Analysis 2: Differentialrechnung im IRn, gewöhnliche Differentialgleichungen, 9. Auflage

f :/_]R2,

t-(t,
Bemerkung. Manchmal ist folgende kinematische Interpretation einer Kurve f: 1 _]Rn nützlich: Man fasst die Variable tEl als Zeit und f(t) E]Rn als Ort auf. Die Kurve beschreibt dann die zeitliche Bewegung eines Punktes im ]Rn. Definition (Tangentialvektor). Sei 1 C ]R ein Intervall und

f= (fl, ... ,fn):1 _]Rn eine differenzierbare Kurve. Für tEl heißt

f(t)

= (JI (t), ... ,~(t)) E]Rn

der Tangentialvektorder Kurve f zum Parameterwert t. Falls I'(t) i= 0, heißt 1Tangenten-Einheitsvektor. der aufden Betrag 1 normierte Vektor I' (t) /111' (t) 1 Geometrische Interpretation. Der Tangentialvektor I'(t) lässt sich als Limes von Sekanten auffassen, denn

f(t) = lim f(t+hl- f(t) , h~O

h",O

vgl. Bild 4.2.

I. Differentialrechnung im JRn

42

f(t+h)-f(t) h

f(t+h)

Bild 4.2

Physikalische Interpretation. I' (t) ist der Geschwindigkeitsvektor im Zeitpunkt t der durch f : I ~ JRn beschriebenen Bewegung (Grenzwert des Quotienten aus Ortsdifferenz und Zeitdifferenz) und II/(t) 1 =

JIJHt)l2+ ...+ If~(t)12

ist der Betrag der Geschwindigkeit. (4.5) Bemerkung. Eine Kurve f: I ~ JRn braucht nicht notwendig eine injektive Abbildung darzustellen. Gilt f(t1) = f(t2) =: x für t1 =I ti, so heißt x Doppelpunktder Kurve. Im Punkt x hat dann f i.Allg . zwei verschiedene Tangentialvektoren. Als Beispiel betrachten wir die Kurve f: JR ~ JR2

f(t):= (t 2 -1,t 3 -t). Es gilt, wie man sich leicht überzeugt

f(JR) = {(x,y)

E

JR2:1 =~ +~},

vgl. Bild 4.3. Die Kurve hat einen Doppelpunkt für die Parameterwerte t = ± 1, denn es gilt

f(l) =f(-l) = (0,0). Da f' (t) = (2t, 3t2 - 1), errechnet man für die Tangenten im Doppelpunkt

/(-1) = (-2,2),

/(1) = (2,2).

Definition. Sei f : I ~ JRn eine stetig differenzierbare Kurve. Die Kurve heißt regulär oder nicht-singulär, falls I'(t) =I 0 für alle t e I, Ein Parameterwert t e t mit I' (t) = 0 heißt singulär.

§ 4 Kurven im lRn

43

x

Bild 4.3

(4.6) Beispiel. Wir betrachten die Neilsche Parabel f : lR ---t lR2 ,

t f-+ (t2 ,t 3 ) .

Für das Bild der Kurve gilt

f(lR) = {(x,y)

2

E lR : x

~ 0, y =

U/ 2 } ,

vgl. Bild 4.4. Wegen f' (t) = (2t, 3t2 ) liegt für t singuläre Punkt der Neilschen Parabel vor.

= 0 in der Spitze

y

Bild 4.4

der einzige

I. Differentialrechnung im )Rn

44 Schnittwinkel

Seien f : T\ ---+ )Rn und g : h ---+ )Rn zwei reguläre Kurven. Für die Parameterwerte t\ E 1\ und t2 Eh gelte f(tl) = g(t2) . Dann versteht man unter dem Schnittwinkelt} der Kurven f und g bei den Parameterwerten t\ ,t2 den Winkel zwischen den Tangentialvektoren f' (rr) und i (t2), siehe Bild 4.5. Der Winkel t} ist also bestimmt durch die Gleichung mit 0 ~ t} ~ n.

Bild 4.5 Bogenlänge Sei [a,b] c )R, a < b ein abgeschlossenes Intervall und f : [a,b] ---+ Kurve. Unterteilt man das Intervall a

Rn

eine

= to < t\ < ... < tk = b

und verbindet die Punkte f(ti-1) mit f(ti), für i = 1,2, . . . ,k, geradlinig, so erhält man einen Polygonzug im Rn, siehe Bild 4.6. Die Länge dieses Polygonzugs ist gleich k

Pj(to, . . . ,tk) :=

L Ilf(ti) -

f(ti-1) 11·

i=\

Die Länge der Kurve wird nun definiert als Grenzwert der Längen der PolygODZÜge bei immer feineren Unterteilungen. Definition. Eine Kurve f: [a,b] ---+ Rn heißt rektifizierbar mit der Länge L, wenn zu jedem E > 0 ein S > 0 existiert, so dass für jede Unterteilung a

= to < t\ < ... < tk = b

§ 4 Kurven im lRn

45

Bild 4.6 der Feinheit< Ö gilt

IPJ(tO, . .. ,tk) -LI< E. Satz 1. Jede stetig differenzierbare Kurve f: [a, b] -+ lRn ist rektifizierbar, und für ihre Länge L gilt

L=

l 11!(t)lldt. b

Bemerkung. Die stetige Differenzierbarkeit ist nicht notwendig dafür, dass eine Kurve rektifizierbar ist. Es gibt jedoch stetige Kurven, die nicht rektifizierbar sind. Zum Beweis von Satz 1 benötigen wir einen Hilfssatz.

Hilfssatz. Sei f: [a, b] -+ lRn stetig differenzierbar. Dann gibt es zu jedem E> D ein Ö > 0, so dass

Ilf(t~=~('t) -!(t)11 ~ E für alle t,'t E [a,b] mitD <

It-'tl ~ ö.

46

I. Differentialrechnung im

)Rn

Beweis. a) Wir behandeln zunächst den Fall n = 1. Die Ableitung f' : [a, b] -+ )R ist nach Voraussetzung stetig, also sogar gleichmäßig stetig. Zu e > 0 gibt es also ein I) > 0, so dass

I/(t)-/(s)l::;;e für alle r.s mit lr c-s] ::;;1). Sei nun t, t E [a, b] mit 0 < It zwischen t und 't , so dass

tl ::;; 1).

Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein s

f(t) - f(t) = I(s) . t-t Also ist

I

f (t) - f(t) -/(t)1 = I/(s) -/(t)l::;; E. t-t

b) Sei jetzt n beliebig undf = (/1, .. . ,In). Da nach (1.7)

Ilf(t~ =~('t) -/(t)11 ::;; y'n. i~~nIJi(t~=~('t) - /;(t)

1'

folgt die Behauptung aus Teil a).

Beweis von Satz 1. Sei E > 0 vorgegeben. Nach dem Satz über die Approximation von Integralen durch Riemannsche Summen (An. 1, § 18, Satz 8) existiert ein 1)1 > 0, so dass

la

I

b

11/(t)lldt-

~ 11/(ti)ll(ti-ti-l)1 ::;; ~

(1)

für jede Unterteilung

a = to < t1 < ... < tk = b

(*)

des Intervalls [a,b] der Feinheit::;; 1)1. Nach dem Hilfssatz gibt es ein I) > 0 mit I) ::;; 1)1 und folgender Eigenschaft: Hat die Unterteilung (*) eine Feinheit ::;; 1), so gilt

(2)

§ 4 Kurven im ]Rn

47

Aus (1) und (2) folgt für jede Unterteilung (*) der Feinheit ::::; Ö

I~ 11/(tj)- l(ti-l)II-l

b

1I/(t)lldtl ::::; E,

q.e.d.

Beispiele

(4.7) Sei

O. Wir betrachten den Kreisbogen

I : [O,
I(t) := (cost,sint) .

Es gilt f'(t) = (- sint ,cost) , also 11/(t)11 = Vsin 2t+cos2t = l. Deshalb errechnet man für die Bogenlänge

L

= 1~ 11/(t)lldt = Io~ dt = <po

Insbesondere ist der Umfang des Einheitskreises gleich 21t. (4.8) Die Zykloide ist die Kurve I:]R ~

]R2,

t

f-+

(t - sint, 1- cost).

Die Zykloide beschreibt die Bahn eines Punktes auf der Peripherie eines Kreises vom Radius 1, der auf der x-Achse der x-y-Ebene abrollt, siehe Bild 4.7. Wir wollen die Länge L des Teils der Zykloide berechnen, der zu den Parameterwerten 0 ::::; t ::::; 21t gehört, also den Bogen ABC in Bild 4.7. Es ist

y B

2r------=~=___+-~------

1t

/(t) = (l-cost,sint), 11/(t)11

2

=

2t (l-cost)2+sin

x

Bild 4.7

I. Differentialrechnung im JRn

48 = 1-2cost+cos2t+sin2t = 2-2cost=4sin2(t/2) , also 11f'(t) 11 = 21 sin(t/2) I. Dam it wird

L=

t r Jot" 2l sin2"ldt = 4 Jo

sinudu = 8.

Es ist bemerkenswert, dass sich für die Bogenlänge eine rationale Zahl ergibt.

Parametertransformationen Sei f : [a , b] ---+ JRn eine Kurve, [a,13] c JR ein weiteres Intervall und cp: [e, ß] -----> [a, b] eine bijektive stetige Abbildung. Dann ist die zusammengesetzte Abbildung

g := f 0 cp : [n, ß]

-----> JRn

wieder eine Kurve im JRn. Man sagt, dass die Kurve g aus der Kurve die Parametertransformation cp hervorgeht. Sind sowohl cp als auch

f

durch

cp-l : [a,b] ---+ [a,ß] stetig differenzierbar, so nennt man cp eine CI-Parametertransformation. Die Kurvenpunkte vonfundg sind dieselben, denn es giltg(t) = f (cp(t)) für alle tE [o, ß], aber sie werden i.Allg , verschieden durchlaufen. Da cp : [o, ß] ---+ [a,b] stetig und bijektiv ist, tritt genau einer der beiden folgen den Fälle auf: 1) cp ist auf [e, ß] streng monoton wachsend. Man nennt die Parametertransformation dann orientierungstreu.

2) cp ist auf [e, ß] streng monoton fallend. Dann heißt cp orientierungsumkehrend. Ist cp eine Cl-Parametertransformation, so ist cp'(t) aus cp-l 0 cp = id folgt mit der Kettenregel

# 0 für alle t E [e, ß], denn

(cp-l)'(cp(t)) · cp'(t ) = 1. cp ist genau dann orientierungstreu, wenn cp' (t) > 0 für alle t und orientierungsumkehrend, wenn cp' (t) < 0 für alle t. Wir untersuchen nun noch das Verhalten von Tangentialvektoren, Schnittwinkel und Bogenlänge bei Parametertransformationen.

§ 4 Kurven im lRn

49

a) Tangentialvektoren. Sei I: [a , b] ---+ lRn eine differenzierbare Kurve und

Seien nun
fi 0
i) 'Ö' = 'Ö, falls
l

b

11/(t)lldt = / : Ilg('t)lld't,

d.h,/ und g haben dieselbe Bogenlänge. Dies folgt aus der Substitutionsregel. Wir führen den Beweis für den (schwierigeren) Fall durch , dass

L

= -

f:

II/(
I. Differentialrechnung im JRn

50

Bemerkung. Die Invarianz der Bogenlänge kann man auch direkt aus der Definition als Grenzwert der Längen einbeschriebener Polygonzüge folgern . AUFGABEN 4.1. Seien a,b ,c,r E JR mit a < b, r> O. Man berechne die Bogenlänge der Kurve

f : [a,b] --+JR3, /(t):= (rcost,rsint,ct) . 4.2. Sei c E JR* und

/(t):= (ect cost,ect sint).

/ : JR --+ JR2 ,

Die Kurve / heißt logarithmische Spirale.

trr. im Bereich -21t::::; t ::::; 21t. C JR sei La,b die Bogenlänge der Kurve / I [a,b] . Man berechne

a) Man skizziere die Kurve für c = b) Für [a,b]

La,b. c) Existiert lim La 0 ? a----+-oo

l

d) Man zeige, dass die logarithmische Spirale jeden Kreis um den Nullpunkt in genau einem Punkt schneidet und berechne den Schnittwinkel. 4.3. a) Man zeige, dass für jedes k E [0, 1] das uneigentliehe Integral

E(k)

=

1o v'f=t2 1

v'1-k2t2 dt l-t 2

existiert. E(k) heißt vollständiges elliptisches Integral zweiter Gattung. b) Man drücke die Bogenlänge der Ellipse

f : [O,21t] --+ JR2, t f-+ (a cost,b sint), mit den Halbachsen a,b E JR+ mit Hilfe von E(k) aus.

51

§ 5 Partielle Ableitungen In diesem Paragraphen definieren wir die partiellen Ableitungen von Funktionen mehrerer Veränderlichen. Die partiellen Ableitungen sind nichts anderes als die gewöhnlichen Ableitungen von Funktionen einer Veränderlichen, die man erhält, wenn man alle Veränderliche bis auf eine festhält. Mithilfe der partiellen Ableitungen werden wichtige Differential-Operatoren wie Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator definiert .

Die im letzten Paragraphen besprochenen Kurven waren Abbildungen von Teilmengen von R in den Rn . Wir betrachten jetzt umgekehrt Abbildungen von Teilmengen U C Rn nach R ,

f :U -----+R,

(X) , ... ,xn) ~ f(x) , ... ,xn).

Der Graph von f ist die Menge

rf:= {(x,y) E U x R:y = fex)}

c R n+1•

Im Fall n = 2 kann man sich den Graphen von f als Fläche im dreidimensionalen Raum vorstellen (Bild 5.1). Eine Funktion f: U -+ IR ist auch festgelegt durch die Schar Nf(c) , cE IR, ihrer Niveaumengen. Dabei ist

Nf(C) := {x EU: fex) = c} eRn die Menge der Punkte, in denen f den Wert c annimmt. Im Fall n = 2 nennt man die Niveaumengen auch Höhenlinien (Bild 5.2). Man beachte jedoch, dass für eine beliebige Funktion zweier Veränderlichen die Niveaumengen keine "Linien" im anschaulichen Sinn zu sein brauchen. Wir werden auf diese Frage noch einmal in § 8 zurückkommen. Definition (Partielle Ableitung). Sei U C Rn eine offene Teilmenge und

f: U -----+ R

O. Forster, Analysis 2, DOI 10.1007/978-3-8348-8103-8_5, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

I. Differentialrechnung im JRn

52 y

9Y = f(XI ,X2) I

... .. .. ····· ····· ···1·· ···· ········ · ·

...

Bild 5.1 eine reelle Funktion. f heißt im Punktx E U partiell differenzierbar in der i-ten Koordinatenrichtung, falls der Limes

D;f(x) := 1im f(x+hej) - f(x) h-+O

h

existiert. Dabei ist e; E JRn der i-te Einheitsvektor, ej

= (0, ... ,0,1,0, ... ,0) ..----"-----

i-te Stelle

Bild 5.2 Höhenlinien

§ 5 Partiel1e Ableitungen

53

und für den Limes h --+ 0 hat man sich auf solche h E IR zu beschränken, für die h =I- 0 undx+hei E U.

D;f(x) heißt i-te partielle Ableitung von f in x. (Bemerkung. Damit man die i-te partiel1e Ableitung definieren kann, ist nicht unbedingt notwendig, dass U offen ist. Es genügt, dass wenigstens eine Folge (hk)kEN mit limhk = 0 existiert, so dass hk =I- 0 undx+h~i E U für alle k. Dies ist z.B. auch der Fal1, wenn U = 11 X • •• x In mit abgeschlossenen Intervallen It c IR, die mehr als einen Punkt enthalten.) Die partiellen Ableitungen einer Funktion f: U --+ IR kann man als gewöhnliche Ableitungen von Funktionen einer Veränderlichen interpretieren: Sei x = (X1" " ,xn ) EU ein fester Punkt. Für i = I, ... ,n betrachten wir die Funktionen ~

t-+

fi(~) := f(XI " " ,Xi-1 ,~,Xi+1, '" ,xn )

Aus der Definition der partiellen Ableitung folgt

D.f( ) - li I

X - h~

fi(Xi+ h) - fi(Xi) _ P( .) h - J i X, •

Die partielle Ableitung in der i-ten Koordinatenrichtung ist also nichts anderes als die gewöhnliche Ableitung nach der i-ten Variablen bei Festhaltung der übrigen n - I Veränderlichen. Deshalb gelten für die partiellen Ableitungen analoge Rechenregeln wie für die gewöhnlichen Ableitungen.

Definition. Sei U C IRn offen. Eine Funktion f : U --+ lRheißt partiell diiferenzierbar, falls D;f(x) für alle x E U und i = 1, ... ,n existiert. f heißt stetig partiell differenzierbar, falls zusätzlich alle partiellen Ableitungen D;f : U --+ IR stetig sind.

Schreibweise. Statt D;f schreibt man auch daf. Entsprechend auch x,

D;f(x) =

~~ (x) = a{~~) .

I. Differentialrechnung im )Rn

54 Beispiele

(5.1) Als erstes einfaches Beispiel berechnen wir die partiellen Ableitungen der Funktion zweier Veränderlichen

F

: )R2 ->)R,

(X,y) ~ F(x,y) := tI+;

Da für die Funktion einer Variablen I(x) := stante ist), gilt I' (x) = 2x e2+C2 , folgt

e2+C2

(wobei c eine reelle Kon-

~tI+; = 2xtl+; dx

und ebenso

~ tI+; = 2y tl+; dy (5.2) Wir betrachten die Funktion r : )Rn ---+ )R,

r(x) := IIxll = Jxi+ ... +x~

(Abstand vom Nullpunkt)

für x = (Xl, .. . ,Xn ) E )Rn. Die Niveaumengen

Nf(C) = {x E)Rn : r(x) = c} sind für

C

> 0 Sphären vom Radius c.

Behauptung. Die Funktion r ist in R">, 0 partiell differenzierbar und es gilt

dr

x·

-Cl (x) = _(') Xi rx

für x = (Xl, .. . ,xn )

# O.

Dies folgt daraus, dass die Funktion einer Variablen

~~ Jxi+ ... +~2+ ... +x~ differenzierbar ist. Mit der Kettenregel für Funktionen einer Veränderlichen erhält man (Xl, . . . , Xi-I, Xi+ 1, . .. ,Xn sind dabei als Konstanten zu betrachten)

dr _ ~

2

2

2 1/2

Clx, - Clx, (Xl+ ···+Xi+···+X;;)

_ !(Xl2 + ... + x;2 + ... + X;;2)-1/2. 2x,. -_

-

2

~. r

(5.3) Sei 1 : )R,+ ---+ )R eine beliebige differenzierbare Funktion. Dann ist die

§ 5 Partiel1e Ableitungen

55

zusammengesetzte Funktion x t-+ f(r(x)), die meist kurz mit f(r) bezeichnet wird, auf R" -, 0 definiert und dort partiell differenzierbar. Aus der Kettenregel für Funktionen einer Veränderlichen folgt

aaXi f(r) = I(r) aarXi =/(r):!.. r (5.4) Sei n

F(x)

~

=

2. Wir betrachten die wie folgt definierte Funktion F : IRn

{

->

IR

XlX2.. .. ·Xn für ~ 0 r(x)n x,

o für x = o. In IRn -, 0 ist F partiell differenzierbar, wie aus dem vorigen Beispiel und der Produktregel für Funktionen einer Veränderlichen folgt. Für die partielle Ableitung nach Xl berechnet man aF(x) _ -a-~ =

X2· .·· ·Xn ~

~

x2· · · · ·Xn r"

a (r-n)

+XIX2· ·· · ·Xn -a xIX2·. .. ·Xn -n rn+2

Die partiel1e Ableitung in i-ter Koordinatenrichtung ergibt sich daraus durch Vertauschen der Rollen von Xl und xi, da F völlig symmetrisch von Xl, .. . ,Xn abhängt. Die Funktion F ist aber auch an der Stelle X = 0 partiell differenzierbar mit

aF (0) = lim F(hei) - F(O) = 0 aXi

h->O

h

'

da F (hei) = 0 für alle h E IR. Daraus folgt, dass F in ganz IRn partiell differenzierbar ist. F ist aber im Nullpunkt nicht stetig. Betrachten wir etwa die Werte von F auf der gegen 0 konvergierenden Punktfolge

ak:=G, ...

,i),

k~1.

Es gilt r(ak) = Vii/k, also

F(a ) = (l/k)n =n-n/2 (unabhängigvonk). k (Vii/k)n Da limk->=F(ak)

= n-n/2 undF(O) = 0, istF im Nullpunkt nicht stetig.

I. Differentialrechnung im )Rn

56

Für Funktionen mehrerer Veränderlichen folgt also, im Gegensatz zum Fall n = 1, aus der partiellen Differenzierbarkeit nicht die Stetigkeit.

Bemerkung. Wir werden im nächsten Paragraphen eine Verallgemeinerung des Differenzierbarkeitsbegriffs auf Funktionen mehrerer Veränderlichen kennen lernen, welche die Stetigkeit nach sich zieht. Insbesondere wird sich ergeben (§ 6, Corollar zu Satz 2): Eine stetig partiell differenzierbare Funktion ist auch stetig.

Definition (Gradient). Sei U C )Rn offen und f zierbare Funktion. Dann heißt der Vektor gradf(x) =

: U -+ )R eine partiell differen-

af (x),.. ., aXaf (x)) (aXI n

der Gradient von f im Punkt x E U. Beispiele (5.5) Für die in Beispiel (5.2) definierte Funktion r gilt fiir x E )Rn X

gradr= - . r Der Vektor ~ hat den Betrag 1 und die Richtung x. Mit den Bezeichnungen von (5.3) gilt gradf(r) =

I

(r) ~,

zR

(5.6) Seien f,g: U -->)R zwei partiell differenzierbare Funktionen. Dann gilt die Produktregel grad(Jg) =g' gradf + f ·gradg. Dies folgt aus der Produktregel fiir Funktionen einer Veränderlichen, denn

a

er

ag

-a (Jg)=-a g+f - . ax, x, Xi Schreibweise. Statt gradf schreibt man auch Vf, gesprochen Nabla f. Man hat V als vektorwertigen Differentialoperator aufzufassen,

V=

(a:1,...,a:J·

57

§ 5 Partie11e Ableitungen

Definition. Sei U c Rn eine offene Teilmenge von Rn. Unter einem Vektorfeld auf U versteht man eine Abbildung

Jedem Punkt x E U wird also ein Vektor v(x) E Rn zugeordnet. Der Gradient VI einer partie11 differenzierbaren Funktion spezielles Vektorfeld. Definition (Divergenz). Sei U

v=

(VI,'''' V n)

I : U ---. R

ist ein

c Rn eine offene Menge und

: U -----+ Rn

ein partiell differenzierbares Vektorfeld (d.h. alle Komponenten seien partiell differenzierbar). Dann heißt die Funktion

Vi :

U ---. R

diIVV:= k ~ JaVii=1 aXi

die Divergenz 1 des Vektorfeldes v, Bemerkung. Formal kann man die Divergenz von V als Skalarprodukt des Differentialoperators V mit dem Vektor v schreiben,

divv = (V, v) =

n a L -a Vi· i=1 Xi

Die Produktregelliefert für die Divergenz die folgende Rechenregel: Auf einer offenen Menge U C JRn sei I : U ---. JR eine differenzierbare Funktion und

ein partiell differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt

a

-(lVi) aXi

al

aVi

aXi

aXi

= -'Vi+ f--.

Summation über i ergibt div(/v)

=

(gradj", v) + Idivv.

1dies ist natürlich etwas ganz anderes als der Begriff Divergenz im Sinne von NichtKonvergenz

I. Differentialrechnung im JRn

58

Mit Hilfe des Nabla-Operators schreibt sich diese Formel folgendermaßen:

(V,fv) = (VT. v) + f(V, v) . (5.7) Beispiel. Wir betrachten das Vektorfeld F : JRn,O ~ JRn, Da divx =

f

~=

i=! ~I

F(x):=~,

n und (x,x) =

r=

Ilxll.

,:z, folgt mit (5.5)

x ) + -':= n -rn-l ' div x-,:=
Höhere Ableitungen Sei U c JRn offen und f : U - t JR eine partiell differenzierbare Funktion. Sind alle partiellen Ableitungen Dd:U - t JR selbst wieder partiell differenzierbar, so heißt f zweimal partiell differenzierbar. Man kann dann die partiellen Ableitungen 2. Ordnung D jDd bilden. Allgemeiner definiert man durch vollständige Induktion: Die Funktion f :U - t

:IR heißt (k+ l)-mal partiell differenzierbar, wenn sie k-mal partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen k-ter Ordnung Dik ... Di2DiJ:

U~:IR

partiell differenzierbar sind. Die Funktion f: U ---+ JR heißt k-mal stetig partiell differenzierbar, wenn sie k-mal partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen der Ordnung :::; k stetig sind. Apriori ist nicht klar, dass die Anwendung der Differentialoperatoren D, und D j, (i =I j), auf eine zweimal partiell differenzierbare Funktion f : U ---+ :IR vertauschbar ist, d.h. D jDd = DiD jf. Dies ist im Allgemeinen auch falsch, siehe das Gegenbeispiel in Aufgabe 5.2. Der folgende Satz von H.A. Schwarz sagt jedoch, dass es bei stetig partiell differenzierbaren Funktionen auf die Reihenfolge der Differentiation nicht ankommt.

§ 5 Partiel1e Ableitungen

59

Satz 1 (Schwarz). Sei U C IRn offenund f: U ---+ IR einezweimal stetigpartiell differenzierbare Funktion. Danngiltfür alle a E U undalle i, j = 1,2, .. . , n

Beweis. Es bedeutetkeine Einschränkungder Allgemeinheitanzunehmen,dass n = 2, i = I ,j = 2 und a = O. Statt (XI,X2) schreiben wir zur Vereinfachung (x,y). Es gibt ein a> 0, so dass

{(x,y) Für festes lyl

E

IR2 : lxi< a, lyl

< a} c U.

< asei Fy : ]-a, a[ ---+ JR die Funktion einer Veränderlichen

Fy(x) := f(x,y) - f(x, 0). Nach dem Mittelwertsatz (An. 1, § 16, Corollar 1 zu Satz 2) gibt es ein ~ E IR mit I~I ~ [x] , so dass

Fy(x) - Fy(O) = F;:(~)x.

F;

(~) = Dd(~,y) - Dd(~, 0). Der Mitte1wertsatz, angewendetauf die Funktiony - Dd(~,y) liefert ein Tl mit ITlI ~ lYl, so dass

Nun ist

Dd(~,y)

- Dd(~, 0) = D2Dd(~, Tl)Y·

Insgesamt ergibt sich also

f(x,y) - f(x, 0) - f(O,y) + f(O, 0) = D2Dd(~, Tl)XY·

(1)

Wir wiederholenjetzt diese Überlegungenunter Vertauschung der Rollen von x und y. Zunächst wenden wir den Mittelwertsatzauf die Funktion

Gx(y) := f(x,y) - f(O,y) an und erhalten

Gx(y) - Gx(O) = G~(fi)y mit lfiI ~

lyl· Weiter folgt

C1x(fi) = D2/(x, fi) - D2/(O, fi) = DID2/(~, fi)x mit I~I ~

lxi, also

f(x,y) - f(x, 0) - f(O,y) + f(O, 0) = DID2/(~, fi)xy·

(2)

60

I. Differentialrechnung im JRn

Aus (1) und (2) folgt für xy

~

0

D2Dd(~, 11) = D!D2f(~, Ti), wobei natürlich (~, 11) und (~, 11) von (x,y) abhängen. Lässt man nun (x,y) gegen (0,0) streben, so gilt auch (~, 11) - t 0 und (~, 11) - t O. Aus der Stetigkeit der Ableitungen D!D2fund D2Ddfolgt D2Dd(0,0) = D!D2f(0, 0),

CoroUar. Sei U C JRn offen und f: U zierbare Funktion. Dann gilt D ik • •• D i2Di1f = D i1t(k) • • • Di1t(2P

q.e.d. -t

JR eine k-mal stetig partiell differen-

i 1t (I /

fiir alle i! ,i2, . . . , ik E {I, 2, . .. , n} undjede Permutation 7t der Zahlen I, . .. , k. Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion über k unter Verwendung der Tatsache, dass sich jede Permutation aus Vertauschungen benachbarter Glieder zusammensetzen lässt.

(5.8) Beispiel. Sei U eine offene Menge im JR3. Für ein partiell differenzierbares Vektorfeld v: U - t JR3 definiert man ein neues Vektorfeld rotv: U - t JR3, die Rotation von v, folgendermaßen: rotv = (aV 3 _ aV2 aV! _ aV3 aV2 _ aV!) aX2 aX3 ' aX3 aX!'aX! aX2' Aus Satz I folgt nun: Ist f: U tion, so gilt rotgradf = O.

-t

JR eine zweimal stetig differenzierbare Funk-

§ 5 Partiel1e Ableitungen

61

Für die erste Komponente von rotgradj" erhält man nach Definition

a21

a21

- - - - - = 0. aX2aX3 aX3aX2

Die anderen Komponenten ergeben sich daraus durch zyklische Vertauschung der Indizes 1 - 2 - 3 - 1. Damit ein stetig partiell differenzierbares Vektorfeld v: U _IR3 sich als Gradient einer Funktion I: U - IR darstellen lässt, ist also notwendig rotv = O. Bemerkung. Für zwei Vektoren x = ist das Vektorprodukt definiert als

x xy:= (X2Y3 -X3Y2 ,X3YI

(Xt,X2,X3)

E IR3 und Y =

-XIY3,XIY2 -X2YI)

0'I,Y2,Y3)

E IR3

E IR3.

Deshalb lässt sich die Rotation eines Vektorfelds v: U _ IR3 formal auffassen als Vektorproduktdes Nabla-Operators V mit v,

rotv= V xv. Die Formel rotgradj" = 0 schreibt sich damit V x VI = 0 und ist so einfach zu merken, denn für jeden Vektor x E IR3 gilt x x x = O. Der Laplace-Operator

Sei U C IRn offen und I: U - IR eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion. Man setzt

.

A/:= divgradj" =

a21

a21

axi +...+ axr

Man nennt A :=

a2

a2

axi +...+ ax~

den Laplace-Operator. Er lässt sich formal als Skalarprodukt des Nabla-Operators mit sich selbst auffassen:

(V,V) = L n

a a

-=;- .

i=IOXi

-a = A. x,

(Deshalb findetman manchmal, vor allem in der physikalischenLiteratur,auch die Bezeichnung V2 für den Laplace-Operator.) Der Laplace-Operator spielt

62

I. Differentialrechnung im JRn

eine wichtige Rolle in den Differentialgleichungen der Mathematischen Physik (dort ist meist n = 3 oder n = 2). Die Gleichung

/1f=O heißt Potentialgleichung; ihre Lösungen heißen harmonische Funktionen. (Zum Beispiel genügt das elektrostatische Feld im ladungsfreien Raum der Potientialgleichung.) Außer der Menge U c JRn, die als räumlicher Bereich aufgefasst werde, sei noch ein Intervall I C JR gegeben, das als Zeitintervall interpretiert werde . Die Koordinaten in U x I C JRn+1 seien mit

(x.r) = (XI, ... ,xn,t) bezeichnet. Für Funktionen

f :UxI-----tJR ,

(x,t)

t-t

f(x ,t),

heißt

/1f- ~ (Pf2 =0 Cl dt

die Wellengleichung und

/1f _! df = 0 k dt die Wärmeleitungsgleichung. Dabei wirkt der Laplace-Operator auff als Funktion des Ortes x. (Die Konstanten c > 0 und k > 0 bedeuten die Wellenausbreitungs-Geschwindigkeit bzw. die Temperatur-Leitfähigkeit.) Beispiele (5.9) Sei f: JR't- ---> JR eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Wir betrachten die Wirkung des Laplace-Operators auf die rotationssymmetrische Funktion X t-t

Nach (5.5) gilt gradf(r) = I(r)~,

f(r),

r=

Ilxll.

§ 5 Partiel1e Ableitungen

63

also nach der Produktregel und (5.7)

/1f(r) = divgradf(r) =

div(/(r)~)

= (gradj" (r),~) +I (r) div~ =

(/'(r)~,~)+/(r)n-;l,

d.h.

/1f(r) = I'(r) + n -; l/(r). Daraus ergibt sich z.B,

1 / 1 -2 =0. ,.nInsbesondere für n = 3 ist also

~ eine Lösung der Potentialgleichung in IR3 ,,0.

Dies ist bis auf einen konstanten Faktor das sog. Newton-Potential mit einer Singularität im Nullpunkt, welches das Gravitationsfeld eines im Nullpunkt befindlichen Massenpunktes darstellt (und ebenso das elektrostatische Feld einer Punktladung im Nullpunkt). Speziell für n = 2 ergibt sich noch

Alog» = 0 in IR2 ,,0. Die Funktion logr ist das zweidimensionale Analogon des Newton-Potentials.

(5.10) Wir wollen zeigen, dass die Funktion F: (IR 3 ,,0) x IR ----> IR,

F( x,t ) ..= cos(r - ct ) , r

r =1111 x,

eine Lösung der Wellengleichung 2

at2 )

1 ( ( /1- c2

F(x,t)

=0

im dreidimensionalen Raum ist. (Natürlich gibt es noch viele andere Lösungen.) Nach der Formel in (5.9) gilt AF =

(~+ ~~) ar2

rar

cos(r-ct).

r

I. Differentialrechnung im )Rn

64 Nun ist

a cos(r -

a

2

a~

ct)

sin(r - ct)

cos(r - Cf)

r

~

r

~

cos(r - ct) _ r

cos(r - ct)

--

r

+

2 sin(r - ct) ~

+

2 cos(r - ct) ,.J ,

also d cos(r-ct) = _ cos(r-ct) .

r

r

Andrerseits ist

()2 cos(r - Cf) 2 cos(r - ct) at2 r = -c r ' woraus die Behauptung folgt.

Bemerkung. Genauso zeigt man, dass die Funktion sin(r - ct) der Wellengleir chung genügt. Wegen ei lp = coso-l- isincp kann man beide Funktionen zusammenfassen zu einer komplexwertigen Lösung der Wellengleichung :

(

d _ ~~) c2 at2

el{r-ct) = r

0.

Die komplexe Form lässt sich auch leicht direkt nachrechnen. AUFGABEN

5.1. Man untersuche, an welchen Stellen die Funktion f : R2

---.

R2 ,

(x,y)

f-+

yJ2x2

+r,

(einmal) partiell differenzierbar ist und berechne dort ihre partiellen Ableitungen. 5.2. Die Funktion F:)R2

---. )R

x2-1

F(x,y) := XJ'2----::2 x +y F(O,O) := 0.

sei definiert durch für (x,y)

-I (0,0),

Man zeige, dass F überall zweimal partiell differenzierbar ist, dass aber

65

§ 5 Partiel1e Ableitungen

5.3. Sei U C IR3 offen und v: U ---+ IR3 ein zweimal stetig partiell differenzierbares Vektorfeld. Man zeige, dass divrotv = O. 5.4. Sei U C IR3 offen und seien f,g: U ---+ IR zweimal stetig partiell differenzierbare Funktionen. Man beweise die Formel

!1(fg) =g!1f + 2(Vf, Vg) + fAg. 5.5. Man zeige : Die Funktion

F: IRn xIR~ ---+IR,

F(x,t):= t-n/2e-llxI12/4t,

ist eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung AJ:'_ <M'

5.6. Sei c (J)

aF - 0

at - .

> 0, k E IRn und

:=

Ilkllc.

Weiter sei f: IR ---+ IR eine beliebige, zweimal stetig differenzierbare Funktion, Man zeige: Die Funktion

F : IRn x IR ---+ IR,

F(x, t) := f( (k,x) - rot)

ist eine Lösung der Wellengleichung

I a2F f1F- 2 - 2 =0. c at

66

§ 6 Totale Differenzierbarkeit In diesem Paragraphen definieren wir die totale Differenzierbarkeit von Abbildungen einer offenen Teilmenge des lR" in den R m als gewisse Approximierbarkeit durch lineare Abbildungen. Im Gegensatz zur partiellen Differenzierbarkeit braucht man sich dabei nicht auf die einzelnen Koordinaten zu beziehen; auch ist eine total differenzierbare Abbildung von selbst stetig. Ganz einfach aus der Definition lässt sich die Kettenregel für differenzierbare Abbildungen ableiten.

Definition. Sei U c JRn eine offene Menge und f: U --+ JRm eine Abbildung. heißt im Punkt x E U total differenzierbar (oder differenzierbar schlechthin)

f

falls es eine lineare Abbildung A : JRn -----> JRm

gibt, so dass in einer Umgebung von x gilt f(x+~) =f(x)+A~+cp(~),

wobei cp eine in einer Umgebung von 0 E JRn definierte Funktion mit Werten in JRm ist mit

.

cp(~)

~~m=O. Mit dem in An. 1, § 12, eingeführten Landau-Symbol 0 (das sich in naheli gender Weise auf die hier vorliegende höherdimensionale Situation überträgt), lässt sich die letzte Bedingung auch schreiben als cp(~)

= o(II~II)·

Bemerkungen. a) Für n = m = 1 liefert dies die übliche Definition der Differenzierbarkeit von Funktionen einer Veränderlichen (An. 1, § 15, Satz 1). b) Die lineare Abbildung A:JRn --+ JRm kann bzgl. der kanonischen Basen von JRn bzw. JRm durch eine m x n-Matrix

(aij) E M(m x n,JR),

(1 ~ i ~ m, 1 ~ j ~ n)

beschrieben werden. Fassen wir die Elemente von JRn bzw. JRm als Spaltenvektoren auf, so wird die Abbildung einfach durch Matrizen-Multiplikation von O. Forster, Analysis 2, DOI 10.1007/978-3-8348-8103-8_6, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

67

§ 6 Totale Differenzierbarkeit links gegeben, a ll

A~=

:

(

amI

Im Folgenden identifizieren wir die lineare Abbildung zt.R" _IRm mit der sie beschreibenden Matrix. Seien

die Komponenten-Darstellungen von chung (*) ausführlich als

f

n

und q>. Dann schreibt sich die Glei-

.fi(x+~) =.fi(x) + Lajj~j+q>j(~) ,

j=I

i= 1, .. . ,m.

Daran sieht man auch, dass die Abbildung f: U _IRm genau dann im Punkt x differenzierbar ist, wenn alle .fi: U -IR in x differenzierbar sind. (6.1) Beispiel. Sei C

= (Cjj)

E M(n x n,IR) eine symmetrische n x n-Matrix

und

f(x) := (x,Cx) =

n

L

j,j=I

CjjXjXj

die zugehörige quadratische Form f: IRn -IR. Für x, ~ E IRn gilt f(x+~)

=

(x+~,Cx+C~)

= (x,Cx) + (~,Cx) + (x,C~) + (~,C~) = (x,Cx) +2(Cx,~) + (~,C~) = f(x) + (a,~) +q>@. mit a := 2Cx und q>(~) = (~, C~). Da

11q>(~)11 gilt

:;;; II~II'IIC~II :;;; IICII'II~112,

~~ ~~~~ = O. Dies zeigt, dass f

in x differenzierbar ist.

68

I. Differentialrechnung im )Rn

Satz 1. Sei U C )Rn offen und f: U ---+ )Rm eine Abbildung, die im Punkt x E U differenzierbar ist, und zwar gelte f(x+~) = f(x) +A~+o(II~11)

mit der Matrix A = (aij) E M(m x n, JR). Dann gilt: a) f ist im Punkt x stetig. b) Alle Komponenten fi: U ---+ JR, I ~ i ~ m, von f sind in x partiell differenzierbarmit

afi -a'Xj

=aij'

Bemerkung. Aus b) folgt insbesondere, dass die Matrix A durch die differenzierbare Abbildung f eindeutig bestimmt ist. Man nennt A das Differential oder die Funktional-Matrix (oder auch Jacobi-Matrix) von f im Punkte x, Schreibweisen:

Die i-te Zeile der Funktional-Matrix ist der Gradient der Funktion fi : afi afi) ( aXt (x), ... , aX (x) n

= gradfi(x)

Für eine skalarwertige differenzierbare Funktion f: U ---+ JR ist also die Funktional-Matrix einfach der Gradient.

Beweis. a) Da limA~ = 0 und lim o(II~11) = 0, folgt l;--+O l;--+O limf(x+~) = f(x) ,

l;--+o

was zeigt, dass f in x stetig ist. b)Füri= l, . .. ,mist n

fi(x+~) =fi(x) + Laij~j+
mit
§ 6 Totale Differenzierbarkeit

69

Daraus folgt

(x ) -1' fi(x+hej) - fi(x) _ .. + l' cp;(hej) _ .. -aafi im h -al) Im - -al) ' 'Xj h-+O h-+O h Satz 2. Sei U C lRn offen und f :U - t lR eine in U partiell differenzierbare Funktion. Alle partiellen Ableitungen D k/ seien im Punkt x E U stetig. Dann ist f in x total differenzierbar.

Beweis. Da U offen ist, gibt es ein 5 > 0, so dass die Kugel um x mit Radius 5 ganz in U liegt . Sei nun ~ = (~I,'" ,~n) E lRn ein Vektor mit II~II < 5. Wir definieren Punkte k

z{k) := x + L~;e;,

k=O,l, .. . ,n.

;=1

Es gilt z{O) = x und z{n) = x +~. Die Punkte z{k-I) und z{k) unterscheiden sich nur in der k-ten Koordinate. Nach dem Mittelwertsatz für differenzierbare Funktionen einer Veränderlichen gibt es deshalb ein 8k E [0,11, so dass

f(z{k)) - f(z{k-I)) = Dk/(y{k))~k mit y{k) := z{k-l) + 8k~kek' Daraus folgt n

f(x+~) - f(x) = L Dk/(y{k))~k. k=1

Setzt man ak := Dk/(x), so gilt n

f(x+~) =f(x) + La~k+cp@ k=1

mit n

cp@ = L (Dk/(y{k)) - ak)~k' k=1

Für ~ - t 0 strebt y{k) gegen x, also folgt aus der Stetigkeit der partiellen Ableitungen lilI1l;-+oDk/(y{k)) = Dk/(x) = ab woraus folgt

.

cp(~)

t~ ~ = 0,

q.e.d.

I. Differentialrechnung im )Rn

70

CoroUar. Sei U C )Rn offen und f: U ---+ )R eine stetig partiell differenzierbare Funktion. Dann ist f in U stetig. Denn eine (total) differenzierbare Funktion ist stetig. Bemerkung. Es gelten also die Implikationen stetig partiell differenzierbar .ij. (total) differenzierbar .ij. partiell differenzierbar Die Umkehrungen gelten i.Allg. nicht. Wegen dieser Zusammenhänge nennt man eine stetig partiell differenzierbare Funktion kurz stetig differenzierbar.

Die Kettenregel In der Differentialrechnung mehrerer Veränderlichen ist (wie im eindimensionalen Fall) die Kettenregel ein wichtiges Hilfsmittel. Sie macht eine Aussage darüber, wie sich die Funktional-Matrix einer zusammengesetzten Abbildung aus den Funktional-Matrizen der einzelnen Abbildungen berechnen lässt. Satz 3 (Kettenregel). Seien U C )Rn und V C f: U

--+)Rm

und

g: V

)Rm

offene Mengen sowie

--+)Rk

Abbildungen mit f(U) C V. Die Abbildung f sei im Punkt x E U differenzierbar und die Abbildung g im Punkt y := f(x) E V differenzierbar. Dann ist die zusammengesetzte Abbildung gof: U --+JRk im Punkt x differenzierbar undfür ihr Differential gilt

D(go f)(x) = (Dg) (f(x)) . Df(x). Beweis. Sei A := Df(x) und B:= Dg(y). Es ist zu zeigen, dass D(go f)(x) = BA. Nach Voraussetzung gilt f(x+~)

g(Y+11)

= =

f(x) +A~+cp(~), g(y) +B11+'1/(11)

§ 6 Totale Differenzierbarkeit

71

= 0(11~11) und "'(Tl) = o(IITlII). Setzt man speziell Tl:= f(x+s) - f(x) =AS+cp(S),

mit cp(~)

so ergibt sich (gof)(x+~) = g(f(x+~))

=g(f(x)+Tl)

= g(f(x)) + BAS+ Bcp(S) + ",(A~ + cp(~))

=

(gof)(x)+BA~+x(l;)

mit

x(l;) := Bcp(l;) + ",(AI; +cp(S))· Der Satz ist bewiesen, wenn wir zeigen können, dass X(S) = o( 111;11). Dies sieht man so: Da nach Voraussetzung

,

cp(S)

I ~= ~~

0

,

I' Bcp(l;) 0 ~~ m='

'I h gilt auc

Außerdem gibt es ein Ö > 0, so dass

Ilcp(s) 11 ~ 111;11 für alle I; mit Ilsll < Ö. Wegen "'(Tl) = o(IITlII) gilt "'(Tl) = IITlII"'I(Tl) mit 11--->0 lim (Tl) = O.

"'1

Daraus folgt

II",(AS +cp(S)) 11 ~ (11All + l)llsll·II"'I(AS+cp(s))ll, also

. ",(AI; + cp(I;))

t~

111;11

= 0,

d.h.

x(l;) = 0(111;11),

q.e.d.

Corollar. SeienU C Rn undV C Rm offeneMengen, f :V -+ IR, x ~ f(x), eine

differenzierbare Funktion sowie

I. Differentialrechnung im )Rn

72

eine differenzierbare Abbildungmit
F := f o

partiell differenzierbar und es giltfür i = 1, .. . , n

ClF -Cl(tl ,oo . ,tn ) = tj

Clf Cl
j= ]

Xj

Beweis. Die Funktional-Matrizen von F,j und

DF(t) =

(

ClF Clt] (t) , .. . , ClF) Clt (t) , n

Clf Cl f ) Df(x) = ( ClXI (x), .. . , Clx (x) , m

Cl
00.

Cl
:

(

:

Cl
.

Cl
Clt]

Cltn

Die Behauptung ergibt sich deshalb durch Matrix-Multiplikation aus der Gleichung

DF(t)

=

(Df)(
Definition (Richtungsableitung). Sei U C )Rn offen und f: U -+ )R eine Funktion. Weiter sei x E U ein Punkt und v E )Rn ein Vektor mit IIvll = 1. Unter der Richtungsableitung von f im Punkt x in Richtung v versteht man (im Fall der Existenz) den Differentialquotienten D vX'-d f ( '- ~f(x+tv)1

)

t

-1'

1=0

-tm 1-+0

f(x+tv)-f(x) . t

Für v = ej ist also DeJ gleich der i-ten partiellen Ableitung D;j.

Satz 4. Sei U C )Rn offen und f: U -+ )R eine stetig differenzierbare Funktion. Dann giltfürjedes xE U undjeden Vektor v E)Rn mit IIvll = 1 Dvf(x) = (v,gradf(x)).

§ 6 Totale Differenzierbarkeit

73

Beweis. Sei
0 gilt
X

in Richtung v.) Für

F := f o

d I1=0 = &(0). dF Dvf(x) = d/(x+tv) Aus der Kettenregel folgt

dF (t) = dt

±af

j=l aXj

(
Da d
d

-----;[t = dt (Xj + tVi) =

Vj,

folgt weiter

dF n af &(0) = ~ aXj (X)Vi = (v,gradf(x))

q.e.d.

Bemerkung. Ist gradf(x) -10, so ist der Winkel 8 zwischen den Vektoren v und gradf(x) definiert und es gilt

Dvf(x) = (v,gradf(x)) = 11 gradf(x) 11 cos8. Daraus folgt: Die Richtungsableitung Dvf(x) ist maximal, falls v und grad f(x) die gleiche Richtung haben. Der Vektor gradf(x) gibt also die Richtung des stärksten Anstiegs von f an.

Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz für Funktionen einer Veränderlichen lässt sich so formulieren (vgl. An. 1, § 16, Corollar 1 zu Satz 2): Ist f:l --+ JR eine differenzierbare Funktion auf dem Intervall! C JR und sind r.x-t-]; E I, so gibt es ein 8 E ]0, 1[,

74

I. Differentialrechnung im JRn

so dass f(x+c;) - f(x) = f(x+ec;) . C; .

Setzt man zusätzlich voraus, dass f stetig differenzierbar ist, so folgt aus dem Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung f(x+c;) - f(x)

= lx+~f(u)du=

(lf(x+tC;)dt)

·S·

Gegenüber der obigen Form wird also der Wert der Ableitung an einer Zwi1 schenstelle f' (x + eC;) ersetzt durch den Mittelwert Jo .f (x + tC;)dt der Ableitung auf der Strecke von x nach x + S. In dieser integrierten Form lässt sich der Mittelwertsatz auf vektorwertige Funktionen mehrerer Veränderlichen übertragen. Da das Differential einer solchen Funktion eine Matrix ist, benötigen wir den Begriff des Integrals einer matrixwertigen Funktion: Sei A = (aij) eine Matrix, deren Koeffizienten aij stetige Funktionen auf dem Intervall [to , td c IR seien. Dann versteht man unter dem Integral

t" A(t)dt

llo

die Matrix mit den Koeffizienten

I" aiAt)dt. i; Satz 5 (Mittelwertsatz). Sei U C JRn offen und

f :U

-----+

IRm

eine stetig differenzierbare Abbildung. Sei x E U und C; E IR n ein Vektor derart, dass die ganze Strecke x + t1;. 0 ~ t ~ 1, in U liegt. Dann gilt f(x+c;) - f(x) =

«

Df(x + tC;)dt)

.C; .

Beweis. Es seien/;: U --->IR die Komponenten vonf. Wir betrachten die Funktionen gi : [0, 1]

-----+

IR,

§ 6 Totale Differenzierbarkeit

75

Es gilt

.fi(x+~) =

.fi(x) =gi(l) -gi(O)

=

l ~(t)dt

a.fi 10 i.(x+t~)~j)dt= L( 10o (L-a 'X; 1

n

n

j=1

j=1

1

0

a.fi ~(x+t~)dt)~j . X;

Da Df die Matrix mit den Koeffizienten dXj oft ist, folgt die Behauptung.

Corollar. Die Bezeichnungen von Satz 5 seien beibehalten. Es sei M := sup IIDf(x+t~)II. 0:0;;;1:0;;;1

Damit gilt Ilf(x+~) - f(x) 11 ~ MII~II ·

(Die Norm einer Matrix wurde in § 2 definiert.) Beweis. Nach Satz 5 ist

Ilf(x+~) -

f(x) 11 = 1110

1

(Df(x+t~)~) -l

~ IoIIIDf(x+t~)II'II~lldt ~ MII~II · Dabei wurde folgender Hilfssatz benutzt: Hilfssatz. Sei v: [a,b] ---+ JRm eine stetige vektorwertige Funktion auf dem Intervall [a, b] c IR. Dann gilt

Ill

b

v(t)dtll

~

l

b

Ilv(t) Ildt.

Beweis. Wir setzen u := J:v(t)dt E JRm undK:= lIull . Dann ist K 2 = (u, u)

(lb ~ lb

=

v(t)dt, u)

=

Ilv(t) 11·llull dt

lb

(v(t) ,u)dt

=K

Kürzung durch K liefert die Behauptung.

lb

Ilv(t) 11 dt,

I. Differentialrechnung im JRn

76 AUFGABEN

6.1. Man berechne die Jacobi-Matrix der Abbildung F: JR3

--+

JR3,

F(r,'Ö,ep):= (r sinü coso, r sin sintp, r cos ö). ö

6.2. (Darstellung des Laplace-Operators bzgI. ebener Polarkoordinaten) Es sei p die wie folgt definierte Abbildung p:JR~ x JR --+ JR2,

p(r, ep) := (r coso, r sine).

Man zeige: Ist u: G --+ JR eine auf der offenen Menge G C JR2 zweimal stetig differenzierbare Funktion, so gilt auf der Menge p-I (G) die Gleichung

A ) _ iP(uop) (LlU 0 P CJr2

! CJ(uop)

+r

CJr

~ CJ2(u op)

+ r2

CJcp2

6.3. Sei U C JRn eine offene Kugel und f: U --+ JRm eine stetig differenzierbare Abbildung mit beschränktem Differential, d.h. es gebe eine Konstante K E JR+, so dass

IIDf(x) II ~ K

für alle x EU.

Man zeige, dass f in U gleichmäßig stetig ist. 6.4. Sei U C JRn offen und f: U --+ JR eine stetig differenzierbare Funktion. Sei xE U und f(x) =: c. Man zeige, dass der Gradient gradf(x) auf der Niveaufläche

Nf(C) = {z E U:f(z) = c} senkrecht steht, d.h. folgendes gilt: Ist

ep:]-e,e[ -----+ JRn,

(e » 0),

eine beliebige stetig differenzierbare Kurve mit

ep(O)=x und ep(]-e,e[)cNf(c), so folgt

(ep'(O),gradf(x)) = O.

77

§ 7 Taylor-Formel. Lokale Extrema Das Differential einer differenzierbaren Funktion f liefert eine Approximation von f durch eine affin-lineare Funktion. Die Taylor-Fonnel gibt in Verallgemeinerung davon (falls f genügend oft differenzierbar ist) eine Approximation von f bis zu beliebig hoher Ordnung. Mithilfe der Approximation bis zur zweiten Ordnung werden wir in diesem Paragraphen außerdem die lokalen Extrema von Funktionen mehrerer Veränderlichen untersuchen. Bezeichnungen. Für den Differentialkalkül mehrerer Veränderlichen sind folgende Abkürzungen nützlich: Für ein n-tupel a = (al, ... ,an) E Nn sei lai := a! +a2+ .. ·+ a n , a! := al!a2! ' . .. ·an ! Ist f eine Ial-mal stetig differenzierbare Funktion, so setzt man

Dll'fDllf .'-- DlllDa2 I 2' . . n -

a1a1f aXI'" al a an xn

wobei D~=DjDj . .. D,

'-v-"

aj-mal

Für x = (XI, ... ,xn ) E lRn sei

xll :=XflX~2 .... . x::". Satz 1. Sei U C lRn offen und f : U --4 lR eine k-mal stetig differenzierbare Funktion. Sei x E U und ~ E lRn ein Vektor derart, dass die Strecke x + t~ o:: ;,; t :::;,; 1, ganz in U liegt. Dann ist die Funktion g : [0,1] ----4 lR,

g(t):= f(x + t~),

k-mal stetig differenzierbar und es gilt dkg

L

k'

-dk(t) = ---'r(Daj)(x+t~)~a. t lal=ka. O. Forster, Analysis 2, DOI 10.1007/978-3-8348-8103-8_7, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

I. Differentialrechnung im JRn

78 Beweis.

a) Wir zeigen zunächst durch Induktion über k, dass

dkg n -d k(t) = L Dik ···DiJ(X+t~)~il· ··~ik· t il,...,ik=1 Für k = 1 ergibt sich aus der Kettenregel

d

~

n

-d (t) = -d f(xi +t~I, .. . ,Xn+t~n) = LDif(x+tS)~i' t t i=1 Induktionsschritt k - 1 -> k. dkg d ( dtk(t) = dt .

n

L

11,••·,lk- l = 1

=

~ n, (.

}=I

t

Dik_l .. · DiJ(X + t~) ~il " · ~ik_l Dik_l . ..

11,.•. ,lk- l = 1

)

DiJ(X+t~)~il " '~ik_l) ~j

n

L Dik· .. DiJ(X+t~)~il·"~ik· il,···,ik=1 b) Kommt unter den Indizes (il, ... ,ik) der Index 1 genau (Xl-mal, der Index 2 genau (X2-mal, ... , der Index k genau (Xk-mal vor, so ist nach § 5, Corollar zu Satz 1

Dik· . . DiJ(X + t~) ~il .. . ~ik =

Dfl ... D~n f(x + t~) ~fl ... ~~ .

k! k-tupel (il, ... ,ik) von Zahlen 1 ~ t« ~ n gibt, bei denen (XI!.·· an! der Index v genau (Xv-mal vorkommt (v = 1, ... , n, (XI +...+ (Xn = k), folgt

Da es aber

dkg dtk(t)

=

n

L

il ,...,ik= 1

Dik···DiJ(X+t~)~il···~ik

Satz 2 (Taylorsche Formel). Sei U C JRn offen, x E U ein Punkt und ~ E lRn ein Vektor derart, dass die Strecke x + tl;, 0 ~ t ~ 1, ganz in U liegt. Weiter sei

79

§ 7 Taylor-Formel . Lokale Extrema

f :U ---+ JR eine (k+ I)-mal stetig differenzierbare Funktion. Dann existiert ein 9 E [0,1], so dass

L

f(x+l;) =

IlXl:;;;k

DlX~(X) I;lX+

L

IlXl=k+!

0..

DlXf(x ~91;) I;lX. 0. .

Beweis. Wir betrachten die Funktion

t - g(t):= f(x + tl;).

g: [0,1] - t JR,

Nach Satz I ist g eine (k+ l j-mal stetig differenzierbare Funktion und nach der Taylor-Formel fiir Funktionen einer Veränderlichen (An. I, § 22, Satz 2) existiert ein 9 E [0, I], so dass

10 ~+ g(m)(0)

k

g(I)=

g(k+t) (9) (k+l)! .

Nach Satz 1 ist fiir m = 1, ... ,k

g(m)(o) m! und

L

=

DlXf(x) I;lX

lal=m

0.1

g(k+!) (9) DlXf(x+91;) lX (k + 1)1 = ,I; , . IlXl=k+! 0..

L

woraus die Behauptung folgt. Corollar 1. Sei U c JRn offen und

f:U-tJR

eine k-mal stetig differenzierbare Funktion. Dann giltfür j edes x E U f(x+l;) =

L

IlXl:;;;k

DlX~(X) I;lX+o(lll;llk)

fiirl;

---+

O.

0..

Beweis. Da U offen ist, gibt es ein B > 0, so dass BS(x) es zu jedem I; E JRn mit 111;11< Bein 9 E [0,1] mit

f(x+l;) =

L

lal:;;;k-t

c

U. Nach Satz 2 gibt

Da~(X) I;lX+ L DlXf(x~91;) I;lX 0..

IlXl=k

0. .

80

I. Differentialrechnung im JRn

wobei

ra@= Daf(x+e~) -Daf(x). a!

Wegen der Stetigkeit von Da f gilt 1im ra@ = 0. Da ~->o

folgt

L

lal=k

ra(~)~a = o(II~llk),

q.e.d .

Bemerkung. Mit den obigen Bezeichnungen sei

Pm(~):=

L

lal=m

Da ~(x)

a.

~a.

Dann ist Pm(~) ein homogenes Polynom m-ten Grades in ~ = (~l,'" ,~) und es gilt

f(x+~)

k

=

L Pm(~) +o(II~llk).

m=O

Wir wollen die Polynome Pm :für die Fälle m = 0, 1,2 genauer betrachten. a) m = 0. Da es nur ein n-tupel gilt

a E Nn mit lai =

°

gibt, nämlich

a = (0, . .. ,0),

Po(~) = DOf(x) ~o = f(x). o!

Po ist also eine Konstante, nämlich der Funktionswert von f im Entwicklungspunktx.

b) m = 1. Die einzigen n-tupel ej

= (0, ... ,0,1,0, . .. ,0) ~

i-te Stelle

a E Nn mit lai = 1 sind die n Einheitsvektoren

§ 7 Taylor-Fonnel. Lokale Extrema

81

Es gilt Dei = D, und eil = 1 sowie ~ei = ~i, also n

P1(~) = LDi/(x)~i = (gradf(x),~) . i=1

Für einmal stetig differenzierbare Funktionen lautet also die Formel von Corollar 1 f(x+~) = f(x)

+ (gradf(x),~) +o(II~II),

was genau die Approximierbarkeit von f durch eine lineare Funktion in der Definition der Differenzierbarkeit darstellt. c) m = 2. Es gibt zwei Arten von n-tupeln a E Nn mit [o] = 2. Erstens die Vektoren 2ei = (0, .. . ,0,2,0, ... ,0),

1 ~ i ~ n,

wobei die 2 an i-ter Stelle steht. Zweitens die Vektoren ei+ej = (0,... ,1, ... ,1, ... ,0)

1 ~ i <j ~ n,

mit Einsen an den Stellen i und j. Es gilt D2etf=DU, Dei+eif=DiDjf,

(2el)! =2, (ei+ej)! = I

füri#j.

Daraus folgt

P2(~) = ~ ±DU(x)~T+ LDiDjf(X)~i~j. 1=1

i-cj

Da DiD jf = DjDi/, gilt für die zweite Summe

LDIDjf(x)~i~j = ~ LDiDjf(x)~I~j loh

i<j

und man erhält insgesamt

I

n

P2(~) = 2: L DiDjf(x)~I~j, l,j=l

wobei jetzt i und j unabhängig voneinander von I bis n laufen. (Dies kann man auch direkt aus Teil a) des Beweises von Satz I sehen.)

P2 ist also eine quadratische Form mit der Matrix (~DiDjf(x)). Man nimmt dies zum Anlass für folgende Definition.

82

I. Differentialrechnung im )Rn

Definition (Hessesche Matrix). Sei U C )Rn offen und f : U -+ )R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Unter der Hesseseben Matrix von f im Punkt xE U versteht man die n x n-Matrix

(Hessj)(x):= (DiDjf(x))

1~1~.

l~j~n

Die Hessesehe Matrix ist symmetrisch, da DiD jf = DjD;f. Wegen der obigen Bemerkungen ist das Folgende ein Spezialfall von Corollar 1:

CoroUar 2 (Approximation zweiter Ordnung). Sei U c)Rn offen, x EU und f : U -+ )R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt

f(x+~) =

c+ (a,~) + !(~,A~) +0(11~112),

wobei

c:= f(x) ,

a:= gradf(x) ,

A:= (Hessj) (x).

Lokale Extrema Sei U C )Rn eine offene Menge und f: U -+ )R eine Funktion. Ein Punkt x E U heißt lokales Maximum. bzw. lokales Minimum. von f, falls eine Umgebung V C U von x existiert, so dass

f(x)

~

f(y)

(bzw. f(x) :;;; f(y))

für alle y E V.

Tritt in dieser Definition der Fall f(x) = f(y) nur für x = y ein, so spricht man von einem strikten lokalen Maximum oder Minimum. Ein lokales Extremum.ist ein lokales Maximum oder Minimum. Satz 3 (notwendige Bedingung für lokales Extremum). Sei U c)Rn offen und f: U -+ )R einepartiell differenzierbareFunktion. Besitzt f in x E U ein lokales

Extremum, so gilt gradf(x) = O.

Beweis. Für i = 1, ... ,n betrachten wir die Funktionen

§ 7 Taylor-Fonnel. Lokale Extrema

83

Die Funktion gi ist auf einem gewissen Intervall] -e,e] c R, e > 0, definiert und dort differenzierbar. Hat f in x ein lokales Extremum, so hat gi in 0 ein lokales Extremum, also gilt (An .1, § 16, Satz 1)

&(0) = O. Da~(O) =

DiJ(x), folgt

gradf(x) = (D1f(x), ... ,Dnf (x)) = 0,

q.e.d.

Um neben dieser notwendigen Bedingung auch hinreichende Bedingungen für die Existenz von lokalen Extrema einer Funktion herleiten zu können, müssen wir die Hessesehe Matrix von f genauer betrachten. Dazu erinnern wir zunächst an folgende Definition aus der Theorie der quadratischen Formen,

Definition. Sei A E M(n x n,R) eine symmetrische n x n-Matrix. a) Die Matrix A heißt positiv definit, falls

>0

(~,A~)

für alle ~ E Rn <, O.

b) Die Matrix A heißt positiv semidetmit, falls (~ ,A~) ~ 0

für alle ~ ERn.

c) Die Matrix A heißt negativ definit (bzw. negativ semidefinit), falls die Matrix -A positiv definit (bzw. positiv semidefinit) ist. d) Die Matrix A heißt indefinit, falls es Vektoren ~, Tl E IR. n gibt, so dass

>0

(~,A~)

und

(Tl,ATl)

< o.

Bemerkung. Bekanntlich gibt es zu jeder symmetrischen n x n-Matrix A E M(n x n, R) eine Orthononnalbasis VI, .. . , V n E Rn von Eigenvektoren: AVi

= cxjVj,

(Vi,Vj)=Öij

Die Eigenwerte CXi sind alle reell. Entwickelt man einen Vektor ~ E Rn bezüglich dieser Orthogonalbasis, n

~ = LAiVi i=1

so wird

(~,A~)

n

=

L CXiAf·

i=1

I. Differentialrechnung im JRn

84

Damit erkennt man : A ist genau dann positiv (negativ) definit, falls alle Eigenwerte von A positiv (negativ) sind. A ist genau dann positiv (negativ) semidefinit, wenn al1e Eigenwerte ~ 0 (bzw. ::;; 0) sind. A ist genau dann indefinit, wenn A mindestens einen positiven und einen negativen Eigenwert besitzt. Falls die Eigenwerte bekannt sind, ist es also einfach zu entscheiden, ob die Matrix positiv definit (bzw. negativ definit, usw.) ist. Für n ~ 3 ist es aber im Allgemeinen schwierig, die Eigenwerte einer n-reihigen Matrix zu berechnen . Wir geben deshalb ohne Beweis noch ein einfaches Kriterium von JacobiJHurwitz für die positive Definitheit einer symmetrischen Matrix an. (Ein Beweis findet sich z.B. in [1], Abschnitt 5.7.7) Satz (Determinanten-Kriterium für Definitheit). Sei a ll

A=: (

.. .

anl

aln)

:

a nn

eine reelle symmetrische n fiir k = I, .. . , n gilt a ll

EM(nxn,JR)

.. .

det: ( akl

x n-Matrix. A ist genau dann positiv definit, wenn

alk) : > O. akk

Beispielsweise ist die 3 x 3-Matrix

A:=

(~: ~~ ~~) Cl

C2

c3

genau dann positiv definit, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind: (i)

al

> 0,

(ii)

al b2 -

a2bl

> 0,

(iii) detA

> o.

Satz 4 (hinreichende Bedingung für lokales Extremum), Sei U C JRn offen, f: U ---7 JR eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und x E U ein Punkt mit gradf(x) = O. a) Ist (Hess f) (x) positiv definit, so besitzt f in x ein striktes lokales Minimum.

b) Ist (Hess f) (x) negativ definit, so besitzt f in x ein striktes lokales Maximum.

§ 7 Taylor-Fonnel. Lokale Extrema

85

c) Ist (Hess f) (x) indefinit, so besitzt f in x kein lokales Extremum.

Beweis. Sei A := (Hessf) (x). Nach Corollar 2 zu Satz 2 gilt in einer Umgebungvonx f(x+~) =f(x)+!(~,A~)+cp(~)

(1)

mit cp(~) = 0(11~112). Es gibt also zu jedem E> 0 ein Ö > 0, so dass

Icp@1 ~ EII~112

für II~II

< Ö.

a) Sei jetzt vorausgesetzt, dass A = (Hessf) (x) positiv definit ist. Sei

S:= gERn : II~II = I} die Sphäre vom Radius 1. Da S kompakt ist, nimmt die stetige Funktion ~ ...... (~,A~)

auf S ihr Minimum an. Da (~,A~)

> 0 für alle ~ E S, ist

a := min{ (~,A~) : ~ E S} > O. Behauptung.

(~,A~) ;::: all~112

für alle ~ E Rn

(2)

Für II~II = 1 ist das trivial. Der allgemeine Fall wird darauf zurückgeführt, indem man den Vektor ~ schreibt als

~ = A1;*

mit A. = II~II und II~* 1

= 1.

Wir wählen jetzt Ö > 0 so klein, dass

Icp(~) 1~ ~ 11~112

für

II~II < Ö.

Dann folgt aus (1) und (2)

f(x+~) ;::: f(x) + ~ 11~112, also f(x +~) Minimum.

> f(x) für 0 <

II~II

< Ö. Daher hat f in x ein striktes lokales

b) IstA = (Hess f) (x) negativ definit, so betrachte man anstelle von f die Funktion -fund man ist auf den Fall a) zurückgeführt. c) Sei A = (Hess f) (x) indefinit. Es ist zu zeigen, dass in jeder Umgebung von

86

I. Differentialrechnung im

)Rn

x Punkte ;I ,;I' existieren mit

f(y") < f(x) < f(y')· Da A indefinit ist, gibt es mindestens einen Vektor ~ E )Rn

<,

0 mit

(~,A~) =: Cl > O.

Dann ist nach (1) für kleine reelle Zahlen t

f(x+t~) = f(x) + !(t~,At~) +cp(t~) = f(x) + ~t2 + cp(t~) . Es gibt ein Ö > 0, so dass Icp(t~)1 ~ f(x+t~)

> f(x)

für

Ebenso zeigt man: Ist 1'] genügend kleine t "# 0

f(x+t1']) < f(x) ,

%t

2

für [r]

< ö, also

0< Itl < ö.

E )Rn

,,0 ein Vektor mit (1'],A1'])

< 0,

so gilt für

q.e.d.

Beispiele Wir geben einige typische Beispiele für das Auftreten bzw. Nichtauftreten von lokalen Extrema. Dabei betrachten wir Funktionen

f:)R2

-----7)R,

(x,y) ~ f(x,y)

zweier Veränderlichen, die wir, um Indizes zu sparen, mit (x,y) statt (X\,X2) bezeichnen. (7.1) Sei f(x,y) := c+x2 +y.

Die Funktion hat im Nullpunkt ein striktes lokales Minimum, da gradf(x) = (0,0) und die Hessesehe Matrix Hessf=

G~)

positiv definit ist. (Die Funktion f hat im Nullpunkt sogar ein globales Minimum, wie man direkt sieht.) Der Graph von f,

rf= {(x,y,z)

E)R3

:z=c+~+y}

ist ein nach oben geöffnetes Paraboloid, wenn man sich die z-Achse nach oben gerichtet denkt (Bild 7.1).

(7.2) Seig(x,y):= c-x2 -y.

87

§ 7 Taylor-Fonnel. Lokale Extrema z

z

x

Bild 7.1 Paraboloid

Bild 7.2 Sattelfiäche

Hier liegt im Nullpunkt ein striktes Maximum vor; die Hessesehe Matrix Hessg=

(-~ _~)

ist negativ definit. Der Graph von g,

r g = {(x,y,z) E 1R3 :z= c-:l- -y} ist ein nach unten geöffnetes Paraboloid. (7.3) Sei h(x,y) := c+:l-

-y.

Der Gradient von h, gradh = (2x, -2y)

0 -n·

verschwindet im Nullpunkt. Es ist Hessh=

Die Hessesehe Matrix ist also indefinit, es liegt deshalb weder ein lokales Maximum noch Minimum vor. Der Graph von h, rh

= {(x,y,z) E 1R3 :z = c+:l- -y}

88

I. Differentialrechnung im JRn

ist eine sog. Sattelfläche (Bild 7.2). Längs der x-Achse (y = 0) steigen die Werte von h vom Nullpunkt aus an, längs der y-Achse (x = 0) fallen sie ab. (7.4) Ist die Hessesehe Matrix in einer Nullstelle des Gradienten semidefinit, so lassen sich keine allgemeinen Aussagen machen, wie folgende Beispiele zeigen:

fi(x,y) := ~+y4, h(x,y) :=~ , h(x,y) := ~+y. Für alle drei Funktionen verschwindet der Gradient im Nullpunkt und es gilt (Hess/k)(O) =

G~) ,

k= 1,2 ,3 ,

die Hessesehe Matrix ist also positiv semidefinit. Die drei Funktionen zeigen aber verschiedenes Verhalten: a) Die Funktion I1 hat im Nullpunkt ein striktes lokales Minimum. b) Die Funktion h hat im Nullpunkt ein lokales Minimum, das aber nicht strikt ist (denn in allen Punkten der y-Achse hat h denselben Wert wie im Nullpunkt). c) Die Funktion h hat im Nullpunkt weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum. AUFGABEN 7.1. Man bestimme die Taylor-Entwicklung der Funktion

I: JR~ x JR~ ----> JR,

x-y I(x,y):= - - , x+y

im Punkt (1, 1) bis einschließlich den Gliedern 2. Ordnung 7.2. Man bestimme die lokalen Extrema der Funktion

I:JR2---->JR,

l(x,y):=(4~+y2)e-x2-4Y .

7.3. Sei P: JRn ----> JR das folgende homogene Polynom k-ten Grades: P(x) = caxa, <x'=(<x'I, ... ,<X.n)ENn, x= (XI, . ..,Xn ) EJRn.

L

lal=k

Man beweise:

§ 7 Taylor-Fonnel. Lokale Extrema

89

a) Ist ß E Nn ein n-tupel mit IßI = k, so gilt Dßp(x) = ß!cß. b) Gilt P(x) = 0 für alle x aus einer gewissen Umgebung des Nullpunkts, so folgt Ca = 0 für alle a E N n mit lai = k. c) Es giltP(x) = o(llxll m ) für alle m < k. d) GiltP(x) = o(llxll k), so folgtP(x) = 0 für alle x E JRn. 7.4. Sei U c JRn offen, f :U -> JR eine Funktion und xE U ein Punkt. In einer Umgebung von x gelte

f(x+~) =

L

ca~a+cp(~)

L

ca~a + cj>@

lal=S;;k

und

f(x +~) =

lal=S;;k

mit cp(~) = o(II~llk) und ijl(~) = o(II~llk). Man zeige, dass Ca = Ca für alle a E Nn mit lai::;; k.

7.5. Sei U eine offene Teilmenge des JRn und ct(U) die Menge aller k-mal stetig differenzierbaren Funktionen f: U -> JR, für die Daf beschränkt in U ist für alle a E Nn mit lai::;; k. Für f E ct(U) werde definiert Ilfllk:=

I -sup{IDaf(x)1 :XEU}. al lal=S;;k

L

Man beweise: a) Die Abbildung II Ilk: ct(U) -> JR,

ff-> Ilfllk,

ist eine Norm auf dem Vektorraum ct(U). b) Für f,g E ct(U) gilt Ilfgllk::;; Ilfllkllgllk. c) Der normierte Vektorraum ct(U) ist vollständig.

90

§ 8 Implizite Funktionen Auf einer Teilmenge U C R2 sei eine Funktion F:U -+ R, (x,y) >-+ F(x,y), gegeben. Unter gewissen Voraussetzungen gibt es zu jedem x-Wert aus einem geeigneten Intervalll c R genau ein y, so dass (x,y) E U und F(x,y) = O. Dadurch wird dann eine Funktion y = g(x) bestimmt, für die F(x,g(x)) = 0 für alle x E I. Man sagt in diesem Fall, die Funktion g werde durch die Gleichung F(x,y) = 0 implizit definiert. In diesem Paragraphen beschäftigen wir uns genauer mit den Bedingungen für die Existenz und Differenzierbarkeit impliziter Funktionen. Als Anwendung davon untersuchen wir die Umkehrung von differenzierbaren Abbildungen.

Eine Anwendung der Kettenregel Die Kettenregel für die Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlichen kann dazu dienen, in manchen Fällen die Ableitung einer Funktion einer Veränderlichen einfach auszurechnen. Betrachten wir etwa die folgende Situation: Sei U C IR2 offen und

F:U ----+ IR,

(x,y) ~ F(x,y)

eine differenzierbare Funktion. Außerdem sei eine differenzierbare Funktion einer Veränderlichen

g:l----+ IR,

x ~ g(x),

auf einem Intervall I C IR vorgegeben. Der Graph von g sei in U enthalten und es gelte

F(x,g(x)) = 0 fiir alle x EI. Differenzieren wir diese Gleichung nach x mit Hilfe der Kettenregel, so ergibt sich

D1F(X,g(X)) + D2F(x,g(x))g(x) = O. Unter der Voraussetzung, dass D2F(x,g(x)) i- 0, gilt also

g(x) =

D1 F(X,g(x)) D2F(x,g(x))

O. Forster, Analysis 2, DOI 10.1007/978-3-8348-8103-8_8, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

§ 8 Implizite Funktionen

91

Beispiele (8.1) Auf dem Intervall -a < x < a betrachten wir die Funktion

g(x):=

Va 2 - x2 .

Es gilt g(x) 2 = a2 -xl, also

xl+g(x? _a2 = 0 Mit den obigen Bezeichnungen ist also hier F(x,y) = tiation von (*) nach x ergibt

x2

+ 1-

(*) a2 •

Differen-

2x+2g(x)g(x) = 0, d.h.

x -x g(x) = - g(x) = ~ .

(8.2) Es sei g : ]0, 1[ --> IR die Funktion

g(x) := arcsin Vl-x3 . Setzen wir zur Abkürzungy = g(x), so ergibt sich siny=

Vl-x 3

und weiter

sin2y+x3 -1 = O. Durch Differentiation nach x erhält man 2 (siny)(cosy)y' +3~

= O.

Da aus 0 <x< 1 folgt 0 < Vl-x 3 < 1, gilt 0 O. Daraus folgt

cosy =

+V

1- sin 2y =

H

= xVi,

also

-3xl

y' =g(x) = 2sinycosy

-3x

Natürlich kann man dies auch direkt nachrechnen, aber die vorgeführte Rech nung erspart einem zumindest, dass man die Ableitung von arcsin auswendig kennen muss.

92

I. Differentialrechnung im )Rn

Satz 1 (Banachscher Fixpunktsatz). Sei A eine abgeschlossene Teilmenge eines Banachraums, d.h. eines vollständigen normierten Vektorraums (V, 11 11). Die Abbildung cI>:A -> A sei eine Kontraktion, d.h. es gebe eine Konstante S mit 0< S < 1, so dass

11cI>(f) - cI>(g) 11 ~ Sllf- gll für alle f,g E A. besitzt cI> genau einen Fixpunkt, d.h. es gibt ein

Dann Element f* E A mit

eindeutig bestimmtes

cI>(f*) = f* · Für einen beliebigen Anfangswert fo E A konvergiert die durch fk := cI>(fk-l) rekursiv definierte Folge (fÜkEN gegen den Fixpunkt f.;

Beweis. a) Zur Eindeutigkeit. Seien f*,g* E A zwei Fixpunkte von gilt

<1>. Dann

Ilf*- g*1I = 11<1>(f*) - <1>(g*) 11~ 911f* - g*lI , woraus folgt Ilf*- g; 11 = 0, d.h, f; = g*. b) Zur Existenz. Sei fo E A beliebig und fk := cI>(fk-l) für alle k;;::: 1. Es gilt

Ilfk+1 -

fkll =

11cI>(!k) - cI>(!k-I) 11

~ Sllfk- fk-III ~ S211fk_1 - fk-211 ~ ... ~ Skllfl - foll =: Skc.

Daraus folgt für m > k

Ilfm -

fkll =

11

m-I

m-I

m-I

l=k

l=k

I=k

Sk

L (Ji+1 - .MII ~ ~ Ilfi+1 - fill ~ L Sie ~ I_CS '

Dies zeigt, dass die Folge (fk)kEN eine Cauchy-Folge in V ist, also wegen der Vollständigkeit von V gegen ein Element f; E V konvergiert. Weil A abgeschlossen ist, liegt f; sogar in A. Aus der Gleichung

!k+1 = cI>(fk) folgt durch Grenzübergang k -> 00 f* = cI>(f*),

q.e.d.

Zum Beweis des nächsten Satzes werden wir den Banachsehen Fixpunktsatz anwenden auf den Vektorraum CI, (U, )Rm) aller beschränkten stetigen Funktio-

§ 8 Implizite Funktionen

93

nen I:V ---+ JRm auf einer Teilmenge V C JRk, versehen mit der SupremumsNorm IIIII := sup{ll/(x)II : x E V}. Eine Cauchyfolge bzgl. dieser Norm konvergiert gleichmäßig auf V . Nach §2, Satz 10, ist die Grenzfunktion wieder stetig, besitzt also einen Limes in Cb(V,JRm). Daher ist Cb(V,JRm) ein Banachraum. Satz 2 (über implizite Funktionen) . Seien VI C JRk und V2 C JRm offene Teilmengen und F: VI x V2 ~ JRm, (x,y) H F(x,y), eine stetig differenzierbare Abbildung. Sei (a,b) E VI

X

V2 ein Punkt mit

F(a,b) = O. Die m

x m-Matrix CJF CJ(FI, CJy := O(YI ,

,Fm) Ym) :=

(

~~

~~J

CJFm CJYI

CJFm dym

sei im Punkt (a,b) invertierbar. Dann gibt es eine offene Vmgebung VI C VI von a, eine Umgebung V2 C V2 von b sowie eine stetig differenzierbare Abbildung g: VI ---+ V2 C JRm mit g( a) = b, so dass F(x,g(x)) Ist (x,y) E VI

X

=0

für alle x E VI.

V2 ein Punkt mit F(x,y)

= 0, so folgt y = g(x).

Bemerkungen 1) Der einfachste (aber schon nicht-triviale) Fall istk= m = 1. Dann ist ~ die gewöhnliche partielle Ableitung. Der Leserin sei empfohlen , beim ersten Studium des Satzes an diesen Fall zu denken. 2) Man sagt, die Abbildung g entstehe durch Auflösen der Gleichung F(x,y) =0

nach y. Für die Gültigkeit des Satzes ist wesentlich, dass VI und V2 verkleinert werden; in ganz VI x V2 könnte es zu einem gegebenen x meh-

94

I. Differentialrechnung im JRn rere y-Werte (oder auch gar keinen) geben, die der Gleichung F(x,y) genügen, vgl. Bild 8.1

Bild 8.1

=0

Y

VI X V2

b -- --------- ----

x

a 3) Ist

~ invertierbar im Punkt (a,b), so ist es auch invertierbar in einer ge-

wissen Umgebung von (a, b). Dies sieht man so: Die Funktion

ö(x,y) := det

(~ (X,y))

ist stetig in Ul x U2, da sie ein Polynom in den stetigen Funktionen aFf/aYj ist. Da ö(a,b) =I 0, gilt auch ö(x,y) =I 0 für alle (x,y), die nahe genug bei (a,b) liegen. 4) Differenziert man die i-te Komponente der Gleichung F(x,g(x)) = 0 partiell nach Xj, so erhält man mit der Kettenregel (§ 6, Corollar zu Satz 3)

i.==- l , ( J - 1, oder in Matrizen-Schreibweise

aF aF ag ax (x,g(x)) + ay (x,g(x)) ax (x) = 0 mit den Abkürzungen

aF a(Fl, ax = a(Xl,

,Fm )

aF a(Fl, ay = a(Yl,

,Fm )

,Xk)

,Ym)

= =

('OFf) aXj

('OFf) aYIl

\~~~~'

f~~':.'

,m) , ,k

§ 8 Implizite Funktionen

og O(gl' ox = O(XI, Ist die Matrix

95

,gm) (Ogp) ,Xk) = OXj \~~k

~ im Punkt (x,g(x)) invertierbar, erhält man für die Funk-

tional-Matrix der Abbildung g

og OX (x) = -

(

oF oy (x,g(x)) )

- 1

oF ox (x,g(x)).

Beweis von Satz 2. Wir gehen in mehreren Schritten vor. a) Vorbereitungen. O.B.d.A. sei (a,b) = (0,0). Wir setzen

oF B:= oy (0,0) E GL(m,lR) und definieren die Abbildung G: UI x U2

-->

lRm durch

G(x,y) :=y-B-1F(x,y) (1) 1 Da ~(x,y) = 11. -B- ~(x,y), wobei 11. diem-reihige Einheitsmatrix bezeichnet, folgt

oG oy (0,0) = O. Da alle Komponenten der Matrix ~; stetige Funktionen sind, gibt es Nullumgebungen WI C UI und W2 c U2, so dass 11

~~ (x,y) ~ ~

für alle (x,y)

11

E

WI

X

W2

(2)

Wir wählen ein r > 0, so dass

V2:= {y E lRm

:

Ilyll ~ r} C W2·

Da G(O, 0) = 0, gibt es eine offene Nullumgebung VI c WI, so dass

sUPIIG(x,O)11 =:E~ ~

XEVi

Aus der Definition (1) folgt

F(x,y) = 0

~

y = G(x,y),

(3)

96

I. Differentialrechnung im JRn

wir haben also die Lösung der Gleichung F(x,y) = 0 in ein Fixpunkt-Problem verwandelt. Aus der Abschätzung (2) folgt für alle x E VI und y,,, E ~

IIG(x,y) - G(x,,,) II ~ !lly-,,11

(4)

Setzt man " = 0, so ergibt sich zusammen mit (3) fiir alle x E VI Ilyll ~ r

===>

(5)

IIG(x,y)11 ~ r

b) Für jedes feste x E Vi ist die Abbildung V2 3 Y f-t G(x,y) E JRm

wegen (5) eine Abbildung der abgeschlossenen Kugel V2 C JRm in sich, die nach (4) eine Kontraktionist, also nach dem BanachsehenFixpunktsatzgenau einen Fixpunkt hat. Es gibt also zu jedem x E VI genau ein y = g(x) E V2, so dass G(x,y) = y, d.h. F(x,g(x)) = O. c) Wir zeigenjetzt, dass die in b) konstruierteAbbildungg: VI - t V2 sogar stetig ist. Dazu wenden wir den Banachsehen Fixpunktsatz auf den Banachraum Q,(VI,JRm) aller stetigen und beschränktenAbbildungen lp: VI - t JRm an. Falls Illpll := sup{lllp(x)II :x E VI} ~ r, so gilt fiir die durch VI

x f-t 'II(x) := G(x, lp(x))

JRm definierte stetige Abbildung '11: VI - t IRm nach (5) ebenfalls 11'1111 ~ r, die Zuordnung lp f-t '11 liefert also eine Abbildung der abgeschlossenenTeilmenge 3

E

A:= {lp E Cb(VI,lRm ) : Illpll ~ r} = {lp E Cb(VI,lRm ) : lp(VI)

c V2}

in sich. Aus (4) folgt fiir lpl,lp2 E A II(lpl) - <1>( lp2) II = sup II G(x, lpl(x)) - G(x, lp2(x))ll xE VI

~ ! SUp Illpt(x) -lp2(x)11 =! IIlpl -lp2I1 , xE VI

die Abbildung :A - t A ist also eine Kontraktion und besitzt deshalb genau einen Fixpunktg EA C Cb(Vt,JRm). Diese stetige Abbildungg: VI - t V2 erfiillt G(x,g(x)) = g(x), d.h.

F(x,g(x)) = 0 fiir alle x E VI und stimmt natürlich wegen der Eindeutigkeit mit der in b) konstruiertenAbbildung überein.

§ 8 Implizite Funktionen

97

d) Nach evtl. Verkleinerung von VI können wir annehmen, dass die Matrix ~ in jedem Punkt (x,g(x)), x E VI, invertierbar ist. Wir zeigen jetzt, dass die Abbildung g : VI ---+ IRm differenzierbar ist. An der in Bemerkung 4) angegebenen Formel fiir die Funktionalmatrix von g sieht man dann, dass g sogar stetig differenzierbar ist.

°

Es genügt, den Beweis der Differenzierbarkeit von g im Nullpunkt E VI C IRk durchzuführen (fiir die anderen Punkte geht der Beweis analog). Wir setzen

oF A := ox(O,O)EM(mxk,IR), oF

B:= oy (0,0) E GL(m, IR). Aus der Definition der Differenzierbarkeit von F im Punkt (0, 0) folgt

F(x,y) = Ax+By+q>(x,y) mitq>(x,y) = 0(11 (x,y) 11)· Es giltF(x,g(x)) =

°

fiir alle x E VI, d.h.

g(x) = -B-1Ax-B-Iq>(x,g(x))

(6)

Für die Differenzierbarkeit von g im Nullpunkt ist also nur zu beweisen, dass

",(x) := -B-Iq>(x,g(x)) = o(llxll) Dazu zeigen wir zunächst: Es gibt eine Umgebung V{ C VI von Konstante K > 0, so dass Ilg(x)II :;:;Kllxll

(7)

°

und eine

fiirallexE V{

(8)

Beweis hierfür. Wir setzen

CI := IIB-IAII,

C2:=

IIB-III·

Wegen q>(x,y) = 0(11 (x,y)ll) gibt es zu E := 2~2 eine Umgebung V' C VI von (0,0), so dass

1

11q>(x,y) II :;:; Eil (x,y) II :;:; -2 (Ilxii + Ilyll) C2

X

V2

fiir alle (x,y) E V'.

Wegen der Stetigkeit von g gibt es eine Nullumgebung V{ C VI , so dass der Graph von g I V{ ganz in V' enthalten ist. Dann gilt fiir alle x E V{

1

II q>(x,g(x)) II :;:; -2 (Ilxii + Ilg(x)11) C2

98

I. Differentialrechnung im JRn

Die Gleichung (6) liefert nun

Ilg(x)II ~ clllxli +c211
Ilg(x) I ~ (2cI + I) [x] =: Kllxll·

Damit ist (8) bewiesen. Mit (8) ergibt sich für x


~

°

0(11 (x,g(x)) 11) = o(llxll + Ilg(x) 11) = o(llxll),

woraus die Beziehung (7) folgt . Damit ist Satz 2 vollständig bewiesen.

Höhenlinien Sei U C JR2 eine offene Menge und

f : U ~ JR,

(x,y)

f-t

f(x ,y) ,

eine stetig differenzierbare Funktion. In § 5 haben wir die "Höhenlinien"

Nf(c):= {(x,y) EU : f(x,y) = cl,

cE

JR,

definiert. Wir wollen jetzt zeigen, wie man die Höhenlinien in der Umgebung eines Punktes, in dem gradf nicht verschwindet, genauer beschreiben kann. Sei also (a,b) E U,f(a,b) =: c und

(gradf)(a,b) # (0,0), d.h. ~(a,b)

#

°

oder ~(a,b)

#

°

(oder beides). Wir wenden auf F(x,y) :=

f(x,y) - c den Satz 2 an, wobei wir im Fall ~

vertauschen haben. Es ergibt sich: a) Falls

#

°

die Rollen von x und y zu

~ (a,b) # 0, existieren offene Intervalle h ,h C JR mit

(a,b) Eh xh

C

U

und eine stetig differenzierbare Funktion
Nf(c) n (h x h) = ((x ,y) EIl b) Falls

X

Iz :y =
~ (a,b) # 0, existieren offene Intervalle JI ,h c JR mit

(a,b) EJI < Jz C U

99

§ 8 Implizite Funktionen und eine stetig differenzierbare Funktion 'l':h ---+ JI so dass

Nf(c) n (JI x h) = ((x,y) E JI

X J2

: x = 'l'(y)}.

Die Höhenlinien lassen sich also in der Umgebung eines Punktes, in dem der Gradient nicht verschwindet, stets als Graph einer Funktion darstellen; entweder y als Funktion von x oder x als Funktion von y, siehe Bild 8.2

y

u

-----1-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-----,-,x ..

Bild 8.2

(8.3) Beispiel. Betrachten wir die Funktion f:R 2 ---+R,

f(x,y) :=~+Y.

Es gilt gradf(x,y)

= (2x,2y),

d.h. der Gradient verschwindet nur für (x,y) = (0,0). Die durch den Nullpunkt gehende "Höhenlinie"

Nf(O)

= {(x,y)

E

R2 : ~ +Y = O} = {(O,O)}

besteht nur aus einem Punkt, ist also keine Linie im eigentlichen Sinn. Für c < 0 ist Nf( c) leer, während für c > 0 die Menge Nf( c) einen Kreis um den darstellt und sich als Vereinigung der folgenden vier Nullpunkt mit Radius Graphen darstellen lässt:

vc

rl:= {(X,y)ER2:-VC<x
I. Differentialrechnung im IRn

100

r3 := {(x ,y) E IR2 : -y'C
r4:= {(X,Y)EIR2 :-y'C
I i U:

~U2

eine stetig differenzierbare Abbildung. Wir interessieren uns jetzt für die Frage, wann die Abbildung bijektiv ist und eine stetig differenzierbare Umkehrabbildung g: U2 ---t U! besitzt. Eine notwendige Bedingung dafür ist leicht abzuleiten: Sei a E U! und b := f(a) E U2. Aus der Beziehunggof= idul folgt mit Hilfe der Kettenregel

Dg(b)Df(a) = 11., da die Funktionalmatrix der identischen Abbildung die Einheitsmatrix 11. ist. Die Funktionalmatrix Df(a) muss also invertierbar sein . Der nächste Satz zeigt, dass diese Bedingung für die Umkehrbarkeit auch hinreichend ist, wenn man eine Verkleinerung von U! und U2 erlaubt.

Satz 3 (über die Umkehrabbildung). Sei U C

]Rn

offen und

f:U~]Rn

eine stetig differenzierbare Abbildung. Sei a E U und b := f(a) . Die JacobiMatrix D f( a) sei invertierbar. Dann gibt es eine offene Umgebung U0 c U von a und eine offene Umgebung Vo von b, so dass f die Menge Uo bijektiv aufVo abbildet und die Umkehrabbildung g=j! :Vo~Uo stetig differenzierbar ist. Es gilt Dg( b) = (D f( a) ) -1.

Beweis. Wir führen diesen Satz auf den Satz über implizite Funktionen zurück und definieren dazu die Funktion F

:]Rn X

U

~]Rn,

(X,y)

1---+

F(x,y) := X- f(y) .

Es giltF(b,a) = O. Da ~ (x,y) = -Df(y) und Df(a) invertierbar ist, können wir Satz 2 anwenden. Es gibt also eine offene Umgebung V, von b, eine Umgebung U ' c U von a und eine stetig differenzierbare Abbildung g: V' ---t U' mit folgenden Eigenschaften:

§ 8 Implizite Funktionen i)

101

°

=F(x,g(x)) =x- I(g(x)) , d.h. I(g(x)) =x fiirallex E V'.

ii) Ist (x,y) E V' x U' mit F(x,y) = 0, d.h. x = l(y), so folgt y = g(x). Aufgrund der Stetigkeit von I gibt es eine offene Umgebung Uo mit I(Uo) c V' . Wegen ii) gilt

c U' von a

Vo := l(Uo) = g-I (Uo) . Da g stetig ist, ist Vo eine offene Umgebung von b. Nach Konstruktion ist

I :UO -> Vo bijektiv mit der Umkehrung g, q.e.d,

Bezeichnung. Sind U, V C IRn offene Mengen und

I:U -> V eine bijektive stetig differenzierbare Abbildung, so dass die Umkehrabbildung

g:=rl:v->U ebenfalls stetig differenzierbar ist, so nennen wir I Cr-invettietber. Ist I sogar 2-mal stetig differenzierbar, so folgt aus der Formel

(Dg)(y) = ((Df) (g(y))) -I, dass alle Koeffizienten der Matrix Dg stetig differenzierbar sind, also g ebenfalls 2-mal stetig differenzierbar ist. Durch Induktion beweist man: Ist die e 1_ invertierbare Abbildung s-mal stetig differenzierbar (s ~ I), so auch ihre Umkehrabbildung. Eine solche Abbildung heißt eS-invertierbar. Dabei kann auch s = 00 sein, falls I und damit I-I beliebig oft stetig differenzierbar sind. Eine eS-invertierbare Abbildung f: U -> V nennt man auch Ditfeomorphismus der Klasse

es.

(8.4) Beispiel (ebene Polarkoordinaten). Wir betrachten die Abbildung

f: IR~ x IR -> IR2 ,

(r,q» ....... (rcosq>,rsinq».

Die Funktional-Matrix dieser Abbildung ist

D/(r ) = "iJ(ft,f2) = ,q> "iJ(rq» ,

Da det(DItr. q»)

(~ ~) iJh iJh iJr

= r > 0, ist DI(r, q»

iJcp

= (cosq> sinqi

-rSinq»

rcoso

.

in allen Punkten (r, q» E IR~ x IR inver-

I. Differentialrechnung im IRn

102

tierbar, die Abbildung f also lokal umkehrbar. Es gilt -rsincp) -1 = ( coscp sincp) (Df (r.,cp))-1 = (C?SCP -~ smcp rcoscp r r ~

Setzt man f(r,cp)

r=

.

= (x,y), so ist

vx2 +y2,

:: = r

coscp,

~ = sincp. r

Daher folgt

(Df(r,cp))-l =

(V;~:: ~;) =Dg(x,y),

wobei g eine lokale Umkehrung von f ist. In unserem Fall kann man eine solche Umkehrung explizit angeben. Sei etwa -1t/2 < cp < 1t/2. Dann folgt x > O. Setzt man

V:=

IR~ x ] -~, ~ [

und

V' =

IR~ x JR,

so sind V bzw. V, offene Umgebungen von (r, cp) bzw. (x,y) und die Abbildung f: V -> V' ist bijektiv mit der Umkehrung g : V' -> V,

g(~,ll) = (J~2+1l2,arctan~). Durch Berechnung der partiellen Ableitungen der beiden Komponenten von g kann man die oben abgeleitete Formel für die Funktional-Matrix von g direkt bestätigen.

___ _ "-, (x,y) ~=-

-,

-,

-, -,

\

rsincp

\

\

\

\

\

Bild 8.3 Ebene Polarkoordinaten

r

rcoscp

Die Abbildung j bildet R'[ x JR aufJR2 ,0 ab, sie ist aber nicht global injektiv,

103

§ 8 Implizite Funktionen da f(r, cp) = f(r, cp + 2krc) für alle k E Z. Ist f(r, cp) = (x,y), d.h,

x = rcoscp,

y = rsincp,

so heißen (r, cp) die Polarkoordinaten des Punktes (x,y). Dabei ist r = Jx 2 +y2 gleich dem Abstand des Punktes (x,y) vom Nullpunkt und cp der (bis auf ganzzahlige Vielfache von 2n eindeutig bestimmte) Winkel zwischen der x-Achse und dem Ortsvektor von (x,y), siehe Bild 8.3. AUFGABEN 8.1. Es sei F: lR2 ---+ lR2 die durch

F(x,y) := (x2 -y,2xy) definierte Abbildung. Man berechne die Funktional-Matrix von F und, wo sie existiert, ihre Inverse. Man zeige, dass F surjektiv ist und dass jeder Punkt (x,y) E lR2 , (x,y) =1= (0,0), genau zwei Urbildpunkte besitzt. 8.2. Man diskutiere die Höhenlinien der Funktion y F : lR+ x lR+ ---+ R, (x,y) f-+ xye-x und untersuche insbesondere, in welchen Rechtecken I x J Mengen

c lR+ ---+ lRsich die

{(x,y) ElxJ:F(x,y) =c} sich in der Form

((x,y)

E

I x J: y = cp(x)}

((x,y)

E

I x J: x = ",(y)}

bzw.

mit differenzierbaren Funktionen cp: I ---+ J bzw. "': J ---+ I darstellen lassen. 8.3. Sei F : lR3 ---+ lRdie Funktion

F(x,y,z) :=} +2xy-4xz+2y-1. Man zeige, dass durchF(x,y,z) = 0 in einer Umgebung U von (x,y) = (1,1) eine differenzierbare Funktion z = cp(x,y) mit cp( 1,1) = 1 implizit definiert ist und berechne die partiellen Ableitungen ~ und ~ im Punkt (1, 1).

104

§ 9 Untermannigfaltigkeiten In der Differentialrechnung mehrerer Veränderlichen sind die k-dimensionalen Untennannigfaltigkeiten des IR" das krummlinige Analogon der k-dimensionalen affinen Unterräume in der Linearen Algebra. Lokal kann eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit im Rn entweder durch eine Parameterdarstellung mit k reellen Parametern beschrieben werden oder als Nullstellengebilde von n - k unabhängigen differenzierbaren Funktionen. In diesem Paragraphen besprechen wir auch Tangential- und Normalen-Vektoren an Untermannigfaltigkeiten und leiten die Methode der Lagrangesehen Multiplikatoren zur Bestimmung von Extrema unter Nebenbedingungen her.

Definition (Immersion). Sei T C IRk eine offene Teilmenge . Eine stetig differenzierbare Abbildung

cp: T _IRn ,

(tI, ... ,tk) - CP(t1 , .. . ,tk),

heißt Immersion, wenn der Rang der Funktional-Matrix

Dcp= a(CP1 '''',CPn) '= (aCPi) = a(t1, ... , tk)' atj :~5~t

(

~ ~ ~ ~

:

~

atl

iJ
in jedem Punkt tE T gleich k ist.

Bemerkungen. 1) Die Funktional-Matrix Dcp ist eine n x k-Matrix . Wenn der Rang gleich k sein soll, ist notwendig n ;;:: k. 2) Die Bedingung Rang(Dcp)(t) = k ist gleichbedeutend damit, dass die Vektoren acp acp n ---a(t)""'---a (t) E IR

t1

tk

linear unabhängig sind. 3) Aus der Linearen Algebra ist ferner folgendes Determinanten-Kriterium bekannt: Rang(Dcp)(t) = k gilt genau dann, wenn Indizes

O. Forster, Analysis 2, DOI 10.1007/978-3-8348-8103-8_9, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

§ 9 Untennannigfaltigkeiten

105

existieren, so dass det a(
a(tl"" ,tk)

Da diese Determinante eine stetige Funktion von t ist, folgt daraus: Ist der Rang von Dqi in einem Punkt t; E T gleich k, so auch in allen Punkten t einer kleinen Umgebung von t*.

4) Sei speziell k = 1 und T c IRI ein offenes Intervall. In diesem Fall ist eine Immersion IRn nichts anderes als eine nicht-singuläre Kurve, vgl. die Definition in § 4.

5) Ist k = n, also T offen in IRn, so ist eine Immersion cp : T ---> IRn nach dem Satz über die Umkehrabbildung (§ 8, Satz 3) eine lokal umkehrbare Abbildung .

Satz 1. Sei T C IRk offen und IRn eine Immersion. Dann gibt es zujedem Punkt t E T eine offene UmgebungV C T, so dass die Beschränkung

a(
cp := (
,
----+

IRk

können wir jetzt den Satz über die Umkehrabbildung anwenden. Es gibt also eine offene Umgebung V C T von t; und eine offene Umgebung U C IR k von cp(t*), so dass

cp: V ----+ U

I. Differentialrechnung im IR"

106

bijektiv ist und eine stetig differenzierbare Umkehrabbildung

\jI : U _

V C IRk

besitzt. Die Beschränkung von cp auf V lässt sich schreiben als

cp = (cj>,ij» : V --t U x IR,,-k C IR" mit ij>:= (CP,Ht, . .. ,cp,,). Da ij>: V --t U bijektiv ist, ist auch cp: V --t cp(V) C U x IR ,,-k bijektiv und sogar ein Homöomorphismus, denn es besitzt die stetige Umkehrabbildung

\jf: cp(V) -

V,

\jf(XI, ... ,Xk, ...x,,) := \jI(XI, ... ,Xk).

Damit ist Satz I bewiesen. Definition (Untermannigfaltigkeit). Eine Teihnenge Me IR" heißt k-dimensionale Untermannigfaltigkeit von IR", wenn es zu jedem Punkt a E Meine offene Umgebung U C IR" gibt, sowie eine offene Teihnenge T C IRk und eine Immersion

cp: T _IR", so dass cp die Menge T homöomorph auf cp( T) = Mn U abbildet, siehe Bild 9.1. Rn

Bild 9.1 Man nennt dann

cp:T-Mnu

u

§ 9 Untennannigfaltigkeiten

107

eine Parameterdarstellung oder lokales Koordinatensystem der Untermannigfaltigkeit M in einer Umgebung von a. Ist (tl, . .. ,tk) E T und p :=

q>(tl, ... ,tk),

so heißen tl , . .. ,tk die lokalen Koordinaten des Punktes pE M (bzgl. q». Die Zahl n - k heißt die Codimension der Untennannigfaltigkeit. Untermannigfaltigkeiten der Codimension 1 nennt man auch Hyperfiächen . Beispiel (9.1) Rotationsflächen. Sei I C R ein offenes Intervall und

u : I ---+ R 2 ,

t f-+ a(t) = (a) (t),a2(t))

eine stetig differenzierbare ebene Kurve, die wir uns in der (x,z)-Ebene des R3 mit Koordinaten x,y,z vorstellen, d.h. x(t) = a) (t), z(t) = a2(t). Wir setzen außerdem voraus, dass die Kurve regulär ist, d.h. a'(t) =I (0,0) für alle t e I . Wird die Kurve um die z-Achse rotiert, so entsteht eine Fläche mit der Parameterdarstellung

Für die Funktionalmatrix von F ergibt sich

DF(t,q» =

a(F F F) (a~ (t) coso -al (t) sino ;( 2\ 3 = a~(t)sinq> al (t) cosq> t,q> a~(t) 0

.

Es ist leicht nachzuprüfen, dass DF(t,q» genau dann den Rang 2 hat, falls al (t) =I O. Falls also die gegebene Kurve a die z-Achse nicht schneidet, ist F eine Immersion und liefert eine Parameterdarstellung der Rotationsfläche . Wir geben zwei Beispiele. a) Die Sphäre vom Radius r

> 0 imR3.

Sie entsteht durch Rotation der Kreislinie R3t'tf-+

(x(t't)) = (rsint't) z(t't) r cos t't

I. Differentialrechnung im IRn

108

um die z-Achse. Die zugehörige Parameterdarstellung der Rotationsfläche ist

(~:::~::) .

('Ö,cp) f-tF('Ö,cp) =

rcos'Ö

Damit DF den Rang 2 hat, beschränken wir den Parameter 'Ö auf den Bereich 0< 'Ö< 1t. Dadurch wird nur der 'Nordpol' (O,O,r) und der 'Südpol' (0,0, -r) der Sphäre (die zu 'Ö = bzw. 'Ö = 1t gehören würden) ausgeschlossen. ('Ö,cp) sind die Polarkoordinaten auf der Sphäre. Der Parameter 'Ö heißt Poldistanz, der Parameter cp ist die 'geographische Länge' . Die 'geographische Breite' ß steht zu 'Öin der Beziehung ß= 1t/2 - 'Ö.

°

b) Der Torus. Sei R > r > 0. Der Torus mit Radien r,R entsteht durch Rotation der Kreislinie

IR:;) t f-t (x(t)) = z(t)

(R+~cost) rsmt

um die z-Achse. Da dieser Kreis die z-Achse nicht schneidet, ist

F :RxR-tR3 ,

(t,s)f-tF(t,s)=

COSS)

(R + rcost) (R+rc~st)sins ( rsmt

eine Immersion; das Bild F(R x R) ist der Torus. Natürlich ist F periodisch in beiden Variablen mit der Periode 21t. Man kann Untermannigfaltigkeiten des Rn auch aufandere Weise als durch Parameterdarstellungen beschreiben. Der folgende Satz beschreibt einige andere nützliche Möglichkeiten.

Satz 2. Eine Teilmenge M C Rn ist genau dann eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: a) (Beschreibung durch Gleichungen) Zu jedem Punkt a E M gibt es eine offene Umgebung U C Rn und n - k stetig differenzierbareFunktionen

Jj : U - t R,

j

= 1, ... , n -

k,

so dass

Mnu = {x E U :f1(x) = .. . = fn-k(x) = O}

§ 9 Untennannigfaltigkeiten

109

und

a(JI,'" ,f n- k) ( ) ) x =n-k fUralle xEMnU. xl, ... ,xn

Rang a(

b) (Darstellung als Graph) Zu jedem Punkt a E M gibt es nach evtl. Umnumerierung der Koordinaten offene Umgehungen U I C ]Rk von d := (al, .. . ,ak) und U II C ]Rn-k von c" := (ak+l, '" ,an) und eine stetig differenzierbare Abbildung g : U I -----+ U II C ]Rn- k

so dass Mn (U' x UII ) = {(x ,xlI ) E tr X tr

: XII = g(x)}.

c) (Transformation in Ebene) Zujedem Punkt a E M gibt es eine offene Umgebung U C ]Rn, eine offene Menge V C ]Rn und eine Cl-in vertierbare Abbildung <1>: U - V, so dass (MnU) =EknV. Dabei bezeichnet Ek C ]Rn die k-dimensionale Ebene Ek:= {x= (Xl, ... Xn) E]Rn :Xk+l = ... =Xn = O}.

Beweis. Wir bezeichnen mit (P) die Bedingung aus der Definition einer kdimensionalen Untennannigfaltigkeit: Zu jedem Punkt a E M existiert eine offene Umgebung U C ]Rn, sowie eine offene Teilmenge T C ]Rk und eine Immersion

so dass

= a.

Wir beweisen Satz 2 nach folgendem Schema:

(P) ===> (b) ===> (a) ===> (c) ===> (P)

= Mn U abbildet.

I. Differentialrechnung im !Rn

110 (P)

=> (b) Wir können o.B.d.A. annehmen, dass det o(CPI ,

O(tl ,

, CPk) (t*) ~ O. ,tk)

Nach dem Satz über die Umkehrabbildung bildet dann

Cj>:= (CPI,·· ·,CPk) eine Umgebung TI C T von t; bijektiv und Cl-invertierbar auf eine offene Teilmenge VI C !Rk ab. Sei \jI: VI - TI die Umkehrabbildung von
G := cpo\jl: VI _!Rn die Gestalt

Die Abbildung g := (gk+l, . .. ,gn): V' _lRn- k

hat dann für eine geeignete Verkleinerung V' C VI die in (b) geforderten Eigenschaften. (b)

=> (a)

Wird M in einer Umgebung von a als Graph der Funktion g =

(gk+ I , ... , gn) dargestellt, so ist M dort Lösungsmenge der n - k Gleichungen j= l , ... ,n-k.

Da

o(fI, .. . ,fn-k) O(Xk+b'" ,xn) die Einheitsmatrix ist, ist die Rangbedingung von (a) automatisch erfüllt. (a)

=> (c) Nach Umnumerierung der Koordinaten können wir annehmen, dass det o(fI, . .. ,fn-k) (a) ~ O.

O(Xk+b'",xn)

Dann ist auch die Funktionalmatrix

O(XI,'" ,xk,fI,··· ,fn-k) O(Xb '" ,xk,xk+I, . .. ,xn)

§ 9 Untennannigfaltigkeiten

111

in einer Umgebung von a invertierbar, also bildet

:= (XI, .. . ,xk,/l, . .. ,fn-k) eine Umgebung von a CI-invertierbar auf eine offene Menge in ]Rn ab. Das Nullstellengebilde von /l, ,fn-k wird dabei auf die Ebene

{(XI,.. . ,xn) : Xk+ I =

= Xn = O}

abgebildet. (c)

=> (P) Sei '11 : V - U die Umkehrabbildung von : U - V. Dann liefert (tl, . .. ,tk) t--+ CP(tl, . .. ,tk) := 'P(t), . . . ,tk, 0, ... ,0)

eine Parameter-Darstellung von M in einer Umgebung von a.

Tangential- und Normalenvektoren Unter einem Tangentialvektor an eine Untermannigfaltigkeit versteht man einen Tangentialvektor einer in der Untermannigfaltigkeit verlaufenden Kurve ; ein Normalenvektor ist ein Vektor, der auf der Untermannigfaltigkeit senkrecht steht. Dies lässt sich so präzisieren:

Definition. Sei M C ]Rn eine Untermannigfaltigkeit und a E M. Ein Vektor v E ]Rn heißt Tangentialvektor an M im Punkt a, wenn es eine stetig differenzierbare Kurve

a:]-E,E[ --+Mc]Rn,

(E>O)

gibt mit

a(O) = a und

a'(O)

= v,

siehe Bild 9.2. Die Gesamtheit aller Tangentialvektoren an M in a werde mit T a(M) bezeichnet. Ein Normalenvektor von M in a ist ein Vektor w E ]Rn, der auf allen Tangentialvektoren v E Ta(M) senkrecht steht (bzgl. der kanonischen euklidischen Metrik von R"). Die Menge aller Normalenvektoren von M in a werde mit Na(M) bezeichnet.

Satz 3. Sei M C ]Rn eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit und a E Mein Punkt. Dann gilt:

I. Differentialrechnung im !Rn

112

M

Bild 9.2 Tangentialvektor a) Ta(M) ist ein k-dimensionaler Vektorraum. Eine Basis von Ta(M) lässt sich so erhalten: Sei

ep : V

-----+

M C Rn

ein lokales Koordinatensystem von M in der Umgebung von a, d.h. V C Rk offen und ep eine Immersion, die V homöomorph auf Mn U abbildet, wobei U C Rn eine offene Umgebung von a ist. Sei t; E V der Punkt mit ep(t.) = a. Dann bilden die Vektoren

oep

oep

atl

atk

-=;- (t. ),. .. , -=;- (t. ) eine Basis von Ta(M).

b) Na(M) ist ein (n - k)-dimensionaler Vektorraum. Eine Basis von Na(M) lässt sich so erhalten: Seien I1 ,... ,fn-k : U -----+ R stetig differenzierbare Funktionen in einer offenen Umgebung U C Rn von a mit Mnu = {x EU: fi(x) = ... = In-k(x) = O}

und Rang

o(fi,··· ,fn-k) (a) = n - k. O(XI, ... ,xn )

Dann bilden die Vektoren gradjj(a),

j= 1,oo.,n-k,

eine Basis von Na(M).

§ 9 Untennannigfaltigkeiten

113

Beweis. Wir bezeichnen mit V den Vektorraum, der von den Vektoren

Clcp Clcp -Cl(t*),oo., -Cl(t*) tl

tk

aufgespannt wird und mit W den Vektorraum, der von den Vektoren gradf;(a),

j= 1,oo.,n-k,

aufgespannt wird und zeigen (a)

V C Ta(M),

(b)

W c Na(M).

Aus Dimensionsgründen folgt dann in (a) und (b) sogar Gleichheit. (a) Sei v E V, also v=

k

Clcp

L ci-Clti (t*) i=1

mit

Ci E lR.

Wir definieren die Kurve

a:] -e,e[ ---t Me lRn durch a(s) := cp(t* + (Cl, ... ,Ck)S), Dies ist definiert für [s] < e, wenn e > 0 genügend klein gewählt worden ist. Mit der Kettenregel folgt

da k Clcp -d (0) = LCi- (t*) = v E Ta(M). Clti S i=1 (b) Aufgrund seiner Definition ist Na(M) ein Vektorraum. Es genügt also zu beweisen, dass gradf;(a) E Na(M) für alle j. Dazu müssen wir zeigen, dass gradf;(a) aufjedem Tangentialvektor senkrecht steht. Sei also v E Ta(M) beliebig. Dann ist v = a'(0) mit einer ganz in M verlaufenden stetig differenzierbarenKurve a:] -e,e[ ---t M

mita(O)

= a.

Es giltf;(a(t)) = 0 für alle t E ]-e,e[. Differenziert man diese Beziehung nach

I. Differentialrechnung im IRn

114

t, erhält man n aJ:o = ~ a~ (a)ex;(O) = (grad/;(a) ,ex'(O)) = (grad/;(a), v)

also sind grad/;(a) und v orthogonal, q.e.d. Extrema mit Nebenbedingungen Satz 4. Sei U C IRn offen und M C U eine r-codimensionale Untermannigfaltigkett, M

= {x

EU: gl (x)

= ... = gr(x) = O},

mit stetig differenzierbaren Funktionen gj : U -> IR und

R; jur a11ex EM. Rang a(gI, ... ,gr) (x ) -r a(XI," ., xn )

Weiter sei F : U -> IR eine stetig differenzierbare Funktion, so dass F I M in einem Punkt a E M ein lokales Maximum (Minimum) besitzt, d.h . es gibt eine Umgebung V C U von a mit F(x) :;;; F(a)

(bzw. F(x) ~ F(a)) jUr alle x E Mn V.

Dann ist gradF(a) ein Normalenvektor von M in a, d.h. es existieren Konstanten 1..1, ... ,1..r E JR, so dass r

gradF(a) =

L 1..jgradgj(a).

j=1

Man sagt, der Punkt a sei ein lokales Extremum von F unter der Nebenbedingung {gI = ... = gr = O}. Die 1..j werden Lagrangesche Multiplikatoren genannt.

Beweis. Ist

c : ]-e,e[

--+

Me IRn

eine stetig differenzierbare Kurve in M mit ex(0) t~F(ex(t))

= a, so hat die Funktion

§ 9 Untennannigfaltigkeiten

115

bei t = 0 eine lokales Extremum, also gilt

d

n

fJF

0= dl(a(t))lt=o = ~ fJxi (a)a:(O) = (gradF(a),a'(O)), d.h, gradF( a) steht senkrecht auf allen Tangentialvektoren von M in a, q.e.d.

(9.2) Beispiel. Sei A = (aij) E M(n x n,IR) eine symmetrische n x n-Matrix und F: IRn -IR die zugehörige quadratische Form, d.h .

F(x) = (x,Ax) = 'LaijXiXj. i,j Wir wollen die Extrema von F unter der Nebenbedingung IIxll chen. Dazu setzen wir

= 1 untersu-

g(x) := (x,x) -1 = 'LxT -1, i

M:= {x E IRn : g(x) = O} = {x E IRn : Ilxll = 1} und wenden Satz 4 an. Da fJgjfJxk = 2xk, gilt gradg(x) = 2x =1= 0

für alle x E M.

da a/ci = aik. Das bedeutet

gradF(x) = 2Ax. Daher lautet die notwendige Bedingung aus Satz 4 für die Existenz eines lokalen Extremums von F auf M im Punkt a E M

Aa=M

für ein geeignetes

A. E IR,

d.h. a ist ein Eigenvektor von A und der Lagrangesche Multiplikator ist der zugehörige Eigenwert. Andrerseits wissen wir, da M kompakt ist, dass die ste-

I. Differentialrechnung im IRn

116

tige Funktion F aufM ihr Maximum in einem gewissen Punkt a E Mannimmt. Dieses a muss nach dem gerade Gesagten ein Eigenvektor von A sein. Da

F(a) = (a,Aa) = (a,M) = 1.., ist der Funktionswert an dieser Stelle gleich dem Eigenwert von a. Damit folgt also, dass die Funktion F auf M ihr absolutes Maximum in einem Eigenvektor zum größten Eigenwert annimmt. (Analoges gilt für das absolute Minimum.) Gleichzeitig ist damit bewiesen, dass jede reelle symmetrische Matrix mindestens einen rellen Eigenvektor mit einem reellen Eigenwert besitzt. (Daraus kann man dann durch Induktion schließen, dass alle Eigenwerte reell sind.) AUFGABEN 9.1. Die Funktionen f,g: IR3

-t

IRseien definiert durch

f(x,y,z) :=~+xy-y-z,

g(x,y,z) :=al+3xy-2y-3z.

Man zeige, dass

C := {(x,y,z) E IR3 : f(x ,y,z) = g(x,y,z) = O} eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des lR3 ist, und dass

eine globale Parameterdarstellung von eist. 9.2. Die Funktionen j;: IR4

fi(xt, .f2(xt, .f3(xt,

-t

IR, i = 1,2,3, seien definiert durch

,X4) = X1X3-~, ,X4) = X2X4-.x5 ,X4) = X1X4 -X2X3

Man zeige, dass M:= {x E IR4 " {O} : f1(x) = .f2(x) = .f3(x) eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des IR4 ist. 9.3. Die Menge M(n x n,lR) aller reellen n x n-Matrizen

x=

(

Xl1 X21

X12 X22

.

'.

Xn1

Xn2

•••

.

:~:), X nn

Xij E

IR,

= O}

§ 9 Untennannigfaltigkeiten

117

2

werde mit dem JRn mit Koordinaten XI 1,XJ2, •.• ,X nn identifiziert. Man zeige: Die spezielle lineare Gruppe

SL(n,JR) := {A E M(n x n,JR) : detA = I} ist eine l-codimensionale Untennannigfa1tigkeit von M(n x n,JR). 2

9.4. Wie in Aufgabe 9.3 werde M(n x n, JR) mit JRn identifiziert. Es sei

O(n) = {A EM(n x a.R) :ATA =E} die Menge aller orthogonalen n x n- Matrizen. (AT bezeichne die zu A transponierte Matrix.) Man zeige, dass O(n) eine kompakte Untermannigfaltigkeit von M(n x n,JR) der Dimension n(n;l) ist. 9.5. Seien U C JRn und V C JRn offene Mengen und cI>: U _ V ein Diffeomorphismus. Weiter sei M C U eine k-dimensiona1e Untennannigfa1tigkeit. Man beweise: a) M := cI>(M) C V ist eine k-dimensionale Untennannigfaltigkeit. b) Sei a E Mund b := cI>(a) E M. Dann gilt

DcI>(a) (Ta(M))

=

Tb(M).

c) Gilt eine zu b) analoge Aussage auch für den Nonnalenvektorraum? 9.6. Man bestimme die Maxima und Minima der Funktion

f: JR2 - JR,

f(x,y):= 4~ - 3.xy,

auf der Kreisscheibe Anleitung. Man berechne zunächst die lokalen Extrema von f im Innem von K und dann auf dem Rand von K, d.h. unter der Nebenbedingung ~ + = 1.

I

118

§ 10 Integrale, die von einem Parameter abhängen In diesem Paragraphen beschäftigen wir uns mit folgendem Problem: Sei f(x ,y) eine Funktion von zwei Variablen x,Y. Für einen festen y- Wert werde die Funktion über ein Intervall a ~ x ~ b integriert. Das Integral hängt dann vom gewählten y- Wert ab, es entsteht also eine Funktion cp des "Parameters" y. Es interessiert nun, unter welchen Voraussetzungen an f die Funktion cp stetig bzw. differenzierbar von y abhängt. Die erhaltenen Ergebnisse werden wir benutzen, um die sog. Eulerschen Differentialgleichungen der Variationsrechnung abzuleiten.

Hilfssatz 1. Sei [a, b] eR ein kompaktes Intervall und U C Rm eine beliebige Teilmenge. Die Funktion

I : [a,b] x U -> R,

(x,y)

1-+

I(x,y) ,

sei stetig. Weiter sei (YkheN eine konvergente Punktfolge in U mit c:= limYk E U. k->oo

Dann konvergieren die Funktionen

Fk: [a, b] -> R,

x 1-+ Fk(X) := l(x,Yk) ,

fiir k ---. 00 gleichmäßig gegen die Funktion F : [a,b] ->R,

xl-+F(x) :=/(x,c).

Beweis. Nach § 3, Satz I, ist die Menge

Q := {Yk : k E N} U {c} kompakt, also abgeschlossen und beschränkt. Daher ist auch [a, b] x Q c R I+m abgeschlossen und beschränkt (vgl. (1.14)), also kompakt. Aus § 3, Satz 10, folgt, dass die Beschränkung

I1

[a,b] xQ->R

O. Forster, Analysis 2, DOI 10.1007/978-3-8348-8103-8_10, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

§ 10 Integrale, die von einem Parameter abhängen

119

gleichmäßig stetig ist. Sei nun E > 0 vorgegeben. Dann existiert ein Ö > 0, so dass fiir alle (x,y), (x,y') E [a, b] x Q gilt 11

(x,y) - (x',y) 11 < Ö :::::;. If(x,y) - f(x',y) I < E.

Da limYk = e, existiert ein N E N mit

Ile-nll <Ö Daher gilt fiir k

~

fiirallek~N.

N

If(x, e) - f(X,Yk)I < E fiir alle x E [a, b]. Das bedeutet aber

IF(x) - Fk(X) I < E fiir alle xE [a, b] und k ~ N, d.h. die Folge (Fk)kEN konvergiert gleichmäßig gegen F, q.e.d. Satz 1 (stetige Abhängigkeit vom Parameter). Sei [a,b] C lR ein kompaktes Intervall, U C lRm eine beliebige Teilmenge und

f : [a,b] xU-lR eine stetige Funktion. Für Y E U werde gesetzt


l

b

f(x,y)dx

Dann ist die dadurch definierte Funktion
-+

lR stetig.

Beweis. Sei e E U ein beliebiger Punkt und Yk E U, k E N, eine Punktfolge mit

limYk = e. Dann gilt mit den Bezeichnungen des obigen Hilfssatzes
l

b

Fk(x)dx und


=

l

b

F(x)dx.

Da die Folge (Fk)kEN auf [a,b] gleichmäßig gegen F konvergiert, kann man nach An. 1, § 21, Satz 4, Integration und Limesbildung vertauschen, d.h. es gilt lim

k-+ 00

r Fk(x)dx Jar F(x)dx, 1a

also lim
b

=

=
I. Differentialrechnung im IRn

120

Hilfssatz 2. Seien I,J C IR kompakte Intervalle und f: I

x J --t IR,

(x,y)

H

f(x,y) ,

eine stetige Funktion, die nach der zweiten Variablen stetig partiell differenzierbar sei. Weiter sei c E J ein Punkt undYk E J. k E N, eine Punktfolge mit

lim Yk = c

k-;~

und Yk =1= c jUr alle k.

Wir definieren Funktionen Fk,F: I ---+ IRdurch (k E N),

Fk(X) := f(X,Yk) - f(x,c), Yk- C of F(x) := oy (x,c).

Dann konvergiert die Folge (Fk)kEN aufI gleichmäßig gegen F .

Beweis. Sei E > 0 vorgegeben. Die stetige Funktion D2f: I x J ---+ IR ist nach § 3, Satz 10, gleichmäßig stetig, es gibt also ein von x E I unabhängiges Ö > 0, so dass aus Y,Y' E J, [y<ö folgt

I1

ID2f(x,y) -D2f(x,y')1

< E.

Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung für Funktionen einer Veränderlichen gibt es zu jedem x E I und k E N ein Tlk zwischen c und Yk mit Fk(X) = D2f(x, Tlk)'

Sei N so groß, dass [c - Ykl < ö für alle k ~ N. Dann gilt auch [c -Tlkl k ~ N und es folgt IF(x) -Fk(X) I = ID2f(x,c) -D2f(X,Tlk)1

für alle x E I und k

~

< Ö für

<E

N, q.e.d.

Satz 2 (differenzierbare Abhängigkeit vom Parameter). Seien I,J C IR kompakte Intervalle und f:IxJ --tlR,

(x,y)

H

f(x,y),

eine stetige Funktion. die nach der Variablen Y stetig differenzierbar ist. Für

§ 10 Integrale, die von einem Parameter abhängen

121

Y E J werdegesetzt


d
Beweis. Sei c E J und Yk E J, k E N, eine beliebige Punktfolge mit lim Yk = c

und Yk =j:. c

k-+oo

für alle k.

Die Funktionen Fk und F seien wie in Hilfssatz 2 definiert. Wegen der gleichmäßigen Konvergenz von Fk gegen F gilt nach An. 1, § 21, Satz 4,

·
o'(c) = l%(x,C)dX. Die Funktion
foa x? cosxdx berechnen. Man könnte das Integral mittels zweimaliger partieller Integration auswerten (was der Leserin zur Übung empfohlen sei!), es gibt aber auch eine andere Möglichkeit, die auf der Berechnung eines parameterabhängigen Integrals beruht. Dazu betrachten wir die Funktion

F(y) :=

Io

a

cos(xy)dx

I. Differentialrechnung im IRn

122

etwa auf dem Intervall! ::;;; Y ::;;; 2. Nach Satz 2 gilt

P'(Y) = pl/(y) =

10° ~ cos(xy)dx = -1° xsin(xy)dx, -10° :x?cos(xy)dx.

Das gesuchte Integral ergibt sich also als

10° :x?cosxdx= -pl/(l). Andrerseits kann man die Funktion P direkt ausrechnen:

P(y)

_ -_ 10t" cos()d xy x -

sin(xy) IX=o_ sin(ay)

o

x=o

y

-

y

.

Differenzieren ergibt

P'(Y) = _ Si;:Y) P

+ aco~(ay),

l/(y) _ 2sin(ay) _ 2acos(ay) _ a2sin(ay) -

y2

y3

y'

also

10° :x?cosxdx= -pl/(I) = (a

2-2)sina+2acosa.

Bemerkung. Aus Satz 2 folgt, da die partiellen Ableitungen nichts anderes sind als gewöhnliche Ableitungen bei festgehaltenen übrigen Variablen:

Sei [a,b] C IR ein kompaktes Intervall, U C IRn offen und

I: [a,b] x U ----4 IR, (x,yI, ...Yn) f-+ !(X,Yl," .Yn), eine stetige Funktion, die bzgl. der Variablen Yl, .. . ,Yn stetig partiell differenzierbar ist. Dann gilt für jedes i E {I, ... ,n}

a -a. ~l

l°

b

!(X,Yl, ... ,Yn) dx =

(10.2) Beispiel. Sei U = {x E Rn: um den Nullpunkt des Rn und V=

(vi, ... , vn ) : U

-+

Rn

l° -a. a! b

~l

(X,Yl, . . . ,yn)dx,

Ilxll < r} die offene Kugel vom Radius r > 0

§ 10 Integrale, die von einem Parameter abhängen

123

ein stetig differenzierbares Vektorfeld in U. Wir suchen eine stetig differenzierbare Funktion f: U

~

gradf = v,

lR mit

d.h.

af

-aXj =Vj

fiiri= 1,. . . ,n.

Falls eine solche Funktion f existiert, ist sie zweimal stetig differenzierbar und nach dem Satz von Schwarz (§5, Satz 1) gilt 2

a f = dlf aXjaXj aXjaXj

fiir alle i ;e j

aVj _ av j

=}

aXj - aXj

.

Eine notwendige Bedingung fiir die Lösbarkeit der Gleichung gradf = v ist also avi/aXj = aVj/aXj fiir alle i;e j . Wir zeigen nun, dass diese Bedingung auch hinreichend ist. Dazu definieren wir die Funktion f : U ~ R durch n

r

1=1

0

l

f(x) := 'L(}o vj(tx)dt)xj . Behauptung. Es gilt aaf = Vj fiir j = 1, ... .n. 'Xj

Beweis. Nach der Produktregel und Satz 2 ist

af(x) -a-. 'X)

=

a 10 1 vj(tx)dt ) Xj+ 'L (li vi(tx)dt )-a ax' 'L ( -a. 0 0

=

~(101 tDjVi(tx)dt)Xi+

i

'X)

I

=

10

1

11 j

vAtx)dt

(t'LDjVi(tX)Xj + vAtx))dt. I

Nun ist (bei festem x E U):

d d dt (tvAtx)) = vAtx) + t d/Atx)

= vAtx) + t'LDiVj(tX)Xi j

= Vj(tx) +t'LDjVi(tX)Xi, j

I.

'X)

I. Differentialrechnung im IRn

124 also

af(x) = -aXj

1 1

0

d (tvAtx))dt = tvAtx) -d t

1 =1

1

1=0

= Vj(x),

q.e.d.

Damit ist insbesondere gezeigt: Dafür, dass ein aufeiner offenen Kugel U C IR 3 stetig differenzierbares Vektorfeld v: U --+ IR3 sich als Gradient einer stetig differenzierbaren Funktion f: U --+ IR darstellen lässt , ist notwendig und hinreichend, dass rotv = O.

Doppelintegrale Seien [a,b]

c IR und [c,d] c IR kompakte Intervalle und

f : [a ,bj x [c, d] -----+ IR eine stetige Funktion. Nach Satz 1 ist die Funktion

F(y) :=

la

b

f(x,y)dx

stetig auf [a ,bj, kann also wieder integriert werden. Man bezeichnet

i

d

F(y)dy =

i

d

(lab f(x,y)dX) dy

als Doppelintegral. Man kann die Funktion f jedoch auch erst bzgl. y und dann bzgl. x integrieren. Der folgende Satz sagt, dass sich dabei derselbe Wert ergibt.

Satz 3. Mit den obigen Bezeichnungen gilt

Beweis. Wir definieren eine Funktion ep: [c,d]

ep(y) :=

l (l b

Y

--+

IR durch

f(x,t)dt)dx.

Es gilt ep( c) = 0 und nach Satz 2 ist ep differenzierbar mit

ep'(y) =

l ~ (l b

Y

f(x,t)dt)dx =

la

b

f(x,y)dx.

§ 10 Integrale, die von einem Parameter abhängen Daraus folgt

l (l d

b

f(x,y )dx) dy =

l

d

125

cp' (y)dy = cp( d) =

l (l b

d

f(x,y)dY) dx,

was zu beweisen war.

Bemerkung. Ein analoger Satz gilt natürlich auch für n-fache Integrale stetiger Funktionen, die auf einem Quader h x . .. x In C Rn definiert sind. Geometrische Interpretation. Anschaulich bedeutet das Doppelintegral

V:=

!cd!ab f(x,y)dxdy

über eine nicht-negative Funktion f : [a, b] x [c, d] ~ R das Volumen des Körpers unter dem Graphen von f, d.h. der Menge

K := {(x,y,z) E [a,b] x [c,d] x R: 0 :::; z:::; f(x,y)} . Die systematische Theorie der Volumenmessung wird erst im 3. Band der Analysis [6] dargestellt. Wir bringen hier nur ein einfaches Beispiel. (10.3) Wir wollen das Volumen der Kugel vom Radius r > 0 im R 3 berechnen. Dazu betrachten wir die folgende stetige Funktion

2 f(x,y):= {Jr2-x _ y2

f: [-r,r] x [-r,r] -+R,

o

fürx2+;:::;?, sonst.

Der Körper unter dem Graphen von f ist dann (bis auf einen Teil der Höhe 0) die obere Hälfte der Kugel

K(r)

= {(x,y,z)

E R 3 : x2

+; +? :::; ?}.

Daher ist

V:= l:rl:/(x,y)dXdy gleich der Hälfte des Volumens von K(r). Für festes y E [-r, r] sei p = p(y) := Jr 2 - y2. Damit ist

F(y)

= /:/(x,y)dx=

= p2

j

I:

p

1t cos2tdt = p2_ 2 -rt/2 rt/ 2

[Subst.x = p sinr]

Vp2-x2dx= 1t

= (~-;)-2

I. Differentialrechnung im IRn

126 und

v=

r F(y)dy = '!!.jr (,-2 - y)dy = '!!.(2? - 2r3/3) = ~31t? 2 2

L,

-r

Es folgt also für das Volumen der dreidimensionalen Kugel vom Radius r die wohlbekannte Formel

Vol(K(r)) = 2V =

~?

Eulersche Differentialgleichungen der Variationsrechnung Wir betrachten folgende Situation: Sei 1:= [a,b] c IR ein kompaktes Intervall und

L: I x IR x IR - . IR,

(t,y,p) - L(t,y,p)

eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion. Wir bezeichnen mit C2 [a,b] den Vektorraum aller zweimal stetig differenzierbaren Funktionen f : [a,b] - t IR und mit x.. die Teihnenge

x..:= {cp E C2[a,b] : cp(a) =

Ci,

cp(b) =

C2} ,

wobei Cl,C2 E IR vorgegebene Konstanten sind. Wir definieren jetzt ein Funktional (d.h. eine Abbildung) S:x..-.IR,

cp-S(cp):= lbL(t,cp(t), cp'(t)) dt.

Das Problem der Variationsrechnung besteht nun darin, S( cp) zu minimieren, d.h. ein cp E x.. zu finden, so dass S(cp) = inf{S('II) : '11 E

x..}.

Satz 4. Mit den obigenBezeichnungen gilt: Eine notwendigeBedingungdafür, dass S(cp) = inf'l'E~:S('II) ist das Bestehen der Eu1erschen Differentialgleichung

~ ~~ (t, cp(t), cp'(t)) - ~~ (t, cp(t) , cp'(t)) = O.

§ 10 Integrale, die von einem Parameter abhängen

127

Beweis. Sei cp E 1( eine Funktion mit S( cp) ::;; S('!') 2[a,b]

undg E C

für alle qrE 1(

eine beliebige Funktion mit

g(a) =g(b) = O. Für jedes e E R ist dann cp + eg E 1( und damit S(cp)::;; S(cp+eg). Wir definieren jetzt die Funktion F: R ---+ R durch

F(e) :=S(cp+eg). Diese Funktion F besitzt für e = 0 ein Minimum, also gilt

dF (0) = O.

de Mit Satz 2 erhält man

dF

de (e) =

=

b a Jar al(t,cp(t) +eg(t),cp'(t) + eg'(t))dt

l (~~ b

(.. .)g(t) +

~~ (...)g'(t)) dt,

Dabei stehen die Pünktchen (...) für (t, cp(t) + eg(t), cp'(t) + eg'(t)). Partielle Integration liefert

baL aL b daL b daL - { g(t)-(-)dt=- { g(t)-(-)dt. Ja( -g'(t)dt=-·g(t) ap ap Ja dt ap Ja dt ap b

Ia

Damit erhält man schließlich

0= dF de (0) =

=

aL (t,cp,cp')g'(t) ) dt Jar (aL ay (t, cp, cp')g(t) + ap b

l

b

(~~ (t,cp,cp') - ~ ~~ (t,cp,cp'))g(t)dt.

(Zur Vereinfachung haben wir nur cp, cp' statt cp(t), cp'(t) geschrieben.) Mit dem

I. Differentialrechnung im IRn

128

anschließend bewiesenen Hilfssatz 3 folgt daraus

oy

op

oL( t ,cp,cp') - dt d oL( t ,cp,cp') = 0,

q.e.d.

Hilfssatz 3. Sei a,b E IR, a < b, und

f : [a ,b]-IR

eine stetige Funktion. Fürjede zweimal stetig differenzierbare Funktion g: [a,b] -

IR mitg(a) =g(b) = 0

gelte

fab f(t)g(t)dt = O. Dann gilt f(t) = Ofür alle tE [a,b]. Beweis. Wegen der Stetigkeit von f genügt es zu zeigen, dass f auf dem offenen Intervall ]a,b[ identisch verschwindet. Angenommen, es sei f(t) =1= 0 für ein t E ]a,b[. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit ist f (t ) = : e > O. Dann existiert ein 8 > 0, so dass

[t-8,t+8] c ]a,b[ und

f(x) ~ ~

für alle xE [t- 8,t - 8].

Man kann nun eine zweimal stetig differenzierbare nicht-negative Funktion g: [a, b] ---7lR konstruieren mit

g(t) > 0 und g(x) = 0 für alle x ~ [t - 8,t + 8], vgl. Bild 10.1

-]g(") • I

b

x

Bild 10.1

§ 10 Integrale, die von einem Parameter abhängen Nun folgt

0=

l

b

a

f(x)g(x) dx =

129

11+lI f(x)g(x) dx -2e It+lI g(x)dx> 0, ~

I-li

I-li

Widerspruch! Also ist dochf(t) = 0 für alle tE Ja,b[. (10.4) Beispiel. Seien a, b, Cl, C2 E R, a < b, und

.'K: = {cp E C : cp(a) =

CI,

cp(b) =

C2}'

Mit S(cp) werde die Bogenlänge der Kurve

[a,b]-----+ lR,

t t--+ (t,cp(t)),

d.h. des Graphen von cp, bezeichnet, siehe Bild 10.2.

Y C2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -V

V

Cl ------

~

y=cp(t)

a

b

Bild 10.2

Nach § 4, Satz 1, gilt

S(cp) =

l VI b

+cp'(t)2dt.

Wir wollen S(cp) minimieren, suchen also die kürzeste Verbindungslinie zwischen den Punkten (a,Cl) und (b,C2). Man kann Satz 4 anwenden, wobei hier die Funktion L eine besonders einfache Gestalt hat:

L(t,y,p)

= Jl + p2.

L hängt also gar nicht explizit von t und y ab, es gilt

dL=O

~1J

OJ

,und

tu. '5l(t,y,p) = op

p J1+P2' 1 +p2

I. Differentialrechnung im IRn

130

Die Eu1ersche Differentialgleichung lautet daher

~ dt

cp'(t)

VI + cp'(t)2

d.h.

cp'(t)

VI +cp'(t)2

= 0

'

= const.

Dies ist aber gleichbedeutend mit cp' (t) = const. Die Funktion cp muss also ein Polynom 1. Grades sein:

cp(t) = a+ßt, wobei die Konstanten c, ß E IR noch so zu bestimmen sind, dass die Randbedingungen cp(a) = CI und cp( b) = C2 erfüllt sind. Das bedeutet: Wenn unser Problem überhaupt eine Lösung besitzt, wird es durch die Verbindungsgerade der Punkte (a,CI) und (b,C2) gelöst. Dass die geradlinige Verbindung tatsächlich minimale Bogenlänge aufweist, kann hier durch einfache geometrische Betrachtungen gezeigt werden. Im Allgemeinen ist es bei Variationsproblemen aber schwierig zu zeigen, dass das Minimum tatsächlich angenommen wird. Bemerkung. Satz 4 lässt sich leicht wie folgt auf höhere Dimensionen verallgemeinern: Gegeben sei eine zweimal stetig differenzierbare Funktion

L: [a ,b] x IRn x IRn (t,YI, ... ,Yn,PI,... ,Pn)

----> f-4

IR,

L(t,Yl,· ··,Yn,PI, .. · ,Pn).

Mit 'l( sei die Menge aller zweimal stetig differenzierbaren vektorwertigen Funktionen cp = (CPI, ... , CPn) : [a, b]

---->

IRn

mit cp(a) = Cl und cp(b) = C2 bezeichnet, wobei C)'C2 E IRn vorgegebene Vektoren sind. Ein reelles Funktional S: 'l( -+ IR werde definiert durch S(cp):=

!ab L(t,CPI(t), ... ,CPn(t),cp;(t), ... ,cp~(t))dt.

Ist dann cp E 'l( eine Funktion mit S(cp) = inf{S(",) : '" E 'l(},

§ 10 Integrale, die von einem Parameter abhängen

131

so gelten die Eulerschen Differentialgleichungen

d ~L (t,q>(t) ,

/(t)) = 0 , dt op, oy,

(i= I, . . . ,n).

(10.5) Anwendung in der Physik. Die Eulerschen Differentialgleichungen werden angewendet beim sog. Hamiltonschen Prinzip der kleinsten Wirkung. Hier ist t die Zeitkoordinate, die Funktionen

S(
l

b L(t,q>(t),

ist das sog. Wirkungsintegral; das Hamiltonsche Prinzip sagt aus, dass für den tatsächlich ablaufenden Vorgang S(
U: IR3 ----> IR3 ,

(XI,X2,X3)

f-+

U(X\,X2,X3).

Die Bewegung des Massenpunkts wird beschrieben durch eine vektorwertige Funktion

seine Geschwindigkeit zur Zeit t ist

v(t) =

d~~) = (XI (t),X2(t),X3(t)).

(In der Physik ist es seit Newton üblich, die Ableitung nach der Zeit durch einen Punkt zu bezeichnen.) Die kinetische Energie des Massenpunkts ist T

1

m

3

m

3

2

2

i=1

2

i=1

= -mllvl1 2 = - I, vf = - I,if,

wobei m die Masse bezeichnet. Für die Lagrange-Funktion L = T - U ergibt

I. Differentialrechnung im !Rn

132 sich also

L(x, v) = ~(vI +~ +~) - U(XI ,X2,X3), sie hängt nicht explizit von der Zeit ab. (Hier sind x und v die Variablen, die wir früher mit y und p bezeichnet haben.) Man hat

aL aXi

au --a x,

und

aL -avi = mVi·

Die Eulerschen Differentialgleichungen lauten daher

U

d (mii(t)) + aa (x(t)) = dt Xi

0,

oder (falls die Masse m zeitlich konstant ist)

mii(t) = -

aaU(x(t)), x,

(i =

1,2,3).

Man kann dies in vektorieller Form zusammenfassen zu

mi = - gradU(x) Wir werden später (in § 16) sehen, wie man für eine spezielle Potentialfunktion U ein solches Differentialgleichungssystem lösen kann. Wir wollen hier nur noch zeigen, wie aus der Gleichung (*) die Konstanz der Gesamtenergie E = T + U folgt. Zur Zeit t beträgt die Gesamtenergie des Massenpunkts

Ableitung nach der Zeit ergibt mit der Kettenregel

d~~t)

= m ~ii(t)ii(t) + ~ ~~ (X(t))ii(t) = m(i(t),i(t)) + (gradU(x(t)),i(t)) = (mi(t) + gradU(x(t)), i(t)) .

Wegen (*) ist dies gleich Null, d.h. E ist konstant.

§ 10 Integrale, die von einem Parameter abhängen

133

AUFGABEN 10.1. Man berechne das Integral

l

x

tne-tdt

durch Differenzieren des Parameter-abhängigen Integrals

F(y) :=

Io e-tYdt. x

10.2. Sei I C IR ein offenes Intervall, a E I und

f :I x I

->

IR,

(x,y) - f(x,y)

eine stetige, nach der zweiten Variablen stetig partiell differenzierbare Funktion. Man zeige , dass die durch

F(y) := lY f(x ,y)dx definierte Funktion F :I -> IR differenzierbar ist, und dass für alle y E I gilt

ay

F I (y) = f(y,y) + lraf a (x,y)dx. Anleitung: Man beweise, dass die durch G(y,z) := lZ f(x,y)dx definierte Funktion G : T x I -> IR stetig partiell differenzierbar ist und wende die Kettenregel an.

10.3. Sei g: IR2

->

IR die Funktion

g(x,y) = { (x2:'y2)2

o

für (x,y) für (x,y)

# (0,0) = (0,0)

Man zeige, dass für jedes y E IR die Integrale

f(y) :=

10

1

g(x,y)dx und

1*(Y):= 10

1

~~ (x,y)dx

wohldefiniert sind und dass die Funktion f :IR -> IR differenzierbar ist, jedoch

1(0) # 1*(0) gilt.

I. Differentialrechnung im IRn

134

10.4. Es sei f: [0,1] x [-1,1] ---+ IR die wie folgt definierte Funktion:

f(x,y) := { Jx 2 - y2

o

für lyl sonst.

~ x,

Man berechne das Doppelintegral

V:=

l l r r f(x,y)dxdy. J-IJO

10.5. Sei r » 0 und f: Variablen:

f(XI,X2,X3) :=

[-r,rj3

---+

IR die wie folgt definierte Funktion dreier

Jr2-xT-~-x?j fallsxT+~+x?j ~?,

{o

sonst.

Man berechne das dreifache Integral

V:= /:r/:r/:/(XI,X2,X3)dxldx2dx3' Bemerkung. 2V ist das Volumen der 4-dimensionalen Kugel vom Radius r.

135

Kapitel 11

Gewöhnliche Differentialgleichungen § 11 Elementare Lösungsmethoden Eine Differentialgleichung (erster Ordnung) ist eine Bedingungsgleichung für eine zu bestimmende Funktion, in der die Ableitung als Funktion des Arguments und des Wertes der Funktion dargestellt wird. Geometrisch bedeutet das die Vorgabe eines Richtungsfelds; es wird dann eine Funktion gesucht, deren Graph sich an dieses Richtungsfeld anschmiegt. In diesem Paragraphen behandeln wir einige einfache Beispiele, in denen man die Lösungen einer Differentialgleichung explizit bestimmen kann.

Definition. Sei G eine Teilmenge des :lR2 und

f: G ----+:IR,

(x,y) f-+ f(x,y)

eine stetige Funktion. Dann nennt man

y' = f(x,y)

(1)

eine (gewöhnliche) Differentialgleichung ersterOrdnung. Unter einer Lösung von (1) versteht man eine auf einem Intervall I C :IR definierte differenzierbare Funktion

mit folgenden Eigenschaften: a) Der Graph von

für alle x E I.

O. Forster, Analysis 2, DOI 10.1007/978-3-8348-8103-8_11, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

136

11. Gewöhnliche Differentialgleichungen

(Die Bedingung a) ist zu stellen, damit man b) überhaupt formulieren kann.) Bemerkung. Würde die gegebene Funktion f nur von x und nicht von y abhängen, so schriebe sich b) als

ep'(x) = f(x) und man könnte die Lösungen durch einfache Integration gewinnen:

ep(x) = c+

i;rx f (t)dt.

Im allgemeinen Fall folgt aus b) zwar

ep(x) = c+

rx f(t ,ep(t)) dt,

i;

wobei c = ep(xo), aber man kann mit dieser Formel nicht unm ittelbar die Lösung gewinnen, da unter dem Integral bere its die gesuchte Funktion vorkommt. (Wir werden aber im nächsten Paragraphen sehen , wie man trotzdem mittels dieser Integralgleichung die Differentialgleichung lösen kann .)

y / /-~~~~ ":::: // /-~~~~"'­ // /-~~~~"'/ ~ _~~ ~ ~ "<,

G

'/~ -:7 /-~~~~"'­ ' / / /-~~ ~~"'­ // /-~~~ // /-~~~~ // /-~~~~ / /-~~~

"'----

/-~ ~ -~

x

Bild 11.1

Geometrische Interpretation Eine Differentialgleichungy' = f(x,y) in einem Gebiet G C]R2 bestimmt ein Richtungsfeld: In jedem Punkt (x,y) E G wird durch y' = f(x, y) eine Steigung

§ 11 Elementare Lösungsmethoden

137

vorgegeben, vgl. Bild 11.1. Gesucht ist eine differenzierbare Funktion, deren Graph in jedem seiner Punkte die vorgegebene Steigung hat.

y

Bild 11.3 In einfachen Fällen kann man aus dem Richtungsfeld bereits die Lösungen der Differentialgleichung ersehen. So besitzt die Differentialgleichung

y' =~

(Bild 11.2)

die Geraden y = cx als Lösungen und die Differentialgleichung

y' = - ~ in JR x JR~ , die Halbkreise y

= v'c -

x2 ,

(Bild 11.3)

Ixl<.;c.

Differentialgleichungen mit getrennten Variablen Seien /,J c JR offene Intervalle und

f:/ ---+JR, g :J---+JR zwei stetige Funktionen. Es werde vorausgesetzt, dass g(y) =I- 0 für alle y E J . Die Differentialgleichung

y' = f{x)g(y)

in / x J

11. Gewöhnliche Differentialgleichungen

138

heißt Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

Satz 1. Die obigen Bezeichnungen seien beibehalten. Sei (XO,Yo) E I x J ein Punkt. Wir definieren Funktionen F:I ~ JR und G:J -> JR durch F(x) :=

l

x

xo

G(y) :=

f(t)dt,

lY

- dt ( )' yogt

Es sei I' c I ein Intervall mit Xo E I' und F(I') C G(J). Dann existiert genau eine Lösung ep:I' -> JR der Differentialgleichung

/ = f(x)g(y) mit der "Anfangsbedingung " ep(xo) = Yo. Diese Lösung genügt der Beziehung G(ep(x)) =F(x) fur alle x

e I',

Beweis. a) Wir zeigen zunächst: Ist ep: I' -> JR irgend eine Lösung der Differentialgleichung/ = f(x)g(y) mit ep(xo) = Yo, so gilt (*). Aus ep'(x) =f(x)g(ep(x)) folgt nämlich

l

x

ep'(t) - (( )) dt xogept

l

=

x

xo

f(t)dt.

Führt man im linken Integral die Substitution u = ep(t) durch, erhält man

l

CP(X) du

Yo

- () = gu

l

x

Xo

f(t)dt.

Dies bedeutet aber G(ep(x)) = F(x). b) Da G'(y)

= g~) i- 0, ist G streng monoton, besitzt also eine stetig differen-

zierbare Urnkehrfunktion H : G(J)

-----+

JR.

Aus (*) folgt daher ep(x)=H(F(x))

für alle x EI'.

§ 11 Elementare Lösungsmethoden

139

Dies bedeutet, dass die Lösung mit der gegebenen Anfangsbedingung, falls sie überhaupt existiert, eindeutig bestimmt ist. c) Um die Existenz zu beweisen, nehmen wir die Gleichung (**) als Definition für die Funktion cp: I' ~ IR. Diese Funktion ist stetig differenzierbar und es gilt

cp(xo) = H(F(xo)) = H(O) = Yo, da F(xo) = 0 = G(yo). Weiter folgt aus (**) die Beziehung G(cp(x)) = F(x), also

G'(cp(x))cp'(x)= cp'(x) =F'(x)=f(x) g(cp(x)) , d.h.

cp'(x) = f(x)g(cp(x)). Daher erfüllt cp die Differentialgleichungy' = f(x)g(y) , q.e.d.

Bemerkung. Man führt die Lösung einer Differentialgleichung mit getrennten Variablen oft in einprägsamer, aber etwas nachlässiger Form wie folgt durch: Man schreibty' = f(x)g(y) als

dy

dx = f(x)g(y) und formt dann um:

dy

g(y) = f(x)dx,

! gt) = /

f(x)dx + const.

Die zuletzt erhaltene Gleichung hat man nach y aufzulösen, um zu einer Lösung = cp(x) der Differentialgleichung zu gelangen. Satz 1 ist nichts anderes als eine Präzisierung der obigen formalen Rechnung.

y

Beispiele (11.1) Wir wollen die Lösung der Differentialgleichung

y'=-~ inlxJ:=IR~xlR~ x

140

11. Gewöhnliche Differentialgleichungen

mit der Anfangsbedingungy(l) = c, (c > 0), bestimmen. Dies ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen,

y' = f(x)g(y)

mit

f(x):=

_!x

und

g(y) := y.

Nach Satz 1 müssen wir also folgende Funktionen berechnen:

r«

F(x) = rf(t)dt==-logx, 11 11 t y G(y) = - dt () = - = logt IY = log(y/c) .

l

cgt

t: c t

c

Da der Logarithmus lR+ auf ganz lRabbildet, gilt hier G(J) = G(lR+) = lR, wir können also /' = I = lR+ wählen, da F(lR+) = lR = G(lR+). Es gibt also eine auf ganz lR+ definierte Lösung cp: lR+ ---+ lRmit logCP(x)=-logx fürallexElR~. c Nimmt man von beiden Seiten die Exponentialfunktion, erhält man

G(cp(x)) = F(x) , d.h.

cp(x) = =x

für alle x E lR~ .

Die Gesamtheit aller Lösungen der Differentialgleichungy' = -~ in lR+ x lR+ wird also durch die Hyperbelschar xy = c, c > 0, gegeben , siehe Bild 11.4. Man sieht an dem Bild auch, dass durch jeden Punkt (xo,Yo) E lR+ x lR+ genau eine, auf ganz lR+ definierte, Lösungskurve geht.

x

Bild 11.4

§ 11 Elementare Lösungsmethoden

141

(11.2) Wir untersuchen jetzt die Differentialgleichung

y' = x-

.

Tnl*

Tnl*

IDJN..+ XJN..+.

Y Das Richtungsfeld dieser Differentialgleichung ist zu dem aus dem vorigen Beispiel orthogonal, denn die Richtungsvektoren (1, -y/ x) und (l,x/ y) stehen für alle (x,y) E IR:+- x IR:+- aufeinander senkrecht. Wir bestimmen diesmal die Lösung durch einen Punkt (XO,Yo) E IR:+- x IR:+durch die folgenden informellen Umformungen:

dy x dx Y ydy = xdx ,

11 d11 J[Y yO

!(l-yö)

y

=

i;rx ~d~ ,

= !(~-xö),

=~+(YÖ-xö),

y=cp(x) = vx2+c mitc:=yö-XÖ' Durch Differenzieren kann man direkt nachprüfen, dass die erhaltene Funktion cp die Differentialgleichung erfüllt. Man beachte aber folgende Besonderheit gegenüber dem vorigen Beispiel: Nur für Yo ~ Xo ist die Lösung cp auf dem ganzen Intervall IR:+- definiert. Falls YO < xo, ist das maximale Definitions Intervall der Lösung gleich ]

Jx10 - Y5, +00 [.

Geometrische Interpretation. Die Lösungen sind die in der positiven ViertelEbene gelegenen Teile der Kurvenschar ; - ~ = c, cER Diese Kurven sind die "Orthogonal-Trajektorien" zu denen des vorigen Beispiels, siehe Bild 11.5 Lineare Differentialgleichungen Sei I C IR ein Intervall und seien a, b:I ---+ IR stetige Funktionen. Dann nennt man

y' = a(x)y+b(x)

142

11. Gewöhnliche Differentialgleichungen

x

Bild 11.5

eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung, und zwar homogen, falls b = 0, sonst inhomogen. Wir beschäftigen uns zunächst mit der Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung

y' = a(x)y. Satz 2. Mit den obigen Bezeichnungen gilt: Sei Xo E I und cER Dann gibt es genau eine Lösung

(l

X

Xo

a(t)dt).

Beweis. Die homogene lineare Differentialgleichung ist eine spezielle Differentialgleichung mit getrennten Variablen; man könnte also Satz 1 anwenden (wobei man allerdings eine Fallunterscheidung c -I- 0, c = zu machen hätte). Hier sieht man aber direkt aus der Definition von
°



i;r a(t)dt)

der Gleichung
§ 11 Elementare Lösungsmethoden bilden das Produkt gel

'lIo(x) = =

143

"'0 (x) := ",(x)CPo(x) und differenzieren mit der Produktre-

'JI' (x)CPo(x) +",(x)CPÖ (x) a(x)",(x)cpo(x) - ",(x)a(x)CPo (x) = O.

"'0 ist also eine Konstante; daher gilt "'o(x) = "'0 (xo) = ",(xo)cpo(xo) = c exp(O) = c

Die Funktion

Es folgt

",(x) = cCPO(x)-1 = cexp

(1:

a(t) dt),

für alle xE I,

q.e.d,

Beispiele

(11.3) Die Lösungen cp:lR ~ lRder Differentialgleichung

y' = ky,

(k E R),

mit der Anfangsbedingung CPo(xo) = c haben die Gestalt

cp(x) = cEf(x-xo). (11.4) Die schon in (11.1) behandelte Differentialgleichung

y' = -~, x

(x> 0),

lässt sich als lineare Differentialgleichung y' = a(x)y mit a(x) = -1/x auffassen. Die Lösung mit der Anfangsbedingung cp( I) = c ist also cp(x)=cexp

(-11 t

rX~)

c

=cexp(-logx)=x'

Variation der Konstanten Wir kommen jetzt zur Behandlung der inhomogenen linearen Differentialgleichung

y' = a(x)y+b(x),

(I)

144

11. Gewöhnliche Differentialgleichungen

wo a, b:1---+ lR stetige Funktionen auf dem IntervalI I C lRsind. Sei Xo E I und c E R, Wir suchen eine Lösung cp: I ---+ lR der Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung cp(xo) = c. Dazu gehen wir aus von einer Lösung

CPo(x) := exp (1~ a(t)dt) der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung

y' = a(x)y

(H)

und machen einen als Variation der Konstanten bekannten Ansatz

cp(x) = CPo(x)u(x) fiir die Lösung cp der inhomogenen Gleichung (1) mit einer noch unbekannten Funktion u:I ---+ R (Da cpo(x) ":/= 0 fiir alIe x E I, lässt sich jede Funktion cp in dieser Form schreiben.) Wir untersuchen jetzt, welchen Bedingungen u genügen muss, damit cp die Differentialgleichung (I) erfüllt. Es ist

cp' = CPou + CPou', acp+b = acpou+b. Da CPo

= acpo, gilt cp' = acp + b genau dann, wenn CPou' = b,

d.h.

u(x) =

l

x

xo

CPO(t)-1 b(t)dt + const.

Damit die Anfangsbedingung cp(xo) = c erfüllt ist, muss u(xo) = c sein, man hat also die Integrationskonstante const = c zu setzen . Wir fassen unser Ergebnis zusammen im folgenden Satz. Satz 3. Sei I C lR ein Intervall und seien a, b:1---+ lR stetige Funktionen. Dann gibt es zu vorgegebenen Xo E I und cE lR genau eine Lösung cp:I ---+ lR der Differentialgleichung

y' = a(x)y+b(x) mit der Arifangsbedingung cp(xo) = c, nämlich cp(x) = cpo(x) (c+

1~ CPO(t)-lb(t)dt),

§ 11 Elementare Lösungsmethoden

wobei

<po(x):= exp

145

(l Xa(t)dt). Xo

Man nennt das hier beschriebene Verfahren zur Bestimmung einer Lösung der inhomogenen Gleichung Variation der Konstanten. Denn die Lösungen der homogenen Gleichung haben die Gestalt
(11.5) Beispiel. Wir betrachten die Differentialgleichung

Y=2xy+x 3 • Die homogene Gleichung y' =

2xy besitzt die Lösung


E.

Deshalb bekommt man eine Lösung R der inhomogenen Gleichung

y' = 2xy+x3 mit der Anfangsbedingung
Das Integral kann man mittels der Substitution s = t 2 und partieller Integration auswerten, was dem Leser als Übung überlassen sei. Man erhält

fox t 3e-t2dt =

! - !(~ + l)e-x2 ,

also

Homogene Differentialgleichung Sei J

c

R ein Intervall, j:J -> R eine stetige Funktion und

G := {(x ,y) ER* xR: ~ EJ}.

146

11. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Dann heißt

y' =f(~) ,

(x,y) E G,

homogene Differentialgleichung (nicht zu verwechseln mit den homogenen linearen Differentialgleichungen). Der Name kommt daher, dass man die Differentialgleichung auch schreiben kann als

y' = h(x,y) mit einer homogenen Funktion h vom Grad 0, d.h. h(tx,ty) tE JR* . Setzt man j'(n) := h(l, TI), so gilt h(x,y) = f(y/x) .

= h(x,y) für alle

Der nächste Satz zeigt, dass man eine homogene Differentialgleichung auf eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen zurückführen kann .

Satz 4. Die obigen Bezeichnungen seien beibehalten. Weiter sei 1 C JR * ein Intervall und (xo,yo) E G ein Punkt mit Xo E I. Dann gilt: Eine Funktion cp:I - t JR ist genau dann Lösung der Differentialgleichung

y' =fG)

(HI)

mit der Anfangsbedingung cp(xo) '" : I ----. JR,

= yo. wenn die Funktion

",(x) := cp(x) ,

x

Lösung der Differentialgleichung

z' = ~(f(z) -z),

(x,z) E JR* x J,

mit der Anfangsbedingung ",(xo)

= ~~

(H2)

ist.

Beweis. Zunächst verifiziert man leicht, dass der Graph der Funktion cp: I - t JR genau dann in

G= {(x,y) E JR* x JR i y]» E J} liegt, wenn der Graph von ",:1 - t JR Teilmenge von JR* x J ist. a) Sei jetzt vorausgesetzt, dass cp die Differentialgleichung (HI) erfüllt. Dann

§ 11 Elementare Lösungsmethoden

147

gilt

'JI'(x)

= ~ (cp(X)) = cp'(x) _ cp(x) = ! f(CP(x)) _ cp(x) dx

=

x

X

x2

X

X

x2

~ (j(W(x)) - w(x)),

d.h. z = W(x) ist Lösung von (H2). b) Sei umgekehrt vorausgesetzt, dass Wdie Gleichung (H2) erfüllt. Dann gilt

cp' (x) =

~ (xW(x))

=

W(x) + x'Jl'(x)

= W(x) + (j(W(x)) -W(x)) = f(cp r)) , d.h.y = cp(x) ist Lösung von (HI), q.e.d.

Bemerkung. Man drückt dies auch kurz so aus: Die Differentialgleichung (HI) geht durch die Substitution z = ~ in (H2) über. Die Rechnung lautet in etwas salopper Form: Aus y = xz folgt j/ = z+xz', also geht die Differentialgleichungy' =

fG) über in

z+xz' = f(z) , d.h. z' = ~(J(z) -z). (11.6) Beispiel. Die Differentialgleichung

geht durch die Substitution z = ~ über in

z' = ~(1 +~), d.h.

dz 1+z2

dx X

Für die Lösung dieser Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung

z(xo) = Zo = Yo/xo gilt aretanz - aretanze = logx -logxo ,

148

11. Gewöhnliche Differentialgleichungen

d.h.

z = tan (log.:a +

a) ,

wobei

a= arctan ~~ .

Die ursprüngliche Differentialgleichung wird also gelöst durch

y

= xtan (log.:a + a) .

Diese Lösung ist definiert in einer gewissen Umgebung von xo. AUFGABEN

11.1. Man bestimme die allgemeine Lösung der folgenden Differentailgleichungen, d.h. die Lösung durch einen beliebigen Punkt (XO,Yo) des Definitionsbereichs. a)

y' = eYcosx,

b)

y' = y'l-r,

c)

y' = !y'I-r, (O
d) e)

(lyl< I),

11.2. Man bestimme die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichungen. a)

y' = (x+y?,

b)

(1 +x2)y' +xy-xy2

c)

y' +y+ (sinx+/f)y

= 0, = O.

Anleitung. Man verwende folgende Substitutionen:

a)

1

b) Z=-,

z=x+y,

Y

c)

':>1

11.3. Man bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

x-y y' = x+y'

(x+y > 0),

durch den Punkt (XO,yo)

= (0,1) .

149

§ 12 Existenz- und Eindeutigkeitssatz Nachdem wir im vorigen Paragraphen die Lösungen einiger einfacher spezieller Differentialgleichungen studiert haben, beweisen wir jetzt einen allgemeinen Existenzund Eindeutigkeitssatz. Dabei behandeln wir sogleich Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung. Dies liefert gleichzeitig einen Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Differentialgleichungen höherer Ordnung, da sich diese auf Systeme von Differentialgleichungen I. Ordnung zurückführen lassen.

Definition. Sei G C IR x IRn eine Teilmenge und

f : G ~ IR n,

(x,y) - f(x,y)

eine stetige Funktion. Dann nennt man

y' = f(x,y)

(1)

ein System von n Differentialgleichungen erster Ordnung. Unter einer Lösung von (1) versteht man eine auf einem Intervall 1 C IR differenzierbare vektorwertige Funktion
Der Graph von

b)


Bemerkungen. 1) Rein äußerlich sieht die Gleichung (1) genauso aus wie die im vorigen Paragraphen behandelten Differentialgleichungen für skalarwertige Funktionen; jedoch ist hier y ein Vektor mit n Komponenten. Sind

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150

11. Gewöhnliche Differentialgleichungen

die KomponentendarstelIungen von Y bzw. f, so lautet (1) ausgeschrieben wie folgt :

Yl :: fl (x ,YI, .. · ,Yn),

{

Y2 -!2(X,YI, .. ·, Yn), y" = fn(X,YI, ... ,Yn)'

2) Man beachte, dass wir zwar Y von einer auf mehrere Dimensionen veralIgemeinert haben, aber x immer noch eindimensional ist, das heißt Funktionen einer Variablen gesucht sind. Man spricht deshalb genauer von gewöhnlichen Differentialgleichungen im Gegensatz zu partiellen Differentialgleichungen, bei denen Funktionen mehrerer Variablen gesucht werden und die Bedingungsgleichungen die partielIen Ableitungen der gesuchten Funktionen enthalten. Die Potentialgleichung, die WelIengleichung und die W ärmeleitungsgleichung (siehe § 5) sind Beispiele partielIer Differentialgleichungen. Satz 1 (Zuriickfiihrung auf Integralgleichung). Sei G C IR x IR n und f :G - t IR n eine stetige Abbildung. Weiter sei ein Punkt (a,c) E G gegeben . Dann gilt: Eine stetige Funktion

----+

IRn ,

die auf einem Intervall I C IR mit a E I definiert ist, und deren Graph in G enthalten ist, ist genau dann Lösung der Differentialgleichung

y' = f(x,y) mit der Anfangsbedingung
l

Xf

= c, wenn folgende Integralgleichung gilt:

(t ,
Beweis. a) Sei die Integralgleichung erfüllt. Setzt man darin x = a, ergibt sich f(t,
d

r

dxJa f(t,
= f(x,
§ 12 Existenz- und Eindeutigkeitssatz

151

b) Sei umgekehrt cp Lösung der Differentialgleichung, also differenzierbar mit cp' (x) = f(x, cp(x)), und es sei die Anfangsbedingung cp(a) = c erfüllt. Dann ist

l

x

f(t, cp(t)) dt =

l

x

cp'(t) dt = cp(x) - cp(a)

= cp(x) -

c,

also ist die Integralgleichung erfüllt, q.e.d,

Wir werden jetzt eine Bedingung kennenlemen, mit der man die (lokale) Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen beweisen kann. Definition (Lipschitz-Bedingung), Sei GeR x Rn und

f : G - - t Rn,

(x,y)

t-t

f(x,y) ,

eine Funktion. Man sagt, f genüge in G einer Lipschitz-Bedingung(bzgl. der Variableny) mit der Lipschitz-KonstantenL ~ 0, wenn

Ilf(x,y) - f(x,y) 11

~

LIIY - yll für alle (x,y), (x,y) E G.

Man sagt, f genüge in G lokal einer Lipschitz-Bedingung, falls jeder Punkt (a, b) E G eine Umgebung U besitzt, so dass f in GnU einer LipschitzBedingung mit einer gewissen (von U abhängigen) Konstanten L E R+ genügt. Ein einfaches Kriterium für das Erfülltsein einer lokalen Lipschitz-Bedingung liefert der folgende Satz.

Satz 2. Sei GeR x Rn offen und

f: G - - t Rn,

(x,y)

t-t

f(x,y) ,

eine bzgl. der Variablen y = (Yl,'" ,Yn)stetigpartiell differenzierbare Funktion. Dann genügt f in G lokal einer Lipschitz-Bedingung. Beweis. Sei (a,b)

E G. Es gibt ein

V:= {(x,y) ER x Rn:

r > 0, so dass

lx-al ~ r, Ily-bll ~ r}

ganz in G liegt. V ist eine kompakte Umgebung von (a,b) . Da nach Voraussetzung alle Komponenten der (n x n)-Matrix ~ stetige Funktionen sind, gilt

L:= sup

(X,y)EV

11

aaf(x,y) 11 <00. ~

152

11. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Aus dem Mittelwertsatz (§ 6, Satz 5) folgt nun für alle (x,y) , (x,ji) E V

Ilf(x,y) - f(x ,ji) 11 ~ L IIY- jill,

q.e.d.

Satz 3 (Eindeutigkeitssatz). Sei GeR X Rn und f :G - t Rn eine stetigeFunktion, die lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. Seien

cp, 'l' : I - t Rn zwei Lösungen der Differentialgleichung

y' = f(x,y) über einem IntervallI C R. Gilt dann

cp(xo) = 'l'(xo) jUr ein Xo EI, sofolgt cp(x) = 'l'(x) jUralle x E I. Beweis. a) Wir zeigen zunächst Eindeutigkeit im Kleinen: Ist cp(a) = 'l'(a) für ein a E I, so gibt es ein e > 0, so dass

f

l

x

(I(t,
lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, gibt es Konstanten L

ö> 0, so dass

Ilf(t,
~

°

(2)

und (3)

für alle t EInBfl(a) = {tE I: It-al < öl. Wir können außerdem annehmen, dass

e:= min(ö, 1/(2L)) und

M:= sup{llcp(t) - 'II(t)11 : t E InBe(a)}.

§ 12 Existenz- und Eindeutigkeitssatz

153

Aus (2) und (3) folgt für alle xE InBe(a)

Ilcp(x) - ljI(x) 11

~L

I.f

Ilcp(t) - ljI(t) 11 dt

I~

Llx - alM

~ !M,

also auch M ~ !M. Dies ist nur möglich, wenn M = 0, d.h. wenn cp und ljI in InBe(a) übereinstimmen. Damit ist a) bewiesen. b) Wir zeigen jetzt

cp(x) =ljI(x) fiirallex E Imitx ;;;:xo. Es sei

Falls Xl = 00 oder Xl gleich dem rechten Intervallende ist, sind wir fertig. Andernfalls gibt es ein ö > 0, so dass [XI ,XI + ö] C I. Da cp und ljI stetig sind, gilt CP(XI) = ljI(XI ). Nach a) gibt es ein e > 0 mit

cp(x) =ljI(x) fürallexElnBe(XI) . Dies steht aber im Widerspruch zur Definition von XI. Daher gilt cp(x) für alle X EI mit X ;;;: xo. c) Analog zeigt man cp(x)

= ljI(x)

= ljI(x)

für alle X E I mit X ~ xo.

(12.1) Beispiel. Wir geben ein Beispiel einer Differentialgleichung an, für die

der Eindeutigkeitssatz nicht gilt:

y' =1/3

(definiert in lRx R).

Eine spezielle Lösung ist CPo(x) := 0 für alle X E R. Da die Differentialgleichung eine mit getrennten Variablen ist, lassen sich die Lösungen im Bereich y i= 0 mit § 11, Satz I, bestimmen. Man sieht aber leicht direkt, dass für belie biges a E lRdie Funktion

'IIa: R ---+ R,

X f-t 'IIa(x) := -b(x-a)3

die Differentialgleichung erfüllt, denn 'lIa(x)

cpo(a) = 'IIa(a) = 0,

= !(x -

af = ljIa(xf/3. Da

154

11. Gewöhnliche Differentialgleichungen

ist der Eindeutigkeitssatz verletzt. Es gibt aber noch unendlich viele andere Lösungen 'IjI:R ----> R mit 'IjI(a) = O. Seien b,c beliebige reelle Konstanten mit b~a~cund

'IjIb(X) 'IjI(x):=

{

0

'IjIc(x)

für x ~ b, für b <x< c, für x ~ c,

siehe Bild 12.1. Die Funktion ur ist auf ganz R differenzierbar, erfüllt die Differentialgleichung ur' = '1j12/3, und es gilt 'IjI(a) = O.

Bild 12.1 Nach Satz 3 kann also die Funktion f(x,y) = y2/3 nicht überall einer Lipschitzbedingung genügen. Zwar ist f für y =I- 0 partiell nach y differenzierbar mit

~ _ ~ -1/3 ayf(x,y) - 3Y , und nach Satz 2 genügt deshalb f in R x R* lokal einer Lipschitz-Bedingung. Jedoch erfiillt f in keiner Umgebung eines Punktes (a, 0) eine Lipschitz-Bedingung.

Satz 4 (Existenzsatz von Picard-Lindelöf). Sei GeR x Rn offen und f: G----> Rn eine stetige Funktion. die lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. Dann

gibt es zu jedem (a, c) E G ein e > 0 und eine Lösung
§ 12 Existenz- und Eindeutigkeitssatz

155

der Differentialgleichung y' = f(x,y) mit der Anfangsbedingung cp( a) = c. Bemerkung. Nach Satz 3 ist

= c eindeutig be-

stimmt.

Beweis. Da die Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung zur Integralgleichung


l

x

f(t, cp(t)) dt

äquivalent ist, beweisen wir den Satz mithilfe des Banachsehen Fixpunktsatzes (§ 8, Satz 1). Wir verwenden den Banachraum C([a - e,a + el,]Rn) aller stetigen Funktionen

'l': [a - e, a + e]

-----+

]Rn

(für ein noch zu bestimmendes E > 0) mit der Supremumsnorm

11'l'11 := sup{II'l'(t)11 : It-al

~

E} .

Es gibt ein S > 0 und ein r > 0, so dass

QS,r:= {(x,y) E]Rx]Rn: lx-al

~

S, Ily-cll

~

r} C G

und die Funktion f in QIl,r einer Lipschitz-Bedingung mit einer gewissen Konstanten L > 0 genügt. Da f stetig und QIl,r kompakt ist, gibt es eine Konstante M>Omit

Ilf(x,y) 11

~

M für alle (x,y) E QIl,r'

Wir setzen jetzt E:= min(S,

~, 2~)

und

A := {'l' E C([a -E,a+E],]Rn) : 11'l'- c]

~

r}.

A ist eine abgeschlossene Teilmenge des Banachraums C([a - E, a + EI, ]Rn). Behauptung. Die Abbildung T:A --4 A, die einer Funktion", E A die Funktion TI := T('l'),

T1(x):=c+

l

xf (t,'l'(t ))dt fürxE[a-e,a+e],

156

11. Gewöhnliche Differentialgleichungen

zuordnet, ist (i) wohldefiniert und (ii) eine Kontraktion. (i) Da 11", - eil::;; r, liegt der Graph von", in Qe,r C G, also ist f(t, ",(t)) fiir alle t E [a - e,a + e] definiert und als Funktion von t stetig . Für die Funktion 1'\ := T(",) erhält man die Abschätzung

111'\ (x) - eil =

Ill f(t ,",(t)) dtll ::;; Ix-al·M::;; EM::;; r, x

also liegt 1'\ wieder in A. (ii) Seien CPl ,CP2 E A. Dann gilt

T(CPl) (x) - T(CP2) (x) =

l

x

(f(t,CPl(t)) - f(t,CP2(t))) dt,

also erhält man mit der Lipschitz-Bedingung für alle x E

11 T(CPl) (x) - T(CP2) (x) 11 ::;;

[a -e,a+e]

Il Lllcpl(t) -CP2(t)lI dt x

l

::;; Llx-al ·llcpl-'P2I1::;; !lIcpl-'P2I1 ·

!

Dies zeigt, dass T:A ~ A eine Kontraktion mit der Kontraktionskonstanten ist. Nach dem Banachsehen Fixpunktsatz gibt es deshalb ein cP E A mit T( cp) = cP, d.h.

cp(x) = e+

l

x

f(t, cp(t)) dt fiir alle xE [a - E,a+ E].

Dies ist die gesuchte Lösung der Differentialgleichung.

Bemerkung. Selbst wenn die rechte Seite der Differentialgleichung

y' = f(x,y) auf ganz lR x lRn definiert ist und überall lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, ist die Lösung mit der Anfangsbedingung cp(a) = e unter Umständen nur in einer sehr kleinen Umgebung von a definiert. Dazu geben wir folgendes Beispiel: (12.2) Wir betrachten Differentialgleichung

Die rechte Seite ist aufR x lR definiert und stetig partiell nach y differenzierbar, genügt also überall lokal einer Lipschitz-Bedingung. Wir suchen die Lösung

§ 12 Existenz- und Eindeutigkeitssatz

157

mit der Anfangsbedingung cp(O) = c. Für c = 0 ist das offensichtlich die Funktion cp(x) = 0 für alle x E IR. Für c i= 0 können wir die Lösung durch Trennung der Variablen berechnen: dy y2 = 2xdx,

l

e

y

dl1 2 =

11

fox 2~d~, 0

_!+!=x'-, y c y= cp (x ) =

1

--2

y-x

.

1 c

mlty:=-.

Dies ist die Lösung der Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung cp(0) = c, was man direkt durch Einsetzen verifizieren kann. Falls c > 0, ist das maximale Definitions-Intervall dieser Lösung gleich 1e = {x E lR:

lxi< yfy= c-I / 2 } ,

vgl. Bild 12.2. Nähert sich x von innen dem Rand des Intervalls, so strebt der Funktionswert der Lösung gegen 00. Für c < 0 ist die Lösung auf ganz lR definiert.

y

Bild 12.2

158

11. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren

Beim Banachsehen Fixpunktsatz für eine Kontraktion T:A - A haben wir gesehen, dass für jeden Anfangswert CPo E A die rekursiv definierte Folge CPk := T (CPk-l) gegen den Fixpunkt konvergiert. Angewendet auf das Anfangswertproblem cp(a) = c für Lösungen der Differentialgleichungy' = f(x ,y) bedeutet dies: Sei CPo die konstante Funktion CPo(x) = c und

CPk(X):= c+

l

x

f(t ,CPk-l (t)) dt .

Dann konvergiert die Folge (CPk)kEN in einer gewissen Umgebung [a - e,a + e] von a gleichmäßig gegen eine Lösung der Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung cp(a) = c. In einfachen Beispielen kann man damit die Lösungen einer Differentialgleichung sogar explizit berechnen.

(12.3) Beispiel. Gegeben sei die Differentialgleichung

y'=2xy in IRxlR . Wir suchen eine Lösung cP, die der Anfangsbedingung cp(O) = c genügt . Hier lautet die Iterationsvorschrift

x CPk(X) = c+2lo tCPk_l(t)dt.

Mit CPo(x) = c ergibt sich

CPl(X) = c+2c foXtdt=C(l+x?-), CP2(X) = c+2c fox t(1 +t2)dt =

c( 1 +x?-+~).

Allgemein beweist man durch vollständige Induktion

CPk(X)

x4

=C ( 1+X?-+2+

x6

x?-k)

3! +"'+7C!

Daraus folgt ~ x?-k cp(x) = lim CPk(X) = c L -kl = cE.

k---+~

1<==0

•

.

§ 12 Existenz- und Eindeutigkeitssatz

159

Dass diese Funktion die Differentialgleichung y' = 2xy löst und die Anfangsbedingung
Bemerkung. Die Differentialgleichungy' = 2xy ist eine homogene lineare Differentialgleichung und kann deshalb auch leicht direkt gelöst werden (§11, Satz 2).

Differentialgleichungen höherer Ordnung Definition. Sei G C !R x !Rn eine Teilmenge und f :G-t!R eine stetige Funktion. Dann heißt

y(n)

= f(x,y,y', ... ,y(n-I))

(4)

eine Differentialgleichung n-ter Ordnung. Unter einer Lösung von (4) versteht man eine auf einem Intervall I C !R definierte, n-mal differenzierbare Funktion
{(X,YO,YI, ... ,Yn-I) E I x !Rn :Yv =
fix,
Eine Differentialgleichung n-ter Ordnung schreibt also eine Bedingung für die n-te Ableitung der gesuchten Funktion

Reduktion auf ein System 1. Ordnung Man kann eine Differentialgleichung n-ter Ordnung auf ein System von Differentialgleichungen I. Ordnung zurückführen. Dazu betrachten wir neben der

160

11. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Differentialgleichung

y(n)

= f(x,y,y', . .. ,y(n-l)),

(4)

wo f: G - t lR eine auf einer Teilmenge Ge lRn+1 definierte stetige Funktion ist, das Differentialgleichungs-System

(5)

Y,,-2 = Yn-l, Y,,-1 = f(X'YO'Yl"

" ,Yn-l).

Setztman Yo )

y.: .- ( Yn-2 Yn-l

und

F(x,Y) := (

~l

Yn-l

)

f(x,Y)

so schreibt sich (5) einfach als

Y' =F(x,Y). Sei nun cp:I - t lR eine Lösung von (4), d.h.

cp(n)(x) = f(x, cp(x), cp'(x), ... , cp(n-l) (x)). Damit definieren wir nun eine vektorwertige Funktion

eil =

(

~):

I

-----+

CPn-l

durch

cpo(x) := cp(x) , CP1(X) := cp'(x),

lRn

(6)

§ 12 Existenz- und Eindeutigkeitssatz Dann ist, wie unmittelbar aus der Definition folgt, tialgleichungs-Systems (5).

161


Sei nun umgekehrt vorausgesetzt, dass


eine Lösung von (5) ist.

Behauptung. Dann ist die Funktion

cP := CPo : I --dR eine Lösung der Differentialgleichung n-ter Ordnung (4).

Beweis. Aus den n - 1 ersten Gleichungen des Systems (5) folgt CPI = CPo = Cj>2 = cP~ = _

CPn-1 -

I

cp/, cp", _

CPn-2 -

cP

(n-I)

.

Da CPn-1 einmal differenzierbar ist, folgt daraus, dass cP n-mal differenzierbar ist. Die n-te Gleichung von (5) liefert dann

cp(n) =!(x,cp,cp/, ... ,cp(n-I)), q.e.d. Die Lösungen von (4) und (5) stehen also in ein-eindeutiger Beziehung zueinander. Dies bringt für theoretische Betrachtungen einen großen Vorteil mit sich; man kann sich auf die Betrachtung von Systemen von Differentialgleichungen 1. Ordnung beschränken. Selbstverständlich können auch Differentialgleichungs-Systeme höherer Ordnung auf solche 1. Ordnung zurück geführt werden. Besonders wichtig sind Differentialgleichungs-Systeme 2. Ordnung, die häufig in der Physik auftreten aufgrund des Newtonsehen Gesetzes Kraft = Masse x Beschleunigung. Beschreibt etwa die vektorwertige Funktion x = x(t) die Bewegung eines Massenpunkts als Funktion der Zeit t, so ist i = dx/ dt seine Geschwindigkeit und i = d 2x/dt2 seine Beschleunigung. Nimmt man an, dass die auf den Massenpunkt wirkende Kraft nur von der Zeit, dem Ort und der Geschwindigkeit

162

11. Gewöhnliche Differentialgleichungen

abhängt, so genügt die Bewegung dem Differentialgleichungs-System mi=F(t,x,i),

(m=Masse).

Hat x die drei Komponenten XI ,X2,X3, so ist dies ein System von drei Differentialgleichungen 2. Ordnung für die gesuchten Funktionen XI,X2,X3 . Dies System ist äquivalent zu einem System von sechs Differentialgleichungen 1. Ordnung i = V, {

v= ~F(t,x, v),

wobei v = (VI, V2, V3) die Geschwindigkeit bedeutet. Wir übertragen nun den Eindeutigkeitssatz und den Existenzsatz, den wir für Systeme von Differentialgleichungen 1. Ordnung bewiesen haben, auf eine Differentialgleichung n-ter Ordnung

y (n) -- f( x,y,y' , .. . ,y (n-I)) , wobei f : G ---+ !Reine auf einer Teilmenge Ge !Rx lRn definierte stetige Funktion ist. Man sagt, f genüge lokal einer Lipschitz-Bedingung, wenn es zujedem Punkt z E G eine Umgebung U und eine Konstante L E lR+ gibt, so dass If(x,Y) - f(x,1')1 ~LIIY -1'11 für alle (x, Y), (x,1') E G. Dies ist gleichbedeutend damit, dass die f gemäß (6) zugeordnete FunktionF: G ---+!Rn lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. Aus den Sätzen 3 und 4 folgt nun

Satz 5. Sei G c !R x !Rn offen und f: G ---+ !R eine stetige Funktion, die lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. a) (Eindeutigkeit) Seien cp, '1':1 ---+!R zwei Lösungen der Differentialgleichung

y(n) = f(x ,y,y', . .. ,y(n-I)).

(*)

Für einen Punkt a E 1 gelte cp(a)

= 'V(a) , cp'(a) = ""(a),

.. . , cpn-l (a)

Dann gilt cp(x) = 'V(x)jUr alle xE 1.

= ~-I (a).

§ 12 Existenz- und Eindeutigkeitssatz

163

b) (Existenz) Ist umgekehrtein Punkt (a,co, . . . ,Cn-l) E G vorgegeben, so gibt es ein e > 0 und eine Lösung

cp: [a-e,a+e]

--d~

der Differentialgleichung (*), die der Anfangsbedingung cp(a) = co, cp'(a) = Cl, .. . , cp(n-l) (a) =

Cn-l

genügt. Um die Lösung einer Differentialgleichung n-ter Ordnung eindeutig festzulegen, muss man also nicht nur den Wert der Funktion an einer Stelle ades Definitionsintervalls vorschreiben, sondern auch alle Ableitungen der Ordnung :::;; n - I im Punkt a. Speziell fii.r die Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die die Bewegung eines Teilchens als Funktion der Zeit beschreiben, bedeutet das: Die Bewegung ist eindeutig festgelegt, wenn Ort und Geschwindigkeit des Teilchens zu einem Anfangszeitpunkt bekannt sind.

(12.4) Die Differentialgleichung 2. Ordnung

y" +y=o

(7)

besitzt offenbar die auf ganz R definierten Lösungen y

= cosx

und y

= sinx.

Allgemeiner ist mit beliebigen Konstanten Co, Cl E R CPcQ,q (x) := CoCOSX+CI sinx

eine Lösung. Da CPcQ,q (0)

= Co

und

CP~Q,q (0)

= Cl,

ist CPcQ,q die eindeutig bestimmte Lösung cP der Differentialgleichung (7) mit den Anfangsbedingungen cp(O) = Co und cp'(O) = Ci . Andererseits hat jede Lösung cp: R ---+ R der Differentialgleichung an der Stelle x = 0 einen gewissen Funktionswert und Wert der Ableitung. Daraus folgt, dass die Gesamtheit aller Lösungen der Differentialgleichung v" +Y = 0 durch die Funktionen CPcQ,C\ gegeben wird, wobei Co und Cl ganz R durchlaufen.

164

11. Gewöhnliche Differentialgleichungen

AUFGABEN

12.1. Sei f: IR x IR - t IR eine stetige Funktion, die lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge . Es gelte

f( -x,y) = - f(x,y)

fiir alle (x,y) E IR2 •

Man beweise: Jede Lösung


-t

IR,

(r > 0),

der Differentialgleichung y' = f(x,y) geht bei Spiegelung an der y-Achse in sich über.

12.2. Mit Hilfe des Picard-Lindelöfschen Iterationsverfahrens berechne man die Lösung des Differentialgleichungssystems

iJ =Y2, {>'i=YI mit der Anfangsbedingung
12.3. Sei 1 C IR ein Intervall und

f: 1 x IRn ----+ IRn,

(x,y)

f-+

f(x,y)

IR n

eine stetige Funktion, die in 1 x einer globalen Lipschitz-Bedingung mit der Konstanten L E IR+ genügt. Man beweise: a) Zu jedem Punkt (a,e) E 1 x jRn gibt es eine auf dem ganzen Intervall 1 definierte Lösung

y' = f(x,y) mit der Anfangsbedingung
= e.

b) Seien
11
fiir alle xE 1.

165

§ 13 Lineare Differentialgleichungen Wir behandeln jetzt die allgemeine Theorie der linearen Differentialgleichungen. Die Aussagen gleichen in mancher Hinsicht denen aus der Theorie der linearen Gleichungssysteme in der Linearen Algebra. So bilden die Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung einen Vektorraum. Man erhält die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung, indem man zu einer speziellen Lösung der inhomogenen Differentialgleichung die allgemeine Lösung der zugeordneten homogenen Differentialgleichung addiert.

Definition. Sei I C lR ein Intervall und A=

(a~l ... a~n): I - > M(n x n,lR)

an]

ann

eine stetige Abbildung (d.h, alle Funktionen c.j.J' ---.lR seien stetig). Dann heißt

y' =A(x)y

(1)

ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem (oder einfach homogene lineare Differentialgleichung). Weiter sei

eine stetige vektorwertige Funktion. Dann heißt

y' =A(x)y+b(x)

(2)

ein inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem. Das Differentialgleichungssystem (1) heißt das dem System (2) zugeordnete homogene lineare Differentialgleichungssystem. Es ist im Hinblick auf spätere Betrachtungen zweckmäßig, neben den reellen linearen Differentialgleichungen auch komplexe Differentialgleichungen zu betrachten. Ein komplex-lineares Differentialgleichungssystem hat die Gestalt

y' =A(x)y+b(x), O. Forster, Analysis 2, DOI 10.1007/978-3-8348-8103-8_13, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

166

11. Gewöhnliche Differentialgleichungen

wobei A:I ---+ M( n x n, C) und b:I ---+ C" stetige Abbildungen auf dem Intervall I C lR sind. Eine Lösung davon ist eine differenzierbare Abbildung ep:I ---+ C" , so dass

ep'(x) =A(x)ep(x)+b(x)

für alle x EI.

Da C mit lR x lR identifiziert werden kann, kann ep als Abbildung 1---+ lR 2n aufgefasst werden; die Differenzierbarkeit ist komponentenweise zu verstehen. Das System von n komplexen Differentialgleichungen ist äquivalent zu einem System von 2n reellen Differentialgleichungen. Man beachte, dass wir zwar komplexe Werte zulassen, die unabhängige Variable x aber immer reell ist. Bezeichnung. Um den reellen und komplexen Fall simultan behandeln zu können, bezeichne im Folgenden OC einen der Körper lR oder C.

Satz 1 (Existenz und Eindeutigkeit). Sei I

A :I

-----+

M(n x n,OC)

C

lR ein Intervall und seien

und b: 1-----+ OCn

stetige Abbildungen. Dann gibt es zu jedem Xo E I und c E Lösung

ep : I

-----+

ocn genau eine

OCn

der linearenDifferentialgleichung

y' = A(x)y + b(x) mit der Arifangsbedingung ep(xo) = c. Bemerkung. Man beachte, dass die Lösungen einer linearen Differentialgleichung immer über dem ganzen Intervall I existieren, im Gegensatz zum Fall nicht-linearer Differentialgleichungeny' = f(x,y) , vgl. Beispiel (12.2).

Beweis von Satz 1. Wir setzen

f(x,y) :=A(x)y+b(x) und zeigen zunächst: Ist J C I irgend ein kompaktes Teilintervall, so genügt f in J x OCn einer globalen Lipschitz-Bedingung. Dann aus der Stetigkeit von A folgt

L:= sup{IIA(x)II :x EJ}

<

00 .

§ 13 Lineare Differentialgleichungen

167

Damit erhält man für x E J und y,y E ][(n

Ilf(x,y) - f(x,ji) 11= IIA(x)(y-ji)11 :s;; Llly-jill · Daraus folgt nach § 12, Satz 3, zunächst die Eindeutigkeit der Lösung. Zum Beweis der Existenz benützen wir das Picard-Lindelöfsche Iterationsverfahren: Wir definieren die Folge von Funktionen CJlk:I -> ocn durch CJlo(x) := c, CJlk+I(X) :=

c+l

x

xo

f(t,CJlk(t))dt.

Behauptung. Die Funktionenfolge (CJlk)kEN konvergiertauf jedem kompakten Teilintervall Je I mit Xo E I gleichmäßig gegen eine Lösung CJl der Differentialgleichung. Beweis. Es ist klar, dass alle CJlk auf ganz I definiert und dort stetig sind. Da J kompakt ist, ist

<

K:= sup{IICJlI(x) -q>o(x)11 : x EJ}

00 .

Daraus folgt für alle k E N und x E J

IICJlk+I(X)-CJlk(X)II:S;;K

Lklx-xolk k!

(3)

.

Dies zeigt man durch vollständige Induktion nach k. Der Induktionsanfang k = 0 gilt nach Definitionvon K.

Induktionsschritt k -> k + 1. Es gilt

CJlk+2(X) - CJlk+1 (x) =

l

x

xo

(/(t, CJlk+1 (t)) - f(t, CJlk(t))) dt.

Dies liefert die Abschätzung IICJlk+2(X) - CJlk+1 (x) 11 :s;; L

s:

k+11

",KL

11~ IICJlk+1 (t) - CJlk(t) 11dt I

{X It-xol

Jxo

k!

Damit ist (3) bewiesen. Wir setzen r:= sup{lx-xol : x EJ} < 00.

k

1_

dt -K

k+1 Lk+1Ix-xol (k+l)!

.

168

11. Gewöhnliche Differentialgleichungen 00

Es folgt, dass die unendliche Reihe Reihe

L

k=O

(CPHl -CPk) aufJ durch die konvergente

KI, Lkyk =Ktfr k=O

k!

majorisiert wird, also dort gleichmäßig konvergiert . Daher ist die Funktion 00

cp:= limcpk=cpo+ I,(CPk+l-CPk) k-+oo

k=O

aufganz I stetig und die Konvergenz ist aufjedem kompakten Teilintervall von I gleichmäßig. Für die Limes-Funktion gilt daher die Intergralgleichung

i:

cp(x)=c+ rxf(t,cp(t))dt

für alle x EI,

d.h. cP ist eine Lösung der gegebenen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung cp(xo) = c, q.e.d.

Homogene Gleichungen Wie bei linearen Gleichungssystemen ist es auch bei linearen Differentialgleichungen zweckmäßig, sich zunächst mit den Lösungen der homogenen Gleichung zu beschäftigen. Satz 2. Sei I C lR ein nicht-triviales Intervall und A :I

-+

M(n x n,J[{)

eine stetige matrixwertige Funktion. Wir bezeichnen mit LH die Menge aller Lösungen der homogenen linearen Differentialgleichung

y' =A(x)y. Dann ist LH ein n-dimensionaler Vektorraum über K Für ein k-tupel von Lösungen CPl, ... ,CPk E LH sindfolgende Aussagen gleichbedeutend:

i) Die Funktionen CPl, . . . ,CPk sind linear unabhängig über K ii) Es existiert ein Xo E I, so dass die Vektoren CPl (xo), ... , CPk(XO) E J[{n linear unabhängig sind.

§ 13 Lineare Differentialgleichungen

169

iii) Für jedes Xo E I sind die Vektoren CPI (Xo) , .•. ,CPk(XO) E IKn linear unabhängig. Beweis. a) Wir beweisen zunächst, dass LH ein Untervektorraum des Vektorraums aBer Abbildungen f :I ---+ IKn ist. Dazu ist dreierlei zu zeigen:

1. Trivialerweise gilt 0 E LH .

2.

Seien cP, 'IjI ELH, also cp' = Acp und '11' = A'IjI. Dann ist auch CP+'IjI differenzierbarmit

(cp + 'IjI)' = cp' +'11' = Acp+A'IjI = A(cp+'IjI), d.h, CP+'IjI E LH. 3. Sei cP E LH und I.. E IK. Dann ist

(Acp)' = ACP' = Mcp = A(Acp), d.h. ACP E LH. b) Wir zeigen jetzt die Äquivalenz der Aussagen i) bis iii) . Die Implikationen iii) => ii) => i) sind trivial. Es ist daher nur noch die Implikation i) => iii) zu beweisen. Seien also CPI, . •. ,CPk E LH linear unabhängig und Xo E I. Angenommen, die Vektoren CPI (xo), ... ,CPk(XO) wären linear abhängig. Dann gäbe es Konstanten AI, ... ,Ak E 1K, die nicht alle gleich null sind, so dass

AI CPI (xo) +...+ AkCPk(xo) = O. Wir betrachten die Lösung

cP := AI CPI + ... + AkCPk E LH· Es gilt cp(xo) = O. Wegen der Eindeutigkeit der Lösung zu gegebener Anfangsbedingung muss cP identisch null sein. Das heißt aber, dass cP I , ... ,CPk linear abhängig sind, Widerspruch! c) Wir zeigen jetzt dimLH

= n.

Seien el, .. •, en die kanonischen Einheitsvektoren des IKn und Xo E I. Nach Satz I gibt es Lösungen CPI, ... , CPn E LH mit cPj{xo) = ej . Diese Lösungen sind linear unabhängig, da sie an der Stelle Xo unabhängig sind. Also gilt dimLH ~

n.

170

11. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Andrerseits ist dim L H ~ n, denn sonst gäbe es n + I linear unabhängige Lösungen 'IjI1, . . . , 'IjIn+1 und wegen iii) müssten die Vektoren 'IjI1(xo),

.. .,'IjIn+1 (xo)

E ][{n

linear unabhängig sein, was offensichtlich unmöglich ist. Damit ist Satz 2 vollständig bewiesen. Um alle Elemente eines Vektorraums zu kennen, genügt es, eine Basis des Vektorraums zu kennen . Dies gibt Anlass zu folgender Begriffsbildung.

Definition. Unter einem Lösungs-Fundamentalsystem der Differentialgleichung y' = A (x)y versteht man eine Basis (
~,~

(:),

k~l,.,n,

so ist := (
...


Nach Satz 2 sind Lösungen = ( (xo) =I- 0

:für wenigstens ein Xo E I. Es gilt dann det(x) =I- 0 für alle x EI. Ist = (