Сходимость рядов Фурье по мультипликативным системам и p-флуктуационный модуль непрерывности

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2006. Том 47, № 2

УДК 517.51

СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ И p–ФЛУКТУАЦИОННЫЙ МОДУЛЬ НЕПРЕРЫВНОСТИ С. С. Волосивец Аннотация: Получены достаточные условия сходимости рядов из коэффициентов Фурье по мультипликативным системам для функций ограниченной p-флуктуации. В ряде случаев установлена их неулучшаемость. Ключевые слова: функции ограниченной p-флуктуации, мультипликативные системы, абсолютная сходимость, неравенство типа А. В. Ефимова.

Введение Пусть {pj }∞ j=1 — последовательность натуральных чисел таких, что 2 ≤ pj ≤ N при всех j ∈ N, а Zj = {0, 1, . . . , pj − 1}. По определению полагаем m0 = 1, mn = p1 . . . pn при n ∈ N. Тогда каждое число x ∈ [0, 1) имеет разложение ∞ X x= xj m−1 xj ∈ Zj . (1) j , j=1

Это разложение определяется однозначно, если при x = k/mn , 0 < k < mn , брать разложение с конечным числом ненулевых xj . Если y ∈ [0, 1) записано в виде ∞ X y= yj m−1 yj ∈ Zj , (10 ) j , j=1 ∞ P

то по определению x ⊕ y = z =

j=1

zj m−1 j , zj ∈ Zj , где zj = xj + yj (mod pj ).

Аналогично определяется x y. Каждое k ∈ Z+ однозначно представимо в виде ∞ X

k=

kj mj−1 ,

kj ∈ Zj .

(2)

j=1

Для чисел x вида (1) и k вида (2) по определению положим !! ∞ X χk (x) = exp 2πi xj kj /pj . j=1

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 03–01–00390) и Совета по грантам президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ (проект НШ–1295.2003.1).

c 2006 Волосивец С. С.

242

С. С. Волосивец

Таким образом, получается полная в L[0, 1), ортонормированная на [0, 1) система функций (см. [1, гл. 1, § 1.5]). Коэффициенты Фурье по этой системе R1 функции f ∈ L[0, 1) задаются формулой fˆ(n) = f (t)χn (t) dt. 0

Пусть теперь 1 < p < ∞ и f (x) принадлежит пространству ограниченных на [0, 1) функций B[0, 1) с нормой kf k∞ = sup |f (x)|. Через osc(f, [a, b)) обоx∈[0,1)

значим

sup

|f (x) − f (y)|, а через

x,y∈[a,b)

(n) Ij

— полуинтервал [(j − 1)/mn , j/mn ),

1 ≤ j ≤ mn . Введем p-флуктуационные суммы κp (f, 0) = osc(f, [0, 1)) и mn X

κp (f, n) =

osc

(n)

p f, Ij

!1/p ,

n ∈ N.

j=1

По определению Vp (f )n = sup κp (f, k). Множество функций f ∈ B[0, 1), для k≥n

которых lim Vp (f )n = 0, обозначается через M Cp [0, 1) и является банаховым n→∞

пространством относительно нормы kf kp = max(Vp (f )0 , kf k∞ ) (см. [2]). Величина Vp (f )0 , называемая p-флуктуацией функции f , была введена и использовалась при изучении равномерной сходимости рядов Фурье по системе {χn }∞ n=0 Оневиром и Ватерманом [3]. Через M C[0, 1) обозначим пространство функций f из B[0, 1), для которых lim kf (x ⊕ h) − f (x)k∞ = 0. Нормой в этом пространh→0

стве является равномерная норма kf k∞ . Пространства Lp [0, 1), 1 < p < ∞, вводятся, как обычно, с помощью нормы 

Z1

kf kLp = 

1/p |f (t)|p dt

.

0

Пусть Wn = {f ∈ L[0, 1) : fˆ(k) = 0, k ≥ n},

En (f )p = inf{kf − pn kp : pn ∈ Wn }.

Аналогично вводятся наилучшие приближения En (f ) в M C[0, 1) и En (f )Lp в Lp [0, 1), 1 ≤ p < ∞. Если X = Lp [0, 1), 1 ≤ p < ∞, или X = M C[0, 1), то ωn (f )X =

sup

kf (x + h) − f (x)kX .

0
Для X = M C[0, 1) вместо ωn (f )M C будем писать ωn (f ) . Для таких модулей непрерывности имеет место неравенство А. В. Ефимова (см. [1, гл. 10, § 10.5, теорема 10.5.1]) ωn (f )X ≤ Emn (f )X ≤ 2ωn (f )X .

(3)

Его аналогом является установленное в [2] неравенство (f ∈ M Cp [0, 1), 1 < p < ∞) Vp (f )n ≤ Emn (f )p ≤ 2Vp (f )n . (30 ) Данная работа состоит из четырех пунктов. В п. 1 приводятся необходимые для дальнейшего леммы, в основном хорошо известные. В п. 2 исследованы связи между En (f )p и En (f )Lp . Основным результатом здесь является теорема 2.

Сходимость рядов Фурье по мультипликативным системам

243

Тригонометрический аналог этих результатов можно найти в работе А. П. Терехина [4], не содержащей доказательств. В п. 3 изучается сходимость ряда ∞ X

nα |fˆ(n)|β .

(4)

n=1

Как известно, классические теоремы С. Н. Бернштейна и С. Б. Стечкина об абсолютной сходимости тригонометрического ряда Фурье были перенесены на случай систем {χn }∞ n=0 Н. Я. Виленкиным и А. И. Рубинштейном (см. [5, гл. 4, § 2, теоремы 4.8, 4.9]). Следует отметить, что для ряда Фурье по системе {χn (x)}∞ n=0 абсолютная сходимость равносильна сходимости ряда (4) при α = 0, β = 1 (см. [6]). Объединим формулировки этих аналогов в одну теорему. Теорема А. Если сходится ряд

∞ P

En (f )L2 n−1/2 или ряд

n=1

то ряд

∞ P k=1

∞ P fˆ(n)χn (x) сходится абсолютно на [0, 1).

1/2

mk ωk (f ),

n=0

Так как En (f )L2 ≤ En (f )Lp ≤ En (f )∞ при 2 ≤ p < ∞, в формулировке теоремы А можно заменить En (f )L2 на En (f )Lp , 2 < p < ∞, или En (f )∞ . Вопрос о неулучшаемости этих теорем в общем случае Н. Я. Виленкиным и А. И. Рубинштейном не обсуждался. Оневиром [7] были построены аналоги полиномов Рудина — Шапиро для случая pn = q и с их помощью построена функция класса Lip(1/2), ряд Фурье которой по системе {χn (x)}∞ n=0 не сходится абсолютно. Аналогичные примеры построены в [7] для ряда (4) при α = 0. Другой подход к построению таких примеров для произвольной полной ортонормированной системы принадлежит С. В. Бочкареву [8]. В этой статье с помощью аналога одного результата С. Н. Бернштейна [9, гл. 6, § 4, теорема 4.2] доказывается неулучшаемость теоремы А и указывается на возможность доказательства неулучшаемости некоторых ее обобщений. Кроме того, даются условия сходимости ряда (4) в терминах En (f )p или Vp (f )n и показывается их неулучшаемость в следующих случаях: а) при 1 < p ≤ 2 без существенных ограничений; б) при p ≥ 2, если α = 0, 1 ≤ β ≤ 2 или pn = q. Аналогичные результаты в тригонометрическом случае были получены в [10], где еще более активную роль, чем здесь, играло неравенство А. П. Терехина для тригонометрических полиномов (см. [4, 11]), аналогом которого является лемма 8, используемая также в п. 2 работы. В п. 4 доказывается аналог неравенства (30 ) для систем Гата [12] и обсуждается возможность переноса на эти системы результатов п. 3. 1. Вспомогательные утверждения Лемма 1 (см. [1, гл. 1, § 1.5]). Пусть Dn (x) =

n−1 P

χk (x). Тогда

k=0

Dmn (x) = mn X[0,1/mn ) (x),

n ∈ Z+ ,

где XE — характеристическая функция множества E. Лемма 2 (см. [1, гл. 1, § 1.5]). Пусть f ∈ Wmn , n ∈ Z+ . Тогда f (x) (n) постоянна на всех Ik , k = 1, . . . , mn , n ∈ Z+ . Обратно, если f (x) постоянна на (n) всех Ik , k = 1, . . . , mn , n ∈ Z+ , то f ∈ Wmn .

244

С. С. Волосивец

Лемма 3 [2]. Пусть f ∈ M Cp [0, 1), 1 < p < ∞, n ∈ Z+ . Тогда имеют место оценки mn+1 −1 X |fˆ(k)|2 ≤ Cκ2p (f, n)m−1 1 < p ≤ 2; n , k=mn mn+1 −1

X

−2/p

|fˆ(k)|2 ≤ CVp2 (f )n mn+1 ,

2 < p.

k=mn

Лемма 4 [5, гл. 4, § 9, лемма 2]. Пусть {bk }∞ k=1 — убывающая к нулю последовательность, а последовательность {µk }∞ k=1 со свойством µk > 0 при ∞ n P P −1 µk ≤ Cµ−1 µk ≤ Cµn и всех k ∈ N такова, что n при всех n ∈ N. Тогда k=n

k=1

при любом r > 0 ряды ∞ X

µn (bn − bn+1 )r

∞ X

и

µn brn

n=1

n=1

сходятся или расходятся одновременно. Легко видеть, что последовательность µk = mα k , α > 0, удовлетворяет условиям леммы 4. Лемма 5 [7]. Пусть pn = q для всех n ∈ N. Тогда для всех n ∈ N существует Qn ∈ Wqn такой, что b n (k)| = 1 при всех 0 ≤ k < q n ; 1) |Q 2) kQn k∞ ≤ q (n+1)/2 ; b n (k) = Q b n+1 (k) при всех 0 ≤ k < q n . 3) Q Лемма 6 [13]. Пусть Fn (x) = (D1 (x)+D2 (x)+· · ·+Dn (x))/n. Тогда нормы kFn kL1 ограничены. Следующий классический результат носит название неравенства Хинчина (см. [9, гл. 5, § 8, теорема 8.4]). ∞ P Лемма 7. Пусть φk (x) = sign sin 2k+1 πx и |ak |2 < ∞. Тогда сумма f (x) ряда

∞ P

k=1

ak φk (x) принадлежит пространству Lr [0, 1] для всех r ≥ 1, при этом

k=1 ∞ X

Ar

!1/2 2

|ak | k=1

∞ X

≤ kf kLr ≤ Br

!1/2 2

|ak |

.

k=1

Здесь Ar , Br зависят только от r. 2. Связь между наилучшими приближениями в M Cp [0, 1) и Lp [0, 1), 1 < p < ∞ Лемма 8. Пусть tn ∈ Wn , n ∈ N, 1 ≤ p < ∞. Тогда существует константа C(p) > 0, не зависящая от n и tn , такая, что ktn kp ≤ C(p)n1/p ktn kLp . Доказательство. Если n ∈ [mk , mk+1 ), то согласно лемме 2 tn есть сту(k+1) пенчатая функция, постоянная на всех Ij , 1 ≤ j ≤ mk+1 . Поэтому при вычислении Vpp (tn )0 мы рассматриваем суммы, состоящие из не более чем mk+1 ≤

Сходимость рядов Фурье по мультипликативным системам

245

N n слагаемых, каждое из которых имеет вид |aj − ai |p , где aj — значение tn (k+1) на Ij . Каждое aj появляется не более чем в одном таком слагаемом, и |aj − ai |p ≤ 2p−1 (|aj |p + |ai |p ). Значит, mk+1

Vpp (tn )0 ≤ 2p−1

X

mk+1

|aj |p = 2p−1 mk+1

j=1

X

|aj |p m−1 k+1

j=1

= 2p−1 mk+1 ktn kpLp ≤ 2p−1 N nktn kpLp . Аналогичная оценка для ktn k∞ — частный случай неравенства типа С. М. Никольского (см. [5, гл. 4, § 9, лемма 1]) для системы {χn }∞ n=0 . Лемма доказана. Замечание 1. Как и в тригонометрическом случае, имеют место неравенства ktn kp ≤ Cn1/p ktn k∞ и ktn k∞ ≤ Cn1/p ktn kLp . Первое, очевидно, яв(k+1) ляется точным по порядку, достаточно взять t ∈ Wmk+1 , равный 1 на Ij , (k+1)

1/p

j = lpk+1 + 1, 0 ≤ l < mk , и нулю на остальных Ij . Тогда Vp (t)0 = mk , а ktk∞ = 1. Второе неравенство также точное по порядку. Возьмем tmn = Dmn . 1−1/p . Тем не менее имеТогда по лемме 1 имеем kDmn k∞ = mn и kDmn kLp = mn ет место неравенство леммы 8 вместо неравенства ktn kp ≤ Cn2/p ktn kLp , которое следует из двух приведенных здесь неравенств. Лемма 9. Пусть f ∈ M Cp [0, 1), 1 < p < ∞. Тогда ωn (f )Lp ≤ m−1/p Vp (f )n . n Доказательство. По определению получаем  ωn (f )Lp =



sup 0
=

|f (x ⊕ h) − f (x)|p dx 0

!1/p

Z

sup 0
1/p

Z1

p

|f (x ⊕ h) − f (x)| dx j=1 (n) Ij

mn X

≤

m−1 n

osc

(n)
f, Ij

p

!1/p

j=1

≤ m−1/p κp (f, n) ≤ m−1/p Vp (f )n . n n Лемма доказана. Следствие 1. Пусть f ∈ M Cp [0, 1), 1 < p < ∞. Тогда для любого n ∈ N справедливо неравенство En (f )Lp ≤ 2N 1/p n−1/p En (f )p . Доказательство. Пусть tn ∈ Wn таков, что kf − tn kp = En (f )p , и пусть n ∈ [mk , mk+1 ). Тогда по лемме 9 и неравенству (3) находим, что −1/p

En (f )Lp = En (f − tn )Lp ≤ Emk (f − tn )Lp ≤ 2ωk (f − tn )Lp ≤ 2mk ≤

−1/p 2mk kf

Следствие доказано.

− tn kp ≤ 2N

1/p

−1/p mk+1 En (f )p

≤ 2N

Vp (f − tn )k

1/p −1/p

n

En (f )p .

246

С. С. Волосивец Теорема 1. Пусть f ∈ Lp [0, 1) и сходится ряд ∞ X

n1/p−1 En (f )Lp .

(5)

n=1

Тогда f (x) эквивалентна (f (x) = f0 (x) п. в.) функции f0 ∈ M Cp [0, 1), при этом для любого r ∈ N верно неравенство ! ∞ X 1/p 1/p−1 En (f0 )p ≤ C(p) r En (f )Lp + ν Eν (f )Lp . ν=r+1

Доказательство. Пусть tn ∈ Wn таков, что kf − tn kLp = En (f )Lp . Используя лемму 8, имеем ∞ X

∞ X

ktmk − tmk−1 kp ≤ k=1

∞ X

1/p

C1 mk ktmk − tmk−1 kLp ≤ 2C1 k=1

1/p

mk Emk−1 (f )Lp . k=1

Сходимость последнего ряда равносильна сходимости ряда (5). Значит, в силу полноты M Cp [0, 1) последовательность k X

tmk = t1 +

(tmi − tmi−1 ) i=1

сходится в M Cp [0, 1) к f0 ∈ M Cp [0, 1), и так как tmk сходится к f в Lp [0, 1), то f (x) = f0 (x) п. в., при этом по лемме 8 ∞ X

kf0 kp ≤ kt1 kp +

ktmk − tmk−1 kp k=1 ∞ X

≤ (2C1 + 1)

1/p

∞ X

mk Emk−1 (f )Lp ≤ C2

ν 1/p−1 Eν (f )Lp .

ν=1

k=1

Подставим в последнее неравенство f0 − tn вместо f0 : ∞ X

kf0 − tn kp ≤ C2

ν 1/p−1 Eν (f − tn )Lp .

(6)

ν=1

При ν ≤ r имеем Eν (f − tn )Lp ≤ kf − tn kLp = En (f )Lp , а при ν > r будет Eν (f − tn )Lp ≤ Eν (f )Lp . При ν ≥ n это очевидно, а при ν < n получаем Eν (f − tn )Lp ≤ kf − tn kLp = En (f )Lp ≤ Eν (f )Lp . Подставляя эти оценки в (6), разбивая сумму из (6) на две: от 1 до r и от r P r + 1 до ∞, используя неравенство ν 1/p−1 ≤ C3 r1/p , приходим к неравенству ν=1

теоремы.

Теорема 2. Пусть {En0 }∞ n=1 — убывающая к нулю последовательность такая, что выполнено условие ∞ X ν=n+1

ν −1 Eν0 = O(En0 ).

(B)

Сходимость рядов Фурье по мультипликативным системам

247


Тогда соотношение En (f )Lp = O n−1/p En0 равносильно тому, что f эквивалент
0 на f0 ∈ M Cp [0, 1), при этом En (f0 )p = O En .
Доказательство. Если En (f )Lp = O n−1/p En0 , то в силу условия (B) ряд (5) сходится, так что по теореме 1 f эквивалентна f0 ∈ M Cp [0, 1) и при этом ! ∞ X
1/p −1/p 0 1/p−1 −1/p 0 En (f0 )p ≤ C(p) n n En + ν ν Eν = O En0 . ν=n+1

Обратное утверждение вытекает из следствия 1. Теорема доказана. Приведем теперь аналогичное утверждение для оценок наилучших приближений снизу. Теорема 3. Пусть {En0 }∞ n=1 — убывающая к нулю последовательность, f ∈ M Cp [0, 1), 1 < p < ∞, и выполнено условие ∞ X

ν 1/p−1 Eν (f )Lp ) = O(n1/p En (f )Lp ).

(B1/p )

ν=n+1

Тогда En0 = O(En (f )p ) равносильно тому, что En0 = O(n1/p En (f )Lp ). Доказательство. Если En (f )Lp ≥ C1 n−1/p En0 , то по следствию 1 En (f )p ≥ (2N 1/p )−1 n1/p En (f )Lp ≥ C2 En0 . Пусть теперь En (f )p ≥ C3 En0 . Тогда по теореме 1 при r = n и условию (B1/p ) имеем ! ∞ X C3 En0 ≤ En (f )p ≤ C4 n1/p En (f )Lp + ν 1/p−1 Eν (f )Lp ≤ C5 n1/p En (f )Lp . ν=n+1

Теорема доказана. 3. Сходимость рядов из коэффициентов Фурье по мультипликативным системам Начнем с достаточных условий сходимости ряда (4). Теорема 4. Пусть 1 < p < ∞, f ∈ M Cp [0, 1), 0 < β ≤ 2, s = max(p, 2), α − β/2 − β/s > −1. Тогда из сходимости любого из рядов ∞ X

nα−β/2−β/s Enβ (f )p ,

(7)

mα−β/2−β/s+1 Vpβ (f )n n

(8)

n=1 ∞ X n=0

следует сходимость ряда (4). Доказательство. Сходимость рядов (7) и (8) равносильна в силу (30 ) и леммы 6 из [2]. При p > 2 аналогично [2] применяем неравенство Г¨ельдера

248

С. С. Волосивец

с показателями 2/β и q = 2/(2 − β) (при β = 2 показатели 1 и ∞), а также лемму 3: ∞ X

n |fˆ(n)|β ≤ α

∞ X

mk+1 −1

k=0

n=mk

!1/q

X

n

n=1 ∞ X

≤ C1

αq

!β/2

mk+1 −1

X

|fˆ(n)|β2/β

n=mk

α+1/q

(−2/p)β/2

mk+1 Vpβ (f )k mk+1

∞ X

≤ C2 (N )

k=0

α−β/2−β/p+1

mk

Vpβ (f )k .

k=0

Аналогично при 1 < p ≤ 2 в силу неравенства Г¨ельдера и леммы 3 имеем ∞ X

nα |fˆ(n)|β ≤ C3

n=1

∞ X

α+1/q

−β/2

mk+1 Vpβ (f )k mk

∞ X

≤ C4 (N )

k=0

mkα−β+1 Vpβ (f )k .

k=0

Таким образом, из сходимости ряда (8) следует сходимость ряда (4). Теорема доказана. Получим одно следствие из теоремы 4, касающееся абсолютной суммиру∞ P емости ряда (4). Напомним, что ряд un называется |C, α|-суммируемым, n=0

α > −1, если ∞ X α σn+1 − σnα < ∞, n=1

где σnα

n X

=

Aα n


−1

Aα n−ν uν ,

Aα n = (α + 1) . . . (α + n)/n!,

Aα 0 = 1.

ν=0

Лемма 10 [14]. Если ряд

∞ P

|un | сходится, то ряд

n=0

∞ P

Aα n


−1

un суммируем

n=0

методом |C, −α| при 0 < α < 1. Следствие 2. Пусть f ∈ M Cp [0, 1), 1 < p < ∞, s = max(p, 2), α − β/2 − β/s + γ > −1, 0 < β ≤ 2, 0 < γ < 1. Тогда из сходимости ряда ∞ X

nα−β/2−β/s+γ Enβ (f )p

n=1

следует |C, −γ|-суммируемость ряда (4). В частности, из сходимости ряда ∞ X

nδ Enβ (f )p

n=1

при 1 < p ≤ 2, δ > −1, 1 > δ + β > 0 следует |C, −δ − β|-суммируемость ряда ∞ P |fˆ(n)|β . n=1

Доказательство. Как известно [9, гл. 3, § 1], при γ > −1 верно соотношение C1 nγ ≤ Aγn ≤ C2 nγ . По теореме 4 из сходимости ряда ∞ X n=1

nα−β/2−β/s+γ Enβ (f )p

Сходимость рядов Фурье по мультипликативным системам следует сходимость ряда ∞ P

∞ P

249

nα+γ |fˆ(n)|β , что равносильно сходимости ряда

n=1

Aγn nα |fˆ(n)|β . Отсюда по лемме 10 получаем |C, −γ|-суммируемость ряда (4).

n=1

При α = 0, s = 2 и δ + β = γ выводим второе утверждение следствия. Теперь докажем лемму, являющуюся аналогом результата С. Н. Бернштейна (см. [9, гл. 6, § 4, теорема 4.2]). Лемма 11. Пусть n ∈ N. Тогда существует n−1 X

Pn (x) =

ak χk (x), k=0

для которого выполнены следующие условия: 1) kPn k∞ ≤ n1/2 ; 2) для всех r ∈ [1, 2] справедлива оценка !1/r n−1 X r € (Pn , r) := |ak | ≥ Bn1/r , k=0

где B не зависит от n. Доказательство. Рассмотрим функцию n−1 X

gt (x) =

φk (t)χk (x), k=0

где φk (t) — функции Радемахера из леммы 7. Согласно лемме 7 находим, что !1/2 Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 n−1 X 2 |χk (x)| dx = A1 n1/2 . |gt (x)| dx dt = |gt (x)| dt dx ≥ A1 0

0

0

0

0

k=0

Отсюда следует существование t0 ∈ [0, 1] со свойством Z1 |gt0 (x)| dx ≥ A1 n1/2 . 0

Пусть теперь n−1 X

f (x) = sign gt0 (x),

sn (f )(x) =

fˆ(k)χk (x),

σn (f ) = (s1 (f ) + . . . + sn (f ))/n

k=0

и n X

τn (f )(x) = 2σ2n (f )(x) − σn (f )(x) = k=0

fˆ(k)χk (x) +

2n−1 X

(2 − (k + 1)/n)fˆ(k)χk (x).

k=n+1

Согласно известному неравенству для сверток и лемме 6 имеем kσν (f )k∞ ≤ kFν kL1 kf k∞ ≤ Kkf k∞ = K для всех ν ∈ N, откуда kτn k∞ ≤ 3K. Ясно, что n−1 Z1 n X X ˆ ˆ € (τn , 1) ≥ |f (k)| ≥ f (k)φk (t0 ) = gt0 (x)τn (x) dx , k=0

k=0

0

250

С. С. Волосивец

так как gt0 ∈ Wn . Поскольку sn+1 (f ) = sn+1 (τn (f )), последнее выражение равно 1 1 Z1 Z Z gt0 (x)sn+1 (f )(x) dx = gt0 (x)f (x) dx = |gt0 (x)| dx ≥ A1 n1/2 . 0

0

0

1/2

Пусть P2n = P2n+1 = n τn /3K при n ∈ N и P1 = 1. Тогда P2n , P2n+1 ∈ W2n , kP2n k∞ , kP2n+1 k∞ ≤ n1/2 и € (P2n , 1) ≥ A1 n/3K, € (P2n+1 , 1) ≥ A1 n/3K, что дает нам € (Pn , 1) ≥ A1 n/9K. Наконец, из неравенства Г¨ельдера получаем € (Pn , 1) ≤ n1−1/r € (Pn , r), что и завершает доказательство леммы. Докажем теперь неулучшаемость теоремы А. Теорема 5. Пусть {En0 }∞ n=1 — убывающая к нулю последовательность такая, что ∞ X n−1/2 En0 = +∞. n=1

Тогда существует f ∈ M C[0, 1), для которой En (f )L2 ≤ En (f ) ≤ En0 , n ∈ N, и ∞ P ряд |fˆ(k)| расходится. k=0

Аналогично если {αn }∞ n=1 — убывающая к нулю последовательность со свойством ∞ X m1/2 n αn = +∞, n=1

то существует f ∈ M C[0, 1), для которой ωn (f ) ≤ αn , n ∈ N, и ряд

∞ P |fˆ(k)| k=0

расходится. Доказательство. Пусть Pn , n ∈ N, — многочлены, построенные в лемме 11. Рассмотрим ряд ∞ X

f0 (t) =

−1/2

mk


0 0 Em − Em χmk (t)Pmk (t). k+1 k+2

k=1

ˆ k (l) 6= Тогда носитель выражения hk = χmk Pmk (множество l ∈ Z+ таких, что h 0) содержится в [mk , mk+1 ) и при разных k эти носители не пересекаются. Сначала находим, что ∞ X

Emn (f0 ) ≤

∞ X

0 0 0 0 0 kP (t)k ≤ Em −Em ≤ Em , Em −E mk ∞ mk+2 n+1 k+1 k+2 k+1

−1/2

mk

k=n

k=n

откуда En (f0 ) ∞ X n=1

≤ En0 ∞ X

|fˆ0 (n)| ≥

для всех n ∈ N. Так как носители hk не пересекаются, то −1/2

mk


0 0 Em − Em € (Pmk , 1) k+1 k+2

k=1

≥ BN

−1/2

∞ X

1/2

0 0 mk+1 Em − Em k+1 k+2




k=1

= BN

−1/2

∞ X k=2

1/2 0 mk Em k

∞ X

−

! +1/2 0 mk−1 Em k

k=3

≥ BN

−1/2

1/2

(1 − (1/2)

∞ X

) k=2

1/2

0 mk Em . k

Сходимость рядов Фурье по мультипликативным системам Последний ряд расходится одновременно с рядом

∞ P

251

n−1/2 En0 (f ), что и дока-

n=1

зывает первое утверждение теоремы. Второе утверждение доказывается ана0 логично, если заменить Em на αk и использовать неравенство (3). Теорема k доказана. Переходим к доказательству неулучшаемости условий теоремы 4. Начнем со случая 1 < p ≤ 2. Теорема 6. Пусть 1 < p ≤ 2, 0 < β ≤ 2, α − β > −1 и {En0 }∞ n=1 — убывающая к нулю последовательность такая, что ∞ X

nα−β (En0 )β = ∞.

n=1

Тогда существует f ∈ M Cp [0, 1), для которой En (f )p ≤ En0 , n ∈ N, при этом ряд (4) расходится. Доказательство. Из леммы 1 легко следует, что kDmn − Dmn−1 kLp ≤ откуда по лемме 8 kDmn − Dmn−1 kp ≤ C1 mn (последний результат можно доказать и непосредственно). Рассмотрим функцию 1−1/p , 2mn

∞ X

f1 (x) =


0 0 m−1 Em − Em (Dmk (x) − Dmk−1 (x)). k k k+1

k=1

Для нее имеем ∞ X

Emn (f1 )p ≤


0 0 0 m−1 Em − Em kDmk (x) − Dmk−1 (x)kp ≤ C1 Em . k n+1 k k+1

k=n+1

В частности, f1 ∈ M Cp [0, 1). Поэтому при i ∈ [mn , mn+1 ) получаем Ei (f1 )p ≤ 0 Emn (f1 )p ≤ C1 Em ≤ C1 Ei0 . С другой стороны, n+1 ∞ X n=1

nα |fˆ1 (n)|β =

∞ X

0 0 m−β Em − Em k k k+1


β

mX k −1

nα

n=mk−1

k=1

∞ X

≥ C2

0 0 mkα−β+1 Em − Em k k+1


β

.

k=1

По лемме 4 последний ряд расходится, так как расходится ряд ∞ X

0 mα−β+1 (Em )β . k k

k=1

Значит, f1 /C1 удовлетворяет всем требованиям теоремы. Теорема доказана. При p > 2 дадим две теоремы. В теореме 7 полностью решается вопрос о неулучшаемости условий теоремы 4, но при ограничении pn ≡ q. В теореме 8 нет условий на последовательность pn , кроме ее ограниченности, но зато требуются равенство α = 0 и неравенство 1 ≤ β.

252

С. С. Волосивец

Теорема 7. Пусть pn = q для всех n ∈ N, p > 2, 0 < β ≤ 2, α − β/2 − β/p > −1 и {En0 }∞ n=1 — убывающая к нулю последовательность такая, что ∞ X

nα−β/2−β/p (En0 )β = ∞.

n=1

Тогда существует f ∈ M Cp [0, 1), для которой En (f )p ≤ En0 , n ∈ N, при этом ряд (4) расходится. Доказательство. Рассмотрим функцию (Q0 = 0) ∞ X

f2 (x) =


q −k(1/p+1/2) Eq0 k − Eq0 k+1 (Qk (x) − Qk−1 (x)),

k=1

где Qk ∈ Wqk построены согласно лемме 5. По лемме 8 и п. 2 леммы 5 получаем kQk − Qk−1 kp ≤ C1 q k/p kQk − Qk−1 kLp ≤ С1 q k/p kQk − Qk−1 k∞ ≤ 2q 1/2 C1 q k(1/2+1/p) . Поэтому аналогично доказательству предыдущей теоремы Eqn (f2 )p ≤ C2 Eq0 n+1 и Ei (f2 )p ≤ C2 Ei0 для всех i ∈ N, n ∈ Z+ . Согласно пп. 1 и 3 леммы 5 оцениваем снизу сумму ряда (4): ∞ X

n |fˆ(n)| = α

n=1

β

∞ X

q

−kβ(1/p+1/2)

Eq0 k

−


β Eq0 k+1

k qX −1

nα

n=q k−1

k=1 ∞ X

≥ C3

q k(α+1−β/p−β/2) Eq0 k − Eq0 k+1


β

.

k=1

С помощью леммы 4 получаем, что последний ряд расходится и, стало быть, f2 /C2 удовлетворяет всем условиям теоремы. Теорема 8. Пусть p > 2, 1 ≤ β ≤ 2, β/2+β/p < 1 и {En0 }∞ n=1 — убывающая к нулю последовательность такая, что ∞ X

n−β/p−β/2 (En0 )β = ∞.

n=1

Тогда существует f ∈ M Cp [0, 1), для которой En (f )p ≤ En0 , n ∈ N, при этом ряд ∞ X

|fˆ(n)|β

(9)

n=1

расходится. Доказательство. Рассмотрим функцию ∞ X

f3 =

−1/p−1/2

mk


0 0 Em − Em χmk Pmk , k+1 k+2

k=1

где Pmk — полиномы, построенные в лемме 11. По лемме 8 получаем 1/2+1/p

kχmk Pmk kp ≤ (2mk )1/p C1 kχmk Pmk kLp ≤ (2mk )1/p C1 kPmk k∞ ≤ C2 mk

.

Сходимость рядов Фурье по мультипликативным системам

253

Поэтому ∞ X

Emn (f3 )p ≤ C2


0 0 0 Em − Em ≤ C2 Em , n+1 k+1 k+2

k=n

C2 Ei0

для всех i ∈ N. Учитывая, что носители hk = χmk Pmk откуда Ei (f3 )p ≤ при разных k не пересекаются, согласно лемме 11 имеем ∞ X n=1

|fˆ(n)|β ≥

∞ X

−β/p−β/2

0 0 Em − Em k+1 k+2

mk


β

€ β Pmk , β




k=1 ∞ X

≥ C3 (N )

−β/p−β/2

mk+1

0 0 Em − Em k+1 k+2


β

mk B β .

k=1

Снова используя лемму 4, заключаем, что последний ряд расходится одновременно с рядом ∞ X n−β/p−β/2 (En0 )β . n=1

Значит, f3 /C2 — искомая функция. Теорема доказана. Следствие 3. Пусть p > 2, 1 ≤ β ≤ 2, β/2 + β/p < 1 и {αn }∞ n=1 — убывающая к нулю последовательность такая, что ∞ X

m1−β/p−β/2 (αn )β = ∞. n

n=1

Тогда существует f ∈ M Cp [0, 1), для которой Vp (f )n ≤ αn , при этом ряд (9) расходится. Для доказательства рассматривается функция f3 , в определении которой 0 заменены на αn , и повторяются рассуждения из доказательства теоремы 8. Em n Замечание 2. Аналогично доказательствам теорем 5 и 8 можно показать, что если ∞ X n−β/2 (En0 )β = ∞, (10) n=1

где En0 монотонно убывает к нулю, то существует f ∈ M C[0, 1) такая, что En (f ) ≤ En0 и ряд (9) расходится. Достаточность сходимости левой части (10) для сходимости ряда (9) доказывается почти так же, как аналоги теорем Бернштейна и Саса [5, гл. 4, § 2, теоремы 4.8, 4.9]. 4. Неравенства типа А. В. Ефимова для систем Гата Пусть pk и mk те же, что и раньше. Рассмотрим множество G(pi ) из элементов 0, 1, . . . , pi − 1 с дискретной топологией и мерой µi (a) = 1/pi для a ∈ G(pi ). Пусть GP — прямое произведение G(pi ), причем топология и мера µ в GP суть прямые произведения соответствующих топологий и мер. Тогда множество GP , состоящее из последовательностей x = (x1 , x2 , . . . , xi , . . . ), xi ∈ G(pi ), 1 ≤ i < ∞, является компактом, µ(GP ) = 1 и база окрестностей точки x в GP состоит из I (n) (x) = {y ∈ GP : y1 = x1 , . . . , yn = xn }, n ∈ N (I (0) (x) = GP ). Для k ∈ N с разложением (2) пусть (k) — число l ∈ N такое, что ∞ P ml−1 ≤ k < ml , и k (i) = kj mj−1 . Рассмотрим An -алгебру, порожденную всеj=i

ми I (n) (x), и En (f ) — условное математическое ожидание по отношению к An .

254

С. С. Волосивец

Пусть k, n ∈ Z+ , n =

∞ P j=1

nj mj−1 — разложение (2) и rkn (x) — комплекснозначная

функция на GP , удовлетворяющая следующим свойствам: (i) rkn (x) зависит лишь от x1 , . . . , xk , а rk0 (x) = 1 при всех k, n ∈ Z+ ;
(ii) если mk−1 делит n и l, n(k+1) = l(k+1) (l, n ∈ Z+ , k ∈ N), то Ek−1 rkn r¯kl = δ(nk , lk ), где z¯ — комплексное сопряжение к z, δ(a, b) — символ Кронекера; (iii) если mk делит n (т. е. n = nk+1 mk + . . . n(n) m(n)−1 ), то pX k −1

jmk−1 +n 2 r (x) = pk k

j=0

при всех x ∈ GP ; (iv) существует δ > 1 такое, что krkn k∞ ≤ (pk /δ)1/2 . Для n ∈ Z+ полагаем ∞ Y (k) rkn . ψn (x) = k=1

Эта система является ортонормированной на GP . Если G(pi ) совпадают с циклическими группами Zpi , то, вводя в GP покоординатное сложение по модулю pi , получаем, что ψn (x) совпадают с χn (x), перенесенными с [0, 1) на P-ичную группу, являющуюся прямой суммой Zpi (см. [1, гл. 1, § 1.5]). Разнообразные и интересные примеры систем {ψn }∞ n=0 можно найти в статье Гата [12], которому и принадлежит это определение. Пусть λi — взаимно однозначное отображение G(pi ) на себя, и пусть λ = (λ1 , λ2 , . . . ) — отображение GP на себя, задаваемое формулой λ(x) = (λ1 (x1 ), λ2 (x2 ), . . . ) для x = (x1 , x2 , . . . ). Рассмотрим множество ƒn таких отображений λ, для которых λi (xi ) = xi при xi ∈ G(pi ), 1 ≤ i ≤ n. Для [0, 1) с операцией ⊕ аналогом λ ∈ ƒn является отображение x → x ⊕ h, 0 ≤ h < 1/mn . Каждому k ∈ Z+ с разложением (2) сопоставим элемент k ∗ = (k1 , k2 , . . . ) ∈ GP . Пусть osc(f, I (n) (x)) = sup{|f (y) − f (λ(y))| : y ∈ I (n) (x), λ ∈ ƒn }. По определению для p ∈ (1, +∞) и функций f : GP → C, ограниченных на GP , положим !1/p mX n −1 (0)
κp (f, n) = (osc(f, I (n) (j ∗ )))p , n ∈ N, κp (f, 0) = osc f, I0 . j=0

Если для Vp (f )n := sup κp (f, k) выполнено соотношение lim Vp (f )n = 0, k≥n

n→∞

то f принадлежит пространству M Cp (GP ) — аналогу пространства M Cp [0, 1). Подобно лемме 1 из [2] доказывается, что это пространство полно относительно нормы kf kp = max(Vp (f )0 , sup{|f (x)| : x ∈ GP }). Пусть Wn определяется, как во введении, и En (f )p = inf{kf − tn kp : tn ∈ Wn }. Докажем аналог неравенства (30 ). Теорема 9. Пусть 1 < p < ∞, n ∈ N, f ∈ M Cp (GP ). Тогда Vp (f )n ≤ Emn (f )p ≤ 2Vp (f )n .

Сходимость рядов Фурье по мультипликативным системам

255

Доказательство. По определению полином Q ∈ Wmn содержит ψi , i < mn , т. е. i(k) = 0 при k > n и ψi — произведение rkl , k ≤ n. Значит, ψi постоянны на всех I (n) (j ∗ ) и тем более на всех I (k) (j ∗ ), k ≥ n. То же самое верно для Q. Поэтому osc(f, I (k) (j ∗ )) = osc(f − Q, I (k) (j ∗ )) при j < mk и k ≥ n, откуда Vp (f − Q)0 ≥ Vp (f − Q)n = Vp (f )n . В частности, Emn (f )p ≥ Vp (f )n . Теперь воспользуемся равенством (см. [12]) Z Smn (f )(x) = mn f (t) dµ(t), (11) I (n) (x)

где µ(t) — мера на GP и Sn (f )(x) ∈ Wn — частичная сумма ряда Фурье функции f по системе {ψi }∞ i=0 . Тогда Z f (x) − Smn (f )(x) = mn (f (x) − f (t)) dµ(t). (110 ) I (n) (x)

Поскольку Smn (f ) принадлежит Wmn , то, как показано выше, она постоянна на I (k) (j ∗ ), k ≥ n, 0 ≤ j < mk , откуда при k ≥ n видно, что κp (f − Smn (f ), k) = κp (f )k ≤ Vp (f )n . При k < n имеем
p (osc(f − Smn (f ), I (k) (j ∗ )))p ≤ 2 sup{|f (x) − Smn (f )(x)| : x ∈ I (k) (j ∗ )} . (12) В силу (110 ) правая часть (12) не превосходит 2p

(osc(f, I (n) (i∗ )))p

max jmn /mk ≤i<(j+1)mn /mk

X

≤ 2p

(osc(f, I (n) (i∗ )))p .

jmn /mk ≤i<(j+1)mn /mk

Суммируя эти неравенства по j от 0 до mk − 1, получаем κpp (f − Smn (f ), k) ≤ 2p

mX k −1

X

(osc(f, I (n) (i∗ )))p ≤ 2p Vpp (f )n .

j=0 jmn /mk ≤i<(j+1)mn /mk

Окончательно для всех k ∈ N видим, что κp (f − Smn (f ), k) ≤ 2Vp (f )n и sup |f (x) − Smn (f (x))| ≤ max osc(f, I (n) (i∗ )) ≤ Vp (f )n 0≤i<mn

x∈GP

также благодаря (110 ). Теорема доказана. Следствие 4. Множество полиномов по системе {ψn }∞ n=0 плотно в M Cp (GP ). Введем еще один p-флуктуационный модуль непрерывности: Vp (f )∗n = sup kf (x) − f (λ(x))kp . λ∈ƒn

Легко видеть, что Vp (f +g)∗n ≤ Vp (f )∗n +Vp (g)∗n . Для аналогичных модулей непрерывности в C(GP ) и Lp (GP ) Гат [15] доказал аналог неравенства А. В. Ефимова (3). Сложность такого переноса заключается в отсутствии групповой структуры в GP , в то время как ее наличие использовалось в доказательстве А. В. Ефимова (см. [1, гл. 10, § 10.5, теорема 10.5.1]).

256

С. С. Волосивец

Теорема 10. Пусть 1 < p < ∞, n ∈ N, f ∈ M Cp (GP ). Тогда справедливы неравенства (1/2)Vp (f )∗n ≤ Emn (f )p ≤ Vp (f )∗n . Доказательство. Сначала покажем, что для n ∈ N, f ∈ M Cp (GP ) Vp (f )∗n ≤ 2Vp (f )n .

(13)

По определению имеем Vp (f )∗n

!1/p

mX k −1

= sup sup λ∈ƒn k∈N

sup

p

|f (u) − f (λ(u)) − f (t) + f (λ(t))|

.

(k) ∗ j=0 u,t∈I (j )

При k ≤ n, λ ∈ ƒn , u(j), t(j) ∈ I (k) (j ∗ ) элементы λ(u(j)) и u(j) принадлежат одному I (n) (i∗ ) и то же верно для пары λ(t(j)) и t(j). Таким образом, |f (u(j)) − f (λ(u(j))) − f (t(j)) + f (λ(t(j)))|p ≤ 2p−1 (|f (u(j)) − f (λ(u(j)))|p + |f (t(j)) − f (λ(t(j)))|p ) ≤ 2p

max

oscp (f, I (n) (i∗ )).

i∗ ∈I (k) (j ∗ )

Переходя к точной верхней грани и суммируя эти неравенства, получаем !1/p mX k −1 p sup |f (u) − f (λ(u)) − f (t) + f (λ(t))| ≤ 2Vp (f )n . (k) ∗ j=0 u,t∈I (j )

При k > n, λ ∈ ƒn , u(j), t(j) ∈ I (k) (j ∗ ) пара λ(u(j)), λ(t(j)) также содержится в одном I (k) (j1∗ ) (так как un+1 (j) = tn+1 (j), . . . , uk (j) = tk (j), то λn+1 (un+1 (j)) = λn+1 (tn+1 (j)), . . . , λk (uk (j)) = λk (tk (j))). Если же u и t принадлежат разным I (k) (j ∗ ), то в силу взаимной однозначности λi , n < i ≤ k, λ(u) и λ(t) тоже будут лежать в разных I (k) (j ∗ ). В итоге если u(j), t(j) ∈ I (k) (j ∗ ), то кроме них в I (k) (j ∗ ) будут ровно два элемента λ(u(i)), λ(t(i)), 0 ≤ i < mk . Учитывая это обстоятельство и применяя неравенство Г¨ельдера, получаем !1/p mX k −1 sup |f (u) − f (λ(u)) − f (t) + f (λ(t))|p ≤ 2Vp (f )k ≤ 2Vp (f )n . (k) ∗ j=0 u,t∈I (j )

Таким образом, (13) доказано, а из него и левого неравенства теоремы 9 следует левое неравенство данной теоремы. Для доказательства правого неравенства теоремы используем метод, близкий к примененному в [15]. Пусть Q ∈ WmN , N > n. В силу формулы (11) и постоянства Q на I (N ) (x) получаем X Smn (Q)(x) = mn m−1 Q(α(x, t)), N где α(x, t) = (x1 , . . . , xn , tn+1 , . . . , tN , tN +1 , . . . ) ∈ GP , а сумма берется по всем ti ∈ G(pi ), n + 1 ≤ i ≤ N . Пусть λi (yi , xi ) при фиксированном xi ∈ G(pi ) или yi ∈ G(pi ) взаимно однозначно отображает G(pi ) на себя. Имеем равенство X Smn (Q)(x) = mn m−1 Q(λ(y, x)), (14) N

Сходимость рядов Фурье по мультипликативным системам

257

где λ(y, x) = (x1 , . . . , xn , λn+1 (yn+1 , xn+1 ), . . . ) и сумма берется P по всем yi ∈ G(pi ), n + 1 ≤ i ≤ N . Будем записывать эту сумму так: . Ясно, что yn+1 ,...,yN

λ(y, x) как функция от x принадлежит ƒn . При k ≥ N в силу постоянства Q(x) и Smn (Q)(x) на I (k) (i∗ ), 0 ≤ i < mk , получаем, что κp (Smn (Q)(x) − Q(x), k) = 0. При k < N по формуле (14) в силу конечнозначности Q существуют x(j), z(j) ∈ I (k) (j ∗ ), 0 ≤ j < mk , такие, что osc(Smn (Q)(x) − Q(x), I (k) (j ∗ )) X = mn m−1 (Q(x(j)) − Q(λ(y, x(j))) − Q(z(j)) + Q(λ(y, x(j)))) . N yn+1 ,... ,yN

Согласно неравенству Г¨ельдера имеем κpp (Smn (Q)(x) − Q(x), k) ≤ (mn /mN )p (mN /mn )p−1 mX k −1

X

(osc(Q(λ(y, x)) − Q(x), I (k) (j ∗ ))p ≤ (Vp (Q)∗n )p ,

× j=0 yn+1 ,... ,yN

поскольку λ(y, x) ∈ ƒn . В итоге kSmn (Q) − Qkp ≤ Vp (Q)∗n .

(15)

Пусть теперь f ∈ M Cp (GP ) и ε > 0. По следствию 4 найдем Q ∈ WmN , N > n, такой, что kf − Qkp < ε. Тогда kf − Smn (f )kp ≤ kSmn (f ) − Smn (Q)kp + kSmn (Q) − Qkp + kQ − f kp . Из формулы (11) легко видеть, что osc(Smn (f )(x), I (k) (j ∗ )) ≤ osc(f (x), I (k) (j ∗ )), откуда kSmn (f )kp ≤ kf kp . Благодаря этому неравенству и (15) kSmn (f ) − f kp ≤ Vp (f )∗n + 2kf − Qkp ≤ Vp (f − Q)∗n + Vp (f )∗n + 2kf − Qkp Vp (f )∗n + 4kf − Qkp ≤ Vp (f )∗n + 4ε. Здесь для оценки Vp (f − Q)∗n ≤ 2kf − Qkp использовано левое неравенство теоремы. В силу произвольности ε > 0 получаем правое неравенство теоремы, что завершает ее доказательство. Следствие 5. Пусть 1 < p < ∞, n ∈ N, f ∈ M Cp (GP ). Тогда Vp (f )n ≤ Vp (f )∗n ≤ 2Vp (f )n . Доказательство. Правое неравенство следствия установлено при доказательстве теоремы 10, левое следует из теорем 9 и 10. Что касается переноса результатов об абсолютной сходимости на системы Гата, то в силу отсутствия групповой структуры у GP возникают проблемы с получением достаточных условий типа теоремы А или теоремы 4. Напротив, для переноса результатов о неулучшаемости есть все необходимые средства. Так, аналогом леммы 6 является теорема 12 из [12], а лемма 3 из той же статьи [12] — аналог леммы 1. В силу мультипликативности системы {ψn }∞ n=0 , следующей из определения, и ее ортонормированности представляется возможным получить аналоги леммы 11 и теорем 5, 6 и 8. Автор выражает глубокую признательность профессору Б. И. Голубову за полезное обсуждение результатов данной работы.

258

С. С. Волосивец ЛИТЕРАТУРА

1. Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша. М.: Наука, 1987. 2. Волосивец С. С. Приближение функций ограниченной p-флуктуации полиномами по мультипликативным системам // Anal. Math.. 1995. V. 21, N 1. P. 61–77. 3. Onneweer C. W., Waterman D. Uniform convergence of Fourier series on groups // Michigan J. Math.. 1971. V. 18, N 3. P. 265–273. 4. Терехин А. П. Интегральные конструктивные свойства периодических функций ограниченной p-вариации // Труды молодых ученых СГУ. Математика и механика // Саратов: Изд-во СГУ, 1969. Вып. 2. С. 131–135. 5. Агаев Г. Н., Виленкин Н. Я., Джафарли Г. М., Рубинштейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку: Элм, 1981. 6. Виленкин Н. Я. Об одном классе полных ортонормальных систем // Изв. АН СССР. Сер. мат.. 1947. Т. 11, № 4. С. 363–400. 7. Onneweer C. W. Absolute convergence of Fourier series on certain groups // Duke Math. J.. 1972. V. 39, N 4. P. 599-610. 8. Бочкарев С. В. Абсолютная сходимость рядов Фурье по полным ортонормированным системам // Успехи мат. наук. 1972. Т. 27, № 2. С. 53–76. 9. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965. Т. 1. 10. Volosivets S. S. Convergence of series of Fourier coefficients of p-absolutely continuous functions // Anal. Math.. 2000. V. 26, N 1. P. 63–80. 11. Терехин А. П. Интегральные свойства гладкости периодических функций ограниченной p-вариации // Мат. заметки. 1967. Т. 2, № 3. С. 288–300. 12. Gat G. On (C, 1) summability of integrable functions on compact totally disconnected spaces // Studia Math.. 2001. V. 144, N 2. P. 101–120. 13. Pal J., Simon P. On a generalization of the concept of derivative // Acta Math. Hungar.. 1977. V. 29, N 1–2. P. 155–164. 14. Sunouchi G.-I. Notes on Fourier analysis. XI. On the absolute summability of Fourier series // J. Math. Soc. Japan. 1949. V. 1, N 2. P. 122–129. 15. Gat G. Best approximation by Vilenkin-like systems // Acta Math. Paed. Nyireg.. 2001. V. 17, N 3. P. 161–169. Статья поступила 24 декабря 2004 г. Волосивец Сергей Сергеевич Саратовский гос. университет, механико-математический факультет, ул. Астраханская, 83, Саратов 410028 [email protected]