4-Dimensionale projektive Ebenen mit grosser abelscher Kollineationsgruppe

Journal of Geometry Vol. 31 (1988)

0047-2468/88/020114-1151.50+0.20/0 (c) 1988 Birkh~user Verlag, Basel

4-DIMENSIONALE PROJEKTIVE EBENEN MIT GROSSER ABELSCHER KOLLINEATIONSGRUPPE

Herrn

Professor

Norbert

Dr.

Helmut

Karzel

zum 60. Geburtstag

Knarr

We show that a 4-dimensional connected abelian group can act in exactly five different ways as a collineation group of a compact 4-dimensional projective plane. Furthermore the complex projective plane is characterized as the only compact 4-dimensional projective plane which admits two different 4-dimensional abel• collineation groups.

EINLEITUNG Die Kol!ineationsgruppe einer kompakten 4-dimensiona!en projektiven Ebene ist eine h~chstens und Ebenen mit mindestens

16-dimensionale Lie-Gruppe

[14]~

8-dimenSionaler Kollineationsgruppe

sind bis auf Dualit~t Translationsebenen

[16].

Eine topologische projektive Ebene heiBt flexibel, wenn ihre Kollineationsgruppe eine offene Bahn im Fahnenraum besitzt. Alle flexiblen 4-dimensionalen Translationsebenen wurden in einer Reihe yon Arbeiten klassifiziert~ Literatur.

[11 und dor~ angegebene

Wenn man jetzt alle flexiblen 4-dimensionalen projek-

tiven Ebenen bestimmen will~ kann man sich folglieh auf das Studium von Nicht-Translationsebenen beschr~nken~

Die Vielfalt

der bereits bekannten 4-dimensionalen projektiven Ebenen l~Bt dieses Problem allerdings als sehr schwierig erscheinen~ Man wird daher zun~ehst Ebenen untersuchen,

die noch gewissen Zu-

satzforderungen gen~gen. Wir betrachten hier 4-dimensionale projektive Ebenen, die eine m~glichst groBe zusammenh~ngende kommutative Kollineationsgruppe

Knarr

115

besitzen. dieser

Eine

und

gelingt

Weisen

In der k o m p l e x e n wit geben

einen

ihre

eine

4-dimensional~

vollst~ndige

zusammenh~ngende

4-dimensionalen

verschiedene

ist h ~ e h s t e n s

und in

Klassifikation

ihrer Wirkungen:

4-dimensionale,

pe einer

dab

Gruppe

Grenzdimension

der G r u p p e n Eine

solche

projektiven

abelsche Ebene

kann auf genau

f~nf

operieren.

projektiven

Ebene

kommen

alle

geometrisch-topologischen

Kollineationsgruppe

4-dimensionaler,

Kollineationsgrup-

genau

F~lle

Beweis

vor,

und

der Tatsache,

f~nf K o n j u g i e r t e n k l a s s e n

zusammenh~ngender

kommutativer

Untergruppen

besitzt. In 4 der Fall

5 F~lle

gibt

1) ist deren

Neok~rper-Ebenen, mann

[7,8]

Existenz

konstruiert

[12].

letzten

Der

gesichert.

zweite

findet

f~r den dritten

F~lle

Ebenen,

sind dual

Fall

man bei Fall

die von Hof-

f~hrt

auf Ebenen

Plaumann

stammen

zueinander

nur im

Er b e s c h r e i b t

Beispiel-Kandidaten,

wurden.

Beispiele

Beispiele

Die b e i d e n

noch nicht

und es gibt

~ber D o p p e l g r u p p e n , bach

es auch n i e h t - d e s a r g u e s s c h e

und

Stram-

von Betten

und f~hren

[3].

auf

Translationsebenen. In w e i t e r f ~ h r e n d e n gen n ~ h e r Ebenen Falls dene

Arbeiten

untersucht,

explizit eine

bestimmt

plexen

zul~6t,

Normalteiler

BEZEICHNUNGEN In einer

Geraden

projektive

sie d e s a r g u e s s c h ~ Ebene.

Fall

Das hat

die hier

der vollen

Gruppenwirkun-

auftretenden

flexiblen

Ebene

sogar

abelsche d.h.

zwei v e r s c h i e -

Kollineations-

isomorph

zur Konsequenz,

betrachtete

Gruppe

Mollineationsgruppe

zur kom-

da~

im nicht-

automatisch

ein

ist.

UND H I L F S M I T T E L

projektiven

bezeichnen

die e i n z e l n e n

jeweils

zusammenh~ngende

ist

projektiven

desarguesschen

die

werden.

4-dimensionale

4-dimensionale,

gruppen

sollen

sowie

Ebene

P mit

wir die g e o m e t r i s c h e n

und V e r b i n d e n s

Punktmenge Operationen

von Punkten

durch

^

P und G e r a d e n m e n g e des bzw.

Schneidens v

. Das

L

von

B~schel

116

Knar r

der G e r a d e n

durch

einen

sten h a l t e n

wir uns

Punkt

in der T e r m i n o l o g i e

Allgemeine

Informationen

finder

in [14].

man

Die folgenden daher

Hilfss~tze

besonders

als t o p o l o g i s c h e gilt

Kollineation Punkte,

[2:

fir p6M:

projektive u

werden

i o AnsonP

an [13].

4-dimensionale

projektive

immer wieder

Satz

2.2]

). Die

Transformationsgruppe

H 2 ( Vierecklemma nale

[ber

wir mit

benutzt

Ebenen

und

seien

erw[hnt.

H 1 ( Dimensionsformel

M. Dann

pCP b e z e i c h n e n

dim 0 = dim 0

[14:

Ebene

4.1]

Lie-Gruppe

auf der M a n n i g f a l t i g k e i t 0 + dim p

P ). Sei P = (P,L)

eine

4-dimensio-

und F ihre K o l l i n e a t i o n s g r u p p e .

1 halte

ein n i c h t - a u s g e a r t e t e s

von denen keine

3 auf einer

| wirke

Geraden

Eine

Viereck

liegen

( = 4

) fest.

Dann

ist y die Identit~t. H 3. Sei P = (P,L) eine

eine

zusammenh~ngende

Punkte

auf einer

ist r h ~ c h s t e n s

gilt

r ~ ~

Beweis.

Gruppe

Geraden

Dann

Falls

4-dimensionale

von K o l l i n e a t i o n e n

L{L sowie

einen

2-dimensional.

Wenn

pl,P2,p 3 die Fixpunkte

r mindestens

3-dimensional

Punkt mit mindestens einen W i d e r s p r u e h

1-dimensionaler

pvPl~{p,pl

Die einzige

} operiert.

wirken

1. Sei

kann,

P~ die

3

ist~

P = (P,[)

eine

kommutative F%lle

und

ein:

einen

und wir h[tten

r 2-dimensional

Gruppe,

die regul[r ~

4-dimensionale,

auf dem

x SO

projektive

F. Dann tritt

ist,

auf dem Zylinder

Zylindergruppe

A eine von

es auf pvPl

r regul~r

4-dimensionale

Untergruppe

auf L.

g~be

Wenn

dab

ist aber die

ihre K o l l i n e a t i o n s g r u p p e

folgenden

sei

p{L festh~!t.

Standgruppe,

zum Viereeklemma. Argument,

gende

von

und

} 2-dimensional

von}

w~re,

folgt mit dem gleichen

SATZ

Punkt

Ebene~

x SO 2.

Seien

Zylinder

projektive

2"

Ebene~

F

zusammenh~n-

genau

einer

der

Knarr

117

1) A ~ fi2 x (S02)2 A h~it drei nichtkollineare A[pi,pjvPk]

= r[pi,pjvPk]

Punkte

, i~j~k~i,

19 x S02~ und A ist das direkte P ist mindestens

pl,P2,P3EP

fest,

sind jeweils

Produkt

vom Lenz-Barlotti-Typ

die Gruppen

isomorph

zu

je zweier dieser Gruppen. 1.4.

2) A z fi3 x $02. A fixiert Pl

=

zwei Punkte

pl,P2EP und zwei Geraden

L1,L26L mit Es gilt A[pl~L1 ] -- r[Pl~L1 ] _- 192 sowie

LIAL 2 und P2s

A[p2,L2 ] : F[p2,L2 ] ---fiR x S02, und A ist das direkte

Produkt

dieser beiden Gruppen. P ist mindestens 3)

vom Lenz-Barlotti'Typ

II.2.

A ~fi4.

A h~it genau eine Fahne ps163 und L x Lp. Weiterhin

fest und operiert

regul[r

auf P w L

ist A[p,L ] = F[p,Li~ -_-fi2 eine transitive

Tran s i at ion s grupp e. 4a) A ~ fi4. Es gibt eine Gerade Translationsebene

Ls

mit

bez[glich

A : r[L,L]'

insbesondere

ist P

L.

4b) A ---fi4. Es gibt einen Punkt pCP mit A = F[p,p], Translationsebene BEMERKUNG

bzw.

ist P duale

p.

1. Wie in der Einleitung

desarguesschen Beispiele

bezNglich

insbesondere

bemerkt~

kommen

in der

Ebene fiber { alle F~lle vor. Nicht-desarguessche

fir die F~lle

2), 3) und 4) findet man in i12i,

111. Ob der Fall 1) auch in n i c h t - d e s a r g u e s s c h e n

auftreten ~ber einem derartige

kann,

ist unbekannt.

2-dimensionalen Strukturen

Eine zugehSrige

Neok~rper

gibt es diverse

Koordinatentern~rk6rper

Ebene

[3]

Ebenen lieBe

sieh

koordinatisieren,

und fir

Beispiele

). Um als

einer projektiven

( [7,8]

Ebene aufzutreten,

118

Knarr

m~Bten wurde

sie a l l e r d i n g s

b i s h e r n o c h nicht

BEMERKUNG Ebenen vgl.

planar

Beweis

Resultat

findet man bei Groh

[4];

Die E i g e n s c h a f t e n

gruppe

Z, siehe

gruppe

von

etwa

, siehe etwa

Gruppen

[14:

ihre a b g e s c h l o s s e n e

Daher

~ eine offene

enth~It

gerader

dieser

~ber~ragen

~ in F. Nach

sein kann,

enthalten

auf e i n e m Punkt

F.

III.2.4~] . Da eine k o m m u t a t i v e

3-dimensionale

einer G e r a d e n

von

4-dimensional

[9: Th. IV.5.] , und aus

(b) A hat nur Bahnen

Wir n e h m e n

projektive

• SO 2 i s o m o r p h e

und " z u s a m m e n h ~ n g e n d "

und daher aueh

[19:

Dimension.

Widerspruch

f~r zu R

A auf ihren A b s e h l u B

r h~ehstens

A eine

f~r 2 - d i m e n s i o n a l e

Lie-Untergruppe

"kommutativ"

Gruppe

ist r eine L i e - G r u p p e ,

Falls

Problem

1.

(a) A ist eine a b g e s c h l o s s e n e

die gleiche

)~ und dieses

[18].

von Satz

sieh v o n d e r

( [10]

untersucht.

2. Ein a n a l o g e s

man auch

sein

haben

3.9.] Unter-

Unter-

A und

Teilmenge

Zusammenhangsgr~nden

von

folgt

Dimension. Bahn h~tte,

sein.

Die

k~nnte

diese

1-dimensionale

Bahn hielte

nicht

in

Standgruppe

dann ein V i e r e c k

fest,

im

zu H 2. an,

dab es eine

gruppe auf e i n e m Punkt

1-dimensionale

p dieser

den durch p f e s t h a ! t e n ,

Bahn gibt.

Die Stand-

Bahn kann dann nicht

alle Gema-

andernfalls

erg~be

sich ein W i d e r s p r u c h

zum V i e r e c k l e m m a . Wir b e t r a c h t e n

eine Gerade

Die S t a n d g r u p p e dureh leieht stens

die Punkte

werden

der Bahn von p u n t e r

ein V i e r e e k 1-dimensional

(e) Falls

L durch p, die unter

Ap, L halt dann diverse

yon F i x p u n k t e n ist,

erhalten

A eine n i c h t - i d e n t i s c h e

deren

Z e n t r u m und Aehse

von

Geraden A fest,

A bewegt wird~ P dureh p sowie

und wit k ~ n n e n

konstruieren.

Da &p,L minde-

wir einen W i d e r s p r u c h . Zentralkollineation A fixiert.

enth~It~

Knarr

119

Das folgt sofort aus der K o m m u t a t i v i t ~ t

von A.

(d) A hat eine Fixfahne. Nach

!14:

4.3.]

h[!t A bis auf Dualit[t

Als k o m m u t a t i v e L wirken Nach

( !2!

Gruppe kann A nicht t r a n s i t i v )~ und nach

[6 1 existiert

Diese

eine Gerade

(b) hat A keine

andererseits

ist 0 - d i m e n s i o n a l

LEL fest.

auf der 2-Sphere

1-dimensionale

eine a b g e s c h l o s s e n e

und zusammenh~ngend~

besteht

Bahn.

Bahn auf L. also nut

aus einem Punkt. (e) Die F i x k o f i g u r a t i o n kollinearen punkte

von A besteht

entweder

aus drei nicht-

Punkten und ihren V e r b i n d u n g s g e r a d e n ~

oder alle Fix-

liegen auf einer Geraden und alle Fixgeraden

gehen dureh

einen Punkt. Das folgt u n m i t t e l b a r Wir u n t e r s c h e i d e n

aus H 2 und H 3.

im folgenden

(f) A habe drei n i c h t k o l l i n e a r e

nach der F i x k o n f i g u r a t i o n

von A.

Fixpunkte.

Seien diese pl,P2,P3. A wirkt t r a n s i t i v teren Fixpunkte gibt.

Die

auf P 2 v P 3 ~ {p2,P3 }, da es naeh

und nach

2-dimensionale

(b) keine

1-dimensionale

Standgruppe

A

Bahn auf P2vP3

auf e i n e m Punkt

q

qEP2vP 3 ~ {p2~P3 } h~it P2VP3 p u n k t w e i s e aus S t r e c k u n g e n

(e) keine wei-

fest und besteht

folglich

mit Z e n t r u m Pl und Achse P2VP3 . Nach H 3 ist A

9

q

isomorph zeigt,

zu ~

• SO 2. Eine analoge

Oberlegung

f~r PlVP2 und PlVP3

dab wir uns im Fall 1) befinden.

(g) A halte m e h r e r e

Punkte und m e h r e r e

Geraden

fest~ habe aber

kein Fixdreieck. Nach

(e) liegen alle Fixpunkte

alle F i x g e r a d e n weitere

gehen durch einen Punkt,

Fixgerade.

die 2 - d i m e n s i o n a l e Gerade

A wirkt t r a n s i t i v Standgruppe

L 2 punktweise

P2CL1 gibt,

auf einer Geraden~

besteht

fest.

etwa Pl"

etwa L1, und Sei L 2 eine

auf L 2 ~ {pl}, daher h~it

Aq auf e i n e m Punkt qEL2\{Pl}

Da es noch einen w e i t e r e n

Aq aus S t r e c k u n g e n

die

Fixpunkt

mit Z e n t r u m P2 und Achse

120

~narr

L 2 und ist nach H 3 isomorph Aq wirkt transitiv 2-dimensional

zu

~

• S02~

auf L 1 ~ {ploP2 }, folglich

und besteht wegen

ist der Kern A[L1]

(c) aus T r a n s l a t i o n e n

mit Zen-

trum Pl" Insgesamt

folgt,

dad wir uns im Fall 2) befinden.

(h) A halte nur eine Gerade~ Sei L die Fixgerade

transitive

Dann wirkt A transitiv

ist der Kern A[p]

A[p] keine Streckung,

haben L als Aehse.

Punkte fest.

und pCL ein Fixpunkt.

auf L p ~ {L} und folglich (c) enth~it

aber mehrere

Daher ist A[p]

2-dimensiona!o

und alle T r a n s l a t i o n e n = A[p,L ] eine zu

~2

Wegen in Arp~~

isomorphe

Translationsgruppeo

Diese O b e r l e g u n g

gilt fir alle Fixpunkte,

d.h. wir befinden uns

im Fall 4a). (i) A halte nur einen Punkt~

aber mehrere

Geraden

fest~

Dieser Fall ist dual zu (h) und f[hrt uns auf 4b). (j) A habe genau eine Fixfahne A wirkt dann wegen bei

pEL.

(b) transitiv

auf L ~ {p}

(h) ~berlegt man sieh, dad A[p,L]~ ~ 2

lationsgruppe L~ L

ist.

operiert.

Insgesamt

folgt,

und L w {-~oLS Wie P eine transitive Trans-

dad A transitiv

auf P ~ L

und

Also sind wir im Fall 3).

P Aus

(d) und

(e) folgt,

dad wir alle m S g l i c h e n

F~lle untersucht

haben.

SATZ 2. Sei P : (P,L) eine 4 - d i m e n s i o n a l e r ihre K o l l i n e a t i o n s g r u p p e . sionale,

zusammenh~ngende

P isomorph Beweis.

Falls

kommutative

zur d e s a r g u e s s c h e n

projektive

F zwei v e r s c h i e d e n e Untergruppen

Ebene und 4-dimen-

enth~It,

Ebene ~ber ~.

Seien A 1 und A 2 diese beiden Gruppen~

Wir u n t e r s c h e i d e n

nach dem I s o m o r p h i e t y p

von A 1 und A 2,

ist

Knarr

121

(a) Eine A 2 kann

Gruppe die

ist isomorph

Fixkonfiguration

der L e n z - B a r l o t t i - T y p Anhang

~2

x (S02)2

yon A 1 nicht

yon P echt

gr6Ber

etwa A 1

festhalten~

als

1.4,

daher

und naeh

ist

[11:

6! ist P desarguessch.

(b) Eine

Gruppe

ist isomorph

Wie

folgt,

dab A 2 die

eben

halten

kann

diesen

Fall haben

folgt,

dab

IV.b2

zu

( es se• denn 9

und daher

~3

• S02~

etwa A 1.

Fixkonfiguration 9

9

A 2 zst zsomorph

wir bereits

P mindestens

ist,

zu

erledigt

von A 1 nieht zu

~

). Aus

[15]

bzw.

x

(SO 2

fest-

)2

, aber

[11: A n h a n g

vom L e n z - B a r l o t t i - T y p

ist P nach

2

111.2,

[13:

6]

IV.a2

7.26]

oder

desargues-

sch. (e) A Falls

~ i

1

~

2

beide

~4.

Gruppen

ist P m i n d e s t e n s

Translations-

vom Lenz-Typ

oder

Scherungsgruppen

V und daher nach

[14:

sind,

1.3']

desarguessch. Damit

bleiben

(d) Eine gruppe,

zwei

der beiden die andere

Wir k6nnen und einen

Punkt

Lie-Algebren

Gruppen

regular

tiv auf

A x eine

auf

transitive

pvx enthalt. desarguessch.

wird,

A 2 kommutativ

von

Damit

A liegt,

Scherungs-

und A 1 alle

liegt

Punkte

mit

yon den

F[p,L ] im

A 1 ist N o r m a l t e i l e r semidirekte

Punkt

A x auch die

Aus [17:

Translationsgruppe P duale

Lie-Algebra

A x auf einem halt

L6L

F[p,L ] c A I N A 2.

ist A das

xvp p u n k t w e i s e

L ~ {p} wirken.

ist

dann

sind.

auf P \ L~ daher

die Gerade

L ~ {p} operiert

Ax t r a n s i t i v

von F, deren

A 1 und der S t a n d g r u p p e

r[p,L] , d.h.

oder

dab es eine Gerade

A 1 = r[L~L ] und

Lie-Untergruppe

Da F[p,L ] im Z e n t r u m unter

annehmen,

p6L gibt mit

von A, da A 1 und

von

ist T r a n s l a t i o n s -

nicht.

von A 1 und A 2 erzeugt

von A und wirkt Produkt

zu untersuchen:

bis auf Dualit~t

Sei A d i e j e n i g e

Zentrum

Falle

fest.

x C P w L.

Bahn yon x Da A transi-

von L festhait~ Th.1]

ergibt

Zentrum

Translationsebene

muB

sich,

p und Achse und folglich

dab

122

Knarr

Wir kommen

jetzt

zum letzten

Fall: L•.6L mit PiELi

(e) Es gibt Punkte piEP und Geraden Ai[Pi,Li ] ~ ~ 2 dabei jeweiis

und A i wirkt regul~r auf P \ L i und L ~ L i=1,2.

Falls ploP2 oder LI~L 2 gilt, hat die Ebene mindestens lotti-Typ

9

Pi

111.1,

Lenz-Bar-

IV.a1 oder IV.b1 und ist nach dem bereits

Be-

wiesenen desarguessch. Wir kSnnen daher annehmen,

dab pl=P2=p und LI=L2=L gilto

Sei A die von A 1 und A 2 im Lie-Sinne

erzeugte Gruppe,

r[p~L ] c A 1 N A 2. Wie unter

da~ fir Punkte x E P ~ L die

Gruppen

(d) folgt,

dann gilt

A x und A[xvp ] Cbereinstimmen.

Der $chn!iltltyon A 1 und A 2 liegr im Zentrum von ~, und da beide Gruppen regul~r operieren, Durch Betrachtung destens

2-dimensional.

der Lie-Algebra von A sieht man, daS a min-

6-dimensional

Standgruppe

ist er hSchstens

sein mu6.

Daher

A x = A[xvp ] mindestens

ist, fCr x C P ~ L, die

2-dimensional~

Falls A

nur aus Elationen miz Zentrum p besteht, sind wir nach x (d) fertig, und falls A x nur Streckungen mit einem festen Zen-

trum enth[it,

nach

nichtidentische

(b). Falls A x zu jedem Punkt q E L ~ {p} eine

Streckung mit Zentrum q enth~it,

Translationsgruppe

A[p,xvp ] n a c h

wir sind ebenfalls

fertig.

A ist als Erzeugnis zusammenh[ngend, ist h

nach

[17] transitiv

zweier z u s a m m e n h ~ n g e n d e r

und da P ~ L

[2: Lemma 2.3]

~ ~

einfach

wirkt die auf L ~ {p}~ und

Gru~pen

wieder

zusammenh[ngend

zusam~nenh~ngend.

Aus

[5: 1.5]

is t, folgr

X

dann,

daS die T r a n s l a t i o n s g r u p p e

A[p,xvp ] 1-dimensional

isr

und daS die Menge der Punkte qEL, f~r die A[q,xvp ] ~ {1} gilt, eine Bahn dieser Gruppe

ist. Die Standgruppe

dieser Bahn ist hSchstens 2-dimensional.

1-dimensional,

Da andererseits

~

d.h.

mindestens

auf einem Punkt A ist hSehstens x 2 - d i m e n s i o n a i ist,

X

gilt dim A x = 2 und Wir betrachten

dim A = 6.

die W i r k u n g von A auf L p ~ {L}. Der Kern dieser

Knarr

123

Wirkung

ist A[p]

verschieden

: Alp,p].

w~ren,

Falls n~mlich diese beiden Gruppen

g~be es eine Streckung mit Zentrum p, und da

A transitiv auf L \ i operiert, g~be es dann zu jeder nicht P durch p gehenden Geraden eine nichtidentische Streckung mit dieser Geraden als Achse und p a l s Translationsebene

Zentrum.

Naeh [17] ware P duale

und folglich nach (d) desarguesch

Sei ~ :: A/b[ p] die effektiv auf fp ~ {L} wirkende Gruppe ~ ist dann S-dimensional und wird von zwei regulgren zu ~ 2 isomorphen Untergruppen

erzeugt.

1-dimensional,

Das Zentrum yon } ist also mindestens

und die Standgruppe

~W auf einer Geraden

W [ i p ~ {L} h~It noch weitere Geraden dutch p fest. Das steht im Widerspruch

dazu, da~ es Streckungen mit Achse W gibt.

Damit ist a!les bewiesen. Als wichtige KOROLLAR.

Folgerung

aus diesem Satz haben wir noch:

Sei P eine nicht-desarguessche

rive Ebene,

F ihre Kollineationsgruppe

zusammenh~ngende kommutative Normalteiler von F.

4-dimensionale

projek-

und A eine 4-dimensionale,

Untergruppe

von F. Dann ist ~ ein

LITERATURVERZEICHNIS [1]

BETTEN, D.: 4-dimensionale Translationsebenen mit kommutativer Standgruppe. Math. Z.154 (1977), 125-141

[2]

BETTEN, D.: Transitive Wirkungen ausarbeitung. Kiel 1977

[3]

BETTEN, D.: Komplexe Schiefparabelebenen. Univ.Hamb.48 (1979), 76-88

[4]

GROH, H.: Flat projective planes whose automorphism group contains ~2. Beitr~ge zur geometrischen Algebra Duisburg 1976. Birkh~user Basel 1977, pp.129-131

[5]

H~HL, H.: Homologies and elations in compact, connected projective planes. Topology Appl.12 (1981), 49-63

[6]

HALDER, H.R.: Ober die Bahnen lokalkompakter Fl~ehen. Geom. Dedicata 2 (1973), 101-109

[7]

HOFMAN,

K.H.: Topologische

213-230

auf Fl~chen.

Doppelloops.

Vorlesungs-

Abh.Math. Sem.

Gruppen auf

Math. Z.70

(1958),

124

Knarr

[8]

HOFMAN, K.H.: Ein komplexer Neok~rper ohne reellen Unterneok6rper. Math. Z.75 (1961), 295-298

[9]

NAGATA, J.: Hodern Dimension Theory. edition. Heldermann Berlin 1983

revised and extended

[lO] [11]

PAIGE,

[12]

PLAUMANN, P. und STRAMBACH, K.: Hurwitzsche Arch. Math.25 (1974), 129-134

[13]

SALZMANN,

[14]

SALZMANN, H.: Kollineationsgruppen kompakter naler Ebenen. Math. Z.117 (1970), 112-124

[15]

SALZMANN, H.: 4-dimensional projective III. Geom. Dedicata 1 (1972), 18-20

[16]

SALZMANN, H.: Kompakte mit 8-dimensionaler (1973), 235-247

[17]

SALZMANN, H.: Elations in 4-dimensional Topology Appl.3 (1973), 121-124

[18]

SCHELLHAMMER, I.: Einige Klassen von ebenen projektiven Ebenen. Diplomarbeit TSbingen 1981

[19]

TITS, J.: Liesche Gruppen und Algebren. 2.Ausgabe. Springer Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo 1983

L.J.: Neofields.

Duke Math~

(1950)~

PICKERT, G.: Profektive Ebenen. 2.Auflage. Berlin-Heidelberg-New York 1975

H.: Topological

planes.

39-60

Springer Tern~rk6rper~

Adv.in Math.2

(1987),1-60

4-dimensio-

planes of Lenz-rype

4-dimensionale projektive Ebenen Kollineationsgruppe. Math. Z.130

Norbert Knarr Mathematisches Seminar der UniversitSt 01shausenstr.40 D-2300 Kiel 1

(Eingegangen am 9- Juni

1986)

planes.

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