W
Josef Trölß
Angewandte Mathematik mit Mathcad Lehr- und Arbeitsbuch Band 4 Reihen Transformationen Differential- und Differenzengleichungen Dritte, aktualisierte Auflage
SpringerWienNewYork
Mag. Josef Trölß Asten/Linz, Österreich
Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. © 2005, 2007, 2008 Springer-Verlag/Wien Printed in Germany SpringerWien New York ist ein Unternehmen von Springer Science + Business Media springer.at Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürfen. Produkthaftung: Sämtliche Angaben in diesem Fachbuch/wissenschaftlichen Werk erfolgen trotz sorgfältiger Bearbeitung und Kontrolle ohne Gewähr. Insbesondere Angaben über Dosierungsanweisungen und Applikationsformen müssen vom jeweiligen Anwender im Einzelfall anhand anderer Literaturstellen auf ihre Richtigkeit überprüft werden. Eine Haftung des Autors oder des Verlages aus dem Inhalt dieses Werkes ist ausgeschlossen. Korrektorat: Mag. Eva-Maria Oberhauser/Springer-Verlag Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors Druck und Bindearbeiten: Strauss GmbH, 69509 Mörlenbach, Deutschland Gedruckt auf säurefreiem, chlorfrei gebleichtem Papier – TCF SPIN: 12174454
Mit zahlreichen Abbildungen
Bibliografische Informationen der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.
ISBN ISBN
978-3-211-76748-1 SpringerWienNewYork 978-3-211-71182-8 2. Aufl. SpringerWienNewYork
Vorwort Dieses Lehr- und Arbeitsbuch aus dem vierbändigen Werk "Angewandte Mathematik mit Mathcad" richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler sowie Anwenderinnen und Anwender, speziell im technischen Bereich, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme informieren wollen und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten. Dieses vierbändige Werk wird ergänzt durch das Lehr- und Arbeitsbuch "Einführung in die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung und in die Qualitätssicherung mithilfe von Mathcad". Als grundlegende Voraussetzung für das Verständnis und die Umsetzung mathematischer und technischer Aufgaben mit Mathcad gelten die im Band 1 (Einführung in Mathcad) angeführten Grundlagen. Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und erfahren heute eine weitreichende Anwendung. Bei ingenieurmäßigen Anwendungen kommen CAS und CNV nicht nur für anspruchsvolle mathematische Aufgabenstellungen und Herleitungen in Betracht, sondern auch als Engineering Desktop Software für alle Berechnungen. Mathcad stellt dazu eine Vielfalt von leistungsfähigen Werkzeugen zur Verfügung. So können mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt dargestellt werden. Berechnungen und ihre Resultate lassen sich besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren. Werden auf dem Arbeitsblatt einzelne Parameter variiert, so passt die Software umgehend alle betroffenen Formeln und Diagramme des Arbeitsblattes an diese Veränderungen an. Spielerisch lässt sich so das "Was wäre wenn" untersuchen. Damit eignet sich diese Software in hervorragender Weise zur Simulation vieler Probleme. Auch die Visualisierung durch Animation kommt nicht zu kurz und fördert das Verständnis mathematischer Probleme. Ein weiterer Vorteil besteht auch darin, dass die meisten mathematischen Ausdrücke mit modernen Editierfunktionen in gewohnter standardisierter mathematischer Schreibweise dargestellt werden können.
Gliederung des vierten Bandes In diesem Band wird eine leicht verständliche anwendungsorientierte und anschauliche Darstellung des mathematischen Stoffes gewählt. Definitionen, Sätze und Formeln werden für das Verständnis möglichst kurz gefasst und durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik und anhand vieler Abbildungen und Grafiken näher erläutert. Dieses Buch wurde weitgehend mit Mathcad 14 (M011) erstellt, sodass die vielen angeführten Beispiele leicht nachvollzogen werden können. Sehr viele Aufgaben können aber auch mit älteren Versionen von Mathcad gelöst werden. Bei zahlreichen Beispielen werden die Lösungen teilweise auch von Hand ermittelt. Im vorliegenden Band werden folgende ausgewählte Stoffgebiete behandelt: x
Unendliche Zahlenreihen: Konvergenzkriterien, Vergleichskriterien, Quotientenkriterium von d'Alembert, Wurzelkriterium von Cauchy, Kriterien für alternierende Reihen.
x
Potenzreihen: Konvergenz von Potenzreihen, Rechnen mit Potenzreihen, Taylorreihen, Laurentreihen.
x
Fourierreihen: Fourierreihen, diskrete Fourier-Transformation (DFT) und inverse diskrete Transformation (IDFT).
x
Fourier-Transformation: von der Fourierreihe zur Fourier-Transformation, Elementar- und Testsignale, Eigenschaften der Fourier-Transformation, Fast-Fourier-Transformation.
x
Laplace-Transformation: Elementar- und Testsignale, Eigenschaften der Laplace-Transformation, Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich; Anwendungen der Laplace-Transformation: Lösungen von Differentialgleichungen, Laplace-Transformation in der Netzwerkanalyse, Übertragungsverhalten von Systemen.
x
z-Transformation: z-Transformation elementarer Signale, Eigenschaften der z-Transformation, Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich; Anwendungen der z-Transformation: Lösungen von Differenzengleichungen, Übertragungsverhalten von Systemen.
x
Differentialgleichungen: Allgemeines; die gewöhnliche Differentialgleichung: die gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung, separable Differentialgleichungen 1. Ordnung, gleichgradige oder homogene Differentialgleichungen 1. Ordnung, exakte Differentialgleichung 1. Ordnung, lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung, nichtlineare Differentialgleichungen 1. Ordnung, steife Differentialgleichungen 1. Ordnung, die gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, einfache gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung, lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten, nichtlineare Differentialgleichungen 2. Ordnung, die gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung, lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, homogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung, inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung, Umformung von Differentialgleichungen n-ter Ordnung nach Differentialgleichungssystemen 1. Ordnung, lineare Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
x
Differenzengleichungen: Differenzengleichungen, diskrete und zeitdiskrete Systeme.
Spezielle Hinweise Beim Erstellen eines Mathcad-Dokuments ist es hilfreich, viele mathematische Sonderzeichen verwenden zu können. Ein recht umfangreicher Zeichensatz ist die Unicode-Schriftart "Arial". Eine neue Mathematikschriftart (Unicode-Schriftart "Mathcad UniMath") von Mathcad erweitert die verfügbaren mathematischen Symbole (wie z. B. griechische Buchstaben, mathematische Operatoren, Symbole und Pfeile) beträchtlich. Einige Sonderzeichen aus der Unicode-Schriftart "Arial" stehen auch im "Ressourcen-Menü" von Mathcad zur Verfügung (QuickSheets-Gesonderte Rechensymbole). Spezielle Zeichen finden sich auch in anderen Zeichensätzen wie z. B. Bookshelf Symbol 2, Bookshelf Symbol 4, Bookshelf Symbol 5, MT Extra, UniversalMath1 PT, Castellar und CommercialScript BT. Empfohlen wird aber der Einsatz von reinen Unicode-Schriftarten. Zum Einfügen verschiedener Zeichen aus verschiedenen Zeichensätzen ist das Programm Charmap.exe sehr nützlich. Dieses Programm finden Sie unter Zubehör-Zeichentabelle in Microsoft-Betriebssystemen. Es gibt aber auch andere nützliche Zeichentabellen-Programme. Viele Zeichen können aber auch mithilfe des ASCII-Codes (siehe Zeichentabelle) eingefügt werden (Eingabe mit Alt-Taste und Zifferncode mit dem numerischen Rechenblock der Tastatur). Zur Darstellung von komplexen Variablen wird hier die Fettschreibweise mit Unterstreichung gewählt. Damit Variable zur Darstellung von Vektoren und Matrizen von normalen Variablen unterschieden werden können, werden diese hier in Fettschreibweise dargestellt. Die Darstellung von Vektoren mit Vektorpfeilen wird vor allem in Definitionen und Sätzen verwendet. Damit Variable, denen bereits ein Wert zugewiesen wurde, wertunabhängig auch für nachfolgende symbolische Berechnungen mit den Symboloperatoren (live symbolic) verwendet werden können, werden diese einfach redefiniert (z. B. x:=x). Davon wird öfters Gebrauch gemacht.
Danksagung Mein außerordentlicher Dank gebührt meinen geschätzten Kollegen Hans Eder und Bernhard Roiss für ihre Hilfestellungen bei der Herstellung des Manuskriptes, für wertvolle Hinweise und zahlreiche Korrekturen. Hinweise, Anregungen und Verbesserungsvorschläge sind jederzeit willkommen. Linz, im Februar 2008
Josef Trölß
Inhaltsverzeichnis
1. Unendliche Zahlenreihen
1 ... 12
1.1 Konvergenzkriterien
3
1.1.1 Vergleichskriterien
3
1.1.2 Quotientenkriterium von d'Alembert
5
1.1.3 Wurzelkriterium von Cauchy
6
1.1.4 Kriterien für alternierende Reihen
8
2. Potenzreihen
13 ... 53
2.1 Konvergenz von Potenzreihen
13
2.2 Rechnen mit Potenzreihen
16
2.3 Taylorreihen
23
2.4 Laurentreihen
52
3. Fourierreihen
3.1 Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und inverse diskrete Transformation (IDFT)
4. Fourier-Transformation
54 ... 108
94
109 ... 134
4.1 Von der Fourierreihe zur Fourier-Transformation
111
4.2 Elementar- und Testsignale
115
4.3 Eigenschaften der Fourier-Transformation
120
4.4 Fast-Fourier-Transformation
132
5. Laplace-Transformation
135 ... 191
5.1 Elementar- und Testsignale
136
5.2. Eigenschaften der Laplace-Transformation
143
5.3 Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich
155
5.4 Anwendungen der Laplace-Transformation
160
5.4.1 Lösungen von Differentialgleichungen
160
5.4.2 Laplace-Transformation in der Netzwerkanalyse
166
5.4.3 Übertragungsverhalten von Systemen
175
Inhaltsverzeichnis
6. z-Transformation
192 ... 240
6.1 z-Transformation elementarer Funktionen
195
6.2. Eigenschaften der z-Transformation
203
6.3 Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich
212
6.4 Anwendungen der z-Transformation
218
6.4.1 Lösungen von Differenzengleichungen
219
6.4.2 Übertragungsverhalten von Systemen
227
7. Differentialgleichungen
241 ... 416
7.1 Allgemeines
241
7.2. Die gewöhnliche Differentialgleichung
245
7.2.1 Die gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung
249
7.2.1.1 Separable Differentialgleichungen 1. Ordnung
254
7.2.1.2 Gleichgradige oder homogene Differentialgleichungen 1. Ordnung
257
7.2.1.3 Exakte Differentialgleichungen 1. Ordnung
260
7.2.1.4 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung
262
7.2.1.5 Nichtlineare Differentialgleichungen 1. Ordnung
283
7.2.1.6 Steife Differentialgleichungen 1. Ordnung
289
7.2.2 Die gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung
292
7.2.2.1 Einfache gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung
294
7.2.2.2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
300
7.2.2.3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten
349
7.2.2.4 Nichtlineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
360
7.2.3 Die gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung
368
7.2.4 Differentialgleichungssysteme
381
7.2.4.1 Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
381
7.2.4.2 Homogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung
382
7.2.4.3 Inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung
388
7.2.4.4 Umformung von Differentialgleichungen n-ter Ordnung in Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung
398
7.2.4.5 Lineare Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
403
Inhaltsverzeichnis
8. Differenzengleichungen
417 ... 444
8.1 Allgemeines
417
8.2 Lineare Differenzengleichungen
418
8.3 Nichtlineare Differenzengleichungen
437
Anhang
445 ... 481
Übungsbeispiele
445 ... 474
Korrespondenztabellen
475 ... 476
Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis
477 478 ... 481
Unendliche Zahlenreihen
1. Unendliche Zahlenreihen Werden die Glieder einer unendlichen Zahlenfolge < a1 , a2 , a3 , ... an, ... > aufsummiert, so entsteht eine unendliche Reihe mit unendlich vielen Gliedern (siehe dazu Abschnitt 1.2, Band 3): ∞
¦
a1 a2 a3 .... an .... =
k
ak
(1-1)
1
Es soll nun festgestellt werden, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit eine unendliche Reihe einen endlichen Summenwert hat. Die unendliche Reihe ∞
¦
k
ak
(1-2)
1
heißt konvergent, wenn die Folge der Partialsummen < s1 , s2 , s3 , ... sn, ... > mit wachsendem n einem bestimmten Wert s zustrebt: lim no∞
sn = s
(1-3) ∞
¦
s = a1 a2 a3 .... an .... =
k
ak heißt dann Summenwert der unendlichen Reihe.
1
Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so nennen wir die unendliche Reihe divergent. Siehe dazu Abschnitt 1.4, Band 3.
Beispiel 1.1: Untersuchen Sie die nachfolgende Reihe auf Konvergenz: 1 ∞
¦
k
1
§ 1· ¨ ¸ © 2¹
k 1
¦
k
1
1 4
1 8
....
Es liegt eine geometrische Reihe mit a1 = a = 1 und q = 1/2 vor
1
q
§ 1· ¨ ¸ © 2¹
2
(siehe dazu Abschnitt 1.4, Band 3).
a 1 ∞
1
erstes Folgeglied und Quotient von zwei Folgegliedern
2
k 1
bzw.
o2
s
a
s
1 q
2
Die Reihe konvergiert und der Summenwert ist 2.
Beispiel 1.2: Untersuchen Sie die nachfolgende harmonische Reihe auf Konvergenz: 1 s1 = 1 s4 = 1
s2 = 1 1 2
1 3
1 4
1
s3 = 1
2
!1
1 2
1 4
1 2
1 3
1
1 2
1 3
1 4
∞
.... =
¦
k
Partialsummen
Abschätzung der vierten Partialsumme
4
Seite 1
1
1 k
Unendliche Zahlenreihen
1
s4 ! 1 2 s8 = 1
1
1
2
3
2
!1 k
lim ko∞
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
!1
1 2
1 4
1 4
1
8
1
1
8
1 8
Abschätzung der achten Partialsumme
Die Partialsummenfolge ist divergent und damit ist auch die harmonische Reihe divergent.
∞
Untersuchen Sie die nachfolgende Reihe auf Konvergenz:
¦
n
Es gilt: =
1
Abschätzung der 2k-ten Partialsumme
2
Beispiel 1.3:
1
8
Abschätzung der sechzehnten Partialsumme
2
§1 k 1 · o ∞ ¨ ¸ 2¹ ©
n ( n 1)
1
Abschätzung der achten Partialsumme
2
s 16 ! 1 4
k
1
s8 ! 1 3
s
Abschätzung der vierten Partialsumme
2
1 n
1
1
n ( n 1)
1 n 1
Die n-te Partialsummenfolge lautet damit:
§ ©
sn = ¨ 1
1 · § 1 1· § 1 1· §1 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ .... ¨ ¸ 3¹ © 3 4¹ 2¹ © 2 © n n 1¹ 1·
Diese Summe vereinfacht sich zu: sn = 1 lim no∞
1 n1
§1 1 · o 1 ¨ ¸ n 1¹ ©
Die Partialsummenfolge konvergiert und die gegebene Reihe ist konvergent. Sie hat den Summenwert 1.
Beispiel 1.4:
∞
Untersuchen Sie die arithmetische Reihe auf Konvergenz:
¦
k
Arithmetische Reihen sind divergent!
Seite 2
1
k = 1 2 3 4 ....
Unendliche Zahlenreihen
1.1 Konvergenzkriterien Es ist verständlich, dass nur solche Reihen von Interesse sind, die konvergent sind. ∞
¦
Wenn eine Reihe
n
lim
an konvergiert, so gilt:
1
an = 0 (Satz 5, Abschnitt 1.4, Band 3)
no∞
(1-4) Diese Bedingung ist aber nicht hinreichend, denn die Umkehrung gilt nicht. Nachfolgend sollen sogenannte Konvergenzkriterien formuliert werden, die es entweder stets oder unter gewissen Voraussetzungen gestatten festzustellen, ob eine gegebene Reihe konvergiert oder nicht. ∞
¦
Eine Reihe
n
an , deren Glieder ai ( ai t 0 ) alle positiv sind, nennen wir eine positive Reihe.
1
∞
¦
Eine Reihe
n
an , deren Glieder ai ( ai d 0 ) alle negativ sind, kann als negative einer positiven
1
Reihe behandelt werden. Unter einer alternierenden Reihe verstehen wir solche Reihen, die abwechselnd positive und negative ∞
∞
¦
Glieder besitzen:
n
un =
1
ª( 1) n1 a º . n¼ ¬
¦
n
1
1.1.1 Vergleichskriterien Majorantenkriterium: ∞
Eine positive Reihe
¦
n
bn konvergiert, wenn jedes Glied (unter Umständen erst nach endlich
1
vielen) kleiner oder gleich dem entsprechenden Glied einer bekannten konvergenten positiven Reihe ∞
¦
n
an ist:
1
0 d bn d an
(1-5)
Als Vergleichsreihen werden oft folgende Reihen benutzt: 2
∞
3
a a q a q a q .... =
n 1 ¦ a q
n
1
1 p
2
1 p
3
1 p
4
1 p
5
1
∞
.... =
geometrische Reihe, konvergiert für |q| < 1
¦
n
1 p
konvergiert für p > 1
1 n
Seite 3
Unendliche Zahlenreihen
Minorantenkriterium: ∞
¦
Eine positive Reihe
n
bn ist divergent, wenn jedes Glied (unter Umständen erst nach endlich
1
vielen) größer oder gleich dem entsprechenden Glied einer bekannten divergenten positiven Reihe ∞
¦
n
an ist:
1
bn t an
(1-6)
Als Vergleichsreihen werden oft arithmetische und harmonische Reihen benutzt. Beispiel 1.5: ∞
Ist die Reihe
¦
¦
n
∞
1
1 n
1
¦
=
p
n
eine konvergente Vergleichsreihe (p = 2)
2 1 n
1
bn d an
konvergent ?
2
1 n 1
n ∞
1
1
d
2
hat als Lösung(en)
2
n 1
Gilt für alle n >0, daher ist die Reihe nach (1-5) konvergent.
0 nn 0
n
Beispiel 1.6: Die folgende Reihe soll auf Konvergenz untersucht werden: ∞
¦ bn = ¦ n
∞
¦ n
¦
1 n
1
=
2
1 2
n
1
1 8
1 12
1
16
1 20
1 32
1 30
....
2
1 6
1 12
1 20
1 30
....
gegebene Reihe
konvergente geometrische Vergleichsreihe
....
1
d
n n
6
4
2
1
2
1
bn d an
1
=
1 n n
n
an =
1 2
1
Gilt für alle n, daher ist die Reihe nach (1-5) konvergent.
n
2
Beispiel 1.7: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent? ∞
¦
bn =
n
¦
n
1
1 n
∞
¦ an = ¦ n
bn d an
n
=1
1 n 1
1 2
=1
1 2
1 n
d
1 2
1 6
1 4
1 24
gegebene Reihe
....
1 8
konvergente geometrische Vergleichsreihe
....
1
Gilt für alle n, daher ist die Reihe nach (1-5) konvergent.
n 1
2
Seite 4
Unendliche Zahlenreihen
Beispiel 1.8: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent? ∞
¦
bn =
¦
an =
n
2
¦
5
=1
3
9
1 n 1
n
∞ n
n 1
¦
n
1
1
1
=1
n
1
2
3
2
n 1
bn t an
3
10
gegebene Reihe
....
28
divergente Vergleichsreihe (harmonische Reihe)
....
1
t
Gilt für alle n, daher ist die Reihe nach (1-6) divergent.
n
n 1
1.1.2 Quotientenkriterium von d'Alembert ∞
¦
Eine positive Reihe
n
1
an 1
lim
an konvergiert, wenn
an und divergiert, wenn
1,
(1-7)
! 1.
(1-8)
no∞
an 1
lim
an
no∞
Gilt dagegen an 1
lim
= 1, an so kann keine Aussage über Konvergenz oder Divergenz gemacht werden.
(1-9)
no∞
Beispiel 1.9: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent? ∞
¦
an =
n
an =
¦
n n
1
=
3
1 3
n
n
an1 =
n
3
2
2
3
3 3
gegebene Reihe
....
3
n 1
Folgeglieder
n 1
3
n 1
lim
3
n
no∞
n
n1
3
=
lim no∞
n
( n 1) 3 n 1
n 3
=
lim
n 1
n o ∞ 3 n
1 =
lim no∞
3
1 n
=
1 3
<1
n 1
lim no∞
3
n1
n 3
o
1 3
Die gegebene Reihe ist konvergent.
n
Seite 5
Unendliche Zahlenreihen
Beispiel 1.10: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent? ∞
2
n
¦ an = ¦ n
n
1
n
=
an1 = ( n1)
no∞
n
2
2
3
( n 1)
3
gegebene Reihe
....
2
Folgeglieder
( n 1)
2
2
( n 1 )
lim
2
1
2
n an = n
2
1
=
2
( n 1) n
lim
n o ∞ ( n 1) n2
=
lim no∞
n1 2
=
lim no∞
n
§ 1 1 · = 0< 1 ¨n 2¸ n ¹ ©
n ( n1)
2
( n 1 )
lim no∞
n
Die gegebene Reihe ist konvergent.
o0
2
n
Beispiel 1.11: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent? ∞
¦
an =
n
an =
1
¦
2
1 n
n
1
1
=1
2
2
1 ( n 1)
n
....
3
2
an1 =
2
1
gegebene Reihe
Folgeglieder
2
1
lim no∞
( n1) 1 n
2
2
=
2
n
lim
n o ∞ ( n 1) 2
=
lim no∞
§ n · ¨ ¸ © n 1¹
2
=
lim no∞
§ 1 · ¨ ¸ 1 ¨1 ¸ n¹ ©
2
=1
Das Quotientenkriterium versagt hier. Es kann daher damit keine Aussage über die Konvergenz gemacht werden!
1.1.3 Wurzelkriterium von Cauchy ∞
Eine positive Reihe
¦
n
lim
n
no∞
an konvergiert, wenn
1
an 1,
(1-10)
und divergiert, wenn lim no∞
n
an ! 1.
(1-11)
Seite 6
Unendliche Zahlenreihen
Gilt dagegen n
lim no∞
an = 1,
(1-12)
so kann keine Aussage über Konvergenz oder Divergenz gemacht werden. Beispiel 1.12: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent? ∞
¦
an =
n
¦
n
1
=
n
no∞
n
n
3
=
....
1
lim
= 0 <1
no∞ n
n
n
1
lim
Die gegebene Reihe ist konvergent.
n
no∞
n
1 3
1
no∞ n
o
n
no∞
2
n
1
2
lim
n
lim
1
=1
1 n
n
lim
1
n
Beispiel 1.13: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent? ∞
¦
an =
n
1
¦
2
1 n
n
1
=1
2
1 2
....
gegebene Reihe
3
2
Unter Anwendung der Grenzwertsätze und nach l'Hospital gilt: n
lim
2
1 2
no∞
=
no∞ n
n n
lim
n
1 2
no∞
1
lim
lim
o
no∞
n
= 2
n
lim
n
n
2
=
lim
no∞
e
n
lim
ln( n)
=e
no∞
2ln( n) n
lim
=e
no∞
2 n
=1
no∞
1 2
n
Hier versagt (vergleiche Beispiel 1.11) das Wurzelkriterium.
1
1 2
2 1
1 2
1 2
2
2
3
2 1
1
1 2
1 2
3
2
4
3
1
1 2
1 2
4
2
.... 1
5
4
1
1 2
1 2
5
2
.... 1
2 2
1 2
2
2
4
2 .... 1
1
2
5
1
2
4
2
4
4 1
1
8 2
8
1
2
2
4
8 1
1
1 16
8
16 16
.... Majorantenkriterium
2
....
....
Die gegebene Reihe ist daher konvergent.
Seite 7
geometrische Vergleichsreihe mit q = 1/2
Unendliche Zahlenreihen
1.1.4 Kriterien für alternierende Reihen Leibniz-Kriterium: ∞
Eine alternierende Reihe
¦
ª( 1) n1 a º konvergiert, falls für alle n gilt: n¼ ¬
lim
an = 0
n
an ! an 1 und
1
no∞
(1-13)
Absolute Konvergenz: ∞
Eine alternierende Reihe
ª( 1) n1 a º = a a a a .... heißt absolut konvergent, wenn n¼ 1 2 3 4 ¬
¦
n
1 ∞
die zugeordnete positive Reihe
¦
n
( 1)
n 1
an = a1 a2 a3 a4 .... konvergiert.
1
Jede konvergente Reihe mit positiven Gliedern ist absolut konvergent. Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. Bedingte Konvergenz: ∞ n ∞
zugeordnete positive Reihe
¦
n
ª( 1) n1 a º = a a a a .... konvergiert, aber die n¼ 1 2 3 4 ¬
¦
Wenn eine alternierende Reihe
1
( 1)
n1
an = a1 a2 a3 a4 .... divergiert, so heißt die
1
alternierende Reihe bedingt konvergent. Quotientenkriterium für absolute Konvergenz: ∞
Eine alternierende Reihe
∞
¦
n
un =
1
¦
n
ª( 1) n1 a º = a a a a .... heißt absolut n¼ 1 2 3 4 ¬
1
konvergent, wenn lim
u
no∞
n 1
1,
(1-14)
un
und konvergiert nicht absolut, wenn lim no∞
u
n 1
! 1.
(1-15)
=1
(1-16)
un
Für lim no∞
u
n 1 un
kann keine Aussage über die absolute Konvergenz und nicht absolute Konvergenz gemacht werden.
Seite 8
Unendliche Zahlenreihen
Wurzelkriterium für absolute Konvergenz: ∞
Eine alternierende Reihe
∞
¦
n
un =
1
¦
n
ª( 1) n1 a º = a a a a .... heißt absolut n¼ 1 2 3 4 ¬
1
konvergent, wenn n
lim no∞
un
1,
(1-17)
und konvergiert nicht absolut, wenn n
lim no∞
un
! 1.
(1-18)
=0
(1-19)
Für n
lim
un
no∞
kann keine Aussage gemacht werden. Beispiel 1.14: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent?
ª( 1) n1 a º = n¼ ¬
¦ n
∞
¦
n
an =
n
1
n 1
an1 =
n
ª( 1) n1 n º = 1 2 3 4 .... « n» 2 3 4 e e ¼ e e e ¬
gegebene Reihe
Folgeglieder
n 1
e
e
Leibniz-Kriterium: n n
!
e
lim
e
n1
n
n
n o ∞ en
!
n
n1
e
e
n o ∞ en
lim
n1
n1
=
1
lim
n o ∞ en
n
n
e !1
1
gilt für alle n
n
unter Anwendung von l'Hospital
=0
Die Reihe ist konvergent.
o0
Beispiel 1.15: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent?
¦
ª( 1) n1 a º = n¼ ¬
n
1 an = 2 n 1
∞
¦
n
1
1 ª( 1) n1 « 2 n ¬
an1 =
1 1 1 º » = 1 ....
1¼
3
5
1
7
gegebene Reihe
Folgeglieder
2 ( n 1) 1
Seite 9
Unendliche Zahlenreihen
Leibniz-Kriterium: 1
1
!
2 n 1
2 ( n 1) 1 1
lim
1 2
nn
3 2
gilt für alle n > 0
=0
n o ∞ 2 n 1
1
lim
hat als Lösung(en)
Die Reihe ist konvergent.
o0
n o ∞ 2 n 1
Beispiel 1.16: Ist die Reihe 1
1 2
1 4
1
Die positive Reihe 1
1
2
8
.... absolut konvergent?
1
4
1
.... ist eine geometrische Reihe mit q = 1/2.
8
Daher ist die gegebene Reihe absolut konvergent. Beispiel 1.17: Ist die Reihe 1
1
2 3
an =
3
2
3
2 3
4 3
3 2
4
3
3
∞
.... =
3
n
die zugehörige positive Reihe
n
3
0
n 2
an1 =
3
n 1
¦
n
n 1
.... absolut konvergent?
3
Folgeglieder
n 1
3
Quotientenkriterium: n 2
lim no∞
3
n
n1
n 1 3
=
lim
( n 2) 3 n 1
no∞ 3
n
( n 1)
=
lim no∞
§ 1 n 2· = 1 ¨ ¸ 3 © 3 n 1¹
1 lim no∞ 1
2 n 1
=
1 3
<1
n
n 2
lim no∞
3
n1
n 1 3
n
o
1 3
Die positive Reihe ist konvergent, daher ist die gegebene Reihe absolut konvergent.
Seite 10
Unendliche Zahlenreihen
Beispiel 1.18: 1
Ist die Reihe 1
1
2
3
1
Die positive Reihe 1
1
1
2
.... konvergent?
4
3
1
4
.... ist eine harmonische Reihe und diese ist divergent.
Die gegebene Reihe ist daher bedingt konvergent. Die gegebene Reihe konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. Sie wird daher auch Leibniz-Reihe genannt. Beispiel 1.19: Ist die Reihe
2 3
3
4
Die positive Reihe
größer ist als
1
1
2
2
3
3
4 1
§ 2 ©
¨1
4
2
5
1
2 1
3
1 3
4 5 1 4
5 6
1 3
1
.... konvergent?
4
5
6
1
4
.... ist divergent, weil sie gliedweise
· ¹
....¸ (harmonische Reihe).
Die gegebene Reihe ist bedingt konvergent. Beispiel 1.20: Ist die Reihe 1
1
1 2
1 4
1 8
1 2
1
4
1
.... absolut konvergent?
8
∞
.... =
¦
n
n 1 un = ( 1) n 2
0
ª( 1) n 1 º « n» 2 ¼ ¬
un1 = ( 1)
n 1
gegebene Reihe
1
Folgeglieder
n 1
2
Quotientenkriterium:
lim no∞
un 1 un
( 1) =
lim no∞
n 1
1
n 1
2 n
( 1)
1 n
=
lim
1
no∞
2 Damit ist die Reihe absolut konvergent.
Seite 11
1 2
=
1 2
<1
Unendliche Zahlenreihen
Beispiel 1.21: 2
Ist die Reihe 1
1
2 3
3
2
.... absolut konvergent?
3
3
3
3
3
n
n1
ª( 1) n n 1º « n » 3 ¼ ¬
¦
.... =
3
un = ( 1)
4
∞
4
2
3
3
n
0
un1 = ( 1)
n
3
n 1
gegebene Reihe
n2
Folgeglieder
n1
3
Quotientenkriterium: ( 1)
n1
n 2
n 1
n
3
lim
n
no∞
( 1)
=
n1
lim
3 ( n 2)
1
no∞
n 1
3
n
=
lim no∞
( n 1)
1 3
n 2 n 1
=
lim no∞
1 3
1 1
3 ( 1)
n1
n 2
n 1
3
lim
n
no∞
( 1)
o
n1
1
Die gegebene Reihe ist also absolut konvergent.
<1
3
n
3
Beispiel 1.22: 1
Ist die Reihe 1
2
2 1
1 2
2
1 3
3
1 3
3
1 4
.... absolut konvergent?
4 ∞
1
.... =
4
4
¦
n
1
ª( 1) n1 1 º « n» n ¼ ¬
gegebene Reihe
Wurzelkriterium: n1
n
lim no∞
( 1)
n1
1 n
n
=
lim no∞
( 1)
n
1 n
=0
<1
Die gegebene Reihe ist also absolut konvergent.
Seite 12
2 n 1 n
Potenzreihen
2. Potenzreihen 2.1 Konvergenz von Potenzreihen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine unendliche Reihe der Form ∞
∞
¦
n
§ a xn· = a a x a x2 .... a xn .... n 2 © n ¹ 0 1
¦
un =
0
n
(2-1)
0
( ai ) wird eine Potenzreihe in x genannt. Eine unendliche Reihe der Form ∞
∞
¦
n
¦
un =
0
n
ªa x x nº = a a x x a x x 2 .... a x x n .... (2-2) 0 ¼ 2 0 n 0 0 1 0 ¬n
0
( ai, x0 ) wird eine Potenzreihe in (x - x0 ) genannt. Die Stelle x 0 heißt Entwicklungsstelle. Die Menge der Zahlen x, für die eine Potenzreihe konvergiert, heißt Konvergenzintervall (oder Konvergenzbereich) der Reihe. Der Mittelpunkt des Konvergenzintervalls ist für die Reihe (2-1) x = x0 = 0 und für die Reihe (2-2) x = x0 . Wir schreiben dafür: x ]x0 - r, x0 + r[, x0 - r < x < x0 + r oder |x - x0 | < r. r heißt Konvergenzradius. Den Konvergenzradius r des Konvergenzintervalls ermitteln wir mithilfe des Quotientenkriteriums für absolute Konvergenz (1-14): Aus un 1
lim no∞
un
n 1
=
lim
an1 x
no∞
=
n
lim no∞
an x
· § an1 x ¸ 1 ¨ a © n ¹
(2-3)
folgt 1
x lim no∞
(2-4)
an 1 an
und somit: x
lim no∞
an
(2-5)
an 1
Damit lässt sich folgender Satz formulieren: Wenn der Grenzwert r =
lim no∞
an an1
existiert,
dann konvergiert die Reihe (2-1) bzw. (2-2) für x r bzw. x x0 r
(2-6)
Seite 13
Potenzreihen
und sie divergiert für x ! r bzw. x x0 ! r.
(2-7)
Das Konvergenzverhalten an den Randpunkten des Konvergenzintervalls x = - r und x = r bzw. x - x0 = - r und x - x0 = r muss gesondert untersucht werden! Ergibt sich für r der uneigentliche Grenzwert r = "", so bedeutet dies, dass das Konvergenzintervall die ganze reelle Zahlenmenge umfasst.
Beispiel 2.1: Untersuchen Sie die nachfolgende Potenzreihe auf Konvergenz und bestimmen Sie das Konvergenzintervall: ∞
n
¦
n
1
x
2
=x
n
1 an = n
3
x
x
2
gegebene Reihe
....
3
1
an1 =
Folgeglieder
n 1
1 n
lim
=
1
no∞
n1
lim no∞
n
1
=1
Konvergenzradius
Die Reihe konvergiert also im offenen Intervall ]-1,1[.
o1
n
no∞
=
n
no∞
n 1
lim
n1
lim
1
1
Beispiel 2.2: Untersuchen Sie die nachfolgende Potenzreihe auf Konvergenz und bestimmen Sie das Konvergenzintervall: ∞
n
¦
n
0
x
n
=1
1 an = n
x 1
2
x
2
an1 =
3
x
gegebene Reihe
....
3
1
Folgeglieder
( n 1)
1
lim no∞
lim no∞
n 1
=
no∞
( n 1 )
( n 1) n
( n 1)
lim
o∞
n
=
( n 1) = ∞
lim
Konvergenzradius
no∞
Die Reihe konvergiert also im offenen Intervall ]-f,f[ , d. h in ganz .
Seite 14
Potenzreihen
Beispiel 2.3: Untersuchen Sie die nachfolgende Potenzreihe auf Konvergenz und bestimmen Sie das Konvergenzintervall: ∞
n
x
¦
n
2
x
=x
2
1 n
n
an =
3
x
1
3
1
an1 =
n
gegebene Reihe
....
3
2
( n 1)
n
Folgeglieder
n 1
1 n
lim
n
=
1
no∞
( n1)
( n 1)
lim
n
=
n
no∞
n1
n1
lim
( n 1) ( n 1) n
no∞
n
=
n
lim no∞
§1 ¨ ©
1·
n
¸ lim
n¹
( n 1)
no∞
=e.f ( n 1)
lim
n1
Die Reihe konvergiert also für x ]-f,f[ = .
o∞
n
no∞
n
Beispiel 2.4: Untersuchen Sie die nachfolgende Potenzreihe auf Konvergenz und bestimmen Sie das Konvergenzintervall: ∞
¦
n
1
( x 1)
n
( 2 n)
x 1
=
1 an = ( 2 n)
2
( x 1)
an1 =
4
2
( x 1)
1 [ 2 ( n 1) ]
6
=
3
gegebene Reihe
....
1
Folgeglieder
( 2 n 2)
1
lim no∞
( 2n ) 1 ( 2n 2)
=
lim no∞
( 2 n 2) ( 2 n)
=
lim
[ ( 2 n 1) ( 2 n 2) ] = ∞
no∞
( 2 n 2) = 1 2 3 ... n ( n 1) ( n 2) ... ( 2 n) ( 2 n 1) ( 2 n 2)
lim no∞
( 2 n 2) ( 2 n)
o∞
Die Reihe konvergiert also für x ]-f,f[ = .
Seite 15
Potenzreihen
2.2 Rechnen mit Potenzreihen Ohne Beweis seien folgende wichtige Sätze für Potenzreihen angeführt: a) ∞
Wenn zwei Potenzreihen f ( x) =
ªa x x nº und g ( x) = 0 ¼ ¬n
¦
n
0
∞
¦
n
ªb x x nº auf 0 ¼ ¬n
0
x x0 r konvergieren und f(x) = g(x) für alle x ]x0 - r, x0 + r[ gilt, so sind die Reihen identisch und es gilt für alle n = 0, 1, 2, 3 ...: an = bn. b) Die Potenzreihe einer geraden Funktion enthält nur Glieder mit den Potenzen x0 , x2 , x4 , x6 , ... c) Die Potenzreihe einer ungeraden Funktion enthält nur Glieder mit den Potenzen x, x3 , x5 , x7 , ... d) Aus einer konvergenten Potenzreihe dürfen wir einen allen Gliedern gemeinsamen Faktor c ∞
∞
¦ c un = c ¦
herausheben:
n
1
n
un .
1
e) Konvergente Potenzreihen mit gleichem Entwicklungspunkt x0 dürfen im gemeinsamen Konvergenzbereich gliedweise addiert, subtrahiert und multipliziert werden. Diese neue Potenzreihe konvergiert dann mindestens im gemeinsamen Konvergenzbereich. ∞
∞
¦
n
¦
un ±
1
∞
n
vn =
1
¦
n
un ± vn = s t
(mit
1
¦ un = s und ¦ vn = t)
Für das Produkt gilt die Cauchy'sche Produktformel: ∞
∞
¦
n
=
un
0 ∞
n
¦
n
¦
2 ....º¼ ª¬b0 b1 x x0 b2 x x0 2 ....º¼ =
vn = ªa0 a1 x x0 a2 x x0 ¬
0
ªc x x nº = s t mit c = 0 ¼ n ¬n
0
n
¦ ak bnk .
k
0
Der Konvergenzradius ist mindestens so groß wie der kleinere Konvergenzradius der beiden Reihen. f) Jede Potenzreihe stellt im Konvergenzintervall eine Funktion dar. Sie ist im Konvergenzintervall stetig. f: ]- r, r [ o ∞
x _o f ( x) =
¦
n
§ a xn· © n ¹
0
Seite 16
Potenzreihen
Die Partialsummen pn(x) = a0 + a1 x + ... + an xn der Potenzreihe nennen wir Approximationsfunktionen. Sie sind Polynomfunktionen. Solche Polynomfunktionen werden häufig wegen ihrer Einfachheit als Interpolationsfunktion für eine Funktion f(x) eingesetzt (siehe dazu auch Abschnitt 3.7, Band 3). g) ∞
¦
Jede konvergente Potenzreihe f ( x) =
n
ªa x x nº 0 ¼ ¬n
0
darf im Konvergenzintervall |x-x0 | < r gliedweise differenziert und gliedweise integriert werden. Die so entstehenden Reihen haben ebenfalls den Konvergenzradius r.
f ' ( x) =
∞
d
dx ¦ n
´ µ µ µ µ ¶
b
∞
¦
n
∞
ªa x x nº = 0 ¼ ¬n
0
nº
ªa x x 0 ¼ dx = ¬n
0
0
¦
n
ªa n x x n1º 0 ¬n ¼
1
∞ ª´ b º «µ a x x n dx» = 0 «¶ n » ¬a ¼ n 0
∞
¦
n
ªa x x nº = n 0 ¼ dx ¬
¦
n
∞
d
¦
0
n 1º ª« x x0 » «an n 1 » ¬ ¼
b | a
a
Beispiel 2.5: 1x
Wie lautet die Potenzreihenentwicklung der Funktion f ( x) =
1x
? Bestimmen Sie das
Konvergenzintervall. f ( x) =
1x
1 x
gegebene Funktion
1x
1 x
Mithilfe der Summenformel für geometrische Reihen s =
f ( x) =
1x 1x
= 1
2 1 x
∞
= 1 2
in Partialbrüche zerlegt, ergibt
¦
k
a
x 1
1
(siehe dazu (1-45), Band 3) erhalten wir:
1 q
ª¬( 1) k xkº¼
2
(wegen a = 1 und q k = (-x)k = (-1)k xk)
0
Diese geometrische Reihe konvergiert im Bereich |x| < 1. Beispiel 2.6: 23 7 x
Wie lautet die Potenzreihenentwicklung der Funktion f ( x) =
2
? Bestimmen Sie das
12 7 x x Konvergenzintervall.
Die gebrochenrationale Funktion kann in Partialbrüche zerlegt werden (siehe dazu Abschnitt 4.3.4, Band 3): 23 7 x 2
12 7 x x
in Partialbrüche zerlegt, ergibt
2 x 3
Seite 17
5 x 4
Partialbruchzerlegung mit Mathcad
Potenzreihen
23 7 x
f ( x) =
2
=
12 7 x x
23 7 x ( x 3) ( x 4)
A
=
x 3
B
händische Partialbruchzerlegung
x 4
bruchfreie Gleichung
23 7 x = A ( x 4) B ( x 3) x=4
23 28 = B
B = 5
x=3
23 21 = A
A = 2
5
5
Es gilt demnach:
f ( x) =
2
x 3
x 4
=
2
3 x
4x
=
2
1
3
1
x
5 4
f ( x) =
∞
2
¦
3
k
∞
k
0
5 §x· ¨ ¸ 4 © 3¹
¦
k
∞
k
0
§x· ¨ ¸ = © 4¹
¦
k
0
1
3
Mithilfe der Summenformel für geometrische Reihen s =
1
a 1 q
x 4 (siehe dazu (1-45), Band 3) erhalten wir:
ª§ 2 5 · xkº «¨ k1 » k 1 ¸ 4 ¬© 3 ¹ ¼
Konvergente Potenzreihen dürfen addiert werden!
Konvergenzbereich: x
Die 1. Reihe konvergiert für Die 2. Reihe konvergiert für ∞
Die Reihe f ( x) =
¦
k
0
1. Daraus folgt: x 3.
3 x
1. Daraus folgt: x 4.
4
ª§ 2 5 · xkº konvergiert daher für x 3. «¨ k1 » k 1 ¸ 4 ¬© 3 ¹ ¼
Beispiel 2.7: Für die Funktion f(x) = ln(1- x/2) soll zuerst die Potenzreihe um x0 = 0 für die Ableitungsfunktion f '(x) bestimmt werden. Aus der Potenzreihe für die Ableitungsfunktion f '(x) soll dann die Reihenentwicklung für die Funktion f(x) berechnet werden. 1 2
f ' ( x) =
1
Die Ableitungsfunktion ist eine gebrochenrationale Funktion.
x 2
Mithilfe der Summenformel für geometrische Reihen s =
f ' ( x) =
1 2
∞
¦
n
∞
n
0
§x· ¨ ¸ = © 2¹
1 q
(siehe dazu (1-45), Band 3) erhalten wir:
n
¦
n
a
x
n1
gesuchte Reihendarstellung für die Ableitungsfunktion
0 2
Seite 18
Potenzreihen
Um die Reihe zu f(x) zu bestimmen, wird integriert: ´
x· µ § f ( x) = ln ¨ 1 ¸ = µ 2¹ µ ©
∞
¦
n 1
0 2
n
µ ¶
∞
n
x
dx =
´ µ µ µ 0 µ ¶
¦
n
∞
n
x
n 1
dx =
2
n 1
x
¦
n 1
C
0 ( n 1) 2
n
Um die Konstante zu bestimmen, wird x = 0 eingesetzt: Aus ln(1-0) = 0 folgt C = 0.
Beispiel 2.8: Wie lautet die Potenzreihenentwicklung von f(x) = arctan(x2 ) im Entwicklungspunkt x 0 = 0? Bestimmen Sie das Konvergenzintervall für diese Reihe. Zuerst bestimmen wir die Ableitung der Funktion g(x) = arctan(x): g ' ( x) =
d dx
1
arctan ( x) =
2
1 x
Dieses Ergebnis lässt sich mit der Summenformel der geometrischen Reihe umschreiben:
g ' ( x) =
1 2
1 x
=
∞
1
¦ 1 x n 0 =
2
ª¬( 1) n x2nº¼
mit
n
2
q = x
n
n
2n
= ( 1) x
Die Integration liefert für |x| < 1: ´ µ g ( x) = arctan ( x) = µ µ µ ¶
∞
¦
n
ª¬( 1) n x2nº¼ dx =
0
∞
¦
n
0
ª ( 1) n º 2n 1» « x ¬2 n 1 ¼
Wegen arctan(0) = 0 kommt kein absolutes Glied hinzu. Weil die Reihe der Ableitung für |x| < 1 konvergiert, ist der Konvergenzradius für die Reihe von g(x) ebenfalls r = 1. Durch Ersetzen von x durch x2 in der Reihe für g(x) erhalten wir die Potenzreihe für die gegebene Funktion: ∞
2 f ( x) = arctan x = ¦ n
∞
¦
n
0
∞
¦
n
0
0
ª ( 1) n º 2 x6 x10 4n 2» « x =x .... 3 5 ¬2 n 1 ¼
ª ( 1) n º π 4n 2» « ( 1) o 4 ¬2 n 1 ¼ Die Reihe konvergiert auch für die Randpunkte des vorher genannten Konvergenzintervalls, also für x d 1.
º π ª ( 1) n 4n 2» « 1 o 4 ¬2 n 1 ¼
Seite 19
Potenzreihen
Beispiel 2.9: Die Funktion f(x) = cos2 (x-x0 ) besitzt um die Stelle x 0 die Potenzreihendarstellung: 1
2
1
2
2 = 1 x x0 2 3 x x0 4 45 x x0 6 315 x x0 8 14175 x x0 10 ....
cos x x0
Die Funktion f(x) soll um die Stelle x 0 = 0 und x 0 = 1 einerseits durch ein Approximationspolynom, das durch Abbruch der Reihe nach dem sechsten Glied entsteht, und andererseits durch ein Interpolationspolynom 4. Grades angenähert und grafisch dargestellt werden. ORIGIN festlegen
ORIGIN 0
2
gegebene Funktion
f x x0 cos x x0
Approximationspolynom (Reihenabbruch nach dem sechsten Glied):
1
2
1
2
2 3 x x0 4 45 x x0 6 315 x x0 8 14175 x x0 10
p10 x x0 1 x x0
Interpolationspolynom 4. Grades: Zur Bestimmung der Koeffizienten ai und der Konstante a0 des Interpolationspolynoms 4. Grades 1
2
3
4
p ( x) = a0 a1 x a2 x a3 x a4 x wählen wir die Stützstellen mit der gleichen Schrittweite h symmetrisch um die Stelle x0 . Die Anzahl der Stützstellen n, der Entwicklungspunkt x 0 und die Schrittweite h werden neben der Grafik für Simulationszwecke global definiert.
bei fünf Stützstellen
Abb. 2.1
stützstellen x0 h n
Fehler ( "n muss ungerade sein!" ) if mod ( n 2) = 0 x0 m x0
§ n· ¸ © 2¹
Unterprogramm zur Berechnung von Stützstellen mit äquidistanten Punkten mit Abstand h/2. Die Daten werden aufsteigend sortiert.
for k 1 floor ¨ xk m x0 k x
§ n· k floor¨ ¸ © 2¹
h 2
m x0 k
h 2
sort ( x)
x stützstellen x0 h n T
x
Die Stützstellen werden in einem Vektor gespeichert!
( 1 0.5 0 0.5 1 )
Seite 20
Potenzreihen
Funktionswerte an den Stützstellen
y f x x0 T
y
( 0.292 0.77 1 0.77 0.292 )
P erweitern ( x y)
§¨ 1 ¨ 0.5 ¨ 0 ¨ ¨ 0.5 ¨ 1 ©
P
0.292 ·
¸ ¸ ¸ Stützpunkte (x | f(x )) in einer Matrix zusammengefasst 1 i i ¸ 0.77 ¸ ¸ 0.292 ¹ 0.77
Durch sukzessives Einsetzen der Werte der Stützstellen x i und deren zugehörigen Funktionswerte yi in das Interpolationspolynom n-ten Grades erhalten wir ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten a 0 , ..., an-1 . Das Gleichungssystem lässt sich in Matrizenform y = K a schreiben. Aus y = K a erhalten wir den Lösungsvektor a durch Multiplikation der Matrixgleichung mit K-1 von links. Stützstellen einsetzen:
1
2
3
4
1
2
3
4
p x0 = a0 a1 x0 a2 x0 a3 x0 a4 x0 p x1 = a0 a1 x1 a2 x1 a3 x1 a4 x1 ........................................................................... 1
2
3
4
p x4 = a0 a1 x4 a2 x4 a3 x4 a4 x4 Bereichsvariable
i 0 n 1
0
¢i² i K x
K
K
1
T
y
a n1
p ( x) a0
2
3
4
1
-1
1
-1
1
1
1
-0.5
0.25
-0.125
0.063
2
1
0
0
0
0
3
1
0.5
0.25
0.125
0.063
4
1
1
1
1
1
Die Koeffizientenmatrix K dieses linearen Gleichungssystems enthält in der i-ten Spalte die i-ten Potenzen von xi:
Es liegt eine reguläre Matrix vor!
0.281
a K
1
0
¦
k
Koeffizienten des Interpolationspolynoms
( 1 0 0.99 0 0.282 )
§ ak xk· © ¹
Interpolationspolynom
1
Bereichsvariable
x min ( x) 2 min ( x) 2 0.001 max ( x) 2
Seite 21
Potenzreihen
2 x0
f x x0
p10 x x0
f x0 x0
1
p ( x) y 2
0
2
x x x x Funktion Approximationspolynom Interpolationspolynom Stützpunkte
Abb. 2.2
n{ 5
x0 { 0
global definierte Daten für eine Simulation
h{ 1
Quadratische Fehler im Vergleich (betrachtet im Bereich der gewählten Stützpunkte): x
´ n1 2 µ f x x0 p10 x x0 dx µ ¶x
1.404 u 10
12
Approximationspolynom
0
x
´ n1 2 µ f x x0 p ( x) dx µ ¶x
6.095 u 10
6
Interpolationspolynom
0
Seite 22
Taylorreihen
2.3 Taylorreihen Wie bereits im vorhergehenden Abschnitt gezeigt wurde, stellt eine Potenzreihe auf ihrem Konvergenzintervall eine Funktion dar. Es soll nun untersucht werden, unter welchen Bedingungen eine Funktion in eine Potenzreihe entwickelt werden kann. Die Funktion f(x) = 1/(1+(x-x0 )) kann z. B. durch fortlaufende Division als Reihe geschrieben werden: f ( x) =
1
1 x x0
2 x x0 3 ....
= 1 x x0 x x0
(2-8)
Die Reihe hat dann folgende Form:
2 a3 x x0 3 ....
f ( x) = a0 a1 x x0 a2 x x0
(2-9)
Zur Ermittlung der Koeffizienten ai bilden wir vorerst unter der Annahme, dass die Funktion in einer Umgebung von x0 differenzierbar ist, deren Ableitungen. Zur Vereinfachung verwenden wir zur Herleitung eine abgebrochene Reihe:
4
f ( x) =
n
f 1 ( x) =
ªan x x nº o f ( x) = x x 2 a2 x x 3 a3 x x 4 a4 x x a1 a0 0 ¼ 0 0 0 0 ¬
¦
0
d dx
4
¦
n
ªan x x nº o f ( x) = 2 x 2 x a2 3 x x 2 a3 4 x x 3 a4 a1 1 0 0 ¼ 0 0 ¬
0
f 1 ( x) = a1 2 a2 x x0 3 a3 x x0
2
4 a4 x x0
3
4
=
¦
n
f 2 ( x) =
d dx
4
¦
n
1
2
4
=
¦
n
f 3 ( x) =
4
dx ¦ n
1
ªn an x x n1º o f ( x) = 3 2 x 2 x a3 12 x x 2 a4 2 a2 2 0 0 0 ¬ ¼
f 2 ( x) = 2 a2 6 a3 x x0 12 a4 x x0
d
ªn an x x n1º 0 ¬ ¼
ªn ( n 1) an x x n2º 0 ¬ ¼
2
ªn ( n 1) an x x n2º o f ( x) = 12 2 x 2 x a4 6 a3 3 0 0 ¬ ¼
2 4
¦
f 3 ( x) = 6 a3 24 a4 x x0 =
n
ªn ( n 1) ( n 2) an x x n3º 0 ¬ ¼
3
usw.
Seite 23
Taylorreihen
Setzen wir nun eine bestimmte Entwicklungsstelle ein, z. B. x = x0 , dann erhalten wir:
f x0 = a0
a1 =
a2 =
a3 =
f1 x0 = f ' x0 = a1
f2 x0 = f '' x0 = 2 a2
f3 x0 = f ''' x0 = 2 3 a3
= f ' x0
f1 x0 1
1
= f '' x0
f2 x0 2
2
= f ''' x0
f3 x0 3
3
................................................................................
n
fn x0 = f x0 = n an
an =
= fn x0
f n x0 n
n
0
mit
a0 =
=f x 0 0
f x0
Ohne Beweis gelten folgende Sätze: a) Es sei f: [a,b] o eine beliebig oft differenzierbare Funktion, und es existiere ein M mit | f(n)(x) | dM für alle x [a,b] und n ². Dann gilt für eine beliebige Entwicklungsstelle x0 [a,b]: ∞
¦
Die Taylorreihe
f ( x) =
º ª« f( n) x 0 n» « n x x0 » konvergiert für alle x [a,b] , und es ist ¬ ¼
n
0
∞
º ª« f( n) x 0 n» « n x x0 » . ¬ ¼
¦
n
0
(2-10)
Sie kann auch als Summe von Taylorpolynom und Restglied geschrieben werden: n
f ( x) =
¦
k
0
º ª« f( k) x 0 k» « k x x0 » Rn1( x) . ¬ ¼
(2-11)
Rn+1 (x) bezeichnet man als Restglied, weil es den Unterschied von f(x) zum Taylorpolynom angibt. Die Taylorreihe wird auch MacLaurin-Reihe genannt. Taylorreihen sind spezielle Potenzreihen, aber nicht jede Potenzreihe ist eine Taylorreihe!
Seite 24
Taylorreihen
Das Restglied von Lagrange lautet: f
( n1)
Rn1( x) =
ª¬x0 θ x x0 º¼ n1 x x0 mit 0 θ 1 ( n 1)
(2-12)
Dieses Restglied gibt Aufschluss über die Konvergenz der Reihe und über den Fehler, den wir bei Abbruch der Reihe nach dem n-ten Glied begehen. b)
ª« f( n) x º 0 n» « n x x0 » ist genau dann eine Darstellung von f(x), wenn gilt: ¬ ¼
∞
¦
Die Reihe
n
0
lim no∞
ª¬Rn1( x)º¼ = 0
(2-13)
c) Wenn wir die Reihe nach dem n-ten Glied abbrechen, so gilt für das Restglied R n+1 (x) die Fehlerabschätzung nach Lagrange:
ª« f( n1) ªx θ x x º º 0¼ ¬0 n 1 » Rn1( x) d max « x x0 » ( n 1) ¬ ¼
(2-14)
maximaler Wert für ș ] 0, 1 [ )
Bemerkung: Für alternierende Reihen und x0 = 0 gilt dann speziell die Fehlerabschätzung: f Rn1( x) d
( n 1)
x0 xn1
(2-15)
( n 1)
Wenn wir die Reihenentwicklung nach dem ersten Glied abbrechen, so erhalten wir:
f ( x) = f x0 f ' ( θ x) x x0 mit T ] 0, 1 [
(2-16)
Man erkennt hier, dass die Taylorreihe eine Verallgemeinerung der Linearisierungsformel ist.
Beispiel 2.10: a) Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = sin(x)? b) Auf welchem Intervall konvergiert diese Reihe? c) Wie lautet das Restglied nach Lagrange für diese Reihe? d) Stellen Sie die Funktion und die Näherungspolynome bis zum 7. Grad grafisch dar. e) Stellen Sie den absoluten und relativen Fehler im Vergleich von Funktion und Taylorpolynome grafisch dar. f ( x) sin ( x) f ( x) = f ( 0)
gegebene Funktion und Entwicklungsstelle
x0 0 f ' ( 0) 1
x
f '' ( 0) 2
2
x
f ''' ( 0) 3
3
x ....
Seite 25
Entwicklung der Funktion an der Stelle x 0 = 0
Taylorreihen
fx ( x n)
konstantes Glied a0
f ( 0) = sin ( 0) = 0
n
d
n
a0 = 0
Ableitungen
f ( x)
dx
fx ( x 1) o cos ( x)
f x ( 0 1) o 1
1
1. Ableitung an der Stelle 0
1 a1 = 1
fx ( x 2) o sin ( x)
f x ( 0 2) o 0
0
2. Ableitung an der Stelle 0
a2 = 0
fx ( x 3) o cos ( x)
f x ( 0 3) o 1
3. Ableitung an der Stelle 0
1 a3 = 3
fx ( x 4) o sin ( x)
f x ( 0 4) o 0
0
4. Ableitung an der Stelle 0
fx ( x 5) o cos ( x)
f x ( 0 5) o 1
1
5. Ableitung an der Stelle 0
1
a4 = 0 1 a5 = 5
Alle geraden Ableitungen sind null und die ungeraden Ableitungen (2n+1) sind +1 bzw. -1. ∞
f ( x) = sin ( x) =
¦
n 5
9
¦
n
0
1 ª( 1) n 2n 1º x « » ( 2 n 1) ¬ ¼
0
Taylorreihe für sin(x) (enthält nur ungerade Glieder)
11
7
5
3
1 x x x x x ª( 1) n 2n 1º x x « »o ( 2 n 1) ¬ ¼ 362880 39916800 5040 120 6
Das Konvergenzintervall bestimmen wir mit dem Quotientenkriterium: n
n 1
( 1) an = ( 2 n 1)
r=
lim no∞
n 1
( 1) ( 1) an+1 = = [ 2 ( n 1) 1] ( 2 n 3)
( 1)
an
=
an 1
lim no∞
n
( 1)
( 2n 1 ) ( 1)
Folgeglieder
n1
lim no∞
( 2n 3 )
n
( 2n 1) ( 1)
n1
( 2n 3)
Das Restglied ergibt sich nach Lagrange zu: ( 2n 1 )
( θ x) 2n1 f R2n+1 ( x) = x ( 2 n 1) ( 2n 1 )
n
( θ x) 2n1 ( 1) cos ( θ x) 2n 1 f R2n+1 ( x) = x = x ( 2 n 1) ( 2 n 1) Für die Fehlerabschätzung gilt dann (alternierende Reihe (2-15)): 2n 1
x R2n+1 ( x) d ( 2 n 1)
Seite 26
(x0 = 0)
o∞
Die Reihe konvergiert für alle x .
Taylorreihen
Taylorpolynome vom Grad (2 k + 1): k
1 ª( 1) n 2n 1º x « » ( 2 n 1 ) ¬ ¼
¦
p ( x k )
n
0
3
p ( x 1) o x
x
6
5
p ( x 2) o
x
120
3
x
5
p ( x 3) o
x
120
x
6
7
3
x
5040
x
6
x
Die Approximation der Sinuskurve durch die Taylorpolynome: x 3
π 2
π
3
2
0.01 3
π 2
Bereichsvariable Sinusfunktion und Taylorpolynome 2 x0
Grad n = 5
1
p( x 1) p( x 2) p( x 3) 6
4
2
0
2
4
f ( x) 1
2
Grad n = 3 Grad n = 7 x
p(x,1) p(x,2) p(x,3) f(x) = sin(x)
Abb. 2.3 Grafische Veranschaulichung durch Animation: x x
Redefinition
k 1 FRAME
FRAME z. B. von 0 bis 10
3
p ( x k ) o x
x
6
x 20 20 0.01 20
Näherungspolynom vom Grad (2 k + 1) Bereichsvariable
Seite 27
6
Taylorreihen
2 x0 1 f ( x) p( x k) 20
10
0
10
20
30
1
2 k 1
2
3
x
Abb. 2.4 Grafische Darstellung des absoluten und relativen Fehlers in Abhängigkeit vom Polynomgrad: Fab ( x k )
Absoluter Fehler
f ( x) p ( x k )
Absoluter Fehler 5 4 3
Fab( x k)
2
2 k 1
1 10
5
0
3
5
10
5
10
x
Abb. 2.5 Absoluter Fehler 5 4
Fab( x 1 )
3
Fab( x 2 )
2
Fab( x 4 )
1 10
5
0 x
Abb. 2.6
Seite 28
Taylorreihen
Der Fehler nimmt bei der Berechnung mithilfe der Taylorreihe mit der Entfernung vom Entwicklungspunkt zu und mit dem Grad des Polynoms ab! Ein Taylorpolynom nähert eine Funktion gut in der Nähe der Entwicklungsstelle. Auf Computern werden daher Funktionen meist durch Polynome ersetzt, die eine gleichbleibend gute Näherung über einen bestimmten x-Bereich geben. Hier sind speziell die sogenannten Tschebyscheff-Polynome zu erwähnen, mit denen viele elementare Funktionen auf Computern berechnet werden. Beispiel 2.11: a) Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = cos(x)? b) Auf welchem Intervall konvergiert diese Reihe? c) Wie lautet das Restglied nach Lagrange für diese Reihe? d) Stellen Sie die Funktion und die Näherungspolynome bis zum 7. Grad grafisch dar. e) Stellen Sie den absoluten Fehler im Vergleich von Funktion und Taylorpolynome grafisch dar. f ( x) cos ( x) f ( x) = f ( 0)
gegebene Funktion und Entwicklungsstelle
x0 0 f ' ( 0) 1
x
f '' ( 0) 2
f ''' ( 0)
2
x
3
Entwicklung der Funktion an der Stelle x 0 = 0
x ....
3
Entwicklung an der Stelle 0 mit Mathcad (Menü-Symbolik-Variable-Reihenentwicklung): 2
konvertiert in die Reihe
cos ( x)
x
1
2
4
x
24
6
8
x
x
720
40320
Symboloperator und Schlüsselwort-Reihe: Redefinition
x x
2
cos ( x) Reihen x 10 o 1
x
2
4
x
24
6
2
x
720
8
4
x
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
40320 6
8
x x x x cos ( x) Reihen x = x0 10 o 1 2 24 720 40320 ∞
f ( x) = cos ( x) =
¦
n
0
ª( 1) n 1 x2nº « » ( 2 n) ¬ ¼
Entwicklung an der Stelle x0
Taylorreihe für cos(x) (enthält nur gerade Glieder)
Die Kosinusreihe erhalten wir auch durch Differentiation der Sinusreihe. Es gilt auch: cos(x)' = -sin(x). ∞
d dx
¦
n
0
1 ª( 1) n 2n 1º x « » o cos ( x) ( 2 n 1) ¬ ¼
∞
d dx
¦
n
0
ª( 1) n 1 x2nº o sin ( x) « » ( 2 n) ¬ ¼
Das Konvergenzintervall bestimmen wir mit dem Quotientenkriterium: n
n 1
( 1) an = ( 2 n)
( 1)
r=
lim no∞
n1
( 1) ( 1) an+1 = = [ 2 ( n 1) ] ( 2 n 2)
an an 1
=
lim no∞
n
( 2n) ( 1)
n1
Folgeglieder
( 1)
lim no∞
( 2n 2 )
n
( 2n ) ( 1)
n1
( 2n 2)
Seite 29
o∞
Die Reihe konvergiert für alle x .
Taylorreihen
Das Restglied ergibt sich nach Lagrange zu:
R2n ( x) =
R2n ( x) =
f
( 2n )
( θ x)
( 2 n) f
( 2n )
( θ x)
( 2 n)
2n
x
2n
x
n
=
( 1) cos ( θ x) ( 2 n)
2n
(x0 = 0)
x
Für die Fehlerabschätzung gilt dann (alternierende Reihe): 2n
x
R2n ( x) d ( 2 n) Taylorpolynome vom Grad (2 k): k
ª( 1) n 1 x2nº « » ( 2 n) ¬ ¼
¦
p ( x k )
n
0
2
p ( x 1) o 1
x
2
4
p ( x 2) o
x
24
2
4
p ( x 3) o
x
24
x
1
2 6
x
720
2
x
2
1
Die Approximation der Kosinuskurve durch die Taylorpolynome: x 3
π 2
3
π 2
0.01 3
π
Bereichsvariable
2
2 x0 p( x 1)
Grad n = 4
1
p( x 2) p( x 3) 6
4
f ( x)
2
0
2
4
1 2 x p(x,1) p(x,2) p(x,3) f(x) = cos(x)
Abb. 2.7
Seite 30
Grad n = 2
Grad n = 6
6
Taylorreihen
Grafische Veranschaulichung durch Variation des Grades: Redefinition
x x k
k
4
k von 0 bis 10
Näherungspolynom vom Grad (2 k) 8
p ( x k ) o
6
x
40320
4
x
720
x
24
2
x
2
1
2
1 f ( x) 4
p( x k)
2
0
2
4
1
2 k
8
2 x
Abb. 2.8 Grafische Darstellung des absoluten Fehlers in Abhängigkeit vom Polynomgrad: Fab ( x k )
absoluter Fehler
f ( x) p ( x k )
absoluter Fehler 5 4 3 Fab( x k) 2 1
6
4
2
2 k 0 x
Abb. 2.9
Seite 31
8 2
4
6
Taylorreihen
Beispiel 2.12: a) Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = ex? b) Auf welchem Intervall konvergiert diese Reihe? c) Wie lautet das Restglied nach Lagrange für diese Reihe? d) Wie groß ist die Genauigkeit, wenn der Wert für e mittels der Taylorreihe berechnet und nach dem 7. Glied abbricht? e) Stellen Sie die Funktion und die Näherungspolynome bis zum 7. Grad grafisch dar. f) Stellen Sie den relativen Fehler im Vergleich von Funktion und Taylorpolynome grafisch dar. x
f ( x) e
gegebene Funktion und Entwicklungsstelle
x0 0 f ' ( 0)
f ( x) = f ( 0)
1
x
f '' ( 0) 2
f ''' ( 0)
2
x
3
Entwicklung der Funktion an der Stelle x 0 = 0
x ....
3
Entwicklung an der Stelle 0 mit Mathcad (Menü-Symbolik-Variable-Reihenentwicklung): x
e
2
konvertiert in die Reihe
3
x
1 x
x
2
6
4
x
24
5
6
x
120
x
720
Symboloperator und Schlüsselwort-Reihe: 2
x
e Reihen x 7 o 1 x
3
x
2
4
x
6
x
24
x
e Reihen x = 1 3 o e e ( x 1) ∞
x
¦
f ( x) = e =
n
0
§ 1 xn· ¨ ¸ © n ¹
5
x
120
e ( x 1)
6
x
Entwicklung an der Stelle 0
720
2
Entwicklung an der Stelle x = x0 = 1
2
Taylorreihe für ex (Entwicklung an der Stelle x0 = 0)
Das Konvergenzintervall bestimmen wir mit dem Quotientenkriterium: 1 an = n
1 an+1 = ( n 1)
Folgeglieder
1
r=
an
lim
an 1
no∞
=
1
n
lim no∞
n
lim
1
no∞
( n 1)
1 ( n 1 )
Das Restglied ergibt sich nach Lagrange zu:
Rn+1 ( x) =
Rn+1 ( x) =
f
( n1)
( θ x)
( n 1) f
( n1)
( θ x)
( n 1)
n 1
x
n 1
x
θx
=
e
( n 1)
n 1
x
(x0 = 0)
Seite 32
o∞
Die Reihe konvergiert für alle x .
Taylorreihen
Für die Fehlerabschätzung gilt dann:
ª eθx º n1 » Rn+1 ( x) d max « x ¬ ( n 1) ¼
maximaler Wert für 0 θ 1
Fehlerabschätzung: x
e = 1 1 x
1 2
g ( x) 1 1 x θx
e
7
7
x
1 6
1
3
x
1
4
24
x
1
5
120
x
6
x R7
720
gewählter x-Wert und T-Wert
θ 1
x 1
R7
2
x
1 2
2
x
R7
1 6
3
x
1
4
24
5.393 u 10
x
4
1 120
1
5
x
6
720
x
g ( x)
Näherungswert für e1
2.71806
Der Fehler ist sicher kleiner als 6.10 -4 (e ist auf 3 Stellen genau).
Grafische Veranschaulichung durch Variation der Entwicklungsstelle und des Grades: x0
x0
n
Entwicklungsstelle (-4 ... 2)
1
n
Grad des Taylorpolynoms (1 ... 10)
3
Taylorpolynom: x
1
p ( x) e Reihen x = x0 n 1 o e x 5 5 0.01 10
1
e
1
( x 1)
e
( x 1) 2
2
1
e
( x 1)
3
6
Bereichsvariable
x0
10
f ( x) 5
p ( x)
f x0
n 5
3
0
5
x x x0
Abb. 2.10
Seite 33
10
Taylorreihen
Grafische Darstellung des relativen Fehlers in Abhängigkeit vom Polynomgrad: f ( x) p ( x)
Frel ( x)
f ( x) f ( x) p ( x) f ( x)
if x 0 relativer Fehler in % 100 otherwise Relativer Fehler 100 80 60
Frel( x) 40 20
5
n 0
3
x0
1
5
10
x
Abb. 2.11 Wie gezeigt wurde, ermöglicht Mathcad auch eine unterschiedliche Wahl von Entwicklungspunkten. Dies bringt eine bessere Approximation im gewünschten Bereich oder ermöglicht auch das Aufstellen der Taylorreihe, wenn etwa die Funktion um x = 0 nicht entwickelt werden kann. Beispiel 2.13: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = e-x? x
f ( x) = e
gegebene Funktion und Entwicklungsstelle
x0 0
Redefinition
x x x
e
2
3
x
4
x
5
x
x
Taylorpolynom
Reihen x = x0 6 o 1 x 2 6 24 120
Diese Reihe erhalten wir auch, wenn wir in der Reihe für e x die Variable x durch -x ersetzen. x
f ( x) = e
∞
=
¦
n
0
ª n xnº «( 1) » n ¼ ¬
Taylorreihe für e-x . Diese Reihe konvergiert ebenfalls für alle x .
Beispiel 2.14: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = ax? x
f ( x) = a x
x0 0
gegebene Funktion und Entwicklungsstelle
a Reihen x = x0 5 o 1 x ln ( a)
2
x ln ( a) 2
2
3
x ln ( a) 6
Seite 34
3
4
x ln ( a) 24
4
Taylorpolynom
Taylorreihen Diese Reihe erhalten wir auch, wenn wir in der Reihe für e x die Variable x durch x ln(a) ersetzen. Dies gilt wegen a x = e x ln(a). ∞
x
n
¦
f ( x) = a =
n
n
ln ( a) x n
0
Taylorreihe für ax. Die Reihe konvergiert für alle x mit a + und a z 1.
Beispiel 2.15: Wie lauten die Taylorreihen an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = ln(x), f(x) = ln(1+x) und f(x) = ln(1-x)? Bestimmen Sie jeweils das Konvergenzintervall und berechnen Sie ln(2). Vergleichen Sie auch die Originalfunktion mit den Taylorpolynomen grafisch. Für f(x) = ln(x) kann an der Stelle 0 die Reihe nicht entwickelt werden, weil an dieser Stelle ein Pol der Funktion vorliegt! Wir entwickeln die Reihe z. B. an der Stelle x0 = 1: ( x 1)
p1 ( x) ln ( x) Reihen x = 1 grad o 1 x ∞
ª n1 ( x 1) nº «( 1) » n ¬ ¼
¦
ln ( x) =
n
1
( 1)
no∞
( 1)
( x 1)
2
3
3
( x 1) 4
4
( x 1) 5
Taylorreihe für ln(x) mit der Entwicklungsstelle x 0 = 1.
o1
n2
Die Reihe konvergiert sicher für |x - 1| < 1, also 0 < x < 2.
n 1
Für x = 0 liegt eine negative harmonische Reihe vor und die ist divergent. Für x = 2 liegt eine Leibniz-Reihe vor und die ist konvergent. Die Reihe ist damit im Intervall 0 < x d2 konvergent. 2
p2 ( x) ln ( 1 x) Reihen x = 0 grad o x ∞
ln ( 1 x) =
ª n1 xnº «( 1) » n¼ ¬
¦
n
1
3
x
2
4
x
3
5
x
4
x
5
Taylorreihe für ln(1+x) mit der Entwicklungsstelle x 0 = 0.
Diese Reihe konvergiert aus den oben angeführten Überlegungen im Intervall -1 < x d1. 2
p3 ( x) ln ( 1 x) Reihen x = 0 grad o x ∞
ln ( 1 x) =
x
2
3
x
3
4
x
4
5
x
5
n
¦
n
1
x
n
Taylorreihe für ln(1-x) mit der Entwicklungsstelle x 0 = 0.
Diese Reihe konvergiert im Intervall -1 d x <1. Vorteilhafter zur Berechnung von Näherungswerten ist die Reihe für folgende Funktion:
§1 ©1
ln ¨
5
n1
n
lim
2
x·
¸ = ln ( 1 x) ln ( 1 x)
x¹
Seite 35
Taylorreihen 3
5
§ 1 x · Reihen x = 0 grad o 2 x 2 x 2 x p4 ( x) ln ¨ ¸ 3 5 © 1 x¹ §1 ©1
ln ¨
∞
x·
= 2
¸ x¹
2n 1
x
¦
n
Taylorreihe für ln((1-x)/(1-x)) mit der Entwicklungsstelle x0 = 0.
2 n 1
0
Diese Reihe konvergiert sicher im Intervall -1 < x <1. 1 x
Setzen wir
1 x
= z , dann folgt: x =
z1 z1
Wir setzen nun x in die vorhergende Reihe ein und ersetzen hinterher z durch x: Reihen x = 0 grad
§ 1 x·
p5 ( x) ln ¨
¸ © 1 x¹
2
4
3
5
z 1o 2 50 x 25 x 50 x 23 x 25 x 23 ersetzen x = 5 z1 15 ( x 1)
ersetzen z = x ∞
¦
ln ( x) = 2
n
0
2n 1º ª 1 ( x 1) « » « 2 n 1 ( 1 x) 2n1» ¬ ¼
Taylorreihe für ln(x). Sie konvergiert für x +.
Wir vergleichen nun die Werte für ln(2) der verschiedenen Näherungen einfacher Taylorpolynome mit dem exakten Wert auf 10 Nachkommastellen: ln ( 2)
0.6931471806
p1 ( 2)
0.7833333333
§ 1· ¸ © 3¹
p4 ¨
0.6930041152
p2 ( 1)
0.7833333333
p5 ( 2)
0.6930041152
p3 ( 1)
0.7833333333
grad { 5 Hier kann mit grad der Grad der Taylorpolynome global verändert werden! Grafischer Vergleich: Bereichsvariable
x 0.1 0.1 0.01 10 3 2 ln( x)
1
p1( x) p5( x)
0
2
4
6
1 2 x
Abb. 2.12
Seite 36
8
10
Taylorreihen
Bereichsvariable
x 0.99 0.99 0.01 2 1
ln( 1 x) 1
1
0
1
ln( 1 x) 1
p2( x)
0
1
p3( x) 1
1
2
2 x
x
Abb. 2.13
Abb. 2.14
Beispiel 2.16: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = tan(x)? f ( x) = tan ( x)
x0 0
gegebene Funktion und Entwicklungsstelle Redefinition
x x
3
5
7
9
11
x 2 x 17 x 62 x 1382 x tan ( x) Reihen x = x0 14 o x 15 315 2835 155925 3 3
sin ( x)
5
7
9
13
11
x 2 x 17 x 62 x 1382 x Reihen x = x0 14 o x cos ( x) 15 315 2835 155925 3
21844 x
6081075 13
21844 x
6081075
Die Taylorreihe für tan(x) kann damit auch durch die gliedweise Division von Sinus- und Kosinusreihe gefunden werden. Eine andere Möglichkeit besteht auch darin, die Beziehung tan(x).cos(x) = sin(x) zur Entwicklung zu verwenden: 2 4 6 3 5 7 § · § a x a x3 a x5 a x7· ¨ 1 x x x ....¸ = x x x x .... 3 5 7 © 1 ¹ © 2 4 6 ¹ 1 3 5 7
Durch gliedweises Ausmultiplizieren der linken Seite und anschließendem Koeffizientenvergleich entsprechender Potenzen mit der rechten Seite a1 a3 a1 a5 a3 a1 1 1 1 ; a5 ; a7 usw. a1 = 1 ; a3 = = = 2 2 4 2 4 6 3 5 7 erhalten wir schließlich die Reihe für tan(x). Sie konvergiert für |x| < S/2.
Beispiel 2.17: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = arctan(x)? Berechnen Sie näherungsweise die Zahl S. f ( x) = arctan ( x)
x0 0
gegebene Funktion und Entwicklungsstelle
Seite 37
Taylorreihen
3
5
x
7
x
9
x
11
x
13
x
x
p ( x) atan ( x) Reihen x = x0 14 o x 3 5 7 9 11 13 ∞
arctan ( x) =
¦
n
0
ª n x2n1 º «( 1) » 2 n 1¼ ¬
Taylorreihe für arctan(x). Diese Reihe konvergiert im Intervall -1 d x d1.
Diese Reihe erhält man auch durch gliedweise Integration von 0 bis x der Reihe: 1
2
4
6
8
10
Reihen x = x0 14 o 1 x x x x x 2 1 x
12
x
Näherungsweise Berechnung von S: arctan ( 1) = π
§ 1 ·= π ¸ © 3¹ 6
π
arctan ¨
4
arctan 2
3 =
π 12
3.1415926536
4 p ( 1)
§ 1 · ¸ © 3¹
3.2837384837
6 p¨
3.1416743127
12 p 2
3
3.1415926556
Es gelten folgende Zusammenhänge: arccot ( x) =
π 2
arctan ( x) bzw. arccos ( x) =
π 2
arcsin ( x)
(2-17)
Beispiel 2.18: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = sinh(x) und g(x) = cosh(x)? f ( x) = sinh ( x)
g ( x) = cosh ( x)
gegebene Funktionen und Entwicklungsstelle
x0 0 3
5
7
9
11
x x x x x sinh ( x) Reihen x = x0 12 o x 6 120 5040 362880 39916800 x
x
e e 2
3
5
x
7
x
9
x
11
x
x
Reihen x = x0 12 o x 6 120 5040 362880 39916800 2
4
6
8
10
x x x x x cosh ( x) Reihen x = x0 12 o 1 2 24 720 40320 3628800 x
x
e e 2
2
4
6
8
10
x x x x x Reihen x = x0 12 o 1 2 24 720 40320 3628800
Die Reihen konvergieren für alle x .
Seite 38
Taylorreihen
Beispiel 2.19: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 bzw. x0 = 1 der Funktionen f(x) = arsinh(x), artanh(x) und arcosh(x)? 3
arsinh ( x) Reihen x = 0 12 o x
§ ln © x
x
6
5
5 x
112
3
9
11
35 x
1152
5
63 x
2816
7
9
11
x 3 x 5 x 35 x 63 x · x 1¹ Reihen x = 0 12 o x 2
40
6
artanh ( x) Reihen x = 0 12 o x
2
40
3
1
7
3 x
§1 ©1
ln ¨
x
3
5
x
5 3
x·
x
112
7
9
x
x
7 5
9 7
x
x
1152
2816
11
x
11 9
11
x
x
¸ Reihen x = 0 12 o x x¹ 3 5 7 9 11 3
annehmen x ! 0 o Reihen x = 1 2
arcosh ( x)
2
2 ( x 1)
x 1 j
2
j
12 3
§
ln © x
·
2
x 1¹ Reihen x = 1 3 o
2
x 1
2 ( x 1)
2
12 3
§ ln © x
· x 1¹ Reihen x = 1 3 o 2
2
x 1
2 ( x 1)
2
12
Es gilt also:
§
arcosh ( x) = ln © x
2
·
§
x 1¹ bzw. arcosh ( x) = ln © x
·
2
x 1¹ für x t 1
(2-18)
Beispiel 2.20: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 1 der Funktion f(x) = 1/x? 1 x
2
3
4
Reihen x = 1 6 o 2 x ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)
5
Die Transformation x = u + 1 und die Rücktransformation u = x - 1 führt auch zum gleichen Ergebnis: 1 u 1
Reihen u 6
2
3
4
o 1 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ersetzen u = x 1
Seite 39
5
Taylorreihen
Beispiel 2.21: x
Bestimmen Sie den Wert der fünften Ableitung der Funktion f ( x) =
2
für x = 0.
1x x
3
5
7
9
Die Reihe konvergiert für |x| < 1.
Reihen x = 0 10 o x x x x x
2
1 x
5
f ( 0)
Der Koeffizient a5 der Taylorreihe hat den Wert:
5
= a5 = 1
5
Also gilt:
f ( 0) = 5 = 120
Beispiel 2.22: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = (1 + x)n ? Redefinition
n n n
2
§n
( 1 x) Reihen x 4 o 1 n x x ¨
©2
§n
¨
©2
2·
n
¸ Faktor o n ( n 1) 2 ¹ 2
2·
2· 2º ª § ¸ x3 «n ¨ n n ¸ n n » 2 ¹ ¬ ©4 6 ¹ 3 4¼
n
ª § n n2 · n n2º ¸ » Faktor o n ( n 1) ( n 2) 6 4 6 ¬ © ¹ 3 4¼
«n ¨
Mithilfe der Binomialkoeffizienten erhält man:
§n · ¨ ¸=1 ©0 ¹ n 1
=
§n · ¨ ¸=1 ©n ¹
§n · ¨ ¸ ©1 ¹ n
n ( n 1)
=
2 ∞
( 1 x) =
¦
k
0
§n · ¨ ¸ ©2 ¹
ª§ n · kº «¨ ¸ x » ¬© k ¹ ¼
n ( n 1) ( n 2) 3
=
§n · n ( n 1) ( n 2) ....( n k 1) § n · =¨ ¸ ¨ ¸ ..... k ©3 ¹ ©k ¹
n . Diese Reihe heißt Binomialreihe oder binomische Reihe.
Konvergenz dieser Reihe:
lim ko∞
§n · ¨ ¸ ©k ¹ § n · ¨ ¸ ©k 1 ¹
n( n 1 )( n 2)....( n k 1)
=
lim ko∞
k n( n 1 )( n 2)....( n k 1)( n k) ( k 1 )
=
lim ko∞
k1 n k
1 =
lim ko∞
n k
1 k
=1
1
Diese Reihe konvergiert im Intervall -1 < x <1. Bemerkung: Für n ² bricht die Reihe von selbst ab, weil
§n · ¨ ¸ = 0 für k > n gilt. Das ist der binomische Lehrsatz. ©k ¹
Seite 40
Taylorreihen
Beispiel 2.23: Vergleich der Reihenentwicklung von reellen und komplexen Funktionen: 2
cosh ( j x) Reihen x 10 o 1
Damit gilt:
x
2
24
40320 8
x
x
x
720
40320
cosh ( j x) = cos ( x)
cos ( j x) Reihen x 10 o 1
4
x
cosh ( x) Reihen x 10 o 1
x
2
6
x
2 2
24
24
720
4
x
8
x
x
40320
6
8
x
720
x
40320
cos ( j x) = cosh ( x) 3
sinh ( j x) Reihen x 10 o x j
x j 6
5
3
j sin ( x) Reihen x 10 o x j Damit gilt:
720
6
x
8
x
24
4
2
Damit gilt:
6
x
2
2
cos ( x) Reihen x 10 o 1
4
x
x j 6
7
x j
120 5
9
x j 5040
x j
362880
7
x j
120
x j 5040
9
x j 362880
sinh ( j x) = j sin ( x)
Beispiel 2.24: Vergleich von Realteil und Imaginärteil der Reihenentwicklung der komplexen Exponentialfunktionen mit der Basis e: j x Re e
2 4 6 Reihen x 8 x x x o1 komplex 2 24 720 2
cos ( x) j sin ( x) Reihen x 6 o 1 x j
jx
Re e
3 5 7 Reihen x 8 x x x ox komplex 6 120 5040
j x Im e 3
x
2
x j 6
2 4 6 Reihen x 8 x x x o1 komplex 2 24 720
x
24
5
x j 120 3 5 7 Reihen x 8 x x x o x komplex 6 120 5040
jx
Im e 2
cos ( x) j sin ( x) Reihen x 6 o 1 x j
4
x
2
3
x j 6
4
x
24
5
x j 120
Die Reihenentwicklung für ex bzw. e-x gilt auch im Komplexen. Diese Reihen sind absolut konvergent. Damit können die Reihenglieder beliebig umgeordnet werden (Trennen von Realteilen und Imaginärteilen), ohne dass sich dabei die Reihensumme ändert. 2 4 6 · · § § x x3 x5 x x x ¨ ¸ e = 1 .... j ¨ ....¸ = cos ( x) j sin ( x) 2 4 6 © ¹ © 1 3 5 ¹ j x
Seite 41
Taylorreihen
2 4 6 § · § x x3 x5 · x x x ¨ ¸ e = 1 .... j ¨ ....¸ = cos ( x) j sin ( x) 2 4 6 © ¹ © 1 3 5 ¹ j x
Diese Zusammenhänge werden Euler-Formeln genannt: j x
j x
e
= cos ( x) j sin ( x) und e
j x
Probe:
( cos ( x) j sin ( x) ) e
= cos ( x) j sin ( x)
(2-19)
Reihen x 6 o 0
Beispiel 2.25: Für welchen Winkel D ist der prozentuelle Fehler (relativer Fehler) kleiner als 0.1 %, wenn wir sin(D) durch D ersetzen? 3
sin ( α) Reihen α 6 o α
α
6
5
α
120
Wenn wir nach dem ersten Glied die Reihe abbrechen, also nach D, so ist der absolute Fehler sicher kleiner als | -1/6 D3 | (alternierende Reihe). Damit gilt für den relativen Fehler:
1
3
α
6
2
100 % 0.1 %
α
α 0.07746
α
6
α 180
α°
α°
π
auflösen α
o 0.07746 α 0.07746 Gleitkommazahl 4
100 0.1
4.438
Der prozentuelle Fehler ist für -4.438° < D 4.438° sicher kleiner als 0.1 %. Beispiel 2.26: Wie groß ist die Höhe h eines Kreisausschnittes mit dem Öffnungswinkel D, wenn das Verhältnis von Kreisbogenlänge b zu Radius r gleich 2 ist? Berechnen Sie die Höhe h auf 4 Nachkommastellen und vergleichen Sie den Wert mit einer Näherungsformel, die sich nach Abbruch der Reihe von cos(D/2) nach dem vierten Glied ergibt. Wie groß ist der prozentuelle Fehler höchstens, wenn bei einem Kreisabschnitt statt der Kreisbogenlänge b die Sehnenlänge s genommen wird und der Winkel D = 30° beträgt? Für die Höhe des Kreisbogens gilt:
§ α ·· ¸¸ © 2 ¹¹
§ ©
b
h = r ¨ 1 cos ¨
α=
α α
Redefinition 2
r
=2
4
6
8
α § α · Reihen α 10 o 1 α α α ¸ 8 384 46080 10321920 ©2¹
cos ¨
ª
§
h1 = r «1 ¨ 1
¬
©
2
α
8
4
α
384
6
·º ¸» 46080 ¹¼ α
Näherung für h
Seite 42
Taylorreihen 6 § α2 α4 α · ¨ ¸ h1 ( α r) r © 8 384 46080 ¹
Näherung für h vereinfacht
§ α ·· ¸¸ © 2 ¹¹
§ ©
exakte Berechnungsformel
h ( α r) r ¨ 1 cos ¨
h ( 2 r) Gleitkommazahl 4 o 0.4597 r
Die Ergebnisse unterscheiden sich nicht!
h1 ( 2 r) Gleitkommazahl 4 o 0.4597 r Prozentueller Fehler:
§ α· ¸ ©2¹
b = r α
Bogen- und Sehnenlänge
s = 2 r sin ¨
§ α · = 2 r § α sin § α · · ¸ ¨ ¨ ¸¸ ©2¹ ©2 © 2 ¹¹
Differenz von Bogenlänge und Sehne
b s = r α 2 r sin ¨
3
5
7
9
11
α r α r α r α r α r §α § α ·· 2 r ¨ sin ¨ ¸ ¸ Reihen α 10 o 24 1920 322560 92897280 40874803200 ©2 © 2 ¹¹ Die Differenz von Bogenlänge und Sehne ist sicher kleiner als das erste Glied der Reihe (alternierende Reihe). 1 b s b α
b s
=
r α
π
Frel
6
3
24
r α
Frel
r α 1 24
2
α
Frel
1 24
2
α
Der Fehler beträgt höchstens 1.2 %.
1.142 %
Beispiel 2.27: Die Fallgeschwindigkeit in Abhängigkeit des Fallweges h eines Körpers der Masse m0 ist unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes k gegeben durch:
v ( h) =
m0 g1 k
2kh · §¨ ¸ m0 ¸ ¨ ©1 e ¹
Hier wird für die symbolische Auswertung g gleich g1 gesetzt, weil in Mathcad die Erdbeschleunigung bereits vordefiniert ist.
Berechnen Sie daraus die Fallgeschwindigkeit bei verschwindendem Luftwiderstand. Zeigen Sie auch, dass bei Abbruch nach dem ersten Glied der Taylorreihe von v(h) sich das gleiche Ergebnis ergibt.
v ( h) =
lim ko0
2kh · §¨ ¸ m0 g1 m0 ¸ ¨ ©1 e ¹ o v ( h) =
k
k
v ( h) =
2 g h
Redefinition
k k
m0 g1
2 g1 h
2kh · §¨ ¸ m0 ¸ ¨ ©1 e ¹ Reihen k 3 o
2 g1 h
h k
Seite 43
2 g1 h
2 m0
2
2
5 h k
2 g1 h 2
24 m0
Taylorreihen
Beispiel 2.28: Das Weg-Zeit-Gesetz für den freien Fall ist unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes und der maximal erreichbaren Geschwindigkeit vs (als Maß für den Luftwiderstand) gegeben durch:
s ( t) =
vs
2
§ g t ·· ¸¸ © vs ¹ ¹
§
g
ln ¨ cosh ¨
©
Zeigen Sie, dass am Anfang des freien Falles (also für kleine Zeitpunkte t) in erster Näherung die gleiche Beziehung zwischen Weg und Zeit gilt wie im reibungsfreien Fall. vs
2
2
3
4
5
6
7
8
§ § g1 t · · Reihen t 8 o g1 t g1 t g1 t 17 g1 t ln ¨ cosh ¨ ¸¸ 2 4 6 g1 2 © © vs ¹ ¹ 12 vs 45 vs 2520 vs
s ( t) =
g 2
t
2
Beispiel 2.29: Die Temperaturabhängigkeit (in °C) der Schallgeschwindigkeit in Luft ist gegeben durch: 1
m
c ( ϑ) = 331
1
s
ϑ 273.15
= 331
m
§ s ©
¨1
ϑ
· ¸ 273.15 ¹
2
Für diesen Ausdruck soll durch Reihenabbruch eine lineare Näherung hergeleitet werden. Der dabei entstehende Fehler soll für den Temperaturbereich 0 °C d - d 40 °C größenordnungsmäßig abgeschätzt werden.
1
Reihen ϑ 4
ϑ 273.15
c ( ϑ) 331
2
o 1.0 0.0018305 ϑ 0.0000016754 ϑ 3.0667e-9 ϑ Gleitkommazahl 5 m s
1 1.8305 10
3
ϑ
3
Näherungsformel
Der absolute Fehler 'c liegt dabei in der Größenordnung des ersten weggelassenen Reihengliedes (alternierende Reihe): Δc ( ϑ) 331
m s
1.6754 10
6
ϑ
2
Bei der Höchsttemperatur von 40 °C ergeben sich für die Schallgeschwindigkeit und ihren absoluten Fehler folgende Werte: Definition von °C
°C 1 c ( 40 °C)
355.236
m s
Δc ( 40 °C)
0.887
m s
Der prozentuelle Fehler beträgt: Δc ( 40 °C) c ( 40 °C)
0.25 %
Die lineare Näherungsformel liefert daher im betrachteten Temperaturbereich einen um höchstens 0.3 % zu großen Wert für die Schallgeschwindigkeit.
Seite 44
Taylorreihen
Beispiel 2.30: Nach Einstein gilt für die kinetische Energie eines Körpers der Ruhemasse m0 bei hohen Geschwindigkeiten v folgende relativistische Beziehung (c ist die Lichtgeschwindigkeit):
2
2
Ekin = m c m0 c =
m0 1
§v· ¨ ¸ ©c¹
2
ª « «ª 2 2 2 c m0 c = m0 c ««1 ¬¬
2 § v · º» ¨ ¸ ©c¹ ¼
1 2
º » » 1» ¼ 2
Zeigen Sie, dass für v/c << 1 (also bei kleinen Geschwindigkeiten) die klassische Beziehung Ek =
m0 v
gilt.
2
Redefinition
c c 2
m0
2
§v· 1 ¨ ¸ ©c¹
2
2
c m0 c Reihen v 6 o
m0 v 2
4
3 m0 v 8 c
2
6
2
5 m0 v 16 c
Ekin =
4
m0 v 2
Beispiel 2.31: Nach Einstein gilt für einen Körper (z. B. ein Stab der Länge L0 ) bei hohen Geschwindigkeiten v folgende relativistische Längenkontraktion: 1 2 ª § v · 2º § v· L ( v) = L0 1 ¨ ¸ = L0 «1 ¨ ¸ » © c¹ ¬ ©c¹ ¼
2
c ist die Lichtgeschwindigkeit.
Zeigen Sie, dass für v/c << 1 (also bei kleinen Geschwindigkeiten) die klassische Beziehung L = L0 gilt. Wie groß ist die Länge L bei einer Ausgangslänge L0 = 1, wenn sich der Körper mit einer Geschwindigkeit von v = 3/4 c bewegt und bei der Berechnung die entwickelte Reihe nach dem dritten Glied abgebrochen wird? 2 4 2 L0 v L0 v v· § L L0 v c L0 1 ¨ ¸ Reihen v 6 o L0 2 4 ©c¹ 2 c 8 c
§ ©
L ¨ L0
3 4
· ¹
c c¸ o
1391 L0
§ ©
L ¨ 1
2048
3 4
· ¹
c c¸ o
1391 2048
0.679
Beispiel 2.32: Durch das Schließen eines Schalters wird in einem Schaltkreis, in dem ein Widerstand R und ein Kondensator C in Reihe geschalten sind, eine Rampenspannung u = k t angelegt. Die Kondensatorspannung u c(t) wächst dabei vom Anfangswert u c(0) = 0 nach folgendem Zeitgesetz: t ·º ª § « ¨ τ ¸» uC ( t) = k ¬t τ © 1 e ¹¼ t t 0
τ = R C
k!0
Zeigen Sie mittels Reihenentwicklung, dass die Kondensatorspannung uc(t) in der Anfangsphase, d. h. für t / W << 1 (t << W quadratisch mit der Zeit ansteigt.
Seite 45
Taylorreihen
t ·º ª § « ¨ τ ¸» k ¬t τ © 1 e ¹¼
kt
konvertiert in die Reihe
2
2 τ
kt
3 2
6 τ
kt
4 3
24 τ
kt
5 4
120 τ
kt
6 5
720 τ
Beispiel 2.33: Eine aus N Windungen bestehende Zylinderspule mit der Länge L und dem Durchmesser d wird von einem Strom I durchflossen. Das magnetische Feld besitzt dann in der Mitte der Spule folgende Feldstärke: H ( d) =
N I L
1
1
§ d· ¨ ¸ © L¹
2
Leiten Sie für den Fall d/L << 1 (d << L, d. h. für eine lange Spule) durch Reihenentwicklung eine erste Näherungsformel zur Berechnung der magnetischen Feldstärke her. Redefinition
L L N I L
1
H ( d) =
§ d· 1¨ ¸ © L¹ IN L
2
Reihen d 3 o
IN L
2
I N d 3
2 L
2
I N d 3
Näherungsformel für die magnetische Feldstärke
2 L
Beispiel 2.34: Ein auf zwei Masten befestigtes durchhängendes Freileitungsseil überspannt ein Tal in einer Höhe H. Der Mastabstand beträgt 2 L = 200 m. Die mittlere Seilkurve (Kettenlinie) ist gegeben durch f(x) = c cosh(x/c). Der größte Seildurchhang beträgt f = 10 m. Die Größe c kann näherungsweise bestimmt werden, wenn f(x) durch eine quadratische Funktion ersetzt wird. Wie groß ist der maximale Fehler, der bei dieser Näherung gemacht wird?
Es gilt:
§ L· ¸ ©c¹
c f = c cosh ¨
Diese Gleichung ist transzendent und kann nur näherungsweise gelöst werden. Wir versuchen, eine allgemeine Näherungslösung für die Gleichung über die Reihenentwicklung des rechten Terms zu erhalten.
Abb. 2.15 c c
L L
f f
Redefinitionen
Seite 46
Taylorreihen 2
4
§ L · Reihen L 6 o c L L ¸ 3 2 c ©c¹ 24 c
c cosh ¨
Unter der Voraussetzung, dass L klein im Vergleich zu c ist ( L/2c << 1), können wir als Näherung setzen: 2
L
cf=c
f=
1 2c
2 c 2
2
L auflösen c o
2
L
Wir erhalten also:
2 f
c=
L
2 f
Setzen wir nun den angenäherten Wert für c in die Funktionsgleichung ein, so erhalten wir:
§ 2 f x· 2 ¸ © L ¹
2
2
§ x · ersetzen c = L o y = ¸ 2 f ©c¹
L cosh ¨
y = c cosh ¨
2 f
Entwickeln wir nun diese Funktion in Reihe (wie es oft in der Praxis üblich ist) für f << L und berechnen die Reihe nach dem zweiten Glied ab, so erhalten wir die Näherungsparabel mit dem Scheitel c: 2
2
L
p ( x L f)
2 f
2
§ 2 f x · Reihen x 3 o L f x 2 ¸ 2 2 f L © L ¹
cosh ¨
2
p ( x) =
L
2 f
2
fx 2
L
Restgliedabschätzung: Der Abbruch der Reihe erfolgte nach dem 2. Glied. Daher gilt für das Restglied:
§
x
©
L
cosh ¨ 2
2
2
2
·
2 f x
¹
L
f¸ Reihen x 5 o 1
4
4
4
2 f x 8
3 L
4
d
4
R4 ( x) =
dx
f ( θ x) 4
x
4
mit 0 < T<1
cosh(x) ist für x > 0 monoton steigend, daher kann das Restglied mit T = 1 und x = L/2 nach oben abgeschätzt werden: 4
d
4
2 dx L R4 ( L) = 2 f
§ 2 f x· 3 §2 f· f cosh ¨ ¸ 2 ¸ © L ¹ x4 ersetzen x = L o R ( L) = © L ¹ 4 2 4
cosh ¨
3 L
Die Abschätzung des Restgliedes ergibt also folgenden maximalen Fehler:
Rmax ( L f)
f
3 2
3 L
§ 2 f· ¸ © L ¹
cosh ¨
Seite 47
Taylorreihen
f 10 m
Durchhang
L 100 m
Mastabstand
c
1 2
2
L
f
H f c
c
500 m
Scheitelhöhe von der Talsohle aus gemessen
H
510 m
Masthöhe von der Talsohle aus gemessen Anzahl der Schritte
N 500 2 L
Δx
Δx
N
0.4 m
Schrittweite Bereichsvariable
x L L Δx L
§ x· ¸ ©c¹
f1 ( x) c cosh ¨
Seillinie (Kettenlinie)
Rmax ( L f)
maximaler Fehler
0.034 m
Seilkurve 550
y-Achse
f1( x)
c
500
m
m
p ( x L f ) 450
m
100
80
60
40
20
400
0
20
40
60
80
100
x m x-Achse Kettenlinie Parabel
Abb. 2.16 Beispiel 2.35: Einige wichtige Anwendungen von Reihenentwicklungen beziehen sich auf die näherungsweise Berechnung von Integralen, für welche keine Stammfunktion existiert. Dazu gehören unter anderem z. B. elliptische Integrale, Integralsinus, Integralcosinus, Integrale von irrationalen Funktionen usw. Das Prinzip der näherungsweisen Berechnung soll hier am Beispiel der normierten Normalverteilung rechnerisch und grafisch demonstriert werden. 2
x
g ( x)
1 2 π
e
2
Die Dichtefunktion der standardisierten (normierten) Normalverteilung.
Seite 48
Taylorreihen
Redefinition
x x ´ G ( u) = µ ¶
u
Die Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung kann nicht elementar integriert werden.
g ( x) dx
∞
Wir entwickeln die Exponentialfunktion zuerst in eine Taylorreihe: z
e =1
G ( u) =
z
1
z
2
2
´ µ 2 π µ ¶ 1
z
3
3
u
1
z
4
4
1 2 1
2
mit
....
1
2
x
x
2
1
4
4 2
x
z=
1
6
x
8 3
8
16 4
x .... dx
0
G ( u) =
G ( u) =
Wegen der Symmetrie von g(x) wählen wir die Grenzen von 0 bis u.
3 5 7 9 · § u u u u ¨ u ....¸ 2 3 4 ¸ 3 2 1 2 𠨩 5 2 2 7 2 3 9 2 4 ¹
1
∞
1 2 π
¦
n
0
2n 1 º ª n u «( 1) » « n » ( 2 n 1) 2 n ¼ ¬
Diese Reihe konvergiert für alle u .
grad grad
14
Grad des Taylorpolynoms n = grad-2
2
x
g1 ( x) e
gN ( x)
2
2
Reihen x grad o 1
1 2 π
g1 ( x)
x
2
4
x
8
6
x
48
8
x
384
10
x
3840
12
x
46080
Näherungspolynom für die Dichtefunktion
Diese Näherung verwenden wir nun als Integrand zur Lösung unseres Integrals:
G ( a b)
b
´ µ g1 ( x) dx 2 π ¶a 1
σ 1
Standardabweichung
x 4 4 0.01 4
Bereichsvariable
Seite 49
Taylorreihen
σ
σ
0.6
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Messwert innerhalb des Bereiches P- V < x < P+ V (mit P = 0 und V = 1) befindet, entspricht dem Integral dieser Funktion mit den Grenzen a = - V = -1 und b = V = 1.
0.4 g ( x) 0.2
g N ( x)
G ( σ σ) 4
3
2
1
0
1
2
3
0.6826895703
Im Vergleich mit der in Mathcad programmierten Funktion für die standardisierte Normalverteilung:
4
0.2
knorm ( 1) knorm ( 1)
0.68268949
x
Abb. 2.17 Ohne auf die Theorie näher einzugehen, seien abschließend noch einige Beispiele für die Reihenentwicklung von Funktionen in mehr als einer Variablen angeführt. Beispiel 2.36: Reihenentwicklung für Funktionen in mehr als einer Variablen: f(x,y) = ex + y3 für x = 1 und y = 0, f(x,y) = sin(x2 + y2 ) für x = 0 und y = 0, f(s,t) = ln(s + t2 ) für s = -2 und t = 2. Redefinition
x x x
3
3
e y Reihen x = 1 y 4 o e y e ( x 1)
2
2
sin x y
Reihen x y 8
2
6
oy
2 ln s t Reihen s = 2 t = 2 3
y
6
2
x
2
e ( x 1)
2 4
x y 2
2
4
o 3 ln ( 2) 2 t
2
x y 2
e ( x 1)
3
6 6
3 ( t 2) 2
x
6 2
s 2
( s 2) ( t 2)
( s 2)
2
8
Beispiel 2.37: Für die nachfolgende mehrdimensionale Funktion soll eine Taylor-Approximation durchgeführt werden und diese grafisch mit der Originalfunktion in einer Region verglichen werden:
§ x · cos ( 2y) 2 ¸ © 2¹
f ( x y) sin ¨
gewählte Funktion
n 5
Grad der Approximation
x0 0 ORIGIN 0
y0 0
Zentrum der Taylorentwicklung ORIGIN festlegen
Seite 50
Taylorreihen
x0 r d x d x0 r
Region in der x-y-Ebene
y0 r d y d y0 r Rn n 1 Taylorpolynom: 4
3
3
2
5
x x y x x y x 2 p ( x y) f ( x y) Reihen x = x0 y = y0 Rn o 2 x y 3 24 2 48 3840 r r
N ceil ( 20 r) Xk j
N
34 k
x0 r (2 r) N
Zf k j f Xk j Y k j
k 0 N Yk j
Abstand vom Entwicklungspunkt
1.7
Bereichsvariable
j 0 N j
y0 r (2 r) N
Zpk j p Xk j Y k j
Matrizen der x- und y-Werte Matrix der z-Werte
Abb. 2.18
( X Y Zf ) ( X Y Zp) ( X Y Zf 0) Vergleich der Originalfunktion mit dem approximierenden Taylorpolynom. Zusätzlich ist hier noch die Ebene des Definitionsbereiches eingezeichnet. Durch die Änderung von r kann der Definitionsbereich beliebig geändert werden.
Seite 51
Laurentreihen
2.4 Laurentreihen Die Laurentreihe ist eine Verallgemeinerung der Taylorreihe im komplexen Bereich unter Berücksichtigung von Singularitäten im Entwicklungspunkt. Dies beschreibt die Funktionentheorie ausführlich, worauf jedoch hier nicht näher eingegangen werden kann. Ein Satz der Funktionentheorie besagt: Jede Funktion f(z), die im Punkt z 0 eine Singularität besitzt, kann mithilfe einer verallgemeinerten Potenzreihe, der Laurentreihe, dargestellt werden: ∞
ªa z z nº = ... a 2 z z 2 a 1 z z 1 a 0 ¼ 0 0 0 ¬n
¦
f ( z) =
∞
n
a1 z z 0 a2 z z 0
2
... a3 z z 0
3
(2-20) ....
Die Koeffizienten an erhalten wir aus dem Konturintegral: ´ 1 an = µ 2 π j µ µ ¶
f (z)
z z0
n1
C
dz
(2-21)
Wobei die Kontur C als Doppelring mit r z z 0 R um die Singularität z 0 gegeben sein muss.
Abb. 2.19
Wir bezeichnen z 0 als eine isolierte Singularität von f(z), wenn f(z) in z = z 0 nicht analytisch ist, aber in der Nachbarschaft von z 0 analytisch ist. Pole treten in der Laurent-Entwicklung auf, wenn ∞
ªa z z nº 0 ¼ ¬n
¦
f ( z) =
(2-22)
∞
n
und an = 0 für n < a-m< 0 und a-m z 0. Wir bezeichnen dann z 0 als Pol m-ter Ordnung. Erstreckt sich die Entwicklung bis n = -1, so heißt z 0 ein Pol 1. Ordnung, 2. Ordnung usw., sonst unendlicher Ordnung. Wenn wir in einer Laurent-Entwicklung jeden Term einer Konturintegration unterwerfen, wobei die Kontur den singulären Punkt z 0 umschließt, dann erhalten wir für a-1 :
´ a 1 µ µ ¶
z z0
1 2 π j
´ µ µ ¶
1
´ µ dz = a 1 µ µ µ ¶
j φ
j r e
j φ
r e
dφ = 2 π j a 1
f ( z ) dz = a 1
Seite 52
(2-23)
Laurentreihen
Den Koeffizienten a-1 der Potenz (z - z 0 )-1 in der Laurent-Entwicklung von f(z) bezeichnen wir als Residuum der Funktion f(z) im singulären Punkt z 0 . In der Praxis treten aber auch Situationen auf, dass mehrere Singularitäten im Integrationsbereich vorhanden sind. Auf diese Probleme kann hier nicht weiter eingegangen werden. Falls eine zu entwickelnde Funktion im Entwicklungspunkt eine Singularität besitzt, so liefert Mathcad die Laurent-Entwicklung. Wesentliche Singularitäten, wie sie z. B. bei x sin(1/x) auftreten, sind mit Mathcad nicht entwickelbar! Beispiel 2.38: Bestimmen Sie die Reihenentwicklung und das Residuum von y = tan(x) im Pol x = S/2.
tan ( x) Reihen x =
π 2
5 o
π
6
x
1
3
π
x
3 §x π · ¨ ¸ 2¹ ©
Das Residuum ist -1.
45
2
Beispiel 2.39: Bestimmen Sie die Reihenentwicklung und das Residuum von y = cot(x) im Pol bei x = 0. cot ( x) Reihen x = 0 6 o
x 3
3
1
x
Das Residuum ist 1.
x
45
Beispiel 2.40: Bestimmen Sie die Residuen von y = 1/(x (x+4)3 ). 1 x ( x 4) 1 x ( x 4)
Die Funktion hat an der Stelle x = 0 einen Pol 1. Ordnung und an der Stelle x = - 4 einen Pol 3. Ordnung.
3
3
Reihen x 6 o
3 256
1 64 x
3 x 512
2
3
5 x
2048
4
15 x
16384
21 x
65536
Das Residuum der Funktion an der Stelle x = 0 ist 1/64. 1 x ( x 4)
3
Reihen x = 4 5 o
1 128
1 64 ( x 4)
1
16 ( x 4)
2
1
4 ( x 4)
3
x 1024
Das Residuum der Funktion an der Stelle x = -4 ist -1/64. Beispiel 2.41: Bestimmen Sie die Reihenentwicklung und das Residuum von y = 1/sin(x)2 im Pol 2. Ordnung bei x = 0. 1 sin ( x)
2
Reihen x 14 o
1 3
2
x
15
1 2
x
4
2 x
189
6
8
x
675
10
2 x
10395
1382 x
58046625
Das Residuum ist 1.
Beispiel 2.42: Bestimmen Sie die Reihenentwicklung und das Residuum von y = 1/(z 2 (z+1)3 ) im Pol 2. Ordnung bei z = 0. 1 2
z ( z 1)
3
Reihen z 6 o 6
3 z
2
10 z 15 z
1 z
2
21 z
3
Das Residuum bei z = 0 an der ersten Polstelle (1. Ordnung) ist - 3. 1 2
z ( z 1)
3
Reihen z = 1 6 o 9
1 ( z 1)
3
2 ( z 1)
2
3 z1
5 z 6 ( z 1)
Das Residuum bei z = - 1 an der ersten Polstelle (3. Ordnung) ist 3.
Seite 53
2
Fourierreihen
3. Fourierreihen Bereits im 17. Jahrhundert beschäftigten sich einige namhafte Mathematiker wie Bernoulli, Euler, d'Alembert und Lagrange mit dem Problem, wie periodische Funktionen durch Reihen von trigonometrischen Funktionen dargestellt werden können. Erst 1822 veröffentlichte Jean Baptist Fourier (1768-1830) seine Ideen über diese Funktionenreihen in einer brauchbaren Anwendungsform. Es gelang aber erst später Dirichlet, ein hinreichendes Kriterium für die Entwickelbarkeit einer periodischen Funktion in eine Fourierreihe anzugeben. Fourier zeigte, dass jedes in der Praxis vorkommende periodische Signal in eine Reihe von Sinus- und Kosinusfunktionen unterschiedlicher Frequenz zerlegt werden kann. Diese Zerlegung wird Fourier- oder harmonische Analyse genannt. Weil in den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen (insbesondere auch in der Elektrotechnik) die Fourieranalyse häufig für Beziehungen zwischen dem Zeit- und dem Frequenzbereich herangezogen wird, beschränken wir uns im Folgenden auf diese beiden Bereiche. Dies sollte aber nicht den Schluss nahelegen, dass dies für alle Disziplinen so sein muss. Im Bereich der Optik wird zum Beispiel auch mit mechanischen Distanzen und reziproken Wellenlängen gerechnet. Nach Fourier setzt sich ein periodisches Signal f(t) = f(t + T0 ) mit der Periodendauer T0 zusammen aus der Grundschwingung mit der Kreisfrequenz Z = 2 S f0 = 2 S (1/T0 ) und den Oberschwingungen, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundkreisfrequenz Z0 sind. Stellen wir die Amplituden der erhaltenen Schwingungen in Funktion der Frequenz dar, so erhalten wir das Amplituden- oder Frequenzspektrum des analysierten Signals. Die Fourieranalyse und -synthese verknüpfen also den Zeitbereich mit dem Frequenzbereich. Die Fourieranalyse und Fouriersynthese sind von großer technischer und theoretischer Bedeutung. Viele Signaleigenschaften, wie zum Beispiel die benötigte Bandbreite oder der Klirrfaktor, lassen sich viel leichter aus dem Spektrum bestimmen als aus der dazugehörigen Zeitfunktion. Bei anderen Fragestellungen wiederum ist die Betrachtung im Zeitbereich sinnvoller. Beispiele dafür sind Signalverzerrungen bei gegebenem Amplituden- und Phasengang oder Einschaltvorgänge bei Filtern (siehe dazu auch Abschnitt 2.2.4, Band 2). Die reelle Darstellung einer Fourierreihe: Eine periodische Funktion f(t) = f(t + n T0 ) mit der Periode T0 lässt sich unter folgenden Voraussetzungen (Dirichlet'sche Bedingungen) eindeutig als Fourierreihe darstellen: 1. Das Periodenintervall lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen f(t) stetig und monoton ist. 2. In den Unstetigkeitsstellen (Sprungunstetigkeiten mit endlichen Sprüngen) existiert der linkssowie auch der rechtsseitige Grenzwert. Die Fourierreihe der Funktion f(t) hat dann die Form:
f ( t) =
a0 2
∞
1 ¦ an cos n ω0 t bn sin n ω0 t , mit ω0 = 2 π f0 und f0 = T0
n
(3-1)
1
Unter diesen Voraussetzungen konvergiert die Fourierreihe von f(t) für alle x . In den Stellen, in denen f(t) stetig ist, stimmt sie mit der Funktion f(t) überein. In den Sprungstellen liefert sie das arithmetische Mittel aus dem links- und rechtsseitigen Grenzwert der Funktion. Die Fourierkoeffizienten a 0 , an und bn (n ²) können mit folgenden Integralen berechnet werden: T ´ 0 2 a0 = µ f ( t) dt ; an = T0 ¶0 T0
2
T ´ 0 2 µ f ( t) cos n ω0 t dt ; bn = µ T0 ¶ 0
Seite 54
T ´ 0 µ f ( t) sin n ω0 t dt (3-2) µ ¶ 0
Fourierreihen
Bemerkung: 1. Der konstante Anteil wird in der Fourierreihe mit a 0 /2 angegeben, damit wir die Integrale zur Berechnung der Fourierkoeffizienten an und bn einheitlich darstellen können. Dieser Anteil stellt einen arithmetischen Mittelwert dar und ist in einer elektrotechnischen Anwendung ein Gleichstromanteil. 2. Da f(t) eine periodische Funktion ist, können wir statt der Integrationsgrenzen 0 und T0 auch die Grenzen t 0 und t 0 +T0 bzw. -T0 /2 und T0 /2 wählen. 3. Brechen wir die Fourierreihe nach endlich vielen Gliedern ab, so erhalten wir eine Näherungsfunktion für f(t) in Form einer endlichen trigonometrischen Reihe (Fourierpolynom): n
a0
¦ ak cos k ω0 t bk sin k ω0 t
yp ( t ) = 2
k
(3-3)
1
Nachdem die Annäherung einer Funktion f(t) durch ein Taylorpolynom vom Grad n (siehe vorletztes Kapitel) im Allgemeinen schlechter wird, je weiter wir uns von der Entwicklungsstelle x 0 entfernen, liegt hier eine andere Art der Näherung vor. Wählen wir als Maß für den Fehler bei der Näherung die quadratische Abweichung [f(t) - yp(t)] 2 im Mittel über das Intervall [0, T0 ], so ist diese dann am kleinsten, wenn die Fourierkoeffizienten gerade die angeführten Werte haben. 4. Bei vorliegender Symmetrie der Zeitfunktion f(t) vereinfacht sich die Berechnung der Fourierkoeffizienten: a) Die Fourierreihe einer geraden Funktion f(t) (axialsymmetrische Funktion) enthält nur gerade Reihenglieder, d. h. neben dem konstanten Glied nur Kosinusglieder: T0
T0
´ 2 µ 4 a0 = µ f ( t) dt ; an = ¶ T0 0 T0 4
f ( t) =
a0 2
´ 2 µ µ f ( t) cos n ω0 t dt ; bn = 0 ¶
0
(3-4)
∞
¦ an cos n ω0 t
n
(3-5)
1
b) Die Fourierreihe einer ungeraden Funktion f(t) (zentralsymmetrische Funktionen) enthält nur ungerade Reihenglieder, d. h. Sinusglieder: T0
´ 2 4 µ a0 = 0 ; an = 0 ; bn = µ f ( t) sin n ω0 t dt T0 ¶ 0
(3-6)
∞
f ( t) =
¦ bn sin n ω0 t
n
(3-7)
1
Seite 55
Fourierreihen
Fourierreihe mit phasenverschobenen Kosinus- bzw. Sinusgliedern:
Setzen wir in der oben angeführten Fourierreihe an = An cos φn und bn = An sin φn , so erhalten wir mithilfe des Summensatzes cos(n Z0 t) cos(Mn) - sin(n Z0 t) sin(Mn) = cos(n Z0 t + Mn ) schließlich die Fourierreihe in der Amplituden-Phasenform: ∞
¦ An cos n ω0 t φn = A0 ¦ An sin n ω0 t ψn
f ( t) = A0
n
mit A0 =
∞
1
a0
n
und ψn = φn
2
π 2
(3-8)
1
.
Die Amplitude (Scheitelwert) An und die Phasenlage φn des n-ten Gliedes ermitteln wir aus an und bn durch: An =
an 2 bn 2 ,
tan φn =
A3 sin 3 ω0 t ψ3 A1 sin ω0 t ψ1 A2 sin 2 ω0 t ψ2
bn an
§ bn · ¸. © an ¹
bzw. φn = arctan ¨
1. Harmonische oder Grundschwingung, 2. Harmonische oder 1. Oberschwingung, 3. Harmonische oder 2. Oberschwingung usw.
Tragen wir die Fourierkoeffizienten An in Abhängigkeit der zugehörigen Frequenz in einem Diagramm auf, so erhalten wir das Amplituden- oder Frequenzspektrum (auch Linienspektrum genannt). Fällt das Amplitudenspektrum einer Zeitfunktion rasch über der Frequenz ab, so ist die Zeitfunktion f(t) der sinusförmigen Grundschwingung sehr ähnlich, andernfalls weicht sie stark ab. Ein Maß dafür ist der Klirrfaktor k. Der Klirrfaktor ist ein Maß für den Oberschwingungsgehalt eines Signals. Mit ihm werden z. B. die nichtlinearen Verzerrungen einer Verstärkerstufe oder eines aktiven Netzwerks spezifiziert. Der Klirrfaktor wird in der Praxis meist mit einer Klirrfaktormessbrücke gemessen oder, wie unten angegeben, durch Analyse des Spektrums bestimmt und berechnet. Die Amplituden (Scheitelwerte) können wegen An =
2 AEff durch die Effektivwerte ersetzt werden. n
2
k=
AEff.ges AEff.1
2
(3-9)
AEff.ges
AEff.ges bedeutet den Effektivwert der Gesamtschwingung und AEff.1 den Effektivwert der Grundschwingung. Da aber die Grundschwingung A 1 relativ schwer zu messen ist, wird der Klirrfaktor meist in der folgenden Form angegeben: Falls A 1 >> An (n t 1), so gilt näherungsweise: ∞
¦
k=
n
¦
1
∞
2
2
∞ n
An
¦
=
An 2
n
2
§ AEff · n¹ ©
(3-10)
∞
¦
n
1
2
§ AEff · n¹ ©
2
Seite 56
Fourierreihen
Zur Herleitung und zur Auswertung der Fourierkoeffizienten wird die Definition der Orthogonalität des Systems der Funktionen f(t) = cos (n Z0 t) und g(t) = sin(n Z0 t) herangezogen: Zwei Funktionen f(t) und g(t) heißen orthogonal auf einem Intervall [t1 , t2 ], wenn gilt: t ´2 µ f ( t ) g ( t ) dt = 0 µ ¶
(3-11)
t1
T0 2 π ω0 n 3
2 π T0
angenommene Schwingungsdauer zugehörige Kreisfrequenz
m 4
T ´ 0 µ sin n ω0 t cos m ω0 t dt o 0 µ ¶
gilt für alle n, m
T ´ 0 µ cos m ω0 t cos n ω0 t dt o 0 µ ¶
gilt für alle m zn ( n, m )
T ´ 0 µ sin m ω0 t sin n ω0 t dt o 0 µ ¶
gilt für alle m zn ( n, m )
0
0
0
(3-12)
(3-13)
(3-14)
Ist dagegen n = m, so gilt: n 4 m 4 T ´ 0 µ cos n ω0 t cos m ω0 t dt o π µ ¶
(=
T ´ 0 µ sin n ω0 t sin m ω0 t dt o π µ ¶
(=
0
0
T0 2
T0 2
)
(3-15)
)
(3-16)
Mit den Summensätzen 2. Art gilt: sin ( m x) cos ( n x) = cos ( m x) cos ( n x) =
1 2 1
sin ( m x) sin ( n x) =
2 1 2
[ sin [ ( m n) x] sin [ ( m n) x]
(3-17)
( cos ( m n) x) cos [ ( m n) x]
(3-18)
[ cos [ ( m n) x] cos [ ( m n) x]
(3-19)
Seite 57
Fourierreihen
Herleitung der reellen Fourierkoeffizienten: 1. Integration der Fourierreihe auf beiden Seiten: T T T ´ 0 ∞ ´ 0 a0 ´ 0 µ µ dt µ f ( t ) dt = µ an cos n ω0 t bn sin n ω0 t µ ¶ 2 0 ¶ µ n 1 0 ¶
¦
dt
(3-20)
0
ω0 1
n 1
T0 2 π
an 1
gewählte Daten
bn 1
Bereichsvariable
t 0 0.001 T0 T0
1
cos nω 0t
0
2
4
Das Integral wird 0 für alle n:
6
T ´ 0 µ an cos n ω0 t dt o 0 µ ¶
8
0
1
Abb. 3.1
t T0
1
sin nω 0t
0
2
4
Das Integral wird 0 für alle n:
6
T ´ 0 µ bn sin n ω0 t dt o 0 µ ¶
8
0
1
Abb. 3.2
t T T ´ 0 a0 ´ 0 µ dt f ( t ) dt = µ µ ¶ 2 0 ¶
T T0 a0 ´ 0 µ f ( t ) dt = ¶ 2 0
ergibt
0
damit gilt:
T ´ 0 a0 = µ f ( t ) dt T0 ¶0
2
2. Multiplikation der Fourierreihe mit cos(k Z0 t) und Integration auf beiden Seiten: T T ´ 0 a0 ´ 0 µ µ f ( t) cos k ω0 t dt = cos k ω0 t dt + µ µ 2 ¶ ¶ 0
(3-21)
0
T ´ 0 ∞ µ an cos n ω0 t cos k ω0 t bn sin n ω0 t cos k ω0 t + µ µ n 1 ¶
¦
0
k 1
gewählte Konstante
Seite 58
dt
Fourierreihen
cos kω 0t
Das Integral wird 0 für alle k:
T0
1
0
2
4
6
8
T ´ 0 a0 µ cos k ω0 t dt o 0 µ 2 ¶
0
1
Abb. 3.3 t
n 1
gewählte Konstanten
k 2
cos nω 0t cos kω 0t
Das Integral wird 0 für alle n z k:
T0
1
0
2
4
6
8
T ´ 0 µ a1 cos n ω0 t cos k ω0 t dt o 0 µ ¶ 0
1
Abb. 3.4 t T0
1
sin nω 0t cos kω 0t
0
2
4
6
Das Integral wird 0 für alle n z k:
8
T ´ 0 µ a1 sin n ω0 t cos k ω0 t dt o 0 µ ¶ 0
1
Abb. 3.5 t
n 1
gewählte Konstanten
k 1
sin nω 0t cos kω 0t
Das Integral wird 0 für alle n = k:
T0
1
0
2
4
6
8
T ´ 0 µ b1 sin n ω0 t cos k ω0 t dt o 0 µ ¶ 0
1
Abb. 3.6
t
Seite 59
Fourierreihen
T0
1
Das Integral wird nicht 0 für alle n = k:
cos nω 0t cos kω 0t
0
2
4
6
8
1
Abb. 3.7
t T ´ 0 µ an cos n ω0 t cos k ω0 t dt o π an µ ¶
0
Daraus folgt:
T T0 ´ 0 µ f ( t) cos k ω0 t dt = an µ 2 ¶
0
T ´ 0 µ an = f ( t) cos n ω0 t dt T0 µ ¶ 0
2
3. Multiplikation der Fourierreihe mit sin(k Z0 t) und Integration auf beiden Seiten: T T ´ 0 a0 ´ 0 µ f ( t) sin k ω0 t dt = µ sin k ω0 t dt + µ µ 2 ¶ ¶ 0
(3-22)
0
T ´ 0 ∞ µ + µ an cos n ω0 t sin ( k ω t ) bn sin n ω0 t sin ( k ω t ) dt µ n 1 ¶
¦
0
gewählte Konstante
k 1
sin kω 0t
Das Integral wird 0 für alle k:
T0
1
0
2
4
6
T ´ 0 a0 µ sin k ω0 t dt o 0 µ 2 ¶
8
0
1
Abb. 3.8 t
Seite 60
Fourierreihen
n 1
gewählte Konstanten
k 2
T0
1
cos nω 0t sin kω 0t
0
2
4
Das Integral wird 0 für alle n z k:
6
8
T ´ 0 µ a1 cos n ω0 t sin k ω0 t dt o 0 µ ¶ 0
1
Abb. 3.9
t
n 1
gewählte Konstanten
k 1
cos nω 0t sin kω 0t
Das Integral wird 0 für alle n = k:
T0
1
0
2
4
6
8
T ´ 0 µ a1 cos n ω0 t sin k ω0 t dt o 0 µ ¶ 0
1
Abb. 3.10
t
sin nω 0t sin kω 0t
Das Integral wird nicht 0 für alle n = k:
T0
1
0
2
4
6
8
T ´ 0 µ b1 sin n ω0 t sin k ω0 t dt o π µ ¶ 0
1
Abb. 3.11
t T ´ 0 µ bn sin n ω0 t sin n ω0 t dt o π bn µ ¶
0
T ´ 0 µ bn = f ( t) sin n ω0 t dt T0 µ ¶ 0
2
Seite 61
Daraus folgt:
T T0 ´ 0 µ f ( t) sin n ω0 t dt = bn µ 2 ¶ 0
Fourierreihen
Komplexe Darstellung einer Fourierreihe: Neben der reellen Darstellung gibt es noch die komplexe Darstellung eines periodischen Vorganges (Siehe dazu auch Band 2). Durch Addition der beiden Euler'schen Beziehungen:
j nω 0t φn
e
= cos n ω
j nω 0t φn
e
0 t φn j sin n ω0 t φn ,
= cos n ω
(3-23)
0 t φn j sin n ω0 t φn
(3-24)
erhalten wir:
j nω 0t φn º 1 ª j nω 0tφn cos n ω0 t φn = ¬e e ¼. 2
(3-25)
Setzen wir nun diese Beziehung in die reelle Darstellung der Fourierreihe ein und berücksichtigen noch a0 2
= A0 = c0 , dann geht die reelle Darstellung über in die komplexe Darstellung: ∞
f ( t) = A0
¦
n
An cos n ω0 t φn
∞
= c0
1
j nω 0t jnω 0t· § cn e © cn e ¹
¦
n
(3-26)
1
Dabei ergibt sich für cn und cn mit an = An cos φn und bn = An sin φn der Zusammenhang: jφn 1 1 1 1 cn = An e = An cos φn j An sin φn = an j bn , 2 2 2 2
jφn 1 1 1 1 cn = An e = An cos φn j An sin φn = an j bn und 2 2 2 2 2 2 An = an bn = 2 cn = 2 cn , an = cn cn = 2 Re cn , bn = j cn cn = 2 Im cn .
Weil aber cn = c n für n z 0 ist, resultiert aus der vorher angegebenen Darstellungsform die folgende komplexe Fourierreihe, die im Amplitudenspektrum eine Darstellung nach "positiven" und "negativen" Frequenzen bedeutet: ∞
f ( t) = c0
¦
n
j nω 0t· § © cn e ¹
1
∞
¦
n
jnω 0t· § © c n e ¹ = c0
∞
¦
n
1
1
j nω 0t· § © cn e ¹
∞
¦
n
§ jnω 0t· © cn e ¹
1
Durch Zusammenfassung ergibt sich schließlich: ∞
f ( t) =
¦
n
j nω 0t· § © cn e ¹
(3-27)
∞
Seite 62
Fourierreihen
Setzen wir in cn =
1
an j bn die reellen Fourierkoeffizienten an und bn ein, dann ergeben sich die 2 komplexen Fourierkoeffizienten aus: T0 T0 · § 2 ´ 2 ´ ¨ ¸ µ µ cn = f ( t) cos n ω0 t dt j f ( t) sin n ω0 t dt ¸ 2 ¨ T0 µ T0 µ ¶ ¶ 0 0 © ¹
1
T ´ 0 µ cn = ª¬f ( t) cos n ω0 t j sin n ω0 t T0 µ ¶ 0
1
º¼ dt
T0
cn =
T ´ 0
1
µ T0 ¶0
jnϖ 0t
f ( t) e
dt =
1
t T ´0 0
µ µ T0 ¶t 0
´ 2 jnϖ 0t jnϖ 0t 1 µ dt = f ( t) e µ f ( t) e dt T0 µ T ¶ 0
(3-28)
2
Ist f(t) eine gerade Funktion (axialsymmetrisch; f(t) = f(-t)), so sind die komplexen Fourierkoeffizienten cn reell, bei einer ungeraden Funktion (zentralsymmetrisch; f(t) = - f(-t)) imaginär. Andernfalls lassen sie sich in Real- und Imaginärteile bzw. Betrag und Phase zerlegen. Die reelle Fourierreihe beinhaltet ein Amplituden- und Phasenspektrum! Die komplexe Fourierreihe beinhaltet nur das Amplitudenspektrum - die Phasenlage ist indirekt über die komplexen Koeffizienten enthalten! Beispiel 3.1: In einem Einweggleichrichter fließt ein Strom i = I max sin(Z0 t) für 0 < Z0 t dS und 0 A für S < Z0 t d2S. Führen Sie für diesen Strom eine Fourieranalyse durch. Wir setzen x = Z0 t und erhalten dann für die Fourierkoeffizienten: n n
a a
b b
T ´ 0 1 a0 = µ f ( t ) dt = T0 ¶0 π
2
1 ´ a0 = µ π ¶
´ µ ¶
Redefinitionen
2π
f ( x) dx
0
π
I max sin ( x) dx vereinfachen o a0 =
0
2 Imax konstantes Glied
π
T 2π ´ 0 1 ´ µ an = f ( t) cos n ω0 t dt = µ f ( x) cos ( n x) dx π ¶0 T0 µ ¶ 0
2
§
an =
1 ´ µ π ¶
2 § π n · 1·¸ ¸ © 2 ¹ ¹
2 Imax ¨ sin ¨
π
I max sin ( x) cos ( n x) dx vereinfachen o an =
0
Seite 63
©
2 π n 1
Koeffizient an
Fourierreihen
Für ungerade n > 1:
§ § π n ·2 2 Imax ¨ sin ¨ ¸ 2 ¹ © © an =
n 3
·
1¸
¹ vereinfachen o a = 0 3
2
π n 1
§
2 § π n · 1·¸ ¸ © 2 ¹ ¹ vereinfachen o a = 2 Imax 2
2 Imax ¨ sin ¨ Für gerade n:
n 2
©
an =
2
3 π
π n 1 T ´ 0 1 µ bn = f ( t) sin n ω0 t dt = µ T0 ¶ π 0
2
´ µ ¶
2π
f ( x) sin ( n x) dx
0
Redefinition
n n 1 ´ bn = µ π ¶
π
I max sin ( x) sin ( n x) dx vereinfachen o bn =
Imax sin ( π n)
2
π n 1
0
1 ´ b1 = µ π ¶
π
I max sin ( x) sin ( 1 x) dx vereinfachen o b1 =
0
Wird 0, wenn n > 1 ist. Für n = 1 kann dieses Ergebnis nicht direkt ausgewertet werden!
Imax
konstantes Glied b1
2
Die Fourierreihe lautet daher:
i ( t) =
I max π
I max
sin ω0 t
2
2 Imax π
§ cos 2 ω0 t
¨
©
1 3
cos 4 ω0 t 3 5
cos 6 ω0 t ....¸· 5 7
¹
Beispiel 3.2: Es soll eine Fourieranalyse bzw. deren Rücktransformation für eine periodische Rechteckspannung u(t) = Û für -T0 /4 < t < 3T0 /4 und 0 V für T0 /4 d t < 3T0 /4 mit der Amplitude Û = 10 V und der Periodendauer T0 reell und komplex durchgeführt werden. Wie groß ist der Klirrfaktor? Ursprung der induzierten Variablen
ORIGIN 0 ω0 1 s T0
1
2 π ω0
gewählte Kreisfrequenz (Z0 = 2 S f0 ) T0
Periodendauer
6.283 s
Û 10 V
Amplitude
t T0 T0 0.01 s 3 T0
Bereichsvariable
u ( t)
Û if
0 V if
T0 4
t
T0 4
Û wird mit
+ 0219 (Zifferncode) erzeugt
T0 4
dt
3 T0
gegebene Spannung (periodische und gerade Funktion)
4
Seite 64
Fourierreihen
up ( t )
Û if
T0 4
t
T0
0 V if
4
up t T0
T0 4
dt
3 T0
if t t
periodische Fortsetzung durch rekursive Definition der Funktion
4 3 T0 4
Zeitbereich (Originalbereich) der Spannung u(t) mit der Periodendauer T0 : Rechteckspannung T0
12
4s 10 u( t)
8
V
6
up( t)
T0
Û
4s
V
Abb. 3.12
4
V
2 0
10
20
2 t s
Numerische Berechnung der reellen Fourierkoeffizienten: Bereichsvariable
n 0 np T0
a1 n
´ 4 µ µ u ( t) cos n ω0 t dt T0 µ ¶ T0 2
a1 n wenn a1 n TOL V 0 V a1 n
mit
4
a1 0
0
T
a1
konstantes Glied (doppelter Gleichspannungsanteil)
10 V
0
1 10
6.366
2
3 0
-2.122
4
5 0
Wegen der Symmetrie (gerade Funktion) gilt für alle bn = 0 V.
Seite 65
1.273
6
7 0
...
V
TOL
1 u 10
3
Fourierreihen
Frequenzbereich (Spektralbereich - Bildbereich): Amplituden oder Frequenzspektrum der Rechteckspannung. Frequenzspektrum 12 10 8 6 4 2
a1n V
Abb. 3.13
1 0 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
n
Die Amplituden der Grundschwingung und der Oberschwingungen mit den Frequenzen f = n f0 bzw. Z = n Z0 . Es kommen in diesem Spektrum nur ganzzahlige Frequenzanteile vor, daher sprechen wir von einem diskreten Spektrum. Dies ist charakteristisch für periodische Funktionen. Rücktransformation (Fouriersynthese): Bereichsvariable
n 1 np a1 0
u15 ( t)
2
¦ a1n cos n ω0 t
Fourierpolynom mit 15 Gliedern
n
Originalfunktion und Fourierpolynom 12 10 up( t)
8
V
6
u15( t)
4
V
2
Abb. 3.14
321 0 1 2
2
3
4
5
6
7
8
np { 15
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
t s
Die Spitzen unmittelbar neben den Sprungstellen sind typisch für das Verhalten von Fourierreihen an solchen Stellen. Die Fourierreihe konvergiert, obwohl die Spitzen mit zunehmendem n immer ausgeprägter werden. Klirrfaktor: Bereichsvariable
n 0 15 Un =
a1n 2 b1n 2 =
T
U
0 0
10
1 6.366
a1 n
Un
2 0
3 2.122
Scheitelwerte
a1 n
4 0
5 1.273
Seite 66
6 0
7 0.909
8 ...
V
Fourierreihen
15
¦
k
k
Uk
2
k
15
¦
k
0.711
k
Klirrfaktor näherungsweise für 15 Glieder der Reihe. Die Bedingung U1 >> Un (n t 1)
71.091 %
ist hier eigentlich nicht erfüllt!
Uk
1
Komplexe Berechnung der Fourierkoeffizienten: Symbolische Berechnung: T0
T0
T0
T0
T0
jnω 0 jnω 0 j nω 0 j nω 0 ´ 4 4 4 4 4 j nω 0t 1 µ e e Û e Û e cn = µ Û e dt = = 2 T0 µ T j n ω0 2 j T0 T0 n ω0 ¶ 0 4
§1 T n ω · 0¸ ©4 0 ¹
sin ¨ cn = 2 Û
T0 n ω0
Fourierkoeffizienten nach händischer Auswertung
T0
´ 4 j nω 0t 1 µ cn = µ Û e dt T0 µ T ¶ 0
§ T0 n ω0 · ¸ 4 © ¹
2 Û sin ¨ vereinfacht auf
cn =
T0 n ω0
symbolische Mathcad-Auswertung
4
1 Für T0 o 2 π s und ω0 o erhalten wir: s
§ § T n ω0 · · ¨ 2 Û sin ¨ 0 ¸¸ 4 ¨ © ¹¸ o c = 5 V c 0 = lim 0 ¨ ¸ T n ω 0 0 no0 © ¹ § ©
sin ¨ n cn = Û
π·
¸ 2¹
n π
π·
§ ©
sin ¨ n cn = 0 für n gerade, cn = Û
¸
2¹
n π
für n ungerade (n = 1, 3, 5, ...)
Numerische Berechnung: nmax 15
maximaler Wert von n
ORIGIN nmax
ORIGIN
n nmax nmax
Bereichsvariable
15
ORIGIN festlegen
T0
cn
´ 4 µ jnω 0t µ Û e dt T 0 µ T ¶ 0 1
cn wenn cn TOL V 0 V cn
4
Seite 67
für TOL
1 u 10
3
Fourierreihen
oder als Funktion definiert: T0
´ 4 µ j nω 0t µ Û e dt T0 µ T ¶ 0 1
c1 ( n)
c1 ( 7)
0.455 V
c1 ( 7)
0.455 V
4 T
c
-15
-15 -0.212
-14 0
-13 0.245
-12
-11 -0.289
0
-10
-9 0.354
0
-8
-7 0
V
...
Wegen der Symmetrie sind die komplexen Fourierkoeffizienten reell. Komplexes Frequenzspektrum 5 4 3
cn
2 1 17 15 13 11 9
7
5
3
1
1
3
5
7
9
11
13
15
17
n
Abb. 3.15 Zusammenhang mit den reellen Fourierkoeffizienten:
a1 n 2 cn -15
T
a1
a1 n wenn a1 n TOL V 0 V a1 n
-15
-14
0.424
-13 0
-12
0.49
-11 0
-10
0.579
-9 0
-8
0.707
-7 0
V
...
Bereichsvariable
n 0 15
Frequenzspektrum 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
a1n
1
0
1
2
3
4
5
6
7 n
Abb. 3.16
Seite 68
8
9
10
11
12
13
14
15
Fourierreihen
Rücktransformation im Komplexen (Fouriersynthese): Die einzelnen Teilschwingungen lassen sich numerisch in komplexer Form darstellen durch: jkω 0t j kω 0t· § jkω 0t j kω 0t·º ª 1 § uk ( t k ) wenn «k = 0 © ck e ck e © ck e ck e ¹ ¹»¼ 2 ¬
Damit ergibt sich das Fourierpolynom in komplexer Form: n
¦
un ( t n)
k
uk ( t k )
0
Die einzelnen Teilschwingungen lassen sich auch symbolisch in komplexer Form darstellen durch: k-te Oberschwingung
k 1
j kω 0t
uko ( t) c1 ( k ) e
j kω 0t
c1 ( k ) e
§t· ¸ ©s¹
20 V cos ¨ vereinfachen o
π
Rechteckschwingung und Teilschwingungen 12 up( t)
10
V
8
uk( t 0)
6 4
uk( t 1)
2
uk( t 2) uk( t 3)
3 2 1 0 2
uk( t 5)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Abb. 3.17
4 6 8 t s
Originalfunktion und Fourierpolynom 12 10 up( t)
8
V
6
un t nmax V
4
Abb. 3.18
2 321 0 1 2
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
t s
Seite 69
Fourierreihen
Beispiel 3.3: Führen Sie eine Fourieranalyse für eine periodische Folge von Sägezahnimpulsen mit der Amplitude Û = 5 V und der Periodendauer T0 bzw. deren Rücktransformation reell durch. Wie lautet der Klirrfaktor? u(t) = 2 (Û/T0 ) t für -T0 /2 < t < T0 /2. ORIGIN festlegen
ORIGIN 1 ω0 1 s T0
1
gewählte Kreisfrequenz (Z0 = 2 S f0 )
2 π
T0
ω0
Periodendauer
6.283 s
Û 5 V
Amplitude
t T0 T0 0.01 s 3 T0
Bereichsvariable
T ·· § § ¨ ¨ t 0 ¸¸ 2 Û ¨ 2 ¸¸ ¨ u ( t) t T0 T0 floor ¨ T ¸¸ T0 ¨ © © 0 ¹¹
gegebene Spannung (ungerade Funktion)
Û wird mit + 0219 (Zifferncode) erzeugt
Zeitbereich (Originalbereich) der Spannung u(t) mit der Periodendauer T0 : Sägezahnspannung 6
T0 2
4
s
T0
Û
2
V
s
2
u( t) V
7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 2
3
4 5
6
7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Abb. 3.19
4 6 t s
Numerische Berechnung der reellen Fourierkoeffizienten: Bereichsvariable
n 1 nmax1 T0
b1n
´ 2 2 µ µ u ( t) sin n ω0 t dt T0 µ ¶ T0
b1n wenn b1n TOL V 0 V b1n
für TOL
2
1
T
b1
1
3.183
2 -1.592
3 1.061
4 -0.796
5 0.637
6 -0.531
Wegen der Symmetrie (ungerade Funktion) gilt für alle a n = 0 V.
Seite 70
7 0.455
8 ...
V
1 u 10
3
Fourierreihen
Frequenzbereich (Spektralbereich - Bildbereich): Amplituden- oder Frequenzspektrum der Sägezahnspannung. Frequenzspektrum 4 3 b1n
2
Abb. 3.20
1 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
n
Die Amplituden der Grundschwingung und der Oberschwingungen mit den Frequenzen f = n f0 bzw. Z = n Z0 . Es kommen in diesem Spektrum nur ganzzahlige Frequenzanteile vor, daher sprechen wir von einem diskreten Spektrum. Dies ist charakteristisch für periodische Funktionen. Rücktransformation (Fouriersynthese):
¦ b1n sin n ω0 t
u15 ( t)
Fourierpolynom mit 15 Gliedern
n
Originalfunktion und Fourierpolynom 6 4 u( t)
2
V
Abb. 3.21
u15( t) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 V 4
nmax1 { 15
6 t s
Die Spitzen unmittelbar neben den Sprungstellen sind typisch für das Verhalten von Fourierreihen an solchen Stellen. Die Fourierreihe konvergiert, obwohl die Spitzen mit zunehmendem n immer ausgeprägter werden. Klirrfaktor:
Un =
a1n 2 b1n 2 =
T
U
1 1
3.183
2 1.592
b1n
Un
3 1.061
4 0.796
Scheitelwerte
b1n
5
6
7
8
0.637
0.531
0.455
0.398
Seite 71
9 ...
V
Fourierreihen
15
¦
k
k
Uk
2
k
15
¦
k
0.836
k
Klirrfaktor näherungsweise für 15 Glieder der Reihe. Die Bedingung U1 >> Un (n > 1)
83.584 %
Uk
ist hier eigentlich nicht erfüllt!
1
Beispiel 3.4: Für eine "angeschnittene" Wechselspannung mit der Amplitude Û = 5 mV soll eine Fourieranalyse reell und komplex und deren Rücktransformation durchgeführt werden. u(t) = Û cos(Z0 t) für 0 d t < T0 /4 und 0 für T0 /4 d t < T0 . ORIGIN festlegen
ORIGIN 0 TOL 10 ω0 1 s
6
Toleranzgrenze für die numerische Berechnung festlegen
1
gewählte Kreisfrequenz (Z0 = 2 S f0 )
2 π
T0
T0
ω0
Periodendauer
6.283 s
Û 5 mV
Amplitude
t 0 s 0 s 0.001 s 2 T0
Bereichsvariable
Û cos ω0 t
u ( t)
if
Û wird mit + 0219 (Zifferncode) erzeugt
T0 · § T0 · § ¨ 0 s d t d ¸ ¨ T0 d t d 5 ¸ 4 ¹ © 4 ¹ ©
gegebene Spannung (gerade Funktion)
0 mV otherwise Oder mit der Heavisidefunktion definiert:
§ § T0 · § 5 T0 · · u ( t) = Û cos ω0 t ¨ Φ ¨ t ¸ Φ t T0 Φ ¨ t¸ ¸ © © 4 ¹ © 4 ¹¹
Zeitbereich (Originalbereich) der Spannung u(t) mit der Periodendauer T0 : Wechselspannung 5
T0
3 1
mV
mV
s
s
u( t)
Û
T0
4
cos ω 0t 1
0
1
2
3
4
5
6
7
3 5 t s
Seite 72
8
9
10
11
12
13
Abb. 3.22
Fourierreihen
Numerische Berechnung der reellen Fourierkoeffizienten: nmax 100
maximaler Wert der Bereichsvariable n
n 0 nmax
Bereichsvariable T0
a1 n
´ 4 2 µ µ u ( t) cos n ω0 t dt T0 ¶ 0s
a1 n wenn a1 n TOL mV 0 mV a1 n a1 0
T
a1
0
0
1
2
1.592
1.25
0.531
mit
TOL
1 u 10
6
1.592 mV konstantes Glied (doppelter Gleichspannungsanteil)
3
4 0
5
-0.106
6 0
7
0.045
mV
...
T0
b1n
´ 4 2 µ µ u ( t ) sin n ω0 t dt T0 ¶ 0s
0
T
b1
0
1 0
0.796
2 1.061
b1n wenn b1n TOL mV 0 mV b1n 3
4
0.796
0.424
5 0.265
6 0.273
7
mit
TOL
8
0.265
1 u 10
mV
...
Frequenzbereich (Spektralbereich - Bildbereich): Amplituden oder Frequenzspektrum der angeschnittenen Wechselspannung. Frequenzspektrum 2 1.5 a1n mV
1
Abb. 3.23
0.5 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 n
Frequenzspektrum 2 1.5 b1n mV
1
Abb. 3.24
0.5 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 n
Seite 73
6
Fourierreihen
Rücktransformation (Fouriersynthese): Die Fourierreihe soll dann abgebrochen werden, wenn die Amplitude der n-ten Oberschwingung kleiner als p % der Grundschwingung ist:
np p nmax a b
2
Um
a b
2
km2 Unterprogramm zur Berechnung von nmax für das Fourierpolynom
while k d nmax
Uk U1 p Uk ! TOL
return k if kmk1 return nmax a1 b1 · § nmax1 np ¨ 0.02 nmax ¸ V V¹ ©
maximales n bei p = 2 %
53
nmax1
a1 0
up ( t)
nmax1
2
¦ a1n cos n ω0 t b1n sin n ω0 t
n
Fourierpolynom mit 21 Gliedern
1
Originalfunktion und Fourierpolynom 6
T0
5
u( t)
4
mV
T0
4
s
s
3 2
up ( t)
Abb. 3.25
1
mV 1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
t s
Fourierreihe in der Amplituden-Phasenform: TOL
1 u 10
Die Toleranzschwelle muss hier niedriger gewählt werden, damit bei der Berechnung der Phasenlage keine zu hohen Ungenauigkeiten entstehen.
6
Bereichsvariable
n 1 nmax U0
a1 0
Un
2
a1n = 0 b1n = 0 atan2 b1n a1 n otherwise
φn
a1n 2 b1n 2
Scheitelwerte
0 if
Unterprogramm zur Berechnung der Phasenlagen
Die Phasenlagen können auch über die komplexen Koeffizienten cn und mithilfe eines Unterprogramms berechnet werden: cn =
1 2
an j bn
φn =
0 if
cn TOL mV
arg cn
π 2
Seite 74
otherwise
Fourierreihen
Frequenzspektrum 2
Un
1.5
mV
mV
Abb. 3.26
1
U0
0.5
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 n 0
Phasenspektrum 2 1 φn
Abb. 3.27 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 1 n nmax1
up ( t) U0
¦ Un sin n ω0 t φn
n
Fourierpolynom mit nmax1 = 53 Gliedern
1
Originalfunktion und Fourierpolynom 6 5 u( t)
4
mV
T0
T0
4s
s
3
up ( t)
2
mV
1 1
1
Abb. 3.28
0
1
2
3
4
5
6
7
t s
Seite 75
8
9
10
11
12
13
Fourierreihen
Komplexe Berechnung der Fourierkoeffizienten: ORIGIN nmax
ORIGIN
n nmax nmax
Bereichsvariable
ORIGIN festlegen
100
T0
cn
´ 4 jnω 0t 1 µ µ Û cos ω0 t e dt T0 ¶ 0
T
c
-100 -0+0.008i
-100
cn wenn cn TOL mV 0 mV cn
-99
-98 0+0.008i
0.008i
-97 ...
für TOL
1 u 10
mV
Die Fourierkoeffizienten sind komplex. Komplexes Frequenzspektrum 2
1.5 2 cn mV 1
2 cn mV
0.5
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2
3 4
5 6
7
8 9 10 11 12 13 14 15
n
Abb. 3.29 U0 =
a0 2
= c0
c0
0.796 mV
Gleichspannungsanteil
Rücktransformation im Komplexen (Fouriersynthese): nmax1
up1 ( t) c0
¦
n
j nω 0t jnω 0t· § cn e © cn e ¹
Fourierpolynom komplex mit n = nmax1 = 53 Gliedern
1
Seite 76
6
Fourierreihen
Originalfunktion und Fourierpolynom 6 5 u( t)
4
mV
T0
T0
4s
s
3
up1( t)
2
mV
1 1
1
Abb. 3.30
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
t s
Beispiel 3.5: Es soll eine Fourieranalyse bzw. deren Rücktransformation für einen periodischen Rechteckstrom (z. B. "Ankerstrombelag einer Drehstromwicklung") mit der Amplitude Î = 10 A und der Periodendauer T0 reell durchgeführt werden. Ursprung der induzierten Variable
ORIGIN 0 ω0 1 s
1
gewählte Kreisfrequenz (Z0 = 2 S f0 )
2 π
T0
Periodendauer
T0 o 2 π s
ω0
Î 10 A
Amplitude
t 0 s 0.01 s Pz T0
Bereichsvariable (Pz wird neben der Grafik global als Periodenanzahl definiert).
i ( t)
Î 2 Î if
T0
if 0 t
Î
T0 6 if
2
Î if
6
dt
T0 2
3
T0 3
dt
2
3 2 T0
dt
3
5 T0 6
Stromfunktion über eine Periode definiert d t T0
5 T0 6
§ § t ·· iper f t T0 f ¨ t T0 floor ¨ ¸¸ © © T0 ¹ ¹
T0
T0
dt
2 T0
Î wird mit + 0206 (Zifferncode) erzeugt
periodische Fortsetzung der Funktion
Seite 77
Fourierreihen
Zeitbereich (Originalbereich) des Stromes i(t) mit der Periodendauer T0 : Rechteckspannung 12 10 8 6 4 2
i( t) A
iper i t T0
A
T0
T0
Î
2
Abb. 3.31
20 4 6 8 10 12
5
10
Pz { 2
t s
Die Rechteckschwingung könnte auch noch über die Heavisidefunktion und in Grad definiert werden: ia ( t )
Î 2
Î 2
Φ ω0 t 60 Grad Φ ω0 t 120 Grad
1 § ib ( t) Î ¨ Φ ω0 t 180 Grad Φ ω0 t 240 Grad 2 © ic ( t )
Î 2
Φ ω0 t 300 Grad Φ ω0 t 360 Grad
·¸¹
Teile der Gesamtschwingung
Gesamtschwingung
i1 ( t ) ia ( t ) i b ( t ) ic ( t )
Teilschwingungen
ia ( t) A
12 10 8 6 4 2
ib ( t) 2 0 4 A 6 8 ic( t) 10 A 12 14 16 18 20
ω 0T0 Grad
60
120
180
240
300
360
420
480
540
600
660
720
Abb. 3.32
ω 0t Grad
Seite 78
Fourierreihen
Gesamtschwingung über eine Periode 12 10 8 6 4 2
i1 ( t) A
2 4 6 8 10 12
ω 0T0 Grad
0
60
120
180
240
300
360
420
480
540
600
660
720
Abb. 3.33
ω 0t Grad
i1per f t ω0 T0 f mod ω0 t T0 s Die Funktion wird noch durch die mod-Funktion periodisch gemacht. periodische Wechselgröße
§
T0 ·
©
s
i1per¨i 1 t ω 0
¸ ¹
A
12 10 8 6 4 2 20 4 6 8 10 12
60
120
180
240
300
360
420
480
540
600
660
720
Abb. 3.34
ω 0t Grad
Numerische Berechnung der reellen Fourierkoeffizienten: nmax 100
maximaler Wert der Bereichsvariable n
n 0 nmax
Bereichsvariable
a2 n 0 A
Wegen der Symmetrie (ungerade Funktion) gilt für alle a n = 0 A. T0
b2n
´ 2 µ µ i ( t ) sin n ω0 t dt T0 ¶ 0s 4
T
b2
0 0
0
1
2
9.549
b2n wenn b2n TOL A 0 A b2n
3 0
4 0
5 0
Seite 79
1.91
6
7 0
1.364
mit
TOL
8 ...
A
1 u 10
6
Fourierreihen
Frequenzbereich (Spektralbereich - Bildbereich): Amplituden oder Frequenzspektrum der Rechteckschwingung Frequenzspektrum 10 6.667
b2n
Abb. 3.35
A
3.333
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 n
Rücktransformation (Fouriersynthese): a2 b2 · § nmax1 np ¨ 0.03 nmax ¸ A A¹ ©
nmax1
maximales n bei p = 3 % (siehe Beispiel 3.4)
35
nmax1
¦ b2n sin n ω0 t
ip ( t )
n
Fourierpolynom mit 35 Gliedern
1
Originalfunktion und Fourierpolynom 12
T0
10
A
4
iper i t T0 A ip ( t) A
2
8 6
i( t)
T0
2 2
0
5
10
4 6 8 10 12 t s
Seite 80
Abb. 3.36
Fourierreihen
Beispiel 3.6: Für den gegebenen Filter soll die Übertragungsfunktion ermittelt und in einem Bode-Diagramm im Bereich 0.1 Hz d f d 10 MHz dargestellt und interpretiert werden. Stellen Sie auch noch die Nyquist-Ortskurve dar. Durch Fourieranalyse und Fouriersynthese soll dann noch die Antwort des Filters auf die gegebene periodische Eingangsspannung ue (t) berechnet und interpretiert werden.
ue ( t) =
Umax T0
t if t
T0
R = 150 Ω
Ohm'scher Widerstand
L = 30 mH
Induktivität
C = 20 μF
Kapazität
Umax = 5 V
Amplitude der Eingangsspannung
T0 =
Abb. 3.37
2 Umax
T0
300
s
Periodendauer
2
2
Umax
2 π
Eingangsspannung t otherwise
2
Übertragungsfunktion, Bode-Diagramm und Nyquist-Ortskurve:
Zp Z1 Z2
Z1 Z2
Parallelschaltung der komplexen Widerstände
Z 1 Z2
induktiver Blindwiderstand
XL ( f L) j 2 π f L XC ( f C)
1
kapazitiver Blindwiderstand
j 2 π f C
G ( f R L C)
Zp XC ( f C) R
R XL ( f L) Zp XC ( f C) R
G ( f R L C) G ( f R L C) vereinfachen o
Übertragungsfunktion (Auflösung nach Spannungsteilerregel)
R j
2
2
2 π C R f R j π L f 2j π C L R f AdB ( f R L C) 20 log G ( f R L C)
Amplitudengang in dB
φ ( f R L C) arg ( G ( f R L C) )
Phasengang
dB 1
Einheitendefinition
R 150 Ω
Ohm'scher Widerstand
L 30 mH
Induktivität
C 20 μF
Kapazität
Seite 81
2
Fourierreihen
fmin 0.01 Hz
unterste Frequenz
fmax 10 MHz
oberste Frequenz
N 500
Anzahl der Schritte
§ fmax ·¸ ¨© fmin ¸¹
log ¨ Δf
Schrittweite
N Bereichsvariable
k 0 N f k f min 10
kΔf
Vektor der Frequenzwerte
Bode-Diagramm: Amplitudengang fg
0
3dB
50
AdB fk R L C dB
100
Abb. 3.38 150 200 0.01
1
100
10000
1000000
fk Hz Frequenz in Hz
Phasengang 0 18 36 54 φ fk R L C 72 90 Grad 108 126 144 162 180 0.01
fg
90
Abb. 3.39
1
100
10000
180 1000000
fk Hz Frequenz in Hz
Der Amplitudengang zeigt, dass es sich um einen Tiefpassfilter handelt. Niederfrequente Schwingungen werden bevorzugt durchgelassen und hochfrequente Schwingungen werden gesperrt.
Seite 82
Fourierreihen
Die -3dB-Grenze, die einer Dämpfung der Ausgangsspannung auf 1 / 2 = 70.7 % entspricht und üblicherweise zur Ermittlung der Grenzfrequenz herangezogen wird, wird hier stets unterschritten. Dies liegt natürlich daran, dass sich der Filter bei niedrigen Frequenzen (f gegen 0) als einfacher Spannungsteiler verhält (XL hat einen besonders niedrigen und X C einen besonders hohen Widerstand). Bei steigender Frequenz steigt XL und sinkt XC. Durch die beiden frequenzabhängigen Bauteile wird eine Filtersteilheit von ca. 40 dB pro Dekade erreicht. Die Phasendrehung beträgt 180°, weil es sich um einen Tiefpass 2. Ordnung handelt. Bei der Knickfrequenz ist die Phasendrehung -90°. G ( 0 Hz R L C) AdB ( 0 Hz R L C)
Die Übertragungsfunktion hat bei der Frequenz von 0 Hz den Wert 1/2.
0.5
4
dB-Grenze
6.021 dB
5
AdB 10 Hz R L C AdB 10 Hz R L C
Filtersteilheit pro Dekade
39.976 dB
Berechnung der Knickfrequenz (M(f,R,L,C) = -S/2): g ( f) φ ( f R L C)
π
Funktionsdefinition
2
Startwert für die Näherungslösung
f 100 Hz
§ ©
fg1 wurzel ¨ φ ( f R L C)
π 2
· ¹
f¸
f g1
290.576
1
Knickfrequenz
fg { 290.576 Hz
s
Nyquist-Ortskurve (kartesische Darstellung): Bereichsvariable
i 0 1
Ortskurve 0.2
0.1
Imaginärteil
Im G fk R L C
0 · § ¨ ¸ Im G ( ( 0 Hz R L C ) ) © ¹i 0 · § ¨Im G f R L C ¸ ¹i © g
f = 0 Hz 0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
G ( 0 Hz R L C) 0.1
fg
290.576
1 s
0.2
0.3
0 · 0 · § § ¸ ¨ Re G f R L C ¸¹ i ©Re( G( 0Hz R L C) ) ¹ i © g
Re G fk R L C ¨
Realteil
Abb. 3.40
Seite 83
0.6
0.5
Fourierreihen
Fourieranalyse und Fouriersynthese des Eingangssignals: 2 π
T0
300
Periodendauer
s
2 π
ω0
Kreisfrequenz
T0
Amplitude der Eingangsspannung
Umax 3 V Umax
ue ( t)
T0
t if 0 d t
T0 2
2
2 Umax
Umax T0
t if
T0 2
Eingangsspannung (Eingangssignal) d t T0
2
§ § t ·· ueper f t T0 f ¨ t T0 floor ¨ ¸¸ © © T0 ¹ ¹
periodische Fortsetzung der Funktion
T0 t T0 T0 3 T0 100 Eingangssignal 4
T0
2T0 Umax
3
ue ( t) V
ueper ue t T0
2
V
Abb. 3.41
1
0.04
0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
t s
Komplexe Berechnung der Fourierkoeffizienten: ORIGIN nmax
ORIGIN
n nmax nmax
Bereichsvariable
cn
T ´ 0 j nω 0t µ µ dt ue ( t) e T0 ¶ 0
1
100
TOL 10
6
ORIGIN und Toleranz festlegen
cn wenn cn TOL V 0 V cn
Seite 84
komplexe Fourierkoeffizienten
Fourierreihen
T
-100
c
-99
-100
-98
0
-97
-0
0
...
V
Wegen der Symmetrie (gerade Funktion) sind die komplexen Fourierkoeffizienten reell. Komplexes Frequenzspektrum 2
1.5 cn V
Abb. 3.42
1
cn V
0.5
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
U0 =
a1 0
= c0
2
c0
Gleichspannungsanteil
1.5 V
Rücktransformation im Komplexen (Fouriersynthese): 10
jnω 0t j nω 0t· § c e cn e n © ¹
¦
uep ( t) c0
n
Fourierpolynom komplex mit n = 10 Gliedern
1
oder: nmax
uep ( t) =
jnω 0t· § c e n © ¹
¦
n
n max
Eingangssignal und Fourierpolynom 6
ueper ue t T0
T0
2T0
5
4
V
3
uep( t)
Abb. 3.43
2
V
1 0.021
0.01
0
0.01
0.021
0.031
t s
Seite 85
0.042
0.052
0.063
Fourierreihen
Rücktransformation im Reellen (Fouriersynthese): U0 =
a1 0
= c0
2
a1 0 2 c0
a1 0
doppelter Gleichspannungsanteil
3V
Bereichsvariable
n 0 20
a1 n wenn cn cn TOL V 0 V cn cn
reelle Fourierkoeffizienten für das Eingangssignal
b1n wenn ª¬ j cn cn TOL V 0 V j cn cn º¼
4
1
3 a1n
0.5 b1n
2
V
0
V
1
10
20
0.5 0
10
1
20
n
n
Abb. 3.44
Abb. 3.45
Das Eingangssignal ist eine gerade Funktion, daher sind alle b1n = 0. a1 0
uep ( t)
2
10
¦ a1n cos n ω0 t
n
Fourierpolynom mit 10 Gliedern
1
Eingangssignal und Fourierpolynom 6 5
ueper ue t T0
4
V
3
uep( t)
Abb. 3.46
2
V
1 0.04
0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
t s
Bestimmung der Ausgangsspannung ua (t): Es wird zuerst jede Schwingungskomponente der Fourieranalyse durch den Filter geschickt und das Ergebnis am Ausgang des Filters ermittelt. Danach wird durch Fouriersynthese (Summation) das Ausgangssignal bestimmt. n nmax nmax
Bereichsvariable
Seite 86
Fourierreihen
2 π
f0
Frequenz der Grundschwingung
T0
komplexe Fourierkoeffizienten für das Ausgangssignal
c1 n cn G n f0 R L C
a1 2 Re c1 n n
b1 2 Im c1 n n
reelle Fourierkoeffizienten für das Ausgangssignal
a1 wenn § a1 TOL V 0 V a1 · n n¹ © n
reelle Fourierkoeffizienten für das Ausgangssignal
b1 wenn § b1 TOL V 0 V b1 · n n n
©
¹
2
0.3
1.5 a1
n
b1
1
V
0.2 n
V 0.5 0 1
0
1
2
3
4
0.1 0
5
0
1
2
n
uap ( t)
2
4
5
n
Abb. 3.47 a1 0
3
Abb. 3.48
2
¦
n
1
§ a1 cos n ω0 t b1 sin n ω0 t · n © n ¹
Fourierpolynom des Ausgangssignals mit 2 Gliedern
Eingangs- und Ausgangssignal 3 2.5
ueper ue t T0
2
V
1.5
uap( t)
1
V
0.5 0.04
0.02
0
0.02 t s
Abb. 3.49
Seite 87
0.04
0.06
0.08
Fourierreihen
Klirrfaktor: n 1 nmax
Bereichsvariable
Un 2 cn
Scheitelwerte vor dem Filter
nmax
¦
kv
k
Uk
2
kv
nmax
¦
k
0.431
kv
43.143 %
Klirrfaktor vor dem Durchgang durch den Filter
Uk
1
Scheitelwerte nach dem Filter
U1n 2 c1 n n max
¦
kn
k
U1k
2
kn
n max
¦
k
0.178
kn
17.847 %
Klirrfaktor nach dem Durchgang durch den Filter
U1k
1
0.2 0.15
U1n Un
G nf0 R L C
Der Oberwellenanteil wird mit zunehmenden Frequenzen kleiner. Dies ist auch verständlich, weil der Tiefpassfilter höhere Frequenzen stärker dämpft.
0.1
0.05 0
0
2
4
6
8
n
Abb. 3.50
Seite 88
Fourierreihen
Beispiel 3.7: Einem Funktionsgenerator (FG) wird eine Sägezahnspannung entnommen und einem Lautsprecher zugeführt. Untersuchen Sie das physikalische Verhalten dieser Schaltung.
Gegebene Daten: C = 22 PF RL = 8 : f 0 = 1 kHz Umax = 1 V VU = 1
Abb. 3.51 ue (t) bedeutet die Eingangsspannung (Funktionsgeneratorspannung), Umax die Amplitude der Eingangsspannung, f0 die Frequenz der Eingangsspannung, ua (t) die Spannung am Lautsprecher, C die Kapazität des Kondensators, RL der Ohm'sche Widerstand des Lautsprechers und VU die Spannungsverstärkung. Die Eingangsspannung (Generatorspannung) ist gegeben durch: ue ( t) =
2 Umax T0
t if
T0 2
dtd
T0 2
Eingangsspannung (Generatorspannung) über eine Periode
0 otherwise T ·· § § ¨ ¨ t 0 ¸ ¸ periodische Fortsetzung der Eingangsspannung 2 Umax ¨ 2 ¸¸ ¨ ueper ( t) = t T0 T0 floor ¨ ¨ ¸¸ T0 © © T0 ¹ ¹ a) Stellen Sie die Spannung des Funktionsgenerators grafisch dar. b) Wie groß ist der Effektivwert der Generatorspannung? c) Führen Sie für die Generatorspannung eine Fourieranalyse und Fouriersynthese (Fourierpolynom mit 30 Gliedern) durch und stellen Sie das Frequenzspektrum und das Fourierpolynom grafisch dar. Wie groß ist der Klirrfaktor der Generatorspannung? d) Die Funktionsgeneratorspannung wird an einen Leistungsverstärker mit der Spannungsverstärkung 1 gelegt, an dessen Ausgang über den Kondensator C ein Lautsprecher (ist als Ohm'scher Widerstand zu betrachten) angeschlossen ist. Berechnen Sie näherungsweise den Klirrfaktor der Lautsprecherspannung. Effektivwertberechnung der Generatorspannung (symbolisch): Redefinition
Umax Umax T0
UEff =
´ 2 µ µ T0 µ µ T ¶ 0 1
2
§¨ 2 Umax ·¸ t dt ¨© T0 ¸¹
annehmen Umax ! 0 o UEff = vereinfachen
2
Seite 89
3 Umax 3
Fourierreihen
Grafische Darstellung der Generatorspannung: Umax 1 V
maximale Amplitude
f0 1 kHz
Frequenz
ω0 2 π f0 2 π
T0
ω0
ms 10
3
3
ω0
6.283 u 10 s
T0
1 u 10
3
1
Kreisfrequenz
Periodendauer
s
Einheitendefinition
s
ta 6 ms
Anfangszeitpunkt
te 6 ms
Endzeitpunkt
N 800
Anzahl der Schritte
te ta
Δt
Schrittweite
N
Bereichsvariable
t ta t a Δt t e
T ·· § § ¨ ¨ t 0 ¸¸ 2 Umax ¨ 2 ¸ ¸ Generatorspannung mit periodischer Fortsetzung ¨ ueper ( t) t T0 T0 floor ¨ ¨ ¸¸ T0 © © T0 ¹ ¹ Umax
UEff
UEff
3
Effektivwert der Generatorspannung
0.577 V
Generatorspannung und Effektivwert
Spannung
1.5
u eper( t) V U Eff V
6
5
4
3
2
T0
T0
2 1 ms 0.5
ms
1
2
0 0.5 1 1.5 t ms Zeit
Abb. 3.52
Seite 90
1
2
3
4
5
6
Fourierreihen
Fourieranalyse und Fouriersynthese der Generatorspannung: 2 Umax
ue ( t)
T0
t if
T0
dtd
2
T0 2
Generatorspannung über eine Periode
0 otherwise ORIGIN festlegen
ORIGIN 1 TOL 10
6
numerische Toleranz festlegen Bereichsvariable
n 1 30
Die Koeffizienten a1n sind alle null. Die Generatorspannung ist eine ungerade Funktion (zentralsymmetrisch). T0
b1n
´ 2 µ µ ue ( t) sin n ω0 t dt T0 µ ¶ T0 2
b1n wenn b1n TOL V 0 b1n
3
V
Fourierkoeffizienten b1n
2
1
T
b1
1
2 0.637
-0.318
4 0.212
5
-0.159
...
Frequenzspektrum der Generatorspannung 0.7 0.636 0.573 0.509 0.445 b1n 0.382 V 0.318 0.255 0.191 0.127 0.064 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 n
Abb. 3.53 Die Fouriersynthese aus 30 Gliedern (Rücktransformation) ergibt: 30
uep ( t)
¦ b1n sin n ω0 t
n
Fourierpolynom mit 30 Gliedern
1
Seite 91
Fourierreihen
Generatorspannung und Fourierpolynom
Spannung
2
u eper( t)
T0
T0
2 1.333 ms 0.667
ms
2
V 6
u ep( t)
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
0.667
V
1.333 2 t ms Zeit
Abb. 3.54 Klirrfaktor der Generatorspannung: b11
Amplitude der Grundschwingung
0.637 V
u1 ( t) b11 sin ω0 t
Grundschwingung
T0
UEff.1
´ 2 µ 2 µ u1 ( t) dt T0 µ ¶ T0 1
UEff.1
0.45 V
Effektivwert der Grundschwingung
2
UEff
2
k
Effektivwert der Gesamtspannung
0.577 V
UEff UEff.1
2
k
UEff
62.6 %
Klirrfaktor der Generatorspannung
Klirrfaktor der Lautsprecherspannung (näherungsweise): Nach der Spannungsteilerregel gilt für die Übertragungsfunktion G(j n Z):
G ( j n ω) =
ua ( j n ω) ue ( j n ω)
RL
=
1
=
RL j n ω C
j n ω C RL 1 j n ω C RL
Übertragungsfunktion
Effektivwert der Spannung am Lautsprecher (mit Kondensator) = Amplitudengang.Effektivwert der Eingangsspannung: Ua.Eff = G ( j n ω) Ue.Eff
Effektivwert der Spannungsamplituden am Lautsprecher
Seite 92
6
Fourierreihen
C 22 μF
Kapazität des Kondensators
RL 8 Ω
Ohm'scher Widerstand des Lautsprechers
j n ω0 C RL
An
T
A
1 0.742
1
2 0.911
3 0.957
b1n
UeEff n UeEff
Amplitudengang
1 j n ω0 C RL
T 1
T 1
¦
n
1 0.45
2 0.225
7 0.992
8 0.994
9 ...
2
§ UaEff · n¹ ©
¦
1
3 0.15
2 0.205
3 0.144
5 0.09
6 0.075
7 0.064
8 0.056
9 ...
V
4 0.11
5 0.089
6 0.074
7 0.064
8 0.056
9 ...
V
2
k
§ UaEff · n¹ ©
4 0.113
Effektivwert der Lautsprecherspannungsamplituden
1 0.334
30 n
6 0.989
Effektivwert der Eingangsspannungsamplituden
30
k
5 0.984
2
UaEff An UeEff n n UaEff
4 0.975
70.9 %
Klirrfaktor der Lautsprecherspannung (Ausgangsspannung)
2
Seite 93
Fourierreihen
3.1 Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und inverse diskrete Transformation (IDFT) Bei vielen technischen Problemen ist die Zeitfunktion nicht explizit bekannt. Die Messwerte können zum Beispiel aus einem Messdatenerfassungssystem (digitalen Speicher-KO) stammen. Oft ist es auch notwendig, ein analoges Signal zu digitalisieren. Dies wird z. B. bei einer CDAufnahme und anderen Analog-Digital-Umwandlungen genützt. Für solche Fälle wurden numerische Verfahren entwickelt, die besonders einfach werden, wenn die Abstände zwischen den Messwerten konstant sind (äquidistant). Wir haben es also mit periodischen Signalen y = f(t) (bzw. u(t), i(t) usw.) mit der Periode T0 = 2S/Z0 zu tun, von denen wir in äquidistanten Abtastzeitpunkten tk = k 't (k = 0, 1, 2, ..., N-1) die N aufgenommenen Abtastwerte yk = f(tk ) (bzw. uk , i k usw.) des Signals mit N 't = T0 kennen.
Abb. 3.55 Durch die N Punkte (tk | yk ) (bzw. (tk | uk ), (tk | ik ) usw.) mit tk = k 't lässt sich nun eine periodische Funktion legen, die als Fourierpolynom (trigonometrisches Polynom) in reeller oder komplexer Form formuliert wird: f ( t) | f p ( t) =
a0 2
¦
n
¦ an cos n ω0 t bn sin n ω0 t
n
M
f p ( t) = c0
M
(3-29)
1
jnω 0t j nω 0t· § cn e © cn e ¹=
1
M
¦
n
j nω 0t· § © cn e ¹
(3-30)
M
Diese Aufgabe nennen wir Ausgleichsrechnung in diskreter Form (punktweise Approximation, diskrete Fehlerquadratmethode nach Gauß; siehe dazu auch Abschnitt 3.10, Band 3). Die noch frei wählbaren 2 M+1 Parameter (Koeffizienten) a0 , an, bn bzw. ck werden mithilfe einer Fehlergröße S festgelegt: N 1
S=
2 yk f p tk Minimum ¦
k
0
Seite 94
(3-31)
Fourierreihen
Dabei muss die Anzahl der Abtastwerte N größer sein als die zu bestimmenden Parameter, also N > 2 M+1 (oft beträgt in der Praxis dieser Unterschied eine Größenordnung N >> 2 M+1). Aus dem Minimalprinzip ergeben sich dann die diskreten reellen Koeffizienten zu:
an =
N 1
2
¦ yk cos n ω0 tk und bn = N ¦ yk sin n ω0 tk
N
N 1
2
k
0
k
(3-32)
0
Mit n = 0, 1, 2, ..., M. a0 ergibt sich für n = 0 und b0 = 0. Setzen wir schließlich 2 π
n ω0 t k = n
an =
k Δt = n
T0
N 1
2 N
k
T0
k
T0 N
= 2 π
k
0
n, so erhalten wir die Darstellung
N
§ y cos § 2 π k n· · ¨ k ¨ ¸ ¸ N ¹¹ © ©
¦
2 π
bn =
2 N
N1
¦
k
0
§ y sin § 2 π k n· · ¨ k ¨ ¸ ¸(3-33) N ¹¹ © ©
Die diskreten komplexen Koeffizienten cn ergeben sich aus: cn = cn =
1 2 1 2
an j bn
ª2
«
«N ¬
(3-34)
N 1
¦
k
yk cos n ω0 tk
0
j φ
Mit der Euler'schen Beziehung e
cn =
1 N
N 1 k
2 N
N1
¦
k
0
yk sin n ω0 tk
º »» ¼
(3-35)
= cos ( φ) j sin ( φ) ergibt sich schließlich:
j nω 0tk· § © yk e ¹
¦
j
(3-36)
0
Setzen wir auch hier k
n ω0 t k = 2 π
N
n,
so erhalten wir für n = 0, 1, 2, ..., M, mit N t 2 M+1, die komplexen Fourierkoeffizienten in der Darstellungsform:
cn =
1 N
N 1
¦
k
k § j 2π n· ¨ N ¸ © yk e ¹
(3-37)
0
Ist die Anzahl der Abtastwerte N = 2 M+1, so nimmt fp(t) (trigonometrisches Interpolationspolynom) an den Abtaststellen t k die Abtastwerte yk an.
Seite 95
Fourierreihen
Multiplizieren wir die Ungleichung N t 2 M+1 mit f0 (Z0 = 2 Sf0 ), so ergibt sich: N f 0 t ( 2 M 1) f0
(3-38)
Die Größe fA = N f0 =
N T0
=
N N Δt
=
1
(3-39)
Δt
ist die Anzahl, wie oft die Funktion f(t) pro Sekunde abgetastet wird, also die Abtastfrequenz. Es muss also gelten: f A t ( 2 M 1) f0 bzw. f A t 2 M f0 f0
(3-40)
fA ist aber die Frequenz der höchsten im Fourierpolynom vorkommenden Oberschwingung. Die Abtastfrequenz muss also mindestens gleich 2 M f 0 + f0 sein. Dies ist eine Frequenz, die größer als das Doppelte der höchstens in der Funktion f(t) enthaltenen Frequenz ist. Diese Aussage wird, wie nachfolgend angegeben, in einem Satz der Digitaltechnik formuliert. Das Abtasttheorem (Sampling-Theorem) nach Shannon: Ein Zeitsignal kann aus (theoretisch unendlich vielen) äquidistant liegenden Abtastwerten dann exakt rekonstruiert werden, wenn die Abtastung mit einer Frequenz fA erfolgt, die mehr als doppelt so groß ist (zweifache Bandweite) wie die höchste im Signal enthaltene Frequenz fmax (also f A > 2 fmax ). Das Signal kann überabgetastet werden (oversampling), um eine gute Rekonstruktion des Signals zu erreichen. Wenn kleinere Abtastraten (Samplingraten) benutzt werden, dann werden Signalkomponenten höherer Frequenz mit Signalkomponenten niedriger Frequenz überlagert. Dieses Phänomen wird Aliasing genannt, welches die Informationen, die von einem Signal getragen werden, zerstört.
Beispiel 3,8: Die mit T0 = 4 ms periodische Wechselspannung u(t) soll während einer Periode N = 5 und N = 7 Mal abgetastet werden. Zu diesen Abtastwerten soll die Fourierreihe (Fourierpolynom) bis zur 2. Harmonischen (M = (N - 1)/2 = (5 - 1)/2 = 2) bzw. 3. Harmonischen (M = (N - 1)/2 = (7 - 1)/2 = 3) aufgestellt werden. Vergleichen Sie in einer Grafik die Originalfunktion, die Abtastwerte und das Fourierpolynom. ORIGIN festlegen
ORIGIN 0 ms 10
3
Einheitendefinition
s
Umax 1 V
Scheitelwert
T0 4 ms
Periodendauer
ω0 f0
2 π T0 1 T0
ω0 f0
1570.796 s
250
1
Kreisfrequenz
1
Frequenz
s
§ 2 π t· Umax cos § 3 2 π t· u ( t) Umax sin ¨ ¸ ¨ ¸ 2 T0 © T0 ¹ © ¹
periodische Spannung
Seite 96
Fourierreihen
N Na
N
T0
Δt
Δt
N
Anzahl der Abtastwerte
5
0.8 ms
Abtastschrittweite
k 0 N 1
Bereichsvariable
tk k Δt
Abtastzeitpunkte
T
0
t
0
1 0.8
0
2 1.6
3 2.4
T
0 0
M
4 ms
ms
Abtastvektor
uk u tk u
4 3.2
N Δt
0.5
N 1
M
2
1
2
0.547
0.742
2
3
4
-0.433
2 M 1
-1.356
V
5
Bereichsvariable
n 0 M Fourieranalyse:
a1 n
b1n
2 N
2 N
N1
§ u cos § 2 π k n· · ¨ k ¨ ¸¸ N ¹¹ © ©
¦
k
0
N1
§ u sin § 2 π k n· · ¨ k ¨ ¸¸ N ¹¹ © ©
¦
k
0
0
T
a1
0
2
0
0
T
b1
1 0
1
0
0
3 0.5
2 1
0
3 0
4
-0.159
...
4 ...
V
Fouriersynthese:
up ( t)
a1 0 2
M
¦ a1n cos n ω0 t b1n sin n ω0 t
n
Fourierpolynom
1
Bereichsvariable
t 0 ms 0.01 ms 3 T0
Seite 97
V
Fourierreihen
Originalfunktion und Fourierpolynom 2
u( t)
T0
3T0
ms
ms
1
V uk 0
V up ( t)
5
10
Abb. 3.56
1
2 t
tk
t
ms ms ms
Na { 5
Hier kann global die Anzahl der Abtastwerte geändert werden (z. B. 7, 9 usw.)!
fA N f0
fA
fmax 3 f0
f max
fA ! 2 fmax
1250
1 s
750
Abtastfrequenz 1 s
größte vorkommende Frequenz in der Wechselspannung Das Abtasttheorem nach Shannon ist in diesem Fall nicht erfüllt!
0
Schnelle Fourier-Transformation (FFT- Fast-Fourier-Transform) Die Berechnung der Näherungswerte für die Fourierkoeffizienten mit den oben angegebenen Näherungsformeln erfordert nicht nur an die N 2 -Additionen, sondern, was auch zur erhöhten Rechenzeit beiträgt, N2 -Multiplikationen. In vielen Anwendungen ist aber N oft sehr groß, so dass selbst schnelle Rechner lange Rechenzeiten benötigen. 1965 wurde ein Algorithmus veröffentlicht, der nur noch eine Rechenzeit braucht, die proportional zu N log2 (N) ist. Dieser Algorithmus wurde als FFT bekannt. FFT hat seitdem viele Bereiche der Naturwissenschaft und Technik revolutioniert und ist eine gängige Methode zur numerischen Ermittlung des Frequenzspektrums von diskreten Daten. Obwohl es zahlreiche Varianten von diesem Algorithmus gibt, bleibt jedoch der Grundgedanke, die NWerte der Folge yk in mehrere Teilfolgen zu zerlegen und diese dann getrennt zu transformieren. Besonders wirksam ist dieser Algorithmus, wenn N eine Potenz von 2 ist. Wenn N eine gerade Zahl ist, so folgt aus 2 M+1 d N die Forderung M < N/2 und daher n < N/2. Ist der Vektor y = ( y0 , y1 , ..., yN-1 ) bekannt, so lässt sich mit der oben angeführten Näherungsformel der Vektor der Fourierkoeffizienten c = (c0 , c1 , ..., cN-1 ) berechnen aus:
cn =
1 N
N 1
¦
k
k § j 2π n· ¨ N ¸ © yk e ¹ , n = 0, 1, 2, ..., N - 1
(3-41)
0
Es ist leicht zu erkennen, dass die oben angeführte Näherungsformel mit dieser übereinstimmt, wenn n < N/2 ist. Diese N-Gleichungen werden als diskrete Fourier-Transformation (DFT- Discrete Fourier Transform) der n-Werte yk in die N-Werte cn bezeichnet. Ein wichtiges Anwendungsgebiet der DFT ist die Signalverarbeitung, z. B. Bildanalysen und Bildbearbeitung (Ultraschall-Scannern, Röntgenaufnahmen, Satellitenbildern usw.) und Spracherkennung, besonders bei verrauschten Signalen.
Seite 98
Fourierreihen
Umgekehrt können wir mit strukturgleichen Formeln aus dem gegebenen Vektor c = (c0 , c1 , ..., cN-1 ) den Vektor y = ( y0 , y1 , ..., yN-1 ) bestimmen:
yn =
1 N
N 1
¦
k
k § j 2π n· ¨ N ¸ © ck e ¹ , n = 0, 1, 2, ..., N - 1
(3-42)
0
Dieses Vorgehen heißt diskrete Fourier-Synthese (IDFT- Inverse Discrete Fourier Transform). Ein wichtiges Anwendungsgebiete der IDFT-Analyse ist die Signalerzeugung (z. B. bei der Bild- und Sprachsynthese). In Mathcad sind verschiedene Varianten der diskreten Fourier-Transformation vorgesehen (siehe Einführung in Mathcad, Band 1). Schnelle diskrete Fourier-Transformation für reelle Daten: Die Fast-Fourier-Transformierte FFT(y) liefert einen Vektor cn mit 2m-1 + 1 (m > 2) Elementen zurück:
c = FFT ( y)
cn =
1 N
N 1
¦
k
k · § j 2π n ¨ N ¸ © yk e ¹, n = 0, 1, 2, ..., N/2 mit N ²
(3-43)
0
N ist die Anzahl der reellen diskreten Daten (Messungen in regelmäßigen Abständen im Zeitbereich) des Vektors y, wobei dieser Vektor genau 2m = N (m > 2) Daten enthalten muss. Die Invers-Fast-Fourier-Transformierte IFFT(c) liefert einen Vektor yn mit 2m-1 + 1 (m > 2) Elementen zurück: k § j2π n· ¨ N ¸ © ck e ¹, n = 0, 1, 2, ..., N/2 mit N ²
N1
y = IFFT ( c)
yn =
¦
k
(3-44)
0
Die reellwertigen Fourierkoeffizienten an und bn erhalten wir durch:
an = 2 Re cn und bn = 2 Im cn
(3-45)
Schnelle diskrete Fourier-Transformation für reelle und komplexe Daten (ein- und zweidimensional): Die Fast-Fourier-Transformierte CFFT(y) liefert einen Vektor (oder Matrix) cn derselben Größe wie der als Argument übergebene Vektor y bzw. wie die als Argument übergebene Matrix zurück (das Ergebnis hat dieselbe Anzahl von Zeilen und Spalten wie der Vektor y):
c = CFFT ( y)
cn =
1 N
N 1
¦
k
k § j 2π n· ¨ N ¸ © yk e ¹, n = 0, 1, 2, ..., N-1 mit N ²
(3-46)
0
N ist die Anzahl der reellen oder komplexen diskreten Daten des Vektors (oder der Matrix) y mit beliebiger Größe.
Seite 99
Fourierreihen
Die Inverse-Fast-Fourier-Transformierte ICFFT(c) liefert einen Vektor (oder Matrix) yn derselben Größe wie der als Argument übergebene Vektor c bzw. wie die als Argument übergebene Matrix zurück: N1
y = ICFFT ( c)
¦
yn =
k
k § j2π n· ¨ N ¸ © ck e ¹, n = 0, 1, 2, ..., N-1 mit N ²
(3-47)
0
Die reellwertigen Fourierkoeffizienten an und bn erhalten wir durch:
an = 2 Re cn und bn = 2 Im cn mit n < N/2
(3-48)
Beispiel 3.9: Ein periodisches Signal i(t) mit der Frequenz f 0 = 100 Hz soll während einer Periode N = 8, N = 16 und N = 32 Mal abgetastet werden. Zu diesen Abtastwerten soll mittels FFT das Frequenzspektrum ermittelt und grafisch dargestellt werden. Anschließend soll durch Fouriersynthese das Originalsignal wieder hergestellt und in einer Grafik mit der Originalfunktion verglichen werden. ORIGIN festlegen
ORIGIN 0 ms 10
3
Einheitendefinition
s
Scheitelwert
Imax 1 A f0 100 Hz
f0
1
T0
f0 2 π
ω0
T0
100
1
Frequenz
s
Periodendauer
T0
10 ms
ω0
628.319 s
i ( t ) Imax sin 2 ω0 t
Imax 3
Kreisfrequenz
cos 5 ω0 t
Imax 2
m
N 2
N
T0
Δt
N
0.625 ms
Abtastschrittweite
Bereichsvariable
tk k Δt
Abtastzeitpunkte
T
0 0
periodisches Signal
Anzahl der Abtastwerte
16
k 0 N 1
t
cos 6 ω0 t
wird unten global definiert
m m1
Δt
1
0
1 0.625
2 1.25
3 1.875
4 2.5
5 3.125
Seite 100
N Δt
10 ms
6 3.75
7 4.375
8 ...
ms
Fourierreihen
Abtastvektor des Signals
ik i tk T
i
0 0.833
0
1 0.226
2 0.764
3 1.369
4
5 -0.5
A
...
Bereichsvariable
t 0 ms 0.01 ms 2 T0
Signal und Abtastwerte 2
i( t)
1
T0
2T0
ms
ms
A ik A
0
5
10
15
20
1 2 t
tk
ms ms
Abb. 3.57 Fourieranalyse und Frequenzspektrum: Fast-Fourier-Transformation
c FFT ( i) n 0
N
Bereichsvariable
2
TOL 10
5
numerische Toleranz festlegen
cn wenn cn TOL A 0 A cn T
c
0
1
0
0
numerisches Rauschen rausfiltern
2 -0.5i
0
3
4 0
5 0.167
0
6 0.25
7
8 0
0
A
Komplexes Frequenzspektrum 0.6 c n 0.4 A
0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
n
Abb. 3.58 a1 2 Re ( c)
b1 2 Im ( c)
reellwertige Fourierkoeffizienten
Seite 101
14
15
16
17
Fourierreihen
Reelles Frequenzspektrum
Reelles Frequenzspektrum
1
2
a1n 0.5
b1n 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
n
4
5
6
7
8
n
Abb. 3.59
Abb. 3.60
Rücktransformation in den Zeitbereich: Berechnung der IFFT-Koeffizienten
i1 IFFT ( c) 2 ik
1
T0
2T0
ms
ms
A i1k A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1 2 tk ms
Abb. 3.61 n max
¦
ip t nmax c0
n
jnω 0t j nω 0t· § c e cn e n © ¹
Fourierpolynom in komplexer Darstellung
1
nmax
ip t nmax = c0
¦ 2 Re cn cos n ω0 t 2 Im cn sin n ω0 t
n
1
2 i( t)
1
A
§ ©
ip ¨t A
N·
¸
0
5
Fourierpolynom in reeller Darstellung
T0
2T0
ms
ms
10
2¹ 1 2 t ms
Abb. 3.62
Seite 102
15
20
Fourierreihen
m1 { 4
N
fA N f0
fA
fmax 6 f0
f max
fA ! 2 fmax
Vergleiche m1 = 3 und 5
16 1600
1
Abtastfrequenz
s
600
1
größte vorkommende Frequenz im Signal
s
Das Abtasttheorem nach Shannon ist in diesem Fall erfüllt.
1
Beispiel 3.10: Von einem mit Rauschanteilen überlagerten Signal soll das Frequenzspektrum hergestellt werden, das überlagerte Signal gefiltert (die Rauschanteile unterdrückt) und das Originalsignal wiederhergestellt werden. ORIGIN festlegen
ORIGIN 0 ms 10
3
Einheitendefinition
s
Scheitelwert
Amax 1 mm f0 1 kHz T0
ω0
f0
1 f0 2 π T0
Frequenz
1000 Hz
Periodendauer
T0
1 ms
ω0
6283.185 s
1
Kreisfrequenz
N 127
ungerade Anzahl von Abtastwerten
k 0 N 1
Bereichsvariable
tk
T0 N
Abtastwerte
k
yk Amax sin 5 ω0 tk
Amax 2
cos 9 ω0 tk
periodisches digitales Signal
2
T0
1
ms
yk 0
mm
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1 2 tk ms
Abb. 3.63 Dieses Signal soll mit Rauschanteilen überlagert werden (mithilfe der Funktion rnd): sk yk ( rnd ( 2) 1) mm
Seite 103
1.1
Fourierreihen
3
T0
2
mm
ms
1
sk
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
2 3 tk ms
Abb. 3.64 Diskrete Fourier-Transformation: N ist ungerade, daher CFFT.
c CFFT ( s)
§ N· ¸ © 2¹
n 0 floor ¨
n
N
N
2
2
63.5
Bereichsvariable
Festlegung eines Pegelwertes zur Ausscheidung des Rauschanteils.
pegel 0.12 mm
Frequenzspektrum 0.6 cn mm
0.4
m Signal
pegel mm 0.2
0
m Rauschanteil 0
20
40
60
80
n
Abb. 3.65 Filterung des Signals, um die Rauschanteile zu unterdrücken: Bereichsvariable
n 0 N 1
cn cn Φ cn pegel
Mit der Heavisidefunktion werden alle Frequenzanteile, deren Amplitude unter dem Pegelwert liegt, auf 0 gesetzt (einfacher Filter).
Diskrete Rücktransformation: y1 ICFFT ( c)
inverse Fourier-Transformation
Seite 104
Fourierreihen
Abgetastetes Signal und rücktransformiertes Signal
3
2u 10
T0
3
yn y1
ms
1u 10
0
n
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
3
1u 10
3
2u 10
tn ms
Abb. 3.66 Beispiel 3.11: Eine eingelesene Bilddatei soll zuerst in ihre Rot-, Grün- und Blau-Anteile zerlegt und grafisch dargestellt werden. Anschließend sollen diese Anteile fouriertransformiert und das Frequenzspektrum dargestellt werden. Durch geeignete Filterung der Frequenzanteile soll das Originalbild wiederhergestellt werden.
ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
B "C:\mathcad\Einführung\Beispiele\bilder\stifte.jpg "
Einlesen einer Bilddatei
RGB RGBLESEN ( B)
Mit RGBLESEN werden Rot-, Grün- und BlauAnteil nebeneinander in eine Matrix geschrieben.
z zeilen ( RGB) s
spalten ( RGB) 3
i 0 z 1
z
223
Zeilenanzahl der RGB-Matrix
s
149
Spaltenanzahl der RGB-Matrix
j 0 s 1
Ni j 0
Bereichsvariable Nullmatrix mit gleicher Dimension wie R-, G- und B-Anteile
Anteile rot, grün und blau mit der Funktion submatrix extrahieren: Rot submatrix ( RGB 0 z 1 0 s 1)
Spalte 0 bis s - 1 für R-Anteil
Grün submatrix ( RGB 0 z 1 s 2 s 1)
Spalte s bis 2 s - 1 für G-Anteil
Blau submatrix ( RGB 0 z 1 2 s 3 s 1)
Spalte 2 s bis 3 s - 1 für B-Anteil
Seite 105
Fourierreihen
Originalbild und zusammengesetztes Bild aus Rot-, Grün- und Blau-Anteil (Matrixpalette-Bild einfügen)
B
Rot Grün Blau Abb. 3.67
Rot N N
Abb. 3.68
N Grün N
Abb. 3.69
N N Blau
Abb. 3.70
Abb. 3.71
Schnelle Fourier-Transformation mithilfe der Funktion CFFT und des Frequenzspektrums: CRot CFFT ( Rot)
CGrün CFFT ( Grün)
CBlau CFFT ( Blau)
Re CRot N N
N Re CGrün N
N N Re CBlau
Abb. 3.72
Abb. 3.73
Abb. 3.74
Seite 106
Fourierreihen
Frequenzspektren für i = 0: 3
1u 10
100 C Rot
0 j
C Grün
10
0 j
C Blau
1 0 j
0.1
0.01 0
50
100 j
Abb. 3.75 Bandbegrenzte Fourierspektren: Die Bandbegrenzung wird dadurch simuliert, dass die Fourierkoeffizienten im mittleren Indexbereich einfach null gesetzt werden. p 20 %
Prozentsatz der Koeffizienten, die null gesetzt werden.
ª§ i z · § j s · º «¨ ¸ ¨ ¸ » 2 p p 2 CRotB wenn «¨ t ¸¨ t ¸ CRot 0» 2¹ © 2¹ i j s i j ¼ ¬© z ª§ i z · § j s · º «¨ ¸ ¨ ¸ » 2 p p 2 CGrünB wenn «¨ t ¸¨ t ¸ CGrün 0» 2¹ © 2¹ i j s i j ¼ ¬© z ª§ i z · § j s · º «¨ ¸ ¨ ¸ » 2 p p 2 CBlauB wenn «¨ t ¸¨ t ¸ CBlau 0» 2¹ © 2¹ i j s i j ¼ ¬© z
Seite 107
Bandbegrenzung mit idealem Tiefpassfilter
Fourierreihen
3
1u 10 C RotB
s
s
p s 2 2
100
p s 2 2
0 j
10
C GrünB
0 j
C BlauB
1 0 j
0.1 0.01 0
50
100
150
j
Abb. 3.76 Rücktransformation des bandbegrenzten Signals:
RotB ICFFT CRotB
GrünB ICFFT CGrünB
BlauB ICFFT CBlauB
Abb. 3.77
Re ( RotB) Re ( GrünB) Re ( BlauB ) Dieses Bild kann mithilfe der Funktion RGBSCHREIBEN wieder als Bilddatei gespeichert werden. Die Matrizen RotB, GrünB und BlauB müssen nicht mehr notwendigerweise reell sein. Daher werden die Matrizen zuerst vektorisiert und anschließend wird davon der Realteil erzeugt. o o o B1 erweitern Re RotB erweitern Re GrünB Re BlauB
Erzeugen der reellen Matrizen und Zusammenfügen der Matrizen
RGBSCHREIBEN ( "stifte1.jpg" ) B1
Bild als Datei speichern
Seite 108
Fourier-Transformation
4. Fourier-Transformation Bei periodischen Funktionen y = fp(t) führt die Fourieranalyse stets zu einem Linienspektrum. Bei nichtperiodischen Funktionen f(t) ist aber ein kontinuierliches Spektrum zu erwarten. In der Praxis treten viele einmalige Vorgänge auf, die nicht periodisch sind. Die Analyse nichtperiodischer Funktionen, z. B. einem einmaligen Impuls, leiten wir z. B. aus einer periodischen Funktion her, indem wir die Periode immer größer werden lassen. Eine Vergrößerung der Periodenlänge T0 ist gleichbedeutend mit der Verkleinerung der Frequenz von f0 bzw. Z0 . Im Linienspektrum des periodischen Vorganges rücken die einzelnen Spektrallinien immer näher zusammen. Durch den Grenzübergang T0 o f entsteht schließlich ein kontinuierliches Spektrum, weshalb k Z0 als ein Kontinuum Z beschreibbar ist und alle Frequenzen zwischen - f und + f enthält (Amplituden- oder Frequenzdichtespektrum). Anstelle der trigonometrischen Summe der Fourierreihe tritt ein Integral, das Fourierintegral, das sich über alle Frequenzen von - f bis + f erstreckt. In der Naturwissenschaft und Technik ist die zeitkontinuierliche Fourier-Transformation eine wichtige Integraltransformation. Dabei wird einer Zeitfunktion y = f(t) ihr Frequenzspektrum F(Z) zugeordnet und umgekehrt. Anhand des Beispiels der periodischen Rechteckschwingung soll nun der Übergang von periodischen zu aperiodischen Signalen veranschaulicht werden.
Beispiel 4.1:
rect t T1 T0
1 if
t T1
0 if
2
T1 2
d t
T0
periodische Rechteckschwingung über eine Periode definiert (Impulsbreite T1 )
2
A 2
Amplitude des Signals
T0 2 π
Periodendauer des Signals
T1 2
Impulsbreite des Signals
t 3 T0 3 T0 0.01 3 T0
Bereichsvariable
Rechteckimpuls
f p ( t) A rect t T1 T0
periodische Rechteckschwingung 2 1.5
fp ( t)
fp t T0 fp t T0
T1
T0
2
2
1 0.5
10
5
0 t
Abb. 4.1
Seite 109
5
10
Fourier-Transformation
Wir wählen wegen der Symmetrie zweckmäßigerweise das Integrationsintervall -T1 /2 d t d T1 /2: T1
´ 2 T1 a0 1 µ c0 = µ A dt = A = 2 T0 µ T T0 ¶ 1
Fourierkoeffizient c0
2 T1
T1 T1 · §¨ ´ 2 jnϖ 0 jnϖ 0 ¸ µ j n ϖ t 1 1 A 0 2 2 ¸ ¨ cn = µ Ae dt = ©e e ¹ T0 µ T j n ω0 T0 ¶ 1
Fourierkoeffizienten cn für n z 0
2 T1 T1 · § T1 · § ¨ jnϖ0 ¸ jnϖ 0 ¨ sin n ω 2 2 0 2 ¸ T1 · ¨e ¸ § 2 A e 2 A © ¹ ¸ =A cn = ¨ sin ¨ n ω0 ¸= n π n ω0 T0 © 2 j 2 ¹ ¹ n ω0 T0 ©
§
T1 ·
©
2
sin ¨ n ω0
an = 2 Re cn = 2 A
¸ ¹
n π
ORIGIN festlegen
ORIGIN 50
T0 k T1 ω0
2 π T0
T0
24
T0
24
k
12
T1
a0
T0
k
Grundkreisfrequenz
0.333
T1 · · §¨ § ¸¸ sin ¨ n ω0 ¨ 2 ¹¸ © an wenn ¨ n = 0 a0 2 A ¸¹ n π © ω 50 ω0 50 ω0 0.01 50 ω0
§
T1 ·
©
2
4 A sin ¨ ω g ( ω)
Vielfaches der Periodendauer
Bereichsvariable
n 50 50
a0 2 A
reellwertige Fourierkoeffizienten
ω
¸ ¹
Auswahl der reellwertigen Fourierkoeffizienten Bereichsvariable
Einhüllende der reellwertigen Fourierkoeffizienten
Seite 110
Fourier-Transformation
10 a0T0 anT0
5
g( ω )
5
0
T0
12 T1
ω0
0.262
5
nω 0 ω
Abb. 4.2
§
2 A sin ¨ n ω0 an T0 =
©
n ω0
T1 ·
§ T1 · ¸ 4 A sin ¨ ω ¸ 2 ¹ 2 ¹ © = ω
für Z = n Z0
Wie die Grafik zeigt, ist die Funktion g(Z) unabhängig von T0 . Mit Z als stetige Variable stellt g(Z) die Einhüllende der Koeffizienten anT0 dar, die an den Stellen Z = n Z0 genau mit anT0 übereinstimmt. Der Abstand der Linien ist von der Grundkreisfrequenz Z0 und damit auch von der Periodendauer T0 abhängig. Für die größer werdende Periodendauer T0 wird der Frequenzabstand der Harmonischen immer geringer. Vergrößern wir die Periodendauer T0 bis zu dem theoretischen Grenzfall ins Unendliche, bleibt im Zeitbereich nur ein einzelner Rechteckimpuls übrig. Im Frequenzbereich ergibt sich dagegen ein kontinuierlicher Verlauf der Spektralkoeffizienten über der Frequenz.
4.1 Von der Fourierreihe zur Fourier-Transformation Die Grundvorstellung der Fourier-Transformation beruht in dieser Interpretation also darauf, dass ein aperiodisches Signal als Grenzfall eines periodischen Signals aufgefasst werden kann, bei dem die Periodendauer beliebig groß ist. Die Fourier-Transformation kann damit aus der komplexen Fourierreihe abgeleitet werden: Grenzübergang
Fourierreihe oFourier-Transformation T0 o f Der Abstand zwischen zwei Sprektrallinien ist Δω = 2 π Δf = 2 π f0 =
2 π T0
lim
Δf =
T0 o ∞
lim
1
T0 o ∞ T0
= df
(4-1)
Wenn die Periodendauer T0 für eine periodische Rechteckschwingung stark zunimmt, so rücken die Spektrallinien immer näher zusammen. Schließlich werden sie so dicht (infinitesimaler Abstand df zwischen benachbarten Frequenzen), dass das Linienspektrum cn in ein kontinuierliches Spektrum F(f) übergeht, d. h., alle Frequenzen f n liegen unendlich dicht zusammen: fn = n f0 =
n T0
Seite 111
lim
n
n_und_T0 o ∞ T0
=f
(4-2)
Fourier-Transformation
Allerdings würden die Fourierkoeffizienten cn beim Grenzübergang T0 o f gegen null streben. Daher lassen wir zur Bestimmung des kontinuierlichen Spektrums aus dem diskreten Spektrum die Division durch T0 weg: T0
´ 2 jn2πf0t µ Mit cn = µ fp ( t) e dt folgt: T0 µ ¶ T0 1
2 T0
lim T0 o ∞
´ 2 ∞ µ ´ jn2πf0t j 2πft = lim µ fp ( t) e dt = µ f ( t) e dt = F ( f ) ¶ T0 o ∞ µ T ∞ ¶ 0
T0 cn
(4-3)
2
Die Fouriertransformierte F(f) bzw. F(Z) (komplexe Spektraldichte oder Spektrum genannt) eines aperiodischen Signals f(t), als eine kontinuierlich verteilte Funktion von Z = 2 S f, ergibt sich also zu: ´
F { f(t) } = F (f) = µ
∞
¶
j2πft
f ( t) e
dt bzw.
∞
´
F { f(t) } = F (ω) = µ ¶
∞
jωt
f ( t) e
dt
(4-4)
∞
Die Spekrallinien der periodischen Funktion f p(t) sind, bis auf einen Faktor, Stützstellen des kontinuierlichen Spektrums, d. h. des Betrages von F(f) der nichtperiodischen Funktion f(t). F(Z) kann auch in folgender Form dargestellt werden: j φ( ω )
F ( ω) = F ( ω) e
(4-5)
F ( ω) = A ( ω) heißt Amplitudenspektrum (Fourierspektrum) und φ ( ω) Phasenspektrum der Funktion.
f(t) bzw.
F ( ω)
2 heißt Energiespektrum der Funktion f(t).
Ist die komplexe Spektraldichte F(f) bzw. F(Z) bekannt, so kann hieraus auch die Zeitfunktion f(t) bestimmt werden. Sie ergibt sich aus der periodischen Funktion fp(t) durch den Grenzübergang T0 o f, wobei die Summe in ein Integral übergeht: ∞
f ( t) =
lim T0 o ∞
´ f ( t) = µ ¶
∞
fp ( t) =
j2πft
F ( f) e
¦
lim
T0 o ∞ n
j nπf0t· § © cn e ¹ =
∞
∞
lim
¦
T0 o ∞ n
∞
j nπf0t 1 · § ¨ T0 cn e ¸ , also T0 © ¹
df.
∞
Es gilt somit für die inverse Fourier-Transformation:
F
-1
{ F( f) } =
´ f ( t) = µ ¶
∞
j2πft
F ( f) e
df
(4-6)
∞
bzw. wegen Z = 2 S f und dZ = 2 S df
F
-1
{ F( Z) } = f ( t) =
∞
´ j ωt µ F ( ω) e dω 2 π ¶ ∞ 1
Seite 112
(4-7)
Fourier-Transformation Existenz des Fourierintegrals Das Fourierintegral existiert, wenn f(t) zumindest stückweise stetig ist und ´ µ ¶
∞
f ( t ) dt ∞
(4-8)
∞
gilt. Diese Bedingung der absoluten Integrierbarkeit wird von vielen Signalen und von Impulsantworten stabiler Systeme erfüllt. Ein Beispiel dafür ist der oben angeführte zeitlich begrenzte Rechteckimpuls, für den gilt: T1
´ 2 µ A dt = A µ 1 dt = A T 1 ∞ µ ∞ ¶ T1
´ µ ¶
∞
(4-9)
2
Diese Bedingung der absoluten Integrierbarkeit ist hinreichend, jedoch nicht notwendig. Einige technisch wichtige, zeitlich unbegrenzte, aber monoton abfallende Funktionen erfüllen diese Bedingung zwar nicht, haben aber eine Spektraldichte F(f). Ihre Fouriertransformierte existiert, wenn | f(t) / t | absolut integrierbar ist: ´ µ µ ¶
∞
f ( t)
dt ∞
t
für t ! 0
(4-10)
∞
Beispiel 4.2: Gesucht ist die Fouriertransformierte des Rechteckimpulses. Der Rechteckimpuls fp (t) = A rect(t,T1 ,T0 ) ist oben in Abbildung 4.1 dargestellt. Er ist zeitlich begrenzt auf den Bereich -T1 /2 d t d T1 /2 und besitzt die Impulshöhe A. Für die zugehörige Fouriertransformierte gilt: T1
T1 T1 · §¨ ´ 2 ¸ j 2 π f j 2 π f µ ´ A j2πft j 2πft 2 2 ¸ ¨ dt = F ( f) = µ Ae dt = A µ e ©e e ¹ ¶ j 2 π f µ ∞ T 1 ¶ ∞
2
§¨ jπfT1 jπfT1 ·¸ e e F ( f) = ¨ ¸ 2 j πf © ¹ A
komplexe Spektraldichtefunktion
Diese komplexe Spektraldichtefunktion kann als reelle Funktion dargestellt werden, denn es gilt für den Realteil: F ( f) =
A πf
sin π f T1 = A T1
Die Funktion
sin ( x) x
= AT
sin π f T1 π f T1
1 sinc π f T1
wird als sinc-Funktion (Spaltfunktion) bezeichnet. Sie ist in Mathcad bereits vordefiniert.
f 3 3 0.01 3
Bereichsvariable
Seite 113
Fourier-Transformation
5 4 5 T1 T1 T1
fn
Bereichsvariable
§¨ jπfT1 jπfT1 ·¸ e e F ( f) ¨ ¸ 2 j πf © ¹
komplexe Spektraldichtefunktion
F ( f) A T1 sinc π f T1
reelle Spektraldichtefunktion
A
Frequenzbereich 4 3 2 Re( F( f ) )
Abb. 4.3 1
4
2
0
2
4
1 f
Frequenzbereich 1
1
4
T1 F( f )
AT1
T1
2
F fn
Abb. 4.4 4
2
0
2
4
2 f fn
Die sinc-Funktion hat an der Stelle f = 0 ein Maximum: sinc(0) = A T1 . Den Grenzwert mit f o0 erhalten wir mit der Regel von L' Hospital:
lim fo0
ª « «A T 1 « « ¬
d df
º
»
sin π f T1
» = A T lim 1 » d fo0 π f T 1 » df ¼
π T1
Die Nullstellen f n von F(f) ergeben sich aus der Bedingung
sin π f n T1 = 0
d. h.
π f n T1 = n π
π T1 cos π f T1
also
fn =
n T1
= A T1
mit n = ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...
Der Abstand zwischen benachbarten Nullstellen 'f = 1/ T1 ist konstant und genauso groß wie der Abstand der ersten Nullstelle vom Maximum. Das Spektrum zeigt, dass zur Übertragung des Rechteckimpulses mit der Impulsbreite T1 theoretisch alle Frequenzen bis f = f nötig sind. In der Praxis müssen wir uns natürlich mit einer endlichen maximal übertragbaren Frequenz (Bandbreite B) begnügen, d. h., das Spektrum wird nur innerhalb der Bandbreite B übertragen. Am Ausgang eines Übertragungskanals tritt hierdurch eine entsprechend verzerrte Ausgangsfunktion auf.
Seite 114
Fourier-Transformation
4.2 Elementar- und Testsignale Als Träger einer dem Empfänger unbekannten Information hat das Signal zumeist Zufallscharakter. Sonderfälle solcher Zufallssignale sind die determinierten Signale, deren Verlauf durch einen geschlossenen Ausdruck beschreibbar ist. Signale mit besonders einfacher Darstellungsform werden als Elementarsignale bezeichnet. Es handelt sich hierbei um Signale, die auch technisch einfach erzeugt werden können. Das gilt in der Regel auch für die Testsignale, die zur Bestimmung der Systemeigenschaften verwendet werden können. Nachfolgend werden einige wichtige Elementar- und Testsignale behandelt. Sinus- und Kosinussignal: Sinus- und Kosinussignal in reeller Darstellung:
ª ¬
¼
f ( t) = A sin ª2 π f t t0 º bzw. f ( t) = A cos «2 π f t t0
¬
πº
(4-11)
»
2¼
Sinus- und Kosinussignal in komplexer Darstellung:
e
j 2πf t t0
f ( t) = A
e
j 2πf t t0
2 j
bzw. f ( t) = A
e
j
e
j 2πf t t0
π 2
j
e
j2πf t t0
e
π 2
2 (4-12)
Mit der Amplitude A, der Frequenz f, der Kreisfrequenz Z = 2 Sf, der Periodendauer T = 1/f, der Zeitverzögerung t0 und dem Nullphasenwinkel M0 = 2 S f t0 . Beispiel 4.3: Sinussignal mit Zeitverzögerung. t 0 0.01 2
Bereichsvariable
A 2
Amplitude
f 1
Frequenz und Periodendauer
T 1
Zeitverzögerung
t 0 0.2
f ( t) A sin ª2 π f t t0 º ¬ ¼ 2
Sinussignal
t0
t0 T
1 f ( t)
0
0.5
1
1 2 t
Seite 115
1.5
2
Abb. 4.5
Fourier-Transformation
Einheitssprung (Heavisidefunktion): Der Einheitssprung ist definiert durch: σ ( t) =
0 if t 0 1 2
(4-13)
if t = 0
1 if t ! 0 Dieses Signal hat die Sprunghöhe 1 und ist zeitlich unbegrenzt. In Mathcad gilt: σ ( t) = Φ ( t). Wir verwenden in weiterer Folge die Bezeichnung ). Wird als Eingangssignal f(t) eines linearen Übertragungssystems der Einheitssprung )(t) verwendet, so wird das dazugehörige Ausgangssignal als Sprungantwort des Systems bezeichnet. Beispiel 4.4: Bereichsvariable
t 3 3 0.1 10
t0 1
Zeitverzögerung
2
ĭ(0) = 0.5 wir bei der gegebenen Bereichsvariablen nicht angezeigt!
Φ( t)
Φ t0 t 0.5
1
Φ t t0 0.5
5
0
5
t
10
15
Abb. 4.6
Der Rechteckimpuls: Er wurde schon weiter oben behandelt. Den Rechteckimpuls können wir uns aber auch aus zwei zeitlich verschobenen Einheitssprüngen mit der Sprunghöhe 1/T1 bzw. -1/T1 zusammengesetzt denken: f rec ( t) =
1 T1
§
Φ ¨t
©
T1 ·
§ T1 · 1 ¸ ¸ Φ ¨t 2 ¹ T1 2 ¹ ©
(4-14)
Der so eingeführte Rechteckimpuls hat die Impulsdauer T1 und die Impulshöhe 1/T1 . Die Impulshöhe wird aus Normierungsgründen zu 1/T1 gewählt. Damit ergibt sich für die (normierte) Impulsfläche der Wert 1. Wird nun unter Beibehaltung dieses konstanten Wertes für die Impulsfläche die Impulsdauer T1 verringert, so muss die zugehörige Impulshöhe 1/T1 anwachsen (Abb. 4.6). Die Sprungfunktion V = ) lässt sich natürlich auch im Frequenzbereich anwenden: )( f - f0 ) beschreibt einen idealen Hochpass und 1- )( f - f0 ) = )( f0 - f ) einen idealen Tiefpass.
Beispiel 4.5: Darstellung des Rechteckimpulses. T1 8
Impulsdauer
Seite 116
Fourier-Transformation
Bereichsvariable
t 10 10 0.1 10
frec t T1
§
1 T1
Φ ¨t
©
T1 ·
§ T1 · 1 ¸ ¸ Rechteckimpuls Φ ¨t 2 ¹ T1 2 ¹ © T1
frec t T1
1.5
T1
2
T1
2
´ 2 µ 1 dt = 1 f t T1 dt = µ T1 µ ∞ µ T ¶ 1
´ µ ¶
1
frec ( t 4) 0.05 0.5
frec ( t 1) 0.2
∞
2
1 T1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Abb. 4.7
t
Dirac-Impuls: Neben dem Einheitssprung (Heavisidefunktion )) spielt der Dirac-Impuls G(t) eine besondere Rolle (kurzer und starker Impuls zum Zeitpunkt t = 0 s wie z. B. Spannungsstoß, Kraftstoß, punktförmige Ladung). Der Dirac-Impuls ist ein idealisierter, technisch nur näherungsweise darstellbarer Impuls. Er tritt zwar in der Natur nie exakt auf (physikalische Größen können keine unendlichen Werte annehmen), bei der mathematischen Beschreibung von Systemen bietet er aber vielfach sehr bequeme und genaue Näherungen an das tatsächliche dynamische Verhalten. Die Reaktion eines Systems auf die Impulsfunktion als Eingangsgröße heißt Impuls-Antwort bzw. Gewichtsfunktion. Mathematisch wird er auch als Ableitung des Einheitssprungs definiert, was wegen der Unstetigkeit von )(t) allerdings Schwierigkeiten bereitet. Wir stellen uns daher besser die Dirac-Funktion als Grenzwert des Rechteckimpulses mit der Impulsbreite T1 für T1 o 0 vor, den ein "differenzierendes System" liefert. Für messtechnische Zwecke kann G(t) näherungsweise durch einen sehr schmalen Rechteckimpuls ersetzt werden. In Mathcad gilt für die symbolische Rechnung G(t) = '(t). Im Grenzwert T1 o 0 wird sich für einen Rechteckimpuls der Breite T1 eine unendlich große Impulshöhe einstellen. Der Grenzwert δ ( t) =
lim T1 o 0
§¨ 1 § T1 · 1 § T1 · ·¸ ¸ ¸ Φ ¨t Φ ¨t ¨© T1 © 2 ¹ T1 2 ¹¸ © ¹
(4-15)
wird als Dirac-Impuls (G-Impuls oder Dirac-Stoß) bezeichnet. Er hat die Eigenschaften: ´ µ ¶
∞
δ ( t ) dt = 1
( δ ( t ) = ∞ für t = 0 und δ ( t ) = 0 für t z 0)
(4-16)
∞
Der Dirac-Impuls stellt keine Funktion dar, sondern eine Distribution! Eng verknüpft ist der Dirac-Impuls mit der Heavisidefunktion: ´ Φ ( t) = µ ¶
t
∞
δ ( τ) dτ
δ ( t) =
d dt
Φ ( t)
Seite 117
(4-17)
Fourier-Transformation
Leiten wir nämlich eine unstetige Funktion ab, die also auf unendlich kurzem Intervall ihren Funktionswert um einen endlichen Betrag ändert, so ist der Differentialquotient hier selbst unendlich. Weil )(t) an allen anderen Stellen als dem Sprung konstant ist, verschwindet dort die Ableitung und damit G(t). Daraus wird auch ´ µ ¶
∞
δ ( t ) dt = 1
(4-18)
∞
ersichtlich ()(t> 0) = 1). Der Dirac-Impuls lässt sich natürlich auch im Frequenzbereich anwenden: ´ µ ¶
∞
δ ( f) df = 1 ( δ ( f ) = ∞ für f = 0 und δ ( f ) = 0 für f z 0)
(4-19)
∞
Mit Z = 2 Sf gilt auch: ∞
δ ( f)
´ δ ( ω) = δ ( ω) dω = und µ ¶ 2 π ∞
´ µ µ ¶
∞
∞
δ ( f) 2 π
d2π f = 1
(4-20)
Der G-Impuls kann auch im Zeitbereich fouriertransformiert werden: ´ Δ ( f) = µ ¶
∞
j ωt
δ ( t) e
∞
´ dt = µ ¶
∞
j 0
δ ( t) e
j 0 ´
dt = e
∞
∞
µ ¶
δ ( t ) dt = 1
(4-21)
∞
Für eine allgemeine Funktion f(t) gilt nämlich: f(t) G(t) = f(0) G(t) ( G(t) ist nur bei t = 0 von null verschieden). Die Wirkung des G-Impulses auf eine Zeitfunktion f(t) ergibt sich damit dann aus: ´ µ ¶
∞
∞
´ δ ( t) f ( t) dt = f ( 0) µ ¶
∞
δ ( t) dt = f ( 0)
(4-22)
∞
Diese Beziehung heißt Ausblendeigenschaft des G-Impulses. D.h. bei der Integration über das Produkt einer Funktion an der Stelle t = 0 stetigen Funktion f(t) mit dem G-Impuls G(t) wird nur der Funktionswert f(0) an der Stelle t = 0 ausgeblendet. Für einen um t0 zeitverschobenen Dirac-Impuls G(t - t0 ) lautet dann die Ausblendeigenschaft des G-Impulses: ´ µ ¶
∞
∞
´ δ t t 0 f ( t ) dt = f t 0 µ ¶
∞
∞
δ ( t ) dt = f t 0
Bemerkung: In der Symbol-Engine von Mathcad ist der Dirac-Impuls G(t) durch '(t) bzw. '(Z) definiert. Der Dirac-Impuls kann natürlich nicht als Funktion (z. B. durch f(t) := '(t)) dargestellt werden!
Beispiel 4.6: 1
T1
Impulsdauer und Zeitverschiebung
t0 3
10
Bereichsvariable
t 5 5 0.1 5
frec t T1
1 T1
§
Φ ¨t
©
T1 ·
§ T1 · 1 ¸ ¸ Rechteckimpuls Φ ¨t 2 ¹ T1 2 ¹ © Seite 118
(4-23)
Fourier-Transformation
Nachgebildeter Dirac-Impuls und nachgebildeter verschobener Dirac-Impuls.
15
frec t T1
Mit Mathcad symbolisch ausgewertet:
1
10
T1
´ µ ¶
frec ( t 1)
∞
´ µ ¶
Δ ( t ) dt o 1
∞
frec t t0 T1
5
´ µ ¶ 0
2
4
6
∞
´ µ ¶
Δ t t 0 dt o 1
∞
´
∞
j ωt
δ ( t) e
¶
Δ t t01 f1 ( t) dt o f1 t 01
∞
F { G(t) } = F (ω) = µ
t
Δ ( t) f 1 ( t) dt o f 1 ( 0)
∞
∞
6 4 2
∞
j ω0
dt = e
=1
∞
Abb. 4.8 Beispiel 4.7: Periodische Funktionen erzeugen immer diskrete Spektren.
Jede periodische Funktion f p (t) lässt sich als komplexe Fourierreihe darstellen: ∞
jn2πf0t· § © cn e ¹
¦
fp ( t) =
∞
n j 2πf0t
hat Fourier-Transformation
e
∞
n
∞
§ § jn2πf0t· · ¹¹ = © cn F © e
F { fp(t) } = ¦
Auswertung mit Mathcad
2 π Δ ω 2 π f0
∞
¦
n
cn δ f n f0
= F ( f)
∞
mit δ ( f) = Δ ( f) δ ( ω) und Δ ( ω) = 2π
Das heißt, die Fouriertransformierte von f p (t) ist immer eine diskrete Funktion über der Frequenz. Ein Beispiel ist die Fouriertransformierte der Kosinusfunktion. Sie besteht aus zwei Dirac-Impulsen bei den Frequenzen r f0 (siehe dazu Einführung in Mathcad). Beispiel 4.8: ∞
Für die Dirac-Impulsfolge f p ( t) =
¦
n T0
δ t n T0 soll die Fouriertransformierte bestimmt werden.
∞ T0
´ 2 ´ 2 µ jn2πf0t j n2πf0t 1 µ 1 cn = µ fp ( t) e dt = µ δ ( t) e dt = T0 µ T0 µ T T0 ¶ 0 ¶ T0 1
F ( f) =
1 T0
2
2
∞
¦
n
Die Integralauswertung ergibt den Wert 1!
δ t n T0
Jede Frequenzkomponente besitzt also die gleiche Amplitude.
∞
Seite 119
Fourier-Transformation
4.3 Eigenschaften der Fourier-Transformation Der Umgang mit der Fourier-Transformation kann durch Sätze vereinfacht werden. Nachfolgend werden einige wichtige angeführt. Linearität (Superpositionssatz): Aus zwei Zeitfunktionen f 1 (t) und f 2 (t) wird mit den Konstanten (Amplituden) A1 und A2 eine neue Funktion f(t) gebildet in der Form f(t) = A1 f1 (t) + A2 f2 (t). Die zugehörige Fouriertransformierte ergibt sich dann zu: ´
F { A1 f 1 ( t ) A2 f 2 ( t ) } = F ( f ) = µ
∞
¶
∞
´ A1 µ ¶
=
∞
j 2πft
f1 ( t) e
∞
´ dt A 2 µ ¶
A1 f1 (t) A2 f2 (t) e j2πft dt =
∞
j2πft
f2 ( t) e
d t = A 1 F1 ( f ) A 2 F 2 ( f )
∞
F {A1 f1(t) + A2 f2(t) } = A1 F1(f) + A2 F2(f)
(4-24)
Die Fouriertransformierte einer Summe von Zeitfunktionen ist gleich der Summe der Fouriertransformierten der einzelnen Zeitfunktionen. Allgemein gilt für n Zeitfunktionen: n
F{
n
Ak f k ( t ) } =
¦
k
1
¦ Ak Fk( f)
k
(4-25)
1
Beispiel 4.9: Fouriertransformierte eines Rechteckimpulses mithilfe von Mathcad:
f rec ( t) =
T1
Φ ¨t
T1
§
1
e
§
1
©
Φ ¨t
T1 ·
©
§ T1 · 1 ¸ ¸ Φ ¨t 2 ¹ T1 2 ¹ ©
T1 ·
§ T1 · 1 ¸ ¸ Φ ¨t 2 ¹ T1 2 ¹ ©
oder
frec1 t T1
§ T1ωj · ©e 1¹ ( π ω Δ ( ω) j ) T1 ω
vereinfacht auf
f rec1 ( t T1)
Redefinition
fourier t o vereinfachen
©
T1 ·
§ T1 · 1 ¸ ¸ Φ ¨t 2 ¹ T1 2 ¹ ©
§ T1 ω · ¸ ( π ω Δ ( ω) j ) © 2 ¹
2j sin ¨
oder: t t
T1
§
Φ ¨t
hat Fourier-Transformation
T1ωj 2
1
§ T1 ω · ( π ω Δ ( ω) j ) ¸ © 2 ¹
2j sin ¨
T1 ω
Seite 120
T1 ω
Fourier-Transformation
Für ω z 0 ist aber der Dirac-Impuls Δ ( ω) = 0 , daher ergibt sich für die Fouriertransformierte des Impulses:
§ T1 ω · ¸ © 2 ¹
sin ¨
F ω T1 = 2
Fouriertransformierte (siehe dazu Beispiel 4.2)
T1 ω
Zeitverschiebung (Verschiebungssatz): Wird ein Signal f(t) auf der Zeitachse um eine feste Zeit t0 verzögert, so gilt für die zugehörige Fouriertransformierte: ´
F { f t t0 } = F (f) = µ
∞
j2πft
f t t0 e
¶
∞
dt
(4-26)
Mit der Substitution t - t0 = x ergibt sich:
F { f (x) } =
´ µ µ ¶
∞
j 2πft0
f ( x) e
j 2πfx
e
j2πft0 ´
dx = e
∞
µ ¶
j2πfx
f ( x) e
j 2πft0
dx = e
F ( f).
∞
∞
Damit gilt:
F { f(t - t0) } =
F(f) e- j 2 S f t0
(4-27)
Hier ist F(f) die Fouriertransformierte des unverzögerten Signals f(t) und e- j 2 S f t0 ein Verschiebungsfaktor. Ein zeitverschobenes Signal könnte z. B. durch eine ideale Verzögerungsleitung (Laufzeitglied) verursacht werden. Es zeigt sich, dass eine Verzögerung des Signals f(t) nur zum Phasenspektrum arg(F(f)) die lineare Phase -2 Sf t0 addiert, während das Betragsspektrum unverändert bleibt, d. h., das Signal f(t) wird formgetreu übertragen.
Beispiel 4.10: Fouriertransformierte der Sprungfunktion mithilfe von Mathcad:
Φ ( t)
hat Fourier-Transformation
π ω Δ ( ω) j ω ωt0j
Φ t t0 Δ1 ( ω)
hat Fourier-Transformation
0 if ω z 0
e
( π ω Δ ( ω) j ) ω
Näherungsfunktion für den Dirac-Impuls
10000 otherwise t0 1
mit
Verzögerungszeit
Seite 121
Δ ( ω) =
Δ ( f) 2 π
Fourier-Transformation
ωt0j
F ( ω)
e
( π ω Δ1 ( ω) j )
Fouriertransformierte (Spektralfunktion)
ω
Redefinition
ω ω ωt0j
e
( π ω Δ ( ω) j ) ω
Im( ω )
o
e
π ω Δ ( ω) j
Betrag der Fouriertransformierten
ω
Bereichsvariable
ω 0.02 0.02 0.001 0.02 60 40
F( ω ) 15
10
Abb. 4.9
20
3
1u 10
3
0
1u 10
ω
Ähnlichkeitssatz (Zeitskalierung): Der Ähnlichkeitssatz (Dehnung) ist wichtig für die Behandlung aller Aufgaben, bei denen eine Zeitnormierung der Signale durchgeführt werden muss. Mit der Substitution x = a t gilt:
F { f ( a t) } =
´ µ ∞ ´ j 2πft µ µ f ( a t) e dt = µ ¶ ∞ ¶
∞ j 2πf
f ( x) e
x a
1 a
dx =
1 a
§f· ¸ © a¹
F¨
∞
F { f ( a t) } =
´ µ ∞ ´ j 2πft µ µ f ( a t) e dt = µ ¶ ∞ ¶
∞ j2πf
f ( x) e
mit a > 0.
x a
1 a
dx =
∞
1 a
§f· ¸ mit a < 0. © a¹
F¨
Damit gilt:
F { f(a t) } =
1 a
§f· ¸ © a¹
F¨
(für positive und negative a)
(4-28)
Mit a = -1 ergibt sich die Fouriertransformierte zeitgespiegelter Signale:
F { f(a t) } =
F ( f) (dabei gilt F(- f ) = F*( f ))
(4-29)
Der Ähnlichkeitssatz charakterisiert einen wichtigen Zusammenhang (z. B. für die Nachrichtenübertragung): Je kürzer ein Signal im Zeitbereich ist (kleines a), desto breiter ist das Fourierspektrum des Signals und umgekehrt.
Seite 122
Fourier-Transformation
Beispiel 4.11: Fouriertransformierte einer geraden beidseitigen Exponentialfunktion mithilfe von Mathcad: Redefinitionen
ω ω
t t
annehmen a ! 0 o fourier t
a t
e
2 a 2
2
a ω
fourier t
2
2 a ω ersetzen ω = o 2 2 a a ω
t
e
teilweise Anwendung des Ähnlichkeitssatzes
vereinfachen
F ( ω) =
§ 2 a2 · ¸ 2¸ a ¨ 2 ©a ω ¹ 1
¨
teilweise Anwendung des Ähnlichkeitssatzes
vereinfacht auf
F ( ω) =
2 a 2
Fouriertransformierte von e -a |t|
2
a ω
Der Imaginärteil der Fouriertransformierten ist null, weil f gerade ist.
Frequenzverschiebung (Modulationstheorem): Analog zur obigen Herleitung soll nun die zu dem um f0 verschobenen Spektrum F(f - f0 ) zugehörige Zeitfunktion bestimmt werden:
F
-1
{ F f f0 } =
´ µ ¶
∞
j2πft
F f f0 e
∞
df
(4-30)
Mit der Substitution f - f0 = x ergibt sich
F
-1
{ F ( x) } =
´ µ µ ¶
∞
j2π x f0 t
F ( x) e
j 2πf0t ´
dx = e
∞
∞
µ ¶
j2πxt
F ( x) e
j2πf0t
dx = e
f ( t).
∞
Damit gilt:
F- - 1{ F(f - f0) } =
f(t) e j 2 Sf0 t
(4-31)
Umgekehrt gilt dann:
F { f(t) e j 2 S f t0 } =
F(f - f )
(4-32)
0
Seite 123
Fourier-Transformation
Eine Verschiebung des Spektrums F(f) um die feste Frequenz f0 führt also im Zeitbereich zu einer Multiplikation der Zeitfunktion f(t) mit e j 2 S f t bzw. umgekehrt: Eine Multiplikation des Signals f(t) mit e j 2 S f t (Träger- oder Oszillatorsignal) verschiebt das Spektrum des Signals S(f) lediglich um eine feste Frequenz f0 . Dieses Modulations- bzw. Mischerprinzip, d. h. die Verschiebung des Basisbandes F(f) in eine höhere Frequenzlage (f - f0 ), ist in der Nachrichtenübertragung von großer Bedeutung.
Beispiel 4.12: Am Eingang eines multiplikativen Mischers liegt ein Rechteckimpuls mit f(t) = A f rec(t,T1 ) (wie oben angegeben) an. Mit f 0 (t) = A0 cos(2 S f0 t) liegt am Ausgang des Mischers mit der Mischerkonstante kM folgendes Signal an:
§¨ j2πf0t j2πf0t ·¸ e e fM ( t) = k M f ( t) f 0 ( t) = k M A frec t T1 A0 ¨ ¸ 2 © ¹ bzw. umgeformt:
fM ( t) = kM
A A0 2
§ ©
j 2πf0t
¨ frec t T1 e
j2πf0t·
¸ ¹
frec t T1 e
Die Fouriertransformierte lautet damit mithilfe des Modulationstheorems:
F ( f) = k M
A A 0 T1 2
ªsinc ªπ T1 f f0 º sinc ªπ T1 f f0 ºº ¬ ¬ ¼ ¬ ¼¼
In diesem Fall wird das Spektrum F(f) des Signals f(t) lediglich um ± f0 verschoben. A 2 T1
Amplituden
A0 1 1
Impulsbreite
4
kM 1
Mischfaktor
f0 10
Frequenz
Basisfrequenzspektrum
F1 ( f ) A T1 sinc π f T1
F ( f) kM
A A 0 T1 2
ªsinc ªπ T1 f f0 º sinc ªπ T1 f f0 ºº ¬ ¬ ¼ ¬ ¼¼
5 5 5 f f0 f0 0.01 f0 T1 T1 T1
Bereichsvariable
Seite 124
Frequenzspektrum des Mischerausgangssignals
Fourier-Transformation
1
1
T1
T1 AT1
0.5 F1( f )
Abb. 4.10 40
20
0
20
40
0.5 f f0 0.4
F( f ) kM
kM
f0
AA0T1 2 AA0T1 2
sincªπT1 f f0 º ¬ ¼ sincªπT1 f f0 º ¬ ¼
kM
0.2
AA0T1 2
Abb. 4.11
40
20
0
20
40
0.2 f
Verschiebung des Basisbandes in eine höhere Frequenzlage. Differentiation im Zeitbereich:
Nach (4-7) gilt:
F
-1
{ F(f) } =
´ f ( t) = µ ¶
∞
j 2πft
F ( f) e
df.
∞
Daraus erhalten wir durch Differentiation: ´ f ( t) = µ µ dt ¶
∞
d
d dt
F (f) ej2πft df = ´µ¶
∞
j2πft
j 2 π f F ( f) e
∞
∞
´ df = j 2 π f µ ¶
∞
j2πft
F ( f) e
df
∞
Es gilt daher:
F { f '(t) } =
( j 2 S f ) F(f)
(4-33)
bzw. für die n-te Ableitung:
F { f(n)(t) } =
( j 2 S f )n F(f)
(4-34)
Seite 125
Fourier-Transformation
Beispiel 4.13: Fouriertransformierte einer abgeleiteten Funktion mithilfe von Mathcad: ω ω
t t
β t
d dt
f f
Redefinitionen
fourier t o ersetzen ω = 2 π f
( β t)
β Δ ( 1 f) j
Fouriertransformierte der Funktion
2 π
Fouriertransformierte der abgeleiteten Funktion
fourier t
o β Δ ( f) ersetzen ω = 2 π f
Vergleich: F { f '(t) } = ( j 2 S f ) F(f) Faltung im Zeitbereich: Die Faltung der Funktion f 1 (t) mit der Funktion f2 (t) ist definiert als:
g ( t) =
´ f1 ( t) * f2 ( t) = µ ¶
∞
f1 ( τ) f2 ( t τ) dτ
(* bedeutet das Faltungssymbol)
(4-35)
∞
Wir können uns die Faltung als Gewichtung der Funktion f1 durch die Funktion f2 in der Umgebung von t (Schnittfläche von f 2 (t - W) mit f1 (W)) vorstellen. Siehe dazu Beispiel 4.14. Die Fouriertransformierte des Faltungsproduktes f 1 (t) * f2 (t) ergibt sich zu:
F { f1 ( t) * f2 ( t) } =
´ µ µ µ ¶
∞
∞
§´ ∞ · j2πft ¨µ f1 ( τ) f2 ( t τ) dτ¸ e dt ¨¶ ¸ © ∞ ¹
(4-36)
Durch Vertauschung der Integrationsgrenzen erhalten wir:
F { f1 ( t) * f2 ( t) } =
´ µ µ µ ¶
∞
∞
· §´ ∞ j 2πft ¸ ¨µ f 1 ( τ) f2 ( t τ) e dt dτ ¨¶ ¸ © ∞ ¹
(4-37)
Bei der Integration über t ist f1 (W) konstant, daher gilt:
F { f1 ( t) * f2 ( t) } =
´ µ µ µ ¶
∞
∞
∞ § · j 2πft ¸ ¨ f ( τ) ´ dτ µ f ( t τ ) e d t 2 ¨1 ¸ ¶ ∞ © ¹
Seite 126
(4-38)
Fourier-Transformation
Das innere Integral von (4-32) beschreibt die Fouriertransformierte von f2 (t - W):
F { f2(t - W) } = e- j 2 Sf W F2(f)
(4-39)
Damit gilt:
F { f1 ( t) * f2 ( t) } =
´ µ ¶
∞
∞
ªf ( τ) F2( f) e j2πfτº dτ = F2( f) ´ µ ¬1 ¼ ¶
∞
j 2πfτ
f1 ( τ) e
dτ
∞
Somit gilt für die Fouriertransformierte des Faltungsproduktes:
F { f1(t) * f2(t) } =
F1(f) . F2(f)
(4-40)
Beispiel 4.14: Es soll die Reaktion u a (t) einer RC-Schaltung (Abb. 4.12) auf einen rechteckförmigen Spannungsimpuls ue (t) mit der Impulsantwort g(t) (E = 1/(RC)) der RC-Schaltung bestimmt werden. Anschließend soll noch die Übertragungsfunktion der RC-Schaltung bestimmt werden.
Abb. 4.12 Die Lösung liefert das Faltungsintegral. Zur Auswertung benötigen wir g(t - W). Diese Funktion ergibt sich aus g(W) durch Spiegelung an der Ordinate: g(-W) = E e+EW )(-W). g(t - W) ergibt sich aus g(-W) wegen g(t - W) = g(-(W- t)) durch Verschieben von g(-W) um t auf der W-Achse (t < 0 Rechtsverschiebung und t > 0 Linksverschiebung). ´ ua ( t) = µ ¶
∞
Die Reaktion ist die Schnittfläche von g(t - W) mit ue (W).
ue ( τ) g ( t τ) dτ
∞
a) Für t < 0 ergibt sich wegen ue (W) = 0 für das Produkt ue (W) g(t - W) = 0 und damit ua (t) = 0. b) Für 0 d t d T1 ist das Produkt ue (W) g(t - W) z 0 im Bereich 0 < W < t. Damit gilt: t
´ β ( t τ) βt ua ( t) = µ U0 β e dτ = U0 1 e ¶
für 0 d t d T1 .
0
Seite 127
Fourier-Transformation
c) Für t t T1 ist das Produkt ue (W) g(t - W) z 0 nur im Bereich 0 < W < T1 . Es gilt somit: T ´ 1 § βT1 · βt β ( t τ) µ dτ = U0 © e ua ( t) = U0 β e 1¹ e µ ¶
für t t T1 .
0
R 500 Ω
Ohm'scher Widerstand
C 30 μF
Kapazität
ms 10
3
1
β
β
R C
T1
Einheitendefinition
s
1
T1
β
1
0.067
Einflussfaktor
ms
gewählte Impulsbreite (Sonderfall)
15 ms
Wert des Spannungsimpulses
U0 100 V
ue t T1 U0 Φ ( t) Φ t T1 βt
g ( t) β e ua ( t)
Rechteckimpuls
Impulsantwort
Φ ( t)
§
βt
U0 1 e
βT1
U0 © e
·
if 0 d t d T1 βt
1¹ e
if t t T1
Reaktionsspannung
0 V otherwise τ 20 ms 20 ms 0.001 ms 40ms
Bereichsvariable
Impulsantwort und gespiegelte Impulsantwort 0.1
βms
g( τ)ms
0.05
g( τ)ms
20
10
0 τ ms
Abb. 4.13
Seite 128
10
20
Fourier-Transformation
t2
t 1 2 ms
t 2 t2 ms
t2
7 ms
Zeitverschiebung um t
t3 20 ms Bereichsvariable
τ1 0 ms 0.01 ms T1
verschobene Impulsantwort u. Spannungsimpuls 100
ue τ T1
V
Schnittfläche von g(t 2 - W) mit ue (W)
gª τ t2 º ¬ ¼ gª τ 1 t2 º ¬ ¼ gª τ t3 º ¬ ¼
β
gª τ t1 º ¬ ¼
1
s 50
20
0
20 τ
τ
τ
40
τ1
60
τ
ms ms ms ms ms
Abb. 4.14 Bereichsvariable
t 10 ms 10 ms 0.001 ms 50ms
Reaktionsspannung im Zeitbereich 80
T1 ms
ua ( t)
60
ua t2 ua t3 ua t1
40
g T1 1
20
20
s
0
20 t
t1
40 t2
t3
ms ms ms ms
Abb. 4.15
Seite 129
60
Fourier-Transformation β β
t t
R R
Redefinition
C C
Die Impulsantwort existiert für t > 0 und wird beschrieben durch: βt
g ( t) = β e
Φ ( t)
Damit ergibt sich für die Übertragungsfunktion der RC-Schaltung: ´ G ( f) = µ ¶
∞
j 2πft
g ( t) e
∞
G ( f) =
´ dt = µ ¶
∞
βt
β e
j 2πft
e
0
β β j 2 π f
∞
( β j 2πf )t
e
dt
0
1
=
´ dt = β µ ¶
1 j 2 π f
=
1
1 1 j 2 π f R C
β
Das gleiche Ergebnis für die Übertragungsfunktion resultiert auch direkt aus der Betrachtung komplexer Wechselspannungen (Z = 2 S f): 1
G ( f) =
G ( f)
ua ue
j ωC
=
=
1
R
1 1 j ω R C
1 ω C
1 Komplexe Übertragungsfunktion
1 j 2 π f R C
1
A ( f)
G ( f)
A ( f)
2 annehmen R ! 0 C ! 0 f ! 0 2 2 2 2 o 4 π C R f 1 vereinfachen
φ ( f) arg ( G ( f) )
Phasengang
R 500 Ω
Ohm'scher Widerstand
C 30 μF
Kapazität
β
1 R C
β
0.067
1 ms
f 0 Hz 0.01 Hz 1000 Hz
Einflussfaktor
Bereichsvariable
Seite 130
Amplitudengang
Fourier-Transformation
Amplitudengang 1 0.8 0.6 A( f ) 0.4
Abb. 4.16
0.2 0
0
200
400
600
800
1000
f Hz
Phasengang 0 0.5 φ( f )
1 π
1.5 2
Abb. 4.17
2 0
200
400
600
800
1000
f Hz
Das Ausgangssignal ua (t) unterscheidet sich vom Eingangssignal ue (t) in der Amplitude, d. h. |G(f)| und weist gegenüber ue (t) die Phasenverschiebung M(f)= arg(G(f)) = -arctan(2 S f R C) auf. Energie-Theorem von Rayleigh: Für die Energie eines Impulses gilt: ´ E=µ ¶
∞
f ( t)
2
∞
´ dt = µ ¶
∞
∞
´ f ( t) f *(t) dt = µ ¶
∞
∞
´ F ( x) F* ( f x) dx = µ ¶
∞
F ( x) F* ( x) dx (für f = 0) (4-41)
∞
Substituieren wir wieder x mit f(x o f), so ergibt sich die gesamte Energie aus: ´ E=µ ¶
∞
f ( t)
2
∞
´ dt = µ ¶
∞
F ( f)
2 df
(4-42)
∞
Beispiel 4.15: Bestimmen Sie die Energie des oben angegebenen Rechteckimpulses f rec(t,T1 ) (Beispiel 4.2) im Zeitbereich und aus dem Spektrum. T1
´ E=µ ¶
∞
∞
frec t T1
2
´ 2 µ 2 2 A dt = A T 1 dt = µ µ T ¶ 1 2
Seite 131
Fourier-Transformation
Aus dem Spektrum ergibt sich die gleiche Energie: ´ E=µ ¶
∞
∞
´ µ 2 F ( f) df = µ µ ¶
∞
A T1 2
∞
f f
T1 T1
´ µ µ 2 µ π T1 ¶
A T1
2
2
sin π f T1 f
2
π T1
Redefinitionen
A A
∞
∞
df = A T1 2 ´µ sin π f T1 df = A2 π µ 2 2 f π π f T1 2 π T1 2 µ¶ ∞
sin π f T1
2
df annehmen T1 ! 0 o A T1
mit Mathcad ausgewertet
∞
4.4 Fast-Fourier-Transformation Die Fourieranalyse hat heute eine besondere Bedeutung in der praktischen Auswertung in Form der Fast-Fourier-Transformation (FFT - siehe auch Abschnitt 3.1), die einem zeitdiskreten Signal f(t) der jetzt normierten Zeitvariablen t n = n 't (n = 0, 1, ..., N-1 und 't = 1) ein frequenzdiskretes Spektrum an den Stellen k = 0, 1, ..., N-1 der jetzt normierten Frequenzvariablen f = k/N ('f = 1/(N 't) = 1/N) zuordnet. Durch die Diskretisierung des Fourierintegrals über ein endliches Intervall mit N-Punkten ergibt sich:
´ F ( f) = µ ¶
∞
j2πft
f ( t) e
k § j2π n· ¨ N ¸ © yn e ¹
N 1
dt
| Fk =
∞
¦
n
(k = 0, 1, ..., N-1)
(4-43)
0
Die Rücktransformation erhalten wir aus: ∞
´ j2πft f ( t) = µ F ( f) e dω 2 π ¶ ∞ 1
| yn =
1 N
N1
¦
k
k § j 2π n· ¨ N ¸ © Fk e ¹(n = 0, 1, ..., N-1)
(4-44)
0
Der Transformationsalgorithmus ist für N = 2m besonders effizient. Hierdurch werden die Grenzen zur Fourierreihe verwischt, denn die diskreten Spektren gehören zu Funktionen, die auf der Zeitachse mit N und der Frequenzachse mit 1 periodisch sind. Bemerkung: Vergleichen wir die in Abschnitt 3.1 angeführten Funktionen FFT und IFFT von Mathcad, so gilt: F = N FFT ( y)
(4-45)
und y=
1 N
IFFT ( F)
(4-46)
Seite 132
Fourier-Transformation Beispiel 4.16: Verschiedene Signale sollen zuerst mit einer Abtastfrequenz fA = 8 kHz und N = 1024 Abtastzeitpunkten abgetastet werden. Die abgetasteten Werte sollen dann fouriertransfomiert und grafisch dargestellt werden. Über die Rücktransformation soll das Ausgangssignal wiederhergestellt werden. ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
m 10
Exponent
m
Na 2
Na
Anzahl der Abtastwerte
1024
ms 10
3
Script für das unten angeführte Listenfeld: Rem Initialize List Box ListBox.ResetContent()
Bereichsvariable
n 0 Na 1
Einheitendefinition
s
Abtastperiode
Rem Add Strings here as needed ListBox.AddString("Modulierte Sinusschwingung") ListBox.AddString("Rechteck Impuls") ListBox.AddString("Geträgerter Impuls") ListBox.AddString("Gefilteter Impuls") ListBox.AddString("Gefilteter Impuls, geträgert")
tn n TA
Abtastzeitpunkte
Rem Initialize Selection If desired ListBox.CurSel = 0
f 200 Hz
Frequenz
ω 2 π f
Kreisfrequenz
τ 0.001 s
Zeitfaktor
k 10
Faktor
Abtastfrequenz (Abtastrate)
fA 8 kHz 1
TA
fA
TA
0.125 ms
Sub ListBoxEvent_Start() End Sub Sub ListBoxEvent_Exec(Inputs,Outputs) Outputs(0).Value = ListBox.CurSel + 1 End Sub Sub Lis tBoxEvent_Stop() Rem TODO: Add your code here End Sub
Listenfeld zur Auswahl verschiedener Signale: z
Modulierte Sinusschwingung Rechteck Impuls Geträgerter Impuls Gefilteter Impuls Gefilteter Impuls, geträgert
f Na t ω k τ z
z
Sub Lis tBox_SelChanged() ListBox.Recalculate() End Sub
1
Sub ListBox_DblClick() ListBox.Recalculate() End Sub
for n 0 Na 1
yn m 0.5 sin ω tn sin k ω tn
if z = 1
if z = 2 yn m wenn 0 s tn 5 τ 1 0 sin k ω tn
yn m wenn 0 s tn 3 τ 1 0
Unterprogramm zur Auswahl verschiedener Signale.
2
tn
4 2
yn m e
10
s
if z = 4
2
tn
4 2
yn m e
10
s
sin k ω tn
if z = 5
return y
y f Na t ω k τ z
if z = 3
Vektor der abgetasteten Funktionswerte
Seite 133
Fourier-Transformation
Zeitfunktion 0.6 0.4 0.2 yn 0.2
0
5
10
15
20
0.4 0.6 tn ms
Abb. 4.18 m 1
Na
k 0
df
513 Elementen zurück)
Fouriertransformierte (FFT liefert einen Vektor mit 1 2
F Na FFT ( y)
Index bis zur halben Abtastfrequenz
2 1
df
Na TA
7.813
1
Frequenzauflösung
s
Frequenzvektor
f k k df
Betrag des Frequenzspektrums
Phasenspektrum
100
4
80 Fk
2
60
arg Fk
40
0
20 0
1000
2000
3000
1000
2000
fk
Abb. 4.19 y1
Na
IFFT ( F)
4000
2
4000
fk
1
3000
Abb. 4.20
inverse Fourier-Transformation Rücktransformierte und Originalfunktion
0.6 0.4 y1n yn
0.2 0.2
0
5
10
0.4 0.6 tn ms
Abb. 4.21
Seite 134
15
20
Laplace-Transformation
5. Laplace-Transformation Die Laplace-Transformation hat für die Analyse und den Entwurf linearer, zeitinvarianter, dynamischer Systeme eine große praktische Bedeutung erlangt. Sie gehört wie die Fourier-Transformation zur Gruppe der Integraltransformationen. Dabei müssen wir aus mathematischer Sicht zwischen der einseitigen und der zweiseitigen Laplace-Transformation unterscheiden. Da in den Anwendungen der linearen Systemtheorie die zweiseitige Laplace-Transformation in ihrer allgemeinen Form kaum benutzt wird, wird im Folgenden nur die einseitige Laplace-Transformation behandelt. Die so definierte Laplace-Transformation setzt daher im Zeitbereich kausale Signale f(t) voraus. Kausale Signale sind solche, die nur in t t0 existieren, d. h., Signale, die für t < 0 null sind. Im Zusammenhang mit der Untersuchung des Signalübertragungsverhaltens von linearen, zeitinvarianten, dynamischen Systemen bedeutet das überhaupt keine Einschränkung, da das Systemverhalten hier immer erst ab einem Einschaltzeitpunkt t0 von Interesse ist. Diesen Einschaltzeitpunkt können wir zu t0 = 0 s wählen bzw. festlegen. Die Laplace-Transformation spielt bei nichtperiodischen Vorgängen, insbesondere bei EinschaltVorgängen, eine große Rolle. Dabei sind lineare Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten und mit Anfangsbedingungen zu lösen. Die Differentialgleichung wird mittels Transformation in eine algebraische Gleichung umgewandelt. Die LaplaceTransformation stellt eine Möglichkeit dar, die Operationen des Differenzierens und Integrierens auf die viel einfacheren Operationen des Multiplizierens und Dividierens abzubilden (siehe dazu auch Kapitel 7). Neben dieser Anwendung der Laplace-Transformation, erlaubt sie auch eine sehr übersichtliche Behandlung des Übertragungsverhaltens von Netzwerken. In der Regelungstechnik werden z. B. die Stabilitätskriterien rückgekoppelter Netzwerke nicht im Zeitbereich, sondern gleich im Bildbereich (Laplacebereich) untersucht. Zusammenhang zwischen Fourier-Transformation und Laplace-Transformation: ´ Die Konvergenzbedingung für das Fourierintegral lautete: µ ¶
∞
f ( t) dt ∞.
∞
Diese Bedingung ist aber leider bereits für einfache und praktisch wichtige Zeitfunktionen (wie z. B. Sprungfunktion) nicht erfüllt! δ0t
Wenn wir jedoch die Zeitfunktion f(t) für t < 0 identisch 0 setzen und für t t 0 mit e
(G > 0) 0
multiplizieren, geht die Fourier-Transformation in die Laplace-Transformation über. Bei vielen Anwendungen existieren derartige Integrale. Die Fourier-Transformation δ0t
von e
F
´ { f(t) } = F ( ω) = µ ¶
∞
j ωt
f ( t) e
dt geht mit der Multiplikation
∞
und der komplexen Frequenzvariablen s = G + j Z (G , Z ) über in die Laplace0
0
Transformation (s wird wie üblich ohne Unterstreichung dargestellt). Der Zeitfunktion f(t) wird ihre einseitige Laplacetransformierte im Bildbereich zugeordnet:
L { f(t) } = F { f(t)
δ0t
e
´ µ } = F ( s) = µ ¶
∞
δ0t
f ( t) e
jωt
e
∞
´ dt = µ ¶
∞
st
f ( t) e
dt
(5-1)
0
Die Voraussetzungen für dieses uneigentliche Integral sind: ´ 3. µ ¶
∞
st
dt ∞ 0 to0 4. f(t) ist in jedem endlichen Intervall in endlich viele stetige und monotone Teile zerlegbar. An den 1 lim f tk Δt f tk Δt . Sprungstellen t k ist der Funktionswert f tk = 2 1. f ( t) = 0 für t < 0
2. f ( 0) =
lim
f ( t)
Δt o 0
Seite 135
f ( t) e
Laplace-Transformation
Das Integrationsintervall beginnt bei t = 0 (linksseitiger Grenzwert gegen 0), so dass auch Signale f(t) zugelassen werden, die in t = 0 einen G-Impulsanteil (Dirac-Impuls) G(t) besitzen. Solche Signale treten z. B. als Gewichtsfunktionen g(t) bei sprungfähigen Systemen auf. Dadurch, dass die Laplacevariable s eine komplexe Variable mit Realteil Gund Imaginärteil Zist, wird erreicht, dass dieses Integral für eine wesentlich größere Klasse von Signalen f(t) konvergiert als beim Fourierintegral. F(s) stellt die spektrale Dichte der Zeitfunktion f(t) (typische Vertreter sind z. B. Spannungen U(s) und Ströme I(s)) über der Einheit der komplexen Kreisfrequenz dar. Um aus dem Bildbereich wieder in den Originalbereich zurückzukehren, ist die inverse Laplace-Transformation zu bilden aus:
L
-1
δ j ∞ ´ 0 st µ F ( s ) e ds = { F(s) } = f ( t) = 2 π j µ ¶δ j∞ 0
1
¦
Residuen F (s) est
(5-2)
( Pole( F( s) )
Der durch die Grenzen angedeutete Integrationsweg [G0 - j f , G0 + j f] ist eine zur j Z-Achse parallele Gerade, die innerhalb des der Laplacetransformierten F(s) zugeordneten Konvergenzgebietes liegt und die G-Achse im Punkt G0 schneidet. Die Funktion F(s), die innerhalb des Konvergenzgebietes analytisch ist, kann häufig in die gesamte komplexe Ebene fortgesetzt werden, und zwar derart, dass sie bis auf endlich viele Singularitäten überall analytisch ist und überdies für s o f gegen null strebt. Zur bequemen Berechnung des Integrals bietet sich dann in vielen Fällen das Residuenkalkül an. Der Wert des Integrals ist dann wie angegeben durch die Summe der Residuen in allen Singularitäten gegeben. Die Berechnung der Residuen ist besonders einfach, wenn es sich bei den Singularitäten von F(s) ausschließlich um Pole handelt. Ist s0 ein Pol erster Ordnung, so ist das Residuum in diesem Pol gegeben durch:
=
st
Residuum F ( s ) e
lim s o s0
(5-3)
ª« 1 º m 1 d ª s s m F ( s) estº» 0 ¼» « ( m 1) dsm1 ¬ ¬ ¼
(5-4)
ª s s F ( s ) est º 0 ¬ ¼
Hat der Pol s 0 die Ordnung m t 2, so gilt:
=
st
Residuum F ( s ) e
lim s o s0
Bemerkung: In Fällen, wo Verwechslungen der Laplacevariablen s und der Zeit in s (Sekunde) möglich sind (dies ist insbesonders in Mathcad oft problematisch), ist es eventuell zweckmäßig, die Sekunde mit sec abzukürzen oder die komplexe Frequenzvariable s, wie in der Literatur auch üblich, nicht mit s, sondern mit p zu bezeichnen.
5.1 Elementar- und Testsignale Beispiel 5.1: Laplace-Transformation und Rücktransformation einer allgemeinen Sprungfunktion V(t) = A )(t) (Heavisidefunktion). A1 2
Amplitude
Seite 136
Laplace-Transformation
f ( t) A1 Φ ( t)
allgemeine Sprungfunktion
t 2 2 0.1 2
Bereichsvariable Laplacetransfomierte und Rücktransformierte von A1 )(t) mithilfe von Mathcad:
Zeitbereich 2
t t
A1
1
hat Laplace-Transformation
A1 Φ ( t)
f ( t)
A1 2
Redefinitionen
A1 A1
0
2
hat inverse Laplace-Transformation
s
F ( s ) A1 Φ ( t) laplace t o
1 t
f ( t)
Abb. 5.1
s
A1 s
A1
A1 s
invlaplace s o A1
Die Laplacetransformierte von A )(t) berechnet:
L { A )(t) } =
´ µ ¶
∞
st
A1 e
0
f
§ 1 e st· | = dt = A1 ¨ ¸ ©s ¹ 0
ª
A1 « lim
¬
bo∞
§ 1 e sb· § 1 ·º = A1 ¨ ¸ ¨ ¸» ©s ¹ © s ¹¼ s
Der Grenzwert und damit das Integral existiert nur, wenn der Realteil von s größer 0 ist. A1
F ( s)
Laplacetransformierte
s
Bereichsvariable
s2 0.1 0.1 0.01 5 Bildbereich
8 6 F( s2) 4 2 0
δ0 = Re ( s ) ! 0 0
1
2
3
4
5
s2
Abb. 5.2
Abb. 5.3
Beispiel 5.2: Laplace-Transformation und Rücktransformation eines Dirac-Impulses G(t) = '(t): Laplacetansformierte und Rücktransformierte eines Dirac-Impulses mithilfe von Mathcad: Δ ( t) hat Laplace-Transformation Δ ( t) laplace t o 1
1
1
hat inverse Laplace-Transformation
1 invlaplace s o Δ ( t)
Seite 137
Δ ( 1 t)
Laplace-Transformation
Die Laplacetransformierte eines Dirac-Impulses berechnet:
L { G(t) } =
´ F ( s) = µ ¶
∞
st
δ ( t) e
Dieses Integral kann wieder nur mit der Ausblendeigenschaft des Dirac-Impulses ausgewertet werden (siehe Abschnitt 4.2).
0
dt = e = 1
0
Beispiel 5.3: Laplace-Transformation und Rücktransformation einer Rampe (linearen Funktion) f(t) = k t )(t). k 2
Steigung der Geraden
f ( t) k t Φ ( t)
lineare Funktion
t 2 2 0.1 2
Bereichsvariable Laplacetransformierte und Rücktransformierte von k t )(t) mithilfe von Mathcad:
Zeitbereich 2
t t
f ( t)
s
k 2
1
0
1
2
s
3
k
Abb. 5.4
s
kt
k s
t
2
hat inverse Laplace-Transformation
2
F ( s ) k t Φ ( t) laplace t o
1
k
hat Laplace-Transformation
kt
1
Redefinitionen
k k
2
invlaplace s o k t
2
Die Laplacetransformierte von k t berechnet: Durch partielle Integration mit u = t, u' = 1 und v' = e- s t, v = -1/s e- s t erhalten wir:
L{kt}= L{kt}= k s
lim bo∞
L{kt}=
´ kµ ¶
∞
st
te
0
k s
bo∞
b e sb ´ kµ µ ¶
∞
0
1 s
b e sb
lim
f § 1 st· | dt = k ¨ t e ¸ © s ¹ 0 ´ kµ µ ¶
∞
1 s
´ kµ µ ¶
∞
1 s
st
e
dt
0
st
e
dt
0
k
=
s
st
e
lim bo∞
dt =
k s
§ b · = k ¨ sb ¸ s ©e ¹
lim bo∞
f
§ 1 e st· | = ¸ ©s ¹ 0
¨
k s
2
§ 1 · =0 ¨ sb ¸ ©s e ¹
lim bo∞
Regel von L'Hospital
e sb 1
=
k s
2
Der Grenzwert und damit das Integral existiert wieder nur, wenn der Realteil von s größer 0 ist.
Seite 138
Laplace-Transformation
k
F ( s)
s
Laplacetransformierte
2
Bereichsvariable
s2 0.1 0.1 0.01 5 Bildbereich
8 6 F( s2) 4 2 0
δ0 = Re ( s ) ! 0 0
1
2
3
4
5
s2
Abb. 5.5
Abb. 5.6
Beispiel 5.4: Laplace-Transformation und Rücktransformation einer Exponentialfunktion f(t) = ea t )(t). Konstante
a 2 at
f ( t) e
Exponentialfunktion
Φ ( t)
Bereichsvariable
t 1 1 0.01 1
Laplacetansformierte und Rücktransformierte von eat.)(t) mithilfe von Mathcad:
Zeitbereich 8
t t 6
at
1
2
1
1
at
F ( s) e
2
t
1
Abb. 5.7
1 as
hat inverse Laplace-Transformation
sa 0
Redefinitionen
hat Laplace-Transformation
e
4
f ( t)
a a
Φ ( t) laplace t o
at
e
1 as
at
sa
invlaplace s o e
Die Laplacetransformierte von eat )(t) berechnet:
L{e
at
}=
L { eat } =
´ µ ¶
∞
at
e
st
e
0
1 sa
´ dt = µ ¶
∞
( s a )t
e
dt =
0
lim bo∞
ª¬e ( sa)b 1º¼ =
1 sa
1 sa
( s a )tº
ª¬e
f
¼ |
0
Der Grenzwert und damit das Integral existiert nur, wenn G0 = Re(s) > a ist.
Seite 139
Laplace-Transformation
Rücktransformation in den Zeitbereich (a ist ein Pol 1. Ordnung):
L -1{ F(s) } =
ª¬( s a) F ( s ) est º¼ =
lim soa
1
F ( s)
=
st
Residuum F ( s ) e
lim soa
ª( s a) 1 estº = eat « » sa ¬ ¼
Laplacetransformierte
sa
Bereichsvariable
s2 2.1 2.1 0.01 6
Bildbereich a 8 6 F( s2) 4 2 0
δ0 = Re ( s ) ! a 0
2
4 s2
Abb. 5.8
Abb. 5.9
Beispiel 5.5: Laplace-Transformation und Rücktransformation einer Exponentialfunktion f(t) = e- a t )(t). Konstante
a 2 at
f ( t) e
Exponentialfunktion
Φ ( t)
Bereichsvariable
t 1 1 0.01 1
Laplacetransfomierte und Rücktransformierte von eat )(t) mithilfe von Mathcad:
Zeitbereich
t t 0.5
a a
at
hat Laplace-Transformation
e f ( t)
1
0
1
2
1
hat inverse Laplace-Transformation
a s
0.5
at
F ( s) e
1 t
Abb. 5.10
1
Redefinitionen
Φ ( t) laplace t o
at
sa
invlaplace s o e
Seite 140
1 a s
1 a s at
e
Laplace-Transformation
Die Laplacetransformierte von e-at )(t) berechnet:
L{e
-at
}=
∞
at
e
st
e
0
L { e-at } = F ( s)
´ µ ¶
´ dt = µ ¶
∞
( s a )t
e
dt =
0
1 sa
lim
bo∞
ª¬e ( sa)b 1º¼ =
1
1 sa
1
( s a )tº
ª¬e
f
¼ |
0
Der Grenzwert und damit das Integral existiert nur, wenn G0 = Re(s) > -a ist.
sa
Laplacetransformierte
sa
Bereichsvariable
s2 2.2 2.2 0.001 6 Bildbereich 10
a
8 6 F( s2) 4
δ0 = Re ( s ) ! a
2 0 4
2
0
2
4
6
s2
Abb. 5.11
Abb. 5.12
Beispiel 5.6: Laplace-Transformation und Rücktransformation einer Kosinusfunktion f(t) = cos(Z t).)(t). ω 1
Kreisfrequenz
f ( t) cos ( ω t) Φ ( t)
Exponentialfunktion
t 1 1 0.01 3 π Bereichsvariable
Laplacetransfomierte und Rücktransformierte von eat )(t) mithilfe von Mathcad: ω ω
t t
Zeitbereich
Redefinitionen
1
cos ( ω t)
0.5 f ( t)
2
ω s s
5
s
hat Laplace-Transformation
0
5
10
2
ω s
§
2
hat inverse Laplace-Transformation cos © t
0.5
F ( s ) cos ( ω t ) Φ ( t ) laplace t o
s 2
ω s
1 t
Abb. 5.13
s 2
2
s ω
Seite 141
annehmen ω ! 0 o cos ( ω t ) invlaplace s
2
2 2·
ω
¹
Laplace-Transformation
Die Laplacetransformierte von cos(Z t) )(t) berechnet: ´ µ ´ st µ cos ( ω t) e dt = µ ¶ µ 0 ¶ ∞
L { cos(Zt) } =
∞
0
L
§ ejωt e jωt · st ¨ ¸e dt 2 © ¹
∞ ª´ ∞ º 1 ´ 1 s · « ( s j ω )t ( s j ω ) t » § 1 µ µ dt dt = ¨ e e ¸= 2 « » ¶ ¶ 2 2 0 ¬0 ¼ 2 © s j ω s j ω¹ s ω
1
{ cos(Zt) } =
Das Integral mit Mathcad gelöst: ´ µ ¶
∞
st
cos ( ω t ) e
s
dt annehmen s ! 0 ω ! 0 o
2
ω s
0
2
Der Grenzwert und damit das Integral existiert nur, wenn G0 = Re(s) > 0 ist. Rücktransformation in den Zeitbereich (an den Stellen j Z und -j Z liegt jeweils ein Pol 1. Ordnung vor):
st
st
Residuum F ( s ) e
Residuum F ( s ) e
= =
lim s o j ω
lim s o j ω
ª¬( s j ω) F ( s) est º¼ =
L -1{ F(s) } = ¦
ª¬( s j ω) F ( s) est º¼ =
s 2
s o j ω
ª( s j ω) ω estº = 1 ejωt « » 2 2 2 s ω ¬ ¼
lim s o j ω
ª( s j ω) ω estº = 1 e jωt « » 2 2 2 s ω ¬ ¼
= 1 ejωt 1 e jωt = cos (ω t)
st
Residuen F ( s ) e
Pole( F( s)
F ( s)
lim
2
2
Laplacetransformierte
2
s ω
Bereichsvariable
s2 0 0.001 20
Bildbereich
0.4 0.3 F( s2) 0.2 0.1 0
5
10
15
s2
Abb. 5.14
Seite 142
20
Laplace-Transformation
5.2. Eigenschaften der Laplace-Transformation Der Umgang mit der Laplace-Transformation kann mithilfe von Sätzen vereinfacht werden. Nachfolgend werden einige wichtige angeführt. Linearität (Superpositionssatz): Aus zwei Zeitfunktionen f 1 (t) und f 2 (t) wird mit den Konstanten (Amplituden) A1 und A2 eine neue Funktion f(t) gebildet in der Form f(t) = A1 f1 (t) + A2 f2 (t). Die zugehörige Laplacetransformierte ergibt sich dann zu: ´
L { A1 f 1 ( t ) A2 f 2 ( t ) } = F ( s ) = µ
∞
¶
0
=
´ F ( s ) = A1 µ ¶
∞
st
f1 ( t) e
0
´ dt A 2 µ ¶
A1 f1 (t) A2 f2 (t) e st dt =
∞
st
f2 ( t) e
d t = A 1 F1 ( s ) A 2 F 2 ( s )
0
L {A1 f1(t) + A2 f2(t) } = A1 F1(s) + A2 F2(s)
(5-5)
Die Laplacetransformierte einer Summe von Zeitfunktionen ist gleich der Summe der Laplacetransformierten der einzelnen Zeitfunktionen. Allgemein gilt für n Zeitfunktionen:
L{
n
n
¦
k
Ak f k ( t )
} =
1
¦ Ak Fk( s)
k
(5-6)
1
Beispiel 5.7: Laplace-Transformation und Rücktransformation der Funktion f(t) = 2 t + 3 cos(t).
L {2 t + 3 cos(t)} = 2 F1(s) + 3 F2(s) = F ( s) = 2
1 s
2
3
s 2
F ( s) = 2
1 s
vereinfacht auf
2
F ( s) =
s 1
s
3
siehe Beispiel 5.3 und 5.6
2
s 1 3 s 2
s 1
2 s
2
Laplace-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad: 3
2 t 3 cos ( t ) laplace t o
2
3 s 2 s 2 4
s s 3 s 2
s 1
2 s
2
2
invlaplace s o 2 t 3 cos ( t )
Seite 143
Laplace-Transformation
Zeitverschiebung (Verschiebungssätze): Wird ein Signal f(t) auf der Zeitachse um eine feste Zeit t0 > 0 verzögert (nach rechts verschoben), so gilt für die zugehörige Laplacetransformierte: ´
L { f t t0 } = F (s) = µ
∞
st
f t t0 e
¶
0
dt
(5-7)
Mit der Substitution t - t0 = x und damit mit den Grenzen -t0 und ferhalten wir: ∞
L { f (x) } =
∞ ´ s x t0 t0s ´ µ sx dx = e f ( x) e µ f ( x) e dx. µ ¶ t ¶ t 0 0
Durch Zerlegung des letzten Integrals und unter Berücksichtigung, dass das erste Integral null liefert, ergibt sich schließlich t0s
L { f (x) } = e
0
§´ sx ¨µ f ( x) e dx ¨ ¶ t 0
©
´ µ ¶
∞
sx
f ( x) e
·
t0s
dx¸ = e
¸ ¹
0
F ( s ).
Damit gilt:
L { f(t - t0) } =
e
-t s
F(s) (Verschiebung oDämpfung)
0
(5-8)
Wird ein Signal f(t) auf der Zeitachse um eine feste Zeit t0 > 0 nach links verschoben, so gilt für die zugehörige Laplacetransformierte:
L { f t t0 } =
´ F (s) = µ ¶
∞
st
f t t0 e
0
t0s
dt = e
t § · ´0 ¨ st ¸ µ ¨ L ( f ( t) ) f ( t) e dt ¸ ¶ 0 © ¹
Beispiel 5.8: Laplace-Transformation und Rücktransformation der verschobenen Sprungfunktion f(t) = )(t - T1 ).
L {)(t - T1)} =
T1s 1
F ( s) = e
siehe Beispiel 5.1
s
Laplace-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad: T s
Φ t T1 T1s
e
s
annehmen T1 ! 0 e 1 o s laplace t
annehmen T1 ! 0 o 1 Φ T1 t invlaplace s
Seite 144
(5-9)
Laplace-Transformation
Beispiel 5.9: Laplace-Transformation und Rücktransformation eines Rechteckimpulses f(t) = )(t) - )(t - T1 ). Unter Anwendung der Linearität und des Zeitverschiebungssatzes gilt:
L {)(t) - )(t - T1)} = L {)(t)} - L {)(t - T1)} =
F ( s) =
1 s
T1s 1
e
s
=
1 s
§
T1s·
©1 e
¹
Laplace-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad: T1s
1
annehmen T1 ! 0 o Φ T1 t invlaplace s
Φ ( t ) Φ t T1 T1s
e
annehmen T1 ! 0 e o laplace t
s
1
s
Beispiel 5.10: Laplace-Transformation und Rücktransformation einer linearen Funktion f(t) = (t + 2) )(t).
L {t + 2} = L {t + 2} =
2s
F ( s) = e
2s
e
2 2 § · ´ s t 1 st·º ¨ st ¸ 2s ª 1 § µ L ( t) te dt = e « ¨ e ¸» | ¨ ¸ ¶ 2 2 0 © ¹ ¬s © s ¹¼ 0
ª 1 ( 2 s 1) e 2s « « 2 2 s ¬s
1ȼ
» ¼
2 s 1
=
s
siehe auch Beispiel 5.3
2
Laplace-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad:
( t 2) Φ ( t)
laplace t o vereinfachen
2 s 1 s
2 s 1
2
s
2
invlaplace s o t 2
Ähnlichkeitssatz (Zeitskalierung): Die Funktion f(a t) entsteht aus der Funktion f(t) durch Dehnung (0 < a < 1) oder durch Stauchung (a > 1) auf der Zeitachse. Mit der Substitution x = a t erhalten wir:
L { f ( a t) } =
´ µ ∞ ´ st µ µ f ( a t) e dt = µ ¶ 0 ¶
∞
f ( x) e
s a
x
1 a
0
dx =
1 a
§s· ¸ (mit a > 0). © a¹
F¨
Damit gilt:
L { f(a t) } =
1 a
§s· ¸ © a¹
F¨
(5-10)
Seite 145
Laplace-Transformation
Beispiel 5.11: Laplace-Transformation der Funktion f(t) = cos(Z t).)(t).
L {cos(t)} =
s
F ( s) =
nach Beispiel 5.6
2
s 1 s
1
L {cos(Z t)} =
ω
s ω §s· = 1 = ¸ 2 2 © ω ¹ ω § s ·2 s ω 1 ¨ ¸ © ω¹
mithilfe des Ähnlichkeitssatzes
F¨
Beispiel 5.12:
Laplace-Transformation der Funktion f(t) = cos(t).)(t) und f(t) = sin(t).)(t). Aus dem Beispiel 5.4 folgt unmittelbar
L {et} =
1
F ( s) =
s1
und weiter nach dem Ähnlichkeitssatz
L {ea t } =
1
§s· = 1 1 = 1 ¸ © a¹ a s 1 s a
F¨
a
a
Setzen wir a = j, so erhalten wir durch Erweiterung des Bruches mit s + j:
L {ej t} =
1 sj
sj
=
sj
sj 2
s
=
2
s 1
j
s 1
1 2
s 1
Mit der Euler-Beziehung e j t = cos(t) + j sin(t) und unter Anwendung der Linearität erhalten wir schließlich:
L {ej t} = L {cos(t) + j sin(t)} = L {cos(t)}
+j
s
L {sin(t)} =
2
s 1 s
L {cos(t)} =
also
L {sin(t)} =
2
s 1 cos ( t ) j sin ( t ) laplace t o
1
j
2
s 1
1 2
s 1 sj
Lösung mit Mathcad
2
s 1 Dämpfungssatz: Wird eine Zeitfunktion f(t) mit e- a t multipliziert, dann tritt für t > 0, Re(a) > 0 eine Dämpfung ein. Es gilt daher: -at
L{e
f(t)} =
´ µ ¶
∞
at
e
0
st
f ( t) e
´ dt = µ ¶
∞
( s a )t
f ( t) e
dt = F ( s a)
0
Es gilt daher
L { e- a t f(t)}
= F(s + a) (Dämpfung oVerschiebung)
Seite 146
(5-11)
Laplace-Transformation
Beispiel 5.13: Laplace-Transformation Rücktransformation der Funktion f(t) = e -a t cos(Z t) )(t).
L {cos(Z t)} =
s
F ( s) =
2
nach Beispiel 5.6
2
s ω
L {e - a t cos(t)} =
sa
F ( s a) =
2
mithilfe des Dämpfungssatzes
2
( s a) ω
Laplace-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad: at
e
cos ( ω t ) Φ ( t ) laplace t o
a s 2
2
a 2 a s ω s annehmen ω ! 0 at oe cos ( ω t ) invlaplace s
sa 2
2
2
( s a) ω
Ableitungssatz für die Originalfunktion: Wird vorausgesetzt, dass f(t) die ersten n-Ableitungen besitzt, für f(t), f '(t), ..., f(n-1)(t) der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle 0 existiert, die Ableitungen von f(t) transformierbar sind, dann gilt mithilfe der partiellen Integration (u = e-s t , u' = - s e-s t , v' = f '(t), v = f(t)):
L {f '(t)} =L {
d dt
f ( t)
}=
´ µ µ ¶
∞
d dt
st
f ( t) e
st
dt = e
f
f ( t)
0
0
Nun ist aber
lim to∞
e st f (t)
|
= 0 und
lim to0
e st f (t)
´ s µ ¶
∞
st
f ( t) e
dt
0
= f ( 0+) .
Es gilt daher:
L{
d
f ( t)
dt
} = 0 - f(0+) + s L {f(t)} .
Damit gilt mit f(0+) = f(0) für die erste Ableitung:
L{
d
f ( t)
dt
} = s L {f(t)} - f(0+) = s F(s) - f(0)
(5-12)
Für höhere Ableitungen folgt entsprechend:
L{
2
d
dt
2
f ( t)
§ · } = L { d ¨ d f ( t) ¸ } = s dt © d t ¹
L{
d dt
f ( t)
} - f '(0+) = s [s L {f(t)} - f(0+)] - f '(0+).
Damit gilt mit f(0+) = f(0) und f '(0+) = f '(0) für die zweite Ableitung:
L{
2
d
dt
2
f ( t)
2
} = s F(s) - s f(0) - f '(0)
Seite 147
(5-13)
Laplace-Transformation
Allgemein gilt dann für die n-te Ableitung:
L{
n
d
dt
n
f ( t)
n 1
n
} = s F (s)
ª¬sni1 f( n) ( 0+)º¼
¦
i
(5-14)
0
Der Ableitungssatz wird besonders bei der Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Anwendung finden (siehe dazu Kapitel 8). Gilt f(0) = f '(0) = ... = f(n)(0) = 0 (Anfangswerte zur Zeit t = 0), wie es bei vielen Anwendungen der Fall ist, dann wird die Ableitung im Bildbereich zur Multiplikation mit s:
L {f (n)(t)}
= sn F(s) (n ²)
(5-15)
Bemerkung: Ist f(t) eine Sprungfunktion mit einer Sprungstelle bei t = 0, so ist für die Anfangswerte f(0), f '(0), ..., f(n-1)(0) jeweils der rechtsseitige Grenzwert einzusetzen ( f(0+), f '(0+), ..., f(n-1)(0+) ), um ein stetiges Anschließen von f(t), f '(t), ... an diese Anfangswerte zu gewährleisten.
Beispiel 5.14: Von einer Funktion f(t) = sin(t) )(t) sind der Anfangswert f(0) = 0 und die Bildfunktion F(s) bekannt. Unter Verwendung des Ableitungssatzes kann dann die Laplacetransformierte der Kosinusfunktion hergeleitet werden.
L {sin(t)} =
1
F ( s) =
nach Beispiel 5.11
2
s 1
L { d sin (t) } = L {cos(t)} =
s
dt
d dt
1 2
0=
s 1
s 2
s 1
s
sin ( t ) laplace t o
Lösung mit Mathcad
2
s 1
Beispiel 5.15: Ermitteln Sie die Laplacetransformierte der Differentialgleichung y'(t) + 2 y(t) = e2t mit y(0) = 1.
L {y'(t) + 2 y(t)} = L {eat} s Y ( s ) y ( 0) 2 Y ( s ) =
( s 2) Y ( s ) 1 =
1 s2
1 s2
Laplacetransformierte Gleichung unter Anwendung der Linearität und des Ableitungssatzes
auflösen Y ( s ) o
s1 2
nach Y(s) umgeformte Gleichung
s 4
Seite 148
Laplace-Transformation
Ableitungssatz für die Bildfunktion: Wir interessieren uns hier für die Ableitungen der Bildfunktion F(s) = L {f(t)} nach der Variablen s. Durch beidseitige Differentiation nach s der Definitionsgleichung für die Laplace-Transformation folgt: ∞ ∞ §´ ∞ · ´∞ ´ ´ ¨ st ¸ µ d st st st µ f ( t) e F'(s) = dt = µ f ( t) ( t) e dt = f ( t) e dt = µ ( t f ( t) ) e dt ¨ ¸ µ ¶ ¶ ¶ ds © 0 d s 0 0 ¹ ¶
d
0
Das letzte Integral ist die Laplacetransformierte der Funktion g(t) = - t . f(t). Damit gilt für die erste Ableitung der Bildfunktion F(s):
F'(s) = L {- t . f(t)}
(5-16)
Für höhere Ableitungen folgt entsprechend in Analogie:
F(n)(s) = L {(-t)n . f(t)}
(5-17)
Bemerkung: Der Ableitungssatz für die Bildfunktion lässt sich auch in folgender Form darstellen:
L {(t)n . f(t)} = (-1)n . F(n)(s)
(5-18)
Beispiel 5.16: Die Laplacetransformierte von f(t) = ea t lautet: F(s) = 1/(s-a). Bestimmen Sie mithilfe des Ableitungssatzes die Laplacetransformierte der Funktion g(t) = t 2 .eat. d
F' ( s ) =
1
ds s a
F'' ( s ) =
d ds
( s a)
F' ( s ) =
L {t2 . ea t } =
1
=
1
d
erste Ableitung der Laplacetransformierten
2
ds ( s a) 2
2
=
( s a) 2
2
( 1) F'' ( s ) =
( s a) 2
at
t e
zweite Ableitung der Laplacetransformierten
3
siehe Bemerkung oben
3
2
laplace t o
( a s)
Lösung mit Mathcad
3
Beispiel 5.17: Bestimmen Sie die Laplacetransformierte der Funktion g(t) = t sinh(t). sinh ( t ) laplace t o
1
t sinh ( t ) laplace t o
2
s 1 1 d
( 1)
1
ds s 2 1
vereinfachen o
2 s
s
2
2
2 s
s
2
2
1
Auswertung mit Mathcad
1
Seite 149
Auswertung mit Mathcad
Laplace-Transformation Integralsatz für die Originalfunktion: Wie eine Differentiation im Zeitbereich führt auch eine Integration im Zeitbereich auf eine algebraische Operation im Bildbereich. Dies besagt der Integralsatz (Umkehrung des Ableitungssatzes). t
´ Für die Laplacetransformierte des Integrals µ f ( τ) dτ gilt: ¶ 0
L{
t
´ µ f ( τ) dτ } ¶
=
0
1 s
F ( s ) (t > 0)
(5-19)
Die Integration im Bildbereich wird also zur Division durch s. Wie beim Ableitungssatz bestätigen wir mit partieller Integration die Richtigkeit dieses Satzes:
L{
´ µ µ µ ¶
t
´ µ f ( τ) dτ } ¶
=
0
∞
0
∞ t st f · §´ t 1 ´ e ¨ µ f ( τ) dτ¸ e st dt = ´ | µ f ( τ) dτ + µ f ( t) e st dt ¨ ¶0 ¸ ¶ s s ¶0 0 0 © ¹
also
L{
t
´ µ f ( τ) dτ } ¶
=
0
lim to∞
st · §´t ¨ µ f ( τ) dτ e ¸ 1 . L { f ( t) }. ¨¶ s ¸ s © 0 ¹
Beispiel 5.18: t
´ Bestimmen Sie die Laplacetransformierte des Integrals µ sin ( τ) dτ. ¶ 0
t
´ µ sin ( τ) dτ o 1 cos ( t ) ¶
Lösung des Integrals über Originalfunktion f(t) = sin(t)
0
sin ( t ) laplace t o
1
Laplacetransformierte der Originalfunktion
2
s 1
L{
t
´ µ sin ( τ) dτ } ¶
= L { 1 - cos(t) } = L {1} - L { cos(t) } =
0
L{
t
´ µ sin ( τ) dτ } ¶
= 1/s *L { sin(t)) =
0
t
´ µ sin ( τ) dτ ¶ 0
laplace t o Faktor
1
2
1 s
1 2
1 s
s 2
=
s 1
1
2
s s 1
Auswertung mit dem Integralsatz
s 1 Auswertung mit Mathcad
s s 1
Seite 150
Laplace-Transformation Integralsatz für die Bildfunktion: Die Integration der Bildfunktion F(s) = L {f(t)} regelt die nachfolgende Beziehung, die ohne Beweis angeführt wird. ´ Für das Integral µ ¶
∞
F ( u) du einer Bildfunktion F(s) gilt:
s
´ µ ¶
∞
L {(1/ t) . f(t)}
F ( u) du=
(5-20)
s
Dabei ist f(t) die Originalfunktion von F(s), d. h. f(t) = L -1{ F(s) }. Beispiel 5.19: Bestimmen Sie mithilfe des Integralsatzes die Laplacetransformierte von g(t) = t 2 , wenn die Laplacetransformierte von f(t) = t 3 bekannt ist. 3
t laplace t o
6 s
L{
1 t
t
3
Laplacetransformierte von f(t)
4 2
}=L{t }=
´ µ µ µ ¶
∞
6 4
u
s
f
1
1 1 · 2 · | = 6 § lim = ¸ ¨ ¸ 3 3 3 3 3 s ¹ s © 3 u ¹ s © b o ∞ 3 b
§
du = 6 ¨
Faltungsatz: Unter dem Faltungsprodukt f1 (t) * f2 (t) zweier Originalfunktionen f1 (t) und f2 (t) (siehe auch Abschnitt 4.3) verstehen wir das Integral t
t
´ ´ f ( t) = f 1 ( t) * f 2 ( t) = µ f1 ( τ) f2 ( t τ) dτ = µ f1 ( t τ) f 2 ( τ) dτ ¶ ¶ 0
(5-21)
0
Das Symbol " * " bedeutet das Faltungssymbol. Dieses Integral, auch Faltungsintegral genannt, beschreibt die Schnittfläche von f 2 (t - W) mit f1 (W) bzw. umgekehrt. Die Bezeichnung Faltungsprodukt ist auch deshalb gerechtfertigt, weil sich die Größe wie ein Produkt verhält. Es gelten nämlich folgende Rechengesetze: f1 ( t) * f2 ( t) = f2 ( t) * f1 ( t)
Kommutativgesetz
(5-22)
[ f1 ( t) * f2 ( t) ]
Assoziativgesetz
(5-23)
Distributivgesetz
(5-24)
* f3 ( t) = f1 ( t) * [ f2 ( t) * f3 ( t) ]
f1 ( t) * [ f2 ( t) + f3 ( t) ]
= f1 ( t) * f2 ( t) + f1 ( t) * f3 ( t)
Damit lässt sich nun der Faltungssatz formulieren. Die Laplacetransformierte des Faltungsproduktes f1 (t) * f2 (t) ist gleich dem Produkt der Laplacetransformierten von f1 (t) und f2 (t):
L { f1 ( t) * f2 ( t) } = L {
t
´ µ f1 ( τ) f2 ( t τ) dτ } ¶
= L { f1 ( t) }
0
Seite 151
L { f 2 ( t ) } = F1 ( s ) F2 ( s )
(5-25)
Laplace-Transformation Der Faltungssatz lässt sich auch in umgekehrter Richtung formulieren:
-1
f(t) = L
-1
{ F ( s) } = L
t
{ F1 ( s ) . F2 ( s ) } = f 1 ( t ) * f 2 ( t ) =
´ µ f1 ( τ) f2 ( t τ) dτ ¶
(5-26)
0
Beispiel 5.20: Mithilfe des Faltungssatzes soll die zur Bildfunktion F ( s ) = werden.
L { f ( t) } =
F ( s) =
1
s2 1 s
-1
1
=
2
s 1
-1
f (t) =L { F1 ( s ) } = L { 1
-1
-1
1
1 s
1
s
2
1 s
= F1 ( s ) F2 ( s )
} = sin ( t)
2
gehörige Originalfunktion f(t) bestimmt
Zerlegung der Bildfunktion in ein Produkt
Rücktransformation der ersten Teilfunktion
s 1 1
Rücktransformation der zweiten Teilfunktion
f (t) =L { F2 ( s ) } = L { } = 1 s 2
Die gesuchte Originalfunktion f(t) erhalten wir dann aus dem Faltungsprodukt der beiden Originalfunktionen f1 (W) = sin(W) und f2 (t - W) = 1: t
f(t) = f1 ( t) * f2 ( t) =
´ µ f 1 ( τ) f2 ( t τ) dτ = ¶ 0
1
-1
f(t) = L { 1
s
2
t
´ µ sin ( τ) 1 dτ = cos ( τ) ¶ 0
} = 1 - cos(t)
die gesuchte Originalfunktion
1 s Rücktransformation mit Mathcad
invlaplace s o 1 cos ( t )
s2 1 s
t | = 1 - cos(t) 0
Beispiel 5.21: 1
Mithilfe des Faltungssatzes soll die zur Bildfunktion F ( s ) =
2
gehörige Originalfunktion f(t) bestimmt
s 4 werden.
L { f ( t) } =
F ( s) =
1 2
s 4
=
1 s2
-1
-1
1
-1
-1
1
1 s2
= F1 ( s ) F 2 ( s )
f (t) =L { F1 ( s ) } = L { } = e 2t s2 1 f (t) =L { F2 ( s ) } = L { 2
s2
Zerlegung der Bildfunktion in ein Produkt
Rücktransformation der ersten Teilfunktion
Rücktransformation der zweiten Teilfunktion
} = e2t
Seite 152
Laplace-Transformation Die gesuchte Originalfunktion f(t) erhalten wir dann aus dem Faltungsprodukt der beiden Originalfunktionen f1 (W) = e-2W und f2 (t - W) = e2 (t - W): t
´ µ f 1 ( τ) f2 ( t τ) dτ = ¶
f(t) = f1 ( t) * f2 ( t) =
0
§ 1 e 4t · e2t e 2t 1 ¸= } = e2t ¨ = sinh ( 2 t ) 2 4 4 2 © ¹ s 4
-1
1
f(t) = L { 1
invlaplace s o
2
t t t ´ 2τ 2( tτ) 2t ´ 4τ 2t § 1 4τ· µ e dτ = e ¨ e dτ = e µ e e | ¸ ¶ ¶ ©4 ¹ 0 0 0
sinh ( 2 t )
Rücktransformation mit Mathcad
2
s 4
die gesuchte Originalfunktion
Grenzwertsätze (Anfangs- und Endwerttheorem): Das Anfangs- und Endwerttheorem geben über das Zeitverhalten einer Funktion f(t) im Zeitpunkt t = 0+ (exakter: beim rechtsseitigen Grenzwert) Auskunft, d. h. über das dynamische Verhalten zu Beginn eines Ausgleichsvorganges bzw. über den stationären Zustand, nachdem der Ausgleichsvorgang beendet ist (t o f). Bei der Anwendung dieser Theoreme kann das dynamische Verhalten eines Systems bis zu einem gewissen Grad direkt im Laplacebereich (ohne Rücktransformation) beurteilt werden. Der Anfangswert f(0) und der Endwert f(f) einer Originalfunktion f(t) lassen sich (sofern sie überhaupt existieren) ohne Rücktransformation durch Grenzwertbildung aus der zugehörigen Bildfunktion F(s) = L
{f(t)} wie folgt berechnen:
Anfangswerttheorem: f ( 0) =
lim
f ( t) =
lim
( s F ( s) )
(5-27)
so∞
to0
Endwerttheorem: f ( ∞) =
lim
f ( t) =
to∞
lim
( s F ( s) )
(5-28)
so0
Den Nachweis führen wir mithilfe des Ableitungssatzes. Nach dem Ableitungssatz gilt für f(t):
L{
d dt
f ( t)
}=
´ µ µ ¶
∞
d dt
st
f ( t) e
dt
= s F ( s ) f ( 0) .
0
Beim Grenzübergang für s o0 und Vertauschen des Grenzwertes mit dem Integral wird hieraus die Gleichung: ´ µ µ µ ¶
∞
d dt
f ( t)
lim so0
st
e
dt =
lim
( s F ( s ) f ( 0) ) .
so0
0
Der Grenzwert im Integral wird 1 und damit ergibt die linke Seite der Gleichung f(f) - f(0). Wir erhalten dann das Endwerttheorem aus f ( ∞) f ( 0) =
lim
( s F ( s ) ) f ( 0).
so0
Die Bildung des Grenzwertes für s o fliefert schließlich, weil der Grenzwert im Integral verschwindet, das Anfangswerttheorem.
Seite 153
Laplace-Transformation Beispiel 5.22: Mithilfe der Grenzwertsätze soll der Anfangswert und der Endwert der Bildfunktion U ( s ) =
U0 s ( s 1)
ermittelt
werden und mit der Originalfunktion f(t) verglichen werden.
lim so∞
lim so0
U0 ª º «s » o0 ¬ s ( s 1)¼
Anfangswert
U0 ª º «s » o U0 ¬ s ( s 1) ¼
Endwert
U0 s ( s 1)
t 1
invlaplace s o U0 e
der Grenzwert bestätigt das Ergebnis
der Grenzwert bestätigt das Ergebnis
ªU 1 e t º o 0 ¬ 0 ¼
lim to0
lim to∞
Rücktransformation in den Originalbereich
ªU 1 e t º o U 0 ¬ 0 ¼
Beispiel 5.23: Mithilfe der Grenzwertsätze soll der Anfangswert und der Endwert der Bildfunktion F ( s ) =
2 s 12 s ( s 4)
werden und mit der Originalfunktion f(t) verglichen werden.
ªs 2 s 12 º o 2 « » ¬ s ( s 4)¼
Anfangswert
ªs 2 s 12 º o 3 « » ¬ s ( s 4) ¼
Endwert
lim so∞
lim so0
2 s 12 s ( s 4) lim
invlaplace s o
3 2
4t
e
2
Rücktransformation in den Originalbereich
3 e 4t
o2
der Grenzwert bestätigt das Ergebnis
3 e 4t
o3
der Grenzwert bestätigt das Ergebnis
to0
lim to∞
Seite 154
ermittelt
Laplace-Transformation 5.3. Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich Um aus dem Bildbereich die gesuchte Originalfunktion f(t) zu erhalten, müssen wir die Bildfunktion F(s) mittels der inversen Laplace-Transformation in den Originalbereich rücktransformieren. In der Praxis erweist sich diese Rücktransformation als der schwierigste Weg.
Prinzipiell besteht die Möglichkeit, die Originalfunktion f(t) auf direktem Wege über das LaplaceUmkehrintegral aus der bekannten Bildfunktion F(s) zu berechnen. Diese Methode wird aber nur selten angewendet, weil hierzu fundierte Kenntnisse aus dem Gebiet der Funktionentheorie notwendig sind. Daneben gibt es die Möglichkeit, mithilfe einer Transformationstabelle, die in zahlreichen Werken über die Laplace-Transformation zu finden ist (siehe dazu auch Anhang, Korrespondenztabellen), die Rücktransformation durchzuführen. Da in den Anwendungen häufig gebrochenrationale Bildfunktionen auftreten, zerlegen wir diese zunächst in eine Summe von Partialbrüchen und bestimmen dann aus der Transformationstabelle Glied für Glied die zugehörige Originalfunktion. Wie bereits oben in zahlreichen Beispielen aufgezeigt wurde, kann mit Mathcad eine Rücktransformation durchgeführt werden. Es ist aber nicht zu erwarten, dass alle möglichen Rücktransformationen auch ausgeführt werden können, zumal es sich in Mathcad um einen eingeschränkten Symbolkern handelt. Es soll jedenfalls versucht werden, wenn eine Rücktransformation der Bildfunktion nicht direkt gelingt, zuerst eine Partialbruchzerlegung durchzuführen (siehe auch Band 3, Abschnitt 4.3.4). Die Partialbruchzerlegung ist auf echt gebrochenrationale Funktionen (Grad des Zählerpolynoms ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms) anwendbar. Liegt eine unecht gebrochenrationale Funktion vor, so kann diese mittels Panzerdivision in die Summe einer ganzen und einer echt gebrochenrationalen Funktion umgeformt werden. Eine gebrochenrationale Funktion hat die allgemeine Form
F ( s) =
Z ( s) N(s)
n
an s an 1 s
=
s
m
bm 1 s
n 1
m 1
an 2 s
bm 2 s
n 2
m 2
2
.... a2 s a1 s a0 2
(5-29)
.... b2 s b1 s b0
wobei ak , bk und m, n ²sind. Zur Durchführung der Partialbruchzerlegung müssen die Nullstellen von N(s) (Polstellen) bekannt sein. Unter Beachtung des Fundamentalsatzes der Algebra kann
N(s) = s s1
α1
s s2
α2
s s3
α3
.... s s i
αi
.... s s r
αr
geschrieben werden, wobei die s i die voneinander verschiedenen Wurzeln der Gleichung N(s) = 0 sind und die Di ( D ²) die Vielfachheit der Wurzeln si bedeuten.
Seite 155
(5-30)
Laplace-Transformation
F(s) kann jetzt in eine Summe von Teilbrüchen zerlegt werden. Dabei sind folgende Fälle zu unterscheiden: a) Die Wurzeln des Nennerpolynoms N(s) sind reell und voneinander verschieden. Ansatz: Z ( s)
F ( s) =
N(s)
=
A1
A2
s s1
s s2
....
Ai s si
Am
....
(5-31)
s sm
b) Die Nennerfunktion N(s) besitzt mehrfache reelle Nullstellen. Ansatz: Z ( s)
F ( s) =
N(s)
=
A11
A12
s s1
A13
s s1 2 s s1 3
A1α1
....
s s1
α1
+
(5-32)
.............................................................................. Ai1
+
s si
Ai2
s si
2
Ai3
s si
Aiαi
....
3
s s i
+
αi
............................................................................. Ar1
+
s sr
Ar2
s sr
Ar3
2
s sr
Arαr
....
3
s sr
αr
.
Wenn die Nennerfunktion N(s) vom Grade m ist, dann gilt: r
α1 α2 α3 .... αi .... αr =
¦
i
αi = m .
1
c) Die Wurzeln der Nennerfunktion sind einfach komplex. Der Ansatz kann wie unter a) gewählt werden, wobei für konjugiert komplexe Nullstellen s1 und s2 einfacher geschrieben werden kann: A1
s s1 1 2
2
s ω
A2 s s2
=
As B
=
A1 s s1
oder z. B. mit s 1 = j ω und s 2 = j ω
2
s a s b
A2 s s2
=
As B 2
2
s ω
=
As 2
2
s ω
(5-33)
B 2
2
s ω
d) Die Nennerfunktion N(s) besitzt mehrfache komplexe Nullstellen. Dieser Fall soll hier nicht behandelt werden. Die vorerst unbekannten Koeffizienten in den Ansätzen können nach verschiedenen Methoden bestimmt werden. Solche Methoden sind die Grenzwertmethode, die Einsetzungsmethode und die Methode des Koeffizientenvergleichs. Diese Methoden können auch kombiniert angewendet werden. Nachfolgend sollen diese Methoden an einigen Beispielen erläutert werden.
Seite 156
Laplace-Transformation
Beispiel 5.24: 1
Die Bildfunktion F ( s ) =
soll zuerst mittels Partialbruchzerlegung umgeformt und dann
s ( s a) rücktransformiert werden. 1
=
s ( s a)
A1
A2
s
Ansatz für die Partialbruchzerlegung
sa
nach Multiplikation des Ansatzes mit dem Nenner
1 = A1 ( s a) A2 s
Anwendung der Grenzwertsätze, denn für s = 0 und s = a ist F(s) nicht definiert: 1=
lim so0
1=
lim soa
ª¬A1 ( s a) A2 sº¼ = A1 a
daraus folgt:
A1 =
ª¬A1 ( s a) A2 sº¼ = A2 a
daraus folgt:
A2 =
1 a 1 a
Damit kann die Bildfunktion in folgender Form dargestellt werden: 1
F ( s) =
a
1
s
1 a
1
sa
Damit kann diese Funktion summandenweise unter Anwendung der inversen Transformation rücktransformiert werden: -1
1
-1
f(t) =L { F ( s) } = -1/a L {
-1
} + 1/a L {
s
1 sa
}
Unter Berücksichtigung der Ergebnisse in Beispiel 5.1 und 5.4 folgt die Funktion im Originalbereich: f ( t) =
1 a
1
1 s1 ( s1 a)
1 a
at
e
=
1 a
at 1 .
e
parfrac s1 o
1 a s1 at
1 s1 ( s1 a)
invlaplace s1 o
e
1 a ( a s1)
1
Partialbruchzerlegung mithilfe von Mathcad
Rücktransformation mit Mathcad
a
Beispiel 5.25: 2
Die Bildfunktion F ( s ) =
2 s 2 s 4 ( s 5)
3
soll zuerst mittels Partialbruchzerlegung umgeformt und dann
rücktransformiert werden. 2
2 s 2 s 4 ( s 5) 2
3
=
A11 s5
A12 ( s 5)
2
A13 ( s 5)
Ansatz für die Partialbruchzerlegung
3
2
2 s 2 s 4 = A11 ( s 5) A12 ( s 5) A13 Mit der Grenzwert- und Einsetzungsmethode ergibt sich dann:
Seite 157
nach Multiplikation des Ansatzes mit dem Nenner
Laplace-Transformation
2 s2 2 s 4
lim
=
ªA ( s 5) 2 A ( s 5) A º 12 13¼ ¬ 11
lim
so5
so5
s=0
4 = 25 A11 5 A12 44
s=1
8 = 36 A11 6 A12 44
daraus folgt:
44 = A13
Aus dem linearen Gleichungssystem folgt A11 = 2 und A12 = 18. Die Bildfunktion hat dann die Darstellung:
ª 1
F ( s) = 2 «
¬
s5
9
( s 5)
2
22
º 3» ( s 5) ¼
Damit kann diese Funktion summandenweise unter Anwendung der inversen Transformation rücktransformiert werden (hier mithilfe von Mathcad): 1
5t
s5
invlaplace s o e
9
5t
( s 5)
2
22
invlaplace s o 9 t e
2
( s 5)
3
5t
invlaplace s o 11 t e
Die Originalfunktion lautet daher:
5t 9 t e 5t 11 t2 e 5t = 2 e 5t 11 t2 9 t 1 .
f ( t) = 2 e 2
2 s1 2 s1 4 ( s1 5)
3
2
2 s 2 s 4 ( s 5)
parfrac s1 o
3
2 s1 5
18
( s1 5)
2
44
( s1 5)
3
invlaplace s 5t 2 o 2 e 11 t 9 t 1 Faktor
Partialbruchzerlegung mithilfe von Mathcad
Rücktransformation mit Mathcad
Beispiel 5.26: Die Bildfunktion F ( s ) =
s3 2 ( s 1) s 6 s 34
soll zuerst mittels Partialbruchzerlegung umgeformt und
dann rücktransformiert werden.
Die Nennerfunktion besitzt eine reelle Wurzel und ein Paar konjugiert komplexer Wurzeln: s3
=
A
Ms N
2 2 s1 ( s 1) s 6 s 34 s 6 s 34 2 s 3 = A s 6 s 34 ( M s N) ( s 1)
Ansatz für die Partialbruchzerlegung
nach Multiplikation des Ansatzes mit dem Nenner
Nach dem Ordnen nach Potenzen von s führen wir einen Koeffizientenvergleich durch: 2
s 3 = ( A M) s ( 6 A M N) s 34 A N
Seite 158
Laplace-Transformation
0=A M
1 = 6 A M N
3 = 34 A N
Aus dem linearen Gleichungssystem folgt A =
4 41
, M=
4
und N =
41
13 41
.
Die Bildfunktion hat dann die Darstellung: 13 · §¨ s ¸ 1 4 s 13 4 1 4 ¨ 1 4 ¸ F ( s) = = 2 2 41 s 1 41 41 ¨ s 1 ¸ s 6 s 34 s 6 s 34 ¹ © Damit kann diese Funktion summandenweise unter Anwendung der inversen Transformation rücktransformiert werden (hier mithilfe von Mathcad): 1
t
invlaplace s o e
s1
s
13 4
3t
invlaplace s o e
2
s 6 s 34
§ ©
¨ cos ( 5 t )
5 sin ( 5 t ) ·
¸ ¹
4
Die Originalfunktion lautet daher: 4
§ 41 ©
f ( t) =
t
3t
¨e e
cos ( 5 t )
5 4
3t
e
· ¹
sin ( 5 t ) ¸ .
Partialbruchzerlegung mithilfe von Mathcad:
s1 3
2
( s1 1) s1 6 s1 34
parfrac s1 o
4 41 ( s1 1)
4 s1 13
2
41 s1 6 s1 34
Rücktransformation mit Mathcad: t
s3
2
( s 1) s 6 s 34
invlaplace s o
4 e 41
3t
4 cos ( 5 t ) e 41
3t
5 sin ( 5 t ) e 41
Beispiel 5.27: Die gegebene Bildfunktion soll mithilfe von Mathcad rücktransformiert werden. 1 s
2
μs
e
1 s
2
νs
e
annehmen μ ! 0 ν ! 0 o t μ μ Φ ( μ t) t Φ ( μ t) t Φ ( t ν) ν Φ ( t ν) invlaplace
Gesuchte Originalfunktion: f ( μ ν t) = t μ μ Φ ( μ t) t Φ ( μ t) t Φ ( t ν) ν Φ ( t ν) Diese Funktion stellt z. B. für P = 0 und Q = 5 eine Rampenfunktion dar.
Seite 159
Laplace-Transformation
5.4 Anwendungen der Laplace-Transformation 5.4.1 Lösungen von Differentialgleichungen Eine direkte Lösung einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten (siehe dazu auch Kapitel 7), die das Verhalten eines Systems im Zeitbereich (Originalbereich) beschreibt, ist oft recht aufwendig. Der Umweg über den Laplacebereich (Bildbereich) bietet eine bequeme Methode zur Lösung einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, zumal auch die Anfangsbedingungen sofort berücksichtigt werden können, ohne erst eine allgemeine Lösung angeben zu müssen. Die physikalischen Größen hängen dann nicht mehr von der Zeit ab, sondern von der Variablen s. Eine Rücktransformation der Lösung in den Zeitbereich erfolgt mithilfe der Partialbruchzerlegung und den erwähnten Transformationstabellen. Es kann aber auch, wie beschrieben, eine Rücktransformation mithilfe von Mathcad versucht werden. Eine Transformation erfolgt dabei nach dem folgenden Schema:
Betrachten wir in der linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten n
¦
k
0
m §¨ ·¸ k d y ( t) ¨ ak dtk ¸ = © ¹ k 0
0
d
¦
§¨ ·¸ k d x ( t) bk ¨ k ¸ dt © ¹
(5-34)
0
y ( t) = y ( t),
d
x ( t) = x ( t) und ak, bk , 0 0 dt dt die Funktion x(t) als einzige Eingangsgröße und y(t) als einzige Ausgangsgröße eines Systems, so beschreibt sie ein lineares zeitinvariantes System (LTI-System; Linear Time-invariant Systems). mit
Jedes durch eine lineare Differentialgleichung beschriebene System ist linear. Sind dabei die Koeffizienten ak und bk konstant, so ist das System zusätzlich zeitinvariant. Ein System heißt linear, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind: a) Verstärkungsprinzip: Ist y(t) das Ausgangssignal zu x(t) und wird das Eingangssignal zu c x(t) verstärkt, so führt dies zur gleichen Verstärkung des Ausgangssignals, also zu c y(t). b) Überlagerungsprinzip: Sind y 1 (t) und y2 (t) die Ausgangssignale zu x1 (t) und x2 (t), so ist y(t) = y1 (t) + y2 (t) das Ausgangssignal zu x(t) = x1 (t) + x2 (t). Ein System heißt zeitinvariant, wenn das Verschiebungsprinzip erfüllt ist: Ein zeitlich später einsetzendes Eingangssignal führt zu einem Ausgangssignal, das mit der gleichen Verspätung einsetzt, sonst aber unverändert bleibt. Da lineare Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten häufig vorkommen, soll deren Lösung nachfolgend noch näher ausgeführt werden.
Seite 160
Laplace-Transformation Die inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ y' ( t) a y ( t) = x ( t)
(5-35)
mit dem Anfangswert y(0) wird mithilfe der Laplace-Transformation gliedweise unter Anwendung des Ableitungssatzes und Superpositionssatzes in die algebraische Gleichung ( s Y ( s ) y ( 0) ) a Y ( s ) = X ( s )
(5-36)
mit der Lösung Y (s) =
X ( s ) y ( 0)
(5-37)
sa
übergeführt ( Y(s) = L { y ( t) } und X(s) =
L{
x ( t) } ). x(t) wird auch Störfunktion genannt.
Die Rücktransformation von Y(s) liefert dann mit den bereits bekannten Methoden die gesuchte Originalfunktion y(t) im Zeitbereich. Bemerkung: Die allgemeine Lösung des Anfangswertproblems lässt sich auch in geschlossener Form wie folgt darstellen: at
at
y( t) = x ( t) * e
y ( 0) e
(5-38)
x(t) * e- a t ist dabei das Faltungsprodukt der Funktion x(t) und e- a t .
Beispiel 5.28: Gesucht ist die Lösung folgender linearen Differentialgleichung 1. Ordnung: d dt
mit dem Anfangswert y(0) = 1
y( t) 2 y ( t) = 2 t 4
( s Y ( s ) 1) 2 Y ( s )
= L { 2 t 4} 2
( s Y ( s ) 1) 2 Y ( s ) =
s Y (s) =
2
2
s ( s 2) 2
2
s ( s 2) y( t) = t
5 2
4 s ( s 2)
4 s ( s 2) 7 2
2
4
1
s2
( 2 )t
Laplacetransformierte algebraische Gleichung
s
Laplace-Transformation der Differentialgleichung
1 s2
nach Y(s) aufgelöste algebraische Gleichung 2t
invlaplace s o t
7 e
2
2t
5 2
inverse Laplace-Transformation mithilfe von Mathcad
gesuchte Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich
e
Lösung der Differentialgleichung in geschlossener Form: y( t) = x ( t) * e
2t
y ( 0) e
Seite 161
Laplace-Transformation Das Faltungsprodukt erhalten wir aus t
t
0
0
t
t
0
0
§ · ´ ´ ´ 2( t τ) 2( t τ ) 2t ¨ ´ 2τ 2τ ¸ µ x ( τ) e dτ = µ ( 2 τ 4) e dτ = e µ 2 τ e dτ µ 4 e dτ ¨¶ ¸ ¶ ¶ ¶
x(t) * e - 2t =
©
¹
Die Gesuchte Lösung der Differentialgleichung ergibt sich dann aus 2t
y( t) = e
t
t
§´ · ´ ¨ 2τ 2τ ¸ 2t µ 2 τ e dτ µ 4 e dτ 1 e ¨¶ ¸ ¶ 0
0
©
2t
y( t) = t
7 e
¹
5
2
vereinfacht auf
2
Beispiel 5.29: Eine homogene Kugel mit dem Radius r und der Dichte UK wird in einer zähen Flüssigkeit mit der Dichte UF und der Zähigkeit K zum Zeitpunkt t = 0s fallengelassen. Unter Berücksichtigung der Schwerkraft G = m g = UK VK g, der Auftriebskraft FA = UF VK g und der Stoke'schen Reibung FR = 6 S K r v erhalten wir die nachfolgend angegebene Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung v(0 s) = 0 m/s. Bestimmen Sie daraus das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz und stellen Sie dieses für D = 1s -1 und E = 1m/s 2 grafisch dar. d dt
inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
v( t) α v( t) = β
D und E sind Konstanten und sind gegeben durch: β
( s V ( s ) 0) α V ( s ) = β
s V ( s) α V ( s) = α 1 s
1
s
s
β α
2
2
ρK ρF g ρK
2 ρK r
Laplacetransformierte algebraische Gleichung
β 1 m s
nach Variable V(s) auflösen und inverse Transformation durchführen
gegebene Werte (ohne Einheiten) Bereichsvariable
αt
1e
β=
αt auflösen V ( s ) β e 1 o invlaplace s α
t 0 s 0.01 s 5 s v( t)
9 η
α=
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz für t t 0 v-t-Diagramm
Geschwindigkeit
2
1.5 β
v( t) m
α
1
1
s
ms
Abb. 5.15
0.5
0
1
2
3 t s Zeit
Seite 162
4
5
Laplace-Transformation
Die inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ y'' ( t) a y' ( t) b y ( t) = x ( t)
(5-39)
mit den Anfangswerten y(0) und y'(0) wird mithilfe der Laplace-Transformation gliedweise unter Anwendung des Ableitungssatzes und Superpositionssatzes in die algebraische Gleichung
s2 Y (s) s y(0) y' (0) a (s Y (s) y(0)) b Y (s) = X (s)
(5-40)
mit der Lösung Y (s) =
X ( s ) y ( 0) ( s a) y' ( 0)
(5-41)
2
s a s b übergeführt ( Y(s) = L { y ( t) } und X(s) =
L{
x( t) }
). x(t) wird auch Störfunktion genannt.
Die Rücktransformation von Y(s) liefert dann mit den bereits bekannten Methoden die gesuchte Originalfunktion y(t) im Zeitbereich. Bemerkung: Die allgemeine Lösung des Anfangswertproblems lässt sich auch in geschlossener Form wie folgt darstellen: y ( t) = x ( t) * f 1 ( t) y ( 0) f2 ( t) y' ( 0) f1 ( t )
(5-42)
x(t) * f1 (t) ist dabei das Faltungsprodukt der Funktion x(t) und f1 (t). Die Funktion f 1 ( t) ist hier die Originalfunktion zu F1 ( s ) = die Funktion f 2 ( t) die Originalfunktion zu F2 ( s ) =
1
s2 a s b
sa 2
und
.
s a s b
Beispiel 5.30: Gesucht ist die Lösung folgender linearen Differentialgleichung 2. Ordnung: 2
d
dt
2
2t
mit dem Anfangswerten y(0) = 0 und y'(0) = 1
y ( t) 2 y' ( t) y ( t) = 3 e
s2 Y (s) s 0 1 2 (s Y (s) 0) Y (s) 2
s Y ( s) 1 2 s Y ( s) Y ( s) =
3 s2
s2 2 s 1 Y (s) = s 3 2 1 = ss 12 Y (s) =
s1
s2 2 s 1 (s 2)
= L { 3 e2t }
Laplace-Transformation der Differentialgleichung
Laplacetransformierte algebraische Gleichung
umgeformte Gleichung
nach Y(s) aufgelöste algebraische Gleichung
Seite 163
Laplace-Transformation
2t
s1
s
2
invlaplace s o
e
2 s 1 ( s 2)
1
y( t) =
2t
e
3
1
3
t
3t 1
e
inverse Laplace-Transformation mithilfe von Mathcad
3
gesuchte Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich
e
Lösung der Differentialgleichung in geschlossener Form: y ( t) = x ( t) * f 1 ( t) y ( 0) f2 ( t) y' ( 0) f1 ( t ) 1
t
t
invlaplace s o t e
2
f1 ( t) = t e
s 2 s 1 s2
t
invlaplace s o e
2
t
( t 1)
f2 ( t) = t e
s 2 s 1
t
e
Das Faltungsprodukt erhalten wir aus: Redefinition
t t
t
´ µ x ( τ) f1 ( t τ) dτ = ¶
x(t) * f1 (t) =
0
t
´ 2τ ( t τ) µ 3 e ( t τ) e dτ ¶ 0
Die gesuchte Lösung der Differentialgleichung lautet dann: t
2t t ´ e e 2τ ( t τ ) t µ y( t) = 3 e ( t τ) e dτ t e o y ( t ) = ¶ 3 3 0
Lösung der Differentialgleichung mithilfe des Faltungssatzes: Y (s) =
s1
2
s 2 s 1 s1 2
1 s2
Die Bildfunktion in ein Produkt zerlegt.
= Y1 ( s ) Y2 ( s ) t
invlaplace s o e
t
f1 = e
s 2 s 1 1 s2
2t
2t
invlaplace s o e
f2 = e
Die gesuchte Originalfunktion y(t) ist dann das Faltungsprodukt der beiden Originalfunktionen: t
y(t)= f 1 (t) * f2 (t) =
2t t ´ τ 2( t τ) e e µ e e dτ o ¶ 3 3 0
Beispiel 5.31: Ein gedämpftes, mechanisches, schwingungsfähiges System mit der Eigenkreisfrequenz Z0 wird durch eine periodische Kraft mit derselben Kreisfrequenz Z0 zu erzwungenen Schwingungen angeregt. Wie lautet die Lösung der nachfolgend angegebenen Schwingungsgleichung mit den Anfangsbedingungen y(0) = 0 und v(0) = y'(0) = 0? Die Lösung ist für Z0 = s -1 und F0 /m = a = 1 m/s 2 grafisch darzustellen.
Seite 164
Laplace-Transformation
2
d
dt
2
2
y ( t) ω0 y ( t) = a cos ω0 t
inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
s2 Y (s) s 0 0 ω02 Y (s) = a 2
s Y ( s ) ω0 Y ( s ) = a 2 2 s ω0 1
y( t) =
2
ω0 1 s 1
y( t)
2
y1 ( t)
1 2
a ω0
t sin ω0 t
1
t sin ω0 t
a ω0
t
o
auflösen Y ( s ) invlaplace s
a t sin t ω0 2 ω0
nach Variable Y(s) auflösen und inverse Transformation durchführen
Weg-Zeit-Gesetz für t t 0 (Resonanzfall)
m s
ω0
Laplacetransformierte algebraische Gleichung
2
a 1
a
2
s ω0
annehmen ω0 ! 0
s
2
s
gegebene Werte
2
Schwingungsgleichung
y2 ( t )
1 2
a ω0
einhüllende Kurven
t
Bereichsvariable
t 0 s 0.001 s 20 s 10 y( t) m
5
y1( t) m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
y2( t) m
5
10 t s
Abb. 5.16
Seite 165
Laplace-Transformation
5.4.2 Laplace-Transformation in der Netzwerkanalyse Für elektrische Netzwerke können, wie nachfolgend dargestellt, die Bauteilgleichungen selbst laplacetransformiert werden:
Beispiel 5.32: Wie reagiert der Strom i(t) in einem R-L-Zweipol auf eine sprunghafte Änderung einer angelegten Spannung u(t) = U0 )(t). Zum Zeitpunkt t = 0 s gilt: i(0 s) = 0 A. Gegebene Daten: Angelegte Spannung: U0 = 100 V Ohm'scher Widerstand: R = 100 : Induktivität: L = 0.3 H Nach Kirchhoff gilt: uL(t) + uR(t) = u(t). Daraus ergibt sich die inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:
Abb. 5.17
L
d dt
i ( t ) R i ( t ) = U0 Φ ( t )
Seite 166
Laplace-Transformation Laplace-Transformation der Differentialgleichung (Netzwerkberechnung im Bildbereich): U0
L s I ( s) R I ( s) =
U0 s
U0
auflösen I ( s ) o
U0
bzw.
s ( R L s)
s ( L s R)
=
U0
invlaplace s o
s ( L s R)
i ( t) =
U0 R
t· § ¨ τ ¸ ©1 e ¹
Rt L
§ ©
s ¨s
1. Inverse Laplace-Transformation mit Mathcad:
§ ¨ U0 © e
L
R·
¸
L¹
· ¸ 1¹
R
mit
τ=
L
Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich
R
2. Lösung unter Verwendung der Residuenformel für die Rücktransformation: Bestimmung der Polstellen:
§R · ¨ L¸ ¨ ¸ © 0 ¹
hat als Lösung(en)
s ( L s R) = 0
Zu bestimmen sind die Residuen von:
U0
st
s ( L s R)
e
Die Residuen werden aus der Laurentreihe bestimmt (Auswertung mit Mathcad): a) Pol bei 0: U0
st
s ( L s R)
e
2 2 § L t · U s §¨ L t L t ·¸ U0 0 2 ¨ R3 2 R 2 ¸ R¸ R s R ¹ ©R ¹ ©
konvertiert in die Reihe
U0 ¨
U0
Residuum:
R
b) Pol bei -R/L: Transformation in einen Pol bei null mit
u=s
u L R
Daraus folgt
s=
t t
Redefinition
R L
L
U0
st
s ( L s R)
U0 e 2
e
ersetzen s =
u L R L
o
t( R Lu) L
U0 e 2
L u R u
t( R Lu)
L
konvertiert in die Reihe
Residuum:
L u R u Rt · § Rt § ¨ ¸ ¨ 2 L L L e te ¨ ¸ ¨L e U0 U0 u ¨ R ¸ ¨ 2 3 R © ¹ © R
Rt 2
L
Rt
t e
Seite 167
2 R
L
L t e 2
R
Rt · L
U0 e R u
Rt
¸ L ¸ U0 e ¸ R u ¹
Rt L
Laplace-Transformation
L -1{ I(s) } =
i ( t) =
¦
=
st
Residuen I ( s ) e
Pole( I( s)
U0 R
U0 100 V
angelegte Spannung
R 100 Ω
Ohm'scher Widerstand
L 0.3 H
Induktivität
τ
L
R
R
e
L
t
Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich
Zeitkonstante
R
ms 10
3
Einheitendefinition
s
t 1 ms 0.99 ms 20 ms
i ( t)
U0
U0 R
t· § ¨ τ ¸ ©1 e ¹
1.5
Bereichsvariable
Einschaltstrom
τ
5τ
ms
ms U0
1
R
i( t)Φ( t)
A
Φ( t) 0.5
0
10
20
t ms
Abb. 5.18 Beispiel 5.33: Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung am Kondensator uC(t) und des Gesamtstromes i(t) beim Einschaltvorgang eines RC-Serienkreises an Gleichspannung U 0 . Zur Zeit t = 0 s soll die Spannung u C(0 s)=0 V sein.
Seite 168
Laplace-Transformation
Gegebene Daten: Angelegte Spannung: U0 = 10 V Ohm'scher Widerstand: R = 10 k: Kapazität: C = 10 PF Nach Kirchhoff gilt: uc (t) + uR(t) = u(t). Daraus ergibt sich die inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: uc ( t) R C
Abb. 5.19
d dt
uc ( t ) = U0 Φ ( t)
Mit W = R C lässt sich die Differentialgleichung umformen in: U0 1 uc ( t) uC ( t) = Φ ( t) τ τ dt d
U0 U0
R R
τ τ
Redefinitionen
Laplace-Transformation der Differentialgleichung (Netzwerkberechnung im Bildbereich): 1
s UC ( s )
τ
UC ( s ) =
U0 τ s
auflösen UC ( s ) o
U0
U0
2
s ( τ s 1)
τ s s
Inverse Laplace-Transformation mit Mathcad: U0 s ( τ s 1)
§ ¨ invlaplace s o U0 © e
t· § ¨ τ ¸ uC ( t) = U0 © 1 e ¹
t τ
=
U0 τ
1
§ ©
s ¨s
· ¸ 1¹
Verlauf der Kondensatorspannung
Der Strom ergibt sich aus: i ( t) = C
d dt
uC ( t)
t· § ¨ τ ¸ uC ( t) = U0 © 1 e ¹
i ( t) = C
U0 R C
mit
d
U0
e uC ( t) = τ dt
t τ
t
e
τ
vereinfacht auf
i ( t) =
U0 10 V
angelegte Spannung
R 10 kΩ
Ohm'scher Widerstand
C 10 μF
Kapazität
Seite 169
U0 R
t
e
τ
Verlauf des Stromes
1·
¸
τ¹
Laplace-Transformation
Zeitkonstante
τ R C
τ
TL 5 τ
TL
0.5 s
I0
1 mA
I0
U0 R
0.1 s
Aufladezeit (Faustregel)
maximaler Strom
t1 0 s
Anfangszeitpunkt
t2 0.6 s
Endzeitpunkt
N 300
Anzahl der Schritte
t2 t1
Δt
Schrittweite
N
Bereichsvariable
t t1 t 1 Δt t 2 t· § ¨ τ ¸ uc ( t) U0 © 1 e ¹
U0
ta ( t)
τ
Funktionsgleichung der Kondensatorspannung
Funktionsgleichung der Anlauftangente
t
U-Kennlinie
Spannung
12 10
u c( t)
τ
TL
s
U0
s
V
8
V
6
ta( t)
4
V
Abb. 5.20
2 0
0
0.2
0.4
0.6
t s Zeit
Wird ein ungeladener Kondensator an eine Gleichspannung gelegt, so ist im ersten Augenblick t = 0 s die Spannung u c = 0 V, weil dieser ein elektrischer Energiespeicher ist ( W = (C U2 )/2) und sich die Spannung nicht plötzlich ändern kann. Im ersten Augenblick ist der Kondensator kurzgeschlossen. Der Kondensator lädt sich erst dann mehr oder weniger rasch nach einer e-Funktion auf und erreicht theoretisch erst nach unendlicher Zeit den Endwert der angelegten Gleichspannung. Für praktische Anwendungen ist ein Kondensator nach einer Ladezeit von ca. TL = 5 W aufgeladen.
i ( t)
U0 R
ta ( t)
t
e
I0 τ
τ
t I0
Funktionsgleichung des Stromes
Funktionsgleichung der abfallenden Tangente
Seite 170
Laplace-Transformation
I-Kennlinie 1.2
Strom
i( t) mA ta( t) mA
1
τ
TL
s
I0
s
mA
0.8 0.6
Abb. 5.21
0.4 0.2 0
0
0.2
0.4
0.6
t s Zeit
Der Strom ist beim Einschalten ein Maximum (= I 0 ) und nimmt nach einer e-Funktion ab. Beispiel 5.34: An einer Serienschaltung mit Widerstand R und Kapazität C wird zum Zeitpunkt t = 0 s eine sinusförmige Wechselspannung u e = Umax sin(Z t + Mu ) angelegt. Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung am Kondensator uC(t) und der Spannung am Widerstand uR(t) sowie des Stromes i(t). Zum Einschaltzeitpunkt t = 0 s muss die Spannung am Kondensator uC(t) null sein, da eine sprungartige Spannungsänderung nicht möglich ist.
Gegebene Daten: Angelegte Spannung: ue (t) = Umax sin(Z t + Mu ) Scheitelwert: Umax = 100 V Frequenz: f = 50 Hz Phasenverschiebung: Mu = 0 Ohm'scher Widerstand: R = 2 k: Kapazität: C = 10 PF
Abb. 5.22 Nach Kirchhoff gilt: uc (t) + uR(t) = ue (t). Daraus ergibt sich die inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: uc ( t) R C
d dt
uc ( t ) = Umax sin ( ω t) Φ ( t)
Mit W = R C lässt sich die Differentialgleichung umformen in Umax 1 uc ( t) uC ( t) = sin ( ω t) Φ ( t) . τ τ dt d
Seite 171
Laplace-Transformation
t t
R R
τ τ Redefinitionen
C C
Laplace-Transformation der Differentialgleichung (Netzwerkberechnung im Bildbereich): Umax τ
Umax ω
sin ( ω t ) Φ ( t) laplace t o
2
τ ω s 1
s UC ( s )
τ
UC ( s ) =
Umax
τ
ω 2
2
s ω
2
rechte Seite laplacetransformiert
Umax ω
auflösen UC ( s ) o
§ ©
τ ¨s
1·
2 2 ¸ ω s τ¹
Inverse Laplace-Transformation mit Mathcad: annehmen ω ! 0
Umax ω 1·
§ ©
τ ¨s
uC ( t) =
¸ τ¹
2
ω s
2
o
invlaplace s
§ ¨ Umax © sin ( ω t ) τ ω e 2
2
t τ
τ
· ¸ τ ω cos ( ω t) ¹
2
τ ω 1
vereinfachen
§ ¨ Umax © sin ( ω t) τ ω e
t
· ¸ τ ω cos ( ω t ) ¹
Lösung der Differentialgleichung Verlauf der Kondensatorspannung
2
τ ω 1
Berechnung von i(t) und uR(t): i ( t) = C
d dt
Kondensatorspannung
Gesamtstrom
uC ( t)
§ ¨ Umax © sin ( ω t) τ ω e 2
t
· ¸ τ ω cos ( ω t) ¹
τ
durch Differenzierung, ergibt
2
τ ω 1
§ ¨ Umax © ω cos ( ω t) ω e 2
t τ
· ¸ 2 τ ω sin ( ω t ) ¹
Ableitung der Kondensatorspannung
2
τ ω 1
i ( t) = C
d dt
uC ( t) = C
§ ¨ Umax © ω cos ( ω t) ω e 2
t τ
· ¸ τ ω sin ( ω t ) ¹ 2
Gesamtstrom
2
τ ω 1
Spannung am Widerstand: uR ( t) = R i ( t )
uR ( t) = R
§ ¨ Umax © ω cos ( ω t) ω e 2
t τ
· ¸ 2 τ ω sin ( ω t ) ¹
2
τ ω 1
Seite 172
Spannung am Widerstand
Laplace-Transformation
Frequenz der Eingangsspannung
f 50 Hz ω 2 π f
ω
314.159 s
1
Winkelgeschwindigkeit
Umax 100 V
Amplitude der Eingangsspannung
φu 0 Grad
Phasenwinkel der Eingangsspannung
ue ( t) Umax sin ω t φu
Eingangsspannung
R 2 kΩ
Widerstand
C 10 μF
Kapazität
τ R C
τ
Zeitkonstante
0.02 s
t1 0 s
Anfangszeitpunkt
t2 0.1 s
Endzeitpunkt
N 800
Anzahl der Schritte
Δt
t2 t1
Schrittweite
N
Bereichsvariable
t t1 t 1 Δt t 2 ms 10
3
i ( t) C
Einheitendefinition
s
§ ¨ Umax © ω cos ( ω t ) ω e 2
t τ
· ¸ τ ω sin ( ω t ) ¹ 2
Gesamtstrom
2
τ ω 1
uR ( t) R
uC ( t)
§ ¨ Umax © ω cos ( ω t ) ω e 2
t τ
· ¸ τ ω sin ( ω t) ¹ 2
Spannung am Widerstand
2
τ ω 1
§ ¨ Umax © sin ( ω t) τ ω e 2
t τ
· ¸ τ ω cos ( ω t) ¹
2
τ ω 1
Die Kondensatorspannung uC(t) kann in uCein(t) und in uCstat(t) zerlegt werden: uC ( t) = uCein ( t) uCstat ( t)
Seite 173
Spannung am Kondensator
Laplace-Transformation
t
uCein ( t) Umax
uCstat ( t) Umax
τ e
τ
ω
2
Ausgleichsglied der Kondensatorspannung
2
1 τ ω
τ ω cos ( ω t) sin ( ω t ) 2
stationäres Glied der Kondensatorspannung
2
1 τ ω
Spannung am Kondensator beim Einschalten 40 u Cein( t)
τ
5τ
ms
ms
30
V u Cstat( t)
20
Spannung
V u C( t)
10
V u Cein( t) u Cein( 0s) V u Cein( t) u Cein( 0s) V
0
20
40
60
80
100
10
20 t ms Zeit Ausgleichsspannung stationäre Spannung Gesamtspannung Begrenzungslinie Begrenzungslinie
Abb. 5.23 Die Ausgleichsspannung uCein ist so groß, dass zum Einschaltzeitpunkt t = 0 s der Spannung am Kondensator uC(0 s) = 0 V beträgt (in der Anfangsbedingung festgelegt). Nach theoretisch unendlich langer Zeit verschwindet die Ausgleichsspannung. Die Lösung entspricht der Lösung der homogenen Differentialgleichung. Die stationäre Spannung uCstat ist jene Spannung, die sich theoretisch nach unendlich langer Zeit einstellt; praktisch wird sie nach t = 5 W erreicht. Die Lösung entspricht der partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.
Seite 174
Laplace-Transformation
5.4.3 Übertragungsverhalten von Systemen Aus praktischen Problemen der Elektrotechnik hat sich die Systemtheorie entwickelt. Wichtige Anwendungsgebiete liegen im Entwurf und in der Analyse elektrischer Netzwerke, in der Nachrichtenübertragung, in der Regelungstechnik und in der Messtechnik vor. Das Kerngebiet der Systemtheorie bilden sogenannte LTI-Systeme, die bereits kurz im Abschnitt 5.3.1 beschrieben wurden. Unter der Annahme verschwindender Anfangsbedingungen (y(0) = 0, y' (0) = 0, ...) kann die lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, die ein LTI-System beschreiben, mithilfe des Ableitungssatzes einfach laplacetransformiert werden: n
§ a sk Y ( s) · = © k ¹
¦
k
0
m
¦
k
§ b sk X (s)· © k ¹
(5-47)
0
Diese algebraische Gleichung in s kann nun umgeformt werden: n
Y ( s ) § an s an1 s ©
n1
.... a1 s a0· = X ( s ) § bm s ¹ ©
m
bm1 s
m 1
.... b1 s a0· ¹
§ b sm bm1 sm1 .... b s b · 1 0¹ © m Y (s) = X ( s) § a sn an1 sn1 .... a s a · 1 0¹ © n
(5-48)
Bezeichnen wir den Quotienten mit G(s), so kann die Gleichung in folgender Form geschrieben werden: Y ( s) = G ( s) X ( s) G ( s) =
(5-49)
Y (s)
(5-50)
X (s)
G(s) heißt Übertragungsfunktion und beschreibt das dynamische Verhalten eines linearen zeitinvarianten Systems vollständig. Der Vorteil dieser Vorgangsweise liegt darin, dass die Übertragungsfunktion G(s) bei einem energielosen Übertragungsglied verhältnismäßig leicht gebildet werden kann. Die Übertragungsfunktion G(s) hängt nur von der Art des Systems und seiner Kenngrößen ab. Sie ist unabhängig vom Eingangssignal x(t), d. h., mittels der vorhergehenden Gleichung kann für alle Eingangssignale x(t), aus denen X(s) mittels Laplace-Transformation gewonnen werden kann, das Ausgangssignal Y(s) und daraus durch Rücktransformation die Ausgangszeitfunktion y(t) bestimmt werden. In der Praxis wird G(s) oft auch noch durch an oder a0 dividiert (normierte Darstellung): bm G ( s) =
an
s n
m
s
bm1 an
an1 an
s
s
m 1
n1
....
....
a1 an
b1 an
s
s
a0
b0 an
bm =
an
a0
s
an a0
m
n
s
bm1 a0 an1 a0
s
m 1
s
n1
....
....
b1 a0 a1 a0
s
b0 a0
s1
Mit der Übertragungsfunktion können drei Grundaufgaben formuliert werden: Y ( s ) = G ( s ) X ( s ) ... Analyse X ( s ) =
1 G (s)
Y ( s ) ... Synthese G ( s ) =
Seite 175
Y (s) X (s)
... Identifikation
.
Laplace-Transformation
Bei Kenntnis der Übertragungsfunktion G(s) kann daher nach folgendem Schema für jedes Eingangssignal x(t) das Ausgangssignal y(t) berechnet werden:
Eine Rücktransformation der Lösung in den Zeitbereich kann, wie bereits bekannt ist, recht rechenaufwendig sein. Meist ist sie aber gar nicht erforderlich, weil sehr viele Systemeigenschaften (z. B. Einschwingverhalten, Stabilität und Stationärverhalten) direkt im Laplacebereich erkennbar sind. Von den vorhergehenden Herleitungen ist zu erkennen, dass Laplacetransformierte von Differentialgleichungen allgemein als Quotienten zweier Polynome darstellbar sind. Ein Polynom kann aber alternativ als Produkt von Ausdrücken der Form (s - sn) mit Nullstellen sn geschrieben werden. Die Nullstellen des Nenners stellen somit die Polstellen der gebrochenrationalen Funktion dar. Sie können reell oder konjugiert komplex, einfach oder mehrfach sein. Stabilität bedeutet im Folgenden, dass bei Anregung mit endlicher Größe (z. B. Sprung) das Ausgangssignal für alle Zeiten begrenzt (d. h. < ∞) bleibt. Die Stabilität eines linearen zeitinvarianten Systems wird meist durch die Polstellen der Übertragungsfunktion bestimmt: a) Es ist genau dann stabil, wenn alle Polstellen einen negativen Realteil haben, d. h. in der linken Halbebene der Gauß'schen Zahlenebene liegen; b) Instabil, wenn mindestens ein Pol einen positiven Realteil hat, d. h. in der rechten Halbebene der Gauß'schen Zahlenebene liegt (oder auch mehrfache Pole auf der imaginären Achse); c) Es befindet sich an der Stabilitätsgrenze, wenn keine Pole in der rechten Halbebene, aber einfache Pole auf der imaginären Achse liegen. Bemerkungen: Im Zeitbereich ist der Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal x(t) mit x(t) = 0 für t < 0 und dem Ausgangssignal y(t) durch das oft aufwendig zu lösende Faltungsintegral gegeben: t
´ y ( t) = µ g ( t τ) x ( τ) dτ ¶
(5-51)
0
g(t) ist dabei die sogenannte Gewichtsfunktion, die inverse Laplacetransformierte der Übertragungsfunktion G(s). Eine weitere oft in den Anwendungen benützte Kenngröße zur Beschreibung von LTI-Systemen ist der Frequenzgang G(j Z), der als die Übertragungsfunktion G(s) auf der imaginären Achse definiert ist. Wird ein lineares zeitinvariantes System mit einer sinus- oder kosinusförmigen Eingangsgröße angeregt, so ist die Ausgangsgröße ebenfalls eine sinus- oder kosinusförmige Größe mit derselben Frequenz, aber im Allgemeinen mit einer anderen Amplitude und anderen Phasenlage. Wollen wir das Frequenzverhalten im komplexen Zahlenbereich eines linearen zeitinvarianten Systems auf eine sinusförmige Eingangsgröße im eingeschwungenen Zustand untersuchen, so braucht in der laplacetransformierten Gleichung Y(s) = G(s) X(s) die Variable s nur durch j Z ersetzt werden. Wir erhalten dann (siehe dazu auch Band 1, Abschnitt 2.4.4): Y(j Z) = G(j Z) X(j Z)
(5-52)
Seite 176
Laplace-Transformation Beispiel 5.35: Übertragungsverhalten eines Differenziergliedes. Unter der Annahme, das System ist energielos zum Zeitpunkt t = 0, ist das Verhalten der nachfolgenden Schaltung mit R = 100 : und C = 2 nF beim Anlegen eines Rechteckimpulses mit U 0 = 10 V und der Impulsbreite T1 = 10 -7 s gesucht.
Abb. 5.24
Analog zum Ohm'schen Gesetz gilt: I ( s) =
Ue ( s ) R
1
vereinfacht auf
C I ( s ) = Ue ( s ) s R s C 1
sC
Ua ( s ) = R I ( s )
R s C Ua ( s ) = Ue ( s ) = G ( s ) Ue ( s ) R s C 1
G(s) ... Übertragungsfunktion
Wie hier zu erkennen ist, kann auf das Aufstellen der zugehörigen Differentialgleichung verzichtet werden! Mit W = R C und Ue (s) folgt: sa · § 1 e sa · §¨ 1 e ¸ ¨ ¸ Ua ( s ) = U0 = U0 ¨ s sτ 1 © 1 1¸ ¹ ¨s τ s τ ¸ © ¹
sτ
Laplacetransformierte der Lösungsfunktion
Rücktransformation mithilfe von Mathcad: a a
U0 U0
τ τ
sT1 · §¨ ¸ sτ 1 e ¨ ¸ U0 sτ 1 © s ¹
Redefinitionen annehmen T1 ! 0 U0 ! 0
o U0 e
invlaplace s
t τ
§ T1 ¨ τ ¨e Φ t T1 ©
vereinfachen
t T1 º ª t « » τ τ « » ua t τ T1 U0 U0 e Φ t T1 e ¬ ¼
Seite 177
Ausgangsspannung
· ¸ 1¸ ¹
Laplace-Transformation
U0 10 V
Maximalwert des Spannungsimpulses
R 100 Ω
Ohm'scher Widerstand
C 2 nF
Kapazität
μs 10
6
Einheitendefinition
s
τ R C T1 1 10
τ 7
s
t 0 s 1 10
9
T1
0.2 μs 0.1 μs
Zeitkonstante Impulsbreite Bereichsvariable
s 2 τ
Differenzierglied 10
τ μs
5
ua t τ T1 U 0
V
Abb. 5.25 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
5 t μs
Beispiel 5.36: Ermitteln Sie mithilfe der Laplace-Transformation den Zeitverlauf der Ausgangsgröße eines DT2 -Gliedes bei einer sprungartigen Änderung des Eingangssignals.
Gegebene Daten: Eingangssignal: ue (t) = 1 V )(t) Ohm'scher Widerstand: R1 = 100 k: Ohm'scher Widerstand: R2 = 10 M: Kapazität: C1 = 10 nF Kapazität: C2 = 50 pF
Abb. 5.26
Seite 178
Laplace-Transformation
Auffinden der Übertragungsfunktion mithilfe der Laplace-Transformation: 1 · § Ue ( s ) = Ie ( s ) ¨ R1 ¸ s C1
©
Ua ( s ) = Ie ( s )
vereinfacht auf
¹
1 R2 s C2 1
Ue ( s ) = Ie ( s )
R1 s C1 1
Eingangsfunktion
s C1
R2 Ua ( s ) = Ie ( s ) R2 s C2 1
vereinfacht auf
R2 s C2
Ausgangsfunktion
Die Übertragungsfunktion ergibt sich dann zu:
Ua ( s ) Ue ( s )
G ( s) =
R2 ersetzen Ua ( s ) = I e ( s ) R2 s C2 1 C1 R2 s o R1 s C1 1 C1 R1 s 1 C2 R2 s 1 ersetzen Ue ( s ) = Ie ( s ) s C1
Ua ( s ) Ue ( s )
=
C1 R2 s
C1 R1 s 1 C2 R2 s 1
Übertragungsfunktion
Ausgangsspannung Ua (s) im Laplacebereich: Ua ( s ) = G ( s ) Ue ( s )
Ausgangsspannung im Laplace-Bereich
1 Ue ( s ) = s
Laplacetransformierte Sprungfunktion )(t) der Eingangsspannung (die Einheit Volt wird hier weggelassen)
C1 R2 s 1 Ua ( s ) = C1 R1 s 1 C2 R2 s 1 s
C1 R2 Ua ( s ) = C1 R1 s 1 C2 R2 s 1
Ausgangsspannung im Laplacebereich
§ 1 · ¨ C R ¸ 1 1 C1 R1 s 1 C2 R2 s 1 = 0 auflösen s o ¨¨ 1 ¸¸ ¨C R ¸ © 2 2¹
Die Polstellen sind negativ.
Besitzt die Übertragungsfunktion negative reelle Polstellen, so ist das zugehörige System nicht schwingungsfähig. Die Realteile sind negativ, daher ist das System stabil (siehe Beschreibung oben).
Seite 179
Laplace-Transformation
Ausgangsspannung ua (t) im Zeitbereich:
C1 R2
hat inverse Laplace-Transformation
C1 R1 s 1 C2 R2 s 1
C1 R2 e
t C1R1
C1 R2 e
t C 2R 2
C1 R1 C2 R2
Durch Multiplikation mit dem Einheitssprung der Eingangsspannung erhalten wir schließlich die Ausgangsspannung u 2 (t):
ua ( t) =
C1 R2 e
t C 1R 1
t
C2R2
C1 R2 e
Φ ( t) V
C1 R1 C2 R2
Durch Umformung und Herausheben ergibt sich schließlich die Ausgangsspannung zu:
R2 C1
u2 ( t) = R2 C2 R1 C1
§¨ ¨ ©e
t R 1C 1
t
·¸
R2C2 ¸
¹ Φ ( t) V
e
Ausgangsspannung im Zeitbereich
Mithilfe der Grenzwertsätze soll der Anfangswert und der Endwert der Bildfunktion Ua (s) ermittelt werden und mit der Originalfunktion ua (t) verglichen werden: lim so∞
lim so0
C1 R2 ª« »º o 0 s «¬ C1 R1 s 1 C2 R2 s 1 »¼
Anfangswert
C1 R2 ª« »º o 0 s «¬ C1 R1 s 1 C2 R2 s 1 »¼
Endwert
Es gilt, wie wir uns leicht überzeugen können: Anfangswerttheorem: f ( 0) =
lim
f ( t) =
Endwerttheorem: lim
so∞
to0
s Ua (s)
f ( ∞) =
lim
f ( t) =
to∞
lim so0
s Ua (s)
Grafische Darstellung der Ausgangsspannung: R1 100 kΩ
Ohm'scher Widerstand
R2 10 MΩ
Ohm'scher Widerstand
C1 10 nF
Kapazität
C2 50 pF
Kapazität
ua ( t)
R2 C1 R2 C2 R1 C1
§¨ ¨ ©e
t R1C1
e
t
·¸
R 2C 2 ¸
¹ Φ ( t) V
Seite 180
Ausgangsspannung (Sprungantwort)
Laplace-Transformation
ms 10
3
Einheitendefinition
s
Bereichsvariable (Zeitbereich)
t 0 s 0.01 ms 6 ms
Sprungantwort (Ausgangsspannung) 0
2
4
6
10
ua ( t) V
20
Abb. 5.27
30
40
50 t ms
Die Sprungantwort ist ein kurzer negativer Spannungsimpuls. Beispiel 5.37: Es soll das Verhalten eines aktiven Tiefpassfilters 2. Ordnung (RLC-Tiefpass) ausführlich untersucht und analysiert werden.
Abb. 5.28
a) Untersuchen Sie die Sprungantwort des Tiefpasses auf eine Gleichspannung mit Amplitude U0 = 1 V, R = 20 :und für verschiedene Widerstandswerte zwischen 0 : und 100 :L = 1PF und C = 1PF. Berechnen Sie ferner jenen Widerstand R, der (bei gleichbleibenden anderen Werten) zum aperiodischen Grenzfall führt. Erklären und demonstrieren Sie auch den Zusammenhang der Lösung mit den Polstellen der Übertragungsfunktion. b) Bestimmen Sie den Amplitudengang und Phasengang der komplexen Übertragungsfunktion G(s) und stellen Sie diese im Bereich von f = 0.01 Hz und f = 10 MHz in einem Bode-Diagramm dar. Berechnen Sie weiters die Grenzfrequenz und untersuchen Sie den Einfluss des Widerstandes R = 4 k: (100 R; Raper; R /1000). c) Interpretieren Sie das Bode-Diagramm hinsichtlich Resonanz bzw. Resonanzüberhöhung bei Widerstandswerten zwischen 0 : und 100 :.
Seite 181
Laplace-Transformation
a) Auffinden der Übertragungsfunktion mithilfe der Laplace-Transformation und Aufsuchen der Sprungantwort des Systems. Für die Serienschaltung von R, L und C gilt: Z1 = R j ω L
Für die Parallelschaltung von C gilt:
1
1
j ω C
Z2
=
1
1
Z2 =
1
j ω C
jωC
Die komplexe Übertragungsfunktion G(s) lautet daher: 1
G ( s) =
Ua ( s )
=
Ue ( s )
Z2 Z1
sC
=
vereinfacht auf
1
R sL
G ( s) =
Ue ( s )
=
Z2 Z1
1
=
2
L s C R C s 1
sC
1
G ( s) =
Ua ( s )
Übertragungsfunktion des Systems
2
L s C R C s 1 U0 U0
t t
R R
L L
Redefinitionen
C C
Am Eingang des Tiefpasses wird der Einheitssprung (Heavisidefunktion) angelegt: U0 U0 Φ ( t) laplace t o s
ue ( t) = U0 Φ ( t)
Laplacetransformierter Einheitssprung
Die Laplacetransformierte des Ausgangssignals (die Sprungantwort) lautet damit: Ua ( s ) = G ( s ) Ue ( s ) =
1 2
L s C R C s 1 1
Setzen wir a = τ = R C , b =
U0
=
2
b s a s 1
1 s
U0
Lösung im Bildbereich
s R
2
2
ω0
Ua ( s ) =
= L C und τ ω0 =
U0
1
2
2
=
s τ s 1
= 2 δ, so ergibt sich das Ausgangssignal zu:
L
1 s
2
U0 ω0
2
2
2
1
=
s
s τ ω0 s ω0
2
U0 ω0 2
2
s 2 δ s ω0
ω0 1
2
U0 ω0
1
2
U0 ω0
1
2
U0 ω0
Ua ( s ) = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 s s s s 2 δ s ω0 s 2 δ s δ ω0 δ ( s δ) ω
ω=
2
2
ω0 δ
Daraus erhalten wir mittels inverser Laplace-Transformation die Sprungantwort des Systems im Zeitbereich: Versuchen wir mit Mathcad eine Rücktransformation, so ergibt sich leider ein sehr langer Ausdruck, der sich nicht vereinfachen lässt. Wir verwenden zur Rücktransformation daher hier eine Laplace-Transformationstabelle (z. B. von O. Greuel): Für 4b > a2 gilt:
ª« u1a t a b U0 U0 «1 e « ¬
a 2b
t
§ §¨ 4 b a2 ·¸ §¨ 4 b a2 ·¸ ·»º a ¨ sin ¨ t¸ cos ¨ t¸ ¸» ¨ 2 b 2 b 2 © ¹ © ¹ ¸» © 4 b a ¹¼ Seite 182
Laplace-Transformation
Für 4b < a2 gilt:
ª« u2a t a b U0 U0 «1 e « ¬
a 2b
t
§ §¨ 2 4 b ·¸ §¨ 2 4 b ·¸ ·º» a a a ¨ sinh ¨ t¸ cosh ¨ t¸ ¸» ¨ 2 2 b 2 b © ¹ © ¹ ¸» © a 4 b ¹¼
Für 4b = a2 gilt:
ª « u3a t a b U0 U0 «1 e ¬
a 2b
t
§ a t ¨ ©2 b
º » · 1¸» ¹¼
Die Sprungantwort lautet daher:
ua t a b U0
u2a t a b U0 u3a t a b U0
u1a t a b U0
2
if 4 b a ! 0 2
if 4 b a 0 otherwise
Einfluss des Widerstandes auf die Sprungantwort: Die Polstellen der Übertragungsfunktion (sie entsprechen den Nullstellen der charakteristischen Gleichung der Differentialgleichung im Zeitbereich) geben Auskunft über die verschiedenen Schwingungszustände der Sprungantwort des Systems. 2
Nenner ( R L C) L s C R C s 1
Nenner der Übertragungsfunktion
ª« C 4 L C R2 º C R » « » 2 2 « » C L « » Polstellen ( R L C) Nenner ( R L C) = 0 auflösen s o « » 2 « C 4 L C R C R » « 2 » 2 « » C L ¬ ¼ Berechnung des aperiodischen Grenzfalles: Ein aperiodischer Grenzfall liegt dann vor, wenn die Polstelle eine reelle Doppellösung aufweist (das ist der Übergang von zwei komplexen Lösungen zu zwei reellen Lösungen). Zur Berechnung wird der Ausdruck unter der Wurzel (Diskriminante) in den Polstellen gleich 0 gesetzt. Wir erhalten dann:
§ 2 L · ¨ ¸ C ¸ 2 2 ¨ Raper C R 4 C L = 0 auflösen R o ¨ 2 L ¸ ¨ ¸ C ¹ ©
Seite 183
Nur die positive Lösung ist von Interesse!
Laplace-Transformation
2
Raper ( L C)
C L
Funktion zur Berechnung des Widerstandes für den aperiodischen Fall
C
gegebene Daten
R 20 Ω
L 1 mH
C 1 μF
Raper ( L C)
63.246 Ω
Widerstand für den aperiodischen Fall
ms 10
3
Einheitendefinition
s
τ R C
τ
0.02 ms
b L C
b
1 u 10
τ
t 0 s
100
Zeitkonstante a = W
9 2
ω0
s
1 b
ω0
31622.777
1
Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
s
Bereichsvariable für die Zeit
50 τ
ua t 0ΩC b U0
U0 1 V
V
ua t 10ΩC b U0
1.5
V
ua t 20ΩC b U0
U0
1
V
ua t Raper( L C )C b U 0
V
V
ua t 100ΩC b U 0
0.5
V
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t ms
Abb. 5.29 Ist R kleiner als im aperiodischen Grenzfall, dann schwingt das System (leichtes bis starkes Überschwingen). Ist R = 0 :, so ist das System ungedämpft und schwingt mit einer bestimmten Frequenz. Ist R > Raper, so ist das System stärker gedämpft und die Sprungantwort geht langsam auf das Niveau der Eingangsspannung. Dies liegt daran, dass durch den höheren Widerstand ein kleinerer Strom fließt. Zusammenhang zwischen den Lösungsfällen und den Polstellen der Übertragungsfunktion: Der Zusammenhang zwischen den Lösungsfällen und den Polstellen soll über eine Videoanimation (FRAME von 0 bis 100) nachfolgend veranschaulicht werden: R ( 100 FRAME ) Ω
Widerstand mit der FRAME-Variable
Seite 184
Laplace-Transformation
P Polstellen ( R L C)
P
§ 11270.167 · 1 ¨ ¸ © 88729.833 ¹ s
Polstellen der Übertragungsfunktion
Polstellen 40000
Im P0
20000
1
s
100000
Im P1
50000
0
1
s
Abb. 5.30
20000 40000
Re P0 1
s
Re P1 1
s
Sprungantwort 2
ua t RC b U 0
1.5
V
ua t Raper( L C )C b U 0
U0
1
V
Abb. 5.31
V 0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
t ms
Für R > Raper : 2 reelle Polstellen in der Übertragungsfunktion - daher aperiodische Systemantwort. Für R = Raper : 1 reelle Polstelle (Doppellösung) in der Übertragungsfunktion - daher aperiodischer Grenzfall. Für R < Raper : 2 konjugiert komplexe Polstellen in der Übertragungsfunktion - daher gedämpfte Schwingung als Systemantwort. Für R = 0 : : Die Polstellen sind rein imaginär - daher ungedämpfte Schwingung als Systemantwort. b) Bestimmen Sie den Amplitudengang und Phasengang der komplexen Übertragungsfunktion G(s) und stellen Sie diesen im Bereich von f = 0.01 Hz und f = 10 MHz in einem Bode-Diagramm dar. Berechnen Sie weiters die Grenzfrequenz und untersuchen Sie den Einfluss des Widerstandes R = 4 k: (100 R; Raper; R /1000). G ( s R L C)
1 2
Übertragungsfunktion des Systems
L s C R C s 1
Seite 185
Laplace-Transformation
R R
L L
C C
f f
Redefinitionen
In der Übertragungsfunktion wird zuerst s durch 2 Sf j ersetzt: 1
G ( f R L C) G ( s R L C) ersetzen s = 2 π f j o
2
2
1 4 π C L f 2j π C R f Amplitudengang: 1
annehmen f ! 0 R ! 0 A ( f R L C)
2 ª 2 2 2 2 2 2º annehmen L ! 0 C ! 0o ¬ 4 π C L f 1 4 π C R f ¼
G ( f R L C)
vereinfachen Phasengang: φ ( f R L C) arg ( G ( f R L C) )
annehmen f ! 0 R ! 0
1
§
· ¸ © 1 4 π C L f 2j π C R f ¹
o arg ¨ annehmen L ! 0 C ! 0
2
2
Berechnung der Grenzfrequenzen (Knickfrequenzen) aus den Polstellen des Amplitudenganges: R 4000
L 10
3
§ f1 · ¨ ¸ ¨ f2 ¸ ª 2 2 ¨ ¸ ¬ 1 4 π C L f ¨ f3 ¸ ¨ ¸ © f4 ¹
C 10
Gegebene Daten ohne Einheiten zur Lösung der Gleichung
6
1
2
2
2
2
4 π C R f
2º
2
¼ =0
§ 636579.9811j · ¨ ¸ auflösen f 636579.9811j ¸ ¨ o Gleitkommazahl 10 ¨ 39.79122288j ¸ ¨ ¸ © 39.79122288j ¹
Die Lösung der Gleichung liefert zwei positive Grenzfrequenzen:
f gr1
39.791 Hz
f gr2
6.366 u 10 Hz
f gr1 Im f4 Hz f gr2 Im f2 Hz R 4 kΩ
L mH
untere Grenzfrequenz 5
obere Grenzfrequenz gegebene Daten
C μF
f min 0.01 Hz
kleinste Frequenz
f max 10 MHz
größte Frequenz
N 500
Anzahl der Schritte
§ fmax ·¸ ¨© fmin ¸¹
log ¨ Δf
Schrittweite
N
Bereichsvariable
k 0 N
Seite 186
2
Laplace-Transformation
f k f min 10
kΔf
Vektor der Frequenzwerte AdB = 20 log(ua /ue )
AdB ( x) 20 log ( x)
§¨ ¨ dB3 20 log ¨ ©
Definition einer Dämpfungsfunktion in dB:
U0
·¸ V ¸ ¸ 2 ¹
dB3
Abfall um 3 dB
3.01
Amplitudengang 20 10 0 AdB A fk R L C 10 20 30 AdB A fk 100R L C 40 50 60 AdB A fk Raper( L C ) L C 70 80 90 R § § · · 100 AdB¨A¨fk L C¸¸ 110 © © 1000 ¹¹ 120 130 140 150 0.01
fgr1
dB 3
Hz
0.1
1
10
3
100
1u 10
4
1u 10
fk
fgr2
Hz
Hz
5
1u 10
6
1u 10
7
1u 10
Frequenz in Hz
Abb. 5.32 Phasengang 20 10 0 φ fk R L C 10 20 Grad 30 40 φ fk 100R L C 50 60 Grad 70 80 φ fk Raper( L C ) L C 90 100 Grad 110 120 130 R § · 140 φ¨fk L C¸ 150 © 1000 ¹ 160 Grad 170 180 190 200 0.01
fgr1
Hz
90
180 0.1
1
10
3
100
1u 10 fk
fgr2
Hz
Hz
Frequenz in Hz
Abb. 5.33
Seite 187
4
1u 10
5
1u 10
6
1u 10
7
1u 10
Laplace-Transformation
Die Grenzfrequenz wird dann erreicht, wenn die Amplitude auf -3 dB abgesunken ist. Der vorliegende Tiefpass ist ein Tiefpass 2. Ordnung, daher gibt es zwei Knickfrequenzen. Dadurch gibt es einen Bereich nach der 1. Knickfrequenz, indem der Amplitudengang mit 20 dB pro Dekade fällt, und einen Bereich nach der 2. Knickfrequenz, wo der Amplitudengang mit 40 dB pro Dekade fällt. Zwischen den Knickfrequenzen liegt eine reelle Doppellösung (aperiodischer Grenzfall), wo die 2 Knickfrequenzen so weit zusammengerückt sind, dass sie sich überlagern. Wir können nun den Bereich der -20dB pro Dekade nicht mehr erkennen. Grundsätzlich können wir sagen, dass der Widerstand die Dämpfung der Übertragungsfunktion beeinflusst. c) Interpretieren Sie das Bode-Diagramm hinsichtlich Resonanz bzw. Resonanzüberhöhung bei Widerstandswerten zwischen 0 : und 100 :. R R
L L
Redefinitionen
C C
Resonanz entsteht dann, wenn es ein Maximum in der Übertragungsfunktion gibt. Ein solches Maximum ergibt sich nur dann, wenn die Polstelle eine konjugiert komplexe Polstelle ist. Die Frage ist nun, bei welcher Frequenz nimmt der Amplitudengang ein Maximum an? Dazu bilden wir die erste Ableitung, setzen sie gleich null und lösen die Gleichung nach der Frequenz f auf: 1
A ( f R L C)
1
ª 2 2 ¬ 1 4 π C L f
2
2 2 2 2º 4 π C R f ¼
0 § ¨ ¨ 2 2 C L C2 R2 d ¨ 4 π C L A ( f R L C) auflösen f o ¨ df ¨ 2 2 ¨ 2 2 C L C R 4 π C L © 2
f res ( R L C) =
2
· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹
2
2 C L C R
2
Amplitudengang
Von diesen Lösungen kommt nur die positive Lösung in Betracht.
gesuchte Resonanzfrequenz
4 π C L
Dieser Ausdruck lässt sich noch händisch vereinfachen zu:
f res ( R L C) =
1 π
2
2
4 C L 2 C R
2
2
2
4 C L
=
1 π
2 § R C· ¨ ¸= 1 1 4 L C © 2 L ¹ 2 π
1
1 L C
2
1
R C 2 L
Berücksichtigen wir noch den Dämpfungsgrad D und die Kreisfrequenz Z0 der ungedämpften Schwingung, so erhalten wir die Resonanzfrequenz in vereinfachter Form: D ( R L C)
R Raper ( L C)
D ( R L C) o
C R 2
C L
Seite 188
Laplace-Transformation
C R
D ( R L C)
2
Dämpfungsgrad (ein Maß für die relative Dämpfung eines Ausgleichsvorganges)
C L
1
ω0 ( L C)
Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
L C
f res ( R L C)
ω0 ( L C) 2 π
1 2 D ( R L C)
2
Resonanzfrequenz
1
Das Ergebnis zeigt, dass die Resonanzfrequenz fres für
C L
f res ( 0 L C) o
R > 0 :immer kleiner ist als f0 = Z0 /2S, welche
2 π
gleichzeitig die Resonanzfrequenz für R = 0 : darstellt.
Berechnung der Resonanzüberhöhung: Resonanzüberhöhung tritt auf, wenn die Resonanzfrequenz einen positiven reellen Wert hat. Dies ist der Fall, wenn die Diskriminante in der Gleichung zur Berechnung der Resonanzfrequenz größer 0 ist. Bei einem komplexen Ergebnis der Wurzel tritt keine Resonanz auf!
§ 2 L · ¨ ¸ C 2 ¨ ¸ R 1 2 D ( R L C) = 0 auflösen R o ¨ 2 L ¸ ¨ ¸ C ¹ © RGrRes ( L C) R0
44.721 Ω
RGrRes ( L C)
Nur die positive Lösung ist von Interesse.
Grenzwiderstand Resonanzüberhöhung (Amplitudenberechnung)
Ares ( R L C) A f res ( R L C) R L C R1 0 Ω
f res0 f res R1 L C f0
f res0
ω0 ( L C)
f0
2 π
A fres R1 L C R1 L C
3
5.033 u 10 Hz 3
5.033 u 10 Hz
4.504 u 10
Bei diesem Spezialfall gibt es keine Dämpfung (R = 0 :!). Deshalb tritt in der Amplitudenfunktion eine Singularität auf! Mathcad zeigt hier einen sehr hohen Wert an.
15
Die Polstellen des Amplitudenganges sind konjugiert komplex!
§ 31622.777i · 1 ¨ ¸ © 31622.777i ¹ s
Polstellen R1 L C R2 30 Ω
f res0 f res R2 L C
f res0
Resonanzfrequenz bei R = 0 : (fres0 = f0 )
3
3.733 u 10 Hz
Seite 189
Laplace-Transformation
Ares R2 L C
Amplitude bei R = 30 :
1.197
§ 15000 27838.822i · 1 ¨ ¸ © 15000 27838.822i ¹ s
Polstellen R2 L C
Die Polstellen des Amplitudenganges sind konjugiert komplex!
R3 100 Ω
f res0 f res R3 L C
Ares R3 L C
f res0
4
Die Resonanzfrequenz ist komplex!
1.007j u 10 Hz
Amplitude bei R = 10 :
0.258j
§ 11270.167 · 1 ¨ ¸ © 88729.833 ¹ s
Polstellen R3 L C
f res0 f res RGrRes ( L C) L C
Ares RGrRes ( L C) L C
f res0
Die Polstellen des Amplitudenganges sind reell, daher keine Resonanz!
7.5 u 10
5
Resonanzfrequenz im Grenzfall
Hz
Amplitude im Grenzfall R = RGrRes
1
§ 22360.68 22360.68i · 1 ¨ ¸ © 22360.68 22360.68i ¹ s
Polstellen RGrRes ( L C) L C
Die Polstellen des Amplitudenganges sind noch konjugiert komplex.
Amplitudengang 40
AdB A fk 20Ω L C
AdB A fk 0Ω L C
AdB A fk 30Ω L C
AdB A fk 100Ω L C
Hz
30 20
AdB A fk RGrRes ( L C) L C
fres ( 0Ω L C)
10
1000
10000
10 20 fk Hz Frequenz in Hz
Abb. 5.34 Achtung: Der aperiodische Grenzfall ist nicht der Fall, bei dem eine Resonanzüberhöhung auftritt (die Diskriminante D und das Ergebnis unterscheiden sich nur um den Faktor 2. Das ist logisch, weil eine 1 Resonanzüberhöhung erst bei D ( R L C) auftritt (genau dann ergibt sich auch eine positive 2 Resonanzfrequenz).
Seite 190
Laplace-Transformation Die Darstellung des Amplitudenganges im nicht logarithmierten Koordinatensystem zeigt auf andere Weise den Bereich der Resonanzüberhöhung:
f0
ω0 ( L C)
f0
2 π
fR20 f res ( 20 Ω L C) f0
f
f0
10 10
3
Resonanzfrequenz bei R = 0 :
5.033 u 10 Hz
f R20
3
Resonanzfrequenz bei R = 20 :
4.502 u 10 Hz
Bereichsvariable für die Frequenz
0.1 Hz 2 f0 5
fR20 f0 Hz Hz
4 A( f 0Ω L C) A( f 20Ω L C)
3
A( f 30Ω L C)
A f R GrRes( L C ) L C
2 Ares ( 20Ω L C)
A( f 100Ω L C )
Ares ( 30Ω L C)
1
3
2u 10
3
3
4u 10
6u 10
3
8u 10
4
1u 10
f Hz
Abb. 5.35 Der Dämpfungsgrad gibt ebenfalls Auskunft über das Verhalten des Systems: D ( 20 Ω L C)
D Raper ( L C) L C D ( 100 Ω L C)
D < 1 ... oszillatorischer Ausgleichsvorgang (das System ist schwingungsfähig die Pole der Übertragungsfunktion sind konjugiert komplex)
0.316
1
1.581
D = 1 ... aperiodischer Grenzfall
D > 1 ... aperiodischer Ausgleichsvorgang (das System ist nicht schwingungsfähig die Pole der Übertragungsfunktion sind reell)
Seite 191
z-Transformation
6. z-Transformation Seit Jahren findet zunehmend eine Umstellung von der analogen Technik auf die Digitaltechnik statt. Am wirksamsten ist die digitale Darstellung bei der Speicherung und Übertragung von Signalen. Die Vermittlung jeder Information geschieht durch ein physikalisches Medium, dem die Nachricht in Form eines Signals aufgeprägt wird. Zur Übertragung und Speicherung ist oft eine Umwandlung vorteilhaft. Die Information ist damit in der kontinuierlichen Änderung einer Zeitfunktion enthalten. Die Zeitfunktion y = f(t) beschreibt also den Zusammenhang der abhängigen Variablen y von der unabhängigen Variablen t (siehe Fourier-Transformation und Laplace-Transformation). Die digitale Signalverarbeitung ist ein Teilgebiet der allgemeinen Signalverarbeitung und der Systemtheorie. Im Unterschied dazu ist ein zeitdiskretes Signal yn = f(n) = fn nur für ganzzahlige Werte der unabhängigen Variablen n definiert. Einerseits kann für ein zeitdiskretes Signal die unabhängige Variable von sich aus bereits diskret sein, andererseits können zeitdiskrete Signale f(n) durch aufeinanderfolgende Stichprobenentnahmen der Amplituden eines Vorganges mit kontinuierlicher unabhängiger Variablen entstehen, wie z. B. digitale Audiosignale. Zwischen den kontinuierlichen und zeitdiskreten Signalen bestehen daher sehr enge Beziehungen, und die für kontinuierliche Signale gültigen Gesetze und Methoden können sehr häufig auf zeitdiskrete Signale übertragen werden. Normalerweise findet die Diskretisierung der Zeitachse in gleichförmigen Abständen statt. Der Zeit entspricht eine Nummerierung n der Abtastzeitpunkte (t = n TA mit TA als Abtastperiodendauer oder Ts Samplingperiodendauer). Neben der Diskretisierung der Zeitachse ergibt sich bei der digitalen Darstellung auch eine Diskretisierung der Amplituden. Diese wird durch die Wortbreite des verwendeten Zahlenformats bestimmt. Ein zeitdiskretes Signal kann so als eine mathematische Folge geschrieben werden. Bei ganzzahligen Werten von n schreiben wir y(n) = yn = f(tn) = f(n) = fn. Der Zusammenhang eines kontinuierlichen Signals sin Z0 t) = sin(2 Sf0 t) zu einem zeitdiskreten Signal ergibt sich folgendermaßen: Für eine bestimmte Abtastfrequenz fA (oder Samplingfrequenz fs ) ergibt sich in Abhängigkeit von N die resultierende Frequenz des Signals durch f0 = fA/N. Mit den Abtastzeitpunkten t = tn = n TA ( n = 1, 2, ..., N) und TA = 1/fA lässt sich dann folgender Zusammenhang herstellen:
§
fA
©
N
sin 2 π f 0 tn = sin ¨ 2 π
·
2 π f0 2 π § 2 π n · = sin Ω n = mit Ω0 = ω0 TA = . ¸ 0 fA N © N ¹
n TA¸ = sin ¨
¹
Im Gegensatz zu periodischen Signalen wächst die Frequenz bei wachsendem Abtastimpulsabstand :0
j Ω0 2π n
j 2πn
jΩ0n
j2πn
(normierte Frequenz) nicht immer weiter an, denn es gilt: e =e e =e . Das bedeutet, dass :0 identisch zu :0 + 2 S und demnach mit 2S periodisch ist. Es braucht daher bei der Behandlung zeitdiskreter Signale nur ein Frequenzbereich der Länge 2S betrachtet werden (0 d:0 d2S und 0 df0 dfA). Bei weiterer Überlegung zeigt sich, dass :0 nur dann periodisch ist, wenn :0/2S eine rationale Zahl ist. Im letzten Kapitel wurde die Laplace-Transformation als eine Erweiterung der zeitkontinuierlichen Fourier-Transformation entwickelt. Anlass für diese Erweiterung war die Tatsache, dass wir sie, verglichen mit der Fourier-Transformation, auf eine größere Klasse von Signalen anwenden können, da es viele Signale gibt, für die die Fouriertransformierte nicht konvergiert, die Laplacetransformierte dagegen schon. Die z-Transformation ist das zeitdiskrete Gegenstück zur Laplace-Transformation, d. h. die Verallgemeinerung der Fourier-Transformation (siehe Abschnitt 3.1, DFT) zeitdiskreter Signale. Sie wird z. B. für die digitale Signalverarbeitung und Prozessdatenverarbeitung benötigt oder um z. B. das Frequenz- und Antwortverhalten eines digitalen Filters zu bestimmen. Dabei wird einer Folge von abgetasteten Messwerten yn =f(tn) mit Zeitverzögerungen, Rückkopplungen, Addierern und Multiplizierern eine Funktion F(z) zugewiesen. Mit dieser Transformation können aber auch lineare Differentialgleichungen bzw. Differenzengleichungen gelöst werden.
Seite 192
z-Transformation
Die z-Transformation ist eine Verallgemeinerung der Fourier-Transformation. Die Fourier-Transformation ist definiert für Signale der Form ej:0 . Sie beschreiben die Punkte des Einheitskreises in der komplexen Zahlenebene. Diese Einschränkung lässt sich durch eine Erweiterung der Zahlenfolgen auf die gesamte komplexe Zahlenebene aufheben. Die z-Transformation ermöglicht die Einführung eines allgemeineren Frequenzganges auch für nicht stabile Systeme. Für eine Folge = (n ) heißt die Laurentreihe (siehe dazu auch Abschnitt 2.4)
Z{f(n)} = F(z) = ... + f-2 z 2 + f-1 z + f0 + f1 z-1 + f2 z-2 + ...
(z )
z-Transformierte von f(n), falls die Reihe konvergiert. Bei der z-Transformation wird also jeder Folge von Zahlenwerten eine Funktion der komplexen Variablen z zugeordnet:
Z {f(n)} =
∞
F (z) =
¦
n
∞
§ f ( n) 1 · ¨ n¸ z ¹ ©
(6-1)
F(z) ist dann die Bildfunktion der Zahlenfolge . Diese Darstellung bezeichnen wir als zweiseitige z-Transformation, da die Folge sowohl im positiven als auch negativen Bereich der Zahlenachse definiert ist. Für kausale Folgen, für die f[n] = 0 für n < 0 gilt, ist die zweiseitige und die einseitige z-Transformation identisch. Auf das Unterstreichen der komplexen Variablen z wird, wie in der Literatur üblich, verzichtet. Die z-Transformation ist nur bestimmbar, wenn die Reihe konvergiert. Das Konvergenzgebiet einer z-Transformierten ist typischerweise ein Ringgebiet in der z-Ebene. Konvergenz liegt dann vor, wenn r < |z| < R gilt, wobei die Spezialfälle r o0und R ofmöglich sind. Die Größe des inneren Radius r hängt von dem transformierten Signal ab.
Abb.6.1
Wird in der Definition der z-Transformation z = O ej : mit der normierten Frequenz : = Z TA gesetzt, so wird die z-Transformation als Fourier-Transformierte des mit O-n gewichteten Signals f(n) definiert: F(z) = Z{ f ( n) } = F ∞
=
¦
n
∞
{ f ( n) λ n }
§ n j Ω0n· © f ( n) λ e ¹=
(6-2) ∞
¦
n
nº ª «f ( n) § λ ejΩ0· » ¬ © ¹ ¼=
∞
∞
n ¦ f (n) z
n
∞
Unter der Voraussetzung, dass f(n) = 0 für alle n < n0 (sogenanntes rechtsseitiges Signal) gilt, klingt jedes Signal durch geeignete Gewichtung, d. h. hinreichend große Wahl von O für n o f gegen null ab, so dass die z-Transformierte berechenbar wird (konvergiert). Siehe Abbildung 6.2.
Seite 193
z-Transformation
Bereichsvariable
n 2 10 λ
1
Φ1 ( n)
1 if n t 0
Parameter
2
selbstdefinierte Einheitssprungfolge
0 otherwise
2 10 1 Φ1 ( n )
Φ1 ( n )n 5
0
5
5
10
1
5
0
5
n
n
2
Abb.6.2
1 0.5
1 Φ1 ( n )λ
10
n
n
Φ1 ( n )nλ 5
0
5
5
10
0
5
10
0.5
1
1 n
n
Für die Konvergenz der z-Transformation von rechtsseitigen Signalen ist allein der Faktor O entscheidend, die normierte Frequenz : spielt dabei keine Rolle. Der Konvergenzbereich der z-Transformation in der z-Ebene mit z = O e j: ist daher das Äußere einer Kreisfläche mit Kreisradius O und Mittelpunkt z = 0. Bei linksseitigen Signalen ist der Konvergenzbereich der z-Transformation das Innere des Kreises! Bei der Umkehrung der z-Transformation soll aus einer gegebenen Funktion der komplexen Variablen z auf die dazugehörige Zahlenfolge geschlossen werden. Die Rücktransformation (Umkehrtransformation) ist ein komplexes Kurvenintegral längs einer Kurve C in der komplexen z-Ebene. Die Kurve C schließt den Ursprung ein und liegt im Gebiet der Konvergenz von F(z). -1
Z {
F (z) }
= f ( n) =
´ µ µ 2 π j ¶ 1
F (z) z
n 1
dz
(6-3)
C Liegt der Einheitskreis z = ej: (-S d:< S) im Konvergenzbereich der z-Transformation, kann dieser für die inverse z-Transformation benutzt werden. Damit wird die inverse z-Transformation zur inversen Fourier-Transformation: dz j Ω folgt: Mit dz = j e dΩ bzw. dΩ = jz ´ µ f ( n) = µ 2 π j ¶ 1
F ( z) z
n1
π
´ j Ω jΩ( n 1) j Ω dz = µ F e e j e dΩ 2 π j ¶ π 1
Seite 194
(6-4)
z-Transformation
Durch weitere Vereinfachung erhalten wir schließlich: π
´ 1 j Ω jΩn j Ω j Ω f ( n) = µ F e e e j e dΩ = ¶ 2 π j 2 π π 1
´ µ ¶
π
jΩ ejΩn dΩ
F e
(6-5)
π
In der Praxis wird eine Rücktransformation über das komplexe Kurvenintegral meist nicht angewendet. Es existieren mehrere einfachere Möglichkeiten, die inverse z-Transformation zu berechnen. Dazu gehört die Partialbruchzerlegung, die Verwendung von Tabellen mit bekannten Transformationspaaren, die Entwicklung von Potenzreihen und, wie bereits im Kapitel LaplaceTransformation beschrieben, die Anwendung des Residuenkalküls (siehe dazu Abschnitt 6.3). Das Residuenkalkül lässt sich für die z-Transformation wie folgt formulieren: -1
Z {
F (z) }
= f(n) =
¦
Residuen F (z) zn1
(6-6)
( Pole( F( z) )
Die Berechnung der Residuen ist besonders einfach, wenn es sich bei den Singularitäten von F(z) ausschließlich um Pole handelt. Ist etwa z0 ein Pol erster Ordnung, so ist das Residuum in diesem Pol durch
Residuum F ( z ) z
n 1
=
lim z o z0
ª z z F ( z ) z n1 º 0 ¬ ¼
(6-7)
gegeben. Hat der Pol z 0 die Ordnung m t 2, so gilt
Residuum F ( z ) z
n 1
=
lim z o z0
ª« 1 º m 1 d ª z z m F ( z) zn1º» 0 ¼» « ( m 1) dsm1 ¬ ¬ ¼
(6-8)
6.1 z-Transformationen elementarer Funktionen Beispiel 6.1: Bestimmen Sie die z-Transformierte der nachfolgend gegebenen endlichen Einheitssprungfolge: f ( n)
1 if 0 d n d 4
Einheitssprungfolge
0 otherwise n 1 5
Bereichsvariable
n1 0 4 T
d (0 1 2 3 4 )
Distanzvektor
s1 n1 δ ( d n1 )
Kronecker-Delta-Funktion z-Transformierte:
2
4 f ( n)
s1n1 n1
1
F ( z) =
¦
n 21
0 1
2
1 n n1
3
4
5
6
z
n
=1 z
1
z
2
z
3
z
4
0
Das Konvergenzgebiet umfasst die ganze z-Ebene außer den Nullpunkt (0 < |z| < f). Hier sind die Folgeglieder der endlichen Einheitsimpulsfolge direkt in der z-Transformierten ablesbar. Abb. 6.3
Seite 195
z-Transformation
Beispiel 6.2: Bestimmen Sie die z-Transformierte der nachfolgend gegebenen Folge: f ( n)
3 if n = 0 2 if
n =1
1 if
n =2
gegebene Folge
0 otherwise Bereichsvariable
n 4 4
f ( n)
3
z-Transformierte:
2
F ( z) =
2
1
n ¦ f (n) z
n
2
2
54 32 1 0 1
2
3
4
F ( z) = z 2 z 3 2 z
5
1
1
z
2
Das Konvergenzgebiet umfasst die ganze z-Ebene außer den Nullpunkt (0 < |z| < f). Hier sind die Folgeglieder der Folge direkt in der z-Transformierten ablesbar.
n
Abb. 6.4 Beispiel 6.3:
Bestimmen Sie die z-Transformierte der zeitdiskreten Einheitssprungfolge V(n). Führen Sie nach der z-Transformation auch die Rücktransformation mit Mathcad durch. Φ1 ( n)
1 if n t 0
selbstdefinierte Einheitssprungfolge
0 if n 0 σ ( n) Φ1 ( n)
Einheitssprungfolge
n 2 5
Bereichsvariable Transformation der Einheitssprungfolge:
Einheitssprungfolge 2
Z{V(n)} =
1
∞
F ( z) =
¦
n
σ( n) 321
0 1
2
3
4
5
0
ª § 1 · nº z 1 «1 ¨ ¸ » = = ¬ © z ¹ ¼ 1 z 1 z 1
Hier liegt eine unendliche geometrische Reihe vor mit q = 1/z und |q| < 1. Die z-Transformierte der Einheitssprungfolge konvergiert für r = 1 und R = fd. h. für |z| > 1.
6
1 n
Abb. 6.5 Symbolische Auswertung mithilfe von Mathcad: ∞
F ( z) =
¦
n
0
1 z
n
§ lim 1 1· ¸ n © no∞ z ¹
z¨ vereinfacht auf
F ( z) =
z1
Seite 196
F(z) hat eine Nullstelle bei z = 0 und eine Polstelle bei z = 1.
z-Transformation
Φ ( n)
hat Z-Transformation
n n
Redefinition
z1
z1
2 ( z 1)
2 ( z 1)
z1
F1 ( z ) Φ ( n) ztrans n o
σ1( n)
2 ( z 1)
F ( z ) δ ( n n) ztrans n o
z
σ ( n)
z1
hat inverse Z-Transformation
z1 2 ( z 1) z z1
invztrans z o 1
1
δ ( n 0)
δ ( n 0) 2
2
n t0
invztrans z o 1
Beispiel 6.4: Bestimmen Sie die z-Transformierte einer nachfolgend angegebenen Rechteckfolge. Führen Sie nach der z-Transformation auch die Rücktransformation mit Mathcad durch.
frec n n0
1 if 0 d n d n0 1
bzw.
frec n n0 = Φ1 ( n) Φ1 n n0
Rechteckfolge
0 otherwise n0 3 Bereichsvariable
n 2 8
2 1
frec n n0
Abb. 6.6 2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 n
Transformation der Rechteckfolge: n01
Z{
} = F ( z) = ¦
f rec n n0
n
0
ª § 1 · nº z n0 1 z z1n0 «1 ¨ ¸ » = = z1 ¬ © z ¹ ¼ z 1 1
Hier liegt eine endliche geometrische Reihe vor mit q = 1/z und |q| z 1. Die z-Transformierte der Einheitssprungfolge konvergiert also für |z| z 1. Beispiel 6.5: Bestimmen Sie die z-Transformierte des Einheitsimpulses oder Dirac-Deltaimpulses (G(n) = į(n,0)). Führen Sie nach der z-Transformation auch die Rücktransformation mit Mathcad durch. δ1 ( n)
1 if n = 0 0 if n z 0
definierter Einheitsimpuls (Deltaimpuls - vergleiche Kronecker į(n,0)-Funktion)
Für eine Folge f(n) gilt: f(n) G(n) = f(0) G(n) (G(n) ist nur für n = 0 von null verschieden; Ausblendeigenschaft). Der Einheitsimpuls kann aus der Einheitsimpulsfolge durch die erste Differenz gebildet werden: G(n) = V(n) - V(n-1).
Seite 197
z-Transformation
Ebenso kann der Einheitssprung durch die laufende Summe des Einheitsimpulses dargestellt werden: ∞
n
σ ( n) =
δ ( k ) und
¦
∞
k
δ ( n) = 1 .
¦
∞
n
Bereichsvariable
n 2 5
Einheitsimpuls
Verzögerter Einheitsimpuls
2
2
1
1
δ1 ( n)
δ1 ( n 1) 3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
3 2 1
1
0
1
2
3
4
1 n
n
Abb. 6.7
Abb. 6.8
∞
Z{G(n)} =
F ( z) =
n 0 ¦ δ(n) z = z = 1
n
Transformation des Delta-Impulses
∞
Die z-Transformierte des Delta-Impulses konvergiert auf der gesamten z-Ebene. z-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad: Redefinition
n n
δ ( n 0) ztrans n o 1
1 invztrans z o δ ( n 0)
Beispiel 6.6: Das nachfolgend angegebene Signal u(t) (Rampe) wird mit einer Abtastzeit TA = 4 ms abgetastet. Bestimmen Sie die z-Transformierte dieses abgetasteten Signals. ms 10
3
u ( t)
Einheitendefinition
s
0 V if t 4 ms 3 4
V ms
( t 4 ms) if 4 ms d t d 12 ms gegebenes Signal
6 V otherwise t 0 ms 0.01 ms 20 ms
Bereichsvariable
TA 4 ms
Abtastzeit
n 0 5
Bereichsvariable
Seite 198
5
6
z-Transformation
u( t) V
7 6 5 4 3 2 1
Abb. 6.9
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t ms
u nTA
7 6 5 4 3 2 1
V 1
Abb. 6.10
10
1
2
3
4
5
6
n
Die z-Transformierte ergibt sich aus:
Z{u(n)} =
∞
n 0 1 2 3 4 5 ¦ u(n) z = 0 z 0 z 3 z 6 z 6 z 6 z ....
F ( z) =
n
F ( z) = 3 z
F ( z) = 3 z
2
2
0
3 z 4 z 5 .... = 3 z 2 6 z 3 1 z 1 z 2 ....
6 z
6 z
3
∞
¦
n
F ( z) = 3 z
2
6 z
3
2
1z 1z
n
Hier liegt eine geometrische Reihe mit q = 1/z vor!
0
1 1z
F ( z) = 3 z
z
1
= 3 z
2
1 z 1 z
1 1
6 z
3
1 1z
1
=
3 z
2
3 z
1z
1 1
gesuchte z-Transformierte
Beispiel 6.7: Für eine Exponentialfolge f(n) = C an soll für C = 1 die z-Transformierte bestimmt werden. Führen Sie nach der z-Transformation auch die Rücktransformation mit Mathcad durch. a 0.95 n
Basis
f ( n) a
abklingende rechtsseitige Exponentialfolge
n 0 20
Bereichsvariable
Seite 199
3 1
6 z
3
z-Transformation
2 1 f ( n)
1 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Abb. 6.11
1 2 n
Basis
a 0.95 n
alternierend abklingende rechtsseitige Exponentialfolge
f ( n) a
2 1 f ( n)
1 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Abb. 6.12
1 2 n
Transformation der Exponentialfolge:
Z{
n
a
∞
} = F ( z) =
¦ a
n
n
z
0
n
∞
= ¦ n
0
n
§ a· = ¨ ¸ ©z¹
1 1
a
=
z za
mit
a z
1.
z
Hier liegt eine geometrische Reihe vor mit q = a/z und |q| < 1. Die Konvergenzradien bestimmen sich zu r = |a| und R = f,d. h., die Exponentialfolge konvergiert für |z| > |a|. Für a = 1 ergibt sich die z-Transformierte für die Einheitssprungfolge. z-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad: n n
Redefinitionen
a a n
F ( z ) a ztrans n o
z az
Hat eine Nullstelle bei z = 0 und eine Polstelle bei z = a
Seite 200
n
F ( z ) invztrans z o a
z-Transformation
Bemerkung: Das komplexe exponentielle Signal stellt genau wie im Analogbereich ein wichtiges Grundsignal dar. In der allgemeinsten Schreibweise lautet es: f(n) = C a n, wobei C und a komplexe Zahlen sein können. Sind C und a reell, so ergeben sich für a > 1 eine exponentiell wachsende Funktion, für 0 < a < 1 eine exponentiell fallende Funktion und für negative Werte von a entsprechende Funktionen mit alternierenden Vorzeichen. Setzen wir a = eE , so erhalten wir die Exponentialfolge: f(n) = C eEn. Im Fall, dass E = j :0 , also rein imaginär ist, ergibt sich: jnΩ0
f ( n) = C e
.
Diese Folge steht über die Euler'schen Beziehungen im engen Zusammenhang zu einer Kosinusfolge:
f ( n) = A cos n Ω0 φ . Die entsprechenden Umformungen lauten: j nΩ0
e
= cos n Ω0 j sin n Ω0 und A cos n Ω0 φ =
A
j φ
e
j nΩ0
e
A
j φ
e
j nΩ0
e
. 2 2 Das zeitdiskrete Signal wird durch seine normierte Frequenz :0 und die Phase M bestimmt. Die komplexe Schreibweise gestattet die einfache Behandlung von periodischen Schwingungsverläufen durch einen rotierenden Zeiger in der komplexen Zahlenebene.
Beispiel 6.8: Der Zusammenhang zu einem kontinuierlichen Sinussignal sin(Z t) ergibt sich durch sin(Z n TA) = sin(n :0 ) mit :0 = 2 S f TA und f = f A/N. Für eine rechtsseitige Sinusfolge f(n) = sin(n :0 ) soll die z-Transformierte bestimmt werden. Ω0
π
normierte Frequenz
8
f ( n) sin n Ω0
Sinusfolge
n 0 16
Bereichsvariable 1
f ( n)
1 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 n
Seite 201
Abb. 6.13
z-Transformation
Transformation der Sinusfolge: ∞
Z{
sin n Ω0
} = F ( z) = 1
=
2 j 1
=
2 j
jΩ0
e
mit
¦
n
§ jnΩ0 1· 1 z ¹ ©e 2 j
0
z
jΩ0
ze
1 2 j
z
j Ω0
¦
n
∞
0
§ jnΩ0 1· z ¹ ©e
¦
n
ª§ jnΩ0 jnΩ0· 1º e ¬© e ¹z ¼
0
=
ze
2 z 2 z cos Ω0 1 z sin Ω0
j Ω0
e
1 und
z
¦
n 0 ∞
∞
§ sin n Ω z n· = 1 0 © ¹ 2 j
z
1. j Ω0
j Ω0
und z = e . Die Konvergenzradien F(z) hat eine Nullstelle bei z = 0 und jeweils eine Polstelle bei z = e bestimmen sich zu r = 1 und R = f, d. h., die z-Transformierte der rechtsseitigen Sinusfolge konvergiert für |z| < 1. z-Transformation mithilfe von Mathcad: Ω0 Ω0
Redefinitionen
n n
sin n Ω0 ztrans n o Beispiel 6.9:
2 z 2 cos Ω0 z 1 z sin Ω0
Vergleichen Sie die Laplacetransformierte eines nachfolgend angegebenen abgetasteten zeitkontinuierlichen Signals mit der z-Transformierten. ∞
fa ( t) =
¦ f (n) δ t n TA
n
abgetastetes zeitkontinuierliches Signal
0
L { fa ( t) } =
´ µ µ µ µ ¶
∞
∞
¦
n
f ( n) δ t n TA
0
st
e
∞
dt =
¦
n
nsTA· sTA § . © f ( n) e ¹ = Z{ f ( n) } mit z = e
0
∞
Konvergenzbereiche im Vergleich:
Abb. 6.14
Seite 202
z-Transformation
6.2 Eigenschaften der z-Transformation Der Umgang mit der z-Transformation kann mithilfe von Sätzen, wie bereits bei der LaplaceTransformation gezeigt wurde, vereinfacht werden. Nachfolgend werden auch hier einige wichtige angeführt. Linearität (Superpositionssatz): Die z-Transformation ist invariant gegenüber der Multiplikation mit einer Konstanten und der Addition, d. h., es gilt das Superpositionsprinzip. Aus zwei Folgen f 1 (n) und f 2 (n) wird mit den Konstanten D, E eine neue Folge f(n) gebildet, in der Form f(n) = D f1 (n) + E f2 (n). Die zugehörige z-Transformierte ergibt sich dann zu: ∞
Z { α f1 (n) β f2 (n) } = F (z) = ¦
∞ ∞
n
∞
F ( s) = α
§ f ( n) z n· β ©1 ¹
¦
∞
n
ª α f ( n) β f ( n) z 1º bzw. 1 2 ¬ ¼
¦
§ f ( n) z n· = α F1( z) β F2( z) ©2 ¹
∞
n
Damit gilt:
Z {D f1(n) + E f2(n) } = D F1(z) + E F2(z)
(6-9)
Die z-Transformierte einer Summe von Folgen ist gleich der Summe der z-Transformierten der einzelnen Folgen. Allgemein gilt für n Folgen: n
n
Z { ¦ αk fk (n) } = ¦ αk Fk( z) k
1
k
(6-10)
1
Beispiel 6.10: Führen Sie eine z-Transformation und Rücktransformation der Folge f(n) = g(n) - G(n) mit g(n) = 2 0.5n für n t 0 und g(n) = 0 für n < 0 durch.
Z {g(n) - G(n) } = 2 F1(z) + F2(z) = F ( z) = 2
z z
1
1=
F ( z) = 2
z z 0.5
1
siehe Beispiel 6.5 und 6.7
2 z 1 2 z 1
2 z-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad: n
2 z 1
§ 1 · δ ( n 0) ztrans n o 2 z 1 ¸ 2 z 1 © 2¹
2 ¨
2 z 1
Seite 203
n
§ 1 · δ ( n 0) ¸ © 2¹
invztrans z o 2 ¨
z-Transformation
Zeitverschiebung (Verschiebungssätze): Wird ein zeitdiskretes Signal f(n) auf der Zeitachse um k Abtastwerten verzögert (nach rechts verschoben), so gilt für die zugehörige z-Transformierte: ∞
f (n k) z n .
Z { f ( n k) } = ¦
∞
n
Mit der Substitution n - k = m erhalten wir ∞
Z { f ( m) } = ¦ m
∞
m f ( m) z . ¦
ª¬f ( m) z ( km)º¼ = z k
∞
m
∞
Daraus ergibt sich schließlich:
Z { f(n - k) } =
z
-k
Z { f(n) } = z - k F(z)
(6-11)
Spezialfall k = 1: Für die Verschiebung um ein Abtastintervall ergibt sich daher:
Z { f(n - 1) } =
z
-1
Z { f(n) } = z - 1 F(z)
(6-12)
Wird ein zeitdiskretes Signal f(n) um k Abtastwerte nach links verschoben, so gilt für die zugehörige z-Transformierte ∞
Z { f ( n k) } =
ª
k 1
n
∞
¬
n
0
Beispiel 6.11: Bestimmen Sie die z-Transformierte der nachfolgend angegebenen Folge. f ( n) =
n3
a
if n t 3 a 1
gegebene Folge
0 otherwise f(n) entsteht durch Verschiebung der Folge g(n) = an um k = 3 nach rechts:
Z {f(n)} = z - 3 F(z) =
z
3
º
n k n ¦ f (n k) z = z ««F (z) ¦ f (n) z »»
z za
Faktor o
1 2
z ( a z)
Seite 204
¼
(6-13)
z-Transformation
Modulationssatz: Wird eine Folge f(n) mit einer Exponentialfolge cn multipliziert (c und von null verschieden), dann gilt für die z-Transformierte: ∞
L { cn f (n) } = ¦ n
∞
∞
f (n) cn z n = ¦ n
∞
nº ª «f ( n) §¨ z ·¸ » . ¬ ©c¹ ¼
Es gilt demnach:
L { cn f (n) }
z = F §¨ ·¸ ©c¹
(6-14)
Konvergiert F(z) für |z| > r, so konvergiert F(z/c) für |z| > r c. Je nach Wert der Konstanten c erhalten wir mehrere praktische Fälle: Ist c reell und 0 < c < 1: Das Signal wird exponentiell gedämpft. Ist c reell und c > 1: Das Signal wird exponentiell entdämpft. Ist c komplex und |c| = 1: Das Signal wird in der Regel komplex. Es erfolgt eine spektrale Rotation (Drehung der z-Ebene um den Ursprung) um den Winkel -arg(c). Ist c = -1: Drehung der z-Ebene um den Ursprung um 180°; ist das Signal reell, so entspricht dies einer Spiegelung von F(z) an der imaginären Achse der z-Ebene.
Beispiel 6.12: Wie lautet die z-Transformierte der Folge f(n) = an cos(n :0 ).
F ( z ) cos n Ω0 ztrans n o
2 z 2 cos Ω0 z 1 z z cos Ω0
Mithilfe des Modulationssatzes folgt:
§z· F¨ ¸ o © a¹
z· § z ¨ cos Ω0 ¸ a¹ ©
§ z2
a ¨
¨ a2 ©
2
1·¸
2 z cos Ω0 a
vereinfachen o
¸ ¹
2
a cos n Ω0 ztrans n o
z a z cos Ω0 2
2
a 2 cos Ω0 a z z
z-Transformierte von f(n) zum Vergleich:
n
z a z cos Ω0
a 2 cos Ω0 a z z
2
Seite 205
2
z-Transformation
Differentiation im z-Bereich: Eine konvergente Potenzreihe kann innerhalb ihres Konvergenzbereiches differenziert werden. Ist F(z) die z-Transformierte der Folge f(n), dann gilt für die z-Transformierte von n f(n):
Z{
n f ( n) }
= z d F ( z)
(6-15)
dz
Die Herleitung erfolgt am einfachsten durch Differenzieren und Multiplikation mit -z:
z
∞
d dz
F ( z ) = z
¦
n
ª¬( n) f ( n) z n1º¼ =
0
∞
n n f ( n) z . ¦
n
0
Beispiel 6.13: Bestimmen Sie die z-Transformierte der nachfolgend angegebenen Rampenfolge. Führen Sie auch eine Rücktransformation mit Mathcad durch. f ( n) n
Rampenfolge
n 0 5
Bereichsvariable 6 5 4 3 2 1
f ( n)
Abb. 6.15
1 10
1
2
3
4
5
6
n
Transformation der Rampenfolge: ∞
n n z . ¦
Z{ n } =
n
Es gilt
d dz
Z{ n } =
0
z
n
= n z
∞
¦
n
0
n1
. Daraus erhalten wir n z
§ d n· d ¨ z z ¸ = z dz © dz ¹
∞
¦
n
0
z
n
n
= z
= z d
d dz
z
dz z 1
z
n
.
= z
( z 1) z ( z 1)
2
=
z ( z 1)
2
Die z-Transformierte von f(n) = n hat eine Nullstelle bei z = 0 und eine doppelte Polstelle bei z = 1. direkte symbolische Auswertung der z-Transformation mit Mathcad: ∞
n ¦ n z
n
0
ergibt
z ( z 1)
2
Seite 206
z-Transformation
z-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad: Redefinition
n n
z
z
n ztrans n o
( z 1)
2
( z 1)
invztrans z o n
2
Beispiel 6.14: Bestimmen Sie die z-Transformierte der nachfolgend angegebenen Folge. Führen Sie auch eine Rücktransformation mit Mathcad durch. n
gegebene Folge
f ( n) = n a
Transformation der Folge:
Z{
n
n a
∞
}=
zaz a z z n n d n a z = z = z = ¦ 2 2 dz z a ( z a) ( z a)
n
(siehe Beispiel 6.7).
0
Direkte symbolische Auswertung der z-Transformation mithilfe von Mathcad: ∞
a z n n n a z o ¦ 2 ( a z)
n
0
z-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad: n
n a ztrans n o
a z
a z ( a z)
2
( a z)
n
invztrans z o a n
2
Faltungssatz: Unter dem Faltungsprodukt f1 (n) * f2 (n) zweier Folgen f 1 (n) und f2 (n) verstehen wir: ∞
f ( n) = f 1 ( n) * f 2 ( n) =
∞
¦ f1 ( k) f2 ( n k) = ¦ f2 ( k) f1 ( n k)
k
∞
k
(6-16)
∞
Das Symbol " * " bedeutet das Faltungssymbol. Sind F(z) = Z
{ f ( n) }, F1(z) = Z { f1 ( n) } und F2(z) = Z { f2 ( n) } die zugehörigen z-Transformierten,
dann gilt:
Seite 207
z-Transformation
Z{
f 1 ( n) * f 2 ( n) }
=Z{
∞
¦ f1 ( k) f2 ( n k) } ∞
k ∞
=
¦
∞
n
∞
=
∞
∞
∞ ª º ªf ( m) z ( mk)º» «f ( k ) ¬2 ¼» «1 m ∞ ¬ ¼
¦ ∞
¦
k
∞
=
¦
Grenzwerte existieren
¦
§ f ( k ) z k· ©1 ¹
¦
k
¦
∞ ª º § f ( n k) z n·» «f ( k ) ©2 ¹» «1 n ∞ ¬ ¼
k
=
ªª ∞ º 1º «« f ( k ) f ( n k ) 1 2 »» z »» nach Definition der z-Transformation «« ¬¬k ∞ ¼ ¼
∞
∞
¦
m
§ f ( m) z m·. ©2 ¹
∞
Das letzte Produkt ergibt sich aus dem Satz von Cauchy für absolut konvergente Reihen. Der Faltungssatz lautet damit:
Z{
f 1 ( n) * f 2 ( n) }
= Z { f1 ( n) } Z { f2 ( n) } = F1 ( z) F2 ( z )
(6-17)
Die z-Transformierte des Faltungsproduktes f1 (n) * f2 (n) ist gleich dem Produkt der z-Transformierten von f1 (n) und f2 (n).
Beispiel 6.15: Bestimmen Sie die z-Transformierte des Faltungsproduktes f 1 (n) * f 2 (n) der nachfolgend angegebenen Folgen. Rechteckfolge (mit der oben definierten Einheitssprungfolge)
f1 ( n) Φ1 ( n) Φ1 ( n 2) n
f2 ( n)
§ 8 · Φ1 ( n) ¨ ¸ © 10 ¹
Exponentialfolge Bereichsvariable
n 1 0 14
f1 ( n )
1.5
1.5
1
1 f2 ( n )
0.5 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 0.5
0.5 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 0.5
n
n
Abb. 6.16
Abb. 6.17
Seite 208
z-Transformation
f1 (n) mit f 2 (n) gefaltet ergibt: Bereichsvariable
k 1 0 14 f ( n)
¦ f1 ( k) f2 ( n k)
Faltung der beiden Folgen
k
n1 n1
11
f ( n1 )
0.193
Einzelschritte bei der Faltung 1.5 1 f1 ( k)
0.5
f2 ( n1k)
Abb. 6.18 2 1 0 0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1 k 3 2 f ( n)
1 2 1
Abb. 6.19 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1 n
Transformation des Faltungsproduktes:
Z{
f ( n) }
= Z{ f1 ( n) * f2 ( n) } = Z {
∞
¦ f1(k) f2(n k) } = Z { f1(n) } . Z { f2(n) } = F1(z) F2(z)
k
n n
0
Redefinitionen
k k
f 2 ( n) Φ ( n 2)
f1 ( n) Φ ( n) z1 F1 ( z ) f1 ( n) ztrans n o 2 ( z 1) F ( z ) F1 ( z ) F2 ( z ) o
( z 1)
Heavisidefunktion von Mathcad
F2 ( z ) f2 ( n) ztrans n o
z1
Transformation der 2 2 z ( z 1) beiden Folgen
2
z-Transformierte des Faltungsproduktes
2
2 z ( z 1) ( 2 z 2)
Seite 209
z-Transformation
Grenzwertsätze (Anfangs- und Endwerttheorem): Das Anfangs- und das Endwerttheorem geben über das Verhalten einer Folge f(n) für n = 0+ (exakter: beim rechtsseitigen Grenzwert) Auskunft, d. h. über das Verhalten zu Beginn eines Vorganges bzw. über den stationären Zustand, nachdem der Vorgang beendet ist (n o f). Bei der Anwendung dieser Theoreme kann das dynamische Verhalten eines Systems bis zu einem gewissen Grad direkt im z-Bereich (ohne Rücktransformation) beurteilt werden. Der Anfangswert f(0) und der Endwert f(f) einer Originalfolge f(n) lassen sich (sofern sie überhaupt existieren) ohne Rücktransformation durch Grenzwertbildung aus der zugehörigen Bildfunktion F(z) = Z {f(n)} wie folgt berechnen: Anfangswerttheorem: f ( 0) =
lim no0
f ( n) =
lim
F (z)
(6-18)
zo∞
Endwerttheorem: f ( ∞) =
lim
f ( n) =
no∞
lim
[ ( z 1) F ( z ) ]
(6-19)
zo1
Der Endwert existiert nur, wenn
lim
f ( n) existiert und endlich ist bzw. wenn die Pole von F(z)
no∞
innerhalb des Einheitskreises liegen (Ausnahme: ein einfacher Pol bei z = 1).
Beispiel 6.16: Bestimmen Sie den Anfangs- und Endwert der nachfolgend gegebenen z-Transformierten und führen Sie dann eine Rücktransformation mit Mathcad durch.
F ( z)
0.6 z
gegebene z-Transformierte
2
z 1.7 z 0.7 2
z 1.7 z 0.7 = 0
lim
Polstellen (ein Pol innerhalb des Einheitskreises, der andere auf dem Einheitskreis)
auflösen z
§ 1.0 · o¨ ¸ Gleitkommazahl 2 © 0.7 ¹
F ( z ) o 0.0
Anfangswert
[ ( z 1) F ( z ) ] o 2.0
Endwert
zo∞
lim zo1
f ( ∞) =
lim zo1
0.6 z ª( z 1) º = « » ( z 1 ) ( z 0.7 ) ¬ ¼
6 10
z
lim zo1
§ 7· f ( n) invztrans z o 2 2 ¨ ¸ 10 ¹ 17 7 2 © z z 10
n 0 20
§ 0.6 z · = 0.6 = 2 ¨ ¸ 0.3 © z 0.7 ¹ n
Rücktransformierte
10
Bereichsvariable
Seite 210
z-Transformation
3 2 f ( n)
1
Abb. 6.20 1 0 1
2
3 4
5
6
7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
1 n
Beispiel 6.17: Bestimmen Sie den Anfangs- und Endwert der nachfolgend gegebenen z-Transformierten. 1.5 z
F ( z)
gegebene z-Transformierte
2
z 1.732 z 1 2
p z 1.732 z 1 = 0
p0
1
p1
lim
F ( z ) o 0.0
1
auflösen z
§ 0.866 0.5j · o¨ ¸ Gleitkommazahl 3 © 0.866 0.5j ¹
Polstellen
Beide Pole liegen auf dem Einheitskreis, daher existiert der Endwert nicht. Anfangswert
zo∞
Seite 211
z-Transformation
6.3. Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich Um aus dem Bildbereich die gesuchte Originalfolge f(n) zu erhalten, müssen wir die Bildfunktion F(z) mittels der inversen z-Transformation in den Originalbereich rücktransformieren.
In der Praxis wird eine Rücktransformation, wie bereits oben erwähnt, über das komplexe Kurvenintegral meist nicht angewendet. Es existieren auch bei der z-Transformation mehrere einfachere Möglichkeiten, die inverse z-Transformation zu berechnen. Sie werden nachfolgend kurz beschrieben. Wie bereits oben in einigen Beispielen aufgezeigt wurde, kann mit Mathcad eine Rücktransformation durchgeführt werden. Es ist aber nicht zu erwarten, dass alle möglichen Rücktransformationen auch ausgeführt werden können, zumal es sich in Mathcad, wie bereits erwähnt wurde, um einen eingeschränkten Maple-Symbolkern handelt. Partialbruchzerlegung: Wie bei der Laplace-Transformation kontinuierlicher Signale, so treten auch bei der z-Transformation diskreter Signale meist gebrochenrationale z-Transformierte auf. Sie können zunächst, wie bereits im Abschnitt 5.3 beschrieben wurde, in eine Summe von Partialbrüchen zerlegt werden. Die Partialbrüche können dann mithilfe einer Korrespondenztabelle, die in zahlreichen Werken über die z-Transformation zu finden sind, rücktransformiert werden. Eine gebrochenrationale Funktion hat die allgemeine Form
F ( z) =
Z ( z) N(z)
n
an z an 1 z
=
z
m
bm 1 z
n 1
m 1
an 2 z
bm 2 z
n 2
m 2
2
.... a2 z a1 z a0 2
(6-20)
.... b2 z b1 z b0
wobei ak , bk und m, n ²sind. Zur Durchführung der Partialbruchzerlegung müssen die Nullstellen von N(z) (Polstellen) bekannt sein. Unter Beachtung des Fundamentalsatzes der Algebra kann
N(z) = z z1
α1
z z2
α2
z z3
α3
.... z z i
αi
.... z z r
αr
(6-21)
geschrieben werden, wobei die s i die voneinander verschiedenen Wurzeln der Gleichung N(s) = 0 sind und die Di ( D ²) die Vielfachheit der Wurzeln si bedeuten. Zusätzlich können noch Pole bei z = 0 und z = f auftreten. Polstellen können nur außerhalb des Konvergenzbereichs auftreten.
Seite 212
z-Transformation
Beispiel 6.18: Die nachfolgend angegebene z-Transformierte F(z) soll mithilfe der Partialbruchzerlegung rücktransformiert werden. Die Rücktransformation soll auch mithilfe von Mathcad durchgeführt werden. Die Nullstellen und die Polstellen von F(z) und die Rücktransformierte f(n) sollen grafisch dargestellt werden. 2 z ( 18 z 5)
F ( z)
gegebene z-Transformierte
( 4 z 1) ( 3 z 1)
§ 0 z N 2 z ( 18 z 5) = 0 auflösen z o ¨ 5 ¨ © 18
· ¸ ¸ ¹
Nullstellen von F(z)
§¨ 1 ·¸ ¨3¸ z p ( 4 z 1) ( 3 z 1) = 0 auflösen z o ¨1¸ ¨ ¸ ©4¹
Polstellen von F(z)
Nullstellen,Polstellen und Einheitskreis 1
Im§zN
©
Im§zN
©
· ·
1¹
Im§zp
·
Im§zp
·
© ©
0.5
0¹
0¹
1
0.5
0
0.5
1
Abb. 6.21
1¹
0.5
sin( φ)
1 Re§zN
©
F ( z ) parfrac z o
· Re§zN · Re§zp · Re§zp · cos( φ) © 1¹ © 0¹ © 1¹
0¹
2 3 z 1
1 4 z 1
3
Partialbruchzerlegung
3 invztrans z o 3 δ ( n 0) n
1
§ 1· invztrans z o ¨ ¸ δ ( n 0) 4 z 1 © 4¹ 2 3 z 1
die einzelnen Summanden rücktransformiert
n
§ 1 · 2 δ ( n 0) ¸ © 3¹
invztrans z o 2 ¨
Seite 213
z-Transformation
n
§ 1· § 1· f ( n) F ( z ) invztrans z o 2 ¨ ¸ ¨ ¸ © 3¹ © 4¹
n
zum Vergleich die Rücktransformierte mithilfe von Mathcad
n 0 10
Bereichsvariable Originalbereich 4 3 2
f ( n)
Abb. 6.22
1 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1 n
Beispiel 6.19: Die nachfolgend angegebene z-Transformierte F(z) soll mithilfe der Partialbruchzerlegung rücktransformiert werden. Zur Rücktransformation soll eine Korrespondenztabelle verwendet werden. Es sollen auch die Nullstellen und die Polstellen von F(z) und die Rücktransformierte f(n) grafisch dargestellt werden. z1
F ( z)
gegebene z-Transformierte
2
z 2.5 z 1 Nullstelle
z N z 1 = 0 auflösen z o 1 2
z p z 2.5 z 1 = 0
auflösen z
§ 0.5 · o¨ ¸ Polstellen Gleitkommazahl 1 © 2.0 ¹ 1
Im zN
0.5
Im§zp
·
Im§zp
·
© ©
0¹
2
1
0
1
1¹
sin( φ)
0.5
1
Re zN Re§zp
©
· Re§zp · cos( φ) © 1¹
0¹
Abb. 6.23
Seite 214
2
3
z-Transformation
F ( z) z
parfrac z
1.0 4.0 1.0 o Gleitkommazahl 1 z 2.0 2.0 z 1.0 z 2 z
F ( z) = 1
z
1
z
Partialbruchzerlegung von F(z)/z
z-Transformierte (Partialbruchzerlegt)
z2
2 n
§ 1 · δ ( n n) 2n δ ( n n) ¸ © 2¹
f ( n) = δ ( n 0) 2 ¨
Rücktransformierte mithilfe einer Korrespondenztabelle
n n
Redefinition n
Rücktransformierte zum Vergleich mithilfe von Mathcad
n
F ( z ) invztrans z o δ ( n 0) 2.0 0.5 2.0
Rücktransformation mithilfe des Residuenkalküls:
Beispiel 6.20: Die nachfolgend gegebene z-Transformierte soll mithilfe des Residuenkalküls rücktransformiert werden.
F ( z) =
z
gegebene z-Transformierte (konvergiert für |z| > a)
za
Die z-Transformierte hat einen Pol 1. Ordnung für z = a. Daher gilt für deren Rücktransformierte:
f ( n) =
lim zoa
n º ª «( z a) z » = an δ ( n n) z a¼ ¬
Rücktransformation auf Basis einer Laurent-Reihenentwicklung: Eine Rücktransformation kann auf Basis einer Laurent-Reihenentwicklung der z-Transformierten an der Entwicklungsstelle z0 = 0 erfolgen, wobei wir die Folgeelemente f(n) durch Koeffizientenvergleich gewinnen. Die z-Transformierte einer Folge f(n) ist gegeben durch: ∞
F ( z) =
n 2 1 1 ¦ f (n) z = .... f (2) z f (1) z f (0) f (1) z ....
(6-22)
∞
n
Die Laurent-Reihe der Funktion F(z) an der Entwicklungsstelle z = z 0 lautet dann: ∞
F (z) =
¦
n
ªc z z nº = .... c 2 z z 2 c 1 z z c c z z 1 .... (6-23) 0 0 0 0 1 0 ¬n ¼
∞
Aus dem Koeffizienten c n kann dann auf den entsprechenden Folgewert f(-n) geschlossen werden.
Seite 215
z-Transformation
Beispiel 6.21: Gesucht ist die Rücktransformierte von F(z). 2
z 2 z 5
F ( z) =
3
gegebene z-Transformierte
2
z 2 z z 2 Die Partialbruchzerlegung führt auf die Form 2
z 2 z 5 3
1
parfrac z o
2
z2
z 2 z z 2
2
2
z 1
Die Reihenentwicklung wird separat auf die einzelnen Summanden angewendet. Dies ist aufgrund der Linearität der z-Transformation zulässig. Entwicklung des ersten Summanden in z: 1
1
=
z2
1
2
z
1
=
1 2
∞
¦
n
2
§z· ¨ ¸ © 2¹
0
n
für |z| < 2
Entwicklung des ersten Summanden in z -1 : 1
z
=
z2
1
1 2 z
1
=z
1
∞
§ 2· ¨ ¸ ©z¹
¦
n
0
n
für |z| > 2
Entwicklung des zweiten Summanden in z: 2
= 2
2
z 1
∞
1 1 z 2
ª¬( 1) n z 2nº¼
¦
= 2
n
für |z| < 1
0
Entwicklung des zweiten Summanden in z -1 : 2 z
2
1 z
= 2 z
2
2
1
1 z
2
= 2 z
2
∞
¦
n
0
ª n § 1 · 2nº «( 1) ¨ ¸ » ¬ ©z¹ ¼
für |z| > 1
Linearkombinationen:
F ( z) =
1 2
∞
¦
n
∞
n
0
§z· ¨ ¸ 2 © 2¹
¦
n
ª¬( 1) n z 2nº¼
für |z| < 1
0
Einige Summanden mit Mathcad ausgewertet:
1 2
3
¦
n
3
n
0
§z· ¨ ¸ 2 © 2¹
¦
n
ª¬( 1) n z 2nº¼
vereinfacht auf
0
Seite 216
6
4
2 z 2 z
z
3
16
15 z 8
2
z 4
5 2
z-Transformation
6
4
F ( z) = 2 z 2 z
z
3
16
15 z
2
z
8
4
5 2
.....
Durch Koeffizientenvergleich ergeben sich die folgenden Werte: f ( 0) =
5
1
f ( 1) =
2
f ( 2) =
4
15
1
f ( 3) =
8
16
Zum Vergleich die Reihenentwicklung mit Mathcad: 2
z 2 z 5 3
5
Reihen z = 0 7 o
2
2
z 2 z z 2
F ( z) =
1 2
∞
¦
n
∞
n
§z· 2 ¨ ¸ 2 z © 2¹
0
F ( z ) = .... 2 z
6
4 z
4
z 4
15 z
2
¦
2
1
0
2
1 4
8
ª n § 1 · 2nº «( 1) ¨ ¸ » ¬ ©z¹ ¼
n
2 z
z
1 8
z
3
16
65 z
4
32
z
5
64
255 z
6
128
für 1 < |z| < 2
2
z
1 16
3
z ....
Durch Koeffizientenvergleich ergeben sich die folgenden Werte: f ( 6) = 2
f ( 0) =
f ( 5) = 0
1
F ( z) = z
1
f ( 1) =
2 1
∞
F ( z ) = ....10 z
f ( 2) =
4
∞
n
§ 2· 2 ¨ ¸ 2 z ©z¹
¦
n
f ( 4) = 4
0
4
4 z
3
z
¦
n
0
f ( 3) = 0 1
f ( 2) = 2 1
f ( 3) =
8
f ( 1) = 0
16
ª n § 1 · 2nº «( 1) ¨ ¸ » ¬ ©z¹ ¼
für |z| > 2
1
Durch Koeffizientenvergleich ergeben sich die folgenden Werte: f ( 4) = 10
f ( 3) = 4
f ( 2) = 0
f ( 1) = 1
f ( 0) = 0
Zum Vergleich die Reihenentwicklung mit Mathcad: 2
z 2 z 5 3
2
z 2 z z 2
ersetzen z = z
1
Reihen z = 0 8
3
4
5
6
7
o z 4 z 10 z 16 z 30 z 64 z 130 z
Seite 217
8
z-Transformation
6.4 Anwendungen der z-Transformation Die Systemtheorie beschäftigt sich mit der mathematischen Beschreibung des dynamischen Verhaltens von Systemen. Die Gestalt der Systeme ist im Wesentlichen unerheblich. Technische Systeme werden in gleicher Weise beschrieben wie z. B. physikalische, chemische, biologische oder ökonomische. Als System verstehen wir eine abgegrenzte funktionale Einheit, die über bestimmte, im Allgemeinen von der Zeit abhängige Größen mit der Umgebung in Wechselwirkung steht. Wirken auf ein System in Abhängigkeit der Zeit physikalische Größen von außen ein (Eingangsgrößen), dann reagiert das System in bestimmter Weise darauf und die physikalischen Größen in diesem System erfahren zeitliche Veränderungen. Die interessierenden nach außen in Erscheinung tretenden Größen werden Ausgangsgrößen genannt. Ein Vorgang in einem solchen System, in dem z. B. Energie, Materie oder auch Information umgeformt, transportiert oder auch gespeichert wird, heißt ein Prozess. Damit ein dynamisches System aus seiner Umgebung herausgelöst oder von anderen Systemen getrennt theoretisch untersucht werden kann, ist Rückwirkungsfreiheit vorauszusetzen. Das heißt, die Umgebung oder andere Systeme wirken nicht auf das betrachtete System zurück. Nur dann ist auch eine Zuordnung der nach außen in Erscheinung tretenden physikalischen Größen zu Eingangs- und Ausgangsgrößen eindeutig. Das dynamische Verhalten von Systemen bei zeitkontinuierlichen Eingangs- und Ausgangsgrößen (analoge Übertragung) wird mithilfe von Differentialgleichungen beschrieben. Das dynamische Verhalten von Systemen bei zeitdiskreten Eingangs- und Ausgangsgrößen (diskrete oder digitale Übertragung) wird mithilfe von Differenzengleichungen beschrieben. Ein System kann als beliebiger Prozess zur Transformation von Signalen aufgefasst werden. Das Eingangssignal x(n) = xn wird durch das System in das Ausgangssignal y(n) = yn übergeführt. Dabei kann aus verschiedenen Teilprozessen durch Zusammenschalten ein komplexes System entstehen. Beispielsweise könnte ein zusammengesetztes System folgendermaßen aussehen:
Abb. 6.24 Diesen Prozess beschreibt folgende nichtlineare Differenzengleichung:
y ( n) = 2 x ( n) x ( n)
2
2
.
Für die Folgeglieder der Eingangsgrößen und Ausgangsgrößen schreiben wir auch: x(n) = xn bzw. y(n) = yn = f(n) = fn oder auch um die Zeitabhängigkeit auszudrücken x(t) = xt bzw. y(t) = yt .
Seite 218
z-Transformation
6.4.1 Lösungen von Differenzengleichungen Die Eigenschaften "Linearität" (die Differentialgleichung bzw. Differenzengleichung ist linear in den Ableitungen bzw. linear in den Verzögerungen um ein Zeitintervall der Ein- und Ausgangsgrößen) und "Zeitinvarianz" (die Differentialgleichung bzw. Differenzengleichung enthält nur konstante von der Zeit unabhängige Größen) sind für die Analyse von Systemen sehr wesentlich. Systeme mit diesen Eigenschaften werden als lineare zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme bzw. LTD-Systeme "linear, time-invariant, discrete") bezeichnet. Ein Großteil dieser Systeme lässt sich durch lineare Differentialgleichungen bzw. Differenzengleichungen beschreiben. Gleichungen dieses Typs beschreiben das sequentielle Verhalten vieler verschiedener Vorgänge. In der Praxis sind allerdings Systeme oft nichtlinear und zeitvariant. Es lässt sich aber vielfach zumindestens ein Teilbereich finden, in dem das System linear ist.
Abb. 6.25 Im Unterschied zu zeitkontinuierlichen Systemen, wie sie bereits im Kapitel 5.4 beschrieben wurden, ist ein zeitdiskretes (digitales) System nur für ganzzahlige Werte der unabhängigen Variablen n oder t definiert. Einen wichtigen Sonderfall der allgemeinen Differenzengleichungen bilden Gleichungen, bei denen das Ausgangssignal y(n) aus dem gewichteten Momentanwert x(n), den vergangenen Eingangswerten x(n-i) und den vergangenen Ausgangswerten y(n - i) (i ²) gebildet wird. Eine einfache lineare Differenzengleichung 1. Ordnung, die nur Verzögerungen um ein Zeitintervall berücksichtigt, schreibt sich in der Form: y(n) = b0 x(n) + b1 x(n - 1) - a1 y(n - 1)
(6-24)
Eine lineare Differenzengleichung 2. Ordnung enthält zweifach verzögerte Glieder des Eingangsund Ausgangssignals: y(n) = b0 x(n) + b1 x(n - 1) + b2 x(n - 2) - a1 y(n - 1) - a2 y(n - 2)
(6-25)
Es müssen nicht alle Glieder in der Gleichung aufscheinen. Die Ordnung wird nach dem Glied mit der höchsten Verzögerung benannt.
Seite 219
z-Transformation
Systeme beliebiger Ordnung lassen sich nach Einführung des redundanten Parameters a0 (ohne Einschränkung kann a 0 = 1 gesetzt werden; aN, bM z 0) durch eine allgemeine Differenzengleichung beschreiben: N
M
M
N
¦ ak y(n k) = ¦ bk x(n k) bzw. y(n) = ¦ bk x(n k) ¦ ak y(n k) (6-26)
k
0
k
0
k
0
k
1
Die konstanten Koeffizienten ak , bk charakterisieren das lineare zeitinvariante System. Um die Reaktion des beschriebenen Systems auf ein Eingangssignal x(n) angeben zu können, müssen N aufeinanderfolgende Anfangsbedingungen y(0), y(1), ..., y(N-1) gegeben sein. Die Folgeglieder y(n) können dann für aufeinanderfolgende Werte iterativ berechnet werden. Da für die folgenden Werte immer die Werte der vorausgegangenen Berechnung benötigt werden, wird die zu dieser rekursiven Verfahrensweise gehörige Gleichung als rekursive Gleichung bezeichnet. Im Spezialfall N = 0 reduziert sich die oben angeführte Gleichung zu: M
y ( n) =
¦ bk x(n k)
k
(6-27)
0
In diesem Fall berechnet sich der Ausgangswert nur aus momentanen und vergangenen Eingangswerten und nicht aus vergangenen Ausgangswerten. Diese Gleichung wird daher nichtrekursive Gleichung genannt und entspricht außerdem der Faltungsgleichung. Systeme, die durch eine solche Gleichung beschrieben werden, besitzen eine endliche Impulsantwort und werden in der Systemtheorie als FIR-Systeme (finite impulse response) bezeichnet. Rekursive Systeme, wie sie oben beschrieben wurden (mit N t 1), besitzen eine unendliche Impulsantwort und werden als IIR-Systeme (infinite impulse response) bezeichnet. Nur für lineare zeitinvariante Differentialgleichungen und Differenzengleichungen gibt es eine allgemeine Lösungstheorie (siehe Kapitel 8), für nichtlineare im Allgemeinen nicht! Eine weitere Methode, mit der auch nichtlineare Differenzengleichungen gelöst werden können, ist die rekursive Berechnung der Folgeglieder. Sehr effizient ist die rechnerunterstützte rekursive numerische Berechnung der Folgeglieder z. B. mithilfe von Mathcad (siehe auch Kapitel 8). Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass nicht jede Differenzengleichung rekursiv gelöst werden kann. In der Praxis der digitalen Systeme sind sowohl die Genauigkeit der Eingangsgrößen als auch die Darstellungsgenauigkeit der Koeffizienten und die Rechengenauigkeit beschränkt, denn jeder Computer hat nur eine begrenzte Stellenzahl. Auch eine empfindliche Abhängigkeit der Lösung von den Anfangswerten ist kein Einzelfall. Minimale Veränderungen können oft dramatische Auswirkungen nach sich ziehen. Daraus ergeben sich weitreichende Konsequenzen, die sich z. B. bei der Signalverarbeitung in Quantisierungsrauschen, Instabilität, Rundungsrauschen und verringerter Aussteuerbarkeit bemerkbar machen. Der Umweg über den z-Bereich (Bildbereich) bietet eine bequeme Methode zur Lösung einer linearen Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten, zumal auch die Anfangsbedingungen sofort berücksichtigt werden können, ohne erst eine allgemeine Lösung angeben zu müssen. Eine Rücktransformation der Lösung in den Zeitbereich erfolgt mit den unter Abschnitt 6.3 angegebenen Methoden. Da lineare Differenzengleichungen erster und zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten häufig vorkommen, soll deren Lösung nachfolgend näher betrachtet werden.
Seite 220
z-Transformation
Für die Transformation der Differenzengleichungen in den z-Bereich (Bildbereich) wenden wir die Verschiebungssätze an: Mit den Anfangsbedingungen f(0), f(1), ... ergeben sich folgende Zusammenhänge:
Z { f(n+1)} = z F(z) - f(0) z Z { f(n+2)} = z2 F(z) - f(0) z2 - f(1) z usw.
(6-28)
Die inhomogene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ y ( n 1) a y ( n) = x ( n)
(6-29)
mit dem Anfangswert y(0) wird mithilfe der z-Transformation gliedweise unter Berücksichtigung der Linearitäts- und Verschiebungseigenschaft in die algebraische Gleichung z Y ( z ) y ( 0) z a Y ( z ) = X ( z )
(6-30)
mit der Lösung Y (z) =
X ( z ) y ( 0) z
(6-31)
za
übergeführt. Die Rücktransformation von Y(z) liefert dann mit den bereits bekannten Methoden die gesuchte Originalfunktion y(n).
Beispiel 6.22: Lösen Sie die nachfolgende inhomogene lineare Differenzengleichung. Die Anfangsbedingung lautet: y(0) = 1. y ( n 1)
1 2
mit
y ( n) = x ( n)
x ( n) = 2 δ ( n)
gegebene Differenzengleichung
Die Anwendung der z-Transformation ergibt: Y (z) =
X ( z ) y ( 0) z za
=
2 1 z z
1 2
2
=
z
1 2
z
z
1 2
Lösung mithilfe einer Transformationstabelle: 2 z
1
hat als Rücktransformierte die Darstellung:
§ 1· 2 ¨ ¸ © 2¹
hat als Rücktransformierte die Darstellung:
§ 1· ¨ ¸ © 2¹
2
z z
1
n 1
für n t 1 und 0 für n = 0
n
für n t 0
2
y ( n)
§ 1· ¨ ¸ © 2¹
n
§ 1· ¸ © 2¹
2 ¨
if n = 0 n1
§ 1· ¨ ¸ © 2¹
die gesuchte Lösungsfolge
n
if n t 1
Seite 221
z-Transformation
Rekursive Lösung der Differenzengleichung: 1
y ( 1) = x ( 0)
y ( 0) = 2
2 1
y ( 2) = x ( 1)
y ( 1) = 0
2
1 2 1
1
§ 2 ©
¨2
1·
1
¸ = 2 2¹ 2
§ 1· ¨ ¸ © 2¹
2
2 2 3 ª1 1· º § 1· 1· § § « » y ( 3) = x ( 2) y ( 2) = 0 2 ¨ ¸ =¨ ¸ 2 ¨ ¸ 2 2 ¬2 © 2¹ ¼ © 2¹ © 2¹
1
1
1
y ( 4) = x ( 3)
y ( 3) = 0
2
§ 1· ¸ © 2¹
n 1
y ( n) = 2 ¨
§ 1· ¨ ¸ © 2¹
ª§ 1 · 2 ¸ 2 2 ¬© 2 ¹ 1
n
Ǭ
3 3 § 1 · º» = 2 § 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ © 2¹ ¼ © 2¹
§ 1· ¨ ¸ © 2¹
4
Für den ersten Summanden muss n t 1 und für den zweiten Summanden n t 0 sein!
Lösung mithilfe von Mathcad: 2 z z
1
n
§ 1 · 4 δ ( n 0) ¸ © 2¹
invztrans z o 5 ¨
Rücktransformation mit Mathcad
2
δ1 ( n)
Definition des Einheitsimpulses (Kronecker į(n,0) = į1(n))
1 if n = 0 0 otherwise n
§ 1· y1 ( n) 5 ¨ ¸ 4 δ1 ( n) 2
Die Lösung, die Mathcad liefert!
n 0 10
Bereichsvariable
© ¹
3 2 y( n ) 1
y1( n) 1
0
1
2
3
4
5
6
1 n
Abb. 6.26
Seite 222
7
8
9
10
11
z-Transformation
Beispiel 6.23: Lösen Sie die nachfolgende inhomogene lineare Differenzengleichung. Die Anfangsbedingung lautet: y(0) = y0 = 2. n
gegebene Differenzengleichung
y ( n 1) 3 y ( n) = n 2
Die Anwendung der z-Transformation ergibt:
z Y ( z ) y0 3 Y ( z ) =
Y (z) =
y0 z z3
2 z ( z 2)
2
2 z
( z 3) ( z 2)
2
Durch Partialbruchzerlegung erhalten wir: 2 z ( z 3) ( z 2) Y (z) =
y0 z z3
2
parfrac z o
6 z3
6
6 z3
( z 2)
2
6 z2
4
z2
4
( z 2)
2
Lösung mithilfe einer Transformationstabelle: n
n1
y ( n) = y0 3 6 3
n 1
6 2
n2
4 ( n 1) 2
n
n
für nt1
= y0 2 3 ( 3 n 1) 2
Damit lautet die Lösung mit dem Anfangswert y0 = 2 für n t 0 : n
n
die gesuchte Lösungsfolge
y ( n) 4 3 ( 2 n) 2
Lösung mithilfe von Mathcad: y0 z z3
2 z
n
( z 3) ( z 2)
2
n
n
n
invztrans z o 3 y0 2 n 2 2 2 3 Anfangswert
y0 2 n
n
n
n
y1 ( n) y0 3 2 3 2 2 2 n
Die gleiche Lösung liefert Mathcad.
n 0 5
Bereichsvariable 1000
y( n ) y1( n)
500
Abb. 6.27
0
2
4 n
Seite 223
6
z-Transformation
Die inhomogene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ y ( n 2) a y ( n 1) b y ( n) = x ( n)
(6-32)
mit den Anfangswerten y(0) und y(1) wird mithilfe der z-Transformation gliedweise unter Berücksichtigung der Linearitäts- und Verschiebungseigenschaft in die algebraische Gleichung 2
2
z Y ( z ) y ( 0) z y ( 1) z a ( z Y ( z ) y ( 0) z ) b Y ( z ) = X ( z )
(6-33)
mit der Lösung 2
Y (z) =
X ( z ) y ( 0) z a y ( 0) z y ( 1) z
(6-34)
2
z a z b übergeführt. Die Rücktransformation von Y(z) liefert dann mit den bereits bekannten Methoden die gesuchte Originalfunktion y(n).
Beispiel 6.24: Lösen Sie die nachfolgende inhomogene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung. Die Anfangsbedingungen lauten: y(0) = y0 = 1 und y(1) = y1 = 1. n
gegebene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung
y ( n 2) 3 y ( n 1) 2 y ( n) = 2
Die Anwendung der z-Transformation ergibt: z 2 2 z Y ( z ) y0 z y1 z 3 z Y ( z ) y0 z 2 Y ( z ) = z2
Durch Umformung folgt:
z2 3 z 2 Y (z) = y0 z2 3 z y1 z z z 2 Y (z) =
2
y0 z 3 z 2
y1 z
2
z 3 z 2
Y (z) =
2
z 3 z 2
y0 z 3 z 2 2
z 3 z 2
z
y1 z 2 y0 2
2
z
z 3 z 2
y1 z 2 y0 Y ( z ) = y0 ( z 1) ( z 2)
( z 2) z 3 z 2
2
z ( z 1) ( z 2)
2
Durch Partialbruchzerlegung erhalten wir: y0 y0
y1 y1
( z 2) z 3 z 2
Redefinitionen
Seite 224
z-Transformation
y1 z 2 y0 ( z 1) ( z 2) z ( z 1) ( z 2)
2 y0 y1
parfrac z o
2
z1
parfrac z o
1 z1
2 y1 2 y0 z2
1
z2
2
( z 2)
2
Lösung mithilfe einer Transformationstabelle:
Y ( z ) = y0
2 y0 y1 z1
n 1
2 y1 2 y0
y ( n) = 2 y0 y1 1
z2
1
z1
n 1
2 y1 2 y0 2
1 z2
( z 2)
n 1
1
2
n 1
2
2 n2
für nt1
2 ( n 1) 2
Die Rücktransformation von y0 liefert y 0 G(n) = y0 , wenn n = 0 sonst 0. Damit lautet die Lösung der Differenzengleichung: y0 1 y ( n)
Anfangsbedingungen
y1 1
ª 2 y y 1 y y 1 2n n 2n1º 0 1 1 0 ¬ ¼
für n t 0
n n n 1
y ( n) o 2
n
symbolische Auswertung mit den Anfangsbedingungen
n 2 2
Lösung mithilfe von Mathcad:
y1 ( n)
2
y0 z 3 z 2
z 3 z 2
y1 z 2
z 3 z 2
n
z
2
invztrans z o
( z 2) z 3 z 2
2 n 2
n
2 2
Bereichsvariable
n 0 5 60 50 40
y( n )
30
y1( n)
20 10 1
0
1
2
3 n
Abb. 6.28
Seite 225
4
5
6
z-Transformation
Beispiel 6.25: Lösen Sie die nachfolgende inhomogene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung. Die Anfangsbedingungen lauten: y(0) = y0 = 0 und y(1) = y1 = 1. n
gegebene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung
y ( n 2) 2 y ( n 1) 2 y ( n) = 2
Die Anwendung der z-Transformation ergibt: z 2 2 z Y ( z ) y0 z y1 z 2 z Y ( z ) y0 z 2 Y ( z ) = z2
Unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen ergibt sich durch Umformung:
z2 2 z 2 Y (z) = z z z 2 z
Y (z) =
2
2
z
2
z 2 z 2
z z
=
2
( z 2) z 2 z 2
( z 2) z 2 z 2
Durch Partialbruchzerlegung erhalten wir: 2
z z
2
1
parfrac z o
2
( z 2) z 2 z 2
Y (z) =
1 z2
z 2 z 2
1 z2
1 2
z 2 z 2
Lösung mithilfe einer Transformationstabelle:
-1
Z {
1 z2
} = 2n1 für n t 1 und 0 für n = 0
-1
Z {
1 2
2
z 2 a z cos ( ω) a
2
Aus a = 2 folgt a =
}=
1 sin ( ω)
n2
a
sin [ ( n 1) ω] für n t 1 und 0 für n = 0
2 und aus a cos ( ω) = 1 folgt ω =
π 4
. Damit ergibt sich die Rücktransformierte zu: n1
y ( n) = 2
1
§ π· ¸ © 4¹
sin ¨
2 n2 sin ª«(n 1) 㧯 ¬
4¼
§ π · = 1 , cos § π · = 1 und sin(D - = sin(D) cos(E) - cos(D) sin(E) erhalten wir schließlich: E) ¸ ¨ ¸ © 4¹ © 4¹ 2 2
Mit sin ¨
Seite 226
z-Transformation
n1
y ( n) = 2
2
2 n2 §¨ sin §¨ n π ·¸ ©
n 1
y ( n) 2
1
4¹
©
2
§ ©
cos ¨ n
2 n2 §¨ sin §¨ n π ·¸ cos §¨ n π ·¸ ·¸ ©
©
4¹
©
π·
¸ 4¹
1
· ¸ 2¹
mit n t 0
4 ¹¹
Bereichsvariable
n 0 10 600
400 y( n ) 200
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
n
Abb. 6.29
6.4.2 Übertragungsverhalten von Systemen Die z-Transformation ist ein wesentliches Hilfsmittel zur Analyse und Beschreibung von LTI- bzw. LTD-Systemen, wie sie bereits im Kapitel 6.4.1 beschrieben wurden. Wir betrachten zunächst ein System, das auf das Eingangssignal x(n) mit dem Antwortsignal y(n) reagiert. Das System kann zunächst durch seine Impulsantwortfunktion g(n) charakterisiert werden. Aus der Faltungseigenschaft ergibt sich die z-Transformierte des Ausgangssignals Y(z), aus der z-Transformierten des Eingangssignals X(z) multipliziert mit der z-Transformierten der Impulsantwort G(z). G(z) wird als Übertragungsfunktion oder Systemfunktion bezeichnet. Siehe Abb. 6.30.
Abb. 6.30 Die im Abschnitt 6.4.1 angeführte allgemeine Differenzengleichung für lineare zeitinvariante Systeme kann unter der Annahme verschwindender Anfangsbedingungen (y(0) = 0, y(1) = 0, ...) nun unter Berücksichtigung der Linearitäts- und Verschiebungseigenschaft einfach z-transformiert werden: N
¦
k
0
§ a z k Y ( z) · = © k ¹
M
¦
k
§ b z k X (z)· © k ¹
0
Seite 227
(6-35)
z-Transformation
Diese algebraische Gleichung in z kann nun auf die Systemfunktion oder Übertragungsfunktion G(z) umgeformt werden: M
G ( z) =
Y (z) X (z)
¦
=
k
0
N
¦
k
M
§ b z k· © k ¹
§ b z Nk· © k ¹
¦
=
§ a z k· © k ¹
0
k
0
N
¦
k
(6-36)
§ a z Nk· © k ¹
0
Die Form mit den negativen Exponenten geht in die Form mit den positiven Exponenten über, wenn wir Zähler und Nenner erweitern. Die Übertragungsfunktion ist immer rational. Der Konvergenzbereich muss gesondert überprüft werden. Anhand der Pol- und Nullstellen der Übertragungsfunktion kann die Kausalität (der Zählergrad von G(z) darf nicht größer als der Nennergrad bezüglich z sein) und die Stabilität überprüft werden. Ist das System kausal (sind alle Abtastwerte eines Eingangssignals x(n) null für n < n0 , so kann auch das Ausgangssignal y(n) für n < n0 keine von null verschiedenen Abtastwerte besitzen), liegt der Konvergenzbereich außerhalb des äußeren Pols. Für ein stabiles System müssen alle Pole innerhalb des Einheitskreises liegen. Wird z auf dem Einheitskreis ermittelt (z = e j:), dann reduziert sich G(z) auf den Frequenzgang G(:) des Systems, vorausgesetzt, der Einheitskreis liegt im Konvergenzbereich für G(z). Für z = ej: entspricht die z-Transformation der Fourier-Transformation. Bei Kenntnis der Übertragungsfunktion G(z) kann daher nach folgendem Schema für jedes Eingangssignal x(n) das Ausgangssignal y(n) berechnet werden (vergleiche auch die Analogie zu den Ausführungen über die Laplace-Transformation):
Abb. 6.31 Beispiel 6.26: Wie lautet die Übertragungsfunktion G(z) der gegebenen Differenzengleichung mit verschwindenden Anfangsbedingungen? Wie lautet die Impulsantwort g(n) und der Frequenzgang G(:) des Systems? y ( n)
1 2
y ( n 1) = x ( n)
1 3
gegebene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
x ( n 1)
Die Anwendung der z-Transformation ergibt unter Berücksichtigung der Linearitäts- und Verschiebungseigenschaft: Y (z)
1 2
Y (z) z
1
= X ( z)
1 3
X ( z) z
1
z-Transformierte Gleichung
Seite 228
z-Transformation
Daraus ergibt sich die Übertragungsfunktion:
G ( z) =
1
Y (z)
=
X (z)
1
1 3 1 2
z z
1
=
1
Die Übertragungsfunktion hat bei z0 = -1/3 eine
6 z 2
Nullstelle und bei zp = 1/2 eine Polstelle. Sie
6 z 3
liegen innerhalb des Einheitskreises in der z-Ebene auf der reellen Achse. Das System ist daher stabil.
Die Impulsantwort des Systems erhalten wir durch Rücktransformation der Übertragungsfunktion: 1
1
3
G ( z) =
1
1
2
z z
1 1
1
= 1
n
1 2
1 § 1· § 1· g ( n) = ¨ ¸ σ ( n) ¨ ¸ 3 © 2¹ © 2¹
1 1
1 3 1 2
z z
1 3
z
1
1
1 2
Übertragungsfunktion (Partialbruchzerlegung) z
1
n1
Impulsantwort (händische Auswertung)
σ ( n 1)
n
§ 1· 5 ¨ ¸ © 2 ¹ 2 δ ( n 0) invztrans z o
1
3
1
Φ1 ( n)
z
1
3
1 if n t 0
Impulsantwort (mithilfe von Mathcad)
Einheitssprungfolge (oder Kronecker į(n,n)-Funktion)
0 otherwise n
1 § 1· § 1· g ( n) ¨ ¸ Φ1 ( n) ¨ ¸ 3 © 2¹ © 2¹
2 3
n 0 10
δ1 ( n)
§ 1· ¸ 3 © 2¹ 5
¨
Φ1 ( n 1)
Impulsantwort (V(n) = )(n)) Definition des Einheitsimpulses (vergleiche Kronecker į(n,0)-Funktion)
δ1 ( n) wenn ( n = 0 1 0)
g1 ( n)
n1
n
Impulsantwort
Bereichsvariable
Seite 229
z-Transformation
Impulsantwort des Systems 1.5 1 g( n) 0.5
g1( n) 1
Abb. 6.32 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0.5 n
Frequenzgang: 1 G ( Ω) 1
1 3 1 2
j Ω
e
Frequenzgang der Übertragungsfunktion j Ω
e
Bereichsvariable
Ω 2 π 2 π 0.01 2 π
Amplitudengang 3 2 G( Ω)
Abb. 6.33 1
10
5
0
5
10
Ω
Beispiel 6.27: Wie lautet die Übertragungsfunktion G(z) der gegebenen Differenzengleichung mit verschwindenden Anfangsbedingungen? Wie lautet die Impulsantwort g(n) und der Frequenzgang und Phasengang des Systems? y ( n) a1 y ( n 1) = x ( n)
gegebene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Die Anwendung der z-Transformation ergibt unter Berücksichtigung der Linearitäts- und Verschiebungseigenschaft: Y ( z ) a1 Y ( z ) z
1
= X (z)
Daraus ergibt sich die Übertragungsfunktion:
Seite 230
z-Transformation
G ( z) =
Y (z) X (z)
1
=
1 a1 z
1
Die Übertragungsfunktion hat bei z0 = 0 eine Nullstelle
z
=
und bei z p = a1 eine Polstelle. Sie liegen innerhalb des
z a1
Einheitskreises in der z-Ebene auf der reellen Achse, wenn a 1 < 1 ist. Das System ist für a 1 < 1 stabil. Das System konvergiert für |z| > a1 .
z0 0
Nullstelle
z p 0.8
Polstelle (a1 = 0.8 gewählt)
Ω 2 π 2 π 0.01 2 π
Bereichsvariable
Einheitskreis, Nullstelle und Polstelle 1
0.5
Im z0
z-Ebene
Im zp
1
0.5
0
0.5
1
Im e
j Ω
Abb. 6.34
0.5
1
jΩ
Re z0 Re zp Re e
Die Impulsantwort des Systems erhalten wir durch Rücktransformation der Übertragungsfunktion: 1
g ( n) 1
8 10
z
1
invztrans z o
§ 4· ¨ ¸ © 5¹
n
Impulsantwort für a 1 = 0.8
Bereichsvariable
n 0 10
Impulsantwort des Systems 1.5 1 g( n)
Abb. 6.35 0.5
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n
Seite 231
10
11
z-Transformation
Amplituden- und Phasengang: 1
G ( Ω) 1 A ( Ω)
8 10
komplexer Frequenzgang j Ω
e
Amplitudengang
G ( Ω)
Redefinition
Ω Ω 1
A ( Ω) o
symbolische Auswertung des Amplitudenganges
Ωj
4 e
1
5
Phasengang
φ ( Ω) arg ( G ( Ω) ) Amplitudengang
Phasengang
6
1
5
0.5
4 A( Ω)
φ( Ω)
3 2
10
5
0
5
10
0.5
1 10
5
0
5
1
10
Ω
Ω
Abb. 6.36
Abb. 6.37
Beispiel 6.28: Ein System (digitales Filter) bestehe aus einem Addier-, einem Multiplizier- und einem Verzögerungsglied. Untersuchen Sie das System im Zeitbereich und im Frequenzbereich. a) Das System soll mit einer Einheitssprungfolge angesteuert werden: Untersuchung des Filters im Zeitbereich:
yn1 a1 yn = xn
zugehörige Differenzengleichung (x(n) = xn und y(n) = yn)
Die Lösung der Differenzengleichung liefert die Sprungantwort des Systems (Ausgangssignal). Abb. 6.38 a1 0.75 gegebener Multiplikator
Seite 232
z-Transformation
4
N 2
Anzahl der gewählten Abtastwerte
n 0 N 1
Bereichsvariable
σn 1
Einheitssprungfolge (als Vektor definiert)
xn σ n
Eingangssignal (Einheitssprungfolge)
y0 0
Anfangswert für die Differenzengleichung
yn1 a1 yn xn
Differenzengleichung für das Ausgangssignal. Die einzelnen Folgeglieder werden rekursiv berechnet.
yG = a1 yG 1
Aus der Differenzengleichung ergibt sich der Grenzwert für das Ausgangssignal.
yG
1
yG
1 a1
Fixpunkt
4
Ein- und Ausgangssignal 6
xn yn yn
5 4 3 2 1
yG
Abb. 6.39
1 0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13
14
15
16
n
Untersuchung des Filters im Bildbereich (z-Bereich):
Abb. 6.40 Durch z-Transformation der Differenzengleichung erhalten wir: Y (z) k Y (z) z
G ( z) =
Y (z) X (z)
=
1
= X ( z) 1
1 kz
1
=
z zk
digitale Übertragungsfunktion für das System
Seite 233
z-Transformation
z
X (z)
z-Transformierte des Einheitssprunges
z1 1
G ( z)
Übertragungsfunktion für das System
z a1
Y ( z) G ( z) X ( z)
Die z-Transformierte der Sprungantwort (Ausgangssignal) hat Pole bei z1p = -a1 und z 2p = 1.
z 1p a1
Polstellen
z 2p 1
Für die Rücktransformation in den Zeitbereich wählen wir einen geeigneten Radius für den kreisförmigen Integrationsweg (siehe Definition inverse z-Transformation). Die Pole von Y(z) müssen innerhalb des Integrationsweges der z-Ebene liegen.
r wenn a1 1 2 2 a1 x ( φ) r cos ( φ)
gewählter Radius für den Integrationsweg Parameterdarstellung für den kreisförmigen Integrationsweg
y ( φ) r sin ( φ)
Bereichsvariable
φ 0 0.01 2 π Integrationsweg und Polstellen 2
1
y( φ)
Abb. 6.41 Die Polstellen liegen innerhalb des gewählten Kreises im Konvergenzgebiet.
0 0
2
1
0
1
2
1 2 x( φ) z1p z2p 2π
n
yn
´ µ 2 π ¶0 r
ejnφ dφ
j φ
Y r e
yn wenn yn TOL 0 yn
Inverse z-Transformation nach Substitution z = r ejM Sprungantwort des Systems (Ausgangssignal)
Zu kleine Werte werden auf null gesetzt. Ein- und Ausgangssignal
6 xn yn yn
5 yG
4 3
Abb. 6.42
2 1 1 0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
Vergleiche dazu Abb. 6.39.
Seite 234
11
12 13
14
15
16
z-Transformation
Untersuchung des Filters im Frequenzbereich: TA 10
4
gewählte Abtastzeit (oder Samplingzeit Ts )
s
2 π
ωA
TA
G ( z) =
4
ωA
6.3 u 10 s
1
1
Abtastkreisfrequenz (oder Samplingkreisfrequenz Zs )
Digitale Übertragungsfunktion für das System. Das System konvergiert für |z| > a1 und verhält sich stabil für |z| < 1
z a1
Die zugehörige analoge Übertragungsfunktion (Frequenzgang) erhalten wir durch Substitution. jωTA
z=e
j Ω
Einheitskreis aus der digitalen Übertragungsfunktion
=e
1
G ( ω)
jωTA
e A ( ω)
Frequenzgang a1 Amplidudengang
G ( ω)
Phasengang
φ ( ω) arg ( G ( ω) ) ω 0 s
1
0.001 ωA 2 ωA
Bereichsvariable
Amplitudengang 6 5 4 A( ω ) 3 2 1
Phasengang
1 φ( ω )
0
0.5
1
1.5
2
4 3 2 1 10 2 3 4
1
0.5
1
1.5
2 π
ω
ω
ωA
ωA
Abb. 6.43
π
Abb. 6.44
Amplituden- und Phasengänge digitaler Filter sind, durch die Abtastung bedingt, periodisch mit der Abtastkreisfrequenz ZA, und der Frequenzgang ist symmetrisch zu ZA/2. Aufgrund des Abtasttheorems kann der Frequenzgang nur bis ZA /2 genützt werden (siehe dazu Abschnitt 3.1).
Seite 235
z-Transformation
b) Das System soll mit einem Einheitsimpuls angesteuert werden: Untersuchung des Filters im Zeitbereich: δn
1 if n = 0 Einheitsimpuls
0 otherwise xn δ n
Eingangssignal (Einheitsimpuls)
y0 0
Anfangswert für die Differenzengleichung
yn1 a1 yn xn
Differenzengleichung für das Ausgangssignal (rekursive Lösung)
2
xn
1
yn
Abb. 6.45
yn 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13
14
15
16
1 n
Untersuchung des Filters im Bildbereich (z-Bereich): z-Transformierte des Einheitsimpulses
X (z) 1 G ( z)
1
digitale Übertragungsfunktion für das System
z a1
Y ( z) = G ( z) X ( z) = G ( z)
Die z-Transformierte der Impulsantwort besitzt einen Pol bei z p = -a1 . Es ist dieselbe Polstelle wie bei G(z).
z p a1
Polstelle
r 2 a1
gewählter Radius des Integrationsweges
φ 0 0.01 2 π
Bereichsvariable 2 1
y( φ) 0
2
1
0
1
2
Die Polstelle liegt innerhalb des gewählten Kreises!
1 2
Abb. 6.46
x( φ) zp
Seite 236
z-Transformation
2π
n
´ µ 2 π ¶0 r
gn
e
j φ
G r e
gn wenn yn TOL 0 yn
j nφ
Inverse z-Transformation nach Substitution z = r ejM. dφ
Die Sprungantwort des Systems (Ausgangssignal) y(n) ist wegen X(z) = 1 identisch mit der Impulsantwort g(n).
Zu kleine Werte werden auf null gesetzt. Impulsantwort des Systems
2
δn
1
gn
Abb. 6.47
gn 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1 n
c) Das System soll mit einem Rechteckimpuls mit der Breite T1 < 5 TA angesteuert werden: Untersuchung des Filters im Zeitbereich: 4
N 2
Anzahl der gewählten Abtastwerte
n 0 N 1
Bereichsvariable
T1 5 TA
Impulsbreite
xn
1 if n TA d T1
Eingangssignal (Rechteckimpulsfolge)
0 otherwise y0 0.187
Anfangswert für die Differenzengleichung
yn1 a1 yn xn
Differenzengleichung für das Ausgangssignal (rekursive Lösung) Ein- und Ausgangssignal
4 3 xn
2
yn
Abb. 6.48
yn
1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 n
Seite 237
11
12
13
14
15
16
z-Transformation
Untersuchung des Filters im Bildbereich (z-Bereich): Werden spezielle äquidistante z-Werte am Einheitskreis der z-Ebene gewählt und in die z-Transformierte eingesetzt, so kann ein Zusammenhang mit der Fast-Fourier-Transformation erkannt werden (siehe dazu Abschnitt 3.1): k 0 N 1 j 2π
zk e
Bereichsvariable
k N
gewählte spezielle äquidistante z-Werte 2 1
Im zk
2
1
0
1
gewählte äquidistante z-Werte am Einheitskreis
2
1 2
Abb. 6.49
Re zk N 1
X (z)
§ xn z n· © ¹
¦
n
Wegen des finiten Signals wird aus der unendlichen Reihe eine endliche Reihe.
0
Die z-Transformierte an den äquidistanten Punkten am Einheitskreis erhalten wir über die Fast-Fourier-Transformation der Abtastwerte: k § j 2π n· ¨ N ¸ © xn e ¹ = N CFFT ( x)
N1
X zk =
¦
n
0
0
X (z)
0
0 1
6 2.631-3.938j
0 1
6 2.631-3.938j
2
-0.707-1.707j
2
-0.707-1.707j
3
0.676+0.134j
3
0.676+0.134j
4
1-j
4
1-j
5
-0.09-0.451j
5
-0.09-0.451j
6
0.707+0.293j
6
0.707+0.293j
7
0.783-0.523j
7
0.783-0.523j
8
0
N CFFT ( x)
8
0
9
0.783+0.523j
9
0.783+0.523j
10
0.707-0.293j
10
0.707-0.293j
11
-0.09+0.451j
11
-0.09+0.451j
12
1+1j
12
1+j
13
0.676-0.134j
13
0.676-0.134j
14
-0.707+1.707j
14
-0.707+1.707j
15
2.631+3.938j
15
2.631+3.938j
Seite 238
z-Transformation
Umgekehrt gilt natürlich, dass die Abtastwerte über die inverse Fast-Fourier-Transformation bestimmt werden können:
xn =
1 N
1 N
=
ICFFT X z k
T
ICFFT ( X ( z ) )
1 N
¦
k
0 0
k § j 2π n· ¨ N ¸ © X zk e ¹
N 1 0
1 1
2 1
3 1
4 1
5 1
6 1
7 0
8 0
9 0
...
Mit der IFFT ergibt sich die Antwort des digitalen Systems auf den endlichen Rechteckimpuls: 1
G ( z)
digitale Übertragungsfunktion für das System
z a1
z-Transformierte der Impulsantwort an den äquidistanten Punkten
Yk G z k X z k
Für die Berechnung des Ausgangssignals gilt demnach der Zusammenhang:
yn =
y
1 N 1
N 1
¦
k
0
k § j 2π n· ¨ 1 N ¸ © Yk e ¹ = N ICFFT ( Y)
Berechnung des Ausgangssignals mithilfe von Mathcad
ICFFT ( Y)
N
Ein- und Ausgangssignal 4 3 xn 2
yn
Abb. 6.50 1
yn 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13
14
15
16
1 n
d) Das System soll sinusförmig angesteuert werden: Erregen wir ein digitales System mit einer beliebigen Zeitfunktion x(n) , so kann die Antwort des Systems y(n) mittels Faltung y(n) = x(n) * g(n) bestimmt werden (siehe Abschnitt 6.2): TA 10
4
2 π
ωA
TA 4
N 2
gewählte Abtastzeit (oder Samplingzeit Ts )
s ωA
4
6.3 u 10 s
1
Abtastkreisfrequenz (oder Samplingkreisfrequenz Zs ) Anzahl der gewählten Abtastwerte
Seite 239
z-Transformation
Bereichsvariable
n 0 N 1
§ ωA
·
xn sin ¨
© 10
¹
2π
n
gn
sinusförmiges Eingangssignal
n TA ¸
´ µ 2 π ¶0 r
ejnφ dφ
Impulsantwort über die inverse z-Transformation (siehe unter c) weiter oben im Beispiel)
j φ
G r e
Die Impulsantwort gn erhalten wir auch über die inverse Fourier-Transformation:
1
gIFFT
N
n
k § j2π n· ¨ N ¸ © G z k e ¹
N 1
¦
k
=
1 N
ICFFT ( G ( z ) )
0
¦ §© gIFFTn gn·¹
2
4.165 u 10
4
quadratischer Fehler
n
n
yn
xnk gk
¦
k
Antwort des Systems (Ausgangssignal) mittels Faltung
0
yn wenn yn TOL 0 yn
Zu kleine Werte werden auf null gesetzt.
Y ( z) = G ( z) X ( z)
Eine Multiplikation im z-Bereich korrespondiert mit der Faltung im Zeitbereich.
y ( n) = x ( n) * g ( n)
Antwort des Systems auf sinusförmigen Erregung 3 2 xn
1
yn yn
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13
14
15
16
Abb. 6.51
1 2 3 n
Die Ausgangsfolge ist im eingeschwungenen Zustand wieder sinusförmig mit der gleichen Frequenz wie die Eingangsfolge, jedoch zu dieser phasenverschoben.
Seite 240
Differentialgleichungen
7. Differentialgleichungen 7.1 Allgemeines Zahlreiche Probleme, wie z. B. zeitabhängige Prozesse, werden in den Natur- und Wirtschaftswissenschaften sowie in der Physik und Technik durch Differential- oder Differenzengleichungen beschrieben. Differential- und Differenzengleichungen haben einen engen Zusammenhang. Differenzengleichungen ergeben sich durch Diskretisierung von Differentialgleichungen. Gehen wir aber von einer diskreten zu einer kontinuierlichen (stetigen) Betrachtungsweise eines Prozesses, so gehen die beschreibenden Differenzengleichungen in Differentialgleichungen über. Auf Differentialund Differenzengleichungen wird bereits im Kapitel 5 und 6 kurz eingegangen. Differenzengleichungen werden im Kapitel 8 ausführlicher behandelt. Zur Beschreibung eines praktischen Problems wird dabei zuerst fachbezogen ein mathematisches Modell in Form von Differential- oder Differenzengleichungen formuliert. Danach wird mithilfe der mathematischen Theorie eine exakte oder mithilfe der Numerik eine numerische Lösung gesucht. Wie auch bei algebraischen und transzendenten Bestimmungsgleichungen sind auch hier nur Sonderfälle von Differenzen- und Differentialgleichungen exakt lösbar. In den meisten Fällen sind wir auf numerische Näherungsmethoden und damit auf den Einsatz von Computern angewiesen. Auf die genaue Darstellung der Theorie und Numerik kann auch in diesem Kapitel nicht eingegangen werden. Wie bereits im Band "Einführung in Mathcad" dargestellt, stehen neben zahlreichen numerischen auch exakte Lösungsmöglichkeiten von bestimmten Differential- und Differenzengleichungen zur Verfügung. Zusatz-Software, wie Numerical Recipes und Solve and Optimization, erweitern die Lösungsmöglichkeiten in Mathcad auf diesem Gebiet. Darüber hinaus bieten auch Programme, wie z. B. Matlab, Maple und Mathematica, solche Möglichkeiten. Zur numerischen Lösung von Differential- und Differenzengleichungen stehen auch noch viele andere Programmsysteme und Programmbibliotheken, wie z. B. FEMLAB, ANSYS, PLTMG, ODEPACK und DIFFPACK, zur Verfügung. Eine Gleichung, die mindestens einen Differentialquotienten enthält, heißt Differentialgleichung. Unterschieden wird zwischen gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen. Jede stetige Funktion, welche die erforderlichen Ableitungen besitzt und die Differentialgleichung identisch erfüllt, ist eine Lösung oder ein Integral der Differentialgleichung. Der Graf der Lösungsfunktion heißt Lösungskurve oder Integralkurve. Die Menge aller Funktionen, die eine Differentialgleichung erfüllen, heißt allgemeine Lösung oder allgemeines Integral dieser Differentialgleichung. Sind die gesuchten Funktionen nur von einer Variablen x abhängig (y = f(x)), so liegt eine gewöhnliche Differentialgleichung vor. Sind die gesuchten Funktionen dagegen von mehreren Variablen abhängig (u = f(x,y,...)) und kommen die Ableitungen nach diesen Variablen in der Differentialgleichung vor, so sprechen wir von einer partiellen Differentialgleichung. Bei praktischen Aufgaben sind meistens nicht allgemeine Lösungen, sondern spezielle Lösungen, die gewisse Bedingungen erfüllen, gesucht. Demnach unterscheiden wir zwischen Anfangs-, Randwert- und Eigenwertaufgaben. Sind dagegen mehrere Differentialgleichungen voneinander abhängig, so nennen wir dies ein Differentialgleichungssystem. Systeme treten sowohl bei gewöhnlichen als auch bei partiellen Differentialgleichungen auf. Integralgleichungen unterscheiden sich zu Differentialgleichungen dadurch, dass in ihren Gleichungen keine Ableitungen und die unbekannten Lösungsfunktionen innerhalb von Integralen vorkommen. Falls zusätzlich auch Ableitungen der Lösungsfunktionen vorkommen, sprechen wir von Integrodifferentialgleichungen. Auf diese Gleichungen wird hier nur kurz in Form von Beispielen eingegangen. Die höchste auftretende Ableitung in einer Differentialgleichung bestimmt die Ordnung der Differentialgleichung. Wenn in einer Differentialgleichung die gesuchten Funktion y und deren Ableitungen y', y'', ..., y(n) höchstens in erster Potenz auftreten und nicht miteinander multipliziert werden (also alle Ableitungen linear auftreten), so sprechen wir von einer linearen Differentialgleichung. Ist dies nicht der Fall, so sprechen wir von einer nichtlinearen Differentialgleichung.
Seite 241
Differentialgleichungen
Gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung in impliziter (7-1) bzw. expliziter (7-2) Form (falls die implizite Form nach der n-ten Ableitung auflösbar ist): ( n)
F ª¬x y ( x) y' ( x) y'' ( x) .... y ( n)
y
( x)º¼ = 0
( n1)
( x) = f ª¬x y ( x) y' ( x) .... y
(7-1)
( x)º¼
(7-2)
Beispiel 7.1: 2
2
y' 3x y = 0
bzw.
y' = 3x y
2
bzw.
y'' = p y
y'' p y = 0 x
6
y a y'' b y = c x 2
gewöhnliche lineare Differentialgleichung 2. Ordnung (1.Grades) gewöhnliche lineare Differentialgleichung 2. Ordnung (1. Grades)
y'' y' y = e 4
2
gewöhnliche lineare Differentialgleichung 1. Ordnung (1. Grades)
gewöhnliche lineare Differentialgleichung 4. Ordnung (1. Grades)
5
gewöhnliche nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung (3. Grades)
=0
gewöhnliche nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung (2. Grades)
y y' 5 = 0
gewöhnliche nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung (3. Grades)
y y' = y'' x 2
y'
4 9y
2
Partielle Differentialgleichung n-ter Ordnung in impliziter (7-3) Form:
§
2
·
2
¨ w w d d w w ¸ u u F x y .... u ( x y ....) u u u .... = 0 ¨ 2 2 ¸ wx wy wxwy dx dy © ¹
(7-3)
Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung können auf gewöhnliche Differentialgleichungssysteme zurückgeführt werden. Auf diese Differentialgleichungen kann hier nicht eingegangen werden. Lösungsmöglichkeiten mit Mathcad finden sich im Buch "Einführung in Mathcad".
Beispiel 7.2: 2
Mit dem in Band 1 bereits formulierten Laplace-Operator Δ =
d
2
dx
2
d
2
dy
2
d
dz
2
können wir z. B.
folgende partielle Differentialgleichungen formulieren: Potentialgleichung (elliptische Differentialgleichung)
Δu = 0 Δu
1 d2 c
Δu
2 dt 2
1 w 2 c wt
u=0
2
Δu = a
u=0
d
w u b u cu wt dt 2
Wellengleichung (hyperbolische Differentialgleichung)
Wärmeleitungsgleichung (parabolische Differentialgleichung)
Telegrafengleichung
Seite 242
Differentialgleichungen
Lösungsmethoden: a) Exakte Lösungsmethoden: Exakte Lösungsmethoden sind nur für spezielle Klassen von Differentialgleichungen bekannt. Sie beruhen auf folgenden allgemeinen Methoden und sind sowohl für gewöhnliche als auch partielle Differentialgleichungen anwendbar: 1) Ansatzmethode: Es werden elementare mathematische Funktionen vorgegeben und mit frei wählbaren Parametern so gewählt, dass sie Lösungsfunktionen der Differentialgleichung sind. Dazu gehört z. B. auch der Potenzreihenansatz für Lösungsfunktionen (Potenzreihenlösungen). 2) Transformationsmethode (Reduktionsmethode): Dazu gehört die Reduktion der Ordnung einer Differentialgleichung oder die Zurückführung partieller auf gewöhnliche Differentialgleichungen bzw. gewöhnlicher Differentialgleichung auf algebraische oder transzendente Gleichungen. Dies erreichen wir z. B. durch Anwendung von Integraltransformationen wie Fourier- und Laplace-Transformation (siehe dazu Kapitel 4 und 5). 3) Superpositionsmethode: Aus einer Reihe berechneter unabhängiger Lösungen für eine Differentialgleichung wird durch Linearkombination die allgemeine Lösung so konstruiert, dass gewisse Anfangs- und Randbedingungen erfüllt sind. 4) Green'sche Methode: Sie ist bei Randwertaufgaben gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen von Bedeutung. 5) Integralgleichungsmethode: Eine gewöhnliche oder partielle Differentialgleichung wird in eine äquivalente Integralgleichung übergeführt. 6) Variationsmethode: Eine gewöhnliche oder partielle Differentialgleichung wird in eine äquivalente Variationsgleichung bzw. in eine Aufgabe der Variationsrechnung übergeführt. Wir denken dabei an Extremalprinzipien der Physik wie z. B. das Hamilton'sche oder Fermat'sche Prinzip. Aus der Vielzahl der bekannten exakten Lösungsmethoden für bestimmte Sonderfälle (bestimmte Klassen) von Differentialgleichungen werden nachfolgend nur einige wichtige näher behandelt. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen: In diesem Kapitel betrachten wir nur sogenannte klassische Lösungen von Differentialgleichungen. Stetige Lösungsfunktionen y(x) für gewöhnliche Differentialgleichungen n-ter Ordnung sollen auf dem Lösungsintervall [a, b] bis zur Ordnung n stetig differenzierbar sein (Lösungsraum ist der Raum der n-mal stetig differenzierbaren Funktionen) und die Differentialgleichung identisch erfüllen. Stetige Lösungsfunktionen u(x,y,...) für partielle Differentialgleichungen m-ter Ordnung sollen auf dem betrachteten Lösungsgebiet G stetige partielle Ableitungen bis zur Ordnung m besitzen und die Differentialgleichung identisch erfüllen. Nach modernen Theorien wird dieser Lösungsbegriff oft abgeschwächt, wenn keine klassischen Lösungen existieren. Wir sprechen in diesem Zusammenhang dann von schwachen oder verallgemeinerten Lösungen, die auch bei praktischen angewandten Aufgaben Anwendung finden. Anwender in Natur- und Wirtschaftswissenschaften sowie in der Physik und Technik interessieren die Existenz und Eindeutigkeit bei Differentialgleichungen nur bedingt, weil sie meist bei den zu untersuchenden Problemen vom betrachteten Modell in Form einer Differentialgleichung eine Lösung erwarten.
Seite 243
Differentialgleichungen
b) Numerische Lösungsmethoden: Wie bereits vorher angeführt, sind wir bei vielen praktischen Aufgaben auf numerische Lösungsmethoden angewiesen, weil nur spezielle Sonderfälle von Differentialgleichungen exakt gelöst werden können. Für numerische Berechnungen von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen lassen sich z. B. folgende Methoden angeben: 1) Diskretisierungsmethoden: Die zu lösende Differentialgleichung wird im Lösungsintervall [a, b] bzw. Lösungsgebiet G in nur endlich vielen Werten einiger oder aller unabhängigen Variablen betrachtet, die als Gitterpunkte und deren Abstände als Schrittweiten bezeichnet werden. Es können dafür als Hauptvertreter Differenzenmethoden angeführt werden, bei denen z. B. in einer Differentialgleichung auftretende Differentialquotienten der Lösungsfunktion im Lösungsgebiet durch DifferenzenQuotienten angenähert werden. Differentialgleichungen werden hier also durch Differenzengleichungen angenähert. Wird das Lösungsgebiet G einer partiellen Differentialgleichung nicht bezüglich aller Variablen diskretisiert, so nennen wir diese Methoden Semidiskretisierungs- oder Halbdiskretisierungsmethoden. Es gibt eine Reihe von Einschritte- und Mehrschrittemethoden. Zu den klassischen expliziten Einschrittemethoden zählen die Euler-Cauchy-Methode (Polygonzugmethode) und Runge-Kutta-Methode. Diese Methoden lassen sich auch als implizite Einschrittemethoden formulieren. Einige bekannte Mehrschrittmethoden sind z. B. Nyström-, Milne-, Adams-, Simpson-, BDF (backward differentiation formulas)- und NDF (numerical differentiation formulas )-Methoden. Eine Reihe genannter Ein- und Mehrschrittemethoden liefern nicht für alle Differentialgleichungen zufriedenstellende Ergebnisse. Sie versagen z. B. für sogenannte steife Differentialgleichungen, die zur Beschreibung von Modellen in der Regelungstechnik, elektrischen Netzwerktechnik sowie auch chemischer und biologischer Reaktionen dienen. Es kann gezeigt werden, dass zur Lösung steifer Differentialgleichungen geeignete numerische Methoden implizit sein müssen, wie z. B. die oben genannten BDF- und NDF-Methoden. NDF-Methoden sind modifizierte BDF-Methoden. Einer Differentialgleichung ist nicht immer anzusehen, ob sie steif ist oder nicht. So können z. B. für den Anwender zur Beurteilung folgende charakteristische Merkmale herangezogen werden: a) Die allgemeine Lösung steifer Differentialgleichungen setzt sich als Lösungsfunktionen mit stark unterschiedlichen Wachstumsverhalten zusammen. b) Es gibt sowohl langsam veränderliche als auch schnell veränderliche Lösungsfunktionen, wobei mindestens eine schnell fallende auftritt. Bei den in Mathcad vordefinierten Funktionen sollten bei jeder zu lösenden Differentialgleichung zum Vergleich auch die vordefinierten Lösungsfunktionen für steife Differentialgleichungen herangezogen werden. Um eine Konvergenzbeschleunigung herbeizuführen, werden auch sogenannte Extrapolationsmethoden zur numerischen Lösung einer Differentialgleichung herangezogen. 2) Projektions- oder Ansatzmethoden: Es werden Näherungen (Ansatz- oder Basisfunktionen) für Lösungsfunktionen durch eine endliche Linearkombination frei wählbarer Parameter (Koeffizienten) und vorgegebener Funktionen konstruiert. Als Näherung für die Lösungsfunktionen liefern diese Methoden einen analytischen Ausdruck, im Gegensatz zu Diskretisierungsmethoden, die nur Funktionswerte in endlich vielen vorgegebenen Gitterpunkten liefern. Zu diesen Methoden gehören Kollokations- und Variationsmethoden (Ritz-, Galerkin- und Finite-Elemente). 3) Schießmethoden: Differenzenverfahren und Variationsmethoden zur Lösung von Randwertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen. Die numerische Lösung von Randwertaufgaben wird auf die numerische Lösung einer Folge von Anfangswertaufgaben zurückgeführt. Näherungsverfahren (numerische Methoden) können nur Anfangs- bzw. Randwertprobleme lösen und keine allgemeinen Lösungen von Differentialgleichungen bestimmen. Es existiert eine sehr große Anzahl solcher Näherungsverfahren. Deshalb werden nachfolgend auch nur gewisse Standardmethoden kurz besprochen, die auch in Mathcad zur Anwendung kommen. Bei numerischen Methoden ist aufgrund ihrer Fehlerproblematik (Rundungsfehler, Diskretisierungsfehler, Fehlerordnung und Konvergenzfragen) zu beachten, dass sie nicht immer akzeptable Näherungswerte liefern müssen! Berechnete Ergebnisse in Programmsystemen wie z. B. in Mathcad müssen daher kritisch betrachtet werden! Ein Vergleich von Berechnungen unterschiedlicher Näherungsverfahren ist daher oft nützlich und notwendig!
Seite 244
Differentialgleichungen
7.2 Die gewöhnliche Differentialgleichung Eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung für eine skalare Funktion y(x) bzw. y(t) hat nach (7-1) die implizite Form: ( n 1)
F ª¬x y ( x) y' ( x) y'' ( x) .... y
( n 1)
F ª¬t y ( t) y' ( t) y'' ( t) .... y
( n)
( x) y
( n)
( t) y
( x)º¼ = 0 bzw.
(7-4)
( t)º¼ = 0 .
Wenn sich die implizite Form nach der höchsten Ableitung auflösen lässt, so erhalten wir aus der impliziten die explizite Form: ( n)
( x) = f ª¬x y ( x) y' ( x) .... y
( n)
( t) = f ª¬t y ( t) y' ( t) .... y
y y
( n1)
( n1)
( x)º¼ bzw.
(7-5)
( t)º¼ .
Der Parameter x bzw. t kann auf ein Intervall eingeschränkt werden. Tritt der Parameter x bzw. t nicht explizit als Argument von f auf, so sprechen wir auch von einer autonomen Differentialgleichung. Die allgemeine Lösung y einer Differentialgleichung n-ter Ordnung, besitzt im Allgemeinen n freie Parameter (Integrationskonstanten), die durch sogenannte Anfangsbedingungen festgelegt werden können. Die Integrationskonstanten werden bei physikalischen oder technischen Problemen im Allgemeinen durch bekannte Funktionswerte und Ableitungen zu Beginn eines Vorganges bestimmt. Nachfolgend werden gewisse Sonderfälle der gewöhnlichen Differentialgleichung besprochen. Zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen stehen in Mathcad folgende Numerikfunktionen zur Verfügung (siehe dazu auch Band 1, Einführung in Mathcad): a) Für gewöhnliche Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit Anfangsbedingungen oder für ein Differentialgleichungssystem: Dazu werden verschiedene Funktionen bereitgestellt. Allerdings muss zuerst eine Differentialgleichung n-ter Ordnung y(n) = f(x,y,...,y(n-1)) und auch die Anfangswerte in ein System 1. Ordnung umgeschrieben werden: Y0 = y ; Y '0 = Y1 (= y ' ) ; Y '1 = Y2 (= y'' ) ; Y '2 = Y3 (= y''' ) ; ... ; Y 'n-1 = f(x, Y0 , Y1 , ..., Yn-1 ) (= y(n) ). Die Anfangswerte y(xa ), y '(xa ), ..., y(n-1)(xa ) müssen in Form eines Vektors aw geschrieben werden. Außerdem ist eine Vektorfunktion D(x,Y) zu definieren, die die rechte Seite des Differentialgleichungssystems als Komponenten enthält. Y ist ein Vektor mit unbekannten Funktionswerten.
ª y xa º « » « y' xa » aw := « » « ....... » « ( n1) xa »¼ ¬y
Y1 · §¨ ¸ ¨ ¸ ..... und D ( x Y) := ¨ ¸ Y n 1 ¨ ¸ ¨ f x Y0 Y1 .... Yn1 ¸ © ¹
Seite 245
(7-6)
Differentialgleichungen
Adams-Verfahren: Z : = Adams aw xa xe N D [tol]
(7-7)
Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung mit fester Schrittweite: Z := rkfest aw xa xe N D
(7-8)
Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung mit ungleichmäßiger Schrittweite (gibt die Lösung jedoch an Punkten mit gleichem Abstand zurück): Z : = Rkadapt aw xa xe N D (7-9)
Bulirsch-Stoer-Verfahren: Z : = Bulstoer aw xa xe N D
(710)
Differentialgleichungslöser für steife Systeme: Ein Differentialgleichungssystem der Form y' = A y + h heißt steif, wenn die Matrix A fast singulär ist. Unter diesen Bedingungen kann eine von rkfest bestimmte Lösung oszillieren oder instabil sein. Backward-Differentiation-Formula-Verfahren: Z : = BDF aw xa xe N D [J] [tol]
(7-11)
Implizites Runge-Kutta-Radau 5-Verfahren: Z : = Radau aw xa xe N D [J] [M] [tol]
Bulirsch-Stoer-Verfahren: Z : = Stiffb aw xa xe N D AJ
(7-12)
(7-13)
Rosenbrock-Verfahren: Z : = Stiffr aw xa xe N D AJ
(7-14))
Hybrid-Löser: Z : = AdamsBDF aw xa xe N D [J] [tol]
Dieser Hybrid-Löser erkennt dynamisch, ob ein System steif oder nicht steif ist und ruft Adams oder BDF auf.
(7-15) entsprechend
Funktionsargumente: aw muss ein Vektor aus n Anfangswerten oder einem einzelnen Anfangswert sein. xa , xe sind Endpunkte des Intervalls, an dem die Lösung für Differentialgleichungen ausgewertet wird. Anfangswerte in Y sind die Werte bei xa . N ist die Anzahl der Punkte hinter dem Anfangspunkt, an denen die Lösung angenähert werden soll. Hiermit wird die Anzahl der Zeilen (1 + N) in der Matrix bestimmt, die von den Funktionen zurückgegeben wird. toll ist ein optionaler Parameter, ein reeller Wert oder ein Vektor reeller Werte, der Toleranzen für die unabhängigen Variablen im System angibt. Mit "tol" können Sie die Standardtoleranz von 10 -5 ändern. Z ist eine Matrix von der Größe (N+1) x (n+1). Die erste Spalte enthält die x-Werte (oder Zeitpunkte für x = t) x = xa , xa +x ... xe mit der Schrittweite x = (xe - xa ) / N, die zweite Spalte die gesuchte Lösung y zu den entsprechenden x-Werten, die 3. Spalte die erste Ableitung y' und die Spalte n die (n-1)-te Ableitung y(n-1). Zusätzliche Argumente: J (nur BDF und AdamsBDF) ist die n x n-Jacobi-Matrix, die Matrix der partiellen Ableitungen des Gleichungssystems in D in Bezug auf die Variablen Y0 , Y1 , ..., Yn. Durch Angabe von J können Sie die Genauigkeit der Ergebnisse verbessern. Siehe dazu Band 1.
Seite 246
Differentialgleichungen
§w ¨ D1 ¨ wx ¨ .... J:= ¨ ¨w ¨ wxDn ©
w wy0
.... w wy0
· ¸ wyn 1 ¸ ¸ .... .... ¸ ¸ w .... Dn ¸ wyn 1 ¹
D1 ....
Dn
w
D1
(7-16)
M ist eine reelle Matrix, welche die Koppelung der Variablen in der Form M dY/dx = D(x, Y) herstellt. AJ ist eine Funktion der Form AJ(x,y), welche die erweiterte Jacobi-Matrix zurückgibt. Die erste Spalte enthält in Bezug auf x die partiellen Ableitungen der rechten Seite des Systems. Die übrigen Spalten sind die Spalten der Jacobi-Matrix J, die die partiellen Ableitungen in Bezug auf Y0 , Y1 , ... Yn-1 enthält, wie vorher beschrieben. Siehe dazu Band 1. b) Numerische Auswertungsmöglichkeiten von Randwertproblemen: Bei vielen Anwendungsfällen kann aber davon ausgegangen werden, dass die Werte der Lösung an den Randpunkten bekannt sind. Kennen wir zwar einige, aber nicht alle Werte der Lösung und ihrer ersten (n-1)-Ableitungen am Anfang x a bzw. am Ende xe des Integrationsintervalls, so müssen die fehlenden Anfangswerte bestimmt werden. Dazu stellt Mathcad die Funktionen "sgrw" bzw. "grwanp" bereit. Sind die fehlenden Anfangswerte an der Stelle x a bestimmt, so kann ein Randwertproblem als Anfangswertproblem mithilfe der Funktionen "sgrw" bzw. "grwanp" und der oben angeführten Funktionen gelöst werden: S := sgrw v xa xe D lad abst (7-17)
Funktionsargumente: xa , xe und D(x,Y) sind die bereits oben angeführten Argumente. v ist ein Vektor mit Schätzwerten für die in xa nicht angegebenen Größen. lad(xa ,v) ist eine vektorwertige Funktion, deren n Elemente mit den n unbekannten Funktionen in xa korrespondieren. Einige dieser Werte werden Konstanten sein, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt sind, andere werden unbekannt sein, aber von "sgrw" gefunden werden. abst(xa ,Y) ist eine vektorwertige Funktion mit genauso viel Elementen wie v. Jedes Element bildet die Differenz zwischen der Anfangsbedingung an der Stelle x e und dem zugehörigen Erwartungswert der Lösung. Der Vektor "abst" misst, wie genau die angebotene Lösung die Anfangsbedingungen an der Stelle x e trifft. Eine Übereinstimmung wird mit einer Null in jedem Element angezeigt. S ist das von "sgrw" gelieferte Vektorergebnis mit den in xa nicht spezifizierten Werten. Mit den in S gelieferten Anfangswerten kann dann mit den oben angeführten Funktionen das Anfangswertproblem gelöst werden. Falls zwischen x a und xe die Ableitung eine Unstetigkeitsstelle xs aufweist, sollte anstatt der Funktion sgrw die Funktion "grwanp" eingesetzt werden: S := grwanp v1 v2 xa xe xs D lad1 lad2 abst (7-18)
Zusätzliche Funktionsargumente: v1 ist ein Vektor mit Schätzwerten für die in xa nicht angegebenen Größen, v2 für die Größen in x e . xs ist eine Unstetigkeitsstelle zwischen xa und xe . lad1(xe,v1 ) ist eine vektorwertige Funktion, deren n Elemente mit den n unbekannten Funktionen in xa korrespondieren. Einige dieser Werte werden Konstanten sein, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt sind. Falls ein Wert unbekannt ist, soll der entsprechende Schätzwert von v1 verwendet werden.
Seite 247
Differentialgleichungen
lad2(xe ,v2 ) entspricht der Funktion lad1, allerdings für die von den n unbekannten Funktionen bei x e angenommenen Werte. abst(xs ,Y) ist eine n-elementige vektorwertige Funktion, die angibt, wie die Lösungen bei xs übereinstimmen müssen. S ist das von "grwanp" gelieferte Vektorergebnis mit den in xa nicht spezifizierten Werten. Mit den in S gelieferten Anfangswerten kann dann mit den oben angeführten Funktionen das Anfangswertproblem gelöst werden. c) Numerische Auswertungsmöglichkeiten von Anfangs- und Randwertproblemen: Mit der Funktion Gdglösen können beliebige Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme n-ter Ordnung, abhängig von Anfangs- oder Randbedingungen, mithilfe eines Lösungsblocks numerisch gelöst werden. Voraussetzung ist, dass der Ableitungsterm der höchsten Ableitung linear ist (die Terme mit Ableitungen niedriger Ordnung können auch nichtlinear sein) und die Anzahl der Bedingungen gleich der Ordnung der Differentialgleichung ist. Ein solcher Lösungsblock kann z. B. folgendes Aussehen haben: Vorgabe
(7-19)
2
d
y ( x) y ( x) = 0 oder in Primnotation: y'' ( x) y ( x) = 0 (Primsymbol mit <Strg> + ) 2 dx Anfangswertproblem: y ( 0) = 5 y' ( 0) = 5 Oder Randwertproblem: y ( 0) = 1
Ableitung immer in Primnotation!
y ( 2) = 3
y:= Gdglösen x xb Schritte
Gibt eine Funktion y(x) numerisch zurück!
Vorgabe
(7-20)
2
d
2
2
u ( t) = 3 v( t)
dt Anfangswertproblem: u ( 0) = 1.2
u' ( 0) = 1.2
d
dt
2
2
u ( t) = 2
d
dt
v ( 0) = 1
2
v( t) 4 u ( t)
v' ( 0) = 1
Ableitung immer in Primnotatio !
§f · ª§ u · º ¨ ¸:= Gdglösen «¨ ¸ tb Schritte» Gibt einen Vektor mit Funktionen f(t) und g(t) numerisch zurück! ©g ¹ ¬© v ¹ ¼ Funktionsargumente: x ist die reelle Integrationsvariable bzw. ein Vektor mit den gesuchten Funktionen. x b bzw. tb ist der reelle Wert des Endpunktes des Integrationsintervalls. Schritte ist ein optionaler ganzzahliger Parameter für die Anzahl der zu berechnenden Punkte. Fehlt dieser, so verwendet Mathcad eine interne Schrittweite. Standardmäßig verwendet Gdglösen für die Lösung ein Runge-Kutta-Verfahren mit fester Schrittweite. Klicken wir mit der rechten Maustaste auf den Namen Gdglösen, so kann bei Anfangswertaufgaben im Kontextmenü zwischen fester oder adaptiver Schrittweite bzw. steifer Differentialgleichungen gewählt werden. Die oben angeführten Funktionen erlauben keine Einheiten in den Argumenten! Siehe dazu Band 1.
Seite 248
Differentialgleichungen
7.2.1 Die gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung Die einfachste Form gewöhnlicher Differentialgleichungen ist die Differentialgleichung erster Ordnung. Neben der gesuchten Lösungsfunktion y(x) bzw. y(t) tritt nur noch ihre erste Ableitung y'(x) bzw. y'(t) auf. Die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung lautet in impliziter Form: F ( x y ( x) y' ( x) ) = 0 bzw. F ( t y ( t) y' ( t) ) = 0 (7-21) Wenn sich die implizite Form nach der ersten Ableitung auflösen lässt, erhalten wir die explizite Form: y' ( x) = f ( x y ( x) ) bzw. y' ( t) = f ( t y ( t) ) (7-22) Eine stetige Funktion y(x) bzw. y(t) heißt Lösungsfunktion (Lösung) einer Differentialgleichung erster Ordnung, wenn sie eine stetige Ableitung besitzt und die Differentialgleichung identisch erfüllt. Methoden zur Berechnung exakter Lösungen existieren bei Differentialgleichungen erster Ordnung nur für bestimmte Sonderfälle! Nachfolgend werden dazu einige Methoden betrachtet. Geometrische Deutung der Differentialgleichung erster Ordnung: Betrachten wir in y'(x) = f(x,y) x und y als unabhängige Variable und setzen in die Differentialgleichung die Koordinaten eines Punktes P1 (x1 |y1 ) ein, so erhalten wir die Steigung in diesem Punkt: y' 1 = f(x1 ,y1 ) = tan(D) = k1
(7-23)
Das Wertetripel (x1 , y1 ,y' 1) heißt Linienelement im Punkt P1 und kann durch ein kurzes Tangentenstück in diesem Punkt veranschaulicht werden. Die Menge aller Linienelemente nennen wir das Richtungsfeld der gegebenen Differentialgleichung. Lösungen der Differentialgleichung sind dann diejenigen Kurven (Integralkurven), die in das gezeichnete Richtungsfeld hineinpassen. Anfangswertaufgaben: Die allgemeine Lösung y = f(x,C) einer Differentialgleichung erster Ordnung hängt noch von einer frei wählbaren Integrationskonstante C ab. Geben wir eine Anfangsbedingung y(x0 ) = y0 vor, so ist eine eindeutige Lösungsfunktion y(x) bestimmt. Solche Aufgaben, die in der Praxis häufig auftreten, nennen wir Anfangswertaufgaben. Häufig ist die Anfangsbedingung für den Anfangspunkt xa des Lösungsintervalls [xa , xe ] gegeben (x0 = xa ). Näherungsverfahren nach Euler (Streckenzugverfahren): Das Anfangswertproblem y' = f(x,y) mit dem Anfangswert: y0 = y(x0 ) soll im Intervall [xa ,xe ] näherungsweise nach Euler gelöst werden: xe xa und setzen mit k = 1, 2, ..., n Wir teilen das Intervall in n gleiche Teile der Länge Δx = h = n x0 = xa; xk = xa k h; y1 = y0 h f x0 y0 ; y2 = y1 h f x1 y1 usw., d. h. allgemein
yk = yk1 h f xk1 yk 1
(7-24)
Die Lösungskurve wird durch einen Polygonzug mit den Punkten P(xk ,yk ) approximiert. Umgeformt bedeutet dies die Darstellung der Differentialgleichung 1. Ordnung als Differenzengleichung (siehe dazu auch Kapitel 8): Δy Δx
=
yk yk1 Δx
= f xk 1 yk1
(7-25)
Seite 249
Differentialgleichungen
Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung: Das Anfangswertproblem y' = f(x,y) mit dem Anfangswert: y0 = y(x0 ) soll im Intervall [xa ,xe ] näherungsweise nach Runge-Kutta gelöst werden. Wie beim Verfahren von Euler wird die Lösungskurve der Differentialgleichung y ' = f(x,y) durch einen Streckenzug approximiert. Anders als beim Verfahren nach Euler wird hier für die Steigung der einzelnen Strecken des Streckenzuges ein mittlerer Wert m angesetzt, wobei das Steigungsverhalten der Lösungskurve in den beiden Randpunkten und in der Intervallmitte berücksichtigt wird, allerdings mit unterschiedlicher Gewichtung. Für y ' = f(x) ist das Verfahren identisch mit der Integration nach Simpson. Wir teilen das Intervall in n gleiche Teile der Länge Δx = h =
xe xa
und setzen mit k = 1, 2, ..., n n x0 = xa ; xk = xa k h und berechnen vier Streckenzüge verschiedener Steigungen k 1 ( f x y h) = f ( x y)
k 4 ( f x y h) = f x h y h k 3 ( f x y h) k 2 ( f x y h) = f x .5h y .5h k 1 ( f x y h) k 3 ( f x y h) = f x .5h y .5h k 2 ( f x y h)
und daraus die mittlere Steigung rk ( f x y h) =
h 6
k1 (f x y h) 2 k2 ( f x y h) 2 k3 (f x y h) k4 (f x y h)
Schließlich erhalten wir allgemein die zugehörigen y-Werte aus
yk = yk1 rk f xk1 yk 1 h
(7-26)
Siehe dazu auch das Unterprogramm im Band "Einführung in Mathcad", Kapitel 18, Beispiel 18.17. Beispiel 7.3: Für die gegebene Differentialgleichung soll das Richtungsfeld im Intervall [xa , xe ] = [xmin, xmax] und die exakte Lösung durch den Punkt x 0 = xa = xmin im Richtungsfeld dargestellt werden. Die Lösung soll auch mit dem Euler-Verfahren und Runge-Kutta-Verfahren angenähert werden. d dx
y ( x) =
f ( x y)
4 π 4 π
§ 2 x· ¸ © π ¹
gegebene Differentialgleichung erster Ordnung
cos ¨
§ 2 x· ¸ © π ¹
Term auf der rechten Seite der Differentialgleichung
§ 2 x· ¸ © π ¹
exakte Lösung durch den Punkt P(0|0)
cos ¨
y ( x) 2 sin ¨ nx 20
ny 20
Anzahl der Schritte-1 in x- und y-Richtung
xmin 0
xmax 10
Randpunkte der x-Werte
ymin 3
ymax 3
Randpunkte der y-Werte
i 0 nx
k 0 ny
Bereichsvariable
Seite 250
Differentialgleichungen
xi xmin i
xmax xmin nx
dx ( x y) 1 Xi k
Zi k
Vektor der x-Werte
dy ( x y) f ( x y) dx ( x y)
ds xi yk dx xi yk
Yi k
ds xi yk dy xi yk
yk ymin k ds ( x y)
ymax ymin
Vektor der y-Werte
ny 2
dx ( x y) dy ( x y)
2
Richtungspfeile (Steigungsdreieck)
Richtungspfeile(Tangentenanstiege) Vektorfelddiagramm (X,Y)
dx xi yk dy xi yk
Isoklinen (verbinden die Punkte gleichen Anstiegs) Umrißdiagramm Z
Ui k i Vi k k
Wi k
ny y xi ymin ymax ymin
Spezielle Lösungskurve Umrißdiagramm (U,W,V)
Vektorfelddiagramm, Umrissdiagramm, Umisdiagramm
Abb. 7.1
( X Y) Z ( U W V) Komplexe Berechnung (siehe Abschnitt 15.1, Band 1, Einführung in Mathcad): Fi k
1 f xi yk j 1 f xi yk j
(7-27)
Richtungsfeld (Vektorfelddiagramm)
Abb. 7.2
F
Seite 251
Differentialgleichungen
Das nachfolgende Unterprogramm kann zur Berechnung des Richtungsfeldes verwendet werden: f: Name des Funktionsterms (y ' = f(x,y)) xmin und xmax : kleinster und größter x-Wert nx , ny: Anzahl der Schritte-1 in x- und y-Richtung x, y: Vektoren der x- und y-Werte ORIGIN
0
Richtungsfeld f xmin xmax nx ny x y
nm0 for i 0 nx for j 0 ny for l 0 40 x1 n m
xmax xmin (l 20) x
80nx y1n m
1 f xi yj
i
2
(7-28)
f xi yj xmax xmin ( l 20 ) 80nx
1 f xi yj
2
yj
nmn1
§ x1 · ¨ ¸ © y1 ¹
X Richtungsfeld f xmin xmax nx ny x y
Das Unterprogramm liefert eine Matrix mit Matrizen.
x0 xmin
Anfangsbedingung (x0 und y0 sind Vektorkomponenten)
y0 0
Kontextmenü mit rechter Maustaste: Mathsoft Slider Control-Objekt Eigenschaften z. B. Minimum 20, Maximum 200
n
n
h
Anzahl der Schritte für das Euler- und Runge-Kutta-Verfahren
20 xmax xmin n
h
0.5
Schrittweite
k 1 n
Bereichsvariable
xk xmin k h
Vektor der x-Werte
yk yk 1 h f xk 1 yk1 x1 0 xmin
y10 0
x1 k xmin k h
Vektor der y-Werte (Euler-Verfahren; Iteration) Anfangsbedingung (x10 und y10 sind Vektorkomponenten) Vektor der x-Werte
Seite 252
Differentialgleichungen
k 1 ( f x1 y1 h) f ( x1 y1)
k 2 ( f x1 y1 h) f x1 .5h y1 .5h k 1 ( f x1 y1 h) k 3 ( f x1 y1 h) f x1 .5h y1 .5h k 2 ( f x1 y1 h)
k 4 ( f x1 y1 h) f x1 h y1 h k 3 ( f x1 y1 h)
Streckenzüge verschiedener Steigungen
mittlere Steigung: h
rk ( f x1 y1 h) y1k
6
k1 (f x1 y1 h) 2 k2 (f x1 y1 h) 2 k3 (f x1 y1 h) k4 (f x1 y1 h)
y1k1 rk f x1k1 y1k1 h
x xmin xmin
xmax xmin 20 nx
Vektor der y-Werte (Runge-Kutta-Verfahren; Iteration)
Bereichsvariable für die exakte Lösung
xmax
Richtungsfeld, exakte Lösung, Euler und Runge-Kutta 4
X1 0
2
y0 y( x) y
0
5
y1
2
X0 0 x 0 x x x1 Richtungsfeld Anfangswert exakte Lösung Lösung nach Euler Runge-Kutta
Abb. 7.3 Spur 1: Format Punkte; Spur2: Format Punkte Bei großen Schrittweiten h ist das Euler-Verfahren (Streckenzugverfahren) sehr ungenau. Wesentlich besser konvergiert das Verfahren von Runge und Kutta.
Seite 253
10
Differentialgleichungen
7.2.1.1 Separable Differentialgleichungen 1. Ordnung Lässt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung auf die Form y' = f ( x y) = g ( x) h ( y)
(7-29)
bringen, so kann die Differentialgleichung durch Trennung bzw. Separation der Variablen gelöst werden: 1. Trennung der beiden Variablen: d dx
y = g ( x) h ( x)
dy h ( y)
= g ( x) dx
(7-30)
2. Integration auf beiden Seiten (Bestimmung der Stammfunktionen) der Gleichung (7-30): ´ µ µ µ ¶
1 h ( y)
dy =
´ µ µ ¶
g ( x) dx C H ( y) = G ( x) C
(7-31)
3. Auflösung der impliziten Gleichung (7-31) nach der Variablen y (falls überhaupt möglich). 4. Bestimmung der Integrationskonstanten aus der Anfangsbedingung y(x0 ) = y0 (falls gegeben).
Beispiel 7.4: Bestimmen Sie die Lösung der nachfolgend gegebenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung mit der Anfangsbedingung y(0) = 1 und stellen Sie die Lösung im zugehörigen Richtungsfeld dar: d dx
dy y ´ µ µ µ ¶
gegebene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
y=y
Trennung der Variablen
= dx
1 y
dy =
´ µ µ ¶
Integration auf beiden Seiten
1 dx
oder
ln ( y) C1 = x C2
oder
ln ( y) = x C
ln ( y) = x ln ( C)
Implizite Gleichung explizit nach y auflösen: ln ( y) = x C3
x C3
y=e
C3 x
=e
x
e = Ce
Lösungen der Differentialgleichung
oder:
x ln (C) = ln C ex
ln ( y) = x ln ( C) = ln e
Seite 254
x
y = Ce
Differentialgleichungen
Bestimmung einer Lösung mithilfe der Anfangsbedingung: 0
y ( 0) = C e = 1
C=1
x
y=e
gesuchte Lösung
f ( x y) y
Term auf der rechten Seite der Differentialgleichung
x
exakte Lösung durch den Punkt P(0|1)
y ( x) e nx 20
ny 20
Anzahl der Schritte-1 in x- und y-Richtung
xmin 3
xmax 4
Randpunkte der x-Werte
ymin 3
ymax 3
Randpunkte der y-Werte
i 0 nx
k 0 ny
Bereichsvariable
xmax xmin
Vektor der x-Werte
xi xmin i
yk ymin k
nx ymax ymin
Vektor der y-Werte
ny
X Richtungsfeld f xmin xmax nx ny x y
Liefert eine Matrix mit Matrizen.
x0 0
Anfangsbedingung (x0 und y0 sind Vektorkomponenten)
y0 1
x xmin xmin
xmax xmin 20 nx
Bereichsvariable für die exakte Lösung
xmax
Richtungsfeld und exakte Lösung
2 X1 0 y0 y( x)
4
2
0
2
X0 0 x 0 x
Spur 1: Format Punkte; Spur2: Format Punkte
Seite 255
2
4
Abb. 7.4
Differentialgleichungen
Beispiel 7.5: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der nachfolgend gegebenen nichtlinearen Differentialgleichung 1. Ordnung und 2. Grades. Stellen Sie die Lösung für C = 0, C = 4 und C = 8 im zugehörigen Richtungsfeld dar. y
d dx
gegebene nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung 2. Grades
y2=0
Trennung der Variablen
y dy = 2dx ´ µ µ ¶
´ µ y dy = µ ¶
Integration auf beiden Seiten
2 dx
2
y
bzw.
= 2 x C1 2
2
y = 4x 2C1
oder mit C = 2 C1
2
y = 4x C
Implizite Gleichung explizit nach y auflösen: y=
und
4x C
f ( x y)
2
Term auf der rechten Seite der Differentialgleichung (Singularität bei y = 0)
y
Bereichsvariable
C 0 4 8 y ( x C)
y = 4x C
exakte Lösung durch den Punkt P(0|1)
4x C
nx 20
ny 20
Anzahl der Schritte-1 in x- und y-Richtung
xmin 5
xmax 2
Randpunkte der x-Werte
ymin 4
ymax 4
Randpunkte der y-Werte
i 0 nx
k 0 ny
Bereichsvariable
xi xmin i
xmax xmin
yk ymin k
nx ymax ymin
Vektor der x-Werte Vektor der y-Werte
ny
yk wenn yk = 0 0.01 yk
Werte mit y = 0 werden durch einen Wert ungleich null ersetzt.
X Richtungsfeld f xmin xmax nx ny x y
x xmin xmin
xmax xmin 20 nx
xmax
Liefert eine Matrix mit Matrizen.
Bereichsvariable für die exakte Lösung
Seite 256
Differentialgleichungen
Richtungsfeld und verschiedene Lösungen 4
2 X1 0 y( x C ) y( x C ) 6
4
2
0
2
Abb. 7.5
2
4 X0 0 x x
Spur 1: Format Punkte; Spur 2: Format Punkte; Spur 3: Format Punkte
7.2.1.2 Gleichgradige oder homogene Differentialgleichungen 1. Ordnung Liegt eine gleichgradige (homogene) Differentialgleichung der Form
§ y· ¸ © x¹
y' = f ¨
(7-32)
vor, oder kann sie auf diese Form gebracht werden, so kann diese Differentialgleichung durch Substitution u=
y
(7-33)
x
mit y = u x und y' = u ' x + u auf die separierbare Form u' x u = f ( u)
(7-34)
für die Funktion u(x) gebracht werden, die dann durch Trennung der Variablen (Abschnitt 7.2.1.1) gelöst werden kann.
Beispiel 7.6: Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem mit y(1) = 2: 2
y' =
2
y x yx
gegebene Differentialgleichung (x z0 und y z0)
Durch Division der rechten Seite durch x 2 erhalten wir folgende gleichgradige Differentialgleichung: 2
y
2
y' =
1
x
y x
Seite 257
Differentialgleichungen
Mit der Substitution u = y/x, also y = u x, erhalten wir mit y' = u' x + u die separable Differentialgleichung: 2
u' x u =
2
u 1
bzw.
u
u' =
1§ u 1
¨ x©
u
·
1 1
¹
x u
u¸ =
Durch Trennung der Variablen ergibt sich: u du =
1 x
dx
Nach beidseitiger Integration folgt dann: ´ µ u du = µ µ ¶
´ µ µ ¶
1 x
dx C
ergibt
1 2 u = ln ( x) C 2
Durch Rücksubstitution und Berücksichtigung des Anfangswertes erhalten wir: 2 ln x
u= y=x
2 ln x
y ( 1) = 1 y=x
C C
C=2
2 ln x
4
umgeformte allgemeine Lösungen (die negative Lösung kommt hier nicht in Frage) allgemeine Lösungen (u = y/x) C ist daher gleich 4 gesuchte Lösung
Beispiel 7.7: Wie lautet die allgemeine Lösung der nachfolgend gegebenen Differentialgleichung? Stellen Sie für verschiedene C-Werte die Lösungen grafisch dar. y' =
x y
gegebene Differentialgleichung (x zy)
x y
Durch Division der rechten Seite durch x erhalten wir folgende gleichgradige Differentialgleichung: 1 y' = 1
y x y x
Mit der Substitution u = y/x, also y = u x, erhalten wir mit y' = u' x + u die separable Differentialgleichung:
u' x u =
1u 1u
bzw.
u' =
1§ 1 u
¨
x©1 u
· ¹
u¸ =
Durch Trennung der Variablen ergibt sich schließlich: 1 x
dx =
1 u 2
du
1u
Seite 258
2
1 1u
x 1 u
Differentialgleichungen
Nach beidseitiger Integration folgt dann: ´ µ µ µ ¶
´ µ dx = µ x µ ¶ 1
1u 2
1 u
ergibt
du C1
ln ( x) = C1 atan ( u)
2
ln u 1 2
Durch Anwendung der Logarithmusgesetze und durch Rücksubstitution erhalten wir:
§
ln © x
· = arctan ( u) C ¹ 1
2
1u
§ 2 · y ¸ ¨ § y· ln x 1 = arctan ¨ ¸ C1 ¨ ¸ 2 © x¹ x ¹ © Bringen wir x unter die Wurzel und wenden auf beiden Seiten der impliziten Gleichung die Umkehrfunktion an, so erhalten wir schließlich die Form der impliziten Gleichung:
2
§ y · C § y· § y· arctan¨ ¸ arctan¨ ¸ ¸ 1 C 1 © x¹ © x¹ = Ce © x¹ =e e
arctan¨
2
x y =e
Diese implizite Gleichung kann mithilfe der Transformationsgleichungen in Polarkoordinatenform übergeführt werden: r=
2
2
§ y· ¸ © x¹
und
x y
φ = arctan ¨
φ
r ( φ C) C e
logarithmische Spiralen
C 0.2 0.4 1
Bereichsvariable
φ 0 0.01 4π
Bereichsvariable
90 120 150
1 u 10
3
60
600
30
200 r( φ C ) 180
0
210
Abb. 7.6
330 240
300 270 φ
Spur 1: Format Punkte
Seite 259
Differentialgleichungen
7.2.1.3 Exakte Differentialgleichungen 1. Ordnung Eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung der Form P ( x y) Q ( x y) y' ( x) = 0
(7-35)
heißt exakt, wenn eine Stammfunktion u(x,y) existiert mit P ( x y) =
w wx
u ( x y) und Q ( x y) =
w wy
u ( x y)
(7-36)
Die Lösungen lassen sich dann implizit als Niveaulinien darstellen, u ( x y) = C
(7-37)
wobei die Konstante C durch die Anfangsbedingung festgelegt werden kann. Wir schreiben eine exakte Differentialgleichung auch in der Form P ( x y) dx Q ( x y) dy = 0
(7-38)
um die symmetrische Behandlung der Variablen x und y hervorzuheben. In Anlehnung an die Theorie der Arbeitsintegrale (siehe dazu Band 1, Abschnitt 4.7) ist bei stetig differenzierbaren Funktionen P und Q die Integrabilitätsbedingung w wy
P ( x y) =
w wx
Q ( x y)
(7-39)
notwendig für die Existenz von u(x,y). Sie ist hinreichend, falls das betrachtete Definitionsgebiet G einfach zusammenhängend ist. Anders ausgedrückt ist (7-38) genau dann eine exakte Differentialgleichung, wenn du = P ( x y) dx Q ( x y) dy = 0
(7-40)
ein vollständiges Differential einer Funktion u(x,y) ist. Zur Lösung einer exakten Differentialgleichung gehen wir wie folgt vor: 1. Wir setzen w
(7-41) u ( x y) = P ( x y) wx und integrieren auf beiden Seiten und fügen zuletzt noch eine noch nicht bestimmte Funktion M(y) hinzu: u ( x y) =
´ µ µ ¶
P ( x y) dx φ ( y)
(7-42)
2. Die anschließende Differentiation nach y von (7-42) liefert dann w wy
u ( x y) =
· §´ ¨ µ P ( x y) dx φ ( y) ¸ = Q ( x y) ¸ wy ¨ µ ©¶ ¹ w
3. Die weitere Integration über M(y) liefert dann die Lösung: du = 0 u(x,y) = C
Seite 260
(7-43)
Differentialgleichungen
Beispiel 7.8: Es soll die nachfolgend gegebene Differentialgleichung gelöst werden: ( 2x y 1)dx ( x 3y 2) dy = 0
gegebene Differentialgleichung
Mit P ( x y) = 2x y 1 und Q ( x y) = x 3y 2
gilt die Integrabilitätsbedingung:
w wy
P ( x y) = 1 =
w wx
Q ( x y)
Damit ist die gegebene Differentialgleichung exakt und es gilt. w
also
du = ( 2x y 1)dx ( x 3y 2) dy
wx
u ( x y) = P ( x y)
und
w wy
u ( x y) = P ( x y)
Durch Integration erhalten wir:
u ( x y) =
´ µ µ ¶
´ µ µ ¶
P ( x y) dx φ ( y) =
´ µ µ ¶
P ( x y) dx φ ( y) = x y x x φ ( y)
2x y 1 dx φ ( y)
ergibt
u ( x y) =
w
Mit
wy
2
d
u ( x y) = x
dy
φ ( y)
und
w wy
u ( x y) = Q ( x y) = x 3y 2
erhalten wir:
x
d dy
φ ( y) = x 3y 2
bzw.
d dy
φ ( y) = 3y 2
Durch Integration der letzten Gleichung folgt:
φ ( y) =
´ µ µ ¶
3y 2 dy C1
ergibt
φ ( y) =
3 2 y 2y C1 2
Damit folgt für die Lösung: 2
u ( x y) = x y x x
3 2 y 2y C1 = C2 2
Seite 261
2
x yx x
3 2 y 2y = C 2
Differentialgleichungen
7.2.1.4 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung Eine Differentialgleichung der Form y' p ( x) y = q ( x)
(7-44)
heißt inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung. q(x) heißt Störfunktion. Ist die Funktion q(x) = 0, so heißt die Differentialgleichung der Form y' p ( x) y = 0
(7-45)
homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung. Die Koeffizientenfunktionen p(x) und die Störfunktion q(x) werden im Lösungsintervall I als stetig vorausgesetzt. a) Exakte Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung Die Lösung der homogenen Differentialgleichung 1. Ordnung ergibt sich durch Trennung der Variablen: y' p ( x) y = 0
ln y
´
= µ µ ¶
´ µ µ µ ¶
´ µ dy = µ y ¶ 1
p ( x) dx
p ( x) dx ln C
Daraus erhalten wir die Lösung ohne und mit eingesetzter Anfangsbedingung x0 , y0 = y(x0 ): ´ µ µ p( x) dx ¶
yh = C e
x
´ µ p ( t) dt ¶x
bzw. yh = y0 e
0
(7-46)
b) Exakte Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung Die allgemeine Lösung setzt sich aus der Lösung der homogenen Differentialgleichung yh und einer partikulären (speziellen) Lösung yp der inhomogenen Differentialgleichung zusammen: y = yh + yp. Die partikuläre Lösung yp wird durch Variation der Konstanten C ermittelt. Zuerst wird für yp die Lösung der homogenen Differentialgleichung herangezogen. Die Konstante C wird variiert, d. h. durch C(x) ersetzt. Anschließend wird yp differenziert: ´ µ µ p ( x) dx ¶
yp = C ( x) e
´ µ µ p ( x) dx ¶
yp' = C' ( x) e
´ µ µ p ( x) dx ´ ¶ d µ
C ( x) e
dx µ ¶
´ µ µ p( x) dx ¶
yp' = e
( C' ( x) C ( x) p ( x) )
Seite 262
p ( x) dx
Differentialgleichungen
yp und yp' werden nun in die inhomogene Differentialgleichung eingesetzt. Aus dieser Gleichung kann schließlich C(x) bestimmt werden: ´ µ µ p ( x) dx ¶
( C' ( x) C ( x) p ( x) )e
´ µ µ p ( x) dx ¶
C ( x) p ( x) e
= q ( x)
´ µ µ p ( x) dx ¶
C' ( x) C ( x) p ( x) C ( x) p ( x) = q ( x) e ´ µ µ p ( x) dx ¶
C' ( x) = q ( x) e
Durch Integration auf beiden Seiten ergibt sich C(x) zu: ´ µ µ µ C ( x) = µ ¶
´ µ µ p( x) dx ¶
q ( x) e
dx
Wegen der speziellen Lösung wird keine Integrationskonstante hinzugefügt. Damit erhalten wir die partikuläre Lösung in der Form:
´ µ µ p ( x) dx ¶
yp = C ( x) e
§´ ¨µ ´ µ ¨µ µ ¶ ¨µ = µ q ( x) e ¨¶ ©
· ¸ ´ µ p( x) dx ¸ µ ¸ ¶ dx e ¸ ¹
p( x) dx
(7-47)
Damit erhalten wir die Lösung ohne und mit eingesetzter Anfangsbedingung x0 , y0 = y(x0 ):
§´
¨µ ´ µ µ p( x) dx¨ µ ¶ ¨µ
y = yh yp = e
q ( x) e ¨µ ¶ ©
x
§´ x
¨µ ´ µ p( t) dt¨ µ ¶x
y = yh yp = e
´ µ µ p ( x) dx ¶
0
t
´ µ p( x) dx ¶x
¨ µ q ( t) e ¨µ ¶ © x0
0
· ¸ ¸ ¸ dx C ¸ ¹ · ¸ ¸ ¸ dt y0 ¸ ¹
(7-48)
(7-49)
Die Lösungsformeln (7-48) bzw. (7-49) sind auch für die Sonderfälle p(x) = 0 und q(x) = 0, also auch für die homogene Differentialgleichung, einsetzbar! Bemerkung: Eine partikuläre Lösung y p kann auch durch einen geeigneten Lösungsansatz, der noch einen oder mehrere Parameter enthält und von der Störfunktion abhängig ist, ermittelt werden.
Seite 263
Differentialgleichungen
Zur Berechnung in Mathcad definieren wir die vorher genannten Lösungsformeln jeweils als Funktion: Allgemeine Lösung mit einer Konstanten C1 :
· ¸ p ( x) dx ¸ ¸ dx C1 ¸ ¹
§´
· ¨µ ´ ¸ µ p( x) dx ¨ µ µ ¸ µ ¶ ¹¨ q ( x ) e ¨µ
§´ ¨µ µ ¨¶ y x p q C1 e ©
©¶
(7-50)
Spezielle Lösung mit der Anfangsbedingung x 0 , y0 = f(x0 ):
§´x
x
t
¨µ ´ µ p ( t) dt¨ µ ¶x
¨ µ q ( t) e ¨µ ¶ © x0
0
y1 x p q x0 y0 e
´ µ p ( x) dx ¶x 0
· ¸ ¸ ¸ dt y0 ¸ ¹
(7-51)
Wenn die Differentialgleichung von der Variablen t abhängig ist, kann (7-51) in folgender Form geschrieben werden:
§´t
t
x
¨µ ´ µ p ( x) dx¨ µ ¶t
y1t t p q t0 y0 e
´ µ p( t) dt ¶t
¨ µ q ( x) e ¨µ ¶ © t0
0
0
· ¸ ¸ ¸ dx y0 ¸ ¹
(7-52)
Beispiel 7.9: Wie lautet die allgemeine Lösung der nachfolgend gegebenen Differentialgleichung? 2
homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
y' 3x y = 0
Wir lösen diese Differentialgleichung durch Trennung der Variablen: d dx
2
´ µ µ µ ¶
y = 3x y
3
x ln( C )
yh = e
3
ln( C) x
=e
e
´ µ dy = µ y ¶ 1
2
3x dx ln ( C)
ergibt
3
x
= Ce
gesuchte allgemeine Lösung
Lösung mithilfe der Lösungsformel (7-50): x x
Redefinition 2
p ( x) 3x
q ( x) 0
Koeffizientenfunktion und Störfunktion
3
x
y x p q C1 o C1 e
gesuchte allgemeine Lösung
Seite 264
3
ln ( y) = x ln ( C)
Differentialgleichungen
Beispiel 7.10: Die Zerfallsgeschwindigkeit der unzerstrahlten Masse
d
M ( t) einer radioaktiven Substanz ist der vorhandenen dt Masse M(t) und einer Zerfallskonstanten O proportional. Damit ergibt sich eine homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung: d M ( t) = λ M ( t) dt Zum Zeitpunkt t = 0 s ist die unzerstrahlte Masse M0 vorhanden. Gesucht ist die grafische Darstellung des Zerfallgesetzes M(t) des E-Strahlers Tritium mit einer Halbwertszeit von 12 Jahren. Die Differentialgleichung kann durch Trennung der Variablen einfach gelöst werden: dM M
= λ dt λt
´ µ µ µ ¶
´ µ dM = µ M ¶ 1
λ dt ln ( C)
ergibt
ln ( M) = λ t ln ( C)
allgemeine Lösung der Differentialgleichung
M ( t) = C e
Durch Einsetzen der Anfangsbedingung erhalten wir schließlich: 0
also C = M0
M ( 0) = C e = M0 λt
gesuchtes Zerfallsgesetz
M ( t ) = M0 e
Bestimmung der Halbwertszeit TH: λ TH
1
hat als Lösung(en)
M = M0 e 2 0 TH =
ln ( 2)
ln ( 2) λ
Halbwertszeit
λ
Jahre Jahr
Einheitendefinition
M0 10 mg
gewählte Ausgangssubstanz Halbwertszeit von Tritium
TH 12Jahre λ
nach Variable TH auflösen
ln ( 2)
λ
TH
λt
M t M0 λ M0 e
1.83 u 10
9 1
Zerfallskonstante
s
Zerfallsgesetz Bereichsvariable
t 0 Jahre 0.2 Jahre 48 Jahre
Seite 265
Differentialgleichungen
10
TH
9
Masse
M t M0 λ mg
M 24Jahre M0 λ M 36Jahre M0 λ M 48Jahre M0 λ
Jahre
8
M 12Jahre M0 λ
7 6
M0
5
2
4 3
mg
2
5 mg 2.5 mg 1.25 mg 0.625 mg
1 0
0
6
12
18
24
30
36
42
48
Abb. 7.7
t Jahre 10
M t M0 λ mg
halblogarithmische Darstellung auf Exponentialpapier
1
0.1 0.01 0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
t
40
44
48
Abb. 7.8
Jahre
Beispiel 7.11: Eine arretierte Zylinderscheibe wird von einem biegsamen Seil umschlungen, das an einem Ende durch die Gewichtskraft belastet wird. Mit welcher Kraft F0 müssen wir am anderen Ende des Seils einwirken, um ein Abgleiten der Masse m zu verhindern, wenn der Haftreibungskoeffizient den Wert P 0 = 0.5 besitzt? Die Anfangsbedingung lautet: S(0) = F0 . Infolge der Haftreibung zwischen Seil und Zylinderscheibe ist die Seilkraft S nicht konstant, sondern eine vom Zentriwinkel M abhängige Größe. Ermitteln Sie die Seilkraft S(M) durch Trennung der Variablen mithilfe der Laplace-Transformation und mit einem Näherungsverfahren. Die Seilkraft soll für F0 = 100 N grafisch dargestellt werden.
Abb. 7.9
Im Gleichgewichtszustand gilt: d dφ
S ( φ) = μ0 S ( φ)
Anfangsbedingung:
bzw.
d dφ
S ( φ) μ0 S ( φ) = 0
S ( 0) = F0
Seite 266
homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
Differentialgleichungen
Exakte Lösung der Differentialgleichung durch Trennung der Variablen: ´ µ μ0 dφ µ ¶
φ μ0
vereinfacht auf
S ( φ) = C e
S ( φ) = C e
Anfangsbedingung einsetzen und nach C auflösen: 0μ0
vereinfacht auf
F0 = C e
μ0 φ
F0 = C
gesuchte Lösungsfunktion für die Seilkraft
S ( φ) = F0 e
Am Seilende mit der Gewichtskraft G = m g gilt (M = S): 0.5π
S ( π ) = F0 e 0.5π
F0 e
hat als Lösung(en)
=G
.20787957635076190855G
Gleichung nach F0 auflösen
Ein Abgleiten der Masse m wird verhindert, wenn die am einen Seilende wirkende Seilkraft rund 20 % des am anderen Seilende angehängten Gewichtes beträgt. μ0 0.5
Reibungskoeffizient
F0 100N
Kraft bei M = 0 μ0 φ
S ( φ) F0 e
Funktion (Seilkraft)
φ 0 0.01 π
Bereichsvariable Seilkraft
600
π S( πGrad )
500
N
S ( π)
481.048 N
S ( 0)
100 N
S( φ) 400 N F0 N
300 200 100 0
0
18
36
54
72
90
108
126
φ Grad
Abb. 7.10
Seite 267
144
162
180
Differentialgleichungen
Exakte Lösung der Differentialgleichung mithilfe der Laplace-Transformation: Näheres siehe Kapitel 5 Laplace-Transformation. d dφ
homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
S ( φ) μ0 S ( φ) = 0
Redefinition für die symbolische Auswertung
μ0 μ0
F0 S ( s ) s F0 μ0 S ( s ) = 0 auflösen S ( s ) o s μ0 S ( s ) s F0 μ0 S ( s ) = 0
Anfangsbedingung
Laplacetransformierte Gleichung (direkte Übersetzung)
S ( s ) s F0 μ0 S ( s ) = 0 F0 F0
S ( 0) = F0
auflösen S ( s ) t μ0 o F0 e invlaplace s
μ0 t
Laplacetransformierte S(s) nach Variable S(s) auflösen und inverse Transformation durchführen
gesuchte Seilkraft
S ( φ) = F0 e
Näherungsverfahren (Runge-Kutta-Methode (7-8)): d dφ
homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
S ( φ) μ0 S ( φ) = 0
μ0 0.5
S ( 0) = F0
Anfangsbedingung
gegebene Werte
F0 100 ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
aw 0 F0
aw ist ein Vektor mit den Anfagsbedingungen für die Differentialgleichung.
D ( φ S) μ0 S0
Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der Darstellung D(M,S):=(S 1 , ..., Sn-1 , S(n))T. Die letzte Komponente ist die nach S(n) umgeformte Differentialgleichung.
N1 300
Anzahl der Winkelschritte für die numerische Berechnung
φa 0
Anfangswinkel
φe π
Endwinkel
Z rkfest aw φa φe N1 D
Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1)
¢0² φ Z
nächste Spalte Z<1> die Lösungsfunktion S(M) und die letzte
Matrix. Die erste Spalte Z<0> enthält die Winkel M, die
¢1² S Z N
Spalte Z die Ableitung S(n-1)(M).
k 0 zeilen ( Z) 1
Bereichsvariable
Im Runge-Kutta-Verfahren sind keine Einheiten zulässig!
Seite 268
Differentialgleichungen
Seilkraft S 500
Szeilen( Z) 1
400
Sk N
300
F0
200
N
S0
100 0
0
481.048 N
100 N
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
Abb. 7.11
φk Grad
Näherungsverfahren (mithilfe des Lösungsblockes (7-19)): μ0 0.5
F0 100
gegebene Werte
b π
Endwert des Integrationsintervalls
n 200
Anzahl der Schritte
Vorgabe d dφ1
S1 ( φ1) μ0 S1 ( φ1) = 0
S1 ( 0) = F0
homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung Anfangsbedingung
S1 Gdglösen ( φ1 b n)
Die Funktionswerte S1 können nur mit S1(M) in Tabellenform ausgegeben werden!
S1 ( φ1) S1 ( φ1) N
Einheiten zuweisen
φ1 0 0.01 π
Bereichsvariable
500 F0 N
S1 ( π)
481.048 N
S1 ( 0)
100 N
400 300
S1( φ1) 200 N 100 0
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 φ1 Grad
Abb. 7.12
Seite 269
Differentialgleichungen
Beispiel 7.12: Wie lautet die Lösung der nachfolgend gegebenen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung y(0) = 2? inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten (p(x) = 1)
y' y = x
Wir lösen zuerst die homogene Differentialgleichung durch Trennung der Variablen: d dx
´ µ µ µ ¶
y = y
x ln( C )
yh = e
ln( C) x
=e
e
´ µ dy = µ y ¶ 1
x
ergibt
1 dx ln ( C)
ln ( y) = x ln ( C)
gesuchte homogene Lösung
= Ce
Eine partikuläre Lösung erhalten wir durch Variation der Konstanten C: x
x
yp ( x) = C ( x) e
yp' ( x) = C' ( x) e
x
C ( x) e
Ansatz und Ableitung
Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung: x
C' ( x) e
x
C ( x) e
´ µ C ( x) = µ ¶
x
x
C ( x) e x
x
x
C' ( x) = x e
C(x) erhalten wir mithilfe der partiellen Integration
x e dx = e ( x 1)
yp ( x) = e ( x 1) e
x
=x
=x 1 x
y ( x) = yh ( x) yp ( x) = C e
allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 1. Ordnung
x 1
Mit der Anfangsbedingung ergibt sich dann die Lösung zu: 0
y ( 0) = C e
1=2 x
y ( x) = yh ( x) yp ( x) = 3e
C=3
x 1
gesuchte Lösung
Lösung mithilfe der Lösungsformel (7-50) und (7-51): Redefinition
x x p ( x) 1
Koeffizientenfunktion (Konstante) und Störfunktion
q ( x) x
x
y x p q C1 vereinfachen o x C1 e
x
y1 ( x p q 0 2) vereinfachen o x 3e
1
gesuchte allgemeine Lösung
1
gesuchte Lösung
Seite 270
Differentialgleichungen
Beispiel 7.13: Einem Patienten werden pro Minute 5 mg eines Medikamentes durch Tropfinfusion zugeführt; gleichzeitig werden 5 % des jeweils im Blut vorhandenen Medikamentes durch die Nieren ausgeschieden. Damit wird die zeitliche Änderung der im Blut vorhandenen Medikamentenmenge med(t) durch die nachfolgend gegebene Differentialgleichung angegeben. Wie lautet die Lösung der Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung med(0) = 0. d dt
1
med ( t ) = 5
20
med ( t )
oder d dt
med ( t )
1 20
inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten (p(t) = 1/20)
med ( t ) = 5
Lösung mithilfe der Lösungsformel (7-52): t t Redefinition p ( t)
1 20
Koeffizientenfunktion (Konstante) und Störfunktion
q ( t) 5
y1t ( t p q 0 0) vereinfachen o 100 100e
t 20
gesuchte Lösung
0.05 · § t ¨ min ¸ med ( t ) 100 mg © 1 e ¹
Lösung mit Einheiten
t 0min 0.5min 120min
Bereichsvariable
Menge des Medikamentes
Tropfinfusion 100 90 80 70 med( t) 60 50 mg 40 30 20 10 0 0
Abb. 7.13
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100 110 120
t min Zeit
Seite 271
Differentialgleichungen
Beispiel 7.14: In einem Gleichstromkreis, in dem ein Ohm'scher Widerstand R = 1 k: und eine Kapazität C = 20 PF in Serie geschaltet sind, wird zum Zeitpunkt t = 0 s über einen Schalter eine konstante Spannungsquelle U 0 = 100 V geschaltet. Wie groß ist die Teilspannung u C am Kondensator, wenn uC(0 s) = 0 V ist? Welcher Strom i fließt im Stromkreis? Ermitteln Sie die Spannung uC mithilfe der Lösungsformel (7-49), mithilfe der Laplace-Transformation und mit einem Näherungsverfahren. Die Spannung u C und der Strom i sollen auch grafisch dargestellt werden.
Abb. 7.14
Nach der Maschenregel (Kirchhoff 2) gilt: uR + uC = U0 mit
uR = R i = R C u'C = τ u'C
τ = RC
Die zugehörige Differentialgleichung lautet somit: τ
d dt
bzw.
uC uC = U0
U0 1 uC uC = τ τ dt d
inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten p(t) = 1/W)
Anfangsbedingung
uC ( 0s ) = 0V
Mit der Lösungsformel (7-49) erhalten wir:
´ µ µ µ ¶
uC ( t) = e
§´ ¨µ ´ µ 1 µ dt¨ µ τ ¨µ µ U0 µ ¶ ¨µ e ¨µ τ ©¶
· ¸ 1 ¸ dt τ ¸ dt C¸ ¸ ¹
ergibt
uC ( t) = e
t§
t·
τ¨
τ¸
¨
¸
© C U0 e ¹
Anfangsbedingung einsetzen und nach C auflösen, ergibt C = -U0 :
0=e
0§
0·
τ¨
τ¸
¨
¸
© C U0 e ¹
uC ( t) = e
t τ
t· §¨ ¸ τ ¨ U0 U0 e ¸ © ¹
hat als Lösung(en)
U0
vereinfacht auf
§ ¨ uC ( t) = U0 © e
Seite 272
t τ
· ¸ 1¹
Differentialgleichungen
t· § ¨ τ¸ uC ( t) = U0 © 1 e ¹
i ( t) = C
d dt
uC ( t)
Stromstärke durch den Kondensator
t· § ¨ τ¸ U0 © 1 e ¹
durch Differenzierung, ergibt t
i ( t) = C
Spannung am Kondensator
3
Stromstärke durch den Kondensator Einheitendefinition
s
R 1000Ω
C 20μF
i ( t)
ut ( t)
e
R
U0 τ
τ
V
80
Funktionsgleichung für die Spannung am Kondensator
Funktionsgleichung für den Strom
Anlauftangente
t
100 90
uC ( τ)
63.212 V
τ
5τ
ms
ms
uC( τ)
70 uC ( t) 60 V
50
ut( t)
40
V
vorgegebene Größen
0.02 s
t
110 U0
τ
Bereichsvariable
t· § ¨ τ¸ uC ( t) U0 © 1 e ¹ 1
τ RC
U0 100V
t 0s 0.0001s 6τ
U0
τ
t
U0 τ τ e = I0 e RC
ms 10
U0 e
t τ
V
Abb. 7.15
30 20 10 0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
t ms
it ( t ) i ( τ)
U0 R
U0 Rτ
t
36.788 mA
Anlauftangente
Strom zum Zeitpunkt W
Seite 273
90
100
110
120
Differentialgleichungen
110 100
τ
5τ
ms
ms
R
90 80
mA
70
i ( t)
60 50
mA
40
i( τ)
it( t)
30 20
mA
U0
mA
Abb. 7.16
10 10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
t ms
Exakte Lösung der Differentialgleichung mithilfe der Laplace-Transformation: Näheres siehe dazu Kapitel 5, Laplace-Transformation. U0 1 uC ( t) uC ( t) = τ τ dt
inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten p(t) = 1/W)
d
Anfangsbedingung:
U(s) s 0 τ τ
U(s) s 0
1 τ
U(s) =
uC ( 0s ) = 0V U0
Laplacetransformierte Gleichung (direkt übersetzt)
τ s
Redefinitionen
U0 U0 1 τ
U(s)
U0 τs
t
§
·
Nach Variable F(s) auflösen und inverse Transformation durchführen
auflösen U ( s ) ¨ τ ¸ o U0© e 1¹ invlaplace s
t § · ¨ τ¸ uC ( t) = U0 © 1 e ¹
Kondensatorspannung
Näherungsverfahren (Runge-Kutta-Methode (7-8)): U0 1 uC = uC τ τ dt
inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten p(t) = 1/W)
d
Anfangsbedingung:
R 1000
uC ( 0) = 0
C 20 u 10
6
U0 100
τ RC
Seite 274
τ
0.02
vorgegebene Größen ohne Einheiten
Differentialgleichungen
§0 · aw ¨ ¸ ©0 ¹
aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung. Hier könnte die 2. Komponente weggelassen werden!
§¨ U0 1 ·¸ U0 D ( t U) ¨ τ τ ¸ ¨ ¸ 0 © ¹
D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der Darstellung umgeformte Differentialgleichung. Hier könnte die 2. Komponente weggelassen werden!
N1 300
Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung
ta 0
Anfangszeitpunkt
te 5τ
Endzeitpunkt
D(t,U):=(U1 , ..., Un-1 , u(n)(U))T. Die letzte Komponente ist die nach u (n)
Z rkfest aw t a t e N1 D
Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1)
¢0² t Z s
nächste Spalte Z<1> die Lösungsfunktion uC(t) und die letzte
Matrix. Die erste Spalte Z<0> enthält die Zeitpunkte t, die
Zeitwerte
Spalte Z die Ableitung uC(n-1)(t). ¢1² uc Z V
Kondensatorspannungswerte
k 0 zeilen ( Z) 1
Bereichsvariable
100
τ
5τ
ms
ms
U0 V uc
50 k
Abb. 7.17
V
0
0
50
100
150
tk ms
Beispiel 7.15: An einer Serienschaltung mit Widerstand R und Induktivität L wird zum Zeitpunkt t = 0 s eine sinusförmige Wechselspannung u e = Umax sin(Z t + Mu ) angelegt. Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung an der Spule uL (t) und der Spannung am Widerstand uR(t) sowie des Stromes i(t). Zum Einschaltzeitpunkt t = 0 s muss der Strom i(t) null sein, da wegen der Spule eine sprungartige Stromänderung nicht möglich ist. Die Schaltung soll für folgende Daten berechnet werden: L = 0.8 H, R = 50 :Umax = 100 V, f = 50 Hz, Mu = 0.
Seite 275
Differentialgleichungen
Abb. 7.18
Eingangsspannung
ue ( t) = Umax sin ω t φu uL ( t) = L
d dt
allgemeine Darstellung der Spannung an der Spule (Induktionsgesetz)
i ( t)
allgemeine Darstellung der Spannung am Ohm'schen Widerstand
uR ( t) = R i ( t )
Nach der Maschenregel (Kirchhof 2) gilt: uR + uL = ue Die zugehörige Differentialgleichung lautet somit: d dt d dt
i ( t)
i ( t)
R L 1 τ
i ( t) =
i ( t) =
Umax L Umax L
inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Differentialgleichung mit Zeitkonstante
sin ω t φu
sin ω t φu
Mit der Lösungsformel (7-49) erhalten wir:
p ( t) =
R
q ( t) =
L
´ µ µ µ ¶
i ( t) = e
Umax L
sin ( ω t)
§´ ¨µ ´ µ R µ dt¨ µ µ L ¨ µ µ Umax ¶ ¨µ sin ω t φu e L ¨µ ©¶
· ¸ R ¸ dt L ¸ dt C¸ ¸ ¹
vereinfacht auf
i ( t) =
2
R Umax sin φu ω t C R e
Rt L
2 2
L Umax ω cos φu ω t C L ω e 2 2
2
L ω R
Seite 276
Rt L
τ=
L R
Differentialgleichungen
Durch Vereinfachung des letzten Ausdruckes erhalten wir: i ( t ) = ih ( t ) i p ( t ) R L
i ( t) = C e
t
Umax
2
2 2
R ω L
R sin ω t φu ω L cos ω t φu
Mit R=
2
2 2
R ω L cos ( φ1) = Z cos ( φ1)
ωL =
2
2 2
R ω L sin ( φ1) = Z sin ( φ1)
erhalten wir durch Division: sin ( φ1) cos ( φ1)
= tan ( φ1) =
ωL
§ ωL· ¸ © R ¹
φ1 = arctan ¨
R
ip (t) kann dann noch mithilfe des Summensatzes sin(D- E) = sin(D) cos(E) - cos(D) sin(E) und -M = Mu - M1 vereinfacht werden: ip ( t ) =
ip ( t ) =
Umax 2
2 2
R ω L
2
2
2 2
Umax 2
2 2
Umax
sin ω t φu φ1 =
R ω L
ip ( t ) =
2 2
R ω L
Umax
Z cos ( φ1) sin ω t φu sin ( φ1) cos ω t φu
2
2 2
R ω L
sin ω t φu φ1
sin ( ω t φ)
R ω L
R
i ( t ) = ih ( t ) i p ( t ) = C e
L
t
Umax 2
2 2
sin ( ω t φ)
gesuchte allgemeine Lösung
R ω L
Anfangsbedingung i ( 0s ) = 0A einsetzen und nach C auflösen: R
0 = Ce
L
0
Umax
2
2 2
sin ( ω0 φ)
hat als Lösung(en)
2 2
R ω L
i ( t) =
Umax 2
2 2
Umax sin ( φ) 2
L ω R
R · § t ¨ ¸ L sin ( φ) ¹ © sin ( ω t φ) e
gesuchte Lösung
R ω L
Seite 277
Differentialgleichungen
Vorgegebene Daten: Frequenz der Eingangsspannung
f 50Hz ω 2π f
ω
314.159 s
1
Kreisfrequenz
Umax 100V
Amplitude der Eingangsspannung
φu 0Grad
Phasenwinkel der Eingangsspannung
R 50Ω
Widerstand
L 0.8H
Induktivität
τ
L
τ
R
0.016 s
Zeitkonstante
t1 0s
Anfangszeitpunkt
t2 0.08s
Endzeitpunkt
N1 800
Anzahl der Schritte
Δt
t2 t1
Schrittweite
N1
Bereichsvariable
t t1 t 1 Δt t 2 ms 10
3
Einheitendefinition
s
ue ( t) Umax sin ω t φu
Eingangsspannung
§ ωL· φ φu atan ¨ ¸ © R ¹
Phasenverschiebung
Umax
i ( t)
2
2 2
R § · t ¨ ¸ L sin ( φ) ¹ © sin ( ω t φ) e
Gesamtstrom
R ω L uR ( t) R i ( t ) uL ( t) L
d dt
i ( t)
Spannung am Widerstand
Spannung an der Spule
Der Gesamtstrom i(t) kann in iein(t) und in istat(t) zerlegt werden:
Seite 278
Differentialgleichungen
Umax
iein ( t)
2
2 2
· § Rt ¨ L ¸ sin ( φ) ¹ ©e
Ausgleichsstrom
sin ( ω t φ)
stationärer Strom
R ω L Umax
istat ( t)
2
2 2
R ω L
Ströme beim Einschalten 900 i ein( t) mA i stat( t)
Ströme
mA
800
τ
5τ
ms
ms
700 600 500 400
i( t)
300
mA
200
i ein( t) iein( 0s) 100 mA i ein( t) iein( 0s) 100 mA
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
200 300 400 t ms Zeit Ausgleichsstrom stationärer Strom Gesamtstrom Begrenzungslinie Begrenzungslinie
Abb. 7.19 Interpretation der Ströme: i ( t ) = iein ( t) istat ( t )
Gesamtstrom
iein ( t) = ih ( t )
Der Ausgleichsstrom iein ist so groß, dass zum Einschaltzeitpunkt t = 0 s der Strom
istat ( t) = ip ( t )
i(0 s) = 0 A beträgt (in der Anfangsbedingung festgelegt). Nach theoretisch unendlich langer Zeit verschwindet der Ausgleichsstrom. Entspricht der Lösung der homogenen Differentialgleichung. Stationärer Strom istat ist jener Strom, der sich theoretisch nach unendlich langer Zeit einstellt; praktisch wird er nach t = 5 W erreicht. Entspricht der partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.
Seite 279
Differentialgleichungen
Spannungen beim Einschalten 120 100
u e( t)
5τ
ms
ms
80
V
Spannung
τ
60
u L( t)
40
V
20
u R( t)
20
V
40
i( t)
60
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
10mA 80 100 120 t ms Zeit Eingangsspannung Spannung an der Spule Spannung am Widerstand Gesamtstrom
Abb. 7.20 Der Strom i(t) wurde zum besseren Vergleich durch 10 dividiert, a) i(t) und uR(t) sind in Phase b) Phasenverschiebung zwischen i(t) und uL(t) beträgt 90 Grad c) Phasenverschiebung zwischen i(t) und ue (t) beträgt
§ ωL· φ1 atan ¨ ¸ © R ¹
φ1
78.75 Grad
d) Phasenverschiebung zwischen uL(t) und ue (t) beträgt φ2 90Grad φ1
Abb. 7.21
φ2
11.25 Grad
Beispiel 7.16: Für einen RC-Tiefpass soll, ausgehend von der Kirchhoff'schen Maschengleichung, die Differentialgleichung des Übertragungssystems abgeleitet werden. Gesucht wird die Ausgangsspannung ua (t) und die Spannung uR(t) an einem einstufigen Tiefpass mit Eingangsimpulsspannung ue t Tp = Φ ( t) 2 Φ t 2Tp Φ t 5Tp .
Seite 280
Differentialgleichungen
Abb. 7.22
Überlagerung zweier verschieden langer Spannungsimpulse:
ue t Tp Φ ( t ) 2 Φ t 2Tp Φ t 5Tp Tp 1
Impulslänge (Tp bestimmt die Längen der beiden Impulse)
t 1 1 0.01 8
Bereichsvariable Impulsspannung
2 1
ue t Tp
2
0
2
4
6
8
Abb. 7.23
10
1 2 t
Die Differentialgleichungen werden mithilfe der Maschengleichungen gewonnen: i ( t) =
ue ( t) ua ( t) uR ( t) = ue ( t) ua ( t) i ( t ) R = 0 ue ( t) ua ( t) R C ue ( t) ua ( t) τ
d dt
d dt
dt
q ( t) = C
d dt
uc ( t) = C
d dt
τ = RC
ua ( t) = 0
ua ( t) = 0
d
inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Exakte Lösung der Differentialgleichung mithilfe der Laplace-Transformation: Näheres siehe dazu Kapitel 5, Laplace-Transformation. Anfangsbedingung:
ua ( 0) = ua0 = 0
τ τ
Redefinition
Ue ( s ) Ua ( s ) τ s Ua ( s ) τ ua0 = 0 auflösen Ua ( s ) o
Ue ( s ) τ ua0
Seite 281
τs 1
ua ( t)
Differentialgleichungen
t t
Redefinition und Periodendauer
Tp 1
1 s
Ua ( s ) = 1 s
2 Tp s
2
o vereinfachen
e
2s
2e s
e
s
s
Laplacetransformierte
1 τ s
e
s
1
5 Tp s
e
21s
2
5s
laplace t
Φ ( t) 2 Φ t 2Tp Φ t 5Tp
51 s
e
s
hat inverse Laplace-Transformation
1 τ s
Φ ( t 5) 2 Φ ( t 2) e
1 τ
t
2e
t 2 τ
Φ ( t 2) e
t 5 τ
Φ ( t 5) 1
Hier muss noch eine Sprungfunktion angefügt werden, um ua für t < 0 zu erzwingen:
ª t « τ ua t Tp τ «1 e 2 Φ t 2 Tp 2 Φ t 2 Tp e « t5Tp « τ « Φ t 5 T Φ t 5 T e p p ¬
t2Tp τ
º » » Φ ( t) » » » ¼
τ Zeitkonstante (0.1, 0.2, ... 1)
τ
0.1 Impulsdauer und Zeitkonstante sind gleich
Spannungen
2 1
u a t Tp τ
Die Impulse werden durch den Tiefpass stark verzehrt.
u e t Tp
2
0
2
4
6
8
10
1 2 t Zeit Eingangsspannung Ausgangsspannung
Seite 282
Abb. 7.24
Differentialgleichungen
Die Spannung u R(t) ergibt sich aus der Differenz von Ein- und Ausgangsspannung:
uR t Tp τ ue t Tp ua t Tp τ
Spannungen am RC-Tiefpass 2
Spannungen
1
u R t Tp τ u e t Tp
2
0
2
4
6
8
10
Abb. 7.25
1
2 t Zeit Eingangsspannung Spannung an R
Das näherungsweise differenzierende Verhalten bei kleiner Zeitkonstante ist hier gut zu erkennen.
7.2.1.5 Nichtlineare Differentialgleichungen 1. Ordnung Wie bereits bei linearen Differentialgleichungen ausgeführt, existieren auch für nichtlineare Differentialgleichungen nur für Sonderfälle exakte Lösungen. So kann z. B. die nichtlineare Bernoulli'sche Differentialgleichung 1. Ordnung und n-ten Grades n
y' ( x) p1 ( x) y ( x) p2 ( x) ( y ( x) ) = 0
(n > 1)
(7-53)
mittels der Substitution v ( x) = ( y ( x) )
1 n
(7-54)
in folgende inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung für v(x) übergeführt werden: v' ( x) ( 1 n) p1 ( x) v ( x) ( 1 n)p2 ( x) = 0
(7-55)
Für die meisten nichtlinearen Differentialgleichungen werden zur Lösung z. B. die oben angeführten Näherungsverfahren verwendet. Es werden in diesem Abschnitt dazu nur einige Beispiele angeführt.
Seite 283
Differentialgleichungen
Beispiel 7.17: Es soll die nachfolgend gegebene Bernoulli'sche Differentialgleichung exakt gelöst werden. 2
Bernoulli'sche nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung zweiten Grades
y' ( x) y ( x) x y ( x) = 0
v ( x) =
1
Substitutionsgleichung
y ( x)
Aus der Substitutionsgleichung folgt: y ( x) =
1
und
v ( x)
y' ( x) =
v' ( x) v ( x)
2
Wir setzen nun in die Differentialgleichung ein: v' ( x) v ( x)
2
1
1
x
v ( x)
v ( x)
2
=0
Durch Multiplikation mit (-1) v(x)2 folgt: inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
v' ( x) v ( x) x = 0 Mit der Lösungsformel (7-50) erhalten wir:
Redefinition
x x p ( x) 1
Koeffizientenfunktion (Konstante) und Störfunktion
q ( x) x x
y x p q C1 erweitern o C1 e
x
v ( x) = y x p q C1 = C1 e y ( x) =
1 v ( x)
=
x 1 gesuchte allgemeine Lösung v(x) für die inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
x 1
1 x
C1 e
gesuchte allgemeine Lösung y(x) der Bernoulli'schen nichtlinearen Differentialgleichung 1. Ordnung zweiten Grades
x 1
Beispiel 7.18: Bestimmen Sie für den freien Fall mit Luftwiderstand die Geschwindigkeit v(t), den Fallweg s(t) und die Beschleunigung a(t). Es gelten die Anfangsbedingungen v(0 s) = 0 m/s und s(0 s) = 0 m. Nach welcher Zeit t hat ein Fallschirmspringer der Masse m = 100 kg 95 % der Endgeschwindigkeit erreicht, wenn im freien Fall seine stationäre Geschwindigkeit v s = vmax = 180 km/h beträgt? Wie groß ist nach dieser Zeit t der zurückgelegte Weg s(t) und die Beschleunigung a(t)? Die Gleichgewichtsbedingung lautet: F = FG + FL m
d dt
v ( t) = m g k v( t)
2
bzw.
d dt
§ ©
v ( t) = g¨ 1
k mg
v ( t)
Durch Trennung der Variablen erhalten wir:
Seite 284
2·
¸ ¹
nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung und 2. Grades
Differentialgleichungen
´ µ µ µ µ ¶
1 1
k
2
mg
dv = g
v
´ µ µ ¶
1 dt
k
Mit der Substitution u =
´ mg µ k µ µ ¶
1
mg
du = g
2
1 u
´ µ µ ¶
v und dv =
1 dt C1
mg k
du ergibt sich:
mg
ergibt
k
artanh ( u) = g t C1
Durch Rücksubstitution folgt: mg k
§ k · v ( t) ¸ = g t C1 © mg ¹
artanh ¨
Berücksichtigen wir die Anfangsbedingung v(0) = 0, so folgt C1 = 0. Durch Umformung und mit der Umkehrfunktion erhalten wir schließlich:
§ k · v ( t) ¸ = © mg ¹
artanh ¨
k mg
k mg
gt
§ k · g t¸ © mg ¹
v ( t) = tanh ¨
v( t) =
mg k
§ k · g t¸ © mg ¹
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
tanh ¨
Die stationäre Geschwindigkeit (maximal erreichbare Geschwindigkeit) erhalten wir aus:
vs = vmax =
lim to∞
§ mg § k ·· ¨ tanh ¨ g t¸ ¸ = © k © m g ¹¹
mg k
Damit lässt sich das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz vereinfachen zu:
§g · v ( t) = vs tanh ¨ t¸ © vs ¹ Aus v ( t) =
´ µ s ( t) = µ ¶
d dt
s ( t ) erhalten wir das Weg-Zeit-Gesetz:
´ µ v ( t) dt = vs µ µ ¶
§ g t· t § § g t· · vs C = d C v ln cosh ¸ ¨ v ¸¸ g 2 2 s ¨ © vs ¹ © © s ¹¹
tanh ¨
wegen tanh(x) = sinh(x)/cosh(x) und sinh(x) dx = d(cosh(x))
Seite 285
Differentialgleichungen
Berücksichtigen wir die Anfangsbedingung s(0) = 0, so folgt C2 = 0. Wir erhalten dann schließlich:
s ( t) =
vs
2
§ g t· · ¸¸ © vs ¹ ¹
§
ln ¨ cosh ¨
g
©
Das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz erhalten wir aus folgendem Zusammenhang: 2
k
2
k mg §g · §g · s ( t) = v ( t) = a ( t) = g v ( t) = g vs tanh ¨ t¸ = g tanh ¨ t¸ 2 m m m k dt dt © vs ¹ © vs ¹
d
d
k
2
2
2
2 §¨ g · ¸· § a ( t) = g 1 tanh ¨ t¸ ¨ ¸ © © vs ¹ ¹
Fallschirmspringer: m vs 50 s
stationäre Geschwindigkeit
§g · 0.95vs = vs tanh ¨ t¸ © vs ¹ t95
s1 ( t )
1.8317808230648232137 vs g vs
2
g
§
§ g t· · ¸¸ © vs ¹ ¹
ln ¨ cosh ¨
©
hat als Lösung(en)
t 95
g Nach dieser Zeit erreicht der Springer 95 % seiner Endgeschwindigkeit.
9.339 s
s1 t 95
1.8317808230648232137vs
296.725 m zurückgelegter Weg
§g · v ( t) vs tanh ¨ t¸ © vs ¹
v t95
m
2 §¨ g · ·¸ § a ( t) g 1 tanh ¨ t¸ ¨ ¸ © © vs ¹ ¹
a t 95
t 0s 0.01s 15s
Bereichsvariable
47.5
0.956
Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt
s
m s
2
Seite 286
Beschleunigung zu diesem Zeitpunkt
Differentialgleichungen
s-t-Diagramm 600
t95
Weg
s s1 ( t)
400
s1 t95
m
m
200
0
0
5
Abb. 7.26
10
15
t s
vs
v-t-Diagramm 50
s
s
40 Geschwindigkeit
m
t95
v( t) 30 m s
Abb. 7.27
20 10 0
0
5
10
15
t s
a-t-Diagramm 10
t95 s
Beschleunigung
8 a ( t)
6
m s
2
Abb. 7.28
4
a t95
2
m
0
0
5
10
2 s
15
t s
Beispiel 7.19: Vergleichen Sie die Lösung der gegebenen nichtlinearen Differentialgleichung erster Ordnung und 2. Grades mit der Anfangsbedingung y(0) = 1/2 numerisch und grafisch im Intervall [0, 1], wenn sie mit rkfest, Rkadapt und Bulstoer berechnet wird.
Seite 287
Differentialgleichungen
2
2
nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung und 2. Grades
y' = x y
ORIGIN festlegen
ORIGIN 0 aw 0
1
aw ist ein Vektor mit den Anfagsbedingungen für die Differentialgleichung.
2 2
D ( x Y) x Y
2
Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der Darstellung D(x,Y):=(Y1 ,...,Yn-1 ,Y(n))T. Die letzte Komponente ist die nach Y(n) umgeformte Differentialgleichung.
N1 10
Anzahl der Schritte für die numerische Berechnung
xa 0
Anfangswert
xe 1
Endwert
Runge-Kutta-Methode (fest)
ZrK rkfest aw xa xe N1 D ¢0² xrK ZrK ¢1² yrK ZrK
Runge-Kutta-Methode (adaptiv)
Bulstoer-Methode
ZRK Rkadapt aw xa xe N1 D ¢0² xRK ZRK ¢1² yRK ZRK ZBu Bulstoer aw xa xe N1 D ¢0² xBu ZBu ¢1² yBu ZBu
k 0 zeilen ZrK 1 0
ZrK
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1 0.5 0.527 0.558 0.598 0.649 0.716 0.804 0.92 1.075 1.286 ...
Bereichsvariable 0
ZRK
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.5 0.527 0.558 0.598 0.649 0.716 0.804 0.92 1.075 1.286 ...
Seite 288
0
ZBu
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.5 0.527 0.558 0.598 0.649 0.716 0.804 0.92 1.075 1.286 ...
Differentialgleichungen
1.5 yrK yRK
1
yBu 0.5
0
0
0.5
1
xrK xRK xBu
Abb. 7.29
7.2.1.6 Steife Differentialgleichungen 1. Ordnung Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme der Physik, Chemie oder Biologie besitzen oft die Eigenschaft aus unterschiedlich schnell exponentiell abklingenden Anteilen zu bestehen. Das Verhältnis von der größten zur kleinsten Abklingkonstanten ist im Wesentlichen die Steifheit des Systems. Ist diese Steifheit groß, so versagen herkömmliche numerische Lösungsmethoden wie das Runge-Kutta-Verfahren. Numerische Instabilitäten oder Oszillationen können die Folge sein. Wenn z. B. die numerisch gefundene Lösung extrem von der zeitlichen Schrittweite abhängt, sollten wir auf der Hut sein. Am besten versuchen wir in solchen Fällen anstatt der numerischen Lösungsfunktion "rkfest" (Runge-Kutta-Methode) eine der beiden Lösungsfunktionen "Stiffb" (Burlisch-Stoer-Methode für steife Differentialgleichungssysteme) oder "Stiffr" (Rosenbrock-Methode für steife Differentialgleichungssysteme). Nachfolgend soll dies an einem Beispiel demonstriert werden.
Beispiel 7.20: Anhand der nachfolgend gegebenen steifen Differentialgleichung 1. Ordnung soll die Lösung, ermittelt mithilfe verschiedener numerischer Lösungsverfahren in Mathcad, mit der exakten Lösung im Intervall [0, 5] verglichen werden. d dx
y ( x) = 20 ( y arctan ( x) )
1 2
1x
steife Differentialgleichung 1. Ordnung Anfangsbedingung
y ( 0) = 1 20x
y ( x) e
exakte Lösung der Differentialgleichung
atan ( x)
ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
aw 0 1
Vektorkomponente mit Anfangsbedingung
D ( x Y) 20 ( Y atan ( x) )
1 2
Vektorfunktion mit der umgeformten Differentialgleichung
1x
Seite 289
Differentialgleichungen
J1 ( x Y)
º ª 20 2 x 20 » « 2 2 «1 x 2 » 1x ¬ ¼
Jacobi-Matrix (1x2 Matrix)
N1 40
Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung
xa 0
Anfangswert
xe 5
Endwert
Lösung mit rkfest
ZrK rkfest aw xa xe N1 D ¢0² xrK ZrK ¢1² yrK ZrK
Lösung mit Rkadapt
Lösung mit Bulstoer
ZRK Rkadapt aw xa xe N1 D ¢0² xRK ZRK ¢1² yRK ZRK ZBu Bulstoer aw xa xe N1 D ¢0² xBu ZBu ¢1² yBu ZBu aw10 1
ZStb Stiffb aw1 xa xe N1 D J1
Lösung mit Stiffb
¢0² xStb ZStb ¢1² yStb ZStb
ZStr Stiffr aw1 xa xe N1 D J1
Lösung mit Stiffr
¢0² xStr ZStr ¢1² yStr ZStr x 0 0.01 5
Bereichsvariable
Seite 290
Differentialgleichungen
2 1.667 yrK y( x)
1.333 1
rkfest liefert hier kein brauchbares Ergebnis!
0.667 0.333 0
Abb. 7.30
0
1
2
3
4
5
x rK x Näherung rkfest Exakte Lösung 1.5 1.25 yRK y( x)
1 0.75 0.5
Abb. 7.31
0.25 0
0
1
2
3
4
5
x RK x Näherung Rkadapt Exakte Lösung 1.5 1.25 yBu y( x)
1 0.75 0.5
Abb. 7.32
0.25 0
0
1
2
3
4
5
x Bu x Näherung Bulstoer Exakte Lösung 1.5 yStb
1.25
1 yStr 0.75 y( x)
0.5 0.25 0
0
Abb. 7.33 1
2
3
4
x Stb x Str x Näherung Stiffb Näherung Stiffr Exakte Lösung
Seite 291
5
Differentialgleichungen 7.2.2 Die gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung Eine weitere wichtige Form gewöhnlicher Differentialgleichungen ist die Differentialgleichung zweiter Ordnung. Neben der gesuchten Lösungsfunktion y(x) bzw. y(t) tritt noch ihre erste Ableitung y'(x) bzw. y'(t) und ihre zweite Ableitung y''(x) bzw. y''(t) auf. Die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung lautet in impliziter Form: F ( x y ( x) y' ( x) y'' ( x) ) = 0 bzw. F ( t y ( t) y' ( t) y'' ( t) ) = 0
(7-56)
Wenn sich die implizite Form nach der zweiten Ableitung auflösen lässt, erhalten wir die explizite Form: y'' ( x) = f ( x y ( x) y' ( x) ) bzw. y'' ( t) = f ( t y ( t) y' ( t) )
(7-57)
Eine Funktion y(x) bzw. y(t) heißt Lösungsfunktion (Lösung) einer Differentialgleichung zweiter Ordnung, wenn sie stetige Ableitungen y'(x) und y''(x) besitzt und die Differentialgleichung identisch erfüllt. Auf die Problematik der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen wurde bereits weiter oben hingewiesen. Methoden zur Berechnung exakter Lösungen existieren bei Differentialgleichungen zweiter Ordnung nur für bestimmte Sonderfälle! Nachfolgend werden dazu einige Methoden betrachtet. In den technischen und naturwissenschaftlichen Anwendungen spielen lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung eine besondere Rolle (siehe dazu auch Abschnitt 5.4). Die inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung hat die Form a ( x) y'' ( x) b ( x) y' ( x) c ( x) y ( x) = f ( x) ,
(7-58)
wobei die Koeffizientenfunktionen a(x), b(x) und c(x) und die Störfunktion f(x) auf der rechten Seite als stetig vorausgesetzt werden. Setzen wir voraus, dass a(x) z 0 ist, so kann die Differentialgleichung durch a(x) dividiert werden. Wir erhalten dann die Form y'' ( x) a1 ( x) y' ( x) a0 ( x) y ( x) = s ( x)
(7-59)
Auch hier setzen wir wieder die Koeffizientenfunktionen a1 (x) und a0 (x) und die Störfunktion s(x) als stetig voraus. Ist die Störfunktion f(x) = 0 bzw. s(x) = 0, so nennen wir diese Differentialgleichung homogen. Die allgemeine Lösung y = f(x,C1 ,C2 ) einer Differentialgleichung zweiter Ordnung hängt noch von zwei frei wählbaren Integrationskonstanten C1 ,C2 ab. Um diese zwei Konstanten bestimmen zu können, werden dazu verschiedene Bedingungen gestellt: Anfangswertaufgaben: Geben wir eine Anfangsbedingung y(x0 ) = y0 und y'(x0 ) = y1 (Punkt und Steigung) vor, so ist eine eindeutige Lösungsfunktion y(x) bestimmt. Solche Aufgaben, die in der Praxis häufig auftreten, nennen wir auch hier Anfangswertaufgaben. Häufig ist die Anfangsbedingung für den Anfangspunkt xa des Lösungsintervalls [xa , xe ] gegeben (x0 = xa ). Randwertaufgaben: Bei Randwertaufgaben sind zwei Bedingungen y(x0 ) = y0 und y(x1 ) = y1 (zwei Randpunkte) für zwei verschiedene x-Werte (x0 und x1 ) aus dem Lösungsintervall [xa , xe ] für die Lösungsfunktion y(x) gegeben. Häufig wird für die Randbedingungen der Anfangspunkt x a und der Endpunkt xe des Lösungsintervalls [xa , xe ] gewählt (x0 = xa und x1 = xe ).
Seite 292
Differentialgleichungen Eigenwertaufgaben: Bei manchen Problemen stoßen wir auf eine Randwertaufgabe, deren Differentialgleichung noch einen freien Parameter O enthält. Wir interessieren uns dabei für alle diejenigen Werte des Parameters, die zu einer nichttrivialen Lösung führen. Diese Werte heißen dann Eigenwerte und die zugehörigen Lösungen Eigenlösungen oder Eigenfunktionen. Aus dem Randwertproblem ist also dann ein sogenanntes Eigenwertproblem geworden. Exakte Lösungsmethoden: Exakte Lösungsmethoden wurden bereits in Kapitel 7.1 erwähnt. Einige Lösungsmethoden wurden nachfolgend speziell auch für Sonderfälle von Differentialgleichungen 1. Ordnung angeführt. Einige Methoden sollen hier auch für gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung vorgestellt werden. 1. Ansatzmethode:
Ansatzmethoden spielen bei linearen Differentialgleichungen eine große Rolle. Für Sonderfälle können allgemeine und spezielle Lösungen konstruiert werden. Bei nichtlinearen Differentialgleichungen sind Ansatzmethoden nur bei gewissen Sonderfällen erfolgreich. Zur Konstruktion allgemeiner Lösungen für Sonderfälle homogener linearer Differentialgleichungen werden Exponentialfunktionen y(x) = eO x bzw. Potenzfunktionen y(x) = xO mit einem frei wählbaren Parameter vorgegeben. Zur Konstruktion spezieller Lösungen für inhomogene lineare Differentialgleichungen wird der folgende Ansatz gemacht: m
y ( x) =
¦ ck uk (x)
k
(7-60)
1
Die Funktionen uk (x) sind dabei bekannt, weil sie sich aus der Klasse der Störfunktionen der rechten Seite der Differentialgleichung ergeben. Nur die Parameter ck sind frei wählbar. Zur Konstruktion spezieller Lösungen inhomogener linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung wird der Ansatz y ( x) = C1 ( x) y1 ( x) C2 ( x) y2 ( x)
(7-61)
gemacht und mittels der Methode der Variation der Konstanten C1 (x) und C2 (x) bestimmt. Die Funktionen y 1 (x) und y2 (x) sind vorgegeben, weil sie ein Fundamentalsystem der zugehörigen Differentialgleichung bilden. 2. Potenzreihenmethode: Falls die Differentialgleichung eine Potenzreihenentwicklung gestattet, kann die Lösungsfunktion in Form von Potenzreihen konstruiert werden (Potenzreihenansatz). Unter Potenzreihenlösungen verstehen wir Lösungsfunktionen y(x) von Differentialgleichungen, die sich als endliche oder unendliche konvergente Potenzreihen (siehe Kapitel 2) der Form m
y ( x) =
¦
k
0
ªc x x kº bzw. y ( x) = 0 ¼ ¬k
∞
¦
k
ªc x x kº 0 ¼ ¬k
(7-62)
0
darstellen lassen. Die Konstanten c k werden nach dem Einsetzen des Potenzreihenansatzes in die Differentialgleichung durch Koeffizientenvergleich bestimmt. 3. Laplace-Transformation: Näheres dazu siehe Kapitel 5.
Seite 293
Differentialgleichungen
7.2.2.1 Einfache gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung Von den Differentialgleichungen 2. Ordnung werden hier nur diejenigen angeführt, die sich leicht auf eine Differentialgleichung 1. Ordnung zurückführen lassen. Die Differentialgleichung 2. Ordnung y'' ( x) = f ( x)
(7-63)
kann durch zweimalige Integration gelöst werden:
y' ( x) =
´ µ µ ¶
´ µ y ( x) = µ µ µ ¶
f ( x) dx C1
(7-64)
· §´ ¨ µ f ( x) dx C ¸ dx C 1¸ 2 ¨µ ©¶ ¹
(7-65)
Beispiel 7.21: Wie lautet das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz v(t) und Weg-Zeit-Gesetz s(t) für den freien Fall eines Körpers (ohne Luftwiderstand)? Die Anfangsbedingung lautet: s(0 s) = 0 m und s'(0 s) = v(0 s) = v0 . Es gilt für das Kräftegleichgewicht: F = -G. 2
m
d
dt
2
dt
2
a=
d
dt
v( t) =
2
d
bzw.
s ( t) = m g
2
s ( t) =
´ µ µ ¶
d dt
s ( t) = g
´ s ( t) = µ µ ¶
d
bzw.
t
t
dt
v=g
dt
s ( t) = g t v0
2
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
zweite Integration
Anfangsbedingung
2
2
v0 t
Differentialgleichung 2. Ordnung für den freien Fall
Anfangsbedingung
C = v0
g t v0 dt = g v0 t C2 2
s ( 0s ) = C2 = 0m
d
erste Integration
g dt = g t C1
v ( t) = g t v0
bzw.
allgemeine Darstellung der Beschleunigung
v( t)
v ( 0s ) = g0s C1 = v0
s ( t) = g
2
Weg-Zeit-Gesetz
Seite 294
Differentialgleichungen
Die Differentialgleichung 2. Ordnung y'' ( x) = f ( x y' ( x) )
(7-66)
kann mittels der Substitution u(x) = y'(x) und mit u'(x) = y''(x) auf die Differentialgleichung 1. Ordnung
u' ( x) = f ( x u ( x) ) mit der Lösung u x C1
(7-67)
gebracht werden. Die Lösung der Differentialgleichung 2. Ordnung erhalten wir dann aus ´ y ( x) = µ µ ¶
u x C1 dx C2
(7-68)
Beispiel 7.22: Lösen Sie das folgende Randwertproblem: gegebene Differentialgleichung 2. Ordnung
x y'' y' = 0 y ( 1) = 2 y'' =
y' x
y ( 5) = 3
umgeformte Differentialgleichung
= f ( x y')
u = y'
Randbedingungen
u' = y''
Substitutionsgleichung und Ableitung
Wir setzen in die Differentialgleichung ein und erhalten: u' =
u
bzw.
x
x u' = u
Durch Trennung der Variablen ergibt sich schließlich: du u
=
u
und
x
´ µ µ µ ¶
´ µ du = µ u µ ¶ 1
1 x
dx
ln ( u) = ln ( x) ln C1
x y = C1 C2 2
Durch Rücksubstitution ergibt sich die Lösung y: y' = u = C1 x
´ µ µ ¶
´ 1 dy = µ µ ¶
2
C1 x dx
Mit den Randbedingungen können schließlich die unbekannten Konstanten bestimmt werden: 2
1 y ( 1) = C1 C2 = 2 2 2
lineares Gleichungssystem
5
y ( 5) = C1 C2 = 3 2
Seite 295
u = C1 x
Differentialgleichungen
Vorgabe 2
1 C1 C2 = 2 2
Lösung des Gleichungssystem mithilfe des Lösungsblocks
2
5
C1 C2 = 3 2
§¨ 5 ¨ 12 C Suchen C1 C2 o ¨ 53 ¨ © 24 2
y ( x) =
5 x
53
12 2
·¸ ¸ ¸ ¸ ¹
§¨ C1 ·¸ C ¨ C2 ¸ © ¹
5 C1 o 12
53 C2 o 24
gesuchte Lösung
24
Die Differentialgleichung 2. Ordnung y'' ( x) = f ( y ( x) )
(7-69)
kann durch Multiplikation auf beiden Seiten mit y' y'' y' = f ( y) y'
(7-70)
und unter Berücksichtigung von 1d
y'' y' =
2 dx
y'
2
(7-71)
auf die Form 1d 2 dx
2
y' = f ( y)
d dx
y
(7-72)
gebracht werden. Multiplizieren wir (7-72) mit 2 dx und integrieren wir dann die Gleichung auf beiden Seiten, so erhalten wir: 2
y' = 2
´ µ µ ¶
f ( y) dy C1
(7-73)
Durch Wurzelziehen erhalten wir schließlich eine Differentialgleichung 1. Ordnung
y' =
2
´ µ µ ¶
f ( y) dy C1 ,
(7-74)
die durch Trennung der Variablen gelöst werden kann. Allerdings muss oft eine noch recht schwierige Integration durchgeführt werden.
Seite 296
Differentialgleichungen
Beispiel 7.23: Welche Geschwindigkeit muss ein Körper haben, damit er sich vom Gravitationsfeld der Erde lösen kann?
F ( r) = γ
mM
Gravitationsgesetz
2
r
Das Gravitationsgesetz lässt sich noch umformen: FG = F ( R) mg = γ
mM
also
2
2
γM = gR
R
2
F ( r) = m g
Abb. 7.34
R
2
r
Gleichgewichtsbedingung: F = F(s) 2
R
m s'' ( t) = m g
s
Differentialgleichung 2. Ordnung
2
Durch Vereinfachung und Multiplikation mit s' und mit (7-72) folgt: 2
s'' s' = g
R s
2
s'
1d 2 dt
2
2
s' = g
R d 2 s dt
s
Schließlich erhalten wir durch Multiplikation mit 2 dt und anschließender Integration: ´ µ 2 µ s' = µ µ ¶
2
2g
R s
2
ds
2
2
2
s' = v = 2g
R
s
C1
Annahme: Die Geschwindigkeit v = 0 für r of. Damit ist C 1 = 0 und es gilt: v( s) = R
2
g
gesuchte Lösungsfunktion für die Geschwindigkeit
s
Durch Trennung der Variablen und Integration erhalten wir das Weg-Zeit-Gesetz. Mit der Anfangsbedingung s(t=0) = R lässt sich dann auch noch die zweite Konstante bestimmen. 6
R 6.371 u 10 m
Erdradius
v ( R)
Mindestgeschwindigkeit an der Erdoberfläche (zweite kosmische Geschwindigkeit)
v ( R)
2g R
11.178
km s
Seite 297
Differentialgleichungen
Beispiel 7.24: Aus der Abb. 7.34 erhalten wir für ein mathematisches Pendel mit der Pendellänge L die nachfolgend gegebene Differentialgleichung. Die Anfangsbedingungen lauten: M' (D) = 0 und zwischen 0 und D ergibt sich ein Viertel der Schwingungsdauer T. Wie lautet die Lösung der Differentialgleichung? Gleichgewichtsbedingung: F = FT Differentialgleichung 2. Ordnung
m s'' = m g sin ( φ)
Mit s = L M und s'' = L M'' lässt sich dann die Differentialgleichung schreiben: g 2 φ'' = sin ( φ) = ω0 sin ( φ) L
Abb. 7.35
Durch Multiplikation der Gleichung mit M' ergibt sich dann: 2
bzw. mit (7-72)
φ'' φ' = ω0 sin ( φ)φ' 1d 2 dt
φ'
2
´
2µ
= 2ω0
µ ¶
2
2
sin ( φ) dφ = 2ω0 cos ( φ) C1
Mit der Anfangsbedingung M' (D) = 0 folgt: φ' =
2
φ' = ω0 sin ( φ)
2
C1 = 2ω0 cos ( α)
2
2ω0 ( cos ( φ) cos ( α) )
Der Wurzelausdruck kann mit cos ( x) = 1 2 sin
φ' = ω0
ª ¬
2«1 2sin
2§ x ·
¨ ¸ umgeformt werden zu: © 2¹
2§ φ ·
2 § α ·º 2§ α · 2§ φ · ¨ ¸ 1 2sin ¨ ¸» = 2ω0 sin ¨ ¸ sin ¨ ¸ 2 2 2 © ¹ © ¹¼ © ¹ © 2¹
Durch Trennung der Variablen ergibt sich dann:
t=
´ µ µ ¶
1 dt =
´ 1 µ 2ω0 µ µ µ ¶
1 sin
2§ α ·
2§ φ ·
dφ
¨ ¸ sin ¨ ¸ ©2¹ © 2¹
Die Integration zwischen 0 und D ergibt ein Viertel der Schwingungsdauer: 1 ´ µ = 4 2ω0 µ µ µ ¶ T
α
0
1 sin
2§ α ·
2§ φ ·
dφ
¨ ¸ sin ¨ ¸ ©2¹ © 2¹ Seite 298
d dt
φ
Differentialgleichungen
§ φ · = sin § α · sin ( v) ergibt sich dann: ¸ ¨ ¸ © 2¹ ©2¹
Durch Substitution von sin ¨
sin
φ 2
2§ α ·
2§ φ · ¨ ¸ sin ¨ ¸ = ©2¹ © 2¹
sin
§ α · sin ( v) · ¸ ¸ ©2¹ ¹
§ ©
= arcsin ¨ sin ¨
2§ α ·
2§ φ · 2 § α· 2 § α· ¨ ¸ sin ¨ ¸ sin ( v) = sin ¨ ¸ 1 sin ( v) = sin ¨ ¸ cos ( v) ©2¹ © 2¹ ©2¹ ©2¹
d und die Ableitung
dv
1
φ=2 1 sin
2§ α ·
2 ¨ ¸ sin ( v) 2 © ¹
§ α · cos ( v) ¸ ©2¹
sin ¨
Integrationsgrenzen: Für M = 0 folgt v = 0 und für M = D folgt v = S/2 π
T 1 ´ µ = 4 2ω0 µ µ µ ¶
α
1 sin
0
2§ α ·
2§ φ ·
¨ ¸ sin ¨ ¸ ©2¹ © 2¹
´2 µ µ µ 2 µ dφ = µ 2ω0 µ µ ¶
1 1 sin
0
2§ α ·
§ α · cos ( v) ¸ ©2¹
sin ¨
2
¨ ¸ sin ( v) ©2¹ § α· sin ¨ ¸ cos ( v) ©2¹
dv
π π
´2 4 µ µ T= ω0 µ µ µ ¶
1 2
§ α · sin ( v) ¸ ©2¹
1 sin ¨
0
´2 µ µ 4 µ dv = ω0 µ ¶ 2 0
1 2 § · ¨ 1 sin §¨ α ·¸ sin ( v) 2¸ © ©2¹ ¹
2
dv
elliptisches Integral 2. Art
Der Nenner im Integranden kann nach der binomischen Reihe und der gliedweiser Integration ausgewertet werden
§ α· ¸ ©2¹
2
und
z = sin ¨
w = sin ( v)
2
1 2
1 z w2 2
konvertiert in die Reihe
1
w z 2
4 2
3w z 8
6 3
5w z 16
π
´2 4 µ 1 3 2 5 3 2 4 6 µ 1 z sin ( v) z sin ( v) T= z sin ( v) dv ω0 µ 2 8 16 ¶
ergibt
0
T=
1 9 25 §1 2 3 · ¨ π πz πz π z ....¸ ω0 © 2 8 128 512 ¹ 4
L
T = 2π
T = 2π
g L g
§
4
©
8
¨1
2 4 6 § α · 36 sin § α · 100 sin § α · ....·¸ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 128 512 ©2¹ ©2¹ ©2¹ ¹
sin ¨
Schwingungsdauer für kleine Winkel D !
Seite 299
Differentialgleichungen
7.2.2.2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten a) Die lineare homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: Die lineare homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist ein Sonderfall von (7-59). Die Koeffizientenfunktionen a1 (x) = a1 und a0 (x) = a0 sind konstant (a0 , a1 ) und die Störfunktion (oder das Störglied) s(x) = 0. y'' ( x) a1 y' ( x) a0 y ( x) = 0
(7-75)
Diese Differentialgleichung besitzt folgende Eigenschaften: 1. Ist y1 (x) eine Lösung der Differentialgleichung, so ist auch die mit einer beliebigen Konstanten C () multiplizierte Funktion yh ( x) = C y1 ( x) eine Lösung der Differentialgleichung.
(7-76)
2. Sind y1 (x) und y2 (x) zwei Lösungen der Differentialgleichung, so ist auch die Linearkombination yh ( x) = C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
(7-77)
eine Lösung der Differentialgleichung (C1 , C2 ). 3. Ist yh(x) = v(x) + j w(x) eine komplexwertige Lösung der Differentialgleichung, so sind auch der Realteil v(x) und der Imaginärteil w(x) reelle Lösungen der Differentialgleichung. Zwei Lösungen y1 (x) und y2 (x) einer homogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten werden als Basislösungen oder Basisfunktionen bezeichnet, wenn die mit ihnen gebildete Wronski-Determinante
W y1 ( x) y2 ( x) =
§¨ y1 ( x) y2 ( x) ·¸ ¨ y' ( x) y' ( x) ¸ 2 © 1 ¹
(7-78)
von null verschieden ist. Zwei Basislösungen werden als linear unabhängige Lösungen bezeichnet. Ist die WronskiDeterminante dagegen gleich null, so werden diese Lösungen als linear abhängig bezeichnet.
Ist also die Wronski-Determinante W y1 ( x) y2 ( x) z 0, so ist die allgemeine Lösung von (7-75) als Linearkombination zweier linear unabhängiger Basislösungen (Lösungen) y1 (x) und y 2 (x) in der Form yh ( x) = C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
(C1 , C2 )
(7-79)
darstellbar. Die der allgemeinen Lösung (7-79) zugrunde liegenden Basislösungen bilden ein Fundamentalsystem (Fundamentalbasis) der Differentialgleichung (7-75).
Seite 300
Differentialgleichungen
Ein Fundamentalsystem der homogenen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten lässt sich durch einen Lösungsansatz in Form einer Exponentialfunktion λx
y ( x) = e
(7-80)
durch Bestimmung des Faktors O gewinnen. Bilden wir die Ableitungen λx
y' ( x) = λ e
2 λx
und y'' ( x) = λ e
(7-81)
und setzen y(x), y'(x) und y''(x) in die Differentialgleichung (7-75) ein, dann erhalten wir folgende quadratische Gleichung in Normalform: 2 λx
λx
y'' ( x) a1 y' ( x) a0 y ( x) = λ e
§ λ2 a λ a · eλ x = 0 1 0¹ ©
λx
a1 λ e
λx
(e
a0 e
=0
z 0)
2
λ a1 λ a0 = 0
(7-82)
Sie wird charakteristische Gleichung der homogenen Differentialgleichung (7-75) genannt. Sie besitzt die Lösungen
λ1 =
a1 2
2
a1
4
2
a1
a1
a0 und λ2 = 2
a0
4
(7-83)
2
Nach der Beschaffenheit der Diskriminante D1 =
a1
4
a0 unterscheiden wir drei Fälle.
1. Fall: D1 > 0 Die charakteristische Gleichung besitzt also zwei verschiedene reelle Lösungen O1 und O2 . Die Lösungsfunktionen λ1 x
y1 ( x) = e
λ2 x
und y2 ( x) = e
(7-84)
sind wegen λ1 x · § λ1 x λ1 e §¨ y1 ( x) y2 ( x) ·¸ ¨ e ¸ W y1 ( x) y2 ( x) = = ¨ ¸ ¨ y'1 ( x) y'2 ( x) ¸ ¨ λ eλ1 x λ eλ2 x ¸ © ¹ 2 © 1 ¹
λ1 x
W y1 ( x) y2 ( x) = e
λ2 x
λ2 e
λ1 x
λ1 e
λ1 x
λ1 e
λ1λ2 x z 0
= λ2 λ1 e
(7-85)
linear unabhängig und bilden somit ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung (7-75). Die allgemeine Lösung lautet dann: λ1 x
yh ( x) = C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) = C1 e
λ2 x
C2 e
(O , O )
Seite 301
1
2
(7-86)
Differentialgleichungen
Beispiel 7.25: Wie lautet die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung? homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
y'' 3y' 2y = 0 charakteristische Gleichung: 2
λ 3λ 2 = 0
λ1 =
3
9
2
4
8
4
λ1 =
= 1
3
9
2
4
8 4
= 2
Fundamentalsystem der Differentialgleichung: x
2x
und
y1 ( x) = e
y2 ( x) = e
allgemeine Lösung der Differentialgleichung: x
yh ( x) = C1 e
2x
(C1 , C2 )
C2 e
2. Fall: D1 = 0 a1 Die charakteristische Gleichung besitzt also nur eine reelle Doppellösung λ1 = λ2 = . 2 Wir erhalten in diesem Falle zunächst nur eine Lösungsfunktion: a1
y1 ( x) = y2 ( x) = e
2
x
(7-87)
Mit dem Lösungsansatz
a1
y ( x) = C ( x) e
2
x
(7-88)
kann durch Variation der Konstanten die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bestimmt werden:
y' ( x) = C' ( x) e
a1 2
x
a1 2
C ( x) e
a1 § · y'' ( x) = ¨ C'' ( x) C' ( x) ¸ e 2 © ¹
a1 2
x
a1 2
x
§
a1
©
2
= ¨ C' ( x)
·
2 §¨ ·¸ a1 y'' ( x) = ¨ C'' ( x) a1 C' ( x) C ( x) ¸ e 4 © ¹
a1 2
a1 2
C ( x) ¸ e
a1 2
x
(7-89)
¹
· ¨ C' ( x) C ( x) ¸ e 2 2 © ¹ a1
a1 §
x
x
Seite 302
(7-90)
Differentialgleichungen
2 · §¨ a1 a1 ¸ ¨ C'' ( x) a1 C' ( x) 4 C ( x) a1 C' ( x) 2 C ( x) a0 C ( x) ¸ e © ¹
a1 2
x
=0
2
C'' ( x)
a1
C ( x) a0 C ( x) = 0
4
· §¨ a 2 ¸ 1 C'' ( x) ¨ a0¸ C ( x) = 0 © 4 ¹ Daraus folgt wegen D = 0: C'' ( x) = 0
(7-91)
Durch zweimalige Integration erhalten wir schließlich C ( x) = C1 x C2
(7-92)
Die allgemeine Lösung für die homogenen Differentialgleichung (7-75) lautet somit:
a1 2
yh ( x) = C1 x e
a1
y1 ( x) = x e
2
x
C2 e
a1 2
x
x
a1 2
= C1 x C2 e
a1
und y2 ( x) = e
2
x
( C1, C2 )
(7-93)
x
(7-94)
sind wegen
§ ¨ ¨ §¨ y1 ( x) y2 ( x) ·¸ W y1 ( x) y2 ( x) = = ¨ ¨ y'1 ( x) y'2 ( x) ¸ ¨ © ¹ ¨ ¨e © § ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨e ©
xe a1 2
x
a1 2
a1 2
x
xe
a1 2
x
xe a1 2
x
a1 2
a1 2
x
xe
a1 2
x
a1
· ¸ 2 ¸ e ¸ a1 ¸ x a1 2 ¸ e ¸ 2 ¹
x
· ¸ 2 ¸ e ¸ o e a1 x z0 a1 ¸ x a1 2 ¸ e ¸ 2 ¹
a1
x
linear unabhängig und bilden somit ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung (7-75).
Seite 303
(7-95)
Differentialgleichungen
Beispiel 7.26: Wie lautet die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung? homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
y'' 8y' 16y = 0 charakteristische Gleichung: 2
λ 8λ 16 = 0
λ1 =
8 2
16 16 = 4
λ2 =
8 2
16 16 = 4
Fundamentalsystem der Differentialgleichung: 4x
4x
und
y1 ( x) = x e
y2 ( x) = e
allgemeine Lösung der Differentialgleichung: 4x
yh ( x) = C1 x e
4x
C2 e
4x
(C1 , C2 )
= C1 x C2 e
3. Fall: D1 < 0 Die charakteristische Gleichung besitzt jetzt konjugiert komplexe Lösungen:
λ1 =
a1 2
§¨ a 2 ·¸ a1 1 1 2 ¨ a0¸ = j 4a0 a1 = κ jω 2 2 © 4 ¹
· §¨ a 2 a1 ¸ 1 1 2 ¨ a0¸ = j 4a0 a1 = κ jω 2 2 © 4 ¹
und λ2 =
a1 2
(7-96)
Das Fundamentalsystem der homogenen Differentialgleichung (7-75) besteht in diesem Fall aus den komplexen Lösungen ( κ j ω )x
y1 ( x) = e
( κ j ω )x
und y2 ( x) = e
(7-97)
Die Wronski-Determinante ist nämlich ungleich null: ( κ j ω )x ª e( κj ω)x º §¨ y1 ( x) y2 ( x) ·¸ e « » W y1 ( x) y2 ( x) = = ¨ y' ( x) y' ( x) ¸ « ( κ j ω )x ( κ j ω )x » 2 © 1 ¹ ( κ j ω)e ¬( κ j ω)e ¼
( κ j ω )x ª e( κj ω)x º e « » vereinfachen o 2ω j e2κ x « ( κ j ω )x ( κ j ω )x » ( κ j ω)e ¬( κ j ω)e ¼
Seite 304
(7-98)
Differentialgleichungen
Mithilfe der Euler'schen Beziehungen jz
jz
e
= cos ( z ) j sin ( z ) und e
= cos ( z ) j sin ( z )
(7-99)
lässt sich das komplexe Fundamentalsystem auf ein reelles überführen: ( κ j ω )x
y ( x) = C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) = C1 e κx j ω x
y ( x) = C1 e κx
e
κx j ω x
C2 e
( κ j ω )x
C2 e
κ x§
e
=e
j ωx
© C1 e
j ω x·
C2 e
¹
ªC1( cos ( ω x) j sin ( ω x) ) C2( cos ( ω x) j sin ( ω x) )º ¬ ¼
y ( x) = e
κx
ª C1 C2 cos ( ω x) j C1 C2 sin ( ω x)º ¬ ¼
y ( x) = e
(7-100)
Ist y(x) = v(x) + j w(x) eine komplexwertige Lösung der Differentialgleichung, so sind auch der Realteil v(x) und der Imaginärteil w(x) reelle Lösungen der Differentialgleichung. κx
y1 ( x) = e
κx
cos ( ω x) und y1 ( x) = e
sin ( ω x)
(7-101)
bilden wegen κx κx § · e cos ( ω x) e sin ( ω x) ¨ ¸ W y1 ( x) y2 ( x) = ¨ κx ¸ κx κx κx © κ e cos ( ω x) ω e sin ( ω x) κ e sin ( ω x) ω e cos ( ω x) ¹ κx κx § · e cos ( ω x) e sin ( ω x) ¨ ¸ ¨ κx ¸ κx κx κx © κ e cos ( ω x) ω e sin ( ω x) κ e sin ( ω x) ω e cos ( ω x) ¹
vereinfacht auf 2κ x
ωe
z0
(7-102)
ein reelles Fundamentalsystem. Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung (7-75) lautet daher: κx
yh ( x) = e
C1 cos ( ω x) C2 sin ( ω x)
(C , C ) 1
2
(7-103)
Setzen wir C1 = A cos ( φ) und C2 = A sin ( φ) und wenden wir anschließend den Summensatz cos(D) cos(E) - sin(D) sin(E) = cos(D + E) an, so kann (7-103) in folgender Form geschrieben werden: κx
yh ( x) = A e
cos ( ω x φ)
(A, M)
mit tan ( φ) =
sin ( φ) cos ( φ)
=
C2 C1
und A =
2
2
C1 C2
Seite 305
(7-104)
Differentialgleichungen
Beispiel 7.27: Wie lautet die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung? homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
y'' 4y' 13y = 0
charakteristische Gleichung: 2
λ 4λ 13 = 0
hat als Lösung(en)
§ 2 3j · § κ ω j · ¨ ¸=¨ ¸ © 2 3j ¹ © κ ω j ¹
Fundamentalsystem der Differentialgleichung: 2x
y1 ( x) = e
2x
und
cos ( 3x)
y2 ( x) = e
sin ( 3x)
allgemeine Lösung der Differentialgleichung: 2x
yh ( x) = C1 e
2x
cos ( 3x) C2 e
2x
sin ( 3x) = e
C1 cos ( 3x) C2 sin ( 3x)
(C1 , C2 )
oder 2x
yh ( x) = A e
cos ( 3x φ)
(A, M )
Ein wichtiges Anwendungsgebiet für lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten sind Schwingungsprobleme (siehe dazu auch Band Einführung in Mathcad, Abschnitt 15.2 und Kapitel 5 in diesem Band). Bei der freien Schwingung wird ein schwingungsfähiges System nach einmaligem Anstoß mit einer Kraft, einem Drehmoment oder einer Spannung usw. sich selbst überlassen. Es sind also keine von außen einwirkenden Kräfte, Drehmomente oder Spannungen usw. vorhanden. Wir unterscheiden hier zwischen einer freien ungedämpften Schwingung (keine Dämpfung) und einer freien gedämpften Schwingung (mit Dämpfung). Freie Schwingungen werden durch homogene lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Nachfolgend sollen stellvertretend für viele ähnliche Systeme drei Systeme betrachtet werden (Abb. 7.36).
Abb. 7.36
Seite 306
Differentialgleichungen
Gleichgewichtsbedingung:
(7-105)
F = FD + Fr
uL + u R + uC = 0
Kräfte:
Spannungen: 2
d
F=m
dt FD = β
2
d dt
d
y ( t)
uL = L
y( t)
uR = R i ( t )
dt
Ströme:
i ( t)
1´ µ Lµ ¶
iL = iR =
1´ µ uC = Cµ ¶
Fr = k y ( t)
iC + iR + iL = 0
i dt
u dt
u ( t) R d
iC = C
dt
u ( t)
Durch Einsetzen in die Gleichgewichtsbedingungen und anschließender Differentiation der Gleichung, erhalten wir aus der Differential-Integralgleichung die Differentialgleichung: (7-106) 2
d
m
dt
2
y ( t) = β
2
d
m
dt
2
yβ
2
d
dt
2
y
dt
2
dt
y( t) k y ( t)
L
y 2δ
dt
d
y ky = 0
i ( t) R i ( t)
dt d
L
dt
2
iR
2
d
dt
2
i
y ω0 y = 0
dt
2
d dt
Rd L dt
2
d
2
dt
d
2
d
k β d y y=0 m dt m
2
d
d
i 2δ
d dt
i
i
1´ µ Cµ ¶
i dt = 0 C
d
u ( t)
u ( t)
dt
R
2
1 C
i=0
C
d
dt
2
LC
i=0
2
i ω0 i = 0
d
dt
2
u
1 1 d u u=0 R C dt LC
2
d
dt
u dt
1 1d u u=0 L R dt
u 2
1
1´ µ Lµ ¶
2
u 2δ
d dt
2
u ω0 u = 0
Abklingkonstante oder Dämpfungsexponent: δ=
β
δ=
2m
R
δ=
2L
1 2R C
(7-107)
Eigenkreisfrequenz des dämpfungslosen Systems (Kennkreisfrequenz): ω0 =
k
ω0 =
m
1 LC
ω0 =
1 LC
(7-108)
Die charakteristische Gleichung 2
2
λ 2δ λ ω0 = 0
(7-109)
hat die Lösungen λ1 = δ
2
2
δ ω0 , λ2 = δ
2
2
δ ω0
(7-110)
Die verschiedenen O-Werte liefern die möglichen Schwingungsfälle.
Seite 307
Differentialgleichungen
Zur Charakterisierung der verschiedenen Fälle benutzen wir den Dämpfungsgrad δ D= (7-111) ω0 Freie ungedämpfte Schwingung: D = 0 Damit ist G = 0, d. h., es handelt sich um eine ungedämpfte Schwingung mit der Kreisfrequenz Z0 und Lösungen der charakteristischen Gleichung sind konjugiert komplex (imaginär): λ1 = jω0 , λ2 = j ω0
(7-112)
Die Lösung der Differentialgleichung lautet (y(t), i(t), u(t)):
yh ( t) = C1 cos ω0 t C2 sin ω0 t = A sin ω0 t φ
(7-113)
Freie gedämpfte Schwingung: 0 < D < 1 Damit ist G < Z0 und die Lösungen der charakteristischen Gleichung sind konjugiert komplex: 2
λ1 = δ j
2
2
ω0 δ = δ jω , λ1 = δ j
2
ω0 δ = δ jω
(7-114)
Die Lösung der Differentialgleichung lautet (y(t), i(t), u(t)): δt
yh ( t) = e
δt
C1 cos ( ω t ) C2 sin ( ω t) = A e
sin ( ω t φ)
(7-115)
Das System führt eine gedämpfte Sinusschwingung mit zeitlich abnehmender Amplitude A e- Gt aus. Die Eigenfrequenz 2
ω=
2
2
ω0 δ = ω0 1 D weicht umso mehr von der Kennkreisfrequenz Z0 ab, je größer der Dämpfungsgrad D ist.
(7-116)
Aperiodischer Grenzfall: D = 1 Damit ist G = Z0 und die charakteristische Gleichung hat eine Doppellösung (die Diskriminante ist null) λ1 = λ2 = δ
(7-117)
Die Lösung der Differentialgleichung lautet (y(t), i(t), u(t)):
δt
yh ( t) = C1 t C2 e
(7-118)
Diese Funktion ist nicht mehr periodisch! Aperiodischer Fall: D > 1 Damit ist G > Z0 und es herrscht eine starke Dämpfung. Die charakteristische Gleichung hat die Lösungen: λ1 = δ
2
2
δ ω0 = δ w , λ2 = δ
2
2
δ ω0 = δ w
(7-119)
Die Lösung der Differentialgleichung lautet (y(t), i(t), u(t)): δt
yh ( t) = e
wt
§ C1 e
©
w t·
C2 e
(7-120)
¹
Seite 308
Differentialgleichungen
Mit C1 C2 = A1 und C1 C2 = B1 erhalten wir eine andere Darstellung durch Umformung: δt
yh ( t ) = e
ª A1
«
¬
δ1 t
yh ( t ) = e
B
1 wt wt w t w t º » e e e e 2 2
¼
A1 cosh ( w t ) B1 sinh ( w t )
(7-121)
Beispiel 7.28: Ein homogener zylindrischer Körper mit der Masse m0 = 20 kg und der Querschnittsfläche A = 100 cm2 taucht in eine Flüssigkeit der Dichte U = 2000 kg/m3 zur Hälfte ein. Zur Zeit t = 0 s wird der Körper kurz nach unten angestoßen und beginnt dann um die Gleichgewichtslage zu schwingen. Wie lautet die Lösung der zugehörigen Differentialgleichung unter Berücksichtigung des Auftriebs und einer geschwindigkeitsproportionalen Reibungskraft mit einem Reibungskoeffizienten E = 2.4 kg/s? Anfangsbedingungen: y(0 s) = 0 m und v(0 s) = y'(0 s) = v0 = 2 m/s. o o o m 0 a = FD FA 2
m0
d
dt
2
y ( t) = β
2
m0
d
dt
2
y( t) β
2
d
dt
2
y ( t) 2δ
d
Gleichgewichtsbedingung d dt
d dt
homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
y( t) ρ g A y ( t) = 0
2
dt
bzw.
y ( t) ρ g A y( t)
y ( t) ω0 y ( t) = 0
mit
δ=
β 2m0
und
ρgA 2 ω0 = m0
charakteristische Gleichung: 2
2
λ 2δ λ ω0 = 0
nach Variable O auflösen
ª δ ω0 δ ω0 δ º « » «δ δ ω δ ω » 0 0 ¼ ¬
λ1 = δ
δ ω0
λ2 = δ
δ ω0
2
2
2
2
freie gedämpfte Schwingung:
δ ω0
λ1 = δ j
2
δt
C1 cos (ω t) C2 sin (ω t)
yh ( t) = e δt
e
2
ω0 δ = δ jω
C1 cos (ω t) C2 sin (ω t)
λ2 = δ j
2
allgemeine Lösung der freien gedämpften Schwingung
durch Differenzierung, ergibt
( δ)t
( δ)e
2
ω0 δ = δ jω
C1 cos (ω t) C2 sin (ω t) e( δ)tª¬ C1 sin (ω t) ω C2 cos (ω t) ωº¼ Seite 309
Differentialgleichungen
Anfangsbedingungen: y(0 s) = 0 m und v(0 s) = y'(0 s) = v0 = 2 m/s: δ0
0=e
C1 cos (ω0) C2 sin (ω0) ( δ)0
v0 = ( δ)e
hat als Lösung(en)
0
0 cos (ω0) C2 sin (ω0) e( δ)0 0 sin (ω0) ω C2 cos (ω0) ω
nach C1 auflösen nach C2 auflösen
v0
hat als Lösung(en)
ω
v0 δt yh ( t) = e sin ( ω t) ω
Lösung der homogenen Differentialgleichung
m v0 2 s
Anfangsgeschwindigkeit
β 2.4
kg
Dämpfungsfaktor
s
Masse des Körpers
m0 20kg ρ 2000
kg m
Dichte des Körpers
3 2
Fläche des Körpers
A1 100cm δ
β
δ
2m0 ρ g A1
ω0
ω
ω0
m0 2
2
ω0 δ
ω
yh ( t)
v0 δt e sin ( ω t) ω
y1 ( t)
v0 δt e ω
v( t)
d dt
0.06
yh ( t )
t 0s 0.01s 20s
1
Dämpfungsfaktor
s
3.132
3.131
1 s
1 s
Eigenfrequenz des ungedämpften Systems
Eigenfrequenz des gedämpften Systems
Schwingungsgleichung v0 δt y2 ( t ) e ω
einhüllende Kurven
Geschwindigkeitsfunktion
Bereichsvariable
Seite 310
Differentialgleichungen
4 yh( t) m y1( t) m y2( t) m
5 2 5
0
5
5
10
15
20
v( t) m
2
s
4 t s
Abb. 7.37 Lösung mithilfe der Laplace-Transformation: 2
d
dt
2
y ( t) 2δ
d
2
dt
y ( t) ω0 y ( t) = 0
Anfangsbedingungen: y(0 s) = 0 m und v(0 s) = y'(0 s) = v0 = 2 m/s 2
2
Laplacetransformierte (direkt übersetzt)
Y ( s ) s s y ( 0) y' ( 0) 2δ( y ( 0) Y ( s ) s ) ω0 Y ( s ) = 0 2
2
Y ( s ) s s0 v0 2δ( 0 Y ( s ) s ) ω0 Y ( s ) = 0 δ δ
v0 v0
Redefinitionen
ω0 ω0
2
v0
2
Y ( s ) s s0 v0 2δ( 0 Y ( s ) s ) ω0 Y ( s ) auflösen Y ( s ) o
annehmen ω0 ! 0 δ ! 0 ω0 ! δ
v0 2
2
s 2δ s ω0
δt
yh ( t) =
v0 e
o
invlaplace s
δt
v0 e
§ ©
2
2
2
2
2
ω = ω0 δ
§ ©
sin t 2
2
2·
ω0 δ
¹
inverse Transformation
2
2·
ω0 δ
¹
Lösung der Differentialgleichung
2
ω0 δ Mit
2
ω0 δ
vereinfachen sin t
2
s 2δ s ω0
folgt:
Seite 311
Differentialgleichungen
v0 δt yh ( t) = e sin ( ω t) ω
vereinfachte Lösung der Differentialgleichung
Lösung mit einem Näherungsverfahren (Runge-Kutta-Methode): 2
d
dt
2
y ( t) 2δ
d dt
2
y ( t) ω0 y ( t) = 0
Anfangsbedingungen: x(0 s) = 0 m und v(0 s) = x'(0 s) = v0 = 2m/s β 2.4
v0 2 δ
β
δ
2m0
m0 20 ω0
0.06
ρ g A1 m0
4
ρ 2000
A1 100 10
ω0
vorgegebene Werte ohne Einheiten
3.132
g 9.81
Umwandlung der Differentialgleichung 2. Ordnung in ein System 1. Ordnung: Y0 = y
Y'0 = Y1 = y'
Y'1 = Y2 = Y''
Y1 = y' 2
Y2 = 2δ Y1 ω0 Y0 aw
§0· ¨v ¸ © 0¹
D ( t Y)
aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen.
Y1 § · ¨ ¸ ¨ 2δ Y1 ω 2 Y0 ¸ 0 © ¹
Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der Darstellung D(t,Y):=(Y1 ,...,Yn-1 ,y(n)(Y)) T. Die letzte Komponente ist die nach y(n) umgeformte Differentialgleichung.
N1 300
Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung
ta 0
Anfangszeitpunkt
te 20
Endzeitpunkt
Z rkfest aw t a t e N1 D
Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z<0> enthält die Zeitpunkte t, die nächste Spalte Z<1> die Lösungsfunktion x(t), und die letzte Spalte Z die Ableitung x(n-1)(t).
¢0² t Z s
Zeitwerte
¢1² x Z m
Wegwerte
¢2² m v Z s
Geschwindigkeitswerte
k 0 zeilen ( Z) 1
Bereichsvariable
Seite 312
Differentialgleichungen
4
xk m
2 5
vk
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
m s
2
4 tk s
Abb. 7.38 Beispiel 7.29: In einem Gleichstromkreis sind ein kapazitiver, ein Ohm'scher und ein induktiver Widerstand in Serie geschaltet (siehe Abb. 7.36). Der Kondensator soll zum Zeitpunkt t = 0 s aufgeladen sein, also eine Spannung U 0 besitzen. Gesucht ist der Strom i(t) beim Schließen des Serienkreises. Anfangsbedingungen: i(0 s) = 0 A und für t = 0 s ist uL(0 s) = -uC(0 s) = U0 d. h. i'(0 s) = U0 /L. Gleichgewichtsbedingung (7-105) - Kirchoff'sches Gesetz
uL(t) + uR(t) + uC(t) = 0 L
d
i ( t) R i ( t)
dt
1´ µ Cµ ¶
Differential-Integralgleichung
i ( t ) dt = 0
Durch Differentiation der Differential-Integralgleichung und Umformung erhalten wir die Differentialgleichung: 2
d
L
dt
2
i ( t) R
Mit δ =
R 2L
dt
2
dt
i ( t)
2
1 C
d
i ( t) = 0
dt
2
i ( t)
Rd L dt
i ( t)
1 LC
i ( t) = 0
1 2 und ω0 = erhalten wir schließlich die Differentialgleichung in vereinfachter Form: LC
2
d
d
i ( t ) 2δ
d dt
2
i ( t ) ω0 i ( t ) = 0
charakteristische Gleichung (charakteristisches Polynom 2. Ordnung): 2
2
λ 2δ λ ω0 = 0 λ2 = δ D=
δ ω0
2
2
δ ω0
λ1 = δ
2
2
δ ω0
Lösungen
Dämpfungsgrad
Seite 313
Differentialgleichungen
a) freie ungedämpfte Schwingung (D = 0) δ=0
λ1 = j ω0
Lösungen der charakteristischen Gleichung
λ2 = j ω0
allgemeine Lösungen der homogenen Differentialgleichung
ih ( t) = C1 cos ω0 t C2 sin ω0 t Anfangsbedingungen:
i(0 s) = 0 A und für t = 0 s ist uL(0 s) = -uC(0 s) = U0 d. h. i'(0 s) = U0 /L
ih ( 0) = C1 cos ω00 C2 sin ω00 = 0
ih ( t) = C2 sin ω0 t
C2 sin ω0 t
C1 = 0
durch Differenzierung, ergibt
U0 ih ( 0) = C2 ω0 cos ω0 0 = L dt
U0 ih ( t) = Imax sin ω0 t = sin ω0 t L ω0
allgemeine Lösung
U0 100V
gewählte Größen
d
ms 10
3
L 0.01H
U0 C2 = L ω0
Definition von ms
ω0
LC
I max
C 100 nF
s
1
ω0
U0
I max
L ω0
3.162 u 10
41
Eigenkreisfrequenz
s
Scheitelwert
0.316 A
ih ( t) Imax sin ω0 t
Stromfunktion (allgemeine Lösung)
t 0ms 0.001ms 1ms
Bereichsvariable
0.4 0.2 ih ( t) 0
A
0.2
0.4
0.6
0.2 0.4 t ms
Abb. 7.39
Seite 314
0.8
1
C2 ω0 cos t ω0
Differentialgleichungen
b) freie gedämpfte Schwingung D) Schwingungsfall (schwache Dämpfung, 0 < D < 1) δ ω0 2
λ1 = δ j κ = δ
2
ω0 δ
2
ω=
2
λ2 = δ j
2
Lösungen der charakteristischen Gleichung
ω0 δ
2
Dämpfungsfaktor und Schwingkreisfrequenz
ω0 δ
δt
C1 cos (ω t) C2 sin (ω t)
ih = e
allgemeine Lösungen der Differentialgleichung
Anfangsbedingungen: i(0 s) = 0 A und für t = 0 s ist uL(0 s) = -uC(0 s) = U0 d. h. i'(0 s) = U0 /L δ0
ih ( 0) = e
C1 cos (ω0) C2 sin (ω0) = 0
δt
C2 sin ( ω t)
ih ( t ) = e d dt d dt
δt
ih ( t) = C2 ω e
δ0
ih ( 0) = C2 ω e
C2 sin ( ω t ) δt
cos ( ω t) C2 δ e
sin ( ω t)
δ0
cos ( ω 0) C2 δ e
sin ( ω 0) =
U0 ih ( 0) = C2 ω cos ( ω 0)ω = L dt d
δt
ih = I max e
δ
D
δ
2L 1
2
2
ω0 δ δ ω0
I max
U0 Lω
L 0.01H
C 100 nF
U0 C2 = = I max Lω
3.16228 u 10
ω
3 u 10
D
0.316
I max
gewählte Größen
Dämpfungsfaktor
4 1
1 u 10 s
ω0
LC
ω
L
allgemeine Lösung und Scheitelwert
R 200Ω
R
ω0
U0
sin ( ω t)
U0 100V
C1 = 0
durch Differenzierung, δt δt C2 ω e cos ( ω t) C2 δ e sin ( ω t ) ergibt
δt
e
41
Eigenkreisfrequenz
s
41
Schwingkreisfrequenz
s
Dämpfungsgrad
Scheitelwert
333.333 mA
Seite 315
Differentialgleichungen
δt
Stromfunktion (allgemeine Lösung)
sin ( ω t)
i ( t ) Imax e
Spannung am Ohm'schen Widerstand
uR ( t) R i ( t ) uL ( t) L
d dt
Spannung am induktiven Widerstand
i ( t)
uC ( t) uR ( t) uL ( t)
Spannung am kapazitiven Widerstand
t 0ms 0.001ms 0.4ms
Bereichsvariable
250 210
i ( t)
170
mA
uR ( t) 130 V
90
uL ( t)
50
V
10
uC ( t) 30 V
0
0.1
0.2
0.3
Abb. 7.40
0.4
70 110 150 t ms
E) aperiodischer Grenzfall (D = 1) δ = ω0
Dämpfungsfaktor und Lösungen der charakteristischen Gleichung
λ1 = λ2 = δ
δt
allgemeine Lösungen der Differentialgleichung
ih = C1 C2 t e
Anfangsbedingungen: i(0) = 0 und für t=0 ist uL(0)= -uC(0) = U0 d. h. i'(0) = U0 /L:
δ0
ih ( 0) = C1 C20 e
=0
δt
δt
ih ( t) = C2 t e d dt
δ0
ih ( 0) = C2 e
C1 = 0
C2 t e δ0
C2 δ t e
=
U0 L
durch Differenzierung, ergibt
Seite 316
U0 C2 = L
δt
C2 e
δt
C2 δ t e
Differentialgleichungen
U0 100V 1
ω0 δ
R 1Ω ω0
LC
1s
R 2L δ
D
ω0 U0
iG ( t )
L
L 0.5H
δ
1s
D
1
1
gewählte Größen für den Grenzfall
C 2 F
Eigenkreisfrequenz
1
Dämpfungsfaktor
Dämpfungsgrad
ω0 t
Stromfunktion für den Grenzfall
te
J) aperiodischer Fall (Kriechfall D > 1) δ ! ω0
2
λ1 = δ 2
2
δ ω0
2
δt
ih ( t ) = e Mit
wt
§ C1 e
δt
ª A1
«
¬2
2
Dämpfungsfaktor und Lösungen der charakteristischen Gleichung
w t·
allgemeine Lösungen der Differentialgleichung
C1 C2 = B1
erhalten wir eine andere Darstellung durch Umformung:
C2 e
©
und
C1 C2 = A1
ih ( t ) = e
2
δ ω0
Konstante
δ ω0
w=
λ2 = δ
¹
ew t e w t B1 ew t e w t º» = e δ1 t A1 cosh (w t) B1 sinh (w t) 2
¼
Anfangsbedingungen: i(0) = 0 und für t = 0 ist uL(0) = -uC(0) = U0 d. h. i' (0) = U0 /L: δ10
Mit ih ( 0) = e
δ1 t
ih ( t ) = e d dt
A1 cosh ( w0) B1 sinh ( w0) = 0 folgt A1 = 0 . durch Differenzierung, ergibt
B1 sinh ( w t ) t δ1
ih ( t) = B1 w cosh ( t w) e
Mit
0δ1
d dt
ih ( 0) = B1 w cosh ( 0w) e
U0 100V R
δ1
1 LC δ1
ω01
R 2Ω δ1
2L
ω01 D
t δ1
B1 δ1 sinh ( t w) e
2s
ω01 D
1s
2
L 0.5H
1
1
0δ1
B1 δ1 sinh ( 0w) e
=
C 2 F
U0
U0 folgt B1 = . L wL
gewählte Größen für den Kriechfall
Dämpfungsfaktor
Eigenkreisfrequenz
Dämpfungsgrad
Seite 317
Differentialgleichungen
2
δ1 ω01
w1
U0
iK ( t )
w1 L
2
δ1 t
e
w1
1.732 s
1
Konstante
Stromfunktion für den Kriechfall
sinh w1 t
Bereichsvariable
t 0s 0.001s 15s
Aperiodischer Grenzfall und Kriechfall 80 iG( t) 60 A iK( t) A
40
Abb. 7.41 20
0
5
10
15
t s
Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe der Laplace-Transformation: 2
d
dt
2
i ( t ) 2δ
d dt
U0
2
I ( s ) s s0
U0 U0
L
2
2
Differentialgleichung, in die Laplacetransformierte übersetzt
2δ s I ( s ) 2δ0 ω0 I ( s ) δ δ
L L
I ( s ) s s0
Anfangsbedingungen: i(0) = 0 und für t = 0 ist uL(0) = -uC(0) = U0 d. h. i'(0) = U0 /L.
2
i ( t ) ω0 i ( t ) = 0
ω0 ω0
U0
ω ω
U0
2
2δ s I ( s ) 2δ0 ω0 I ( s ) auflösen I ( s ) o L
a) freie ungedämpfte Schwingung (D = 0)
2
2·
L§ s 2δ s ω0 ©
¹
Dämpfungsfaktor
δ 0 invlaplace s
U0 2
2·
L§ s 2δ s ω0 ©
ih ( t ) =
Redefinitionen
U0 L ω0
¹
vereinfacheno erweitern
U0 sin t ω0 L ω0
Stromfunktion (allgemeine Lösung)
sin ω0 t
Seite 318
Differentialgleichungen
b) freie gedämpfte Schwingung D) Schwingungsfall (schwache Dämpfung, 0 < D < 1) δ δ
Redefinition
δ ω0
und
2
2
annehmen ω0 ! 0 δ ! 0 ω0 ! δ
U0 2
2·
L§ s 2δ s ω0 ©
ih ( t ) =
2
ω = ω0 δ
¹
δt
o
invlaplace s
U0 e
L
vereinfachen
U0 δt e sin ( ω t) Lω
§ ©
sin t
2
2
2
ω0 δ
Stromfunktion (allgemeine Lösung)
E) aperiodischer Grenzfall (D = 1) δ = ω0 U0 U0
t ω0
U0 2 2 L§ s 2ω0 s ω0 · © ¹
iG ( t ) =
U0 L
Redefinitionen
ω0 ω0
L L
invlaplace s o
ω0 t
U0 t e
L
Stromfunktion für den Grenzfall
te
J) aperiodischer Fall (Kriechfall D > 1)
δ ! ω0 δ 2
ω= ω0 1 U0
2 2 L § s 2δ s ω0 · © ¹
iK ( t ) =
2
2
δ ω0 w
2
2
δ ω0
invlaplace s o
U0 δt e sinh ( w t ) wL
wo
vorgegebene Größen
3
3 U0 sinh
2t
3t e
3L
Stromfunktion für den Kriechfall
Seite 319
2·
ω0 δ
¹
Differentialgleichungen
Numerische Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von rkfest: 2
d
dt
2
i ( t ) 2δ
d dt
2
Differentialgleichung
i ( t ) ω0 i ( t ) = 0
Anfangsbedingungen: i(0) = 0. Im Zeitbereich ist für t = 0 uL(0) = -uC(0) = U0 d. h. i'(0) = U0 /L. Umwandlung der Differentialgleichung 2. Ordnung in ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung durch Substitution: I1 =
I0 = i U0 5
d dt
I0 =
d dt
i
I2 =
d dt
2
I1 =
d
dt
2
i
ω0 1
L 0.5
§¨ 0 ·¸ aw ¨ U0 ¸ ¨ ¸ © L ¹
δ 0.5
vorgegebene Größen (ohne Einheit)
aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung n-ter Ordnung. Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte
I1 § · ¨ ¸ D ( t I) ¨ 2δ I1 ω 2 I0 ¸ 0 © ¹
Differentialgleichung in der Darstellung D(t,I):=(I1 ,...,In-1 ,i(n)(I)) T. Die letzte Komponente ist die nach i(n) umgeformte Differentialgleichung. In rkfest sind keine Einheiten zulässig, daher werden sie gekürzt oder weggelassen!
N1 400
Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung
ta 0
Anfangszeitpunkt
t e 10
Endzeitpunkt
Z rkfest aw t a t e N1 D
Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1)
¢0² t Z
nächste Spalte Z<1> die Lösungsfunktion i(t) und die letzte
¢1² i Z
Matrix. Die erste Spalte Z<0> enthält die Zeitpunkte t, die Spalte Z die Ableitung i(n-1)(t). In rkfest sind keine Einheiten zulässig!
¢2² i´ Z
Bereichsvariable
k 0 zeilen ( Z) 1
Freie gedämpfte Schwingung 10
ik
5
Abb. 7.42
i´k 0
5
10
5 tk
Seite 320
15
Differentialgleichungen
Numerische Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von Gdglösen: U0 5
Spannung
L 0.5
Induktivität
ω0 1
Eigenfrequenz
δ 0.5
Dämpfungskonstante
N1 100
Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung
Vorgabe 2
d
dt
2
i ( t ) 2δ
i ( 0) = 0
d dt
2
Differentialgleichung
i ( t ) ω0 i ( t ) = 0
i' ( 0) =
U0
Anfangsbedingungen
L
Für die gesuchte Funktion i werden die in der Differentialgleichung vorkommenden Parameter angegeben!
i δ ω0 Gdglösen ( t 15 N1)
Mathsoft Slider Control-Objekt Eigenschaften (siehe Band "Einführung in Mathcad", Kapitel 19.2.3.7): Minimum 0 Minimum 1 Maximum 10 Maximum 5 Teilstrichfähigkeit 1 Teilstrichfähigkeit 1 Skript bearbeiten: Outputs(0).Value = Slider.Position/10
δ1
δ1
ω01
ω01
0.2
i1 i δ1 ω01
1
Stromfunktion in Abhängigkeit von G und Z0 Bereichsvariable
t 0 0.01 10
Verschiedene Lösungsfälle 10 3.333 i1( t) 3.333
0
2
4
6
10 t
Abb. 7.43
Seite 321
8
10
Differentialgleichungen
Beispiel 7.30: Lösen Sie die nachfolgend gegebene Differentialgleichung mit gegebenen Randbedingungen: homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
y'' y = 0
Randbedingungen: y(0) = 2, y(S/2) = 3 charakteristische Gleichung: 2
λ 1=0 λ1 = j
Lösungen der charakteristischen Gleichung
λ2 = j
Die exakte allgemeine Lösung der Differentialgleichung lautet nach (7-112): yh ( x) = C1 cos ( x) C2 sin ( x) Bestimmung der Konstanten mit den Randbedingungen: yh ( 0) = C1 cos ( 0) C2 sin ( 0) = 2
C1 = 2
§ π· § π· § π· yh ¨ ¸ = C1 cos ¨ ¸ C2 sin ¨ ¸ = 3 2 2 2
C2 = 3
© ¹
© ¹
© ¹
Die exakte allgemeine Lösung mit den Randbedingungen lautet daher: yh ( x) 2 cos ( x) 3 sin ( x) Näherungslösung mit Runge-Kutta: Rückführung der Differentialgleichung 2. Ordnung auf ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung: Y0 ' = Y1
lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung
Y1 ' = Y0 Randwerte: y(0) = 2, y(S/2) = 3
xa 0
xe
§ Y1 · D ( x Y) ¨ ¸ © Y0 ¹
π 2
Anfangs- und Endwert des Lösungsintervalls Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der Darstellung D(x,Y):=(Y1 ,...,Yn-1 ,y(n)(Y)) T. Die letzte Komponente ist die nach y (n) umgeformte Differentialgleichung (wie bei Anfangswertproblem).
Umwandlung des Randwertproblems in ein Anfangswertproblem: v10 0
Spaltenvektor für die Schätzungen der Anfangswerte im Punkt xa , die nicht gegeben sind. Hier ist kein Schätzwert notwendig.
Seite 322
Differentialgleichungen
y(0) (bekannt)
§ 2 · ¨ ¸ © v10 ¹
lad xa v1
nicht notwendige Komponente auf null gesetzt
Dieser Vektor hat die gleiche Anzahl der Komponenten wie der Schätzvektor v und enthält die Differenzen zwischen denjenigen Funktionen Yi, für die
abst xe Y Y 0 3
Randwerte im Punkt xe gegeben sind und ihren gegebenen Werten im Punkt x e .
S sgrw v1 xa xe D lad abst S
Dieser Vektor enthält zuerst die gegebenen Anfangswerte und anschließend die Schätzwerte aus dem Vektor v für die fehlenden Anfangswerte im Punkt x a .
Berechnung der fehlenden Anfangsbedingungen
(3 )
Der von sgrw gelieferte fehlende Anfangswert Y1 (0) = y' (0) = 3 gestattet nun die Lösung der Aufgabe als Anfangswertproblem mit rkfest: S0
3
§ 2 · y(0) = 1 aw ¨ ¸ © S0 ¹ y'(0) = 3
aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen.
N1 10
Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung
Z rkfest aw xa xe N1 D
Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1)
¢0² x Z
nächste Spalte Z<1> die Lösungsfunktion y(x) und die letzte
¢1² y Z
Spalte Z die Ableitung y(n-1)(x).
¢2² y´ Z
Bereichsvariable
k 0 zeilen ( Z) 1
x1 0 0.01
Matrix. Die erste Spalte Z<0> enthält die x-Werte, die
π
Bereichsvariable
2
Näherungs- und exakte Lösung 5 4 3 yk
2
y´ k
Abb. 7.44
1
yh( x1) 0
0.5
1
1.5
1 2 3 xk xk x1
Seite 323
2
Differentialgleichungen
Beispiel 7.31: Bestimmen Sie die Euler-Knickkraft für einen beidseitig gelenkig gelagerten Druckstab (z. B. Fachwerkstäbe, Pleuelstangen usw.) von der Länge L mit der Druckkraft F. Schlanke Bauglieder verlieren bei Belastung durch Druckkräfte in Achsenrichtung ihre Tragfähigkeit durch plötzliches Ausweichen das Ausknicken. Die Differentialgleichung der Knickung ergibt sich aus dem Gleichgewicht zwischen dem der Ausbiegung proportionalen Moment der äußeren Kräfte und dem der Biegesteifigkeit proportionalen Moment der inneren Kräfte. Die Kraft, die das Ausknicken verursacht, heißt Knickkraft. Sie ist von der Stablänge und Biegesteifigkeit sowie auch von den Lagerungsbedingungen abhängig. An der Stelle x beträgt die seitliche Ausbiegung y und das Moment der äußeren Kräfte M = F y. Das Moment der inneren Kräfte ist durch M(x) = -E I y'' gegeben. I ist dabei das axiale Trägheitsmoment des Stabquerschnittes (konstantes Flächenmoment) und E das stoffabhängige Elastizitätsmodul. Die Randbedingungen sind gegeben durch y(0) = 0 und y(L) = 0.
Gleichgewichtsbedingung
E I y'' = F y y''
F EI
homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten (Differentialgleichung der Biegelinie)
y=0
2
mit
y'' a y = 0
2
a =
F EI
Abb. 7.45
charakteristische Gleichung: 2
2
λ a =0 λ1 = j a
λ2 = j a
Lösungen der charakteristischen Gleichung
Die exakte allgemeine Lösung der Differentialgleichung lautet nach (7-112): yh ( x) = C1 cos ( a x) C2 sin ( a x) Bestimmung der Konstanten mit den Randbedingungen: yh ( 0) = C1 cos ( 0) C2 sin ( 0) = 0
C1 = 0
y ( L) = C2 sin ( a L) = 0
C2 kann nicht null sein, weil sonst der Stab nicht ausknicken würde!
Es muss also gelten: sin ( a L) = 0 Somit ergibt sich für a die Beziehung: aL = πn
mit n = 1, 2, 3, ...
Seite 324
Differentialgleichungen
Fn
π an = n = L
Eigenwerte an der Randwertaufgabe
EI
Nur für diese Werte der Konstanten a, die Eigenwerte an der Randwertaufgabe, hat die Differentialgleichung bei gegebenen Randbedingungen eine Lösung. Zu den Eigenwerten an gehören die Eigenfunktionen
yh = C2 sin an x n
und bestimmte Werte für die Kraft F: 2 2
Fn =
π n
Euler'sche Knickkraft allgemein (n2 = 1 einfache Knickkraft, n2 = 4 vierfache Knickkraft usw.)
EI
2
L
Der kleinste Wert von Fn (n = 1) ist der Wert Fk , bei dem bereits die Knickung des Stabes erfolgt, die sogenannte Knickkraft. Fk =
π
2
2
Knickkraft
EI
L
gewählte Konstante
C2 10mm 5
B 5 10 N m
2
gewählte Biegesteifigkeit B = E I Länge des gelagerten Stabes
L 30cm Fk
π
2
2
B
Fk
L
a ( n)
π L
7
5.483 u 10 N
Knickkraft
Eigenwerte
n
yh ( n x) C2 sin ( a ( n) x)
Eigenfunktionen
x 0cm 0.01cm 30cm
Bereichsvariable Eigenfunktionen
0.01 yh( 1 x)
L cm
3
5u 10
yh( 2 x) yh( 3 x)
0
5
10
15
yh( 4 x) 5u 10 3 0.01 x cm
Abb. 7.46
Seite 325
20
25
30
Differentialgleichungen
b) Die lineare inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: Die lineare inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist ein Sonderfall von (7-59). Die Koeffizientenfunktionen a 1 (x) = a1 und a0 (x) = a0 sind konstant (a0 , a1 ) und die Störfunktion (oder Störglied) s(x) z 0. y'' ( x) a1 y' ( x) a0 y ( x) = s ( x)
(7-122)
Bereits in Abschnitt 7.2.1.4 wurde gezeigt, dass sich die allgemeine Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung 1. Ordnung aus der Lösung der homogenen Differentialgleichung und einer partikulären Lösung addiert. Dies gilt auch für inhomogene lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die allgemeine Lösung von (7-122) ergibt sich durch y ( x) = yh ( x) yp ( x)
(7-123)
wobei y h(x) die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung und yp(x) eine partikuläre (spezielle) Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist. yp(x) erhalten wir durch die Methode der Variation der Konstanten oder mit einem angepassten Lösungsansatz (der im Wesentlichen vom Typ der Störfunktion abhängt) durch Vergleich der Koeffizienten. Für in den Anwendungen besonders häufig auftretenden Störfunktionen s(x) werden nachfolgend einige Lösungsansätze yp angeführt: 1. s(x) ist eine Polynomfunktion vom Grade n: 2
n
s ( x) = Pn ( x) = c 0 c 1 x c 2 x .... c n x 2
(7-124) n
yp ( x) = Qn ( x) = b0 b1 x b2 x .... bn x , für c 0 z 0
(7-125)
yp ( x) = x Qn ( x), für c 0 = 0 und c 1 z 0
(7-126)
2
yp ( x) = x Qn ( x), für c 0 = c 1 = 0
(7-127)
2. s(x) ist eine Exponentialfunktion: mx
s ( x) = a e
(7-128)
m ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung: mx
yp ( x) = b e
(7-129)
m ist eine einfache Lösung der charakteristischen Gleichung: mx
yp ( x) = b x e
(7-130)
m ist eine Doppellösung der charakteristischen Gleichung: 2 mx
yp ( x) = b x e
(7-131)
Seite 326
Differentialgleichungen
3. s(x) ist eine Sinus- oder Kosinusfunktion oder eine Linearkombination von beiden: s ( x) = a cos ( m x) b sin ( m x)
(7-132)
j m ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung: yp ( x) = A cos ( m x) B sin ( m x) = C sin ( m x φ)
(7-133)
j m ist eine Lösung der charakteristischen Gleichung: yp ( x) = A x cos ( m x) B x sin ( m x) = C x sin ( m x φ)
(7-134)
Bei periodischen Störfunktionen s ( x) = A cos ( m x) oder s ( x) = B sin ( m x) verwenden wir auch oft komplexe Lösungsansätze: j ( m x φ)
yp ( x) = C e
(7-135)
Beispiel 7.32: Die gegebene Differentialgleichung soll durch Variation der Konstanten und durch einen geeigneten Lösungsansatz gelöst werden. inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
2
y'' ( x) 3 y' ( x) 2 y ( x) = x
homogene Differentialgleichung: y'' ( x) 3 y' ( x) 2 y ( x) = 0 charakteristische Gleichung: 2
λ 3λ 2 = 0
hat als Lösung(en)
§2 · ¨ ¸ ©1 ¹
homogene Lösung (7-86): x
2x
yh ( x) = C1 e C2 e
Variation der Konstanten: x
2x
durch Differenzierung, ergibt
yp ( x) = C1 ( x) e C2 ( x) e d dx
yp ( x) =
d dx
x
x
C1 ( x) e C1 ( x) e
d dx
2x
C2 ( x) e
2x
2 C2 ( x) e
Wir wählen C1 (x) und C 2(x) so, dass gilt:
§d · x ¨ C1 ( x) ¸ e © dx ¹
§d · 2x ¨ C2 ( x) ¸ e = 0 © dx ¹
Damit gilt:
Seite 327
Differentialgleichungen
d
x
dx
2x
durch Differenzierung, ergibt
yp ( x) = C1 ( x) e 2 C2 ( x) e
2
d
d x x d 2x 2x y ( x) = C1 ( x) e C1 ( x) e 2 C2 ( x) e 4 C2 ( x) e 2 p dx dx dx Der Ansatz und die Ableitungen werden nun in die inhomogene Differentialgleichung eingesetzt:
§ C ( x) ex C ( x) ex 2 C ( x) e2x 4 C ( x) e2x 3 C ( x) ex 6 C ( x) e2x· = x2 1 2' 2 1 2 © 1' ¹ x 2x· § 2 C1 ( x) e 2 C2 ( x) e © ¹ vereinfacht auf x
2x
2
C1' ( x) e 2 C2' ( x) e
=x
Es ist also das folgende lineare Gleichungssystem in C1 '(x) und C 2 '(x) zu lösen: x
2x
2
C1' ( x) e 2 C2' ( x) e x
2x
C1' ( x) e C2' ( x) e
=x
=0 Redefinition
x x Vorgabe x
2x
C1' e 2C2' e x
2x
C1' e C2' e
2
=x
Lösungsblock =0
§ x2 e x · ¨ ¸ Suchen C1' C2' o ¨ 2 2x ¸ ©x e ¹
Die Lösungen lauten: 2 x
2 2x
C1' ( x) = x e
C2' ( x) = x e
Durch partielle Integration folgt schließlich: ´ µ C1 = µ ¶
x e
´ µ C2 = µ ¶
x e
2 x
2 2x
x
dx
vereinfacht auf
C1 = e
dx
vereinfacht auf
C2 =
2
2x
e
x 2x 2
2
2x 2x 1
Seite 328
4
Differentialgleichungen
Die partikuläre Lösung lautet damit: 1 2 1 1 2 yp ( x) = x 2x 2 x x 2 2 4
vereinfacht auf
1 2 3 7 yp ( x) = x x 2 2 4
Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ergibt sich dann zu: x
2x
y ( x) = yh ( x) yp ( x) = C1 e C2 e
1 2 3 7 x x 2 2 4
Lösung der Differentialgleichung mithilfe eines Ansatzes nach (7-125): 2
yp ( x) = b0 b1 x b2 x
durch Differentiation, ergibt d dx
yp ( x) = b1 2 b2 x
durch Differentiation, ergibt 2
d
y ( x) = 2b2 2 p
dx
Der Ansatz und die Ableitungen werden nun in die inhomogene Differentialgleichung eingesetzt: 2·
2b2 3 b1 2 b2 x 2§ b0 b1 x b2 x ©
2
2 ¹=x
durch Zusammenfassen von Termen, ergibt
2
0
2b2 x 6b2 2b1 x 2b2 3b1 2b0 = x 0x 0x Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir: 2b2 = 1 6b2 2b1 = 0 2b2 3b1 2b0 = 0 Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems lautet: Vorgabe 2b2 = 1 6b2 2b1 = 0 2b2 3b1 2b0 = 0
7
T o §¨© 4
Suchen b0 b1 b2
3
1
2
2
· ¸ ¹
Daraus ergibt sich die gleiche partikuläre Lösung wie oben zu: 3 7 1 2 yp ( x) = x x 2 4 2
Seite 329
Differentialgleichungen
Beispiel 7.33: Die gegebene Differentialgleichung soll durch einen geeigneten Lösungsansatz gelöst werden. inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
2
y'' ( x) 2 y' ( x) = x x 1
homogene Differentialgleichung: y'' ( x) 2 y' ( x) = 0 charakteristische Gleichung: 2
λ 2λ = 0
§2 · ¨ ¸ ©0 ¹
hat als Lösung(en)
homogene Lösung (7-86): 2x
yh ( x) = C1 C2 e
Lösung der Differentialgleichung mithilfe eines Ansatzes nach (7-126): 2
3
yp ( x) = b0 x b1 x b2 x
durch Differentiation, ergibt d
2
dx
yp ( x) = b0 2 b1 x 3 b2 x
durch Differentiation, ergibt 2
d
y ( x) = 2b1 6 b2 x 2 p
dx
Der Ansatz und die Ableitungen werden nun in die inhomogene Differentialgleichung eingesetzt: 2·
2b1 6b2 x 2§ b0 2b1 x 3b2 x ©
2 ¹ =x x 1
durch Zusammenfassen von Termen, ergibt 2
2
6 b2 x 6b2 4b1 x 2b1 2b0 = x x 1 Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir folgendes lineares Gleichungssystem: 6b2 = 1 6b2 4b1 = 1 2b1 2b0 = 1
Seite 330
Differentialgleichungen
Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems lautet: Vorgabe 6b2 = 1 6b2 4b1 = 1 2b1 2b0 = 1
T o §¨© 0
Suchen b0 b1 b2
1
2
1 6
· ¸ ¹
Daraus ergibt sich die partikuläre Lösung zu: 1 2 1 3 yp ( x) = x x 6 2 Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung lautet dann: 2x
y ( x) = yh ( x) yp ( x) = C1 C2 e
1 2 1 3 x x 2 6
Beispiel 7.34: Die gegebene Differentialgleichung soll durch einen geeigneten Lösungsansatz gelöst werden. inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
3x
y'' ( x) 4 y ( x) = e
homogene Differentialgleichung: y'' ( x) 4 y ( x) = 0 charakteristische Gleichung: 2
hat als Lösung(en)
λ 4=0
§ 2 · ¨ ¸ ©2 ¹
homogene Lösung (7-86): 2x
2x
yh ( x) = C1 e
C2 e
Lösung der Differentialgleichung mithilfe eines Ansatzes nach (7-129): 3x
m = 3 ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung
yp ( x) = b e
durch Differentiation, ergibt d dx
3x
yp ( x) = 3 b e
Seite 331
Differentialgleichungen
durch Differentiation, ergibt 2
d
3x y ( x) = 9 b e 2 p
dx
Der Ansatz und die Ableitungen werden nun in die inhomogene Differentialgleichung eingesetzt: 3x
9b e
3x
4b e
3x
hat als Lösung(en)
=e
1 5
(nach Variable b auflösen)
Damit ergibt sich die partikuläre Lösung zu: 1 3x yp ( x) = e 5 Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung lautet dann: 2x
y ( x) = yh ( x) yp ( x) = C1 e
2x
C2 e
1 3x e 5
Beispiel 7.35: Die gegebene Differentialgleichung soll durch einen geeigneten Lösungsansatz gelöst werden. 2x
y'' ( x) 4 y' ( x) 4 y ( x) = e
inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
homogene Differentialgleichung: y'' ( x) 4 y' ( x) 4 y ( x) = 0 charakteristische Gleichung: 2
hat als Lösung(en)
λ 4λ 4 = 0
2
Doppellösung
homogene Lösung (7-93):
2x
yh ( x) = C1 x C2 e
Lösung der Differentialgleichung mithilfe eines Ansatzes nach (7-131): 2 2x
m = 2 ist eine Doppellösung der charakteristischen Gleichung
yp ( x) = b x e
durch Differentiation, ergibt d
2x
dx
yp ( x) = 2 b x e
2 2x
2bx e
durch Differentiation, ergibt 2
d
2x 2x 2 2x y ( x) = 2 b e 8 b x e 4 b x e 2 p
dx
Seite 332
Differentialgleichungen
Der Ansatz und die Ableitungen werden nun in die inhomogene Differentialgleichung eingesetzt: 2x
2b e
2x
8b x e
2 2x
4b x e
2x
4 2bxe
2 2x
2bx e
b x2 e2x = e2x
vereinfacht auf 2x
2b e
2x
hat als Lösung(en)
=e
1 2
(nach Variable b auflösen)
Damit ergibt sich die partikuläre Lösung zu: 1 2 2x yp ( x) = x e 2 Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung lautet dann:
2x
y ( x) = yh ( x) yp ( x) = C1 x C2 e
1 2 2x 1 2· 2x § x e = e ¨ C1 x C2 x ¸ 5 5 ¹ ©
Beispiel 7.36: Die gegebene Differentialgleichung soll durch einen geeigneten Lösungsansatz gelöst werden. y'' ( x) y ( x) = sin ( x)
inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
homogene Differentialgleichung: y'' ( x) y ( x) = 0 charakteristische Gleichung: 2
λ 1=0
hat als Lösung(en)
§ j · ¨ ¸ ©j ¹
homogene Lösung (7-103): yh ( x) = C1 cos ( x) C1 sin ( x) Lösung der Differentialgleichung mithilfe eines Ansatzes nach (7-134): m = 1 = Z : j m ist eine Lösung der charakteristischen Gleichung: yp ( x) = A x cos ( x) B x sin ( x) durch Differentiation, ergibt d dx
yp ( x) = A cos ( x) A x sin ( x) B sin ( x) B x cos ( x)
durch Differentiation, ergibt 2
d
y ( x) = 2 A sin ( x) A x cos ( x) 2 B cos ( x) B x sin ( x) 2 p
dx
Seite 333
Differentialgleichungen
Der Ansatz und die Ableitungen werden nun in die inhomogene Differentialgleichung eingesetzt: 2A sin ( x) A x cos ( x) 2B cos ( x) B x sin ( x) A x cos ( x) B x sin ( x) = sin ( x) vereinfacht auf 2 A sin ( x) 2 B cos ( x) = sin ( x) Koeffizientenvergleich: 2A = 1
A=
2B = 0
B=0
1 2
Damit ergibt sich die partikuläre Lösung zu: 1 yp ( x) = x cos ( x) 2 Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung lautet dann: 1 y ( x) = yh ( x) yp ( x) = C1 cos ( x) C2 sin ( x) x cos ( x) 2 Beispiel 7.37: Die gegebene Differentialgleichung soll durch einen geeigneten Lösungsansatz gelöst werden. y'' ( x) y' ( x) y ( x) = x cos ( x) sin ( x)
inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
homogene Differentialgleichung: y'' ( x) y' ( x) y ( x) = 0 charakteristische Gleichung:
2
λ λ1=0
hat als Lösung(en)
ª 1 1 3 j º « » « 2 2 » « 1 § 3· » « ¨ ¸ j » ¬ 2 © 2 ¹¼
homogene Lösung (7-103):
yh ( x) = e
x 2
§ ©
§ 3 · § 3 ·· x¸ C1 sin ¨ x¸ ¸ © 2 ¹ © 2 ¹¹
¨ C1 cos ¨
Lösung der Differentialgleichung mithilfe eines Ansatzes nach (7-133) und (7-134): yp ( x) = A x cos ( x) B x sin ( x) C cos ( x) D sin ( x)
Seite 334
Differentialgleichungen
durch Differentiation, ergibt d dx
yp ( x) = A cos ( x) A x sin ( x) B sin ( x) B x cos ( x) C sin ( x) D cos ( x)
durch Differentiation, ergibt 2
d
y ( x) = 2 A sin ( x) A x cos ( x) 2 B cos ( x) B x sin ( x) C cos ( x) D sin ( x) 2 p
dx
Der Ansatz und die Ableitungen werden nun in die inhomogene Differentialgleichung eingesetzt: 2A sin ( x) A x cos ( x) 2B cos ( x) B x sin ( x) C cos ( x) D sin ( x) = x cos ( x) sin ( x) A cos ( x) A x sin ( x) B sin ( x) B x cos ( x) C sin ( x) D cos ( x) A x cos ( x) B x sin ( x) C cos ( x) D sin ( x) vereinfacht auf 2A sin ( x) 2B cos ( x) A cos ( x) A x sin ( x) B sin ( x) = x cos ( x) sin ( x) B x cos ( x) C sin ( x) D cos ( x) Herausheben (händisch): B x cos ( x) A x sin ( x) ( A 2B D)cos ( x) ( 2A B C)sin ( x) = x cos ( x) sin ( x) Koeffizientenvergleich: B=1 A = 0
A=0
A 2B D = 0
2 D=0
D = 2
2A B C = 1
1 C = 1
C=2
Damit ergibt sich die partikuläre Lösung zu: yp ( x) = x sin ( x) 2 cos ( x) 2 sin ( x) Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung lautet dann:
y ( x) = yh ( x) yp ( x) = e
x 2
§ ©
§ 3 · § 3 ·· x¸ C1 sin ¨ x¸ ¸ ( x sin ( x) 2 cos ( x) 2 sin ( x) ) © 2 ¹ © 2 ¹¹
¨ C1 cos ¨
Seite 335
Differentialgleichungen
Wir betrachten hier im Gegensatz zu freien Schwingungen (siehe Abb. 7.36) ein schwingungsfähiges System, das von außen mit einer periodischen Kraft, einem Drehmoment oder einer Spannung usw. angeregt wird. In diesem Zusammenhang sprechen wir von einer erzwungenen Schwingung. Erzwungene Schwingungen werden durch inhomogene lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Nachfolgend sollen stellvertretend für viele ähnliche Systeme drei Systeme betrachtet werden (Abb. 7.47). Wirkt auf den mechanischen Schwingkreis eine äußere periodische Kraft oder wird in die elektrischen Schwingkreise eine Wechselspannung geschaltet, so entstehen erzwungene Schwingungen.
Abb. 7.47
Gleichgewichtsbedingung für die in Abb. 7.47 dargestellten Systeme: F + FD + Fr = F(t) = Fmax sin(Ze t)
(7-136)
uL + uR + uC = u(t) = Umax sin(Ze t)
(7-137)
iC + iR + iL
(7-138)
= i(t) = Imax sin(Ze t)
Mithilfe dieser Gleichungen und den Beziehungen aus (7-105) ergeben sich die zugehörigen Differentialgleichungen (für sinusförmige Anregung, Wechselspannung und Wechselstrom): 2
m
d
dt
2
yβ
2
L
d
dt
2
iR
2
C
d
dt
2
u
d dt
d dt
y k y = F0 sin ωe t
i
1 C
(7-139)
i = Umax ωe cos ωe t
(7-140)
1 1d u u = I max ωe cos ωe t R dt L
(7-141)
Dividieren wir diese Gleichungen durch m bzw. L bzw. C und benützen zu den Abkürzungen (7-107) und (7-108) noch a0 =
Fmax m
bzw. a0 =
Umax ωe L
bzw. a0 =
Imax ωe C
so erhalten wir die vereinfachten Differentialgleichungen:
Seite 336
(7-142)
Differentialgleichungen
2
d
dt
2
y 2δ
2
d
dt
2
i 2δ
2
dt
u 2δ
2
dt
d
2
d
d
y ω0 y = a0 sin ωe t 2
(7-143)
i ω0 i = a0 cos ωe t
d
2
(7-144)
u ω0 u = a0 cos ωe t
(7-145)
dt dt Ze bezeichnet hier die Erregerfrequenz.
Ausgehend von der freien gedämpften Schwingung mit G < Z0 (0 < D < 1), erhalten wir für den Schwingkreis nach den Ergebnissen von (7-113) die Lösung der homogenen Differentialgleichung: δt
yh ( t ) = e
δt
C1 cos ( ω t ) C2 sin ( ω t) = A e
sin ( ω t φ)
(7-146)
Sie beschreibt eine freie gedämpfte Schwingung mit der Eigenkreisfrequenz: ω=
2
2
ω0 δ
(7-147)
Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (7-143), (7-144) oder (7-145) kann durch einen reellen Lösungsansatz (7-133)
yp ( t ) = A0 sin ωe t φ ip ( t) = I0 sin ωe t φ
(7-148) (7-149)
up ( t) = U0 sin ωe t φ
(7-150)
oder durch den nach (7-135) gegebenen komplexen Lösungsansatz
j ω e t φ0
=A
j ω e t φ0 ip ( t) = I0 e = I0 cos ωe t φ0 j sin ωe t φ0 j ω e t φ0 up ( t) = U0 e = U0 cos ωe t φ0 j sin ωe t φ0 yp ( t) = A0 e
0 cos ωe t φ0 j sin ωe t φ0
(7-151) (7-152) (7-153)
gewonnen werden. Die einwirkende sinusförmige Kraft, die einwirkende sinusförmige Spannung oder der einwirkende sinusförmige Strom müssen dann ebenfalls in komplexer Form dargestellt werden:
=F
j ωe t
j ω e t i ( t) = Imax e = Imax cos ωe t j sin ωe t j ω e t u ( t) = Umax e = Umax cos ωe t j sin ωe t F ( t) = Fmax e
max cos ωe t j sin ωe t
(7-154) (7-155) (7-156)
Das reelle Ergebnis erhalten wir aus dem Imaginärteil:
yp ( t ) = Im yp , F ( t) = Im ( F ( t) ), i ( t ) = Im ( i ( t) ) und u ( t) = Im ( u ( t) )
Seite 337
(7-157)
Differentialgleichungen
Wegen der einfacheren Rechnung (siehe dazu auch Band 1) wählen wir die Komplexrechnung zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung und setzen den Phasenwinkel (Phasenverschiebung) M0 negativ an. Herleitung der wichtigsten Beziehungen über die Komplexrechnung: Inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten in komplexer Darstellung: 2
d
dt
2
y 2δ
2
d
dt
2
i 2δ
d dt
dt
2
(7-158)
jω t 1d§ 2 ¨ Umax e e ·¸ = j i ω0 i = ¹ L dt © dt
d
Umax ωe j ω t j ωe t e e = j a0 e L
Imax ωe j ω t j ω t· j ωe t 1d§ e 2 ¨ Imax e e ¸ = j u ω0 u = e = j a0 e ¹ C C dt © dt
2
d
j ωe t
2
y ω0 y = a0 e
d
u 2δ
(7-159)
(7-160)
Komplexer Ansatz für die partikuläre Lösung:
j ω e t φ0
yp ( t) = A0 e
j ω e t φ0
ip ( t) = I0 e
=A
=I
j ω e t φ0
up ( t) = U0 e
j ω e t j φ0
0e
e
(7-161)
j ω e t j φ0
0e
e
=U
(7-162)
j ω e t j φ0
0e
e
(7-163)
Erste Ableitung: j ω e t j φ0
d
yp ( t) = jωe A0 e
dt
e
(7-164)
j ω e t j φ0
d
i p ( t) = jωe I 0 e
dt
e
(7-165)
j ω e t j φ0
d
up ( t) = jωe U0 e
dt
e
(7-166)
Zweite Ableitung (j2 = -1): 2
d
dt
2
d
dt
dt
2
2
2
j ω e t j φ0
e
j ω e t j φ0
i ( t) = j ωe I 0 e 2 p
2
d
2
y ( t) = j ωe A0 e 2 p
2
2
e
e
e
j ω e t j φ0
2
= ωe I 0 e
j ω e t j φ0
u ( t) = j ωe U0 e 2 p
j ω e t j φ0
2
= ωe A0 e
2
e
j ω e t j φ0
= ωe U0 e
Seite 338
e
(7-167)
(7-168)
(7-169)
Differentialgleichungen
Durch Einsetzen dieser Ableitungen in die Differentialgleichung in komplexer Form erhalten wir jeweils die Gleichung: j ω e t j φ0
2
ωe A0 e
e
j ω e t j φ0
2δjωe A0 e
e
j ω e t j φ0
2
ω0 A0 e
e
j ωe t
= a0 e
(7-170)
bzw. j ω e t j φ0
2
ωe I 0 e
e
j ω e t j φ0
2δjωe I 0 e
e
j ω e t j φ0
2
ω0 I0 e
e
j ωe t
= j a0 e
(7-171)
bzw. j ω e t j φ0
2
ωe U0 e
e
j ω e t j φ0
2δjωe U0 e
e
j ωe t
Dividieren wir diese Gleichungen durch A0 e j φ0
(7-170) anschließend mit e Gleichungen zu:
j ω e t j φ0
2
ω0 U0 e
e
j ωe t
bzw. I0 e
j ωe t
= j a0 e j ωe t
bzw. U0 e
j φ0
bzw. (7-171) und (7-172) mit j e
(7-172)
und multiplizieren wir
2
(j = -1), so vereinfachen sich diese
a0 j φ a0 j φ 0 0 2 2 2 2 ωe j2δ ωe ω0 = e e bzw. § ω0 ωe · j 2δ ωe = (7-173) © ¹ A0 A0 a0 j φ a0 j φ 0 0 2 2 2 2 j ωe 2δ ωe j ω0 = e e bzw. 2δ ωe j § ωe ω0 · = (7-174) © ¹ I0 I0 a0 j φ a0 j φ 0 0 2 2 2 2 j ωe 2δ ωe j ω0 = e bzw. 2δ ωe j § ωe ω0 · = (7-175) © ¹ U e U0 0 Auf der linken Seite dieser Gleichungen steht eine komplexe Zahl z in Komponentenform und auf der rechten Seite eine komplexe Zahl in Exponentialform (Abb. 7.48):
Abb. 7.48
Nach Abb. 7.48 ergeben sich jeweils folgende zwei Beziehungen: 1) Der Betrag von z (Pythagoras): 2
2 §¨ a0 ¸· § 2 2 2 2 = ω0 ωe · 4δ ωe © ¹ ¨© A0 ¸¹
(7-176)
2
2 §¨ a0 ¸· § 2 2 2 2 = ωe ω0 · 4δ ωe ¹ ¨© I0 ¸¹ ©
(7-177)
2
2 §¨ a0 ¸· § 2 2 2 2 = ωe ω0 · 4δ ωe ¹ ¨© U0 ¸¹ ©
(7-178)
Seite 339
Differentialgleichungen
Daraus kann jeweils durch Umformung die Amplitude bestimmt werden: a0
A0 =
2
§ ω 2 ω 2· 2δ ω 2 e ¹ e © 0 a0
I0 =
a0 2
2·
§ ω 2 ω 2· 2δ ω 2 e ¹ e © 0
m
§ ω 2 ω 2· 2δ ω 2 0 ¹ e © e
Umax ωe
§ ω 2 ω 2· 2δ ω 2 0 ¹ e © e
L
§ω ω 0 ¹ 2δ ωe © e
2
(7-180)
2
I max ωe
=
2
(7-179)
2
=
2
U0 =
Fmax
=
C
2
2·
2
§ω ω 0 ¹ 2δ ωe © e
(7-181) 2
Diese Darstellungen können mithilfe von k β 2 ω0 = und δ = m 2m
(7-182)
1 R 2 ω0 = und δ = LC 2L
(7-183)
1 1 2 ω0 = und δ = LC 2R C
(7-184)
bzw.
bzw.
durch Umformung auf folgende Form gebracht werden: Fmax
A0 = ωe
2
β
Umax
I0 =
U0 =
§ k ω m· ¨ω e ¸ © e ¹
1 · 2 § R ¨ ωe L ¸ ωe C © ¹ I max
2
2
(7-185)
2
=
§ 1 · §ω C 1 · ¨ ¸ ¨ e ¸ ωe L © R¹ © ¹
Umax
(7-186)
Z
2
=
I max
(7-187)
Y
Beachten Sie die Analogien zwischen Mechanik und Elektrotechnik: k mo1/C, m moL und E moR
Seite 340
Differentialgleichungen
2) tan(M0 ) = Im(z)/Re(z):
tan φ0 =
2δ ωe 2
2
β
=
k
ω0 ωe
ωe
ωe m
2
tan φ0 = tan φz =
2
ωe ω0 2δ ωe 2
tan φ0 = tan φy =
(7-188)
2
ωe ω0 2δ ωe
=
=
1 ωe L ωe C R 1 ωe C ωe L 1
(7-189)
(7-190)
R
Daraus kann der Phasenwinkel M0 bestimmt werden. Es sind jedoch die in Abb. 7.49 bzw. Abb. 7.50 dargestellten Fälle zu unterscheiden.
Abb. 7.49
Abb. 7.50
Seite 341
Differentialgleichungen
Für den Phasenwinkel ergibt sich aus Abb. 7.49: φ0 =
2δ ωe
§
· ¸ if ωe ω0 ¨ω 2 ω 2¸ e ¹ © 0
arctan ¨ π
(7-191)
if ωe = ω0
2
2δ ωe
§
· π ¸ if ωe ! ω0 ¨ω 2 ω 2¸ 2 e ¹ © 0
arctan ¨
In Mathcad (siehe dazu Kapitel 3, Band 1, "Einführung in Mathcad") können wir den Phasenwinkel wie folgt definieren (praktisch wird oft der Phasenwinkel mit negativen Vorzeichen dargestellt):
2δ ωe
§
· ¸ if ωe ω0 ¨ ω 2 ω 2¸ e ¹ © 0 § 2δ ωe · ¸ π if ωe ! ω0 atan ¨ ¨ω 2 ω 2¸ e ¹ © 0
atan ¨
φ0 ω0 δ ωe =
(7-192)
Für den Phasenwinkel der elektrischen Schwingkreise ergibt sich aus Abb. 7.50:
φ0 =
§ ω 2 ω 2· 0 ¸ ¨ e arctan ¨ ¸ if ωe ω0 © 2δ ωe ¹
(7-193)
0 if ωe = ω0
§ ω 2 ω 2· ¨ e 0 ¸ arctan ¨ ¸ if ωe ! ω0 © 2δ ωe ¹ In Mathcad (siehe dazu Kapitel 3, Band 1, "Einführung in Mathcad") können wir den Phasenwinkel wie folgt definieren:
2δ ωe
§
· ¸ ¨ω 2 ω 2¸ e ¹ © 0
φ0 ω0 δ ωe = atan ¨
(7-194)
Mit A 0 und M0 (aus (7-185) und (7-191)) kann dann die reelle partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (mechanischer Schwingkreis) angegeben werden:
» = A
j ω e t φ0 º
ª
yp ( t ) = Im yp ( t) = Im «A0 e ¬
¼
0 sin ωe t φ0
(7-195)
Mit I0 und M0 (aus (7-186) und (7-192)) kann dann die reelle partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (elektrischer Serienschwingkreis) angegeben werden:
ª ¬
j ω e t φ0 º »
ip ( t) = Im ip ( t) = Im «I0 e
¼ = I0 sin ωe t φ0
Seite 342
(7-196)
Differentialgleichungen
Mit I0 und M0 (aus (7-186) und (7-192)) kann dann die reelle partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (elektrischer Parallelschwingkreis) angegeben werden:
j ω e t φ0 º »
ª
up ( t) = Im up ( t) = Im «U0 e ¬
¼ = U0 sin ωe t φ0
(7-197)
Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten bei angenommener schwacher Dämpfung lautet somit: δt
y ( t) = yh ( t) yp ( t) = A e
δt
sin ( ω t φ) A0 sin ωe t φ0
sin ( ω t φ) I0 sin ωe t φ0
i ( t ) = ih ( t ) i p ( t ) = A e
δt
u ( t) = uh ( t) up ( t) = A e
(7-198) (7-199)
sin ( ω t φ) U0 sin ωe t φ0
(7-200)
Die unbestimmten Konstanten A und M müssen durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden (z. B. y(0) = 0, y'(0) = 0). Hingegen hängen A 0 (bzw. I0 und U0 ) und M0 im Wesentlichen von den Parametern G und Z0 und der Amplitude Fmax (bzw. Imax und Umax ) ab. Die Lösung der homogenen Differentialgleichung yh(t) (bzw. ih(t) und uh(t)) wird stets nach einer Anfangszeit vernachlässigbar klein (flüchtiger Beitrag zur Gesamtlösung). Solange beide Lösungsanteile wirksam sind, sprechen wir von einem Einschwingvorgang. Nach dem Einschwingen wirkt nur noch die partikuläre Lösung yp(t) (bzw. ip(t) und up(t)) der inhomogenen Differentialgleichung. Sie wird stationäre Lösung genannt. Das System schwingt jetzt ungedämpft mit der Erregerkreisfrequenz Ze . Die Schwingungsamplitude A0 (bzw. I0 und U0 ) und der Phasenwinkel M0 hängen von der Erregerkreisfrequenz Ze ab: A0 = A0 (Ze ) bzw. I0 = I 0 (Ze ) bzw. U0 = U0 (Ze ) und M0 = M0 (Ze ). Wir bezeichnen diese Abhängigkeit, wie bereits in Band 1 und in Kapitel 5 in diesem Band dargestellt wurde, als Frequenzgang (der Amplitude) und Phasengang (Phasenverschiebung zwischen Erregersystem und der stationären Lösung). Der Frequenzgang wird auch Amplituden- oder Resonanzfunktion genannt. Die Resonanzfunktion A0 (Ze ) (bzw. I0 = I0 (Ze ) und U0 = U0 (Ze )) hat fürZe = 0 (statischer Fall) den von null verschiedenen Wert: Aus (7-179) und mit (7-182), (7-142) erhalten wir für den mechanischen Schwingkreis:
A0 ωe = 0 =
a0 2
=
F0 2
=
m ω0
ω0
F0
(7-201)
k
Aus (7-179) und mit (7-182), (7-141) erhalten wir für den elektrischen Schwingkreis:
I 0 ωe = 0 =
a0 2
=
Umax ωe 2
L ω0
ω0
= Umax C ωe
(7-202)
Aus (7-181) und mit (7-184), (7-142) erhalten wir für den elektrischen Schwingkreis:
U0 ωe = 0 =
a0 2
ω0
=
Imax ωe 2
C ω0
= Imax L ωe
Seite 343
(7-203)
Differentialgleichungen
Die Resonanzfunktion besitzt außerdem ein Maximum, wenn der Ausdruck N m(Ze ) bzw. Ne (Ze ) unter der Wurzel in A0 (Ze ) bzw. I0 (Ze ) und U0 (Ze ) ein Minimum annimmt: 2
2·
2
2·
Ne ωe = § ωe ω0 ©
2
2 2 ¹ 4δ ωe
Nm ωe = § ω0 ωe ©
(7-204)
2
2 2 ¹ 4δ ωe
(7-205)
Die Ableitungen lauten: 2 2· 2 2 2· § 2 ¹ 2ωe 8δ ωe = 4ωe© ωe ω0 2δ ¹ 2 2 2 2 2 2 N''m ωe = 4§ ωe ω0 2δ · 2ωe4ωe = 4§ 3ωe ω0 2δ · © ¹ © ¹
N'm ωe = 2§ ω0 ωe © bzw.
2 2· 2 2 2· § 2 ¹ 2ωe 8δ ωe = 4ωe© ωe ω0 2δ ¹ 2 2 2 2 2 2 N''e ωe = 4§ ωe ω0 2δ · 2ωe4ωe = 4§ 3ωe ω0 2δ · © ¹ © ¹
N'e ωe = 2§ ωe ω0 ©
(7-206) (7-207) (7-208) (7-209)
Notwendige und hinreichende Bedingung für ein Minimum: N'm(Ze ) = 0 bzw. N'e (Ze ) = 0 und N''m(Ze ) > 0 bzw. N''e (Ze ) > 0 2
2
2·
4ωe§ ωe ω0 2δ ©
ª
2
2·
N''m ωe = ωr = 4«3 § ω0 2δ ¬ ©
2
¹ = 0 ωe = ωr = 2
º 2»
2
2
ω0 2δ
ω0 2δ
2
(7-210) 2·
= 8 § ω0 2δ
2
¼ © ¹ !0 2 2 ª 2 2 2 2º 2 2 N''e ωe = ωr = 4«3 § ω0 2δ · ω0 2δ » = 8 § ω0 2δ · ! 0 ¬ © ¹ ¼ © ¹ ¹
(7-211) (7-212)
Damit liegt bei der sogenannten Resonanzfrequenz Zr ein Minimum für Nm(Ze ) bzw. Ne (Ze ) und zugleich für die Resonanzfunktion A 0 (Ze ), I0 (Ze ) und U0 (Ze ) ein Maximum vor: 2
ωe = ωr =
2
ω0 2δ = ω0
2
§ δ · = ω 1 2D2 ¸ 0 © ω0 ¹
1 2¨
(7-213)
Bei vorhandener Dämpfung gilt stets: ωr = ω0
2
1 2D ω = ω0
2
1 D ω0
(7-214)
Von einem mechanischen System ausgehend schwingt dieses bei der Resonanzfrequenz Zr mit größtmöglicher Amplitude. In diesem Falle sprechen wir von Resonanzfall. Daraus resultiert auch der Name Resonanzkurve. Fmax Fmax A0max = A0 ωe = ωr = = (7-215) 2m δ ω 2 2 2m δ ω0 δ Umax ωr Umax ωr I 0max = I0 ωe = ωr = = (7-216) 2L δ ω 2 2 2L δ ω0 δ Imax ωr Imax ωr U0max = U0 ωe = ωr = = (7-217) 2C δ ω 2 2 2C δ ω0 δ
Seite 344
Differentialgleichungen
Beispiel 7.38: Ein gedämpftes schwingungsfähiges mechanisches System mit der Masse m0 = 0.5 kg, einer Federkonstante k = 0.5 N/m und einem Reibungsfaktor E = 0.4 kg/s wird durch eine periodische Kraft mit der Amplitude Fmax = 1 N und der Erregerfrequenz Ze = 0.9 s -1 zu erzwungenen Schwingungen angeregt. Zur Zeit t = 0 s soll y(0 s ) = 1cm und y' (0 s) = 0 cm/s sein. Stellen Sie die homogene, partikuläre und allgemeine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung grafisch dar. Für den Fall G = 0.4 s -1 , 0.3 s -1 , 0.2 s -1 , 0 s -1 sollen auch die Resonanzkurven und die Phasenverschiebungen jeweils in einem Koordinatensystem dargestellt werden. schwingende Masse
m0 1.5kg k 0.1
N
Federkonstante
cm k
ω0
ω0
m0
β 1.6
Eigenfrequenz
Reibungsfaktor
s
2m0 2
ω
1
kg
β
δ
2.582 s
2
ω0 δ
1
Dämpfungsfaktor
1
Eigenkreisfrequenz der freien Schwingung
δ
0.533 s
ω
2.526 s
Amplitude der periodischen Kraft
Fmax 1N ωe 0.9s ωr a0
1 2
Erregerfrequenz 2
ω0 2δ Fmax m0
ωr
2.469 s
a0
0.667
φ0 ω0 δ ωe
φ0 ω0 δ ωe
Resonanzfrequenz
m s
Kraft pro Masse (Beschleunigung)
2
a0
A0 a0 ω0 δ ωe
A0 a0 ω0 δ ωe
1
Resonanzamplitude
2
§ ω 2 ω 2· 2δ ω 2 e ¹ e © 0 11.233 cm
§
2δ ωe
· ¸ if ωe ω0 ¨ω 2 ω 2¸ e ¹ © 0 § 2δ ωe · ¸ if ωe ! ω0 π atan ¨ ¨ ω 2 ω 2¸ e ¹ © 0 atan ¨
Phasenverschiebung
0.162
Bestimmung der unbekannten Konstanten A und Maus den Anfangsbedingungen:
Seite 345
Differentialgleichungen
δt
y ( t) = A1 e
sin ( ω t φ) A0 sin ωe t φ0
durch Differentiation, ergibt d dt
δt
y ( t) = A0 ωe cos t ωe φ0 A1 ω e
sin ( φ ω t )
Startwerte
φ 1
A1 1
δt
cos ( φ ω t) A1 δ e
Vorgabe A1 sin ( φ)
cm
A0 a0 ω0 δ ωe
ωe
cm
1
s
§ A1 · ¨ ¸ Suchen ( A1 φ) ©φ ¹ δt
yh ( t) A1 cm e
sin φ ω δ ω = 1 0 0 e
A0 a0 ω0 δ ωe
A1
cos φ0 ω0 δ ωe
§ A1 · ¨ ¸ ©φ ¹
s
δ
cos ( φ) A1 s
1
sin ( φ) = 0
§ 4.202 · ¨ ¸ © 3.337 ¹ homogene Lösung
sin ( ω t φ)
ω 1
yp ( t) A0 a0 ω0 δ ωe sin ωe t φ0 ω0 δ ωe
partikuläre Lösung
y ( t) yh ( t) yp ( t)
allgemeine Lösung
t 0s 0.01s 10s
Bereichsvariable
0.2
0.1 yh( t) yp( t)
0
2
4
6
y( t) 0.1
0.2 t
Abb. 7.51
ωe 0s
1
0.001s
1
4s
1
Bereichsvariable
Seite 346
8
10
Differentialgleichungen
Resonanzkurve 0.8
A0 a0 ω 0 δ ω e
1
A0§a 0 ω 0 0.3s
© ©
1
A0§a 0 ω 0 0s
©
0.64 ω e·
¹ 0.48
1
A0§a 0 ω 0 0.2s
ω rω 0
ω e·
¹ 0.32
ω e·
¹
0.16 0
0
0.667
1.333
2
2.667
3.333
4
ωe
Abb. 7.52 Phasenverschiebung (Frequenzgang) 1
φ0 ω 0 δ ω e
1
φ0§ω 0 0.3s ©
1
φ0§ω 0 0s ©
0
¹
1
φ0§ω 0 0.2s ©
ω e·
ω rω 0
ω e· 1
φ0 ω 0 δ ω r
¹
ω e· 2 ¹
π 2
3
4
π
0
1
2
3
4
ωe
Abb. 7.53 Für t ofwird wegen e - G t o0 die Lösung der homogenen Differentialgleichung gleich null. Es bleibt nur noch yp (t) (bzw. ip (t) und u p (t)) übrig. Die Lösung der homogenen Differentialgleichung beschreibt einen Kriechvorgang oder eine gedämpfte oder ungedämpfte Schwingung. Weil aber praktisch immer eine gewisse Dämpfung vorhanden ist, wird die Lösung der homogenen Differentialgleichung stets nach einer Anfangszeit vernachlässigbar klein. Solange beide Lösungsanteile wirksam sind, sprechen wir von Einschwingvorgang. Nach dem Einschwingen wirkt nur noch die spezielle (partikuläre) Lösung. Wir nennen diese daher stationäre Lösung. Die stationäre Lösung hat die gleiche Frequenz wie die einwirkende Kraft (bzw. Strom oder Spannung), jedoch eine andere Amplitude und Phasenverschiebung. Die erzwungene Schwingung eilt stets der erregenden Schwingung nach und nähert sich für große Frequenzen dem Wert -S der Phasenverschiebung. a0 a0 1 Bei fehlender Dämpfung ( δ = 0 s ) ist A0 = , φ0 = 0 für ωe ω0 und A0 = , 2 2 2 2 ω0 ωe ωe ω0 φ0 = π für ωe ! ω0. Der Phasensprung von M0 = 0 auf M0 = -S ist in der Abbildung gut ersichtlich. Für den Resonanzfall Ze = Zr = Z0 wird die Amplitude unendlich groß (Systemzerstörung)!
Seite 347
Differentialgleichungen
Numerische Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mithilfe von Gdglösen: Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung
N1 500 Vorgabe 2
d
dt
2
y ( t) 2δ
a0 2 y ( t) ω0 y ( t) = sin ωe t m dt d
s
y ( 0) = 1
y' ( 0) = 0
2
Anfangsbedingungen
y δ ω0 ωe Gdglösen ( t 100 N1) Dämpfungskonstante
Eigenfrequenz
Erregerfrequenz
δ
ω0
ωe
δ
ω0
0.8
ωe
1.4
0.7
Slider-Einstellungen: Skript: Outputs(0).Value = Slider.Position/10 Mathsoft Slider Control-Objekt: Minimum 0, Maximum 20 bzw. Minimum 1, Maximum 20 bzw. Minimum 0, Maximum 20
y1 y δ ω0 ωe
numerische Berechnung in Abhängigkeit von G, Z0 und Ze
t 0 0.01 20
Bereichsvariable
1
2π
Die inhomogene Differentialgleichung zeigt Resonanzverhalten, wenn die Erregerfrequenz Ze in die Nähe der
ω0
0.5 y1( t) 0
5
10
15
20
Eigenfrequenz Z0 gelangt. T=
0.5 t
Abb. 7.54
Seite 348
2π ω0
Differentialgleichungen
7.2.2.3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten Wir wollen hier einige wichtige Sonderfälle der homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung, bei denen die Koeffizientenfunktionen eine spezielle Form haben und reelle Konstanten enthalten sind, kurz behandeln. Bei den hier vorgestellten Sonderfällen von Differentialgleichungen lassen sich die exakten Lösungen im Allgemeinen nicht durch endlich viele elementare mathematische Funktionen darstellen. Hier führen Potenzreihenansätze zum Ziel, die durch (7-62) beschrieben wurden. Derartige Differentialgleichungen spielen bei vielen Anwendungen in Physik und Technik eine Rolle. Sie treten z. B. bei folgenden Problemen auf: Potential in Gebieten, die von kreiszylindrischen Flächen begrenzt sind (elektrostatisches Potential, Geschwindigkeitspotential), Wärmeleitung in Kreiszylindern, Wellenausbreitung längs zylindrischer Leiter (Sommerfeld'sche Drahtleitung, Wendelleitung), Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen und Schallwellen in kreiszylindrischen Hohlleitern und Schwingungen in zylindrischen Resonatoren, Wellenausbreitung um die Erde, Schwingungen einer Kreismembran, Wechselstromwiderstand eines Kreisplattenkondensators, Stromverdrängung in zylindrischen Leitern, Streuung elektromagnetischer Wellen und Schallwellen an kugeligen Hindernissen, Streuung von Elementarteilchen an Kernen, Wellenfeld der Kegelantenne, Spektrum einer sinusförmigen frequenzmodulierten Schwingung, Richtdiagramme von Antennen-Kreisgruppen, Störung von Planetenbahnen durch andere Planeten, Wellenausbreitung längs Leitungen mit veränderlicher Dämpfung u.a.m. Die Lösungen dieser Differentialgleichungen sind Bessel'sche Funktionen 1. Art, Besselfunktionen 2. Art (Neumannfunktionen), Besselfunktionen 3. Art (Hankelfunktionen), Airy'sche Besselfunktionen, Sphärische Besselfunktionen, Jakobi-Polynomfunktionen, Tschebyscheff-Polynomfunktionen, Legendre-Polynomfunktionen, Laguerre-Polynomfunktionen, Hermite'sche Polynomfunktionen, Hypergeometrische Funktionen u. a. m. Für einige Fälle existieren Lösungsfunktionen in Mathcad, die nachfolgend kurz beschrieben werden. Bessel'sche Differentialgleichungen: 2 2 d d 2 2 y ( x) x y ( x) x n y ( x) = 0 2 dx dx
x
(7-218)
Die reelle Konstant n t 0 gibt die Ordnung an. Die Potenzreihendarstellung der Lösungen wird Besselfunktionen 1. Art und 2. Art (zweiter Art der Ordnung n oder Neumannfunktionen) bzw. 3. Art (Hankelfunktionen) bezeichnet. Mathcad unterstützt alle Besselfunktionen für komplexe Argumente und in fraktionellen oder negativen Ordnungen. Diese werden nachfolgend zusammengefasst. Alle Besselfunktionen, außer der Airy'schen Funktion und der sphärischen Besselfunktion, werden skaliert wiedergegeben. Besselfunktionen erster und zweiter Art: Die nullte Ordnung der Besselfunktion der ersten Art (n = 0): Die erste Ordnung der Besselfunktion der ersten Art (n = 1): Die n-te Ordnung der Besselfunktion der zweiten Art (1 dn d100): Die nullte Ordnung der Besselfunktion der zweiten Art (n = 0): Die erste Ordnung der Besselfunktion der zweiten Art (n = 1): Die n-te Ordnung der Besselfunktion der zweiten Art (x > 0, 1 dn d100):
Seite 349
J0(z). J1(z). Jn(n,z). Y0(z). Y1(z). Yn(n,z).
Differentialgleichungen
Modifizierte (hyperbolische) Bessel'sche Differentialgleichung: 2 2 d d 2 2 y ( x) x y ( x) x n y ( x) = 0 2 dx dx
x
(7-219)
Modifizierte (hyperbolische) Besselfunktionen: Die nullte Ordnung der modifizierten Besselfunktion der ersten Art (n = 0): Die erste Ordnung der modifizierten Besselfunktion der ersten Art (n = 1): Die n-te Ordnung der modifizierten Besselfunktion der zweiten Art (1 dn d100): Die nullte Ordnung der modifizierten Besselfunktion der zweiten Art (n = 0): Die erste Ordnung der modifizierten Besselfunktion der zweiten Art (n = 1): Die n-te Ordnung der modifizierten Besselfunktion der zweiten Art (x > 0,1 dn d100):
I0(z). I1(z). In(n,z). K0(z). K1(z). Kn(n,z).
Modifizierte Bessel'sche Differentialgleichung: 2 2 d d 2 y ( x) 2x y ( x) ª¬x n( n 1)º¼ y ( x) = 0 2 dx dx
x
(7-220)
Hankelfunktionen (Linearkombination von Hn = Jn +/- j Yn): Hankelfunktion (Besselfunktion der 3. Art) 1. Art (1 dn d100): Hankelfunktionen (Besselfunktion der 3. Art) 2. Art (1 dn d100):
H1(n,z). H2(n,z).
Airy'sche Differentialgleichung: 2
d
2
y ( x) x y ( x) = 0
(7-221)
dx
Airy'sche Funktionen: Airy'sche Funktion (ohne Skalierung und Ableitung): Airy'sche Funktion (ohne Skalierung und Ableitung):
Ai(z), DAi(x) Bi(z), DBi(x)
In Mathcad sind noch neben skalierten Funktionen folgende Lösungsfunktionen für Sonderfälle gegeben (siehe dazu auch Band 1): Bessel-Kelvin-Funktionen: Imaginäre Bessel-Kelvin-Funktion n-ter Ordnung (x reell, n ganze positive Zahl): Reelle Bessel-Kelvin-Funktion n-ter Ordnung (x reell, n ganze positive Zahl):
bei(n,x). ber(n,x).
Sphärische Besselfunktionen: Die n-te Ordnung der sphärischen Besselfunktion der ersten Art: Die n-te Ordnung der sphärischen Besselfunktion der zweiten Art:
Beispiel 7.39 Es sollen die in Mathcad implementierten Besselfunktionen dargestellt werden. Besselfunktionen 1. Art: Jn x 0 0.01 10
Bereichsvariable
Seite 350
js(n,z). ys(n,z).
Differentialgleichungen
J0( x)
1
1
0.5
Jn( 0 x) 0.5 Jn( 1 x)
J1( x)
Jn( 2 x) 0
2
4
6
8
10
0
0.5
2
4
6
8
10
0.5 x
x
Abb. 7.55
Abb. 7.56
Besselfunktionen 2. Art: Yn x 0.1 0.11 20
Bereichsvariable
1
1
Yn( 0 x) Y0( x)
0
5
10
15
20
0
Yn( 1 x)
Y1( x) 1
Yn( 2 x) 1
2
2
5
10
x
15
20
x
Abb. 7.57
Abb. 7.58
Modifizierte Besselfunktionen 1. Art: In x 0.1 0.22 2
I0( x)
Bereichsvariable
3
3
2
In( 0 x)2 In( 1 x)
I1( x)
In( 2 x)
1
0
0
0.5
1
1.5
1
0
2
x
0
0.5
1 x
Abb. 7.59
Abb. 7.60
Seite 351
1.5
2
Differentialgleichungen
Modifizierte Besselfunktionen 2. Art: Kn Bereichsvariable
x 0.1 0.12 2 10 8
8 Kn( 0 x) 6 Kn( 1 x)
K0( x) 6 K1( x)
4
Kn( 2 x)4
2
2
0
0
0.5
1
1.5
0
2
0
0.5
1
1.5
2
x
x
Abb. 7.61
Abb. 7.62
Airy'sche Funktionen 1. und 2. Art: Ai, Bi und Ableitungen DAi(x), DBi(x) Bereichsvariable
x 8 8 0.12 3
1
20
0.5 Ai( x) DAi( x)
10
Bi( x) 10
5
0
5
DBi( x) 10
0.5
5
0
1
5
10
x
x
Abb. 7.63
Abb. 7.64
Bessel-Kelvin-Funktionen: bei, ber x 10 10 0.1 5 Bereichsvariable 60 40
5 bei( 1 x)
20
ber( 1 x) 10
5
0
10
5
5
0 20
5
40
x
x
Abb. 7.65
Abb. 7.66
Seite 352
5
Differentialgleichungen
Sphärische Besselfunktionen: js, ys Bereichsvariable
x 0 0.10 10 0.4
1
0.3 0.2
0.5
js ( 2 x) 0.1
ys( 1 x) 0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
0.1 0.2
0.5 x
x
Abb. 7.67
Abb. 7.68
Beispiel 7.40: Gesucht sind die Lösungen der Bessel'schen Differentialgleichung. k 1
Parameter
n 400
Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung
Vorgabe homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten (Bessel'sche Differentialgleichung)
2 2 d d 2 2 y ( x) x y ( x) x k y ( x) = 0 2 dx dx
x
y ( 1) =
1 2
y' ( 1) =
1
Anfangsbedingungen
4
y Gdglösen ( x 30 n) f ( x) Jn ( k x)
exakte Lösung der Differentialgleichung (Besselfunktionen)
x 0 0.01 30
Bereichsvariable
0.6 0.4 y( x)
0.2
Abb. 7.69
f ( x) 10
20
0.2 0.4 x
Seite 353
30
10
Differentialgleichungen
Jacobi-Differentialgleichung: 2
1 x2 d 2 y(x) [ b a (a b 2)x] d y(x) n(n a b 1) y(x) = 0 dx
dx
(7-222)
Jacobi-Polynom-Funktion vom Grad n ( a b ! 1, n positive ganze Zahl): Jac(n,a,b,x)
Beispiel 7.41: Gesucht sind die Lösungen der Jacobi-Differentialgleichung. x 1 1 0.01 1
Bereichsvariable 10 5
Jac( 5 2.3 1.5 x) Jac( 4 5.7 2.5 x) Jac( 3 7.9 5.5 x)
1
0
1
2
Abb. 7.70
5 10 x
Tschebyscheff 'sche Differentialgleichung (Sonderfall der Jacobi-Differentialgleichung):
( 1 x)
2 2 d d 2 y ( x) x y ( x) n y ( x) = 0 2 dx dx
(7-223)
Tschebyscheff 'sches Polynom vom Grad n der ersten Art (n positive ganze Zahl): Tcheb(n,x)
( 1 x)
2 2 d d y ( x) 3x y ( x) n( n 2) y ( x) = 0 2 d x dx
(7-224)
Tschebyscheff 'sches Polynom vom Grad n der zweiten Art (n positive ganze Zahl): Ucheb(n,x)
Beispiel 7.42: Gesucht sind die Lösungen der Tschebyscheff 'schen Differentialgleichung 1. und 2. Art. x 1 1 0.01 1
Bereichsvariable
Seite 354
Differentialgleichungen
2
Tcheb( 2 x)
1
Tcheb( 3 x)
Abb. 7.71
Tcheb( 4 x) 1
0
1
2
1 x 6 4 Ucheb( 2 x) 2
Ucheb( 3 x) Ucheb( 4 x)
Abb. 7.72 1
0
1
2
2 4 x
Legendre-Differentialgleichung (Sonderfall der Jacobi-Differentialgleichung):
1 x2 d22 y(x) 2x d y(x) n(n 1) y(x) = 0 dx
dx
Legendre-Polynome vom Grad n (n positive ganze Zahl): Leg(n,x)
Beispiel 7.43: Gesucht sind die Lösungen der Legendre-Differentialgleichung. Bereichsvariable
x 1 1 0.01 1
Pn ( n x)
1 n
n
d
nº ª 2 x 1 ¼ ¬ n
2 n dx
Legendre-Polynome vom Grad n
Seite 355
(7-225)
Differentialgleichungen
2 Leg( 2 x) 1
Leg( 3 x) Leg( 4 x) Pn( 4 x)
Abb. 7.73 1
0
1
2
1 x
Hermite'sche Differentialgleichung: 2
d
2
y ( x) 2x
dx
d dx
y ( x) 2n y ( x) = 0
(7-226)
Hermite'sche Polynome vom Grad n (n positive ganze Zahl): Her(n,x)
Beispiel 7.44: Gesucht sind die Lösungen der Hermite'schen Differentialgleichung. Bereichsvariable
x 2 2 0.01 2 2
n x
Hn ( n x) ( 1) e
n
d
§ x2· e ¹ n©
Hermite'sche Polynome vom Grad n
dx
100 Her( 2 x) 50
Her( 3 x) Her( 4 x)
Abb. 7.74
Hn ( 4 x)
2
1
0
1
2
3
50 x
Laguerre-Differentialgleichung: 2
x
d
2
dx
y ( x) ( 1 x)
d dx
y ( x) n y ( x) = 0
(7-227)
Laguerre-Polynome vom Grad n (n positive ganze Zahl): Lag(n,x)
Seite 356
Differentialgleichungen
Beispiel 7.45: Gesucht sind die Lösungen der Laguerre-Differentialgleichung. Bereichsvariable
x 0 0.01 5 n x d n x x e n
Ln ( n x) e
dx
Laguerre-Polynom vom Grad n (Mathcad hat bei Lag(n,x) eine andere Normierung)
8 6
Lag( 2 x)
Lag( 3 x) 4 Lag( 4 x)
Abb. 7.75
2
Ln ( 2 x)
0
1
2
3
4
5
2 x
Gauß'sche oder hypergeometrische Differentialgleichung: 2
x( 1 x)
d
2
y ( x) [ c ( a b 1)x]
dx
d dx
y ( x) a b y ( x) = 0
(7-228)
Gauß'sche hypergeometrische Funktionen: (a, b, c reelle Zahlen): fhyper(a,b,c,x) Viele Funktionen sind Sonderfälle der Gauß'schen hypergeometrischen Funktion: z. B. ln(1+x) = x fhyper(1,1,2,-x) asin(x) = x fhyper(0.5,0.5,1.5,x2 ) Konfluente hypergeometrische Differentialgleichung: 2
x
d
2
dx
y ( x) ( b x)
d dx
y ( x) a y ( x) = 0
(7-229)
Konfluente hypergeometrische Funktionen: (a, b reelle Zahlen): mhyper(a,b,x) Viele Funktionen sind Sonderfälle der konfluenten hypergeometrischen Funktion: z. B. exp(x) = mhyper(1,1,x) exp(x) sinh(x) = x mhyper(1,2,2 x)
Seite 357
Differentialgleichungen
Beispiel 7.46: Gesucht sind die Lösungen der hypergeometrischen Differentialgleichung. Bereichsvariable
x 1 1 0.01 1
5 4 fhyper( 0.5 1 1.5 x)
3
fhyper( 1 1 2 x)
Abb. 7.76
2
fhyper( 1 1 3 x)
1
1
0.5
0
0.5
1
x
x 1 1 0.01 1
Bereichsvariable
f ( x) ln ( 1 x)
g ( x) x fhyper ( 1 1 2 x)
ln(1+x) = x fhyper(1,1,2,-x)
ª ( 1) k kº ln ( 1 x) « x» = x ¬k 1 ¼
hypergeometrische Reihe
∞
fhyper ( 1 1 2 x) = 1
¦
k
f1 ( x) asin ( x)
1
2
g1 ( x) x fhyper 0.5 0.5 1.5 x
asin(x) = x fhyper(0.5,0.5,1.5,x2 )
2 f ( x) g ( x)
1
f1 ( x) g 1 ( x)
0
1
2
Abb. 7.77
4 6 x
Beispiel 7.47: Gesucht sind die Lösungen der konfluenten hypergeometrischen Differentialgleichung. x 1 1 0.01 1
2
Bereichsvariable
Seite 358
Differentialgleichungen
3
mhyper( 0.5 1 x)
2
mhyper( 1 1 x)
Abb. 7.78
mhyper( 1 1.5 x)
1
1
0
1
2
x
x 1 1 0.01 2
Bereichsvariable
f ( x) exp ( x)
g ( x) mhyper ( 1 1 x)
exp(x) = mhyper(1,1,x)
f1 ( x) exp ( x) sinh ( x)
g1 ( x) x mhyper ( 1 2 2x)
exp(x) sinh(x) = x mhyper(1, 2, 2 x)
f ( x) 5
g ( x) f1 ( x) g 1 ( x)
Abb. 7.79 1
0
1
2
5 x
Seite 359
3
Differentialgleichungen
7.2.2.4 Nichtlineare Differentialgleichungen 2. Ordnung In diesem Abschnitt sollen nur einige Beispiele von nichtlinearen Differentialgleichungen 2. Ordnung behandelt werden. Beispiel 7.48: Die Durchhängekurve einer Freileitung hat die Form einer sogenannten Kettenlinie. Dabei wird die Form der Kettenlinie von der horizontalen Spannkraft S, dem Gewicht der Leitung pro Längeneinheit GL , der Mastenhöhe H und dem Mastenabstand 2 a beeinflusst. Wie lautet die Durchhängekurve, wenn sie durch die Punkte P1 (-a | 0) und P2 (a | 0) gehen soll? Für den Mastabstand a = 200 m, die Masthöhe 30 m, die Spannkraft S = 1500 kN und die Gewichtskraft pro Länge GL = 2 kN/m soll die Durchhängekurve grafisch dargestellt werden. Es soll auch noch die Leitungslänge und der Durchhang f d berechnet werden. Wir betrachten zur Herleitung der zugehörigen Differentialgleichung ein Stück Seil der Länge 's nach Abb. 7.80.
Nach Abb. 7.80 gilt: F = FL ΔG G
S tan ( α Δα ) = S tan ( α) tan ( α Δα ) tan ( α) =
tan ( α Δα ) tan ( α) =
G LS G LS
L
Δs
Δs 2
1
§ Δy · Δx ¨ ¸ © Δx ¹
Abb. 7.80
Aus der letzten Gleichung folgt weiters durch Umformung mit der Gewichtskraft pro Länge GL = G/L: tan ( α Δα ) tan ( α) Δx
=
GL S
§ Δy · 1¨ ¸ © Δx ¹
2
Mit dem Grenzübergang 'x o 0 und tan y' folgt die zugehörige nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung für die Kettenlinie (Durchhängekurve): 2
d
2
y ( x) =
dx
GL S
§d · 1 ¨ y¸ © dx ¹
2
nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung
d
y lässt sich die nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung auf eine dx Differentialgleichung 1. Ordnung überführen: Durch Substitution z =
d dx
z =
GL S
1z
2
substituierte Differentialgleichung 1. Ordnung
Seite 360
Differentialgleichungen
Diese Differentialgleichung kann dann durch Trennung der Variablen gelöst werden: ´ µ µ µ ¶
1 1z
dz =
2
arsinh ( z ) =
GL ´ µ S µ ¶
1 dx C1
GL
x C1 S
ergibt
arsinh ( z ) = C1
hat als Lösung(en)
sinh ¨ C1
§ ©
GL x S
GL x · S
nach z auflösen
¸ ¹
GL x ·
§
z = sinh ¨ C1
S
©
¸ ¹
Durch Rücksubstitution und nachfolgende Integration ergibt sich dann als Lösung der Differentialgleichung: d dx
§
y = sinh ¨ C1
´ µ µ ¶
GL x ·
©
§
´ µ 1 dy = µ µ ¶
S cosh ¨ C1
GL x ·
§ ¸ dx C2 sinh ¨ C1 S ¹ © §
S cosh ¨ C1
©
y=
¸ ¹
S
ergibt
y = C2
©
GL x · S
¸ ¹
GL
GL x · S
GL
¸ ¹ C 2
Lösung der Differentialgleichung
Mithilfe der Randbedingungen P 1 (-a | 0) und P2 (a | 0) erhalten wir schließlich eine spezielle Lösung. Mit
GL S
a = c kann das folgende transzendente Gleichungssystem gelöst werden: Redefinition
S S Vorgabe
S cosh C1 c GL
S cosh C1 c GL
C
2=0
C
2=0
0 §¨ Suchen C1 C2 vereinfachen o ¨ S cosh ( c ) ¨ GL ©
·¸ ¸ ¸ ¹
Damit ist C 1 = 0 und C 2 :
c c c § GL · S e e S S ( 2 )cº e ª C2 = S ¬1 e = = cosh ( c ) = cosh ¨ a¸ ¼ 2GL 2 GL GL GL © S ¹
1
Seite 361
Differentialgleichungen
y=
§ § GL · § GL · · ¨ cosh ¨ x¸ cosh ¨ a¸ ¸ H GL © © S ¹ © S ¹¹ S
§ § GL · § GL · · ¨ cosh ¨ x¸ cosh ¨ a¸ ¸ H GL © © S ¹ © S ¹¹ S
y x S GL a H
a a
Kettenlinie unter Berücksichtigung der Randwerte und der Masthöhe H
S S
Kettenlinie als Funktion der Parameter
Redefinitionen
GL GL
Länge einer Freileitung (Bogenlänge):
ª´ a «µ 2«µ «µ ¶ ¬0
º 2 » §d · 1 ¨ y x S GL a H ¸ dx» © dx ¹ » ¼
s1 S GL a 2
S GL
vereinfachen annehmen S ! 0 GL ! 0 a ! 0o vereinfachen
§ GL a · ¸ © S ¹
sinh ¨
Länge der Freileitung
3
kN 10 N
Definition von kN
a 100m
halber Mastabstand
H 30m
Masthöhe
S 1500kN
Spannkraft
kN GL 2 m
Gewicht pro Länge
fd H y 0m S GL a H
s1 S GL a
200.593 m
x a a 0.01m a
fd
6.677 m
Durchhang fd Seillänge
Bereichsvariable
Seite 362
§ GL a · ¸ © S ¹
2S sinh ¨
GL
Differentialgleichungen
Freileitung (Kettenlinie) a
a 30
m
y x S GL a H
m
m
20
H fd m
10
100
0
100
x m
Abb. 7.81 Beispiel 7.49: Der Absprung eines Fallschirmspringers soll inklusive der Öffnungsphase des Schirms durch eine Differentialgleichung beschrieben und numerisch gelöst werden. Nach dem Absprung (Flugphase 1) in 1000 m mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 0 m/s hat der Springer im freien Fall eine Querschnittsfläche A1 = 0.5 m2 und einen Luftwiderstandsbeiwert von c w1 = 0.4. Nach 10 s wird der Fallschirm geöffnet (Öffnungsphase). In dieser Phase, die 2 s dauert, nimmt der Luftwiderstandsbeiwert linear auf den Wert c w2 = 1.3 zu. In der Gleitphase (Flugphase 2) beträgt die Fläche des Springers mit offenem Fallschirm A 2 = 20 m2 . Der Springer hat eine Masse von ms = 80 kg und die Luftdichte beträgt im Durchschnitt U = 1.3 kg/m3 . a) Stellen Sie die Differentialgleichungen für die erste und letzte Flugphase auf. b) Stellen Sie auch für den gemeinsamen Faktor K(t) = c w A U / (2 ms) alle drei Flugphasen graphisch dar. c) Nach der Lösung der Differentialgleichung sollen schließlich das s-t-, v-t- und a-t-Diagramm dargestellt werden.
ms 80kg ρ 1.3
kg m
3
Masse des Springers
Dichte der Luft
Abb. 7.82 a) Stellen Sie die Differentialgleichungen für die erste und letzte Flugphase auf: F = G FL
Gleichgewichtsbedingung (Gesamtkraft = Gewichtskraft + Luftwiderstandskraft)
2
ms
d
dt
2
s ( t) = ms g
A1 c W1 ρ § 2
· ¨ s ( t) ¸ © dt ¹ d
2
nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung
Seite 363
Differentialgleichungen
Durch Umformung erhalten wir schließlich die Form: 2
§d · s ( t) = g K ¨ s ( t ) ¸ 2 © dt ¹ dt
d
2
Flugphase 1 (nach Absprung): 2
§d · s ( t) = g K1 ¨ s ( t) ¸ 2 © dt ¹ dt
d
2
Differentialgleichung für die Flugphase 1 Luftwiderstandsbeiwert des Springers
c W1 0.4 A1 0.5m
2
c W1 A1 ρ
K1
2ms
Fläche des Springers K1
1.625 u 10
3 1
m
Faktor K1 für die 1. Flugphase
Flugphase 2 (Gleitphase): 2
§d · s ( t) = g K2 ¨ s ( t) ¸ 2 © dt ¹ dt
d
2
Differentialgleichung für die Flugphase 2
Luftwiderstandsbeiwert mit offenem Fallschirm
c W2 1.3 A2 20m
2
c W2 A2 ρ
K2
2ms
Fläche des Springers mit offenem Fallschirm K2
0.211
1 m
Faktor für die 2. Flugphase
b) K(t) für alle drei Flugphasen: Öffnungsphase: Von der 10. Sekunde bis zur 12. Sekunde ändert sich der Faktor vor v 2 linear von K1 auf K2: k
K2 K1 2
d K1 k10
1
k
0.105
d
1.047
m 1 m
Steigung der Geraden
Achsenabschnitt der Geraden
Faktor K vor v2 für alle 3 Flugphasen: K ( t)
K1 m if t 10
K1 bis zur Öffnungsphase
( k t d)m if 10 d t d 12
(k t+d) zwischen Flugphase 1 und 2
K2 m otherwise
sonst K2
t 0 0 0.01 20
Bereichsvariable
Seite 364
Differentialgleichungen
0.3
10
12Öffnungs phase
K2
K( t) 0.2 1 m
Flugphase 2
Abb. 7.83
0.1 Flugphase 1
0
0
5
10
K1
t s
c) Lösung der Differentialgleichung und Darstellung der s-t-, v-t- und a-t-Diagramme: h 1000
Der Absprung erfolgt zum Zeitpunkt t = 0 s in der Höhe h = 1000 m.
v0 0
Beim Absprung ist v(0 s) = 0 m/s.
g1 9.81
Erdbeschleunigung in m/s 2
ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
aw
§h· ¨v ¸ © 0¹
Vektor mit den Anfangsbedingungen
t min 0
Endpunkte des Intervalls, an denen die Lösung für die Differentialgleichung ausgewertet werden soll.
t max 20
Zeitschritte
t s 0.2
N1
t max tmin ts
N1
Anzahl der Punkte
100
Y1 ª º « » «g1 K ( t) Y 2 » 1 ¼ ¬
D1 ( t Y)
Z rkfest aw t min tmax N1 D1
Vektorfunktion. Enthält die umgeformte Differentialgleichung. Die letzte Komponente enthält die explizite Differentialgleichung.
Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung zum Lösen von Differentialgleichungen 1. Ordnung
Seite 365
Differentialgleichungen
t 0
Z
h=s
v
1
2
0
0
1·103
0
1
0.2
999.804
-1.962
2
0.4
999.216
-3.921
3
0.6
998.236
-5.875
4
0.8
996.866
-7.821
5
1
995.108
-9.758
6
1.2
992.964
-11.683
7
1.4
990.436
-13.593
8
1.6
987.528
-15.486
9
1.8
984.243
-17.36
10
2
980.585
-19.213
11
2.2
976.559
-21.044
12
2.4
972.169
...
i 0 N1
Lösungsmatrix
Iteration über dem Wertebereich
j 1 N1
Z¢0² s
Spalte 0
¢1² h Z m
Spalte 1
¢2² m v Z s
Spalte 2
a0 g1
der nullten Komponente die Erdbeschleunigung zuweisen
t
aj
Zj 2 Zj 1 2
a a
ts
a0
9.81
Beschleunigung als Differenzenquotient (3. Spalte (Geschwindigkeit v))
m s
2
t 0s 0s 0.01s 100s
Bereichsvariable
Seite 366
Differentialgleichungen
s-t-Diagramm
Absprung
1000
10s
Weg
800 hi m
Zum Zeitpunkt t = 0 s in einer Höhe von 1000 m erfolgt der Absprung. Nach 10 s öffnet sich der Fallschirm. Ca. 3 s später ist der Fallschirm vollständig geöffnet und der Weg (Höhe h) nimmt linear mit der Zeit t ab.
13s
Freier Fall
600 Schirmöffnung
400
Gleitphase
200
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
ti
Abb. 7.84
s Zeit
v-t-Diagramm 0
2
4
6
8
10s 10
12 13s 14
16
18
20
Geschwindigkeit
10 20 vi m s
30 40 50 60
Nach dem Absprung nimmt die Geschwindigkeit schnell zu (bis ca. 66 m/s). Sobald der Springer an der Reißleine zieht, wird er stark abgebremst. Wenn der Schirm vollständig geöffnet ist, bleibt die Geschwindigkeit gleich (ca. 6.8 m/s).
70 ti
Abb. 7.85
s Zeit
Gleich nach dem Absprung beschleunigt der Springer mit
a-t-Diagramm 80
10s
Beschleunigung
70
13s
60 ai m s
2
50 40 30 20 10 10
0
2
4
6
8
10
12
14
ti
16
18
20
a = g = 9.81m/s 2. Die Beschleunigung nimmt bis 10 s langsam ab. Wenn der Springer die Reißleine zieht, verzögert er kurzzeitig mit über 7 g. Nach ca. 13 s hat sich ein Gleichgewicht zwischen Erdbeschleunigung und Luftwiderstand eingestellt (a = 0 m/s 2 ).
s
Abb. 7.86
Zeit
Seite 367
Differentialgleichungen 7.2.3 Die gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung Bei gewöhnlichen Differentialgleichungen n-ter Ordnung treten neben der gesuchten Lösungsfunktion y(x) bzw. y(t) noch ihre Ableitungen y'(x) (bzw. y'(t)), y''(x) (bzw. y''(t)), ... y(n)(x) (bzw. y(n)(t)) auf. Die gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung lautet in impliziter Form: ( n)
F ª¬x y ( x) y' ( x) y'' ( x) .... y
( n)
( x)º¼ = 0 bzw. F ª¬t y ( t) y' ( t) y'' ( t) .... y
( t)º¼ = 0
(7-230)
Wenn sich die implizite Form nach der n-ten Ableitung auflösen lässt, erhalten wir die explizite Form: ( n 1)
y'' ( x) = f ª¬x y ( x) y' ( x) .... y
( n1)
( x)º¼ bzw. y'' ( t) = f ª¬t y ( t) y' ( t) .... y
( t)º¼
(7-231)
Eine Funktion y(x) bzw. y(t) heißt Lösungsfunktion (Lösung) einer Differentialgleichung n-ter Ordnung, wenn sie stetige Ableitungen y'(x), y''(x), ..., y(n)(x) besitzt und die Differentialgleichung identisch erfüllt. Auf die Problematik der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen wurde bereits weiter oben hingewiesen. Methoden zur Berechnung exakter Lösungen existieren bei Differentialgleichungen n-ter Ordnung nur unter gewissen Voraussetzungen. In den technischen und naturwissenschaftlichen Anwendungen spielen, wie bereits erwähnt, lineare Differentialgleichungen eine besondere Rolle. Die inhomogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung hat die Form ( n)
An ( x) y
( n1)
( x) An1( x) y
( x) .... A1 ( x) y' ( x) A0 ( x) y ( x) = f ( x)
(7-232)
wobei die Koeffizientenfunktionen A k (x) (k = 0, 1, ..., n) und die Störfunktion f(x) auf der rechten Seite der Differentialgleichung auf dem offenen Intervall von x als stetig vorausgesetzt werden. Setzen wir voraus, dass An(x) z 0 ist (keine Nullstellen), so kann die Differentialgleichung durch An(x) dividiert werden. Wir erhalten dann die Form ( n)
y
( n 1)
( x) an 1( x) y
( x) .... a1 ( x) y' ( x) a0 ( x) y ( x) = s ( x)
(7-233)
Ist die Störfunktion f(x) = 0 bzw. s(x) = 0, so nennen wir diese Differentialgleichung homogen. Die allgemeine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung hat nach dem Superpositionsprinzip (siehe Abschnitt 7.2.1.4 und 7.2.2) die Form yh ( x) = C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) .... Cn yn ( x)
(7-234)
C1, C2, ..., Cn sind dabei frei wählbare Konstanten und die Funktionen y1 (x), y2 (x), ..., yn(x) (Basisfunktionen) bilden ein Fundamentalsystem, d. h., sie sind linear unabhängig. Linear unabhängig sind jedoch die Lösungsfunktionen nur dann, wenn für alle x im Lösungsintervall ]a, b[ die Wronski-Determinante ungleich null ist: y2 ( x) ª y1 ( x) « y2' ( x) « y1' ( x) W ( x) = « .... « .... « ( n1) ( n 1) ( x) y2 ( x) ¬y1
....
yn ( x)
º » .... yn' ( x) » » z0 .... .... » ( n 1) » ( x) .... yn ¼
Seite 368
(7-235)
Differentialgleichungen Derartige Fundamentalsysteme können nur für lineare Differentialgleichungen mit speziellen Koeffizienten bestimmt werden. Kennen wir ein derartiges Fundamentalsystem, dann ist die Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung bekannt. Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung ergibt sich, worauf bereits in Abschnitt 7.2.1.4 und 7.2.2 hingewiesen wurde, aus der Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung y h(x) und einer speziellen Lösung y s (x) der inhomogenen Differentialgleichung: y ( x) = yh ( x) ys ( x)
(7-236)
Spezielle Lösungen können auch hier mithilfe eines geeigneten Ansatzes oder durch Variation der Konstanten ermittelt werden. Auf die umfassende Lösungstheorie für lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung kann hier nicht weiter eingegangen werden. Wir beschränken uns in weiterer Folge auf lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. a) Die lineare homogene Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten: In Analogie zu den homogenen linearen Differentialgleichungen 2.Ordnung mit konstanten Koeffizienten gelten auch hier folgende Aussagen: Die lineare homogene Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist ein Sonderfall von (7-233). Die Koeffizientenfunktionen ak (x) = ak (k = 0, 1, ..., n-1) sind konstant (ak ) und die Störfunktion (oder das Störglied) s(x) = 0. ( n)
y
( n 1)
( x) an 1 y
( x) .... a1 y' ( x) a0 y ( x) = 0
(7-237)
Diese Differentialgleichung besitzt die allgemeine Lösung y h(x) der Form yh ( x) = C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) .... Cn yn ( x) (C1, C2 , ..., Cn )
(7-238)
mit n linear unabhängigen Basislösungen y1 (x), y2 (x), ..., yn(x) und der Eigenschaft W ( x) z 0
(Wronski-Determinante)
(7-239)
Die der allgemeinen Lösung (7-238) zugrunde liegenden Basislösungen bilden ein Fundamentalsystem (Fundamentalbasis) der Differentialgleichung (7-237). Ein Fundamentalsystem lässt sich, wie bei der linearen Differentialgleichung 2. Ordnung bereits gezeigt wurde, durch den Lösungsansatz in Form einer Exponentialfunktion mit einem unbekannten Parameter O gewinnen: λx
y ( x) = e
(7-240)
Setzen wir diesen Ansatz und deren Ableitungen in die Differentialgleichung (7-237) ein, so erhalten wir eine Bestimmungsgleichung für den Parameter O: n
λ an 1 λ
n1
.... a1 λ a0 = 0
(7-241)
Diese algebraische Gleichung n-ter Ordnung wird charakteristische Gleichung genannt und besitzt nach dem Fundamentalsatz der Algebra genau n reelle oder komplexe Lösungen O1 , O2 , ..., On. Nachdem aber die Basislösungen selbst noch von der Art dieser Lösungen abhängig sind, werden folgende drei Fälle unterschieden:
Seite 369
Differentialgleichungen Fall 1: Alle Lösungen sind reell und voneinander verschieden. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (7-237) ist als Linearkombination von folgenden n Basislösungen darstellbar: λ1 x
yh ( x) = C1 e
λ2 x
C2 e
λn x
.... Cn e
(7-242)
Fall 2: Es gibt mehrfache reelle Lösungen λ1 = λ2 = .... = λr = κ
(7-243)
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (7-237) ist dann als Linearkombination von folgenden r Basislösungen darstellbar: κx
yh ( x) = C1 e
κx
C2 x e
2 κx
C3 x e
r 1 κ x
.... Cr x
e
(7-244)
Ist N eine r-fache Lösung der charakteristischen Gleichung (7-241), so muss die Konstante C jeweils durch eine Polynomfunktion C(x) vom Grade r-1 ersetzt werden. Fall 3: Es treten konjugiert komplexe Lösungen auf. Ist λ1 = κ j ω und λ2 = κ j ω eine einfache konjugiert komplexe Lösung der charakteristischen Gleichung (7-241), so erhalten wir als zugehörige Basisfunktionen die beiden komplexen Exponentialfunktionen λ1 x
y1 = e
λ2 x
y2 = e
( κ j ω )x
κx
=e
=e
( κ j ω )x
κx
=e
=e
( cos ( ω x) j sin ( ω x) )
(7-245)
( cos ( ω x) j sin ( ω x) )
(7-246)
Ist y(x) = v(x) + j v(x) eine komplexwertige Lösung der Differentialgleichung, so sind auch der Realteil v(x) und der Imaginärteil w(x) reelle Lösungen der Differentialgleichung (siehe dazu lineare Differentialgleichung 2. Ordnung). Daher sind die reellen, linear unabhängigen Lösungen κx
y1 ( x) = e
κx
sin ( ω x) und y1 ( x) = e
cos ( ω x)
(7-247)
Basisfunktionen der Differentialgleichung (7-235). Sie liefern für die allgemeine Lösung den Beitrag κx
C1 e
κx
sin ( ω x) C2 e
κx
cos ( ω x) = e
C1 sin (ω x) C2 cos (ω x)
(7-248)
Bei einer r-fachen konjugiert komplexen Lösung O1 und O2 müssen die Konstanten im Beitrag durch Polynomfunktionen C1 (x) und C2 (x) vom Grade r-1 ersetzt werden. Es besteht eine nicht unwesentliche Schwierigkeit bei der Lösung der charakteristischen Gleichung, weil ab Grad 5 keine Lösungsformeln mehr existieren! Dies gilt natürlich auch für den in Mathcad integrierten MuPad-Kern. Bei den meisten praktischen Aufgaben sind meist nicht die allgemeinen Lösungen der Differentialgleichung von Bedeutung, sondern spezielle Lösungen die vorgegebene Bedingungen erfüllen. Während bei einer Differentialgleichung 1. Ordnung nur Anfangswerte möglich sind, können ab der 2. Ordnung auch Rand- und Eigenwertaufgaben auftreten, wie bereits weiter oben gezeigt wurde.
Seite 370
Differentialgleichungen
Beispiel 7.50: Gegeben sei die nachfolgende Differentialgleichung 3. Ordnung mit den Anfangsbedingungen y(0) = y0 = 20, y'(0) = y'0 = 2 und y''(0) = y'' 0 = -2. Wie lautet deren Lösung? 3
d
dt
3
2
y( t) 4
3
d
dt
2
y ( t) 1
d dt
homogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
y( t) 4 y ( t) = 0
2
λ 4λ λ 4 = 0
charakteristische Gleichung
§¨ 1 ·¸ λ 4λ λ 4 = 0 auflösen λ o ¨ 1 ¸ ¨4 ¸ © ¹
Lösungen der charakteristischen Gleichung
3
2
Die allgemeine Lösung ist eine Linearkombination von y1 (t), y2 (t) und y 3 (t): 1t
y ( t) = C1 y1 ( t) C2 y2 ( t) C3 y3 ( t) = C1 e
4t
C2 e
1t
C3 e
Die Konstanten C1 , C2 und C3 werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt. 1t
y1 ( t) e y'1 ( t)
y''1 ( t)
d dt
4t
y2 ( t ) e
y1 ( t)
y'2 ( t)
y'1 ( t)
y''2 ( t)
d dt
d dt
1t
y3 ( t ) e
y2 ( t )
y'3 ( t)
y'2 ( t)
y''3 ( t)
d dt
d dt
y3 ( t)
d dt
Basisfunktionen und Ableitungen
y'3 ( t)
Damit kann jetzt zur Bestimmung der Konstanten mithilfe der Anfangsbedingungen ein Gleichungssystem formuliert werden: y0 = C1 y1 ( 0) C2 y2 ( 0) C3 y3 ( 0) y'0 = C1 y'1 ( 0) C2 y'2 ( 0) C3 y'3 ( 0)
lineares Gleichungssystem
y''0 = C1 y''1 ( 0) C2 y''2 ( 0) C3 y''3 ( 0)
§¨ y0 ¸· §¨ y1 ( 0) y2 ( 0) y3 ( 0) ¸· § C1 · ¨ y' ¸ = ¨ y' ( 0) y' ( 0) y' ( 0) ¸ ¨¨ C2 ¸¸ 2 3 ¨ 0¸ ¨ 1 ¸ ¨© y''0 ¸¹ ¨© y''1 ( 0) y''2 ( 0) y''3 ( 0) ¸¹ ¨© C3 ¸¹
lineares Gleichungssystem in Matrixform
Seite 371
Differentialgleichungen
§ C1 · ¨ ¸ ¨ C2 ¸ ¨C ¸ © 3¹
§¨ y1 ( 0) y2 ( 0) y3 ( 0) ·¸ ¨ y' ( 0) y' ( 0) y' ( 0) ¸ 2 3 ¨ 1 ¸ ¨© y''1 ( 0) y''2 ( 0) y''3 ( 0) ¸¹
§ C1 · ¨ ¸ ¨ C2 ¸ ¨C ¸ © 3¹
§¨ 14.667 ¸· ¨ 1.467 ¸ ¨ 6.8 ¸ © ¹
1
§¨ y0 ·¸ ¨ y' ¸ ¨ 0¸ ¨© y''0 ¸¹
umgeformte Matrixgleichung
Lösungsvektor mit den gesuchten Konstanten
y ( t) C1 y1 ( t ) C2 y2 ( t ) C3 y3 ( t )
spezielle Lösungsfunktion
t 0 0.01 2
Bereichsvariable
30
Globale Definition der Anfangsbedingungen (damit kann hier sehr gut experimentiert werden):
20 y( t)
y0 { 20
10
0
0
0.5
1
1.5
2
y'0 { 2
y''0 { 2
Abb. 7.87
t
Numerische Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von Gdglösen: Vorgabe 3
2
d
dt
3
x( t) 4
d
dt
2
x ( t) 1
x ( 0) = 20
d dt
Differentialgleichung
x( t) 4 x ( t) = 0
x' ( 0) = 2
Anfangsbedingungen
x'' ( 0) = 2
x Gdglösen ( t 2)
Das Lösungsintervall wurde hier von 0 bis 2 gewählt (ohne Zeitschritte)!
t 0 0.01 2
Bereichsvariable Exakte und Näherungslösung
30
x( t) y( t)
20
Abb. 7.88 10 0
0
0.5
1
1.5
2
t
Seite 372
Differentialgleichungen
Beispiel 7.51: Wie lautet die allgemeine Lösung der nachfolgend gegebenen Differentialgleichung? 4
3
d
4
y ( x) 6
dx
d
3
2
y ( x) 12
dx
d
2
y ( x) 10
dx
d dx
§1 · ¨ ¸ 4 3 2 ¨1 ¸ λ 6λ 12λ 10λ 3 = 0 auflösen λ o ¨1 ¸ ¨ ¸ ©3 ¹ 3x
y ( x) = C1 e
x
x
homogene lineare Differentialgleichung 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
y ( x) 3 y ( x) = 0
2 x
C2 e C3 x e C4 x e
Lösungen der charakteristischen Gleichung
allgemeine Lösung der Differentialgleichung
Beispiel 7.52: Wie lautet die allgemeine Lösung der nachfolgend gegebenen Differentialgleichung? 4
2
d
4
y ( x) 3
dx
d
2
y ( x) 4 y ( x) = 0
dx
§ 1 · ¨ ¸ 4 2 ¨ 1 ¸ λ 3λ 4 = 0 auflösen λ o ¨ 2j ¸ ¨ ¸ © 2j ¹ x
x
y ( x) = C1 e C2 e
C3 sin ( 2x) C4 cos ( 2x)
homogene lineare Differentialgleichung 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Lösungen der charakteristischen Gleichung
allgemeine Lösung der Differentialgleichung
b) Die lineare inhomogene Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten: Die lineare inhomogene Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist ein Sonderfall von (7-233). Die Koeffizientenfunktion ak (x) = ak sind konstant (ak ) und die Störfunktion (oder das Störglied) s(x) z 0. ( n)
y
( n 1)
( x) an 1 y
( x) .... a1 y' ( x) a0 y ( x) = s ( x)
(7-249)
Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung ergibt sich, wie bereits in Abschnitt 7.2.1.4 und 7.2.2 bzw. weiter oben hingewiesen wurde, aus der Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung yh(x) und einer partikulären (speziellen) Lösung yp(x) der inhomogenen Differentialgleichung: y ( x) = yh ( x) yp ( x)
(7-250)
y p(x) erhalten wir durch die Methode der Variation der Konstanten oder mit einem angepassten Lösungsansatz (der im Wesentlichen vom Typ der Störfunktion abhängt) durch Vergleich der Koeffizienten.
Seite 373
Differentialgleichungen
Variation der Konstanten: Haben wir ein Fundamentalsystem y1 (x), y2 (x), ..., yn(x) für die homogene Differentialgleichung gefunden, dann suchen wir die partikuläre Lösung in der Form n
yp ( x) =
¦ Ck (x) yk (x)
k
(7-251)
1
Setzen wir y p(x) und die Ableitungen in die Differentialgleichung ein, dann erhalten wir ein von x abhängiges Gleichungssystem, das in Matrixform folgende Gestalt hat Y(x) C(x) = S(x): y2 ( x) ª« y1 ( x) « y1' ( x) y2' ( x) « .... « .... « ( n 2) ( n2) ( x) y2 ( x) «y1 « «y1( n1) ( x) y2( n1) ( x) ¬
.... .... .... .... ....
yn ( x)
»º §¨ C1' ( x) ·¸ §¨ 0 ·¸ » ¨ yn' ( x) » ¨ C2' ( x) ¸¸ ¨ 0 ¸ .... »¨ ¸ = ¨¨ .... ¸¸ .... » ( n2) ¨ ¸ ¨ 0 ¸ ( x) » Cn 1 ' ( x) yn ¨ ¸ ¨ » ¸ © s ( x) ¸¹ ( n1) » ¨ C ' ( x ) n © ¹ yn1 ( x) ¼
(7-252)
Als Nächstes integrieren wir die aus dem Gleichungssystem C(x) = Y-1 (x) S(x) gewonnenen Funktionen: ´ Ck ( x) = µ µ ¶
Ck' ( x) dx (k = 1, 2, ..., n)
(7-253)
Die Integrationskonstante kann hier beliebig gewählt werden, z. B. gleich null. Lösungsansätze: Für in den Anwendungen besonders häufig auftretenden Störfunktionen s(x) werden nachfolgend einige Lösungsansätze yp angeführt: 1. s(x) ist eine Polynomfunktion vom Grade n: 2
n
s ( x) = Pn ( x) = c 0 c 1 x c 2 x .... c n x 2
(7-254) n
yp ( x) = Qn ( x) = b0 b1 x b2 x .... bn x , für c 0 z 0 k
yp ( x) = x Qn ( x), für c 0 = c 1 = .... = c k1 = 0
(7-255) (7-256)
2. s(x) ist eine Exponentialfunktion: mx
s ( x) = a e
(7-257)
m keine Lösung der charakteristischen Gleichung: mx
yp ( x) = b e m ist eine r-fache Lösung der charakteristischen Gleichung: r mx
yp ( x) = b x e
(7-258) (7-259)
Seite 374
Differentialgleichungen
3. s(x) ist eine Sinus- oder Kosinusfunktion oder eine Linearkombination von beiden: s ( x) = a cos ( m x) b sin ( m x)
(7-260)
j m ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung: yp ( x) = A cos ( m x) B sin ( m x) = C sin ( m x φ)
(7-261)
j m ist eine r-fache Lösung der charakteristischen Gleichung: r
r
r
yp ( x) = A x cos ( m x) B x sin ( m x) = C x sin ( m x φ)
(7-262)
Bei periodischen Störfunktionen s ( x) = A cos ( m x) oder s ( x) = B sin ( m x) verwenden wir auch oft komplexe Lösungsansätze: j ( m x φ)
yp ( x) = C e
(7-263)
Hinweise: Besteht die Störfunktion s(x) aus einer Summe von Störgliedern, z. B. s(x) = s1 (x) + s2 (x), so erhalten wir den Lösungsansatz für yp(x) = yp1 (x) + yp2 (x) als Summe der Lösungsansätze für die einzelnen Störglieder. Besteht die Störfunktion aus einem Produkt von Störfaktoren, z. B. s(x) = s1 (x) s2 (x), so erhalten wir oft, aber leider nicht in allen Fällen, den Lösungsansatz für yp(x) = yp1 (x) yp2 (x) als Produkt der Lösungsansätze für die einzelnen Störfaktoren. Die unbekannten Lösungen können wieder aus Anfangswerten oder Randwerten bestimmt werden. Das Anfangswertproblem mit y(x0 ) = y0 , y'(x0 ) = y'0 , ..., y(n-1)(x0 ) = y(n-1)0 ist eindeutig lösbar auf dem ganzen Intervall, auf dem s(x) definiert und stetig ist. Bei Randbedingungen müssen die Lösungen nicht existieren. Es kann auch mehrere Lösungen geben.
Beispiel 7.53: Wie lautet die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung? y''' ( x) y'' ( x) y' ( x) y ( x) = x 3
2
inhomogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
λ λ λ 1=0
charakteristische Gleichung
§¨ 1 ·¸ λ λ λ 1 auflösen λ o ¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹
Lösung der charakteristischen Gleichung (mit einer Vielfachheit von 2)
3
2
x
y1 ( x) e
x
y2 ( x) x e
Fundamentalsystem für die homogene Gleichung
x
y3 ( x) e
x x º ªex xe e « » « x x x Y ( x) e ( x 1)e e » « » « x x x » ¬e ( x 2)e e ¼
Funktionalmatrix Y
Seite 375
Differentialgleichungen
x x W ( x)
Redefinition x
Die Wronski-Determinante ist ungleich null!
Y ( x) o 4e
allgemeine Lösung der homogenen Gleichung
yh x C1 C2 C3 = C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) C3 y3 ( x)
Für die partikuläre Lösung ist folgendes Gleichungssystem zu lösen: x x º § C ( x) ªex xe e « » ¨ 1 ·¸ §¨ 0 ·¸ « x x x » ¨ C ( x) ¸ = ¨ 0 ¸ «e ( x 1)e e » ¨ 2 ¸ ¨ ¸ « x x x » ¨ C ( x) ¸ © x ¹ ¬e ( x 2)e e ¼ © 3 ¹
bzw.
Y ( x) C ( x) = S ( x)
§¨ 0 ¸· S ( x) ¨ 0 ¸ ¨x ¸ © ¹
ª x e x( 2x 1) º « » « » 4 « » x 1 « » xe C ( x) Y ( x) S ( x) vereinfachen o « » 2 « » x « » xe « » 4 ¬ ¼ ´ µ C1 ( x) µ µ ¶
x
´ µ C2 ( x) µ µ ¶
x
2
´ µ C3 ( x) µ µ ¶
dx vereinfachen o
4
xe
x
dx o
x
xe 4
2x2 5x 5
x
( 2x 1)
xe
Lösung des Gleichungssystems
e
e
4
( x 1)
Koeffizient 1
Koeffizient 2
2
x
dx o
e ( x 1)
Koeffizient 3
4
yp ( x) C1 ( x) y1 ( x) C2 ( x) y2 ( x) C3 ( x) y3 ( x) vereinfachen o x 1
partikuläre Lösung
y ( x) = yh ( x) yp ( x) = C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) C3 y3 ( x) yp ( x)
allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
x
x
x
y ( x) = C1 e C2 x e C3 e
x 1
Seite 376
Differentialgleichungen
Beispiel 7.54: Gesucht ist die allgemeine Lösung der folgenden inhomogenen Differentialgleichung: inhomogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
2x
y''' ( x) 5 y'' ( x) 8 y' ( x) 4 y ( x) = x 3e 3
2
charakteristisches Polynom
p3 ( λ) λ 5λ 8λ 4
§¨ 1 ·¸ p3 ( λ) auflösen λ o ¨ 2 ¸ ¨2 ¸ © ¹
Lösung der charakteristischen Gleichung (mit einer Vielfachheit von 2)
x
y1 ( x) e
2x
Fundamentalsystem für die homogene Gleichung
y2 ( x) e
2x
y3 ( x) x e
x
2x
yh ( x) = C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) C3 y3 ( x) = C1 e C2 e
2x
allgemeine Lösung der homogenen Gleichung
C3 x e
partikuläre Lösung für den Störungsanteil f 1 (x) = x: yp1 ( x) = b0 b1 x
Lösungsansatz
yp1' ( x) = b1
1. Ableitung
yp'' ( x) = 0
2. Ableitung
Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung:
0 5 u 0 8b1 4 b0 b1 x = x
4b1 x 8b1 4b0 = x Bestimmen der Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich: 8b1 4b0 4b1 x = x
4b1 = 1
1 b1 = 4
4b1 x 8b1 4b0 = x
8b1 4b0 = 0
8¨
1 1 yp1 ( x) = x 2 4
§ 1 · 4b = 0 ¸ 0 ©4¹
erster Lösungsanteil
partikuläre Lösung für den Störungsanteil f 2 (x) = 3 e2 x: Unter Beachtung, dass O = 2 eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, kann folgender Lösungsansatz gemacht werden. 2 2x
yp2 ( x) = b x e
Seite 377
1 b0 = 2
Differentialgleichungen
2 2x
durch Differentiation, ergibt
yp2 ( x) = b x e d
2x
dx d
yp2 ( x) = 2 b x e
2x
dx d
yp2 ( x) = 2b e
2x
dx
yp2 ( x) = 2b e
2
x x
erste Ableitung
2
durch Differentiation, ergibt
x x
2
d
2 2x
2bx e
2x 2 2x y ( x) = 4 b e x x 2 b e ( 2x 1) 2 p2
dx
2
d
zweite Ableitung
durch Differentiation, ergibt
2x 2 y ( x) = 2b e 2x 4x 1 2 p2
dx
2
d
2x 2 y ( x) = 2b e 2x 4x 1 2 p2
dx
3
d
2x 2 2x y ( x) = 4 b e 2x 4x 1 2 b e ( 4x 4) 3 p2
dx
3
d
2x 2 y ( x) = 4b e 2x 6x 3 3 p2
dx
dritte Ableitung
Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung: 2x
3e
2x
= 4b e
2
2x
2x 6x 3 5 2b e
2
2x
2x 4x 1 8 2b e
2
2 2x
x x 4b x e
vereinfacht auf 2x
3e
2x
= 2be
3 2 2x yp2 ( x) = x e 2
b=
3 2
zweiter Lösungsanteil
Damit lautet die partikuläre Lösung: 1 1 3 2 2x yp ( x) = yp1 ( x) yp2 ( x) = x x e 2 4 2 Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist dann gegeben durch: x
2x
y ( x) = yh ( x) yp ( x) = C1 e C2 e
2x
C3 x e
1 2
1 4
x
Seite 378
3 2 2x x e 2
Differentialgleichungen
Beispiel 7.55: Wie lautet die allgemeine Lösung der nachfolgend gegebenen Differentialgleichung? inhomogene lineare Differentialgleichung 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
4
y ( x) 2 y'' ( x) y ( x) = x cos ( x) 4
2
charakteristisches Polynom
p ( λ) λ 2λ 1
§j · ¨ ¸ ¨j ¸ p ( λ) auflösen λ o ¨ j ¸ ¨ ¸ © j ¹
Lösung der charakteristischen Gleichung
y1 ( x) = C1 sin ( x) y2 ( x) = C2 x sin ( x)
Fundamentalsystem für die homogene Gleichung
y3 ( x) = C3 cos ( x) y4 ( x) = C4 x cos ( x)
yh ( x) = y1 ( x) y2 ( x) y3 ( x) y4 ( x) = C1 C2 x sin ( x) C3 C4 x cox ( x) Aufsuchen einer partikulären Lösung für die inhomogene Gleichung: Wir schreiben zuerst die Differentialgleichung in komplexer Form: 4
jx
y ( x) 2 y'' ( x) y ( x) = x e
Realteil der Euler'schen Form
Dann können wir den folgenden Ansatz machen: 2
jx
yp ( x) x b0 b1 x e
yp ' ( x)
d dx
erste Ableitung
yp ( x) xj
2
yp ' ( x) Faktor o e x§ 2b0 3b1 x b0 xj b1 x j · © ¹ 2
yp '' ( x)
d
zweite Ableitung
y ( x) 2 p
dx
xj §
yp '' ( x) Faktor o e
2 3 2 · © 2b0 b0 x b1 x 6b1 x 6j b1 x 4j b0 x¹
Seite 379
allgemeine Lösung der homogenen Gleichung
Differentialgleichungen
4
d
yp(4) ( x)
vierte Ableitung
y ( x) 4 p
dx
xj §
yp(4) ( x) Faktor o e
2 3 2 · © b0 x 12b0 b1 x 36b1 x 12j b1 x 8j b0 x 24jb1¹
Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung und Vereinfachung: jx
yp(4) ( x) 2 yp '' ( x) yp ( x) = x e
vereinfachen xj xj xj xj o 8b0 e 24b1 x e 24j b1 e = x e erweitern
Nach anschließendem Koeffizientenvergleich erhalten wir schließlich die unbekannten Konstanten:
24 b1 = 1
1 b1 = 24
jx j x § 1 · 8e b0 24 j e ¨ ¸=0 © 24 ¹
hat als Lösung(en)
1 8
j
nach b0 auflösen
Damit erhalten wir die partikuläre Lösung: 2
jx
jx
yp ( x) = x b0 b1 x e
2
§ 1 j 1 x· ( cos ( x) j sin ( x) ) ¸ 24 ¹ ©8
=x ¨
erweitert auf 2
yp ( x) = x b0 b1 x e
2
=
x sin ( x) 8
3
x cos ( x) 24
§ x2 cos ( x) · § x3 sin ( x) · ¸j ¨ ¸j ¨ 8 © ¹ © 24 ¹
Für den reellwertigen Anteil der Lösung ergibt sich: 1 2 1 3 yp ( x) = x sin ( x) x cos ( x) 8 24 Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung lautet demnach: 1 2 1 3 y ( x) = yh ( x) yp ( x) = C1 C2 x sin ( x) C3 C4 x cox ( x) x sin ( x) x cos ( x) 8 24
bzw. 1 2· 1 3· § § y ( x) = ¨ C1 C2 x x ¸ sin ( x) ¨ C3 C4 x x ¸ cox ( x) 8 ¹ 24 ¹ © ©
Seite 380
Differentialgleichungen
7.2.4 Differentialgleichungssysteme 7.2.4.1 Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Die vorgestellten Lösungsmethoden können verallgemeinert werden, um auch Systeme linearer DGL mit mehr als zwei Gleichungen anzugehen. Ein lineares gekoppeltes inhomogenes Differentialgleichungssystem 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ai,k (i, k = 1, 2, ..., n) und stetigen Störfunktionen s i(x) auf I = [a,b] hat die folgende Form: d dt
y1 ( x) = a1 1 y1 ( x) a1 2 y2 ( x) ......... a1 n yn ( x) s 1 ( x)
(7-264)
d
y2 ( x) = a2 1 y1 ( x) a2 2 y2 ( x) ......... a2 n yn ( x) s 2 ( x) dt ---------------------------------------------------------------------------------------------------d dt
yn ( x) = an 1 y1 ( x) an 2 y2 ( x) ......... an n yn ( x) s n ( x)
Durch Einführung der Vektoren
§d · ¨ y1 ( x) ¸ ¨ dx ¸ §¨ y1 ( x) ·¸ §¨ s1 ( x) ·¸ ¨d ¸ ¨ y ( x) ¸ ¨ s ( x) ¸ ¨ y2 ( x) ¸ 2 ¨ ¸ ¨ 2 ¸ x d d ¨ ¸ Y ( x) = , Y ( x) = ¨ . ¸ und S ( t ) = ¨ . ¸ ¨ . ¸ dx ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ . . ¨ ¸ ¨ ¸ . ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ y ( x ) s ( x ) ¨d ¸ © n ¹ © n ¸¹ ¨ yn ( x) ¸ © dx ¹
(7-265)
kann das Differentialgleichungssystem mit der quadratischen Matrix A (n x n Matrix) in Matrixform geschrieben werden: d dx
Y ( x) = A Y ( x) S ( x)
(7-266)
o Ist S ( x) = 0 , so ist das Differentialgleichungssystem homogen. Alle Lösungen des inhomogenen Differentialgleichungssystem erhalten wir aus der allgemeinen Lösung yh(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + ... + Cn yn(x) des homogenen Systems und einer partikulären Lösung yp(x) des inhomogenen Systems in der Form y ( x) = yh ( x) yp ( x) = C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) .... Cn yn ( x) yp ( x)
(7-267)
T
Das Anfangswertproblem mit den Anfangsbedingungen Y x0 = Y0 = y01 y02 .... y0n (x0 I) hat unter den oben gegebenen Voraussetzungen genau eine auf ganz I = [a,b] definierte Lösung. Für solche Systeme mit konstanten Koeffizienten lassen sich exakte Lösungen mittels Lösungsansatzmethoden oder Methode der Variation der Konstanten oder LaplaceTransformation (u. a. m.) konstruieren (analog zu Differentialgleichungen n-ter Ordnung).
Seite 381
Differentialgleichungen
7.2.4.2 Homogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung Für das homogene lineare Differentialgleichungssystem 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten d dx
Y ( x) = A Y ( x)
(7-268)
machen wir den Lösungsansatz λx
Y ( x) = e
y
(7-269)
wobei y ein konstanter unbekannter Vektor und O eine unbekannte Zahl ist. Durch Einsetzen in das Differentialgleichungssystems ergibt sich λx
λe
λx
y = Ae
y λy = A y A y = λy
(7-270)
Dies ist die Eigenwertgleichung für die Matrix A. Somit ist O Eigenwert von A und y ist ein zugehöriger Eigenvektor. Die Eigenwertgleichung hat nur dann nichttriviale Lösungen, wenn die charakteristische Gleichung der Matrix A null ist: det ( A λE) = 0
(7-271)
E bedeutet die Einheitsmatrix. Näheres siehe dazu Band 1 dieser Serie. a) Sind alle Eigenwerte (Nullstellen der charakteristischen Gleichung) O1 , O2 , ..., On einfach (d. h.paarweise verschieden und reell) mit zugehörigen Eigenvektoren y1 , y2 , ..., yn, so ist λ1 x
Yh ( x) = C1y1e
λ2 x
C2y2e
λn x
.... Cnyne
(7-272)
mit Ci die allgemeine Lösung des homogenen Systems. λ1 x
λ2 x
λn x
y2e bilden ein Fundamentalsystem, d. h. ein Die Funktionen y1e , ..., yne System von n linear unabhängigen Lösungen. b) Sind κ j ω und κ j ω ( ω z 0) ein Paar konjugiert komplexer Eigenwerte von A mit zugehörigen Eigenvektoren y1 = a jb und y2 = a jb, so sind κx
e ( sin ( ω x) a cos ( ω x) b) und κx
e
(7-273)
( cos ( ω x) a sin ( ω x) b)
Lösungen des Differentialgleichungssystems. Im Allgemeinen besitzt A keine n linear unabhängigen Hauptvektoren (die charakteristische Gleichung hat Nullstellen mit Vielfachheiten). Zur Angabe der allgemeinen Lösung müssen dann sogenannte Hauptvektoren bestimmt werden. Auf dieses Thema wird hier nicht näher eingegangen.
Seite 382
Differentialgleichungen
Beispiel 7.56: Wie lauten die Lösungen des gegebenen linearen Differentialgleichungssystems? y1' = y1 3y2
homogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
y2' = 2y1 2y2
§¨ y1' ¸· § 1 3 · §¨ y1 ·¸ = ¨ y2' ¸ ¨© 2 2 ¸¹ ¨ y2 ¸ © ¹ © ¹ A
Differentialgleichungssystem in Matrixform
§ 1 3 · ¨ ¸ © 2 2 ¹
Koeffizientenmatrix
ORIGIN festlegen
ORIGIN 1 Bestimmung der Eigenwerte: A λ einheit ( 2) o p ( λ)
3 § λ 1 ¨ λ © 2 2
charakteristisches Polynom
§1 · ¨ ¸ © 4 ¹
Vektor der Eigenwerte (Nullstellen des charakteristischen Polynoms)
A λ einheit ( 2) o λ 3λ 4
λ1 p ( λ) = 0 auflösen λ o λ11
· ¸ 2¹
λ12
1
Eigenwerte
4
λ eigenwerte ( A)
λ1
1
λ2
4
mit der Mathcadfunktion berechnet
Die zu Oi gehörigen normierten Eigenvektoren:
y1 eigenvek A λ1 y1
§ 0.832 · ¨ ¸ © 0.555 ¹ λ1 x
z 1 ( x) e
y2 eigenvek A λ2 y2
§ 0.832 · ¸ © 0.555 ¹
¨
§ 0.707 · ¨ ¸ © 0.707 ¹ λ2 x
z 2 ( x) e
§ 0.707 · ¸ © 0.707 ¹
¨
§ 0.832ex · ¨ ¸ z 1 ( x) o ¨ x¸ © 0.555e ¹
§ 0.707 e 4x · ¨ ¸ z 2 ( x) o ¨ 4x ¸ © 0.707e ¹
C1 C1
Redefinitionen
C2 C2
Yh ( x) C1 z 1 ( x) C2 z 2 ( x)
Eigenvektoren sind bezüglich Länge und Orientierung nicht eindeutig bestimmt! In Mathcad sind sie auf die Länge 1 normiert!
zwei Basislösungen
allgemeine Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems in Vektorform
Seite 383
Differentialgleichungen
§¨ 0.832C ex 0.707C e 4x ·¸ 1 2 Yh ( x) o ¨ ¸ ¨ 0.555C1 ex 0.707C2 e 4x ¸ © ¹
allgemeine Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems in Vektorform
Wie bereits in Abschnitt 7.2.3 ausgeführt wurde, kann das Differentialgleichungssystem auch wie folgt gelöst werden (Fallunterscheidung beachten!): λ1
1
λ2
Lösung des charakteristischen Polynoms (zwei verschiedene reelle Lösungen)
4
Die Lösung y1 (x) und deren Ableitung lautet somit: x
4x
y1 ( x) = C1 e C2 e x
nach (7-245)
4x
y1' ( x) = C1 e C24e
Wir setzen nun diese zwei Gleichungen in die nach y2 umgeformte erste Differentialgleichung des Systems ein: 1 y2 = y y1 3 1'
y1' = y1 3y2
1 2 x 4x x 4 x· x 4x y2 = § C1 e C24e C1 e C2 e = C1 e C2 e © ¹ 3 3 Die allgemeine Lösung des inhomogenen Differentialgleichungssystems lautet in Vektorform: x 4x · § §¨ y1 ( x) ¸· ¨ C1 e C2 e ¸ Yh ( x) = =¨ ¸ 2 ¨ y2 ( x) ¸ x 4x ¸ © ¹ ¨ C1 e C2 e ©3 ¹
allgemeine Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems in Vektorform (ohne Normierungsfaktoren)
Beispiel 7.57: Lösen Sie das nachfolgend gegebene lineare Differentialgleichungssystem 1. Ordnung: homogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
y1' = y1 y2 y2' = y1 y2
§¨ y1' ¸· § 1 1 · §¨ y1 ·¸ = ¨ y2' ¸ ¨© 1 1 ¸¹ ¨ y2 ¸ © ¹ © ¹ A
Differentialgleichungssystem in Matrixform
§ 1 1· ¨ ¸ © 1 1 ¹
Koeffizientenmatrix ORIGIN festlegen
ORIGIN 1 Bestimmung der Eigenwerte: A λ einheit ( 2) o p ( λ)
§1 λ 1 · ¨ ¸ © 1 1 λ ¹ 2
A λ einheit ( 2) o λ 2λ 2
charakteristisches Polynom
Seite 384
Differentialgleichungen
λ1 p ( λ) = 0 auflösen λ o λ11
λ12
1 j
§1 ¨ ©1
j
· ¸ j¹
Vektor der Eigenwerte (Nullstellen des charakteristischen Polynoms) Eigenwerte
1 j
λ eigenwerte ( A)
λ1
λ2
1j
1j
mit der Mathcadfunktion berechnet
Die zu Oi gehörigen normierten Eigenvektoren:
y1 eigenvek A λ1 y1
y2 eigenvek A λ2
§ 0.005 0.707j · ¨ ¸ © 0.707 0.005j ¹
y2
a Re y1
b Im y1
x
ª ¬
§ 0.005 0.707j · ¨ ¸ © 0.707 0.005j ¹
a
§ 0.005 · ¨ ¸ © 0.707 ¹
b
§ 0.707 · ¨ ¸ © 0.005 ¹
Real- und Imaginärteil
§ 0.005 · § 0.707 ·º ¸ cos ( x) ¨ ¸» © 0.707 ¹ © 0.005 ¹¼
z 1 ( x) e «sin ( x) ¨
zwei Basislösungen x
ª ¬
§ 0.005 · § 0.707 ·º ¸ sin ( x) ¨ ¸» © 0.707 ¹ © 0.005 ¹¼
z 2 ( x) e «cos ( x) ¨
C1 C1
Redefinitionen
C2 C2
allgemeine Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems in Vektorform
Yh ( x) C1 z 1 ( x) C2 z 2 ( x)
ª ex 707.0C cos ( x) 5.0C cos ( x) 5.0C sin ( x) 707.0C sin ( x) º 1 2 1 2 « » « » 1000 Yh ( x) Faktor o « » « ex 5.0C1 cos ( x) 707.0C2 cos ( x) 707.0C1 sin ( x) 5.0C2 sin ( x) » « » 1000 ¬ ¼ Wie bereits in Abschnitt 7.2.3 ausgeführt wurde, kann das Differentialgleichungssystem auch wie folgt gelöst werden (Fallunterscheidung beachten!): λ1
1j
λ2
Lösung des charakteristischen Polynoms (zwei konjugiert komplexe Lösungen)
1j
Die Lösung y1 (x) und deren Ableitung lautet somit: x
x
y1 ( x) = e C1 sin ( x) C2 cos ( x)
nach (7-247) x
y1' ( x) = e C1 sin ( x) C2 cos ( x) e C1 cos ( x) C2 sin ( x)
Seite 385
Differentialgleichungen
Wir setzen nun diese zwei Gleichungen in die nach y2 umgeformte erste Differentialgleichung des Systems ein:
y1' = y1 y2
y2 = y1' y1
x
x
x
x
y2 = e C1 sin ( x) C2 cos ( x) e C1 cos ( x) C2 sin ( x) e C1 sin ( x) C2 cos ( x) y2 = e C1 cos ( x) C2 sin ( x)
Die allgemeine Lösung des inhomogenen Differentialgleichungssystems lautet in Vektorform: x §¨ y1 ( x) ¸· ª«e C1 sin ( x) C2 cos ( x) »º Yh ( x) = = » ¨ y2 ( x) ¸ «« x © ¹ ¬e C1 cos ( x) C2 sin ( x) »¼
allgemeine Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems in Vektorform (ohne Normierungsfaktoren)
Beispiel 7.58: Gegeben ist ein lineares Differentialgleichungssystem mit drei Gleichungen. Wie lautet die allgemeine Lösung dieses Systems? y1' = y1 homogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
y2' = 2y3 y3' = y2 2y3
§¨ y1' ¸· § 1 0 0 · §¨ y1 ·¸ ¨ ¸ ¨y ¸ = ¨0 0 2 ¸ ¨y ¸ 2' ¨ ¸ ¨ ¨ 2¸ ¸ ¨© y3' ¸¹ © 0 1 2 ¹ ¨© y3 ¸¹
Differentialgleichungssystem in Matrixform
§¨ 1 0 0 ¸· A ¨0 0 2 ¸ ¨ 0 1 2 ¸ © ¹
Koeffizientenmatrix
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
p ( λ)
2
3
§¨ 1 λ p ( λ) = 0 auflösen λ o ¨ 1 ¨1 ©
·¸ j¸ ¸ j¹
λ1
1j
1
λ2
1j
1j
λ2
λ3 T
λ eigenwerte ( A) λ1
charakteristisches Polynom
A λ einheit ( 3) o 3λ λ 4λ 2
1j
Vektor der Eigenwerte
Eigenwerte
λ
(1 j 1 j 1 )
λ3
1
mit der Mathcadfunktion berechnet
Seite 386
Differentialgleichungen
Die zu Oi gehörigen normierten Eigenvektoren:
y1 eigenvek A λ1
0 §¨ ·¸ y1 ¨ 0.157 0.801j ¸ ¨ 0.479 0.322j ¸ © ¹
a Re y1
b Im y1
y2 eigenvek A λ2
y3 eigenvek A λ3
0 §¨ ·¸ y2 ¨ 0.157 0.801j ¸ ¨ 0.479 0.322j ¸ © ¹
§¨ 1 ·¸ y3 ¨ 0 ¸ ¨0 ¸ © ¹
§¨ 0 ·¸ a ¨ 0.157 ¸ ¨ 0.479 ¸ © ¹
Real- und Imaginärteil
b
§¨ 0 ·¸ ¨ 0.801 ¸ ¨ 0.322 ¸ © ¹
§¨ 1 ·¸ z 1 ( x) e ¨ 0 ¸ ¨0 ¸ © ¹ x
ª« §¨ 0 ·¸ §¨ 0 ·¸º» z 2 ( x) e «sin ( x) ¨ 0.159 ¸ cos ( x) ¨ 0.801 ¸» « ¨ 0.48 ¸ ¨ 0.321 ¸» ¬ © ¹ © ¹¼ x
Basislösungen
ª« §¨ 0 ·¸ §¨ 0 ·¸º» z 3 ( x) e «cos ( x) ¨ 0.159 ¸ sin ( x) ¨ 0.801 ¸» « ¨ 0.48 ¸ ¨ 0.321 ¸» ¬ © ¹ © ¹¼ x
§¨ y1 ·¸ Yh ( x) = ¨ y2 ¸ = C1 z 1 ( x) C2 z 2 ( x) C3 z 3 ( x) ¨ ¸ ¨© y3 ¸¹
allgemeine Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems in Vektorform
C1 C1
Redefinitionen
C2 C2
C3 C3
Yh ( x) C1 z 1 ( x) C2 z 2 ( x) C3 z 3 ( x) x ª º C1 e « » « » x « 3e 267.0C2 cos ( x) 53.0C3 cos ( x) 53.0C2 sin ( x) 267.0C3 sin ( x) » Yh ( x) Faktor o « » 1000 « » « 3ex 107.0C cos ( x) 160.0C cos ( x) 160.0C sin ( x) 107.0C sin ( x) » 2 3 2 3 « » 1000 ¬ ¼
Seite 387
Differentialgleichungen
7.2.4.3 Inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung Für das inhomogene lineare Differentialgleichungssystem 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten d dx
Y ( x) = A Y ( x) S ( x)
(7-274)
gibt es ebenfalls verschiedene Lösungsverfahren. Nachfolgend soll das Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren kurz beschrieben werden. Es wird dabei versucht, durch Differentiation von Gleichungen und geschicktes Einsetzen bis auf eine Variable alle anderen Variablen zu eliminieren. Dies führt zu einer Differentialgleichung n-ter Ordnung. Dieses Verfahren eignet sich auch zur Lösung eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems, wie es im letzten Abschnitt beschrieben wurde. Es soll kurz anhand eines Systems mit zwei Differentialgleichungen beschrieben werden.
§¨ y1' ·¸ §¨ a11 a12 ·¸ §¨ y1 ·¸ §¨ s1 ( x) ·¸ = ¨ y2' ¸ ¨ a21 a22 ¸ ¨ y2 ¸ ¨ s2 ( x) ¸ © ¹ © ¹© ¹ © ¹
(7-275)
Die beiden Lösungsfunktionen y1 (x) und y2 (x) werden wie folgt bestimmt: 1. Die erste Differentialgleichung wird nach y2 aufgelöst und nach x differenziert: 1 y2 = y a11 y1 s 1 ( x) a12 1' 1 y2' = y a11 y1' s 1' ( x) a12 1''
(7-276)
(7-277)
2. Die Gleichungen (7-276) und (7-277) werden dann in die zweite Differentialgleichung eingesetzt: 1 a12
a22
y1'' a11 y1' s1' (x) = a21 y1 a y1' a11 y1 s1 (x) s2 (x)
(7-278)
12
3. Die Gleichung (7-278) wird dann noch nach der unbekannten Funktion y 1 und deren Ableitungen geordnet:
y1'' a11 a22 y1' a11 a22 a12 a21 y1 = s 1' ( x) a22 s 1 ( x) a12 s 2 ( x)
(7-279)
Mit den Abkürzungen
a1 = a11 a22 = Sp ( A) (Spur von A) a0 = a11 a22 a12 a21 = det ( A) (Determinante von A) s g ( x) = s 1' ( x) a22 s 1 ( x) a12 s 2 ( x) = s 1' ( x) det ( B)
(7-280) (7-281) (7-282)
wobei sich det(B) aus der Hilfsmatrix B (die 1. Spalte der Matrix A wird durch die Störfunktionen ersetzt)
B=
§¨ s 1 ( x) a12 ·¸ ¨ s 2 ( x) a22 ¸ © ¹
(7-283)
Seite 388
Differentialgleichungen
ergibt, kann (7-279) dann in der Form y1'' a1 y1' a0 y1 = s g ( x)
(7-284)
geschrieben werden. Diese inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten liefert dann die erste Lösungsfunktion y1 (x). Sie kann nach den in Abschnitt 7.2.2.2 bzw. Abschnitt 7.2.3 angeführten Methoden gelöst werden. 4. Die zweite Lösung y2 (x) ergibt sich dann durch Einsetzen von y1 (x) und y1 '(x) in (7-277). Dieses hier vorgestellte Eliminationsverfahren kann auch bei linearen Systemen von Differentialgleichungen mit nicht konstanten Koeffizienten herangezogen werden. In diesem Fall lassen sich dann die Verfahren zur Lösung linearer Differentialgleichungen n-ter Ordnung verwenden (siehe Abschnitt 7.2.3). Auch nichtlineare Systeme lassen sich auf diese Weise umformen.
Beispiel 7.59: Mithilfe des Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren ist folgendes Gleichungssystem zu lösen: y1' = y1 3y2 x
inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten
x
y2' = 2y1 2y2 e A
§ 1 3 · ¨ ¸ © 2 2 ¹
A
4
a0
A
sp ( A)
Determinante der Koeffizientenmatrix
a0
Koeffizient der Differentialgleichung 2. Ordnung
4
Spur von A
3
a1 sp ( A) B ( x)
Koeffizientenmatrix
a1
Koeffizient der Differentialgleichung 2. Ordnung
3
§¨ x 3 ·¸ ¨© e x 2 ¸¹
Hilfsmatrix
x
Determinante von B
B ( x) o 2x 3e
x
s g ( x) = s 1' ( x) det ( B) = 1 2x 3e x
inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung für y 1
y'' 3y1' 4y1 = 1 2x 3e 2
λ 3λ 4 = 0 auflösen λ o 1x
yh1 ( x) = C1 e
4x
C2 e
gemeinsame Störfunktion
§1 · ¨ ¸ © 4 ¹
Lösungen der charakteristischen Gleichung
allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung
Seite 389
Differentialgleichungen
Eine partikuläre Lösung gewinnen wir nach (7-255) und (7-258) durch den Lösungsansatz x
yp1 ( x) = b0 b1 x b e
x
= A B x Ce
x
yp1' ( x) = B C e
Ableitungen
x
yp1'' ( x) = C e
Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung: x
Ce
x
3 B Ce
4 A B x C e x = 1 2x 3e x
vereinfacht auf 6 C exp ( x) 3B 4A 4 B x = 2x 1 3 exp ( x) Ordnen und Koeffizientenvergleich: 3B 4A 4B x 6C exp ( x) = 1 2x 3 exp ( x) 3B 4A = 1 4B = 2 6C = 3 Vorgabe 3B 4A = 1 4B = 2 6C = 3
§¨ 5 ·¸ ¨ 8¸ ¨ 1¸ Suchen ( A B C) o ¨ ¸ ¨ 2¸ ¨ 1¸ ¨© 2 ¸¹
Lösung des Gleichungssystems
5 1 1 x yp1 ( x) = x e 8 2 2
gesuchte partikuläre Lösung
Die gesuchte allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 2. Ordnung für die erste der beiden Lösungsfunktionen des Systems lautet: x
4x
y1 ( x) = yh1 ( x) yp1 ( x) = C1 e C2 e
5 8
1 2
x
1 x e 2
Seite 390
Differentialgleichungen
Die zweite Lösung des Systems erhalten wir aus (7-277) 1 1 y2 = y1' a11 y1 s 1 ( x) = y y1 x a12 3 1'
x
4x
y1' ( x) = 4C1 e C2 e
1
2
1 x e 2
Ableitung von y1 nach x
1§ 1 1 x 5 1 1 x x 4x x 4x · y2 = ¨ 4C1 e C2 e e C1 e C2 e x e x¸ 3© 2 2 8 2 2 ¹ durch Zusammenfassen von Termen, ergibt 4x
y2 =
2C2 e
3
x
zweite Lösungsfunktion für das gegebene Differentialgleichungssystem
3
x
C1 e 8
2
Das inhomogene lineare Differentialgleichungssystem 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten besitzt dann folgende allgemeine Lösung: x
4x
y1 ( x) = C1 e C2 e 4x
y2 ( x) =
2C2 e 3
5 8
1 2
x
1 x e 2
C1 , C2
x
3 x C1 e 2 8
Beispiel 7.60: Die in Abb. 7.89 gegebene Schaltung wir zum Zeitpunkt t = 0 s an eine Gleichspannung U0 geschaltet. Berechnen Sie die in der Schaltung auftretenden Einschaltmaschenströme i1 und i2 . Zum Zeitpunkt t = 0 s sollen beide Maschen stromlos sein.
Abb. 7.89
Für jede Masche gilt, dass die Summe der Spannungen gleich null ist: Masche 1: uL1 + uRm = U0 Masche 2: uL2 + uRm + uR = 0
Seite 391
Differentialgleichungen
Wir setzen in die Maschengleichungen ein und erhalten folgendes Differentialgleichungssystem: L
L
d dt d dt
i1 ( t) R i1 ( t) i2 ( t) U0 = 0
inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten
i 2 ( t ) R i 1 ( t ) i2 ( t ) R i 2 ( t ) = 0
Die Differentialgleichungen lassen sich durch Umformung vereinfachen: d dt d dt
i1 ( t ) =
i2 ( t ) =
R
i ( t ) i2 ( t ) L 1
U0 L
R
i ( t ) i 2 ( t ) R i2 ( t ) L 1
bzw.
bzw.
U0 1 1 i1 ( t ) = i1 ( t ) i2 ( t ) L τ τ dt d
d dt
i2 ( t ) =
1 τ
i1 ( t )
mit
2
i ( t) τ 2
Dieses System kann auch in Matrixform geschrieben werden:
§¨ 1 1 ¸· § U0 ·¸ i ¨ ¸ = ¨ τ τ ¸ §¨ 1 ·¸ ¨¨ ¨ i2' ¸ ¨ 1 2 ¸ ¨ i2 ¸ ¨ L ¸¸ © ¹ ¨ ¸ © ¹ © 0 ¹ © τ τ ¹ § i1' ·
§¨ 1 1 ·¸ ¨ τ τ ¸ A ( τ) ¨ 1 2 ¸ ¨ ¸ © τ τ ¹
Koeffizientenmatrix
L L
Redefinitionen
A ( τ) o
1
Determinante der Koeffizientenmatrix
2
τ a0
A ( τ)
a0 o
sp ( A ( τ) ) o
3
1 2
Koeffizient der Differentialgleichung 2. Ordnung
τ
Spur von A
τ
3 a1 sp ( A ( τ) ) a1 o τ
Koeffizient der Differentialgleichung 2. Ordnung
§ U0 1 · ¨ ¸ L τ ¸ ¨ B U0 L τ ¨ 2 ¸ ¨ 0 ¸ τ ¹ ©
Hilfsmatrix
B U0 L τ
o
2U0 Lτ
U0 s g ( t) = s 1' ( t) det ( B) = 0 det ( B) = 2 L τ
Determinante von B
gemeinsame Störfunktion
Seite 392
τ=
L R
Differentialgleichungen
i1''
2
λ
3 τ
3 τ
1
i1'
2
τ
1
λ
2
i1 = 2
τ
τ
ih1 ( x) = C1 e
inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung für i1
Lτ
§¨ 0.382 auflösen λ ¨ τ o Gleitkommazahl 4 ¨ 2.618 ¨ τ ©
=0
.382
U0
2.618
t
τ
C2 e
·¸ ¸ ¸ ¸ ¹
Lösungen der charakteristischen Gleichung
t
allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung
Eine partikuläre Lösung gewinnen wir nach (7-255) durch den Lösungsansatz Das Störglied ist konstant.
i1p = b0 i1p' = 0
Ableitungen
i1p'' = 0
Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung:
i1''
3 τ
i1'
1 2
τ
i1 = 2
U0 Lτ
U0 2U0 τ b0 = 2 auflösen b0 o 2 Lτ L τ 1
ip1 ( t) = 2
U0 L
partikuläre Lösung
τ
Die gesuchte allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 2. Ordnung für die erste der beiden Lösungsfunktionen des Systems lautet: .382 τ
i1 ( t) = ih1 ( t) ip1 ( t) = C1 e
2.618
t
C2 e
τ
t
2
U0 L
τ
Die zweite Lösung des Systems erhalten wir aus (7-275) i2 =
1
i a11 i1 s 1 ( t) a12 1' .382
i1' ( t) =
.382 τ
C1 e
τ
2.618
t
2.618 τ
C2 e
τ
t
.382 2.618 ª t t « .382 2.618 τ τ i2 = τ« C1 e C2 e τ ¬ τ
Ableitung der ersten Lösungsfunktion
§
1¨
¨C e τ© 1
.382 τ
Seite 393
2.618
t
C2 e
τ
t
· º ¸ U0» 2 τ¸ » L ¹ L¼ U0
Differentialgleichungen
vereinfacht auf 191
i2 =
1 309C1 e
500τ
1309
t
500τ
L 809C2 e
zweite Lösungsfunktion für das gegebene Differentialgleichungssystem
t
L 500U0 τ
L
500
Bestimmung der Konstanten für das Anfangswertproblem: i1 ( 0s ) = 0A .382 τ
C1 e
2.618
0
τ
C2 e
0
2
U0 L
vereinfacht auf
τ=0
C1 L C2 L 2 U0 τ
i2 ( 0s ) = 0A 191
1 309 C1 e
500τ
1309
0
L 809 C2 e
500τ
t
L 500 U0 τ
=0
L
500 vereinfacht auf
1 309 C1 L 809 C2 L 500 U0 τ
=0
L
500 Vorgabe C1 L C2 L 2 U0 τ L
=0
1 309 C1 L 809 C2 L 500 U0 τ L
500
=0
§ 1059U0 τ · ¨ ¸ 559L ¸ ¨ Suchen C1 C2 o ¨ 59U τ ¸ 0 ¨ ¸ © 559L ¹
Lösung des Gleichungssystems
Die Maschenströme werden dann durch folgende Gleichungen beschrieben:
i1 ( t ) =
1059 U0 559
L
.382
τ e
τ
t
59 U0 559 L
2.618 τ
τ e
t
2
U0 L
τ
Durch Einsetzen und Vereinfachen erhalten wir den zweiten Maschenstrom: 191
i2 ( t ) =
i2 ( t ) =
1
U τ 279500 0
1 279500
327231 e
500τ
47731e
500τ
t
279500
L
§
U0 τ ¨ L
1309
t
© 327231 e
191 500τ
1309
t
47731e
500τ
t
· ¸ 279500 ¹
Seite 394
L
=0
Differentialgleichungen
R 200Ω ms 10 τ
L 1000mH
3
Definition der Einheit ms
s
L
τ
R
1059 U0
i1 ( t )
559 1
i2 ( t )
vorgegebene Daten
U0 100V
279500
L
Zeitkonstante
5 ms .382
τ e
U0 τ L
τ
t
59 U0 559 L
2.618
τ e
τ
t
2
U0 L
τ
Maschenströme
191 1309 · § t t ¨ ¸ 500τ 500τ © 327231 e 47731e 279500 ¹
Bereichsvariable
t 0s 0.001s 0.1s Maschenstrom i1
Maschenstrom i2
2 0.8
i 1( t) A
2U0
Strom
Strom
1.5
R
1
A 0.5
0
U0
i 2( t) 0.6 A
R
A
0.4 0.2
0
20
40
60
80
0
100
0
20
40
60
t
t
ms
ms
Abb. 7.90
80
100
Abb. 7.91
Nach ca. 50 ms fließen in der Schaltung konstante Maschenströme, wie aus den Grenzwerten in den Abbildungen zu erkennen ist. Beispiel 7.61: In einem Vierpol sind ein Ohm'scher Widerstand R und eine Induktivität L zusammengeschaltet. An den Eingangsklemmen wird zum Zeitpunkt t = 0 s eine sinusförmige Wechselspannung u e = Umax sin(Zt angelegt. Bestimmen Sie mithilfe der Laplace-Transformation den zeitlichen Verlauf der Ausgangsspannung ua , wenn das Netzwerk zum Einschaltzeitpunkt t = 0 s stromlos ist.
Abb. 7.92
Seite 395
Differentialgleichungen
Aus den 2 Maschen ergeben sich mit der Maschenregel (Kirchhoff) folgende zwei Gleichungen: uL + uR = ue u L = ua L
d dt
d dt
bzw.
i ( t ) R i ( t ) = Umax sin ( ω t) R
i ( t) =
L
Umax
i ( t) =
L
sin ( ω t)
inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
und L
d dt
i ( t ) = ua ( t)
Anfangsbedingung: i(0) = 0 Laplace-Transformation vom Original- in den Bildbereich: ( sI 0)
R L
I=
Umax
ω
L
s ω
2
Umax ω
hat als Lösung(en)
2
R· 2 2 § L ω s ¨ s ¸ L
©
L ( sI 0) = Ua ( s ) I aus der ersten Gleichung in die zweite Gleichung eingesetzt und umgeformt:
nach I auflösen (I = I(s))
¹
Umax ω
ª
º» R ·» 2 2 § «¬ L ω s ¨© s L ¸¹ »¼
Ua ( s ) = L sI = L s « «
Ua ( s ) = Umax ω
s
R· § s ω ¨s ¸ L¹ © 2
2
= Umax ω
s
§ s ω ¨s © 2
2
Bildfunktion mit
1·
¸
τ¹
Rücktransformation in den Zeitbereich: Umax ω
s
hat inverse Laplace-Transformation
s2 ω2 §¨ s 1τ ·¸ ©
¹
§ 2· Umax τ ω sin © t ω ¹ Umax τ ω e 2 3
t τ
τ2 ω2 1
§
2
ω Umax τ ω cos © t
2·
ω
2 ¹ ω
2
ω
Durch Vereinfachung und Herausheben erhalten wir schließlich
ua ( t) = Umax ω
τ 2 2
1 ω τ
t· § ¨ τ ¸ © cos ( ω t) τ ω sin ( ω t) e ¹
Die ersten beiden Summanden in Klammer können noch vereinfacht werden: cos ( ω t ) τ ω sin ( ω t) = A sin ( ω t φ)
Seite 396
τ=
L R
Differentialgleichungen
Mit 1 ( ω τ)
A=
2
und
tan ( φ) =
1 ωτ
=
sin ( φ) cos ( φ)
erhalten wir den vereinfachten Ausdruck für die Ausgangsspannung: Umax ω τ
ua ( t) =
2 2
sin ( ω t φ)
Umax ω τ 2 2
t
e
τ
1 ω τ
1ω τ Umax 10V
gewählte Größen
L 10mH R 100Ω L
τ
τ
R
ω 2π s
1 u 10
4
s
1
§ 1 · ¸ © ωτ¹
φ atan ¨
Zeitkonstante
Kreisfrequenz φ
Phasenverschiebung
1.57
Eingangsspannung
ue ( t) Umax sin ( ω t) Φ ( t )
t· §¨ ¸ Umax ω τ Umax ω τ τ ua ( t) ¨ sin ( ω t φ) e ¸ Φ ( t) 2 2 ¨ 1 ω2 τ2 ¸ 1 ω τ © ¹
Ausgangsspannung
Bereichsvariable
t 0.1s 0.1s 0.001s 2s 10 5
ue ( t) V ua ( t) mV
1
0
1
5 10 t s
Abb. 7.93 Das Übertragungsverhalten eines solchen Systems wird meist im Laplacebereich (Bildbereich) untersucht. Siehe dazu Abschnitt 5.4.3.
Seite 397
Differentialgleichungen
7.2.4.4 Umformung von Differentialgleichungen n-ter Ordnung in Differentialgleichungsysteme 1. Ordnung Zur numerischen Lösung von linearen Differentialgleichungen und insbesondere von nichtlinearen Differentialgleichungen ist die Differentialgleichung n-ter Ordnung in ein System von n Differentialgleichungen 1. Ordnung umzuwandeln, wie weiter oben bereits gezeigt wurde. Diese Umformung soll am Beispiel der inhomogenen linearen Differentialgleichung 4-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten vorgestellt werden: ( 4)
y
a3 y''' a2 y'' a1 y' a0 y = s ( x)
(7-285)
Zur Umformung werden bei einer Differentialgleichung n-ter Ordnung n unabhängige Variable benötigt. Bei der Differentialgleichung 4. Ordnung müssen dann 4 unabhängige Variable y 1 , y2 , y3, y4 (bzw. y0 , y1 , y2 , y3 , wenn der Index bei 0 beginnen soll) gefunden werden. In der Regel wird y als erste Variable gewählt und die (n-1) ersten Ableitungen als restliche Variable: y1 = y y2 = y'
(7-286)
y3 = y'' y4 = y''' Zuerst differenzieren wir die Gleichungen (7-286) y1' = y' y2' = y''
(7-287)
y3' = y''' ( 4)
y4' = y und vergleichen dann die Gleichungen (7-286) mit den Gleichungen (7-287). So erhalten wir das gesuchte Differentialgleichungssystem von 4 Differentialgleichungen 1. Ordnung: y1' = y2 y2' = y3 y3' = y4 ( 4)
y4' = y
(7-288)
= a3 y4 a2 y3 a1 y2 a0 y1 s ( x)
Diese Differentialgleichungen können dann zu einer Matrixgleichung zusammengefasst werden:
bzw.
y § y1' · § y1 · § 0 1 0 0 ·§ 1 · § 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ y2' ¸ d ¨ y2 ¸ ¨ 0 0 1 0 ¨ y2 ¸ 0 ¸ ¨ ¨ ¸ y' = ¨ ¸= ¨ ¸= ¨ ¸¨ 0 0 1 ¸ y ¨ y3' ¸ dx ¨ y3 ¸ ¨ 0 ¨ 3 ¸ ¨ 0 ¸¸ ¨ ¸ ¨y ¸ ¨ y ¸ © a0 a1 a2 a3 ¹ ¨ y ¸ © s ( x) ¹ © 4' ¹ © 4¹ © 4¹
(7-289)
y' = A y S ( x)
(7-290)
Seite 398
Differentialgleichungen
Die Umformung von einer Differentialgleichung n-ter Ordnung in n Differentialgleichungen 1. Ordnung ist auch für nichtlineare Systeme möglich. Die Matrixschreibweise ist dagegen nicht üblich! Das oben gezeigte Beispiel kann leicht auf das Schema der Umformung einer Differentialgleichung n-ter Ordnung übertragen werden:
§ y1' · § y1 · § 0 0 · § y1 · § 0 · 1 .... ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¸ ¨¨ 0 ¨ .... ¸ d ¨ .... ¸ ¨ .... .... .... .... ¸ ¨ .... ¸ ¸¨ y' = ¨ ¸= ¨ ¸ =¨ 0 ¸¨ 1 ¸ yn1 0 .... yn 1 ' yn1 0 ¸ d x ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ y ¸ ¨ y ¸ © a0 a1 .... an1 ¸¹ ¨ y ¸ © s ( x) ¹ © n' ¹ © n ¹ © n ¹
(7-291)
Beispiel 7.62: Lösen Sie die gegebene lineare Differentialgleichung mithilfe des Runge-Kutta-Verfahrens für die Anfangsbedingungen y(0) = 0, y'(0) = 1, y''(0) = 2 im Intervall [xa , xe ] = [0, 20]. y''' ( x) 2 y'' ( x) 4 y' ( x) 3 y ( x) = 5 sin ( x)
inhomogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
y''' ( x) = 2 y'' ( x) 4 y' ( x) 3 y ( x) 5 sin ( x)
die nach y''' aufgelöste explizite Gleichung
Nach (7-286) lautet das zugehörige lineare Differentialgleichungssystem 1. Ordnung: y1' = y2 y2' = y3
lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
y3' = y''' = 2y3 4y2 3y1 5 sin ( x)
§¨ y1' ¸· § 0 1 0 · §¨ y1 ·¸ § 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨y ¸ = ¨ 0 0 1 ¸ ¨y ¸ ¨ 0 ¸ ¨ 2' ¸ ¨ ¨ 2¸ ¨ ¸ ¸ ¨© y3' ¸¹ © 3 4 2 ¹ ¨© y3 ¸¹ © 5 sin ( x) ¹
Differentialgleichungssystem in Matrixform
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
§¨ 0 ·¸ aw ¨ 1 ¸ ¨2 ¸ © ¹
aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung 3. Ordnung.
Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der Darstellung (ORIGIN =1)
Y2 § · ¨ ¸ Y3 D ( x Y) ¨ ¸ ¨ 2 Y 4 Y 3 Y 5 sin ( x) ¸ 3 2 1 © ¹
die nach y (n) umgeformte Differentialgleichung.
n 500
Anzahl der Schritte für die numerische Berechnung.
xa 0
Anfangswert
xe 20
Endwert
D(t,Y):=(Y2 , ..., Yn-1 , y(n)(Y)) T. Die letzte Komponente ist
Seite 399
Differentialgleichungen
Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z<1> enthält die x-Werte, die
zweite Spalte Z<2> die Lösungsfunktion y1 (x), die dritte
Z rkfest aw xa xe n D
Spalte Z<3> die erste Ableitung der Lösungsfunktion y1 und die letzte Spalte Z<4> die zweite Ableitung der Lösungsfunktion y1 . ¢1² x Z
Vektor der x-Werte
¢2² y1 Z
Vektor der Funktionswerte der Lösungsfunktion für die Differentialgleichung 3. Ordnung
¢3² y2 Z
Vektor der Funktionswerte der ersten Ableitung der Lösungsfunktion für die Differentialgleichung 3. Ordnung
¢4² y3 Z
Vektor der Funktionswerte der zweiten Ableitung der Lösungsfunktion für die Differentialgleichung 3. Ordnung Lösung der Differentialgleichung 3. Ordnung
2 1 y1
0
5
10
15
20
Abb. 7.94
1 2 x
1. Ableitung der Lösungsfunktion 2 1 y2
0
5
10
15
20
Abb. 7.95
1 2 x
2. Ableitung der Lösungsfunktion 2 1 y3
0
5
10
15
1 2 x
Seite 400
20
Abb. 7.96
Differentialgleichungen
3D-Phasenplot
2D-Phasenplot
1 y1 y2
2
1
0
1
2
1
2
y1 y2 y3
y 2 y 3
Abb. 7.97
Abb. 7.98
Beispiel 7.63: Lösen Sie die gegebene lineare Differentialgleichung mithilfe des Runge-Kutta-Verfahrens für die Anfangsbedingungen y(0) = 0, y'(0) = 1, y''(0) = 2, y'''(0) = 0 im Intervall [xa , xe ] = [0, 20]. 4
inhomogene nichtlineare Differentialgleichung 4. Ordnung und 6. Grades
x
y ( x) y'' ( x)x y'' ( x) y' ( x) = x e x
4
y ( x) =
xe
y'' ( x) y' ( x) y'' ( x) x
x
=
e
y''
y'
die nach y (4) aufgelöste explizite Gleichung
x
Nach (7-286) lautet das zugehörige Differentialgleichungssystem 1. Ordnung: y1' = y2 y2' = y3 Differentialgleichungssystem 1. Ordnung
y3' = y4 x
y2 y4' = y = y3 x 4
e
ORIGIN 1
§0 · ¨ ¸ ¨1 ¸ aw ¨2 ¸ ¨ ¸ ©0 ¹ Y2 §¨ ·¸ ¨ ¸ Y3 ¨ ¸ Y4 D ( x Y) ¨ ¸ ¨ x ¸ Y2 ¸ ¨e ¨ Y3 x ¸ © ¹
ORIGIN festlegen aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung 4-ter Ordnung.
Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der Darstellung (ORIGIN =1) D(t,Y):=(Y2 , ..., Yn-1 , y(n)(Y)) T. Die letzte Komponente ist die nach y (n) umgeformte Differentialgleichung.
Seite 401
Differentialgleichungen
n 500
Anzahl der Schritte für die numerische Berechnung
xa 5
Anfangswert
xe 35
Endwert Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z<1> enthält die x-Werte, die
zweite Spalte Z<2> die Lösungsfunktion y1 (x), die dritte
Z rkfest aw xa xe n D
Spalte Z<3> die erste Ableitung der Lösungsfunktion y1 , die vierte Spalte Z<4> die zweite und die letzte Spalte Z<5> die dritte Ableitung der Lösungsfunktion y1 .
¢1² x Z
Vektor der x-Werte
¢2² y1 Z
Vektor der Funktionswerte der Lösungsfunktion für die Differentialgleichung 4. Ordnung
¢3² y2 Z
Vektor der Funktionswerte der ersten Ableitung der Lösungsfunktion für die Differentialgleichung 4. Ordnung
¢4² y3 Z
Vektor der Funktionswerte der zweiten Ableitung der Lösungsfunktion für die Differentialgleichung 4. Ordnung
¢5² y4 Z
Vektor der Funktionswerte der dritten Ableitung der Lösungsfunktion für die Differentialgleichung 4. Ordnung
Lösung der Differentialgleichung 4. Ordnung 2000
y1
1000
Abb. 7.99
0
10
20
30
40
x
1. Ableitung der Lösungsfunktion 400 200 y2
Abb. 7.100 0
10
20
30
200
x
Seite 402
40
Differentialgleichungen
2. Ableitung der Lösungsfunktion
0
y3
10
20
30
40
Abb. 7.101 100 200 x
3. Ableitung der Lösungsfunktion
0
y4
10
20
30
40
Abb. 7.102
100 200 x
7.2.4.5 Lineare Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Mechanische oder elektromagnetische gekoppelte schwingungsfähige Systeme werden oft durch gekoppelte lineare Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Die Eigenschaften solcher Systeme sollen hier nur exemplarisch an einigen Beispielen gezeigt werden. Das erste Beispiel werden wir mithilfe des bereits im Abschnitt 7.2.4.3 behandelten Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren lösen. Außerdem werden wir es, wie in Abschnitt 7.2.4.4 beschrieben, auf ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung zurückführen und mit den Methoden nach Abschnitt 7.2.4.2 lösen. Das zweite Beispiel lösen wir in Matrixform mit einem komplexen Ansatz und Überführung in die sogenannte Normalform.
Beispiel 7.64: Die Abbildung 7.101 zeigt zwei schwingungsfähige mechanische Systeme mit der Federkonstante c 1 und der Masse m1 bzw. mit der Federkonstante c2 und der Masse m2 , die über eine Kopplungsfeder der Federkonstante c 12 miteinander verbunden sind. Welche Differentialgleichungen beschreiben dieses System und wie lauten ihre Lösungen, wenn das System einmal kurz ausgelenkt wird? Wir wählen m1 = m2 = 1 kg, c 1 = c 2 = 1 N/m und c12 = 4 N/m. Unter den Anfangsbedingungen a) x1 (0 s) = x2 (0 s) = A = 5 cm, x1 '(0 s) = x2 '(0 s) = 0 m/s und b) x1 (0 s) = A = 5 cm, x2 (0 s) = -A = 5 cm, x1 '(0 s) = x2 '(0 s) = 0 m/s sollen die Eigenmoden (Normalschwingungen) bestimmt werden.
Seite 403
Differentialgleichungen
Abb. 7.103
Unter Berücksichtigung, dass keine Reibungskräfte wirken und die Rückstellkräfte der Federn durch das Hooke'sche Gesetz F = -c x beschrieben werden, gelten folgende gekoppelte Bewegungsgleichungen: Wird die erste Masse m1 aus der Ruhelage nach rechts ausgelenkt, dann wirkt von links die Kraft FL1 = -c x 1 und von rechts die Kraft FR1 = -c 12 (x1 - x2 ), also insgesamt F1 = FL1 + FR1 = -c 1 x1 - c 12 (x1 - x2 ). Entsprechend ist die Kraft auf die Masse m2 gegeben durch F2 = FL2 + FR2 = -c 2 x2 - c 12 (x2 - x1 ). 2
m1
d
dt
x ( t) = c 1 x1 ( t) c 12 x1 ( t) x2 ( t) 2 1
2
m2
d
dt
homogenes lineares Differentialgleichungssystem 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
x ( t) = c 2 x2 ( t) c 12 x2 ( t) x1 ( t) 2 2
Durch Umformung erhalten wir: c1 c 12 x1'' x1 x x2 = 0 m1 m1 1
c2
c 12
x1'' bzw.
x2'' x x x1 m2 2 m2 2
x2''
c 1 c 12 m1 c 2 c 12 m2
c 12 x1 x =0 m1 2 c 12 x2 x =0 m2 1
a) Das Differentialgleichungssystem lässt sich durch das Eliminationsverfahren auf eine Differentialgleichung 4. Ordnung zurückführen: Durch Einsetzen der gegebenen Federkonstanten und Massen (ohne Einheiten), erhalten wir die vereinfachte Differentialgleichung in der Form: x1'' 5x1 4x2 = 0 x2'' 5x2 4x1 = 0 Die erste Gleichung wird nach x2 aufgelöst und dann zweimal nach der Zeit differenziert: 1 x2 = x 5x1 4 1''
1 4 x2'' = § x1 5x1''· ¹ 4©
Setzen wir dann die letzten beiden Gleichungen in die zweite Differentialgleichung ein, dann erhalten wir eine homogene lineare Differentialgleichung 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten für die erste Lösungsfunktion x1(t): 1§
1 4 x1 5x1''· 5 x1'' 5x1 4x1 = 0 ¹ 4© 4
Seite 404
Differentialgleichungen
Vereinfachung der Gleichung: 4
x1 5x1'' 5x1'' 25x1 16x1 = 0 homogene lineare Differentialgleichung 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
4
x1 10x1'' 9x1 = 0 Die charakteristische Gleichung lautet: 4
2
biquadratische Gleichung
λ 10λ 9 = 0
Mathcad liefert hier bei symbolischer Lösung einen recht unansehnlichen Ausdruck. Wir substituieren daher zuerst u = O2 : 2
u 10u 9 = 0 auflösen u o u1 = 1
§ 1 · ¨ ¸ © 9 ¹
Lösungen der quadratischen Gleichung
u2 = 9
Durch Rücksubstitution erhalten wir die gesuchten Lösungen der charakteristischen Gleichung: λ1 = j
λ2 = j
λ3 = 3j
λ4 = 3j
Die zugehörigen Lösungsfunktionen ergeben sich nach (7-243) und (7-244) zu jt
jt
x1 ( t) = e
j 3t
x2 ( t ) = e
j 3t
x3 ( t ) = e
x4 ( t ) = e
mit den Eigenkreisfrequenzen Z01 = 1 s -1 und Z02 = 3 s -1 des Systems und bilden ein komplexes Fundamentalsystem der Differentialgleichung 4. Ordnung. Mithilfe der Euler'schen Beziehungen erhalten wir schließlich ein reelles Fundamentalsystem:
x1 ( t) = sin 1s
1
t
x2 ( t ) = cos 1s
1
t
x3 ( t ) = sin 3s
1
t
x4 ( t ) = cos 3s
1
t
Die erste Lösungsfunktion für das gegebene Differentialgleichungssystem 2. Ordnung ist dann die Linearkombination dieser Basislösungen:
x1 ( t) = C1 sin 1s
1
t C2 cos 1s
1
t C3 sin 3s
1
t C4 cos 3s
1
t
Bilden wir die beiden ersten Ableitungen (die Einheiten lassen wir einfachheitshalber vorerst wieder weg): x1' ( t) = C1 cos ( t) C2 sin ( t ) 3C3 cos ( 3t ) 3C4 sin ( 3t ) x1'' ( t) = C1 sin ( t ) C2 cos ( t) 9C3 sin ( 3t ) 9C4 cos ( 3t ) und setzen dann x 1 '' und x 1 in die umgeformte Differentialgleichung des Systems ein, dann erhalten wir die zweite Lösung: 1 x2 = x 5x1 4 1''
1 x2 = ª C1 sin ( t ) C2 cos ( t) 9C3 sin ( 3t ) 9C4 cos ( 3t ) º 4« » ¬ 5 C1 sin ( t) C2 cos ( t) C3 sin ( 3t) C4 cos ( 3t) ¼
Seite 405
Differentialgleichungen
vereinfacht auf x2 = C1 sin ( t ) C2 cos ( t) C3 sin ( 3t ) C4 cos ( 3t )
x2 ( t) = C1 sin 1s
1
t C2 cos 1s
1
t C3 sin 3s
1
t C4 cos 3s
1
t
a) Das Differentialgleichungssystem lässt sich auch nach Abschnitt 7.2.4.4 auf ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung zurückführen und mit den Methoden nach Abschnitt 7.2.4.2 lösen: x1'' 5x1 4x2 = 0 x1'' = 5x1 4x2 bzw: x2'' 5x2 4x1 = 0 x2'' = 4x1 5x2 Wir setzen:
Ableitungen:
Durch Vergleich:
u1 = x1
u1' = x1'
u1' = u2
u2 = x1'
u2' = x1''
u2' = 5u1 4u3
u3 = x2
u3' = x2'
u4 = x2'
u4' = x2''
u3' = u4 u4' = 4u1 5u3
Damit erhalten wir ein lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung in Matrixform:
§ u1' · ¨ ¸ §¨ 0 1 ¨ u2' ¸ ¨ 5 0 ¨ ¸=¨ ¨ u3' ¸ ¨ 0 0 ¨ ¸ ©4 0 © u4' ¹ §0 ¨ ¨ 5 A ¨0 ¨ ©4
λ
§ u1 · ¸ ¨ ¸ 0 4 ¸ ¨ u2 ¸ ¨ ¸ 0 1 ¸ ¨ u3 ¸ ¸ 5 0 ¹ ¨ u ¸ © 4¹ 0
0·
1
0
0·
0
4
0¸
0
0
¸ Koeffizientenmatrix
1¸
¸
0 5 0 ¹
§ j · ¨ ¸ ¨ j ¸ A λ einheit ( 4) = 0 auflösen λ o ¨ 3j ¸ ¨ ¸ © 3j ¹
1
1
ω01 Im λ1 s ω02 Im λ3 s
ω01 ω02
1s
Eigenwerte (Nullstellen der charakteristischen Gleichung)
1
Eigenkreisfrequenzen des Systems 3s
1
Die zugehörigen Lösungsfunktionen können wieder wie oben nach (7-243) und (7-244) angegeben werden.
Seite 406
Differentialgleichungen
Eigenmoden (Normalschwingungen) des Systems: a) Die beiden Massen werden aus der Ruhelage x1 (0 s) = x2 (0 s) = A = 5 cm ausgelenkt. Die Geschwindigkeit der beiden Massen beträgt dabei x1 '(0 s) = x2 '(0 s) = 0 m/s
1
1
x1 ( t) = C1 sin 1s x2 ( t) = C1 sin 1s
1
1
t C2 cos 1s t C2 cos 1s
1
1
t C3 sin 3s t C3 sin 3s
1
1
t C4 cos 3s t C4 cos 3s
t
t
Die Konstanten werden durch Einsetzen der Anfangsbedingungen bestimmt: x1 ( 0s ) = C2 C4 = A
C2 = A
x2 ( 0s ) = C2 C4 = A
und C4 = 0
Für die Ableitungen lassen wir die Einheiten einfachheitshalber wieder weg: x1' ( t) = C1 cos ( t) C2 sin ( t ) C33 cos ( 3t ) C43 sin ( 3t ) x2' ( t) = C1 cos ( t) C2 sin ( t ) C33 cos ( t ) C43 sin ( t ) x1' ( 0) = C1 3C3 = 0
x2' ( 0) = C1 3C3 = 0
C1 = 0
und
C3 = 0
Die Eigenmoden oder Normalschwingungen des Systems lauten somit:
1t 1 5cm cos 1s t
x1 ( t) 5cm cos 1s x2 ( t)
Eigenmoden oder Normalschwingungen
Bereichsvariable
t 0s 0.01s 20s 6 x1( t) cm
4 2
0 x2( t) 2 cm 4
5
10
15
20
Abb. 7.104
6 t s
Die beiden Massen der gekoppelten Systeme schwingen in Phase (in positiver x-Richtung bzw. negativer x-Richtung) mit gleicher Kreisfrequenz Z01 = 1 s -1 und Amplitude. Die Kreisfrequenz entspricht dabei der Eigenkreisfrequenz der entkoppelten Systeme.
Seite 407
Differentialgleichungen
b) Die beiden Massen werden aus der Ruhelage entgegengesetzt mit x1 (0 s) = A = 5 cm und x2(0 s) = -A = 5 cm ausgelenkt. Die Geschwindigkeit der beiden Massen beträgt dabei x 1 '(0 s) = x2 '(0 s) = 0 m/s. Die Konstanten werden wieder durch Einsetzen der Anfangsbedingungen bestimmt: x1 ( 0s ) = C2 C4 = A
x2 ( 0s ) = C2 C4 = A
C2 = 0
und C4 = A
C1 = 0
und C3 = 0
Für die Ableitungen gilt wie oben: x1' ( 0) = C1 3C3 = 0
x2' ( 0) = C1 3C3 = 0
Die Eigenmoden oder Normalschwingungen des Systems lauten somit:
x1 ( t) 5cm cos 3s
1
x2 ( t) 5cm cos 3s
t
1
t
Eigenmoden oder Normalschwingungen
Bereichsvariable
t 0s 0.01s 10s 6 x1( t) cm
4 2
0 x2( t) 2 cm 4
2
4
6
8
10
Abb. 7.105
6 t s
Die beiden Massen der gekoppelten Systeme schwingen in Gegenphase (eine in positiver x-Richtung, die andere in negativer x-Richtung bzw. die eine und die andere bewegen sich aufeinander zu) mit der gleichen Frequenz Z02 = 3 s-1 und Amplitude. Die beiden Schwingungen überlagern sich ungestört. Beispiel 7.65: Zuletzt betrachten wir die in Abb.7.103 dargestellten, in einer Ebene angeordneten gleich langen mathematischen Pendel im Abstand d und der Länge L mit gleichen Massen m, die über eine Kopplung (z. B. Feder der Ruhelänge d und der Federkonstante k) miteinander wechselwirken. Die Masse der Aufhängung wird vernachlässigt. Die Auslenkungen werden als klein angenommen, sodass sin(x) durch x ersetzt werden kann. Wird ein Pendel ausgelenkt, so wird über die Kopplung ein Teil der Energie auf das zweite Pendel übertragen, vom zweiten auf das dritte Pendel und umgekehrt. Neben den Eigenfrequenzen des Systems sollen die Eigenmoden bestimmt und grafisch dargestellt werden.
Seite 408
Differentialgleichungen
Abb.7.106 Wenn das linke Pendel um x 1 und das mittlere Pendel um x 2 bzw. das rechte Pendel nach rechts ausgelenkt wird, dann verändert sich die Länge der Feder um 'd1 = r (sin(x1 ) - sin(x2 )) |r (x1 - x2 ) bzw. 'd2 = r (sin(x3 ) - sin(x2 )) | r (x3 - x2 ) für kleine Auslenkungen. Deshalb ist die Kraft, die auf das linke Pendel ausgeübt wird, F1 = - k 'd1
| - k r (x1 - x2).
Die Kraft auf das mittlere Pendel ergibt sich demnach aus F2 = - k (- 'd1 ) + k ('d2 ) | k r (x1 - x2 ) + k r (x3 - x2 ). Die Kraft auf das rechte Pendel ergibt sich dann aus F3 = - k ('d2 ) | - k r (x3 - x2 ). Diese Kräfte erzeugen ein Drehmoment MF1 = r F1 = - k r2 (x1 - x2 ) MF2 = r F2 = - k r2 (x2 - x1 ) + k r2 (x3 - x2 ) MF3 = r F3 = - k r2 (x1 - x2 ) Die durch die Gewichtskraft hervorgerufenen Momente an den Pendeln sind MG1 = - L m g sin(x1 ) | - m g L x 1 MG2 = - L m g sin(x2 ) | - m g L x 2 MG3 = - L m g sin(x3 ) | - m g L x 3 Beachten wir, dass für eine Punktmasse m an einem Faden der Länge L das Trägheitsmoment durch J = m L2 ist, dann erhalten wir die linearisierten zugehörigen Bewegungsgleichungen aus Mges = 6 Mi:
Seite 409
Differentialgleichungen
2 2 d 2 x ( t) = m g L x1 ( t ) k r x2 ( t) x1 ( t) 2 1
mL
dt
2 2 d 2 2 x ( t) = m g L x2 ( t ) k r x2 ( t) x1 ( t) k r x3 ( t) x2 ( t) 2 2
mL
dt
2 2 d 2 x ( t) = m g L x3 ( t ) k r x3 ( t) x2 ( t) 2 3
mL
dt
homogenes lineares Differentialgleichungssystem 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Durch Umformung erhalten wir das System in folgender Form: 2
d
dt
x ( t) 2 1
2 § g k r2 · ¨ ¸ x ( t) k r x ( t) = 0 ¨ L m L2 ¸ 1 2 2 mL © ¹ 2
2 § g 2k r2 · kr ¨ ¸ x ( t) x ( t) x ( t) x ( t) = 0 2 2 2 1 ¨ L m L2 ¸ 2 2 3 dt mL mL © ¹ 2
kr
2
kr
d
d
dt
2
x ( t) 2 3
x ( t) 2 2 mL
§ g k r2 · ¨ ¸ x ( t) = 0 ¨ L m L2 ¸ 3 © ¹
Mit den Kreisfrequenzen ω0 =
g L
2
und
ωk =
kr
2
mL
lässt sich schließlich das Differentialgleichungssystem in folgender Form als Matrixgleichung schreiben: 2 2 § 2 · 0 ωk ¸ § x1 ( t) · §¨ x1'' ( t) ¸· ¨ ω0 ωk ¸ ¨ ¸ ¨ 2 2 2 ¨ x ( t) ¸ ¨ ω 2 ¨ x ( t ) ω0 2ωk ωk ¸ 2 ¸ k ¨ 2'' ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ ¨© x3'' ( t) ¸¹ ¨ x3 ( t ) ¸ 2 2 2¸ ¨ © ¹ 0 ω0 ωk ωk © ¹
bzw. 2
d
dt
2
x ( t) A x ( t) = 0
ORIGIN 1
ORIGIN festlegen
g 9.81
Erdbeschleunigung
L 1
Länge eines Pendels
m 1
Masse eines Pendels
k 1
Kopplungsfaktor zwischen 2 Pendeln
r
1 2
Abstand
Seite 410
Differentialgleichungen
ωp
g L
2
ωp
ωk
3.132
kr
ωk
2
mL
Frequenzen
0.5
2 §ω 2 ω 2 · 0 ωk ¨ p ¸ k ¨ ¸ 2 2 2 2 A ¨ ωk ωp 2ωk ωk ¸ ¨ ¸ 2 2 2 ¨ 0 ωp ωk ¸ ωk © ¹
Koeffizientenmatrix
Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren: j ω0 t
Durch einen komplexen Lösungsansatz der Form x ( t) = xae lineares Gleichungssystem:
erhalten wir ein komplexes
jω t · jω t · § § ¨ xa1 j 2 ω02 e 0 ¸ ¨ xa1 e 0 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ §¨ 0 ·¸ j ω t j ω t ¨ 2 2 0 ¸ A ¨ 0 ¸ = ¨0 ¸ ¨ xa2 j ω0 e ¸ ¨ xa2 e ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ©0 ¹ j ω0 t j ω0 t 2 2 ¨x j ω e ¸ ¨x e ¸ 0 © a3 ¹ © a3 ¹
Durch Kürzen vereinfacht sich dieses System zu:
§ ω 2 · ¨ 0 ¸ §¨ 1 ·¸ §¨ 0 ·¸ ¨ ¸ ¨ ω02 ¸ A ¨ 1 ¸ = ¨ 0 ¸ ¨ ¸ ¨1 ¸ ¨0 ¸ © ¹ © ¹ ¨ ω 2 ¸ © 0 ¹ 2
Für eine nichttriviale Lösung muss die Determinante von A ω0 E verschwinden: 2
A ω0 E = 0 λ eigenwerte ( A)
o ω0 λ
Z0 2 muss somit Eigenwert von A sein
§¨ 10.56 ·¸ ¨ 10.06 ¸ ¨ 9.81 ¸ © ¹
λ
§¨ 3.25 ·¸ ω 0 ¨ 3.172 ¸ ¨ 3.132 ¸ © ¹
2π ω0
k
Eigenfrequenzen des Systems gekoppelter Oszillatoren. Bereichsvariable
k 1 3 Tk
normierte Eigenwerte der Matrix A
§ 1.934 · T
¨ ¸ ¨ 1.981 ¸ ¨ 2.006 ¸ © ¹
Vektor der Periodendauern (für die einzelnen Eigenmoden)
Seite 411
Differentialgleichungen
Bestimmung der normierten Eigenvektoren zu den Eigenwerten: 0 · §¨ 10.06 0.25 ¸ A ¨ 0.25 10.31 0.25 ¸ ¨ 0 0.25 10.06 ¸ © ¹
A ist eine symmetrische Matrix.
¢k² U eigenvek A λk
§¨ 0.408 0.707 0.577 ·¸ U ¨ 0.816 0 0.577 ¸ ¨ 0.408 0.707 0.577 ¸ © ¹
Matrix der Eigenvektoren
Die Eigenvektoren müssen folgenden Gleichungen genügen:
¢1² ¢1² A U λ1 U
§¨ 0 ·¸ ¨0 ¸ ¨ 0 ¸ © ¹
§¨ 0.408 0.816 0.408 ·¸ 0 0.707 ¸ ¨ 0.707 ¨ 0.577 0.577 0.577 ¸ © ¹
1
U
§¨ 1 0 0 ¸· U U ¨0 1 0 ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹ T
¢2² ¢2² A U λ2 U
T
U
§¨ 0 ·¸ ¨0 ¸ ¨ 0 ¸ © ¹
§¨ 0.408 0.816 0.408 ·¸ 0 0.707 ¸ ¨ 0.707 ¨ 0.577 0.577 0.577 ¸ © ¹
¢3² ¢3² A U λ3 U
§¨ 0 ·¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ © ¹
Die Matrix U der Eigenvektoren ist unitär (orthogonal).
Für eine reelle unitäre Matrix gilt die Gleichung: UT U = E.
Die symmetrische Matrix A kann mit einer unitären Matrix U auf Diagonalform gebracht werden (siehe Band 2, Kapitel 3, Matrizenrechnung):
Λ diag ( λ )
1
UΛ U
Λ
0 0 · §¨ 10.56 ¸ ¨ 0 10.06 0 ¸ ¨ 0 ¸ 0 9.81 ¹ ©
0 · §¨ 10.06 0.25 ¸ ¨ 0.25 10.31 0.25 ¸ ¨ 0 0.25 10.06 ¸ © ¹
Spektralzerlegung (U / U-1 = A)
0 0 · §¨ 10.56 ¸ U AU ¨ 0 10.06 0 ¸ ¨ 0 ¸ 0 9.81 ¹ © T
Diagonalform (UT A U = /)
Transformation der Bewegungsgleichung auf Normalkoordinaten: 2
d
dt
2
x ( t) A x ( t) = 0
x ( t) = U η ( t)
die aus den Eigenwerten gebildete Diagonalmatrix
ursprüngliche Bewegungsgleichung
Der Vektor x wird durch Normalkoordinaten K in der Bewegungsgleichung ersetzt.
Seite 412
Differentialgleichungen
2
d
dt
2
2
d
dt
2
Die Bewegungsgleichung kann dann mit UT von links multipliziert werden.
( U η ( t) ) A U η ( t) = 0
2
T
( E η ( t) ) U A U η ( t) =
d
dt
2
2
( E η ( t) ) Λ η ( t) =
d
dt
2
η ( t) Λ η ( t) = 0
Zu lösen ist dann die Bewegungsgleichung für Normalkoordinaten: Wegen der Diagonalform von UT A U = / = diag(O) handelt es sich um ein entkoppeltes Differentialgleichungssystem in den
2
d
dt
2
η ( t) Λ η ( t) = 0
Normalkoordinanten K(t) =(K1(t),K2(t),K3(t)) T.
Zur Bestimmung der Eigenmoden wird jeweils nur eine Normalkoordinate von null verschieden angenommen. Dadurch erhalten wir dann eine rein harmonische Bewegung mit der Wurzel des zugehörigen Eigenwertes als Kreisfrequenz. Eigenmode 1:
§¨ 1 ·¸ C1 ¨ 0 ¸ ¨0 ¸ © ¹
§¨ 1 ·¸ C2 ¨ 0 ¸ ¨0 ¸ © ¹
gewählte Anfangsbedingungen
Die Lösung der Bewegungsgleichung in Normalkoordinaten kann mithilfe des Vektorisierungsoperators berechnet werden: o o allgemeine Lösung mit den Integrationskonstanten C1 und C2 η ( t) C1 cos ω 0t C2 sin ω 0t
Rücktransformation auf Lagekoordinaten der einzelnen Pendel (Oszillatoren). Jedes Pendel führt eine Bewegung aus, die sich aus der Überlagerung von Eigenmoden zusammensetzt.
x ( t) U η ( t)
t 0
T1 20
T1
Bereichsvariable Eigenmode 1
2 x( t) 1 1 x( t) 2 0
x( t) 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 2 t T1
Pendel 1 und 3 schwingen gleichphasig und das mittlere Pendel schwingt gegenphasig mit doppelter Amplitude.
Seite 413
Abb.7.107
Differentialgleichungen
Eigenmode 2:
§¨ 0 ·¸ C1 ¨ 1 ¸ ¨0 ¸ © ¹
§¨ 0 ·¸ C2 ¨ 1 ¸ ¨0 ¸ © ¹
gewählte Anfangsbedingungen
o o η ( t) C1 cos ω 0t C2 sin ω 0t
allgemeine Lösung mit den Integrationskonstanten C1 und C2
x ( t) U η ( t)
Rücktransformation auf Lagekoordinaten der einzelnen Pendel (Oszillatoren)
t 0
T2 20
T2
Bereichsvariable Eigenmode 2
1 0.5
x( t) 1 x( t) 2
0
x( t) 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Abb.7.108
0.5 1 t T2
Pendel 1 und 3 schwingen gegenphasig und das mittlere Pendel ist in Ruhe. Eigenmode 3:
§¨ 0 ·¸ C1 ¨ 0 ¸ ¨1 ¸ © ¹
§¨ 0 ·¸ C2 ¨ 0 ¸ ¨1 ¸ © ¹
gewählte Anfangsbedingungen
o o η ( t) C1 cos ω 0t C2 sin ω 0t
allgemeine Lösung mit den Integrationskonstanten C1 und C2
x ( t) U η ( t)
Rücktransformation auf Lagekoordinaten der einzelnen Pendel (Oszillatoren)
t 0
T3 20
T3
Bereichsvariable
Seite 414
Differentialgleichungen
Eigenmode 3 1 x( t) 1
0.5
x( t) 2 0
x( t) 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Abb.7.109
0.5 1 t T3
Alle Pendel schwingen in Phase mit gleicher Amplitude.
Lösung der Bewegungsgleichung mit bestimmten Anfangsbedingungen: x01
x02
x03
v01
v02
v03
§¨ x01 ¸· x0 ¨ x02 ¸ ¨ ¸ ¨© x03 ¸¹
§¨ v01 ·¸ v0 ¨ v02 ¸ ¨ ¸ ¨© v03 ¸¹
§¨ 0 ·¸ x0 ¨ 2 ¸ ¨0 ¸ © ¹
§¨ 1 ·¸ v0 ¨ 0 ¸ ¨1 ¸ © ¹
gewählte Anfangsorte und Anfangsgeschwindigkeiten
Einsetzen der Anfangsbedingungen: T
C1 U x0
Integrationskonstanten C1 und C2
T
C2 U v0 o o η ( t) C1 cos ω 0t C2 sin ω 0t
allgemeine Lösung in Normalkoordinaten mit Integrationskonstanten C1 und C2 .
x ( t) U η ( t)
Rücktransformation auf Lagekoordinaten der einzelnen Pendel (Oszillatoren). Jedes Pendel führt eine Bewegung aus, die sich aus der Überlagerung von Eigenmoden zusammensetzt.
o o o o η' ( t) C1 ω 0 sin ω 0t C2 ω 0 cos ω 0t
Ableitung der allgemeinen Lösung in Normalkoordinaten mit Integrationskonstanten C1 und C2 .
Seite 415
Differentialgleichungen
Geschwindigkeitsvektor
v ( t) U η' ( t ) t 0
T1 100
Bereichsvariable
20 T1
Eigenmoden der drei Pendel 10
5
5 x( t) 1 5 x( t) 2 0
x( t) 3 5
10
20
30
40
Abb.7.110
5
5
10 t
Geschwindigkeitsmoden der drei Pendel 20
10
10 v( t) 1 10 v( t) 2 v( t) 3 10
0
10
20
30
40
10
10
20 t
Seite 416
Abb.7.111
Differenzengleichungen
8. Differenzengleichungen 8.1 Allgemeines Für die Umsetzung einer Differentialgleichung in eine Differenzengleichung sollen hier noch einige Zusammenhänge beschrieben werden. Die Kenngrößen der Differentialgleichung sind in vielen Fällen zeitabhängig. Daher werden auch oft die diskreten Zeitpunkte durch t 0 , t1 , t2 , t3 , ... und die diskreten Folgen durch y(t) oder yt beschrieben. Ein Differentialquotient
dy
wird durch den Differenzenquotienten
Δy
ersetzt. dt Δt Unter der Annahme, dass t nur ganzzahlige Werte annimmt (d. h. 't = 1), wird aus diesem Differenzenquotienten die erste Differenz 'y. Diese Differenz hängt davon ab, zwischen welchen Zeitpunkten diese Differenz gebildet wird. Wir schreiben: 'yt = yt+1 - yt
(8-1)
Die zweite Differenz wird dann wie folgt gebildet: '2 yt = '('yt) = 'yt+1 - 'yt = (yt+2 - yt+1 ) - (yt+1 - yt) = yt+2 - 2 yt+1 + yt
(8-2)
Die k-te Ableitung dk y/dtk wird durch die Differenz der Ordnung k ersetzt: 'k yt = '('k-1 yt) = 'k-1 yt+1 - 'k-1 yt
(8-3)
Für Differenzen gelten ähnliche Regeln wie für Differentialquotienten: '(k yt) =k 'yt
konstanter Faktor k
(8-4)
'(y1t + y2t) = 'y1t + 'y2t
Summenregel
(8-5)
'(y1t y2t) = y2t 'y1t + y1t 'y2t
Produktregel
(8-6)
'(y1t/y2t) = (y2t 'y1t - y1t 'y2t) / (y1t y1t+1 )
Quotientenregel
(8-7)
Nur für lineare zeitinvariante Differentialgleichungen und Differenzengleichungen gibt es eine allgemeine Lösungstheorie, für nichtlineare im Allgemeinen nicht! Für die Berechnung einer geschlossenen Lösung einer linearen zeitinvarianten Differenzengleichung wird meist ein Verfahren angewandt, bei dem analog zu Differentialgleichungen vorgegangen wird. Die Lösung ergibt sich aus zwei Anteilen, der sogenannten homogenen und partikulären Lösung. Die partikuläre Lösung muss unter Berücksichtigung des vorliegenden Eingangssignales x(n) (oder x(t)) bestimmt werden, was nur für eine eingeschränkte Klasse von Eingangssignalen einfach möglich ist. In Abschnitt 6.4.1 wurde bereits gezeigt, wie mithilfe der z-Transformation Differenzengleichungen gelöst werden können. Eine weitere Methode, mit der auch nichtlineare Differenzengleichungen gelöst werden können, ist die rekursive Berechnung der Folgeglieder. Sehr effizient ist die rechnerunterstützte rekursive numerische Berechnung der Folgeglieder z. B. mithilfe von Mathcad.
Seite 417
Differenzengleichungen
8.2. Lineare Differenzengleichungen Eine inhomogene lineare Differenzengleichung k-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat folgende Form: yn a1 yn1 a2 yn 2 ... ak yn k = b0 xn b1 xn1 ... bk xn k
(8-8)
y ( n) a1 y( n 1) .... ak y ( n k ) = b0 x ( n) b1 x ( n 1) .... bk x ( n k )
(8-9)
yt a1 yt 1 a2 yt2 ... ak ytk = b0 xt b1 xt1 ... bk xt k
(8-10)
bzw. oder
Die Koeffizienten a1 a2 ... ak b0 b1 ... bk . Sind alle bk = 0, so ist die Gleichung homogen. Die Indizes können beliebig verschoben werden, d. h., es kann jede ganze Zahl dazugezählt werden. Die gesuchte Lösung für die Lösungsfolge yn = y(n) bzw. yt = y(t) (mit n = 0, 1, 2, ... bzw. t = 0, 1, 2, ...) ergibt sich als Summe aus der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung und einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung. Es seien hier nachfolgend vier wichtige Sonderfälle von Differenzengleichungen besonders erwähnt. Homogene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung:
yt+1 + a yt = 0 mit a
(8-11)
Allgemeine Lösung: Ansatz: yt = c1 Dt (c1 , D z 0). In die Differenzengleichung eingesetzt: yt+1 + a yt = c1 D t+1 + a c1 D t = 0. Die Division durch c1 D t ergibt D + a = 0 und damit D = - a. Die Lösungsfolge lautet damit: yt = c1 (-a) t
(8-12)
Inhomogene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung:
yt+1 + a yt = b mit a,b
(8-13)
Die allgemeine Lösung setzt sich aus der Lösung der homogenen Gleichung und einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung zusammen: yt = yht + ypt. Die partikuläre Lösung: ypt = c2 . In die Differenzengleichung eingesetzt: ypt+1 + a ypt = c2 + a c2 = b. Daraus folgt: c2 = b/(1+a), falls a z -1. Damit ist ypt = c2 = b/(1+a). Für a = -1 machen wir den Ansatz: ypt = c2 t. In die Differenzengleichung eingesetzt: c2 (t+1) + (-1) c2 t = b. Daraus folgt: c2 = b/((t+1) - t) = b. Damit ist ypt = c2 = b t.
Seite 418
Differenzengleichungen
Die Lösungsfolge lautet damit: yt = c1 (-a) t + b/(1+a) für a z -1 yt = c1 (-a)
t+
(8-14)
b t für a = -1
(8-15)
Homogene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung:
yt+2+ a1 yt+1 + a2 yt = 0 mit a1,a2
(8-16)
Allgemeine Lösung: Ansatz: yt = c1 D t (c1 , D z 0). In die Differenzengleichung eingesetzt: c1 D t+2 + a1 c1 D t+1 + a2 c1 D t = 0. Durch Division von c1 D t ergibt sich die charakteristische Gleichung D2 + a1 D + a2 = 0 mit den Lösungen a1
α1 = 2
2
a1
4
a1
a2 , α2 = 2
2
a1
4
2
a2 , D =
a1
4
a2
(8-17)
Es sind drei Fälle zu unterscheiden: Fall 1: D = 0, D1 =D 2 = D (doppelte reelle Nullstelle) Die allgemeine Lösungsfolge lautet damit: yt = c1 D t + c2 t D t
(8-18)
Fall 2: D > 0, D1 zD2 (zwei reelle Lösungen) Die allgemeine Lösungsfolge lautet damit: yt = c1 D1 t + c2 D2 t
(8-19)
Fall 3: D < 0, D1 zD2 (zwei konjugiert komplexe Lösungen) Mit D1 = a + b j , D2 = a - b j , a = - a1 /2 , b = (- D)1/2 , D1 = r (cos(M) + j sin(M), D2 = r (cos(M) - j sin(M), r = | D | = (a2 +b2 )1/2 = (a1 2 /4 + a2 - a1 2 /4)1/2 = a2 1/2 , cos(M) = a/r = - a1 /(2a2 1/2 ), sin(M) = b/r = ( 1 - a1 2 /(4a2 )) 1/2 erhalten wir die allgemeine Lösungsfolge yt = A1 ( a + b j) t + A2 (a - b j) t = A1 ( r (cos(M) + j sin(M) ) t + A2 r (cos(M) - j sin(M) t. Mit der Formel von de Moivre vereinfacht sich der letzte Ausdruck zu: yt = r t ( (A1 +A2 ) cos(M t) + (A1 - A2 ) j sin(M t) ). Setzen wir c1 = A1 + A2 , c2 = (A1 - A2 ) j und tan(M) = b/a, dann vereinfacht sich die Lösungsfolge. Die allgemeine Lösungsfolge lautet damit: yt = r t (c1 cos(Mt) + c2 sin(Mt))
(8-20)
Inhomogene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung:
yt+2+ a1 yt+1 + a2 yt = b mit a1,a2,b
(8-21)
Die allgemeine Lösung setzt sich aus der Lösung der homogenen Gleichung und einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung zusammen: yt = yht + ypt.
Seite 419
Differenzengleichungen
Die partikuläre Lösung: ypt = c. In die Differenzengleichung eingesetzt: c + a1 c + a2 c = b. Daraus folgt: c = b/(1+a1 +a2 ), falls a1 +a2 z -1. Damit ist ypt = b/(1+a1 +a2 ). Für a1 +a2 = -1 machen wir den Ansatz: ypt = c t. In die Differenzengleichung eingesetzt: c (t+2) + a1 c (t+1) + a2 c t = b. Daraus folgt: c = b/(a1 +2). Damit ist ypt =b/(a1 +2) t, falls a1 +a2 = -1 und a1 z- 2 ( für a1 = -2 und a2 = 1 gibt es keine Lösung!). Die allgemeine Lösungsfolge lautet damit: yt = yht + ypt = r t ( c1 cos(M t) + c2 sin(M t) ) + b/(1+a1 +a2 ) falls a1 +a2 z -1
(8-22)
yt = yht + ypt = r t ( c1 cos(M t) + c2 sin(M t) ) + b/(a1 +2) t falls a1 +a2 = -1 und a1 z -2
(8-23)
Die unbekannten Konstanten erhalten wir für die oben angeführten Differenzengleichungen aus den Anfangsbedingungen. Nachfolgend soll das Systemverhalten von einigen Systemen simuliert werden. Beispiel 8.1: Gegeben ist eine Differenzengleichung 1. Ordnung der Form yt+1 + a yt = b (a, b ) mit dem Anfangswert y0 . Berechnen Sie die Lösungsfolge für a) a = 0.8, b = 5, y0 = 4 und t = 0,1, ..., 10; b) a = 1.5, b = 5, y0 = 3 und t = 0,1, ..., 20; c) a = 1, b = 4, y0 = 3.1 und t = 0,1, ..., 20; d) a = 1/2, b = 2, y0 = 1/2 und t = 0,1, ..., 10 . ORIGIN a)
ORIGIN festlegen
0
a 0.8
b 5
gegebene Werte
y0 4
t 0 10
Bereichsvariable
yt1 a yt b
rekursive Berechnung der Folgeglieder
T
y
0
1
0
4
2 1.8
3
3.56
2.152
4 3.278
5 2.377
6 3.098
7 2.521
8 2.983
9 2.614
Die allgemeine Lösung lautet: yt = c1 (-a) t + b/(1+a) für a z -1. Redefinition
t t 0
c 1 c 1 ( a)
b 1 a
b t yt = c 1 ( a) 1 a
= y0
auflösen c 1
o 1.222 Gleitkommazahl 4
vereinfachen
Bestimmung der Konstanten c 1 aus der Anfangsbedingung t
o yt = 1.222 ( 0.8) 2.778 Gleitkommazahl 4
Seite 420
10 ...
Differenzengleichungen
t 0 10
tG
t
Berechnung der Folgeglieder mit der Lösungsformel
yt 1.222 ( 1.) exp ( .2231 t ) 2.778 T
y
0
1 4
0
b
Bereichsvariable
2 1.8
3
3.56
4
2.152
tG
1a
5
3.279
2.377
Fixpunkt
2.778
6
7
3.098
2.522
8 2.983
9
10
2.614
...
4 yt
3
Die Folgeglieder oszillieren um den Fixpunkt tG.
tG
2 1
Abb. 8.1 0
5
10
t
Wenn wir für die lineare Differenzengleichung 1. Ordnung yt+1 = -a yt + b die Gerade y = -a x + b und die Hilfsgerade y = x zeichnen, so kann mit einem sogenannten Web-Plot (Spinnengewebe (Cobweb)) das Langzeitverhalten der Folgeglieder grafisch dargestellt werden. Dieser Web-Plot entsteht dadurch, dass wir zuerst für x = y0 den y 1 -Wert auf der Geraden y = -a x + b ablesen. Die Hilfsgerade dient dazu, den Wert y 1 wieder auf die x-Achse zu spiegeln, sodass erneut das nächste Folgeglied y 2 auf der Geraden y = - a x + b abgelesen werden kann. Fahren wir in dieser Weise fort, so erhalten wir einen Web-Plot. Zieht sich die so entstehende Punktfolge auf den Schnittpunkt der beiden Geraden zusammen, so konvergieren die Folgeglieder gegen die Schnittstelle. Die Schnittstelle ist Lösung der Gleichung - a x + b = x. Daraus ergibt sich der Wert b/(1 - a). Eine solche Zahl heißt stabiler Fixpunkt (Gleichgewichtspunkt) der Differenzengleichung, wenn dieser Wert Grenzwert der Folge < yt > ist.
x 0 5
y ( x) a x b
Bereichsvariable und Hilfsfunktionen
y1 ( x) x
Die Konvergenz zeigt dieser Web-Plot 5
tG
y0
Die Folgeglieder ziehen sich oszillierend auf die Schnittstelle tG zusammen.
4 y( x) y1( x) 3 yt 1 yt 1
2
tG
2.778
1
Abb. 8.2 0
1
2
3 x x yt yt
Seite 421
4
5
Differenzengleichungen
b)
a 1.5
b 5
gegebene Werte
y0 3
t 0 20
Bereichsvariable
yt1 a yt b
rekursive Berechnung der Folgeglieder
T
y
0 0
1 3
2 0.5
3 4.25
4
-1.375
5 7.063
6
-5.594
...
Die allgemeine Lösung lautet: yt = c1 (-a) t + b/(1+a) für a z -1. t t
Redefinitionen
c1 c1
b 0 c 1 c 1 ( a) = y0 1 a
auflösen c 1
Bestimmung der Konstanten c 1 aus der o 1.0 Anfangsbedingung Gleitkommazahl 4
vereinfachen
b t yt = c 1 ( a) 1 a
t
o yt = ( 1.5) 2.0 Gleitkommazahl 4 Bereichsvariable
t 0 20 t
Berechnung der Folgeglieder mit der Lösungsformel
yt ( 1.) exp ( .4055 t ) 2. T
y
0 0
1 3
2 0.5
3 4.25
4
-1.375
5 7.063
6
-5.595
3
4u 10
3
2u 10 yt
0
10
20
Abb. 8.3
3
2u 10
3
4u 10
t
x 0 10 tG
b 1a
t 1 5
y ( x) a x b tG
2
y1 ( x) x
Bereichsvariable und Hilfsfunktionen Fixpunkt
Bereichsvariable
Seite 422
...
Differenzengleichungen
Web-Plot 20
tG y 0
y1( x)
Die Folgeglieder konvergieren nicht zum Schnittpunkt. Die Folge ist divergent.
yt 1
tG
y( x)
10
2
yt 1 10
5
0
5
10
Abb. 8.4 10 x x y t y t
c)
a 1
b 4
gegebene Werte
y0 3.1
t 0 20
Bereichsvariable
yt1 a yt b
rekursive Berechnung der Folgeglieder
T
y
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3.1
0.9
3.1
0.9
3.1
0.9
3.1
0.9
3.1
0.9
10 ...
Die allgemeine Lösung lautet: yt = c1 (-a) t + b/(1+a) für a z -1. t t
Redefinitionen
c1 c1
auflösen c 1
b 0 c 1 c 1 ( a) = y0 1 a
Bestimmung der Konstanten c 1 aus der o 1.1 Anfangsbedingung Gleitkommazahl 4
vereinfachen
b t yt = c 1 ( a) 1 a
t
o yt = 1.1 ( 1.0) 2 Gleitkommazahl 4 Bereichsvariable
t 0 20 t
Berechnung der Lösungsfolge mit der Lösungsformel
yt 1.100 ( 1.) 2. T
y
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3.1
0.9
3.1
0.9
3.1
0.9
3.1
0.9
3.1
0.9
Seite 423
10 ...
Differenzengleichungen
4 3 yt
2
Abb. 8.5 1 0
10
20 t
x 0 10
y ( x) a x b
b
tG
tG
1a
Bereichsvariable und Hilfsfunktionen
y1 ( x) x
Fixpunkt
2
Bereichsvariable
t 0 5 Web-Plot 10
tG
y0
Der Web-Plot ist ein sich periodisch wiederholendes Rechteck.
5
y( x) y1( x)
tG
yt 1
0
2
4
6
8
2
10
yt 1 5
Abb. 8.6 10 x x y t y t
d)
a
1
b 2
2
y0
1
gegebene Werte
2
t 0 10
Bereichsvariable
yt1 a yt b
rekursive Berechnung der Folgeglieder
T
y
0 0
1 0.5
1.75
2 1.125
3 1.438
4
5
1.281
1.359
6
7
8
1.32
1.34
1.33
Die allgemeine Lösung lautet: yt = c1 (-a) t + b/(1+a) für a z -1. t t
c1 c1
Redefinitionen
Seite 424
9 1.335
10 ...
Differenzengleichungen
auflösen c 1
b 0 c 1 c 1 ( a) = y0 1 a
o 0.8333 Gleitkommazahl 4
t
o yt = 0.8333 ( 0.5) 1.333 Gleitkommazahl 4 Bereichsvariable
t 0 10 b
tG
1a
yt .8333 ( 1.) T
y
0
Fixpunkt
1.333
1. t
Berechnung der Lösungsfolge mit der Lösungsformel
exp ( .6931 t ) 1.333
1 0.5
0
Anfangsbedingung
vereinfachen
b t yt = c 1 ( a) 1 a
tG
Bestimmung der Konstanten c 1 aus der
1.75
2
3
1.125
4
1.437
5
1.281
1.359
6
7
8
1.32
1.34
1.33
9
10
1.335
...
2 1.5 yt
tG
1
Abb. 8.7 0.5
0
5
10 t
x 0 3
y ( x) a x b
Bereichsvariable und Hilfsfunktionen
y1 ( x) x
Bereichsvariable
t 0 5 Web-Plot 3
y0
tG
Die Lösungsfolge konvergiert gegen den Schnittpunkt.
y( x) y1( x)
2
tG
yt yt
1.333
1
0
1
2 x x yt 1 yt 1
Seite 425
3
Abb. 8.8
Differenzengleichungen
Beispiel 8.2: Wir betrachten ein dynamisches Marktmodell mit Preiserwartungen. Zuerst legen wir folgende Größen fest: p ... Preis pE ... Gleichgewichtspreis (equilibrium price) xE ... Gleichgewichtsmenge (equilibrium quantity) Modellgleichungen: xD = a p b t t
Nachfragefunktion (demandfunction)
xS = c E § p · d t t
Produktionsfunktion (supply function)
xD = xS t t
Gleichgewichtszustand (equilibrium condition)
© .¹
Die indizierte Variable t wird hier nach der Eingabe von t mit einem nachfolgenden Punkt noch etwas tiefer gestellt! Wir betrachten den Markt-Gleichgewichtszustand xD = xS unter der statischen t t Preiserwartungshypothese: E § p · = p
© t¹
ORIGIN
.
t 1
ORIGIN festlegen
0
c 0.4
d 0
Vorgaben
a 0.5
b 1.5
p0 0.4
Preis in der Periode 0, bevor die Produktion anläuft
pmax 4
maximaler Preis
Tmax 30
Anzahl der simulierten Perioden
t 1 Tmax
Bereichsvariable für die Perioden
xD = a p b t t
Nachfragefunktion (demandfunction)
xS = c p d t 1 t
Produktionsfunktion (supply function)
Gleichgewichtspunkt: hat als Lösung(en)
a x b = c x d bd
pE
pE
ca
1.667
xS ( p) c p d
xE xS pE
( b d) a c Gleichgewichtspreis xE
0.667
Aus dem Gleichgewichtszustand ergibt sich: a p b = c p t
t 1
d
bzw.
Seite 426
Gleichgewichtsmenge
Differenzengleichungen
a p c p t
t 1
lineare Differenzengleichung 1. Ordnung
=d b
Die Lösung der Differenzengleichung lautet: t
§c· p p0 pE ¨ ¸ pE t © a¹
Preisfunktionenfolge
Der Preis konvergiert gegen seine Gleichgewichtsvariablen, wenn | c/a| < 1 ist. xS c p d t 1 t
Die Produktion in der Periode t ist eine Funktion des Preises in t-1.
xD a p b t t
Die Nachfrage in der Periode t ist eine Funktion des Preises in t.
tstop
for t 1 Tmax Ausscheiden von negativen Werten.
break if xS 0 p 0 xD 0 t t t
tstop
30
Periodenende
t c
stab
1
a
stab
Stabilitätskriterium
1
wenn max xS ! xE max xS 1.2 xE 1.2
max 1 wenn max ( p) ! pE max ( p) 1.2 pE 1.2
Erweiterung der Preisachse
max 2
Erweiterung der Produktionsachse
Hinweis
"Der Preis konvergiert nicht !"
if stab = 0
"Der Preis konvergiert nicht! Das System kollabiert vor der Periode Tmax." "Die Stabilität ist gewährleistet!" t 1 t stop
if tstop Tmax
otherwise
Zeitperioden Preis
Produktion
3
Preis
2 pE
Produktion
1
xE 0.5
1
0
10
20
30
0
Periode t
20 Periode t
Abb. 8.9 Hinweis
10
Abb. 8.10
"Die Stabilität ist gewährleistet!"
Seite 427
30
Differenzengleichungen
v 1 3 2 t stop 1 ppw p
w 0 2 2 tstop
ppv p
w 2
T
2 0
p
0
1 0.4
T 0
0 0
pp 0
2
300
3
4
5
6
7
8
9
10
1.148
2.082
1.335
1.932
1.454
1.837
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2.68
2.68
1
2
0.16
0.16
0.856
3 1.072
0.856
4
2.315
5
1.072
0.342
2.315
1.148
6
1.148
7
0.342
0.926
8 0.926
... 10
2.082
9 0.459
...
10 ...
Bereichsvariable
pmax
D ( pp ) a pp b
2
2.315
0
pmax
2
Vektoren
0.856
0.4
T
xx
xx v xD v 1
2.68
0
pp
xx w xS w
v 1
Bereichsvariable
k 0 tstop 2
S ( pp ) c pp d
Hilfsfunktionen für Nachfrage und Produktion
Um zu sehen, in welcher Periode wir uns befinden, setzen wir eine Zeitmarke W= 1: τ 1
Zeitmarke
Web-Plot 4
Preis
pp k
xE
3
pp pp pτ
2 pE
Nachfrage und Produktionszyklen. Spinnennetz von Preis und Produktion.
1
0
0.5
1
1.5
xxk D( pp) S( pp) x S
τ
Menge Zeitpfad Nachfrage Produktion Zeitmarke
Seite 428
Abb. 8.11
Differenzengleichungen
Beispiel 8.3: Ein RL-Serienkreis soll bei anliegender Gleich- bzw. Wechselspannung eingeschalten werden. Die zugehörige Differentialgleichung soll in eine Differenzengleichung umgeformt und durch Rekursion gelöst werden. Gegebene Daten: ms 10
3
s
U0 220 V u ( t) =
2 U0 ( sin ( ω t) )
Einheitendefinition konstante Spannung Wechselspannung
f 50 Hz
Frequenz
ω 2 π f
Kreisfrequenz
Abb. 8.12 Induktivität
L 0.1 H L
τ L di dt Δi Δt
τ
R di
R
L
1 τ
i=
i=
Ohm'scher Widerstand Zeitkonstante
5 ms
inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
R i = u ( t)
dt
Δi =
R 20 Ω
u ( t)
di
L
dt
1 τ
i=
u ( t) L
u ( t) L
§ u ( t) 1 i· Δt ¨ ¸ τ ¹ © L
umgeformte Differentialgleichung
Differentialquotient durch Differenzenquotienten ersetzen
umgeformte Gleichung
i n 1 i n =
§ u tn 1 · ¨ in¸ Δt τ © L ¹
Differenzengleichung für den gesuchten Strom
i n 1 = i n
§ u tn 1 · ¨ in¸ Δt τ © L ¹
umgeformte Differenzengleichung
Rekursive Berechnung der Lösungen: i0 0 A
Anfangsbedingung
n 0 500
Bereichsvariable
Δt 0.5 ms
Zeitschritt (Abtastzeit 't = Ts)
tn n Δt
diskreter Zeitwertevektor
Seite 429
Differenzengleichungen
§ U0 1 · ¨ in¸ Δt τ © L ¹
i n 1 i n I 0 max ( i)
I0
15
Rekursive Berechnung maximaler Strom
11 A τ
5τ
ms
ms
I0
10
A
in A
5
0
10
20
30
tn ms
Abb. 8.13 1
T
T
f
un
2 U0 sin ω tn
i n 1 i n
Periodendauer
20 ms
angelegte diskrete Wechselspannung
§ un 1 · ¨ in¸ Δt © L τ ¹
Rekursive Berechnung (angelegte Wechselspannung)
T 400
ms
2U 0 V
in A
20
200
un
0
V
100
200
200
400 tn ms
Abb. 8.14
Seite 430
300
Differenzengleichungen
Beispiel 8.4: Beim nachfolgenden System (Tiefpassfilter) soll für digitale Eingangsspannungen ue die Systemantwort u a ermittelt werden: a) ue (t) = U0 V(t) = U0 )(t) ()(t) ... Einheitssprung - Heavisidefunktion) b) ue (t) = U0 ( )(t) - 2 )(t - 2 Tp ) + )(t - 5 Tp )) (Überlagerung verschieden Tp langer Spannungsimpulse) c) ue (t) = 0.5 V G(t) (G(t) ... Einheitsimpuls - Delta-Impuls) d) ue (t) = U0 sin( 10 t) )(t) und ue (t) = U0 sin( 30 t) )(t) (Sinusfunktionen) R 1 kΩ
Ohm'scher Widerstand
C 1 μF
Kapazität des Kondensators
τ R C
τ
U0 1 V
Spannungsamplitude
1 ms Zeitkonstante
Abb. 8.15 Maschengleichung für die Schaltung: ue ( t) ua ( t) uR ( t) = ue ( t) ua ( t) i ( t ) R = 0 ue ( t) ua ( t) R C ue ( t) ua ( t) τ
d dt
d dt
mit
i ( t) =
d dt
q ( t) = C
d dt
uc ( t) = C
d dt
ua ( t)
Differentialgleichung 1. Ordnung
ua ( t) = 0
vereinfachte Differentialgleichung
ua ( t) = 0
Näherungsweises Ersetzen des Differentialquotienten durch Differenzenquotienten: ue ( t) ua ( t) τ
Δua ( t) Δt
ue tn ua tn τ
=0
bzw.
ua tn1 ua tn Δt
=0,
wobei die tn die diskreten und äquidistant liegenden Zeitpunkte sind, zu welchen der Vorgang betrachtet wird. In weiterer Folge werden die Abkürzungen un = u(tn ) und Ts = 't = tn+1 - tn (Abtastzeitpunkt) verwendet: ua ue ua τ n n ua
=
ua
=
n1
n1
1 τ
n 1
ua n
Ts
=0
nach ua aufgelöst n1
§ ue Ts ua Ts τ ua · n n n
©
¹
Ts
τ § · ¨ ue ua ua ¸ Ts n n τ © n ¹
Differenzengleichung für den Tiefpassfilter
Seite 431
Differenzengleichungen
Eingangsspannungen: 1
1
ω1 5 ms
Tp 1 s
eine zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltene konstante Spannung
ue1 ( t) U0 Φ ( t)
vorgegebene Werte
ω2 15 ms
ein zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltener Spannungsimpuls (Tp bestimmt die Längen der beiden Impulse)
ue2 t Tp U0 Φ ( t) 2 Φ t 2 Tp Φ t 5 Tp δ ( t)
1 if t = 0 Delta-Impuls
0 otherwise
ein zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltener konstanter kurzer Spannungsimpuls
ue3 ( t) 0.5 V δ ( t )
ue5 t ω2
U0 sin ω2 t Φ ( t)
ue4 t ω1 U0 sin ω1 t Φ ( t)
geschaltener Sinus
Mit der Wahl der Zeitkonstanten W des darzustellenden Zeitintervalls und der Zahl N der Rechenschritte (die Abtastzeit Ts sollte viel kleiner als die Zeitkonstante W sein) erhalten wir: τ
1 ms
Tp 1 ms
t 1 10 ms
N 300
t1
Ts
Ts
N
0.033 ms
n 0 N
Eingangsspannungen diskretisiert:
ue1 ue1 n Ts n T
ue1
0 0
1
0.5
2 1
3 1
4 1
5 1
6 1
7 1
8 1
9 1
10 1
...
V
ue2 ue2 n Ts Tp n T
ue2
0 0
1
0.5
1
ue3 ue3 n Ts n T
ue3
0 0
2
3 1
4 1
5 1
6 1
7 1
8 1
9 1
...
V
1
0.5
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
8 0
9 0
...
V
ue4 ue4 n Ts ω1 n T
ue4
0 0
1 0
0.166
2 0.327
3 0.479
4 0.618
5 0.74
6 0.841
7 0.919
8
9
0.972
...
V
ue5 ue5 n Ts ω2 n T
ue5
0 0
1 0
0.479
2 0.841
3 0.997
4 0.909
Seite 432
5 0.598
6 0.141
7 -0.351
8 -0.757
9 ...
V
Differenzengleichungen
Anfangsbedingungen und Differenzengleichungen: ua1 0 V 0
ua1
n1
Ts
τ § · ¨ ue1 ua1 ua1 ¸ T τ n n s © n ¹
T
0
ua1
1 0
0
T
0
1 0.5
0
3
0.049
0.081
4 0.112
5
6
0.141
7
0.17
8
0.198
9
0.224
V
...
Spannungsabfall an R
uR1 ue1 ua1 n n n uR1
2
0.017
2
0.983
3
0.951
0.919
4 0.888
5
6
0.859
7
0.83
8
0.802
9
0.776
V
...
ua2 0 V 0
ua2
n1
Ts
τ § · ¨ ue2 ua2 ua2 ¸ Ts τ n n © n ¹
T
0
ua2
0
0
T
0
3
4
5
0.017
0.049
0.081
0.112
0.141
1 0.5
0
2
6
7 0.17
V
...
Spannungsabfall an R
uR2 ue2 ua2 n n n uR2
1
2
0.983
0.951
3 0.919
4 0.888
5 0.859
6 0.83
7
8
9
0.802
0.776
7
8
...
V
ua3 0 V 0
ua3
n1
Ts
τ § · ¨ ue3 ua3 ua3 ¸ Ts τ n n © n ¹
T
ua3
0
1 0
0
uR3 ue3 ua3 n n n T
uR3
0 0
2
0.017
0.016
4 0.015
5 0.015
6 0.014
0.014
9
0.013
...
V
Spannungsabfall an R
1 0.5
0.016
3
-0.017
2 -0.016
3 -0.016
4 -0.015
ua4 0 V 0
Seite 433
5 -0.015
6 -0.014
7 -0.014
8 -0.013
9 ...
V
Differenzengleichungen
ua4
Ts
τ § · ¨ ue4 ua4 ua4 ¸ τ n n Ts © n ¹
n1
T
0
ua4
0
1 0
0
T
0 0
3
4
5
6
7
8
9
0.0055
0.0163
0.0317
0.0512
0.0742
0.0998
0.1271
0.1553
1 0
10 ...
V
Spannungsabfall an R
uR4 ue4 ua4 n n n uR4
2
2
0.166
3
0.322
4
0.463
5
0.587
6
0.689
7
0.767
8
0.82
0.845
9
10
0.842
...
V
ua5 0 V 0
ua5
Ts
τ § · ¨ ue5 ua5 ua5 ¸ τ n n Ts © n ¹
n1
T
0
ua5
0
1 0
uR5 ue5 ua5 n n n T
0
uR5
2
0
0
4
0.0435
5
6
7
8
0.0753
0.1031
0.1196
0.1203
0.1046
4
5
6
7
8
9 ...
V
Spannungsabfall an R 1
0
0.016
3
2
0.479
0.825
3 0.954
0.834
0.495
0.022
-0.471
-0.861
9 ...
V
Grafische Darstellung der Spannungen (nur jedes k-te-Glied wegen der Übersichtlichkeit): t 0 ms Ts t1
k 6
Bereichsvariablen
n 0 k N
Sprungantwort des RC-Tiefpassfilters 1.5
Spannungen
u e1( t) ue1
n
1
ua1
n
uR1 0.5 n
Abb. 8.16 0
2
4
6
nTs nTs nTs ms ms ms ms t
Zeit Eingangsspannung Eingangsspannung Ausgangsspannung Spannung an R
Seite 434
8
10
Differenzengleichungen
Sprungantwort des RC-Tiefpassfilters u e2 t Tp 1 Spannungen
ue2
n
0
ua2
2
4
6
8
10
n
uR2
n
1
Abb. 8.17 2 nTs nTs nTs ms ms ms ms t
Zeit Eingangsspannung Eingangsspannung Ausgangsspannung Spannung an R
Impulsantwort des RC-Tiefpassfilters
Spannungen
u e3( t) 0.04 ue3
n
0.02
ua3
n
uR3
n
0
2
4
6
0.02 nTs nTs nTs ms ms ms ms t
Zeit Eingangsspannung Eingangsspannung Ausgangsspannung Spannung an R
k 2
n 0 k N
Bereichsvariable
Seite 435
8
10
Abb. 8.18
Differenzengleichungen
Spannungen
Sinusantwort des RC-Tiefpassfilters
u e4 t ω 1 1
ue4
n
ua4
0
n
2
4
6
8
10
Abb. 8.19
1 nTs nTs ms ms ms t
Zeit Eingangsspannung Eingangsspannung Ausgangsspannung
Sinusantwort des RC-Tiefpassfilters
Spannungen
1
u e5 t ω 2
ue5
n
ua5
0
n
2
4
6
8
10
Abb. 8.20
1 nTs nTs ms ms ms t
Zeit Eingangsspannung Eingangsspannung Ausgangsspannung
Das Langzeitverhalten (eingeschwungener Zustand) der Ausgangsfolge heißt Sinusantwort des Systems. Sie verläuft phasenverschoben zur Eingangsfolge und hat die gleiche Frequenz. Der Wert der Sinusantwort verringert sich umso mehr, je höher die Frequenz der Eingangsfolge ist (digitaler Tiefpassfilter).
Seite 436
Differenzengleichungen
8.3 Nichtlineare Differenzengleichungen Nachfolgend sollen noch einige nichtlineare Differenzengleichungen und Systeme von Differenzengleichungen betrachtet und gelöst werden. Beispiel 8.5: Gegeben ist eine nichtlineare Differenzengleichung 1. Ordnung yn =1/2 (yn-1 + y0 / yn-1 ) zur Berechnung der Quadratwurzel aus x mit dem Anfangswert y0 = x1 . Berechnen Sie die Quadratwurzel für x1 = 2, 2.5, 3. ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
x1 2
gegebener Wert und Anfangswert (Schätzwert)
y0 x1
Bereichsvariable
n 1 10 yn
1 2
· ¸ yn 1 ¹
0
1
§ ©
T
y
x1
¨ yn 1
2
0
x 1 1 0.001 3
Nichtlineare Differenzengleichung 1. Ordnung. Rekursive Berechnung der Folgeglieder. 2
1.5
1.417
3
4
1.414
y ( x) x
5
1.414
y1 ( x)
6
1.414
x1 · ¨x ¸ 2© x ¹ 1§
7
1.414
8
1.414
9
1.414
10
1.414
...
Bereichsvariable und Hilfsfunktionen 1
x1 · ¨x ¸ = x 2© x ¹ 1§
hat als Lösung(en)
§ x1 · ¨ ¸ ¨ x ¸ © 1 ¹
xG x1
2
Fixpunkt
Web-Plot 3
xG
y0
Die Lösungsfolge konvergiert sehr schnell gegen den Schnittpunkt.
2.5 y( x) y1( x) yn
xG
1.414
x1
2
2
yn
x1
1.5
1.414
Abb. 8.21 1
1
1.5
2
2.5
x x yn 1 y n 1
Seite 437
3
Differenzengleichungen
Beispiel 8.6: Gegeben ist eine nichtlineare Differenzengleichung (logistische Differenzengleichung) der Form yn+1 - a yn = -a yn yn (a ) mit dem Anfangswert y0 = 0.1 und a = 2. Berechnen Sie die Lösungsfolge. ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
a 2
gegebener Wert und Anfangswert
y0 0.1
Bereichsvariable
n 0 10
yn1 a yn 1 yn T
y
0 0
1 0.1
2
0.18
3
0.295
0.416
4
5
0.486
6 0.5
7 0.5
8 0.5
9 0.5
10 0.5
...
y ( x) x
y1 ( x) a x ( 1 x)
Bereichsvariable und Hilfsfunktionen
hat als Lösung(en)
§a 1· ¨ a ¸ ¨ ¸ © 0 ¹
xG
x 0 0.001 0.6
a x ( 1 x) = x
Logistische Differenzengleichung (nichtlineare Differenzengleichung 1. Ordnung). Rekursive Berechnung der Folgeglieder.
a1 a
xG
0.5
Fixpunkt
Web-Plot 0.6
y0
xG
Die Lösungsfolge konvergiert gegen den Schnittpunkt.
y( x) y1( x)
0.4
yn 1
xG
0.5
yn 1 0.2
Abb. 8.22 0
0.2
0.4
0.6
x x yn y n
Beispiel 8.7: Gegeben ist eine nichtlineare Differenzengleichung (logistische Differenzengleichung) der Form yn+1 - a yn = -a yn yn (a ) mit dem Anfangswert y0 = 0.1 bzw. y0 = 0.101 und a = 4. Berechnen Sie die Lösungsfolgen und vergleichen Sie diese. ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
n 0 10
Bereichsvariable
a 4
y0 0.1
yn1 a yn 1 yn
a 4
y10 0.101
y1n 1 a y1n 1 y1n
Seite 438
Logistische Differenzengleichungen (nichtlineare Differenzengleichungen 1. Ordnung). Rekursive Berechnung der Folgeglieder.
Differenzengleichungen
T
y
0
1 0.1
0 T
0
y1
1
0.101
0
2
0.36
0.3632
3
4
5
6
7
8
0.9216
0.289
0.8219
0.5854
0.9708
0.1133
2
3
4
5
6
7
0.9251
0.277
0.8011
0.6373
0.9246
... 8
0.2788
...
1 0.8 yn
0.6
y1n
0.4
Abb. 8.23
0.2 0
0
2
4
6
8
10
n
Hier zeigt sich bereits eine empfindliche Abhängigkeit von den Anfangswerten! Kleine Änderungen wirken sich bereits dramatisch aus! Eine empfindliche Abhängigkeit der Lösung von den Anfangswerten ist ein Kennzeichen eines chaotischen Verhaltens! Beispiel 8.8: Es soll folgende nichtlineare Differenzengleichung (Ricker-Gleichung) yt = yt-1 exp( r (1 - yt-1 )) (r ) auf ihr chaotisches Verhalten untersucht werden. ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
r 2.7
"wirklicher Populationswachstumsparameter"
y0 0.3
Anfangswert
Tmax 5 FRAME
Maximum der Zeitperioden (FRAME z. B. 0 bis 15 mit 1 Bild/s)
t 1 Tmax
Bereichsvariable
nichtlineare Differenzengleichung 1. Ordnung
yt yt 1 exp ª¬r 1 yt1 º¼ 2 1.5 yt
1
Abb. 8.24 0.5 0
1
2
3
4
t
Seite 439
5
Differenzengleichungen
Bestimmung der Fixpunkte: x x
Redefinitionen
r r
yt = yt1 exp ª¬r 1 yt 1 º¼
nichtlineare Differenzengleichung 1. Ordnung
x = x exp [ r ( 1 x) ]
zu lösende Gleichung
f ( x r) x exp [ r ( 1 x) ]
Funktionsdefinition
§0 · ¨ ¸ ©1 ¹
x f ( x r) = x auflösen x o d dx
f ( x r) = 0 auflösen x o
§1 · ymax ( r) f ¨ r¸ ©r ¹ T 0
1 0.3
1
maximaler Wert von f
2.027
2
1.986
3
0.139
4
1.419
u10 y0 T
0
1 0.3
T
v1
u1t yfloor( 0.5t)
0
0 0
2 0.3
1 0
1.986
t 0 2 Tmax 1
x 0
ymax ( r) 200
5
0.458
6
1.979
7
0.971
8
0.113
9
0.402
10
0.962
...
Bereichsvariable
t 1 2 Tmax
u1
§0 · ¨ ¸ ©1 ¹
x
Bestimmung des Maximums
r
ymax ( r)
0
y
Fixpunkte
ymax ( r)
1.986
2 1.986
umordnen der Folgewerte
v1t yfloor[ 0.5( t 1) ]
3 1.986
3 0.139
4
5
0.139
4
0.139
5
0.139
1.419
6 1.419
6 1.419
7 1.419
7 0.458
8 0.458
8 0.458
t1 0 Tmax
Bereichsvariable
ymax ( r)
Bereichsvariable
2.027
Seite 440
9 0.458
9 1.979
10 1.979
10 1.979
Differenzengleichungen
Web-Plot y0
x1
ymax( r)
f ( x r) 2
y0
x
0.3
Fixpunkt
yt1 v1t
x1
1
1
Abb. 8.25 0
0
1
2 x x yt1 1 u1t
f(x,r) x(t) = x(t+1) Folgeglieder Trajektorie
Nachfolgend soll noch das Feigenbaum-Diagramm bei variablem Parameter r dargestellt werden, das ein typisch chaotisches System zeigt: Auflösung für die Grafik AL = 1 ... AL = 7 (bei höherer Auflösung als 1 wird die Rechenzeit sehr hoch)
AL 3 ru 1.5
ro 4
Bereich des Parameters r
yu 0
yo 5
Bereich der y-Achse
k 0 AL 100
Bereichsvariable
ro ru rk ru k AL 100
Bereichsvariable für r
yk 0 0.3
Anfangswert
t 1 100 AL
Bereichsvariable
yk t f yk t 1 rk t
100 AL 2
100 AL
Berechnung der Folgeglieder Bereichsvariable
Seite 441
Differenzengleichungen
Feigenbaum-Diagramm 6
4 yk t
Abb. 8.26 2
0
1
2
3
4
rk
Beispiel 8.9: Freier Fall mit Luftwiderstand. Ein Körper der Masse m1 = 100 kg fällt aus einer bestimmten Anfangshöhe h = 2000 m mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit v0 = 0 m/s. Die Reibungskraft FL wird proportional v
2
angenommen.
Der Proportionalitätsfaktor k = 0.2 kg/m (k = 1/2 c w A U). Der Weg s und die Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Zeit soll numerisch durch Iteration bestimmt werden. Geben Sie auch das s-t-, v-t- und a-t-Diagramm an. Die Bewegungsgleichung in Vektor- und Differenzenform: o o o F = G FL v ( 0) = 0
a ( t) = g
o o o o m1 a = m 1 g k v v
m
Anfangsbedingung
s k m1
v ( t)
2
v ( t Δt) = v ( t) a1 ( t) Δt s ( t Δt) = s 0 v ( t) Δt Abb. 8.27 s ( t Δt) = s 0 v ( t) Δt m v0 0 s
Anfangsgeschwindigkeit v0
m1 100 kg
Masse des Körpers
h 2000 m
Anfangshöhe h
Seite 442
a = f ( v)
v ( t Δt) v ( t) = a ( t) Δt
v ( t Δt) v ( t ) 2 a ( t) Δt 2
Δt
Δt
Differenzengleichungen
k
§ 0.1 FRAME · kg ¨ ¸ 20 ¹ m ©
Proportionalitätsfaktor der Reibungskraft (FRAME von 0 bis 15 und 1 Bild/s)
ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
v0 v0
Geschwindigkeit zum Startzeitpunkt (Vektorkomponente; Anfangswert)
s0 h
Anfangshöhe (Vektorkomponente; Anfangswert)
a ( v) g
k m1
2
Beschleunigung in Abhängigkeit der Geschwindigkeit
v
Δt 0.02 s
Schrittweite für die Zeit
n 1000
maximale Anzahl der Zeitschritte
i 0 n
Zeitschrittindex
Nichtlineare Differenzengleichungen: Iteration (Rekursive Berechnung) der zwei Variablen s und v (einfaches Euler-Verfahren).
Geschwindigkeit zum (i+1)-ten Zeitschritt
vi1 vi a vi Δt si1 si vi Δt
a vi 2
Δt
2
Position zum (i+1)-ten Zeitschritt
Die nichtlinearen Differenzengleichungen könnten z. B. auch in Vektorform zusammengefasst und gelöst werden: vi a vi Δt · § ¸ § vi1 · ¨ ¨ ¸=¨ a vi 2¸ Δt ¸ © si1 ¹ ¨ si vi Δt 2 © ¹
Geschwindigkeit zum (i+1)-ten Zeitschritt Position zum (i+1)-ten Zeitschritt
Die nichtlinearen Differenzengleichungen könnten z. B. auch mit einem verbesserten Euler-Verfahren gelöst werden: 2º ª« Δt ª k ª k 2ºº » vi1 = vi g v g v Δt « m1 « i 2 « m1 i »» » ¬ ¬ ¬ ¼¼ ¼
ª
si1 = si «vi
¬
Δt 2
ª
k
¬
m1
«g
§ kg m vg wenn ¨ k = 0 0 m s ©
2º»º» Δt
vi
¼¼
g m1 · k
¸ ¹
vg
99.029
Seite 443
m s
Grenzgeschwindigkeit
Differenzengleichungen
s-t-Diagramm 0
5
10
15
20
500 si h m
1000
Abb. 8.28
1500 h
2000
m iΔt s vg
v-t-Diagramm 100
m s
80 vi
k
60
0.1
kg m
m s
40
vg
20
Abb. 8.29
0
0
5
10
15
99.029
20
iΔt s
a-t-Diagramm 10
a vi m s
2
5
0
Abb. 8.30
0
5
10
15
iΔt s
Seite 444
20
m s
Anhang Übungsbeispiele
1. Unendliche Zahlenreihen Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und bestimmen Sie den Summenwert: Beispiel 1: ∞
1
¦
(konvergent)
n
1 3 1
n
Beispiel 2: ∞
1
¦
n
(divergent)
n
1
Beispiel 3: ∞
1
¦
(konvergent)
2
1 n
n
Beispiel 4: ∞
1
¦
(konvergent)
n
1 n 5
n
Beispiel 5: 3
1
2
2
3
3
3
3
4
4
....
(konvergent)
....
(konvergent)
Beispiel 6: 2
1
2
2
3
2
3
4
2
4
Beispiel 7: 1 1 2
1
3
1
3 2
5
5 2
1 7
....
(konvergent)
7 2
Beispiel 8: 1 2
2 2
2
3 3
2
4 4
....
(konvergent)
2
Seite 445
Anhang Übungsbeispiele
Beispiel 9: 2
1
2
2
2
2
3
4
3
(konvergent)
....
4
Beispiel 10: 1
1
1 3
3 5
1
1
5 7
....
7 9
§ ©
(konvergent) s n = ¨ 1
n 1 · § 2 3· § n ¸ ¨ ¸ .... ¨ ¸ 5¹ 3¹ © 3 © 2 n 1 2 n 1¹ 2·
Untersuchen Sie folgende Reihen auf absolute bzw. bedingte Konvergenz: Beispiel 11: 1 1
1
1
2
1
3
4
(bedingt konvergent)
....
Beispiel 12: 1 2
2
1
3
3
3
4
2
1
3
3
4 5
1
3
....
(absolut konvergent)
4
Beispiel 13: 3
2
5
2
3
7
2
5
2
(absolut konvergent)
....
7
2. Potenzreihen Beispiel 1: Untersuchen Sie die nachfolgende Potenzreihe auf Konvergenz und bestimmen Sie das Konvergenzintervall: 3
x
x
3
5
x
5
7
x
7
....
Beispiel 2: Untersuchen Sie die nachfolgende Potenzreihe auf Konvergenz und bestimmen Sie das Konvergenzintervall: x 1 1
( x 1) 2
2
( x 1) 3
3
....
Beispiel 3: f(x) = sin(x) soll in den Stützstellen 0, S/6, S/2, 5S/6 und S durch ein Näherungspolynom angenähert werden. In einer Grafik soll die Funktion und das Näherungspolynom zum Vergleich grafisch dargestellt werden.
Seite 446
Anhang Übungsbeispiele
Beispiel 4: In der Beizanlage eines Stahlwerkes wird zwischen dem prozentuellen Schwefelsäuregehalt und der Dichte der Beizflüssigkeit folgender Zusammenhang gemessen: H2 SO4 in %
|
0
|
5
|
10
|
20
|
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Dichte in kg/dm3 | 1.0000 | 1.0355 | 1.0718 | 1.1468 | Bestimmen Sie einen funktionalen Zusammenhang durch eine ganzrationale Funktion. Beispiel 5: Durch 7 Punkte soll bei einer gegebenen Funktion y = (1+x)1/2 ein Polynom gelegt werden. Die Punkte sollen symmetrisch um die Entwicklungsstelle x0 = 10 gewählt werden. Zum Vergleich soll mittels kubischer Spline-Interpolation und linearer Interpolation eine Ausgleichskurve durch die Punkte gefunden werden.
2.3 Taylorreihen Beispiel 1: a) Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x0 = 0 der Funktion f(x) = sin(2 x - S/2)? b) Auf welchem Intervall konvergiert diese Reihe? c) Wie lautet das Restglied nach Lagrange für diese Reihe? d) Stellen Sie die Funktion und die Näherungspolynome bis zum 7. Grad grafisch dar. e) Stellen Sie den absoluten und relativen Fehler im Vergleich von Funktion und Taylorpolynomen grafisch dar. Beispiel 2: Bestimmen Sie die Potenzreihen der folgenden Funktionen: a)
βt
f ( x) = e
b)
cos ( ω t)
βt
g ( x) = e
c)
sin ( ω t )
h ( x) = sin ( x)
2
d)
k ( x) = cos ( x)
2
Beispiel 3: Zeigen Sie die Richtigkeit der nachfolgenden Näherungen. Unter welchen Voraussetzungen gelten diese Näherungen? a)
t sin ( 2 t )
|
2 t
c)
1 x
|
1
2
x 2
b) d)
t
e
4
cos ( 2 t )
|
1 t
1 x
|
1
x 4
e)
1 n
1 x
|
1
x n
Beispiel 4: Zeigen Sie, dass sich aus der Reihe für 1/(1-x) durch Differentiation die Reihen für 1/(1-x)2 und 1/(1-x)3 ergeben.
Seite 447
Anhang Übungsbeispiele
Beispiel 5: Zeigen Sie den nachfolgenden Zusammenhang und bestimmen Sie das Konvergenzintervall der beiden Funktionen: arccos ( x) =
π
arcsin ( x)
2
´ µ arcsin ( x) = µ µ ¶
Anleitung (Reihenentwicklung des Integranden):
x
1 1t
2
dt
0
Beispiel 6:
Berechnen Sie die folgenden Integrale durch vorhergehende Reihenentwicklung:
a) Integralsinuns:
´ Si ( x) = µ µ ¶
x
sin ( t ) t
b) Integralcosinus:
dt
0
´ µ µ µ ¶
c)
´ Co ( x) = µ µ ¶
x
cos ( t ) t
dt
0
x
x
t
e t
d)
dt
´ π µ t µ 2 sin ( t ) dt µ e ¶ 0
0
Beispiel 7: ´ Berechnen Sie die Bogenlänge s = µ ¶
a 2
1 y' dx für die Parabel y =
h 2
2
x für h = 1 m und
0 a a = 4 m. Entwickeln Sie zuerst den Integranden in eine Reihe und brechen Sie die Reihe nach dem vierten Glied ab. Zur Vereinfachung lässt sich O = h/a setzen. Vergleichen Sie den errechneten Wert der Bogenlänge, den man aus der Näherungsformel erhält, mit dem Wert, der sich durch numerische Berechnung des Integrals ergibt, auf 4 Nachkommastellen.
Beispiel 8: Für welche Winkel ist der prozentuelle Fehler kleiner als 1 %, wenn wir tan(D) | Dsetzen? Beispiel 9: Zwei Körper der gleichen Wärmekapazität C und den unterschiedlichen Temperaturen T1 und T2 werden in thermischen Kontakt gebracht. Es findet ein Temperaturausgleich statt, und die Entropie s des Systems ändert sich um 's.
§ T1 T2 ·¸ ¨2 T T ¸ 1 2¹ ©
Δs = 2 C ln ¨
T2 = T1 ΔT
Für diese Gleichung ist eine Näherungsformel zu entwickeln, wobei in der Reihenentwicklung nach dem sich ergebenden quadratischen Glied abzubrechen ist. Anleitung: T1 T2 2
=
1 2
§
2 T1 ΔT = T1 ¨ 1
©
ΔT
· ¸ 2 T1 ¹
T1 T2 =
§ a · = ln ( a) ln ( b) ¸ © b¹
ln ¨
Seite 448
T1 T1 ΔT = T1
1
ΔT T1
Anhang Übungsbeispiele
Beispiel 10: Die Dichte U eines Festkörpers hängt wie folgt von der Temperatur ab: ρ0
ρ ( ϑ) =
1 γϑ
Dabei ist U0 die Dichte bei -0 = 0 °C und J der Ausdehnungskoeffizient.
Beschreiben Sie die Temperaturabhängigkeit der Dichte U durch eine lineare Näherungsfunktion. Beispiel 11: Der Luftdruck in Abhängigkeit von der Höhe h über dem Meeresniveau ist durch die barometrische Höhenformel gegeben: h
p = p0 e
h0
mit
p0 = 1013 mbar
h0 = 7991 m
Geben Sie eine lineare Näherung für p in Abhängigkeit von h an. Bis zu welcher Höhe h ist die Abweichung der Näherung höchstens 5 %? Beispiel 12: Die Kapazität eines Zylinderkondensators ist gegeben durch: C=
2 π ε L
§ R· ¸ ©r¹
ln ¨
Zeigen Sie, dass aus diesem Zusammenhang durch Reihenentwicklung des Nenners die Berechnungsformel für den Plattenkondensator gewonnen werden kann, wenn die Reihe nach dem 1. Glied abgebrochen und berücksichtigt wird, dass R = r + s ist. Setzen Sie außerdem A = 2 * S * s * L. (Lösung: C = A H/d) Beispiel 13: In einem RL-Zweipol liegt eine lineare Rampenspannung u(t) = k t an. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Stromkreis durch einen Schalter geschlossen. Für die Stromstärke im Stromkreis gilt:
ª § R « L ¨ L t i ( t) = «t ©e R ¬ R k
·º ¸» 1¹» ¼
Zeigen Sie durch Abbruch der Taylorreihe von i(t), dass der Strom anfänglich quadratisch mit der Zeit ansteigt. Beispiel 14: Entwickeln Sie die Funktion f(x,y) = e -x cos(y) um den Entwicklungspunkt x = 0 und y = S/2 in eine Taylorreihe mit Termen niedriger als 4. Ordnung. Beispiel 15: Vergleichen Sie grafisch die mehrdimensionale Taylor-Approximation im Vergleich mit der nachfolgend angegebenen Funktion.
Seite 449
Anhang Übungsbeispiele
ORIGIN 0
§ x2 · 2 2 f ( x y) sin ¨ y ¸ cos y ©4 ¹
Grad der Approximation
n 8 x0 0
Flächenfunktion
Entwicklungspunkt der Taylorentwicklung
y0 0
x0 r d x d x0 r
Definitionsbereich (Region) der Darstellung
y0 r d y d y0 r r 1.2
2.4 Laurentreihen Beispiel 1: Bestimmen Sie die Residuen von y = 1/(x2 - x). Beispiel 2: Bestimmen Sie die Residuen von y = 1/( x (x +2)3 ). Beispiel 3: Bestimmen Sie die Potenzreihe und das Residuum von y = 1/tan(x) beim Pol x = 0. Beispiel 4: Bestimmen Sie die Residuen von y = 1/( z2 (z - 6)).
3. Fourierreihen Beispiel 1: In einem Zweiweggleichrichter fließt ein Strom i = Imax | sin(Z0 t) | für 0 < Z0 t d2S. Führen Sie für diesen Strom eine Fourieranalyse durch und geben Sie die Fourierreihe an. Lösung:
i ( t) =
4 Imax π
§ 1 1 cos 2 ω t 1 cos 4 ω t 1 cos 6 ω t ....· 0 3 5 0 5 7 0 ¸¹ ©2 1 3
¨
Beispiel 2: Es soll eine Fourieranalyse bzw. deren Rücktransformation für eine periodische Kippschwingung u(t) = Û/T0 *t für 0 d t < T0 mit Û = 5 V und der Periodendauer T0 = 2 Ss reell und komplex durchgeführt werden. Stellen Sie das reelle und komplexe Frequenzspektrum grafisch dar. Vergleichen Sie auch die Originalfunktion mit einem geeignet gewählten Fourierpolynom grafisch. Wie groß ist der Klirrfaktor? Beispiel 3: Es soll eine Fourieranalyse bzw. deren Rücktransformation für eine periodische Rechteckspannung u(t) = -Û für -T0 /2 < t < 0 und 0 < t < T0 /2 mit Û = 10 V und der Periodendauer T0 = 2 Ss reell und komplex durchgeführt werden. Stellen Sie das reelle und komplexe Frequenzspektrum grafisch dar. Vergleichen Sie auch die Originalfunktion mit einem geeignet gewählten Fourierpolynom grafisch. Wie groß ist der Klirrfaktor?
Seite 450
Anhang Übungsbeispiele
Beispiel 4: Es soll eine Fourieranalyse bzw. deren Rücktransformation für einen periodischen Rechteckstrom i(t) (z. B. "Ankerstrombelag einer Drehstromwicklung") mit der Amplitude Î = 5 A und der Periodendauer T0 = 2 Ss reell durchgeführt werden. i(t) = 0 A für 0 s < t dS/6 s und
3 2
A für S/6 s < t d5S/6 s und 0 A für 5S/6 s < t dS s .
Beispiel 5: Für den gegebenen Filter soll die Übertragungsfunktion ermittelt und in einem Bode-Diagramm im Bereich 100 Hz d f d 10 MHz dargestellt und interpretiert werden. Stellen Sie dazu auch noch die Nyquist-Ortskurve dar. Durch Fourieranalyse und Fouriersynthese soll die Antwort des Filters auf die gegebene periodische Eingangsspannung ue (t) berechnet und interpretiert werden. R 500Ω
Ohm'scher Widerstand
L 100mH
Induktivität
C 1 μF
Kapazität
ue ... Eingangsspannung ua ... Ausgangsspannung i R L C
... Gesamtstrom ... Ohm'scher Widerstand ... Induktivität ... Kapazität
T0 = ue (t) = (2 Umax )/T0 für -T0 /2 < t < T0 /2
2 π 500
s
Umax = 10 V
Periodendauer der Eingangsspannung Amplitude der Eingangsspannung
Beispiel 6: Ein periodisches Signal u(t) mit der Periodendauer T0 wird an n äquidistanten Stellen abgetastet. Durch die Variation der Variablen n verändern wir die Abtastfrequenz. Vergleichen Sie für die 3 Fälle (nmax Z0 , 2 nmax Z0 , 4 nmax Z0 ) jeweils das Amplitudenspektrum des Messsignals in einer Grafik und interpretieren Sie, wann das Abtasttheorem erfüllt ist. Gegeben: ω0 1 s T0 2
1
π ω0
nmax 8
f0 T0
ω0 2 π 6.283 s
n 0 nmax
an rnd ( 1) V bn rnd ( 1) V
b0 0 V
f0
0.159
1 s
Kreisfrequenz und Frequenz des Messsignals Periodendauer des abzutastenden Signals Die höchste Harmonische nmax Z0 ist hier 8 Z0 , eine Abtastung müsste laut Abtasttheorem mit mindestens 16 Z0 erfolgen. rnd(x) gibt eine gleichmäßig verteilte Zufallszahl zwischen 0 und x zurück.
nmax
u ( t)
¦ an cos n ω0 t bn sin n ω0 t
n
Zeitfunktion des Messsignals
0
Seite 451
Anhang Übungsbeispiele
ωmax nmax ω0
ωmax
8 s
1
maximale Frequenz
Gesucht: 1. Ermitteln Sie das Amplitudenspektrums des Messsignals mittels FFT und stellen Sie das Spektrum grafisch dar. 2. Führen Sie die Abtastung für 3 Fälle durch: 1. Fall: nmax Z0 ; 2. Fall: 2 nmax Z0 ; 3. Fall: 4 nmax Z0 . 3. Vergleichen Sie für die 3 Fälle jeweils das Amplitudenspektrum des Messsignals in einer Grafik und interpretieren Sie, wann das Abtasttheorem erfüllt ist. 4. Führen Sie die Rücktransformation für die 3 Fälle durch und vergleichen Sie jeweils in einer Grafik das Messsignal mit dem rücktransformierten Signal. Beispiel 7: Für das nachfolgend angegebene abgetastete Signal ist eine FFT- und CFFT-Analyse durchzuführen. Vergleichen Sie grafisch die Frequenzspektren. Führen Sie eine Rücktransformation durch und stellen Sie das Signal grafisch dar. 7
i 0 2 1
Bereichsvariable
§
si sin ¨ 6 π
©
i
· sin § 40 π i · ¨ 6¸ 6¸ 2 ¹ 2 ¹ ©
Signal
4. Fourier-Transformation Beispiel 1: Für die Faltung einer Zeitfunktion f(t) mit dem Dirac-Impuls gilt: f(t) * G(t) = f(t). Wie lautet die Fouriertransformierte dieses Faltungsproduktes? Für die Fouriertransformierte des Dirac-Impulses gilt: F { G(t) } = 1. Das Spektrum des Dirac-Impulses G(t) hat also den konstanten Wert 1. Beispiel 2: Ein Dreiecksimpuls f'(t) kann durch die Faltung des Rechteckimpulses mit sich selbst dargestellt werden: f'(t) = frec(t,T1 ) * frec(t,T1 ). Bestimmen Sie die Fouriertransformierte des Dreieckimpulses. (Lsg. F'(f) = sinc2 (S T1 f)) Beispiel 3: Bestimmen Sie die Fouriertransformierte eines Dreiecksimpulses f '(t) und stellen Sie den Dreiecksimpuls und dessen Fouriertransformierte mit geeigneten Werten grafisch dar. (Lsg. F'(f) = sinc2 (S T1 f)) fΔ ( t) =
1 T1
§
t
©
T1
¨1
0 if
· if ¸ ¹
t d T1
Anleitung:
t ! T1
Seite 452
´ µ µ ¶
ax
x e
ax
dx =
e
2
a
( a x 1)
Anhang Übungsbeispiele
Beispiel 4: Bestimmen Sie die Fouriertransformierte eines Kosinusquadratimpulses und stellen Sie den Kosinusquadratimpul und dessen Fouriertransformierte mit geeigneten Werten grafisch dar. (Lsg. F(f) = sinc(2 S T1 f)*1/(1-(2 T1 f)2 )
§ πt · cos ¨ ¸ T1 © 2 T1 ¹ 1
f ( t) =
0 if
2
Anleitungen: if
2
cos ( x) =
t d T1
1 2
( 1 cos ( 2 x) )
sin π 2 π f T1 = sin 2 π f T1
t ! T1
sin π 2 π f T1 = sin 2 π f T1 Beispiel 5: Bestimmen Sie die Fouriertransformierte eines Gauß-Impulses und stellen Sie den Gauß-Impuls und dessen Fouriertransformierte mit geeigneten Werten grafisch dar. (Lsg. F(f) = 2/W * e-(2 Sf W) / (4 S))
§ t· π¨ ¸ 1 © τ¹ f ( t) = e
2
j 2πft
Anleitungen:
e
τ
´ µ µ ¶
Beispiel 6:
= cos ( 2 π f t ) j sin ( 2 π f t) b
∞
2 2
a x
e
cos ( b x) dx =
0
π 2 a
e
2
( 2a)
2
Führen Sie für das nachfolgend angegebene Signal ui eine FFT durch und stellen Sie das Signal und das Fourierspektrum grafisch dar. Führen Sie auch eine Rücktransformation durch und vergleichen Sie das Originalsignal mit dem rücktransformierten Signal grafisch. Das Signal soll mit einer Frequenz von 4 kHz abgetastet werden. ti
ui = A cos ti ω φ e A = 1 V
T1
Signal φ = 20 Grad
f = 2 Hz
gegebene Daten
T1 5 s
5. Laplace-Transformation Beispiel 1: Führen Sie für die nachfolgenden Signale eine Laplace-Transformation und deren Rücktransformation mithilfe von Mathcad durch (über das Symbolik-Menü und mit Symboloperatoren). Stellen Sie unter Annahme geeigneter Parameter in den Signalen die Signale auch grafisch dar. Lösen Sie das Integral in g) auch mithilfe der Euler'schen Beziehung sin(Z t) = (ejZt - e-jZt)/2j. a)
f ( t) =
d)
f ( t) = ln ( t ) Φ ( t)
g)
L {f(t)} =
a t Φ ( t)
´ µ ¶
∞
at
Ae
b)
f ( t) = sin ( a t ) Φ ( t)
e)
f ( t) = t e
at
st
sin ( ω t) e
Φ ( t)
c)
f ( t) = cos ( ω t φ) Φ ( t)
f)
f ( t) = e
A=2
dt
0
Seite 453
αt
a = 0.5
cos ( ω t ) Φ ( t ) ω=1
Anhang Übungsbeispiele
5.2 Eigenschaften der Laplace-Transformation Beispiel 1: Berechnen Sie die Laplacetransformierte der nachfolgenden Signale mithilfe des Superpositionssatzes und führen Sie mit Mathcad eine Rücktransformation durch. Stellen Sie die Signale unter der Annahme geeigneter Werte auch grafisch dar. a)
f ( t) = ( 3 10 t ) Φ ( t )
c)
f ( t) = 2 t 4 t 5 cos ( t ) Φ ( t)
2
t
b)
f ( t) = 5 e
d)
f ( t) = C 1 e
2 sin ( ω t) Φ ( t)
λt
Beispiel 2: Berechnen Sie die Laplacetransformierte der nachfolgenden Signale mithilfe der Verschiebungssätze und führen Sie mit Mathcad eine Rücktransformation durch. Stellen Sie die Signale unter der Annahme geeigneter Werte auch grafisch dar.
§ ©
a)
f ( t) = sin ¨ t
d)
f ( t) = e
t a
π·
¸ Φ ( t)
2¹
Φ ( t)
b)
f ( t) = sin ( t 2) Φ ( t)
e)
f ( t) = cos ( t 4)
2
c)
f ( t) = ( t 5) Φ ( t)
f)
f ( t) = ( t 3) Φ ( t )
2
Beispiel 3: Berechnen Sie die Laplacetransformierte der nachfolgenden Signale mithilfe des Ähnlichkeitsatzes und führen Sie mit Mathcad eine Rücktransformation durch. Stellen Sie die Signale unter der Annahme geeigneter Werte auch grafisch dar. a)
2
f ( t) = ( 2 t) Φ ( t)
b)
f ( t) = cos ( 4 t ) Φ ( t)
c)
2
f ( t) = sin ( ω t) Φ ( t )
Beispiel 4: Berechnen Sie die Laplacetransformierte der nachfolgenden Signale mithilfe des Dämpfungssatzes und führen Sie mit Mathcad eine Rücktransformation durch. Stellen Sie die Signale unter der Annahme geeigneter Werte auch grafisch dar. a)
2t
f ( t) = 2 e
Φ ( t)
b)
4t
f ( t) = t e
c)
Φ ( t)
3t
f ( t) = e
cos ( 2 t ) Φ ( t)
Beispiel 5: Berechnen Sie die Laplacetransformierte der nachfolgenden Signale mithilfe des Ableitungssatzes für Originalfunktionen die 1. Ableitung und führen Sie mit Mathcad eine Rücktransformation durch (f(0) = 0). Stellen Sie die Signale unter der Annahme geeigneter Werte auch grafisch dar. a)
f ( t) = sinh ( a t ) Φ ( t)
b)
4
f ( t) = t Φ ( t)
c)
f ( t) = sin ( ω t π) Φ ( t )
Beispiel 6: Berechnen Sie die Laplacetransformierte der folgenden Differentialgleichungen: a)
2 y' ( t) 3 y ( t) = t
y(0) = 0
b)
2 y'' ( t) 5 y' ( t) 4 y ( t) = 0
Seite 454
y(0) = 1, y'(0) = 2
Anhang Übungsbeispiele
Beispiel 7: Berechnen Sie die Laplacetransformierte des Ableitungssatzes für Bildfunktionen und führen Sie mit Mathcad eine Rücktransformation durch. Geg.:
f ( t) = sin ( ω t ) Φ ( t)
F ( s) =
ω 2
2
s ω Ges:
2
und
f 1 ( t) = t sin ( ω t) Φ ( t)
f 2 ( t) = t sin ( ω t ) Φ ( t)
Beispiel 8: Berechnen Sie unter Verwendung des Integralsatzes für Originalfunktionen die Laplacetransformierten der folgenden Integrale: t
t
a)
´ µ cos ( τ) dτ ¶
b)
0
´ 3 µ τ dτ ¶ 0
Beispiel 9: Bestimmen Sie aus f(t) = sin(Z t) unter Verwendung des Integralsatzes für Bildfunktionen die sin ( ω t) . Laplacetransformierte von g ( t) = t Beispiel 10: Bestimmen Sie mithilfe des Faltungssatzes die zur Bildfunktion gehörige Originalfunktion f(t). a)
F ( s) =
2 s
s2 1
2
b)
F ( s) =
1 ( s 4) ( s 2)
Beispiel 11: Berechnen Sie mithilfe des Faltungssatzes folgende Faltungsprodukte: t * e-t , et * cos(t). Beispiel 12: Welchen Anfangswert und Endwert besitzen die zu den nachfolgend gegebenen Bildfunktionen zugehörigen Originalfunktionen f(t)? Bestimmen Sie auch die Originalfunktionen. a)
F ( s) =
3 s ( s 1)
b)
F ( s) =
2 s 2
s 8
1 s
2
Seite 455
s
c)
F ( s) =
e s1 s
2
Anhang Übungsbeispiele
5.3 Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich Beispiel 1: Die gegebenen Bildfunktionen sollen zuerst mittels Partialbruchzerlegung umgeformt und dann rücktransformiert werden. Zur Kontrolle soll eine Rücktransformation direkt mit Mathcad durchgeführt werden.
a)
d)
F ( s) =
F ( s) =
1
b)
s ( s a) U0 L
2
s
2
F ( s) =
2 s 2 s 4 ( s 5)
1 2
2
e)
F ( s) =
s s 2 δ ω0
c)
3
2
f)
F ( s) =
s s 2 s 2
Bestimmen Sie die Lösung folgender inhomogenen linearen Differentialgleichungen 1.Ordnung:
b)
c)
d dt
d
y ( t) 3 y( t) = t
Anfangswert: y(0) = 2
y ( t) 2 y ( t) = cos ( t)
Anfangswert: y(0) = 4
3
dt
d dt
t
y ( t) y ( t) = e
Anfangswert: y(0) = 1
Beispiel 2: Bestimmen Sie die Lösung folgender inhomogenen linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung:
a)
2
d
dt
b)
y ( t) 2 y' ( t) y ( t) = cos ( 2 t )
Anfangswerte: y(0) = 1 und y'(0) = 0
y( t) y( t) = t
Anfangswerte: y(0) = 1 und y'(0) = 1
y ( t) 6 y' ( t) 10 y ( t ) = 30 cos ( 2 t )
Anfangswerte: y(0) = 0 und y'(0) = 0
2
d
dt
c)
2
2
2
d
dt
2
Seite 456
2 3
s ( s 1) ( s 2)
Beispiel 1:
2
1
5 s 2 2
5.4 Anwendungen der Laplace-Transformation 5.4.1 Lösungen von Differentialgleichungen
a)
s
( s 1) ( s 1)
4 2
F ( s) =
1
Anhang Übungsbeispiele
Beispiel 3: Für ein schwingungsfähiges mechanisches System mit der Masse m = 2 kg und der Federkonstante k = 2 N/m, das auf ein fahrbares Fahrgestell aufgebaut ist und mit einer konstanten Beschleunigung a = 2m/s2 beschleunigt wird, gilt folgende Differentialgleichung: 2
m
d
dt
2
x ( t) k x( t) = m a Φ ( t)
k 2 ω0 = m
Lösen Sie die Differentialgleichung für die Anfangswerte x(0 s) = 0 m und v(0 s) = x'(0 m) = 0m/s und stellen Sie die Lösung grafisch dar.
5.4.2 Laplace-Transformation in der Netzwerkanalyse Beispiel 1: Wie reagiert der Strom i(t) in einem L-C-Zweipol auf eine sprunghafte Änderung einer angelegten Spannung u(t) = U0 )(t). Zum Zeitpunkt t = 0 s gilt: i(0 s) = 0 A. Stellen Sie i(t) grafisch dar.
Gegebene Daten: Angelegte Spannung: U0 = 10 V Induktivität: L = 1 H Kapazität: C = 25 PF 1 2 ω0 = L C
Beispiel 2: Wie reagiert der Strom i(t) in einem R-C-Zweipol auf eine sprunghafte Änderung einer angelegten Spannung u(t) = U0 )(t). Zum Zeitpunkt t = 0 s gilt: i(0 s) = 0 A. Stellen Sie i(t) grafisch dar. Gegebene Daten: Angelegte Spannung: U0 = 100 V Widerstand: R1 = 100 : Widerstand: R2 = 500 : Kapazität: C = 20 PF τ = R C
Seite 457
1 R
=
1 R1
1 R2
Anhang Übungsbeispiele
5.4.3 Übertragungsverhalten von Systemen Beispiel 1: Übertragungsverhalten eines Tiefpassfilters: Unter der Annahme, das System ist energielos zum Zeitpunkt t = 0, ist das Verhalten der nachfolgenden Schaltung mit R = 5 k: und C = 1 PF beim Anlegen eines Spannungsimpulses ue (t) =U0 )(t) = 1 V )(t) gesucht. Die Sprungantwort ua (t) und deren Anlauftangente für t = 0s ist grafisch darzustellen. Für den Tiefpassfilter sollen auch jeweils der Amplitudengang und der Phasengang im Bereich von f = 0.01 Hz und f = 10 MHz dargestellt werden. Da der Amplituden- und der Phasengang normalerweise halblogarithmisch mit der Variablen f dargestellt wird, empfiehlt es sich, die Variable f exponentiell laufen zu lassen, damit sie im Grafen äquidistante Werte annimmt. Für den Amplitudengang ist zusätzlich noch eine doppeltlogarithmische Darstellung zu verwenden. Außerdem ist die Grenzfrequenz fg = 1/(2SRC) zu berechnen und in die Grafen einzutragen.
Beispiel 2: Unter der Annahme, das System ist zum Zeitpunkt t = 0 energielos, ist das Verhalten der nachfolgenden Schaltung mit R = 5 k: und C = 1 PF beim Anlegen einer Spannung ue (t) =U0 sin(Zt) )(t) = 1 V sin( 3 s-1 t) )(t) gesucht. Die Sprungantwort ua (t) ist grafisch darzustellen.
Beispiel 3: An einem RLC-Filter (Bandsperre) sollen die Übertragungsfunktion, der Amplitudengang, der Phasengang, die obere und untere Grenzfrequenz und die Grafen des Amplituden- und Phasenganges, ermittelt und interpretiert werden.
Vorgegebene Daten: L = 0.1 H R = 500 : C = 1 PF
Seite 458
Anhang Übungsbeispiele
1. Leiten Sie die Übertragungsfunktion G(Z) her. Untersuchen Sie die Sprungantwort des Filters auf eine Gleichspannung mit Amplitude U0 = 1 V. 2. Bestimmen Sie den Amplitudengang A(Z). 3. Bestimmen Sie den Phasengang M(Z). 4. Berechnen Sie die Bandmittenfrequenz Z0 , die untere Grenzfrequenz Zgu und die obere Grenzfrequenz Zgo (aus A ( ω) =
1 2
).
5. Stellen Sie den Amplituden- und Phasengang grafisch dar und interpretieren Sie die Grafik.
6. z-Transformation 6.1 z-Transformationen elementarer Funktionen Beispiel 1: Bestimmen Sie die z-Transformierte der Folge ... f(-2) = 0, f(-1) = 0, f(0) = 2, f(1) = 4, f(2) = 6, f(3) = 4, f(4) = 2, f(5) = 0, f(6) = 0, ... Geben Sie den Konvergenzbereich der Bildfunktion an und stellen Sie die Folge grafisch dar. Beispiel 2: Gegeben ist die z-Transformierte F(z) = 2 + 4 z -1 + 6 z -2 + 4 z -3 + 2 z -4 . Wie lautet die zugehörige Folge im Originalbereich? Stellen Sie die Folge grafisch dar. Beispiel 3: Bestimmen Sie die z-Transformierte der zeitdiskreten Einheitssprungfolge f(n) =3 )(n). Nach der z-Transformation führen Sie auch die Rücktransformation mit Mathcad durch. Stellen Sie die Folge f(n) grafisch dar. Beispiel 4: Bestimmen Sie die z-Transformierte des Einheitsimpulses oder Dirac-Deltaimpulses f(n) = 5 G(n). Nach der z-Transformation führen Sie auch die Rücktransformation mit Mathcad durch. Stellen Sie die Folge f(n) grafisch dar. Beispiel 5: Das nachfolgend angegebene Signal u(t) (Rampe) wird mit einer Abtastzeit TA = 2 ms abgetastet. Bestimmen Sie die z-Transformierte dieses abgetasteten Signals. ms 10 u ( t)
3
Einheitendefinition
s
0 V if t 2 ms 3 4
V ms
( t 2 ms) if 2 ms d t d 10 ms
Gegebenes Signal
0 V otherwise
Seite 459
Anhang Übungsbeispiele
Beispiel 6: Der Zusammenhang zu einem kontinuierlichen Sinussignal cos(Z t) ergibt sich durch cos(Z n TA) = cos(n :0 ) mit :0 = 2 S f TA und f = fA/N. Für eine rechtsseitige Kosinusfolge f(n) = cos(n :0 ) soll die z-Transformierte bestimmt werden. Ω0
π
normierte Frequenz
6
6.2 Eigenschaften der z-Transformation Beispiel 1: Führen Sie eine z-Transformation und Rücktransformation der Folge f(n) = 0.9n V(n) - 0.5n V(n) (n t 0) durch (Superpositionssatz). Beispiel 2: Bestimmen Sie die z-Transformierte der nachfolgend angegebenen Folge (Zeitverschiebungssatz). f ( n) =
n2
a
if n t 2 a 1
gegebene Folge
0 otherwise Beispiel 3: Wie lautet die z-Transformierte der Folge f(n) = 0.5n sin(n :0 ) (Modulationssatz)? Beispiel 4: Wie lautet die z-Transformierte der Folge f(n) = n 0.5n (Differentiation im z-Bereich)? Beispiel 5: Bestimmen Sie die z-Transformierte des Faltungsproduktes f1 (n) * f2 (n) der nachfolgend angegebenen Folgen. f1 ( n) Φ ( n) Φ ( n 1) n
f2 ( n)
§ 6 · Φ ( n) ¨ ¸ © 10 ¹
Beispiel 6: Bestimmen Sie den Anfangs- und Endwert der nachfolgend gegebenen z-Transformierten und führen Sie dann eine Rücktransformation mit Mathcad durch. 2
F ( z)
z 0.8 z 1 2
gegebene z-Transformierte
z 1.4 z 0.4
Seite 460
Anhang Übungsbeispiele
6.3 Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich Beispiel 1: Die nachfolgend angegebene z-Transformierte F(z) soll mithilfe der Partialbruchzerlegung rücktransformiert werden. Die Rücktransformation soll auch mithilfe von Mathcad durchgeführt werden. Die Nullstellen und die Polstellen von F(z) und die Rücktransformierte f(n) sollen grafisch dargestellt werden. 3 F ( z)
5 6
z
1
§ 1 z 1· § 1 1 z 1· ¨1 ¸ ¨ ¸ 3 4 © ¹ © ¹
gegebene z-Transformierte
6.4 Anwendungen der z-Transformation 6.4.1 Lösungen von Differenzengleichungen Beispiel 1: Lösen Sie die nachfolgende inhomogene lineare Differenzengleichung mithilfe einer Transformationstabelle und mithilfe von Mathcad. Die Anfangsbedingung lautet: y(0) = 2. y ( n 1)
1 3
mit
y ( n) = x ( n)
x ( n) = 4 δ ( n)
gegebene Differenzengleichung
Beispiel 2: Lösen Sie die nachfolgende inhomogene lineare Differenzengleichung mithilfe einer Transformationstabelle und mithilfe von Mathcad. Die Anfangsbedingung lautet: y(0) = y0 = 1. n
gegebene Differenzengleichung
y ( n 1) 2 y ( n) = n 3 Beispiel 3:
Lösen Sie die nachfolgende inhomogene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung. Die Anfangsbedingungen lauten: y(0) = y0 = 0 und y(1) = y1 = 1. y ( n 2)
1 2
n
y ( n 1) 3 y ( n) = 3
gegebene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung
6.4.2 Übertragungsverhalten von Systemen Beispiel 1: Wie lautet die Übertragungsfunktion G(z) der gegebenen Differenzengleichung mit verschwindenden Anfangsbedingungen? Wie lautet die Impulsantwort g(n) und der Frequenzgang G(:) des Systems? y ( n)
1 4
y ( n 1) = x ( n)
1 5
x ( n 1)
gegebene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Seite 461
Anhang Übungsbeispiele
Beispiel 2: Die Differenzengleichung eines FIR-Filters, das am Ausgang den Mittelwert der letzten 3 Signalwerte ausgibt, lautet: y ( n) =
1 3
x ( n)
1 3
x ( n 1)
1 3
x ( n 2)
gegebene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Wie lautet die Übertragungsfunktion G(z) der gegebenen Differenzengleichung mit verschwindenden Anfangsbedingungen? Beispiel 3: Wie lautet die Übertragungsfunktion G(z) der gegebenen Differenzengleichung mit verschwindenden Anfangsbedingungen? Wie lauten die Impulsantwort g(n) und der Frequenzgang und Phasengang des Systems? gegebene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
y ( n) 0.5 y ( n 1) = x ( n) Beispiel 4:
Wie lautet die Übertragungsfunktion G(z) der gegebenen Differenzengleichung mit verschwindenden Anfangsbedingungen? Wie lauten die Impulsantwort g(n) und der Frequenzgang und Phasengang des Systems? y ( n)
1 2
y ( n 1) = x ( n)
1 3
x ( n 1)
gegebene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
7. Differentialgleichungen 7.2.1 Die gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung Beispiel 1: Für die gegebene Differentialgleichung soll das Richtungsfeld im Intervall [xa , xe ] = [-3, 3] und die exakte Lösung durch den Punkt P(2|0) im Richtungsfeld dargestellt werden. Die Lösung soll auch mit dem Euler-Verfahren und Runge-Kutta-Verfahren angenähert werden. y' ( x) 5 x = 0
Um welche Differentialgleichung handelt es sich?
Beispiel 2: Für die gegebene Differentialgleichung soll das Richtungsfeld im Intervall [xa , xe ] = [-3, 3] und die exakte Lösung durch den Punkt P(1|2) im Richtungsfeld dargestellt werden. Die Lösung soll auch mit dem Euler-Verfahren und Runge-Kutta-Verfahren angenähert werden. y' ( x) 2 y = 0
Um welche Differentialgleichung handelt es sich?
Beispiel 3: Für die gegebene Differentialgleichung soll das Richtungsfeld im Intervall [xa , xe ] = [-2, 2] und die exakte Lösung durch den Punkt P(0|2) im Richtungsfeld dargestellt werden. Die Lösung soll auch mit dem Euler-Verfahren und Runge-Kutta-Verfahren angenähert werden. y' ( x) x y = 0
Um welche Differentialgleichung handelt es sich?
Seite 462
Anhang Übungsbeispiele
Beispiel 4: Die Geschwindigkeitsverteilung eines strömenden Flusses von der Breite 2 a = 100 m und der Geschwindigkeit v0 = 2 m/s in der Mitte des Flusses sei als Funktion des Abstandes x von der 2 § x ·¸ ¨ . Mittellinie als parabolisch angenommen: vF ( x) = v0 1 ¨ 2¸ a ¹ ©
An den Ufern, d. h. an den Randstellen x = -a und x = a, ist die Flussgeschwindigkeit vF = 0. Ein Schwimmer mit der Eigengeschwindigkeit vE = konst. schwimmt, um den Fluss möglichst schnell zu überqueren, relativ zum Flusse in Richtung der positiven x-Achse senkrecht zur Strömungsrichtung. Bestimmen Sie die möglichen durchschwommenen absoluten Bahnen und eine bestimmte Bahn, wenn der Schwimmer im Punkt P(-a | 0 m) startet? Wie weit wird der Schwimmer abgetrieben? Anleitung: Stellen Sie das Problem grafisch dar.
tan ( α) =
d dx
y=
vF Um welche Differentialgleichung handelt es sich?
vE
Beispiel 5: Wie lautet die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung? Um welche Differentialgleichung handelt es sich? y ( x) y' ( x) x = 0 Beispiel 6: Wie lautet die Lösung der gegebenen Differentialgleichung, wenn sie durch den Punkt P(
π 4
gehen soll? Um welche Differentialgleichung handelt es sich? 2
y' ( x) y ( x) 1 = 0 Beispiel 7: Lösen Sie folgende Differentialgleichung. Um welche Differentialgleichung handelt es sich? x y' ( x) y x = 0 (x z0) Beispiel 8: Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem y(2) = 2 und stellen Sie die Kurve in einem Polarkoordinatenpapier dar. Um welche Differentialgleichung handelt es sich? y' ( x) = 5
x y x y
(x zy)
Beispiel 9: Wie lautet die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung? Um welche Differentialgleichung handelt es sich?
x2 2 y(x) y' (x) 2 x y(x) = 0 Seite 463
|
3)
Anhang Übungsbeispiele
Beispiel 10: Lässt sich die gegebene Differentialgleichung durch Multiplikation mit dem Faktor 1/x2 in eine exakte Differentialgleichung überführen? Wenn ja, dann lösen Sie diese Differentialgleichung. y ( x) x ( 2 x y ( x) 1) y' ( x) = 0 Beispiel 11: Exponentielles Wachstum tritt immer dann auf, wenn die Änderung der Zahl der Individuen einer Population (Frösche oder Seerosen in Teich, Bakterien in Nährlösung, verzinstes Kapital oder Entnahme der Zinserträge usw.) sich proportional zur Zahl der Individuen und einer Vermehrungsrate verändert. Die Differentialgleichung dN = O N dt beschreibt solche Zusammenhänge. Lösen Sie sie unter der Anfangsbedingung N(t = 0) = N0 . Beispiel 12: Wie lautet die Lösung der Differentialgleichung eines Sonderfalls des beschränkten Wachstums? Um welche Differentialgleichung handelt es sich? d dx
g ( x) = k ( G g ( x) )
k und G sind Konstanten.
Beispiel 13: Lösen Sie mit verschiedenen Methoden folgende Differentialgleichungen und bestimmen Sie den Typ der Differentialgleichung. Machen Sie auch eine Probe. a)
b)
c)
d)
d dx d dx d dx d dx
y ( x)
4 x
y ( x) = 2 x
4 x
y ( x) 5 y ( x) = 26 sin ( x)
s1 ( x)
s1 ( x) x
= cos ( x)
s1 ( x) tan ( x) s1 ( x) = 2 sin ( x)
Beispiel 14: Wie reagiert der Strom i(t) in einem R-L-Zweipol auf eine sprunghafte Änderung der Spannung U(t) = U0 )(t) von außen? Lösen Sie das Problem exakt mithilfe der Lösungsformel, mithilfe der Laplace-Transformation und mithilfe eines Näherungsverfahrens unter der Annahme, dass zum Zeitpunkt t = 0 s der Strom i(0 s ) = 0 A ist. Stellen Sie mit selbst gewählten Werten dieses Problem auch grafisch dar. Für die Summe der Spannungen gilt: uL(t) + uR(t) = U0 . Beispiel 15: Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit vmax =
lim
v ( t) die eine fallende Kugel der Masse m
to∞
erreicht, wenn der Luftwiderstand mit FL = -k v(t) angesetzt wird und die Erdanziehung als konstant angenommen wird?
Seite 464
Anhang Übungsbeispiele
Beispiel 16: Unter der Annahme, dass ein Körper zum Zeitpunkt t = 0 h die Anfangstemperatur -a = 20 °C hat und mit einer Umgebungstemperatur -u = 80 °C (-u > -a ) aufgewärmt wird, gilt folgende Differentialgleichung: d- = -k (- - -u) dt. Wie lautet die Funktion für den Aufwärmvorgang, wenn nach 1 h der Körper eine Temperatur von 70 °C hat? Stellen Sie das Problem grafisch mit Anlauftangente dar. Beispiel 17: Ein PT1 -Regelkreis wird durch die nachfolgend gegebene Differentialgleichung beschrieben. Dabei ist ue (t) = U0 )(t) das konstante Eingangssignal und ua (t) das gesuchte Ausgangssignal. Für das Ausgangssignal gilt: ua ( 0 s) = 0V. T bedeutet die Zeitkonstante und K den Beiwert. Lösen Sie dieses Problem und stellen Sie es durch selbstgewählte Werte grafisch dar. T
d dt
ua ( t) ua ( t) = K ue ( t)
Beispiel 18: Die Aufladung eines Kondensators mit der Kapazität C über einen Ohm'schen Widerstand wird durch die gegebene Differentialgleichung beschrieben. Wie lautet die Lösung für das Anfangswertproblem uc (0 s) = 0 V? Stellen Sie die Lösung und ihre Anlauftangente für R = 1 k:, C = 20 PF und U 0 = 220 V dar. R C
d dt
uC ( t) uc ( t) = U0
Beispiel 19: Lösen Sie näherungsweise mit rkfest, Rkadapt und Bulstoer die gegebene Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung y(0) = 1/2 und vergleichen Sie die Näherungslösungen mit der gegebenen exakten Lösung im Intervall [0, 4]. Um welche Differentialgleichung handelt es sich? 2
y' ( x) = y ( x) ( cos ( x) sin ( x) ) y ( x)
y ( x) =
1 x
exakte Lösung
2 e sin ( x) Beispiel 20: Ein Ball m0 0.2 kg, r 0.2 m, c w 0.4 wird mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 10 m/s lotrecht nach oben geworfen. Durch den Luftwiderstand FR, der quadratisch mit der Geschwindigkeit steigt, wird die Bewegung beeinflusst. Die Dichte der Luft sei ρ 1.3 kg/m 3 . Bestimmen Sie aus der zugehörigen Differentialgleichung y(t) und v(t) und mithilfe des Differenzenquotienten die Funktion a(t). Stellen Sie das Problem grafisch dar.
Seite 465
Anhang Übungsbeispiele
Erdbeschleunigung
g 9.81 2
Querschnittsfläche
A r π K
cw A ρ
Konstanter Produktfaktor
2 m0
v0 10
Anfangsgeschwindigkeit (v(t = 0) = v0 )
ρ 2 FR = c w A v ( t ) 2
Reibungskraft
7.2.2 Die gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung Beispiel 1: Wie lautet das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz v(t) und Weg-Zeit-Gesetz s(t) eines Körpers für den senkrechten Wurf nach oben (ohne Luftwiderstand)? Die Anfangsbedingung lautet: s(0 s) = 0 m und s'(0 s) = v(0 s) = v0 gelten. Beispiel 2: Wie lautet die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung y(0) = 1 und y'(0) = 2? y'' ( x) cos ( x) y' ( x) sin ( x) = 0 Beispiel 3: Wie lautet die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung? y'' ( x) y' ( x) 1 = 0 Beispiel 4: Wie lautet die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung? y( x)
Anleitung: Substitution u =
y'' ( x) = e
´ 2 e C1 und 2 µ µ µ ¶ y
Beispiel 5:
´ 2 µ µ du = 2 C1 µ u C1 µ µ ¶ 1
Wie lautet jeweils die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung? a)
y'' ( x) 2 y' ( x) 3 y ( x) = 0
b)
2
2
d
dt c)
2
x ( t) 20
d dt
x ( t) 50 x ( t ) = 0
y'' ( x) 4 y' ( x) 13 y ( x) = 0
Seite 466
1
§ u · 1 ¨ ¸ © C1 ¹
du
Anhang Übungsbeispiele
Beispiel 6: Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme exakt, mithilfe der Laplace-Transformation und mithilfe numerischer Methoden: a)
y'' ( x) y' ( x) 6 y ( x) = 0
y(0) = 2 und y'(0) = 0
b)
y'' ( x) 4 y' ( x) 5 y ( x) = 0
y(0) = S und y'(0) = 0
c)
4
2
d
dt
2
x ( t) 4
d dt
x(0) = 5 und x'(0) = -1
x( t) x( t) = 0
Beispiel 7: Besitzt die gegebene Differentialgleichung die linear unabhängigen Lösungen x1 und x2 ? x'' ( t) 2 x' ( t) 2 x ( t) = 0 t
x1 ( t) = e
t
cos ( t)
x2 ( t ) = e
sin ( t )
Beispiel 8: Ein einseitig eingespannter homogener Balken (Kragbalken) der Länge L wird am freien rechten Ende durch eine Kraft F nach unten gebogen. Wie lautet die Gleichung der Biegelinie y(x), wenn y(0) = 0 und y'(0) = 0 gegeben sind. Wie groß ist die größte Durchbiegung ymax ? y'' ( x) =
M ( x) EI
mit
zugehörige Differentialgleichung
M ( x) = F ( L x)
Beispiel 9: Einer auf zwei Auflager in A und B gestützter Träger mit der Länge L wird durch eine Dreieckslast belastet. Wie lautet die Gleichung der Biegelinie und die Durchbiegung bei x = L/3 und x = 2/3 L? Es gelte die Randbedingung y(0) = 0 und y(L) = 0.
y'' ( x) =
M ( x) EI
mit
M ( x) =
F 3
§
x ¨1
¨ ©
2·
x
¸
2¸
L
zugehörige Differentialgleichung
¹
Beispiel 10: Die Nickbewegung eines Kraftfahrzeuges unmittelbar nach dem Stillstand beim Bremsen kann in einer Näherung als gedämpfte Drehschwingung des Fahrzeuges um seinen Schwerpunkt angesehen werden. Lösen Sie die gegebene Differentialgleichung für M(0) = 0.1 und M'(0) = 0. 2
d
dt
2
φ ( t) 5.2 s
1 d
dt
φ ( t) 67.6 s
2
φ ( t) = 0
Seite 467
Anhang Übungsbeispiele
Beispiel 11: In einem elektromagnetischen Parallelschwingkreis ist L = 100 mH, C = 92 PF und R = 54.3 :. Zum Zeitpunkt t = 0 s gilt: u(0 s) = 5 V und u'(0 s) = 2.22 V/ms. Berechnen Sie G, Z, A und M und stellen Sie die Lösung der zugehörigen Differentialgleichung grafisch dar.
Beispiel 12: Wie lautet jeweils die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichungen? 2
a)
y'' ( x) y' ( x) 2 y ( x) = 3 x 4 x 5
b)
y'' ( x) 10 y' ( x) 25 y ( x) = 3 e
c)
y'' ( x) 2 y' ( x) 10 y ( x) = 3 sin ( 2 x)
5x
Beispiel 13: Lösen Sie folgende Anfangswertprobleme:
a)
2
d
dt
b)
x( t) 6
2
d
dt c)
2
2
x( t) 2
d dt d dt
x ( t) 10 x ( t ) = cos ( t )
x(0) = 0 und x'(0) = 3
x ( t) 17 x ( t ) = 2 sin ( 5 t )
y(S) = 0 und y'(S) = 1
2t
y'' ( x) 2 y' ( x) 3 y ( x) = e
y(0) = 0 und y'(0) = 1
Beispiel 14: Ein schwingungsfähiges mechanisches Feder-Masse-System mit den Kenngrößen m = 10 kg, E = 35 kg/s und k = 80 N/m wird durch eine von außen einwirkende Kraft F = 10 N sin(1s-1 t) zu erzwungenen Schwingungen angeregt. Zur Zeit t = 0 s soll y(0 s ) = 10 cm und y' (0 s) = 0 cm/s sein. Wie lautet die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung? Wie lautet die stationäre Lösung der Schwingungsgleichung? Stellen Sie die stationäre Lösung, die Resonanzamplitude und die Phasenverschiebung grafisch dar. Beispiel 15: Bei einem Serienschwingkreis LRC wird zum Zeitpunkt t = 0 s der Stromkreis geschlossen. Je nach Bauteilgrößen können verschiedene Schwingungsarten (Schwingungsfall (G < Z0 ), aperiodischer Grenzfall (G = Z0 ), kriechende Dämpfung (G >Z0 ) auftreten.
Seite 468
Anhang Übungsbeispiele
Gesucht: 1. Allgemeine Herleitung der Funktionen für die Spannungen uL, uR, uC und den Strom i. 2. Grafische Darstellung und Schwingungsart bei U 0 = 10 V, R = 100 :, C = 25 PF, L = 1 H. 3. Verhalten des Schwingkreises bei U 0 = 100 V, R = 1000 :, C = 6.25 PF, L = 1 H. a) Welcher Fall tritt bei der Schaltung auf? b) Spannungsverlauf uC = f(t) Es gilt:
i ( t) = C
d dt
c) Stromverlauf i = f(t) d) Maximaler Strom Imax
uC ( t)
Anfangsbedingungen: i(0 s) = 0 A und uC(0 s)= 0 V
Beispiel 16: Bilden die Lösungen x1 = x und x 2 =
x ein Fundamentalsystem für die gegebene
Differentialgleichung? y'' ( x)
1
y' ( x)
2 x
1 2
y ( x) = 0
2 x
Beispiel 17: Eine Rakete startet senkrecht von der Erde nach oben. Untersuchen Sie die Auswirkung eines exponentiell abnehmenden Luftwiderstandes. Die Erdbeschleunigung sei konstant. Stellen Sie das s-tund das v-t-Diagramm grafisch dar. g 9.81
konstante Erdbeschleunigung
m0 8000
Startmasse in kg
dm 45
Masseverlust in kg/s
FS 130000
Schubkraft in N
y ( 0) = 0
Anfangsauslenkung
y' ( 0) = 0
Anfangsgeschwindigkeit 0.00013y
exponentielle Abnahme der Luftdichte
ρ ( y) 1.3 e
m0 dm t
2
d
dt
2
2
s = FS m0 dm t g 0.8 ρ v
Seite 469
gegebene Differentialgleichung
Anhang Übungsbeispiele
Beispiel 18: Für die Bewegung eines Fadenpendels der Länge L = 0.5 m und der Masse m gilt für den Auslenkwinkel M(t) die nachfolgend gegebene Differentialgleichung. Das Pendel soll aus der Ruhelage heraus M(0) = 0 mit einer anfänglichen Winkelgeschwindigkeit von M'(0) = 1 in Bewegung gesetzt werden. Bestimmen Sie den Auslenkwinkel M(t) und die Winkelgeschwindigkeit M'(t) und stellen Sie diese Funktionen grafisch dar. 2
d
dt
2
φ ( t) =
g L
sin ( φ ( t) )
7.2.3 Die gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung Beispiel 1: Gegeben ist die nachfolgende Differentialgleichung 3. Ordnung mit den Anfangsbedingungen y(0) = y0 = 10, y'(0) = y'0 = 1 und y''(0) = y''0 = 0. Wie lautet die Lösung der Differentialgleichung? y''' ( x) 6 y'' ( x) 11 y' ( x) 6 y ( x) = 0 Beispiel 2: Gegeben ist die nachfolgende Differentialgleichung 3. Ordnung mit den Anfangsbedingungen y(0) = y0 = 0, y'(0) = y'0 = 0 und y''(0) = y''0 = 0. Wie lautet die Lösung der Differentialgleichung? 2 y''' ( x) 5 y'' ( x) 6 y' ( x) 2 y ( x) = 0 Beispiel 3: Gegeben ist die nachfolgende Differentialgleichung 4. Ordnung. Wie lautet die Lösung der Differentialgleichung ? 4
y ( x) 4 y''' ( x) 5 y'' ( x) 4 y' ( x) 4 y ( x) = 0 Beispiel 4: Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme:
a)
4
d
dt
4
2
dt
5
d b)
dt
5
d
y ( t) 10
2
y ( t) 9 y( t) = 0
3
x( t) 5
d
dt
3
x ( t) 4
d dt
x( t) = 0
y(S) = 6, y'(S) = 0, y''(S) = 0, y'''(S) = 0
x(0) = 0, x'(0) = 0, x''(S) = 0, x'''(0) = 0, x(4)(0) = 10
Seite 470
Anhang Übungsbeispiele
Beispiel 5: Wie lauten die allgemeinen Lösungen der folgenden Differentialgleichungen? a)
y''' ( x) 2 y'' ( x) y' ( x) = 5 cos ( x)
b)
y''' ( x) 3 y'' ( x) 3 y' ( x) = x 6 e
c)
y''' ( x) 3 y' ( x) 2 y ( x) = 2 cos ( x) 3 sin ( x)
d)
x ( t) 2 x'' ( t) x ( t) = t e
x
4
t
Beispiel 6: Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: 5
a)
v ( t) v' ( t ) = 2 t 2
v(0) = 1, v'(0) = -1, v''(0) = 1, v'''(0) = 0, v(4)(0) = -2
b)
y''' ( x) 9 y' ( x) = 18 x
y(S) = S2, y'(S) = 2 S, y''(S) = 10
Beispiel 7: Ein Druckstab der Länge L, der beidseitig gelenkig gelagert ist, ist von beiden Seiten längs des Stabes mit einer Kraft F eingespannt und wird sinusförmig belastet. Mit den Randbedingungen y(0) = y(L) = 0 und y''(0) = y''(L) = 0 soll die für dieses Problem gegebene Differentialgleichung gelöst werden. 4 § π x· E I y ( x) F y'' ( x) = Q0 sin ¨ ¸ © L ¹
E I bedeutet die konstante Biegesteifigkeit.
7.2.4 Differentialgleichungssysteme Beispiel 1: Wie lauten die Lösungen der gegebenen linearen Differentialgleichungssysteme? a)
y1' = 5 y1 y2 y2' = 4 y1 y2
b)
y1' = 3 y1 2 y2 y2' = 6 y1 3 y2
Beispiel 2: Wie lauten die Lösungen folgender Anfangswertprobleme? a)
y1' = 3 y1 5 y2
y1 (0) = 1, y2 (0) = 1
y2' = y1 y2 b)
y1' = y1 4 y2
y1 (0) = 0, y2 (0) = 2
y2' = y1 y2
Seite 471
c)
y1' = y1 2 y2 y2' = y2
Anhang Übungsbeispiele
Beispiel 3: Wie lauten die Lösungen des gegebenen linearen Differentialgleichungssystems? y1' = y2 y3 y2' = y1 y3 y3' = y1 y2 Beispiel 4: Wie lauten die Lösungen folgender Anfangswertprobleme? a)
y1 (0) = 0, y2 (0) = -1
y1' = 2 y1 2 y2 t t
y2' = 2 y1 3 y2 3 e t
b)
x1 (0) = - 0.5, x2 (0) = 0
x1' = x1 4 x2 e
t
y2' = y1 y2 2 e Beispiel 5:
Lösen Sie die gegebene lineare Differentialgleichung mithilfe des Runge-Kutta-Verfahrens für die Anfangsbedingungen y(0) = 2, y'(0) = 3, y''(0) = 0 im Intervall [xa , xe ] = [0, 10]. y''' ( x) 5 y'' ( x) 2 y' ( x) 3 y ( x) = 2 sin ( 2 x) Beispiel 6: Die Auslenkungen zweier gekoppelter Pendel aus der Ruhelage beschreibt das nachfolgend gegebene Differentialgleichungssystem. Führen Sie das System in ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung über und bestimmen Sie die Lösungen dieses Systems. y1'' ( x) = 7 y1 y2 y2'' = 4 y1 7 y2 Beispiel 7: Auf einer freidrehbaren Welle mit einer Drehfederkonstante c befinden sich 2 Drehmassen mit den Massenträgheitsmomenten J. Die Wellenenden sind mit den Massen starr eingespannt. M1 und M2 sind die Drehwinkel der beiden Massen, von einer Ausgangslage M = 0 ausgehend. Auf die Massen wirken dann Momente, die dem Betrage nach gleich sind. Das dynamische Grundgesetz der Drehung kann dann für jede Masse angeschrieben werden: 2
J
d
dt
2
J
d
dt
φ ( t) = c φ2 ( t ) φ1 ( t) 2 1
ω0 =
φ ( t) = c φ2 ( t) φ1 ( t) 2 2
2 c J
Seite 472
Anhang Übungsbeispiele
Bestimmen Sie die Eigenschwingungen dieses Torsionsschwingers mit den zugehörigen Eigenkreisfrequenzen Z mithilfe des Lösungsansatzes: φ1 ( t) = A1 sin ( ω t)
φ2 ( t) = A2 sin ( ω t) Stellen Sie die Eigenschwingungen mit selbst gewählten Größen grafisch dar. Beispiel 8: Ein Massenpunkt bewegt sich in der x-y-Ebene und genügt folgenden Differentialgleichungen: 2
d
dt
2
x( t) =
d dt
y( t)
2
d
d y( t) = x ( t) dt dt 2
Bestimmen Sie die Bahnkurve für die Anfangswerte x(0) = y(0) = 0, x'(0) = 0, y'(0) = 2 und stellen Sie die Bahnkurve grafisch dar. Beispiel 9: Lösen Sie analog das im Beispiel 7.65 dargestellte Problem für zwei gekoppelte Pendel.
8. Differenzengleichungen Beispiel 1: Ermitteln Sie die Lösung der folgenden Differenzengleichungen und stellen Sie das Ergebnis grafisch dar. Stellen Sie jeweils dafür einen Web-Plot her und untersuchen Sie, ob ein stabiler Fixpunkt vorliegt. a) yn = 1/2 yn-1 + 2; y0 = 8 b) yn = - 1/2 yn-1 + 4; y0 = 5 c) yn = 3/4 yn-1 + 0.25; y0 = 1 d) yn = - yn-1 + 4; y0 = 2 Beispiel 2: Ermitteln Sie die ersten 20 Glieder der Lösungsfolge der folgenden logistischen Differenzengleichungen und stellen Sie das Ergebnis grafisch dar. Stellen Sie jeweils dafür einen Web-Plot her und untersuchen Sie, ob ein stabiler Fixpunkt vorliegt. a) yn = 2 yn-1 (1- yn-1 ); y0 = 0.1 und y0 = 0.101 b) yn = 0.001 yn-1 (1000- yn-1 ); y0 = 1 Beispiel 3: Ermitteln Sie die ersten 50 Glieder der Lösungsfolge der folgenden nichtlinearen Differenzengleichungen und stellen Sie das Ergebnis grafisch dar. a) yn = 1.5 cos(yn-1 ); y0 = 0.5 b) yn = 4 cos(yn-1 ); y0 = 0.501
Seite 473
Anhang Übungsbeispiele
Beispiel 4: Ermitteln Sie die ersten 20 Glieder der Lösungsfolge der folgenden Differenzengleichungen 2. Ordnung und stellen Sie das Ergebnis grafisch dar. a) yn = yn-1 - 0.9 yn-2 ; y0 = 1 und y1 = 1 b) yn = yn-1 - 0.2 yn-2 ; y0 = 1 und y1 = 0 Beispiel 5: Der Umsatz eines Unternehmens steigt von einem anfänglichen Jahresumsatz von € 50 000 pro Jahr um durchschnittlich 3 %. Stellen Sie dazu eine Differenzengleichung auf und lösen Sie sie. Beispiel 6: Zu Beginn eines Jahres wird ein einmaliger Betrag von € 500 bei einer jährlichen Verzinsung von p = 4 % auf ein Sparkonto eingezahlt. Am Ende eines jeden Jahres wird € 20 abgehoben. Beschreiben Sie den Vorgang durch eine Differenzengleichung und lösen Sie sie. Stellen Sie das Ergebnis grafisch dar. Beispiel 7: Ermitteln Sie das Übertragungsverhalten eines RC-Gliedes für eine Eingangsfolge uen = U0 )(n) aus der Kenntnis seiner Reaktion auf das Anlegen einer Gleichspannung U0 = 10 V zur Zeit t = 0 s. Für diese Schaltung gelte für die Zeitkonstante W = R C = 0.1 s. Für die Spannung am Kondensator zur Zeit t t0 s gilt: ua (t) = U0 (1 - e - t/W). Hinweis: Ermitteln Sie die zugehörige Differenzengleichung aus der Spannung am Kondensator (uan-1 für tn-1 = (n-1) 't und uan für tn = n 't). Wählen Sie für die Abtastzeit 't = 0.01 s. Stellen Sie die Ausgangsfolgeglieder und die Eingangsfolgeglieder grafisch dar. Beispiel 8: Ein diskretes System ist durch die Differenzengleichung yn = 0.5 yn-1 + un-1 und y0 = 0 gegeben. Berechnen Sie seine a) Sprungantwort, d. h. un = )(n) b) Impulsantwort, d. h. un = G(n) Stellen Sie die Ausgangsfolgeglieder und die Eingangsfolgeglieder grafisch dar. Beispiel 9: Ein digitales Filter ist als diskretes System durch y n = 0.9048 yn-1 + un + un-1 und y0 = 0 gegeben. Zeigen Sie, dass sich das System wie ein Hochpass verhält (sinusförmige Eingangsfolgen mit niedrigeren Frequenzen werden stärker gedämpft als solche mit höheren Frequenzen), wenn a) un = sin(1/30 n) )(n) b) un = sin(3/10 n) )(n). Stellen Sie die Ausgangsfolgeglieder und die Eingangsfolgeglieder grafisch dar.
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Anhang Korrespondenztabellen
Korrespondenztabellen zur Laplace- und z-Transformation
Laplace-Transformierte
Stellvertretende Funktion f(t)
z-Transformierte
L { f(t) } = F(s) bzw. F(p)
oder Zahlenfolge f(t = n T) = f(t )
Z{f(tn)} = F(z)
n
mit f(t) = 0 für t < 0. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- nTs
n
e (n = 0, 1, ...) δ ( t n T) z -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 z 1 s z1 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 Tz t 2 2 s ( z 1) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 z1 2 2 t T z 3 3 s ( z 1) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------m
t
m 1
m
(m = 1, 2, ...)
T
m
z
z
m 1
.... m 1
s ( z 1) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 z z at (a ) e = aT sa z za ze -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------z n alternierende 1 z1 z n n diskrete Folgen a = a cos ( n π) za -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
1
s ( s a)
a
§ 1 e aT · z ¨ ¸ a © ¹ ( z 1) z e aT
at
1e
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 1 at bt e e ( s a) ( s b) ba 1 z z § · aT bT ¸ b a ¨ ze ©z e ¹ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
( b a) s
bt
b e
( s a) ( s b)
aT
z ª¬z ( b a) b e
at
a e
¼
bT º
a e
z e aT z e bT Seite 475
Anhang Korrespondenztabellen
Laplace-Transformierte
Stellvertretende Funktion f(t)
z-Transformierte
L { f(t) } = F(s) bzw. F(p)
oder Zahlenfolge f(t = n T) = f(t )
Z{f(tn)} = F(z)
n
mit f(t) = 0 für t < 0. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
aT
Te
at
( s a)
te
2
z
z e aT 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------m
t
m 1
m
at
e
m
d
(m = 1, 2, ...)
z
§
m¨
·
aT ¸
da © z e ¹ ( s a) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ω sin ( ω T) sin ( ω t ) z 2 2 2 s ω z 2 cos ( ω T) z 1 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s z cos ( ω T) cos ( ω t ) z 2 2 2 s ω z 2 cos ( ω T) z 1 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s sin ( φ) ω cos ( φ) z sin ( φ) sin ( ω T φ) sin ( ω t φ) z 2 2 2 s ω z 2 cos ( ω T) z 1 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ω
at
2
2
e
aT
sin ( ω t )
z
e 2
sin ( ω T)
aT
2aT
cos ( ω T) z e ( s a) ω z 2 e -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------sa
at
2
2
e
aT
cos ( ω t ) z
ze 2
cos ( ω T)
aT
2aT
cos ( ω T) z e ( s a) ω z 2 e -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------( s a) sin ( φ) ω cos ( φ) 2
2
at
e
aT
sin ( ω t φ)
z
z sin ( φ) e 2
sin ( ω T φ)
aT
2aT
cos ( ω T) z e ( s a) ω z 2 e -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 ω s
s2 ω2
2
t sin ( ω t )
Tz
z2 1 sin (ω T)
z2 2 cos (ω T) z 1
2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
2
s ω
s2 ω2
2
t cos ( ω t)
Tz
z2 1 cos (ω T) 2 z 2 z2 2 cos (ω T) z 1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
a
s ( s a)
at
2
1e
( 1 a t)
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z z1
z za
aT
a T e
z
z e aT 2
Anhang Literaturverzeichnis
Literaturverzeichnis Dieses Literaturverzeichnis enthält einige deutsche Werke über Mathcad, Algebra, Analysis und Differential- und Integralrechnung. Es sollte dem Leser zu den Ausführungen dieses Buches bei der Suche nach vertiefender Literatur eine Orientierungshilfe geben. BENKER, H. (2005). Differentialgleichungen mit Mathcad und Matlab. Berlin: Springer. BLATTER, C. (1992). Analysis 2. Berlin: Springer. FICHTENHOLZ, G. M. (1978). Differential- und Integralrechnung II. Berlin: VEB. FORSTER, O. (1999). Analysis 3. Wiesbaden: Vieweg. FÖLLINGER, O. (1993). Laplace- und Fourier-Transformation. Heidelberg: Hüthig. GÖTZ, H. (1990). Einführung in die digitale Signalverarbeitung. Stuttgart: Teubner. HESSELMANN, N. (1987). Digitale Signalverarbeitung. Würzburg: Vogel. KLINGEN, F. (2001). Fouriertransformation für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Berlin: Springer. KRÜGER, K. (2001). Transformationen. Wiesbaden: Vieweg. LEUPOLD, W. (1982). Mathematik Band III. Thun und Frankfurt/Main: Harri Deutsch. LEUPOLD, W. (1987). Analysis für Ingenieure. Thun und Frankfurt/Main: Harri Deutsch. MAEYER, M. (1998). Signalverarbeitung. Braunschweig - Wiesbaden: Vieweg. MARKO, H. (1995). Methoden der Systemtheorie. Berlin: Springer. MEYBERG, K., VACHENAUER, P. (1997). Höhere Mathematik 2. Berlin: Springer. PAPULA, L. (2001). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 1. Wiesbaden: Vieweg. PAPULA, L. (2001). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 2. Wiesbaden: Vieweg. RAUERT, H., FISCHER, I. (1978). Differential- und Integralrechnung II. Heidelberg: Springer. SCHLÜTER, G. (2000). Digitale Regelungstechnik. Leipzig: Fachbuchverlag. TRÖLSS, J. (2008). Angewandte Mathematik mit Mathcad (Lehr- und Arbeitsbuch). Band 1: Einführung in Mathcad. Wien: Springer. TRÖLSS, J. (2008). Angewandte Mathematik mit Mathcad (Lehr- und Arbeitsbuch). Band 2: Komplexe Zahlen und Funktionen, Vektoralgebra und analytische Geometrie, Matrizenrechnung, Vektoranalysis. Wien: Springer. TRÖLSS, J. (2008). Angewandte Mathematik mit Mathcad (Lehr- und Arbeitsbuch). Band 3: Differential- und Integralrechnung. Wien: Springer. WAGNER, A. (2001). Elektrische Netzwerkanalyse. Norderstedt: BoD. WALTER, W. (1995). Analysis 2. Berlin: Springer. WÜST, R. (1995). Höhere Mathematik für Physiker. Berlin: Walter de Gruyter.
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Anhang Sachwortverzeichnis
Sachwortverzeichnis A
D
Abklingkonstante 307 Ableitungssatz 147, 149 absoluter Fehler 28, 31 absolute Konvergenz 8 Abtastfrequenz 96, 192 Abtastraten 96 Abtaststellen 95 Abtasttheorem 96 Abtastwerte 94, 95 Abtastzeitpunkte 94, 192 Ähnlichkeitssatz 122, 145 Airy'sche Differentialgleichung 350 Aliasing 96 alternierende Reihe 3, 8 Amplitude 56 Amplitudengang 82, 185 Amplitudenspektrum 56, 71, 112 Anfangsbedingungen 245, 248 Anfangswertaufgaben 249, 292 Anfangswerttheorem 153, 210 Ankerstrombelag 77 Ansatzmethode 243, 244, 293 aperiodischer Grenzfall 308 aperiodisches Signal 109, 112 Approximationsfunktionen 17 Approximationspolynom 20 arithmetische Reihe 2, 4
Dämpfungsexponent 307 Dämpfungssatz 146 DFT 94, 98 Dichtefunktion 48, 49 Differentiation im z-Bereich 206 Differentiation im Zeitbereich 125 Differentialgleichungen 160 Differentialgleichung 1. Ordnung 249 Differentialgleichungssysteme 245, 248, 381 Differenzengleichung 218, 219, 241, 417 Differenzierglied 177 Dirac-Impuls 117, 197 Dirichlet 54 Discrete Fourier Transform 98 Diskrete Fourier-Transformation 94 Diskrete und zeitdiskrete Systeme 417 Diskretisierungsmethoden 244 divergent 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Divergenz 5, 6, 7
B Bandweite 96 bedingte Konvergenz 8 Bernoulli'sche Differentialgleichung 283 Bessel-Kelvin-Funktionen 350 Besselfunktionen 349 Bessel'sche Differentialgleichungen 349 Bilddatei 105 Bildbereich 155, 160, 212 Binomialreihe 40 binomischer Lehrsatz 40 Bode-Diagramm 81, 188 Bulirsch-Stoer-Verfahren 246, 289
E Effektivwerte 56 Eigenmoden 406 Eigenwertaufgaben 293 Eigenwerte 382 Eigenwertgleichung 382 Einheitsimpuls 197 Einheitsimpulsfolge 195, 196 Einheitssprung 116 Einstein 45 Einweggleichrichter 63 elementare Funktionen 195 Elementarsignale 115, 136 Endwerttheorem 153, 210 Energiespektrum 112 Energie-Theorem von Rayleigh 131 Entwicklungsstelle 13 Euler-Knickkraft 324 Euler-Formeln 42, 62, 305 Euler-Verfahren 249, 253 exakte Differentialgleichung 260 Exponentialfolge 201
C F Cauchy 6 CFFT 99 charakteristische Gleichung 301 Cobweb 421
Fallgeschwindigkeit 43 Fallschirmspringer 363 Faltung im Zeitbereich 126
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Anhang Sachwortverzeichnis
Faltungssatz 151, 207 Faltungsprodukt 126, 151 Faltungssymbol 126 Fast Fourier-Transformation 98,132 Fehlerabschätzung nach Lagrange 25 Feldstärke 46 FFT 98, 99, 132 Filter 232 Fourier-Transformation 109 Fourierintegral 109, 112 Fourieranalyse 54 Fourierkoeffizienten 57, 66 Fourierpolynom 55, 66, 71 Fourierreihen 54 Fourierspektrum 112 Fouriersynthese 66, 69 freie gedämpfte Schwingung 308 freier Fall 44, 285, 294 Freileitung 360 Freileitungsseil 46 Frequenzspektrum 56, 66, 68, 71 Frequenzverschiebung 123 Fundamentalsystem 300 Funktionenreihen 13 Funktionentheorie 52 Funktionsgenerator 89
inverse diskrete Fourier-Transformation 94, 112 inverse Laplace-Transformation 136 Extremwertaufgaben 146 J Jacobi-Differentialgleichung 354 Jacobi-Matrix 246 K
G Gauß'sche Differentialgleichung 357 Generatorspannung 90 geometrische Reihe 3, 4, 7 gerade Funktion 16 gewöhnliche Differentialgleichung 242, 292, 294, 368 gleichgradige Differentialgleichung 257 Green'sche Methode 243, 245 H Hankelfunktionen 350 Harmonische 56 harmonische Reihe 1, 4, 5 Hermite'sche Differentialgleichung 356 Hermite'sche Polynome 356 homogene Differentialgleichung 257 homogene lineare Differentialgleichung 262 I ICFFT 100 IDFT 94 IFFT 99, 132 inhomogene Differentialgleichung 163, 262, 326 Integralgleichungsmethode 243 Integralsatz 150, 151 Interpolationsfunktionen 17, 20
Kettenlinie 46, 360 kinetische Energie 45 Klirrfaktor 56 Knickfrequenz 83 Koeffizientenmatrix 21 komplexe Fourierkoeffizienten 63 komplexe Fourierreihe 62 komplexe Spektraldichte 112 komplexes Frequenzspektrum 85 Kondensatorspannung 45 konfluente hypergeometrische Funktionen 357 konfluente hypergeometrische Differentialgleichung 357 Konturintegral 52 Kosinussignal 115 konvergent 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Konvergenz 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Konvergenz von Potenzreihen 13 Konvergenzintervall 13 Konvergenzkriterien 3 Konvergenzradius 13 L Laguerre-Differentialgleichung 356 Laguerre-Polynome 356 Längenkontraktion 45 Lagrange 25 Laplace-Transformation 135 Laurentreihen 52, 193, 215 LDT-Systeme 219, 227 Leibniz-Kriterium 8 Legendre-Differentialgleichung 355 Legendre-Polynome 355 l'Hospital 7 lineare Differentialgleichung 161, 262, 300, 349 Linearisierungsformel 25 Linearität 120, 143, 203 Linienspektum 56 LTI-Systeme 175, 219, 227 Luftwiderstand 43 M MacLaurin-Reihe 24 magnetisches Feld 46
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Anhang Sachwortverzeichnis
Majorantenkriterium 3, 7 mathematisches Pendel 298 mehrdimensionale Funktion 50 Minimalprinzip 95 Minorantenkriterium 4 Modulationssatz 123, 205 N Nachfragefunktion 426 Netzwerkanalyse 166 nichtlineare Differentialgleichung 283, 360 Normalschwingungen 406 Normalverteilung 48, 49 Nyquist-Ortskurve 81, 83 O Orthogonalität 57 Oversampling 96 P Partialbrüche 17 Partialbruchzerlegung 155, 212 Partialsumme 1, 2, 17 Partialsummenfolge 1, 2 partielle Differentialgleichung 242 periodische Funktion 54 Phasenform 56 Phasengang 82, 185 Phasenlage 56 Phasenspektrum 112 Phasenwinkel 342 Polynomfunktionen 17 positive Reihe 3 Potentialgleichung 242 Potenzreihen 13 Potenzreihenmethode 293 Projektionsmethoden 244 Q quadratischer Fehler 22 Quotientenkriterium 8, 13 R Radau-Verfahren 246, 250 Rampenspannung 45 Randwertproblem 247, 248, 292 RC-Tiefpass 280 Rechteckfolge 197 Rechteckimpuls 109, 116 Rechteckspannung 64, 78
relativer Fehler 28, 34 relativistisch 45 Residuum 53, 136, 195 Restglied 24 Restglied von Lagrange 25 RGBLESEN 105 RGBSCHREIBEN 108 Richtungsfeld 251, 252 Rosenbrock-Verfahren 246, 289 Ruhemasse 45 Rücktransformation 39 Runge-Kutta-Methode 244, 246 S Sampling-Theorem 96 Sägezahnimpuls 70 Sägezahnspannung 70 Samplingraten 96 Schallgeschwindigkeit 44 Scheitelwert 56 Schießmethoden 244 schnelle Fourier-Transformation 98, 99 separable Differentialgleichung 254 Shannon 96 Singularität 52 Sinusfolge 201 Sinussignal 115 Spektraldichte 112 Spektrallinien 111 Spektrum 112 sphärische Besselfunktionen 350 steife Differentialgleichung 289 Streckenzugverfahren 249 Stützstellen 20 Superpositionsmethode 243 Superpositionssatz 120, 143, 203 T Taylorpolynom 24 Taylorreihen 23 Telegrafengleichung 242 Testsignale 115, 136 Tiefpassfilter 181, 280 Transformation 39 Transformationsmethode 243 Tschebyscheff'sche Differentialgleichung 354 U Übertragungsfunktion 81, 92, 175 Übertragungsverhalten von Systemen 175 unendliche Reihe 1 unendliche Zahlenfolge 1
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Anhang Sachwortverzeichnis
unendliche Zahlenreihe 1 ungerade Funktion 16 V Variationsmethode 243 Vergleichskriterien 3 Vergleichsreihen 3 Verschiebungssatz 121, 144, 204, 221 W Wärmeleitungsgleichung 242
Web-Plot 421 Wellengleichung 242 Wronski-Determinante 300, 368 Wurzelkriterium 6, 9 Z Zeitbereich 155, 160, 212 Zeitskalierung 122, 145 Zeitverschiebung 121, 144, 204 z-Transformation 192 Zylinderscheibe 266 Zylinderspule 46
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