Apollonius de Perge, La section des droites selon des rapports : Commentaire historique et mathematique, edition et traduction du texte arabe (Scientia Graeco-Arabica)

Apollonius de Perge, La section des droites selon des rapports

≥

Scientia Graeco-Arabica herausgegeben von Marwan Rashed

Volume 2

Walter de Gruyter · Berlin · New York

Apollonius de Perge, La section des droites selon des rapports Commentaire historique et mathe´matique, e´dition et traduction du texte arabe par

Roshdi Rashed et He´le`ne Bellosta

Walter de Gruyter · Berlin · New York

앝 Gedruckt auf säurefreiem Papier, das die US-ANSI-Norm 앪 über Haltbarkeit erfüllt.

ISBN 978-3-11-018677-2 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. 쑔 Copyright 2010 by Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, 10785 Berlin Dieses Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Printed in Germany Umschlaggestaltung: Christopher Schneider, Laufen Druck und buchbinderische Verarbeitung: Hubert & Co. GmbH & Co. KG, Göttingen

PRÉFACE

Dans le septième livre de La Collection mathématique, Pappus évoque, en plus des Coniques et de La Section de rapport, cinq autres titres de l' œuvre géométrique d'Apollonius l . Six de ces ouvrages avaient été traduits en arabe, comme l'attestent les anciens biobibliographes 2 . Mais d'autres sources mentionnent encore six autres titres, dont le livre sur L'Hélice cylindrique 3 • L'œuvre est donc immense, et son impact sur l'histoire des mathématiques fut considérable. Il suffit pour s'en convaincre d'en suivre les effets chez les mathématiciens des IXe-Xme siècle, puis dans les travaux de leurs successeurs des XVIe-XVIIe siècle. Et pourtant l' œuvre d'Apollonius leur était parvenue mutilée, puisque deux titres seulement en ont survécu, principalement par le biais de leur traduction arabe. Le premier, les Coniques, ou plus exactement sept des huit livres qui composaient initialement l'ouvrage, nous est parvenu en deux versions: une recension d'Eutocius des quatre premiers livres, et une traduction arabe des sept livres - cette histoire a été retracée ailleurs 4 . Le second, qui nous est parvenu dans sa seule version arabe, n'est autre que La Section de rapport, dont nous donnons ici l'editio princeps, ainsi qu'une traduction française que nous voulons fidèle et rigoureuse, et un commentaire mathématique et historique. La Section de rapport se présente comme un livre de géométrie et, plus précisément encore, de géométrie pure. Apollonius y traite en effet des relations entre points et entre droites dans le plan, sans faire intervenir une quelconque notion de mesure. Il procède en combinant la méthode de l'application des aires et la méthode de l'analyse et de la synthèse. D'aucuns diraient que, de tous les livres que nous ont légués les mathématiciens grecs, c'est dans La Section de rapport que cette méthode de l'analyse et de la synthèse est appliquée de manière uniforme et systématique. Pour chaque problème, 1 Pappus d'Alexandrie, La Collection mathématique, Œuvre traduite pour la première fois du grec en français, avec une introduction et des notes par Paul Ver Eecke, 2 vol., Paris / Bruges, Desclée de Brouwer, 1933; nouveau tirage Paris, Blanchard, 1982, p. 480 sqq. 2 AI-Nadim, Kitiib al-Fihrist, éd. R. Tajaddud, Téhéran, 1971, p. 326. 3 Procli Diadochi, In Primum Euclidis Elementorum Librum Commentarii, éd. G. Friedlein, Hildesheim, Georg Olms, 1967, p. lOS, 3-6. 4 R. Rashed, Apollonius: Les Coniques, tome 1.1 : Livre l, commentaire historique et mathématique, édition et traduction du texte arabe, Berlin / New York, Walter de Gruyter, 2008, p. 10 sqq.

VI

Préface

Apollonius donne d'abord l'analyse, discute ensuite des diorismes et achève par la synthèse. Les mathématiciens des IXe-Xl e siècle, comme Ibn Sinan et Ibn al-Haytham, trouveront dans ce traité un modèle de l'exposition mathématique. Dans La Section de rapport, Apollonius s'efforce de combiner ces deux méthodes pour étudier des constructions géométriques planes, non pas dans le seul but d'achever ces constructions à la règle et au compas, mais surtout pour établir les diorismes portant sur la possibilité même de chaque construction, et aussi sur le nombre des points qui la réalisent. Nul besoin ici de recourir aux sections coniques. On comprend sans peine tout l'intérêt que les mathématiciens ont porté à La Section de rapport dès le IX e siècle. Ils y ont d'une part trouvé matière à édifier le chapitre sur les constructions géométriques, dont ils avaient engagé l'élaboration, avant de s'en détourner pour recourir de plus en plus aux sections coniques; ils en ont, d'autre part, tiré parti dans le développement d'une géométrie apte à englober les problèmes algébriques. Plus tard, les progrès de l'algèbre et de la géométrie algébrique, avec al-Khayyam notamment, ont porté ombrage à cette recherche géométrique, éclipsant du même coup La Section de rapport, que l'on ne transcrira plus après le XIIIe siècle. L'usage que firent de ce livre Thâbit ibn Qurra, et surtout Ibn Sinan et al-Sijzï, pour développer une géométrie apte à traiter les problèmes algébriques, préside à son tour à notre conception du commentaire. On trouvera d'abord un exposé du contenu de La Section de rapport, dans les termes de la géométrie, et donc épousant les notions et le lexique d'Apollonius. Le but de ce premier commentaire est d'exposer l'organisation du livre, l'articulation de ses différentes parties et les méthodes qui y sont à l'œuvre. Une autre étude lui succède, dans la langue de l'algèbre cette fois, qui entend révéler la structure du livre et mettre en évidence la systématicité et l'exhaustivité de la démarche d'Apollonius. Un tel exposé, algébrique, on l'a déjà expliqué, est instrumental et heuristiqueS et n'a jamais été conçu par Apollonius, ni par quiconque avant al-Khwarizmi. La Section de rapport n'est pas plus un livre d'« algèbre géométrique» que de géométrie algébrique. Lorsque nous avons engagé ce travail, Hélène Bellosta et moi-même, c'était dans le cadre du projet global d'éditer, traduire et commenter l' œuvre mathématique d'Apollonius qui nous est parvenue. Christian Houzel a bien voulu relire la version finale du commentaire de La Section de rapport, comme il l'avait fait pour le commentaire des Coniques. Nous le remercions chaleureusement des corrections et améliorations qu'il y a apportées.

5 Apollonius: Les Coniques, tome l.1 : Livre J, p. VIII-X.

Préface

Vil

Nos remerciements vont enfin à Madame Aline Auger, pour sa collaboration précieuse à la préparation du manuscrit à l'impression, ainsi qu'à la composition des indexes. Roshdi Rashed Bourg-la-Reine, septembre 2009

SOMMAIRE

Avant-propos .........................................................................................................

V

INTRODUCTION..................................................................................................

3

CHAPITRE 1: Application des aires et la méthode de l'analyse et de la synthèse.. l. Le problème de la Section de rapport ................................................................. 2. Les lieux 1 à 21 .................................................................................................. 2.l. Les lieux 1 et 2 ....................................................................................... 2.2. Les lieux 3 à 7 ........................................................................................ 2.3. Les lieux 8 à 10 ...................................................................................... 2.4. Les lieux 11 à 13 et 17 à 21 .................................................................... 2.5. Les lieux 14 à 16 ....................................................................................

13 13 19 19 21 27 31 37

CHAPITRE II: Résolution géométrique des problèmes algébriques ...................... l.Lieux 1 et2 ........................................................................................................ 2. Lieux 3 à 21 ....................................................................................................... 2.l. Lieux 3 à 7 ............................................................................................. 2.2. Lieux 8 à 10 ...................... ...... ........ ........ ........................ ................ ....... 2.3. Lieux Il à 13, 17 à 21 ............................................................................ 2.4. Lieux 14 à 16 .........................................................................................

41 41 44 45 55 63 78

CHAPITRE III: Histoire du texte ........ ............ .......... .......................... ................. La traduction ................................................................................................. Les manuscrits .............................................................................................. Les traductions .............................................................................................. Apollonius est-il 1' auteur du vingt-deuxième lieu? ........................................

81 84 85 88 89

TEXTE ET TRADUCTION Livre d'Apollonius sur la section des droites selon des rapports..............................

NOTES COMPLÉMENT AIRES

94

467

GLOSSAIRE ARABE-FRANÇAIS ....................................................................... 475 INDEX Index des noms propres.......... ................................................ .............. ......... 489 Index des traités ............................................................................................ 490 BIBLIOGRAPHIE................... ................................... ........................................... 491

INTRODUCTION

À la différence des Coniques, La Section de rapport d'Apollonius n'est pas précédé d'un prologue, ni accompagné d'une lettre d'expédition qui en ferait, selon l'ancienne pratique, une version autorisée. À aucun moment au cours de la rédaction de ce livre Apollonius n'éclaire le lecteur sur les raisons mathématiques et historiques qui l'auraient incité à le rédiger. Le traité s'ouvre directement sur l'énoncé de l'unique problème dont la solution occupe les deux livres qui le composent. Il s'agit du problème que voici: k étant un rapport donné, (AB) et (CD) deux droites coplanaires données, H un point du plan de (AB) et (CD), n'appartenant ni à (AB) ni à (CD), E un point donné de (AB), G un point donné de (CD), déterminer une droite (HKL) sécante à (AB) en L et à (CD) en K, telle

EL que - =k. GK

Tout au long de la résolution de ce problème, Apollonius procède systématiquement par analyse et synthèse. Contrairement à sa démarche dans la grande majorité des propositions des Coniques, il n'opte pas cette fois pour un exposé synthétique, mais prend grand soin de rédiger l'analyse et les diorismes. Quant au langage de ce traité, c'est celui d'Euclide dans les Données et les Éléments. La méthode est celle de l'application des aires, et il n'y a pas la moindre évocation des sections coniques. Faute d'explication d'Apollonius sur ses intentions et les buts poursuivis dans ce traité, le lecteur est amené à se poser bien des questions embarrassantes : pourquoi ce problème plutôt qu'un autre? Pourquoi au juste Apollonius cherche-t-il à le résoudre? Quel chapitre de la géométrie voulaitil enrichir? Enfin, comment lire un tel livre en l'absence de lumières extérieures? Comment saisir sa structure, caractériser son style et, éventuellement, cerner le véritable projet d'Apollonius? Il nous est souvent arrivé de souligner que cette question de la lecture, ou plutôt des lectures, est elle-même historique, c'est-à-dire liée au développement des mathématiques elles-mêmes l . Elle évolue en même temps

1 Apollonius: Les Coniques. tome 1.1 : Livre J, commentaire historique et mathématique, édition et traduction du texte arabe par R. Rashed, Berlin / New York, Walter de Gruyter, 2008, p. V-X.

4

Introduction

qu'évoluent les mathématiques, et reste ainsi toujours ouverte 2 • C'est la richesse même du fait mathématique: les différentes organisations de l'ontologie permettent de saisir les différentes strates des sens qui le constituent. Les lectures authentiques ne sont jamais contradictoires, mais correspondent à différentes organisations de l'ontologie. Ce sont les diverses lectures historiques que nous commencerons par rappeler, avant de revenir aux lectures qu'il est aujourd'hui possible de faire de La Section de rapport. La première lecture connue est brève et implicite. C'est celle de Pappus. Pour lui, La Section de rapport appartient à la collection des traités des mathématiciens grecs qui portent sur « le domaine de l'analyse 3 ». Pappus décrit en quelques phrases le contenu du livre : Or il se fait qu'étant subdivisée, cette proposition donne lieu à des figures différentes et qu'elle en comporte un grand nombre, en raison des positions que les droites données présentent entre elles, des différents cas relatifs au point donné, et des analyses, synthèses et déterminations concernant ces cas 4 . 2 R. Rashed, «Lire les anciens textes mathématiques: le cinquième livre des Coniques d'Apollonius », Bollettino di storia delle scienze matematiche, vol. XXVII, fasc. 2, 2007, p. 265-288. 3 Figurent dans cette collection, outre Les Coniques et La Section de rapport, cinq autres traités d'Apollonius: La Section d'aire, La Section déterminée, Les Contacts, Les Inclinaisons et les Lieux plans, dont aucun ne nous a été conservé en grec; nous ne connaissons de ces ouvrages que ce qu'en dit Pappus dans l'introduction au Livre VII de la Collection mathématique. Il est également difficile, à l'heure actuelle, de savoir si, ou comment, ces autres traités ont été traduits en arabe; en effet, les bio-bibliographes arabes mentionnent parmi les œuvres d'Apollonius La Section de rapport, La Section d'aire, La Section déterminée et Les Contacts, sans toujours évoquer les noms de leurs traducteurs; ils se contentent d'indiquer, à propos de La Section déterminée, qu'il y aurait eu une tentative de traduction de ce texte en arabe, que la traduction du premier livre aurait été corrigée par Thiibit ibn Qurra, mais que le second livre serait demeuré incompréhensible; quant aux Lieux plans ou aux Inclinaisons, ils ne les mentionnent pas comme faisant partie des œuvres du Géomètre. Certains géomètres du x' siècle (Ibn Siniin, al-Sijzi. .. ) ont cependant eu une connaissance, au moins indirecte, de ces deux derniers traités dont ils évoquent certains problèmes et leurs solutions, en les attribuant explicitement à Apollonius.

Pappus d'Alexandrie, La Collection mathématique, Œuvre traduite pour la première fois du grec en français, avec une introduction et des notes par Paul Ver Eecke, 2 vol., Paris / Bruges, 1933 ; nouveau tirage Paris, 1982, vol. II, p. 479. Al-Nadim, al-Fihrist, éd. G. Flügel, Leipzig, 1871. AI-Qifti, Tarikh al-/:!ukama', éd. J. Lippert, Leipzig, 1903 ; rééd. Le Caire, sans date. R. Rashed et H. Bellosta, Ibrahim Ibn Sinan, Logique et géométrie au X" siècle, Leyde, E.J. Brill, 2000. R. Rashed & P. Crozet, al-Sijzï, Œuvres complètes, vol. II (à paraître chez Peeters). 4 Pappus, La Collection, vol. II, p. 480-481.

Introduction

5

Pappus énumère ensuite les différents cas des figures examinées dans La Section de rapport, avant de proposer un certain nombre de lemmes s. La lecture de Pappus est donc purement descriptive et ne nous éclaire pas sur les intentions d'Apollonius. Dire que ce traité appartient à la fameuse collection ne fait que souligner qu'Apollonius y procède par analyse et synthèse, mais ne permet pas de distinguer La Section de rapport des autres livres, nombreux - dont les Coniques - qui appartiennent à cette même collection. Pappus n'apporte aucune précision supplémentaire, et n'explique pas quel type d'analyse (théorique ou problématique) est conduite par Apollonius dans ce livre. Le premier héritier connu de La Section de rapport est le mathématicien de la première moitié du xe siècle, Ibrahim ibn Sinan (909-946). Il a en effet rédigé le premier traité substantiel consacré à « la méthode de l'analyse et de la synthèse dans les problèmes géométriques 6 », qu'il présente ainsi: Mon intention était d'y exposer, à propos d'un certain nombre de problèmes, comment doivent se dérouler l'analyse et la synthèse [ ... ]. J'ai trouvé que les géomètres de cette époque ont négligé la méthode d'Apollonius en ce qui concerne l'analyse et la synthèse [ ... ] en se contentant de l'analyse seule, abrégée au point de la rendre telle que l'on peut croire que ce n'est pas l'analyse qui correspond à la synthèse qu'ils font ensuite. [ ... ] Ce traité a en outre, pour les étudiants, de nombreux atouts: appréhender, entre autres, la classification des problèmes, leur analyse et leur synthèse, les conditions à poser, le nombre de solutions du problème, et tout ce qu'a utilisé Apollonius dans les problèmes qu'on lui attribue dans La Section des droites selon des rapports et d'autres ouvrages 7 . Dans ce traité, Ibn Sinan développe « la méthode d'Apollonius en ce qui concerne l'analyse et la synthèse» et prend pour modèle d'application de cette méthode La Section de rapport. En effet, c'est précisément dans ce livre qu'Apollonius illustre magistralement l'usage de cette méthode, en menant une discussion complète par analyse et synthèse d'un problème apparemment simple, que l'on peut traiter par l'application des aires, mais qui se ramifie en vingt et une configurations. Cette méthode d'Apollonius est, selon la lecture d'Ibn Sinan, la méthode d'une discipline qui la justifie: une logique programmatique, dans la mesure où elle permet d'associer une ars inveniendi et une ars demonsVoir infra l'histoire du texte. Ibn Sinan, Logique et géométrie, « Sur la méthode de l'analyse et de la synthèse dans les problèmes de géométrie», p. 96-227. 7 Ibn Sinan, Logique et géométrie, « Sur les notions par lui déterminées en géométrie et astronomie », p. 12-17. 5

6

6

Introduction

trandi. Cette logique est aussi pragmatique, et s'applique à toutes les branches de la géométrie. C'est précisément ce qu'Ibn Sinan développe dans son livre, d'une manière inédite et profonde. Mais sa lecture de La Section de rapport ne s'arrête pas là. Dans son autre livre, L'Anthologie de problèmes, Ibn Sinan reprend le problème même de La Section de rapport, dans le cas général qui se décompose en quatorze lieux et occupe tout le second livre, et en donne une démonstration plus simple que celle d'Apollonius 8 . Ainsi il situe La Section de rapport dans la discipline qu'il venait lui-même de concevoir, et reprend le problème qui s'y trouve traité pour le démontrer autrement, avec les mêmes moyens géométriques qu'Apollonius, mais plus simplement. La troisième lecture de La Section de rapport se fera en 1706. C'est celle de E. Halley, à l'occasion de sa traduction de l'arabe en latin de ce livre. Dans un scholie, il relie La Section de rapport aux Coniques, et plus précisément à la proposition I1I.41. Voici l'énoncé de cette proposition: Lorsque trois droites tangentes à une parabole se rencontrent mutuellement, elles sont coupées dans le même rapport. F A

D E

c

Soit /Y une parabole, A, B, C trois points de 9, les tangentes (ADE), (DBC) et (ECC) à /Yen A, B, C, se coupent respectivement en D, C, E, alors AD DB EG DE-BG-GC'

d'où AE DE

= EC et

ED

GC'

CG

= AE EC'

quelles que soient les positions relatives des points de contact A, B, C sur la parabole.

8

Ibn Sinan, Logique et géométrie, « Anthologie de problèmes

»,

p. 668-672.

Introduction

7

Les droites (EA) et (EC) étant fixées, la tangente menée de B coupe les droites (EA) et (EC) en deux points D et G tels que ED = AE = k ; ceci corCG EC respond à l'un ou l'autre des trois derniers lieux du livre 1 de La Section de rapport. Soit maintenant F le point de la parabole g; tel que (CF) Il (AE) ; les cas suivants se présentent: 1° B =F ; c'est le cas 5. 3 2° BEŒ; c'estlecas6.4 3° B E FA ; c'est le cas 7. 4 4° B E AC ; c'est le cas 7. 2 5° BEG; c'estlecas6.2 Ces cas sont précisément ceux des trois derniers lieux du premier livre de La Section de rapport, où Apollonius engage des diorismes ; ce sont les cas où le problème a 0, 1 ou 2 solutions, selon les valeurs de k. D'autre part, puisqu'on peut mener du point B une tangente et une seule à la parabole, on est dans le cas où le problème posé a une solution unique, c'est-à-dire le cas où EA

BH

EC

EH +ECb!4·EH·EC'

où H est le projeté de B sur (CE) parallèlement à (AE)9. Selon cette lecture, tout se passe comme si Apollonius avait déduit de la proposition I1IAI les cas précédents. Mais on pourrait tout aussi bien penser qu'il est parvenu à I1IAI, elle-même interprétée comme fournissant une méthode pour tracer la tangente en un point donné de la parabole, à partir de La Section de rapport; c'est-à-dire en appliquant des résultats obtenus dans ce dernier traité. C'est, semble-t-il, vers quoi penche H. G. Zeuthen, lorsqu'il écrit: L'utilisation la plus simple de la génération d'une courbe au moyen des tangentes est en l'occurrence celle qui vise à déterminer des tangentes devant être menées de points donnés. Ainsi, au moyen de la proposition 41, la détermination d'une tangente devant être menée à un certain point d'une parabole est précisément ramenée à la construction qui est traitée avec grand soin dans les deux livres d'Apollonius sur La Section de rapport; et au moyen des propositions 42 et 43, la détermination des tangentes devant être menées à un point d'une ellipse ou d'une hyperbole est ramenée à 9 E. Halley, Apollonii Pergaei opuscula e tenebris eruta ac restituta, Oxford, 1706, p. 62.

8

Introduction

deux cas importants de la tâche générale de ses deux livres sur La Section d'aire lO •

C'est cette même interprétation que développe Th. Heath. Il écrit à propos de La Section de rapport: The proposition IlI.41 of the Conics about the intercepts made on two tangents to a parabola by a third tangent suggests an obvious application of our problem (problème de La Section de rapport)ll. Ces lectures établissent donc un lien entre cette proposition des Coniques et La Section de rapport, supposant ainsi qu'Apollonius se donne dans La Section de rapport les moyens de déterminer l'enveloppe de droites qui coupent deux droites données selon un rapport donné. C'est d'ailleurs ce que E. Halley semble suggérer dans son étude, lorsqu'il écrit : Simulque nobilem, ac, quantum scio, novam parabolae proprietatem, describandae curvae optissimam, patefecimus 12. Cette propriété nouvelle est celle de l'enveloppe d'une famille de droites. Sans doute ici, comme à propos de la développée dans le cinquième livre des Coniques, Apollonius est-il très proche de l'idée, mais sans l'atteindre encore 13. La notion d'enveloppe verra le jour au XVIIe siècle, avec De Beaune, Huygens et Tschirnhausen notamment (les caustiques). Ainsi, Halley lit dans La Section de rapport un cas particulier d'une propriété projective générale: deux droites étant données dans le plan projectif, la droite qui joint deux points en correspondance homographique sur les deux droites enveloppe une conique tangente aux deux droites données. Sans doute peut-on voir dans la proposition 111.41 des Coniques une application des résultats obtenus dans La Section de rapport, comme dans III.42 et 111.43 une application des résultats de La Section d'aire. Mais de là à affirmer que dans chacun de ces livres le but d'Apollonius est de parvenir à ces propositions, il y a un pas difficile à franchir. Apollonius pouvait parfaitement, dans la logique même du troisième livre des Coniques, concevoir ces propositions ainsi que leur démonstration, sans échafauder l'immense la H. G. Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum, Copenhague, 1886, p. 344-345. 11 Th. Heath, A History of Greek Mathematics, 2. vol., Oxford, The Clarendon Press, 1921, rééd. New-York, Dover, 1981, vol. II, p. 177. 12 « Nous avons en même temps mis en évidence une propriété insigne et, pour autant que je sache, nouvelle, de la parabole, parfaitement adaptée pour décrire la courbe» (E. Halley, De Sectione rationis, p. 61). 13 Apollonius: Les Coniques, Tome 3: Livre V, commentaire historique et mathématique, édition et traduction du texte arabe par R. Rashed, Berlin / New York, Walter de Gruyter, 2008, p. 162-180,374-402.

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Introduction

recherche de La Section de rapport pour l'une et celle de La Section d'aire pour les deux autres. Il est vrai que chacune des précédentes lectures peut révéler une facette des faits étudiés dans La Section de rapport. Apollonius y mène en effet une étude systématique et délibérée par analyse et synthèse; c'est comme s'il voulait élaborer un modèle d'exposé par cette méthode, à l'intention de la communauté des mathématiciens, modèle à la fois logique et didactique. C'est ce modèle qu'Ibn Sinan a voulu expliciter et fonder. Un autre trait distingue l'étude que mène Apollonius dans ce traité: dans la solution du problème posé il n'introduit aucun élément qui ne corresponde à la nature de celui-ci. Il ne considère en effet que des « situations» et des relations entre « situations ». Nul recours aux grandeurs de segments et d'angles. On procède seulement par jonction des points et intersection des droites. D'aucuns diraient que La Section de rapport est un livre de géométrie pure, de géométrie synthétique. C'est, semble-t-il, ce trait qui a suscité l'interprétation de Halley, puis celles de Zeuthen et de Heath. La lecture détaillée de La Section de rapport suggère une autre interprétation, qui à la fois tient compte de tous les résultats qui y sont consignés et permet de dégager la structure du traité. Dans celui-ci, Apollonius semble vouloir pousser aussi loin que possible la méthode d'application des aires combinée systématiquement avec l'analyse et la synthèse, pour traiter des diorismes présentant de nombreux cas. Bien sûr, ces problèmes relèveront de l'algèbre une fois cette discipline créée. Après la naissance de l'algèbre au IX e siècle, le livre d'Apollonius servira non seulement comme modèle d'analyse et de synthèse, mais aussi pour développer une géométrie apte à résoudre géométriquement des problèmes qui s'expriment par des équations du second degré, comme le montre le cas d'Ibrahim ibn Sinan. Avant d'engager l'étude détaillée de La Section de rapport, essayons d'en exposer la démarche générale dans le langage de l'algèbre. L'étude d'Apollonius consiste en une discussion géométrique complète qui, lorsque les deux droites coplanaires données sont sécantes, s'exprime, une fois traduite algébriquement, par l'équation quadratique : (1)

kx2 - x[k(a + c) + E(b - d)] + a(kc - Ed)

= O.

Cette équation comporte deux cas, selon que E = 1 ou E = -1, et elle dépend des cinq paramètres k, a, b, c, d (a > 0, b> 0). Ceci explique la longueur de La Section de rapport et le grand nombre des cas discutés. Les lieux 3 à 7 du premier livre correspondent au cas où d = 0 (il Y a donc un paramètre en moins) ; l'équation (1) devient alors:

10

Introduction

kx2 - x[k(a

(2)

+ c) + Eb] + kac

= O.

Dans le cas général, les termes indépendants de k dans l'équation (1) ont pour somme -ë(x(b-d)+ad) ; si b :;t: d, cette somme s'annule pour x == - -ad -, b-d

. et au moyen d u c hangement aff·me d' mconnue x

== ']:=' - -ad-

b-d

on

ramène l'équation (1) à l'équation (3), de la forme (2) : (3)

ou, l' on a pose/ K = -[kb -

b-d[

ab > 0 ,a = --, y = bc - cd + ad b-d

b-d

; E / = E SI. b > d ,et

E' = -E si b < d. On ab> d dans les lieux 8 à 13, et dans les lieux 17 et 21 ; on a b < d dans les lieux 18 à 20 ; les lieux 14 à 16 correspondent au cas où b =d *- O. Lorsque d*-O et b *- d, c'est-à-dire pour tous les lieux du second livre, autres que les lieux 14, 15, 16, on peut donc réduire l'équation (1) à l'équation (3). C'est ce que fait Apollonius qui, à l'aide d'une construction géométrique auxiliaire, ramène tous les lieux du second livre (autres que les lieux 14, 15 et 16), aux lieux 3 à 7 du premier livre, selon le schéma suivant:

Lieux

lieux réduits

caractérisation

Remarque

13, 18

3

y= 0

a>Opour 13, a
8,12,20

4

ay< 0

y < 0 < a pour 8 et 12, a < 0 < y pour 20,

9

5

y=a

a>O,

11, l7, 19

6

ay> 0

o
10,21

7

ay> 0

Le discriminant de (3) est égal à (3/)

ou (3/)

O
11

Introduction

Il est positif si ay:S 0, comme pour les lieux 3, 4,8, 12, 13, 18 et 20; ou bien si a > 0, y> 0 et E'= 1, comme pour les cas 5.1, 5.2; 6.1,6.3; 7.1, 7.3; 9.1, 9.2; 10.1, 10.3 ; 11.1, 11.4; 17.1, 17.3, 17.4; 21.1, 21.3, 21.4; ou encore si a< 0, y< 0 et E'= -1, comme pour les cas 19.1, 19.2 et 19.4. Dans les autres cas (ay> 0 et E'(a+ y) < 0), Ll(K) s'annule pour deux valeurs positives KI et K2 , KI

= ~ bM ( lai + Iyl?

et K2

= ~ bM ( lal- lyl)2

;Ll(K) > 0

lorsque K < KI ou K> K2 • Notons que, dans le cas où y= a (lieux 5 et 9), K2 devient infini et seule subsiste la condition K < KI' Dans ces derniers cas, le problème de La Section de rapport n'a donc de solution que pour des valeurs du rapport K vérifiant certaines inégalités: cas 5.3 ; 6.2, 6.4 ; 7.2, 7.4 ; 9.3,9.4 ; 10.2, 10.4, 10.5; 11.2, 11.3, 11.5 ; 17.2, 17.5; 19.3, 19.5; 21.2, 21.5. Apollonius explicite ces inégalités en déterminant la valeur maximum ou minimum de K donnée par l'équation (3) lorsque ç varie dans l'intervalle qui correspond à l'incidence choisie. Son exposé est synthétique, mais on peut supposer qu'il a déterminé ces valeurs extrémales en ramenant le problème à une application d'aire par défaut d'un carré et en utilisant la proposition VI.27 des Éléments d'Euclide. L'équation (3) s'écrit en effet, lorsque ay> 0 et E'(a + y) < 0 (3 bis)

ay= (a

+ y + E/~)Ç -

f,

K

et revient donc à appliquer l'aire ayau segment a + y + E/~, par défaut K

d'un carré. La condition donnée par Euclide est ay:S ~ (a + y + E/~ )2, qui 4

K

équivaut à Ll( K) ;::: O. Pour expliciter les inégalités correspondantes sur K, on peut noter que, lorsque Ll(K) = 0, on a ay = f, c'est-à-dire ç = Fr ou ç = -Fr. En reportant dans (3) ç = Fr ou ç = -Fr, on obtient alors les valeurs extrémales de K. Dans le cas des lieux 14, 15 et 16, on a b = d et la réduction de (l) à (3) n'est pas possible. Dans ce cas l'équation (1) devient: (4)

kx 2

-

kx (a + c) + a(kc -

Eb) = 0 ,

12

Introduction

qu'il faut étudier directement. Cette équation (4) dépend de quatre paramètres, comme l'équation (2). Le discriminant de (4) est égal à (4/)

t1(k)

= k2(a -

c) 2 + 4Eabk ;

il est toujours positif si E = 1. Avec E =-1, il est positif pour k> 4ab)2' si (a - c a "j:. c ; il est toujours négatif si a = c. La discussion des lieux 14, 15 et 16 est donc très simple. Ce résumé montre la structure de La Section de rapport et met en évidence la démarche systématique et exhaustive d'Apollonius. On comprend sans peine qu'un géomètre de la classe d'Ibn Sinan ait considéré ce livre comme un modèle. Venons-en à présent au commentaire de La Section de rapport. Il se fait en deux parties. Dans la première, nous allons revenir aux faits mêmes qu'expose Apollonius, sans trop nous écarter ni de son exposé, ni de son langage. Dans la seconde, nous prendrons délibérément des distances pour mieux saisir ses intentions et mettre en évidence l'unité de son exposé, que d'aucuns prétendent long et répétitif. C'est le commentaire algébrique et l'interprétation analytique.

CHAPITRE l

APPLICA TION DES AIRES ET LA MÉTHODE DE L' ANALYSE ET DE LA SYNTHÈSE

1. LE PROBLÈME DE LA SECTION DE RAPPORT

Le problème de La Section de rapport est, on l'a dit, le suivant: k étant un rapport donné, (AB) et (CD) deux droites coplanaires données, H un point de ce plan, n'appartenant ni à (AB) ni à (CD), E un point donné de (AB), G un point donné de (CD), déterminer une droite (HKL) sécante à (AB) en L et à (CD) en K, telle que EL

GK

= k 1•

A L E B H

C

0

G :)

K

Fig. 2

En l'absence de toute notion de mesure algébrique, Apollonius est contraint, pour résoudre ce problème, de distinguer tous les cas de figure et toutes les positions relatives des points sur les droites, comme l'aperçu précédent le montre. Il est ainsi conduit à subdiviser le problème en 21 «lieux» (T6TTOÇ, waçl')2 -7 dans le livre l, 14 dans le livre II - en fonction des positions relatives des données du problème -les droites (AB) et (CD), le point H et les points E et G ; ces 24 lieux se subdivisent eux-mêmes en diverses «incidences» (TTTWcnÇ, wuqü') selon l'intervalle de la droite (CD) auquel on souhaite qu'appartienne le point K de la droite (CD) qui détermine la droite (HKL) cherchée; on obtient alors 87 incidences (24 dans le livre l, 63 dans le livre II). 1 La lecture du traité est rendue malaisée par de constants changements de notations. Nous convenons, pour en simplifier le commentaire, d'adopter tout au long de cette étude les notations des sixième et septième lieux. 2 Nous reprenons le terme utilisé depuis Pappus pour décrire ces cas de figure: Tôrroç, lieu, voir la note complémentaire l.

14

Chapitre l : Applications des aires

Dans le livre l, Apollonius étudie ainsi les 7 lieux suivants: (AB) Il (CD) premier lieu, H non situé entre (AB) et (CD) : deuxième lieu, H situé entre (AB) et (CD) : A

L H

c

o

K

B

Fig. 3

(AB)

(î

(CD) = E, point donné de la droite (AB)

G G

=E :

troisième lieu, "* E, soit 1 le projeté de H sur (CD) parallèlement à (AB) 1 et G de part et d'autre du point E : quatrième lieu, 1 et G d'un même côté de E 1= G : cinquième lieu, GE [lE] : sixième lieu, septième lieu.

1 E [EG] :

B N

H

C

G

D

A

Fig. 4

1. Le problème de La Section de rapport

15

Le livre II est consacré à l'étude du cas général où les deux droites (AB) et (CD) sont sécantes en un point M distinct de E et de G. Apollonius décompose ce cas en quatorze lieux, selon les positions relatives sur les droites (AB) et (CD) du point M, des points donnés E et G, des projetés respectifs 1 et J du point H sur (CD) parallèlement à (AB), et sur (AB) parallèlement à (CD), et enfin des points 0 et N, points d'intersection respectifs, lorsqu'ils existent, de (HE) et de (CD), de (HG) et de (AB). Dans le livre II Apollonius étudie donc les 14 lieux suivants: H intérieur à l'angle BMD : huitième lieu, H intérieur à l'angle CMB (il en va de même lorsque H est intérieur à l'angle AMD, si l'on remplace C par A, B par D, 1 par J, N par 0 et si l'on permute G et E) neuvième lieu, 1= G: 1 E [MG] :

dixième lieu,

1 E [GC)

NE [EA):

onzième lieu,

NE [EM]:

douzième lieu,

N=E, H intérieur à l'angle CMA J=E 1= G: 1 E [MG] :

treizième lieu,

lE [GC):

quatorzième lieu, quinzième lieu, seizième lieu,

JE [EA) 1 E [GC) :

dix-septième lieu,

1 E [MG] serait identique au vingt et unième lieu (si l'on per-

mute A et C, B et D, G et E, 1 et 1), 1 = G serait identique au seizième lieu (si l'on permute A et C, B et D, G et E, 1 et 1),

JE [ME] 1 = G serait identique au quinzième lieu (si l'on permute A et C, B et D, G et E, 1 et J), 1 E [MG] N=E, NE [EA),

dix-huitième lieu, dix-neuvième lieu,

NE [EM] ,

vingtième lieu,

1 E [GC),

vingt et unième lieu.

16

Chapitre l : Applications des aires

Ce que l'on peut visualiser ainsi (numéro du lieu en fonction de la position du point H dans le plan) :

c

13

Fig. 5

Hormis les quatorzième, quinzième et seizième lieux (cas où E =1) qui sont résolus directement et qui ne nécessitent pas de discussion complexe, tous les autres lieux du second livre sont ramenés à l'un des cinq derniers lieux du livre 1 (cas où M = E), soit à l'aide de la parallèle à (AB) passant par 0 (pour les huitième, neuvième et dixième lieux), soit à l'aide de la parallèle à (CD) passant par N (pour les autres lieux). Grâce à ces constructions auxiliaires, les treizième et dix-huitième lieux sont ramenés au troisième lieu, les huitième, douzième et vingtième lieux au quatrième lieu, le neuvième lieu au cinquième lieu, les onzième, dix-septième et dix-neuvième lieux au sixième lieu, et enfin les dixième et vingt et unième lieux au septième lieu. Notons que, hormis les neuvième, quinzième et seizième lieux qui ne sont susceptibles que d'une seule de ces deux constructions - dans ces trois cas soit (HE) Il (CD), soit (HG) Il (AB) - et le quatorzième pour lequel les deux constructions sont également impossibles, tous les autres lieux de ce second livre se ramènent, avec l'une ou l'autre construction, aux mêmes lieux du premier livre. Les démonstrations d'Apollonius se structurent, dans chacun des 87 cas qu'il considère, de la manière suivante:

1. Le problème de La Section de rapport

17

analyse: constructions auxiliaires qui introduisent, soit des points ou des droites dépendant des données du problème, c'est-à-dire des données supplémentaires, soit (dans le livre II) des inconnues auxiliaires; analyse proprement dite dont le but est de montrer que l'objet cherché - ici le point K qui détermine la droite cherchée (HK) - est donné ou connu, c'est-à-dire que les hypothèses du problème suffisent, s'il existe, à le détenniner (c'est-à-dire à le construire) ; diorisme 3 : recherche, s'il y a lieu, des conditions nécessaires, portant sur le rapport donné k, à l'existence de solutions, c'est-à-dire à l'existence du point K ; synthèse: discussion de l'existence de solutions selon les différentes valeurs de k : si les valeurs de k ne satisfont pas la condition nécessaire précédemment trouvée, on reprend les séquences implicatives de l'analyse, et on montre que le problème n'a pas de solution, si les valeurs de k satisfont la condition nécessaire précédemment trouvée, on construit le ou les objets cherchés, ici le ou les points K qui détenninent la droite cherchée (HK) ; on démontre que le ou les points K ainsi construits sont solution du problème (i. e. on montre que les conditions nécessaires trouvées dans l'analyse sont suffisantes et que les séquences implicatives de l'analyse qui doivent être inversées sont bien inversibles) ; étude du nombre de solutions: démonstration du fait que le problème n'a pas d'autre solution que la ou les solutions précédemment construites. Cette dernière partie, présente uniquement dans les lieux du premier livre, pourrait à première vue sembler inutile, du fait que, si la synthèse a montré que toutes les séquences implicatives de l'analyse qui doivent être inversées, sont inversibles, le problème ne saurait avoir d'autre solution que les solutions précédemment construites. On comprendra les raisons de sa présence lors de l'étude des lieux du second livre 4 . 3 On distingue chez les auteurs hellénistiques, et en particulier chez Proclus, deux sens du mot diorisme : a) le diorisme est une instanciation de l'objet cherché, comme l'ecthèse est une instanciation des données du problème; lorsqu'il a ce sens-là, le diorisme suit l'ecthèse ; b) le diorisme est une condition nécessaire à l'existence de solutions; et avec ce sens-là, pour Proclus, il suit immédiatement l'énoncé. C'est dans le second sens que nous employons ici le mot diorisme. 4 Ce point n'a d'ailleurs pas échappé à Ibn Sinan, lecteur attentif s'il en fut du traité sur La Section de rapport. Ibn Sinan, logique et géométrie, «L'analyse et la synthèse», p. 184.

18

Chapitre l : Applications des aires

Toute la difficulté et l'originalité de ces démonstrations se situent, non dans l'analyse ou la synthèse stricto sensu, mais dans le diorisme et l'étude du nombre de solutions (lorsqu'il en existe) sur un intervalle donné de la droite (CD). L'unicité de la solution sur un intervalle donné résulte explicitement, pour Apollonius, de la monotonie des variations du rapport EL

GK

lorsque K décrit cet intervalle: il montre que si, sur un intervalle donné de la droite (CD), à un point K correspond un rapport k

=

EL, GK

un point de cet

intervalle situé d'un côté de K donne lieu à un rapport plus petit, et un point situé de l'autre côté à un rapport plus grand, d'où l'unicité de la solution sur cet intervalle. Les cas à diorisme sont ceux pour lesquels le problème est, sur un intervalle donné, susceptible d'avoir 0, 1 ou 2 solutions (c'est-à-dire les cas où le problème se ramène à un problème d'application des aires par défaut d'un carré) ; Apollonius recherche alors dans ce cas, sur cet intervalle, les valeurs extrémales du rapport EL ; cette recherche est explicitement liée pour lui à GK

la recherche du cas limite où les deux solutions du problème sur cet intervalle sont confondues, i. e. du cas particulier où le problème a une solution unique; la valeur correspondante du rapport marque alors la frontière entre les cas où le problème a des solutions et ceux où il n'en a pas, elle donne la valeur extrémale du rapport sur l'intervalle considéré. Nous verrons le rôle séminal que joue là l'application des aires par défaut d'un carré. Sur chacun des intervalles en lesquels la droite (CD) se subdivise, Apollonius montre en outre: - que, sur un intervalle où le rapport k est majoré (il est en tout état de cause minoré par 0) et pour une valeur k du rapport comprise entre les valeurs extrémales m et M trouvées, on peut trouver une droite (HK) telle que k < EL < M et une droite HK ' telle que m < EL < k ; GK

GK

- que, sur un intervalle où le rapport k n'est pas majoré et pour une valeur k du rapport, on peut trouver une droite (HK) telle que EL > k. GK

Dans le livre II, Apollonius est amené - du fait de l'introduction d'une inconnue auxiliaire - à étudier l'effet d'un changement d'inconnue sur le sens de variation du rapport.

19

2.1. Les lieux 1 et 2

2. LES LIEUX 1 À 21 2.1. Les lieux 1 et 2

Ces lieux correspondent au cas où les deux droites données, (AB) et (CD), sont parallèles; reprenons les notations d'Apollonius pour ces deux lieux: on veut déterminer une droite (lLK) sécante à (AB) en K et à (CD) en EK

L, telle que -

CL

= k. A

K

E

B

B

A

c

D

cas l.l

cas 1.3

c

G

cas 2.3

Fig. 6 : Premier lieu

L

D

M

cas 2.2

cas 2.1

Fig. 7 : Deuxième lieu

Soit M le point d'intersection de (lE) et de (CD) ; puisque, dans tous les LM.EK lM. EK , dre l e pro bl'eme revIent . · cas de f Igure, on a : -LM = - =- , resou CL

EK CL

lE CL

alors à déterminer un point L de la droite (CD) tel que LM = k. lM CL

problème a donc deux solutions lorsque k milieu de [GM], lorsque k k

* lMlE

lE

5.

Le

et une seule solution, le

= ~. Apollonius montre en outre que, lorsque lM

* lMlE , l'un des deux points solutions appartient au segment ]GM[, et que

l'autre appartient, soit à la demi-droite ]GC) (lorsque k> lE), soit à la lM

demi-droite ]MD) (lorsque k < lE). Le problème posé est donc entièrement lM

résolu. 5 Contrairement à ce que pourrait laisser croire cette formulation, Apollonius ne fait pas, dans La Section de rapport, usage du rapport composé, mais simplement de la relation dite de « ]' égalité» des rapports, ou de rapports à égalité de rangs (ex œquali, Euclide, Éléments, livre V, définition 17, complétée par la proposition 8 des Données). La construction du point L est une conséquence immédiate de Euclide, Éléments, VI.lO et VI.l2. Pappus détaille complaisamment ces points élémentaires dans les lemmes qu'il consacre à La Section de rapport (voir Histoire du texte).

20

Chapitre l : Applications des aires

Apollonius cependant ne se satisfait pas de ce résultat; il montre également, sous le couvert de vérifier que le problème posé n'a pas d'autres solutions que les solutions précédemment construites, que: - sur la demi-droite ]MD) - cas 1.1 et 2.2 - «les droites proches du point G coupent selon des rapports plus petits que celles qui en sont ~ 1orsque GL CfOlt ~ ; e'1" Olgnees », 1.. e. 1e rapport -EK crOlt GL

- sur le segment ]GM[ - cas 1.2 et 2.1 - « les droites proches du point G coupent selon des rapports plus grands que les rapports selon lesquels coupent les droites éloignées », i. e. le rapport EK décroît lorsque GL GL

croît; - sur la demi-droite ]GC) - cas l.3 et 2.3 - « les droites proches du point G coupent selon des rapports plus grands que les rapports des droites qui en sont éloignées », i. e. le rapport EK décroît lorsque G L GL

croît. C'est la nécessité de préciser, au cours de ces démonstrations, les positions respectives des points G, L et M sur la droite (CD), qui le contraint à distinguer le cas où le point 1 est entre les droites (AB) et (CD) (premier lieu) du cas où il est à l' extérieur (deuxième lieu). Remarque: Le cas particulier où G = M n'est pas traité par Apollonius; dans ce cas, selon la position du point 1 sur la droite (GE), le problème ou bien a une infinité de solutions (lorsque 1 est un point de la droite (EG) tel

que lE

IG

= k, toute droite issue de 1 est solution), ou bien il n'a pas de solu-

tion (dans les autres cas). Halley, dans le scholie qu'il consacre à ces deux premiers lieux, montre que si l'on ne fixe pas le point l, l'ensemble des droites coupant (AB) et (CD) selon un rapport k est constitué de deux faisceaux de droites concourantes issues respectivement des points H et 1 de la droite (EG) vérifiant HE = lE = k (k -:f- 1)6. HG

IG

6

Halley, De sectione rationis, p. 10.

21

2.2. Les lieux 3 à 7

2.2. Les lieux 3 à 7

Ces lieux correspondent au cas où les droites données (AB) et (CD) sont sécantes en E, point donné de la droite (AB). On veut, avec les notations des sixième et septième lieux, tracer une droite (HKL) sécante à (AB) en L et à EL

(CD) en K telle que -

GK

= k.

Troisième lieu Le troisième lieu correspond au cas élémentaire où les points G et E

sont confondus; dans ce cas EL

= HI

EK

IK

=k ;

le problème revient donc à

déterminer un point K de la droite (CD) tel que IK = ..!:. . HI. Donc k

- si k > HI, IK < lE, et le problème a une solution dans la troisième lE

incidence - sur l'intervalle [lC) - et une solution dans la deuxième incidence - sur l'intervalle [lE] ; - si k < HI, IK> lE, et le problème a encore une solution dans la lE

troisième incidence - et une solution dans la première incidence - sur l'intervalle [ED) ; - si k = HI , IK = lE, le problème a une seule solution, dans la troisième lE

incidence (K doit être distinct de E). Il est également manifeste que le rapport EL décroît, sur chacun des EK

intervalles, lorsque le point K s'éloigne du point 1. Quatrième, cinquième, sixième et septième lieux L'analyse des ces quatre lieux est la même, seules diffèrent les positions relatives des points G, 1 et E sur la droite (CD) ; c'est la suivante: A

L H

c

K

G

D

M

B

Fig. 8

22

Chapitre 1 : Applications des aires

Analyse: supposons le problème résolu et soit (LHK) une sécante telle EL

que -

CK

=k.

Construction auxiliaire: soit M

E

(CD) tel que Hl

CM

= k.

Remarque: on fait en sorte que, lorsque L et H appartiennent au même demi-plan défini par la droite (CD), K et M soient d'un même côté de G et que, dans le cas contraire, ils soient de part et d'autre de G ; ceci revient en IH , ce qUI. d'etemune . le pomt . M ' , umque . 7 · a, poser =EL = = f mt ed mamere . CK

[ EL CK

CM

=

Hl ] CM

=>

[EK IK

= EL = CK]

El

Hl KM

IK

CM

=> [ - = -

CM .

(dans tous les cas de fIgure)]

=> [El' GM = KI· KM] ; [El et GM données] => [El' GM

= KI· KM donnée]

; [KI' KM donnée, Met 1 donnés] => [K donné par la méthode d'application des aires, par défaut d'un carré ou par excès d'un carré, selon que K appartient ou n'appartient pas au segment [lM] (on a, dans tous les cas, El ·GM = KI· KM)]. La synthèse proprement dite comporte deux parties, une partie construction dans laquelle on construit le point cherché (ici le point 10, une partie démonstration, dans laquelle on montre que l'objet ainsi construit (le point 10 est bien solution du problème; le principe de cette synthèse est encore le même dans tous les cas : Synthèse: Construction: soit K un point de la droite (CD), s'il en existe un, tel que El· GM = KI· KM (appartenant en outre à l'un ou l'autre des intervalles de la droite (CD) qu'exige le cas de figure considéré). Remarque: la construction d'un point K E [MI] tel que El· GM = KI· KM

est toujours possible, mais la construction d'un point K El· GM = KI· KM n'est possible que si El· GM::; MI

E

[MI] tel que

2 •

4

La droite (HK) est alors solution du problème. 7 Ces considérations, pourtant fondamentales, sont absentes du texte d'Apollonius; seule la figure et le reste de la démonstration permettent, dans chaque cas, de préciser la position du point M relativement au point C. Ce point est en revanche précisé dans un scholie de Halley, De Sectione rationis, p. 60.

23

2.2. Les lieux 3 à 7

Démonstration : [El' GM =}

= KI· KM]

[EK = EL = GK IK Hl GM

El KM =-] IK GM

=} [ -

(dans tous les cas de figure si l'on a

fait en sorte que El· GM = KI· KM)] =} [ EL = Hl = k ]. GK

GM

Toute la difficulté de la démonstration repose donc, non sur l'analyse stricto sensu ou sur le problème de l'inversion dans la synthèse des implications de l'analyse, mais sur l'existence et la construction d'un point K, appartenant aux intervalles requis par les cas de figure considérés et vérifiant la relation: El· GM = KI· KM, c'est-à-dire sur la méthode de l'application des aires, par défaut d'un carré ou par excès d'un carrés. Les cas où K doit appartenir au segment [lM] (application par défaut d'un carré) sont alors ceux donnant lieu à discussion (diorisme), puisque dans ces cas, pour qu'il 2

existe un point K il est nécessaire que El· GM::::: Ml (Euclide, Éléments 4

VI.27) ; c'est sur l'étude de ces diorismes que va porter l'effort d'Apollonius (cas 5.3, 6.2, 6.4, 7.2 et 7.49). En effet, dans les cas 4.1 et 4.3, où l'application des aires se fait 2

également par défaut d'un carré, la condition El· GM::::: Ml est satisfaite 4

8 La méthode d'application des aires repose sur les propositions VI.28 et VI.29 des Éléments, le diorisme de VI.28 reposant sur VI.27. Apollonius utilise, dans ce traité, ces propositions dans le cas particulier où les figures appliquées sont des rectangles et où le défaut ou l'excès, est un carré. Pas plus Apollonius, dans la partie construction de ses synthèses, que Pappus dans les lemmes qu'il consacre à La Section de rapport - alors même qu'il précise des constructions beaucoup plus élémentaires, comme la construction d'une quatrième proportionnelle pour des droites - ne précisent la construction du point K vérifiant la relation El· GM = KI· KM. Cette construction fait en revanche l'objet d'un scholie de Halley (De Sectione rationis, p. 60-61). 9 Si les premier, deuxième et troisième lieux comportent des discussions, celles-ci, on l'a vu, sont élémentaires; c'est d'ailleurs uniquement aux discussions des cinquième, sixième et septième lieux que Pappus réserve l'appellation de diorismes (déterminations) : « En effet le premier livre de La Section de rapport comporte sept lieux, vingtquatre cas et cinq déterminations, dont trois sont maxima et deux minima. La détermination est maxima dans le troisième cas du cinquième lieu et minima dans le second cas du sixième lieu et dans le second cas du septième lieu; tandis que les déterminations sont maxima dans les quatrièmes cas des sixième et septième lieux» (Pappus, La Collection, vol. II, p. 481).

24

Chapitre l : Applications des aires

car, dans ces deux cas, les points M, G, E et 1 étant rangés dans cet ordre 2

sur la droite (CD), il vient El . GM < El . EM:<S; Ml 4

;

on vérifie alors que,

puisque KI· KM = El· GM < El· EM, et KI· KM = El· GM < GI· GM, l'un des deux points K, vérifiant la relation El· GM = KI· KM, appartient au segment ([MG] (cas 4.1), et l'autre au segment [El] (cas 4.3) (Euclide, Éléments, ILS). Dans les autres cas (4.2, 4.4, 5.1, 5.2, 6.1, 6.3, 7.1 et 7.3), où l'application des aires se fait par excès d'un carré, le problème a, pour une valeur quelconque du rapport k, une solution sur chacun des intervalles considérés. L'unicité de cette solution se déduit, pour Apollonius, de la croissance ou de la décroissance du rapport EL sur chacun des intervalles considérés, lorsCK

que le point K se rapproche du point E. Dans chacun des cas 4.3, 4.4, 5.1 et 5.2, Apollonius montre en outre que toute autre position du point K sur l'intervalle considéré, donne lieu à un rapport différent de k. Diorismes des cinquième, sixième et septième lieux Partant du fait que le problème auquel il se ramène - trouver un point K du segment [lM] tel que KI· KM = s, s surface donnée - a une solution

unique - le milieu de [lM] - lorsque s

= M1

2

4

,

et que cette valeur de s établit

la démarcation entre les cas où le problème a deux solutions (lorsque 2

2

s < M1 ) et ceux où il n'en a pas (lorsque s > MI ), Apollonius cherche tout 4 4 d'abord à déterminer pour quelles positions des points 1 et M on a simultanément: El· GM = KI· KM et K milieu de [lM].

[El· GM =::}

[ -EK El

= KI . KM, KI = KM] =::} [ lK = CM, KI = KM] El

= -CK KM

= -CK KI

= -CE EK

KM

(d ans tous 1es cas d e f·Igure sIon . l' . en a f aIt

sorte que El· CM = KI· KM)]. EK est donc moyenne proportionnelle de El et de EG, ce qui détermine le point K (dont il faudra en outre vérifier qu'il appartient au segment requis par le cas de figure considéré) et le point M, symétrique de 1 par rapport à lH , VOIr . l' an al yse. ) K . 0 n a a1ors -EL = - lH ( et meme =EL = = A

CK

CM

CK

CM

Pour montrer que la valeur du rapport qui correspond à cette position du point K est extrémale sur l'intervalle considéré, Apollonius mène une

25

2,2, Les lieux 3 à 7

autre droite (HK'L') correspondant au même cas de figure, et montre que, comparer les rapports EL et EL' , revient à comparer les surfaces KI . KM GK

GK'

et K' l ' K' M. Or - à condition que K' appartienne au segment [Ml] KI, KM> K'I' KM, puisque K est le milieu de [lM]. En utilisant le fait que

composition et séparation des rapports conservent l'ordre, tandis qu' inversion et conversion l'inversent lO , et en reprenant en sens inverse la suite , 'd entes, on 0 b tIent, ' se1on 1es cas de f'Igure, -EL > EL' d ,·Imp l"Icahons prece GK

EL

ou -

GK

GK'

EL'

< --. GK'

Apollonius étudie ensuite - il en a besoin pour montrer l'unicité de la solution sur chacun des intervalles considérés et pour étudier les divers cas ', l'Ivre - 1e sens de VarIatIOn ,. d u rapport EL' - sur c h acun des d u deUXIeme GK'

intervalles précédemment définis de la droite (CD). Il montre encore que, EL'

EL"

GK'

GK"

,

,

comparer les rapports - - et - - , reVIent a comparer les surfaces . M' etant , d e'f"ml par 1a re lahon ' K 'M' , K'l et K"M' . K"I (1 e pomt =EL = = IH) . GK'

GM'

Cette comparaison repose sur les propositions IL5 et II.6 des Éléments qui permettent d'affirmer que, sur un segment [AB], la surface MA . MB diminue lorsque le point M s'éloigne du milieu 1 de [AB] - puisque MA . MB + MP = IA 2 - et que sur la droite (AB), à l'extérieur du segment [AB], la surface MA . MB augmente lorsque le point M s'éloigne du point 1 - puisque MA . MB + IA 2 = MP. Apollonius est ainsi amené à comparer, dans les divers cas de figure, les positions respectives des points Met M', du point K et du milieu du segment [IM1 ainsi que des points K' et KI/Il. L'étude se clôt par la détermination du rapport extrémal EL en GK

fonction des données du problème; Apollonius montre que, dans la troisième incidence du cinquième lieu (cas particulier où G = l) - K E [ED) -, la valeur maximale du rapport, obtenue lorsque ,. d l 'a E , est ega ' le'a -HI K = J symetrIque e par rapport 4EI

10 Ces propriétés, qui ne figurent pas dans les Éléments, sont démontrées dans les lemmes que Pappus consacre à la Section de rapport, Il Pappus détaille le premier point mais non le second dans les lemmes qu'il consacre à La Section de rapport,

26

Chapitre 1 : Applications des aires

-

dans la deuxième incidence des sixième et septième lieux - K E [Gl] -, la valeur minimale du rapport, obtenue au point] du segment [Gl] tel que E] soit moyenne proportionnelle de El et de ' le'a HIl EG , est ega ' El + EG - -v 4 . El . EG

dans la quatrième incidence des sixième et septième lieux E [ED) -, la valeur maximale du rapport, obtenue au point F

- K

,. d ' le'a symetnque e ] par rapport 'E a ,est ega

HI1 El + EG + -v 4 . El . EG

Conclusion: Dans le quatrième lieu (l et G de part et d'autre de E), le problème a 4 solutions, une pour chaque incidence, c'est-à-dire une sur chacun des intervalles [GC), [GE], [El] et [lD).

Dans le cinquième lieu (G = l), le problème a - 2 solutions si k > HI ,l'une sur [lC), l'autre sur [El] ; 4EI

- 3 solutions si k = HI , l'une sur [lC), l'autre sur [El] et le point] 4EI

symétrique de 1 par rapport à E, est solution; - 4 solutions si k < HI, l'une sur [lC), l'autre sur [El] et deux solu4EI

tions sur [ED), de part et d'autre du point]. Dans le sixième lieu (G entre E et l), le problème a - 4 solutions si k>

H~

EG+EI- 4EG·EI

,

une sur [lC), une sur [EG] et

deux solutions sur [Gl], de part et d'autre de ] (E] moyenne proportionnelle de El et de EG et ] entre G et l) ; - 3 solutions si k =

H~

EG+EI- 4EG·EI

point] est solution; ·· - 2 so1utIOns SI

HI 1 EG+EI+-v 4 EG·EI

,

une sur [IC), une sur [EG] et le


HI EG + EI-..)4EG. El' une sur

[lC) et une sur [EG] ;

- 3 solutions si k =

H~

EG+EI+ 4EG·EI

,

une sur [lC), une sur [EG] et le

point F symétrique de ] par rapport à E, est solution; - 4 solutions si k <

H~

EG+EI+ 4EG·EI

,

une sur [le), une sur [EG] et

deux solutions sur [ED), de part et d'autre du point F.

27

2.3. Les lieux 8 à 10

Dans le septième lieu (I entre E et G), on obtient les mêmes résultats que dans le sixième lieu, en intervertissant simplement les points G et J. Remarque : Halley, comme il l'a fait pour les premier et deuxième lieux,

démontre, dans les scholies qu'il consacre à ces lieux, que, si l'on ne fixe pas le point H, l'ensemble des droites coupant (AB) et (CD) selon le rapport k est, dans le troisième lieu (cas où G = E), constitué de deux faisceaux de droites parallèles, et que, dans les quatrième, cinquième, sixième et septième lieux (cas où G 7: E), l'enveloppe de ces droites est constituée de deux paraboles tangentes en G à (CD) et tangentes respectivement en 0 et en Q à (AB), les points 0 et

Q de (AB) étant définis par la relation

GE = EQ = k. EG

EG

2.3. Les lieux 8 à 10 Ces lieux correspondent au cas où les droites données, (AB) et (CD), sont sécantes en M distinct de E et de G, et où les points J, projeté de H sur (AB) parallèlement à (CD), et E point donné de la droite (AB) sont de part et d'autre de M. Dans le huitième lieu les points J, projeté de H sur (CD) parallèlement à (AB), et G point donné de la droite (CD) sont de part et d'autre de M, dans le neuvième lieu, J = G, et dans le dixième lieu J est entre M et G. L'analyse par laquelle Apollonius ramène chacun de ces lieux au lieu correspondant du livre 1 est identique pour ces trois lieux. Analyse: supposons le problème résolu, et soit (HKL) une sécante telle

que -EL

GK

' =k,rapport d onne. B

H

c

o

K G E A

u Fig. 9

Constructions auxiliaires: 0 point d'intersection de (HE) et de (CD), (UV) parallèle à (AB) passant par 0, Q point d'intersection de (HKL) et de

28

Chapitre I : Applications des aires

(UV) (Q inconnue auxiliaire). Notons que, puisque Jet E sont de part et d'autre de M, le point 0 appartient au segment [Ml]. OQ GK

OQ LE EL OQ HO OQ et - = - connus] ~ [ - connu]. LE GK' GK LE HE GK

[-=-.- -

Déterminer une droite (HKL) sécante à (CD) en K et à (AB) en L telle que EL

GK

= k, revient donc à déterminer une droite (HQLK) sécante à (UV)

en Q et à (CD) en K, telle que OQ GK

= /( = k·

HO, HE

ce que l'on a déterminé

dans l'un ou l'autre des cinq derniers lieux du livre 1. La synthèse est alors immédiate: on construit, comme dans le livre I, une droite (HQLK) vérifiant OQ GK

= /( et

EL GK

= k.

on montre que cette droite est solution, c'est-à-dire tel que

Si 1 E [MD), huitième lieu, 1 et G sont de part et d'autre de 0 et le problème se ramène au quatrième lieu, si 1 = G, neuvième lieu, il se ramène au cinquième lieu et si 1 E [GM], dixième lieu, il se ramène au septième lieu.

Huitième lieu, I et G de part et d'autre de M Si l'objet du problème était uniquement de discuter du nombre de solutions du problème en fonction des valeurs du rapport k (qui a le même sens de variation que le rapport /(), il serait inutile de distinguer les cas 8.2 (K E [GM]) et 8.4 (K E [MO]) qui tous deux se ramènent au cas 4.2, cas où

le problème a une solution unique sur l'intervalle [GO] ; l'étude du sens de variation du rapport menée dans le livre I, permet à Apollonius de préciser que, puisque sur l'intervalle [GO] le rapport OQ (et donc le rapport EL) GK

GK

décroît lorsque le point K se rapproche du point 0, le problème a une solution sur l'intervalle [GM] si k> EM (cas 8.2), et une solution sur l'intervalle GM [MO] si k < EM (cas 8.4) ; si k = EM, la droite (HM) est solution. GM GM

29

2.3. Les lieux 8 à 10

C'est en effet au cours de ces démonstrations et de démonstrations de ce type qu'Apollonius utilise la monotonie des variations du rapport sur les divers intervalles concernés, établie dans le premier livre 1Z • Neuvième lieu, 1 = G Il en va de même dans le neuvième lieu: le désir de distinguer les cas 9.3 (K E [OM]) et 9.4 (K E [MD]), qui tous deux se ramènent au cas 5.3,

cas à diorisme, contraint maintenant Apollonius à distinguer le cas où le point] symétrique de 1 par rapport à 0 appartient à [OM] du cas où il appartient à [MD), le point] étant le point où le rapport 1( atteint son maximum HI sur la demi-droite [OD). 401 Si] E [OM], HI

HE

- dans le cas 9.3, lorsque k > - ' - , le problème n'a pas de 401 HO solution; lorsque k = HI . HE , il a une solution, la droite (Hl) ; lorsque 401 HO EM ::;;

GM

k < HI . HE , il a deux solutions, de part et d'autre de la droite 401 HO

(H]) ; lorsque k < EM, il a une seule solution, la droite (HK), où K est

GM

entre 0 et]; - dans le cas 9.4, lorsque k> EM, le problème n'a pas de solution, et GM lorsque k::;; EM, il a une solution unique (lorsque k GM (HM) est solution).

= EM, GM

la droite

Si] E [MD), - dans le cas 9.3, lorsque k> EM, le problème n'a pas de solution, et GM lorsque k::;; EM, il a une solution unique; GM HI

HE

- dans le cas 9.4, lorsque k > - . - , le problème n'a pas de 401 HO solution; lorsque k = HI . HE , il a une solution, la droite (Hl) ; lorsque 401 HO 12 Contrairement au livre l, le livre II ne comporte pas de conclusion générale de chacun des lieux, donnant en fonction des valeurs du rapport k le nombre de solutions du problème.

30

Chapitre 1 : Applications des aires

-EM < _k<

HI. -HE , 1'1

CM

401 HO

lutlOns; ' 1orsque k < EM' ad eux so ,la l une seu 1e CM

solution.

Dixième lieu, 1 entre M et G Dans ce cas également, la volonté de distinguer les cas 10.4 (K E [OM]) et 10.5 (K

E

[MD)), qui tous deux se ramènent au cas 7.4, contraint

Apollonius à distinguer le cas où le point J de la demi-droite [OD) tel que OJ2 = al . OG appartient à [OM] du cas où il appartient à [MD), J étant le point où le rapport

K

atteint son maximum

KI

=

HI 0I+OC+--J40I·OC

sur la

demi-droite [aD). B

H

G

C --o---~-----'k--~--"i------ D

Fig. 10

Alors, comme dans le neuvième lieu: Si J E [aM], - dans le cas 10.4, lorsque k> lorsque k EM :::; k CM

<

= KI'

HO

,le problème n'a pas de solution;

HE , il a une solution, la droite (HJ); HO

KI' HE ,

HO

KI' HE

lorsque

il a deux solutions; lorsque k < EM, il a une seule

solution, la droite (HK), où K est entre

a et J ;

GM

- dans le cas 10.5, lorsque k> EM, le problème n'a pas de solution, et CM

lorsque k:::; EM, il a une solution unique (lorsque k CM

(HM) est solution).

= EM, CM

la droite

31

2.4. Les lieux Il à 13 et 17 à 21

Si 1 E [MD), - dans le cas 10.4, lorsque k> lorsque k:S;

EM,

GM

EM GM

:s; k <

= KI

le problème n'a pas de solution, et

il a une solution unique;

- dans le cas 10.5, lorsque k> lorsque k

EM,

GM

. HE,

HO

KI . HE ,

HO

KI. HE ,

HO

le problème n'a pas de solution;

il a une solution, la droite (Hl); lorsque

il a deux solutions; lorsque k <

EM, GM

il a une seule

solution. 2.4. Les lieux 11 à 13 et 17 à 21

L'analyse par laquelle Apollonius ramène chacun de ces lieux au lieu correspondant du livre 1 est identique. B

u s

Q

v

N

D L E A

Fig. Il

Analyse: Supposons le problème résolu, et soit (HKL) une sécante telle

que EL

GK

= k' (où, le plus souvent, telle que

GK EL

= k = ~ )13. k'

Constructions auxiliaires: N point d'intersection de (HG) et de (AB), (UV) parallèle à (CD) passant par N, Q point d'intersection de (HKL) et de (UV).

13

Dans les cas 11.1 à 11.4, Apollonius résout le problème EL

GK

les autres cas (de 11.5 à 13.4 et de 17.1 à 21.5) le problème GK = k. EL

= k', et dans tous

32

Chapitre l : Applications des aires NQ EL

NQ GK GK NQ HN et - = GK EL' EL GK HG

[-=-.- -

= -Hl GI

connus]

~

NQ EL

[ - connu].

Détenniner une droite (HKL) sécante à (CD) en K et à (AB) en L telle que EL

GK

= k', revient donc à déterminer une droite (HQL) sécante à (UV) en

Q et à (AB) en L, telle que:

NQ = /( = Hl .~= Hl . EL GI k' GI

k, ce que l'on a

déterminé dans l'un ou l'autre des cinq derniers lieux du livre 1. La synthèse est alors immédiate: on construit, comme dans le livre l, une droite (HQL) vérifiant NQ EL

EL

que GK

= /( et on montre que cette droite est solution, c'est-à-dire tel

= k'.

Le lieu du livre 1 auquel on se ramène dépend des positions relatives des points E, Net J sur la droite (AB) : - E = N, treizième lieu (points rangés dans l'ordre EMJ) et dix-huitième lieu (points rangés dans l'ordre EJM) qui se ramènent au troisième lieu ; - Jet E de part et d'autre de N, douzième lieu (points rangés dans l'ordre ENMJ) et vingtième lieu (points rangés dans l'ordre ENJM) qui se ramènent au quatrième lieu ; - E entre N et J, onzième lieu (points rangés dans l'ordre NEMJ), dixseptième lieu (points rangés dans l'ordre JEMN) et dix-neuvième lieu (points rangés dans l'ordre NEJM) qui se ramènent au sixième lieu; - J entre Net E, vingt et unième lieu (points rangés dans l'ordre EJMN) qui se ramène au septième lieu. Le sens de variation et les extrema du rapport k' étant dans ce cas inverses de ceux du rapport /( 14, on obtient, à partir des résultats obtenus dans le livre l, et sur chacun des intervalles de la droite (AB) délimités par les points E, N et J, les conditions sur k' ou sur k pour que le problème ait des solutions ainsi que le nombre de solutions sur chacun de ces intervalles. Si l'objet du problème est uniquement de discuter du nombre de ses solutions en fonction des valeurs du rapport k, point n'est besoin de prendre en considération la position du point M. Mais si l'on veut préciser le nombre de solutions sur chacun des intervalles de la droite (AB) que définissent les quatre points (pas nécessairement distincts) E, N, J et M, on doit alors prendre également en compte la position du point M relativement aux points E, Net J. Six cas vont alors se présenter: 14

Ceci est vrai dans les cas 1l.1 à 11.4. Dans tous les autres cas, Apollonius

. d cons!'d'ere 1e rapport -GK = k qUI. vane ansIeA meme sens que EL

K.

33

2.4. Les lieux 11 à 13 et 17 à 21

Premier cas: l'intervalle de la droite (AB) auquel doit appartenir le point L qui détermine la droite cherchée n'a pas pour extrémité M, et sur cet intervalle il existe pour toute valeur de K une seule droite (HL) vérifiant

= K, le problème ne donne alors pas lieu à discussion et a une solution EL unique sur cet intervalle, quel que soit le rapport donné k (cas Il.1 et Il.4 ; 12.1,12.2 et 12.5 ; 13.4; 17.1 ; 19.4; 20.1, 20.2 et 20.3; 21.1).11 est alors légitime de regrouper certains de ces cas (12.1 et 12.2, d'une part, 20.1, 20.2 et 20.3 d'autre part) ou d'abréger la démonstration. NQ

Deuxième cas: l'intervalle de la droite (AB) auquel doit appartenir le

point Ln' a pas pour extrémité M, sur cet intervalle le rapport NQ est EL monotone mais majoré (respectivement minoré) par une valeur

l (l

= Hl); El

ce cas ne se présente que lorsque N = E, c'est-à-dire dans les cas 13.1 et 18.1 qui se ramènent au cas 3.1, et dans le cas 18.2 qui se ramène au cas 3.2. La monotonie sur cet intervalle des variations du rapport EQ implique EL celle, de même sens, du rapport GK EL

= GJ. EQ Hl EL

;

donc, si k < GI (cas 13.1 El

et 18.1), ou si k> GJ (cas 18.2), le problème a une solution unique sur cet El

intervalle; il n'a pas de solution dans le cas contraire. Troisième cas: l'intervalle de la droite (AB) auquel doit appartenir le point Ln' a pas pour extrémité M et, sur cet intervalle, il existe 0, 1 ou 2

droites vérifiant NQ = K, selon que K est supérieur, égal ou inférieur à une EL valeur extrémale l (cas 11.5; 17.2; 17.5; 19.3 et 19.5; 21.2 et 21.5). Le rapport GK variant comme le rapport NQ, le problème a 0, 1 ou 2 soluEL

EL

tions sur cet intervalle selon que k est supérieur, égal ou inférieur à une ' 1e g = GI. l. val eur extrema Hl

Les cas suivants, ceux où l'intervalle de la droite (AB) auquel doit appartenir le point L a une de ses extrémités égale à M, sont ceux que détaille Apollonius. Quatrième cas: l'intervalle de la droite (AB) auquel doit appartenir le point L a pour extrémité M, et M appartient à l'un des intervalles de la

34

Chapitre l : Applications des aires

droite (AB) déterminés par les points E, Net i, sur lequel le rapport NQ est EL monotone et sur lequel, pour toute valeur de /(, il existe une droite unique vérifiant NQ EL

= /(

(cas 12.3 et 12.4; 17.3 et 17.4; 18.3 et 18.4; 19.1 et

19.2; 20.4 et 20.5; 21.3 et 21.4). Le rapport NQ variant comme le rapport EL CK, sur l'un des deux intervalles d'extrémité M le problème aura donc une

EL

solution unique si k> CM et pas de solution sinon; c'est le contraire sur EM

l'autre intervalle d'extrémité M; si k = CM ,la droite (HM) est solution. EM

Cinquième cas: l'intervalle de la droite (AB) auquel doit appartenir le point L a pour extrémité M, et M appartient à l'un des intervalles de la droite (AB) déterminés par les points E, Net i, sur lequel le rapport NQ est EL . . , 1 ( Hl) , monotone malS mmore par une va eur l l = ; ce cas ne se presente El que lorsque N = E, c'est-à-dire dans les cas l3.2 et l3.3, qui se ramènent au cas 3.2. B

c

K

D

P

Q

A

Fig. 12

Reprenons la démonstration d'Apollonius. On veut déterminer une droite (HLKQ) sécante à (AB) en L, à (CD) en K et à (UV) en Q, telle que ' -CK = k,rapport d onne. EL

35

2.4, Les lieux 11 à 13 et 17 à 21

O n a vu que: -CK EL

Gl EQ; = -, Hl EL

1a d"ecrOlssance, 1orsque l ' L e pomt

s'éloigne du point J, du rapport K= EQ sur l'intervalle [JE], établie en 3,2, EL

implique que, si (HLKQ) et (HL 'K/Qj sont deux sécantes, l'une menée selon la deuxième incidence (cas 13.2, L entre J et M), l'autre menée selon la troisième incidence (cas 13.3, L'entre M et E), alors: Hl El

EQ' EL'

EP EM

EQ EL'

-<-<-<-

où P est le point d'intersection de (HM) et de (UV), d'où Cl

Gl EQ' EL'

Hl

Cl

Gl EQ

EP

-'- < -'- < -'- < -'Hl El

Hl

Hl EM

Hl EL'

soit Cl El

CK' EL'

CM EM

CK EL

-<-<-<-. Donc: -

si k > CM , le problème a une solution dans le cas 13.2, et n'a pas de EM

solution dans le cas 13.3 ; -

si Cl < k < CM , le problème a une solution dans le cas 13.3 et n'a El

EM

pas de solution dans le cas 13.2 ; -

si k = CM , la droite (HM) est solution;

-

si k < Cl , le problème n'a de solution ni dans le cas 13.2 ni dans le

EM El

cas 13.3. Remarque: la démonstration d'Apollonius dans le cas 13.3 est incomplète: ' 1a con d"ItlOn k < CM, 1'1 omet de rappe 1er 1a con d"ItlOn k > Cl, s "1 1 Impose EM

El

qui résulte du diorisme du cas 3.2. Sixième cas: l'intervalle de la droite (AB) auquel doit appartenir le point L a pour extrémité M, et M appartient à l'un des intervalles de la droite (AB) déterminés par les points E, N et J, sur lequel le rapport NQ a une EL

36

Chapitre l : Applications des aires

valeur extrémale (atteinte au point F de cet intervalle tel que NF soit moyenne proportionnelle de Nl et de NE). Ceci ne se produit que dans les cas Il.2 et Il.3 qui se ramènent au cas 6.2, cas où le rapport K = NQ a une EL

valeur minimale EL CK

= k').

K2

(dans ces deux cas on veut résoudre le problème

Comme dans les cas 10.4 et 10.5, on doit alors distinguer selon

que NM> NF, NM < NF ou NM = NF, c'est-à-dire selon que F appartient ou n'appartient pas à l'intervalle considéré. B

c

o

K

v

u A

Fig. 13

Si FE [EM], - dans le cas Il.2 (deuxième incidence, L entre 1 et M), si k':::; EM , le CM

problème a une solution unique, et si k'> EM , il n'a pas de solution; CM

- dans le cas 11.3 (troisième incidence, L entre M et E), si k'> Hl.~, CI

K2

le problème n'a pas de solution; si k' = Hl. ~, le problème a une soluCI

K2

tion, la droite (HF) ; si EM :::; k' < Hl . ~, le problème a deux solutions, CM

CI

K2

de part et d'autre de la droite (HF) ; si k' < EM , le problème a une CM

seule solution. Si F

E

[lM],

- dans le cas 11.2, si k' > Hl. ~, le problème n'a pas de solution; si CI

k'

=

K2

HI.~, le problème a une solution, la droite (HF); si CI

K2

37

2.4. Les lieux 14 à 16

EM GM

:s k' <

HI GI

.~, le problème a deux solutions, de part et d'autre de 1(2

la droite (HF) ; si k' < EM ,le problème a une seule solution; GM

- dans le cas Il.3, si k':S EM le problème a une solution unique et si GM

EM ' k' > , l '1' n a pas d e solutIOn. GM

L'étude des variations du rapport menée dans le premier livre trouve ici sa pleine justification; elle est, on le voit, au cœur des résolutions de ces lieux du second livre.

2.5. Les lieux 14 à 16 Ces lieux, qui correspondent au cas où E = J - J projeté de H sur la droite (AB) parallèlement à (CD) - sont résolus directement. S'il est impossible de ramener, avec l'une ou l'autre des constructions précédentes, le quatorzième lieu (cas où J = E et G =1) à l'un des lieux du premier livre, on pourrait en revanche aisément, en traçant la parallèle à (CD) issue de N point d'intersection de (HG) et de (AB), ramener les quinzième et seizième lieux au cinquième lieu du livre 1. Les analyses et les synthèses de ces trois lieux sont semblables, seules diffèrent les positions relatives des points G, 1 et M sur la droite (CD) : G =1 dans le cas du quatorzième lieu, 1 E [MG] dans le cas du quinzième lieu et G E [Ml] dans le cas du seizième lieu.

Analyse: supposons le problème résolu, et soit (HKL) une sécante telle EL =k. GK

que -

[ EL EH

= HI] => [ EL = EL· IK = EH· HI = ME· MI (dans tous les cas de IK

GK

GK·IK

GK·IK

KG· KI

figure)] ; [EL et ME· Ml donnés] => [KG, KI donnée] ; GK

[KG, KI donnée, G et 1 donnés] => [K donné (par la méthode d'application des aires)]. Synthèse . :. .. SOlt s une surf ace te Il e que ME· MI = k (constructIOn qUI ConstructLOn s

exige que l'on sache construire une quatrième proportionnelle dans le cas de

38

Chapitre l : Applications des aires

surfaces), K un point de la droite (CD), s'il en existe un, tel que KG· KI = s (K appartenant en outre à l'un ou l'autre des intervalles de la droite (CD) qu'exige le cas de figure considéré). La droite (H K) est alors solution du problème Démonstration : [KG' KI

=s et

ME· MI

= k]

=}

s

[EL CK

= EL·IK = ME· MI k]. CK·IK

s

B

L

C

G

P

M

--~--~--,---~----+------

0

P' A

Fig. 14

Résoudre le problème revient alors à déterminer un point K de la droite (CD), tel que KG· KI = !.. k

. ME· MI.

Le quatorzième lieu correspond au cas où G GK2 =

= l,

on a donc

!.. . ME . MG ; le problème a donc toujours deux solutions: une sur k

[GC) (cas 14.1), dans tous les cas, une sur [GM] (cas 14.3) si k> EM , et CM

une sur [MD) (cas 14.2) si k < EM (si k CM

= EM

CM

, la droite (HM) est solution).

Lorsque G -j:. l, quinzième et seizième lieux, le problème se ramène à un problème d'application des aires, par excès dans les cas 15.1, 15.3, 15.4, 16.1, 16.2, 16.3, par défaut dans les cas 15.2 et 16.4, qui sont donc les cas donnant lieu à un diorisme non élémentaire. Comme il l' a fait pour les diorismes des cas 5.3, 6.2, 6.4, 7.2 et 7.4 du livre 1, Apollonius montre que, lorsque K appartient au segment [Gl], du fait que la surface KG . KI est maximale lorsque le point K est en P milieu de [IG], le rapport est extrémal (minimal dans les deux cas) lorsque le point K est en P. En effet, si K appartient au segment [GI] :

39

2.4. Les lieux 14 à 16

[KG' KI < PG· PIJ

=}

[EL = ME· MI > ME· MI = 4ME·MI = EP' GK KG·KI PG·PI IG 2 GP

(P' point d'intersection de (HP) et de (AB)].

Le problème a donc, dans ces deux cas (15.2 et 16.4), 2 solutions lorsque k > EPI, une solution (le point P) lorsque k GP EP'

= EP' GP

et pas de solution

lorsque k < - . GP

Pour ces deux lieux, le problème a donc EP'

- 4 solutions lorsque k> - , deux sur [lG], et une sur chacune des GP

deux demi-droites [ID) (respectivement [GD» et [GC) (respectivement [lC»,

- 3 solutions lorsque k =

EPI, une sur chacune des deux demi-droites GP

[ID) (respectivement [GD» et [GC) (respectivement [lC», et P milieu de [lG],

- 2 solutions lorsque k < EPI, une sur chacune des deux demi-droites GP

[ID) (respectivement [GD» et [GC) (respectivement [/C».

Apollonius ne se satisfait pas de ce résultat; il souhaite en outre préciser le nombre de solutions du problème sur chacun des intervalles de la droite (CD) que définissent les points l, G et M, il est donc amené à distinguer les cas 15.3 - K E [MD) - et 15.4 - K E [Ml], ainsi que les cas 16.2 - K E [MD) - et 16.3 - K E [MG]. Il est alors conduit dans ces 4 cas à des

discussions élémentaires, reposant sur le fait que, puisque la surface KG . KI croît lorsque le point K, extérieur au segment [IG], s'éloigne de P, milieu de [lG], le rapport EL décroît lorsque le point K s'éloigne de P; donc GK

- SI.

k=EM, 1e pomt . M ' est solutlOn, MG

- si k > EM , le problème a une solution sur [lM] (cas 15.4) ou sur MG

[GM] (cas 16.3) et n'a pas de solution sur [MD) (cas 15.3 et 16.2),

- si k < EM , le problème a une solution sur [MD) (cas 15.3 et 16.2) et MG

n'a pas de solution sur [lM] (cas 15.4) ou sur [GM] (cas 16.3).

CHAPITRE II

RÉSOLUTION GÉOMÉTRIQUE DES PROBLÈMES ALGÉBRIQUES

Pour mettre ce problème en équation et donner une interprétation algébrique du traité, on est amené à choisir des axes de coordonnées dotés d'orientations. Les différents «lieux» distingués par Apollonius correspondent aux différentes positions relati ves des droites coplanaires données (AB) et (CD) parallèles ou sécantes ainsi qu'aux diverses valeurs possibles des coordonnées des points E et G donnés sur ces droites; ces lieux sont subdivisés en « incidences

»,

qui déterminent chaque fois si EL est GK

àk

ou à -k. 1. LIEUX 1 ET 2: (AB) PARALLÈLE À (CD)

1 étant un point donné, n'appartenant ni à (AB) ni à (CD), on veut déterminer une droite (IKL) sécante à (AB) en K et à (CD) en L, telle que EK =kl. GL E

A

K

B

c

II

15

On prend comme axes de coordonnées la droite (CD) et la droite (GE). On pose GE = d (on peut supposer d > 0) ; on projette 1 en J sur (CD) parallèlement à (GE) et en F sur (GE) parallèlement à (CD) ; on pose b. a (on peut supposer a > 0), 1 La lecture du traité est, on l'a dit, rendue malaisée par de fréquents changements de notations. Nous reprenons ici les notations d'Apollonius dans les premier et deuxième lieux.

42

Résolution géométrique des problèmes algébriques

Soient L un point de (CD) d'abscisse x et K un point de (AB) d'abscisse x' ; la condition pour que K et L soient alignés avec 1 s'écrit :

= O.

d(a -x) - b(x' -x)

Cl)

Le problème d'Apollonius consiste à déterminer x et x' vérifiant (1) et tels que

I~I = k, rapport donné. On a alors X'=Ekx et d(a-x)-bx(Ek-l)=O

(avecE=louE=-l),

d'où (II)

ad d-b+Ekb

x=----

. k = E- E -d + E -ad). (SOlt b

bx

PREMIER LIEU: 1 non situé entre (AB) et (CD)

On peut supposer 1 dans l'angle DGH, on a b < O. La première incidence correspond au cas où x et x' sont positifs, soit E=

1 ; il faut donc imposer la condition

ad d-b+kb

> 0, soit k < 1 -

!!.-. b

Cette condition équivaut à celle qu'impose Apollonius: k < El , M point lM

d'intersection de (lE) et de (CD) ; en effet

. k = 1--+-, d ad k crOlt avec x, comme A po Il omus . R emarque: pUIsque A

b

bx

l'établit en vue de démontrer l'unicité de la solution. La deuxième incidence correspond au cas où x > E=

-1 ; la condition

ad d-b-kb

°

et x' < 0, soit

> 0 est vérifiée, puisque b < 0, le problème a

donc dans ce cas toujours une solution. k = -1 + -d - ad, k decrOlt / 1orsque x crOlt. . R emarque : pUIsque b bx A

A

43

1. Lieux 1 et 2

La troisième incidence correspond au cas où x <

°

et Xl < 0, soit E = 1

comme dans la première incidence; il faut alors imposer la condition ad - < O ' k > 1 - -, d ce qUI.eqUIvaut ,. 'k El, con d'It10n . posee , par -,SOIt a > d -b+kb

b

lM

Apollonius. . k = 1 - -d + -ad Remarque : pUIsque b

bx

= 1 + -d

Ibl

ad, k decrOIt ' ~ 1orsque 1x 1 CroIt. ~ +Ibxl

=-1, le problème a toujours une solution, qui correspond à la deuxième incidence. Lorsque E = 1, le problème a une soluEn conclusion, lorsque

E

tion si k -:/- 1 - ~ ; cette solution correspond à la première incidence si k< I -

b d '1 .. , - et a a trOIsleme SI'k b

d 1e d'enommateur . dex > 1 - -d ; SI'k = 1 - -, b

b

s'annule et le problème n'a pas de solution, sauf si a = 0, c'est -à-dire si les points l, E et G sont alignés. Dans ce dernier cas, qu'Apollonius n'envisage pas, x est indéterminé et on peut choisir L indifféremment sur (CD). DEUXIÈME LIEU: 1 entre (AB) et (CD)

°

On peut supposer 1 dans les angles BEG et EGD, alors < b < d. La première incidence correspond au cas où x et x' sont positifs, soit E

= 1 ; la condition

ad d-b+kb

>

°

est vérifiée, puisque d - b > O.

ad, k d'ecrOIt ~ 1orsque x crOIt. ~ . k = 1 - -d + Remarque : pUIsque b

bx

La deuxième incidence correspond au cas où x > E

=-1

; il faut imposer la condition

ad d-b-kb

°

et x' < 0, soit

> 0, soit k < ~ - 1. Cette b

condition équivaut à celle qu'impose Apollonius: k < : El

EF

d-b

lM

GF

b

; en effet

-=-=-. k R emarque : pUIsque

~ = -1 + -db - -ad , k crOIt avec x. bx

°

La troisième incidence correspond au cas où x < et x' > 0, soit E = -1 comme dans la deuxième incidence; il faut alors imposer la condition

44

Résolution géométrique des problèmes algébriques

ad - < O ' k > -d l 'qUI "eqUIvaut 'k El, con d'ItlOn . posee , -,SOlt - ,ce a >d -b+kb

b

lM

par Apollonius. Remarque:

puisque k

= -1 + ~b -

ad bx

= -1

+

d b

+ ~J'

k

bJx

décroît lorsque JxJ

croît. Il n' y a pas d'autre incidence, car x et x' ne peuvent être tous les deux négatifs vu la position de J. En conclusion, lorsque E = 1, le problème a toujours une solution, qui

correspond à la première incidence. Lorsque tion si k

:f.

~ b

-

E

=-1, le problème a une solu-

1 ; cette solution correspond à la deuxième incidence si

. de x = -db - Il , e d'enommateur s'annule et le problème n'a pas de solution, sauf si a = 0, c'est-à-dire si le

k

.. , < -d - 1 et a'1 a trOlsIeme SI'k > -d - 1 ; SI'k b

b

point J est sur (EG). Dans ce dernier cas, non envisagé par Apollonius, x est indéterminé et on peut choisir L arbitrairement.

2. LIEUX 3 À 21 : (AB) NON PARALLÈLE À (CD)

On prend les droites (CD) et (AB) comme axes de coordonnées, se coupant en l'origine M. On se donne un point E sur (AB), d'ordonnée d, un point G sur (CD), d'abscisse c et un point H du plan, de coordonnées a et b. On peut choisir l'orientation des axes de manière que a> 0 et b > O. On veut déterminer une droite (HKL) sécante à (AB) en L et à (CD) en K, telle que -EL GK

' = k ,rapport d onne. B /---------c79

C

G

H

D

K E A

Fig. 16

45

2.1. Lieux 3 à 7

Si les points K, d'abscisse x sur (CD), et L, d'ordonnée y sur (AB), sont alignés avec H, on a : ay + bx =xy. Le problème d'Apollonius consiste à déterminer x et y vérifiant cette relation et tels que :

IY-dl

EL == = k (x"j:. c), GK x-c

On a donc y (1)

= d + Ek (x -

soit y-d = Ek, avec E = 1 ou E =-1. x-c

c) et

kx 2 - x[k(a + c) + E(b - d)] + a(kc - Ed)

=0

équation de degré 2 en x. 2.1. Lieux 3 à 7, cas où E

=M

Dans les lieux 3 à 72 , traités dans le premier livre, E l'équation (1) devient: (2)

kx 2 -x[k(a + c) + Eb] + kac

de discriminant (2')

L1(k) =

e (a -

Si l'on posef(x) f(c)

=M, soit d =0, et

=0

c) 2 + 2Ebk(a + c) + b 2 = [k(a + c) + Eb]2 - 4eac.

= kx 2 -x[k(a + c) + Eb] + kac,

alorsf(a)

= -Eab et

=-Ebc.

TROISIÈME LIEU: G

=E =M

Dans ce cas c = 0 (donc x "j:. 0), et l'équation se simplifie encore. (2 bis)

kx 2 - x[ka + Eb]

= O.

2 Nous adoptons pour ces lieux, comme nous l'avons fait lors du commentaire géométrique, les notations des sixième et septième lieux. Notons que, dans les lieux 3 et 4, les rôles de (AB) et (CD) sont intervertis: le point G est sur (AB) qui devient l'axe des abscisses et le point E sur (CD) qui devient]' axe des ordonnées, ee qui ne modifie en rien la mise en équation.

46

Résolution géométrique des problèmes algébriques

La racine nulle, qui correspondrait à K = E = G, ne convient pas ( EL EK indéterminé). L'autre racine est x

= a + E~, ce qui donne deux solutions, k

selon que E = 1 ou E = -1. Apollonius distingue trois incidences: première incidence (cas 3.1), x < 2:'. x

= Ek)

El'

deuxième incidence (cas 3.2), E

= -1

< y < b, soit E = -1 (puisque

et

~ < 0, soit

; on doit donc imposer la condition a -

k<~=HI. a

°°

k

°

< x < a et y < 0, soit encore

; on doit alors imposer la condition a - ~ > 0, soit k

k>~=HI.

El'

a

troisième incidence (cas 3.3), x > a et y> b, soit x

=a + ~ k

E=

1 ; dans ce cas

> a, il n'y a donc pas de condition sur k.

En conclusion, le problème a toujours une solution dans la troisième incidence (cas où E = 1). Lorsque E = -1, il a une solution dans la première incidence si k <

°

~ et dans la deuxième si k > ~ ; lorsque k = ~,x = (avec a

a

a

la multiplicité 2) et le problème n'a de solution que dans la troisième incidence. QUATRIÈME LIEU: 1 et G de part et d'autre de E

Dans ce cas c < 0, donc .1(k) >

°;

l'équation (2) a donc toujours deux

racines, que E soit égal à 1 ou à -1. Apollonius distingue quatre incidences: première incidence (cas 4.1), x < c et y> 0, soit _Yx-c

= Ek);

E

°

= -1

(puisque

et y > 0, soit

E

=1 ;

troisième incidence (cas 4.3), 0< x < a et y < 0, soit

E

=-1 ;

deuxième incidence (cas 4.2), c < x <

quatrième incidence (cas 4.4), x > a et y > 0, soit

E

= 1.

47

2.l. Lieux 3 à 7

Lorsque E = l,f(a) <

°

etf(c) > 0, l'équation (2) a donc deux racines de

°

signes contraires, XI et X2' telles que c < XI < < a < X2 ; XI est solution pour la deuxième incidence et X2 est solution pour la quatrième incidence. Lorsque E = -l,f(a) > etf(c) < 0, l'équation (2) a donc deux racines

°

°

de signes contraires, X3 et X4, telles que X3 < c < < X4 < a ; X3 est solution pour la première incidence et X4 est solution pour la troisième incidence.

En conclusion, le problème a toujours 4 solutions, une selon chaque incidence. CINQUIÈME LIEU: 1

Dans ce cas c

(2 ter)

=G

= a, et l'équation (2) devient

kx 2 - x(2ka + Eb) + ka z = 0,

de discriminant L1(k) = b(4Eka + b). Apollonius distingue trois incidences: première incidence (cas 5.1), X > a et y> b, soit E = 1 (puisque _Y- = Ek); x-a

deuxième incidence (cas 5.2),

°

< X < a et y < 0, soit encore E = 1.

°°

troisième incidence (cas 5.3), X < et < y < b, soit E =-1. Lorsque E = l, L1(k) > 0, l'équation (2 ter) a deux racines positives

°

XI

et

et, puisque f(a) < 0, < XI < a < X2 ; X2 est solution pour la première incidence et XI est solution pour la deuxième incidence. Lorsque E = -l, l'équation (2 ter) n'a de solution que si L1(k) 2': 0, soit

Xz

k:::; ~ 4a

=

HI ,condition posée par Apollonius, et elle a alors deux racines 4EI

(confondues et égales à - a, si k =

~) négatives. Le problème a donc, dans 4a

la troisième incidence, deux solutions si k <

~, une solution si k = ~, et 4a

4a

pas de solution si k > ~. 4a

En conclusion, le problème a deux solutions si k > ~ (première et 4a

deuxième incidences), trois solutions si k = ~ (une dans chaque incidence) 4a

48

Résolution géométrique des problèmes algébriques

et quatre solutions si k < ~ (une dans chacune des première et deuxième 4a

incidences et deux dans la troisième incidence),

racines que si L1(k) ;:::

=

k> b(a+c)+2b~ -

(a-c)2

°;

b(a+c)-2b~ (a-c)2

soit si k:::; -----'----'------::--b

a+c-2~'

L'équation (2) a alors deux racines X3 et X4 (distinctes ou confondues), de même signe, puisque X3 ' X4 = ae > 0, ,

En outre, pUIsque X3 + X4 - si k;:::

= k(a+c)-b , k

b > _b_, a+c-2~ a+c

X3

+ X4 > 0, et les deux racines sont posi-

tives; - si k :::;

b

a+c+2~

b

< --, a+c

X3

+ X4 < 0, et les deux racines sont

négatives, Pour avoir une solution dans la deuxième incidence, on doit donc impo, k> b ,- = Hll , posee , ser a, k 1a con d'!tIon: _ ,con d'ItlOn a+ c- 2"ac

EG + EI- -v4EG· El

par Apollonius. Puisque j(a) = ab > 0, j(e) = be > 0, et qu'en outre j(~) = ~ [b - k(a + e - 2~)] < 0, les deux racines sont, dans ce cas, comprises entre e et a, et le problème a deux solutions dans la deuxième incidence; si

49

2.1. Lieux 3 à 7

k

=

b..J;;;' l'équation (2) a une solution unique, égale à a+e-2 ae

..J;;;, et le

problème a une seule solution dans cette incidence. Pour avoir une solution dans la quatrième incidence, on doit imposer à k la condition : k<

b - a+e+2..J;;;

HI = EG+ EI+.J4EG·EI , ~----~r=====

condition posée par Apollonius. L'équation (2) a alors deux racmes négatives, et le problème a deux solutions; si k =

b..J;;; , l'équation (2) a+e+2 ae

a une solution unique, égale à -..J;;;, et le problème a une seule solution dans cette incidence.

En conclusion, si k >

b..J;;; , le problème a 4 solutions (une dans la première a+e-2 ae

incidence, une dans la troisième incidence et deux dans la deuxième incidence) ; si k

=

b..J;;;' il a 3 solutions (une dans chacune des première, a+e-2 ae

deuxième et troisième incidences) ; SI

b..J;;; a + e + 2 ae


b..J;;; , il a 2 solutions (dans la première et la a + e - 2 ae

troisième incidence seulement) ; si k

=

b..J;;;' il a 3 solutions (une dans chacune des première, a+e+2 ae

troisième et quatrième incidences) ; si k <

b..J;;;' il a 4 solutions (une dans la première et dans la a+e+2 ae

troisième incidence et deux dans la quatrième incidence). SEPTIÈME LIEU: cas où 1 est entre G et E

Dans ce cas 0 < a < c, on obtient les mêmes résultats que pour le sixième lieu, en permutant simplement a et c. Apollonius distingue encore quatre incidences: première incidence (cas 7.1), c < x et y> b, soit E = 1 (puisque _Y- = Ek); x-e

deuxième incidence (cas 7.2), a < x < c et y > b, soit

E

=-1

;

50

Résolution géométrique des problèmes algébriques

=1 ; quatrième incidence (cas 7.4), x < 0 et 0 < y < b, soit E = -1. Lorsque E = 1, comme dans le cas précédent, l'équation (2) a troisième incidence (cas 7.3), 0 < x < a et y < 0, soit

E

deux

racines positives XI et X2 telles que 0 < XI < a < c < X2; X2 est solution pour la première incidence et XI est solution pour la troisième incidence. Lorsque E = -1, comme dans le cas précédent, pour avoir des solutions dans la deuxième incidence, on doit imposer à k la condition:

k ;:::

b..r;;;'

les deux racines sont alors comprises entre a et c et le

a+e-2 ae

problème a deux solutions; si k

=

b..r;;;'

a+e-2 ae

l'équation a une racine

double égale à ..r;;; . Pour avoir des solutions dans la quatrième incidence, on doit imposer à

k la condition: k :::;

b..r;;; ; si k =

a + e + 2 ae

b..r;;; , l'équation a une racine

a + e + 2 ae

double égale à -..r;;; .

En conclusion, comme dans le lieu précédent: si k>

b..r;;; , le problème a 4 solutions (une dans la première inci-

a+e-2 ae

dence, une dans la troisième incidence et deux dans la deuxième incidence) ; si k

b..r;;; , le

=

a+e-2 ae

problème a 3 solutions (une dans chacune des

première, deuxième et troisième incidences), SI

b..r;;;

a + e + 2 ae


b..r;;; , le

a + e - 2 ae

problème a 2 solutions (dans la

première et la troisième incidence seulement) ; si k

=

b..r;;;'

a+e+2 ae

le problème a 3 solutions (une dans chacune des

première, troisième et quatrième incidences) ; si k <

b..r;;; , le problème a 4 solutions (une dans la première inci-

a+e+2 ae

dence, une dans la troisième incidence et deux dans la quatrième incidence).

Remarque: dans les lieux 3 à 7, pour établir, sur les divers intervalles considérés, l'unicité de la solution (qui résulte directement de l'étude algébrique précédente), Apollonius procède de deux manières:

51

2.1. Lieux 3 à 7

- il montre d'une part, et ce uniquement dans les cas 4.3, 4.4, 5.1 et 5.2, qu'à deux valeurs distinctes x et x' de l'intervalle considéré correspondent deux rapports différents; - il montre d'autre part, et ce dans tous les cas, que le rapport EL croît ou décroît, sur chacun de ces intervalles, lorsque

Ixl

GK

croît ou décroît.

Étudions donc les variations du rapport EL lorsque le point K décrit la GK

droite (DC). Avec les hypothèses précédentes, posons IR El = a > 0, EG = c, EK = x, alors on a, dans tous les cas: EL GK

=

=b

> 0,

1-11- -11- -1

EL EL EK IR EK bx GK = EK'GK = IK'GK =!(x-a).(x-c)! (x:;t:O,x:;t:aetx:;t:c).

Le problème de La Section de rapport se ramène alors à la résolution de l'équation : !

bx ! (x-a).(x-c)

= k, équation (2).

La résolution analytique du problème d'Apollonius revient alors à chercher les points d'intersection de la courbe -G" représentative de la fonction h définie par h(x)

= (x-a).(x-c) bx 1

1

et de la droite !!J d'équation y = k.

L'étude des variations de la fonction h se fait de façon élémentaire à partir de celle de la fonction f définie par f(x) =

'( ) =

es t f x

bx dont la dé ri vée (x-a).(x-c)

2

b.(ac-x ) 2 2 (x-a) .(x-c)

°

Le troisième lieu correspond alors au cas où c = (G =E), le quatrième lieu au cas où ac < (1 et G de part et d'autre de E), le cinquième lieu au cas où a =c (G =I) et enfin les sixième et septième lieux au cas où ac > et a:;t: c (1 et G distincts et d'un même côté de E). Traçons donc dans chacun de ces cas la courbe -G".

°

Troisième lieu: G K

D

EK

-00

EL GK

°

°

= E (c = 0) 1

E=G

? ?

°

b a

? ?

C

?

a

+00

+00

~

+00

°

52

Résolution géométrique des problèmes algébriques

b/a

o

3.1

c

3.3

3.2

E=G

Fig. 17

Le problème de La Section de rapport, équivalent à l'équation h(x) a alors deux solutions si k"* ~ a

=

IH El

= k,

(une sur [lC), l'autre sur (DE] si

k < lB ou sur [El] si k> lB), une seule solution si k = ~ = IH (on doit El

a

El

El

avoir K"* E). Quatrième lieu.' 1 et G de part et d'autre de E (c < 0) K

D

EK

-00

EL GK

0

o

E

G

?

c

?

+00 +00

4.4

?

G

? ?

0

~

4.3

1

Fig. 18

4.2

1

?

a

+00

+00

0

E

C

4.1

+00

~

c

0

53

2.1. Lieux 3 à 7

L'équation h(x) = k et le problème posé ont alors toujours 4 solutions, une sur chacun des intervalles (DG], [GE], [El] et [lC). Cinquième lieu,' G = 1 (a = c) Soit J le symétrique de G par rapport à E, K

D

EK

-00

EL GK

0

E

J

?

-a

?

b

?

0

~

4a

C

I=G

? ?

?

a

+00

0

+00

~

+00

0

Fig. 19

Le problème posé a donc: 2 solutions si k > ~, l'une sur [lC), l'autre sur [El] ; 4a

3 solutions si k

= ~, 4a

l'une sur [lC), l'autre sur [El] et le point J est

solution; 4 solutions si k < ~, l'une sur [lC), l'autre sur [El] et deux solutions 4a

sur (DE], de part et d'autre du point J. Sixième lieu,' G

E

[lE] (0 < c < a)

Soit J le point de [Gl] tel que EG . El =Ef, F le symétrique de J par rapport à E,

54

Résolution géométrique des problèmes algébriques F

E

EK

? --& ?

0

EL GK 0

?

K

D

avec g =

g

b

a + c+ .J4ac

~

0

et i =

D

J

G

1

C

? c ?-&? a ? +00 ?+oo +00 ~ ? +00 +00 ~O b -------;==

a+ c - .J4ac

E

6.3

c

6.1

Cl

62

Fig. 20

Le problème posé a donc: 4 solutions si k > i, une sur [le), une sur [EG] et deux solutions sur [GI], de part et d'autre de J; 3 solutions si k = i, une sur [le), une sur [EG] et le point J est solution; 2 solutions si g < k < i, une sur [le) et une sur [EG] ; 3 solutions si k =g, une sur [lC), une sur [EG] et le point F est solution; 4 solutions si k < g, une sur [le), une sur [EG] et deux solutions sur [ED), de part et d'autre du point F. Septième lieu: 1 E [EG] (0 < a < c) On obtient les mêmes résultats que pour le sixième lieu, en intervertissant simplement les points G et I. K

D

EK

-00 ? _-& ?

EL GK 0

F

g

E

0

1

?

c

J

c

G

a

? +00 +00

? +00 ~

o

55

2.2. Lieux 8 à 10

D

7.4

E

7.3

(j

1

7.1

c

7.2

Fig. 21

Le problème posé a donc: 4 solutions si k> i, une sur [GC), une sur [El] et deux solutions sur [IG], de part et d'autre de J; 3 solutions si k = i, une sur [GC), une sur [El] et le point J est solution; 2 solutions si g < k < i, une sur [GC) et une sur [El] ; 3 solutions si k =g, une sur [GC), une sur [El] et le point F est solution; 4 solutions si k < g, une sur [GC), une sur [El] et deux solutions sur [ED), de part et d'autre du point F.

2.2. Lieux 8 à 10 Dans les lieux 8 à IO les points H et E sont de part et d'autre de la droite (CD), soit d < 0 ; dans le huitième lieu on a également c < 0 et dans les neuvième et dixième lieux on a respectivement c = a et c > a. Apollonius ramène l'étude de ces trois lieux à celle des quatrième, cinquième ou septième lieux par un changement d'origine: on prend comme nouvelle origine le point 0 où la droite (HE) coupe (CD), et les nouveaux axes sont (CD), d'origine 0 (axe des abscisses) et (UV), parallèle à (AB) menée par 0 (axe des ordonnées). B

H

c

o

K G E A

u Fig. 22

56

Résolution géométrique des problèmes algébriques

L'équation de (HE) s'écrit, dans les anciens axes, y-d b-d de 0 dans l'ancien repère est donc égale à

= ~,l'abscisse a

-~, et pour tout point P du

b-d plan, son ancienne et sa nouvelle abscisse, x et ç, sont liées par la relation:

x=-~ b-d

+ç.

Les nouvelles coordonnées de H sont alors (a, b), avec a ab

ad

bc - cd + ad

b-d

b-d

.

- - , et la nouvelle abscIsse de G est y= c + - - = b-d

Si l'on fait le changement d'inconnue x (1)

=a + ~ = b-d

.

=-~ + ç dans l'équation b-d

2

kx - x[k(a + c) + E(b - d)] + a(kc - Ed) =

°

(E = 1 ou E = -1),

à laquelle nous avons ramené le problème d'Apollonius, il vient (3)

kç2 -

-ç- [k(ad + ab + bc b-d

+

k

2

--2

(b-d)

cd) + E(b - d)] + 2

[a bd - abcd + acb ] = 0,

soit (3)

kç2 - ç[k(a + y) + E(b - d)] + kay= 0, kb

et en posant K= - b-d

(3)

HI HO . = kEl - = k - , on obtient HE

Kç2 - ç[K(a + y) + Eb] + Kay= 0,

qui n'est autre que l'équation (2), correspondant aux lieux 3 à 7, dans laquelle a, c, k et x sont respectivement remplacés par a, y, K et ç. Posons, nous en aurons besoin par la suite, J(ç)

= Kç2 -

ç[K(a + y) + Eb] + Kay,

alors

J( ~ ) = ~ (kc b-d

b-d

Ed).

57

2.2. Lieux 8 à 10 HUITIÈME LIEU: 1 et G de part et d'autre de M

Soit c < 0 < -~ < a et d < 0 < b, donc ex> 0 et y < 0, ce qui corresb-d pond au quatrième lieu, pour lequel l' équation (2) a toujours 2 racines, que E soit égal à 1 ou à -1, et où le problème a toujours quatre solutions. Apollonius distingue 5 incidences, définies par les inégalités: première incidence (cas 8.1), x < c et 0 < y < b, soit E = -1 (puisque

-Y -d = Ek) et .; < y

;

x-c deuxième incidence (cas 8.2), c < x < 0 et 0 < y < b, soit

E

= 1 et

y<';<~; b-d

troisième incidence (cas 8.3), -~ < x < a et y < d, soit E = -1 et b-d

O<';<ex; quatrième incidence (cas 8.4), 0 < x < -~ et d < Y < 0, soit b-d E = 1 et

~ < .; < 0 ;

b-d cinquième incidence (cas 8.5), a < x et b < y, soit E = 1 et ex < .;. Lorsque E

= -1,

on a montré, lors de l'étude du quatrième lieu, que

l'équation (3) a deux racines .; 1 et .; 1 <

';2 de signes contraires, telles que:

Y < 0 < ';2 < ex ; l'équation (l) a donc deux racines x 1 et X 2 telles que:

. pour 1e cas 8 . 1 ( ' se ramene " a Xl est so 1ubon qUI b-d 4.1) et X2 est solution pour le cas 8.3 (qui se ramène à 4.3), le problème a donc une solution dans chacune de ces deux incidences. Lorsque E = 1, on a montré que l'équation (3) a également deux racines

Xl

< c < - -ad- < X2 < a;

';3 et ';4 de signes contraires, telles que: y < ';3 < 0 < ex < ';4 ; l'équation (l) a donc deux racines x 3 et x 4 telles que: c < X3 < -~ < a < X4 ; X4 est b-d solution pour le cas 8.5 (qui se ramène à 4.4), et le problème a une solution dans la cinquième incidence. On souhaite connaître le signe de X3 pour distinguer le cas 8.2 du cas 8.4 (qui se ramènent tous deux au cas 4.2). Or, puisquef( ~) b -d

= ~(kc b-d

d)

58

Résolution géométrique des problèmes algébriques

d - si k ::; -

°

<

EM ad = , J( --) ;:::

c

X3

b-d

MG

ad;: 0, alors - - ::; ~ 3 b-d

0, soit

::;

< - ~ ; X3 est solution pour le cas 8.4 et il n'y a pas de solution

b-d dans le cas 8.2 ; le problème a donc une solution dans la quatrième

incidence, et n'a pas de solution dans la deuxième (si k = est solution) ; - SI. k > -d

EM, jC -ad) =MG b-d

r!:...

c

la droite (HM)

°

° .

,al ors y < ~;: 3 < -ad- < ,SOIt b-d c < X3 < X3 est solution pour le cas 8.2 et il n'y a pas de solution dans le cas 8.4 ; le problème a alors une solution dans la deuxième incidence et n'a pas de solution dans la quatrième.

°;

c

=G < -~ < a = c, d < b-d

NEUVIÈME LIEU: l

°

<

°

< b, soit y= a> 0, ce qui correspond au cin-

quième lieu et à l'équation (3 ter)

/(ç2 - ç[2/(a + Eb] +

/(d = O.

Apollonius distingue 4 incidences: première incidence (cas 9.1), a < x et y> b, soit E = 1 (puisque -Y -d = Ek) et a < ç; x-a

deuxième incidence (cas 9.2),

-~ < x < a et y < d, soit E = 1 et b-d

O<ç
=-1

et

~ < ç< b-d

°;

quatrième incidence (cas 9.4), x <

°

et 0 < y < b, soit

E

= -1

et

ç<~. b-d

Lorsque

E

= l, on a montré, lors de l'étude du cinquième lieu, que l'é-

quation (3 ter) a deux racines positives Ç1 et Ç2' telles que: 0 < Ç1 < a < Ç2 ; l'équation Cl) a donc deux racines x 1 et X2 telles que : -~ < x 1 < a < X2 ; b-d x2 est donc solution pour le cas 9.1 (qui se ramène à 5.1) et X 1 est solution pour le cas 9.2 (qui se ramène à 5.2), le problème a donc une solution dans la première incidence et une solution dans la deuxième incidence.

59

2.2. Lieux 8 à 10

Lorsque E = -1, on a montré que l'équation (3 ter) n'a de racine que si K :5. -

b

4a

HI =, SOIt. k:5. 401

b- d

-4a

(b - d)2 HI HE = --= -401 . -HO ; elle a alors deux 4ab

racines négati ves ~3 et ~4 (confondues et égales à -ex si k = b - d ). 4a

L'équation (1) a donc deux racines

X3

et X4 telles que:

X3

:5. X4 < -~, b-d

dont on souhaite connaître le signe pour préciser à quelle incidence, la troisième ou la quatrième (cas 9.3 ou 9.4 qui se ramènent tous deux à 5.3), elles correspondent. Puisque: j( ~) b-d

ad b-d

j(--):5. 0,

j:

~3:5.

= ~ (ka + d), b-d

ad b-d

--:5.

j:

~4

alors, si k :5. _c!.. < a

< 0, et x3:5. 0:5.

X4

(b - d)2 ,

4ab

ad b-d

<---,x 3 est donc

solution pour le cas 9.4 et X 4 est solution pour le cas 9.3 ; le problème a donc une solution dans la troisième incidence et une solution dans la quatrième incidence (si k = _c!.. = EM la droite (HM) est solution). a

En revanche, si - c!.. < k < a

MG

(b - d)2

4ab

,j( ~ ) > 0, ce qui ne permet pas de b-d

conclure directement. Si l'on en revient, comme le fait Apollonius, à l'étude des variations du rapport menée dans le cas 5.3, auquel se ramènent les cas 9.3 et 9.4, deux cas se présentent: .

ad b-d

ab b-d

Premler cas: d < -b < 0, alors - - < - - - = -ex < 0, K

C

X

-00

~

-00

OQ GK

EL

-

GK

=

OQ b

d

---

GK

b

° °

M

?

°

?

ad b-d

?

-bd

?

a(b - d) -d a

0

?

-a(b+d)

?

-ex

?

b

?

b-d

4a (b - d)2 4ab

?

ad b-d

?

° ° °

~ ~

60

Résolution géométrique des problèmes algébriques

-d

alors lorsque -

a

Cb - d)2 < k :::; - - - , 0 < x 3

:::;

4ab

ad

x 4 < - - - ; X3 et x 4 sont donc b-d

solution dans le cas 9.3 ; le problème a donc deux solutions (distinctes ou confondues) dans la troisième incidence, et n'a pas de solution dans la quatrième incidence.

Deuxième cas: -b < d < 0, alors

-~ = -a < ~ < 0, b-d

b-d

0

M

K

C

X

-00

?

-a(b + d) b-d

?

0

?

ç

-00

?

-a

?

ad b-d

?

0

?

b 4a

~

~

0

?

Cb - d)2

~

0

OQ

0

GK

EL

-

GK

OQ b-d

= ---

GK

b

-d

donc lorsque -

0

Cb - d)2 < k :::; - - - ,

-bd aCb - d)

~

4ab

X3 :::; X4

< 0 ; X3 et

-d a

X4

ad b-d

sont alors solution

a 4ab dans le cas 9.4 ; le problème a donc deux solutions (distinctes ou confon-

dues) dans la quatrième incidence, et n'a pas de solution dans la troisième incidence. DIXIÈME LIEU: 1 entre M et G

Soit 0 < -~ < a < c, et d < 0 < b, donc 0 < a < y, ce qui correspond b-d

au septième lieu. Apollonius distingue cinq incidences : première incidence (cas 10.1), c < x et b < y, soit

E

= 1 (puisque

-d -Yx-c = Ek) et y < ç ; deuxième incidence (cas 10.2), a < x < c et b < y, soit

E

= -1

et

a<ç
O<ç
E

= 1 et

61

2.2. Lieux 8 à 10

quatrième incidence (cas 10.4),0 < x < -~ et d < Y < 0, soit b-d

E

=-1

et ~ < ,; < 0 ; b-d

cinquième incidence (cas 10.5), x < 0 et 0 < y < b, soit

E

= -1

et

';<~. b-d

Lorsque

E

= 1, on a montré lors de l'étude du septième lieu que l'équa-

tion (3) a deux racines positives ,;] et ';2' telles que: 0 < ,;] <

lX

< Y< ';2;

l'équation (1) a donc deux racines x] et X 2 telles que : -~ < x] < a < c < x 2 ; b-d

est solution pour le cas 10.1 (qui se ramène à 7.1), et x] est solution pour le cas 10.3 (qui se ramène à 7.3) ; le problème a donc toujours une solution dans la première incidence et une solution dans la troisième incidence. Lorsque E = -1, on a montré que l'équation (3) n'a de racine que si

X2

K < _

b

a+y+2~

L orsque

=

K]

ou SI.

K> _

b

a+y-2~

> Kb C "est-a- d·Ire K _

=

K2.

l orsque k ->

b -d K2 . b

=

b-d

a+y-

2.fcXY '

l'équation (3) a deux racines positives ';3 et ';4 (confondues et égales à ~ si

K

= K2 )

telles que: 0 <

lX

< ';3

~

';4 < y ; l'équation (l) a donc deux

racines X 3 et X 4 telles que: a < x 3 ~ X 4 < C ; x 3 et X 4 sont donc solutions pour le cas 10.2 (qui se ramène à 7.2) et le problème a deux solutions (distinctes ou confondues) dans la deuxième incidence; il n'a de solution ni dans la quatrième incidence ni dans la cinquième incidence. b -d = b - d c::::: ' Lorsque K _< K1' C "est-a- d·1re l orsque k -< K] . b a+y + 2-vay l'équation (3) a deux racines négatives ';3 et ';4 (confondues et égales à -~ si K x3

= K])

;

l'équation (1) a donc deux racines x 3 et X 4 telles que:

~ x 4 < -~ dont on souhaite connaître le signe pour préciser à laquelle b-d

des deux incidences, la quatrième ou la cinquième (cas 10.4 ou 10.5 qui se ramènent à 7.4), elles correspondent. On en revient, comme le fait Apollonius, à l'étude des variations du rapport menée dans le cas 7.4. Deux cas se présentent alors:

62

Résolution géométrique des problèmes algébriques

ad Premier cas: he + ad> 0, soit-.JCXY <--, b-d

0

M

C

K X

-00

?

-.JCXY-~ b-d

?

0

?

ad b-d

ç

-00

?

-.JCXY

?

ad b-d

?

0

0

?

KI

~

-bd c(b - d)

~

0

0

?

K I· - -

b-d b

~

-d

~

0

OQ GK EL GK

-

=

OQ b-d GK b

---

c

alors - si k ~ -d ,x3 < 0 ~

X4

<

-~ ; x 3 est solution dans le cas 10.5 et X4

b-d est solution dans le cas 10.4 ; le problème a donc une solution dans la quac

trième incidence et une solution dans la cinquième incidence (si k = -d = c

EM la droite (HM) est solution) ;

MG

-d - si - < k ~ c

b-d

KI • - - , X 3 ~ X 4

b

< 0 ; X 3 et X 4 sont donc solution dans le

cas 10.5 ; le problème a donc deux solutions (distinctes ou confondues) dans la cinquième incidence, et n'a pas de solution dans la quatrième incidence. Deuxième cas: he + ad < 0, soit

~ < -.JCXY ' b-d

0

K

C

X

-00

?

0

?

-.JCXY-~ b-d

?

ad b-d

ç

-00

?

ad b-d -bd c(b - d)

?

-.JCXY

?

0

?

KI

~

0

-d

?

K I·--

b-d b

~

0

OQ GK EL GK

-

OQ b-d GK b

= ---

M

0

?

0

?

c

63

2.3. Lieux 11 à 13,17 à 21

alors - si k::; -d , X3 c

::;

0 < x4 < -~ ; X3 est solution dans le cas 10.5 et X4 b-d

est solution dans le cas 10.4 ; le problème a donc encore une solution dans la quatrième incidence et une solution dans la cinquième incidence (si k = -d = c

EM

MG

la droite (HM) est solution) ; -d

- si -

c

< k ::;

b-d

Kj . - - ,

b

0 < X3

::; X4 ; X3

et X4 sont donc solution dans le

cas 10.4 ; le problème a donc deux solutions (distinctes ou confondues) dans la quatrième incidence, et n'a pas de solution dans la cinquième incidence. 2.3. Lieux 11 à 13, 17 à 21

Dans les lieux Il à 13, 17 à 21, Apollonius ramène le problème à l'un des trois derniers lieux du livre I, en faisant un autre changement d'origine, c'est-à-dire en prenant comme nouvelle origine le point N intersection de (HG) et de (AB) ; ceci nous contraint à échanger les rôles de (AB) et de (CD). Soit donc l'ancien repère: (AB) axe des abscisses et (CD) axe des ordonnées. On se donne alors E sur (AB) d'abscisse c, G sur (CD) d'ordonnée d et un point H du plan, de coordonnées a et b, on choisit l'orientation de axes de manière que a > 0 et b > O. On veut déterminer une droite (HKL) sécante à (AB) en L et à (CD) en K, telle que EL

GK

= k', rapport donné

(dans les cas Il.1 à Il.4), ou (dans les autres cas) telle que GK EL

=k = ~. k'

B

u s

Q

N

v

D

E A

Fig. 23

Si les points K d'ordonnée y sur (CD) et L d'abscisse x sur (AB) sont alignés avec H, on a: xy = ay + bx.

64

Résolution géométrique des problèmes algébriques

E n outre -EL

(1)

x - c = k' ,solt . y -d = Ek = -, avec E =I ou El = -, d' ou, 1

GK

1

x-c

y-d

2

kx -x[k (a + c) + E(b - d)] + a(kc - Ed)

= O.

Prenons comme nouvelle origine, comme le fait Apollonius, le point N, intersection de (HG) et de (AB), les nouveaux axes sont (UV) parallèle à (CD) passant par N, axe des ordonnées, (AB) axe des abscisses. L'équation de (HG) s'écrit, dans les anciens axes, y - d b-d

= .::, l'abscisse a

de N dans l'ancien repère est donc égale à - ~, et pour tout point P du b-d plan, son ancienne et sa nouvelle abscisse, x et ç, sont encore liées par la . ad ~ re l atIon : x = - - - + s. b-d

Les nouvelles coordonnées de H sont alors (0:, b), avec .

~

=a + ~ =

~

~-~+~

b-d

b-d

- - , et la nouvelle abscIsse de E est y= c + - - = b-d

0:

b-d

.

Si l'on fait le changement d'inconnue x = -~ + ç dans l'équation (1) b-d à laquelle nous avons ramené le problème d'Apollonius, il vient, comme dans le cas des lieux 8 à 1

°:

(3)

kç2 - ç[k (0: + y) + E(b - d)] + ko:y= 0, b

et en posant K = k . - lb-dl

(3)

HN . = k . -Hl = k . , on obtient

GI

HG

Kç2 - Ç[K(O: + y) + EÔ] + KO:y= 0,

E' = E si b > d et E' = - E si b < d,

qui n'est autre que l'équation (2), correspondant aux lieux 3 à 7, dans laquelle a, c, k, x et E sont respectivement remplacés par 0:, y, K, ç et E'. Posons, nous en aurons besoin dans la suite, j(ç)

alors

= Kç2 -

Ç[K(O:+ y) + E'b] + KO:Y,

65

2.3. Lieux 11 à 13, 17 à 21

ad b-d

f(-)=

ab -1 -1 (kc-Ed). b-d

On a alors : dans les onzième, douzième et treizième lieux, c < 0, 0< d < b, dans le dix-septième lieu, 0 < c < a et 0 < d < b, dans les dixhuitième, dix-neuvième et vingtième lieux, 0 < b < d, 0 < a < c, et dans le vingt et unième lieu, 0 < a < c, 0 < d < b. ONZIÈME LIEU: E entre N et J

Soit

-~ < c < 0 < a et 0 < d < b, d'où 0 < y < ~ < a, ce qui

b-d b-d correspond au sixième lieu. Apollonius distingue 5 incidences : première incidence (cas 11.1), a < x et b < y, soit E (puisque y-d x-c

= Ek et b > d), et a < ç ;

deuxième incidence (cas 11.2), 0 < x < a et y < 0, soit ad b-d

= E' = = -1

E

et

.t=

--< s< a; troisième incidence (cas 11.3), c < x < 0 et 0 < y < d, soit

E

= -1 et

y<ç< ~; b-d

quatrième incidence (cas 11,4), -~ < x < c et 0 < y < d, soit E

= 1 et 0 < ç < y ;

b-d

cinquième incidence (cas 11.5) x < -~ et d < y < b, soit E = -1 b-d

et

ç < O.

Remarque: dans les quatre premières incidences Apollonius résout le pro., " dence 1e pro bl'eme -GK = k =-. 1 ' -EL = k' ,et d ans l a' cmqmeme mCl bl eme GK

Lorsque

EL

E

k'

= l, on a montré, lors de l'étude du sixième lieu, que l'équa-

tion (3) a deux racines positives Çl et Ç2' telles que: 0 < Çl < Y < l'équation (1) a donc deux racines XI etx2 telles que:

a < Ç2 ;

-~ < XI < c < a < x 2 ;

b-d est donc solution dans le cas Il.1 (qui se ramène à 6.1) et XI est solution dans le cas 11,4 (qui se ramène à 6.3) ; le problème a donc une solution dans la première incidence et une solution dans la quatrième incidence.

X2

66

Résolution géométrique des problèmes algébriques

Lorsque K ~

E

= -1, on a montré que l'équation (3) n'a de racine que si

b

a+y+2~

Lorsque

= KI

K::; KJ,

ou SI.

>

K _

b

a+y-2~

= K2.

c'est-à-dire lorsque k

~ KI .

b-d

b

=

b-d a + y + 2.fcXY '

l'équation (3) a deux racines négatives Ç3 et Ç4 (confondues et égales à -~ si

K

= KI)

l'équation (1) a donc deux racines

;

ad x3 ~ x4 < - b _ d ;

X3

et

X4

X3

et X 4 telles que:

sont donc solutions pour le cas 11.5 (qui se

ramène à 6.4) et le problème a deux solutions (distinctes ou confondues) dans la cinquième incidence; il n'a pas de solution dans les deuxième et troisième incidences. Lorsque

K

2

Kb C

, est-a'd'1re l orsque k'

~

- 1 . -b/(2

b- d

=

a + y - 2.fcXY b- d

,

l'équation (3) a deux racines positives Ç3 et Ç4 (confondues et égales à ~ si K = K2 ) telles que: 0 < y < Ç3 ~ Ç4 < ex ; l'équation (1) a donc deux racines x 3 et X 4 telles que: c < x 3 < X 4 < a, dont on souhaite connaître le signe pour savoir si elles correspondent à la deuxième ou à la troisième incidence (qui se ramènent toutes deux au cas 6.2). On en revient alors, comme le fait Apollonius à l'étude des variations du rapport menée dans le cas 6.2. Deux cas se présentent encore: Premier cas: he + ad < 0, soit

.fcXY < ~, b-d

M

J

L

E

X

c

?

~ ay - -adb-d

?

0

?

a

ç

Y

?

~

?

?

ex

+00

~

K2

?

ad b-d -bd c(b - d)

?

+00

0

?

~

0

NQ

EL EL

-

OK

=

alors

EL b NQ'b-d

---

/(2

b b-d

~

-c d

67

2.3. Lieux 11 à 13, 17 à 21

- si k':S -c = ME , c < X3 < 0 :S X4 < a ; X4 est solution dans le cas 11.2 d

MG

et X3 est solution dans le cas II.3 ; le problème a donc une solution dans la deuxième incidence et une solution dans la troisième incidence (si k' droite (HM) est solution) ; - SI. --c < k' :S -1. -b- , c < x 3 :S d

K2

b- d

X4

= -c , la d

< 0 ; x3 et X4 sont d onc l so · utlOn

dans le cas 11.3 ; le problème a donc deux solutions (distinctes ou confondues) dans la troisième incidence, et n'a pas de solution dans la deuxième incidence.

Deuxième cas: he + ad> 0, soit

Fr > ~, b-d

M

J

L

E

X

C

j1

0

j1

Fr ay - -ad-

j1

a

ç

Y

j1

ad b-d

j1

Fr

j1

ex

+00

~

-bd c(b - d)

~

1(2

j1

+00

0

j1

~

0

NQ EL

EL

-

GK

EL b NQ·b-d

= ---

-c

d

j1

b-d

K2

b b-d

alors - si k':::; -c , c < x 3 :S 0 < X4 < a ; X4 est solution dans le cas II.2 et x 3 d

est solution dans le cas II.3 ; le problème a donc encore une solution dans la deuxième incidence et une solution dans la troisième incidence (si k' = -c , la d

droite (HM) est solution) ; 1 -b- , 0 < X3 < - SI. --c < k' < _ -. _ X4 < a ; x 3 et d

K2

b- d

X4

sont d onc l so · utlOn

dans le cas 11.2; le problème a donc deux solutions (distinctes ou confondues) dans la deuxième incidence, et n'a pas de solution dans la troisième incidence.

68

Résolution géométrique des problèmes algébriques

DOUZIÈME LIEU: points rangés dans l'ordre ENMJ

. S Olt

C

< - -ad- < 0 < a et 0 < d < b , d" ou y < 0 < -ad- < a, ce qm. b-d

b-d

correspond au quatrième lieu. Apollonius distingue cinq incidences: première incidence (cas 12.1), x < c et d < Y < b, soit E = E' =-1 (puisque y-d x-c

= Ek et b > d), et ç < y;

deuxième incidence (cas 12.2), c < x < -~ et d < Y < b, soit b-d

E

= 1 et y < ç < 0 ;

troisième incidence (cas 12.3), -~ < x < 0 et 0 < y < d, soit b-d

E

= -1

et 0 <

ç< ~ ; b-d

quatrième incidence (cas 12.4), 0 < x < a et y < 0, soit E = -1 et

~<ç
cinquième incidence (casI2.5), x > a et y> b, soit E = 1 et ç> Lorsque

E

a.

= 1, on a montré, lors de l'étude du quatrième lieu, que l' é-

quation (3) a toujours deux racines ç, et Ç2 telles que: y < ç, < 0 < a < Ç2 ; l'équation (1) a donc deux racines

Xl

et x 2 telles que: c <Xl < -~ < a < X2 b-d

;

est donc solution pour le cas 12.5 (qui se ramène à 4.4) et Xl est solution pour le cas 12.2 (qui se ramène à 4.2) ; le problème a donc une solution dans la deuxième incidence et une solution dans la cinquième incidence. Lo rsque E = -1, on a également montré que l'équation (3) a deux

X2

racines Ç3 et Ç4 telles que: Ç3 < Y < 0 < Ç4 < a ; l'équation (1) a donc deux racines x 3 et X 4 telles que: x3 < c < -~ < x 4 < a ; x 3 est solution pour le b-d cas 12.1 (qui se ramène à 4.1) et le problème a une solution dans la première incidence. .

ad b-d

En outre pmsquef(--) -

.

SI

d k :s; -c

=

ab = --(kc + d)

b-d ad - ,1(--) ~ 0, donc 0 :s; EM b-d CM

j:

'::>4

ad b-d

:s; - - < a, soit

-~ :s; x 4 < 0 ; X4 est solution dans le cas 12.3 (qui se ramène à 4.3) ; le b-d

69

2.3. Lieux 11 à 13, 17 à 21

problème a donc une solution dans la troisième incidence et n'a pas de solution dans la quatrième incidence (si k = .!!....., la droite (HM) est solution) ; -c

- si k > .!!.....,j( ~) < 0, donc ~ < Ç4 < ex, soit 0 < X 4 < a ; X4 est -c b-d b-d solution dans le cas 12.4 (qui se ramène également à 4.3) ; le problème a donc une solution dans la quatrième incidence et n'a pas de solution dans la troisième incidence. TREIZIÈME LIEU: E

= N, M entre E et J

Soit c = -~ < 0 < a, 0 < d < b, d'où y= 0 < ~ < ex, ce qui corb-d b-d respond au troisième lieu. Apollonius distingue quatre incidences : première incidence (cas 13.1), x < c et d < Y < b, soit E = E' =-1 (puisque y-d x-c

= E!..

et b > d) et

k

ç< 0 ;

deuxième incidence (cas 13.2),0 < x < a et y < 0, soit

E

= -1 et

~<ç<ex;

b-d troisième incidence (cas 13.3), c < x < 0 et 0 < y < d, soit E = -1 et

O<ç<~;

b-d quatrième incidence (cas 13.4), x > a et y> b, soit E = 1 et ç> ex.

Lorsque E = 1, on a montré lors de l'étude du troisième lieu que l'équation (3) a une seule racine non nulle Çl telle que: ex < Çl ; il lui correspond une racine Xl de l'équation (1) telle que: a < Xl ; Xl est donc solution dans le cas 13.4 (qui correspond à 3.3), et le problème a une solution dans la quatrième incidence. Lorsque E = -1, on a montré que, - lorsque K <

~, a

soit k < (b - d)2 ab

=

IG,

El

la racine non nulle Ç2 de

l'équation (3) est telle que: Ç2 < 0 ; il lui correspond une racine l'équation (1) telle que:

< -~=

X2

de

C ; X 2 est donc solution pour le cas b-d 13.1 (qui correspond à 3.1); le problème a donc une solution dans la première incidence et n'a de solution ni dans la deuxième ni dans la troisième incidence ; X2

70

Résolution géométrique des problèmes algébriques

- lorsque K > !!...., soit k > Cb - d)2 , la racine non nulle ';2 de l'équation a

ab

(3) est telle que: 0 < ';2 < ex ; il lui correspond une racine

X2

de l'équation

(1) telle que: c < X 2 < ex; on souhaite connaître le signe de X2 pour savoir si cette racine correspond à la deuxième ou à la troisième incidence (cas 13.2 et 13.3 qui tous deux se ramènent au cas 3.2). On a montré, lors de l'étude du troisième lieu que: L

A

x

-00

.;

-00

EQ EL GK

-

EL

EQ b-d

-=EL b

E=N

? ?

0

?

0

?

M

? ?

c

0 b

?

a

Cb -

d)2

?

ab

0 ad b-d b a d

-c

J

? ?

a

ex

?

+00

?

+00

Donc - si k >

!!..- = -c

GM , 0 < x 2 < a ; EM

X2

est solution pour le cas 13.2 ; le

problème a une solution dans la deuxième incidence et n'a de solution ni dans la première ni dans la troisième incidence ;

d/

Cb -- - < - SI. ab

k < -d l , c < xO ; x 2 est so ' utlOn pour 1e cas 13 .3; 1e 2 < -c

problème a une solution dans la troisième incidence et n'a de solution ni dans la première ni dans la deuxième incidence. Remarque: la démonstration d'Apollonius dans le cas 13.3 est incomplète:

s'il impose à k la condition k <

!!..-, -c

il omet de rappeler la condition

k> Cb - d)2 qui résulte du diorisme du cas 3.2. ab

71

2.3. Lieux Il à 13,17 à 21

DIX-SEPTIÈME LIEU: points rangés dans ['ordre NMEJ ad- < 0 < c < a, O ' O < -ad- < y< a, ce qUI. corres· -< d
b-d

pond au sixième lieu. Apollonius distingue cinq incidences:

première incidence (cas 17.1), x> a et y> b, soit

E

(puisque d < b et y - d = Ek) et ç> a; x-c deuxième incidence (cas 17.2), c < x < a et y < 0, soit

y<

= E' = 1

E

= -1

et

ç < a;

troisième incidence (cas 17.3), 0 < x < c et y < 0, soit E = 1 et

~ <ç
quatrième incidence (cas 17.4), -~ < x < 0 et 0 < y < d, soit b-d

E

= 1 et 0 < ç < ~ b-d

;

cinquième incidence (cas 17.5), x < -~ et d < Y < b, soit E = -1 b-d

et

ç < O.

Lorsque E = 1, on a montré, lors de l'étude du sixième lieu, que l'équation (3) a deux racines positives quation (1) a donc deux racines

Çl et Ç2 telles que: 0 < Çl < Y < a < Ç2; l' é-

XI

-~ < XI < C < a < X2 ;

et X2 telles que:

b-d

est solution pour le cas 17 .1 (qui se ramène au cas 6.1), le problème a donc une solution dans la première incidence.

X2

On veut connaître le signe de XI pour savoir si cette racine correspond à la troisième ou à la quatrième incidence (cas 17.3 et 17.4 qui tous deux se ramènent au cas 6.3). ad b-d . d - SI k 2: c

Orf(-)

ab = -.(kc-d), donc b-d MG ad = -,J( - - ) > 0, donc ME b-d

ad b-d

- - -s:

t

':> 1<

y, et 0 -s:

XI


; X1

est

donc solution pour le cas 17.3 ; le problème a donc une solution dans la troisième incidence et n'a pas de solution dans la quatrième incidence (si k

= ~, la droite (HM) est solution) ; c

72

Résolution géométrique des problèmes algébriques

.

d ad ~ ad ad k < -,f(--) < 0, donc 0 < SI< - - , et - - - < XI < 0; XI est c b-d b-d b-d donc solution pour le cas 17.4 ; le problème a alors une solution dans la quatrième incidence et n'a pas de solution dans la troisième incidence. Lorsque E = -1, on a montré que l'équation (3) n'a de racines que si - SI

K

~

fCXY = Kil ou si K '2

b a+y+2 ay

Lorsque

K ~ Kil

fCXY = K2·

b a+y-2 ay

c'est-à-dire lorsque k

b-d

~ KI - -

b

b-d

=

l'équation (3) a deux racines négatives (distinctes ou confondues) Ç3 et Ç4 ; l'équation (1) a donc deux racines

X3

et X4 telles que

X3

~ X4 < -~ ; X3 et

b-d X4 sont donc solutions pour le cas 17 .5 (qui se ramène au cas 6.4), et le problème a deux solutions dans la cinquième incidence et n'a pas de solution dans la deuxième incidence. b-d Lorsque K'2 K2' c'est-à-dire lorsque k'2 K2 b - d = ,1'équab a + y - 2fCXY

tion (3) a deux racines positives (distinctes ou confondues) Ç3 et Ç4 telles que: 0 < y < Ç3

~

Ç4 < a ; l'équation (1) a donc deux racines

X3

et X4 telles

que c < X3 ~ X4 < a ; X3 et X4 sont donc solutions pour le cas 17 .2 (qui se ramène à 6.2), et le problème a deux solutions dans la deuxième incidence et n'a pas de solution dans la cinquième incidence. DIX-HUITIÈME LIEU: E = N, 1 entre G et M, J entre E et M

. 0
ad 0 < b < d , d" ou - ad= --, d-b d-b

' cor< a < y =O ,ce qUI

respond au troisième lieu (si l'on choisit pour ce lieu l'orientation opposée de l'axe des abscisses, puisque a < 0). Apollonius distingue quatre incidences: première incidence (cas 18.1), X > c et b < Y < d, soit (puisque b < d et y - d x-c

E

=-1, El = 1

= Ek) et ç > 0 ;

deuxième incidence (cas 18.2), a < X < c et y> d, soit E El

= -1

et

= 1, a < ç < 0 ;

troisième incidence (cas 18.3), 0 < E1 =- 1

,

ad- < ç < a' -d-b '

X

< a et y < 0, soit

E

= 1 et

73

2.3. Lieux Il à 13,17 à 21

quatrième incidence (cas 18.4), x < 0 et 0 < y < b, soit E

I

E

= 1 et

=-1 ;;<-~. d-b

, S

On a montré, lors de l'étude du troisième lieu, que l'équation (3) a, dans tous les cas, une racine non nulle

ç= ex + El . '?.-. K

Si

El

= 1, ç > ex, et il lui correspond une racine x de l'équation (l) telle

que: x > a ; en outre: -

SI· K

(d-b/ lG;; < -b ," c est-a- d'1re SI. k < -- = , S > 0 = y, d" ou

-ex ab El > c ; x est solution pour le cas 18.1 (qui se ramène à 3.1), le problème a une solution dans la première incidence et n'a pas de solution dans la deuxième incidence ;

X

;; < 0 = y, d' ou, S -ex ~ a < x < c ; x est solution pour le cas 18.2 (qui se ramène à 3.2), le problème a une solution dans la deuxième incidence et n'a pas de solution dans la première incidence. -

Si

El

SI· K

(d - b? > -b ," c est-a- d'Ife SI. k > - , ex <

= -1, ç < ex, et il lui correspond une racine x de l'équation (1) telle

que: x < a ; on souhaite connaître le signe de x pour savoir si x est solution dans la troisième ou dans la quatrième incidence (cas 18.3 et 18.4 qui tous deux se ramènent au cas 3.3). b, 'd' .k d- b GI MG;; b ad · - S1 K> -, c est-a- 1re SI > - - = - = - , S=ex-- > - - , a

HI

a

EM

K

b-d

d'où 0 < x < a ; x est solution pour le cas 18.3 ; le problème a une solution dans la troisième incidence et n'a pas de solution dans la quatrième incidence ; · b" d' . k< d --b;; - SI K < -, c est-a- Ife SI , S = ex - -b < -ad - , d" ou a

a

K

b-d

x < 0; x est solution pour le cas 18.4 ; le problème a une solution dans la quatrième incidence et n'a pas de solution dans la troisième incidence. DIX-NEUVIÈME LIEU: points rangés dans l'ordre MJEN

. 0 < a < c < -ad ' corSOlt - , 0 < b < d , d" ou -ad- < ex < y < O , ce qUI d-b

b-d

respond au sixième lieu (en choisissant également pour ce lieu l'orientation opposée de l'axe des abscisses, puisque ex < 0).

74

Résolution géométrique des problèmes algébriques

Apollonius distingue cinq incidences: première incidence (cas 19.1), x <

°° = °

< y < b,

et

soit E = 1 et E' = -1 (puisque b < d et y - d x-c

deuxième incidence (cas 19.2), E'= -1

Ek) et

ç< ~ b-d

;

< x < a et y < 0, soit E = 1 et

~ < ')::> < a',

'b-d

troisième incidence (cas 19.3), a < x < c et y > d, soit E = -1 et E'=l,a<ç
quatrième incidence (cas 19.4), c < x <

~ et y> d-b

d, soit E = 1 et

E'=-l,y<ç
cinquième incidence (cas 19.5), x >

et E' = 1,

~ et d-b

b < Y < d, soit E = -1

ç> O.

Notons que si ç est solution de l'équation (3) Kç2_ ç[K(a + y) + E'b] +

Kay =0, ç / =- ç est solution de l'équation (3 bis) KÇI2 - ç/ [K( lai + Ir 1) + Eb]

+ Klal . Irl) = O. Lorsque E = l, on a montré, lors de l'étude du sixième lieu, que l'équa-

tion (3 bis) a deux racines positives Ç/l et Ç/2 telles que: 0< Ç/l < Irl < lai <

Ç/2; l'équation (3) a donc deux racines négatives Çl et Ç2 telles que: Ç2 < a < y < Çl < 0, et l'équation (1) a deux racines X2


Xl

<

Xl

et

telles que:

X2

~,Xl est donc solution pour le cas 19.4 (qui se ramène

d-b au cas 6.3), et le problème a une solution dans la quatrième incidence.

On veut connaître le signe de X2 pour savoir à laquelle de la première incidence ou de la deuxième incidence (cas 19 .1 et 19.2 qui se ramènent tous deux au cas 6.1) cette racine correspond. .

ad ab ) (kc -d), b-d d-b . d GM ad ad): Si k > -,J( - - ) > 0, et - - < ':>2 < a, donc c ME b-d b-d

=-

Puisque f( -

=

°

<

X2

< a ; X2

est solution pour le cas 19.2 ; le problème a une solution dans la deuxième incidence et n'a pas de solution dans la première incidence ; -

si k <

~,J( ~ ) < 0, et Ç2 < ~, donc X2 < c

b-d

b-d

°;

X2

est solution pour

le cas 19.1 ; le problème a une solution dans la première incidence et

75

2.3. Lieux 11 à 13,17 à 21

n'a pas de solution dans la deuxième incidence (si k = ~, la droite c

(HM) est solution). Lorsque E = -1, l'équation (3 bis) n'a de solution que si 1< < _ 1<1

Si

=

b

lai + Irl + 2~larl

K ~ 1< h

, ou Si. 1< >_ 1< 2 =

b

lai + Irl- 2~larl

.

l'équation (3 bis) a deux racines négatives (distinctes ou

confondues) Ç/3 et Ç/4 et l'équation (3) a deux racines positives Ç3 et Ç4; l'équation Cl) a alors deux racines (distinctes ou confondues)

X3

et X4 telles

que: da:b < X 3 < X4 qui sont solutions dans le cas 19.5 (qui se ramène au cas 6.4), le problème a alors deux solutions (distinctes ou confondues) dans la cinquième incidence, et n'a pas de solution dans la troisième incidence. Si 1< 21<2, l'équation (3 bis) a deux racines positives (distinctes ou confondues) Ç/3 et Ç/4 comprises entre Irl et lai, et l'équation (3) a deux racines négatives Ç3 et Ç4 telles que: a < Ç3 :s; Ç4 < y; l'équation Cl) a alors deux racines (distinctes ou confondues) X3 et X4 telles que: a < X3 :s; X4 < c qui sont solution dans le cas 19.3 (qui se ramène au cas 6.2), le problème a alors deux solutions, distinctes ou confondues dans la troisième incidence, et n'a pas de solution dans la cinquième incidence. VINGTIÈME LIEU: points rangés dans l'ordre MJNE

. 0 < a < -ad- < c, 0 < b < d , d" ou -ad- < a < 0 < y, ce qUl. corS Olt d-b b-d respond au quatrième lieu (en choisissant encore pour ce lieu l'orientation opposée de l'axe des abscisses, puisque a< 0).

Apollonius distingue cinq incidences : première incidence (cas 20.1), x> c et b < Y < d, soit E = -1 et El =

1 (puisque b < d et y - d = Ek) et x-c

deuxième incidence (cas 20.2),

ç> y;

~ < x < c et b < Y < d, soit E = 1 d-b

et El = -1, 0 < ç < y; troisième incidence (cas 20.3), a < x < E'

=I,a<ç
~ et y> d, soit E = -1 et d-b

76

Résolution géométrique des problèmes algébriques

quatrième incidence (cas 20.4), 0 < x < a et y < 0, soit E'

=-1 'b-d ~

<

j:

':0

= 1 et

E

= 1 et


cinquième incidence (cas 20.5), x < 0 et 0 < y < b, soit E'=-l,

E

ç<~.

b-d L'équation (3) Kç2 -

ç[ K( a

+ y) + E' b] + Kay

=0

a toujours deux

racines de signes contraires, Çl et Ç2 (lorsque E' = 1), Ç3 et Ç4 (lorsque E' =-1). Puisquef(a)

=-E' ab etf(y) =-E' yb, ~

lorsque

E'

= 1, a < Çl < 0 < y < Ç2' soit a < XI

lorsque

E'

= -1, Ç3 < a < 0 < Ç4 < y, soit X3 < a < ~ d-b

<

d-b

< c < X2 <

X4

;

< C;

est solution pour le cas 20.1 (qui se ramène au cas 4.1), X4 est solution pour le cas 20.2 (qui se ramène au cas 4.2) et XI est solution pour le cas 20.3 (qui se ramène au cas 4.3), le problème a donc une solution dans chacune des trois premières incidences. X2

On veut connaître le signe de X3 pour savoir à laquelle de la quatrième ou de la cinquième incidence (cas 20.4 et 20.5 qui tous deux se ramènent au cas 4.4) il correspond. .

PUIsque f( -

ad

b-d

- si k 2: !!.c

)= -

ab

d-b

(kc - d),

= GM ,J( ~ ) 2: 0, ~ ME b-d b-d

< Ç3 < a, soit 0 <

X3

< a ; X3

est solution pour le cas 20.4, le problème a donc une solution dans la quatrième incidence et n'a pas de solution dans la cinquième incidence (si k = !!.-, la droite (HM) est solution) ; c

- si k < !!.-,J( ~ ) < 0, Ç3 < c

b-d

~, soit X3 < 0; X3 est solution pour b-d

le cas 20.5, le problème a donc une solution dans la cinquième incidence et n'a pas de solution dans la quatrième incidence. VINGT ET UNIÈME LIEU: point rangés dans l'ordre NMJE ad- < 0 < a < c, 0 < d < b , d' ou, 0 < -ad- < a < y, ce qUl. corSOlt· - b-d

respond au septième lieu. Apollonius distingue cinq incidences:

b-d

77

2.3. Lieux 11 à 13, 17 à 21

première incidence (cas 21.1), x > c et y> b, soit E = E' = 1 (puisque -d b > d et -Y = Ek), ç> y; x-c

deuxième incidence (cas 21.2), a < x < c et y> b, soit

= -1

E

et

ex<ç
E

= 1 et

~<ç<ex; b-d

quatrième incidence (cas 21.4), -~ < x < 0 et 0 < y < d, soit b-d E

= 1 et 0 < ç < ~ b-d

;

cinquième incidence (cas 21.5), x < -~ et d < Y < b, soit b-d et ç < O.

E

= -1

Lorsque E = 1, on a montré, lors de l'étude du septième lieu, que l'équation (3) a deux racines positives Çl et Ç2 telles que: 0 < Çl < ex < y < Ç2' soit

-~ < XI < a < c < X2

; X2 est solution pour le cas 21.1 (qui se ramène à b-d 7.1) et le problème a une solution dans la première incidence.

On souhaite connaître le signe de XI pour savoir à laquelle de la troisième ou de la quatrième incidence (cas 21.3 et 21.4 qui tous deux se ramènent à 7.3) XI correspond. .

ad b-d

PUIsque J( - ) si k 2: ~

-

ab = -b-d (kc -

d),

= MG ,f( ~) 2: 0, ~

c

EM

b-d

b-d

::; Çl < ex, soit 0::;

XI

< a ; XI est

solution pour le cas 21.3 et le problème a une solution dans la troisième incidence et n'a pas de solution dans la quatrième incidence (si k = SI'k

-

~, la droite (HM) est solution) ; c

ad ) dfir\ < -, - < 00;: , < ':01 < -ad - , SOIt. - -ad- < XI < 0 ; XI est c

b-d

b-d

b-d

solution pour le cas 21.4 et le problème a une solution dans la quatrième incidence et n'a pas de solution dans la troisième incidence. Lorsque K::; KI

ou si

E K

= -1, 2: K 2 •

on a montré que l'équation (3) n'a de racines que si

78

Résolution géométrique des problèmes algébriques

Si

K::; KI,

soit k ::;

KI . b-d,

b

l'équation (3) a deux racines négatives

(distinctes ou confondues), Ç3 et Ç4 et l'équation Cl) a alors deux racines X3 et X4 telles que: X3 ::; X4 <

-~, qui sont solutions pour le cas 21.5 (qui se b-d

ramène à 7.4) ; le problème a donc deux solutions (distinctes ou confondues) dans la cinquième incidence, et n'a pas de solution dans la deuxième incidence. Si K:2 K2' soit k :2: K2 . b-d, l'équation (3) a deux racines positives

°

b

(distinctes ou confondues), Ç3 et Ç4 telles que: < a < Ç3 ::; Ç4 < y, et l'équation (1) a alors deux racines X3 et X4 telles que: a < X3 ::; X4 < c, qui sont solutions pour le cas 21.2 (qui se ramène à 7.2) ; le problème a donc deux solutions (distinctes ou confondues) dans la cinquième incidence, et n'a pas de solution dans la deuxième incidence.

=E

2.4. Lieux 14 à 16, cas où J

On a vu que, lorsque les droites (AB) et (CD) se coupent en M, que le point E sur (AB) a pour ordonnée d, que le point G sur (CD) a pour abscisse c et que le point H a pour coordonnées a > et b > 0, le problème d'Apollonius se ramène à la résolution de l'équation

°

kX2 - x[k(a + c) + E(b - d)] + a(kc -Ed)

(1)

= O.

Les lieux 14 à 16 correspondent au cas où J b = d:/; 0; le changement d'inconnue x

= ç- ~ b-d

= E,

c'est-à-dire où

n'est alors pas possible

et Apollonius résout directement le problème. L'équation Cl) devient en effet:

kx 2 - kx(a + c) + a(kc -Eb)

(4)

de discriminant (4 ') L1(k)

=k(a -

C)2 + 4Ekab ; il est toujours positif si E

··f SI. k> = - 1,1·1 est pOSltl _ négatif lorsque a = C.

1ors que

E

= 0,

4ab

--2

(a- c)

=1 ;

(1 orsque a :/; c ) ,1·1 est touJours .

79

2.4. Lieux 14 à 16

Posons f(x);;;;;; kx 2 t{a+c)

.

2

=-!5:.-(a 4

C)2

kx(a

+ c) + a(kc

= -Eab,

-Eb), alorsfCa) =f(c)

Eab.

QUATORZIÈME LIEU: 1 G Soit a c > 0 ; l'équation devient

=

(5)

k(x - a)2

= cab,

qui n'a de solution que si E XI

= 1, et qui a alors

deux solutions

XI

et

X2 :

< a < X2' Apollonius distingue trois incidences: première incidence (cas 14.1), x > a et y> b, soit c = 1 (puisque -b x

a

;;;;;; Ek);

deuxième incidence (cas 14.2), x < 0 et 0 < y < h, soit El; troisième incidence (cas 14.3),0 < x < a et y < 0, soit

E;;;;;;

1.

Le problème a donc toujours une solution dans la première incidence; il · d ans 1a d eUXleme ., " dence SI. XI < 0 ' k < -b = EM , a une so1utlOn mCl , SOIt a

MG

condition posée par Apollonius; il a une solution dans la troisième incidence

, °

'k > b = EM SI XI > ,SOIt a

MG

QUINZIÈME LIEU: 1 entre M et G Soit 0 < a < c ; Apollonius distingue quatre incidences:

première incidence (cas 15.1), x> c et y> h, soit c

1 (puisque

}'-b -' - = ck)

; x-c deuxième incidence (cas 15.2), a < x < c et y > b, soit

E;;;;;;

-1 ;

troisième incidence (cas 15.3), x < 0 et 0 < y < b, soit

E;;;;;;

1;

quatrième incidence (cas 15.4),0 < x < a et y < 0, soit E = 1. Lorsque E ;;;;;; l, l'équation (4) a deux solutions Xl et X2, de même signe si k > b , de signes opposés dans le cas contraire, c

Donc si k >

~, 0 < XI < a < c < X2, et si k < ~ , Xl < 0 < a < c < X2c

c

80

Résolution géométrique des problèmes algébriques

Le problème a donc toujours une solution dans la première incidence, il · d " " dence SI. k < -b = EM, et une so1utlOn . mCI a une so1utlon ansla 'trOlsleme c

MG

dans la quatrième incidence si k > !!.-, conditions posées par Apollonius. c

Lorsque

E

= -1,

l'équation (4) n'a de racines que si k ~

4ab

=

2

(a -c)

4MI·ME et e Il e a a1ors deux racmes . .. ('egal es et ega 'l a+c ----=,-, posItIves es'a IG"

2

lorsque k

=

4ab

2 ),

(a- c)

comprises entre a et c ; le problème alors deux solu-

tions (distinctes ou confondues) dans la deuxième incidence. SEIZIÈME LIEU; G entre M et 1

Soit 0 < c < a. Apollonius distingue encore quatre incidences: première incidence (cas 16.1), x > a et y> h, soit

E

= 1 (puisque

-b =Ek); x-c deuxième incidence (cas 16.2), x < 0 et 0 < y < h, soit E = 1 ; -Y

=1 ; quatrième incidence (cas 16.4), c < x < a et y < 0, soit E = -1. Lorsque E = 1, l'équation (4) a deux solutions XI et X2' de même signe si troisième incidence (cas 16.3),0 < x < c et y < 0, soit

E

k > !!.-, de signes opposés dans le cas contraire. c

Donc si k >

~, 0 < XI < c < a < X2, et si k < !!.-, XI < 0 < c < a < X2. c

c

Le problème a donc toujours une solution dans la première incidence, il ., " dence SI. k < -b = EM, et une so1utlOn . · d ans 1a deUXleme a une so1utron mCI c

MG

dans la troisième incidence si k> !!.-, conditions posées par Apollonius. c

Lorsque

E

= -1, l'équation (4) n'a de racines que si k ~ ~ (a-ct

4MI· ME et eIl e a a1ors deux racmes . .. ('ega l es et ega 'l a +c pOSItIves es'a -

----,:;2-'

IG

lorsque k

2

=

4ab

(a -c)

2 ),

comprises entre a et c ; le problème alors deux solu-

tions dans la quatrième incidence.

CHAPITRE III

HISTOIRE DU TEXTE

Pappus, dans l'introduction au livre VII de La Collection mathématique, évoque, parmi les traités d'Apollonius, La Section de rapport (Àoyou ànoTo(.1f)), et rappelle l'énoncé du problème qu'Apollonius y résout. Cet énoncé, tel qu'il est cité par Pappus, correspond parfaitement à celui de la version arabe : Mener par un point donné une ligne droite qui découpe sur deux droites données de position, et ce jusqu'à des points donnés sur ces droites, des segments ayant même rapport que celui qui est donné!. La structure de l'ouvrage, telle que la décrit Pappus, correspond également à celle du texte arabe: Pappus affirme en effet que le premier livre comporte 7 lieux (TOnOt), décomposés en 24 cas (nH0
1 Pappus, La Collection, vol. II, p. 480. Voir note complémentaire 1 l'étude de la terminologie de cet énoncé.

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qui pourrait expliquer l'affirmation de Pappus « les deux livres de La Section de rapport comportent vingt lemmes2 ». Les deux premiers lemmes (couper une droite donnée dans un rapport donné et déterminer la quatrième proportionnelle à trois droites données) ne sont que de très légères variantes des propositions VI.lO et VI.12 des Éléments. Notons que, pas plus qu'Euclide, Pappus n'aborde le cas plus complexe de la construction de la quatrième proportionnelle dans le cas de surfaces, alors que cette construction intervient dans les démonstrations des quatorzième, quinzième et seizième lieux (ces lieux du second livre qui sont, contrairement à l'affirmation de Pappus, résolus directement). Dans les lemmes 3 à 7 Pappus étudie le comportement des transformations de rapports - composition (lemmes 3 et 4), permutation (lemme 5), conversion (lemme 6), inversion (lemme 7) - pour la relation d'ordre: composition et permutation conservent l'ordre, conversion et inversion l'inversent 3 . Pappus ne démontre pas que la séparation des rapports conserve l'ordre (cette propriété est une conséquence immédiate des lemmes 5 et 6), ni n'étudie le comportement de la relation d'ordre vis-à-vis de la relation à , 1"Ite de rang» (SI. -a = -d et -b el . est ega , 1ement une « ega > -, a ors -a > -dqUI bec

f

c

f

conséquence du lemme 5), bien que ces propriétés interviennent également dans plusieurs démonstrations de La Section de rapport4 . Les lemmes suivants (8 et 9) généralisent au cas d'une inégalité les propositions V.12 et V.19 des Éléments; Pappus montre que si :: > ~ alors

b d a a+c c . a c 1 a-c C l " . - > - - > -, et que SI - > - a ors - - > - ; ces emmes n mterviennent b b+d d b d b-d d

pas sous cette forme dans les démonstrations que nous avons établies, seules les propositions V.12 et V.19 des Éléments sont utilisées. Le lemme 10 (si a> b et c

=d alors::b > ~d

et si a < b et c

=d

alors

:: < ~) est une variante de la proposition V.8 des Éléments; les lemmes Il b d

2 Pappus, La Collection, vol. II, p. 48l. Il est en revanche difficile de comprendre l'affirmation de Pappus : « ces mêmes deux livres de La Section de rapport contiennent cent quatre-vingt-un théorèmes, et plus encore d'après Périclès ». 3 On constate que, dans ces lemmes, Pappus donne toujours deux versions de la propriété, une dans le cas où le premier rapport est plus grand que le second, l'autre dans le cas inverse; tout se passe comme si, pour Pappus, il y avait non pas une, mais deux relations d'ordre strict, « plus grand que» et « plus petit que ». 4 La première intervient en particulier dans la démonstration d'unicité du cas 4.3 et dans le diorisme du cas 6.2, la seconde est utilisée systématiquement dans toutes les synthèses des cas à diorismes du livre II.

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a

c.

b

d

(si a > b et c < d alors - > -) et 12

(SI

M

E

AlA

[AB] le rapport -

AlB

croît

lorsque le point M se rapproche du point B) en sont des conséquences immédiates; le lemme Il est fréquemment utilisé dans les diorismes et les démonstrations d'unicité du premier livre, sous cette forme ou sous la forme / . l ente: SI. a > b et c < dl b eqmva a ors -a>-. c

d

Les lemmes 13 et 14 - que Ver Eecke regroupe - sont des conséquences immédiates de la proposition ILS des Éléments (soit M un point d'un segment [AB] de milieu l, alors MA . MB + M[2 = IA2) : MA . MB est maximal lorsque M = 1 (lemme 13), et la surface MA· MB diminue lorsque M s'éloigne de 1 (lemme 14). Ces lemmes jouent, dans les diorismes du livre 1, un rôle fondamental. Le lemme 15, élémentaire, établit que si a + b = c + d et si a < c alors b > d. Le lemme 16 généralise à des inégalités la proposition VL16 des Éléments et permet de passer de l'inégalité d'aires ad > bc à l'inégalité de rapports ~ > ~ et réciproquement (a, b, c et d étant des longueurs) ; il est c

d

utilisé dans les diorismes des cinquième, sixième et septième lieux. Les lemmes 17 à 20, dans cet ordre, précisent des points de détail élémentaires du calcul des valeurs extrémales du rapport dans les cas 6.2, 6.4, 7.2 et 7.4. Dans le texte de La Section de rapport, la détermination de ces valeurs extrémales figure, dans chacun de ces cas, en conclusion de la synthèse et non, comme on pourrait l'attendre, à la fin du diorisme, peutêtre dans la mesure où, s'agissant là d'un point non essentiel au déroulement de la démonstration, on a souhaité ne pas rompre l'unité de celle-ci. Les lemmes de Pappus s'attardent sur la détermination du dénominateur de ces rapports (lE + EG ± .,J41E· EG) en vue de leur construction à la règle et au compas, problème délibérément non traité par Apollonius (cf. lemmes 1 et 2).

Le lemme 21 est intitulé «problème relatif au second livre de La Section de rapport, utile pour la récapitulation du treizième lieu ». Il se présente comme un problème de construction: les points A, B et C étant donnés, C entre A et B, déterminer un point D de la demi-droite opposée à [AB), tel que ~~

= AB + BC

~~4AB. BC

Or on ne trouve, dans le Livre II, contrairement à ce que l'on a dans le Livre 1, aucune conclusion, ou récapitulation des divers lieux étudiés. Ce lemme permettrait de calculer les valeurs extrémales du rapport lorsqu'une moyenne proportionnelle intervient dans ce calcul, c'est-à-dire dans les cas des lieux du second livre qui se ramènent au sixième ou au septième lieu, à savoir les onzième, dix-septième et dix-neuvième lieux (qui se ramènent au

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sixième lieu), ou les dixième et vingt et unième lieux (qui se ramènent au septième lieu). Il est donc impossible que le lemme 21 ait trait au treizième lieu du second livre (i. e. au vingtième lieu) ; il semblerait plus vraisemblable qu'il se rapporte au troisième lieu du second livre (i. e. au dixième lieu). Il se pourrait donc qu'il y ait, à cet endroit, une erreur dans le texte de La Collection mathématique, peut-être devrait-on lire « troisième lieu» et non « treizième lieu », le troisième lieu du livre II étant par ailleurs le premier des lieux de ce livre à nécessiter ce genre de diorisme et donc ce genre de calcul. En conclusion, les lemmes de Pappus, soit reprennent des propositions qui figuraient sous une forme voisine dans les Éléments, soit établissent des propriétés très générales des inégalités de rapports ou de l'application des aires, soit précisent d'infimes points de détail des démonstrations. Ces lemmes, s'ils permettent bien de corroborer l'affirmation selon laquelle le texte que nous avons établi est le texte d'Apollonius sur La Section de rapport, ne sont pas indispensables à la compréhension des démonstrations et ne sauraient en aucun cas permettre à eux seuls de les reconstituers.

LA TRADUCTION

Sur l'identité du traducteur de La Section de rapport et la date de sa traduction, nous sommes peu informés. Les bio-bibliographes et les historiens mentionnent ce traité parmi les œuvres d'Apollonius traduites en arabe: al-Nadim 6 , suivi par al-Qifn 7, indique «l'ouvrage sur la section des droites selon un rapport, deux livres» (kitab qa(i al-khutiit 'ala al-nisba, maqalatayn) ; al-Nuwayri 8 évoque Les Coniques et La Section de rapport comme étant deux ouvrages d'Apollonius. Étudié par Ibn Sinan (909-946)9, l'ouvrage circulait encore au XIIIe siècle, comme en témoignent tant les historiens que les copies faites à cette époque. Traduit donc avant le premier tiers du xe siècle, la traduction en a très vraisemblablement été achevée bien avant, au IX e siècle, qui plus est dans le milieu des Banü Müsa et de Thabit 5 Nous sommes parvenus à un résultat analogue en ce qui concerne les différents livres des Coniques: les lemmes de Pappus ne sauraient en aucun cas permettre de reconstituer le texte. R. Rashed, Les Mathématiques infinitésimales du Ixe au XIe siècle, vol. III : Ibn al-Haytham. Théorie des coniques, constructions géométriques et géométrie pratique, Londres, 2000, p. 2-12. 6 AI-Nadim, al-Fihrist, p. 326. 7 AI-Qifti, Ta'rikh al-Iwkamâ', p. 116. 8 AI-Nuwayri, Nihâyat al-arab, Le Caire, sans date, vol. I, p. 353. 9 R. Rashed et H. Bellosta, Ibrahim ibn Sinân, logique et géométrie au xe siècle, Leyde, 2000, p. 16,77-79,506-510.

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ibn Qurra. Deux raisons permettent de proposer une telle conjecture: c'est précisément dans ce milieu et à cette époque, et non avant, que les mathématiciens se sont intéressés à l' œuvre d'Apollonius et ont rendu en arabe les sept livres des Coniques et quelques autres de ses traités; c'est d'autre part à cette époque et dans ce milieu, du fait de l'algèbre nouvellement créée et en quelque sorte contre elle, que l'on a voulu montrer que la géométrie avait des moyens aussi puissants que l'algèbre pour discuter des problèmes plans - résolus à l'aide de l'application des aires - et que l'on a commencé à établir des équivalences entre solutions algébriques et solutions géométriques 10. Thabit ibn Qurra est le premier à engager cette recherche et à introduire ces nouvelles conceptions Il ; il est aussi l'un des meilleurs connaisseurs de l' œuvre d'Apollonius et le principal traducteur des Coniques. Enfin, c'est précisément à cette époque - milieu du IX e siècle - que mathématiciens et philosophes ont commencé à s'intéresser au thème de l'analyse et de la synthèse l2 . Il est donc très vraisemblable que la traduction de La Section de rapport ait été réalisée dans ce milieu. Pour affiner une telle conjecture, le seul moyen est de nature philologique: il faut étudier la langue des nombreux traducteurs de l'époque pour déterminer laquelle s'approche le plus du lexique et de la syntaxe de la traduction de La Section de rapport. Cette recherche devra attendre que les autres traductions aient reçu les éditions critiques qu'elles méritent. Il reste que la simple comparaison du lexique de cette traduction, ainsi que de certaines formes syntaxiques, avec ceux de la traduction des Coniques, montre une parenté indiscutable. La principale différence, elle est de taille, est que la langue de La Section de rapport est plus pauvre que celle des Coniques (voir les index lexicaux des Coniques) et que la syntaxe en est plus uniforme, puisqu'il s'agit essentiellement, dans le premier de ces ouvrages, de la langue de la théorie des proportions et de l'application des aires.

Ce qui était possible tant que l'on ne s'intéressait qu'aux équations quadratiques. Conceptions reprises dans l'ouvrage de son élève Na'ïm ibn Müsa, dans lequel celui-ci reproduit manifestement l'enseignement de ce dernier. R. Rashed et C. Houzel, Recherche et enseignement des mathématiques au IX e siècle, Le recueil de propositions géométriques de Na 'im ibn Miisâ, Louvain, 2004. 12 R. Rashed, Les Mathématiques infinitésimales du Ixe au XIe siècle, vol. IV : Méthodes géométriques, transformations ponctuelles et philosophie des mathématiques, Londres, 2002, p. 157-173. 10

Il

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Histoire du texte LES MANUSCRITS

Le texte de La Section de rapport nous a été transmis par deux manuscrits seulement. Le premier de ces deux manuscrits, le manuscrit noté 1 (.1), a vraisemblablement été copié à Damas vers 1228, l'autre, le manuscrit noté B (..,..,), est entré dans une bibliothèque de Damas vers 1235. Le manuscrit 1 fait partie d'une collection célèbre, maintes fois décrite, la collection Ayasofia 4830 de la bibliothèque Süleymaniye à Istanbul, dont il constitue les folios 2 v à 52 v13 • C'est, des deux manuscrits, celui qui donne la meilleure version du texte, mais il est malheureusement incomplet: l' équivalent de 5 ou 6 folios à la fin du premier tiers du texte manque, ainsi que le dernier folio, nous privant peut-être ainsi de la date de la copie du texte ou du nom du copiste (le traité Sur le volume du paraboloïde d'al-Qühï qui fait partie de la même collection a, lui, été copié, de la même main, à Damas en 626/1228-1229). La numérotation des 8 premiers folios ne suit pas l'ordre du texte: il faut lire dans l'ordre les folios 2v , 5, 3,4,6,7,8,9; il manque ensuite au texte l'équivalent de 5 folios environ; les folios restants, 10 à 52 v, donnent la suite du texte dans l'ordre. Outre la numérotation des folios (écrite en haut à gauche au recto de chaque folio, selon l'usage), figurent également deux numérotations des pages: une première numérotation un peu au-dessus de la première ligne, au milieu de celle-ci, dans l'ordre de la numérotation des folios (la dernière page porte le nO 102), et une deuxième numérotation moderne, au crayon, suivant l'ordre dans lequel les pages sont actuellement reliées. Toutes ces numérotations, y compris celle des folios, semblent donc postérieures à la perte des 5 folios (qui se situeraient entre le folio 9 et le folio 10). À partir du folio 6, le dernier mot du folio précédent est le plus souvent répété au début du folio suivant comme c'est la coutume. Certains folios portent de grosses traces d'humidité ainsi que quelques trous de vers. Le coin inférieur du folio 50 est réparé avec du papier blanc et la bordure intérieure du folio 52 (dernier folio) est refaite. Les figures sont tracées à l'encre rouge, et les intertitres sont également en rouge. Les folios Sr et 8v portent des gloses d'une autre main 14 (nous les avons indiquées en note et traduites). 13 La collection Ayasofya 4830 contient également le traité sur les nombres amiables de Thabit ibn Qurra, ainsi que divers traités d'al-Qühi, dont le traité sur le volume du paraboloïde et le traité sur la construction d'un pentagone équilatère inscrit dans un carré donné (R. Rashed, Mathématiques infinitésimales, vol. I, p. 841 ; Geometry and Dioptries in Classieal Islam, Londres, 2005, p. 24). 14 Ces annotations marginales de la main d'un certain Mu\:lammad Sartaq al-Maraghï ont été écrites à l'école malékite de la Ni~amiyya de Nakisat et datées de 1327 (comme en fait foi une annotation en marge du folio 165') (R. Rashed, Les Mathématiques infinitésimales du Ixe au XJe siècle. Vol. l : Fondateurs et commentateurs: Banü Müsa,

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Le second manuscrit, noté B, provient du fonds Selden de la Bodleian Library. Ce fonds a pour origine un don de plusieurs centaines de volumes (comportant des manuscrits grecs, latins et arabes) fait à la Bodleian Library en 1659 par l'arabisant John Selden (1584-1654). Le texte de La Section de rapport fait partie la collection Arch. Seld. A. 32 dont il constitue les folios 2 v-81 r. Le manuscrit ne porte ni nom de copiste ni date de copie; cependant, une marque de possession figurant au recto du folio 1 et datée de 633/1235-1236 à Damas permet en tout état de cause d'affirmer qu'il a été copié avant cette date 15. Le traité sur La Section de rapport porte deux numérotations: une ancienne numérotation (commençant à 2 v ) et une numérotation plus récente (commençant à Iv). Nous avons opté pour l'ancienne numérotation. Certaines figures du texte ont été corrigées, des lignes superflues ont été grattées (en particulier sur les figures 5, 6, 98), sur d'autres figures quelques lignes ou lettres superflues ont été ajoutées (figure 23). Sur les figures 102, 103, 104, 106 les points sont désignés par des lettres grecques manifestement ajoutées plus tard. La figure 107 (folio 59 v) a été barrée et refaite deux fois: une fois au bas du même folio, et une deuxième fois sur la page suivante. La figure 109 (folio 61 v) a également été tracée deux fois (la première fois de manière incomplète). Sur la figure 110 et les figures suivantes, un certain nombre de lettres manquent, et à partir de la figure 114 les figures deviennent sommaires et incomplètes. Les dernières figures (celles du vingt-deuxième lieu) sont tracées au crayon et les lettres arabes sont d'une écriture européenne récente (fol. 79 v, 80r, 81 r). Certains passages sont grattés ou barrés à l'encre (voire soulignés) (fol. 34 v en particulier). On trouve également quelques annotations marginales récentes au crayon l6 .

Thabit ibn Qurra, Ibn Sinan, al-Khazin, al-Quhi, Ibn al-Saml:z, Ibn Hud, Londres, 1996, p. 841). 15 Ce manuscrit a été acheté en 633/1235-1236 par un certain YaIJya ibn MuIJammad al-Labüdï, lequel s'intéressait manifestement aux sciences mathématiques ainsi qu'aux travaux d'Ibn al-Hay th am : il possédait aussi un manuscrit de l'Optique de ce dernier (Fatih 3076). Notons également que la collection d'Oxford contient 10 traités d'Ibn alHaytham (R. Rashed, Géométrie et dioptrique au xe siècle, Paris, 1993, p. 35, note 108). 16 C. Wakefield, Senior Assistant Librarian à la Bodleian Library - que nous remercions des précieux renseignements concernant l'histoire du manuscrit qu'il a eu l'obligeance de nous communiquer - suggère que les lettres, ajoutées au crayon sur les figures, ainsi que les quelques annotations marginales, également au crayon, figurant dans les marges des folios 7 v , 13V, 19 v , pourraient être de la main de John Selden luimême.

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L'étude systématique des variantes (omissions, ajouts, fautes ... ) montre que ces deux manuscrits sont des copies indépendantes du même texte. On peut d'ailleurs vérifier aisément ce fait à partir de l'apparat critique.

LES TRADUCTIONS

Le texte arabe de La Section de rapport a été l'objet de deux traductions dont aucune ne prétend à la littéralité. La première est la traduction latine de Halley (Edmund Halley, Apollonii Pergaei opuscula e tenebris eruta ac restituta, Oxford, 1706). C'est sur cette seule traduction que reposait jusqu'à aujourd'hui notre connaissance du texte d'Apollonius; Halley a ainsi rendu un immense service à l'histoire des mathématiques. Le texte de Halley est en particulier la base d'une transcription analytique faite par W. A. Diesterweg en 1824, ainsi que de la traduction allemande de A. Richter (Elbing, 1836). La traduction de Halley avait été précédée, en l'absence du texte, d'une tentative de restitution par Willebrord Snel (Apollonius Batavus seu exsuscitata Apollonii Pergaei geometria, Leiden, 1608, essai de reconstitution de La Section de rapport, de La Section d'aire et de La Section déterminée). La traduction de Halley, même si elle ne correspond plus tout à fait aux critères d'une traduction savante, rend néanmoins parfaitement compte du contenu mathématique de ce texte difficile. Elle a été faite sur le manuscrit B, le seul dont disposait Halley. Celui-ci a fort judicieusement comblé un certain nombre des lacunes de ce manuscrit; les ajouts faits au texte sont en italiques - voir par exemple l'anal yse du cas 1.1, dans laquelle Halley comble intégralement et presque littéralement une longue lacune du manuscrit B (De Sectione rationis, p. 2). Halley donne également parfois quelques précisions nécessaires - voir en particulier la synthèse du cas 4.3 dans laquelle il faudrait vérifier que le point 1 que l'on construit appartient au segment [GE], ce que ne précise pas le texte; Halley pour sa part le précise: « facta applicatione punctum Q (i. e.l) cadet inter puncta E, Z (i. e. G) », sans signaler toutefois qu'il s'agit d'un ajout (De Sectione rationis, p. 17). Cette tendance à compléter ou à expliciter le texte se retrouve également lorsque la traduction de quelque expression lui pose problème. Halley peut également, lorsque le texte arabe lui semble altéré, donner une démonstration alternative; c'est le cas par exemple p. 54 : plutôt que d'utiliser, comme dans le texte arabe, la proposition V.19 des Éléments (<< il reste le rapport de IK à KG - du reste au reste - à la place de l'un des rapports» ; il ne traduit pas la phrase, mais donne une démonstration alternative: « permutando autem erit Be (i. e. El) ad e K sicut EK ad

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KZ (i. e. KG) ; per conversionem vero rationis Ee erit ad EK sicut EK ad EZ» (De Sectione rationis, p. 32). À la fin de sa traduction de chacun des livres 1 et II, Halley consacre un scholie à des commentaires et des compléments de démonstration ainsi qu'à des applications possibles des propriétés établies par Apollonius dans ce texte. Le texte d'Apollonius a également été l'objet, plus récemment, d'une traduction anglaise (Apollonius of Perga, On cutting off a ratio, An attempt to recover the original argumentation through a critical translation of the two extant medieval Arabie manuscripts, translated by E. M. Macierowski, edited by Robert H. Schmidt, The Golden Hind Press, Fairfield CT, 1988 17 ). Outre le fait que la question se pose de savoir s'il est possible de traduire un texte à partir de deux manuscrits sans faire précéder cette traduction d'une édition critique, l'auteur n'explicite pas ce qu'il entend par traduction critique; le fait est que la traduction du premier lieu (et de lui seul) mêle texte (en caractères droits) et commentaires (en italiques). L'éditeur ainsi que l'auteur - qui voient dans l'objet de La Section de rapport non la résolution d'un problème mais l'exposé d'un porisme 18 exposent leurs vues sur l'analyse et la synthèse et les raisons qui leur ont fait choisir de traduire plusieurs termes arabes (ma 'lüm, mafrüçl, mawçlü " mu 'ta, muta 'allam) tantôt par le néologisme « recipient » (a ratio is recipient, a ratio is a recipient, a line is recipient in position or in magnitude, etc.) tantôt par « given ». La traduction, souvent paraphrastique et parfois inexacte, force un peu le texte arabe.

APOLLONIUS EST-IL L'AUTEUR DU VINGT-DEUXIÈME LIEU?

Si, à l'exception du vingt-deuxième lieu, l'authenticité de l'ensemble du texte ne soulève pas le moindre doute, la présence, à la fin du texte, de ce dernier lieu pose cependant un problème. Selon le témoignage de Pappus, on l'a dit, La Section de rapport comporte 21 lieux (7 dans le premier livre et 14 dans le second). Ceci est d'ailleurs cohérent avec la structure interne de l'ouvrage; en effet, dans le cas du second livre - cas où les deux droites données (AB) et (CD) sont sécantes en M, et où les points donnés, G et E, sur ces droites sont différents de M - on peut visualiser ces différents lieux 17 Nous remercions notre collègue et ami, Nader el-Bizri, de nous avoir procuré cet ouvrage. 18 Essentiellement du fait de la formulation interrogative de l'énoncé (comment construire ... ), de l'absence au début de l'analyse de la formule «let it be done» et de l'importance des diorismes.

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selon la position du point donné H, d'où sont menées les droites sécantes - comme le montre la figure 5. Ce qui ne laisse assurément aucune place pour un vingt-deuxième lieu. On trouve en outre, dans le manuscrit B, une annotation marginale au bas du folio 78 r indiquant najidu fi al-a$l : wa-dhiilika iikhir al-kitiib (on trouve dans le modèle: ceci est la fin de l'ouvrage), affirmation reprise au début du folio 78 v : wa-dhiilika iikhir al-kitiib (ceci est la fin de l'ouvrage) ; le vingt-deuxième lieu suit cette affirmation. Le manuscrit I qui, quoique incomplet, donne de loin la meilleure version du texte, passe, lui, directement du vingt et unième lieu au vingt-deuxième. Le paragraphe introductif de ce vingt-deuxième lieu diffère de tous les paragraphes introductifs des lieux précédents: Que les droites parallèles aux deux droites AB et CD tombent à l'extérieur des deux points E et G, ce sont les droites HM et HL. L'incidence des droites menées du point H a lieu selon cinq cas de figure. Ainsi, on n'y précise pas la position du point H d'où doivent être issues les sécantes cherchées, on se contente d'y affirmer de façon très lacunaire que les parallèles aux droites données menées de H ne passent pas par les points donnés E et G (avec une terminologie « tomber à l'extérieur des points» que l'on rencontre ici pour la seule et unique fois). Ce n'est du reste pas la seule particularité linguistique de ce vingt-deuxième lieu: dans l'analyse des cas 22.1 et 22.3 on rencontre l'expression miqdiir 'izam manifestement étrangère au lexique d'Apollonius dans ce traité (voir la note complémentaire 1). Le fait, d'une part, de ne pas préciser la position du point H dans le plan, d'autre part de ne jamais dire à quel lieu du livre I on se ramène, pourrait laisser penser que nous sommes là en présence d'une tentative de regroupement des différents lieux du second livre. Montrons qu'il n'en est nen. Tout d'abord, puisque les parallèles issues de H, aux droites données, ne passent pas par les points E et G, ceci exclut les lieux 9, 14, 15 et 16. Ensuite, ce vingt-deuxième lieu se décompose en 5 cas, ceci exclut les lieux 13 et 18 (qui se décomposent en 4 cas). Enfin le diorisme du cas 22.2 fait intervenir une droite moyenne proportionnelle, ceci exclut les lieux 8, 12 et 20 qui se ramènent au quatrième lieu. Ne resteraient donc que les lieux 10, Il, 17, 19 et 21, qui se ramènent aux lieux 6 et 7 du premier livre. Or, dans le livre II, le désir de prendre en compte la position relative du point M, point d'intersection des droites (AB) et (CD), par rapport aux points G et J, conduit Apollonius à distinguer les cas où, de part et d'autre de M, on se ramène au même cas à diorisme du livre I, de ceux dans lesquels on se ramène à un même cas sans diorisme. Or dans le vingt-deuxième

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lieu, de part et d'autre du point M, c'est-à-dire dans les cas 22.3 et 22.4, on se ramène à un même cas sans diorisme du livre l, ceci exclut donc les lieux 10 (dont les cas 10.3 et 10.4 se ramènent à un même cas à diorisme) et Il (dont les cas 11.2 et 11.3 se ramènent à un même cas à diorisme). Ne restent donc plus que les lieux 17, 19 et 2I. La traduction algébrique montre que, si l'on remplace les coefficients c et a, le vingt et unième lieu est identique au dix-septième; ce que confirme l'étude géométrique. Tant l'étude algébrique que l'étude géométrique confirment également les similitudes entre le dix-neuvième lieu et le vingt et unième lieu (si l'on remplace la condition 0 < b < d par la condition O
Le vingt-deuxième lieu n'est donc pas une tentative de regroupement des lieux du second livre et il n'ajoute rien aux lieux précédents. Étant donné les anomalies linguistiques et structurelles déjà évoquées, la mention « ceci est la fin de l'ouvrage» qui figure dans le manuscrit B, ainsi que la place de ce lieu dans le texte de La Section de rapport, on ne peut que s'interroger sur l'authenticité de ce vingt-deuxième lieu, ainsi que sur l'identité de son auteur. Nous nous interdisons cependant toute conjecture, faute de documents textuels et d'une meilleure connaissance de l'histoire du texte.

TEXTE ET TRADUCTION

Livre d'Apollonius sur la section des droites selon des rapports Kitab Abulüniyüs fi qa!' al-khu!ü! 'ala al-nisab

Au nom de Dieu Clément et Miséricordieux

TRAITÉ D'APOLLONIUS SUR LA SECTION DES DROITES SELON DES RAPPORTS

PREMIER LIVRE

Si l'on a, dans un plan, deux droites illimitées de position donnée, parallèles ou sécantes, si l'on marque un point sur chacune d'elles, si l'on a un rapport donné et un point connu qui n'est situé sur aucune d'elles, comment mener de ce point connu une droite qui passe sur les deux droites de position donnée et en découpe des segments tels que le rapport de l'un des deux segments à l'autre - adjacents aux deux points marqués sur les deux droites - soit égal au rapport donné l . Que les deux droites soient d'abord parallèles, ce sont les droites AB et CD. Supposons sur la droite AB un point E et sur la droite CD un point G, la droite qui passe par l'extrémité de chacune des deux droites est la droite EG. Le point connu est alors ou bien intérieur à l'angle DGH, ou bien intérieur à l'angle BEG et à l'angle DGE 2 , ou bien dans ce qui suit cela comme positions. Premier lieu

Qu'il soit d'abord intérieur à l'angle DGH, c'est le point J. Les droites menées du point J qui découpent des deux droites, deux droites - adjacentes aux deux points E et G - telles que le rapport de l'une à l'autre soit égal au

1 Voir 2

note complémentaire 1. Voir note complémentaire 2.

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96

Apollonius: La section des droites selon des rapports

rapport donné, sont selon trois cas de figure: elles découpent soit EB et GD, soit EA et GD, soit EA et Ge. 1.1. Première incidence du premier lieu 3 A

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Fig. 1

Que l'incidence de la droite menée selon le premier cas de figure, la droite IK, soit telle qu'elle découpe les droites EB et GD selon le rapport de EK à GL égal au rapport donné 4 . Joignons la droite Er', El est alors de position donnée, CD est également de position donnée, le point M est donc connu. Chacun des deux points E et 1 est connu, le rapport de EM à MI est donc connu. Si nous composons, le rapport de El à lM est connu 6 ; or le rapport de El à lM est égal au rapport de EK [B-3 r ] à ML, le rapport de EK à ML [I-Y] est donc connu. Mais le rapport de EK à GL est connu, le rapport de GL à ML est donc connu. Si nous séparons, le rapport de GM à ML est connu. Mais la droite GM est de grandeur connue, la droite ML est donc de grandeur et de position connues. Or le point M est connu, le point L est donc connu; le point 1 est connu, la droite IK est donc connue. Puisque la droite LM est plus petite que la droite GL, le rapport de EK à ML est plus grand que le rapport de EK à GL ; or le rapport de EK à ML est égal au rapport de El à lM, le rapport de El à lM est donc plus grand que le rapport de EK à GL ; le rapport de EK à GL est le rapport donné, c'est pourquoi il faut que le rapport donné soit plus petit que le rapport de El à lM.

Voir note complémentaire 3. Voir note complémentaire 4. 5 Voir note complémentaire 5. 6 L'intermédiaire EM est inutile et ne figure d'ailleurs plus dans les analyses Ml suivantes (cas l.2, l.3 et analyses du deuxième lieu). 3

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98

Apollonius: La section des droites selon des rapports

La synthèse de ce problème, la figure étant fixée en l'état?, se fait ainsi. Que l'on joigne El. On a démontré qu'il faut que le rapport donné soit plus petit que le rapport de El à lM, que ce soit le rapport de n à sa. Posons le rapport de El à lM égal au rapport de n à PS et le rapport de OP à PS égal au rapport de GM à ML. Joignons IL et prolongeons-la; je dis que la droite IK, seule, achève le problème. Montrons-le donc ainsi: puisque le rapport de GM à ML est égal au rapport de OP à PS, si donc nous composons, le rapport de GL à LM est égal au rapport de sa à SP et, à l'inverse de cela, le rapport de LM à GL est égal au rapport de PS à sa. En outre, puisque le rapport de El à lM est égal au rapport de EK à ML, le rapport de EK à ML est égal au rapport de n à SP. Or le rapport de ML à LG est égal au rapport de PS à sa, donc, par l'égalité 8 , le rapport de EK à GL est égal au rapport de n à sa. On a donc mené du point 1 une droite, la droite IK, telle qu'elle coupe selon le rapport de EK à GL qui est égal au rapport donné. La droite IK achève donc le problème. s

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Fig. 2

Je dis qu'elle seule réalise cela. Si une autre qu'elle pouvait le faire, que l'on mène alors la droite IQ, telle qu'elle coupe selon le rapport de EQ à GZ qui serait égal au rapport donné. Puisque LM est plus petite que LG, le rapport de ZL à ML est plus grand que le rapport de ZL à LG ; si nous composons, le rapport de ZM à ML est plus grand que le rapport de GZ à

7 C'est-à-dire que l'on suppose accomplies les constructions faites au début de l'analyse. Cette expression se répète sous cette forme ou sous une forme équivalente au début de toutes les synthèses suivantes. 8 C'est-à-dire par la relation de rapport « à égalité de rang» (ex œquali), Euclide, Éléments, livre V, définition 18.

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100

Apollonius: La section des droites selon des rapports

LG. Mais le rapport de ZM à ML est égal au rapport de QE à EK, il est donc plus grand que le rapport de GZ à LG ; si nous permutons, le rapport de QE à G Z est plus grand que le rapport de E K à G L. La droite l Q n'achève donc pas le problème 9 . On a ainsi montré que ni elle ni aucune autre droite que l K n'achève le problème, l K seule achève donc le problème. [B-Y] Il est clair lO [I-SV] que les droites proches du point G coupent selon des rapports plus petits que celles qui en sont plus éloignées. 1.2. Deuxième incidence du premier lieu B

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Fig. 3

Que tout ce que nous avons indiqué soit en l'état. Menons la droite IK de la deuxième façon, telle qu'elle découpe les droites EA et GD selon le rapport de EK à GL égal au rapport donné. Joignons la droite El, El est alors de position donnée; mais la droite CD est de position donnée, le point M est donc de position donnée. Chacune des deux El et lM est alors connue, le rapport de El à lM est donc donné; or le rapport de El à lM est égal au rapport de EK à LM, le rapport de KE à LM est donc donné; mais le rapport de KE à GL est donné, le rapport de GL à LM est donc donné; si nous composons, le rapport de GM à ML est donné; la droite G M est de grandeur connue, la droite LM est donc de grandeur connue Il ; or le point M est connu, le point L est donc également connu; mais le point l est donné, la droite KI est donc de position donnée. 9 La démonstration qui précède suppose implicitement que le point K est entre E et Q. On trouve en marge dans le manuscrit l, écrit d'une autre main, le complément de démonstration suivant: « et si IQ tombe entre IK et lE, semblablement à ce que nous avons démontré, nous montrons que le rapport de EQ à GZ est plus petit que le rapport donné: GL à LM est égal au rapport de OS à SP, le rapport de OS à SP est donc plus grand (erreur il est plus petit) que le rapport de ZG à ZM ; à l'inverse le rapport de SP à sa est plus petit (erreur il est plus grand) que le rapport de ZM à GZ Le rapport de QE à ZM est égal au rapport de El à lM, c'est-à-dire au rapport de n à SP, le rapport de QE à GZ est donc plus petit que le rapport de n à OS. » 10 Voir note complémentaire 6. Il Elle est également connue de position (voir les analyses des cas 1.1 et 1.3).

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102

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Puisque la droite ML est égale à la droite LG ou plus grande qu'elle ou plus petite qu'elle, le rapport est alors sans discussion 12. La synthèse de ce problème, si ce que nous avons indiqué est en l'état, se fait ainsi. Joignons la droite El; que le rapport donné soit le rapport de n à sa. Posons le rapport de n à SP égal au rapport de El à lM et le rapport de a P à S P égal au rapport de G M à ML. Joignons IL et prolongeons-la jusqu'en K; je dis que la droite lK achève le problème, c'està-dire que le rapport de KE [BAr] à GL est égal au rapport de n à sa. Puisque le rapport de El à lM est égal au rapport de KE à ML et au rapport de n à PS, le rapport de KE à LM est égal au rapport de n à PS ; en outre, puisque le rapport de OP à PS est égal au rapport de GM à ML et que, si nous convertissons et séparons, le rapport de LM à LG est égal au rapport de PS à sa, alors, par l'égalité, le rapport de KE à GL est égal au rapport de n à sa. La droite lK achève donc le problème. p B

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Fig. 4

Je dis que c'est la seule. Que l'on mène, si cela est possible, une autre droite qu'elle, la droite lQ, telle qu'elle coupe selon le rapport de QE à GZ égal au rapport donné 13 . Puisque QE est plus grande que EK et que ZG est plus petite que GL, le rapport de QE à GZ est, après permutation, plus grand que le rapport de EK à GL ; [I-3 r ] la droite QI coupe donc selon un rapport plus grand que le rapport selon lequel coupe la droite KI. On a montré que les droites proches du point G coupent selon des rapports plus grands que les rapports selon lesquels coupent les droites éloignées. [BAY]

12 Nous choisissons de traduire ici, comme nous J'avons fait ailleurs, ghayr mahdüd par « sans discussion» (voir note complémentaire 10). 13 On suppose implicitement que Z est entre G et L.

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104

Apollonius: La section des droites selon des rapports

1.3. Troisième incidence du premier lieu A

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Fig. 5

Que tout ce que nous avons indiqué soit aussi en l'état. Menons la droite lK de la troisième façon, telle qu'elle découpe les droites EA et GC selon le rapport de EK à GL égal à un rapport donné. Joignons ensuite El, El est de position donnée; or CD est donnée 14, le point M est donc donné ainsi que chacun <des points> E et l, le rapport de El à lM est donc donné. Mais le rapport de El à lM est égal au rapport de EK à LM, le rapport de EK à LM est donc donné; le rapport de EK à GL est donné, le rapport de ML à GL est donc donné. Si nous séparons, le rapport de MG à GL est donné. Mais MG est donnée, GL est donc donnée et de position donnée l5 ; or le point G est de position donnée, le point L est donc donné; le point 1 est de position donnée, lK est donc de position donnée. Puisque GL est plus petite que LM, le rapport de EK à GL est plus grand que le rapport de EK à LM. Mais le rapport de EK à LM est égal au rapport de El à lM, le rapport de EK à GL est donc plus grand que le rapport de El à lM. Il faut donc que le rapport donné dans la synthèse soit plus grand que le rapport de El à lM. La synthèse de ce problème, si ce que nous avons indiqué est en l'état, se fait ainsi. Joignons El. Il est nécessaire que le rapport donné soit plus grand que le rapport de El à lM ; que le rapport de n à SP soit plus grand que le rapport de El à lM. Posons le rapport de El à lM égal au rapport de n à OP et le rapport de OS à SP égal au rapport de MG à GL. Joignons IL et prolongeons-la; je dis que la droite lK achève le problème.

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i. e. de position donnée (voir note complémentaire 1). i. e. sa grandeur et sa position sont données (voir note complémentaire 1).

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106

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Puisque le rapport de MG à GL est égal au rapport de OS à SP, alors, si nous composons, le rapport de ML à LG est égal au rapport de OP [B-Y] à SP. En outre, puisque le rapport de El à lM est égal au rapport de EK à ML et au rapport de n à OP et que le rapport de ML à LG est égal au rapport de PO à PS, par l'égalité, le rapport de EK à GL est égal au rapport de n à SP ; je dis donc que la droite IK achève le problème et que c'est la seule. p A

B

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o Fig. 6

S'il était possible qu'il en soit autrement, que l'on mène alors une autre droite, la droite IQ, telle qu'elle coupe selon le rapport de QE à GZ égal au rapport donné. Puisque la droite LG est plus petite que la droite LM, le rapport de ZL à LG est plus grand que le rapport de ZL à LM. Si nous composons, le rapport de GZ à GL est plus grand que le rapport de ZM à ML. Mais le rapport de ZM à ML est égal au rapport de QE à [I-3 V ] EK, le rapport de QE à EK est donc plus petit que le rapport de ZG à GL ; par permutation, le rapport de QE à GZ est plus petit que le rapport de KE à LG. La droite IK coupe donc selon un rapport plus grand que le rapport de EQàGZ.

Les droites proches du point E coupent donc selon des rapports plus grands que les rapports des droites qui en sont éloignées l6 . Ce problème a donc été établi de toutes les façons. Montrons alors également combien de synthèses sont engendrées, de toutes les façons, dans ce problème. Que ce que nous avons indiqué soit en l'état; menons la droite El. Le rapport donné ou bien est plus petit que le rapport de El à lM, ou bien lui est égal, ou bien est plus grand que lui.

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i. e. que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées.

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108

Apollonius: La section des droites selon des rapports Q) A

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Fig. 7

Si le rapport donné est plus petit que le rapport de El à lM, la synthèse du problème se fait alors de deux manières, [B-SV] la première et la deuxième, et il n'est pas possible de la faire de la troisième manière, puisque le rapport donné n'est pas plus grand que le rapport de El à lM. S'il est égal au rapport de El à lM, la synthèse du problème se fait de la deuxième manière et il n'est pas possible de la faire de la prenùère manière, puisqu'il n'est pas plus petit que le rapport de El à lM, ni non plus de la troisième manière, puisqu'il n'est pas plus grand que le rapport de El à lM. S'il est plus grand que le rapport de El à lM, la synthèse du problème se fait de deux manières, la troisième et la deuxième, et il n'est pas possible de la faire de la prenùère manière puisqu'il n'est pas plus petit que le rapport de lE à lM.

Deuxième lieu

Que le point connu, le point l, soit intérieur aux deux angles BEG et EGD. Les droites menées du point 1 qui découpent des droites - adjacentes aux deux points E et G - telles que le rapport des unes aux autres soit égal au rapport donné sont selon trois cas de figure: elles découpent ou bien les deux droites EB et GD, ou bien les deux droites EA et GD, ou bien les deux droites EB et GC

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110

Apollonius: La section des droites selon des rapports

2.1. Première incidence du deuxième lieu A

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Fig. 8

Que l'incidence de la droite menée de la première manière, la droite KL, soit telle qu'elle découpe EB et GD selon le rapport de EK à GL qui est égal au rapport donné. Joignons El et prolongeons-la jusqu'en M, la droite EM est alors de position donnée; or la droite CD est de position donnée, le point M est donc connu et le rapport de El à lM est donné. [IAr] Mais le rapport de El à lM est égal au rapport de EK à ML et le rapport de EK à LG est donné; donc, par l'égalité, le rapport de GL à ML est donné. Si nous composons, le rapport de GM à ML est donné 17 ; mais la droite GM est donnée, la droite ML est donc donnée et de position donnée. Mais le point [B-6 r ] M est de position donnée, le point L est donc de position donnée; le point 1 est également de position donnée, la droite KIL est donc de position donnée. Puisque les deux droites GL et LM peuvent être égales, ou bien que l'une d'elles peut être plus grande que l'autre, le rapport est sans discussion. La synthèse de ce problème, si l'on fixe ce que nous avons indiqué en l'état, se fait ainsi. Joignons El et prolongeons-la jusqu'au point M. Le rapport donné est le rapport de n à sa. Que le rapport de El à lM soit égal au rapport de n à PS et le rapport de PS à OS égal au rapport de ML à GL. Joignons LI et prolongeons-la; je dis que la droite LK achève le problème. E

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112

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Puisque le rapport de El à lM, c'est-à-dire le rapport de EK à LM, est égal au rapport de n à PS, le rapport de EK à LM est égal au rapport de n à PS; mais le rapport de LM à LG est égal au rapport de PS à 50, car il en est ainsi dans la synthèse; donc, par l'égalité, le rapport de EK à GL est égal au rapport de n à 50. La droite KL achève donc le problème. Je dis que c'est la seule. S'il est possible qu'il en soit autrement, menons alors une autre droite, la droite QIZ. Puisque la droite EK est plus grande que la droite QE et que la droite GL est plus petite que la droite GZ, le rapport de EK à GL est plus grand que le rapport de EQ à GZ. La droite LK coupe donc selon un rapport plus grand que le rapport selon lequel coupe la droite QZ C'est pourquoi les droites proches du point G coupent selon des rapports plus grands que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées.

2.2. Deuxième incidence du deuxième lieu A

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Fig. 10

Menons également la droite KL de la deuxième manière, telle qu'elle découpe les droites EA et GD selon le rapport de EK à GL, qui est égal au rapport donné. Joignons El et prolongeons-la. La droite EM est alors de position donnée, ainsi que la droite CD, et le point M [B-6 V ] est de position donnée; le rapport de El à lM est donc donné. Mais le rapport de El à lM est égal au rapport de KE à ML et le rapport de EK à GL est donné, le rapport de GL à ML est donc donné. Si nous séparons, le rapport de GM à ML est donné; mais la droite [I-4 V ] GM est donnée, la droite ML est donc aussi donnée et de position donnée; or le point M est donné, le point L est donc donné; le point 1 est de position donnée, la droite KL est donc de position donnée.

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114

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Puisque la droite GL est plus grande que la droite LM, le rapport de EK à LM, c'est-à-dire le rapport de El à lM, est plus grand que le rapport de la droite EK à la droite GL ; mais le rapport de EK à GL est égal au rapport donné, il est donc nécessaire que le rapport donné dans la synthèse soit plus petit que le rapport de El à lM. La synthèse du problème, si l'on fixe ce qui précède en l'état et si le rapport donné est le rapport de n à SO, plus petit que le rapport de El à lM, se fait ainsi. Posons le rapport de El à lM égal au rapport de n à PO et le rapport de S 0 à PO égal au rapport de G L à ML. Joignons LI et prolongeons-la; je dis que la droite LK achève le problème. Puisque le rapport de El à lM, c'est-à-dire le rapport de EK à ML, est égal au rapport de n à PO et que le rapport de ML à LG est égal au rapport de PO à OS, par l'égalité, le rapport de EK à LG est égal au rapport de n à SO ; la droite KL achève donc le problème. Q

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Je dis que c'est la seule. S'il était possible qu'il y en ait une autre, que l'on mène alors une autre droite, QZ. Puisque la droite LG est plus grande que la droite LM, le rapport de ZL à LG est plus petit que son rapport à la droite LM ; si nous composons, le rapport de ZG à GL est plus petit que le rapport de ZM à ML ; mais le rapport de ZM à ML est égal au rapport de QE à EK, le rapport de GZ à GL est donc plus petit [B-7r ] que le rapport de QE à EK ; par permutation, le rapport de GZ à QE est plus petit que le rapport de GL à EK. La droite KL seule achève donc le problème. Il est clair que les droites proches du point G coupent selon des rapports plus grands que les droites qui en sont éloignées.

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116

Apollonius: La section des droites selon des rapports

2.3. Troisième incidence du deuxième lieu E

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Fig. 12

Menons également la droite KL de la troisième manière, telle qu'elle découpe les droites EB et GC selon le rapport de EK à GL qui est égal au rapport donné. Joignons El et prolongeons-la, la droite EM est alors de position donnée, mais la droite CD est également de position donnée, le point M est donc donné. Les deux points E et 1 sont donnés, le rapport de El à lM est donc donné; or le rapport de lE à lM est égal au rapport de EK à LM, le rapport de EK à LM est donc donné. Mais le rapport de EK à GL est donné, le rapport de ML à LG est donc donné; si nous séparons, le rapport de MG à LG est donné; mais la droite MG est donnée, la droite [16 r ] G L est donc aussi donnée et de position donnée; or le point G est donné, le point L est donc donné; le point 1 est également donné, la droite KL est donc de position donnée. Puisque la droite LG est plus petite que la droite LM, le rapport de EK à GL est plus grand que le rapport de EK à LM; mais le rapport de EK à LM est égal au rapport de El à lM, le rapport de EK à GL est donc plus grand que le rapport de El à lM ; or le rapport de EK à GL est égal au rapport donné, il est donc nécessaire que le rapport donné dans la synthèse soit plus grand que le rapport de El à lM. La synthèse de ce problème, la figure étant fixée en l'état, se fait ainsi. Que le rapport donné soit le rapport de n à SO, plus grand que le

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118

Apollonius: La section des droites selon des rapports

rapport de El à lM, et que le rapport de El à lM soit égal au rapport de n à PO [B-7 V ] et le rapport de PS à sa égal au rapport de MG à GL. Joignons LI et prolongeons-la; je dis que la droite LK achève le problème. Puisque le rapport de MG à GL est égal au rapport de PS à alors, si nous composons, le rapport de ML à GL est égal au rapport de PO à En outre, puisque le rapport de El à lM - c'est-à-dire le rapport de EK à LM - est égal au rapport de n à PO et que le rapport de ML à GL est égal au rapport de PO à OS, alors, par l'égalité, le rapport de EK à LG est égal au rapport de n à sa ; la droite KL achève donc le problème.

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Apollonius: La section des droites selon des rapports A

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Fig. 14

Si le rapport donné est égal au rapport de El à lM, [I-6 V ] la synthèse du problème se fait alors selon une seule notion 18 - de la première manière; elle ne se fait pas de la deuxième manière, puisque le rapport n'est pas plus petit que le rapport de El à lM, ni de la troisième manière, puisqu'il n'est pas plus grand que le rapport de El à lM. S'il est plus petit, la synthèse du problème se fait selon deux notions - de la première manière et de la deuxième manière - et ne se fait pas de la troisième manière, puisque le rapport n'est pas plus grand que le rapport de ElàlM. Si le rapport donné est plus grand que le rapport de El à lM, la synthèse du problème se fait selon deux notions - de la première et de la troisième manière - et il n'est pas possible de la faire de la deuxième manière, puisque le rapport donné n'est pas plus petit que le rapport de El à lM.

Troisième lieu Que les deux droites de position donnée, données au début, les droites AB et CD, se coupent l'une l'autre au point E et qu'elles se terminent d'abord en un point unique, le point E. Le point donné tombe soit à l'intérieur de l'angle D EB, soit à l'intérieur des angles restants et la règle pour tous les angles est la règle pour l'angle DEB. Qu'il tombe donc à l'intérieur de l'angle DEB, c'est le point G 19 • Les droites menées du point G qui découpent des droites - adjacentes au point E - telles que le rapport des unes aux autres soit égal au rapport donné, sont selon trois cas de figure: elles découpent ou bien les droites AE et ED, ou bien CE et EB, ou bien BE etED.

18 C'est-à-dire la synthèse du problème se fait d'une seule façon, l'unique façon de la troisième incidence (voir note complémentaire 7). 19 Changement de notations.

121

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122

Apollonius: La section des droites selon des rapports

3.1. Première incidence du troisième lieu o G

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c Fig. 15

Que l'on mène d'abord une droite, la droite GH, de la première manière, telle qu'elle découpe les droites AE et ED selon le rapport de HE à El égal au rapport donné 20 • Menons par le point G une droite parallèle à la droite ED, [B-8 V ] soit GK, la droite GK est alors de position donnée; mais la droite AB est de position donnée, le point K est donc de position donnée. Mais, puisque le rapport de lE à EH est donné, le rapport de GK à KH est donné; or GK est donnée, KH est donc donnée et de position donnée; mais le point K est donné, le point H est donc donné; or le point G est également donné; la droite HG est donc de position donnée. Il est bien clair que le rapport donné 21 se trouve être plus petit que le rapport de GK à KE. o G

B

A N

E

H

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K

c Fig. 16

La synthèse du problème se fait ainsi: fixons la figure en l'état et menons la droite GK parallèlement à la droite DE. Que le rapport donné soit 20 Inversion du rapport, c'est le rapport de El à EH qui est donné (voir le diorisme et la synthèse). 21 Il s'agit du rapport de El à EH.

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124

Apollonius: La section des droites selon des rapports

plus petit que le rapport de GK à KE, c'est le rapport de là m ; que le rapport de [I-7 r ] là m soit égal au rapport de GK à KR. Joignons la droite HG; je dis que la droite HG achève le problème. Puisque le rapport de GK à KH est égal au rapport de lE à EH et au rapport de l à m, le rapport de lE à EH est égal au rapport de là m ; la droite HG achève donc le problème. Je dis que c'est la seule. S'il était possible qu'il en soit autrement, que l'on mène alors une autre droite, GN. Puisque la droite KH est plus petite que la droite KN, le rapport de GK à KH est plus grand que le rapport de GK à KN; mais le rapport de GK à KH est égal au rapport de lE à EH et le rapport de GK à KN est égal au rapport de SE à EN, le rapport de lE à EH est donc plus grand que le rapport de SE à EN, les rapports ne sont donc pas égaux et GN ne sépare donc pas selon un rapport égal au rapport donné; on a ainsi montré que ni elle, ni aucune autre droite que GH, n'achève le problème; la droite GH seule achève donc le problème. On a montré que les droites proches du point E coupent toujours selon des rapports plus grands [B-9 r ] que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées.

3.2. Deuxième incidence du troisième lieu o G A

B

E K H

c Fig. 17

Menons une droite, soit GH, de la deuxième manière 22 , telle qu'elle découpe les droites CE et EB selon le rapport de HE à El égal au rapport donné. Menons par le point G une droite, soit GK, parallèle à la droite CD, la droite GK est alors de position donnée; mais la droite AB est de position

22

Changement de notations, interversion des points 1 et H.

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126

Apollonius: La section des droites selon des rapports

donnée, le point K est donc connu. Or le rapport de HE à El est donné, le rapport de GK à KI est donc donné; mais la droite GK est donnée, la droite KI est donc donnée et de position donnée; le point K est donné, le point 1 est donc également donné; mais le point G est donné, la droite GH est donc de position donnée. Il est bien clair que le rapport donné doit être plus grand que le rapport de GK à KE. D

G m A

B H

N

c Fig. 18

La synthèse du problème se fait ainsi: les choses sont en l'état et le rapport donné est plus grand que le rapport de GK à KE, c'est le rapport de 1 à m. Posons le rapport de 1 à m égal au rapport de KG à KI. Joignons GI et prolongeons-la jusqu'en H; je dis que GH seule achève le problème. Puisque le rapport de G K à KI est égal au rapport de HE à El et au rapport de 1 à m, le rapport de HE à El est égal au rapport de 1 à m ; la droite GH achève donc le problème. Je dis que c'est la seule. S'il était possible qu'il Y en ait une autre, que l'on mène alors une autre droite, GN. Puisque la droite KS est plus petite que la droite KI, le rapport de GK à KS est plus grand que le rapport de GK à KI; [I-7 V ] or le rapport de GK à KS est égal au rapport de NE à ES et le rapport de GK à KI est égal au rapport de EH à El; le rapport de NE à ES est donc plus grand que le rapport de HE à El, il n'est donc pas égal au rapport donné et la droite GN n'achève pas le problème. On a ainsi montré que ni elle ni aucune autre droite que GH n'achève le problème.

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15

128

Apollonius: La section des droites selon des rapports

On a montré que les droites proches du point [B-9 V ] E coupent toujours selon des rapports inférieurs aux rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées. 3.3. Troisième incidence du troisième lieu D

B

A

c Fig. 19

Menons également une droite, soit RI, de la troisième manière, telle qu'elle découpe les droites BE et ED selon le rapport de RE à El égal au rapport donné. Menons la droite GK parallèlement à la droite CD, la droite G K est alors de position donnée; mais la droite EB est de position donnée, le point K est donc donné. Or le rapport de RE à El est donné, le rapport de GK à KI est donc donné; mais la droite GK est donnée, la droite KI est donc donnée et de position donnée; mais le point K est de position donnée, le point 1 est donc de position donnée; or le point G est de position donnée, la droite IR est donc de position donnée. Le rapport est sans discussion, puisque KE est égale à KI, ou plus grande qu'elle, ou plus petite qu'elle. La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état jusqu'au parallélisme. Le rapport donné est le rapport de 1 à m ; posons 1 à m un rapport égal au rapport de G K à KI. Joignons IG et prolongeons-la jusqu'en R ; je dis que IR seule achève le problème.

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130

Apollonius: La section des droites selon des rapports D

B

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c Fig. 20

Puisque le rapport de GK à KI est égal au rapport de l à m, le rapport de HE à El est égal au rapport de l à m, la droite IH achève donc le problème. Je dis que c'est la seule. S'il était possible qu'il en soit autrement, que l'on mène alors une autre droite, soit NS. Puisque la droite NE est plus grande que la droite EH et que la droite ES est plus petite que la droite El, le rapport de NE [B-lOr] à ES est plus grand que le rapport de HE à El, il n'y a donc pas égalité. On démontre de même qu'aucune autre droite que la droite IH n'achève le problème. On a montré que les droites proches du point E, du côté de la droite CD, séparent des rapports plus petits que les rapports que séparent les droites qui en sont éloignées. Étant donné que nous avons montré la tenue du problème de toutes les manières, il nous reste à montrer de combien de manières se fait la synthèse de ce problème dans tous les cas de figure. Fixons donc ce que nous avons indiqué en l'état et menons parallèlement23 la droite GK. Le rapport [1 -sr] donné est alors soit plus petit que le rapport de GK à KE, soit plus grand, soit il lui est égal. Si le rapport donné est plus petit que le rapport de GK à KE, la synthèse du problème se fait de deux manières, la première et la troisième, et il n'est pas possible de la faire de la deuxième manière, car n'est pas plus grand que le rapport de GK à KE.

23

C'est-à-dire parallèlement à la droite (CD).

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132

Apollonius: La section des droites selon des rapports D

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c Fig. 21

S'il est plus grand que le rapport de GK à KE, la synthèse du problème se fait de deux manières, la deuxième et la troisième, il n'est pas possible de la faire de la prerrlière manière, car n'est pas plus petit que le rapport de GK à KE. S'il est égal au rapport de GK à KE, alors la synthèse du problème se fait d'une seule manière, la troisième, et il n'est pas possible de la faire de la prerrlière, car n'est pas plus petit que le rapport de GK à KE, ni de la deuxième, car il n'est pas plus grand que le rapport de GK à KE. Que les droites AB et CD se coupent l'une l'autre au point E, que la droite [B-l aV] AB aboutisse au point G et la droite CD au point E. Le point donné est alors soit intérieur à l'angle DEB, soit intérieur à l'angle AED, soit dans ce qui les suit comme positions.

Quatrième lieu Qu'il soit d'abord à l'intérieur de l'angle DEB, c'est le point H, et que les droites qui sont menées du point H séparent des droites - adjacentes aux deux points E et G - selon le rapport donné; cela se fait alors selon quatre cas de figure: elles découpent ou bien les droites ED et GA, ou bien ED et GE, ou bien EC et GB, ou bien ED et GB 24 .

24

Il serait plus exact de dire ED et EB pour distinguer ce cas du deuxième.

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15

134

Apollonius: La section des droites selon des rapports

4.1. Première incidence du quatrième lieu D

H

B

A

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G

c Fig. 22

Menons donc la droite HI de la première manière, telle qu'elle découpe les droites ED et AG selon le rapport de EK à Gl égal au rapport donné. Menons la droite HL parallèlement à la droite DE, le point L est alors donné 25 . Posons le rapport de EK à Gl égal au rapport de LH à GA ; puisque le rapport de LH à A G est donné et que la droite LH est donnée, GA est également donnée et de position donnée; mais le point G est donné, le point A est donc donné ainsi que le point L, la droite LA est donc donnée. Puisque le rapport de LH à GA est égal au rapport de EK à Gl, alors, si nous permutons, le rapport de LH à EK est égal au rapport de AG à Gl. Or le rapport de LH à EK est égal au rapport de LI à lE, le rapport de LI à lE est donc égal au rapport de AG à Gl. Si nous convertissons, le rapport de IL à LE est égal au rapport de GA à AP6, ce qui résulte du produit de AG par EL est donc égal à ce qui résulte du produit de LI par lA. Or ce qui résulte du produit de A G par EL est donné, donc ce qui résulte du produit de LI par lA est donné. On a appliqué à une droite donnée, la droite AL, une surface égale à une surface donnée, défaillant d'un carré, chacune des <deux droites> [I-8 V ] AI et IL est donc donnée et le point 1 est donné; mais le point H est donné, la droite lH est donc donnée.

25

Changement de notations. < IL donc Gl < GA et 1 E [GA] c [AL].

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15

136

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Montrons que cette application existe et est possible: il nous faut donc, dans la synthèse, appliquer à la droite LA une surface - tenant lieu de la surface de LI par lA 27 - égale à la surface de LE par GA et défaillant de la droite entière d'un carré; cela est possible car la surface de LG par GA est plus grande que la surface de LE par GA 28 • La synthèse de ce problème se fait ainsi: [B-ll f] fixons donc ce que nous avons indiqué en l'état jusqu'au parallélisme de HL. Que le rapport donné soit le rapport de m à n. Posons le rapport de LH à GA égal au rapport de m à n et appliquons à la droite AL une surface égale à la surface de AG par EL, défaillant d'un carré, c'est la surface de LI par IA 29 ; joignons IH ; je dis que la droite IH, seule, achève le problème, c'est-à-dire que le rapport de m à n est égal au rapport de KE à GI. D

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B A

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Fig. 23

Puisque la surface de LI par lA est égale à la surface de AG par EL, le rapport de IL à LE est égal au rapport de GA à AI. Si nous convertissons, le rapport de LI à lE est égal au rapport de AG à GI. Or le rapport de LI à lE est égal au rapport de LH à EK, le rapport de LH à EK est donc égal au rapport de AG à GI. Si nous permutons, le rapport de LH à GA est égal au rapport de EK à GI ; or le rapport de LH à GA avait été posé égal au rapport de m à n, donc le rapport de EK à GI est égal au rapport de m à n, la droite IH achève donc le problème. 27 Nous avons choisi, dans ce contexte, de traduire sa!/:! par surface, même si l'expression « surface de LI par lA» qui vient en lieu et place de l'expression précédemment utilisée « ce qui résulte du produit de LI par lA » désigne en fait, ici et dans toutes les occurrences semblables, le rectangle de côtés respectifs LI et lA. 2

28

LE· GA
E

[LA] ; l'application est donc possible.

On trouve en marge dans le manuscrit l la remarque suivante, écrite d'une autre main: « il faut, pour que l'injonction soit possible, que ce que l'on applique ne soit pas plus grand que le carré de la moitié de ce sur quoi on l'applique. » 29 Puisque GL . GA > LE . GA = IL . lA, alors G est plus proche du milieu de [LA] que l, donc un et un seul des deux points 1 de [LA] vérifiant la relation LE . GA = IL· lA appartient à [GA].

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138

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Je dis que c'est la seule. S'il était possible qu'il en soit autrement, que l'on mène alors une autre droite, la droite HS. Puisque la surface de LC par CA est plus grande que la surface de LI par lA, la surface de LI par lA est plus grande que la surface de LS par SA 30; mais la surface de LI par lA est égale à la surface de AC par EL, la surface de AC par EL est donc plus grande que la surface de LS par SA, le rapport de SL à LE est donc plus petit que le rapport de CA à AS ; si nous convertissons, le rapport de LS à SE est plus grand que le rapport de AC à CS. Or le rapport de LS à SE est égal au rapport de LH à EU, donc le rapport de LH à EU est plus grand que le rapport de AC à CS. Si nous permutons, le rapport de LH à CA est plus grand que le rapport de EU à CS. Or le rapport de LH à CA est égal au rapport de m à n, donc le rapport de m à n est plus grand que le rapport de EU à CS 31 • On a montré que les droites proches du point E coupent selon des rapports plus grands que [B-11 V] les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées. 4.2. Deuxième incidence du quatrième lieu o H

A

B

G

M

c Fig. 24

Menons une droite, HI, de la deuxième manière, [I-9 r ] telle qu'elle découpe les droites ED et CE selon le rapport de CI à EK égal au rapport donné 32 . Menons parallèlement33 la droite HL, le point L est alors donné. Posons le rapport de EK à CI égal au rapport de HL à CM ; la droite HL est donnée, la droite CM est donc donnée et de position donnée; mais le

On suppose implicitement que S E [lA]. On a implicitement supposé dans cette démonstration que Gl < GS < GA. Il en va encore ainsi si GS> GA, la démonstration en est élémentaire. 32 Inversion du rapport. 33 i. e. parallèlement à la droite (CD). 30 31

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15

140

Apollonius: La section des droites selon des rapports

point G est donné, le point M est donc donné 34 . Puisque le rapport de LH à GM est égal au rapport de EK à GI, alors, si nous permutons, le rapport de LH à EK est égal au rapport de GM à GI ; or le rapport de LH à EK est égal au rapport de LI à lE, le rapport de GM à GI est donc égal au rapport de LI à lE. Si nous convertissons, le rapport de MG à lM est égal au rapport de IL à LE35 , la surface de GM par EL est donc égale à la surface de LI par lM. Or la surface de GM par EL est donnée, la surface de LI par lM est donc donnée et on l'a appliquée à une droite donnée, la droite ML, excédant d'un carré; le point 1 est donc donné; mais le point H est donné, la droite HI est donc de position donnée. La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons donc ce que nous avons indiqué [B-12 r ] en l'état jusqu'au parallélisme et que le rapport donné soit le rapport de n à s. Posons le rapport de HL à GM égal au rapport de n à S et appliquons à la droite ML une surface égale à la surface de GM par LE, excédant d'un carré; c'est la surface de LI par lM. Puisque la surface de LE par GM a été appliquée à la droite LM excédant d'un carré et que la surface de LG par GM est plus grande que la surface de LE par GM, la surface égale à la surface de LE par GM, lorsqu'elle a été appliquée excédant d'un carré, n'est pas la surface de LG par GM ; que ce soit la surface de LI par IM 36 . Menons la droite IH, je dis que la droite IH achève le problème. 0

H

G

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0

B

M

1"

c Fig. 25

Puisque la surface de LI par lM est égale à la surface de GM par EL, le rapport de IL à LE est égal au rapport de GM à MI. Si nous convertissons, le rapport de LI à lE est égal au rapport de MG à GI. Or le rapport de LI à On suppose implicitement que M E [GB). IL > lE donc GM > GI et 1 ~ [LM]. 36 Il faut en outre vérifier que l'unique point 1 E [MA) (\ [LA) que l'on construit ainsi appartient au segment [EG]. Ceci est élémentaire si GM:S; GE ; et si GM> GE, LG . GM > LE . GM = IL . lM > LE· ME, donc 1 E [GE]. 34

35

141

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15

142

Apollonius: La section des droites selon des rapports

lE est égal au rapport de LH à EK, le rapport de LH à EK est donc égal au rapport de MG à GI. Si nous permutons, le rapport de LH à GM est égal au rapport de EK à GI; or le rapport de LH à GM est égal au rapport de n à s, donc le rapport de EK à GI est égal au rapport de n à s, la droite IH achève donc le problème.

Je dis que c'est la seule. S'il n'en était pas ainsi, que l'on mène alors une autre droite, HPO ; puisque la droite PE est plus grande que la droite EK et que la droite GO est plus petite que la droite GI, le rapport de la droite PE à la droite GO est plus grand que le rapport de EK à GI, la droite HI seule achève donc le problème. On a montré que les droites proches du point E coupent selon des rapports plus petits que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées. 4.3. Troisième incidence du quatrième lieu D

H

A

G

B

M L

c Fig. 26

Menons donc une droite, la droite LH, de la troisième manière 37 , telle qu'elle découpe les droites EC et GB selon le rapport de LE à IG égal au rapport donné. Menons par le point H une droite parallèle à la droite CD, la droite HK. Il est clair que la droite HK est donnée et que le point K est donné. Posons le rapport de KH à GM [I-9 V ] égal au rapport de LE à IG ; puisque le rapport de LE à IG est donné et qu'il est égal au rapport de KH à

37

Changement de notations, interversion des points Let K.

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15

144

Apollonius: La section des droites selon des rapports

GM, le rapport de KH à GM est donné; mais la droite KH est donnée, la droite GM est donc donnée et de position donnée; or le point [B-12 V] G est donné, le point M est donc donné 38 ; mais le point K est donné, la droite KM est donc donnée. Puisque le rapport de KH à GM est égal au rapport de LE à GI et que, si nous permutons, le rapport de KH à LE est égal au rapport de MG à GI, mais que le rapport de KH à LE est égal au rapport de KI à lE, alors le rapport de KI à lE est égal au rapport de MG à GI. Si nous composons, le rapport de KE à El est égal au rapport de MI à IG ; si nous convertissons, le rapport de EK à KI est égal au rapport de lM à MG, la surface de KE par MG est donc égale à la surface de MI par IK. Or la surface de KE par GM est donnée, car chacune de ses deux droites est donnée, la surface de MI par IK est donc également donnée et on l'a appliquée à la droite connue MK, défaillant d'un carré. Le point 1 est donc connu et on sait qu'il tombe entre les deux points E et K, puisque la surface de ME par EK est plus grande que la surface de MG par EK39 . Mais le point H est connu, la droite HL est donc de position donnée.

La synthèse du problème, les choses étant fixées en l'état jusqu'à l'endroit du parallélisme, se fait ainsi. Que le rapport donné soit le rapport de n à s ; posons le rapport de HK à GM égal au rapport de n à s et appliquons à MK une surface égale à la surface de KE par GM, défaillant d'un carré; c'est la surface de MI par IK. Joignons IH et prolongeons-la; je dis que la droite HL achève le problème, c'est-à-dire qu'elle coupe selon le rapport de LE à GI égal au rapport de n à s. D

H G

M

A

B

1"

0

L

c Fig. 27 38

39

On suppose implicitement que M E [GA). Pour qu'il existe 1 E [MK], tel que MG . EK = IK . lM, il est nécessaire que: KM 2

MG· E K :<:; -

4

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or MG < ME, donc MG· E K < ME· E K :<:; -KM 4

2

puisque

E E [KM] ; E est alors plus proche du milieu de [KM] que les points 1 de [KM] vérifiant la relation MG . EK = IK . lM ; il existe donc un point 1 et un seul appartenant à [EK] et tel que MG . EK = IK . lM.

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146

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Puisque la surface de KE par GM est égale à la surface de MI par lK, le rapport de EK à KI est égal au rapport de MI à MG. Si nous convertissons, le rapport de KE à El est égal au rapport de lM à lG. Si nous séparons, le rapport de KI à El, qui est égal au rapport de KH à LE, est égal au rapport de MG à Gl. Si nous permutons, le rapport de KH à MG est égal au rapport de LE [B-13 r ] à Gl ; mais le rapport de KH à GM est égal au rapport de n à s, le rapport de n à s est donc égal au rapport de LE à Gl, la droite LH achève donc le problème. Je dis que c'est la seule. S'il n'en était pas ainsi, que l'on mène alors une autre droite, la droite HO. Si la droite HO coupait selon un rapport égal au rapport donné - qui est égal au rapport de n à s -, le rapport de LE à Gl serait égal au rapport de OE à GP ; mais le rapport de LE à Gl est égal au rapport de KH à GM, le rapport de KH à GM serait donc égal au rapport de OE à GP. [coupure 1-9 V] Si nous permutions, le rapport de KH à OE serait égal au rapport de MG à GP ; mais le rapport de KH à OE est égal au rapport de KP à PE, le rapport de KP à PE serait donc égal au rapport de MG à G P. Si nous composions, le rapport de KE à EP serait égal au rapport de MP à PG. Si nous convertissions, le rapport de EK à KP serait égal au rapport de PM à MG, la surface de KE par GM serait donc égale à la surface de PM par PK; mais la surface de MI par lK est égale à la surface de KE par GM, la surface de lM par lK serait donc égale à la surface de MP par PK; cela est absurde et impossible 4o ; la droite LH, seule, achève donc le problème. Mais nous savons qu'elle coupe selon un rapport plus grand, montronsle ainsi: puisque la surface de MI par lK, c'est-à-dire la surface de EK par GM, est plus petite que la surface de MP par P K 41 , le rapport de EK à PK est plus petit que le rapport de MP à MG ; si nous convertissons, le rapport de KE à EP est plus grand que le rapport de MP à PG. Si nous séparons, le rapport de KP à PE est plus grand que le rapport de GM à PG ; or le rapport de KP à PE est égal au rapport de KH à OE, le rapport de KH à OE est donc plus grand que le rapport de MG à GP. Si nous permutons, le rapport de KH à MG est plus grand que le rapport de OE à GP. Mais le

Voir la note précédente. Cette démonstration d'unicité fait double emploi avec l'étude des variations du rapport EL qui lui fait suite (il en va de même dans les cas 4.4, 40

GI

5.1, et 5.2). 41 On suppose implicitement que P [KM] que 1 et PK· PM> IK· lM.

E

[El], P est alors plus proche du milieu de

147

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20

148

Apollonius: La section des droites selon des rapports

rapport de KH à GM est égal au rapport de LE à GI, le rapport de LE à GI est donc plus grand que le rapport de OE à GP, la droite LH coupe donc selon un rapport plus grand que le rapport selon lequel coupe la droite OH. On a ainsi montré que les droites proches du point E coupent selon des rapports plus petits que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées.

4.4. Quatrième incidence du quatrième lieu D

A

G

B

M

c Fig. 28

Menons donc une droite, la droite KI, de la quatrième manière, telle qu'elle découpe [B-13 V] les droites ED et GB selon un rapport égal au rapport donné, qui est le rapport de El à KG 42 . Menons une droite parallèle à la droite CD, soit HL ; la droite HL est donc donnée et de position donnée, le point L est donc connu. Puisque le rapport de El à KG est donné - et que nous posons le rapport de LH à GM égal à lui - le rapport de LH à MG est alors donné; or la droite LH est donnée et de position donnée, le point G est connu, le point M est donc également connu 43 ; mais le point L est connu, la droite ML est donc connue. Puisque le rapport de El à KG est égal au rapport de LH à GM, alors, si nous permutons, le rapport de El à LH - qui est égal au rapport de EK à KL - est égal au rapport de KG à GM. Si nous séparons, le rapport de EL à LK est égal au rapport de KM à MG 44 , la surface de LE par MG est donc égale à la surface de MK par KL. Or la surface de LE par MG est donnée, la surface de M K par KL est donc donnée et on l'a appliquée à une droite connue, la droite ML, excédant d'un

Changement de notations. On suppose implicitement que M E [GE). 44 EK > LK, donc GK> GM et K E [ME) Il [LB). 42 43

149

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15

150

Apollonius: La section des droites selon des rapports

carré; le point K est donc connu; mais le point H est connu, la droite KI est donc de position donnée. C'est ce que nous voulions démontrer45 . [B-14r ] La synthèse du problème se fait ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle. Que le rapport donné soit le rapport de n à s et posons le rapport de HL à GM égal au rapport de n à s ; appliquons à la droite ML une surface égale à la surface de LE par MG, excédant d'un carré, c'est la surface de MK par KL 46 • Joignons HK et prolongeons-la; je dis que la droite IK achève le problème, c'est-à-dire qu'elle coupe selon le rapport de El à GK égal au rapport de n à s.

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B

A

6

K

Fig. 29

Puisque la surface de LE par GM est égale à la surface de MK par KL, le rapport de EL à LK est égal au rapport de KM à MG. Si nous composons, le rapport de EK à KL est égal au rapport de KG à GM ; mais le rapport de EK à KL est égal au rapport de El à LH, le rapport de El à LH est donc égal au rapport de KG à GM. Si nous permutons, le rapport de El à GK est égal au rapport de LH à GM ; mais le rapport de LH à GM est égal au rapport de n à s, le rapport de n à s est donc égal au rapport de El à GK, la droite IK achève donc le problème. Je dis que c'est la seule. S'il est possible qu'il en soit autrement, menons alors une autre droite, la droite OP. Si la droite OP coupait selon un rapport égal au rapport de n à s, le rapport de EO à GP serait égal au rapport de El à GK. Or le rapport de El à GK est égal au rapport de LH à GM, le rapport de EO à GP serait donc au rapport de LH à GM. Si nous

45

46

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152

Apollonius: La section des droites selon des rapports

permutions, le rapport de EO à LH serait égal au rapport de PG à GM ; mais le rapport de EO à LH est égal au rapport de EP à PL, le rapport de EP à PL serait donc égal au rapport de PG à GM ; si nous séparions, le rapport de EL à LP serait égal au rapport de MP à MG 47 , la surface de LE par MG serait donc égale à la surface de MP par PL; or la surface de LE par MG est égale à la surface de MK par KL, la surface de MK par KL serait donc égale à la surface de MP par PL, et cela est du domaine de [B-14 V ] l'impossible48 ; la droite KI, seule, achève donc le problème. Mais nous savons qu' elle49 coupe selon un rapport plus petit, montronsle ainsi: puisque la surface de MK par KL, c'est-à-dire la surface de LE par MG, est plus grande que la surface de MP par PL so , le rapport de EL à LP est plus grand que le rapport de MP à MG. Si nous composons, le rapport de EP à PL est plus grand que le rapport de PG à GM. Or le rapport de EP à PL est égal au rapport de EO à LH, le rapport de EO à LH est donc plus grand que le rapport de PG à GM. Si nous permutons, le rapport de EO à PG est plus grand que le rapport de LH à GM. Or le rapport de LH à GM est égal au rapport de El à KG, le rapport de EO à GP est donc plus grand que le rapport de El à KG. C'est pourquoi la droite KI coupe selon un rapport plus petit que le rapport selon lequel coupe la droite 0 pSI. On a ainsi montré que les droites proches du point E 52 coupent selon des rapports plus petits que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées. C'est ce que nous voulions démontrer. Le problème est donc possible dans tous les cas de figure et on en fait la synthèse dans chaque cas d'une seule façon, car tous ces cas sont sans discussion. Cinquième lieu

Que le point donné soit intérieur à l'angle CEA, c'est le point H. Menons par le point H une droite parallèle à la droite AB ; puisque le point G tombe soit au-dessus, soit au-dessous 53 , soit sur la droite parallèle, qu'il tombe d'abord sur celle-ci. Les droites menées du point H le sont de trois 47 48

On suppose implicitement que GP> GM. En effet, il existe un unique point K E [LB) n [M B) tel que KM . KL =

EL· GM. 49

i. e. la droite (KI). On suppose implicitement que, si GM < GL, P

E [KL], et que, si GM> GL, P E [KM]. SIOn pourrait également démontrer que, lorsque GM> GL et P E [ML], il en va encore ainsi; la démonstration en est élémentaire. 52 Sur la droite (CD). 53 Voir note complémentaire 8. 50

153

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154

Apollonius: La section des droites selon des rapports

manières, elles sont menées telles qu'elles découpent selon un rapport soit les droites CG et EA, soit les droites EG et EB, soit les droites EA et GD 54 • 5.1. Première incidence du cinquième lieu A K

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Fig. 30

Menons donc d'abord la droite IK de la première manière, telle qu'elle découpe les droites CG et EA selon le rapport de EK à GI égal au rapport donné. Que le rapport de GH à GL soit égal au rapport de [B-1Y] EK à GI, le rapport de HG à GL est alors donné; la droite GH est donnée, la droite GL est donc donnée; or le point G est donné, le point L est donc donné 55 et la droite GL est donnée et de position donnée. Puisque le rapport de EK à GI est égal au rapport de HG à GL, si nous permutons, le rapport de EK à GH est égal au rapport de IG à GL. Or le rapport de EK à GH est égal au rapport de El à IG, le rapport de El à IG est donc égal au rapport de IG à GL. Si nous séparons, le rapport de EG à IG est égal au rapport de IL à LG56 , la surface de EG par GL est donc égale à la surface de GI par IL. Or la surface de EG par GL est donnée, car chacune des deux est connue, la surface de GI par IL est donc également connue et on l'a appliquée à une droite connue, LG, excédant d'un carré; GI est donc connue; le point H est connu, la droite IK est donc de position donnée. La synthèse de ce problème, les choses étant fixées en l'état jusqu'à la droite parallèle, se fait ainsi. Que le rapport donné soit le rapport de m à n. Posons le rapport de HG à GL égal au rapport de m à n et appliquons à la droite GL une surface égale à la surface de EG par GL, excédant

Les droites (AB) et (CD) ont été interverties. On suppose implicitement que L E [GC). 56 El > GI, donc GI> GL et 1 E [LC).

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156

Apollonius: La section des droites selon des rapports

d'un carré; c'est la surface de GI par IL. Joignons IH et prolongeons-la; je dis que la droite IK achève le problème, c'est-à-dire que le rapport de m à n est égal au rapport de EK à GI. A

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Fig. 31

Puisque la surface de EG par GL est égale à la surface de GI par IL, le rapport de GE à IG est égal au rapport de IL à LG. Si nous composons, le rapport de El à IG est égal au rapport de GI à LG ; mais le rapport de El à IG est égal au rapport de EK à GH, le rapport de EK à GH est donc égal au rapport de IG à GL ; si nous permutons, le rapport de [B-15 V ] EK à IG est égal au rapport de HG à GL ; or le rapport de HG à GL est égal au rapport de m à n, le rapport de EK à GI est donc égal au rapport de m à n, la droite IK achève donc le problème. Je dis que c'est la seule. S'il était possible qu'il en soit autrement, que l'on mène alors une autre droite, la droite SO. Si SO coupait selon un rapport égal au rapport de m à n, le rapport de EK à GI serait égal au rapport de ES à GO ; mais le rapport de EK à GI est égal au rapport de HG à GL, le rapport de GH à GL serait donc égal au rapport de ES à GO. Si nous permutions, le rapport de ES à GH serait égal au rapport de OG à GL ; mais le rapport de ES à GH est égal au rapport de EO à GO, le rapport de EO à OG serait donc égal au rapport de OG à GL. Si nous séparions, le rapport de EG à GO serait égal au rapport de OL à GL 57 , la surface de EG par GL serait donc égale à la surface de GO par OL ; mais la surface de EG par GL est égale à la surface de GI par IL, la surface de GI par IL serait donc égale à la surface de GO par OL. Mais cela n'est pas possible 58 , la droite IK est donc celle qui achève le problème.

57 58

On suppose implicitement que GO > GL. Il existe un unique point K E [Le) tel que LI . GI = EG . GL.

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158

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Mais nous savons laquelle des deux droites coupe selon un rapport plus grand que le rapport donné: que la droite ES soit plus grande que la droite EK et que la droite IG soit plus grande que la droite GO, le rapport de ES à GO est alors plus grand que le rapport de EK à GI. La droite IK coupe donc selon un rapport plus petit que le rapport selon lequel coupe la droite OS59.

On a ainsi montré que les droites proches du point E 60 coupent selon des rapports plus petits que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées. 5.2. Deuxième incidence du cinquième lieu A

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B

Fig. 32

Menons donc également la droite HK de la deuxième manière, telle qu'elle découpe les droites EG et EB selon le rapport de KE à IG égal au rapport donné. Le rapport de KE à IG est alors donné et il est égal au rapport de HG à GL, le rapport de HG à GL est donc donné; la droite HG est donnée, la droite GL est donc donnée; or le point [B-l6'] G est donné, le point L est donc également donnë\ et la droite GL est donnée et de position donnée. Puisque le rapport de KE à GI est égal au rapport de HG à GL, si nous permutons, le rapport de KE à GH - c'est-à-dire le rapport de El à GI - est égal au rapport de IG à GL. Si nous composons, le rapport de EG à GI est égal au rapport de IL à LG, la surface de EG par GL est donc égale à la surface de LI par IG. Mais la surface de EG par GL est donnée, la surface de LI par IG est donc donnée et on l'a appliquée à une droite donnée, la droite LG, excédant d'un carré; le point l est donc donné et on sait qu'il tombe entre les points E et G62 ; le point H est donné, la droite HK est donc de position donnée. 59 On retrouve la même démonstration, sous une forme plus ou moins abrégée, à la fin des cas 5.2, 6.1, 6.3, 7.1 et 7.3. 60 Sur la droite (AB). 6\ On suppose implicitement que L E [Ge). 62 En effet: GL < EL donc GI' LI:= GL . GE < EL· GE et 1 E [GE].

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160

Apollonius: La section des droites selon des rapports

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons ce que nous avons indiqué en l'état jusqu'au parallélisme de la droite parallèle. Que le rapport donné soit le rapport de m à n et qu'il soit égal au rapport de HG à GL. Appliquons à la droite LG une surface égale à la surface de EG par GL, excédant d'un carré; c'est la surface de LI par 1G. J oignons HI et prolongeons-la; je dis que la droite HK achève le problème, c'est-à-dire que le rapport de KE à GI est égal au rapport de m à n. A

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Fig. 33

Puisque la surface de EG par GL est égale à la surface de LI par IG, sont proportionnelles: le rapport de EG à GI est égal au rapport de IL à GL. Si nous séparons, le rapport de El à IG est égal au rapport de IG à GL, c'est-à-dire que le rapport de KE à GH est égal au rapport de IG à GL ; si nous permutons, le rapport de KE à IG est égal au rapport de GH à GL ; mais le rapport de HG à GL est égal au rapport de m à n, le rapport de KE à GI est donc égal au rapport de m à n, la droite HK achève donc le problème. Je dis que c'est la seule. S'il était possible qu'il en soit autrement, [B-16 V] que l'on mène alors une autre droite, la droite HO; si la droite HO coupait selon un rapport égal au rapport de m à n, le rapport de KE à IG serait égal au rapport de EO à GS ; or le rapport de EK à IG est égal au rapport de HG à GL, le rapport de OE à SG serait donc égal au rapport de HG à GL. Si nous permutions, le rapport de EO à GH serait égal au rapport de SG à GL ; or le rapport de EO à GH est égal au rapport de ES à SG, le rapport de ES à SG serait donc égal au rapport de SG à GL. Si nous composions, le rapport de EG à SG serait égal au rapport de SL à GL, la surface de EG par GL serait donc égale à la surface de LS par SG ; cela n'est pas possible, car nous avions posé la surface de LI par IG égale à la surface de EG par GL63 ; la droite HK, seule, achève donc le problème. 63

1 est l'unique point de [CE] tel que Cl . LI = CL . CE.

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162

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Il est bien clair que cette droite est, elle, la droite maximale 64 : ce qui précède a montré que la droite KH coupe selon un rapport plus petit que le rapport selon lequel coupe la droite H0 65 . 5.3. Troisième incidence du cinquième lieu H

A

L

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G

K

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B

Fig. 34

Menons donc la droite HK de la troisième manière, telle qu'elle découpe les droites EA et GD selon le rapport de El à GK égal au rapport donné 66 ; le rapport de El à GK est alors donné, que le rapport de HG à GL lui soit égal; mais la droite GH est donnée, la droite GL est donc donnée; or le point G est donné, le point L est donc aussi donnë 7 et la droite GL est donnée et de position donnée. Puisque le rapport de El à G K est égal au rapport de HG à GL, si nous permutons, le rapport de El à GH est égal au rapport de KG à GL. Mais le rapport de El [B-17 r ] à GH est égal au rapport de EK à KG, le rapport de EK à KG est donc égal au rapport de KG à GL. Si nous inversons et convertissons, le rapport de KG à GE est égal au rapport de GL à L~8, la surface de LG par GE est donc égale à la surface de GK par KL. Mais la surface de LG par GE est donnée car chacune de ses deux droites est connue, la surface de GK par KL est donc donnée et on l'a appliquée à la droite donnée GL, défaillant d'un carré, le point K est donc connu; or le point H est connu, la droite HK est donc de position connue.

64 i. e. la droite (ED), qui coupe selon un rapport plus grand que le rapport selon lequel coupe la droite (El<') (voir note complémentaire Il). 65 Si EK < ED, on montre, comme dans le cas précédent, que CI> CS et que

EO

EK

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Cl

66

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Changement de notations, les points 1 et K sont intervertis. On suppose implicitement que L E [CD). EK < CK, donc CK < CL et K E [CL].

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164

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Puisque, dans la synthèse, il nous faut poser le rapport de HG à GL égal au rapport donné et appliquer à la droite GL une surface égale à la surface de LG par GE, défaillant d'un carré - c'est la surface de GK par KLalors, si l'on mène, tenant lieu de HK, la droite d' application 69 , nous dirons que c'est HK qui achève le problème. Mais il ne nous est pas toujours possible de mener la droite d'application, car il se peut que la surface de LG par GE soit plus grande que le carré de la moitié de LG et l'application n'est alors pas possible; c'est pourquoi la synthèse du problème n'est pas toujours possible dans tout cas de figure. Que selon un seul cas de figure 70, celui où l'on mène la droite d'application au milieu de la droite GL - tenant lieu du point K -, la surface de LG par GE étant égale à la surface de GK par KL. Le problème s'achève alors ainsi: comment trouver un certain rapport, tenant lieu du rapport de HG à une certaine droite - comme si c'était GLet partager la droite GL en deux moitiés en K, de sorte que la surface de LG par GE soit égale à la surface de GK par KL ? Cela revient à prendre un certain point sur la droite ED - comme si c'était le point L -, à partager GL en deux moitiés au point K et à vouloir que la surface de LG par GE soit égale à la surface de KG par KL. Qu'il en soit ainsi. Puisque la surface de LG par EG est égale à la surface de GK par KL, [B-17 V ] le rapport de GL à LK est égal au rapport de KG à GE. Mais la droite GL est le double de la droite LK, la droite KG est donc le double de la droite GE et la droite GE est égale à la droite EK. Or la droite GE est connue, la droite EK est donc connue et de position connue. Or le point E est donné, le point K est donc donné; mais le point G est donné, la droite GK est donc donnée et elle est égale à la droite KL, la droite KL est donc donnée et de position donnée; mais le point K est donné, le point L est donc donné. Le point cherché, qui détermine le rapport, est donc le point L. Je dis que, si l'on joint HK, le rapport de lE à GK est égal au rapport de HG à GL : puisque la droite KE est égale à la droite GE, le rapport de LG à GK est égal au rapport de GK à KE, c'est-à-dire au rapport de HG à El; si nous permutons, le rapport de HG à GL est égal au rapport de El à GK.

69

C'est-à-dire la droite résultant de l'application des aires (voir note complémentaire

12). 70 On cherche donc pour quelle valeur du rapport le problème a une solution unique, c'est-à-dire pour quelle valeur de ce rapport le point K est le milieu de [GL]. On montrera ensuite que cette valeur du rapport est extrémale (ici maximale) sur la demi-droite [ED).

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166

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Il nous est donc nécessaire, pour le rapport de la synthèse, de poser la droite GE égale à la droite EK et de joindre HK. Après quoi, cherchons d'abord si la droite HK coupe selon un rapport plus petit ou plus grand que toutes les droites menées du point H et sécantes aux droites EA et GD71 • Nous saurons cela ainsi: fixons ce que nous avons indiqué en l'état jusqu'à la droite parallèle, posons la droite EK égale à la droite EG et joignons HK. Il nous faut chercher si la droite HK coupe selon le rapport de El à GK, plus petit ou plus grand que les rapports que séparent les droites qui sont menées du point H et sécantes aux droites EA et GD. Posons la droite KL égale à la droite GK, la surface de LG [B-lsr] par GE est alors égale à la surface de GK par KL et le rapport de El à GK est égal au rapport de HG à GL, c'est-à-dire au rapport de GH à quatre fois GE. Que l'on mène une autre droite, soit HM. Il nous faut alors comparer72 le rapport de El à GK au rapport de NE à GM. Mais le rapport de El à GK est égal au rapport de GH à GL, il nous faut donc également comparer le rapport de HG à GL au rapport de NE à GM. Si nous permutons, nous comparons le rapport de HG à EN au rapport de LG à GM. Mais le rapport de GH à EN est égal au rapport de GM à ME, il nous faut donc comparer le rapport de GM à ME au rapport de LG à MG. Si nous convertissons, il nous faut comparer le rapport de MG à GE au rapport de GL à LM73 et il nous faut comparer la surface de LG par GE à la surface de GM par ML. Or la surface de GK par KL est égale à la surface de LG par GE, il nous faut donc comparer la surface de GK par KL à la surface de GM par ML. On l'infère ainsi: la surface de GK par KL est plus grande que la surface de GM par ML, puisque le milieu de la droite GL est le point K. Puisque la surface de GM par ML est plus petite que la surface de GK par KL et que la surface de LG par GE était égale à la surface de GK par KL, la surface de GM par ML est plus petite que la surface de LG par GE, le rapport de MG à GE est donc plus petit que le rapport de GL à LM. Si nous convertissons, le rapport de GM à ME est plus grand que le rapport de LG à GM. Or le rapport de GM à ME est égal au rapport de GH à EN, le rapport de GH à EN est donc plus grand que le rapport de LG à GM. Si nous permutons, le rapport de GH à GL est plus grand que le rapport de EN à GM. Or le rapport de HG à GL est égal au rapport de El à GK, le rapport de El à GK est donc plus grand que le rapport de EN à GM ; la droite HK coupe donc selon un rapport [B-18 V ] plus grand que le rapport selon lequel coupe la 71 C'est-à-dire plus petit ou plus grand que tous les rapports selon lesquels coupent les autres droites issues du point H et sécantes aux droites EA et GD. Cette formulation abrégée se rencontrera à de nombreuses reprises dans la suite du texte. 72 Voir note complémentaire 13. 73 On suppose donc implicitement que M E [EL].

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168

Apollonius: La section des droites selon des rapports

droite HM74 . Nous montrons comme cela qu'elle coupe selon le rapport de El à GK, le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes aux deux droites EA et GD. Je dis que les droites proches de la droite HK coupent toujours selon des rapports plus grands que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées. Puisque le rapport de NE à GM est plus petit que le rapport de El à GK, mais que le rapport de El à GK est égal au rapport de GH à GL, le rapport de NE à GM est plus petit que le rapport de GH à GL. Si nous posons le rapport de NE à GM égal au rapport de HG à une autre droite, cette droite sera plus grande que GL ; que ce soit à GS 75 ; on a ainsi montré que le rapport de NE à GM est égal au rapport de HG à GS. Nous montrons - comme nous l'avons montré dans l'analyse - que la surface de GS par GE est égale à la surface de GM par MS76 . H

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Fig. 35

Menons alors une autre droite, soit HO. Il nous faut alors comparer le rapport de NE à MG au rapport de PE à GO. Or le rapport de NE à GM est égal au rapport de HG à GS ; si nous permutons, il nous faut comparer le rapport de GH à EP au rapport de SG à GO. Or le rapport de GH à EP est égal au rapport de GO à OE, il nous faut donc comparer le rapport de GO à OE au rapport de SG à GO. Si nous convertissons, il nous faut comparer le rapport de OG à GE au rapport de GS à S077 et comparer la surface de SG par GE à la surface de GO par OS. Or la surface de SG par GE est égale à la surface de GM par MS, il nous faut donc comparer la surface de GM par MS à la surface de GO par OS et comparer également la surface de GK par KS à la surface de GM par MS. Or la surface de SG par 74 Cette démonstration repose, on l'a vu, sur l'hypothèse implicite ME [EL]. Cependant si ME [LD) on a également !!i. ~ EN , la démonstration en est élémentaire. GK

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Apollonius: La section des droites selon des rapports

GE est égale à la surface de GM par MS, il nous faut donc comparer la surface de [B-19 r ] GK par KS à la surface de SG par GE. Mais la surface de GK par KL est égale à la surface de LG par EG, il nous faut donc comparer la surface de GK par SL à la surface de SL par EG. On l'infère ainsi: la surface de SL par GK est plus grande que la surface de SL par GE ; ajoutons donc ces deux surfaces aux deux surfaces de GK par LK et de LG par GE, de ce fait la surface de GK par KS sera plus grande que la surface de SG par GE, qui est égale à la surface de GM par MS78 . Puisque la surface de GK par SK est plus grande que la surface de GM par MS et que le point a a été marqué, la surface de GM par MS est plus grande que la surface de GO par OS79 ; mais la surface de SG par GE est égale à la surface de GM par MS, la surface de GO par OS est donc plus petite que la surface de SG par GE, le rapport de OG à GE est donc plus petit que le rapport de GS à sa. Si nous convertissons, le rapport de GO à OE est plus grand que le rapport de SG à GO; mais le rapport de OG à EO est égal au rapport de GH à EP, le rapport de HG à PE est donc plus grand que le rapport de SG à GO. Si nous permutons, le rapport de HG à GS est plus grand que le rapport de PE à GO; mais le rapport de HG à GS est égal au rapport de NE à GM, le rapport de NE à GM est donc plus grand que le rapport de PE à GO. C'est pourquoi la droite HM coupe selon un rapport plus grand que le rapport selon lequel coupe la droite H0 80 • On montre que les droites proches de la droite HK coupent selon des rapports plus grands que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées. On montre que l'on a déterminé, à l'exemple de ce qui précède, le rapport de El à GK et qu'il est égal au rapport de GH à quatre fois GE, puisque GL est quatre fois GE.

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite [B-19 V ] parallèle et posons la droite EK égale à la droite GE ; joignons la droite HK. La droite HK coupe selon un rapport plus grand que les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes aux deux droites EA et GD. Le rapport donné est ou bien égal au

K est donc plus proche du milieu de [GS] que M. On suppose implicitement ici que EO < EM < EK ou EK < EM < EO < ES, c'est-à-dire que 0 est plus éloigné du point K que le point M; 0 est alors plus éloigné du milieu de [GS] que M et GO, OS < GM' MS. 80 Ce résultat est encore vrai si 0 E [SD), la démonstration en est élémentaire. 78

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172

Apollonius: La section des droites selon des rapports

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Fig. 36

Si le rapport donné est égal au rapport de El à GK, la droite HK achève le problème et on montre que c'est la seule, puisque les droites proches d'elle coupent toujours selon des rapports plus grands que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées. S'il est plus grand que le rapport de El à GK, alors le problème n'est pas possible, car le rapport donné est plus grand que le rapport selon lequel coupe la droite maximale 81 • Que le rapport de m à n soit plus petit que le rapport de El à GK. Posons la droite GK égale à la droite KL, la surface de LG par GE est alors égale à la surface de GK par KL et le rapport de El à GK est égal au rapport de HG à G L 82. Mais, puisque le rapport de m à n est plus petit que le rapport de El à GK, c'est-à-dire plus petit que le rapport de HG à GL, si nous posons le rapport de HG à une autre droite égal au rapport de m à n, cette droite sera plus longue que la droite GL, que ce soit la droite GS. Puisque la droite KG est plus grande que la droite GE, la surface de SL par KG est plus grande que la surface de SL par EG. Mais, puisque la surface de LG par GE est égale à la surface de GK par KL, ajoutons alors à la surface de GK par KL la surface de GK par SL et ajoutons à la surface de SL par

81 C'est-à-dire la droite HK qui coupe selon le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent toutes les autres droites sécantes à la demi-droite [ED). Ce début de synthèse dans lequel la discussion systématique du problème est exposée, en fonction des valeurs du rapport donné, ne figurait pas dans les cas à diorismes élémentaires des premier, second et troisième lieux (cas l.1, l.2, 2.2, 2.3, 3.1,3.2). On le rencontre en revanche dans les cas 6.2, 6.4, 7.2, 7.4, ainsi que dans la plupart des cas à diorismes du livre II. 82 La démonstration en a été faite au cours du diorisme qui précède.

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174

Apollonius: La section des droites selon des rapports

EG la surface de LG par GE ; la surface de KS par GK tout entière est alors plus grande que la surface de SG par GE. [B-20r ] Il nous est alors possible d'appliquer à la droite GS, de deux manières, de part et d'autre du point K, une surface égale à la surface de SG par GE défaillant d'un carré. Que les deux points des droites d'application soient les points 0 et P. Joignons HP et HO; je dis que chacune des deux droites HO et HP achève le problème 83 . Puisque la surface de SG par GE est égale à la surface de GO par OS, le rapport de OG à GE est égal au rapport de GS à SO. Si nous convertissons, le rapport de OG à OE est égal au rapport de SG à OG. Or le rapport de OG à OE est égal au rapport de HG à EQ, le rapport de HG à EQ est donc égal au rapport de GS à GO. Si nous permutons, le rapport de HG à GS est égal au rapport de EQ à GO. Mais le rapport de HG à GS est égal au rapport de m à n, le rapport de m à n est donc égal au rapport de EQ à GO, la droite HO achève donc le problème. Nous montrerions de même que la droite HP réalise cela, chacune des deux droites HO et HP achève donc le problème.

Étant donné que nous avons montré comment se fait la synthèse du problème dans tous les cas de figure, montrons alors de combien de manières cela se fait dans tous les cas. Fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle. Le rapport donné est alors soit égal au rapport de HG à quatre fois GE, soit plus grand, soit plus petit. S' il lui est égal, la synthèse du problème se fait dans trois cas de figure, de la première manière et de la deuxième, et d'une seule sorte de la troisième manière. Si le rapport est plus grand, la synthèse du problème se fait de deux manières, de la première et de la deuxième. S'il est plus petit, [B-20 V ] la synthèse du problème se fait dans quatre cas de figure, de la première manière et de la deuxième, et de deux sortes de la troisième manière.

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deux points P et 0 ainsi construits appartiennent au segment [ES].

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176

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Sixième lieu

Que la droite parallèle à la droite AB passant par le point H, la droite HK par exemple, tombe au-dessus du point G, c'est-à-dire que le point G soit entre elle et le point E. Les droites menées du point H sont selon quatre cas de figure: elles découpent selon un rapport soit les droites CG et EA, soit CG et EB, soit GE et EB, soit GD et EA. 6.1. Première incidence du sixième lieu A

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Fig. 37

Menons d'abord une droite, la droite IL, de la première manière, telle qu'elle découpe les droites CG et EA selon le rapport de El à GL égal au rapport donné. Que le rapport de la droite HK à GM soit égal au rapport de El à LG ; la droite HK est connue, la droite GM est donc donnée et de position donnée; or le point G est donné, le point M est donc donné 84 . Le rapport de El à GL est égal au rapport de HK à GM. Si nous permutons, le rapport de El à KH est égal au rapport de LG à GM. Or le rapport de El à KH est égal au rapport de LE à LK, le rapport de LE à LK est donc égal au rapport de LG à GM. Si nous séparons, le rapport de EK à KL est égal au rapport de ML à GM85 , la surface de EK par GM est donc égale à la surface de KL par LM. Mais la surface de MG par KE est donnée, car chacune des deux est connue, la surface de KL par LM est donc donnée et on l'a appliquée à la droite connue KM, excédant d'un carré; le point Lest donc donné et la droite LI est de position donnée.

84

On suppose implicitement que M E [GC). > KL, donc GL> GM et L E [MC).

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178

Apollonius: La section des droites selon des rapports

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle. Que le rapport donné soit le rapport de m à n. Posons [B-2F] le rapport de GS 86 à HK égal au rapport de n à m et appliquons à la droite KS une surface égale à la surface de GS par KE, excédant d'un carré, c'est la surface de KL par LS. Joignons LH et prolongeons-la; je dis que la droite LI achève le problème, c'est-à-dire que le rapport de m à n est égal au rapport de El à GL. A

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Fig. 38

Puisque la surface de EK par GS est égale à la surface de KL par LS, le rapport de EK à KL est égal au rapport de LS à GS. Si nous composons, le rapport de EL à LK, c'est-à-dire de El à KH, est égal au rapport de LG à GS; si nous permutons, le rapport de El à GL est égal au rapport de HK à GS ; mais le rapport de HK à GS est égal au rapport de m à n, le rapport de El à GL est donc égal au rapport de m à n, la droite LI achève donc le problème. Je dis que c'est la seule. Qu'il Y en ait une autre, si cela est possible, la droite OP ; si la droite OP coupait selon un rapport égal au rapport de m à n, le rapport de lE à GL serait égal au rapport de EP à GO, cela n'est pas possible, car celui-ci est plus petit que celui qui le suit87 . On a donc montré que les droites proches du point E 88 - c'est-à-dire la droite OP coupent selon des rapports plus petits que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées.

87

Changement de notations, SE [GC). Si EP < El, alors GO > GL et EP <~.

88

Sur la droite (AB).

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180

Apollonius: La section des droites selon des rapports

6.2. Deuxième incidence du sixième lieu H A

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B

Fig. 39

Les choses étant alors fixées en l'état jusqu'à la droite parallèle, menons également la droite HL de la deuxième manière, telle qu'elle découpe les droites Ge et ER selon le rapport de LE à GK égal au rapport donné 89 • Posons le rapport de lH à GM égal au rapport de LE à GK ; la droite lH est donnée, la droite GM est donc également connue et de position connue, le point M est connu 90 ainsi que le point l, et la droite lM est connue et de position connue. Puisque le rapport de LE [B-2P] à GK est égal au rapport de HI à GM et que, si nous permutons, le rapport de LE à lH est égal au rapport de KG à GM, mais que le rapport de LE à lH est égal au rapport de EK à KI, alors le rapport de GK à GM est égal au rapport de KE à lK. Si nous composons, le rapport de El à lK est égal au rapport de KM à MG, la surface de lE par GM est donc égale à la surface de lK par MK. Mais la surface de lE par GM est donnée, car chacune des deux est donnée, la surface de MK par KI est donc donnée et on l'a appliquée à la droite lM, défaillant d'un carré, le point K est donc donné; mais le point H est donné, la droite HL est donc de position donnée. Puisque dans la synthèse il nous faut poser le rapport de lH à GM égal au rapport donné et appliquer à la droite lM une surface égale à la surface de lE par GM, défaillant d'un carré - telle que le point K soit sur la droite lM -, il ne nous est pas toujours possible de mener la droite d'application, car il se peut que la surface de lE par GM [I-lOr ] soit plus grande

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Changement de notations. On suppose implicitement que ME [GD).

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182

Apollonius: La section des droites selon des rapports

que le carré de la moitié de la droite lM et l'application n'est alors pas possible; c'est pourquoi il n'est pas toujours possible de faire la synthèse du problème dans tout cas de figure. A

H

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B

Fig. 40

Qu'il le soit d'abord selon un seul cas de figure, celui où l'on mène la droite d'application au point K milieu de lM et où la surface de IK par KM est égale à la surface de lE par GM. Le problème s'achève alors ainsi: nous voulons trouver un rapport tel que, si nous posons le rapport de IH à GM égal à celui-ci et si nous coupons la droite lM en deux moitiés au <point> K, la surface de IK par KM soit égale à la surface de El par GM. Ceci revient à marquer un point sur GD, le point M par exemple, à couper la droite lM en deux moitiés, que ce soit au point K, et à poser la surface de lE par G M égale à la surface de IK par KM. Le rapport de El à IK est alors égal au rapport de KM à MG. Si nous convertissons, le rapport de lE à EK est égal au rapport de MK à KG91 ; mais la droite MK est égale à la droite KI, le rapport de lE à EK est donc égal au rapport de IK à KG ; il reste le rapport de KE à EG tenant lieu de l'un de ces rapports 92 , le rapport de lE à EK est donc égal au rapport de KE à EG, la droite EK est donc moyenne proportionnelle des droites lE et EG ; mais chacune <des deux droites> lE et EG est donnée, la droite EK est donc donnée et de position donnée; [B-22 r ] or le point E est donné, le point K est donc donné; le point 1 est également donné, la droite IK est donc connue et elle est égale à la droite KM, la droite KM est donc donnée; le point K est donné, le point M est donc également donné.

91 À condition que El> IK et KM > GM, c'est-à-dire que les points soient rangés dans l'ordre l, K, G, M, et donc que IK> KG (démontré infra, p. 184). 92 ~=.!!!...= El-IK = EK (Euclide, Éléments, V.19).

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184

Apollonius: La section des droites selon des rapports

On fait la synthèse de cette analyse ainsi 93 : déterminons une moyenne proportionnelle des droites lE et EG, la droite EJ<94. Il est clair que la droite IK est plus grande que la droite KG : puisque le rapport de lE à EK est égal au rapport de KE à EG, il reste le rapport de IK à KG tenant lieu de l'un des rapports restants 95 , la droite IK est donc plus grande que la droite KG96 ; qu'elle soit égale à la droite KM, le point M est alors le point cherché, c'est-à-dire que la surface de lE par GM est égale à la surface de MK par KI. Puisque le rapport de lE à EK est égal au rapport de KE à GE, mais que le rapport du reste au reste est égal à l'un des rapports, le rapport de lE à EK est donc égal au rapport de IK à KG ; mais la droite IK est égale à la droite KM, le rapport de lE à EK est donc égal au rapport de MK à KG; si nous convertissons, le rapport de El à KI est égal au rapport de KM à MG et la surface de lE par MG est égale à la surface de MK par KI. Joignons HK et prolongeons-la; je dis que la droite HL achève le problème, c'est-à-dire que le rapport de LE à GK est égal au rapport de IH à GM. Puisque la surface de lE par GM est égale à la surface de MK par KI, le rapport de lE à [I-10 V ] IK est égal au rapport de KM à MG ; si nous séparons, le rapport de EK à KI est égal au rapport de KG à GM ; or le rapport de EK à KI est égal au rapport de LE à IH, le rapport de LE à IH est donc égal au rapport de KG à GM ; si nous permutons, le rapport de LE à KG est égal au rapport de IH à GM. Il nous est donc nécessaire, avant la synthèse 97 , de prendre une droite, moyenne proportionnelle des droites lE et EG, comme la droite EK, puis de joindre [B-22 V ] HK et de la prolonger. Cherchons d'abord si la droite HL coupe selon un rapport - le rapport de LE à GK - plus grand ou plus petit que toutes les droites menées du point H et sécantes aux droites EB et

GC 8 . Les choses étant fixées en l'état jusqu'à la droite parallèle, nous déterminons ce problème ainsi 99 : prenons une droite moyenne proportionnelle des 93 C'est-à-dire la synthèse de l'analyse du sous-problème que l'on est en train de résoudre: déterminer le point du segment [GI] correspondant au cas où le problème a une solution unique; on montre ensuite que le rapport correspondant à ce point est extremum (minimum dans ce cas).

94

K E [Gl].

i. e. le rapport du reste au reste est égal à l'un des rapports (voir note 92). 96 La condition IK> KG étant satisfaite, on va pouvoir inverser la séquence correspondante (voir note 91). 97 Il s'agit maintenant de la synthèse du problème: avant de l'aborder, il faut montrer que le rapport correspondant au point K, le rapport de LE à KG, est minimum. 98 C'est-à-dire plus grand ou plus petit que les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes aux droites EB et Ge (voir p. 202,222,238). 99 Voir note complémentaire 10. 95

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186

Apollonius: La section des droites selon des rapports

droites lE et EG, la droite EK, joignons la droite HK et prolongeons-la; il nous faut donc chercher si la droite HL coupe selon le rapport de LE à GK, plus petit ou plus grand que selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes aux droites EB et Ge. Séparons une droite égale à la droite IK, la droite KM. La surface de lE par MG est alors égale à la surface de MK par KI et le rapport de LE à KG est égal au rapport de IH à GM. Menons une autre droite, soit HN. Il nous faut comparer le rapport de SE à GN au rapport de LE à GK. Or le rapport de LE à GK est égal au rapport de IH à GM, il nous faut donc comparer le rapport de SE à GN au rapport de IH à MG. Si nous permutons, il nous faut comparer SE à IH au rapport de GN à GM. Or le rapport de SE à IH est égal au rapport de EN à NI, il nous faut donc comparer le rapport de EN à NI au rapport de NG à GM. Si nous composons, il nous faut comparer le rapport de El à IN au rapport de NM à MG et il nous faut comparer la surface de lE par MG à [B-23 r ] la surface de MN par NI. Nous trouvons ainsi cette inférence: la surface de MK par KI est plus grande que la surface de MN par NI, car le point K coupe la droite lM en deux moitiés. Puisque la surface de MK par KI est plus grande que la surface de MN par NI, mais que la surface de El par MG est égale à la surface de MK par KI, la surface de El par MG est plus grande que la surface de MN par NI, le rapport de El à NI est donc plus grand que le rapport de NM à MG. Si donc nous séparons, le rapport de EN à NI est plus grand que le rapport de NG à GM. Or le rapport de EN à NI est égal au rapport de SE à IH, le rapport de ES à IH est donc plus grand que le rapport de NG à GM. Si nous permutons, le rapport de SE à NG est plus grand que le rapport de [I-lI r ] IH à MG. Or le rapport de IH à GM est égal au rapport de LE à GK, le rapport de SE à NG est donc plus grand que le rapport de LE à GK. C'est pourquoi la droite HL coupe selon un rapport plus petit que le rapport selon lequel coupe HS. Nous montrons comme cela qu'elle coupe selon un rapport plus petit que les rapports selon lesquels coupent toutes les droites menées du point H et sécantes aux droites Ge et EB. La droite HL coupe

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188

Apollonius: La section des droites selon des rapports

donc selon un rapport plus petit que les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point R et sécantes aux droites Ge et EB. Je dis que les droites proches de la droite RL coupent selon des rapports plus petits que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées. Puisque le rapport de SE à GN est plus grand que le rapport de LE à GK, c'est-à-dire que le rapport de IR à GM, si nous posons le rapport de IR à une certaine droite égal au rapport de SE à GN, cette droite sera plus petite que la droite G M, que ce soit la droite GO. Nous montrons de même loo que la surface de El par GO est égale à la surface de ON par NI. Or le rapport de SE à GN est égal au rapport de IR à GO. Menons alors une autre droite, soit RQ. Il nous faut comparer le rapport de QE à GP au rapport de SE à GN. Mais le rapport de SE à NG [B-23 V ] est égal au rapport de IR à GO, il nous faut donc comparer le rapport de QE à GP au rapport de RI à GO. Si nous permutons, il nous faut comparer le rapport de QE à IR au rapport de PG à GO. Mais le rapport de QE à IR est égal au rapport de EP à PI, il nous faut donc comparer le rapport de EP à PI au rapport de PG à GO. Si nous composons, il nous faut comparer le rapport de lE à IP au rapport de PO à GO et il nous faut comparer la surface de lE par GO à la surface de OP par PI. Mais la surface de ON par NI est égale à la surface de lE par OG, il nous faut donc comparer la surface de ON par NI à la surface de OP par PI. Pour cela il nous faut comparer la surface de OK par KI à la surface de ON par NI. Mais la surface de lE par OG est égale à la surface de ON par NI, nous comparons par conséquent la surface de OK par KI à la surface de El par OG ; or la surface de MK par KI est égale à la surface de lE par MG, donc si nous ôtons de la surface de El par MG la surface de El par OG et de la surface de MK par KI la surface de OK par KI, il nous faut comparer la surface de MO par El à la surface de MO par KI; nous trouvons que la surface de MO par El est plus grande que la surface de MO par KI. Puisque la surface de lE par MG est égale à la surface de MK par KI et que la surface de MO par El est plus grande que la surface de MO par KI, il reste que la surface de OG par El est plus petite que la surface de OK par

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Comme cela a été démontré dans l'analyse.

189

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190

Apollonius: La section des droites selon des rapports

KI. Or la surface de ON par NI est égale à la surface de OG par lE, la surface de ON par NI est donc plus petite que la surface de OK par KI. C'est pourquoi la surface de ON par NI est plus grande que la surface de OP par PI IOI • Or la surface de OG par lE est égale à la surface de ON [I-1P] par NI, la surface de OG par lE est donc plus grande que la surface de OP par PI et le rapport de lE à IP est plus grand que le rapport de PO à GO. Si nous séparons, le rapport de EP à Pl, c'est-à-dire le rapport de QE à IH, est plus grand que le rapport de PG à GO. Si nous permutons, le rapport de QE à PG est plus grand que le rapport de IH à GO. Or le rapport de IH à GO est égal au rapport de SE à GN, le rapport de QE à GP est donc plus grand que le rapport de SE à GN et la droite HS coupe [B-24 r ] selon un rapport plus petit que le rapport selon lequel coupe la droite QH. La droite HS est plus proche de la droite HL que la droite HQ ; on a donc montré que les droites proches de la droite HL coupent toujours selon des rapports plus petits que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées.

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle, menons une droite, moyenne proportionnelle des droites lE et EG, la droite EK I02 ; joignons la droite HK et prolongeons-la. La droite HL coupe selon le rapport de LE à GK; le rapport donné est alors soit le rapport de LE à GK, soit plus petit, soit plus grand. Si c'est le rapport de LE à GK, alors LH résout le problème et il est clair que c'est la seule. S'il est inférieur au rapport de LE à G K, le problème n'est pas possible. Que le rapport donné soit le rapport de n à s, plus grand que le rapport de LE à GK; IK est égale à KM, El par GM est alors égale à MK par KI et le rapport de LE à GK est égal à IH à GM ; n à s est plus grand que LE à GK et que IH à MG. Si nous faisons en sorte que n à s soit égal à IH à une autre droite, elle sera plus petite que GM, ce sera à GO. Puisque El par MG est égale à MK par KI et que MO par El est plus grande que MO par KI, il reste que OG par El est plus petite que OK par KI. Pour cette raison, on peut appliquer à la droite 10 une <surface> égale à la surface de El par OG, défaillant de la droite entière d'une surface carrée, de deux manières, de part et d'autre de K; Pet Q sont les points de l'exemple l03 . Joignons HP et HQ et prolongeons-les; je dis que chacune <des deux droites> HU et HS résout lOI N est alors plus éloigné du milieu de [01] que K, donc si IP < IN < IK ou si IK < IN < IP < IG, alors NI . NO> PI . PO. 102 K E [GI]. 103 Voir note complémentaire 12. Pet Q appartiennent à [lG], en effet: GI < lE donc GI' GO < lE· GO = IP' PO = IQ' QO.

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192

Apollonius: La section des droites selon des rapports

le problème et que le rapport de n à s est égal à UE à GP et à SE [B-24 V ] à GQ. A

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Fig. 41

Puisque lE par GO est égal à OQ par QI et à OP par PI, le rapport est alors le même: le rapport de [I-12 r ] El à lQ est égal au rapport QO à OG. Si nous séparons, le rapport de EQ à QI est égal à QG à GO. Mais le rapport de EQ à QI est égal au rapport de SE à lH, le rapport de SE à lH est donc égal à GQ à GO. Par permutation, le rapport de SE à GQ est égal à lH à GO. Or lH à GO est égal à n à s, le rapport de SE à GQ est donc égal à n à s et chacune <des deux droites> HU et HS résout le problème. On démontre que ce sont les seules, car la droite la plus proche de HL coupe selon un rapport plus petit que le rapport selon lequel coupe la droite la plus éloignée. On connaît ainsi la détermination du rapport: le rapport de LE à GK est égal à lH à GM ; GM est la différence entre lE plus EG et lE plus EM 104 ; lE plus EM, elle, est égale au double de KE, car lK est égale à KM ; le double de KE, lui, peut lE par EG quatre fois, car EK est moyenne proportionnelle des deux droites lE et EG. GM, elle, est donc la différence entre lE plus EG et la droite qui peut lE par EG quatre fois. Le rapport de LE à KG, dont on a déjà démontré qu'il était le plus petit des rapports selon lesquels coupent les droites qui sont menées de H et sécantes aux deux droites EB et Ge, est donc le rapport de lH à la différence entre lE plus EG et la droite qui peut lE par EG quatre foi s 105. C'est ce que nous voulions démontrer. 104 Cette démonstration, comme celle de Pappus (La Collection mathématique, Livre VII, lemmes sur les livres de La Section de rapport et de La Section d'aire, proposition 17) suppose implicitement que GE> GM. Le résultat est cependant encore vrai si GE < GM, on a alors GE [KM], GM = KM - KG = KI - KG = (El - EK) - (EK - EG) = (El + EG) - 2 . EK. 105 Pappus détaille, dans la proposition 17, une partie de ce calcul. On s'attendrait cependant à trouver cette détennination du rapport extremum en fonction des données du problème dans le diorisme après la démonstration, du fait que le rapport de LE à KG est égal au rapport de IR à GM, et avant la démonstration, du fait que ce rapport est le plus petit rapport du deuxième cas. On trouve d'ailleurs des calculs semblables et semblablement placés à la fin des cas 6.4, 7.2 et 7.4, cas à diorismes du livre 1.

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194

Apollonius: La section des droites selon des rapports

6.3. Troisième incidence du sixième lieu A

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Fig. 42

Fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle et menons HL selon le troisième cas de figure, telle qu'elle découpe les droites GE et EB selon le rapport de LE à KG, égal au rapport donné. Le rapport de LE à [B2Y] KG est égal à lH à GM, lH est donnée, GM est donc donnée et de position donnée; mais le point G est de position donnée, M est donc de position donnée \06 ; 1 est de position donnée, la droite lM est donc de position donnée 107 . Puisque LE à KG est égal à lH à GM, que, par permutation, LE à lH, c'est-à-dire EK à KI, est égal à KG à GM et que, si nous composons, lE à lK est égal à KM à MG, alors El par GM est égal à lK par KM. Mais El par G M est donné, car chacune <des deux droites> El et G M est donnée, lK par KM est donc donné et on l'a appliqué à une droite connue, la droite lM, excédant d'un carré; le point K est donc donné; mais le point H est donné, la droite HL est donc [I-12 V] de position donnée. La synthèse de ce problème se fait ainsi : fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle. Le rapport donné est le rapport de n à s et il est égal au rapport de lH à GM. Appliquons à la droite lM une surface égale à la surface de lE par GM, excédant la droite d'un carré - il n'est pas possible que cela soit lG par GM, puisque la droite El est plus grande que lG, ni non plus lE par EM, puisque la droite EM est plus grande que la droite MG; il

106 107

On suppose implicitement que M E [GC). La droite lM est également de grandeur donnée.

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196

Apollonius: La section des droites selon des rapports

est donc clair que le point K tombe entre G et E lOS - que ce soit IK par KM. Joignons HK et prolongeons-la; [B-2SV] je dis que HL résout le problème, c'est-à-dire que LE à KG est égal à n à s. A

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Fig. 43

Puisque El par GM est égal à IK par KM, le rapport de lE à KI est égal à KM à MG; si nous séparons, le rapport de EK à KI, c'est-à-dire LE à IH, est égal à KG à GM ; si nous permutons, le rapport de LE à KG est égal à IH à GM ; mais IH à GM est égal à n à s, le rapport de LE à KG est donc égal à n à s ; la droite HL résout donc le problème. Je dis que c'est la seule. S'il était possible qu'il y en ait une autre, nous mènerions alors une autre droite, soit HP, qui couperait selon un rapport égal au rapport de n à s ; PE à OG serait alors égal à LE à KG; et c'est ce qui n'est pas possible, puisque l'antécédent est plus petit que l'antécédent et que le conséquent est plus grand que le conséquent 109. Il est clair que HP coupe selon un rapport plus petit que HL, car ce rapport-ci est excédent d'après ce que nous avons montré 110. 6.4. Quatrième incidence du sixième lieu

Fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle et menons HL selon le quatrième cas de figure, telle qu'elle découpe EA et GD selon le rapport de EK à LG égal au rapport donné. Posons le rapport de IH à GM égal à celui-ci; IH est donnée, MG est donc donnée et de position donnée; mais le point G est donné, le point M est donc donné 111. Puisque le rapport de IH à GM est égal au rapport de EK à GL, que, si nous permutons, le Puisque El> IG et EM > MG, El . EM > El' GM = lK . KM > IG . GM, [EG]. 109 Si PE < EL, OG > KG. 110 C'est-à-dire que le rapport de LE à KG est plus grand que le rapport de PE à OG. IlIOn suppose implicitement que ME [GD). 108

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198

Apollonius: La section des droites selon des rapports

rapport de IH à EK, c'est-à-dire le rapport de IL à LE, est égal au rapport de MG à GL et que, si nous convertissons, le rapport de LI à lE est égal à MG à ML ll2 , alors la surface de MG par lE est égale à la surface de IL par LM. Or la surface de MG par lE est donnée car chacune <des deux droites> lE et MG est donnée, la surface de IL par LM est donc donnée et on l'a appliquée à une droite donnée, lM, [B-26 r ] défaillant d'un carré; le point L est donc donné, le point H est donné, [1 -13 r ] la droite HL est donc donnée et de position donnée. H

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Fig. 44

Puisque dans la synthèse il nous faut poser le rapport de IH à GM égal au rapport donné, appliquer à la droite lM une surface - comme la surface de IL par LM - égale à la surface de lE par GM, défaillant de la droite entière d'un carré et joindre la droite HL, nous prendrions alors le point L ; mais cela n'est pas toujours possible dans tout cas de figure et c'est pourquoi la synthèse du problème n'est pas possible dans tout cas de figure. Que la synthèse soit d'abord selon un seul cas de figure qui établisse l'inférence l13 : coupons lM en son milieu au point L; le problème devient alors celui-ci: comment trouver un rapport tel que, si nous le posons égal au rapport de IH à GM et si nous coupons lM en deux moitiés, la surface de IL par LM soit égale à la surface de GM par lE ? Cela consiste à prendre sur GD un point, M par exemple, à couper lM en deux moitiés au point L, la surface de IL par LM, par exemple, étant égale à GM par lE.

IL > EL, donc GM> GL et L E [lM]. Comme dans le diorisme précédent (cas 6.2), on cherche pour quelle valeur du rapport le problème a une solution unique; on montre ensuite, en le comparant sur cet intervalle aux autres rapports, que, sur la demi-droite [ED), le rapport correspondant est extremum (maximum dans ce cas de figure). 112

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Apollonius: La section des droites selon des rapports H

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Fig. 45

Puisque la surface de IL par LM est égale à GM par lE, le rapport de LI à lE est égal à GM à ML. Si nous séparons, le rapport de GL à LM est égal à LE à E1 114 • Or la droite ML est égale à LI, le rapport de GL à LI est donc égal à LE à lE. Il reste le rapport de GE à EL égal à l'un des rapports, par exemple à LE à EllIs; la droite EL est donc moyenne proportionnelle de lE et EG ; chacune <des deux droites> lE et EG est donnée, EL est donc donnée et de position donnée; mais le point E est donné, le point L est donc donné ainsi que le point l, la droite IL est donc donnée; or elle est égale à LM, la droite LM est donc donnée et de position donnée; le point Lest donné et le point cherché est le point M. La synthèse de cette analyse l16 se fait ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle. Menons entre les droites lE et EG une moyenne proportionnelle, EL 117, posons IL égale à LM ; je dis que le point cherché [B-26 V ] est le point M et que la surface de IL par LM est égale à la surface de GMpar lE. Puisqu'on a, entre les droites lE et EG, une droite moyenne proportionnelle, EL, le rapport de GE à EL est égal au rapport de EL à lE; et comme l'un des rapports, de même la somme des antécédents à la somme des conséquents 1l8 , le rapport de LG à LI est donc égal au rapport de LE à El; IL est égale à LM, GL à LM est donc égal à LE à El; si nous composons, le rapport de GM à ML est égal au rapport de LI à El et la surface de IL par LM est égale à la surface de GM par lE ; le point cherché est donc le pointM. On suppose implicitement que IL > lE. Euclide, Éléments, V.19. 116 Voir note 93. 117 L E [ED). La condition IL> lE est alors satisfaite et on peut inverser la séquence. 118 Ou plutôt, le rapport du tout au tout est égal à l'un des rapports (Euclide, Éléments, V.12). 114 Ils

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202

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Joignons HL ; je dis que EK à GL est égal à IH à GM : puisque GM à ML est égal à LI à lE, si nous convertissons, MG à GL est égal à IL à LE, c'est-à-dire à IH à EK; par permutation, le rapport de IH à GM est égal à EK à GL. [I-13 Il nous est donc nécessaire, avant la synthèse, de prendre une droite moyenne proportionnelle de lE et EG, comme la droite EL, de joindre HL et de chercher d'abord si la droite HL découpe les droites EA et GD selon le rapport de EK à GL, plus petit ou plus grand que toutes les droites menées du point H et sécantes à EA et GD. Nous déterminons ce problème ainsi: fixons toutes les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle, menons entre les droites El et EG une droite moyenne proportionnelle, EL; joignons HL et cherchons d'abord si HL coupe selon le rapport de EK à GL, plus grand ou plus petit que toutes les droites menées du point H et sécantes à GD et EA. Que IL soit égale à LM. La surface de IL par LM est alors égale à GM par lE et le rapport de EK à GL est égal à IH à GM. Menons une autre droite, soit HN. Il nous faut associer EK à GL et ES à GN. Mais le rapport de EK à GL est égal à IH à GM, nous associons alors IH à GM et ES à GN. Par permutation, [B-27 r ] nous associons IH à SE et GM à GN. Or le rapport de IH à SE est égal à IN à EN, nous associons donc IN à EN et GM à GN. Puis nous convertissons, nous associons IN à lE et GM à NM I19 et nous associons la surface de GM par lE et IN par NM. Or la surface de GM par lE est égale à la surface de IL par LM, il nous faut alors associer la surface de IL par LM et la surface de IN par NM. On l'infère ainsi: IL par LM est plus grande que IN par NM, puisque le point L est au milieu de lM. Puisque IN par NM est plus petite que lE par GM, le rapport de IN à lE est plus petit que GM à MN. Si nous convertissons, le rapport de IN à NE, c'est-à-dire IH à ES, est plus grand que le V

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204

Apollonius: La section des droites selon des rapports

rapport de MG à GN. Si nous permutons, le rapport de IR à GM, c'est-àdire EK à GL, est plus grand que le rapport de ES à GN. La droite R L coupe donc selon un rapport plus grand que RN ; nous montrons ainsi qu'elle coupe selon un rapport plus grand que les rapports selon lesquels coupent les droites menées de R I20 ; la droite RL coupe donc selon un rapport plus grand que le rapport de ES à GN et que toutes menées du point R et sécantes à GD et EA. Je dis que la droite la plus proche de RL coupe selon un rapport plus grand que celui selon lequel coupe la plus éloignée. Puisque le rapport de SE à GN est plus petit que le rapport de EK à GL, c'est-à-dire IR à GM, si nous posons le rapport de ES à GN égal au rapport de IR à une autre droite, ce sera à plus grande que GM, que ce soit à GO. Nous montrons de même, comme nous l'avons démontré dans l'analyse, que la surface de GO par lE est égale à la surface de IN par NO. [I-14r ] Menons une autre droite, soit RP. Il nous faut associer le rapport de ES à GN au rapport de EQ à GP. Or le rapport de ES à GN est égal au rapport de IR à GO, il nous faut alors associer le rapport de IR à GO au rapport de EQ à GP. Par permutation, il nous faut associer IR à EQ - c'est-à-dire IP à PE - à OG à GP. Si nous convertissons, il nous faut associer le rapport de IP à lE au rapport de GO à Op I21 et il nous faut associer la surface de GO par lE à la surface de IP par PO. Or la surface de GO par lE est égale à la surface de IN par NO, il nous faut alors associer la surface de IN par NO à la surface de IP par PO. Pour cela, il nous faut associer la surface de IL par La à la surface de IN par NO. Mais la surface de IN par NO est égale à GO par lE, il nous faut donc [B-27 V ] associer la surface de IL par La à la surface de GO par lE. Nous trouvons cette inférence comme nous le montrons: la surface de IL par LM est égale à la surface de lE par GM, nous retranchons IL par LM de la surface de IL par La et la surface de lE par GM de la surface de lE par GO, et nous associons le reste au reste; il nous faut alors associer la surface de IL par MO à la surface de lE par MO.

120 On a fait la démonstration en supposant que NE [EM]. Si NE [MD), il en va encore ainsi, la démonstration en est élémentaire. 121 On suppose implicitement que P E [EG].

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206

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Nous l'inférons ainsi: elle - c'est-à-dire la surface de IL par MO - est plus grande que la surface de lE par MO, puisque LI est plus grande que lE. Puisque la surface de lE par MO est plus petite que la surface de IL par MO et que la surface de lE par GM est égale à la surface de IL par LM, la surface de lE par GO tout entière est plus petite que la surface de IL par LO tout entière. Or la surface de lE par GO est égale à la surface de IN par NO, la surface de ON par NI est donc plus petite que la surface de IL par LO. C'est pourquoi la surface de IP par PO est plus petite que la surface de IN par NO l22 . Or la surface de IN par NO est égale à la surface de lE par GO, la surface de IP par PO est donc plus petite que la surface de lE par GO et le rapport de PI à lE est plus petit que le rapport de GO à OP. Si nous convertissons, le rapport de IP à PE, c'est-à-dire le rapport de IH à EQ, est plus grand que le rapport de OG à GP. Par permutation, le rapport de IH à GO est plus grand que le rapport de EQ à GP. Mais le rapport de IH à GO est égal au rapport de ES à GN, le rapport de ES à GN est donc plus grand que le rapport de EQ à GP et la droite HN, la plus proche, coupe selon un rapport plus grand que le rapport selon lequel coupe la droite Hp 123 . Nous montrons comme cela que la droite la plus proche coupe toujours selon un rapport plus grand que le rapport selon lequel coupe la plus éloignée. La synthèse du problème se fait ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle. Menons entre les droites lE et EG une droite [114 V ] moyenne proportionnelle, EL 124 ; joignons HL. La droite HL coupe selon le rapport de EK [B-28'] à LG. Le rapport donné est alors soit égal au rapport de EK à GL, soit plus petit, soit plus grand. H

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Fig. 46

122 Le point L est alors plus proche du milieu de [lO] que le point N. Si donc EP < EN < EL ou si EL < EN < EP < EO, alors NI· NO> PI· PO. 123 On a fait la démonstration en supposant que P E [EO] ; le résultat est encore vrai si P E [OD), la démonstration en est élémentaire. 124

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208

Apollonius: La section des droites selon des rapports

S'il est égal au rapport de EK à GL, HL résout le problème et il est clair que c'est la seule. S'il est plus grand que EK à GL, le problème n'est pas possible, car HL coupe selon le rapport de EK à GL, plus grand que toutes les droites menées du point H et sécantes à GD et EA 125. Que le rapport de n à s soit plus petit que le rapport de EK à GL ; posons LM égale à la droite LI, la surface de GM par lE est alors égale à la surface de IL par LM et le rapport de EK à GL est le rapport de IH à GM. Puisque n à s est plus petit que le rapport de EK à GL - c'est-à-dire IH à GM -, si nous faisons en sorte que le rapport de n à s soit égal à IH à une autre droite, elle sera plus grande que GM, ce sera à GO. Puisque la surface de DM par LI est plus grande que DM par El et que la surface de ML par LI est égale à la surface de lE par MG, la surface de LI par LO tout entière est plus grande que la surface de lE par GO tout entière; la surface de lE par GO peut donc être appliquée à la droite DI, défaillant d'un carré, de deux manières de part et d'autre du point L. Soient P et Q les deux points de l'exemple I26 . Joignons HP et HQ ; je dis que chacune des <deux droites> HP et HQ résout le problème, c'est-àdire que le rapport de EN à G P est égal à n à s et que le rapport de ES à GQ est égal au rapport de n à s. Puisque la surface de IP par PO est égale à lE par GO, le rapport de PI à lE est égal à GO à OP. Si nous convertissons, le rapport de IP à PE, c'est-à-dire IH à EN, est égal à GO à GP, et si nous permutons, le rapport de IH à GO est égal à EN à GP. Or le rapport de IH à GO est égal à n à s, le rapport de n à s est donc égal à EN à GP. Nous démontrerions de même que le rapport de n à s est égal à ES à GQ ; chacune des deux droites HQ et HP résout donc le problème. Il est clair que ce sont les seules, car la plus proche de HL coupe selon un rapport plus grand que celle qui en est éloignée. On connaît ainsi la détermination du rapport: puisque le rapport de EK à GL est égal au rapport de IH à MG et que la droite GM est GL plus LM, c'est-à-dire la somme de IL et de LG, car la droite ML est égale à LI, la somme de IL et de LG est égale à lE plus EG plus le double de EL qui peut la surface de lE par EG quatre fois. Le rapport de EK à LG est donc égal

125 C'est-à-dire plus grand que les rapports selon lesquels coupent toutes les droites menées du point H et sécantes à GD et EA. 126 Q E [LO] et P E [EL], en effet: EO < GO donc EO' El < GO . El = IP' PO < LI· LO ; voir note complémentaire 12.

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20

210

Apollonius: La section des droites selon des rapports

au rapport de IR à la droite composée de lE plus EG et de la droite qui peut la surface de lE par EG quatre [B-28 V] fois 127. Étant donné que nous avons montré comment se fait la synthèse du problème de chacune des manières, il nous reste à montrer de combien de manières [1-1 Y] se fait la synthèse du problème dans tous les cas de figure. H

A

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B

Fig. 47

Fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle, prenons entre lE et EG une droite moyenne proportionnelle, c'est chacune des <deux droites> EK et EN 128 . Joignons RN et RK; séparons IK égale à KM et IN égale à NS. Le plus petit des rapports du deuxième cas de figure est le rapport de LE à GK, c'est-à-dire le rapport de RI à GM, de même le plus grand des rapports du quatrième cas est le rapport de EP à GN, c'est-à-dire RI à GS. Puisque le petit rapport du deuxième cas est le rapport de RI à GM, que le grand du quatrième cas est le rapport de IR à GS et qu'il est clair que IR à GM est plus grand que IR à GS, le rapport donné est alors soit égal au rapport de IR à GM, soit plus petit que IR à GM et plus grand que IR à GS, soit plus grand que le rapport de IR à GM, soit égal au rapport de IR à GS, soit plus petit que le rapport de IR à GS.

127 Pappus détaille également cette démonstration élémentaire (La Collection, vol. II, livre VII, proposition 18, p. 525-526). 128 Changement de notations, K E [GI] et N E [ED).

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212

Apollonius: La section des droites selon des rapports

S'il est égal au rapport de IH à GM, le problème est possible dans trois cas de figure: le premier et le troisième - car ces deux cas donnent tout rapport - et une seule sorte du deuxième cas; et il n'est pas possible dans le quatrième cas - puisque le rapport de IH à GM est plus grand que IH à GS. S'il est inférieur à IH à GM et plus grand que IH à GS, le problème est possible dans deux cas de figure: le premier et le troisième, et il n'est possible ni dans le deuxième ni dans le quatrième, car a été posé inférieur au plus petit et plus grand que le plus grand l29 . S'il a été posé plus grand que IH à GM, le problème est possible dans quatre cas de figure: le premier, le troisième et deux sortes du deuxième cas; et il n'est pas possible dans le quatrième, car il a été donné plus grand que IH à GS, [B-29r ] puisque le rapport de IH à GM est plus grand que IH àGS. S'il a été donné égal à IH à GS, il est possible dans trois cas de figure: le premier, le troisième et une seule sorte du quatrième cas ; et il n'est pas possible dans le deuxième cas, car il a été donné trop petit, puisque le rapport de IH à GS est plus petit que IH à GM. S'il est inférieur à IH à GS, il est possible dans quatre cas de figure: le premier, le troisième et deux sortes du quatrième cas; il n'est pas possible dans le deuxième, puisqu'il a été donné trop petit. Il nous a donc été possible de démontrer cela pour les différents rapports.

Septième lieu

Fixons les choses en l'état jusqu'au point donné. Que la droite parallèle 130, la droite HI par exemple, tombe au-dessous du point G, c'est-àdire entre celui-ci et le point E. Les droites menées du point H sont donc selon quatre cas de figure: elles sont menées telles qu'elles découpent selon un rapport soit Ge et EA, soit GE et EA, soit GE et EB, soit GD et EA 131. [I-1SV]

129 C'est-à-dire plus petit que le plus petit rapport de la deuxième incidence et plus grand ~ue le plus grand rapport de la quatrième incidence. 13 i. e. la parallèle à la droite (AB) menée de H. 131 Il serait plus exact de dire ED et EA pour distinguer ce cas du deuxième cas.

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214

Apollonius: La section des droites selon des rapports

7.1. Première incidence du septième lieu A L H

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Fig. 48

Menons la droite RKL selon le premier cas de figure, telle qu'elle découpe les droites Ge et EA selon le rapport de EL à GK égal au rapport donné. Le rapport de EL à GK est égal à IR à GM, IR est connue, GM est donc connue et de position donnée; or le point G est de position donnée, M est donc connu 132. Puisque le rapport de EL à GK est égal à IR à GM, par permutation, EL à IR, c'est-à-dire EK à KI, est égal à KG à GM. Si nous séparons, le rapport de El à IK est égal à KM à MG\33, donc ce qui résulte de El par GM est égal à IK par KM. Mais El par GM est connu, car chacune des deux est connue, IK par KM est donc connu et on l'a appliqué à la droite connue lM, excédant d'un carré, le point K est donc connu; mais le point R est connu, la droite KL est donc de position donnée. [B-29 V] A 0 L 0

D

C K

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B

Fig. 49

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle. Le rapport donné est le rapport de n à s et il est 132 133

On suppose implicitement que ME [GC). EK> KI donc GK> GM et K E [MC).

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216

Apollonius: La section des droites selon des rapports

égal au rapport de IR à GM. Appliquons à la droite lM une surface égale à la surface de El par GM, excédant la droite entière d'un carré, que ce soit la surface de IK par KM. Joignons KR et prolongeons-la; je dis que KL résout le problème, c'est-à-dire que le rapport de n à s est égal à EL à GK. Puisque la surface de El par GM est égale à la surface de IK par KM, le rapport de El à IK est égal à KM à MG. Si nous composons, le rapport de EK à KI, c'est-à-dire EL à IR, est égal à KG à GM ; par permutation, le rapport de EL à KG est égal à IR à GM, c'est-à-dire à n à s ; la droite KL résout donc le problème. Je dis que c'est la seule. S'il était possible qu'une autre qu'elle résolve le problème, on mènerait alors une autre droite, soit ORP ; le rapport de OE à GP serait donc égal au rapport de EL à GK, ce qui n'est pas possible, puisque l'antécédent est plus grand que l'antécédent et que le conséquent est plus petit que le conséquent l34 . On a de ce fait démontré que OP est une droite maximale, qui coupe selon un rapport plus grand que celui selon lequel coupe KL. 7.2. Deuxième incidence du septième lieu A L H

G

K B

Fig. 50

Fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle et menons KL de la deuxième manière, telle qu'elle découpe les droites GE et EA selon le rapport de EL à KG égal au rapport donné. Le rapport de RI à GM est égal au rapport de EL à KG 135 . Puisque le rapport de EL à KG est égal à IR [B30r ] à GM, que, par permutation, le rapport [I-16r ] de EL à IR, c'est-à-dire

134

135

Si GE> EL, GP < GK. On suppose implicitement que M

E

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218

Apollonius: La section des droites selon des rapports

EK à KI, est égal à KG à GM et que la droite EK est plus longue que la droite KI, alors la droite KG est plus longue que GM. Or la droite IR est donnée, la droite GM est donc donnée et de position donnée; mais le point G est donné, le point M est donc donnéI36. Puisque le rapport de EK à KI est égal au rapport de KG à GM, le rapport de El à IK est égal au rapport de KM à MG I37 et la surface de El par GM est égale à la surface de KI par KM; mais la surface de El par GM est donnée car chacune d'elles est donnée, la surface de IK par KM est donc donnée et on l'a appliquée à la droite connue lM, défaillant d'un carré. Le point K est donc connu, le point R est connu, la droite KL est donc donnée. A

Q

N L

c

o G

K

D

M B

Fig. 51

Puisque dans la synthèse il nous est nécessaire de faire en sorte qu'un rapport soit égal au rapport de IR à GM et d'appliquer à la droite lM une surface, comme IK par KM, égale à la surface de lE par GM, défaillant d'un carré - le point K étant sur lM - ce que l'on ne sait pas inférer, c'est pourquoi il ne nous est pas toujours possible de faire la synthèse du problème dans tout cas de figure. Qu'il soit d'abord selon un seul cas de figure, celui où le point K est au milieu de MI. Le problème devient alors le suivant: comment trouver un rapport égal au rapport de IR à GM et couper MI en deux moitiés en K, de sorte que la surface de El par GM soit égale à la surface de IK par KM. Trouvons donc cela: prenons un point sur GD, comme le point M, coupons MI en deux moitiés au point K et supposons que la surface de El par MG est égale à la surface de KI par KM. Puisque la surface de El par MG est égale à la surface de IK par KM, le rapport de GM à MK est égal au rapport de KI à lE. Si nous composons, le rapport de GK à KM est égal au rapport

136 K E [MI]. 137

Par séparation.

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15

220

Apollonius: La section des droites selon des rapports

de KE à EI 138 ; or MK est égale à KI, le rapport de GK à KI est donc égal au rapport de KE à El. Mais le tout au tout tient lieu d'un seul rapport!39, donc le rapport de EG à EK est égal au rapport de KE à El et la droite EK est moyenne proportionnelle des droites GE et El; mais chacune des deux droites GE et El est donnée, la droite EK est donc donnée et de position donnée; or le point E est de position donnée, le point K est donc donné; mais le point 1 est donné et de position donnée, la droite KI est donc donnée et elle est égale [B-30 V ] à la droite KM, la droite KM est donc donnée et de position donnée; le point K est donné, le point M est donc donné et le point cherché est le point M. La synthèse de cette analyse se fait ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle et menons, entre les droites GE et El, une moyenne proportionnelle, la droite EK I40 • Posons la droite KM égale à la droite IK, elle tombe alors à l'intérieur, à partir du point G 141 , car la droite GK est plus grande que la droite KI : en effet le rapport de GE à EK est égal au rapport de EK à El, son rapport à EK est égal au rapport du reste au reste, c'est-àdire au rapport de GK à KI, le rapport de GE à EK est donc égal à GK à KI; mais l'antécédent [I-16 V ] est plus grand que le conséquent, la droite GK est donc plus grande que la droite KI 142 • Joignons KH et prolongeons-la; je dis que la surface de El par MG est égale à la surface de IK par KM et que le rapport de EL à KG est égal au rapport de IH à GM. Puisque la droite KE est moyenne proportionnelle des droites GE et El, le rapport de GE à EK est égal au rapport de EK à El et GK, le reste, à KI, le reste - c'est-à-dire KM - tient lieu de l'un des rapports, c'est-à-dire du rapport de KE à El. Si nous séparons, le rapport de GM à MK est égal au rapport de KI à lE, la surface de El par GM est donc égale à la surface de MKpar KI. D'autre part, puisque le rapport de KE à El est égal au rapport de GK à KM, alors, si nous convertissons, le rapport de EK à KI, c'est-à-dire le rapport de EL à IH, est égal au rapport de KG à GM. Si nous permutons, le rapport de EL à KG est égal au rapport de IH à GM.

139

À condition que GM < GI. Euclide, Éléments, V.I2.

140

K

138

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C'est-à-dire que M E [IG], voir note complémentaire 2. 142 EG > EK donc GK> KI = KM, et la condition GM < GI est satisfaite, on peut donc inverser la séquence correspondante. 141

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222

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Il nous est donc nécessaire, avant la synthèse, de prendre une droite moyenne proportionnelle des droites GE et El, la droite EK, et de joindre la droite KRL. Nous cherchons ensuite si la droite KRL coupe selon le rapport de EL à KG, plus grand ou plus petit que toutes les droites menées du <point> R et sécantes à EA et GE. [B-3F] Nous déterminons ce problème ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle, menons, entre les droites GE et El, une droite moyenne proportionnelle, la droite EK, joignons la droite KRL. Il nous faut chercher si la droite KL coupe selon le rapport de EL à KG, plus grand ou plus petit que toutes les droites menées du point R et sécantes à GE et EA. Posons la droite MK égale à la droite IK; la surface de El par GM est alors égale à la surface de IK par KM et le rapport de LE à KG est égal au rapport de IR à GM. Menons une autre droite, soit NS. Il nous faut alors comparer le rapport de NE à GS au rapport de LE à KG - c'est-à-dire IR à GM. Par permutation, il nous faut comparer le rapport de EN à IR, c'est-à-dire le rapport de ES à SI, au rapport de SG à GM. Si nous séparons, nous comparons le rapport de El à IS au rapport de SM à GM l43 ; il nous faut alors comparer la surface de lE par MG à la surface de IS par SM. Mais la surface de lE par MG est égale à la surface de IK par KM, il nous faut donc comparer la surface de IK par KM à la surface de IS par SM. On l'infère ainsi: la surface de IK par KM est plus grande que la surface de IS par SM, car la droite IK est égale à la droite KM. Puisque la surface de IK par KM est plus grande que la surface de IS par SM, mais que la surface de IK par KM est égale à la surface de lE par GM, la surface de El par GM est plus grande que la surface de IS par SM. [I-17 r ] Le rapport de El à SI est donc plus grand que [B-3 IV] le rapport de SM à G M. Si nous composons, le rapport de ES à SI, c'est-à-dire le rapport de EN à IR, est plus grand que le rapport de GS à GM. Si nous permutons, le rapport de EN à SG est plus grand que le rapport de IR à GM, c'est-à-dire que le rapport de EL à KG. C'est pourquoi la droite KL coupe selon un rapport plus petit que le rapport selon lequel coupe la droite NS 144 ; nous montrons

On suppose implicitement que SE [lM]. On a fait la démonstration en supposant que S E [lM] ; ce résultat est encore vrai si SE [GM], la démonstration en est élémentaire. 143

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224

Apollonius: La section des droites selon des rapports

comme cela qu'elle coupe selon un rapport plus petit que NS et que toutes les droites menées du point H et sécantes à IG et EA. La droite KL coupe donc selon le plus petit des rapports. Je dis que les droites proches de la droite KL coupent selon des rapports plus petits que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées. Puisque le rapport de EL à KG, c'est-à-dire le rapport de IH à GM, est plus petit que le rapport de EN à GS, si nous faisons en sorte qu'au rapport de EN à SG soit égal le rapport de HI à une autre droite, cette droite sera inférieure à la droite G M, que ce soit à GO. Nous montrons de même - comme nous l'avons montré dans l'analyse - que la surface de El par OG est égale à la surface de IS par SO. Menons une autre droite, soit PQ. Il nous faut alors comparer le rapport de EN à SG, c'est-à-dire IH à GO, au rapport de EQ à PG. Si nous permutons, il nous faut comparer au rapport de EQ à IH, c'est-à-dire au rapport de EP à PI, le rapport de PG à GO. Si nous séparons, il nous faut comparer le rapport de El à IP au rapport de PO à OG 145 et il nous faut comparer la surface de El par GO à la surface de IP par PO. Or la surface de El par GO est égale à la surface de IS par SO, il nous faut donc comparer la surface de IS par SO à la surface de IP par PO. Pour ce faire, il nous faut comparer la surface de IK par KO à la surface de IS par SO. Mais la surface de IS par SO est égale à la surface de El par OG, il nous faut donc comparer la surface de IK par KO à la surface de El par GO. On l'infère ainsi: la surface de IK par KO est plus grande que la surface de El par OG, comme nous allons le démontrer. Puisque la surface de El par GM est plus grande que la surface de El par GO, mais que la surface de El par GM est égale à la surface de IK par KM et que la surface de El par GO est égale à la surface de IS [B-32 r ] par SO, la surface de IK par KM est donc plus grande que la surface de IS par SO et la surface de IK par KO est beaucoup plus grande que la surface de IS par SO. C'est pourquoi la surface de IS par SO est plus grande que la surface de IP par P0 146 et c'est pourquoi, également, la surface de El par GO est plus grande que la surface de IP par PO, le rapport de El à IP est donc plus grand que le rapport de PO à OG. Si nous composons, le rapport de EP à PI, c'est-à-dire le rapport

On suppose donc implicitement que P E [lOlo Puisque KI· KO > SI . SO, K est plus proche du milieu de [l0] que S, donc si IP < IS < IK ou si IK < IS < IP, alors SO . SI> PO . PI. 145

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226

Apollonius: La section des droites selon des rapports

de EQ à IR, est plus grand que le rapport de PG à GO ; par permutation, le rapport de EQ à PG est plus grand que le rapport de IR à GO, c'est-à-dire le rapport de EN à SG. C'est pourquoi la droite NS coupe selon un rapport 47 • Ainsi les plus petit que le rapport selon lequel [1 _17 V] coupe la droite droites qui sont plus proches de la droite KL coupent toujours selon des rapports plus petits que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont plus éloignées.

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La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle, menons, entre les droites EG et El, une droite moyenne proportionnelle, soit EK 148 ; joignons KL. La droite KL coupe selon le rapport de EL à KG plus petit que toutes les droites menées du point R et sécantes aux deux droites GI et EA 149. Le rapport donné est alors soit égal au rapport de EL à KG, soit plus petit, soit plus grand. Si c'est exactement celui -ci, alors la droite KL résout le problème et nous montrons que c'est la seule, car les droites menées de R, autres qu'elle, coupent selon des rapports plus grands que celui selon lequel coupe KL. A Q

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Fig. 52

Si le rapport a été donné inférieur, le problème n'est [B-32 V ] pas possible, car a été donné inférieur au plus petit. Qu'il soit plus grand que le rapport de EL à KG, soit le rapport de n à s. Posons la droite KM égale à la droite IK, la surface de El par MG est alors égale à la surface de IK par KM et le rapport de EL à KG est égal au rapport de IR à GM. Mais le rapport de n à S est plus grand que le rapport de EL à KG, c'est-à-dire le rapport de IR à GM. Si nous faisons en sorte que le rapport de n à s 147 On a démontré ce résultat en supposant que P E [10] ; il est encore vrai si P E lOG], la démonstration en est élémentaire. 148 K E [lG]. 149 i. e. la droite KL coupe GI et EA selon un rapport plus petit que tous les rapports selon lesquels les droites issues de H coupent GI et EA.

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228

Apollonius: La section des droites selon des rapports

soit égal au rapport de IR à une autre droite, elle sera plus petite que la droite GM, que ce soit à GO I50 . Puisque la surface de El par GM est égale à la surface de lK par KM, la surface de El par GO est alors plus petite que la surface de lK par KO. Il nous est alors possible d'appliquer à la droite 01 une surface égale à la surface de El par GO, défaillant d'un carré, de deux manières, de part et d'autre du point K. Les points d'inférence sont les points S et p I51 ; joignons SR et PR et prolongeons-les; je dis que chacune des deux droites SN et PQ résout le problème, c'est-à-dire que le rapport de EQ à PG est égal au rapport de n à s et que le rapport de EN à SG est égal au rapport de n à s. Puisque la surface de El par GO est égale à la surface de lP par PO, le rapport de El à lP est égal au rapport de PO à OG. Si nous composons et permutons, le rapport de EQ à PG est égal au rapport de IR à GO, c'est-àdire au rapport de n à s, la droite PQ résout donc le problème. Nous démontrerions de même que la droite SN le résout; chacune des deux droites SN et PQ résout donc le problème et il est clair que ce sont les seules, car la plus proche l52 coupe selon un rapport inférieur au rapport selon lequel coupe la plus éloignée. Nous déterminons le rapport ainsi: puisque le plus petit rapport est le rapport de EL à KG - c'est-à-dire [B-3Y; 1-18r ] le rapport de IR à GM -, que GM est l'excédent de la somme de GE et de El sur la somme de ME et de El, que la somme de ME et de El est deux fois KE - car la droite MK est égale à la droite KI - et que le double de KE peut la surface de GE par lE quatre fois - car ces droites sont proportionnelles l53 -, c'est pourquoi le plus petit rapport est le rapport de IR à la différence dont la somme de GE et de El excède la droite qui peut la surface de GE par El quatre foisl54. 7.3. Troisième incidence du septième lieu

Fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle et menons également la droite KL selon le troisième cas de figure, telle qu'elle découpe les droites ER et GD selon le rapport de LE à KG égal au rapport donné.

150 0 E [GM]. 151 Set P sont les points issus de l'application des aires qui déterminent les droites cherchées; ce sont eux qui permettent de poursuivre la démonstration (voir note complémentaire 12). 152 i. e. proche du point K. 153 C'est-à-dire que KE est la moyenne proportionnelle de lE et de EG. 154 Pappus détaille encore cette démonstration (La Collection, vol. II, livre VII, proposition 19, p. 526-527).

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230

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Que le rapport de IH à GM soit égal au rapport de LE à KG. Mais la droite IH est donnée, la droite GM est donc donnée et de position donnée; or le point G est donné, le point M est donc également donné 155 , ainsi que la droite lM. Puisque le rapport de LE à KG est égal au rapport de IH à GM, que, si nous permutons, le rapport de LE à HI, c'est-à-dire le rapport de EK à KI, est égal au rapport de KG à GM et que, si nous composons, le rapport de El à IK est égal au rapport de KM à MG, alors la surface de lE par MG est égale à la surface de MK par KI. Or la surface de El par GM est donnée car chacune des deux est donnée, la surface de MK par KI est donc donnée et on l'a appliquée à la droite connue MI, excédant d'un carré, le point K est donc donné; mais le point H est également donné, la droite KL est donc de position donnée. [B-33 V ] A

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Fig. 53

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle. Le rapport donné est le rapport de n à s. Posons le rapport de IH à GM égal au rapport de n à s et appliquons à la droite MI une surface égale à la surface de lE par MG, excédant d'un carré, c'est la surface de MK par KI. Joignons HK et prolongeons-la; je dis que la droite HL résout le problème, c'est-à-dire que le rapport de n à s est égal au rapport de LE à KG 156 • Puisque la surface de El par MG est égale à la surface de MK par KI, le rapport de El à IK est égal au rapport de KM à MG. Si nous séparons, le rapport de EK à KI, c'est-à-dire le rapport de LE à HI, est égal au rapport de KG à GM ; par permutation, le rapport de LE à KG est égal au rapport

155

On suppose implicitement que M E [Ge). en effet EM > MG donc El· EM> El . GM

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232

Apollonius: La section des droites selon des rapports

de IH à GM, c'est-à-dire au rapport de n à s ; la droite HL résout donc le problème. A H

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Fig. 54

Je dis qu'elle seule réalise cela. Si cela était possible, que l'on mène alors une autre droite, soit HP ; si la droite HP coupait selon ce rapport, qui est le rapport de n à s, le rapport de LE à KG serait égal au rapport de PE à OG et c'est ce qui n'est pas possible, puisque l'antécédent [1 -18 V ] est plus petit que l'antécédent et que le conséquent est plus grand que le conséquent 157 . De là nous montrons que la droite HP coupe selon un rapport plus petit que le rapport selon lequel coupe la droite HL, comme cela a été démontré dans nos propos précédents. 7.4. Quatrième incidence du septième lieu Fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle et menons la droite HK selon le quatrième cas de figure, telle qu'elle découpe les droites EA et GD selon le rapport de EL à KG égal au rapport [B-34 r ] donné. Le rapport de IH à GM est égal au rapport de EL à KG ; mais IH est donnée, la droite GM est donc donnée et de position donnée; or le point G est donné, le point M est donc donné 158 ; mais le point 1 est donné, la droite lM est donc donnée. Puisque le rapport de IH à GM est égal au rapport de EL à KG, que, par permutation, le rapport de IH à EL, c'est-à-dire le rapport de

157 158

Si EP < EL, GO > GK. On suppose implicitement que M

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234

Apollonius: La section des droites selon des rapports A

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Fig. 55

lK à KE, est égal au rapport de MG à GK et que, si nous convertissons, le rapport de GM à MK est égal au rapport de KI à lE 159 , alors la surface de GM par lE est égale à la surface de lK par KM. Or la surface de lE par GM est donnée, la surface de lK par KM est donc donnée et on l'a appliquée à la droite donnée lM, défaillant d'un carré; le point K est donc connu, or le point R est connu, la droite RL est donc de position donnée.

Puisque dans la synthèse le rapport de IR à GM est égal au rapport donné et qu'il nous faut appliquer à lM une surface égale à la surface de GM par lE, défaillant d'un carré - lK par KM par exemple - et qu'il ne nous est pas toujours possible de l'application, compte tenu de ce que nous avons indiqué pour les incidences dont le rapport donne lieu à discussion, c'est pourquoi il ne nous est pas toujours possible de faire la synthèse du problème dans tout cas de figure. H

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Fig. 56

Qu'il le soit d'abord selon un seul cas de figure, celui où le point K est au milieu de lM. Le problème devient alors le suivant: comment trouver un rapport tel que, si nous faisons en sorte que rapport de IR à GM lui soit égal

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IK> EK donc CM> CK et K E [lM].

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236

Apollonius: La section des droites selon des rapports

et si nous coupons lM en deux moitiés au point K, la surface de GM par lE soit égale à la surface de lK par KM? Qu'il en soit ainsi; prenons un point sur la droite GD, M par exemple, coupons la droite lM en deux moitiés au point K et supposons la surface de GM par lE égale à la surface de lK par KM. Puisque la surface de GM par lE est égale à la surface de lK par KM, le rapport de GM à KM est égal au rapport de KI à lE. Si nous séparons, le rapport de GK à KM est égal au rapport de KE à E1160 • Or la droite MK est égale [B-34 V] à la droite lK, le rapport de GK à KI est donc égal au rapport de KE à El. Nous permutons, le rapport de GK à KE devient alors égal au rapport de KI à El ; nous séparons, le rapport de GE à EK est alors égal au rapport de KE à El, la droite EK est donc moyenne proportionnelle des droites GE et El ; mais chacune [1 -19 r ] des deux droites GE et El est donnée, la droite EK est donc donnée et de position donnée; or le point E est donné, le point K est donc donné; mais le point 1 est donné, la droite lK est donc donnée et elle est égale à la droite KM, la droite KM est donc donnée et de position donnée; le point K est donné, le point M est donc donné et le <point> cherché, c'est le point M. La synthèse de cette analyse se fait ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle. Menons entre les droites GE et El une droite moyenne proportionnelle, la droite EK, posons la droite KM égale à la droite lK 161 • Joignons KR ; je dis que la surface de GM par El est égale à la surface de lK par KM et que le rapport de EL à KG est le rapport de IR à GM.

Puisque le rapport de GE à EK est égal au rapport de EK à El et que le tout au tout est égal à un même rapport, le rapport de GK à KI est égal au rapport de KE à El; or la droite KI est égale à la droite KM, le rapport de GK à KM est donc égal au rapport de KE à El ; si nous composons, le rapport de GM à MK est égal au rapport de KI à lE et la surface de GM par El est égale à la surface de lK par KM. En outre, puisque le rapport de GM à MK est égal au rapport de KI à lE, alors, si nous convertissons, le rapport de MG à KG est égal au rapport de lK à KE, c'est-à-dire au rapport de IR à EL; par permutation, le rapport de IR à GM est égal au rapport de EL à GK.

On suppose implicitement que CM> CE et que lM> 21E. K E [ED); les conditions CM> CE et lM > 2·IE sont alors satisfaites et on peut inverser la séquence correspondante. 160

161

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238

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Il nous est donc nécessaire, avant la synthèse, de prendre, entre les droites GE et El, une droite moyenne proportionnelle, la droite EK, et de joindre RK. Cherchons ensuite si la droite RK coupe selon le rapport de EL à GK, plus petit ou plus grand que toutes les droites [B-3Y] menées du point R et sécantes aux deux droites GD et EA 162. Nous déterminons le problème ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle, menons entre les droites GE et El une droite moyenne proportionnelle, la droite EK, joignons RK. Il nous faut chercher si la droite RK coupe selon le rapport de EL à GK, plus grand ou plus petit que toutes les droites qui sont menées du point R et sécantes à GD et EA. Posons la droite KM égale à la droite IK, la surface de GM par El est alors égale à la surface de IK par KM et le rapport de EL à GK est égal au rapport de IR à GM.

Menons une autre droite, soit RN. Il nous faut comparer le rapport de EL à GK, c'est-à-dire le rapport de IR à GM, et le rapport de ES à GN. Par permutation, il nous faut comparer le rapport de IR à ES, c'est-à-dire NI à NE, et le rapport de MG [I-19 V ] à GN. Si nous convertissons l63 , il nous faut comparer le rapport de GM à MN et le rapport de NI à lE et il nous faut comparer la surface de GM par El et la surface de IN par NM. Mais la surface de IK par KM est égale à la surface de GM par El, il nous faut donc comparer la surface de IK par KM et la surface de IN par NM. On l'infère ainsi: la surface de IK par KM est plus grande que la surface de IN par NM; mais la surface de IK par KM est égale à la surface de GM par lE, la surface de GM par lE est donc plus grande que la surface de IN par NM et le rapport de NI à lE est plus petit que le rapport de GM à NM. Si nous convertissons, le rapport de IN à NE, c'est-à-dire le rapport de IR à SE, est plus grand que le rapport de MG à GN. Par permutation, le rapport de IR à GM, c'est-à-dire EL à GK, est plus grand que le rapport de ES à GN164 • La droite RK coupe donc selon un rapport plus grand que la droite

i. e. plus petit ou plus grand que le rapport selon lequel coupent. .. On suppose implicitement que NE [EM]. 164 On a fait la démonstration en supposant que NE [EM] ; le résultat est encore vrai si NE [MD), la démonstration en est élémentaire. 162

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240

Apollonius: La section des droites selon des rapports

HN; nous montrons comme cela qu'elle coupe selon un rapport plus grand que HN et que toutes les droites qui sont menées du point H et sécantes aux deux droites GD et EA. La droite HK coupe donc selon le rapport de EL à KG plus grand que les droites qui sont menées du point H et sécantes aux deux droites EA et GD. [B-3SV]

Je dis que les droites qui sont proches de la droite HK coupent selon des rapports plus grands que celles qui en sont éloignées. Puisque le rapport de EL à KG, c'est-à-dire IH à GM, est plus grand que le rapport de ES à GN, si nous faisons en sorte que le rapport de ES à GN soit égal au rapport de IH à une autre droite, ce sera à plus grande que GM, que ce soit à GO. Nous montrons de même 165 que la surface de GO par lE est égale à la surface de IN par NO. Menons une autre droite, soit HP ; il nous faut comparer le rapport de ES à GN, c'est-à-dire IH à GO, et EQ à GP. Par permutation, il nous faut comparer le rapport de IH à EQ et le rapport de OG à GP ; or le rapport de IH à EQ est égal au rapport de IP à PE. Il nous faut donc comparer le rapport de IP à PE et le rapport de OG à GP. Si nous convertissons, il nous faut comparer le rapport de PI à lE et le rapport de GO à OP 166 et il nous faut comparer la surface de GO par El et la surface de IP par PO. Mais la surface de GO par lE est égale à la surface de IN par NO, il nous faut donc comparer la surface de IN par NO et la surface de IP par PO et il nous faut comparer la surface de IK par KO et la surface de IN par NO; mais la surface de IN par NO est égale à la surface de GO par lE, il nous faut donc comparer la surface de IK par KO et la surface de GO par lE. On l'infère ainsi: la surface de IK par KO est plus grande que la surface de GO par lE, comme nous le montrons: puisque la surface de OM par KI est plus grande que la surface de OM par El, mais que la surface de MK par KI est égale à la surface de MG par lE, la surface de IK par KO tout entière est plus grande que la surface de GO [I-20 f ] par lE, c'est-à-dire que la surface de IN par NO. C'est pourquoi la surface de IN par NO est plus

165 166

Comme cela a été démontré dans l'analyse. On suppose implicitement que P E [EG].

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242

Apollonius: La section des droites selon des rapports

grande que la surface de lP par P0 167 • La surface de GO par lE est donc plus grande que la surface de lP par PO et le rapport de lP à lE est plus petit que le rapport de GO à PO. Si nous convertissons, le rapport de lP à PE, c'est-à-dire le rapport de lH à EQ, est plus grand que le rapport de OG à GP. Par permutation, le rapport de lH à GO, c'est-à-dire le rapport de ES à GN, est plus grand que le rapport de EQ à Gp 168 • C'est pourquoi la droite HN coupe selon un rapport plus grand que celui selon lequel coupe HP. Ainsi les proches de la droite HK coupent toujours selon des rapports plus grands que celles qui en sont éloignées. [B-36r ] La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle, menons entre les droites EG et El une droite moyenne proportionnelle, soit EK 169 ; joignons HK. La droite HK coupe selon le rapport de EL à GK, plus grand que toutes les droites qui sont menées du point H et sécantes aux deux droites GD et EA. Le rapport donné dans la synthèse est alors soit le rapport de EL à GK, soit plus grand, soit plus petit.

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B

Fig. 57

Si c'est le rapport de EL à KG, la droite HK résout le problème. S'il est plus grand que le rapport de EL à KG, le problème n'est pas possible, car devient beaucoup trop grand. Supposons le rapport de n à s plus petit que le rapport de EL à KG et posons la droite KM égale à la droite lK, la surface de GM par lE est alors

167 Puisque K est plus proche du milieu de [l0] que N, si EP < EN < EK ou si EK < EN < EP < EO, alors NO . NI > PO, PI. 168 On a fait la démonstration en supposant que P E [EOJ, le résultat est encore vrai si P E [OD), la démonstration en est élémentaire. 169 K E [ED).

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244

Apollonius: La section des droites selon des rapports

égale à la surface de IK par KM et le rapport de EL à KG est égal au rapport de HI à GM. Puisque le rapport de n à s est plus petit que le rapport de EL à KG, c'est-à-dire IH à GM, si nous faisons en sorte que le rapport de n à s soit égal au rapport de IH à une autre droite, elle sera plus grande que GM, que ce soit à GO l7o . Puisque la surface de IK par aM est plus grande que la surface de lE par aM, mais que la surface de IK par KM est égale à la surface de MG par lE, la surface de IK par Ka tout entière est plus grande que la surface de GO par lE; il nous est donc possible d'appliquer la surface de GO par lE à la droite la, défaillant d'un carré, de deux manières, de part et d'autre du point K. Que les points d'inférence soient les points N et P. Joignons HN et HP; je dis que chacune des deux droites HN et HP résout le problème, c'est-à-dire que le rapport de n à s est égal au rapport de ES à GN et que le rapport de n à s est égal au rapport de EQ à Gp 171 • Puisque la surface de IN par NO est égale à la surface de GO par lE, le rapport de GO à ON est égal au rapport de IN à lE. Si nous convertissons, le rapport de OG à GN est égal au rapport de IN à NE, c'est-à-dire au rapport de IH à ES. Par permutation, le rapport de IH à [B-36 V ] GO est égal au rapport [I-20 V ] de ES à GN. Le rapport de IH à GO est égal au rapport de n à s, le rapport de n à s est donc égal au rapport de ES à GN. Nous montrerions de même que le rapport de EQ à GP est égal au rapport de n à s. Chacune des <deux droites> HN et HP résout donc le problème et il est clair que ce sont les seules, car les proches de la droite HK coupent selon des rapports plus grands que celles qui en sont éloignées. Nous déterminons le rapport ainsi: puisque le grand rapport est le rapport de EL à GK, c'est-à-dire le rapport de IH à GM, ou à GK plus KI - car MK est égale à la droite IK - et que des deux droites GK et KI est égale à des deux droites GE et El et de deux fois EK, mais que le double de EK peut la surface de GE par El quatre fois, c'est pourquoi le rapport de IR à GM est égal au rapport de IH à la <somme> composée de chacune des deux GE et El et de qui peut la surface de GE par El quatre fois 172.

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171

0 E [MD). P E [KO] et N E [EK], en effet: OG > OE, donc

KI . KO > NI· NO = OG . El> OE . El. 172 Pappus détaille encore cette démonstration (La Collection, vol. II, livre VII, proposition 20, p. 527).

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246

Apollonius: La section des droites selon des rapports

Étant donné que nous avons montré comment faire la synthèse du problème selon toutes les incidences en lesquelles il a été subdivisé, montrons alors combien de fois il est possible d'en faire la synthèse pour l' ensemble des manières. A

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B

Fig. 58

Fixons les choses en l'état jusqu'à la droite parallèle, menons entre les droites GE et El une droite moyenne proportionnelle, on aura chacune des deux droites EK et EN. Joignons RK et RN et posons la droite IK égale à la droite KM et la droite IN égale à la droite NO. Le rapport de EL à KG, c'est-à-dire le rapport de IR à GM, est le plus petit des rapports dans le deuxième cas de figure et le rapport de ES à NG, c'est-à-dire le rapport de IR à GO, est le plus grand des rapports dans le quatrième. Nous montrons que le rapport de IR à GM, dans le deuxième cas de figure, est plus grand que son rapport à GO. Le rapport donné est donc soit le rapport de IR à [B-37 f ] GM, soit plus grand que le rapport de IR à GM, soit plus petit que le rapport de IR à GM et plus grand que le rapport de IR à GO, soit c'est le rapport de IR à GO, soit il est plus petit que le rapport de IR à GO. Si c'est le rapport de IR à GM, le problème est possible dans trois cas de figure, le premier, le troisième et une seule sorte du deuxième cas; et il n'est pas possible dans le quatrième, car le rapport de IR à GM est plus grand que le rapport de IR à GO.

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248

Apollonius: La section des droites selon des rapports

S'il a été donné plus grand que le rapport de IR à GM, le problème est possible dans quatre cas de figure, le premier, le troisième et deux sortes du deuxième cas; il n'est pas possible dans le quatrième, car le rapport donné est plus grand que IR à GM et IR à GM est plus grand comme rapport que les rapports du quatrième cas. S'il a été donné plus petit [1-21'] que le rapport de IR à GM et plus grand que IR à GO, le problème est possible dans deux cas de figure, le premier et le troisième, et il n'est possible ni dans le deuxième ni dans le quatrième, car le rapport donné est plus petit que le plus petit du deuxième cas et plus grand que le plus grand du quatrième cas. S'il a été donné égal au rapport de IR à GO, le problème est possible dans trois cas de figure, le premier, le troisième et une seule sorte du quatrième; et il n'est pas possible dans le deuxième cas, car le rapport donné est plus petit que le plus petit . S'il a été donné plus petit que le rapport de IR à GO, le problème est possible dans quatre cas de figure, le premier, le troisième et deux sortes du quatrième; et il n'est pas possible dans le deuxième cas, car il a été donné plus petit que le plus petit . Nous avons donc démontré cela pour les différents rapports. Le premier livre du traité d'Apollonius sur la section des droites selon des rapports est achevé et il comporte vingt-quatre propositions. Louanges à Dieu, au commencement et à la fin. Que le salut et la bénédiction de Dieu soit sur notre seigneur Mul:zammad le Prophète, sa famille et ses compagnons.

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Au nom de Dieu Clément et Miséricordieux

SECOND LIVRE DU TRAITÉ D'APOLLONIUS SUR LA SECTION DES DROITES SELON DES RAPPORTS

Soient deux droites de position donnée, sécantes en M, que ce soient AB et DE; supposons sur la droite AB le point C et sur la droite DE le point G. Posons d'abord le point donné le point H.

Huitième lieu

Situons-le à l'intérieur de l'angle DMB ; l'incidence des droites qui sont menées du point H et qui coupent selon le rapport donné a lieu selon cinq cas de figure: elles découpent soit les deux droites CB et GE, soit les deux droites CB et MG, soit les deux droites GD et CA, soit les deux droites GD et CM, soit les deux droites DG et CB 173 • 8.1. Première incidence du huitième lieu

Menons d'abord la droite HQ de la première manière, telle qu'elle découpe les droites CB et GE selon le rapport de CQ à GP égal au rapport donné. Joignons CH. Puisque le point C est donné ainsi que le point H, la droite CH est de position donnée; mais la droite ED est de position donnée,

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Ou plutôt DG et MB pour distinguer ce cas du précédent.

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252

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports B

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Fig. 59

le point 1 est donc donné. Menons du point 1 une droite parallèle à la droite AB, soit KL. Puisqu'on a mené d'un point donné, le point l, une droite, la droite KL, parallèle à la droite donnée qui est AB, que les points C, 1 et H sont donnés et que chacune des deux droites CH et HI est donnée, le rapport de CH à HI est donné et, par conséquent, le rapport de CQ à IN est donné. Mais le rapport de CQ à CP est donné, le rapport de IN à CP est donc donné. Si donc les droites KL et DE sont données, si l'extrémité de la droite KL est au point 1 et l'extrémité de la droite DE au point C 174, si le point donné, le point H, est intérieur à l'angle DlL et si l'on mène une droite quelconque, la droite HP, qui coupe selon le rapport de IN à CP égal à un rapport donné, la droite HP est alors donnée, comme nous l'avons démontré dans le premier livre, dans la quatrième proposition, dans la première incidence 175 ; c'est ce que nous voulions démontrer l76 . [I-22 r ; B-3S r ] La synthèse de ce problème se fait ainsi: que le rapport de n à 0 soit donné, posons le rapport de CH à HI égal au rapport de n à u. Si donc l'on a, dans un plan, deux droites données, les droites KL et DE, si l'extrémité de KL est au point 1 et l'extrémité de la droite DE au point C, si le point donné, le point H, est intérieur à l'angle D IL et si l'on mène la droite HP de la manière que nous avons indiquée dans la première incidence de la quatrième proposition, telle qu'elle coupe selon le rapport de IN à CP égal au rapport de u à 0, je dis que la droite HP achève le problème.

174 Cette expression, que l'on retrouve à de nombreuses reprises dans le livre II, signifie que les points donnés sur les droites (KL) et (ED), qui déterminent les extrémités des segments cherchés dont le rapport est donné, sont les points 1 et G. 175 i. e. la première incidence du quatrième lieu. 176 Voir note complémentaire 9.

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Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

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Fig. 60

Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de CQ à IN, mais que le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, le rapport de CQ à IN est égal au rapport de n à u. Mais le rapport de IN à GP est égal au rapport de u à 0 ; par l'égalité, le rapport de CQ à GP est donc égal au rapport de n à 0 ; la droite HP achève donc le problème et il est clair que c'est la seule; c'est ce que nous voulions démontrer. 8.2. Deuxième incidence du huitième lieu

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Fig. 61

Menons ensuite la droite HP selon la deuxième incidence, telle qu'elle découpe les droites GM et CB selon le rapport de CQ à GP égal au rapport donné. Joignons CH. Puisque [B-38 V] le point C est donné et que le point H est également donné, la droite CH est donnée; mais la droite DE est de position donnée, le point 1 est donc donné. Menons par le point 1 une droite parallèle à la droite AB, la droite KL, la droite KL est donc de position donnée. Puisque les points C, 1 et H sont donnés, chacune des deux droites CH et HI est donnée, le rapport de CH à HI est donc donné; mais le

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256

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

rapport de CH à HI est égal au rapport de CQ à IN, le rapport de CQ à IN est donc donné; or le rapport de CQ à CP est donné, le rapport de IN à CP est donc donné. Si donc l'on a dans un plan deux droites de position donnée, KL et DE, si l'extrémité de KL est au point 1 et l'extrémité de la droite DE au point C, si le point donné, le point H, est à l'intérieur de l'angle DIL, si l'on mène une droite quelconque, la droite HP, qui coupe selon le rapport de IN à CP, la droite HP est alors donnée, comme nous l'avons démontré dans le premier livre, dans le quatrième lieu, dans la deuxième incidence 177 ; c'est ce que nous voulions démontrer. Il nous est nécessaire, dans la synthèse de cela, que le rapport donné soit plus grand que le rapport de CM à MC : puisque la droite CQ est plus grande que la droite CM et que la droite PC est plus petite que la droite CM, son rapport <à CM 178> est plus grand que le rapport de CP à CM ; si nous permutons, le rapport de CQ à PC est plus grand que le rapport de CM à MC ; mais le rapport de CQ à PC est égal [I-22 V ] au rapport donné, c'est pourquoi il faut que le rapport donné soit plus grand que le rapport de CM à MC 179. B

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Fig. 62

La synthèse de ce problème se fait ainsi: que tout ce que nous avons indiqué soit en l'état; le rapport donné est le rapport de n à 0 et il est plus grand que le rapport de CM à MC I80 . Joignons CH et HM et posons le 177 D'après 4.2, quel que soit le rapport donné k, il existe un unique point P E [GI] tel que!!!.... = k. Cependant Apollonius, dans ce cas comme dans tous les cas semblables,

CP

distingue le cas où P E [GM] (cas 8.2) du cas où P E [MI] (cas 8.4) et se voit dès lors contraint de discuter de l'existence du point P en fonction du rapport donné. 178 i. e. le rapport de CQ à CM. 179 Démonstration directe qui ne fait pas intervenir la décroissance du rapport sur J'intervalle [GI] établie en 4.2 ; elle interviendra en revanche dans la synthèse. 180 La discussion, en fonction des valeurs du rapport donné, n'est pas systématiquement exposée dans les cas à diorisme du livre II.

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258

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

rapport de CH à HI égal au rapport de n à u. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, mais que le rapport de CH à HI est égal au rapport de CM à IS, le rapport de CM à IS est égal au rapport de n à u. Or le rapport de n à [B-39 r ] 0 est plus grand que le rapport de CM à MG; par l'égalité, le rapport de u à 0 est donc plus grand que le rapport de IS à MG. Si nous voulons mener du point H, selon la deuxième manière du quatrième lieu, une droite quelconque qui découpe les droites KL et IG selon un rapport égal au rapport de u à 0, alors cette droite, si on la mène, coupe la droite GM - c'est-à-dire que l'incidence du point M est au-dessus 1S1 - car on a mis en évidence que les droites qui sont proches du point 1 coupent selon des rapports plus petits que celles qui en sont éloignées, comme cela a été démontré dans la synthèse de la deuxième incidence du quatrième lieu. Menons alors la droite PH telle qu'elle coupe selon le rapport de IN à PG, qui est égal au rapport de u à 0; je dis que PH achève le problème. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, mais que le rapport de CH à HI est égal au rapport de CQ à IN, le rapport de CQ à IN est égal au rapport de n à u ; or le rapport de IN à PG est égal au rapport de u à 0 ; par l'égalité, le rapport de CQ à PG est alors égal au rapport de n à 0 ; la droite HP achève donc le problème et il est clair que c'est la seule; c'est ce que nous voulions démontrer. 8.3. Troisième incidence du huitième lieu

Menons la droite HP selon la troisième incidence, telle qu'elle découpe les droites CA et GD selon le rapport de CP à GN égal au rapport donné 1s2 • Joignons CH. Puisque le point C est donné et que le point H est également donné, la droite CH est donnée; mais la droite DE est de position donnée, le point 1 est donc

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Fig. 63

ISI Voir note complémentaire 8 sur les expressions «au-dessus» et «audessous» . IS2 Changement de notations. L'ordre logique serait d'étudier le cas où P E [MI] (cas (8.4) à la suite du cas 8.2).

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260

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

donné. Menons par le point 1 une droite parallèle à la droite AB, la droite KL ; la droite KL est alors de position donnée. Puisque la droite KL ainsi que les points C, H et 1 sont donnés, chacune des deux droites [B-39 V ] CH et HI est donnée, le rapport de CH à HI est égal au rapport de CP à QI, le rapport de PC à IQ est donc donné. Mais le rapport de PC à GN est donné, le rapport de IQ à GN est donc donné. Étant donné que l'on a dans un plan deux droites données, KL et DE, que l'extrémité de la droite KL [I-23 r ] est au point 1 et l'extrémité de la droite DE au point G, que le point donné est le point H et qu'il est intérieur à l'angle D IL, que l'on mène une droite quelconque, la droite HP, qui coupe selon le rapport de IQ à GN, la droite HP est alors donnée, comme cela a été démontré dans le premier livre, dans le quatrième lieu, dans la troisième incidence; c'est ce que nous voulions démontrer. La synthèse de ce problème se fait ainsi: que le rapport donné soit le rapport de n à 0 ; fixons tout le reste en l'état et posons le rapport de CH à HI égal au rapport de n à u. Si l'on a dans un plan deux droites données, les droites KL et DE, si l'extrémité de la droite KL est au point 1 et l'extrémité de la droite DE au point G, si le point donné, le point H, est intérieur à l'angle DIL, menons alors - selon la troisième incidence du quatrième lieu une droite quelconque, la droite HQ, qui coupe selon le rapport de IQ à GN égal au rapport de U à 0 ; prolongeons la droite H Q jusqu'en P, je dis que HP achève le problème. H E

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Fig. 64

Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, le rapport de CP à IQ est égal au rapport de n à u. En outre, le rapport de IQ à GN est égal au rapport de u à 0 donc, par l'égalité, le rapport de PC à GN est

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262

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

égal au rapport de n à o. La droite HP achève donc le problème et il est clair que c'est la seule; c'est ce [BAor] que nous voulions démontrer. 8.4. Quatrième incidence du huitième lieu L

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Fig. 65

Menons la droite HP selon la quatrième incidence, telle qu'elle découpe les droites CM et GD selon le rapport de PC à GN égal au rapport donné; joignons la droite CH. Puisque le point C est donné et que le point H est donné, la droite HC est donnée; or la droite DE est donnée, le point 1 est donc donné. Menons du point 1 une droite parallèle à la droite AB, soit KL, la droite KL est alors donnée. Puisque les points C, H et 1 sont donnés, chacune des deux droites CH et HI est donnée, le rapport de CH à HI est donc donné. Mais le rapport de CH à HI est égal au rapport de PC à IQ, le rapport de PC à IQ est donc donné; or le rapport de PC à GN est donné, le rapport de IQ à GN est donc donné. Étant donné que l'on a dans un plan deux droites données, KL et DE, que l'extrémité de KL est au point 1 et l'extrémité de DE au point G, que le point [I-23 V] donné, qui est le point H, est à l'intérieur de l'angle DIL et que l'on mène une droite quelconque, la droite HP, qui coupe selon le rapport de IQ à GN, la droite HP est alors donnée, comme cela a été démontré dans le premier livre, dans le quatrième lieu, dans la deuxième incidence. Il nous est nécessaire, dans la synthèse, que le rapport donné soit plus petit que le rapport de CM à MG: puisque la droite MC est plus longue que CP et que la droite MG est plus petite que la droite GN, le rapport de

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264

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

MC à PC est plus grand que le rapport de MG à GN; par permutation, le rapport de MC à MG est plus grand que le rapport de CP à GN; mais le rapport de PC à GN est le rapport donné, [B-40 V ] il nous est donc néces-

saire que le rapport donné dans la synthèse soit plus petit que le rapport de CM à MG 183 ; c'est ce que nous voulions démontrer. L

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Fig. 66

La synthèse de ce problème se fait ainsi: que tout ce que nous avons indiqué soit en l'état, le rapport donné est le rapport de n à 0 et il est plus petit que le rapport de CM à MG. Joignons HM et posons le rapport de CH à HI égal au rapport de n à u. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de CM à 15 et que le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, le rapport de CM à 15 est égal au rapport de n à u. Mais le rapport de CM à MG est plus grand que le rapport de n à 0; par l'égalité, le rapport de 15 à MG est donc plus grand que le rapport de u à o. Si donc nous menons du point H une droite qui découpe les droites GI et IL selon un rapport égal au rapport de u à 0, cette droite coupera lM : du fait que les droites KL et DE sont données, que l'extrémité de la droite KL est au point 1 et l'extrémité de la droite DE au point G, que le point donné est intérieur à l'angle DIL et que l'on a mené - selon la deuxième incidence de la quatrième proposition 184 -la droite HM, telle qu'elle coupe selon le rapport de 15 à MG qui est plus grand que le rapport de u à 0, alors, si nous voulons mener une autre droite qui coupe selon un rapport égal au rapport de u à 0, la droite tombant ainsi sera à la place de HN 185 , car les droites proches du

Démonstration directe comme dans le cas 8.2. i. e. la deuxième incidence du quatrième lieu. 185 C'est-à-dire sera confondue avec HN et le point N appartiendra au segment 183

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266

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

point 1 coupent toujours selon des rapports plus petits que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées; que ce soit la droite HN, prolongeons-la, [BAI f] je dis que la droite HP achève le problème. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de CP à IQ et au rapport de n à u, et que le rapport de IQ à GN est égal au rapport de u à 0, par l'égalité, le rapport de CP à GN est égal au rapport de n à 0 ; la droite HP achève [I-23 f ] donc le problème; c'est ce que nous voulions démontrer.

8.5. Cinquième incidence du huitième lieu B

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K

Fig. 67

Menons la droite PN selon la cinquième incidence, telle qu'elle découpe les droites GD et CB selon le rapport de CN à PG égal au rapport donné; joignons CH. Puisque le point C est connu et que le point H est connu, la droite CH est donnée; mais la droite DE est donnée, le point 1 est donc donné. Menons du point 1 une droite parallèle à la droite AB, soit KL, la droite KL est alors donnée. Puisque les points C, H et 1 sont donnés, chacune des deux droites CH et HI est donnée et le rapport de CH à HI est donné. Mais le rapport de CH à HI, lui, est égal au rapport de CN à IQ, le rapport de CN à IQ est donc donné. Mais le rapport de CN à GP, comme celui-ci, est donné, le rapport de IQ à GP est donc donné. Étant donné que l'on a deux droites données, les droites KL et DE, que l'extrémité de la droite KL est au point 1 et l'extrémité de la droite DE au point G, que le point donné, le point H, est à l'intérieur de l'angle DIL et qu'il passe une droite quelconque, la droite PQ, qui coupe selon le rapport de IQ à GP, la

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268

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

droite PQ est de position donnée, comme nous l'avons montré dans le premier livre, dans le quatrième lieu, selon la quatrième incidence; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-4P] La synthèse du problème se fait ainsi: que le rapport donné soit le rapport de n à o. Fixons ce que nous avons indiqué en l'état et posons le rapport de CH à HI égal au rapport de n à u. Étant donné que l'on a dans un plan deux droites de position donnée, les droites KL et DE, que l'extrémité de la droite KL est au point 1 et l'extrémité de la droite DE au point G, que le point donné, le point H, est à l'intérieur de l'angle DIL, que le rapport donné est le rapport de u à 0, menons - selon la quatrième incidence du quatrième lieu -la droite PQ, telle qu'elle coupe selon le rapport de IQ à GP égal au rapport de u à 0; tirons PQ, c'est la droite PQN, je dis que la droite PQN achève le problème. A

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B

Fig. 68

Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de CN à IQ, mais que le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, le rapport de CN à IQ est égal au rapport de n à u. Or le rapport de IQ à PG est égal au rapport de u à 0 ; par l'égalité, [I-24 V ] le rapport de CN à PG est donc égal au rapport de n à 0 ; c'est ce que nous voulions démontrer. Prolongeons également les deux droites de position donnée; qu'elles se terminent, pour la droite AB au point C et pour la droite DE au point G. Le point donné, le point H, est intérieur à l'angle EMB.

269

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270

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Neuvième lieu

Que la droite menée du point H et parallèle à la droite AB tombe d'abord au point connu, [B-42 r ] qui est le point G. L'incidence des droites menées du point H a lieu selon quatre cas de figure: elles découpent soit les droites CB et GE, soit les droites CA et GD, soit les droites CM et MG, soit les droites CB et GD 186 • 9.1. Première incidence du neuvième lieu

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Fig. 69

Menons d'abord la droite NHP selon la première incidence, telle qu'elle découpe les droites CB et GE selon le rapport de CN à GP égal au rapport donné; joignons CH. Le point H est donné, le point C est donné, la droite DE est de position donnée ainsi que la droite CH, le point 1 est donc donné. Menons du point 1 une droite parallèle à la droite AB, la droite KL, la droite KL est alors de position donnée. Puisque chacune des deux droites CH et HI est donnée, le rapport de CH à HI est donné; mais le rapport de CH à HI est égal au rapport de CN à IQ, le rapport de CN à IQ est donc donné. Or le rapport de CN à GP est donné, le rapport de IQ à GP est donc donné. Étant donné que l'on a dans un plan deux droites données de position donnée, les droites KL et DE, que l'extrémité de la droite KL est au point 1 et l'extrémité de la droite DE au point G, que le point donné, le

186

Ou plutôt CE et MD pour distinguer ce cas du précédent.

271

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272

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

point H, est intérieur à l'angle EIL, que la droite qui passe par le point H, parallèle à la droite AB, tombe d'abord au point G et qu'une droite quelconque, la droite NH, tombe de sorte qu'elle coupe selon le rapport de IQ à GP, alors la droite NHP est de position donnée, comme cela a été démontré dans le prenùer livre, dans le cinquième lieu, dans la première incidence; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-42 V] La synthèse du problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, posons les choses selon ce que nous avons décrit posons le dans l'analyse; que le rapport donné soit le rapport de n à rapport de CH à HI égal au rapport de n à u. Étant donné que l'on a dans un plan deux droites données, KL et DE, que l'extrénùté de la droite KL est au [1-2Y] point 1 et l'extrémité de la droite DE au point G, que le point donné, le point H, est intérieur à l'angle EIL, que le rapport est le rapport de u à 0, que l'on a mené la droite PQ selon la prenùère incidence du cinquième lieu - car la droite parallèle tombe au point G -, telle qu'elle coupe selon le rapport de IQ à GP égal au rapport de u à 0, prolongeons la droite PHNQ, je dis alors que la droite PHNQ achève le problème.

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Fig. 70

Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de CN à IQ, mais que le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, le rapport de CN à IQ

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273

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274

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

est égal au rapport de n à u. Mais le rapport de IQ à GP est égal au rapport de u à 0 ; par l'égalité, le rapport de CN à GP est donc égal au rapport de n à 0; la droite PNHQ achève donc le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. 9.2. Deuxième incidence du neuvième lieu H

E

D

Fig. 71

Menons ensuite la droite HP selon la deuxième incidence, telle qu'elle découpe les droites CA et GD selon le rapport de CP à GQ égal au rapport donné l87 ; joignons CH, le point 1 est alors donné. Menons du point 1 une droite parallèle à la droite AB, soit KIL, la droite KIL est alors de position donnée. Puisque le rapport de CH à HI est donné et que le rapport de CH [B-43 r ] à HI est égal au rapport de CP à IN, le rapport de CP à IN est donné. Mais le rapport de CP à GQ est donné, le rapport de IN à GQ est donc donné. Si donc deux droites KL et DE sont données, si l'extrémité de la droite KL est au point 1 et l'extrémité de la droite DE au point G, si le point donné, le point H, est intérieur à l'angle EIL, si la droite parallèle tombe au point G, si l'on a mené une droite, HN, qui découpe les droites IK et GD selon un rapport donné, la droite HPN est alors de position donnée, comme cela a été démontré dans le premier livre, dans le cinquième lieu, dans la deuxième incidence ; c'est ce que nous voulions démontrer. La synthèse de ce problème se fait ainsi: que tout ce que nous avons indiqué soit en l'état que nous avons décrit, que le rapport donné soit le rapport de n à 0, posons le rapport de CH à HI égal au rapport de n à u.

187

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276

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Étant donné que l'on a dans un plan deux droites données, les droites KL et DE, que la droite K L passe par le point 1 qui est son extrémité, que l'extrémité de la droite DE est au point G, que le point [I-2SV] donné, le point H, est intérieur à l'angle EIL, que l'incidence de la droite parallèle est au point G et que le rapport est le rapport de u à 0, que l'on mène - selon la deuxième incidence du cinquième lieu -la droite HQN, telle qu'elle coupe selon le rapport de IN à GQ égal au rapport de u à 0, et que l'on la prolonge jusqu'au point P, je dis alors que la droite HP achève le problème. H

E

B

D

Fig. 72

Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de CP à IN, mais [B43 V ] que le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, le rapport de CP à IN est égal au rapport de n à u. Mais le rapport de IN à GQ est égal au rapport de u à 0 ; par l'égalité, le rapport de CP à GQ est donc égal au rapport de n à 0; la droite HQP achève donc le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. 9.3. Troisième incidence du neuvième lieu

Menons la droite HP selon la troisième incidence, telle qu'elle découpe les droites CM et MG selon le rapport de CP à GQ égal au rapport donné; joignons CH, le point 1 est alors donné; menons par le point 1 une droite parallèle à la droite AB, la droite KIL; la droite KIL est alors de position donnée. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de PC à IN,

277

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278

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

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Fig. 73

le rapport de CP à IN est donné ainsi que le rapport de CP à GQ, le rapport de IN à GQ est donc donné. Étant donné que l'on a dans un plan deux droites de position donnée, KL et DE, que l'extrémité de KL est au point 1 et l'extrémité de DE au point G, que le point donné, le point H, est intérieur à l'angle EIL, que la droite parallèle tombe au point G et que l'on a mené la droite HQ telle qu'elle coupe selon le rapport de IN à GQ égal au rapport donné, la droite HNQ est alors donnée et elle achève le problème, comme cela a été démontré dans le premier livre, dans le cinquième lieu, dans la troisième incidence; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-44r ] Nous déterminons cela ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état. Que la droite Gl soit ou bien plus petite que la droite lM, ou bien plus grande l88 • H

Qu'elle ne soit tout d'abord pas plus petite qu'elle. Joignons HM, je dis que la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, le plus grand de tous [1 -26 r ] les rapports selon lesquels coupent toutes les droites menées du point H et sécantes aux deux droites CM et lM.

188

B

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D'après 5.3, il existe Q E [ID), tel que.!'!!... = g, à condition que g::::; CQ

CH, 4CI

et la

valeur maximale du rapport sur [ID) est atteinte au point symétrique de G par rapport à l. Apollonius distingue, comme dans le lieu précédent, le cas où Q E [IM] (cas 9.3) et le cas où Q E [MD] (cas 9.4), d'où la nécessité de distinguer le cas où IG ~ lM du cas où IG < lM.

279

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5

280

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Menons une autre droite, la droite HQP ; puisque le rapport de GI à lM n'est pas plus petit que son rapport à elle-même I89 , alors la droite HM soit coupe selon le rapport de IS à GM, le plus grand <des rapports I90 >, soit est plus proche de la droite qui coupe selon le grand rapport que n'en est proche la droite H QP 191, comme cela a été démontré dans le premier livre, dans le cinquième lieu, dans la troisième incidence; le rapport de la droite IS à GM est donc plus grand que le rapport de IN à GQ ; si nous permutons, le rapport de SI à IN est plus grand que le rapport de MG à GQ; mais le rapport de SI à IN est égal au rapport de CM à CP, le rapport de MC à CP est donc plus grand que le rapport de MG à GQ ; si nous permutons, le rapport de MC à MG est plus grand que le rapport de CP à GQ. La droite HM coupe donc selon le rapport de CM à MG, le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites qui sont menées du point H et sécantes aux deux droites lM et CM ; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-44 V ] Que la droite GI soit plus petite que la droite lM. Posons la droite IG égale à la droite NI; joignons HN et prolongeons-la jusqu'au point 0, joignons MH ; je dis que la droite NO coupe selon le rapport de CO à GN, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites qui sont menées du point H et sécantes à CM. Quant aux droites sécantes à la droite aM et menées du point H, la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, qui est le plus petit rapport. On mène alors une autre droite, soit QP, sécante à CO. Puisque la droite GI est égale à la droite IN - car cela a été posé ainsi -, la droite NO coupe selon le rapport de IR à GN, le plus grand <des rapports>, comme nous l'avons montré dans le premier livre, dans le cinquième lieu, dans la troisième incidence. Le rapport de IR à NG est donc plus grand que le rapport de IS à GP, comme cela a été démontré dans le premier livre. Si nous permutons, le rapport de IR à IS est plus grand que le rapport de GN à GP.

189

C'est-à-dire puisque

CI 2 CI lM CI

(car GI ;::: lM). Comparer ces rapports paraît

quelque peu surprenant ici, puisque le résultat découle directement de la comparaison de GI et lM. 190 Si GI = lM. 191 Si GI> GM.

281

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282

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Mais le rapport de IR à IS est égal au rapport de OC à CQ, le rapport de OC à CQ est donc plus grand que le rapport de NG à PG et, si nous permutons, il en est également ainsi. Si nous menions du point H une autre droite, sécante à MO, nous démontrerions que coupe selon le rapport de CO à GN, plus grand. Je dis que la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites qui sont menées du point H et sécantes aux deux droites OM et NM. B

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Fig. 75

Menons une autre droite, soit HWT, [I-26 V ] sécante à OM ; puisque HNO [BAY] coupe selon un plus grand rapport et que la droite HWT en est plus proche que la droite HM, le rapport de JI à WG est plus grand que le rapport de ZI à MG ; si nous permutons, le rapport de JI à IZ est plus grand que le rapport de WG à GM ; mais le rapport de JI à IZ est égal au rapport de TC à CM, le rapport de TC à CM est donc plus grand que le rapport de WG à MG ; si nous permutons, le rapport de CT à WG est plus grand que le rapport de CM à MG ; le rapport de CM à MG est donc plus petit que le rapport de CT à WG. La droite HN coupe donc selon le rapport de OC à NG, le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à CM ; et la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, le plus petit de tous les droites sécantes à OM; c'est ce que nous voulions démontrer.

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284

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

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Que la droite GI ne soit d'abord pas plus petite que la droite lM. Joignons HM, la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites qui sont menées du point H et sécantes à la droite CM. Si le rapport donné dans la synthèse est le rapport de CM à MG, la droite HM seule achève le problème. S'il est plus grand que le rapport de CM à MG, la synthèse du problème ne se fait pas, puisque la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, le plus grand <des rapports>. S'il est plus petit que le rapport de CM à MG, [B4SV] le problème est possible d'une seule manière. Que le rapport donné soit le rapport de n à 0, plus petit que le rapport de CM à MG. Posons le rapport de CH à HI égal au rapport de n à u et menons par le point I une droite parallèle à la droite AB, soit KIL. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de CM à IS, mais que le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, le rapport de CM à IS est égal au rapport de n à u et à l'inverse, le rapport de SI à CM est égal au rapport de u à n. Mais le rapport de CM à MG est plus grand que le rapport de n à 0; par l'égalité, le rapport de IS à MG est donc plus grand que le rapport de u à o. Puisque les droites KL et DE sont de position donnée, que la droite K L passe par le point I et que la droite DE passe par le point G, que la droite

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286

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

parallèle tombe au point G, que la droite 1G n'est pas plus petite que la droite lM, la droite HM coupe selon un plus grand rapport, [I-27 r ] le rapport de IS à MG, comme nous l'avons démontré dans le cinquième lieu, dans la troisième incidence 192 , et le rapport de u à 0 est alors plus petit que le grand rapport; si donc nous voulons mener du point H - selon la troisième incidence du cinquième lieu - une droite qui découpe les droites KL et lM selon un rapport égal au rapport de u à 0, cela sera possible de deux manières: une droite coupera lM, l'autre passera au-delà. Menons-la, c'est la droite HNP, elle coupe selon le rapport de NI à GQ égal au rapport de u à 0 ; je dis que la droite HNP achève le problème. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de PC à IN et que le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, le rapport de PC à IN est égal au rapport de n à u ; mais le rapport de NI à GQ est égal au rapport de u à 0 ; par l'égalité, le rapport de CP à QG est donc égal au rapport de n à o ; la droite [B-46 r ] HP achève donc le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. Que la droite GI soit plus petite que la droite lM. Posons la droite IN égale à la droite GI, joignons HN et prolongeons-la jusqu'au point 0, joignons HM. La droite HNO coupe selon le rapport de OC à NG, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites qui sont menées du point H et sécantes à la droite CM ; et la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites qui sont menées du point H et sécantes à DM. Puisque la droite ONH selon la troisième incidence du cinquième lieu, elle coupe selon le rapport de IR à NG, le plus grand <des rapports> ; le rapport de IR à NG est donc plus grand que le rapport de Zl à MG et, par permutation, il en est encore ainsi. Mais le rapport de RI à IZ est égal au rapport de CO à CM ; si nous permutons, le rapport de OC à GN est plus grand que le rapport de CM à MG et la droite HO coupe selon le rapport de CO à GN qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels

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288

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

coupent les droites sécantes à CM 193 . La droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites sécantes à aM. Menons la droite HWT. Puisque la droite HWT est plus proche de la droite qui coupe selon le grand rapport que la droite HM, la droite HWT coupe selon un rapport plus grand que celui selon lequel coupe HM ; le rapport de JI à GW est donc plus grand que le rapport [B-46 V ] de ZI à MG et, si nous permutons, il en est encore ainsi. Mais le rapport de JI à IZ est égal au rapport de TC à CM ; par permutation, le rapport de TC à GW est plus grand [I-27 V] que le rapport de CM à MG et la droite HM coupe selon le plus petit des rapports l94 . C'est pourquoi, si l'on a posé dans la synthèse un rapport connu égal au rapport de CO à NG, la droite HO, seule, achève le problème. Si le rapport a été posé plus grand que le rapport de CO à GN, la synthèse du problème ne se fait pas, car le rapport est grand. S'il est plus petit que le rapport de CO à NG et plus grand que le rapport de CM à MG, la synthèse du problème se fait dans deux cas de figure, car on mène de part et d'autre de HNO deux droites et le problème s'achève. Si le rapport n'est pas plus grand que le rapport de CM à MG, alors le problème est possible d'une seule manière, entre Cet O. Que le rapport donné soit d'abord le rapport de n à 0, plus petit que le rapport de CO à GN et plus grand que le rapport de CM à MG. Posons le rapport de CH à HI égal au rapport de n à u, le rapport de CO à RI est alors égal au rapport de n à u et, à l'inverse de cela, le rapport de RI à OC est égal au rapport de u à n. Mais le rapport de CO à NG est plus grand que le rapport de n à 0 ; par l'égalité, le rapport de RI à NG est plus grand que le rapport de u à o. De même, puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u et que le rapport de CH à HI est égal au rapport de CM à ZI, le rapport de CM à ZI est égal au rapport de n à u et, à l'inverse de cela, le rapport de ZI à MC est égal au rapport de u à n. Mais le rapport de CM à MG est plus petit que le rapport de n à 0 ; par l'égalité, le rapport de ZI à MG est plus petit que le rapport de u à o. On a démontré que le rapport de RI à GN est plus grand que le rapport de u à 0 ; quant à la droite HN, elle coupe suivant le plus grand rapport, selon ce que nous avons

193 Résultat déjà démontré lors du diorisme B2 mais qui ne résulte pas de la démonstration qui précède. 194 Ce paragraphe est en tout état de cause inutile, puisqu'il reprend, de façon plus ou moins correcte (voir la note précédente), ce qui a été démontré lors du diorisme B2.

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Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

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Fig. 77

indiqué dans la troisième incidence du cinquième lieu. Si nous voulons faire passer des droites [BA7 f ] selon la troisième incidence du cinquième lieu - et les mener du point H -, telles qu'elles découpent des droites IR et ZR des droites telles que les rapports des unes aux autres soient égaux au rapport de u à 0, on mène deux droites, de part et d'autre de la droite HO. Menons donc la droite HQP sécante à la droite IN. Je dis que l'autre droite coupe NM: puisque celles des droites qui sont proches de la droite OH coupent toujours selon des rapports plus grands que les droites qui en sont plus éloignées et que le rapport de u à 0 est plus grand que le rapport de ZI à MG, la droite menée du point H, qui coupe selon ce rapport, est plus proche de la droite HO que HM; que ce soit la droite HJW, prolongeons-la, je dis que HT achève le problème. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, mais que le rapport de CH à HI est égal au rapport de CT à Il, le rapport de n à u est égal au rapport de CT [1-28"] à Il. Mais le rapport de u à 0 est égal au rapport de Il à WG ; par l'égalité, le rapport de n à 0 est donc égal au rapport de TC à WG ; la droite HWT achève donc le problème; on a montré que celle-ci et l'autre droite également, c'est-à-dire HQP, achèvent le problème.

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292

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état; que le rapport de n à 0 ne soit pas plus grand que le rapport de CM à MG. Posons le rapport de CH à HI égal au rapport de n à u ; le rapport de u à 0 qui - si cela a été demandé comme nous l'avons indiqué dans ce qui précède - n'est pas plus grand que le rapport de IZ à MG, est alors plus petit que le rapport de IR à GN. Puisque le rapport de u à 0 est plus petit que le rapport de RI à GN - c'est-à-dire plus petit que le plus grand que nous avons indiqué dans la troisième incidence [B-47 V] du cinquième lieu -, et que nous menons deux droites de part et d'autre de la droite HNO, qui coupent selon un rapport égal au rapport de u à 0, l'une tombe entre les deux droites MH et CH et l'autre coupe MB. Puisque celle qui est proche de la droite HNO coupe toujours selon un rapport plus grand et que l'on a montré que le rapport de u à 0 n'est pas plus grand que le rapport de IZ à MG, ou bien il lui est égal, ou bien il est plus petit. S'il lui est égal, la droite permise est la droite HM 195 • S'il est plus petit que le rapport de IZ à GM, la droite tombe à l'extérieur de la droite CM; on a donc démontré qu'elle coupe MB et n'achève pas le problème - alors qu'initialement nous avions fait en sorte qu'elle coupe CM. Quant à la droite qui tombe entre les droites CH et HN, elle achève le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. 9.4. Quatrième incidence du neuvième lieu Menons la droite HP selon la quatrième incidence, telle qu'elle découpe les droites CB et GD 196 selon le rapport de CQ à PG qui est égal au rapport donné 197 ; joignons CH, le point 1 est alors connu; faisons passer par le point 1 une droite parallèle à la droite AB, la droite KIL ; la droite KL est alors de position donnée. Puisque le rapport de CH à HI est donné, mais que le rapport de CH à HI est égal au rapport de CQ à IN, le rapport de CQ à IN est donné; or le rapport de CQ à PG est donné, le rapport de PG à IN est donc donné l98 • Étant donné que les deux droites KL et DE sont de

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294

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

position donnée, que la droite K L B passe par le point 1 et que la droite DEpasse par le point G 199, que le point connu, qui est le point H, est à E D l'intérieur de l'angle EIL, que l'inci- ~'-----~,------/------=-p-dence de la droite parallèle est au point donné, qui est le point G, et que l'on a mené la droite HNP telle qu'elle coupe selon le rapport de PG à IN, la droite HP [I-28 V ] est alors Fig. 78 de position donnée, comme cela a été démontré dans le premier livre, dans le cinquième lieu, dans la troisième incidence; c'est ce que nous voulions démontrer. [BA8 f ] Nous déterminons ce problème ainsi: la droite lG est soit plus grande que la droite lM, soit plus petite qu'elle. Que la droite Gl ne soit tout d'abord pas plus grande que la droite lM. Joignons HM, je dis que la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent toutes les droites menées du point H et sécantes à DM. Menons une autre droite, soit HSP ; puisque la droite Gl n'est pas plus longue que la droite lM, la droite HM soit coupe selon le rapport de IN à MG, le plus grand des rapports, soit elle est, de toutes les droites, la plus proche de la droite qui coupe selon un rapport plus grand que celui-ci. Le

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296

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

rapport de NI à MG est donc plus grand que le rapport de IQ à GP. Si nous permutons, le rapport de NI à IQ est plus grand que le rapport de MG à GP. Mais le rapport de NI à IQ est égal au rapport de CM à CS, le rapport de MC à CS est donc plus grand que le rapport de MG à GP ; si nous permutons, le rapport de MC à MG est plus grand que le rapport de CS à GP. La droite HM coupe donc selon le rapport de CM à MG, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à MD ; c'est ce que nous voulions démontrer. Fixons ce que nous avons indiqué en l'état, que la droite GI soit plus longue que la droite lM. Posons la droite IP égale à la droite GI et joignons HP; je dis que la droite HP coupe selon le rapport de CQ à PG, le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite MD. B

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Fig. 80

Menons de part et d'autre de HP les deux droites HN et HS. Puisque la droite GI est égale à la droite IP, la droite HP coupe selon le rapport de RI à PG, rapport grand, comme dans la troisième incidence du cinquième lieu, car les deux droites KL et DE sont de position donnée, l'extrémité de la droite KL est au point 1 et l'extrémité de la droite DE [B-48 au point G ; la droite HG, parallèle menée par le point donné H, tombe au point G et la droite IP est égale à la droite GI; le rapport de RI à PG est donc plus grand que le rapport de WI à GN. Si nous permutons, le rapport de RI à IW est plus grand que le rapport de PG à GN. Mais le rapport de RI à IW V

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298

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

est égal au rapport de CQ à Cl, le rapport de QC à Cl est donc plus grand que le rapport de PG à GN et, si nous permutons, le rapport de CQ à PG est plus grand que le rapport de Cl à GN. Nous montrerions de la même manière que la droite HS coupe selon un rapport plus petit que le rapport selon lequel coupe [I-29 r] la droite HP. La droite HP coupe donc selon le rapport de CQ à GP, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites qui sont menées du point H et sécantes à MD. Je dis que la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, qui est le plus petit des rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite PM seule. Puisque la droite HS est plus proche que la droite HM de la droite qui coupe selon le plus grand rapport - c'est-à-dire la droite HP -, le rapport de ZI à SG est plus grand que le rapport de VI à MG ; si nous permutons, le rapport de ZI à IV est plus grand que le rapport de SG à GM ; mais le rapport de ZI à IV est égal au rapport de UC à CM, le rapport de UC à CM est donc plus grand que le rapport de SG à GM ; si nous permutons, le rapport de U C à S G est plus grand que le rapport de MC à MG. La droite HM coupe donc selon le rapport de CM à MG, qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites qui sont menées du point H et sécantes à la droite PM seule; c'est ce que nous voulions démontrer. La synthèse de ce problème se fait ainsi: laissons tout ce que nous avons indiqué en l'état. La droite GI est soit [B-49 r ] plus longue que la droite lM, soit plus courte qu'elle. Que la droite GI ne soit d'abord pas plus longue que la droite lM. Joignons HM, la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites qui sont menées du point H et sécantes à la droite MD tout entière. Si le rapport donné est égal au rapport de CM à MG, la droite HM, seule, achève le problème, puisque c'est elle qui coupe selon le rapport le plus grand. S'il est plus grand, alors la synthèse du problème ne se fait pas, puisqu'il a été

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300

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

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Fig. 81

Que le rapport donné soit le rapport de n à 0, plus petit que le rapport de CM à MG. Posons le rapport de CH à HI égal au rapport de n à u. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de CM à IQ et au rapport de n à u, le rapport de CM à IQ est égal au rapport de n à u. Mais le rapport de CM à MG est plus grand que le rapport de n à 0; par l'égalité, le rapport de u à 0 est donc plus petit que le rapport de IQ à MG. Or le rapport de IQ à MG est plus petit que le rapport le plus grand de la troisième incidence du cinquième lieu; on peut donc mener du point H, de part et d'autre de la droite HM, deux droites qui coupent les droites MD et MC selon un rapport égal au rapport de u à o. Menons alors une unique droite sécante à MD, la droite HP, qui coupe selon le rapport [I-29 V ] de NI à GP égal au rapport de u à 0, elle achève le problème. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u, mais que le rapport de CH à HI est égal au rapport de Cl à IN, le rapport de Cl à IN est égal au rapport de n à u ; or le rapport de NI à PG est égal au rapport de u à 0 ; par l'égalité, le rapport de Cl à PG est donc égal au rapport de n à 0; la droite HP achève donc le problème. Quant à l'autre droite, étant donné qu'elle coupe la droite CM, elle n'achève pas le problème et c'est pourquoi le problème n'est possible que d'une seule manière; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-49 V ]

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Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Fixons ce que nous avons indiqué en l'état et supposons la droite GI plus longue que la droite lM. La droite IP lui est égale. Joignons les deux droites HM et HP. Puisque la droite GI est égale à la droite IP, la droite HP coupe selon un rapport, le rapport de QC à PG, le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites sécantes à MD ; et la droite MH coupe selon un rapport, le rapport de CM à MG, le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites sécantes à la droite PM seule.

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Fig. 82

Si le rapport donné est égal au rapport de CQ à PG, la droite HP, seule, achève le problème. S'il a été posé plus grand que le rapport de CQ à PG, la synthèse du problème ne se fait pas, puisque le rapport a été posé plus grand que le grand. S'il a été posé plus petit que le rapport de CQ à PG et plus grand que le rapport de CM à MG, la synthèse du problème se fait dans deux cas de figure, puisqu'on mène deux droites de part et d'autre de PH ; elles sont sécantes à MD et elles achèvent le problème. Si le rapport n'est pas plus grand que le rapport de CM à MG, alors le problème n'est possible que d'une seule manière. Que le rapport donné soit le rapport de n à 0, plus petit que le rapport de CQ à PG et plus grand que le rapport de CM à MG. Posons le rapport de CH à HI égal au rapport de n à u. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de CQ à IN et au rapport de n à u, le rapport de CQ à IN est égal au rapport de n à u. Mais le rapport de CQ à PG est plus grand que le rapport de n à 0 ; par l'égalité, le rapport de NI à GP est donc plus grand que [B-50r ] le rapport de u à o. De même, puisque

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304

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

le rapport de CH à HI est égal au rapport de CM à IS, mais que le rapport de HC à HI est égal au rapport de n à u, le rapport de n à u est égal au rapport de CM à IS. Mais le rapport de CM à MG est plus petit que le rapport de n à 0; par l'égalité, le rapport de IS à MG est donc plus petit que le rapport de u à o. Puisque le rapport de u à 0 est plus petit que le rapport de NI à PG et plus grand que le rapport de [I-30 f ] IS à MG, mais que le rapport de NI à PG est le rapport le plus grand que l'on avait dans la troisième incidence du cinquième lieu, on peut mener par le point H, de part et d'autre de PH, deux droites sécantes à la droite MD selon un rapport égal au rapport de u à o. Qu'elles soient menées, ce sont les droites TH et WH, elles achèvent le problème. Puisque le rapport de CH à HI est égal au rapport de n à u et que le rapport de CH à HI est égal au rapport de JC à IZ, le rapport de JC à IZ est égal au rapport de n à u. Mais le rapport de IZ à TG est égal au rapport de u à 0, ; par l'égalité, le rapport de JC à TG est donc égal au rapport de n à o ; la droite TH achève donc le problème. De même, nous démontrerions également que la droite WH achève le problème. Comment il se fait que la droite HW ne tombe pas à l'extérieur de la droite HM2oo , nous le démontrons ainsi: puisque le rapport de u à 0 est plus petit que le rapport de NI à PG - qui est égal au rapport le plus grand qui figurait dans la troisième incidence du cinquième lieu - et plus grand que celui selon lequel coupe la droite HM - qui est le rapport de SI à MG - et que la plus proche de la droite qui coupe selon le plus grand rapport, coupe selon un rapport plus grand que le rapport selon lequel coupe la droite qui en est plus éloignée, la droite menée du point H qui coupe selon un rapport égal au rapport de u à 0 est sécante à PM; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-SO V] Fixons ce que nous avons indiqué en l'état, que le rapport donné ne soit pas plus grand que le rapport de CM à MG, mais qu'il soit égal au rapport de n à o.

200 C'est-à-dire ne dépasse pas la droite HM ; en d'autres termes, la droite HW n'est pas située entre les droites HM et HI.

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306

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports L

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Fig. 83

Fixons ce que nous avons indiqué en l'état, puis montrons que le rapport de u à 0 n'est pas plus grand que le rapport de IS à GM; or celui-ci est plus petit que le rapport de IQ à PG ; le rapport de u à 0 est donc plus petit que le rapport de IQ à PG qui est le rapport le plus grand de la troisième incidence du cinquième lieu. On peut donc mener deux droites, de part et d'autre de la droite HP, qui coupent selon un rapport égal au rapport de u à o. L'une d'elles coupe DM et achève le problème, comme nous l'avons démontré dans ce qui précède - l'autre n'achève pas le problème, car elle ne coupe pas la droite DM mais la droite MI: puisque les droites proches de la droite HP coupent selon des rapports plus grands que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées et que le rapport de u à 0 est plus petit que le rapport de IS à MG, l'autre droite est donc plus éloignée de la droite HP que n'en est éloignée la droite HM ; elle [I -30 V ] seule 201 coupe donc MD; c'est ce que nous voulions démontrer. Dixième lieu

De même, que la droite menée par le point H et parallèle à la droite AC, la droite HK, tombe au-dessous du point G, c'est-à-dire entre celui-ci et le point M. Il est clair également que pour les droites qui passent par le point H l'incidence a lieu dans cinq positions202•

C'est-à-dire la première droite. Cinq positions: voir note complémentaire 15. À partir de ce lieu, et dans tous les lieux suivants, l'auteur ne précise plus quels sont les segments de droites ou les demidroites que doit couper la droite cherchée; c'est dans tous les cas la figure (tracée de façon sommaire et sur laquelle les extrémités des droites ne sont pas toujours nommées) qui permet de savoir à quoi correspondent les diverses incidences. 201

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308

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

1O.l. Première incidence du dixième lieu o A

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Fig. 84

Menons la droite AB selon la première incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de CA à BG, donné; joignons CH et faisons passer par le point 1 une droite parallèle à la droite CA, la droite VIa. Puisque le rapport de CH à HI est donné, [B-51 r] mais que le rapport de CA à DI est égal au rapport de CH à HI, le rapport de CA à DI est donné, le rapport de DI à GB est donc donné. Étant donné que l'on a deux droites de position donnée, va et MB, que la droite MB passe par le point G et que la droite va passe par le point l, que le point connu est le point H, intérieur à l'angle OIB, que l'on a mené la droite AHB, qui coupe selon le rapport de DI à GB, donné, la droite AHB est alors de position donnée, car elle est semblable à la première incidence du septième lieu qui ne comporte ni détermination ni condition 203 et c'est pourquoi la synthèse en est évidente; c'est ce que nous voulions démontrer. 10.2. Deuxième incidence du dixième lieu A

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Fig. 85

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C'est-à-dire qui est sans discussion, voir note complémentaire 10.

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310

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Menons la droite AB selon la deuxième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de CA à BG, donné 204 • Fixons ce que nous avons indiqué en l'état, que le rapport de CA à DI soit donné, le rapport de DI à BG est alors donné. La droite AB est donc de position donnée, car elle est semblable à la deuxième incidence du septième lieu; c'est ce que nous voulions démontrer. Nous déterminons cela ainsi: déterminons une droite, moyenne proportionnelle des droites GI et IK, la droite IB 205 , joignons BH et prolongeons-la jusqu'au point A ; je dis que la droite AB coupe selon le rapport de CA à BG, qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à KG. o A

G

B

N

Fig. 86

Menons une autre droite, soit NHD. Puisque la droite lB est moyenne proportionnelle des droites GI et IK, le rapport de VI à BG est plus petit que le rapport de 01 à GN. Si donc nous permutons, le rapport de VI à 10 est plus petit que le rapport de BG à NG. Mais le rapport de VI à 10 est égal au rapport de AC à CD, le rapport de AC à CD est donc plus petit que [I-3F] le rapport de BG à NG. Si nous permutons, le rapport de AC à BG est plus petit que le rapport de CD [B-5P] à NG. La droite AB coupe donc selon le rapport de CA à BG, qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite KG ; c'est ce que nous voulions démontrer.

204 205

(AB) coupe le segment [GK]. B est le point auquel le rapport du cas 7.2 est minimum, B

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312

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, déterminons une droite moyenne proportionnelle des droites GI et IK, la droite lB, joignons BH et prolongeons-la jusqu'au point A. La droite AB coupe alors selon le rapport de CA à BG, le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite KG. C'est pourquoi, si le rapport donné dans la synthèse est égal au rapport de CA à BG, la droite AB, seule, achève le problème; si le rapport est plus petit, la synthèse du problème ne se fait pas; s'il est plus grand, la synthèse se fait de deux manières, de part et d'autre de AB. p A

G

D

B

Fig. 87

Que le rapport donné soit le rapport de d à t, plus grand que le rapport de CA à BG. Posons le rapport de CH à HI égal au rapport de d à s ; il est alors clair que, par l'égalité, le rapport de s à t est plus grand que le rapport de 10 à BG 206 • On a alors démontré qu'il nous est possible de mener du point H, de part et d'autre de AB, deux droites qui découpent PI et IG selon un rapport égal au rapport de s à t et on a mis en évidence, dans ce qui précède, que les droites ainsi menées achèvent le problème; c'est ce que nous voulions démontrer.

206 On trouve à la suite, dans les deux manuscrits, la phrase: « Mais le rapport de UI à DC est plus grand du fait que la droite lB est moyenne proportionnelle des droites CI et IK. » Cette phrase reprend des éléments du diorisme, elle est inutile ici; de plus aucune droite autre que (AB) n'a, à ce stade de la démonstration, été tracée dans la synthèse.

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314

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

10.3. Troisième incidence du dixième lieu

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Fig. 88

On mène, selon la troisième incidence, une droite qui coupe selon le rapport de EC à AG, donné 207 . Mais le rapport de EC à BI est donné, le rapport de BI à AG est donc donné [B-52 f ] et la droite HE est de position donnée, car elle est semblable à la troisième incidence du septième lieu, qui n'a pas de détermination. La synthèse en a été démontrée ; c'est ce que nous voulions démontrer. [1-3 P] 10.4. Quatrième incidence du dixième lieu

Menons la droite HE, selon la quatrième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de CE à AG, donné 208 . Mais le rapport de CE à ID est donné, le rapport de ID à AG est donc donné et la droite HE est de position donnée, car elle est semblable à la quatrième incidence du septième lieu ; c'est ce que nous voulions démontrer.

G

Fig. 89

207 208

Changement de notations. (HE) coupe le segment [KI]. (HE) coupe le segment [lM].

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316

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Nous déterminons cela ainsi: fixons les choses et tout ce que nous avons indiqué en l'état. La droite moyenne proportionnelle des droites Gl et lK soit est plus petite que la droite lM, soit n'est pas plus petite209 . Qu'elle ne soit tout d'abord pas plus petite qu'elle. Joignons HM; je dis que la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite CM.

G

Fig. 90

On mène une autre droite, soit HN. Puisque la droite moyenne proportionnelle des deux droites Gl et lK n'est pas plus petite que la droite lM, la droite HM, ou bien coupe selon le rapport le plus grand qui est le rapport de DI à MG, ou bien est plus proche de la droite qui coupe selon le rapport le plus grand. Le rapport de DI à MG est donc plus grand que le rapport de VI à GL. Si nous permutons, le rapport de DI à VI est plus grand que le rapport de MG à GL. Mais le rapport de DI à VI est égal au rapport de MC à CN, le rapport de MC à CN est donc plus grand que le rapport de MG à LG. Si donc nous permutons, le rapport de CM à MG est plus grand que le rapport de CN à LG. La droite HM coupe donc selon le rapport de MC à MG, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites [B-52 V ] menées du point H et sécantes à la droite CM ; c'est ce que nous voulions démontrer.

209 Le point correspondant est celui pour lequel le rapport du cas 7.4 est maximum; ce point appartient à la demi-droite [lM). Il en va de même dans le cas 10.5 qui se ramène également à 7.4.

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Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

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B

c Fig. 91

Que la droite moyenne proportionnelle des droites GI et IK soit plus petite que la droite lM, c'est la droite lA 210. Joignons HM et HA et prolongeons-Ia21 1 jusqu'en D ; je dis que la droite HD coupe selon le rapport de CD à AG, le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à CM. Quant aux droites qui sont sécantes à DM, la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, le plus petit de tous ces rapports. Menons donc deux droites, soient HQ et HB. Puisque la droite lA est moyenne proportionnelle des droites GI et IK, [I-32 r ] la droite HA coupe selon le rapport de IN à AG, le plus grand de tous les rapports. Le rapport de NI à A G est donc plus grand que le rapport de VI à GO. Si nous permutons, le rapport de NI à IV est plus grand que le rapport de AG à GO. Mais le rapport de NI à IV est égal au rapport de DC à CB, et il est plus grand que le rapport de AG à GO ; le rapport de CD à AG est donc plus grand que le rapport de CB à DG. On montrerait de même également que coupe selon un rapport plus grand que CQ à PG, la droite HD coupe donc selon le rapport de CD à AG, le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à CM. Je dis que la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent toutes les droites sécantes à la droite DM seule. Puisque la droite HQ est, d'entre ces droites, la plus proche de la droite qui coupe selon le rapport le plus grand 212 - qui est HD - elle est plus proche que HL ; la droite la plus proche de la droite qui coupe selon le

210

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C'est-à-dire prolongeons HA. i. e. elle est plus proche de (HD) que (HM).

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320

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

rapport le plus grand coupe selon un rapport plus grand; le rapport de la droite lE à la droite PG est donc plus grand que le rapport de LI à MG. Si nous permutons, le rapport de El à IL est plus grand que le rapport de PG à GM. Mais le rapport de El à IL est égal au rapport de QC à CM, le rapport de QC à CM est donc plus grand que le rapport de PG à MG. Si nous permutons, le rapport de CQ à PG est plus grand que le rapport de CMàMG.

La droite HD [B-53 r ] coupe donc selon le rapport de CD à AG, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à CM. Quant aux droites sécantes à DM, HM coupe selon un rapport plus petit que les rapports selon lesquels coupent toutes ces droites; c'est ce que nous voulions démontrer. o

G

Fig. 92

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, la moyenne proportionnelle des droites Gl et lK soit est plus courte que la droite MI, soit n'est pas plus petite qu'elle. Qu'elle ne soit tout d'abord pas plus petite qu'elle. Joignons HM, la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à CM. C'est pourquoi, si le rapport donné dans la synthèse est égal au rapport de CM à MG, la droite HM, seule, achève le problème; si le rapport est plus grand, la synthèse du problème ne se fait pas; [I-32 V ] si le rapport est plus petit, la synthèse du problème se fait d'une seule manière.

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322

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Que le rapport donné soit le rapport de n à t, plus petit que le rapport de CM à MG. Posons CH à HI égal au rapport de n à s. Il est clair que, par l'égalité, le rapport de s à t est plus petit que le rapport de LI à MG. On a montré qu'il nous est possible de faire passer par le point H deux droites qui découpent les droites DM et MC selon un rapport égal au rapport de s à t ; si on les mène, elles tombent de part et d'autre de HM; nous montrons alors que la droite qui passe par le point H et qui est sécante à CM achève le problème; c'est pourquoi il n'est possible que d'une seule manière; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-53 V] Que la moyenne proportionnelle des droites Gl et lK soit plus petite que la droite lM, c'est la droite 1l'f213. Joignons les deux droites HM et HN et prolongeons la droite HN jusqu'au point U. La droite HU coupe selon le rapport de CU à NG, le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à CM ; et la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à UM seulement. D

G

Fig. 93

C'est pourquoi, si l'on s'est donné, pour la synthèse, le rapport égal au rapport de CU à N G, on montre que la droite HU seule achève le problème; si le rapport donné est plus grand, la synthèse du problème ne se fait pas; si le rapport est plus petit que le rapport de CU à NG et plus grand que le rapport de CM à MG, on montre également, d'après ce que nous avons déterminé dans ce qui précède, que deux droites achèvent le

213

Changement de notations. NE [lM].

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324

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

problème et qu'elles coupent les deux droites CU et UM, de part et d'autre de HU; si le rapport est égal au rapport de CM à MG, on montre également, d'après les déterminations précédentes, que le problème est possible de deux manières, puisque la droite HM achève le problème et que l'autre droite coupe CU ; si le rapport est plus petit que le rapport de CM à MG, alors le problème est possible d'une seule manière car la droite tombe à l'extérieur de la droite CM; elle coupe donc MD et n'achève pas le problème214 . Tout ce que nous voulions se démontre à l'exemple de ce que nous avons mentionné précédemment; c'est ce que nous voulions démontrer. [133 r ; B-54 r ]

10.5. Cinquième incidence du dixième lieu

Fig. 94

Menons également la droite HA selon la cinquième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de CD à AG, donné215. Mais le rapport de CD à IB est donné, le rapport de BI à AG est donc donné, et la droite HA est de position donnée, car elle est semblable à la quatrième incidence du septième lieu dont la détermination est celle-ci; c'est ce que nous voulions démontrer. Nous déterminons cela ainsi: la droite moyenne proportionnelle des droites Gl et lK, soit est plus grande que la droite lM, soit est plus petite.

214 On peut mener deux droites de part et d'autre de (HU) ; l'une de ces droites coupe le segment [CU] et est solution, l'autre coupe la demi-droite [MD) et n'est pas solution. 215 (HA) coupe la demi-droite [MY).

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326

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Qu'elle ne soit tout d'abord pas plus grande. Joignons HM. On montre, à l'exemple de ce que nous avons déterminé dans ce qui précède, que la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à YM.

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L

Fig. 95

Que la droite moyenne proportionnelle des droites GI et IK soit plus grande que la droite lM, c'est la droite IL 216 • Joignons HL et HM ; nous montrons, à l'exemple de ce que nous avons déterminé dans ce qui précède, que la droite HL coupe selon le rapport de CD à LG, le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à YM; et que la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite LM seule; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-54 V ] La synthèse du problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, posons la droite moyenne proportionnelle des droites GI et IK, soit plus grande que lM, soit pas plus grande qu'elle. Qu'elle ne soit tout d'abord pas plus grande qu'elle. Joignons HM, la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites qui sont menées du point H et sécantes à la droite YM.

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15

328

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

C'est pourquoi, si le rapport donné dans la synthèse est le rapport de CM à MG, la droite HM seule achève le problème; s'il est plus grand, le problème ne s'achève pas; si le rapport est plus petit, on démontre, d'après ce qui précède, qu'il passe une seule droite sécante à YM et qu'elle achève problème; c'est ce que nous voulions démontrer. [I-33 V]

o

G L

Fig. 96

Que la droite qui est moyenne proportionnelle des droites GI et IK soit plus longue que la droite lM, c'est la droite IL. Joignons HM et HL, la droite HL coupe selon le rapport de CD à LG, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite OM; et la droite HM coupe selon un rapport, le rapport de CM à MG, le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites sécantes à LM seule. Si donc l'on a posé, dans la synthèse, le rapport égal au rapport de CD à LG, on montre que la droite HL, seule, achève le problème; si le rapport est plus grand, la synthèse ne se fait pas; s'il est plus petit que le rapport de CD à LG et plus grand que CM à MG, il est clair, à partir de ce que nous avons indiqué précédemment, que le problème est possible de deux manières et que l'on mène deux droites, de part et d'autre de HL, sécantes à OL et à LM; s'il est plus petit que le rapport de CM à MG, on montre également, à partir des déterminations précédentes, qu'une unique droite seulement achève le problème et coupe OL ; si le rapport est égal au rapport de CM à MG, le problème [B-SY] est possible de deux manières, puisque la droite HM achève le problème, ainsi que l'autre droite, celle qui coupe LO. On a démontré tout ce que nous avons indiqué, le plus simplement possible, à partir de ce que ce nous avions indiqué précédemment; c'est ce que nous voulions démontrer.

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330

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Onzième lieu

Que la droite menée de H parallèlement à la droite AB, la droite HK, tombe au-dessus du point G, c'est-à-dire que le point G soit entre celle-ci et le point M. La droite menée du point H au point G, si on la prolonge, passe soit par le point C, soit entre celui-ci et A, soit entre celui-ci et le point M. Qu'elle tombe d'abord entre celui-ci et A, au-dessus du point A 2l7 , c'est la droite HI. Il est alors clair que, pour les droites menées du point H, l'incidence se produit dans cinq positions. Il.1. Première incidence du onzième lieu B N

L A

Fig. 97

Menons, selon la première incidence, la droite HU, telle qu'elle coupe selon le rapport de CN à GU, donné 21s • Menons par le point 1 la droite IL, parallèle à la droite MU 2I9 , prolongeons la droite NU jusqu'au point L. Puisque le point G est donné, la droite HI est de position donnée, mais la droite AB est de position donnée, le point 1 est donc donné et la droite OIL est donnée. Or le rapport de IH à HG est donné; puisque le rapport de CN à GU est donné, mais que le rapport de GH à HI est donné, le rapport de GU à LI est donné car c'est le rapport de GH à HI, le rapport de CN [I-34 r ] à IL est donc donné. Puisque deux droites, IL et AB, sont 217 Dans ce lieu, le haut est donc simultanément, sur la droite (AB) dans la direction de B, et sur la droite (ED) dans la direction de E (comme dans le dixième lieu) ; voir note complémentaire S. 21S (HU) coupe la demi-droite [KE). 219 Retour aux notations initiales: les droites données sont les droites AB et DE, mais changement de méthode: on ne trace plus la parallèle à AB issue du point d'intersection de He et de ED, comme dans les Se, g e et lOe lieux, mais la parallèle à ED issue du point d'intersection de HG et de AB. Il en va de même dans tous les lieux suivants, à l'exception des I4e, ISe et I6 e lieux qui sont résolus directement. Le rapport va s'en trouver inversé et la discussion quelque peu compliquée (voir infra).

331

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332

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

données, que l'extrémité de la droite IL est au point 1 et celle de la droite AB au point C, que le point connu, le point H, est intérieur à l'angle LIB, que la droite parallèle220 tombe au-dessus du point C22l et que l'on a mené la droite NHL telle qu'elle coupe selon le rapport de IL à CN, donné, la droite HL est alors de position donnée, car elle est semblable à la première incidence du sixième lieu, dans laquelle il n'y a pas de détermination; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-55 V ] La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons ce que nous avons indiqué en l'état; que le rapport donné soit le rapport de r à t, posons le rapport de HG à HI égal au rapport de r à s. Si l'on a deux droites de position donnée, les droites OL et AB, si la droite OL passe par le point 1 et la droite AB par le point C, si le point donné, le point H, est intérieur à l'angle LIB, si la droite passant par le point H et parallèle à la droite LO tombe au-dessus du point C et si le rapport est le rapport de s à t, menons la droite LH selon la première incidence du sixième lieu, telle qu'elle coupe selon le rapport de IL à NC, donné et égal au rapport de s à t ; je dis que la droite NL achève le problème. Puisque le rapport de GH à HI, c'est-à-dire de GU à IL, est égal au rapport de r à s, le rapport de r à s est égal au rapport de GU à IL. Mais le rapport de IL à CN est égal au rapport de s à t; par l'égalité, le rapport de GU à CN est donc égal au rapport de r à t. La droite NHL achève donc le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. Il.2. Deuxième incidence du onzième lieu Menons également la droite HL selon la deuxième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de CN à GL222 , donné. Faisons passer par le point U une droite parallèle à la droite ED, la droite OUP : puisque chacun des deux points H et G est donné, la droite HU est donnée; mais la droite

C'est-à-dire la parallèle à IL issue de H (voir la synthèse). C'est cohérent avec le fait de dire que (Hl) tombe au-dessus de A. 222 Changement de notations. (HL) coupe le segment [Ml]. 220 221

333

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334

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports B

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Fig. 98

AB est de position donnée, le point V est donc donné; puisqu'on a mené par un point connu, le point V, la droite OVP parallèle à la droite ED, la droite OP est donnée. Menons la droite parallèle à la droite ED, passant par le point H, c'est HI ; il est alors clair que le point 1 est donné. [I-34 V ] Prolongeons la droite HL jusqu'en P. Puisque les deux points V et H sont connus, le rapport de VH à HG est donné et c'est pourquoi le rapport de P V à LG est connu. Le rapport de LG à CN est donné, le rapport de P V à CN est donc donné. Si donc les deux droites OP et AB sont données, si OP passe par le point V et si AB passe par le point C, si la droite parallèle, HI, tombe au-dessus du point donné C et si l'on mène la droite HP, selon la

deuxième incidence du sixième lieu que nous avons indiquée dans le premier livre, telle qu'elle coupe selon le rapport de VP à CN, donné, la droite HP est alors de position donnée. Il Y a une détermination. Puisque la droite moyenne proportionnelle des droites IV et VC soit est plus grande que VM, soit n'est pas plus grande qu'elle, qu'elle ne soit tout d'abord pas plus grande 223 . [B-56 r ] Joignons HM. Je dis que la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite lM. Prolongeons la droite HM jusqu'au point R. Puisque la droite moyenne proportionnelle des droites IVet VC n'est pas plus grande que la droite VM, ou bien elle lui est égale, ou bien elle est plus petite. Si elle est égale à la droite VM, si les droites OP et AB sont données, si OP passe par le point V 223 Le point correspondant est celui pour lequel le rapport du cas 6.2 est minimum, il appartient au segment [KG]. Apollonius distingue ici encore le cas où le point cherché appartient au segment [MI] (cas 1l.2) et le cas où il appartient au segment [CM] (cas 1l.3) qui tous deux se ramènent au cas 6.2, ce qui le contraint à comparer la moyenne proportionnelle des droites VI et UC à UM.

335

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336

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

et si la droite AB passe par le point C, si la droite parallèle, la droite HI, tombe au -dessus de la position du point C et si l'on a joint HM et qu'on l'a prolongée jusqu'au point R, alors la droite HR, selon la deuxième incidence du sixième lieu, coupe selon le rapport de RU à CM, le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites ainsi menées. Ou bien elle224 est plus petite que la droite UM, la droite HM est alors plus proche que la droite HP de la droite qui coupe selon le rapport le plus petit. C'est pourquoi le rapport de la droite RU à CM est plus petit que le rapport de PU à CN. Si nous permutons, le rapport de RU à UP, qui est égal au rapport de MG à GL, est plus petit que le rapport de MC à CN. Si nous permutons, le rapport de GM à MC est plus petit que le rapport de GL à CN. Si nous inversons le rapport, le rapport de CM à MG est plus grand que le rapport de CN à GL 225 • *Nous montrons ainsi également que la droite HM coupe selon le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites ainsi menées et sécantes à la droite MP26.* La droite HM coupe donc selon le rapport de CM à MG, qui est le plus grand rapport. La droite HM coupe donc selon le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites ainsi menées et sécantes à la droite lM tout entière 227 ; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-56 1-35'] V

;

Que la droite moyenne proportionnelle des droites lU et UC soit plus grande que la droite UM et que qui lui est égale soit la droite UN228 ; joignons HN et prolongeons-la; joignons HM ; je dis que la droite HL coupe selon le rapport de CN à GL, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite lM, et que la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite LM seule.

i. e. la droite moyenne proportionnelle des droites lU et Uc. Le fait de prendre comme droite auxiliaire une parallèle à (ED) contraint à inverser le rapport. Cette étape est nettement marquée dans la démonstration. 226 La phrase entre astérisques est vraisemblablement une répétition d'une partie de la dernière phrase de ce même paragraphe. 227 Voir note complémentaire 14. 228 NE [Ml]. 224 225

337

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338

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports B

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Fig. 99

Prolongeons HM et HL jusqu'aux points Pet R et menons, de part et d'autre de HP, deux droites, soient JH et HZ. Puisque les droites OP et AB sont de position donnée, que OP passe par le point U et que AB passe par le point C, que la droite parallèle à la droite OP qui passe par le point donné H, la droite HI, tombe au-dessus du point C, que la droite UN est moyenne proportionnelle des droites lU et UC, que l'on a prolongé la droite HN et que la droite HP a été menée selon la deuxième incidence du sixième lieu, elle coupe alors selon le rapport de PU à CN, le plus petit; on a mené une autre droite, la droite JH ; le rapport de la droite PU à CN est donc plus petit que le rapport de JU à CX. Si nous permutons, le rapport de PU à JU est plus petit que le rapport de NC à CX. Mais le rapport de PU à JU est égal au rapport de LG à GV, le rapport de LG à GV est donc plus petit que le rapport de NC à CX. Si nous permutons, le rapport de LG à CN est plus petit que le rapport de GV à cx. Si nous inversons le rapport, le rapport de CN à LG est plus grand que le rapport de CX à GV. La droite HL coupe donc selon un rapport plus grand que le rapport selon lequel coupe la droite HV, c'est le rapport de CN à LG ; on a ainsi également démontré que la droite HL coupe selon le rapport de CN à LG, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite MI tout entière 229. Je dis que la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite ML seule.

229

Voir note complémentaire 14.

339

J

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340

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

De même, puisque HP - selon la deuxième incidence du sixième lieu coupe selon le rapport de PU à CN, qui est le plus petit <des rapports>, ainsi les droites proches de la droite HP coupent toujours selon des rapports plus petits que [B-57 f ] les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées; le rapport de la droite ZU à CX230 est donc plus petit que le rapport de RU à CM. Si nous permutons, le rapport de ZU à UR est plus petit que le rapport de XC à CM. Mais le rapport de ZU à [I-35 V ] UR est égal au rapport de GF à GM, le rapport de FG à MG est donc plus petit que le rapport de XC à CM. Si nous permutons, le rapport de GF à CX est plus petit que le rapport de GM à MC. Si nous inversons, le rapport de CX à FG est plus grand que le rapport de CM à MG. La droite HM coupe donc selon un rapport plus petit que le rapport selon lequel coupe la droite HF. On a ainsi démontré que la droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite ML; c'est ce que nous voulions démontrer. La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons ce que nous avons indiqué en l'état. B

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H

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D

P

0 R

Q

Fig. 100

Que la droite moyenne proportionnelle des droites lU et UC ne soit tout d'abord pas plus grande que la droite UM. Joignons HM. La droite HM coupe selon le rapport de CM à MG, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent toutes les droites menées du point H et sécantes à MI. Le rapport donné dans la synthèse est soit égal au rapport de

230

Ce deuxième point X est le point d'intersection de (HZ) et de (AB) (Fig. 99).

341

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342

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

CM à MG, soit plus grand, soit plus petit. S'il lui est égal, la droite HM

achève le problème. Si le rapport est plus grand, la synthèse du problème ne se fait pas, puisqu'il a été posé plus grand que le plus grand rapport. Si le rapport est plus petit, le problème est possible d'une seule manière. Que le rapport donné soit le rapport de s à n, plus petit que le rapport de CM à MG. Posons le rapport de UH à HG égal au rapport de q à n. Prolongeons la droite HM. Il est alors bien clair, d'après la détermination, que le rapport de RU à CM selon la deuxième incidence du sixième lieu, soit est le plus petit23 1, soit est plus proche du rapport qui [B-57 V ] est le plus petit des rapports pour toutes les droites menées et sécantes à Rp232. Puisque le rapport de UH à HG est égal au rapport de q à n et au rapport de RU à MG, le rapport de q à n est égal au rapport de RU à MG. Le rapport de n à s est plus grand que le rapport de GM à MC; par l'égalité, le rapport de q à s est donc plus grand que le rapport de RU à CM. Puisque le rapport de RU à CM soit est le plus petit de la deuxième incidence du sixième lieu, soit est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à MD, et que le rapport [I-36r] de q à s est plus grand que ce rapport, on mène, de part et d'autre de la droite HR, deux droites qui coupent selon un rapport égal au rapport de q à s. L'une d'elles n'achève pas le problème, c'est la droite menée dans ce qui est adjacent à la droite MG, et l'autre achève le problème, c'est la droite menée dans ce qui est adjacent à MD 233 • Menons la droite HQ, telle qu'elle coupe selon le rapport de QU à CN égal au rapport de q à s. Je dis que la droite HQ achève le problème, c'est-à-dire que le rapport de CN à GL est égal au rapport de s à n. Puisque le rapport de UH à HG est égal au rapport de q à n et au rapport de QU à LG, le rapport de q à n est égal au rapport de QU à LG. Puisque le rapport de s à q est égal au rapport de CN à UQ et que le rapport de q à n est égal au rapport de QU à LG, par l'égalité, le rapport de s à n est égal au rapport de CN à LG. La droite HLQ achève donc le problème, et il est clair que c'est la seule ; c'est ce que nous voulions démontrer.

Lorsque UM est la moyenne proportionnelle de UC et Ul. Lorsque UM est plus grande que la moyenne proportionnelle de UC et UI. Il est de fait inutile de distinguer ces deux cas puisque, dans l'un ou l'autre cas, RU est le plus 231

232

CM

petit rapport sur l'intervalle [Ml]. 233 C'est-à-dire les droites coupant respectivement [MG] et [MD).

343

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25

344

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Que la droite moyenne proportionnelle des droites lU et UC soit plus grande que la droite UM, c'est la droite UN 234 • Joignons les deux droites HN et HM et prolongeons-les jusqu'aux points P et R. La droite HP coupe selon le rapport de CN à LG, le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes aux deux droites CB et GD, et la droite MH coupe selon le rapport de MC à MG [B-S8'], le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées de H et sécantes à la droite MN. Le rapport donné est soit égal au rapport de NC à GL, soit plus grand que lui, soit plus petit que lui; et soit plus grand que le rapport de CM à MG, soit égal à celui-ci, soit plus petit. B

H=-----!

E

L

D

o R

P

A

Fig. 101

S'il est égal au rapport de NC à LG, alors la droite LH, seule, achève le problème. S'il est plus grand, la synthèse du problème ne se fait pas. S'il est plus petit que lui et plus grand que le rapport de CM à MG, la synthèse du problème est de deux sortes, de part et d'autre de la droite PH. S'il est égal au rapport de CM à MG, la synthèse du problème est également de deux sortes, HM l'achève, ainsi que son homologue qui est de l'autre côté de LH. S'il est plus petit, la synthèse est d'une seule sorte, <seule> la droite qui tombe du côté de LH où est D l'achève, car celle qui tombe de l'autre côté coupe la droite CM et n'achève pas le problème.

234

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345

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15

346

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Il.3. Troisième incidence du onzième lieu B H

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o Z

R

A

Fig. 102

Menons, selon la troisième incidence, la droite HL, telle qu'elle coupe selon le rapport de NC à LG, donné235. Mais le rapport de LG à Zl est donné, le rapport [I-36 V ] de Zl à NC est donc donné et la droite HL est de position donnée; c'est pourquoi cela est semblable à l'incidence qui était dans le premier livre, c'est-à-dire la deuxième du sixième lieu. Nous déterminons cela ainsi: puisque la droite moyenne proportionnelle des droites Ul et lC soit est plus petite que la droite lM, soit n'est pas plus petite qu'elle, qu'elle ne soit tout d'abord pas plus petite. Joignons la droite HM et prolongeons-la jusqu'au point R. Nous montrons, comme nous l'avons montré dans ce qui précède236 , que la droite MH coupe selon le rapport de CM à MG, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite CM tout entière 237 ; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-58 V ] Que la droite moyenne proportionnelle des droites Ul et lC soit plus petite que la droite lM, c'est la droite 1~38. Menons HN, joignons HM et prolongeons-les jusqu'aux points R et Z. Nous montrons, à l'exemple de ce que nous avons montré dans les déterminations qui précèdent, que la droite HN coupe selon le rapport de CN à LG, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite CM. Quant aux droites menées du point H et sécantes à la droite

235

(HL) coupe le segment [MC].

236

i. e. dans le diorisme du cas 11.2. Voir note complémentaire 14.

237 238

N

E

[MC].

347

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5

348

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

NM seule, la droite HM coupe selon un rapport plus petit que les rapports selon lesquels coupent ces droites, c'est le rapport de CM à MG; c'est ce

que nous voulions démontrer. La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état; la droite moyenne proportionnelle des droites UI et IC, ou bien est plus petite que la droite lM, ou bien n'est pas plus petite qu'elle. Qu'elle ne soit tout d'abord pas plus petite. Joignons HM et prolongeons-la jusqu'au point R. La droite HMR coupe selon le rapport de CM à MG, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite MC. C'est pourquoi si, dans la synthèse, le rapport a été donné égal au rapport de CM à MG, on montre que la droite HM seule achève le problème; si le rapport a été donné plus grand, le problème ne s'achève pas; s'il a été donné plus petit, il [I-37 r ] est clair, à partir des synthèses précédentes, qu'une seule droite achève le problème et coupe la droite CM. B

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E ------+----'<:---"k------ D

o _ _ _ _ _ _ _~-~~~----Z

R

Fig. 103

Que la droite moyenne proportionnelle des droites UI et IC soit plus petite que la droite lM, c'est la droite IN. Joignons les deux droites HM et HN et prolongeons-les jusqu'aux points R et Z. La droite HZ coupe selon le rapport de CN à LG, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite CM.

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350

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Quant aux droites sécantes à la droite MN seule, la droite HR coupe selon le rapport de CM à MG, qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent ces droites. C'est pourquoi, si le rapport donné dans la synthèse est égal au rapport de CN à LG, on démontre [B-59 r ] que la droite HLZ achève le problème; si le rapport a été donné plus grand, la synthèse du problème ne se fait pas; s'il a été donné plus petit que le rapport de CN à LG et plus grand que le rapport de CM à MG, on démontre, à partir des déterminations que nous avons démontrées et indiquées précédemment, que la synthèse du problème se fait de deux manières, de part et d'autre de HZ, et que l'on mène deux droites qui coupent CN et NM ; si le rapport donné est plus petit que le rapport de CM à MG, on montre également, à partir des déterminations que nous avons démontrées, qu'une droite unique seulement achève le problème et coupe la droite CN; si le rapport donné est égal au rapport de CM à MG, on montre également, à partir des déterminations précédentes, que le problème est possible de deux manières et que c'est pour cela que la droite HM achève le problème, ainsi que l'autre droite, celle qui coupe NC; c'est ce que nous voulions démontrer.

Il.4. Quatrième incidence du onzième lieu B

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Fig. 104

Menons la droite HLN selon la quatrième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de CN à LG, donné 239 ; tirons-la jusqu'au point Z. Mais le rapport de LG à ZI est donné, le rapport de ZI à NC est donc donné. La droite HLN est alors de position donnée, puisqu'elle est semblable à la troisième incidence du sixième lieu, qui n'a pas de détermination. La synthèse en est évidente; c'est ce que nous voulions démontrer. 239

(HLN) coupe le segment [Cl].

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352

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Il.5. Cinquième incidence du onzième lieu

Menons la droite H LN selon la cinquième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de LG à NC, donné 24o • Mais le rapport de LG à lB est donné, le rapport de lB à N C est donc donné et la droite HBL est de position donnée, car elle est semblable à la quatrième incidence du sixième lieu ; c'est ce que nous voulions démontrer. [1 -37 v ; B-59 V ]

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Fig. 105

Nous déterminons cela ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état. Posons la droite IN moyenne proportionnelle des droites VI et lè 41 ; joignons HN. Je dis que la droite HLN coupe selon le rapport de GL à NC, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite lA tout entière.

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Fig. 106

Menons une autre droite, la droite H Q. Puisque la droite IN est la moyenne proportionnelle des droites VI et lC, le rapport de lB à NC est plus grand que le rapport de IR à QC. Si donc nous permutons, le rapport de BI à IR est plus grand que le rapport de NC à CQ. Mais le rapport de BI 240

241

Inversion du rapport, jusqu'à 14.1 inclus. (HLN) coupe la demi-droite [lA). N est le point pour lequel le rapport du cas 6.4 est maximum, NE [lA).

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354

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

à IR est égal au rapport de CL à CP, le rapport de CL à CP est donc plus grand que le rapport de NC à CQ. Si nous permutons, le rapport de LC à NC est plus grand que le rapport de PC à QC. La droite HLN coupe donc selon le rapport de CL à CN, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite lA. C'est ce que nous voulions démontrer.

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état. Posons la droite IN moyenne proportionnelle des droites UI et ICA2 . Joignons NH. La droite NH coupe selon le rapport de CL à NC, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite lA tout entière. Ainsi, si le rapport donné dans la synthèse est égal au rapport de LC à NC, la droite HLN, seule, achève le problème; si le rapport donné est plus grand, la synthèse du problème ne se fait pas; s'il est plus petit, il est clair, d'après ce que nous avons indiqué précédemment, que deux droites achèvent le problème et qu'elles coupent les droites AN et NI; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-60r ]

Douzième lieu

Menons également du point H au point C la droite HI. Elle tombe audessous du point C 243 . Il est clair que l'incidence des droites menées du point H a lieu dans cinq positions. 12.1 et 12.2. Première et deuxième incidences du douzième lieu

Menons la droite NH selon la première et la deuxième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de CL à Ne, donné 244 . Mais le rapport de CL à ID est donné, le rapport de [1-38"] ID à NC est donc donné. Étant donné que l'on a deux droites de position donnée, DI et BM, sécantes en

242 NE [lA). 243 Les deux manuscrits portent « au-dessous », le haut serait donc maintenant sur la droite (AB) dans la direction de A, contrairement au onzième lieu dans lequel le haut est sur la droite (AB) dans la direction de B (voir note complémentaire 8). 244 (RN) coupe soit la demi-droite [CA) (cas 12.1), soit le segment [CI] (cas 12.2).

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356

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports B

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Fig. 107

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons ce que nous avons indiqué en l'état, le rapport donné est le rapport de n à o. Posons le rapport de IR à RG égal au rapport de s à n. Si l'on a deux droites de position donnée, ID et CM, si la droite ID passe par le point 1 et si la droite CM passe par le point C, si le point marqué, le point R, est intérieur à l'angle MID, on mène, selon la première ou la deuxième incidence du quatrième lieu, la droite NR telle qu'elle coupe selon le rapport de ID à NC, égal au rapport de s à 0 ; il est alors clair que la droite RN achève le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-60 V ] B H q ç - - - - - - -_ _-{

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357

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358

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

12.3. Troisième incidence du douzième lieu

Fig. 109

Menons la droite HN selon la troisième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de GL à NC, donné245 ; prolongeons-la jusqu'au point E. Mais le rapport de GL à El est donné, le rapport de El à CN est donc donné et la droite HNE est de position donnée, comme cela a été démontré dans la troisième incidence du quatrième lieu; c'est ce que nous voulions démontrer. Nous déterminons cela ainsi 246 : joignons HM et prolongeons-la jusqu'au point B ; je dis que la droite HB coupe selon le rapport de GM à MC, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite lM. Que l'on mène une autre droite, la droite HE. Puisque l'on a démontré que la droite la plus proche du point 1 coupe toujours selon un rapport plus petit que le rapport selon lequel coupe la droite la plus éloignée, le rapport de El à CN est plus petit que le rapport de BI à CM. Si nous permutons, le rapport de BI à lE est plus grand que le rapport de MC à Ne. Mais le rapport [I-38 V ] de BI à lE est égal au rapport de MG à GL, le rapport de MG à GL est donc plus grand que le rapport de MC à CN. Si donc nous pennutons, le rapport de MG à MC est plus grand que le rapport de LG à CN. La droite HB coupe donc selon le rapport de MG à MC, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite lM. La synthèse de ce prohlème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, joignons HM et prolongeons-la jusqu'au point B. La

245

(HN) coupe le segment [lM].

Le cas 4.3 est sans discussion et le problème a une solution unique sur [IS]. Cependant, dans la mesure où Apollonius distingue le cas où N E [lM] (cas 12.3) du cas où NE [MS] (cas 12.4), une discussion s'impose, comme dans les cas analogues. 246

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360

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

droite HB coupe selon le rapport de GM à MC, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite lM. Si donc le rapport donné dans la synthèse est égal au rapport de MG à MC, la droite HB, seule, achève le problème; si le rapport est plus grand, [B-61 r] la synthèse du problème ne se fait pas; si le rapport est plus petit, on montre, à partir des déterminations précédentes, que le problème est possible d'une seule manière, et que la droite ainsi menée coupe la droite lM; c'est ce que nous voulions démontrer.

12.4. Quatrième incidence du douzième lieu H __- - - - { S E D

A

B

c Fig. 110

Menons la droite HD selon la quatrième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de GD à CE, donné247. Prolongeons la droite HD jusqu'au point B. Mais le rapport de GD à BI est donné, le rapport de BI à CE est donc donné et la droite HB est de position donnée, car elle est semblable à l'incidence à laquelle est semblable l'incidence précédente248 • Nous déterminons cela ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, joignons la droite HM et prolongeons-la jusqu'au point A ; je dis que la droite HA coupe selon le rapport de GM à MC, qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite SM. Menons une autre droite, soit HB. Puisque les droites qui sont plus proches du point 1 coupent selon des rapports plus petits que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées, le rapport de la droite lA à CM est plus petit que le rapport de BI à CE. Si nous permutons,

247 248

Changement de notations. (RD) coupe le segment [MS]. C'est-à-dire la troisième incidence du quatrième lieu.

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362

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

le rapport de lA à lB est plus petit que le rapport de MC à CE. Mais le rapport de AI à lB est égal au rapport de MG à GD, le rapport de MG à GD est donc plus petit que le rapport de MC à CE. Si nous permutons, le rapport de GM à MC, est plus petit que le rapport de GD à EC. La droite HA coupe donc selon le rapport de GM à MC, qui est le plus petit [I-39 r ] de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite SM ; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-61 V] La synthèse de ce problème se fait ainsi: joignons la droite HM et prolongeons-la jusqu'au point A. La droite HA coupe selon le rapport de GM à MC, qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite SM. Ainsi, si le rapport donné dans la synthèse est égal au rapport de GM à MC, la droite HA, seule, achève le problème; s'il est plus petit, la synthèse du problème ne se fait pas; s'il est plus grand, il est clair, d'après ce qui précède, qu'une seule droite achève le problème et coupe la droite MS ; c'est ce que nous voulions démontrer.

12.5. Cinquième incidence du douzième lieu

A

B

D

c Fig. III

Menons la droite AB selon la cinquième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de GB à CA, donné 249 ; prolongeons-la jusqu'au point D. Mais le rapport de GB à ID est donné, le rapport de ID à CA est

249

Changement de notations. (AB) coupe la demi-droite opposée à [SC).

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15

364

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

donc donné et la droite AD est de position donnée, car elle est semblable à la quatrième incidence du quatrième lieu, dans lequel il n'y a pas de détermination. La synthèse de ce problème est évidente.

Treizième lieu

Que la droite menée du point H au point G, la droite GC, tombe au point C. De là il est clair que, pour les droites menées du point H, l'incidence a lieu dans quatre positions. 13.1. Première incidence du treizième lieu

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Fig. 112

Menons d'abord la droite AB selon la première incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de GA à CD, donné 250 • Prolongeons HB jusqu'au point D. Mais le rapport de GA à BC est donné, le rapport de BC à CD est donc donné et la droite BD est de position donnée, comme cela a été démontré dans la première incidence du troisième lieu. Il faut que le rapport donné dans la synthèse soit plus petit que le rapport de KG à CN. Si la droite menée parallèlement251 est la droite HN, prolongeons alors les deux droites CB et HK [B-62 f ] jusqu'au point 1. Puisque le rapport de IC à CB est plus grand que le rapport de lB à BC,

coupe le segment [KG]. C'est-à-dire parallèlement à (GM).

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365

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366

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

mais que le rapport de IC à CB est égal au rapport de KG à GA et que le rapport de lB à BC est égal au rapport de IR à CD, mais que la droite IR est égale à la droite CN, le rapport de KG à GA est alors plus grand que le rapport de CN à CD. Si nous permutons, [I-39 V ] le rapport de KG à CN est plus grand que le rapport de GA à CD. Il faut donc que le rapport donné soit plus petit que le rapport de KG à CfI2 52 • "'-------/N

Fig. 113

La synthèse du problème se fait ainsi: posons le rapport donné le rapport de k à l, plus petit que le rapport de KG à CN. Posons le rapport de GR à RC égal au rapport de k à o. Or le rapport de GR à CR est égal au rapport de GK à KM, le rapport de GK à KM est donc égal au rapport de k à o. Mais la droite KM est égale à la droite RN, le rapport de KG à RN est donc égal au rapport de k à o. À l'inverse de cela, le rapport de a à k est égal au rapport de NR à KG. Mais le rapport de k à 1 est plus petit que le rapport de KG à CN, le rapport de a à 1 est donc plus petit que le rapport de RN à Ne. Si nous posons le rapport de a à 1 égal au rapport de RN à une autre droite, elle sera plus grande que la droite CN; que ce soit la droite ND. Joignons RD ; je dis que la droite RD achève le problème. Puisque le rapport de k à a est égal au rapport de GR à RC, mais que le rapport de GR à CR est égal au rapport de GA à BC, le rapport de k à a est égal au rapport de GA à CB. Or le rapport de a à 1 est égal au rapport de NR à ND - c'est-à-dire BC à CD. Le rapport de k à 1 est donc égal au rapport de GA à CD ; la droite RD achève donc le problème 253 ; c'est ce que nous voulions démontrer. 252

Démonstration directe qui ne fait pas intervenir le diorisme élémentaire du cas

3.l. 253 Cette synthèse, qui ne correspond pas à l'analyse, est une démonstration directe, qui ne fait pas intervenir le résultat de 3.l.

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15

368

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

13.2. Deuxième incidence du treizième lieu

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E

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Fig. 114

Menons la droite HB selon la deuxième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de BG à CA, donné 254 ; prolongeons-la jusqu'au point D. Mais le rapport de BG à CD est donné, le rapport [B-62 V ] de CD à CA est donc donné et la droite H D est de position donnée, car elle est semblable à la deuxième incidence du troisième lieu. Nous déterminons cela ainsi: joignons HM et prolongeons-la jusqu'au point E; je dis que la droite HM coupe selon le rapport de GM à MC, qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite lM tout entière. Menons la droite HD. Puisque les droites proches du point C coupent toujours selon des rapports plus petits que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées, comme cela a déjà été démontré 255 , le rapport de la droite EC à CM est plus petit que le rapport de DC à CA. Si nous permutons, le rapport de EC à CD est plus petit que le rapport de MC à CA. Mais le rapport de EC à CD est égal au rapport de MG à GB, le rapport de MG à GB est donc plus petit que le rapport de MC à CA. Si nous permutons, le rapport de MG à MC est plus petit que le rapport de GB à CA. La droite HM coupe donc selon le rapport de GM à MC, qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels [I-40r ] coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite lM tout entière. La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, joignons HM et prolongeons-la jusqu'au point E. La droite HM coupe selon le rapport de GM à MC, qui est le plus petit de tous

254 255

Changement de notations. (HB) coupe le segment [Ml]. Lors de l'étude du sens de variation du rapport faite dans le cas 3.2.

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370

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite lM tout entière. Ainsi, si le rapport donné dans la synthèse est égal au rapport de GM à MC, la droite HM, seule, achève le problème; si le rapport donné est plus petit, la synthèse du problème ne se fait pas; s'il est plus grand, on démontre, à partir de ce que nous avons indiqué précédemment, que la droite qui achève le problème coupe la droite lM; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-63 r ]

13.3. Troisième incidence du treizième lieu

E

Fig. 115

Menons la droite HB selon la troisième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de AG à BC, donné 256 ; tirons-la jusqu'au point D. Mais le rapport de AG à CD est donné, le rapport de BC à CD est donc donné et la droite HD est de position donnée, puisqu'elle est semblable à l'incidence précédente, celle que nous venons d'indique~57. Nous déterminons cela ainsi: joignons HM et prolongeons-la jusqu'au point E. Puisque les droites proches du point M coupent toujours selon des rapports plus grands que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées, on démontre, à partir des déterminations précédemment indiquées, que la droite HM coupe selon le rapport de GM à MC, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite MC tout entière258 . 256 Changement de notations. (HB) coupe le segment [MC]. 257 i. e. semblable au cas 3.2 comme dans le cas précédent. 258 Le diorisme est incomplet, il faut également que ~~ < ~~ (voir le diorisme du cas 13.1 ou celui du cas 3.2); ~~ est donc le plus petit des rapports selon lesquels coupent les droites issues de H et sécantes au segment [MC]. La synthèse qui suit est donc également incomplète, il faudrait discuter du nombre de solutions selon que k >

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372

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

La synthèse du problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, joignons HM et prolongeons-la jusqu'au point E. La droite HM coupe selon le rapport de MG à MC, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite MC tout entière. C'est pourquoi, si le rapport donné dans la synthèse est égal au rapport de G M à MC, la droite HM, seule, achève le problème; si le rapport est plus grand, la synthèse du problème ne se fait pas; s'il est plus petit, il est clair, à partir de toutes les déterminations que nous avons indiquées précédemment, que la droite qui achève le problème coupe la droite MC ; c'est ce que nous voulions démontrer. 13.4. Quatrième incidence du treizième lieu s

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A

B

E

D

Fig. 116

Menons la droite HB selon la quatrième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de BG à AC, donné 259 ; prolongeons-la jusqu'au point D. Mais le rapport de GB à CD est donné, [I-40 V ] le rapport de CD à CA est donc donné. Si l'on a deux droites de position donnée, SA et CD, si chacune d'elles passe par le point C, si le point H est intérieur à l'angle A CD et si l'on a mené, selon la troisième incidence du troisième lieu, AD qui coupe selon le rapport de DC à CA, [B-63 V ] donné, la droite AD est alors de position donnée, comme cela a été démontré dans la troisième incidence du troisième lieu, dans lequel il n'y a pas de détermination; c'est ce que nous voulions démontrer. La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état. Que le rapport donné soit le rapport de n à x. Posons le rapport de HG à CH égal au rapport de n à o. Si l'on a deux 259

[KM).

Changement de notations. (HB) coupe la demi-droite opposée à la demi-droite

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374

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

droites de position donnée, les droites SA et EC, si elles passent par le point C, si le point donné, le point H, est intérieur à l'angle ACD, nous menons, selon la troisième incidence du troisième lieu, AD, telle qu'elle coupe selon le rapport de DC à CA égal au rapport de 0 à x ; on montre alors que la droite AD achève le problème.

Quatorzième lieu

Que le point, le point H, soit également intérieur à l'angle AMB. Menons par le point H deux droites parallèles aux deux droites AM et MB. Elles tombent d'abord aux extrémités des droites, c'est-à-dire aux points Cet G, ce sont les droites HC et HG. Il est clair que pour les droites menées du point H, l'incidence a lieu dans trois positions26o • 14.1. Première incidence du quatorzième lieu B

H A

Fig. 117

Menons d'abord la droite AB selon la première incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de GB àAC, donné 261 • Mais le rapport de GB à CA est égal au rapport de la surface de GB par CA au carré de CA, le rapport de la surface de BG par CA au carré de CA est donc donné. Mais la surface de BG par CA est donnée, car elle est égale à la surface de GH par HC, la droite CA est donc donnée, le point C est donné, le point A est donc également donné. Le point H est donné, la droite AB est donc de position donnée; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-64r ]

260 Ce lieu est le seul lieu du second livre à ne pouvoir se ramener à l'un des lieux du premier livre; il est donc résolu directement. On retrouve alors la structure des démonstrations du premier livre. 261 (AB) coupe la demi-droite opposée à la demi-droite [CM).

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376

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, que le rapport donné soit le rapport de k à 1. Posons le rapport de k à 1 égal au rapport de la surface de GH par HC au carré de CA 262 . Joignons AH et prolongeons-la jusqu'au point B ; je dis que la droite AB achève le problème. Puisque le rapport de k à l est égal au rapport de la surface de CH par HG au carré de CA, mais que [1-41"] la surface de GB par CA est égale à la surface de CH par HG, le rapport de k à 1 est égal au rapport de la surface de GB par CA au carré de CA, le rapport de k à 1 est donc égal au rapport de BG à CA ; la droite AB achève donc le problème; c'est ce que nous voulions démontrer263 . 14.2. Deuxième incidence du quatorzième lieu

Menons la droite H K P K selon la deuxième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de CL à KG, donne 64 . Puisque le rapport de CL à KG est donné, le H Puisque la droite MC est plus grande que la droite CL et que la droite MG est plus petite que la droite GK, le rapport de MC à CL est plus grand que le rapport de MG à GK. Si nous permutons, le rapport de CM à MG est plus grand que le rapport de CL à KG. Or le rapport de CL à KG est donné, il faut donc, dans la synthèse, que le rapport donné soit plus petit que le rapport de CM à MG.

262 On suppose implicitement que A appartient à la demi-droite opposée à [CM). Cette construction suppose que l'on sache construire une quatrième proportionnelle pour les aires. Pappus qui, dans ses lemmes sur La Section de rapport, détaille la construction élémentaire d'une quatrième proportionnelle pour les longueurs (Livre VII, proposition 2), n'y fait pas allusion. 263 Il n'est pas fait mention dans ce cas de l'unicité de la droite (AB). 264 Retour au rapport initial, changement de notations. (HK) coupe le segment

[MC].

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378

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, posons le rapport donné le rapport de n à s, plus petit que le rapport de CM à MG. Puisque le rapport de CM à MG est plus grand [B-64 V ] que le rapport de n à s, le rapport de la surface de CM par MG au carré de MG, est plus grand que le rapport de n à s. Si nous faisons en sorte que le rapport de n à s soit égal au rapport de la surface de CM par MG à une autre surface, ce sera une surface plus grande que le carré de MG, que ce soit le carré de GK 265 . Je dis que la droite HK achève le problème, c'est-à-dire que le rapport de n à s est égal au rapport de CL à KG.

Puisque le rapport de n à s est égal au rapport de la surface de CM par MG au carré de KG, mais que la surface de CM par MG est égale à la surface de CL par KG, le rapport de n à s est égal au rapport de la surface de CL par KG au carré de KG, c'est-à-dire au rapport de CL à KG; la droite KH achève donc le problème. Je dis que c'est la seule 266 : que l'on mène une autre droite, la droite HP ; on montre que l'une des deux droites achève le problème et que l'autre n'y parvient pas; c'est ce que nous voulions démontrer. 14.3. Troisième incidence du quatorzième lieu B

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Fig. 119

Fixons ce que nous avons indiqué en l'état, menons la droite HK selon la troisième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de CL à KG, [IAP] donné 267 . Puisque le rapport de CL à KG est donné, le rapport de la surface de CL par KG au carré de KG est donné. Mais la surface de CL par KG est égale à la surface de CM par MG, le rapport de la surface de CM par 265

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L'unicité du point K, et donc de la droite (HK), est une conséquence immédiate de sa construction dans la synthèse. Cette partie était absente du cas 14.l. 267 (HK) coupe la demi-droite [ME). 266

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380

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

MG au carré de KG est donc donné. La surface de CM par MG est donnée, puisque chacune des deux droites CM et MG est donnée, le carré de KG est donc donné et la droite KG est donnée et également de position donnée. Or le point G est donné, le point K est donc donné; mais le point H est donné, la droite HK est donc de position donnée.

Puisque la droite LC est plus longue que la droite CM et que la droite KG est plus petite que la droite GM, le rapport de la droite LC à CM est plus grand que le rapport de KG à GM. Si nous permutons, le rapport de CL à KG est plus grand que le rapport de CM à [B-6Y] MG. Mais le rapport de CL à KG est donné, il faut que le rapport donné dans la synthèse soit posé plus grand que le rapport de CM à MG. La synthèse du problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état et posons le rapport donné le rapport de n à s, plus grand que le rapport de CM à MG, c'est-à-dire que le rapport de la surface de CM par MG au carré de MG. Si nous posons le rapport de n à s égal au rapport de la surface de CM par MG à une autre surface, ce sera une surface plus petite que le carré de MG, que ce soit le carré de KG 268 . Joignons HK et prolongeons-la jusqu'au point L ; je dis que la droite HL achève le problème, c'est-à-dire que le rapport de n à s est égal au rapport de CL à KG.

Puisque le rapport de n à s est égal au rapport de CM par MG au carré de KG et que la surface de CM par MG est égale à la surface de CL par KG, le rapport de n à s est égal au rapport de la surface de CL par KG, au carré de KG, c'est-à-dire au rapport de CL à KG; la droite HL achève donc le problème. Il est clair que c'est la seule: si l'on mène une autre droite, l'une des deux droites achève le problème et l'autre n' y parvient pas; c'est ce que nous voulions démontrer.

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382

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Quinzième lieu

Que la droite, menée par le point R, parallèle à la droite GM, tombe au point C et que la droite menée parallèlement à la droite MA, la droite RD, tombe au-dessous du point G. L'incidence des droites menées du point R a lieu de quatre manières 269 . 15.1. Première incidence du quinzième lieu E

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Fig. 120

Menons d'abord la droite ARB selon la première incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de CA à GB égal au rapport donné270. Le rapport de AC à GB est égal au rapport de la surface de AC par DB à la surface de DB par BG, le rapport de la surface de AC par [IA2"] DB à la surface de DB par BG est donc donné. Mais la surface de AC par [B-6SV] DB est connue puisqu'elle est égale à la surface de CR par RD; la surface de DB par BG est donc donnée et on l'a appliquée à la droite donnée DG, excédant du carré de GB, le point B est donc donné. Le point R est donné, la droite AB est donc de position donnée271 • La synthèse du problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, posons le rapport donné le rapport de k à 1 et posons le rapport de k à 1 égal au rapport de la surface de CR par RD à une surface s. Appliquons à la droite DG une surface égale à la surface s, excédant d'un carré, c'est la surface de DB par BG. Joignons BR et prolongeons-la jusqu'au point A ; je dis que la droite AB achève le problème. 269 Ce lieu, résolu ici directement, peut cependant se ramener au cinquième lieu du livre l si l'on trace la parallèle à (MB) issue de J, point d'intersection de (RG) et de

(MA). 270 271

(ARB) coupe la demi-droite [GE). Ce cas se ramènerait au cas 5.2 qui est sans discussion.

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384

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Puisque le rapport de k à l est égal au rapport de la surface de CH par HD à la surface s, que la surface s est égale à la surface de DB par BG et la surface de CH par HD égale à la surface de AC par DB, le rapport de k à l est égal au rapport de la surface de AC par DB à la surface de DB par BG, c'est-à-dire au rapport de AC à GB ; la droite AB achève donc le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. 15.2. Deuxième incidence du quinzième lieu

Menons la droite AB selon D B la deuxième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de AC à BG, G donné272. Le rapport de la surface H de AC par DB à la surface de DB A par BG est alors donné, puisqu'il est égal au rapport de AC à BG. Mais la surface de A C par DB est donnée, puisqu'elle est égale à la surface de Fig. 121 CH par HD, la surface de DB par BG est donc donnée et on l'a appliquée à la droite DG, défaillant d'un carré; la droite BD est donc donnée; le point H est donné, la droite AB est donc de position donnée 273. Puisqu'il faut, dans la synthèse, que le rapport soit le rapport de la surface de HC par HD à une autre surface, qu'il nous faut appliquer à la droite DG une surface égale à cette surface, défaillant d'un carré, et qu'il ne nous est pas possible d'appliquer à toute droite qui nous a été donnée [B66 r ] une surface égale à une surface donnée, défaillant d'un carré, c'est pourquoi il ne nous est pas possible de mener, par le point H, une droite qui découpe, de chacune des deux droites, deux droites telles que le rapport de l'une à l'autre soit égal au rapport donné. Nous déterminons cela ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, coupons la droite DG en deux moitiés au point l, joignons lH et prolongeons-la jusqu'au point E ; je dis que la droite lE coupe selon le

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(AB) coupe le segment [GD]. Ce cas se ramènerait au cas 5.3, qui est un cas à diorisme.

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386

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

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Fig. 122

On mène une autre droite, la droite AB. Puisque la droite DI est égale à la droite lG, la surface de DI par lG est plus grande que la surface de DB par BG. Puisque la surface de EC par DI est égale à la surface de AC par DB - car chacune d'elles est égale à la surface de CH par HD -, mais que le rapport de la surface de EC par DI à la surface de DI par lG est plus petit que le rapport de la surface de AC par DB à la surface de DB par BG mais le rapport de la surface de EC par DI à la surface de DI par lG est égal au rapport de EC à Gl et le rapport de la surface de AC par DB à la surface de DB par BG est égal au rapport de AC à BG -, alors le rapport de EC à lG est plus petit que le rapport de AC à GB. La droite lE coupe donc selon le rapport de EC à lG, le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite DG tout entière. La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, coupons la droite DG en deux moitiés au point l, joignons lH et prolongeons-la [B-66 V ] jusqu'au point E. La droite El coupe selon le rapport de EC à Gl, le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite DG tout entière. Ainsi, si le rapport donné dans la synthèse est égal au rapport de EC à lG, la droite El, seule, achève le problème; si le rapport est plus petit, la synthèse du problème ne se fait pas; s'il est plus grand, la synthèse du problème se fait de deux manières.

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388

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports B

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[] Fig. 123

Que le rapport donné soit le rapport de s à 0, plus grand que le rapport de EC à IG. Posons le rapport de s à 0 égal au rapport de la surface de CH par HD - qui est égale à la surface de EC par DI - à une surface p. Mais le rapport de s à 0 est plus grand que le rapport de EC à IG, le rapport de la surface de EC par DI à la surface p est donc plus grand que le rapport de EC à IG. Or le rapport de EC à IG est égal au rapport de la surface de EC par DI à la surface de DI par IG, le rapport de la surface de EC par DI à la surface p est donc plus grand que le rapport de la surface de EC par DI à la surface de DI par IG. La surface p est donc plus petite que la surface de DI par IG et il nous est possible d'appliquer à la droite DG une surface égale à la surface p, défaillant d'un carré, et cette application se fait de deux manières. Que les deux points de l'application soient les points B et K. Joignons les deux droites BH et KH et prolongeons-les jusqu'aux points A et L ; je dis que chacune [I-43 r ] des deux droites AB et KL achève le problème. Puisque le rapport de s à 0 est égal au rapport de la surface de CH par HD à la surface p, mais que la surface de CH par HD est égale à la surface de AC par DB et que la surface p est égale à la surface de DB par BG, le rapport de s à 0 est alors égal au rapport de la surface de AC par BD à la surface de DB par BG, qui est égal au rapport de AC à BG. La droite AB achève donc le problème, et on montre également que la droite KL fait de même. On a donc mis en évidence que la synthèse du problème se fait de deux manières; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-67r ]

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390

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

15.3. Troisième incidence du quinzième lieu G

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Fig. 124

Menons la droite HB selon la troisième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de CA à BG, donné274 ; le rapport de la surface de CA par BD à la surface de BG par BD est donc donné. Mais la surface de BD par CA est donnée, la surface de BG par BD est donc donnée et on l'a appliquée à la droite GD, excédant du carré de DB, le point B est donc donné; mais le point H est donné, la droite H B est donc de position donné e275. Il nous est nécessaire, dans la synthèse, que le rapport donné soit plus petit que le rapport de CM à MG: puisque la droite MC est plus grande que la droite CA et que MG est plus petite que BG, le rapport de MC à CA est plus grand que le rapport de MG à BG. Si nous permutons, le rapport de CM à MG est plus grand que le rapport de CA à BG. Mais le rapport de CA à BG est donné, il faut donc, dans la synthèse, que le rapport donné soit plus petit que le rapport de CM à MG. La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, que le rapport donné soit le rapport de n à s, plus petit que le rapport de CM à MG. Posons le rapport de n à s égal au rapport de la surface de CH par HD - qui est égale à la surface de CM par MD - à une surface o. Le rapport de n à s est plus petit que le rapport de CM à MG, le rapport de la surface de CM par MD à la surface 0 est donc plus petit que le rapport de CM à MG. Mais le rapport de CM à MG est égal au rapport de la surface de CM par MD à la surface de DM par MG, le rapport de la

(HB) coupe la demi-droite [ME). Ce cas, comme le suivant, se ramènerait au cas 5.1 qui est un cas sans diorisme; le problème a donc une solution unique sur la demi-droite [DE). Cependant, dans la mesure où Apollonius distingue le cas où B E [ME) (cas 15.3) du cas où BE [MD] (cas 15.4), une discussion s'impose. 274

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392

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

surface de CM par MD à la surface 0 est donc plus petit que le rapport de la surface de CM par MD à la surface de GM par MD, la surface 0 est donc plus grande que la surface de GM par MD. Si nous voulons appliquer à la droite GD une surface égale à la surface 0, excédant d'un carré, alors celle-ci contiendra le point 1vf276. Que la surface 0 soit égale à la surface de GB par BD, joignons HB, je dis que la droite HB achève le problème. Puisque le rapport de n à s est égal au rapport de la surface de CH par HD à la surface 0, mais que la surface 0 est égale à la surface de GB par BD, [I-43 V ] le rapport de n à s est égal au rapport de HC par HD à la surface de GB par BD. Mais la surface de CH par HD est égale à la surface de BD par A C, le rapport de n à s [B-67 V ] est donc égal au rapport de la surface de CA par BD à la surface de GB par BD. Le rapport de la surface de CA par BD à la surface de GB par BD est égal au rapport de CA à BG, le rapport de n à s est donc égal au rapport de CA à BG ; la droite H B achève donc le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. 15.4. Quatrième incidence du quinzième lieu

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Fig. 125

Menons la droite HA selon la quatrième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de CA à BG, donné277 ; le rapport de la surface de CA par BD à la surface de GB par BD est donc donné. Mais la surface de CA par BD est égale à la surface de CH par HD, la surface de GB par BD est donc connue et on l'a appliquée à la droite DG, excédant du carré de BD, la droite BD est donc connue; le point H est connu, la droite HB est donc de position donnée.

5.1.

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Voir apparat critique.

277

(HA) coupe le segment [DM]. Ce cas, comme le précédent, se ramènerait au cas

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394

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Il faut que le rapport donné dans la synthèse soit plus grand que le rapport de CM à MG : puisque la droite CA est plus longue que la droite CM et la droite BG plus petite que la droite GM, le rapport de CA à CM est plus grand que le rapport de BG à MG. Si nous permutons, le rapport de AC à BG est plus grand que le rapport de CM à GM. Mais le rapport de AC à BG est donné, on a donc démontré qu'il nous est nécessaire, dans la synthèse, que le rapport donné soit plus grand que le rapport de CM à MG. La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, que le rapport donné soit le rapport de n à s, plus grand que le rapport de CM à MG. Posons le rapport de n à s égal au rapport de la surface de CH par HD - qui est égale à la surface de CM par MD - à une surface o. Puisque le rapport de n à s est plus grand que le rapport de CM à MG, mais que le rapport de n à s est égal au rapport de la surface de CM par MD à la surface 0 et que le rapport de CM à MG est égal au rapport de la surface de CM par MD à la surface de GM par MD, le rapport de la surface de CM par MD à la surface [B-6S r ] 0 est alors plus grand que le rapport de la surface de CM par MD à la surface de GM par MD. La surface 0 est donc plus petite que la surface de G M par MD. Si nous voulons appliquer à la droite GD une surface égale à la surface 0, excédant d'un carré, le point de l'application tombera à l'intérieur, à partir du point M 278 . Que la surface 0 soit égale à une surface égale à la surface de GB par BD, joignons la droite HB et prolongeons-la jusqu'au point A; je dis que la droite HA achève le problème. Puisque le rapport de n à s est égal au rapport de la surface de CH par HD - qui est égale à la surface de CA par BD - à la surface de GB par BD, mais que le rapport de la surface de CA par BD à [I-44r ] la surface de GB par BD est égal au rapport de CA à BG, le rapport de n à s est alors égal au rapport de CA à BG ; c'est ce que nous voulions démontrer.

278 Le point B issu de l'application des aires (par excès) est entre D et M, puisque BG . BD < MG . MD.

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396

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Seizième lieu

De même, que l'une des deux parallèles, la droite HD, tombe au-dessus du point G. De là il est clair que l'incidence - c'est-à-dire l'incidence des droites menées du point H - a lieu dans quatre positions279 • 16.1. Première incidence du seizième lieu E

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Fig. 126

Menons la droite BA selon la première incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de AC à BG, donné 280 ; le rapport de la surface de AC par BD à la surface de BG par BD est donc donné. Mais la surface de AC par DB est donnée, la surface de GB par BD est donc donnée et on l'a appliquée à la droite GD, excédant du carré de BD ; le point B est donc donné; or le point H est donné, la droite BHA est donc de position donnée. Nous démontrons la synthèse de ce problème à l'exemple de celle qui précède; c'est ce que nous voulions démontrer. 16.2. Deuxième incidence du seizième lieu

Menons la droite HB selon la deuxième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de CA à BG, donné 281 ; le rapport de la surface de AC par DB à la surface de DB par BG est donc donné. Mais la surface de BD par CA est donnée, la surface de DB par BG est donc donnée et on l'a appliquée à la droite DG, excédant d'un carré, le point [B-68 V ] B est donc connu. Or le point H est connu, la droite HB est donc de position donnée.

279 Ce lieu, résolu ici encore directement, peut également se ramener au cinquième lieu si l'on trace la parallèle à (MB) issue de J, point d'intersection de (HG) et de (MA). 280 (BA) coupe la demi-droite [DE). Ce cas se ramènerait au cas 5.1, qui est un cas sans diorisme. 281 Changement de notations. (HB) coupe la demi-droite [ME). Ce cas, comme le suivant, se ramènerait au cas 5.2 qui est un cas sans diorisme. Le problème a donc une solution unique sur [GE).

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398

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

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Fig. 127

Il faut que le rapport donné dans la synthèse soit plus petit que le rapport de CM à MG: puisque la droite MC est plus longue que la droite CA et la droite MG plus petite que la droite GB, le rapport de CM à CA est plus grand que le rapport de MG à GB, de même si nous permutons. Mais le rapport de CA à BG est donné, il faut donc que le rapport donné dans la synthèse soit plus petit que le rapport de CM à MG. La synthèse du problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, que le rapport donné soit le rapport de n à s, plus petit que le rapport de CM à MG. Posons le rapport de n à s égal au rapport de la surface de CH par HD - qui est égale à la surface de CM par MD - à une surface o. Or le rapport de n à s est plus petit que le rapport de CM à MG, le rapport de la surface de CM par MD à la surface 0 est donc plus petit que le rapport de CM à MG. Mais le rapport de CM à GM est égal au rapport de CM par MD à la surface de DM par MG, le rapport de la surface de CM par MD à la surface 0 est donc plus petit que le rapport de la surface de CM par MD à la surface de DM par MG, la surface 0 est donc plus grande que la surface de DM par MG. On avait appliqué à la droite DG une surface égale à [I-44 V ] la surface 0, excédant d'un carré, la surface de DB par BG. On a donc démontré que la droite HB achève le problème282 ; c'est ce que nous voulions démontrer. 16.3. Troisième incidence du seizième lieu

Menons la droite HA selon la troisième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de BG à CA, donné 283 ; le rapport de la surface de GB par BD à la surface de CA par BD est donc donné. Mais la surface de

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Puisque BG . BD > MG . MD, BE [ME). Inversion du rapport. (HA) coupe le segment [GM].

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400

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

CA par BD est connue, la surface de GB par BD est donc connue et on l'a appliquée à la droite DG, excédant d'un carré, le point B est donc connu; or le point H est connu, la droite HA est donc de position donnée. A

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Fig. 128

Il faut que le rapport donné dans la synthèse soit plus grand 284 que le rapport de CM à MG: puisque le rapport de AC à CM est plus grand que le rapport de BG à GM, par permutation, il en est encore ainsi. Mais le rapport de CA à BG est donné, on a donc démontré que, dans la synthèse, le rapport donné doit être plus grand que le rapport de CM à MG. [B-69 r ] Ce que nous avons indiqué ayant été démontré, la synthèse en est également évidente, comme précédemment285 ; c'est ce que nous voulions démontrer. 16.4. Quatrième incidence du seizième lieu

Menons, selon la quatrième incidence, une droite, la A droite HA, qui coupe selon le rapM port de CA à B G, donné 286 ; le rapport de la surface de CA par Hel'-------1 BD à la surface de GB par BD est donc donné. Mais la surface de CA par DB est connue, la surface de DB par BG est donc connue et Fig. 129 on l'a appliquée à la droite GD, défaillant d'un carré, le point B est donc connu; or le point H est connu, la droite HA est donc de position donnée; c'est ce que nous voulions démontrer. 284 285

Retour au rapport initial. Dans ce cas, si le rapport donné est supérieur à

CM,

MG

BG . BD < MG . MD et

BE [GM]. 286 (HA) coupe le segment [GD]. Ce cas se ramènerait au cas 5.3, cas à diorisme.

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402

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Nous déterminons cela ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, coupons GD en deux moitiés au point B, joignons HB et prolongeons-la jusqu'au point A ; je dis que la droite HA coupe selon le rapport de CA à BG, qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite GD tout entière. Menons la droite HK. Puisque la droite GB est égale à la droite BD, la surface de GB par BD est plus grande que la surface de GE par ED. Mais la surface de CA par DB est égale à la surface de CK par ED, car chacune d'elles est égale à la surface de CH par HD. Le rapport de la surface de CA par BD à la surface de GB par BD est donc plus petit que le rapport de la surface de CK par ED à la surface de GE par ED. Mais le rapport de la surface de CA par BD à la surface de GB par BD est égal au rapport de CA à GB et le rapport de CK par ED à GE par ED est égal au rapport de CK à GE, le rapport de CA [1-4Y] à GB est donc plus petit que le rapport de CK à EG. La droite CA coupe donc selon le rapport de AC à GB, le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à [B-69 V ] GD tout entière. A

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H

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Fig. 130

Étant donné que nous avons déterminé cela ainsi, on démontre, à partir de ce que nous avons indiqué précédemment, que la synthèse du problème se fait de deux manières, de part et d'autre de la droite HA, et qu'elles 287 coupent GB et BD; c'est ce que nous voulions démontrer288 .

C'est-à-dire les droites ainsi menées. L'auteur ne mentionne pas que, pour que le problème ait deux solutions, il faut que le rapport donné soit supérieur à AC. 287

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404

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Dix-septième lieu

De même, que les deux droites qui sont menées par le point H et sont parallèles aux deux droites AI et MK, les droites EH et HD, tombent audessus des deux points G et 0'89. Il est clair que les droites menées du point H, tombent dans cinq positions. 17.1. Première incidence du dix-septième lieu B

K

M

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A

Fig. 131

Menons la droite AK selon la première incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de KG à AC, donné 290 • Joignons la droite HG et prolongeons-la jusqu'au point 1. Menons par le point 1 la droite lB, parallèlement à la droite MK. Prolongeons la droite HAK jusqu'au point B, la droite lB est alors de position donnée. Puisque le rapport de GK à AC est donné, mais que le rapport de GK à lB est donné, le rapport de lB à AC est donné. Étant donné que l'on a deux droites de position donnée, AI et lB, que la droite AI passe par le point C et que la droite lB passe par le point l, que le point marqué, qui est le point H, est intérieur à l'angle AIB, que la droite parallèle qui passe par le point H coupe la droite EC au-dessus de Cet que l'on a mené, selon la première incidence, la droite AB telle qu'elle coupe selon le rapport de lB à CA, donné, la droite AB est alors de position donnée, car elle est semblable à la première incidence du sixième lieu, qui n'a pas de détermination. La synthèse de ce problème est évidente.

289 On retrouve cette formulation dans les l7 e, ISe, 1g e, 20 e et 21 e lieux: dans tous ces lieux, avec les notations de la figure 131, le haut est, sur la droite (MA) dans la direction de A, et sur la droite (Mf{) dans la direction de K. 290 Inversion du rapport dans ce lieu et dans tous les lieux suivants. (Af{) coupe la demi-droite opposée à la demi-droite [El).

405

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15

406

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

La synthèse de ce problème est la suivante: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, que le rapport donné soit le rapport de n à o. Posons le rapport de GH à HI égal au rapport de n à s. Menons la droite AB selon la première incidence [B-70r ] du sixième lieu telle qu'elle coupe selon le rapport de lB à AC égal au rapport de s à o. Il est clair que la droite AB achève le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. 17.2. Deuxième incidence du dix-septième lieu p

B

K

H

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Fig. 132

Menons la droite HK selon la deuxième incidence, telle qu'elle coupe [I-45 V ] selon le rapport de KG àAC, donné 291 . Prolongeons la droite HG jusqu'en l, menons par le point 1 une droite parallèle à la droite KM, elle rencontre HK au point B. Le rapport de AC à KG est donné, mais le rapport de KG à BI est donné, le rapport de BI à AC est donc donné et la droite HB est de position donnée, car elle est semblable à la deuxième incidence du sixième lieu, qui a une détermination. Nous déterminons cela ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, que la droite moyenne proportionnelle des droites El et IC soit la droite lA 292. Joignons HA et prolongeons-la jusqu'au point B ; je dis que la droite HB coupe selon le rapport de KG à CA, le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite CE tout entière. Menons une autre droite, la droite HP. Puisque la droite lA est moyenne proportionnelle des droites El et IC, que les droites PI et El sont de position donnée et qu'elles passent, la droite PI, par le point l, et la droite El, par le

291 292

(HK) coupe le segment [CE]. A E [CE]. Le point A est celui pour lequel le rapport du cas 6.2 est minimum.

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408

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

point C, que la droite parallèle à la droite IP est la droite HE et qu'elle tombe au-dessus du point C, alors, en raison de ce que nous avons démontré dans la deuxième incidence du sixième lieu, le rapport de lB à AC est le plus petit; le rapport de BI à CA est donc plus petit que le rapport de PI à CS. Si nous permutons, le rapport de BI à IP est plus petit que le rapport de AC à CS. Mais le rapport de BI à IP est égal au rapport de KG à GO, le rapport de KG à G a est donc plus petit que le rapport de A C à CS. Si nous permutons, le rapport de KG à AC est plus petit que le rapport de GO à CS et la droite HB coupe selon le rapport de KG à CA, qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à CE. P

B

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Fig. 133

La synthèse du problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, déterminons une droite moyenne proportionnelle des droites El et IC, la droite lA. Joignons HA et prolongeons-la jusqu'au point [B-70 V ] B. La droite HK coupe alors selon le rapport de KG à CA le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite CE tout entière. Ainsi, si le rapport donné dans la synthèse est égal au rapport de KG à CA, la droite HK achève le problème; s'il est plus petit, la synthèse du problème ne se fait pas; s'il est plus grand, on montre, à partir de ce que nous avons indiqué précédemment, que le problème est possible de deux manières, de part et d'autre de la droite HK, et qu' elles 293 coupent EA et AC. Que le rapport donné soit le rapport de p à n, plus grand que le rapport de KG à CA. Posons le rapport de GH à IH égal au rapport de p à q, le

293

C'est-à-dire les droites solutions.

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410

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

rapport de p à q est alors égal au rapport de KG à lB. Mais le rapport de p à n est plus grand que le rapport de KG à CA ; par l'égalité, le rapport de q à n est donc plus grand que [I-46r ] le rapport de lB à CA. Mais le rapport de BI à CA est le plus petit des rapports, comme cela a été démontré dans la deuxième incidence du sixième lieu, il y a donc deux droites, menées de part et d'autre de la droite HB. Menons la droite HP qui coupe selon le rapport de PI à CS égal au rapport de q à n. Il est clair que la droite HP achève le problème, nous montrons de même qu'une autre droite l'achève; c'est ce que nous voulions démontrer. 17.3. Troisième incidence du dix-septième lieu

B

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K

H

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Fig. 134

Menons la droite HK selon la troisième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de KG à CA, donné 294 ; prolongeons-la jusqu'au point P. Le rapport de KG à PI est donné, le rapport de PI à CA est donc donné et la droite HP est de position donnée, puisqu'elle est semblable à la troisième incidence du sixième lieu 295 . Nous déterminons cela ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, joignons HM et prolongeons-la jusqu'au point B. Il est clair que le rapport de GM à MC est plus petit que le rapport de KG à CA 296 • Il nous est donc nécessaire, dans la synthèse, que le rapport donné [B -7 F] soit plus grand que le rapport de GM à MC.

294

(HA) coupe le segment [CM].

Ce cas et le cas suivant (17.4) se ramènent au cas 6.3, qui est sans discussion. Cependant, puisque Apollonius distingue le cas où la droite (HA) coupe le segment [CM], cas 17.3, du cas où elle coupe le segment [MI], cas 17.4, il est amené à discuter 295

de l'existence des solutions selon que le rapport donné est inférieur ou supérieur à 296

CM < CK et CM> CA, d'où le résultat.

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412

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, que le rapport donné soit le rapport de p à n, plus grand que le rapport de GM à MC. Posons le rapport de MH à HB égal au rapport de p à q, il est clair que, par l'égalité, le rapport de BI à CM est plus petit que le rapport de q à n. Si nous voulons faire passer par le point Hune droite qui découpe, des droites MC et IP, deux droites telles que le rapport de l'une à l'autre soit égal au rapport de q à n, on montre que cette droite coupe la droite CM, car on a déjà montré que les droites proches du point 1 coupent toujours selon des rapports plus petits que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées. Menons-la, c'est la droite HP, elle coupe selon le rapport de PI à CA, qui est égal au rapport de q à n. Il est clair que la droite HP achève le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. 17.4. Quatrième incidence du dix-septième lieu P

E

p

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Fig. 135

Menons la droite HP selon la quatrième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de AG à BC, donné 297 • Mais le rapport de AG à PI est donné, le rapport de PI à CB est donc donné et la droite HP est de position donnée, [I-46 V ] car elle est semblable à l'incidence précédente, indiquée auparavant2 98 . Nous déterminons cela ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, joignons HM et prolongeons-la jusqu'au point E. Il est clair qu'il est nécessaire, dans la synthèse, que le rapport donné soit plus petit que le rapport de GM à MC.

297 298

Changement de notations. (HP) coupe le segment [Ml]. Ce cas, comme le précédent, se ramène au cas 6.3.

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414

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

La synthèse du problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, que le rapport donné soit le rapport de p à n, plus petit que le rapport de GM à MC. Posons le rapport de GH à HI égal au rapport de p à q ; il est clair que, par l'égalité, le rapport de lE à MC est plus grand que le rapport de q à n. Si nous voulons faire passer par le point H une droite qui découpe, des droites CI et lE, deux droites telles que le rapport de l'une à l'autre soit égal au rapport de q à n, on montre que cette droite coupe la droite MI - étant donné qu'on a déjà montré que [B-7P] les droites proches du point 1 coupent selon des rapports plus petits que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées; menons cette droite, que ce soit la droite HP, elle coupe selon le rapport de PI à BC, égal au rapport de q à n. Il est clair que la droite HP achève le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. 17.5. Cinquième incidence du dix-septième lieu s B

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Fig. 136

Menons la droite AB selon la cinquième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de AG à CB, donné 299 . Mais le rapport de GA à 10 est donné, le rapport de 10 à BC est donc donné et la droite HB est de position donnée, car elle est semblable à la quatrième incidence du sixième lieu qui a une détermination. Nous déterminons le problème ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, déterminons une droite moyenne proportionnelle des droites El et lC, la droite lB 30o . Joignons la droite HB. La droite HB

299

300

(AB) coupe la demi-droite [IS). B E [IS), B est le point pour lequel le rapport du cas 6.4 est maximum.

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416

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

coupe selon le rapport de 10 à BC qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite lS tout entière. Et il a été démontré que la droite HB coupe selon le rapport de GA à BC, le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites sécantes à la droite GD. s B

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Fig. 137

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, posons la droite lB moyenne proportionnelle des droites El et lC, joignons HB. La droite HB coupe selon le rapport de GA à BC, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite GD tout entière. Ainsi, si le rapport donné dans la synthèse est égal au rapport de GA à BC, la droite HB achève le problème; s'il est plus grand, la synthèse du problème ne se fait pas; s'il est plus petit il est clair, à partir de ce que nous avons indiqué précédemment, [I-47 r ] que le problème est possible de deux manières, de part et d'autre de la droite HB, et qu'elles 301 coupent AG et AD; c'est ce que nous voulions démontrer.

Dix-huitième lieu

De même, que les droites parallèles aux deux droites MG et CA qui passent par le point H, [B-n r] les droites HE et HK, tombent au-dessous des points Cet G. Joignons le point G et le point H par une droite que nous prolongeons; elle tombe soit au point C, soit d'un côté ou de l'autre de

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C'est-à-dire les droites solution.

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418

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

celui-ci. Qu'il tombe d'abord sur celle-ci. Il est clair que cela, c'est-à-dire droites menées du point H, a lieu selon quatre cas de figure. 18.1. Première incidence du dix-huitième lieu G

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Fig. 138

Menons la droite AB selon la première incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de BG à CA, donné 302 • Menons, du point C, une droite parallèle à la droite MG, la droite CI. Puisque le rapport de BG à CA est donné, mais que le rapport de BG à CI est donné, car il est égal au rapport de GH à HC, le rapport de CI à CA est donné. Étant donné que l'on a deux droites de position donnée, les droites AM et CK, que chacune d'elles passe par le point C, que le point marqué, le point H, est intérieur à l'angle lCM, que l'on a mené la droite HA qui coupe selon le rapport de lC à CA, donné, la droite AB est de position donnée, car elle est semblable à la première incidence du troisième lieu, qui n'a pas de détermination 303 . Il faut, dans la synthèse, que le rapport donné soit plus petit que le rapport de DG à EC : prolongeons la droite DH jusqu'au point K; puisque le rapport de HE à EC est plus grand que son rapport à EA, mais que le rapport de HE à EA est égal au rapport de lC à CA, le rapport de HE à EC est plus grand que le rapport de lC à CA ; mais la droite EH est égale à la droite CK, le rapport de la droite CK à EC est donc plus grand que le rapport de lC à CA ; si nous permutons, le rapport de CK à CI est plus grand que le rapport de EC à CA ; mais le rapport de KC à CI est égal au rapport de DG à GB, le rapport de DG à GB est donc plus grand que le rapport de

coupe le segment [GD]. Nous avons choisi de ne pas corriger le texte car, bien que le cas 3.1 comporte à proprement parler une discussion (élémentaire), Pappus ne le classe pas parmi les cas à détermination. 302 (AB) 303

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420

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

EC à CA et par permutation il en sera ainsi; le rapport de GB à CA est donné, il faut donc que le rapport donné soit plus petit que le rapport de DG à EC304 . [B-72 V ]

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, posons le rapport donné le rapport de p à n, plus petit que le rapport de DG à EC. Que le rapport de HC à GH soit égal au rapport de q à p ; mais le rapport de CH à GH est égal au rapport de CK à DG, qui est égal au rapport de EH à DG, le rapport de q à p est donc égal au rapport de HE à GD. Or le rapport de p à n est plus petit que le rapport de DG à EC ; par l'égalité, le rapport de q à n est donc plus petit que le rapport de EH à EC. Si [I-47 nous posons le rapport de q à n égal au rapport de HE à une autre droite, elle sera plus grande que EC, que ce soit la droite EA. Joignons HA et prolongeons-la, on démontre qu'elle achève le problème 305 ; c'est ce que nous voulions démontrer. V

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18.2. Deuxième incidence du dix-huitième lieu

B

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A

Fig. 139

Menons la droite lB selon la deuxième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de GB à CI, donné 306 ; prolongeons-la jusqu'au point A. Mais le rapport de GB à AC est donné, le rapport de AC à CI est donc donné et la droite BA est de position donnée, car elle est semblable à la deuxième incidence du troisième lieu qui n'a pas de détermination307 .

Démonstration directe qui ne fait pas appel au diorisme du cas 3.1. Synthèse directe qui ne correspond pas à l'analyse qui précède et n'utilise pas les résultats du cas 3.1. 306 Changement de notations. (lB) coupe le segment [CE]. 307 Voir le cas précédent. 304 305

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422

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Il faut que le rapport donné dans la synthèse soit plus grand que le rapport de GD à EC : prolongeons la droite DH jusqu'au point K. Puisque le rapport de HE à El - c'est-à-dire le rapport de AC à CI - est plus grand que le rapport de EH à EC - c'est-à-dire que le rapport de KC à CE - et que, si nous permutons, le rapport de AC à CK est plus grand que le rapport de IC à CE, mais que le rapport de AC à KC est égal au rapport de BG à GD, alors le rapport de BG à GD est plus grand que le rapport de IC à CE. Si nous permutons, le rapport de BG à IC est plus grand que le rapport de GD à EC ; le rapport de BG à IC est donné, il faut donc [B-73 r ] que le rapport donné soit plus grand que le rapport de GD à EC308 . La synthèse du problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, que le rapport donné soit le rapport de p à n, plus grand que le rapport de GD à EC. Posons le rapport de CH à HG égal au rapport de q à p ; mais le rapport de CH à HG est égal au rapport de CK à GD et le rapport de p à n est plus grand que le rapport de GD à EC ; par l'égalité, le rapport de q à n est donc plus grand que le rapport de CK à EC, c'est-à-dire que le rapport de HE à EC. Étant donné que l'on a deux droites de position donnée, EC et AK, passant par le point C, que le rapport donné est plus grand que le rapport de HE à EC, il nous est possible de mener une droite qui coupe selon un rapport égal au rapport de q à n 309 , et la droite qui coupe selon ce rapport est proche du point E 310 , que ce soit la droite AB ; il est clair que la droite AB achève le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. 18.3. Troisième incidence du dix-huitième lieu

Menons la droite HA selon la troisième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de AG à OC, donné 311 • Prolongeons-la jusqu' au point B. Le rapport de AG à CB est donné, le rapport de BC à OC est donc donné et la droite AB [I-48 r ] est de position donnée, car elle est semblable à la troisième incidence du troisième lieu.

Démonstration directe qui ne fait pas appel au diorisme du cas 3.2. D'après 3.2. 310 C'est-à-dire plus proche du point E que la droite (HG). 311 Changement de notations. (HA) coupe le segment [EM]. 308

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424

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

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Fig. 140

Nous déterminons cela ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état. Il faut que le rapport donné dans la synthèse soit plus grand que le rapport de GM à MC, car le rapport de AG à OC est plus grand que le rapport de GM à MC, comme cela a déjà été démontré 312 • La synthèse du problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, joignons HM et prolongeons-la jusqu'au point K; que le rapport donné soit le rapport de d à t, plus grand que le rapport de GM à MC. Posons le rapport de GH à CH égal au rapport de d à s ; mais [B-73 V ] le rapport de GH à HC est égal au rapport de MG à KC, le rapport de d à s est donc égal au rapport de MG à KC ; mais le rapport de d à test plus grand que le rapport de GM à MC, il est donc clair, par l'égalité, que le rapport de s à t est plus grand que le rapport de CK à CM. Menons donc la droite AB telle qu'elle coupe selon le rapport de BC à CO, qui est égal au rapport de s à t ; elle coupe également la droite EM, car les droites proches du point C 313 coupent toujours selon des rapports plus grands que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées, comme cela a déjà été démontré. Il est clair que la droite HA achève le problème 314 ; c'est ce que nous voulions démontrer.

312 D'après l'étude du sens de variation du rapport faite dans le cas 3.3, BC> CK, oc MC d'où le résultat. 313 Sur la droite (CM). 314 D'après 3.3, il existe un point 0 appartenant à la demi-droite [EM) tel que BC s et, pUisque . BC> CK ' -=-, O appartIent au segment [EM] . co 1 oc MC

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426

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

18.4. Quatrième incidence du dix-huitième lieu

G

K

B

Fig. 141

Menons la droite AHB selon la quatrième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de OG à AC, donné3I5. Mais le rapport de OG à BC est donné, le rapport de BC à CA est donc donné; la droite AB est donc de position donnée. Il faut que le rapport donné dans la synthèse soit plus petit que le rapport de GM à MC, comme cela a été démontré 316 . La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, posons le rapport donné le rapport de s à p, plus petit que le rapport de GM à MC. Joignons HM et prolongeons-la jusqu'au point K. Posons le rapport de GH à CH égal au rapport de s à 0 ; mais le rapport de GH à HC est égal au rapport de MG à KC et le rapport de MG à MC est plus grand que le rapport de s à p, il est donc clair que, par l'égalité, le rapport de KC à CM est plus grand que le rapport de 0 à p. Menons la droite HB telle qu'elle coupe selon le rapport de BC à CA égal au rapport de 0 à p3l7 ; il est alors nécessaire qu'elle coupe la droite MA, car les droites proches du point C3l8 coupent toujours selon des rapports plus grands que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées. Il est alors clair que la droite AB achève le problème; [1 -48 V ] c'est ce que nous voulions [B-74r ] démontrer.

315 Changement de notations. (AHB) coupe le segment [MD]. Ce cas, comme le précédent, se ramène au cas 3.3. 316 Démonstration analogue à celle du cas précédent. 317 D'après 3.3. 318 Sur la droite (CM).

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428

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Dix-neuvième lieu De même, que la droite menée du point G au point H, la droite GI, tombe au-dessus du point C. Il est clair que l'incidence des droites menées du point H a lieu selon cinq cas de figure. 19.1. Première incidence du dix-neuvième lieu D B G

M

L

A

Fig. 142

Menons la droite HB selon la première incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de KG à BC, donné 319 . Menons, par le point l, une droite parallèle à la droite MG, la droite lA. Mais le rapport de KG à lA est donné, car il est égal au rapport de GH à HI, le rapport de lA à BC est donc donné. Étant donné que les deux droites BI et lA sont de position donnée, que la droite lA passe par le point 1 et que la droite lB passe par le point C, que le point marqué, qui est le point H, est intérieur à l'angle AIM, que la droite parallèle qui passe par le point H, la droite HE, tombe au-dessus 32o du point C et que l'on a mené la droite BA telle qu'elle coupe selon le rapport donné de AI à CB, la droite AB est alors de position donnée, car elle est semblable à la première incidence du sixième lieu. On démontre que le rapport donné dans la synthèse doit être plus petit que le rapport de GM à MC, car la droite KG est plus petite que la droite GM et la droite BC plus grande que la droite CM321 •

(HB) coupe la demi-droite [MD). Voir note complémentaire 8 : (GI) passe « au-dessus» du point C et (HE) est « au-dessus» du point C. Ceci est peut-être dû au fait que, dans le cas 6.1, il est dit que le point E est au-dessus du point C. 319

320

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6.l.

Démonstration directe qui n'utilise pas les variations du rapport étudiées dans

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430

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, que le rapport donné soit le rapport de n à 0, plus petit que le rapport de GM à MC. Joignons MH et prolongeons-la jusqu'au point L. Posons le rapport de GH à HI, c'est-à-dire le rapport de GM à LI, égal au rapport de n à s, le rapport de n à s est donc égal au rapport de GM à IL. Mais le rapport de n à 0 [B-74 V ] est plus petit que le rapport de GM à MC; par l'égalité, le rapport de s à 0 est plus petit que le rapport de LI à CM. [À l'inverse, le rapport de 0 à s est plus grand que le rapport de CM à IL; si nous posons le rapport de 0 à s égal au rapport de MC à une autre droite, elle sera plus petite que IL, que ce soit la droite lA. Joignons AH et prolongeons-la322 ]. Nous montrons ainsi que, si nous voulons mener par le point H une droite qui découpe les droites IL et lB selon la première incidence du sixième lieu, telle que le rapport de l'un des segments à l'autre soit égal au rapport de s à 0, il est clair que cette droite coupe la droite MD, puisque les droites proches du point C coupent toujours selon des rapports plus grands que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées. Menons-la, c'est la droite AB, elle coupe selon le rapport de AI à CB égal au rapport de s à 0; il est alors clair que la droite [I-49 r ] AB achève le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. 19.2. Deuxième incidence du dix-neuvième lieu G

A

B

S

Fig. 143

Menons la droite HB selon la deuxième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de GB à KC, donné323. Mais le rapport de GB à AI est donné, le rapport de AI à KC est donc donné et la droite AB est de position donnée, car elle est également semblable à la première incidence du sixième lieu. 322 Le texte entre crochets est non seulement inutile, mais il induit en erreur, puisque la droite HA ainsi construite n'est pas solution du problème. Il semble qu'il y ait eu ici confusion avec la synthèse du cas 18.1, dans laquelle on construit directement la droite cherchée sans se ramener à l'un des cas du premier livre. 323 Changement de notations. (HB) coupe le segment [ME].

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432

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Il est clair que le rapport donné dans la synthèse doit être plus grand que le rapport de GM à MC324 . La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, joignons HM et prolongeons-la jusqu'au point S ; tout le reste est clair, à partir de ce qui vient d'être indiqué325 ; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-7Y] 19.3. Troisième incidence du dix-neuvième lieu B

G

A

Fig. 144

Menons, selon la troisième incidence, la droite HB, telle qu'elle coupe selon le rapport de GB à KC, donné 326 • Joignons la droite HK et prolongeons-la jusqu'au point A. Mais le rapport de GB à AI est donné et le rapport de GB à KC est donné, le rapport de AI à KC est donc donné et la droite AB est de position donnée, car elle est semblable à la deuxième incidence du sixième lieu, qui a une détermination. Nous déterminons cela ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, déterminons une droite moyenne proportionnelle des droites El et lC, la droite lK327 . Joignons HK et prolongeons-la jusqu'aux points A et B. La droite HA coupe selon le rapport de lA à CK, le plus petit des rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite EC tout entière; on montre également que la droite BK coupe selon le rapport de GB à KC, qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite EC tout entière.

En effet GB > MG et KC < CM, d'où le résultat. Voir la synthèse du cas 19.1. 326 (HB) coupe le segment [EC]. 327 K E [EC], ce point est celui pour lequel le rapport du cas 6.2 est minimum.

324 325

433

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434

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Étant donné que nous avons déterminé cela, la synthèse de ce problème est claire et se fait de deux manières 328 , de part et d'autre de la droite BK, et elles 329 coupent EK et KC ; c'est ce que nous voulions démontrer. 19.4. Quatrième incidence du dix-neuvième lieu B

M

G

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A

Fig. 145

Menons la droite AB selon la quatrième incidence, [I-49 V ] telle qu'elle coupe selon le rapport de GB à KC, donné 330 . Menons également une droite parallèle, passant par le point I. Le rapport de GB à lA est donné, mais le rapport de GB à KC est donné, le rapport de lA à KC est donc donné et la droite AB est de position donnée, car elle est semblable à la troisième incidence du sixième lieu, qui n'a pas de détermination. La synthèse en est claire, à l'exemple de celle que nous avons indiquée précédemment; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-7SV] 19.5. Cinquième incidence du dix-neuvième lieu

Menons la droite AB selon la cinquième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de BG à AC, donné 331 • Mais le rapport de GB à IK est donné, le rapport de IK à AC est donc donné et la droite AB est de position donnée, car elle est semblable à la quatrième incidence du sixième lieu, qui a une détermination.

328 À condition que le rapport donné dans la synthèse soit plus grand que le rapport de GB àKC. 329 C'est-à-dire les droites ainsi menées. 330 (AB) coupe le segment [CI]. 331 Changement de notations. (AB) coupe la demi-droite [IS).

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436

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports G

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s Fig. 146

Déterminons-la ainsi: fixons ce que nous avons indiqué en l'état, déterminons une droite moyenne proportionnelle des droites El et IC, la droite IA 332 ; joignons HA ; la droite HA coupe selon le rapport de IK à CA, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite IS tout entière; et il est clair que la droite AB coupe selon le rapport de BG à AC, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite IS tout entière. Étant donné que nous avons démontré ce que nous avons indiqué, la synthèse de ce problème est claire et se fait de deux manières 333 , de part et d'autre de AB, et elles 334 coupent AI et AS ; c'est ce que nous voulions démontrer. Vingtième lieu De même, que la droite menée du point G au point H et prolongée tombe au-dessous du point C, c'est la droite IG. Il est clair que les droites menées du point H tombent selon cinq cas de figure.

20.1,20.2 et 20.3. Première, deuxième et troisième incidences du vingtième lieu Menons la droite AB selon la première, la deuxième et la troisième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de GB à CA, donné 335 . Menons par le point 1 la droite IK, parallèlement à la droite MG. Puisque le E [lS), ce point est celui pour lequel le rapport du cas 6.4 est maximum. À condition que le rapport donné dans la synthèse soit plus petit que le rapport de BC àAC. 334 i. e. les droites ainsi menées. 335 La droite (AB) coupe soit la demi-droite [CS) (cas 20.1), soit le segment [lC] (cas 20.2), soit le segment [ID] (cas 20.3).

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Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports B

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K

Fig. 147

rapport de BG à AC est donné et que le rapport de BG à IK est donné, le rapport de KI à CA est [B-76 r ] donné. Étant donné que l'on a deux droites de position donnée, les droites IK et AM, que la droite IK passe par le point 1 et que la droite MA passe par le point C, [I-Sor] que le point connu, le point H, est intérieur à l'angle KIM et que l'on a mené la droite AB qui coupe selon le rapport de IK à CA, donné, la droite AB est alors de position donnée, car la première incidence est semblable à la première incidence du quatrième lieu, la deuxième incidence à la deuxième incidence et la troisième à la troisième incidence, et toutes les trois sont sans discussion. On en démontre la synthèse à l'exemple de ce que nous avons indiqué précédemment; c'est ce que nous voulions démontrer.

20.4. Quatrième incidence du vingtième lieu G

B

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A

L

Fig. 148

Menons la droite HB selon la quatrième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de GB à CK, donné 336 ; prolongeons HB jusqu'au point A. Mais le rapport de BG à lA est donné, le rapport de AI à KC est donc donné et la droite AB est de position donnée, car elle est semblable à la quatrième incidence du quatrième lieu.

336

Changement de notations. (HB) coupe le segment [MD].

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440

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Il est clair que le rapport donné dans la synthèse doit être plus grand que le rapport de GM à MC337 • La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état. Que le rapport donné soit le rapport de s à p, plus grand que le rapport de GM à MC. Joignons MH et prolongeons-la jusqu'au point L. Posons le rapport de GH à HI égal au rapport de s à o. Il est clair que, par l'égalité, le rapport de LI à CM est plus petit que le rapport de 0 à p. Menons, par le point H, AB, telle qu'elle coupe selon le rapport de lA à CK égal au rapport de 0 à p338 ; elle coupe nécessairement la droite DM, car les droites proches du point C coupent toujours selon des rapports plus grands que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées, comme nous l'avons démontré dans ce qui précède 339 . Il est alors clair que la droite AB achève le problème; c'est [B-76 V ] ce que nous voulions démontrer. 20.5. Cinquième incidence du vingtième lieu B G

H Vc-----/D

A

Fig. 149

Menons la droite AB selon la cinquième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de GK à BC, donné 340 • Mais le rapport de GK à AI est donné, le rapport de AI à BC est donc donné et la droite AB est de position donnée, car elle est également semblable à la quatrième incidence du quatrième lieu.

337 338

GB > GM et CK < CM, d'où le résultat.

D'après 4.4. Lors de l'étude du sens de variation du rapport dans le cas 4.4. 340 (AB) coupe la demi-droite opposée à la demi-droite [MC).

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442

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Il est clair que le rapport donné dans la synthèse doit être plus petit que le rapport de GM à MC. Étant donné que nous avons démontré ce que nous avons indiqué à l'exemple de ce que nous avons décrit, [I-50 V ] la synthèse en est également claire, à l'exemple de ce que nous avons indiqué précédemment; c'est ce que nous voulions démontrer.

Vingt et unième lieu

Menons donc de même deux droites parallèles aux droites AI et MG, telles que l'une d'elles, la droite HE, tombe au-dessous du point C, et que l'autre, la droite HD, tombe au-dessus du point G. Il est clair que les droites menées du point H tombent dans cinq positions. 21.1. Première incidence du vingt et unième lieu K

B

M

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Fig. 150

Menons la droite AB selon la première incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de GB àAC, donné 341 . Joignons la droite HG et prolongeons-la jusqu'au point 1. Menons par le point 1 une droite parallèle à la droite MB, la droite lK et tirons AB jusqu'au point K. Mais le rapport de GB à lK est donné, le rapport de lK à AC est donc donné. Étant donné que l'on a deux droites de position donnée, les droites AI et lK, que lK passe par le point 1 et que AI passe par le point C, que le point marqué, qui est le point H, est intérieur à l'angle AlK, que la droite parallèle à la droite DG qui passe par le point H, [B-77 r ] la droite HE, tombe au-dessous du point C, et

341

(AB) coupe la demi-droite opposée à la demi-droite [CM).

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444

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

que l'on a mené la droite AK qui coupe selon le rapport de lK à A C, donné, la droite AK est alors de position donnée, car elle est semblable à la première incidence du septième lieu, qui n'a pas de détermination. La synthèse du problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, que le rapport donné soit le rapport de n à o. Posons le rapport de GH à lH égal au rapport de n à s et menons, selon la première incidence du septième lieu, la droite AB telle qu'elle coupe selon le rapport de KI à AC égal au rapport de s à 0; il est clair que la droite AK achève le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. 21.2. Deuxième incidence du vingt et unième lieu K

B

H~----I

A C

Fig. 151

Menons la droite AB selon la deuxième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de GB à AC, donné 342 . Tirons la droite AB jusqu'au point K. Mais le rapport de GB à lK est donné, le rapport de lK à AC est donc donné et la droite AK est de position donnée, car elle est semblable à la deuxième incidence du septième lieu, qui a une détermination. Nous déterminons cela ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, posons la droite lA moyenne proportionnelle des droites lC et lE 343 , joignons AB et prolongeons-la jusqu'au point K. [1-51'] La droite AK coupe alors selon le rapport de lK à AC, qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et

342 343

cas 7.2.

(AB) coupe le segment [EC]. A E [EC], ce point est celui qui correspond à la valeur minimale du rapport du

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446

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

sécantes à la droite EC tout entière. Il est clair, à partir de ce que nous avons indiqué précédemment comme déterminations, que la droite AK coupe selon le rapport de G B à AC, qui est le plus petit de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite EC tout entière. On démontre également à partir de cela comment se fait la synthèse de ce problème et que cette synthèse se fait de deux manières 344 , de part et d'autre de AK, et qu'elles 345 coupent CA et AE ; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-77 V] 21.3. Troisième incidence du vingt et unième lieu L

K

B H=-----I

Fig. 152

Menons la droite HB selon la troisième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de GB à CA, donné 346 ; prolongeons-la jusqu'au point K. Mais le rapport de BG à KI est donné, le rapport de KI à CA est donc donné et la droite HK est de position donnée, car elle est semblable à la troisième incidence du septième lieu. Il est clair que le rapport donné dans la synthèse doit être plus grand que le rapport de GM à MC347 • La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, que le rapport donné soit le rapport de n à 0, plus grand que le rapport de GM à MC. Joignons HM et prolongeons-la jusqu'au point L. Posons le rapport de GH à HI égal au rapport de n à s. Il est clair

344 À condition que le rapport donné dans la synthèse soit plus grand que le rapport de GB à AC. 345 i. e. les droites ainsi menées. 346 (HB) coupe le segment [ME]. 347 GB > GM et CA < CM, d'où le résultat.

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448

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

que, par l'égalité, le rapport de LI à CM est plus petit que le rapport de s à o. Menons HK telle qu'elle coupe selon le rapport de KI à CA, égal au rapport de s à 0 ; elle coupe alors nécessairement la droite EM, car on a démontré que les droites proches du point E coupent toujours selon des rapports plus grands que les rapports selon lesquels coupent les droites qui en sont éloignées 348 , la droite KH achève donc le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. 21.4. Quatrième incidence du vingt et unième lieu K

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Fig. 153

Menons la droite HB selon la quatrième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de AG à BC, donné 349 ; tirons-la jusqu'au point K. Mais le rapport de AG à KI est donné, le rapport de KI à BC est donc donné et la droite HK est de position donnée, car elle est semblable à l'incidence précédente. Il est clair que [B-7W] le rapport donné dans la synthèse doit être plus petit que le rapport de GM à MC. [I-5P] La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, que le rapport donné soit le rapport de n à 0, plus petit que le rapport de GM à MC. Joignons HM et prolongeons-la jusqu'au point L. Le reste de cela se démontre à partir de la proposition précédente et de ce que nous avons indiqué précédemment; c'est ce que nous voulions démontrer.

348 349

7.3.

Lors de l'étude du sens de variation du rapport dans le cas 7.3. (HB) coupe le segment [Ml]. Ce cas se ramène, comme le précédent, au cas

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450

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

21.5. Cinquième incidence du vingt et unième lieu B

Fig. 154

Menons la droite HB selon la cinquième incidence, telle qu'elle coupe selon le rapport de AG à BC, donné 35o • Mais le rapport de GA à lK est donné, le rapport de lK à CB est donc donné et la droite HB est de position donnée, car elle est semblable à la quatrième incidence du septième lieu, qui a une détermination. Nous déterminons ce problème ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, posons la droite lB moyenne proportionnelle des droites CI et lE35l, joignons HB. La droite HB coupe alors selon le rapport de lK à BC, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite GD tout entière. On démontre également, à partir des déterminations que nous avons indiquées précédemment, que la droite HB coupe selon le rapport de GA à BC, qui est le plus grand de tous les rapports selon lesquels coupent les droites menées du point H et sécantes à la droite GD tout entière. Étant donné que ce que nous avons indiqué a été démontré, la synthèse de ce problème est claire: elle est possible de deux manières 352 , de part et d'autre de la droite HB, et elles 353 coupent GA et AD. Il est clair que tout cela est facile à trouver à partir de ce que nous avons indiqué précédemment ; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-78 V ]

350

351

(HB) coupe la demi-droite opposée à la demi-droite [le). BE [IS), ce point est celui qui correspond à la valeur maximale du rapport du

cas 7.4. 352 À condition que le rapport donné dans la synthèse soit plus petit que le rapport de GA à Be. 353 i. e. les droites ainsi menées.

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452

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

Vingt-deuxième lieu Que les droites parallèles aux deux droites AB et CD tombent à l' extérieur des deux points E et G 354 , ce sont les droites HM et HL. L'incidence des droites menées du point H a lieu selon cinq cas de figure. 22.1 et 22.2. Première et deuxième incidences du vingt-deuxième lieu D p

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Que la droite IK coupe selon la première et la deuxième incidence, selon le rapport de El à KG égal au rapport donné 355 • Menons du point H au point G la droite HG et joignons GN. Menons par le point N une droite parallèle à la droite AB, la droite OP; menons la droite K Q. Puisque la grandeur 356 de chacune des deux droites NH et HG est connue, le rapport de NH à HG est connu. Mais le rapport de NH à HG est égal au rapport de NQ à KG, le rapport de NQ à KG est donc [I-52r ] donné. Mais le rapport de KG à El est donné, le rapport de NQ à El est donc donné. Étant donné que l'on a deux droites de position donnée, les droites CD et OP, que la droite CD passe par le point E et que la droite OP passe par le point N, que le point connu, qui est le point H, est intérieur à l'angle CNP, que la droite qui passe par le point H, parallèlement à la droite AB, tombe au-dessus du point E 357 , menons du point H la droite HKQ telle qu'elle coupe selon le rapport

354 C'est-à-dire que ces droites ne passent pas par les points E et G, qui sont maintenant les points donnés sur les droites de position donnée (AB) et (CD) (changement de notations). 355 Retour au rapport initial. 356 Le texte comporte, dans cette unique analyse, l'expression quelque peu inhabituelle miqdiir 'i,?am ; voir note complémentaire l. 357 On a vu la relativité de ce genre de précision (voir note complémentaire 8).

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454

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

de NQ à El égal au rapport donné, cela a déjà été démontré auparavant. La première incidence est sans discussion, tandis que la deuxième a une détermination. La synthèse de la première incidence est claire; c'est ce que nous voulions démontrer. Nous déterminons la deuxième incidence ainsi: menons une droite moyenne proportionnelle des droites MN et NE, la droite NI, menons du point H au point 1 la droite HI et menons lQ. Le rapport de NQ à El - sur les droites CD et OP - est le plus petit rapport. Je dis que le rapport de KG à El - sur les droites AB et CD - est également le plus petit358 • Menons du point H la droite [B-79 r ] HR. Puisque le rapport de NQ à El est plus petit que le rapport de RN à ES et que, si nous permutons, le rapport de NQ à NR est plus petit que le rapport de El à ES, mais que le rapport de NQ à NR est égal au rapport de KG à GB, alors le rapport de KG à GB est plus petit que le rapport de lE à ES. Si nous permutons, le rapport de KG à El est plus petit que le rapport de BG à ES. Le rapport de KG à El est donc le plus petit, sur les droites AB et CD. D

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La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, que le rapport donné soit le rapport de v à}. Le rapport de v à}, ou bien est égal au rapport de KG à El, ou bien est plus

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456

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

petit, ou bien est plus grand. Si le rapport de v àj est égal au rapport de KG à El, la droite HQ achève le problème; s'il est plus petit, le problème n'est pas possible; s'il est plus grand, le problème est possible de deux manières. Que le rapport de v àj soit plus grand que le rapport de KG à El. Posons le rapport de GH à HN égal au rapport de v à d. Mais le rapport de GH à HN est égal au rapport de KG à NQ ; par l'égalité, le rapport de d àj est donc plus grand que le rapport de NQ à El. Il nous est donc possible de mener du point H une droite qui coupe selon le rapport de d àj, et cela de deux manières, de part et d'autre de la droite HQ. Menons les deux droites HR et HU ; je dis que les deux droites HR et HU achèvent le problème. Puisque le rapport de NH à HG est égal au rapport de NU à TG et au rapport de d à v, le rapport de GT à NU est égal au rapport de v à d. Mais le rapport de UN à EX est égal au rapport de d àj ; par l'égalité, le rapport de TG à EX est égal au rapport de [I-52 V ] v àj ; la droite HX achève donc le problème. Pour cette raison également, la droite HR achève le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. [B-79 V ] 22.3 et 22.4. Troisième et quatrième incidences du vingt-deuxième lieu Que la droite HIK coupe également selon la troisième et la quatrième incidence, selon le rapport de KG à El égal au rapport donné. Menons du point H au point G la droite HGN et menons, du point N, une droite parallèle à la droite AB, soit OP. Menons IQ. Puisque chacune des deux droites NH et HG est de grandeur connue, le rapport de NH à HG est connu. Mais le rapport de NH à HG est égal au rapport de QN à KG, le

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Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

rapport de NQ à KG est donc donné. Mais le rapport de KG à El est donné, le rapport de NQ à El est donc donné. Étant donné que l'on a dans un plan deux droites, CD et OP, de position donnée, que la droite CD passe par le point E et que la droite OP passe par le point N, que le point marqué, le point H, est intérieur à l'angle CNP, que la droite menée par le point H, parallèlement à la droite OP, tombe au-dessus du point E, on a mené du point H la droite HQ telle qu'elle coupe selon le rapport de NQ à El égal au rapport donné. o ________~L---~Q----~R--------~Q--O

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Fig. 157

On a déjà démontré que le rapport de KG à GS est, dans la troisième incidence, plus grand que le rapport de lE à ES et, dans la quatrième incidence, plus petit359 . À l'inverse de cela36o , dans la troisième incidence, le rapport de KG à El est plus grand que le rapport de GS à SE et, dans la quatrième, plus petit. Mais le rapport de KG à El est égal au rapport [B-SO'] donné, il faut donc que le rapport donné, dans la troisième incidence, soit plus grand que le rapport de GS à SE et, dans la quatrième, plus petit. La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, joignons HS et menons SR. Que le rapport donné soit le rapport de x à t, plus grand dans la troisième incidence que le rapport

359 360

Si CK> CS, El> ES et si CK < CS, El> ES, d'où le résultat. Par permutation plutôt que par inversion.

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460

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

de GS à SE et, dans la quatrième, plus petit. Posons le rapport de GH à HN égal au rapport de x à v, le rapport de v à t dans la troisième incidence est donc plus grand que le rapport de RN à SE et, dans la quatrième, plus petit. La droite HR coupe, dans la troisième incidence, selon le plus petit rapport et, dans la quatrième, selon le plus grand. Il nous est donc possible de mener du point H une droite qui coupe selon le rapport de v à t. La droite ainsi menée passe, dans la troisième incidence, entre les points Met S et [fin 1] dans la quatrième, tombe à l'extérieur, du côté du point S361. Menons HQ qui coupe selon le rapport de QN à El égal au rapport de v à t. Le rapport de KG à El est alors égal au rapport de x à t ; la droite HQ achève donc le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. 22.5. Cinquième incidence du vingt-deuxième lieu

Que la droite HIK coupe également selon la cinquième incidence, selon le rapport de KG à El égal au rapport donné. Joignons HG, menons GN et menons par le point N une droite parallèle à la droite AB, la droite OP. Puisque chacune des deux droites NH et HG est de grandeur connue [B-80 V], le rapport de NH à HG est donné. Mais le rapport de NH à HG est égal au rapport de NQ à KG et le rapport de KG à El est connu, le rapport de QN à El est donc connu. Étant donné que l'on a dans un plan deux droites de position donnée, CD et OP, que CD passe par le point E et que OP passe par le point N, que le point marqué, le point H, est intérieur à l'angle CNP, que la droite menée du point H, parallèle à la droite AB, tombe au-dessus du point E, on mène alors, du point H, la droite HI telle qu'elle coupe selon le rapport de N Q à El égal au rapport donné, comme nous l'avons démontré dans ce qui précède.

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Voir note complémentaire 2.

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462

Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

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Il Y a une détermination à cela, puisque, lorsqu'on détermine une droite moyenne proportionnelle des droites NM et NE, puis que l'on joint au point H, est celle qui coupe selon le plus grand rapport. Déterminons donc une droite moyenne proportionnelle des droites MN et NE, la droite NI ; joignons IR. Sur les droites CD et OP, le rapport de NQ à El est le plus grand rapport. Je dis que, sur les droites AB et CD également, le rapport de KG à lE est le plus grand. Menons du point H une droite quelconque, la droite HR. Puisque le rapport de QN à El est plus grand que le rapport de NX à ER et que, si nous permutons, le rapport de QN à NX est plus grand que le rapport de lE à ER, mais que le rapport de NQ à NX est égal au rapport de KG à GT, alors le rapport de KG à GT est plus grand que le rapport de lE à ER. Si nous permutons, le rapport de KG à El est plus grand que le rapport de GT à ER ; sur les droites AB et CD le rapport de KG à El est donc le plus grand. La synthèse de ce problème se fait ainsi: fixons tout ce que nous avons indiqué en l'état, que le rapport donné soit le rapport de t à h. Le rapport de t à h, ou bien est égal au rapport de KG à [B-8l r] El, ou bien est plus grand, ou bien est plus petit. S'il lui est égal, la droite lH achève le problème; s'il est plus grand, le problème ne s'achève pas; s'il est plus petit, la synthèse du problème se fait de deux manières.

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Apollonius: Sur la section des droites selon des rapports

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c Fig. 159

Que le rapport de t à h soit plus petit que le rapport de KG à El. Posons le rapport de GH à HN égal au rapport de t à d. Mais le rapport de GH à HN est égal au rapport de KG à NQ ; par l'égalité, le rapport de d à h est donc plus petit que le rapport de NQ à El. Mais le rapport de NQ à El est le plus grand, il nous est donc possible de mener du point H une droite qui coupe selon un rapport égal au rapport de d à h. Ce problème est possible de deux manières, de part et d'autre de la droite HI. Menons donc deux droites HR et HU ; je dis que les droites HR et HU achèvent le problème. Puisque le rapport de NH à HG est égal au rapport de NX à GT et au rapport de d à t, et que le rapport de NX à ER est égal au rapport de d à h, le rapport de GT à ER est égal au rapport de t à h ; la droite HR achève donc le problème. C'est pour cette raison également que la droite HU achève aussi le problème; c'est ce que nous voulions démontrer. Le second livre du traité d'Apollonius sur la section des droites selon des rapports est achevé, et il se compose de cent cinq propositions (sic). Louanges à Dieu, que Son salut et Sa bénédiction soient sur notre seigneur MuJ:lammad, le Prophète, et sa famille.

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10

NOTES COMPLÉMENTAIRES

[1] Divers termes - t~~, ~.J..r-L, i ~ , ~ - sont utilisés dans La Section de rapport, tant dans l'énoncé du problème que dans les analyses des divers cas, pour désigner soit les objets donnés par hypothèse, soit les objets que l'analyse permet de déterminer, l'objet de ces analyses étant de démontrer que le ou les objets cherchés sont donnés ou connus, i. e. déterminables à partir des hypothèses du problème. Le terme t~~ - participe passif du verbe ~.J, qui signifie placer, poserse rencontre, dès l'énoncé du problème de La Section de rapport, pour qualifier chacune des deux droites illimitées, données par hypothèse. Pappus, dans l'introduction au livre VII de La Collection mathématique, lorsqu'il cite l'énoncé de ce problème, les qualifie de T~ 8Éan oo{kTO"at (données par la position). Cet usage du terme t~~ n'est pas propre à ce texte, on le rencontre également, avec ce sens, dans la traduction arabe des Données d'Euclide (définitions l3, 14 et 15, tout au moins dans la rédaction de Na~ïr a1-Dïn al-Tusï. Ces définitions sont parfois considérées comme interpolées et attribuées à Apollonius, cf. Heath, A History of Greek Mathematics, vol. II, p. 193), pour qualifier des droites dont la position est donnée ou connue; ce terme y est synonyme de l'expression ~~ 1 i ~ (connu de position) également usitée, tant dans la version Isl)aq!fhabit (ms. Istanbul, Topkapi Saray, Ahmet III, 3464, fol. 1a-19b) que dans la rédaction de Na~ïr al-Dïn al-Tusï des Données (ms. Le Caire, Riyaçliyat 40, fol. 91' -103'). Le terme ~.J~ - participe passif du verbe ~.r-ÎI, qui signifie poser, imposer, supposer - qualifie, dans l'énoncé du problème de La Section de rapport, le dernier élément donné par hypothèse, le rapport, :t......:::..J~ ~ (rapport donné), ce rapport que Pappus qualifiait de oo8dç ÀÔyoç (rapport donné) ; on rencontre également le terme ~.J~ dans la traduction Isl)aq!fhabit des Éléments d'Euclide - dans les énoncés des quelques problèmes de construction du livre l - également pour traduire le terme grec oo8Év. Le point donné par hypothèse, d'où est issue la droite que l'on cherche à construire, qualifié par Pappus de oo8È:v O"T)flE:lOV (point donné), devient en revanche dans le texte arabe un point connu (~~ d.b..i..:,), suivant en cela une tendance générale des mathématiciens arabes des Ixe/x e siècles de qualifier de connus dans leurs analyses, tant les objets donnés par hypothèse que ceux que celle-ci permet de déterminer, comme c'est déjà le cas dans les traductions arabes des Données d'Euclide; en effet, si le terme ~ (donné), participe passif du verbe ~i (donner) est utilisé pour traduire le titre de l'ouvrage (...:...4-b-U1, O€ooflÉva.), il n'est plus utilisé dans le corps de celui-ci: oo8Év y est le plus souvent traduit par i ~ (connu) : ..>~ 1 i ~ (connu de grandeur), o..>~1 i~ (connu deforme), ou é'""'~1 i~ (connu de position).

468

Notes complémentaires

Il faut cependant noter que les deux autres points donnés par hypothèse - ceux qui sur les droites de position donnée délimitent les extrémités des segments de ces droites que découpe la droite cherchée - sont, eux, qualifiés dans le texte arabe de point marqué (~ 4....b..i.:,) sur ces droites - 4...h..i.:. ~ ~13 JS ~ ~,on a marqué un point sur chacune d'elles. La terminologie des analyses de La Section de rapport - dont l'objet est de démontrer que la droite cherchée est connue ou donnée - varie considérablement entre les premières analyses et les suivantes. Dans la première analyse, celle du cas l.1, c'est le terme i~ (connu) qui s'applique aux objets que l'analyse permet de déterminer - avec les deux précisions éventuelles .)...ü.ll i~ (connu de grandeur) et~~1 i~ (connu de position)ou son synonyme t~>---" pour qualifier des droites dont la position est donnée ou connue, soit par hypothèse soit au terme d'une démonstration; le terme U<:-3..r-L ' ne s'y applique qu'au rapport donné par hypothèse. Dans la deuxième analyse, celle du cas l.2, faite exactement sur le même modèle, le terme i ~ seul n'est plus utilisé que trois fois (une fois pour une droite et deux fois pour un point) ; on rencontre encore deux fois l'expression .).L...iJ 1 i",.L...-. mais l' expression ~~ 1 i ~ est remplacée par le terme t~3--" , appliqué à des droites ou des points dont on démontre que la position est donnée (connue) ; dans tous les autres cas, c'est le terme U<:-3~ qui est utilisé, en particulier pour les rapports dont on démontre qu'ils sont donnés ou connus. Dans la troisième analyse, celle du cas l.3, le terme i ~ n'est plus utilisé; c'est le terme U<:-3.;--i-...c qui s'impose - y compris pour qualifier une droite dont la position et non la grandeur est donnée ou connue; on a encore quatre occurrences du terme t~>---" , appliqué deux fois à une droite dont la position est donnée et deux fois à un point. Notons également que l'expression t~>---" U<:-3~ (donné et de position donnée), signifiant que tant la grandeur que la position d'une droite sont données - que l'on retrouvera par la suite à quelques occasions, également sous la forme t~~3 U<:-3~ - fait ici son apparition. Cette tendance s'affirme, et le terme i ~ n'est plus guère utilisé dans les analyses suivantes, où le terme U<:-3~ s'impose: en ce qui concerne les rapports, le terme U<:-3..r-L (donné) est appliqué non seulement au rapport donné par hypothèse (comme dans la première analyse), mais également à tous les rapports que l'on peut déterminer à partir de lui; les points sont indifféremment qualifiés de U<:-3.;-i-.c ou de t~-.J-O ; quant aux droites elles sont qualifiées soit de U<:-3~ - le plus souvent lorsque leur grandeur est donnée ou connue, sans que cette règle soit absolue - soit de t~3--" lorsque leur position est donnée ou connue. C'est pourquoi nous avons traduit U<:-3..r--L-o par donné - sans préciser donné de grandeur, puisque ce n'est pas toujours le cas pour les droites et qu'en ce qui concerne les points ce serait absurde et t~~ par de position donnée, qu'il s'agisse de points ou de droites. Une analyse cependant se distingue des autres, celle du cas 6.3, dans laquelle c'est le terme u h. (donné), participe passif du verbe ~1 (donner), qui est 0

Notes complémentaires

469

utilisé, là où dans les autres analyses on trouve ~3...r-i--o. Le verbe ~i est encore épisodiquement utilisé, par exemple lors de la récapitulation du sixième lieu, ou lors de la discussion du cas 7.2, ou lors de la récapitulation du septième lieu. Notons également, dans l'analyse des premier et second cas du vingt-deuxième lieu, qui constitue un ajout au texte, l'occurrence unique de l' expression ~ .;1 -.LL., pour désigner la grandeur C..;..ü) d'une droite. [2] Diverses expressions se rencontrent dans le texte pour désigner l'appartenance du point donné d'où sont issues les droites cherchées à certains angles. Si l'expression ~31..:, ~ ~Ij (intérieur à l'angle ... ), se rencontre trois fois (p. 109, 12; 373,13 ; 429, Il), le reste du temps c'est l'expression ~31..:, ~ J.:..lj qui prévaut (p. 95,11, 12,14; 121, 15, 16; 153,21 ; 253, 7,15; 261, 7,15; 265,14; 269,16; 273, l, 10; 275, 12; 277, 3 ... ), voire l'expression ---=31..:, J.:..lj (p. 133,9, 10) ; on rencontre également l'expression ~31..:, J=..lj ~ (à l'intérieur de l'angle) (p. 133, 12; 251, 8 ; 257,4; 263,13; 267, 16; 269, 6-7 ; "295,4). On trouve, et ce dans les deux manuscrits, les expressions ~ ù-<> ~Ij (p. 221, 10) et :t..h...i...:, ù-<> J.:..lj (p. 395, 15), qui signifient qu'un point appartient à l'intérieur d'un segment dont une extrémité est le point considéré. On rencontre également deux fois, au cours du vingt-deuxième lieu, l'expression d....b...i:, ~ (p. 223, 2, p. 461, 7) signifiant, dans la première occurrence, qu'une droite ne passe pas par le point considéré, à la place de l'expression que l'on attendrait d....b..:i:, ~ ~ 'i (elle ne tombe pas sur le point ... ) et, dans la deuxième occurrence, qu'une droite tombe à l'extérieur d'un segment dont une extrémité est le point considéré, du côté de ce point.

4-.)L.:;.

[3] Pappus, dans l'aperçu de La Section de rapport qu'il donne dans l'introduction au

livre VII de La Collection mathématique, précise que le problème qu'Apollonius y résout se subdivise en 21 lieux (Tônoç). Dans les intertitres qui figurent dans le corps du texte, tout au moins dans le manuscrit l puisque les intertitres sont absents du manuscrit B, c'est le terme ~~ que l'on rencontre; nous avons donc opté, dans ces intertitres, pour la traduction par lieu. On rencontre cependant trois fois, au cours de la résolution des cas 8.1 et 8.4 du huitième lieu, à la place du terme ~~ et pour désigner les cas du livre l auxquels ces cas se ramènent, le terme ~ (proposition) (p. 253, 10, 16; 265, 15). Pappus subdivise ensuite chacun de ces lieux en divers cas (nn"Jcnç) que le traducteur arabe rend par t.~3 ' nom verbal du verbe ~3 dont le sens premier est tomber, survenir; nous avons choisi de traduire ce terme par incidence, pour rester proche du sens premier du terme et rappeler que l'on considère dans chacun de ces cas la façon dont la droite que l'on cherche à construire « tombe» sur la droite donnée (AB).

470

Notes complémentaires

[4] Alors même que le titre arabe de La Section de rapport que Pappus cite dans l'introduction au livre VII de la Collection mathématique sous le titre il.6you Cm01"O!-lD est ~I ~ ..b~1 çU ,Sur la section des droites selon des rapports on rencontre le plus souvent dans corps du texte l'expression ~ en lieu et place de J'expression ~ ~ ~ (elle coupe selon un rapport) que l'on attendrait. La phrase arabe se traduirait alors littéralement par « qui coupe le rapport de ... ». Il semble bien que le traducteur arabe ait rendu telle quelle l'expression grecque et l'ait considérée comme un terme technique pour signifier « qui coupe les deux droites selon le rapport de ... ». Nous avons décidé, pour cette expression qui se rencontre de nombreuses fois dans La Section de rapport, de laisser le texte arabe en l'état et d'ajouter « selon)} dans la traduction française pour la rendre intelligible. [5] Divers verbes sont utilisés dans le texte arabe, pour décrire le fait de tracer ou de mener une droite: :Lb...i.:, ~ j:Lb...i.:, j....o (;:,.;-----:..1 (mener d'un point/par un point), c..-J! (;:.;-:>.\ 'C..-J 1 .;4-1 ,~I (mener, prolonger ), .;4- (passer par un point), (tirer) ; cette multiplicité d'expressions se retrouve également en grec (aussi bien qu'en français) sans qu'il soit toujours possible d'établir une équivalence stricte entre les termes grecs et les termes arabes; c'est ainsi que l'on trouve en grec: mener (une droite/un plan) a.yEtV de/par
:u

[6] L'expression ,Ji ~ ~3 se rencontre, dans des contextes semblables, une fois dans B seul (p. 101,5) et trois fois dans B et 1 (p. 123,8; 127,4; 163, 1), alors que, dans les mêmes contextes, on rencontre plus fréquemment l'expression .JI ~3' Nous avons choisi, lorsqu'elle figurait dans les deux manuscrits, de laisser telle quelle l'expression .JI ~ ~3 et de la traduire par il est bien clair que, pour la distinguer de l'expression.J1 ~3' traduite par il est clair que. [7] On rencontre le terme ~ à trois reprises dans La Section de rapport, lors de la conclusion du deuxième lieu (p. 121,2,5,9), là où l'on s'attendrait à trouver (manière) ou ~3 (cas de figure), comme c'est le cas dans les contextes similaires. Nous avons cependant choisi de traduire, comme c'est l'usage, ~ par notion, en laissant l'étrangeté de la formulation. Le traducteur ne fait d'ailleurs usage de ce terme que dans cet unique passage. [81 Diverses expressions précisent dans le texte les positions relatives des éléments de la figure, en les situant les uns au-dessus ou au-dessous des autres. On rencontre ainsi

Notes complémentaires

471

quatre fois l'expression L 31 4...h..i..:, J~ (au-dessus d'un point ou d'une droite) (p. 153,22; 333, 3, Il ; 443, 7), le contraire étant soit L 31 4..hl.:. J.L...ul (p. 153, 22) soit h.:;" 31 4...h..i..:, ~ (au-dessous d'un point ou d'une droite) (p. 355, 15 ; 443, 6). Le reste du temps c'est l'expression 0-0 J~ (au-dessus de) qui est utilisée (177, 2; 331, 2, 5-6; 335, 8 ; 337, 2; 339, 4; 397, 2; 405, 3,13; 409, 2; 429, 2,12; 453, 14; 459, 5 ; 461, 20), éventuellement opposée à ù-c J.L...ul (au-dessous de) (p. 2l3, 20; 307, 12; 437, 11; 443, 16). On rencontre également une fois l'expression ,J~ (au-dessus, p. 259, 7), ainsi que l'expression 4....b...i.:, 03J (p. 383, 3), synonyme de ~ ~ (au-dessous d'un point). Cette façon de préciser les positions relatives des points en indiquant le haut et le bas de la figure est, dans tout le traité, fort variable et diffère d'un cas à l'autre; il peut même arriver que, dans un même cas, le haut soit simultanément dans deux directions orthogonales (par exemple dans le onzième lieu). Nous n'avons donc pas tenté de tenir compte de ces indications pour tracer les figures. [9] Nous avons choisi de garder la traduction littérale - c'est ce que nous voulions démontrer- de la formule stéréotypée conventionnelle ~ 01 L,J) L.. dJj3 - qui rend vraisemblablement le grec OTTE.p EOE.l oE.Tçm et conclut traditionnellement une synthèse. Cette formule ne se rencontre que trois fois dans le livre l : à la fin de l'analyse et à la fin de la discussion du nombre de solutions du cas 4.4 (p. 151, 1-2 et p. 153, 17), et à la fin de la détermination de la valeur limite du rapport dans le cas 6.2 (p. 193, 18), en des lieux donc où l'on ne l'attendrait traditionnellement pas. Les synthèses du livre l se terminent le plus souvent par la formule « la droite HP achève donc le problème» ou par une formule équivalente, tandis que l'analyse s'achève, comme cela est logique, par l'expression « la droite HP est donc de position donnée» ou une formule équivalente. Dans le livre II, en revanche, cette formule est d'usage fréquent, tant à la fin de la synthèse comme le voudrait l'usage, qu'à la fin de l'analyse, ou à la fin de la discussion du nombre de solutions. [10] Le terme ..I....:!~ (OLOplO'[.LÔÇ) ne figure pas dans La Section de rapport, alors même que les diorismes ou la détermination des conditions nécessaires à l'existence de solutions en sont la partie la plus difficile; on rencontre en revanche au cours de certains diorismes du livre l l'expression d.,j'L...ull ~ que nous avons traduite par nous déterminons le problème. De même, tous les diorismes du livre II sont introduits par l'expression dJj ~3 (nous déterminons cela). Or, dans les deux manuscrits, les copistes confondent souvent les expressions ~ (nous trouvons) et ~ (nous détenninons), confusion d'ailleurs fréquente dans bien des manuscrits mathématiques arabes. Nous avons ainsi décidé de lire systématiquement U'L-.....JI ~ (nous détenninons le problème), lorsque cette expression qui revient régulièrement marque une étape du diorisme, sans noter systématiquement dans l'apparat critique les différentes lectures des deux manuscrits (p. 185, 22, diorisme du cas 6.2, p. 203, 9 diorisme du cas 6.4, p. 223, 4, diorisme du cas 7.2 ; p. 239, 5, diorisme du cas 7.4).

472

Notes complémentaires

En ce qui concerne les rapports, nous avons également lu ~ 1 ~ (nous déterminons le rapport) (p. 229, 15 ; 245, 18), lors de la détermination des valeurs extrémales du rapport dans les diorismes des cas 7.2 et 7.4, pour harmoniser l'expression avec celle que l'on rencontre dans les cas semblables que sont 6.2 et 6.4, où la détermination des valeurs extrémales est introduite par 1~ ~ 1 ~ ....j~..9 (on connait ainsi la détermination du rapport) (p. 193, Il ; 209, 22). Le terme ..l..9~, participe passif du verbe '~, se traduit indifféremment par avec détermination (.I..:.'~, ÔLOplG/-1ÔÇ) ou avec discussion. Nous avons choisi de traduire ..l..9~ par avec discussion (p. 235, 9), et ..l..9..l....:>..-<> ~ par sans discussion (p.103, 2; Ill, 11 ; 129, 10; 153, 19; 439, 7; 455,1), comme nous l'avons fait dans des cas semblables, en particulier dans les œuvres des deux théoriciens de la démonstration que sont Ibn Sinan et Ibn al-Haytham (R. Rashed et H. Bellosta, Ibrahim ibn Sinan, Logique et géométrie ; R. Rashed, Mathématiques infinitésimales, vol. IV). [11] On rencontre l'expression -.L.ljJl UI - dont la traduction littérale serait la droite excédente - à trois reprises dans le livre 1 de La Section de rapport (p. 163, 1 ; 173, 7-8; 217, 11), dont deux fois au cours des démonstrations d'unicité de la solution des cas 5.2 et 7.l. Nous avons choisi de traduire ce syntagme par la droite maximale, car cette expression signifie, soit que la droite en question coupe selon un rapport plus grand que le rapport selon lequel coupe l'unique droite solution - c'est le cas au cours des démonstrations d'unicité des cas 5.2 et 7.1 -, soit qu'elle coupe selon le plus grand des rapports, celui qui a été déterminé au cours du diorisme. Halley ne traduit pas l'expression .wljJl UI lors de sa première occurrence, mais glose: « quoniam autem EO major est quam EK, recta vero ZZ (i. e. GS) minor quam (i. e. GI) ; manifestum est rectam HK absindere rationem minorem quam recta OH» (De Sectione rationis, p. 24). Lors de la deuxième occurrence - dans la discussion qui figure au début de la synthèse du cas 5.3 - il abrège le texte arabe en « quia ratio proposita major est maxima» (De Sectione rationis, p. 29). Dans la troisième occurrence il évite encore de traduire l'expression ..w 1jJ 1 ~ 1 : « adeoque recta ha::c aufert rationem majorem quam qua:: abscinditur a recta KA » (De Sectione rationis, p. 46).

ze

[12] L'application des aires (UL..o), i) rrapaf3o/uî), exacte, par excès ou par défaut est au centre des analyses des quatre derniers lieux du livre 1 de La Section de rapport: ces analyses se ramènent dans tous ces cas à trouver les points issus de l'application d'une aire donnée sur un segment donné, par excès ou par défaut d'un carré. Le choix du traducteur du syntagme ~~I U I pour désigner soit l'hypothétique droite solution cherchée qui résultera de l'application des aires - dans les diorismes des cas 5.3 (p. 165,3,5,8) et 6.2 (p. 181, 17) -, soit l'une ou l'autre des deux droites solutions, passant par les deux points issus de l'application des aires - dans la synthèse du cas 5.3 (p. 175,3) - a sans doute été motivé par la présence dans le texte qu'il

Notes complémentaires

473

n

traduisait, d'un terme grec dérivé de napa[3oÀf). C'est pourquoi nous avons choisi de traduire le syntagme ~~I h=J1 par l'expression la droite d'application. Halley traduit soit recta quœsita (p. 25, 32), soit recta transiens (per punctum ... ) (p. 32), soit ne traduit pas (p. 29). Dans ce même contexte, ces points, issus de l'application des aires et par lesquels passent les droites solutions, sont, lorsqu'on les spécifie à un moment de la démonstration, qualifiés de : JWI :t...b..L. (point de l'exemple) - dans les cas 6.2 et 6.4 (p. 191, 26 ; 209, 13) -, expression qui n'est pas sans rappeler que nombre d'ecthèses, tant dans des traductions que dans des compositions mathématiques, commencent par l'expression.uG... (exemple : ... ). Ils peuvent également être qualifiés - dans les cas 7.2 et 7.4 (p. 229, 5; 245, 7) - de V"~I 4..b...i..:" que nous avons traduit par point d'inférence, puisque c'est à partir de l'existence de ces points que l'on infère la solution du problème, ou enfin de UL...a~ 1 :t...b..L. (point de l'application) - dans les cas 15.2 et 15.4 (p. 389, 9 ; 395, 15). Halley soit ne traduit pas le syntagme JL3..l1 4..b...i..:, (p. 36), soit le traduit par puncta designata (p. 43) ; il traduit V"~ 1 :t...b..L. par puncta quaesita (p. 51, 58), et il tradui t enfi n UL...a ~ 1 :t...b..L. par puncta applicationum (p. Ill, 113). [13] Dans les diorismes des cas 5.3, 6.2; 6.4, 7.2 et 7.4 de La Section de rapport, Apollonius montre qu'un certain rapport - que l'on détermine a priori en cherchant dans quel cas le problème a une solution unique sur un intervalle donné - est un extremum (maximum ou minimum) sur cet intervalle; il compare ensuite, sur cet intervalle ou une partie de cet intervalle, les rapports correspondant à deux points quelconques, afin de montrer la monotonie des variations du rapport d'où résulte pour lui l'unicité de la solution sur l'intervalle considéré. Dans tous ces cas Apollonius procède par analyse et synthèse: il montre dans un premier temps que comparer deux rapports revient à comparer deux surfaces; de la comparaison de ces surfaces, il déduit ensuite la comparaison des rapports. Dans le texte de La Section de rapport, diverses expressions expriment cette nécessité de comparer des rapports ou des surfaces. Voici par exemple comment est introduite la nécessité de cette comparaison dans le diorisme du cas 5.3 (p. 167,2-3) : « Cherchons si la droite HK coupe selon un rapport plus petit ou plus grand que toutes les droites menées du point H et sécantes aux droites EA et GD ... il nous faut alors comparer ... ». On rencontre tout d'abord dans le diorisme du cas 5.3 (p. 167-169) le verbe V"~ (comparer ou mesurer) construit avec la particule -: ' puis dans le diorisme du cas 6.2 (p. 187-189), le verbe V"~ construit successivement avec la particule '-:-' ' et avec la particule ~! ; enfin dans le diorisme du cas 7.2 (p. 225), on trouve dé nouveau le verbe V"U construit avec la particule -7 ' on trouve enfin dans le diorisme du cas 7.4,j "'V"ü (p. 239-241). . On peut rendre ces locutions par: mesurer par, rapporter à, mesurer; on peut aussi les rendre par comparer, comparer à ; on risque dans ce cas de perdre une nuance du sens véhiculé par les termes évaluer, rapporter à. Nous avons cependant

474

Notes complémentaires

opté pour le terme comparer pour unifier la traduction et pour ne pas infléchir le texte dans un sens non donné par Apollonius, à savoir mesurer un rapport par un autre. On rencontre dans le même contexte, dans le diorisme du cas 6.4 (p. 203-205) et lui seul, le verbe ..J~, que nous avons alors choisi de traduire par associer. Nous avons en revanche, au début des synthèses qui suivent ces analyses, traduit les expressions:..J1 "~,} (p. 171,4), dJj c>"~ ~ (p. 187, 12; 205, 22), par on l'infère ainsi, ou nous trouvons ainsi cette inférence, comme nous l'avons fait dans des cas semblables (voir R. Rashed, Al-Khwarizmi. Le Commencement de l'algèbre, Paris, 2005).

[14] On rencontre à de nombreuses reprises, dans le livre II de La Section de rapport, l'expression 1l,S; b ~ ~ ~I .b~1 ou des expressions semblables. La traduction littérale en est les droites ;jui coupent la droite XX tout entière. On pourrait comprendre que le sens sous-entendu par Apollonius est le suivant: les droites qui, toutes, coupent la droite XX. Nous avons cependant opté pour la traduction littérale pour toutes les occurrences de cette locution, en raison de la syntaxe arabe; car pour rendre le sens sous-entendu, on devrait avoir ~ et non pas ~ . [15] On rencontre dans les paragraphes introductifs des lieux 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17 et 21, le terme ~1.3-" (sing. ~,}) dont on pourrait imaginer qu'il était à l'origine ~1.3-" (sing. t,r:g,}, incidence), et croire ainsi à une erreur de copiste; il n'en est rien cependant, pour des raisons codicologiques évidentes. On pourrait également penser qu'il s'agit là d'une traduction relâchée et que le traducteur aurait confondu lieu (Tôrroç, ~,}) et incidence (mwO'lç, t~,}) ; cela est également inexact. En effet, dans les paragraphes introductifs des lieux 1,2,3,4,6,7,8 et 9, c'est le terme~,} (pl. .~,} / "-7,}1, cas de figure), et dans le paragraphe introductif du lieu 5 le terme d..t7 (pl. ü~ manière), qui désignent les diverses incidences en lesquelles ces lieux se subdivisent. Dans les lieux 15, 18, 19,20 et 22 aucun terme particulier ne figure aux endroits où l'un de ces termes devrait apparaître. Ce n'est que dans les lieux 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17 et 21, que l'on rencontre le terme ~I>--" . Il faut toutefois noter que, dans ces occurrences, ce terme se trouve toujours lié au terme t~,} ; on trouve ainsi : ~1.3-" ~)/~/4.j)lj ~ t~,} (p. 307, 14; 331, 6-7 ; 365, 5-6 ; 375,8-9; 405, 4), t,r:g,} ~1.3-" ~ (p~ 355, 16), ~1...9-" ~) t,r:g~1 (p. 397, 3), ~1.J---4 ~ ,,' • .; ~ t-i=' (p. 443, 8). Le traducteur aurait bien entendu pu écrire ~1.3-" ~ ~ t~~, etc., ce qui est fort lourd. Il a donc opté pour cette expression qui rend parfaitëment le sens, tout en restant élégante; ainsi, au lieu d'écrire l'incidence a lieu selon cinq incidences, il écrit l'incidence a lieu selon cinq positions.

GLOSSAIRE ARABE-FRANÇAIS Lorsque le mot se répète un grand nombre de fois en conservant le même sens, nous n'avons cité qu'une dizaine d'occurrences. Chacune de ces occurrences est indiquée par les numéros de page et de ligne en chiffre arabe. ..1..;'1

toujours 125, 12; 129, 1 ; 169,3; 173,4; 207,13; 227, 4; 243, 6; 267,1; 341,2; 359, 10 ; ...

(\.Ji

pour cette raison, étant donné que, du fait que 191,25; 235, 8 ; 265, 12; 301,17; 351,11 ; 409, 2; 457,13; 465, 9

prendre 165, 12; 185, 18,23 ; 199, 10, 15 ; 203, 5 ; 211, 5 ; 219, 15 ; 223,1;237,2; ...

d'abord 95,9,14; 121, 14; 123,2; 133, 12; 153,23; 155,4; 167,2; 177,7;183,3; ...

au début 121, 13 ; initialement 293, 13 ; auparavant 455, 1

permuter (rapport) 101,2; 135,7; 137, 13 ; 139, 7 ; 141, 1 ; 143, 1 ; 145,3 ; 147,4, 11,24; ... permutation 103, 15; 107, 11 ; 115, 17; 119, 13; 193,6; 195,6; 203, 3,16; 205, 14; 207, 10 ; 215, 5 ; ...

après 103, 15 être éloigné 241, 5 éloigné 103,19; 179, 16 plus éloigné 101,6; 193, 10; 205,7; 207,14; 227, 5; 229,14; 291, 6; 305, 20 ; 359, 10 le fait d'être éloigné 307, 9 éloigné 107, 13 ; 113, 10; 115, 19; 119, 16; 125, 13 ; 129,2; 131,8 ; 139, Il ; 141,9; 149,4; ...

J,;.L;Ü

476

Glossaire arabe-français ~

les uns aux autres 109, 14; 121, 18 ; 291, 3

III. ~:', ( ~). • ~(J"",~

falloir, devoir 97, 16 ; 99, 2 ; 105, 12; 127,4; 137, 1 ; 165, 1 ; 167,5, 10, 11,14. "

rester 183,11 ; 185,3; 189,25; 191,24; 201, 3; 211, 3 restant 121, 15 reste 205, 24 ; 221, 12, 18 ; restant 185,4

-:'1

~

~

~

c?-:

d.......i...

(~ ~I .;-h.:>1) ,J~

démontrer 193, 15 clair 101, 5; 115, 19; 119, 15 ; 123,8; 127,4; 143, 13 ; 163, 1 ; 185,2 ; 191, 17 ; 197, 16; ". montrer, démontrer 99,6; 101,3; 107, 15 ; 119, 17 ; 125, 10 ; 127, 17 ; 131,6,9; 137, 1 ; 153,7; 163, 1 ; ". c'est ce que nous voulions démontrer 151, 1-2; 153, 17 ; 193, ~ -:'1 1...:,..1) L. ..:lJj.J 18; 253,10-11 ; 255, 5; 257, 7; 259,15-16; 261,10; 263, 2; 265, 4; 267, 5; ". montrer, démontrer 99,2; 103, 18; 125, 12; 129, 1 ; 131,7; 139, 10 ; 143,8; 149,3; 153, 16; 159,5; ". mettre en évidence 259, 7; 313,14; 389,16 '~I u. entre 145, 10; 159, 17 ; 177,3; 183, 13 ; 185, l, 18,23; 193, 14; 197, 1 ; 201,4,10,13; ".

au-dessous 355, 15 ; 443, 6

laisser 299, 16

suivre 95, 12 ; 133, 10 ; 179, 14 conséquent (d'un rapport) 197, 10 conséquent (d'un rapport) 217,10; 221,13; 233, 6

~

être achevé 103,6,12 ;165,9; 249,15; 465, Il r-' droite entière 137,2; 191,25-26; 199,9; 217,1-2 .b..;J1 Î~ achever 99,5,13 ; 101,2,4; 105, 18 ; 107,5; Ill, 16; 113,4; 115,9,12,18 ;". ~

établir 107, 15

477

Glossaire arabe-français fixer en l'état 99,1; Ill, 12; IlS, S; 117, 16; 119, 18; 123,9; 129,12; 131, 10; 137,5; 141,8; ...

poser 99,3; 103,4, lOS, 16; 115,7; 127,7; 129, 13 ; 139, IS; ...

4-Jl.::.. ~ ...

4; 137,6, 14 ;

~

tout 101,8; 105,2; 107,15,16,119,18; 121, 16; 129, 12; 131,9,10; 153, 18, 19 ...

~

de part et d'autre 175,2; 191,26; 289,12; 293, 6; 297,11 ; 301, 9; 305,7 ; 307, 4; 313, 9. 13 ; ... côté 345, 13-15 de part et d'autre 229, 4

passer9S, 7,10; 267,17; 273, 2; 323, S; 329, 3; 331, 4; 333,10; 335,3; ... pennis 293, 11 qui passe 2 qui passe 287, 6 3 ; 333, 20 ; 405, faire passer (une droite) 291,1 ; 293, 18; 309, 3 ; 8;413,4;41S,4

, J.:>.

déterminer (rapport, problème) 165,20; 185,22; 203, 9 ; 4 ; 229, 15 ; 239, 5 ; 18 ; 279, 8 ; 295, 11 ; 311, 5 ; ... détermination 193, 11 ; 209, 22; 309,10; 315, 5; 2,13 ; 329, 15; 333, 5 ; 335, 11 ; 343, 7; ... 9 qui donne lieu à discussion sans discussion 103,2; Ill, 11 ; 129, 10; 153, 19 ; 439, 7 ; 455, 1

être engendré 107, 16

121, 16

analyse 169,9; 173,2; 185, 1 ; 201, 9; 205,10; 221, 8; 225,8 ; 237, 14; 273, 7

(UL.....4 ,~)'J..,.

478

Glossaire arabe-français

C::"""

être nécessaire 105, 15; 115,3; 117, 14; 167, 1; 185, 18; 203, 5; 219, 8;

c::L.::..:..1

223, 1 ; 235, 7 ; 239, 1 ; ...

J"....

en l'état 101,8 ; 103,3 ; 105,2, 14; 107, 16 ;

(.~,~i~i~l)djl.:..~

127,6 il est nécessaire, nécessairement 427,13 ; 441,8; 449, 2-3

mener 95,6,14; 99, 11, 14; 101,8; 103, 13 ; 105,2; 107,6,16; 109, 13 ; 113,5; ... mené 205,4 c::"> L;., l,.,L;., à l'extérieur 293,12; 305,15; 325, 5; 453, 2; 461, 7 • ..> mené 97, 4; 111,2; 153,23; 361,6; 461, 6 c::~ prolonger 99,4-5; 103,6; 105, 18 ; 111,4,13,15; 113, 13-14 ; 4.....1..i:i...u.,1~C),,;,l 115,8; 117,3-4; 119,2 ... déterminer 171,19; 185, 1 ; 311, 5; 313, 2; 409,11 ; 415,16; 433, 12;463,1,2

.b...-.

droite 95, 4, 6, 7-11,14,15; 97, 4 ... .b~c:: - moyenne proportionnelle 191, 14; 201, 4-5,10; 203, 5, 10; ~ ~ ... 0::-:'207, 16 ; 211, 5-6 ; 221, 3, 9; 223, 1... - maximale 163, 1 ; 173,7-8 ; 217, 11 droite 99, Il ; 129,4; 133, 12-13 ; 385,18-19 ç' ~\ -d'application 165,3,5,8; 175,3; 181, 17; 183,3 ~lS..,,­ L,une certaine droite 165, 10; 183,6; 253, 8 ; 257, 5; 259,4; 261, 15 ;

L

9

\

'0-

263, 14; 267, 17 ; 273, 2 droite moyenne proportionnelle 201, 13 ..J...1.:;..

absurde 147, 16 à l'inverse de cela 99, 7 ; 367, 10 inverser (rapport) 163, 10 le fait d'être différent 213,17; 249,14

~

.ill j

-.,j yL;., ~

(~ 1) ---.U L;., -.,j~1

il ne manque pas de 119, 19

J,:i..J intérieur à 95, Il, 12, 14; 109, 12; 121, 15, 16; 133,9,10, 12 ;

153,21 ; ...

(.:.,...) )L;.I..l ,J,,;,I..l

479

Glossaire arabe-français

(',JJ

toujours 165,5,7; 181, 16; 183, 1 ; 191, 11 ; 199, 10; 219,11 ; 235, 8, 9

L..:,lj 0,JJ

03 j

au-dessous 383, 3

."sj indiquer, mentionner 101, 8; 103,3; 105,2,14; 107, 16; Ill, 12; 119, 18; j;j 129,12; 131, 10; 137,5; ... b~j i'.ü indiquer précédemment 325, 7; 329,12-13, 18; 351, 6 ; 355,12; 371, 5, 14; 373, 7; 403,14; 409,16-17; ... '-;-'.)

~.)

peut-être 165, 5 ; 181, 17

carré 165,6; 375,12, l3 ; 377, 5, 7,16,17; 379, 4,6,8 ...

composer (rapport) 97, 7; 99, 7,17; 101, l3; 107, 1,8; 111,7; 115, 15; 119, 4, Il ; 145,5; ... ; faire la synthèse 219,11 ; 235, 9; 247,1 synthèse 105, 13 ; 107, 15 ; 113,3 ; 115,4; 117, 14; l37, 1 ; 165,1,6; 167, 1; 181, 14; ... composé 211, 1 ; 245, 22 faire la synthèse 99,1; 103,3; 105, 14; 107, 1,8; 109,2,4,8,9; 111, 12; 117,16; 119, 18; ...

vouloir 165,13; 183,5; 265,16; 287,4; 291,1; 325, 7;431,9 'i,Jj

angle 95, Il, 12, 14; 109, 12; 121, 15, 16; 153,21 ; 253, 8,15 ; 257,4; ...

excéder 229, 19 excédant d'un carré 151,6; 157, 1 ; 161,3-4; 179,4; 195, 14-15; 217, 1-2 ; 395, 15 excédent 197, Il excédent 229, 16 excédant d'un carré 141,6, 10-l3 ; 149, 16-151, 1 ; 155, 14; 159, 17 ; 177,16; 195, 10; 215, 9; 231, 8,13; ...

~13j (;.. ~31j

';':'Ij ;;j~j

t7..)-A

•. L.... b j

•.

.)-7

480

Glossaire arabe-français

."..:...... ';'L...

tous, tout le reste 257, 14; 261, 12; 265, 5 ; 273, 6; 275, 16 ; 279, 8 ; 285, 1 ; 299, 16 ; 313, 1 ; 317, 1 ; ...

Ji...... ULu.....o

problème 99, 1,5,13; 101,3,4; 103,3,12; 105, 14, 18 ; 107,5 ... la tenue du problème 119, 17 ; 131,9

plan 95, 4; 261,13; 263, Il; 269, 5; 461,17 surface de ... par ... 135,13; 137,2-4,7,8,10; 139,2-4; 141, 5 ...

d.JL.,.J1

il~

~

F

···~···F J,L...

(~)

au-dessous 153,22; 213, 20; 307,12; 417,15; 437, Il; 443,16

J.L.ui

J+..u ~

facile 451,15 le plus simplement 329, 18

... J+.....'L;>

autre que, autrement 99, 14; 103, 13 ; 107,6; 227, 12 être égal 387, 5 égal 95, 8; 97, 1,5; 99,12,15; 101,9; 103, 14; 105,3; 107,7,18; ... par l'égalité (rapport) 99,10; 103, 11 ; 107,4; 111,6; 113,3; (~) 115, Il; 119,7; 131,5; 255, 3; 259, 3 ... égal 111,10; 125,9

'.?-!"'""

lS..J-'-" lS.JL .Jl.....u..."

bl). . J4 ,.Jl........:w,

condition 309, 10

JU. proposition 249, 16; 253, 10, 16; 265, 15 ; 449, 14; 465, 12 être semblable 309, 9 ; 315, 4,12; 325,12; 333, 4; 347, 4; 351,17; 353,7 ; 357,7; 361,10 ... qui est semblable 311, 3

fixer les choses en l'état 145,12; 151,3; 155, 15 ; 171, 21; 175, 13; 179, 1 ; 181,2; 185,22; 191, 13; 195,2 ...

4Jl..o.

~

J$L:;. J.5:L:û.... ~

~ .~'':II ~i

~

plus petit 97,13,16; 99, 2,16; 101,5; 103, l, 15 ; 105, 10; 107,7, 10...

~i

481

Glossaire arabe-français

figure 99, 1 ; 117, 16; 123,9

faire en sorte 251,8; 293,13; 379, 4 '-:-'~

produit 135, 10-12 sorte 175, 17,21 ; 213, 2, 9, 13, 16; 247, 14; 249, 2, 10, 13 ; ...

... ~

... ,-:,,~

'-:"~

double 165, 16, l7 ; 193, 13 ; 209, 24; 229,17; 245, 20

appliquer une surface à une droite 135, 12; 137, 1,7; 141,6,10, h.;., ~j ~ ,...H,,"=o1

Il,13; 145,9,14; 149, 16; ... application 137, 1 ; 165,6 ; 183, 1 ; 235, 8 ; 389, 9 point de l'application 389, 9; 395,15

UL.;,j U L.;, 11 4...hi.:.

ôter 189,21

chercher 167, 2, 5; 185, 19; 187, 1 ; 203,11 ; 223, 2, 6; 239, 2, 7; 293, 3 cherché 165,20; 185,5; 201, 7,11,18; 221, 6; 237,13

Jl.b

plus long 173,14; 219, 1,2; 263, l7; 295,16;

297,7; 299,17,18; 303,1; 329, 5; ...

nombre 119, 18

se produire 331, 6

connaître 193, 11 ; 209, 22

donner 213,2,12,13,16; 227,13; 249, 1,5,9,12,14 donné 195, 8-10 ; 249, 7

(~,h.;., ~1 ~I) J~1

482

Glossaire arabe-français

plus grand 97,13,15; 99,16,17; 101, 1,2; 103, 14-16; 105, 10, 12 ... grand 281,3; 287, 3; 289, 3,10; 297,12; 303, 9

inverser 337,10 ; 339, 12; 341, 8 à l'inverse de cela 285,14; 289,17-18,22; 431, 6; 459,8-9

~

savoir 147,18; 153,7; 159, 1 ; 167,4 ~ connu 95, 6, 11 ; 97, 6-12 ; 101, 11, 15 ; 109, 12; 111,5 ; ... i~ de grandeur connue 97, 10-11 ; 101, 14; 457,19; 461,15 .)illli~ de grandeur et de position connues 97, Il ~"J13 .)illl i~ de position connue 163, 14 ~"JI i~ marquer (un point) 95, 5 (~)~ marquer (un point) 171,8; 183,7 (~)~ marqué (point) 95,8 ; 357, 3, 13 ; 405, 12; 419, 9; 429, 10; 443, (~)~ 15; 459,3; 461, 18

.,.h au-dessus 259, 7

,J~

faire 191,22; 209, 8; 219, 8; 225,6; 227,17; 235,11 ; 241, 7; établir 199,12; résoudre (un problème) 191, 17; 193, 1,8; 197,2,7; 209, l, 14,20; 217, 3, 7 ...

c'est-à-dire 103,7; 113, 1 ; 115, l, 10; 119,6; 137,9; 145, 16; 151,7; 153,8; 157,2; ... notion 121,2,5,9

exactement celui-ci 227, Il

supposer 95,9; 183,8; 219,16; 237, 3; 243,16; 251,4; 289, 8, 9 ; 301,1; 303, 8 ... donné 95,5,8; 97, 1,5,16; 99, 2,12,15; 101,9,11-15; ...

J.-..à séparer 125, 9; 131,7,8; 133, 13 ; 167,6; 187,4; 211,6 partager en deux moi tiés 165, Il, 13 séparer (rapport) 97,10; 103, 10; 105,7; 113, 16; 117,7; 147,3,21 ; 149, 14 ; 153,2; 155, 10 ; ...

J.....:..j ~J.....:..j

(~)~

483

Glossaire arabe-français

différence 193, 12, 14, 17 ; 229, 19

réaliser, faire 99,14; 175, 10; 233, 3; 389,16

seul 99, 5,14; 103, 13; 107,5; 113,5; 115, 13; 119,9; 125,5; 127, 12 ; 131, 3 ; ... J~ J~

au-dessus 153,22; 333, 3, Il ; 443, 7 au-dessus de 177,2; 331, 2, 5-6; 335, 8 ; 337, 2; 339, 4; 397, 2; 405,3, 13 ; 409, 2 ; ...

..J..o

J~

J.:..l ~

avant, auparavant 185, 18 ; 203, 5; 223, 1 ; 239,1 ; 371,11 ; 413, 13 ; 449, 9

,).l.l

grandeur grandeur 453, 8

(Î~

précéder 115, 5 ; 329, 3 ; 363, 11 ; 397, 10 ; 401,8 antécédent (rapport) 197, 10 ; précédent 413, 13 antécédent (rapport) 217, 10 ; 221, 13 ; 233, 5, 6 précéder 163,1; 171, 19; 293, 3; 307, 6; 313,14; 323,17; 327, 2, 6 ; 347,9, 14; ... précédent 325, 3; 329,15; 349,11 ; 351,11 ; 361, 5,11

.;-h:>1)

~)..l.i..o

Î,..l.i..o L..l.i..o

Î~(~)

être proche 241, 4; 259, 7; 281,4; 291, 5; 293, 8 proche 101,5; 103, 18 423,16 plus proche 191, 10; 193,9; 205, 6; 207,12,13; 209, 21 ; 227,4; 229,13 ; 281,3; 283, 7; ... proche 107, 13; 113,9; 115, 19; 119, 15; 125, 12; 129, 1; 131,7; 139,10; 143,8 ; 149,3 ; ...

associer 203,14-19; 205,12,14-20,24; ...

être subdi visé 247, 1

,)..ü

7',~ '-:-'~

~~ ,-:-,~1

484

Glossaire arabe-français

ne pas parvenir à 379, 13 plus court 299, l7 ; 321,11

découper 95,7,15; 97, 2, 4; 109, 13, 14; 111,2; 121, 17, 19; 123,2 ; couper selon un rapport 99,12,15; 101,5,9; 103, 14, 16, 18, 19; 105, 3; 107,6-7 ... se couper 121,13 ; 133,8 y;.'J1 L....b..l-::..I ~ section des droites selon des rapports 95, 2 ; 249, 15 ; ~~.b~I~ 251,3; 465, 11 segments 95, 7 ~ être sécante 251,4 ; 355, 20 t-bLi:; sécante 95, 5 t-b~

J:i petit211,9 inférieur, plus petit 129, 1 ; 191, 18 ; 211, 7; 213, 5, 7,14-16; 225, 7 ; 227, 13 ; ...

c.J.-J.j

convertir (rapport) 103, 10; 135,9; 137, Il ; 139,5; 141,3,17 ; 145, 6; 147,2,20; 163, 10 ; 167, 14 ...

(~I) ~

~I

..A:à

dire 99, 5,14; 103,6,13; 105, 18; 107,5; 111, 15 ; 113,5; 115,8,13 ; 119, 2,9; ...

J.,..:à Jü

propos (~.;-t;...:.I) J~ livre 95, 3; 249,15; 251, 2; 253,10; 257, 6; 261, 9; 263,15; 269,1; 273, dJl.L 4; 275,14; ...

prolongement droite

pouvoir 193, 13, 14, 17 ; 209, 24; 211, 2; 229,18,20; 245, 20, 22 ~

comparer 167,10,12,14,15,17; 169, Il, 13-18; ... inférence 187, 12; 199, 12 ; 205, 22; 219,10 on l'infère ainsi 167, 18 ; 171,4; 203,21; 207,1; 223,17 ; 225,18; 239,18; 241, 20; ...

..d~/--:,vuü vu w _
485

Glossaire arabe-français point d'inférence 229, 5 ; 245, 7

grand 245, 18 plus grand 103,1; 191, 16; 203, 7,11 ; 211, Il ; 213, 3, 5,7,8,10; ...

traité 95, 2; 249,15; 251, 2; 465,11

~ ~

grand 211, 10 beaucoup 225, 22 ; 243, 15 plus grand, plus 243, 15 ; 281, 3; 307, 9

I~ ~1

.~

droite d'application

(~

.);.:>1) ~lS.-o

le tout 221,1

combien 107, 15 ; 131,9; 175, 12; 2ll, 4; 247, 2 ~

comment 95,6; 165, 10 ; 175, 12; 199, 13 ; 2ll, 3 ; 219, 13 ; 235, Il ; 247, 1; 305, 15 ; 447, 4; ...

rencontrer 407, 9

~

~ ~

égal, comme 103, 1 ; 115,3 ; ll7, 13 ; 125, 10 ; 129, 10 ; 149, 10 ; 173, 1 ; 191,20-23 ... à l'exemple de 171, 19; 177,3; 325,7; 327, 5; 443, 3 par exemple 199, 16 deux fois 229, 17 0~ quatre fois 167,9; 171,20; 173, 1 ; 175, 14-15 ; 193, 17 ; 2ll, 2; 229, Jt.::....l ~) 18,20; 245, 21, 22 ; ... à l'exemple de 439,8 ; 443, 4 l.o Jt.::.... ~ JL.:...1I4...h..i.:. point de l'exemple 191,26; 209, 13

tirer (une droite) 269, 9; 351,16; 443,12; 445,10; 449,8

486

Glossaire arabe-français 4.....l:i::w.....I~-J...<>

prolonger 371,9 prolonger 437, 10-ll

4.....l:i::w.....I~-~1 .;-0

passer 177, 2; 339, 3; 461, 6 .;-0 fois 247, 2 :;.;-0 double, deux fois 193, 12; 245, 20 0L:;,)-" quatre fois 193, 13, 15; 211,1 ..;:.,I,)-"~) qui passe 285,17; 295, 1,2; 309, 6, 7; 333, 8, 9; 335,7; 337,1; 339, 2... ~

dans nos propos précédents 233, 7-8 précédent 449, 14

être possible, pouvoir 99, 14; 103, 13 ; 107,6; 109,2,5,9; 113,5 ; ll5, 13; 119,9; 121,9; ... possible 137, 1,3 impossible 147, l7

façon 101,8; 105,2; 107, 15, 16; 153, 18 de part et d'autre 209,12; 245, 7

tenant lieu de, à la place de 137,3; 165,3,9,10; 183, 12; 185,3 ; 221,2,19; 265,17

rapport 95,5,7,8, 15; 97, 1,5, 13-16; ... - du reste au reste 185,6 - du tout au tout 237, 18 un certain rapport 165, 10 moyenne proportionnelle proportionnel 161,6; 229, 18

............... ~c:.~ -L.JI

~.

··L.JI::"

~I~!~I­ L,-

(h.:..

moitié 165,6, Il, 13; 183, 1,6,8; 187, 14; 199, 12, 14, 15; 203, 22; 219,12 ...

homologue 345, 13

Il


~I) ~L:....

'-'-'"" L:w.."

487

Glossaire arabe-français

..,.....a..:. ~

retrancher 205,23; ne pas parvenir à 381, 20 défaillant d'un carré 135, 13 ; 137,2,8; 145,9,15; 165,3; 181, 16;

~..>-" ~

191,25-26; 199,5,9; ... défaillant d'un carré 163, 13-14; 181, 12; 245, 6-7; 385,13,

t;7..>-"

0~

17,18; 401,16 ..b.l.:. point 95, 5, 6,10,11, 14,

C..>.. ~ 'u-s~ ,UL:.) ,JG.." ~1 ~I).h.i.:. \:: ~

15; 97, 6, 7; 99, 11 ; 101, 10 ... un certain point 165, 12

~

extrémité 277, 2; 279, 2, 3; 297,13 ; 357,1 se terminer 121, 14 illimité 95, 4 aboutir à 133, 8 ; 269, 15

4..:4-:>

~t..:...:;

"L:ü..." ..r.:-è,

extrémité 95, 10 ; 253, 6, 7, 14; 257, 3,4; 261, 6, 13, 14; 263, 12 ; ...

~I

~

~"

trouver 119,17; 165, 10; 183,5; 187, 12; 189,23; 199, 13 ; 205, 22; 219,

..1..:;-"

13, 14; 235, 11 ; ... le fait de trouver 451, 15

JJ-":"3

qui existe 137, 1

cas de figure 97, 1,4; 109, 14; 121, 18 ; 131, 10 ; 133, 14; 153,

JJ-":"3-"

~31

18; 165,7,8; 175, 12 ... manière 109,2-6,9 ; 111,2; 113, 12; 117,2; ... de part et d'autre 291,4 ; 303, Il

seul

parallèle 123,3,10; 125, 17; 129,6; 131, Il; 135,3; 139,14; 143,

13; 149,8; 151,4; 153,22,23; ... parallélisme 129, 13 ; 137,6; 141,9; 145, 13 ; 161, 1 parallèle 95, 4, 9

milieu 165,8; 167, 18 ; 183,4 moyenne proportionnelle 183,13; 185, 18,

23; 193, 13-14; 221,17

, ~"

'''J-'':"3 \::

~3

488

Glossaire arabe-français

décrire 273, 7 ; 275, 17 ; 443, 3

joindre 97, 5; 99, 1,4; 101, 10; 103,3,6; 105,4,14,18; 111,3 ...

poser 167, 1 ; 281,19 lieu 95,13; 97, 3; 101,7; 105, 1 ; 109, Il ; Ill, 1 ; 113, 11 ; 117, 1; 121, 12; 123, 1 ; '" endroit 145, 12; position 95,12; 307,14; 331, 7; 355,16; 365,6; 375, 9 ; 397, 3 ; 405, 4; 443, 8 de position donnée 95, 4, 7; 97, 6; 101, 10, 15 ; 105,4,8,9; 111,4 ; 113, 14 ... ~J

tomber, se trouver 121,15,16; 123,8; 145, 10; 153,22,23; 159, 17; 177, 2 ; 197, l ; 213, 19 ; ... incidence 97, 3, 4; 101,7; 105, 1 ; Ill, 1,2; 113, 11 ; 117, 1 ; 123, 1 ; d 125, 14 ... tombant 265, 17

adjacent 95,8,15; 109, 13; 121, 17; 131,7; 133, 13 ; 343,17,18

~.J

~ t~.J

~I.J

.".-lJ ,)-= ~

INDEX DES NOMS PROPRES

Apollonius: V, et passim Banü Müsa : 84 Bellosta, H. : 4 n. 3, 84 n. 9,472 Crozet, P. : 4 n. 3

al-Maraghi, MUlJammad Sartaq: 86 n. 14 al-Nadim: V n. 2,4 n. 3, 84, 84 n. 6, 13 n. 2 Na'im ibn Müsa : 85 n. Il al-Nüwayri: 84, 84 n. 8

Euclide: 3, Il, 19 n. 5, 23-25, 82, 98 n. 8, 182 n. 92, 200 n. 115, n. 118, 220 n. 139,467 Eutocius: V

Pappus: V, V n. 1,4,4 n. 3-4, 5, 13 n.2, 19 n. 5, 23 n. 8-9, 25 n. 10Il, 81-84, 89, 192 n. 104, 210 n. 127, 228 n. 154,244 n. 172,376 n. 262,418 n. 303,467,469 Périclès: 82 n. 2 Proclus : V n. 3, 17 n. 3

Flügel, G. : 4 n. 3 Friedlein, G. : V n. 3

al-Qifti : 4 n. 3, 84, 84 n. 7 al-Qühi: 86,86 n. 13

Halley, Edmund: 6, 7 n. 9, 8, 8 n. 12, 9, 20 20 n. 6, 22 n. 7, 27, 88, 89, 472, 473 Heath, Th. : 8,8 n. 11,9,467 Houzel, C. : 85 n. Il Huygens, Christiaan : 8

Rashed, R. : V n. 4, 3 n. l, 4 n. 2-3, 8 n. 13,84 n. 5, n. 9, 85 n. 11-12,86 n. 13-14,87 n. 15,472,474 Richter, A. : 88

De Beaune, Florimond : 8 Diesterweg, W. A. : 88

Ibn al-Haytham, al-I:Iasan: VI, 87 n. 15,472 Ibn Sinan, Ibrahim: VI, 4 n. 3, 5, 6, 9, 12, 17 n. 4, 84,472 Isl:liiq ibn I:Iunayn : 467 al-Khayyam : VI al-Khwarizmi: VI al-Labüdi, YalJya ibn MUlJammad : 87 n. 15 Lippert, J. : 4 n. 3

Schmidt, R. H. : 89 Selden, John: 87, 87 n. 16 al-Sijzi : VI, 4 n. 3 Snel, Willebrord : 88 Tajaddud, R. : V n. 2 Thabit ibn Qurra : VI, 4 n. 3, 84, 85, 86 n. 13,467 Tschirnhausen, Ehrenfried Walther von: 8 al-Tüsï, Na~ïr al-Din : 467 Ver Eecke, P. : V n. 1,4 n. 3, 81, 83 Zeuthen, H. G. : 7, 8 n. 10, 9

Macierowski, E. M. : 89

INDEX DES TRAITÉS

Apollonius, Coniques: V, 3, 4 n. 3, 5, 6, 8, 84, 85 IlIAl : 6-8 IlIA2-43 : 7, 8 V: 8 Les Contacts: 4 n. 3 L'Hélice cylindrique: V Les Inclinaisons: 4 n. 3 Les Lieux plans: 4 n. 3 La Section d'aire: 4 n. 3, 8, 9, 192 n. 104 La Section déterminée: 4 n. 3 Euclide Les Données: 3, 19 n. 5,467 Les Éléments: 3, 25 n. 10, 84, 467 ILS : 24, 25, 83 II.6 : 25 V.8: 82 V.12: 82,200 n. 118,220 n. 139 V,déf.l7: 19n.S V, déf. 18 : 98 n. 8 V.19: 82, 88, 182 n. 92, 200 n. 115 VI.lO: 19 n. 5, 82

VI.l2: 19 n. 5, 82 VI.l6 : 83 VL27: Il,23,23 n. 8 VL28-29 : 23 n. 8 Ibn Sinan L'Analyse et la synthèse: S,Sn. 6, l7 n. 4 Anthologie de problèmes: 6, 6 n. 8 Sur les notions par lui déterminées en géométrie: S,Sn. 7 Pappus La Collection mathématique: V, V n. l, 4, 4 n. 3-4, 5, 23 n. 9, 81-84, 192 n. 104-105, 210 n. 127, 228 n. 154, 244 n. 172, 376 n. 262,418 n. 303,467, 469 al-Tüsï, Na~ïr al-Œn Rédaction des Éléments d'Euclide: 467

BIBLIOGRAPHIE 1. MANUSCRITS

Apollonius, Kitâb Abulûniyûs fi qat' al-khUfût 'ald al-nisba Istanbul, Süleymaniye, Ayasofia 4830, fol. 2V à 52v . Oxford, Arch. Seld. A. 32, fol. 2v -81 r . Euclide Kitâb al-Mu 'tayât, rédaction de Na~ir al-Din al-Tusi, Le Caire, Riyaçliyat 40, fol. 91V-103 V ; rédaction IsJ:!aq/Thabit, Istanbul, Topkapi Saray, Ahmet III, 3464, fol. la-l9b. Kitâb Uqlidis fi al-Usûl, traduction IsJ:!aq/Thabit, Oxford, Bodleian Library, Hunt 435; Saint-Pétersbourg C2145, fol. 1V-284 v ; Escorial, ar. 907.

II. LIVRES ET ARTICLES Apollonius Willebrord Snel, Apollonius Batavus seu exsuscitata Apollonii Pergaei geometria, Leyde, Dorp, 1608. Apollonii Pergaei opuscula e tenebris eruta ac restituta, éd. Edmund Halley, Oxford, 1706. Die Bücher des Apollonius von Perga De Sectione Rationis nach dem Lateinischen des Edm. Halley frey bearbeitet, und mit einem Anhange verschen W. A. Diesterweg, Berlin, Georg Reimer, 1824. Des Apollonius von Perga, zwei Bücher vom Verhiiltnisschnitt (de Sectione Rationis), Aus dem Lateinischen des Halley übersetzt und mit Anmerkungen begleitet und einem Anhange verschen von A. Richter, Elbing, NeumannHartmann, 1836. Apollonius of Perga, On Cutting off a Ratio, A attempt to recover the original argumentation through a critical translation of the two extant medieval Arabic manuscripts, translated by E. M. Macierowski, edited by Robert H. Schmidt, Fairfield CT, The Golden Hind Press, 1988. Apollonius: Les Coniques, tome 1.1 : Livre J, commentaire historique et mathématique, édition et traduction du texte arabe par R. Rashed, Berlin / New York, Walter de Gruyter, 2008. Apollonius: Les Coniques, tome 1.2 : Livre J, édition et traduction du texte grec par M. Decorps-Foulquier et M. Federspiel, Berlin / New York, Walter de Gruyter, 2008. Apollonius: Les Coniques, tome 3 : Livre V, commentaire historique et mathématique, édition et traduction du texte arabe par R. Rashed, Berlin / New York, Walter de Gruyter, 2008.

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Bibliographie

Apollonius: Les Coniques, tome 4 : Livres VI et VII, commentaire historique et mathématique, édition et traduction du texte arabe par R. Rashed, Berlin / New York, Walter de Gruyter, 2009. Euclide The Thirteen Books of Euclid's Elements, translated with introduction and commentary by Th. L. Heath, Cambridge University Press, 1908; repr. New York, Dover Publications, 1956.

Les Œuvres d'Euclide, traduites littéralement par F. Peyrard, Paris, 1819; nouveau tirage, augmenté d'une importante introduction par M. Jean Hard, Paris, Librairie A. Blanchard, 1966. Euclide: les Éléments, traduction et commentaires par B. Vitrac, Bibliothèque d'histoire des sciences, 4 vol., Paris, PUF, 1990-200l. Th. Heath, A History of Greek Mathematics, 2. vol., Oxford, The Clarendon Press, 1921; rééd. New-York, Dover, 1981. AI-Nadim, al-Fihrist, éd. G. Flügel, Leipzig, 1871 ; éd. R. Tajaddud, Téhéran, 1971. AI-Nuwayri, Nihayat al-arab, Le Caire, sans date. Pappus d'Alexandrie, La Collection mathématique, Œuvre traduite pour la première fois du grec en français, avec une introduction et des notes par Paul Ver Eecke, 2 vol., Paris, 1933 ; nouveau tirage Paris, Blanchard, 1982. Proclus de Lycie, Les Commentaires sur le premier livre des Éléments d'Euclide, trad. P. Ver Eecke, Bruges, Desclée de Brouwer, 1948. Procli Diadochi, In Primum Euclidis Elementorum Librum Commentarii, éd. G. Friedlein, Hildesheim, Georg Olms, 1967. AI-Qif(!, Tarikh al-l:zukama', éd. J. Lippert, Leipzig, 1903; rééd. Le Caire, sans date. R. Rashed Géométrie et dioptrique au xe siècle: Ibn Sahl - al-Quhi et Ibn al-Haytham, Paris, Les Belles Lettres, 1993.

Les Mathématiques infinitésimales du IXe au XI' siècle, vol. II : Ibn al-Haytham, Londres, al-Furqan Islamic Heritage Foundation, 1993. Les Mathématiques infinitésimales du Ixe au XIe siècle, vol. I: Fondateurs et commentateurs: Banu Musa, Thabit ibn Qurra, Ibn Sinan, al-Khazin, al-Quhi, Ibn al-Samb, Ibn Hud, Londres, al-Furqan Islamic Heritage Foundation, 1996. Les Mathématiques infinitésimales du Ixe au XIe siècle, vol. III: Ibn al-Haytham. Théorie des coniques, constructions géométriques et géométrie pratique, Londres, al-Furqan Islamic Heritage Foundation, 2000.

Bibliographie

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Les Mathématiques infinitésimales du [Xe au xr siècle, vol. IV: Méthodes géométriques, transformations ponctuelles et philosophie des mathématiques, Londres, al-Furqan Islamic Heritage Foundation, 2002. Œuvre mathématique d'al-Sijzi. Volume l : Géométrie des coniques et théorie des nombres au xe siècle, Les Cahiers du Mideo 3, Louvain 1 Paris, Peeters, 2004. Geometry and Dioptries in Classical Islam, Londres, al-Furqan Islamic Heritage Foundation, 2005. «

Lire les anciens textes mathématiques: le cinquième livre des Coniques d'Apollonius », Bollettino di storia delle scienze matematiche, vol. XXVII, fasc. 2, 2007, p. 265-288.

Al-Khwarizmi: Le commencement de l'algèbre, Paris, Librairie A. Blanchard, 2007. Trad. anglaise: Al-Khwarizmi: The Beginnings of Algebra, «History of Science and Philosophy in Classical Islam », Londres, Saqi Books, 2009. R. Rashed et H. Bellosta, Ibrahim Ibn Sinan, Logique et géométrie au xe siècle, Leyde, E.J. Brill, 2000. R. Rashed et C. Houzel, Recherche et enseignement des mathématiques au [Xe siècle, Le recueil de propositions géométriques de Na 'im ibn Müsa, « Les Cahiers du Mideo, 2 », Louvain 1 Paris, Peeters, 2004. H. G. Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum, Mit einem Vorwort und Register von J. E. Hofmann, Copenhague, 1886 ; repr. Hildesheim, 1966.