(83, 64)-Konfigurationen in Laguerre-, Mobius-und weiteren Geometrien

BENZ, W. Math. Zeitschr. Bd. 70, S. 283--296 (1958)

(83, 64)-Konfigurationen in Laguerre-, M/Sbiusund weiteren Geometrien Won

WALTER BENZ

I n [3] h a t L. PECZAR einen Beweis des Miquelschen Satzes (formuliert in A b s c h n i t t 4 d e r vorliegenden Note) g e m e i n s a m ffir Laguerre-, M6bius- u n d weitere Geometrien gegeben. E r stfitzt sich dabei auf einen k o m m u t a t i v e n R i n g ~R, der einen K 6 r p e r ~ enthiilt u n d in dem die Gleichung q z = p , w e n n q u n d p E l e m e n t e y o n ~ sind u n d q kein Nullteiler ist, stets eine L 6 s u n g Z hat*). N a c h y o n S t a u d t s c h e m Vorbild fiihrt PECZAR m i t Hilfe y o n Doppelverh~iltnissen K e t t e n (wir sagen Kreise) ein: Sind w 1, w s, w 3 verschiedene E l e m e n t e aus ~ dergestalt, d a b w 2 - - w 3 n i c h t Nullteiler ist, so wird u n t e r der K e t t e (WlW2W3) n e b e n d e m E l e m e n t u~1 die Menge aller z v e r s t a n d e n , ffir die w1 - z n i c h t Nullteiler u n d ffir die das Doppelverh~ltnis wl

] 7222] :

Wl - - W3

ws]

wi - w8 wl - ,

~O2 - - ~' ~

a

E l e m e n t v o n ~ ist 2). Auf G r u n d v o n H i l f s b e t r a c h t u n g e n fiber lineare Subs t i t u t i o n e n folgt, d a b das D o p p e l v e r h ~ t n i s y o n vier verschiedenen E l e m e n t e n der K e t t e (WxW2W3) in ~ liegt, w e n n y o n v o r n h e r e i n vorausgesetzt wird, d a b a) Um das auf S. 213 in [3] benutzte Beweisglied, dab jedes yon Null verschiedene Element yon ~ nieht Nullteiler in ~ ist [vgl. FuBnote ~)], aufrechtzuerhalten, ist (ira Sinne yon notwendig und hinreichend) noch zu fordern, dal3 ~ ein Einselement besitzt und dal3 weiterhin dieses Eiuselement mit dem Einselement yon ~ iibereinstimmt. Aqui-r hicrmit ist die Forderung, dab mindestens ein yon 0 verschiedenes Element yon nicht Nullteiler in ~ ist. -- Es gibt Ringe mit den im Haupttext genannten Eigenschaften, die kein Einselement besitzen la) und es gibt Ringe mit den im Haupttext genannten Eigenschaften, die ein Einselement besitzen, das jedoch verschieden ist yon dem Einselement yon ~ lb). la) ~ sei der Ring aller geordneten Paare (x, ~e), wo z eine reelle Zahl und ~6{0, I} ist, mit den Kompositionsvorschriften (a, ~x) + (b, ~) ---- (a + b, o~+ ~), (a, ct) (b, ~) = (ab, o~), wobei seiu soll: 0 + 0 = I + I = 0 , 0+I=I+0=I und ~/~=0 fiir alle ~,/~6{0, I}. Es sei R der (zum K6rper der reellen Zahlen isomorphe) KOrper aller Paare (x, 0). lb) ~ sei der Ring aller geordneten Paare (x, y) reeller Zahlen x, y mit komponentenweiser Addition und Multiplikation. ~ sei der K6rper aller Paare (x, 0). Es ist (1, 1) Einselement yon ~, das verschieden ist vom Einselement (1, 0) yon ~. In diesem Beispiel ist offenbar jedes yon Null verschiedene Element yon ~ Nullteiler. 2) Fiir den Fall a ~ 0 ergibt sich hieraus, dab w1 - ws und w2 - z nicht Nullteiler in sind, wenn man noch voraussetzt, dab jedes Element ~= 0 yon R nicht Nullteiler in ~ ist [vgl. hierzu die in FuBnote 1) gemachte Bemerkung].

284

WALT~ B ~ z :

wL--w ~ und w l - - w 3 nicht Nullteiler sin& Den Satz von MIguEL entnimmt PECZAR nun der folgenden Doppelverh~iltnisidentitiit

[::::]I::::1 [::::l[::::7

Lz8 zsl z, z,]'

in der die z~ noch gewissen Bedingungen genfigen miissen, um das Auftreten von Nullteilern im Nenner zu vermeiden. L~iBt man ~ den K6rper der reeUen Zahlen sein und ~ resp. den Ring der dualen Zahlen, den KSrper der komplexen Zahlen, so hat man den Satz von MIQUEL resp. in der Laguerre-, in der M6biusGeometrie. Das Ergebnis von PECZAR kann sch0n gewonnen werden (vgl. unsere Nr. 4), wenn man ftir ~R-- wie wir das im Vorliegenden stets tun woUen -- aUgemeiner einen kommutativen Ring zulitl3t, der einen K6rper ~ so enth~ilt, dab d a s Einselement yon ~ auch Einselement von ~Rist: Die reguliiren Elemente von ~t (d.h. die Elemente yon ~R, die ein Inverses in ~ besitzen) fibernehmen dann diejenige RoUe, die bisher die Nichtnullteiler innehatten. I n der vorliegenden Note: wird vornehmlich eine andere -- in Laguerre-, M6bius- und weiteren Geometrien geltende -- (83, 6,)-Konfiguration, der sog. Biischelsatz (formuliert in 5), behandelt. Bemerkenswert i s t hier die Feststellung, dab es -- in zu pr~izisierendem S i n n e - keine zur Doppelverhitltnisidentit~it yon PECZAR analoge Identit~t gibt, die den Bfischelsatz beweist (Satz 2). Eine weitere -- hierrnit zusammenhiingende -- Besonderheit ist die: Der Satz yon MIQu~L gilt in allen Geometrien (~, lit), der Bfischelsatz nicht. Wohl gilt der Btischelsatz in alien Geometrien (~, ~R), ffir die (~R:~) = 2 erffillt ist (Satz 3). Damit ist ein gemeinsamer Beweis des Btischelsatzes in Laguerre-, M6bius- nnd natiiflich unendlich vielen weiteren, paarweise nichtisomorphen, Geometrien erbracht. Mit dem in 8 eingeftihrten Begriff des L-Ringes in bezug auf einen K6rper gelingt ~s schlieBlich, die Geometrien (~, ~) zu kennzeichnen, die dem Bfischelsatz g eaaiigen (Satz 4). Diese Kennzeichnung wurde ftir den F a l l dab kommutativer K6rper ist, bereits in [1] geleistet. ~ 1. I m folgenden seien stets (wenn nichts anderes gesagt ist) ~ ein kommutativer Ring mit Einselement und ~ ein in ~ enthaltener K6rper; wir verlangen, dal3 das Einselement yon ~ auch Einselement yon ~1t ist. Die Menge der regul~iren Elemente yon ~R (also der Elemente, die ein Inverses in ~R besitzen), wird m i t r bezeiehnet, t bildet gegentiber der Multiplikation eine Gruppe, die die multiplikative Gruppe ~* yon ~ umfal3t. Die Elemente yon ~ heil3en im folgenden Punkte. Eine Punktmenge m, lint ~ 2a), heiBe eigentlich, wenn zu je zwei verschiedenen ihrer Elemente die Differenz regular ist. Enth~ilt die eigentliche Punktmenge {Ax, A,, A 3 . . . . . A,} genau n verschiedene Punkte, n endlich, so heil3e A1, Az, A3 . . . . . A n ein eigentliches Punkte-n-tupel. Jedem ~eordneten eigentlichen Punktequadrupel A, B, C, D '~) Ist ~f~ eine Menge, so wird mit t~{I ~hre MAchtigkeit beze~cbnet.

(8~, 64)-Konfigurationen in Laguerre-, M6bius- und weiteren Geometrien

B--C

9,85

A--D'

das offensichtlich regular ist. Zu jedem eigentlichen Punktetripel A, B, C wird eine Punktmenge {AB C) definiert. (ABC) enthalte die Punkte A, B, C und weiterhin genau die Punkte 9X, ffir die A, B, C, X ein eigentliches Punktequadrupel und ffir die

E

ist4.5). Die Mengen (ABC) heiBen Kreise. Die Punktmenge {P, Q . . . . } heiBt konzyl~lisch, wenn sie insgesamt einem Kreise angeh6rt. Ist P ein Punkt und ist k ein Kreis mit P E k, so werden die fiblichen Redewendungen benutzt: Der Punkt P liegt au] dem Kreis k, der Kreis k geht dutch den Punkt P, usf. 2. Ist ~ der reelle Zahlk6rper, ~R der komplexe, so liegt die gew6hnliche Kreisgeometrie vor. Ist ~ der reelle Zahlk6rper, ~ der Ring der dualen Zahlen, so liegt die Laguerre-Geometrie vor. Dabei sind (vgl. [3]) die Punkte mit den Speeren -bis auf eine Klasse gleichsinnig paralleler -- zu identifizieren und die Kreise mit den Zykeln. Die gleiche Algebra ~R:~ beschreibt auch eine Parabelgeometrie (vgl. PECZAR, a. a. O.). Bildet man den Ring x +y~/ fiber den reellen Zahlen x, y mit ~/"= + t , so k o m m t man zu einer Hyperbelgeometrie. Der Bereich der definierten Geometrien umfaBt weitere ansehauliche Geometfien. 3. ~ b e r Kreise, eigentliche P u n k t m e n g e n und Doppelverhiiltnisse gelten die folgenden Eigenschaften: (t) Die verschiedenen Punkte eines Kreises bilden insgesamt eine eigentliche Punktmenge. Beweis. Es sei k = ( A B C ) ein Kreis. Besteht der Kreis k nur aus drei oder nut aus vier verschiedenen Punkten, so ist nichts zu beweisen. Seien also X, Y untereinander und von A, B, C verschiedene Punkte auf k. Zu zeigen ist X -- Y E r. Es gilt x ~ (A -- C) (B -- C)-I(B -- X) (A -- X)-I E ff und auch y ~ (A -- C) (B -- C)-~(B -- Y ) ( A -- Y)-~E ~. ~) Es k6nnte offenbar auch

C]E,~* geschrieben werden.

s) Schw~cher kann man (A B C) auch so definieven : (AB C) enthalte neben den Punkten A, B, C genau die PunkteX, ffir die A --X regulgr und ffir die ,4 --C B ~ _ _ E ~ ist. (B--X, C - - X E r kann dann gefolgerf werden.) . B C A --

286

WALTER BENZ:

Da alle benutzten Differenzen in r liegen, ist x, y C r, d.h. y 4:0 und somit ~y-~x Welter ist wegen B -

= (A -- Y) (B -- Y)-I(B -- X) (A -- X) -~. Y, A - - X E r :

z = (A -- B ) ( Y -- B)-x(Y -- X ) ( A -- X)-X bildbar; man hat z = [(A - - Y ) + (Y -- B)] (Y -- B)-' [(B -- X) + (Y -- B)] (A -- X) -~ = -- y-Xx + (A -- Y) ( A - X) -x + (B - - X ) (A -- X) ~ + (Y -- B)(A -- X) -1 =--y-Xx +tE~. Es ist sogar z 4: 0, d.h. z E ~*: Sonst ware Y - - X = (Y--B) (A--B) -~. (A - - B ) ( Y - - B ) - I ( Y - - X ) ( A - - X ) -~ . (a - - X ) = O, d.h. Y ----X , was nicht sein sollte; -Nun gilt wegen ~*____r, dAi. wegen zEr,. Y--X=(Y--B)(A--B)-Xz(A--X)Et,

q.e.d.

Der folgende Satz veranschaulicht den Begriff der eigentlichenPunktmenge. Man denke dabei an die bereits in der Laguerre-Geometrie vorkommende Tatsache, daft dutch zwei verschiedene Punkte nicht no~vvendig ein Kreis geht. (Zwei verschiedene, gleichsinnig parallele Speere k6nnen dutch keinen Zykel verbunden werden.) (2) Dann und nut dann ist die Punktmenge m, Ira I > 3, eigentlich, wenn ie zwei verschiedene ihrer Punkte konzyklisch sind. Beweis. Sind je zwei verschiedene Punkte X, Y der Menge m, I m [ > 3 , konzyklisch, so folgt aus (t) Y - X C r . Damit ist m eigentlich. -- Ist umgekehrt die Punktmenge m, Ira I-->3, eigentlich und sind X, Y, Z beliebige verschiedene Punkte aus m~ so ist X, Y E ( X Y Z ) . (3) a) Ist A, B, C, D ein eigentliches Punktequadrupel, so gilt

und ]erner

b) Ist A, B, C, D, E ein eigentliches Punktequintupd, so gilt

Gelegent!ich ben6tigen wir das folgende Korrolar zu (3):

(83, 64)-Konfigurationen in Laguerre-, M6bius- und weiteren Geometrien

287

b) Ist A, B, C, D, E ein eigentliches Punktequintupd und ist

Wie bereits angemerkt, gilt in der Laguerre-Geometrie nicht, daB durch drei verschiedene Speere stets genau ein Zykel geht. Allgemein hat man S a t z 1. Durch drei verschiedene Punkte gem h6ehstens ein Kmis. Ferner: Dutch drei verschiedene Punkte gem stets dann und nut dann genau ein Kreis, wenn ~ K~rper ist.

Beweis. Der erste Tell des Satzes wird auf Grund yon (4) wie Satz t2 in [1] bewiesen. Zum zweiten Tell: Ist ~ K6rper und sind A, B, C verschiedene Punkte, so geht -- da {A, B, C} gewifl eigentlich ist -- (ABC) dutch A, B, C. -- Geht umgekehrt dutch drei verschiedene Punkte stets genau ein Kreis, so muB ~t ~ r u {0}, d.h. es muB ~R K6rper sein: W/ire n~mlich n ein yon 0 verschiedenes Element aus ~lt--r, so miiBte durch die drei verschiedenen Punkte 0, t, n ein Kreis gehen. Damit w~ire nach (t) die Menge {0, t, n} eigentlich, was n = n - 0 C r erg/ibe.

Beweis. Da durch drei verschiedene Punkte h6chstens ein Kreis geht, ist (ABC).=k. Wegen D E k = ( A B C ) i s t damit /D C / E ~ " 4. Wir wenden uns hier dem Satz yon MIQUEI, zu auf der in der Einleitung angek~ndigten allgemeinen Grundlage. Der Beweis des Miquelsehen Satzes yon PECZAR kann unver~indert t~bernommen werden. Satz y o n Miquele). Lassen sich aeht verschiedene Punkte, yon denen ie zwei gemei~sam au/ mindestens einem Kreise liegen 7), so den Eckpunkten eines Wiir/els zuordnen, da~ es /iin/rnal vorkommt, da~ den Eckpunkten einer Seitenebe~e dis Wiir/els vier konzyklische Punkte entsprechen, so ist dies auch bei den Eckpunkten der sechsten Seitenebene der Fatl (Fig. t). Beweis. Der Satz folgt unmittelbar aus der folgenden Identititt

~) Formuliert nach VAN DER WAERDEN, SMID[4]. 7) Eine solche Voraussetzung kann nicht entbehrt werden, wie bereits der Fall der Laguerre-Geometrielehrt: S e i A = - - ~ + ~ r B = 5 - - e , C = 4 + e , D = - - t , E = l + e , F ~ I --e, G-----2+r H = 2 - - e . Hier sind zwar die Quadrupel ABCD, AEHD, FBCG, AFCH, EBGD konzyklisch, hingegen nicht EFGH, da E, F gleichsinnig parallele Speere sind wegen E--F=2e.

288

WALTER BENZ:

In der Tat: Liegen ftinf der angeschriebenen Doppelverhiiltnisse in ~*, so auch gewiB das sechste, da ~* Gruppe ist. 5. Eine weitere (8s, 64)-Konfiguration ist der Biischelsatz. Er lauteta): Gegeben seien vier Paare von insgesamt acht verschiedenen, paarweise konzyklischen, Punkten. Aus den vier Punktepaaren kann man dutch Zusammenstellung je zweier verschiedener Paare sechs Punktequadrupel herstellen. Kommt es dann vor, daft ]r dieser Punktequadrupd konzyklisch sind au] insgesamt mindestens vier verschiedenen Kreisen, so ist auch das letzte Punktequadrupel konzyklisch (Fig. 2). Bei geeigneter Bezeichnung der Punkte kann der Btischelsatz i~quivalent auch so formuliert werden: Es seien A, B, C1, Ca, A', B', C~, C~ ackt vet-

Fig. 2

Fig. t

schiedene Punkte, yon denen ie zwei gemeinsam au] mindestens einem Kreise liegen. Es seien AA'BB', AA .C1C1, . AA . .C2C.~, B. B C1C1, BB'C2C; konzyklische Punktequadrupel, nicht aber AA'BC 1, AA'BC~, AA'CxC ~. Dann is~ auch alas Punktequadrupel CxC~CaC~ konzyklisch. Zun/ichst sei gezeigt, dab es keine/ihnlich'einfache Identit/it wie (M) gibt, die den Btisehelsatz beweist: Satz 2. Es sei g2(}R) die Menge aller geordneten, eigentlichen Punkte-8-tupel a (s) = (A, B, C 1, C~, A', B',

C1, C2) t

iiber gt. Es gibt dann keinen Ausdruck qb, der dumb endlich'oflmaliges Aus]iihren der Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation aus A' '

B

9) ....

,- . '

Ca C1

. '

. . . Ca Ca

. '

. . . . C1 C1 ....

.

. Ca;C2

a) F o r m u l i e r t n a c h VAil PER WAERDEN, SMID [4]. 9) Mit d e n P u n k t e n ... sind jewei|s die p e r m u t i e r t e n DoppelverhAItnisse des z u v o r a n g e s c h r i e b e n e n DoppelverhAltnisses g e m e i n t . M a n b e a c h t e dabei die IdentitY.ten (3).

289

(83, 61)-Konfigurationen in Laguerre-, M6bius- und weiteren Geometrien zusammengesazt ist und der [i~r jedes a r Doppelverhiiltnis

unabhdngig yon ~ -- mit einem

[ca' [C2 c;l, C2] "'" iibereinstimmt.

Beweis. Angenommen, es g~be doch einen Ausdruck ~b, tier ftir alle

[c; c;]

a is) E ~ 2 ( ~ ) - unabh~ingig von ~R -- ein Doppelverh~iltnis [C2 C~]'

erg~ibe.

Wir nehmen fiir ~R speziell den K6rper der reellen Zahlen und ftir ~ den der rationalen her. Nimmt man dann acht verschiedene reelle Zahlen A, B, C~, C2, A '. , B , 'C 1 ," C"2 so, dab

[c, c,]..... A'

[~, ~,'1.....

[c~c",'..... ,]

[~ ci'] .....

[~ c~] ....

rationale Gr613en sind, so mtfl3te -- gemiil3 dem Aufbau von ~b -- auch Ca C~]

C2 C2]

rational sein. Dies ist aber nicht immer der Fall, wie das

fol-

....

gende Beispiel zeigt: Sei A=0,

B = ~ - ,t

C a _ 2+3V2 7 ' CI -

c~-

2-3V2, 7

t + 2V 3 '

A'=-t,

B'=2,

C'--2 4--6V3 23

Dann sind die Gr613en

iA A'] 37, ~']

=--t,

C2 C2

=

2'

C1 C1

= --t

[ ~']

B =--4 ' C2 Cz

rational; hingegen ist [Ca' Ci] = 49 -- 20V6 c~ c~ irrational. 6. Den weiteren Er6rterungen stenen wir die folgenden Hilfss~tze voran: HILFSSATZ t.

t

t

Ist A, A', B, B', C1, C~, C2, C2 ein eigentliches

Punkte-8-

tupd, so gilt t

c~J wenn gesetzt ist

b,=

qlIB'

[AA]

Yi = Ci M a t h e m a t i s c h e Z e i t s c h r i f t . B d . 70

,

,

i--I,2,

i =t,2.

19

290

W~LTER BENZ :

Beweis. Es ist

und weiter mit

b,__[~A,][AA]

b,

Q Cx C'~ C, ' =1--

und entsprechend

gilt

Nun ist

--[; ;;,][~; ~i]--I:

c,~. c: 1 '

weiterhin ergibt expfizites Anschreiben

[CA' A1][AI Ag][A; el][A' Cel[A' l] C,]C'I[cC21=[ AtClj C: C'Cl ~ Damit ist Cd

+

= 1

nach (3), was die Behauptung unmittelbar ergibt. HILFSSATZ2. Ist 7 E r - - ~ und hat 7 a + a y + b = 0 eine L6sung a, bE~, so ist diese L6sung eindeutig bestimmt. Ferner ist b ~=0. list genau in dieser Weise einem 7 E r - R eindeutig ein -- geordnetes -- Paar (a, b) yon Elementen aus ~ zugeordnet, so schreiben wit 7---~(a, b),] Beweis. H~ttte man noch y2+a' 7 + b ' = o fiir (a', b') ~ (a, b) und a', b'E R, so ware (a--a')~=(b'--b) und also doch (a',b')=(a,b) wegen ~ R . . Ware nun b=O, so wtirde 7 ( 7 + a ) = 0 wegen ~Er ergeben y = - - a E R . HILFSSATZ3. 1St A, A', B, B', C, C" ein eigentliches Punkte-6-tupd und gilt

I~ ~,l~ l~ ~1 F ~1~

(8s, 61)-Konfigurationen in Laguerre-i MSbius- und weiteren Geometrien

291

und /erner

so geni~gt y einer Gleichung

72+a 7 +b =0 mit Gr6~en a, b aus ~. Insbesondere ist b = B' B] [C

' "

Beweis. Es ist

wenn u = [A' A,] [CA:CA] gesetzt ist. Weiterhin erkennt man vermittels expliziten Anschreibens

mit einer GrSBe v E ~*. Addiert man die beiden Gleichungen auf und beachtet man dabei (3), sowie A =t--

=t ----,

d.h.

=

da A', C, B, A ein eigentliches Punktequadrupel ist, sind die Gr6Ben y=

iAA]

,

t

t

regular), so ist t =u? +v.--

t t

Y

bzw. weiter y2+ v-u-1

7+!=

0

u

wegen u ~ 0. Wegen Hilfssatz 2 sind die Gr6Ben

eindeutig bestimmt. HILFSSATZ 4. Es besiCze ~R einen involutorischen Automorphismus a - - ~ , der genau die Elemente yon ~ als Fixpunkte besitzt. Ist dann y ein Element aus 19"

292 r

-- ~,

W^LTE~ Bssz: so

gill

Sind 71, 72 Elemente aus r - - ~ und ist 7i--.(a~, b~), i = ~ , 2, so gill bl 71_ + b~ ~'---~~ ~. 71

Yl

Beweis. Sei 7 E r - ~ und sei a = - - ( 7 + ~ ) , b=7~. Wegen a----5, b = b ist a, b E ~. Wegen Hilfssatz 2 und 7 z - (7 + 7) 7 + 77 = 0 ist dann 7-*" (-- 7 -- 7, 7~). Ist nun 7 x , T z E r , - ~ , so gilt mit dem gerade Bewiesenen

b1 7---' 7~ =~,72 + ~ 7 1 . 7t + b~ 72 Wegen 7x 7~ + 7z 71= 717~ + 7z 71 ist aUes bewiesen. Genau so einfach zeigt man HILFSSATZ 5. Es sei ~ yon Charakteristik 2. Gilt da~n yi E ~ [iir iedes YE 9i,

so hat man [i~r #des Element 7Er--~;, 7-+(0, 7~). Sind 7t, 79. Element, aus r - - ~ und ist 7i--.(ai, bi) , i = l , 2, so gat bx 71 +b2 Yt = 0 . 7,

7z

7. Nicht in allen Geometrien (~, ~) gilt der Btisehelsatz: dies zeigte der Beweis yon Satz 2, wenn man ftir ~ den KSrper der rationalen und ffir den der reeUen Zahlefi nimmt. Gezeigt wurde dies anch bereits in [!], wo allerdings in der Diskussion ein weiterer Punkt oo auftratX0). Bevor wit nun die Geometrien (~, 9~) kennzeichnen, in denen der Bfischelsatz gilt, wenden wit uns dem Sonderfall zu, dab ~ zusiitzlich (neben den in dieser Arbeit stets gemachten Voraussetzungen) ein hyperkomplexes System vom Rang 2 fiber ist. Dieser Sonderfall umfaBt die M6bius-, die Laguerre-Geometrie und auch die von HOFFMAN [2] untersuchten Geometrien neben unendlich vielen weiteren, paarweise nichtisomorphen, Geometrien. Satz 3. Die Geometrien (~, 9l), /iir die zus~tzlich ( ~ : ~ ) = 2 dem Bi~schelsatz.

ist, geni~gen

Beweis. Es seien A, B, C1, C~, A', B', C~, C'~ acht verschiedene Punkte, yon denen je zwei konzyklisch sind. Nach (2) liegt also ein eigentliches Punkte8-tupel vor. Sind dann A A ' B B ' , A A ' CxC1, ' AA'CaC ~, BB'CxC 1,' BB'C2C'z konzyldische Punktequadrupel, nieht aber AA'BC1, AA'BC2, AA'C1C,. , so ist zu zeigen, dab aueh CXC'~C~C~ ein konzyklisehes Punktequadrupel ist. Zun~tehst ist 7~-~ Ci

1

q ~ , da sonst die Kreise (A'AB), (A'ACi) tiberein-

stimmten. Hilfssatz 3 angewan-dt auf die eigentlichen Punkte-6-tupel A, A', B, B', Ci, C'i, i = t, 2, erkennt man, dab gilt 7i..+(ai, hi) ftir ein gewisses ai E ~ und ftir b~= B' L

Ci Ci J L

J

tiber ~. Dann ist O~=r+sO ftir Gr6Ben r, s C ~. Hat man nun nicht 10) In [1] waren ftir ~Rnur kommutative K6rper zugelassen. Dadurch fielen die Geometrien (,~, ~R) mit ,,Laguerre-Charakter" heraus nach Satz t.

(Sa, 6~)-Konfigurationen in Laguerre-, MObius- und weiteren Geometrien

293

gleichzeitig s = 0 und Charakteristik ~ = 2, ~ ist

p +qO-+p +q(s--O) ein involutorischer Automorphismus von ~, der genau die Elemente von E festl~iBt. Ist gleichzeitig Charakteristik E = 2 und s = 0, so gilt ftir jedes 7 ~ ~ sicherlich 7 ' ~ . In jedern Falle ist (vexmittels der Hilfss~itze 4, 5)

Dann beweist Hilfssatz t den Biischelsatz. 8. DEFINITION. Das Elementepaar 7i, )'2 heifle s p e z i e l l , wenn gilt (a) 7t, 7 , E ~ - - ~ ,

~ 1 E ~.

(b) Es gibt Gr6flen a t u n d b~ aus ~ mit 7~-->(a~ bi) /fir i = l, 2. (c) Es gibt Gr6flen k, 0 mit

Cl) O , t , b j , b , ~ = k E ~ , % ) 1 4=0E~,

%)

t--qaEt

[~r alle a aus

c4) Es ist 7x--7, E r, t--TiaEr

r,

b1

t,k,71,~,,k~-~,

-~j

.

~'~ E ~ und weiterhin ]eweils [~r i = 1, 2 b~

/i~r alle a aus

{

h

t, bi

1

, k '

1}1,) .

bi,

DEFINITION. Es sei ~R ein kommutativer Ring unil es sei ~ ein K6rper. heifle ein L - R i n g i n bezug a u / ~, wenn gilt

(L1) (L,) Das Einselem.ent yon ~ ist auch Einselement yon i}t.

(La) Fi~r iedes spezieUe ElementePaar 71,7, gilt b r, + r---~E~'), 1 ~'x b, r2 wo bi dutch 7;-> (a~, bi) /estgdegt ist, i = t, 2. u) Man beachte bi:I= 0, i = l, 2, wegen Hilfssatz 2. 1~) Ist .~ KSrper und besitzt ~ wenigstens sechs verschiedene Elemente, so ist jedes Elementepaar ~'1, ~ aus ~ - - ~ , welches (b) geniigt und ffir das )'~ ~ ~ gilt, speziell: Man braucht nut fiir k irgende,:n Element aus ~ - {0, t , - - t, b~, b~} zu nehmen und h = zu setzen. (Dabei wird hier auch h=~ - - t vorausgesetzt, da sonst t - - ~ k = 0 ~ V w~re.) xa) Fiir den Sonderfall (~: ~) = 2 hatte man b~ ~

+ b~~

~ sogar fiir jedes Elemente-

paar rt, ~ ~ ~:-- ~ mit ~i-~ (ai, bi). (Hier ist also ~ L-Ring in bezug auf ~.) BenStigt wird die Aussage abet nut ffir spezielle Elementepaare.

294

W A L T E R BENZ :

Damit kommen wir zu Satz 4. Es seien ~ ein kommutativer Ring und ~ ein in ~R enthaltener K6rper, dessen Einselement auch Einselement yon ~ ist. Es gill." Die Geometrie (~, ~) geni~gtdann und nur dann ausnahmslos dem Bi~sckelsatz, wenn ~RL-Ring in bezug au/ ~ ist. ~l C I Beweis. Sei ~ L-Ring in bezug auf ~ und seien A, B, C1, C~, A', B ,t ,~a, acht verschiedene Punkte, von denen je zwei konzyklisch sind. Naeh (2) liegt damit ein eigentliches Punkte-8-tupel vor. Sind dann AA'BB', AA'C1C~, AA'C,C~, BB'CIC'I, BB'C~C~ konzyklisehe Punktequadrupel, nieht aber AA'BC 1, AA'BC~, AA'C1C2X4), so ist also zu zeigen, daft CxC~C2C'2ein kon-

zyklisches Punktequadrupel ist. Man hat 7i=-- C,

q~, da die Kreise

(A'AB), (A'ACi) versckieden sind. Wir weisen nach, daft 7a, 72 ein spezielles Elementepaar ist. (a) ist evident, weft A', A, B, Ci, i = t , 2, eigentliche Punktequadrupel sind und weil r l __[A' ,4 ] q ~ ist. (b): ttilfssatz 3 ange~'~ tCa C~J wandt auf die eigentliehen Punkte-6-tupel A, A', B, B', Ci, C'i, i = t, 2, erkennt man, dab gilt 7i--->(ai,bi) ffir ein gewisses aiE~ und ffir

Far (c) setze man k-=-- B'

und 0 = . 4 ' - B "

Punktequadrupel P , Q , R , S ist gewifl [PS ~ ] . 0 ist k ~ 0 .

Im Falle k = t

w~e 0~= B'

FaUe k=b,= [A: A] [cA: A]

=t--

wegen[P~R]Et. B'

=t--k=0.

Damit Im

w~ire [cA:A] = t , was auf [A: AC:]= 0 fiihrte.

%) : Sicherlich ist ~ E t. Im Falle ~ = t w~ire A -- B = A'-- B, d.h. A = A'. Es folgt %) aus Q ~ { --~7i--

A --A" B--.4'' A'--.4 .4"--C i '

J--~k-I --~k

A'--A A'--B''

yi A'--A b i - - -.4T Z C ~

"

c~): Es ist

z~) Es wird nicht behauptet, dab es eigentliche Punkte-8-tupel mit den genannten Eigenschaften gibt.

(8a, 6a)-Konfigurationen in Laguerre-, MSbius-

und weiteren

Geometrien

295

Weiter gilt 7t

r,

bt

b,=~

71(1

bl r,)

-v.~

[q Cl][C; C,][C, C d ] = - g ([

= 7x(t_

A' A, A ' A

b, \

[A'A]~

A' C~ A,

Y, t _

C~

_ 7x C' C; ---ff

,.

~ ~"

Schlieglich ist t--yi=

Ci A '

t - - Z L = t --

b,

t--~i~=-t--

Ci B][C~ C i

=

C, B] [B B'][C: r

C;

Ci

"

Da also Yl, Y~ ein spezieUes Elementepaar ist und da ~ L-Ring in bezug auf E ist, hat man b1-~2 +bz71 E ~. Mit Hilfssatz t i s t nun C1, C~, C~, C~ ein 9

71

7~

konzyklisches Punktequadrupel. Damit gilt der Biischelsatz. Sei nun umgekehrt in der Geometrie (~, !It) stets der Biischelsatz erfiillt. Sei Yt, ~ ein spezielles Elementepaar und seien ai, b+, k, 0 Gr6Ben mit den Eigenschaften (b), (c). Wir konstruieren ein eigentliches Punkte-8-tupe!: Sei A=0, C+ = t

A'=t, t

B=t C~ = t

1-- 07i '

~

t--p' t l _ ~k ~i

B'=t

t

t--ok

'

"

In der Tat sind die Differenzen je zweier verschiedener Punkte regul~ir, wie man (a), (b), (c) (s. Def. des speziellen Elementepaares) entnimmt. Weiter sind A A ' B B ' , AA'C1C'I, AA'C2C~ , BB'CaC~, BB'CmC'~ konzyklische Punktequadrupel, hingegen nicht AA'BC1, AA'BC2, AA'C1C2: Einmal ist B'

= A - - B A'--B" = k E R ,

C~ C~ -- A--C~" A'-- c~ -- h E R ,

C', C i - - B - - C i B ' - - C i'- -'-= --(biq-?p) + T i ( l q-bi)

--

a i + (l + b i ) E ~ l S ) '

wenn man bei der letzteren Gleichung ~ i ~ (ai, bi), d.h. y~ q- a iy+ q- bi = 0 beachtet. Z u m anderen ist C~

A - - B A'--Ci = Y i r

und

C1 C~ =

1~) Man braucht sich nicht zu fiberzeugen, dab die benutzten Nenner regul~tr sind, da dort yon vornherein ja nur regulRre Gr6gen B - - C l , B ' - - C } auftreten.

296

WALTER BENZ: (83, 64)-Konfigurationen

n a c h (a). D a der Btischelsatz gilt, muB also CxC'IC2C~ ein k o n z y k l i s c h e s Q u a d r u p e l sein. B e a c h t e t m a n j e t z t n o c h

so folgt a u s Hilfssatz t ~,~ =

t

rl ) +

E ~'

bzw. weiter, d a b i 4= 0 ist, b ? * --{-b2 ~ ' ~ E ~ . 1 ?1

72

D a m i t ist also 9t L - R i n g in b e z u g a u f ~. Literatur

[1] BENz, W.: Axiomatischer Aufbau der Kreisgeometrie auf Grund yon DoppelverhAltnissen. J. reine angew. Math. 199, 56--90 (1958). -- [2] HOFFMAN, A. J.: Chains in the projective line. Duke Math. J. 18, 8 2 7 - 8 3 0 (1951). - [3] PECZAR, L.: ~ber eine einheitliche Methode zum Beweis gewisser Schliel3ungssAtze. Mh. Math. 54, 210--220 (1950). -- [6] VAN DER ~'AERDEN, B. L., u. L. J. StuD: Eine Axiomafik der Kreisgeometrie und der Laguerre-Geometrie." Math. Ann. 110, 753--776 (t935). Maim, Mathematisches Institut der Universitat (Eingegangen am 22. April 1958)