentialgleichungen: relax(a,b,c,d,e,f,u,rjac) multigit(M,nzyklus) tdglösen(u, x, xBereich, t, tBereich, [xPunkte], [tPunkte]) mit Lösungsblock numol(x_endpts, xpts, t_endpts, tpts, num_pde, num_pae, pde_func, pinit, bc_func) 20.18 Besselfunktionen Besselfunktionen: J0(z) , J1(z), Jn(m,z), Y0(z), Y1(z), Yn(m,z) Modifizierte Besselfunktionen: I0(z), I1(z), In(m,z), K0(z), K1(z), Kn(m,z) Hankelfunktionen: H1(m,z), H2(m,z) Airysche Funktionen: Ai(z), Bi(z), Aisc(z), Bisc(z) Bessel-Kelvin-Funktionen: bei(m,x), ber(m,x) Sphärische Besselfunktionen: js(m,z), ys(m,z)

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20.19 Fouriertransformationsfunktionen Fourier-Transformation reeller Daten: fft(v) bzw. FFT(v) Gibt die Fourier-Transformation eines Vektors zurück. ifft(u) bzw. IFFT(u) Gibt die inverse Fourier-Transformation analog zu fft bzw. FFT zurück. Argumente: v muss 2m Elemente (m>2) haben. Alle Elemente in v sind reell. Hinweise: Diese Funktionen verwenden einen hocheffizienten Algorithmus für die schnelle Fourier-Transformation. Für Vektoren mit komplexen Werten oder einer beliebigen anderen Anzahl von Elementen sollte statt dessen cfft bzw. icfft verwendet werden. Bei zweidimensionalen Fourier-Transformationen sollte ebenfalls statt dessen cfft bzw. icfft verwendet werden. Wenn fft bzw. verwendet wird, um zum Frequenzbereich zu gelangen, kann man nur mit ifft zum Zeitbereich zurückkehren. Fourier-Transformation komplexer Daten: cfft(A) bzw. CFFT(A) Gibt die Fourier-Transformation eines Vektors oder einer Matrix zurück. Das Ergebnis hat dieselbe Anzahl von Zeilen und Spalten wie A. icfft(A) bzw. ICFFT(A) Gibt die inverse-Transformation analog zu cfft bzw. CFFT zurück. Argumente: A kann sowohl ein Vektor als auch eine Matrix sein. Wenn A ein Vektor ist, der 2 m Elemente (m>2) hat, und alle Elemente im Vektor reell sind, sollte statt dessen fft verwendet werden. Bei solchen Vektoren ist die zweite Hälfte des Spektrums das Spiegelbild der ersten und braucht daher nicht berechnet zu werden. Bei Matrixargumenten gibt cfft die zweidimensionale Fourier-Transformation zurück. Bemerkung: FFT(v) ist Identisch mit fft(v), aber mit anderem Normierungsfaktor und anderer Zeichenkonvention. CFFT(A) ist identisch mit cfft(v), aber mit anderem Normierungsfaktor und anderer Zeichenkonvention. IFFT(u) ist Identisch mit ifft(v), aber mit anderem Normierungsfaktor und anderer Zeichenkonvention. ICFFT(B) ist Identisch mit icfft(v), aber mit anderem Normierungsfaktor und anderer Zeichenkonvention.

Wavelet-Transformation: wave(v) Gibt die Wavelet-Transformation der Daten in v über den Daubechies-4- KoeffizientenWavelet-Filter zurück.

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iwave(u) Gibt die zu wave inverse diskrete Wavelet-Transformation für die Daten in u zurück. Argumente: v und u müssen müssen 2m Elemente haben, wobei m eine ganze Zahl ist . Alle Elemente von v müssen reell sein. 20.20 Dateizugriffsfunktionen DATEIZUGRIFFSFUNKTIONEN: READFILE("Pfad\Dateiname", "Dateityp", [Spaltenbreiten], [Zeilen], [Spalten], [Füllung]) Übergibt eine Matrix aus dem Inhalt einer Datei des angegebenen Typs (mit Trennzeichen, feste Breite, oder Excel). PRNLESEN("datei") Liest ein aus mehreren Werten bestehendes Feld aus einer Datendatei. PRNSCHREIBEN("datei") Schreibt ein aus mehreren Werten bestehendes Feld in eine Datendatei. PRNANFÜGEN("datei") Fügt einer bereits bestehenden Datendatei ein aus mehreren Werten bestehendes Feld hinzu. RGBLESEN("datei") Liest eine Farbbilddatei.

WAVELESEN("Datei") Liest eine Audio - Videodatei.

BMPLESEN("datei") Liest eine Bilddatei als Graustufenbild.

WAVESCHREIBEN("Datei",Samplingrate,Auflösung) Erstellt eine Audio - Videodatei.

RGBSCHREIBEN("datei") Erstellt eine Farbbilddatei.

WAVEINFO("DATEI") Liefert Information über eine Audio - Videodatei.

BMPSCHREIBEN("datei") Erstellt eine Graustufenbilddatei. BILDLESEN("Datei") Übergibt eine Matrix mit einer Graustufendarstellung des BMP-, GIF-, JPG- oder TGA-Bildes in der Datei. BINLESEN("Pfad\NAME.BIN", Typ,[Endian], [Spalten], [Anzahl], [MaxZeilen]) Gibt eine Matrix aus einer einformatigen binären Datendatei im Dateisystem zurück. BINSCHREIBEN("Pfad\NAME.BIN", Typ, Endian) Schreibt ein Feld in eine einformatige binäre Datendatei im Dateisystem. SPEZIELLE FUNKTIONEN ZUM EINLESEN VON BILDDATEIEN: Mit den unten aufgeführten speziellen Funktionen werden Bilder folgender Formate eingelesen: BMP, GIF, JPG und TGA. HLSLESEN("datei") , HLS_HLESEN("datei") , HLS_LLESEN("datei") , HLS_SLESEN("datei") Erstellt ein Feld, das die Farbinformationen in der Datei durch entsprechende Werte für Farbton, Helligkeit und Sättigung wiedergibt. HLSSCHREIBEN("datei") Schreibt eine gepackte Matrix mit den HLS-Komponenten.

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HSVLESEN("datei") , HSV_HLESEN("datei") , HSV_SLESEN("datei") , HSV_VLESEN("datei") , Erstellt ein Feld, das die Farbinformationen in der Datei durch entsprechende Werte für Farbton, Sättigung und Wert wiedergibt. HSVSCHREIBEN("datei") Schreibt eine gepackte Matrix mit den HSV-Komponenten. RGB_BLESEN("datei") Extrahiert aus einem Farbbild ausschließlich den Rotanteil. RGB_GLESEN("datei") Extrahiert aus einem Farbbild ausschließlich den Grünanteil. RGB_BLESEN("datei") Extrahiert aus einem Farbbild ausschließlich den Blauanteil. FUNKTIONEN FÜR 3D-DIAGRAMME: FarbschemaLaden("datei") Gibt ein Feld mit den Werten der Farbtabelle "datei" zurück. SpeichernFarbwerte("datei",M) Erzeugt eine Farbtabellendatei mit den Werten aus dem dreispaltigen Feld M. Gibt die Anzahl der Zeilen zurück, die in datei geschrieben wurden. Polyinfo(n) Gibt einen Vektor zurück, der den Namen, den dualen Namen und das Wythoff-Symbol für den einheitlichen Polyeder zurück, dessen Zahlencode n lautet (n ganze Zahl kleiner als 81). Polyeder(S) Erzeugt einen einheitlichen Polyeder, dessen Name, Zahlencode oder Wythoff-Symbol als Zeichenfolge dargestellt wird. 20.21 Spezielle Funktionen Seed(x) Die neue Seed-Funktion setzt den in Zufallszahlen und Zufallsverteilungsfunktionen verwendeten Rekursivwert in einem Mathcad-Arbeitsblatt dynamisch zurück. Sie kann auch in einem Programm zur Festlegung verschiedener Rekursivwerte für unterschiedliche Schleifen durch den Aufruf eines Zufallsgenerators verwendet werden. time(z) Übergibt die aktuelle Systemzeit. Der Wert z ist ein Mathcad-eigener Ausdruck, der keine Auswirkung auf die Übergabe hat. Tcheb(n,x) Tschebyscheffsches Polynom n-ten Grades der ersten Art Ucheb(n,x) Tschebyscheffsches Polynom n-ten Grades der zweiten Art Her(n,x) Hermitesches Polynom n-ten Grades Jac(n,a,b,x) Jacobisches Polynom n-ten Grades mit den Parametern a und b

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Mathcadfunktionen Lag(n,x) Laguerresches Polynom n-ten Grades Leg(n,x) Legendresches Polynom n-ten Grades fhyper(a,b,c,x) Gauß'sche hypergeometrische Funktion mhyper(a,b,x) Konfluente hypergeometrische Funktion ibeta(a,x,y) Unvollständige Beta-Funktion von x und y mit dem Parameter a *(z) Eulersche Gammafunktion *(a,x) Unvollständige Gammafunktion des Grades a Psi(z) Gibt die Ableitung des natürlichen Logarithmus der Gamma ( *)-Funktion zurück. Zuweisungsfunktionen: Umwandlung diverser Koordinaten. zylinxyz(r,T,z) Zylindrische Koordinaten in rechteckige Koordinaten umwandeln xyzincyl(x,y,z) Rechteckige Koordinaten in zylindrische Koordinaten umwandeln sphinxyz(r,T,M) Sphärische Koordinaten in rechteckige Koordinaten umwandeln xyzinsph(x,y,z) Rechteckige in sphärische Koordinaten umwandeln xyinpol(x,y) Rechteckige Koordinaten in Kreiskoordinaten umwandeln polxy(r,T) Kreiskoordinaten in rechteckige Koordinaten umwandeln 20.22 Finanzmathematische Funktionen verzper(zsatz, gw, zw) Übergibt die Anzahl der Verzinsungsperioden, die bei gegebenem derzeitigen Wert und bei einem bestimmten Zinssatz pro Periode für einen bestimmten künftigen Ertrag aus der Kapitalanlage erforderlich sind. fzins(nper, gw, zw) Übergibt den festen Zinssatz pro Periode, der für eine Kapitalanlage zum gegenwärtigen Wert erforderlich ist, um einen angegebenen zukünftigen Wert nach einer Anzahl von Verzinsungsperioden zu erzielen. kumzins(zsatz, nper, gw, start, ende, [typ]) Gibt die kumulativen Zinsen zurück, die zwischen einer Anfangs- und einer Endverzinsungsperiode bei festem Zinssatz für ein Darlehen gezahlt wurden, die Gesamtzahl der Verzinsungsperioden, und den derzeitigen Wert des Darlehens. kumtilg(zsatz, nper, gw, start, ende, [typ]) Gibt den kumulativen Tilgungsbetrag zurück, der zwischen einer Anfangs- und einer Endverzinsungsperiode bei festem Zinssatz für ein Darlehen gezahlt wurde, die Gesamtzahl der Verzinsungsperioden, und den derzeitigen Wert des Darlehens. eff(zsatz, nper) Gibt den effektiven jährlichen Zinssatz (JZS) zurück, der sich aus dem nominalen Zinssatz und der Anzahl der jährlichen Verzinsungsperioden ergibt.

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Mathcadfunktionen

zw(zsatz, nper, zrate, [[gw], [typ]]) Gibt den zukünftigen Wert einer Kapitalanlage bzw. eines Darlehens über eine angegebene Anzahl von Verzinsungsperioden bei regelmäßigen Zahlungen und festem Zinssatz zurück. zwzz(prin, v) Berechnet den zukünftigen Wert eines Anfangskapitals, nachdem eine Reihe von Zinseszinssätzen angewendet wurde. zwz(zsatz, v) Gibt den zukünftigen Wert einer Reihe von regelmäßigen Zahlungen zurück, die einen bestimmten Zinssatz einbringen. gesverz(zsatz, per, nper, [[zw], [typ]]) Übergibt die Gesamtverzinsung für eine Kapitalanlage oder ein Darlehen auf der Basis regelmäßiger konstanter Zahlungen über eine gegebene Zahl von Verzinsungsperioden mit einem festen Zinssatz und einem bestimmten gegenwärtigen Wert. izf(v, [schätzwert]) Übergibt den internen Zinsfuß für eine Reihe regelmäßiger Zahlungen. mizf(v, fin_satz, rein_satz) Übergibt den modifizierten internen Zinsfuß für eine Reihe von regelmäßigen Zahlungen auf der Basis eines Finanzierungssatzes, der auf die geliehenen Zahlungen anfällt und eines Wiederanlagesatzes für die Geldzahlungen bei deren Wiederanlage. nom(zsatz, nper) Übergibt den nominalen Zinssatz auf der Basis des effektiven Zinssatzes und der Anzahl der Verzinsungsperioden pro Jahr. nper(zsatz, zrate, gw, [[zw], [typ]]) Übergibt die Anzahl der Verzinsungsperioden für eine Kapitalanlage oder ein Darlehen auf der Basis regelmäßiger konstanter Zahlungen mit einem festen Zinssatz und einem bestimmten gegenwärtigen Wert. gnw(zsatz, v) Berechnet den gegenwärtigen Nettowert einer Kapitalanlage bei einem gegebenen Abzinsungsfaktor und regelmäßigen Zahlungen. gw(zsatz, nper, zrate, [[zw], [typ]]) Gibt den gegenwärtigen Wert einer Investition oder einer Anleihe auf der Grundlage periodischer konstanter Zahlungen über eine Anzahl zusammenhängender Zeiträume an. zrate(zsatz, nper, gw, [[zw], [typ]]) Übergibt die Zahlungsrate für eine Kapitalanlage oder ein Darlehen auf der Basis regelmäßiger konstanter Zahlungen über eine gegebene Zahl von Verzinsungsperioden mit einem festen Zinssatz und einem bestimmten gegenwärtigen Wert. trate(zrate, per, nper, gw, [[zw], [typ]] Übergibt die Tilgungsrate bzw. Kapitalrate für eine Kapitalanlage oder ein Darlehen auf der Basis regelmäßiger konstanter Zahlungen über eine gegebene Zahl von Verzinsungsperioden mit einem festen Zinssatz und einem bestimmten gegenwärtigen Wert. zsatz(nper, zrate, gw, [[zw], [typ], [schätzwert]]) Übergibt den Zinssatz einer Kapitalanlage bzw. eines Darlehens pro Periode über eine angegebene Anzahl von Verzinsungsperioden bei regelmäßigen, konstanten Zahlungen und gegen Angabe eines aktuellen Werts der Anlage oder des Darlehens.

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Literaturverzeichnis

Literaturverzeichnis

Dieses Literaturverzeichnis enthält einige deutsche Werke über Mathcad, Signalverarbeitung, Elektrotechnik, Regelungstechnik, Maschinenbau und Mathematik sowie Investitionsrechnung. Es soll dem Leser zu den Ausführungen dieses Buches bei der Suche nach vertiefender Literatur eine Orientierungshilfe sein. MATHSOFT ENGINEERING & EDUCATION INC. (1998, 1999, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005). Mathcad 6, 7, 8, 2000, 2001, 2001i, 11, 12 Benutzerhandbuch. Berlin: Springer. HÖRHAGER, M., PARTOL, H. (1998). Mathcad 7. München: Addison-Wesley Publishing Company. BENKER, H. (1999). Mathematik mit Mathcad. Berlin, Heidelberg: Springer. BENKER, H. (2001). Statistik mit Mathcad und Matlab. Berlin, Heidelberg: Springer. SAUERBIER, T., VOSS, W. (2000). Kleine Formelsammlung Statistik mit Mathcad 8. Leipzig: Carl Hanser. GEORG, O. (1999). Elektromagnetische Felder. Berlin: Springer. WAGNER, A.(2001). Elektrische Netzwerkanalyse. Norderstedt: BoD. DAVIS, A. (1999). Lineare Schaltungsanalyse. Bonn: mitp. STEPHAN, W.(2000). Leistungselektronik. Leipzig: Carl Hanser. HESSELMANN, N.(1987). Digitale Signalverarbeitung. Würzburg: Vogel. GÖTZ, H. (1990). Einführung in die digitale Signalverarbeitung. Stuttgart: Teubner. MAEYER, M.(1998). Signalverarbeitung. Braunschweig - Wiesbaden: Vieweg. SCHLÜTER, G. (2000). Digitale Regelungstechnik. Leipzig: Fachbuchverlag. WEHRMANN, C. (1995). Elektronische Antriebstechnik. Wiesbaden: Vieweg. SPERLICH, V. (2002). Übungsaufgaben zur Thermodynamik mit Mathcad. Leibzig:Fachbuchverlag. BUCHMAYR, B. (2002). Werkstoff- und Fertigungstechnik mit Mathcad. Heidelberg: Springer. PFLAUMER, P.(2000). Investitionsrechnung. München: Oldenburg. TRÖLSS, J. (2000). Einführung in die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung und in die Qualitätssicherung mithilfe von Mathcad. Linz: Trauner. TRÖLSS, J. (2005). Angewandte Mathematik mit Mathcad (Lehr und Arbeitsbuch) Band 2: Komplexe Zahlen und Funktionen, Vektoralgebra und analytische Geometrie, Matrizenrechnung, Vektoranalysis. Wien: Springer. TRÖLSS, J. (2005). Angewandte Mathematik mit Mathcad (Lehr und Arbeitsbuch) Band 3: Differential- und Integralrechnung. Wien: Springer. TRÖLSS, J. (2006). Angewandte Mathematik mit Mathcad (Lehr und Arbeitsbuch) Band 4: Reihen, Transformationen, Differential- und Differenzengleichungen. Wien: Springer.

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Erweiterungspakete und elektronische Bücher

Erweiterungspakete und elektronische Bücher zu Mathcad

Erweiterungspakete: In Mathcad 12 Enterprise (Full Configuration) sind zusätzlich zu Mathcad folgende Programme und elektronische Bibliotheken enthalten: VisSim/Personal Edition; VisSim/Personal Edition/Analyse; SmartSketch; Signal Processing Extension Pack; Image Processing Extension Pack; Wavelets Extension Pack; Electrical Engineering Library; Mechanical Engineering Library; Civil Engineering Library. Solving & Optimization Extension Pack (Expert Solver) Steam Tables Extension Pack Numerical Recipes Extension Pack Elektronische Bibliotheken: Electrical Engineering Library (Für Elektrotechniker) Civil Engineering Library (Für Bauingenieure) Mechanical Engineering Library (Für Maschinenbauer) Mathcad für Maschinenbau Diese Bibliothek bietet ein breites Feld von Berechnungen im Bereich Maschinenbau nach Normen wie DIN, ISO und VDI. Beinhaltet Roark's Formular for Stress and Strain, Finite Elemente Beginnings, Machine Design & Analysis from Hick's und Werkstoff-Datenbank.

Elektronische Bücher: Standard Handbook of Engineering Calculus (Machine Design and Analysis and Metalworking) Über 125 Anwendungen aus den Bereichen der Maschinenkonstruktion und Berechnung sowie aus der Metallverarbeitung; Berechnung zum Fräsen, Bohren, Stanzen; Getriebeberechnungen; Spannungs- und Dehnungsberechnungen; Kraftübertragungen usw. CRC Material Science and Engineering Handbook Materialkonstanten wie Dichte, Schmelzpunkt, Kristallstrukturen ect., Keramik- und Polymerberechnungen, Datentabellen für Verbundwerkstoffe, Metalle und Oxide usw. CRC Handbook of Chemistry and Physics Formelsammlung, Grafiken und über 80 Tabellen zur Chemie und Physik. Standard Handbook of Engineering Calculus (Electrical and Electronics Engineering) Über 70 praktische Beispiele aus den Gebieten Motore, Starkstromtechnik, elektrische Geräte, elektronische Bauteile und Schaltkreise, Optik, elektronische Schaltungsanalyse, Berechnung von Transformatoren und Verstärkern usw. Theory and Problems of Electric Circuits Schaltkreiskonzepte, komplexe Frequenzberechnungen, Fourier- und Laplacetransformaztion usw. Mathcad Electrical Power Systems Engineering Berechnungen zur Energieumwandlung, Schutz von Energiesystemen, Simulation und Schutz von Wechselstrommotoren usw.

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Erweiterungspakete und elektronische Bücher

Topics in Mathcad: Electrical Engineering Berechnungen zum Elektromagnetismus, zu Schaltkreisanalysen, zur Signalverarbeitung und zum Filter Design usw. Building Thermal Analysis Berechnungen zur Wärmeübertragung in Wänden, Röhren und Gebäuden usw. Roark's Formulas for Stress and Strain Tabellen mit Materialkonstanten, Berechnungen von Elastizitätsmodulen, Torsionen, Biegespannungen, Dehnungen, Stabilitäten usw. Astronomical Formulas Astronomische und physikalische Konstanten, Fakten über astronomische Phänomene, Sterne und Sternsysteme usw. Topics in Mathcad: Advanced Math Differentialgleichungen, Eigenwerte, konforme Abbildungen und Matrizenoperationen usw. Topics in Mathcad: Differential Equations Numerische Verfahren zur Lösung von Anfangs- und Randwertproblemen für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, die in der Physik auftreten usw. Topics in Mathcad: Numerical Methods Weiterführende numerische Methoden zur Lösung von Rand- und Eigenwertproblemen, partiellen Differentialgleichungen, Integralgleichungen und elliptischen Integralen usw. Mathcad Selections from Numerical Recipes Function Pack 140 numerische Methoden zur Interpolation, Optimierung, Integration und zur Lösung von algebraischen Gleichungen und Differentialgleichungen usw. Explorations with Mathcad: Exploring Numerical Recipes 140 Beispiele über die Wirkungsweise numerische Algorithmen. Explorations with Mathcad: Exploring Statistics Statistische Methoden. Parametrische und nichtparametrische Hypothesentests usw. Topics in Mathcad: Statistics Fakten zur Kombinatorik, Zeitreihenanalyse, zum Kendall-Rangkorrelations-Koeffizienten und Kolmogorov-Smirnov-Test usw. Mathcad Treasury of Statistics, Volume I: Hypothesis Testing Parametrische und nichtparametrische Hypothesentests, Varianzanalysen, Rangwertverfahren nach Wilcoxon, Rangsummentests nach Mann-Withney und die Student-, Chi-Quadrat und F-Verteilung usw. Mathcad Treasury of Statistics, Volume II: Data Analysis Punktschätzungen, Varianzanalysen, Mehrfachregression, Zeitreihenanalysen, die Methode der kleinsten Quadrate und die Berechnung von Konfidenzintervallen usw. Finite Elemente Beginnings Theorie und Anwendung der Methode der finiten Elemente. Mathcad Treasury Führer zur Anwendung von Mathcad. u.a.m.

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Tastaturbefehle

Tastaturbefehle Einige wichtige Tastaturbefehle in Mathcad: Wenn auf dem Registerbblatt-Allgemein im Menü-Extras-Einstellungen die Windows-Tastatur aktiviert wird, so stehen in Mathcad zahlreiche Standard-Tastaturbefehle von Windows zur Verfügung. Die Tastaturbefehle sind im Recourcen-Fenster unter Lernprogramm "Funktionen ausführlicher betrachtet" beschrieben.

Fadenkreuz nach oben bewegen. Im Mathematikbereich: Bearbeitungszeile nach oben bewegen. Im Textbereich: Einfügemarke in die darüber liegende Zeile bewegen.

Fadenkreuz nach unten bewegen. Im Mathematikbereich: Bearbeitungszeile nach unten bewegen. Im Textbereich: Einfügemarke in die darunter liegende Zeile bewegen.

<m>

Fadenkreuz nach links bewegen. Im Mathematikbereich: Linken Operanden auswählen. Im Textbereich: Einfügemarke um ein Zeichen nach links bewegen.



Fadenkreuz nach rechts bewegen. Im Mathematikbereich: Rechten Operanden auswählen. Im Textbereich : Einfügemarke um ein Zeichen nach rechts bewegen.



Um ein Viertel der Fensterhöhe nach oben scrollen



Um ein Viertel der Fensterhöhe nach unten scrollen

+

Im Mathematikbereich: Fadenkreuz über den Ausdruck bewegen. Im Textbereich: Von der Einfügemarke bis in die darüber liegende Zeile markieren.

+

Im Mathematikbereich: Fadenkreuz unter den Ausdruck bewegen. Im Textbereich: Von der Einfügemarke bis in die darunter liegende Zeile markieren.

+<m>

Im Mathematikbereich: Teile eines Ausdrucks links von der Einfügemarke markieren. Im Textbereich: Links von der Einfügemarke Zeichen für Zeichen markieren.

+

Im Mathematikbereich: Teile eines Ausdrucks rechts von der Einfügemarke markieren. Im Textbereich: Rechts von der Einfügemarke Zeichen für Zeichen markieren.

<Strg>+

Im Textbereich: Einfügemarke an den Anfang einer Zeile bewegen.

<Strg>+

Im Textbereich: Einfügemarke an das Ende einer Zeile bewegen.

<Strg>+<m>

Im Texbereich: Einfügemarke nach links an den Anfang eines Worts bewegen.

<Strg>+

Im Textbereich: Einfügemarke nach rechts an den Anfang des nächsten Wortes bewegen.

<Strg>+<€>

Direkten Seitenumbruch einfügen.

<Strg>++

Im Textbereich: Von der Einfügemarke an bis an den Anfang der darüber liegenden Zeile markieren.

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Tastaturbefehle

<Strg>++

Im Textbereich: Von der Einfügemarke an bis an das Ende der aktuellen Zeile markieren.

<Strg>++<m>

Im Textbereich: Links von der Einfügemarke bis zum Anfang eines Wortes markieren.

<Strg>++

Im Textbereich: Rechts von der Einfügemarke bis zum Anfang des nächsten Wortes markieren.



Zeigt die verschiedenen Zustände in der Statusleiste an



Im Textbereich: Bewegt die Einfügemarke zum nächsten Tabstop. Im Mathematikbereich oder Diagrammbereich: Zum nächsten Platzhalter bewegen.

+

Im Mathematikbereich oder Diagrammbereich: Bis zum vorherigen Platzhalter bewegen.

+ Bis zum vorherigen Seitenumbruch bewegen. + Bis zum nächsten Seitenumbruch bewegen.

Bis zum Anfang des vorherigen Bereichs bewegen. Im Textbereich: Zum Anfang der aktuellen Zeile bewegen.

<Ende>

Zum nächsten Bereich bewegen. Im Textbereich: An das Ende der aktuellen Zeile bewegen.

<Strg>+

Im Textbereich: Einfügemarke an den Anfang des Textbereichs oder des Absatzes bewegen.

<Strg>+

Im Textbereich: Einfügemarke an das Ende des Textbereichs oder des Absatzes bewegen.

<€>

Im Textbereich: Neue Zeile beginnen. Im Mathematikbereich oder Diagrammbereich: Fadenkreuz unter einen Bereich an den linken Rand bewegen.



Hilfe aufrufen.

+

Kontextabhängige Hilfe aufrufen.



Selektierten Bereich in die Zwischenablage kopieren.



Selektierten Bereich ausschneiden und in der Zwischenablage ablegen.



Inhalt der Zwischenablage einfügen.

+

Arbeitsblatt oder Vorlage schließen.

<Strg>+

Mathcad schließen.



Arbeitsblatt oder Vorlage öffnen.

<Strg>+

Nach Text oder mathematischen Symbolen suchen.

+

Text oder mathematische Symbole ersetzen.

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Tastaturbefehle



Aktuelles Arbeitsblatt speichern.

<Strg>+

Nächstes Fenster aktivieren.

<Strg>+

Fügt das Primsymbol ein.



Neues Arbeitsblatt öffnen.



Einen ausgewählten Bereich neu berechnen.

<Strg>+

Arbeitsblatt neu berechnen.

<Strg>+

Leerzeilen entfernen.

Einige wichtige Windows-Tastaturbefehle: Windows-Taste: <WIN>+

Datei Ausführen.

<WIN>+<m>

Alle Programme minimieren.

+<WIN>+<m>

Minimieren rückgängig machen.

<WIN>+

Hilfe.

<WIN>+<e>

Explorer starten.

<WIN>+

Dateisuche.

<Strg>+<WIN>+

Computer suchen.

<WIN>+

Programmwechsel durch Task-Leiste.

<WIN>+<Pause>

Systemeigenschaften.

Allgemein (Explorer):

Umbenennen.



Suchen.

<Strg>+<x>,,

Ausschneiden, Kopieren, Einfügen.

+<Entf>

Sofort löschen.

+<€>

Eigenschaften.

<Strg>+ Datei ziehen (mit der Maus)

Datei kopieren.

<Strg>++ Datei ziehen (mit der Maus)

Verknüpfung erstellen.



(Explorer) Adressleiste.



Aktualisieren.

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Tastaturbefehle

<Strg>+

Gehe zu.

<Strg>+

Rückgängig.

<Strg>+

Alles markieren.



Übergeordneten Ordner öffnen.

<*>

(Zehnertastatur) Blendet alles unterhalb der Auswahl ein.

<+>

(Zehnertastatur) Blendet die Auswahl ein.

<->

(Zehnertastatur) Blendet die Auswahl aus.



Blendet die aktuelle Auswahl ein.

<m>

Blendet die aktuelle Auswahl ein.

Eigenschaften-Fenster: <Strg>+

Wechsel Eigenschaftsregisterkarten.

Dialogfelder Öffnen/ Speichern:

Klappt die Dropdown-Liste auf.



Aktualisiert die Ansicht.



Übergeordneter Ordner.

Allgemeine Befehle:

Hilfe.



Menümodus.

+

Kontextmenü für das markierte Objekt.

<Strg>+>Esc>

Menü "START" aktivieren.

<Strg>+<Esc>

Fokus an die Schaltfläche "Start" übergeben.

+

Zwischen laufenden Programmen Umschalten.

+<Esc>

Vollbild - Programm zum Symbol verkleinern.

+

Aktuelles Fenster in die Zwischenablage.

<Shift>+

Sofortiger Ausdruck des Bildschirminhaltes.

<Strg>++<Esc>

Task-Manager aufrufen.

<Strg>++<Entf>

Workstation sperren; Passwortänderung; Computer niederfahren; Task-Manager aufrufen.

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Sachwortverzeichnis

Sachwortverzeichnis A Abbruch- und Rundungsfunktion 33, 34, 440 ceil, floor, runden, trunc Ableitungen in impliziter Form 172 Ableitungen in mehreren Variablen 173 Ableitungen von Funktionen 158,159 Ableitungsoperator 158 Absatz 13 Absatz, Textbereich 13 Absoluter Maximalfehler 178 Absoluter Wert 73 Abtastfrequenz 228 Access 405 achsenabschn 141 Achsenbegrenzungen 82 Achsenbeschriftungen 84 Achsenstil 84 ActivX Automation 389, 408 Adaptiv 183 Allgemeine Einstellungen 6 Allgemeine Hinweise 22 Amplitudengang 95, 255, 261 Amplitudenspektrum 225 Animation 6, 112 Andere Umformungen 61 Anfangswerttheorem 257 Ansicht Menü 3 Antisymmetrischer Tensor 442 API für Automation 422 Applications-Server 4, 414 Arbeitsblatt, Breite einer Seite drucken 9 Arbeitsblatt berechnen 22 Arbeitsblatt erstellen 9 Arbeitsblatt optimieren 6 Arbeitsblattoptionen 2, 6, 22 Arbeitsblatt schützen 6, 21 Arbeitsblatt speichern 2 Arbeitsblattvorlage 9 Arbeitsintegrale 196 Arcusfunktionen 441 Areafunktionen 441 arg 40, 96 ASCII-Dateien 431 Asymptoten 88 Asynchronmotor 166 atan 40,96 atan2 40, 96 auflösen 125 Aufsummieren von Vektorelementen 74 Ausdrucktypfunktionen 443 IsArray, IsScalar, IsString, SIEinhVon, IsNaN Ausgleichskurve 141, 345 Ausrichtung 31

Auswahlstruktur 374 Auswertungsformat 7, 42 AutoSelect 119 B Balkendiagramm 339 Baum-Operator 362 Bearbeiten-Menü 2 Bearbeiten von Arbeitsblättern 12 Bedingte Schleifen 377 Beenden 2 Beleuchtung 104 Benutzerdefiniertes Objekt 392 Benutzerhandbuch 23 Berechnung optimieren 22 Berechnungsoptionen 6 Bereiche ausrichten 5 Bereiche hervorheben 16 Bereichseigenschaften 5 Bereich schützen 21 Bereichs-Tag 17 Beschleunigungsvektor 170 Bereichsvariable 32, 33 Besselfunktion 455 Ai, Aisc, bei, ber, Bi, Bisc, H1, H2, I0, I1, In, J0, J1, Jn, js, K0, K1, Kn, Y0, Y1,Yn, ys Bestimmtes- und unbestimmtes Integral 182 Betrag eines Vektors 73 Bilder einfügen 15, 391 Bild-Symbolleiste 15 Bildverarbeitung 391 Binärdateien 434 Binärzahlen 39 Binomialkoeffizient 67 Binomialverteilung 66, 446 Binomischer Lehrsatz 65 Bodediagramm 261 Boolesche Ausdrücke und Operatoren 23, 364 break 371 Breite einer Seite drucken 9 Bruchterme 58 Bubble Sort 387 Buchstaben, griechische 24 C ceil 33 Chi-Quadrat-Verteilung 447 Cobweb 269 combin 445 continue 371

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Sachwortverzeichnis

Cramer Regel 136 CTOL 28, 119 D Data Acquisition 399 Darstellung von Vektordaten 93 Datei lesen/schreiben 427 Datei-Menü 2 Dateizugriffsfunktionen 431, 457 READFILE, BINLESEN, BINSCHREIBEN, BMPLESEN, BMPSCHREIBEN, HLSLESEN, HLSSCHREIBEN, HLS_HLESEN, HLS_LLESEN, HLS_SLESEN, HSVLESEN, HSVSCHREIBEN, PRNANFÜGEN, PRNLESEN, PRNSCHREIBEN, RGBLESEN, RGBSCHREIBEN, RGB_RLESEN, RGB_GLESEN, RGB_BLESEN, WAVLESEN, WAVSCHREIBEN, WAVINFO Datenanalysefunktionen 445 Datenerfassung 399 Datenglättungsfunktionen 453 dBASE 405 Dichtefunktionen 446 Determinante 73 Diagramme 4, 81, 101 Diagrammformate 5 Diagrammformatierung 82, 83, 84, 102, 103, 104, 105 Differentialgleichungen 254, 277 Differentialgleichungen 1. Ordnung 282 Differentialgleichungen 2. Ordnung 293, 306 Differentialgleichungen, Lösungsfunktionen 277, 278, 279, 280, 329, 331, 454 abst, Bulstoer, bulstoer, entsp, gdglösen, grwanp, lad, multigit, Radau, radau, relax, Rkadapt, rkadapt, rkfest, sgrw, Stiffb, stiffb, Stiffr, stiffr Differentialgleichungen höhere Ordnung 307 Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung 314 Differenzengleichungen 267 differenzierbar 159 Differenzieren von Summen und Produkten 160 Dirac Impuls 237, 250, 262 Divergenz 175 Doppelintegral 200 Dopellt-Logarithmisches Papier 94 Drag&Drop 389 Drahtmodell 105 Dreidimensionale Diagramme 14 Drehzahlprofil 166 Drehmomentenverlauf 167 DSN 405 E Ebene 109

Ebenes Polarkoordinatensystem 97 Effektivwert 191 Eigenvektoren 77 Eigenwerte 77 Einfache Integrale 183 Einfügen von Diagrammen und Grafiken 14 Einfügen-Menü 4 Eingabe von mathematischen Ausdrücken 13 Eingabetabelle 425 einheit 77 Einheit einfügen 45 Einheitensystem 11, 45 Elektronisches Buch 23, 462 Endliche Reihen 151 Endwerttheorem 257 Ergebnisformat 38 ERR 128 Ersetzen 2 erweitern 69, 79 Erweiterungspakete 462 Eulersche Beziehungen 226 Excel Komponente 401 Explizite Funktionsdarstellung 88 Exponentialfunktion 441 Extras-Menü 6 Extremstellen 163 Extremwertaufgaben 146 F Fallabfrage 377 Fallhöhe 46 Farbschema Laden 453 Fast-Fourier-Transformation (FFT) 228, 229 CFFT, cfft, ICFFT, icfft, FFT, fft, IFFT, ifft Felder 406 Fehlerabschätzung 178 Fehlerfortpflanzungsgesetz 342 Fehlermeldungen 36, 375 Fehler- und Ausgleichsrechnung 335 Fehler zurückverfolgen 37 Fehlerquadratfunktion 141 Fenster-Menü 7 FFT 228 Filter 274 Finanzmathematische Funktionen 459 eff, fzins, gesverz, gnw, gn, izf, kumtilg, kumzins, nom, nper, trate, verzper, zrate, zsatz, zw, zwz, zwzz Flächen 110 Fläche in Parameterform 111 Flächendiagramm 103, 110 Flächenfüllungen 90 floor 33, 80 Folgen 150 for 380 Formatierung einer Grafik 82, 83, 84, 02, 103, 104, 105 Formatierungsleiste 9

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Sachwortverzeichnis

Format-Menü 5 Fourieranalyse 225 Fourierintegral 213, 236 Fourierkoeffizienten 222 Fourierpolynom 225, 228, 230 Fourierreihen 213, 222 Fouriersynthese 225 Fouriertransformation 236, 456 FoxPro 405 FRAME 28 Frequenzgang 259, 261 Frequenzumsetzer 166 Frequenzspektrum 225 Funktionen 33, 82 Funktionenreihen 203 Funktionsdarstellungen 82 Funktionswerte mit beliebigen Argumenten 76 F-Verteilung 447 G Gamma-Verteilung 447 Gauß-Quadratur 383 gcd 34, 440 Genaue Gleichheit für Boolsche vergleiche 22 geninv 77, 136 Geometrische Verteilung 448 Geschachtelte Felder 81 Geschwindigkeitsoptimierung 22 Gleichmäßige Verteilung 449 Gleichung optimieren 6 Gleichungen 118 Gleichungen und Ungleichungen 118, 121 Gleichungsformat 10 Gleichungssysteme 118 Gleichungsformatvorlagen 5 Globale Einstellungen 22 Globale Variable 29 Grad 50 Gradient 174 Gradientenfeld 180 Gradientenverfahren 143 Gravitationskraft 46 Grenzwert 150, 153 Grenzwertberechnung 154 Griechische Buchstaben 24 grwanp 280 Gültige und ungültige Variablennamen 24 H Heaviside-Sprungfunktion 34, 214 Hexadezimal 39 Hilfe-Menü 8 Höhere Ableitungen 158, 159 HTML-Optionen 2, 20 Hubwerk 166

Hyberbolische Funktionen 441 arcosh, arcsch, arsech, arsinh, artanh, cosh, coth, sech, sinh, tanh Hypergeometrische Verteilung, inverse 448 Hyperlink einfügen 4, 16 Hyperbolisches Paraboloid 102 I icm 440 if 374 Im 40, 77 Indexlaufbereich 69 Indizierte Variablen 24, 29 Infix Operator 362 Inhalte einfügen 2 Inplace-Aktivierung 392 Integral 183 Integralfunktion 183, 185 Integraltransformationen 246 Interationsmethoden 118 Interpolation 356 Interpolation und Prognose 356, 450 bspline, interp, Ispline, kspline, linterp, prognose, pspline Intervallhalbierung 377 Inverse Matrix 72 J Jakobi-Matrix 279 J0 451 J1 451 J1(x) 202 Jac 451 Jn 451 js 451 JScript 393, 408 K Kardioide 100 Kartesisches Koordinatensystem 82, 1001 Kepler- und Simpsonregel 382 Komplexe Fourierreihe 226 Komplexe Kurvenintegrale 197 Komplexe Zahlen 39, 40, 442 arg, csgn, Im, Re, signum Komponenten 395 Komponente einfügen 4, 18 Konjugiert komplexe Matrix 74 Konjugierte komplexe Zahl 40 Konvergenzintervall 2038 Konvergenzradius 203 118 Konvergenztoleranz Komplexer Zeiger 86, 87 Komponenteneigenschaften 30

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Sachwortverzeichnis

Koordinatenumwandlung 459 zylinxyz, xyzinzyl, sphinxyz, xyzinsph, xyinpol, polxy Kopf-/Fusszeile 3, 10 Kreisdiagramm 97 Kreisfläche 188 Kreuzcursor 12 Kronecker Deltafunktion 34, 442 Kugel 117 Kugel und Würfel 111 Kugelvolumen 189 Kurvenanpassungsfunktionen 453 Kurvenintegral 196 L LabVIEW 422 länge 77 Laplace-Operator 177 Laplacetransformation 246 Laufvariable 32 Laurentreihen 203, 212 lcm 34 Leistung 167 Lemniskate 98 Lernprogramm 23 letzte 77 Levenberg-Marquardt 119 L-förmiger Cursor 12 L'Hospital 154 Lineal 3 Lineares Gleichungssystem 129 Lineare Optimierung 147 Linear Verfahren 119, 149 Linien oder Kurvenintegrale 191 Links- und rechtsseitiger Grenzwert 156 Lissajous-Figur 92 Liste 32 Literalindex 24 Literaturverzeichnis 461 Live symbolische Auswertung 42 llösen 135, 444 ln 37 Lösungsblock 118, 277, 331 log 37 Logarithmische Ausdrücke 60 Logarithmische Verteilungen 448 Logarithmusfunktionen 441 Logische Operatoren 364 Logistische Verteilung 448 Lokale Variable 29 Lokale Minima und Maxima 144 M Mathcad-Arbeitsblätter für das Web 437 Mathcad beenden 2

Mathcad-Hilfe 8 Mathcad-Vorlage 9 Mathcad-Oberfläche 1 Mathcadfunktionen 440 Mathematische Textschriftart 84 MATLAB 396, 400 Matrix Anzeigeformat 30, 69 Matrix einfügen 4, 68 max 77 Maxima 142 Maximieren 120, 143, 179, 444 Mehrfachintegrale 182, 198 Menüleiste 1 Metadaten 22 Minima 142 min 77 Minfehl 120, 444 Minimieren 120, 143, 179, 444 Mittelwertsatz 190 mod 34, 80, 440 N Nabla-Operator 175 Namensraum Operator 26 Nassi-Sneiderman Struktogramme 372 Newton Verfahren 378 Negative Binomialverteilung 448 neigung 141 Neues Arbeitsblatt 2 Nichtlineares Gleichungssystem 137 Nichtlineares Differentialgleichungssystem 321 Normaleinheitsvektor 171 NORMAL.MCT 9 Normalverteilung 90, 448 nullstellen 128, 163, 377, 444 Numerische Ableitungen 162, 177 Numerische Auswertung von Summen und Produkten 63 Numerisches Ergebnisformat 11, 38 Numerische Integration 191 Numerisches Lösen einer Gleichung 122 Numerische Methoden 118 Numerische und symbolische Auswertung 42 Nyquist-Ortskurve 97 O Oberfläche 1 Object Linking and Embedding 389 Objekt einfügen 4, 19, 389 Oktalzahlen 39 ODBC 396, 405 Offene Polygon 85 OLE 408 OLE-Automatisierungsserver 420 OLE-Objekte 391 on error 375

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Operatoren 24, 26, 27 Operator, benutzerdefinierter 362 Optimierung 23, 38 ORIGIN 23, 28, 68 Ortskurven 97, 260 Ortsvektoren 86, 169 otherwise 371 P Parameterdarstellung 92 Partialbruchzerlegung 58 Partialsumme 152 Partielle Ableitungen 158, 173 Partielle Differentialgleichungen 328 Periodische Signale 213 permut 445 Phasengang 95, 255, 261 Poisson-Verteilung 449 Polarkoordinatendarstellung 98 Polyinfo 458 Polyeder 458 Polynome 53 Postfix-Operator 36 Potenzierungsoperator 52 Potenzgesetze 55 Potenzreihen 203 Primsymbol 24, 158 Präfix-Operator 362 PRNANFÜGEN, PRNLESEN, PRNSCHREIBEN 457 Prognose 356 Programmierung 364 Q Quadratischer Mittelwert 191 Quadratische Ungleichungen 127 Quasi-Newton 119 Quick-Plots 87, 108 Quicksheets 23 R rad 50 Raumkurve 196 Re 40, 77 Rechtschreibungprüfung 6 Recourcen Center 23 Region einfügen, sperren und ausblenden 15 Rechenbereich in Textbereich einfügen 4 Rechnen mit Einheiten 26, 45 Rechnen mit beliebigen Zahlen und Einheiten 38 Rechnen mit komplexen Zahlen 39 Rechnen mit reellen Zahlen 38 Region Sperren 5 Region Freigeben 5 Region Ausblenden 5

Region Erweitern 5 Regionen 12 Regression und Glättung 346, 352, 353, 253 achsenabschn, expanp, genanp, kgltt, lgspanp, linanp, lnanp, loess, loganp, medgltt, neigung, pwranp, regress, sinanp, stdfehl, strgltt Regressionskurven 345 Reguläre Matrix 135 Reguläres Polygon 94 Reihe 150 Rekursion 150, 271, 72, 379 Restglied nach Lagrange 204 Residuensatz 247, 262, 290 return 371 Richtungsfeld 281 rkadapt 279 rkfest 278 Romberg 183 Rotation 176 RTF-Datei 20 rund 34 Rungekutta 385 S Satz von Schwarz 173 Sägezahnkurven 218, 224 Säulendiagramm 106 Schnittstellenbeschreibung 389 Schrittweite 32 Schutz eines Arbeitsblattes 19 Schwerpunktsberechnung 190 Skriptobjekt Komponente 408 Seite einrichten 2 Seite umbrechen 5 Sekantenmethode 378 Sektorfläche von Leibnitz 189 Selbstdefinierte Einheiten 51 Selbstdefinierte Funktionen 35 Selektieren von Spalten und Zeilen 70 Senkrechter Wurf 89 Sequenz 372 Server und Client 389, 408 sgrw 280 SI-Einheiten 45 Singularitätsprüfung 22 Skalarfeld 174 Skriptobjekt 396, 409 Skriptsprachen 390 SmartSketch 396, 419 Sonderzeichen 25 sort 77 Sortierfunktionen 444 sort, spsort, zsort, umkehren Sortierunterprogramme 387 sp 78 spalten 77

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Speichern Arbeitsblatt 2 Speichern und schützen 19 Speichern Farbwerte 458 Spezielle Funktionen 458 fhyper, Her, ibeta, Jac, Lag, Leg, mhyper, Seed, Tcheb, Ucheb, *, time, Psi Spezielle Objekte 395, 425 Spiralfeder usort 77 spsort 78 SQL 405, 407 Standard-Symbolleiste 8 stapeln 69, 79 Statistische Funktionen 445 gmittel, gmean, hist, histogramm, Histogramm, hmean, korr, correl, correl2d, kurt, kvar, median, mittelwert, skew, stdev, Var, var, Stdev Stetigkeit 155 Steuerelemente (ActivX Controls) 4, 413 stiffb 279, 324 stiffr 279, 324 Streuungsdiagramm 107 Strichcursor 12 Strings 14, 23, 28, 29, 374 Submatrix 78 Suchen 120, 444 Suchen und Ersetzen 2 Summen und Produkte 63 Symbolik-Menü 6 Symbolische Ableitungen 159, 161, 173 Symbolische Auswertung von Summen und Produkten 64 Symbolische Differenzieren 160 Symbolische Integration 184 Symbolische Operatoren 43 Symbolische Optimierung 201 Symbolleisten 3 Symbolleiste anpassen 8 T Tabelle 32 Tabelle einfügen 4 Tabulatorposition 5 Tag 17 Tangentenmethode 378 Tangentialeinheitsvektor 171 Tastaturbefehle 464 Taylorreihen 203 Tensor 442 Textbereich einfügen 4 Texteingabe und Formatierung 13 Text formatieren 13 Textformatvorlage 11 Textmodus 24 TOL 28 Transponieren 73

Trapezregel 381 Trigonometrische Ausdrücke 60 Trigonometrische Funktionen 441 acos, acsc, arcot, asec, asin, atan, cos, cosec, cot, sec, sin, tan trunc 34 U Umfang eines Kreises 188 Umformen von Termen 53 umkehren 78 Umrissdiagramm 106 Unbestimmtes Integral 182 Uneigentliche Integrale 193 Unendliche Reihen 152 Ungleichungen 126 Ungültige Variablennamen 26 Überlappende Bereiche trennen 5 Übertragungsfunktion 255, 268 Unterprogramme 371 V Variablen 24 Variablennamen 24 Variablendefinition 28 Visual Basic 390 VBScript 393 Vektoren und Matrizen 29, 68 Vektor- und Matrixfunktionen 75, 443, 444 cholesky, cond1, cond2, conde, condi, diag, eigenvek, eigenvektoren, eigenwerte, einheit, ErstellenGitter, ErstellenRaum, erweitern, geninv, genvektoren, genwerte, hlookup, länge, letzte, llösen, lu, matrix, max, min, norm1, norm2, norme, normi, qr, rg, rref, sp, spalten, stapeln, submatrix svd, svds, sverweis, vergleich, verweis wverweis, zeilen, zref, kronecker, logspace, logpts Matrix-Symbolleiste 68 Vektor- und Matrizenoperationen 70 Vektor und Matrixmultiplikation 71 Vektorfelddiagramm 107 Vektorisieren 74 Verschachtelte Datenfelder 81 Verteilungsfunktionen 446 Verweis auf eine Datei 4, 18 Verweistabellen 23 Verzweigung 374 Video 116 Videoclip 393 Vordefinierte Funktionen 33 Vordefinierte Variablen 28 Vorgabe 123 Vorsilben und Einheiten 52

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W

Y

Waagrechter Wurf 169 Wahrscheinlichkeitsdichte 446 dbeta, dbinom, dcauchy, dchisq, dexp, dF, dgamma, dgeom, dhypergeom, dlnorm, dlogis, dnbinom, dnorm, dpois, dt, dunif, dweibull Wahrscheinlichkeitsverteilung 446 knorm, pbeta, pbinom, pcauchy, pchisq, pexp, pF, pgamma, pgeom, phypergeom, plnorm, plogis, pnbinom, pnorm, ppois, pt, punif, pweibull, qbeta, qbinom, qcauchy, qchisq, qexp, qF, qgamma, qgeom, qhypergeom, qlnorm, qlogis, qnbinom, qnorm, qpois, qt, qunif, qweibull Warnmeldungen 26 Wavelet-Transformation 456 iwave, wave WAV-Dateien 435 Wechselstromleistung 190 Wellenlinie 26 Weibull-Verteilung 450 Web-Kontrolle 4, 414 Web-Seite speichern 20 Web-Steuerelemente 4, 414 Wendepunkte 163 wenn 33, 365, 442 while 377 Winkelmaße 50 wurzel 123, 124, 444

Y0 451 Y1 451 Yn 451 ys 451

Z Zählerschleifen 380 Zeichenfolgefunktion 29, 442 Fehler, strtpos, subzf, vekinzf, verkett, zahlinzf, zfinvek, zfinzahl, zflänge, zeilen Zeichenketten 29 Zeichentabelle 25 Zeile löschen 22 Zeilen und Spaltenbeschriftung 30 Zeilenumbruch von langen Ausdrücken 56 z-Transformation 246, 262 zsort 78 Zoom 84 Zufallszahlen 446, 447, 448, 449, 450 rbeta, rbinom, rcauchy, rchisq, rexp, rF, rgamma, rgeom, rhypergeom, rlogis, rnbinom, rnd, rnorm, rpois, rt, runif, rweibull Zweidimensionale Diagramme 14 Zylinder 117

X X-Y-Koordinatensystem 84 X-Y-Diagramm 14, 82 X-Y-Z-Diagramm 101 XMCDZ-Format 2, 19, 20 XMCT-Format 2, 19, 20 XML-Format 2, 19, 20

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