Höhere Mathematik für Ingenieure 1: Analysis, 9. Auflage

Klemens Burg

I Herbert Haf I Friedrich Wille I Andreas Meister

Höhere Mathematik für Ingenieure

Klemens Burg Friedrich Wille

I Herbert Haf I Andreas Meister

Höhere Mathematik für Ingenieure Band I: Analysis 9., überarbeitete Auflage Bearbeitet von Prof. Dr. rer. nato Herbert Haf, Universität Kassel Prof. Dr. rer. nato Andreas Meister, Universität Kassel STUDIUM

VIEWEG+

TEUBNER

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Prof. Or. rer. nato Klemens Burg t, geb. 1934 in Bochum. 1954 - 1956 Tätigkeit in der Industrie. 1956 - 1961 Studium der Mathematik und Physik an der RWTH Aachen. 1961 Diplomprulung in Mathematik. 1964 Promotion, 1961 - 1973 Wiss. Ass. und Akad. Rat/überrat, 1970 Habilitation. 1973 - 1975 Wiss. Rat und Prof. an der Universität Karlsruhe. 1975 - 2002 Prof. für Ingenieurmathematik an der Universität Kassel. Arbeilsgebiete: Mathematische Physik, Ingenieurmathematik Prof. Dr. rer. nato Herbert Haf. geb. 1938 in Pfronten/AlIgäu. 1956 - 1960 Studium der Feinwerktechnik-Qptik am Oskar-von-Miller-Polytechnikum München. 1960 - 1966 Studium der Mathematik und Physik an der RWTH Aachen. 1966 Diplomprulung in Mathematik. 1966 - 1970 Wiss. Ass., 1968 Promotion. 1970 - 1974 Akad. Rat/überrat an der Universität Stullgart. 1968 - 1974 Lehraufträge an der Universität Stullgart. 1974 - 2003 Prof. für Mathematik (Analysis) an der Universität Kassel. Arbeitsgebiete: Funktionalanalysis, Verzweigungstheorie, Appro~imations­ theorie Prof. Dr. rer. nato Friedrich Wille t, geb. 1935 in Bremen. 1955- 1961 Studium der Mathematik und Physik an den Universitäten Marburg, Serlin und Göttingen. 1961 Diplom, anschließend Industriepra~is. 1963 - 1968 Wiss. Mitarb. der Aerodynamischen Versuchsanstalt (AVA) Göttingen. 1965 Promotion, Leiter des Rechenzentrums Göttingen. 1968 - 1971 Wiss. Ass. der Oeutschen Forschungs- und Versuchsanstalt liir Luft- und Raumfahrt (OFVLR). 1970 6attelle-lnstitut Genf. 1971 Habilitation, 1972 Wiss. Rat und Prol. in Oüsseldorf. 1973 - 1995 Prof. für Angewandte Mathematik an der Universität Kassel. Arbeitsgebiete: Aeroelastik, Nichtlineare Analysis, math. ModelIierung Prof. Dr. rer. nat. Andreas Meister, geb. 1966 in Einbeck. 1987 - 1993 Studium der Mathematik mit Nebenlach Informatik an der Georg-August-Universltät Göttingen. t993 Diplomprufung in Mathematik. 1993 - 1996 Promotionsstipendium an der Deutschen Forschungsanstalt für Luft- und Raumfahrt in Göltingen, 1996 Promotion an der TH Darmstadt. t996 Wiss. Mitarb. am Fraunhofer Institut für Techno- und Wirtschafts mathematik Kaiserslautern. 1996 - 1997 Wiss. Mitarb., 1997 - 2002 Wiss. Ass. an der Universität Hamburg. 2001 Habilitation und Privatdozent am FS Mathematik der Universität Hamburg. 2002 - 2003 Hochschuldozent an der Universität zu Lübeck. Seit 2003 Prof. für Angewandte Mathematik an der Universität Kassel. Arbeitsgebiete: Numerik partieller Differentialgleichungen und Numerik linearer Gleichungssysteme.

1. Auflage 1985 9., überarbeitete Auflage ZOll Alle Rechte vorbehalten

© Vieweg+Teubner Verlag I Lektorat: Ulrich Sandten

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Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

Kerstin Hoffmann

Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: STRAUSS GMBH, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8348-1218-6

Vorwort Theorie olme Praxis ;sl leer. Praxis olme Theorie isl blind.

Die vorliegende »Höhere Mathematik fUf Ingenieure« umfaßt den Inhalt einer Vorlesungsreihe, die sich über die ersten vier bis fünf Semester erstreckt. Das Werk wendet sich hauptsächlich an Studenten der Illgenieurwissenschaften, darüber hinaus aber allgemein an alle Studierenden technischer und physikalischer Richtungen, sowie an Studenten der Angewandten Mathematik (Technomathematik, MathematikingenieuT. mathematische Physik). Lernende und Lehrende finden mehr in diesen Bänden. als in einem Vorlesungszyklus behandelt werden kann. Die Bücher sind so gedacht, daß der Dozent ~ dem Aufbau der Kapitel folgend - einen »roten Faden« auswählt. der dem Studierenden den Weg in die Mathematik bahnt und ihm die Stofftjlle strukturien. Der Lehrende wird dabei seinen eigenen Vorstellungen folgen, etwa in der Auswahl der Beispiele, dem Weglassen gewisser "Seitenwege« , oder dem Betonen von Sachverhalten, die fur die Fachrichtung der Hörer seiner Lehrveranstaltung wichtig sind. Dem Studierenden sollen die Bände zur Nacharbeit und Veniefung des Vorlesungsstoffes dienen, wie auch zum Selbststudium und zur Fortbildung. Die vielen Anwendungsbeispiele sollen ihm den Inhalt dabei lebendig machen, und zusätzliche AusfLihrungen sein Kemwissen abrunden. Später lassen sich die Bücher immer wieder als Nachschlagewerk verwenden. Insbesondere sind sie zur Examensvorbereitung nützlich, wie auch im Berufsleben als greifbares »Himergrundwissen«. Die Bände sind inhaltlich folgendennaßen geglieden: Band I enthält die Differential- und Integralrechnung einer und mehrerer Veränderlicher, und damit den Stoff der Vorlesungen Analysis I und 11. Es wurde dabei Wcn auf eine sorgfriltige Grundlegung, verbunden mit praktischen Anwendungen, gelegt. Band 11 hat die Lineare Algebra zum Thema, währcnd Band 111 die Gewöhnlichen Differentialgleichungen cnthält. sowie Distributionen und Intcgraltmnsfomlationen. Dabei wurde eine eher einfache, wenn auch genaue Darstellung gewählt, damit der Ingenieur schnell zu Anwendungen vorstoßen kann. Im Band IV folgen dann die Vektoranalysis und Funktionentheorie (komplexe Analysis) und in Band V Funktionalanalysis und panielle Differentialgleichungen. Manche Mathematikkurse fur Ingenieure beginnen mit Analysis (z.B. bei Maschinenbauern), andere mit Linearer Algebra (etwa bei Elektrotechnikern). Aus diesem Grunde wurden die Bände I und I[ unabhängig voneinander gestaltet, so daß man den Kurs mit jedem dieser Bände beginnen kann. An Vorkcnntnissen wird wenig vorausgesetzt. Schulkenntnisse in elementarer Algebra (Bruch~ rechnung, Klammemusdrücke) und Geometrie (cinfache ebene und räumliche Figuren, Koordinatensystem) gcnügen. Grundsätzlich beginnt der vorliegende Lehrgang ganz »von vorne«, d.h. mit der Erläuterung der Zahlen. und baut darauf systematisch auf. Auf diese Weise wird auch das meiste aus der Schulmathematik in geraffter Form wiederholt. Der Leser kann daher, je nach Vorkenntnis, die Inhalte erstmalig lernen oder sein Wissen in das vorliegende Gerüst einordnen.

VI

Durch viele Beispiele aus Technik und Naturwissenschaft wird der Anwendungsbczug besonders herausgearbeitet. Dabei liegt weitgehend das folgende Dreischriltschema zu Grunde: EinfUhrungsbcispiel --+ Theorie _

weitere Anwendungen

Hat man ein Einflihrungsbeispicl zur Motivation crliiUlcn und dann eine Lösungstheorie dazu cnlwickelt, so stellt sich meistens heraus (sonst wäre der Name »Theorie« fehl am Platze), daß die theoretischen Hilfsmittel auch zur Lösung weiterer Probleme, ja, auch manchmal ganzer Problemklassen, taugen. Diese brauchen mit dem Ausgangsproblem scheinbar überhaupt nicht verwandt zu sein (z.B. die Flächeninhaltsberechnung zur Motivation der Integralrechnung gegenüber der Berechnung der Leistung einer Dampfmaschine, der maximalen Höhe eines Weltraumsatelliten, dem Trägheitsmoment eines Rades oder der Wahrscheinlichkeit für die Lebensdauer eines Bauteiles. Alle genannten Probleme lassen sich mit Mitteln der Integralrechnung lösen). Natürlich wird das obige Drcischrittschema nicht über das Knie gebrochen. Denn oft wird auch mathematisches Instrumentarium fLir spUtere Anwendungen oder fUr den weiteren Ausbau der Mathematik bereitgestellt. wobei ein zu frühes Anheften an Anwendungen nicht möglich ist oder den Blick fUr die Gliederung der Systematik verschleiert. Denn obwohl die systematische Einführung der Mathematik nicht immer der historischen Entwicklung entspricht und ihre Abstraktion sich von der Praxis zu entfernen scheint, so hat sie doch unbestreitbare Vorteile: Sie verkürzt die Darstellung. da man Verwandtes unter einheitlichen Gesichtspunkten zusammenfassen kann. und bietet eine gute Übersicht, in der man sich beim Nachschlagen besser zurecht findet. Aus diesem Grunde wurde hier ein Mittelweg zwischen Abstraktion und Anwendung eingeschlagen: Systematisches Vorgehen, gekoppelt mit praktischen Beispielen zur Motivation und Vertiefung. Dabei wird durch viele Figuren der abstrakte Inhalt anschaulich gemach!. Noch ein Wort zur »/lw/hell/mischen Sprache«! Sie besteht zum größten Teil aus der Umgangssprache, ergänzt durch mathematisch klar definierte Fachausdrücke und Begriffe. Man kann sagen, die eigentliche mathematische Fachsprache ~)schwimmt« auf der Umgangssprache. Denn ohne die Umgangssprache wäre jede Fachwissenschaft verloren und könnte sich nicht mineilen. Es hat sich nämlich herausgestellt, daß ein konsequentes Benutzen der exakten fachlichen Ausdrucksformen zu sprachlichen Ungetümen fUhren kann, so daß auf diese Weise die Sachverhalte viel schwieriger zu begreifen sind,ja, mitunter gar unverständlich zu werden drohen. Hier helfen »unscharfe« umgangssprachliche Formulierungen oft weiter und steigern die Verständlichkeit. Für das Lehren gilt nämlich der scheinbar widersprüchliche Satz: »Es ist nicht wichtig, ob sich der Lehrende stets richtig ausdrückt, sondern nur, daß im Kopf des Zuhörers das Richtige ankommt!« Ein Beispiel soll dies stellvertretend erläutern, und zwar die Sprechweise bei Funktionen. Fachlich korrekt (und pedantisch) heißt es: "Wir untersuchen die Funktion J : [-I, IJ ...... IR definiert durch J(x) :::: ~ fUr alle x E [-1.11, auf Differenzierbarkeil.« Eine einfachere Sprechweise (wenn auch etwas unschärfer) wäre: >~Wir untersuchen die Funktion J(x) = ~ auf Differenzierbarkeit.« Wir können wohl davon ausgehen, daß der zweitgenannte Text vom Hörer genauso verstan· den wird wie der erste, vielleicht sogar besser (insbesondere in einem Kapitel über reellwertige Funktionen einer reellen Variablen). Aus diesem Grunde werden wir uns in diesen Bänden einer einfachen Sprechweise bedienen, die der Umgangssprache nahe steht. Bei Funktionen nehmen

VII

wir uns die Freiheit heraus, Gleichungen als Ausdrücke fur Funktionen zu verwenden, oder den Funktiol1swert [(x) einfach als Funktion zu bezeichnen. Hierbei wird vorausgesetzt, daß der Leser (etwa nach Studium des Abschnittes 1.3 in Band I) mit dem abstrakten Funklionsbegriff vertraut ist. Die geschilderte Sprechweise (»pars pro toto«) hilft, sprachliche Überladung zu vermeiden. Insbesondere bei der Behandlung von Gewöhnlichen Differentialgleichungen (Band 111) würde man ohne vereinfachte Ausdrucksweise zu sprachlichen Komplikationen kommen, die das Verständnis stark erschweren. Aus diesem Grunde bedienen wir uns, soweit wie möglich, umgangssprachlicher Wendungen, ohne die Präzision aus den Augen zu verlieren. Zum Schluß bedanken wir uns bei allen, die uns bei diesem Buchvorhaben unterstützt haben. Frau Karin Lange, Herr Wolfgang Homburg und Herr Uwe Brunst haben bei Band I wertvolle Korrekturarbeiten geleistet, wofür ihnen vielmals gedankt sei. Frau Marlies Gottschalk, Frau Erika Münstedt und Frau Karin Wellig danken wir für ihre sorgfaltigen Schreibarbeiten wie auch Herrn Klaus Strube für die Herstellung vieler Zeichnungen in Band [] und 111. Dem Verlag B.G. Teubncr danken wir rur seinc gcduldigc und kooperative Zusammcnarbeit in allcn Phascn. Kassel, Juli 1985

Die Verfasser

Vorwort zur siebten AuHage Der Verfasser dieses Bandes, Herr Prof. Dr. Friedrich Wille, ist am 9. August 1992 verstorben. Die vorliegende Neuauflage wurde von Herbert Haf und Andreas Meister bearbcitet. Aufgrund ihrer Bedeutung rur die Anwendungen haben wir dicsen Band durch zwei Abschnitte erweitert: Zum einen durch einen konstruktiven Zugang zum Satz von Weierstraß (s. Abschn. 5.3) und zum anderen durch verschiedene praxisrelevante Algorithmen zur Berechnung von Interpolationspolynomen bzw. Splines (s. Abschn. 5.4). Wir sind der Übeneugung, daß diescr Band dadurch an Aktualität gewonnen hat. Ferner weisen wir darauf hin, daß unser Gesamtwerk aufgrund der Teilung von Band IV in »Vektoranalysis« und })Funktionentheorie« nunmehr aus sechs Bänden besteht. Unser Dank gilt Herrn Dr.-lng. Jörg Barner rur die Erstellung der hervorragenden Ib-TEXVorlage und rur seine sorgfältige Mitarbeit bei den Korrekturen. Nicht zuletzt danken wir dem Verlag B.G. Teubner fur seine ständige Gespriichsbereitschaft und Rücksichtnahme auf Terminprobleme und Gestaltungswünsche. Kassel, Januar 2006

Herben Haf Alldreas Meisler

Vorwort zur neunten Auflage Die vorliegende Ncuauflage dieses Bandcs unterscheidet sich inhaltlich nur geringfLigig von der vorhcrgehcnden Auflage. Es wurden lediglich kleinere Erweiterungen und Fehlerkorrckturen vorgenommen. Unser besonderer Dank gilt dabei einem sehr aufmerksamen Leser rur die gelieferten Anmerkungen. Wir freuen uns darüber. daß eine starke Nachfrage diese Nachauflage so rasch erforderlich gemacht hai und hoffen auf eine weiterhin freundliche Aufnahme dieses Bandes durch den Leser. Kassel, August 2010

Herben Haf Alldreas Meisler

Inhaltsverzeichnis Grundlagen 1.1 Reelle Zahlen 1.1.1 Die Zahlcngerade . [.1.2 Rechnen mit reellen Zahlen 1.1.3 Ordnung der reellen Zahlen und ihre Vollständigkeit I,I A Mcllgcnschreibweise....... 1.1.5 Vollständige Induktion 1.1.6 Potenzen, WurLe!n, Absolulbclrag

1.1.7

Summcnfonneln: geometrische, binomische, polynomische

1.2 Elementare Kombinatorik. 1.2.1 Fragestellungen der Kombinatorik I.2.2 Permutationen 1.2.3 Permutationen mit Identifikationen 1.2.4 Variationen ohne Wiederholungen 1.2.5 Variationen mit Wiederholungen 1.2.6 Kombinationen ohne Wiederholungen 1.2.7 Kombinationen mit Wiederholungen. 1.2.8 Zusammenfassung 1.3 Funktionen 1.3.1 Beispiele. 1.3.2 Reelle Funktionen einer reellen Variablcn 1.3.3 Tabellcn. graphischc Darstcllungen. Monotonic 1.3A Umkchrfunktion. Vcrkettungen . 1.3.5 Allgcmeiner Abbildungsbegriff 1.4 Unendliche Folgcn recller Zahlen 1.4. I Definition und Beispiele 1.4.2 Nullfolgen 1.4.3 Konvergcnte Folgen I.4A Ermittlung von Grenzwcrten 1A.5 Häufungspunktc, beschränkte Folgcn 1.4.6 Konvergenzkritericn 1A.7 Lösen von Glcichungen durch Iteration 1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen 1.5.1 Konvergcnz uncndlichcr Reihcn 1.5.2 Allgcmcine Konvcrgenzkritcricn . 1.5.3 Absolut konvcrgcntc Rcihcn . I.5A Konvergenzkritcricn für absolut konvergcnte Reihen 1.6 Stctige Funktioncn

I

1 1 4

8

"

17 21

24 30 30 31 32 34

37 38 39 41

42 42

44 46 51

54

56 56 57 60

62 66 68 71

74 74 79 82

85 89

X

[nhall~vcri:cichni~

1.6.1 1.6.2 1.6.3 1.6.4 1.6.5 1.6.6 1.6.7 1.6.8 1.6.9

2

Problemstellung: Lösen von Gleichungen Stetigkeit . Zwischenwertsatz . Regeln fur stetige Funktionen Maximum und Minimum stetiger Funktionen Glcichmiißige Stetigkcit Grenzwertc von Funktionen Polc und Grcnzwerte im Unendlichcn Einseitige Grenzwerte, Unstctigkeiten

Elementare Funktionen 2.1 Polynome 2.1.1 Allgemcines . 2.1.2 Geradcn. 2.1.3 Quadratischc Polynome. Parabeln 2.1.4 Quadratischc Glcichungen . 2.1.5 Berechnung von Polynomwcrtcn, Horner-Schema. 2.1.6 Division von Polynomcn, Anzahl der Nullstellen 2.2 Rationale und algebraische Funktionen. 2.2.1 Gebrochene mtionale Funktioncn 2.2.2 Algebraische Funktionen. 2.2.3 Kegelschnitte......... 2.3 Trigonometrische Funktionen. . . 2.3.1 Bogenlänge am Einheitskreis . 2.3.2 Sinus und Cosinus 2.3.3 Tangens und Cotangens 2.3.4 Arcus-Funktionen . . . 2.3.5 Anwendungcn: Entfernungsbcstimmung, Schwingungcn 2.4 Exponentialfunktionen, Logarithmus, Hyperbelfunktionen 2.4.1 Allgemeine Exponentialfunktionen 2.4.2 Wachstumsvorgänge. Die Zahl e 2.4.3 Die Exponentialfunktion exp(x) = e.r und der natürliche Logarithmus 2.4.4 Hyperbcl- und Arcafunktioncn 2.5 Komplexe Zahlcn . 2.5.1 Einflihrung 2.5.2 Der Körper der komplexen Zahlen 2.5.3 Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus im Komplexen 2.5.4 Polarkoordinaten, gcomctrische Deutung der komplexen Multiplikation, Zeigerdiagmmm . 2.5.5 Fundamentalsatz dcr Algebra, Folgcn und Reihcn, stctige Funktioncn im Komplexen .

3

Differentialrechnung einer reellen Variablen 3.1 Grundlagcn der Differentialrcchnung. 3.1.1 Geschwindigkeit

89 91

93

97 99 102 105 109 112

115 115 115 116 121 126 128 132 135 135 139 143 147 147 154 158 161 164 169 169 172 175 180 183 183 184 191 193 196

199 199 199

Inhaltsvcrlcichnis

XI

3.1.2 Differenzierbarkeit, Tangenten. . . . . . . . . . . 202 3.1.3 Differentiationsregeln fUr Summen, Produkte und Quotienten reeller Funktionen211 3.1.4 Kellenregel, Regel für Ul11kehrfunktionen, implizites Differenzieren 214 3.1.5 Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . . 220 3.1.6 Ableitungen der trigonometrischen Funktionen und der Arcusfunktionen 223 3.1.7 Ableitungen der Exponential- und Logarithmus-Funktionen 226 3.1.8 Ableitungen der Hyperbel- und Area-Funktionen . . 230 3.1.9 Zusammenstellung der wichtigsten Differentiationsregeln 230 3.2 Ausbau der Differentialrechnung. 232 3.2.1 Die Regeln von de I'Hospital . 232 3.2.2 Die Taylorsche Formel 237 3.2.3 Beispiele zur Taylorformel . . 240 3.2,4 Zusammenstellung der Taylorreihen elementarer Funktionen 246 3.2.5 Berechnung von:n . . . . . . 249 3.2.6 Das Newtonsche Verfahren. . 255 3.2.7 Bestimmung von ExtremstelIen 261 3.2.8 Kurvendiskussion. 266 3.3 Anwendungen............ 273 3.3.1 Bewegung von Massenpunkten. 273 3.3.2 Fehlerabschiitzung....... 277 3.3.3 Zur binomischen Reihe: physikalische Niiherungsformeln 278 3.3.4 Zur Exponentialfunktion: Wachsen und Abklingen 279 3.3.5 Zum Newtonsehen Verfahren. 282 3.3.6 Extremalprobleme 284

4

Integralrechnung einer reellen Variablen 4.1 Grundlagen der Integralrechnung. 4.1.1 Flächeninhalt und Integral . 4.1.2 lntegrierbarkeit stetiger und monotoner Funktionen 4.1.3 Graphisches Integrieren, Riemannsche Summen. numerische Integration mit der Tangentenformel 4.1.4 Regeln flir Integrale 4.1.5 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 4.2 Berechnung von Integralen 4.2.1 Unbestimmte Integrale, Grundintegrale 4.2.2 Substitutionsmethode . 4.2.3 Produktintegration 4.2.4 Integration rationaler Funktionen 4.2.5 Integration weiterer Funktionenklassen 4.2.6 Numerische Integration. 4.3 Uneigentliche Integrale 4.3. I Definition und Beispiele 4.3.2 Rechenregeln und Konvergenzkriterien 4.3.3 Integralkriterium fUr Reihen 4.3.4 Die Integralfunktionen Ei, Li. si, ci, das Fehlerintegral und die Gammafunktion

289 290 290 294 296 300 303 306 306 309 318 323 328 331 336 336 339 346 349

XII

[nhall~vcri:cichni~

4.4 Anwendung: Wech~c1stromrechnung . . 4.4.1 Mittelwerte in der Wechselstromtechnik 4.4.2 Komplexe Funktionen einer reellen Variablen 4.4.3 Komplexe Wechselstromrechnung 4.4.4 Onskurven bei WechselslromschallUngen

353 353 355 359 364

5

Folgen und Reihen VOll Funktionen 369 5.1 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionellfolgen und -reihen. 369 5.1.1 Gleichmäßige und punktweise Konvergenz von Funktionellfolgen 369 5.1.2 Vertauschung von Grenzprozessen 373 5.1.3 Gleichmäßig konvergente Reihen 376 5,2 Potenzreihen 379 5.2.1 Konvergenzradius . 379 5.2.2 Addieren und Multiplizieren von Potenzreihen sowie Differenzieren und Integrieren 383 5.2.3 Identitätssatz, Abclscher Grenzwertsatz 384 5.3 Der Weierstraß'sche Approximationssatz . 387 5.3.1 Bemerkung zur Polynomapproximation 387 5.3.2 Approximation von stetigen Funktionen durch Bernstein-Polynome 388 5.4 Interpolation. 393 5.4.1 Polynominterpolation . 393 .410 5.4.2 Splineinterpolation .419 5.5 Fourierreihen .419 5.5.1 Periodische Funktionen. .420 5.5.2 Trigonometrische Reihen. Fourier-Koeffizienten .422 5.5.3 Beispiele fLir Fourierreihen . .430 5.5.4 Konvergenz von Fourierreihen .435 5.5.5 Komplexe Schreibweise von Fourierreihcn .438 5.5.6 Anwendung; Gedämpfte er.lwungene Schwingung

6

Differentialrechnung mehrerer reeller Variabler 6.1 Der li-dimensionale Raum jR" 6.1.1 Spaltenvektoren . 6.1.2 Arithmetik im JR" . 6.1.3 Folgen und Reihen von Vektoren. 6.1.4 Topologische Begriffe 6.1.5 Matrizen . 6.2 Abbildungen im JR" 6.2.1 Abbildungen aus JR" in JR'" 6.2.2 Funktionen zweier reeller Variabler 6.2.3 Stetigkeit im IR" 6.3 Differenzierbare Abbildungen von mehreren Variablen 6.3.1 Partielle Ableitungen 6.3.2 Ableitungsrnatrix. Differenzierbarkeit. Tangentialebene. 6.3.3 Regeln fLir differenzierbare Abbildungen. Richtungsableitung

443 .443 .443 .444 .450 .452 .455 .459 .459 .460 .466 .468 .468 .472 .478

Inhaltsvcrlcichnis 6.3.4 Das vollständige Differential. . 6.3.5 Höhere partielle Ableitungen. . 6.3.6 Taylorformel und Mittelwertsatz 6.4 Gleichungssystcme, Extremalprobleme. Anwendungen 6.4.1 Newton-Verfahren im IR" 6.4.2 Satz über implizite Funktionen. Invcrtierungssatz 6.4.3 Extrcmalprobleme ohne Nebenbedingungen . 6.4.4 Extremalprobleme mit Nebenbedingungen

7

Integralrechnung mehrerer reeller Variabler 7.1 Integration bei zwei Variablen .. . . . . . . . . . . .. . . . . . 7.1.1 Anschauliche Einftihrung des Integrals zweier reeller Variabler. 7.1.2 Analylische Einführung des Integrals zweier reeller Variabler 7.1.3 Grundlegende Sütze 7.1.4 Ricmannschc Summen 7.1.5 Anwendungen 7.1.6 Krummlinige Koordinaten, Transformationen, Funktionaldeterminanten 7.1.7 Transformationsformel fur Bereichsinlegrale 7.2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen 7.2.1 Riemannsches Integral im IR" 7.2.2 Grundlegende Sütze . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Krummlinige Koordinaten. Funktionaldeterminallte, Transformationsformeln 7.2.4 Rauminhalte . . . . . . . . 7.2.5 Rotationskörper. 7.2.6 Anwendungen: Schwerpunkte. Trägheitsmomente 7.3 Parameterabhängige Integrale 7.3.1 Stetigkeit und Integrierbarkeit parameterabhängiger Integrale 7.3.2 Differentiation eines parametcrabhüngigcn Integrals 7.3.3 Differentiation bei variablen Integrationsgrenzen .

XIII . 482 . 486 488 491 491 496 501 504

511 511 5J I 521 525 531 533 540 545 551 551 554 556 562 565 568 576 576 577 578

Anhang

581

A Lösungen zu den Übungen

583

Symbole

589

Literaturverzeichnis

591

Stichwortl'erzcichnis

595

XIV

Band 11: Lineare Algebra (F. WilIe t , H. Haf, K. Burgt , A. Meister) Vektorrechnung in zwei und drei Dimensionen 1.1

Vektoren in der Ebene

1.2

Vektoren im dreidimensionalen Raum

2

Vektorräume beliebiger Dimensionen

2.1 2.2 2.3 2.4

Die Vektorräume lR" und C" Lineare Gleichungssysteme. Gaußseher Algorithmus Algebraische Strukturen: Gruppen und Körper Vektorräume über beliebigen Körpern

3

Matrizen

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Definition, Addition, s-Multiplikation Matrizenmultiplikation Reguliirc und inverse Matrizen Determinanten Spezielle Matrizen

3.6

Eigenwcl1c und EigenveklOrcn

3.7 3.8 3.9 3.10 3.11

Die Jordansehe Normalform Lineare Gleichungssyslcme und Matrizen Matrix-Funktionen Drehungen, Spiegelungen, Koordinatentransformationen Lineare Ausgleichsprobleme

4

Anwcndungen

4.1 4.2

Technische Strukturen Roboter-Bewegung

Band III: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Distributionen, Integraltransformationen (H. Haf, A. Meister) Gewöhnliche Differentialgleichungen Einführung in dic gcwöhnlichen Differcntialgleichungcn 1.1 1.2

Was ist eine Differentialgleichung? Differentialgleichungen l-ter Ordnung

xv 1.3 1.4

Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme l-teT Ordnung Ebene autonome Systeme

2

Lineare Differentialgleichungen

2.1

Lösungsverhalten

2.2 2.3 2.4

Homogene lineare Systeme l-teT Ordnung Inhomogene lineare Systeme l-tcrOrdnung Lineare Differentialgleichungen/Her Ordnung

3

Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

3.1

Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung

3.2

Lineare Systeme I-Ier Ordnung

4

Potenzreihenansätze und Anwendungen

4.1 4.2

Potenzreihcllunsätze Verallgemeinerte POtcnzreihCllunsätze

5

Rand- und Eigenwertprobleme. Anwendungen

5.1 5.2 5.3

Rand- und Eigenwcrtproblcme Anwendung auf eine partielle Differentialgleichung Anwendung auf ein nichtlineares Problem (Stabknickung)

Distributionen 6

Verallgcmeincrung des klassischen Funktionsbcgriffs

6.1 6.2

Motivierung und Definition Distributionen als Erweiterung der klassischen Funktionen

7

Rechncn mit Distributioncn. Anwendungen

7.1 7.2

Rechnen mit Distributionen Anwendungen

Integraltransformationen 8

Fouriertransformation

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Motivierung und Definition Umkehrung der Fouriertransformation Eigenschaften der Fouriertransformation Anwendung auf partielle Differentialgleichungsprob1eme Diskrele Fouriertransformation

XVI

9

Laplacctransformation

9.1 9.2 9.3 9.4

Motivierung und Definition Umkehrung der Laplacetransformatioll Eigenschaften der Laplacctransformation Anwendungen auf gewöhnliche lineare Differentialgleichungen

10

3-Transformatioll

[0.1

MOlivierung und Definition

10.2 10.3

Eigenschaften der 3-Transformation Anwendungen auf gewöhnliche lineare Differentialgleichungen

Band Vektoranalysis: (F. Wille!) Kurven 1.1

Wege. Kurven. BogenJiingc

1.2 1.3

Theorie ebener Kurven Beispiele ebener Kurven I: Kegelschnitte

[.4

Beispiele ebener Kurven 1I: Rollkurven, Blütter, Spiralen Theorie riiumlichcr Kurven

[.5 1.6

VeklOrfeldcr, POIcntiale. Kurvenintegrale

2

Flächen und Flächcllintcgralc

2.1 2.2

Flächenstücke und Flächen Flächenintegrale

3

Intcgralsätze

3.1 3.2 3.3 3.4

Der Gaußsche Integralsatz Der Stokessehe Integralsalz Weitere Differential~ und Illtegralformeln im [R3 Wirbclfreiheit, Quellfreiheit, Potentiale

4

Alternierende Differentialformen

4.1 4.2

Alternierende Differentialformen im [R3 Alternierende Differentialformen im [RII

5

Kartesische Tcnsorcn

5.1 5.2

Tensoralgebra Tensoranalysis

XVII

Band Funktionentheorie: (H. HaD I 1.1 1.2

Grundlagen Komplexe Zahlen Funktionen einer komplexen Variablen

2

Holomorphe Funktionen

2.1 2.2 2.3 2.4

Differenzierbarkeit im Komplexen. Holomorphie Komplexe Integration ErLeugung holomorpher Funktionen durch Grenzprozesse Asymptolische Abschiilzungen

3

Isolierte Sillgularitätcll, Laurcnt-Entwicklung

3.1 3.2

Laurentreihen Residuensatz und Anwendungen

4

Konformc Abbildungcn

4.1 4.2

EinfLihrung in die Theorie konformer Abbildungen Anwendungen auf die Potentialtheorie

5

Anwcndung dcr Funktioncntheorie auf die Bcssclsche Differtntialgleichung

5.1 5.2 5.3

Die Besselsche Differentialgleichung Die Besselschen und Neumannschen Funktionen Anwendungen

Band Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen: (H. Haf, A. Meister) Funktionalanalysis I I. I 1.2 1.3 2 2.1 2.2 2.3

Grundlcgende Räume Metrische Räume Normierte Räume. Banachräume Skalarprodukträume. Hilbcrträume Lineart Operatortn in normierten Räumen Beschränkte lineare Operatoren Fredholmsche Theorie in Sklllarproduktriiumcn Symmetrische vollstetige Operatoren

3

Ocr Hilbertraum L2(!l) und zugehörige Sobolevräumc

3. I 3.2

Der Hilbenraum L2(!l) Sobolevriiume

XVIII

Partielle Differentialgleichungen 4

Einrtihrung

4.1 4.2 4.3 4.4

Was ist eine partielle Differentialgleichung? Lineare partielle Differentialgleichungen I-ter Ordnung Lineare partielle Differentialgleichungen 2-ter Ordnung Der Reynoldsche Transporisalz

5

Helmholtf.sehc Sehwingungsglcichung und Potcntialgleiehung

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Grundlagen Ganzraurnprobleme Randwertprobleme Ein Eigenwertproblem der Potenlialtheorie Einflihrung in die Finite-Elemente-Methode (F. Wille t )

6

Die Wärmclcitungsglcichullg

6.1 6.2

Rand- und Anfangswertprobleme Ein Anfangswertproblem

7

Die Wellengleichung

7.1 7.2

Die homogene Wellengleichung Die inhomogene Wellengleichung

8

Die Maxwellschen Gleichungen

8.1 8.2

Die stationären Maxwellschen Gleichungen Randwertprobleme

9

Die Euler-Gleichungen und h)'perbolische Bilanzgleichungen

9.1 9.2 9.3 9.5 9.6

Kompressible und inkompressible Strömungen Bilanzgleichungen und Erhaltungsgleichungen Charakteristiken im skalaren eindimensionalen Fall Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten Schwache Lösungen Die Euler-Gleichungen

10

Hilbertraummethoden

10.1 10.2 10.3 10.4

Einführung Das schwache Dirichletproblem Hir lineare elliptische Differentialgleichungen Das schwache Neumannproblem Hir lineare elliptische Differentialgleichungen Zur Regularitiitstheorie beim Dirichlelproblem

9.4

1

Grundlagen

Zahlen, Funktionen und Konvergenz sind die Grundbegriffe der Analysis. In diesem ersten Abschnitt werden sie erklärt und ihre wichtigsten Eigenschaften erläutert, damit fur alles weitere ein sicheres Fundament gelegt ist. Dabei beginnen Wif von ganz vorne, nämlich mit den Zahlen

1,2,3.....

I.I

Reelle Zahlen

1.1.1

Die zahlcngcradc

Mathematik fangt mit dem Zählen an:

1.2.3.4,5,

usw.

Wir nennen diese Zahlen die Ilariirlichell Zahlen. Sie entstehen, mit I beginnend, durch fortgesetztes Erhöhen um I. Der Ausdruck »natürliche Zahlen« ist sicherlich gut gewählt, denn Kinder beginnen so zu zählen und in allen Kulturen beginnt mathematisches Denken mit diesen Zahlen. Die Al1zal1len von Äpfeln, Personen. Schiffen, Sternen, usw. lassen sich damit angeben, aber aueh Telefonnummern, Personalnummern, Rechnungsnummern (leider, leider) sowie Autonummern, Hausnummern und Datumsangaben. wobei der »Anzahlaspekl« eher in den Hintergrund tritt. und wir von Ordllullgszahlen spreehen. Aueh auf Skalen finden die natürlichen Zahlen Verwendung, z.B. auf Linealen, Uhren und Thermometern. Halt! Bei Thermometern komml offenbar etwas neues hinzu, und zwar werden negative Ztlhlen -I, -2, -3, ... benutzt. sowie die Null: O. Diese Zahlen - zusammen mit den natürlichen Zahlen - nennt man ganze Zahlen. Eine ganze Zahl ist also eine natürliche Zahl oder das Negative einer natürlichen Zahl oder gleich Null. Meiermaß. Uhr und Thermometer zeigen schon. daß wir auch Zwischenwerte brauchen, daß wir von halben Metern sprechen wollen, von einer i-Slunde oder von 38.r Fieber. wenn wir uns eine Grippe genommen haben. oder 31~1 schreiben. 38.3 können wir auch als 38 + Es dreht sich hier um Zahlen der Form

fo

a b

*

wobei a. b beliebige ganze Zahlen sind, und wobei b # 0 ist. Diese Zahlen heißen Brüche oder rationale Zahlen. Ist b = I, so ergeben sich dabei die ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen sind also spezielle ralionale Zahlen. Alle rationalen Z'lhlen lassen sich als »Dezimalzahlen«, auch »Dezimalbrüche(( genannt,

K. Burg et al., Höhere Mathematik für Ingenieure, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9929-3_1, © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

2

I Grundlagen

schreiben, z.B. 3

6

5 = 10

3765 100 = 37.65.

= 0.6.

Wir gehen davon aus, daß der Leser mit Dezimalbrüchen schon bekannt ist (wie könnle er sonst Superbenzin zu lAI € pro Liter kaufen). Es soll daher nur einiges in Erinnerung gerufen werden. Beginnen wir mit Beispielen fur Dezimalbrüchc: 6,36;

-378.604325 ;

0,0062 ;

3.61616161

1.414213562 ..

(=

(1.1)

J2).

Dezimalbrüche haben allgemcin die Form m, al (11(13(14

....

wobei m eine ganze Zahl ist und die (11. (11. (/3, (14, ... Ziffern aus dem Bereich 0, I, 2, 3, 4, 5, 6,7,8,9 sind. Die Punkte rechts von (14 deuten an, daß es mit (/5 weitergeht, dann (/6 usw., kurz, daß nach jeder dieser Ziffern stels noch eine weitere folgt. Sind von einer Ziffer (/" an alle folgendcn Ziffern Null: a,,+1 = O. (/,,+1 = O.... usw., so brechen wir die Ziffernreihenfolge bei (/" ab (z.B. 6.36 = 6.36000 ... ) und nennen diese Dezimalbrüche abbrechemJe Dezimalbrüche. Hierbei gilt z.B. 6.36=6+

3

10 +

6

100

allgemein: (/1 (/1 ±m. (11(/1··· (/" = ± ( m + 10 + 101 + ... + ,(:) 'r

Ein weiterer Typ ist z.B. durch (/ = 3.52761616161 gegeben. wobei die Ziffern 61 sich fortlaufend wiederholen. Wir nennen 61 die Periode des Dezimalbruches und schreiben den Dezimalbruch auch 3.52761 . Die Periode wird einfach überstrichen. Allgemein haben periodische Dezimalbrüche die Form

wobei die Ziffcrn b l b1 ... bk in dieser Rcihenfolge fortlaufend aneinandergefLigt werden. b 1 ••• bk heißt die Periode der Zahl und k ihre Perioden länge. Es gilt

I, I Reelle Zahlen

3

Jede ratiollale 'Zahl kallll als abbrechender oder periodischer Dezimalbruch geschrieben werden und umgekehrt.

Wir machen dies an Beispielen klar, und zwar erhalten wir 17° = I ,42857142857 .. durch das bekannte DivisionsverfahreIl 10: 7 = 1,42857142857 ...

7

30

28 20 14

60

(Es muß sich hier eine Periode ergeben, da sich die Divisionsreste irgendwann einmal wiederholen müssen.) Ist umgekehrt ein periodischer Dezimalbruch gegeben, z,B, a = 3.527616161.

so bildet man 102(/ = 352,7616161., (die Hochzahl 2 in 102 ist gleich der Periodenlänge) und subtrahiert: 100(/ = 352.761 +0,000616161 (-)

a =

3.527+0.000616161

99(/ = 349,234 also 99(/ = 349.234,

d,h.

349.234 a~

99

349234

--99000

Der Leser ist hiernach sicherlich imstande, beliebige periodische Dezimalbrüche in Brüche der Form alb zu verwandeln. Man kann sich auch Dezimalzahlen denken, die nicht abbrechen und auch keine Periode ha-

4

I Grundlagen

ben. Die Zahl

J2 =

1,414213562.

ist von diesem Typ. Zahlen dieser Art heißen irralionale lilMen (also »nichlrationale« Z'"Ihlen). Alle besprochenen Zahlen, also alle rationalen und irrationalen, nennt man reelle lid/lell. Zusammenfassung.

natürliche Zahle,,: 1.2,3.4.5. gatluZahlell: . '" -3, -2. -I, O. 1.2.3" .. ratiollale Zahle,,; alb (a. b ganze Zahlen, b periodischen Dezimalbrüche

i= 0), das sind alle abbrechenden und alle

irratiollale Zahlell: nichtperiodische. nichtabbrechende Dezimalbrüche reelle Zahle,,; alle Dezimalbrüche Man kann die reellen Zahlen als Punkte einer Geraden veranschaulichen. der sogenannten lill/leI/geraden (s. Fig. I. I). I -3

I -2

I -1

0

2

,

•

Fig. I I: Zahlengerade Übung 1.1: Verwandle die folgenden periodischen Dezimalbrüche in Brüche dcr Form natürliche Zahlen sind: (a) 5.74: (b) 3uffi: (c) o. 9.

1.1.2

!ff. wobei Il

und

1/1

Rechnen mit reellen Zahlen

Was wäre mit den Zahlen schon anzufangen. wenn man nicht mit ihnen rechnen könnte? Wir wollen die Rechengesetze für reelle Zahlen zusammenstellen, getrennt in Grundgesetze und abgeleitete Regeln. Dabei gehen wir davon aus, daß der Leser das Rechnen mit den reellen Zahlen schon bis zu einem gewissen Grade beherrscht. Wir werden daher die folgenden Grundgesetze nicht näher begründen. Dies würde den Rahmen des Buches sprengen und ist einem konstruktiven Aufbau des Zahlensystems vorbehalten, s. Oberschelp [44J.

Grundgesetze der Addition und Multiplikation. Je zwei reelle Zahlen a und b darf man addieren: a + b. und lIIullip/izieren: a . b. l . a + b heißt die Summe und {/·b das Produkl von {/ und b. Summe {/ +b und Produkt {/·b sind reelle Z'"Ihlen, die eindeutig durch {/ und b bestimmt sind.

I, I Reelle Zahlen

5

Für alle reellen Zahlen a, b, c gilt (AI)

a+(b+c)=(a+b)+c

(A2)

a+b=b+a

(A3) (A4)

fur die reelle Zahl 0 gilt a + 0 = a zu jeder reellen Zahl a gibt es genau eine reelle Zahl x mit a

+x

= O. Wir schreiben dafür x = -a

(MI)

(I·(b·c)=(a·b)·c

(M2)

a .b = b .a

(M3)

flir die reelle Zahl I gilt a . I = a

(M4)

zu jeder reellen Zahl

a #; 0 gibt es genau eine reelle Zahl y

mita· y = I. Wirschreibendafur)' =

(01)

a·(b+c)=a·b+a·c

(D2)

0" 1

t odery =a- l

Bemerkung: Die Gesetze (A 1) und (M I) heißen Assoziativgesetz der Addition bzw. Multiplikation, (A2) und (M2) werden entsprechend Kommlltativge~'etze genannt, während (01) Di.vtrihutivgesctz heißt. Die Regeln (A 1) bis (02) zusammen heißen auch die Kürperaüome der reellen Zahlen. Die Assoziativgesetze (A I) und (M I) bedeuten offenbar, daß es gleichgültig ist, wie man dabei die Klammern setzl. Wir lassen sie daher auch weg und schreiben einfach a + b + c = (a + b) + c, abc = (ab)e. Entsprechend werden auch bei längeren Summen und Produkten die Klammern weggelassen. Die Sublraktion zweier reeller Zahlen a, b wird durch

a-h=a+(-h) erkllirt. Man nennt die so errechnete Zahl die Differenz von a und b. Entsprechend Hihrt man die Dil'isiol1 von a und b (b #; 0) durch die Gleichung

a b

1 b

=tI·-

ein. Man nennt diese Zahl den QlloticllIell von a und b. Später werden wir noch weitere Grundgesetze flir die reellen Zahlen kennenlernen, und zwar die Grundgesetze der Ordnung (betreffend »größer« und »kleiner«) sowie die sogenannte Vo/!sti.ilUiigkeit und die Archimedische Eigenschaft. Doch zunächst soll klar gemacht werden. daß aus den notierten Grundgesetzen der Addition und Multiplikation die üblichen Rege/n der Bmc!l,.edlllung folgen, wie z.B. »Bruche werden multipliziert, indem man Zlihler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert'<, oder »zwei I Der Mulliplikmionspunkl wird

nuch weggelasscn: {l • b = ob

6

I Grundlagen

Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des einen Bruches multipliziert« usw. Diese Regeln sind dem Leser sicher weitgehend bekannt, und er hat sie schon verwendet. Aus diesem Grunde mag der eilige Leser die folgenden Herleitungen überschlagen. Er kann sie später nachlesen, wenn er es einmal genauer wissen möchte, z.B. wenn er gefragt wird, warum »Minus mal Minus Plus ergibt«. Dann kann er, nach kurLem Studium der folgenden Seiten antworten: »Aus den Körperaxiomen der reellen Zahlen ergibt sich dies folgendermaßen ... «, und er wird ein ehrfürchtig staunendes Publikum hinterlassen. Doch nun zur schriuweisen Herleitung der Bruch,.ecllllu"g.~-Regein aus den Körperaxiomen!

°

Folgerung 1.1: ist die einzige reelle Zahl, die a + 0 = a flir alle reellen Zahlen a erfüllt, und I ist die einzige reelle Zahl mit a· I = a für alle reellen a.

Beweis: 0) Wäre 0' irgendeine reelle Zahl, verschieden von 0, die ebenfalls a + 0' = a für alle reellen a erfüllt, so folgte speziell für a = 0: 0 + 0' = O. Andererseits ist aber auch 0' + 0 = 0', da 0 bei Addition ebenfalls nichts verändert. Somit folgt 0 = 0 + 0' = 0' + 0 = 0', d.h. 0' ist doch gleich 0, im Widerspruch zu unserer Voraussetzung #- 0'. Daher kann es kein 0' der genannten Art geben, d.h. 0 ist einzige reelle Zahl mit a + 0 = a ftir alle a. (ii) Für I verläuft der Beweis entsprechend. Man hat nur 0 durch I und + durch· zu ersetzen.D

°

Folgerung 1.2: (Lösen einfacher Gleichungen) Für alle reellen Zahlen a, b gilt:

+x

= b

und falls a

#- 0:

a

x = b- a

ist gleichbedeutend mit

is/ gleiclzbedell/end mir

b

x =-. a

Bemerkung: Für ))ist gleichbedeutend mi/« verwenden wir auch das Zeichen erhalten damit die kürLere Form

a+x=b{::>x=b-a,

a .x = b

b

{::>

x = -

a

(falls a

'*

{::>.

Die Aussagen

0).

Beweis:

'*

a +x = b

a

{::>

(-a) +a +x = (~a) +b {::> ~{/x = t,b {::> x = ~.

0: {/. x = b

{::>

O+x = b -a

{::>

x = b -a. Entsprechend flir 0

Folgerung 1.3: Für alle reellen Z1hlen a gilt a . 0 = 0, -( ~a) = a und falls a

'*

0: (ll-l)-l = a.

1,1 RccllcZahlcn

7

Beweis: (i) a . 0 = a ·0+ (a ·0 - a ·0) = a . (0 + 0) - a . 0 = a ,0 - a ·0 = O. (ii) -(-a)=-(-a)+(-a)+a=O+a=a. (iii) (a-I)-I = (a-I)-Ia-I a = I 'a = a.

o

Folgerung 1.4: (VorLeichenregeln bei Multiplikationen) Für alle reellen Zahlen a und b gilt: a(-b) = -ab.

(-a)b = -ab.

(-a)(-b) =ab.

Beweis: (I(-b) = a(-b) + (lb - (lb = (I(-b + b) - ab = a ·0 - ab = -ab. Ferner (-a)b = b(-a) = -ba = -ab. und schließlich (-a)(-b) = -(a(-b» = -(-ab) = ab.

o

Merkregel: »minus mal minus gleich plus«

»minus mal plus gleich minus«

Folgerung 1.5: (Additions- und Multiplikationsregeln der Bruchrechnung) Alle reellen Zahlen a. b. c, d mit c f- 0 und d f- 0 erfüllen die Gleichungen "nd

a

b

c

d

ab ~

cd

Beweis: Zunächst wird die zweite Regel bewiesen: Es ist c-I(/-I = «(.'(/)-1. wie man aus (cd)·(c-I(/-I) = (ec-I)(d(/-I) = I erkennt. Damit gi II abi I I ab - . - = ae- b(r = ab(cd)- = - . c d cd

Mit d Id = I und eie = I folgt daraus die erste Regel: b c -a + -b=a- d . - + - .-

ad = -

bc

+-

cdcddccdcd

= (ad

+ bc)-I cd

=

(ld

+ bc cd

.

o

Folgerung 1.6: (Divisionsregel der Bruchrechnung) Für alle reellen a. b, c, d mit b f- 0, cf- O. (/ f- 0 gilt ac

b

-

d

~

at! 2 bc'

8

I Grundlagen

Beweis: Es ist

o Potenzieren mit natürlichen Zahlen: Zur Abkünung schrcibl man

a"=a·a· .. ·(/. ~

11

Faktoren

also (/ I = a. a 2 = (/ . a, a 3 = a . a . a usw. a'l wird »a hoch »a" ist die li-te PorellZ von a« (s. Abschn. 1.1.6).

/I«

ausgesprochen. Man sagt auch

Übung 1.2: Löse die folgenden Gleichungen nach x auf: a) 8x-3=6x+5.

3x - 2

b) - - =2. 4x + 1

c)

5(.l-2)+9 =3. (.l+l)(x 2) x(x+5)

Übung 1.3: Wo steckt der Fehler in folgender »Herleilung« ?: {/ =b

1.1.3

=}

3a -2a = 3b- 2b => 3a -3b = 2l/-2b => 3«(/ -b) = 2(a -b) => 3 = 2.

Ordnung der reellen Zahlen und ihre Vollständigkeit

Ordnung muß sein! Auch bei den reellen Zahlen! Die Ordnung drückt sich dabei in der »Kleiner« und »Größer-Beziehung« zwischen den Zahlen aus. Sie liißI sich besonders klar an der Zahlengeraden verdeutlichen:

a

I

b

•

I

Fig. 1.2: »Kleiner-« und »Größer-Beziehung«:

(I

< b

In Fig. 1.2 sind zwei Punkte a und b markiert, die reelle Zahlen bedeuten sollen. Liegt hier - a links von b, so schreiben wir: a < b. 2 Schreibweise der Division mit Doppclpun~l: x :)' = x. )'-1

wie

1,1

RccllcZahlcn

9

in Worten: »a kleiner als b«, oder auch umgekehrt b > a, in Worten; »b größer als a«. Die Grundgesetze für diese Beziehung lauten folgendermaßen: Grundgesetze der Ordnung; (01) Für je zwei reelle Zahlen a und b gilt genau eine der drei folgenden Beziehungen:

a
a=b,

b
(02) Ausa < b undb < c folgt a < e, (03) Aus a < b folgt (/

+ e < b + e, (e beliebig reell),

(04) Ausa < b folgta·e < b· c, wenn 0 < eist.

Bezeichnungen: Stall a < b schreibt man auch b > a, wie oben schon gesagt. a heißt genau dann pOSiliv, wenn a > 0 gilt, und genau dann negllliv, wenn {/ < O. Die Ungleichung a 2::. b, wie auch b ::: a, bedeutet, »a ist größer oder gleich b« oder anders gesagt: »b ist kleiner oder gleich {/« • Wir nehmen an, daß die Grundgesetze der Ordnung mit dem bisherigen Zahlenverständnis des Lesers im Einklang stehen, und begründen sie daher hier nicht weiter. Aus den Grundgesetzen können weitere Regeln abgeleitet werden. Die wichtigsten stellen wir in der nächsten Folgerung zusammen und deuten einige Beweise kur.t an. Beim ersten Lesen genUgt es, sich die Regeln an Beispielen klar zu machen, um so mit ihnen umgehen zu lernen. Folgerung 1.7: Hir alle reellen Z1hlen a, b. c, d gelten die Regeln: (a) (/ > 0 und b > 0

a

~

+b >

0 und a . b > 0

(b) (/ > 0 <=> -(/ < 0

(c) (/

t- 0 ~ a . a

> 0, insbesondere I > 0, da I = I . I > 0

(d) (/ < bund c < d (e) 0 :::::

a <

bund 0 :::::

+e

< b+ d

c < d ~

<0 a > 0 und b < 0

~

0 und b < 0

~

(g) a <

(/

~

0 ::::: {je < b(1

ab < 0 I

ab > 0 I

(h)O
b

a

I

I

(i)O>a>b=>O>b> a Beweis: (a) Ausa > Oundb > Ofolgla+b > a+O=a > onach (03)3, also wegen (02); a+b > O. Entsprechend ergibt (04): 0< a ~ 0, b < ab (da 0< b), also 0< ab. 3 D
+ ll. wie

10

(b)

I

°


Grundlagen

=> 0+ (-a)

< a

+ (-a) :) -a

< 0,

(c) Für a > 0 folgt a 'a > 0 aus (a). Ist a < 0, so -a > 0, nach (b) also (/ 'a :::: (-aH -a) > O. (d) (a < bunde< d) => (b-a > 0 und d-c > 0) => b-a+d-c > 0 => b+d > a+c. Die übrigen Beweise verlaufen ähnlich und werden dem Leser rur Mußestunden überlassen. 0 Schließlich kommen wir zum Gesetz von der Vollständigkeit der reellen Zahlen. Es spiegelt unsere Vorstellung wider, daß jede reelle Zahl einem Punkt der Zahlengeraden entspricht und umgekehrt. Zunächst denken wir uns dazu reelle Zahlen (/1, (/2, (/3, ... sowie bl, b2, b3, ... , dic folgendermaßen geordnct sind:

Dabei entspreche jeder natürlichen Zahl rur jedes 11:

11

genau ein (/" und genau ein bl/' Es gilt also allgemein

Man sagt. die Zahlen (/1, (/2, ... , bl. b2 •... bilden eine IlIIeI'\'(/llschac!lIelullg. Wir nehmen zusätzlich an, daß die Zahlen a" und b" beliebig dicht »zusammenrücken«. D.h. jede noch so kleine positive Zahl E wird von wenigstens einer Differenz b" - al/ unterschritten,

wenn wir 11 nur genügend groß wählen. Unter diesen Voraussetzungen lautet das Grundgesetz der Vollständigkeit: Es gibt genau eine reelle Zahl x, die

a" :::: x::::

b"

fur alle natürlichen Zahlen

.

11

erfullt.

Fig. 1.3 gibt eine Vorstellung von der Lage der Zahlen.

,

"

••

I b.

I "

I

I

•

Fig, 1.3: [ntervallschachtc1ung

x wird durch die Zahlen (/" und b" von rechts und links »eingegrenzt« . Dies entspricht vollkommen der geometrischen Vorstellung, daß jedem Punkt der Z1hlengeraden genau eine Z1hl entspricht und umgekehrt. Als letztes Grundgesetz geben wir das Archimedische Axiom der reellen Zahlcn an. (Es läßt sich eigcntümlicherweise nicht aus den vorausgehenden Grundgesetzen beweisen, obwohl es so selbstverständlich erscheint.)

1,1 ReelleZahlen

I1

Archimedisches 4 Axiom: Zu jeder reellen Zahl a, sei sie auch noch so groß, gibt es eine natürliche zahl 11, die noch größer ist: 11 > {/. Hier ist die »reziproke Formulierung« von noch größerer Bedeutung. Sie lautet Folgerung 1.8: Zu jeder noch so kleinen Zahl e > 0 gibt es eine natürliche Zahln mit I -<E-

(1.2)

a

Mit anderen Worten: Die Zahlen ~

(11

natürlich) werden »beliebig klein« .

Beweis: Zum Beweis brauchen wir die Ungleichung 1/" < e nur in der Form I

- <

e

11

zu schreiben. (Aus ihr geht (1.2) durch Multiplikation mit ~ hervor.) Aufgrund der Eigenschaft des Archimedes gibt es aber ein natürliches n mit 11 > 1/8. womil alles bewiesen ist. 0 Damit haben wir alle Grundgesetze der reellen zahlen aufgezählt und die wichtigsten Rechenregeln daraus hergeleitet. Im nächsten Abschnitt fUhren wir die Mengenschreibweise mit ihren einfachsten Regeln ein. Sie gestaltet es, viele Dinge sehr übersichtlich und kurz zu beschreiben und ist daher sehr bequem. Ein Beispiel dazu vorweg: Der Satz»(/ ist eine reelle Zahl« läßt sich viel kürzer durch aelll

ausdrUcken. Dies besagt: {/ ist Element der Menge IR. der reellen Zahlen.

1.1.4

Mengenschreibweise

Statt von den »natiirlichen Zahlen« sprechen wir auch von der »Menge der natiirlichen Zahlen« . Ebenso sprechen wir von der »Menge der ganzen zahlen« , der »Menge der rationalen zahlen« usw. Dabei haben wir den sogenannten »naiven Mengenbegriff« vor Augen: Naiver McngcnbcgrifT: Eine Menge ist eine Zusammenfassung verschiedener Objekte unseres Denkens oder unserer Anschauung zu einem Ganzen, Die Objekte werden die Elemente der Menge genannt. Beschreibt der Buchstabe M eine Menge (z.B. die Menge aller Menschen), und ist x ein Element der Menge (ein Mensch), so schreiben wir dafUr XE M 4 Archimedes \'on Symkus (um 287 v. Chr. - 2t2 v. Chr.). antiker gric.::hischer Mathelllatiker. Physiker und Ingenieur

12

I Grundlagen

(sprich: »x aus M« , oder »x ist Element von M« ). Ist x dagegen ein Objekt, welches nicht zur Menge M gehört (z.B. ein Tier), so beschreibt man dies durch x

rf.

M.

Zwei Mengen heißen genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente haben. Beispiel 1.1: Die folgenden Bezeichnungen sind üblich: N :::: Menge der natürlichen Zahlen 1,2,3, No :::: Menge der Zahlen 0, 1,2.3, Z:::: Menge der ganzen Zahlen ... , -2, -I, O. 1,2, a Q :::: Menge der rationalen Zahlen b (mit a. b E Z, b

t- 0)

IR :::: Menge der reellen Zahlen (alle Dezimalzahlen) IR+ :::: Menge der positiven reellen Zahlen (x E IR mit x > 0) IR- :::: Menge der negativen reellen Zahlen (x E IR mit x < 0) IRci :::: Menge der nicht negativen reellen Zahlen (x E lR mit x ::: 0) lRü :::: Menge der nicht positiven reellen Zahlen (x E IR mit x ::: 0) Weitere oft benutzte Mengen reeller Zahlen sind die sogenannten Illlel'l'lllle. Diese sind Teilstrecken der Zahlengeraden oder Halbgeraden oder IR. selbst. Genauer: Mil [a. b[ bezeichnen wir die Menge aller reellen Zahlen x mit (/ ::: x ::: b. Wir drücken dies kürzer aus: [a.b]:::: Ix E IR I a:::x :::b).

Dabei bedeutet die rechte Seite die »Menge aller x E IR. die die Eigenschaft a ::: x ::: b besitzen«. [a, b] heiBt das (/bge~"C!llosselle IlIIervalll'oll a bi~' b. Auf der Z1hlengeraden slellt dieses Intervall eine Strecke dar, s. Fig. 1.4.

a

b

Fig. 1.4: lnlervalila. bl Entsprechend werden weitere Intervalle definiert. Die folgenden Schreibweisen sind nach dem Beispiel [a, b J unmittelbar verständlich. Dabei gelte wieder a < b: (a. b) :::: Ix E lR I a < x < b}

heißt offelle.f Imen1all von abis b

(die »Endpunkte« a, b gehören nicht dazu) kl. b) :::: Ix E IR I a ::: x < b}

und

I, I Reelle Zahlen

(a, bJ = Ix e lR la < x

~

b}

13

heißen halboffene lilien/alle

(jeweils ein Endpunkt gehört dazu, der andere nicht). Die bisher genannten Intervalle werden beschränkte Illfen/alfe genannt. Der Vollständigkeit halber fUgen wir gleich die sogenannten unbeschrünkten Inten!(llIe an:

la.oo)={xelRlx;::a} (-00.

cl = Ix e IR I x ~ cl

(a. 00) = Ix E IR

(-00. c) = Ix

E

Ix

> al

IR I x < c}

I

abgeschlossene Halbgeraden (s. Fig. 1.5)

1 offene Halbgeradell

und (-00.00) = IR. (--, cJ

,

(a. -l

•

Fig. J .5: Unbeschränkte Intervalle

Intervalle spielen im täglichen Leben schon in einfachen Fällen eine Rolle: Im Wetterbericht hören wir z.B. von Temperaturen zwischen _2 0 bis +1°, was nichts anderes heißt. als daß die Temperatunlngabcn im Intervall (-2, I) liegen, Längenangabcn wie auch Gewichte sind stets positiv. sie liegen also im Intervall (0. 00), Die Spliuillgtabclle der Steuer ist in Intervalle eingetei It, die verschiedenen Steuersätzen entsprechen. usw. y-Achse

d

, -----~

y-Achse

y

o

-----~

, , ,

------,(~.y)

~

•

b

x-Achse

x-Achse

Fig. 1.6: Koordinaten

Fig. 1.7: Rechteck und Kreis

Weitere anschauliche Beispiele rur Mengen sind PUllktmengen der Ebene. Führen wir in üblicher Weise ein Koordinatensystem mit x- und y-Achse ein, so entspricht jedem Punkt der Ebene genau ein Z1hlenpaar (x, y), wobei x die x-Koordinate heißt und y die y-Koordinate (s. Fig. 1.6)5. Wir nennen Zahlenpaare daher auch Punkte (der Ebene) und bezeichnen die Menge aller dieser Zahlenpaare als 1R2, 5 Aus dem Zusammenhang muß je.....eils hervorgehen. ob (.r. y) ein Punktepaar oder ein offenes lnteT\'all bezeichnel.

14

I Grundlagen Ein Reell/eck, wic in Fig. 1.7 zu schen, bestcht aus allcn Punkten (x, y), fUr die a

~

x

~

bund

c

~

y

~

d

gilt. Ncnncn wir dic Menge dieser Punkte kurz R (Rechteck), so können wir schreiben

R={(x, y) elR 2 1a ~x ~b und c ~y ~dl. Betrachten wir noch ein BeispieL und zwar eine Krei.w:heibe um Q = (0.0) mit Radius I, s. Fig. 1.7. Ein Punkt (x, y) liegt genau dann in dieser Kreisscheibe, wenn sein Absland 6 von Q kleiner oder gleich I ist. Der Abstand ist aber offenbar gleich

wie man mit dem Lehrsatz des PytJwgoras ermittelt (s. Fig. 1.6). Damit besteht die Kreisscheibe K aus allen Punkten (x. y) E [R2 mit x

2

+l

~ I,

Diese Punktmenge läßt sich also kur/.: so beschreiben:

M

Fig. 1.8: Teilmenge A von M

Um mit Mengen bequem umgehen zu können, vercinbaren wir einigc Bezcichnungcn: (a)

{XI, X2, ... ,

x" I bezeichnet die Menge der Elemente XI, X2,

..., XII'

(b) {x I x hat die Eigenschaft EI ist die Menge aller Elemente x mit der Eigenschaft E. {x E M I x hat die Eigenschaft EI ist die Menge aller Elemente x aus M mit der Eigenschaft E (s. obige Beispiele). (c) Eine Menge A heißt Teilmellge einer Menge M, wenn jedes Element von A in M liegt. Wir 6

[m

Sinne der euklidischen Geometrie

I, I Reelle Zahlen

15

beschreiben dies kurz durch A 0; Moder

M:> A.

(s. Fig. 1.8)

M heißt eine Obermenge von A. Hier ist auch der Fall denkbar. daß A = Mist (M ist also Teilmenge von sich selbst!). Ist A aber eine Teilmenge von M, die nicht gleich M ist, so nennen wir A eine echte Teilmenge von M und schreiben daflir A~M

(d) Gilt A

c

oder

M;?A.

M, so besteht die Res/menge

M \A aus allen Elementen x E M. die nicht in A liegen (s. Fig. 1.8). Es kann dabei sein, daß es keine Elemente dieser Art gibt. nämlich wenn A = M isl. In diesem Fall sagen wir: Die Restmenge M \ A ist leer. Das fUhrt auf folgende Vereinbarung:

(e) Mit 0 bezeichnen wir die sogenannte leere Mellge, Dies ist eine Menge ohne Elemente. D.h., flir jedes irgendwie geartete Element x gilt x ~ 0. Wir können daher im Falle A = M fUr die Restmenge M \ Aschreiben:

(f) Als Vereinigung zweier Mengen A und B bezeichet man die Menge aller Elemente x, die in A. in B oder in beiden Mengen liegen (s. Fig. 1.9). Sie wird symbolisicrt durch

AUB (g) Dic Sc/mit/menge (auch DIII"chsclmill genannt)

AnB zweier Mengen A, B ist die Menge aller Elemente x, die sowohl in A als auch in B liegen (s. Fig. 1.9). Man macht sich an Fig. 1,10 leicht klar. daß folgende einfache Regeln gelten: A U (13 U C)

~

(A U 13) U C

An (8 n C) = (A n 8) n C

Es ist hier also gleichgültig, wie die Klammern gesetzt werden. Aus diesem Grunde werdcn

16

Grundlagen AuB

AoB

Fig, 1.10: Die Mengen A, 8. C

Fig, 1.9: Vereinigung und Sehnillmenge

sie auch einfach weggelassen. Ferner gilt offenbar A U (B n C) = (A U B) n (A U C) A n (B U C) = (A n B) U (A n C) M \ (A U B) M \ (A

n B)

n (M

~

(M \ A)

~

(M \ B) U (M \ B)

\ B)

I

wobeiACMundBCM.

Die ersten heiden Regeln entsprechen einem »Ausmultiplizieren« von Klammem (bei Zahlen zum Vergleich: a· (b + c) = (a· b) + (a . c», während die nächsten heiden Regelnauch Oe Morgallsche 7 Regeln genannt - zeigen, daß U und n ausgetauscht werden, wenn man von der linken zur rechten Seite der Gleichung übergeht. (h) Schließlich nennen wir (a.b)

das Paar aus den Elementen fl. b. Dabei sind zwei Paare (a, b) und (e, d) genau dann gleich, wenn a = c und b = d ist. Die Reihenfolge der Elemente a. b läßt sich im Falle a ::ft b also nicht vertauschen: Es ist (a, b) ::ft (b. a). D.h. bei Paaren kommt es auf die Reihenfolge der Elemente an (im Gegensatz zu Mengen {a. b} aus zwei Elementen. fur die {a. b} = (b. al gilt). Sind A, B Mengen, so kann man daraus die Menge aller Paare (a, b)

mit

a E A

und

bEB

bilden. Sie wird mit A x B

bezeichnet und Paal'mel1ge oder ClIl"/esisehes ProduktS der Menge A, B genannt. Ist dabei 7 Auguslus Dc Morgan (1806- 1871). englischer Mathematiker 8 Nach Rene Dcscartes (1596-1650). französischer Philosoph. Mathematiker und Physiker

1,1 RccllcZahlen

17

speziell A = B, so schreibt man kurz A2 = A x A. Auf diese Weise ordnet sich die schon betrachtete Menge 1R2 = IR. x IR hier ein. Allgemeiner kann man dieses Konzept auch auf sogenannte 1I-1ilpel

ausdehnen. Dabei sind (al, und (/; b; fUr alle i 1.2,

=

=

, a,l) und (bi .. '" b",) genau dann gleich, wenn 11 = 111 ist , 11. Sind A J, . . . , All Mengen, so beschreibt

AI x A2 x ... X All

die Menge aller 11- Tupel (al, .... (In) mit al E AI. a2 E A2 • ..., a ll E All' Diese Menge heißt das cartesisclle Produkt der Mengen A h ..., All' Sind alle diese Mengen gleich: Ai = A fur alle i = I, ... , 11, so wird das cartesische Produkt der Al, ... , A" kurz A" genannt. Übung 1,4*: [n einem Voronzug sind 60 % der Fahrgiiste Manner. 70 % Raucher und 80 % Pendler zwischen Arbeitsstätte und Wohnung, Gibt es Fahrgasle mit allen drei Eigenschaften? Wievic1 Pro7.cnt sind es mindestens?

Verwandt ist die folgende Aufgabe: Übung 1.5: Eine Firma stellt elektrische Ger'.ite her, jedes dieser Gerate setzt sich aus 4 $chaltelemenlcn A, B, C. D zusammen. Von den verwendeten SchaltelementeIl des Typs A arbeiten 95 % einwandfrei. vom Typ B 97 %, vom Typ C 92 % und vom Typ D 89 %. (Es handelt sich um "integrierte« Schaltungen. bei denen stets gewisse Ausfallquoten vorkommen.) Vor dem Zusammenbau eines Gerätes ist nicht zu erkennen. welche seiner Schahelemente fehlerhaft sind. Wicviel Pr07.ent einwandfrei arbeitender Gerate sind mindestens zu erwarten?

1.1.5

Vollständige Induktion

Sehen wir uns noch einmal die Menge N der natürlichen Zahlen an! Sie ist Teilmenge der Menge

IR aller reellen Zahlen und hat folgende Eigenschaften: (NI) I ist eine natürliche Zahl.

(N2) Ist 11 eine natürliche Zahl, so auch 11 genannt).

+

I (n

+

I wird auch der »Nachfolger« von 11

Zweifellos gilt dies entsprechend auch fLir die Menge Z der ganzen Zahlen oder sogar fLir die Menge IR aller reellen Zahlen. N ist aber dadurch ausgezeichnet, daß sie die "kleinste« Teilmenge VOn IR mit den genannten Eigenschaften ist, d.h.: Jede Teilmenge M von IR, die I enthält und mit 11 auch stets 11 + List Obermenge von N. Insbesondere kann M nicht echte Teilmenge von N sein. Es gilt also

18

I Grundlagen

(N3) Jede Menge M von natürlichen Zahlen, die I enthält und mit 11 stets auch ist gleich der Menge aller natürlichen Zahlen.

11

+ I enthält,

Bemerkung: Man kann (N I), (N2), (N3) als Definition der natürlichen Zahlen auffassen. zusammen mit der Tatsache, daß jede natürliche Zahl auch reelle Zahl ist. Die Eigenschaft (N3) gestattet es uns, das Beweis verfahren der voflstiindigen IlIdllkliol1 durchzufUhren. Wir wollen dies an einem simplen Beispiel zeigen, und zwar an der Behauptung: Es gilt 2"

>11

fLiralle

11

eN.9

Niemand zweifelt daran, denn für 11 = 1,2,3, usw. folgt 2 1 > I,

22 = 4 > 2,

2 3 = 8 > 3,

usw.

Ist dies aber schon ein Beweis? Hier miissen wir doch aufpassen, daß es uns nicht so geht wie dem Bauern, der seine Kuh fur 100 Taler verkaufte. Er zählte das Geld nach, das aus einzelnen Ta1erstücken bestand: 1,2,3,4, ... , usw. Als er bei 67 angekommen war - ein für ihn wahrhaft mühsames Geschäft - da wischte er sich den Schweiß von der Stirn und sagte: »Hat es bis hierher gestimmt, so wird der Rest auch stimmen!« Sprach's und steckte das Geld in den Sack. So geht es natürlich nicht! Zum Beweis unserer Behauptung 2" > 11 können wir aber folgendermaßen vorgehen: (I) Die Behauptung gilt fLir /l = I, denn es sich sicherlich 2 1 > I. (11) Ist die Behauptung 2" > von 11, denn es ist

11

jedoch fLir ein

11

e N richtig, so gilt sie auch fLir

11

+ I anstelle

2,,+1 =2·2" > 2,/1. letzteres wegen 2" > 2,,+1 >

11

11.

Wegen 2/1 =

11

+ 11

~ /l

+ I folgt daher

+ I.

Damit ist aber alles bewiesen. Warum? Bezeichnen wir mit M die Menge aller natürlichen Zahlen, für die 211 > 11 gültig ist, so stelIen wir fest: J e M (nach (I» und mit 11 e M ist auch 11 + I e M (nach (11». Also muß M die Menge aller natürlichen Zahlen sein (nach (N3». d.h. 2" > 11 ist fur alle natürlichen 11 gültig. Entscheidend ist also, daß wir die Schrine I (Beweis fLir 11 = I) und 11 (Schluß von 11 auf 11 + 1) durchfuhren können. Das führt alIgemein zu folgendem Beweisschema, welches sich von unserem Beispiel nur dadurch unterscheidet, daß die Aussage »2" > /I « durch A(n) ersetzt wird.

Vollständige Induktion: Für jedes natürliche 11 sei eine Aussage A(Il) definiert. Man weise nun nach, 9 Esist/l"

_/1."./1.

l'.

wobei rc<::hts /I-mal der Faktor 11 auftritt (11 ER." E N).

1,1 RccllcZahlcn

19

(I) daß A(I) richtig ist, und (11) daß aus der Annahme, daß A(II) richtig ist, auch die Gültigkeit VOll A(II

+ I) folgt.

Ist dies gelan, so ist damit die Richtigkeit der Aussage A(n) fur alle natürlichen 11 bewiesen. Die Schlüssigkeit des Beweisverfahrens wird genauso wie im obigen Beispiel begründet. Der Beweisschritt I heißt/ndliktioIlS(IIl!allg, 11 heißt Jllduktiollsschfllß. Beispiel 1.2: Mit dem Beweisverfahrcn der vollständigen Induktion wollen wir die Formel 1+2+3+ ... +11=

1l(1l+1) 2

(1.3)

beweisen. (I) JII(Jllktiollsan!allg: Für n = I ist die Formel zweifellos richtig, denn sie verkürzt sich dabei auf I = I . (I + 1)/2.

(11) Jndllktio/lsschluß: Wir nehmen an, daß (1.3) ftir ein bestimmtes 11 gilt. Es soll gezeigt werden, daß dies auch gilt, wenn 11 durch 11 + I ersetzt wird. Das sehen wir so ein: Es ist

1+2+3+ ... +11+(11+1)=

11(11

+ I)

2

+(n+l)

unter Verwendung der Gültigkeit von (1.3) fur unser betrachtetes 11. Die rechte Seite kann aber umgeformt werden in 11(11

+ I) 2

+

2(n

+ I) 2

eil + I)(n + 2) 2

Es gilt also 1+2+3+ ... +11+(11+1)= d.h. in (1.3) ist 11 durch 11

(11

+ 1)(11 + 2) 2

.

+ I ersetzt. Damit ist alles bewiesen.

o

Beispiel 1.3: Eine bestimmte Bausparkasse teilt ihre Darlehen nach sogenannten ~>Bewertungszahlen« zu. Je höher die Bewertungszahl, desto ehcr die Zuteilung! Die Berechnung der Bewertungszahl machen wir an folgcndem Beispiel klar: Ein Sparer schließt im Oktober 2002 einen Bausparvertrag über I(XXlO€ ab. Er hat daftir monatlich eine Spanate von 33€ zu zahlen. halbjährlich also 198 €. Stichtage rur die Bewertungszahl sind der 31. Miirz und der 30. September. Die »Bewertungszahl« ist die SIll/lilie (Jer Kontoställde (/11 die.fe/'l Stichtagen in den Jahren, in denen gespart wird. Lasscn wir den Zinszuwachs hier der Einfachheit halber unberücksichtigt, so ergeben sich ftir die ersten Jahre folgende Bewertungszahlen:

20

Grundlagen

Halbjahr 31.3.03 30.9.03

KomoslJnd (Gcspancs)

I.

2.

3IJ.04

3

30.9.04

4.

198

2 198

3 198

4 198

Bcwelluogszahl b"

198

198+2· 198 198+2· 198 +3· 198 198+2· 198 +3· 198+4· 198

Usw. Nach dem /l-tcn Halbjahr ist die Bewertungszahl bll also gleich

b" = 198+2·198+3·198+ ... +11 ·198= (I +2+ ... +/1)·198. Hier kommt die bewiesene Formel (1.3) ins Spiel. Danach folgt bll =

11(11

+ I)

2

·198.

(1.4)

Wir wollen annehmen, daß das Darlehen zugeteilt wird, wenn die Bewertungszahl b" das 2,6fache der Bausparsumme gerade überschritten hat, wenn also b" > 26000 ~ b"_1 gilt. Mit (lA) folgt daraus" = 16, wie der Leser leicht überprüf!. Nach 16 Halbjahren, also nach 8 Jahren, ist der Bausparvcrtrag zuteilungsreif. Varianten zur vollständigen Induktion: (a) Gelegentlich wird anslclle von (11) der folgende Induktionsschluß durchgeftihrt: (n') Man zeigt, daß aus der Gültigkeit der Aussagen A(I), A(2), ..., A(n) die Gültigkeit von A(II + I) folgt.

(Führt man die Hilfsaussage A·(n) ein. die bedeuten soll: »Es gilt A(k) ftir alle k = 1.2... " Il{< . so ist fUr A·(n) wiederum (I) und (11) erfüllt, d.h. die Ersetzung von (11) durch (11') ist erlaubt.) (b) Der Induktionsanfang (I) darf auch variiert werden. Ist etwa 110 eine ganze Zahl. und is( zu jeder ganzen Zahl 1/ 2: 110 eine Aussage A(II) erklärt, so ist (I) zu ersetzen durch: (I') Man zeige, daß A (no) richtig ist. Führt man anschließend den Induktionsschluß (11) durch, so ist die Gültigkeit von A(n) fur alle gallzelln 2: 110 gezeigt. (Um dies einzusehen, hat man A (11) in der Form A (110 - I + m) zu schreiben mit m = 1.2.3, ... Da nach (I') die Aussage für m = I gilt, und (11) den Schluß von m auf m + I darstellt, is( auch diese Variation erlaubt.) Beispiel 1.4: Es soll gezeigt werden, daß 2" > ,,2

flir alle natürlichen" 2: 5

gilt. Hier ist 110 = 5. Der Leser fuhre den Beweis selbst durch.

1,1 RccllcZahlcn

21

Zur Übung beweise der Leser mit dem Beweisverfahren der vollständigen Induktion folgende Aussagen: Übung 1.6: Es gilt fUr alle 11 E N: (a)

12+22+32+

(b) 13 +2 3 +3 3 +

+112="(1I+1~(21+1) +11 3 =

C

1 (1I + 2

l)r

Übung 1.7: (BenuwllischelOUlIgleicllllllgj Beweise. daß fUr jedes reelle x > -I mit x (I +X)'I > I +11.r

1.1.6

fUrallcganzcnll

1= 0 folgendes gilt:

~ 2,

Potenzen, Wurzeln, Absolutbetrag

Die Grundgesetze über Potenzen 0'1 und Wurzeln :ya werden hier in knapper Form zusammengestellt. Potenzen mit natürlichen Exponenten: Für beliebige reelle 0, b und natürliche Zahlen 11, 111 gilt (abt:::: a"b",

a,,+m:::: a"a"',

(a")'"

0:::

a""',

0::: a

< b

=> 0::: a"

< b".

(1.5)

(Man kann dies leicht mit vollständiger Induktion beweisen.) /I-tc WurLcln: (a) Es sei a 2: 0 und 11 eine beliebige natürliche Zahl. Mit

bezeichnel man diejenige reelle Zahl x 2: 0, deren n-te Potenz a ergibt:

a =x". Eine solche Zahl x existiert (wie wir später mühelos aus dem Zwischenwertsatz folgern werden, s. Abschn. 1.6.3, Beispiel 1.52). Sie ist auch eindeutig bestimmt. (Denn wäre y 2: 0 eine weitere Zahl mit y" = a, wobei etwa x < y ist, so folgte aus ([.5) x" < y". was nicht sein kann, da x 1l = 0 = yll ist. .:yu ist also eindeutig bestimmt.) (b) Bei ungeradem

11

und negativem II definiert man

10 Jakob I. Bemoulli (1655 - 1705). sch"'eizerischer Mathematiker und Physiker

22

I Grundlagen

N::::

als diejenige negative Zahl x, die x" :::: (/ erftillt. Z.B. bestimmt. wie man entsprechend begründet.

-2. Auch sie ist eindeutig

::;a

(c) Ist schließlich (/ < 0 und 11 gerade, so ist im Bereich der reellen Zahlen nicht defilliert, da es kein reelles x gibt mit x" :::: (/ (denn fLir alle x E IR gilt x" 2: 0 bei geradem 11).

::;a

Wir halten also fest: Für gerade 11 ist genau dann sinnvoll erklärt, wenn (/ 2: 0 ist, rur ungerade 11 ist dagegen fLir alle reellen (/ definiert. heißt die li-te Wurzel aus a. Für die zweite Wurzel aus (/ 2: 0 schreibt man bekanntlich kurt.: .jä und nennt dies schlicht die Wurzel aus G. Wir wiederholen noch einmal ausdrücklich, daß.jä stets größer oder gleich Null ist, also niemals negativ! Berechnung von .jä: Eine gute Methode zur Berechnung der Wurzel aus a > 0 besteht darin, nach folgender Vorschrift zu verfahren. Man wähle eine Zahl Xo mit xJ 2: a (z.B. Xo :::: (/ falls a 2: I. Xo :::: 1 sonst) und berechne

::;a

::;a

X,,+I ::::

~ (X" + ::,)

rur /l

::::

0.1,2.3 .....

Die so nacheinander gebildeten Zahlen .\'0, XI, X2, .\'3, ... kommen der Wurzel .jä schnell beliebig nahe (Begründung und Fehlerabschätzung folgen später beim Newtonschen Verfahren). Tabelle 1.1 zeigt die Berechnung von .Ji mit diesem Verfahren (gerundete Werte). Ab X4 ändern sich die Zahlen in den ersten 10 Stellen nicht mehr, Tabelle 1.1: Zur Berechnung von ,fi .ln

1I

o I 2 3 4 5

2.000000000 1,500000000 1.416666667 1.414215686 1.414213562 1.414213562

Also,fi":"1.414213562 11

Potenzen mit rationalen Exponenten: Hir beliebige natürliche Zahlen 11 und m vereinbart man:

,) (/11//" :::: b)

c)

::,ram

fLir alle reellen a

(/0 :::: 1 , -m/" a

I I

rur alle reellen G, rur alle reellen (/ 2: 0,

I :::: all//"

11 11

ungerade. gerade.

'# O.

ftir alle reellen (/ '# 0, ftir alle reellen a > O.

11 -=-- bedeutet: »gleich bis auf Rundungsfehler«

falls falls

falls falls

11 11

ungerade, gerade.

I, I Reelle Zahlen

23

Damit ist insbesondere für alle positiven Zahlen a und alle rationalen Zahlen r die Potenz

,,' erkliirt. Folgerung 1.9: (Reehenregeln fur Potenzen) Es gilt

(ab/ = a'b',

a'+s =

(a')'< = ars = (a S ) '

({fr<,

O,:::a O,:::({
flir alle rationalen r, erklärt sind.

,f

und alle reellen a, b, flir die die obcnslehenden Ausdrücke

Die Beweise können leicht mit den vorangehenden Hilfsmitteln geflihrt werden. Der Absolutbeirag Ix I einer reellen Zahl x ist defi nien durch

lxi

:=

Z.B.: 1Regeln:

31

x, -x,

I

=

3, 171

0 falls x < O. falls x

=

7.

Ix +)'1 ,::: lxi + 1)'1 Ix -)'1 ~ IIxl-I)'II, Ix)'1 = Ixllyl, Ixrl = Ixl r

~

Für alle reellen Zahlen x,)' und alle rationalen Zahlen r gelten die (Dreiech'uI/gleiclulI/g),

I':; ' 1-- r

11')" 1

falls y

i=

0,

(falls x erklärt ist).

Übung 1.8: Beweise: Für alle reellen x > o. y > 0 und alle rationalen r, s gilt (b)

x'

-=.1'

XS

r-,.

(c)

(')S x'

= x-r.,

Übung 1,9: Vereinfache die folgenden Ausdrücke (d.h. schreibe sie in der Form y > 0 vorausgesetzt:

C .f

r . y<.) Dabei ist.f > O.

24

I Grundlagen

1.1.7

Summenformeln: geometrische, binomische, polynomische

Sind (/1, a2, (/3, .... (/" reelle Zahlen, so schreibt man die aus ihnen gebildete Summe al (/3 + ... + (/" auch in der Form

+ (/2 +

" und spricht dies so aus: »Summe der (/t für k von I bis /I« . k heißt der Index des Summengliedes (/1;. Für 1/ = 1,2,3 bedeutet I

2

al = Lat.

(/1 +(/2

1;=1

=

L(/I;·

3

(/1

+a2+ a3= La".

(1.6)

1;=1

t=1

ferner gilt

"

Lat +all+1

(1.7)

t=1

fur beliebige natürliche 1/.

Beispiel 1.5: Die Summe der Quadratzahlen 12 + 2 2 + 32 +

... + 1/2

kann kürzer durch

L"

1;=1

k 2 beschrieben

werden. Nach Übung 1.6 gilt dann

tk2

= 1/(11

+ 1~(21l + I) .

(1.8)

1;=1 Ohne Mühe sieht man ein, daß rur das Rechnen mit Summen folgende einfache Regeln gelten:

" " " Lad Lb, ~ L
1;=1

t=1

"

"

1;=1

1;=1

cLa" = Lcal;.

t=1

Unter Verwendung von (1.6), (1.7) können sie induktiv bewiesen werden. Wir empfehlen dies dem Leser zur Übung. Gelegentlich läuft der Index nicht von I bis 11, sondern allgemeiner von einer ganzen Zahl s bis zu einer anderen ganzen Zahl I (s :S 1):

a,< +a.,+1 +a,<+2

+ ... +a/

, = LaI;.

I;=s

I, I Reelle Zahlen

25

Diese Summen werden entsprechend behandelt, Besonders interessant sind Summen, die durch einen »geschlossenen Ausdruck« beschrieben werden können, wie z.B. die Summe

" 11(11+1) L>= 1+2+3+ ... +11= 2

1:=1

oder die Summe der Quadrate (1.8). Die wohl wichtigste Summe dieser Art ist die geometrische Summe:

" L:q):

= I

+q +q2+ ... +q'l

(1.9)

k=O

Hir beliebiges reelles q 12. Wie kann man einen »geschlossenen«, einfach zu berechnenden Ausdruck Hir diese Summe finden? Dies gelingt durch einen kleinen Trick, Setzen wir niimlich zur Abkürzung .~ = 1 + q

+ q2 + ... + q"

(1.10)

fur die Summe und multiplizieren mit q, so folgt qs = q + q2 + q3 + ... + q"+1

(1.11)

Subtrahieren wir die bciden letzten Gleichungen rechts und links voneinander, so ergibt sich .~

_ qs = I _ q'I+1

d.h. auf der rechten Seite heben sich alle Glieder bis auf zwei heraus. Ausklammern von.~ auf der linken Seite ergibt .~. (I-q) = I _qll+1

Im Falle q = I ist soffenbar folgendes Resultat:

(fallsq 11

+

i=

I).

I, wie aus (1.9) unmittelbar hervorgeht. Damit haben wir

Geometrische Summenrormel:

"

""

L..Jq=

1:=0

falls q

i=

I

fallsq=l.

12 D.IS erste Glied der Summe ist vereinbarungsgemäß gleieh I. aueh im Falle q = O.

( 1.12)

26

I Grundlagen

Beispiel 1.6: (Sparkonto) Ein Sparer zahlt jährlich am I. Januar 600€ auf ein Sparkonto ein, mit einem Jahreszins von p = 6 %. Welchen Kontostand hat er nach 7-jährigem Sparen erreicht? Setzt man zur Abkürzung q := 1+ P = 1.06, so sind nach einem Jahroffenbar 600 'q € auf dem Konto, mich 2 Jahren (600·q +600)q = 6QOq(1 +q). nach 3 Jahren (600q( I +q) +600)q = 6OOq(l +q +q2) usw. Nach n Jahren enthält das Sparkonto I _q1l

600q(1 +q +q2 + ... +q"-l) = 600.q-I-q

€, wobei wir die geometrische Summenformel gewinnbringend verwendet haben. Wir setzen = 7 ein und erhalten einen Kontostand von 5338.48 €. Der Zinsgewinn in diesen 7 Jahren beträgt also 1138,48€.

1/

Binomische Formel: Durch einfaches Ausmultiplizieren berechnet man die folgenden Formeln: (a

+ b)2 =

(a

+ +

(a

a 2 + 2ab+b 2 . b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 . b)4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab 3 + b 4 .

Allgemein erhält man für beliebigen natürlichen Exponenten

11

und beliebige reelle a, b die

Binomische Formel:

mit (

",) ._ ". (11 - 1)(11 - 2)· . (11 - k 1·2·3· ... ·k

Die Ausdrücke

G)

(sprich

»11

+ 1)

(1.14)

über k«) heißen die Binumiafkueffizielllell.

Beispiele:

10)= 10.9.8. ( 3 I ·2·3

6)=6,5,4,3. (4 I ·2·3·4

Merkregel zur Berechnung von

G):

Das Produkt der »oberen« k Zahlell/l·(n-l) ... . ·(n-k+ I)

dividiere Inan durch das Produkt der »unteren« k Zahlen I ·2· ... · k. Dcr Vollständigkeit halber definiert man

(~) :=

I,

11

= 0, 1.2.... ,

1,1 RccllcZahlcn

27

wobei man sich am ersten Glied I . a" in (1.13) orientiert. Damit erhält die billomische Formel die knappe Form

Sie gilt rur alle 11 E No. Das Produkt 1 ·2 . 3 . . k im Nenner des Binomialkoeffizienten (I 14) wird abgekürLt beschrieben durch k!, sprich »k Fakultät«, also: k! := I ·2 ·3· .... k

(k E N).

Für k = 1 bedeutet dies I! = I, sowie (k + I)! = (k!)(k Vollständigkeit halber ergänzt man die Definition durch

+ I) fLir beliebige k

E N. Wiederum der

O!:= I.

Damit erhält man folgende Darstellung des Binomialkoeffiziemell:

(:) =

k!(I1'~k)!

furallek E {0,1,2 .... ,1I1.

( 1.16)

Man gewinnt dies fur k ::: 1 aus (1.14) durch Erweiterung des Bruches mit (n - k)!. Für k = 0 ergibt sich die Gleichung unmittelbar. Aus (1.16) leitet man leicht folgende Formeln her:

(1.17) (1.18) fLir alle 11 E Nu {O}. Der Leser überzeuge sich durch Nachrechnen VOll der Richtigkeit der Gleichungen. Bemerkung: Die erste GI. (1.17) spiegelt den symmetrischen Aufbau der binomischen Formel wieder: Der erste Koeffizient ist gleich dem letzten, der zweite gleich dem vorletzten usw. Die zweite GI. (1.18) dagegen zeigt. daß man die Binomialkoeffizienten geschickt in einem »Dreieck« anordnen kann:

2

3 5

3 6

4

10

4

10

5 ........

n=O n=1 n=2 n=3 n=4 n=5

28

I Grundlagen

Von der zweiten Zeile an gilt dabei: Jede Zahl ist die Summe der rechts und links über ihr stehenden Zahlen. Diese Anordnung der Binomialkoeffizienten nennt man das Pascalsclle 13 Dreieck. Beweis: der binomischen Formel (1.15) durch vollständige Induktion: (I) Für n

== 0 (a

ist (I. 15) sicherlich erfUl1t, denn es gi lt

+b)o ==

(~)aObO

==

1.

(11) Ist die binomische Formel ftir ein

14

11

In der zweiten Summe setzen wir k

E No richtig, so folgt für den Exponenten Il

+ I == k ' , also k == k' -

+ I:

I. Sie erhält damit die Form

11+1

" ( n )all-k'+lbk' k'-I L

k'=l

Wir lassen nun den SIrich einfach weg, ersetzcn also k' durch k. Einsetzen in die letzte Zeile der obigen Rechnung und Zusammenfassung ergibt dann

Mit (1.18) erkennt man hieraus, daß die binomische Formel rur 11 + 1 anstelle von ist. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt sic damit fUr allc 1I E No.

11

gültig 0

Beispiel 1.7: Näherungsformeln fUr technische Berechnungen Jn der Technik tritt bei Binomen Ca + b)" häufig der Spezial fall auf, daß Ibl "sehr viel kleiner« als lai -# 0 ist. Wir drücken dies durch Ibl « lai 13 Blaise Pascal (1623 - 1662). französieher Mathemaliker. Physiker. Literal und Philosoph 14 Hier ,"em'enden wir die slillsch.....eigende Vereinbarung. daß im Falle (I = 0 oder b = 0 einfach ff> = 1 gesetzt .....ird. Normalem'eise iSI dies niehl erlaubt. Hier ist es aber ausdriicldieh geslaltet.

1,1 RccllcZahlcn

29

aus. Man klammert 0" aus und erhält «(I

+ b)"

= a"

( + -;;b)" I

Wir setzen s = b/a, wobei Isl Beispiel ist

«

I ist, und beschäftigen uns mit (I + s)". Im Falle" = 2 zum

(I + .<:)2 = 1+ 2.<: +.<:2::::: I + 2.<:.15

wobei der Summand.<:2 »vernachlässigt« wurdc, da er sehr klcin gegen I +2.<: ist. Man macht dies, wenn e 2 im Rahmen der verlangten Genauigkeit (Meßgenauigkeit, Rundungsfehlerschranken) liegt. [st etwa e = 1/100, so ist e 2 = 1/10000, d.h. bei Rechnen mit dreisteIliger Genauigkeit liefert c2 schon keinen Beitrag mehl'. Entsprechend kann man näherungsweise setzen (I +.<:)"::::: I +11'<:,

wcnn 1.<:1 « I. Dabei stehcn rechts nur die ersten beiden Glicder der binomischen Reihe. Sctzcn wir hier.<: = 0/11, so erhalten wir

(I ')" ::::: I +8 +~

(101 «11).

Ziehen wir schließlich auf beiden Seiten die /I-te Wurzel, so folgt nach Seitenvertauschen die Niiherungsformcl

Dabei haben wir uns über Fehlerabschätzungen hier großzügig hinweggesetzt. Sie folgen später im Rahmen der Taylorschcn Formel. Polynomische Formel: Statt (a + b)" kann man allgemeiner die Sumrnenpotenz «(/1 + (/2 + ... + (/{')" betrachten. Für Ausdrücke dieser Art gilt eine Verallgemeinerung der binomischen Formel. Sic hcißt:

Polynomische Formel: (1.19)

Die Summe erstreckt sich dabei über alle möglichen p-Tupel (kl, k2, .... kl') mit k 1 + k2

+ ... + k l, =

" ,

( 1.20)

15 Das Zeichen"" bedeutet ~ungef:ihr gleich~. "" ist kein malhematisch exaktes Zeichen. Es wird dahcr nichl in Slren· gen Beweiscn. Dclinitioncn oder Sätzen benutzt. .«lndern nur in Beispielen und Plausibilitäl.~iiberlegungen.

30

I Grundlagen

wobei die k; die Werte 0, J, 2, ... , 11 annehmen. Die Zahlen Il!

(1.21)

in obiger Summe heißen die Polynomialkoeffiziemen. Der Beweis der Formel verläuft nach dem Muster des Beweises fUr die binomische Formel.

Übung 1.10: Leite mit Hilfe der geometrischen Reihe die folgende Fonnel her: (I E

IR

IlEN.Il::2.

Übung 1.11*: Beweise. daß fUr alle

(;) - (';) +

11 E

N gilt:

G) -G) + - .. +

(-I)" (::)

~O.

Übung 1.12*: Die Torsiolls.\·teifigkeit eines Rohres mit Durchmesser d und Wandstiirke s ist rr , , IJ= 32«(/ -(d-2s».

Das Rohr sei diinnwandig: s Beispiel 1.7).

«

d. Gib eine Näherungsformel fUr IJ an (in Anlehnung an

1.2

Elementare Kombinatorik

1.2.1

Fragestellungen der Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt sich mit Anzahlberechnungen bestimmter Gruppierungen von Elementen, wie z.B. in folgenden Fragestellungen: (a) Wieviele Fußballspiele finden in der Bundesliga während einer Saison statt? (b) Der Vorstand eines Vereins von 20 Personen besteht aus Vorsitzendem, Schriftwart und Kassenwart. Wieviele Möglichkeiten gibt es, den Vorstand zu besetzen? (Wer jemals erlebt hat, wie schwer es ist, Vereillsvorstände zu finden, da sich alle drücken. der wird staunen, wieviele Möglichkeiten es gibt!) (c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Lolto (6 aus 49) mit zwei Tippreihen sechs Richtige zu erhalten?

1.2 Elementare Kombin
31

(d) Ein Elektriker soll 12 Drahtenden mit 12 Kontakten eines Schaltbrettes verbinden. Leider hat er den Plan rur die Verkabelung zu Hause vergessen: er würde 2 Stunden brauchen. um den Plan zu holcn. Daher kommt er auf die Idee, alle Möglichkeitcn der Verkabelung der 12 Drähte mit den 12 Kontakten durchzuprobieren, um so schließlich die einzige richtige zu finden (sie wird ihm durch eine aufblitzende Kontrollampc angezeigt). Zum Ausprobieren eiller Verkabelung aller 12 Drähte benötigt er 10 Sekunden. Handelt er richtig? Oder fUhre er besser nach Hause, um den Schaltplan zu holen? Alle diese Fragen. wie auch verwandte Probleme, lassen sich auf sechs Grundaufgaben zutiickflihren. Wir wollen sie im Folgenden erläutern.

1.2.2

Permutationen

Erste Grundaufgabe: [n wieviele verschiedene Reihenfolgen lassen sich 11 Elemente (11, (12 ... (1"

bringen? Antwort:

11!.

Die Frage lautet in anderer Formulierung: Wieviele II-Tupcl lassen sich aus den Elementen GI, /1- Tupcl alle Elemente al ....• a ll vorkommen. Jedes II-Tupel dieser An nennt man eine Permufarioll der Elemente Gt • ... , G". Die Anzahl aller dieser Permutationen nennen wir PlI. Es wird also behauptet:

a2, .... a" bilden, wobei verlangt wird, daß in jedem der

(1.22)

P" = I/! Beispiel 1.8: Die möglichen Reihenfolgen. in die sich 3 Elemente 1.2,3 bringen lassen. lauten

123

231

312

132

213

321.

Es ist P3 = 3! = 6. Beweis: Von Pli = 11!: PI ist gleich I, da nur ein Element GI betrachtet wird. P2 ist gleich 2, denn al und (12 lassen sich in genau zwei Reihenfolgen anordnen: (2) und ({/2, (/l). Ferner ist P3 = 3!. wie das Beispiel zeigt. Wir wollen nun von 11 auf 11 + I schließen und nehmen an. daß P" = 11! flir ein bestimmtes Il richtig ist. Gilt dann aueh P"+l = (11 + I)!? Um dies einzusehen. betrachten wir alle Permutationen von al, G2, ...• a,,+I, bei denen a,,+1 an erster Stelle steht:

«(lI.

Die übrigen Elemente (11, ..., (111 können auf den Plätzen 2 bis 1/ + 1 gcnau Il! Reihcnfolgcn bilden. da P" = I/! vorausgesetzt wurde. Steht (1,,+1 an zweiter Position,

32

I Grundlagen

so können die (/1 ..... a/l auf den übrigen Plätzen wiederum n! Reihenfolgen bilden. So schließen wir weiter. Da a,t+l an/1 + I verschiedenen Positionen stchen kann und fUr jedc dicser Positioncn II! Permutationen der übrigcn Elementc vorkommen. gibt es (11 + I) 'Il! = (11 + I)! Permutationcn von /I + 1 Elementen. was ZU beweisen war. 0 Beispiel 1.9: Hiermit können wir nun unserem Elektriker aus Frage d) am Anfang des Abschnittcs aus der Klenllllc helfen. Er ist dabei, allc möglichcn Reihcnfolgcn von 12 Elementcn (KontaktsteIlen) durchzuprobieren. Davon gibt es aber 12! = 479001600. Da er zum Verkabeln jeder dieser Reihenfolgen 10 Sekunden braucht. kommt er beim Durchprobieren aller Möglichkeiten auf 4790ü I6000 Sekunden, das sind mehr als 151 Jahre. Wenn man bedenkt. daß es rur ihn schwcr sein wird. während dieser Zeit nicht zu cssen und zu schlafcn. dann wird klar, daß er doch besser nach Hause fUhre und seincn Schaltplan holtc. Bemerkung: Pcrmutationcn spiclen in vielen Bereichcn dcr Mathcmatik eine Rolle, insbesondere in der Algebra. wie z.B. in der Gruppentheorie, Körpertheorie und bei Determinanten. Auf den letzten Aspekt wird in BurglHafIWilie (Lineare Algebra) [91 gcnaucr eingegangen. 1.2.3

Pcrmutationcn mit Idcntifikationen

Zweite Grundaufgabe: Aufwieviele verschiedene Weiscn lassen sich die Elemcnte 1I1.1I1. ···. 1I 1.

{l2. 1I2.···. {l2.

~

~

k,

k,

• lI r

. lI r .···. lI r

~

k,

anordnen? 01 trete dabei kl-mal auf. 02 k2-mal, usw. Die Anzahl allcr E1cmellle ist 11

= kl

+ k2 + ... + kr .

Antwort:

n!

(1.23)

Es ist hicr also nach der Anzahl der II-Topel gefragt. in denen {ll genau kl-mal vorkommt, genau k2-mal, 0] genau k]-mal. usw., bis {Ir. das gcnau kr-mal auftritt.

1I2

Beispiel 1.10: An einem Fahnenmast sollen übereimlllder 10 Wimpel hochgezogen werden, und zwar 5 weiße. 3 rote und 2 blaue Wimpel. Dic 5 weißen Wimpel sehen untereimmdcr völlig gleich aus. dasselbe gilt fUr die roten und flir die blauen Wimpel. Auf wievie1c verschiedenc Wcisen liißt sich der Fahnenmast mit den 10 Wimpeln schmücken? (Oder anders gefragt: Wievic1e vcrschiedene Signale

1.2 Elementare Kombin
33

lassen sich mit den 10 Wimpeln geben?) Antwort: Die Anzahl ist

IO! - - =2520 5!3!2! Beweis: von (1.23): Wir wollen zunächst davon ausgehen, daß dic anzuordnenden Elementc mit zusätzlichen obercn Indizes durchnumeriert sind:

Aus ihnen lassen sich genau n! Permutationen bilden. Ersetzen wir nun alle Elemente al, .. (/~I durch ein und dasselbe Element (/1, d.h. »identifizieren« wir die Elemente (/~I, so wcrden alle Permutationen gleichgesetzt. dic durch Umstellungen der a~1 auseinander

al ... .,

(/1, ...,

hervorgehen. Es gibt aber genau k l ! Reihenfolgen der Elemente al, ..., {/~I . Somit müssen wir I/! durch kl! dividieren, um die Anzahl der Permutationen zu erhalten, in denen die Elemente

(/1,

••. ,

(I~I }>identifiziert« sind, d.h. durch (11 ersetzt sind.

Entsprechend wird bei Identifizierung der Elemente (/~I+I , ••. ,(/~I+k2 durch k2! dividiert usw. Damit ist dic gesuchte Anzahl von Permutationen, in denen {/I genau kl-mal vorkommt, (/2 genau k2-mal usw. gleich

n!

o Beispiel Lll: Als weiteres Beispiel behandeln wir die Frage, wieviele verschiedene Kartenverteilungen beim Skat möglich sind. Dabei werden 32 Karten verteilt. jeder der drei Spieler bekommt 10 Karten lind zwei Karten wandern in den "Skat« . Hier besteht das eigentliche Problem darin, den Zusammenhang mit der Grundaufgabe dcr Permutationen mit Identifikationcn zu finden. Zu diesem Zwecke denke man sich die Skatkarten zuniichst verteilt. Jeder Spieler markiere nun seine Karten. und ZW3f schreibe der erste Spieler auf jede seiner Karten mit Bleistift ein a, der zweite Spieler auf jede seiner Karten ein b, der dritte entsprechend c, und die beiden Karten im Skat werden mit d markiert. Anschließend lege man alle Karten in "systematischer« Reihenfolge auf den Tisch, d.h. zunächst alle Kreuzkanen, dann alle Pik, dann alle Her!: und dann alle Karo und jede »Farbe« in sich geordnet: As, K, 0, B, 10,9,8,7. Damit bilden die angebrachten Markierungen eine Permutation mit Wiederholungen, wobei (/, b. c jeweils 10-mal vorkommen und d 2-ma1. Die Anzahl aller Permutationen mit Idcntifikation ist aber

32'

=-::':''C. = == 2 . 75 . 10 1S . IO! IO! 1O!2!

34

I Grundlagen

Dies ist die Anzahl aller Kartenverteilungen beim Skat. Bemerkung: Dic Formel rur die Anzahl der Pcrmutationcn mit Idcntifikationcn ist grundlcgcnd in der Kombinatorik. Sie stellt einen Allgemeinfall dar, aus dem sich viele Sonderfalle herleiten lassen. Beispiel 1.12: Ein oft vorkommender Fall ist die Anordnung von Nullen und Einsen. z.B.

1001011001. Frage: Auf wieviele verschiedene Weisen lassen sich k Einsen und m Nullen anordnen? Amwort:

~ Pm! -

(,,) k .

wobei

11

= k

+ mist.

Übung 1.13: Ein Fußballverein hat 13 aktive Spieler. Auf wieviele verschiedene Weisen kann man die Spieler folgendermaßen cimcilcn: 3 Stürmcr, 3 Mittclfeldspiclcr, 4 Vcrtcidigcr. I Torwart, 2 Ersatzbankwänner? Übung 1.14*: Jcdc senkrechte Spalte eincr Lochkartc hat genau 12 Lochstcllen, In cinem bestimmten Codc wcrden für jcdcs Zeichcn 3 Löcher pro Spaltc gcstan7.1. Wicviclc Zeichcn kann man in dicscm Code verschlüsscln?

1.2.4

Variationen ohne Wiederholungen

Dritte Grundaufgabe: Es sei eine Menge aus

11

Elementen

gegeben. Aus ihr werden nacheinander k verschiedene Elemente herausgegriffen (k :s 11). Auf wieviele Weisen ist dies möglich? Dabei komme es auf die Reihenfolge an, in der die Elememe entnommen werden, Antwort

11(11 - 1)(11 ~ 2) .. , (11 - k

+ I) =

Il! -;----;,-; (11

k)!

1.2 Elementare Kombin
35

2

5

7

8

8

10

Fig. 1.11: Urne mit Kugeln

Beispiel 1.13: Aus einer Urne mit 10 durchnumerierten Kugeln werden nacheinander drei Kugeln entnommen und in der entnommenen Reihenfolge nebeneinandergelegt, z.B.

000 Sie bilden ein Tripel. Wieviele solcher Tripel aus drei verschiedenen Kugeln lassen sich bilden? Antwort: 10·9·8=720.

Die beschriebene dritte Grundfrage läßt sich kürz.er so fornmlieren: Es sei eine Menge aus n Elementen lll, ... , ll" gegeben. Wieviele k-Tupel aus jeweils k verschiedenen Elementen lassen sich daraus bilden (k ::5 n)? k- Tupcl dieser Alt heißen Variationen zur koten Klaue olme Wiederholungen. »Ohne Wiederholungen,< deshalb, weil je zwei Elemente eines solchen n-Tupels verschieden sind, sich also kein Element darin »wiederholt«. Bemerkung: In Anlehnung an unser Urnenbeispiel nennen wir» Variationen ohne Wiederholungen« auch geordnete Stichproben olme Zurücklegen. Es ist nach der Anzahl der Variationen zur k·ten Klasse ohne Wiederholungen gefragt. Wir bezeichnen diese Anzahl mit V".4'. Es wird behauptet:

Beweis: Für die erste Position eines k-Tupels der beschriebenen Alt haben wir n Möglichkeiten der Besetzung. denn alle lll •... , (/" kommen dafLir in Frage. Ist die erste Position aber einmal besetzt. so kommen fLir die zweite Position nur noch (11 - I) Elemente in Betracht, weil ja ein Element schon fLir Platz I verwendet wurde. Da also allfjeden der 11 Fälle für Position I genall (Il ~ I)

36

I Grundlagen

Möglichkeiten fLir Position 2 kommen. ergibt dies zusammen Il·(n-I)

Möglichkeiten, die ersten beiden Positionen zu besetzen. Für jede solche Besetzung gibt es dann aber nur noch (11 ~ 2) Elemenle, die die dritte Stelle annehmen können. Also hat man 11'

(n - I). (n - 2)

Möglichkeiten, die ersten 3 Positionen zu besetzen. So schließt man weiter und erhält rur die Besetzungen aller k Stellen schließlich 11 . (n - I) . (11 - 2) . (11

-

3) .

'(Il-k+l)

Möglichkeiten, also ein Produkt aus k Faktoren, beginnend mit dem Faktor 11 und von Faktor zu Faktor um I absteigend. 0 Beispiel 1.14: Frage b) aus Abschn. 1.2.1 wird hier beantwortet. Vorsitzender, Schriftwart und Kassierer bilden ein Tripel. Die Anzahl möglicher Tripel dieser Art ist also bei einer Vereinsstärke von 20 Personen gleich

20·19·18=6840

Beispiel 1.15: Frage a) aus Abschn. 1.2.1: Wieviele Bundesligaspiele pro Saison? Es gibt 18 Fußballvereine in der Bundesliga. Die Anzahl der Spiele ist gleich der Anzahl aller geordneten Paare aus 18 Vereinen, das sind V18.2 = 18· 17 = 306.

Übung 1.15: Aus einern Kartenspiel mit 32 verschiedenen Karten ziehen 4 Spieler je eine Karte. \Vieviele vcrschiedene Kartenverteilungen dieser Art gibt es?

Übung 1,16*: Ein Autofahrer besitzt flir sein AlIIO sechs Sommerreifen. die er gleichmäßig »abfahren« möchte. Aus diesem Grunde beschließt er. in jedem Sommer mit einer anderen Reifenvertcilung auf den vier Rädern zu fahren. Da sich beispielsweise links vorne ein Reifen stärker abnutzt als rechts hinten. werden alle Räder hier unterschieden. Frage: Wird er alt genug. um das Ende seines Vorhabens zu erleben?

1.2 Elementare Kombinatorik 1.2.5

37

Variationen mit Wiederholungen

Vierte Grundaufgabe: WievieIe k-Tupcllassen sich aus 11 Elementen 01. a2 •.... 0"

bilden? Dabei ist zugelassen, daß in jedem k- Tupel jedes Gi mehrfach vorkommen darf, maximal bis zu k-ma!. Antwort: Il

k

(1.24)

k- Tupel der genannten Art heißen Variatiollen zur k-lell Klasse mit Wiederholu/fgen. Ihre Anzahl

wird mit V/I).: bezeichnet. Die Behauptung lautet also

-

VII.k

=

11

,

(1.25)

Beispiel 1.16: Wieviele Tripel lassen sich aus den 10 Ziffern 0, 1,2,3.4,5,6.7,8,9 bilden? Die Antwort ist leicht. denn es handelt sich hier gerade um die 3-stclligen natürlichen Zahlen. z.B. 577, wobei wir ftihrende Nullen mitschreiben wollen. also 001 statt I oder 036 statt 36. Setzen wir noch 000 statt 0, so entsprechen die

Tripel aus den 10 Ziffern genau den Zahlen von 0 bis 999. Beweis: Zu (1.25): Für die erste Position eines k-Tupcls GI> G2, ..•, all haben wir /f Möglichkeiten der Besetzung, nämlich alle GI, ... , a'I' Für jede solche Besetzung haben wir in Position 2 wiederum alle 11 Elemente al, ... , G/I zur Auswahl. Somit gibt es

Möglichkeiten, die ersten beiden Position zu besetzen. Für jede Besetzung der ersten beiden Stellen gibt es aber 11 Möglichkeiten, die dritte Position zu fUl1en. Also hat man 11·/f·n=n 3

Möglichkeiten, die ersten drei Stellen des k-Tupels zu besetzen. So geht es weiter. Somit hat man 0 zur Besetzung des k-Tupels genau Il k Möglichkeiten. Übung 1.17: Das Hexadezimalsystem besteht aus den 16 Zeichen O. I. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. A. B. C. D. E. F. Wieviele 5-stellige Kombinatiollen kann man daraus bilden? (dies entspricht der Anzahl aller höchstens 5-stelligen Hexadezimalzahlen. wobei fUhrende Nullen weggelassen werden.)

38

I Grundlagen

1.2.6

Kombinationcn ohne Wicderholungen

Fünfte GTllndaufgabe: Wieviele k-elementige Teilmengen lassen sich aus einer Menge M = 11 Elementen bilden (k ::::: II)? Antwon:

{al. {/2 .... ,o,,} von

G)

=

k!(I1'~ k)!

(1.26)

Man spricht hier von Kombinalionen zur k-Iell Klasse olme Wiederholungen. Es wird lllso behauptet. daß ft.ir ihre Anzahl KII.k gilt:

K",k

~

C)

(1.27)

Beweis: Die Elemente von M schreiben wir uns in der durchnumerienen Reihenfolge hin

und markieren die Elemente ai, die zu einer bestimmten Teilmenge gehören, durch eine darunter geschriebene I und alle anderen Elemente durch 0, z.B. 07.

I

a. I

fur 1/ = 8 und k = 5. Unsere Teilmenge besteht hierbei aus {/2. 03, {/S' 07, {/s. Auf diese Weise entspricht jeder Teilmenge von M genau ein n-Tupel aus k Einsen und 111 = 11 - k Nullen. Nach dem letzten Beispiel in Abschn. 1.2.3 gibt es aber genau (~) solcher II-Tupel. also gibt es auch 0 ebenso viele k-elementige Teilmcllgen von M. Beispiel 1.17: Das Lotto (6 aus 49) ist ft.ir Kombinationen ohne Wiederholung wohl das bekannteste und ft.ir viele Menschen das aufregcndste Bcispiel. Unscre Überlegungen zeigcn. daß 49 ·48·47·46 ·45·44 = = 13983816 (49) 6 1·2·3·4·5·6

verschiedene }}Tippreihen« beim Lotto möglich sind, also fast 14 Millionen. Die Chance. 6 »Richtige« zu haben, ist daher recht klein. Folgerung 1.10: Eine 1I-e1ementige Mellge hol gelfau

2" Tei/llleflgelf.

1.2 Elementare Kombin
39

Beweis: Es gibt

G)

k-e1ementige Teilmengen in der Menge, also insgesamt

(,,)o + (,,)I + (,,)2 + (,,)3 + ... + (,,) n

Teilmengen der Menge. Die hingeschriebene Summe ist aber nach der binomischen Formel gleich (I + I)" = 211 •

o

Übung 1.18: Aus Äpfeln. Orangen und Bananen soll ein Obstsalm gemacht werden. Dabei sollen genau 10 Früchte verwendet werden. aber von jeder Sorte höchstens 5. Wieviele verschiedene Ob~lsalate sind auf diese Weise möglich? (Guten Appetit).

1.2.7

Kombinationen mit Wiederholungen

Sechste Grundaufgabe: Aus 11 Elementen al, {/2, ...• {I1I sollen Gruppierungen von k Elementen gebildet werden, wobei jedes Elcment mehrfach in einer Gruppierung auftreten darf, bis zu k-mal. Auf die Reihenfolge der Elemente kommt es dabei nicht an. Wieviele solcher Gruppierungen sind möglich? Antwort:

( 1.28) Gruppierungen der beschriebenen Art werden Kombillationen zur k-ten K/asu mit Wiel/erilO/ulIgen genannt und ihre Anzahl mit K /l.k bezeichnet. Es wird somit behauptet:

_ ('+"-') K".k =

( 1.29)

k

Beispiel 1.18: Wieviele verschiedene Würfe sind mit 3 Würfeln möglich, wobei es auf die Reihenfolge der 6. also gibt es Würfel nicht ankomme. Hier ist k 3 und 11

=

('+"-') (8)3 8·7·6 I ·2·3 k

=

=

=--=56

verschiedene Würfe. Da es auf die Reihenfolge der Elemente einer der genannten Gruppierungen nicht ankommt, können wir sie etwa nach aufsteigenden Indizes anordnen, z.B.

40

I Grundlagen

Solche k-Tupeillennen wir mOIlOfOlle k-Tupel. Damit läßt sich die sechste Grundaufgabe auch so formulieren: Wieviele monotone k-Tupel lassen sich aus n durchnumcrierten Elementen a[, a2, ... , an bilden? Beweis: Von (1.29): Um einzusehen, daß die von uns gesuchte Anzahl gleich (k+~-l) ist, fassen wir ein Beispiel ins Auge, ctwa mit Il = 5 und k = 7. Ein monotones 7-Tupcl uus a[, (12. (13. {/4. (15 ist also z.B. durch

gegeben. Wir wolten dies etwas umdeuten, und zwar folgendermaßen: Wir denken uns fünf Kästen, VOll I bis 5 durchnumericrt. Die drei Elemente a[ sollen bedeuten, daß im Kastcn I drei Kugeln liegen, (13 bedeutc, daß im Kasten 3 eine Kugclliegt, usw. Damit entspricht unser 7-Tupel folgendem Bild (Fig. 1.12):

Fig. J 12: KäSlcn mit Kugeln

Lasse ich aus diesem Bild alles weg mit Ausnahme der Kugeln und der Zwischenwände der Kästen, so entsteht folgendes: 0001 Fig.

I 0 I 0 I 00 13: Umdeulung

Sieh da! Dies schaut doch sehr nach einer Reihenfolge von 7 Nullen und 4 Einsen aus! Davon gibt es aber genau

nach Abschn. 1.2.3. allgemeiner; wegen k = 7,

11

Dies ist die gesuchte Allzahl1l1onotoner k-Tupel.

= 5:

o

1.2 Elementare Kombin
41

Fig. 1.14: Ume mit Kugeln

1.2.8

Zusammenfassung

Die letzten vier Grundaufgaben lassen sieh übersichtlich am Beispiel einer Urne mit Kugeln darstellen. Und zwar stellen wir uns eine Urne oder einen Topf vor, in dem 1/ durchnumerierte Kugeln liegen. In Fig. 1.14 ist 1/ = 10. Aus ihr sollen k Kugeln entnommen werden, z.B.: k = 4. Wir sprechen von einer Stichprobe von k Kugeln, und zwar von einer geordneten Stichprobe, wenn es uns auf die Reihenfolge der herausgenommenen Kugeln ankommt; von einer ul/geordneten Stichprobe. wenn es nicht auf die Reihenfolge ankommt. Also geordnete Stichproben = Variationen ungeordnete Stichproben = Kombinationen Wir stellen uns nun zwei Gedankenversuche vor. (I) Im ersten Versuch nehmen wir nacheinander aus der Urne k verschiedene Kugeln. (2) Beim zweiten Versuch entnehmen wir der Urne eine Kugel, notieren ihre Nummer und legen sie dann zurück. Dann entnehmen wir der Urne wieder eine Kugel, notieren ihre Nummer und legen sie zurück. So fahren wir fort bis zur k-ten Kugel. Hierbei kann es daher passieren, daß die gleiche Kugel mehnnals gezogen wird. Beim zweiten Versuch sprechen wir von Stichproben mir Zurücklegen. Beim ersten Versuch entsprechend von Stichproben olme Zuriicklegen. Bei Zurücklegen können also Wiederholungen von Kugeln auftreten. Wird nicht zurückgelegt, so treten keine Wiederholungen auf. ohne Zurücklegen elllspridl/ ohne Wiederholungen mit Zurücklegen eil/spricht mit Wiederholungen Somit entsteht folgende Tabelle, wobei von

11

Elementen bzw. Kugeln ausgegangen wird:

42

I Grundlagen

V~rimionen zur

k-ten

KI~sse

ohne Wiederholungen

Kombin~tionell·lur k-ten KI~s>c

ohne Wiederholungen

geordncte Stichproben von k Kugeln ohne Zuriicklcgen. ungeordnctc Stichproben I"On k Kugeln ohnc Zuriicklcgen.

"

Anzahl: Vn J,. = - - .

Anzahl: K".k =

(,,-k)!

Variationen zur k-tcn

KI~ssc

mit Wiedcrholungcn

gcordnete Stichproben von.l: Kugeln mit Zurücklegen. Anzahl:

Kombill~tiollcn

zur .l:-tcn Klasse mit Wiedcrholungcn

ungcordncte Stichproben I"On .l: Kugeln mit Zurücklegen.

-

V".k = ,/

G)

An7.ahl: Kn.k =

("+*-') .l:

In diese Vier-Felder-Tafel ordnen sich die Permulaliullell (I. Grundaufgabe) ein als spezielle Variationen zur k-ten Klassen ohne Wiederholungen, nämlich für den Fall k = Il. Die Permlllmionell mir Idemijikmionell dagegen gehen über dieses Schema hinaus. Ihre Anzahl ist

n!

( 1.30)

(siehe Abschn. 1.2.3). Man kann aber alle übrigen Fälle, ausgenommen Variationen mit Wiederholungen. als Spezial falle von Permutationen mit Identifikationen ansehen. wenn man sie geeignet itllerpretiert.

1.3

Funktionen

1.3.1

Beispiele

Viele Vorgänge in Naturwissenschaft und Technik werden durch »Funktionen« beschrieben. Beispiel 1.19: Die Gleichung mit

m g =9,81-:;-

s·

(1.31)

beschreibt den freien Fall: Läßt man einen Körper fallen, z.B. einen Schlüssel von einem Turm (s. Fig. 1.15), so ist cr nach I Sekunden s Meter gefallen. (Dies ist streng genommen nur im Vakuum richtig. Der Wert g = 9.81 ~ gilt für Miueleuropa.) Für jede Falldauer t können wir nach obiger Gleichung die Fallstrecke s berechnen. Es ist also eine Vorsc:hrifl gegeben. die jedem I ::: 0 eine bestimmte Zahl ~. zuordnet. Eine Vorschrift dieser Art nennt man eine Funktiol/.

1.3 Funktionen

Fig. I.lS: Zum

43

Fallge~clz

Beispiel 1.20: In einem Stromkreis mit einer Spannungsquelle von U = 220 Volt und einern Widerstand Rist die Stromsttirke J=

U

/i'

( 1.32)

Man erkennt: Je kleiner der Widerstand R, desto größer die Stromstärke J. (U = 220 Volt sei konstant dabei). Die Gleichung ordnet jedem Widerstand R eine Stromstärke J zu. Es liegt wieder eine Funktion vor.

U.220V

Widerstand Fig. 1.16: Slromkreis

Fig. 1.17: Gleisbogen

Beispiel 1.21: Es sei ein G/eisbogen gegeben, der Teil eines Kreisbogens i~t. (Gemeint ist dabei die Mittellinie zwischen den beiden Schienen des Gleise~.) Wie groß ist der Durchmesser y des Kreises? Wir denken uns dabei zwischen zwei Punkten PI, P2 des Gleises eine Verbindungsstrecke gezogen. Der Mittelpunkt M der Strecke habe vom Gleis den Abstand.r (s. Fig. 1.17). Die Entfernung zwischen M und Pt sei a. Die Längen x und a seien gemessen worden, z.8. a = 10m. x =

44

I Grundlagen

0,75m. Den noch unbekannten Radius des Kreises nennen wir 1', Wendet man den Satz des Pythagoras auf das schraffierte Dreieck in Fig. 1.17 an. so erhält man o r~

= a

2

+ (I' - .tf0 .

also

Hier fallt 1'2 heraus. Auflösen nach 21' = yergibt

a'

( 1.33)

y=-+x. x

Dies ist die Berechnungsvorschrift ftirden Kreisdurchmesser y. Nimmt man {/ als fest an (was unter Verwendung eines Bandmaßes konstanter Länge realistisch ist), so stellt die obige Gleichung eine Funktion dar, die für jedes XE (0, aJ den Durchmesser y liefert, (Da x normalerweise sehr klein gegcn a 2 /x ist, kann näherungsweise mit y ~ a 2 /x gerechnct wcrden. So wird in der Praxis auch häufig verfahrcn.) Man beschreibt eine Gleichung wie (1.33) auch abgekürzt durch y

1.3.2

~

fex)

Reellc Funktionen eincr reellen Variablen

Den Beispielen des vorigen Abschnitts ist gemeinsam, daß jeweils eine Vorschrift gegeben ist. die bestimmtcn reellen Zahlen andere Zahlen eindeutig zuordnet. Solche Vorschriften heißen Funktionen. Wir präzisiercn dies in dcr folgcndcn

Definition 1.1: Eine Vorschrift, die jedem x aus einer Menge A C IR genau ein y aus einer Menge B C IR zuordnet, heißt eine Funktion 1'011 A in B. Funktionen von A in B werden symbolisiert durch J:A--+B,

g:A--"B,

Ist der zahl x E A durch die Funktion man dies durch y = fex)

f : A --+ B dic zahl y zugcordnet so beschrcibt

sprich: »y gleich f von

XK

y heißt FUl1ktioliswcn oder BifdplIllkt von x, x heißt Argumelll oder Ul'bildpUllkl von y bezüglich f. Gelegentlich wird x auch unabhängige Väriable dcr Funktion genannt, insbesondere dann, wenn x noch nicht zahlcnmäßig festgelegt ist, sondern als »Platzhalter« fUr reelle Zahlcn aus A aufzufassen ist. y heißt in diesem Zusammcnhang abhängige Variable von f. Die Menge A wird der Definitiollshereich oder Urbildbereich von f genannt, während B der Bildbereich von f heißt. Als Werlebereich von f bezeichnet man die Menge aller Funktionswerte fex). mit xE A. Er wird durch f(A) symbolisiert.

1.3 Funktionen

45

Natürlich gilt f{A) C 8, doch braucht fCA) nicht gleich dem Bildbereich 8 zu sein. Z.8. kommen bei der Funktion f : IR ....... IR, definiert durch

Y=f(x)=x 2

( 1.34)

als Funktionswerte alle)' ~ 0 vor. Negative Funktionswerte [(x) treten nicht auf. Der Wertebereich [CIR) ist also das Intervall [0. 00). während als Bildbereich IR angegeben ist. Zur Beschreibung von Funktionen [ : A ....... 8 wird neben )' =...

I(x) =

oder

auch folgende Symbolik verwendet:

I :x

1-+ ...

E 8 16.

x E A

wobei 8 weggelassen werden darf, wenn 8 = lR ist. Beispiel 1.22: Die Funktion I: [0.00) ....... IR. definiert durch

fix) ~

-IX -

J

<

wird auch in der Form

I: x

1-+

.JX -

I.

XE [0,00)

beschrieben. Im übrigen gilt folgende Faustregel: Wie man eine Funktion beschreibt, ist völlig gleichgültig, sofern nur daraus klar hervorgeht, was der Definitionsbereich ist, was der Bildbereich ist. und wie die Zuordnungsvorschrift lautet! Die in diesem Abschnitt beschriebenen Funktionen nennt man auch ausfuhrlicher »reelle Funktionen einer reellen Variablen«. womit ausgedrückt wird, daß Funktionswerte und Variable reelle Werte annehmen. Übung 1.19: Die folgenden Funktionsvorschriflen beschreiben rcellwcnige Funktionen einer reellen Variablen _L Gib die größtmöglichen Definitionsbereiche und die zugehiirigen Wertebereiche dazu an! (a) /(x) =

JX"='l.

16 Sprich: »x wird abgebildet auf j(x)«

(b) g(.r) =

_,,'.., c+c-:

X ,--" x~-4x+3

(c) 1J(.r) =

-<-, " 1+.(

46

I Grundlagen

1.3.3

Tabellen, graphische Darstellungen, Monotonie

Um uns einen Überblick über eine gegebene reelle Funktion 1 : A _ B zu machen, ist es zweckmäßig. für einige Zahlen x aus A die zugehörigen Funktionswertc y = I(x) zu ermitteln und sie in einer Tabelle zu ordnen. (Mit Taschenrechnern oder Computern ist das heute eine Klcinigkeit.) Für die Funktion 1 : IR _ IR. beschrieben durch

Y=/(x)=x 2 sind in der Tabelle 1.2 einige Werte zusammengestellt. (Da (_x)2 x-Werte zu betrachten.) Tabelle 1.2: f(x)

:=

,

y = x2

x

y = x-

x

y=

0 0.2

0 0.04 0.16 0,36

0.8

0.64

1.2 1.4

1.44 1.96 2.56

1.8 2.0

3.24 4.00

DA

1.6

x 2 ist. genügt es. positive

x2

x

0.6

=:

.t 2

Anschließend kann man die in der Tabelle ermittelten Zahlenpaare (x. y) als Punkte in einem ebenen Koordinatensystem deuten und sie dort eintragen. Dann verbindet man diese Punkte in der Reihenfolge aufsteigender x-Werte durch eine Linie, die zwischcn benachbarten Punkten geradlinig odcr schwach gekrümmt ist. Auf diese Wiese erhält man ein Schaubild (auch Diagramm genannt) der Funktion 1 (s. Fig. 1.18). Es spiegelt die Funktion umso genauer wider, je mehr Punkte man dazu verwendet, und je genauer man sie skizziert (etwa auf Millimctcrpapier). y

, -1

0

Fig. 1.18: Schaubild von f(x) = x 2 Mit geeigneten Computerprogrammen kann mall Schaubilder von Funktionen bequem auf dem Bildschirm oder Plotter erzeugen. Die gezeichnete Linie stellt den Graphen der Funktion dar. Unter dem Graphen einer Funktion 1 : A _ B versteht man, präzise gesagt. die Menge aller Paare (x. y) mit y =: I(x). x E A. Der

1.3 Funktionen

47

Graph von j wird durch graph(f) symbolisiert, in Mengcnschreibweise also graph(f) = {(x. y) I y = /(x) und x E

Al.

Fig. 1.18 zcigt den Graphen der Funktion /(x) = x 2 , j : IR -+ IR, allerdings nur teilweise, da er sich ja beliebig weit nach oben und seitwärts erstreckt. Der Graph dieser Funktion hat die Form einer »Parabel« . Beispiel 1.23: Die durch j(x)=3x-1

beschriebene Funktion j : IR -+ IR ist in Fig 1.19 skizziert. Ihr Graph ist offenbar eine Gerade durch die Punkte (0. -I) und (~.O), die man erhält durch /(0) = ~ I und 0 = !(x) = 3x ~ I =>

x=

j.

y

, y

-, -,

-1

~

Fig. 1.19: j(.rl = lr - 1

'<-

,

,

•

-,

Fig. 1.20: Hyperbel

j(.r)

=

t

Beispiel 1.24: Die Gleichung Y ~ J(x)

~

I x

beschreibt eine Funktion, die nur fur x s. Fig. 1.20, ist eine »Hyperbel«

cl

0 erklärt ist, d.h. es ist / : IR \ {Ol -+ IR. Ihr Graph,

48

I Grundlagen

Beispiel 1.25: Unsere Funklion

a'

j(x)=~+x.

x

j:(O.a].-....+ IR.

a=20.

Aus Beispiel 1.21 (Krürnrnungsdurchrnesser) ist in Fig. 1.21 skizziert. Sie ist natürlich nur fur x ::: (/ zur Berechnung von Krürnrnungsdurchmessern sinnvoll. wie die geornetrische Herleitung in Beispiel 1.21 ergibt. In Fig. 1.2 I wurden die Maßeinleilungen auf den beiden Achsen verschieden gewählt. Man sicht, daß dies zweckmäßig sein kann, wenn man die Übersichllichkeit erhöhen will.

o<

15<)

"",

p-H

100

5<)

0

, , , ,

-----,

5

10

, 15

20

Fig. 1.21: Zur Berechnung von Gleisdurchrnessern

Beispiel 1.26: Da Funklionsgraphen als geometrische Figuren skizziert werden können, kann man auch umgckehrt versuchen, geometrische Figuren durch Funktionen zu beschreiben, wie z.B. die Kreislinie. Man muß sich allcrdings auf einen Halbkreis beschränken, s. Fig. 1.22, da beim Voll kreis die Eindeutigkeit der Funktion vcrletzt würe. Wir gehen aus von einem Halbkreis mit dem Koordinalenschniupunkt als Miltclpunkt und mit dem Radius I (s. Fig. 1.22). Für jcdcn Punkl (x, y) auf dem Halbkreis gilt offenbar nach »Pythagoras«

x2 +

i

= I.

1.3 Funktionen

wobei -I

~

x

~

I, 0

~

y

~

49

I ist. Aulläsen nach y ergibt

Diese Gleichung beschreibt die Funktion Fig. 1.22 ist.

f

[-I. I]

--?'

IR. deren Graph der Halbkreis in

Funktionen brauchen nicht unbedingt durch Formeln beschrieben zu werden, wie die folgenden Beispiele zeigen.

,

,

o Fig. 1.22: Halbkreis

Fig. 1.23: Heaviside-Funktion: Einsehaltvorgang

Beispiel 1.27: Durch

y

~

I(x)

~

JI.

10 .

falls x ~ O. falls x < 0

ist eine Funktion f : IR --?' IR angegeben, deren Graph aus zwei waagerechten Halbgeraden besteht, s. Fig. 1.23. Sie beschreibt einen Einschaltvorgang: Zur Zeit x < 0 ist die Spannung y an einer Spannungsquelle O. Zur Zeit Null wird eingeschaltet, die Spannung springt auf I Volt und verbleibt in dieser Höhe rur alle Zeiten x ~ O. Die beschriebene Funktion heißt Hcal'iside l7 FUllktioll.

Beispiel 1.28: Entsprechend ist durch

I(x)~ (2.

O.

wenn

11 ~ X

wenn

11 ~

<

11

.r <

11

+ I, 11 gerade, + I, " ungerade

(n ganzzahlig) eine Funktion gegeben, die sogenunnte })Rechtcckimpulse« dursteilt, s. Fig. 1.24.

Auch diese Funktion spielt in der Elektrotechnik eine Rolle. 17 Olivcr Heaviside (1850-1925). cnglischer Mathematiker und Physiker

50

I Grundlagen y

-4

-3

-2

-1

0

2

3

,

,

Fig. 1.24: Rechlcckimpulsc

Schließlich eine ziemlich verrückte Funktion:

,, I

Beispiel 1.29: [(x)

~

0,

falls x rational. falls x irrational,

mit 0 .:": x .:": I, beschreibt eine Funktion [ : [0, 1J --?' IR, deren Graphen man nicht einmal skizzieren kann. Oder könntest du es, lieber Leser? Trotzdem handelt es sich hier um eine Funktion. denn es liegt eine klare Vor~hrift vor, die jedem xE [0.1 J genau einen Funktionswert [(x) zuordnet. Und das ist das Wesentliche! Die grafische Darstellung von Funktionen kann auch auf andere Weise geschehen als im rechtwinkligen Koordinatensystem. Dazu führen wir zunächst einen wichtigen Begriff ein. Definition 1.2: Eine Funktion [ A --?' 8 (A, B C IR) heißt monoton steigend, wenn rur alle X2 E A mit x] < X2 gilt:

Xl.

[heißt streng mOllotoll steigend, wenn sogar fex]) < f(X2) statt (1.35) gilt. Entsprechend wird monotoll fallend und streng mOllotOIl fallend erklärt. Hierbei ist fex]) ~ f(xü bzw. f(xd > f(X2) anstelle von (1.35) zu setzen. Alle diese Funktionen heißen monotone Funktionen. Die Funklionen der Beispiele 1.23 und 1.27 sind monoton steigend, die Gerade im Beispiel 1.23 sogar sireng. Dagegen iSI die Krümmungsdurchmesserfunktion im Beispicl 1.25 streng monoton fallend. Funktionsleitern: Ist f : I --?' IR eine streng monotone Funktion auf einem Intervall I, wie z.B. in Fig. 1.25a, so kann man die x- und y-Achse zusammenfallen lassen. etwa zu einer senkrechten Geraden, s. Fig. 1.25b. Dabei markiert man links an der Geraden die y-Werte in normaler Anordnung, d.h. wie bei der reellen Achse üblich. Rechts markiert man die jeweiligen Urbilder x dcr y-Werte, wie es Fig. 1.25b deutlich macht. Eine solche Darslellung der Funktion nennt num Funklionsleiter. Gelegcntlich wird auch die Markierung der y-Wertc weggelassen, insbesondere dann, wenn

1.3 Funktionen y

,

y

30 I

•

--r+

2Q

- + 10 I I

2

4

- - - -41 I I I I

30 4 2Q

2 0

-1- ..

I I

10

,

51

100

-2

0

-10

-10

10

-2Q

-2Q

5

-4 0)

b)

Fig. 1.25: Monotone Funktion mit Funktionslei-

,ce

Fig. 1.26: Funktionsleiter lIon )' = logx

kein Zweifel über die Lage von y = 0 und y = I besteht. Man kann dann durch Anlegen eines Lineals mit Meßskala die y-Werte jederzeit bekommen. Ein Beispiel daftlr ist die Logarithmusfunktion 18, s. Fig. 1.26, deren Funktionsleiter auf Logarithmuspapier vorkommt.

Übung 1.20: Skizziere die Funktionsleiter der Funktion! : 1-2.2J _ IR. die durch !(x) = .r 3 dcfinicn ist.

1.3.4

Umkehrfunktion, Verkettungen

Durch die Gleichung I

Y = -x - I

2

ist eine Funktion f : IR -,lo IR beschrieben. deren Graph eine Gerade ist, s. Fig. 1.27a. Löst man die Gleichung nach x auf, so folgt

x =2y+2. Wir können dies als eine Funktion deuten, die jedem y E IR ein x E IR zuordnet. Diese Funktion heißt Umkeillfilllktioll von f. beschrieben durch 1~1 : IR -,lo IR. Die beiden Funktionsgleichungen, durch fund 1-1 ausgedrückt, lauten also (s. Fig. 1.27a), b»

18 s. Abschn. 2.4.3

52

I Grundlagen

Es ist auch naheliegend, das eine als »Umkehrung« des anderen zu bezeichnen. In x := /-1 (y) werden die Bezeichnungen x und y auch gelegentlich wieder vertauscht. so daß die Umkehrfunktion durch y := /-1 (x) beschrieben wird. Man kann sie so in das gleiche Koordinatensystem wie / einzeichnen, s. Fig. 1.27c). Nichtjcdc Funktion hat eine Umkehrfunktion. Um dies zu erläutern, vcreinbarcn wir folgende

Definition 1.3: Es sei / : A ...... ß eine Funktion. (a) / heißt injeklil'. wenn verschiedenc Argumente Xl. X2 E A verschiedcne Bildpunkte /(XI). /(X2) haben, d.h. wenn gilt:

(b) / heißt eine Fllnktiun VUII A wif B, oder kurl.: surjektiv, wcnn der Wertebereich /(A) von / gleich dem Bildbereich B ist, also !(A)

= B.

(c) / heißt bljektiv odcr umkehrbar eindeutig. wenn / injektiv und surjektiv ist.

y

, ,,

,

,,

, .,

y.1 ()()

•

01 L-L-_-'---_ _--' Fig. 1.27: Die Umkehrfunktion von

f

erhält man durch Spiegelung an der gestrichelten 45 0 -Geraden

Beispiel 1.30: Wir betrachten vier Funktionen (s. Fig. 1.28) x g(x) = I + lxi'

/(x)=x 3 .

g: IR ...... IR.

f:IR ...... IR.

hex) =x 2 ,

11: IR ...... [0,00).

k(x)=I+x 2 .

k:IR ...... IR.

g ist injektiv, aber nicht surjektiv, denn der Wertebereich von 8 ist (-I. I), d.h. verschieden vom Bildbercich IR. 11 ist surjektiv, da es zu jedem y E [0.00) mindestens ein x gibt mit y = x 2, nämlich x = .jY. Jedcs y > 0 hat zwei Urbildpunkte: x = .jY und x' = -.jY. Es gilt dahcr

x =1= x', aber hex) = hex'), d.h. h ist nicht injcktiv~ fist offcnbar bijektiv, während k keine der genannten Eigenschaften hat (armes k).

1.3 Funktionen

injektiv

surjektiv

bijektiv

53

keine der Eigenschaften

Fig. 1.28: Zu Beispiel 1.30: Funktionen mit verschiedenen Eigenschaften Damit können wir den Begriff der ))Umkehrfunktion« priizise fassen. Definition 1.4: Es sei I A --+ B bijektiv, d.h. jedes y E B hat genau ein Urbild x bezüglich I. Diejenige Funktion, die jedem y E B gerade das Urbild x bezüglich I zuordnet, heißt die Umkelufimktioll von I. symbolisien dureh I-I : B --+ A. Man kann diesen Sachverhalt auch kurz so ausdrücken: Für alle x E A gilt:

Durch Einsetzen gewinnt man die Gleichungen

y==IU-1(y»

fUralle

yEB,

x==I-IU(x»

fliralle

xEA.

Man kann also sagen: I und I~I »heben sich auf«, wenn sie nacheinander angewandt werden. Der Graph der Umkehrfunktion y == I-I (x) entsteht durch Spiegelung des Graphen von y == I(x) an der Winkelhalbierenden der positiven Koordinatenachsen (s. Fig. 1.27). Wir ziehen die unmittelbar einsichtige I"olgerung 1.11: Jede streng monotone Funktion Umkehrfunktion.

I

A --+ B von A C IR auf B C IR besitzt eine

Verkettungen: Will man einen Funktionswen der Funktion

y==h(x)==~. h:IR--+IR.

54

I Grundlagen

ausrechnen, so hat man zuerst z = x 2 Gleichungen als Funktionsgleichungen

+ I zu

berechnen und dann y

../i..

Faßt man diese

z = g(x) = x 2 + I .

y ~ I(z) ~.ji

auf, so wäre y = hex) = f(g(x».

Man spricht von einer Verkellllng der Funktionen g und Definition 1.5: Sind g : A --+ Bund

f : B --+

y = f(g(x»,

f

auf der rechten Seite der Gleichung.

C zwei Funktionen, so ist durch

XE A,

eine neue Funktion gegeben, die A in C abbildet. Sie wird mit fog bezeichnet und Verkettullg (Komposition, Hintereil/allderallsjiihrung) von g und f genannt. Die Funktion fog: A --+ C iSI also gegeben durch die Gleichung (f

0

g)(x)

,~

I(g(x)).

fog spricht man »f nach g Beispiel 1.31: Ist g(x) = 3x 4 (j

0

+ 2 und

«

aus.

fez) = l/z so ist

1

1

g)(x) = f(g(x» = = 4 g(x) 3x +2

.

Ganz einfach! Übung 1.21: Berechne die Umkehrfunktionen der folgenden Funktionen und skizziere sie.

= I(x) =

I: IR --lo IR. l+x (b) y = g(.l) = - - , g: IR \ PI _ IR \ (-I), (a) y

(c) y

1.3.5

2r - 5.

I-x x

= l1(x) = - - . r + lxi

h: IR

--lo

(-1.1)

Allgemeiner Abbildungsbegriff

Wer hindert uns eigentlich, den Funklionsbegriff auf beliebige Mengen zu übertragen? Sicherlich niemand. Denn von der Tatsache. daß Definitions- und Bildbereiche aus reellen Zahlen bestehen,

1.3 Funktioncn

55

wurde in Ocr. 1.1 kein Gebrauch gemacht. Wir definieren daher Funktionen, auch Abbildungen genannt, auf beliebigen Mengen. (»Funktion« und »Abbildung« bedcuten vollkommen dasselbe. Gewohnheitsmäßig spricht man aber in der Analysis bei reellen Bildbereichcn von Funktioncn und sonst von Abbildungen.) 1m Folgenden scien A, B, C beliebige Mengen (z.B. endliche Mengen, Teilmengen des IR", Punklmengen dcr Geometrie oder sonstige). Definition 1.6: Eine Vorschrift, die jedem x aus einer Menge A genau ein y aus einer Menge B zuordnet. heißt eine Abbildung (oder Funktion) von A in B. Abbildungen von A in B werden symbolisiert durch

Ist dcm Element x E A durch die Abbildung [ zugeordnct, so schreibt man

B das Element y E B

A _

J'~f(x).

y heißt Bihipunkt von x und x Urbildpunkt VOll y bezüglich [. A heißt Definitionsbereich (oder Urbildbereiclt) und B Bihibereich VOll [ . 1st C Teilmenge von A, so bezeichnet man mit [(C) die Menge aller [(x) mit x E C. Die Menge [(A) aller Bildpunkte von [ heißt der Wertebereich von f. Es gilt [(A) C B. Die Menge aller Paare (x, y) mit y = [(x) heißt Graph von [, symbolisch: graph(f).

A

"

.~~'~':=~t==f==:

."

• y,

y••

" e---f-------'''<----.
.y,

y,

Fig. 1.29: Einc Funktion bei Cl1dlichen Mengen Zur Veranschaulichung einer Abbildung [ : A _ B, wobei A und B endliche Mengen sind, kann man wie in Fig. 1.29 vorgehen: Man zeichnet zunächst Pfeile von den Urbildpunkten A zu den jeweiligen Bildpunkten B. Abbildungen im IR" behandeln wir in den Abschnitten 6.

56

I Grundlagen

Übung 1.22: Es seien f : A

--jo

Bund g : ß

bijekliv ist. Zeige. daß

f :A

--jo

--jo

C zwei Abbildungen. deren Koml'Osition gof: A

--jo

B

B injekliv iSl und 8 : B ...... C surjektiv. Man mache sich klar.

daß dabei weder f noch g bijekliv zu sein brauchen. d.h. gib ein Beispiel an. bei dem weder f noch g bijektiv sind. sebr wohl jedoch gof. (Es genügt. dazu Mengen A. B. C zu belrachlen. die nicht mehr als drei Elemente haben.)

1.4

Unendliche Folgen reeller Zahlen

Bei unendlichen Folgen treten uns zum ersten Male die Begriffe KOIII'ergel/z und Grel/zwert entgegen. Folgen erweisen sich später als unentbehrliche Hilfsmittel fur höhere Grenzwertbildungen, wie beim Differentialquotient, beim Integral, bei Polenz- und Fourierreihen. Damit stchen sie am Anfang der eigentlichen Analysis, die man als die »Lehre von den Grenzwertbildungen« bezeichnen könnte. 104.1

Definition und Beispiele

Zunächst betrachten wir ein Beispiel: SelZl man in die Formel (I" = 1/1/ 2 nacheinander die natürlichen Zahlen 1,2,3,4, ... anstelle von 11 ein, so erhält man die Zahlen I

I

I

I

( 1.36)

1'4'9'16'25'" Man spricht hierbei von einer ul/endlichen Folge reeller ZillJfen. Allgemein:

Definition 1.7: Eine Vorschrift, die jeder natürlichen Zahl 11 eine reelle Zahl (/" zuordnet, heißt eine ul/endliche Folge reeller Zahlen, kurz Folge genannt. Sie wird beschrieben durch ( 1.37)

(11·(12,(13, ••• ·(111' •••

Man verwendet fLir eine Folge auch die Kurzschreibweise (all), wenn aus dem Zusammenhang klar ist, daß nichts anderes gemeint sein kann. Die Zahlen an der Folge heißen Elemellte der Folge,,, nennt man den Index des Folgene1cmentes a/l' Bemerkung: Eine Folge ist nichts anderes als eine Funktion a : N

-,l-

IR, deren Funktionswerte

{/(II) in der Form a" beschrieben werden.

Oft werden die Indizes 1,2,3, ... einer Folge auch durch andere ersetzt, wie z.B. 0, 1,2,3, . oder 2, 4, 6, .... Die Folgen erscheinen dann in der Gestalt °0.(/1.(12.···.(//1.··

IA Unendliche Folgen reellerZ
, , ,

, , ,

2

3

•

4

, , , , 9

57

"

Fig. 1.30: Darstellung einer Folge als Streckenzug

odoe (/2.(/4.(/6.···.(/2".····

Dabei ist aber klar, welches das erste Element, das zweite, das dritte, usw. ist, so daß mittelbar wieder jedcr natürlichen Zahl ein Folgenelement zugeordnet ist. Weitere Beispiele für Folgen sind I

I

I

I

1'2'3'4'5" I

234

2' 3' 4' 5"

( 1.38)

"

, 11

"I +

( 1.39)

.

1.4.9.16.25..... 11 2 •.

( 1.40)

-1.1.-1.1.-1 . . . (-1)" ...

( 1.41)

In Kurzform lautcn sie

G)".N

2

(11 )"EN,

«-I)")/teN·

Die crstc dieser Folgcn (1.38) nennt man übrigcns harmonische Folge. Sie hat ihren Namen aus der Musik: Man denke sich einen Ton mit dcr Wellenlänge A. Die Töne mit dcn Wellenlängen A, A/2. A/3, A/4, A/5, A/6 bildcn dann cinen Durakkord, klingen also zusammen »harmonisch« . Ocr Anfang dcr harmonischen Folge beherrscht also die klassische Harmonik.

1.4.2

Nullfolgen

Zunächst wollen wir uns mit NullfolgeIl beschäftigen, d.h. Folgen, dic »gegen Null streben«. Von solch ciner Folge (all )"eN erwarten wir sicherlich, daß man nach Wahl einer noch so kleincn Zahl t > 0 ein Element 0'''0 der Folge finden kann, dessen Betrag noch kleiner als t ist, also

58

I Grundlagen

Vernünftigerweise werden wir noch mehr verlangen, nämlich daß dies auch ftir alle auf 0'''0 folgenden Elemente gilt, d.h. 10'" I < 6

ftir alte 11

:::

"0.

In Fig. 1.31 ist dies dargestellt.

a,

Fig. 1.31: Nullfolge (0',,)

Von 110 an liegen alle Punkte (11. 0',,) in dem schraffierten Streifen der Breite 26. Die beschriebene Sachlage fassen wir in folgender Definition zusammen: Definition 1.8: Eine reelle Zahlenfolge (all)"eN wird Nullfolge genannt, wenn man zu jedem noch so kleinen € > 0 einen Indcx 110 finden kann mit

la" I < 6

ftir alle 11

:::

"0.

Man sagt auch: (a"),,eN kOllvel'gien gegen Null oder sueht gegell Null und beschreibt dies durch lim

"_00

0'11

= 0,

odcr:

0'" ~

0

ftir /I

~

00.

Beispiel 1.32: Die harmonische Folge

1

1

1

I, -, - ..... - ....

2311

ist eine Nullfolge. dcnn zu jcdem € > 0 kann man sicherlich ein /10 finden mit I/no< (vgl. Abschn. 1.1.3. Folgcrung 1.8). Dann gilt aber fUr allc /l > /l0 erst recht

"

€

JA Unendliehe Folgen reellerZ
59

d.h. die harmonische Folge strebt gegen Nul1. Hilfssatz I.1: (a) Ist (a,,) eine Nullfolge und gilt fiir eine weitere Folge (ß,,):

Iß"I:: la,,1

flir alle 11

E

N,

so ist auch (ßIl) eine Nullfolge. (b) Sind (a,,), (ß,,) zwei Nullfolgen, so erhalten wir daraus die weiteren Nullfolgen (a,,+ß,,),

(a,,-ß,,).

(a,,·ß,,).

mit beliebigen Konstanten k E N und

C

(a~)

und

(ca,,)

E IR.

Beweis: (a) Nach Voraussetzung gibt es zu beliebigem E; > 0 einen Index "0 mit la" I < E; rur alle 11 ~ 110. Wegen Iß"I .:s la,,1 gilt dann auch Iß"I < E: rur alle 11 ~ 110, d.h, (ß,,) ist eine Nullfolge, (b) Zu beliebigem E: > 0 gibt es nach Voraussetzung ein "0 mit la,,1 < E:/2 fur 11 ~ 110 (denn F:/2 ist ja ebenso wie E: eine beliebige vorgegebene positive Zahl). Entsprechend existiert ein 111 mit IßIII < F:/2 fUrll ~ 111. O.B.d.A. sei 110 ~ 111. Damit folgt ,

E

10'" ±ß"I.:s la"l+ Iß"I.:s 2" + 2"

= E:

fliralle

11

~

110,

d.h. (0'" + ß,,) und (a" ~ ß,,) sind Nullfolgen. Damit ist auch (a" + 0'11) Nullfolge. ebenso (a" + a ll + a,,), usw., d.h. (lila,,) mit beliebiger Konstante 11I E N ist eine Nullfolge. Folglich ist (ca,,) mit beliebigem CE IR eine Nullfolge, da man nur ein 1/1 E N mit m ~ lei zu wählen hat, womit Ica,li .:s Ima'll erflillt ist, nach (a) also (ca,,) Nullfolge. Wir folgern daraus. daß auch (0'" . ßn) Nullfolge ist. Denn es gibt ein c > 0 mit lall I < c flir alle ", wie Fig. 1.31 sofort klarnwcht. Da (CßIl) Nullfolge ist, so ist wegen la"ßnl .:s IcßlI1 auch (a,,· ßII) Nullfolge. Damit ist aber auch (a" . 0',,) Nullfolge, ebenso wie (0'". Cl'" . 0',,) usw., kurz auch ((/~) flir festes k E N. 0

Mit dem Hilfssatz gewinnen wir sofort weitere Nullfolgen aus

(,,',) .

(

I I ) -+11 1/2

Beispiel 1.33: Die geomelrische Folge I . q, q~.". ,q " . '

'

(c .~)

U), z.B.

mit beliebigem c E IR,

60

I Grundlagen

ist eine Nullfolge, wenn

Iql

< I gilt. Zum Beweis setzen wir

I

1+"::::-. Iql

Durch diese Gleichung ist 11 bestimmt. Es ist 11 > O. Unter Verwendung der Bemoullischcn Ungleichung (I + 11)" ~ I + nh ($. Abschn. 1.1.5, Übung 1.7) folgt daraus "

Iql ::::

I

I

I <---<-. (I +11)" - I 1111 1111

+

o

D, (-'-) (nach Hilfssatz J .1) eine Nullfolge ist, so auch (q"). nh

Übung 1.23*: Beweise, daß

(<") ~

11!

It!ON

rur jedes x

E

IR eine Nullfolge ist.

Übung 1,24: Die Amplitude einer gedämpften Schwingung mit der Frequenz / = 50s- 1 hat zur Zeit 1= 0 den Anfangswen AO. Nach jeder Schwingungsperiode hat sich die Amplitude um jeweils 1 % verringert. Nach welcher Zeit ist die Amplitude auf 0.05 AO abgesunken? Übung 1.25"': Ein Betrieb stellt Rohre in 11 Größen her. Das kleinste Rohr hat einen Durchmesser von 10 em. das größte von I m. Die Zwischengrößen der Durchmesser enlsprechen der Folge 10 q cm. 10 q2 cm. 10 q3 cm.. . Wie groß ist q? Bertthne die Durchmesser aller Rohre! (Dividiert man die 11 Werte jeweils durch IOcm und rundet auf 2 Stellen. so erhält man die Hau{Jlwerle der Gnmdreilte RIO für Rohre.)

1.4.3

Konvergente Folgen

Die Konvergenz einer Folge (a,,) gegen eine beliebige Zahl

(l

können wir leicht mit Hilfe der

Nullfolgen erklären. Definition 1.9: Eine reelle Zahlenfolge (all)"eN kOllvergiert genau dann gegen eine reelle Zahl a, wenn

eine Nullfolge ist.

{/ heißt Grellzwert oder Lillle~' der Folge (all)' Man beschreibt dies symbolisch durch lim a" =a

" .... 00

all

- . . (l

flir

11 _

00

JA Unendliehe Folgen reellerZ
61

(sprich: »a" gegen a rur n gegen 00«). Gelegentlich verwendet man auch die unvollständige Schreibweise a" ...... a. Das ist nur erlaubt, wenn aus dem Zusammenhang hervorgeht, daß »mr 11 ...... 00« mit gemeint ist. Ferner sagt man statt »konvergiert gegell a« auch »Slrebt gegen a«, »gehl gegen a« oder »haI deli Grenzwert a«. Jede Folge (a,,) hat übrigens höchstens einen Grenzwert, d.h. es gibt höchstens ein a. das (a" - a) zur Nullfolge macht. Dcr Leser mache sich dies selber klar. Beispiel 1.34: , so sicht man, daß rur steigende n die Elemente sich der Betrachtet man die Folge (-"-) 11+ I lIEN 1 beliebig gut nähern. Um exakt zu prüfen, ob die Folge gegen »1 konvergiert«, bilden wir die Differenz

I " 11"-"-'1 1

11+1-

11+1

=

1 =11+1'

ist dabei sicherlich eine Nullfolge, d.h. (-'-'- ) konvergiert gegen I, in Kurz( n_'_) + I neN 11 + I liEN form notiert:

" +

lim --~l "_00 11 I

oder auch

"

--~

11+1

rur 11 ...... 00.

Erinnern wir uns an die Definition der Nullfolge. so können wir die Konvergenz von Folgen auch so ausdrücken: Folgerung 1.12: Eine reelle Zahlenfolge (an) konvergiert genau dann gegen a. wenn es zu jedem (noch so kleinem) 8 > 0 einen Index 110 E N gibt, so daß fUr alle n ~ "0 gilt:

la,,-al<8.

,-, I

,

I

'H I

•

Fig. 1.32: s-Umgebung

Diese Formulierung ist besonders rur theoretische Überlegungen grundlegend. Eine andere, recht anschauliche Fonnulierung erhält man mit dem Begriff der s-UmgebulIg: Ist 8 > 0, so versteht man unter der (offenen) s-Umgebuilg Ut(a) von a E IR das Intervall Ut(a) =

«(I -

f,a

+ 8).

Es liegt symmetrisch um

(I

und hat die Länge 2f, s. Fig. 1.32.

62

I Grundlagen

Folgerung 1.13: Eine reelle zahlenfolge (all) konvergiert genau dann gegen a, wenn in jeder €. Umgebung von II unendlich viele Elemente der Folge liegen, außcrhalb aber nur endlich viele. Man erkennt, daß dies nur eine andere, sozusagen geometrische Fonnulierung von Folgerung 1.12 ist. Folgen, die gegen bestimmte Grenzwerte konvergieren, heißen kOIll'ergellle Folgen. Nicht konvergente Folgen werden divergelll genannt. 2.8. sind die Folgen (1040) und (1041) in Absehn. 104.1 divergent. Übung 1,26: Zeige: Aus lim

"_00

X'I

= (/

lim.;x;; = ,j(i.

folgt

11_00

Dabei sei XII :::: 0 für alle 11 E N: vorausgesetzt. (Anmerkung: Zu zeigen ist. daß (.jX; - J(j),,€N eine Nullfolge ist. Man benutze dazu die Gleichung (.jx,; - ,jä)(.jx,; + ,jä) = x" - 1I.)

1.4.4

Ermittlung von Grenzwerten

Eine Faustregel zum Nachweis, daß eine Folge (a,,) gegen einen Grenzwert II strebt, besteht im Folgenden: Man formtla" -al solange um. evtl. unter Vergrößerung, bis man einen Ausdruck 0'" erreicht hat, dem man unmittelbar ansieht, daß er gegen Null strebt. Beispiel 1.35: llll

=

+ 2" 3" + I

3,,+t

Einsetzen großer 11 liefert llll

:::::

3. Man vermutet an --+ 3 ftlr

11

-+

00

1/

-+

00.

und bildet

- 3"+1+2"~3"+1-3112"-31 - - - <2" la ,- ,313"+1 -3"+1-3'"

1

Die rechte Seile (2/3)" strebt gegen 0, also folgt alt --+ 3 fur Beispiel 1.36: Konvergiert

_ ,co,

ll,,-vC.

Dabei sei C > O. Für große 11 erhält man mit dem Taschenrechner flir :jC ungefähr I, gleichgültig, wie C > 0 gewählt wird. Wir vermuten daher, daß (:jC) gegen I konvergiert. Zum Nachweis

JA Unendliehe Folgen reellerZ
63

bilden wir

a,,=::IC-I. um zu zeigen, daß (a,,) gegen Null suebt. Zunächst beuachten wir den Fall c ~ I, also Ci" ~ 0, und erhalten aus obiger Gleichung durch Umformen c = (1 + Ci,,)", Die Bernoullische Ungleichung ergibt damit c-I c-I ~ IIa" :::} - - 2: a" 2: 0,

also

c = (I +a,,)" 2: I +I1Ci" ,

"

Daraus folgt, daß (all) eine Nullfolge ist. D.h. :yc konvergiert gegen I fUr o < c < I ist dies ebenfalls richtig. Und zwar kann man es auf 1/::/f7C = wobei 1T7C wegen Ilc > 1 gegen I strebt. Man errechnet nämlich

o<

::IC =

1-

(_1_ - ,)

:yc

::IC < -':yc

- I =

"fT.. V-::

I -+ 0

Hir 11 -+

11

-+

00.

Im Fall

:yc zurückfUhren,

00

Es gilt damit für alle positiven c: lim

1j---.00

::IC =

1.

(1 .42)

Zur Ermittlung von Grenzwerten sind folgende Regeln grundlegend: Satz 1.1: (RechellregeJllfiirko/lvergellle Folgen) Aus hm (/" = (/ und 11m b" = b folgt "---'00

11---'00

(1.43) (1.44)

lim (a" - bn ) = a - b.

"---'00

(1.45)

lim a"b" =ab,

"_00

, a" (/ I Im - = II---.oob" b

wenn b

i= 0 und b" i= 0 rur alle /l.

(1.46)

Beweis:

ß" = b" ~ b streben beide gegen Null. (1.43), (1.44) und (1.45) folgen damit über den Hilfssatz 1.1 durch folgende einfache Rechnungen:

Ci" = a" - a und

(all +b,,) - (a +b) = a ll +ßII -+ 0

(a"

-b,,) -

(a

-b)

(a"b,,) ~ ab = (a

=a" -ß"

-+ 0

+ a,,)(b + ß,,) -

ab = aß"

+ ball + a"ß"

-+ 0

furll -+

00

für 11 -+

00

für /I -+

00

64

I Grundlagen

Zum Nachweis von (1.46) beweisen wir einfach I

I

lim - =-. bll b

( 1.47)

"-00

Mit (1.45) folgt dann nämlich I

I

•

b = ll

2"lbl

ftir die

Il~n~ (111

<

Ib,,1

1

(I.

"b. Nun zu (1.47): Wir betrachten nur solche b".

gilt, was ftir alle" ::: "0 mit genügend großem 110 erfullt ist. Damit erhalten

wir (1.47) aus

o Beispiel 1.37:

Will man all =

411 3 - 6 611 3 +2w'

auf Konvergenz untersuchen, so dividiert man Zähler und Nenner durch Anwendung des bewiesenen Satzes

4- ~

"

4

2

(l1l=--2-~ 6~3

6+;;

rur 11 --+

/13

und erhält durch

00,

da 6/11 3 --+ 0 und 2/11 --+ O. Auf gleiche Weise erhält man rur (111

mit qk

=

Po + PI" + qO+qlll +

+ Pkll k +qkllk

i= 0 den Grenzwert

all --+ Pk/qk

für 11 --+

00.

Um dies einzusehen, hat man im obigen Bruch Zähler und Nenner nur durch n k zu dividieren. Zur Untersuchung von konvergenten Folgen sind folgende Vergleichssiitze nützlich: Satz 1.2: Gilt an --+ a, btl --+ b und an ::: b" fUr alle 11 ab einem bestimmten /10, so folgt a ::: b.

JA Unendliehe Folgen reellerZ
65

Beweis: Aus (/" .::: b" fur" ::: 110 folgt 0 .::: b" - (/" und damit 0.::: !im (b" - a,,):= lim b" "_00

"-+00

!im a" = b - a.

"_00

d.h. a .::: b.

o Satz 1.3: (EillsclJließulIgskriteriulII, auch Salldwich-KriteriulII genannt) Gilt "" -+ g, b" -+ g und (/" .::: Cn .::: b" fur alle 11 ab einem bestimmten "0, so folgt c" -+ g.

Beweis: In jeder e-Umgebung von g liegen unendlich viele Q" und b", aber nur endlich viele außerhalb. Damit gilt das Gleiche fUr die c", die ja von den a'l und b" eingeschlossen werden. Das heißt aber. daß c" -+ g gilt. 0 Beispiel 1.38: Konvergiertb" =::11

.::: 2

{).::: 1 +x" also

::J5 < ::I 1 + x"

fLir 11 -+

+x" mit lxi< I?Aus 1 +x" > 1 -lxi"::: 1 -lxi =0 folgt

.:::

.:;12.

Linke und rechte Seite streben gegen I, also gilt auch

00.

TcilfoJgcn: Aus der harmonischen Folge I I I 1.-,- .... - .... 2311

können wir z.B. die Tei/folge I

I

I

2·4'6'···2n bilden. Eine andere Tei/folge der harmonischen Folge ist 1.

I

I

I

4 . 9 '16 .... ,,2 ..

Definition 1.10: Als Tei/folge von (a")"E:N bezeichnet man jede Folge

mit/11 < /12< II} < ... < 11); < ...

(11); E N).

::I I + x"

-+ 1

66

I Grundlagen

Folgerung 1.14: Konvergiert (a,,) gegen a, so konvergiert auch jede Teilfolge von (a,,) gegen a.

Übung 1.27*: Konvergieren die folgenden unendlichen Folgen und wie klulet gegebenenfalls ihr Grenzwen?

(I"

1.4.5

1+5/14 _711 3 1011 4 '

= 4500+7/1 3

/I

= 1.2.3 ..

b,,=V'5+/l 2 .

Häufungspunkte, beschränkte Folgen

Dieser Abschnitt, lieber Leser, ist theoretischer Natur. Der hier bewiesene Satz von BolzanoWeierstraß wird zum Beispiel fur den Beweis des Cauchyschen Konvergenzkritcriums im nächsten Abschniu gebraucht. Dieses wiederum ist nützlich rur viele Konvergenznachweise, wie z.B. bei Iterationsfolgen. wie wir sie schon bei der WurLelberechnung kennenge1crnt haben. Allgemein treten Iterationsfolgen häufig beim Lösen von Gleichungen auf (s. Newton-Verfahren). Über diese Gedankenkette gehen die Überlegungen dieses Abschnitts wieder in die Praxis ein. Dereilige Leser mag die Beweise zunächst überschlagen und nur Sätze und Begriffe zur Kenmnis nehmen. Definition 1,11: Eine Folge (a"),,eN heißt beschränkt, wenn es ein beschränktes Intervall [A, BI gibt, in dem alle an liegen, d.h.

A::::a,,::::B

rurallellEN.

A heißt eine IIl1/ere Schranke der Folge. Das größtmögliche dieser A heißt die größte ulllere Schranke oder das Injimlllll der Folge (a,,). B heißt eine obere Schranke von (all)' Die kleinste obere Schranke wird auch das Silprell/ilm von (a,,) genannt. Infimum und Supremum von a" werden folgendermaßen symbolisiert:

inf a",

",N

supa" . "eN

Zum Beispiel: Die Folge -I. I, -I, ..., (-I)" ist beschränkt, die Folge~, j,~, ebenfalls. Supre1l1u1l1 der ersten Folge ist I, Inll1l1um -I. Bei der zweiten Folge ist

I inf -" - =-. "eH 1/ + I 2

" ., ,,+1'

"

sup--= I.

nENn

+I

Interessant ist besonders die Tatsache, daß das Supremum von (-'-'- ) gleich I ist, obwohl alle Elemente der Folge kleiner als I sind. 1,4,9, ... , 11 2 ist ein Beispiel fur eine Ilflbe~"C!1rällkte Folge.

11+1

JA Unendliehe Folgen reellerZ
67

Zunächst gilt Satz 1.4: Jede konvergente Folge ist beschränkt. Beweis: Es konvergiere (a,,) gegen a. Zu beliebigen E: > 0, z.B. E: = I, kann man daher ein 110 finden mit la" - a"ol < E: flir alle 1/ ::: /10. Die a"o+l. a"0+2, a"0+3, ... bilden also eine beschränkte Teilfolge. Nimmt man die endlich vielen al, ... ,a"ll hinzu, so wird die Beschränktheit nicht 0 angetastet, d.h. (a,,) ist eine beschränkte Folge. Die Umkehrung des Satzes ist falsch, wie das Beispiel - I, I, -I, ... , (-I)" zeigt. Immerhin gilt aber der folgende Satz 1.5: (Satz

1'0/1

BO/ZlIno- Weiersfraß/ 9) Jede beschränkte reelle Zahlenfolge besitzt eine kon-

vergente Teilfolge.

Beweis: Es gibt ein Intervall [A I, BII, in dem alle a" liegen.. Halbiert man dieses Intervall, d.h. zerlegt man es in zwei Teilintervalle [A 1, Ml, IM. BII mit M = (A + B)/2, so liegen in wenigstens einem der beiden Teilintervalle unendlich viele a". Wir nennen dieses Teilintervall [A2, B2]. Halbiert man dies wieder. so liegen in wcnigstens cinem der Teilintervalle. IA3. B31 genannt, wieder uncndlieh viele an. Fährt man in diescr Weise fort. so cntsteht einc Folgc ineinandcr geschachtelter Intervallc [AI. Bll:> [A2, B2]:> [A3, B3J:> ..., deren Längcn gegen Null streben. Nach dem Intcrvallschachtelungsprinzip existiert genau cine Zahl a E IR. die in all diesen Intervallen liegt. Wählt man nun nacheinander aus jedem TAk. Bk! ein a"t der Folge aus (mit 1/1 < 1/2< 1/3< ... < IIk <. ,,), so konvergiert (a"l)Ill:N gegen a, was zu zeigen war. 0 Definition 1.12: Als Häujill1gspul/kl einer Folge (a,,) bezeichnet man jede Zahl a E IR. die Grenzwert einer konvergenten Teilfolge von (alt) ist. Anders ausgedrückt: (J E IR ist genau dann Häufungspunkt von (a,,), wenn cs zu jeder E:-Umgcbung Us(a) unendlich viele 1/ E N gibt mit a" E Us(a). Damit kann man Satz 1.5 auch so ausdrücken: Jede beschränkte reelle Zahlenfolge hat mindestens einen Häufungspunkt. Unbeschränkte Folgen: Wir wollen noch kurz auf unbeschränkte Folgen eingehen, die natürlich nicht konvergcnt scin können. Bcsitzt (a,,) keine obere Schranke, so hcißt a" I/acl! oben 19 Bemartlus Placidus Joh
68

I Grundlagen

IInbeschränkt, man beschreibt dies symbolisch durch

supa" =

tH:N

00.

Ist sie entsprechend nac1l lillten unbeschränkt, so schreibt man dafUr infa" =

lIEN

-00.

Gilt darüber hinaus, daß man zu jeder noch so großen Zahl M > 0 einen Index mit 0" > M fLir alle 11 2: 110, so drückt man dies durch lim a" =

"_00

1/0

finden kann

00

aus. Man sagt dafLir: (al/) strebl gegenllnelldlich, oder auch (all) diwrgien gege/llinendlich. Entsprechend schreibt man lim a" =

"_00

-00.

wenn (-a'l) gegen unendlich strebt. Zum Beispiel ist lim 211 =

"_00

00.

Für -2, 22, _2 3, ..., (-2)", ... jedoch gilt inf (-2)" = -00

IIEN

und

supe -2)" = 00.

""oN

wiihrend diese Folge weder gegen 00 noch gegen -00 strebt.

1.4.6

Konvcrgcnzkritcricll

Wie kann man erkennen, ob eine vorgelegte Folge konvergiert, insbesondere dann, wenn man Konvergenz vermutet, aber den Grenzwert nicht kennt? Das MOllotoniekri/eriul/I und das Caucllysehe Kri/erium lassen sich zur Beantwonung heranziehen. Zunächst definieren wir monotone Folgen. Definition 1.13: Eine Zahlenfolge (a,,) heißt genau dann IIIO/l%n steigend, wenn d.h. a" ::: (/,,+1

für alle 11 E N,

(1.48)

alle 11 E N.

(1.49)

erfullt ist. Sie heißt/llon%nj(/Jlend, wenn al 2: (/22: a3 2: ....

d.h. a" 2: (/,,+1

flir

JA Unendliehe Folgen reellerZ
69

Man nennt die Folge streng monoton steigend, falls in (1.48) < statt :::: stehen darf. Entsprechend ist (a,,) streng monoton fallend, wenn in (1.49) > statt:::: stehen darf. In jedem der genannten Fülle liegt eine monotone Folge vor. Satz 1.6: (Monotonie-Kriterium) Jede beschrünkte monotone Folge konvergiert.

Beweis: 1st die Folge (a,,) beschriinkt und monoton steigend, so konvergiert sie offenbar gegen s = supa,,; bei »l11onoton fallend« entsprechend gegen i = inf a". 0 lIEN

liEN

Das Monotoniekriterium ist in konkreten Anwendungen das wohl am meisten verwendete Hilfsmittel zur Konvergenzentscheidung. Dazu ein Beispiel: Beispiel 1.39: 1 1 1 1 I! 2! 3! n! die Folge auch beschränkt? Ja, denn es gilt Es sei alt =

I/!

1+ - + - + - + ... -. Die Folge (a,,)

1 1·2·3·

~.,.--,"--':--<.,.--,c-'------=~ ./1

1·2·

·2

ist sicherlich streng monoton steigend. Ist

2,,-1'

~

n Faktoren

also mit Hilfe der geometrischen Summenformel 1-

(,')"

l-!

1

< 1+-1 =3.

1-,

3 ist damit eine obere Schranke der Folge, während I eine untere Schranke ist. Die Folge ist daher beschränkt und monoton, woraus nach Satz 1.6 ihre Konvergenz folgt. Der Grenzwert dieser Folge wird e genannt. Man errechnet numerisch e

==

2.71828183.

20

Während das Monotoniekriterium in praktischen Fällen häufig zu Rate gezogen wird. ist das folgende Cauchysche Konvergenzkriterium rur theoretische Konvergenzuntersuchungen wichtig. 20 -=-- bedcutCl »gleich im Rahmcn dcr Rundung«

70

I Grundlagen

Satz 1.7: (CauchyscJzes 21 KOnl'ergellzkrirerium) Eine Folge (an)"EN konvergiert genau dann, wenn folgendes zutrifft: Zu jedem e > 0 gibt es einen Index 110, so daß rur alle Indizes ll, 111 2:: 110 gilt:

I

( 1.50)

la"-a,,,1 <e.

Bemerkung: Das Kriterium besagt im Prinzip, daß eine Folge genau dann konvergiert, wenn die Differenzbeträge der Elemente beliebig klein werden, falls die Indizes nur genügend groß sind. (1.50) heißt Cauclzy-Bedil/gllllg oder E:-I/o-Bedingwzg. Beweis: (I) (a,,) konvergiere gegen a. Wir wollen zeigen, daß die Cauchy-Bedingung (1.50) erfl111t ist: Zu jedem eo > 0 existiert ein 110 mit la" - {/ I < E:o rur alle 11 2:: 110. Für alle 11. 111 2:: 110 gilt dann

la" -a",l::: la" -al + la -a",1 < E:o+E:o = 2E:o. Schreiben wir E: = 2eo, so ist damit die Cauchy-Bedingung ermllt. (11) (a,,) erflille die Cauchy-Bcdingung. Es soll gezeigt werden. daß (all) konvergiert. Dazu zeigen wir im ersten Schritt, daß die Folge (a,,) beschränkt ist. Nach dem Satz von 801zanoWeicrstraß hat (a,,) dann einen Häufungspunkt a.lm letzten Schritt beweisen wir, daß (a,,) gegen diesen Häufungspunkt konvergiert. I. ScJ"itt: Zu einem fest gewählten eo > 0, etwa E:o = I, gibt es ein 110 mit la m - al/I< E:o rur alle 111 > 11 2:: 110. Es folgt speziell mr 11 = 110:

D.h. die Teilfolge (am) mit m > 1/0 ist beschränkt. Nimmt man die fehlenden al, ... , a"o hinzu, so bleibt die Beschränktheit erhalten. (all) ist also beschränkt. 2. Schritt: Es existiert damit ein Häufungspunkt a der Folge (al/), d.h. es gibt eine Teilfolge (a"k)kEN VOll (a'I)' die gegen a konvergiert. Zu beliebigen E:' > 0 gibt es also ein ko mit

lall. - al < e' rur alle k 2:: ko. Ferner existiert ein

la" - a",1

<

1/0

E:'

mit für alle 111," 2::

IlO.

Dabei kann man 110 sicherlich so groß wählen, daß 110 > 2:: no:

IIk

lall -al::: la"

-all~l+

la"k -al< E:' +E:' = lE:'.

21 Augustin Louis Cnuchy (1789- 1857). fmnzösischcr

Malhcmmi~cr

IIk(}

ist. Somit folgt rur 11 > 110 und

Mit e = 2e' folgt also la n - (/1 < e fUr alle 11 >

110,

JA Unendliche Folgen reellerZ
71

d.h. (an) konvcrgicrt gegen a.

0

Das Cauchyschc Konvcrgcnzkritcrium ist das wichtigste Konvergenzkriterium im systematischen Aufbau der Analysis.

1.4.7

Lösen von Gleichungen durch Iteration

Es sollen Gleichungen der Form (1.51 )

x = J(x)

gelöst werden, wobei die Funktion J ein Intervall I in sich abbildet. Jede Lösung x von (1.51) heißt ein Fi:qmllkr VOll f. Die Gleichung selbst wird ci ne FixpullkrgleicJu/IIg gcnannt. Geometrisch sind die Fixpunkte von J die Schnittpunkte des Graphen von J mit der Geraden, die durch y=x

beschrieben ist. Sie geht durch 0 und bildet mit der x-Achse einen Winkel von 45 0 • s. Fig. 1.33. y

y '"' f (x)

Fig. J .33: Fixpunkt

x von f

Wir versuchen, eine Lösung von (1.51) durch sogenannte Fixpul/klilemlioll zu berechnen. D.h. wir wählen ein Xo aus dem Definitionsintervall I von J aus und bilden nacheinander die Zahlen XI

= J(xo)

X2 = J(xd X3 = J(X2) ,

kurz

XI)

+ I = /(x/ 1)

ftir

11

= 1,2.....

( 1.52)

72

I Grundlagen

Wann konvergicrt die so dcfinicrte Iteratiollsfolge (XII) gegen eine Lösung von x = fex)? Der folgendc Satz gibt dafür ci ne hinreichende Bcdingung an, Satz 1.8:

(Ballachsche?2 Fixpu/lkrsalz in IR) Es sei f : I --,l> I eine Funktion. die ein abgeschlossenes Intervall I in sich abbildeL Ferner gelte für alle Xl. X2 E I die Unglei-

chung (1.53)

mit einer von Xl, X2 unabhängigen Konstanten K < I. Damit folgt: / hat genau einen Fixpunkt XE J. Die Iterationsfolge (x n ), definiert durch Xn+l == /(X'I), konvergiert gegen diesen Fixpunkt, wobei von einem beliebigen Anfangspunkt Xo E I ausgegangen werden darf. Bevor wir den Satz beweiscn. soll er veranschaulicht werden. Gilt (1.53) mit eincr Konstanten K < L so besagt dies, daß die Funktionswerte f(xd und f(X2) stcts dichtcr zusammenliegen als die Punkte Xl, X2. Man nennt daher eine Funktion f, die (1.53) mit K < I erftillt, eine Kontraktion. Ihr Graph steigt verhältnismäßig sanft an oder ab, wie es Fig. 1.33 zeigt. Genauer: Jede Sekante von f bildet mit der x-Achse einen kleineren Winkel als 45°. (Eine Gerade heißt Sekante von f. wenn sie den Graphen von f mindestens zweimal schneidet.) y

Fig. 1.34: Zur Itemtion: f steigt

y.,

Fig. 1.35: Zur Iteration: f flillt

Damit läßt sich die Iteration X,,+l == f(x,,) zur Lösung von X = fex) so darstellen, wie es die Figuren 1.34 und 1.35 zcigen. In Fig. 1.34 ist eine stcigende Funktion f dargestellt. In Fig. 1.35 eine fallende. Der Leser mache sich klar, daß im Verlaufe der Trcppcnlinie bzw. Schneckenlinie in den Figuren die Iterationspunkte XO, Xl, X2 • ... geometrisch gewonnen werden.

22 Stefan Banach (1892-1945). polnischer Mmhemmi~er

JA Unendliehe Folgen reellerZ
73

Beweis: Des Salzes 1.8: Es sei Xo beliebig aus I gewählt und (x,,) definien durch die Iteration X,,+l = f(x,,), 11 = 0, 1.2, .... Es gilt dann

Hir alle

1I

= 1.2,3, .... Also folgt sukzessive

Ix,,+1 - x,,1 :::: Klx" - x,,_11 :::: K 2Ix"_1 - x,,_21 :::: ... :::: K"lxl - xol, d.h. Ix,,+1 ~ x,,1 :::: K"lxl - xol, Hir alle 11 = 0, 1.2. Mit 11 <

Ix"

111

folgt daher

~

xml = I(x" .:::: < <

+ (X,,+I ~ X,,+2) + (X,,+2 ~ -'",,+3) +, .. + (Xm_1 ~ .1."",)1 Ix" - x,,+11 + Ix"+1 - x,,+21 + IX,,+2 - x,,+31 +.,. + Ix"'_1 - x",1 Klllxl _ xol + KIl+llxl - xol + K,J+2 Ixl - xol + ... + K"'-llxI - xol KIl(l + K + K 2 + ... + K m- Il - I )lxl -xol

= K"

~

X,,+I)

1- K m -" I I K lXI -xol.:::: K" I ~ Klxl -xol,

also

K"

Ix,/-xllll.:::: I_Klxl-xol.

(1.54)

("'>li).

°

Die rechle Seite kann beliebig klein gemacht werden, wenn nur 11 genügend groß gewählt wird, für 11 _ 00. Zu beliebig kleinem 8 > 0 suchen wir uns nun ein 110 E N, so daß die da K" _ rechte Seite von (1.54) für 11 = 110 kleiner als 8 wird. Dann ist sie auch für alle Jl ::: 110 kleiner als 8, woraus

Ix" - xtIIl <

E;

folgt fur alle 1/, 111 E N mit m > 11 ::: 1/0. Nach dem Cauchyschen Konvergenzkrilerium konvergien damit die Folge (x,,) gegen einen Grenzwen x. x iSI ein Fixpunkt von I, denn es gilt x = Iw wegen

Ix - f(X)1 = Ix - x" +x" - f(x)1 :::: Ix - x,,1 + Ix" ~ f(X)1 = Ix ~ x,,1 + II(x,,-I) - Iv)1 .:::: Ix-x,,1 + Klx,,_1 -xl_ 0 fLirn _

x

Überdies iSI der einzige Fixpunkt von [, denn wäre folgendes gelten:

00,

xein weiterer Fixpunkt von [. so würde

74

I Grundlagen

o

also Ix -:fl < Ix - :fl, was nicht sein kann. Zusatz zu Satz 1.8: Es gelten die FehlerabschiirzlIl1gen

K"

Ix" - xl ::::: 1 _ K lXI - xol u"d

_

(a priori)

]

Ix,,-xl::::: l_Klxlt+l-x,,1

(aposteriori)

( 1.55) ( 1.56)

fur alle n = 0.1.2.3. Beweis: (1.55) folgt sofort aus (1.54). wenn man darin m gegen 00 streben läßt. Aus (1.55) folgt aber rur 11=0

Da xo beliebig in I gewählt werden darf, bedeutet dies rur beliebiges x E I anstelle von xo ]

Ix - xl = - - I f ( x ) - xol·

]-K

Setzt man hier x =

XII'

so folgt (1.56).

o

Bemerkung:: Die meisten lleralionsverfahren zur Lösung von Gleichungen lassen sich auf den Banachschen Fixpunktsatz zurückfuhren. Insbesondere gelingt dies beim Newtonschen Verfahren, dem wohl wichtigsten Verfahren zur Lösung von Gleichungen.

Übung 1.28: Löse die Gleichung x3

I

x= -+4 , im Intervall 10. I] = I durch Iteration. Man mache sich klar. daß flir !(x) = x 3/4 + 1/5 die Voraussetzungcn von Satz 1.8 auf I erfüllt sind. Die Lösung x soll auf 4 Dc.drnalstcllen nach dem Komma berechnet werden (also mit dem Fehler von höchstens 5.10-5 ). Benutze dafür die Fehlerabschiitzung (1.56).

1.5

Unendliche Reihen reeller Zahlen

1.5.1

Konvergenz unendlicher Reihen

Definition 1.14: Wir denken uns eine reelle Zahlenfolge (/0.(/1.(/2.(/3.

1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen

75

gegeben, Addiert man die Elemente nacheinander auf.

So =

{jO, SI

= {/O + {jl . S2 = {j0 + {jl + (/2

usw.,

so entsteht eine neue Folge 50.51 . S2 .... , S,! .....

Diese Zahlenfolge (s,,) heißt die uI/endliche Reihe mit den Gliedem (10. (11, (12, Man beschreibt die unendliche Reihe symbolisch durch

[t(lk]

[aO+(lI+(l2+ ... J oder kürzer

k=O

Statt »unendliche Reihe« sagen wir auch kurz Reihe. Die Summen

" S,,=L(lk.

( 1.57)

k=O

heißen P(lrtiahuI/"I/en der Reihe. Das Wesen der unendlichen Reihe 1(10 +(11 + (12 + ... J besteht also im sukzessiven Addieren der Gerade dadurch entsteht die neue Folge auf die es ankommt. Diese Folge wird auf Konvergenz und Divergenz untersuchl. Wir vereinbaren daher in naheliegender Weise:

(lk.

(s,,),

[f>k]

Definition 1.15: Eine Reihe

heißt genau dann kOl/vergellt. wenn die Folge (5,,) ihrer Partial-

'..0

summen konvergiert. ISI s der Grenzwert dieser Folge, also.f =

lim " ...... 00

man daflir auch

S". so schreibt

s heißt Grenzwert oder SI/mille der Reihe. Eine Reihe. die nichl konvergent ist, heißt divergem. Wir erwähnen noch, daß Reihen nicht unbedingt mit dem Index Null beginnen müssen, In der Form [(I", + (1",+1 + + ... J. mit III beginnend, werden sie entsprechend behandelt. Wir machen uns noch einmal klar, daß Reihen nichts grundsätzlich Neues sind, sondern lediglich spezielle Folgen (s,,). Auf diese Folgen werden einfach alle Überlegungen des vorigen Abschnitts 1.4 angewendet, womit vieles, was über Reihen gesagt werden kann, schon erledigt ist. Die folgenden Ausflihrungen sollen hauptsächlich darüber hinausgehende Gesichtspunkte beleuchten, Z.B. wie man von Eigenschaften der Glieder auf die Konvergenz der Reihen schließen kann.

(lm+2

(lk

76

I Grundlagen

Doch zunächst das Paradebeispiel aller unendlichen Reihen, die geometrische Reihe: Beispiel 1.40: Die geometrische Reihe hat die Geslalt [I

+ q + q 2 + q 3 + ....I

ku'-c" ''''

.

[,~~oq'] L..J

23

mit einer beliebigen reellen Zahl q. Für die Partialsummen Ahschn. 1.1.7, (1.12»: SII

Sn

erhält man im Falle q

oft I (nach

I _q"+1 = I +q +q2+ q 3+ ... +q" = ~.-2__ I-q

( 1.58)

Nehmen wir Iql < I an, so strebl die rechte Seite gegen s = 1/(1 - q). Also folgt 00 1 Ll=l+q+q2+ q 3+ ... = I-q'

falls Iql < I.

( 1.59)

k=O

Die geometrische Reihe beherrscht beispielsweise die Zinseszinsrechnung, wie überhaupt weite Teile der Finanzmathematik. In der Analysis ist sie ein unentbehrliches Hilfsmittel bei der Konvergenzuntersuchung auch anderer Reihen.

T 1

v

-'L

Fig. 1.36: Zur geometrischen Reihe Das »Geometrische« an der geometrischen Reihe wollen wir am Beispiel der Fig. 1.36 verdeutlichen. Die Summe der Fläeheninhaltc der sehrafficrtcn Dreiecke ist

23 Hierbei \'ercinban mnn qO = I. nueh im Fnlle q = O. Im übrigen ist nber r:fJ. nach wie \'or. niehtllcfinien.

1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen

77

Nimmt man das untere Dreieck weg, so entsteht die gleiche Figur wie vorher in kleinerem Maßstab. Dies ist typisch fUr das Vorkommen der geometrischen Reihe in der Geometrie.

Beispicll.41: Die IwrmuniKhe Reihe lautet

1 1 1 1+-+-+-+.

234

kürLer

00

[

1] .

"" L"k

k=]

Diese Reihe ist überraschenderweise divergent, obwohl ihre Glieder gegen Null streben. Man sieht das so ein: Im Falle 1/ = 2'" (111 E N) gilt für die li-te Partialsumme:

SIl=

I+~+(i+~)+(~+.. ·+~)+(~+.. ·+ I~)+'

+

(2

m

:

I

+ + ... + 2~")

~ I +~+ (~+~) + (~+ ... + ~)+ (/6 + ... + ~)+. ~

4 Glieder

+

(2~"

+ ... +

~) =

2"'-1 Glieder 1 = 1+ m . - -+ 00 fUr 2

I+

8 Glieder

~ + ~ + ~ + ... + ~ m Glieder

111

-+

00.

Beachtet man, daß die Folge (s,,) streng monoton steigt, so folgt damit 11 lim00 Sll = 00. Wir be· schreiben dies symbolisch durch ( 1.60)

Bezeichnung: Streben die Partialsummen einer Reihe [ao + (11 + (/2 + ... j gegen Unendlich, so schreiben wir symbolisch

Entsprechend verHihrt man im Falle -00.

78

I Grundlagen

Beispiel 1.42: Die Reihe

konvergiert, denn schon im Beispiel 1.39, Absehn. 1.4.6, haben wir gezeigt. daß dic Folge der Partialsummen

'~II

" I Lk'! k=O

=

monoton steigt und beschränkt ist, also konvergiert. Der Grenzwert wird mit c bezeichnet:

e=

N,

Lk

!

(1.61)

=2,71828183.

k=O

Die Rechenregeln für konvergente Folgen lassen sich sofort auf Reihcn übertragen. Man hat sie nur auf die Partialsumrnen SIl anzuwenden. Es folgt daher ohne weiteres:

Satz 1.9: Konvergente Reihen dürfen gliedweise addiert, subtrahiert und mit einem konstanten Faktor multipliziert werden.

konvergcnt, so sind auch

[fak ±bkj. k=O

N

N

[fJ..akj, (A EIR) k=O

N

L(ak±bk)= Lak±Lbk, k=O

k=O N

( 1.62)

k=O

N

L(Aad = A L(/k. k=O

( 1.63)

k=O

Die Beispiele 1.40 und 1.42 legen folgenden Satz nahe:

Satz 1.10: Bei einer konvergenten Reihe

ak --;.

0

rur k --;.

00

[E j (/k

konvergieren die Glicder gegen Null:

1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen

79

Beweis: Nach Voraussetzung konvergiert die Folge der Partialsummen (a,,) der Reihe. Für jedes Glied a" gilt offenbar (/11 = S" ~ S,,_l. Aus dem Cauchy-Kriterium folgt, daß diese Differenz gegen Null strebt. 0 Bemerkung: Die Umkehrung des Satzes gilt nicht, wie das Beispiel der harmonischen Reihe zeigl. Der Satz stellt daher ein notwendiges und kein hinreichendes Kriterium fur die Konvergenz einer Reihe dar. Demzufolge dient er auch üblicherweise zum Nachweis der Divergenz einer Reihe. Beispiel 1.43: Wir betrachten die Reihe

[tak]

mit

ak = rh. Für die Glieder der Reihe gilt {/k --+

I rur

k",O

k

-+ 00, so dass die Reihe laut Satz 1.10 divergent ist.

Übung 1.29*: . daß die .ReIhe . [I BeweIse.

+ '3J + '5J + "7J + ... ]

gegen 00 divergien.

Übung 1.30: Ein Kapital von K € mit K = 150000 soll fUr eine Rellle verwendet werden. die jeweils um Jahresanfang auszuzahlen ist. Der Jahreszins des Geldinstitutes. bei dem das Kapital eingezahlt wird. ist p = 6% = 0.06. Das Kapital wird am 1.Januar eines Jahres don eingezahlt. Die Jahresrente beträgt R = 12000 €. Sie wird jeweils um I. Januar ausgezahlt. beginnend mit dem Einzahlungsjahr. Wieviele Jahre kann die Rente gezahlt werden? Hinweis: Zu Beginn des ,Hen Jahres ist das Guthaben auf den Betrag

gesunken. (Warum?) Für welches

1.5.2

t1

ist K" > 0 > K,,+t?

Allgemeine Konvergenzkriterien

Monotonie- und Cauchy-Kritcrium werden ohnc Schwierigkciten auf Reihen übertragen. Satz 1,11: (MonoTOniekrilerillmjiir Reihen) Eine Reihe mit nichtnegalivcll Gliedcrn ab konver-

giert genau dann, wenn die Folge ihrer Panialsummen beschränkt ist.

Zum Beweis ist hierbei lediglich zu bemerken, daß wegen (/k ~ 0 die Folge der Partialsummen = ao + {/t + ... + {/" monoton steigt. Das Monotonickritcrium flir Folgen ergibt dann den vorstehenden Satz.

.1""

80

I Grundlagen

Das Monotoniekriterium wird häufig auf Reihen angewandt, deren Konvergenz zwar vermutet wird, deren Grenzwert jedoch nicht erraten werden kann. Wir erläutern dies an folgendem Beispiel: Beispiel 1.44: Konvergiert die Reihe mita> I? 24 Dies ist der Fall! Wir sehen es mit dem Monotolliekriterium folgendennaßen ein: Alle Gliedersind positiv. Zu zeigen bleibl also, daß die Folge der Partialsummen .1"" beschränkt ist. Dies wird exemplarisch ftir IJ = 15 durchgeftihn. Es gilt:

1 S15= 1+(2"
+3~')+(41" +'''+7Ia)+(8~' +

(2~' + 21(/) + (~+ ... + ~) + (~+ 4 Glieder 1

1

+

I~a)

+ ~)

8 Glieder

I

I

I

I

= 1+2·-+4·-+8·-= 1+ 1+ 2" 4" 8" 2,,-1- + 411 -8,,-1 _'_

1

= I +21'-1+(211 1)2+(211 <

1

~ I

1)3-

l+q+q2+ qJ+(/+q5+

=

2

+q+q +q

3 ( .

I

mltq=211_1<

I)

I

I -q.

Diese Abschätzung läßt sich offenbar fUr alle s" mit

Jl

= 2'" - 1(111 E N) durchfUhren:

I

s,,~--.

I-q

Da die Folge der Partialsummen monoton steigt, gilt die obige Ungleichung fUr alle Jl = 0, ... , d.h. (s,,) ist beschränkt, woraus die Konvergenz der Reihe

1,2,

[~ ~] folgt. Ein Grenzwert L.... ,,=1

11"

ist dabei schwerlich zu erraten. (Im Falle a = 2 strebt die Reihe z.B. gegen 11"2/6, was später im Zusammenhang mit Fourierreihen gezeigt wird.) Wir kommen nun zum Cauchy~KrilCrium, welches fUr die Theorie der Reihen am wichtigsten ist. wie bei Folgen.

24

sei hier r.uional vorausgesetzt. da wir andere Hochzahlen noch nicht kennen. Doch gill allcs un\,cr'jnde" auch fllr beliebige reelle Exponenten. wie wir naeh Einfllhrung der Exponentialfunktion sehen werden.

II

1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen

Satz 1.12: (Couchy-KrileriwlI für Reihen) Eine Reihe folgendes gill: Zu jedem SielS

L'"

Gk

[t

Ok] konvergiert genau dann. wenn

k=O

E

81

> 0 gibt es einen [ndex 110. so daß rur alle 11I >

fl :::

110

(1.64)

<E

k=,,+1

gilt.

Beweis: Man hat lediglich zu beachten, daß

L'"

Gk =S", -SI1

k=It+1

ist, wobei SII' Sm Partialsummen sind. Das Cauchy-Kriteriulll fur Folgen liefert dann sofort obigen Satz. 0 Wie wir gesehen haben, divergiert die harmonische Rcihe aber mit der Reihe [

I - ~2 + ~3

[I + ! + ! + .. .J. Wie steht es

- ~4 + .... ],

(1.65)

Sie konvergiert in der Tat. Es handelt sich dabei um eine sogenannte alternierende Reihe. Bezeichnung: Eine Reihe heißt alternierend. wenn ihre Glieder abwechselnd> 0 und< 0 sind. Für diese Reihcn gilt

Satz 1.13: (Leibnir 5.Kriterium) Eine alternierende Reihe

konvergiert, wenn die Folge der Gk > 0 monoton fallend gegen Null strebt.

25 Goufricd Wilhehn Lcibniz (1646- 1716).lleutscher Philosoph. Mathematiker. Diplomat. Physiker. Historiker. Bi· bliothckar und Doktor lles ....·eltlichen und dcs Kirchenrechts

82

I Grundlagen

Beweis: Wir bilden die Partial summen zu geraden und zu ungeraden Indizes und klammem geschickt: s2n :::: 00 - (al - (/2) - (03 - (/4) - ... - (a211-1 - 02,,). S211-I:::: (00 -al)

+ (02 -(3)+ ... +(0211-2 -0211-j).

Alle Klammerausdrücke sind::: 0, da (at) monoton fallt. Also ist (.1"2,,) monoton fallend und (S211_j) monoton steigend. Wegen 51 ~ S2J1_1 ~ S2Jt-1 +02n:::: S211 ~50,

(11::: I),

ist (sz,t) durch .fl nach unten beschränkt und (.1'2,,-1) durch So nach oben. Nach dem Monotoniekriterium konvergieren daher beide Folgen und zwar gegen den gleichen Grenzwert. Letzteres folgt aus 52" - 5211_1 :::: 02" ......

0

für

o

11 ...... 00.

[I

1

Die alternierende Reihe ~ ~ + ~ ~ + ...] konvergiert damit. (Ihr Grenzwert ist übrigens In 2, was wir im Zusammenhang mit Taylorrcihen später zeigen werden.)

Übung 1.31 *: Beweise die Konvergenz der Reihe

1.5.3

L 00

[

k=O

2'] k!

.

Absolut konvergente Reihen

Definition 1.16: Eine Reihe

[~{/k] heißt absulut kO/ll'ergem,

ihrer Glieder konvergiert, d.h. wenn

[f:

k=O

10kl]

Gilt dies, so ist natürlich auch die Ausgangsreihe

wenn die Reihe der Absolutbeträge konvergent ist.

[f:

Ok] konvergent, denn es gilt

k=O

1011 +1 + ... +0",1

~

10,,+11 + ... + 10",1

fur beliebige Indizes 111, 11. Nach dem Cauchy-Kriterium (Satz 1.12) gibt es aber zu jedem e > 0 ein "0, so daß die rechte Seite der Ungleichung kleiner als E ist, sofern 11, 111 > 110 gilt. Damit gilt dies erst recht fur die linke Seite, womit das Cauchy-Kriterium fur die Ausgangsreihe erfullt ist. Bemerkung: Absolut konvergente Reihen stellen den Normalfalf konvergenter Reihen dar. Konvergente Reihen, die nicht absolut konvergieren, bilden eher die Ausnahme. Entscheidend fur

1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen

83

absolut konvergente Reihen ist, daß ihre Glieder beliebig umgeordnet werden dürfen, und daß man Produkte solcher Reihen bilden kann. Wir formulieren dies in den nächsten beiden Sätzen. Satz 1.14: Absolut konvergente Reihen dürfen beliebig »umgeordnet« werden. D.h. ist eine absolut konvergente Reihe mit dem Grenzwert ordnung daraus entstehende Reihe

[t a"I']

[f>t] bd)

.1',

so korlVergien jede durch Um-

ebenfalls gegen

.1'.26

t=O

Beweis: Es seien und

t,,::::

" La nt

t=]

die Partial summen der genannten Reihen. Für sie gilt nach der Dreiecksungleichung

1.1' -/111::,,: 15 -5,,1

+ 15,1 -/111.

Wegen 15 - .1',,1 -+ 0 (mr n -+ 00) bleibt nur 1.1'" - t,,1 -+ 0 (ftir" -+ 00) zu beweisen, denn dann gilt 15 ~ /" 1-+ 0, was gerade die Behauptung des Salzes ist. Zunächst bemerken wir, daß

L lat! 00

All :::::

t="

L latl 00

gegen Null strebt, denn da All :::: S ~

s"

-+ 0

[

]

L latl und 00

konvergiert, gilt mit $::::

t=O

t=o

L latl:

,,-,

$" ::::

t=O

fur" -+ 00.

Wir bilden nun

1.1'" - tlll :::: lamllt) +." I ::": la"'(1I)1 + lamllt)+11

+.

:::: AII/(n)'

Dabei ist (1",(,,) das erste Glied (mit kleinstem Index), das sich in .1'" - t ll nicht heraushebt. das also nur in s" vorkommt und nicht in t". Es gilt 111(11) -+ 00 fur 11 -+ 00, da mit steigendem 11 schließlich jedes Element at in 'n vorkommt. Damit gilt auch A m(ll) -+ 0 fLir 11 -+ 00, folglich ISI! - t,,1 -+ 0 ftir" -+ 00, was zu zeigen war. 0 26 [n der Folge (fIt) kommt jeder Index O. 1,2. 3.... usw. genau einmal vor.

84

I Grundlagen Konvergente Reihen, die nicht absolut konvergieren, heißen bedingl kOllvergent. Die Reihe

( 1.66) ist ein Beispiel dafLir. Man könnte sich fragen, ob willkürliches Umordnen hier auch erlaubt ist. Das ist nicht der Fllil. Es gilt sogar folgendes: Jede bellillgl kOllvergente Reihe kann man so I/Illordllen. daß sie gegen eine beliebig vorgegebene Zahl konl'ergierr. Die Reihe (1.66) kann man z.B. so umordnen, daß sie gegen 100 konvergiert. Man hat nur so viele positive Glieder zu addieren, bis man gerade 100 überschritten hat. Dann subtrahiert man so viele negative Glieder (in diesem Fall nur eins), bis 100 gerade unterschritten ist. Dann addiert man wieder positive Glieder, bis 100 überschritten ist, usw. So »pendelt man sich auf lOOein«. Diese Andeutung möge genügen. Für Beweise verweisen wir auf [26J, S. 199, Satz 32.4 und [56]. S. 141, Beispiel 4.11. [n Bezug auf Anwendungen sind diese Überlegungen von geringer Bedeutung. Absolut konvergente Reihen gestatten uns, PlVdllkle VOll Reihen zu bilden,

Satz 1.15: Sind

[E k]

und

a

[~b;] absolut konvergente Reihen, so folgt (1.67)

wobei die Indizes (k. i) in der rechten Summe alle Paare

(0.1 ) (1.1 )

(0.0) ( 1.0) (2.0)

(0.2) (1.2) (2.2)

(2, I)

( 1.68)

in irgendeiner Reihenfolge durchlaufen. Wählt man die Reihenfolge speziell auf die folgcndernmßen skizzierte Weise:

(0.0)

(0.1)

(0.2)

(1.0)/ (1.1)/ (1.2)/ (2,0) / (2.1) / (3,0) / ...

/

/

(0.3)

1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen

85

so folgt j

Cj = I>lj-kbk.

mit

( 1.69)

k",O

Beweis: Die Indizes (1.68) mögen in irgendeiner Weise durchlaufen werden. Auf diese Weise werden die lakbi I zu Gliedern einer Reihe. Sli sei die li-te Partialsumme dieser Reihe. Es sei m der höchste vorkommende Index i oder k der Glieder lakbi I, welche die Summe Sn bilden. Damit gilt offenbar

(S,,) ist also beschränkt. Nach dem Monoloniekriterium konvergiert (5,,). womit der Satz bewie-

0

~ni~.

Übung 1.32: Es sei (/k = ,l und bk = qk. wobei [pi< I und Iql < I vorausgesetzt ist. Es soll (1.69) berechnet werden. Zeige ci

1.5.4

Ci

nach

,/+1 _ qi+1

=

I'

q

KOllvergenzkriterien für absolut konvergente Reihen

Da. wie schon gesagt. absolut konvergente Reihen wesentlich häufiger in konkreten Anwendungen vorkommen als bedingt konvergente. sind die folgenden Konvergenzkriterien wichtig:

Satz 1.16: (Majonmtenkriferium) Ist

[t {/k]

absolut konvergent und

k=O

für alle k von einem ko an 27 , so ist auch

[t

bk] absolut konvergent.

k=O

[%; 27 D.h. fUr alle k

~

lakl]

kO'

heißt eine Majorallle von

[%; bk]

86

I Grundlagen

Beweis: Aus

o

folgt mit dem Monotoniekriterium die Behauptung. Beispiel 1.45: Da

[to

qk ] fUr

Iql

< I absolut konvergiert, gilt dies nach obigem Kriterium auch ftir die Reihe

[~q';kl Bemerkung: Das Majorantenkriterium impliziert auch eine Möglichkeit zum Divergenznachweis einer Reihe. die häufig unter der Bezeichnung MillOralltellkriferillm gefUhrt wird und wie folgt formuliert werden kann: Ist

[~ak] eine divergente Reihe und gelte

fur alle k von einem ko an, so ist auch

[t bk]

divergent.

k=O

[~Iad]

heißt eine Mil/orallte von

[~bk]

Der Grund fur diese Schlussfolgerung ist leicht einsichtig. Wäre

[t bk] [t lIk]

konvergent. so würde

k=O

uns das Majorantenkriterium direkt die absolute Konvergenz der Reihe Widerspruch zur vorausgesetzten Divergenz steht.

Beispiel 1.46: Sei a

.:0:;

I, so gilt für alle k E N die Ungleichung

k=O

liefert, die im

1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen

Die harmonische Reihe stellt folglich eine Minoranle von

[f bk]

87

dar und die Reihe ist diver-

k=1

gent mit

I>, ~ Li: ~oo. 00

00,

k=1

k=l

Satz 1.17: (Quotielllenkriterium) Die Reihe

[f

ak] ist absolut konvergent, wenn es eine Zahl

b=O

fJ < I gibt mit

(1.70) fUr alle Indizes k von einem Index ko an 28 , Gilt jedoch von einem Index ko an

a, I l--:::1.

(1.71)

ak+'

so ist die Reihe

[f

ak] divergent.

,~

Beweis: (I) Aus (1.70) folgt

I:I~:~ 1.1 ::::~ I... _1~_:__k1_11 ~ ~

(k - ko) Faktoren

Die linke Seile ist offenbar gleich laki/lakol, also folgt lakl/lakol ~ bk- ko , d.h.

lakl ~ C· bk

D,

[f

[E

mit

C = b-koillkol.

Cb k] konvergiert (gegen C . f b k =

k=O

lIk ]

k=O absolut konvergent.

(11) Aus (1.71) folgt

28 D.h. fUr alle k

~

kO'

c

I _ b' s. geometrische Reihe), so ist auch

88

I Grundlagen

o

Die ak streben nicht gegen Null, folglich divergiert die Reihe. Beispiel 1.47: Die Reihe

[q+2q2+3q 3+ 4q4+ ... +kl+ ... J

mitlql< I

konvergiert absolut. Denn Hir den Quotienten benachbarter Glieder gilt

(k+l)qk+11

'-----,--i,kq

l

Iql k

k+l k

Iql

(I. 72)

~--Iql=k/l+-sk/l+­

ko

fur alle k :::: ko. Man kann dabei ko so groß wählen, daß die rechte Seite in (1.72) kleiner als I ist. Nach dem Quotientenkriterium konvergiert damit die Reihe absolut. Satz 1.18:

(WllrzeikrileriulII) Die Reihe

[t

ak] konvergiert absolut, wenn es eine Zahl b < I

k=O

gibt mit

(1.73)

flir alle k ab einem Index ko. Gilt (1.74)

.:flak! > I flir unendlich viele Indizes k. so divergiert die Reihe. Beweis:

(I) Die Ungleichung (1.73) liefert lak! S b k • Die geometrische Reihe Majorante von

[t

[t

b k ] ist also eine

k=O

ak]' also liegt absolute Konvergenz vor.

k=O

(11) (1.74) ergibt lak! :: I flir unendlich viele k, also Divergenz.

0

Bemerkung: Das Wurzel kriterium wird uns noch bei Potenzreihen (Abschn. 5.2.1) beschäftigen. Quotienten- und Wurzel kriterium sind sogenanntc »hinreichendc« Kritcrien. D.h. sie lassen sich nicht umkehren: Aus absolllter Konvergenz folgt nicht allgemein die Gültigkeit der Quotientenbedingung (1.70) oder der Wurzelbedingung (1.73). Aus beiden Kriterien ziehen wir nachstehende Folgerung, die in der Praxis als Kriterium ftir absolute Konvergenz oder Divergenz meistens ausreicht.

1.6 Stetige Funktionen

Folgerung 1.15: Für die Reihe

[f t=o

89

atJ existiere

. I"HII

hm - - = c t-oo at

i= 0 flir alle k)

(at

lim ~Iad =c.

t_oo

Dann folgt: Die Reihe konvcrgicfI absolut, falls c < I ist, sie divergicfI, wenn c > I ist.

Beweis: Im Falle c < I sind fur beliebig gewähltes b mit c < b < I die Konvergenzaussagen des Quotientenkriteriums bzw. des Wurl.elkriteriums erflillt. Im Falle c > I gelten die entsprechenden Divcrgenzvoraussctzungen. 0 Beispiel 1.48: Ist

[~k2(/J at+1

- {/t

I

(Iql <

I)

konvergent? Mit

' ~ (k+1 -k - ) 1'11 ~ 1

1'11

(/t

= k 2(/ gilt

flir k --;.

00.

Wegen ICI I < I erhält man aus Folgerung 1.15 die absolute Konvergenz der Reihe. Übung 1.33*: Fiir welche reellen Zahlen x konvergiert die Reihe

1.6

Stetige Funktionen

1.6.1

Problemstellung: Lösen \'on Gleichungen

Anwcndungsprobleme fUhren oft auf Gleichungen oder Gleichungssysteme. Wir beschäftigen uns hier mit dem einfachsten Fall. nämlich einer reellen Gleichullg mil einer reellen Unbek(ll/l1ren. Sie läßt sich in der Form

90

I Grundlagen

beschreiben, wobei I eine reellwertige Funktion auf dem Intervall ist. Gesucht sind alle Zahlen x aus dem Intervall, die die Gleichung erfüllen. Sie heißen Nlillslellell von I. Beispiel 1.49:

x 4 +x 3 + 1,662x 2 -x-0.250=0

(1.75)

Diese Gleichung komml bei der Standfestigkeitsberechnung eines Keflenkarussells vor (s. Absehn. 33.5). Man interessiert sich dabei rur Lösungen x im Intervall [0, 11. Die linke Seite von (1.75) stellt I {x} dar. Will man eine solche Gleichung lösen, so wird man zun~ichst ganz unbefangen probieren und einige x-Werte einselzen. Nehmen wir an, man hat dabei für einen Punkt x = a einen negativen Funktionswert ICa} < 0 erhalten und rur x = b einen positiven Wert ICb} > O. Dann ist zu vermuten, daß zwischen a und b eine Zahl x mit Im 0 liegt, kun:, eine Lösung von I(x) O. In unserem Beispiel 1,49 gilt I (a) < 0 rur a = 0 und I {b} > 0 rur b = I, wie man durch Einsetzen sieht. Ist die Vermutung richtig, daß sich zwischen a und b eine Lösung befindet? Die Anschauung zeigt folgendes: Bildet der Graph von f eine »ununterbrochene« Linie zwischen den Punkten (a. f(a» und (b, I(b», so wird diese Linie die x-Achse wenigstens in einem Punkt (x. O) schneiden (s. Fig. 1.37a). Er liefert feX) = 0, also eine Lösung unserer Gleichung. »Springt« die Funktion dagegen, wie in Fig. 1.37b skizziert, so braucht keine Lösung VO'.lUliegen. Die Eigenschaft einer Funktion f, daß ihr Graph als »ununterbrochene« Linie erscheint, wird SIeligkeil genannt. Diese anschauliche Formulierung ist noch etwas ungenau und rur präzise mathematische Arbeit nicht geeignet. Wir werden daher im nächsten Abschnitt die Stetigkeit einer Funktion exakt beschreiben.

=

y

=

y

f

•

,

•

b

I I

~

I

I I

,

b

~

.)

b) Fig. 1.37: Zur Stetigkeit

Vorerst kommen wir noch einmal auf die Gleichung f(x) = 0 zurück. wie ist sie zu »lösen«? Ist f(a) < 0 und f(b) > 0. so kann man in der Mitte zwischen a und b. bei c = ~,den Funktionswert fee) berechnen. ISI fee) > 0, so wird man eine Lösung im Teilintervall [a, cl vermuten, ist f(c) < O. vermutet man eine Lösung in [e. bl. Das so bestimmte Teilintervall

1.6 Stetige Funktionen

91

halbiert man wieder, usw. Dieses sogenannte Inrerl'af/lwlbierungSl'el!ahren fUhrt bei stetigen Funktionen zu beliebig genauer Berechnung einer Lösung von f(x) = 0 (s. Absehn. 1.6.3). Im Beispiel [.49 erhalten wir mit c 0.5 zunächst f(c) -0,147. Man vermutet daher eine Lösung im Intervall [c, b[, halbiert dies wieder usw. Der Leser möge den Vorgang selber mit dem Taschenrechner durchfUhren. Im Rahmen der Rundungsgenauigkeit gewinnt er als Lösung von (1.75) dann :x == 0,566. Aus Abschnin 3.3.5 geht hervor. daß:X die einzige Lösung in [0. I] ist.

=

1.6.2

=

Stetigkeit

Wir greifen noch einmal die Vorstellung auf, daß eine »stetige« Funktion auf einem Intervall durch einen »zusammenhängenden« Graphen dargestellt werden soll, also insbesondere nieht »springen« soll. Wir werden daher erwarten, daß l(xlJ) --+ I(xo) gilt, wenn XIJ --+ xo konvergiert. Genau dies wird als Stetigkeit bezeichnet: Definition 1.17: Eine rcellwertige Funktion 1 heißt in einem Punkt xo ihres Definitionsbereiehes 0 stetig, wenn fUr alle Folgen (x,,) aus 0 mit x" -+ xo slets (1.76) gilt. Ansonsten bezeichnen wir 1 als unstetig in Xo E D. Man kann diesen Sachverhalt auch in folgender übersichtlicher Form schreiben: (1. 77)

[im fex,,) = f( lim x,,).

" ..... 00

"_00

Merkregel: Stetigkeit von

1 in

xo =

dürfen.

[im x" bedeutet, daß

n_oo

1 und

lim vertauscht werden

" ..... 00

Definition 1.18: Eine Funktion f : 0 --+ IR heißt stetig auf einer Teilmenge A ihres Dejilliriollsbe· reiches 0, wenn sie in jedem Punkt von A stetig ist. Ist f stetig in jedem Punkt des Definitionsbereiches, so heißt f eine stetige FunktiOll. Beispiel 1.50: Jede Funktion der Form

I(x) =

(/0

+alx + a2x2

+ ... + (/"'X'" .

(1.78)

definiert auf IR, ist stetig. Eine Funktion dieser Art heißt Polynom. Die Stetigkeit von 1 sicht man so ein: Mit [im x" = x0 29 folgt auch lim x,~ = lim x,~ = xij, ... llSW., denn nach Satz 1.1 konvergiert das Produkt konvergenter Folgen gegen das Produkt der

xJ,

29 Wir schreiben I'creinfaeh! tim stall lim. wenn kcine Irrtümer entstehen können.

"_00

92

I Grundlagen

zugehörigen Grenzwerte. Entsprechendes gilt für Summen konvergenter Folgen. Also gilt

00

00

00

/(XO) = '"" lim (ak.\·~) = L.J akX~ = '"" L.J ak "lim00 x,~ = '"" L.J 11--->00 k=O k=O k=O

0

lim00

(00 ) '"" {/p:,~ = L.J

k=O

/1

lim00 /(x,,).

Dies bedeutet aber gerade, daß / in Xo stetig ist. Da Xo beliebig aus IR gewählt war, ist / eine stetige Funktion. Die meisten in Physik und Technik vorkommenden Funktionen sind stetig. wollen wir weitere allgemeine Eigenschaften stetiger Funktionen behandeln. die man kennen sollte, wenn man klug mitreden möchte. Der folgende Satz gibt die sogenannte e-8-CllaraklerisienUlg der Stetigkeit an. Zun~ichst

Satz 1.19: Eine reellweltige Funktion / ist genau dann stetig in einem Punkt Xo ihres Deflnitionsbereiches D, wenn folgendes gilt: Zu jedem e > 0 gibt es ein 8 > 0, so daß für alle x

E

D mit Ix - xol < 8 stets I/(x) - /(xo)1

<'

( 1.79)

gilt.

Bemerkung: Die beschriebene e-8-CharakterisienU/g (1.79) läßt sich auf einfache Weise vemnschaulichen. Betrachten wir dazu Fig. 1.38: y

I (xo)

'II '

I

Fig. 1.38: Zur Stetigkeit

DOll wurde zu einem e > 0 ein 8 > 0 gewiihllund daraus ein Rechteck mit den Seilenliingen 28 und 2e um den Mittelpunkt (xo. /(xo» gebildet.

1.6 Stetige Funktionen

93

Das Rechteck ist so beschaffen, daß der Gmph von [ seil/ich hemusläuft und niehl oben oder IIII/en.

Immer wenn man zu jedem s > 0 ein 8 > 0 dieser Art finden kann, liegt die Sletigkeit von [ in Xo vor. Denn die Tatsache, daß kein Punkt des Graphen von [ über oder unter dem Rechteck liegt, bedeutet gerade I[(x) - [(xo)1 < s für alle x E 0 mit Ix - xol < 8. Beweis: (des Satzes 1.19): (I) Es sei [stetig in xo. Angenommen, die s-8-Clwraklerisierul/g (1.79) ist nicht erflillt. Dann gibt es ein s > 0, zu dem man kein 8> 0 finden kann mit I[(x) - [(xo)1 < s, falts Ix - xol < 8. D.h. flir jedes 8 > 0 gibt es ein X8 E Dlx8 - xol < 8, das 1[(X8) - [(xo)1 ::: s erflillt. Insbesondere gibt es dann zu 8 == 1(11 (/1 E N) jeweils ein X'I mit

I IX,I - xol < -

und

"

1[(x,l) - [(xo)1 ::: s.

Die erste Ungleichung ergibt lim x" == xo, während die zweite zeigt, daß [(XII) nicht gegen

"_00

[(xo) strebt. Das widerspricht der Stetigkeit in xo. Also war unsere Annahme falsch, und (1,79)

gilt. (11) Ist aber (L79) erfüllt, so folgt daraus die Stetigkeit von [in xo. Denn ist (x,,) aus 0 mit XII -+ Xo flir 11 -+ 00, so wähle man zu beliebigem s > 0 ein 8 > 0 mit I[(x) - [(xo)1 < 8, falts Ix - xol < 8. Wegen XI! -+ Xo gibt cs ein /10 mit lXII - xol < 8 flir allc 11 ::: 110, also auch I[(x,,) - [(xo)1 < 8 rur 11 ::: /10. Das bedeutet aber gerade [(XII) -+ [(xo) rur" -+ 00, womit

0

der Satz bewiesen ist.

Bemerkung: Bei konkreten Stetigkeitsuntcrsuchungen gcht man meistens von der ursprünglichen Definition der Stetigkeit aus (Der. 1.17), während bei theoretischen Überlegungcn (mehrfache Grcnzwer1bildungen u.a.) die e-8-CJlllraklerisierllllg vor..w ziehcn ist. Übung 1.34*: Für welche x-Werte sind die folgenden Funktionen stetig und rLir wetche nicht?

=

.l-I.

g(x) =

{~-I

(a) j(x)

(b)

(c) hex) =

(d) k(x)

1.6.3

.

j:IR\lOj-l'IR,

fUrx,!-O.

g:IR_IR.

fUr,l =0, I

11m - 2 - - .

" ..... <Xl.l "+1

I = 1 0

7x 2±6J< 98 .l.1t3x 10

flirx > 2. rLir x ::: 2.

Zwischenwertsatz

Wie schon zu Beginn von Abschnitt 1.6 gesagt, erwarten wir von einer stetigen Funktion [ auf einem Intervall /, daß sie zwischen einern a mit [(a) < 0 und einern b mit [Cb) > 0 eine

94

I Grundlagen

Nullstelle x hat (s. Fig. 1.39). Wir vermuten also, dilß ihr Graph die x-Achse zwischen a und b mindestens einmal schneidet. Dies ist die Aussage des folgenden Satzes. y

,

, b

Fig. 1.39: Nullslel1ensalz. Zwischenwertsalz

Satz 1.20: (NulJste/lellsmz) ISI J eine reellwenige stetige Funktion auf dem Intervall [a. b] und haben J(a) und J(b) verschiedene VorLeichen (J(u) < 0, J(b) > 0, oder: J(u) > 0, J(b) < 0), so besitzt f in (0, b) mindestens eine Nullstelle.

Beweis: Der Beweis wird konstruktiv geftihn, und zwar mit dem Illten'allhalbienmgsverJahren, welches eine Nullstelle beliebig genau zu berechnen gestattet. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir J(a) < und J(b) > 0 an (anderenfalls wird J durch - J ersetzt). Man leilt nun das Intervall [u, b] in der Mille, also bei m = (a + b)/2. Ist zufiiIlig J(m) = 0, so bricht man das Verfahren ab, da eine NullsteIle gefunden ist. Im Falle J(m) > 0 wähll man das linke Teilintervall [a.lII] zur Weiterarbeit aus, im Falle J(m) < 0 dagegen das rechte Teilintervall [111. bIo Das ausgewählte Teilintervall nennen wir [al. bl]. Für seine Endpunk!e gi 11

J(ad < 0 < J(bj). [al. bl J wird nun abermals halbien. uSW. D.h. man bildet nacheinander für n = 1.2.3.... die

Zahlen (I)

(11)

m" =

(/" +2 b"

falls J(III,,)

. = Mitte von [all, bill,

-0 0: 1 :

< 0,

so Abbruch, da II/ n Nullstelle, so a'I+1 := a", b'I+1 := 111". so a,,+1 := III n _ bll + 1 := b".

( 1.80)

1.6 Stetige Funktionen

95

Auf diese Weise entsteht (falls kein Abbruch) eine Intervallschachtelung [a. b] :l [(/1. b)J :l [a2. b2J :l ... , bei der die IntervalHillgen b" - a ll ::::; (b - 0)/2" gegen Null streben. Es gilt zweifellos a" __ x, und b ll __ X. Wegen f(a,,) < 0 < f(b,,) und der Stetigkeit von f folgt also f(i)::::; lim f(a,,) SOS lim f(b,,)::::; f(i) "---'00

11---'00

=>

f(X)::::; O.

o

Bemerkung: Das Intervallhalbierungsverfahren läßt sich gut auf Taschenrechnern oder programmierbaren Computern verwenden. Die Konvergenz der Folgen (a,,) oder (b,,) gegen die Nullstelle x ist zwar recht langsam, doch weist das Verfahren gerade bei der Programmierung einige Vorteile auf: Es ist einfach (d.h. leicht programmierbar), es ist stabil (d.h. es funktioniert bei jeder stetigen Funktion und ist unanftillig gegen Rundungsfehler), und man kann den Rechenaufwand vorher abschätzen. denn es gilt

b-a

la" - xl S ~.

,,::::; 1.2.3.

(1.81)

Ist z.B. f eine stetige Funktion auf 10. I] mit f(O) < 0, f(l) > O. und will man eine Nullstelle

x E (0.1) auf 6 Dezimalstellen genau bestimmen, so darf der Fehler la" - xl nicht größer als 5 .10- 7 sein, d.h. es muß 11 so geWählt werden, daß (b -a)/2" S 5.10- 7 ist. Das kleinsten dieser Art ist 11 ::::; 21. Zusammen mit f(a) und f(b) sind damit 23 Funktionswerte zu berechnen. Wir werden später erheblich schnellere Verfahren kennenlernen, die allerdings meist nicht so stabil sind. Zwischen diesen beiden Eigenschaften, größere Schnelligkeit oder größere Stabilität der Rechnung. hat man sich in der Praxis normalerweise zu entscheiden.

Beispiel 1.51: Wir betrachten ein beliebiges Polynom ungeraden Grades n.

und behaupten, daß es milldestells eine reelle NlIlIstelle halo Der Beweis ist mit dem Nullstellensatz denkbar einfach. Man hat sich nur klar zu machen, daß ftir große lxi das »höchste Glied« a"x" »überwiegt«, d.h. daß alle anderen Glieder atxt absolut erheblich kleiner sind als la"x"l. Für genügend großes lxi ist daher das Vorzeichen von p(x) gleich dem Von:eichcn von a"x". Da 11 ungerade iSl, hat aber a,,(-x)" ein anderes Vorzeichen als a"x". Zwischen -x und x muß sich daher eine Nullstelle von p befinden! Der Leser überprüfe dies durch Rechnung am Beispiel

und berechne mit dem Intervallhalbierungsverfahren eine Nullstelle auf 3 Dezimalstellen genau. Der NullstelIensatz läßt sich mühelos zum Zwischenwertsatz ausdehnen.

96

I Grundlagen

Satz 1.21:

(ZwiscJlemverr.wtz) Ist I : [u, bJ --7 IR eine stetigen Funktion und y eine beliebige Zahl zwischen J(u) und J(b), so gibt es mindestens ein zwischen a und b mit

x

I(X)=Y·

Man sagt auch kürzer: Eine stetige FUllktion

I : [a. bl--7 IR nimmljedell

Wert

y zwischen J(a)

lind I(b) all.

Beweis: Zum Beweis hal man lediglich auf die Funktion Sex) := J(x) - y den Nullstellensatz anzuwenden: Da y zwischen J(u) und I(b) liegt, müssen g(a) und g(b) vcrschiedene Vorzeichen haben. Nach dem Nullstellensatz existiert dahcrein x mit g(x) = 0, also I(x) = y. 0 Beispiel 1.52: Mit dem Zwischenwertsatz beweisen wir, daß zu jeder positiven Zahl a und jedem Il E N genau eine positive li-te Wurzel

existiert (Nachtrag zu Abschn. 1.1.6), Um dies einzusehcn, haben wir

ZU

zeigen, daß die Glei-

chung X"

=a

eine Lösung x ::: 0 besitzt. Es gilt für die stetige Funktion I(x) = x" (x 2: 0) aber J(O) < + I. Nach dem Zwischenwertsatz existiert damit ein Xo E (O.XI) mit I(xo) = a, d.h. X = a. Da J auf [0, 00) streng monoton ist, ist Xo eindeutig bestimmt. Man schreibt dafUr a < I(xj), mit XI = a

ö

.

.;c

·\0= va.

Übung 1.35: Wieviele Lösungen hat die Gleichung

37228 4 x - -.\' + -.r - - = 0 5 45 45

in [0.11?

Berechne die Lösung(en) mit dem lntervallhalbienmgsverfahren auf drei Dezimalstellen genau. Gib vor Beginn der Rechnung an. wieviele Halbierungsschriuc nötig sind!

1.6 Stetige Funktionen

1.6.4

97

Regeln für stetige Funktionen

Niemand zweifelt daran, daß Summe, Produkl und Qllo/ielll stetiger Funktionen wieder stetig sind. Doch es will bewiesen werden!

Satz 1.22: Sind / und g stetig in Xo, so sind auch

J+8.

J-8.

/. g

und

J g

(falls g(xo) :f:. 0)

stetig in xo.

Beweis: Die Stetigkeit von / +g, / -g und /.g ergibt sich unmittelbar aus Satz 1.1 unter Zugrundelegung der Stetigkeilsdefinition 1.17. Zum Nachweis dcr Stetigkeit von / /g in Xo benutzen wir den nachfolgenden Hilfssatz, der besagt, daß g(x) :f:. 0 ist rur alle x des Definitionsbereiches von g, die in einer gewissen Umgebung U von xo liegen. Für jede Folge (x n ) aus U mit X n --?' xo folgt daher /(xn)/g(x,,) --?' /(xo)/g(xo) rur 11 --?' 00 (s. Satz 1.1). Also ist!lg in xo stetig. 0

Hilfssatz 1.2: Ist / : 1

--?'

IR stetig in xo E I. wobei /(xo) :f:. 0 ist, so gibt es eine Umgebung U von

xo mit /(x):f:.0

flirallexEUn/.

Beweis: Wir wählen c = I/(xo)l. Dazu existiert ein IJ(xo) - J(x)1 < e ~ IJ(xo)1

=> 1/(xo)I-I/(x)1 < c = 1/(xo)1 Für U = (xo - 0, xo

{j

> 0, so daß rur alle x E I mit Ix - xol < 0 gilt:

=> 0 < 1/(x)l.

+ 0) ist die Behauptung erfüllt.

o

Beispiel 1.53: Die Funktionen der Form (1.82)

sind überall stetig. wo der Nenner nicht Null ist. da Zähler und Nenner stetige Funktionen darstellen (s. Satz 1.22, Fall !lg). Die Funktionen der Gestalt (1.82) nennt man rationale Funk/iollell.

98

I Grundlagen

Beispiele: 8 - 6x - 5x 2 2+x

3-x+2x 3

1'1

(x) = 2

-x

+

6 ' . X·

Der Leser rechne Tabellen von Funktionswerten dieser Funktionen aus und skizziere die zugehörigen Graphen. Bei 1') wird er eine kleine Überraschung erleben. Wie ist sie zu deuten? Den folgenden Satz mache sich der Leser im Koordinatensystem anschaulich klar, bevor er den Beweis liest. Satz 1.23: (Stetigkeit \'01/ Umkehr/tlllkliollen) Es sei Intervall I. Damit folgt

f

eine streng monotone Funktion auf einem

(I) Die Umkehrfunktion f- I ist stetig auf f(l).

(2) Ist f überdies stetig auf I j so ist J = f(l) ein Intervall.

Beweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir f als streng monoton steigend an. (Andernfalls ersetzt man f durch - f.) Ferner dürfen wir I als offenes Intervall annehmen, denn wäre a ein Endpunkt von I, etwa ein linker. so könnte man f auf (-00. a] streng monoton steigend erweitern, z.B. durch eine Gerade, die in a den Wert f(a) annimmt. Zu (1): Es sei nun )"0 ein beliebiger Punkt aus f(l), mit)'o = f(xo). Es sei 8 eine beliebige positive Zahl mit der Eigenschaft, daß [xo -8. xo+eJ in I liegt (zum Sietigkeitsnachweis von f genügt es, sich auf so kleine 8> 0 zu beschränken). Man bildet nun das Intervall (f(xo) - e. f(xo) + e) und erkennt wegen der Monotonie von f, daß alle Y = f(x) aus diesem Intervall ihre Urbilder x in (xo - e, Xo + e) haben. Ist 5 der kleinere der Abstände If(xo - e) - f(xo)1 oder If(xo + e) - f(xo)l, so folgt damit rur alle y = f(x):

I>, - .ral

< 5::::}

Ix -xol

< 8.

Das bedeutet aber gerade die Stetigkeit von f- 1 in Yo. Da)'o E f(l) beliebig war, ist f- 1 somit stetig. Zu (2): Eine Zahlenmenge ist offenbar genau dann ein Intervall. wenn mit je zwei Punkten der Menge auch jeder zwischen ihnen liegende Punkt zur Menge gehört. Sind nun YI = f(xl) und )'2 = f(xü zwei beliebige Punkte J = f(l), so besagt der Zwischenwertsatz. daß jeder Punkt zwischen),1 und),2 zu f(l) gehört. Also ist f(l) ein Intervall. 0 Beispiel 1.54: (Wul'zelfimkriollen) Die durch g(x)

=::IX

(11 E N)

1.6 Stetige Funktionen

99

auf [0. 00) definierte Funklion ist stetig, denn sie ist die Umkehrfunklioll der stetigen Potenifullklioll [(X)=x".

x~o.

Satz 1.24: (Komposilion stetiger FIIJ1kriollen) Es sei [ : A --7 8 stetig in Xo E A und g : 8 stetig in)"o = [(xo). Dann ist auch die Komposition

--7

C

gof

stetig in xo. Beweis: Ausx" --7 Xo (x" (g

d.h. g

0

0 [

E A)

folgt f(x ll )

f)(x,,) = g(f(x,,»

--7

--7

[(xu). also g(f(xo» = (g

0

f)(xo).

o

ist stelig in xo.

Beispiel 1.55: Wir fragen uns. ob hex) =

&+l

stetig auf IR ist. Mit f(x) = x 2 "(x)

~

g(f(x))

~

(g

0

+ I, g(y)

f)(x).

Da [ stetig auf IR ist und g stetig auf 1.6.5

= .jY. kann man schreiben:

ro. 00). so ist h stetig auf IR.

Maximum und Minimum stetiger Funktionen

Häufig ist nach dem größten oder kleinsten Wert einer Funktion gefragt. Es interessiert etwa der höchste Punkt einer Flugbahn oder der niedrigste Punkt eines durchhängenden Hochspannungsdrahtes. Der folgende grundlegende Satz gibt Auskunft über die Existenz solcher größten oder kleinsten Werte. also der Maxima und Minima einer Funktion. Doch zunächst einige Bezeichnungen. Intervalle der Form [a. b] werden kompakte Ill/ermlle genannt. Kompakle Inlervalle sind also nichts anderes als beschriinkte abgeschlossene Intervalle. Nicht kompakt sind z.B. die Intervalle (a. b). (a. bJ, La. 00), IR. Wir nennen eine reelle Funktion [ : A --7 IR /lach oben beschriillkl. wenn es eine Zahl C gibt mit [(x) ~ C

fur alle XE A.

100

I Grundlagen

C heißt eine obere Schrallke von /. Die kleinste obere Schranke von / heißt das Supremwlll'oll / und wird so beschrieben:

sup/(x). "A

Entsprechend wird nach /Illrell beschränkt und untere Schranke definiert untere Schranke von / heißt InfimulII VOll / und wird durch

(~

statt .:'S:). Die größte

inf /(x)

"A

symbolisien. / : A -,\0 IR heißt beschränkt, wenn / nach oben lind nach unten beschränkt isl. Gibt es ein Xo E A, so daß !(xo) gleich dem Supremum von! ist, d.h. daß /(x).:'S: /(xo)

ftirallex

E

A

gilt, so heißt /(xo) das Maxillllll11 von /' in Formeln ausgedrückt max [(x) = !(xo). XEA

Xo wird dabei eine Moximoüte!le von! genannt. Entsprechend werden Minimum von [.

min /(x),

.rEA

und Minima/stelle definien. Beispiel 1.56: Die Funktion /(x) = x 2

mit Definitionsbereich [~I. 11 hat offenbar eine Minimalstellc bei 0 und zwei Maximalstellcn bei ~ I und I. Es gilt also min /(x)=/(O)=O. max /(x)=/(I)=[(-I)=I . ..-el-I.II xel-I.IJ Beispiel 1.57: Schränkt man die obige Funktion [(x) = x 2 ein auf den Definitionsbereich (-I. J), so bleibt das Minimum erhalten, doch ein Maximum besitzt sie nicht mehr! Es ist zwar fex) < I fUr alle x E (-I. I), aber niemals = I. /(x) kommt allerdings der I beliebig nahe, wenn x < I nahe genug an I liegt. Somit gilt sup fex) = I. xe(-I.I) wobei stan sup nicht max gesetzt werden darf!

1.6 Stetige Funktionen

101

Beispiel 1.58: Die Funktion I(x) = I/x mit Definitionsbereich (0. 1J ist offenbar unbeschränkt, genauer unbeschränkt nach obe/l. Nach untcn ist sie natürlich beschränkt, denn es ist mill I(x) = 1. ~€(O.IJ

Ist cine Funktion I : A -+ IR nach obe/l bzw. /l{lch ullfen unbeschränkt. so beschreiben wir dies durch sup I(x) =

XEA

00

bzw.

inf I(x) =

(1.83)

-00.

x€A

In den letzten beiden Beispielen 1.57 und 1.58 existieren keine Maxima. Der Dcfinitionsbereich ist hier beide Male nicht kompakt. Andererseits halten wir in Beispiel 1.56 einen kompakten Definitionsbereich. und prompt existieren auch das Maximum wie auch das Minimum. Das läßt folgenden Satz vermuten:

Satz 1.25:

(Salz vom Maximum) Jede stetige Funktion I auf einem kompakten Intervall [a, b] ist beschränkt und besitzt sowohl Maximum wie Minimum. D.h. es gibt Elemente xo und Xl in [a. bl mit

I(xo) .::: !(x) .::: !(xj)

(1.84)

fur alle XE [a, bl.

Beweis: (I) Wir nehmen an: ! ist nach oben nicht beschränkt. Dann kann man zu jedem 11 E N ein x" E [a, bl finden mit !(x,,) > n. So entsteht eine Folge (xn ) aus ta, bj. Da die Folge (x,,) beschränkt ist, besitzt sie eine konvergente Teilfolge (xnkhEN (nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß). Ihr

Grenzwert sei X. Da ! stetig ist, gilt damit

Andererseits ist wegen J(X"I;) > IIk:

Beides kann nicht sein. Also war unsere Annahme falsch, und I ist nach oben beschränkt. Die Beschränktheit nach unten ergibt sich analog. (11) Wir zeigen nun, daß! ein Maximum besitz!. Da I beschränkt ist. existiert jedenfalls das Supremum sup !(x) =: s. xEI".hj

Zu jedem" E N gibt es damit einen Wert

I

(x) mit s ~

*

< J (x) .::: s. StaU x schreiben wir hier

102

X n.

I Grundlagen

So entsteht eine Folge (x n ) in [a. b J mit 1 s - - < f(x n ) :::: s.

lim fex,,) :::::

also

"

n...... CO

S.

(XII) besitzt eine konvergente Teilfolge (XII.) (nach Bolzano-WeierstraB). Ihr Grenzwert sei

f

( 1.85)

x. Da

stetig ist, gilt

Nach (1.85) ist dieser Grenzwert aber gleich s, also f(i)=s,

d.h. x ist eine Maximalstelle und s das Maximum von f. Die Existenz des Minimums von f wird analog gezeigt.

o

Bemerkung: Der bewiesene Satz ist Grundlage für Exlremalprobleme, also Probleme. bei denen nach Maximum oder Minimum gesucht wird. Er ist überdies wichtiges Hilfsmittel beim Beweis des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung. Sein Wert liegt mehr im Theoretischen. Übung 1.36: Gib für die folgenden Funktionen an. ob sie nach oben oder unten beschränkt sind. und berechne gegebenenfalls ihre Suprcma. Intima. Maximal- und Minimalslellcn!

1.6.6

a)

/(.1')=.1'2_ 10.1'+22:

f : IR. --l> IR.:

b)

g(.r)=2x-5:

g ; 10.10)

c)

hex) =

.1'4 -

d)

k(.r) =

3":

2.1"2

+ 3:

1

--l>

IR:

h : 10.21_ IR:

k; (0.00) _ IR.

x

GleichmäUige Steiigkeit

Dieser Abschnitt kann beim ersten Lesen überschlagen werden. Er stellt ein Hilfsmittel bereit. welches wir später in Beweisen benötigen. z.B. beim Beweis der Tatsache, daß stetige Funktionen integrierbar sind. Das Hilfsmittel, wovon hier die Rede ist, ist der Begriff der gleichmiißigen Stetigkeit. Erinnern wir uns noch einmal daran, was es heißt, daß eine Funktion f auf einer Menge A C IR stetig ist. Das bedeutet nach Satz 1.19: Zu jedem Xo E A und zu jedem e > 0 existiert ein <5 > 0 mit der Eigenschaft

Ix - xol

<

<5

und

XE

A

:::}

If(x) - f(xo)1 < e.

( 1.86)

Hierbei htingt li von e lind .1'0 ab. so daß wir statt li auch li (.1'0. e) schreiben wollen. D.h. ftir verschiedene Xo sind die li(xQ. e) möglicherweise verschieden. selbst wenn die e dabei gleich

1.6 Stetige Funktionen y

/) (t)

f (X2)

f (Xl)

103

, -

, " " Fig. 1.40: Gleichmäßige Stetigkeit von Geraden

sind. Ein Beispiel hierftir ist die Funktion [(x) = I Ix auf (0. 1J. wie wir im nächsten Beispiel genauer sehen werden. Hier müssen die 8(xo. t) von..l:O zu xo verschieden gewählt werden bei fest gewähltem t > O. Andererseits gibt es aber viele Funktionen, bei denen 8 > 0 so gewählt werden kann. daß es nur 1'011 E > 0 abhängt und /licht 1'011 xo. Wir schreiben in diesen Fällen 8(e) statt 8. Die einfachsten Funktionen, bei denen dies der Fall ist, sind die Geraden. Für die Gerade [(x) = 2x (x E IR) überlegt man sich zum Beispiel: Zu beliebigem s > 0 wähle man 8(E) = S /2. Dann gilt ftir alle Xt, X2 E IR:

Anhand des Graphen von [ wird dies sofort klar, s. Fig. 1.40. Die beschriebene Eigenschaft, also die Ullabhällgigkeit ,Ie,. Zah/8(s) mn xo, heißt gleichmäßige Stetigkeit der Funktion [. ZusammengefaßI: Definition 1.19: Eine reellwenige Funktion [ heißt gleichmäßig stetig auf A (A C DU) folgendes gilt:

c

IR), wenn

Zu jedem s > 0 gibt es ein 0 > O. so daß ftirallexl,x2 E A mit lXI -x21 <

ostets ( 1.87)

gilt.

[ heißt eine gleichmäßig stetige Funktion, wenn [ nur dem gesamten Definitionsbereich D(f) gleichmäßig stetig ist.

104

I Grundlagen

Es gilt nun der fundamentale

Satz 1.26: Auf kompakten Intervallen sind stetige Funktionen gleichmäßig stetig. 8eweis: Es sei / stetig auf la, bJ, Wir nehmen an. daß I nicht gleichmäßig stetig auf la, b] ist. und führen dies zum Widerspruch. Für I soll also die Verneillllllg von (1.87) zutreffen, d.h. es gibt ein BO, so daß es keil! 0 > 0 gibt in der in (1.87) beschriebenen Art Das bedeutet aber: Es gibt ein BO > O. so daßfiir jedes 0> 0 zwei PunktexI>x2 E

la,bl

mit IX1 -x21 < 0

existieren. für die

( 1.88)

ist.

=

=

~ fUr n 1.2.3.4, ... und nennen die zugehörigen Xl. X2-Werte kurz Wir wählen dabei 8 XI.", Xv,. Die Folge (XI.,,) ist beschriinkl, besitzt also eine konvergente Teilfolge (XI./I.hEN' Ihr Grenzwert sei X. Wegen IX1./I' - xv,.1 < ll"t konvergiert auch (XVI.) gegen X. Wegen der Stetigkeit von / gilt

Das steht aber im Widerspruch zu I/(xI.Ilk) - /(x2.II.)1 la.b].

~ 1;0.

Also ist / glcichmiißig stetig auf

0

8emerkung: Im Beweis wurde gar nicht benutzt, daß der Definitionsbereich von / ein IntenYl1J ist Es wurde lediglich verwendet, daß er beschränkt ist und alle seine Hällfilllgspllllkte besitzt. Eine Zahlenmenge mit dieser Eigenschaft wird kompakt genannt Jede Vereinigung endlich vieler kompakter Intervalle ist z.B. kompakt, jede endliche Zahlenmenge auch, wie auch die Menge

10.1.!. i. !.... }. Der Satz 1.261iißt sich damit allgemeiner so formulieren: All/kUli/pakten

Zalllel111/ellgell sind stetige Fllnktiollen stets gleichmäßig stetig. Beispiele für gleichmäßig stetige Funktionen gibt es nach Satz 1.26 wie Sand am Meer. 1m Folgenden betrachten wir daher eine ungleichmäßig stetige Funktion. Beispiel 1.59: Die Funktion I I(x) = -

x

(s. Fig. 1.41)

ist auf (0. 11 nicht gleichmäßig stetig. Denn flir BQ = I gilt: Für jedes {j > 0 gibt es zwei Punkte l(xz)1 ~ I. Es genügt dabei 0< 1 zu betrachten,

XI.X2 E (0,1] mit lXI ~x21 < {j und I/(x]) ~

1.6 Stetige Funktionen

lOS

,

,

4

,

,

l(x)=-

,

• -2

-1

2

F·[g. 142 . : f(.,) = xl_I x=T

Fig. 1.41: Ungleichmäßige Stetigkeit

denn fLir größere lJ gilt dann die erwähnte Aussage erst recht. Der Beweis der Aussage verläuft so: Man wähle X2 = lJ und XI = lJ/2. Sie erfullen die Ungleichung lXI ~ x21 < lJ und

If(x,) - f(x2)1 Also ist

~

2

I , - -'I 1-lJ - -lJ'I lJ' -

XI

~

X2

~-

> ,.

f ungleichmäßig stetig auf (0. 11.

Übung 1.37*: Welche der folgenden Funktionen sind gleichm:ißig stetig auf (0.1) und welche nicht?

1.6.7

a)

!(x)=Jl-x 2 .

c)

Ii(.t) = J2x.

fLirO<x::1

1-2x+2. fLir1<x<1

b)

g(X)=X+X- 2 +X 3 .

d)

k(x) =

lim

2x "

II--'00(t) +1

Grenzwerte von Funktionen

Beispiel 1.60: Zur EinHihrung betrachten wir die Funktion

x3 _ I [(x) = - x-I

(s. Fig. 1.42)

die fur alle x E IR mit Ausnahme von 1 definiert ist. Denn fur x = I ist der Nenner Null und damit der Bruch sinnlos. Skizziert man die Funktion im Koordinatensystem, so erlebt man eine Überraschung: Der Ausnahmepunkl X = I scheint gar keine echte Ausnahme zu sein: Würde man Hir x = 1 den Funktionswert y = 3 einHigen, so würde eine durchweg stetige Funktion entstehen. Wir können dies übrigens auch algebraisch schnell einsehen: Ein Vergleich mit der geometrischen Summen-

106

I

Grundlagen

formel zeigt nämlich, daß x3 _ I

[(x) = - - = I +x +x 2

x -I

fur x ::j::. I gilt, Die rechte Seite der Gleichungskette stellt aber eine stetige Funktion [Cx) = I + x + x 2 fUr alle x E IR dar. Sie ist die stetige Erweiterung von [ auf IR. Man sagt auch: 1 ist stetig in x = I erweitert worden. (durch Das bedeutet aber: Für jede gegen 1 konvergente Folge (XII)' mit x" ::j::. 1 rur alle /I, gilt

I)

lim [(XII) = 3. " ..... 00

Diesen Sachverhalt beschreibt man kurz durch limj(x)=3.

,-I

Beispiele dieser Art fUhren uns zu folgenden Vereinbarungen: Eine Zahl Xo heißt Hiiujllilgspullkt einer Menge D C IR. wenn in jeder .c:-Umgebung von Xo unendlich viele Zahlen aus D liegen. Definition 1.20: Es sei j : D -.:,. IR eine Funktion und xo ein Häufungspunkt des Definitionsbereiches D. Man sagt, j(x) konvergiert jiir x -.:,. Xo gegell deli Grellzwert c, wenn fur jede Folge (XII) aus D mit

lim x" = xo,

und

11 ..... 00

xlI::j::. Xo fUr alle

11

stets folgt: lim j(x lI ) =

11_00

C.

Man beschreibt diesen Sachverhalt kurz durch

( 1.89)

li01j(x)=c.

x ..... xo

In Definition 1.20 können wir drei Fälle unterscheiden: 1. Fall: xorlD 2. Fall: xo E D

und 1(xo) ::j::. c

3. Fall: Xo

und 1(xo) = c

E

D

Der erste Fall entspricht unserem Beispiel 1.60. Für c E IR können wir in diesem Falle j er-

1.6 Stetige Funktionen

weitem zu einer Funktion also [(x)

I

~ ~~x).

7, die in Xo den Wert 7(xo)

= c hat und sonst mit

f

übereinstimmt,

flir x = Xo flirx -f;.Xo,X E D.

Nun bedeutet lim f(x) = c daß x->.ro

107

( 1.90)

7 in xo stetig ist.

7

Man nennt die slelige Erweilerung von ergünzt wordell. Auch im 2. Fall können wir die Funktion nur in Xo. Dabei bedeutet lim f(x) = c daß

·"-·"0

f in

xo, oder man sagt auch:

f

isl in xo slelig

7 nach (1.90) bilden. Sie unterscheidet sich von f 7 in xo stetig ist, f aber nicht!

Im 3. Fall /(xo) = c bedeutet lim fex) = c offenbar nichts anderes als die Stetigkeit von f '<->"'0

in xo, also

f stetig in xo

{:}

(1.91)

lim fex) = /(xo)·

x--->.\'o

Wir fassen zusammen:

Folgerung 1.16: Es sei f: 0 --+ IR: eine Funktion und xo ein Häufungspunkt von D. Dann bedeutet

limf(x)=c.

(1.92)

.\'->.ro

daß die Funktion ftir x = xo,

flirx ::j:xo.x E D stetig in xo ist. In den bciden ersten Fällen, die erliiutert wurden (xo /(xo) ::j: cl. ist stetige Erweiterung bzw. slelige Abünderung von istf =

7.

7

(1.93)

f/. D bzw. xo E D, f in xo. Im 3. Fall

Auf der Grundlage der Definition 1.20 sind wir nun in der Lage, den bislang laut Definition 1.17 nur auf Punkte des Definitionsbereiches 0 beschränkten Begriffs der Unstetigkeit auch auf alte Häufungspunkte von D zu erweitern. In diesem Sinne heißt eine Funktion / in einem Hiiufungspunkt xo von 0 unstetig, wenn f in xo nicht stetig ergiinzbar ist. Der oben diskutierte Zusammenhang mit der Stetigkeit, der ja besagt, daß lim f(x) = c

7,

"'->"'0

nichts anderes heißt als die Stetigkeit von gestatlel es, alle Regeln über stetige Funktionen in einem Punkt auf Hm fex) sinngemiiß zu übertragen. "'->"'0

Aus Satz 1.19, Abschn. 1.6.2, erhält man daher

108

I Grundlagen

Folgerung 1.17: Es sei Xo Häufungspullkt des Definitionsbereiches einer reellwenigen Funktion Dann bedeutet lim fex) = c

"-"0

folgendes Zu jedem s > 0 gibt es ein 8 > 0, so daß fur alle x E D mit x #- Xo und Ix - xol < 8 gilt:

I

f.

(1.94)

I/(x) - cl < s.

Salz 1.22, Abschn. 1.6.4, liefen

Folgerung 1.18: Es sei Xo Häufungspunkt des Definitionsbereiches einer Funktion Funktion g. Existieren die Grenzwene

=c

lim fex)

-' ..... -'0

und

lim g(x)

-' ..... -'0

f

wie auch einer

=".

so existieren auch die folgenden, links stehenden Grenzwene und erftillen die Gleichungen lim (f(x) ± g(x» = lim fex) ± lim g(x)

(1.95)

lim (f(x)· g(x» = lim f(x)· lim g(x). .........0 "-"0 -'-"0

(1.96)

-'--'0

·.-"0

Im Falle lim g(x) ·'--'0

.

·.--'0

#- 0 gilt auch fex)

11m - -

-'--'0 g(x)

~

).0~o fex) lim 8(X)

··-··0

.

(1.97)

wobei nur solche x aus dem Definitionsbereich von 8 zu betrachten sind, die in einer so kleinen s-Umgebung von Xo liegen, daß don stets g(x) #- 0 gilt. Zu letzterem überlegt man sich, wie im Beweis von Satz 1.22, daßes in der Tal eine s-Umgebung von Xo gibt, in der überall g(x) #- 0 ist.

1.6 Stetige Funktionen

109

Übung 1.38*: Berechne a)

1.6.8

x 2 -5x+6 . "..... 2x 2 +3x 10 !im

b)

x 2 _ 25 !im - - - ,

.<..... 5

x-5

x c) !im c _'7+_"'--;--'" x..... I ,Ji

.r 2 -4x+3 . " ..... 3.r 2 5x+6

d) !im

Pole und Grenzwerte im Unendlichen

In diesem Abschnitt wollen wir den Grenzwertbegriff bei Funktionen auf den Fall erweitern, daß ±oo anstelle von c oder Xo steht. Bei Resonanzvorgällgell oder Einschwingvorgängen spielt dies z.B. eine Rolle. (Trotzdem mag dieser Abschnitt vom Leser zunächst übergangen werden. Bei Bedarf kann hier nachgeschlagen werden.) y

I (x) = x~

-,

0 Fig. 1.43: Pol

Beispiel 1.61: Die Funktion fex)

I

=?

X'

ist definiert auflR \ 101 (d.h. fLir alle reellen x i= 0). Fig. 1.43 zeigt, daß sie in der Nähe von x = 0 beliebig große Werte annimmt. 0 ist sicherlich dabei ein Häufungspunkt des Definitionsbereiches IR \ 101. Den in Fig. 1.43 skizzierten Sachverhalt beschreibt man durch lim fex) = 00.

x.....o

Allgemein vereinbaren wir:

Definition 1.21: Es sei xo Häufungspunkt des Definitionsbereiehes einer reellen Funktion f. Man sagt, fex) strebt für x -+ Xo gegen 00, wenn fLir jede Folge (x,,) des Dcfinitionsbcreiches

110

I

Grundlagen

mit X'I -+ Xo, XII

-# xo

lim [(x,,) =

11 __ 00

folgendes gilt:

00.

Diesen Sachverhalt symbolisiert man durch lim [(x) =

"-"0

(1.98)

00.

Entsprechend definiert man lim [(x) =

"-·\'0

und

~OO

lim 1[(x)1 =

"-·<0

(1.99)

00.

In 1111 diesen Fällen nennt man xo einen Pol von [. Folgerung 1.19: (a) Xo sei Häufungspunkt des Dcfinitionsbereiches D von [. Dann bedeutet lim [(x) =

.. ---->xo

00

folgendes: Zu jedem M > 0 gibt cs ein 8 > 0, so daß rur alle x E D mitx =f:. xo und Ix -xol < 0 gilt:

I

(1.100)

(1.101)

[(x) > M.

(b) Für lim [(x) = '<---->'<0

-00

gilt cntsprechendes. Man hat nur [(x) < -M stall

[(x) > M zu setzen.

Der Beweis wird analog wie der Beweis von Satz I 19, Abschn. 1.6.2, geflihrt. Er bleibt dem Leser überlassen. Definition 1,22: (a) Der Definitionsbereich D von [ : D -+ IR sei nach oben unbeschriinkt. Man sagt. [(x) srrebrjiir x -+ 00 gegen eine Zahl c, wenn flir jede Folge (x,,) aus D mit XI! -+ 00 gilt lim [(x,,) =

'1---->00

C:.

In Formeln beschreibt man dies durch lim [(x) '_00

=c.

(1.102)

1.6 Stetige Funktionen

111

Ist D nach unten unbeschränkt, so definiert man entsprechend lim I(x)=c.

(1.103)

x ..... -co

(b) Anstelle von c kann auch formuliert.

00

oder

-00

stehen. Alles andere wird entsprechend

Es wird schon etwas langweilig, aber auch hier gilt eine zu Folgerung 1.19 analoge Aussage: Folgerung 1.20: Unter den VoT:tussetzungen von Definition 1.22 bedeutet (a) !im I(x) = c: .T ..... CO

Zu jedem E > 0 gibt es ein R > 0, so daß ftir alle x E D mit x > R gilt: I/(x) (b)

!im I(x) =

>_00

cl

< E.

00:

I I

Zu jedem M > 0 gibt es ein R > 0, so daß ftir alle x E D mit x > R gilt:

(1.104)

(1.105)

I(x) > M. Für -00 anstelle von 00, sowohl unter dem Urneszeichen wie rechts vorn Gleichheitszeichen, hat man nur x < -R bzw. I(x) < -M an den entsprechenden Stellen einzusetzen. Beispiel 1.62: Für

I(x) =

3X3+2x~ I

ftir x > 0,

2x3 +6

gilt

. 3 11m I(x) = -.

x-co

denn mit beliebiger Folge x"

I(x,,) =

(1.106)

2

3x~+2x" - I 2 3 +6 XII

--,10

oo(xII > 0) erhiilt man 3+0-0

2+0

112

I Grundlagen

Beispiel 1.63: Die Funktion f(x) = 3x 2 + 9 erflillt zweifellos lim f(x) =

00.

'_00

1.6.9

Einseitige Grenzwerte, Unstetigkeilen

Definition 1.23: (a) Es sei f D -+ IR. eine Funktion und Xo ein Häufungspunkt des rechts von Xo liegenden Teils von D, also von Dio = Ix > Xo I x E Dj. Dann bedeutet

f(xo+):= lim f(x) = c.

(1.107)

"'-·[0 '<>·'0

daß flir jede Folge (XII) aus D mit X" > Ihn f(x/I) = ,,-<:>::>

xo und x"

-+

xo gilt: (1.108)

C.

c heißt dabei der redl/sseilige Grenzwert von

f

in xo.

(b) Völlig analog wird der Iinkneilige Grenzwert VOll

f

in Xo erklärt:

f{xo-):= [im f{x) =c. "'_'<0 '«'<0

StaU c kann auch 00 oder -00 stehen. Die entsprechenden Formulierungen mit E: und.5 (bzw. M und.5 im Falle ±oo) werden völlig analog zu denen in Folgerung 1.17 und Folgerung 1.19 gebildet.

Beispiel 1.64: Die Siigezalmkurl'c, wie in Fig. 1.44 skizziert, spielt in der Fernsehtechnik eine wichtige Rolle. Sie wird beschrieben durch fix)

, ., lurll

~ I·'~"· o.

~"1

für x =

11

<x < n +'2,n ganz + ~,,, ganz.

" 1st unstetig "±'±'±' S Je In 2' 2' 2"" usw. Doch gilt z.B. in

xo

=

1

lim f(x) = -

... _ 1/2 .«1/2

2

!:

(linksseitig)

1.6 Stetige Funktionen

113

f

in diesen

y

Fig. 1.44: Sägezahnkurve

""d lim

I

fex) =

(rechtsseitig)

~-

2

-<-0-1/2 .<> 1{2

Entsprechendes trifft in den anderen Punkten Xo = Punkten Sprünge hat.

!+

11

(11 ganz) zu. Man sagt. daß

UnstctigkcitsstcUcn: Die Sprünge in der Sägezahnkurve sind Unstetigkeitsstellen, wie sie häufig vorkommen. Wir vereinbaren allgemein: Eine reelle Funktion f : 0 _ IR hat einen Sprung in xo, wenn rechtsseitiger Grenzwert f(xo+) und linksseitiger Grenzwert f(xo-) existieren, aber verschieden sind. Dabei heißt f(xo+) - f(xo-)

die Sprullghölze

VOll

f

in xo.

Eine Funktion f : I -+ IR (I Intervall), die in jedem beschränkten Teilintervall von I höchstens endlich viele Sprünge hat, sonst aber stetig ist. heißt stückweise stetig. Die Sügezal/l1kll/w wie auch die Heaviside-Ful/ktioll (Beispiel 1.27, Abschn. 1.3.3) sind stückweise stetig. Neben den Sprüngen haben wir Pole als Unstetigkeitsstellen kennengelemt. Hinzu kommen Polwechsel von -00 auf +00, die bei lim fex) = -00

'<-0'<0

und

x<xo

lim fex) = 00

x-o.-'0

°

vorliegen. (Po/wechsel von 00 auf ~OO analog.) Ein Sprung von -00 auf 00 liegt ftir fex) = I Ix (x =1= 0) im Punkt xo = vor. Eine weitere Art von Unstetigkeitsstellen sind sogenannte Oszillatio/lSJlellell, s. Fig. 1.45. Eine solche Stelle wird z.B. durch I

f(x)=sin~,

x

x =1=0,

beschrieben. (Die Funktion sin wird später im Abschn. 2.3.2 behandelt.) Wir haben an Unstetigkeitsstellen bisher behandelt:

114

I Grundlagen

,

Fig. 1.45: OszillatiollSslelle Sprünge, Pofe und Po/wechsel, Oszillatiollsslellen. Natürlich gibt es noch vielc andere Unstctigkeitsstcllen (unbeschränkte Oszillationen, sich häufende Unstetigkeitsstellen und vieles mehr), doch kommen in der Praxis hauptsächlich die drei genannten Typen vor.

2

Elementare Funktionen

2.1

Polynome

2.1.1

Allgemeines

Unter einem Polynom

/I-/ell Grade~'

[(x) = Go +alx

versteht man eine Funktion der Form

+ {/2X2 + ... + (luX",

mit

(//1

'f; O.

(Statt Polynom sagt man auch gallzratiolla{e Funktion.) Die Zahlen lIO. (/I, .... alt heißen die Koeffizienten des Polynoms. Der Definitionsbereich von f ist die gesamte reelle Achse. Die Funktion f : IR --+ H. mit f(x) = 0 (fiiT alle xE R) heißt das Nullpo/ynom. Ihr wird kein Grad zugeschrieben. Für 11 = 0, I oder 2 erhält man z,B. die Polynome:

11=0: f(x)=ao.

konstante Funktionell

i= O.

11

= 1: f(x) =ao+alx.

Geraden, steigend oder fallend,

11

=2; !(x) =ao+alx +02X 2 .

quadratische Polynome,

Zur Beschreibung technischer Sachverhalte werden Polynome vielfach verwendet.

/

•

,j+--- t y

--+I F

Fig. 2.1: Bicgc1inie eines Balkens

Beispiel 2.1: Biegelinie eines einseitig eingespanntcn Trägers (s. Fig. 2.1) wird bcschrieben durch Y

F 6E· I

,

~ --(3Jx~

3

-x).

Dabei ist E . I die Biegestcifigkeit, F eine Last am freien Ende des Trägers und I seine Länge.

K. Burg et al., Höhere Mathematik für Ingenieure, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9929-3_2, © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

116

2 Elementare Funktionen

Oft ist auch nach den Nulls/ellen von Polynomen gefragt, da sie Lösungen technischer Probleme darstellen können, z.B. bei der Ermittlung von Gleichgewichtslagen, Resonanzen, Schwingungsfrequenzcn und Instabilitäten. Schließlich sind die Polynome von großer Bedeutung als Niihenmgsfimktiollen rur komplizierte Funktionen (s. auch Abschn. 5.3.1). 2.1.2

Geraden

Wir beginnen mit den einfachsten Polynomen, und zwar mit Funktionen der Form

[(x) =alx+ao.

(2.1)

Sie heißen GeradelI, da ihre Graphen geometrische Gerade in der Koordinatenebene sind (siehe Fig.2.2). Geometrische BedeuIIIlIg der Koeffizienten GO. GI: Wir skizzieren den Graphen von [ in einem x- y-Koordinatensystem. s. Fig. 2.2. Dann gilt: ao markiert auf der y-Achse den ScllIlilllJUllk/ mit dem Graphen von [. (Dies folgt sofort aus [(0) = GO.)

, 2

Fig. 2.2: Gerade im Koordinatensystem Die geometrische Bedeutung von al geht aus Fig. 2.2 hervor: Zeichnet man ein rechtwinkliges Dreieck mit den Ecken (0, ao), (I, ao), (I. [(I» ein, so hat die senkrechtc Seite die Länge lall. (Dies folgt aus [(I) = al +ao, also [(I) -ao = (11.) Dabei gilt offenbar al > 0 al = 0 (11 < 0

=> => =>

die Gerade steigt, die Gemde ist horizontal, die Gerade raHt.

ist ein Maß dafLir, wie stark die Gerade nach rechts ansteigt oder abf:ilIt. Aus diesem Grunde wird al die Sleigung oder Richlllng der Geraden genannt. Bemerkung: Ist ader Anstiegswinkel der Geraden, so ergibt Fig. 2.2 direkt den Zusammenhang (11 = tan a (die Tangcnsfunktion tan wird in Abschn. 2.3.3 ausfLihrlich beschrieben).

GI

Beispiel 2.2: Bewegt sich cin Massenpunkt mit gleichbleibelldcr Geschwindigkeit v auf einer geradlinigen Bahn, so wird seine Bewegung beschrieben durch

y=vt+yo·

2.1 Polynome

117

Zu jedem Zeitpunkt t kann damit der Ort y des Massenpunktes auf der Bahn berechnet werden. Die Gleichung beschreibt eine Gerade im t-y-Koordinatensystem mit Steigung v. Für zwei beliebige Punkte (XI. [(xd), (X2, [(X2» der betrachteten Geraden [(x) = alX +ao gilt stets j(x21- j(.q)

=

(2.2)

al .

Der Leser rechnet dies leicht nach. Bemerkung: GI. (2.2) läßt sich auch geometrisch begründen: Die beiden schraffierten Dreiecke in Fig. 2.3 sind ähnlich, haben also gleiche Seitenverhältnisse. Folglich gilt [(Xü -

X2

[(xd

(/1

XI

Die linke Seile von (2.2) heißt Dijferellzcnqllo/ielll von f bezüglich XI, X2. Geraden zeichnen sich dadurch aus, daß die Differenzenquotienten bezüglich je zweier verschiedener Zahlen XI, X2 sIels deli gleichen Wen haben! y

•

"

"

Fig. 2.3: Zum Differcnzenquotiellt bei Geraden

Punkt-Richtungsform: Gesucht ist eine Gerade f, die durch einen bestimmten Punkt (XI.}'I) verläuft, und deren Richtung GI bekannt ist. Wie lautet die Gleichung der Geraden? Für jeden Geradenpunkt (x, fex»~ mit X cF XI muß nach (2.2) gelten: [(X) -

}'I

(2.3)

X -XI

Aullösung nach f(x) ergibt die gesuchte Gleichung [(X)

=(/1'

(x -xj)

+}'1.

(2.4)

Einsetzen von x = XI liefen in der Tat [(Xl) = }'I. (2.4) nennt man die Punk/-Richtungs/orm einer Geraden.

118

2 Elementare Funktionen

Beispiel 2.3: Ein Zug fahrt mit konstanter Geschwindigkeit v = 80km/h. Er passiert den Streckenkilometer 153 um 11 Uhr. Seine Bewegung wird durch eine Funktion Y = f(1) = vf+yO

beschrieben, wobei Y den Streckenkilometer angibt, den der Zug um I Uhr passiert. Die Funktion ist eine Gerade im Y-I-Koordinatellsystem. Wir kennen ihre Steigung u und einen ihrer Punkte, nämlich (11. 153). Nach der Punkt-Richtungsform folgt daher

Zwei-Punkte-Form: Gegeben seien zwei Punkte (.xl. Yd, (X2. )'2) in der Ebene mit XI Gesucht ist eine Gerade f durch diese Punkte. Da alle Differenzenquotienten von f den gleichen Wert haben, gilt für jedes X f:. XI

fex) -

J'I

J'2 -

YI

f:.

X2.

(2.5)

~---

X -XI

Aunösung nach fex) liefert Y2 - Yl

fex) = - - ( x X2 -XI

XI)

+ J'l.

(2.6)

Es gilt hierbei, wie verlangt, f(xt} = Yl und f(X2) = Y2. (2.6) heißt die Zwei-Punkre·Form einer Geraden. Beispiel 2.4: Die Länge I eines Stabes hängt von seiner Temperatur 0 ab:

1=/00 +0'0).

(2.7)

Dabei ist 10 die Länge des Stabes bei 0° C und 0 der Wärmeausdehnungskoeffizienl des Stabes. Die Gleichung beschreibt eine Gerade im o-I-Koordinatensystem. Wir nehmen an, daß uns (0 und 0 unbekmmt sind. Messungen jedoch haben ergeben, daß der Stab bei 36" C eine Länge von 4.3008 m hat und bei bei 94° C eine Länge von 4.3042 m. Wir kennen also zwei Punkte der Geraden. Nach der Zwei-Punkte-Form hat (2.7) daher die explizite Gestalt I=

=

4.3~~ ~~3OO8 (o ~ 36) + 4.3008 == 5.86 . 10- 58 + 4.2987 .

Es folgt /0 == 4.2987 m und aus 100 I .363 . lQ-.51" c. Abschnittsform: Es ist eine Gerade bei B schneidet, s. Fig. 2.4.

==

5.86· 10- 5 ml" C der Ausdehnungskoeffizient 0 -

f gesucht, welche die x-Achse bei A f:. 0 und die y-Achse

2.1 Polynome

(A und B heißen die Achsenabschllitre der Geraden.)

f

119

geht also durch die heiden Punkte

(A. 0) und (0. B). Die Zwei-Pullkte-Form liefert daher

[(x)

~

B -;Ix

+ B.

(2.8)

,p 0 und schreiben wir y statt

Ist B

x A

fex), so läßt sich (2.8) in die elegante Gestalt

Y B

-+-= I

(2.9)

umformen. (2.9) heißt die Abschllittsform der Geraden.

, ?

,

-5 Fig. 2.4: Zur Abschllillsform

Fig. 2.5: Dachhöhe an Abseile

Beispiel 2.5: Ein Haus habe eine Breite von JO m und eine Dachfirsthöhe von 4 m über dem Dachboden, s. Fig. 2.5. Bei einem Dachbodenausbau interessiert die Frage: Wie hoch ist das Dach in der Entfernung 3.5 m von der Hausmittellinie? Die rechte Seite der Dachlinie kann mit der Abschnitlsform beschrieben werden:

x 5

Y

-+-=1. Für x

4

= 3.5 errechnen wir daraus die Dachhöhe über dem Dachboden: y = 1.2 m.

Schnittpunkt zweier Geraden: Es seien zwei Geraden f(x) = lllX + (/0, g(x) = b]x + bo gegeben, die verschiedene Richtungen besitzen: ll] ,p bl. Für den Schnittpunkt (xo. )"0) dieser Geraden muß gelten: )"o=atxo+ao

und

)"o=blxo+bo.

Daraus lassen sich xo und )"0 berechnen: Man setzt die rechten Seiten gleich. (/]XO

+ (/0 =

blxo

+ bo.

(2.10)

120

2 Elementare Funktionen

löst nach Xo auf und sctzt den gefundcnen Ausdruck in (2.10), linke Gleichung, ein, Dies crgibt: bo

~ (/0

xo= - - - . (11 -

(2.11)

bl

Im Falle al = bl. ao

i= bo sind dic Geraden parallel,

und es existiert kein Schnittpunkt.

-

y

I

R,

• Fig. 2.6: Schninpullkt zweier Gemdell

u

R•

Fig. 2.7: Stromkreis mit innerem und äußerem Widcrstand

Beispiel 2,6: Dcr Stromkreis der Fig. 2.7 besieht aus einem Generator mit innerem Widerstand R;, und einem Arbeitsgerät mit äußerem Widerstand Ra. Es fließt dcr Strom I. Dic Klemmspannung am Generator ist V = VI{ - R; I, während sich die gleiche Spannung mit Hilfe des Widerslandes Ra durch V = Ral errechnet. Beide Gleichungen können als Geraden in der V-I-Koordinatenebene aufgefaßt werden. Ihr Schniupunkl gibt uns die Werte I und V an. die im Stromkreis vorhanden sind. Nach (2.11) erhalten wir

I = -o-U'-'"'-o.R,,+ R;

Übung 2.1: Durch die Punkte (LO) und (3.2) verläuft die Gerade GI. während eine zweite Gerade G2 durch (1.4) verläuft und die Steigung {li = -1/2 besitzt. Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden. Übung 2.2*: Eine Flüssigkeit mit dem Volumen V = 2000cm 3 und der Dichte p = 1.01 gcm- 3 ist durch Mischen zweier Flüssigkeiten F I und F2 mit den Dichten Pt = 0.94 gcm- 3, P2 = 1.13 gcm- 3 entstanden. Wie groß sind die Volumina VI und V2 der beiden Flüssigkeiten Fl. F2? Übung 2.3: Durch eine elektrische Leitung mit dem Widerswnd R fließI ein Strom I. Vergrößert man den Widerstand R um 3 Q. so sinkt der Strom 1 um 1A. Verringcrt man den Widcrstand R um 5 Q.

2.1 Polynome

121

so steigt der Strom I um 2 A. Die Spannung ist dabei konstant. Wie groß sind R und I? 2.1.3

Quadratische Polynome, Parabeln

In diesem Abschnitt studieren wir die Polynome zweiten Grades: (2.12) Sie werden auch quadratische Polynome genannt. Beispiel 2.7: Die Bewegung eines aufwärts geworfenen Körpers wird durch das quadratische Polynom s = [(t) = VO t -

1 ,

2gt~

beschrieben. ~. ist dabei die nach I Sekunden erreichte Höhe des Körpers - genauer. seines Schwerpunktes. VO bezeichnet die Abwurfgeschwindigkeit und g = 9,81 m/s'l die Erdbeschleunigung. (s. auch Beispiel 2.9. In Abschn. 3.3.1, Beispiel 3.36, wird die Bewegungsgleichung aus dem I. Newtonsehen Axiom der Mechanik hergeleitet.) Beispiel 2.8: Ein strömendes Medium (Luft. Wasser). das mit einer mittleren Geschwindigkeit u auf einen Körper trifft, übt die Kraft

auf ihn aus. Fw heißt auch Slrül/IlIllgslI'ider~'lm/(1 des Körpers. Dabei ist C w der Widerstandsbeiwert, A die Querschnittsfläche des Körpers und p die Dichte des strömenden Mediums. Einheitsparabel: Das einfachste aller quadratischen Polynome lautet

y=[(x)=x'l. Die geometrische Figur. die sein Graph darstellt. wird Parabel genannt, s, Fig, 2.8. Sie besitzl eine Symmetrieachse, hier die y-Achse, Ihr Schniupunkl mit der Parabel heißt Scheitel der Parabel. In unserer Figur ist es der Koordinmennullpunkt. Man bezeichnet die Funktion [(x) = x 2 als Einheitsparabel. Normalparabeln: Die quadratischen Polynome der Form

y=[(x)=cx 2 .

c:f:.O,

heißen NormalparabellI. Ihre Graphen sind alle untereinander ähnlich.! Sie sind also, geometrisch gesehen, alle Parabeln. Zwei geomelrische Figuren heißen ähnlich• ..... enn die eine ein maßstabsgelreues Bild der anderen isl. eVII. nach vorangegangener Spiegelung. Drehung oder Verschiebung.

122

2 Elementare Funktionen

, 4

/

\

\

/

3

\

2

y.

I~

2

1

0

X2

/

1/

, 1

Fig. 2.8: Einheilspambel

2

Fig. 2.9: Nomlalparabeln

Zum Nachweis der Ähnlichkeit genügt es zu zeigen, daß der Graph jeder Nonnalparabel zum Graphen der Einheitsparabel ähnlich isl. Es sei also f(x) = cx 2 eine beliebige Nonnalparabel. Ihr Graph besteht aus allen Punkten (x. y) mit

y=

,

cx~.

Multipliziert man rechts und links mit c, so erhält die Gleichung die Gestalt cy = (cx)2.

Diese Gleichung geht aus der Gleichung y = x 2 der Einheitsparabel dadurch hervor, daß y durch cy und x durch cx ersetzt werden. y und x werden dabei um den gleichen Faktor Icl gestreckt oder gestaucht. Also ist der Graph der Normalparabel die lei-fache Vergrößerung oder Verkleinerung des Graphen der Einheitsparabel (bei c < 0 nach vorangegangener Spiegelung), woraus die behauptete Ähnlichkeit folgt. Allgemeinfall: Wir zeigen nun, daß der Graph jedes quadratischen Polynoms

y = f(x) =

,

a2-\'~

+alx

+ (jO

gleich dem Graphen einer Normalparabel ist (in einem parallel verschobenen Koordinatensystem). Die Graphen qlladralischer Polynome sind a{so Parabeln! Zum Nachweis formen wir die Funktionsgleichung

des quadratischen Polynoms um:

2.1 Polynome

123

Zuerst wird G2 ausgeklammert und dann die »quadratische ElgiillZllllg« der ersten beidcn Gliedcr eingefUgt:

Wir bringen die rechtc Klammer der letzten Zeile auf die linke Seite

(

y- aO -

(/,

,

4a2

) ( =(/2

x+

al (12

2

)'

(2.13)

und setzen zur Abkürzung

y=y-

,,' )

(

(2.14)

ao--'

4a,

Damit erhält man

also eine Normalparabel in x-y-Koordinaten. Fig. 2.10 zeigt die Lage des x-y-Koordinatensystems. Es entsteht durch Parallel verschiebung aus dem x-y-Koordinatensystem. Der Koordinaten-Nullpunkt wird dabei in den Punkt (xo. )'0) mit Xo = -al/(2a2) und)'o = ao - (/~/(4a2) verschoben. Damit ist die Behauptung bewiesen. Wir fassen zusammen: Satz2.1: Der Graph eines quadratischen Polynoms

ist gleich dem Graphen einer Normalparabel der Form Scheitel der Parabel liegt im Punkt (xo. yo) mit

'"

-'"0= - - . d/2

,,' . yo=(/O--'

"'"

y

= (/2X2 (s. Fig. 2.10). Der

(2.15)

Im Falle G2 > 0 ist der Scheitel tiefster Punkt, im Falle (/2 < 0 höchster Punkt der Parabel.

124

2 Elementare Funktionen

,

,

"

- - -

--,

, , s=vot'_2 t2

,2 ,

I,

Fig. 2.10: Der Graph eines quadratischen PolynOlllS ist eine Parabel.

Fig. 2.1 I: Senkrechter Wurf: Weg-ZeitDiagramm

Beispiel 2.9: Wir knüpfen an Beispiel 2.7 an: S =: lI(lt -

1

-

2

,

(2.16)

gt~

beschreibt die Bewegung eines senkrecht nach oben geworfenen Körpers - genauer, seines Schwerpunktes (Reibung vernachlässigt). Gefragl iSI nach der WlIIjllöhe und der WlIrfzeil, also der Zeil, die er zum Steigen und Fallen benötigt. Dazu skizzieren wir den Graphen des quadratischen Polynoms

Nach Salz 2.1 gleicht er dem Graphen einer Normalparabel der Form

mit Scheitel bei

to

""

=: - .

g

(s. Fig. 2.11).

.1"0 ist die Wurfhöhe und 2to die Wurfzeit. Ist z.B. vo =: 20 m/s, so folgt mit der Erdbeschleunigung g =: 9.81 m/s 2 die Wurthöhe ~·o =: 20.39 m und die Wurfzeit 2to =: 4,077 s. Bemerkung: Mit einer einzigen Parabelschablone aus Plexiglas, wie sie handelsüblich ist, läßt sich der Graph jedes quadratischen Polynoms f(x) =: a2x2 + alx + ao zeichnen. Siellt die Schablone eine Einheitsparabel mit Längeneinheit I cm dar, so hat man ein Koordinatensystem mit Einhcitsliinge l/la21 cm zu zeichnen, den Punkt (xo. )"0) (s. 2.15) einzutragen und in ihm den Scheilel der Parabelschablone einzusetzen. [m Falle a2 > 0 weisen dabei die »Parabeliiste« nach oben) im Falle (12 < 0 nach unten. Compmerprogramme ersetzen heute allerdings die Parabelschablone.

2.1 Polynome

125

Beispiele Quadratische Polynome, also Parabeln, treten in der Technik häufig auf. Beispiel 2.10: Für den Untergurt einer FlußbTÜcke vorn Typ der Fig. 2.12a ist die Parabelform vorgeschrieben. Auch BTÜckenformen aus zwei Parabclbögen kommen vor, s. Fig. 2.12b.

60m

Fig. 2.12: BTÜcke mit (a) einem. (b) zwei Parabelbögen

Beispiel 2.11: Schwach durchhängende Seile (Drähte) haben in guter Näherung Parabelfonn. Hir die Berechnung von Zugkräften auf die Masten reicht dieser Ansatz aus (s. Fig. 2.13).

Fig. 2.13: Durchhängendes Seil Beispiel 2.12: Parabolspiegel und Parabolantennen entstehen geometrisch aus Parabeln. die um ihre Symmetrieachse gedreht werden. Von der Fahrradlarnpe bis zur Radioantenne fur die Aufnahme von Weltraumstrahlung finden Parabeln Anwendung. Beispiel 2.13: Die Wurfbahn eines Körpers - gCllaucr. seines SchwellJunktes. ist eine Parabel, sofern Reibungskräfte dabei vernachlässigt werden dürfen. Beispiel 2.14: Die Skelettlinie eines Tragflügels oder einer Turbinenschaufel besteht aus den Mittelpunkten aller einbeschriebenen Kreise, s. Fig. 2.14a. Beim Profil NACA 6321 besteht die Skclettlinie

126

2 Elemenlare Funktionen

aus zwei ParabelslÜcken mit senkrechten Symmetrieachsen, deren Scheitel bei x = O.3r und z O.06r (1 Flügeltiefe) in einem Punkt zusammenfallen, s. Fig. 2.14b. Die Skelettlinie schneidet die x-Achse an den Enden. also bei x = 0 und x = I.

=

=

+i~::::JV=~=·06='=="..,.,"';: 0,31

I

Fig. 2.14: (a) flügelprolil; (b) Skeleltlinie

Übung 2.4: Aus den Angaben des Beispiels 2.14 leile man die Gleichungen der beiden zugehörigen Parabeln her. 2.1.4

on

Quadratische Gleichungen

ist nach den NullstelIen eines quadratischen Polynoms

[(x) =(/2x2+a(X +ao

(ao.a(.(/2

E

IR. (12

-# 0)

gefragt. also nach denjenigen x-Wenen, die

a2 x2 + a (x+ao=O

(2.17)

erfUllcn. Um sie zu finden. wird die Gleichung zunächst vereinfacht. indem man durch (/2 dividien. Wir erhalten

x 2 + {H

+q =

(2.18)

0

mit p = (/1 /a2 und q = ao/a2. (2.17) und (2.18) haben die gleichen Nullstellen. Es gilt

Satz 2.2: Die Nullstellen der quadratischen Gleidulllg (2.18) lauten im Falle (p/2)2 - q ::: 0:

(2.19) Im Falle (p/2)2 - q < 0 hat (2.18) keine reellen NullstelleIl.

Wir merken an, daß im Falle (p/2)2_ q > 0 genall ZlVe; Nullstellen XI und X2 existieren. während im Falle (p/2)2 - q = 0 nur eine Nullstelle existiert, nämlich XI = X2 = - p/2.

2.1 Polynome

127

Beweis: Der Ausdruck x 2 + px x

2

+ q läßt sich umformen:

+ IJX + q = x~, + px + (")' 2" - (")' 2" + q

=

(")' x + 2" - ((")' 2" - q )

Ist (!)2 ~ q < 0, so ist die rechte Seite der obigen Gleichungskelte positiv, kann also nicht Null sein. D.h. (2.18) ist in diesem Falle unlösbar. 1m Falle

2" - q ) = 0 dasselbe wie (2"")' - q ~ 0 bedeutet (x + 2"")' - ((I')'

_ - -q. . ")'-(")' (x+2 2 d.h. oder

"

x+2"=- /(")' '2 -q.

Links setzen wir Xl = x, rechts X2 = X und haben so (2.19) gewonnen.

o

Wir bemerken ferner, daß Xl

+X2 =

~p

und

X1X2 =q

(2.20)

gilt. wie man leicht nachrechnet. Diese Gleichungen. Vieta.l"che? WUTze/SalZ genannt. eignen sich gut zur Kuntro//e der Rechnung. Beispiel 2.15: An eine Stromquelle mit der Spannung U = 220 V werden zwei Widerstände RI und R2 einmal in Reihenschaltung und einmal in Parallelschaltung angeschlossen (s. Fig. 2.15). Im ersten Falle ist die Stromstärke 11 = 0,9 A, im zweiten Falle 12 = 6 A. Wie groß sind Rl und R2?

Fig. 2.15: Reihen- und Pamllelschahung

Für die Reihenschaltung gilt bekanntlich U = /1 RI + /1 R2 und fUr die Parallelschaltung + U I R2 = h Man löse die erste Gleichung nach R2 auf und setze dies in die zweite

U I RI

2 Fram.ois Viete (1m.: Franeiscus Viela. 1540- 16(3). französischer Advokat und Mmhemmiker

128

2 Elementare Funktionen

Gleichung ein. Nach Umformung folgt daraus 1

U

U2

11

1)/2

Ri--RI+-=Ü.

Löst man diese quadratische Gleichung nach R I auf, so crhält man nach (2.19) die beidcn möglichen WCrtC R I = 44,922 Q odcr R2 = 199,522 Q. Zum ersten Wert crrechnet mlln R2 = 199,522 Q, d.h. es kommt rur R2 gerade die zweite Lösung von R I hcmus. Damit sind R I = 44,922 Q und Rz = 199.522 Q die gesuchten Widcrständc. Aus Symmctriegründcn können RI und Rz dabei auch vertauscht werden. Übung 2,5: Eir'l Rechteck ll'Jit der Seilenlär'lge (I = 7c1l1 und b = 4cm soll in ein nächeninhaltsgleiches Rechteck mit dem Umfang 24cm verwandelt werden. Wie lang sind die Seiten des lIeuen Rechtecks?

Übung 2,6: Ein Kessel wird durch zwei gleichzeitig arbeitende Pumpen in 6 Stunden gemllt. Läßt man aber den Kessel bis zum halben Volumen von der einen Pumpe allein mllen und dann mit der anderen Pumpe allein die fehlende Hälfte hineinpumpen. dann benötigt man 14 Stunden. Wie lange braucht die stiirkere der beiden Pumpen. um den Kessel alleine zu mllen?

Übung 2,7: Wird in einem Stromkreis mit IlüV Spannung der Widerstand um IOQ erhöht, so sinkt die Stromstärke um I A. Wie groß sind Stromstärke und Widerstand?

2,1.5

Bertchnung von Polynomwerten, Horne,-J·Schema

Wir wenden uns nun beliebigen Polynomen zu und fragen uns zunächst, wie Polynomwerte mit möglichst geringem Aufwand berechnet werden können, Dazu benutzt man das kleine HornerSchema, Kleines HorneT-Schema: Die Berechnung von Polynomwerten fexo) wird stel1vertretend an einem Polynom vierten Gmdes erläutert:

Die einfache Idee besteht darin, das Polynom so umzuformen: (2.21) Wollen wir nun f(xo) fLir ein bestimmtes xo ermitteln. so haben wir x = xo in (2.21) einzusetzen und die Klammern »von innen nach außen aufzulösen«. Man berechnet also nacheinander die 3 William Gcorgc HorncT (1786- 1837). cnglischcr Mathcmatikcr

2.1 Polynome

129

Zahlen

+ {I3, boxo + (IO

b2 = {I4XO rO =

bl

= b2XO

+ {I2, bo =

b1xO

+ {I1 .

(2.22)

Damit ist I(xo) = ro ermittelt. Der eleganten Systematik wegen setzt man zu Anfang noch b3 = {I4. also h = b3xO+a3. Die Rechnung (2.22) läßt sich in einem übersichtlichen Schema anordnen. Es heißt kfeille.5 HomerSchema (bezüglich xo).

'"

XO = .

"2

'"

"0

= I(xo)

(2.23)

Man schreibt dabei zunächst die Zahlen a4, (/3, (/2. (/1. (/0 hin und fuhrt dann die Rechnung in der Reihenfolge durch. die die Pfeile andeuten. Beispiel 2.16: Zur Berechnung von I (x) = 3x 4 Horner-Schema so aus:

3

xo

= 2

-

2x 3 + 5x 2 - 7x - 12 an der Stelle xo = 2 sieht das kleine

-2

5

-7

-12

6

8

26

38

3

~

[(2)

Die Zahlen bo, bl, ... haben "über Zwischenrechnungswerte hinaus« eine wichtige Bedeutung: Sie crflillen die Gleichung (2.24)

Multipliziert man nämlich die heiden Klammern aus und ordnet nach den Potenzen von x, so erhält man

Koeffizientellvergleich mit I(x) =

(l4X4

+ ... (10 liefert

Aunösen nach b3, b2, b l , bo, ro ergibt aber gerade die GI. (2.22) des kleinen Harner-Schemas. Wir haben daher gezeigt:

130

2 Elementare Funktionen

Satz 2.3: ISI !(x) = (I"X" + a,,_p·"-l + ... + ao ein beliebiges Polynom vom Grad fl ~ I, so liefert das kleine Horner-Schema (bezüglich xo) den Funklionswert ro = !(xo), sowie die Koeffizienten eines Polynoms (2.25) welches folgendes erfullt fex) = (x - XO)!,,_I(X)

+ ro,

ftif allex

E

IR.

(2.26)

Großes HorncT-Schcma: Der letzte Satz legt den Gedanken nahe, das kleine Horner-Schema abermals anzuwenden, und zwar auf die neu entstandene Funktion !,,_I. Sie wird damit umgeformt in

!,,_I (x)

= (x - XO)!,,_2(X)

+ rl

.

Wendet man das kleine Horner-Schema nochmal an. und zwar auf !,,-2, so folgt

So kann man fortfahren, bis cin Polynom vom Grade 0 erreicht ist. Alle diese Rechnungen lassen sich in einem einzigen Schema übersichtlich anordnen. Es wird großes Homer-Schema genannt. Im Falle 11 = 4 sicht es so aus:

Xo =

'" 63

C2

"3

(12

XOb3

XOb2

'" xobl

bz

6,

60

XOC2

.roc]

xoco

" .rod l

co

I " I

xodo

do


I

'2

"0

xobo

I

'0

I

Großes HornCl'Schcma

I

xOr4 '4

I

'3

I

Die oberen drei Zeilen sind das schon betrachtete kleine Horner-Schema. Die dritte bis flinfte Zeile sIelIen wieder ein kleines Horner-Schema dar, die funfte bis siebte abermals usw. Ausgehend

2.1 Polynome

131

vom Polynom 4

[(x) = Lap_k. k=O

sind damit die Polynome

,

2

3

hex) = LbkX

k

•

hex) = LCkX

k

•

/,(x) ~

k=O

k=O

"Ld,x'.

[o(x) =

'4

k=O

ermittelt. Für sie gilt nach dem oben gesagten

fex) = h(x)(x - xo)

+ 1'0.

hex) = h(x)(x - xo)

+ 1'1.

hex) = fl(x)(x

+'2.

[I (x) = [o(x}(x - xo)

+'3.

~

xo)

=

[O(x) = '4·

= ...

Setzt man [O(.\:) '4 in die rechte Seite von [I (x) ein, den so erhaltenen Ausdruck in die rechte Seite von h(x) = ... usw., kurz setzt man »von unten nach oben« fortschreitend ein, so erhält man schließlich in der ersten Zeile

Damit ist das Polynom [ /lach Potenzen von (x-xo) u/11geordnet! Man kann dies geometrisch als NllflpuJlk/l'el"schiebulIg auffassen, wie es die Fig. 2.16 zeigt. Setzt man nämlich zur Abkürzung x' = x~.ro, so bedeutet dies im Schaubild der Funktion, daß der Schnittpunkt des Achsenkreuzes nach Xo verschoben ist.

Beispiel 2.17: Wir berechnen das große Horner~Schcma rur das Polynom [(x) = 3x 4 bei .\"0 = 2 (vgl. Beispiel 2.2).

3 .\"0

=2 3

3

3

-2

5

-7

-12

6

8

26

38

4

13

19126 ~ /(2)

6

20

66

10

33

6

32

16

165~'21

6

3='4122='31

185

~"

I

-

~ '01

2x 3 + 5x 2

-

7x - 12

132

2 Elementare Funktionen

Damit ist

f

in folgende Gestalt gebmcht:

f(x) = 3(x - 2)4

+ 22(x -

2)3

+ 65(x -

2)2

+ 85(x -

2)

+ 26.

Das Horner-Schema spielt insbesondere bei der Berechnung von NullsIelIen dureh das Newtonsche Verfahren eine Rolle (s. Abschn. 3.2.6).

,

., I I I

X-Xll

,.0

Fig. 2.16: Nullpunktverschiebung x'

X,x'

=.t -

xO

Übung 2.8: Verwandle das Polynom f(x) = x 3 - 5x 2 +.1"

-

6 mit dem großen Homer-$chema in die Form

3

f(x) =

Lrdx -5l. k=ü

2.1.6

Division von Polynomen, Anzahl der Nullstellen

Division: Es sei f ein Polynom vom Grade 1/ und g ein Polynom vom Grade m ::: Falle kann f(x)/g(x) dargestellt werden durch

f(x) = h(x) g(x)

+ r(x)

g(x)

.

11.

In diesem

(2.27)

wobei" ein Polynom vom Grade s = 11 - 111 ist und der ),Rest« rex) ein Polynom vom Grad kleiner als der Grad von f ist, also kleiner als 11. Die Durchflihrung dieser Divisioll geht völlig analog zur schriftlichen Division zweier ganzer Zahlen vor sich. Wir machen dies an Beispielen klar.

2.1 Polynome 5

133

3

Ist [(x) = L:>kXk ein Polynom 5. Grades und g(x) = k=O

k=O

Rechenschema folgendermaßen aus: {I4X 4 +

(a5x5 +

aJx J +

a2x2 + -(C2bJx5 + t'2b2X4 + C2blX3 + C2 box2 ) ,

4

a4x +

I J

+

,

alx

+

ao) : (bp,3 + b2X2 + blx + /Jo) r(x)

~

2

a 2 x + {/IX + -(clb3X4 + Clb2XJ + clblX 2 + CI box) a~x3 + a;x 2 + a~'x + {1 3 X

L bkX k 3. Grades, so sieht das

"0

=C~X-+CIX+CO+--

-

g(x)

ao

cobJx J + COb2X2 + coblx + cobo

r2x

2

+

rlx

+

ro

(2.28)

r(x)

Hierbei geht man so vor, daß zuniichst die obere Zeile und Gleichheitszeichen hingeschrieben werden. Dann wird C2 = a5/b3 berechnct und rcchts vom Gleichheitszeichen C2x2 hingeschrieben. Hiermit wird

3

L

k=O

bkX k multipliziert und in die zweite Zeile links geschrieben, wie im Sche-

ma (2.28) zu sehen. Die Subtraktion der zweiten Zeile vom darüberstehenden Polynom ergibt die dritte Zeile, s. (2.28). Danach errechnet man Cl = a~/b3, addiert ClX zu c2x2. multipliziert CIX mit

3

L

bkX k und schreibt dies in die vierte Zeile. Subtraktion ergibt die flinfte Zeile usw. Man

k=O

sicht: Das Verfahren ähnelt der bekannten schriftlichen zahlendivision. In der letzten Zeile bleibt schließlich ein »Rest« r(x) = r2x2 + rlX + ro übrig. Mit diesem »Rest« und dem errechneten hex) = C2x2 + CIX + CO ist damit GI. (2.27) erfUl1t. Beispiel 2.18: f(x)

g(x)

3; X + I : 2x - 3x- +

4x 5 _ 4x 4 _ 5x 3 + 4x 2 4x 5 _ 6x 4 + 10x J _ 4x 2

2.1. 4 _ 15x 3 + 8x 2 2.1.A _ 3x 3 + 5x 2 -

~

r(x)

5x - 2 = 2x- + x - 6 + - '------v--' g (x) hex)

x

+

2x

(2.29)

3

+ 3x 2 + X + -12x 3 + 18x 2 - 30x + 12

- 12x

-15x 2 +3Ix-11 r(x)

Bemerkung: Divisioncn dieser Art werden bei der Integration rationaler Funktioncn benötigt (s. Abschn. 4.2.4). Ein Sondeifall ist die Division eines Polynoms [ durch ein Polynom der Form (x - xo). einen sogenannten Linear[aktor. Sie läßt sich bequem mit dem kleinen Horner-Schema durchfUhren.

134

2 Elementare Funktionen

denn es liefert in der unteren Zeile ein Polynom [',-1 (x) = (2.26) gilt, d.h.

I(x) - - = [',-1 (x)

x-xo

,,-1

L

bkX

k

k=O

und eine Zahl ro, so daß

ro

+x-xo

(2.30)

i= Xo vorausgeselZl). Zwischen dem Horner-Schema und dem Divisionsverfahren (2.28) besteht in diesem Fall kein rechnerischer Unterschied.

(x

Nullstellen-Anzahl: Ist

I

ein Polynom II-ten Grades und XI eine Nullstelle von

kleine Horner-Schema bezüglich XI ein Polynom 1,,-1 (x) =

,,-1

L

k=O

bkX k

I, so ergibt das

mil (2.31)

Denn in (2.26) ist Xo durch

Xl

ersetzt und ro = [(XI) = O. Schreiben wir die Gleichung um in (2.32)

so erkennen wir: Folgerung 2.1: Ist I ein Polynom /I-ten Grades und XI eine Nullstelle von I, so läßt sich I durch x - Xl »ohne Rest~~ dividieren. Das Resultat ist ein Polynom vom Grade" - I. Damit gewinnen wir den Satz 2.4: Jedes Polynom II-ten Grades hat höchstens 1/ verschiedene reelle NullstelIen. ßeweis: Ist I ein Polynom II-ten Grades und XI eine seiner Nullstellen, so dividiert man /(x) durch (x - XI/', wobei kl die größte ganze Zahl ist, fur die die Division ohne Rest möglich ist. Nach der obigen Folgerung ist kl :::: l. Man erhält so ein Polynom /1 (x) = l(x)/(x-xll k , vom Grade 11 - k 1. Jede weitere Nullstelle von / ist auch Nullstelle von /1. Den beschriebenen Prozcß führt man daher mit einer weiteren Nullstelle X2 rur /1 genauso durch und erhiilt ein Polynom 12, mit dem man den Prozeß abermals ausfUhrt usw. Schließlich erhält man ein Polynom [,,, ohne reelle NullstelIen. Dies ist spiitestens der Fall, wenn /'" ein Polynom vom Grade 0 ist, also nach höchstens /I Schritten. Somit kann / nicht mehr als JI reelle Nullstellen haben. 0

Übung 2.9: Berechne

2.2 Rationale und algebraische Funktionen

2.2

Rationale und algebraische Funktionen

2.2.1

Gebrochene rationale Funktionen

135

Unter einer rationalen Funk/ion versteht man eine Funktion der Form

aO

+ alx + a2x2 + ... + a"x"

[(x) = bo + b IX

+ b 2X·' + ... + b"'x '"

" La;X

i

.;=",,0__

= -",

I),x'

(2.33)

k=O

mil bm f- 0 (ai. bI;o x E lR). Der Definitionsbereich von f bestcht aus allen recllen Zahlen mit Ausnahme der Nullstellen des Nennerpolynoms. Im Falle 111 = 0, also Nennerpolynom konstant = bo f- O. ist [ein Polynom. Man nennt daher Polynome auch gallzratiullale FUllk/iollen. Ist der Grad des Nennerpolynoms größer oder gleich I und der Zähler nicht das Nullpolynom, so heißt [ eine gebmchelle rationale Funk/ion. Die Funktion heißt dabei eclll gebrocheII, wenn der Zählergmd Il kleiner als der Nennergrad 111 ist Andernfalls heißt f ullech/ gebmchen. Beispiel 2.19: Die Funktion

3x ~ 5 f(x) = 4x 2 +3x-7 4x 5 _4x 4 _5x 3 +4x 2 -x g(x) = ~ 3 2x

3x·

+ 5x

2

ist echt gebrochen,

+I

ist unech/ gebrochen.

Nullstellen, Pole: Jede Nullstelle des Zählers von (2.33), die nicht gleichzeitig Nullstelle des Nenners ist, ist NulI.~/eJle von f. Für jede Nullstelle xo des Nenners in (2.33), die nicht auch Nullstelle des Zählers ist, gilt !im If(x)1 =

x-+·[O

00.

(2.34)

Man nennt xo einen Pol oder eine U"endlichkeit.Htelle von f. Wir nehmen an, daß das Zählerpolynom in (2.33) nicht das Nullpolynom ist. Verschwinden in xo sowohl Zähler- wie Nennerpolynom von f, so dividiert man zunächst das Nennerpolynom durch x - xo (x -# Xo vorausgesetzt). Ist das entstehende Polynom wiederum Null in Xo, so dividiert man es wieder durch (x - xo) f- 0 usw. Man fUhrt dies fort, bis - etwa nach k Divisionen - ein Polynom q gewonnen ist mit q(xo) f- O. Das Nennerpolynom hat damit die Form

q(x)(x~xo)"".

q(xo)f-O.

136

2 Elementare Funktionen

erhaltcn, Entsprcchcnd formt man das Zählerpolynom um in mit

p(x)(x - xo)j,

p(xo)

t o.

Es folgt damit /(x) = p(x) (x _ xO)j-k q(x)

flir

x

t

xo.

(2.35)

Wir sehen: Ist j < k, so hat / in Xo eincn Pol, denn es gilt (2.34). Ist j = k. so definieren wir /(xo) := p(xo)/q(xo), und ist j > k, so /(xo) := 0 (angcregt durch (2.35)). Auf diese Weise ist im Falte j 2: k der Definitiollsbereich VOll / 1/111 xo enveitert. Beispiel 2.20: Die Funktioncn

c

fex) = -

x"

(e

t

0,

1I

E N)

sind besonders einfache gebrochene rationale Funk.tionen. Für /l = I, e > 0 ist der Graph in Fig. 2.17a skizzien. Er wird gleichseitige Hyperbel genannt. Flir /l = 2, e > 0 ist der Graph in Fig. 2.17b abgebildel. Für ungerade 11 ähneln die Graphen von / der Fig. 2. I 73, rtir gerade der Fig. 2.17b, eventuell an der x-Achse gespiegelt.

y

y".E.

"

(c>O)

Fig. 2.17: (a) Hyperbel; (b) y = cjx 2

Beispiel 2.21: Das Boyle-MariouesclJe4 Ge;}'!!tz idealer Gase lautet pu = RT (p = Druck, u = spezifisches Volumen, R = Gaskonstante, T = absolute Temperatur), Bei konstanter Temperatur, mit der 4 Roben Boy1c (1627 - 1691), englischer Nmurforschcr. Edmc Mariotle (1620- 1684), französischer Physiker

2,2 Rationale und algebraische Funktionen

137

Abkiirzung c = RT. ergibt sich pu = c, aufgelöst nach u:

,

u= - .

"

In p-u-Koordinaten beschreibt dies eine Hyperbel wie in Fig. 2.17a.

y

, '" , 12, , 10, ,

V'

8

,,

-, ,

,

,

,

,

,

,0"

,'

, 2

,

,2

Fig. 2.18: Graph von

,,

Asymptote

, , , ,

:POI

-, -2-20

,

,

f

, ,

, 8

10

aus Beispiel 2.22

Beispiel 2.22:

3

12 . Die Nullstel1cn des Nennerpolynoms sind 2 und 3, es läßt sich x--5x+6 2 daher so zerlegen: x - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). 3 ist auch Nullstelle des Ziihlers. 2 dagegen nicht. Division des Ziih1ers durch (x - 3) liefert das Polynom x 2 + 3x - 4, das nach Berechnung seiner Nullstelien I und -4 die Gestalt (x - I)(x + 4) erhält. Damit läßt sich /(x) schreiben als Es sei fex)

=x ,-13x+

/(x) =

(x - 3)(x - I)(x (x

KUrzen von (x - 3)

[(x)

~

3)(x

#

2)

für

x#3. x#2.

0 ergibt

(x - I)(x + 4) x

+ 4)

2

~

~x2_+.:...::3x::,·,---...:4 .r

2

(2.36)

wobei wir nun auch x = 3 zugelassen haben. / hat also die NullstelIen I und -4. sowie den Pol 2 (s. Fig.2.18).

138

2 Elementare Funktionen

Zerlegung unecht gebrochener rationaler Funktionen Beispiel 2.23: In der Funklion g aus Beispiel 2.19 kann das Zählerpolynom durch das Nennerpolynom dividien werden, s. Beispiel 2.18, Abschn. 2.1.6. Es folgt ,

g(x) = 2r

+x

~

6+

-15x 2 +3Ix-11

2x

3" 3x~

+ 5x

2

.

So können wir mit jedem unechten Polynom verfahren. Es gilt also

Satz 2.5: Jede unecht gebrochene rationale Funktion läßt sich durch das Divisionsverfahren flir Polynome eindeutig in eine Summe aus einern Polynom und einer echt gebrochenen rationalen Funklion zerlegen. Isl also J(x) ~ p(x) q(x)

eine rationale Funktion mit dem Nennerpolynom q(x) vorn Grade 11I ::: I und dem Zählerpolynom p(x) vorn Grade 11 2: 11I, so liefen das Divisiollsverfahren fur Polynome aus Abschn. 2.1.6 eine Darstellung von 1 der Gestalt J(x) ~ hex)

r(x)

+ -,

(2.37)

q(x)

wobei h ein Polynom vom Grade 11 -11I ist und r ein Polynom von höchstens (m - 1)len Grade.

Asymptoten: Das Verhalten unecht gebrochener rationaler Funktionen 1 geht flir große lxi sofort aus der Zcrlegung (2.37) hervor. Da r/q echt gebrochen iSI, gilt r(x)/q(x) -,lo 0 flir lxi -,lo 005 (Man sieht dies soforl ein, wenn man Zähler r(x) und Nenner(/(x) durch die höchste Potenz x'" des Nennerpolynoms dividierl.) Aus (2.37) folgt somit 11(x) - h(x)1 _ 0

fLir

lxi _

00.

1 verhält sich also fLir große lxi ebenso wie das Polynom h. Dies führt zu folgender Definition:

Definition 2.1: Ein Polynom heißI AS)'Il1pIOle einer rationalen Funktion 11(x) - h(x)1 _ 0 5 F(x)

--->

(l

für lxi

gill lim F(.(II) 11 ..... 00

--->

=(1.

00 bedeutet:

fLir

Ixl-

f,

wenn folgendes gilt:

00.

Für jede Folge (XII) des Dclinilionsbcreiches von F. die • lim lXIII = 00 erfullt. _ro

2,2 Rationale und algebraische Funktionen

139

Aus obiger Überlegung folgt damit Satz 2.6: Jede rationale Funktion

f Ist f

(a) Ist (b)

f

besitzt eine Asymptote!

echt gebrochen, so ist die Asymptote von

f

die Nullfunktion.

unecllt gebrochen, so ist die Asymptote von f das Polynom 11, das in der Zerlegung (2.37) auftritt. (Es wird durch Division des Zählerpolynoms durch das Nennerpolynom gewonnen.)

Wir merken zusätzlich an, daß die Asymptote 1'01/ f genau dann eine Gerade ist, wenn der Grad 11 des Zählerpolynoms um höchstens I größer ist als der Grad m des Nennerpolynoms, d,h./I ~ 11I+ I. Denn in diesem Fall hat die Asymptote h den Grad J oder 0 oder ist gleich dem Nullpolynom. Im Beispiel 2.22 errechnet man aus (2.36) durch die Division auf der rechten Seite (x 2 + 3x ~ 4)/(x ~ 2):

6

[(x)=x+5+-x-2

Asymptote von [ ist also die Gerade hex) = x + 5 (s. Fig. 2.18). In Beispiel 2.23 ist Asymptote von g das Polynom hex) = 2x 2 + X - 6. Übung 2.10: Welche Asymptote hat die Funktion !(x) =

2.2.2

2x 3 _7x 2 +2r_1 , ? x~+4x+7

Algebraische Funktionen

Eine Funktion f heißt algebraische Funktion, wenn die Punkte (x. y) ihres Graphen einer Gleichung der Form

'\' L.. aiP' ;y * =0

(2.38)

i.k=Ü

gehorchen. 6 Die Gleichung heißt algebraische Gleichung zu f. Hiiufig ist zunächst eine Gleichung der Fonn (2.38) gegeben, und man hat die Aufgabe, sie »nach)' aufzulösen« ,d.h. eine Gleichung der Form

y

~

f(x)

herzuleiten, so daß alle Paare (x. y). mit y = f(x), die Gleichung (2.38) crfullen. 6 Hierbei setzcn wir x O = )'0 = I. auch im Falle x = 0 oder)' = O.

(2.39)

140

2 Elementare Funktionen

Beispiel 2.24: Wir betrachten die Gleichung y2

+ x2 =

I.

x, Y E IR,

(2.40)

Die Punkte, die dies erflillen, bildcn eine Krcislinie, wie anh,md der Fig. 2.19 (mit Hilfe des Pythagoras) klar wird. Der Kreis hat den Radius I und den Mittelpunkt im Koordinatcnnullpunkt. Man nennt ihn Eillheilskreis. Wif»lösen nach y auf«: Gleichung y2 +x 2 = I ist gleichbedeutend mit y2 = I ~ x 2 . Dies ist genau dann erfLillt, wenn

y=~ oder y=-~

(2.41)

ist. Hierdurch werden zwei Funktionen beschrieben; II(.r)=JI-x 2 ,

h(x)=-JI-x 2 •

(2.42)

Delinitionsbereich ist in beiden Fällen I-I. 11. I1 beschreibt den Halbkreis oberhalb der xAchse, h entsprechend unterhalb der x-Achse. Die Graphenpunkte von 11 und h gehorchen der GI. (2.40). I1 und h sind also algebraische Funktionen.

, y

,.

Fig. 2.19: Einheilskreis

Fig. 2.20: Kreis mit Radius r um (xo. )"0)

Beispiel 2.25: Analog zum vorangegangenen Beispiel beschreibt

einen Kreis mit dem Radius,. um dcn Koordinatcllursprung. Allgemeiner noch: Alle Punkte (x.y),die (y

~ )'0) 2

+ (x ~ xo)~" =

,.~

2,2 Rationale und algebraische Funktionen

141

erfüllen, bilden einen Kreis mit dem Radius r um den Mittelpunkt (xo, )'0), s. Fig. 2.20. (Man sieht dies leicht mit Hilfe des "Pythagoras« ein,) Beispiel 2.26: (Nach [51) Ein Konstruktionselement mit rechteckigem Querschnin ist mit den Randspannungen (T" und (Ty belastet, wie in Fig. 2.21 skizziert. Wir denken uns einen Schnitt durch die Fläche unter dem Winkel rp gegen die Waagerechte, s. Fig. 2.21. Für die an dieser Schnittlinie auftretende Längsspannung (J und Schubspannung r gilt G

. .,

= (J-r sm~ rp

.,

[

+ Gy cos-Ip =

"2(Gx

1

+ Gy) + "2«(Jy ~ Gx)cos21p

7

I. I. I . r = 20')' S1l121p - 20'x S1l121p = 2: (0')' - (J-r) sm 21p

, o.

o.

•

o.

,

2

0

o 0, I I

f4-----:

o,+Oy

2

I - ....- - .,

Oy-O,

2

Fig. 2.21: Mohrseher Spannungskreis

Quadriert man rund

G

~ !«(J-r

+ Gy). so erhält man aus obigen Gleichungen

, (a,. _0,,), ( a, +2 a.)2 +r-= 2 (J~

(2.43)

Diese Gleichung beschreibt einen Kreis in der (J-T-Ebene. Er heißt Mohrsche,s SpaJll/IlIIgskreis. 7 Die hier benulzlen Funklionen sin und tQs nebSl ihrer Addilionslheorcnle werden in Abschn, 2.3.2 ausfUhrlich crlaulcrt. 8 Chrislian Duo Mohr (1835 - 1918). deulscher tngenieur

142

2 Elementare Funktionen

Sein Mittelpunkt liegt auf der a-Achse. Für jeden Winkel rigen Werte T und a entnehmen.

(j)

kann man aus Fig. 2.21 die zugehö-

Potcllzfunktioncn: Besonders einfache algebraische Funktionen sind die POlen?jullktiollen

[(x) = Cx"/'" .

(

" m

ganz, natürlich.

(2.44)

Der Exponent von x ist dabei eine beliebige rationale Zahl. Zuniichst setzen wir" > 0 voraus. Ist '" ungerade. so kann die ganze reelle Achse als Definitionsbereich verwendet werden. Ist m gerade. so liegt der Definitionsbereich in [0. 00). (Denn x ll /'" = ( ~)" ergibt nur im Falle ungerader 111 fur negative x einen Sinn.) Im Falln < 0 gilt analoges. Nur 0 liegt nicht im Definitionsbereich. f ist in der Tat algebraisch. Potenziert man nämlich)' = Cx"/ m mit dem Exponenten 111, so folgt y'" - C"'x" = O. also eine Gleichung vom Typ (2.38). Für x > 0 (C = I) sind die typischen Formen der Funktionsgraphen von [ in Fig. 2.22 zu sehen. Der Leser setze sie fur den Fall, daß 111 ungerade ist, in dem Bereich x < 0 fort. Dabei ist zwischen geraden 11 und ungeraden 11 zu unterscheiden.

Fig. 2.22: Typische Potenzfunklionen f(.I) =

ex"/'"

Beispiel 2.27: Die adiabatische Zustandsänderung eines idealen G.ases mit Druck IJ wird durch IJ/P'" = C (C konstant) beschrieben, also durch

Für Luft ist /( = 1.405. Allgemein ist /( eine Materialkonstante, die als rationale Zahl angenommen werden darf. Explizite Darstellung algebraischer Funktionen Typische algebraische Funktionen sind

[(x) =

(

v'?+l , 2 - 2)' + Xl. X + 1

2,2 Rationale und algebraische Funktionen

143

Allgemein gilt: Besteht ein Formelausdruck [(x) aus der Variablen x (endlich oft auftretend) und endlich vielen Zahlen, verknüpft mit endlich viefen Rechelloperalionell +, -, " : oder POIenzierungen mir rarionalen Exponenten, so ist [ eine algebraische FunktiOIl in explizirer Darsreflul1g. Durch schrinweises Umformen von y = fex) kann man in diesem Falle eine Gleichung der Gestalt (2.38) erreichen, der alle Paare (x. y) genügen, die auch y = !(x) erfüllen. Die Umkehrung gilt nicht! Insbcsondere läßt sich nicht jede algebraische Funktion durch FormelausdTÜcke der genannten Art bcschreiben. In der Technik habcn wir es abcr hauptsächlich mit algebraischen Funktionen der beschriebcnen expliziten Art zu tun. Beispiel 2.28: Der Luftdruck {J hlingt von der Höhe 11 über dem Erdboden ab. Bei ruhender isothermischer Atmosphäre lautet dieser Zusammenhang P=PO

(

11 - I 8h ) 1-----11 RL' To

~

(2.45)

Die rechte Seite, abgekürzt [(11), beschreibt eine algebraische Funktion. Die Konstanten dazu bedeuten: Po Bodendruck (z.B. Po = 1.013 bar), 11 = 1,235 Polytropenexponent, RL = 287m 2/(K . s2) spezifische Gaskonstante der Luft, To = 288K Temperaturkonstallte, 8 = 9,81 m/s 2 Erdbeschleunigung. Übung 2,11:

Man forme (2.45) in eine Gleichung vorn Typ (2.38) um. 2.2.3

Kegelschnitte

Hier wird ein erster Einblick gegebcn. In BurgfHaflWille (VeklOranalysis) [71, Abschn. 1.3, werden Kegelschnine ausflihrlieh bchandelt. Ellipse: Wir gehen aus von der Gleichung x2

y2

- + -b2 (/2

= I

(a > O. b > 0) .

(2.46)

Trägt man alle Punkte (x. y). die die Gleichung erflillen. in der x-y-Ebene ein. so bilden sie eine Kurve, wie in Fig. 2.23 skizziert. Eine Kurve dieser Form heißt eine Eflipse. Wir können sie uns aus einem Kreis entstanden denken, der in einer Richtung gleichmäßig gestaucht (oder gestreckt) ist. Der Kreis selbst gilt als Spezial fall einer Ellipse. Löst man die Ellipsengleichung (2.46) nach y auf, so erhält man (2.47) Die linke Gleichung beschreibt eine Funktion, deren Graph der »obere« Ellipsenbogen ist, die rechte Gleichung entsprechend eine Funktion, deren Graph den unteren Bogen darstellt.

144

2 Elementare Funktionen

,

B

,

b

•

o

Fig. 2.23: Ellipse

Fig. 2.24: Planctcngctricbe

In Fig. 2.23 wollen wir a > bannehmen. a, die Länge der Strecke [0. AI, heißt gn1Je Hafbachse der Ellipse. Entsprechend heißt b die kleine Halbachse. b ist die Länge von [0. BI. Ellipsen spielen in der Himmelsmechanik eine große Rolle: Die Planeten der Sonne laufen in sehr guter Näherung auf Ellipsenbahnen. Dasselbe gilt flir Satelliten im erdnahen Raum. Will man die Bewegung eines Punktes auf einer Ellipsenbahn technisch erleugen, so läßt sich dies einfach mit einern Pfallelengetriebe konstruieren, wie es in Fig. 2.24 skizziert ist. Dabei rollt ein Rad in einern anderen vom doppelten Radius herum. Ein beliebig markierter Punkt P auf dem rollenden Rad bewegt sich dann auf einer elliptischen Bahn. Hyperbel: Hyperbeln sind ebene Figuren, die durch

,-,=1 b-

x2

)'2

(2.48)

(a>O,b>O).

a-

beschrieben werden, siehe Fig. 2.25. AuAösung nach yergibt (lxi :::a).

(2.49)

womit zwei Funktionen angegeben sind, deren Graphen zusammen eine Hyperbel bilden. Für große lxi kann man a 2 gegen x 2 vernachlässigen, so daß (2.49) übergeht in )'

~

b -x.

a

y

~

b --x.

"

(2.50)

SelZl man hier = stall ~, so hat man die Gleichungen zweier Geraden (vgl. Fig. 2.25). An diese Geraden schmiegt sich die Hyperbel immer besser an, je größer lxi ist. Die Geraden heißen die Asymplole" der Hyperbel. Hyperbeln treten auch in der Himmelsmechanik auf, z.B. als Komelcnbahnen odcr Bahnen

2,2 Rationale und algebraische Funktionen

145

y

•

•

o

Fig. 2.25: Hyperbel von Satelliten, die das Sonnensystem verlassen. Ferner treten Hyperbeln bei Kühltürmen als Querschnitt-Figuren auf, wie auch bei Düsen oder Lampenformen. Parabel: Parabeln werden durch

Y=CX 2 =o.

c>O.

beschrieben. Wir haben sie in Abschn. 2.1.3 ausflihrlieh behandelt. Bemerkung: Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln werden KegelscIlllilIe genannt. In der Tat treten sie als Schniufiguren auf, wenn Doppelkegel und Ebenen sich schneiden (s. Fig. 2.26). Auch die Grenzfalle ~ Kreis oder Punkt, zwei sich schneidende Geraden oder eine Ger
+ 2aI2_\')' + (lnr' + 2alJX + 2(123Y +a33 =

mit reellen Konstanten (lik. Wir setzen voraus, daß (111.

(2.51 )

0

(/12.

(In nicht alle Null sind. Damit gilt:

Gleichung (2.51) beschreibt sters einen Kegelscl/llill (vgl. Burg/Haf/Wille (Vektoranalysis) [7], Abschn. 1.3.5). Um herauszufinden. welchen sie darstellt, werden die drei folgenden Determinanten (s. Absehn. 7.2.3, bzw. BurglHaflWille (Lineare Algebra) (91) betrachtet: (/11 D~

(112

"" "" "" ""

"" ""

(/33

Dt

=

1(111 (112

Es ergibt sich folgende Fallunterscheidung:

(112 (122

I

D,

~ 1 (122

""

(123

(133

H

"" (113

(113

(133

146

2 Elemcntare Funktioncn

:~

Ellipse

:~

I I I

~~~r

Hyperbel

Parabel

zwei sich schneidende Geraden

Fig. 2.26: Kegelschnitte

I. Fall

Hyperbel Parabel Ellipse leere Menge

2. Fall

L

2 sich schneidende Geraden

V, < 11 .. 2 p""lIcle Gcmdeo

V, ~O~--D2=O.

Ih

> 0

eine Geradc

leere Menge .......... ein Punkt

zwei parallele GrOBen

2.3 Trigonometrische Funktionen

147

(Die Beweise hierzu werden in Burg/Haf/Wille (Lineare Algebra) [9] geruhrt.)

Übung 2.12*: Welche Typen von Kegelschnitlen werden durch die folgenden Gleichungen dargestclll: (I) 3.1"2 +4.1"y+5 y2 +2.1" +8y+2 =0 (2) 5.1"2+ 16.1"y+2y 2+2.r+2y+2=0.

(3) 4.\·2_12.1"y+9y2+6.r+2y+ I =0.

(4) .1"2 - 4.ry + 4.1'2

-.I"

+ 2.1' -

I

4" = o.

2.3

Trigonometrische Funktionen

2.3.1

Bogenlänge am Einheitskreis

Die Menge aller Punkte (x, .1') mit x 2 + .1'2 = I bildet in der x-y-Ebene eine Kreislinie vom Radius I um den Koordinatennullpunkt. Wir nennen sie die Einlteitskreislinie. Löst man x 2 + y2 = 1 nach y auf. so erhält man y=Jl-x 2 oder

y=~~

(2.52)

rur lxi :s: 1. Die linke Gleichung beschreibt die obere Halbkreislillie H+ (oberhalb der x-Achse in Fig. 2.27), die rechte d:lgegen die IIl1tere Hllibkreislinie Hy 1<,..

H'

-,

, •

0

b

H-

Fig. 2.27: KreisbogeIl K".b

Ein Kreisbogen K".b auf H+ ist die Menge aller Punkte (x, y) E H+ mit

(s. Fig. 2.27). Es ist unsere Aufgabe, die Länge t".b eines solchen Kreisbogens liinge genannt - zu definieren und zu bestimmen.

kurz Bogen-

148

2 Elementare Funktionen

Bemerkung: Die Grundvorstellung der BogenHinge besteht darin. daß man sich den Kreisbogen als dehnungsfreies Seil vorstellt, dessen Länge durch Geradeziehen und Anlegen eines Lineals gemesscn werdcn kann. Der cilige Lescr mag sich mit diescr »Scilvorstcllung« begnügcn und den Res! dieses Abscltniltes iiberschlagen. Zum Verständnis des folgenden, insbesondere der Anwendungen, geht ihm nichts wesentliches verloren. Für eine saubere mathematische Fundierung reicht die Seilvorstellung allerdings nicht aus. (Was heißt z.B. »dehnungsfrei?«) Wir definieren daher die Bogenfällge. indem wir von Streckenzügen ausgehen. Es sei K".b= !(X.Y)I-I.:::a':::X':::b'::: I.

y=~J

der schon beschriebene Kreisbogen. Zunächst bilden wir eine Zerlegung Z des Intervalls [a. bl mit a = Xo <

Xl < ... <

XII = b.

Die Punkte Xo •..., X" heißen Teilu//gspl/llk1e von Z. Die zugehörigen Kreispunkte

Pi = (X;.Yi)

mit

y;=JI-x?

(i = O. I•.... n) liegen auf dem Kreisbogen K".b. Wir verbinden diese Punkte Po, Pt. P2, .... P" durch einen Streckenzug S. wie es die Fig. 2.28 zeigt. Der Streckenzug S ist dabei die Vereinigung aller Strecken [Po. Ptl, [PI. P21, ... , P,,-I. Pli I· Die Länge einer solchen Strecke [Pi-I. Pi! ist nach "Pythagoras«

r

JD.Xl + D.yl,

mit

Lb;

=

Xi -

X;_I .

LlYi =

Yi -

Y;-I .

(2.53)

Die Summe L(Z) dieser Streckenlängen bezeichnet man als Liil1ge des Stl'eL'kellzuges S:

L(Z) =

L" JLlxl + LlYl·

(2.54)

;=1

Fügt man weitere Punkte auf dem Kreisbogen K".b hinzu, so werden die zugehörigen Streckenzüge immer liinger. Je mehr Punkte P; gewählt werden und je kürzer die Teilstrecken sind, desto näher kommt L(Z) unserer Vorstellung einer Bogenliinge. Dies fUhrt zu folgender Definition 2.2: Die Bogenfänge t",b des Kreisbogens K".b ist gleich 'a,b := sup L(2) Z

(2 Zcrlegung VOll [a. bJ).

M.a.W: Man denke sich die Menge M aller Streckenzuglängen L(2) (zu allen denkbaren Zerlegungen vonla. bJ). Ihr Supremum bezeichnet man als Bogel/länge von Ka.h.

2.3 Trigonometrische Funktionen

y

P,

P,

'y,

Po

/

149

K...

'"

P,

,

-,

a _ Xo

"

"

"

... b

Fig. 2.28: Slreekenzug als Näherung rur einen Kreisbogen

Die Definition ist nur sinnvoll, wenn die Menge M der Streckenzuglängen L(Z) nach oben beschränkt ist. Das ist aber der Fall, denn es gilt

wie man durch Quadrieren sofort einsieht. Also folgt

"

L(Z) ~ 2)1Llx;l

+ ILly;1) =

L" ILlx;l + L" ILly;l ~ 2 + 2 = 4. i=]

1=1

i=l

Speziell definiert man t"." = 0 fur alle a E [-1,1] und Jr

:=

LI,I'

Jr ist also die Länge der Halbkreislinie H+. Wir werden später Bereehnungsmelhodell fur angeben (s. Absehn. 3.2.5). Sie liefern Jr

= 3, 141592653589793.

Satz 2.7: (Eigenschaften der Bogell/iinge) (I) Additi\,jtät (s. Fig. 2.29a) Es gilt:

ta.b

+ 'h.c =

t".c.

falls

- I ::5 a ::5 b ::5 c ::5 I .

(2.56)

(J1) EinschließulIgseigenscJUlft: Man betrachte Fig. 2.29b: Ist Oa.b die Länge der »Sehne « [A. B] und
(2.57)

Jr

150

2 Elementare Funktionen

(lLI) Der Qlwlielll alls Sehnel/- ul/d Bogenlänge erfüllt

fur

a-..b

oder

(2.58)

b---»a.

Beweis: Zu (I): Es seien Z I, 22 Zcrlegungen von Ta, bl. Tb. cl Mit 2 = ZI U 22 (Zerlcgung von [a. cD folgt fiir die zugehörigen Streckenzuglängen

Geht man links zu den Suprema über, so folgt t".b

+ th.c

(2.59)

::: t".c·

, A'

, /"

10.,

-,,~

.

-, •

11t>·~

,

, , ,

b

0

)

B' B,

, ,

0

•

,

b

b}

Fig. 2.29: Zu Satz 2.7: Eigenschaften der Bogenlänge am Kreis

Ist umgekehrt 2 eine beliebige Zcr1cgung von La. cl. so erzeugen ihre Teilungspunkle, unter Hinzunahme von b, eine Zcrlegung ZI von La. bl und eine Zcrlegung Z2 von Ib, cl. Sie erfullen zweifellos L(Z) ::: L(Z I)

+ L(Zü ::: t/l.h + Ib.c·

Gehl man links wiederum zum Supremum über. so folgt I".e ::: t".b

+ tb.,;,

mit (2.59) also t/l.(" = t(,.b

+ tlJ.(".

Zu (11): Ersetzt man den Kreisbogen K".b in Fig. 2.29b durch einen Streckenzug S, wie beschrie-

2.3 Trigonometrische Funktionen

151

ben, so sieht man geometrisch leicht ein, daß für die LUnge L(Z) des Streckenzuges gilt: 8".b ::s L(Z) ::s r".b·

Folglich gilt auch 8".b ::s t".b ::s r".b. Zu (111): Die Länge q der Strecke LO. P1 in Fig. 2.29b ist nach »Pythagoras« zweifellos q Jl (8".b/2)2. Mit dem »Strahlensatz« erhalten wir ferner 8"b : r(j.b =: q : I, also folgt mit (11)

fur

a

~

b

oder b --+

(j.

o Wir betmchten nun speziell die Bogenlänge /x.1 und fragen uns, wie sie von x abhängt (siehe Fig. 2.30). Die so entstehende Funktion I(x) =: /x.1 nennen wir Bogenlängenfunktion. Für sie gilt:

,

-,

o

•

Fig. 2.30: Bogenlängenfunktion

Satz 2.8: Die Funktion l(x)='.\".I.

-1::sx::Sl.

ist stetig, streng monoton fallend und bildet das Intervall [-1, 11 umkehrbar eindeutig auffO. 1T' ab. Beweis: Für XII --+

xo (-1 ::s XII< xO::S

I/(x II )

-

I) gilt

l(xo)1 = 11.,".1 - /.lo.11 = 11.'",,<01 ::s T.," ..lo --+ O.

Entsprechendes gilt im Falle (-I ::s Xo < XI! ::s I), woraus die Stetigkeit von streng monoton fallend, da fur (-I ::s XI < X2 ::s I) gilt

I

I

folgt. Ferner ist

152

2 Elementare Funktionen

d.h. I(xr) > I(xü. I ist also eineindeutig und bildet [-I. 11 in [0, 7T 1 ab. Nach dem Zwischenwertsatz nimmt I(x) jeden Wert zwischen 1(1) :::: 0 und 1(- I) :::: 7T an. Folglich bildet 11-1, I1 al/110, 7T 1ab, womit alles bewiesen ist. 0 Die Funktion

I

in Satz 2.8 wird späler arccos (ArclIs COSiIlIlS) genannt.

Ausdehnung des BogenlängenbegrilTs auf größere Kreisbügen In analoger Weise, wie hier geschehen, können Kreisbögen K';b auf der unteren Halbkreislinie H- betrachtet und ihre Bogenlängen t;;b bestimmt werden. Ja, wir können auch aus einem »oberen« Kreisbogen Ku.1 und aus einem »unteren«

KI~1

einen neuen Kreisbogen

K :::: K".I U Kb.1

zusammensetzen. s. Fig. 2.31. Seine Bogenlänge ist definiert als die Summe der Bogenlängen von K u . 1 und Kb.I' Entsprechend lassen sich Kreisbögen der Form

behandeln, die den Punkt (-1.0) enthalten. Die so gewonnenen Kreisbögen lassen sieh abermals

K

-,

,

•

Fig. 2.31; Größere Kreisbögen zusammensetzen usw. Damit ist der Bogenlängenbegriff auf Kreisbögen beliebiger Länge und Lage ausgedehnt. Die Einheilskreislinie selbst, aufgefaßt als H+ U H-. hat die Liinge 27T. Man nennt 27T auch den Uniftlng des Einheitskreises. Winkelmessung; Die Bogenlänge t ist ein Maß fLir den Winkel zwischen zwei Halbgeraden, die von 0 ausgehen, s. Fig. 2.32a. I wird auch das Bogenmaß des Winkels genannt. In der Geometrie wird das Winkelmaß üblicherweise in Grad angegeben, also in der Form: (1'0 (Sprich: »(1' Grad«). Zwischen I und Ci besteht der Zusammenhang

2.3 Trigonometrische Funktionen

•

180

153

(2.60)

Jr

Damit können Bogenmaße in Gradangaben umgerechnet werden und umgekehrt. In der Analysis ist es durchweg üblich, Winkelgrößen im Bogenmaß anzugeben 9 . Länge beliebiger Kreisbögen: Wir denken uns einen Kreis mit beliebigem Radius r > O. Durch einen Mittelpunktswinkel mit dem Bogenmaß I wird aus der Kreislinie ein bestimmter »Bogen« B herausgeschnitten, wie es in Fig. 2.32b gezeigt ist. Seine Uinge b wird ebenfalls über einbeschriebene Streckenzüge definiert. Da alle Längen dabei gegenüber dem Einheitskreis um den Faktor r gestreckt oder gestaucht sind, ist die Länge des Bogens B das r-fache des Bogenmaßes

" b = tr.

Insbesondere hat die gesamte Kreislinie die Länge 2Jrr .

•

B

.)

b)

Fig. 2.32: Winkelmessung: Bögen auf beliebigen Kreislinien

Übung 2.13: Welche Bogenmaße entsprechen dcn folgenden Winkelmaßen: 1<>:

17<>34':

27.7<>:

251<>14'47"?

Dabei bezeichnet' Bogenminuten (60 Bogenminuten = I<». und" Bogensekunden (60 Bogensekundell = 1 Bogellminute).

Übung 2.14: Verwandle die folgenden Bogenmaße in Gradmaße. gerundet auf Bogensekunden: J.523[;

5.12[78;

9 Der Grund wird spJlcr klar. Er Iiegl darin. daß so sin' = cos und tOS' = - sin gilt. was bei Winkelmessungen in Grad nichl zutrifft

154

2 Elementare Funktionen

Übung 2.15: Ein Rad dreht sich gleichförmig. und ;-;war dreht es sich in 0.142s um den Winkel von 70°. Berechne die Umlaufzeit l' und die Winkelgeschwindigkeit w = 2rrjT des Rades!

2.3.2

Sinus und Cosinus

Die trigonomctrischcn Funktionen Sillll.~ (sin) und COSillllS (cos) cignen sich gut zur Darstellung von Wellen. Schwingungen und sonstigen periodischen Vorgiingen, wie auch zur Berechnung von Entfernungen auf der Erde oder im Weltraum. Zur Definition von Sinus und Cosinus betrachten wir einen beliebigen Punkt P = (x, y) (mI der Einl1eitskreislil1ie. Es gilt also x 2 + y2 = I. Mit t bezeichnen wir die Bogenlänge des ?IIgeflörigell Kreisbogens. Damit ist der Kreisbogen gemeint. den ein Punkt durchläuft, wenn er auf der EinheitskreisJinie gegen den Uhrzeigersinn von (I. 0) bis P wandert. Anhand der Figuren 2.33a. b. c ist klar, was gemeint ist.

p

y

,

o

bl

al

cl

Fig. 2.33: Bogenlänge t zu P

Die Komponenten unseres Punktes werden nun einfach mit sillt und cos t bezeichnet, also:

Definition 2.3: Man vereinbart sint :=y.

COSI

:=x

flirOst S2tr.

Sinus- und Cosinusfunktionen sind damit auf dem Intervall [0, 2JT J erklärt. Der Definitionsbereich wird in folgender Definition auf die ganze reelle Zahlengerade ausgedehnt.

Definition 2.4: Für alle t E [O.2tr J und alle ganzen Zahlen k gilt sin(1 +2k1r) = sint. COS(I

+2ktr) =

COSI.

(2.61)

2.3 Trigonometrische Funktionen

155

In Fig. 2.34 ist ein Schaubild dcr Funktionen sin und cos skizziert.

It

sin I

cos t

2

~.

1

0 ~1

3 2

~.

,

2. 1

2

Fig. 2.34: Sinus- und Cosinusfunktion

."olgcrung 2.2: Für alle reellen Zahlen I gilt (2.62)

(I)

(11)

sin(~l)

= -sint

cos(-t) = cost COS(TC - t) = -cost

(2.63)

cos(t=F~)=±sinl

(2.65)

sin(Jr - t) = sin 1 sin

(t ± i") = ±cost

sin (I + 2kTC) = sint (11I)

sin(kJr) = 0

cos(i+kJr)=0

cos(kTC) = (- l)k

Sill

Für alle anderen t -I. (IV)

cos(t +2kTC) = cast

E

.

(~ "2+kTC

) =(-1),

(2.64)

k ganz

(2.66) (2.67)

k ganz

IR, also t ::f:. kTC /2, sind si n I und cos I verschieden von O. I und

sin und cos sind stetig auf IR.

Beweis: Die Eigenschaften (I) bis (111) leitet der Leser leicht aus der Definition von sin und cos her. (Die Eigenschaften (l) bis (111) sind übrigcns unmittelbar am Schaubild (Fig. 2.34) abzulescn.) Zu (IV): cos ist auf [0. Jr I die Umkehrfunktion der sletigen Funklion f aus Satz 2.8 im vorigcn Abschnitt. Also ist cos auf [0. 7r I stetig. Damit ist auch sin I = JI cos 2 tauf [0. Jr I stetig. Durch (2.63), (2.66) wird die Sicligkeil auf alle t E IR übertragen. 0 Additionstheoreme: Von großer Wichtigkeit sind folgende Formeln fur sin(x + y), cos(x + y).

156

2 Elementare Funktionen

Satz 2.9: Für alle reellen x und y gilt sin(x + y) = sinxcosy + cosx sin y,

('.68)

cos(x + y) = cosxcosy - sinxsiny.

(2.69)

Der Beweis wird in Abschn. 3.1.6 mit Hilfe der Differentialrechnung in eleganter Weise geführt. weshalb wir ihn hier überspringen. Aus den Additionstheoremen (2.68), (2.69) lassen sich viele weitere Forrneln herleiten, die für die Anwendungen wichtig sind. Setzt man z.B. x = y, so folgt sin(2x) = 2sinxcosx. 2

(2.70)

2

cos(2x) = cos x - sin x .

(2.71)

Ferner gilt

x+y X-1'1 sinx +siny = 2sin -,-cos ,('.72)

.. x+y.x-y sm x - sm y = 2 cos - , - ,m -,_.

1

x+1' x-y cos x + cos y = 2 cos , - cos ,-

,

,

(2.73)

. x+y . x-y cosx -cosy = -2sm - - ,m-Zum Nachweis von (2.72) wendet man die Additionstheoreme auf sinx = sin

(

X +Y -,-

y)

x + -,-

"nd

siny = sin

X+1' X-1') ( -,- - -,-

an und addiert bzw. subtrahiert beide Gleichungen. Entsprechend verfahrt man bei (2.73). Der Leser führe dies zur Übung durch. Anwendungen Beispiel 2.29: Ein Rad drehe sich gleichförmig mit der Umdrehungszeit T. also der Kreisfrequenz w = 2;r /1'. P sei ein beliebiger Punkt des Rades mit Abstand a vom Drehpunkt. x- und y-Achse liegen so. wie es die Fig. 2.35 zeigt. P überschreite die x-Achse zur Zeit to. Dann sind die Koordinaten zu einer beliebigen Zeit t:

x = a cos(w(t - to» ,

y = a sin(w(1 -10».

2.3 Trigonometrische Funktionen

157

Die erste Gleichung beschreibt also die horizontale Bewegung des Punktes, die zweite die vertikale.

y

~,

I~ ...

y

•

Fig. 2.35: Drehendes Rad

o Ruhelage

•

Fig. 2.36: Federpcndel

Beispiel 2.30: (FederpendeI) An einer Spiralfeder mit Federkonstante c > 0 hänge ein Körper der Masse 1Il. Er schwinge reibungsfrei auf und ab. Die Höhe seines Schwerpunktes zur Zeit I sei x (x-Achse weist nach untcn) (s. Fig. 2.36). Dann wird seine Bewegung beschrieben durch

.r = a COS(W(I

~ 10»

mit

W

=

0. y-;;;

Dabei ist '0 ein Anfangszeitpunkt mit maximaler Auslenkung a. Beispiel 2.30 ist trotz seiner Einfachheit ein typischer Schwingullgsvorgang. Er zeigt, daß bei Beschreibung von Schwingungsvorgängen (seien sie mechanisch, elektrisch oder elektromagnetisch) die Sinus- und Cosinusfunktion die wesentlichen mathematischen Hilfsmiuel sind. Übung 2.16: Beweise die Formel: sill(a + ß) + sill(a - ß) = 2 silla eosß Hillweis: Wende das Additionstheorcm des Sinus auf sin(a + ß) und sin(a Entsprechend: Übung 2.17: cos(a

+ ß) + cos(a -

ß)

=

2cosaco~

ß·

+ (-ß» an!

158

2 Elementare Funktionen

Übung 2.18: . ,

I

a)

sm· 0' = 2(I-cos(20'»

b)

cos 2 0' = 2"(1 +cos(20'))

I

(s. (2.71»)

Übung 2.19: . ,

I

a)

sm 0'=8(3-4cos(20')+cos(4
b)

I (os40' = 8(3 +4(os(20')+ (os(40')

Hillweis: Man qu,ldrierc die Formeln in Übung 2.18.

Übung 2.20: Beweise die Formel

sin«2n +

I)t) (I + =

2

t

COS(2kf)) sin f.

k=1

(11 E N. T E IR) durch vollständige Induklion. Dazu benulze man die Gleichung

sin«211 + 1)/) = sin«2/1 - 1)/)

+ 2 sin t cos(2/1/) .

die aus (2.72). 2. Gleichung. folgt.

2.3.3

Tangens und Cotangens

Definition 2.5: Die Funklionen Tangens (tan) und Cotangel/s (cot) werden folgenderrnaßen erklärt: sin x

tanx:= - cosx

cosx

cotx := - . Stil X

flirx E IRmitx::j:.

i

+kJr. k ganz

flir x E IR mit x ::j:. kJr.

Die rechts notierten Ausnahmewerte von x sind gerade die NullstelIen des jeweiligen Nenners. Fig. 2.37 zeigt die Graphen von tan und cot.

2.3 Trigonometrische Funktionen

,

,

3,

"

, ,

, -, , , ,

159

",

2

, ,

Fig. 2.37: Tangens- und Cotangensfunktiooen

Satz 2.10: (Addiliollsrheoreme) Es gilt

tanx ± tany I Ttanxtany

± y) = 7"'''--'=''-'--

(2.74)

cot(x ± y) = -cc~ot~x~,~o~t~Y_'f,--,-1 cOly±cotx

(2.75)

tan(x

flir alle x, y, flirdie die Nenner nicht verschwinden und die zugehörigen Tangens- und Cotangensfunktionen definiert sind. Der Beweis kann mit Hilfe der Additionstheoreme für sin und eos vom Leser geflihrt werden. Im Falle x = y folgt aus dem Satz tan2x =

2tanx lan- x

,

.

eot 2 x-1 cot 21: = -".,-:-:2cotx

Umrechnung der Winkelfunktionen ineinander: Wir wollen 0 < x < gilt wegen sin 2 x + cos 2 x = I:

(2.76) ]f

/2 annehmen. Dann

cosx = JI-sin 2 x.

sinx = JI - cos 2 x,

(2.77)

Wir wollen entsprechend sinx in tan x umrechnen, eosx in tan x, tan x in sin x, usw. Dazu selzen wir (2.77) in tanx = sinx/ eosx ein und erhalten lan x =

sinx JI-sin2x

=

./1

cos 2 x

-'-''-:c-=:''':: eosx

(2.78)

Quadrieren und Auflösen nach sin x bzw, cos x liefert

Sill X

tanx = -~~Sr: ./1 +tan 2 x ,

cos x = -~~=;=: ./1 +tan 2 x·

Wegen cot x = 1/ tan x hat man damit auch entsprechende Formeln flir cot x zur Hand.

(2.79)

160

2 Elementare Funktionen

Die FonneIn (2,77) bis (2.79) gelten bis auf das Vorzeichen auch außerhalb des Intervalls 7f /2). sofern die Nenner nicht verschwinden. Man muß dann allerdings darauf achten, ob + oder - vor dic rcchtcn Scitcn zu setzen ist. (0,

~1+lal'i2x

x tan x

Fig. 2.38: Zur Umrechnung der Winkelfunktionen ineinander Bemcrkung: Die GI. (2.79) gehen sofort aus Fig, 2.38 hervor. Man braucht also nur dieses Dreieck zu zeichnen, um jederzeit die Formeln (2.79) herleiten zu können, Winkelfunktioncn am rechtwinkligen Dreieck: An einem rcchtwinkligen Dreieck [A. B, CI mit den Seitcnlängen a. b, c und dem Winkel a bei A gilt (s. Fig. 2.39a): y B

,

•

a

A ~~--;-----'--:

b

o

C

.)

b)

Fig. 2.39: Winkelfunktioncn als ScitcnvcrhäItllisse am rechtwinkligen Dreieck

.

a c

sJna=-.

b

cosa=-. c

a

tana=t;,

b cota=-.

a

(2.80)

Diese Gleichungen gchen aus der Ähnlichkeit mit dem Dreieck [0, C', B'I am Einheitskreis hervor, wie es Fig. 2.39b zeigt. Dort gilt fur entsprechende Seitenverhältnisse nach Definition von sin, cos, tan und cot: sina=f·

x

cosa=T'

sina lana = - cosa

~

y x

cosa x cota = -.- = -. sJna y

Durch die GI. (2.80) gelangen die Winkelfunktionen in der Geometrie zu großer Bedeutung. Übung 2,21: Auf einer schiefen Ebene. deren Neigungswinkel Ci = 35,12° beträgt. gleitet ein Körper mit dem Gewicht G = 219.3 N herab. Wie groß sind die HangabtriebskrJft FH und die Normalkraft FN (rechtwinklig zur Ebene)?

2.3 Trigonometrische Funktionen

161

Übung 2.22: Beweise

(a) tanO'±tanß=

sin(O' ± ß) . cosO'cos ß

sin(ß ± 0') . . smßsmO'

(b) cOIO'±COIß = .

Hinweis: Zu (a): Man selze lan CI = sinO'I coso'. tan

ß = sin ßI cosß und bringe die linke Seite

auf Haupl1lenner. (b) entsprechend.

---------n------arccot

aretan 2

Fig. 2.40: Arcusfunktionen

2.3.4

Arcus·Funklionen

Die Funktionen Arcussi/llO" (aresin), ArCII~'cosiIllIS (areeos), ArCils/(/llgens (arctan) und Arclls(arccot) sind die Umkehrfunktionen von sin. cos. tan und cot, definiert auf den im folgenden notierten Intervallen.

co/(Illgells

Definition 2.6: 1= arcsinx. XE [-I.IJ

bedeutet:

x=sin/.

IE[-~~] 2' 2

1=

arccosx. xE [-1.11

bedeutet:

x=COSI,

tE rO,TrI

1=

arctanx.

XE~

bedeutet:

x

1= arceOlx. xER

bedeutet:

X=COtl. IE(O,Jr).

= lanl.

I

C(-"-2' "-) 2

Fig. 2.40 zeigt Schaubilder der Areusfunktionen. Liegt beispielsweise ein rechtwinkliges Dreieck vor, dessen Seitclllängen 0, b, c wir kennen (Fig. 2.41). so kann man mit den Arcusfunktionen seine Winkel beSlimmen: Wegen alc = sin a ist

. a a = aresJn ~ c

und analog

a c

ß = arccos ~.

162

2 Elementare Funktionen B

, A

ß

•

~-------'--:'

b

C

Fig. 2.4 J: WinkcJbestimlllung aus Scitcnlängcn (x. y)

{x, y}

t> 0

t> 0

, <0 (!C, y)

Fig.2.42:

I

= arc(.r. y)

Definition 2.7: Die Funktion Arcus, beschrieben durch t = arc(x. y).

(x

2

+l

> 0) .

wird geometrisch erklärt (s. Fig. 2.42): Man verbindet den Punkt (x. y) mit dem Koordinaten nullpunkt durch eine Strecke. Dann ist I/I das Maß des kleineren Winkels zwischen dieser Strecke und der positiven x-Achse. Im Falle y :::: 0 ist dabei I :::: 0, im Falle y < 0 dagegen I < O. Für y = 0, x < 0 ist/ = 7r und für y = 0, x > 0 natürlich r = 0 (s. Fig. 2.42a, b, c. d). I/I wird im Bogenmaß angegeben. Es ist -Jr < r ~ 7r. Mit der Streckenlünge r = .jx 2 + y2 wird die Funktion Arcus kurz so beschrieben:

arc(x.y) =

I

x

arccos - .

fUr

y:::: o.

r

,

- arccos :. ,

fUr y < O.

8emerkung: Die Funktion wird auf Computcrn vielfach mit ATAN2 + bezeichnet. In der komplexen Analysis wird sie auch Arg (Argument) genannt. 8emerkung: Die trigonomctrischen Funktioncn sin. cos. tan. cot und die zugehörigen Arcusfunktionen sind heute auf jedem wissenschaftlichen Taschenrcchner zu finden. Man kann ihre Werte durch Knopfdruck erhalten. Prinzipiell kann man ihre Wertc auch geometrisch finden. d.h. durch Zeichnen des Einheitskreises auf Millimeterpapier und Ablesen der dortigen Maße. Natürlich ist die Genauigkeit dabei gering. Rechnerische Methoden zur beliebig genauen Ermittlung der

2.3 Trigonometrische Funktionen

163

Funktionswerte sin, arcsin, ... usw. lernen wir in der Differentialrechnung kennen.

Fig. 2.43: Uinge eines Schienenkreisbogens

Beispiel 2.31: Es soll die Länge eines Schiellenkreisbogens bestimmt werden, s. Fig. 2.43. Der Messung zugänglich ist die Sehnenlänge s und der maximale Abstand a der Sehne vom Kreisbogen. Der Radius r des Kreises wird nach »Pythagoras« berechnet: S2

a

8a

2

r=-+-. Für den Winkel a (Bogenmaß) gilt nach Fig. 2.43

. a s/2 = 2 ,

S1l1 -

a 2

- =

also

. s 2,

arCS1l1 - .

Die Länge I des Kreisbogens ist damit gleich

. I = ra = 2,. . arCSIl1

-

.,

2,

•

Übung 2.23: Ein Schuppen mit rundem Dach sei 20 m lang. Sein Querschnitt hm die Form eines Rechtecks mit daraufgesetztem Kreissegmenl. Das Rechteck hat eine Höhe von 4 m und eine Breite von 8 m. Die Gesamthöhe des Schuppens ist 6.5 m. Wie groß ist die Dachfläche? (BenUlzc Taschenrechner!)

Übung 2.24: [n einem liegenden zylindrischen Tank der Länge I = 2.7 m und des Durchmessers tI = 1.2 m befindet sich eine Flüssigkeitsmenge. Durch einen von oben eingcmhncn Meßstab stellt man fest. daß die Höhe des Flüssigkeitsspiegels über dem Tankboden 0.78 III beträgt. Wie groß ist das Flüssigkeitsvolumen? Hinweis: Der Flächeninhalt eines Kreissektors mit dem Öffnungswinkel a (Bogenmaß) ist gleich r 2a/2 (r = Radius des Kreises).

164

2 Elementare Funktionen

2.3.5

Anwcndungen: Entfcrnungsbcstimmung, Schwingungcn

Entfcl'nungsbcstimmung: Auf der Erde und im nahen Weltraum (bis ca. 4 Lichtjahre) benutzt man zur Entfernungsmessung große Dreiecke, deren Seitenlängen und Winkel man mißt oder berechnet. Dazu zwei Sätze der Geometrie: Ist ein beliebiges Dreieck [A. H, Cl gegeben. so gilt mit den Bezeichnungen in Fig. 2.44 folgendes: Sinussatz

a b

sina sinß

(2.81)

-~--

c

,

•

b

•

A

L---'~_----,-

,

_ _"-L-'>.B

Fig. 2.44: Zum Sinus- und Cosinussatz

Cosinussatz

(/2

+ b 2 ~ 2ab cos y

= c2

(2.82)

(Für die Beweise wird der Leser auf die Geometrie verwiesen.) Diese Sätze sind die Grundlage fur Entfernungsberechnungen: Wir nehmen an. daß A, H, C drei Punkte auf der Erde sind, wobei A und C so dicht zusammenliegen. daß wir ihre Entfernung b direkt messen können. Der Punkt B sei l.B. eine entfernte. aber sichtbare Bergspitze. Die Entfernungen (I und c sind gefragt. Man mißt nun die Winkel Ci und y. berechnet daraus ß und erhält mit dem Sinussatz Sill Ci

a=b--. sinß

Sill

Y

c=b--. sinß

Hat man die Landvermessung schon eine Weile durchgefiihn und kennt in einern Dreieck A, B. C die Entfernungen (l und b sowie den Winkel y (man befinde sich selbst beim Punkt C), so kann man die Entfernung c von A und B mit dem Cosinussatz berechnen. In jedem Falle muß die Vermessung mit einer Strecke bekannter Länge beginnen. Im Weltraum nimmt man daftir den Erddurchmesser oder für die Bestimmung größerer Entfernungen den Durchmesser der Erdbahn um die Sonne. Schwingungen und Wellen: Durch y = A cos(wt

+ tp)

(2.83)

2.3 Trigonometrische Funktionen

165

,

~-+-T--' !! I

I

-....,

I Y• A ces (rot + 'PI

Fig. 2.45: Harmonische Schwingung

wird eine sogenannte »harmonische Schwingung« beschrieben. Dabei sei die Variable I die Zeit und y eine schwingende Größe, wie Länge (s. Federpendel), Druck (Schallwellen), elektrische Spannung oder elektrischer Strom, elektrische oder magnetische Feldstärke usw. A ~ 0, W > 0 und <.p sind Konstanten. A ~ 0 heißt AmfJlilllde. w > 0 Kreisfrequenz und <.p Phase oder Phasen winkel. Fig. 2.45 zeigt ein SchaUDild der durch (2.83) beschriebenen Funktion f(t) = A COS(WI

+ Ip).

Man sieht daran: A ist der Maximalwert der Funktion. Die Schwil18uIlgsdauer T ist die Zeitspanne von einem Maximalpunkt zum nächsten. Es muß gelten

wT = 2JT.

(2.84)

denn die Cosinusfunktion wiederholt ja ihre Werte ~ also auch die Maximalwerte~. wcnn das Argument dcs Cosinus um 2JT wcitCITÜckt. Mit GI. (2.84) kann man waus T gewinnen und um· gekehrt. Die Frequenz 1/ der Schwingung. das ist die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit. ergibt sich aus I w 1/=-=-.

T

2n

Der Graph von f in Fig. 2.45 hat die Form einer Cosinusfunktion. evtl. etwas gestreckt oder gestaucht. Dabei ist die y-Achse um rp/w nach rechts verschoben. wenn <:p > 0 ist. Andernfalls ist sie UIl1 l<:pllw nach links verschoben. Die Zahl .vo = A cOSIp ist der Wert der schwingenden Größe zur Zeit I = O.

Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz Satz2.11: Eine Summe gleichfrequenter harmonischer Schwingungen ist wieder eine harmonische Schwingung. Das heißt. sind die Schwingungen Ai COS(WI + Ipi). (i = 1.2..... 11), gegeben. so

166

2 Elementare Funktionen

gilt fur ihre Summe

"

LAi COS(WI

+ rp;) =

A COS(WI

+ rp)

(2.85)

1=1

mit gewissen Zahlen A A > 0 ebenfalls.

~

0 und rp E

(-1T. 1r I.

A ist eindeutig bestimmt und rp im Falle

Beweis: Wir geben an, wie die Wene A und rp konkret berechnet werden. Dazu nehmen wir an, es gilbe A und rp, die (2.85) erfüllen. Wendet man das Additionslheorem des Cosinus auf die linke und rechte Seite an, so verwandelt sich (2.85) in

"

"

;=1

;=1

L(Ai eOSlpi) eos(wt) - L(Ai sin Ipi) sin(wl) = A eos 1,0 cos(wt) - A sin 1,0 sin(wt). (2.86) Einsetzen von I = 0 läßt die Sinusglieder verschwinden, währcnd Einsetzcn von I = Cosinusglieder zu Null macht. Dies ergibt die beiden Gleichungen

1T f(2w)

die

"

a:= LA;coslp; = Acosrp. i=1

(2.87)

"

b:= LAiSinIpi =Asinlp. i=1

Hieraus folgt durch Quadricren, Addieren der Gleichungcn und Wurzelziehen: (2.88)

Im Falle a = b = 0 sind A = 0 und rp beliebig wählbar. Im Falle A > 0 bildet der Punkt (a. b) = (A cos 1,0, A sin 1,0) gerade den WinkelIpE (-1T. 1T 1 mit der positiven x-Achse, s. Fig. 2.46. Es ist dahcr

rp = arc(a. b) =

I

arccos

~.

fallsb

"

falls b < O.

-arccos - , A

~

O. (2.89)

Umgekehn gilt: A und 1,0, berechnet nach (2.88), (2.89), erfüllcn (2.87), folglich auch (2.86) und (2.85). Durch (2.88) und im Falle A > 0 durch (2.89) sind damit A und rp eindcutig bestimmt und berechnet. o

2.3 Trigonometrische Funktionen

b

(a, b)

A

A,

Fig. 2.46: Phasenwinkel

.'

167

,, , ,

,

.

Fig. 2.47: Überlagerung zweier Schwingungen

ip

Zeigerdiagramm: Die Überlagerungen zweier Schwingungen gleicher Frequenz AI cos(wt

+ rpd + A2 cos(wt + f/J2)

= A cos(wt

+ rp) ,

läßt sich gut in eincm Zeigerdiagramm darstcllcn. wic cs in Fig. 2.47 gezcigt wird. (Im Abschnitt über komplexe Zahlen kommcn wir darauf zurück.) Der technisch wichtige Sonderfall rechtwinkliger Phasenverschiebung. d.h. der Überlagerung zwcier Schwingungcn mit f/J2 = - l f /2 und CPI = O. läßt sich auf Grund von cos(wt - lf /2) = sin(wt) so darstellen: AI cos(wt)

+ A2 sin(wf) =

A COS(WI

+ cp),

(A I > 0, A2 > 0). Es ist also (/ = A I und b = -A2. Somit folgt nach (2.88) und (2.89):

cP =

~arccos

A,

A'

(2.90)

Überlagerung zweier Schwingungen vcrschiedcner Frequcnzcn, Schwcbungen Durch [(I) =

AI COS(Wlt)

+ A2 COS(W21 + cp),

WI

> W2.

(2.91)

wird die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen verschiedener Frequenzen beschrieben, Zur UmfomlUng verwenden wir die GI. (2.72) und (2.73) in Abschn. 2.3.2. Addition und Subtraktion der GI. (2.73) liefert nämlich

x+y

x-y

. x+y . x-y

x-y

. x+y . x-y

cas x = cas -2- cas ~ - sm -2- ''" -2-

x+y

casy = cos - -

2

00'-- + sm - - , ' " - - . 2

2

2

168

2 Elementare Funktionen

Wählen wir x = WII, Y :::: W21 f(I)=(AI+A2)COS

+ (A I

-

+ l{) und setzen dann in (2.91) ein, so folgt

,) cos (w,-= ') 2 2 (w, +w, . (w, +"" 2 + 2"'). (w, -"" 2 2"') ~t+2"

A2) sm

t

~t-2

sm

(2.92)

I-

Wir wollen nun Al = A2 annehmen und zur Abkürzung W = (WI +W2)/2 und W = (WI - W2)/2 setzen. Damit folgt

f(t)=2AICOS(Wf+~)COS(wt~~)

(2.93)

mitw>w.

Das Produkt dieser beiden harmonischen Schwingungen beschreibt eine Schwingung mit der Fre-

quenz w, dcren Amplitude sich mit der langsameren Frequenz w harmonisch schwingend ändert, s. Fig. 2.48. Man nennt eine solche Schwingungsform eine Schwebung. w heißt die Frequenz der Schwebung.

/

"

~/

~/

!/'l<

V"

~,

V

Fig. 2.48: Schwcbung

Je dichter die bciden Frequenzen WI, W2 der sich überlagernden Schwingungen zusammenliegen, desto kleiner ist die Frequenz w = (WI - W2)/2 der Schwebung, während W = (WI + W2)/2 ungefiihr gleich WI und W2 ist. Handelt es sich hierbei um Tonschwingungen. so hört man einen langsam an- und abschwellenden Ton. ungef.ihr in der Tonhöhe der beiden Ausgangslöne. Spielen z.B. zwei Geiger nahezu den gleichen Ton, so kann man diesen Effekt deutlich hören. Übung 2.25: In cinem dreiphasigen, symmetrischen Drehstromsyslem fließen bei symmctrischer Belastung in den drei Leitern gleichgroße, jeweils um 2;rJ3 gcgeneinander phascnverschobene Stromc. Zeige. daß ihre Summe i = iOCOS(WI)

gleich Null ist.

+ iocos (WI +

5") +

ioeos

(WI + jn)

2.4 Exponentialfunktionen.

Logarithmu~.

Hyrx;rbclfunktioncn

2.4

Exponentialfunktionen, Logarithmus, Hyperbelfunktionen

2.4.1

Allgemeine Exponentialfunktionen

169

Die Funktion [(x)=a

mita>O,

X

ist flir alle rationalen Zahlen x erklärt (s. Abschn. 1.1.6). Es ist zuniichst unsere Aufgabe. a X auch für irrationale x sinnvoll zu definieren. d.h. so. daß f(x) = a X nach Möglichkeit eine stetige Funktion wird. Zunächst sei Cl > I. Dann ist f streng monotoll steigend auf der Menge der rationalen Zahlen. Denn sind x]. X2 zwei rationale Zahlen mit x] > X2. so können wir sie auf Hauptnenner bringen: Xl

I'

= -. m

x~ •

q = -11I

(p,q,m ganz, 11I

:FO.

p > q)

und erhalten

Es ist \/ä> I, denn aus ':/ä ::: I würde a ::: I'" = I folgen, entgegen der Voraussetzung. Wegen p > q ist damit \/ä,,-q > I, folglich f(xj) > [(X2). D.h. f steigt streng 1110noton. 1m Falle 0 < a < I ist [(x) = a X flir rationale x streng monoton fallend, wegen a X (I/a)-X mit 1/(1 > l. Füra = 1 ist fex) = (Ix = 1 konstant.

Definition 2.8: ISI (I > 0 eine reelle Zahl und x (.00

x

eine

irrationale Zahl

mit der Dezima1darslellung

= Zoo Z]Z2.o3 ... .0" ...

ganz, Zh

Z2 • .03, •••

Ziffern), so bilden wir darauS die Folge der ralionalen Zahlen

rO=.oO. r]=ZO·.o1

r" = ZO • .oI.o2",ZI/

und definieren damit

a X := lim ar" . " ..... 00

(2.94)

170

2 Elementare Funktionen

Auf diese Weise ist [(x) =a.f.

mita > 0,

für alle reellen x erklärt. Man nennt diese Funktion die Exponentialfunktion zur Basis

a. y

y

y. a'

y. a' (a.2)

Hl

o

o

Fig. 2.49: Exponentialfunktionen zur Basis (/

Fig. 2.49 zeigt Schaubilder fur a > 1 und 0 < a < I. Bemerkung: GI. (2.94) ist sinnvoll, denn die Folge (a rq ) konvergiert. weil sie monoton und beschränkt ist. (Die Monotonie folgt aus der Monotonie von (rn). Ferner liegen alle a rn zwischen a ro - 1 und a ro + l , woraus die Beschränkthcit folgt.) Satz 2.12: Jede Exponentialfunktion [(x) = a.f ist stetig. Im Falle a > I ist sie streng monoton steigend, im Falle 0 < a < 1 streng monoton fallend. Der Bewcis kann von Lesern, die hauptsächlich an Anwcndungen interessiert sind, überschlagcn werden. Sie verlieren nichts Wesentliches. Beweis: (I) 1m Falle (j = I ist [(x) == I und somit stetig. (11) dic behauptcten Monolonieeigenschaften ergeben sich unmittclbar aus dcr Definition der Exponenti a1fun ktion. (11I) Wir beweisen nun, daß [ stetig in 0 ist: Es sei (x n ) eine beliebige Folge mit X n .....,. 0 und o < x" .::: I. Zu jedem x" suchen wir die größte natürliche Zahl 11I" mit

x ll

I .:::-·

mn

Wegen x" .....,. 0 gilt auch I/m" .....,. 0 fur im Falle (j > im Falle 0 < a <

1/ .....,. 00.

Xn < a .::: al/mn.....,. > a.fn 2: al/mn .....,.

Damit folgt

'lI

für

11 .....,. 00

2.4 Exponcntialfunktioncn, Logarithmus, Hyperbelfunktioncn

171

(al/m~ --7 I geht aus Abschn. I AA, Beisp. 1.36, hcrvor.) Es gilt also aX~ --7 I ::::; aO, d.h. fex) ::::; a X ist in 0 rcchtsseitig stetig. Die linksseitige Stetigkeit ergibt sich analog. Damit ist f stetig in O. Wir haben also gezeigt:

(2.95) (IV) HiljsbelWllfJ/IIllg: Aus x"

--7

XO, x" rational, folgt

Zum Beweis betrachten wir die Folge r" --7 xo aus Dcr. 2.8, sofern xo irrational ist. Ist so setzen wir einfach r" ::::; Xo fur alle 11. Damit erhält man in beiden Fällen

da a r•

aXo und a x.- r•

xo rational,

I nach (2.95). (V) Die Gleichung a ::::; a -'(' a· r' ist für alle rationalen x, x' richtig, durch Grenzübergänge der Form (2.96) aber auch flir alle reellen x, x'. --7

X

--7 X

(VI) Gilt nun x"

--7

xo (x" reell), so folgt damit

wie in (2.97). (r'·

--7

aXO} bedeutet jedoch, daß fex) = a X inxo stetig ist, was zu beweisen war.D

Wir stellen noch einmal heraus, was die Stetigkeit von fex) ::::; a X bedeutet. Sie besagt: Für jede reelle Zahlenfolge (XII) mit X" --7 xo ftir" --7 00 gilt lim

"_e<:>

::::;

aX~

(2.98)

(1"'0} •

Folgerung 2.3: (RechellregeJll) Für alle positiven a, b und alle reellen x, y gilt a,r+)'

= "x,,)'

»' = aXY.

(a X

(Additiollstlu:orem der Expollellfialjlll1ktiollefl), (ab)X = aXb.f.

(2.99) (2.100)

Beweis: Nach Abschn. 1,1.6, Folgerung 1.9, gilt dies flir alle mtionalen x, y, durch Grenzübergiinge der Form (2.98) aber auch flir irrationale x, y. 0 Bemerkung: Exponentialfunktionen gehören zu den wichtigsten Funktionen in der Analysis, in Technik und Naturwissenschaft. Mit ihnen werden Wachswmsvorgiinge, Aufschaukelungs- und Abklingvorgänge und vieles andere mehr behandelt.

172

2 Elementare Funktionen

Übung 2.26*: Beweise. daß die E:o;ponentialfunktioll !(x) = ist und rur 0 < a < I streng monoton fallend. Hinweis: Im Falle l/ > I zeige man

(fr

(x E IR) für

für rationale Zahlen Xt. x2. Anschließend lasse man für also auch irrationale - zu.

2.4.2

XI

(I

und

> I streng monoton steigend

.fZ

beliebige reelle Zahlen -

Wachstumsvorgänge. Die Zahl e

Motivation: Durch)' = a l (a > l) werde ein WachslUffisvorgang beschrieben, wobei / die Zeit bedeute und}' die anwachsende Größe. (Es könnte sich hier z.B. um das Bevölkerungswachstum der Erde handeln, das in nicht zu langen Zeiträumen - etwa 50 Jahren - diesem Wachstumsgesetz näherungsweise gehorcht. y = I bedeute dabei eine bestimmte Anzahl von Menschen. y = 2 die doppelte Anzahl usw.) Es sei (/ unbekannt. jedoch wollen wir annehmen, daß die »WachslUmsgeschwilldigkeit« v zur Zeit/ = 0 bekannt ist. v ist dabei in guter Näherung

a l _ao

" ,,--1

rur kleine 111 >

o.

Kann man hieraus G, wenigstens näherungsweise. berechnen? Das ist der Fall. Umformung ergibt niimlich. mit (/0 = I:

Wir setzen 11 = VI, und erhalten damit

Dies gilt umso besser, je kleiner I/I ist, und damit auch je kleiner 1111 ist. Wir berechnen daher den Ausdruck (I +11)1/11

für kleine 1111 > O. Für 11 = 10- 2,11 Ausdruck die gerundeten Werte

(2.102) 10- 8 zum Beispiel erhält der

2,704813829. 2,718145918. 2,718281828,

(2.103)

2,718281828.

Die letzten beiden Zahlen sind schon gleich. Probiert man noch kleinere 1111, so erhält man auf

2.4 Exponentialfunktionen.

Logarithmu~.

Hyrx;rbclfunktioncn

173

dem Taschenrechner stets die letzte der hingeschriebenen Zahlen. Dies legt die Vermutung nahe, daß (2.102) für 11 --+ 0 konvergiert. Wir werden dies später beweisen. Den Grenzwert nennt man »ElIlerscJle ullzl« e, zu Ehren des Mathematikers Leonhard Euler, also e:= Hrn(1 +11)1/11.

(2.104)

IJ_Q

Der Zahlenwert von e ist, bis auf Rundungsfeh1cr, gleich der letzten Zahl in (2.103):

e

=2,718281828.

Hiermit kann man die gesuchte Zahl {/ aus (2.JOI) gewinnen, wobei wir rechts den Grenzübergang" 4 0 durchfUhren: (2.105)

Konvergenzbetrachtung für e: Wir wollen zeigen, daß der Grenzwert (2.104) existiert. (Der anwendungsorientierte Leser kann diesen Beweis ohne Schaden überschlagen.) Zunächst wird gezeigt Hilfssatz 2.1: Die Folge (XII) mit

( ')"

.r,,= 1+;;

11

(2.106)

= 1.2,3,

konvergiert. Beweis: Mit der binomischen Formel erhält man

"

,,","(11 - I) .. (Il-k+ 1)

1 + L-

x" =

k=1

(2.107)

Dabei gilt i 0< 1--

-

"

i


10 Da, Produkl7.eichen

11

n

+I

-

uod

1 1 ~<-~ k!-2 k - 1

wird analog wie das Summenzcichen

(2.108)

'

'" L verwendet: es iM n

(li

;",1

= °1(12°3 .

. (Im·

174

2 Elementare Funktionen

Man erkennt damit zunächst die Beschränktheit der Folge (x n ): "1

+ L k! .::: 1 + L

1 .::: x" < I

!I

/.::1

/.::1

I 2/.:- 1 < 1 +

I 2/.:- 1 = 3.

L

00

/.:=1

Ferner ist (x,,) monoton steigend, denn man berechnet: 11+1

1

k-I (

x,,+I-xII=Lk!n

i)

11

1 /.:-1 (

/.::]

;:0

i)

1-;+1 -Lk!n 1-;;

/.:=1

/:0

"

1 ['-' (

={;k! }]

.)

I-II~I

,-, (

-J]

.)]

1

I-~

"(

+(/l+I)!J]

.)

1-11~1

Die eckige Klammerist ::: 0 wegen (2.108) und das Glied rechts ebenfalls. Also ist X,,+I -XII ::: 0, d.h. XII steigt monoton. Zusammenl11it der Beschränktheit folgt die Konvergenz der Folge (xII).D Der Grenzwert von (x,,) wird. wie schon erwähnt, c genannt:

( +-')" 1

e= lim " ..... 00

(2.109)

/l

Satz 2.13: Es ist e= lim(l +,,)1//'.

(2.110)

/r ..... 0

Beweis: Wir zeigen: Für jede beliebige Folge (11,,) mit 11" --cl- 0 und mit 0< 1",,1 < 1 gilt

(l+h,,)I/ h

--cl-e

n

für

Il--cl-OO,

(2.111)

I. Fall: Es sei 0 < h" < 1 fLir alle n. Wir setzen Zahl, die k" .::: r" < k" + 1 erfLillt. Damit folgt (

d.h.

1+-+ I

k"

1

)" < (

1+-1 )"

(1+_,_)kn+ 1 -'---""'."-+C"e-',--1

+ __ kn + 1

<

r"

< (

(I + ~)" r"

1/"" =

1 1+-

<

k"

r" und bezeichnen mit k" die natürliche

)"+'

(1 + ~)" (I + ~) k'l

k"

2.4 Exponentialfunktionen.

Logarithmu~.

Hyrx;rbclfunktioncn

175

Wegen kl/ ...... 00 konvergieren die linke und rechte Seite gegen e (nach Hilfssatz 2.1). Also muß auch der Ausdruck in der Mitte gegen e streben. Damit ist (2.111) im Falle 11" > 0 bewiesen. 2. F(lII: Es sei -I < 11 11 < O. Wir setzen r" = -1/11 11 und führen diesen Fall auf den vorangehenden zurück: (I

+lI n )I/"" = =

')" - - )" = (1+-( '",)-" (-,,, --')-" (,,, ') ...... ')"-' ('+-(1+-1--

~

r"

r" - 1

r,,-I

r,,-1

e·1.

r" - I

3. Fall: Für eine beliebige Folge 11" ...... 0 mit 0 < Ih" I < 1 gilt (2.111) ebenfalls. Denn bilden die positiven 11" eine Teilfolge (1I I1t ), so strebt der Ausdruck (1 + ""t)l/"nt nach Fall I gegen e. Dasselbe gilt fur negative 11" nach Fall 2. Daraus folgt die behauptete GI. (2.111). 0

ni

Bemerkung: In Abschn. 1.4.6, Beisp. 1.39, haben wir die Eulersche Zahl e als Grenzwert der Folge (11/ = 1+ + + ... + ~ kennengelernt. Die Begründung dafUr, daß (11/ tatsächlich gegen den gleichen Grenzwert strebt wie (1 + 11)1/" geht später aus dem Abschnitt über Taylorreihen hervor.

2.4.3

Die Exponentialfunktion exp(x) = eX und der natürliche Logarithmus

Definition 2.9: Die Exponentialfunktion zur Basis c wird auch mit exp bezeichnet (s. Fig. 2.50): exp(x):=e.t,

xEIR.

, 4

-3-2-10

2

Fig. 2.50: Die Exponcntialfunktion cxp(x) = c-'

Wenn wir in Zukunft von »der Exponentialfunklion( reden, ohne Basisangabe, so ist stets diese Exponentialfunktion gemeint. Sie ist in der Analysis die wichtigste aller Exponelllialfunktionen. Bei unserer Motivation im letzten Abschnitt Irat sie schon in GI. (2.105) auf.

176

2 Elementare Funktionen

Bemerkung: Die große Bedeutung der Exponentialfunktion exp beruht einzig und allein auf folgender Tatsache (wobei wir auf die Differentialrechnung vorgreifen); Die Funktion exp ist gleich ihrer eigene" Ableillmg: exp' = exp. Mehr noch: Sieht man von konstanten Vorfaktoren ab, so ist exp die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft. Dies begründet ihre überragende Bedeutung rur die Analysis. Folgerung 2.4: exp errullt rur alle x, y E IR die Flillktio"algleichlillg exp(x

+ y)

= exp(x)exp(y).

(2.112)

Beweis: Dies folgt sofort aus e-'+)' = e-' e)'.

o

Die Exponentialfunktion exp : IR _ (0, (0) bildet die reelle Achse umkehrbar eindeutig auf die Mcnge (0, (0) der positiven Zahlen ab. Sie besitzt daher eine Umkehrfunktion. Definition 2.10: Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion exp wird natürlicher Logarithmus In genannt. Das heißt y = Inx

bedeutet

x =e)'

(x> O,y E IR).

(2.113)

Die Funktion In : (0,00) _ IR bildet (0, (0) umkehrbar eindeutig auf IR ab, s. Fig. 2.51, In ist stetig, da exp stetig ist. Bemerkung: Alle Eigenschaften der Logarithmusfunktion könncn aus dcr Exponentialfunktion hergeleitct werden. Seide Funktionen, exp und In. sind also gleichsam die Seiten ein und derselben Mcdaille. Was rur die eine Funktion gilt, kann immer auch auf die andere umgeschrieben werden, y

y .In)(

o

-,

2

3

4

5

,

-2

Fig. 2,51: N:llürlicher Logarithmus

Die GI. (2,113) lassen sich zusammenfassen, wenn wir y = In x in x = e)' einsetzen. Es folgt

2.4 Exponentialfunktionen.

x ==e lnx

Logarithmu~.

Hyrx;rbclfunktioncn

177

(2.114)

fUrallex > O.

Dies ist die Sch/iis.\·e!gleidlllng flir die meisten Rechnungen, in denen Logarithmen benutzt werden. Durch Einsetzen von x == e)' in y == Inx erhiilt man analog

y == ln(e>')

fUr alle y E IR.

(2.115)

Daraus folgt unmittelbar In 1 == O. •"olgcrung 2.5: Für alle x > 0,)' >

ogilt

In(x . y) == In x

+ In)'

In

(~)

(Fullktiollalgleidnmg des Logarithmus)

== lnx -In)'

ln(~)==-In)' exln(x) == ln(x"')

(2.116) (2.117) (2. 118)

fLiralieex E IR.

(2.119)

Beweis: Es ist eln «)') == x . )' == ein.< . ein)', woraus (2.1 16) folgt. Die übrigen Gleichungen gewinnt man 0 analog. Durch die Logarithmusfunktion In bekommen wir auch die Porenifullktioll !(x) = x"'(x > 0) mit beliebigem ex E IR besser in den Griff. Denn wir können sie mit x = e hu darstellen durch (2.120) Daraus folgt, daß diese Funktion stetig ist, denn In ist stetig und die Exponentialfunktion auch, also auch dic Komposition exp(ex In x), wie sie in (2.120) vorliegt. Auch dic allgemcine Exponcntialfunktion x 1-7 a'«a > 0) läßt sich mit (I == e lnu umformen: (2.121) Für die Berechnung der Werte in (2.120) und (2.121) benötigen wir lediglich die Exponentialfunktion exp und die Logarithmusfunktion In! Beide sind heutzutage auf jedem wissenschaftlichen Taschcnrechner zu finden. Wir haben also gesehcn: Durch die beiden Funktionen exp und In können alle Probleme! bei denen Potenzen reeller Zahlen auftreten. behandelt werden.

178

2 Elementare Funktionen

Zum Schluß beweisen wir, daß e< folgende Grenzwertdarstellung besitzt: Folgerung 2.6: c" = lim(l +xh)I/It.

(2.122)

'-0

Beweis: Im Falle x = 0 ist dies sofort klar. Im Falle x f::. 0 muß bei Grenzwertbildung 0 < Ixhl < I vorausgesetzt werden. Mit der Abkürzung t = xh f::. ist der Beweis von (2.122) kindlich einfach:

°

((I +1)1/1)"" -+ c" fürh -+ O,d.h./-+ O. Beim Grcnzübergang wurdc benutzt, daß sich «(I + t)1/1)"" stetig in 1 ändert. Dics ist durch die (I +xll)I/11 = (I +t)""/I =

0

Stetigkeit der Potenzfunktioncn gcsichert.

Übung 2.27: Ein Organismus. desscn Masse m(t) dem idealen Waehstulllsgesctz m(I)=Ce kl

(I Zeil)

folgt. hai zur Zeit 10 = 2 h die Masse m (10) 1/1(11) = 791.2 g. Berechne C und k.

71S.3g und zur Zeil 11

7 h die Masse

Übung 2.28*: Beweise die folgenden Grenzwen-Aussagen. (Sie lussen sich fortlaufend UUSelllander herleilen.)

Dabei seien 1/ E N und .., Y E IR. (a)

(d)

,,

"

lim(X) -2" =0.

10 ' lim'--'::' = 0

z-oo z'"

(b)

(Hillll"ei~'

ZU

lim ~ =0.

'<_00

er

(e): Mun untersuche (c)

In Y lim =

)' ....... 00

mil Cl > 0 (Hillweis: )' = z"').

(e)

)'

fjf;. Hir x"""", co!)

O.

. x hm -

,

.<-ooe"'''

= 0

miICl>O.keN.

Logarithmen zu beliebigen Basen Definition 2.11: Die Umkehrfunktion der Exponelllialfunktion fex) = rithmus ZlIr Basis a, abgekürzt log,.. Das heißt

y = log" x

bedeutet

x

= a)"

(x> O. Y E IR).

(I'<

(a > I.x E IR) heißt Loga-

(2.123)

Die Funktion log" (0. (0) -+ IR bildet (0. (0) umkehrbar cindcutig auf IR ab. log" ist ci ne stetige Funktion, da sie Umkehrfunktion einer stetigen Funktion ist.

2.4 Exponentialfunktionen.

Logarithmu~.

Hyrx;rbclfunktioncn

179

y

Fig. 2.52: Iog2 als Umkehrfunklion von.f

f-+

2.\".

Fig. 2.52 zeigt eine Exponentialfunktion fex) = (Ix, mit a = 2, und die zugehörige Logarithmusfunktion log2 11 . Die Gleichungen lassen sich zusammenfassen zu

x =

(110&,.(

fUr alle x> 0

(2.124)

(2.125) wobei wir (2.124) wiederum als »Schlüsselgleichung« fLir den Logarithmus auffassen können. Aus der letzten Gleichung folgt sofort log" I = O. Folgerung 2.7: Jede Logarithmusfunktion ergibt sich aus dem natürlichen Logarithmus durch Multiplikation mit einer Konstanten: lnx logax = In {/

ftirallex > O.

(2.126)

Die Konstante hat den Wert I/In (I.

Beweis: Es ist x = ein.\" und x = a lo &,.\" = e lnu IO/;".f. Bei Vergleich der auftretenden Exponenten ergibt sichlnx=lnalog"x. 0 Damit werden alle Eigenschaften von In, die in Folgerung 2.5 im letzten Abschnitt beschrieben sind. sofort auf log" übertragen: 11 log2 wird auch durch Id abgckürlt (»Logarithmus dualis,,)

180

2 Elementare Funktionen

Folgerung 2.8: Für alle x > O,y >

ogilt

lo&,(xy) = log" x loga

(~) =

+ log" y.

log"

(~) =

log" x -log" y.

a log,,(x) = log(l(x")

-Iog"y.

(a E IR).

(2.127) (2.128)

Bemerkung: Von BedeUiung flir die Anwendungen sind im Grunde nur drei Logarithmen. nämlieh In, loglo und log2 = ld. Beim Zehnerlogarithmus wird die tiefgestellte 10 auch weggelassen. man schreibt also einfach log statt 10glO' Der natürliche Logarithmus In ist dabei der wichtigste. Man findet ihn auf jedem wissenschaftlichen Taschenrechner. Der Zehnerlogarithmus liegt den Logarithmentafeln und dem Rechenschieber zugrunde. Da diese Hilfsminel durch den Taschenrechner weitgehend verdrängt sind. wollen wir hier nicht näher darauf eingehen. Der Zweierlogarithmus ld (logarithmus dualis) hat mit dem Aufkommen der elektronischen Rechner Bedeutung erlangt. Denn die maschinenintemen »Gleitkommadarstellungen« reeller Zahlen haben die Form 0, ala2a3 ... all'

t,

z.B. 0, 1011011101101110.2 1101 ,

wobei die Gj die Wer1e 0 oder 1 annehmen. Es handelt sich bei O. {/I, a2 ... {/II und I um Dualzahlen. Für die dabei auftretende Potenz x = 2' gilt t = ld x. Hier findet der »Logarithmus dualis« Anwendung. Übung 2.29: Berechne (mit Taschenrechner):

log16 3 .

2.4.4

log8 7.539.

ld3.789.

(1/ E N).

Hyperbel- und A~afunktionen

Die folgenden Funktionen spielen in Naturwissenschaft und Technik eine Rolle. Links stehen die sogenannten Hyperbelfllnklionen und rechts ihre Umkehrfunktionen, die Areajimklionetl.

Definition 2.12: Hyperbelfunktionen

e _e- x

Areafunktionen

X

sinhx := - - ; c -

2

(Sinus hyperbolicus)

xEIR

arsinhx := In(x

+ ~).

(Area sinus hyperbolicus)

x E IR

2.4 Exponentialfunktionen.

coshx ._

eX +e- x 2

Logarithmu~.

Hyrx;rbclfunktioncn

arcoshx;= ±In(x +~).

XE~

(Cosinus hyperbolicus) e,r _ e-·t tanhx;= . xeR er +e x (Tangens hyperbolicus) e,r +e- x cothx ;= . x E IR \ {Ol er -e x (Cotallgens hyperbolicus)

181

x:::

(Area cosinus hyperbolicus) I

I

+x

artanhx := -21" - - . lxi< I I-x

(Area tangens hyperbolicus) I x+1 arcothx ;= - In - - . lxi> 2 x-I (Area cotangens hyperbolicus)

Fig. 2.53 zeigt Schaubilder der Hyperbelfunktionen.

tanh

~ -, Fig. 2.53: Hyrx;rbclfunktionen Die Herlcitung der Formeln flir die Umkehrfunktionen wollen wir am Sinus hyperbolicus demonstrieren. Man geht aus von y = arsinh x

e)'-e~Y

{::::::>

.~ = sinh y = '---=''2

und löst die rechtsstehende Gleichung nach z = e)' auf:

x =

, - 1/,

~

2

,

r-;--c

=> z- - 2xz - I = 0 => z = x ± v x 2 + I .

Da z = e)' > 0 ist. kann das Minuszeichen vor der Wurzel nicht eintreten. Somit folgt eJ'

=x+ Jx 2 + I=>

Y = In(x

+ R+I)::::: arsinhx.

Der Leser führe entsprechende Rechnungen für die übrigen Hyperbelfunktionen durch.

182

2 Elementare Funktionen

Die Vorzeichen ± bei arcosh bedeuten, daß hier zwei Umkehrfunktionen gemeint sind, wobei + sich auf die Umkehrung von cosh : [0. (0) -+ [I. (0) bezieht und - auf die Umkehrung von cosh: (-00.01-+ 11, (0), vgl. Fig. 2.53a. Satz 2.14: Für alle reellen Zahlen x gilt sinh x + cosh x = eX

cosh 2 x - sinh 2 x = I

•

sinh(-x) = -sinhx,

cosh(-x) = coshx.

(2.129) (2.130)

Additionstheoreme: Für alle reellen x, y gilt cosh(x + y) = coshxcoshy +sinhx sinhy.

(2.131 )

sinh(x + y) = cosh x sinh y + sinhx cosh y .

(2.132)

Zum Beweis hat man lediglich sillhx = (e" - c- X )f2 und coshx = (eX + e-")/2 einzusetzen.

Anwendungen (a) Durchhängende Seile (Hochspannungsleitungen) werden durch x )' = a cosh - + b .

a

a > 0 und b konstant,

beschrieben. wobei die x-Achse horizontal liegt. die y-Achse vertikal nach oben weist. Der Graph des Cosinus hyperbolicus wird daher auch Kellenlinie genannt. (b) Die Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen treten oft in den Lösungen von Differentialgleichungen auf, insbesondere bei dynamischen Problemen (freier Fall) mit quadratischer Reibung, Weltraumsonden auf Bahnen ohne Rückkehr, u.a. Übung 2.30: Durch

x y=SO.coshSO+b (x und y Maßzahlen Hir MeIerangaben) wird die Form einer Hochspannungsleitung beschrieben

(y-Achse senkrecht. x-Achse waagerecht am Erdboden). Die Leitung hänge zwischen zwei 7 III hohen Masten. die 20 m voneinander entfenn stehen. Berechne b! Wie hoch hängt der Draht an seinem tiefsten Punkt über dem Erdboden?

2.5 Komple;o;e Zahlen

2.5

Komplexe Zahlen

2.5.1

Einführung

183

Es gibt keine reelle Zahl x, die die Gleichung (2.133) erfUllt. da die linke Seite stets::: 0 ist. Allgemeiner kann keine Gleichung der Form x 2 = _b 2

mit b

i= 0

(2.134)

durch reelle x gelöst werden. Trotzdem möchte man Lösungen dieser Gleichungen haben. Dazu geht man so vor: Man »erfindet« ein neue Zahl i. die nicht auf der reellen Aehse liegt (s. Fig. 2.54a), und die i 2 = -I erflillt. Im Ubrigen soll mit i bezUglich Addition und Multiplikation genauso wie mit den reellen Zahlen gerechnet werden. x = i ist also Lösung von x 2 = -I. Ebenso ist x = - i eine Lösung dieser Gleichung. Entsprechend erhalten wir auch Lösungen der GI. (2.134), nämlich x = i b und x = - i b. Damit werden wir auf Zahlen der Form i b, mit b E JR geflihn. Sie heißen imaginäre Zahlen. Sie lassen sich. wie die reellen Zahlen auf einer Geraden anordnen. Diese imaginäre Aclue hat mit der reellen Achse genau einen Punkt gemeinsam. nämlich i ·0 = O. Zur Veranschaulichung kann man daher reelle und imaginäre Gerade in 0 rechtwinklig kreuzen, siehe Fig. 2.54b. Die Zahl i selbst heißt imaginäre Einheit. imaginäre Achse

ib

.; I -3

I

-2

-,I

I

0

I

I

2

3

, ,

I reelle I Achse

IR

•

b)

.)

----Ia+ib

0

•

Fig. 2.54: Komplexe Zahlen a + i b als Punkte einer Ebene Wir gehen nun einen Schrill weiter und untersuchen die Gleichung

x 2 -IOx+34=0. Ist x eine Lösung, so können wir mit der »quadratischen Ergänzung« (10/2)2 chung so umformen: (x 2 ~ IOx +25) ~25+34 =O=> (x _5)2 =-9

(2.135) 25 die Glei-

184

2 Elementare Funktionen

Mit unserer Zauberzahl i folgt damit x-5=i3

oder x-5=-i3.

x=5+i3

oder x=5-i3.

also (2.136)

Diese beiden Zahlen erflillen (2.135), wie man dureh Einsetzen feststellt. Auf diese Weise kommen wir zu Zahlen der Form

a+ib

({I.bEIR).

Sie heißen komplexe Zahlell. Jede solche Zahl kann man als Punkt in der Ebene deuten. Die reelle und die imaginäre Achse sind die Koordinatenachsen. Der Punkt a +i b hat darin die Koordinaten a und b, wie es Fig. 2.54b darstellt. Die beschriebene Ebene heißt komplexe u/lt/enebene. Die Behandlung der GI. (2.135) macht klar, daß jede quadnttische Gleichung durch komplexe Zahlen gelöst werden kann. Das allein ist schon eine genügende Motivation ftir die Einftihrung komplexer Zahlen. Wir werden aber sehen, daß sie weit mehr leisten! Im Folgenden fassen wir die vorangegangenen Überlegungen zusammen und verdichten sie zu exakten Definitionen. Bemerkung: In der Elektrotechnik schreibt man j statt i, da der Buchstabe i für die Stromstärke verwendet wird. 2.5.2

Der Körper der komplexen Zahlen

Definition 2.13: Komplexe Zahlen sind Elemente der Form

a+ib.

mit

a.beR.

Sie werden als Punkte der Ebene im rechtwinkligen Koordinatensystem dargestellt. a und b sind die Koordinaten des Punktes a + i b (s. Fig. 2.54b). (/ heißt der Real/eil von Z = a + i bund b der Imaginiirreil von Z, beschrieben durch

Rez=a.

Imz=b.

Die Realteile bilden die reelle Achse und die Imaginärteile die imaginäre Achse unseres Koordinatensystems. Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet. Gleichheit: Zwei komplexe Zahlen a + i bund c und b = d ist.

+ i d sind genau dann gleich, wenn a

= c

Abkürzungen: Man schreibt zur Vereinfachung a + iO = a, 0 + ib = ib, 0 + iO = 0, i 1= i. Die Zahlen i b (b E IR) heißen imaginiire UlMen. Durch a + i 0 = a wird die Menge der reellen Zahlen eine Teilmenge der Menge der komplexen Zahlen: IR c C.

2.5 Kornple;o;e Zahlen

Es scicn 21 :::: a + ib und 22:::: e folgende Grundoperationen crklärt:

+ id

zwei beliebige komplexe Zahlen. Damit werdcn

Addilion:

(a +ib) +(c+id):::: (a +c)

Sub/raklion:

(a

Mulliplikatioll:

185

+ i(b+d)

+ ib) - (c+ id):::: (a -c) +i(b-d) (a + i b)(e + i d) :::: (ac - bd) + i(ad + be) a+ib I ~-.-:::: 2 ,,(a+ib)(e-id). fallse+idi:.O. c+ld c +d~ Die Division ist somit auf die Multiplikation zurückgefLihrt.

Division:

Im Z2 _ -

Zl ... Z2

,,,

-

"

Im

" "

A.

A.

Zl - Z2

Fig. 2.55: Addition und Subtnlklion kOlllple;o;er Zllhlen

Addition und Subtraktion werden durch Fig. 2.55 veranschaulicht. Wir vereinbaren schließlich -(a

+ ib):::::

-a - ib.

Bemerkung: Die Motivation fur die obige Definition der Grundoperationen besteht in folgendem: Man rechne mit den Klammern genauso, wie man es von den reellen Zahlen gewöhnt ist. Man beachte bei Multiplikation und Division lediglich, daß i2 0= -1 zu sctzen ist. Die Subtraktion und Division sind so eingerichtet, daß sie die Umkehrungen der Addition bzw. Multiplikation darstellen, also

"

- 22

0=

2

" :::::2

-

Z2

= =

" "

0=

2 + 22

:::::2·Z2,

(Z2 " 0).

Die genannten Grundoperationen genügen den gleichen Gesetzen wie die reellen Zahlen. Wir stellen die Grundregeln über das Rechnen mit komplexen Zahlen in folgendem Satz zusammen (vgl. dazu Absehn. 1.1.2):

186

2 Elementare Funktionen

Satz 2.15: (Gnmdgeselze der Addition und Multiplikation) Für alle komplexen Zahlen ZI. Z2, Z3, z gilt

(AI) Zl +Ü2 +Z3) = (Zl +Z2) +Z3 (A2) ZI+Z2=Z2+Z1

(A3) z+O=z

(A4) ZU jeder komplexen Zahl Z gibt es genau eine komplexe Zahl w mit Z

+w=

O. Es ist die Zahl w =-z

(MI) ZI(Z2Z3) = (ZIZ2)Z3 (M2) ZIZ2 = Z2Z1

(M3)z·!=z

(M4) Zu jeder komplexen Zahl Z

i= 0 gibt es genau eine komplexe Zahl

w

mit zw = I. Es ist die Zahl w = I/z (01) Zl (Z2 + Z3) = ZlZ2 + ZIZ3

(D2) 0" I

Die Beweise fuhre der Leser durch Nachrechnen, wobei lediglich (M I), (M2) und (01) explizites längeres Rechnen verlangen. Bemerkung: (A I) und (M I) heißen Assoziativgesetzeder Addition bzw. Multiplikation, (A2) und (M2) heißen entsprechend KOlIIlIIl/tativgeselze, während (0 I) das Distributivgeselz genannt wird. Alle Gesetze zusammen heißen Körpergese1ze. Bezüglich Addition und Multiplikation sprechen wir daher auch vom Körper der komplexen ulhlen. Sämtliche Rechenregeln. wie sie in den Folgerungen 1.1 bis 1.6 in Abschn. 1.1.2 beschrieben sind, gelten entsprechend auch fur komplexe Zahlen. Denn diese Folgerungen stützen sich ja nur auf die Grundgesetze (A I) bis (02). Insbesondere gelten die Regeln der Bl'llchl'edlllllng fur komplexe Zahlen unverändert. Potenzen: z" mit ganzen Zahlen

11

wird wie üblich erklärt.

Definition 2.14: Ist z = a

+ i b (a, bE IR) eine beliebige komplexe Zahl, so heißt

l=a-ib

die konjugiert komplexe Zahl zu z. Geometrisch erhält man sie durch Spiegelung des Punktes

l.

an der reellen Achse, s. Fig. 2.56.

2.5 Kornple;o;e Zahlen

187

Im

R.

o

, Fig. 2.56: Konjugiert kornple;o;e Zahl

zzu z

l'olgerung 2.9: (Rechenregelll jiir konjugiert komplexe Znhfen) Für alle komplexen Z"lhlen z. z I. Z2

gilt ZI-Z2::::;ZI-Z2.

Zl

G~)::::; ~~

·Z2 ::::;ZIZ2·

Z" ::::;

Zll

-z::::;

-z

(fallsz2 t-ü),

flir alle natürlichen Zahlen

11.

b)

Gilt!Z::::;Z, z::::; -z,

so ist Z reell so ist z imaginär.

Die einfachen Beweise bleiben dem Leser Uberlassen (z" ::::; Z" beweist man zweckmäßig mit vollsliindiger Induktion). Definition 2.15: Den Abstand des Punktes Z ::::; a + i b von 0 bezeichnet man als Be/rag Izl, siehe Fig. 2.57a, nach »Pythagoras « gilt also:

Folgerung 2.10: Für die Beträge der komplexen Zahlen

IZI + z21 ~ IZII + IZ21 IZI - z21 :::: IIzll-lz211 IZlz21::::; IZllIz21.

z, ZI. Z2 gilt

DreieckslIllgleichullg 2. Dreiecksli/lgleicluillg

188

2 Elementare Funktionen

1_" 1-- _Izd, IZ21

::ft 0,

falls Z2

Z2

Iznl = Izl"

fLir alle n E N,

Iz 2 1= Id = zZ. Die Beweise erfordern zwar etwas mehr Rechnung. doch lassen sie sich problemlos ausfuhren. Die vorletzte Gleichung wird wieder mit Induktion bewiesen. Der Ausdruck Dreiecksl/lIgleiclllI/lg beruht auf der Veranschaulichung in Fig. 2.57b.

------

'b

I' I

.

, , ,'b ,

• b)

)

Fig. 2.57: a) Betrag Izl: b) Zur Dreiecksungleichung IZI

Komplexe WurLe!n: Es sei

,

w~

=

+ z21:: IlII + Il21

z eine gegebene komplexe Zahl. Jede komplexe Zahl w, die

z

erfullt, heißt eine (Quadmt-) Wurzel von Z, beschrieben durch

w=

./i..

(Anders als bei den reellen Zahlen, bei denen .jä ~ 0 eindeutig bestimmt ist (rur (/ ~ 0), ist das Symbol .[i. im Komplexen mehrdeUlig. Wir werden aber zeigen, daß .[i. (mr z ::ft 0) genau zwei Werte beschreibt.) Um alle w E C mit w 2 = Z zu linden, machen wir den Ansatz

z=x+iy, Damit iSI w2 =

Z

w=lI+iv

(x,y,u,vEIR).

gleichbedeutend mit

')' , ( u+lv~=x+ty.

d.h.

,

" 2UV=X+lY. '

1I~~lJ-+1

Das bedeutet

2/1I)=Y· Dies ist ein Gleichungssystem für die beiden Unbekannten

11

und v. Multipliziert man die erste

2.5 Komplexe Zahlen

189

Gleichung mit 4u 2 und quadriert die zweite Gleichung, so ergibt ihre Summe

4u ,

'

=4u~x+y

2

Setzt man hier t = u 2 ein, so hat man eine reelle quadratische Gleichung für t gewonnen. Ihre Lösungen sind

Da t = 1/2 :.:: 0 ist, gilt

1

=

1(x + Izl), und es folgt

Im Falle u = 0 folgtx = -Izl :::: 0 und y = 0, also _u 2 = x, somit u = ±~. Im Falle 11 folgt aus 2uu = y die Gleichung u = y/(2l1). Somit erhalten wir den

#- 0

Satz 2.16:

Ist z = x + i y (x, Y E IR) eine nicht verschwindende komplexe Zahl, so gilt fur ihre komplexen Wurzeln folgendes:

Mit 1/ =

J!(]zl + x)

ist falls

z nicht negativ reell 12 , d.h. z ~ IRQ ,

falls

z negativ reell, d.h. z E IRQ.

Damit lassen sich komplexe qlladratische Gleichungen Z2

+ bz + c =

0

(z, b. c E C)

wie im Reellen durch quadratische Ergällzullg b 2/4 lösen:

Die komplexe Wurzel F hat genau zwei Werte. so daß die letzte Gleichung beidc Lösungen der quadratischen Gleichung beschreibt. 12

Rj) =

Ix € R I x :5

01. siehe Beispiel

1.1

190

2 Elementare Funktionen

Übung 2.31: Berechne (a)

(3+i5)(2-i7) 3+i4 .

1 (bi - - . - (3+ i 2)(5 7+18

(c)

J5'""="Ti2.

(d) j(3-i4)-3.

+ i6).

Übung 2.32: Gib alle (komplexen) Lösungen der folgenden Gleichungen an:

+ -52

(a)

z2-8z+65=0.

(b)

4z

(c)

z2 - (3+i5)z - 16+ i4=0.

(d)

3z+2

z

= 24. (z =F 0).

z+8+i z-5 ( .... 2 ..... 6.) 3i=-'-+-6-i Zr-j+l.Zr- I.

c R, Fig. 2.58: Wechselstromschaltllng

Übung 2.33: In der gleich

Wechselstrom~chaltung der

1

Y ~ .,--:,:::-" RI

+ jwLI

+

Fig. 2.58 ist der Scheillieitlt'ert

de~

Teils ohne die Spule L2

,..

R" _ _

•

wC

Damit ist dcr Scheinwiderstal/{l der gesamten Schaltung

Z =

1

.

Y +JwLz

Abschn. 4.4.3). Dabei ist j (anstelle I'on i) die imaginäre Einheit. wie in der Elektrotechnik üblich. also = -I. Berechne Z Hir die Zahlenwerte:

(~.

P

(Für die Maßeinheiten gelten die Zusammenhänge H s-I = [}. s F-l =

Q .).

2.5 Kornple;o;e Zahlen

2.5.3

191

Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus im Komplexen

Definition 2.16: Die Exponentialfunktion exp(z) = eZ ist für komplexe Zahlen z = x folgendermaßen definiert: eZ = eX(cosy

+ isiny).

+ i y (x, Y E IR) (2.137)

Folgerung 2.11: Es gilt die Funklionalgleichung e Z + W = eZ e W Beweis: Mitz = x

+ iy und

flir alle komplexen

w = u + i v(x. Y./I.

eZ+ W = ex+,,+i(y+v) = e·t +lI (cos(y

V

z, w.

E IR) folgt

+ v) + i sin(y + v»

Die Additionstheoreme von cos und sin liefern fur die rechte Seite = eXe"(cosycos' = eX(cosy

v ~ sinysin v+ i(sinycos v+ sin veosy»

+ isiny) . e"(cos v + isin v)

= eZ e W

•

o Ist Z = x reell- also y = 0 - so liefen die Definition 2.16 den üblichen Wen eX der reellen Exponentialfunktion. Die Definition beschreibt also in der Tat eine Erweiterung der Exponentialfunktion exp ins Komplexe. Ist z dagegen imaginär - d.h. z = i tp mit tp E IR - , so liefen die Definition 2.16: e i ,!, =costp+isintp.

(2.138)

Diese Gleichung läßt sich auf einfache Weise geometrisch deuten: Der Punkt ci", in der komplexen Zahlenebene hat die Komponenten costp und sintp. er liegt also auf der Einheitskreislinie (s. Fig. 2.59). Dabei bildet die Verbindungsstrecke 10, Ci"" I den Winkel tp mit der positiven x-Achse. Uiuft tp von 0 bis 27f, so umrundct eiop einmal den Einheitskreis im umgekehrten Uhrzeigersinn. Für tp = ] f folgt speziell ei;r = -I, oder (2.139) Bemerkung: Diese Gleichung wird die schönste Gleichung (fer Well genannt, denn sie verbindet in harmonischer Weise die wichtigsten Z"lhlen der Analysis: 0, I. e, 7f und i.

192

2 Elementare Funktionen

isin 'P

Fig. 2.59: ci'f' auf der Einheitskreislinie Ersetzt man in GI. (2.138) ({! durch

~({!,

so erhält man

e-i\p =cos({!-isin({!.

(2.140)

Hier wurde benutzt, daß cos(-({!) = COS({! und sin(-({!) = -sin({! ist. Wir addieren nun die Gleichungen (2.138), (2.140) bzw. subtrahieren sie und erhalten

Aunösen nach cos ({! und sin ({! liefert

Folgerung 2.12: Für alle reellen Zahlen f{J gilt COS({! =

(2.141) (2.142)

Diese Darstellung von cos und sin ist für viele Umformungen bequem, da sich mit der Exponentialfunktion sehr bequem rechncn läßt. Man zicht dicse Glcichungen überdies zur Definition dcr trigonometrischen Funktionen im Komplexen heran: Definition 2.17: Die Sinus- und Cosinus-Funktion sind fLir beliebige komplexe z; so erkliirt: cosz =

(2.143)

Wir bemerkcn dabei, daß I/i = - i ist, wie man nach Multiplikation der rechten und linken Seite mit i sofort sicht.

2.5 Kornple;o;e Zahlen

193

Bemerkung: Der Leser gewinnt hier den ersten Eindruck von der Eleganz dcr komplexen Analysis: Exponential- und trigonometrische Funktionen, die doch aus ganz verschiedenen Wurzeln stammen, gehen eine harmonische Verbindung ein. Übung 2.34*: Beweise mit (2.143) die Additionstheoreme von sin und cos im Komple;o;en. d.h. sill(z + w) = sinzcos w +coszsin w, cos(z + w) =

2.5.4

coszco~

w - sinzsin w.

Polarkoordinaten, geometrische Deutung der komplexen Multiplikation, Zeigerdiagramm

Es sei z = a + i b ein beliebiger Punkt der komplexen Ebene. der ungleich 0 ist. Wir ziehen die Strecke von 0 bis z (und versehen sie bei z mit einer preilspitze). Die Strecken länge nennen wir r. während Ip ein Winkel zwischen der Strecke und der positiven x-Achse ist, s. Fig. 2.60. Durch das Paar (r, Ip) ist z eindeutig bestimmt.

ib------

•

•

Fig. 2.60: Polarkoordillaten VOll Z

r ist dabei nichts anderes als der Betrag von z r = Izi = Ip

Ja 2 + b 2 ,

(2,144)

heißt Winkel oder Argument von z, geschrieben Ip=argz.

Ip

wird dabei im Bogenmaß angegeben. Dabei ist!{J nicht eindeutig bestimmt! Mit Ip sind auch die

1p+2k7r mit beliebigen ganzen k Argumente von z, wie aus Fig. 2.60 hervorgeht. Man bezeichnet den Winkel !{J von z. der

2 Elementare Funktionen

194

erfüllt, als HauprargulIlelll von z, in Formeln ({! ::::: Arg z. Dabei ist

({!:::::Argz:::::

I

arccos~.

für b :::: 0,

r

- arccos

~. ,

(2.145) ftirb < O.

({! ::::: Arg z ist durch z =1= 0 eindeutig bestimmt. rund ({! ::::: Arg z heißen Polarkoor(/illatell von z. Der Zahl z ::::: 0 ordnet man als Polarkoordinalen r ::::: 0 und ({! beliebig aus lR zu. Umgekehrt lassen sich Realteil a und Imaginäneil b einer komplexen Z1hl z aus ihren Polarkoordinaten r, ({! durch folgende Gleichungen gewinnen. a=rcos({!,

b=rsinrp.

(2.146)

Damit folgt ftir z die Darstellung z

= a + ib = r(cos({! + isin({!) = reif{!

Folgerung 2.13: Jede komplexe Zahl z läßt sich in der Gestalt

(2.147) darstellen, wobei rund ({! Polarkoordinaten von z sind. (2.147) nennen wir die Polarkoordinaten(/arstellun8 von z. Die MlIlliplikatioll zweier komplexer Zahlen Zl und Z2 läßt sich damit so beschreiben: Mit

den Polarkoordinalendarstellungen

erhält man das Produkt

(2.148) Das heißt: Bei Multiplikationen zweier komplexer Zahlen lIlulfip/izieren sich die Betrüge und addieren sich die Winkel! Fig. 2.61 verdeutlicht dies. Anwendung: Harmonische Schwingungen werden durch Acos(wt +((!)

mit

A::: O.w > 0

dargestellt. Man kann dies als den Realteil der komplexen Funktion f(f) = A ei(w/+f{!)

(2.149)

auffassen. Aus diesem Grund wird eine harmonische Schwingung auch in der Form (2.149) angegeben, wobei man (stillschweigend) vereinbart, daß die Realitiit durch den Realteil von f(t)

2.5 Kornple;o;e Zahlen Im

195

Z-Z'Zz

"

.,

R.

Fig, 2.61: Multiplikalion kOlllple;o;er Zahlen (Addilion der Winkel)

widergespiegelI wird. Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen [1(1) = AI ei(M+
12(1)

=

A2ei(w/+
mit gleicher Frequenz lJ) wird dann durch

(2.150) ausgedrückt (denn die Realteile summieren sich dabei, wie wir es haben wollen). GI. (2.150) zeigt sofort, daß bei dieser Überlagerung wieder eine harmonische Schwingung der Frequenz iw1 anzeigt. [n einer Zeile haben wir damit den lJ) entsteht, wie das reehls ausgeklammerte e Satz 2.11 aus Abschn. 2.3.5 bewiesen. was die Leistungsfähigkeit der komplexen Analysis beleuchtet! Die Klammer in (2.150) ist umzuwandeln in

mit geeignelen A ~ 0, !fJ E IR. Hier muß allerdings komponentenweise vorgegangen werden, analog dem Vorgehen in Abschn. 2.3.5: Mit

a:=

Al

COS!fJ1

b := Al sin!fJ1

+ A2COSIfJ2. + A2 sin lfJ2

(2.151)

erhält man aus Abschn. 2.3.5, (2.88), (2.89):

rp = arc(a, b) =

I

""'0' ". .

fLirb

~

0,

(2.152)

A

-arccos~, A

fUrb < O.

Man kann A und rp auch grafisch ermincln durch das Zeigerdiagra/ll/ll in Fig. 2.62. Die Diagonale des dort skizzierten Parallelogramms haI die Länge A und den Winkel rp mit der positiven reellen Achse.

1%

2 Elementare Funktionen Im I I

A

I

A,

Re

Fig. 2.62: Zeigerdiagramm bei Schwingungen

Fig. 2.62 zeigt den Schwingungszustand zur Zeit t = 0 (genauer: Die Realteile der gezeichneten Punkte der komplexen Ebene geben ihn wieder). Läßt man I anwachsen, d.h. schreitet die Zeit fon, so dreht sich das Parallelogramm gegen den Uhrzeigersinn um O. Zur Zeit t > 0 ist es um den Winkel wl weitergedreht. Die Realteile der Punkte mit den ,)Pfeilspitzen« geben dann die Ausschläge der Schwingungen fl, f2 und f = fl + h an, ftir die wir uns interessieren. Auf diese Weise entspricht jedem Zeitpunkt t > 0 eine Stellung des Parallelogramms, und der Schwingungsablauf wird geometrisch überschaubar.

Übung 2.35: Vcrwandle die folgcndcn Zllhlcn in die PolllrkoorctinatcndufStellung (U) -12-i5.

+ i)IOO.

(c) (I

(b) 3+i4.

Übung 2.36*: Drei harmonische Schwingungen überklgem sich:

3cos(wt)

+ 5cos (wt +~)

- 8cos(wl -

~) = Acos(wl +rp)

(w> 0).

Berechne A und rp.

2.5.5

Fundamentalsatz der Algebra, Folgen und Reihen, stetige Funktionen im Komplexen

Polynomgleichungen Satz 2.17: (FlIlldamelltalsatz der Algebra) Jedes Polynom Il-ten Grades

fez) = ao +alZ +a2z 2 + ... +allz ll . mit komplexen

(/k

Zl,

f- 0.11

~ I).

und z, läßt sich in folgender Form schreiben:

fez) = a,,(z - ZI)(Z Die zahlen

Ca"

Z2)"

.

(Z -

z,,).

Z2, ... Z1l sind die Nullstellen des Polynoms.

(2.153)

2.5 Kornple;o;e

Zahlen

197

Der Satz sagt also insbesondere aus. daß f mindestens eine und höchstens 11 Nullstellen hat Letzterer Fall tritt ein. wenn die ZI. Z2. ' ..• Zn paarweise verschieden sind. Sind unter den ZI, •.. , Zn gleiche zahlen, z.B, ZI = Z2 = Z3. so spricht man von mehrfachen Nuflstel/ell. Ist beispielsweise ZI = Z2 = .. = Z'" (111 :0.: 11). aber Zl; #- ZI rur alle k > m, so nennt man die Zahl Zl eine /li-fache Nullstelle. GI. (2.153) heißt die Zer/egullg 1'0// f in Linemfaktoren (z - zd· Bemerkung: Der Beweis des Fundamentalsatzes wird in BurglHaflWille (Funktionentheorie) [8], Abschn. 2.2.5. geftihn. Die Berechnung der Nullstellen ZI. Z2, ...• <':" ist auf Computern mit beliebiger Genauigkeit möglich. (Man verwendet dazu meistens das NewlOnsche Verfahren mit gewissen Ergänzungen.) Ein stets funktionierendes Verfahren ftir Computer ist z.B. von Nickel l42J angegeben worden. Folgen und Reihen Unendliche Folgen und Reihen von komplexen Zahlen werden analog zu reellen Folgen und Reihen erkHin (vgl. Abschn. 1.4 und 1.5). Ihre Konvergenz wird wie im Reellen definien. Es gelten damit der Satz von Bolzano-Weierstraß, das Cauchysche Konvergenzkriterium und die Rechenregeln über Folgen und Reihen entsprechend. Die Beweise können fast wönlich übernommen werden. (Der Satz von Bolzano-Weierstraß wird durch die Halbierung von Rechtecken anstelle von Intervallen bewiesen.) Lediglich Definitionen und Sätze. die Ordnungseigellschaflen enthalten (wie z.B. das Monotoniekriterium) lassen sich nicht ins Komplexe übenragen. da rur komplexe Zahlen keine Beziehungen< oder> eingeflihn sind. Der Leser mag sich in einer stillen Stunde davon überzeugen. daß die angegebenen Übertragungen aufs Komplexe ohne Schwierigkeiten möglich sind. Ebenso läßt sich der Begriff der Stetigkeit auf komplexe Funktionen problemlos übertragen sowie das Rechnen mit stetigen Funktionen. Auch hier gilt. daß die Grenze bei Aussagen gezogen wird, die Ordnungseigenschaften enthalten. Der Zwischenwensatz besitzt also keine wönliche Entsprechung im Komplexen. In BurgJHaflWille (Funktionentheorie) [8] werden diese Überlegungen aufgegriffen und weitergeflihn zur »komplexen Analysis«. auch Funktionentheorie genannt. s. auch [24]. Die komplexe Analysis erweist sich nicht nur als außerordentlich nützlich bei der Lösung technischer Probleme (Schwingungsproblem, Strömungsvorgänge, elektrische Felder usw., sie ziihlt überdies zu den elegantesten Theorien der Mathematik.

3

Differentialrechnung einer reellen Variablen

Die Differentialrechnung ist die Lehre von den Veränderungen. Hier werden Wachstumsraten, Vcrlustquotcn. Geschwindigkeiten, Beschleunigungen. Steigungsmaße und Absticgsnllcn beschrieben. dem AnwendeT zum Nutzen, dem Schüler zur Mühe, dem Mathematiker zur Freude und dem Laien unverständlich. Zusammen mit ihrer Schwester, der Integralrechnung, gilt die Differentialrechnung mit Recht als eine der großanigslcn Schöpfungen des menschlichen Geistes. Sie hilft beim Lösen von Gleichungen, beim Maximieren und Minimieren, bei der Berechnung kompliziener Funktionen, von Flächen und Rauminhalten, von Bewegungen, Kräften, Impulsen, Energien, ja, das Zusammenspiel der Gestirne als auch der Elementarteilchen läßt sich durch die Differential- und Integralrechnung erst verstehen. Die Wurzel der Differentialrechnung ist dabei ganz einfach. Wir erläutern den Einstieg in diesen Teil der Mathematik am Beispiel der Geschwindigkeit.

3.1

Grundlagen der Differentialrechnung

3.1.1

Geschwindigkeit

Geschwindigkeitsüberschreitung! - Der Polizei wagen überholt. Aus seinem Fenster reckt sich ein Arm mit roter »Kelle«: Anhalten! Sehr peinlich! Nach kurzer Zeit ist man um eine Erfahrung reicher und einige Geldscheine ärmer. Die Episode verdeutlicht, daß der Begriff »Geschwindigkeit,< im täglichen Leben. bis in den Geldbeutel hinein. eine Rolle spielt. Dies fUhrt uns auf die Frage: Ww'

i~·t

Geschwindigkeit?

Die erste Antwort lautet: Das ist die Zahl, die man vom Tacho abliest. Nicht übel, zugegeben, aber doch nicht ganz befriedigend. So billigt man z.B. fallcndcn Steinen auch ci ne Geschwindigkcit zu. Doch nur die wenigsten Steine haben einen eingcbautcn Tacho. Was ist da zu tun? Da wir uns mitten in einern Mathematikbuch befinden, ist der Gedanke nicht abwegig, es mit einer mathematischen Definition zu versuchen. Die Frage lautet also: Wie kann man den Begriff »Geschwindigkeit« - genauer: »Momentangeschwindigkeit« - mathematisch exakt erklären? Eine gute Frage! An ihre Beantwortung wollen wir mit lockerer Natürlichkeit und alltäglichen Vorstellungen herangehen. Dazu knüpfen wir noch einmal an das fahrende Auto an. Der Einfachheit halber lassen wir das Auto geradeaus fahren. Wir nehmen an, daß es an einem bestimmten Punkt der Straße im Zeitpunkt 0 losfahrt. Zur Zeit t habe es y Meter vom Anfangspunkt aus zurückgelegt. y ist also

K. Burg et al., Höhere Mathematik für Ingenieure, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9929-3_3, © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

200

3 Differentialrechnung einer reellen Variablen y-Achse

41

, ,, 'Y , , , , ,

t-Achse

I,

Fig. 3.1: Weg-Zeit-Funktion y = !(I)

eine Funktion der Zeit:

y

~

1(1)·

Fig. 3.1 zeigt ein Schaubild einer solchen Funktion f. Man greife nun zwei Zeitpunkte to. t heraus. mit I > 10. [n der Zeitspanne von to bis t hat das Auto die Strecke Lly,~ 1(1) - 1(10)

(3.1)

zurückgelegt. Die Zeitspanne selbst hat die Dauer .1f := t -to. Die DlIrchsclllliltsgesclzlI'imiigkeif V IO . I im genannten Zeitraum berechnet man nach der Faustregel »Weg durch Zeit«, also Lly ·..1t

v4lI=-~

I(t) - 1(10) I~IO

(3.2)

Je dichter t an 10 heranrückt, desto näher kommt der Wert Vlo.r der Vorstellung einer MO/llelltallgeschwilldigkeit. also der Geschwindigkeit, die der Tacho anzeigt. Es liegt nahe, in (3.2) den Grenzübergang t --+ to(l i= 10) durchzufLihren. Wir wollen annehmen, daß (3.2) dabei gegen eine bestimmte Zahl v4l konvergiert: V,O

:= lim [Ct) ~ [(to) 1-10 t-to

(3.3)

Diesen Wert v4l bezeichnet man als Momemallgeschll'illdigkeit ~ kurz Geschwilldigkeit ~ des Autos zum Zeitpunkt to. Die (Momentan-)Geschwindigkeit ist also Grenzwert von Durchschnittsgeschwindigkeiten, deren Zeitspannen gegen Null streben. Der Grenzwert (3.3) hat entscheidende Bedeutung in der DiffeTCntialrechnung. Er wird Differentialquotient oder Ableitullg VOll [;11 to genannt und durch ['(10) symbolisiert: I

'() ]. ,-1.'-(1,-)---,-1.'-(10",) to = Im 1-10 t to

(3.4)

Der Ausdruck in (3.2), also die Durchschnittsgeschwindigkeit in unserem Fall, heißt allgemein

3.1 Grundlagen der Differentialrechnung

201

f

bezüglich I lind 10. Wir wollen die Überlegungen an einem Zahlenbeispiel verdeutlichen.

DifferellzenqllOlielll lIOII

Beispiel 3.) : (Fallgeschwindigkeit) Ein Stein fiillt in einen 10 m tiefen Brunnen. Wie groß ist die Geschwindigkeit, mit der er unten auftrifft? Die Bewegung des Steines (Massenpunktes) wird durch )'

~

fU)

~

g ,

mit

- ,-

2

m

,-

(3.5)

8=9.81,

beschrieben, d.h. nach I Sekunden ist er y =

ft 2 Meter gefallen.

Wie groß ist seine Fallgeschwindigkeit VIi) ZU einem beliebigen Zeitpunkt 10 während des Fallvorgangs? ~ Zur Be
~"

- ~'J

1 -/0

#.. _t 2 -

tJ

g

2

10

2

1 -

~('_+,-",'o,,)(,,'_--,'0",)

-

t - 10

g

=--(1+10). 2

Die Klammer (I + to) ganz rechts strebt mit I -+ to zweifellos gegen 2to, also strebt der Differenzenquotient insgesamt gegen 8/0:

f

,

. f('} - f(to) (10) = 11m = gto. 1..... /0

I - 10

(3.6)

Zur Zeit 10 (während des Fallvorganges) hat der Stein somit die Geschwindigkeit u/Q = giO. Setzen wir flir 10 nun die Falldauer ein, errechnet aus

10m =

g ,

'2'Ö

=>

to = )20m g

== 1,43s,

so erhalten wir die Aufschlaggeschwindigkeit des Steines U'o

=g

Pf .om g

--

m = j20m. g == 14.0-. s

Stellt man sich slaH des Steines beispielsweise einen Blumenlopfvor, der einem vom Fenstersims auf dcn KopffailI, so kann man im Krankcnhaus die Auftrcffgcschwindigkeit nach obiger Methodc berechncn und damit scine Schadensansprüche stützen. Zweifellos cine nützliche Rechen
202

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

3.1.2

DitTerenzierbarkeit, Tangenten

Die Überlegungen des vorigen Abschnittes wollen wir nun allgemeiner durchfUhren. Es sei I : I _ IR eine beliebige reellwertige Funktion. Sie werde durch Y = I(x).

x EI.

beschrieben. Der Delinitionsbercich I ist dabei ein Intervall oder eine Vereinigung von Intervallen. Als Differellzellqllotielll von I bezüglich zweier Punkte x lIIut Xo aus I bezeichnet man den Ausdruck f(x) - f(xo)

x

x#- xo.

xo

(3.7)

Der Grenzübergang x _ xo führt auf die folgende grundlegende Definition:

Definition 3.1: Es sei [ I _ IR eine Funktion, deren Definitionsbereich I ein Intervall oder eine Vereinigung von Intervallen ist. Man sagt. [ ist differenzierbar im Punkt xo EI, wenn der Grenzwert f(x) - f(xo) . I ,m x -XO

(3.8)

X_XQ

existiert. Dieser Grenzwert wird mit I'(xo) bezeichnet und Ableitung oder Differentialquotient von [ in xo genannt. Anstelle von ['(xo) werden auch die Bezeichnungen df

-(.ro) .

d,

d -[(.ro) dx

verwendet. Geometrische Deutung: Der Differenzenquotient (3.7) ist die Steigung der Sekante all [ in x und xo, cl.h. der Geraden durch die Punkte (x. I(x» und (xo. 1(xo)). Man erkennt dies an dem schraffierten Dreieck in Fig. 3.2. Der Grenzübergang x _ xo fLir den Differenzenquotienten läßt sich nun anschaulich so deuten, daß x immer näher an.\"o heranrückt, wobei der Abstand Ix - .\"01 nach und nach beliebig klein wird. Die zugehörigen Sekanten an 1 bezüglich .r und .ro unterscheiden sich dann immer weniger von einer Geraden, die wir Tallgeme al/ 1 in Xo nennen. Wir sagen auch, die Sekanten »gehen fur x _ .ro in die Tangente« über, oder »die Tangente ist die Grenzlage der Sekanten«. Dabei ist die Tangente an I in Xo diejenige Gerade t, die durch den Punkt (x. I(xo» verläuft und deren Steigung I'(xo) ist. Nach der PUllkt-Richtungs-Form wird die Tangente durch

tex) = [(xo)

+ ['(xo)(x -

beschrieben. Wir halten fest:

xo)

(3.9)

3.1 Grundlagen der Differentialrechnung

203

y-Achse Tangente

~:;,,;-;:r/ _

sekante

,

W, I

I(x) -1(Xo) x-Achse

Fig. 3.2: Geometrische Deutung des Differentialquotienten: j' (.rO) = lan C(

Dureh (3.9) ist die Tal/geme t an f il/ xo definiert. Die Tangente existiert genau dann, wenn

f in Xo differenzierbar ist.

Mit a wollen wir den Winkel der Tangente I mit der x-Achse bezeichnen. (-1' < a < 1'), s. Fig. 3.2. Die Steigung einer Geraden ist bekanntlich gleich dem Tangens des Winkels dcr Geraden mit der x-Achse; folglich gilt fUr die Tangentensteigung ['(xo) = tana,

(3.10)

d.h. Die Ableitung ['(xo) einer Funktion ist gleich dem Tangens des Winkels a, den die Tangente an f in xo mit der x-Achse bildet. Damit ist die Ableitung ['(xo) geometrisch so klar geworden wie ein Bergquell im Frühling. Anwendung: Die Bestimmung von Tangenten an vorgelegte Kurven ist z.B. bei der Herstellung von optischen Linsen wichtig. Denn der Einfallswinkel eines LichtstrahIs auf eine Linse spielt beim Brechungsgesctz eine Rolle. Ocr Einfallswinkel wird aber durch die Normalen, die senkrecht auf den Tangenten stehen, bestimmt. Eine weitere wichtige Rolle spielen die Tangenten beim Newton- Verfahren zur Lösung von Gleichungen. Bemerkung: Differenzierbarkeit von [ : I ...... IR in Xo bedeutet die Existenz des Grenzwertes (3.8). Hierunter versteht man ausftihrlicher (nach Abschll. 1.6.7, Def. 1.20): (a) Für jede Zahlenfolge (X/I) aus I mit lim x" = xo .

"---+00

XII

i= .\"0.

konvergiert die Folge der zugehörigen Dijferellzenqllorielllen D := II

[(XII) XII

[(xo) . XO

204

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

und zwar gegcn eincn Grenzwert A, der unabhängig von der gewählten Folgc (xn ) ist. A ist die Ablcitung 1'(xo). Damit ist die Differenzierbarkeit auf die Konvergenz von Folgen zurückgeflihrt. Mit ihnen können wir gut umgehen und befinden uns damit auf sicherem Terrain. Nach Abschn. J .6.7, Folg. 1.16, kann aber die Grenzwertbildung (3.8), und damit die Differenzierbarkeit, auch so formuliert werden: (b) / ist in Xo genau dann differenzierbar, wenn sich die Funktion fex) - f(xo)

D(x) :=

x -Xo

.

x E 1\

lxol

(3.11)

in Xo stctig erweitcrn läßt. Der so entstehende Funktionswert D(xo) ist die Ablcitung 1'(xo). /'(xo) = D(xo):= lim D(x).

(3.12)

x.......ro

Nach Abschn. 1.6.7, Folg. 1.17, läßt sich diese Grenzwertbildung auch in c·O·Form beschreiben. Je nach Bedarf verwendet man die eine oder andere Fassung der Differenzierbarkeit. Beispiel 3.2: Besonders einfache Funktionen sind konstante Funktionen: [(x) '-.f,,(.'..:.)_--,f-,(--,'o~) x-xo

-

~

c- c

- - =0.

x-xo

== c.

Daftir gilt

(x #xo)

Alle Differcnzenquoticnten sind Null, also ist die Ableitung 1'(xo) = 0 für jedes xo beschreibt dies kurz durch d

E

R; man

(3.13)

-c=O.


8cispiel3.3: Es sei fex) = x"

(x

E IR)

eine Potelliflillktioll mit einer natürlichen Zahlll als Exponenten. Für den Differenzenquotienlen bezüglich xo und x = xo + 11 (h # 0) gilt mit der binomischen Formel

/(Xo

+ h) h

/(xo)

o

<xo+II)"-x h

~

~

(,,) II-k k n L, k"o h -'<0 k=O c=-_-,----_ _

h

3.1 Grundlagen der Differentialrechnung

Das erste Glied der Summe ist x

205

ö' Es hebt sich heraus, und man erhält

Für x -,10 xo. also h -,10 0, blcibt nur das erste Glicd folgt fur die Ableitung

IIXÖ-I

der rcchtcn Summe erhaltcn. also

Hier schreiben wir der Einfachheit halber x statt xo und erhalten damit die Formel d dt x" = nx,,~l

(3.14)

Der Spczialfalln = I liefert d dtx = I.

(3.15)

Das Beispiel macht deutlich. daß

. ~f-"(x,,,o--,+--,I+' )_-~f,-,("xo,,) 11m 11

lim I(x) - I(xo) .1'-.1'0

.\"

IJ-O

Xo

glcichbedeutcnd sind. Man hat nur x = .\"0 + " zu setzen. Die rechtc Form dieser Grenzwenbildung eignet sich fur praktische Bcrechnungen von Ableitungen gelegentlich besser. Übung 3.2: Berechne die Ableitungen der Funktionen /2(.l) = x 2 , !J(.l) = x J • 110(x) = .llO an der Stelle .1'0 = 2.

Übung 3.3: Zeige: 1(.1') =

JX ist rur beliebiges .lO >

,

1(.\"0)= 2

0 differenzierbar, und es gilt rur die Ableitung

1

=.

"xO

Anlt:illillg: Schreibe den Differellzenquotienten bezüglich.\"o > 0 und x > 0 hin und verwende

dann die Formel .I"

-

.lO

=

(JX + JXO)( JX - JXO).

Übung 3.4: Für welches .lO E IR hat die Tangente an l(x) = x 2 die Steigung I? Schreibe die zugehörige Tangentengleichung auf. Skiniere 1 und die Tangente.

206

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

Übung 3.5: Berechne die Ableilung von !(.r) = XiI (11 E N) im Punkte xo nochmal (auf andere Weise als im Beisp. 3.3). Und zwar schreibe man den DifferenzenquOliemen bezüglich x und .to hin: (f(x) - !(Xo»/(x - .to) = (.t'1 - x (x - Xo). und wende das Divisiollsverfahren flir Polynome an.

ö) :

Differenzierbare Funktionen Wir betrachten reellwertige Funktionen gungen von !mervaIIen sind.

f, deren Definitionsbereiche

D Intervalle oder Vereini-

Definition 3.2: Ist J : D --'lo R in jedem Punkl des Definitionsbereiches 0 differenzierbar, so heißt f eine differenzierbare Fllnklioll. Ist f : 0 --,10 IR in jedem Punkt einer Teilmenge A von D differenzierbar, so nennt man f differenzierbar auf A. Bei einer dilTerenzierbaren reellwertigen Funktion f : 0 --,lo IR kann man in jedem Punkte x E D die Ableitung f'(x) bilden. Durch die Zuordnung x --,10 ['(x) ist eine neue Funktion [' : D --,lo IR erkIiirt. die man kurL die Ableitung VUII f nennt. y

I(x). x2

,

Fig. 3.3: Funktion !(x) = .r 2 mit Ableitung

Beispiel 3.4: Die Ableitung der Potenzfunktion fex) = beschrieben durch ['(x) =

XII

(f : IR

--'lo

IR,,, E N) ist eine Funktion f' : IR

--,lo

IR.

Il 1 IlX - •

In Fig. 3.3 sind fex) = x 2 nebst zugehöriger Ableitung f'(x) = 2x skizziert. Ist eine differenzierbare Funktion in Form einer Gleichung y = fex) gegeben, so beschreibt man die AbleilUng auch durch

3.1 Grundlagen der Differentialrechnung

y' = j'(x)

oder

dy

-

dx

,

207

(3.16)

~f(x),

z.B.

y , = 3' .e

bzw.

dy 2 dx =3x .

Diese Schreibweisen sind in Technik und NalUrwissenschaft bequem, wenn x und y physikalische Größen darstellen. Graphisches Differenzieren: Wir gehen aus vom Schaubild einer differenzierbaren Funktion j : I ~ IR. Zur gmphischen Ermittlung der Ableitung von j in einem Punkt.\"o zeichnet man ~ w gut es geht ~ die Tangente an j in -'"0 ein. Zu dieser Tangente zieht man die Parallele durch den Punkl A = (-1,0), s. Fig. 3.4a. Die Parallele schneidet die y-Achse in einern Punkt B, dessen y-Koordinate die Ableitung y~ = l'(xo) ist, also B = (0. y~). (Denn das Dreieck [A. B.O] ist eine Kopie des Steigungsdreiecks der Tangente.) Damit ist Y~ zeichnerisch gewonnen, und der Punkt (xo, Y~) der Ableitung l' Hißt sich einzeichnen. y

y

Tangente

y'

'V

0

A

-1

Al

0

.

(:<0. y'ol

"

•

"

-1

b)

Fig.3.4: Graphisches Differenzieren

In Fig. 3.4b ist dieser Prozeß fl.ir mehrere Punkte einer Funktion j durchgefl.ihrt. Die gewonnenen Ableitungspunkte werden zu einem Funklionsgraphen verbunden, wobei man auch bei verbindenden Bögen auf »schielt«, damit sie nach Augenmaß möglichsl gUI die Ableitung annähern. Der so gewonnene Funktionsgraph stellt eine mehr oder weniger gute Näherung der Ableitung l' dar. Für einen ersten Überblick oder bei Versagen rechnerischer Methoden erhält man so brauchbare Ergebnisse. Dabei ist nicht entscheidend, daß man viele Konstruktionspunkte wählt. sondern daß mml in ausgesuchten Punkten möglichst genaue Tangenten zeichnet. Punkte mit waagerechten Tangen~ ten bieten sich dafür besonders an. Der Leser übe das graphische Differenzieren an selbst gezeichneten Beispielen. Dies führt zum besseren Verstiindnis der Ableitungsfunktion ['. (Durch numerische Differentiation erhält man f' auch leicht aufComputerbildschirmen oder Plollern.)

208

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

Stetigkeit differenzierbarer Funktionen. I sei ein Intervall oder eine Vereinigung mehrerer Intervalle. Satz 3.1: Ist die reellwertige Funktion [ : I stetig.

--+

IR in xo differenzierbar, so ist sie dort auch

Beweis: Gilt XII --+ xo (XII E I \ (xoD, dann ergibt sich die Konvergenz des Differenzenquotienten D" = ([(x,,) - [(xo))/(x" - xo) gegen ['(xo). Damit folgt [(x,,) - [(xo) = D II . (XII - xo) --+ ['(xo)' 0 = 0

rur /l

--+ 00,

also [(XII)

--+

[(xo), Das heißt [ist stetig in xo.

o

Man zieht daraus die einfache Folgerung 3.1: Jede differenzierbare Funktion ist stetig. y

Fig. 3.5: Die Funktion fex) = lxi

Die Umkehrung gilt nicht, wie das Beispiel der Funktion [(x) =

lxi.

x E

IR

zeigt (siehe Fig. 3.5). Diese Funktion ist nämlich stetig. aber in 0 nicht differenzierbar. Denn die Differenzenquotienten fex) - f(O)

lxi

x-O

x

sind flir x > 0 gleich I, fLir x < 0 dagegen gleich -I. Sie können also flir x --+ 0 nicht konvergieren. In 0 existieren aber die lillks- und die rechtsseitige Ableitung. die in folgender Definition erklärt sind.

3.1 Grundlagen der Differentialrechnung

209

Definition 3.3: (Eil/seilige Differenzierbarkeit) Es sei I : 1 -+ JR eine Funktion und xo ein Häufungspunkt von I. in dem I den rechtsseitigen Grenzwert I(xo+) besitzt. Existiert der Grenzwert

. [(x) - [(xo+) , ,m

X-Xo

x -

x>xo

Xo

.

so ist I in Xo reell/sseilig differenzierbar. Der Grenzwert heißt rechtsseitige Ableill/l1g von I in xo. Er wird symbolisiert durch

I'(xo+) . Entsprechend werden lillkneitige Differellzierbarkeit und linksseitige Ableitung

I'(xo-) erklärt. (Man ersetzt x > xo durch x < xo.) Es ist klar, daß die Funktion I(x) = lxi in Xo = 0 die rechtsseitige Ableitung /,(0+) = und die linksseitige Ableitung /,(0-) = -I hat. Höhere Ableitungen. Ist die Ableitung /': D -+ IR einer differenzierbaren Funktion wiederum differenzierbar, so heißt ihre Ableitung die zweile Ableilll/Jg Ilt : D -+ IR von I : D -+ IR. Durch abermaliges Differenzieren, falls möglich, entsteht die tlriffe Ableitung I'" : D -+ IR usw. Eine li-te Ableitung. falls sie gebildet werden kann, bezeichnet man mit I(n j : D -+ IR. Existieren alle Ableitungen von I D -+ IR bis zur II-ten Ableitung, so nennt man I !I-//lal tlifferenzierbar. Nach Satz 3.1 sind dann I, /" I", ... , I(n-I) stetig, da diese Funktionen alle differenzierbar sind. Ist überdies I(n) stetig (was nicht zu sein braucht), so heißt I li-mal srerig differenzierbar, I heißt stetig tlifferenzierbar, wenn /' existiert und stetig ist. 1 Beispiel 3.5: I(x) = x" (1/ E N, x E IR) ist beliebig oft differenzierbar. Der Leser rechne für den Falln = 4 die Ableitungen /" I", Im usw. aus (von welcher Ableitung an sind alle folgenden Ableitungen konstant gleich Null?) Beispiel 3.6: Die Funktion [(x)

~

I : R -+ x2 ( O.

•

IR, erklärt durch fur x ~ 0, fur x < 0,

Es kann sein. daß I' existiert. aber nichl stetig ist. Ein Beispiel daHir ist die Funktion 1 : R --. R. definiert durch 1(.') = x 2 sin(l/x) (fliT .• #= 0) und 1(0) = o. I'(x) existicrt flirallc x E R. insbesondcre ist 1 ' (0) = O. doch ist I' in x = 0 un51etig! (Der Leser überprüfe dies.)

210

3 Differemialreehnung einer reellen Variablen

ist nur einmal stetig differenzierbar, denn ihre Ableitung

f,(x)~J2x.

10 .

flir x ::: 0, für x <0

ist zwar stetig. aber in xo = 0 nicht differenzierbar. Der in diesem Fall vorliegende Differenzenquotient (J'(x) - ['(Oll/ex - 0) = ['(xl/x hat nämlich flir x > 0 den konstanten We112, flir x < 0 dagegen den Wert O. Er kann also flir x ~ 0 nicht konvergieren.

Bemcrkung zu Anwcndungcn in Technik, Naturwissenschaft und andcrcn Gebictcn (a) Zunächst knüpfen wir noch einmal an den Geschwindigkeitsbcgriff an; Durch y = [(tl werde die geradlinige Bewegung eines Massenpunktes beschrieben, Dabei ist y die Länge des zurückgelegten Weges zum Zeitpunkt I. Die Geschll'indigkeil des Massenpunktes ist zum Zeitpunkt f v=['(t),

(siehe Abschn. 3.1.1). Seine Beschleul/igwIg b ist die zweite Ableitung b=[I/(t).

Zusammen mit dem Nell'10llschell Grlll/{fge~'efZ der Mechanik K = mh (Kraft = Masse· Beschleunigung) ist damit der grundlegende und historisch ersle Zusammenhang zwischen Differentialrechnung und Physik gegeben. Von hier ausgehend durchdringt die Differentialund Integralrechnung die Mechanik und im weiteren Physik und Technik. (b) Die Ableitung ['(x) einer Funktion ist Grenzwert der Steigungen von Sekanten an [ und stellt damit so etwas wie die Wachstumsquote der Funktion [ im Punkte x dar (falls ['(x) ::: 0), oder Schrumpfungsquote (falls ['(x) ~ 0). Diese Interpretation zeigt sofol1 die viel faltigen Zusammenhänge mit allen Zweigen der Technik, Naturwissenschaft, Wirtschaft, Soziologie und anderen Gebieten auf.

-2 -1

2

-2

-1

0

3

4

1

-1

Fig. 3.6: Zu Übung 3.6 (b)

Übung 3.6: (a) Zeichne ein Schaubild von /(.1') = .t 3 - x

+

I nebst allen Ableitungen.

3.1 Grundlagen der Differentialrechnung

211

(b) Differenziere die Funktion in Fig. 3.6 graphisch.

Übung 3.7*: Wie groß ist die Beschleunigung eines fallenden Steines (Abschn. 3.1.1. Beisp. 3.1) und einer fallenden Kugel in zäher Flüssigkeit (Abschn. 3.1.1. Übung 3.1)?

Übung 3.8*: Beweise: f : I -+ IR ist genau dann in xo differenzierbar. wenn rechts- und linksseitige Ableitungen von f in Xo existieren. und wenn /'(.to-) = l'(xo+) sowie /(.1'0-) = /(.1'0+) = /(.tO) gellen.

3.1.3

DitTcrentiationsregein für Summen, Produktc und Quotientcn reeller Funktioncn

+

Sind / und g differenzierbare Funktionen, so fragt man sich, ob auch / g, / . g, /Ig und A/ (A reell) differenzierbare Funktionen sind, und wie man ihre Ableitungen gegebenenfalls ausrechnen kann. Dieselbe Fmge stellt sich fLir Verkettungen / 0 g und Umkehrfunktionen /-1. Diese Fragen beantworten wir im nächsten Abschnitt. Nun bezeichne 1 ein Intervall oder eine Vereinigung mehrerer Intervalle, also den üblichen Definitionsbereich rur reelle Funktionen.

Satz 3.2: Sind / : 1 ~ IR und g : 1 __ IR differenzierbar in xo E I. so gilt dies auch fLir [+ g, A/ (A reelle Zahl), [. g und [Ig, wobei im letzten Fallg(xo) i= 0 vorausgesetzt wird. Die Ableitungen der genannten Funktionen errechnen sich aus folgenden Formeln:

([+8)' ~ I' +8'

(3.17)

Homogenitiit :

(Af)' ~ AI'

(3.18)

Prodllktregel :

([8)' ~

Additivitiit :

Qlloliemellregel :

1'8 + 18'

(3.19)

(L)' ~ 1'8 - Ig' g

(3.20)

82

Die Variablenangabe (xo) hat man hinzuzufügen. Sie wurde aus Gründen der Übersichtlichkeit in den Formeln weggelassen. Beweis: Die Formeln ergeben sich für x __ .1'0 sofort aus

~[I~(~x~)_+..,8,,(x~)--,I_---,[~I--,(x--,0~)--,+..,8,,(X--,0,-,)I = fex) - /«xo) xxo

+ g(x) -

xx

g(xo) ~ /' (xo) .1'.1'0

Af(x) - Af(xo) = A /(x) - [(.1'0) __ A/'(xo). xXo xXo /(x)g(x) - /(xo)g(xo) = 8(XO/(X) - /(xo) x~xo

+ [(x)g(x)

X~Xo

-- /'(xo)g(xo)

+ g'(xo)/(xo).

- g(xo) X-Xo

+ g'(xo).

212

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

'ffit - fi.:gj x

g(xo)f(x~-:o(xo)

f(xo)g(X;-_~~XO)

8(x)8(xO)

-'"0

/,(xo)g(xo) - g'(xo)f(xo)

~'--'--"'=-",-;---.o;.-'-'''-'-=

g(xO)2

Dabei wurden die Rechenregeln fLir Funktions-Grenzwerte benutzt (Absehn. 1.6.7, Folg. 1.18) sowie die Stetigkeit von fund g in xo (Absehn. 3.1.2, Satz 3.1). Beim letzten Grenzübergang wurde x aus einer Umgebung von Xo genommen, in der g nirgends verschwindet (vgl. Absehn. 1.6.4, Hilfssatz 1.2). 0 Aus der Homogenität (3.18) im obigen Satz folgt für I.. "'" -I die einfache Regel: (3.21)

(-f)'~-f'

und damit (j - 8)' = (j

(j ~g)' =

+ (-8»' = f' + (-g)' = f' -

g', also

f' -g'o

(3.22)

Die Quotientenregel ergibt im Falle f(x):=: 1 die

GY

Reziprokenrege/:

Aus der Additivität ([ sofort ([I

+ g)'

+ 12+ ... + f,,)'

=

=

(3.23)

f' + g'

folgt fur längere Summen differenzierbarer Funktionen

fr + f~+ ... + f,;

(3.24)

Es darf hier also gliedweise differenziert werden. (Dcr Beweis kann z.B. mit vollständiger I nduktion gefLihrt werden.) Aus der Homogenität (A./)' = A.f' folgt ferner. daß fex) = ax k (k E N) die Ableitung /'(x) = akx k- I besitzt. Unter Verwendung von (3.24) gewinnt man die Folgerung 3.2: Alle reellen Polynome sind differenzierbar. Sie dürfen gliedweise differenziert werden: p(x)

"

= Lakxk

==>

p'(x)

k=O

k=1

Beispiel 3.7: (a) p(x) = 3x 7 ==> (b) {J(x) = 7x 2 + x 6 (e) p(x) = 3 +

"

= Lakkxk-1.

2

p'(x) = 21x 6

=> 5.,

p'(x) = 14x

11

'3 x ~ 4"x- + 6"x 3 =>

+ 6x 5 ,2 P (x) =

5

11.,

'3 - 2x + 2"r

3.1 Grundlagen der Differentialrechnung Der Grad eines Polynoms erniedrigt sich beim Differenzieren um I. Aus der Reziprokenregel (3.23) folgt rur [(x) = I/x" (mit 11 E N) sofort ['(x) = und damit rur alle Funktionen x ~ x tn mit gallzzaltligellllll:


213

_IIX-,,-l,

falls m > 0,

(3.25)

falls m :::: O.

Beispiel 3.8: I [(x) = .\"3

, 3 [(x) = ~ .\"4'

~

(x

i= 0).

Allgemeiner können wir mit der Quotientenregel (3.20) jede ratio/lale Fllnk/io/l p /q (p, q Polynome) in allen Punkten x differenzieren, in denen q(x) i= 0 ist. Beispicl3.9: Für alle x I(x)

i= ± I folgt nach (3.20) ~

, (I5x 2 [(x)=

,,5.,,'3~_,:x-;+:....:.3

-

x2 - 1

~

l)(x 2

~

1)

~

(5x 3 ~x

(x 2 _1)2

+ 3 )2x

Aus der Produktregel (3.19) gewinnen wir rur mehrfache Produkte und für höhere Ableitungen die Folgerung 3.3: Überall dort, wo die Funktionen

11, .. " f"

differenzierbar sind, gilt die Regel für

M ellIfacltprotlukre

"

Cf,· .... I,,)' ~ LI,

'/i-I'//'/;+I .... /".

(3.26)

;;J

Dort. wo [ und g Il~mal differenzierbar sind. gilt rur die /l~te Ableitung von [ . g die bi110mische Differen/imiOllsregel (f. g)(n) =

t

G)/(.l;lg("-.l;).

.1:=0

Dabei ist

/(0)

= /, g(O) =

g

gesetzt worden.

Die Beweise beider Formeln (3.26), (3.27) führt man mit vollständiger Induktion.

(3.27)

214

3 Differentialrechnung einer reellen Variablen

Übung 3.9: Differenziere g(x) =

F(x)=(I-x+.r 2 _x 3).

3x 5 + 2x 2

l+x

4

I

hex) = - - , .

2 +x-

20

Lkx k .

G(.r)=(I+x)4.,jX

(x>O).

k=1

Übung 3.10: Bilde mit (3.27) die drille Ableitung von

Kettenregel, Regel für

3.1.4

Umkehrfunktion~II.implizites

Differenzieren

10,/1. h seien Intervalle oder Vereinigungen mehrerer Intervalle. Für Verkettungen J Funktionen gilt folgender

0

g von

Satz 3.3: Ist g 10 _ 11 in x E 10 differenzierbar, und ist J 11 _ h in z = g(x) differenzierbar, so ist die Verkettung 1 0 g : 10 _ h in x differenzierbar, und es gilt die Keuellregef:

([ 0

g)'(x) = t(z)g'(x).

(3.28)

Mit anderen Wanen: Zur Bildung der Ableitung zweier verketteter Funktionen werden die Ableitungen derbeiden Funktionen. genommen an entsprechenden Stellen, einfach multipliziert.

,.(,) I

Beweis: g sei in

xo differenzierbar und J in zo

,~ f(Z~ -

= g(xo). Wir definieren die Hilfsfunktion

;,(zo) - /'(zo).

o.

flir z für

1= Zoo

z = zoo

Da 1 in '::0 differenzierbar ist. gilt lim r(.::) = O. Aus der Definition von r(z) gewinnt man: :-:(1

J(z) ~ 1(zo) = (['(zo)

+ ,.(z»(.:: ~ '::0).

3.1 Grundlagen der Differentialrechnung

folglich mit x

# xo

215

und z = g(x), Zo = g(xo):

(f 0 8)(x) - (f 08)(xO) x -xo

J(g(x» - J(g(xo))

J(z) - J(,,)

x-xo

x-xo g(x)-g(xol" = (J (zo) + r(z)) ---+ f (zo)g (xo) x - Xo ,

ftir x ---+ Xo. Damit ist (J og)'(xo) = f'(zo)g'(xo). Lassen wir hier den Index 0 fort. der nur aus bezeichnungstechnischen Gründen angefUgt war, so haben wir gerade das behauptete Ergebnis 0 gewonnen. Zur Schreibweise: Beschreibt man die Funktionen fund g im Satz 3.3 durch Funktionsgleichungen y = f(z), z = 8(x), also y = (j 0 8)(x), so erhlilt die Keuenregcl mit den Lcibnizschen Bezeichnungen

~.:

dz

= f'(z),

,

-=g(x),

d,

dv _. = (f

d,

0

g)'(x)

die einprligsHme Form: Kettel/regel:

d)' dx

d)'

dz

(3.29)

~_.-

dz

dx

Damit lassen sich Berechnungen von Ableitungen verketteter Funktionen übersichtlich durchfUhren: Beispiel 3.10: Es soll

y = F(x) = (x 2 +7x _1)5 differenziert werden. Mit

z=

g(x) = x 2 + 7x - I

und

)' = f(z) = Z5

folgt nach der Kettenregel F '(x)

~

_dy

dx

~

dZ _d_y . dx

dz

~ 5:-4 ., 4 (2x+7). .:. ·(2x+7)=5(x-+7x-l)

Man nennt dy auch die äußere Ableitung und ~ die innere Ableitullg. Damit erhalten wir dz dx zur Durchführung der Keucnregel folgende Merkregel: }}Äußere IlIId innere Ableitung sil/d zu lIIullipljzieren .« BeispieIJ.ll:

d)' (zur Kcnenrcgel) _. dx

~

d)' dz _. . dz dr

216

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

(a) y = F(x) =


,

dy

3

+ I folgt Y=

Z7,

dy dz 6 ~ - . - = 7z . 3x 2 = 7(x 3 dz dx

F (x) = -

d,"

+ 1)6. 3x 2

in verkürzter Schreibweise: (b) y = F(x) = ~)9

=> F'(x) = ~.

2

d :/d(

äußere AbI.

innere AbI.

2

-..-.

[S(I+X2rt+

::::

.

(Dabei wurde

d r.: d( vX

=

1 r:;;

6x

dy/d;:

(c) y=F(x)=(I+x )5+ l+x => F'(x) = ~

also

~]. 2x + x~ '-.,-'

2 I

. ' dz/d.l' dy/d:

..

verwendet, s. Ub. 3.3.)

-

2 )-3 => F'(x) = -3 (---"-,)-4. I - x I +x~ 1 +x(1 +x

(d) Y = F(x) = (---"-,

2 )2

dy{dz

~ d::{d~

Der Leser differenziere

an dieser Stelle zur Übung selber. Die Keuenregel1äßt sich auch mehrfach anwenden, z.B.

dz du

du dx'

(3.30)

Dies folgl aus

Hierbei wurde die Keuenregel zweimal angewendet. Entsprechend läßt sich bei dreifach und höher verketteten Funktionen die Kellenregel mehrfach anwenden. 8eispieI3.12: Doppelte Anwendung der Kcttcnregel (3.30):

3.1 Grundlagen der Differentialrechnung

dy

f

F (x) = dx

~

dy dz du 6 11 - . _ . - = 7;. . 12/1 . 2x = 7(1 dz du dx

217

~ 12 6 ~ 11 + (I + X-) ) . 12(1 + x-)

·2x

Mit weniger Schreibaufwand rechnet man so: (b)

y

~F(x) ~ (2+ (/;;,),r'

-

"

Nach einiger Übung läßt man die »Untertitel«

11,

z,

dy! dx, ... weg.

Satz 3.4: (DijJeremialiulIl'ol/ Umkehrfimklionel/) f : 10 ----+ 11 sei eine sletige, streng monolOne Funktion vom intervall 10 auf 1[, die in y E 10 differenzierbar ist und dort J'(y) ::j:. 0 erfüllt. Dann ist die Umkehrfunktioll f- 1 : 11 ----+ 10 in x = f(y) differenzierbar, und es gilt (f

_I

I

I

f

) (x) ~ f'(y) ~ f'(f '(x))'

(3.31)

Beweis:

Es sei (x n ) eine Folge aus 11 mit XII Yn XII -

X

x, X n ::j:. x. Setzt nUlll)'n = f(x n ), so erhält man

_

~

Y

f(y,,) - f (y)

=

I

,--f("'Y"",)----,f-,(Y-,)

I

~--

f' (y)

o

y" -)'

ZlIrSchreibweise: Mit x = f(y), y = f-I (x) lind

dy' d< ~ (r')'(x),

::

~ f'(y)

bekommt die Regel (3.31) die leicht zu behaltende Form: Rege/jiir Umkelllfllnktiollen:

dy

dx = (h"' dy

(3.32)

218

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

Als Anwendung soll die durch y = x l / n (11 E N) definierte Funktion differenziert werden, wobei x > 0, falls 11 gerade, und x 'I O(x E IR), falls 11 ungerade, vorausgesetzt wird. Die beschriebene Funktion ist die Umkehrfunktion von x = J(y) = y"(y 1:- 0), Also gilt nach (3.32) dt l / II

d)'

I

lli

dX

(3.33)

dy

Insbesondere ergibt sich für 11 = 2 erneut

d cl.\:

I

-.jX=--.

(3.34)

x>O,

2';;

Folgerung 3.4: Für jede rationale Zahl r gilt

dx'

- - = rx

,-1

dx

fur

I

x ~ O. x> 0,

falls r > I, falls r < I.

(3.35)

Beweis: Es ist r =

/li/li

mit

11

E N und ganzzahJigem

1/1.

Damit erhält die Funktion F(x) = x' die Form

Anwendung der Kettenregelliefert m

!!!-l

=~xn

"

=rx ,-1 .

o

Differentiation implizit gegebener Funktionen Wir betrachten als Beispiel die Ellipsengleichung

(3.36) Löst man nach y auf, so erhält man zwei Funktionen [und g, nämlich

y = [(x) = b

R' I -,. a-

und

,(x)

~

- f(x)

(-(l~X~(I),

3.1 Grundlagen der Differentialrechnung

219

Wir wollen f differenzieren. Dazu kann man die Ellipscngleiehung (3.36) direkt benutzen, wobei man durch (/(x»2 ersetzt:

i

x2

,a- +

(/(x))2

b'

- I =0

fLir alle x E (-a,{/).

Rechts steht eine konstante Funktion mit dem Wert O. Sie ist identisch mit der links beschriebenen Funktion. Bildet man aufbeiden Seiten die Ableitung, so folgt 2x

2/(x)/,(x)

a

b

2+

=0

2

(-a<x
Dabei wurde auf (/(x»2 die Kettcnregel angewendet. Wir schreiben einfacher 2x

2)')"

-, +-b' =0. a AuOösen nach)" und Einsetzen von y = bjl b2 x

I

Y

=--~-

{/2 y

xb

a2jl

x 2/a 2

x 2 /a 2 liefert die Ableitung

(-a <x
(Für y = 8(x) gilt das gleiche mit umgekehrten Vorzeichen.) Auf diese Weise kann man allgemcin vorgehen, wenn)' = fex) durch eine Gleichung F(x. y) = 0 beschrieben wird. Dabei muß man sicherstellen, daß fex) und F(x, f(x» in x differenzierbar sind. Dies erkennt man durch explizites Rechnen, wie oben, oder anhand dcs Satzes über implizite Funktionen (s. Abschn. 6.4.2, Satz 6.14). Übung 3,11: Differenziere mit der Kenenregel (b) Y = (

+.<')'

, _ 3x 4' I+x

(c)y=~.

Übung 3.12: Differenziere (a) y

=![;2.

(c) y =

J1 +,fi 2x

(b»'= (x > 0).

-x !§ +.( -1

(-I<x
(d)Y=(I_Jl+.(2)7 (I) y=

g

x

-x-I

(h) Y = xO. 371

(x> I).

(x > 0).

220

3 Differentialrechnung einer reellen Variablen

Übung 3.13*: .1'2 _ X2 = r 2 beschreibt für jedes r > 0 eine Hyperbel. Wie liegen die HyperbeHiste? Kann

man sie als zwei Funktionen auffassen? Differenziere die Gleichung implizit und löse nach y' auf (ohne .I' = ... einzuseu.en). Wo ist in der x-y-Ebene stets .1" = I unabhiingig von r?Zeichne diese Punktmenge! Wo ist stets .1" = und wo y' = ~? Zeichne auch diese Punktmengen.

!

Übung 3.14: Differenziere

y2 -

x = 0 implizit und leite damit erneut

~

=

~ rur x

> 0 her!

Übung 3.15: Differenziere implizit (a)

y2 +xy _x2

(b)

«(I - xli = «(I + x).r 2 (Strophoide). x 3 + .1'3 = 3(1xy (Cartesisches Blatt). «(lx)2/3 + (by)2/3 = ,4/3 mit, = Ja2 + b2 (Astroide).

(c) (d)

= (j2.

Dabei sind (I und b positive reelle Zahlen. Man skizziere die zugehörigen Punktmengen (Kurven) in der x-y-Ebene (0 = I, b = und überlege sich, welche Funktionen damit beschrieben werden und wo das implizite Differenzieren dieser Funktionen erlaubt ist. (Strophoide. Cartesisches Blatt, Astroide werden in BurglHaflWille (Vektoranalysis) [71, Abschn. 1.4, genauer beschrieben.)

!)

3.1.5

MittcJwertsat7. der Differentialrechnung

Legt man die Sekante durch zwei Punkte (a. f(a» und (b, f(b» einer differenzierbaren Funktion f : La, b] - IR. so zeigt die Anschauung. daß es eine Tangente an f in einer Zwischenstelle .1"0 E (a, b) geben wird. die zur Sekanten parallel liegt (s. Fig. 3.7). D.h. die Steigung (f(b) - f(a»!(b - a) der Sekante stimmt mit der Steigung 1'(.1"0) der Tangcnte überein. Wir präzisieren dies in folgcndem Tangente

y

a

"

b

Fig. 3.7: Zum Mittclwertsatz

3.1 Grundlagen der Differentialrechnung

221

Satz 3.5: (Millelwerrsalz der Dijferemia(rechllllllg) Ist die reelle Funktion [ stetig auf [a, b] und differenzierbar mindestens auf (a, b), so gibt es ein xo E (a, b) mit '( ) ~ J(b) - J(a) ' J xo

b

(3.37)

a

Man fUhrt den Beweis über folgende Sätze, Mit Extremlllll bezeichnen wir dabei Maximum oder Minimum einer Funktion.

Satz 3.6: Ist die Funktion [ differenzierbar auf einem offenen Intervall I, und hat [ in Xo ein Extremum, so gilt

E I

['(xo) = Q. Beweis: In Xo habe die Funktion [ ein Maximum. Für x" 0:::

[(x,,) - [(xo)

x"

und fLir X n

o::;

~

-Xo

xo,

X'r

<

.ro(x"

[(x,,) - [(.ro) XI! -Xo

~

~

, [(xo)::;O E l)

~ Xo

mit

XII

>

Xo

(x"

E

l) gilt dann

.

furll~oo,

entsprechend

[ , (xo) ::: 0

fur 11

~

folglich ['(xo) = O. Im Falle eines Minimums bei

00,

Xo

verläuft der Beweis analog,

o

Satz 3.7:

(Satz 1'011 Rollel ) Ist die reelle Funktion [ stetig auf [a. b] und differenzierbar auf VI. b), und gilt f(a) = f(b), so existiert ein Xo E (a, b) mit ['(xo) = O.

Beweis: Wäre fex) = c konstant in La, b], so folgte ['(xo) = 0 fur alle Xo E (a, b), und der Beweis wäre fertig. Wir nehmen nun an, daß [in [a, b] nicht konstant ist, und daß ein XE (a, b) existiert mit fex) > [(al = leb) (andernfalls würden wir [im Folgenden durch - f ersetzen). Nach dem »Satz vom Maximum« (Abschn. 1,6.5, Satz 1.25) besitzt f dann eine Maximalstelle Xo E (a, b). Satz 3.6 liefert ['(xo) = O. 0 Beweis: des Minclwertsutzes (Satz 3.5): Man subtrahiert von [eine Geradenfunktion g mit der Steigung der Sekante bezüglich a und b, und zwar g(x) = X . (j(b) - f(a»)/(b - a), Für die Differenz 2 Michel Rollc (1652- 1719). frnnzösi>ehcr Malhcmmikcr

222

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

F(x) = f(x) - g(x) errechnet man F(a) = F(b). Der Satz von Rolle liefert dann die Existenz einesxo E (a,b) mit , 0= F (xo) =

,

,

f (xo) - g (xo) = f

,

(xo) -

f(b)-f(a) b-a

o

.

Folgerung 3,5: Die reelle Funktion

f sei auf dem Intervall I differenzierbar. Damit gilt:

(a) fist genau dann konstant, wenn 1'(x) = 0 für alle x (b)

f

ist monoton wachsend, wenn 1'(x) :::: 0 ftir alle x ist monoton fallend, wenn 1'(x) .:5 0 auf I gilt.

E I

E I

erfullt ist.

erfüllt ist. Entsprechend

Gilt 1'(x) > 0 bzw. ['(x) < 0 auf I, so ist die Monotonie von

f

sogar »streng«.

Die Beweise ergeben sich unmittelbar aus dem Mittelwertsatz. Wir leiten schließlich eine Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes her. Satz 3.8: (Verallgemeinerter Mittelwert.faIZ) Sind die reellen Funktionen fund g auf [a. b I stetig und mindestens auf (a, b) differenzierbar, und ist g'(x) i= 0 auf (a, b), so existiert ein Xo E «(I, b) mit 1'(xo)

J(b) - J(a)

g'(xo)

g(b) - g(a)

(Dabei ist g(b)

(3.38)

i= g«(I), da g wegen g'(x) i= 0 streng monoton auf [a. bl ist.)

Beweis: Für die Funktion F(x) '~J(x) - J(n) -

J(b) - J(a)

g(b) - g(a)

(g(x) - g(a»

auf ta. b] gilt F(a) = F(b) = 0, wie man leicht nachrechne!. Der Satz von Rolle liefert damit die Existenz eines Xo E «(I, b) mit

' , 0 = F (xo) = f (xo)

~

f(b) - f(a) , gib) - g(a)

g (xo) ,

woraus durch Umformung die Behauptung (3.38) folgt. Übung 3.16*: Beweise Folgerung 3.5.

o

3.1 Grundlagen der Differentialrechnung

3.1.6

223

Ableitungen der trigonometrischen Funktionen und der Arcusfunktionen

Satz 3.9: Sinus- und Cosinus-Funklion sind differenzierbar, und es gilt .

Sill COS

,t

=

,t =

COSI

. -smt

ftir alle 1 E IR.

(3.39)

Y

-t- -

sin (I. tol) Y _ sin

'Y _o-

t

t.öl

I.

öl

""

,B , , , , 1.1 IDc 1..1 , ,

,

cos (I • tot) x_cest

0

Fig. 3.8: Zur Ableitung von sin und cos Bemerkung: Man kann die Ableilungen von sin und cos durch Fig. 3.8 plausibel machen: Und zwar ist das kleine schraffierte Kreisbogendreieck nahezu ein »normales« gradlinig berandeles Dreieck. Dcr Winkel bei A hat das Bogenmaß 1 + .1t. Somil folgt

"'y

"',

-

R::

lL1xl

"',

cos(t + ..1t) ,

- - R::

sin(t + ..11).

d.h. sin(t + L11) - sin t L1y ==-'-:::;:=--"-= ~ L1t L1t -

cos(t+L1t)-cost ..1t

R::

cos(t + .elf)

lL1xl.

~ - - R:: Slll(t

..11

<=:::

+ L1t)

cos t .

R::

.

Slllt .

Die Anschauung zeigt. daß dies umso besser stimmt. je kleiner L1t ist. Man vermutet daher sin' t = cos 1 und ~ cos' t = sin t. Der Beweis des Salzes ist lediglich eine exakle A usfLihrung dieser Idee. Beweis: des Salzes 3.9: Es seien t und I + L1t aus (0, JT), L11 > O. Wir selzen zur Abkürzung x=cost,

y = sin t =

L1y = sin(t + L1t) - sin t

JI -

und

x2 ,

..1$ =

L1x = cos(t + L1t) - cost < 0,

j L1x 2 + L1y 2

(Länge der Sehne [A. BI, Fig. 3.8)

224

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

Damit folgt rur den Differenzenquotienten des Cosinus cos(t + .1t) - COSt

Llx

",

",

.1x

.1s

-I

.1s

L1s

.1t

Jl + (L1y/.1x)2

.1t

(3.40)

Nach Satz 2.7 (111). Abschn. 2.3. I, strebt ~: gegen I rur .1t -+ O. Ferner gilt dabei .1x -+ 0 und somit

-x

dy

L1y -~

.1x

dr

Damit konvergiert (3.40) mit L1t -+ 0 gegen

Im Falle .11 < 0 ist .1x > O. und man erhält völlig analog den gleichen Grenzübergang. Folglich gilt cos'1=-sint

rur

IE(O.Jr).

Für die SinusfunktiOll folgt mit der Kettenrcgel daraus ,

sin t =

d .)""""--,,,

~

dt

I

cos 1=

2costsint 2JI

cos 2 t

= cost,

(t E (0. Jr)).

Damit ist die Behauptung cos' { = - sin {, sin' t = cos { rur { E (0. Jr) bewiesen. Durch cos I = sin(t+Jr /2). sin t = ~ cos(t+Jr /2) gewinnt man die Richtigkeit der Behauptung fLirr = O. durch eos t = - sin(t -Jr /2), sin t = cos(t -Jr /2) fur { = .Jr, durch cos( -1) = cos {. sin( -tl = - sin t fur t E [-Jr, 01. und durch cos(t + k2Jr) = COS {, sin(1 + k2Jr) = sin { (k ganzzahIig) fur alle {ER. 0 Mit den Regeln sin' = cos und cos' = - sin können wir einen eleganten Beweis der Additionstheoreme fuhren. Satz 3.10: (Additio/ls{heoreme für sin und cos) Für alle reellen Zahlen x und y gilt sin(x + y) = sin x cos y + cosx sin y.

(3.41)

cos(x + y) = cosx cos y - sinx sin y.

(3.42)

Beweis: Wir setzen z := x + y. also y = z - x und setzen dies in die rechte Seite von (3.41) ein: sin x cos(z - x) + cosx sin(z - x) := fex) .

3.1 Grundlagen der Differentialrechnung

225

Differenziert man diesen Ausdruck nach x. so erhält man ['(x) =:: 0 fUr alle reellen x, Daraus folgt, daß f(x) konstant ist, also f(x) =:: f(O) ftir alle x E IR. Wegen f(O) sinz sin(x + y) folgt also

=

=

sin(x + y) = f(O) = f(x) = sin x cos y + cosx sin y.

o

womit (3.41) bewiesen ist. (3.42) folgt analog. Für die Tangens- und Cotangensfunktion folgt aus tanx = sinx / cosx und cot x mit der Quotientenregcl sofort

=::

cosx I sin x

Satz 3.11: Tangens- und Cotangens-Funktion sind in allen Punkten differenzierbar, in denen sie definiert sind. und es gilt

,

, [

tan x = --,- = I +tan-x. cos- x

(3.43)

,

, [

cot x = --.-2- = -I-cot-x. sm x

(3.44)

Für die Arcus-Funktionen, die ja die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen auf bestimmten Imervallen sind, erh~iJt man ohne Schwierigkeiten

Satz 3.12: Die Ableitungen der Arcus-Funktionen lauten . , arcsm x =

arctan' x =

[

~

,

,

arccos x =-

[

I

+x

[

vl-r [

I

dt

I

I

I

aresm x = - ~ - ~ - - ~ - - = dx ~; sin't cost Entsprechend ergibt' = arctan x, d,h. x I

dt

I

Hir alle x

arccot' x = ~ - - - 2 l+x

2 '

Beweis: 1 = arcsinx ist gleichbedeutend mit x = sint (-t < t < Umkehrfunktionen (Satz. 3.4 und (3.32). Abschn. 3.1.4): .

fllr alle x E (-1.1),

~

=::

tan t

I

JI

_sin 2 ,

(-f

< t <

"

IR.

T)' Damit folgt nach der Regel fllr I = ,";=~ ~

(lxl
f):

arctan x = - = - = - - ~ ,--.,-:=,-; ~ dr d, tan' , I +lan 2 , 1+ .... 2 arccos' x und arecot' x gewinnt man analog.

E

(XEIR).

o

226

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

Übung 3.17: Beweise die Ableitungsformeln für arccos und arccot.

Übung 3.18: Differenziere (a) y = sin(1 +x 2). (e) )'

=

./1 + Illn.r.

(e) )' = arecos(sinx).

(b) y=(x 3 _x 2 +2)eosx.

(d) y = eOl(sin.r). (f) y = arctan

~.

vl+x 2

Übung 3.19: Die hamlOnische Schwingung eines Federpendels wird durch die Gleichung x = A sin(WI) beschrieben (/ Zeit. x Weg. A > 0 Amplitude. W Kreisfrequenz). Berechne Geschwindigkeit und Beschleunigung zu beliebiger Zeit / (die erste Ableitung wird hierbei üblicherweise dureh i· statt x' beschrieben. die zweite durch.\ usw.). Zeige.\ + w 2 x = O. WO sind Geschwindigkeit und Beschleunigung betragsrnäßig am größten. bei Nulidurchglingen. in Umkehrpunkten oder woanders'!

3.1.7

Ableitungen der Exponential- und Logarithmus-Funktionen

Satz 3.13: Exponentialfunktion exp(x) = C X (x sind differenzierbar, und es gilt

d dx c" = eX ,

I

In x = x

ftir x

E

lR) und natürlicher Logarithmus Inx (x > 0)

(3.45)

E IR,

ftir x > O.

(3.46)

Beweis: (I) Für den DifferenzenquOIienten der Logarithmusfunklion bzw. x > 0 und x

+h

> O(h

i=

0)

errechnet man

::.' -"0:(-',-+.:..:;":,-)_--.:'::."x::.' h

~

;-h

In .T- = In h

(I + ~) h

= In

( ( 1+-" ) 11h) x

-+ lne

'I" =x

(für" -+ 0).

Der Grenzübergang ergibt sich aus Abschn. 2.4.3. Folg. 2.6. (Man hat dort x durch I/x zu ersetzen.) Damit ist In' x = I/x fur x> 0 bewiesen. Für x < 0, also lxi = -x, erhält man mit der

3.1 Grundlagen der Differentialrechnung

227

Kettenregel daraus d d I I -In lxi = -In(-x) = - . (-I) = -. dx dx -x x

und somit -

d


I In lxi = -

x

ftir alle x

1: o.

(11) Die Ableitung von)' = e X gewinnt man über die Regel fLir Umkehrfunktionen. Mit x = In y folgt X C dy I I -~-~-~--=)'=e-'

dx

dx

0

In' )'

dx dy

Bemerkung: Satz 3.13 macht deutlich, warum die Exponentialfunktion exp(x) = e X (x E IR) und ihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus, so wichtig sind: Die Exponentialfunktion hat sich selbst wieder zur Ableitung! Sie ist, bis auf einen konstanten Faktor, die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft. Wir zeigen dies im folgenden Satz 3.14. Beim Logarithmus In lxi springt ins Auge, daß seine Ableitung I Ix eine sehr einfache Funktion ist. Sehen wir uns einmal die Potenzfunktionen fex) = x'" mit ganzzahligem 111 an, so nillt an ihren Ableitungen f'(X) = IIIx",-1 auf, daß die Potenz x-I darunter nicht vorkommt. Alle anderen ganzzahligen Exponenten tauchen in den Ableitungen auf, nur der Exponent -1 fehlt unentschuldigl. Diese Lücke schließt gerade der natürliche Logarithmus. Satz 3,14: Jede auf einem Intervall I differenzierbare Funktion

f'(x) = af(x)

f die

fur alle x E I

(3.47)

erfullt (a E IR konstant), hat die Gestalt

fex) = ee
(e E IR konstant)

Beweis: Es sei f eine reelle Funktion, die (3.47) erfüllt. Man bildet damit die Funktion

!(x)

(3.48)

g(x):= e"x

und errechnet I

g(x)=-

F(x) eil.' - I(x)ae"·< e

2in

=0

flirxE/.

228

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

(Der Zähler ist Null, da ['(x):::: aJ(x) ist.) g ist also konstant: J(x)=ce"x.

=>

g(x)

== c. (3.48) liefert damit 0

Setzt man (I :::: I in (3.47). also [' :::: J. so folgt J(x) :::: ccx, d.h. J ist bis auf eincn konstanten Faktor c die Exponentialfunktion exp. Dabei ist J(O) :::: c. Im Falle J(O) :::: I ist X C :::: I und J (x) :::: e • Wir haben somit gezeigt: Folgerung 3.6: Die Exponentialfunktion exp(x) :::: e" ist die einzige auf lR differenzierbare Funktion, die sich selbst zur Ableitung hat und in x :::: 0 den Funktionswert I annimmt. Die allgemeine E.lpollemialfimktiol1 J(x) :::: (Ix

(a > O. xE lR)

läßt sich in der Form J(x) ::::

dn c· "

schreiben und mit der Keuenregel differenzieren: d ,. , -a' =a' Ina.

(3.49)

dx

Die Umkehrfunktion 10&, von J(x):::: aX(a > O.ll folgendermaßen dargestellt werden: Inlxl 10g"lxl::::--, Ina

,p

I) kann nach Abschn. 2.4.3, Folg. 2.7,

(3.50)

x,pO.

Speziell fLir x :::: e folgt log" e :::: aus (3.50): d I -log"lxl:::: - dl" ,rlna

~

1/ In a.

Die Ableitung von 10&, lxi gewinnt man unmittelbar

log"e --. x

Auch die al/gemeine POlen;j'lIllktioll J(x)=x".

x>O,

mit beliebigem reellen Exponenten a läßt sich nun leicht differenzieren. Wir schreiben J(x):::: e"lnx

und erhalten mit der Kettcnregcl die Ableitung J'(x)::::

eil Inx

a..!. = ,r(la..!. :::: 1I,r,,-1 . x x

(3.51)

3.1 Grundlagen der Differentialrechnung

229

also Satz 3.15: Die Potenzfunktion f(x) = x"(x > 0) mit beliebigem reellen Exponenten a hat die Ableitung d

-x" = ax,,-I

(3.52)

dx

Logarithmische Ableitung: Ist vall I, so wird durch

F(x):= lnf(x),

f :I

--+ (0. (0) eine differenzierbare Funktion auf einem Inter-

x EI,

eine neue Funktion gebildet. die logarithmierte Funktion aus der Ketlenregel: d dx

'0 fix) =

1'0/1

f heißt. Ihre Ableitung erhält man

/,(x)

f(x)·

(3.53)

Man nennt dies die logarithmische Ableitung von f. Bemerkung: Die logarithmische Ableitung bedeutet folgendes: Mit Y=f(x) .

gilt ungef:ihr Lly

.1x=x~xo.

~ !,(x)Llx,

.1Y=f(x)~f(xo)

(X.XoEI)

also

/,(x) '" --Llx. Y fex)

LI)'

-

(3.54)

Die logarithmische Ableitung !'(x)/f(x), multipliziert mit .1x, ergibt also ungeftihr die relative Änderullg 11011 y = fex) bei Änderung der x~Wcrte um Llx. Übung 3.20: Differenziere (u) y = eh .

(b) y=x 4 e'<.

(d) y=xlnx-x (x>O).

(e) y

10<

= -

x

(.r > 0).

(c) y = esin .<. (f) y

=

co~(lnx).

(i) y = Jlog" (x 2 )

+ I.

Übung 3.21*: Die Temperatur einer ~ich abkühlenden Flü~sigkeil sei _r = f(t)(°C) zur Zeit t. f errulle f'(t) = f(t) ruf alle I > O. Zum Zeitpunkt to = 2 min habe die Flüssigkeit die Temperatur xO = 70° C. Gib f(t) explizit an!

-!

230

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

3.1.8

Ableitungen der Hyperbel- und Area-Funktionen

Wir knüpfen an die Definition der Hyperbelfunktionen sinh. cosh. tanh. eoth und ihre Umkehrfunktionen arsinh, arcosh, artanh. arcoth in Abschn. 2.4.4 an und gewinnen daraus problemlos die AbleilUngen 1 ,,"""=co .;:;:rtI'

sinh'x=coshx,

xEIR,

arsinh' x =

cosh'x=sinhx.

xElR.

arcosh

xElR,

, 1 artanh x = - - -2 ,

lxi<

I,

t- O.

, 1 arcoth x = - - - , '

lxi>

I.

,

I

tanhx=--,-. cosh x 1 coth' x = - - -2- . sinh x

x

,

x=±

1

~

.,;x· - I

1- x

I-x

X E

IR,

x> I .

Bemerkung: (a) Die beiden Vorzeichen ± bei arcosh' bedeuten. daß hier zwei Funktionen gemeint sind, wobei sich + auf die Umkehrfunktion von cash: (0,00) ....". IR bezieht und entsprechend - auf die Umkehrfunktion von cosh : (-00.0). (b) artanh' und arcoth' haben zwar formal denselben Formelausdruck rechts vom Gleichheitszeichen. doch beziehen sie sich auf verschiedene Bereiche der x-Achse, wie rechts angegeben. Übung 3.22: Leite die obigen Ableitungsforllleln rur die Hyperbel- und Area- Funktionen her.

Übung 3.23: Differenziere (a) y = (.r 3 +sinhx)3.

(b) y = arsinh,JX

(e) y =.r 2 ·sinh(x)eosh(x).

(d) y = - -

,.,

ananhx

(x:l' 0). (x:l'O).

Übung 3.24: Die Kurve einer Hochspannungsleitung wird durch

y = /10 +lI

(COSh; - I).

-xo::

x:: xo.

beschrieben (/10. (/. Xo positiv). Welchen Winkel bildet die Leitung mit der Horizontalen an den Enden bei -xu und .rO? Dabei setze man 110 = 7 m, .rO = J 5 m, a = 60 n1.

3.1.9

Zusammenstellung der wichtigsten Diffcrentiationsregelll

Die wichtigsten elementaren Funktionen sind mit ihren Ableitungen in folgender Tabelle zusammengestellt. Dabei existieren die Ableitungen in allen Punkten x. in denen die Funktionen

3.1 Grundlagen der Differentialrechnung

231

definiert sind. Lediglich bei X U ist zu beachten, daß im Falle Ci ~ I zusätzlich x ~ 0 vorauszusetzen ist. Im Folgenden seien Ci und c beliebige reelle Zahlen, sowie a eine beliebige positive Zahl. Tabelle 3.1: Elementare Funktionen und ihre Ableitungen fex)

f'(x)

1(x)

c

0

arccosx

x"

cuu -

sinx

cosx

arcco!x

cosx

-sinx

e'

l

arctallX

,

,

- 2- = 1 +tan-x

In .(

cotx

--

Q'<

arcsinx

I JI-x~

Ianx

-, .,

cos x S1l1-

x

,

=-I-cot~x

JogI/lxi

/,(x)

,

,

~ I

,

+x 2

-1 +x 2

" x

a X Ina xlno

=

log" e x

Die Ableitungen der Hyperbelfimkliollell sinh, cosh usw. sowie ihrer Umkehrfunktionen arsinh, arcosh usw. entnimmt man der Tabelle des vorhergehenden Abschnitts. Tabelle 3.2: Oft auftretende Funktionen und ihre Ableitungen I(x)

I'(x)

L" ap:J.:

tl-I

/;=0

j=O

Polynom In g(.I")

LU + I)aj+lx

(g(x) > 0)

xlnx-.(

g'(.() 8(X)

,.,

f'(x)

,

f(·() j

.;;

2.ji x

JI +.1"2 JI _x 2

~ (1.(1 < 1)

Die folgenden Ablcitungsregeln gelten übemll dort, wo die Funktionen sind. und - im Falle der Division durch g - wo g(x) =1= 0 ist. SUlIllllenregel:

Differenzen regel:

U + g)' = j' + g'. U -g)' = j' -g'.

x

~

f.

g differenzierbar

232

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

HOl/logellitül:

(AI)' ~ AJ'

Prodllktregel:

([g)' = f'g

GY GY

Quotientenregel: Reziprokenregel:

~

~

(A E IR)

+ fg' f'g-fg' g2

-g' g-

-,-

Für verkellete Funktionen fog schreiben wir y = f(g(x» und setzen dabei y = fez), z = g(x). Damit gilt - im Falle der Differenzierbarkeit - die

d)'

Kettel/regel:

.1x

d)' ~

.1,

.1, dx

Sie kann auch in der Form (j 0 g)' = (j' 0 g)g' notiert werden. Ist f streng monoton und differenzierbar in x, so schreiben wir y erhalten die

Regelfiir Umkehrflll/ktionell:

.1y

.1x

= f- l (x), X = f(y) und

I

~

dX dy

Sie läßt sich auch in derGestalt ([-1)' = 1/1' 0 f- l schreiben.

Übung 3.25: Es sei 8 : I Beweise

-+

IR auf dem Intervall I ungleich Null und mindestens li-mai differenzierbar.

3.2

Ausbau der Differentialrechnung

3.2.1

Die Regeln von de I'Hospital J

Die Bestimmung eines Grenzwenes Iim f(x)fg(x) kann schwierig sein. wenn f(b) = g(b) = 0

,_b

ist. Sind fund g allerdings differenzierbar in b, und ist g'(b) =1= 0, so ist die Grenzwenbildung einfach: 3 Gul1iaurne Francois Anloine Marquis de rHospital (1661-1704) hat die nach ihm benanmen Regeln von Johann Bemolllli "gekallfl~! Regeln. Beweise und Beispiele wurden ihm von Bemollili - dem eigemlichen Entdeckermitgeteilt de rHospil
3.2 Ausbau der Differentialrechnung

Satz 3.16: (Regell'oll Je I'Hospiral. elementarer Falf) Sind bar in bEI (I Intervall), und gilt [(b)

~

sowie g'(b)

gib) ~

~

f :I

_

IR, g : I _ R. differenzier-

0

Oundg(x)

~

ofur alle x

E

I, x ~ b, so folgt

lim fex) = !,(b) . x_b g(x)

Beweis: Es sei x

~

[(x)

233

(3.55)

g'(b)

b. x E I. Damit folgt sofort

~

g(x)

[(x) - [(b) g(x) g(b)

~ ~[~(,;~{(~b) ~ ~(b)

S(X1

f'(b) g'(b) .

fLir x _ b.

o Beispiel 3.13: (a)

sinx lim - -

x--->Oe-'~I

lnx

(b) _~~I x2 _ I

~

cos(O) -O e

~

I

(Der Leser ergänze die rechte Seite)

=

Der folgende Satz verallgemeinert den bewiesenen Satz 3.16. Satz 3.17: VOll (Ie I'Hospital. allgemeiner Fall) Es seien fund g differenzierbare reelle Funktionen auf dem Intervall (a. b), fur die

(Regeln

lim fex) = lim g(x) = 0

x_b

x--->b

lim fex) = ±oo

x_b

gilt. Es sei ferner g'(x)

und ~

0 auf (0, b). Damit folgt

lim fex) = lim !,(x) x--->b g'(x)

x_b g(x)

lim g(x) = ±oo

x_b

(0 < x < b),

(3.56)

sofern der rechtsstehende Grenzwert existiert oder ±oo ist. (Hierbei ist auch a = oder b = 00 zugelassen.)

-00

234

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

Für x

-f

a «(I < x < b) gilt die entsprechende Aussage.

Der Beweis beruht auf der gleichen Idee wie beim vorigen Satz. Wir fLihren ihn hier nicht aus, sondern verweisen auf [26], S. 287. Für den Ingenieur sind die Anwendungen des Satzes wichtig. (Gelegentlich wird hier von

o o

co

»unbestimmten Ausdrücken« - oder -

co

gesprochen, doch wollen wir diese mißverständliche

Sprechweise besser vermeiden.) Wir beginnen mit einfachen Beispielen, die zeigen, welche Fülle neuer Grenzwertaussagen mit Leichtigkeit aus den de I'Hospitalschen Regeln folgen. ßeispiele Im Folgenden seien a und b beliebige positive Zahlen. Beispiel 3.14:

c".I"

lim - x ..-_00

(le".\"

= lim - - =

..-_00

00 .

Daraus folgt Beispiel 3.15:

e"'"

lim b

x_oo

X

= x_oo lim

(e((llb l.• ), --x

=00.

D.h.: Jede Exponentialfunktion e"x (a > 0) geht sclmeller gegen 00 als jede Potenz von x. Daraus folgt sofort ßcispiel3.16: lim p(x) e-"x = 0

"'_00

ftir jedes reelle Polynom p.

Beispiel 3.'7: lnx I/x lim - = lim -b-I - hm - = 0. x_oo x h x_oo Irr x_oo bx h lox

Wegen log" x = -

'"a

(a > 0) folgt auch

tim (Iog"x)/x b =0.

<_00

D.h.: Jeder Logarithmus log" x geht langsamer gegen 00 als jede Potenz von x. Beispiel 3.18: lim x b In x

x_O

Daraus folgt

rh

= .•lim - - = lim --;-'"=:;;::, = lim -=--- = 0 _0 x- h .1'_0 -bx b I .r-oO b Inx

I/x

(x>O).

3.2 Ausbau der Differentialrechnung

Bcispicl3.19: lim x r = tim ex1nx = eO = 1 X_O

,

,

X_O

235

(x> 0).

Setzt man x = -, so folgt Hm -,/- = I, also gilt dies auch für den Kehrwert: 11

tim

"_00

1/i =

11-00 11

tI

I.

Beispiel 3.20: I-cosx smx cosx I lim = hm - - = lim - - = - . x_O x2 r_O 2.\ x_O 2 2 Hier wurden die de I'Hospitalschen Regeln zweimal hintereinander angewendet. Auch in den folgenden Übungsbeispielen ist dies der Fall. Beispiel 3.21: I - cosx li m -'c---==".r_oer_l_x

sinx cosx lim - - = lim - X- = I. -I .r_O e

X_O CX

Beispiel 3.22: coshx-I sinh x cosh x cosh 0 I lim . ., = lim ;;cc-:----:---:- = li m ., 2 = 2cos 0 = 2" x_O sm- x x_o2sinxcosx x-02{cos2x-sin-x)

Grenzwerte "on Differenzen Mit den de I'Hospitalschen Regeln lassen sieh auch Grenzwerte der Form lim (fex) - g(x»

(3.57)

lim j(x) = lim Sex) = 00

(3.58)

x_I>

mit x_b

x_b

bestimmen, also Grenzwerte, die verzweifelt nach 00-00 aussehen, was ja bekanntlich verboten ist. Sind nämlich j und g auf (a, b) differenzierbar (a = -00, b = 00 zugelassen) und gilt (3.58), wobei stets a < x < b ist, so sind j(x) =1= 0 und g(x) =1= 0 rur große x. etwa ft.ir alle xE (XO. b) mit geeignetem xo. Für diese x rechnen wir

,

,

[(xl - g(x)

1

I

--

--

~ -,- - -,- ~

j(x)

g{.\")

----Sex)

,

j(x)

j(.\")8(.\")

und versuchen. auf den rechts stehenden Bruch die Regeln von de l"Hospital anzuwenden.

(3.59)

236

3 Differenlialreehnung einer reellen Variablen

Beispiel 3.23:

I xI) x....o (sinx lim

----

x-smx

--,-=---,x-o xsinx

= li m

I-cosx smx = li m ---,---,---,-,,=~ = 0 . x_ox·cosx+sinx x....o xsinx+2cosx

= li m

Beispiel 3.24: lim

(I I) ----

x.... O x

eX-I

Übung 3.26: lim

., .... 1

a 1- x _x x

(u >

x~IJ.,.tln(I+~).

0).

lim -

I(

lim

_,. . _ - I- )

x ....Ox 2

I)

1--casx

x .... I ( x - I

Inx

Übung 3.27: (a) Die P/lll1cksdu/ Slrahllll1gs!Ontld lautet

Miln beweise durch viemlaliges Anwenden der de l"Hospitalschcn Regeln. daß lim Li.. =0 ;,.....0 gilt. (Dies beschreibt auch den physikalischen Sachverhalt richtig.) Anleitung: Man setze zweckmäßig x = ch/(k T},.) und unlersuche den entstehenden Ausdruck flir x ---+ 00. (b) (Freier FlIlIlI1it Reibung) Wir betrachten den freien Fall eines Körpers der Masse m durch ein z:ihes Medium. Der Reibungswiderstand R verhalte sich proportional zum Quadrat der Fallgeschwindigkeit v. also R = kv 2. mit einer Konstante k. Der Weg s. den der Körper in der Zeit 1 zurücklegt. ist dann gegeben durch

wobei g die Erdbeschleunigung beleichnel. I

Zeige. daß dieser Ausdruck ftir k ---+ 0 gegen .\' = 2g12 strebt. Dies ist die bekannte Fannel ftir den freien Fall olme Reibung.

4 MUll Karl Ernst Ludwig Pland (1858 - 1947). deutscher Physiker

3.2 Ausbau der Differentialrechnung

237

Übung 3.28: Wo siecki der Fehler in folgender Berechnung nach der de r Hospilalschen Regel: lim x_I

t 3 -2x+[

''---T''-;'--2 x

I

3x 2 _2

6.t

= lim - - - = lim - = 3? x_I 21" x_I 2

(Der richtige Grenzwen iSI [/2.)

Die Taylorsche5 Formel

3.2.2

Motivation: Da sich Polynome leicht berechnen und differenzieren lassen,ja. überhaupt bequem handhaben lassen. möchte man auch komplizierte Funktionen wenigstens näherungsweise durch Polynome darstellen. Wie lassen sich solche »Näherungspolynome« finden? Nach der Idee ~'Oll Taylor gehl man folgendermaßen vor: Ist f eine beliebige Funktion auf einem Intervall I um 0, so macht man den Ansatz (3.60)

und verlangt, daß sämtliche Ableitungen des Polynoms P(x) = Go + alx

+ (/2X2 + ... + a"x"

(3.61)

von der O-ten bis zur II-ten Ableitung im Punkt 0 mit denjenigen von f übereinstimmen. Dies ist natürlich nur möglich, wenn f wenigstens n-mal differenzierbar ist. was hier zusätzlich vorausgesetzt sei. Als nullte Ableitung f(O) bezeichnet man die Funktion f selbst: f(O) = f. Es soll also P so bestimmt werden, daß f(O)

~

P(O).

f'(O) ~ P'(O), ... ,

(3.62)

erfl1llt ist. Dabei liegt der Gedanke zu Grunde, daß sich bei Übereinstimmung der ersten 11 Ableitungen in 0 die beiden Funktionen fund P wohl nur wenig unterscheiden werden, zumindest in genügender Niihe von O. Der Unterschied beider Funklionen

R,,(x) = fex) - P(x) heißt Restglied. Man hofft, daß IR,,(x)1 möglichst klein wird. Aus (3.62) ist das Näherungspolynom P leicht zu bestimmen. Für die Ableitungen von P in oerrechnet man ohne Mühe P(O) =

ao.

P'(O) = I !al .

P"(O) = 2!a2 .... ,

Setzt man in der ersten Gleichung noch O! = I hinzu, so folgt aus (3.62) flir alle k = O. I, 2, n also 5

Broo~

/(k)(O) ak=---, k!

Taylor (1685 - 1731). englischer Mathcmali~cr

(3.63)

238

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

womit die Koeffizienten von P berechnet sind. Eingesetzt in (3.60) folgt also [(x) = /(0) ,

+

+ 1"(0) x2 + ... + _f_'''_'(O_) x" +R,,(x)

['(0) x

I!

2!

Il!

(3.64)

l'(x)

Allgemeinfall: Will man allgemeiner [ durch ein Polynom annähern, das in der Nähe eines beliebige" Punktes Xo E I möglichst gut mit / übereinstimmt, so hal man in (3.64) 0 durch Xo zu ersetzen und statt x den Ausdruck (x - xo) zu schreiben. Es folgt damit der allgemeine Näherungsansatz . ['(xo) . I"(xo) 2 [(,,) (xo) . " . /(.x) = [(xo)+--(.\-xo)+--(x-xo) +... + (.I.-xo) +R,,(.I.). (3.65)

I!

n!

2!

Das Restglied wird wieder mit R,,(x) bezeichnet. Das Näherungspolynom P() x = f( xo)

f '(x

)

0 (x + -,-,-

x() )

+. .. +

f'"' (x 0) « _ xo)" Il!"

(3.66)

erfüllt p(k)(xO) = [(k)(xO) für alle k = 0, 1.2, ... , n. Natürlich möchte man wissen, wie gut das Polynom P die Funktion [ annähert, d.h. wie groß der »Fehler« IR,,(x)1 = I/(x) - P(x)1 ist. Diese Frage wird durch folgenden Satz beantwortet, in dem gebriiuchliche Formeln rur das Restglied angegeben sind. Satz 3.18: (Taylorsche Forme/mit Restglied) Es sei / eine reel1e, (11 + 1)- mal differenzierbare Funktion auf einem Intervall J. Sie läßt sich in folgender Form darstel1en: [' (Xo) I" (xo) 1 /(x) = /(xo)+-I-!-(x~xO)+-2-!-(x~xo) +.

(3.67) wobei x und Xo beliebig aus I wählbar sind. (a) Das Restglied R,,(x) kann dabei folgendermaßen geschrieben werden: R"x ( ) -_

f

,"+II(,) , (x "li)

..to. )"(x

- <,;,),,+1-1'

•

Schlömilchs6 Restgliedformel.

(3.68) Dabei ist fJ eine beliebige Zahl aus {I. 2 ..... n + I} und ~ - im Falle x i= xo - ein Wert zwischen x und .\"0, dessen Lage von x . ..to, fJ und 11 abhiingt. (Die genaue Lage von ~ ist normalerweise nicht bekannt.) Im Falle x = Xo ist ~ = Xo zu setzen. 6 Oscar Xavier Schlömiich (1823 - 19(1). deutscher Mmhernati~er

3.2 Ausbau der Differentialrechnung

(b) Wählt man p = Spezialfall

J1

+ I in

f(I1+1)(~)

R,,(x) =

(Il

+ I)!

239

Schlömi1chs Restgliedfofmel, so folgt der wichtige

LagmilgescIJe7 Restgliedfonnel, (3.69)

(x -xO){,,+I).

(c) während man im Falle p = I folgendes erhält: R,,(x) =

f(n+I)(~)

n!

(x-xo)(x-O ll .

COllchysclJe Restgliedformel. (3.70)

(3.67) heißt Taylorformell'oll f. eil/wickelt 1/11I xo. Beweis: 8 Es sei paus {I. 2..... " + I} beliebig, aber fest gewählt. Im Falle x = xo ist R" (xo) = 0 (naeh (3.68)) und damit (3.67) erfLillt. Wir setzen daher im Folgenden x i= xo (x E I) voraus und bestimmen dazu Cx E IR so, daß ['(xo)

f(x)=f(.ro)+-l-'-(.r~.ro)+

gilt: Man ersetzt nun betrachtet die durch F(z) := fez)

f{") (xo) ( )" x~xo +cx I/!

durch eine Variable z, wobei

Xo

['(~)

+ -<-(x I!

... +

x

und

Cx

(

· x~xo

)1'

(3.71)

festgehalten werden, d.h. man

f"(z) f(lI)(Z) z)+ - - ( x _Z)2+ ... + - - ( x -z)" +Cx · (x -z)P (3.72) 2! II!

definierte Funktion auf J. Sie erflillt offenbar F(x) = fex) und F(xo) = f(x), also F(x) = F(xo). Nach dem Satz von Rolle gibt es daher ein ~ zwischen x und Xo mit

Dabei hat F'(z) fur beliebige z E I den Wert Fr(z) =

f{,,+I)(Z) Il!

(x - z)" ~ c,p(x ~ Z)/,-I.

wie man leicht aus (3.72) berechnet. Für z = ergibt somit c, = /

~

wird dieser Ausdruck Null. Auflösen nach c,

(,,+1)(,)

l1!p

S (x _ ~)"+I-p.

Setzt man dies in (3.71) ein, so folgt damit die Behauptung des Satzes. 7 kan Louis Lagrange (t 736- 18t3). itatienischer Mathematiker und Astronom 8 Vom anwendungsorientienen Leser kann der Beweis ohne Nachtcil iibcrspnmgcn ....·crdcn.

o

240

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

Zur Verwendung der Rcstgliedformeln Wir wollen exemplarisch die Lagrangesche Restgliedformel betrachten. die am häufigsten verwendet wird: (3.73)

Man kann sich die Formel/eich/merken, denn man hat nur das (/1 + l)-tc Glied der Taylorformcl hinzuschreiben.

und in [(II+l) (xo) das Xo durch ~ zu ersetzen. Das ~ ist zwar unbekannt, doch ist dies nicht so schlimm, da man normalerweise R" (x) nicht exakt benötigt, sondern lediglich IR,,(x)1 von oben abschätzen möchte. Das ist möglich, wenn z.B. [(,,+1) in I beschränkt ist, gcnauer, wenn man eine Konstante M > 0 finden kann mit 1[(n+1)(x)1 s M in I. Das ist häufig möglich. Dann folgt aus (3.73) die Abschätzung M IR,,(x)1 S ;:--;-o;olx - xol"+1 ,

(11+ I)!

mit der sich gut arbeiten läßt. Wir wollen dies am Beispiel der Exponentialfunktion, der Sinusfunktion und anderer Funktionen zeigen.

3.2.3

Beispiele zur Taylorformel

Beispiel 3.25: Für die Exponentialfunktion

[(x)=e X

•

xER.

ist die Taylorformel schnell hingeschrieben: Wegen

eX = [(x) = ['(x) = ["(x) = ... = [(I:)(x) = ... also insbesondere [(1:)(0) = eO = I rur alle k = O. 1,2, ... lautet die Taylorformel von e", entwickelt um 0 (nach (3.67»:

x r2 eX= I + ~ +:.--. + .... I! 2!

r"

+=---- + RII(x) I/!

mit

e~ X"+ 1

R,,(x) = (11

+ I)!

.

(3.74)

Dabei ist ~ ein von x und 11 abhängiger Wert zwischen 0 und x (im Falle.r = 0 ist ~ = 0). Wegen I~ 1 s lxi können wir das Restglied bequem abschätzen; es ist

241

3.2 Ausbau der Differentialrechnung

el.'llxl,,+1 IR,,(x)l::: ( 1)' n+ .

(3.75)

Hiemus erkennt man sofort, daß lim R,,(x) = 0

(3.76)

')---->00

gilt, denn bezeichnet man die rechte Seite in (3.75) mit 0", so gilt a,,+l (l1l

Damit ist

~

-lxi- _ 0 11 +2

rur

11_

rL,=,f (I,,] nach dem Quotientenkriterium eine konvergente Reihe, woraus a" _

00 folgt und somit R,,(x) _ wicklung

11 _

00.

0 rur

11 _

Q fur

00. Aus (3.74) ergibt sich damit die Reihenent-

(3.77)

Die Reihe heißt Taylorreihe von e X um Q. Wir haben hier eine der wichtigsten und berühmtesten Reihen der Analysis vor uns. Speziell fur x = I gewinnen wir daraus eine Berechnungsmethode fur e: (3.78) Der Abbruchfehler ist dabei höchstens so groß wie das erste weggelassene Glied, multipliziert mit e oder - da e zunächst nicht gcnau bekannt ist - mit 3. Mit (3.74) haben wir überdies eine gute Formel zur Berechnung von eX rur kleine x, insbesondere für 0 ::: x ::: I (für -1 <.r < 0 kann man e'< = 1/ e- x ausnutzen). Für größere .r kann man so vorgehen: Ist k ::: .r < k + I (k E N), so bildet man

berechnet e.T-k mit der Taylorformel (da ja 0::: x - k < 1), und multipliziert dies k-mal mit e. Bemerkung: Es sei erwähnt, daß man auf Computern heute verbesserte Methoden verwendet. Schließlich ist die Mathematik in den letzten 200 Jahren nicht stehen geblieben. Doch ist die Taylorformel trotzdem eine vorLügliche Methode zur Berechnung von e< Beispiel 3.26: Auch Sillll.f und COSillll.f lassen sich leicht in Taylorformeln um 0 entwickeln. Beginnen wir mit sinx und schreiben die Taylorentwicklung hin:

242

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

sin' 0 sinx = sinO+ -'-I-x

sin" 0

+ 2iX

2

+ ...

Sill(") 0

+ -'->i-X" +

R,,(x).

Dann berechnen wir die darin auftauchenden Ableitungen von sin bei 0: sinO=O,

=> sin'O = I, => sin"O = 0, => sin"'O=~I. => sin(4) 0 = 0,

sm' x = cosx sin" x = -sinx sin"'x=~cosx

sin(4) x = sin x usw. Also folgt x3

.

smx = x - 3!

5

7

5!

7!

+ -x - -x + ... + RII(x).

mit

(3.79)

Analog errechnet man x2 x4 x6 cosx = 1- 2! + 4! - 6! + ... + R,,(x),

cos(,,+I)(~)

mit

R,,(x) =

Da Isinxl ::s 1 und Icosxl ::s 1 ist und damit auch I sin("+I)(~)1 die Restglieder in beiden Fällen

::s

(11

+ I)!

(3.80)

x,,+1

1, I cos("+I)(~)1

::s

1, gilt fLir

Ixl,,+1 IRII(x)l::s (

Tl

+ I)'· .

Die rechte Seite strebt für

11 --7 00

gegen 0 (wie in Beispiel 3.25), also gilt

R II (x) --7

0 rur

11 --7 00.

Damit erhält man die Taylorreihcn von sinx und cosx: .

3

.5

X.\

X

7

00

""

(

-

I)'

S1l1X=X-3T+ 5! -7! +"'=L(2k+I)!x k=O

x2 x4 x6 cosx = I - - + - - - + ... = 2!

4!

6!

2:: (_I)k (2k)' x 00

2k

2k+l

.

(3.81)

.

k=O

Die Taylorenlwicklungcn von sinx und cosx licfern uns Berechnungsmcthoden, mit denen sin x und cosx beliebig genau ermittelt werden können, insbesondere flir lxi ::s Durch sukzessives Anwenden der Formeln ± sinx = cos (1- T x), sinx = sin(n - x), sin x = sin(x + 2kn) (k ganz) und entsprechender »Verschiebeformeln« flir cosx kann man damit sinx und cosx auch rur beliebige x E IR berechnen. Dies macht die Stärke der Taylorformel deutlich! (Computer benutzen verbessene Formeln, ja, sie gehen oft sogar tabellarisch vor.)

t.

3.2 Ausbau der Differentialrechnung

243

Bcispicl3.27: Die Taylorformel der Logaritltlllll.r-Fullklioll Inx kann man nicht um 0 entwickeln, da die Funktion dort einen Pol hat. Man entwickelt sie statt dessen um I, also um die Nullstelle von Inx, oder - was auf dasselbe hinausläuft - man entwickelt [(x) = In(1 + x) um O. Dazu errechnet man ['(x) = (1 +x)-I,

!,'(x) = -(1 +x)-2,

f"'(x) = 2!(1 +x)-3.

f(k)(x) = _(_I)k(k - 1)!(1 +x)-k,

setzt x = 0 ein und erhält die Taylorentwicklung x2

x4

x3

(-xl"

2 +:3 - 4 + ... - -,-,- + R,,(x).

fex) = In(l +x) = x -

Für 0::: x::: I folgt aus der Lagrangeschen Restgliedformel mit einem x,,+l

I

-. IR".('li -- 11 + I (I

+ 0,,+1

1 < - - -+

- 11

~

E (0. x):

0 rur ,,-+ 00.

+I

während fur -I < x < 0 die Cauchysche Restgliedformel verwendet wird:

lxi IX-~I" I +~

Ixllx-H'

IR,,(x)1 = (1 +~)n+l = 1 +~

Wegen 1

+s >

mit

-1<x<~
1 +x und (3.82)

folgt

lxi

IR,,(x)1 ::: _ _ lxiII -+ 0 I+x

rur

11 -+ 00.

Damit erhält man die TaylolTeihe

In(l

+ x) =

x2

x - -

2

x3

x4

3

4

+ - - - + -.

für

-1<x:::l.

(3.83)

Für x > I und x ::: -I liegt offenbar keine Konvergenz vor. Setzt man x = 1 ein, so gewinnt man die bemerkenswerte Formel In 2 = I -

1

I

I

I

'2 + :3 - 4: + '5 - +. .

die sich kein Autor an dieser Stelle entgehen läßt.

(3.84)

244

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

Zur Berechnung "Oll Logarithmen kann man mit der Taylorreihe (3.83) trickreich umgehen, und zwar so: Will man In a fUr a > 0 ermitteln, so berechnet man zunächst (I-I

x=--. a+1 E~

woraus

I+x a = - - folgt. I-x

ist lxi< 1. Damit gewinnt man aus (3.83): 3

S

I+x ( x +x- + x- + ... ) In(l=ln--=ln(l+x)-ln(l-x)=2 1 -x 3 5 Die rechtsstehende Reihe gestattet eine effektive Berechnung von In (I, wenn a in der Nähe von I liegt. Liegt a > 0 nicht in der Nähe von 1, ist es also sehr groß oder sehr klein. so kann man a zuerst durch eine Potenz ek dividieren (k ganz), so daß aj e k . so nahe wie möglich bei I liegt. Dann berechnet man ln(a/ ek ) nach obiger Methode und gewinnt damit In a = ln(a/ e k ) + In e k = In(aj ek ) + k. Es sei bemerkt. daß die eingebauten Programme auf Computern heute noch effektivere Methoden benutzen (wie z.B. Tschebyscheff-Polynome, Tabcl1enillterpolation u.a.). auf die hier nicht eingegangen werden kann. Beispiel 3.28: (Binomische Reihe) (I) Als besonders einfache Funktion betrachten wir zunächst

[(x)=(I+x)"

mit

nEN,xEIR.

Wir errechnen die Ableitungen [(k)(x) und erhalten [(k)(O) = 11(11- l)(n-2) ... (n -k+ I) = (").

k!

k!

(n

k

~ k).

(3.85)

Ferner ist f(1l+I)(x) == 0, also R,,(x) = 0 fur das Restglied der Taylorforrnel. Damit lautet die TayloTCntwicklung von (I + x)" um 0: (I +x)"

~

tG)

(3.86)

(a EN).

k=O

Dies ist die wohlbekannte binomische Formel, die hier auf neuem Weg gewonnen wurde. (Man hat nur x = b/a zu setzen und mit a" zu multiplizieren, um aus (3.86) die gewohnte Form (a + b)" = ... zu erhalten.) (11) Wir setzen nun statt 11 E N eine beliebige reelle Zahl fex) = (I +.\f,

(I

ein, d.h. wir wollen die Funktion

a E R, lxi< I

in eine Taylorformel um 0 entwickeln. Dazu berechnen wir die Ableitungen j(k'(X) = a(a ~ I)(a ~ 2)·

.(a~k+l)(l+x)"-k.

3.2 Ausbau der Differentialrechnung

245

Analog zu (3.85) definien man Binomialkoeffizienten (:) für beliebiges reelles a:

=:

(I

+.lf

=:

für k E N, nebst

(~):=:

I.

=: (:) und somit die Taylorentwicklung

Damit ergibt sich j{J;)(O)/ k!

j(x)

·«(I-k+l)

l)(a ~ 2)· .. k!

") := {j(u (k

)x k + R,,(x). L" G

(3.87)

k==O

Das Restglied wird mit der Cauchyschen Restgliedformel und (3,82) folgendermaßen abgeschätzt: I R (x)1

"

-

"I 1(" )(n+()x(x-O"I (I+sy+l" 1.1:':..::11" I( +a )(n+l)xl + s)" +s -

f(,,+I)«).x « - ') n!'"

I -I( ~

11

~

a ) (,,+I)x I + I (I

Dabei ist C > 0 so gewählt, daß

11+1

I

<

/I

I

C

eS I1 + sll-a fLir alle denkbaren s zwischen 0 und.r gilt

(lxi< I). Für den rechts stehenden Ausdruck a" gilt aber a ll /a,,_l fLir

n -+

[f a,,]

00, also ist

a" -+ 0 fLir 11

-+

lxi "_. _.a".

=: Ixlla -

/11111

-+

lxi

nach dem Quotientcnkritcrium fLir Reihen konvcrgcnt. woraus

fl== I

00 folgt, also auch

R,,(x) -+ 0

fLir

11 -+ 00.

Damit ergibt sich aus (3.87) die binomische Reihe: (I

+ x)"

=:

t

(:)x

k

,

lxi< I,

aE IR.

(3.88)

k==O

In der Technik muß man öfters (I + x)" fLir »kleine« lxi< 1 berechnen. Aus (3.87) folgt fUr 2 die brauchbare Näherungsformel

11

=:

(1 +x)"::::;:; I +ax

+

a(a-l) 2 2 x,

(3.89)

wobei das Restglied RJ(x) vernachliissigt wird. (Ob dies im Rahmen der gefordenen Genauigkeit zulässig ist. muß mit einer der Restgliedformeln gegebenenfalls überprüft werden.) Im Falle a =: 1/2 und lxi « I erhalten wir z.B. die Näherungsformel

x

v'l+X ~ 1 +"2 -

x' s·

(3.90)

246

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

Für das vernachlässigte Restglied errechnet man im Falle lxi:::: 1/4 z.B.IR3(x)1 :::: O.14IxI 3. Der Fehler liegt also höchstens in der Größenordnung von 0.002, was zumindest bei Übcrschlagsrechnungen akzeptabel ist.

Übung 3.29*: Beweise 2

I x '0-=.1"+ -2 I-x

Übung 3.30: Es soll sinx Hir lxi:;:

.t 4

x3

+-+-+ 3 4

Hir-l:;:x<1.

%mit der Taylorfonnel

(3.79) berechnet werden. und zwar mit einer

Genauigkeit von 8 Dezimalstellen nach dem KOmmll. Wic groß ist n zu wählen?

Übung 3.31: Enlwickle fe.t) = I/JT'+""X Hir I.tl :;: I in eine Taylorfomlel um 0 Hir Reslglied 1<3(x) mit der L1grangeschen Formel ab.

3.2.4

11

= 3. Schälze das

Zusammenstellung der Taylor~ihen elementa~r Funktionen

Im letzten Abschnitt haben wir schon Taylorreihcn einiger ausgewählter Funktioncn betrachtet. Allgemein versteht man unter einer Taylorreihe folgendes:

Definition 3.4: Ist j eine rcellc, beliebig oft differenzierbare Funktion auf einem Intervall I, so lautet die zugehörige Taylorreihe, entwickelt um xo E /:

[

f(xo)

!'(xo)

/,,(xo)

..,

+ -,-,-(x -xo)+ -2-'-(x -xo)-+ ... +

j(k)(xO) k ] k! (x -.ro) + ....

oder kürzer geschrieben:

Folgerung 3.7: Die Taylorreihe von f, entwickelt um xo, konvergiert genau dann gegen fex), (x E /), wenn das Restglied R,,(x) = fex) -

" j'''(Xo )

I: k",O

k!

, (x - -'"0) .

3.2 Ausbau der Differentialrechnung

flir

247

00 gegen 0 konvergiert. Man schreibt dann

1/ --7

fex) ~

L 00

f(k)(xO)

k!

k

(3.91)

(x -xo) .

k=O

Gilt dies flir alle x aus einem Intervall um xo, so sagt man: »f Hißt sich in diesem Intervall in eine (konvergente) Taylorreihe um xo entwickeln« oder» f besitzt in diesem Intervall eine Taylorreihe um xo«. Ein einfaches aber brauchbares Kritcrium dafür, daß eine Taylorreihe gegen f(x) konvergiert, ist in folgendem Satz angegeben: Satz 3.19: (KunvergenzkriteriulII jiir Tay/orreihen) Eine beliebig oft differenzierbare Funktion f / --7 IR (J Intervall) läßt sich auf I in eine konvergente Taylorreihe entwickeln, und zwar um einen beliebigen Punkt Xo EI, wenn fliral1ell E Nundullex E I

If(II)(x)1 S. CM"

(3.92)

gilt, wobei C und M von 1/ und x unabhängige Konstanten sind. Beweis: Aus der Lagrangesehen Restgliedformcl folgt mit (3.92)

I

R (x)] < C IM· (x - xoW+ 11

-

1

(3.93)

(1/+1)1

Man erkennt (/,,+[/(1 11 = M . Ix - xol/(II flir Reihen konvergiert also

00

+ I)

La", woraus (/11

--7

0 fUr 11

--7

0 folgt.

--7

00. Nach dem Quotientenkriterium 0

11=1

In Tabelle 3.3 sind die Taylorreihen der wichtigsten elementaren Funktionen übersichtlich zusammengestellt. Die ersten sechs Taylorreihen der Tabelle sind im letzten Abschnitt hergeleitet worden. Die Herleitungen der Taylorreihen rur die Arcus-Funktionen und flir sinh, cosh werden dem Leser zur Übung überlassen. Die Konvergenz der Arcus-Funktionsreihen läßt sich auf (~I. I) durch Restgliedabschätzung unschwer gewinnen. Die ReihendarsteIlung der Arcus-Funklionen in den Randpunkten I und -I folgt dagegen aus dem Abelschen Grenzwertsatz (Absehn. 5.2). Wir sparen die :lUsführlichen Überlegungen dazu und begnügen uns mit diesem Hinweis (vgl. auch [261, Abschn. 65). Für die Herleitung der Taylorreihen von tan x, x cotx, tunh x und x coth x verweisen wir auf [261, Abschn. 71. Zur numerischen Berechnung der Funktionswerte tanx, tanhx usw. verwen~ det man allerdings die Taylorreihen dieser Funktionen nicht, sondern greift besser auf tanx = sinx/cosJ.", tanhJ." = sinhJ."/coshx zurück, wobei sinx, cos.\", sinhx und coshJ." durch ihre Taylorreihen ermittelt werden können.

248

3 Differentialrechnung einer reellen Variablen

Tabelle 3.3: Taylorreihen elementarer Funktionen Konvergenzi ntervall

Funktion Taylorreihc (1

+x)" =

t

G)x k •

11

E NUjOI

1I

E IR.

k=O (I

+ .l)11

=

f: G)-/.

(-1.1)

k-O 00

,

eX='"'~ L... k! k=O

In(1

+x)

00 _(_x)k

=

L -,-.-

(-LlI

k=t

sinx =

L00 k=O

COS.l' =

(-[l

(2k

+ I)! x

2k + 1

00 (_I)k ~. L --x·, k=O (2k)!

00 22k(22k _ I) U 1 tan.\' = L(-l)t+t (2k)! B2kX k=1

82k Bemoullisehc Zahlen. s. Abschnittsende (-rr. rr)

[x3 1.3.1'5 [.3.5.l7 00 (2k)! x2k+1 arCSin.l'=.l+--+--+----+ - ' " ' - - 1-1.1] 232.452·4.67 "·-L... 2 2k(k!)22k+1

arccos.l' =

'2rr -

arctan.l' =x arccOI.l' =

k=O

.

[-1.1]

arcsl1l.l' .l3

x

5

x

7

-"3 +"5 -7"+'

'2rr -

arctan.l'

00

l2k+1

sinh.l' =

L (~k + I)! k=O

cosh.\' =

L

00

.. =

~ L

(_I)k .x 2k + t

2k+ I

1-1.11

k=O

1-1.1]

l2k ;2k)!

k=O

lunh.l' =

00 22k(22k _ I) 2k-l (2k)! 82k X

L

k=1

x

h"

00 2U " cot x = L... (2k)! B 2kx~ k=O

(-rr. iT)

3.2 Ausbau der Differentialrechnung

249

In den Taylorreihen von tan und cot werden dic Bemoullischell ZahleIl verwendet. Sie lasscn sich rekursiv berechncn aus

Hirll= 1,2.3, ....

BO = I Man crhält

I

B8=-30'

während BZk+1 = Oist fLirallek =

1,2,3,

Übung 3.32: Es sei / auf dem Intervall (-r. r) in eine Taylorreihe um 0 entwiekelbar (r > 0). Bt1l1'eise: (a) lSI I eine gerade Funktion. d.h. I(-x) = I(x) fUr alle xE (-r. r). so kommen in der Taylorreihe von / nur gemde Exponenten vor. d.h. sie hat die Form

00

L

k=O

U2kX2k.

(b) [SI fungerade. d.h. gilt f( -.t) = - f(x) auf (-r. r). so kommen in der Taylorreihe von / nur ungerade Exponenten vor. sie hut ulso die Gestalt

00

L

k=O

U2k+t.tZk+l.

Übung 3.33: Leite die Taylorreihen von sinhx. coshx her. Gib auf I = (-r. r) eine Restgliedabsch~itzung uno wobei Sutz 3.19 nebst (3.93) benutzt werden kann. (Es isl dubei M = I ZU setzen! Wie groß ist C zu setzen?)

3.2,5

Ucrcchnung von ]f9

Setzt man in die Taylorrcihe von arctan den Wert x = 1 ein, so folgt wegen arctan(l) = ]f /4 die überraschende Gleichung 7r

1

I

I

-=1--+---+. 4 357

(3.94)

Die rechts stehende Reihe heißt Leibllizsehe Reihe. Zur praktischen Berechnung von ]f ist sie ungeeignet, da sie sehr langsam konvergiert. Doch gibt sie eine Anregung. wie man verfahren kann. Und zwar gewinnt man aus dem Additionstheorem

-:'c"c"cx,--,+_'c"c"c'c..' = tan(x l-tanxtany

+ y)

9 Kann I"om anwendungsorientierten Leser überschlagen werden. Doch zeigt der Absehnit(. wie dieses uralte Problem mit unseren Methoden äußerst effektiv gelöst werden kann.

250

3 Differentialrechnung einer reellen Variablen ..

I

+s

mit / = tanx und 05 = tan y durch Ubergang zur Umkehrfunktion die Gleichung arctan - -

x

I-/s

+ y,also 1+'

arctan - - = arctan / I -1$ 1

+ arctan $ .

+,

Mit - - = I erhält man links 1-1.\'

1+05

--

~

1-/$ -

Jr /4.

~

(3.95)

Wir wählen zunächst /

120

Ti9

und

$

~

1 - - woraus 239'

I folgt, also nach (3.94)

Jr

120

4

119

- = arctan -

I - arctan . 239

(3.96)

Nun ist aber 120

119=

-&+iJ 5 5'

I-

TI

'

also nach (3.95)

TI

120 5 arctan = arctan - + arctan 12 119 5 .!. +.!.5 -12 = 5 1 1' also 1- 3 '3

5 5 - = 2 arctan - . 12 12 5 arctan- = 2arctan 12

und

I

~. 5

Dies alles eingesetzt in (3.96) liefert Jr

=

4(4 arctan ~ - arctan 2~9 )

Mll der Taylorrelhe von arctan, angewendet auf arctan

(3.97)

5"

1 . und 239' errechnet man hIeraus

Jr

bequem mit hoher Genauigkeit. Dabei werden nur wenige Glieder der Reihen benötigt.

Übung 3.34: . I . I 1+$. . Man verbessere Formel (3.97), Indem man - m der Form - = - - ausdrm:kl, und zwar nut 5 5 I -IS . I. I Wenen 1 und s. deren Absolutwene klcmcr als '5 smd (z.B. 1 = 10' s =?).

Konvexität, geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung Die Funktion in Fig. 3.9a ist konvex, diejenige in Fig. 3.9b konkav. Konvexe Funktionen wölben sich »nach unten«, konkave »nach oben«. Dabei ist auch der Grenzfall eines Geradenstücks zugelassen. Dies ist sowohl konvex wie konkav. Liegt eine »nach unten gewölbte« Funktion vor, die kein Geradenstück enthäll, so nennt man sie zur besseren Unterscheidung sireng konvex. Entsprechend gibt es auch slreng konkave Funktionen.

3.2 Ausbau der Differentialrechnung

251

b} konkav

a} konvex

Fig. 3.9: Konvexe und konkave Funktionen

Wie kann man diesen anschaulichen Sachverhalt in Formeln umgießen? Dazu sehen wir uns Fig. 3.10 an. Dort ist eine konvexe Funktion f I _ IR gezeichnet. (I Intervall). Charakteristisch fLir diese Funktion ist folgendes: Verbindet man zwei beliebige Graphenpunkte (XI,)'I) und (X2. )'2) durch eine Strecke - ~~Sehne« genannt - , so liegt das Graphenstück von f. welches sich zwischen den Punkten befindet, »unterhalb« der Sehne oder im Grenzfall auf der Sehne. Das heißt: Wählen wir eine beliebige Zahl X zwischen XI und X2 (Xl< X < X2), so ist stets (3.98)

fex) .:'S g(x).

wobei g die Gerade dureh die beiden Punkte (XI. Y!l, (X2. Y2) ist (YI Nach der ~~Zweipunkteform« einer Geraden gilt X -

XI

g(x) = Ü2 - y ] ) - X2 -XI

+ YI

(3.99)

.

Mit der Abkürzung

x-

XI

(3.100)

A~-­

X2 - XI

folgt g(X)

=

(I - ).,)YI

+ ).,Y2.

Die Zahl)., ist das Verhiiltnis der Streckenliingen x - XI zu X2 - Xl (s. Fig. 3.10), also gilt )., < I. Umgekehrt kann man X durch dieses Streckenverhältnis ausdrücken. indem man (3.100) nach x aunöst:

o<

Einsetzen in (3.98) ergibt f«(I - ).,)Xt

+ Ax2) .::: (I

- ).,)YI

+ ).,)'2

fur alle)., E (0, I).

252

3 Differentialrcehnung ciner reellen Variablen

g fIx) : g(x)

, Fig. 3.10: Zur fOmlClmäßigcn Erfassung konvexer Funktioncn

Diese Ungleichung ist charakteristisch ftlr konvexe Funktionen. Unsere anschauliche Motivation ftihl1 uns damit zu folgender exakten Definition: Definition 3.5: Eine reellwertige Funktion chung

I

heißt kOlll'ex auf einem Intervall I, wenn die Unglei-

ftjr beliebige XI, X2 E I und beliebiges A E (0. I) erfullt ist. Darf in der Ungleichung< ansteJle von:::: gesetzt werden, so nennt man I sIreng konvex. Im Falle ~ anstelle von:::: wird I konkav genannt, int Falle> anstelle von :::: streng konkav. Statt» I ist streng konvex« sagt man auch» I hat eine Linkskrümmung«, entsprechend bei streng konkavem I : » I hat eine Rechtskrümmung«. (Hier stellt man sich offenbar vor, daß man im Auto auf dem Graphen von I entlangtiihrt in Richtung steigender x-Werte.) Geometrische Deutung der zweiten Ableitung Die Betrachtung der Fig. 3.9a zeigt, daß die Steigung der gezeichneten konvexen Funktion I von links nach rechts zunimmt (oder wenigstens nicht abnimmt). J' ist also monoton steigend. Das bedeutet aber I"(x) ~ O. Man vermutet sogar, daß aus I"(x) > 0 strenge Konvexität folgt. Entsprechend ist eine konkave Funktion durch II/(x) :::: 0 gekennzeichnet. während I"(x) < 0 sogar strenge Konkavheit verbürgt (zweimalige Differenzierbarkeit vorausgesetzt). Wir präzisieren diese anschaulichen Überlegungen in folgendem Satz:

Satz 3.20:

o

Es sei I eine reeJle Funktion. die auf einem Intervall I stetig ist und im Inneren I dieses Intervalls zweimal stetig differenzierbar ist. Damit folgt:

II/(x)::::

ofur alle x

r

<=>

I ist konvex auf I,

EI<=>

I ist kOllkav auf J.

II/(x) ::: 0 rur alle XE

o

3.2 Ausbau der Differentialrechnung

253

Im Falle positiver bzw. negativer zweiter Ableitung gilt die Verschärfung:

f

,

0

((x) > 0 rur alle x E /

o

f"(x) < 0 rur alle xE /

Beweis:

<=>

f

~

f ist streng konkav auf /.

o

(I) Es sei j"(x) ::: 0 auf I. Wir zeigen. daß aus 1 gilt: [(I - A)f(X))

+ Af(x2)J -

fex) ::: 0

ist streng konvex auf I.

f

konvex auf 1 ist, d.h. daß flir beliebige XI < X2

fur

x = (I ~ A)Xl +)..x2.

A E (0.1).

Man erkennt die Richtigkeit der Ungleichung durch folgende Umformung: (I - A)f(x)) ~

+ >"f(X2) -

I(x)

nach Mittelwertsatz mit

+ «/(X2) - I(x)) A)/' + A(l - >")f{(~2)(x2 -

(I - A)(f(.,,) - I(x»

~ (I -

= (I -

Xl

x))

~ A(I - A)(X2 - x,)(f'
<

SI

< X < ~2 < X2

wiederum nach Mittelwertsatz mit

= ~(I - A)(X2 - Xd(~2 - ~]) j"(~o) ::: 0

~I < ~o < ~2

>0

Die Konvexität ist damit gezeigt. Im Falle I"(x) > 0 auf I folgt insbesondere I"(~o) > 0 und damit die strenge Konvexität. Der konkave Fall ergibt sich analog. o

(11) Umgekehrt ist zu zeigen: I konvex:::} rex) ::: 0 auf I. f sei also konvex auf I; damit gilt o rur beliebige Punkte XI < X < X2 aus / die Ungleichung (3.98) fex) ::: g(x).

wobei S die Gerade durch (XI. f(xl» und (X2. f(x2» ist. Subtraktion von f(xl) = S(X)) und Division durch x - XI > 0 liefert

,.I"(x,,),,---,,I,,(_x,,» ::: Sex) - S(Xl) =: m . X-XI

x~XI

11I die Steigung der Geraden g ist. Mit x ---+ x I erhält man j' (x I) .::: 11I. Analog folgt aus fex) .::: g(x) nach SublTaktion von I(X2) = g(X2) und Division durch x - X2 < 0:

wobei

e.1.c(x")_--,I,,(,,,X2c.) g (x) - g (X2) > = X-X2

-

X-X2

11I

:::}

['(xl>::: 11I.

Zusammen erhalten wir J'(x» .::: f'(X2) fur XI < X2, also ist f' monOlOn steigend und somit o ["(x) ::: 0 auf I. Der konkave Fall verläuft entsprechend. 0

254

3 Differentialrechnung einer reellen Variablen

Zum Beispiel: Die folgenden Funktionen sind streng konvex aufR, da ihre zweiten Ableitungen positiv sind: f(x)=x 2 •

f(x) = e,f.

f(x) = coshx.

Die Funktion f(x) = x 3 ist streng konvex auf (0. (0) und streng konkav auf (~oo. 0). Der Konvexitätsbedingung kann man folgende allgemeinere Fassung geben: Folgerung 3.8: fist genau dann konvex auf dem Intervall I. wenn

" I>f(x,).

s

(3,101)

(/I~2).

i=1

gilt fLir beliebige XI •.... x" E 1 und beliebige positive A\ •...• An mit

" LAi =

I.

;=1

Bei strenger Konvexität steht< statt ::": in (3.10 I). Für (streng) konkave Funktionen haben wir ~ (bzw. » in (3.101). Der Beweis wird mit vollständiger Induktion gefLihrt und bleibt dem Leser überlassen. Die Ungleichung (3.101) fUhrt auf weitere fundamentale Ungleichungen der Mathematik (s. [261, Abschn. 59). Zum Beispiel erhalten wir damus l'olgcl'ung 3.9: (Ungleichung (/es gewichteten arithmeliscllellllnd geometrischen Miuels) Für beliebi-

ge nichtnegative Zahlen

(11 • •..• (/"

"

und beliebige positive AI ..... A" mit LAi = I ;=1

gilt

a"1

,,1.2 2 .....

I. (I"

n

< "'1(11 '

_

+ "'2(12 . + ... + .

",,,(I,,.

(3,102)

Im Falle Ai = 1/11 fur alle i erhält man die klassische Ungleichung des geometrischen und arithmetischen Mittels

a"",_+,-=a",_+'-'.,C'c'+.:..:'",'"

~(lI·(l2· ... ·(ln::": -

"

(3.103)

Beweis: Inx ist streng konkav auf (0.00). da die zweite Ableitung negativ ist. Damit gilt nach Folge-

rung 3.8

"

:::. LAi In (I; = In ;=1

((I~I

3.2 Ausbau der Differentialrechnung

255

wobei alle Gj als positiv vorausgesetzt seien. Wegen der Monotonie der Logarithmusfunktiol1 folgt (3.102). Ist aber ai = 0, so gilt (3.102) trivialerweise. 0

Übung 3.35: Wo sind die folgenden Funktionen konvex oder konkav?

sinx.

cosx.

sinh.t,

arctanx,

Übung 3.36: Beweise: Ist

tion 3.2.6

I-I

f

auf dem Intervall I konvex und streng monoton steigend. so ist die Umkehrfunk-

auf J = 1(1) konkav.

Das Ncwtollsche 10 Verfahren

Das Lösen von Gleichungen ist eines der ersten und wichligslen Anwendungsprobleme der Mathemalik. Wir wollen uns hier mil Gleichungen der Form

beschäftigen. wobei feine reeJlwertige Funktion auf einem Intervall ist. Zur Lösung von f(x) = das Newtonsche Verfahren beschrieben werden. Es beruht auf einer einfachen geometrischen Idee und ist doch iiußerst weitreichend und rur die Praxis von hoher Bedeutung.

o soll

y

i .. Xl!

"

Fig. 3.11: Zum Newlonschen Verfahren Die Idee des Newtol1schen Verfahrens Hißt sieh anhand der Fig. 3.11 klarmachen: Gesucht ist die Schninstelle x des Graphen von f mit der x-Achse (sie erftillt f(x) = 0). Wir nehmen an, daß ein Punkt Xo in der Nähe von bekannt ist, den man durch Probieren oder Skizzieren des Graphen gewonnen hat.

x

10 Sir ls.:me Newton (1643-1727). englis.<:her Phys.iker. Mathematiker. Astronom, Alchemist. Philosoph uml Theolo-

'0.

256

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

Man legt nun die Tangente an f in Xo und sucht ihre Schnittstelle Xl mit der x-Achse auf (falls vorhanden). Da die Gleichung der Tangente g(X) = f(xo)

+ f' (xoHx -

xo)

lautet, gewinnt man XI aus g(Xl) = 0, also f(xo) /(xo) Xl = Xo ~ 1'(Xo)'

+ 1'(XO)(XI

- xo) = 0, d.h.

°

(Dabei setzen wir 1'(x) 'I im ganzen Intervall I voraus.) Xl ist in den meisten Fällen eine »bessere« Näherungslösung als xo. Liegt XI in I, so kann man die gleiche Überlegung abermals anwenden: Man legt an f in Xl die Tangente, berechnet deren Nullstelle X2 usw. Man errechnet auf diese Weise sukzessive die Zahlen f(x,,)

X,/+I

= x" - f'(x,,)

(11 = O. 1,2.... ).

(3.104)

von denen wir annehmen wollen. daß sie alle in I liegen. (Es kann vorkommen. daß X,,+I rur ein " nicht in I liegt. Dann bricht das Verfahren ab.) Die so berechnete Folge xo. XI. X2, ... konvergien "normalerweise« gegen die Nullstelle x von f. "Normalerweise« heißt: unter Voraussetzungen. wie sie üblicherweise in den Anwendungen erflilh sind. Die Folge der Zahlen xo, Xl. X2, ... heißt eine NewlOllfolge zu f. Der folgende Satz gibt hinreichende Bedingungen an, unter welchen die Newtonfolge gegen die Nullstelle x von f strebt. Satz 3.21: Es sei f eine reelle. dreimal stetig differenzierbare Funktion auf einem Intervall 1 [xo - r, xo + r J, und es gelte 1'(x) 1:- 0 rur alle X E I. Ferner existiere eine positive Zahl K < I mit

I

f(x)J"(x) < K < I 1'(x)2 -

I

fur alle

X

E I

f(,'O)I«I-K),. I 1'(xo) -

(3.105)

(3.106)

x

Damit folgt: f hat genau eine Nullstelle in I. Die Newtonfolge xo. Xl. X2 ..... nien durch (3.104) f kO/ll'ergien quadratisch gegen X. d.h. es gilt Ix,,+1 ~x[::: C(x" ~X)2

fiirallcn =0, 1,2,.

defi~

(3.107)

3.2 Ausbau der Differentialrechnung

257

mit einer Konstanten C. Schließlich haben wir die Fehlerabschützung X

Ix" - xl ::: I f(M,,) I

mit 0 < M ::: rninl}"(x)l.

(3.108)

xe!

Beweis:

Man fuhn die Hilfsfunktion I(x)

g(x) = x - - - . I'(x)

(x EI).

ein. Damit ergibt sich die Newtonfolge aus der einfachen Iterationsvorschrift Xl/+l = g(x,,), 11=0,1,2,. g erfüllt auf 1 die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes (Abschn. 1.4.7, Satz 1.8), denn es ist Ig'(x)1 = If(x)/,,(x)/}"(x)21 s K < I, also nach dem Mittelwensatz: Ig(x) - 8(z)1 = Ig'(~)lIx -

zl ::: Klx - zl

fLir alle x, z E I.

Folglich ist g eine »Kontraktion« auf I. Ferner bildet g das Intervall 1 = [xo - r, xo ab. Denn fLir beliebiges x E 1 gilt mit (3.106) Ig(x) - xol ::: Ig(x) - 8(xo)1

+ 18(Xo) -

xol ::: K Ix - xol

+ r J in sich

I(xo) I + [ /'(xo)

::: Kr+(I-K)r=r

also auch g(x) E I. Die Anwendung des Banachsehen Fixpunktsatzes liefen damit die Konvergenz der Newwnfolge gegen den (einzigen) Fixpunkt x von g. Er erfullt x = g(x) = x - f(X)/ f'(X), d.h. f(X) = o. Die quadratische Konvergenz ergibt sich aus der Taylorformel von g um x fLir 1I = I, mit Lagrangeschem Restglied g(x) = g(x)

+ g'(X)(x -

X)

+ g"i~) (x -

x)2

(~E

1).

Wegen g(X) = x und g'(X) = f(X)f"(X)/f'(X)2 = 0 folgt mit x = x,,, g(x) = X,,+I und C = -I max Ig " (1)1:

2

lEI

womit (3.107) bewiesen ist. (3.108) leitet man leicht aus dem Miuc1wensatz her, angewandt auf fex,,) - fm, wobei fm = o. 0 Bemerkung: Der Satz besagt im Wesentlichen: Ist die Näherungslösung xo von fex) = 0 »gut genug«, so funktioniert das Newtonsche Verfahren. Denn je besser .\"0 die Lösung:X annähert. je kleiner also If(xo)1 ist, desto größer ist die Chance, daß Konstanten r > 0 und K > 0 existieren, so daß (3.105) und (3.106) erfLillt sind.

258

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

Es bleibt die Frage: Wie findet man Anlangsal1lläherullgen x01 Wir sagten schon: Oft muß man sie durch Probieren und Zeichnen des Funktionsgraphen suchen oder beim automatischen Rechnen auf dem Computer durch das Intervallhalbierungsverfahrcn. Im Falle konvexer Funktionen 1 ist man jedoch besser dran. Hier sind wir mit jeder A"langsl1üherullg erfolgreich, die 1 (xo) ~ 0 erfüllt. Präzise Auskunft gibt der folgende Salz: Satz 3,22: Die zweimal stetig differenzierbare Funktion f : kl, b] ~ IR sei konvex und erfLille /'(x) i= 0 aufta, bl. Die Vorzeichen von f(a) und f(b) seien verschieden. Damit folgl: Ausgehend von einem beliebigen Punkt xo E [a, b] mit f(xo) ::: 0 konvergiert die Newtonfolge von f, und zwar gegen die einzige Nullstel1e von f in [a.

bIo

Zusatz: Ist

f sogar dreimal sletig differenzierbar, so ist die Konvergenz quadratisch.

Beweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir 1'(x) > 0 aufla, b] an. f steigt somit streng monoton und hat daher genau eine Nullstelle in [a, b], Fig, 3.11 zeigt. daß die Newtonfolge (x,,) monoton nHlt und durch die Nullstelle x von 1 nach unten beschränkt ist. (Man prüft dies leicht durch Rechnung nach.) Damit konvergiert die Newtonfolge gegen eine Grenzwert x·, Läßt man in XII + I = XII - f (xlI ) auf beiden Seiten 11 gegen 00 geheIl, so erhiilt man X·

= x· _ f(x·) ::::} f(x·) = 0, /,(x·)

also x· = X. Der Zusatz folgt aus Satz 3.21, der ja besagt, daß bei genügend kleinem Abstand 0 der Näherungslösungen von x quadratische Konvergenz von (x,,) vorliegt. Bemerkung: In der Praxis des Ingenieurs geht man meistens so vor, daß man die Newtonfolgen xo, XI, X2, ... einfach sukzessive durch die Vorschrift X Il +1 = x" - I(x,,)/I'(x,,) berechnet, ausgehend von einer Anfangsniiherung. die man sich irgendwie verschaff! hat (durch Probieren, Zeichnen, Konvexitiilsüberlegung a la Satz 3.22 oder durch ein vorgescha1tetes Intervallhalbierungsverfahren). Man kümmert sich wenig um Konvergenzsätze, sondern bricht das Verfahren und XI/+l ab. wenn Ix"+1 -XI/I »klein genug« ist (z.B. wenn 1..24.... - I1 < 5.10-9, d.h. wenn Xn+1

x,,

auf 8 Stellen übereinstimmen). Da fex,,)

1_

If(x,,)1

Ix,,+1 - x,,1 = /'(Xl/) ,..". ~

1

mit M = ~iD II'(x)1

gilt. wenn U ein genügend kleines Intervall um die Nullstelle ist, und da I/(xl/)I/M ::: Ix" - xl die Fehlerabschätzung darstellt, ist durch IXIl +1 - x" I ungeruhr der Fehler lXII - xl gegeben. Es gilt also die Faustregel: Der Fehler Ix" - xl ist nahezu gleich der Änderung beim nächsten Newtonschritt. d.h. nahezu gleich IXI/+l - x,tl.

3.2 Ausbau der Differentialrechnung

259

Für die Praxis reicht dieses »hemdsärmelige« Vorgehen in den meisten Fällen aus! Es sei schließlich erwähnt, daß sich das Newtonsche Verfahren vorzüglich zur NlIlfslellel/besfim1'01l Polynomen eignet. Dabei gewinnt man die Funktiol1swerte [(XII) und die Ableitungswerte /' (XII) ftir das Newton- Verfahren bequem durch das »doppelte Hornerschema«, d.h.: Ist

II/lIllg

[(x) =

+1I1 + 1I2x2 + ... + lI",x"'.

(jQ

so berechnet man die ersten heiden Systeme des großen Hornerschemas (vgl. Abschn. 2.1.5):

Doppeltes Hornerschema X =XIl

(/2

Um-I

(Im

X"b",_l

X"b2

V

./

b m _2 X/lC",_2

X'ICI

'/

C",_2

I~I./

./

C",_3

"0

UI

x"b]

__ x"bo

,Jol '0 ~ f/x,,) I

XtlCo

"01 'I ~ hx,,)

I

(3.109)

Die Gleichungen ro = [(x,,), rl = /'(x,,) ergeben sich dabei aus folgender Überlegung: Setzt man das Schema zum großen Hornerschema fort, so erhält man [(x) = ro

+ 1"1 (x -

XII)

+ '2(X -

x,,)2

+ ... + r",(x -

XII)'"

(s. Abschn. 2.1.5). Daraus folgt unmittelbar [(x,,) = ro, ['(XIl) = 1"1. Wendet man also bei jedem Newton-Schritt das doppelfe Homerschell/(j (3.109) zur Berechnung von Funktions- und Ableitungswen an, so hat man ein effclaives Verfahren zur Ermittlung der reellen Nullstellen des Polynoms [(vgl. [56], 4.2.6). Diese Idee ist illl41 J zu einem »autornatellsicheren« Verfahren weiterentwickelt worden. Man findet das »Nickel-Verfahren« oder andere vollautomatische Verfahren heule in fast allen Progra1l1mbibliotheken elektronischer Rechenanlagen.

,

y_sinx

, "

,.-, 2

Fig. 3.12: a) Zur Gleichung

1- sin.( = O.

xo ..:.. 2. OOOOOOOOO

1.900995594 X2';' 1.895511645 x3 ,;. 1.895494267 X4 == 1.895494267

.ll ,;.

b) Zur Berechnung der Lösung von

1- sin x = 0

260

3 Differentialrechnung einer reellen Variablen

Beispiel 3.29: Gelöst werden soll die Gleichung

x

.

"2~S1nx=O.

Es handelt sich um die Suche nach den »Schnittpunkten« der beiden Funktionen g(x) = x/2 und sin x. Die Fig. 3.12a zeigt, daß drei Schnittpunkte zu erwarten sind, einer bei 0, einer bei 2 und der dritte etwa bei -2. wobei der letzte das Negative desjenigen bei 2 ist. Wir brauchen also numerisch nur die Lösung

x in der Niihe von 2 zu berechnen. Wir setzen [(x) =

x "2 - sin x. Hir

diese Funktion errechnen wir die Rekursionsvorschrift nach (3.104): XII+I

=

x l1 /2 - sinxl1 X II -

1/2~cos-'"11

'

11

= O. 1,2..

Beginnend mit Xo = 2 erhiill man daraus die Werte in Fig. 3.12b, die auf 10 Dezimalstellen gerundet sind. Wir erkennen die unglaublich scfmelle KOllrergellZ des Newton-Verfahrens, denn schon ab -'"3 iindern sich die numerischen Werte nicht mehr. Die Lösung lautet also, auf 10 Stellen gellau:

x ==

1.895494267.

(Der Leser iiberpriife mit der Fehlerabschiitzung (3.108) des Satzes 3.21, daß der Fehler kleiner als 5· 10- 10 isl.)

y

o

ra

' a. Xc

-, Fig. 3.13: a) Zur Berechnung von

./ä mit dem Newtonschen Verfahren

.r 0 ..:. 3. ()(X)()(J()()OO .r 1

.r2 .r) .r4 .r5 .r n

== 2. 0<XXl00000 == 1.7500000oo == 1.732142857 == 1.732050810 == 1.732050808 == 1.732050808

b) Berechnung von

J3

Beispiel 3.30: (Berechnung von Quadratwurzeln) Es sei a > 0 gegeben, und es soll .jli berechnet werden. Man sieht, daß .jli die einzige Nullstelle der Funktion [(x) = x 2 - a auf [0. 00) isl. Ausgehend von einem -'"0 mit [(xo) ::: 0 erminc1n wir die Nullslelle mit dem Newtonverfahren. Die

3.2 Ausbau der Differentialrechnung

261

Iterationsvorsehrift Xn+1 ::::; Xn - f(x n )/!'(xll ) wird rur unsere Funktion nach Umformung zu

Als xo kann man xo ::::; a wählen, wenn (I > I ist, und Xo ::::; I, falls 0 < a < I gilt. In jedem dieser Fäl1e ist die Bedingung f(xo) ~ 0 erfLillt, d.h. die so gebildete Folge (x,,) strebt nach Satz 3.22 quadratisch gegen .jli. Beachlet man nun noch, daß XI ::::; !(xo + (I/xo) der gleiche Wen ist, egal, ob man xo ::::; (I oder xo ::::; I setzt, so schrumpft unsere Anfangsbedingung zu der einfachen Regel zusammen: Mall setze in jedem Falle xo ::::; (I. Die Tabel1e in Fig. 3.13b verdeutlicht anhand der Berechnung von genz. Nach nur 5 Iterationsschritten ist

.J3 ==

J3 die schnelle Konver~

1.732050808

auf 10 Stellen emlittelt. Die angegebene Methode ist eine der besten zur Berechnung von Quadratwur.lCln. Die meisten Computerprogramme beruhen darauf. (Bei großem a werden zuerst Zweierpotenzen abgespalten: a ::::; a02 2J:, mit I :::: ao < 4, und dann aus (10 und 22J: gesondert die Wurzeln gezogen:

.jli ::::; .fiiö2J:.) Übung 3.37: Berechne mit dem Newtonverfahren die reellen Lösungen der Gleichung

Übung 3,38: Gib ein Vcrfahrcn zur Bercchnung von

3.2,7

ya an (a

E IR beliebig).

Ucstimmung von Extrcmstcllcn

Wir behandeln das Problem, Maxima und Minima einer reellen Funktion zu finden. Diese Aufgabe tritt in Naturwissenschaft. Technik. Wirtschaftswissenschaft usw. häufig auf. Sie steht auch historisch mit am Anfang der Differential~ und Integralrechnung und hat befruchtend auf ihre Entwicklung gewirkt. Zunächst einige Begriffsbildungen, damit wir wissen, wovon wir reden. Definition 3.6: Man sagt, die Funktion f : I -+ IR (J Intervall) besitzt in Xo E I ein lokales Maximum, wenn es eine t~Umgebung U von xo gibt, in der f(xo) größter Funktionswert ist, d.h.

f(xo)

~

fex)

fur alle XE unI

262

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen y

lokales

Minimum

r

~k.'"

""'.

lokales

•

globales

Minimum

Min.

"

b

Fig, 3.14: Typen von E;o;lremstelien

gilt. xo heißt eine lokale MaximalsteJle, und die Zahl [(xo) ist das zugehörige lokale Maximum. Gilt sogar [(xo) > [(x)

fur alle XE unI mit x ::f; xo,

so spricht man von einem echten lokalen Maximum und einer echte" lokalen Maximalstelle. Entsprechend werden lokale Mi"ima und MinimaJstellel1 definiert, die ebenso echt oder unecht sein können. Das »eigentliche« Maximum einer Funktion [ : I --,lo lR, also der größte Funktionswert [(xo) auf ganz I, wird zur Unterscheidung von lokalen Maxima auch globales (oder absolutes) M{uim/II// genannt. .1'0 heißt dabei globale (oder absolute) Maxillwls/elfe. Das globale Maximum ist natürlich auch lokales Maximum, aber nicht umgekehrt. Für Minima und MinimalstelIen vereinbart man Entsprechendes. Fig. 3.14 verdeutlicht diese Begriffe. Der Sammelbegriff flir Maximum und Minimum ist Er/rell/um, flir Maximal- und Minimalstelle Extrems/ef/e. Wie kann man Extremstelien einer Funktion ermitteln? Sehen wir uns dazu Fig. 3.14 an: Wir erkennen, daß in den Maximalstelien .1'0 und X2, wie auch in der Minimalstellc XI, waagerechte Tangenten an [vorliegen. d.h. die Ableitung [' von [verschwindet dort. xo, XI, X2 sind dabei innere Punkte des Definitionsbereiches I von [. ExtremalsteIlen können jedoch auch Randpunkte des Definitionsbereiches sein. Der linke Randpunkt a ist zweifellos eine lokale Minimalstelle, während der rechte Randpunkt b sogar eine absolute Minimalstelle von f ist. Diese Überlegungen flihren zu folgendem Satz: Satz 3.23: Für jede lokale ExtremsteIle Xo einer differenzierbaren Funktion J gilt (a) ['(xo) = 0

f

auf einem Intervall

3.2 Ausbau der Differentialrechnung

263

oder: (b) XO ist Randpunkt von I.

Beweis: Es sei xo eine lokale Maximalstelle. Ist Xo kein Randpunkt von I, so gibt es eine e-Umgebung U von xo, die ganz in 1 liegt, und in der f(xo) - fex) ~ 0 erftillt ist. Daraus folgt [

'() Xo

;:;:;

]'

Illl "-·<0 x<.
[(xo) - [(x) XO

X

~

0,

[

'() Xo

=

]'

Illl .. -xo x>xo

[(xo) - [(x) XO

X

~

O.

o

also !'(xo) = O. (Analog fUf Minjrnalstellen.) Um die Extremstelien von

f

zu finden. hat man also die Gleichung

['(x) ~ 0

zu lösen und anschließend die Lösungen - wie auch die Randpunkte von 1 - zu untersuchen. Die Entdeckung dieser Tatsache gelang Lejbniz 1675, und er war mit Recht sehr stolz darauf. In dcr Menge der Lösungen von !,(x) = 0 ~ zuzüglich der Randpunkte von 1 - sind also alle ExtremstelIen von f enthalten. Umgekehrt jedoch braucht nicht jeder Punkt dieser Menge ExtremsteIle zu sein! Man denke z.B. an die Funktion fex) ;:;:; x 3 auflR. (s. Fig. 3.15). Für sie gilt zwar 1'(0) ;:;:; 0, doch ist Xo = 0 weder lokale Maximal- noch Minimalstelle. y I{X).1(3

,

Fig. 3.15: Beispiel rur einen Punkt -'0 mit /' (.<0) = O. wobei .to keille Extrcmstelle i~t (hier -'0 = 0).

Es muß also ein Kriterium her, welches uns zu erkennen hilft, welche Lösungen von !,(x) = 0

264

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

ExtremstelIen sind. Ein hinreichendes Kriterium liefert der folgende Satz. Es handelt sich um das wichtigste Kriterium dieser Art. Satz 3.24: Ist f : / -,10 IR (I Intervall) zweimal stetig differenzierbar und gilt 1'(xo) = 0 fLir einen Punkt xo EI, so folgt:

J" (xo)

=> =>

<0

J"(xo) > 0

in xo liegt ein echtes lokales Maximum, in xo liegt ein echtes lokales Minimum.

Beweis: Wir notieren die Taylorformel rur f um xo, und zwar fLir [(x) = [(xo)

, + [(xo)(x

xo)

11

= I:

no , + -2-(x - xo)-·

Das letzte Glied ist das Lagrangesche Restglied mit einem ~ zwischen x und xo. Wir wollen ["(xo) > 0 annehmen. Da [" stetig ist, gilt ["(x) > e > 0 in einer a~Umgebung U von xo (e konstant). Beachtet man noch 1'(xo) = o. so folgt aus der Taylorentwicklung [(x) > [(xo)

,

+ 2"(x

,

-xo)- > [(xo)

fLiraliex E unI mitx ,#xo.

d.h. Xo ist echte lokale Minimalstelle. Analog folgert man aus ["(xo) < 0 und 1'(xo) = 0, daß Xo echte lokale MaximaJstelle ist. 0 Damit gewinnt man die folgende Methode zur Extremwert-Bestimmung bei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen [ : I -,10 lR (I Intervall). Verfahren zur Bestimmung von ExtremstelIen (I) Man errechnet sämtliche Lösungen der Gleichung ['(x) =0,

xE/,

(mit dem Newtonschen Vcrfahren oder dirckten Aunösungsfomlcln). Wir nehmen an. daß es endlich viele sind. (11) Für jedc lösung xo von f'(x) = 0 bestimmt man ["(xo). xo ist cine lokale MaximaJstclle, falls f"(xo) < O. xo ist eine lokale Minimalstelle, falls 1"(xo) > O. Wir wollen annehmen, daß kein anderer Fall vorkommt. (Das trifft ftir die meisten Anwendungen zu. Der Fall ["(xo) = 0 wird in Übung 3.44 im nachfolgenden Abschnitt behandelt.) (111) Dann errechnet man die Funktionswerte f(xo) flir alle Lösungen xo von 1'(x) = 0 sowie fLir die Randpunkte von I (sofem sie zum Definitionsbereich von [ gehören.). Damit sind alle lokalen Extrema gefunden. (IV) Ist I beschränkt und abgeschlossen, so findet man unter den lokalen Extrema leicht das globale Maximum und das globale Minimum heraus.

3.2 Ausbau der Differentialrechnung

265

Bemerkung: Gibt es unendlich viele Nullstellen von /'. oder gilt f"(x) ::::; 0 Hir einige dieser Nullstellen, so hat man weitere Untersuchungen durchzuftihren (Betrachtung höherer Ableitungen usw.). In den meisten Fällen kommt man aber mit dem obigen Verfahren zurecht. Beispiel 3.31: Wir suchen die ExtremsteIIen der Funktion

+ I,

fex) ::::; eot -2x

fUr x E IR

(I) Dazu setzen wir ['(x)::::; e f -2 gleich Null:

eot -2 ::::; 0

{::::::}

Einzige Nullstelle von

f'

eX

::::;

2

{::::::}

x::::; In 2 .

ist also xo ::::; In 2'; 0,693147.

(11) Für diese Nullstelle ist f"(xo) ::::; e fo > 0, also liegt in vor.

-'"0

eine echtes lokales Minimum

(111) Randpunkte von IR gibt es nicht. Also ist xo einzige ExtremsteIle und damit auch die globale Minimalstellc von [. Die Zahl [(xo) == 1.613706 ist damit das globale Minimum von [. Beispiel 3.32: Es soll unter allen Rechtecken mit gleichem Flächeninhalt F dasjenige mit kleinstem Umfang gesucht werden. Welche Form hat es? Wir greifen uns irgendeines der Rechtecke heraus. Für scine Seitcnliingen x und y gilt F ::::; x . y. und fLir den Umfang 11 ::::; 2(x + y). Wir setzen y ::::; F /x ein und erhalten

1/::::;2(X+;) , x>O. Das globale Minimum dieser Funktion soll gesucht werden. Wir errechnen die positiven Nullsteilen der Ableitung 1/'::::; 2(1 - F /x 2 ):

2(1~ F,)::::;O {::::::} x::::;./F. x

Die zweite Ableitung u" ::::; 4F /x 3 ist an dieser Stelle positiv, also liegt bei -'"0 ::::; ./F eine Minimalstelle. Es ist die gesuchte, da es keine weitere gibt. Xo ::::; ./F ist aber die Seitenlänge eines Quadrates mit Inhalt F. Die optimale Form ist also das Quadrat. Weitere Beispiele aus Technik und Naturwissenschaft sind im Abschll. 3.3.6 angegeben. Übung 3.39: Bestimme alle EXlremalslellcn der Funktion

!(x) = x 4

-

0.4.r - 3.9x 1 + 4.6x - 9

auf dem Dcfinitionsbcrcich I = l~lO,lOJ.

266

"-'- - - '-:' I

3 Differentialrechnung einer reellen Variablen

c

j~

_'----+i

Fig. 3.16: Kasten mit größtem Volumen

Übung 3.40*: Aus einem rechteckigen Blech mit den Seitenlängen a = SOelll. b = 80cm. soll nach Herausschneiden quadratischer Eckstücke ein Kasten mit gri)ßtrnüglichem Volumen geknickt werden (Kasten ohne Deckel). Wie groß ist die Höhe x des Kastens? (Vgl. Fig. 3.16)

3.2.8

Kurvendiskussion

Schaubilder von Funktionen werden gerade von Ingenieuren viel verwendet. Um den wesentlichen Verlauf einer reellen Funktion zu überblicken, geht man zweckmäßig die folgenden Gesichtspunkte der Reihe nach durch. (Auf Computerbildschirmen lassen sich leicht Schaubilder von Funktionen erstellen. Sie ergänzen die Kurvendiskussion graphisch und numerisch.) (I) Definitionsbereich: Zuerst bestimme man den Definitionsbereich einer vorgelegten Funkti-

on f, die von einer reellen Variablen abhängt. Da fex) häufig formelmäßig gegeben ist. muß geprüft werden, fur welche reellen x der Formelausdruck sinnvoll ist. (Für JX muß z.B. x ::: 0 sein, flir IIx muß x =1= 0 sein usw.) Beschreibt fex) z.B. eine Länge, eine Masse oder eine absolute Temperatur, so ist nur x ::: 0 sinnvoll. Deflnitionsbereiche sind in AnwendungsbeispieleIl normalerweise Intervalle oder Vereinigungen endlich vieler Intervalle. (ll) Symmetrie: Man prüfe, ob feine gemde Funk/ion (d.h. f{-x) = f(x» oder ungerade Funk/ion (d.h. fe-x) = ~ fex»~ ist (evt1. nach »Nullpunktverschiebung« x' = x ~ .\"0. y' = Y - )'0).

f', f": Man berechne die Nullstellen von f. f' und [" und bestimme so die Intervalle, in denen diese Funktionen positiv bzw. negativ sind. Damit ist insbesondere klar,

(l1I) Nullstellcn von f, wo [

ist.

positiv bzw. negativ (fex) > 0

bzw.

[(x) < 0)

s/reng mOllO/Oll wachsend bzw.fallend (['(x) > 0

bzw.

['(x) < 0)

streng konl'exbzw. konka\' (["(x) > 0

bzw.

!,,(x) < 0)

3.2 Ausbau der Differentialrechnung

267

(IV) ExtremstelIen: Die Nullstellen von ['. zusammen mit den Vorzeichen von fit, liefern lokale Maxima und Minima, Man vergesse nicht die Randpunkte des Definitionsbereiches. (In Punkten x mit ['(x) = f"(x) = 0 sind Sonderulltersuchungen durchzufUhren, s. Übung 3.44.) (V) Wendepunkte: Man bestimme die Wendepunkte von f. Als Wendepunkt bezeichnet man dabei jeden »Nulldurchgang« Xo von f" (d.h. Xo ist Nullstelle von fit, und es gibt eine EUmgebung U um xo. in der links von Xo die Funktionswerte von fit ein anderes Vorzeichen haben als recht~ von xo). Eine hinreichende Bedingung fLir Wendepunkte xo ist f"(xo) = 0, f"'(xo) =1= o. (f dreimal stetig differenzierbar vorausge~etzt. Für den Fall f"(xo) = f"'(xo) = 0 s.3.44.) Beim Durchgang durch einen Wendepunkt wechselt die Funktion von streng kOllvexem zu streng konkavem Verhalten. oder umgekehrt. Da f in einer Umgebung eines Wendepunkte~ IIahezu eille Gerade ist, sind die Wendepunkte technisch oft wichtig (etwa bei Federkennlinien oder Kennlinien von Verstärkern). (VI) Pole, einseitige Grenzwerte: Ist xo ein Häufungspunkt des aber nicht dazu. so be~timme man [im fex)

X--->.fij x>,tij

und

DefinitiOllsbereiche~.

gehört

lim f(x)

,t--->xo x<,to

und entsprechend fur f', falls möglich. Gilt lim If (x)1 = co. so heißt xo ein Pol von .r--->xo

f (s. Ab-

sehn. 1.6.8). Man erminle die Pole von f. I~t bei~pielsweise fex) = g(x)fh(x). so ~ind die Nullstellen xo von h Pote, in denen g(xo) =1= 0 i~1. Im Falle g(xo) = h(xo) = 0 ver~uche man lim fex) durch die de l'Hospitalschell Regeln zu gewinnen.

x--->,to

(VII) Verhalten für große lxi, Asymptoten: Man versuche hm fex) und [--->00

stimmen,

fall~

lim

x_~OO

fex) zu be-

möglich. Allgemeiner suche man nach »einfachen« Funktionen h mit

If(x) - h(x)1 -+ 0

rur x -+

00

bzw. x -+

-00.

Jede solche Funktion" heißt eine Asymptote von f. In Abschn. 2.2.1 ist dargestellt, wie man Asymptofell 1'011 ratiollalell FUllkfiollell berechnet. Die Asymptoten sind dabei Polynome. Besonders interessant sind Geraden als Asymptoten. Eine Gerade als Asymptote trin genau dann auf, wenn der Grad des Zählerpolynoms um höchstens I größer ist als der des Nennerpolynoms. Beispiel 3.33: E~ soll die Funktion fex) =

x 4 _5x 2 +2 2 3

(3.110)

X

nach den genannten Gesichtspunkten »diskutiert« werden. (I) Der Dejinitio/Jsbereich von x = 0 keinen Sinn ergib!.

f ist IR \

/01 (d.h. IR ohne 0). da der Formelausdruck (3. I 10) für

268

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen y 3 2

-4 -3

-1

-2

4

-2

-3

(11) Symmetrie; Es gilt zweifellos f( -x) = - fex) rur alle x i= o. / ist also eine ungerade Funk/ion. Ihr Graph liegt zentralsymmetrisch zum Punkt (0, 0). Aus diesem Grunde diskutieren wir im Folgenden nur x > O. da tur x < 0 sich alle Eigenschaften durch diese Symmetrie ergeben. (111) Die Nulls/ellen von f ergeben sich aus x 4 - 5x 2 + 2 = O. Setzen wir z = x 2, so ist Z2~5Z+2 = Ozu lösen. Man errechnet die Lösungen Zl = (5~.JJ7)/2, Z2 = (5+.,11'7)/2, woraus sich die positil'el/ Nulls/ellen von f ergeben:

XI =

js-.m . 2

j5+.m . 2

=0.662.X2=

=2.136.

Die NIIlIsrellen von

f

"

(x)

=:

12~5x2 X

5

errechnet man durch Nullsetzen der Zählerpolynome. Man erhält X3 = I (positive Nullstelle von

1'),

X4=

{12 V"5 ==

1,549 (positive Nullstelle von

Durch Berechnung einiger weiterer Werte von /, ['. /" erkennt man: In (0. xd und (X2. 00) ist / positiv, in (XI.X2) ist / negativ, in (0. .\,]) ist ['(x) < 0, also / streng monoton/allend, in (X3. 00) ist ['(x) > 0, also / streng monoton sleigend, in (0. X4) ist /I/(x) > 0, also / streng kOl/vex. in

(.~4.

00) ist /I/(x) < 0, also f streng konkav.

1").

3.2 Ausbau der Differentialrechnung

269

(IV) Einzige positive Nullstelle von f' ist .'03 ::::; I. Es gilt 1"(.'03) > 0, d,h. .'03 := I ist eine fokale Millimalslelle mit dem lokalen Minimum [(I) 0= -I. .'03::::; I ist die einzige Extrernstelle in (0, 00). (V) Einziger Wendepunkt in (0, 00) istx4 = JI2/5, denn .'04 ist einzige positive NullsteJ1e von 1". wobei ["'(.'04) #; 0 erfüllt ist. (VI) In 0 liegt ein Pol von [, da der Nenner in (3.110) fur x = 0 verschwindet, der Zähler aber nicht. Es ist lim [(x) = +00,

,_0

lim [(x) = -00. .T--->O

,,0

x
(V 11) fex) läßt sich umschreiben in

x

f(X)=2+

_5x 2 + 2 2.'03

(Bei komplizierten rationalen Funktionen benutzt man den Divisionsalgorithmus flir Polynome. s. Abschn. 2.1.6). Das zweite Glied rechts strebt fur Ixl--+ 00 gegen O. so daß fex) und x/2 sich für große lxi beliebig wenig unterscheiden. D.h.: Die Gerade hex) = Asymptote von [. Der Graph von nahe.

f

x

2 ist

kommt also ftir große lxi dem Graphen von" beliebig

Damit haben wir einen guten Überblick über die Funktion f gewonnen. Das Schaubild (s. Fig. 3.17) läßt sich mit diesen Angaben, vermehrt um einige wenige Funktionswerte. skizzieren. Bemerkung: Heute. im Zeitalter des Computers. hat man in kurzer Zeit (mit Programmierung in ca. runf Minuten) ein Schaubild sowie eine Tabelle von etwa 100 Funktionswerten erstellt. die ebenfalls einen Überblick über die Funktion geben. Die Kurvendiskussion liefert aber einen tieferen Einblick in den funktionalen Zusammenhang, sozusagen einen Blick »hinter die Kulissen«, weswegen diese Methode nach wie vor wertvoll ist. Wie wichtig Wendepunkte. ExtremstelIen und Asymptoten in Physik und Technik sind. zeigt die Diskussion der van der Waalsschen Gasgleichung. Beispiel 3.34: Die I'all der Waalssche 11 Zustandsgleichung für reale Gase lautet

( "'0) {)+

V2

(V-nb)=IIRT.

(3.111)

Dabei sind p der Druck. V das Volumen, T die absolute Temperalur. n die in Mol angegebene Gasmenge, R = 8.314J/(K· Mol) die allgemeine Gaskonstante und a. b Stoffkonslanten. Wir 11 Johannes Diderik van der Waals (1837 -1923). niederländischer Physiker

270

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

wollen p in Abhängigkeit von V studieren, d.h. wir lösen nach p auf und fassen V als unabhängige Variable auf: "RT 1/2 a p=!T(V)=----, .

V - Ilb

(3.112)

V·

Für verschiedene Temperaturen T bekommen wir verschiedene Funktionen, was durch den Index T an fangedeutet isl. Nur für niedrige Temperaturen Hißt sich ein Gas ullter steigendem Druck verflüssigen, genauer gesagt: unterhalb einer gewissen kritischen Temperatur Tk. Ist T > Tb so bleibt das Gas selbst unter beliebig hohem Druck gasförmig. Die kritische Temperatur Tk ist mathematisch dadurch gekennzeichnet. daß die zugehörigc Funktion p = h~ (V) eincn Wcndepunkt mit waagerechter Tangente besitzt Der Wendepunkt Vk wird kritisches Volumen genannt, der zugehörige Wert Pk = h~eVk) kritischer Druck. Das Problem besteht also darin. 7i... Vk und Pk zu finden. Man berechnet dazu pli = f.;.'(V) =

2/lRT

=---;-;"'3 (V

IIb)

6/1 2a

-V4 . (3.113)

Es ist f+(V) = 0 und f.;.'eV) = 0 zu setzen, d.h.

nRT

2nRT (V

IIb)3

(3.114)

Dividiert man die Seiten der linken Gleichung durch die entsprechenden Seiten der rechten Gleichung und schreibt V = Vb so folgt (3.115)

und daraus Einsetzen in (3.114) und (3.112) liefert die kritischen Größen T = Tk und p = Pk:

". - - ~

Ba - 27bR '

"

(3.116)

Pk = 27b 2 .

Aus gemessenen Werten Tk und Pk können hieraus a und b bestimmt werden. Mit den neuen Variablen T r= - . T,

v

X=-, V,

I' y=-. 1"

geht die Gasgleichung bzw. die aufgelöste GI. (3.112) über in bzw.

(3.117)

3.2 Ausbau der Differentialrechnung

271

Es folgt ,

24r

I

y == gr(x) == - (3x _ 1)2

6

+ x3

l44r

18

y" == g~ (x) == ",-'---";.,, - ,., .

'

(3x _ 1)3

....

(3.118)

Hierauf baU! man die Kurvendiskussion der Funktionen y == gr(x) auf: Der Nenner (3x - I) muß positiv sein, damit ein zusammenhängender Graph von 8r entsteht, wie er rur die Physik einzig sinnvoll ist. Also: 3x-l>0.

d.h.

1 3'

x> -

d.h. Definitionsbereich von gr ist

(!' 00).

2,5

2,0

1,5

,. 1,194 1,128 1,062 1,000

1,0

- - I

___ 1

0,5

o

0,932

0,866

, 1

3

2

3

Fig. 3.18: Zur V
Für r > I hat gr keine Extrema, rur r == I (kritische Funktion 81) liegt bei.r == I ein Wendepunkl mit waagerechter Tangente, ein zweiter Wendepunkt liegl bei x == 1.878 mil y == 0.8758. Für r < 1 treten Extrema und Wendepunkte auf, die der Leser fur einzelne r-Werte bestimmen möge. Fig. 3.18 zeigt die Graphen einiger Funktionen 8r' Für große r nähert sich gr der Zustandsfunktion idealer Gase. 1m Falle r < I verhiilt sich das Gas in Wirklichkeit so. wie durch die waagerechten gestrichelten Linien dargestellt. Hier ist das Gas teilweise vernüssigt (vgl. [291, S. 465).

272

3 Diffcremialrechnung eincr recllcn Variablcn

Übung 3.41: Führe für folgcndc Funktioncn Kurvendiskussionen durch: (a) fex) =

"

.r 2 _ I

.1'-+4.1'+5

(b) !(x)=x 2 J.r+4.

.

(d) !(x)=.rx=exlnx.

(0) !(x)=

1 , ~e-X/2.

v2rr

(c)!(x)=

6.1'3 (3.1'

". 1)-

(I) f(.r) = xe-I/x

Übung 3.42: Wieviele Lösungen besitzen die folgenden Gleichungen? Man beantworte dies mit Kurvendiskussioncn. insbesondere durch das Bestimmen dcr Intervalle. in denen dic Funktioncn streng monoton wachsen oder fallen .

,

.

(,) Inx-'2+ I =O.

(b) cos.t=x 2 _x 4 •

(0) e[=2+2x+x 2 .

(d) aretanx = I

u,

f"''"

u

salür

U,

+ 2.1'

•

Widerstand

_ .1'2.

U, ----+ Spule

Fig. 3.19: Zur Abhängigkeit der effektiven Spannung von der Frequem; eines Schwingkreises.

Übung 3.43: 12 Die ResolUlI1zJwn'cn eines elektrischen Schwingkreises (s. Fig. 3.19) sollen untersucht wer~ den. Dabei sei VI' der Effektivwert der erregenden Spannung 11. die mit der Kreisfrequenz w harmonisch schwingt. Die Effektivwerte der Teilspannungen Uc. UR. UL in Fig. 3.19 lauten dann

mit: C = Kapazität. R = Widerstand, L = Induktivität. 12 Nach 141. S. 37

3.3 Anwendungen

273

Zur Untersuchung der Abhängigkeit von w ist es zweckmäßig. »dimensionslose« Größen zu verwenden. Mit der »Kenn-Kreisfrequenz« wo:= I/.JLC verwenden wir w x:=-.

)'C

"'0

:=

U, U,

Uc

Ti;.

)'L:= -

und errechnen mit dem »Dämpfungsfaktor« d ._ R,JCTf. und der Abkür.lUng N(x) ._ )(.t2 1)2 +x2ri2: .t 2

xd

I

N(.t)

(3.119)

YL = - - .

)'R=--· N(x)

)'C=--·

N(x)

Die dadurch definierten drei Funktionen /c. / Rund !L sind zu diskutieren. wobei x :: 0 ist. Man suche insbesondere die MaximalstelIen. die den Resonanzfrequenzen entsprechen. Ferner gebe man die Schnillpunkte der Graphen von /c. /R und!L an. Die Graphen sind rurd = 0.6 zu zeichnen. Man überlege. was passien. wenn der Dämpfungsfaktor gegen Null strebt!

Übung 3.44: Es sei / : 1 _ IR (11

+ I)-mal stetig differenzierbar und xo ein innerer Punkt des Intervalls I.

(a) Zeige: Gilt /'(.>:0)

= /''(....0 ) = ... =

/n) (xo)

=0

und

/(11+ l) (xo)

1= o.

wobei n IIl1gerode ist. so liegt in xo ein Extremum (Maximum. wenn /(1l+I)(xO) < O. Minimum. wenn /(,,+I)(xO) > 0), (b) Beweise: Gilt

wobei

11

ger(/(!e ist. so ist xo ein IVelldel'lmkl.

An/ei/lmg: Sei /(II+t)(XO) > O. Man 7.cige. daß /(,,), /(11-1). /(,,-2), .... abwechselnd einen

NuJldurchgang bzw. ein strenges lokales Minimum in xo haben.

3.3

Anwendungen

Aus der Vielzahl der Anwendungen der Differentialrechnung werden einige typische Beispiele beschrieben, die stellvertretend Hir ähnliche Probleme stehen.

3.3.1

Uewegullg von Massenpunkten

Dieser Problemkreis ist - bei Newton - der Ausgangspunkt Hir die »Erfindung« der Differential- und Integralrechnung. Dabei wird die Bewegung eines Massenpunktes in einem räumlichen eartesischen Koordinatensystem betrachtet. Die Bewegung wird durch drei Funktionen X(I).

y(l).

z(1)

(/ E [10,11])

274

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

beschrieben, welche die drei Koordinaten des Massenpunktes zur Zeit t angeben. Wir wollen diese Funktionen als zweimal stetig differenzierbar annehmen. Man faßt die Funktionen zu einem Tripel zusammen: r(t) =

[

X(t l ] y(r)

(3.120)

'(tl

d.h. man schreibt sie senkrecht untereinander. klammen sie ein und beschreibt das so entstandene »Tripel« durch r(t). 13 Die Geschwindigkeit des Massenpunktes bekommen wir durch Differenzieren der drei Funktionen, wobei die Ableitung durch einen Punkt über dem Funktionssymbol gekennzeichnet werden soll: .i-(t) := :rl"(I) usw. (dies ist bei Ableitungen nach der Zeit in Physik und Technik üblich). Somit erhalten wir die Geschwilldigkeit des Massenpunktes als folgendes Tripel: r(1) =

l] .«t y(r)

[ i(t l

(3.121)

.

Entsprechend ergibt sich die Beschleunigung des Massenpunktes durch zweimaliges Ableiten, gekennzeichnet durch zwei Punkte über den Funktionssymbolen:

r(1) =

.i(t l ] jet) [ zer)

(3.122)

Beispiel 3,35: (Gleichförmige Drehbewegullg. Fliehkraft) Bewegt sich ein Massenpunkt der Masse m auf einer Kreisbahn mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w > 0, so kann seine Bewegung durch

r(t)=[pc~S(WI)], p sm(wt)

tER.

p>O.

(3.123)

beschrieben werden (Kreisbahn um 0 mit Rudius p). Die dritte Komponente z(t) ist konstant gleich Null und daher in (3.123) weggelassen. Man errechnet daraus die Geschwindigkeit fund die Beschleunigung durch Differenzieren:

r

f(t) =

[-WP Sin(Wt)] , wpcos(wt)

Zieht man im Ausdruck ganz rechts den Faktor _w 2 vor die Klammer l4

,

so kann man die

13 Solche Tripel werden aueh

Vek/fJ,..,1l (im dreidimensionalen Raum) genannt. Eine kurIe Einrlihrung in die Vektor· rechnung lindel der Leser in Absehn. (" I. eine ausruhrliehe in ßurg/HaffWille (Lineare Algebra) 191. Der vorliegende AbschniU ist aber in sieh verständliCh. so daß der Leser vorerst nicht naehzll>chlagcn br~uehl.

14 Man vereinbart allgemein)" [;] :=

[~;,] rur reellc Zlhlcn)" (und cntsprechendes rur Tripel). vgl. Abschn. 6.1.

3.3 Anwendungen

275

Beschleunigung in der Form schreiben

"()

,[ps'n(w,)]

rt=-w~

pcos(wt)

.

d.h.

(3,124)

Der so errechnete Ausdruck -w1r(t) heißt die Zell/riperalbe:n.:hleuiliguilg. Multipliziert man sie mit der Masse m, also m;:(1) = -mw 2r(l), so erhält man (nach dcm l. NewlOllschell Grtll1Jgesetz der Mcchanik) dic Zell1ripewlkraft, die auf dcn Masscnpunkt wirkt. Ihre Gegcnkraft (3,125) heißt Zentrifugalkraft oder Fliehkraft. Der Abstand des Bahnpunktes r(t) von 0 ist der Radius p des Kreises. Man nennt dicsen Abstand dcn Betrag von r(t), beschrieben durch Ir(t)1 = p. Entsprcchend ist IIIw 2p der »Betrag« der Fliehkraft.

,

Fig. 3.20: Wurfparabcl

Beispiel 3.36: (HllI/fulldfreier Fall. ohne Berücksichtigung der Reibullg) Ein Masscnpunkt der Masse 111 wcrde scnkrecht nach oben geworfen, und zwar mit der Anfangsgeschwindigkeit vo ~ O. Der Abwurfpunkt sei der Nullpunkt einer nach oben weisenden y-Achse. Auf den Massenpunkt wirkt die Gravitationskraft -mg mit der Erdbeschleunigung g = 9.81 m;s2, (Dies gilt, genau genommen, nur flir kleine WUrtllÖhCll von einigen lOü Metern, da für große Höhen dic Kraft merkbar abnimmt - nach dem Gravitationsgesetz,) Nach dem I, Ncwtonschcn Grundgcsetz (Kraft = Masse x Beschlcunigung) ist damit

-mg = my(t). Das Minuszeichen links drückt aus, daß die Kraft nach unten gerichtet ist, also in Gegenrichtung der y-Achse. Es folgt

W)

~-g

und daraus )'(1) = -gt

+a

mit einer Konstanten a. (Man prüft dics durch Differenzieren von

276

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

)'(1) leicht nach.) Die Funktion y(t) muß damit die Gestalt

(b konstant) haben, was man durch Differenzieren wiederum überprüft. 15 Wird der Massenpunkt zum Zeitpunkt 0 losgeworfen, d.h. gilt y(O) = 0, so muß b = 0 sein. Ferner soll nach Voraussetzung y(O) = vo gelten, woraus a = vo folgt. Damit erhalten wir die Lösung

(3.126) Diese Funktion beschreibt die Bewegung unseres Massenpunktes. 16 Wäre Vo < 0, so kämen wir zur gleichen Funktion (3.126). Im Falle V(j = 0 hätten wir den freien Fall (ohne Reibung) von der Ruhelage aus. Würde der Massenpunkt schräg losgeworfen, d.h. hälle er zusätzlich eine Anfangsgeschwindigkeitskomponenle 110 in waagerechter x-Richtung. so folgte aus .\'(1) =: 0 (keine Querkraft) rur den waagerechten Geschwindigkcitsanlcil i(1) = ud. Daraus crgibt sich x(t) = VOI + c. Wegen x (0) = 0 ist aber c = 0, also X(I)=lIor,

(3.127)

t2:0.

Die Wurtbahn wird damit durch die beiden Funktionen y(t). X(I) in (3. I 26), (3.127) beschrieben, d.h. durch

r(t) =

Selzl man t = x/uo in y =

I

2: O.

(3.128)

_~t2 + vot ein. so erhält man

d.h. die Wurtbahn ist eine Parabel (s. Fig. 3.20). Beispiel 3.37: (Wurf, mit Lufrreibrmg) Ohne Beweis geben wir an: Beim Wurf eines Massenpunktes unter Berücksichtigung der Luftreibungskraft, die proportional zur Geschwindigkeit angenommen wird ~ mit Proportionalitätkonstante k > O~, gelangen wir zu y(l) = B e-(k/m)1 _ mg t k

+ b,

x(t)

= A e-(k/m)1 +a.

(3.129)

15 Allgemein gill: Ist /' auf einem Imervall gegeben. so ist / don bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimm!. Denn rur alle weiteren Funktionen g mit g' = /' gill (/ - g)' = O. also / - g = konstant (nach Folgerung 3.5(a). Abschn. 3.1.5). 16 S. auch die Beispiele 2.7 und 2.9 in Abschn. 2.1.3.

3.3 Anwendungen

277

m ist die Masse des Massenpunktes und A, H, a, b sind Konstante, die aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden können (s. [56), Beisp. 5.27, S. 254, 255). Bei den folgenden Übungen wird die Luftreibung vernachlässigt. Übung 3.45: Ein Massenpunkl werde von der Erdobern:iche aus abgeworfen. wobei 110 > 0 und 110 > 0 sei (s. (3.128». Man berechne Wurf~eit (Bedingung y(1) = 0./ > 0). ferner Wurfweile. Wurtböhe und Endgeschwindigkeil beim Aufschlagen.

Übung 3.46: Ein Massenpunkt werde von einem 30 m hohen Turm SChräg aufwärts unter einem Winkel von 300 abgcworfcn. Wic groß müssen dic Anfangsgeschwindigkeits-Komponenlcn va und "0 in vcnika1cr b~w. hori~ollta1er Richtung sein. wenn der Massenpunkl 60 nl vom Turl11fuß clI1fernl auf dem Erdboden aufschlagen soll?

Fehlerabschätzung

3.3.2

Beispiel 3.38: (Wiiifeh'olumen) Die Kantenlänge x eines Würfels wird gemessen. Aufgrund der Meßullgenauigkeit läßt sich nur sagen, daß die Ungleichung 8.6cm .:'S x cm ::':: 8.8 cm gilt. Für das Volumen V = x 3 erhält man 8,6 3 = 636,056.:'S V ::':: 681,472 = 8.8 3 .

(3.130)

Man kann den Fehler auch abschätzen. indem man V = f(x) = x 3 in eine kurl.e Taylorfonnel entwickelt: v

= f(x) = f(8.7) + f'(8.7)(x -

8.7)

+ R,

= 658.503 + 227.07· (x - 8.7) + R2 .

8.6::,:: x ::':: 8,8. I

und R2 = f"(~)(x - 8.7)2/2 mit x und ~ aus dem Intervall [8,6, 8,8J abschätzt: IR2[ .:'S 2.6. 8.8.0,1 2 =0.264. Damit folgt wegen Ix -8,71::':: 0.1: [V - 658.503[ ::':: 227,07·0, I +0,264 = 22.971 < 23 .

also 635.5 < V < 681.6. (3.131)

Das ist etwa das Gleiche wie in (3.130). Kann man nun bei einer zweiten Messung die Meßgenauigkeit erhöhen, so daß etwa 8,66 ::':: x ::':: 8.75 gilt. so braucht man f(x) = x 3 , wie in (3.130) nicht zweimal neu zu berechnen (was bei komplizierteren Funktionen f aufwendig sein kann), sondern in (3.131) die Abschätzung 0, I von Ix - 8,71 nur durch die schärfere Abschätzung 0.05 ersetzen. Man erhält 1V - 658,5031 < 11.62, also die verbesserte Abschätzung 646.88 < V < 670.13.

278

3 Differemialreehnung einer reellen Variablen

Allgemeinfall: Ist x eine beliebige gemessene Zahl mit

.1x > 0

xo -.1x.::;x '::;xo.

und fex) eine daraus zu berechnende Z1hl (f zweimal stetig differenzierbar), so gilt

[(x) = [(xo)

+ ['(xo)(x -

xo)

+ R2.

Für den Fehler [(x) - [(xo). der durch die Ungenauigkeit von x er.teugt wird, folgt die Fehlerabschätzung I[(x) - [(xo)1 .::; 1['(xo)lL1x + IR21.

1 wobei IRzl .::; -

sup

2 1.<-.'ol:5Ll..•

1["(x)lL1x 2 häufig so klein ist. daß man R2 im Rahmen der Rechen-

genauigkeit (Rundung) vernachliissigen kann.

3.3.3

Zur binomischen Reihe: physikalische Näherungsformeln

Nach der Taylorschen Formel gilt rur -I < x < I und II E IR

+ RI(x)

(I +x)" = I +llX

(l+x)"=I+ax+

(3.132)

ll(ll-I) .,

2

(3.133)

r+R2(x)

mit IRII(x)l.::;

I(

)("+I)X"+'1 C .

a

11+ 1

wobei

.!-

-1

C -

+ Ixl),,-I , (I -Ixl),,-I, (I

fallsa'::;l, falls (/ > I,

Diese FonneIn werden in der Physik vielfach verwendet (s. Abschn. 3.2.3. Beisp. 3.28).

Beispiel 3.39: Für den Staudruck p an eincm Flugzcug gilt nach (3.132) P - = (I PO

1

+ --M2) K~

2

K/(l-I()

K

== I - -M 2

2

+ R2(X).

(3.134)

mit x = 9M2. Dabei ist K = 1,405 (für Luft), M = v/c die Machsche Zahl (v Fluggeschwindigkeit, c Schallgeschwindigkeil) und IJO der nonnale Lufldruck. der bei Abwesenheit des Flugzeuges herrschen würde. Man schätze IR2(X)1 ab rur M = 0.2, M = 0.5, M = 0.8.

3.3 Anwendungen

279

Übung 3.47: Für die relativistische Masse eines Körpers gilt _

m= ,;;;m~o""

~

. Illlt

,"

ß = -.

(3.135)

Dabei ist 1110 seine Ruhemasse. v seine Geschwindigkeit und x = 299792.5 km/s die Lichtgeschwindigkeit. Entwickle (I - ß2 )-1/2 in eine N~iherungsformel nach (3.133). schälze das Restglied R2(ß2) ab ftir 0 < ß :-;: 0.2 und 0 < ß :'0 0.5. Zeige. daß man c auch durch 300000km/s ersetzen darf. wenn dreisteIlige Gen
3.3.4

Zur Exponentialfunktion: Wachsen und Abklingen

Durch die Exponentialfunktion exp(x) = eX und ihre Verallgemeinerungen fex) = c· (rr werden ungestörte Wachslul/Is- und Abklillgl'Orgii/lge beschrieben, wie z.B. das Wachstum junger Organismen oder das Abklingen von Temperaturdifferenzen. Das folgende einfache Beispiel beleuchtet diesen Zusammenhang auf elementare Weise. Beispiel 3.40: (Zellll'tlchslllm) Ausgehend von einer biologischen Zelle finde alle LlI Sekunden eine Zellteilung

statt. d.h. alle .11 Sekunden verdoppele sich die Anzahl der Zellen. Nach .11 Sekunden sind also 2 Zellen vorhanden, nach 2.11 Sekunden 4 Zellen, nach 3.11 Sekunden 2 3 = 8 Zellen usw. Nach 1 = /1.11 Sekunden. (11 E N). gibt es 2" = 21 / til Zellen. Die Anzahl der Zellen steigt also exponentiell mit der Zeit 1 E (0. .1/. 2LlI, 3.1/ • ... 1. Im behandelten Beispiel liegt sprunghaftes Wachstum vor. Die UnterSUChung von »stetigem« Wachstum fUhrt zu entsprechenden Resultaten: Ungestörtes stetiges Wachstum: Man stelle sich einen Organismus oder eine Organismenmenge vor. z.B. eine Bakterienkultur. Die zugehörige Masse wachse in gleicheIl Zeilriiumen stets um den gleichen PlVzel1lsatz. In diesem Falle sprechen wir vonuilgeslürlem oder itiealell Wachstum. In jedem Zeit intervall von.1/ Sekunden vermehrt sich die Masse also um den gleichen Anteil p(Llt), z.B. um p(.1I) = 5% = 5/100. Bezeichnet 1/1 die Masse am Anfang des Zeitintervalls, so ist am Ende des Zeitintervalls die Masse .1m = p(Llt)m hinzugekommen. Division durch .11 f- 0 ergibt .1/11

p(.1t}

--~--m

.1r

.1t

.

(3.136)

Nimmt man an, daß m differenzierbar von 1 abhUngt. SO konvergiert der linke Ausdruck in obiger Gleichung fUr 1 + .11 _ 1 bei festem I. Damit konvergiert auch die rechte Seite. d.h. p(.11 )/.11 strebt rur.11 _ 0 gegen einen Grenzwert G, den wir als positiv annehmen wollen, und es folgt dm

-

cll

= am.

280

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

Mit m = f
['(t) ~ af(t)

fur alle I ~ 10, wobei to eine Startzeit fur den Prozeß bedelllel. Aus Satz 3.14 in Abschn. 3.1.7 folgt damit. daß f(r) die Form [(t) = cc
(3.138)

haI. Ist 11I0 die »Anfangsmasse« zur Zeit 10, gilt also f(tol = ce"tl) = mo, so errcchnen wir daraus c = moe-'lto. Eingesctzt in (3.138) erhalten wir das Wachstumsgesetz m

= [(t) = 11I0 ell(l-tO),

a

> O.

(3.139)

Ein solches Wachstum trin z.B. auch bei Kettenreaktionen auf, doch kommt es im übrigen in Physik und Technik selten vor. Denn Wachstumsvorgänge dieser Art (wie etwa das Aufschaukeln von SchwingungsamplilUden) fUhren zur Zerstörung von Apparaturen und Maschinen. Man versucht dies daher tunlichst zu vermeiden. Häufiger treten dagegen Abklingvorgänge auf. Abklingvorgänge: Bei einer Reihe von physikalischen Vorgängen ist die Geschwindigkeit, mit der sich eine physikalische Größe y = f(t) vermindert. proportional zur physikalischen Größe sclbst. Da die Größe im Laufe der Zeit I kleincr wird, ist der Proportionalitätsfaktor negativ, d.h. es gilt die Beziehung !,(t)=-k[(t),

mit k>O.

(3.140)

Ist)"O der Wert der Größe zur (Anfangs-)Zeit to, so erhalten wir wic oben (man sClze a statt -k) die Gleichung

y

= f(t) = )"oe-k(t-1ol.

I E IR.

(3.141)

Man spricht dabei von Abkling-oder Kriechvorgiingen. Stichwortartig seien einige Beispiele dazu genannt: Beispiel 3.41: (Abklillgl'orgiinge) Abkiihlung eines erwärmten Gegenstandes in kälterer Umgebung: f(l) =

Temperaturdifferenz zwischen Gegenstand und Umgebung zur Zeit I, k Materialkonstante. Bei Ellviimllmg gilt Entsprechendes. Radioakti\.·er Zeifall einer strahlenden Masse f(r) mit einer Materialkonstantcn k. Man zeige, daß sich die Halbwerlszeil r, das ist die Zeitdauer. innerhalb derer sich die strahlendc Massc um die Hälfte vennindert, aus dcr folgenden Formel ergibt:

102 '~-.

k

(3.142)

Chemische Reaktion uni modularer Stoffe: f(t) = Masse dcs noch nicht in Reaktion eingetrc{cnen Anteils. k Stoffkonstante.

3.3 Anwendungen

281

In zähes MediulIl eindringende Kuge! (ohne Berücksichtigung der Schwerkraft): [(t) Geschwindigkeit der Kugel, [(to) Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 10 des Eindringens, k = RIIIl, wobei R Reibungskonstante und m Masse der Kugel ist. Einschal/en elektrischen Stroms: Ist U die an einem Stromkreis angelegte Spannung. J (t) die Stromstärke zur Zeit /, R der Widerstand des Strom.kreises und L sein Selbstinduktionskocftizient, so gilt JR = U - LJ',

-f

mit J(t) := J (t) - V I R also l' = J, d.h. J(t) = J(O) e-Rt!L. Mit J(O) = 0 zur Zeit1 = 0 des Einschaltens folgt J(O) = -VI R und somit l(t) = U (I R

~ e-Rl/ L )

fUr / 2: O.

Beim Ausschalten findet ein entsprechender Vorgang statt. Kondensalorenentladllllg über einen Stromkreis mit Widerstand R. ISI C die Kapazität des Kondensators, so gilt ftir die Eleklrizitätsmenge Q des Kondensators zur Zeil t. die Gleichung Q = ~CR1 mit derStromslärke 1 zurZeit /. Mit J = Q'. also Q = ~CRQ', folgl Q = Qoe-t!{CR). FUr die Spannung U = QIC am Kondensator folgl damit V = Vo e-t!{CR).

Wir betrachten schließlich noch zwei Beispiele, in der Ableitungen nach dem Weg bzw. der Masse eine Rolle spielen. Beispiel 3.42: (Barometrische Höhen/onllef) Isl p(x) der Luftdruck und p(x) die Luftdichte in der Höhe x über dem Erdboden, so gilt ~ = -gp. Denn gp(~).:1x ist das Gewicht einer Luftsäule der Grundfläche I und der Höhe.:1x (mit einem geeigneten ~ E (x. x+.:1x». Zum Gesamtdruck trägt diese Säule also den Druckanteil lL\rl = gp(~).:1x bei. Division durch .:1x, BcrUcksichtigung der Abnahme des Luftdruckes bei steigender Höhe (d.h . .:1p < 0 falls L\x > 0), sowie.:1x _ 0 liefern ~ -gp(x). Mit dem lJoyle-Mariol1eschen Gesetz folgt p bp (b konstant> 0), also zusammen pi = -kr mit k:= gib. Daraus folgt die barolllelrisclte Höhen/orme!

=

p(x)=p(O)e- b .

=

x2:0.

Beispiel 3.43: (Raketenantrieb, Brennsdl/ußgesdlwilldigkeit) Es sei 1110 die Startmasse einer Rakete, w die konstante Ausströmgeschwindigkeit der Brennmasse aus den DUsen, u ihre Geschwindigkeit zur Zeit t und 111 ihre Masse zur Zeit t. Gravitations- und Reibungskräfte sollen nicht berücksichtigt werden, (Die Rakete starte also von einem Punkt des Weltalls aus, oder Gewicht und Reibung sind vernachlässigbar klein gegen die Schubkraft.) Aus dem Nell'lOlIsclten Grundgese/z und dem Impulssatz folgt du dm m-=-w-. dt dt

282

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

Mit w > 0 und

dm

dl

< 0 folgt

dlll dr

m=-w--. dt dv

d.h.

dll

> 0 also

dl'

dlll

m=-w-. d,

Nach Satz 3.14 (Abschn. 3.1.7) erhält man daher m=moe- O/ W

ftir

v2:0.

Ist 1111 die Masse der Rakete bei Brennschluß und VI ihre Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt, so gilt m I = 1110 e- vi / w . Aullösen nach VI liefert damit die Bremlsdllußgt:~'t:"\Villdigkeil VI

3.3.5

=

will

(mo) -

1//1

Zum Newlonschen Verfahren

Beispiel 3.44: (Kt:ttellkart/ssell) Ein Kettenkarussell mit einer Tragstange von r = 2 m und einer Kettenlänge von I = 4 tl1 benötige rur einen Umlauf T = 5 s. Wie groß ist der Winkelausschlag Ci der Kette (s. Fig. 3.21)?

," , , ,

.1 ~si.!:~.o._

F

m

Fig. 3.21: Zum Kettenkarussell

Nach Fig. 3.21 und Beispiel 3.35 ist der Betrag der Zentrifugalkraft F = mw 2(r+1 sinCi). mit w = 27r / T. Auf den Körper am Ende der Kette wirkt ferner das Gewicht vorn Betrag G = mg (g = 9.81 rn/s 2 ). Die Richtung der Resultiercndcn dieser beiden Kräftc ist gleich der Richtung der Kette, beschrieben durch den Winkel Ci. Es gilt also lanCi

",' = -GF = -er + I siEl Ci) • g

3.3 Anwendungen

Mit tan Q'

283

== sin Q'/J I - sin 2 Q' und der Abkür.lung x ;:::: sin Q' erhält man daraus

mit b ::::: r/ fund a ::::: g2/(/2 w 4). Einsetzen der gegebenen Zahlenwerte ergibt

x 4 +x 3 + 1,6620x 2 -x -0,2500:::: 0, mit gerundctcm KoelTizicnten 1.6620. Das

Newton~Verfahren

!(x,,)

X,,+l ::::

x" - -f'() x"

liefert mit 4

3

2.

I

[(X)::::X +x +1.6620x ~'~-4'

von der Näherungslösung Xo :::: 0,6 ausgehend nach 3 Schritten die Lösung x == 0.56585152. Eine genauere Kurvendiskussion zeigt, daß dies die einzige Lösung in [0, I] ist. Aus = Sill Q' folgt Q' == 0.60146565, das entspricht gerundet einem Winkel von 34" 28'.

x

, , " Fig. 3.22: Freileitung zwischen zwei

s Ma~len

Übung 3,48: (Freileitung zwischen zwei Masten) Die Kurve einer Freileitung wird beschrieben durch

)' =

fex)

x-·'o - I) ="0+(/' ( co~h-,,-

(~. Fig. 3.22) mit gewissen reellen Konstanlen ho. .\"0 (~. 138], S. 68). Berechne (/ und .TO aus den Höhen" I = 10m. "2 = 77 der Maslen. ihrer Entfernung s = 20111 voneinander und der Minimalhöhe "0 = 6m der durchhängenden Leilung.

284

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen

3.3.6

Extrcmalproblcme

Stellvertretend fUr die große Anzahl von ExtremaIproblemen wählen wir fUnf Beispiele auS Technik und Physik. Dabei knüpfen wir an den Abschn. 3.2.7 an. Beispiel 3.45: (Giinstigste Abme.HlIlJgen eines AbwaHerkwllIJs) Die Querschniusfläche eines Abwasserkanals habe die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis (s. Fig. 3.23). Der Flächeninhalt F der Querschniusfläche sei fest vorgegeben. Wie sind die Seitenlängen x, y des Rechteckes zu wählen, damit der Umfang der Querschniusfläche (und damit die Reibung) möglichst klein wird? Der Umfang ist

x

U = 2y+ -Tf. 2

(3.143)

Der Flächeninhalt ist F = xy

2

x + -Tf, daraus foJgt y =

8

F x

.or

- --. 8

y

,

Fig. 3.23: Kanalquerschniu

Einsetzen in (3.143) liefert 2F U = fex) := x

4+Tf +-x, 4

0< x <

fIF -:-. ,.

f " (x)

4F -, . x

Erste und zweite Ableitungen lauten:

f , (x)

2F = -~

+ ( I + ") "4

~

P(xo) = 0 liefert xo =

- - == lif 4+" F

I.058.JF.

(3.144)

Wegen f"(xo) > 0 liegt bei Xo ein Minimum des Umfangs. Die minimale Umfangslänge ist damit Uo = f(xo) = J(8 + 2JT)F == 3.779ft.

3.3 Anwendungen

285

Beispiel 3.46: (nach [57J, Bd. 11, S. 144) Der Wirkungsgrad eines Tramformalors ist '1=

P

,.

c+P+kP-

(3.145)

(P >0).

Dabei ist P die abgegebene LeislUng, und c > 0 und k > 0 sind vorn Transformator abhängige Konstanten. Bei welcher Leistung ist der Wirkungsgrad am größten? Differentiation von (3.145) nach P liefen

d, dP

woraus durch Nullsetzen PM = /CTf folgt. Da cl/l/dP bei PM einen »fallenden Nulldurchgang« hat (d.h. d/l/dP > 0 fur P < PM, d/l/dP < 0 für P > P!o-,), liegt bei PM = JC7I die gesuchte Maximalstelle. Beispiel 3.47: (Biegefestigkeit eines Balkens) Ein Balken mit rechteckigem Querschnitt soll aus einem zylinderförmigen Baumstamm geschnitten werden. Wie erreicht man maximale Biegefestigkeit des Balkens? Die Biegefestigkeit des Balkens ist gleich w=c·x)'2.

wobei)' die Höhe des Balkenquerschnittes und x seine Breite ist. Mit dem Durchmesser 0 des Kreisquerschnius unseres Baumes gilt y2 = D 2 - x 2 , also

Man berechnet:

o

xo =.J3'

w" = -c6xo < O.

Folglich erhält man maximale Biegefestigkeit rur die Seitenlängen

j D2 -

xJ

= .J27'JD =

xo

=

D/.J3

und

)'0

=

./2,ro.

Beispiel 3.48: (Lidllbredlllllg und -reflexion) Ein Lichtstrahl verläuft von einem Punkt A in einem Medium I zu einem Punkt B in einem Medium 2, wie es die Fig. 3.25 zeigt. Die Medien sind durch eine Ebene getrennt. Die Lichtgeschwindigkeiten CI und C2 in den Medien I bzw. 2 seien konstant. Wir wollen den Lichtweg aus dem folgenden Fermatschen l7 Prinzip herleiten: »Das Licht schlägt immer den Weg ein, der die kürzeste ZcitdaLler erforden«. Daraus folgt unmittelbar, daß der LichlSlrahl in jedem unserer Medien gradlinig verläuft, und daß er in einer Ebene liegt, die senkrecht auf der Trennebene steht. Diese »Lichtstrahl-Ebene« ist in Fig. 3.25 gezeichnet. 17 Pierrc de fermm (1607 - 1665). französischer

Mmhemmi~er

und Jurist

286

3 Differentialreehnung einer reellen Variablen A

Medium 1

•

I

~ • 0

y

Medium 2

\~'7/

, , ,'ß ,

p

b

B

Fig. 3.24: Balken mit maximaler Biegcslcifigkcil

Fig. 3.25: Lichtbrechung

Mit den Bezeichnungen in der Fig. 3.25 ist die Zeitdauer, die das Licht von Abis 8 benötigt, gleich

IJ

+ -S

,.

t(x) = -

CI

I (p)-x), +b2 •

= _ x 2 +a 2 + -

(3.146)

1:2

CI

C2

Wir errechnen die Ableitungen nach x:

,

'_7 '"7, Cl Jx 2 +a 2

t (x) = -

I

= - sina Cl

I

"( )

X

I =-

P -x

I

C2j(p_x)2+b 2

Ix

p-x

,

=-~---

I

-sinß. C2 Jx2 + a 2 _ _._,'-

Cl

~

,

x·

+a

V""+' X-1-W

2

1 ,. _ i. I5 ----'-+- CI,.2 C2

_

(l'-x)2

52

'

Nullsetzen der ersten Ableitung liefert sina sin ß

CI

(3.147)

C2

Dies ist das Snelliu55che l8 8redufIIgsgese1Z: »Das Verhiiltnis des Sinus des Einfallswinkels zum Sinus des Brechungswinkels ist konstant«, Man erkennt ,"(x) > 0 für alle x E [0. pJ. da" > x unds> p-x ist. Damit ist " streng monoton steigend. Aus 1'(0) < 0 und I'(p) > ofolgt damit: Es gibt genau eine Nullstelle von " in [0. p]. Sie ist eine Minimalstelle von 1. wegen t"(x) > O. Es gibt somit gelluu ein Minimum von I, charakterisiert durch (3.147). 18 Willcbrord van Roijcn

Sncll (1580- 1626). niederländischer Astronom und Mmhcmaliker

3.3 Anwendungen

287

clc2 Ce = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum)

Mit den Brechungsindizes 111 = eie 1, 112 erhält das Breehullgsgeserz die Form

(3.148)

111 sina = !l2sinß.

Das Reflexionsgesetz (Einfallswinkel = Ausfallswinkel) gewinnIman analog. Man hat lediglich in Fig. 3.25 B an der x-Achse »nach oben« zu spiegeln. Damit laufen alle Rechnungen genauso wie beim Brechungsgesetz, wobei zusiitzlich Cl = C2 gilt. Man erhiilt wieder (3.147) und wegen Cl = C2 daraus Cl = ß, also das Reflexionsgeselz. Beispiel 3.49:

(Wienscl1es l9 Vem:hiebullgsgeselz) Aus dem P/al1ckschclI SlralJllI!lg~·gesetz (l29J, S. 518, (27» 1/(:2 E(A) - - .

-

A5

I ehcj(kll..l

I'

A> 0

,

soll diejenige Wellenlänge A = Amax beredmet werden. rur die das Emissionsvermögen E(A) maximal wird. Man berechnet dazu E' ()..) und setzt zur Vereinfachung x =: l1e/(kT)..) ein. E'(A) = 0 wird dann zu x l(e X -I) = 5, d.h. e- x - I + x /5 = O. Das Newton-Verfahren, ausgehend von xo = 5. liefert eine Lösung x == 4,965. Sie ist die einzige in (0,00), wie man sich überlegt. Mit x =: I1c/(kTA max ) folgt das Wiensche VerschiebuII8sgeselZ

ex

1Ie

Amax = 4.965kT .

d.h.

I>c

Amax T = 4,965k = const .

wobei E"(A max ) < 0 zeigl, daß es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.

y

-f

,

Fig. 3.26: Eisenkern in Spule

Übung 3.49: (Eisellkem in einer Spule) In das Innere einer Spule von kreisförmigem Querschniu vom Radius ,. soll ein Eisenkern mit kreuzförmigen Querschnitt gebracht werden (s. Fig. 3.26) Welche

Abmessungen x. )' muß der kreuzförlllige Querschnitt haben. wenn sein Flächeninhalt maximal sein soll? 19 Wilhclm earl Wcmer Duo Fritz Franz Wien (1864- 1928). deutscher Physiker

4

Integralrechnung einer reellen Variablen

Wie groß ist der Flächeninhalt einer Ellipse, die Länge einer Freileitung, die Energie einer Gasmenge oder die Fluchlgeschwindigkeit einer Rakete? Wie berechnet man Satellitenbahnen, den Schwerpunkt einer Halbkugel, das Trägheitsmoment eines Kegels oder die Wahrscheinlichkeit fur den Ausfall eines Bauteils? Dieses viel faltige Spektrum von Fragen kann mit den Mineln der Integralrechnung beantwortet werden.

y

, a Fig, 4.1: Fläche von

b

f

auf {tl. bl

Dabei gehl man von einer elementaren Grundallfgabe aus, nämlich der Bestimmullg tier Fliichellillhalte krul/ll/llillig beralldeter Flächen. Insbesondere beschäftigt man sich mit Flächen, die - wie der schraffierte Bereich in Fig. 4.1 - zwischen einern Funktionsgraphen und der x-Achse liegen. In solche Flächen kann man die meisten krummlinig berandeten Flächen zerlegen, wie Kreise, Ellipsen usw. Bei der Bestimmung solcher Flächeninhalte werden die Methoden der Integralrechnung entwickelt. Dabei stößt man auf eine überraschende Tatsache: Die Integralrechnung ist die Umkehrung der Differentialrechnung. Während man in der Differentialrechnung von bekannten Funktionen die Ableitungen berechnet, versucht man umgekehrt in der Integralrechnung aus gegebenen Ableitungen die ursprünglichen Funktionen zu gewinnen. Das Problem der Flächeninhaltsbestimmullg wird also dadurch gelöst, daß man die Differentialrechnung »auf den Kopf stellt«. Eine erstaunliche Erkenntnis! Es ist kein Wunder. daß die Menschen seit drei Jahrhunderten von dieser Entdeckung fasziniert sind. Die große Kraft der Analysis und ihr ungebrochener Erfolg sind darin begründet.

K. Burg et al., Höhere Mathematik für Ingenieure, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9929-3_4, © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

290

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

4.1

Grundlagen der Integralrechnung

4.1.1

Flächeninhalt und Integral

Einführung: Wir gehen von einer positiven beschränkten Funktion f auf einem Intervall [a. bl aus, wie z.B. in Fig. 4.1 skizziert. Die schraffierle Punktmenge heißt die Fläche 1'0/1 f al/f [a, bl. Sie besteht aus allen Punkten (x.y)mita.::: x,::: bundO.:::)'.::: fex). Unser Ziel ist es, den Flächeninhalt dieser Fläche zu bestimmen,ja, ihn überhaupt erst einmal sinnvoll zu erklären. Dazu bilden wir eine Streifeneinteilung wie in Fig. 4.2, d.h. wir wiihlen uns

Fig. 4.2: Slreifeneinteilung der Fläche

beliebige Zahlen xo, a

von

=

Xo

<

Xl

<

XI. ..•, X2

x" mit

< ... <

XI/

(4.1 )

= b.

f auf [a. b] Die Menge der dadurch gebildeten Teilintervalle Ixo.xll. IXI.x21 ..... [x,,_I.x,,1

nennen wir eine Zerleglillg 2 des Intervalls [a. bl. Mit Ll.Xj

=Xi

-Xi_I.

i = 1,2.....

/1,

werden die Intervallängen der Teilinterval1e symbolisiert. Die größte dieser Intervallängen heißt die Feinl1eitlZI der Zerlegung, also

121:= max

i E( 1. ... /11

L1x;.

Je kleiner die Zahl 121 ist. desto »feiner« ist die Streifeneinteilung im landläufigen Sinn. In jedem Streifen der Fig. 4.2 bildet man zwei Rechtecke, die die Fliiche von firn Streifen von »innen« und »außen« anniihern. D.h. ist [Xi_I. Xi I das Teilintervall zu unserem Streifen. so betrachten wir darauf das Supremum und das Infimum von f (s. Fig. 4.3): Mi:=

sup XElxi_l.x; I

f(x),

lIli

=

inf

xElxi_l ..1il

fex)

(4.2)

4.1 Grundlagen der Integralrechnung

291

Es entsteht über [Xi~ I, xii ein »inneres Rechteck« mit dem Flächeninhalt lIIi LiXi (s. Fig. 4.3) und ein»äußeres Rechteck« mit dem Flächeninhalt M; Lix;. Summierung über i ergibt

SfeZ)

;=

L" M; Lix; .

genannt Oberst/mme

11011

f

bezüglich Z.

;=1

sfeZ)

" ;= L

(4.3) lIli

Lix; •

genannt UlllerSt/l11l11e mll

f

bezüglich Z.

1=1

Bei genügend feiner Streifeneinteilung wird man beide Summen als Näherungen fLir den zu bc-

T

m,

Fig. 4.3: Darstellung von 111; und M j zu Unter- und Obcrsummen

stimmenden Flächeninhalt ansehen, jedenfalls dann, wenn der Unlerschied beider Summen fLir hinreichend feine Einteilung beliebig klein wird. Bei immer feineren Zerlegungen Z werden die Obersummen S/(Z) immer kleiner (oder jedenfalls nicht größer) und die Untersummen sieZ) immer größer (oder wenigstens nicht kleiner); Dadurch wird nahegelegt. das Infimum aller Obersummen und das Supremum aller Untersummen zu bilden:

7/

;=

i~f S feZ) .

L/:= supsl(Z), Z

genannt Oberintegrall'oll

f,

genannt Ulllerill/egra/l'oll

f.

(4.4)

Wir benutzen dabei die Tatsache. daß jede ObersUlllrne von f größer oder gleich jeder Untersumme von f ist. Man sieht das leicht so ein: Sind sr(2 I) und S/(22) beliebig gegeben, so bilde man aus Z 1 und Z2 eine gemeinsame» Verfeinerung« Z, bestehend aus den Durchschnitten der Teilinlervalle von Zl und Z2. Damit gilt zweifellos

Daraus folgt insbesondere, daß die Menge der Obersummen nach unten beschränkt und die der Untersummen nach oben beschränkt ist. folglich 7/ und LI wirklich existieren. Ferner ergibt sich LI .::: 11'

292

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

Für übliche Funktionen, etwa ftir stetige, wird man LI = 71 erwarten, d.h. daß die obere Grenze aller Untersummen gleich der unteren Grenze aller Obersummen ist. I In diesem Fall nennt man die gemeinsame Zahl

ra.

den Ffiicheninlwfl von I auf bl. Dieser Flächeninhalt wird das /megrall'oll genannt und folgendennaßen symbolisiert:

f

I aul [a, bl

b

1=

I(x) dx

(fies: »/megral f(x) dx \'011 abis b,,).

" Wir haben hierbei I als positiv vorausgesetzt. Doch können wir auf diese Voraussetzung auch ver.tichten und das Integral entsprechend rur beliebige beschränkte Funktionen definieren. Damit gelangen wir zu folgender allgemeiner Definition, die die bisherigen Überlegungen zusammenfaßt und auf beliebige beschränkte Funktionen ausdehnt: Definition 4.1: (Integrafdejinilion) Es sei

I eine reelle beschränkte Funktion auf la, bI.

(I) Man betrachtet eine Zerlegullg 2 von la, [xo, xil, [XI, X2], ..., [X,,_I, XIII mit

bl. Das ist eine Menge von Intervallen

a = Xo < Xl < ... < XII = b. Die XO,

... , XII

121:=

heißen Teilullgspllllkle von 2. Die Zahl

max

iEII .... ll!

L1xi.

mit L1xi :=

Xi -

Xi_l

heißt die Feilllleit von 2. (11) Mit sup

Mi ,-

f(x),

XE!Xi_1 .t;J

mi . -

inf

xElxi_I.Xi!

f(x)

bildet man S1(2) :=

L" Mi L1Xi .

genannt Obersulllllle von f bezüglich 2,

;=1

s1(2) :=

L" 11I; L1xi '

genannt UIIJerSllmme von

f

bezüglich 2,

;=1

Es gibl allerdings ~au,gefransle .. Funktionen. flir die das nicht gill. Ein Beispiel dat1ir iSl die Funktion. deren Wer~ te I(x) flirrationale x gleich I sind und ftir irrationale x gleich Q. Doch spielen diese Funktionen in der Teehnik praktisch keine Rolle.

4.1 Grundlagen der Integralrechnung

293

"nd

If

:= i~f SI(2) ,

LI := sups 1(2) ,

z

genannt Oberimegral von

f

genannt Ullferilllegral von

auf La, bJ,

J auf La. bJ.

Infimum und Suprernurn werden dabei bezüglich sämtficher denkbarer Zerlegungen 2 von La, bj gebildet. (111) Stimmen Ober- und Unterintegral von f auf La. bJ überein, so heißt f imegrierba? auf La, b]. In diesem Falle heißt der gemeinsame Wert II = LI das Imegral \'on f auf La, bj, beschrieben durch b

!f(X)dx.

" Geometrische Deutung: Ist

f

J

auf [a. b] integrierbar und ist

f

(x) ::: 0 auf La, b j, so ist das

b

Integral

f(x) dx der Fliü:henil1fwll der Fläche

" erklärt haben.

f

VOll

J auf

La, b], wie wir einführend schon

b

Ist dagegen f(x) .::: Oauf[a. b], so wird auch

f(x)dr .::: O. Der absolute Wert des Integrals

" F = {(x. y) I a .::: x .::: bund ist in diesem Falle als der Flächeninhalt der Fläche aufzufassen. Fliegt IIl1lerhalb der x-Achse (s. Fig. 4.4b).

, a)

,

b)

+~ 0'

f

(x) .::: y .:::

01

A

b .~

Fig. 4.4: Integral und Flächeninhalt Ist J sowohl positiv wie negativ aufLa. bJ, so sind die Inhalte der Teilflächen zwischen Graph und x-Achse, die über der x-Achse liegen, positiv zu rechnen, und diejenigen ullter der xAchse negativ. Die Summe dieser positiven und negativen Zahlen ergibt das Integral

J

f

b

"

!(x) dr

(s. Fig. 4.4c).

2 Man ncnlll fauch 'lUsmhrlichcr Rielllwm-illiegrierbar.

294

4 Integraln:chnung einer reellen Variablen

Übung4.1: Berechne mit Hilfe der Deutung als Flächeninhalt die lntegmle I

2

-,J'"

!(2X)dX.

o 4.1.2

lntegrierbarkeit stetiger und monotoner Funktionen

Welche Funktionen sind integrierbar? - Wir zeigen, daß vor allem stetige Funktionen integrierbar sind (sonst wäre es schlimm bestellt um die Analysis). aber auch stückweise stetige Funktionen, monotone und stückweise monotone Funktionen auf kompakten Intervallen. Der anwendungsorientierte Leser kann sich mit diesem Hinweis begnügen und ohne Schaden den Rest dieses Abschnittes überschlagen.

Satz 4.1: Jede stetige Funktion und jede monotone Funktion auf [0. bl sind auf diesem Intervall integrierbar. Beweis: (I) Es sei f stetig auf [0. bl. Dann ist f sogar gleichmiißig stetig auf [a. bl (nach Satz 1.26, Abschn. 1.6.6). Zu beliebig gegebenem e > 0 gibt es daher ein 8 > 0 mit If(.q) - l(x2)1 < s, falls lXI - x21 < 8. Man wähle nun eine Zerlegung Z von kl. bl mit der Feinheit [Zr < 8. In jedem Teilintervall fXi_I.X;] (i = 1•...• /1) von Z gibt es wegen der Stetigkeit von f Punkte (i) d (i) . Xmax un x min mit l(xl~~x) =

Slip

1·(i_l·xll

. .f Es f olgt ummttelbar.

f(x) = Mi,

f'Ul (i) (i) .. (.\min) < s, da Ixmax - xminl .::: ..:1.\i = .\i - Xi_I < 8. Für die Differenz zwischen Obersu1l1me S/ (Z) und Untersumme s/ (Z) erhält man somit:

s/(Z) -

s /(Z)

(I)

(X max ) -

" = L(M; -

mi )..:1x;

f(x~ln)).ax;

;=1

i=]

<

" = L(f(xZ~x) -

(4.5)

" " LS..:1Xi =s L..:1Xi =s· (b-a) ;=1

i=l

Da e > 0 dabei beliebig klein gewählt werden kann. wird auch S/(Z) - s/(Z) beliebig klein. wenn man Z geeignet wählt. Daraus folgt aber i!,f S/(Z) = sups/(Z). d.h. fist integrierbar auf [a, b].

z

z

(11) 1 sei nun monoton steigend auf [a, bl. Damit ist 1 auch beschränkt. Z = {fxQ. XI I. [Xn_l. XII 11 bezeichne eine Zer1egung von [a. bl und M; bzw. 111; das Supremum bzw. das [nfimum von f auf [x;_I,x;l. Damit gilt zweifellos f(xi-ll = lIIi ::: Mi = f(x;). also mit

4.1 Grundlagcn der Integralrechnung

295

L1Xi = Xi - Xj_l:

S/(Z) - s/(Z)

" = L(M; -

"

" = IZI L(Mi -

;=]

;=1

lIli).1x; .::: L(M; - lIli)IZI

;=]

111;)

"

~ 121 LU(x;) - [(X;_I» ~ 12IU(b) - [(a)). ;=1

Da IZI beliebig klein gewählt werden kann, ist il)f S /(Z) = sups/(Z), folglich ist f integrierbar

z

z

auf [a, bl. Für monoton fallende Funktionen verläuft der Beweis analog.

0

Eine Funktion f heißt ~·'iicklVeise ~·'elig auf [a. b], wenn f bis auf cndlich vicle Sprungstellcn in [a, bl stetig ist (vgl. Abschn. 1.6.9). f heißt stiickweise mOIlOlO11 auf [a. bl, wenn man eine Zerlegung Zo von [a, b] finden kann, so daß f zwischen je zwei Teilungspunkten monoton ist, und wenn f überdics beschränkt ist. Funktioncn dieser Art sind ebenfalls imegrierbar auf fa, bl Zum Beweis betrachtet man nur solchc Zcrlcgungen Z. bei dcnen die SprungsIelIen. bzw. die Teilungspunkle von Zo. auch Teilungspunkte von Z sind. Damit verläuft die Schlußkette im Wescntlichen wie im obigen Bewcis. Übung 4,2: Führe den letztgenannten Beweis aus.

Übung 4,3 Die Funktion 1 10. tri -+ IR mit I(x) := sin(ljx) fUr x '" 0 und 1(0) := 0 ist weder stückwcise stetig noch stückweise monoton (warum?). Zeige. daß sie trotzdem imcgrierbar auf (0.)T1 ist.

f

2

Fig. 4.5: Direktes Schätzen des Flächeninh
o

j(x)dc mit I(x) =

_~x2 + x +

i.

2%

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

4.1.3

Graphisches Integrieren, Riemannsche l Summen, numerische Integration mit der TangentenformcJ

Graphische Integration: Die einfachste Methode für das praktische Berechnen von Integralen besteht darin, den Graphen einer Funktion f auf fa. bl ZU zeichnen - etwa auf Millimeterpupier - und den Flächeninhalt der Funktion auf [a. IJI abzulesen. (Wir setzen dabei f ohne Beschränkung der Allgemeinheit als ~ 0 voraus.) Das »Ablesen« des Fliicheninhaltes kann durch Abzählen der Millimeterquadrme geschehen, die in der Fläche enthalten sind oder ihren Rand schneiden. Die von Graph f geschnittenen dabei halb gerechnet. Beispiel 4.1: In Fig. 4.5 ist mit dieser graphischen Methode das Integral von fex) = _x 2 /2 [0.2] bestimmt worden:

! f(X)dX~! (-~ +x+D dx~ 2

o

2

+ x + 1/2 auf

2

167

0

Bemerkung: Früher waren zur graphischen Integration sogenannte »Integraphen« gebräuchlich. Das sind Geräte. mit denen man durch Nachfahren des Funktionsgraphen mit einem Leitstift den Integralwert (näherungsweise) gewinnt. Diese Maschinen, wie überhaupt graphische Integrationsmethoden. sind heute durch den Computer nahezu verdrängt. Zur schnellen überschlägigen Bestimmung von Integralen ist die obige "Kästchenmethode« jedoch weiterhin nützlich. Riemannsche Summen: Sowohl fur die numerische Integration, wie auch für theoretische Weiterführungen sind Riemalll/sche Summe" grundlegend. Es handelt sich dabei um Summen von Rechteckinhalten. wie in Fig. 4.6 skizziert.

~ I I I I

,

""

~ I I I I

v:'~ I I I I I I

I I I I

I I

I I I I

" '" ...

, b

Fig. 4.6: Zu Riemannschen Summen

Genauer: Ist f eine beschr~inkte Funktion auf la. bl und Z = Ilxo. XII, ...• Ix,,_I. x,,11 eine Zerlegung von [a, bl. so wähle man aus jedem Teilintervall [Xi_t, Xi J einen Punkt ~i beliebig aus. 3 Gcorg Friedrich Bemhard Riemann (t 826- 1866), deutscher Mathematiker

4.1 Grundlagen der Integralrechnung Als Riemannsche Summe von R:::;

L" 1(~;).1xi,

I

(bzgl. Z und

mit .1xi :::;

~I, ... , ~")

297

bezeichnet man dann

Xj - Xi_I·

;=1

(Gelegentlich schreibt man auch Rf(Z,~) stau R, wobei ~ :::; (~l ..... ~,,) ist.) Für eine positive Funktion I, wie in Fig. 4.6 gezeichnet, handelt es sich offenbar gerade um die Summe von Rechteckinhal!en. Es ist zu erwarten, daß R sich beliebig wenig vom Integral wenn

J"

I(x) dx unterscheidet,

" IZI :::; max .1x; genügend klein ist. Dieser Sachverhalt wird im folgenden Satz präzisiert. ;

Satz 4,2: Für jede besehränkte Funktion I auf La, b) gilt: I ist genau dann integrierbar, wenn jede Folge Riemannscher Summen Rk von I, bei dcnen die Feinheiten IZki der zugehörigen Zerlegung gegen Null streben, konvergiert. Jede dieser Folgen (Rd konvergiert dann gegen denselben Grenzwert. Dieser ist

J b

gleich

I(x) dx. [n Formeln:

"

f

b

lim Rk:::; '_00

I(x)dx.

"

Beweis: 4

J b

(I) Es sei I imegrierbar auf [0. b] und I :::;

I(x) dx.

(Rd sei eine beliebige Folge Riemannscher "Summen von I, bei der die Feinheiten IZki der zugehörigen Zerlegungen ftir k -+ 00 gegen Null streben. Wir zeigen Rk -+ I ftir k -+ 00. Da I integrierbar auf la, b] ist, existiert zu beliebigem E > 0 eine Obersumme 5 feZ) und eine Untersumme S feZ') mit (4.6)

Wir vergleichen nun 5 fez) mit einer unserer Riemannschen Summen Rk. Dabei denken wir uns Zk »sehr fein« ,jedenfalls IZkl < IZI. Die Riemannsche Summe spalten wir auf in Rk :::; Ak

+ Bk.

wobei Ak die Summe aller derjenigen Glieder von R k ist, die zu TeilintervalleIl von Rk gehören, 4 Kann beim crstcn Lesen überschlagcn wcrdcn.

298

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

welche Teilungspunkte von 2 enthalten. BI; ist die Summe der übrigen Glieder. Man überlegt sich leicht, daß Bt .::: 5/(2) gelten muß. (Man zeichne eine Figur dazu,) Ferner gilt AI; --7 0 rur k --7 00. (Denn ist 111 die Anzahl der Teilungspunktc von 2, so kann AI; höchstens 2m Gliedcr haben, da jeder Teilungspunkt von 2 in höchstens zwei Teilintervallen von 2t liegt. Da jedes Glied von AI; absolut.::: 12;;1 sup 1[(x)1 ist, fo[gtlA;;I .::: 211112;;1 sup 1[(x)1 --7 0 für k --7 00.) Somit ist lAl;l <

[u.bl

E,

[u,b[

falls k > ko, fur ein genügend großes ko. Daraus erhält man ftir k > ko:

Ganz rechts wurde (4.6) verwendet. Entsprechend beweist man die Ungleichungen RI; 2: .~/(2') -E 2: I - 26" rur k 2: k] (k l genügend groß). Zusammen folgt I - 26" .::: RI; .::: I + 26" rur k 2: K = maxlko. k l }. Das bedeutet aber, daß RI; gegen I konvergien. (11) Wir setzen nun voraus, daß jede Folge Riemannscher Summen RI; von [, mit 121; I --7 0 rur die zugehörigen Zcrlegungen, konvergien. Damit konvergieren alle diese Folgen (RI;) gegen den gleichen Grenzwen R. (Gäbe es nämlich zwei Folgen (R;;), die gegen ~wschiei'el/e Grenzwerte strebten, so würde eine Mischfolge aus beiden überhaupt nicht konvergieren, was unserer Voraussetzung widerspricht.) Zu zeigen ist, daß [ auf La. bJ integrierbar ist. Dazu betrachten wir eine beliebige Folge von Zerlegungell ZK von La, bJ, mit IZI;I --7 0 für k --7 00. Man bilde die zugehörige Folge von Obersummen 5/(2;;). Zu jedem S/(2;;) kann man eine Riemannsche Summe Rt von [ finden mit SfeZ;;) = RI; + 6"1;. 0 .:os EI; < 1/ k. (Man hat nur die [(~i) in RI; genügend dicht an den Suprema Mi von [ in den zugehörigen Zcrlegungsintervallen zu wählen.) Wegen Rt --7 Rund 6"1; --7 0 folgt SI(ZI;) --7 R rur k --7 00. Entsprechend ergibt sich sl(ZI;) --7 R rur k --7 00, wegen sup S feZ) .:os i1)f SfeZ), also

z

z

J b

Folglich ist [integricrbar aurra, bJ. und R =

[(x) dx.

o

"

Tangentenformel zur numerischen Integration: Wir denken uns eine imegrierbare Funktion [ auf La, b} gegeben - z.8. eine stetige Funktion. Ihr Integral auf [a. b} soll zahlenmäßig berechnet werden, Dazu bilden wir zunächst eine iiquüfisfal1le Zedegllilg Z = {[xo, XI I, ..., [x n_]. X" 11 von [a, b J. Aqllidisfall/ bedeutet, daß alle Teilintervalle [.xi -I, Xi J gleich lang sind, also L\xi

=

Xi -Xi-]

b-a

= --:= n

h

ruralle i = I, ... ,/l.

lnjedem Teilintervall bestimmen wir nun den Mittelpunkt (s. Fig. 4.7a) ~j:=

Xi +Xi_1

2

(;=1, ... ,/1)

und bilden damit die Riemannsche Summe

(4.7)

4.1 Grundlagen der Integralrechnung

299

, ,

, , ,,,,( , , ,

Tangente

,

j', ,, ,, ,, / , ,, ,, ,, ,, .)

•

, , , , , , , , , ,, ,, ,,

0,

~

..

~

T

1(1;1)

b

Fig. 4.7: Die Tangentenformell.ur numerischen Integration

R

~

L:" f
b-a

h=--.

"

;=1

J b

Satz 4.2 besagt, daß sich R fur genügend kleine [21 beliebig wenig vom Integral

f(x) dx

unterscheidet, also

f

b

a

fix) dx

"

~

b-"",, - - L f
"

(4.8)

;=1

Für den »Fehler« 0 gilt folgende Abschätzung, die ohne Beweis mitgctcilt sei (s. [56]). f wird dabei zweimal stetig differenzierbar vorausgesetzt: wobei M

~

1f"(x)1 fLirallex E [a. bl.

(4.9)

Formel (4.8), mit (4.7). heißt die Tangentenforme!. Der Grund dafür geht aus Fig. 4.7b hervor: Zeichnet man in (~i. f(~i» die Tangente an den Graphen von f ein. so ist das schraffierte Trapez inhaltsgleich zum Rechteck mit den Seitenlängen h und f(~i)' Die Inhaltssumme dieser Trapeze ist also gleich der Ricmannschcn Summe in der Tangentenformel. Mit der Tangcntenformel sind wir grundsätzlich in der Lage, jedes Ill/egral beliebig gel/all ZU berechnen. Mit Computcrn ist dies eine Kleinigkeit. (Später werden wir noch effizientere numerische Imegrationsrnethoden kennen lernen. s. Abschn. 4.2.6.) Bemerkung: Man mache sich klar, daß mit numerischen Integrationsmethoden, wie der Tan· gentenformel, das Problem der Integration prinzipiell, ja, sogar praklisch gelöst ist! Auf diese Methoden kann man immer zurückgreifen, wenn andere Methoden versagen! Die numerische Integration ist sozusagcn das »Schwarzbrot« der Integralrechnung: Nicht so delikat wie Kuchen, daflir aber gesund und nahrhaft.

300

4 Integraln:chnung einer reellen Variablen

Beispiel 4.2: 3

Es SOli! x 2 dx berechnet werden. Wir teilen das Intervall [2.31 in 10 gleichlange Intervalle der 2

Länge 1/10 ein. Die Miuelpunkte dieser Intervalle sind Si = 2,05, S2 = 2.15, .. " SIO = 2,95. Mit der Tangentenformc1 (4.8) folgt damit 3

!,

x

2

3-2

dx=~(2.05

2

2 2· +2.15 + ... +2.95 )+8=6,33250+8.

Da fex) = x 2 die zweite Ableitung f"(x) = 2 besitzt, kann in der Fehlerformel (4.9) M = 2 gesetzt werden. Für den Fehler;;; gilt also

").(3_")3

151 s - 24. 10;

_ = 0.00083.

(Mit dem Hauptsatz können wir später den exakten Integralwen ermitteln. Er ist 6 + 1/3.)

Übung 4.4: Berechne mit der Tangentenfonnel näherungsweise die folgenden Integrale. Wähle die Zerlegungen dabei so. daß der »Fehler« lj jeweils absolut kleiner als 5.10-4 ist

J,'"

- dl", X

4.1.4

x

JSinxdl".

o

Regeln für Integrale

Bevor wir zum Hauptsatz kommen, mit dem sich viele Integrale bequem und elegant berechnen lassen, müssen wir einige Regeln über Integrale herleiten, die wir ftir den Hauptsatz und den weiteren Ausbau der Integralrechnung brauchen, Die Regeln sind anschaulich sofon einzusehen, wenn man die geometrische Deutung der Integrale als Flächeninhalte heranzieht. Zunächst treffen wir zwei Vereinbarungen: (I) Für jede in (/ E IR definierte Funktion

,

f

setzen wir

! f(x)d.,,~O. "

(11) Isl f auf[a. bl integrierbar, so setzen wir

! "

b

b

f(X)dX:=-! f(x)dx. "

4.1 Grundlagen der Integralrechnung

Satz 4.3: (Imegraliol1sregeln) Es seien fund g reelle Funktionen auf einem Intervall I, die auf jedem kompakten Teilintervall von 1 integrierbar sind. Damit folgt: Auch f + g, Af (A ER), f· g, f/g (falls g cl- 0 auf I) und III sind integricrbar auf jedem kompakten Teilintervall von I. Dabei gilt rur alle a, b, cE I: b

(a)

f " f

b

f

b

Af(x)dx

~A

f r

h

(0)

b

!U(X)+g(x»dr=! f(X)dX+! g(x)dx
(b)

b

[(x) clx

~


(4.10)

"I' (4.11)

[(x)dx

" [(x) dx

f

b

+

[(x) dx

(4.12)

r


Aus m ::::: fex) ::::: M auf!a. bJ folgt b

(d)

m(b-a):::::! f(x)dx::::: M(b-a)

(4.13)

" Mit C:= sup If(x)1 erhält man .fE[Il.bJ

f

(4.14)

b

(,)

b

[(x)dx ::::: !1/(X)ldx :::::C·(b-a).

"

(4.15)

"

(Die linke Ungleichung nennt man die »DreiecksungleicJ1/mg für Ili/egraJe«.) Gilt fex) ::. g(x) fLir alle xE [a, bl, so ist

!

f(X)dr::.! g(x)dx.

"

"

b

(0

b

(4.16)

Sind fund g überdies stetig auf [a, bl und gilt flir wenigstens ein xo E (a, b) die strenge Ungleichung I(xo) > g(xo), so folgt sogar

! b

"

! b

I(x)dx >

"

g(x)dx.

(4.17)

301

302

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

Beweis: Die Beweise sind so einfach (und langweilig), daß wir sie hier weglassen dürfen, Der Leser kann sie, falls er möchte, zur Übung selber fUhren: Lediglich ZU Teil (e) ist zu sagen, duß man Gleichung (4.15) zweckmäßig über Riemunnsche Summen beweist, und zu Teil (f). duß man

f

b

zunächst hex) := [(x) - g(x)

~ 0 setzt und

f

b

hex) dx

~ 0, (4.16) bzw.

h(x) dx > 0, (4.17),

" " nachweist. Beim Beweis der letztgenannten Ungleichung bemerkt man, daß nicht nur h(xo) > 0 ist, sondern daß wegen der Stetigkeit von" in einer Umgebung von.1:0 sogar hex) ~ h(xo)/2 > 0 ist. Also ist wenigstens eine Untersumme von h positiv, woraus

f

folgt.

"

b

h(x) dx > 0 unmittelbuT

o

Aus Satz 4.3 folgt mühelos

Satz 4.4: (a) (Miuelwertsatz der Integralrec1l11l1l1g) Ist die Funktion [ : [a. b] --+ IR stetig, so existiert ein ~ E (a, b) mit

f f(x)dx~f«)(b-a). b

(4.18)

" (b) (Verallgemeinerter Miuelwerts(l/Z der IlIIegralrecllll/lllg) Sind [ und p stetige Funktionen auf La, bJ und ist p(x) > 0 fur alle x E (a, b), so existiert ein ~ E (a, b) mit

f

b

f

b

[(x)p(x) dx = [(0

"

p(x)dx.

(4.19)

"

Veranschaulichung: Der Mittelweltsatz der Integralrechnung, wird durch Fig. 4.8 dargestellt, wobei [(x) ~ 0 auf kl. bJ vorausgesetzt sei. Und zwar ist der Flächeninhalt von [ auf [a, b],

f

b

also

[(x) dx, gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen [(0 und (b - a).

" Beweis: Wir zeigen zunächst (b), Ist [ konstant, so ist (4.19) trivialerweise richtig, Es sei daher [ als nicht konstant vorausgesetzt. Damit sind m=

min f(x)

XEII•. hl

und

M =

max fex)

xela.bJ

4.1 Grundlagen der Integralrechnung

303

, Fig. 4.8: Zum Minelwensatz der [ntegrnlreehnung

verschieden. Es gibt also ein Xo E (a. b) mit m < J(xo) < M; also gilt mp(xo) < J(xo)p(xo) < Mp(xo)

und

mp(x).::: J(x)p(x).::: Mp(x)

aufla.

bJ.

Integration der letzten Zeile ergibt nach Satz 4.3f (4.17):

J b

111

J h

p(x)dx <

J(x)p(x)dx < M

(J"

,

p(x)dx

also

a

h

f

f

b

b

J(x)p(x) dx = c f p(x) dx

"

mit einem c zwischen mund M. Nach dem Zwischenwensatz existien ein ~ E (ll. b) mit

J(~)

=

c, woraus (4.19) folgt.

Teil (a) unseres Satzes ergibt sich daraus für den Spczialfall p(x) = 1 fur alle xE [ll. bl.

Übung 4.5: Es sei

0

,

f imcgrierbar auf[a. b]. Beweise. daß F(x):=

Wende auf F(x I) - F(X2) =

."

J

J

I(t)dt stetig auf[a. b] ist. (Anleitung:

"

1(1) dt Satz 4.4 an.)

·[2

4.1.5

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Es sei eine reelle Funktion J auf einem Intervall I gegeben. Unter einer SUllIIlIIJllnklioll von J verSieht man eine Funktion F auf I, die

F' = J

erfLillt.

304

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

Einige Beispiele: Zu f(x) =:: x 2 ist F(x) =:: x 3 /3 eine Stammfunktion, zu cos ist sin Stammfunktion, und f(x) =:: eX ist Stammfunktion von sich selbst. Das Suchen von Stammfunktionen ist also cin»Ulngckehrtes Differenzieren«. Seine Bedeutung bekommt dieser »Umkehlllrozeß« im folgenden Hauptsatz. der die Differential- und Integralrechnung verknüpft:

Satz 4.5:

(Hauptsatz der Differelllial- lind Integralrechnung) Es sei f eine stetige Funktion auf einem Intervall J. Dann ist die Funktion F, definiert durch

,

F(x):=::

f

f(t)dr.

" eine Stammfunktion von

(4.20)

(x.a E 1).

J.

, a

,

Fig. 4.9: Zum H"uptsalZ 8emerkung Der Satz beinhaltet u.a. die Aussage, daß jede stetige Funktion auf einem Intervall überhaupt eine Stammfunktion besitzt, Die Funktion F in (4.20) läßt sich gut durch Flächeninhalte veranschaulichen, wie es die Fig. 4.9 zeigt: Man erkennt, wie sich F(x) mit laufendem x iindert.

8eweis: des Hauptsatzes: Wir haben zu zeigen, daß der Differenzenquotient (F(z) - F(x»/(z - x) mit z ...... x gegen fex) strebt. Dazu formen wir zunächst F(z) - F(x) mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung um (x. Z EI, x -# z):

F(z)-F(x)~

J

Jf(l)dl~ Jf(l)dl~f«)(z-xl

(I

a

::

f(l)dl-

::

x

x

mit einem g zwischen z und x. Damit folgt

F('l - F(x) •

z-x

~f(~)·

(4.21)

4.1 Grundlagen der Integralrechnung

305

Läßt man x fest und variiert 2, so hängt ~ von 2 ab; darum schreiben wir besser Hz) statt ~. Mit --7 x folgt ~(z) --7 x, da ~(2) zwischen x und 2 liegt. Damit strebt die rechte Seite von (4.21) mit z --7 x gegen fex). Folglich konvergiert auch die linke Seite von (4.21) mit 2 --7 X gegen f, d.h. es gilt F'(x) = fex). 0 2

Wieviele Stammfunktionen besitzt eine Funktion f? Ist Feine Stammfunktion von f, so offenbar auch G(x) := F(x) +c mit einer beliebigen Konstanten c. Gibt es noch weitere Stammfunktionen von f? Das ist nicht der Fall. Es gilt

Satz 4.6:

Ist Feine Stammfunktion von f : I --7 IR (I Intervall), so besteht die Menge aller Stammfunktionen von f auS den Funktionen

G(x)=F(x)+c xE/. cEIR. Beweis: Sind G und F zwei Stammfunktionen von f, so gilt (G - F)' = f - f = 0, also ist G - F konstant (nach Ahschn. 3.1.5, Folg. 3.5a). Das heißt G(x) - F(x) == c, was zu beweisen war. 0

Aus dem Hauptsatz und dem gerade bewiesenen Satz 4.6 gewinnen wir nun den

Kem~

lind

Angelpwlkr der gesamten Differential- und Integralrechnung, nämlich die Berechnung von Inte-

gralen über Slammfunktionen. An dieser Stelle tut der Leser gut, eine feierliche Pause einzulegen, denn er hat den Höhepunkt der eindimensionalen Analysis erreicht. Die angekündigte Aussage ist in folgendem Satz niedergelegt. Er wird auch der zweite Hauptsm2 genannt: Satz 4.7: Ist F Stammfunklion einer stetigen Funktion f auf einem Intervall I, so gilt flir beliebigea,bEI

! b

f(x)dt = F(b) - F(a).

"

,

Beweis: Nach dem Hauptsatz (Satz 4.5) ist durch 1:O(x) := ben. Also ist F(x)

==

Fo(x)

~

f(r) dr eine Stammfunktion von f gege-

" folgt + c nach Satz 4.6. Daraus

f

b

F(b) - 1'(0)

!

Fo(b) - Fo(a)

~

(l

f

f(t)dt -

f

b

(l

f(t)dt

a

~

a

~

o

f(t)dt.

o

306

4 Integraln:chnung einer reellen Variablen

Bezeichnung: Zur Abkürzung setzt man häufig [F(X)I := F(b) - F(a).

also z.B.: ./2

f

-Jr/2

~sin (_'C) = I + I =

cosxdx = [sin-r]Jr/2 =sin:: -Jr/2 2

2

2.

Übung 4.6: Bercchne mit Satz 4.7 die Intcgrale

f

3

(a)

x 2 dt

(s. Beisp. 4.2).

(e)

f

sinxdt.

o

(I)

Es sei I(t) :=

(d)

,. I -I.

f

-,

( - ",'

+" +

o

,

2

"

(b) ]

~)

dx

(s. Beisp. 4.1).

3

e" d,·.

(e)

feh dt. o

ftirr:::O. ftir r < O.

Beweise

.,

f

I(t)

dl = lxi·

o

(Ist F(x):= lxi Stammfunktion von 11)

4.2

Berechnung von Integralen

4.2.1

Unbestimmte Integrale, Grundintegrale

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mit der aus ihm folgenden Integralformel im Satz 4.7 gestattet es uns, die Methoden der Differentialrechnung bei der Integralberechnung voll auszuschöpfen: Die Integration stetiger Funktionen ist auf die Aufgabe zurückgeführt, Stammfllnktionen zu gegebenen Funktionen zu finden. Diesem Problem wenden wir uns im Folgenden zu. Unbestimmtes Integral: Jede Stammfunktion F einer reellen Funktion f auf einem Intervall / nennt man auch ein unbestimmtes Integral von f. Man beschreibt dies nach Leibniz durch F(x) =

J

f(x)dx

(lies: »Integral f(x)d.t«).

Das Symbol auf der rechten Seite bezeichnet dabei irgend eine beliebige Stammfunktion von f. Es gilt somi! auch F(x)+c=

J

f(x)dx.

4.2 Berechnung von Integralen

da F(x)

+ c ebenfalls eine Stammfunktion von J

307

isl. Man merke: Gilt G(x) = ! J(x)dx und

F(x) = ! J(x)dx, so darf man nicht G(x) = F(x) folgern (rur alle xEI), sondern nur G(x) = F(x)

+ c mit einer Konstanten c.

Achtung: Bei der Verwendung von! J(x)dx hat man sich also stets bewußt zu machen, daß dieses Symbol eine Funktion nur bis auf eine beliebige additive Konstante beschreibt. Im Folgenden geben wir dennoch aus Gründen der Übersichtlichkeit stets nur eine Realisierung des unbestimmten Integrals an und verzichten auf die zusätzliche additive Konstante. Es sollte dem Leser daher bewusst sein, dass beispielsweise mit

J

cosxdx = sinx

formal immer auch alle weiteren Stammfunktionen

J

cosxdx = sinx

+C

mit beliebiger Konstanten C E IR zu berücksichtigen sind 5 Wir machen uns klar, daß folgende Äquivalenz gilt

F(x) =

J

J(x) dx

$==}

(4.22)

F' = J.

Im Gegensatz zum unbestimmten Integral

J

J(x) df nennt man

J b

J(x) dx

" ein bes/immtes Integral. Bestimmte Integrale sind also Zahlen. während unbestimmte Integrale Funktionen beschreiben. Grundintcgralc: Als Ausgangspunkt rur praktische Rechnungen stellen wir eine Tabelle elementarer Funktionen zusammen (s. Tab. 4.1), deren Stammfunktionen sich aus der Differential~ rechnung unminclbar ergeben (s. Abschn. 3.1.8 und Abschn. 3.1.9). Dabei sind die angegebenen Funktionen J ftir alle x E lR definiert. ausgenommen dort. wo auftretende Nenner Null werden oder Wurzeln negative Radikanden aufweisen. Beim Integrieren liest man die Tabel1e von links nach rechts, beim Differenzieren von rechts 5 Dic 'ldditivc KOnSlJIHC spiclt beispielsweise bei der Lösung \'on Anfangs"'enproblemen einc wiehtigc Rolle. siehc BurglH"rf\ViliefMeislCr (Band 111) 1101. Dagegen hebt sich die KonslJnte bei der Berechnung der rur uns im weite· ren betraehlen bestimmten lnlegrale aurgrund der Differenzenbildung stets auf. so dass die Angabe der Konstanten hier irrelevant ist

308

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen Tabelle 4.1: Grundintegra[e

f= F'

x

,x

(x

F(x) =

"1= 0)

J f(x) d.x

f = F'

.r"+ 1

I

{/ + [

sinh 2 x

F(x) =

J fex) dr

-COlhx tanhx

In lxi

w'(a>O.a"l=l)

a' 10a

sin x

-cosx

cosx

sinx

(lxi< I)

~

1- arccosx Jarclan.r

1

1- arccolx Jarsinhx 1= In(x+

1 +x 2 1

~ 1

-col.r

Jarcsin.r

±~

(lxi> I)

Jarcoshx

JI

+x 2)

l= ±11l(x+J.r 2 -I)

lanx

sinh .r

1

coshx

~X21(IXI < I) (lxi> I)

sinhx

coshx

coshx

sinhx

I

I

+x

artanhx = - [ n - 2 I-x

I x+1 arcOlhx = - I n - -

2

.r - I

nach links. Mit Hilfe der einfachen Regeln

!U(X)+g(X»dr=! f(X)dr+! g(x)dr, ! Af(x)dx = A! fex) dx.

Additil'iliit,

(4.23)

HOII/ogenitiit,

(4.24)

fur stetige Funktionen (s. Salz 4.3, (a), (b» lassen sich aus der Tabelle der Grundintegrale schon viele Slammfunktionell ermitteln, z.B. ! (3 e" +7 sin x) dx = 3 ! e" dx + 7 ! sin x dx = 3 eX -7 cosx ,

!

"

"

Lakxk dx = Lak k=O

k=()

!

k

".k+1 +I . k=O

x dr = Lak:

(4.25)

4.2 Berechnung von Integralen

Die Integration von Produkten fex) . g(y) und verketteten Funktionen f(g(x) nächsten bciden Abschnitten behandelt.

309

wird in den

Übung 4.7: Berechne

!

4 7 '5x dr.

! ,-, . d,

.

! 4.2.2

d.

I +.r 2 .

J "/2

cosxdr.

o

Substitutionsmelhode

Da das Integrieren stetiger Funktionen. d.h. das Auffinden von Stammfunktionen. gerade der umgekehrte Prozeß wie beim Differenzieren ist. lassen sich Differentiationsregeln in Integmtionsregeln verwandeln. Wir wollen das in diesem Abschnitt anhand der Keuellregef durchfUhren. Substitutionsformel: Wir betrachten die Komposition zweier stetig differenzierbarer Funktionen Fund rp: (4.26)

(rp bzw. F sind dabei auf Intervallen 1 bzw. J definiert, wobei rp(l) S; J gilt.) Differenzieren ergibt nach der Kettenregel

wie könnte es anders sein?-

G/(r) = F'(rp(t))q:/(t).

Übergang zu Stammfunktionen auf beiden Seiten liefert

Mit x = rp(t) gilt dabei F(x) = G(I), s. (4.26), also F(x) =

J

F'(rp(l))rp'(t) dt

mit x = rp(t)

fur aJle I E I. Bezeichnet man nun mit F(x) =

f

1(x) d.\"

in (4.27) ein. so erhält man

f

die Ableitung F' und setzt dies zusammen mit

(4.27)

310

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

Satz 4.8: (Subslirlllionsformel) Es sei f stetig auf dem Intervall J und !(J stetig differenzierbar auf dem Intervall I, wobei !(J(I) c J gilt. Damit folgt

f

f(x)dx=

f

f(tp(t))!{J'(t)dl,

mitx=Ip(t).

(4.28)

dx Merkregel: Mit der Leibnizschen Schreibweise = !(J'(t) bekommt die Substilutionsfordt mel (4.28) die leicht zu behaltende Gestalt

f

f(x) dx =

f

J(!{J(I»

~ d!.

X

= !(J(t).

(4.29)

Man hat also links das x in fex) durch !(J(r) zu ersetzen und dann dx formal durch dr zu dividieren und mit dl anschließend Jormal zu multiplizieren. (Man macht sich klar. daß hier keine wirklichen Divisionen und Multiplikationen mit dr vorliegen, sondern daß sie nur optisch als solche erscheinen. Dies erleichtert das Merken der Formel aber gerade!)

J

Anwenden der Substitutionsformel »von rechts nach links«: Zunächst wenden wir Fornlel (4.28) auf

tp'(r) d! an. Der Vergleich mit der rechten Seite von (4.28) liefert !(J(t)

d.h.

fex)

1 x

= -

mit

x = rp(r) .

Also folgt mit Vertauschen der Gleichungsseiten von (4.28):

J

.'(t) - - dl = !(J(r)

J

1 - dr = In lxi = In Itp(t)I.

(4.30)

x

Schreibt man ganz rechts und ganz links x statt

I,

so gewinnt man

J

.'(x)

- - dx = In IIp(x)l. !(J(x)

(4.31)

Diese nützliche Formel läßt eine Reihe von Folgerungen zu:

Beispiel 4.3: SelZl man in (4.31) rp(x) nacheinander gleich cosx, sin x, coshx, sinhx und In x, so erhält man

4.2 Berechnung von Integralen

f f f

f f

tanxdx = -In Icosxl,

tanhydx = In I cosh xl '

311

cotxdx = In Isinxl,

(4.32)

cothxdx = In I sinhxl,

(4.33)

d,

(4.34)

- - = Inllnxl· x Inx

Die Formeln gelten natürlich nur in Intervallen, in denen die gewählten Funktionen 'IJ definiert sind und nirgends verschwinden. Entsprechend erhält man aus (4.28):

f '

f

'IJ(t)'IJ(t)dl =

xdx =

x' 2"

I , (t), = 2"'IJ

(4.35)

wobei fex) = x gewählt wurde.

Beispiel 4.4: Setzt man in (4.35) rp(f) = In I und dann x statt /, so folgt

f

Inx I 2 - d x = -In x. x 2

(4.36)

Häufig trifft man auf Integrale der Form

f

f(t2)/ dl. Der Vergleich mit der rechten Seite der

Substitutionsfonnel (4.28) zeigt, daß wir hier'IJ(t) = ,2 setzen können. Es folgt wegen 'IJ'(!) = 2/ (4.37)

wobei Feine Starnmfunktion erhalten wir somit

f

~

I

2

xf(x-)dx = 2"F(x)

VOll

f

ist. Mit x staU

I

in den Ausdrücken ganz rechts und links

. (mn F' = f).

Beispicl4.5: Setzt man für

f verschiedene Funktionen ein, so gewinnt man aus (4.38) die Integrale

(4.38)

312

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

f ' f f

e" xc'" dX=T' Xdf

(4.39)

I

2

(4.40)

- -2 = -ln(l +X). I +x 2 xdx

f

~

~=yl+x",

vI +x"

f

allgemein:

xdx

I

J(I+bx1

b

r~T"i' = -

J + bx-' , (I

Xdf

~

JX2=I~vx2-I, x - I (4.41)

(b"O).

(4.42)

Die Formeln gelten selbstverständlich nur in solchen Intervallen, in denen die auftretenden Nenner 1= 0 oder die Radikanden> 0 sind.

J

Die Verwendung der Substitutionsformel »von rechts nach links«, wie oben geschehen, ist nur möglich, wenn die zu berechnenden Integrale schon in der Form

!Cq?(t))rp'(r)dt vorliegen.

Man muß das mit »scharfem Auge« erkennen! Dieser Glückswstand liegt aber nicht immcr vor. Aus diesem Grund ist die Ausnutzung der Formel (4.28) »von links nach rechts« häufiger. ja, auf ihr beruht der HauptnUlzen der SubstilUtionsregel. Wir wenden uns diescr Methode im Folgenden

w. Anwenden der Substitutionsformel »von links nach rechts«: Zunächst schreiben wir die SubstilUlionsformel (4.28) geringfligig um. da sie dann fLir die Anwendungen griffiger wird. Und zwar wird die Funktion ger) := [(/{J(t».

t

E f.

eingefLihrt. Dabei setzen wir q?'(t) /(J, die wir mit 1/1 bezeichnen, d,h.

<=>

x = /(J(t)

Damit ist [(x) erhält

f

1= 0 auf f

voraus. Es existiert damit die Umkehrfunktion von

I = 1/1(x).

= g(1) = g(1/1(x». Man setzt dies in die SubstitutiOllsformel (4.28) ein und

g("(x»dx

~

f g(I)~'(l)dl,

(4.43)

Hierin ist

~

dx

I

(I)

~ dr ~

1 d,

~

I "'(x)

I

(4.44)

~ -;"-';'(-~("I)")

dx dx Wir verwenden die übersichtliche Leibnizschc Schreibwcise - und gelangen damit w der

d'

4.2 Berechnung von Integralen

313

Folgerung 4.1: Beschreibt 8(1/I(X» eine zusammengesetzte Funktion, wobei g stetig auf dem Intervall I ist und 1/1 stetig differenzierbar auf dem Intervall J (mit 1/1(1) C 1), so folgt unter der Voraussetzung 1/I'(x) i= 0 auf J

J

g (1/1 (x» dx =

J

g(t)

~. dt,

mit

t = 1/1 (x) .

(4.45)

Die Substilutionsformel in dieser Gestalt soll an einem einfachen Beispiel demonstriert werden, an dem der Leser die grundsiitzliche Anwendungsmöglichkeit erkennt.

J

Beispiel 4.6: sin(2x) dx =1

dt dx I Hier setzt man t = 1/I(x) = 2r, woraus = 2, also = - folgt. Die Substitutionsfonnel dr dl 2 (4.45) liefert damit

I

sin(2r)dx =

I

I

dx sinlilidl =

'I

2"

sintdl =

'

-2"COSI

,

= -2"cos(2x).

Das Beispiel zeigt folgendes: Bei Anwendung der Substitutionsformel (4.45) geht man davon aus, daß man

I

g(r) clx dl »integrieren(( kann, d.h. daß man eine Funktion H angeben kann mit

cll

dl

g(t)- dt = H(t), dl

d.h.

clx

H'(I) ~ 8(1)dl

(4.46)

auf I. (Aus dem Hauptsatz folgt, daß eine solche Funktion H existieren muß.) Damit wird (4.45)

'"

I

g("(x»dx

~

I

g(t)

~ dl ~ H(t) ~

H("(x».

(4.47)

Diese Formelketle. von links nach rechts durchlaufen, ist ein hervorragendes Instrument zur Berechnung vieler Integrale! Beim Übergang zum beslilllllltelllll/egral folgt daraus rur alle (I, b E J:

I

I,

g("(x»dx

" wegen (4.46) also

~ H("(b))-

H(,,(a)).

(4.48)

314

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

J

J

h

",(b)

g(!fi(x» dx =

g(t)

~ dt.

(4.49)

t = !fi(x).

'/1(0)

tl

Dies ist die SlIbstillltionsforme! für bestimmte IlIlegrale. An einer Reihe von Beispielen soll die Kraft der hergeleiteten Formel gezeigl werden. Zuersl belrachten wir Integrale der Form

J

f«(lx+b)dx.

Wir »substituieren

(11-0.

mil

«

d'

t = !fi(x) =(lx+b.

::::} dx =a.

Ist Feine S{ammfunktion von

!

f(ax+b)dr =

=>

!


I

d'

a

=}-=-.

f, so liefen die Formelkelte (4.47):

'!

dx f(t)-dt = dt a

F(x) f(t)dt = -

Jf(ax+b)dx=~F(ax+b)

a

mit

~

F(ax

+ b)

a

F'=f·

(4.50)

ßeispiel 4.7: Nach (4.50) ist mit a

J !

+ b) dx = ~ sin(ax + b).

eos(ax

(a) (b)

f- 0 (mit Nenner I- 0 in (b) und (c»):

dx I - - = - In lax

ax +b

(e) !(ax

a

+ b)C1 dx

=

+ bl.

a(O'

I

+ I)

(4.51)

(ax

+ b)O"+1

(0'

I- -1).

(4.52)

(d) Es sollen eos 2 x und sin 2 x integrien werden. Aus dem Additionslheorem des Cosinus folgt cos(2x) = cos 2 x - sin 2 x, mit sin 2 x + cos 2 x = I nach Umformung also: , I cos- x = "2(1

+ cos(2x».

. 2. I sm .\ = "2(1

~

cos(2x).

Mit der Substitution t = 2x errechnet man daraus

! '

cos-xdr ="2I

!

S;n(2X») = "2(x+sinxcosx). I (I +cos(2x»dx ="2I ( x+ --2-

Entsprechend wird sin 2 x integrien. Man gewinnt so die ofl benutzten Formeln

(4.53)

4.2 Berechnung von Integralen

J

2 COS X

ct.x =

~(x + sinxcosx),

J

2 sin x dr =

~(x -

sinx cosx).

315

(4.54)

-, Fig. 4.10: Zum Fläehenin halt des Kreises

Bcispicl4.8: (Kreisjläche) Die hergeleiteten Formeln gestatten uns den Beweis, daß der Flächeninhalt des Einheitskreises 7r ist, und in der Folge, daß der Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius r gleich ,2 n ist. Wir nehmen uns dabei die obere Hälfte des Einheitskreises vor. s. Fig. 4.10. Sie wird durch den Graphen der Funktion fex) = ~,x E [-1, I J. berandet. Die obere Einheitskreisfläche hat damit den Flächeninhalt des Kreises I

I~J/I-x2dx.

(4.55)

-,

Zu seiner Berechnung integrieren wir zunächst Substitution x = cost:

J~dx J =

JI-cos 2 !

~ d! =

J ...fl="?dx flir -

f

=

-~(t -

sin! cost) =

JI -x 2 ct.x =

~ (xJI

- x 2 - arccosx) .

lxi< I. und zwar mit der

2

sin td!

-~ (arccosx - x~)

(4.56)

d.h.

J

Das bestimmte Inlegral (4.55) - also der halbe Einheitskrcisinhalt -

(4.57)

wird damit zu

316

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

1JI-x2d~=~. 1

(4.58)

-I

Der Einheitskreis hat somit den FHicheninhalt Ir. Entsprechend errechnet man den Inhalt eines Kreises vom Radius r > 0 (Substitution I = xlr): r

1

r

1

21 Jr2-x2d~=2rl jl-(~)\1x=2rl ~~dt=2r21 ~d/=r2Jl". -r

_I

-r

_I

(4.59)

Beispiel 4.9: Analog (4.56) errechnet man mit der Substitution.r = cosh I fUr .r

1~dx

=

~(x~ -arcoshx).

~

I:

(4.60)

und mit x = sinh I für x E IR:

(4.61)

Beispiel 4.10: (OrtllOgollaliriilsrelatiollen von sin ulld cos) Aus dcn Additionsthcorcmen der trigonometrischen Funktionen folgt unmittelbar

sin(n.\" ± k.r) = sin(/lx) cos(k.r) ± eos(IIx) sin(k.r) . cos(nx

± kx) = COS(IIX) cos(kx) T sin(lIx) sin(k.r) .

Addition bzw. Subtraktion dieser Formeln liefern

1 sin(lIx) sin(k.r) = '2(COS«1I - k)x) - COS«II I

cos(nx)cos(kx) = '2(COS«1I

~

k)x)

1 sin(nx)cos(k.r) = '2(sin«n - k)x)

+ k)x».

+ COS«II + k)x». + sin«1/ + k)x».

(4.62)

4.2 Berechnung von Integralen

317

Hierbei seien 11 und k beliebige natürliche Zahlen, Die rechten Seiten lassen sich mit den Substitutionen I = (/1 - k)x bzw. t = (11 + k)x leicht integrieren. Es folgt:

1

J

2

';,,«n - k)x) - ';,,«n

sin(IIx)sin(kx)dx

x-

1

2n ,;,,«n - k)x)

J

cos(nx) cos(h) dx

2

2

~

n-k sin(2I1x)

~

x+

l1-k sin(2/1x)

1_ co,«n -

J

-Jr

.

wenn 11

:I k,

,

wenn 11 = k,

+ k)x) . + ,;,,«n lI+k

wcnnn :lk,

,

wenn n = k,

k)x)

n k cos(2I1x) 211 '

sin(nx) cos(kx) dr

Integration von

2n

+ k)x)

lI+k

-

(4.63)

+ k)x) n+k

cos«/I

wenn /I

-::1=

k,

wenn 11 = k.

bis Jr ergibt

,

,

J , J -,

sin(nx) sin(kx) dx =

-:I

J

cos(IIx)cos(kx)dx =

-:I

0. \ rr,

falls n

:I k,

falls

= k,

fl

(4.64)

(II,keN).

sin(IIx)cos(kx)dr=O

Diese Formeln heißen die OnlJogollalitätsre!m;ollell der trigonometrischen Funktionen. Sie spielen in der Theorie der Fourierreihen eine grundlegende Rolle (s. Abschn. 5.5). Übung 4.8:

Integriere (a) jSin 2(cIX)dX. (b) (c)

(d)

f /r f f~ 2

dr sinx

!COS2(CIX)dr.mitlli=O.

xdx

+cu+b

2

(wandle den Nenner um in (x + A) + B und substituiere t = x x 2

x 2

x 2

- - (verwende sinx = 2sin - cos - = 2 tan - eos- - und substituiere 1 = tan -).

cosx

(substituiere x = 1 - ::.. also cosx = sin I). 2

(e) jSin/1xcosxdr.mitIlEN(I=sinx). (I) j.rSill(1

(g)

.r..,x 2 2

+ A),

j Jx

2

+ .1'2) dx.

-a 2 dx.

! Jx 2 +a 2 dx.mita>O.

318

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

4.2.3

Produktintegration

Es soll die Produklregel (I/V)' = u'v

+ uv'

der Differenlialrechnung in eine Integralionsformel verwandeil werden. Selzen wir u und v als stetig differenzierbare Funktionen auf einem Intervall 1 voraus, so folgl aus der obigen Gleichung durch Integration auf !>eiden Seiten:

! J

u(X)v(X) =

Man bringt hier

I/'(x)v(x)dx

+

!

lI(x)v'(x)dx.

u(x)v'(x) dx auf die linke Seite und erhält

Satz 4.9: (Prodllklilltegralion) Sind vall I. so gilt dort

!

1/

und v stetig differenzierbare Funktionen auf einem Inter-

!

lI(x)v'(x)dx = II(X)V(X) -

I/'(x)v(x)dx.

(4.65)

Für bestimmte Integrale erhält man daraus

! h

b

! h

u(x)u'(x)dx = [1/(X)U(X)l-

I/'(x)u(x)dt.

"

"

Die Produktintegration wird auch partielle Imcgraliol/ genannt. Wie verwendet man Formel (4.65) bei der praktischen Berechnung von Integralen? Wir zeigen dies zunächst an einfachen Beispielen.

Beispiel 4,11: (a) fxe'< dx=xC""-f

(b)

(c)

f

'-.-'

'-.-'

,,~'

""

I

. eX

'-.-' '-.-'

I

·sinxdx=xsinx+cosx.

'--..---'

'--.,--'

'-.-' '-v-'

,,~'

IIV

"',,

!~ ,,~'

dx = x(-cosx) -

(4.66)

~

11'

XCOSxdx=XSinx-f

dx=c·'(x-l).

!

I . (-eosx)dx = -xeosx + sinx.

(4.67) (4.68)

4.2 Berechnung von Integralen

319

Was ist das Wescntliche bei der Produktintegration? Entscheidend ist, daß ein zu bercchnendes Integral der FOrm! j(x)g(x) dx auf ein anderes zurückgeftihrt wird, von dem man hofft, daß es »leichter« zu integrieren ist. Eine Richtschnur dabei ist die folgende

."austregel: Bei der Integration eines produktes! j(x)g(x) dx wähle man denjenigen Faktor als II(X), der sich beim Differenzieren »vereinfacht«, und denjenigen als v'(x), der sich beim Integrieren wenigstens nicht allzusehr »verkompliziert«. In den obigen Beispielen 4.11 wurde so vorgegangen. Es ist klar, daß die Begriffe»Vereinfachen« oder ) Verkomplizieren« nicht scharf zu definieren si nd. Immerhin kann als »Vereinfachung« angesehen werden. wenn von Potenzen 11 (x) = x" (11 E N) zu niedrigeren Potenzen der Ableitung II'(X) = I1X,,-1 übergegangen wird, oder wenn beim Differenzieren Inx

in

, I In x =x

arcsin x

io

arcslll x =

.,

arctan x

in

, I arctan x = - - . I +x 2

~'===< ,

~

übergeht. Die links stehendcn Funktionen sind >'transzendent«, d.h. »nicht algebraisch«. während die Ableitungen rechts algebraisch, jll, z.T. sogar rational sind. Dagegen werden beim Integrieren die Funktionen e X , sinx, cosx sicherlich "nicht komplizierter«, da ihre Slammfunktionen e X , ~ cos x, sin x von gleicher Bauart sind. Trotz der Faustregel, wie auch der übrigen besprochenen Regeln, ist das »analytische Integrieren« - d.h. das Auffinden von Stamm funktionen - kein glattes Geschäft. Man muß mit einem gewissen Geschick vorgehen - was man durch Übung bekommt - und auch etwas Glück haben, was einem ohne Übung zufallen kann. Dabei passiert es immer wieder, daß man auf elemenX2

tare Funktionen stößt (z.B. sin-r/x oder e- ), die sich nicht mehr elementar i"tegrieren lassen, d.h. die keine elementaren Funktionen als Stamm funktionen haben. (Elemelllare Fllnkriollell sind dabei fex) = x, er, sinx sowie alle daraus gebildeten Kombinationen unter Verwendung von +, -, ., /, hoch 11, \J' (11 E N, Verkettung 0 und Umkehrfunktionsbildung.) Das elementare Integrieren (auch alla{yrisches Il1/cgrierclI genannt) ist also mehr eine Art pfiffiger Kleinkunst als ein sicherer Rechenkalkül, im Gegensatz zum Differenzieren, bei dem man durch feste Regeln im Bereich elementarer Funktionen stets zu den Ableitungen gelange Zur Schreibweise ist bei der Produktregel zu sllgen, daß der Lernende zweckmäßig JI und Vi unter die entsprechenden Faktoren des zu bearbeitenden Integrals schreibt, wie in den Beispielen 4.11 geschehen. Dann schreibt er weiter rechts /IV und lI'V in der unteren Zeile hin (s. 4.II(a» und anschließend die entsprechenden expliziten Ausdrücke in die Zeile darüber. in der schließlich rechts die Lösung steht. Spiiter notiert er nur noch 11 v', wie in Beisp. 4.11 (c), oder unterläßt auch dies, da er fahig wird, die "Unterzeile« nur noch zu denken. In den folgenden Beispielen wird unsere Faustregel erfolgreich eingesetzt.

320

4 Inregraln:chnung einer reellen Variablen

ßcispieI4.12: (a)

f

X"+I

I f x"dx

In(x) x" dx = In(x)-- - - a+I a+I

'-v-''-<-' " u'

Dabei iSlx > 0 und a

r,,+l (

= _.(J

+I

I)

lnx - - {j + I

(4.69)

(Für (J = -I s. (4.36).) Insbesondere folgt für a = 0:

=1= ~ I.

!Inxdx=xlnx-x.

(4.70)

(b) Zur Berechnung von! arcsin x dr benutzt man den Trick, daß man

Vi

= I selZl und 11 gleich

_x 2 .

(4.71)

dem gesamten Integranden: u = arcsinx. Es folgt

f

Entsprechend erhält man mil

f

~=

aresinxdx = xarcsinx - ! Vi

x arcsinx

+ JI

= 1.11 = arctanx:

arctanx dx = x aretara -

~ ln(l + x 2).

(4.72)

rr

rr

Damit lassen sich auch arccosx ="2 - arcsinx und areeotx = "2 - arctanx sofort inlegrieren. Mit der Melhode v' = I erhält man entsprechend die Integrale von arsinhx, arcoshx, artanhx und arcoth x. (e) In lislenreicher Weise fUhrt beim Integral! e"x sin(bx)dx (b den der Produktregel zum Ziel:

=>

f f

e"x sin(bx) dr =

'-v-' '--v----' "

-~b e"x cos(bx) + ~b

,,'

Analog ergibt sich mit b

f

e"x cosCbx) dx ,,;

I e"x sin(bx)dx = -be"x cosCbx) + b"2 c"x sin(bx) - ,,' b2

c"x sin(bx) dr =

,'"

0) das zweimalige Anwen-

'-v-' ' - , . - - " "I

Löst man die lelzle Gleichung nach

f

f

=1=

f

e"x sin(bx)dx.

Je""" sin(bx)dx auf, so folgt

2 2 (a sin(bx) - beos(bx». a +b

(4.73)

=1= 0: ~,

c"xcos(bx)dx =

2 (J

+ b-.,Cacos(bx)+bsin(bx».

(4.74)

4.2 Berechnung von Integralen

321

Bcispicl4.13: (Rekursionsforme/li) Mit Jl E N gilt

(4.75)

x,,~1 e.T

Damit ist ein Integral ! an -

(11 -

dr übrig geblieben. Wendet man die Formel auf dieses Integral

I) statt 11 gesetzt - , so bleibt ein Intcgral ! x,,-2 c·" dx zu lösen. Fährt man in dieser

Weise fort, so erreicht man schließlich

J

c" dx = e.l, womit! x" eX dx explizit berechnet ist

Zusalllmengefaßt ergibt dies (4.76)

(b) Völlig entsprechend erhält man die Rekursionsformeln

f ". f"

· " COSX+II x sln ...· d .\=-x

f

x cosx dx=x ". SlnX-fl

d x ,,-I· sm.r.r

f

.\.,,-1 cos.\·d x. (4.77)

und daraus die Summenformeln: !

! (c)

f

XU

(x + ~Jr)

(4.78)

tk!G)x"-t (x + ~Jr ).

(4.79)

x" sinxdx = x"cosxdx =

tk!G)x"-tcos );=0

sin

t=o

X"+I (Inx)/1 dx = --(Inx)" - -" a+I a+ 1

'-v--' '-.,--'

"

f

x"(lnx),,-1 dr

«(1#-1. liEN)

v'

:::}

! (Inx)" dx = xOn x)" -

Jl

! (In x),,-I dr.

(4.80)

(d) Für 11 E N, 11 ::: 2 gilt ! cos" xdx = !

~~dx = 11

v'

cos,,-I xsinx+ (11 - I)! cos"-2 xsin 2 xdl"

::::cos,,-lxsinx+(II-I)! cos"-2x(l-cos2 x)dl"

322

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

=>

!COS"xdx=:':eosll-1xSinx+ "

Analog folgen (mit beliebigen

! !

11. 1/1 E

N. 11

:::

Il

=::

1

-

!eos,,-2 x dx .

(4.81)

11

2)

sin" x dr =: _.: sin"- 1 xeosx

sin'" x cos" x dx

II

sin",+1 xcos,,-I x 111+11

+ ~! sin,,-2 x dr. 11

1I - I ! +-

(4.82)

sin'" x eos,,-2 x dr .

11I+11

Eine andere Methode, die Integrale (4.81), (4.82) zu berechnen, besteht in der Anwendung der Summenformeln

00"" x) I ["-'L "

~(±I)"-k2

=: -..,,-

sin~11 x

2~1I

k=O

(2") k

COS«II - k)2x)

+

(2")] 11

mit" E N (Dabei gilt in (±l)"-k das Pluszeichen rur den cos 2" x und das Minuszeichen für sin 211 x). Ferner ist für ungerade Potenzen

",

cos~'- x=:

I ,,(2"-') li-I

2211 - 2 L

k

k=O

,,-,

" I . sin~II-1 x =: -,--, ~ (_l),,+k-I 2~1I-

L

cos«211 - 2k - I)x).

( 211 -) sin«211 -

k=O

I

2k - I )x) .

k

Man gewinnt diese Formeln übercosx =: (e ix +e-ix)!x und sinx =: (e ix -e- i '<)!(2i) nebst der Binomischen Formel. Integration liefert für beliebiges 11 E N

I I

! . _(2")-=,_" + ! ! co,'''-' xd, f co,," "Ix . 2

Sill 11 X dx

sin 2,,-1 x dr

11

2~ll

-,

(±I)" 'L'

'" 2~1I-

(±l)

k=O

.1

'(''')

k

""«,, -k)2<) , 2(11 - k)

(4.83)

sin«2(11 - k) - 1)x) . cos«2(n - k) - I)x)

Dabei gehön wieder »Oberes zu Oberem« und »Umeres zu Unterem«.

4.2 Berechnung von Integralen

323

Ein öfters vorkommender Spezialfall ist das folgende bestimmte Integral, das sich aber auch aus (4.82) leicht ergibt: ;r

/

/2

:r/2

sin

211

xdr =

o

f

COS211

o

r dx - .::. . _·c3;-.5.,--.o·__(c'_n."...----'.')

.

(4.84)

- 2 2 . 4 · 6 · ... ·2/1

Übung 4.9: Leite die Formeln (4.74). (4.82) und (4.83) her.

Übung 4.10: Berechne folgende Intcgrale und mache die Probe durch Diffcrenzieren:

j (lr

4

- 2x 2

+.r - I) sin(5.r) cU.

J--,-. xd<

jSin 3 xdX.

4.2.4

jxarcsinXdr.

cos- x

Integration rationaler Funktionen

Rationale Funktionen p(x)/q(x) (p, q reelle Polynome) lassen sich elemenlar integrieren. Die Integration verläuft in drei Schrillen: (I) Divisioll p(x) :q(x),fallsGrad I)

~

Gradq

~

I.

(11) Parlialbruchzerfegllng Oll) IlIIegrarion der Summanden (I) Divüion: Ist Grad p ~ Grad q ~ I, so dividiere man p durch q mit dem Divisionsalgorithmus

fur Polynome. s. Abschn. 2.1.6. Man erhält damit p(x) - - = !J(x) q(x)

rex)

+ --. q(x)

(4.85)

wobei 11 und r Polynome sind. Der Grad von r ist dabei kleiner als der Grad von q. Da man 11 ohne Schwierigkeit integrieren kann. bleibt r(x)/q(x) zu integrieren. Wir haben unser Problem also auf die Aufgabe reduziert, rationale Funktionen zu integrieren, deren Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist. Ist dies von vornherein der Fall, so erübrigt sich die Division natürlich. (11) Parlialbmchzerfeglll1g: Es ist r(x)/q(x) zu integrieren. Der Grad des Polynoms I' sei 1/1, der des Polynoms q sei 11. wobei 1/1 < 11 ist. Zunächst sind sämtliche Nullstellen al. a2, ... von q zu berechnen (mit Aunösungsformelll

oder dem Newtonsehen Verfahren). Nach dem Fundamentalsatz der Algebra (Abschn. 2.5.5) kann man damit q(x) so darstellen:

324

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

Die k" ... , kN E N sind die »Vielfachheiten« der enlsprechenden Nullstellen. Es ist kl + k2 + =- ll. Unter den Nullstellen können auch komplexe NulJsteJ[en sein. Mit jeder echt komplexen Nullstelle a) =- ~) + i IIj (11) f- 0) ist aber auch stets die konjugiert komplexe Zahl Ci) =- ~) - i 11) auch Nultstelle von q, da wir q als reelles Polynom vorausgesetzt haben. (Denn q(ad =- 0 impliziert q(Cid =- q(ak) =- 0 = 0). ak und Cik haben überdies die gleiche Vielfachheit k) (wie man durch sukzessives Dividieren von q durch (x - a) und (x - Ci) erkennt). Wir fassen zusammen:

... + kN

(x -O')(x -Ci) =x 2 +ßx+ y.

wobei x

2

ß = ~(a) + Ci) und

+ ßx + y

y = a)Ci) =

la)1 2 reell sind. (Für reelle

x ist der Ausdruck

stets> 0.) Damit erhält q(x) die Gestalt M

L

q(x)=c· n(x-a)k j )=1

.

n(x 2 +ß)x+y)"'i.

(4.86)

j=1

wobei wir die reellen Zahlen ß und y entsprechend mit j indizien haben. In diese Form muß q gebracht werden! Anschließend wird der Bruch r(x)/q(x) umgeformt in

(4.87)

wobei man die Zahlen A j~. Bj~, Cjll durch »Zählervergleich« gewinn!. Das heißt man bringt die rechte Seite auf »Hauptnenner« q{x) und vergleicht das Zählerpolynom rechts mit dem bekannten Zählerpolynom rex) links. Durch Koeffiziemenvergleich oder Einsetzen spezieller x-Werte (etwa der Nullstellen O'j) ergeben sich die Unbekannten A j ,,, B j ,,, Cj". Die rechte Seite der obigen Gleichung (4.87) heißt Parlialbruchzerlegullg von r (x )/q (x). (111) IlIIegmlioll deI" SIIII/II/tmde,,: Mit der Panialbruchzerlegung (4.87) ist unser Problem auf die

Aufgabe zurückgeführt, Ausdrücke der folgenden Formen zu integrieren:

B:r:+C

A

mit x 2 + ßx

+Y

f

(4.88)

I '"

> 0 für alle x E IR. Das geschieht durch die Gleichungen -=.dx..." -:= (x - a)k

I k-I

Ix - al 1

~~- . c---'~,

(x-a)k

ftirk=- I, für k = 2.3.4.

(4.89)

4.2 Berechnung von Integralen

f f

Bx + C B 2 2C - Bß 2x + ß , dx = -ln(x +ßx+y)+ arctan . (x-+ßx+y) 2 )4y ß2 )4y ß2

Bx+C

32S

(4.90)

-B

(x2 +ßx +y)J.: dx = 2(k _ l)(x2 +ßx + y)J.: 1

(C- B:) f 2

+

f

+:: +y)J.:'

(x


+2(2k - 3)

f

[2x+ ß

(x2+ßx+yl'

(x2 +

ß~'~ y)J.:

I]

(k

~ 2).

(4.91)

~ 2).

(4.92)

1

(k

Durch Differenzieren überprüft man leicht die Richtigkeit der Gleichungen. (Man findet die Gleichungen (4.90)-(4.92). indem man x 2 + ßx + y = (x + 0)2 + v2 mit {j := ßI2 und v := .jy ß2/4 schreibt und dann I = (x + o)/v substituiert, s. f56]. S. 225-226). Die ersten beiden Gleichungen (4.89) und (4.90) liefern elementare Funktionen bei der Integration. In (4.91) wird das links stehende Integral auf das Integral der Form h(x) :=

f

dx

(x2

+ ßx + y)J.:

.

zurückgeftihrt. Dieses wird durch sukzessives Anwenden der Rekursionsformel (4.92) schließlich auf 1I (x) zurückgeftihrt, welches sich aus (4.90) im Falle B = 0, C = I ergibt. Damit ist das Problem der elementaren Integration rationaler Funktionen gelöst.

Beispiel 4.14: Es soll f~)=

f

2xJ - x 2 - 10x ,

x· +x

+ 19

6

dx

elementar integriert werden. Division von Zähler durch Nenner liefert zunächst 2x 3 _x 2 _IOx+19 5x+1 , = 21' - 3 + ~2'::;--'--'--~ x· +x 6 x +x 6

(4.93)

Die Nullstellen des Nenners errechnet man leicht zu al = 2 und 0'2 = -3, also gilt x 2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3). Damit macht man den Ansatz ftir die Parriafbruchzer/egllllg: ,5x

x·

+I

+x

- 6

= ~ x- 2

Aus dem Zählcrverglcich

+~ x

+3

= AI' (x

+ 3) + A2 . (x -

(x - 2)(x

+ 3)

2) .

326

4 Integraln:chnung einer reellen Variablen

=

=

gewinnt man durch Einsetzen von x 2 sofort A I 11/5 und durch Einsetzen von x Konstante A2:::: 14/5. Also folgt die Partialbruchzerlegung 5x

+I

I1

-,,""+-,'-.--'--,6

:=

14

I

:=

-3 die

I

"5 -,---2 + "5 -x-+-3

Setz! man dies in (4.93) ein und integriert, so erhiilt man

l(x)=2

J

= x2

xdx~3

_

11

J

11 dx+5

J- - + - J- clx

14

x-2

dx

5

x+3

14

I

In Ix - 21 + - In Ix + 31 = x 2 - 3x + - In(lx _ 21 11 lx + 31 14 ) 5 5 5

3x + -

.

Beispiel 4.15: Wir wollen /~)=

J

x4

x3~IOx2+7x~3

+ 2.\"3 -

2.\"2 - 6x

+ 5 dx

analytisch integrieren. Da der Zählergrad (= 3) kleiner ist als dcr Nennergrad (= 4), cntfallt das Divisionsverrahren rur Polynome. Man findet (durch Kurvendiskussion oder Probieren). daß 0'1 = I eine Nullstelle des Nenners q(x) ist. Division q(x)/(x - I) = q)(x) liefert ein Polynom, ftir das erl = 1 abermals Nul1stc1le ist. Also ist erl mindestens doppelte Nullstelle des Nenners. Division des Nenners durch (x - 1)2 liefert die Zerlegung x 4 + 2\:3 _ 2x 2 -6x +5 = (x _ 1)2(.\"2 +4x +5).

(4.94)

Man versucht nun x 2 + 4x + 5 = 0 zu lösen und stellt fest, daß diese Gleichung keine reellen Lösungen hat. Damit ist (4.94) die Zerlegung des Nenners q(x), die Ausgangspunkt rur die Partia{bruchzerlegullg ist. Die Zahl (/1 = I ist in der Tat eine doppelte Nullstelle des Nenners. Nach (4.87) ist folgender Ansatz zu machen:

x 3 _lOx 2 +7x_3 All AI' .\"4 + 2x3 _ 2.\"2 _ 6x + 5 = x - I + (.\"

Bx+C

_1)2 + x 2 + 4.\" + 5 .

(4.95)

Man bringt die rechte Seite auf Hauptnenner und erhält rur die Zähler die Gleichung

Einsetzen von x = 1 läßt rechts einiges verschwinden, und man gewinnt A 12 = -1/2. Wir bringen A12(X 2 + 4x + 5) nun auf die linke Seite von (4.96) und errechnen 19

x 3 - "2x2 +9x -

I

'2

= AI1(X - l)(x 2 +4x +5)

+ (Bx + C)(.\" _

1)2.

4.2 Berechnung von Integralen

327

Division durch (x - I) ergibt x

2

17

1

-"2 + 2"

= All(x 2 +4x +5)+

(4.97)

(Bx +C)(x - I).

Hier liefert x = I die Konstante All = -7/10. Man setzt dies in (4.97) ein. Vergleicht man dann die Koeffizienten von x 2 rechts und links, so gewinnt man B = 17/10. und vergleicht man die konstanten Glieder, so folgt C = -4. Zusammen also All

=-0,7.

AI2

B = 1.7,

= -0,5,

C =-4.

Setzt man dies in (4.95) ein und integriert, so folgt mit (4.89), (4.90): l(x)~-0.7

J

dx ---0.5 x -I

J

dx

(x

1)2

+

J

I.7x-4

x 2 +4x +5


0,5 2 = -0,7Inlx - I1 + - - +0,851n(x +4x +5) -7,4arctan(x+2). x-I

Bemerkung: (a) Das letzte Beispiel verdeutlicht nochmal, daß das unbestimmte Integral einer rationalen Funktion sich zusammensetzt aus logarithmischen Gliedern Arcus-T:ll1gens-Gliedern und • einem rationalen Anteil. Gehen wir von

J

r(x) dx aus mit Grad r < Grad q, so tritt ein rationaler Anteil nur dann auf, q(x)

wenn der Nenner q (x) mehrfache Nullstellen hat.

(b) Man kann ohne Kenntnis der Nullstellen von q feststellen, ob meill/aehe Nullstellen von q vorliegen. Dies ist nämlich genau dann der Fall, wenn der größte gemeinsame Teiler (ggT) von q und q' ein Polynom 8 von mindestcns erstem Grade ist. Die Nullstellen von 8 sind dann gerade die mehrfachen Nullstellen von q. Den ggT von q und q' findet man mit dem »euklidischen Algorithmus«, d.h. man berechnet mit der Polynomdivision sukzessive q(x); q'(x) = hl(x) +81(X)/q'(x), q'(x): 81(X) = !l2(X)

+ 82(X)/81(X) ,

+ 83(X)/g2(X). II4(x) + 84(X)/83(X)

(4.98)

81 (x) : 82(X) = !l3(X) 82(X) : 83(.r) =

usw.

Da die Polynome 81,82,83, ... streng abnehmcnden Grad besitzen, muß das Verfahren abbrechen. z.B. bei (4.99)

328

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

Das so ausgerechnete Polynom gm ist ggT von q und q',

f

(c) Gill Grad g ::: I fLirden ggT g von q und q'. so kann man nach der Met/lUlle 1'011 Os/rogmdskiHermite 6 den rationalen Anteil des Integrals

r(x)/q(x) dx bestimmen ohne Nllflstellenberech-

//llllg \'01/ q und olme Par/iafbruclizerlegllllg (Voraussetzung Grad r < Grad q). Und zwar macht

man den Ansatz

!

,(x) F(X)! H(x) q(x) dr = g(x) Q(x) dr.

(4.100)

+

Hierbei ist Q das Polynom Q(x) = q(x)jg(x); Fund H sind Polynome mit Grad F < Grad g,

Grad H < Grad Q,

die man durch Kocffizicntenvergleich aus

(4.101)

f

gewinnt. (Diese Gleichung ergibt sich aus (4.100) durch Differenzieren.) In (4.100) ist F(x) j g(x) der gesuchte rationale Anteil, während das verbleibende Integral

(H(x)jQ(x»dr auf loga-

rithmus- und Arcus-Tangens-Glieder fUhrt, Übung4.11: Berechne die folgenden unbestimmten Integrale:

(a)

(d)

4.2.5

f f

x3_3x+4

') dx. x-+2x-15

(b)

d,· (x 2 +x+2)3 .

(e)

f f

')

3x+2

x~-4x+7

,(2+x_1

d,(.

(c)

f

xd,

--,. l+x

') d( ,

(x 3 +4_T 2 +8x)-

Integration weiterer Funktionenklassen

Eine m/iol1ale Funktion R(x. y) von zwei Variablen x, y ist erklärt durch folgenden Ausdruck:

", L

j.k=O

"

,

. GjkXJy'

R (x . y) := "",~,'-----L...

,

bjk XJ. y-

(L}.' Ibj" > 0) .

j.k=O

6

Qs!rogradski (1801- 1862). russischer/ukrainischer 1901). frnnzösischcr Ma!hcmmikcr

Mieh~el W~ssiljcwilsch

Malhcm~likcr: Ch~rles

Henni!c (1822-

4.2 Berechnung von Integralen

329

Entsprechend ist eine rationale Funktion R(x. y. z) erklärt durch

"" " L

R(x, y, z) :=

.ylz,

UijkX'

i.j.k=O

(I: Ibij,l > 0) .

-",,0,,--'----L

,

. bijkx'ylz'

"j,k

i,j,k=O

Die rationalcn Funktionen werdcn also gebildet aus Potenzen von x, y, z usw. und konstanten Faktorcn, dic durch +, -, " / verknüpft sind.

(I) Rationale Funktionen von trigonometrischen Funktionen Dies sind Funktioncn der Form R(sinx.cosx),

3cosx sin 2 x sinx+5cosx'

also z.B.

Diese Funktionen lassen sich alle elementar integrieren. Und zwar verwendet man in

J

(4.102)

R(sinx,cosx)dx

die Substitution / = tan(x/2). Über die Additionst.heoreme der trigonometrischen Funktionen crhält man damit

. . x x x,x 2/ SffiX = 2Sffi-COS- = 2tan-cos· - = - - 0 . 2 2 2 2 1+/'lX

und

x = 2 arctan /

d,

=>

dt --

2 1+ r2

t

sin2~)

2x (

'lX

cosx =cos- '2 -sin-'2 =cos '2 1- cos2

2 l_r = 1 +/2'

•

Damit geht das Integral über in

! (

21 1 _1 2 ) 2 R - - - - --dl l+t2'I+t2 1+/2 '

(4.103)

also in das Integral einer rationalen Funktion von /, das analytisch integriert werden kann.

(Il) Rationale Funktionen von

e~

Funktionen der Form (bill

i= 0)

(4.104)

330

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

werden mit Hilfe der Substitution t = er, x = lnt, drfdl = 1ft behandelt. Ihre Integrale werden dadurch auf Integrale von rationalen Funktionen zurückgefUhrt: (4.105)

(1II) Rationale Funktionen von Hyperbelfunktionen R(sinhx. coshx) lassen sich in die Form (4.104) umrechnen und damit auch elementar integrieren. Eine zweite Methode - analog zu (I) - besteht darin, f = tanh(x f2) zu substituieren. Das Integral von r(sinhx. cash x) wird damit

J

R(sillhx.coshx)dx=

J(

2/

1+/') --.,dt. 2

--,.--,

R

I

I - t-

-1-

I -

f-

(4.106)

(IV) Rationale Funktionen von Wurzelausdrücken und x

J

R(x.JI

J J

x 2 )dx=

R(sinll,coslI)COSlIdll,

mitx=sinll,

(4.107)

R(sinh u, cosh 11) cosh 11 du .

mitx = sinhu,

(4.108)

I)dx= / R(coshll.sinhll)sinhudll,

mitx=coshll.

(4.109)

R(x. JI +x 2)dr = R(x.Jx 2

J

J

Die links stehenden Integrale sind damit auf (I) und (111) zurückgeführt. Das allgemeinere Integral

J

R(x. Jax 2 + 2bx

+ c) dr

(a

i= 0)

(4.110)

wird auf die obigen Fälle zurückgeführt. Dazu schreibt man ., ax-

+ 2b,r +c =

I

-(CIX +b)

2

{/

+

ac-b 2 CI

.

(4.111)

Wir kürzen ab: D := ac - b 2, und erhalten die folgenden Fälle: Fall

Substitution

D >0

,~

D < 0

,~

D=O

Jax 2 +bx +c_

ro+b j !:!..(~2 +

(IX

(IX

+b

,Fi5

"

1)

(a > 0)

4.2 Berechnung von Integralen

331

Man sieht, daß in den ersten beiden Fällen (4.110) in Integrale der Form (4.108), (4.109) verwandelt wird, während der Fall D :::::; 0 sofort auf einen rationalen Integranden fUhrt. Damit ist (4.110) berechnet. Auf das Imegral (4.110) läßt sich auch

J

R(x. Jax+b, JAx

+ B)dx

(4.112)

zurückfUhren, und zwar durch die Substitution ~ = Schließlich kann man dx +B f R(X'. AxaX+b)

durch

~ ~

j

{IX

Ax

J Ax + B. Der Leser fUhre dies aus. +b +B

. neN

(4.113)

in ein Integral einer rationalen Funktion verwandeln und damit analytisch integrieren. Übung 4.12: Berechne (a)

4.2.6

f

e2f

dx

l+e x '

(b)

f

eosx d( . 2 + sinx

(e)

f

x 2 +X+I

r;--;:; d(. - x~

vI

Numerische Integration

Versagt die analytische Integration. so sucht man Zuflucht zur numerischen Integration. Im Zeit~ alter des Computers ist diese }>Zuflucht« durchaus zur brauchbaren »Heimstätte« geworden. Wir wollen einige Verfahren kurz streifen. (Die »Tangentcnformel« haben wir schon in Abschn. 4.1.3 kennenge1crnt.)

f

h

(I) Trapezformel: Es soll

fex) dx berechnet werden, wobei wir die Funktion f : fa.

bJ

-+ IR

" als zweimal stetig differenzierbar voraussetzen wollen. Zunächst bilden wir eine äquidisfmue (gteichabständige) Zerlegung von [a. bl durch die Teilungspunkte Xo = a .

Xl

= a

+ h.

X2 = a

+ 211 •

X3 = a

+ 311 •

XII =a+nll =b.

mit der »Schrinweite«" = (h - a)/II. Die zugehörigen Funktionswerte werden mit Yi ._ f(xi), i = 0.1.2 ..... /1 bezeichnet. Auf jedem Teilintervall [Xi_I. xii betrachtet man die Näherung

f

Xi

.fj_1

f(x)dx

~ "Yi~12+ Yi

(4.114)

332

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen y

y

P, P.

,

h

o

,

Fig. 4.11: Zur Trapczformcl

Fig. 4.12: Zur Simpsonformel

Der Ausdruck rechts ist dabei gerade der Flächeninhalt des schralliertcn Tnlpczes in Fig. 4.1 [ (Yi-l und Yi positiv vorausgesetzt). Aus dieser geometrischen Deutung resultiert der Ansatz und der Name unserer Methode. Summiert man (4.114) auf beiden Seiten über i. und bezeichnet den Oesamtfehler - also den Unterschied zwischen rechter und linker Seite - mit 8. so erhält man

(

b

f"

H 2

f(x)dx='"

~) +8. +YI +)'2+···+Y,,-1 +"2

(4.115)

Diese Formel heißt die TrapeiformeI. Ohne Beweis geben wir dazu folgende Fehlcrabschätzung an (s. [56J, S. 239).

(4.116) Die Trupezrcgel ist um einiges ungenauer als die folgende Simpsonformel. Sie hat jedoch theoretisches Interesse, als Ausgangspunkt für das Rombergverfahren. Aus diesem Grunde wurde sie hier angegeben. (11) SimpsonformcJ 7 : Die Funktion

J

f : La, b]

_

IR sei viermal stetig differenzierbar. Zur Ennitt-

b

lung des Integrals

fex) dx zerlegen wir das Intervall La, b] äquidistant in eine geratle Anzahl

von Teilintervallen"LXi_I, XiJ. Die Teilungspunkte sind

xi=a+ih

fLiri=O.I,2.....

II.

IJ-a wobeih = - - .

"

11

gerade.

Wieder wird )'i := f(xi) gesetzt. Wir betrachten nun das erste »Doppelintervall« [xo. x21, s. Fig. 4. I2. Die Idee der Simpsonformel besteht darin, durch die drei Punkte (xo. )'0). (Xl. yj). (X2. YÜ ein Polynom zweiter Ordnung 7 Thomas Simpson (1710- 1761). englischer Mmhematiker

4.2 Berechnung von Integralen

333

(eine Parabel) zu legen, und dieses anstelle von j zu integrieren. Entsprechend geht man mit den übrigen Doppelintervallen [X2. X4J, [X4. X6J, ... vor. Anschließend summiert man über alle Doppclintervalle. Eine Parabel durch (xo, )'0), (XI.)'I), (X2. Y2) findet man leicht durch die »Langrangesehe Formel«

Man erkennt, daß es sich hierbei in der Tat um ein Polynom zweiten Grades handelt. Außerdem prüft man leicht nach, daß)'o = P2(XO), YI = Pz(xj) und Y2 :::: P2(X2) gilt. Die Integration

J"

P2(X) dx

fUhrt man »gliedweise« durch, also mr jedes der drei Glieder in

."

(4.117) einzeln. Dabei ist die Substitution x :::: a

f""

P2(x)d-r ::::

"

'3Ü'O

+ I1t

nützlich. Man erhält

+ 4YI + }'2) .

(4.118)

.

Entsprechend erhält man ftir ein beliebiges Doppclintervall [X2i -2. x2i J

(4.119)

mit einer Parabel Pi durch (X2;-2, )'2i-2), (X2i_l. Y2i-d, (X2i, )'2;). Summation der GI. (4.119) über alle Doppclimervalle - also fur i :::: 1,2, ... , 2" - liefert auf der rechten Seite eine gute Niiherung fUr

J"

"

f(x) dx (falls h klein genug).

Bezeichnet"li den Fehler zwischen dieser Näherung und dem Integral, so folgt also

J b

j(x) dx::::

~(ro + 4YI + 2Y2 + 4Y3 + 2Y4 + ... + 4YIl_1 + YII) + li.

(4.120)

" Dies ist die Simpsolljormel. Die Fehlerabschätzung lautet (s.[56[, S. 239) (4.121 )

Da der Fehler l,sl mit h 4 abgeschätzt wird. sich also bei verringerndem" sehr stark verkleinert, liefert die Simpsonformel äußerst gllte Ergebnisse. Sie ist eine der besten Forme/li jiir die nlllIJel"ische Integralioll, und dabei sehr leicht anzuwenden!

334

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

(In) Newtons pulcherrima (318-RegeJ): Gelegentlich hat man nicht die Möglichkeit, ein Inte-

grationsintervall[a, b J in eine gerade Anzahl von Tei lintervallen äquidistant zu zerlegen, sondern [a, bJ ist schon von vornherein in ungerade viele Teilintervalle [Xi-I, Xi] äquidistant unterteilt. (Dies kann bei gemessenen Werten der Fall sein, die nicht mehr veränderbar sind.) In diesem

f,

b

Falle geht man bei der numerischen Berechnung von

I(x)dx so vor: Man faßt die ersten drei

Teilintervalle zu einem »Dreifachintervall« [xo, x)l zusammen und die verbleibenden zu Doppelintervallen. Auf letztere, also insgesamt auf [X), b] wendet man die Simpsonformel an, um

f

b

f(x)dx näherungsweise zu bestimmen.

"'

Zur numerischen Berechnung des verbleibenden Integrals (Xl. YI), (X2. n), (X3. Y3) ein Polynom P vom Grade

,

3 gelegt

f"

f(x) dx wird durch (xo. )'0),

""

n(x-xkl 3

P(x)

~

k=O kf-i

2:>",'-'----i=O

n

(Xi -

Xk)

k=O k;bi

Dieses wird anstelle von 1 integriert. Man errechnet

f"'

P(x)dx =

~h()'o+3Yt +3)'2 + y».

f(x) dx =

~1J(}'0 + 3YI + 3Y2 + Y3) + 8

mit

X)

-xo

11=--3-·

'"

Es folgt

f"'

(4.122)

'"

mit Fehlerabschätzung

l,'ll:::: }OM4 11 5 .

mit

M4

~ 1/(4)(x)1

auf[xo.x3]

(4.123)

(s. [56], S. 236). (4.122) heißt »i-Regel«. Die Formel wurde von ihrem Entdecker Newton begeistert »pulcherrima« genannt.

4.2 Berechnung von Integralen

335

Bemerkung: Des weiteren ist das Rombelg8- Verfahren zu nennen, welches auf Computern heute das meistbenutzte Verfahren ist. Es beruht auf der Trapezregel. bei der die Schrittweite immer weiter verkleinert wird und dabei gegen Null geht. Der Grenzwert der Trapczregel-Werte ist das numerisch bestimmte Integral. (Es wird durch eine Extrapolationsmethode geschickt angenähert, s. Litermur über numerische Mathematik. z.B. [301, S. 399-403.) In der Simpsonformel, eventuell verbunden mit Newtons »pulcherrima«, haben wir aber schon vorzügliche Verfahren zur numerischen Integration kennengelernt. Mit ihnen kommt man rurs erste gut aus. insbesondere, da sie sich sehr leicht handhaben lassen.

Beispiel 4.16: Berechnet werden soll

(Analytische Integration ist hierbei unmöglich.) Wir verwenden die Simpsonformel. Mit fex) = e- x2 • Xj = i /6,)'i = f(x;H; = 0.1.2, .... 6) folgt

,

' f

'/6

e- x-/2 d~ = T(YO

+ 4)'1 + 2)'2 + 4)') + 2)'4 + 4)'5 + )'6) + Ii =

0.85563 + Ii.

o

Zur Fehlerabschätzung berechnen wir f(4)(X) = e- x2 / 2 (x 4 _ 6x 2 + 3),

f(5)(x) = _e- x2 / 2 x(x 4 _ IOx 2 + 15).

Da f(5)(x) .::: 0 auf [0. I [ist, folgt, daß f(4) auf [0. IJ monoton Hillt. Also hat f(4)(X) in x = 0 das Maximum auf [0. IJ und in x = I das Minimum. Wegen f(4)(0) = 3 und flV(I) = -1.3 ist daher [f(4)(x)[ .::: 3 =: M4 auf LO, I], folglich nach (4.121): I.

.2... .-'- < 180 1296

I 3. 10- 5 '

Damit ist 0,85563 ein Näherungswert des Integrals, der mindestens auf 4 Stellen genau ist. Übung 4,13: Berechne

,

!

"/2

sinx 6 - - dx mit der Simpsonfonnel bis auf einen Fehler von höchstens 10- . x

8 Wcmcr Rombcrg (1909-2003). deutscher Mmhematiker

336

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

4.3

Uneigentliehe Integrale

Bisher haben wir beschränkte Funktionen auf beschränkten abgeschlossenen Intervallen integriert. Wir wollen die Integration im Folgenden auf unbeschränkte Intervalle und unbeschränkte Funktionen ausdehnen. Man spricht dabei von IIl1eigellllichell Integralen, im Gegensatz zu den bisher betrachteten »eigentlichen« Integralen.

4,3.1

Definition und Beispiele

Beispiel 4.17: Durch analytische Integration errechnet man sofort

,

Je-xd~

= I _e- r .

o

Für I

_

00 strebt die rechte Seite gegen I. Dies wird folgendermaßen beschrieben:

00

Jo e-x dx:=

,

lim

'_00

Je-'~

dx

= I.

0

Je-x dx 00

Das links stehende Integral von 0 bis 00 ist durch den Grenzwert definiert. Man nennt

o

ein ulleigelllliches Imegral. Der Integrationsbereich [O,ooj ist hierbei unbeschränkt. Der Wert

Je-x 00

1=

dx kann als Flächeninhalt der unendlich langen (schraffierten) Fläche in Fig. 4.13

o

angesehen werden.

Beispiel 4.18: Wir wollen nun eine unbeschränkte Funklion "integrieren«, und zwar !(x) = l/..rr=-x auf [0. I). Auf jedem Teilintervall[O./J C 10.1) ist! allerdings beschränkt. und man errechnet

,

J..rr=-x ~ [~2./I=X]' ~ -2"r,::t + dx

o

Die rechte Seite strebt mit

,-

I _

I (t < I) gegen 2. Man beschreibt dies durch

,

J..rr=-x ,= /.. . . J..rr=-x = --,;;d.;;,'=

o

2.

0

lim

I r
dx

2.

4.3 Uneigentliche Integrale

337

Das links stehende Integral heißt wiederum ein /lneigelllliches Integral. Der »Integrand« ist dabei eine I/llbeschriinkle Funk/ion. Der Wert 2 des Integrals wird als Flächeninhalt der in Fig. 4.14 skizzierten Fläche aufgefaßt.

,

, ,

•

o

f

l-

00

Fig. 4.13: ZUI11 uneigel1tlichel1 Integral

e- x d(

Fig. 4.14: Zum uneigcmJichen Integral

o

i o

d.•

r;---:

"I-x

Die beiden Beispiele machen klar, wie man Integrale über unbeschränkte Funktionen oder unbeschränkte Intervalle zu erklären hat. Definition 4.2:

Ist die Funktion f auf jedem Teilintervall[a./] von [(I. b) integrierbar (b = 00 zugelassen), so definiert man b-

j

,

(4.124)

f(X)dx:= lim jf(X)dr, 9 I--+b-

"

"

vorausgesetzt, daß der rechtsstehende Grenzwert existiert. Ist

J

f

unbeschränkt oder

b-

b = 00. so nennt man

f(x)dx ein /ll/eigen/liches Integral.

" In entsprechender Weise definiert man uneigentliche Inlegrale der Form b

j

a+

b

(4.125)

f(x)dr:= !im j f(x)dx, /_a

I>" /

9 1---> b- bedeutel I ---> b mil / < b. e11lsprcchend bedeutet I ---> a+ den

Grcnzüberg~ng

1--+ a mil I > a.

338

4 Integralrechnung einer reellen Variablen

wobei auch a = -00 zugelassen ist. Schließlich vereinbart man

I

I

b-

[(x)
,~

lJ+

I

b-

c

[(x)d,

+

lJ+

(4.126)

[(x)
C

mit a < c < b, wobei angenommen wird, daß die uneigentlichen Integrale rechts existieren. (Die Zeichen - und + hinter den Integrationsgrenzen dienen zur Verdeutlichung. Sie werden oft auch weggelassen. insbesondere im Falle b :::; 00 oder a = -00.) Statt »das II/leigemliche Imegral existiert« sagt man auch, es »kollvergiert«.

ßeispieI4.19: Es sei ct > I und I > I. Damit gilt

1, 00


I~~

Beispiel 4.20: 00

I

I' x"dx = I~~ (''-I - a ,

I --- + I -_.0

dx -l+x 2

~

-00

Ci

00


d, = l+x 2

l+x 2

-00

=

')

I -

0

I = a - I .

I 0

lim

1__ 00

I

. tun (arctan 0 - arctan I)

1..... -00

I ,

- dx -l+x 2

+ 1lim00

0

d, -_.1+.\"2

" + -"2 =

. (arctan t - arctan 0) = + 1_00 11m 2

Jr •

Beispiel 4.21: 1-

Io

IdX ,

dx

r:---'f

vl~x-

=

lim

1-1-

r:---'f

0

vI-x·

rr

= !im arcsin I = - . 1-12

Entsprechend folgt

,-

also -1+

I

-1+

Beispiel 4.22: Es sei 0 < ct < I undO < t < I. Es gilt

(4.127)

4.3 Uneigentliche Integrale

Beispiel 4.23:

J 00

!

339

,

cosx dr existiert nicht. da

o

cosx dx ::::: sin t fUr

I --+

00 nicht konvergiert.

0

Übung 4.14*: Prüfe. ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren, und berechne sie gegebenenfalls:

,

,

(a) !lnXdX.

(b)

0+

4.3.2

J

!, .~; . 00

dx

~.

(c)

0+

00

(d) ! e-'·sin,rdr,

o

Rechenregeln und Konvergenzkriterien

Satz 4.10: Lineariliit, Produkt- und Substitutionsregel gelten auch fur uneigentliehe Integrale: b-

!(A!I(X) +tt!2(x»dx:::::

"b-

I" I

Ä!

b-

b-

"

"

lI(x)v'(x)dr::::: lim (1I(t)V(t) - lI(ll)V(ll» / ..... b-

b-

~

I

I

b-

u'(x)v(x)dr.

(4.129)

"

(3-

[(x)dx

(4.128)

fl(X)dx+tt! 12(x)dx.

[(,(l»,'(,)d,.

(4.130)

" Dabei sind 11, 12 als integrierbar vorausgesetzt, j als stetig. und differenzierbar. Ferner sei lim !fJ(t)::::: bund 1,0(0) ::::: a.

11,

v.!fJ als stetig

1-(3-

Die GI. (4.128) und (4.129) sind so zu verstehen: Existieren die rechten Seiten, so auch die linken. In (4.130) gilt: Existiert das uneigentliche Integral auf einer Seite. so existiert es aueh b

auf der anderen Seite. Für uneigentliche Integrale der Fornl! gilt Entsprechendes. Der einfache "+ Beweis darf hier übergangen werden. Im Folgenden begnügen wir uns mit der Unlersuchung der b-

,

uneigentlichen Integrale! j(x)dx, da fLir ! (,

a+

j(x) dx alles analog gilt.

340

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

Satz4.1l: (Cauc"y~·ches KOllwrgenzkriterillll/)

b-

Es sei

f integrierbar auf

[a./I fur jedes I E

I

[a, b). Damit folge: Das Integral! fex) dx konvergiert genau dann, wenn die fol-

"

geude Bedingung erfullt ist: Zu jedem 8 ~ 0 existicrt ein

!,

C

Eta. b), so daß für alle t, S E (c. b) gilt:

(4.131 )

f(x)dr <8.

(4.131) heißt Callchy-ßedillgullg für uneigentlichc Integrale.

,

Beweis: 10 Man selZt abkürLend F{t) :=

!

fex) dr fur / E (a. b).

(I) Ist (4.131) erfüllt, so gilt für "alle Folgen {/k := F(tt} mit tk --,l> b die »Cauchy-Bedingung fur Folgen«. also konvergieren alle Folgen (ak). Damit konvergieren sie alle gegen den gleichen Grenzwert I. (Denn würden zwei dieser Folgen gegen verschiedene Grenzwerte streben. würde die Mischfolge ~ nach Reißverschlußvetfahren - nicht konvergieren, was nicht sein kann.) So-

i "

b-

mit gilt F(t) (11) Existiert

1 für t

--,l>

b-

i"

--,l>

!(x) dx

mitIF(t) - 11 <

,

b-, woraus die Existenz des Integrals

= lim F(t) = I, so hcißt das: Für jedes 8> 0 existiert ein e / ..... b-

J(x)d,

E La, b)

2 für alle / E (c. b). Mit t, .\' E (e. b) folgt daher

,

i,

f(x)dx folgt.

= IF(t)- F(s)1

~ IF(t)-/I+ IF{s) -

JI

~

, ,

2+ 2 =

f:.

o

Beispiel 4.24: Wir zeigcn

i

00

o

sinx 7f -dx=-

x

2.

(4.132)

10 Dieser und die folgenden Beweise im I'orliegenden Absehnill können vom anwendungsorientiel1en Leser iibe=hla· gen ....·erden.

4.3 Uneigentliche Integrale

341

(I) Die Konvergenz des Integrals folgt mit dem Cauchy-Kriterium in Satz 4. I I. Denn man erhält fUr 0 < s < 1 mit der Produkt integration

,

f,

,

sinx

dx=

x

[ WH]' f, WH

-,-dx x·

--- x s

"

IWHI - I + f' --,I[-WH]' , x

s

dx

x·

2 Dies bleibt kleiner e > 0 (also - < e), wenn s > 2/e =: c. Da wegen 1 >

.,

S

auch 1 > c ist, ist

die Cauchybedingung (4.131) erfüllt, d.h. das Integr
, I

(11) Um zu zeigen, daß der Wert des Integrals

J(t):=

I -

1 sin 1

"2 ,

fUrO
•

o.

"2" ist, betrachtet man die Hilfsfunktion

flirl=O.

Sie ist slets differenzierbar, auch in 0, was man über die Umformung J(I) = Taylorrcihe des Sinus sicht. Für diese Funktion gilt mit Produktintegration ,/2 [ J(l)sin(lIl)dl =

1

Setzt man J(t) = - 1

. f

,/2

IHn

,,-co (

o

-~

1

., ,/2 ) [J(I)COS(IIt)]: - [J'(t)COS(lIt)dl -+ 0

S1l11

sin(nl) -dl-

f

,/2

0

sin(1l1) -cll sin I

=0.

f

f

fUrll -+

00.

(4.133)

n(rr/2)

sin(/1/) --d/=

mit der

)

Beim linken Integral substituieren wir x = nl und erhalten das Integral ,./2

1 sin 1

links ein, so folgt

-.~

t

(

sin 1 - I

--c=c-

sinx --
1 x o 0 Die rechte Seite konvergiert fUr 11 -+

co 00

fSinx gegen - - dx, also ergibt (4.133):

o

x

342

4 Integralrechnung einer reellen Variablen

00

! o

.!

sinx --dx = 11m x 11..... 00

:r /2

sin(nl) --dl. sin

0

(4.134)

f

Das rechte Integral läßt sich direkt berechnen, wobei wir 11 = 2k der Formel aus Übung 2.20 (Abschn. 2.3.2) erhält man nämlich: :r12

! o

00

o

,,/2

.~

k

2.

2

J=I 0

.!

sinx --dx = 11m x 11_00

E N) voraussetzen. Mit

~ + 2 L! cos(2}r) df = ~ + 2 L ~ [sin(2}f)]'!

=

Sln r

(4.134) liefert damit

!

k

sin«2~ + I)t) dr

+ I (k

:r/2

.!

sin(nf) ---dr = 11m sin f k..... oo

0

:r/2

,2}

0

J=I

=

Jr

2

sin«2k + I)r) Ir dr = ~. sin t 2

0

Weitere Kriterien rur die Existcnz ulleigclltlicher Integrale sind im Folgenden zusammengestellt. Dabei werden die auftretcnden Funktionen [, g, h durchweg als illregrierbar auf jedem Teilintervall [a. r1 von La. b) vorausgesetzt. b = 00 ist zugelassen.

Satz 4.12:

I

b

(MoIIOfolliekriterium) Gilt fex)

~ 0 fur alle x

dann, wenn mit einer Konstanten k

,

I ,

Da

I,

~

E [a. b),

so existiert

0 gilt:

furalletELa.b).

f(x)dx::;:k

" fex) dx mit f monoton wächst, sieht nUln dies sofort ein.

Satz 4.13:

I

b-

Existiert

If(x)1 dr, so existiert auch

a

I

a

!

b-

b-

"

I

b-

f(x)dr

~

"

I/(x)1
[(x) dx, und es gilt:

"

f(x)dx genau

4.3 Uneigentliche Integrale

343

Beweis:

I

b-

1[(x)1 dx erftillt die

Cauchy~Bedingung,

"

d.h. zu jedem

I

I [(x)d~

€ >

0 gibt es ein c

I

h-

I

ftirallet.s E (c.b)giltE: > 11[(X)ldX:::

[a. b), so daß

E

. Damit erftillt auch

s.<

[(x)drdie

u

Cauchy-Bedingung, ist also konvergent. Die Ungleichung des Satzes folgl durch Grenzübergang aus

,

,

o

j f(x)dx " j If(x)ldx.

"

"

I

b-

Existiert

I

b-

1[(x)1 dx, so heißt

" unmittelbar

[(x) dx absolut kO/lI'ergellt. Das Monotoniekriteriulll ergibt

"

Satz 4.14:

I

b-

(a) (Majoralltellkriterillm) Ist 1[(x)1 ::: g(x) auf [a. b), und exisliert

I

g(x)dx, so

b-

ist

"

[(x)dx absolut konvergent, und es gilt h-

b-

jlf(X)ld' " j g(x)dx.

"

"

I

b-

(b) (MiIlOralltellkriterillm) Ist 0::: hex) ::: [(x) auf [a, b), und existiert

I

"

b-

nicht, so existiert auch

h(x)dr

[(x)dr nicht.

" Satz 4.15: (Grellzwerlkri/erillm) Es seien [(x) und g(x) posiliv auf [a, b), und es konvergiere

fix)

- - -+

g(x)

L

fUr x

-+

b-.

(4.135)

344

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

I

b-

(a) Im Falle L > 0 haben

I

b-

fex) dx und

11

g(x) dr gleiches Konvergenzverhalten.

11

I

b-

(b) Im Fallc L = 0 folgt aus der Konvcrgenz von

f,

"

b-

f(x)dx.

Beweis: (I) Es sei L > O. Aus (4.135) folgt, daß z.B. zu [;0 =

fex) L -[;0< - - < L+[;O g(x)

Es ist L - [;0 = L/2. L

L

+ [;0 = 3L

'2 g (x)

< fex) < Tg(x)

I

I

ein c E [a. b) existiert mit

3L/2. Somit gilt flir xE [co b).

Nach dem Majorantenkriterium haben 1)-

i

fUrallcc E Ic.b).

I

b-

also auch

g(x)dr die Konvergenz von

I

b-

fex) dx und

g(x) dx gleiches KOllvcrgcllzverhalten,

b-

f(x)dr und

"

g(x)d-r.

"

(U) Im Falle L = 0 wähle man zu EO = I ein CE [a. b) mit f(x)/g(x) < I fur alle x E [c, b),

I

b-

alsa fex) < g(x) auf [c, b), woraus wiederum folgt. daß die Konvergenz von

If

g(x)dr die von

"

h-

(x) dx nach sich zieht.

o

" Beispiel 4.25: Das Integral

I

00

o

e- I

/",-1

dt =: reD!)

(4.136)

4.3 Uncigcmlichc Intcgralc

345

konvergiert genau dann. wenn Ci > 0 ist Um dies einzusehen, wenden wir das Grenzwertkriterium auf die Teilintegrale I

/1

= !

!

00

e- I ,0-1

d!

und

12

=

0+

e-I

,0-1

d!

I I

an. Zu 11: Es strebt wenn

e- I /0-1//<:1-1

=

e- I --+

I für /

---?

O+. Da! /<:1-1 genau dann konvergiert,

o

Ci

> 0 ist (vgl. Beispiel 4.22), folgt die Konvergenz von 11 in genau diesem Fall. Zu '2: 00

Wegen e- I /<:1-1/,-2 =

e- t ,<:1+1

0 fLir /

---?

---?

00

und wegen der Konvergenz von! r- 2 d, folgt

o

die Konvergenz von 12 fur alle Ci E IR. Zusammengenommen erhält man die Behauptung. Auf das untersuchte Integral kommen wir in Abschn. 4.3.4, Beispiel 4.33. ausführlich zurück.

Wir erwähnen zum Schluß folgende naheliegende Schreibweise:

f

f f(x)dx~, f c

b-

f(x)dx+

c

b+

a

(4.137)

f(x)dx.

a

Dabei ist vonlUsgeselZI, daß jedes der links stehenden Integrale konvergiert. Konvergiert

,,~'S+ (7"f(X)df + j f(X)dx), I'

(8) 0),

b+"

so beschreibt man diesen Grenzwert durch (4.138)

C.H.! f(x)dx und nennt ihn CallclJyschen HauprIVat von

f

auf La, cl.

Existiert das Integral (4.137), so existiert natürlich auch der Cauchysche Hauptwert (4.138) (und beide Werte sind gleich). Das Umgekehrte gilt nicht allgemein! Zum Beispiel existiert der folgende Cauchysche Hauptwert I

-C.H.

f

~I

d.·

-:;:-=0.

346

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen 1

während

f

0-

1

-d< im Sinne von (4.137) nicht konvergiert, da die Teilintcgrale f"x - "d fd< -

-I

x

x

-)

nicht konvergieren.

0+

X

Übung 4.15*: Beweise; Ist f(x) 2: 0 auf la. 00) und dort monoton fallend, so folgt aus der Konvergenz von 00

f"

f(x) dr. daß lim f(x) = 0 gilt. '_00

Übung 4.16*: Untersuche. ob die folgenden Integrale konvergieren: 1

(b)

f "lxI"<='

-I

00

«)

f

0+

dx

eosh(llx)

1

(d)

f

Inx

.;; dr,

0+

Integral kriterium für Reihen

4.3.3

Das folgende Kriterium stellt einen engen Zusammenhang zwischen unendlichen Reihen und uneigentlichen Integralen her. Es kann auf beiderlei Weise verwendet werden: zum Konvergenznachweis ftlr Reihen als auch für Integrale. In diesem Abschnitt sei f stets eine Funktion, die auf jedem kompakten Intervalllm. t J c Im, 00) integrierbar ist. Satz 4.16: (/nregralkriferillll1 fiir Reilten) Ist f(x) auf lm. 00) positiv und monoton fallend (11I

ganzzahlig). so haben 00

und

/ fex) d'x

'" gleiches KOllvergenzverhaltell. Beweis: Esgiltf(k)::: f(x)::: f(k+ I)furjedesx E [k,k+ l]ulldjedegallzeZahlk ::: m. Daraus folgt durch Integration über lk. k + I]

f,

'+1

[(k) 2:

[(x)dx 2: [(k

+ I):

4.3 Uneigentliche Integrale

Summation über k von "

L

f(k)

~

k=m

f

111

347

bis Jl ergibt

,,+1

,,+1

L

~

f(x)dx

m

f(k) ,

k=m+1

woraus unter Beachtung der Montoniekriterien fLir Reihen und uneigentliche Integrale die Behauptung folgt. 0

Beispiel 4.26: Aus dem Integralkriterium folgt mit fex) = I Ix'" bzw. I I(x In'" x) 00

1

L k(lok)"

fLira> I

k=1

00

konvergieren. Denn aus der Existenz von

f,

f,

dx -

x·

~

1 - - folgl durch die Substitution x = In I, a-I

00

daß auch

_d_,_ exisliert (vgl. auch Beispiel 1.44, Abschn. 1.5.2.).

f

(In 1)'"

Unter den gleichen Voraussetzungen wie beim Tntegmlkriterium fLir Reihen gilt folgender interessanter Satz:

Satz 4.17: ISI

f auffm. 00) positiv und monoton fallend C"

:=

L" k=m

f{k) -

! "

fex) dx

für 11

-4

(m ganzzahlig), so konvergiert

00

m

gegen eine Zahl c mit 0::: c ::: f(III). Beweis: Für XE [k. k + IJ gilt 0::: f(k) - fex) ::: f{k) - f{k

o~

f(k) -

,+, f f(x)dx ~ f(k) ,

f(k

+ I).

+ I), nach Integration über [k. k + IJ also

348

4 Inlegraln:chnung ciner reellen Variablen

Summation über ganzzahlige k von

L

/I-I

0.:::

~

f(k)

k==m

f

111

bis 11

"

f(x)dt .::: f(lI/)

-

~

I

ergibt

f(Il)·

m

Addition von f(n) liefen 0.::: e" .::: f(III). Da c" monoton falll (denn C,,+1

f

11+1

f

(x) dx < 0), so konvergien c" gegen eine Zahl c E

~

C/I

= f(n

+ I) ~

ro. f (m) 1.

0

" Beispiel 4.27: Für !(x) = I/xundm= J folgt aus Satz4.17: Der Grenzwen

C:= lim

11_00

+ - + ...' + -) ( + -" I

2

3

11

(4.139)

In 11

~

existien. C heißt Eu/ersehe Komwme ll und hat den Zahlenwen

C =0,5772156649015329 .... Übung 4.17*: Sind dic folgcndcn Reihcn konvergcnt?

l::>2 e-k. 00

(a)

k==1

lnk

I: ,2 00

(b)

k==2

In k

(,) I: T· 00

.

k==2

Übung 4.18*: (a) Zeige. daß I (/,,:= I +-3

Hir 11 --+

00

I

J

+-, + 7-

I I + .. - - - -ln(2//+ I) 2/1 + 1 2

konvergiert.

(b) Knoble durch Vergleich mit der Eulerschen Konstanten C (s. Beispiel 4.27) heraus. daß (I" gegen (e + In 2)/2 strebt.

11 Leollh;trd Euler (1707 - (783). schweizerischer Malhem;tliker: C heißl ;tuch Eufer-Masclwro"isdU' KOlJsUlllle (Lo· renm Mascheroni (1750- 1800). italienischer Mathemaliker). von Sludenlen scher/..haft »Makkaroni·KonSlante« genannt.

4.3 Uneigentliche Integrale

4.3.4

349

Dic IntcgralfunktionclI Ei, Li, si, ci, das FchlcrintegraJ und die Gammafunktion

Die folgenden Funktionen sind dureh Integrale definiert. Sie kommen in der Praxis immer wieder vor und erweitern den Kreis der elementaren Funktionen. Ob man sie selbst zu den elementaren Funktionen zählen soll, iSI reine Geschmacksache.

Beispiel 4.28: Das Integral

,

Ei(x):=

f"

x
,dl.

(4.140)

-00

konvergiert. Denn es ist Ir el I ::: I für alle r < ro < O. 10 passend gewählt. Damit ist 1(/ 2 ~ x

I e' (tl für

1

.t

~;

< 10. Da !

I

-00

Für x > 0 wird die Funktion Ei durch den Cauchyschen Hauptwen definiert:

Ei(x):= CH.

f.,

e'

"

existiert. existiert nach dem Majorantenkriterium aUCh! -dl.

-dt =

lim

(-"') f f e' -dt +

e' -dr

16_0+11

-00

00

,

x> O.

-00

(4.141)

6

Die so erklärte Funktion Ei : N. \ lOI _ IR heißt EX{Jollenrialinregral. Ohne Beweis geben wir seine ReihendarsteIlung an. C ist hier (wie im ganzen Abschnitt) die Eiliersche KOllsl(lIIle: 00

rl:

Ei(x)=C+lnlxl+'""'-'L.J k . k!

rur

xt-O.

(4.142)

1:=1

Beispiel 4.29: Die Substitution e l =

Li(y):=

'· ,,, f

.f.


-,

nebst e X = y. führt das Integral Ei(x) in (4.140) über in

0< y < I.

(4.143)

0+

Für y > I wird wieder der Cauchysche Hauptwert herangezogen:

U(y)

,~ C. H.

f - ~]im f - + f - , Y

0+

ds In .\'

6_0+

dl In 1

dl In 1

('-")

+

IH

y> I.

(4.144)

350

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

Die Funktion Li heißt Imegra{(ogaritlllllils. Er erfreut sich folgender Reihendarste1Jung, die wir ohne Beweis angeben: 00 (Iny)k Li(y) = C + In Iln YI + ' " - - , L k.kl k=1

y > 0,

y

f::. I .

(4.145)

Li und Ei hängen folgendermaßen zusammen:

x f::.

Li(e X ) = Ei(x).

o.

(4.146)

Beispiel 4.30: IlIIegralsilllls si und IlI/egralcosiflllS ci sind definiert durch

"f

,

si(x): =

-~

2

+

sinl --dl.

x E IR,

1

o

ci(x):=C+lnx+

" cosx -

f

I

I

dl.

(4.147)

(4.148)

x>O.

o

Aus Beispiel 4.24 folgt si(x) ---+ 0 fur x ---;. 00 und wegen si(x) + si (-x) = gang si(x) ---+ -1r für x ---+ -00" Die Reihendarstellungen lauten: 1r

si(x) =

00

.

(U+l

-'2 + L(-I)~ (2k +"I)!(2k + k=O

der Grenzüber-

(4.149)

U

00

ci(x) = C + lnx

I) ,

-1r

+ L(~I)k (2;;(2k)1'

(4.150)

k=1

Beispiel 4.31: Man bezeichnet rp(x):=

Jrr f" e-/

2

dl.

x E IR.

(4.151)

o

als Fehferilllegraf. (Man ermittelt damit die Wahrscheinlichkeit zufalliger Abweichungen von einem Mille1wert, d.h. von »Fehlern«.) Analytische Integration ist hierbei nicht möglich. Man muß das Integral numerisch berechnen oder aus folgenden Reihendarstellungen ermitleln:

2

.(x)'~ fi

00

x2k+1

2::(-1)\'(2'

k=O

+ I)

(4.152)

4.3 Uneigentliche Integrale

2

=

,00

,fire

-x- '""

21.: 2t+1 X

L....(2k+I)!!'

12

351

(4.153)

1.:=0

Die erste Reihe (4.152) erhält man aus der Taylorreihe 00

~I.:

e-I~ = '""(_I)I.:.e...L.... k! 1.:=0

durch gliederweises Integrieren von 0 bis x. (Daß dies erlaubt ist, folgt aus Abschn. 5.1.2). Den Beweis der zweiten Reihe (4.153) übergehen wir aus Platzgründen. Für x -+ 00 erhalten wir folgenden Grenzwert

2! ' 00

lim iP(x) =

x_oo

r=

e- I dl = I . +

ylf

(4.154)

o

Die Existenz des Integrals folgt mit dem Majorantenkriterium aus e-I~ .::: e- I fur t > I. Daß der Grenzwert I ist, wird spliter in Abschnitt 7.1.7 gezeigt. Beispiel 4.32: Der Vollständigkeit wegen geben wir noch die Fresllelschenlmegrale Sex) und C(x) an (x E IR beliebig): (4.155)

(4.156)

Beispiel 4.33: Die Eulersche Gamma/unktion ist fLir x > 0 durch 00

r(x) := fe-I r f -

I

dt

(x > 0)

(4.157)

0+

definiert. Die Existenz dieses uneigentlichen Integrals wurde in Beispiel 4.25 bewiesen. Die entscheidende Eigenschaft der Gammafunktion ist, daß sie fLir ganze nichtnegative Werte x Fakultäten liefert. nämlich r(n

+ I) =

(4.158)

I/!

12 (21.:+1)!!:_1 )·5.

·(21.:+1)

352

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

rur alle Jl = 0, I ,2.3, .. , Man sagt, die Gammafunktion »interpoliert die Fakulttiten«, Um (4, 158) zu beweisen, leiten wir zuerst die FUJlklionalgleichullg der Gamma/unktion her: r(x

+ I) =

(4.159)

xr(x).

Sie ergibt sich durch Produkt integration:

f

00

r(x

+

I)

= C~ d! = [- e-r!-t]~ + x o+u'u

!

f

00

r e- rr-l d!

= 0 + x r(x),

0+

00

Beachtet man r(l)

=

dige Induktion r(x

+ I) =

e- I dt

o

= I = O!, so folgt mit der Funktionalgleichung durch vollstün-

II! (Der Leser fuhre dies zur Übung durch.)

•, y.. r (:t)

4

3 2

-,

,, , ,,,

-4-3

,,

2

-,,

,,.' ,,

2

3

4

,

,

-2

,,

in

-3 -4

-,

Fig. 4.15: Die Gummafunktion

Allgemein liefert die Funktionalgleichung, sukzessive angewandt: r(x

+Jl) =

x(x

+

I)(x

+ 2) ... (x + 11

-

I)r(x)

rur alle x > 0 und Jl E N. Löst man diese Gleichung nach rex) auf. so kann man sie auch zur Definition von rex) flir negative x benutzen: ISI x < 0 mit -11 < X < -Jl + I (Jl E N), so vereinbart man r(x)

rex

+ 11)

,~ ==='c-";;'-''-7::--,-c-" x(x+l)(x+2) ... (x+/1 I)'

(4.160)

4.4 Anwendung: Weehselstrornreehnung

353

Für ganzzahlige negative x ist r(x) nicht erklärt. Dort liegen Pole vor, wie man aus (4.160) abliest. Fig. 4.15 zeigt den Graphen der Gammafunktion. Die Funktionalgleichung ist rur alle x mit x t- 0, -I, -2, ... gültig. Bemerkung: Die Integralfunktionen dieses Abschnitts sind samt und sonders gut tabelliert und auf Computern programmiert. Sie stehen bei Anwendungen daher genauso bequem zur Verfügung wie eX • In x, sinx, arcsinx usw. Übung 4.19: Leite die Reihe für Ei(x) (x < 0) aus der Taylorreihe fUr el her. ebenso die Reihen fUr si(.r) und ci(x) aus den Taylorreihen von sin x und cos x. (Dabei darf gliederweise integriert werden. s, Abschn. 5.1.2).

4.4

Anwendung: Wechselstromrechnung

4.4.1

Mittelwerte in der Weehselstromtechnik

Effektivwerte \'on Spannung und Strom: Durch u(t) =

11 m cos(wt).

tE

IR.

(4.161 )

sei eine Wechselspannung in Abhängigkeit von der Zeit r beschrieben. j sei die zugehörige Frequenz, w = 2rrj die Kreisfrequenz und 11", > 0 die Maximalspannung. Der durch /t(t) erzeugte Wechselstrom i(t) in einer bestimmten Schaltung wird durch i(t) = im cos(wt

+ q;)

(4.162)

beschrieben. im > 0 ist die maximale Stromstärke und q; die Plwsenverschiebullg des Stromes gegenüber der Spannung. Der Ausschlag mancher Meßinstrumente ist proportional zu

f

T

U·-

~

T

1/2(t)dr

bzw.

1'-

o

2 (t)dt .!-fi T .

(4.163)

o

Dabei ist T = 21f /w die SchwillglllJgsdauer von Spannung und Strom. U heißt die effektive SpalJlllllJg zu 11 und I der effektive St/VIII zu i. (Im allgemeinen mathematischen Zusammenhang heißen U und I die quadratischeIl Mine/werte (oder Effektivwerte) von 11 und i.) Setzt man die expliziten Ausdrücke für u(t) und i(t) in (4.163) ein, so errechnet man U und I mit Hilfe der Formel

f ' cos~

1

x dx = 2'(x

. X cosx) + Sill

(s. Abschn. 4.2.2, (4.54». Man hat in (4.163) lediglich x = wt bzw. x = wt

+ rp zu substituieren.

354

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

Es folgt: (4.164) Wirkleistung: Das Produkt u(t)· ;(t) =

1/",

cos(wr)i lll cos(wt

+ rp)

(4.165)

wird die momelllalle Leistung genannt. Wir wollen die iiber eine Periode gemittelte Le;SlI/llg

f

T

T

-P = I

(4.166)

1/(1). i(t) dt

o berechnen. P heißt Wirkleistung. Zur Berechnung des Integrals schreiben wir zunächst u(t); (t) um, und zwar muß das Produkl cos(wt)cos(wt + rp) in eine Summe aus trigonometrischen Funktionen verwandelt werden, um anschließend integriert werden zu können. Das geschieht mit der Formel

x+y

x-v

(4.167)

2 cos - 2 - 00' -2-' = cos x + cos y (s. Abschn. 2.3.2, (2.73)). Aus dem Ansatz

x+v

2=wt+rp.

X-)'

- - ' = wt

2

folgt

x = 2wt +rp.

y = rp,

also 2cos(wt + rp) cos(wt) = cos(2wt + rp) + cosrp. Aus (4.165), (4.164) ergibt sich damit u(t)· ;(t) = U . I (cos(2wt + rp) + cosrp) ,

(4.168)

Somit folgt

Setzl man w = 2Jr IT ein und substituiert ~ = 2wt + rp. so erkennt man, daß das erste Integral Null wird. Es ergibt sieh daher die Wirkleis/IIllg zu P

=

UfCOSIp.

Der Faktor cos rp heißt Leistungs/aktor,

(4.169)

4.4 Anwendung: WeehselSlrornreehnung

355

Bemerkung: Für andere periodische Spannungs- und Stromverläufe, als in (4,161) und (4.162) angegeben, werden die Effektivwerte der Spannung oder des Stroms ebenso nach (4.163) berechnet wic auch dic Wirklcistung nach (4.166).

"m "

2""

u=Urn-~1

T

o

T 2

T

3T

2

Fig. 4.16: Stückweise gerader Spannungwerlauf einer Wechselspannung

a

-""2

T

, , ,

2

'T

, L-

Fig. 4.17: Rechteckiger Spannungsverlauf

Beispiel 4.34: Für die Spannung u(t) mit dem »Streckenverlauf« wie in Fig. 4.16 skizziert, errechnen wi( den Effektivwert U:

also

Übung 4,20: Berechne die effektive Spannung U zu dem in Fig. 4.17 angegebenen Spannungsverlauf fI (I). 4.4.2

Komplexe Funktionen einer reellen Variablen

Die inl
356

4 Integraln:chnung einer reellen Variablen

mit j bezeichnen. Es gilt somit

., 1 r=-· Die komplexen Zahlen werden damit in der Form

a+jb,

mit

a,bEIR

ge~hrieben.

Wir betrachten in diesem Abschnitt Funktionen der Form

Z = [(A),

A E I (Intervall),

wobei die Variable A reell ist und der Funktionswen [ : 1 -+ C

z komplex. Symbolisch also

(C = Menge der komplexen Zahlen)

Da [(A) komplex ist. hat [()..) die Gestalt [(A) = I/(A)

+ ju(A).

wobei II(A) der Realteil und U(A) der lmaginärteil von [(A) ist: U(A) = Re [()..) .

'(Äl

~

1m f(Äl.

und U sind reellwertige Funktionen auf I. Sind von [ eine Orrskurve in C.

11

1/

und v stetig, so nennt man den Wertebereich

4

..-+--.i'

,

7 B

2

o

Re z

Fig. 4.18: Onskurve

Fig. 4.18 zeigt die Ortskurve einer Funktion [: [0, 9J Beispiel 4.35: Eine Funktion der Form 2 = I/(A)

+ jVQ

(11

stetig)

-+

C.

9

4.4 Anwendung: WeehselSlrornreehnung

357

hat als Ortskurvc einc Parallele zur reellen Achsc, währcnd z = 110

+ jv(,l,.)

(u stetig)

als Ortskurve eine Parallele zur imaginären Achse hat. Eine kreisbogenförmige Ortskurve wird durch z = r ei'P().)

(tp: I ...... IR stetig, r > 0)

beschrieben, und ein Geradenstück durch Z

= ZO + 1J'(A)ZI

mit stetigem 1/1 : I ...... IR und konstanten Zn, Zl E C.

Definition 4.3: (Differelllimion lind Illfegratioll) Es sei durch f(A) = U(A) + jV(A) ci ne komplexwcrtige Funktion auf einem Intervall I gegeben.

(a) Sind

11

und u diffcrenzierbar, so schrcibt man

I/(A) := /I/(A) + jV'(A).

!'

ist die Ableitung von

usw.)

(b) Sind

1", Im 11

I.

(Man schreibt wic im Rccllcn, !,(A)

usw. werdcn analog gebildct.

und v auf [(/, b] intcgrierbar, so vereinbart man: b

b

b

! I(A)dA:= !1I(A)dA+j! v(A)dA.

"

"

"

Entsprechcnd für unbestimmte Integrale:

J

J(A) dA

,~

J

"(A) dA

+j

J

'(A)dL

Differentiation und Integration wcrden also cinzeln auf 11 und u angewandt.

358

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

Beispiel 4.36: Die Funktion f(t) := e-i wt soll differenziert und integriert werden:

(,)

d d!

_iWI -1:7

d )' . = -(cos(W! + J sm(wr) = dt = -wsin(wr) + jwcos(wt) = .

_iwi

=JWI:7

(b)

J e-i

WI

d! =

. + J,d- sm(wr)

cl - cos(wt) dt

dt

jw(cos(wr)

+ j sin(wr)

.

J cos(wt) d! + j J sin(wl) dl I

= - sin(wt) -

w I

= :JW

ei

WI

.

1. cos(wt) = w

(beachte

1

:-(cos(wt) JW

+ jsin(w»

I.

"7"

J

= -J),

Man erkennt: e-i WI wird formal genauso differenziert und integriert. wie man es im Reellen gewohnt ist. Allgemein gilt folgendes Permflnemprillzip: Satz 4.18: (a) Für jede li-mal differenzierbare Funktion Abkürzung n dk L=Lukd)..k

f :

I

--7

C (Intervall) gilt mit der

(akEC)

k=O

die Gleichung

R, Lf(>')

L R, f(>').

~

Im Lf()..) = L Im f()..)

(4.170)

Der »Operator L« darf also mit Re und Im vertauscht werden. (b) ist

f :I

--7

C integrierbar auf[a. bl und c eine reelle Konstante, so gilt

RecJ f()")d)..=cJ Ref()")d)" Ime

J[()..)

Es darf also auch

d).. =

cf Im [()..)

(4.171 )

d)..

cf mit Re und Im vertauscht werden.

Der einfache Beweis wird dem Leser überlassen.

4.4 Anwendung: WeehselSlrornreehnung

359

Übung 4.21: Differenziere 1(1..)2. wobei

Übung 4.22: Berechne

4.4.3

J

1 :I

1(1..)2 / '(1..). wobei

-+ C (Intervall) differenzierbar ist.

I:

I -+ IR stelig differenzierbar ist.

Komplexe WechseJstromrcchnung

Der Grundgedanke der komplexen Wechselslromrechnung ist folgender: Ist ein Wechselslrom oder eine Wechselspannung durch eine zeitabhängige reelle Funktion gegeben, so erweitert man sie durch Hinzufügen eines geeignelen lmaginärteiles zu einer komplexwertigen Funklion. Mit dieser läßt sich oft einfacher und übersichtlicher rechnen. Zum Schluß der Rechnung geht man wieder auf die Realteile zurück. die dann das gesuchte Ergebnis darstellen. Zur Anwendung dieses Prinzips gehen wir von einem »Cosinus~förmigcn« Wechselstrom i(t) aus: i(t) =i",cos(wt +tpi).

w > O. im> O. tp; E IR. tE IR.

Mit dem Effektivwert I = i m ./2 des Wechselstroms (s. (4.164), Abschn. 4.4.1) erhalten wir

Setzt man

L := I ci""i .

(4.172)

so folgt (4.173)

Entsprechend erhält man für eine »Cosinus-förmige« Wechselspannung: u(t) =

11",

cos(wt

+ tpu) = .Ji Re [ U ciM ]

(4.174)

mit (4.175)

wobei U = 11 m1./2 isl. Die Größen L und U heißen komplexe Effektivwerte oder kurz Zeiger von Strom und Spannung. Die veränderlichen Größen L ci M und U ci wt werden Drehzeiger oder Zeitzeiger genannt. Denkt man sich niimlich diese Größen durch Pfeile veranschaulicht, die von 0 bis zu den Punklen Lei wt bzw. UeiW1 in der komplexen Ebene gezogen werden (s. Fig. 4.19). so drehen sich diese Pfeile mit der Winkelgeschwindigkeit w gegen den Uhrl.eigersinn um O. Dabei ist t die Zeit. Zur

360

4 Integraln:chnung einer reellen Variablen

Zeit r = 0 ergeben sich dabei die komplexen Effektivwerte L und U. Der Winkel zwischen Lei"" und U ei"" hat stets den gleichen Wert, nämlich !Pi - !P" 14. Man nennt I{J = !Pi - !P" die Phasenverschiebullg zwischen Strom und Spannung. Die Winkelmaße l{Ji und I{J/t selbst heißen die Phasen von Strom und Spannung. Eine der Pha~n !Pi oder !P" wird als 8ezllgsphase willkürlich festgelegt, und zwar meistcns gleich Null gcselzt (sogenannter NlIflphasenwinkel). Das kann durch geeignete Wahl des Zeitnullpunktes stets erreicht werden. In Fig. 4.19 wurde !P" = 0 gesetzt.

Phasenverschiebungen bei Kondensator, Spule, \Viderstand Legt man an einem Ohmschell Widers/(/1U1 vom Betrag R eine Wechselspannung 1I(r) an (siehe Fig. 4.20a), so fließt durch ihn ein Wechselstrom ;(1). Es gill dabei das Ohmsche Geselz 1/(1) = Ri (r). In die komplexe Schreibweise übertragen lautet es:

u ci"" =

RL ei w/

(4.176)

R.

0' Fig. 4.19: Drehzeiger und Effektivwene beim Wechselstrom

o~_~C'-1I1I

o

Fig. 4.20: Ohmscher Widerstand R. Induktivität L und Kapazilät C.

Bei einer Spule mit Illduklivirär L, unter Vernachlässigung ihres Ohlllsehen Widerstandes (Fig. 4.20b), stehen der durchfließende Strom i(l) und die angelegte Spannung 11(1) in folgender Beziehung: 11

d>

(4.>77)

= L-. dl

Dies fllhrt in komplexer Schreibweise zu U

-

.

d

.

.

eI"" = L-dl I - el WI = LiJ'wel«ll

(4. >78)

Bei einem Kondensator mit Kapazität C (Fig. 4.2Oc) gehorchen Strom und Spannung dagegen 14 Ein 1Ieglllil'er bzw'I'(J;'ilj,'er Wcrt von 'fii -'fi" gibl an. ob man dun:h. Drchung ",i/ bzw. "'lIgegen dcm Uhocigcrsinn (um l'fii -'filiI) von i/I.LI nach !UI!LI gclang\.

4.4 Anwendung: WeehselSlrornreehnung

361

der Gleichung du i=C-.

(4.179)

d,

folglich in komplexer Schreibweise .

/eJ w /

-

d . = CU-eJWI = CUiwel,w /. -d/

(4.180)

=.J

In den hergeleiteten Gleichungen (4.176), (4.178) und (4.180) kann man stets dcn Faktor herauskürzen. Damit folgen die Beziehungen: OhmscherWiderstand: U = R{.

eiWl

(4.181) (4.182)

Spule: U =jwL{.

-.L .

Kondensator: U = -J' wC

(4.183)

Wählt man als Null- und Bezugsphase die Phase des Stroms, d.h. ipi = 0, und schrcibt man =: 1/), so ist am Ohmschen Widerstand I/) = 0 (gleiche Phasenlage), an der Spule 'P = lf /2 (der Strom läuft der Spannung um 90° nach) und am Kondensator'P = -Tf /2 (der Strom eilt der Spannung um 900 voraus). ipl<

Berechnung von Wechselströmen und

·spannung~n

bei elektrischen Schaltungen

Wir denken uns eine elektrische Schaltung mit zwei Klemmen gegeben, eine fUr den Eingang und eine rur den Ausgang des Stroms. (In Fig. 4.21 sind drei Beispiele daftir gegeben.) Sind U bzw. L die Zeiger der Spannung bzw. des Stroms bei unserer Schaltung, so definiert man den komplexe" Scheinwider.~/(Illddurch (4.184) Diese Definition entspricht dem Ohmschen Gesetz. Es gelten daher für alle Rechnungen mit komplexen Scheinwiderständen das Ohmsche Gesetz und die Kirchhoffschen Regeln rur die Summe der Ströme in Knotenpunkten und dic Summe der Spannungen bei Reihcnschaltungen. Auf diese Weise können Wechselstromkrcise nach den gleichen Regeln wie Glcichstromkreise berechnet werden. Zur Ermittlung von Wechsclströmen und Spannungen genügt es dabei, mit den zeiTUl/abhü"gigen feststehenden Zeigern zu rechnen, anstelle der zeitabhängigen variablen Werte i(l) = im cos(wt + <'oi). 1I(t) = 11", cos(W/ +1/),,). Darin liegt ein groBer Vorteil hinsichtlich Übersichtlichkeit und Einfachheit. Schreibt man den komplexen Scheinwiderstand ~ in der Gestalt

Z.-=R+jX,

(R,XEIR),

so heißt R = Re ~ der Wirkwiderstand und X = Im ~ der Blilll/wider.l"land. Bei den hier betrachteten »passiven« Bauelementen ist stets Re ~ = R ::: O. (»Passive« Bauelemente enthalten keine

362

4 Integraln:chnung einer reellen Variablen

.)

L

C

o-{~J--J[IIllD'--H-
b)

U

~

C

C ,)

Fig. 4.21: Verschiedene Wechselstrornschaltungen Stromquellen.) Im Falle Im~ > 0 heißt der Widerstand J.. induktiv, im Falle [mJ.. < 0 ktl{Jazitiv. Der reziproke Wert von J.. heißt der komplexe Scheinleitwert

.r:= z:' )

Für ihn gi I1 also

1..=

YU.

Für Ohmschen Widerstand R, Spule mit Induktivität L und Kondensator mit Kapazität aus (4. 181) bis (4.183) somit

e folgt

komplexer Scheinwiderstand Scheinleitwert Ohmscher Widerstand Spule Kondensator

R jwL j wC

J

-

R J

wL jwC

Mit den bereit gestellten Mitteln lassen sich Wechsdsträme und -spannungen auch komplizierter Schaltungen relativ leicht berechnen. Dies wird an folgenden Beispielen klar. Beispiel 4.37: Die hintereinander geschalteten Scheinwiderstände in Fig. 4.21 a addieren sich zum gesamten Scheinwiderstand der Schaltung: J..= R+j(WL-

wie)'

4.4 Anwendung: Wcehselslrornrcchnung

363

Ist beispielsweise der Spannungszeiger U der Schaltung gegeben, so erhält man den Stromzeiger ausL=QJZ· Mit den Zahlenwerten R = 5.5 k.Q, L = 480 mH, C = 2 tlF, w = 2500s- 1 und U = U = 20V folgt

25~6'2)]

Z= [5500+ j (2500.0,48 -

20 e -j-O.1799 A =(352 _J =. 5590 .

~

.Q = l5500+ jIOOO].Q == 5590ei'O.1799 .Q

·064) A J. m.

Die Phase /{Ji = -0.1799 .:0:: -10,31" bedeutet. daß der Strom um 10,31" der Spannung nachläuft. Die Spannungen an den einzelnen Bauelementen errechnet man so: UR = NL == (19.360 - j. 3.520)V. U L =jwL

'L== (0,768+ j .4.224)V,

Y..e=- ~C

·L==(-0,128-j·0.704)V.

Zur Kontrolle rechnet man UR + U L +

Y..e =

20V = U.

Beispiel 4.38: In der Schaltung der Fig. 4.21b ist der Scheinwiderstand der unteren Leitung gleich R + jwL I

und derjenige der oberen Leitung -.- . Die Scheinleitwerte dieser beiden parallelen Leitungen JWC

addieren sich (nach Kirchhoff) zum gesamten Scheinleitwert y, also

y=

-

I

R

+ jwL

.

+JwC.

Bei vorgegebenem Spannungszeiger U erhält man die Stromzeiger aus L = UY. Beispiel 4.39: Für die Schaltung in Fig. 4.21c ist der Scheinleitwert J::o des Teiles ohne die rechte Spule gleich

Damit ist der gesamte Scheinwiderstand der Schaltung gleich

Mit gegebenem U folgt daraus L = U /Z.

364

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

Übung 4.23: [m Beispiel 4.38 (Fig. 4.21 b) seien die Zahlenwerte C = 3,~F. R = 6 k J? L = 500 mH und !L = IOV gegeben. Berechne daraus 1- femerdie Stromzciger LI zur oberen Leitung (mit C) und L2 wr unleren Leitung (mit Rund L), Ermilt[e schließlich die Einzelspannungell!l..c.!LR und !Lv

Übung 4.24: [n Beispiel 4.39 (Fig. 4.2It) seien RI = IOkJ? R2 = 2kQ. L = 3OOmH. C = !L = 15 V. Ermittle 1::0. Z. und L

4.4.4

Ortskurven bei

2.5,~F.

Wechselstromschaltung~n

Oft kommen variable Widerstände (Stellwiderstände), veränderliche Induktivitälen (Variometer) oder veränderliche Kapazitäten (Drehkondensatoren) in elektrischen Schaltungen vor. Sie treten in den Rechnungen als Parameter auf, von denen beispielsweise eine Spannung, eine Stromstärke oder andere Größen abhängen. Auch die Kreisfrequenz w taucht häufig als Parameter auf. Wir betrachten im Folgenden elektrische Größen, die von eillem Parameter abhängen. Mathematisch fUhrt dies auf komplexwertige Funktionen einer reellen Variablen. Den Wertebereich einer solchen Funktion nennt man eine »OrlSkllrre«. Beispiel 4.40: Für die einfache Schaltung in Fig. 4.22a gilt offenbar U(w) = 10(R

+ jwL).

Dabei seien R = 20g, L = 0.5 Hund 10 = 2,6A. Die Spannung U(w) hängt von der variablen Kreisfrequenz w ab. Wir haben es hier also mit einer komplexwertigen Funktion einer reellen Variablen zu tun. wie sie in Abschn. 4.4.2 betrachtet wurde.

'm

100

,-,

120 V

i '"

80

"

.)

b)

4'

50 !:!(III)

R. 80

V

Fig. 4.22: Ortskurve !L(w) (Gerade)

Die Ortskurveder Funklion U(w) (ihr Wenebereich) ist fLirden Parameterw E [0 S-1 .IOO~·-ll

4.4 Anwendung: Weehselstrornreehnung

365

in Fig. 4.22b skizziert. Es handelt sich dabei um eine Gerade durch füR. die pamltel zur imaginären Achse liegt und bezüglich w skaliert ist. Ortskurven dieser Art sind in der Wechselstromtechnik nützliche Hilfsmittel, um Schaltungen handhaben zu können. Dabei kann es sich um Funktionen der Form U(R). U(C). Z.
und andere handeln. Sehr häufig sind die Ortskurven Geraden oder Kreisbögen. Um erkennen zu können, ob eine Gemde oder ein Kreisbogen vorliegt, beweisen wir die folgenden Sätze: Satz 4.19: Durch die Funktion w = f('A) =ZI +'AZ2

('A E IR.ZI.Z2 EC.Z2

=1=0)

wird eine Gerade in der komplexen Ebene beschrieben. Mit + jb2, w = x + jy lautet die zugehörige Geradengleichung

Zl

= (/1

+ jbh

Z2 =

(/2

Beweis: Die Gleichung

=

IV

ZI

+ 'Az2

liefert, in Komponenten zerlegt:

.r =(/1 +'A(/2.

°

Multipliziert man die erste Gleichung mit b2, die zweite mit 02, und subtrahiert die zweite von der ersten Gleichung, so erhält man (4.185). Dies ist daher eine Geradengleichung, da Z2 =1= ist, 0 also 02 und b2 nicht beide Null sind. Satz 4.20: Durch

w = f('A)

=

Zl Z3

+ 'AZ2 + AZ4

(J.. E IR. ZI E

q

(4.186)

mit ZlZ4 =1= Z2Z3 wird genau dann eine Kreislinie beschrieben. wenn folgendes gilt: Z4 =1= 0

und

Z3/Z4

nicht reell.

(4.187)

Der Kreis hat den Mittelpullkt

"

Z",=-+Z6

"

mit

und den Radius p = IZ51.

(4.188)

366

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

JCA) eine Gerade. Sie verläuft durch folgende

ISl (4.187) verletzt, so beschreibt Punkte:

im Falle Z4 = 0

durch

ZI/23, (ZI

im Falle Z3 = 0

durch

Z2/Z4,

im Falle Z3

=1=

0,

Z4 =1=

0,

Z3/Z4

(ZI

E IR

+ (2)/23, + Z2)/Z4, durch

(4.189)

zl!z3, Z2/Z4.

Beweis: (I) Wir betrachten zunächst den Spczialfall ZI = I, Z2 = 0, also

Die Voraussetzung Z3/Z4 tf. IR besagt. daß der Nenner Z3 Z

+ AZ4 keine Nullstetle hat.

Der Nenner Z = Z3 + .l..Z4 (.l.. E IR) beschreibt also eine Gerade, die nicht durch 0 verläuft. Mit = x + jy. Z3 = {/3 + jb3, Z4 = (/4 + jb 4 gehorcht die Gemde nach Satz 4.19 der Gleichung (4.190)

Dabei ist a3b4 - a4b3 I

Aus w = - = Z

2

=x

.

+ JY

=1=

0, sonst verläuft die Gerade durch O.

I

+ A24

folgt mit Z = x

I

I

23

= ; = -,,-+-j-v =

folglich

x =

') u-

+ jy und w = 11 + jv:

11

112

+ v2

V

- J 112 + v2 '

,

" + v-')'

Y=- 2 . . u +v 2

Wir setzen dies in die Geradengleichung (4.190) ein und erhalten mit der AbkürLung

die Gleichung d.h. also ,

11 _ (

~)- +

2D

2

b4 = 2D

. {/4

+ J 2D

(4.191)

4D2

Dies ist eine Kreisgleichung für ZM

,

(v _~)2 = {/4 + b4 . 2D 11.

v, und zwar mit dem Mille/punkt

und dem Radius

I'

= IZMI.

4.4 Anwendung: WeehselSlrornreehnung

367

Den Mitte[punkt können wir auch so ausdrückcn: ,

~M

·a _ jZ4 _ jZ4 20 ( 4 + J 4) - 20 - 2Im(Z3Z4)

__'_ b

-

(4.192)

denn es ist 0 = a3b4 - C14b3 = Im(Z3Z4). (11) Es seien nun Zl. Z2, Z3, Z4 beliebige reel[e Zahlen mil ZIZ4 verwandelt feA):

f(J..)

= ZI + AZ2 = Z2 + ZIZ4 Z3

+ J..Z4

Z4

Z2Z3, Z4

i= O. Z3/Z4 lt IR. Man

I

Z2Z3 .

Z4

i=

Z3

+ AZ4

Hierbei beschreibt dcr letzte Ausdruck [/(Z3 +).Z4) eine Kreislinie, also nach Mu[tiplikaliolll11it ZIZ4-Z20

=:

Z6

" auch. Der Radius ist mit (4. [92): ebenfalls. und nach Addition von'::":' Z4

also p = IZ51 (s. (4. [88». Entsprechend folgt ftir den Mitte[punkt

7'

ZIZ4-Z2Z3

Z4

Z4

.: . :. +

ZM

Z2

= -

Z4

+ Z6ZM

Z2

= -

Z4

+ ZS·

(1II) Die Fälle Z4 = 0, Z3 = 0 oder Z3/Z4 E IR ergeben Geraden durch die angegebenen Punkte,

0

wie sich der Leser selbst überlegen möge.

C

C

Im<

R,

0

30

p

20 40

.)

b)

10

z.

10 20

~

30

70 50 40

ZO

60

Re~

Hg. 4.23: Onskurve ZCC) einer SchallUng mil Drehkondensator

Beispiel 4.41: In der Schailung in Fig. 4.23a kommt ein Drehkondensator vor. Es sei gegeben: L = O. I H, RI = 50.Q. R2 = 40.Q und die Frequenz f = 50 Hz, d.h. w = 2rrf == 3 [4.16 S-I . Gesucht is(

368

4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen

die Widerstandskurvc der Funktion Z.(C). Nach dcn Kirchhoffschcn Regcln ist

K( C)

~ -'1----'----.---

R]

+ jwL + R, __J_ -

RI-w2LC R2+jw(L+CR I R2) (I - w 2CL) + jwC(RI + R2)

wC

Daraus folgt

+ CZ2 Z3+CZ 4

Z(C) = ZI

-

mit

+ jwL. -w2LR2 + jwRI R2.

<':1

= RI

<':2

=

Z3 = I, Z4

= _w 2 L

(4.193)

+ jw(R 1 + Rü.

Es gilt also ZIZ4 cF Z2Z3, Z4 cF 0 und Z3/Z4 1- IR. Folglich gilt nach Satz 4.20: Durchläuft C allc reellen Zahlen. so durchläuft Z (e) ci ne Kreislinie in dcr komplcxcn Ebene (dem Kreispunkt Z2/Z4 wird dabei formal C = 00 zugeordnet). Nach Satz 4.20, Formcln (4.188) errechnet man Mittclpunkt ZM und Radius p der Kreislinie und gelangt so zur Ortskurvc in Fig.4.23b: ZM==41.59+jI3.96.

p == 19.37.

Die Skalicrung wird so vorgcnommen, daß man fUr verschiedene C-Werte die Punkte Z.(C) = + CZ2)/(Z3 + CZ4) ausrechnet und daran die zugehörigen C-Werle einträgt.

(Z]

Fig. 4.24: Schwingkreis

Fig. 4.25: Schahung mit $lel[widerstand

Übung 4.25: Skizziere die Ortskurve von Z(w) für den Schwingkreis in Fig, 4.24, Dabei ist R = 250il. L =50mH unde =5J1F. Übung 4.26: [n Fig. 4.25 sei R I = 250 il. L = 25 mH. L] = lOOmH und w = 314 s-l. $kil.ziere die Ortskurvc des Scheinwiderstandes Z.(R) und die des Scheinleitwertes [CR).

5

Folgen und Reihen von Funktionen

Folgen und Reihen von Funktionen spielen in der Analysis und ihren Anwendungen eine bedeutende Rolle. Wir behandeln hier. nach einem eillleitenden Abschnitt, POIel/Zreihell und FOI/rierreillen. Potenzreihen, deren Partialsummcn Polynome sind, dienen hauptsächlich dazu, komplizierte Funktionen anzunähern und sie damit berechenbar zu machen. Fourierreihen dagegen liefern periodische Funktionen und regieren auf diese Weise Wcllen- und Schwingungsvorgänge in Naturwissenschaft und Technik.

5.J

Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen und -reihen

5.1.1

Gleichmäßige und punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen

Funktionenfolgen werden analog zu Zahlenfolgen definiert: Man denke sich unendlich viele Funktionen

. 1", ..

(5.1)

gegeben. die alle den gleichen Definitionsbereich 0 besitzen. Jeder natürlichen Zahl" ist dabei genau eine Funktion I" zugeordnet. Wir nennen (5.1) eine FlIllktionelllolge auf D. Sie wird auch kürLer durch (f"),,EN

oder

(1,,)

beschrieben. Die Zahl n in I" heißt, wie bei Zahlenfolgen, der Index von können auch in Formen wie

I".

Funktionenfolgcn

10. I,. h. h. h. 14. 16. I-I. 1-2. 1-3. auftretcn, in denen andere Indexfolgen als 1,2,3, ... vorkommen. Dies raubt uns aber nicht den Nachtschlaf, denn hierbei ist stets klar, welche Funktion die erste, die zweite, die dritte ... der Folge ist, so daß mittelbar jedem IJ E N wieder genau eine Funktion dcr Folge entspricht. Wenn im Folgcnden von einer »Funktionen folge« die Rede ist, so meinen wir dabei ree/lwertige Flinktiullen einer recllcn Variablen. (Gelegemlich kommen auch komplexwenige Funktionenfolgen vor, was dann aber ausdrücklich gesagt wird.) Soweit, so gut! Wie bei Zahlenfolgen inleressien uns bei Funktionenfolgen hauptsächlich das Konvergenzverhalten.

K. Burg et al., Höhere Mathematik für Ingenieure, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9929-3_5, © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

370

5 Folgen und Reihen von Funktionen

Definition 5.1: Man nennt eine Funktionenfolge ([,,) auf D punktweise kOlwergelll. wenn für jedes XE D die bhlenfolge /1 (X). hex), h(x), ... konvergiert. Die Grellifllnklioll 1 ist dabei durch

lim [,,(x) = I(x)

'_00

Hir jedes

xE D

gegeben. Dieser Konvergenzbegriff, so natürlich er ist, erweist sich fur die Analysis als zu schwach. Zum Beispiel strebt die Folge der Funktionen !,,(x) =

,

.,.

11

+x·n

,, I I

= 1.2.3.....

punktweise gegen

I(x)~

Hir lxi< I. Hirlxl = I. Hir lxi> I.

'/2,

0,

wie man unmittelbar einsieht. Obwohl alle Funktionen I" stetig sind, ist die Grenzfunktion 1 unstetig. Das ist unangenehm! Man sucht daher nach einem KOllvergellzbegriff für Funktiollenfo[gen, der diesen Mangel nicht aufweist. Folgen stetiger Funktionen sollen im Konvergenzfall auch stetige Grenzfunktionen haben. Der Konvergenzbegriff. der dies leistet, ist der der »gleichmäßigen Konvergenz«. Für seine Definition verwenden wir die SlIpremlllll.I"IIOrm von Funktionen. Definition 5.2: Die SIIprelllllmSl10rm 11/1100 einer beschränkten Funktion von 1[(x)1 auf D. also

1111100

,~

1 auf D

sur II(x)l,

ist das Supremum (5,2)

XED

Sind 1 und g beide beschränkte Funktionen auf D, so nennt man

111 - 81100 ~ sur

",0

II(x) - g(x)1

den Abstand beider Funktionen voneinander (s. Fig. 5.1), Offensichtlich gelten die Regeln

111+ glloo

~

1111100 + 1181100'

(5.3)

Das Zeichen 00 an der Supremul1lsnorm dienl zur Unlersdlcidung von anderen FunktionsnomlCn. auf die: wir aber niehl eingehen.

5.1 G1eichmaßigc Konvcrgenz von Funktioncnfolgen und -reihen

371

• 9

•

_ _.1-

•

\ ; _ , _..

o Fig. 5.1: Darstcllung von 11/1100 und 1II -

glloo

y

• Fig. 5.2: E-Schlauch um

IIAflloo = IA11I11100.

I

fur alle A. E IR.

(5.4)

1If1100 ~ 0 <==> I(x) = o. 11181100 51111100 ·llgIIoo·

(5.5) (5.6)

»Gleichmäßige Konvergenz« einer Folge (f,,) gegen eine Grenzfunklion 1 bedeutet nun im Wesentlichen, daß die Abstände 11ft! - 11100 zwischen 1" und 1 gegen Null streben. Genauer: Definition 5.3: Eine Funktionenfolge ([,,) auf 0 kOIll'ergierr genau dann gleichmäßig gegen eine Gremjimklioll 1 auf 0, wenn von einem Index 111 an alle Funklionen f" - 1 beschränkt sind und

lim II/', - flloo = 0

(5.7)

"_00 11 ?:"1

erfullen. Wir schreiben in diesem Falle kurz

f = 11_00 lim ft!

oder

f"

--7

1

Hir

11 --+ 00.

(5.8)

372

5 Folgen und Reihen von Funktionen

(Die verwendete Supremumsnorm 11.1100 ist dabei wie in (5.2) erklärt.) Man sieht übrigens unmittelbar, daß jede gleichmäßig konvergente Folge auch punktweise konvergiert. Veranschaulichung: (5.7) bedeutet bekanntlich ausfUhrlich: Zu jedem e > 0 gibt es einen Indcx IIO(~ /ll), so daß für alle Indizes /l ~ 110 gilt

111" - flloo ::: s.

(5.9)

Der Abstand zwischen In und I bleibt also kleiner als s rur alle 11 ~ 110- Dieser Sachverhalt ist in Fig. 5.2 skizziert: Um den Graphen von I ist ein sogenannter s-Schlauch (schraffiert) gezeichnet. Darunter versteht man die Fläche zwischen den Graphen von I + s und I - s. Der Graph von I verläuft in der Mittc des e-Schlauches. Gleichmäßige Konvcrgenz von (1,,) gegen I bedeutct nun, daß es zu jedem e-Schlauch um f einen Index "0 gibt, so daß die Graphen aller f" mit Indizes 11 ~ "0 ganz in dem ("-Schlauch liegen. Wir merken ferner an, daß (5.9) ausflihrlieh bedeutet: sup If,,(x) - f(x)1 ::: s.

HD

oder, was dasselbe besagl:

11" (x)

- l(x)l::: s

für alle x

E

0

(5.10)

Das heißt: Folgerung 5.1: Eine Funktionenfolge (f,,) auf 0 konvergiert genau dann gleichmäßig gegen f auf 0, wenn folgendes gilt: Zu jedem s > 0 gibt es einen Index "0, so daß fur alle Indizes 11 ~ 1/0 und alle x E 0 gilt I/.,(x) - f(x)1 ~,.

Bemerkung: Zunächst genügt es, sich die leichter eingängige Definition 5.3 zu merken und anhand dcr Fig. 5.2 (s·Schlauch) klar zu machcn. Die Formulicrung in Folgerung 5.1 hat vorwiegend beweistcchnische Bedeutung. Ocr Kern bei der Formulierung der gleichmäßigen Konvergenz in Folgerung 5.1 besteht darin. daß "0 nur 1'0" s (und f) abhällgt. nicht aber von x. Das heißt die Ungleichung If,,(x) - f(x)1 < s gillfiiralle x, wenn 11 2: 110 ist.

5alz5,1: (Cauchysches KO/1\'ergellzkrireriulll für gleichmäßige KO/lI'ergenz) Einc Funktionenfolge (f,,) auf 0 ist genau dann gleichmäßig konvergent, wenn folgendes gi 11: Zu jedem s > 0 gibt es einen Index 110, so daß ftlr alle 11. m 2: 110 gilt IIf"~f,,,lIoo:::s.

(5.11)

5.1 G1eichmaßigc Konvcrgenz von Funktionenfolgen und -reihen

373

Beweis: 2(1) Es konvergiere (In) gleichmäßig gegen I auf D. e > 0 sei beliebig gewählt. Zu e/2 gibt es dann einen Index 110 mit 11[" ~ /1100 .:s e/2 flir 11 2: /10. Daraus folgt flir alle lI.m 2: 110:

11[" - [',,1100

=

111" - I + I

~

e

e

[,,,1I00.:s 111" - /11 + lIf ~ I",lIoo.:s"2 +"2

=

s.

(11) Wir setzen nun umgekehrt voraus, daß (5.11) erfüllt ist. Dann gilt für beliebiges x E 0: (f,,(x» erfüllt die Bedingung des Cauchy-Kriteriurns für Zahlenfolgen, ist also konvergent. Der Grenzwert sei mit I(x) bezeichnet. Auf diese Weise ist I : 0 _ IR definiert. Zu beliebigem t > 0 wählen wir nach (5.11) nun ein "0. so daß 111" - f,,, 1100 .:s t ftir alle 11. m 2: "0 gilt. Damit folgt flir beliebiges, aber festes x E 0:

I/',(x) - f(x)1 S If,,(x) - /,,,(x)1

.:s

e

+ I/',,(x) + I[,,,(x) -

f(x)1

(5.12)

I(x)l,

falls 11, 111 2: 1/0. Der Summand If,,,(x) - I(x)1 strebt für III _ 00 gegen O. also gilt 1111 (x) I(x)1 .:s s fLir alle 11 2: 110 und alle XE D. Das heißt: (In) konvergiert gleichmäßig gegen I. 0

Übung 5.1*: Welche Funklionenfolgc konvergiert gleichmäßig?

11+1 a) !,,(.t) = - - x c) !n(.t)

5.1.2

= x"

"

= x"

auf [0.11.

b) !,,(x)

auf [0. 11.

dl !,,(x) = -,--,

aUf[O.!]. 1

+ IIX

aufIR:.

Vertauschung von Grenzprozessen

Die folgenden Sätze bilden die Grundlage fLir das Arbeiten mit gleichmäßiger Konvergenz. Sie sagen im Wesentlichen aus, daß bei gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen (bzw. ihren Ableitungsfolgen) sich Stetigkeit. Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit auf die Grenzfunktionen übenragen. Ohne dies wäre mit konvergenten Funktionenfolgen kaum zu arbeiten. (Die Beweise können beim ersten Lesen überschlagen werden.) Satz 5.2: Jede gleichmäßig konvergente Folge stetiger Funktionen hat eine stetige Grenzfunktion. Beweis: (f,,) konvergiere gleichmäßig auf D c IR gegen I. Die Differenz II(x) - I(xo)1 (x, Xo E D) ist abzuschätzen. Es gilt: If(x) - f(xo)1 S If(x) - /,,(x)1 2 Kann zunächst überschlagen werden

+ I/',(x) -

f,,(xo)l

+ If,,(xo) -

f(xo)1

(5.13)

374

5 Folgen und Reihen von Funktionen

rur x, Xo E D, Es sei 8 > 0 beliebig. Jeden der drei Summanden rechts wollen wir »unter 8/3 drucken« . Dann werden sie zusammen< 8. Da (In) gleichmäßig gegen J strebt, gibt es ein [" milIJ(x) - J,,(x)1 < 8/3 fur alle XE D. Da f" stetig ist, existiert zu Xo ein 0 > 0 mit

,

1[" (x) - [,,(xo)1 < 3"

fur alle x E D mit Ix

~ .1'01.:::

o.

Zusammen folgt aus (5.13) somit

If(x) - J(xo)1 < also ist

f

, , ,

3" + 3" + 3"

=

8,

falls Ix - xol .::: 0,

0

stetig.

Bemerkung: Der Satz läßt sich auch so ausdrucken: Für jede gleichmäßig konvergente Folge ([,,) stetiger Funktionen gilt auf D mit .1'0 = tim in D:

'_00 x"

lim

"_00

Jn ( k_oo lim xk)

= ]im (lim

k_oo "_00

Jn(Xd) .

(5.14)

Es liegl also die Vertauschung zweier Grenzprozesse vor. Satz 5.3: Es sei (I,,) eine Folge differenzierbarer Funktionen auf La, bl, deren Ableitllllgsfolge (I,;) gleichmäßig kOl1l'ergien. Ferner konvergiere ([" (xo» ftir wenigstens ein .\'"0 E [a, bl. Damit folgt: (a) ([,,) konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion J auf La. bl und (b) (I,:) konvergiert gleichmäßig gegen ['.

Bemerkung: Da unter den Voraussetzungen des Satzes nichls anderes eintreten kann, als daß beide Folgen (I,,) und (I,:) gleichmäßig konvergieren, kann man kürl.er so formulieren, ohne an Allgemeinheit zu verlieren: Sind (I,,) und (I,;) auf La, bl gleichmäßig konvergent, so folgt mit !im [" = fauch

t,; = f'· "-00

"_00

lim

Die letzte Gleichung läßt sich auch so schreiben: . d d . IHn -[,,(x) = 11m [,,(x). dr dx 11_00

"_00

(5.15)

d Die Aussage des Satzes 5.3 bedeutel daher formal, daß man lim und - vertauschen darf. "_00 dx

5.1 G1eichmaßige Konvergenz von Funktionenfolgen und -reihen

375

Beweis: Des Satzes 5.3: Zu (a): Auf die Funktion Um ~ f,,) wenden wir den Miltelwertsatz der Differentialgleichung an - bezüglich zweier beliebiger Punkte x. ~ E [a, b]- und gewinnen

I(/.,,(x) - I,,(x» (Dabei seien so folgt

- /.,(<))1

(/.,,(~)

~

IIU" - 1",)'lIooIx _ ~I.

(5.16)

3

m so groß. daß ([" - [,,,)' beschränkt auf [a. bl ist.) Setzt man speziell ~ = xo,

/I,

1[,,, (x) - f,,(x)1 .::: 1([,,, (x)

~

/';llIoolx - xol + If",(xo) -

.::: IIf,; -

+ If,,,(xo) - [,,(xo)1

[,,(x» ~ ([,,,(xo) - f,,(xo»1

f,,(xo)l.

Es sei e > 0 beliebig gewählt. Zu e/2 kann man einen Index /l0 finden, so daß rur alle /I, m > /10 das erste Glied der letzten Formelzeile kleiner als e/2 wird (beachte Ix - xol .::: Ib - al), und das zweite Glied ebenfalls. Zusammen werden beide Glieder kleiner als e (flir 11. 11I > 110), folglich ist Ifm(x) - f,,(,\)1 < S flir alle x E [a. bl und 11. m > /10. Das heißt: ([,,) konvergiert gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion J auf [a. bl. Zu (b): Wir bilden die Hilfsfunktionen

._1 I,,(x) - f,,(~)

Dn(x) .-

Dabei ist

~

~\

J.;c<).

.

- ~

für x

;f~,

flirx=~,

I

I(x) - Ic<)

D(x) :=

"-00

ETa. bl fest. Aus (5.16) folgl nach Division durch Ix -

IDII/(x) - D,,(x)1 .:::

x ~ . lim /,:(~). ~1

rurx t-~, flirx=~.

'# 0:

II/,; - /';,1100'

Man kann ein 111 finden, so daß die rechte Seite kleiner als s wird, für alle 11, 11I > 111 (da (j,;) gleichmäßig konvergiert). Also konvergiert (D,,) gleichmäßig auf [a. bl. Da (DII ) offensichtlich punktweise gegen 0 strebt, strebt die Folge somit auch gleichmäßig gegen O. Alle 0" sind stetig, insbesondere in ~. Also ist nach Satz 5.2 auch D stetig in ~, d.h. limx_~ O(x) = f'(~) = lim 0

"_00 ;;;(n

Satz 5.4: Ist (f,,) eine gleichmäßig konvergente Folge integrierbarer Funktionen auf La. b], so ist ihre Grenzfunktioll f = lim fll integrierbar, und es gilt

"_00

f

b

tim "_00

3

n/uoo:=

f,,(x)dr =

"

sup lf(-<)l. XEla.bl

f

b

"

f(x)dx.

(5.17)

376

5 Folgen und Reihen von Funktionen

Beweis: (I) Wir schiitzen die Differenz zwischen Obersumme S/(Z) und Untersumme sl(Z) von f zu einer beliebigen Zerlegung Z von [a. b] durch Ober- und Untersummen anderer Funktionen ab:

+ SIn(Z» ~ (sJ _ In (Z) + S In (Z» 151-1.(2)1 + 151.(2) -'1.(2)1 + 1'1-1.(2)1

S I(Z) - sl(Z) ::; (SI-In (Z) ~

::; sup If(x)-[,,(x)l(b-ll)+ISln(Z)-Sln(Z)! xEla.bl

+

,"p Ij(x) - f,,(x)l(b - a). _[Ela.bl

Gleichmäßige Konvergenz von (I,,) gegen f bedeutet sup If(x) xE[a.b]

~

f,,(x)1 -+ 0 fur

11

-+

00.

Man kann daher zu beliebig kleinem s > 0 ein 1" finden. so daß das erste und letzte Glied der letzten Formelzeile < s(4 werden. Anschließend wähle man Z so, daß das mittlere Glied kleiner als s(2 wird. Zusammen folgt S/(Z) - sl(Z) < s. Da s > 0 hier beliebig ist. gilt also il.lf SI(Z) = sups I(Z), also ist f integrierbar auf [a, bl·

z

z

(11) Gleichung (5.17) folgt sofort aus

J

J

"

"

h

h

f,,(x)dx -

j(x)dx

J b

~ <

Cf" (x)

"sup

_nola.bl

- j(x» dx

If,,(x)-f(x)l(b-a)-+O

filrll-+OO.

0

Übung 5.2: Überprüfe die Sii[ze 5.2 bis 5.4 um Beispiel

Beweise zuerst. daß dic Folge (f,,) auf I-I. I J gleichmiißig konvergicrt und bestimme die Grenzfunktion

5.1.3

f.

Gleichmäßig konvergente Reihen

Unendliche Reihen von Funktionen werden völlig analog zu unendlichen Reihen von Zahlen gebildet: Ist fo, fl, 12, ... , f", ... eine reelle Funktionenfolge auf einem Definitionsbereich 0, so wird durch S"

=

" Lfk, k=O

11

= 0.1.2 ....

5.1 G1eichmaßigc Konvcrgenz von Funktionenfolgen und -reihen

377

daraus eine neue Funktionellfolge So, .~I, S2 •... gebildet. Diese Folge (s,,) heißt die unendliche Reihe - kurt. Reihe - der Funktionen fk. Die fk heißen - wie bei Zahlenreihen - die Glieder der Reihe, und die StJ ParrialslI/II/IIell. Man beschreibt die Reihe symbolisch durch

[f: [,(X)]

mitx E D.

k=O

Die Reihe ist fJllllktweise bzw. gleichmäßig konvergent, wenn (SII) eine solche Eigenschaft hat. Die Grenzfunktion S = lim SI! wird auch Summe der Reihe genannt und durch tJ_OO

00

oder

s(x) =

L

mitx E D.

fdx)

k=O

bezeichnet. Das Cauchysche Konvergenzkriterium rur Funktionenfolgen (Satz 5.1. unmillelbar

Ab~hn.

5.1.1) liefert

Satz 5.5:

[E

(Cauchysches KOllvergellzkriteriumfiir gleichmäßig konvergente Reihen) Eine Reihe fk] von Funktionen auf D konvergiert genau dann gleichmäßig, wenn folgendes

erfullt ist: Zu jedem s > 0 existiert ein Index

"0,

so daß rur alle Indizes 1/,

111 :::

IlO gilt:

m

=:: s.

(5.18)

4

00

m

Zum Beweis ist lediglich anzumerken. daß

Eine Reihe

[E

fk =

Sm -

SI/

die Differenz der /li-teil und II-ten

k=,,+1

Partialsumme der Reihe ist.

Definition 5.4:

L

fk] von beschränkten Funklionen auf 0 heißt genau dann gleiclllllä-

k=O

L IIfkiloo konvergiert. 00

ßig absolut kOl/vergellt. wenn

k=O 4 Es i,l hier. wie früher IIfU"" _ sup lI(x)l. :<Ef)

o

378

5 Folgen und Reihen von Funktionen

[E

In diesem Fall ist

fk] gleichmäßig konvergent, denn es gilt

k=O

'"

(5.19)

k=Il+1

00

Nach dem Cauchy-Kriterium rur Reihen von Zahlen gibt es zu jedem f; > 0 ein 110, so daß die rechte Seite in (5.19) ~ f; ist rur alle 11, 111 ::: 110. Damit gilt dies auch rur die linke Seite in (5.19),

[E fk]

also ist die Reihe

nach Satz 5.5 glcichmäßig konvergent. Damit folgt unmittelbar das

k:O

folgende sehr nützliche Konvergenzkriterium:

Satz 5.6: (Majomntenkrirerium) Gilt rur die Glieder der Funktionenreihe

[E

fk]

k=O

lIiklloo

~ Cik.

k == 0.1,2, ....

und ist die Zahlenreihe

[E

Cik] konvergent, so ist die Funktionenreihe gleichmäßig

k=O

absolut konvergent. Die Reihe

[t,

Cik ] heißt eine Majomme für

[t,!k].

Schließlich formulieren wir die Vertauschungssätze des letzten Abschnitts auf Reihen um. Wir erhaltcn

Satz 5.7: Sind die Glieder einer gleichmäßig konvergenten Reihe

[E fk]

stetig. so ist die

k:O

L fk stetig. 00

Summe

k:O

Satz 5.8: Es sei

[t

fk] eine Reihe differenzierbarer Funktionen auf [a. bl. Existiert der

k=O

L fdx) 00

Grcnzwert

[t f;] k=O

rur wenigstens ein x E [a. b], und ist die Ablei/ll/lgsreihe

k=O

gleichmäßig konvergent in

10. bl. so ist auch die Funktionenreihe

[t fk] k=O

5.2 Potenzreihen

379

gleichmäßig konvergent in La, b] und es gilt

(5.20) Unter den Voraussetzungen des Satzes darf man die Reihe also gliedweise differenzieren!

Satz 5.9: Jede gleichmäßig konvergente Reihe

[f fk] k=O

L

illlegrierborer Funktionen auf [a. b]

00

besitzt eine integrierbare Summenfunktion

Jk

auffa. bl und es gilt:

k""O

!"00L

00"

!k(x)d>

k=O

a

~ L! j,(x)dx.

(5.21)

k=O u

Kürzer; Gleichmäßig konvergente Reihen dürfen gliedweise imegrien werden.

Übung 5.3: Beweise mit dem Majoramenkriteriul11. daß die Reihe

[f -i k=O t

COS(kX)]

rur x E rO.2n )

gleichmäßig auf [0. 2JT I konvergiert. Gilt dies auch rur die abgeleitete Reihe?

5.2

Potenzreihen

5.2.1

Kom'crgcnzradius

POlellzreihen sind Reihen der Form

[

fOk(X -.rO)k]

.r,.ro E IR,ak E IR.

(5.22)

k=O

"

Ihre Partial summen s,,(x) = LOt(.r - .rO)k sind Polynome. Wir haben Potenzreihen schon in k=()

Form von Taylorreihen kennengelernt. In diesem Abschnitt wollen wir allgemeine Konvergenzeigenschaften von Potenzreihen untersuchen. Grundlegend ist dabei der folgende Satz von Cauchy

380

5 Folgen und Reihen von Funktionen

und Hadamard. Es genügt dabei, Potenzreihen der Form

[t ap;k]

zu untersuchen, da man

1.:=0

(5.22) durch die Transformation x' = x - xo in diese einfache Form übertragen kann.

Satz 5.10: (Salz \-"on Cauchy-Hadamar(5) Zu jeder Potenzreihe

[t

genzintervall (-r, r) mit folgenden Eigenschaften:

akxk] gibt es ein Konver-

k=O

(a) Die Potenzreihe konvergiert in (-r. r) punktweise. Sie konvergiert überdies gleichmäßig absolut in jedem kompakten Teilintervall von (-r. r). (b) AuBcrhalb von [-r, rl ist die Potenzreihe divergent. Dabei sind auch die Fälle r = 0 und r = 00 zugelassen. (Im Falle r = 0 ist (-r, r) leer. und im Falle r :::: 00 ist (-r, r) = IR (und Aussage (b) gegenstandslos). r heißt der KOllvergenzradius der Potenzreihe.

Zusatz zu Satz 5.10: Der KonvergenzrJdius der Potcnzreihe

[t

akxl.:] ist durch

1.:=0

I

(5.23)

r::::c=~=

lim ~Iakl'

1.:..... 00

gegeben. Dabei wird folgendes vereinbart: Es ist lim Vlakl der größte Häujungsf)llIIkt der Folge (Vlakl), 1.:_00

falls die Folge beschränkt ist; andernfalls ist der Ausdruck gleich 00. Im letzteren Fall rechnen wir r = 1/00 = O. Ist lim .tIlakl dagegen = O. so setzen wir r :::: 1/0 :::: 00. Dieses Rechnen mit 1.:=0

00

ist nur in diesem Zusammenhang erlaubt! Den Ausdruck lim .ylaklnenl11 man den Limes1.:_00

superior der Folge (~Iakl).

Es sei erwähnt, daß Formel (5.23) eher theoretischer Natur ist. Zum Bestimmen von Konvergenzradien betrachtet man spezielle Potenzreihen meistens genauer. um ~~vor Ort« herauszufinden, wo sie konvergieren und wo nicht. Beweis: Des Satzes 5.10: Wir denken uns r nach (5.23) berechnet. I. Fall: r > 0 (r :::: 00 zugelassen). Zu (a): Wir wählen ein kompaktes Intervall in (-r. r), das wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit als symmetrisch annehmen: [-~, ~l c (-r, r). (Denn andernfalls könnte man es zu einem symmetrischen kompakten Intervall erweitern.) Es folgt ~/r < l. Wir wählen eine beliebige 5 Ja<:qucs SalOillon Hadamard (1865-1963). französischer Mmllcmmikcr

5.2 Potenzreihen Konstante q mit

;/1'

381

< CI < I, d.h. es gilt nach (5.23)

also

ftir alle k mit Ausnahme von endlich vielen, folglich rur alle k > ko(ko genügend groß gewählt). Damit gilt (5.24) Für jedes x E [-;. ;], also lxi::: ;. erhält man daraus

lakxkl <

l

für alle k > ko,

woraus nach dem Majorantenkriterium (Satz 5.6) die gleichmäßige Konvergenz der Potenzreihe in l-~, ~ I folgt. Zu (b): 1m Falle r = 00 ist die Aussage (b) leer, es ist also nichts zu beweisen. 1m Falle r E IR (r > 0) dagegen folgt aus lxi> r unminelbar lxI/I'> I, also Hm Vlakllxl> I.

k-HXl

d.h.

Yf(4Ilxl> I

rur unendlich viele k.

Potenzieren mit k ergibt lakxk I > I. Die Glieder der Reihe streben mit k _ 00 also nicht gegen Null. Damit ist sie divergent.

2. Fall:

r =

0, d.h. tim .ylakl = 00. k ..... oo

Aussage (a) des Satzes ist leer, d.h. es ist nichts ZU beweisen. 0, also nach Potenzieren mit k auch Zu (b): Die Folge (.y!akllxl) ist unbeschränkt rur jedes x

t

die Folge (Iap-kl). Somit ist

[fakxk]

0

divergent.

k=O

Bemerkung: Über die Fälle x = r oder x = ~r in Satz 5.1 0 lassen sich keine allgemeinen Konvergenzaussagen machen. Sie müssen von Fall zu Fall untersucht werden. Es kann Konvergenz oder Divergenz vorliegen. Satz 5.10 läßt sich entsprechend ftir allgemeine Potenzreihen Das Konvergenzintcrvall hat dann die Form (xo - r, xo - nach wie vor - aus (5.23).

[t

k=O

(/k(X - XO)k] aufschreiben.

+ r). Der Konvergcnzradius r ergibt sich

382

5 Folgen und Reihen von Funktionen

Beispiel 5.1: Wo konvergiert [x

-

+ 2x 2 + 3x 3 + ... +kx k J? Mit at

= k ist lim

t-'oOO

lff zu bestimmen. Es gilt aber

.r.

lim vk= I

t--+oo

(s. Beisp. 3.19, Abschn. 3.2.1). Die Folge ( lff) hat somit nur einen Häufungspunkt. nämlich I, und ist natürlich beschränkt. Also ist auch [im

t-'oOO

lff = I, somit r = I.

(-I. I) ist damit das

Konvergenzintervall der Reihe. Für x = 1 und x = -I ist die Reihe offenkundig divergent. Beispiel 5.2: Die Reihe [ x -

X2

2

x3

x4

+"'3 - '4 + ...

]

ist sicherlich Hir

lxi< I konvergent. Für lxi> I kann

keine Konvergenz vorliegen, da Ix* / kl --,lo 00 Hir k --,I> 00. Der Konvergenzradius ist also r = I. In den Randpunkten -I und I liegt unterschiedliches Verhalten vor: Konvergenz bei x = I, Divergenz bei x = -I. Eine in vielen Fällen bequeme Methode zur Bestimmung des Konvergenzradius ist die folgende: Satz 5.11: Es sei

[f

atx*] eine Potenzreihe mit llt i= 0

Hir alle

k 2: ko. Gilt

t=o

(5.25)

- - =c>O. ". I I *~to lim

t-'oOO at+l

so ist c der Konvergenzradius der Reihe. Beweis: Wir wenden auf die Potenzrcihe das Quotientcnkriterium (Satz I 17, Absehn. 1.5.4) an und bilden dazu den Quotienten benachbarter Glieder: rur k

--,lo

00 (k 2: ko).

Nach dem Quotientenkriterium liegt Konvergenz rur rur Ixl/c > I, also lxi> c, vor.

Ixl/c

Übung 5.4: Bestimme mit Satz 5. t I die Konvergenzradien der Reihen

Cbl

[f:;:] t=1

< I, d.h. Hir

lxi<

c, und Divergenz

o

5.2 Potenzreihen

5.2.2

383

Addicrcn und Multiplizicren von Potcnzreihcn sowic Diffcrcnzicren und Intcgricrcn

Aus dem Satz über gliedweises Addieren von bhlenreihen (Satz 1.9, Abschn. 1.5.1) und dem Multiplikationsstltz über absolut konvergente Reihen (Satz 1.15, Abschn. 1.5.3) folgt unmittelbar Hir Potenzreihen

Satz 5.12: Für Summe und Produkt zweier Potenzreihen

[f

gilt im gemeinsamen Konvergenzbereich 00

00

Lak(x - xo)k

+ Lbk(X -

00

xO)k = L(ak

k=O

k=Ü

ak(x - xol] "nd

k=O

[f.

k=O

+ bk)(X -

xO)k

bk (x

~ xol] (5.26)

k=O

bzw. 00

00

00

Lak(x - xO)k Lbk(x - xO)k = L c" (x - xo)" k=O k=O 11=0

(5.27)

mitc" =aobll +alb,,_1 + ... +{I"bo.

Beispiel 5.3: Es sei

[f.

akxk] eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > O. Zusammen mit der geometri-

k=O

00

sehen Reihe

L

k=O

x k = 1/(1 - x) fur lxi< I folgl aus der Produktformel fur lxi< minll. r} die

interessante Gleichung:

'",,,,, 00

00

- - L,.0kX = L,.c"x , I-x

k=O

mitc" =00+01 + ... +a".

(5.28)

1J=0

Satz 5.13: (Differenzieren IIl/d Integrierell VOll Porenzreihell) Es sei tenzreihe mit Konvergellzradius r > O.

[f.

(lk (x - XO)k] eine Po-

k=O

(a) Die Summenfunktion 00

fex) = LOk(x -xol k=O

darf im Konvergenzintervall (xo-r. xo+r) beliebig oft differenzien werden. Die

384

5 Folgen und Reihen von Funktionen Ableitungen von

I

erhält man durch gliedweises Differenzieren der Potenzreihe:

L kadx 00

I'(x) =

(5.29)

xO)k-1

k:1

(b) Auf jedem kompakten Teilintervall [a, bl des Konvergenzintervalles darf I gliedweise integrierl werden. Insbesondere hat I auf (xo - r. xo +r) eine Stammfunktion, die man durch gliedweises analytisches Integrieren erhält: ,

J

00

1(1) dl = ' "

XlI

~(x -

Lk+l

(5.30)

xO)k+l .

k:O

Beweis: Beweis: Wir fUhren den Beweis o.B.d.A. mit Xo = O. (b) geht unmittelbar aus Satz 5.9 und < r. Es ist zu Satz 5.10 hervor. Zu (a): Sei x E (-1'.1') beliebig und ~ eine Zahl mit lxi< zeigen, daß die gliedweise abgeleitete Reihe

s

(5.31) in [-;-.;- J gleichmiißig konvergiert. Nach Satz 5.8 ist dann alles bewiesen. Wir schätzen die Reihenglieder ab, wobei wir eine Hilfszahl q mit s;r < q < I verwenden nebst Ungleichung (5.24), =

, k

,

,

k ,

-Iakl;- < -q

fur k ::: ko. k ] . Diese Reihe ist eine MajoL -l 00

Nach dem QUOlientenkriterium konvergiert die Reihe [

k:k(} ;-

rante der Ableitungsreihe (5.31), die damit gleichmäßig absolut konvergiert. Übung 5.5: Berechne die Ableilung der Reihe

[f//k]

0

rur _I = 3/4.

k:1

5.2.3

Identitätssatz, Abclschcr Grenzwertsatz

Dieser Abschnitt kann beim ersten Lesen übergangen werden. Man schliigt hier nach, wenn man den Inhalt braucht.

5.2 Potenzreihen

385

Satz 5.14: (ldelllitätssa/zfiir POIel1zreihen) Es seien

"

"

,

N

N

f(x) = L.. adx - xo) . k=O

g(x) = L.. bdx - xo) k=O

,

zwei Summenfunktionen von Potenzreihen, die beide in dem offenen Intervall I um Xo konvergieren. Stimmen dann fund g auf nur irgendeiner Folge Xl, X2, X3, ... mit lim x" = Xo (x" -# xo) überein, cl.h,

"_00

fur k = 1,2,3.....

f(xd = g(xd

so sind heide Funktionen identisch; es gilt also [(x)=g(x)

fürallexe/,

und

ak=bk

fur alle k.

Beweis: Dureh Induktion: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit setzen wir Xo = 0, also fex) = N

N

2::>lkXk. 8(X) = Lbkx k . fund 8 sind in I stetig (da gleichmäßig konvergent aufkompakk=O

k=O

tell Teilinterval1cn von 1). (I) Setzt man x = XII ein, mit

XI! ~

Xo = 0, so folgt f(O) = lim fex,,) = lim 8(x,,) = 8(0),

also 00 = bo.

"_00

"-00

(11) Es sei erwiesen, daß 00 = bo, GI = bl, .... G",_I = b",_l ist. Die Summenfunktionen

stimmen dann fLir alle Folgenpunkte x = x" übcrein, da

[,,,(x) =

fLir x =1= 0 (x E I) gilt. Wie in (I) folgert man dann, daß die freien Glieder ühcreinstimmen: = b",. Aufgrund vollständiger Induktion ist damit a m = blll fLir alle 111 = 1.2, ... gezeigt,

Gm

fulglieh[~)=g~)~f/.

Satz 5,15: (Abelsche,D GreJlzwemGtz) Dureh N

fex) = LGdX k=O

-xO)k

0

386

5 Folgen und Reihen von Funktionen

sei die Summenfunktion einer Potenzreihe dargestellt, die einen endlichen Konvergenzradius r > 0 besitzt. Ist die Potcnzreihe im rechtcn Randpunkt xo + ,. dcs Konvergenzintervalls (xo - r, xo + r) konvcrgent. so ist [dort auch (linksseitig) stetig, d.h. es gilt 00

lim

x_xo+r x<xo+r

[(x) = La/;r". /;=0

Entsprechcndes gilt ftir Konvergenz im linken Randpunkt des Konvergenzintervalls. Beweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir Xo 0 und r I an. (Andernfalls können wir dics durch die Tmnsformation x' = (x - xo)/r erreichen.) Nach Voraussetzung existicrt die

=

=

00

Summe c := [(I) = La/;. Die Panialsummcn seien c" := ao /;=0

muß gezcigt werden, daß [(x) Abschnitt. Sie liefert

c fUr x

--7

00

--7

+ {li + ... +

{I"

genannt. Es

I- ist. Wir benutzen dazu Formel (5.28) im Ictztcn

00

[(x)=Lu/;x/;=(I-x)Lc"x" /;=0

fUrlxl < I.

,,=0

Damit folgt fUr XE (0.1): I

I/(x) - cl

~ =

~

1 (I

1(1

-

x)

-x)

~ c"x" - c [ (I - x) ~x" ]

~(Cl! -

C)X"I

N

= (I

-x) Lle"

1

~ (I - X),~!cl! -clx" 00

-clxl!

+ (I -x) L

,,=0

le" -elxl!.

,,=N+I

Hierbei wähle man N so. daß jedes IC'I - cl der rechten Summe kleiner als E:/2 ist, wobei E > 0 beliebig vorgegeben ist. Damit ist die rechte Summe kleiner als 00

00

"=11+1

11=0

"""E: ",,"E 2·(I-x) L x ~2(I-x)Lx ='2' E

Anschließend wähle man 8 > 0 so, daß fur alle x mit I - 8 < x < I der erste Summand der unteren Formelzeile kleiner als E/2 ist. Damit gilt If(x)-ci ~ E:/2+E/2 = E, falls 1-8 < x < I, d.h. lirn [(x) = c. 0 ~·-I

6 Niels Henrik Abcl (1802 - 1829). nOI'"..egischel' Mathematiker

5.3 Der Weicrstraß'sche ApproximationssalJ.:

387

Besonders interessant ist die Anwendung des Abelsehen Grenzwertsatzes auf Taylorreihen. Wir ziehen die Folgerung 5.2: Die Funktion f sei auf einern offenen Intervall I um Xo in eine Taylorreihe entwickelbar(d.h. die Taylorreihe von f konvergiert auf' punktweise gegen f). Konvergiert die Taylorreihe auch noch in einem Randpunkt VOll I und ist f dort stetig, so konvergiert sie in diesem Randpunkt gegen den Funktionswert von f.

Beispiel 5.4: Die Taylorreihe der Arcustangensfunktion lautet

x3

x7

x5

arctanx =x - - + - - 357

+- ....

(5.32)

Mit Restgliedabschätzung (Lagrange-Restglied) sicht man ohne Schwierigkeit, daß die Formel rur lxi< 1 zutrifft. Überdies erkennt man mit dem Leibniz-Kriterium, daß die Reihe rur x = I und x = -1 auch konvergiert. Da arctan x dort stetig ist. gilt (5.32) auch für x = 1 und x = -I. (Dies war in Abschn. 3.2.4, Absatz zu Tabelle 3.3, offen geblieben.) Für x = I folgt die schon angegebene prachtvolle Formel. auch »Leibnizsche Reihe« genannt: 7r 1 1 I -=1--+---+-.

4

(5.33)

357

Übung 5.6*: Zeige. daß die Taylorreihe des Areussinus 1·3x 5 1·3·5x 7 Ix 3 arcsinx=x+-+---+

2·3

2·4·5

2·4·6·7

+.

ftir alle x E [-1.11 gültig ist. (Die Gültigkeit für lxi< I ist in Abschn. 3.2.4 schon gczeigl.)

5.3

Der Weierstraß'sche Approximationssatz

5.3.1

Bemerkung zur Polynomapproximation

Die Darstellung komplizierter Funktionen als POienzreihen - insbesondere als Taylorreihen geht von der Aufgabe aus, diese Funktionen zu berechnen. Durch die Partial summen der Potenzreihen sind Polynome gegeben. die die Funktionen mehr oder weniger gut approximieren und daher zur numerischen Berechnung herangezogen werden können. Diese Aufgabenslellung wirft mehrere Fragen auf: (a) Kann man jede stetige Funktion beliebig genau durch Polynome approximieren? (b) Mit welchen Polynomen geht dies am besten?

388

5 Folgen und Reihen von Funktionen

(c) Sollte man nicht besser andere Funktionen zur Approximation verwenden, z.B. rationale Funktionen? Frage (a) wird durch den Weierslraß'schen Approximatiollssatz grundsätzlich positiv beantwortet. Er besagl, daß sich jede auf La. b] sletige Funklion f durch eine Folge von Polynomen im Sinne der gleichmäßigen Konvergenz (s. Abschn. 5.1.1) auf La. b[ approximieren läßI. Die Polynome, von denen hier die Rede ist, ordnen sich im allgemeinen aber nicht zu einer Potenzreihe. Außerdem begnügt man sich in zahlreichen Lehrbüchern mit der Behandlung der Existenzfrage. Das Konstruktionsproblem von Nähcrungspolynomcn bleibt aber bestehen. Mit Frage (b) beschäftigt sich die sogenannte Approximaliollsll1eorie ausführlich (s. z.B. M. Müller [39J). Sie untersucht verschiedene Approximationsverfahren auf Konvergenz, Approximationsgeschwindigkeit und auch die Frage der Bestapproxirnation. Für numerische Belange sind Reihen von Tschebyscheff-Polynomen von großem Interesse. Viele elementare Funktionen werden auf Computern mit Tschebyscheff-Polynomen berechnet. Eine gut lesbare erste Einführung findet man z.B. in E. Stiefel [53], Abschn. 7.2. Eine andere Art, Funktionen durch Polynome zu approximiercn. geht von der Interpolation aus (s. hierLU Abschn. 5.4). Man sucht dabei zu einer Funktion f auf La. b] ein Polynom I). etwa vom Höchslgrad 11. das an 11 + I vorgeschriebenen Stelten xo. Xl •••• , X'l mit f übereinstimmt: f(xJ.;) = p(xJ.;). k = 0, 1•... ,". Hier hat sich herausgestellt, daß es fUr die meisten Polynome zweckmäßig ist. den Polynomgrad 11 nicht zu hoch zu wählen (z.B. 11 .::: 3), dafUr aber die »Interpolationspolynome« stückweise zusammenzusetzen. Solche, aus Polynomstücken zusammengesetzte Funktionen nennt man Spfille-FlIllkliollell. Sie haben in der numerischen Praxis große Bedeuwng erlangt. Wir werden in Abschnitt 5.4 auf sie eingehen. Zur Frage (c): In der Tat lassen sich durch Approximation mit rationalen Funktionen bei kleinerem Rechenaufwand bessere Approximationen erzielen (vgl. J. Stocr [19]). Die systematische Entwicklung ist jedoch aufwendiger und mit gelegentlichen Fallstricken verbunden. Es gehören hierher Kettenbrüche, rationale Interpolation, rationale Tschebyscheff-Approximation u.a. Die leichtere Handhabung der Polynomapproximation ist dagegen ein nicht zu unterschätzender Vor· teil. So wird man zweckmäßig von Fall zu Fall aus der Palette der Möglichkeiten die brauchbarste Approximation herausgreifen. Die Approximationstheorie stellt zahlreiche Verfahren bereit und diskutiert deren Eigenschaften.

5.3,2

Approximation von stetigen Funktionen durch Bernstein-Polynome

Im Folgenden wollen wir anhand eines konkreten Verfahrens zeigen, wie sich stetige Funktionen durch Polynome approximieren lassen.

Satz 5.16: (Weierstmß) Die Funktion f sei auffa.bl stetig. Dann gibt es eine Folge {PlI} von Polynomen, die auf [a, b] gleichmäßig gegen f konvergiert:

lIf -

p"lIoo

(Die Norm 11

-7

0

für n

-7

00.

1100 ist in Abschn. 5.1.1, Der. 5.2 erklärt!)

(5.34)

5.3 Der Weicrstraß'sche ApproximationssalJ.:

389

Beweis:

7 Mit Hilfe der Transformation X-(/

x'=-b~(/ sehen wir, daß wir uns anstelle von [a, b] im Folgenden auf das Intervall [0, IJ beschränken können. Für unser weiteres Vorgehen benötigen wir die billomische Formel 11 E

N

(5.35)

(s. Abschn. 1.1, Fomlel (1.15». Wir differenzieren (5.35) nach b und multiplizieren die entstehende Gleichung mit b. Mit dem gewonnenen Resultat verfahren wir noch einmal genau so. Dadurch ergeben sich die beiden Beziehungen (man beachte die veränderte Rolle des Summationsindex

k)

f>(~)a"-kbk

=

nb(a + b),,-I

(5.36)

k=()

""d

t k G)a"-kbk : : IIb(lIb + aHa + b)"-2 . 2

(5.37)

k=O

In den Formeln (5.35), (5.36) und (5.37) setzen wir b =

t G)(l-X),,-kxk::::

X

und a = I - x und erhalten so

I,

(5.38)

/IX.

(5.39)

k=O

tkG)(l ~ x)"-kx.l: =

k=O

(5.40) Wir multiplizieren nun die erste dieser Gleichungelll11it 1/2 x 2 , die zweite mit -211x und die dritte mit I und addieren die so entstehenden Gleichungen. Wir erhalten die Beziehung (5.41)

7 Dieser konstruktive Beweis geht auF den russischen Mathematiker Sergei Natanowitsch Bernstein (1880- 1968) zunick.

390

5 Folgen und Reihen von Funktionen

Die rechte Seite von (5.40) ist im Intervall [0, I] nicht negativ und nimmt an der Stelle x seinen maximalen Wert !n an (warum?). Daher gilt die Abschätzung

, I

(5.42) Nun betrachten wir die Funktion f(x) an den äquidistanten Knotenpunkten ~ (k = 0.1 ..... 11): f (~), und fuhren die Polynome (5.43) die man Sems/ein-Polynome nennt, ein. Wir weisen nach. daß diese rur 11 mäßig gegen die Funktion f(x) konvergieren. Wegen (5.38) und (5.43) folgt rur 0 fix) - !,,,(x)

sx

__ 00

auf rO.11 gleich-

S I

~ ~ [fiX) - f (~)] G)(l - xr' x'

(5.44)

und hieraus, mit Hilfe der Dreiecksungleichung.

(Wir beachten dabei: (I - x)"-k xli ::: 0 im Intervall [0, 11.) Aus der Stetigkeit von fex) auf dem (kompakten) Intervall [0, I] folgt dort ihre gleichmäßige Stetigkeit (s. Satz 1.26, Abschn. 1.6). Zu jedem t > 0 gibt es daher ein 0 = o(t) > 0 mit If(.q)

~

/(x2)1 < t

(5.46)

fur alle XI, X2 E LO, IJ mit lXI - x21 < !i setzen:

X2 ::::

o. Insbesondere ist (5.46) erfüllt, wenn wir Xl

= x und

"

(5.47) Nun zerlegen wir die Summe auf der rechten Seite von (5.45) in zwei Teilsummen, wobei wir in der ersten Summe über diejenigen Werte k E {O.l, ... , nj summieren, die der Ungleichung ~I < 0 genügen, während wir ftir die zweite Summe die Werte k mit ~ 0 nehmen (s. Fig. 5.3). Für die beiden Summen verwenden wir die Schreibweisen

Ix -

Ix - I:::

bzw.

L HI"

5.3 Der Wcicrstraß·schc ApproximationssatJ.:

391

und kü,Lcn sie mit 51 bzw. 52 ab. Zur Abschätzung von 5\ nutzen wir (5.47) und (5.38) aus und erhalten Hir beliebiges (festes) 11 E N

.,.

•

Fig. 5.3: Zerlegung der Summation

(5.48)

(Wir beachten, daß sich die Summe La. vergrößert, wenn wir über alle k (k = 0.1, .... 11) summieren!)

°

Wenden wir uns nun der zweiten Summe 52 zu. Da /(x) im (kompakten) Intervall [0.1 J stetig ist, nimmt sie dort ihr Maximum an, d.h. es gibt ein M > mit [/(x)1 .:os M

für alle XE [O,I[

(s. Satz 1.25, Abschn. 1.6). Wir erhalten damit

5,

~

L I'-!I~'

I[(X) - [mi C)(I-xr'X'

~ L ('[(X)'+(~)I)(~)(I-X)'-'X' ~2M L ~-!~

Wegen

Ix ~ *1 ~ 0 oder [fiX ~ k[2: 110 folgt

(lIx-k)2 1/2 0 2

~!~

C)(I-X)'-'" (5.49)

392

5 Folgen und Reihen von Funktionen

und daher aus (5.49)

Hieraus ergibt sich mit (5.42)

wobei Mund 8 feste positive Werte sind. Wählen wir schließlich M

'» -2e8 2

11

so groß. daß

M ist und setzen wir: N:= - "

e'·

so erhalten wir (5.50)

rur alle /l > N. Aus (5.48) und (5.50) ergibt sich dann ftir beliebige e > Oundn > N

51 +52 < 2e

und damit wegen (5.44) und (5.45) If(x) - 1)I!(x)1 < 2e =:

e

ftir alle x E [0.1] und beliebige

e > 0 und" >

o

N. Damit ist Satz 5.16 bewiesen.

Mit Hilfe von SalZ 5.16 läßt sich ein analoger SalZ fur periodische Funklionen beweisen:

Satz 5.17: (Weierslraß fiir periodische Fllnkfionen) Es sei feine 2Jf -periodische stetige Funktion. Dann gibt es eine Folge {lI! I von trigonometrischen Polynomen. also von Polynomen der Form

"

2" + "L.)ukcoskx +bk sinkx )

f,,(x) = "0

(5.51)

k=]

mit

IIf

~ I" 1100 --+ 0

ftir" --+

00.

(5.52)

5.4 Interpolation

393

Beweis: Dieser Hißt sich mit Hilfe der Substitution 11 = cosx bzw. x = arccos 11 auf Satz 5.16 zurückführen und findet sich z.B. in w.1. Smimow l51J Teil I!. Abschnitt 154.

5.4

Interpolation

Innerhalb dieses Abschnittes befassen wir uns mit Algorithmen zur Berechnung von Polynomen respektive Splines. die an vorgegebenen StützsteIlen xo . ... ,XII E IR einen zugehörigen Funktionswert 10, .... I" E IR aufweisen. Derartige Fragestellungen treten in einer Vielzahl praxisrelevanter Problemstellungen auf. Liegen beispielsweise durch ein Experiment Meßwerte einer physikalischen oder biologischen Größe zu bestimmten Zeitpunkten vor, so kann mittels einer Interpolation eine näherungsweise Berechnung der betrachteten Größe rur beliebige Zwischenzeiten vorgenommen werden. Daneben wird im Rahmen der numerischen [ntegrationsmethoden häufig der Integrand durch ein Intcrpolationspolynom ersetzt. dessen exakte Integration als Approximation an den gesuchten Integralwen genutzt wird. Derartige Verfahren werden demzufolge als interpolatorische Quadraturfonnein bezeichnet. Folglich basieren auch die bekallllten Runge-Kulta-Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen inhärent auf den Methoden der Polynominterpolatioll. Darüberhinaus stellt die Interpolation eine ganz natürliche Vorgehensweise bei der Visualisierung geometrischer Formen oder numerischer Resultate dar, deren Werte ausschließlich an diskreten Stellen vorliegen.

5.4.1

Polynominterpolation

Wir bezeichnen mit

n,,, 11 E No, den Raum aller Polynome (5.53)

mit reellen Koeffizienten ao .... ,all' Entsprechend der in Abschnitt 2. 1 getroffenen Definitionen beinhaltet die Mengc n" somit neben dcm Nullpolynom alle Polynome vom Grad kleiner oder gleich 11. Hiermit können wir das grundlegende Imerpolatiollsproblem formulieren: Zu gegebenen II

+ I Stützpunkten

(xo. 1o) .....

(XII' [,,)

E 1R

2

bei paarweise verschiedenen StützsteIlen XQ •.••• XII E

ist ein Polynom p E p(xJ;)

(5.54)

IR

n"

mit

= IJ:. k = 0,1. .... Il

gesucht. Ein Polynom, das das Interpolationsproblem löst. wird als Interpolationspolynom. interpolierendes Polynom oder Interpolierende bezeichnet. Entsprechend der obigen AufgabensteIlung müssen wir uns im Folgenden einerseits mit den theoretischen Fragen zur Existenz und Eindeutigkeit interpolierender Polynome und andererseits

394

5 Folgen und Reihen von Funktionen

mit praktischen Fragen zum Berechnungsaufwand, zur Fehlerabschätzung und zur stabilen Auswcrtung befassen. Betrachten wir das gemäß dcs Intcrpolationsproblems (5.54) gesuchte Polynom f) E nll in der Darstellung (5.53), so erhalten wir rür die /I + I Freiheitsgrade Go, ... ,a" E IR entsprechend " + I Bedingungen

L" a;xi = !k.

k = 0, ...

(5.55)

,11 .

;==0

Gleichung (5.55) läßt sich übersichtlich in der Form eines linearen Gleichungssystems

xo

(j

x,

x"

,2

·0

x 2,

,

x,~

'Ö) r~'

x;:

C) (/ t

~

(/"

:==V(xo. ....\·,,)EMa/(II+ 1:IR)

m

(5.56)

°

schreiben, wodurch offensichtlich wird, daß das Interpolationsproblem genau dann eindeutig gilt, siehe lösbar ist, wenn die Matrix V(xo, ... , x,,) regulär ist, d.h. det V(xo .... , XII) cl Burg/Haf/Wille (Lineare Algebra) [9J. Hilfssatz 5.1: Die Matrix

xo x02 x, x 2, XII

r

, "

·'0

"")

x" :1

Mat(n

+ I: IR)

x;;

ist genau dann regulär, wenn die StützsteIlen sind, d.h. x;tXj

E

Xo, ..• , X"

E

IR paarweise verschieden (5.57)

fliritJ

gilt.

Beweis:

(a) Gilt Xi = Xj flir mindestens ein Indexpaar (i, j) mit i t j, so ist die i-te Zeile identisch zur j-tell Zeile und folglich V(xo, ... , XII) nicht regulär.

(b) Ist dic Bedingung (5.57) erfüllt, so ergibt sich der Nachweis mittels einer vollsüilldigen Induktion über" E No. Indllktionsanfang: Für 11 = erhalten wir

°

det V(xo) = det(l) = I tO.

5.4 Interpolation

395

Induktionsschluß: Unter der Annahme, daß

#- 0

det V(xo ..... x,,)

fUr ein beliebiges. aber festes 11 E No gill, erhalten wir detV(xO .... ,xll+l)

X,

x'0 , x-,

X,,+I

x,;+1

xo

'~+'l

X,11+1

,

-'0

II+t x,,+ t

,

X'0

o,,+'

X

,

11+1 ,,+1 XI -Xo

xi - xt;

XI -Xo

)

11+1 11+1 X"+I - Xo

,,+' "+')

XI ...2

.,

. ,,+1 -xö

- Xo

...,,+1 _ ... ,,+1 . ,,+1 .0

.\ I' (.\ 1 -

XI(XI -xo)

.\0)

)

)

(5.58)

'\::+]('\11+] ~xo) .'t

.,

,

~"

x:L]

= (Xl -Xo)'

. (XJI+I - Xo)' det V(Xl •.... xll+d,

#- o.

wobei zur Herleitullg der Darstellung (5.58) stets das xo-fache der (j - I )-ten Spalte von der j-ten Spalte für j = 2..... 11 + I abgezogen wurde.

o

Hiermit sind wir nun in der Lage die erste Frage hinsichtlich der Existenz und Eindeutigkeit positiv zu beantworten. Satz 5.18: Das Interpolationsprob1em (5.54) besitzt stets eine eindeutig bestimmte Lösung. Beweis: Aufgrund der im Interpolationsproblem geforderten Eigenschaft paarweise verschiedener Stülzstellen Xo..... XJI ist die im Gleichungssystem (5.56) auftrelende Matrix V(xQ ..... XII) laut

3%

5 Folgen und Reihen von Funktionen

Hilfssatz 5. J regulär. Das Gleichungssystem (5.56) besitzt folglich rur jede beliebige rechte Seite (1o, ... , IIl)T E IR,,+I eine eindeutig bestimmte Lösung (ao ..... (/1l)T E IR,,+I, wodurch mit

"

p(x) = :L:>ixi ;=0

das gesuchte und eindeutig bestimmte Interpolationspolynom p

E

n

ll

vorliegt.

o

Beispiel 5.5: Die Berechnung des Interpolatiollspolynoms p

k

0

Xk

0 I

Ik

E

n2 zu den gegebenen Stützpunkten

2 I 3

3 2

(5.59)

wcrden wir nun cxcmplarisch auf der Basis des dargestellten intuitiven Ansatzes (5.55) durchfUhren. Gemäß (5.56) ergibt sich das G1cichungssystcm in der Form (5.60)

Die Lösung kann mit dem Gaußschen Algorithmus nach Abschnitt 2.2 ermittelt werden. Weitere klassische und moderne Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysterne werden in [37J vorgestellt. Aus (5.60) ergibt sich

und somit das Interpolationspolynom

so daß beispielsweise rur die Zwischenstelle x = 2 E lXI. x21 p(2) =

10

"3

gilt. Dieser zunächst als sehr einfach und offensichtlich erscheinende Zugang entpuppt sich bei einer zweiten Betrachtung jedoch als unpraktikabcl im Hinblick auf reale Anwendungen. Das zentrale Problem liegt in der Matrix V(xü ..... x,,) verborgen. dessen transponiene Matrix eine

5.4 Interpolation

397

sogenannte \l(mdermonde8-Matrix repräsentiert. Derartige Matrizen V E Mat(" + I. IR) weisen bei wachsender Spaltenzahln + I eine zunehmend größere Konditionszahl auf. so daß mit (5.56) ein schlecht gestelltes Problem entsteht und auftretende Rundungsfehler zu drastischen Fehlern bei dem Koeffizientenvektor «(10....• (1/1) T fLihren können, siehe [371. Das so ermittelte Polynom erfLillt daher fLir größere Stützpunktzahlcn die geforderten Interpolationsbedingungen gemäß (5.56) nicht notwendigerwcise. Zudem ergibt sich bei praxisrelevanten Anwendungen häufig die Situation, daß zusätzliche Stützpunkte integriert werden müssen. Bei dem präsentierten Ansatz bedingt jedoch bereits die Hinzunahme eines weiteren Stützpunktes die erneute Berechnung aller Koeffizienten. Die Güte der weiteren Methoden zur Lösung des Interpolationsproblems (5.56) werden wir auf der Grundlage der folgenden Zielsetzungen beurteilen. (I) Die Berechnung und Auswertung des lnterpolalionspolynoms sollen stabil gegenüber auf-

tretenden Rundungsfehlern sein. (2) Die nachträgliche Integration weiterer Stützpunkte soll effizient bezüglich des Rechenaufwandes sein. (3) Die Berechnung des Interpolationspolynoms soll 0(//2) arithmetische Operationen aufweisen. (4) Die Auswertung des Interpolationspolynoms an einer beliebigen Stelle soll 0(1l) Operationen benötigen. Hierbei sei bemerkt. daß wir mit 0 stets das Landau9 -Symbol verstehen. In dem vorliegenden Rahmen ist hierbei die Interpretation f(ll) = O(n P) {:> lim fi!;l = eonst E R. ausreichend. n_oo

Tl

Somit bedeutet 0(/12) resp. 0(11), daß der Aufwand maximal quadratisch resp. linear mit wachsendem n ansteigt. Eine exakte Definition kann 1451 entnommen werden. Unter einer arithmetischen Operation subsumieren wir zudem Addition, Subtraktion. Multiplikation und Division gleichermaßen. Desweiteren verstehen wir unter der Berechnung des Interpolationspolynoms die Koeffizientenbestimmung. die fLir eine elementare Darstellung des Polynoms benötigt wird und nur einmalig fLir jedes Interpolationspolynom durchgeftihn werden muß.

Lagrangcschc Intcrpolationsformcl Die L(lgr(l/lge·lllfelpolatio// basiert auf dcr folgenden Idec. Scicn Polynome L j E

n

ll

j=k sonst

mit (5.61)

bekannt. so erhalten wir das gesuchte Interpolationspolynom p E n ll zu (5.56) in der Darstellung p(x)

"

= L!jLj(x) , j=O

8 Alex~ndre·Th~ophile V~ndenn()nde (I73S - 1796). französiseher Musiker. Mathematiker und Chemiker 9 Edmund Georg Herrnann Landau (1877 - 1921). deutscher Mmhemmiker

398

5 Folgen und Reihen von Funktionen

denn es gilt ftir k = 0, I, ' , , ,/l p(.\'J;) =

L" fiLi(xd = L" fioik = fk.

i=O

i=O

Die Berechnung des Interpolationspolynoms hat sich somit auf die Ermittlung der Polynome Li' j = 0, ... ,11 verschoben. Nach Satz 2.4 besitzt das Polynom Li wegen Li E nll und L i(xi) = I genau die Nu1Jstellen XO . .... Xi-I, xj+ I, .... XII' Mit dem Ansatz qi(x) = (x -xo)' ... ,(x -xi-d· (x -xi+d· .... (x -XII) =

" n(x

-x,)

.,=0 "#i

erhalten wir qi

E

n"

qi(xJ:) = 0

fLir

mit

"I \ Ul.

k E {O.....

Aufgrund der Eigenschaft, daß die Stützstel1en xo . ... , XII paarweise verschieden sind, gilt zudem

"

qi(xi) = n<Xi-X5)'!-0, 5=0

·''''i wodurch mil

n" (x -x

5)

5=0

L.(x)= (/j(X) = ~,,,~,~. J qi(Xi) " (Xi -

n

5=0

#i

n "

Xs )

=

5=0

x-x s Xi -X s

s",i

das gesuchte Polynom vorliegt. Definition 5.5: Zu gegebenen 11 + I paarweise verschiedenen SützstelJen xo, ... durch

,X'I E IR::

heißen die

(5.62)

fur j = O.... ,11 definierten Polynome Li E

n"

Lagmngesche Basispoly"ome.

Zusammenfassend erhallen wir aus den vorangehenden Überlegungen in Kombination mit Satz 5.18 die folgende Aussage.

5.4 Interpolation

399

Satz 5.19: (Lagrangesehe [lIIerpolmiollslormel) Zu beliebigen /l + 1 Stützpunkten (xo. 10).·· .• (x", I,,) E [R2 mit paarweise verschiedenen Stützstcllen xo ..... X" E IR besitzt die eindcutig bestimmte Lösung des Interpolationsproblems (5.56) die Darstellung

"

p(x) ~ LJjLj(x)

(5.63)

j;;O

mit L j E

laut Dcfinition 5.5.

nil

Beispicl5.6: Betrachten wir wiederum die in Beispiel 5.5 gemäß (5.59) gegebencn Stützpunkte. so erhaltcn

w"'

Lo(.r) =

n"

J;;O

X - Xs (x - xj)(x - X2) (x - l)(x - 3) -- = = (0-1)(0-3) Xo -Xs (xo - XI)(XO -X2)

1

=3(x

2

-4x+3).

"w

Analog ergeben sich

wodurch die Lagrangesehe Interpolationsformel (5.63) das Inlerpolationspolynom 2

p(X) =

L /j L j(X) =

I . Lo(x)

+ 3 . LI (x) + 2 . L2(X)

j;O

I

2

3

2

I

2

17

5 2

=-(x -4x+3)--(x -3x)+-(x -x)=l+-x--x 3 2 3 6 6 ergibt. das wie erwartet mit der Lösung laut Beispiel 5.5 übereinstimmt.

Bezugnehmend auf die formulierten Zielsetzungen können wir zunächst festhalten. dass die Darstellung der Interpolierenden p in Form der Lagrangeschen Interpolationsformel keiner Berechnung bedarf, sondern direkt in der Form (5.63) vertUgbar ist. Demzufolge ist die Integration eines weiteren Stützpunktes formal ohne Zusatzaufwand möglich. Liegen die StützsteIlen in adäquater Entfernung zueinander, so erweist sich auch die Auswertung des Interpolalionspolynoms ftir beliebiges X E IR als stabil. Diesen positiven Eigenschaften der Methode steht jedoch ein zu hoher Aufwand bei der Auswertung des in der Form (5.63) gegebenen Interpolationspolynoms gegenüber. Die Auswertung eines Lagrangesehen BasispolY110ms (5.62) erfordert 211 Subtmktionen.1I Divisionen sowie 11 - I Multiplikationcn. womit sich 4/1

~

I arithmetische Operationen

400

5 Folgen und Reihen von Funktionen

ergeben. Die Auswertung des InterpoJationspolynoms (5.63) ergibt folglich 11 + I Multiplikationen.11 Additionen und 11 + I Auswertungen eines L
+ I) + 11 + (// + I) . (4// -

I) = 4// 2 + 5n = 0(//2)

arithmetische Operationen benötigt werden. Die Darstellung des Imerpolationspolynoms p gemäß der Lagrangeschen Imerpolationsformel (5.63) ist folglich fur eine praktische Umsetzung ungeeignet. Die Darstellung (5.63) ist jedoch von grundlegender Bedeutung bei der Herleitung interpolatorischer Quadraturformeln. siehe [50,45J. Zur Reduzierung des Rechenaufwandes kann zunächst durch die Einführung der Werte Yj :=

n--- . s=o'J "

1

r' -x

#j

j = 0, ....

11

s

die Ermittlung dieser Größen vom Bereich der Auswertung in den Bereich der Berechnung verlagert werden, wodurch auch bei wiederholter Auswertung des Interpolationspolynoms gemäß

"

n"

"

(5.64)

p(x) = LhLj(x) = L!JYj (x -xs) j=O j=o _.=0 s'!'j

diese Koeffizienten nur einmal bestimmt werden müssen. Aus der Gleichung (5.64) wird nun deutlich. daß die Problematik im Rahmen der Auswertung ihre Ursache im Term

n" (x -

s=o

x,<)

#j

findet. Definieren wir q(x):=

" n(x -

x s ),

s=o

so erhalten wir für j = O....•

n"

s=o

q(x) (x -x s ) = - x ~xJ

11

die Darstellung

flirxi=Xj'

s'!'j

Damit läßt sich das Interpolationspolynom in der Form

p(X) =

'I.

q(X)t !JYj, j=ox-Xj

für x

fl; ,

für x =

!

IxQ ..... x,,},

(5.65) Xl; •

k = 0, .... 11

5.4 Interpolation

401

schreiben, Innerhalb dcr Berechnung des Polynoms ergeben sich hierdurch 0(1/2) arithmetische Operationen zur Bestimmung der Koeffizienten YO, ... , y". Jede Polynomauswertung bedarf dagegen nur noch 0(11) arithmetischer Operationen, da das Hilfspolynom q außerhalb der Summe auftritt. Folglich sind die Zielsetzungen (3) und (4) durch diesen Ansatz erfullt. Leider ergibl sich jedoch rur q(x)

" f'Y' 2::-'-' x j=O

~x;

'

eine hebbare Singularität bei jeder Stützstc!le Xb k = 0, ... ,11, wodurch die Stabilität bei der Auswertung des Interpolationspolynoms in der Form (5.65) verloren gegangen ist. Für Werte x E IR. die sich in unmittelbarer Nähe einer StützsteIle befinden, findet fonnal eine numerisch instabile Quotienlenbildung mit Werten nahe Null stall.

Nevilleto·Schema Betrachten wir zwei Polynome 8, hE flt mit

g

10 xo Dann erhalten wir das interpolierende Polynom p E und (X2, 12) durch die Kombination p(x) =

"(X)(X - xo) - 8(X)(X - X2) X2 -Xo

.

Beispiel 5.7: Für das Standardbcispicl gemäß (5.59) stellen 8(X) = I +2x 10 Eric Harold Ncvillc (1889- 1961). englischer Mathematiker

fl2

zu den Stützpunkten (xo, [0), (XI, [t)

(5.66)

402

5 Folgen und Reihen von Funktionen

und

7

I

2

2

"(x) = - - -x

dic Intcrpolicrenden zu den Stützpunktcn (.q,!k) mü k = O. I rcspeklive k = 1.2 dar. Mil (5.66) ergibt sich.

p(x) =

h(x)(x - xo) - g(x)(x - X2)

X2 Xo 17 5 1 = I + - x - -x-.

6

=

(i - ~x) (x -

0) - (I

3

+ 2x)(x -

3)

0

6

Bemerkung: Analog kann man die linearen Intcrpolierenden g und 11 bestimmen. Betrachten wir die interpolierenden Polynomc 80, 81 E Tlo zu (xo. 10) respektive efl, 11), d.h. 80(X) = 10

und

. so hefert

81 (x) = 11 ,

g(x) = -08,,'("x")("x_---"x"0)'-----"8,,0(,,X-'-)(,,.,'-·---"x-'.C1l Xl -.ro

das Interpolationspolynom gE Tl i zu den Stützpunkten (xo, 10) und (XI, Id· Auf der dargestelltcn Idee basiert das Nel'ille-SclleIllG. Die rekursivc Vorgehcnsweise wird dureh den folgendcn Salz belegt. Definition 5.6: Seicn j, m

E

No, dann bezeichne

Pj.j+I ..... j+'" E Tl",

das zu dcn Stützpunktcn

(Xj./j) .... ,(xj+/II.1j+"')

gehörende Polynom mit Pj.HI ....Hm(xd=!k,

k=j.j+I." .• j+lII,

(5.67)

Im Fall paarwcisc verschiedencr Stützstcllen x j . .... Xj+1II ist die Existcnz und Eindcutigkeil des Polynoms Pj,j+1, ..,j+m durch Satz 5.18 belegt. Satz 5.20: (XII' In) vorgcgcbenc Stützpunkte zu paarweise verschicdcnen Scien (.ro. 10) Stützstcllen xo X". dann gilt mil j, m E No. j + m .::: 11 fur die Interpolationspolynome gcmäß Definition 5.6 die Rekursionsformel (5.68) flir j = 0, ...

,11

.

Pj.j+I .... j+1II

und

(x) _ (x - Xj)PHI, ...Hm(x) - (x -xHm)pj, ... Hm-l(X) (5.69) -

Xj+'" - Xj

5.4 Interpolation

für}

== 0"

.. ,11

-

I mit

111

E N und}

+ 111

403

Il,

:::

Beweis: Wir führen den Nachweis durch einc Induktion über Pj E no

fur }

mit

Pj(Xj)

111.

Für m

== 0 erhaltcn

wir aus (5.68)

== h

== O.... , 1/. ErfLillen

fur ein

fJj,j+1. ... j+mEnm

mit

111

E {O..... 1/

~

I} die Polynome

}=O",.,/l-II/

die Interpolationsbedingung (5.67), dann erfüllt für alle j

== 0 .... ,11

(m

-

+ I) das durch

q(x) := -,(·O'_---"x"i,,)IC'Li+",,'C''c·,C+"'C"+,:,,'(exe)_---'("x_-,-:.,,,'i:c+",,,,+"'C)"P"ic' C"."ic:+"mc(""x) Xj+IIt+1 Xj

n

n

gcgebene Polynom wegen fJj ..... j+m E n m und /Jj+I. .... j+m+1 E m die Bedingung q E m+ l . Desweitercn gelten aufgrund der interpolierenden Eigenschaften der Polynome Pj .... j+m und Pj+l. ... j+m+t die Gleichungen q(Xj)

==

(x; - X,')pi+1 ... i+11I+I(X,·) - (x; -X,'+m+l)Pi, ... i+m(X;) J

S'

J

J

S

S

J

Xj+m+l - Xj

== /Jj ..... j+m(Xj) == Ij. q(xj+m+d == /Jj+1. .."j+m+l(.\)+m+d == h+m+l.

sowiefLirk==}+ I ..... }+m

== Ik. Aufgrund der Eindcutigkeit dcs Interpolationspolynoms erhalten wir somit q == Pj.j+l . ... j+m+J.

o

Schematisch läßt sich das Nevillc-Schema in der folgenden Form darstellen:

10 == po(x)

\.

I1

==PI(X)

~

h

== P2(X)

~

1,,-1

f"

\.

== P,,_I (x) -,lo \. == p,,(x)

/JO.I(X)

-,lo

\. PI.2(X)

~

Pn-2.n-1 (x) . .

\. P,,_I.,,(x)

-,lo

PO,l.2(x)

(5.70) . ... PO . ... ,,-1 (x)

\. P,,-2, ".,,(x)··· PI. ...,,(x) ---+ Po, ...,,(x)

404

5 Folgen und Reihen von Funktionen

Mit IJo, 11 E n,1 liegt abschließend das gesuchte Interpolationspolynom zu den Stützpunkten Jo) (X", 111) vor. Dabei ist das Nevil1e-Schema aus algorithmischer Sicht zur expliziten Berechnung des interpolierenden Polynoms nicht geeignet. Vielmehr ergibt das Verfahren eine direkte Möglichkeit zur Polynomauswertung, wodurch eine Berechnung des Polynoms analog zur Lagmngeschen Interpolutionsformel entfiillt. (xo.

Beispiel 5.8: Zur Auswertung des bezüglich der Stützpunkte (5.59) festgelegten Interpolationspolynoms P E rh an der Stelle X = 2 ergibt sich auf der Basis des Neville-Schemas folgende Vorgehensweise. Mit PO(2) =10= I.

fJl(2) =

II =3 und

p2(2)=f2=2

folgt IJ O.I(2) =

(2-XO)pl(2)-(2-x»po(2) XI

Xo

=

(2-0)·3-(2- 1).1

I

0

=5

sowie ,(2'_-__'X"-,)''P~2"-(2:c)_---"(2'_-__'X~2)"I,,"~(2::.:) 5 pl.2(2) = = ~2 . X2 -XI

Abschließend erhalten wir übereinstimmend zum Beispiel 5.5

P(2) = IJO.1.2 (2) =

(2-xo)pl.2(2)-(2-X2)pO.I(2) X2

xo

=

(2-0)·1-(2-3).510 = 303

Eine nachtriigliche Inlegration eines weiteren Stützpunktes ist durch eine einfache Erweiterung um eine zusätzliche Zeile im Neville-Schema (5.70) möglich. Zudem entfällt die Berechnung des Polynoms und die Auswertung ist stabil. da Divisionen ausschließlich durch Stülzstellendifferenzen vorgenommen werden müssen. Jedoch ergeben sich bei der Auswertung 7 arithmetische Operationen pro Berechnungsvorschrift (5.69), so daß mit insgesamt

arithmetischen Opemtionen ein im Sinne der Zielsetzung zu hoher Rechenaufwand vorliegt. Dennoch wurde durch das Neville-Schema eine rekursive Technik vorgestellt, die für die Entwicklung der folgenden NewlOnschen Interpolutionsformcl von zentraler Bedeutung ist. Newtonsehe Interpolationsformel Im Abschnitt 2.1.5 haben wir mit dem Horner-Schema eine Möglichkeit zur effizienten Auswertung von Polynomen kennengeIernI. Liegt das lnlerpolationspolynom in der Form

5.4 Interpolation

Il(X)

= ao + al(X

- Xo)

+

al(X -

xoHx - XI) + ... + a ll (X

- xo)'

405

. (x - x,,-t>

(5.71)

=ao+(x-xo)[al +(x-xt>[... [atl_1 +(X-X,,_I)(/,,] ... ]]

(5.72)

vor, so ergibt sich bei der Auswertung der Darstellung (5.72) eine Il-malige Berechnung der Kombination (/j_I+(X-Xj_])aj.

)=[, .... 11,

wodurch sich ein Gcsamtaufwand von 3/1 = 0(1/) arithmctischen Operationen ergibt. Dic Bcrechnung dcr auftretcndcn Koeffizicnten (/0, ... '(/11 werdcn wir in Anlehnung an das Nevil1c· Schema mittels der sogenannten dil'idierlen Differenzen durchfUhren. Definition 5,7: Zu gcgebenen Stützpunkten (xo. 10) •... , (x". I,,) E ]R2 mit paarweisc verschiedenen SlÜtzstellen xo. .... XII E IR sind die dil'idierlen Differenzen rekursiv durch (5.73) fur j =0..... 1l und (5.74) fur j = O..... 1I

-

I mit

III

E N und)

+ III ~ n definiert.

Analog zum Neville-Schema ergibt sich folgende graphische Darstellung der Rekursion: 10 =

!fxol

" "

XII

II =flxll

~

flxo.

h = fl X2J

~

flxl. X2J

[',-1

= !lx,,_II----lo IIx,,_2. X,,_t I

[,,=flxlIl

"

~

""

flxo.

Xt.

X2J .

----lo !lxlI_l.x,,1 ----loflX"_2.X,,_I ..r,,J··

J[xo

x,,_ll

flXI ..... .r,,1

"

-+flxo ..... x,,1

(5.75)

Der Aufwand zur Berechnung ergibt sich bei 3 arithmetischen OpcTlllionen pro Verknüpfung (5.74) zu insgesamt i(1l + 1)/1 = 0(1/2) arithmetischen Operationen. Vorausgesetzt. daß eine einfache Korrelation zwischen den dividierten Differenzen und den Koeffizienten der Interpolierenden gemäß (5.71) besteht, dann ergibl sich durch diese Vorgehensweise ein Algorithmus,

406

5 Folgen und Reihen von Funktionen

dcr allen Zielsetzungen genügt. Die fchlende Eigenschaft werden wir durch den folgenden Satz nachweisen.

Satz 5.21: (NewtollSche JlllerpoJalion.'ijormeJ) Zu gegebenen Stützpunkten (xo, [0) ..... (x". [,,) E IR2 mit paarweise verschiedenen StützsteIlen xo . .... x" E IR besitzt das Inlerpolationspolynom P E n" die Darstellung

p(x) = [[xo]

+ [[xo. XI J(x -

xo) + ... + [[xo, ... , x"J(x - xo) .

wobei flxo ..... xjl, j = 0, .... repräsentieren.

11.

. (x - x,,_1> ,

die dividierten Differenzen laut Definition 5.7

Beweis: Der Nachweis ergibt sich durch eine vollständige Induktion über 11 E No. Für 11 = ist die Behauptung wegen ffxol = 10 offensichtlich. Sei die Aussage rur 11 + I beliebige Stützpunkte mit paarweise verschiedenen StützsteIlen gültig. Für 11 + 2 Stützpunkte (xo. 10) .... , (X,,+I. [,,+1) mit Xj i= Xj. i =1= j, ergibt sich mit der Notation gemäß Definition 5.6

°

po....II(X) =

Ilxol + l[xo. x!J(x -xo) + ... + flxo,

... , x"

I(x -xo)"

.. ' (x - X,,-tl (5.76)

sowie PI. ... ,,+1 (x) = f[xII+ f[XI, x21(x -xl>+ .. . + flxl, ... , x"+ll(x -x,),

. (x -x,,). (5.77)

Schreiben wir PO..... ,,+1 E n,,+1 in der Form />0..... ,'+1 (x) = ao

+ al (x -

xo)

+ ... + a,,+1 (x -

xo)· .... (x - x,,),

(5.78)

so erhalten wir unter Verwendung der jeweiligen Interpolationseigenschaftcn

ftir j = 0.... ,". Sukzcssive Nutzung der obigen Gleichung mit ansteigcndcm Stützstellenindex j liefert mit (5.76) und (5.78) die ldentitäten

aj=J[xO..... xjl.

j=O..... II.

Verbleibt noch der Nachweis rur den fLihrenden Koeffizienten (/,,+1. Für das Polynom (5.78) gilt einerseits />0..... "+1 (x) = a,,+lx,,+1

mit q E

n"

+ q(x)

und andererseits unter Verwendung des Satzes 5.20, Gleichung (5.69).

(,."~'_-~"~'O~)~I'~I.~.~,,'~'+~I~("~'),----~(~"_-,---"~"~+~I)~I'~o~.~ ...~"c(":.:') po.. .. ,,+1 (x) = -

(5.79)

5.4 Interpolation (5.76),;,,(5.77) !lXI. , . , • X,,+I J - !lxo, X,,+I

~

Xo

"X"J x '1+t

+ q'(X )

407

(5.80)

mit (j E n". Ein einfacher Kocffiziemenvergleich zwischen (5.79) und (5.80) liefert die Behauptung aufgrund der Basiseigenschaft der Monome IIIk(X) = x k • k = 0, ... ,11+ I im Polynomraum

0

~+l.

Beispiel 5.9: Auf der Grundlage der Slützpunkte laut (5.59) ergibt sich

!lxoJ =

Jo =

I,

f[xll- flxol

f[xo,.ql =

XI-XO

f[.f2I-flxll

f[ x l. X 21 =

X2

XI

3- I

= - - =2, 1-0

2-3 3- I

= --

sowie

flXl,X2J~flxo.xll

!lxo,xl.x21=

X2 -xo

=

I

=~-

2

-~-2 "0 -

5 --6·

Damit ergibt sich das zugehürige Interpolationspolynom p E p(x) = f[xol

+ flxo ..\"]](x ~ xo) + f[XO,xl. x21(.r -

= 1+ 2(x

~

n2 durch Satz 5.21

in der Form

.ro)(.r -.rt}

5

0) - -(x - O)(x - 1). 6

Einfache Umformung ergibt in Übereinstimmung mit den Beispielen 5.5 und 5.6 die Darstellung p(x) =

17

1+ 6

x _

5

'(/_2.

Fehleranalyse In zahlreichen Anwendungsgebieten. speziell der numerischen Integralion, stellt sich die Frage nach der GUte der Interpolierenden bezUglich der Approximation einer gegebenen Funktion in Abhängigkeit von der gewählten Slülzstellenverteilung. Dieser Fragestellung werden wir uns innerhalb des vorliegenden Abschnitles widmen.

Satz 5.22: Sei f: [a. bl--+ lR eine (11+ I)-mal sletig differenzierbare Funktion und .\"0..... x" E [a, bJ paarweise verschiedene StützsteIlen. Für das Illterpolatiollspolynom p E n" mit p(xt) = f(xt), k = 0•.... 11

408

5 Folgen und Reihen von Funktionen

gilt fur jede Stelle

fw -

x E [a, b] die Fehlerdarstellung w(x)f("+I)(~)

p(X) =

(11

+ I)!

mit einer Zwischenstelle ~ = w(x) = (x -xo)

0

~(X)

(5.81)

E

La. bJ und

o(X_X,,).ll

Beweis: Mit w(xJ:) = 0 flir k = 0 ..... 11 folgt die Aussage zunächst flir alle Stützsteilen. Sei [a. b] \ {xo ..... x,,}, dann definieren wir k(X) := fex) - p(x) E IR.

x

E

(5.82)

w(x)

Die durch (5.83)

rp(x) := fex) - p(x) - k(X)· w(x)

definierte Funktion rp : [a. b] --7 IR ist somit (11 + 1)-mal stetig differenzierbar und besitzt mindestens die 11 + 2 Nullstellen xo . .... X". x E [a. bIo Mehrfache Anwendung des Satzes von Rolle (Satz 3.7) liefert hieraus die Existenz mindcstcns einer Nullslelle ~ = ~(X) E [a. b[ der Funktion rp(,,+I). Da fur X E [a. b] slets IJ(,,+l)(x) = 0

und

w(n+l)(x) = (11

+ I)!

gclten, ergibt sich aus (5.83) dic Darstcllung

Hiemlit gilt _ k(x)=

!(II+I)(~(X)

(II+I)!

und folglich gemäß (5.82) dic Behauptung !(X) - p(X) = w(X)k(X) =

11 Dic Funktion

w(x)f(Il+I)(~(X»

(11+ I)!

w wird hiiufig :.ls KIlo/enpol)"lIol11

bezcichnc!.

.

o

5.4 Interpolation Betrachten wir eine beliebig oft differenzierbare Funktion I : la. bJ _ Ableitungen gleichmäßig beschränkt ist. das heißt ein M > 0 mit

lIf(tl)lloo =

409

IR deren Folge von

sup I/(tI)(x)l:::: M XE:I
fur alle 11 E N existiert. Dann folgt unter Verwendung von Iw(x)1 = I(x - xo)·.,,· (x - xll)1 < (b - a),,+1

die Eigenschaft x -px ( )1 Ilf -p 11 00= sup I f() xE!a.bJ

(b_a)Il+1

<M (11

+ I)!

_0

S,,".22

=

fur

sup

Iw(x)f'''+''(,(x)) I

xEja.bJ

(/I

+ I)!

11_00.

Unabhängig von der expliziten Wahl der paarweise verschiedenen Stützstel1cn ergibl sich Hir wachsende StützsteIlenzahl bei derartigen Funktionen I folglich eine gleichmäßige Konvergenz der Folge der Interpolationspolynome gegen die gegebene Funklion. Häufig treten bei wachsender Anzahl der Slützstellen jedoch Probleme bei der Approximation der Funktion I durch die Folge von Interpolationspolynomen auf. Runge 12 verdellllichte diesen Sachverhalt bereits 1901 sehr eindrucksvoll an der Funktion I : !~5.5J _ IR. fex)

~

I --,. I +x-

(5.84)

Im Fall einer Folge äquidistanter Unterteilungen mit Xk

= -5

lOk

+ -n ,

k:::: 0.1" ... 11 E N

können wir Fig. 5.4 den Verlauf der Runge-Funktion (5.84) und des jeweiligen Interpolations· polynoms po....." E n" entnehmen. Mit steigender Stützstellenzahlll wachsen die Oszillationen der Interpolierenden PO....." derart stark an, daß Hir 11 = 20 die Rungc·Funktion im benötigten Maßstab als Konstante erscheint. Für dieses Beispiel kann sogar

lIf - Po....." 1100

=

sup

XE[-5.51

I/(x) -

Po, ... ,,(x)! _ 0

Hir /I _ 00 nachgewiesen werden. Generell kann daher auch bei einer beliebig oft differenzierbaren Funktion durch einfache Erhöhung der Anzahl der Slützstellen keine Reduktion des maximalen Fehlers zwischen gegebe· ner Funktion und zugehörigem Interpolationspolynom erLielt werden. Vielmehrexistiert zu jeder Folge von Unterteilungen mit steigender StützsteIlenzahl eine stetige Funktion I derart, daß die Folge der zugehörigen Interpolationspolynome nicht gleichmiißig gegen I konvergiert. 12 earl David Tohnc Runge (1856- 1927), deutscher Mathematik.er

410

5 Folgen und Reihen von Funktionen

••

/

,

•• ,

,

,

,

., ,

,

,

,!---'

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I·

Ruooe-F"""1ion

1__ . . . . . ·

-#:!.5'

><)InGrod20

0

S

Fig. 5.4: Runge-Funktion und zugehöriges Interpolmionspolynol11 Po ,... 11' 11 = 2.4.8.20.

5.4.2

Splincintcrpolation

Zur Vermeidung der bei der Polynominterpolation auftretenden Oszillationen verwendet man sehr häufig Polynome niedrigeren Grades auf Teilirllcrvallen. die an den Intervallgrcnzen geeignet miteinander verbunden werden. Die resultierende, stückweise polynomiale Funktion wird Spline genannt. Wir betrachten im Folgenden stets die Stützpunkte

mit paarweise verschiedenen und aufsteigend geordneten Stützstellen

a = Xo <

XI

< ... < X" = b.

Desweiteren sei stets

5.4 Interpolation

411

ein Polynom und der zugehörige Spline durch

s :

ra. bl_ IR

mit

sex) == sdx)

ftlr

XE lX/;,X/;+lJ. k ==0, , ..

,/1 -

I

festgelegt Es gil1 somit

Splines werden entsprechend dem Grad der Basispolynome s/; klassifiziert, Wir werden uns hinsichtlich einer intuitiven Darstellung der generellen Vorgehensweise zunächst den linearen Splines zuwenden und anschließend gängige kubische Splines vorstellen.

Lineare Splines Lineare Splines entstehen durch lineare Verbindungen zwischen den Datenpunkten /1 ~ I, siehe Abbildung 5.5.

(X/;+I. h+l) Hir k == 0, ....

J,

h h J, Jo

"

<0

11

= .'0

"

<'

X3

.q=b

Fig. 5.5: Linearer Spline Wir fordern dementsprechend für den linearen Spline die Eigenschaften .f(X!;) ==

h.

,I,

,

k == O..... 11

und Xk·Xk+1

E

nl

•

Auf jedem Teilintervall

Die Koeffizienten ao./;,

k == 0, .... 1l [XI;. X/;+

al./;

-

I.

I I verwenden wir den Ansatz

E IR ergeben sich allS den Interpolationsbedingungen

(Xk,

f!;),

412

5 Folgen und Reihen von Funktionen

sowie dLt

=

wodurch fur k = 0, ... , 11

I

=

Xt+l - Xt -

ft+l -

h

Xt+l - Xt

I der lineare Spline die Form

',,(x)=St(x)=h+ Xt.X~+1

ft+l - ft Xt+l

Xk

(x-xt>

besitzt. Kubische Splincs Der lineare Spline ist offensichtlich an den StützsteIlen nicht notwendigerweise differenzierbar. Um einen stetig differenzierbaren Spline zu erhalten, muß daher noch je eine Übergangsbedingung rur die Ableitung an dcn inncren Stützstcl1en Xl, ... ,X,,-l gefordert werden. Damit ist es erforderlich, daß jcdes Polynom zusätzliche Freiheitsgmde erhält. Ganz kanonisch würde somit zunächst die Betrachtung quadratischer Polynome mit Jt E n2 nahc1iegen. Quadratische Splines weisen jedoch oftmals ein stark oszillierendes Verhalten auf, das auf Sprünge im Krümmungsverhalten an den inneren StützsteIlen zurückzufLihren ist. Der hiermit teilweise einhergehende VorLcichenwcchscl bei der zwcitcn Ableitung liefen einc Wendepunktstruktur an dcn Stützste!len. Innerhalb praktischer Anwendungcn werden demzufolge üblichcrweise kubische Splines genutzt, bei denen gefordert wird, daß der resultierende Spline zweimal stetig differenzierbar ist. Neben der interpolierenden Eigenschaft des Splines fordern wir an den inneren Stützstellen Xt, k = I .... , n - I. die Übereinstimmung der ersten und zwciten Ablcitung dcr zugchörigcn Polynomc ~}-l und St, Betrachten wir den Ansatz Sk(X) = dO.t

+ dl.t(X -

Xt)

+ dH(X -

Xt)2

+ (/3.k(x -

Xt)3,

(5.85)

so benötigen wir vier Bedingungen zur Festlegullg der Koeffizientcn. Für die Teilpolynome Sk mit k = I ..... " - I ergeben sich aufgrund der obigen Zielsetzung die folgenden Forderungen: Zwei IlIlerpo/lI/iombedingungen ~}(Xt)

Zwei

= ft,

(5.86)

Sleigll"g~'bedillgullgell

S~(Xt> = s~_l (xt>.

(5.87)

Zwei Kriil/ll/luJlgsbedil1guJ1gen

sf(xt> =

s;:_1 (xt>,

(5.88)

5.4 Interpolation

413

Die Darstellung erweckt zunächst den Eindruck, daß das Interpolationsproblem überbestimmt ist, da mit (5.86)-(5.88) insgesamt sechs Bedingungen zur Bestimmung der vier Koeffizienten vorliegen. Da die Forderungen (5.87) und (5.88) jeweils doppeil auftreten, werden wir durch die folgende Sichtweise erkennen, daß das Problem sogar formal unterbestimmt ist und zwei zusätzliche Bedingungen an den Randpunkten xo = {/ und x" = b zur Schließung benötigt werden. Zur Klärung dieses Sachverhaltes betrachten wir die vorliegenden Bedingungen pro StützsteIle. Für die inneren StützsteIlen Xk, k = I..... /I ~ I liegen zwei lnterpolationsbcdingllngen (5.89)

eine Steigungsbedingllng (5.90)

und eine KTÜmmungsbedingung (5.91)

vor. An den Rändern Xo = (/ und XII = b ergibt sich dagegen nur eine Interpolationsbedingung So(Xo) = 10

respektive

S,,_I (x ll )

=

I,,·

Die n + I Stützsteilen xo ..... X" liefern folglich 4(/1 - I) + 2 = 4/1 - 2 Bedingungen ftir 4/1 Koeffizienten der /I kubischen Polynome Sk, k = 0, . , . , n- L In Fig. 5.6 stellen die eingekreisten Ziffern die Bedingungen an der jeweiligen StützsteIle dar, während die untere Zahlenfolge die resultierenden Forderungen pro Polynom verdeutlichen.

0

CD I

t

,

3

I

0

t 4

I

0

t

4

I

0

t

4

I

CD

t

I

b

3

Fig. 5.6: Quantilizierung der Splinebcdingungen

Durch die gewählte graphische Darstellung wird die Notwendigkeit je einer zusätzlichen Randbedingung ersichtlich. Somit ergeben sich unterschiedliche kubische Splines, die in Abhängigkeit von der betrachteten Randbedingung klassifiziert werden. Wir werden uns auf zwei gängige Typen konzentrieren. Neben dem durch die Randbedingungen (5.92)

definierten natürlichen Spline betrachten wir den l'ollsländigen Spline der auf den Randbedingungen sb(xo) = I'(xo)

und

s;'_1 (XII) = I'(x,,)

(5.93)

414

5 Folgen und Reihen von Funktionen

beruht, wobei

1 die zu approximierende Funktion repräsentiert.

Zur Berechnung der Koeffizienten bezeichnen wir neben dem bekannten Funktionswen !k mit I{ die noch unbekannte Steigung des Splines an der StützsteIle Xk. Die Berücksichtigung der unterschiedlichen Randbedingungen lindet
(5.94) rur k = O....• n - I folgern. Desweileren ergibt sich unter Verwendung der Steigung Gleichung

I{

die

(5.95) rur k = 0, .... 11 - 1. Nutzen wir zudem die Schrittweitenbezeichnung ßXk = Xk+1 - XI;. k = 0, .... 11 - I, so erhalten wir aus Sk(Xk+J) = Ik+J und 05; (xk+ 1) = I{+I die Gleichungen 1k+1

+ (lLkßXk + (l2,kßxl + aJ.k ßxl ' GLk + 2a2,kßxk + 3a3,/;ßxl·

= (lO.k

I{+I =

Einsetzung von (5.94) und (5.95) liefert das lineare Gleichungssystem

Elementare Auflösung der Gleichungen ergibt rur k = O..... 11-1 die Bestimmungsgleichungen 31k+J - 31k - 21{ßXk ßX;

I{+I ßXk

(5.96)

und

(5.97) Bei Kenntnis der Sleigungen I{, k = O..... 11. können mit (5.94)-(5.97) die Koeffizienten aller Polynome und folglich der gesamte Spline ermittelt werden. Die Berechnung der Steigungen basiert flir die inneren Slützstelien auf der Krümmungsbedingung (5.91). Berücksichtigen wir

5.4 Interpolation

415

dann Hißt sich (5.91) in der Form

ftir k = I, ... , 11 ~ I schreiben. Einsetzen der Koeffizientengleichungen (5.96) und (5.97) in obige Darstellung ergibt 23fk - 3fk-t - 2f{_tL'Jxk_l - f{L'Jxk_t L1xLl

=2

3!k+l - 3fk - 2f{L'J-rk - f{+1 L'J.q '>

•

L'Jx;

k=l, .... /I-I.

Multiplikation mit L'J-rkL'Jxk_J/2 und anschließendes Umordnen liefert

(5.98)

ftir k = I, ... , Il - I. Wir erhalten hiermit wie erwartet das unterbestimmte Gleichungssystem bestehend aus n - 1 Gleichungen für die 11 + I unbekannten Steigungen f f,;. Das System wird nun durch Hinzunahme der zusätzlichen Rllndbedingungen geschlossen. Für die natürlichen Randbedingungen ergibt sich

o'....

o=

Sö (xo) = 202.0

sowie 0= s;:_1 (XII) = 202.11_1

+ 603.11_] L1x

lI

_1 ,

wodurch sich wiederum mit (5.96) und (5.97) die Gleichungen 2f/

o

+ f'

1

= 3

fl

-

fo

(5.99)

L'Jxo

""cl (5.100)

ergeben. Zusammenfassend ergibt sich mit (5.98)-(5.1 (0) das lineare Gleichungssystem

A

(f~) ~b ["

(5.101)

416

5 Folgen und Reihen von Funktionen

mit

1

2 .:1xI

2(.Llxj

+ .:1xo)

.Llxo

2(L1x2

L1x2

+ .Llxj) E Mat(ll+ I, IR) 2(Llx n_1

+ L1x,,_2)

L1xn_2

2 und

Im Kontext des vollständigen Splines liegen durch die Randbedingungen (5.93) direkt die Steigungen an den Riindern in der Form

/0 =

/'(xo)

und

t,; = /'(x,,)

vor. Das resultierende Glcichungssyslem weist wiederum die Form (5.101) auf, wobei sich die Matrix A E Mat(n + I, IR) in der Form

o

2(L1xl + L1xo) L1x2

L1xo 2(L1x2 + L1xl)

2(.Llx,1 _1

schreibt und die rechte Seite durch

!._d<:lX._2 <:lXn_1

+ (fn-I

1'(x,,)

gegeben ist.

!n_2)<:l.,n_l) <1X._2

+ .LlX,1_Ü

o

.:1xll _2

5.4 Interpolation

417

Bcispicl5.IO: Anhand der Runge-Funktion f : [~5,51-+ IR, I f{x) = - - , I +x-

hattcn wir bei äquidistanter Stützstellcnvertcilung das Oszillationsverhalten intelpOlierender Polynome studiert. Bezogen auf die Stützstelten Xk

= -5

lOk

+ -,

"

k = 0, I, .... " E N

sind in den Abbildungen 5.7 und 5.8 neben der Runge-Funktion der natürliche beziehungsweise der vollständige Spline fLir 11 = 4 respektive n = 20 dargcstcllt.

,

•• ••

,

,

.,

, ,, ,, ,, ,

,

,,

,

. . .

,,

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,,

, ,

,

L..--- "

. .,,~-.._._.-'----J;:]-;;~'-2~·~·~·~· .~.~ . ,

~

··v

l(lrn_.

Fig. 5.7: Runge-Funktion und natürlicher Spline (links) respektive vollständiger Spline (rechts) Hir /I = 4.

Verglichen zur Polynominterpolation (Fig. 5.4) weisen beide Splines eine deutliche Verbesserung bei der Approximation der Runge-Funktion auf und zeigen den gewünschten, weitgehend oszillationsfreien Verlauf. Zudem erkennt man keine Unterschiede bei den Ergebnissen der beiden Spline-Typen. Die Ursache liegt im Wesentlichen darin begründet, daß mit den natürlichen Randbedingungen (5.92) wegen J"(~5)

= fl/(5);::;:: 0.008

eine gute Approximation der exakten Krümrnungswerte erLielt wurde. Schränken wir dagegen das Definitionsgebiet dcr Runge-Funktion auf das Intervall [0,51 ein, so erhalten wir bei der Stützsteilenwahl Xk

5'

= - , k =0,1 .... /1 E N

"

fLir fl = 4 die in Fig. 5.9 dargestellten Verläufe.

418

5 Folgen und Reihen von Funktionen

I I/ I

••

..., ••

~

• .

•• •• ••

., •

-~_funklion

,

··N~

•

~,

IUrno2\l

,

/

~

.. , -

•

-O'~5

~,

flunge-funklion

IUrn.2\l

Fig. 5.8: Runge-Funktion und natürlicher Spline (links) respektive vollständiger Spline (rechts) fUr 20. Rungot-F_ NatUrliI:l>Itr • ""n.4

••

••

••

'.

,

,

,, ,, ,

11

,

=

,, ,, ,, ,,

, ..!---~----;-,-~:~::=;===~,

Fig. 5.9: Runge-Funktion auf [0.51 und nntürlieher Splil1e (links) respektive vollständiger Splinc (rechts) fUrll = 4.

Aufgrund der großen Diskrepanz zwischen dem exakten Krümmungswert j"(O) = ~2 und der natürlichen Randbedingung ergibt sich eine erhöhte Abweichung beim natürlichen Spline. Dagegen zeigt der vollständige Spline am linken Rand ein signifikant besseres Approximationsverhalten. Jedoch muß an dieser Stelle angemerkt werden. daß der vollständige Spline im Gegensatz zum natürlichen Spline zusätzliche Informationen der zugrundeliegenden Funktion benötigt. die in realen Anwcndungen häufig nicht verfUgbar sind. Bei der Herleitung der Splines sind wir stets von einer speziellen Form der Polynome SI; ausgegangen. Naheliegend erscheint zunächst die Verwendung der klassischen Darstellung gemäß SI; (x)

=

lIO.1;

+ lIl.I;X + llux2 + (lJ.kX 3

5.5 Fouricrreihcn

419

zu sein. Das resultierende Gleichungssystelll zur Berechnung der Koeffizienten zeigt hierbei jedoch eine unstrukturierte Form und die Hinzullahme weiterer StützsteIlen erweist sich im Gegensatz zur vorgestellten Methode als aufwendig und programmiertechnisch unvorteilhaft. Eine gelungene Darstellung dieses Ansatzes findet man in [52]. Die positiven Eigenschaften kubischer Splilles hinsichtlich des Oszillationsverhaltens lassen sich nicht nur experimentell beobachten, sondern auch mathematisch beweisen. So minimiert der vollsttilldige wie auch der natürliche Spline die Norm

! b

1II"I1,'~

l"(x)2d,

" über die Menge aller zweimal stetig differenzierbaren Funktionen g : [tl. b] --4> IR mit g(.~k) = !k fur k = O....• n. Folglich sind die vorgestellten beiden Typen kubischer Splilles in diesem Sinne optimal im Krümmungsverhalten und weisen daher minimale Oszillationen auf. Ein Nachweis dieser Minimum-Norm-Eigenschaft wird beispielsweise in L45, 52J geliefert.

s.s

Fourierreihcn

In Physik und Technik spielen periodische Vorgänge eine große Rolle. In Form von mechanischen oder elektrischen Schwingungen, von Wellen, Drehbcwegungen u.a. treten sie vielfach auf. Zur Beschreibung werden periodische Funktionen benutzt, unter denen die Sinus- und Cosinusfunktionen eine fundamentale Rolle spielen. Das Darstellen beliebiger periodischer Funktionen durch Reihen von Cosinus- und Sinusfunktionen ist dabei die mathematische Grundaufgabe. Reihen dieser Art nennt mun Fourier-Reihen zu Ehren von Jeun Baptiste Joseph Fourier (1768~ 1830), der den entscheidenden Lösungsunsmz fand.

5.5.1

Periodische Funktionen

Unter einer periodische" Funktion verstehen wir eine Funktion

[(x

+ L) ~ [(x)

f

auf IR, die die Gleichung (5.102)

Hir alle x E IR erHiIit. Dabei ist L eine positive Konstante. L heißt die Periode von f. Man nennt fauch kurL eine L-periodische Funktion. Teilt man die reelle Achse in Intervalle der Länge Lein, etwu in Intervalle [kL, (k + I)LJ (k ganzzahlig), so ist der Graph von f auf allen diesen Intervallen gleich, von seitlicher Verschiebung abgesehen (s. Fig. 5.10). Die Funktionen sinx und cosx sind wichtige Beispiele Hir periodische Funktionen. Sie haben die Periode 2Jr. Die Funktionen sin(lIx) ,

cos(nx)

Hirn E N

haben die Perioden 21T In. Damus folgt aber, daß sie ebenfalls die Periode 21T haben. Zusammen mit der Funktion l,O(x) == I bilden sin(lIx) und cos(nx) (11 E N) das trigonometrische Funklionem}'stem.

420

5 Folgen und Reihen von Funktionen

Wir merken an, daß man jede periodische Funktion f, mit Periode L > 0, leicht in eine Funktion mit der Periode 27T verwandeln kann. Man hat nur die Substitution x = t . L/(27T) vor.wnehmell, also

zu setzen. Die so definierte Funktion j hat die Periode 27T. Es bedeutet daher keinen Verlust an Allgemeinheit, wenn wir uns nur mit 27T-periodischclI Funktionell beschäftigen. y

, Fig. 5.10: Periodische Funktion. mit Periode L

5.5.2

Trigonometrische Reihen, Fourier-Koeffizienten

Es sei f : IR -+ IR eine beliebige 2tr-pcriodische Funktion. Wir stellen uns die Aufgabe, sie durch eine Reihe der folgenden Form darzustellen: 00

fex) =

uo " (a" COS(IIX) + b" sm(nx» . "2 + L... ,,=1

.

13

(5.103)

Eine Rcihe dieser Gestalt heißt IrigoJlomerrische Reihe. Ist es möglich, [so darzustellen? Und wie kann man gegebencnfalls die Koeffizientcn (10, (11. b l , b2, ... bercchnen? Zur Lösungsfindung wollen wir zunächst annehmen. duß cinc Reihcndurstcllung (5.103) tatsächlich existiert, mehr noch, duß die Reihe in (5.103) gleichmäßig gegen [(x) konvergiert. Man geht nun so vor: Seidc Seitcn dcr Gleichung (5.103) wcrden mit sin(kx) multiplizicrt (wobei k E N ist), und unschließcnd wird über [-Jr. 7T I intcgricrt. Rechts darf gliedweise intcgrien wcrden - wegen der gleichmäßigen Konvergenz. Also gilt

(12, ...,

f,

[(x)sin(kx)dx =

-If

~o.

f"

sin(kx)dx+

-If

+

OO((1111, E

"

COS(IIX)Sin(kx)dx+b,,1 sin(nx) sin(kx) dx

13 Daß
)

5.5 Fouricrreihcn

421

Nun kOlTImen die OrthogollGlitiilsrelationen ins Bild. s. (4.64), Abschn. 4.2.2. Danach verschwin-

"

den auf der rechten Seite alle Integrale bis auf eines. nämlich das Integral! sin(nx) sin(kx) dr mit

11

-"

= k. Sein Wert ist lT. Also gilt

!

"

j(x) sin(kx) dr

"

= bt ! sin 2(kx) dx = b"lT .

-"

(5.104)

-"

Multipliziert man (5.103) entsprechend mit cos(kx) und integriert über aus den Orthogonalitiitsrelationen

! "

G" ! j(x)cos(kx)dx =

-"

"

2

cos (kx)dx = CI"lT.

"2°

"

~!

b" = -;I

-, "

f

f

j(x)cos(lIx)dr,

.

E

lT], so erhiilt man

N,

-"

"

(5.105) Idr=aOlT,

Löst man die Gleichungen (5.104), (5.105) nach b" bzw. man a" =

fUrk

l~lT.

f(x)sm(lIx)dx.

fLir k = O.

GI.:

auf und schreibt

11

stau k, so erh:ilt

fUrll =0.1.2, (5.106) fürn = 1.2, ....

-" Damit können sämtliche Koeffizienten berechnet werden. Diese Methode der Koeffizientenberechnung ist Fouriers geniale Entdeckung. Die Ausdrücke in (5.106) heißen daher FOllrier-Koeffiziemen. Wir hatten vorausgesetzt, daß f eine gleichmäßig konvergente Entwicklung in eine trigonometrische Reihe besitzt. Dies allerdings weiß man apriori nicht. Immerhin kann man aber fUr jede imegrierbare FUliktion j auf [-lT, lT J die Fourierkoeffizienten nach (5.106) ermitteln und damit formal die Reihe [ G20

+ ,~(all cos(nx) + b" Sin(IIX»]

bilden. Sie heißt Fourier-Reihe von f. Dabei entsteht das Hauptproblem: Für welche Funktionen f konvergiert die Fourierreihe gegen f? Eine Hir Technik und Naturwissenschaft befriedigende Antwort lautet: Für alle »stückweise glatten« Funktionen! Wir wollen dies priizisieren:

422

5 Folgen und Reihen von Funktionen

Definition 5.8: Eine Funktion f, definiert auf einem Intervall I, heißt stückweise gl(/If, wenn folgendes gilt:

f

ist stetig differenzierbar, ausgenommen auf einer Menge von Punkten, die sich nirgends häufen. (b) In diesen Ausnahmepunkten X; existieren die rechts- und linksseitigen Grenzwerte f(Xi+) und f(xj-), wie auch 1'(Xj+) und 1'(x;-). Mit dem Millelwertsatz der Differentialrechnung folgt dann (a)

lim f(Xi 11-0+

+ h) -

f(Xi+) ,

f'(xj-) = !im f(Xi 11_0_

+ h) -

f(Xi-) .

f'(x;+) =

h

h

(5.107)

(e) [n allen Punkten Xi ist der Funktionswert f(xj) das arithmetische Mittel der einseitigen Grenzwerte: f(x;)

~

1 2([(x;+)

+ f(x;-»·

(5.108)

Die letzte Forderung ist schon stark auf Fourierreihen zugeschnitten, die in SprungsteIlen tatsächlich gegen diese Mittelwerte konvergieren. Es gilt nämlich der

Satz 5.23: (Kollvergellz VOll Fourierreihen) Ist f: IR -+ IR, eine 2n-periodische stückweise glatte

Funktion, so konvergiert ihre Fourierreihe punktweise gegen f. In jedem kompakten Intervall ohne Unstetigkeitsstellen von f ist die Konvergenz sogar gleichmäßig.

Den Beweis verschieben wir auf Abschn. 5.5.4.

5.5.3

Beispiele für Fouricrrcihcn

Zunächst zwei Vorbemerkungen: (I) Ist feine L-periodische integricrbare Funktion auflR, so gilt fUr jedes (/ E IR, L

/

L+u

f(x)dx= /

o

f(x)dx

(5.109)

fUrjedcsaEIR,

"

Die Il1/egmtioll über jedes lilie/Will der Liillge L liefert alsu stets den gleichen Wert! Man erkennt das sofort durch die Aufspaltung der Integrale in "

neDst

o

"

"

"

/

o

L+"

f(x)dr = / L

f(x)dx.

5.5 Fouricrreihcn

423

(11) Eine Funktion F, definiert auf einem symmetrischen Intervall I um 0 heißt eine gerade Funktion,

falls

F(-x) = F(x).

ungerade Funktion.

falls

F( -x) = - F(x)

fur alle x E I gilt. Integriert man F über ein symmetrisches Intervall um 0, das wir o.S.d.A. als L-n, 7T I annehmen wollen, so gilt

,

,

! , J -,

F(x) dx =

-,

2!

falls F gerade.

F(x) dx.

0

F (x) dx

(5.110)

= 0,

falls Fungerade.

Wir wenden diese einfache Überlegung auf die Berechnung der Fourierkocffizienten einer integrierbaren Funktion [ I-n.n] _ IR an: Ist [gerade. so ist [(x)cos(nx) gerade und [(x) sin(nx) ungerade. 1st dagegen [ungerade, so ist [(x)cos(nx) ungerade und [(x) sin(nx) gerade. Damit folgt flir die Fourierkocffizienten von [aus (5.106) und (5.110):

a" =

, ~! [(x) cos(ltx) dx . o

,

2f

b" ::::;:

[(x)

.

SIll(IIX)

b" =0.

dx.

falls [ gerade,

(5.111)

falls [ ungerade.

(5.112)

o Folgerung 5.3: Die Fourierreihe einer ungeraden Funktion ist eine reine Sinusreihe. einer geraden Funktion eine reine Cosinusreihe (einschließlich konstantem Glied). Beispiel 5.11: (SiigezaIJllkurve) Die Funktion

[(x) = (ax,

o.

rur

-7T

< X < n,

(a > 0)

flirx=7T

denken wir uns zu einer 2n-periodischen Funktion aufR erweitert (s. Fig. 5.11). [ist ungerade, also ist a" = 0 ftir alle n :::: 0, 1,2, .... Die b" errechnet man mit (5.112)

b"

~

-2" 7T

frr n;o(ox) dx ~ -2a o

7T

([

- x COS(IIX)]" 11

+ -1 f' co,(ox) dx )

Oll

0

~

2a(-l)Il+1 =---"'--It

424

5 Folgen und Reihen von Funktionen

Damit folgt die ReihendarsteIlung der »Sägezahnkurve«: y

, 3, I I

I

Fig. 5.11: Sägezahnkurve

SinX sin(2x) sin(3x) ) f(x)=2a ( - - - - + - - - + .... 1 2 3 SelZl man hier a = 1 und betrachtet nur x-Werte aus (-JI. rr), so gewinnt man die Formel { = 2 (SillX _ sin(2x) . I 2

+ sin(3x) 3

_

+. )

(5.113)

...

Es ist schon merkwürdig, daß sich die wildbewegien Sinusfunktionen rechts zu einer so einfachen Funktion, wie sie links steht, zusammenfügen! Für x =

'2rr erhält man die bekannte Leibnizsche

Reihe rr 4

1 1 I 357

-=l--+-~-+-.

Beispiel 5.12:

(Rechteckfimklion): Wir betrachten auf [-rr, rr 1die Funktion

hu(x) =

l

a.

fürO<x
0,

ftirx =O.x = rr,x = fLir -lf < x < 0,

-{/

,

-Jr,

{/

-# 0

und denken sie uns zu einer 2lf-periodischell Funktion f auf ganz lR fortgesetzt (s. Fig. 5.12). Die Funktion ist ungerade. Ihre Fourierreihe besteht also nur aus Sinusgliedern. Für die Fourierkoeffizienten dieser Glieder errechnet man mit (5.112):

,

2 2u COS(flX) b,,=-j{/'Sin(nX)dX=-[] 11

o

Jr

11

1T

0

=

I

O. 4a

-.

flJr

wenn

11

gerade,

wenn

11

ungerade.

f ist zweifellos stückweise glan. Damit folgt die Konvergenz der Fourierrcihe gegen f, also

5.5 Fouricrreihcn

425

,

.f------, o

I -2n

, ,

",

-,

2"

,

Fig. 5. I2: Rechtcckfunktion

4a (SinX

fex) = -;-

Setzt man hier x = Reihe.

-1lf /2

sin(3x)

sin(5x)

)

+ - 3 - + - 5 - +... .

(5.114)

ein und multipliziert mit lf/(4a), so erhält man wieder die Leibnizsche

Bemerkung: Die Sägezahnkurve beschreibt beim Fernseher die waagerechte Bewegung des Lichtpunktes über den Bildschirm. x ist dabei die Zeit und y die waagerechte Auslenkung des Bildpunktes. Da man Sinusschwingungen durch elektrische Schwingkreise erzeugen kann und diese überdies überlagern kann, läßt sich die Bewegung des Lichtpunktes durch die Fourierreihe der Sägezahnkurve gewinnen. Entsprechend lassen sich Rechteckimpulse wie in Beisp. 5.12 über eine Realisierung der Fourierreihe durch Schwingkreise erzeugen. Fig. 5.13 zeigt einige Partialsummen der Fourierreihe der S~igezahnkurve bzw. der Rechteckfunktion. Physikalisch handelt es sich hier um die Überlagerung von Sinusschwingungen.

-, Fig. 5.13: Partialsummen zu Sägezahn- und Rechleckfunktion

In den folgenden Fourierreihen ergeben sich. wie im Vorausgegangenen, die Koeffizienten durch einfache Integrationen. Ocr Leser überprüfe die folgenden Reihen. wobei bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten partielle Integration und Substitution vordringlich angewendet werden.

426

5 Folgen und Reihen von Funktionen

Beispiel 5.13:

x

2 _ ;r2

-3- 4

(COSX

]'2-

cos(2x) 22

+

cos(3.r) 32

-+ ...

)

.r

E

[-n,1Tj.

(5.115)

Durch Einsetzen von x = 1T bzw. x = 0 erhiilt man die merkwürdigen Formeln (5.116)

Beispiel 5.14: n

4 (

IX 1 ="2-;

cosx+

cos(3x) cos(5x) ) 32 + 52 + ....

xE [-1T.n].

(5.117)

Hier liefert.r = 0 die Reihe Jt2 /8 = I + 1/3 2 + I/5 2 + ... Beispiel 5.15:

20 (' sinh(mr) -2 + 1T 2a

cosh(ax) = -

L"(_I)'" cos(kx) ) 00

k=1

w+k~

XE [-1T.1TI.a

:rf;O. (5.118)

2 00 (_I)kk sinh(ax) = ~- sinh(aJt) ~" 2 sin(kx).

La-+k

1T

x E [-1T. 1T I. a :rf; O.

(5.119)

.l:=l

Beispiel 5.16: Die Fourierreihe von e'IX crgibt sich aus

e"" = cosh(ax) + sinh(ax).

(5.120)

Die linksstehenden Funktionen. hier nur rur x E (-1T. n) beschrieben, denke man sich 21Tperiodisch auf ganz IR erweitert, wobei in Sprungstcllen, wie üblich, das arithmctische Mittel der einseitigen Grenzwcrte genommen wird. Die Fourierreihcn auf den rechten Seiten stellen dann diese periodischen Funktionen dar. HeispieI5.17: Für XE (O.21T) gilt 1T - X =

2

L OO

",=1

sin(mx). 1/1

(s. Fig. 5.14a).

(5.121)

5.5 Fouricrreihcn

427

Man denke sich diese Funktion 2JT-periodisch auf IR erweitert, s. Fig, 5.14a, Beispiel 5.18: Für alle x E IR gilt (vgl. Fig. 5.14b)

. Ismxl = -4 [I-

2

7C

~

oo L: COS(2mX)] 2

",=1

4m

~

(5.122)

I

y

y_lsinxl

,

,

4n

Fig. 5.14: Sägez:lhnkurve »riickwiins« und Sinus-Betrags.Funktion

Alternierende Funktionen: Eine 27C-periodische Funktion nennen wir alternierend, wenn f(x) = - f(x

+ JT)

ftjr alle x

E

IR

erftjllt ist. Fig. 5.15 zeigt ein Beispiel. Bei der Berechnung der Fourierkocffizienten einer inte1f

grierbaren alternierenden Funktion zerlegt man das Integral/in / -1f

o Integral/den Ausdruck f(x) durch - f(x

+ 7C) und substituiert f

0

1f

-1f

= x

= / -;r

f. 1f

+

ersetzt im

0

+ JT.

So erhält man U2k=O

ftjralle

k=O.I.2 ....

b2J:=O

ftjralle

k= 1.2,3, ..

a2k+1 =

~/

"

f(x)cos«2k

+ I)x) dr.

(5.123)

k = 0.1.2 .....

o

"

b2k+I=~f f(x)sin«2k+l)x)dx.

(5.124) k=O.L2 ..

o Folgerung 5.4: Eine alternierende Funktion besitzt nur Fourierkocflizienten zu ungeraden Indizes.

428

5 Folgen und Reihen von Funktionen y I

I I

! 21(

1 I

I(

_---I

,

0

I

Fig. S.IS: Alternierende Funktion

Beispiel 5.19: Die Funktion. die in Fig. 5.16 skizziert iSI. lautet 1(.-.:) = x in (O.:rr) und ist im übrigen alternierend sowie 211"-periodisch und stückweise glalt. Ihre Fourierreihe ermittelt man mil den Gleichungen (5.123) und (5.124):

~ = _~ ~ cos(2k + l)x)

f(· )

rr L,

k=O

(2'

+ 1)2

+" ~ sin«2k + 1).-.:) - L, (2k + I) k=O

.

Man erhält die Reihe übrigens auch leicht aus den Fourierreihcn von lxi sowie der Rechteckfunktion "I, wenn man beachtet. daß f(x) = lxi - 11" /2 + 11"11 1 (x)/2 in [-11". :rr I erfLilll ist. y

•,,

,

,'-21( •,

Fig. S.16: Zu Beispiel S. [9

Sind alternierende Funktionen überdies gerade oder ungerade, so können wir die untensIehende Folgerung ziehen, deren einfacher Beweis dem Leser überlassen bleibt. Folgerung 5.5: Es sei f 2:rr-pcriodisch und intcgricrbar. Damil gill fLir ihre Fourierkoeffizienten:

1 gerade alternierend

=}

(/2k+ I = ;-

J'I'1 o

(x) cos( (2k

+ 1).-.:) dx .

(5.125)

5.5 Fouricrreihcn

fungeradealtemierend

:::}

b2k+1

=

~

J

429

"/2

(5.126)

f(x)sin«2k+ I)x)dx.

o

Alle übrigen Fourierkoeffizienten sind NulL Beispiel 5.20: Der in Fig. 5.17 dargestellte periodische Spallnullgsverlauf u(x) soll in eine Fourierreihe entwickelt werden, /I ist eine /Ingerade aflemierel1de Funktion. Es kommen in ihrer Fourierreihe 2

also nur Koeffizienten b2k+1 vor, die man nach (5.126) berechnet. Dabei wird das Integral

o

tr/2

Ir/]

7

f + f, also

zcrlegt in

o

b2k+1

Ir/]

f

"/3

4

=;

(

f

"/2 ) 3uo ----;;-sin«2k+ I)x)dx+ t1osin(2k+ l)x)dx

o

tr/]

Die Auswcnung der Intcgrale (wobei beim ersten Integral paniclle Integration vcrwendet wird wie bei der Sägezahnkurve) ergibt 12110

b2k+1

=-.-,- .

sin (2k (2k

+ l)~)

+ 1)2

J3 2 mit

sin(2k+I)~)=

O.

für k = 0.3.6.

fürk= 104,7, ..., fur k = 2,5.8.

also

. _

6J3 ( .. ~

u(x) - 1I0]l'2

Sill X

sin(5x) 52

+

sin(7x) _ sin(llx) 72 112

+

sin(13x) ~ 13 2

Übung 5.7: Leite die Fourierkoeffizienten in den Beispielen 5.13 bis 5.20 explizit her.

)

+....

(5.127)

430

5 Folgen und Reihen von Funktionen

u(x). UQ

4, 3

,

21'1

~

3

5, 3

3

,

u(x)",3uo x

Fig. 5.17: Periodischer Spannungsverlauf. aus Strecken zusammengesetzt

Übung 5.8:

=

Berechne die Fourierreihevon fex) .l(1 +cosx). (-lf <.r < rr) wobei wir f 2lf-periodisch aufR fortgesetzt denken. Ist die Fourierreihe gleichmäßig konvergent? Übung 5.9: Berechne die Fouricrrcihen VOll ISill

~ 1und leos ~ I·

Konvergenz von Fourierreihen l4

5.5.4

Zum Beweis des KOlIl'ergell7.satzes (Satz 5.23) schreiben wir die /I-tc Panialsumme der Fourierreihe von f hin: •VII

(x) =

" ao + '" . "2 ~({/k cos(h) + bk sln(h)

(5.128)

.

k=l

Zu zeigen ist s,,(x) --7 fex) für n werden für die Fourier-Koeffizienten und

L

--7

{/k

00.

und

Dazu wird die rechle Seite umgeformt: Zunächst die enlsprechenden IntegralausdTÜcke eingesetzt

bk

mit! vertauscht. So entsteht die erste Zeile der folgenden Rechnung. Mit dem Additi-

onstheorem des Cosinus folgt die zweite Zeile und über die Summenformel aus Übung 2.20 in Abschn. 2.3.2 die dritte Zeile: s,,(x)

=;1 ( 1 (E

I = -; I ~ -lf

,

f(t)

" ~ + E(COS(kt)COS(kX) + sin(kt)sin(kx»

,

f(t)

2+

f,

-/1

[(tl

I"

cos(k(t - x))

sin().(1 - x)) . ( I X ) dl.

2 Sill -2-

14 Kann beim erstell Lesen überschlagen werden.

.

)

clt

tmt). =11

I

+ 2'

)

dt

5.5 Fouricrreihcn

I =Jt

I

~Jt

I,

I(x+r)

-,

sin()..(r)) . (,)dr, 2sm _

431

mitl==x+r,

2

(/;T (/(x+')-f('<+».sin(h) I;T (,)d'+f(X+) 2sm

0

+

'2

1 0

-fI

0

sin()..r) (/(x+')-f(x-)) . (,)d'+f(X-) 2sm -

2

sin()..r) . 2sm '2

(,)d'

1 0

~fI

sin()..r) . 2sm ~

(,)d< ) 2

(5.129) In den letzten heiden Zeilen streben das erste und dritte Integral bei festem x flir ).. -+ 00 gegen Null. Die Konvergenz ist gleichmäßig auf kompakten Intervallen ohne Sprungstellen von I (s. folgender Hilfssatz). Das zweite Inlegral strebt mit A -+ 00 gegen Jt 12 (s. Abschn. 4.3.2, Beisp. 4.24. (4.134)). Das viene Inlegral ist nach Substitution T == -r gleich dem zweiten, strebt also auch fur A _ 00 gegen Jt12. Damit strebt sn(x) bei festem x flir 1/ _ 00 gegen (/(x+) + l(x-»)/2 und überdies gleichmäßig auf kompakten Intervallen ohne SprungsteIleIl ron/. 0 Es bleibt folgender Hilfssatz zu zeigen. Dabei flihren wir zur Abkürwng die Funktion

s,rU):==

I

f(X+I)-f(x+) 2sin(t/2) , f'(x+) .

fUr! E (0, Jt I,

furt ==0,

ein. Sie ist offenbar flir jedes feste x eine beschränkte Funktion in t, was rur t _ 0 aus der de I'Hospitalschen Regel folgt. Es gilt noch mehr: Ist [a. ßI ein Inlervall ohne SprungsteIlen von J, so gibt es ein M > 0 mit l.fAOI .:s M flir alle tfE [0, trI und alle x E [a. ßI. Wir sagen daflir: s, ist auf [a. ßI gleichmäßig beschriinkt. (Für 1 E 18, Jtl, mit einem 8 > 0, ist das klar; flir I == 0 ebenfalls. Für I E (0,8) (8 klein genug) verwandelt man s" mit dem Mittelwensatz der Differentialrechnung - zweimal angewendet, auf Zähler und Nenner - in sAt) = !'(x + 11)/ COS(t2/2) mit 11, t2 E (0, I), woraus die gleichmäßige Beschränktheit folgt.) Hilfssalz 5.2: Für jedes x E IR gilt

,

J.f(A) :==

f

s.. (t) sin(At) dl -+ 0

flir A -+

00.

o

Die Konvergenz ist gleichmäßig auf jedem kompakten Intervall [a. ßI ohne SprungsteIlen von I. Bemerkung: (a) Für das dritte Integral in (5. r29) gilt entsprechendes, (b) Die Beweisidee flir den Hilfssatz ist einfach. Man erkennt nämlich, daß sin(At) flir große

432

5 Folgen und Reihen von Funktionen

).. eine sehr schnelle Schwingung beschreibt (I als Zeit aufgefaßt). Nimmt man sx(t) für den Augenblick als stctig an, so ist diese Funktion innerhalb eincr Periode damit fast konstant. Das Integral von sx(1) sin(M) über eine Periode ist also nahezu Null. Summation über allc Perioden ergibt dann (hoffentlich) auch beinahe Null, wobei man dcr Null ftir sehr große A beliebig nahe kommt. Für stückweise stetige.l'x iindcrt sich diese Argumcntation nur unwescntlich. Beweis: Die Funktion sin()..r) wechselt jeweils im Abstand h = tuieren t = 11 + hin J..(A) und erhalten

7T jA

ihr Vor.lcichen (A > 0). Wir substi-

;<-11

JA)..) = -

/

sAu

+ 11) sin(AII) du.

-/0

Schreibt man hier wicdcr folgt

1

slaU u und addiert dies zu JA)..) in seiner ursprünglichen Form. so

J o

2J..(A)=-

J

;<-11

sAt + 11) sin(At) dl +

-11

(sAI)-Sx(/+h»sin(At)dl

0

o

+ /

sx(t) sin(.l..r) dl,

;r-II

Mit Is., (t)I ::: M erhält man die Abschätzung

J

;<-11

IJx(A)I::: MI!

+

1.1''''<0 - .1'.1'(1

+ 11)1 dt + Mh.

(5.130)

o

J

;<-11

Hierbei zerlegen wir

o

f~

;<-/.

o

wobei t[, •.. , I", die Unstetigkeitsstellen von s,\' sind. Davon kann es höchstens soviele geben - sagen wir N - wie es Spriinge von f in [0. Jr I gibt. [n den Intervallen [ti - h.I;] der Länge h ist der Integrand Isx(t) - sAt + h)1 ::: 2M. wiihrend er in den übrigen Intervallen uus Stetigkeitsgriinden ::: eist flir " ::: 110 (dabei e > 0 beliebig gegeben und ho passend gcwählt). Somit t5 Illlegmle. deren obere Grenze kleiner als die Ulllere ist, werden hierbei 0 geselzt

5.5 Fouricrreihcn

433

erhalten wir aus (5.130)

21 J.rP..)I S MII +N ·2MIt +S' (Jr -It)+MIt < (2N +2)M·11 +SJr ftir" < 110. Diese Abschiitzung gilt sowohl ftir festes x, als auch fur alle.r aus einem Intervall [et, ßI ohne Sprünge von f. Die rechte Seite wird aber kleiner als jedes s* > 0, wenn 11 < 111 ist (It 1 genügend klein gewählt). Daraus folgt die Behauptung des Hilfssatzes. 0 Zur Veniefung beweisen wir

Satz 5.24:

Für alle integrierbaren Funktionen auf [-Jr, Jr I gilt die Besselsche/ 6 Ungleichung

(5.131 ) Dabei sind ab bt die Fourierkoeffizientcn von f.

Beweis: Man multipliziere die quadratische Klammer im folgenden Integral aus und verwende dann die ürthogonalitätsrelationen von sin und cos sowie die Integral definition der Fourierkocffizienten. Das heißt num berechnet

Os

~

1( "

fex) -

[(~ +

{;(lIt " cos(kx)

+ bt

sin(kx»

])'

dx

"

/ (l2(x) - 2f(x)[ ... ) +[... )2)dx

o Aus der Bcsselschcn Ungleichung ergibt sich insbesondere fLir n 2

00

"

k=1

_".

~ 00:

Go , " " , 1 / , 2" + L.,(lIk + b;) s -; f~(x) dx. d.h. die linke Reihe ist konvcrgcnt. Man crhält daraus 16 Fricdrieh Wilhelrn ßesscl (1184-1846). deutscher Astronom. Mathematiker und Geodät

434

5 Folgcn und Rcihen von Funktioncn

Folgerung 5.6: Die Fourierkoeffizienten einer integrierbaren Funktion streben gegen Null: (5.132)

lim ak = 0,

k_oo

Schließlich beweisen wir den Satz 5.25: Ist f eine stetige. stückweise glatte Funktion der Periode 2JT, so konvergiert ihre Fourierreihe gleichmäßig lind absolut gegen f. Für ihre Fouricrkocffizicntcn ab bb folgt sogar die Konvergenz der Reihen

Beweis: Aus (IAI-181)2:::: 0 folgt 21ABI ::: A 2 + 8 2 , Damit gilt mit A =

I

i'

B = kak: (5.133)

und entsprechend .

I

21bk sll1(kx)1 ::: 21bkl ::: k 2

+ (kbd 2

(5.134)

fur k E N, Die Ableitung f' wird an ihren Sprungstellen durch das arithmetische Mil1el ihrer einseitigen Grenzwerte erklärt. Die Fourierkoeffizienten von f' sind kbk und -kak. wie man durch partielle Integration in den Integraldarstellungen der Koeffizienten herausfindet. Die Bessclsche Ungleichung für f' liefert damit die Konvergenz der Rcihe 00

L k (al + bl)· 2

k=1

Die obigen Ungleichungen ergeben (5.135)

Da

L (k22 (al + bl) + kI2 ) 00

konvergiert, ist diese Reihe eine Majorante für die Fourierreihe

k=1

von

f. wie auch für die Reihen

L lakl, L Ibkl. Daraus folgt die Behauptung des Satzes. 00

00

k=l

k=1

0

5.5 Fourierreihen

435

Übung 5.10: Beweise die folgende EindeutigkeilslIIu.Wlge flir trigonometrische Reihen: Ist eine lJr-periodisehe reelle Funktion J durch eine trigonOmctrische Reihe darstellbar, die punktweise gegen f strebt, so sind die Koeffizienten der Reihe eindeutig durch f bestimm!. A/!leiwlIg: Man nehme an. daß e~ zwei trigonometrische Reihen gibt. die f darstellen. Dann bilde man ihre Differenzreihe. Sie stellt die Funktion h(x) =- 0 dar. Was folgt daraus über die Koeffizicnten der Diffcrcnzrcihc'!

5.5.5

Komplexe Schreibweise von Fourierrcihen

Bemerkung: Die komplexe Schreibweise bei Schwingungsvorgängen erweist sich in der Technik als sehr brauchbar und ökonomisch. Sowohl in der Elektrotechnik, wie in der Aerodynamik. Elastomechanik und anderen Gebieten. ist die komplexe Schreibweise bei Schwingungen üblich. Jede stückweise glatte, 27r-periodische Funktion / : IR --;. IR ist, wie wir gesehen haben, in eine Fourierreihe entwickelbar: /(x) =

(/O "2 +

00 ~

(5.136)

L.J(a" COS(IIX) + b" sin(nx».

,,=t

Die ReihendarsteIlung wird noch übersichtlicher, wenn wir unsere Kenntnisse über komplexe Zahlen heranziehen und COS(I1X)

ei".r +e- illx

ei,lX _e-i".r sin(flx) = --~2~;--

2

=

(5.137)

verwenden (vg1. Abschn. 2.5.3, Folgerung 2.12). Da komplexe Reihen analog zu reellen Reihen erklärt sind einschließlich ihrer KOtlvergenzcigenschaften. so können wir die Fouricrrcihe von / umformen in "0

/(:0:) = 2

00

+L

.

.

cillx _e-i/tX) (C'"X +e-'/t-l a" 2 +b" ".

f: ({/1/ ~ibll

-,

/1",1

=

{~ +

ei,,-,+a/l

~ib" e-ill.r)

.

/1",1

Dabei wurde die Gleichung 1/ i = - i verwendet, die unmittelbar aus -I = i . i hervorgeht. Der höheren Eleganz wegen vereinbaren wir bo := 0 und (5.138) fllr" = O. 1.2..... (Dies ergibt sich übrigens auch »aulOmlllisch,( aus den Integraldllrslcllungen (5.106) der Fourierkoeffizienten.) Damit. und mil der Abkürzung

0"

:=

{In - ibn

2

" ganzzahlig,

(5.139)

436

5 Folgen und Reihen von Funktionen

bekommt

f

(x) die Reihcndarstellung 00

f(x) = ao + L(an e; /IX +0'_11 e- i 11.<) .

(5.140)

'1:1

Die /li-tc Panialsummc der rcchten Reihe hat dabei die Form s/11(x) =ao+L(alleil'-"+a_/le-i/lX) =

Da sie mit m _

00

L

(5.141)

gegen f(x) strebt, schreiben wir:

00

f(x) =

Lallein,. 11=-/11

11:1

0'"

11=-00

eillx

(5.142)

Dabei verstehen wir unter der Summe rechts den Grenzwen

!im

"' ..... 00

'"

' " a'l e

illx

L.J ,,=-/11

17

(5.143)

Bemerkung: Die elegante Schreibweise (5.142) der Fourierreihe von f erweist sich als sehr nÜlzlich, da sich mit der Exponentialfunktion bequemer arbeiten Hißt als mit cos und sin. Die Koeffizielllen an in (5.142) lassen sich direkt durch eine Integralformel angeben. Der Einfachheit halber wollen wir dabei zunächst annehmen, daß die Reihe (5.142) gleichmäßig konvergiert. Wir multiplizieren nun (5. 142) mit e ih (k ganzzahlig), integrieren von -lT bis lT und vertauschen

,

/

-,

mitL:

;r

/ -JT

00

f(x)e-

ih

dx =

00

L

an /

11=-00

e i{11-k)x

~~~~~~~~~~~~--;;oo,---

L

dx.

(5.144)

-00

00

00

L

L

c" + <'_". d.h. es müssen zwei Grcnzwcne gcbildet "=-00 '1=0 11=1 werdcn. In (5.142) meinen wir aber ausdrücklich die »symmctrische« Grcnzwcnbildung (5.143).

17 Normalerwcise vcrstcht m:m unter

c" die Summe

5.5 Fouricrreihcn

437

Das rechtsstehende Integral ist dabei so zu verstehen. daß über Realteil, wie Imaginärteil, einzeln integriert und danach summiert wird. Damit errechnet man:

,

,

J -,

ei(,,-k).\ dr =

J

(COS«II - k)x)

+ i sin«11

- k)x»dx falls

11

= k.

falls

11

i= k.

Die Summe in (5.144) reduziert sich somit auf nur ein Glied, nämlich dasjenige mit n = k. Folglich ist die rechte Seite von (5.144) gleich CXI; . 2JT. Bringt man 2JT auf die andere Seite und setzt n statt k. folgt

f ,

a" = - 1

2rr

-,

f(x)e-

.

IIU

(5.145)

dx.

Diese Integralformel zur Berechnung von CX II gilt allgemein, also auch wenn die Gleichmäßigkeit der Konvergenz in (5.142) verletzt ist. Man leitet (5.145) nämlich sofort aus (5.139) her, indem man die IntegralausdTÜcke fLira" und b" einsetzt und e- i ". = COS(IIX) - i sin(nx) beachtet. Die Rückberechnung von (J" und bll aus an geschieht durch (J1t = 2 Rea ll • blt = -2lmcxll

""oe

a"=cx l1 +cx_,,.

bn=i(a,,-a_ n)

(11=0.1,2, ... ).

(5.146)

Dabei ist a_ 1I = a". Die Konvergenzstitze (Satz 5.15 und Satz 5.24) gelten fLir die komplex geschriebene Reihe (5.142) entsprechend. Bemerkung: Zur Beschreibung von Schwillgungen verwenden Techniker und Physiker häufig unmittelbar den Reihenansatz über die komplexe Exponentialfunktion. d.h.

L 00

[(t) =

a"e-i"wI

(5.147)

"=-00 w > 0 ist dabei die Kreisfrequenz der Schwingung, Mit dieser Reihe arbeitet man einfacher als mit Sinus- und Cosinusreihen. da die Exponentialfunktion die prachtvolle Gleichung e"+w = e" eU! erfüllt. Will man z.B. die plwselll'erschobene Schwingung g(/) := f(t - to) durch eine Fourierreihe beschreiben, so folgt aus (5.147) sofort

L 00

g(t) = f(1 - to) =

11;-00

a" eillw(I-lo) =

(5.148)

438

5 Folgen und Reihen von Funktionen

womit die Fourierreihe von g schon ermittelt ist! Man versuche dies zum Spaß einmal mit den Cosinus-Sinus-Reihen. Über die Additionstheoreme von cos und sin kommt man zwar auch hin, aber wesentlich umstiindlicher.

Übung 5.11: x Es sei f(.rl = ;-

(X)' +;-

fUr x E (-n. JT). Wir dcnken uns

f zu einer stückweise gltlt!cn f und schreibe diese als

2n-periodischen Funktion fongeselzt. Berechne die Fourierrcihe lIon »Exponentialreihe« der Foml (5.142) auf.

5,5.6

Anwendung: Gedämpfte erzwungene Schwingung

Um die Schwingungen eines Federpendels (mit Reibung) behandeln zu können, muß die folgende Differentialgleicllll/lg gelöst werden: m.l:

+ r.i.- + cx =

0

mit

r > 0, c > O.

(5.149)

Wirkt tluf den Massenpunkl des Federpendels noch eine äußere Kraft K (r) (etwa durch ein Magnetfeld), so erhalten wir die erweiterte Differentialgleichung m.\'(t)+r;(I) +cx(t) = K(t),

tE IR.

(5.150)

Von großer Bedeutung flirdie Pmxis ist der Fall, daß K eine periodische Funktion ist. Wir wollen daher K als eine periodische. stetige, stückweise glane Funktion voraussetzen. Ihre Periode (= Schwingungszeit) sei T. Ingenieure und Physiker arbeiten gern mit der Kreisfrequenz w = 2n IT. K läßt sich nach SalZ 5.24 in eine absolut gleichmäßig konvergente Fourierreihe entwickeln, die wir in komplexer Schreibweise angeben:

L ~

K(t) =

O'lI ei "'''I.

"=-00

Aus der absoluten Konvergenz folgt flir t = 0, daß der Grenzwert

11=-00

existiert. Unter diesen Voraussetzungen ist folgende Frage zu beantworten: Welche zweimal stetig differenzierbaren Funktionen x : IR -+ IR erflillen die Differentialgleichung (S.ISO)? Funktionen dieser Art nennen wir Uisullsell der Differentialgleichung. Zur Beantwortung der Frage eine Vurbemerkung: Ist Xo : IR -+ IR eine Lösung von (5.150), und ist Xi< IR -+ IR eine Lösung der »homogenen« Differentialgleichung (5.149), so ist die Summe X(I) = XIJ(I) +XO(I) ,

tE IR.

(5.151)

ebenfalls Lösung von (5.150). wie man leicht nachrechnet. Mehr noch: Halten wir die Funktion Xo fest und lassen XII in (5.15 I) alle Lösungen von (5. 149) »durchlaufen«. so erhalten wir durch

5.5 Fouricrreihcn

439

(5.151) affe wSlIllgel1 unserer Differentialgleichung (5.150). (Denn ist x eine beliebige Lösung von (5.150), so subtrahiere man Xo von ihr. x - xo = x· ist aber eine Lösung der homogenen Differentialgleichung (5.149), wie man leicht sieht. Wir schreiben daher x· = XII. Damit hat x = x" + Xo die behauptete Form.) Sämtliche Lösungen XI! der »homogenen« Differentialgleichung (5.149) sind folgendermaßen gegeben: I. fr.l!l r 2 - 4mc > 0:

wobei q := ,.2 ~ 4/11(;.

(5.152)

2. Fall ,.2 - 4mc = 0:

(5.153) 3. Fall r 2 - 4mc < 0: -'"1I(t) = e-rr/(2m)(acos(wr)

+ bsin(wt)

mit

(5.154)

w:=

Dabei sind a, b beliebige reelle Konstanten. (Zur Herleitung s. Burg/HaffWille/Meister (Band 111) [101, Abschn. 3.1.4) Es bleibt uns nur die Aufgabe, eine einzige Lösung Xo unserer Differentialgleichung (5.150) zu berechnen. Durch (5.151) haben wir dann alle Lösungen von (5.150). Die Lösung.\"o nennen wir eine IJartikllliire Lösung. Lösungsberechllung: Die Fourierreihe von K gibt uns eine Idee für das Auffinden einer partikulären Lösung von (5.150). Und zwar setzen wir auch -'"0 als Fourierreihe an mit der gleichen Periode wie K:

L 00

xo(r)::::

Pn e i IIwl

(5.155)

11;-00

Die Reihen der Ableitung lauten 00

. (r) = " -'"0 L .ll1Wß"eillwi .

L 00

.ro(t) = -

1/2 W 2 PII

ei 110m

11=-00

Dabei werden alle diese Reihen als absolut konvergent angenommen. Setzt man die Fourierreihe in die Differentialgleichung (5.150) ein, wobei man K(t) vorher auf die linke Seite bringt, so folgt 00

"L

(-//l11 "ß W 11

+ r . .[I1Wß'I + CßI1

-

O'JI

) ei "'''I = 0

440

5 Folgen und Reihen von Funktionen

rur alle I E R.. Daraus folgt, daß die Klammern vcrschwinden (denn sie sind die komplcxcn Fourierkoeffizienten dcr Funktion [(1) == 0), also _1II1I 2W2 ß"

+ r . i IIWß" + eß"

-

0"

= 0

rur alle ganzcn

(5.156)

11.

Auflösung nach ßI1 liefen

ß" =

"

2 2

(e-II w m)+illwr

(5.157)

.

Gehl man nun umgckehn vor und definien die ß" dureh diese Gleichung sowie .1:0(1) durch die Reihe (5.155), so stellt man fest, daß die Reihen von .1:. i, .t in der Tat absolut und gleichmäßig

L 00

konvcrgicren (wcgen Iß"I :':: lo"I/(n 2w 2m) rur I/2(J}m > c, und der Existcnz von

10,,1).

'1=-00

Einsetzcn in die Differentialglcichung (5.150) zeigt, daß.l:o einc Lösung ist. Also zusammcngcfaßt: Folgerung 5.7:

L 00

.1:0(1) =

ßI1 e

illWl

(5.158)

•

"=-00 mit (5.157), beschreibt eine panikuläre Lösung der Differentialgleichung (5.150). Wir schreiben die Reihe von .roU) schließlich in ihre reelle Form um, also als trigonometrische Reihe. Mit 0"

=

a" - i b"

11

2

= O. 1.2.3.

erhält zunächst die Fourierreihe von K (I) die »reelle« Form 00

K (I) =

(j0 + '""" 2" L)a" cos(llwt) + b" sin(I/wl)) .

,,=1

Wir sctzen 0" = (a" - i b,,)/2 in (5.157) cin und multiplizieren Zähler und Nenner in (5.157) mit dem »konjugienen Nenner«, also mit (e - n 2w2m) - i IIwr. Eine kurze Rechnung liefen uns ß" in der Gestall

ß"

A

CC'C7

=-

2

'CBC'"

mit bll (e - 11 2w 2m)

8,,= (e - n-w-m)'"

+ a"llwr

+ (nwr)-"

(5.159)

5.5 Fouricrreihcn

441

Folglich ist

A0 .rO(t) = 2

00

+ I)A" COS(1I0t) + B" sin(llwt».

(5.160)

"",I

Damit ist eine partikuläre Lösung berechnet und unser Problem gelöst. Anwendung auf das Schwingungsproblem: Nach dem anfangs Gesagten lautet die allgemeine Lösung unserer Differentialgleichung (5.150) (5.161) wobei XI! eine belicbigc Lösung der homogenen Diffcrcntialgleiehung (5.149) ist. t ist beim Schwingungsproblem die Zeit. Nach (5.152), (5.153), (5.154) hat XII (I) stets die Gestalt X,,(t) = e- rr j(2mj g(t),

(I" > 0)

mit einer Funktion g : IR _ No, die beschränkt ist oder von der Form {/ »linear wächst«). Daraus folgt insbesondere

+ bl

ist (d.h. höchstens

lim .I,,(t) = O.

<-00

Das heißt nach längerer Zeildauer geht jede Schwingung unseres Federpendels in eine »stabile Schwingung« über. Diese wird durch die Lösung .Io(r) beschrieben. (In BurglHaflWille/Meister (Band 111) [10], Abschn. 3.1.4, wird noch einmal ausführlich auf dieses Problem eingegangen, wobei insbesondere das Resonanzphiinomen erörtert wird.) Das Schwingungsproblcm haben wir am Federpendcl erläutert. Jedoch fUhren auch andere Schwingungsaufgaben, insbesondere elektromagnetische, auf die Differentialgleichung (5.150). Diese Probleme haben wir mit der ,,.Fourierschen Methode« alle mitgelösl. Bemerkung: Auch weitere physikalische Probleme wie die Temperaturverteilung in einer kreisfcirmigen Platte, die Bewegungen einer schwingenden Saite u.a. können mit der FouI"ierschen Methode gelöst werden. Diese Methode besteht darin, daß gewisse periodische Funktionen, die in der Problemstellung gegeben sind, in Fourierrcihcn entwickelt werden, und daß auch die Lösungsfunktioncn als Fourierreihen angesetzt werden. Durch einen Koeffizientenvergleich, der sich aus der Differentialgleichung des Problems ergibt, erhält man die Fourierkoeffizienten der Lösung (siehe z.B. [251. Kap. XVIlt, sowie die Literatur über theoretische Physik). Übung 5.12: [n der Differentialgleichung (5.150) sei m = 1 kg. r = 15 Nsflll. C = lOON/m und K(/) =

a(wt)2 Hir tE [-Ir. rr]lllit w = 0.8s- t und (/ = 20N.

(a) Berechne die stabile Lösung Xo : IR _ IR. (b) Berechne die Lösung x : IR """'" IR des Schwingungsproblems unter der Voraussetzung. daß zur Zeit r = 0 folgendes gilt: x(O) = Om..i·(O) = 0.5 rn/s.

6

Differentialrechnung mehrerer reeller Variabler

In Technik und Naturwissenschaft werden reelle Funktionen von mehr als einer reellen Veränderlichen vielfach verwendet. Man kann sie durch Gleichungen der Form

y = !(XI,X2, .... X,,)

(6.1)

beschreiben. 1m Fall 11 = 3, wobei X" X2. X3 Raumkoordinaten bedeuten, fallen darunter z.B. TcmpcraIUTvcrtcilungcn, Druckverteilungen, elektrische Ladungsvcrtcilungen, Massendichten, Potentiale von Kraftfeldern U$W. und im Falle von mehr als drei Variablen Hamiltonschc Energiefunklion, Gewinnfunktionen beim Verkauf mehrerer Artikel, u.a. Oft treten auch Systeme von mehreren reellen Funktionen der Form (6.1) auf, z.B. bei der Beschreibung von Kraftfeldern, Geschwindigkeitsfeldern, kurz bei »Vektorfeldern« physikalischer Größen, aber auch bei geometrischen Projektionen, FlächendarsteIlungen, Verformungen, beim Koordinatenwechsel und anderem. Für Funktionen oder Funktionssysteme dieser An wird im Folgenden die Differentialrechnung entwickelt. Dabei dienen die Gedankengänge der Differentialrechnung eincr reellen Veränderlichen als Richtschnur.

6.1

Der n-dimensionale Raum IR"

Bei Funktionen mehrerer reeller Variabler spielen Zusammenfassungen reeller Zahlen Xl, X2, X), eine wichtige Rolle. Wir schreiben die Z1h1en dabei senkrecht untereinander und klammern sie ein. So entsteht ein Spaltelll'ekror, oder auch kun VekLOr genannt. Zunächst wollen wir uns mit den Eigenschaften der (Spalten-) Vektoren beschäftigen und ihre »Geometrie« kennenlernen.

... X"

6.1.1

Spaltenvektoren

Ein reeller Spa!telll'ektor der Dimensioll 11 besteht aus 11 reellen Zahlen XI, X2, ... X", die in bestimmter Reihenfolge angeordnet sind. Sie werden senkrecht untereinander geschrieben und eingeklmnmen l :

[."J X2

x"

Bei w~agcreehler Schreibweise Ix). [2 .... .[n I sprichIman von Zeile""ek/(mm der Dimension 11. (Auch runde Klammcrn ....·crdcn vcrwcndc!.) Der Oberbegriff fUr Spalten- lind Zcilcnvckloren dcr Dimcnsion" hcißtll-TII{}e/.

K. Burg et al., Höhere Mathematik für Ingenieure, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9929-3_6, © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

444

6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler

Die Zahlen XI, ... X". heißen die Koordinaren des hingeschriebenen Spaltenvektors2. Zwei Spaltenvektoren der Dimension n

heißen genau dann gleich, X = y, wenn sie zeilellweise übereinstimmen, d.h. wenn die Gleichungen XI =)'1, X2 = )'2, ... , XII = )'11 alle erftillt sind. (Spaltenvektoren verschiedener Dimensionen 1/ und m sind natürlich verschieden.) Definition 6, I: Die Menge aller reellen Spaltenvektoren der Dimension Raum IR". X2""Achse

.,

'R'

--,, x:[:~] , I

11

heißt der n-dimensionale

!<3·Achse

'R'

x '

--(

-+----

~l·Achse

"

b}

.)

Fig. 6.1: Punkte im IR 2 und im IR 3 Bemerkung: IR 1 und IR werden als gleich angesehen. IR 2 ist die Menge aller Ztlhlel1paare [X']. X2

Wir können sie als Punktc einer Ebene mit Koordinatensystem deutcn (s. Fig. 6.la).

Die Elemente

[;i]

des IR' - ,u,h "'pel gen,n," - km," mun uls Ruumpunk,.,e"ns,huu-

lichen. XI, X2. X3 sind dabei die Komponenten von x bezüglich eines räumlichen Koordinatensystems (s. Fig. 6.lb).

6.1.2

Arithmetik im 1R"

Wir fUhren folgende Rechenopcrationen im IR" ein. Definition 6.2: Es seien

a~ [a:] a"

""d

b~ [b'] b"

2 Stau Kaorditwtell sagt man auch Ei1ltrage oder KOlllpOII<'1l1ell.

6,1 Ocr li-dimensionale Raum R"

445

beliebige Spaltenvektoren aus IR". Damit ist

a +6._ [;::

:t:]

Addiliol1

lb" :;; =t;]

a" a -b:=

[

'a~

~ b"

[:tl (11/

Sublraklioll

Mlifti/JlikllliOfl mit eillem Skalar

mit' E R

_a,] -a, -a=(-I)o:= : ' [

I/egatil'es Elemel/I zu a

-(I"

und o· b:= olbt

+ (l2b2 + ... + a"b" ,

inneres Produkt.

Schließlich vereinbaren wir: Ein Spaltenvektor, dessen Komponenten alle 0 sind, wird mit 0 bezeichnet:

Beispiel 6.1: Zu den Rechenoperationen:

[;]+[~l]~[~] [lJ m~[;~l2l1}l:n -[~9] ~ [~3]. []5]· m~ 3 7 (-5) 6~ -4 4+

2+

Im Zusammenhang mit diesen Rechenoperationen wird IR" ein reeller euklidischer Il-lfimem'iolUder Vekturrmllll genannt, oder kürzer: reeller li-dimensionaler Vekturralllll.

446

6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler

Entsprechend heißen die Elemente von IR" auch reelle n-dimensionale Vektoren. Für die eingefUhrten Rechelloperationen gelten folgende Regeln. Der Leser weist ihre Richtigkeit ohne Schwicrigkeiten nach. indem er die folgcndcn Glcichungen ausfUhrlich mit Koordinaten hinschreibt. Satz 6.1: Für alle x. y, z aus IR" gilt (I)

(x

(11)

(111) x

+ y) + z == x + (y + z) x + Y == Y + x + Y == z {:} x == Z - Y

Assoziatil'-Gese/? fLir

+

Kommlilmil,-Geset1. für

+

GleiclllfllgslIlIlforJIumg.

Für alle x. y E IR'I und alle reellen Ä und f.1 gilt (IV) (V)

(VI) (VII)

(Ä· f.1)x

==

Ä(l1X)

.l..(x+y) ==.l..x +.l..y

(.l..

+ fL)X ==

)..x

+ f.1X

Assoziativ-Gesell. für die Multiplikation mit Skalaren DislriblllivGesetze

Ix ==X.

Ferner erHillt das innere Produkt folgende Gesetze (VIII) (IX)

KO/ll/llutarivgesetz Hir .

X·y==y·X .l..(x· y)

==

()..x). y

== x· (.l..y) Gemischtes Assozjmil,-Gesetz

(X)

x· (y+z) ==x ·y+x·z

Dislributil'-GeselZ fur .

(XI)

x·x>O

positive Dejillilheil

{:}

x~O

Aufgrund der Assoziativ-Gesetze (I) bzw. (IV) werden in Summcn x + y+z bzw. Produkten .l..1JX die Klammem auch weggelassen. Das gilt auch fLir längere Summen und Produkte. Die Distributiv-Gesetze (V). (VI) und (X) bedeuten. vereinfacht gesagt, daß man »Klammern«, wie gewohnt. »ausmultiplizieren« darf. Veranschaulichungen: (I) Die Veranschaulichung des IR2 und IR] durch Punkle der Ebene bzw. des Raumes wurde eingangs erläutert. Diese Ansch:lUungsart ist insbesondere fur geometrische Zwecke günstig. wenn es z.B. um Geraden. Ebenen. Kreise. Kugeln usw. geht. (11) Der genannten Veranschaulichung durch Punkte steht eine zweite Veranschaulichung gegenüber, und zwar durch Pfeile). Sie wird bei physikalischen Größen stärker bevorzugt, wie bei Kräften, Geschwindigkeilen, Drehmomenten usw. Überdies geslattet sie uns, die eingefuhrten Rechenoperationen grafisch zu verdeutlichen. Unter einem Pfeil versteht man dabei ein Paar (A. B) zweier Punkte A, B einer Ebene bzw. des dreidimensionalen Raumes, wobei A und B durch eine Strecke verbunden sind (falls A ~ B). A heißt Aujpul/kt und B Spitze des Pfeils. Skizziert wird der Pfeil in »üblicher Weise«, d.h. im Falle A ~ B zeichnet man die Verbindungsstrecke von A nach B und bringt in Beine Pfeilspitze an (s. Fig. 6.2a). Im Falle A == B ist der 3 Stau »Pfcil« sagt man auch »gcrichtctc Streckc«.

6.1 Ocr li-dimensionale Raum R"

447

Pfeil einfach als Punkt A zu skizzieren. Man symbolisiert einen Pfeil mit Aufpunkt A und Spitze B durch ~

AB.

Wir betrachten zun[ichst Pfeile in einer Ebene mit einem festen Koordinatensystem. Man sagt: Ein Vektor x =

[;~] aus 1R2 wird durch eil/en Pfeil AB darges/eilt, wenn folgendes

gilt: XI

=b l

-GI.

x2=b2- G2.

Dabei sind GI, G2 die Koordinaten des Punktes A und bl, b2 die Koordinaten von 8 (s. Fig. 6.2a). ~ Man erkennt unmittelbar, daß jeder Pfeil, der durch Parallel verschiebung aus AB hervorgeht, ebenfalls den Vektor x darstellt. Der Vektor x hat also unendlich viele Pfeildarstellungen. (dies ist analog zu der Situation, daß ein Gegenstand verschiedene Schauen werfen kann. Der Vektor x - also das Zahlenpaar - ist der })Gegenstand«, und die ihn darstellenden Pfeile sind gleichsam seine ..Schauen« !)

,- - - - - - -,

;' I

b,

B:X3 ,t--.J~-~-, ,

~~7B

~_~X2 A

I

_ _ _ _

I ;' A

"

b)

_}

'1

IL

"

;'

X2

"

Y/'

/, --,

y

2

d)

0)

;' I

-)

Fig. 6.2: Pfeildarstellungen von Vektoren und Rechenoperationen Lassen sich zwei Pfeile nicht durch Parallelverschiebung zur Deckung bringen, so stellen sie verschiedene Vektoren dar. Im Dreidimensionalen verl[iuft alles analog: x = dargestellt, der Xl

= bt

~al.

X2 X'] [X3

aus 1R3 wird durch jeden Pfeil

AB

448

6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler

erfüllt, wobei al, a2, a3 die Koordinaten von A sind und bl, b2, b3 diejenigen von B (s. Fig. 6.2b). Addition und Sub/rak/ion von Vektoren kann man durch Dreiecke aus Pfeilen veranschaulichen (s. Fig. 6.2c. d). Dic Multiplikation eines Vektors mit einer reellen 2altl A fUhrt zu Streckungen oder Stauchungen von Pfeilen, im Falle A < 0 zusätzlich zu einer Umkehr der Pfeilrichtung (Fig. 6.2e). Der Vektor 0 wird als beliebiger Punkt dargestellt. Der Leser wird aufgefordert, an Zahlenbeispielen Veranschaulichungen zu skizzieren und sich davon zu überzeugen, daß die Darstellungen von Summen und Differenzen durch Pfeildreiecke zutreffen (s. 6.1). Die Pfeildarstellung legt es nahe, von der Uinge eil/es Vektors x =

[;~]

E IR2 zu sprechen. Es

~

ist damit die Länge eines darstellenden Pfeiles AB gemeint. Nach »Pythagoms« ist diese Länge gleich

/xf + xi (s. Fig. 6.2a).

Im IR3 erhält man die Pfeillänge zu x (mit den drei Komponenten XI,

X2. X3)

Jxf + xi + xs. (Dies folgt aus dem sogenannten }>räumlichen Pythagoras«.)

entsprechend als

Man vereinban daher allgemein Definition 6.3: Als Uinge, Beirag (oder euklidische Norm) eines Vektors x =

[' 'J :

E

IR" bezeichnet

X'I

lxi =

Jxf +xi+· .. +x;.

(6.2)

Für Längen von Vektoren des IR" gelten folgende Regeln

l>.xl

~

lAIlxi

(A E 11<)

Ixl=O {:} x=O Ix

+ YI

~

lxi

+ lyl

Dreiecksungleiclumg.

(6.3) (6.4) (6.5)

Der Ausdruck ••Dreiecksungleichung« geht unmittelbar aus Fig. 6.2c hervor. Die Ungleichung bedeutet im IR2 oder IR3 offenbar, daß die Länge einer Dreiecksseite - hier Ix + YI - kleiner oder gleich der Summe der beidell übrigen Seitenlängen ist, also ~ lxi +IYI. Für den allgemeinen Beweis der Dreiecksungleichung wird auf BurglHaflWille (Lineare Algebm) 19] verwiesen. Veranschaulichung des inneren Produktes: Zwei Vektoren x und Y aus 1R2 oder IR3 seien durch zwei Pfeile dargestellt. wie es die Fig. 6.3 zeigt. (/) sei der kleinere Winkcl, den die Pfeile miteinander bilden (der sogcnannte Zwischcnwinkcl). Dann ist das innere Produkt von x und Y gleich x· Y = IxIlYlcos(/}.

(6.6)

6.1 Ocr li-dimensionale Raum R"

<-

449

y

Fig. 6.3: Zum inneren Produkt

(Den zugehörigen Beweis findet der Leser in BurglHaflWille (Lineare Algebra) [9].) Insbesondere folgt: Die Pfeile von x und Y slehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn x . Y = 0 ist. (Denn genau dann ist cos rp = 0.) Hierdurch wird folgende Definition angeregt Definition 6.4: Zwei Vektoren x, y der, wenn

E

IR" stehen genau dann senkrecht (oder rechtwinklig) aufeinan-

x·y =0

ist. Man beschreibt dies durch x .1 y.

Schließlich gilt fur alle Vektoren x. y E IR" noch die sogenanllle SclIIVlIrzsche4 Ungleichullg

Ix, Yl " lxi' lyl.

(6.7)

Für lR2 und IR3 folgt sie sofort aus (6.6), da I cos rpl ::: I ist. Der allgemeine Beweis ist wiederum in BurglHaflWilie (Lineare Algebra) f91 aufgerlihrt. Zusiitzlich zu den genanlllen Operationen gibt es im IR3 noch das »äußere Produkt« x x y zweier Vektoren. Es wird berechnet durch xxy=

X2Y3 - X3Y2 ]

X3)'I-XI)'3 [ XI}'2 - X2)'1

,

mit

x

~ [;;].

y

x3

~ [Y,;]

(6.8)

)'3

Geometrisch bedeutet es folgendes: Der Produktvektor z = x x y steht senkrecht auf x wie auf y. Sein Betrag ist Izi :::: lxi· IYI sin rp, wobei I{J E [0, Jr I der Zwischenwinkel der Vektoren x und y ist. Schließlich bilden x, y, zein Rechtssystem (falls ip > 0), vorausgesetzt, daß auch die XI-, X2- und X3-Achse ein Rechtssystem bilden (s. BurglHaflWilie (Lineare Algebra) [9]). Der Raum IR3 spielt als Modell des uns umgebenden physikalischen Raums eine hervormgende Rolle in Naturwissenschaft und Technik. Physikalische Beispiele: Eine Kraft, die an einem Raumpunkt angreift, kann als Pfeil dargestellt werden, der in Kraftriehtung weist. und dessen Länge gleich dem zahlenmäßigcn Betrag der Kraft ist. Entsprechend können Geschwindigkeiten, Besclzleunigungell u.a. durch Pfeile, und damit durch Vektoren, dargestellt werden. 4

Hennann Amandus Schwarz (1843 -

1921). deutscher Mathematik.er

450

6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler

Übung 6.1: Addiere

[~l]

und

[~2]

und skizziere diese Addition durch ein Dreieck. Führe das gleiche

fUr die Subll'nktion durch.

Übung 6.2: Beweise. daß la+hl 2 = lal 2 + Ibl 2 genau dann gi 11. wenn a und b senkrecht aufeinanderstehen. (Hinweis: Schreibe la + bl 2 = (a + b) . (a + b) und »multipliziere die Klammern aus«!)

6.1.3

Folgen und Reihen von Vektoren

Völlig analog zu Zahlenfolgen werden Folgen von Vektoren gebildet: Eine Folge al ,02.03, ... ,al: ....

von Vektoren des IR" ist durch eine Vorschrift gegeben, die jedem k E N genau einen Vektorak E IR" zuordnet. Alle weiteren Begriffe lassen sich von Zahlenfolgen auf Vektorfolgen sinngemiiß übenragen. Insbesondere lautet die Definition der Konvergenz einer Folge praktisch gcn
Definition 6.5: Die Folge (akheN von Vektoren ak E IR'I konvergiert gegen a E IR", wenn es zu jedem s > 0 einen Index ko gibl, so daß flir alle Indizes k ::: ko gilt: lak-al <s: man beschreibt dies durch lim ak =

k--->oo

a oder

ak _

a fUr k _ 00.

a heißt Grenzwert oder Lime.~ der Folge.

Jede Folge (akheN aus IR" zerfallt in KoordinatenfolgeIl. Das heißt Schreibt man ausfUhrlich k

ak =

a:: [a"(k,

']

.

k = 1.2.3.....

so erkennt man" Zahlenfolgen

1.2..... 11). eben die Koordinatenfolgen von

(ak)keN·

Folgerung 6.1: Eine Vektorfolge (adkeN konvergiert genau d
6.1 Dcrn-dimcnsiona1e Raum Rn

451

Beweis: Konvergiell die Folge (ad gegen a (in IR"), d.h. gilt lak - 01 -+ 0 ftir k -+ 00, so konvergiell jede Koordinatenfolge (a?lheN gegen die entsprechende Koordinate ai von 0, und zwar wegen

lOk -

01 :::

ja?) -

(li

I flir alle kund i.

Konvergieren umgekehrt alle Koordinatenfolgen (a?»keN gegen die entsprechenden Koordinaten ai und a. so folgt wegen

lOk -al =

"

la?) -

L(aYl -ai)2 -+

ai I -+ 0 auch

0 flid --+

00,

i=1

° rur k --+ 00.

d.h. 0k --+

o

Da also die Konvergenz von (ad vollkommen auf die Koordillarellfolgell zurückgespielt werden kann, kann man alle Konvergenzeigenschaften und Sätze von Zahlenfolgen auf Vcktorfolgen sinngemäß übertragen. Es soll lediglich ein Satz hervorgehoben werden - stellvertretend flir alle anderen - , nämlich der Satz von Bolzallo-Weierstraß. Dazu vereinbaren wir, wie bei Zahlenfolgen: Eine Folge (akheN aus IR" heißt beschränkt, wenn es ein c > k E N. Es gilt nun:

0 gibt mit lok! ::: c flir alle

Satz 6.2: (Salz VOll Bolwllo-Weierslmß im IR") Jede beschränkte Folge (adkEN aus IR" besitzt eine konvergente Teilfolge.

Beweis: Man schreibe die Koordinatenfolgen von (ad untereinander: ,I) "

1

•

a(2) a(3) 1 • 1

a~1) • a~2)

a~3),

Alle diese Folgen sind beschränkt (wegen la?)1 ::: lak! ::: cl. Sie haben also alle konvergente Teilfolgen. Es gibt daher mindestens eine Indexfolge kJ, k2, k3, ... , so daß a(kil, a(k2), a(k]), ... konvergiert. Aus der Indexfolge k], kl, k3, ... denke man sich nun eine Teilfolge :lUsgewählt, "d er k I. k 2. k 3.... genannt. so d"a ß"aue h a (kl) • a (k2) • a (k]) •••. k onverglcrt. " wIe Aus"d"" Icser I ndcx2 2 2 folge wird darauf wicder eine Teilfolgc ausgcwählt. abermals mit k l , k2. k3 . ... bezeichnet. so daß auch (/~kl). a~k2). lI~k» ... konvergiert. Auf diese All und Weise arbeitet man sich durch alle Koordinatenfolgen nacheinander durch. Schließlich erhiilt man eine Indexfolge klo k2, k3, ... , so

452

6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler

daß alle Teilfolgen U=I,2, .... /I)

der Koordinalenfolgen konvergieren. Also konvergiert auch die Veklorfolge akl' ak!, akJ' .. was zu beweisen war. 0 Über Reihen

[~ak] I'on Vektoren ak

E

IR'I ist nur zu bemerken. daß auch sie analog zu

Zahlenreihen gebildet werden. Insbesondere konvergiel1 eine Reihe

[~ak] mit ak E IR" genau

dann gegen einen Grenzwert SE IR'I, wenn die Folge (S;)iEN der Partia[slIlIIlIlell ; Si

=

Lak

k=O

gegen S konvergiert. Man schreibt dann

wie nicht anders zu erwarten. Damit sind Reihen auf Folgen zurückgeflihrt, und es iSI alles gesagt. Übung 6.3*: Überprüfe. ob die angegebenen Folgen im I!t2 bzw. I!t3 konvergieren und gib gegebenenfalls ihre Grcnzwenc an:

6.1.4

Topologische Begriffe

Die Überschrift klingt sehr wissenschaftlich. Dabei handelt es sich hier nur darum, einige anschauliche Begriffe zu erklären, wie »Umgebung« eines Punktes, »innere Punkte« einer Menge, »Randpunkte« einer Menge, »offene Menge«, »abgeschlossene« oder gar »kompakte« Menge. Dazu brauchen wir »Abstände« und »Kugeln« im IR", kurz: Wir betreiben »Geometrie« in IR". Als AbS1(lnd zweier Punkte x und y im IR" bezeichnet man die Zahl Ix - yl. Im IR 2 oder ~3 handelt es sich dabei zweifclslos um den geläufigen euklidischen Abstand zweier Punkte x und y. Man erkennt dies über den Salz des Pythagoras (s. Fig. 6.4a). Es folgt, daß alle x E a 2 mit Ix - al ::: reine Kreisscheibe bilden, und zwar mit dem Mittelpunkt a und dem Radius r (s. Fig. 6.4b). Entsprechend ergeben alle x E IR3 mit Ix -al::: r eine Kugel um den Mittelpunkt a mit Radius r. Man vercinban daher allgemein im IR":

6.1 Ocr li-dimensionale Raum R"

r------

" "

I I I

Y

,

I I X2 - Y2 I _ _ _ _ _ _ ...J

b)

Ix -YI

Xl-V'

x,

Yl

Ix - vi'" ~ (X'-Yl)2 +(X2 - Y2)2 .)

~

~~g~",

Randpunkt iI von M, a mrt einer Umgebung

d)

Fig. 6.4: Abstand. Krcisschcibe. Umgebung und Randpunkl

Definition 6.6: Die Menge Ka.r:={xelR/llx-al=",r},

aeR", r>O,

heißt a!Jge.fchlo.uene Kugel um a mit Radius r IIl/d K(l,r:={XEIR"llx-al
aE~'I.

r>O,

(also< statt 5) offene Kugel um a mit Radius r. Man nennt bcide Mengen auch KIIge/umgebullgell von a im IR". Allgemein bezeichnet man als Umgebullg eines Punktes a E IR" jede Menge aus IR", die eine Kugelumgebung von a umfaBt (s. Fig. 6.4c). Definition 6.7: (a) Ein Punkt a E IR heißI Randpuflkt einer Menge M E IR", wenn in jeder Umgebung von a mindestens ein Punkt aus M liegt sowie mindestens ein Punkt aus IR", der nicht zu M gehört (s. Fig. 6.4d). Die Menge der Randpunkte von M heißt der Ralld von M, symbolisiert durch öM. (b) Ein Punkt a E M, der nieht Randpunkl iSI, heißt inllerer Punkt von M. a ist also genau dann ein innerer Punkt von M, wenn eine ganze Umgebung von a in M enthalten ist. Die Menge der inneren Punkte von M heißI Inlleres von M, o symbolisiert durch M. (c) Eine Menge M C IR" heißt offen, wenn sie nur aus inneren Punkten besteht (also keine Ralldpunkte enthält). (d) Eine Menge M C IR'! heißt (Ibgeschlossen, wenn sie ihren Rand enthält.

453

454

6 Differemialreehnung mehrerer reeller Variabler

(e) Die Vereinigung einer Menge M C IR" mit ihrem Rand heißt die abgeschlossene Hülfe von M, symbolisiert durch M.

IR'I und die leere Menge" sind sowohl offen wie abgeschlossen (denn ihr Rand ist leer). Alle anderen Teilmengen von IR" besitzen Randpunlae. sind also entweder offen oder abgeschlossen oder keines von beiden. Der Leser suche Beispiele zu allen drei Fällen. Folgerung 6.2: (a) Eine Menge M C IR" ist genau dann abgeschlossen, wenn ihre Komplementiirmenge IR"\M offen isl. (b) Eine Menge M ~ IR" ist genau dann abgeschlossen, wenn mit jeder konvergenten Folge (ad aus M auch der zugehörige Grenzwerl a in M liegt. Beweis: Die Aussage (a) ist unmittelbar klar. Zu (b): Wir nehmen an: M ist abgeschlossen, d.h. die Komplementärmenge IR" \ M ist offen, d.h. jeder Punkt aus IR" \ M hat eine Umgebung, die ganz in 1R" \ M liegt. m.a.W: die keinen Punkt aus M enthält. d.h. kein Punkt aus IR" \M kann Grenzwerl einer Folge aus M sein, d.h.jede konvergente Folge aus M hat ihren Grenzwert in M. 0 Definition 6.8: (a) Eine Menge M C IR" heißt beschränkt, wenn es ein alle x E M (d.h. wenn M in einer Kugel um 0 liegt).

r

> 0 gibt mit

lxi

.:'S

r

fUr

(b) Eine Menge M C IR" heißt kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. Folgerung 6.3: Eine Menge M C IR" ist genau dann kompakt, wenn jede Folge (a/':)/':EN" aus Meine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert in M liegt. Beweis: (I) Ist M kompakt, so besitzt jede Folge (a/.:) aus M nach Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge. Ihr Grenzwert muß nach Folgerung 6.2 in M liegen. (11) Wir setzen nun voraus: Jede Folge (al.:) aus M besitzt eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in M. Dann ist M beschränkr. (Andernfalls gäbe es nämlich zu jedem k E N ein Element ak E M mit la/.:I ::: k, also lakl _ 00 fUrk _ 00. Die Folge (ad besäße daher keine konvergente Teilfolge.) Überdies ist M abgeschlossen, sonst gäbe es nach Folgerung 6.2 eine konvergente Folge (a/.:) in M, deren Grenzwerl a nicht in M liegt. Da jede Teilfolge von (a/.:) ebenfalls gegen a strebt, hätte keine Teilfolge von (a/.:) einen Grenzwerl in M, im Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist M abgeschlossen, folglich kompakt. 0

6.1 Der li-dimensionale Raum R"

455

Übung 6.4*: Gib an. ob die folgenden Mengen im ]R2 offen. abgeschlossen. bcschrJnkt oder kompakt sind. oder nichts dergleichen. Skizziere die Mengen.

2 A = Ix e 1R I x =

[:~]

mit IxJl

m

D

6.1.5

2 = Ix e IR I x =

[:~]

~ 41.

mita=[~].

2

B=lxeIR Ix.a>21. C = Ix E IR 2 I x = [,,]

+ 1.1'21

11

und m ganzzahlig}.

mit XI

~ O. x2 > O. x . [~] ~ SI.

Matrizen

Da Matrizen im Folgenden vielfach gebraucht werden, wird hier das Wichtigste darüber zusammengestellt. Ausftihrlicher werden sie in BurgfHaflWille (Lineare Algebra) [9] behandelt.

Definition 6.9: Ein Zahlensehema der Form

[an

al2

a,,, ]

a2l

a22

a2/1

a':11

(/",2

(/"1"

a,k reell ftir alle i, k.

wird (reelle) (m.Il)-Matrix genannt. Man beschreibt sie auch kürzer durch [aidl
oder

[aid",.".

l;k~"

Die Zahlen a,k heißen Elemellfe der Matrix, wobei i Zeilellilldex und k Spaltenilldex genannt wird. 11I ist die Zeilellzahl und 11 die Spallellwhl der Matrix. Zwei Matrizcn A = [aidm.1I und B = [bjj;I".q hcißen genau dann gleich: A = B, wenn = p, n = q und aik = bik ftir alle i EIl ..... m I und kEIl ..... 111 erftillt isl. (d.h. wenn die zugchörigcn Schcmata »deckungsgleich« sind). Matrizen aus nur einer Zeile heißen leilellllllllrizell und aus nur einer Spalte Spaltellll/atrizell. Die uns bekannten Vektoren IR" sind also als Spaltenmmrizen aufzufassen.

11I

Definition 6.10: Addition und Subtraktion von Matrizen geschehen »gliedweise«: [ajk ]m,/I

± [bik ]m.1I :=

[a,k

±

bok ]m./I .

456

6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler

Multiplikmiolllllit einer reellen Zahl Aebenfalls:

A[aiJ, 1"'.11 = [Aaidm.tl.

Die Multiplikmioll zweier Matrizen A = [aik J"'.II und B = [bik III.q ist dagegen so erklärt: AB:= [cid",.,!

mit

"

Cjk = L(lijbjk. j=l

Dabei ist es erforderlich, daß die Spalten zahl des ersten Faktors A gleich der Zeilenzahl des zweiten Faktors Bist.

S-2]~[4 ~9 S[3 8]~['S 3S s][S 7] SI] [~ -S 5J [~7] [!is] 7 -6~~=8311'

Beispiel 6.2:

[~

-2 7

[~

-2

8] -6

+ ['3

2 -3

3 7 9

-2 47-620

]

-10

40 ] -30 .

J

[-3

~

6

Satz 6,3:

(RechenregellI) Für alle reellen Matrizen A, B, C, fLir die die folgenden Summen und

Produkte gebildet werden können, gilt KOIllllllltativgesetz

A+B=B+A (A

+ 8) + C ~ (A8)C

A

+ (8 + C)~,

~ A(8C)~,

A

+8 +C

A8C

Assozjmivgeserz der Addition Anoziativgesetz der Multiplikation

A(B+C)=AB+AC.

Distribllti vgesetze

(B+C)A=BA+CA. Sind A, IJ- beliebige reelle Zahlen, so folgt ferner A(IJ-A) = (A/l)A =: A/lA . A(A

+ B) =

AA

+ AB,

A(AB) = (AA)B = A(AB) =: AAB. (A+/l)A=AA+/lA.

Die einfachen Beweise werden dem Leser überlassen. Es sei darauf hingewiescn, daß AB = BA nicht in jedem Fall gilt. Man bercchnct z.B. mit A = [:

6]'

daß AB 'f; BA ist! Jede Matrix, deren Elemente siimtlich 0 sind. wird mit 0 bezeichnet. Sie erfLillt A fur jede Matrix A, deren Zeilen- und Spallenzahl mit 0 übereinstimmt.

+0

= A

6.1 Ocr li-dimensionale Raum R"

457

Die folgende (11, n)-Matrix

E=

100 010 0 0 I

o

0

0 0 0

0

heißt II-rcihige Einheilslllatrix (oder Eimmatrix). Sie läßt sich kürl.er so darstellen: fUri=k, fUr i k.

mit

t-

Sie spielt bei Matrizen die Rolle der I. Denn es gilt für alle (11I, Il)-Matrizen A und alle (11, p)Matrizen B: AE=A,

EH = H.

Ist A = [aik ["./11 eine beliebige Matrix, so nennt man AT = [a'ik Jm." mit a'jk := ah ftjr alle i, k die trallSIJOllierle Matrix zu A. (Sie entsteht anschaulich durch ..Spiegelung(( des Zahlenschemas von A an der »Hauptdiagonalerwall, a22, a33, ...). Es gilt die Regel

Eine Matrix heißt quadratisch, wenn Zeilen- und Spaltenzahl übereinstimmen. Es sei A eine quadratische Matrix. Existiert dazu eine quadratische Matrix X gleicher Zeilenzahl wie A, die AX= E

erfUIlt, so nennt man X die zu A im'ase Matrix, kurz die Inverse von A und bezeichnet X mit A -I. (Die Inverse von A ist eindeutig bestimmt, wie in BurglHaflWille (Lineare Algebra) [9J gezeigt wird.) Es gilt AA-1=E

und

A-IA=E.

(6.9)

Die linke Gleichung ist die Definitionsgleichung von A- I . Den Beweis der rechten Gleichung findet man in BurglHaflWille (Lineare Algebra) [9J. Bemerkung: Will man die Inverse A -I von A = [aik J",,, berechnen. ja. überhaupt herausfinden. ob eine Inverse existiert. so selZt man A -I = X = [Xik J"./I und schreibt die Gleichung AX = E ausführlich in allen Komponenten hin, d.h.

"

L:>;jXjk = Oik

mit

i.

k

= 1.2.....

/1.

j=1

Jeweils fUr festes k erhält man ein lineares Gleichungssystem für die Unbekannten

Xlk. X2k. ....

458

6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler

was es zu lösen gilt (etwa mit dem Gaußschell Algorithmus). Nur bei eindeutiger Lösbarkeit existiert X ::::: A -I, deren Elemente sich aus den besagten Gleichungssystemen berechnen lassen (s. BurglHaflWille (Lineare Algebra) [9]).

Xnk.

Eine Matrix heißt regufür, wenn sie quadratisch ist und eine Inverse besitzt. Nichtreguläre quadratische Matrizen werden singulär genannt. Definition 6.11: Als euklidische Norm einer reellen Matrix A ::::: [aik Im.1I bezeichnet man die Zahl

wobei über alle i ::::: 1, ..., III und k ::::: I ...., 11 summiert wird. Folgerung 6.4: Sind A. B beliebige (n, III)-Matrizen, so gilt

IA + 81

~

lAI + 181.

[AA[ ::::: [AI[A[ IAI~O

..

für alte A E IR, A~O.

Ist ferner C eine beliebige reelle (111. p)-Matrix, so folgt

IAC!

~

IAIIC!·

(Für die Beweise wird auf [561, Satz 6.7. S. 273-274. verwiesen.) Übung 6.5: Berechne

Übung 6.6: Welehe der folgenden Matrizen besitzen Inverse? (Zur Berechnung s. letzte Bemerkung)

Übung 6.7*: Es seien A. B II-reihige reguläre M
6.2 Abbildungen im R"

6.2

Abbildungen im]Rn

6.2.1

Abbildungen aus IR" in IR'"

459

Unter einer Abbildul/g I von 0 C IR" in eine Menge M C IR'" versteht man bekanntlich eine Vorschrift, die jedem Punkt x E 0 genau einen Punkt y E M zuordnet. Man beschreibt dies durch

y = I(x) .

x

E 0,

YE M .

oder durch I : 0 --4 M (s. Abschn. 1.3.5). Da x und y hierbei II~Tupel bzw. m-Tupcl sind,

XI] [X

x=·~2.

["]

y=~2. y",

n

so kann man I(x) ebenfalls als /II-Tupcl schreiben, und zwar ausführlich in der Gestalt

1, (X,.··· . X,,)] I(x)

~

[ /,,,(XI,

~, .. x,,)

kurl

Die Komponemenjul/klionel1 11 ...., jm von AusfUhrlich geschrieben ist

y

I~

I

11]: [I",

sind dabei reellwertige Funktionen auf D.

I(x)

~

also ein System von m Funktionengleichungen:

YI = )'2

=

II(XI,X2 •..•• X,,) 12(XI. X2 •...•

x,,)

(6.10) )'''' = /,,,(Xl,X2, ... ,X,,)

(Im Falle 111 = 1 verkürlt sich dies auf eine Zeile, im Falle 11 = I auf eine Variable.) Beispiel 6.3: )'1 = 3xI )'2

=

2x)

~ 4X2 ~

I.

(6.11 )

+ 5X2 + 2.

Durch diese Gleichungen wird jedem Paar [Xl] mit reellen XI,

X2

zugeordneL Für Xl = 2,

= 21.

~

X2

= 3 errechnet man z.B. )'1 =

~ 7, )'2

ein reelles Zahlenpaar [YI]

n

460

6 Differentialrechnung mehrerer r..-eller Variabler

Mit den Abkürzungen

erhalten die Gleichungen (6.11) die knappe Form y = [(X),

XE 1R2 ,

y E]R2.

[ bildet also 1R2 in 1R2 ab, was man kurz durch [ : lR 2

---)0

IR2 ausdrückt.

Übung 6.8: Der Leser berechne die Bildpunkte [YI] der Abbildung / im Y2

Bei~picl 6.3 für die Urbildpunkle

Welche Figur bilden die Bildpunkle der letzlen lIier Urbilder in der y-Ebene?

6.2.2

Funktionen zweier reeller Variabler

Die wesenIlichen Gesichtspunkte der Differentialrechnung mehrerer reeller Variabler lassen sich am einfachsten Fall verdeutlichen: Am Fall reeller Funktionen zweier reeller Variabler. Eine solche Funktion wird durch

Xl] [X2

E DCIR2 •

beschrieben, oder abstrakter durch f D ---)0 IR (D C ]R2). Sie läßt sich auf folgende Weise graphisch darstellen (s. Fig. 6.5). Man skizziert ein räumliches Koordinatensystem aus XI-, X2- und y-Achse. Zu jedem Punkt XI] des Definitionsbereiches [ X2 Raumpunkt

D

denkt man sich den Wert y = f(xl.

X2)

berechnet und den

XI] X2 [ Y ins Koordinatensystem eingezeichnet. Die Menge dieser Raumpunkte heißt der Graph ,'Oll f. Der Graph lIon f erscheint als ftächenartiges Gebilde, gewölbt. gebogen oder eben (s. Fig. 6.5). Jede »Senkrechte« - d.h. jede Parallele zur y-Achse - schneidet das Gebilde höchstens einmal. 5 Oft wird auch dic Schreibweise

11 _

j(x.)') vcr"'cndct. "'cnll es um praktische Bcispicle geht.

6.2 Abbildungen im R"

y

461

Graph von t

o Y,

Fig. 6.5: Funktion zweier Variabler

Den Dcfinitionsbcreich D (s. Fig. 6.5) kann man in die stems einzeichnen. Es werden dabei die Paare

[x,] .\"2

mit den Tripein

X2 X'] [o

.\"1-.

x2-Ebene unseres Koordinatcnsy-

identifiziert.

(Man nennt dies die kanonische Einbe/lllllg des zweidimensionalen Bereiches D in den dreidimensionalen Raum 1R3 .)6 Beispiel 6.4: )' = f(.\"I. Xü = XI.\"2,

[x,] E 1R2. .\"2

Beispiel 6.5: )' = g(.\"t . .\"ü = 5.\"1

Beispiel 6.6:

)' = II(XI . .\"2) = Jl im 1R2 ist.

+ 2.\"2 + 10, [::~]

E )R2,

-xf -xi. [x,] E E, wobei E = Ix Ilxl < X2

I} die Einheitskreisscheibe

Diese Funktionen werden durch die folgenden Fig. 6.6a, b, e veranschaulicht. Der Graph von f ist dabei eine Satteljfäche, der von g eine Ebene und von h die Oberfläche einer Halbkugel. Eine zweite, viel vel"\vendete Art der Veranschaulichung ist die der Höhenlinien (Nil'eaulinien). In Fig. 6.7a, b, e sind wieder unsere drei Beispielfunktionen f. g, h skizziert. Diese Darstellung erhält man so: Man wählt einen festen Wert y aus, z.B. y = I. Dann 6 Eine derJJ1ige Ausdrucksweise rur so eine simple Sache bnn man gul hcnulzen. um priifende Profes,oren zu ver· blüffen.

6 DiffcTCmialrcchnung mehrerer reeller Variabler

462

y 10

y

"

"

-5

-2

01

"

Y

... _---r---h__ //

"

, , ,' ,, I

, ,

, , , /

..

'" / /

/

/

'

' ' ,

"

'I Fig. 6.6: Graphen verschiedener Funktionen

sucht man alle Punkte

x = [x,], deren Funktiollswerte gleich y = X2

I sind und zeichnet sie ein.

Meistens handelt es sich dabei um eine oder mehrere zeichenbare Linien. Dies fUhrt man rur weitere y-Werte durch, etwa y = 2, )' = 3, usw. So entsteht das Höhenliniellbild einer Funktion. Höhenlinien erhält man nonnalcrwcisc dadurch, daß man die Funktionsgleichung y = f(xl. X2) »nach X2 aunöst« (oder, falls günstiger, nach .\"]). In unseren Beispielen sicht das so aus: )' =

XlX2

=>

J'

x,

y=5.11+ 2x 2+ 10 =>

X2

=>

X'J

y=

JI -x? -xi

(fUTXI

X2= -

=

5

--XI

2

y

+- 2

5

" 0)

(fUf Xl E IR)

)'2 _ x - = ±j1 _ . ,

2

(mf

lXII ::": ~)

Rechts sind die Funktionen der Form X2 = r,o(X!) entstanden (bei festem y), deren Gmphen man skizzieren kann. (± beschreibt zwei Funktionen.) Die Frage. wann solche Aunösungen möglich sind - analytisch oder numerisch - ist Inhalt des später folgenden »Satzes über implizite Funktionen« (Abschn. 6.4.2). Bemerkung: Die Darstellung durch Höhenlinien kann sinngemäß auch auf die Funktionen y = fex!. X2 . .\"3) von drei Variablen übertragen werden. Anstelle der Höhenlinien treten dabei Nivcaufliichen. Sie sind durch fex!. X2. X3) = y = konstant gegeben.

6.2 Abbildungen im R"

"

ui!J '~::j

H~ i/}:~~i

a)y_.,.,

b)y_5x,.2x,.tO

O,'~ 0,2 0,3 0,4

0,'

,

-,

0,'

1~~~~~bt0~~'· "

-

0,7

y.O,8

y.O,9 _ 1

1

y. 1

Fig. 6.7: Darstellung von Funktionen zweier reeller Variabler durch Höhenlinien

Einige technische Beispiele sind zur Übung des Lesers im Folgenden angegeben: Übung 6.9: Das Ga.l"ge.\'e1zfiir iileale Gase lautet pV=H.T,

H.=8314

J ], K kmo

(6.12)

.

mit dem Druck p. dem Volumen V und der absoluten Temperatur T des Gases. H. ist die allgemeine Gaskonstante, Jede der drei Größen p, V. T Wßt sich als Funktion der übrigen auffassen. so daß folgende drei Funktionen entstehen: p=

RT

RT v= -

V

P

~

~

fdT.V)

h(T·I,j

I R

T= -pV

(6.13)

~

h(I',Vj

wobei !J > O. V > O. T > 0 gilt. Dcfinitionsbercieh ftir alle diese Funktionen ist also der

o

I ]

»erste Quadrant« IR~ := [~~ I XI > O. x2 > O}. f3 ist bis auf einen Faktor gleich der früher betrachteten Funktion f. Der Leser skizziere die Hiihenlinienbilder der drei Funktionen.

463

464

6 Differemialreehnung mehrerer reeller Variabler

Bemerkung: Die T

~

-

l'GIl

der Waalssche Zlislalldsgleicllllllg rur reale Gase

1(/d -,,2,,) , (V - nb)

11 R

V-

J a.b. R,

konstant, Gasmenge in Mol

1 11.

(6.14)

wurde schon in Abschn. 3.2.8, Beisp. 3.34. behandelt. Der Ausdruck rechts beschreibt eine Funktion J(p. V). Ein HöhenJinienbild ist in Fig. 3.18 in dem genannten Abschnitt gezeichnet.

)) ~

G·

L,=---.J .)

~"

j

"

Fig. 6.8: Zu Funktionell zweier Variabler in der Technik

Übung 6.10: Ein Stahlrohr hat das Gewicht

wobei p das spezifische Gewicht des Stahls ist. I die Länge des Rohres. d der Außenwanddurchmesser. w die Wandstärke (s. Fig. 6.8). Es handelt sich hier um eine Funktion von drei Variablen I. d und w. Da Inur ein Proponionalitätsfaktor ist. erhält man einen Überblick. wenn man lediglich die Funktion !(d.w)=dw-w 2 .

d~O. w~O.

untersucht. Der Leser skizziere diese Funktion im riiumlichen Koordinatensystem!

Übung 6.11: (nach (5). S. 172) Das Fliichemllomelll eines rechteckigen Balkens erhält man aus (6.15)

Dabei ist b die Breite und h die Höhe des Balkens (s. Fig. 6.8b). Die Zahl I geht bei der Berechnung der Durchbiegung eines Balkens ein (s. Beisp. 2. I. Abschn. 2.1.1). Wegen dieser Anwendung ist man mehr daran interessiert. die Bai kenbreite b aus I und h zu gewinnen. Zum Ablesen von b-Wenen aus einem Höhenlinienbild ist es allerdings zweckmäßig (und in der Technik gebriiuchlich). Koordinatensysteme zu benutzen mit einer b-Achse als senkrechter

6.2 Abbildungen im R"

Achse. Es !;ommen in unserem Falle zwei Möglichkeiten in Betracht. nämlich ein l-b-System oder ein hob-System (s. Fig. 6.9<1. b). D
b

b

25

25

,m

,m

20

20

15

15

10

10

5

5 I

o 1000

h

o 12

2000

14

16

,m

b)

.)

Fig. 6.9: Nelztafeln ftir das Fliichenmomelll I eines Balkens (zu vervolistiindigen)

Übung 6.12: Der lVecJHe!s/fVl11l1'iden/(lIId weines Stromkreises ergibt sich aus (6.16) wobei R der Ohmsche Widerstand ist. L die Selbstinduktion und w die Frequenz des Wechselstroms. Wir wollen wals fesl annehmen. Dann slellt die rechte Seite der Gleichung eine Funktion der Form J(R. L) dar. Man Skizziere ein Höhenlinienbild ftir w = I f} und w = 50/(211") Hz. Frage: Welches Problem hai man. wenn Illan auf heiden Achsen den gleichen M
465

466

6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler

6.2.3

Stetigkeit im IR"

Nach dcn anregenden Bcispielen im vorangehcnden Abschnitt kommen wir nun zur hartcn Arbeit zurück, niimlich zur Stetigkcit von Abbildungcn aus IR" in IR"'. Es zeigt sich aber, daß dic Arbeit so hart wieder nicht ist. Denn wir können das meiste von Funktionen einer reellen Variablen übertragen, ja. nahezu wörtlich abschreiben. Im Folgenden sei D ~ IR" und M C IR'" . Definition 6.12: (a) Eine Abbildung Folgen (xk> aus

f :D D

mil

...... M heißt stetig in einem PUllkt Xo E D, wenn flir alle Xo stets

Xk ......

!im f(xk> = f(xo)

1.:"'00

gilt. (b) Die Abbildung f D ...... M heißt stetig al/I A C D, wenn sie in jedem Punkt von A stetig ist. 1st f stetig in jedem Punkt von D. so wird I eine stetige Abbi/· dUllg genannt. Die Definition entspricht vollkommen den Definitionen 1.17 und 1.18 in Abschn. 1.6.2, in denen die Stetigkeit fl.ir Funktionen einer reellen Variablen definiert sind. Aus der Definition folgt sofort, daß alle Funktionen in den Beispielen und Übungen des letzten Abschnittes stetig sind. Die E -ö-C/wrakterisierung der Stetigkeit in Salz 1.19 (Abschn. 1.6.2) gilt wörtlich auch rur Abbildungen f : D ...... lR.JlI mit D ~ IR", so daß wir auf eine erneute Formulierung ver.lichten können. Auch der Beweis ist gleichlautend. Der Satz über Summen. Differenzen. Produkte und Quotienten stetiger Abbildungen wird. samt Beweis, ebenfalls übertragen (s. Satz 1.22. Abschn. 1.6.4). Er lautet hier: Satz 6.4: Sind auch

f :D

...... 1R1lI , g : D ...... IRtlI und h : D ...... IR stetig in Xo E D (D

f+g, stetig in xo.

f-g,

und

f

"

(falls h(xo)

~

IR"), so sind

i= 0)

Die gleichmäßige Stetigkeit wird analog zu Dcf. 1.19 (Abschn. 1.6.6) flir Abbildungen aus]Ru in JRtlI erklärt. Es folgt, wie in Abschn. 1.6.6. die wichtigc Aussage: Satz 6.5: Auf kompakten Mengen des IR" sind stetige Abbildungen gleichmäßig stetig. Mit der Stetigkeit eng zusammen hängen Grellzwerte VOll Abbildullgen. Hier haben wir nur Abschn. 1.6.7 sinngemäß zu übertragen:

6.2 Abbildungen im R"

467

Ein Punkt Xo E IR" heißt Häufimgspullkt einer Menge 0 C IR", wenn in jeder Umgebung von Xo unendlich viele Punkte aus D liegen. Def. 1.20 aus Abschn. 1.6.7 wird damit zu Definition 6.13: Es sei f : D -+ M eine Abbildung und Xo ein Häufungspunkt von D. Man sagt, fex) kOllvergiert/iir x -+ Xo gegell deli Grenzwert c, wenn fLir jede Folge (Xk) aus D mit lim XI: = Xo und Xk # xo fLir alle k folgt: k_oo

lim f(xd = c.

k_oo

Dies wird kUrL beschrieben durch die Gleichung

limf(x)=c.

(6.17)

.1'-.1'0

Diese Übereinstimmung mit schon Bekanntem zeigt, daß hier eigentlich nichts Neues zu lernen ist. Aus diesem Grunde weisen wir nur darauf hin, daß sich alles Folgende im zitierten Abschn. 1.6.7 ebenso übenr~igt, insbesondere die Folgerung 1.18 über Summen, Differenzen, Produkte und Quotienlen solcher Grenzwerte. Schließlich beschäftigen wir uns noch mit PoieIl und Grenzwerrel1 im VI/entfliehen wie in Abschn. 1.6.8. Hier überträgt sich alles über Pole völlig analog auf Funktionen f : D -+ IR mit D C ]R". also insbesondere die Schreibweise fLir einen Pol Xo von f:

limf(x)=oo.

(6.18)

.1'-.1'0

Bei Grenzwerten im Unendlichen ist dagegen lxi -+ 00 (slau x -+ schreiben. Das Analogon zu Def. 1.22 in Abschn. 1.6.8 lalltet:

00

oder x

-,\0

-00)

Definition 6.14: D -+ JR'" sei unbeschränkt. Man (a) Der Definilionsbereich D C IR" von f sagt, fex) streb/ flir lxi -+ 00 gegen c wenn fIlr jede Folge (xd aus D mit lim Ix.kl = 00 gill: k_oo

lim f(xd = c.

k ..... oo

In Formeln beschreibt man dies kurz durch lim f(x)=c. Ixl...... oo (b) Anstelle von c kann auch 00 oder -00 stehen, wenn andere wird entsprechend formuliert.

(6.19)

f reellwcrtig ist. Alles

zu

468

6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler

Folgerung 1.20 in Abschn, 1.6.8 (€-Formulierung für (6.4» überträgt man ohne weiteres. Damit sind wir durch! Das Grundlegende über Stetigkeit und Grenzwerte von Abbildungen aus IR" in IR'" ist nun bekannt. Übung 6.13: ;q.r2

Wo ist die Funktion f(x);=

+x22

.r l

im 1R2 detinicn? Wo ist sie sletig? Existiert lim f(x)? x--->O

Übung 6.14: Beweise. daß die Funktion f(x) = lxi aufR" sletig ist.

6.3

Differenzierbare Abbildungen von mehreren Variablen

In diesem Abschnitt wird die Differentialrechnung von einer reellen Variablen auf mehrere reelle Variable ausgedehnt. Partielle Ableitungen

6.3.1

Beispiel 6.7: Durch

ist eine Funktion von zwei reellen Variablen Xl und X2 gegeben. Fassen wir flir den Augenblick als Konstante auf, so können wir den Ausdruck auf der rechten Seite nach Xl differenzieren. Diese Ableitung wird mit

X2

"I

"x,

-(XI,XÜ

oder kürzer

fAI(XI.X2)

bezeichnet. Wir erhalten also »durch Differenzieren nach

Xl

«:

[Jf . . 3 -.-('\I. X 2)=4.\ IX2_

(6.20)

iJxl

Entsprechend kann man

Xl

als Konstante auffassen und »nach

X2

differenzieren«. Es ergibt sich

of 2 ~ -(XI,X2)=6x 1X2'

(6.21)

[JX2

Die Ausdrücke in (6.20) und (6.21) heißen die partiellen Ableitungen von Beispiel 6.8: fex, y) = x 2 y ~ e·t )'. :::?

of ox (x. y)

\',. ,

= 2xy - ye'

of 2 x,' [Jy(x.y)=x -xe

f nach XI bzw. X2.

63 Differen'!ierbarc Abbildungen von mehreren Variablen

469

Wir erinnern nochmal: Die erste Gleichung ergibt sich durch Differenzieren nach x, wobei y als Konstante angesehen wird, die zweite durch Differenzieren nach y, wobei x konstant ist. Beispiel 6.9: fex, y) = sin(x 2y 5). Mit der Kurzschreibweise

Ir fur

Jf und f,. flir Jf erhält man äx äy

Beispiel 6.10: g(~.. t) =

,h- 2 + 12 mit s2 + t 2 i= 0

Beispiel 6.11: (/J(lIl. lI2, lI3)

=

,

lIi

,

+ 1I2 + lI3l11 + I

Der Leser. der diese Beispiele nachvollzogen hat. kann nun sicherlich partielle Ableitungen von formeimäßig gegebenen Funktionen berechnen. Er hat nichts anderes zu tun, als alle Variablen bis auf eine als konstant anzusehen und die so entstandene Funktion nach eben dieser Variablen zu differenzieren. Das führt zu folgender allgemeiner Definition:

Definition 6.15: Eine Abbildung

x =

[' 'J :

E

f :0

--7

IR'" mit 0

c

IR" ist in einern inneren Punkt

0

x"

partiell differenzierbar /lach Xk, wenn der Grenzwert ,.

,m

"_0

f(.~I

..... Xk+" ..... xtl)~f(Xl, ... ,Xk ..... X,,)

"

existiert. (Die beiden Ausdrücke im Zähler unterscheiden sich nur in der k-Ien Variablen.) Der Grenzwert heißt die parlielle Ableitung l'OII f nach Xk im Pllnkle x. Symbo-

470

6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler

lisch beschreibt man ihn durch

Statt (XI, ... ,x,,) wird dabei auch kÜr.t:er (x) geschrieben, oder es werden die Variablenangaben ganz weggelassen, wenn keine Irrtümer zu befUrchtcn sind.

f

heißt par/iell differenzierbar in Xo. wenn alle partiellen Ableitungen a f (xo) existieren. aXk

Ferner nennt ntan f partiell differenzierb(lr in A C 0, wenn f in jedem Punkt ApartieIl differenzierbar ist. Ist f schließlich in jedem Punkt seines Definitionsbereiches partiell differenzierbar, so heißt f partiell differenzierbar. Geometrische Veranschaulichung bei zwei Variablen: Wir denken uns den Graphen einer reellwertigen Funktion

,

"

Fig. 6.10: Panielle Ableitungen

als ftächenartiges Gebilde dargestellt, wie es die Fig. 6.10 zeigt. f sei in

63 Differen'!ierbarc Abbildungen von mehreren Variablen

471

nach beiden Variablen partiell differenzierbar. Xo wird in die Xl-x2-Ebene eingezeichnet. Durch xo werden nun zwei Ebenen gelegt, die parallel zur xl-y-Ebene bzw. zur x2-y-Ebene liegen (s. schraffierte Flüchen in Fig. 6.10). Die Ebenen schneiden aus dem Graphen von / zwei Kurven heraus. die sich im Punkt

kreuzen. (Es sind die oberen Begrenzungskurven der schraffierten Flächen in Fig. 6.10.) Diese Kurven können als Graphen dcr Funktionen Xl ~ /(XI. xiO» und X2 ~ /(x:o), X2) in dcn schraffierten Ebenen aufgefaßt werden. Ihre Steigungen im Po - verdeutlicht in den eingezeichneten Tangenten - sind die partiellen Ableitungen lrl (xo) und ft!(xo). Das heißt Irl (xo) und I,,(xo) sind die Tangenswerte der Winkel, die die genannten Tangenten mit der Waagerechlen bil-den. 7 Man nennt Irt(xo) daher auch die Steigung des Graphen run / in xk-Richtlillg, und zwar im Punkl xo. Zur Bezeichnung: Wird eine Abbildung durch eine Gleichung der Art

y=

f(.~I.X2 ..... x ll )

beschrieben, so werden die partiellen Ableitungen auch durch

öl

statt

rlxk

ausgedrückl. Diese Schreibweise ist in Naturwissenschaft und Technik oft sehr praktisch. Dazu folgendes Beispiel: Beispiel 6.12: Das ideale Gasgeselz lautet p V = RT .

(R = konstant. p > 0, V > O. T > 0).

es wurde schon in Übung 6.9 betrachtet. Wir lösen die Gleichung nach V auf und erhalten T V = RI'

av

=> rlT =

R

P

av

RT

-~--,

<'}p

f)~

7 Wie bei Funktionen einer Vari:lblen werden die Winkel dabei neg:lliv gerechnet. wenn die T:lngente in Riehlung der zugchörigcn Variablen mUI. und positiv. wenn sie stcigt

472

6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler

Aunösen nach p und T ergibt entsprechend

T ap => V äT öT = pV => -ap R

p= RT

R

~

V'

~

Jp

äV aT - -. av

Der Leser schreibe die drei fehlenden partiellen Ableitungen selbst hin. Durch Nachrechnen erkennt man, daß folgendes gilt:

av äp

Jp lJV JT = - JT .

Wir werden später sehen (s. Abschn. 6.3.4, Beisp. 6.19), daß diese Gleichungen fur alle Gase (auch nichtideale) und alle Flüssigkeiten gilt. Übung 6.15: Bilde die partiellen Ableitungen fJj (x. y) und fJj (.e y) der folgenden reellwertigen Funktionen

f : ]R2

IJx

_

IJy

IR:

(a) j(x.y) =.te Y •

(b) f(.e y) = sin(x 2 + y3).

(c) j(x. y) = x Y •

(d) fex. y) = e' cos(xy)

,

+

x

1+ y2 .

Übung 6.16: Bilde die p,lrtidlen Ableitungen IJ f (xl, IJ f (x). IJxl IJ.(2

Beachte. daß jede partielle Ableitung

6.3.2

.a f

ilXk

!!l... (xl der Abbildung JX)

(x) ein Vektor aus 1R3 ist!

Ableitungsmatrix, DilTerenzierbarkeit, Tangentialebene

Durch

x

~

[;;]

.,"

E D

63 Differen'!ierbarc Abbildungen von mehreren Variablen

473

sei eine Abbildung beschrieben, dic in Xo partiell differenzierbar ist. Das bedeutet, daß alle Ableitungen

rur existieren. Man kann diese Ableitungen in einer Matrix zusammenfassen, die wir mit f'(xo) abkürLcn;

I'(xo) :~

a/,

a/,

a/,

()xl

(lx2

ah

oll

(Ix"

JXI

(JX2

(lx"

J[,,,

fJ[,,,

J[,,,

aXI

JX2

(lx"

ö!2

(6.22)

(Das Argument (xo) wurde rechts der Übersicht wegen weggelassen.) Die Matrix heißt Ableilullg~"I1Ialrix von f in Xo. (Sie wird auch Jacobi 8-Malrix genannL) Beispiel 6.13: Die Abbildung

f : IRJ

--,10

]R2,

/(x) :::: [ /1 sin(x2 x3)

xi

definiert durch

+ xi + COSX3

]

x::::

X2 X'] [X3

hat die Ableitungsmatrix XlX3 COS(X2X3)

2X2

XI X2 -

C~S(X2XJ)] Sill X3

Die Ablcitungsmatrix hat also cbenso viele Zcilen wie /, und so vicle Spaltcn. wie es Komponenten von x gibt. Zwei SondcrHille dazu: Beispiel 6.14:

f(x. y):::: x 2 + sin(xy) (x. y E IR) ~ !,(x, y):::: [2x

+ ycos(xy).

Beispiel 6.15: /(1)

~ ':~I+ ] [

5/

(IER).

/3

8 earl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851). deutscher Matocmatiker

x cos(xy)J.

474

6 Differentialreehnung mehrerer r..- eller Variabler

Die Beispiele verdeutlichen: Eine reellwertige Funktion l(xl, X2, ., . ,xll ) von 11 Variablen hat (falls sie partiell differenzierbar ist) eine Zeilenmatrix 11xl' Ir'-' ... ' Ir" J :::: !,(x) als Ableitungsmatrix. (Hierbei werden zur besseren Trennung der Elemente oft Kommata eingefUgL) Eine Abbildung f von nur einer reellen Variablen haI als Ableitungsmatrix eine Spal/el/matrix. Mit Hilfe der Ableitungsmatrix definieren wir, was wir unter Differcnzierbarkeü9 einer Abbildung aus IR" in IR'" verstehen wollen. Es handelt sich hierbei um eine schärfere Bedingung als sie die par/ielle Oijferenzierbarkei/ darstellt. Bei technisch wichtigen Funktionen und Abbildungen liegt die Differenzierbarkeit normalerweise vor. Definition 6.16: Eine Abbildung f : 0 ~ IR'" (0 c IR n) heißt dijJerenzierbar in einem inneren Punkt xo von 0, wenn sie in xo partiell differenzierbar ist und überdies in folgender Form geschrieben werden kann: fex) ~ f(xo)

+ f' (xo)(x -

xo)

+ k(x).

(6.23)

wobei k : D -+ IR'" eine Abbildung ist, die . ,,m

x-xo

Ik(x)1

Ix - xol

~0

(6.24)

erfullt. f heißt differenzierbar ill A C 0, wenn f in jedem Punkt von A differenzierbar ist. Im Falle A = D heißt feine dijJerenzierbcJre Abbildung.

Bemerkung: ('I) Im Ausdruck !'(xo)(x - xo) wird die Matrix (x - xo) multipliziert.

!'(xo) mit der Spaltenmatrix

(b) Der Grenzwert (6.24) besagt, daß k(x) ftir x -+ Xo »schneller« gegen Null strebt als die Differenz (x ~xo). Damit stellt die Gleichung (6.23) eine vollständige Analogie zur entsprechenden Aussage im Eindimensionalen dar. Denn wäre f = 1 reellwertig und x = x eine reelle Variable, so folgte aus (6.23) nach Umstellung: fex) - f(xo) _ f'(xo) ~ k(x) . X-Xo

X-Xo

Differenzierbarkeit in Xo liegt also genau dann vor, wenn die rechte Seite gegen Null strebt, wie in (6.24) gefordert wird. Wie kann man erkennen, ob eine Abbildung differenzierbar ist? Darüber gibt der folgende Satz Auskunft, der im Wesentlichen sagt: Sind die partiellen Ableitungen von f stetig, so ist f differenzierbar. (Für den Beweis verweisen wir auf [56], Satz 6.9, S. 280.) 9 Man spricht hierbei aueh von »totaler Differcnzierbarkeit« oder »Frcchct-Differcnzierbmkcit«.

63 Differen'!ierbarc Abbildungen von mehreren Variablen

475

Satz 6.6: I : D -+ IRin (D c jRn) ist in dem inneren Punkt xo aus D differenzierbar, wenn alle partiellen Ableitungen von I in einer Umgebung von xo existieren und in Xo stetig sind. Beispiel 6.16:

I(x) = [

;f?X~ 2]

x

xl+~

~ [XI] E]R2

=> I'(x) =

~

Die partiellen Ableitungen

~

f(x)

~ ~

m+ [;

[8++ 5

X 3XI ~

bl

sie stehen in der Ableitungsmatrix

1R2 . Nach Satz 6.6 ist I daher in ganz 1R2 differenzierbar. Wählen wir z.B. Xo =

i]

[3X?X~ ~

sind offenbar alle stetig in

[~] aus, so erlaubt (6.23) folgende Darstellungen von I(x): 4 22 ] [;;::;]

+ k(x)

12(XI-2)+24(X2-1)+kl(X)] 4(xl ~ 2) + 2(X2 ~ I) + k2(X)

mit

Da Ik(x)1 fur x-Werte. die genügend nahe bei Xo liegen, »sehr klein« iSI, geben die Glieder der rechten Seite. ohne k(x), eine gute Approximation für I(x) in der Nähe von Xo an. Die Abbildungen aller vorausgehender Beispiele in diesem und in dem vorigen Abschnitt (Beisp. 6.7 -6.15) erfullen die Vorausselzungen des Satzes 6.6, denn ihre partiellen Ableitungen sind offensichtlich überall stetig. Somit sind alle Abbildungen dieser Bereiche liijferenzierbar, und zwar in allen Punkten ihrer Definitionsbereiche. Ein Beispiel einer Abbildung, die zwar partiell differenzierbar ist, aber nidu differenzierbar, tindetman in Übung 6, 18. Veranschaulichung: Im Falle einer reellwertigen Funktion zweier Variabler läßt sich die Differenzierbarkeit mit Hilfe von 1i:mgellliafebellen veranschaulichen: Es sei fex. y) dargestellt durch die in Fig. 6.11 skizzierte gebogene Fläche. f sei in Xo = o [ x)'0 ] differenzierbar, d.h. es gilt nach (6.23):

f(x. Y) = I(xo . .ro) + li,(xo. Yo). Iy(xo. JoH [x - xo] Y -)'0

= f(xo . .ro)

+ I~,(xo . .roHx -

+ k(x. y)

xo) + [y(xo. JoHy - JO)

+ k(x, y) .

wobei (6.24) erfüllt ist. Die Glieder der rechten Seite, ohne k(x. y), bilden folgende Abbildung

g:1R2 -+lR:

g(x, y) = I(xo. )'0)

+ f~(xo, )'o)(x -

xo)

+ f,·(xo, .roHY -

)'0).

Der Graph von 8 ist eine Ebene, die sich ~ wegen der »Kleinheit« von k(x, y) ~ an den Graphen von 1 anschmiegt. Wir nennen diese Ebene die Tangentialebene an 1 in Xo. (Der Ausdruck

476

6 Differemialreehnung mehrerer reeller Variabler

,/~-T:~:;-~c~.-"'.;'n';'_"

,'1

•

,

, ,

_ .,

y

, Fig. 6.11: DifTerenzierbarkeil von

f

in Xo und Tangentialebene

»Tangentialebene« wird auch rur die Abbildung g selbst benutzt.) Wir können daher kun sagen:

f(x, y) ist genau dann in Xo = [ xo] differenzierbar, wenn es eine Tangentialebene an f in )'0 Xo gibt. Wir kehren noch einmal zur Definition 6.16 der Differenzierbarkeit allgemeiner Abbildungcn f : D ~ lR'" (D S;; IR") in Xo zurück. Wic in unserer zweidimensionalen Betrachtung faßt man die ersten Glieder auf der rechten Seite von (6.23) zu einer neuen Abbildung g IR" ~ IR'" zusammen: g(x) := f(xo)

+ J' (xo)(x -

und nennt sic die ulIlgentia/abbifdulIg von f(x) = g(x)

(6.25)

xo).

+ k(x)

f

in xo. Es gilt also (6.26)

mit (6.25). Ik(x)1 ist ~ intuitiv gesprochen ~ »sehr klein« in der Nähe von xo. Man kann also f(x) in genügender Nähe von Xo durch g(x) ersetzen. ohne einen allzu großen Fehler zu machen. g(x) ist aber sehr einfach zu berechnen. meistens viel einfacher als f(x) selbst. Diese Approximation von f durch die viel einfachere Tangentialabbildung g ist der Kem- ul/d Allgelpunkt der Differell/iafrechllullg.

63 Differen'!ierbarc Abbildungen von mehreren Variablen

Übung 6.17: Schreibe fur die folgenden Abbildungen und die angegebenen Punkte xo die GI. (6.23) hin, die die Approximation der Abbildung durch eine Tangentialabbildung beschreibt (vgl. Beisp. 6.16). (a) f(x. y) = .r 2 -

(b) f(x.y)=

[

i .

X)' ] e-r+e)' .

Berechne flireinige x-Werte in der Nähe von Xo (z.B. mit Ix -xol :::: 1)die Werte fex) und der Tangentialabbildung g(x) (s. (6.25». Vergleiche g(x) und f(x). Berechne insbesondere ihren Abstand If(x) - g(x)l.

Übung 6.18: Wo sind die folgenden Funktionen definiert und wo differenzierbar? (a) f(x.)')

= JI _x2 _ y2,

(b) fex. y) = In(xy), (e) f(·c y, z) =

sin(.r) sin(y) cos(z) " " x 2 +y-+z~

.

(d) Zeige, daß die Funktion f(x.y) =

l

)'(1 +cO"'). )

o.

flir Iyl > lxi. sonst

stetig und partiell differenzierbar in 1R2 ist, jedoch nicht differenzierbar in O.

Übung 6.19: Es sei f : I) ---+ IR'" (I) C IR"') eine Abbildung. und Xo Beweise: Kann man f in der Form

lex) = I(xo)

+ A(x -

xo)

o EI).

+ k(x)

darstellen. wobei A = !aik Im. 11 eine reelle Matrix ist und k D ---+ IR'" eine Abbildung mit Ik(x)l/lx -xol ---+ 0 flir x -+ xO. so ist I pllrtiell differenzierbar in xo, und es gilt A = I'(xo). (=> I ist differel1zierbll( in Xo). Him.'eis: Beim Grenzübergang x --+ xo wird x so gewählt. daß sich x nur in der k-ten Komponente Xk von Xo unterscheidet (=> aik = afj jfhk>.

477

478

6 Differentialrechnung mehrerer r..-eller Variabler

~ ~

y

~ ~ ~ ~ ~

, Fig. 6.12: Zu Übung 6.18d

6.3.3

Regeln für differenzierbare Abbildungen. Richtungsableitung

Satz 6.7:

Ist I : D ~ Nm (D c IR") differenzierbar in xo. so ist I aueh stetig in noch: Es gibt eine Umgebung U von Xo und eine Konstante M > 0 mit I/(x) - f(xo)l.:"; Mix

-xol für alle x

E

xo.

Mehr

U.

Beweis: Aus (6.23) folgt nach Umstellung If(x) - f(xo)1 .:";

,

1I (xo)llx - xol +

Ik(x)1

Ix -xol

Ix - xol

(6.27)

ftir alle x E D mit x # xo. Wegen Ik(x)lIlx -xol _ 0 rur x ~ Xo gilt: Es gibt eine Umgebung U mit Ik(x)I/lx - xol .:"; I rur alle x E U. Mit M :== 1J'(xo)1 + I folgt aus (6.27) damit die 0 Behauptung des Satzes.

Satz 6.8: (Linearität) Sind f : D ~ IR'" und" : D ~ IR'" (D C IR") differenzierbar in xo. so ist auch Äf + /.I1l (mit reellen Ä, /.I) in xo differenzierbar, und es gilt (ÄI

+ 1l1l)'(xo) =

Ä/'(xo)

+ J.L,,'(xo)·

(6.28)

Der einfache Beweis bleibt dem Leser überlassen.

Satz 6.9: (Ketlenrege/) Es sei" : C ~ D (mit C c lR", D C 1R 1') differenzierbar in xo E C und f : D ~ IR'" differenzierbar im Punkt zo = lI(xo). Dann ist auch loh: C ~ IR'"

63 Differen'!ierbarc Abbildungen von mehreren Variablen

479

in Xo differenzierbar, und es gilt

(j 0 h)'(xo) = J'(zo)h'(xo) 10

(6.29)

Beweis: Mit fez) = f(zo)

+ J'(zo)(z -

Z = hex) = h(xo)

zo)

+ k(z)

und

+ h'(xo)(x ~ xo) + m(x)

folgt durch Einsetzen

(j

0

= =

mit

+ J'(zo)(h(x) - h(xo» + k(z) /(zo) + f' (zo)(h'(xo)(x - xo) + m(x» + k(z) /(zo) + f'(zo)h'(xo)(x - xo) + sex) /'(zo)m(x) + k(h(x».

h)(x) = f(h(x» = fez) = f(zo)

sex) =

(6.30) (6.31)

Wir setzen abkürlcnd 11I0(X) :=

rur x

'I xo, z

k(z)

m(x)

,---=-, Ix

k 0(') ,~ ,---''''--;

xol

Iz

zol

-/:: Zo sowie mo(x) := 0, ko(z) := 0, und erhalten aus (6.31)

Is(x)1 S IJ'(zo)lImo(x)lIx - xol S If'(zo)lImo(x)lIx - xol

+ Iko(z)II"(x) - h(xo)1 + Iko(h(x»IMlx - xol

fur ein M > 0 und alle x aus einer Umgebung U von Xo (s. Salz 6.7). Wegen IIIO(XO) --+ 0 und ko(h(x» --+ 0 fur x --+ Xo folgt damit Is(x)l/lx - xol --+ 0 fur x --+ Xo. Somit liefert (6.30) die Behauptung des Satzes (vgl. Üb. 6.19).

0

Für den häufig auftretenden Sonderfall, daß h nur von einer reellen Variablen abhängt, fornlUlieren wir den Satz noch einmal ausführlicher. Folgerung 6.5: Durch x = h(t), oder in Komponentenschreibweise

XI] '~2 [ Xn

=

[''I (t)] 112:(1)

.

hfl(t)

10 Rechts werden zwei Matrizen Illuhiplizien.

480

6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler

sei eine Abbildung von einem Intervall I in D S;;; IR" gegeben. 11 sei in 10 E I differenzierbar. Ferner sei durch

Y=/(XI.X2, ... ,XII ) .

x =

[."J ;"

,

eine Abbildung von D in IR'" beschrieben, die in Xo = II(fO) differenzierbar ist. Für die zusammengesetzte Abbildung y(t) =

Cf 0 1I)(r)

= /(lll(t) ..... 1l,,(I»,

1 EI,

gewinnt man nach Satz 6.9 folgende Ableitungen in to: d dl

-Cf 0 11)(10) = /

~ iJ/ dhk = L.J -(xo)-(ro). OXk dl

' I

(xo)h (to)

(6.32)

k=]

dxk

Mit den Bezeichnungen -

dl leicht zu merkende Kurzform:

dy _ dl-

t

~

dllk

-

dl

dy

(10) und -

dl

d dl

:= -

Cf 0

11)(10) erhält (6.32) die

.'!.!'- dx,

k=1

(6.33)

iJxkdl'

Bcispicl6.17: Es sei Y=!(XI.x2)=xfsinx2.

und

XI =hl(r)=COSf.

xl,x2ElR

tEIR.

X2 = 112(t) = 13 .

Damit wird die Ableitung von (6.34)

nach 1 mit Hilfe von (6.33) folgendermaßen berechnet: dy

-

dl

~

iJy dXI

- -

OXI dt

iJy dX2

+- -

OX2 dt

= 2 cos t sin(r3)( - sin t)

. . = 2xI SIl1(X2) . (- sm r)

,

,

+ xi" COS(X2) ·3t-

+ cos t cos(r3)31 1 .

Das »direkte« Differenzieren von (6.34) nach t mit der Produktregelliefert natürlich dasselbe.

6.3 Differenzierbare Abbildungen \'on mehreren Vuriablen

481

,

Fig. 6.13: Richlungsableilung (Ja !(xo) = (
Richtungsableitung: Wir knüpfen noch einmal an Folgerung 6.5 an. HaI hierin h die Gestalt h(t) = Xo

+ ta

mit lai = I

(XD E IR", a E Rn, t E IR), so ist zweifellos h' (I) = a rur ulle t E IR. Damit folgt uus (6.32) rur to = 0

d - ( f 0 11)(0) =

d,

f

,

(xo)a

h(1) beschreibt eine "Gerade« in IR/I. die rur stcigende I in Richtung a durchl
a

- !(xo)

aa

,

:=! (xo)a.

(6.35)

Im Sonderfall einer reellwerligell Funktioll j wird die senkrecht geschriebene Ableitungsmatrix f'(xO)T auch der Gradient von / genannt. abgekürzt: grad fex), also

Damit ist die Richtungsableitung von / in Xo in Richtung a (lai = I) gleich

a

"

Ja/(XO) = grad/(xo)·a = Lf'k(xo)ak.

(6.36)

k=l

wobei (/I, ... , alt die Komponcnten von a sind. Die Richtungsableitung (6.36) wird maximal, wenn a = grad j(xo)/I gradj(xo)1 ist (grad/(xo) i= 0 vorausgesetzt). Man sagt daher: Der Gradient \'011 j weist in die Richtung des ~·tiirkstell AllSliegs von j.

482

6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler

Übung 6.20*: (a) Es seien

I : 1R2

---+

IR und 11 ; IR

I(x) = e·~1 sin.r2.

---+

XI] [.r2

1R2 definiert durch

- 1I(r) -

-

-

[''"2(1) 1(1)] -

[,3] 1+1 2

also (f 0 11)(1) = Cl' sin(1 + 12). Differenziere diese Funktion auf zwei Weisen: einmal direkt und einmal mit (6.33). (h) Bestimme die RichlUngsableilUng

6.3.4

Das vollständige Differential

Wir gehen noch einmal von der Differenzierbarkeit einer gegebenen Abbildung f : D -+ [Rm (D C [Rn) in Xo aus. Sie besagt. daß fex) folgendermaßen geschrieben werden kann:

f(x)=f(xo)+f'(x)(x~xo)+k(x).

x=

[." ] :

ED.

(6.37)

x"

mit k(x)/Ix-xol ...... 0 fur x ...... xo. Ausgehend von der Funktionsgleichung z = fex) schreiben wir abkürzend

Llz

,~j(x)

- j(xo)

und erhalten (6.37) in der Form .1z

=::

f' (xo)(x - xo)

+ k(x)

Da Ik(x)1 rur kleine Ix - xol sehr kleine Werte hat, gibt f'(xo)(x - xo) in diesem Falle recht genau die Abweichung liz des Wertes fex) von f(xo) an. In Physik und Technik werden gerne die Bezeichnungen

dx := x - Xo

und

(6.38)

dz:= f' (xo) dx

gewühlt. Beschreiben wir die Komponenten von x -


Xo

mit drl, dx2 •..., dxll • also

63 Differen'!ierbarc Abbildungen von mehreren Variablen

dz =

of L" ~(xo)drk. k=1

483

(6.39)

OXk

Die hierdurch beschriebene lineare Abbildung - wobei dX1, ... , dx" die reellwertigen Variablen sind - heißen das vollstündige (oder totale) Di!ferelllia{ von f in xo. Diese Abbildung wird dureh df symbolisiert, genauer df : RII -+ IR"', mit der Funktionsgleichung df(dx1, ... , dx,,):=

L"

of

-(xo)dq.

(6.40)

k=1 OXk

Schreibt man für die linke Seite wieder dz, und setzt man ferner abkürzend iJz iJf - : = -(xo) , iJxk o.\"k so wird das vollständige Differential von geben:

f

in Xo durch folgende übersichtliche Gleichung ange-

(6.41)

Diese Schreibweise ist in Physik und Technik sehr gebriiuchlich (vgl. Beisp. 6.18 und 6.19). Wie schon erwlihnt, gibt das vol1sttindige Differential (6.38) fur kleine I dxl mit guter Genauigkeit die Differenz der Funktionswerte fex) - f(xo) an. Darin liegt seine Bedeutung. Veranschaulichung: Im Falle einer reellwertigen Funktion wird das vollständige Differential o df in x = [x ] durch )'0

JI

d:;; = df(dx. dy) = -(xo.yo)dr (Ix

JI + -(xo. yo)dy (ly

beschrieben. Sein Graph wird durch eine Ebene veranschaulicht. Dabei liegt ein parallel verschobenes Koordinatensystem mit dr-. dy- und dz-Achse zugrunde, dessen Ursprung im x-y-zSystem die Koordinaten xo. )'0, f(xo. )'0) besitzt (s. Fig. 6.14). Beispiel 6.18: (Auswirkung von Meßfehlern) Die Schwingungsdauer eines lIIathematischen Pelldels der Länge I (s. Fig. 6.15) ist

T=2;r [{.

Yli

Dabei ist g dic Erdbeschleunigung. Wicviel % relativcr Fchler hat man fLir T schlimmstcnfalls zu erwartcn, wenn { und g auf höchstens 0.1 % genau gemessen sind?

484

6 Differentialrechnung mehrerer r..-eller Variabler

,

, , Fig. 6.14: Zum vollständigen Differential

Fig. 6.15: Mathematisches Pendel

Zur angenäherten Berechnung benutzen wir das vollständige Differential [)T dT = - d l

81

aT

+ -dg, ag

(6.42)

wobei df und dg die Fehler für 1 und g sind. Es folgt dg

S

Da

I ~f I :S. 0,001 und I :g I :S. 0,001 vorausgesetzt ist, folgt I d; I :S. 0,001. Der relative Fehler

von T ist also höchstens 0, I %,

D= Fig. 6.16: Gas im Kolben. Zu Bcisp. 6.19

Beispiel 6,19: (Anwendung auf die Ga,w!yl/alllik) Volumen V, Druck p und Temperatur T eines homogenen Gases (s. Fig. 6.16) - oder einer homogenen Flüssigkeit - hängen durch Gleichungen zusammen,

63 Differen'!ierbarc Abbildungen von mehreren Variablen

485

z.B. durch

v~

(6.43)

[(I'. T).

(Bei idealen Gasen lautet diese Gleichung V = RT/ p, bei realen Gasen oder Flüssigkeilen anders.) Wir nehmen an. daß sich (6.43) nach p auflösen läßt. d.h. in die Gestalt

p=g(T.V)

I

umformen läßt (bei idealen Gasen p = RT/ V). Die angegebenen Funktionen fund g dürfen wir als stetig differenzierbar voraussetzen. Dabei ist I JV

V JT I ÖV

der Ausdehnungskoeffizient

abhängig von p und T,

K=~--

die Kompressibilität

ß~

der Spannungskoeffizient, abhängig von V und T.

V Jp I af) p JT

Zwischen diesen Größen besieht die folgende Beziehung:

a = pßK.

(6.44)

Wir wollen diese Gleichung herleiten und betrachten dazu zunächst das vollständige Differential von f:

tlV JV dV = -dp+ -dT.

ap

(6.45)

JT

Nehmen wir fllr den Augenblick an, daß hier der Unterschied dV des Volumens exakt wiedergegeben wird und nicht nur angenähert. so ist bei konslant gehaltenem Volumen d V = O. und damil

av

JV

av

iJV dp

-d/H -dT => - - + - = 0 . ap iJT iJp dT aT

O~

Da V konstant ist, dp/dT durch iJp/I1T erselzbar und man erhält

av

I1p

av

(6.46)

--+-=0. fJp JT iJT Daraus folgt mit den Definitionen von a,

I(

und ß sofort die behauptete Gleichung a = pßK.

Die obige Argumentation ist wegen der genannten Annahme nicht präzise. Bei einem exaklen Beweis von (6.44) gehen wir daher so vor: Wir setzen f) = g(T. V) in V = f(p. T) ein: V

~

[(g(T. V). T)

486

6 Differentialrechnung mehrerer r..-eller Variabler

und halten nun V = Vo konstant: Vo

~

l(g(1'. Vo). T).

Rechts steht eine Funktion von T. die nach Kettenrcgel (Folg. 6.5, Abschn. 6.3.3) abgeleitet werden kann. Die linke Seite hat die Ableitung 0, da Vo konstant ist. Also folgt durch Differentiation nach T:

öl oS vi cl1' 0=--+---. 8/) 8T

(6.47)

8T dT

wobei die Variablenbezeichnungen weggelassen wurden. Weg"

cl1'

8i

av

8p

8p' aT

ag

dT = I ist die GI. (6.45) aber mit (6.46) identisch. Damit ist (6.44) bewiesen.

Bemerkung: (a) Die beschriebene Herleitung von a = pßK ist fur das Vorgehen in Naturwissenschaft und Technik typisch; Zuerst wird aus einer plausiblen vereinfachenden Annahme, die die Exaktheit nur geringfligig stört, eine Gleichung gewonnen (hier (6.45». Gerade das vollständige Differential eignet sich flir solches plausibles Schließen gut. In einem zweiten Schritt wird dann eine exakte Hcrleitung »nachgeliefert«. Solche mehrstufige Herleitung und Präzisierung ist ein gängiges und erfolgreiches VerFahren. Der berühmte Physiker E. Schrödinger hat das einmal so beschrieben: Es dauert fünF Minuten, die Idee einer neuen Theorie zu entwickeln. Nach einer Stunde hat man die Gleichungen aufgestellt. Eine Woche dauert es, bis die Dimensionen aller Größen zusammenpassen, einen Monat, bis die Vorzeichen stimmen. Und nach einern Jahr entdeckt man, daß noch ein Faktor! Fehlt. Übung 6.21: (Vereinfaehle angenäherte Rechnung) Berechne Ilähcrungsweise 2.02 3.01 . Führe dazu die Funk· tion f(x.y) = x>' ein (x > O. y > 0) und enniltle f(2.02. 3.01) näherungsweise aus f(2.3) + df. wobei

öl

vi

(Ix

ily

df=-dt+-dy.

(dx=0.02. dy=O.OI).

Die partiellen Ableitungen werden für.t = 2 und Y = 3 gebildet.

6.3.5

Höhere partielle Ableitungen

Jede partielle Ableitung Bi einer Abbildung f; D -+ IR'" (D (lXi

c

IR") ist wieder eine Abbildung

von D in IR'" . Es entsteht dadurch eine zweite partielle Ableitllng, für die folgende Schreibweisen üblich sind:

63 Differen'!ierbarc Abbildungen von mehreren Variablen

487

Existiert diese Ableilllng in jedem inneren Punkt von D und ist abermals ableitbar. etwa nach x j. so entsteht entsprechend eine drirre partielle Abteil/mg

Auf diese Weise fahrt man fort und gelangt zu beliebig hohen Ableitungen IXilxi2 ...xip' Wir erwähnen noch, daß man bei mehrmaligem Ableiten nach einer Variablen Xi abkürzend schreibt:

iJ"'I

amI

axi"

ÖXiÖXi ... ÖXi

Wird f durch eine Funktionsgleichung beschrieben, z.B. y partiellen Ableitungen auch durch

iJ2 y

f

(x), so werden die höhercn

usw.

-" aXj"

ausgedrückt. Diese Schreibweise wird in Natun'lissenschaft und Technik viel benutzt, da man der abhängigen Variablen (hier y) häufig ansieht. welche physikalische Größe sie darstellt. Beispiel 6.20: I(XI, X2) = Xf.l"2. Es folgt: lXI (XI, X2)

=

IX2X, (XI. X2) =

2XIX2,

O.

f Q (XI.X2)=X? lXIX, (XI. X2)

=

IXI X2(XI.X2)=

IX2XI (Xl, X2)

=

2x I,

2Xl .

Bei den folgenden Beispielen lassen wir der bessercn Übersicht wegen die Variablenallgabe bei dcn Ablcitungsfunktionen links wcg. Bcispiel 6.21: I(x. Y) = x 3 +e<}'.

=>

Ix =

3x 2 + yc·<)'.

In = 6x

I)'

=xc·I ')'.

+ lex)'. I yy =x 2 cx)' .

f.·)' =

Iy.r

= (I +xy)ex)'

Beispiel 6.22: X ] X,x2 l J (XI.X2. X 3) -- [ sin(xl+2x2+3x3)

/.<2

=

[2

COS(XI

11 Man beachte. daß in ~".

~;~f2 + 3X3)]'

f -",.rt

I XI'<2

X ] J .<,_ [ cos(xl+2x2+3x)) X2 3 .

=> =

I

XPI

=

[-2

sin(xl

~32x2 + 3X3)]

die Indizes i. k in umgekehrter Reihenfolge steheo. gegenüber den übrigen Schrcibwl'i-

488

6 Differentialrechnung mehrerer r..-eller Variabler

Der Leser berechne zur Übung:

Es fallt auf, daß in den Beispielen

lXIx!

=

I.'VI

bzw.

1-,)"

=

I)'x

gilt.

Auf die Reihenfolge der Differentiation kommt es dabei nicht an. Dies gilt auch ftir höhere Ableitungen, wie im lelZ!en Beispiel I -'1_t2-') = f.<J_'VI' usw. Hier liegt eine allgemeine Gesetzmäßigkeit vor, die in folgendem Satz formuliert ist. Dabei fUhren wir noch eine Bezeichnung ein: I : D ~ IR'" (0 c IR") heißt p-mal stetig differenzierbar, wenn alle partiellen Ableitungen von I, von der ersten bis zur p-ten, existieren und im Inneren von 0 stetig sind. Stall »cinmal stctig differenzierbar« sagt man kurz stetig differenzierbar. Satz 6.10: (VertallscJlImg partieller Ableitungen) Ist eine Abbildung I : 0 ~ IR'" (D p-mal stctig differenzierbar, so kann in allen partiellen Ableitungen

c IR")

Dic Reihenfolge der Xii' ..•• Xik beliebig geändert werden, ohne daß sich die partiellen Ableitungen selbst dabei ändern. (Zum Beweis s. 1561. Abschn. 6.2.4, S. 284-285)

6,3.6

Taylorformcl und Mittclwcrtsatz

Wie im Eindimensionalen kann man auch differenzierbare Abbildungen im IR" mit Hilfe der Taylorformel entwickeln und damit leicht berechenbare Polynome annähern. Wir setzen voraus, daß I : 0 ~ IR"! (0 C IR'!) eine (p + I)-mal stetig differenzierbare Abbildung ist. p ist dabei eine nichtnegative ganze Zahl. Zur Aufstellung der Taylorfonneln benötigen wir einige Bezeichnungen, die sich als praktisch erweiscn: Mit

a iJXI

V:=

"

OX2

a Jx" wird ein symbolischer Vektor bezeichnet, der die paniellen Differentiationen nach den Variablen Xl .... , X" als Komponenten hat. Er heißt Nabla-Operator.

63 Differen'!ierbarc Abbildungen von mehreren Variablen

489

Wir »multiplizieren« ihn skalar mit einem beliebigen Vektor

"2 h ']

h= [

li"

aus IR" und erhalten formal iJ 0 ~ iJ h.'V;=h l - . + ... +hll-=Lhj-. ib 1

iJx",

,=1

OXj

Angewandt auf eine differenzierbare Abbildung

f :D_

IRIri (D C IR") schreiben wir

01

11

(6.48)

(Il· 'V)f(x);= I>j-(x). iJxI

;=1

Es werden auch Potenzen von h . 'V betrachtet, die formal berechnet werden, z.B.

h;~)' ~ ..:;., h,hi-"-. (..:;., L ox' L i.lx,ox· i=1

'

i.)=1

'J

Dabei laufen i und j unabhängig von I bis 1/, so daß die rechte Summe 1/2 Glieder hat. Allgemein berechnet man mit beliebiger natürlicher Zahl k die Potenz

In der Summe wird über al1c k·Tupcl (il, ;2,.,. ,iJ;) mit h, ... ,h E {1,2.... , n} summiert. Die Summe hat daher n k Glieder. Der »Operator« (h ' V)k wird, wie in (6.48) auf f angewandt. Wir vereinbaren also:

(11

,vl fex) :=

L"

h il

(6.49)

11 ....il=l

Noch eine weitere Vorbereitung: Sind a und h beliebige Vektoren aus JR", so bezeichnet man [0.0

+ h 1=

Ix = a

+ sh I 0 .::: s .::: 11

als SIrecke mil deli Endpunkten 0 und a + h, (Der Leser überzeuge sich davon, daß dieses im 1R2 und No 3 der üblichcn geomctrischen Vorstellung entspricht.) Damit formulieren wir den folgenden Satz, der die Taylorformel samt Restglied fLir differenzierbare Abbildungen beschreibt. (Zum Beweis s. [561. Abschn. 6,2.6, S. 286-289.)

490

6 Differemialreehnung mehrerer reeller Variabler

Satz 6.11:

(TaylorjormeJ im IR n ) Die Abbildung / : D --)0 IR'" (D C IR n ) sei {p + l)-mal stetig differenzierbar, und Lo, 0 + IJ] sei eine im Inneren von D liegende Strecke. Damit gilt die Taylorjormel /(o +IJ)

=

I

1

+ i!(h. \1)/(0)+ 2i{IJ. \1)

/(o)

2

/(0)

I

+ ... + p! (IJ· \1)P /(0) + H(o, IJ) (6.50)

mit dem Restglied 1

H(o, IJ)

==

!

(1-5)1'

p!

o

(IJ· \1)1'+1 /(0

+ sh)ds.

(6.51 )

Daraus ergibt sich die Resrgliedabschiitzllflg 11111'+1

IR{o.IJ)1 < - (p

"

sup

+ I)! Os.sSl

L

;1. ..• ip+I=1

8emerkung: In der Taylorfonnel ist x = fest ist. Für p = 0 folgt aus der Taylorformel

1/",

2 .. x''p+1

(0+511)1

(6.52)

+ IJ die eigentliche unabhängige Variable, wobei 0

0

Satz 6.12: (Mil1eJlVertsarz im IR") Ist / : D ~ IR'" (D C IR") einmal stetig differenzierbar, und ist La, a + IJ I eine Strecke im Inneren von D, so gilt

f

1

/(0

+ IJ) -

/(a) =

(IJ· 'V)/(a

+ 51J) ds

(6.53)

o

sowie 1/(0

+ 11) -

/(0)1 ::": 1111 sup 0:9=::1

L" 1/" (a + ,")1'· ;=1

Die Wurzel rechts ist nichts anderes als die euklidische Norm der Ableitungsmatrix: + 51J)1.

11'(0

Vom Mittelwensatz abgesehen (p = 0), gibt es technische Anwendungen derTaylorformel hauptsächlich fur !J = I und p = 2, wobei / linear bzw. quadratisch angenähert wird.

6.4 Gleichungssystcmc. Extrcmalprobleme, Anwendungen

491

Übung 6.22: Schreibe rur die Funktion f : IR 2 ----lo IR. definiert durch die Gleichung i(x. y) = (x - 1)4(y 2)3.

1111

x = [;] E IR2. die T
I
6.4

Gleichungssysteme, Extremalprobleme, Anwendungen

6.4.1

Newton-Verfahren im IR"

Gegeben sei ein Gleichungssystem von

11

Gleichungen mit

11

Unbekannten Xl, .... XII:

fl(.rl,x2 ..... .rn )=O !2(XI.X2,··· . .r,,)=O

(6.54)

Mit

kann man das Glciehungssystem (6.54) kürzer so beschreiben (6.55)

Dabei sei 0 c IR" dcr Definilionsbereich von f, d.h. f bildet 0 in IR" ab: f : 0 --+ IR". Wir selzen f als stetig differenzierbar voraus. Gesucht sind Punkte x E 0, die (6.55) erfüllen. Solche x heißen Lösungen der Gleichung f(x) ~ o. Hat man schon genügend gute Näherungslösungen, so kann man mit dem Newlollschen Verfahren versuchen, zu beliebig genauell Lösullgell zu kommen. Das Newtonsche Verfahren rur fex) = 0 im)Rn ist dem Newton-Verfahren rur Funktionen einer Variablen nachgebildet (s. Absehn. 3.2.6) und zwar folgendennaßen: Liegt Xo E D12 in der Nähe einer Lösung von x = x von fex) = 0, so bildet man die Tallgelllialabbildullg von f in Xo: g(x) := f(xo)

+ !'(xo)(x -

xo).

x

E

D.

und löst anstelle von fex) = 0 die Gleichung g(x) = 0, d.h. man sucht eine Lösung XI der Gleichung (6.56) 12

D Inneres \"on D. s. Abschn. 6.1.4. Der. 6.7b

492

6 Differentialreehnung mehrerer r..- eller Variabler

Es handelt sich dabei um ein lineares Gleichungssystem, fur das es mehrere gute Lösungsmethoden gibt (z.B. den Gaußschen Algorithmus, s. Burg/Haf/Wille (Lineare Algebra) [9]). Da sich g und f in einer Umgebung von Xo nur wenig unterscheiden, ist zu hoffen, daß x 1 recht nahe bei der Lösung x von fex) = 0 liegt, jedenfalls näher als xo. Im Falle Xl E fj fUhrt man, d.h. man sucht ein X2 E 1R2 mit

Liegt X2 in

VOll

x 1 ausgehend, den gleichen Rechenschritt abermals durch,

D, so bereetlnet man anschließend X3 aus

usw. Allgemein: Ist

Xl; E

fj berechnet. so ermittelt man Xk+1 aus (6.57)

Auf diese Weise erhält man eine Folge xo. XI, X2, X3 • . , ., Nell'lOllfolge genannt. vorausgesetzt, daß alle Matrizen f'(xd regulär 13 sind und alle XI< in fj liegen. Dabei wird man von der berechtigten Hoffnung beOugelt. daß die Folge xo. x I, X2, ... ,Xl; • ... gegen eine Lösung x von fex) = 0 konvergiert. Das beschriebene Verfahren heißt Newton- Velfalm!n im IR". Multipliziert man (6.57) von links mit f(xd- ' und löst nach Xk+1 auf. so erhält man die Rechenvorschrift des Newton-Verfahrens in der Form: Xo Xk+1

gegeben,

=

Xl; -

f'CXl;)-1

fCxd

ftir

k = 0, 1.2, ....

(6.58)

Damit ist eine vollständige Analogie mit dem Newton-Verfahren bei einer reellen Unbekannten gegeben (Abschn, 3.2.6). Bei praktischen Rechnungen geht man allerdings besser von (6.57) aus. Man setzt dabei zur Abkürzung Zl;+l := Xl;+l - Xl;, berechnet Zl;+1 aus

und bildet anschließend men:

Xk+1

=

Xl;

+ Zk+I. Wir fassen die Rechenvorschrift noch einmal zusam-

Algorithmus des Newton-Verfahrens: Es sei (1) Man wählt einen Anfangswert xo E

(11) Man berechnet

f :0

C IR" _ IR" stetig differenzierbar

fj.

Xl, X2, X3 . .... XI;, ... ,

indem man nacheinander fur k = 0,1.2 .. , . das

13 Eine Matrix A heißt regulär. wenn ihre [nverse A- 1 existien (s. Abschn. 6.[,5).

6.4 Gleichungssystcmc. Extrcmalprob1cme, Anwendungen

493

Gleichungssystem !'(XdZk+1 = - I(xd

(6.59)

nach Zk+1 auflöst und Xk+l +Xk + Zk+l bildet. Dabei wird 1'(Xk) als regulär vorausgesetzt sowie Xk E D für alle k = 1.2.3. (111) Das Verfahren wird abgebrochen. wenn die Xk sich innerhalb einer vorgegebenen Re~ chengenauigkeit nichl mehr ändern oder wenn k einen vorgegebenen Höchstwert erreichl hat (z.B. k = 10).

x

Wie dicht die zuletzt berechnete Näherungslösung Xk an der zu ermittelnden lösung von f(x) = 0 liegt, ist aufgrund einer Fehlerabschätzung (s. Satz 6.13) zu überprüfen. Natürlich kann man anstelle von (111) auch abbrechen, wenn eine Fehlerabschätzung anzeigt, daß eine gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Beispiel 6.23: Es sei folgendes Gleichungssystem zu lösen:

I 2

I

3 -

8

I, I x..,--x·+-=O. • 4 I 6

Xl--X",--=O.

Wir fassen die linken Seiten als Komponenten einer Abbildung

I : 1R2

[

EIR'.

!(x) = [f,(x,.X2)] = !2(XI.X2)

XI -

X2 -

I1I] x2

~"8 . X~[XI] X2 I -x +4 I 6

"3

~ 1R2 auf, d.h.

1 2

Gesucht werden lösungen von I(x) = O. Wir wollen dabei den Algorithmus des NewlOnVerfahrens verwenden, ausgehend von Xo =

[~l Die Newtonfolge Xo, x I, X2 • ... ist definiert

durch 1'(xdzk+I=-/(xd.

Xk+I:=Xk+Zk+],

k=O.I.2...

mit der Ableitungsmatrix

J'(x)~

[

I I

--X2 2 ] 3

--XI

I

2

Die Rechnung enstprechend dem Algorithmus des Newton-Verfahrens ergibt Tab. 6.1 (gerundet). Man erkennt. daß ab k = 3 im Rahmen der Rechengenauigkeit keine Änderung mehr eintritI. Bei Rechnung mil 9 Stellen nach dem Komma ergibt das Einsetzen von x) (s. Tab. 6.1) in I folgendes: I(x) = 0 + E mit lEI::::: 5· 10- 10 . x) ist also im Rahmen der Rundungsfehlergenaugikeit

494

6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler

eine Lösung von f(x) =

o.

Tabelle 6.1: Zum Newlon-Verfahren ftir Gleichungssysleme. Beispiel 6.23

,

,

Komponemen von

,

Xl:

x(.I:)

.\.(.1:)

0

O.()()()()()()()(

O.()()()()()()()(

I

2 3

0.12500000o 0.133764368 0.133768871

-0.166666667 -1.162212644 -0.162193139

4

0.133768871

-0.162193139

ßemerkung: Man kann den Algorithmus, insbesondere bei großer Dimension 11, dadurch vereinfachen, daß man staU !'(Xk) einfach !'(xo) setzt. also von Xo E D ausgehend die Näherungslösungen x I. xz, X3 • •.. aus den Gleichungssystemen

fur k = 0.1.2,3 .... ermil1elt. Man nennt dies ein modijil.iertü· Newton-Verfahrell. Der Vorteil liegt darin. daß man bei Anwendung des Gaußschen Algorithmus die linke Seite f'(XO)Zk+l nur einmal auf Dreiecksform bringen muß. Der Nachteil dieses Verfahrens ist dagegen, daß es im allgemeinen langsamer konvergiert als das übliche Newton~Verfahren. Man hat also in jedem Fall zu überlegen, nach welcher Methode man vorgehen möchte. Zur KOl1\'crg:enz: Einen Konvergenzansatz über das Newton-Verfahren findet man z.B. in 156J. Abschn. 6.3.2, S. 295-298. Dort werden recht allgemeine Voraussetzungen angegeben, unter denen das Newton-Verfahren konvergiert, und zwar quadratisch (also sehr schnell). Doch sind Konvergenzsätze dieser und verwandter Art nur von geringem praktischen Nutzen, da ihre Voraussetzungen nur schwer ZU verifizieren sind, Aus diesem Grunde zitieren wir nur den folgenden einfachen Konvergenzsutz, der lediglich die grundsätzliche Berechtigung sichert, das Newtonsehe Verfahren anzuwenden.

Satz 6.13:

f :

D C IR'I --+ IR" sei zweimal stetig differenzierbar und besitze eine Nullstelle x E fj: f (X) = O. Ferner sei f' (x) fur jedes x E fj regulär. Dann folgt: Es gibt eine Umgebung U von x, so daß die Newtonfolge xo. x I. X2 • ... , von einem beliebigen Xo E U ausgehend, gegen die Nullstelle x konvergiert. Die Konvergenz ist quadratisch, d.h. es gilt fur alle k = 1.2.3, ...

IXl: -

xl ~

C!Xk_1 -

rp

mit einem C > O.

Eine einfache Fehlerabschätzung lautet Ix.l: -

xl ~ If(xdl sup If'(x)-l l . o

,''01: 0

(6.60)

6.4 Gleichungssystcmc, Extrcnwlproblcrne. Anwendungen

495

(Zum Beweis s.l56]. S. 298. Folg. 6.7.) Zur Näherungslösung: Näherungslösungen xo. mit denen man das Newton- Verfahren beginnt. ergeben sich bei technischen Problemen oft aus der Realität, d.h. aus gewissen Lagcn einer technischen Konstruktion. Dazu Beispiel 6.24: Ein Körper der Masse m sei an zwei Federn aufgehängt. wie es Fig. 6.17 zeigt. Die Federkonstanten seien a und b genannt. Damit gelten rur die Waagerechte und die Senkrechte folgende Kraftgleichgewichtsgleichungen: -{/. (rl - Rdcosa +b· (r2 - R2)COSß = O. a· (rl - Rdsina+b· (r2 - R2)sinß =mg.

wobei rh r2 die Längen der gedehnten Federn sind und Rh R2 die entsprechenden FederHlngen im unbelasteten Zustand. In dem Dreieck mit den Seitenlängen rl, r2 und s (= Abstand derobcren Aufhängungspunkte) gelten folgende geometrische Zusammenhänge: rj sina -r2sinß =0. rl cosa +r2cosß = s.

I-

,

-I

belastet m

Fig. 6.17: Elastische Aufhängung eines Körpers Die letzten beiden Gleichungen kann man nach tung von sin(a + ß) = sina cos ß + cosa sin ß: rl =

s· sinß

sin(a + ß) •

r2 =

"1

und r2 auflösen. Man erhält unter Beach-

s, sina sin(a + ß)

Setzt man dies in die bciden GJcichgewichtsgleichungen ein. so erhält man ein System von zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten a und ß. Dies kann man mit dem Newton-Verfahren lösen. Eine Näherungslösung ist dabei aus einer Skizze der Art der Fig. 6.17 schnell gefunden.

4%

6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler

Übung 6.23: Berechne mit dem Newton- Verfahren die Gleichgewichtslage dcr elastisch aufgehängten Masse in Beisp. 6.24 fLirm = 2kg.s = 1 m. Rj = O.9m. R2 = 1.1 rn. a = 11 kg;m. b = 9kg;rn. Gesucht sind CI. und ß.

Satz über implizite Funktionen, Invertierungssatz

6.4.2

Es geht um folgendes Problem: Durch z = f(x. y) sei eine Funktion in zwei Veränderlichen beschrieben. Unter welchen Voraussetzungen kann man f(x. y) = 0

nach y »aunösen~~ so daß eine Funktion g mit y = g(x) entsteht'? Man sagt im Falle der Auflösbarkeit: g ist eine durch f(x. y) = 0 bestimmte illlfJlizite Fllnktio/!.

Beispiel 6.25: Man betrachte die Gleichung

2x 2 +3y=0.

x.yreell.

Auflösen nach y ergibt y = -2x 2 ;3. also die Gleichung einer Funktion g auf IR der Gestalt g(x) = -2x 2;3. Die Funktion g ist durch die Gleichung 2x 2 + 3y = 0 illlplizit gegeben. wie man sag!.

Beispiel 6.26: Die Gleichung X2 _

y 2+ I =0.

x,yEIR,

dagegen liefert y = ~ und y = -~, also zwei Funktionen und damit keine eindeutig bestimmte Funktion.

Beispiel 6.27: Schließlich läßt sich x 2 +i+I=0.

x.yER.

überhaupt nicht nach y auflösen, da es keine reellen Zahlen x, y gibt. welche die Gleichung erfullen, Der folgende Satz gibt Auskunft darüber, wann f(x. y) = 0 eine implizite Funktion beschreibt.

Satz 6.14: (über implizite Flinktiollell. zweidimemiollaler Fall) Es sei f(x. y) eine stetig differenzierbare reelle Funktion zweier reeller Variabler. Ihr Dclinitionsbcreich D C jR2

6.4 Gleichungssystcmc. Extrcmalprob1cme, Anwendungen

sei eine offene Menge. Für einen Punkt

/(XO. )'0) =

0

und

il/ - (xo. )'0) Jy

497

[xo] E D sei )'0

i= O.

(6.61 )

Damit folgt: (a) Es gibt ein Intervall U um Xo und ein Imervall V um )'0 mit der Eigenschaft: Zu jedem XE U existiert genau ein)' E V mit l(x.y)~O.

Jedem x € U ist auf diese Weise genau ein)' € V zugeordnet. Die dadurch definierte Abbildung g : U -+ V, mit der Funktionsgleichung)' = g(x). erftillt also /(x,g(x»=O

ftiralle

xeU.

(b) g ist stetig differenzierbar. und es gilt ftir jedes x € U:

JI

-(x. g(x»

') ~J~x~~~_ . g(x~-"I

(6.62)

-(.\",8(x»

Jl'

Die entscheidende Voraussetzung in diesem Satz ist

~J (xo. JO) i=

wird dies deutlich:

Jl'

O. Anhand von Fig. 6. 18

.

o

yo - - -

-----,- - - . . . - -~~~;;;;:1,.d:j~q ,--, y-g(xt

Xo

"u

Fig, 6.18: Zum Satz über Implizite Funktionen

•

498

6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler

Der Graph von In Xo =

I

hat im skizzierten Beispiel eine gekrümmte Schnittkurve mit der x-y-Ebene.

[-~o], einem Punkt auf dieser Kurve, ist offenbar JI (xo, )'0) t- 0, denn der Graph von

I

~

)0

steigt hier in y-Richtung an (s. Fig. 6.18). Das Intervall U um xo und ein zugehöriges Intervall V um )'0 sind Definitions- und Bildbereich einer (eindeutigen) Funktion g, deren Graph auf der

genannten Schnittlinie liegt. Gehl man dagegen vom Punkt XI = auch l(xl. YI) = 0 erfLillt, fur den aber offenbar

IJI (Xl. Yl) Jy

[XI] :lUS (s. Fig. 6.18), der )',

= 0 ist, so erkennt man, daß die

Schnittkurve I(x. y) = 0 in keiner Umgebung von x I eine eindeutige Funktion y = g(x) liefert, da die Schnittkurve aufgrund ihrer Bogengestalt zu jedem x-Wert zwei y-Werte mit I(x. y) besitzt. Die Skizze macht klar, daß

JI (xo. )'0) f[ly

0 hinreichend fLir die eindeutige Auflösbarkeit von

I(x, y) = 0 nach y ist. (Notwendig ist die Bedingung allerdings nicht!) Der beschriebene Satz läßt sich nahezu wörtlich auf differenzierbare Abbildungen verallgemeinern:

Satz 6.15: (iiber implizile Funktiollell. allgemeiner Fall) Durch

sei eine stetig differenzierbare Abbildung von einer offenen Menge D C IRIJl+1l in IR" beschrieben. Die Variablen werden zu folgenden Vektoren zlisammengefaßt: Xl

_ [Y'] :

Y-

'

x",

y,

y" )'"

Für einen Punkt

[:~]

f(xo, Yo) =

E D gelte

o.

Ferner sei die Matrix (6.63)

6.4 Gleichungssystcmc. Extrcmalprob1cme, Anwendungen

499

regulär. Damit folgt: (a) Es gibt eine Umgebung U C IRIII von Xo und eine Umgebung V C IR" von Yo mit der Eigenschaft: Zu jedem x E U existiert genau ein y E V mit

Jedem x E U ist auf diese Weise genau ein Y E V zugeordnet. Die dadurch definierte Abbildung g : U -;. Verfüllt also

f(x. g(x» = 0

flir alle

XE

U.

(b) g ist stetig differenzierbar, und es gilt flir jedes x E U

g'(x) = -!y(x,y)-I!x(x,y) ,

y=g(X),

(6.64)

mit den Abkürzungen

fy(x.y)=

ßr, ] [ -(x.y) i'lYt

!x(x,y)= I<;<"

ßr, ] [ -(x.y) iht

I~t~"

. I<;<"

I~t~",

Zum Beweis des Satzes s. [561. Abschn. 6.3.3. S. 300-303. Unter der etwas stärkeren Voraussetzung, daß! zweimal stetig differenzierbar ist (was flir technische Zwecke unerheblich ist). findet man einen eleganten Beweis des Satzes 6.14 in BurglHaflWille/Meister (Band 1fI) flO], Abschn. 1.2.4 (Satz 1.4). 1m Beispiel 6.25 ist die Aunösung nach)' unproblematisch. Man überzeuge sich, daß z.B. flir Xo =)"0 = 0 die Voraussetzungen von Satz 6.14 erfüllt sind (zweifellos kann man hier U = IR und V = IR wählen).

,,

,

y

,,

, ,,

,,

,

,

, , ,

,,

, , ,

,, ,,, -, , , , , , ,, , -, , ,, ,, , g

,

,

,,

Fig. 6,19: ZUIll Beispiel 6.26

,,

500

6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler

Fortsetwng von Beispiel 6.26: Hier ist J(x, y) :::: x 2 - y2

+ I (0 :::: JR2) und

Jf

-:::: -2y.

Jy

(jJ

Für xo :::: 0, )'0 :::: I, z.B. berechnet man J(xo. )'0) :::: 0 und -(xo, )'0) :::: -2 Jy Voraussetzungen von Satz 6.14 erfüllt. Durch y::::g(X)::::Jx 2 +1.

XEU:::::lR.

#-

. . 0, also sll1d dIe

V::::[I,oo)

wird eine implizite Funktion dazu beschrieben (s. Fig. 6.(9). Geht man von xo :::: O. )'0 :::: - I aus, so gelangt man entsprechend zu

Y::::8(X)::::-~.

xEU:::::IR:,

V::::[-J.-oo).

Auch in Fällen, in denen keine fOTlllelmäßige Aullösung von J(x. y) :::: 0 nach y möglich ist, kann der Satz die Existenz einer zugehörigen impliziten Funktion y:::: g(x) sichern. Dazu Beispiel 6.28: Wir betrachten J(x, y) :::: y Hier ist die Aullösung von

+ xy2

- e-~)' ftir x, y E IR: (d,h. Defillitionsbereich 0 von J ist jR2).

J(x,y)::::y+xi-ex)'::::o

(6.65)

durch elementare Umfonnung nicht möglich. Existiert trotzdem eine implizite Funktion y :::: g(x) dazu, z.B. in einer Umgebung von xo :::: O. yo :::: I? Zur Beantwortung berechnen wir zunächst

Jf

~(x.y)::::

uy

. => :;-(0.1):::: Jf

I +2xy -xe-<)

uy

I.

Satz 6.14 liefert damit die Existenz einer differenzierbaren impliziten Funktion g : U -+ V (0 EU), die J(x, g(x) :::: 0 in U erfüllt. Für x#-O sind die Werte y :::: g(x) aus (6.65) mit dem NewtonNerfahren (oder Bisektion, Regula falsi usw.) numerisch zu ermitteln. Z.B. errechnet man rur x:::: 0,2 aus

J(0.2, y) :::: y

+ 0.2i -

eO. 2)":::: 0

numerisch y == 1.018467. Die Ableitung in diesem Punkt ergibt sich aus (6.62). Auch die maximale Größe des Definitionsintervalls U von g kann in unserem Beispiel nur numerisch ermittelt werden (z.B. indern man die Lösungen des Gleichullgssystems J(x, y) :::: 0, (jJ (x, y) :::: 0 mit dem Newton-Verfahren bestimmt). Aus dem Satz 6. I 5 folgt als Spezialfall

,1, .

6.4 Gleichungssystcmc. Extrcmalprob1cme, Anwendungen

501

Satz 6.16: (lnvel'/ierungssan) Es sei f X -+ Y stetig differenzierbar, X. Y offen in IR" und !'(xo) regulär in einem Punkt Xo EX. Damit folgt

(a) Es gibt eine offene Umgebung U von xo, die durch f umkehrbar eindeutig auf eine offene Umgebung V von Yo = f(xo) abgebildet wird. (b) Die dadurch bestimmte Umkehrabbildung bar, und es gilt (f-I)'(y)=f'(x)-I

f- I

: V -+ U ist stetig differenzier-

fUralleY=f(x)EV.

Beweis: Mit F(y. x) := y - fex) ist eine Funktion gewonnen, die die Voraussetzungen von Satz 6.15 erfLilll (wobei x und y ihre Rollen getauscht haben). Damit gehl Salz 6.16 aus Satz 6.15 hervor, wobei lediglich zusätzlich gezeigt werden muß, daß f- 1(V) offen ist. Wegen f(/-I (V) = V, V offen, folgt das aber aus der Stetigkeit von f. 0

Übung 6.24: Gibt es zu J

.

!(x,y)=x Y +2"-slnY=O

eine expli;(.ite Funktion

y

= g(x) in einer Umgebung von .rO = O. wobei )"0 = lf/6 ist?

(j(XO. )"0) = 0).

6.4.3

Extremalproblcme ohne Nebenbcdingungcn

Maxima und Minima von Funktionen mehrerer reeller Variabler lassen sich mit Mitteln der Differentialrechnung gewinnen - analog zum Fall einer Variablen. Zunächst benötigen wir eine saubere Begriffsbestimmung. Wir vereinbaren daher. völlig analog zu Def. 3.6 in Abschll. 3.2.7:

Dcfinition 6.17: Es sei [ : D C IR" -+ IR eine gegebene Funktion. Ist eine Umgebung U gibt mit [(x) .:0:; [(xo)

fLir alle XE unD, x

Xo

ein Punkt aus D, zu dem es

t- xo,

so sagt man: [ besitzt in Xo ein lokales Maximllm. Der Punkt Xo selbst heißt eine lokale Maximalstelle 1'011 [ . Stcht »<<< anstelle von ».:0:;«, so wird Xo als echte lokale Maximalstelle von [ bezeichnet. Entsprechend werden lokale Minima, lokale Minimals/ellen, echte und unechte. erklärt. Alle diese Punkte nennen wir Ex/remalstellen oder Ex/remalplIllkte.

502

6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler

Satz 6.17: o Ist Xo E D ExtremaIsteIle einer partiell differenzierbaren Funktion 1 so gilt

: D c lR"

~

IR,

I'(xo) = 0

oder gleichbedeutend grad I(xo) = 0 respektive '\I I(xo) = 0, d.h. sämtliche pal'/je/fell Ableiflll1gell I. Ordllullg VOll 1 \'erschwinden in xo.

Beweis: Es sei Xo = [x;O), xiO) . .... x,~O)ll' die Komponentendarstellung der ExtremsteIle Xo von mit definieren wir die Funktion

f.

Da-

wobei k E {I ..... II} beliebig, aber fest ist. 8 geht also aus 1 dadurch hervor. daß man nur eine Komponente variabel macht, nlimlich Xk, die anderen aber festhlilt. Die reellwertige Funktion g hat in x~O) natürlich ein Extremum. also folgt ,

(0)

o

(J

O=g (xj,; ) = -/(xo) , oXj,;

Satz 6.17 besagt. daß die ExtremalsteIlen aus D in der Menge der Xo mit der Eigenschaft ![n (xo)1 = 0 zu suchen sind. Es ist also das System der Gleichungen

/,(xo) = [!q (xo), ... ,

Ir; (xo) =0

Hiral1ci = 1.....

(6.66)

/1

nach Xo = (xiO) . .... x~O) aufzulösen, etwa mit dem Newton- Verfahren. Nicht jede Lösung von ['(xo) = 0 ist nOlwendig ein Extremalpunkt, was man sich an Funktionen einer reellen Variablen klar machen kann (waagerechte Wendetangente!). Wir beweisen daher folgenden Satz, der eine hinreichende Bedingung fur Extremalpunkte liefert.

Satz 6.18: Ist 1 : D /'(xo)

c

IR" ~ IR zweimal stetig differenzierbar, so folgt: Ein Punkt xo

= 0 ist eine

echte Maximafstelle,

falls (Z· '\I)21(xo) < 0,

echte Millimafstefle,

falls (Z· '\I)21(xo) > 0,

Beweis: Wir nehmen (z . '\I)2/(xo) > 0 Hir alle z

I

fur alle

+ z) =

I(xo)

+1

i= 0, Z E IR: an. Nach der Taylorformel gilt für 1/1

"+! (Xo)z

fj mit

z i= 0, Z E IR".

I

I(xo

E

2"

o

(I - s)(z . '\I) 2 I(xo

+ sz)ds,

= 1

6.4 Gleichungssystcmc. Extrcmalprob1cme, Anwendungen

wegen !'(xo) = 0 also

f(xo

+ z) -

503

,

f(xo) =

~

f

(I - sHz' \7)2 f(xo

+ sz) ds.

(6.67)

o

Aufgrund der Stetigkeit der zweiten paniellen Ableitung gibt es eine Kugelumgebung U C D von Xo mit

(z· V)2f(xo+sz) > 0

flirxo+sz E V.z i::-O,O:::: s:::: l.

Wählt man Z dabei fest, so nimmt (z ,\7)2 f(xo + 5l) für ein 5 E [0, I [sein Minimum c > 0 an (da s ~ (l' \7)2 f(xo + sz) eine sletige Funktion auf [0, 1[ist), also gilt

,

(l· \7tf(xo+~'z) ~ c > O.

Damit gewinnt man aus (6.67)

flir alle s E [0.11.

,

'J

f(xo+z)-f(xo)~2

(l-s)cds=4">O, C

o

also f(xo + z) > f(xo) flir jedes Xo + z E V, z t- o. xo ist damit ci ne echte Minimalstelle. Durch Übergang von f zu - f erhält man die entsprechende Aussage ftir echte MaximalstelIen, 0 womit alles bewiesen ist. Bemerkung: Der Ausdruck (z· \7)2 f(xo) in Satz 6.18 kann mit Hilfe der Matrix

I",., (xo) /,,(xo) ,~

Z

~

[

: ['nYI (xo)

I''''''.,(X O)]

sowie

fXnYn (xo)

[:,]

-"

in der Form (z· \7)2f(xo) = ZT !"(xo)z =

L"

zifxi.
(6.68)

i.t=1

geschrieben werden. Ohne Beweis sei angegeben, daß (z· \7)2 f(xo) = ZT !"(XO)Z genau dann> 0 flir alle z i:ist. wenn alle »Hauptdelerm;//allten« 1'011 f"(XO) positiv sind. (Hallpidelermil/alllell sind dabei die Determinanten derjenigen Matrizen, die durch Herausstreichen von Zeilen und

o aus IR"

504

6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler

entsprechenden Spalten aus f"(xo) entstehen. Zu Determinanten s. Abschn. 7.2.3, Einschub, sowie BurglHafIWille (Lineare Algebra) 19J) Um zu entscheiden, ob (z . '1)2 f(xo) < 0 Hir alle z f- 0 aus IR" ist, hat man f dureh - f zu ersetzen und mit dem genannten Kriterium (z· '1)2(_ f)(xo) > 0 fUr z f- 0 ZU prüfen. Das Kriterium ist für die Anwendung in Satz 6.18 Hir große 11 sehr wenig griffig. Für kleine 11 (/I = 2,3.4) ist es aber gUi zu gebrauchen. FUr 11 = 2 ergibt sich daraus

Folgerung 6.6:

Ist die reellwertige Funktion f(x. y) zweimal stetig differenzierbar auf D C 1R2, so folgt: Ein Punkt

Xo = [x)'0o] E D mit

8f ox(xo,)'o) =0.

8f

oy (xo, JO)

= 0

;" [xo] (6.69)

""d

)'0

ist eine echte Maxima/stelle,

wenn fu(xo. JO) < 0 ist,

echte Minima/stelle,

wenn fu(xo. JO) > 0 ist.

Dieses Kriterium ist fUr Funktionen von zwei Variablen sehr nützlich.

Übung 6.25: Berechne die Extremalstellen der durch f( ..... y) = .... 2 +

i

definierten Funktion f Minima handelt.

6.4.4

+ .(y -

2x

+ 3)' + 7.

x = [;.] E IR2 .

IR -.. IR und entscheide. ob es sich um echle Maxima oder echle

Extremaiprobleme mit Nebenbedingungen

Oft ist nach den Extrema eine Funktion J gefragt, wobei noch eine Nebenbedingung h(x) = 0

erfUllt sein muß. Präziser geht es um folgende

6.4 Gleichungssystcmc. Extrcmalprob1cme, Anwendungen

Problemstellung: Gegeben sind zwei stetig differenzierbare Abbildungen I h : 0 --?' HF auf einer offenen Menge 0 C IR", 11 > p. Gesuch/ sind die MinimalstelIen der Einschränkung 11M von I auf M := Ix E 0 IIl(x) =

Eine Maximalstelle Xo von gibt mit I(x)

~

I(xo)

01

:

0

--?'

50S

IR und und

Maximal~

(6.70)

CO.

11M ist dabei ein Punkt aus

ftir alle XE U

M, zu dem es eine Umgebung U

C

0

n M.

Man nennt einen solchen Punkt Xo eine Maximals/e/le rOll I lI11te,. der Nebenbedillglillg 11 (x) = O. EtlIsprechendes vereinbart man fLir MinimalstelIen. In beiden Fällen spricht man von Extremals/el/ell 1'011 I IIII/e,. de,. Nebeilbedillgullg h (x) = O. Alles in allem treten bei den Anwendungen Extrcmalprobleme mit Nebenbedingungen viel häufiger auf als »reine« Extremalprobleme ohne Nebenbedingungen. Schon bei einfachsten geometrischen Fragestellungen ist dies der Fall. Beispiel 6.29: Will man dasjenige Rechteck bestimmen, das unter allen Rechtecken gleichcn Umfangs 1/0 dcn größten Flächeninhalt hat. so ist I(x) = X1X2 zu maximieren, wobei Xl, X2 die Seitenlängen des Rechtecks bedeuten. Wegen XI 2: 0, X2 2: 0 ist

o~

![::] Ix,.

X2

x= [x,] dabei ein Punkt aus X2

~ 0)

Die Nebenbedingung lautet 110 = 2(xl h : 0 --?' IR.

+ X2),

d.h. h(x) = 0 mit hex) = 110 - 2(xl

+ X2),

Die Lösung ist in diesem Falle sehr einfach zu gewinnen: Man löst hex) = 0 nach X2 auf: X2 = 110/2 - Xl, setzt dies in I(x) = X1X2 ein und erhält eine Funktion, die nur noch von Xl abhängt: F(xd := XI (110/2 - xd. Aus F'(xl) = 110/2 - 2xI = 0 berechnet man die Lösung XI = 110/4, wobei F"(xil = -2 < 0 zeigt, daß ein Maximum vorliegt. Wie nicht anders zu erwarten, ist das gesuchte Rechteck mit maximalem Inhalt ein Quadrat.

In vorstehendem Beispiel konnte hex) = 0 nach einer Komponente von x aufgelöst werden und damit das Problem auf eine Extremalaufgabe ohne Nebenbedingungen zurückgeführt werden, die mit bekannten Methoden von Abschn. 3.2.7 gelöst werden konnte. Häufig ist das jedoch nicht ohne weiteres möglich. Folgendes Beispiel macht dies deutlich:

506

6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler

Beispiel 6.30: Es soll der kürzeste Abstand zweier implizit durch G (x, y) = 0, H (g, 1/) = 0 bestimmter Kurven der Ebene ermittelt werden, Es ist also

zu minimieren, unter der Nebenbedingung

I(

IX

)~[G(X·J')]~o H(g,'J) .

Auch hier könnte man zunächst versuchen, G(x. y) = 0 und H(~. 'I) = 0 nach y bzw", aufzulösen und die entstehenden Ausdrücke fLir y und '1 in (x - 0 2 + (y - 11)2 einzusetzen, um so eine von Nebcnbedingungen freie Funktion der Variablen x und 'I zu minimieren. Bei ctwas komplizieneren Gleichungen G(x. y) = 0 und H (g. 1/) = 0 ist das allerdings nicht mehr ohnc weiteres durchführbar, schon allein deswegen, weil)' bzw. 'I im allgemeinen nicht eindeutig von x bzw. gabhängen. Es muß daher nach eincr Methodc gesucht werden, dic ohne cxplizitcs Auflöscn von h(x) = 0 nach einem Teil der Komponenten von x auskommt. Ein solches Verfahren ist das dcr LagralIgesehen Multiplikatoren. das auf folgendem Salz beruht. Satz 6.19:

f : D -+ IR und h : D -+ IRP seien stctig differenzierbare Abbildungen auf einer offenen Menge D C IR". 11 > p, wobei die Matrix h'(x) fLir jedes XE D den Rang pl4 hat. Damit folgt: Ist Xo E Deine Extremahtel/e 1'0/1 f IlIIler der Nebenbedingullg h(x) = 0, so existiert dazu eine Zeilenmatrix L = [Al, A2 .... , Apl mit

J' (xo) + Lh' (xo)

= O.

(6.71)

Die Zahlcn Al. A2 .... , A" hcißen dabei Lagra"gesche Multiplikatoren.

Das Lösungsverfahren für Extremalprob1eme mit Nebenbedingungen beruht nun, gestützt auf Satz 6.19 auf folgenden Überlegung: Jeder Extremalpunkt Xo von f unter der Nebenbedingung h(x) = 0 ist unter der Voraussetzung von Satz 6, 19 eine Lösung der Gleichungen f'(x)

+ Llt'(x) =

0

und

h(x) = O.

(6.72)

14 D.h. /I' (x) enlhiih rur jedes x E Deine rcguliire (quadratische) p-reihige Teilmalrix. (Eine Teihnalrix entSlehl aus einer Matrix durch Herausstreichen von Sp.1lten und/oder Zci Icn.)

6.4 Gleichungssystcmc. Extrcmalprob1cme, Anwendungen

507

Mit den Komponentendarstellungen

;;] [

X=.

X~,

/,

~ [::;]

.

L=[Al.A2 ..... A,,1

(6.73)

11"

erhalten die Gleichungen in (6.72) die explizite Gestalt

L>k-.

(jf "(jhk -(x)+ (x) =0

flirallei = 1, .. .,11,

(6.74)

hdx) =0

fLir alle k = I ..... p.

(6.75)

(lXi

k=1

und

(lXi

Es liegen damit 11 + P reelle Gleichungen rur die 11 + P reellen Unbekannten XI. X2 • ... ,X,,, AI. A2, ... , A" vor, deren Lösbarkeit zu bestimmen ist. Unter den aus dieser Lösullgsgesamtheit gewonnenen Punkten x = [XI, X2 • ... , x"J T sind alle Extremalpunkte mit den Nebenbedingungen II(X) = 0 zu linden. Natürlich braucht nicht jeder dieser Lösungspunkte x ein Extremalpunkt zu sein, Da bleibt im einzelncn stets zu untersuchen. Gelten die Voraussetzungen von Satz 6.19, so heißt jeder Lösungspunkt x, der sich aus (6.74), (6.75) ergibt. ein stationärer Pllnkt FOII f lIIi1er Nebenbedillgllllgen 1J (x) = O. Bei physikalischen Untersuchungen sind diese Punkte auch dann inleressanl, wenn sie keine Extremalpunkte sind. Wir skizzieren dies kurt.: in folgendem Beispiel. Beispiel 6.31: Eine grundlegende Anwendung der Lllgrangescllen Militiplikatorelllllelhode steht im Zusammenhang mit dem d'Afembertscllen l5 Prinzip in der Mechanik. Betrachtet man nämlich ein System von Massenpunkten in einem Kraflpotentialfeld. so sind die Massenpunkte häufig geometrischen Bindungen unterworfen. (Abstände zwischen Massenpunkten sind konstant, die Massenpunkte befinden sich auf gewissen vorgeschriebenen Kurven oder Flächen usw.) Die geometrischen Bindungen schlagen sich dabei in Nebenbedingungen nieder, während das Kraftpotential eine Funktion liefert, deren stationäre Punkte unter Nebenbedingungen zu berechncn sind. Die stationären Punkte besdHeiben dann Gleichgewichtslagen des Massenpunktsystems. Echte Minima ergeben dabei stabiles Gleichgewicht. während in den übrigen stationären Punkten labiles oder indifferentes Gleichgewicht herrscht. Für einen ausfLihrlichen Beweis des Satzes 6.19 sei auf [561, Satz 6.23. S. 305 - 308, verwiesen. Wir wollen den Sachverhalt hier am Falle zweier Dimensionen anschaulich und plausibel machen. Für diesen Fall fonnulieren wir Satz 6.19 nochmal: Folgerung 6.7: (Zweidimemiollaler felll der Lagrangescllen M IIl1iplikalorellmelllOde) Durch 11 = fex. y) und v = hex. y) seien zwei reellwenige Funktionen auf einer 15 Jcan-Bapliste lc Rond.gcnanm cl' A1cmbcn (1717 - 1783). fmnzösischer Mathcmatikcr. Physiker und Philosoph

508

6 Differentialreehnung mehrerer r..- eller Variabler

offenen Menge 0 C IR2 beschrieben. Dabei sei gradh(x) cf 0 für alle x E 0. 16 Damit folgt: Ist Xo E Deine Extremalstelte von 1 unter der Nebenbedingung hex) = 0, so gilt grad I(xo)

+ A grad h(xo) =

(6.76)

0

mit einer reellen Zahl A. Veranschaulichung: In Fig. 6.20 ist der Graph von 1 über seinem Definitionsbereich 0 skizziert. In f) ist die durch h(x) = 0 bestimmte Kurve zu sehen. Zum besseren Verständnis sind Höhenlinien und Fallinien in 0 eingezeichnet. wie auch ihre Entsprechungen auf dem Graphen von I. Wir erkennen: Das Maximum I(xo) von 1 über der Kurve h(.1'o) = 0 hat die Eigenschaft, daß die Kurve h(x) = 0 in der Maximalstelle Xo rechtwinklig eine Fallillie sc/meidet. Skizziert man grad I(x) und gradh(x) als Pfeile mit schwarLcroder weißer Spitze, so liegen sie im Maximalpunkl Xo parallel (denn der Vektor gradh(x) steht in jedem Kurvenpunkt x senkrecht auf der Kurve h(x) = 0, und grad I(x) liegt stels in Richtung der Fallinien.) Parallelilät von grad I(xo) und grad h(xo) bedeutet aber grad/(xo)

+ Agrad h(xo) =0

fürein,l" E IR.

Zum Verständnis ein simples Demonstrationsbeispiel. Beispiel 6.32: Gesucht sind die ExtremalsteIlen von f(x.y) =x 2

+i +3.

x.y E R.

(6.77)

unter der Nebenbedingung h(x. y) = x 2 + Y - 2 = O.

x. Y ER.

(6.78)

Mit gradf(x.y) = [2x.2yl T .

ergibt grad 1

gradh(x.y) = [2x,11 T

+ )" grad h = 0 und h (x, y) = 0 das Gleichungssystem

2x = -,l,,2x .

2y = -,l" .

,

y=2-x~.

Die ersle Gleichung ist Z.B. flir x = 0 erfLillt. Die übrigen Gleichungen liefern dann y = 2, A = -4 und 1(0,2) = 7. Im Falle x cf 0 ergibt die erste Gleichung nach Herauskürzen von x: A = -I. Damit ist nach der zweiten Gleichung y 1/2 und nach der dritten: x = ±.J6/2. Damit: 1(±.J6/2. 1/2) 4.75.

=

,

16 ZurErinncrung:gradh(x) = 1, (x)T =

=

[Ob alJ ]T . -.-(x). -.-(x)

6.4 Gleichungssystcmc. Extrcmalprob1cme, Anwendungen

509

y

h(x)_O Fig. 6.20: Extrerlla mit Nebcnbcdingungcn

Sämtliche Kandidaten fLjr ExtremstelIen sind also

Das Höhenlinienbild (Fig. 6.21) zeigt, daß Xo eine Maximalstelle ist und x I, X2 Minimalstelien sind. und Untersuchung vonl{)(x) = Durch Einsetzen von y = 2 - x 2 in !(x,y) = x 2 + 2 x + (2 - x 2 )2 auf ExtremaisteIlen kommt hier natürlich das Gleiche heraus. Wie aber schon erwähnt, ist das formeimäßige Eliminieren einer Variablen oft nicht möglich. Dann ist man auf die (numerische) Lösung der Lagrangesehen Gleichungen angewiesen.

i

Bemerkung: Die Frage, welche Lösungen der Lagrallgeschen Multiplikatorenmethodell Maxima, Minima oder nichts dergleichen sind, ist allgemein schwer zu beantworten. Aus diesem Grund muß dies in jedem Einzelfall gesondert geprüft werden. (Durch Eliminieren der Nebenbedingung. dureh numerische Rechnung oder durch Überlegungen aus der technischen Anwendung). Eine Hilfe liefert der Satz. daß jede stetige reelle Funktion auf einem Kompaktum ihr Minimum und ihr Maximum annimmt. Bei kompakter »Nebenbedingungsmenge« M = Ix E D I hex) =O}

510

6 Differentialrechnung mehrerer r..-eller Variabler y

'.

-h(x,y)_O

Fig. 6.21: Zu Beispiel 6.32

hat man daher unter den Lösungen der Lagrangemethode und den Randpunkten aus M n aD diejenigen mit maximalem Funktionswert !(x) herauszusuchen. Diese Punkte sind alle gesuchten absoluten MaximalstelIen. Für MinimalstelIen gilt Entsprechendes. Fortsetzung \'on Beispiel 6.32: Wir wenden die vorangehende Überlegung auf unser Beispiel an. Die Funktionswerte der Kandidaten xo, x I, X2 flir ExtremalsteIlen sind !(Xo) = 7.

!(x[) = !(X2) = 4.75.

Wählen wir anstelle von]R2 als Definitionsbereich ein Rechteck D, das die drei Punkte xo, Xl knapp umfaßt, z.B.

so schneidet die Kurve Il(x. y) = xl Punkten:

+Y -

Xl,

2 = 0 den Rand von D genau in folgenden zwei

Da nach obiger Bemerkung nur Xo, XI. Xl, X3 und x 4 flir Maximal- und Millimalstellell in Frage kommen, ist xo (wegen !(xo) = 7) Maximalstelle und es sind X I> Xl MinimalstelIen. Übung 6.26: Bestimme mit der Lagrangesehcn Multiplikatorenmclhode dic Extrenmlwcnc von f(x. y) = xy (x. Y E IR) unter der Nebenbedingungx l + yl - I = O. Zeichne ein Höhenbild dazu.

7

Integralrechnung mehrerer reeller Variabler

Ausgangspunkt der Integralrechnung mehrerer Veränderlicher ist das Problem, Rauminhalte mehrdimensionaler Bereiche zu ermitteln - analog zur Integralrechnung einer reellen Variablen, die von Flächcninhaltsbercchnungcn ausgeht. Die Integralrechnung einer reellen Variablen ist im Mehrdimensionalen Richtschnur und Hilfsrnincl. Wir gelangen so zur Berechnung von Massen dreidimensionaler Körper. Schwerpunkten, Trägheitsmomenten, Zirkulationen, elektromagnetischen Feldenergien und vielem anderen mehr.

7.1

Integration bei zwei Variablen

Die Grundgedanken der mehrdimensionalen Integration werden zunächst um Fall zweier reeller Variabler erklärt. Alles Wesentliche wird dabei sichtbar, versländlich und einprägsam.

7.1.1

Anschauliche Einführung des Integrals zweier reeller Variabler

Gestützt auf amcllllll/iche VorstellIIngen \'on Rtllllll- lind Fliicheninhall werden in diesem Abschnitt Integrale zweier Variabler eingefilhrt und berechnet. Wir beginnen unsere Betrachtungen mit eincr reellwcrtigen stctigcn Funktion f auf cinem kompakten zweidimensionalen Bereich B C 1R2. f sei nicht negativ, d.h. [{X,Y)2:0

füralle

[~:]EB.

und 8 hahcn cincn wohlbestimmten Flächcninhalt F. Der Graph [ und der Bereich B bilden »Deckel« und »Boden« einer dreidimensionalen Menge

(7.1)

(s. Fig. 7.1). Der Raulllinhall V dicser Mcngc M wird das 1I1legrall'oll [ iiber dem Bereich B gcnannt und durch

v~

ff

f(x.y)dxdy

B

K. Burg et al., Höhere Mathematik für Ingenieure, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9929-3_7, © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

(7.2)

512

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

,

M

I

,

y

B

Fig. 7.1: Integral als Rauminhall von M

beschrieben. Es sind auch folgende Schreibweisen dafür gebräuchlich:

v~

ff f(xy)dF~ ff 8

fdF

8

oder mit nur einem Integralzeichen

v~

f f(x.y)dxdy~ f f(x.y)dF~ f B

8

Mit der Vektorschrcibweise x =

f

fdF.

B

[~J schreibt man das [niegral auch in der Fonn

fix) dx

B

(Doppelte Integralzeichen betonen das Zweidimensionale von H, einfache Inlegralzeichen weisen mehr auf die allgemeine Theorie hin.) Bemerkung: Bei den Begriffen »Rauminhalt« und »Flächeninhalt« appellieren wir hier an anschauliche Vorstellungen des Lesers. Auf diese Weise können die Grundideen übersichtlich vermittelt werden. Die analytische Präzisierung folgt in den nächsten beiden Abschnitten. Zur Beantwonung nehmen wir zunächsl B als ein achsenparalleles Rechteck an,

und belfachteneine beliebige Zerlegung Z = 11)'0. )'11. [YI. nl..... [Yn-I. )',,1} von [c.lll. Durch die Zerlegungspunkle )'i lege man zur x-z-Ebene parallele Ebenen. die die Menge M in »Scheiben zerschneiden«, wie es die Fig. 7.2 zeigt. Das Volumen LlVi einer solchen Scheibe zwischen den Ebenen durch)'i und )';-1 ist etwa

7.1 Integration bei zwei Variablen

513

, y

• Fig. 7,2: Zur Volurnenberechnung

gleich dem Produkt aus der Scheibenbreite Ll)'; ._ rechten Schniufläche bei )'i, d.h.

)'i ~

)'i-t und dem Flächeninhalt der senk-

b

LlV;

~

LlYi'! !(x,)'i)dx.

" Summation über alle Scheiben liefert näherungweise den gesuchten Rauminhalt V von M

Für 11 --+ 00. wobei max LlYi gegen Null geht, strebt die rechte Seite gegen das Integral ;

Die Klammer um das innere Integral wird auch weggclassen, da kein Imum dadurch entstehcn kann. Der Wert dieses »Doppclintegrals« entspricht zweifellos unserer Vorstellung vom Volumen V der Menge M. d.h.

ff f(x.y)dxdy~ f f d

v~

b

f(x.y)dxdy.

(7.3)

c "

8

Da unsere Anschauung vom Rauminhalt sicherlich ergibt. daß es gleichgültig ist. in welcher

J b

1 Die Funktion,.,(y):=

f(x. y)l1r ist stetig in y. wie in Abschn. 7.3.1 gezeigt wird.

"

514

7 Inlcgraln:chnung mehrerer reeller Variabler

Achsenrichtung man die Menge M in Scheiben schneidet, können x und y auch ihre Rollen tauschen, d.h. es gilt: d

h

1 1

, "

II , ,

iI

b

f(x,y)dxdy~

(7.4)

f(x,y)dydx.

Diese VertallsclulIIgsformei wird spliter als Satz \'011 FlIbilli allgemeiner erörtert (s. Abschn. 7.1.3, Satz 7.3). Beispiel 7.): Für f(x,Y) = 2 -xyauf

B

~

![:,] I ~ 0

x

~ 1 , 0 ~ y ~ 21

erhalten wir 2

I

2

V~ 11(2-XY)dx'dY~ 1 1(2-XY)dXdY~ 1[2x0 0

IJ

x

0

/1 dy~ 1(2-DdY~3 2

1

2

0

(s. Fig. 7.3).

, 2

, v

,J

,

tI.

-r-I

Fig. 7.3: Zu Beispiel 7.1

,

~

, g

,

,

,

b

Fig. 7.4: Normalbcrcich

Der Leser rechne nach, daß bei Vertauschung von x und)' dasselbe herauskommt, also ,

V=!

o

1

!(2~X)')d)'dX=3. 0

7.1 Integration bei zwei Variablen

515

Wir wollen im Folgenden anstelle von Rechtecken allgemeinere. krummlinig berandete Bereiche B betrachten, und zwar solche, die »zwischen« den Graphen zweier stetiger Funktionen h : la. b] ~ IR und g : la. bl ~ IR (mit h ~ g) liegen, d.h. B = { [;,]

Ia .::: x .::: bund g(x) .::: y .::: h(X)}.

s. Fig. 7.4.

Einen solchen Bereich B nennen wir kurz einen NOnlwlbereich. J : B ~ IR sei wieder stetig und nicht negativ. Durch analoge »Scheibenzerlegungen« wie im Rechteckfall erhalten wir das Volumen V von M wiederum als Doppelintegral (s. Fig. 7.5).

II j(x.y)dxdy~ I I

b h(.• )

8

(7.5)

j(x.y)dydx.

" g(..-)

/~!II/(

I

".n :1

M

~

r

,

,

I Fig. 7.6: Zum Volumen der Pyramide

Fig. 7.5: Zum Integral iiber einen Normalberekh

Beispiel 7.2: Die in Fig. 7.6 skizzierte schiefe Pyramide P ist die Menge aller Punkte

0.::: x.::: mit

H.

O.:::y.:::x·a/H. O':::l..:::x·b/H.

Mit f(x.y):= x ·b/H und B = {[;] I O.:::x < H undO.::: y':::x .a/H} ist das Volumen der Pyramide damit

V =

!!

!

!/ ,\',"11/

f(x.y)dxdy =

"

~! 0

0

b IN []"'''I" ba I" x xy dx = H2

= H

0

o

xdydx

0

2

ba [.<3]" "3

d.x = H2

0

abH

3

516

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

Beispiel 7.3: Es soll V=

!!X 3l dXdY 8

berechnet werden. wobei B der in Fig. 7.7 skizzierte Viertelkreis ist. Da Bein Normalbereich ist, folgt:

dx =

, f 5" I

x 3 (r 2 -

".~ x~p

dx .

o Mit

11

= x 2 und v' = x(r 2 -

s

x 2 )"1 (also v

I 2 = -'7(r -

2 7

x )~) liefert die Produktintegration:

Vertauscht man die Rollen von x und y, so ergibt sich das Integral auf folgende Weise:

Dieser Weg ist etwas einfacher. Man sicht, daß man durch Vertauschen der Imegrationsreihenfolge evtL Rechenaufwand einsparen kann.

, ,

y

•

B

x

Fig. 7.7: Viertelkreis B

y

Fig. 7.8: Ellipsoid

7.1 Integration bei zwei Variablen

517

Beispiel 7.4: (Volumen eines Ellipsoides) Ein Ellipsoid, wie in Fig. 7.8 skizziert, besteht aus allen Punkten mit wobei die positiven Zahlen a, b, c die Hauptaehsenlängen des Ellipsoides sind. Wir berechnen das Volumen eines halben Ellipsoides, und zwar das Volumen der »oberen Hälfte« (d.h. z ~ 0). Der ~~obere Deckel« des Ellipsoides ~ d.h. der Teil des Ellipsoidralldes mit z ~ 0 ~ wird durch x 2j([2 + y2 jb 2 + Z2 jc 2 = I mit z ~ 0 beschrieben. also aufgelöst nach z durch (7.7)

gelten muß. Diese Ungleichung beschreibt eine Ellipse, und zwar die Schnittfläche zwischen dem Ellipsoid und der x-y-Ebene. Die Ellipse ist der Definitionsbereich B unserer Funktion f in (7.7). Damit ist das halbe Ellipsoidvolumen gleich (7.8)

Die Ellipse 8 läßt sich offenbar einschließen von den Graphen der bciden Funktionen

"(x).~ bj, _(~)'

g(x)=-!J(x),

fLirxE[-a.lIj.

Nach (7.5) erhalten wir damit

Zur Lösung des inneren Integrals faßt man p := Jl - (xja)2 als Konstante auf und bringt Jl (xja)2 (yjb)2 durch die Substitution y = bp· t auf die

!~ 1

Gestalt p.fl=f!. Die Anwendung der Subslitutionsregel und Verwendung von 2 =

lT

(Inhalt des Einheitskreises. Abschn. 4.2.2) ergibt

ebrr V~ -

2

j" (X') I - --:; dx = 2 -abclf . 3

-"

a~

-1

dt

518

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

Das Volumen des Ellipsoides ist das Doppelle hiervon, also 4

Volumen des Ellipsoides: 3abcIr.

(7.9)

Speziell rur a = b = c =: r erhält man das (7.10)

Ist B kein Normalbereich, so versuche man ihn in endlich viele Normalbereiche BI, ..., Bill zu zerlegen (s. Fig. 7.9):

'"

ß~UB,~I, i=1

y

Fig. 7.9: Zerlegung in Nonnalbereiche

Ist dies möglich, so berechnet man das Integral von f über B als Summe der Integrale über BI, ... , B"" also

11

f(xy)dxdF

B

t11

f(x.y)dxdy.

(7.11)

.=1 8;

Dies steht sicherlich im Einklang mit unseren Vorstellungen vom Rauminhalt. Die Berechnungsformeln (7.5) und (7.11) werden allgemein auf beliebige reellwenige stetige Funktionen auf B angewendet, also auch Funktionen mit negativen Wenen. Damit ist das Integral auch rur diese Fälle erklän. Mit den Formeln (7.5) und (7. I I) lassen sich nahezu alle praktisch mI/tretenden Bereichsilllegrale in zwei Variablen berechnen! 2 § = Inneres von B

7.1 Integration bei zwei Variablen

519

Beispiel 7.5: Ein Werkstück (oder Puzzlestein oder modernes Verwaltungsgebällde) habe die in Fig. 7.lOa skizzierte Form. Die Grundriß-Mcnge 8 geht aus Fig. 7.IOb hervor. Das »Dach« sei parabolisch, genauer: Der skizziene Körper ist im IRJ die Punktmenge

Frage: Wie groß ist sein Volumen?

,

y

,, B. , ,

B

B, 2

B, y

b)

-1

o

Fig. 7.10: Zur Volumenberechnung in Beispiel 7.5

Der Körper K wird »oben« durch den Graphen der Funktion f{x. y) = 2 - x 2 begrenzt. (f ist bezüglich y konstant). Sein Volumen ist damit

v=

f/(2-X 2)dxdY. B

8 ist kein Normalbcreich. doch läßt sich 8 in Norrnalbereiche zerlegen, z.B. in die 5 Bereiche 8 1, ... ,85 der Fig. 7.IOb. 8 1 liegt zwischen der x-Achse und dem Graphen von.r t-+ über dem Intervall [-I, 11; also folgt fLjr das Teilintegral über 8 1 :

I

2" (x + I),

Der Integrand des inneren Integrals hängt nicht von y ab und kann somit vor das innere Integral

520

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

gesetzt werden. also:

Entsprechend ergibt sich rur den Bereich 82. der zwischen den Graphen von x der Konstanten y =

~

I

2" (x + I) und

I

2" liegt (über [-I, OJ):

V2~ ff(2-X2)dxdY~ f

J j

1

2 (2-x )dydx

-I ~(.l+I)

82

Ferner bezüglich 83:

o

V3=

~

!!(2~X2)dXdY=!J(2~X2)dYdX= 13°. lJ!

-I

!

Aus Symmetriegründen ist das Integral V4 (bzw. 84) gleich V2 und entsprechend V5 (bzw. 8 5) gleich VI. Zusammen erhiilt man also das Volumen des Körpers folgendermaßen: V =

11

')

(2 - x-) d.\" dy = VI

+ V2 + V3 + V4 + V5

8

Übungen: Berechne die folgenden Integrale Übung 7.1:

fo f

3 2

xdxd).

0

Übung 7.2:

f f(. . 1 2

_2

-10

+ e J ) cl)' cl.\".

=

5

3

10

3

5

3" + '8 + "'3 + '8 + 3"

=

89

12 .

7.1 Integration bei zwei Variablen

521

Übung 7.3:

11 2 I+x

xydydr.

o -,

Übung 7.4:

II(X

4Y +3)drd Y mit B = {[:]

I-I ~ ~ I. x

x2

~y~

I}.

Skizzieredcll Bereich B!

B

Übung 7.5:

11

2

(5 - x - i)dr cly mit B =

{ [;] IIXI + IYI

n

~ I }. Skizziere B! Wie lauten die Funktio-

nen g und h zur Beschreibung von B ats Normalbereich?

7.1.2

Analytische Einführung des Integrals zweier reeller Variabler

Die exakte analytische EinfLihrung des Integrals im Zweidimensionalen - die in diesem und dem nächsten Abschnitt gegeben wird - verläuft analog zur Einführung des Integrals bei einer Variablen in Abschll. 4.1.1. Als Ausgangspunkt betrachten wir eine beschränkte reellwertige Funktion f : Q ...... IR auf einem achsenparallelen Rechteck

Q

!

~ [~] las xS b

"d , S

yS d

I

Man beschreibt dies auch kürt:er durch

Q = [a,b] x Ic.dl. Sein Flücheninhalt ist FQ=(b-a)(d-c).

Das Rechteck Q zerlegen wir in Tei Irechtecke. wie es die Fig. 7.1 [ zeigt. Das heißt wir wählen eine Zerlegung Zx = Uxo.xl].···.fX"-I.Xl'll

von

[a.bl

von

[c,dJ,

und eine Zcrlegung Zy=IlYo.YtJ, ... ,b''1-1'Y'IJ} und bilden daraus die Teilrechtecke lXi_I.

xi! x IYk-l.yk!

(7.12)

522

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

/a

d. y,

a,

a,

a,

y, y,

--- am

y.

a·

KO

"

"

.

. . . . . ..

Fig. 7.11: Zerlegung eines Rechlecks fur alle i = 1. ... , p und k = 1, ... , q. Diese Teilreehtede numerieren wir (zeilenweise) von I bis m = pq durch und nennen sie QI, Q2, ... , Q",. Die Menge 2 = {Ql, Q2, ... , Q",l der Teilreehtecke nennt man eine Zerleguilg von Q. Der maximale Durchmesser der Qi heißt die Feinheit der Zerlegung Z. Je kleiner die Feinheit. desto [einer die Zerlegung. Hierauf gestützt, schlagen wir heimlich Definition 4.1 in Abschn. 4.1.1 nach und übertragen sie analog auf das Zweidimensionale: Definition 7.1: Es sei [eine reelle beschränkte Funktion auf einem Rechteck Q. (I) 2 = {QI. Q2 ..... Q",)

sei eine beliebige Zerlegung von Q in Teilrechtecke Qi. Die Flächeninhalte der Rechtecke werden mit FQ bzw. FQj bezeichnet. M;:= sup [(x), .reQ;

(11) Mit

lIli:=

inf [<x)

.r€Qj

(s. Fig. 7.12)

bildet man m

51(2) :=

L

M; FQ;,

genannt OberslImme von [ bezüglich Z,

FQ;.

genannt UnterSlIl1Ime von [ bezüglich Z

;=1 m

SI(2) :=

L

111 i

;=1

uod

7 j := i~f 5/(2) . LI := SUpSj(Z). Z

genannt Oberilllegral von [ auf Q, genannt Ull/erinregral von [auf Q.

7.1 Integration bei zwei Variablen

523

Infimum und Supremum werden dabei bezüglich sämtlicher denkbarer Zerlegungen Z von Q gebildet. (111) Stimmen Ober- und Unterintegral von f auf Q überein, so heißt I integrierbar auf Q. In diesem Falle heißt der gemeinsame Wert II=: LI das /nfegrall'o/l I al/I Q, beschrieben durch

!!

f(x.y)dxdy.

Q

y

, Fig. 7.12: Zum Riclllanilschcn Integral

Bemerkung: (a) Bei dieser Definition mache man sich klar. daß jede Obersumme von I ::: jeder Untersumme von I ist. Man überlegt sich dies ganz analog wie im eindimensionalen Fall. Es gilt somit stets II ::: LI' (b) Stall »integrierbar« sagt man auch ausführlicher ,)Riemann-integrierbar« zu Ehren von Bernhard Riemann, auf den diese Definition zurückgeht. Wie schon erwähnt, sind auch folgende Schreibweisen rur das Integral üblich:

! [(x.Y)dXdY~! [(X,Y)dF~! [dF~! Q

Q

Ist nun der Definitionsbereich von B C ]R2, geht man so vor:

Q

[(x)dx

(milx~[;']>

(7.13)

Q

I kein Rechteck, sondern eine beliebige kompakte Menge

524

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

Definition 7.2: Es sei f : B --... IR beschränkt und B C IR2 kompakl. Ferner sei Q 0 das kleinste achsenparallele Rechteck in JR2, das B umfaßt (s. Fig. 7.(3). f wird auf QB zu einer Funktion erweitert durch Nullsetzen außerhalb von B.

r

['(xl

~ J[(x),

10 ,

fLirx E B

(7.14)

ftirx E Q/J,X ~ B.

f heißt illlegrierbarauf B, wenn f integrierbar auf Qo ist; man setzt

ff

[(x,y)dxd,,=

ff

(7.15)

['(x,y)dxdy.

Q,

8

Schreibweisen, analog zu (7.13), sind auch hier üblich. Mit dem beschriebenen Imegralbegriff können wir den Fliidwl/il/Jwlt einer ebenen Punktmenge B exakt definieren und berechnen. Die Idee dabei ist. daß ein dreidimensionaler Körper der Höhe I, wie in Fig. 7.14 skizziert, einen Rauminhalt besitzt. der zahlenmäßig gleich ist dem Flächeninhalt F /J seiner Grundfläche B, also F B =

J! "

I dx dy. Das fUhrt uns zur

, y

y

• Fig. 7.13: Kleinstes Rechteck um B

• Fig. 7.14: Zum Flächeninhall

Definition 7.3: Eine kompakte Menge B C JR2 heißt (JordaIl 3)-meßbar, wenn das Integral

ff

Idxd)'

8

existiert. Der Wert des Integrals ist der Flächeninhalt FB der Menge B.

(7.16)

7.1 Integration bei zwei Variablen

525

Die I im obigen Integral (7.16) läßt man auch weg, d.h. man schreibt

FR =

ff

(7.17)

dxdy.

"

Ein Kompaktum aus

]R2

mit Flächeninhalt 0 nennt man kurz eine NlIllmellge.

Satz 7.1: Eine kompakte Menge B ist.

C ]R2

ist genau dann meßbar, wenn ihr Rand eine Nullmenge

Beweis: Obcrsumme 51 (Z) und Unlersumme SI (Z) zu Z (bezüglich Q8) unterscheiden sich nur in Gliedern. die zu solchen Rechtecken Qi gehören. die den Rand fJB schneiden. Das heißt es ist 51(Z)-SI(Z}=

L

FQ;.

Q;(lilBf-Vl

Die rechte Summe ist eine Obersumme der Funktion fex) == I auf dem Rande aB. fJB ist genau dann eine Nullmenge. wenn diese Summe beliebig klein wird (rur genügend feine Zerlegungen Z = I Q I ....• Q", j), d.h. daß aueh die linke Seite beliebig klein wird, d.h. daß das Integral (7.l6) existien. d.h. daß auch B meßbar ist. 0 Nach dcm Satz ist jeder Norll/albereich D = { [;]

Ia :::: x :::: b. g(x) :::: y :::: h(X)} (g, "

stetig) meßbar, denn sein Rand. bestehend aus den Graphen von g und h sowie evtl. zweier senkrechter Strecken ist sicherlich eine Nullmenge. Die folgenden drei Sätze bilden das theoretische Fundament der zweidimensionalen Integration.

7.1.3

Grundlegende Sätze

Satz 7.2: Jede stetige reell wellige Funktion auf einer meßbaren kompakten Menge Bist integrierbar. Beweis: QB _ IR definiert Es sei QB das kleinste achsenparallele Rechteck, daß B umfaßt und durch (7.14). f ist gleichmäßig stetig, da IJ kompakt ist (Satz 6.5, Abschn. 6.2.3). Folglich gibt es zu beliebigem e > 0 ein 8 > 0 mit

r:

3 Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922). französischer Malhemmikcr

526

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

2

Wählt man nun eine Zerlegung gilt

=

I QI, .. , , Qm I

von Q B, deren Feinheil kleiner als ö ist, so

wobei Qi ein beliebiges Teilrechteck der Zerlegung 2 ist. Damit gilt fLir die Differenz der Oberund Untersulllme von j bezüglich 2 (vgL Def. 7,1):

'"

5/(2) -s/(2) = L(M; -mi)FQ..

=>

;=1

L

5/(2)-5/(2)= L(M;-III;)FQ,+ Q,cB

~

L

eFQ,

QiCB

L

+

(M;-II/;)FQi

Q.. nilB;o"11

CFQ, ~ eFB

Qinil8;o"fl

+C

L

FQ"

Q .. naB;o"fl

wobei C = sup j"(x) - inf rex) ist. Die rechts stehende Summe wird bei genügend feiner Q8

QB

Zerlegung beliebig klein. da iJB eine Nullmenge ist. Das Glied eF8 wird ebenfalls beliebig klein, wenn man E: genügend klein wählt. Damit unlerschreitet S/(2) - s/(2) jede noch so kleine positive Zahl, wenn man 2 nur genügend fein wähl!. Das heißt j ist inlegrierbar auf Bn Satz 7.3: (Bereichsilltegmle als Doppe/integrale) Es sei auf dem Quader Q = [a, b] x [c, dl. Existieren die Integrale

f, f

f :Q

-+ IR eine integrierbare Funktion

d

F(x):=

j(x,y)dy

fLir alle x e [a.b],

j(x,y)dx

furalleyelc,dJ,

und

b

G(y):=

" so folgt

ff f(x,y)dF~ f f f(x,y)dydx~ f f b

Q

"

d

d

"

c

b

f(x,y)dxdy,

(7,18)

"

Bemerkung: Die Vertauschung der Integmtionsreillelljolge in (7.18) wird auch als Satz bil/l~ (fur Riemannintegrale) bezeichnet. 4 Guido Fubini (1879-1943). itnlicnischcr

M,Hhcnm(i~cr

VOll

Fu-

7.1 Integration bei zwei Variablen

Beweis: Wir setzen zur Abkürzung 1 := Zu jedem e >

Jf

f

(x. y) d F.

Q

ogibt es eilleZerlegullg Z =

Sj(Z) > 1-10

und

IQI ..... Qml von Q mit

Sj(Z) < 1 +10. 5

Die Zerlegung Z wird durch zwei Zerlegungen

a = Xo < XI < ... < x" = b.

527

(7.19) Z~

und Zy mit den Teilungspunklen

c =)"0< Yl < .. _ < Yq = d

erzeugt. Wir wollen die Teilrechtecke von Z daher mit Qik:= [Xi_i.x;1 x [Yk-I.Ykl.

i = I. .... p. k = I. .... q

bezeichnen und die Suprema und Intima darauf mit Mik = sup f(x).

lII;k

=

XEQ,l

inf f(x).

XEQ,l

Nun beginnt der eigentliche Beweis: Für alle gilt

Y E [Yk-l.}'k I

und ein beliebiges

Si E [Xi_I. Xi

I

nach Integration über IYk-l. Yk J also

f f(~ioy)dy::,:: )"t

lI1ik(Yk - Yk-l)::'::

MidYk - Yk-I).

J't-l

Multiplikation mit (x; - Xi_I) und Summation über i und k liefert

f

d

Mit F(x) =

<

f(x. y) dy und (7.19) folgt

,

1-10 < LF(s;)(x; -Xi-I) < 1 +e.

(7.21)

i=l

5 Es gibl zweifellos Zcrlegungen 2 I. 22 \"on Q ll1it S /(Z 1) > I-li und S/(22) < I + Ii. Man wähle nun als 2 die »gemeinsame Verfeinerung~ \"on 2 I und 22_ bestehend aUS allen Schnillmengen der Reehtecke aus 2 I und 22' Für Z gill dann (1.19).

528

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

Da die

E

~j

[Xj_l, Xi

I frei gewählt werden können, kommt die mittlere Summe der Obersumme

SF(Zor) wie auch der Untersumme SF(Zor) beliebig nahe, wenn man die ~i geeignet wählt. Damit

erhält man aus (7.21)

J b

Weil

f:

> 0 beliebig ist, folgt I =

F(x)dx.

"

J d

Analog ~ durch Rol1clltausch von X und y -

zeigt man I =

G(y)dy. Damit ist der Satz

o

bewiesen. Daraus ergibt sich unmittelbar der elllscheidende Sarzftir die praklisclte Berechnung:

Satz 7.4: (Berechl/lmg

~'on

Bereichsilltegralen zweier Variabler) Ist! : B --+ IR sietig auf dem

Normalbereich B = {

[~] Ia .::: x .::: b.

8(X) .::: Y .::: h(X)} ,

g, h stetig,

(7.22)

so folgt

ff I(x.)')dxdy~ f f

b [('(')

"

H

I(x,y)dy

]

dx.

(7.23)

!I(or)

(Die Klammer um das inncre Intcgral, die hier zur Verdeutlichung gesetzt wurde, läßt man üblicherweise weg.) Beweis: Mit r(x) = !(x) fur x E Bund r(x) = 0 fur x E QB\B
ff I(x,y)dF~ ff 1'(x.y)dF~ J[1 B

"

QB

~ J["(Xl "

1'(X,Y)dY] dx

('

TI(x.)')dY] dx.

o

g(x)

Dies ist die exakte Begründung der im Abschn. 7.1.1 anschaulich erläutelten Bercichsintegrale.

7.1 Integration bei zwei Variablen

529

Der Ffächellinfwfl F Beines Normalbereiches 8, wie in (7.22) angegeben, ergibt sich nun aus

11dydx~ b

FH~

I'

"(xl

g(x)

b

(7.24)

1(1'(X)-8(X»dX. 0

y

, -,

0

Fig. 7.15: Zu Beispiel 7.6 Beispiel 7.6: Der Flächeninhalt der schraffierten Fläche in Fig. 7.15 zwischen den beiden Parabclbögen h(x) = 2-x 1 undg(x)=x 1 fLjr-l.::;x.::; I iSlgleich

, F = 1«(2 _x2)~x2)dx

,

= 2

-1

1(1 ~x2)dx

=

~.

-I

Weitere Eigenschaften des Bereichsilltegrals:

Satz 7.5:

(a) Es seien fund g integrierbarc Funktionen auf dem KompakIUm 8 ~ lR 2. Dann sind auch f + g und cf (c reell) integrierbar auf 8, und es gilt:

11(f+g)dF~

II B

cfdF=c

11

II

fdF+

B

fdF

11

gdF

(7.25)

B

ftirjedesreellec.

(7.26)

B

(b) Es sei f auf dem Kompaktum 8 definiert. 8 sei zerlegt in kompakle Teilbereiche 81, 82, . '" 8 111 , (d.h. 8 = 81 U 82 U , .. U 8", und Bi n Bk = 0 fur i i= k.) Ist

530

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

I auf jedem Bi integrierbar, so auch auf B, und es gilt

JJ fdF~ JJ 8

fdF+

81

JJ

fdF+ ... +

82

JJ

(7.27)

fdF.

8",

Die einfachen Beweise können dem Leser überlassen bleiben. (Zum Beweis von (7.27) ist anzumerken, daß man zu jedem Bi eine Funktion li erkliiren kann mit li (x) = I (x) auf Bi und li(X) = 0 sonst. Damit ist I = II + h + ... + Im auf B, und Regel (7.27) folgt sofon aus (7.25».

Satz 7.6:

(Milfe!II't:(lsalzjiir Bereicllsill/egrale) Es sei f integrierbar auf dem meßbaren Kompaktum B :; ]R2. FIJ sei der Flächeninhall von B. Dann folgt mit 1/1 = inf I(x), H

M = sup I(x): H

1/1

!!

FIJ .:::

f

(7.28)

dF .::: M F 8.

8

Ist B überdies wegweise zusammenhängend lind Bmit

I stetig, so existien ein Punkt Xo

JJ fdF~FB·f(xo).

E

(7.29)

B

Bemerkung: 8 heißt wegweise zusammenhängend, wenn sich je zwei Punkte x I, x2 aus B durch einen Weg in B verbinden lassen. (D.h.: Es gibt eine stetige Abbildung w : [a.b] _ B mit XI = w(a), X2 = w(b). Die Abbildung w heißt ein Weg in 8. Man sagt: Der Weg verbindet XI und X2.) Beweis: (I) Mit", := inf(x), M := sup I(x) gilt 8

B

"'JJ dF~ JJ fdF~M JJ 8

wegen F8 =

!! B

Im Falle F 8

H

1/1 :::

I(x) .::: M in B, also nach Integration

dF;

8

d F ist dies gerade die Beziehung (7.28).

i= 0 folgt

m.::: ;n!! 8

IdF':::M.

(7.30)

7.1 Integration bei zwei Variablen

531

(11) Es sei B wegweise zusammenhängend. Im Falle Fe == 0 folgt (7.29) sofort aus (7.28). Im Falle Fn F 0 wähle man einen Punkt Xl aus B mit fex]) :::: 111, und einen Punkt X2 E 8 mit f(x2):= M. w : [a, b]_ B, beschrieben durch X = w(t), sei ein Weg, der XI UlldX2 verbindet. Damit nimmt f(w(l) jeden Wert zwischen m und M an,auehc:=

ff

fdF/F n . s. (7.30). Es

"

gibt somit einen Punkt W(IO):= Xo mit f(xo):= C, was zu beweisen war.

0

y

B

o

0,5

,

2

Fig. 7.16: Zu Übung 7.6

Übung 7,6*: Berechne

ff

(e"

+ sin y) dr dy

8

fUr den in Fig. 7.16 skizzierten Bereich B.

Übung 7.7: Berechne

fJ "

'x)'md)'

CO,

B~

I[: :] IO~x ~

I, g(x)

~)' ~h(')l

mit g(x) = x 2, h(x) = 2 - .r. Skizziere B!

7,1.4

Ricmannsche Summcn

Es sei 8 ein meßbares Kompaktum aus 1R2, das in meßbare wegzusammenhängende Kompakta Ll 81, Ll 82, ... , LlB", zerlegt ist, wie es Z.B. die Fig. 7.17 zeigt. (B:=

fliri Fk). Die Menge

ULlBi, Ll Bi n LlBt :=

(1)

;=1

Z:= {Ll81, Ll/h, .... LlB",} heißt eine allgemeine Zerleglillg von B. Der maximale Durchmesser der LlB; heißt die Feillheit IZI der Zerlegung Z.

532

7 Inlegraln:chnung mchrcrer rceller Variabler B

Fig. 7.17: Allgcmcine Zerlegung Ist

J eine stetige reelle Funktion auf H, so wird die Summe R ~

'" I: f(x,)F"H,

(7.31)

;=1

1/ J

mit beliebigem Xi E ..1 Bi als eine Riemallmclle Summe zu

rur das Integral

Z bezeichne!.

Sie wird als Näherung

dF angesehen, die umso besser ist, je kleiner die Feinheit von

Z ist. Daß

B

diese Vorstellung richtig ist, wird durch folgenden Satz ausgedrückt.

Satz 7.7: (iibe,. Riemflllllsche SI/millen) Es sei

J:

B --+

R stetig auf dem meßbaren Kompaktum

B ~ 1R2. ZJ, Z2, Z3, ... sei eine Folge allgemeinerZerlegungen von B, wobei die Fol-

ge der Feinheiten IZk I mit k --+ 00 gegen Null strebt. Wählt man zu jeder Zerlegung Zk eitle Riemannsche Summe Rb so folgt

Rk --+

/1

JdF

ftir

k --+ 00.

H

8eweis: Da J gleichmäßig stetig auf B ist, gibt es zu beliebigem Zk = I..1Hf, ..1B~, ... , ..1B~'11 mit k > ko folgt

IJ{x) - J(i)1 <

f;

ftirallex.x E ..1Bf.

Ferner gilt nach dem Millelwertsatz (7.29):

f;

> 0 ein ko > 0, so daß fLjr alle

7.1 Integration bei zwei Variablen

533

Damit folgt

R,-!! fdF 8

~

m

L 1!(Xik) i=1

~ !(Zi)1

Daraus folgt die Behauptung des Salzes.

m

Ft.6:

~ LEF,H~, = EF8 fur k > ko. i=1

o

Bemerkung: Beim Lösen technischer oder naturwissenschaftlicher Probleme stößt man immer wieder auf Ansätze. bei denen NalUrvorgänge zuniichst durch Riemannsche Summen angenähert beschrieben werden. Von den Riemannschen Summen geht man dann über verfeinerte Zcrlegungen zu Integralen über. Für diese »mathematischen Modellierungen« der Natur liefert der vorstehende Satz die Rechtfertigung. Erste Beispiele dazu gibt der folgende Abschnitt an. 7.1.5

Anwendungen

Schwerpunkte: Den Schwerpunkt eines Systems von endlich vielen Massenpunkten berechnet man folgendermaßen: Haben die Massenpunkte die Massen 11I1. 1/12, ..., 11I" und sind die Punkte XI, X2, x) . ... , x" ihre Orte im Raum IR), so ist der SchwerfJlmkt dieses Systems durch (7.32)

gegeben. Dabei ist M =

L" j=1

11I;

die Gesamtmasse des Systems. (Statt SclnverplIllkt sagt man

auch MassenllliTlelfJlIllkt). Bei einem realen Körper (mit nichtverschwindendem Volumen) knüpft man an die Massenpunktsysteme und damit an Formel (7.32) an. Man denkt sich nämlich den Körper in kleine Teilstücke zerlegt die man wie Massenpunkte behandelt. d.h. man wendet auf sie die Formel (7.32) an. Damit bekommt man eine Näherung ftir den Schwerpunkt des Körpers. Läßt man den maximalen Durchmesser der Teile gegen Null gehen. so erhält man als Grenzfall den Schwerpunkt des Körpers. Flächenschwerpunkte: Diese Idee wollen wir zunächst auf dünne ebene Platten anwenden. Wir idealisieren sie zu ebenen Flächensiücken der Dicke Null. Ein solches mit Masse belegtes Flächensiück B ist in Fig. 7.18 skizziert. B sei meßbar und kompakt. Wir denken uns B in meßbare, wegweise zusammenhängende Teile dBi (i = I, ... , n) zerlegt. etwa durch Rasterung, s. Fig. 7.18. Aus jedem dB; wählen wir ein Xi aus. Ist durch p(x) die Fliichendichte der Masse auf ß gegeben (gemessen in gjcm 2, so können wir p(x) auf jedem Teilstück dß i als nahezu konstant annehmen. Die Masse von dßi ist damit dWi::::::: p(xj)F"'lJ;' ()

534

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler y

B

I

Fig. 7.18: Zum Flaehenschwerpunkl

Mit der Gesamtmasse M unserer Platte erhalten wir den Schwerpunkt Xs der Platte näherungsweise aus (7.32):

I tI 1 " x s ;;"; M L:>~'1/I1iXi;;"; M LP(Xi)XjFdB; ;=1

;=1

Bei immer feiner werdender Rasterung, wobei der maximale Durchmesser der .1Bi gegen Null gehen soll. erhalten wir schließlich ftir den Schwerpullkl

Xs

=

~!! p(x)xdF.

(7.33)

H

Die Gleichung besteht aus zwei Koordinatengleichungen. Das Integral ist dabei einzeln flir jede Koordinate zu bilden. Die Masse M selbst hiingt mit p(x) durch M =

!!

p(x)dF

8

zusammen, wie sich aus einer analogen Überlegung ergibt. Im Falle kOl1stalller Flächendiellle folgt daher M =

fJQ!

fJQ

dF = fJQFn, und damit ftir den Selm'er/JUllkt die Formel

8

xS=;n!!XdF. B

Mit X s =

[~.:]. x =

[;:]. also in Koordinaten:

6 F,jBi = Flächeninhalt VOll .1 B - I.

(7.34)

7.1 Integration bei zwei Variablen

Xs

=

;nIIXdXdY,

535

(7.35)

«

ist Bein Normalbereich: B

~

![:,] I ~ a

x

~ b,

g(x)

~ x ~ [(x)

I

mit stetigen Funktionen g, [, so folgt

Xs

=

"

Ys=

(!"') (!"')

b ;HIb 1 xdy dx= ;H!X(f(X)-8(X»dx, '(.<)

"

b ;81b 1 ydy dX=2~81(f2(X)-82(X»dX. "

(7,36)

'(.<)

(7,37)

"

Mit diesen Formeln lassen sich die Flächcnschwcrpunktc oft leicht berechnen. Dazu ein Beispiel. y

, -,

0

Fig. 7.19: Zum Schwerpunkt einer Halbkreisnäche

Beispiel 7.7: (Schwerpunkt einer halbkreisförmigen Plane) Der Halbkreis H liege so, wie in Fig. 7.19 skizziert:

H ist ein Normalbereich. Die Flächendichte sei konstant. Nach (7.36) und (7.37) folgt damit rUf die Komponenten des Schwerpunktes:

-,

536

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

da der Integrand eine ungerade Funktion ist. und

Kurvenschwerpunkte: Eine glalle Kun>e 7 in der Ebene sei durch X=8(1),

y=f(l),

(a::;l::;c)

gegeben. Cf. g sind dabei stetig differenzierbare Funktionen auf la, bJ) und es ist 8(I)z+ j(t)z

I-

oflir alle 1 E ra, bl.) Die Kurve stelle einen dünnen Draht, ein dünnes Seil oder ähnliches dar. p sei die konstante Massen-Kurvendichte, also p = m/L, wobei o.ä.) ist und L seine Länge. Es sei durch

a=

TO < /1 < TZ < ... < T"

11I

die Masse des Drahtes (Seiles

= b

eine äquidistante Zerlegung von la, bl gegeben, mit .11 =

li ~Ii-I

i = L ...

fliralle

,11.

Wirschreibenmitxi =g(ti),Yi = f(ti),entsprechcnd d.xi =Xi -Xi_I, d.Yi =Yi - Yi-I und

Jd..r} +

d.Si =

d.y} .

d.Si ist näherungsweise die Länge des Kurvenstückes zu des Drahtes (oder Seiles) nach (7.32) ungefahr: I

"

I"

d.si

L

d.T

ITi-l, Tj

I. Damit gilt flirden Sclzwerplillkl

xs ;:::; - LXiP· d.Si = - L x ; - " , . 11I

i=1

i=l

nach Grenzübergang entsprechend der anfangs skizzierten Idee also:

J + " " ~ JyJi- + .v b

Xs

=

Ys =

~

X/i: 2

2

pdl,

·lX~gU).

mIt

y ~ J(n.

(7.38)

2dl ,

" Die Klln'el/lünge L errechnet man dabei (n. BurglHaf/Wil1c (Vektoranalysis) [7], Abschn. 1.2.1) aus 7 Die ausflihrliehc Kur",cnlhcoric nebsll'ielcn Beispielen findel der Leser in BurglHaflWilic (Vektoranalysis) 171, Absehn. I. Ableitungen naeh I werden hier mit einem Punkl markien. z.B. g(l).

7.1 Integration bei zwei Variablen

JJx

537

b

L=

2 +jt2 dl.

(7.39)

" Im Spezialfall x

= I, Y = f(1) können wir einfach I durch x ersetzen:

y=f(x).

Wir haben es hier mit einer Kurve zu tun, die einfach durch den FunktionsgrapheIl von ist. In diesem Falle ergibt sich der Kurwllschwel]J11llkt aus (7.38) folgendermaßen:

JxJI + " ±JyJI +

f

gegeben

b

Xs =

~

(y')2dr.

Ys =

(7.40)

mit Y = fex).

b

(y')2dx.

"

!J + b

Dabei ist die Kurvenlänge L =

I

(y')2 dx .

"

Flächenmomente: In der Festigkeitslehre benötigt man zur Behandlung von Biegungen Flächenmomellle von Querschnittsnächen. Ist 8 eine solche Querschniusnäche. die in einer x-y-Ebene liegt (s. Fig. 7.20), so verwendet man folgende Fliicltenmomente (die auch Momente zweiter Ordnung heißen): Axiales Flächenmoment bezüglich der .v-Achse: Axiales Flächenmoment bezüglich der x-Achse: Gemischtes Flächenmornent bezüglich der x- und y-Achse: Polares Flächellmomellt bezüglich des Koordinatenursprungs:

Iy =

!!

x

2

d.rdy,

B

I~=!! y 2dxdy. B

I~y=

!!xYdrdY. !!<x 2+ B

Ip =

l)dxdy

8

B

Das gemischte Fliichenmoment heißt auch Devimiommolllelll oder Zentrifugalmomenl. Das polare Flächenmoment (verwendbar bei Torsionsuntcrsuchungen) läßt sich durch die axialen Flä8 5lau

X

ist

in der Technik hier aueh der Buchstalx: z hiiulig ..nzUlrcffen.

538

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

Fig. 7.20: Zum Fläehenmomenl

ehen momente ausdrücken:

Beispiel 7.8: (Axiales FfiichenmQmelll Iy eines gleichseitigen Dreiecks) Aus Symmetriegründen brauchen wir nur über die rechte Dreieckshälfte B zu integrieren (Fig. 7.21) und das Integral doppelt zu nehmen:

"/2( (a_2.<)J3/2)

l y =2!/x 2drd Y =2/ B

0

/

0

2

x dy

a/2 dr=J3 / x2(a~2x)dx= -;:(/4. 0

•

y

B

•2

•2

Fig. 7.21: Zum axialen Flächenmoment eines gleichseitigen Dreiecks

Fig. 7.22: Zum polaren Flächenmomem einer Ellipse

Beispiel 7.9: (Polares Fliichwmomell/ Ir einer Ellipsenjliiche bezüglich des Miuelpullktes) Die Ellipse sei

durch x2 a2

y2

+ b2

= I

7.1 Integration bei zwei Variablen

539

beschrieben. Aus Symmetriegründen braucht das polare Flächenmoment nur von der Viertclellipsenl1äche B berechnet zu werden (s. Fig. 7.22) und dieses mit4 multipliziert zu werden. Also insgesamt

/p

~4 ff(X 2+ y')dxdy ~4 J['J]"/"'(X 2+ y')dY] B

0

d,

0

2 1

=

b3 ( 1- aX2 )3 2] dx 4/"[,.eb ( 1- aX2)"2 +3 2 o

Man substituiert x :::: a sin f und erhält

"/' Ip = 40b /

[0 2 sin 2 r cos t

o 11/2

= 40b /

[0 2 cos 2

o

2

+ b3 2

t + (b3

3 cos r] cos r dr

_ ( 2) cos4

t] dr

2

b ) 3. 3 =a bn+ab ( 3- a2 4" ab7f

=>

2

(s. Abschn. 4.2.3. (4.81))

~

I p = 4(0 +b·).

(7.41)

Für den Spezialfall a = b =: r erhaltcn wir daraus das po/are Fläc"enmoment einer Kreissclteibe beziiglich des Mirrelpunkres:

Ip =

•

2'r

4

(7.42)

Durch Subtraktion zweier Flächcnmomente dieser Art gewinnt man daraus das polare Fliichenmoment eines ringförmigen Roltrqllersclllliues bezüglich des Mittelpunktes (s. Fig. 7.23): (7.43)

(R = äußerer Radius, r = innerer Radius des Kreislinges).

Übung 7.8: Zeige. daß der Schwerpunkt einer dreieckigen ebenen Plane mit konstanter Flächendichte Po der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist.

540

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

y

Fig. 7.23: Zum polaren Flächenmoment eines Ringes

Übung 7.9: Berechne das polare Flächenmoment eines regelmäßigen Sechsecks bezüglich seines Miuelpunktes (0 = Seiten länge des Sechseckes).

Übung 7.10: Berechne das axiale Flächenmoment I y einer Kreisscheibe mit Radius r > O. Dabei verlaufe die y-Achse durch den Mittelpunkt des Kreises.

7.1.6

Krummlinige Koordinaten, Transformationen, Funktionaldeterminanten

Das wichtigste Beispiel rur krummlinige Koordinaten in der Ebene sind die uns geläufigen Polarkoordillalell. Dabei wird bekanntlich jeder Punkt x

:=

[~t] der Ebene durch seinen Abstand r vorn Koordi-

natellursprung und den Winkel rp zwischen der x-Achse und der Strecke von 0 bis x beschrieben. Es gilt

x=rcosrp.

r=/x

y = rSlllrp.

rp =- arc(x, y).

2 +y2.

9

(7.44)

wobei r ::: 0 und ~Jr < rp .::: Jr ist. Die Linien r = konstant sind konzentrische Kreise um den Punkt 0, die Linien rp = konstant dagegen Geraden durch O. Einige sind in Fig. 7.24 skizzien. Sie bilden ein kntmmliniges Gitter, das sich über die Ebene erstreckt. Aus diesem Grunde spricht man hier von krummlinigen Koordinaten. Lassen wir den Punkt 0 einmal außer Acht, so beschreiben die Gleichungen x = r cosrp 9 D.tbci ist arc(x. y) = arclan(y!x).

I

arccos(.tfr). -arccos(xfr) .

rur y

==.

o.

niry
s. Abschn. 2.3.4. Im Falle x > 0 gill auch arc(x. y) =

7.1 Integration bei zwei Variablen

541

und y = r sin l{J eine eilleilldelllige Abbildung des Streifens G'

~ 1[~] I' > O.

-n < •

~

"I

(s. Fig. 7.25) der (r.l{J)-Ebelle auf die x-y-Ebene ohne O. Hieran orientieren wir uns im Folgenden. y

ql_

konstant r .. konstant

Fig. 7.24: Polarkoordinaten als typische »krummlinige« Koordinaten

•

Fig. 7.25: Bereich G* rur die Punkte [;]

Allgemeiner Fall krummliniger Koordinaten in der Ebene Durch

x = g(lI. u) y=II(II.u)

sei eine stetig differenzierbare Abbildung von G* in JR2 gegeben. Mit den Abkürzungen T(G')~,

G.

beschreiben wir sie kÜr7..er durch

x = T(Il), oder: T : G* _

11

E

G*.

G.

Die Ableilllllg.l"llwlrix von T -

T'

~

[ g" h"

auch Fllllkliollllimatrix genannt- hat die Form

542

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

wobei g", gv. 11", h" nante lO

wie üblich -die partiellen Ableitungen von hund g sind. Ihre Determi-

(7.45)

det T' = [8"

h"

heißt die F/lnkriollaldelermillall/e von T. Mit Blick auf die Funktionsgleichungen x = g(u, v), )' = h(u. v) bezeichnet man sie auch durch J(x, y) J(u, v) .

Diese Schreibweise ist in Naturwissenschaft und Technik beliebt. da ihre Symbolik an die partiellen Ableitungen erinnert, die in ihr stecken. Für das Folgende setzen wir VOnlUS (a) G und C* seien Gebiete, d.h. offene und zusmnmenhängende 11 Mengen (in ]R2). (b) T : C* -+ C sei umkehrbar eindeutig und stetig differenzierbar. (c) Die Funktionaldeterminante von T ist überall in G* von Null verschieden: det T'(u)

t- 0

fur alle

11

E C*.

Da C* zusammenhängend ist, folgt, daß det T'(/I) entweder positiv in ganz C* ist. oder negativ in ganz G*. Eine Abbildung T : G* ...... C dieser Art heißt eine Trall:>jorll/alioll von C* auf C. In Fig. 7.26 ist eine Transformation T : C* ...... C(u E C*, XE C) bildlich dargestellt. Die konstant und v konstant sind in der u-v-Ebene achsenparallele Geraden; in der Linien /I x·y-Ebclle ergeben sie ein krummliniges Netz, das den Bildbcreich G überLieht. Zur Veranselwu/idlllllg der FUllktiollafdetermillante betrachten wir das schraffierte Rechteck LlC* in Fig. 7.26a. Seine Kantcnliingen seicn .1/1 und Llv, und der linkc unterc Eckpunkt habe die Koordinaten (110, vo). Die vier Eckpunkte des Rechtccks LlG* sind damit

=

1l0=

vo ' ["0]

=

EIl

=

[

"0

+ ",,] "0

,

/12

=

[ VO

"0 ] + Llv

.

1I3

=

[

"0 "0

+ ",,]

+" "

Durch T wird unscr Rechtcck .1C* auf den schrafficrtcn Bereich .1C in Fig. 7.26b abgebildct . .1C hat nahezu Parallelogramm-Gestalt, wenn .111 und Llv klcin genug sind. Dieses »Parallelogramm« wird aufgespannt von den Vektoren

tO Unter einer [)elcnninanlc einer 2 x 2-Matrix A = [:.

:;] verstehl man die Zahl deI A := (1(1 - be.

II Eine offene Menge heißI zusammenhängend.....·enn sie sieh nicht in zwei offene Mengen zerlegen läßt.

7.1 Integration bei zwei Variablen

543

o

v

0"

"-

v,

(

\

......

,

.0'

.v

"'

.v

"'

./

,

v

Fig. 7.26: Zur Transformation T : C· ...,. G. Die lineare Algebra lehrt, daß der Flächeninhalt dieses Parallelogramms gleich dem Absolutbetrag der Determinante det(tl7'l, tl1' 2) ist, deren Spalten die Vektoren tl1' 1 und tl7'2 sind. Für den Flächeninhalt tlF des Bereiches tlC folgt damit tJ.F~ldet(tJ.1'I.tJ.1'ÜI~

aT aT )1 tJ./ItJ.v. det -(uo),-(vo) lJv 1 ( au

(7.46)

Die rechtsstehende Determinante ist die Funktionaldeterminallte von 1', also (7.47)

tJ.F ~ Idet 1"(uo)ltllltlv

",llJ(X,y)1

J(II, v) uo

tllltJ.v. 12

(7.48)

Dividieren wir durch den Flächeninhalt t!JF· = tlutlu des Rechteckes tlC· im Urbildbereich, so folgt !>F tlP

~

1 a(x.

y) 1 J(u, v) uo

(7.49)

Schließlich lassen wir den Durchmesser D(.t!JF*) := und erhalten .

D(l~"rI)--->o

!>F tlP =

J tJ.1I 2 + t!Jv 2 von tJ. F* gegen Null streben

1"(x,y)1 a(u, v)

"0 .

(7.50)

Den exakten Beweis dieser plausiblen Formel übergehen wir hier. (Die Formel folgt aus der allgemeineren Transformalionsformel Hir Integrale, s, niichster Abschnitt.) Formel (7.50) kann anschaulich so interpretiert werden: 12 Die Abh:lngigkeil von 110 wird bei
544

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

Die Funktionaldeterminante einer ebenen Transformation ist betragsmäßig das lokale Flächeninhalts-Verhältnis zwischen Bild- und Urbildnächen. 8eispiel 7.10: Die FUllktiollaldetermillallte der Transformation auf Polarkoordillatell ergibt sich aus x = r cos cp, Y = r Sill cp:

Jx

il(x, y)

J,

J(r, cp)

ily

=

J,

coscp . smcp

I

-rsincpl . , =rcos2cp+rsll1-cp=r. rcoscp

(7.51)

Wir erwähnen noch, daß die Koordinatenlinien iP = konstant und r = konstant in der x-y~Ebcne rechtwinklig zueinander stehen. Dies spiegelt sich in Tu . T" = 0 wider. Die Polarkoordinaten fallen damit unter den Begriff der orthogonalen Koonlinatell.

Komposition von Transformationen Es seien T : G* SoTfolgt

~

G und S : G -+ H zwei ebene Transformationen. Für ihre Komposition

det(SoT)'(x) = detS'(y)det T'(x).

mit

y=T(x).

(7.52)

Der Leser rechnet dies leicht explizit nach. wenn er Satz 6.9, Abschn. 6.3.3, betrachtet. d.h. (S 0 T)'(x) = S'(y)T'(x). Mit den Funktionsgleichungen

fur die Transformationen Sund T bekommt (7.52) die leicht zu merkende Gestalt O(ZI.ZÜ O(XI. X2)

~

a(ZI.Z2)

il()'!. )'2)

O(YI,)'2)

0(XI.X2)

(7.53)

Wir wenden diese Formel speziell auf die Umkehrabbildung T- 1 von T an, bei der T- 10 T = I die identische Abbildung x = I(x) ist. In obiger Gleichung (7.53) haben wir also Zi = Xi einzusetzen. Wegen

a(x,.x2)~I'

0(XI.X2)

0

01~1 I

folgt damit aus (7.51):

J("" y,) ~ 0(.~!.X2)

=-,-1=

0(XI,X2) ' O(YI. Y2)

(7.54)

7.1 Integration bei zwei Variablen

wobei links das Argument

y,] [Y2 = T(x).

545

x = [x,] einzusetzen ist und rechts das zugeordnete Argument y = X2

Übungen: Berechne die Funktionaldeterminante der folgenden Transformationen: Übung 7.11: .t

lineare Abbildung

=(II/+bV'1

a. b. c. d reelle Konstanten mit atl - bc

y=clI+dv.

f- o.

Übung 7.12: x =pcosh~cosll'l

elliptische Koordinaten

y=psinh~sinll.

(p > 0 konstant).

Skizziere die Linien

~

~.I/

= konstant und 'I = konstant.

Übung 7.13:

7.1.7

.t=~(1/2_V2)1

parabolische Koordillaten

y =/IV.

(1/2

+ v2 f- 0).

Transformationsformcl für ßcrcichsintcgrale

Analog zur Substitutionsregel bei einer Variablen gilt die im Folgenden angegebene Transjorma{ionsjorme! ftir Integrale im 1R2 (und ganz entsprechend auch im IRn .). Satz 7.8: Es sei T : G* ~ G eine Transjormation des Gebietes G* C 1R2 auf das Gebiet G C JR2. (D.h.: T ist stetig differenzierbar, umkehrbar eindeutig. und die Funktionaldeterminante det T'(u) ist fur alle 11 E G* positiv oder für alle U E G* negativ). Ferner sei 8* eine kompakte meßbare Teilmenge von G*, und j sei eine stetige reellwertige Funktion auf dem Bereich 8 = T(8*). 8 ist damit auch meßbar. und es gilt die Trall.lformatio/l.lformel

/ /

,

j(x) dx = / /

,.

(7.55)

j(T(u»1 dei T'(u)1 du.

Mit der Koordinatenschreibweise

x] [ )'

~ T(uJ ~ [8(U.

UJ]

h(lI. u)

546

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

dctT'(lI) = il(x,y) il(u. v)

erhält die Tml1sformaliol1sformel (7.53) die explizite Form

11

11

[(x, y) drdy =

B

[(g(u, v), heu, v» I J(x. y) 1 dudv,

(7.56)

il(u. v)

B'

Bemerkung: (a) Durch die Ähnlichkeit mit der Substitutionsregel bei einer Variablen läßt sich die Transformationsformel in dieser Form gut behahen: Die Zeichen dx dy werden formal zu

I

J (x, y) du dv »erweiten«.

IJ(u. v)

(b) Der Satz gilt auch, wenn det T'(u) = 0 auf einer Nullmenge N C 8· gilt oder die Eineindeutigkeit von T nur in G·\N erfullt ist. (Bei Transformation auf Polarkoordinaten brauchen wir daher den Punkt 0 nicht als Ausnahmepunkt zu betrachten.) Der exakte Beweis der Transformationsformel ist sehr umfangreich. Der daran interessiene Leser wird deswegen auf [251, Abschn. 205, S. 473 -485, verwiesen. Allerdings läßt sich der Satz anschaulich sehr gut plausibel und glaubhaft machen. Dazu betrachten wir Fig. 7.27, die die Transformation T von B· auf B veranschaulicht. B· ist durch achsenparallele Geraden in endlich viele »Maschen« L18; (k = 1.2..... 111) zerlegt. Ihre Bilder L18k := T(L1Bk> zerlegen B = T(B·), wie z.B. im rechten Bild skizzien. Mit IIk sei ein beliebig ausgewählter Punkt aus L1B; bezeichnet und mit Xk = T(ukl sein Bild in L1Bk (für alle k = I 111). Den Flächeninhalt von L1 B; nennen wir L1 Ft. den von L1Bk entsprechend L1Fk (k= 1, ,111).

•

,

B'

Fig. 7.27: Zur Trnnsformalionsformcl

Nach den Überlegungen im letzten Abschnitt (s. (7.49» gih L1Fk ~ IdctT'(lIk)IL1F:.

B

•

7.1 Integration bei zwei Variablen

547

Damit folgt für das Integral von! über 8 approximativ

11

f{x)dx '" tf(XddF,

B

k=l

: ;: t

!(T(lId)1 det T ' (lIdl.1 F; ::;:: ! ! !(T(ll))1 det T' (1l)1 du .

k=1

B

Streb1 hierbei der maximale Durchmesser der Flächenstücke .1 Fk gegen Null, so iS1 es plausi~ beI, daß rur die entstehenden Grenzwerte Gleichheit eintritt, d.h. daß die Transformationsformel dabei entsteht. Einige Beispiele sollen die Kmft der Tmnsformationsformel beleuchten.

Beispiel 7.11: (Lineore Tran-vorll/aliollell) Eine lineare Transformation der Ebene 1R2 in sich ist durch

x =allu+aI2v, y=a2I u

mit

+ a 22 v ,

011022 -a12021 1-0,

gegeben. Mit der Matrix A

~

[011 °21

,,,,] . °22

sowie x = [;,]

II

=

[~]

lautet die Transformationsgleichung kürzer x = All,

mit

dctA 1-0.

Damit folgt flir beliebige ebene Bereichsintegrale stetiger Funktionen j (nach (7.53»: ! ! j(x)dxdy = IdetAI!! j(A/I)dudv. ß

8

Für Drehungen und Spiegelungen ist Idet AI = I. Damit folgt: Bercichsintegrale sind gegen Drehungen und Spiegelungen des Koordinatenkreuzes invariant. Insbesondere gilt dies damit Hir Schwerpunkte und Trägheitsmomente von Körpern, was aus der Physik auch nicht anders zu erwarten ist. Beispiel 7.12: (zu Po/arkoordiml/en) Der Schwerpunkt einer ebenen Platte von der Form eines Kreissektors K soll bestimmt werden, s. Fig. 7.28. Die Massen-Fliichendichte Po sei konstant auf K. CJ sei der

Öffnungswinkel und R der Radius des KreisseklOrs. Die y-Komponente des Schwerpunktes von K ist aus Symmetriegründen O. Die x-Komponente.\"o des Schwerpunktes ergibt sich nach (7.33)

548

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

aus

xo= cf.-!!XdXdY. -R'

2

K

Mit der Transformation x = r COS<{J. Y = r sin <(J auf Polarkoordimlten folgt aus der Transforrnationsformel (7.54):

,

Fig. 7.28: Zum Schwerpunkt eines Krcissektol"!i

Beispiel 7.13: Der Flächeninhalt einer Ellipse

(I>O.b>O.

ist

FE

=!!

dxdy.

E

Zur bequemen Auswertung des Integrals benutzt man der Ellipse angepaßte A. t. definiert durch die Transformation

X =aAcos/.

Y = bAsill/.

(7.57)

Für A = I und 0 :::: f :::: 2Jr beschreibt dies gerade den Rand der Ellipsennächc. Die Funktionaldeterminante dazu ist [Ix

[Ix

JA Jy JA

Jr _I{lcost Jy - b sin f ar

-{lA sin 11 = {IbA . bA eos 1

7.1 Integration bei zwei Variablen

549

Die Transformationsformel (7.54) ergibt ftjr die Ellipsenfläche den Inhalt 1 211"

FE

=/ / o

I

abI.. dl dA

= ab2T! /

0

= abT! .

I.. dA

0

Entsprechend wird das Trägheitsmoment eines elliptischen Zylinders berechnet. Ja,fiir die meisten Illtegrale

!!

f(x.y)
E

auf tier Effipsfnjliic;he ist tlie Transformation auf (he Koordil/(l/ell (7.57) oder elliptische Koordinaten (s. Abschn. 7. I.6, Üb. 7.12) zweckmäßig.

Beispiel 7.14: Das Gaußsche Feltlerimegral 00

I = /

e-

x2

dx

-00

kann mit der zweidimensionalen Integrationstechnik elegant berechnet werden. (Mit Illtcgrationsmethoden einer reellen Variablen ist es analytisch nicht berechenbar!) Das Integral wird als Grenzwert I

=

!im I",

"_00

mit

I"

=!

"

e-

x2

d.\",

-"

00

geschrieben, (Der Grenzwert existiert, da

e~x2

<

e~lxl

ftjr

lxi>

ist, und /

e- I.rl dx =

-00 00

2/ e- x d.\" = 2 existiert.) Der "Pfiff« besteht darin.

I';

zu untersuchen und die Integrationsva-

o

riable einmal x und einmal y zu nennen:

I; = /

"

e-

x2

"

dr· / e-

y2

" "

dy = / / e-(x

Dies ist ein Doppelintcgral auf dem Quadrat

2

+)'Zj

drdy.

550

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

Wir vergleichen es mit den entsprechenden Integralen über den Kreisscheiben K" und K../2" um

o mit den Radien" bzw. ./2,,: Wegen K"

ff

2

e-<x +J

2

j

ff

dxdy SI; S

kw

C Q" C K../2" (s. Fig. 7.29) gilt

e-(x

2

+l) dxdy.

K.["2n

Nun werden die beiden Integrale links und rechts auf Polarkoordinaten transformiert: x = r cosI{J. y=rSIllI{J.

00

,

f

00

Fig. 7.29: Zum Fchlerintcgral

t2 e-· dx

-00

Es folgt

-

,

er rdrdop.

Eine Stammfunktion von r ~ e-

r2

r ist offenbar r .......

I

,

'2 c- r

Damit lassen sich die Doppelinte-

grale rechts und links analytisch berechnen: 2

lT(1-e-'I) S

I;;

~

S lT(l·

Rechte und linke Seitc streben mit also nach Wurzelziehen:

f

') 2

_e-~'I).

11 -+ 00

gcgen

Jr,

folglich auch I,;. Somit ergibt sich 12 =

Jr,

00

e-

x2

dr =

../ii.

-00

Diese Formel spielt insbesondere in der Wahrscheinlichkeitslehre eine wichtige Rolle.

(7.58)

7,2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen

Übung 7.14: Berechne

ff d + x2

y2 dr dy auf der Einheitskreisscheibe K C

551

a 2. An/eillmg: Transformiere

K

auf Polarkoordinaten.

Übung 7.15: Berechne das Trägheitsmoment eines elliptischen Zylinders bezüglich seiner Mittelachse. W~ih­ le dabei die Bezeichnungen aus Beisp. 7.9 in Abschll. 7.1.5. Hinweis: Benutze die Transfornmtion auf elliptische Koordinaten (7.57).

Übung 7.16: Zeige. daß der Schwerpunkt Xo einer ebenen Plane bei linearer Transfonnation x = Au rniltransformiert wird. also Xo = Auo (uo = Schwerpunkt nach Transformation).

7.2

Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen

Die Behandlung von Integralen bei drei und mehr Variablen verläuft völlig analog zu dem beschriebenen zweidimensionalcn Fall. 7.2.1

Riemannsches Integral im IR"

Die Definition von Integralen mehrerer Variabler folgt nahezu wörtlich derjenigen, die in Abschn. 7.1.2 rur zwei Variable gegeben wurdc. Sie stützt sich lediglich auf Quadcr, den Analoga zu Rechtecken im Höherdimensionllien. ",---",'

,"---

---Y

Fig. 7.30: Quader

Definition 7.4: (a) Einc Menge der Form

heißt ein I/-dimensiol/aler Quader. Dabei sind aj • . . . • a", b t ••••• b" beliebige reelle Zahlen mit {/; < b; flir alle i. Man beschreibt den Quader auch als

552

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler kartesisches Produkt von Intervallen in der Form

(7.59) (b) Die Zahl

heißt l/l/wlr odcr Volumen des Quadcrs Q. Faßt man die (li bzw. die b,. in zwci Vektoren a = [al ..... (I" JT, b = fbl ..... billT zusammcn, so ist

'Q

,~

Ib - 01

(7.60)

der Durchmesser des Quaders Q (s. Fig. 7.30). (e) Für jedes Intcrvall

[(li.

bi I in der Darstcllung

Q = fal.bll x ... x [all.b,,1

des Quaders sei eine Zerlegung Z; mit Teilungspunkten

gegeben. Daraus werden alle möglichen Teilquader der Form (I) (I) (2) (2) [Xtl_l.Xtl 1 x [xt2 _ I .Xt , I

x ... x

(,,) (,,) [Xtn_I.Xtn I

gebildet. Diese werden in irgendeiner Reihenfolge durchnumeriert und mit QI, Q2, ... , Q", bezeichnet. Die Menge Z = {QI, Q2,···. Q",I heißt eine Zerlegullg von Q.

Damit übertragen wir die Definition des (Riemann-) Integrals auf den li-dimensionalen Fall völlig entsprechend wie in Definition 7. I:

Definition 7.5: (Riemaflllsches lIlIegral im IR")

(I) Es sei

f

eine reelle beschriinktc Funktion auf eincm n-dimensionalen Quader Q.

Z = {QI ..... Q",l sei eine beliebige Zerlegung von Q in Teilquader. Die Inhalte der Teilquader Q; werden mit VQ/ bezeichnet.

7,2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen

553

(11) Mit

Mi := sup f(x),

mi := inf f(x)

(7.61 )

X'EQ;

XEQ;

bildet man S[(2) :=

L'" M; VQ;'

genannt Oberslllllllle von

f

genannt Ullfersllmme von

f bezüglich Z 13 und

bezüglich Z,

;=1

S[(Z) :=

L'"

11I; VQ;,

;=1

f

7[

:= i~f S[(Z) ,

genannt Oberillfegraf von

l.[

:= SUPS[(Z).

genannt Umerilllegral von

z

auf Q,

f

auf Q.

Infirnurn und Suprernurn werden dabei bezüglich s[imtlicher denkbarer Zcrlegungen Z von Q gebildet. (111) Stimmen Ober- und Unterintegral von f auf Q überein, so heißt f (Riemallll-)imegrierbal' auf Q. In diesem Falle heißt der gemeinsame Wert I [ = l.[ das (Riemallllsche) Imegral von f auf Q, beschrieben durch

f

f(x)dx.

Q

Auch andere Schreibweisen, wie

J!.,.!

f(Xl,X2"

.. ,x,,)dx] dt2 ... dr" =

-----.Q

J

fdV

(7.62)

Q

usw, sind üblich. Für beliebige kompakte Integrationsbcreiche von f wird das Integral auf den Quader-Fall wie folgt zurückgeführt (völlig analog zu Ocr. 7.2 in Abschn. 7.1.2). Definition 7.6: Es sei f : B -+ IR beschränkt und B C IR" kompakt. Ferner sei QB der kleinste Quader in R", der B urnfaßt. f wird auf Q 8 erweitert zu

j'(x)

~ If(X).

13 Jede Obersummc "on

o.

rtirxEB,

rur XE

QB \ B.

f ist :::: jedcr Umcrsumme "on f. wie man sich leicht überlegt.

554

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

f

heißt integrierbar auf 8, wenn

f

f(x)dx:=

f

r

integrierbar ist auf QB und man setzt

j*(x)dx.

Q,

H

Auch hier sind andere Schreibweisen. wie in Abschn. 7.1.2. geläufig. Insbesondere im Falle dreier Variabler schreibt man die Variablen gern als x. y, z. Integrale in drei Variablen werden daher vielfach in der Form

III

f(x.y.,)d.
B

beschrieben. Definition 7.7: (Inhalt einer Menge. auch Volumen genannt) Eine kompaktc Mengc 8 C IR" heißt (Joroan-) meßbar, wenn das Integral

I

I dx

(7.63)

H

existiert. Sein Wert wird Inhalt (Volumen) VB von B genannt. Die I im Integral (7.63) wird auch weggelassen. Im Falle dreier Variabler spricht man vom Rauminhalt. Ein Kompaktum mit Inhalt 0 nennt man eine Mdlmenge, und man gewinnt wie im IR2 den Satz: Satz 7.9: Eine kompakte Menge 8 C IR" ist genau dann meßbar, wenn ihr Rand eine Nullmenge ist. Ganz entsprechend werden die Sät7.e 7.2 bis 7.7 auf den IR" übertragen, wobei die gleichen Beweisideen wie im IR2 verwendet werden. Darum wird auf die Beweise auch nicht mehr eingegangen. sondern die Sätze werden im Folgenden hintereinander formuliert. 7.2.2

Grundlegende Sätze

Satz 7.10: Jede stetige reellwertige Funktion auf einem meßbaren Kompaktum 8 in IR" ist illtegrierbar. Satz 7.11: (Bereichsilltegrale als Mehrfachilltegrale) Es sei f : Q _ tion auf dem Quader

Q = [al.bl[ x [a2.b21 x ... x [a",b,,1

IR eine integrierbare Funk-

7,2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen

555

Existieren die Integrale innerhalb der Klammern in der folgenden Formel, so gilt

f !(x)dx~ "IJ(J(J(. . (J !(XI.X2..... X,,)dx,,) ...) dx') <1.<') I,

Q

IJ

dx,

I"

(7.64)

Die gleiche Aussage gilt bei beliebiger Vertauschung der Variablen entsprechender Vertauschung der Integrationsgrenzen ai, b;.

X10 ••• , XII

und

Bemerkung: (a) Die Klammern in der Schreibweise der MelJlfachill1egrale (s. (7.64)) läßt man auch weg. (b) Die Existenz der Integrale in den Klammern ist gesichert, wenn [ stetig ist. Da Quader als Integrationsgebiete zu speziell sind, definieren wir- wie im Zweidimensionalen - Normalbereiche. Definition 7.8: Untcr einem Nor/l/albereich in ]R" verstehen wir eine Menge der Form 81 ,:::Xl .::: 111

X, B~

x2 X3

82(Xj) ,:::X2'::: 112(xll E ]R"

g3(XI.X2) ':::XJ'::: h3(X),X2)

(7.65)

XI!

wobei 82, ... , 81!' "2, ... , "" stetige reellwcrtige Funktionen sind, und 81, h 1 reell wertige Konstante. Dabei gilt Si .::: "; rur alle i. Man spricht auch von einem Normalbereich B, wenn die Reihenfolge der Indizes 1,2, ... ,11 in (7.65) beliebig umgestellt ist. Normalbereiche sind meßbar, was man ähnlich wie im Zweidimensionalen einsieht. Damit gilt der für die praktische ImegralberechllJlllg ell/scheidellde Sat"-:

Satz 7.12: Ist [ : B _ IR eine stetige Funktion auf einem Normalbereich B, wie er in Def. 7.8 angegeben ist, so gilt

556

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

Die Klammern werden auch weggelassen. Für andere Reihenfo[gen dcr Indizes I, 2, ... , 11 gilt natürlich entsprechendes. Durch »Aunösen der Integrale von inncn nach außen« kann man mit dieser Forme[ die Zahlenwerte von Integralen bestimmen. Nützlich flir die Integra[berechnung sind ferner die Formeln des Satzes 7.5, (Abschn. 7. [.3), der völlig entsprechend auch im IR" gilt. Es handelt sich um Integrale bezüglich f + g, cg sowie über Zcrlegungcn von 8. Man schlage dort nach. Auch der Mittelwertsatz, Satz 7.6, überträgt sich ohne weiteres auf den mehrdimensionalen Fall, so daß auf seine erneute Formulierung hier verLichtet werden kann. Schließlich gilt der gesamte Abschnitt über Riemallllsche Summen, vor allem Satz 7.7 (nebst Beweis), ganz entsprechend im IR" flir be[icbige 11. Insbesondere der dreidimcnsiona[e Fall kommt bei der Mathematisierung technischer Vorgänge (Strömungen, elastische Körper, elektromagnetischc Fclder) oft vor.

7.2.3

Krummlinige Koordinaten, Funktionaldeterminante, Transformationsformeln

Die Überlegungen der Abschn. 7.1.6 und 7.1.7 werden hier ohne wesentliche Änderungen auf den IR" ausgedehnt. Eine Abbi[dung T : G· __ G eines Gebietes l4 C· c IR" auf ein Gebiet G C iR 'I nennen wir eine Transformation, wenn T umkehrbar eindeutig ist, ferner stetig differenzierbar. und wenn die FUllktiollafdetermillallfe det T'(u) in G· von Null verschieden ist: det T' (11)

i= 0

ftir alle

11

E G·. 15

Ausführlich geschrieben hat x = T(Il) die Form

X']

X2

[

.

= T(u) =

.;"

[g'(", g2(1I1

.

,,")]

II,,)

8,,(lIl,: .. ,II,,)

Dabei nennt man 111 •••• , 11" krllll1mlinige Koordinaten in G (Bcispie[e sind Kugelkoordinaten, Zy[inderkoordinatcn u.a .. die wir spiiter betrachten). Mit dieser Koordinatenschreibwcise hat die Funktionaldctcrminante die ausflihrliche Gestalt:

ag,

-Cu) iJ 11)

det T'(II) =

ag,

-Cu) öu" (7.67)

ag" ( )

-iJ 11)

"

aS" ( ) --" öu"

14 OfTcn und zusa!11r)lenh~ngend (leIzIeres hcißt nichl in zwei ofTcnc Mengen zcriegbar). 15 ZU!11 Begriff der Delenninanle lese man den kurLen Ei".,<:h"i, am Ende dieses Absehnilles oder BurglHaffWilie (Lineare Algebra) [91

7,2 Allgemeinfall: Inlegralion bei mehreren Variablen

557

Für die Funktionaldeterminante det T'(lI) ist. insbesondere in Naturwissenschaft und Technik, auch folgende Schreibweise üblich det T'(II) =:

a(XI,X2' •.. ,Xn )

(7.68)

(1(111,112, ... ,11 11 ) '

Wie im zweidimensionalen Fall gilt fUr die Komposition z = S(T(x» der Transformationen z = S(y), y = T(x) die übersichtliche Gleichung J(ZI

ZII)

J(ZI

, Z'I)

J(YI,···.YI/)

J(.~I

XII)

J(YI

, YII)

(I(XI . ....

(7.69)

x II )·

(Zum Beweis verwendet man die Keuenregel - Abschn. 6.3.3, Salz 6.9 - und den Delerminanten-Multiplikationssatz, s. BurglHaffWille (Lineare Algebra) [9D. Insbesondere folgt im Fall S = T- 1: JeYI ..... YII) J(XI . ..•. XII)

a(XI, ... ,X,,) O(YI,···,Yn)

Im folgenden Satz wird nun die Tramformationsformel ftir Integrale im IR'I angegeben. Der Satz entspricht vollkommen dem Satz 7.8 für den 1R2, den wir in Abschn. 7.1.7 kennen und lieben gelernt haben. Satz 7,13: Es beschreibe T : C· _ C eine Transformation des Gebietes C· c IR" auf das Gebiet C c IR. Ferncr sei 8· c C· kompakt und feine slctige reellwertige Funktion auf B = T(8·). Der Bereich B ist damit auch meßbar, und es gilt die TransformGti· oniformel:

J

f

ß

8'

f(x)dx =

(7.70)

f(T(u»ldetT'(u)ldu.

Mit der Schreibweise (7.68) erhält die Formel dic ausfuhrlichere Form: Transfornlationsformel:

f •

f(XI, ... ,xl/)dxl ... dx ,,

=

f

r

f(T(II\. ... ,

11 11

»

d(.", ... ,x")

IJ(UI, ... ,II,,)

I dlll ... du

ll •

(7.71)

In dieser Gestalt läßt sich die Transformationsformel leicht merken, da man im rechten Integral den Ausdruck dill ... du" nur formal gegen a(Ul, ... , 11,,) zu kürLen (und f in Abhängigkeit von Xl, ... , XII zu schreiben) hat, um das linke Integral zu bekommen,

558

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

Für den (sehr langen) exakten Beweis verweisen wir wieder auf [25j, Abschn. 205. Die Beweisidee isl die gleiche, wie im Falle von zwei Variablen im Abschn. 7.1.6 erläutert. Die wichtigstcn Beispicle krummliniger Raumkoordinalen in Naturwissenschaft und Technik sind Zylillder- und Kuge/koQrdinatell. Wir behandeln sie in den nächsten Beispielen. Vereinzelt treten auch »elliptische Gegenstücke« auf, die elliptischen Zy/inderkoortiillatell und die rotationselliptischen Koortlillaten. wie auch parabolische Entsprechungen, nämlich die parabolischen Zylil1derkoordillatel1 und die rowtiol1sparabolischen KOOldinatell (s. folgende Übungen sowie BurglHafIWille (Vektoranalysis) PI, Abschn. 3.3.6). Der Zusammenhang dieser Koordinaten mit Schwingungsproblemen wird z.B. in [49J erläutert Beispiel 7.15: (a) (Zylinderkoordilwten)

x=rcos~'l y =rSlllrp, Z

=

(r

~

0.0 ::;: rp ::;: 2n, z E IR) .

z.

Diese Gleichungen beschreiben die Transformation von Zylinderkoordillaten r, rp, z auf die Koordinaten x, y, z des dreidimensionalen Raumes. Ihren Namen haben die Zylinderkoordinaten daher, daß für r = konstant> 0 und variable rp E fO.2nl und z E lR die zugehörigen Punkte fx. y. zJT E 1R.3 einen Zylinder beschreiben, dessen Achse die z-Achse ist. und dessen Radius r ist. Die Funktionaldeterminante dieser Transformation ist Jx

0,' J(x.y.z)

J(r. rp. z)

Jy ~

ä, 0,

ar

ox ox J~

J,

Jy

Jy

J~

J,

-

J~

~

Jz

cos rp smrp

-r S1l1 rp

0

0

J,

r cos rp

0 0 =/'. I

J,

Folglich lautet die Transformationsfornlel rur diesen Fall

I/I,

[(x.y.z)dxdydz=

/1/ ,.

j(rcosrp.Tsinrp.z)rdrdrpdz.

(7.72)

Häufig ist B dabei ein Zylinder oder Zylinderrohr oder ein Winkelausschnitt davon. D.h. B* ist ein Quader B* = [rl.T21 x [rpl.
O::;:rl
mit

O::;:rpl::;:
Zl < Z2·

Damit foJgt explizit für ein stetiges j;

I/I IJ

'h. Tl

Zl

[ex.y.z)dxdydz= /

/

/


j(rcosrp.rsinrp.z)rdrdrpdz.

(7.73)

7,2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen

(b) (Kllge/koordinatell)

x = rcoslpcosli, y=rsinq>cosli.

I

559

rr rr li < _). 16 2 - 2

(r~O, O~q>~27'[. __ <

z=rsinli,

Ein Punkt P = Ix. y. zjT in IR3 wird hiermit durch r, q> und li beschrieben. wie es die Fig. 7.31 zeigl. Die Funktionaldeterminante ist gleich cosq>cos li = sinq>cosli ö(,.~. ,) sin li

J(x.y.z)

-rsinq>cosli r cos q> cosli

o

-r cos lfJ sin li -r sin lfJ sin li =r 2 cosli. rcosli

(7.74)

Folglich gilt die Transformationsformel

,

, r = Abstand von O. = Uingengrud. 5 = Brei1cngrad. f{!

III

Fig. 7.31: Kugelkoordinatcn

!(x.y,z)dxdydz=

B

Ist -

16

wie vielfach -

III

2 j(rcosrpcoso. rsinrpcoso, rsinli)r coslidrdrpdli.

B'

B eine Kugel. Hohlkugel oder ein Ausschnitt davon. beschrieben durch

entsprich1 den »Längengradcn« und 5 den »Breitcngraden« bei der Erdkugel. 5 ist hier Null um Äqumor. In der Physik ist es beliebter. 5 = 0 a111 »Nordpol« zu setzcn und 5 von 0 bis 1r laufen zu lassen (5 = 1r: »Südpol«). vgl. BurglHaflWille (Vektoranalysis) 171. Absehn. 3.3.6. [n der KoordinatentransfOflllation sind dabei nur sin 5 und eos 5 zu vcrtauschen. f{!

560

7 Integralrechnung mehrerer reeller Variabler

so wird

Jff

JJJ. ~2 'h

im letzten Integral ersetzt durch

S"

r:>

61.1'1

Einschub: Zur Berecllllllllg einer Determinante (/11

(l12

(/1"

(/21

(/22

(/2"

D~

detA

(mit A = [(/;klll.,,)

(/""

(/,12

(/" I

=:

kann man für kleine 11 die expliziten Fortne/n benutzen, d.h, ftir /l

= 2 und J1 = 3:

(/121={/11{/22~(/12{/21'

(/11

(7.75)

(/n

1(/21

(/11

(/12

(/21

1122

(/13 (/23

(/31

(/32

(/33

= all (/22113J

+ a 12(/2J1l31 + (/13(/21 (lJ2

(7.76)

- {/11{/231132 - {/12{/211133 - {/13{/221131,

Für beliebiges 11 gilt allgemein:

L

D=

sign(kl,k2, ... ,k"){/lkl(12k2··,a,,kn·

(7.77)

(kl,···,k.)

Summiert wird dabei über alle Permutationen (kl ..• '. k,,) des II-Tupels (I. 2.... ,11). und es ist

.

slgn(k l "

.. ,

k,,) =

11.

-I.

wenn (k l ,

k'l) gerade Permutation,

wenn (kl,

k'l) ullgenule Permutation.

Eine Permutation (k l • •..• k'l) heißt gerade, wenn sie durch eine gerade Anwh' 11011 VeYUwscIlImgen zweier Elemente aus (I. 2..... 11) hervorgeht; andernfalls heißt sie ungerade. Für 11 ~ 4 berechnet man Determinanten allerdings zweckmäßiger mit dem »Gaußschen Algorithmus«, s. BurglHaflWilie (Lineare Algebra) 191Übungen: Berechne die Funktionaldeterminanten der folgenden Transformationen auf krumm linige Koordinaten im N.3. Übung 7.17: (Parabolische Z)'/inderkoordinalen)

,~_~(,,2 y

=/IV,

Z

= z,

_"2).\

(lI.v.zeR).

7.2 AlIgemcinfaJ1: Integration bei mehreren Vllriablen

Übung 7.18: (Ro1(ltiOlI.~/J(lrabofisehe

Koorr!i/laIeIl)

X=IIVCOStp.

Y=llVsintp.

(11, V

E IR,

tp

E [O,2rrl).

I, 2 Z="2(II--V),

Übung 7.19: (Elliptische Zylinderkoor(/inll/ell) (e > 0 konstant)

x=eeoshlleOSV,!

Y = csinhll sin v,

(11. Z E IR, I! E [O.2;r]).

z = z,

Übung 7.20: (Roul/iollselfilJtische Koordinaten)

Ce

> 0 konstant)

(a) (Geslm:kt·rotmiollseliiptischj

~ ,)1,,2 _

x

1)(1 _ ,,2),",. '\

(Illl

Y = cJ(l/2 - 1)(1 - v2)sintp. Z

=

~

1. Ivi ::: 1. <{J

E

IO.2rr [) .

ClIV.

(b) (Abgeplallet-rowtiol1selfiplisch) (e > 0 konstant) x = eJ(l/2

+ 1)(1

- v2)costp,

y = cJ(l/2

+ 1)(1

- v2)sin<{J.

z=

(l/

E IR.lvl::: 1.<{J E IO.2rrI).

Cl/V.

Übung 7.21: KR C]R:3 sei eine Kugel um 0 mit Radius R > O. Berechne mittels Kugelkoordinaten

(a)

f

K,

j.r 2 +y 2 +z 2 drdYdz,

(b)

lim R-HXJ

f

K.

1

Jx2

+ y2 + z2

drdydz.

561

562

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

Übung 7.22: KR.p sei die Hohlkugel, bestimmt durch p::::

Jx 2 + )'2 + ::2:::: R in IR (p > 0), Berechne

"

Fig. 7.32: Rauminhallsberechnung

7.2.4

Rauminhalte

Es sei D C IR,,-l ein Normalbcreich. und es seien g : 0 --7 IR, h : 0 --7 IR zwei stetige Funktionen mit 8(XI .... , X,,_I) :::: h(xl ..... x,,_d auf D. g und h »schließen einen Bereich B ein«, wie es Fig. 7.32 im Falle des IR3 zeigt:

Bistnatürlich wiederum ein Normalbereich. Es gilt der naheliegende Satz 7.14: Unter den obigen Voraussetzungen ist das Volumen VB des Bereichs B C IR" gleieh VB = fCh -g)dxl ...

dr"~I.

17

(7.78)

D

Bemerkung: Im einführenden Abschn. 7.1.1 wurde die Formel (7.78) schon zur Raurninhaltsberechnung von Ellipsoiden u.a. verwendet (Beispiele 7.2 bis 7.5). Der Beweis des Satzes folgt unmittelbar aus Definition 7.7 (Absehn. 7.2.1) und aus Satz 7.12 (Absehn. 7.2.2). Man hat in diesem Satz nur das innerste Integral (über dx,,) aufzulösen. 17 Das Argume11l (Xl ..... Xn_l) wurde der Übersichlliehkeit wegen bei I! und g weggelassen.

7,2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen

563

Faßt man dagegen die inneren (11 - I)-Integrale in Satz 7.12 (7.64) zu einem Integml zusammen:

I

h.,.

so folgt aus Satz 7.12 (mit [(x)

I

[dx" ... clt2 clt2 .

== 1 auf 8):

b

VB =

(7.79)

rp(Xt)dx t .

" Diese Formel ist der Kern des Satzes

11011

Cal'a/ieri l8 (auch Prinzip des Cavalieri genannt):

Satz 7.15: (SalZ von Cal'{/lieri) Ist 8 ein Normalbereich. wie in Definition 7.8 (Abschn. 7.2.2) angegeben, und iSI rp(.q) das (11 - I)-dimensionale Volumen des Schnirres {x E 8 I Xl = konstant} durch 8 (a :::: Xl :::: b), so ergibt sich der Rauminhalt VB VOll 8 aus obiger Formel (7.79).

Bemerkung: Eine etwas allgemeinere Formulierung. bei der 8 nur als meßbar vorausgeselzt wird, findet man bei [251. S. 468. Für Anwendungszwecke reicht es aber, 8 als Normalbereich vorauszusetzen.

s

"

G. 1 I B

I

X3

/----T----->-\-+ h, G

Fig. 7.33: Allgemeine Pyramide

Beispiel 7.16: (AI/gemeine Pyramide) Es sei ein Normalbereich G in der x2-x3-Ebene gegeben und ein Punkt S = [h, 52. S31T mit h > 0 (s. Fig. 7.33). Die zugehörige allgemeille Pyramide besteht aus allen Punkten, die auf VerbindungssIrecken von G nach S liegen (s. Fig. 7.33). G ist die Grundfläche. S die Spilze der Pyramide und h ihre Höhe. 18 BonuventurJ Francesco C:lvalieri (1598 - 1647). italienischer Mönch. Mathematiker und Astronom

564

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

Ein Schniu Gorl in der Höhe von XI E [0. hJ durch die Pyramide hat einen Flächeninhalt (/J(Xt), der quadratisch mit dem Abstand h - XI von der Spitze S zunimmt, also: (/J(xr) = c(h -

,

xr)~

(c 2: 0).

Für Xl = 0 ergibt dies den Flächeninhalt FG von G. also (/J(O) = c:h 2 = FG, somit c = Fa/ ,,2, d.h.

Mit (7.79) (Cavalieri) folgt damit für den Rauminhalt der Pyramide

(7.80)

d.h. »Gntntlflächeninlwll mal Höhe durch 3«. Beispiel 7.17: (Nach Wörle-Rumpf [571 Bd. 111, S. 40) Volumen einer T- VerbilUlllng aus Zylindel'll (s. Fig. 7.34a)

y

, b) .)

Fig. 7.34: T-Verbindung aus Zylindern

Das Volumen des Körpers in Fig. 7.34a besteht aus den Volumina VI = rlnl und V2 = r 2 nh, abzüglich des Volumens V3 dcs Teiles, in dem sich die beiden Zylinder überschneiden (s. Fig. 7.34b). Dieser Teil hatjl~ waarrechte Schnine Rechtecke, und zwar in Höhe zein Rechlcck mit den Seilenlängen r- - z (in y-RichlUng) und 2~ (in x-Richtung). Nach

7,2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen

565

dem Satz von Cavalieri ist damit

,

V3 =

f

2

8

2

3

2(r - z ) dz = -r 3 .

Damit ist das Volumen der T-Verbindung V = VI

+ V2

- V3 =

,

Jfr-O + h)

-

8 3

3r .

Übung 7.23: Berechne den Rauminhalt einer Kugel um 0 mit Radius r > 0 nochmals. und zwar mit dem Satz des Cavalieri (im Hinweis: Die Fonnel rur den Flächeninhalt eines Kreises darf als bekannt vorausgesetzt werden.

Rh.

,

,

y'" c.Ji~_-r\

,, ,, , +~ - , ,,: ,, ~

,

--

, b

Fig. 7.35: Rotalionskörper

7.2.5

h

,

, Fig. 7.36: Rotationsparaboloid

Rotationskörper

Rotationskörper kommen in der Technik besonders häufig vor. Sie lassen sich relativ einfach behandeln.

Definition 7.9: Es sei j : La, bJ -+ IR eine nirgends negative, stetig differenzierbare Funktion. Die Menge B aller Punkte Ix. y, Z]T E IR) mit x E La, bJ und y2 + Z2 .::: j(x)2 nennt man einen R01a1ionskörper (s. Fig. 7.35). j heißt die erzeugende Funktion des Rotationskörpers. Seine Mamefjläche ist die Menge M der Punkte des Rotationskörpers. die)l2 + Z2 = j(x)2 erfLil1cn. Das Volumen V des beschriebenen Rotationskörpers ergibt sich unter Verwendung der Tmnsformation y = r cos rp, z = r sin ({!. x = x aus der Transformationsformel:

566

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

also

J b

V = rr

Volumen des Rotationskörpers:

[2 (x) dx .

(7.81)

" Beispiel 7.18: (Volume" eines Rotationsparabuloids der Liinge 11) (s. Fig. 7.36) ErLeugende Funktion ist

y = [(x) = c.;x .

(e > 0).

Damit ist das gefragte Volumen: V = rr

J"

e 2x dx =

~e2h2 .

o

Bemerkung: Man kann den Rauminhalt eines RO(.alionskörpers auch direkt mOlivieren durch Riemannsche Summen

S=

L" rr [(~k)2 LlXk . k=1

Die Summenglieder sind dabei die Volumina von (Aachen) Zylindern (»Scheiben«). in die man den Rotationskörper näherungsweise zcrschneidet. Dcr Fläcl1en/lI/wh der Mallfeljläche eine.l· Rotation.l·körper.r - erzcugt von [ : [a. bl -;. IR - wird durch folgende Formel berechnet: b

F~2rr

j !(x)jl+f'(x)2dx.

(7.82)

" Bemerkung: Die Formel wird motiviert durch Riemannsche Summen

S= k

L" 2rr[(~dj Llxl + Llyl·

k=1

die das Integral approximieren. Die Summanden sind dabei die elementargeometrischen Flächeninhalte der MantelRächen von Kegelstümpfen. in welche der Mantel sich (wie in dünne Ringe) zcrschneiden läßt. Eine exakte Begründung wird im Rahmen der Flächcninhaltsthcorie in Burg/HaflWille (Vcktoranalysis) 171, Abschn. 2.2.1. nachgeliefert. Beispiel 7.19: (Kugelobe/fläche) ErLeugende Funktion der Kugel K C IR) um 0 mit Radius r > 0 ist fex) = Jr 2 x 2, XE L-r. rJ. Damit ist der Flächeninhalt der Kugeloberfläche

, Fb

F = 2rrjJr 2 ~x2 -~

1+

Z

~ x ~ dx =

r-

~x-

'

2rrrj d,r = 4rrr 2 . -~

7,2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen

567

Ist g eine reelle rotationssymmetrische Funktion auf einern Rotationskörper 8 (der von [a. bJ --7 R erzeugt wird), so kann man g in der Form

8(r 2) ,

mit

r2 =

f ;

z2 + i

schreiben. (8 kann eine Temperatur, eine Ladungsdichte oder ähnliches beschreiben). Das Integral

1= !!!s(z2+i)dxdYdZ 6

läßt sich stark vereinfachen und damit leichter berechnen, wenn man wieder die Transformation y r cos tp. z r sin tp. x x anwendet. Es folgt mit einer Stammfunktion G von s (d,h. G' g), die G (0) = 0 erfüllt;

=

=

=

=

also

! b

1

=

7f

G(/2(x» dx.

(7.83)

" Guldinschc Regeln: Für Volumen V und Mantelftächeninhalt FM eines Rotationskörpers gelten die folgenden Guldillschell 19 Rege/li: Ist f : [a. b] --7 R(/(x) ::: 0) die en:eugende Funktion des Rotationskörpers. so bezeichnet man die Fläche zwischen f und der x-Achse. d.h. A

~ 1[~] I a ~ x ~ b. 0 ~ y ~ [(x) I·

als die erzeugende Fläche des Rotationskörpers. [x•. YslT sei ihr Schwerpunkt. Der Graph von f heißt die erzeugende Kun'e des Rotationskörpers. Der Kurvenschwerpunkt sei l;s. '1sJ T. Damit erhalten wir: I. Guldillsche Regel (mr Rotationskörper): Das Volumen V eines Rotationskörpers erhält man als Produkt aus dem Flächeninhalt FA der erzeugenden Fläche und der Länge ihres Schwerpunktweges bei einer vollen Drehung. In Fonneln:

V=FA ·2JTYs. 19 Paul Guldin. ursprünglich Habakuk Guldin (1577 - 1643). österrcichischer Astronom und Mathematiker

568

7 Integraln:chnung mehrerer reeller Variabler

2. Guldillsche Regel (fur Rotationskörper): Der Mantelnächeninhalt F eines Rotationskörpers ist das Produkt aus der Länge L der erzeugenden Kurve und der Uinge ihres Schwerpunktweges bei einer vollen Drehung: F=L·2JrI/S·

Der Beweis der I. Guldinschen Regel folgt unmittelbar aus (7.81) und

(s. Abschn. 7.1.5, (7.37». Die 2. Guldinsche Regel ergibt sich aus (7.82) und

±I

b

I/ s =

!(X)/I

+ f'(x)2ctx

" (s. Abschn. 7.1.5, (7.40». Übung 7.24: Es sei K ein Kegelstumpf. erl.eugt von f<x) = 1 + 1/2.0::: x ::: I. Berechne

jjjrer2

drd)'dz.

milr=~.

K

Hinweis: Benutze (7.83).

Übung 7.25: Berechne den FHkheninhalt eines Parabolspiegels (Fahrradlampe). der als Manteltläche eines Rotationskörpers mit der Erzeugenden fex) = 6ft..( E 10.81. aufgefaßt werden kann.

Übung 7.26"': Berechne den Ralllllinlwll und Obeljfächellil/hall eil/es Toms, der durch Rotation einer Kreisscheibe um die x-Achse eo:eugt wird, wie es die Fig. 7.37 zeigt. (Hinweis: Benutze die Guldinschen Regeln.)

7.2.6

Anwendungen: Schwerpunkte, Trägheitsmomente

Schwerpunkte: Den Schwerpunkt s E IR3 eines realen Körpers errechnet man aus s=

~

III H

rp(r)dV.

(7.84)

7,2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen

569

,

Fig. 7.37: Zum Volumen und Obcrnüeheninhah des Torus Dabei ist m die Masse des Körpers, B C 1R 3 der räumliche Bereich, den er einnimmt, und p(r) die Massendichte des Körpers an der Stelle r E 8. p sei als integrierbar vorausgesetzt. Die Motivation der Formel verläuft völlig entsprechend wie die Überlegungen in Abschn. 7.1.5. Das Integral (7.84) wird komponentenweise ausgewenet. Es beschreibt also eigentlich drei Bereichsi ntegr.\le: Xo = ,:,

/1/

xp(r)dV_

ß

mil s =

)"0

=

~

I/I

yp(r)dV,

8

Zo =

~

/1/

zp(r)dV, (7.85)

ß

Ixo, )"0- zolT Für die Masse 11I gilt dabei

Ist die Dichte p(r) = Po konstant und V das Volumen des Körpers, so folgt mit VAl = m die einfachere Formel (7.86)

Beispiel 7,20: Eine quadratische Pyramide mit der Grundseitenlänge a und der Höhe h sei so in ein räumliches Koordinatensyslcm eingebettet, wie es die Fig. 7.38 zeigt. Wir nehmen konstante Dichte an. Der Bereich B, den die Pyramide ausflillt, bestcht aus allen Punkten Ix. y. Z]T mit O~x~h_

ax

ax

-2"~Z~2h'

570

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

,

Fig, 7.38: Schwerpunkt einer Pyramide

Sein Volumen ist bekanntlich V = a 2h/3. Damit gilt fLir die x~Komponente des Schwerpunktes

dx = 33 "

f"

x 3 dr :::::

o

~h . 4

Da aus Symmetriegründen y = z = 0 für die anderen Koordinaten des Schwerpunktes gilt, folgt

s ::::: 3

4"h

[~h .0.0]T. D.h.: Der Schwerpunkt der Pyramide liegt auf der Mittelachse in der Entfernung

von der Pyramidenspitze.

Trägheitsmomente: Das Trägheitsmoment eines Massenpunktes bezüglich einer Achse 20 Lm Raum ist J = IIIr 2 . Dabei ist 111 die Masse des Massenpunktes und r sein Abstand von der Ach~ sc. Bei einem reaten (ausgedehnten) Körper geht man so vor, daß man ihn in kleine Teilkörper zerlegt denkt und jeden Teilkörper als Massenpunkt auffaßt. Die Summe der Trtigheitsmomente dieser Massenpunkte bezüglich einer Achse ist dann näherungsweise das Triigheitsmoment des Körpers. Durch verfeinerte Zerlegungen kommt man durch Grenzübergang wieder zu einem Integral. Dieses liefert das Trägheitsmoment des Körpers. Rechnerisch sieht dies so aus: Bezeichnet man mi t .1 111 i (i ::::: I, ... , 11) die Massen der Teilkörper und mit ri die zugehörigen Abstände von der Bezugsachse, so gilt fLir das Trägheitsmoment J des Körpers bezüglich der Achse:

'" r?.1/11i J::::
Dabei können wir .1/11i 20 Achsc:Ccmdc.

::::< p(Xi).1 Vi

setzen, wobei L1 Vi das Volumen undxi ein beliebiger Punkt

7,2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen

571

des i-ten Teilkörpers ist. p(x) beschreibt die MasseJldichte. Es folgt

'"

J ~ LP(x;)rlL1Vi. ;=1

Ersetzt man diese Summe durch das entsprechende Integral, so erhält man das Triigheitsmomem

J

~

111

(7.87)

p(x),'(x)dV.

B

Dabei ist B C IRJ der Bereich, den der Körper im Raum einnimmt und rex) der Abstand des Punktes x von der Bezugsachse. Ist p(x) = Po konstant - was am meisten vorkommt - , so erhält man

J

~Po

Iff

(7.88)

,'(x)dV

B

Zur Behandlung von konkreten Beispielen wählen wir oft die x-Achse im ]R3 als Bezugsachse. Mit x = [x, y, Z]T folgt damit rex) = y 2 + z2, also rur das Trägheitsmoment bezÜglich der x-Achse

J

Jx=Po !!!(z2+i)dXdY d Z .

(7.89)

B

In analoger Weise werden die Trägheitsmomente J y und Jz bezüglich der y- und z-Achse gebildet. Bezeichnetm die Masse des Körpers und V sein Volumen, so können wir rur Po einsetzen: m

Po=

V·

Beispiel 7.21: (Trägheitslllomem eines Zylinders bezüglich einer Qllerachse) Liegt der Zylinder so, wie es Fig. 7.39 zeigt, so ist sein Trägheitsmoment bezüglich der x-Achse gleich

572

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

,

, Fig. 7.39; Zum Trägheitsmoment J x eines Zylinders

Mit der Substitution x = r sin f folgt

Zwei Sonderfalle sind hervorzuheben, in denen die Rechnungen einfacher sind: Erstens Trägheitsmomente von SäuleII, wo nur ein Doppelintegrallluszuwerten ist, und zweitens von ROtllIiollskiilpem, bei denen sich alles auf ein einfaches Integral reduziert. Trägheitsmomente von Säulen: Unter einer Säule wollen wir hier einen Körper verstehen, dessen räumlicher Bereich B in jeder Schnittebene senkrecht zur x-Achse die gleiche Querschnittsfigur Q uufweist (s. Fig. 7.40). Dus Trägheitsmoment J x bezüglich der x-Achse ist dann bei konstanter Massendichte po:

J,

~ 1"(JJ(y' + d'dY) dx => ,2)

Po

"

Q

J x = poil

!!

(y2

+ Z2) dy dz.

(7.90)

Q

Dabei ist" die Höhe der Säule und Q die Querschnittfläche in der y-z-Ebene. Wir sehen hier mit verhaltener Freude, daß das Integral rechts in (7.90) gerade das polare Ftächenmoment '" von 0 ist, wie in Abschn. 7.1.5 erläutert. Also gilt (7.91) Damit lassen sich alle Beispielrechnungen aus Abschll. 7.1.5 sofort verwenden. (Wir erwlihnell aber, daß - physikalisch gesehen - das Flächenmomellt der Biegullgslehre mit dem Massenträgheitsmoment nichts zu tun hat. Lediglich mathematisch fUhrt beides auf das gleiche Doppelintegral, was fUr uns natürlich kein Grund zur Trauer ist.) Die Beispiele 7.9 und 7.10 aus Abschn. 7.1.5 liefern uns über (7.90) unmitlclbar folgendes:

7,2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen

573

,

, Fig. 7.40: Säule

Beispiel 7.22: Trägheitsmomente (bezüglich der Mittelachse)

elliptischer Zylinder

" J x = '4 {Vlb(a-,

(a. b = Halbachsenlängen)

+ b 2 )h

Kreiszyfinder (Radius r)

Rohr (r. R

= innerer bzw.

~iuBerer

Radius)

Dabei: h = Höhe, PO = Massendichte

Das Triigheitsmoment einer sechseckigen Siiule möge der Leser unter Benutzung von Übung 7.9 (Absehn. 7.1.5) berechnen. Trägheitsmomente von Rotationskörpern können mit Formel (7.83) auf die Berechnung von einfachen Integralen reduziert werden. Ist j : La. bl --+ IR die Erzeugende des Rotationskörpers, so ist sein Trägheitsmomell/ bezüglich der ROlatiollsachse:

f

b

Jx =

~AJ

"

j4(x)dx

(7.92)

574

7 Integraln:chnung mehrerer reeller Variabler

Beispiel 7.23: Mit (7.92) berechnet man leicht die folgenden Trägheitsmomente J x bezüglich der Rotationsachsen: Körper Kugel

mit Radius r. Massem.

4 Volumen V = :Jr 3Jr

9

Erl.eugende

Trägheitsmoment

, fex) =

-r

~

J,2 _ .l2 .

Jrm / (,--x ~ 2)dl J x ="'2V

-,

x .::: ,

=

2

,

"5/11'-

Kegel

--
mit Höhe 11 und Radius r der

---..j(h)~

Grundflächc.

fex) =

,

h'

0::::.1'::::11

Massem. n ,

Volumen V = '3r-II

"'" f (' )' I,

Jx = -

2V

3 10

-x

0

,

dx

"

= -mr-

Der Steinersehe Satz: Bei allen vorangegangenen Beispielen verlief die Bezugsachse rur das Trägheitsmoment durch den Schwerpunkt des jeweiligen Körpers. Will man das Trägheitsmoment bezüglich einer anderen, dazu parallelen Achse berechnen, braucht man nicht erneut zu integrieren, sondern kann mit dem folgenden Steinerschen 21 Satz die Berechnung auf den Fall der Achse durch den Schwerpunkt zurückführen: Satz 7.16: (Steil/erseher SalZ) Das Trägheitsmoment eines Körpers 22 bezüglich einer beliebigen Achse ist gleich der Summe des Triigheitsmoments bezüglich einer durch den Schwerpunkt gehenden parallelen Achse und des Trägheitsmomentes der im Schwerpunkt vereinigt gedachten Masse bezüglich der erstgenannten Achse. Beweis: Das Trägheitsmoment J x =/>0 jjj(y 2 +x 2)dxdydz B

eines Körpers bezüglich der x-Achse wird umgeformt: Es seien x,. Ys, z, die Schwerpunktkoordinalen. Wir substituieren

.1'=.1',+11,

y=Ys+V .

z = z, + w

21 Jakob Steiner (1796- 1863). schweizerischer Mathematiker 22 Die Massendichte PO des Körpers sei dabei konstant.

7,2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen

.

und erhalten aus der TransformallOnsformel wegen

J x == Po

III

«Ys

8(x,}',z) fJ(lI.

.

v. w)

575

== I:

+ v)2 + (zs + w)2)dlldvdw,

ß'

wobei die Substitution B* auf B abbildet. Es folgt nach Ausmultiplizieren der Klammern mil der Abkürzung dlldvdw == dV:

J.

~ Po<>'i+z;J fjJ dV+Po [2" fjJ ,dV + 22, fjJ WdV] +1'0 fjJ
Die Integrale in der eckigen Klammer sind Null, da

:B III

vdV und

:B III

B'

III

(7.93) wdV die

B'

2, und 3. Komponente des Schwerpunktes im ll-V-w-Syslem sind. In diesem Syslem ist aber nach Konslruktion [0. 0, 0, ]T der Schwerpunkl! Wegen Po

dV

== Po VB ==

111

(Masse des

ß'

Körpers) und jyl + Z~ ==: r (Abstand des Schwerpunktes von der x-Achse) ist das erste Glied in (7.93) gleich r 2 m. Das letzte Glied in (7.93) ist aber das Trägheitsmoment J u bezüglich der /I-Achse (= Parallele zur x-Achse durch den Schwerpunkt). Also folgt (7.94)

o

Das ist aber gerade die Aussage des Steinerschen Satzes.

Beispiel 7.24: Das Trägheilsmoment einer Kugel (mit Radius r und Masse m). deren Mittelpunkt von der Bezugsachse die Entfernung a hat, hat nach dem Steinerschen Satz den Wert J

==

Übung 7.27*: Berechne das Trägheitsmomellt J x des Torus aus der Übung 7,26 (po = Dichte).

Übung 7.28*: Berechne das Trägheitsmoment J x eines Tetraeders

po = I g/cm).

Übung 7.29*: Berechne den Schwerpunkt einer Halbkugel (Dichte konstant).

2

'5/11r

2

+ IIIa 2

576

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

7.3

Parameterabhängige Integrale

Wir betrachten Funktionen der Form b

F(l):=/f(x,l)dx,

lEI,

" wobei I ein Intervall ist und J : [a. bl x I --+ IR eine Funktion, die fur jedes festgewählte tEl bezüglich x integrierbar ist. Wir fragen nach Stetigkeit. Integrierbarkeit und DitTerenzierbarkeit von F. (Entsprechende Sätze ftir uneigentliche Integrale sind in Burg/HaflWille/Meister (Band 111) [IOJ, Anhang, angegeben. Sie stehen dort im Zusammenhang mit Illtegraltransformationen.) 7,3.1

Stetigkeit und Illtcgrierbarkeit paramcterabhängiger Integrale

Satz 7.17: Ist J: la. b] x I --+ IR stetig, so ist auch F stetig auf I. Beweis: Es sei 10 beliebig aus I. Wir haben b

F(I) - F(to) = /(J(x.t) - J(x. to)) dx ,

tEl,

(7.95)

" abzuschätzen. Dazu wählen wir ein genügend kleines Intervall R = [a,b]

x ([10

~O'.

to +a]

[t() -

0'. 10

+ 0'] um t(), so daß

n I)

ein kompaktes Rechteck wird. F ist auf R gleichmäßig stetig (s. Satz 6.5, Abschn. 6.2.3), d.h. zu jedem € > 0 existiert ein 5 > 0 (0'::: a), so daß IJ(x.t) - J(x,lo)1 <

E;,

flirallct E I mit 11 -tol < 0

und alle x E [a,b]

gilt. Damit ergibt sich flir diese taus (7.95) die nachfolgende Ungleichung, die unseren Satz beweist:

o

11"(1) - F(/O) 1 < s(b - a). Satz 7.18: ISI J: la, b] x IA, B]_ IR stetig, so folgt: B

/ A

b

ß

F(t)dl = / / A

"

b ß

J(x.t)dxdt = / / "

A

f(x,t)dtdx.

73

Par.Jmel~rabhängigeIntegrale

577

Dieser Satz folgt unmittelbar aus den Sätzen 7.3 und 7.2 in Abschn. 7.1.3. Bemerkung. Beide Sülze gelten entsprechend auch fUr Bereichsintegrale F(I)=

f

f(x.t)dx,

XEBcIFf1 • lEI.

B

Die Beweise werden mit ganz analogen Überlegungen gefLihrt. 7.3.2

Differentiation eines parameterabhängigen Integrals

Satz 7.19: Es sei eine Funktion der Form

f

b

F(t) =

fex, I)dx,

1 E I (Intervall).

" gegeben, wobei die reellwertige Funktion

f

auf La. bj x I stetig ist und dort eine

sletige partielle Ableitung 'Jf (x, I) besitzt. Damit ist F auf I differenzierbar. und es

a,

gilt

f

b

F'(I) =

öf(x, t) dx. 01

(7.96)

" Bemerkung: Man kann die Behauptung kur!. so ausdrücken: »Es darf unter dem Integralzeichen differenziert werden.« Beweis: Da fex. t) nach f partiell differenzierbar ist, folgt aus dem Miltelwertsatz der Differentialrechnung (einer Variablen): ~I~(x_.~I)_-~I~(~x_.'",-0) I

mit x

l

0')

n

'0

(7.97)

= fr(:c Tx ).

E [a. bj, 1 i= 10(E l) und einem Tx zwischen I und /0. ist stetig, also gleichmäßig stetig aufjedem kompakten Rechteck R = [a, b J x ([to - 0', /0 + 1). Somit gibt es zu jedem € > 0 ein 0 > 0 (0 < 0') mit

falls It - tol < 8.

l!t(x. Tx) - fr(x, /0)1 < E.',

(Denn dann ist auch IT x -

I

I(x.I)-I(x.,O) 1 - 10

101 < 0)

,(.

GI. (7,97) liefert daher

-jl.\,to

)1

<E.',

falls It -

101 <

o.

578

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

woraus nach Integration über x folgt:

)_-_F:..-C",'o::.l

, _F...:C,,' 1-

1 - fO

a.

rur 11 - fol <

b

-

/ [,(x.lo)dx

~€(b-a)

"

o

Dies beweist unseren Satz.

Bemerkung: Auch dieser Satz gilt entsprechend fUr Bereichsintegrale F(I) =

J

J(x. f)dx.

H

wobei der Beweis nahezu gleichlautend ist.

Beispiel 7.25: Das Integral F(f) =

' ,n

/,

- clx. x

f

#0.

läßt sich nicht analytisch integrieren (doch sehr wohl numerisch). Die Ableitung jedoch ergibt sich als elementare Funktion durch »Differentiation unter dem [ntegralzeichel1«: F'(t) =

j, (Jax_e~_' ~ ,j," ~ H r~ dx

,h

c"

c" -c'

Übung 7.30: Differenziere nach

'"

f " 7.3.3

I:

sin(xt) --dl_ x

,

f 2

,

,_"~,

-dx. x

Differentiation bei variablen Inlegrationsgrenzen

Allgemeiner als im vorigen Abschnitt sollen nun die Integrationsgrenzen des Parameterintegrals auch noch variabel sein:

J '/1(1)

F(I):=

J(x, I) dr .

'1'(1)

I E I (Intervall).

73

Par.Jmet~rabhängigeIntegrale

Dabei seien!{J und 1fi stetig differenzierbare Funktionen auf J. und f nebst

Jf

"

579

seien stetig auf

einem Bereich B C ]R2, der die Graphen von !{J und 1fi enthält sowie jeden Punkt »zwischen den Graphen«, d.h.jeden Punkt

[~.]

mit rE J und x zwischen !{J(t) und 1/I(r).

Die Differentiation von F(!) ist ganz einfach - und läßt sich leicht merken - wenn man zuniichst die untere und obere Grenze mit y und z bezeichnet und die entstehende Funktion von drei Variablen ins Auge faßt:

,

F·(r, y, z):=

!,.

f(x, I)dr.

Diese Funktion ist offenbar nach allen drei Variablen stetig partiell differenzierbar (nach z und y auf Grund des Hauptsatzes des Differential- und Integralrechnung. nach r wegen Satz 7.19). Mit der Substitution

r = r.

z = 1/I(r)

y=!{J(r).

differenziert man P nach der Kenenregel (Folg. 6.5. Abschn. 6.3.3): dP

JF· dl

JP Jy

JP Jz

dr

Jy Jr

t'lz t'lr

-~--+--+--.

ur

dr

Die Argumente (r. !{J(r). 1/I(r» von P wurden der Übersichtlichkeit wegen weggelassen. Die letzte Gleichung liefert explizit

J

I!'(r)

F'(,)

~

I,(x, ,)dx· I

+ ,/(,)· I(.p(,). ,) -

.(,). 1(,(,). ,).

",,(r)

Ersetzen wir hier r durch

I,

so erhalten wir die AbleilUngsfonnel

7)ft<.r. t)dr· I + 1/1'(1)' f(1fi(r).

F'(t) =

r) - (p'(I). f(!{J(t).I)·

(7.98)

",,(I)

Beispiel 7.26: (zur Balkellbiegllllg) Ein Balken, wie in Fig. 7.41 skizziert, besitzt im Schnitt bei x die Qllerkraft

,

Q(x) = A -

! o

p(t)d/.

580

7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler

A

v

p(x)

.;. '/////

/

-.~

Fig. 7.41: Zur Balkenbiegung

Dabei beschreibt pet) die Belastung des Balkens pro Längeneinheit an der Stelle x, und A ist die A/lflage-Reaklio/lskrafi links. Das Biegemomem bei x ist

, M(x) = Ax - / (x - t)p(t) dl.

o Wir wollcn zeigen, daß die Ableitung des Biegemoments gleich der Qucrkraft ist. Dies ergibt sich sofort aus Formel (7.98) (wobei x und I ihre Rollen getauscht haben):

, M'(x)=A-

,

~J(X-t)P(t)dt=A-J

p(t)d/-l.,[(x-t)p(t)l=x= Q(x).

0 0 0

Übung 7.31: 1+,2

Differenziere F(/) =

/

sin(xt)

- - dt, x

I €

IR.

Anhang

A

Lösungen zu den Übungen

Zu den mil

* versehenen Übungen werden Lösungswege skizziert oder Lösungen angegeben.!

Zu Kapitel I Zu Übung 1.4: Die Mindestprozentzahl.( ergibt sich aus 100 - x = (100 - 60) + (100 -70) + (100 - 80), Ocr Leser überlege. wurum. Zu Übung 1.11: Schreibcdie binomische Formel fiir (I

+ (_1))'1 hin.

Zu Übung 1.14: Loch bedeute I. Lochstelle ohne Loch bedeute O. Zu Übung 1.16: Es gibt 6 ·5 . 4 . 3 = 360 Möglichkeiten. Der Autofahrer erlebt das Ende seines Versuches nicht. Zu Übung 1.23: Schreibe:

X"

I/!

=

xx x 1 23

Ino I <

x Wühle 110 so. daß -x .. -. /1

-I ist. Für alle x

2

für 11

~

"0 gilt dann:

...... 00.

Zu Übung 1.25: Grundreihe RIO ruf Rohre: II,OOII.2511.60I2,()()12.5013. 1514.0015.0016.3018.00110,001 Zu Übunl; 1.27: lim alt = " ..... 00

-112.

lim " ..... 00

b" =

J

Zu Übung 1.29: Zur Beweisidee siehe Beispiel 1.39 (harmonische Reihe). 2k Zu Übung 1.31: Beweise zunächst k! <

I. (Zl-4 fürk ~ 4: vgl. 1.23

Zu Übung 1.33: Konvergenz liegt vor für alle x E (-1. I]. Zu Übung 1.34: Stetigkeitsbereiche (a) IR\\Oj (j ist stetig!). (b) IR\IOI (g ist unstetig in 0). (c) IR\/-I.II. (d) IR.

Zu Übung 1.37: Gleichmäßig stetig sind f. hund k. da sie stetig auf 10. 11 fortgesetzt werden könncn (vg1. Satz 1.26). Ungleichmäßig stetig ist g (0 ist Pol!). Zu Übung 1.38: Dividiere in (a). (b). (d) Zähler und Nenner mit dem Divisionsverfahren ftir Polynome (s. Abschn. 2.1.6). In (c) multipliziere Zähler und Nenner mit (.jX + I). Aufgaben werden durch gedruckte Lösungen oft entwe"e!. Daher wurde nur bei wenigen Aufgaben Lösungen und Hinweise gegeben

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584

A Uisungen zu den Übungen

Zu Kapitel 2 Zu Übung 2.2: Volumengleichung VI + V2 = V und Massengleichungen PI VI als zwei Geraden im Vl- V2-Koordinatensystem deuten. Gesucht: Schnittpunkt.

+ P2 V2

= pV lassen sich

Zu Übung 2.12: Man berechne O. 01 und. falls nötig. Oall bzw. 02. und entscheide nach dem vorangegangenen Schema. Zu Übung 2.26: Es sei" > I und Xt < x2. wobei Xt ..t2 nlliollal sind. Damit gilt ".Q /a xi = a X2 - XI > I (nach Abschn. 1.1.6. Folg. 1.9 und Übung 1.8b). Damit gilt (l X 2 > (lXI. Sind Zt. Z2 reell. alsoevtl. irrational. und gilt Z I > Z2, so gibt es rationale XI . X2 mit Z I < Xl < X2 < Z2. Nähert man Z I und Z2 durch rationale Zahlen beliebig genau an. so folgt durch Grenzübergang jedenfalls

also (/::1 < (/::2. was zu zeigen war. (Im Falle 0 < a < I betrachte man zunächst I/a x und schließe analog.) ..

Zu Ubung 2.28: (a) Mit

(I"

= 11/2" folgen man

(/11

= 2(11

11

I) ",,-I ~ 0,15(/n_1 flir 11 ~ 3. Das liefen

(induktiv) rur 11 ~ 3: (/" ~ (0.15)"-2(12 --l> 0 (flir 11 _ (0). (b) folgt wegen x/ e X < x/2 x (x > 0). (c) folgt mit)' = eX aus (b). (d). (e) klar! Zu Übullg 2.34: Benutze Def. 2.16. Zu Übung 2.36: Fasse die cos-Ausdrücke als Realteile komplexer Funktionen von I auf. wie in (2.149). Errechne damit A und I{I analog zum vorangehenden Tex!.

Zu Kapitel 3 Zu Übullg 3.1: Geschwindigkeit = c. Zu Übung 3.7: Beschleunigung

= g bzw. = 0,

Zu Übung 3.8: Es sei (x,,) eine Folge aus I mit XII --l> xo für 11 --l> 00. Man bildet il'l := (fer,,)I(xo»/(x" - xo). Gibt es nur endlich viele _r" .::: xo (bzw. XII > xo). so strebt il" offenbar gegen I'(xo+) (bzw. I'(xo-)). Gibl es sowohl unendlich viele XII .::: Xo wie auch unendlich viele .r" > xo. so fomlieren diese zwei Teilfolgen von (il,,). deren eine gegen I' (.to-) und deren andere gegen I' (xo+) mebt. Wegen I' (XO-) = I' (.rO+) strebt damit (il,,) auch gegen diesen gemeinsamen Wert. der somit J' (.rO) genannt werden darf. Zu Übung 3.13: Implizites Differenzieren liefert 2)')" - 2r = O. also )')" = .r. Für )" = I folgt)' = .r. Dies beschreibt die Winkelhalbierende der positiven Koordinatenachsen: usw. Zu Übung 3.16: Für beliebige Xl. x2 E I mit XI < x2 gilt nach dem Mittelwertsatz (Satz 3.5): I(X2) l(xl) = I'(~)(.rl - X2) mit einern ~ E (XI. xz). 1m Falle (a) ist die rechte Seite = O. im Falle (b) ist sie stets ~ 0 (bzw. > 0, ~ 0, < 0). Daruus folgen die Behauptungen. Zu Übung 3.21: Benutze Salz 3.14. I

Zu Übung 3.29: Verwende In - = -In (I.

"

Zu Übung 3.37: Uisungen.TJ ='= 0.80106931. X2 ='= 1.24143200. Zu Übung 3.38: Wende das Newtonverfahren uuf I(x) = .r 3 - a uno Zu Übung 3.40: Volumen V = x(50 - 2r)(80 - 2x). Suche das Maximum dieser Funktion von.e und zwar im Intervall [0. 50/21.

585

Zu Kapitel 4 Zu Übung 4.3: Es sei e :> 0 beliebig (klein) und Zeine Zerlegung von [0. rr I. deren erstes Teilinlervall In. [;/4) is!, und mrdie folgendes gilt: Die durch Z erzeugtcZerlegung Z' von [E/4. Jr ) sei so. daß Sj(Z')s/{2') < EI2 ist. (Das ISI erreichbar. da / auf [6/4, Jr ) stetig. also auch intcgricrbar ist) Für die Zerlcgung Z von 10. rr] ist aber sicherlich MI =

max !(x) = I.

IO.~/4J

,

1/'1 =

'('

min f(x) = -I.

[0.':/4)

also

' )="2+ ' Sj (Z)-Sj(Z)<€. , ,

Sj(Z)-Sj(Z)=M1"4+Sj(Z)- 1111"4+5/(2)

Da E > 0 beliebig (klein) ist. folgt

i~f S feZ)

Z

= sup~1(Z). d.h. fist intcgrierbar auf [0. 1r). Z

Zu Übung 4.14: (a). (e), Cd) existieren. (h) nicht.

,

Zu Übung 4.15: f(x)::

J

f

00

fCx)dr::

.,-1

f(x)dr -., 0

ruf.{ -.,

00.

x-I

f ~. f!.1 F-: I

Zu Übung 4.16: (b) konvergien. da

konvergieren.

0+ Mit dem Grenzwertkriterium (Salz 4.15) erkennt man: (a) konvergiert. da filJsin.r ~ I fUrx ~ 0+, (b) konvergicrt nicht. da

(~1)' 1

(coSh{f) - 1) -+ 2 fUr x -+

00/.

(c) konvergicrt nicht. da ei/x I(COSh{f)-I) -+ 2fUrx -+ 0+.

f I

(d) konvergiert. da (In x 1fi)lx-· 3/ 4 = x t / 4 lnx -+ 0 fur x -+ 0+. und da

x- 3/ 4 dx konvcrgiert.

0+ Zu Übung 4.17: Benutze Satz 4.15. Zu Übung 4,18: Benutze Satz 4.16.

Zu KapitelS Zu Übung 5.1: (a), (b) konvergieren g1cichmaßig, (c). (d) nicht. «c), (d) konvergieren aber punklweisc!) Zu Übung 5.6: Für jede Partialsumme s,,(.r) dcr rechten Seile gilt offenbar s,,(x) < arcsinx < arcsin I. falls lxi< I. Also folgt s,,(I) = lim I II (.r) :: aresin 1 fUr alle 11 E N. Die Folge s,,(1) ist also be.t-ol-

schränkt und 1110noton. folglich konvergcnt. ElltspTt.'Chclldcs gill fUr s,,(-I). Mil dCI11 Abelschcn Grcllzwertsat;o; (Satz 5.15) folgt damit die in der Aufgabe behauptete ReihendarsteIlung.

A Uisungen zu den Übungen

586

Zu Kapitel 6 Zu Übung 6.3: lim

k_oo

flk = [0']· k_oo lim bk=['/,']. lim q= k_oo

Zu Übung 6.4: A und C abgeschlossen. B olTen. D nichts dergleichen. Zu Übung 6.7: (B- 1A-1)AB = B- 1(A- I A)B = B- 1 EB = B- 18 = E => (8- 1A- 1) = (AB)-J. Zu Übung 6.13: Zur Beantwortung betrachte die Geraden im 1R.2. die durch die Gleichungen XI = O. .t2 = 0 bzw. xl = x2 gegeben sind. Untersuche lim j(x) auf jeder dieser Geraden! >-0 Zu Übung 6.20: (a) Man orientiere sich an Beispiel 6.17. aj aj ]. öj f (b) !,(x) = [ ::;-(x). - ( x ) = [e XI slllx2. e"'1 cos.Q] => - = f (O.O)a = (0. "XI iJx2 iJa

Zu Kapitel 7 Zu Übung 7.6:

f/<e.r+sinY)dXdY= f2['->/4 f (e·t+siny)dy] dt 8

0

",/4

,

2

f[le",y-cosYI1~/;t4dx= f[e"'-~e.r-cos(I-~)+COS~]dX

=

o

0

x]'

X x J = [ e -2"Ct-l)e +4Sin.t ( 1-4"' ) +4sin4" 0

I

2

.

1

.

3

=-e +8sm--4~ml--. 222 Zu Übung 7.26: Torus: Volumen V L· 2rrR = 2nr· 2rrR = 4rHrr 2.

= FA· 2nR = r 2n . 21TR

= 2r 2 R1T 2. Obcr1l:kheninhalt F =

Zu Übung 7.27: Benutze Formel (7.88) mit j(x) = R + Jr 2 _x 2 und g(x) berechne:

r -

J,.2

,

Jx =

IPO /

-,

[f4(x) - g4(x)]dx.

Es ergibt sich

Mit der Masse m = POV =

PO .2n 2 Rr 2 erhält man das T,.iigheitslllomelll des Torus in der Form

_x

2. d.h.

Z" Üb"". =

7.2' J, =

1/ICh")d'd)'d'

I 2 30 [gcm ].

=

587

![t[ 'rh "ld'] d),] d,

.

Zu Ubung 7.29: R Radius der Halbkugel. Der Schwerpunkt liegt auf der Symmclricachse,

UlIl

'38 R

vorn

Kugelrniuclpunkl entfernt. in der Halbkugel. Zu Übung 7.31: 1+/ 2

F'(tj =

I

J sin(xr) sin«l +/2)1) sinr 2 - - - dx+2r - i .-{Jr

x

~

cQs(.n)

I

+ (2

t

=> F

I

1+31 2

3

2

2

(1)= --,-sin(l+f )--sint . t t t

+

Symbole Einige Zeichen, die öfters verwendet werden. sind hier zusammengestellt. A

=>

ß

A .::> 8 .t :=

auS A folgl 8 A gill gcnau dann. wenn B gilt x ist dclinitionsgcm;m gleich

€ M .T f. M

.• ist Element der Menge At. kur1-: .• ist niehl Element der Menge At

Menge der

Menge der ganzen Zahlen Menge der mtionalcn Zahlen Menge der reellen Zahlen

Q

Zur I\lengcnschreibwcisc S. Absdm. 1.1.4 .t

N Z

~x

allS

M~

lx]. x2 . .... x,,) Menge der Elcmeme XI. X2 . .. ". XII Ix I x hai die Eigenschaft EI Menge aller Elemente.< mit Eigenschaft E Ix E N I x hai die Eigcll>ehaft EI Menge aller Elemente x E N mit Eigenschaft E M C N. N :J M Mist Teilmenge von N (d.h. x E M =>

R R+

Vcrcinigungslllcngc von Mund N Schnillrncngc von Mund N Rcslmcngc von A in M leere Menge canesisches Produkt
Weitere

ße7A~ichungen

,

I.ll (mr x E IR) I 1.6

L:>t

1.1.7

,~

1.1.7

(;) f :

1.1.7

A ....,. B 1.3.2. 1.3.5 /-I,fog 1.3.4

(
lim

'_00

/In

U,,(lI)

lim

'''''-<0

1.4.1

104.3 1.4.3

1.6.7. 1.6.8

!(xo+). /(.1"0-)

1.6.9 sup f(.l). inf fex) 1.6.5

_<EA

XEA

11"

2.3.1

e

2.4.2

1.5.1. 2.5.2 Z. 1:1 (rur Z E Cl 2.5.2

!'.::.l.. d.<

3.1.2

bhlcn 1. 2. 3..

Menge der positi\'en reellen Zahlen

R-

Menge der negativen reellen Zahlen

R(i "0

Menge der nicht ncgmiven reellen Zahlen

M,,,,, d" "k" ,,,,,;,;,,,, =,,'" Z,h1,,,

(Xl •.... XII) II-Tupcl [li. bl. (lI, h). [11. h), (11, h] beschränkte Inlerv"Uc [lI, 00). (ll , <Xl). (-00. "I. (-oe. al. IR unbeschränkte

Imervalle Menge der

XE N)

M UN M n N M\A 11 A x 8 A I x A2

n~lijrlichcn

k0l11ple~cn Zahlen

(Abschn. 2.5.2)

Spallcmdaor der Dimension" (Abschn. 6.1.1) R"

Menge aller Spallcl1\'cktorcn der Dimension 11 (wobei Xl ..<2 •...•.I n E R) (Abschn. 6.1.1)

,

J

!(x)dx 4.1.1

"

[F(.l)l~ 4.1.5

J

!(x)dx 4.2.1

C. H.

J

I(x)dx 4.3.2

11/1100 lim

,-~

lim

n"

Mm(1J dCl V 0(.)

I"

5.1.1 5.1.1

5.2.1 5.4.1

+ I.R)

5.4.1

5.4.1 5.4.1 X+y.Ax 6.1.2

x·y.lxI6.1.2 xxy 6.12

A-n

6.1.2 Ka.r. K a .r 6.1.4

iJM.f11.M 6.1.4 (11;1:)1<;<",,(11;1:)111," 6.1.5 l~k~"

K. Burg et al., Höhere Mathematik für Ingenieure, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9929-3, © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

590

Symbole

6.1.5

'A'I' i.lxk

grad

6.3.1

f

,21

fJxlJXj

"I

11* ,

6.3.3 6.3.5 6.3.6

rldxdy 7.1.1

il(x.}')

J

;;(14. v)

7.1.6

j(x)dx 7.2.1

Q

Ir

.. /

Q a('\"I'

'2·

!(Xl . ...• Xn)dXI ... dXn . . . . '(11)

;)(1'1· 1'2· ... ,li,,)

deI A

7.2.3

7.2.3

7.2.1

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592

Lileralurvel7.eichnis

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ill

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593

Stichwortverzeichnis A

Abbilllung. 55. 459 - differenzierbar in A C D.474 - differenzierbare. 474 - eineindeutige. 541 - Grenzwert einer. 466

-

~on\'ergenle.

467

- partiell differenzierbar nach xk. 469 - partiell differenzierbare. 470 -slcligauf AC D.466 - stetig in einem Punkt. 466 - stetige. 466 abbrc.::hcndcr Dezimalbruch. 2

Abclschcr Grcnzwcrtsatz. 385 abgeschlossene - Halbgerade. 13 - Hülle, 454 - Kugel. 453 - Menge. 453 abgeschlossenes Intervall. 12 abhiingigc Variable. 44 Abkling\"organg. 279. 280 Abkühlung eines Gegenstandes. 280 Ableitung. 357 - äußere. 215

- drine Im. 209 - drine partielle. 487 - innere. 215

-linksseitige.208 - logarilhmiscllc. 229

-'He [In), 209

- partielle. 468 - partielle von f nach Xk. 469 - rechtsseitige, 208 - von - von - von

f. 206 f in 10. 200 f in xo. 202

- zweite I", 209 ~ 1,weite pal1ielle, 486 Ableitungsfolge, 374 Ableitungsmatrix. 473, 541 Ableitungsreihe, 378 Ab$Choillsfornl der Geraden, 119 absolut konvergeme Reihe. 82 Absolutoctrag.23 Absland - zweier Funktionen voneinander, 370

~ zweier Punkte im Rn, 452 Abwasscrbnal. 284 Achsen~b$Chnillc einer Geraden, 119 Addition - komplexer Zahlen. 185 - von Matrizen. 455 Addilionslheorem - der Exponentialfunktion, 171 Addiliollstheoreme - der Sinus- und Cosinusfunktionen. 156, 224 - der Tangens- und Cotangensfunk!ionen, 159 Addilivität. siehe Eigenschaften der Bogenliinge, 211.

30S Ähnlichkeit geometrischer Figuren. 121 äquidi,tante Zcrlegung, 298 äußere Ableitung. 215 ~Igebrai>che Funktion. 139 - in expliziter D,trslellullg. 143 ~lgebr.ti'Che Gleichung w I. 139 ~lIgemeille

- Expone11lialfunktion. 228 - Potenzfunktion. 228 - Pyramide, 563 - Zcrlegung, 531 alternierende Reihe, 81 Amplitude, 165 Anfangsnähen.lllg, 258 Anzahl. I Approximatiollssatz - Weiersmlß'scher. 388 - Weicrsw.tß'scher rur (algebraische) Polynome. 388 - Weiersmlß'schcr Hir periodische Funktionen. 393 Approximationslhcorie, 388 Archimedisches Axiom. 10 Areu'. 162 Arcu_'Cosinus. 152. 161 Arcu>COlangens, 161 Arcussinus. 161 Arcustangens, 161 Arcafunktionen, 180 Argumenl,44 Argumenl einer komplexen Zahl. 193 arilhmeli$Ches Minel, 254 ASS01.iativgesclz - der Addition komplexer Zahlen, 186 - der Addition reeller Zahlen, 5 - der Multiplikation komplexer Zahlen. 186

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$tichwQr1\'eraichnis

- dtr Multiplikation redkT Zahlen. 5 Astroidc. 220 ASymplOI:e. 138 - der Hyperbel. 144 - einer l1Iuionalen Funktion. 267 uialcs Aächmmommt. 537

•

B:u.:tcrienl.:uhur - Wachstum einer. 279 Balken - Biegefesligkeit eines. 285 Banachschcr Fixpunklsat7.. 72 b;lromelrischc Höhenfonnel. 281 Bausparkassc. 19 bedingt konn:rgente Reihe. 84 Berechnung - der Nullsldlen eines Polynoms. 197 - der Null,lellen \'on Polynomen. 259 - des Aächeninhalls l'inl'r eben..n PunklIlIenge. 524 - einer Dclenninante. 560 - eIncs Interpolalioospolyooms. 396 - I'one, 241 - \'On ./ä. 22 - \'Ol1 Integralen über Stammfunl.:tionen. 305 -\"Ql1ln(1.244 - \"Ql1 LogarilhlTl('n mit der Taylorrcihc. 244 - \"Ql1 J'f. 249 - \'011 PoIynom\\'cnen. 128 - \"Ql1 Quadr:uwundn. 260 - \"Ql1 Wcchsdspannungen. 361 - \'011 Wechsdströmen. 361 lkmoullische - Ungleichung. 21 - Zahlen. 249 Bcmstein-PolyOOITl('.390 Beschleunigung. 210 - Darstellung :tls Vektor. 449 - eines Masscnpunl.:tes. 274 beschrankle - Folge, 66 - Funktion. 100 - Menge. 454 beschrlinktl's Inlervall. 13 Belmg - der Aiehkmfl, 275 - einer komplexen Zahl. 187 Bl'wl'gung - einer Kugel in einer zähen Aüssig!«'i!. 201 - eines :tufwäns ge"..orfellCl1 Körpers. 121. 124.275 -eines Fcdcrpcndels. 157 - eines Masscnpunl.:tes. 116.201.210 - eillC:'! MasscnpunklCS auf einer Kreisbahn. 274 -eines MßSCnpunktes im Rl. 273 - eillC:'! Punktcs auf einer Ellipsenbahn. 144 -eillC:'!Radc:s.157

- eillC:'! Steines. 201 -eiIlC:'!Zugcs.1l8 ßcwq;ungsglc:iclwng. 121 Ba..cis - durch 1'OIIst.5ndigc Induktion. 18 - konsuul.:ti\'u. 9J BelUg~.360

Biq;efestigkcit - eines Balkens. 285 Bicgemomcnl. 580 Biegung - eines Balkens. 579 bijcklivc Funklion. 52 Bildpunkl. 44, 55 Binom. 29 Binomialkoeffizient, 26 binomische - DiITercmialionsrcgel. 213 - Fonnel. 26. 27. 244. 389 - Reihe. 244, 245 Blindwiderstand, 361 Bogenlänge. 147 Bogenmaß, 152 Boyle·MariOlleschc's Gesctz. 136. 281 Brcnnschlußgcschwindigteit - einer Rakete. 281 Bruch. I

C cartesisc~

- Blatt. 220 - Produkt. 16 Cauchy·Bcdingung.70 - für uncigemlichc Integrale. 340 Caudly-Krilcrium ffir Reihen. 81 Cauchyschc Restglicdformel. 239 COIuchyschcr Haupl\\'ert. 345 COluchysc~ ~ KOI1\'crgen~.krilcrium.

-

Kon\·erg.::n~.krilcrium

-

Kon\'ergcn~.kritcrium

68 fUr gleichmäßig.:: Konwrgen1..

372

für uncigemliche Imegmlc. 340 Ciwalierischcs Prinlip, 563 chemische Reaklion. 280 Cosinus, 154 Cosinushypcrbolicus. 181. 182 COIangens.158 COIangens hyperbolieus. 181

D d' Alcmbcnsches Prin6p. 507 DämpfungsfakllW, 273 DetinilionsbeTcich. 44. 5S De\'ialionsmomcnt.537 Dezimalbruch. I

Stichwortverlcichnis

- abbrechender. 2 ~ Periode des. 2 Dezimalzahl. I Diagramm. 46 DilTeremi
(f) von Funktionen. 211. 231

- rur die logarithmierte Funktion von j(.r). 229 - rur die reziproke Funktion. 212. 231 - rur die Sumnle (f + /I) von Funktionen. 211. 231 ~ ftIr die Umkehrfunktion 1-1.217. 231 - rur die Verkeuung (f 0 g) von Funktionen. 214. 215. 231 - rur die wichtigsten clemenwren Funktionen. 231 - für Mehrfachprodukte. 213 DilTerenz. 5 DilTerenzenquotient - von j bezüglich I und '0. 201 - von I bezüglich., und.
- rur Integrche. 461 Einheitskreis. 140 Einheitskreislinie. 147 Einheitsmatrix. 457 Einheitspamocl. 121 Einsehallaltvorgang (elekrischer Strom). 281 Einschließungseigcnschaft, sie"e Eigenschaften der Bogenlänge Einschließungskriterium. 65 einseilge DilTerenzierbarkeit. 209 Eisenkern. 287 elektrischer - Schwingkreis. 272 - Strom. 281 Element - einer Folge. 56 - einer Matrix. 455 - einer Menge. 11 Ellipse. 143 - Flächeninh
597

598

Stichwortvcrlcichnis

Eulersche - GammaFunktion. 351 ~ Konstante. 348 -Zah!.17) explizite Fonnein zur Berechnung einer Determinante, 560 Exponential Funktion - allgemeine. 228 - komplexe. 437 -zur Basis (I. 170 Exponentialintegral Ei. 349 Extremaiproblem. 102 Extremalpunkl.501 Extremalstclle.501 ExtreHlstelle.262 Extremulll. 221. 262 F Fakultät. 27 Fall - freier. 42 - freier ohne Reibung. 275 Federpcndcl. 157 Fehlembschätzung. 74. 278 Fehlerintcgral - Gauß>ches. 549 Feinheit einer Zerlegung. 290. 292. 522. 531 Fenn3tsches Prinzip. 285 Fixpunkt -von/.71 Fixpunktgleichung. 71 Fixpunktitemtion.71 Fläehe - dcs Kreises. 315 - von / auf [a. bl. 290. 293 F1äehendiehle - einer Masse. 533 - konstante. 534 F1ileheninhalt. 290. 293. 511 - einer ebenen Punktmenge. 524 - einer Ellipse. 548 - einer Jordan·meBbaren Menge ß. 524 - eincs Normalbereiehs. 529 F1ilchenmomem - axiales (bzg!. der .f-Aehse). 537 - axiales (bzg!. der )'·Achse). 537 - axiales (eines gleichseitigen Dreiecks). 538 - einer QuerschniusO'lche. 537 - eines rechteckigen Balkens. 464 - gemischtes (bzgl. der.r- und )'-Achse). 537 - polares (bzgl. des Koordinatenursprungs). 537 - zweiter Ordnung. 537 Fliehkraft. 274. 275 Folge. 56 - beschr'jnkte. 66 - der Panialsumrnen. 452

-

der zugehörigen DilTerenzenquotienten. 203 divergente. 62 Elemente einer. 56 gegen unendlich strebende. 68 ~ geometrische. 59 - Grenzwert einer. 60 - größter Häufungspunkt einer. 380 - Hiiufungspunkt einer. 67 - harmonische. 57 - konvergente. 62 - Limcs einer. 60 - monOlOn fallende. 68 - monOlOn ,teigcndc. 68 - nach oben unbeschränktc. 68 - nach unten unbeschr'jnkt. 68 - Null-. 57 - streng monoton Fallende. 69 - streng monoton steigende. 69 - unllesehr'jnkte, 66 - unendliche reeller Zahlen, 56 - von Vektoren, 450 Formel - binomische, 26. 27 - polynomische. 29 Fourier-Koeffizient. 421 Fourierrcihe.421 - gleichmäßig und absolm konvergcnte. 434 Fouriersche Me1hode. 441 freier Fall. 42 - mit Reibung. 236 - ohne Reibung. 275 Freileitung zwischen z"'ei Masten. 283 Frcquem;. 165 Fundamentabatz der Algebra. 196 Funktion. 42 - algebr~isehe. 139 - ahemiercnde. 427 - beschränkte. 100 - bijektil'c. 52 - differenzierbar auf A, 206 - differenzierbar im Punkt.rO E ,. 202 - differenzierbare. 206 - echt gebrochene. 135 - erzeugende der Kugel. 566 - cr/.cugendc cines Ro3taionskörpcrs. 565 - ganzr.ltionale. 115. 135 - gebrochen r.ltionale. 135 - gerade. 266 - gleichmäßig sleüge. 103 - Gr~ph eincr. 46 - Heaviside. 49 - Höhenlinienbild einer. 462 - implizite. 496 -lnfimum einer. 100 - injektil'e. 52 - imegrierbar auf [u, b). 293

SlichwOl1vcrzeichnis

-

imegrierb~r ~uf

H. 524

konkav ~uf einem Inlervall. 252 konSI;tnle. 115 konvex ~uf einem Interv~ll. 252 M~ximalslelle einer. 100 Maximum einer. 100 Minimalstclle einer. 100 Minimum einer. 100 monoton fallende. 50 monoton steigende. 50 n~eh oben beschr'Jnkle. 99 nicht ~Igebr~ische. 319 'Hn~1 difTerenzierwre. 209 -1J·m~1 slelig difTerenzierb~re. 209 - NullsIelIen einer. 90 - obere 5ehrJnke einer. 100 - Os1.illalion'Slellen einer. 113 - periodische. 419 - Pol einer reellwel1igen. 110 - Polweehscl einer. 113 - rnlionale. 98. 135.213 - Riemann·imegrierbar auf Q. 553 - Sprunge einer. 113 - Sprunghöhe einer. 113 - Slammfunklion einer. 303 - slelig difTerenzierb~re. 209 -slelige.91 - ,lreng konk~v ~uf einem Inlerv~lI. 252 - slreng konvex ~uf einem Inlerv~lI. 252 - slreng monoton fallende. 50 - slreng monOIon sleigende. 50 - slückweise glaue. 422 - slückweise ';lelig ~uf 1(/. bl. 295 - slückweise slClige. 113 - ';lüekwese nlOnOlon ~uf 111. hl. 295 - Supremum einer. 100 - surjeklive. 52 - lranszendenle. 3 I9 - lrigonomelrische. 154 - Umkehr-. 5 I. 53 - umkehrbare. 52 - unbeschränkte. 337 - unecht gebrochene. 135 - ungernde. 266. 268 - unger~de ~hemierende. 429 - unslelige. 91. 107 - Unstetigkeilsslcllen einer. 113 - untere Schr~nke einer. 100 - Verkeuung von. 54 -\,onAin B.44 Funktionaldelermin~nle.542 - der Trnnsfomlalion ~uf Polarkoordin~ten. 544 - Vcrnnschauliehung der. 542 Funktionalgleichung - der Exponemialfunklion. 176 - des Logarilhmus. 177

Funklion~lm~trix.541 Funklionenfolge - gleichmäßig konvergente. 371 - punktweise konvergenIe. 370 Funklionswel1.44

G Gamm~funktion.

-

351

der. 352 Funklion. 135

Funktion~lgleiehung

g~nzr~lion~le

Gas - ideales. 271.463 - reales. 485 Gllsdynamik.484 Gllsgesctz rur ide~le Gase. 463 Gllußsches Fehlerinlegrnl. 549 Gebiel.542 gebrochen ration~le Funklion. 135 gemischtes Aächenmomem. 537 geometrische - Folge. 59 - Reihe. 76 - Summe. 25 geometrisches Mine!. 254 geordnete Slichproben - mil Zurücklegen. 42 - ohne Zurücklegen. 35 gernde - Funklion. 266 - Permulalion. 560 Gerade. 103. 116 - Abschnillsfoml der. 119 - Achsenabschnille der. 119 - Punkt-Richlungsform der. 117 - Richlung der. 116 - sleigende oder fallende. 115 - Sleigung einer. 116 - Zwei-Punkle-Form der. 118 gerichtete Slreeke. 446 Geschwindigkeil. 199 - Darslellung als Vektor. 449 - eines Masscnpunkles. 274 - eines Masscspunkles. 210 Gesclz - Boyle-Mariollesehes. 136 - Ohmsches. 360 gleichformige Drehbcwegung. 274 Gleichheit - \'on Elemelllen einer Menge. 12 - \'on Matrizen A und H. 455 - zweier komplexer Zahlen. 184 - zweier Spal1en"ekIOren. 444 gleichmäßige Sleligkeit. 102.466 Gleichung - algebraische zu f. 139 - quadrnlische. 126

599

600

Stichwortvcrlcichnis

- schönste der Weh. 191 - van der Waalssche. 269 Gleisbogen. 43 Glied - einer Reihe. 75 - einer Reihe von Funktionen. 377 - einer Summe. 25 Gradient einer Funktion. 481 Graph einer Funklion. 46, 460 - Steigung des, 471 Grenzfunktion. 370. 371 Grenzwert. 56 - einer Abbildung, 466 - einer Folge. 60 - einer Folge von VeklOren. 450 - einer Reihe. 75 - im Unendlichen. 467 -linksseitiger einer Funktion. 112 - rechtsseitiger einer Funktion. 112 Grenzwertkriterium - rur uneigentliehe Integrale. 343 Grenzwertsatz - Abclscher. 385 größte untere Schr~nke. 66 große Halbachse der Ellipse. 144 großes Homer-Schema. 130 Grundaufgabe - erste. 31 - zweite. 32 -dritte. 34 - vierte. 37 - der Integralrechnung. 289 - mnfte. 38 - sechste. 39 Grundgesetz - arehimcdisches Axiom. 10 - der Vollständigkeit der reellen Zahlen. 10 - Newtonsches der Meehanik. 210. 275 Grundgesetze - der Addition komplexer Zahlen, 186 - der Addition reeller Zahlen, 4 ~ der Multiplikation komplexer Zahlen, 186 - der Multiplikation reeller Zahlen. 4 - der Ordnung reeller Zahlen. 9 - [iber Potenzen ,," und WUrll~ln VU. 21 Guldinsche Regeln. 567 11 Hiiufungspunkt - einer Folge. 67 - einer Menge, 467 - einer Menge DeR. 106 Halbgerade - abgeschlossene. 13 - offene. 13 Halbkugel. 461

h"lbolTenes Intervall. 13 h"rmonisehe - Folge. 57 - Reihe. 77 - Schwingungen. 165. 194 Hauptargumem.l94 1'lauptdeterminame.503 Hauptsatz der Differential- und Integr~lrechnung. 304 H;luptwenc der Grundreihe. 60 Heaviside-Funktion.49 Hintereinanderausfuhrung \'on Funktionen. 54 Hochspannungsleitung. 182 Höhenlinien. 461 Ilöhenlinienbild einer Funktion. 462 Homo);enität. 211. 308 Homer-Schema - doppeltes. 259 - großes. 130 - kleines. 128 Hülle - abgschlossene. 454 Ilyperbcl - gleichseitige. 136 Hyperbelfunktionen. 180 - Ableitung der. 231 - Ableitung der Umkehrfunktioncn der. 231 I

ideales - Gas, 271 - Wachstum. 279 Identitätssatz fur Potenzreihen. 385 imaginäre - Achse. 183 - Einheit. 183 implizite Funktion. 496 hnpulssatz.281 Index - einer Funktionenfolge. 369 - eines Folgenelementes. 56 Induktion - vollständige. 18 Induktionsanfang. 19 Induktion,schluß. 19 Induktiviliil. 272. 360 lnlimum.66 - einer Funktion. 100 injektive Funktion. 52 innere Ableitung. 21 5 innerer Punkt - einer Men);e M E R". 453 - eines Der.nitionsbcreiches. 262 Inneres - einer Menge M € R". 453 Integral - bestimmtes, 307. 313

Slichwortvcrlcichnis

- Riem.mnsches von f auF Q. 553 - unbestimrmes. 306 - uneigentliches. 336. 337 - von f auf [11. bl. 292. 293 - von f auf Q. 523 - von f über dem Bereich B. 511 lnlegralkrilerium rur Reihen. 346 Inlegrallogarithmus Li. 350 Integration - analytische. 319 - einer komplcxwertigen Funktion f().) 1I().) + ju("). 357 - elementare. 319 - numerische. 299 -partielle.318 - ralionaler Funktionen. 323 Imegrationsregeln.301 Interpolation. 388 Interpolalionsbedingung.413 Interpolationsproblem. 393 Imervall.12 - abgeschlos>cnes. 12 - beschrJnktes. 13 - beschrJnktes und abgeschlossenes. 99 ~ halboffenes. 13 - kompaktes. 99 - offenes. 13 - unbeschränktes. 13 Imervallhalbien.ll1gsverfahren. 91. 94 Imervallschachtelung. 10 Inverse. 457 Invertienrngssatz.501 irr~tionale Zahl. 4. 169

J Jacobi·Matrix.473 Jahrenins. 79

K kanonische Einbeuung. 461 K;rpazität. 272. 360 Kegelschnitte. 145 Kenn-KreisFrequenz. 273 Keuenkarusscll. 90. 282 Keuenregel. 214. 215. 231. 309. 478 Kirchhoffsche Regeln. 361 kl
601

Kombinationen - mit Wiederholungen. 39 - ohne Wiederholungen. 38 - zur k-ten Klasse mit Wiederholungen. 39 - zur koten Klasse ohne Wiederholungen. 38 Kommutativgesctz - der Addition komplexer Zahlen. 186 - der Addition reeller Zahlen. 5 - der Multiplikation komplexer Zahlen. 186 - der Multiplikation reeller Zahlen. 5 kompakte - Intervalle. 99 - Menge M C R". 454 - meßbare Menge. 524 - Zahlenrnenge. IQ..\ komplexe - Exponentialfunktion. 437 - quadr~lische Gleichung. 189 - Zahl. 184 - Zahlenebene. 184 komplexer Scheinwiderstand. 361 Komponentenfunktion. 459 Komposition. siebe Verkeuung von Funktionen Kondensatoremladung. 281 konjugiert komplexe Zahl. 186 konkav. 252 konstante Flächendichtc. 534 Komostand.19 Kontr~klion. 72 konvergente - Folge. 62 - Reihe. 75 Konvergenz. 56 - einer Zahlenfolge. 60 - gleichmäßige. 370. 377 - punktweisc. 377 - quadr~tische. 256 Konvergenzkriterium - Cauehysches. 68 - Cauehysches flir gleichmäßig konvergente Reihen von Funktionen. 377 - Cauchysches flir gleichmäßige Konvergenz. 372 - Cauchysches flir uncige111liehc Integrale. 340 - flirTaylorrcihen. 247 Konvergenzradius einer Potcnzreihe. 380 konvex. 252 Koordinaten - elliptische. 545. 549 - krummlinige. 556 - parabolische. 545 - rntationsclliptische. 558 - rotations parabolische. 558 KoordinalenFolge.451 Koordinatennetz. 465 Koordinatensystem. 13 Kraft. 121. 210

602

Stichwortverleichnis

- Darstellung als Pfeil. 449 Kreisbogen. 147 Kreisfläche. 315 Kreisfrequenz. 165. 272. 438 Kreisscheibe. 14.452 KriL"Chvorgang.280 kritische Temperatur. 270 kritischer Dn'ck. 270 kritisches Volumen. 270 Kriimmungsbedingung.413 krummlinige Koordinaten. 556 kubische Splines. 412 Kugel. 452 - abgeschlossene. 453 - erzeugende Funktion einer. 566 - in l.tihes Medium eindringende. 281 - offene. 453 Kugelkoordinaten. 558. 559 Kugelumgebung \'on a im R". 453 Kurve. 143 - glalle. 536 - Länge einer. 536 Kurvenschwerpunkl. 537

L Lagrangesche - Basispolynome. 398 -lnterpolationsfonnel. 397. 399 - Mul1iplikatoren. 506 - MultiplikalOrenmethode. 507 - Multiplikatorenmethexle(zweidimensionaler Fall). 507 - Restgliedformel. 239 Landau-Symbol. 397 leere Menge. 15 Lehrsalz des Pylhagoras. 14 L.eibniz-Kriterium flir allemicrende Reihen. 81 Leibnizsche Reihe. 249 Leistung - momentane. 354 Leistungsfaktor. 354 Lichtbrechung. 285 Lichtreflexion. 285 Limes. 60 Limes-superior. 380 lineare - Splines. 411 - Transfonnation. 547 Linearfaktor. 133 Linearität. 478 Linkskriimmung.252 logarithmische Ableitung. 229 Logarithmus -dualis. 179 - natiirlicher. 176 - wr BasislI. 178

-zur Basis 10. 180 lokales - Maximum. 261. 501 - Minimum. 262. 501

"

Majorante. 378 Majoralllenkriterium. 85 - flir gleichmäßig absolute Kon"ergenz "on Funktionenrcihen.378 - flir uneigentliehe lnlegr•.Ile. 343 MaS'iCnmillclpunkl. 533 mathematisches Pendel. 483 Matrix - inverse. 457 - Muhiplibtion mit einer reellen Zahl. 456 - quadratische. 457 - reelle. 455 - reguläre. 458 - singuläre. 458 - Spaltenzahl der. 455 - transponiene. 457 - Zcilenz:,hl der. 455 Maximalstelle - absolute. 262 - echte. 502. 504 - echte lokale. 262. 501 - einer Funktion. 100 - globale. 262 -lokale. 262. 501 - ,'on f unter der Nebenbedingung ll(x) = O. 505 Maximum - absolutes. 262 - eehtes lokales. 262 - einer Funktion. 100 - globales. 262 -lokales. 261. 501 Mehrfachintegral. 555 Menge. II - abgeschlossene. 453 - beschränkte. 454 - endliche. 55 - H;iufungspunkl einer. 467 - Inhalt einer. 554 - Jordan-meßbare. 524. 554 - kompakte. 454 -leere. 15 - meßbare. 524 - offene. 453 - Vereinigung. 15 - Volumen einer. 554 - wegweise wsaul'nenh;ingende koulp.lkte. 530 meßbarer Nonnalhocreich. 525 MetlMlde - ,'on Qstrogradski-Hennite. 328 Minimalstelle

Stichwortvcrzcichnis

- absolule. 262 - e
N n-Tupe!. 17.443 note Wurzel. 21 Nabla-Operalor V. 488 Näherungsfunklionen. 116 nalürliche Zahlen. I natürlicher Spline. 413 n-dimensionaler Quader. 551 negativ. 9 negative Zahlen. I Nelzlafel.465 Neville-Sehema. 401. 402 NewtQnfolge. 256. 492 Newtonsche -lmerpolmionsfonncl. 404. 406 - pulcherrima (3/8-Regel). 334 Newtonsches - erstes Axiom der Mech;lI1ik. 121 - Grundgeselz der Mechanik. 210. 275. 281 - Verfahren. 132. [97.255 - Verfahren (im R"). 492 - Vcrf;lhrcn (modilizicrtcs). 494 Nive;lulinien.461

NOfmalbereich. 515. 555 - Flächeninhalt des. 529 - meßbarer, 525 Normalp;lmbel.121 Nullfolge. 57. 60 Nullmenge. 525. 554 Nullphasenwinkel. 360 Nullpülynom. 115 Nullpunktverschiebung. 131 Null,telle - einer gebrochenen rationalen Funklion. 135 - einer reellwertigen Funklion. 90 - eines Pulynoms. 1[6 - mehrfache. 197.327 Nullstellcnsalz.94

o

obere Halbkreis[inie. 147 obere Schranke. 66 - ciner Funktion. 100 Oberintegral -von/.291 - \'on / ;Iuf Q. 523. 553 - von / auf[a. bj, 293 Obenncnge. [5 Oberstimme - von / bzg!. Z. 291. 293, 522. 553 uffene Menge. 453 offenes lnlervall. 13 Ohl11scher Widerstand. 360 Ohnlsches Gesell. 360 Ordnungszahl. I orthogonale KoordiMlcn. 544 Orthogonalitätsrelationen.421 - von sin und cos. 316 Ot1skurve. 356. 364 OszillationSSIelIen. 113

P p-Tupel. 29 Paar. 16 P.4amlenge. 16 Pambel. 121 Pambelschablone.124 parabolische Zylinderkoordinaten. 558. 560 Partialbruchzerlegung. 323 Parti;llsumme. 377 P.4rtialsunltllen einer Reihe. 75 partielle lntegnl1ion. 318 Pascalsches Dreie
603

- gerade. S60 - mit Ilkntitikatioom. 32. 42 - unger;Mk. S60 Pfeil. 446 - Aufpunkl des. .:l46 - Spittt des. .:l46 Phase. 165 Phasen\-erschicllun g

_ rechtwinklige. 167 _ zwischen Strom und Spannung. 353. 360 Phasenwinkel. 165 Pl:mcksche Strahlungsformel. 236 Plancksches Slrahlungsgeselz. 287 Plano:tengC1ricbe.l44 Pol. 110.267.467 - einer gebrochenen rJlionalen Funklion. 135 polares Flächcnmolllenl, 537 - ciner Ellipsen/Wehe bzgl. des Mittelpunkles. 538 - einer Kreisschcibe bzgl. des Minelpunktes. 539 _ eines ringfilmligcn Rohrqucrschnilles bzg!. des Miuclpunktcs. 539 Polar\:oordinatcn. 540. 544 _cinerkomplOlcnZahl.l94 PoIar\:oordinalendarstel1ung.l94 PoIwechsd. 113 PoI)·nom.91 - als Asymptote einer ralionalen Funklion. 138 - Division durch Line3J'faktOl'". 133 - n·len Grades. 115 -quadrati§Cha. 115. 121 Pol)'nomialkodlizient. 30 polynomische Formel. 29 Polynomnum. 393 positiv. 9 positive Detinithe:it. 446 Potenz. 8 Potentfunktion. 9'9.142.204 - al1gemeir>e. 228 - mit beliebigem Cl E R. 177 Potenzrcilw.'. 379 _ gliedweises Differenzieren eillCr. 384 _ gliedweises lruegriCTl:n einer. 384 _ Idcntitätssatz rur. 385 _ Konvergen~_radius einer. 380 Produkt - eartesisches. 16 - recller Zahlen. 4 - \"Oll Reihen. 84 Produktiruegr.llion.318 Produktregel. 211 Punkt - der Ebene. 13 - Slationarcr. 507 Punkt·Richtungsform einer Geraden. 117 Punktmengen der Ebene. 13 punkl.....eisc kOll\-ergente Reihe '"00 Funktionen. 377

Pyramide ~ allgemt'inc• .563 - quadrulischt:. 569 P)'tN.gonts. 187 - Ldlrsatz des. 14

Q Quader. 526 - n-dimensionaler. 551 quadntlischc ~ Eq;än:tung. 123. 189 ~ Mittelwcrte. 353 - Pyramide. 569 Querkraft. 579 Quotieru. 5 QUOlicntcnkritcrium. 87 Quolienlenrcgel.211

R radioaktiver 7..... rfall. 280 Raketenantrieb. 281 Rand - einer Menge M E Rn. 453 Randpunkt _ einer Menge M E Rn. 453 _ eines Ddinition5berdches. 262 r.lIionale - Funklion. 98. 135

-Zahl. I Rauminlult. 511. 5.54 Redll'nrrgcln - der Bruchrechnung. 5.186 _ der fuponemialfunktion. 171 - rur konjugiert kompku Zahlen. 187 - für konvergente Folgen. 63 ~ HIT Matrizen. 456 - rur stC1ige Funktionen. 97 _ rur Vekloren im Rn. 446 Rechleck. 14 RechlcckFunktion.424 Rcehlskri,inullung.252 reelle Zahl. 4 Regel \'on de rHo,pil:ll - allgemeiner F
Stichwonvcrteichnis

- harmonische. 77 - kom·ergenle. 75 -I..c:ibni~-Kriteriumfür

605

- über implizile Funklionen (zweidimensionaler Fall).

496

eine alternicrende. 81

-l..c:ibni"tSChc:. 249 - Partialsummen einer. 75 - Summe einer. 75 - lrigonomc:trische. 420 - unendliche. 75 - ''00 Funklionen. )77 Reihen - Cauehy-Kriterium flir.81 - MOIlO(ooiekritmum flir. 79 - Produkle ''00. 84 - ''00 Vektoren. 452 Rekußionsformd.321 Renlc:.79 Rc:sonanU:un-e eines elektrischen Schwingkreises. 272 Restglied. 237 Restgliedabsc:l'I5t1:ung.490 Restgliedfonnc:l - CaICh)'Khe. 239 - l.agr.mgesche. 239 - Schlömilehsche. 238 Restmen~. 15 Re:tiprol:enre~1. 212 Riehtungsableitung.481 Riemann-integric:rbar.293 Riemannsche SUlmnen. 296. 532. 556 Riemannr.ches Integral -im R". 552 - Hlfi f auf Q. 553 Rohr. 60 Romberg-Verfahren.335 rQIationsclliptische Koordinaten. 558. 561 - abcgcplallcle. 561 - geslreckte. 561 RotationskÖlpCr.565 - erleugendc Fläche eines. 567 - erleugendc Funktion des. 565 - erleugende Kurve eines. 567 - Flächeninhalt der MameUWehe eines. 566 - M;lIllciflUehe de.~. 565 - Volumen des, 566 rOlalionSp;lmbolisehe Koonlin:uen. 558. 561 Runge-Funklion.409

S Sägezahnkur"'e. 112.423 S:mdwich_Krilcriurn. 65 Sallelnächc,461 Satz - Stcinerschcr. 574 - über Bereiehsinlegr.lle als I)Qppelintegr.tle. 526 - über Bereichsinlcgrole als Mehrf""himegrnle. 554 - über impli7Jle Funktionen (a1tgemeincr Fall). 498

- über Produktintegrotion. 318 - über Riem.:mnsehe Summen. 532 - '"Oßl Maximum. 101 - ''00 BoIzano..Weicrstro6. 67 - ''00 BoIzano..Weicrstraß im R". 451 - ''00 Cauehy-Had.:lmanJ. 380 - ''00 Ca''lIlieri. 563 - ''00 Fubini für Riemannintcgrale. 526 - ''00 Rolle. 221 - zur Berechnung ''00 BereichsintegraJen zweier Variabler. 528 - zur Komposition Sletiger Funktionen. 99 - zur Stetigkeil ''00 Umkehrfunktionen. 98 $ch:lubild. 46 ScMinleilwert.l90 - komplexer. 362 Scheinwider'sund - komplexer. 361 Scheitel einer Parabel. 121 Schient:nkreisbogen.163 Schlömilehs Restgliedfonnc:l. 238 Schlüssel. 42 Schnillmenge.15 schönsle Gleichung der Weh. 191 Schwan..sehe Ungleichung. 449 Schwebung. 168 Schwerpunkt. 534 - eincrebcnen Plalle "Oll der Form eines Kn:issdlors. 547 - einer KUlw. 537 - eines Dr.thlts. 536 - eines SYSlems "on Massenpunkten, 533 Schwingkreis - elektrischer. 272 Schwingung. 437 - eines Federpcndels (mil Reibung). 438 - gedämpfte erzwungene. 438 - hannonische. 165, 194 - phascn\'erschobene. 437 Schwingungsdauer. 165.353 - eines malhemmisehen Pendel~. 483 Simpsonfonncl, 332 Sinus. 154 Sinus hypcrboheus. 181 Snelliussches 8n:chungsgesclz. 286 Spaltenmalrix. 455, 474 Spalten\'ektor,443 - Eintr:ige des. 444 - Komponenten des. 444 - Koordinaten des. 444 - Mulliplikation mit einent Skalar, 445 - ncgmi,'es Elemenl zu einem. 445 Spallen\'ektoren - Addition zweier. 445

606

Stichwortverleichnis

- inneres Produkt zweier. 445 - Subtraktion zweier. 445 Spannungszeiger. 359 Splinc.410 - kubischer. 412 -lincarcr.411 - natürlicher. 413 - vollst;indiger. 413 Spline-Funktionen.388 Splineimcrpolation.410 Spule. 287 stabilcs Vcrfahren. 95 Stammfunktion. 303 swtion;irer Punkt. 507 Staudruck;ll1 cinem Flugzeug. 278 Steigungsbedingung. 413 Steinerscher Satz. 574 stetige - Abänderung. 107 - Erweiterung. 106. 107 - Erweiterung von f. 107 Stetigkeit. 90. 91. 171 - gleichmäßige. 102.466 Stichprobe - mit Zurücklegen. 41 - ohnc Zurücklegcn. 41 - ungeordnctc. 41 -vonkKugcln.41 Slreekenzug. 148 Strömungswidcrstand eines Körpers. 121 Slromzeiger. 359 Strophoide.220 Substilutionsformel. 309. 310 - rur bestimmte lmegrJle. 314 Subs\ilutionsmClhode. 309 Subtmktion - komplexer Zahlen. 185 - reeller Zahlen. 5 - von Matrizcn. 455 Summe - einer Reihe. 75 ~ einer Reihe von Funktionen. 377 - geometrische. 25 - reeller Zahlen. 4 - Riemannsche. 532 Supremu111.66 - einer Funktion. 100 Suprcmumsnorm. 370 surjektive Funktion. 52 Symmetrie. 268 Symmetrieachse einer Parabel. 121

T T· Verbindung aus Zylindern. 564 Tangens. 158 Tangens hyperbolicus. 181

Tangente - an f in 202 T"ngentenformel. 299 Tangentialabbildung. 476. 491 Tangentialebene. 475 Taylorformel - rur (1 +.1")" um O. 245 - flire". 240 - flir die Logarithmus-Funktion. 243 - flir Sinus- und Cosinus. 241 - im IR". 490 - mit Restglied. 238 - von f clllwic\.:elt um xo. 239 TayloITcihe _ von e" um O. 241 Teilfolge. 65 Teilmcnge.15 - e<;hte. 15 Tcilungspunkte einer Zcrlegung. 148.292 Torsionssteifigkeit eines Rohres. 30 totales Oifferelllial von f in xo. 483 Trägheitsmomelll.571 - bezüglich der x-Achse. 571 - bzgl. der Mittelachse. 573 - eines elliptischen Zylinders. 549 - eines Rotationskörpers bzgl. der Rotationsadse. 573 - eincs Zylinders bezüglich einer Querachse. 571 - von S;iulen. 572 Transformation -lineare. 547 - von G* aufG. 542 TransformationsfomlCI. 545. 557 TransfomlalOr - Wirkungsgrad eine,. 285 tmnsponierle Matrix. 457 Trapedonnel. 332 trigonometrische Reihe. 420 trigonometrisches Funklionensystem. 419 Tripel. 444 Turm. 42

"0.

U Urnfang - des Einheitskrcises. 152 Umgebung - eines Punktes im R". 453 umkehrbare Funktion. 52 Umkehrfunktion. 51. 53 unabhängige Variable. 44 unbeschränktes Intcrvall. 13 unecht gebrochene Funktiotl. 135 uneigemliches Integral - absolut konvergentes. 343 unendliche - Folge reeller Zahlen. 56

Stichwort\'cn:cichnis

- Rt'ihe. 75 Unc:ndlichu;l5Stelle - t';1lt'l'" gc:brochl'ncn r:ltiooalen Funkllon. 135 ungcordnc:tc Slichprobt'. 41

,,""'"

- Funktion. 266. 268 - Pennutillion. 560 ungestörtes steligt'S WilChstUrn. 279 Unglt'ichung -lknM:lullische.21 - Ikssdsche. 433 - des llromt:lrischen und arithmetischen Mincls. 254 - Scllwarzsehe. 449 UnSh:lillkeitsSlellen. 113 unIere H~lokreislinie. 147 ulllere ScllrJnke. 66 U11lerinlegml - von f. 291 - von f auf Q. 523. 553 - von f auf!lI. bl. 293 Unlersummc - von f Olgl. Z. 291. 293. 522. 553 Urbildbcrcich. 44. 55 Urbildpunl
"

der WaaJssdl(' Zustandsglrichung - für reale Gast. 269. 464 Vandcrmoode-Matrix.397 Variable - abhängige. 44 - unabhing;ge. 44 Varialionen - mit Wtederilolungen. 37 - ohne Wtederllolungen. J4 - lur .l;·tt'rl Klasse: mil W'iederl1olungen. 37 - zur .l;·ten Klasse: ohne WiedeTholungen. 35 Veklor.443 - Betrug eines. 448 - euklidische Norm e;roes. 448 - Länge eines. 448 Vektoren - .'\Cnkreelll aufeinander stehende. 449 VektomlU11l - n.'cller euklidischer n-dimensionalar. 446 verallgemeinerter Minelwertsall. 222 Vereinigung zweier Mengen. 15 Ven.cl1ung '"Oll Funktionen. 54 Ven:auschung - der Imegl111ionsreihcnfolge. 526 - parlielkr AokilUngen. 488 VMauschungsformel. 514 ViClaschCl'" WUl7.t'lsatt. 127 \-oIlst5ndige Induktion. 18 \'ollständillel" Splinc. 413 \'ollständiges Differential ''Oll f in .1'0. 483 \"3.11

Vollständigkeil -der reellen Zahlt'n.10 Volumen - einer Menge. 554 - clnes Ellipsoides. 517 - cil1CS Rotationspar:aboloids der Länge h. 566 - cines WurfeIs. 277 'Iofsdtrift. Jjt'M Funklion

W Wachstum - ideales. 279 - unllestöneS. 219 Wacllslums.'organg.219 Wcchs.clstml1lwitlersland.465 Weg. 530 Wc;el'Straß'schcr Appmximat;onSS~ll. 388. 392 - rur (a111eor'liscllc) Polynome. 388 - fur pcriodisclle Funktionen. 392 Wcllenlilnge. 51 Wendepunkt. 261. 213 Wertebereich. 44. 55 Widersland ~ indukli,·er. 362 -l.:apazili\'eI". 362 - OhmscheI". 272. 360 WXlcrstandsbci....'t'fl.121 Wicnschcs VCTSChicbunllsgesctz.. 281 Wili:leistung. 354 Win.ungsgrad - eincs Transfonn:l.lors. 2&5 Wirl<"'tderstaoo. 361 Würfel\'olumcn.211

w""

- mit Lustreibung. 216 - ohne: Reibung. 275 - scnkrcclllel". 124

W"ncl - komplexe. 188

- ,.·Ie aus eineT reellen Zahl. 21 W"rlcifunkliQncn.98 W"rlelkriteriul1l.88

Z Zahl - Bemoullische. 249 - imasinäre.183. 1&4 ~ irr.llionale. 4. 169 - kompluc. 1&4 - koojugiell k:omplue. 186 - natürtiche. 1 - ncgati,l.'. I - rationale. I - reelle. 4 zahlengerade. 4 zahlenpaar. 444

&>7

608

Stichwortvcrlcichnis

Zehnerlogarilhmus. 180 Zeigerdiagramm. 167. 195 Zeilcnrnalrix. 455. 474 Zeilcn"cktor.443 Zeitzeiger. 359 Zcllwachstum.279 Zemrifugalkraft, 275 Zemrifugalmomcm.537 Zentripetalbcsehleunigung. 275 Zerfall - r'Jdioaktiver. 280 Zerlegung - äquidistantc. 298. 331

- allgemeinc. 531 - einer Funktion;n Linearfaktorcn. 197 - eines Intervalls la. bJ. 290 - eines Quaders Q. 552 - eines Rechteck.;. 521 - Feinheit der. 290. 292. 522. 531 - von I". bj, 292 Zwci·Punkte·Fornl einer Geraden. 118 Zwciter HauptSOltz. 305 Zwischellwense. 571 Zylinderkoordinalen.558