Apollonius de Perge. Coniques. Tome 4. Livres VI et VII. Commentaire historique et mathematique, édition et traduction du texte arabe (Scientia Graeco-Arabics)

8. Géométrie proto-transformationnelle

x 2 + 2xycos

et on a /l(!, 1) =

(a

+ 1)2 . 2

4aSIn cp

83

=0

•

Soit H une homographie transformant A / en A, T/ en T, M/ en M et N/ en N ; le conjugué S/ de T/ par rapport à !/ est la direction du diamètre de J' qui passe par A / et h(Sj = S est conjugué de T par rapport à !, donc c'est la direction du diamètre qui passe par A. On voit donc que l'angle cp de la tangente à J en A avec le diamètre de A est égal à l'angle cp/ de la tangente à J' en A / avec le diamètre de A /. L'axe des x recoupe Jau point d'abscisse A est égal à d =

21~1

et on a 1a 1 =

~

p

2 , a

donc le diamètre issu de

où c est le côté droit associé à ce

diamètre; on traite de même le cas de J' . La condition de similitude jlU, 1) =jlU I, 1) s'écrit (a ~ = (a ~ ,où cp = cpl, ce qui donne al = a

It

4a SIn cp

It

4a SIn cp

!, dans le cas d'ellipses; et on peut se ramener à a/ = a

en permutant a au besoin M et N et dans le cas d'hyperboles on a a' = a à cause du choix

OU

de N/ et N extérieurs à J' etJrespectivement. Ainsi, pour que J et J' soient semblables, il faut et il suffit qu'elles soient de même nature (ellipses ou hyperboles) et que ~

= ~:, où dl est le diamètre issu du point A 1de JI

qui correspond à A et c/ est le côté droit associé. En résumé, si A est un point de J et A / un point de J' et si l'angle du diamètre de A avec la tangente à J en A est égal à l'angle du diamètre de A / avec la tangente à J' en A /, pour que J et J' soient semblables, il faut et il suffit que

~

= ~:, où c, d, Cl, dl ont la signification expliquée ci-

dessus. Apollonius traite ce cas dans sa proposition 13, après avoir établi dans la proposition 12 le cas particulier dans lequel l' angle cp est droit, soit S = M et T = N, c'est-à-dire que A et A / sont des sommets de J et de J' respectivement. Supposons maintenant qu'un arc AB de ~ non réduit à un point, soit semblable à un arc A /B / de J'. Une similitude H qui transforme A /B / en AB transforme J' en une conique ~ qui a avec JI' arc AB en commun; il en résulte que JI =~ donc J et J' sont de même nature (ellipses, paraboles ou hyperboles) et elles vérifient les conditions précédentes de similitude. Apollonius établit ce fait dans ses propositions 23 à 25. Inversement,

84

Le sixième livre des Coniques

lorsque Jet J' sont supposées semblables, l'arc AB de J est semblable à l'arc A/B/ de J' si on a, avec les notations du lemme 3, h(T/) = Tet h(U/) = U ; cela signifie que, lorsqu'on rapporte J et J' respectivement à des axes dont les directions sont celles de M, N et M/, N/, les coordonnées de T sont égales à celles de T/ et les coordonnées de U sont égales à celles de U~ Calculons donc les coordonnées de A et du milieu E de AB en fonction des coordonnées (ç, 1}) et (Çb 1}1) de U et de T, en commençant par le cas

= 2px . L'ordonnée du point r

où J est une parabole d'équation y2

de J

où la tangente est parallèle à AB est donnée par !!... = !l, soit y = pl;, et son y

ç

rJ

abscisse est donc x = pl;: ; de même, les coordonnées de A sont 2rJ

x - pç~ y - pÇl 1 -

2

2'

rJ l

1 -

rJ l

•

L'angle 8 (entre 0 et n) de AB avec l'axe des x est donné par cos8 =

k' ç2 + rJ2

donc tge = !l si on choisit convenablement l'orientation des axes. Ç

La droite TE est un diamètre de vi; donc son équation s'écrit y = pl; et, en rJ

écrivant que AE est dans la direction de U, on trouve que l'abscisse de E est égale àx =

pl;~ 2rJ l

+ pl;(i_iL). La tangente en ràJrencontre l'axe des x rJ

rJ

rJ l

au point Z d'abscisse - pl;2 et T Z = 2rJ2

(1;1],

1

pl; 1 ~1;2 +r/ 2 ; ainsi TE rJ2

IZ

=

~' dépendant seulement de U et de T. Inversement, si tge = !l ç2 + rJ2 Ç

2 1 Ç1 rJ~

et rE = k sont donnés, 1}1:Çl = IZ

T

est obtenu comme racine d'une équation

du second degré (T - tg 8)2lcos 81 = 2kr ; les deux racines correspondent aux deux points A et B. Des calculs analogues sur J' montrent enfin que les conditions trouvées de similitude de AB et A /B / (mêmes coordonnées pour T et T/ d'une part et pour U et U/ d'autre part) sont équivalentes aux conditions que donne Apollonius dans sa proposition 17 (8 = 8/ et k = k/, voir Fig. VI.17).

Traitons maintenant le cas d'une conique à centre J en utilisant les axes de Jcomme axes de coordonnées; l'origine est au centre O. L'équation de Js'écrit

85

8. Géométrie proto-transformationnelle

les coordonnées de

r

sont

x

=+

y

p'fJ

a~aç2 + 1]2

'

=+

pl;

~aç2 + 1]2

et celles de A,

les doubles signes (indépendants l'un de l'autre) proviennent de ce que deux points diamétralement opposés répondent à la question aussi bien pour r que pour A. Le milieu E de AB est à l'intersection du diamètre or et de AU; ses coordonnées sont X

= +E

p1] aççl + 1]1]1 y = + pç aççl + 1]1]1 2 2 ~ ,E 2 2~ a(aç + 1] )aç~ + 1]~ aç + 1]aç~ + 1]~

La tangente en xz = +L~aç2 + 1]2 a1]

;

r

•

rencontre l'axe des x au point Z d'abscisse

on trouve ainsi que

I!LI

TE = IZ aç

2 2 a ç2+ 1] 1 :+ 1

ç2

+ 1]2

aççl + 1]1]1 ~ aç2 + 1]2 ~ aç12 + 1]~

1

indépendant de p. On conclut, comme dans le cas de la parabole que, lorsque tg8=

Ï et ~ = k sont donnés, rh:~l = Test racine l'une ou l'autre

de deux équations du second degré

et que les conditions de similitude trouvées sont équivalentes à qu'énonce Apollonius dans sa proposition 18 (voir Fig. VI.18). Examinons enfin les conditions d'égalité de coniques ou de segments de coniques; elles font l'objet des propositions 1 à 10 et de la proposition 16 d'Apollonius. Il est d'abord clair que deux coniques égales sont semblables et, en particulier de même nature (proposition 3 d'Apollonius) ; mais cette condition est insuffisante et on doit compléter l'invariant de similitude /1(/, 1) par un invariant relatif aux isométries.

86

Le sixième livre des Coniques

Supposons que J et J' sont semblables et considérons une similitude H de J' sur ~un point A / de J' et le point H(A') = A de J:On sait que la tangente à J en A fait avec le diamètre de A le même angle que la tangente à J' en A / avec le diamètre de A /; donc il existe une isométrie G qui transforme A / en A, le diamètre de A / en celui de A et la tangente à J' en A/ en la tangente àJen A. La conique J" = G(J') est semblable à J et tangente à J en A ; les équations respectives de J et de J" rapportées au diamètre de A et à la tangente en A sont de la forme y2 = 2px - ax 2 et 2 y2 = 2px - ax , où le coefficient a est le même et la deuxième équation est celle de J' rapportée au diamètre de A / et à la tangente en A /. On voit que la condition nécessaire et suffisante pour que J' =J est que p / =p. On sait que le côté droit c est égal à 2p ; la condition d'égalité des coniques est donc l'égalité des invariants Jl et celle des côtés droits c et c / associés à des diamètres qui font le même angle avec la direction conjuguée. Pour les paraboles, qui font l'objet de la première proposition d'Apollonius, l'invariant Jl est infini et il reste la condition sur le côté droit. Pour les 2

. (1 1) = (a +. 1)2 ,ou"Ile . a = -; 1a con d·Ihon conIques a" centre, on a vu que Jl, 4asln cp d d'égalité des courbes est donc qu'elles soient de même nature et que c = c/

et d = d/ (proposition 2). Pour connaître l'ensemble des isométries d'une conique J' sur une conique égale J; il suffit évidemment de déterminer une seule de ces isométries et les isométries de J sur elle-même. Cette dernière question est traitée par Apollonius dans les propositions 4 et 5 pour l'ellipse et dans les proposition 7 et 16 pour la parabole et pour l'hyperbole. On détermine une isométrie de J sur elle-même en se donnant un point A / de J et en cherchant un point A tel que l'angle du diamètre de A avec la tangente en A soit égal à l'angle du diamètre de A / avec la tangente en A / ; il faut encore imposer que le côté droit associé au diamètre de A soit égal au côté droit associé au diamètre de A /. On choisit A / de manière que cet angle soit droit; c'est donc un sommet de J'. On doit alors prendre pour A un sommet; on peut toujours choisir A =A / et deux isométries correspondent à ce choix car il y a deux orientations de la tangente en A : on trouve ainsi l'identité et la symétrie orthogonale par rapport à l'axe passant par A. Dans le cas d'une parabole, il n'y a qu'un seul sommet A et il n'y a donc pas d'autre choix possible; il en est de même pour une branche d'hyperbole (proposition 7). Mais lorsque l'on prend en compte les deux branches d'une hyperbole, le diamètre issu de A / coupe la branche opposée à celle de A / en un sommet A et on a encore deux isométries qui échangent les deux branches : la symétrie par rapport à l'axe non transverse et la symétrie par rapport au centre (proposition 16).

8. Géométrie proto-transformationnelle

87

Lorsque J est un cercle, on peut prendre A et A / arbitrairement et on trouve une infinité d'isométries (les rotations autour du centre et les symétries par rapport aux diamètres). Enfin, lorsque J est une ellipse qui n'est pas un cercle (proposition 4), on peut prendre pour A le sommet opposé à A / sur le même axe, ce qui donne deux isométries : la symétrie par rapport à l'axe perpendiculaire et la symétrie par rapport au centre. Cette dernière échange les deux demi ellipses découpées par un diamètre quelconque (proposition 5). Les sommets sur l'autre axe sont exclus par la condition que c = c/ et d = d/. Ainsi le groupe des isométries d'une parabole a deux éléments; celui d'une conique à centre non circulaire a quatre éléments d'ordre 2 (groupe de Klein), en conformité avec le corollaire du lemme 2. Considérons maintenant un arc A /B /, non réduit à un point, d'une conique J' et un arc AB d'une conique J; si AB est égal à A /B /, une isométrie transformant A /B/ en AB transforme J' en une conique J" qui al' arc AB en commun avec J. Donc J Il =Jet les coniques ~ J' sont égales (propositions 6 et 10). Il reste à expliciter à quelles conditions des arcs A /B / et AB d'une même conique J sont égaux (proposition 9) ; d'après ce qui précède, une isométrie G transformant A /B / en AB transforme J en ellemême. Si G est la symétrie par rapport à un axe D de ~les abscisses de A et de B sur cet axe sont respectivement égales à celles de A / et de B /; si G est la symétrie par rapport au centre, les coordonnées de A et de B par rapport aux axes sont respectivement opposées à celles de A / et de B /. Inversement, il est clair que ces conditions sont suffisantes. On vient ainsi de récupérer les principales propositions du livre VI d'Apollonius dans une mathématique qui n'est pas la sienne et dans un langage qui lui est étranger. Une interprétation de ce type permet de mettre en évidence les transformations ponctuelles sous-jacentes au travail d'Apollonius. À partir du IXe siècle, ce livre VI, ainsi que les autres travaux d'Apollonius sur les lieux plans, ont incité les géomètres à concevoir les transformations ponctuelles de courbe à courbe (Thabit ibn Qurra et Ibn alHaytham par exemple). C'est beaucoup plus tard, en liaison avec le point de vue projectif, que Philippe de la Hire a conçu les transformations opérant sur tous les points du plan projectif.

TEXTE ET TRADUCTION

Sixième livre du traité d'Apollonius sur les coniques Al-Maqiila al-siidisa min Kitiib Abuluniyus fi al-makhru!iit

Au Nom de Dieu, Clément et Miséricordieux

LE SIXIÈME LIVRE DU TRAITÉ D'APOLLONIUS SUR LES CONIQUES

D'Apollonius à Attale, Salut! Je t'ai adressé le sixième livre du traité des Coniques. Mon intention dans celui-ci est d'instruire sur les sections des cônes égales et sur celles qui ne sont pas égales, sur les semblables et sur celles qui ne sont pas semblables, et sur les segments de sections. Nous en avons dit bien plus que ce qu'en ont dit et établi d'autres, de ceux qui nous ont précédé. Dans ce livre, il y a également comment trouver une section dans un cône droit connu égale à une section connue ; comment trouver un cône droit qui entoure une section de cône connue et semblable à un cône connu. Ce que nous en avons exposé est plus développé et plus clair que ce qu'ont exposé ceux qui nous ont précédé. Salut. Les sections des cônes que l'on dit égales sont celles dont les unes peuvent se superposer aux autres et dont aucune n'excède l'autre. Celles qui sont dites inégales sont celles qui ne sont pas ainsi. Les sections des cônes semblables sont celles dans lesquelles, si on mène des droites ordonnées qui tombent sur les axes, les rapports des droites menées à ce qu'elles séparent des axes du côté du sommet de la section sont égaux ; et dans lesquelles les rapports, les uns aux autres, des segments [B121 V] séparés des axes par les perpendiculaires sont des rapports égaux.

1;-~,v-\

J-\ ~ \-'-:-l

.l;-\\-i

L~W' ~l4l'

ülb,,#\


~\j [I;>t» ~~ ~ :~.:.AkJ#1 3 -

[y] «ill\..:

~t ~~ LoJ » ~I ~ ~ 1

«~I~.,:» [y] ~~ ~ ~J [r] ~I~.,: :~.,Jl1i 4 - [r ,y] «~J-4 ~ L~tJ 8 - [r ,y] 1,J#1 t#:t~1 7 - [r ,y] ~~:y~ 5 -lS~i ~ ~ «(» ~ 12 -

[r] ~J :~J / [1] ~ ~:~

[r] ~~: ~i / [r ,y] ~J :~JJ ~li [r] ~JL.:.l.I ~ : ~J~ ~t [r ,y] [~:~~i / [r] ~:~ 16 - [r] 10 -

dJ.:J : dJl.5' 14 - [1] ~~ : ~ / [1] w~1 : ~..\.>.i 13 -

'[r] ~:~

17 -

92

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

Les sections dissemblables sont celles dans lesquelles ne se produit pas [A-238 f ] l'analogue de ce que nous avons mentionné. La droite qui sous-tend un segment de la circonférence d'un cercle ou un segment d'une des sections d'un cône est dite base de ce segment. La droite qui coupe toutes les droites menées dans ce segment en deux moitiés, parallèlement à la base, est dite diamètre de ce segment. Le point qui est sur la section et à partir duquel est issu le diamètre est dit le sommet du segment. Les segments qui sont dits égaux, à partir de leur base et au-dessus, sont ceux qui peuvent se superposer les uns aux autres et qui sont tels que les uns n'excèdent pas les autres. Ceux qui sont dits inégaux sont ceux qui ne sont pas selon ce que nous avons indiqué. Les segments dits semblables sont ceux dont les bases entourent avec leurs diamètres des angles égaux, et qui sont tels que l'on puisse mener dans chacun d'eux des droites parallèles à sa base en nombre égal, et tels que leurs rapports ainsi que le rapport de la base à ce qu'ils séparent du diamètre du côté du sommet de la section, dans chacun des segments, soient des rapports égaux ; et de même pour le rapport de ce qui se sépare du diamètre de l'un à ce qui se sépare du diamètre de l'autre l . On dit qu'une section de cône est placée sur un cône et qu'un cône entoure une section de cône si la section tout entière est sur la surface latérale qui entoure le cône, qui est entre son sommet et sa base ; ou bien sur cette surface latérale prolongée au delà de sa base. Et ainsi la section tout entière sera sur la surface latérale qui est au-dessous de la base, ou bien une partie de la section sera sur cette surface latérale et une autre partie sur l'autre surface latérale. Les cônes droits qui sont dits semblables sont ceux dont les rapports des axes aux diamètres de leurs bases sont égaux. La figure que j'appelle figure de la section construite sur l'axe ou sur le diamètre est celle entourée par l'axe ou le diamètre et le côté droit. [A-238 V

]

1 Sur cette définition et la connaissance qu'Eutocius aurait pu en avoir, voir Tome 1.1, p. 22.

93

&i

: ~ 6 - [1] ~ : ~I / [r ,y] ~b : ~ 5 - [1] ~b : 3 - [r] ~b : ~ 1 :r :(~\..ijl) ~ 9 - [r] w:W 8 - [r] ~I :~I / [r ,y] (~:(.;.i 7 - [1] I~ - [y] ~ J~: l.( / [r ,y] ~: ~ 13 - [y] ~ltJI ~ ~: LA~I"; Il - [y]

[y] ~b :(JJ\JI) ~ / [r] o~liJ :~..\CliJ 18 - [1] ~ ~ :~ / [y] 01JI: 0~J 16 .[r ,y] o..\Cwl : ~..\Cli /

94

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

-1- Les sections paraboliques, si leurs côtés droits [M-100r ] que peuvent les perpendiculaires abaissées sur les axes sont égaux, sont des sections égales ; et si les sections sont égales, alors leurs côtés droits sont égaux. Soit deux sections paraboliques dont les axes sont AL1 et ze et dont les côtés droits égaux sont AB et ZM Je dis que ces deux sections sont égales. H

B

A

E

u---v------

K

Z 0-----0-1\----8-

M

Fig. 1

Démonstration: Si nous plaçons l'axe AL! sur l'axe ze, alors une section tombe sur l'autre section et se superpose à elle. Si elle ne se superpose pas à elle, qu'une partie de la section AB ne tombe pas sur la section ZH. Marquons sur sa partie qui ne tombe pas sur ZH le point B ; menons de celui-ci la perpendiculaire BK et complétons le rectangle KB. Posons ZA égale à AK et menons du point A la perpendiculaire AH à l'axe; complétons le rectangle AM. Les deux droites KA et AB sont égales aux deux droites AZ et ZM, chacune à son homologue. Le rectangle KB est par conséquent égal au rectangle AM et la droite KB peut le rectangle BK, comme on l'a montré dans la proposition Il du livre 1. De même, la droite AH peut le rectangle AM. Les droites KB et AH sont donc égales. Si donc on place l'axe sur l'axe, la droite AK tombe sur la droite ZA, la droite KB tombe sur la droite AH et le point B tombe sur le point H. Or il ne tombait pas sur la section ZH; ce qui est absurde. Il n'est donc pas possible que la section ne soit pas égale à la section. De même, posons la section égale à la section, posons AK [B-122 r ] égale à la droite ZA, menons les deux perpendiculaires des points K et A et complétons les rectangles BK et MA. La section AB tombe donc sur la

J;-HA-I

rI. '-i

~ <.S~ ~\ / WI.4J\ ~Yl..;i wlS \~l wLS::.l.\

wlS 013 !~J~ w~J

t"h4J\ - i -

t"h4J\ 0}.3 '~JL......:.o i4--J\ ~ w\,.,.J\ ;;~~\ • ~J~ Ww\ ~~\" 0~ '~J~ t"h4J\ 1,j -;-, ~~ oLill \ ~J '0 W LG 0~ ~ "

--

. 0YJ~ ~\ 0=.a 0t: J~l! ~ \ j

j

(J

\

0yJ L:l\ 0W w\

O------()-----

: ~ 7 - [r] ~J~ : 0~J~ 5 - [1] ~I :r4-J I 2 - [r] wK:lI :wl5:11 1 11-[Y]~J:~J 10-[Y]~J:~J9-[I]~b:(~WI)~ /[r'Y]~J ~ dJ~J :u.l;.

/ ~ ~ ~ Jt ~ JJ ,[y] \\:"Ç 12 - [r] I~I: 0~t 15 - [r' 1] ~b: ~i 13 - [r ,y, 1] dJl1J :dJ~J / ~

,[y] ~b :~14l1

16 - [y]

..b..;..: ~

·[r] Jr S; & [1] S; &:Jr S; ~ 18 - [r] ~

'i u.l;.

5

96

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

section ZH; c'est pour cette raison que l'axe AK tombe sur l'axe ZAo Si en effet il ne tombait pas sur lui, la section parabolique ZH aurait deux axes, ce qui n'est pas possible2 • Que donc il tombe sur lui. [A-239 f ] Le point K tombe sur le point A car AK et ZA sont égales ; le point B tombe sur le point H. La droite BK est donc égale à la droite AH; c'est pourquoi le rectangle BK est égal au rectangle AM. Or la droite AK est égale à la droite ZAo La droite AB est donc égale à la droite ZM. Ce qu'il fallait démontrer. - 2 - Si les figures construites sur les axes transverses des sections hyperboliques ou elliptiques sont égales et semblables, alors les sections sont égales ; et si les sections sont égales, alors les figures construites sur leurs axes transverses sont égales et semblables et semblablement placées. Soit deux sections hyperboliques ou elliptiques AB et rH, leurs axes AK et re. Soit les figures L1AB et NrA les figures construites sur leurs axes transverses, égales et semblables. Je dis que les sections AB et rH sont égales. B

H

A

K

E

z

....

I--------------'-----h---~___"Q

N

r

e

A

M

n

---<::>-:::--------Q--------<:>-----O---

ç T

p

y

Fig. 2.1

Démonstration: Plaçons l'axe AK sur l'axe re; alors la section tombe sur la section. S'il n'en est pas ainsi, qu'une partie de la section AB ne tombe pas sur la section rH. Marquons sur cette partie le point B, menons de celui-ci BK perpendiculaire à l'axe et complétons le tracé du rectangle L1Z Séparons de la droite re une droite re égale à la droite AK. Menons du point la perpendiculaire eH à re [A-239 V] et complétons le tracé du rectangle NM. Les deux droites AB et AK sont égales aux droites Ar et re ; les deux rectangles BK et Ae sont donc égaux. De même, les deux

e

2 L'unicité de l'axe de la parabole a été démontrée à la fin de la proposition 11.48 du texte arabe (11.46 de la version d'Eutocius).

97

,~ &- rl "J d

.,-H">-i

dJ ~j · J j ~ ~ SI ~ dJ lJ &-j ! C j S ~ /.~ ~!;y0 ~ dJ~j 'Cl~ t}lS:J..\ C j

~~

F

Cll(J

~ ~j 'Cll:jL:.o J j SlCl~ ,J ~ ~ ~ ..h>.j·rJ ~ ~j~~ ~clJlJ ClN·c J y }~S y .~ ) b~) L., dJ~j! i j Y / ..... ~ ..b.;J ,J j Y / ...... SI ..b.;J

'c ~ ~ y

4

.0

)

5

~~\)\ t~\ iL..g......, ~ ~ ~\ J~~\ ~l.5' \~~ - '":' -

~l.$' Clb ! ~jL....:..o t~\ Cl}.! ,~l..:....:..o ~j~ ~4J.\ ~l:J1 L :: q L..J ~ wbJ-\ _lA lt' \ --~ .. \\ J~~\ 0~ ·u ,L..J ~ ~ . . 1~ ~~~~

t-

A

.~~~JJ~~

SI

\,*"

1I~.' ~j C ~

y \

~J~ ~~\ \ Q~.. Q~ --

,

~ ClWu) Cl\~\j Cll...b; ~ ~ 0~ ~

oLUJ\ 0~\

----

. 0~JL:.o C ~ y \ ~ 0t : J,;\j ~ J ~ 0

0 \

~

~J ,,.k ~

4:lc ~~

o O:::---------Q---(>---O--

-ol~---_o_--o__-o___

J

i

- [r' 1] J :Ji 6 - [y] ~J~ :(JJ\JI) J~ 5 - [r ,y] 0~: 0l5:J 2 - [r ,y] 0~:."J 1 14 - [r ,y] J 0 ~ :J ~ 0 ~ 12 - [r] ~~ :cl.!~ 9 - [1] ~b :y~1 8 : ~J / [r] 1, L: L 1, 17 - [r ,y] ~b:..h;. / [y] ~J: ~J 16 - [r] dJjJ :dJl5' ·[r'Y] ~:~J 18 -[Y]~J

10

98

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

rectangles AM et EZ sont semblables et semblablement placés car ils sont semblables aux deux rectangles L1E et NA. Mais les deux droites AK et Te sont égales, donc les deux rectangles EZ et AM sont égaux ; or les deux rectangles KE et eA sont égaux, donc les deux rectangles AZ et TM sont égaux et les deux droites qui les peuvent sont BK et He, comme on l'a montré dans les propositions 12 et 13 du livre 1. Si donc on place l'axe sur l'axe, la droite BK tombe sur la droite eH et le point B tombe sur le point H; or [M-1 OOV] il ne tombait pas sur la section TH; ce qui est absurde. La section AB tout entière se superpose donc à la section rH B

H

....

A

Il

r

11

ç E

Z

N

y A

M

Fig. 2.2

De même, nous posons les deux sections égales, nous posons [B-122 les deux droites AK et re égales, nous menons à partir d'elles les perpendiculaires KB et eH et nous complétons le tracé de L1E, L1Z, NA et NM. La section AB se superpose à la section rH et l'axe AK tombe sur l'axe re, car, s'il ne tombait pas sur lui, l'hyperbole aurait alors deux axes et l'ellipse trois axes, ce qui n'est pas possible3 . La droite AK tombe donc sur la droite re et lui est égale; [A-240f ] le point K tombe sur le point e et la droite KB tombe sur la droite eH; et le point B tombe sur le point H Mais la section AB se superpose à la section rH; la droite KB est donc égale à la droite He et le rectangle AZ sera pour cette raison égal au rectangle TM. Mais la droite AK est égale à la droite re, donc la droite KZ est égale à la droite V

]

eM De même, nous posons AS égale à rIl et on montre, comme nous l'avons montré précédemment, que Sç est égale à IIy, ce pourquoi ZP est égale à MT et la droite Pç est égale à la droite Ty. Les rectangles Zç et My

3 L'unicité de l'axe des coniques à centre a été établie dans la proposition 11.50 (11.48 de la version d'Eutocius).

99

"

1 . A·'~'

~

rJ j

•

J\

~~

--

1 A'~

~

• 1 A'~ • ~ U~ )

tJ

\

J

_L...

~

~ " ·IJ, ~\ u" .. J ..u L~J ~

~ '04J L.:.o 1, ~ ::5'l l.h.;.J · J 0 ~ ~ 0~ i ~ jl L~h .J '~JL......:....., J 1, ~ L:.J:z...., 0 LS ..üJ' 04J L..........:... 0

:s

J;-\ .. -('

~ ~ W' ,1, r y w ~ 04~ 01.ill\ 0~\., , 04J~ OS y .b. ëJ ,~\ J-c ~\ ~J \~~ .1 ~lli\ 0A ~J I.;-:! ~\ ~

5

W\".r.!- wl.5' / ~J ·r ~ ~ y ~ ~JJ 'r 1,.b. ~ 'r~ ~ ~~y \~ ~.u.L;.. \~!r~ ~

~~

11----t----t,J-"J--+--

~ 1------+-_--+--

--=_0.

J J;-\n-y

1, ~ 3'1 ~

/ ~J '~J\ ~, ~ ~\ ~ \..j}.-J ,\ "~iJ

J 0 j ~ ~ ~ ~J 'r 1, y

0

:s '.f~~ ~ (.#J '~JL....:o

~~ ,1,~ \*'"" ~::5'l ~ ~J 'r ~ ~ ~ ~ y \ ~ 'i 0

10

\~J !i~ ~~ ~W\ ~J 0~ ~\)\ ~)L.a.l,~ ~ ~.,J

r

H .-\

/ l?

~:s ~ ,.u;L..o ~J1, ~.b. ~ ~::5'l ~.~ .r.!·r ~ ~ y ~ t?J 'r1,..h.;.. ~ y:S ..h.;.. J ,1, ~

t-Y

0A 0~J ,1, r y

;L..oy~ ~'r~~ ~y \~~J !1, ~ y ;L.....o::5'l.b. ~J' i ~ ~ ~JL..o jl dJ~ ~i · i 1, Y ;L.o jS .1;J

eh--

Jio ~ 4Y'

0 i , CDI ~ W ~J ,J ~

'C Ü

~JL....o ~)..h.;.. 0~J

Y

:~J~ /

Ü

Jio 4Y' \ ~ b~ , ~iJ i Ji-o) j dJ.:J 0~

'c J

[r] ~:-;-:s 3 - [r] ~rj :J 0 / [r] ~:~ 2 - [1] ~b:J 0~~ 1 [r] y -X :S y / [r] ~b :(~L::JI) ~I 5 - [r ,y] L.b :.b L 4 - [r] 0l:J~ Il - [y] ~J :~J / [r]:ry :y S 9 - [r] «~J-4~» ~~ ~ :(JJ~I) L ~ :L~&.i ~Y 1~ 14 - [r] :ry:~ 13 - [r] FIJ :t-WJ / [1]~:0~ :) j 18 - [r ,y] ~ :~J 17 - [y] &J:~ 15 - [r ,y].b L ~ ~ y S .b.;. .[r] 0 j [y] j ) 7 -

15

100

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

sont donc égaux et semblables, ce pourquoi les rectangles L1B et NA sont semblablés et les deux rectangles L1Z et NM sont eux aussi semblables. Mais les deux droites KZ et eM sont égales, donc les deux droites L1K et Ne sont égales. Mais les deux droites AK et sont égales, donc les deux droites L1A et NT sont égales. Mais les deux rectangles L1B et NA sont semblables, donc les deux droites AB et rA sont égales, les deux rectangles L1B et NA sont égaux et ce sont les deux figures sur les deux axes. Ce qu'il fallait démontrer.

re

[3] Si on a des sections paraboliques telles que les ordonnées qui tombent sur l'un des diamètres rencontrent les diamètres suivant des angles égaux, et telles que leurs côtés droits soient égaux, alors les sections [MlOIr] sont égales. Si on a des sections hyperboliques ou elliptiques telles que les ordonnées qui tombent sur l'un de leurs diamètres rencontrent les diamètres suivant des angles égaux, et si les figures construites sur ces diamètres sont égales et semblables, alors les sections sont égales. On montre cela comme on l'a montré pour les axes 4 • - 3 - . Quant à l'ellipse5, il est manifeste qu'elle n'est égale à aucune des autres sections. En effet elle est finie alors que les autres sont infinies. Je dis également qu'aucune parabole ne peut être égale à une hyperbole. Soit une parabole ABTet une hyperbole HlKN. Qu'elles soient égales, si c'est possible, [A-240 V] que les axes des deux sections soient BZ et KM, que le diamètre transverse de l'hyperbole soit Ke et que les droites BB et BZ soient égales aux droites KA et KM. Menons à partir des axes les perpendiculaires AB, L1Z, lA et HM. La section se superpose à la section car elle lui est égale, et les points B, Z, A, L1 tombent sur les points A, M, l, H. Le rapport de ZB à BB est égal au rapport du carré de L1Z au carré de AB,

4

5

Voir Note complémentaire [1]. Voir Note complémentaire [2].

-r

J:) :;-; bh...- clJ lJ :'>H ' :.> ~ ~ :.> ~j L....:.o t i j b...h...J i 1, j3 Lb..;..j .~l .:. - i:'> j ~ ~ \-~i :,>~j ~~ 4

'~J~ ..L, ~

J~~

n

lk;..

0l5' JiJ. 0~J~ ..L, 0 s-:; Lh;J. 0~J~

'04-:~ J 0 ~ bh...-J · 0l:J~ ~ 0 G lk.;J ~ 0\iU\ 0~\ ~J '0~J\ '-~ .. 4 J-~ ~--; ~ '0~J~ .~ 0\ b~)\ l, ~~J ~~\ lk.;J

y

5

y

tiKl.I ~Ij ,~yl t.,hAJ1 ~ ~ ,:?j~ 'i ~WI ~I> <-?"> . <~I)I ~I ,:?j~ 'i t~1 ~ .~ ~jL..- :.>~ 'i oûi ~ ~ ~~I F I ~i .~ :.>~ 'i ~~: ~i J~tJ !y\:':'" ~ dbj _o\:':'" d dJ~j .yy\

/ ~i:.>~.:.> OS ':? L ~ ~\j'~j ~ y J.;-H.-\

15

· ~Ij ~ ~j~ ti~

1

~ ti~'~ ~

~1)\Fly1!~j'~jy~I~~j'~~j~H

rx

?

~ (y?wj · J]' ~jL- j y ° y lk;.. ~j ,1, ~ ~~I .~)~ d"j'i ~I ~ ~ ~1.9·i L J ':? j ~ ° 1 ~~I iL,;....J\ j ~ ~r ~ y ° J~ y j ~j · L ~ J ~ Je -; ï j ~ ~ j

r

20

fi

[y] ~b :~~ J 0 ... 0H 2-1 - [il ~i ~jJ :~.:u / [il 0~J: 0H 1 J j : ~r~ / [il ~ ::;~ 4 - [il ~j: 1, 0 / [i ,y] ~J~: 0~J~ 3 - [il 0 j: j 2-

,.,J)

~ 1_"1\ . t:.·.\ : [~]

~ ~.

7 - [i ] 0~ . \ A'~

Ji ~ J3 ,[Il ~~ :~JL, 20 - [il ~:

L L:.., [i....J] . \ A'~ (wlij\) . L L:.., 5 - [i ] . 0~ " 0 ..J

0 ..3 •

:~o~ 16 - [2]

*

çJ)

:

~\ ~\ 15-13 -

[il

\~U: \~iJ 9 - [1]

[il 0\J: 0~ / [il ':? (: 0 S ':? ( 18 - ~ ~ ~ ·[i] ~"(:"( ~ / [il ~ :(~W\) ~ 22 - [il ~JL:..,

19 -

~

102

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques H

A

B

e

<;>-----0----0-----

E

Z

K

1\

M

r N

Fig. 3

comme on l'a montré dans la proposition 20 du livre 1 ; le rapport de MK à KA est donc égal au rapport du carré de MH au carré de AI; mais cela n'est pas possible car le rapport du carré de MH au carré de AI est égal au rapport du rectangle obtenu du produit de BM par MK à celui obtenu du produit de BA par AK, comme on l'a montré dans la proposition 21 du livre 16 . La parabole n'est donc pas égale à l'hyperbole. Ce qu'il fallait démontrer. - 4 - Si on a une ellipse et si une droite passe par son centre, telle que ses extrémités aboutissent à la section, alors elle partage la ligne de la section en deux parties égales, et la surface sera aussi divisée en deux moitiés. Soit une ellipse ArBB, e son centre ; que la droite AB passe par son centre et que AB soit d'abord l'un des deux axes de la section. Je dis que la ligne ArB se superpose à la ligne ABB, [B-123 r ] si on la place sur elle, et que la surface ArB tout entière tombe sur la surface ABB tout entière. E

B o-

--{}

--o-b._----o A

e r Fig. 4

Que la ligne ArB ne tombe pas tout entière [A-241 r ] sur la ligne ABB, si c'est possible. Marquons sur sa partie qui ne se pose pas sur elle le point r et menons de celui-ci la perpendiculaire r 11 à AB ; prolongeons-la jusqu'à

6

Voir Note complémentaire [3].

103

j

-xr -xr

.1,

.s

J

i

·

~i ~ ï ~l..4l.1 0-" S ~\ ~ ~ W ,;;l ~j-A Ji Ji r. i ~ro ~ 0':1,~ ~ dj~j !~ J ~ro Ji r. i ~r ~ ~.:u\ ..,Ji ~ i 1. '-;J~ ~ 0~ ~lJ\ z::6-JI ;j • .. ,·S ~ J Ciro ~ij • ï ~Ul\ 0-" l5' ~\ ~ W' ,Sj .j J 1. '-;J~ 0-" 0~ .~ 0\ b~) lo dj~j ! ~\)\ &4D}L....o y:f:- r)~\

J3'

,~\


~

~

Ji ou):> ~\.,.b;. o?./: roj ,~b Ei 0\S

Lo~ ~i z::6-J\ 0~j '~j~ ~

\~i

5

-

- ,)-

F\ 1;. ~ ~}J .~

o?./: ~j ,1. O?ro ~j '0 '-;J ~ \ ~ ~b'Ei ~ ~ ~ '-;J ~ \.b;. 0i :J.,JL; !~\ ~ ~i~'::I) '-;J \ ~j '-;J \ r\H-~ . ili '-;J 0 \ ~ ~ ili '-;J ~ \ ~ ~j '~~j \~i / '-;J 0 \.b;. .b;.

~

I----O---+-------l

1,

r Hl -\


.[1]

~:.b

j[y]

10

104

Le sixième livre ct' Apollonius sur les coniques

E ; la droite rL1 tombe donc sur la droite L1E car les angles au point L1 sont droits, et la droite rL1 est égale à la droite L1E; le point rtombe donc sur le point E. Or il ne tombait pas sur lui; ce qui est absurde. La ligne ArB tombe donc sur la ligne AEB et se superpose à elle ; mais la surface ArB tombe sur la surface AEB. La ligne ArB est donc égale à la ligne AEB et la surface ArB à la surface AEB.

- 5 - D'autre part, ne posons pas AB l'un des axes. Que les deux axes soient rL1 et KA ; menons les perpendiculaires AE et BH. La ligne rAL1 se superpose à la ligne rZL1, comme on l'a montré dans la proposition précédente, le point A tombe sur le point Z et la surface ArE tombe sur la surface rZE. De même, KrA tombe sur KL1A, Ee tombe sur eH et la droite EZ tombe sur la droite BH car la droite Ee est égale à la droite eH et la droite EZ à la droite BH; et la surface [A-241 V] rEZ tombe sur la surface L1HB ; la surface ArE tombe donc sur la surface BL1H et lui est par conséquent égale, et la ligne Ar est égale à la ligne L1B. De même, AEe est égale à [M-I0l V] eBH; Are est alors égale à eBL1 et le reste, qui est AKe, est égal au reste, qui est BAe7 , et la ligne AKL1 est égale à la ligne rAB. La surface AKL1B tout entière est donc égale à la surface ArAB tout entière, et la ligne AK1B à la ligne ArAB. Ce qu'il fallait démontrer. A

r

K

o--_ _ E-o--_------'()-8_'"'_---eHf----_ _-o

z

A

Fig. 5

7

Voir Note complémentaire [4].

B

"

-

y-

,Wli ~ t.h4..:l ~ ~\ l.:!\.,)\ 0~

- - -

'0 ~..b..>. ~ ~ ~ ~..b;J!0

Jl

W\J.r.:S:- wl$' JiJ.~ ~ ~ ~ ~ ~ ,:;; Y;L- ~~.k>.J

Ëd,J ~~~

r:-LJ ~

0 \

Y

'Y 0 \..b..>. ~ ~ Y~ \..b;J.~ \k ~~

;L.....o ~ ~ \ .b;..j ,~

0

\

r:-L ~ ~ ~ \~ .yo\&JY~\

dJ~J» ~~ Jl-;i :~ 015 - [1] ~b:..6;. 3 - [r] ~J~ :~J~ 2 - [1] ~b:~ 1

:~ L ~

[r ,~] \ : j / [r ,~] j :\ 8 - [r] 1 ~ ~ : ~ 1~ 7 - [r] «~ 0 i ~~Ji ~ / [1] ~ :1, 0113 - ~ ~ dJl.5'J '[r] I~I :0~~ 12 - [1] ~.> 1:0 ~ 1/ [r] ~~-; : 1, J ~ / [r ,~] ~L:JI ~ : ~~ ;~ 14 - [r ,~ , 1]31 :~ / [1] Li,: L ~ 1, .[~] ~;~:~ 15 - [r] ~ 1, I:-;-Ti / [4] ~J ~I ~I ~[r'~' 1] J~ Il -

5

106

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

- 6 - Si on a une section de cône dont une partie tombe sur une partie d'une autre section de cône 8 et se superpose à elle, alors la section est égale à la section9 • Soit le segment AB de la section AB tel que, s'il tombe sur le segment TL1 de la section TL1E, il se superpose à lui. Je dis que la section AB est égale à la section TL1E. /). E

B

z

K

A f,J-----+---{)----

N

r

A

e

M

Fig. 6

S'il n'en est pas ainsi, qu'une partie de AB tombe sur une partie de TL1, et que le reste de la section ne tombe pas sur le reste de l'autre section ; mais qu'elles soient comme les deux sections L1TM et L1TN. Marquons sur TM le point 8 que nous joignons au point L1, et menons dans la section TL1E un diamètre KA, qui coupe L18 en deux moitiés. La droite tangente au point K à la section TL1E est parallèle à la droite L18. Le diamètre KA coupe les droites parallèles à la droite L1A8 en deux moitiés. Menons donc du point T la droite TZ parallèle à la droite L18. La droite KA la coupe alors en deux moitiés et elle est parallèle à la droite tangente à la section L1TM au point K ; cette droite est aussi tangente à la section L1TN , donc la droite KA est un diamètre de la section L1TN, comme on l'a montré dans la proposition 7 du livre II ; elle coupe donc la droite L1N en deux moitiés au point A ; [A-242 f ] mais elle divisait L18 en deux moitiés au point A 10 ; ce qui est absurde. La section AB tout entière tombe donc sur la section TL1E et se superpose à elle. Elle lui est par conséquent égale. Ce qu'il fallait démontrer.

8 On traduit indifféremment l'expression par « section de cône» ou « section conique ». 9 Voir Note complémentaire [5]. 10 Voir Note complémentaire [6].

107

j

~\ ~4

&. ~j' ~~

~:r:- ~ ~

\ ~Y':- ~ ,dJ~ ~ rlCl~

5

i~ ~ ~j ·Cl ~ ~ i~ ~ ~ Cl~ ~ !';"~I ~\ ~4 ~ ~.k ~~ G-bio ~~~ ~ r~j ,-;~ ~j'.k ~ ..k ~.b....;.. <:?j\j-:! S ÜÜj ~ 0 ~ ~ &i .rlf <:?l.l\ Yu.TI ~ · ..1J ~llL·\-\\..1_L:.L\TI .L:~ (j4 r~ ~ ~ r ~ ..r---' ~J

.)

~J ,~~TI ~ .j~~..1 ~Y ~j\J-4 (w..~ ~

10

.rI.: y. ~i III \~j ,S ~ ~ i ~ ~ ~ :rWI ..b;JJ )J-O \.r j js::...:JI ~ ~ •.1 W ,Cl ~ ~ ~ .rh! TI ~ , Cl ~ ~ ~ rH~-\ .k ~ ~ CllS J.!j / .J,~ ~ ~ Cl ~..h;.. ~ ~ !~ ~w.\ ~ ,0 ~~ ~ ~ili ~~ \~.u.i>. \~!J~~~ c"" .~ 0\ b~)\ l, dj~J ~~ J~ 0~1 ~,~

15

;:;

~b :(~WI)

y 13 - [r ,y] ~:~ / [5]~) ~I ~I ~[r ,y] ~b :~i 2 ~J ,[y] ~ ~ :J~ 6 - [r] dJlJ :dJ~ 5 - [r] ~ :~I 4 - [r] L.ki:&i / [r] ~ : 1, J ~ 9 - [y] ~ ~ ~ '&i :Gki / [r] ~ :&i 7 - ~4JI ~ «'-Ï~» o ~ ~ ... ~ ~ 12-11 - [6]~) ~I ~I 13 - [r 'Y]0 ~ ~ :r ~ ~ Il - [r ,y] ~ltJI ~ \A~ : J ~ ... ~J 14-13 - [r] ~ : (~WI) F 12 - [1] ~b : (~WI) ~~ :~14l1 13 - [y] ~ ~:~ ~ / [1] ~~ )~I ~ y~ ~,\A).J [y] ·[r] &- ili':ili' &- 14 - [r ,y] ~I:~ / [y] yb!:~ / [y]

108

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

-7 - Les perpendiculaires menées à partir <des points> d'une parabole ou d'une hyperbole à son axe, et qui sont prolongées de l'autre côté, [B123 V] séparent de la section de part et d'autre de l'axe des segments tels que, si les uns tombent sur les autres, ils se superposent à eux, sans les excéder ni leur être inférieurs, et ne se superposent à aucune autre partie de la section s'ils tombent sur elle. Soit une parabole ou une hyperbole TBA d'axe TH. Marquons sur la section les points B et A et menons de ceux-ci deux perpendiculaires à TH, BZL1 et AHE, que nous prolongeons de l'autre côté de la section. Qu'elles séparent de la section des segments BTL1, A TE. Je dis que la ligne BT se superpose à la ligne TL1, la ligne BA à la ligne L1E, la surface ATH à la surface THE et le segment ABT de la section au segment TL1E. K A

B

e

e B r o---o-Z----(Î--H-

r

A

z

K

H

~

E

E

Fig. 7.1

Fig. 7.2

La démonstration de cela est comme les démonstrations précédentes, car toutes les perpendiculaires menées du segment ABr à l'axe TH peuvent des surfaces égales aux surfaces que peuvent les perpendiculaires menées du segment TL1E à l'axe rH, et qui joignent ces perpendiculaires. La droite BZ est donc égale à la droite ZL1 et la droite AH est égale à la droite HEII . Mais les angles aux points Z et H sont droits. Si donc on place le segment BT sur le segment rL1, il se superpose à lui, le segment AB tombera sur le segment L1E et les surfaces tomberont sur les surfaces.

Il

Voir Note complémentaire [7].

oS 1

1,

loS

0-0 r~ cjl\ O~~\ ~ 0~ ,L~\ ~1.HJL5' dJ~ 0~~j (.$~ cjll (~ ~jL.o (~ ~ (.$~ -

~

J....=..,::;j ( ~ ~

.0 (

y

Ji

(

~ ~

Ji ~ y

--

0

1-

~ ~ t.a..bi .J-4 r~ cjl1o..Lo..c '.:1 \

~jL....., [I..6...>j ~ j y

~jL...o j y.b;.

\ L.h;

4:k

0H .o~~1

~ ~ ~j I~i ~ y L..b.O .WLi ( j ~ ~ ~\ l.:!lj)lj ~ ("h-JI ~jj ~ t.a..bi ~ y \ L.h; ~jj ~ ~I , ~ ~

· ("h-J\ ~:~ / [r] ~J:~ 6 - [r ,y] ~J:~J4 - [r ,y] rU:(JJ~I)~J 3 0~~: 0~~J 10 -

[r] ~b

:~I ~ /

[y] ~ (~ 9 - [r] ~I (17 - [r' 1] ~J [y] ~ ~J:~ ~J 12 - [r] ~J~ (~:~J~ (~ Il - [r] 14 - [7] çJ) ~I ~I ~[r ,y] (0 :~-(/ [1] ~b :(~WI) ~J~ 13 - [r] ~ . [~ , ,'-']. '-'. .>. :.>. '-'. 0

(: 0

10

:0

15

110

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

Soit le segment eK un autre segment, non séparé par ces deux perpendiculaires. Je dis que, si on pose le segment L1E sur lui, il ne se superposera pas à lui. S'il n'en est pas [M-102f ] ainsi, qu'il se superpose à lui, si c'est possible. Si on place L1E sur Ke et qu'elle se superpose à elle, la ligne rL1 tombera sur le segment contigu au segment BK, comme on l'a montré dans la proposition précédente; le point r du segment r L1E tombera sur un point autre que r du segment Ker car le segment [A-242 V ] KeBr n'est pas égal au segment r L1E et l'axe rH tombera sur une position autre que sa position ; et ainsi chacune de la parabole ou de l'hyperbole aurait deux axes; ce qui est absurde. Le segment L1Ene tombe donc pas sur le segment eK. Ce qu'il fallait démontrer. - 8 - Si dans une ellipse on mène des perpendiculaires à son axe et si on les prolonge de l'autre côté de celui-ci, alors elles séparent de la section, de part et d'autre de l'axe, des segments tels que, si on les place les uns sur les autres, ils se superposent. Et si on place les segments séparés par les perpendiculaires dont la distance du centre à l'autre côté est égale à la distance des perpendiculaires menées, alors ils se superposent à eux et ils ne se superposent à aucun autre segment de la section. Soit une ellipse ArL1B, d'axes AB et KA. Que l'on mène dans celle-ci deux perpendiculaires à BA qu'on prolonge des deux côtés ; soit rE et L1Z. Qu'elles séparent de l'ellipse deux segments TL1 et EZ. Que l'on mène dans la section également deux autres perpendiculaires, ME et Ne, selon cet exemple, dont les distances au centre soient égales aux distances de ces deux perpendiculaires. r

1:1 _----(Kr - _ M

N

Ao-----+----+---+-----t---t-------vB

E

TI

z

A

Fig. 8

x 8

111 0t: J".;tJ ~ 0\~~\ 0\k ~ ~ ~~\ ~

r\'~-Î ~\J D

·~

TI L.kJ ~

~ ~,~ ~J 01:;-:; ~

~:;-:; ~J \~~.~ ,~IJ dJ~ /~ ~ 0~

.... W ,TI L..b.iJ· ~ \ _:~ .. q ~\ l.-.- ~.> ~ .. ,~ 'Ê ~ '-:? t..r'. eJ .. ~ ~ .r::i:- ~ (; :l ~ ~ :.r :; ~ ~JJ · Lu J..:.i ~.:J\ ~I

l;-H~-\ c!JJ (; :l ~ ~ ~J~ y:!- ~ y.1. OS / L.1i 0\; ,~.1. OS ~

5

:.r

~ 1)\., ti L5::l\ ~ .)-K .a-K..J ! ~~ .r::i:- .r>ï ~ro ~ ( ~ ~

01b:l) lo dJ~J

!TI ~ ~ :;-:; ~ ~ ~ .u.l>.

lok! 0~ .~

to~\ ~ liSJ ~ Ji Ô.4CI Y (.fJ ~b &i J5' - L 1~1ls.1; ~\ ~ i f ~\:.r ~ ~~ ,CA I.S~\;\ 4>W\ 4),,,

àj

~I ~I ~ -:'-";J 01J'~ ~I ~ ~ ~

,~~\ ~~\;\ ~ I.S~\;I ~WI y

Jl?'.).\:.r

l.Cl~ ~I ..

10

Ji

eJ

L..~\;I

• ~\. ~. \ ~ l.-.- +! L·~ ~ \ L... ~\ c-4j4~ t..r'~J~. A

Y (~J'J3' Y 1~~Jy:l~ \ ~~b~ ~ o

~ ~ ~J ,~U\ ~

-

Jt ~~\ ~ 0\~J

y

\y

---

15

Jt 0\~~ -

0\~\ 0b~ ~\~\J(~J.j(; :l~~~~J.j:l 0"

i \ ,,-+)~ 0-:!:l..,..-J10-:! ok ~ ~.). \ :.r \-A ~ ,J \..i.l.\ \ok ~ .1, 0

I---+---+-----II---+--+------ly

j

[r] 4Jb : ~ ~ 5 - [r] ~u :~\J / [r] dJ.:J : dJ~ 3 7 - [r ,y] ~ 1, S : ~ y 1, S / [r] ~ : ~ 6 - [r] 4Jb [y] ~J.4 ~ ~ ~ 1, S - [r] ~ : ~ 13 - [y] ~b : ~\ ~ Il - [y] ~\)\ Ji : ~\)\J / [r] ~b : ~ o 1,: 1, 0 19 - [y] ~~J [r] \~J: 0\~J / [r ,y] y \ :\ y 16 - [r] Co4:~ 15 ·[r]

:

~~~~

0

~~

/

112

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

Quant à Tl1 et EZI2 , si on les place l'une sur l'autre, elles se superposent; on démontre cela comme on l'a démontré dans la proposition précédente. On montre de même que MN se superpose à se. Mais puisque, si on place la surface KAA sur la surface KBA, elle se superpose à elle, comme on l'a montré [B-124f ] dans la proposition 4 de ce livre, alors la droite TE tombe sur la droite Ne car leur distance au centre est la même, l1Z tombe sur MS [A-243 f ] et le segment TL1 tombe sur le segment MN. Il car chacun d'eux se superpose à l'autre. se superpose donc au segment De même pour le segment EZ. Soit un segment rrx de la section autre que ces quatre. Je dis qu'un quelconque de ces segments ne se superpose pas à lui. S'il était possible que le segment MN se superpose à lui, il s'ensuivrait nécessairement ce qui s' ensuivait dans les propositions qui précèdent, à savoir que l'ellipse aurait plus de deux axes ; ce qui est absurde. MN ne se superpose donc pas à rrx. Ce qu'il fallait démontrer.

se

- 9 - Les parties de sections égales dont la distance à leur sommet est égale se superposent les unes aux autres ; et celles dont la distance à leur sommet n'est pas une distance égale ne se superposent pas les unes aux autres. Soit deux sections égales d'axes r L1 et KA telles que la distance du segment AB au point T soit égale à la distance du segment EH au point K. Je dis que AB se superpose à EH. Démonstration: Si on place la Z E A section AT sur la section KE, le H point B tombera sur le point H car e B la distance de chacune au sommet de chacune des deux sections est [ ' 0 - - - - - - Ko------A égale, le point A tombera sur le point E et le segment AB tombera sur le segment EH. Je dis qu'il ne tombera sur aucun autre segment et ne se superposera pas à lui. Fig. 9

12

Voir Note complémentaire [8].

-

---

~

~ ~p ,~~\~':J\ ~ W~\ ~J \~lj

r\H-,," rHI"-\

(j

~

~

~~ 0\ L,\J

..1 ù"" ~ ~ 0 r 0i cH dJ.l5"j ! l.k ~ ~lJI ~I ~ ~ W' / ~ W',~ ~I J yS ~ ~ ~j 1~1 JT3' ~ 0l5' llj ~~ }J .1 0 .h;.. ~ ° ~.h;.. 0~ ,tlL...4l.1 o.k 4.r -; ~\ ~

&-

~ '0

r ~ ~ ~ ~ ~ ~j /

r~ j

~ ~j , ..\>.\j?...J. 1 4.r ~ ~i dJ.l5"j .~.;>\i\ ~ ~ l.o.AlI..\>.10\i .1 ù"" ~ ~ ~ ù""

.j

5

(j

4.:l1 :J."Jt! !J J ~ 'Cj)\i\ o.k ~r-" FI 4.r ~.;>i L..b; ~

'F

I o.k ~ ~ ~;1 !0 r ~ 4-:-k ~ ,~i 0P 4.r ~i ~~I 0~ ) J~\i\ 4.r r~ L...::J ~j w ~

&-W

- .~ 0\ b~)\ ~~~J~3J~ 0 \~~.~ \~~~ ~

)

-

~

01J ~J~\ t~\ - ~ lD.~~~ ~Ij ,~ ~ 4-.; '1 ~ jL-..:...o )

~ ~Jj) ~ ~~ ~\ ~~\~\

r~ 4---j';) 4.r

..

4.r y

10

~

•

\

~_

\

~_.

A

"!

L·.

\~ ~

.~~~~~'

G ~ ..J

1~

~j ,j3" ~ ~ l~~o+ ' ~'0l:!j~ 0ls..bi ~ ·r ° ~ ~ y \ 01 :J.,;t!!S ~ 4.r r ° ~ ~ ~ ~ -

•

15

~

~ \ ~ 0\ :dJ~ 0LA~

e>

)

~j ,-;3' ~ ~ ~j \~1 0;1 'r~~Y~ ~

~o------~

~o------

~\ ~Jj) ~ ~~

~~~I~~j'~~

J

!r0

4

~~Y\~j

L.h; ~ ~ ;1 ~1 :J"..i~

.~~'~.;>\ :~ 5 -

[r] ..6.;.:1, 0 / [r] ~b :e>,a 4 - [y] ~:~ / [8]~) ~I ~I ~ : ~~ 1

~j : ~J 10 - [r] ~)~I: ~)~I 8 - [r] dL:Jj :dJ.lSj / [y] ~b : L.ki 6 - [r] '-:tJ : ~jj) 12 - [1] ~~I ~ ~i: ~ ... ~ 13-12 - [r ,y] l,aj: l,a Il - [r] ~ 14 -

[r]

~j): ~Jj) 13 -

[r 'Y]J~

.[y]~:~24-[r]~jj:~J 18

~: ~J~ r~ 14-13 -

-[r'Y]

[r]

~j)

I~:~ 117 -[r'Y]~:~

20

114

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

zee

Si c'est possible, qu'il tombe [A-243 V ] sur le segment Or nous se superposerait avons montré qu'il se superpose à EH. Le segment donc au segment EH. Or les segments ze et EH ne sont ni deux segments séparés par deux perpendiculaires, ni à des distances égales du centre 13 ; ce qui est absurde, comme on l'a montré dans les deux propositions précédentes. Ce qu'il fallait démontrer. [M-1Ü2 V]

ze

- 10 - Des sections étant inégales, alors aucune partie de l'une ne se superpose à une partie de l'autre. Soit deux sections ABr et f1EZ inégales. Je dis qu'aucune partie de l'une ne se superpose à une partie de l'autre. A

E

B

ï

z

Fig. 10

Si c'est possible, que la partie AB se superpose à la partie f1E. La section ABrtout entière se superposerait alors à la section f1EZ, comme on l'a montré dans la proposition 6 de ce livre. Le segment ABr serait donc égal au segment f1EZ; ce qui est absurde. Aucune partie de ABr ne se superpose donc à une partie de f1EZ Ce qu'il fallait démontrer.

- Il - Toute parabole est semblable à toute parabole. Soit deux paraboles AB et Tf1 d'axes AK et ra. Je dis que les deux sections sont semblables. Démonstration : Posons leurs côtés droits Arr et rx et posons le rapport de KA à Arr égal au rapport de ra à rx ; partageons AK aux points Z et e d'une manière quelconque et partageons ra en un même nombre

13

Voir Note complémentaire [9].

115 .l;-m'-I

'(0 ~~ ~i ~ ~ jjj'1.)~ / ~~,~i Cl~ ~

J ..

1;-\.

W

~

(

~ 1, j L:..,..hij . ( ~ L.h; ~ ~ 1, j ~

~ W' ,U1;. \lA

!jL..:..ç

yS).\ 0A w~ 'ij Clbj-4-C \ o-+l~

~"

"

/~ ClI G,)) Lo dJ~j ! l.k ~ &:!.ill\ ~I

"

"-i ~~ ~ ~w\>.\ ~ ~~ ~ ;J ~jL.:ç ~ ~\ t~\

- -'l-

5

.~'1\~

~ 'i ~l :J';U !) 0

,)

~ y \ ~ ~jL:.., y:P Cll.s..bi ~ " .~;J\ ~ ~~ ~ ~w\>.\ ~ ~~

y

j

~ill ~y \ ~.:;-; ~~~y \ ~~~.~i Cl}.; }L.o ~ y \ ~ .~lli\ o.k 0A

J ~\ -i ~ W' ')

,)

~~

:j~ ~~ ~~~~~\~ ~~~~.U1;.\~:j~

~~

.~

16 -

[r ,y] I.L.AJ

: I~

j

j[r,y]..b.;.~J:~J

0

0\" b~)\" ~

~~j

[9]~) ~I ~I

:;l-..:f 3 - [r ,y] 0~:~ 2 17 -[r'y]Sl:ïS j[r]y I:J 1 j[r] ~ : ~ ·[r,y]~I:~1

10

116

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques B H

N

E

A

r

A o----=z=-O--------('T---""E>'-------jJ-=-K=__

n

....

0

()-----'---rr----{)----()--

x T p

y

Fig. Il

de parties et selon les mêmes rapports aux points M et E. Menons à partir des deux axes AK et ro les perpendiculaires ZE, eH, KB, MA, EN, LlO. On a le rapport de rrA à AK égal au rapport de rx à ro. Mais la droite KB [A-244r ] est la moyenne proportionnelle entre les droites Arr et AK, et la droite OLl est la moyenne proportionnelle entre les droites rx et ro, d'après ce qu'on a montré dans la proposition Il du livre J. Le rapport de KB à KA est donc égal au rapport de LlO à or. Mais la droite Bç est le double de la droite BK [B-124 V ] et la droite Lly est le double de la droite LlO. Le rapport de Bç à AK est donc égal au rapport de Lly à ro. De même, le rapport de rrA à AK est égal au rapport de xr à ro et le rapport de AK à Ae est égal au rapport de or à rE. Le rapport de Arr à Ae est donc égal au rapport de rXà rE. On montre à partir de cela, comme on l'a montré précédemment, que le rapport de HP à Ae est égal au rapport de NT à rE. De même, on montre que le rapport de El à ZA est égal au rapport de Ar à Mr. Le rapport des droites Bç, HP, El, qui sont perpendiculaires à l'axe, à ce qu'elles séparent de l'axe, c'est-à-dire AK, Ae, AZ, est égal au rapport des droites Lly, NT, Ar, qui sont perpendiculaires à l'axe, à ce qu'elles séparent de l'axe, c'est-à-dire or, Er, Mr; et les rapports des segments séparés de l'un des deux axes aux segments séparés de l'autre axe sont donc égaux. La section AB est donc semblable à la section rLl. Ce qu'il fallait démontrer.

117

J j

r

1:,

t

~

)

--

y

-

~(~J.~ \~~~~J'cL4LJ\~t~~J ::ri Jt \ J ~. t .:1 0 Ù'"' ~ Y 3' (.1 0 j o~i t ~::rI ~ r~H-1 ,~ l-J :3'l J \ ~ ~~ / y 3' ..6.>.J · t ~ Jt 3 ~ ~

.l;-IH-y

"Ç ~\ ~~,:?ill,~ ~ t ~ 3~ ~~~ ~.h;.J ~ u=- y..6.>.J .~ t Jt t .:1 ~ 8' Jt y 3' ~.ï ;JW,\ 0-0 .:1 ~::rI Jt u=- y ~. t .:I.h;. ~ .:1 ~J / 3' y .h;. ::ri ~J t ~ Jt ~ 3 ~ ::ri Jt 1J ~ 0~ , ~\J t ~ Jt

t

t

5

0

Jt 3~~:1ï~t J \ ~ 0Ù'"'~ ~t~ t~:1ï Jt ü 0 ~ :1ï Jt ) ( ~ 0i , ~ï ~ w ,dJ ~ 0-0 ~. -} ~ o~ i Jt 6 J ~ Tj Jt ':? ~ 0i ~i ~ dJ~J ~ Jt ~ lo Jt ,~\ ~ o~\ ':1' ~\ '':? 0 ) (U=- y.1# ~ ':t' ~I ,6 J Ü 0 t .:11,# ~ ,jï:1ï 31 ':l'J ,~\ er: 0 Ù'"'

oÙ'"'

0

y

10

- - - - -

.Jt

~J !~ i ~ Ù'"' ~ t ':l'J ,~I 0-0 ~ lo ,~\ ~ o~1 ';"~I ~I 0-0 ~ ~\.EAJ\ Jt ~o' JI.,\>.\ 0-0 ~ ~I EAJI .~ 0\ b~)\ ~~~J~~~&i~~ \~.~J~ :J \ 3 - [r]~:\J

/

[\]~ltJ\ ~:~

/ [r ,y] ~ ~

:~ ~ 2 -

[r'Y]

~:~ 1

3\~t~y~'~~Jt~ t ~LlJtTl~J» W ~:~i7-[r]Y\ ~ t 8 - [r ,y] J ~ ::; J / [y] « t ~ ~t t ~ ~ ,y] ~b ~ ~ [r] ~ ) [y] ~ ~ : Ü ~ / [r] ~ ( :) ( / [r ,y] ~ :~ 9 - [r] t ~ ~:~ Il - [r ,y] ~ ~i : ~i ~ 10 - ~\ \~ ~,(~lj ~l:J\J (~ti ~W\ [r / [r ' 1] ~J : ~J 13 - [y] ~b : ~J ~I ~ ... Si 13-12 -[r ' 1] ~J : ~J 12 - [y]

:~ t / [y] ~b : ~ ...

·[r](r:~r

15

118

Le sixième livre ct' Apollonius sur les coniques

- 12 - Les hyperboles et les ellipses dont les figures construites sur leurs axes sont semblables sont elles aussi semblables ; et si les sections sont semblables, alors les figures construites sur leurs axes sont semblables. N

B H

A

E

o-------o_Z-o---8-v---u K A

TI

x

r

M

o

....

t

p

T

y

Fig. 12.1

Soit deux hyperboles ou deux ellipses. Que les figures construites sur leurs axes [A-244 V ] soient semblables. Soit les sections AB et rL1, leurs axes AK et leurs diamètres transverses AIl et Séparons des deux axes et que le rapport de AK à AIl soit égal au rapport les segments AK et à Partageons AK d'une manière quelconque aux points Z et de et partageons en un même nombre de parties que AK, et selon les mêmes rapports, aux points M et E. Menons des points K, e, Z, M, E, 0 les perpendiculaires BK, eH, ZE, 0L1, NE, MA aux deux axes. Puisque les deux figures des deux sections sont semblables, le rapport du carré de BK au rectangle obtenu du produit de IlK par KA est égal au rapport du carré cela se montre à de L10 au rectangle obtenu du produit de XO par partir de la proposition 21 du livre J. Mais le rapport du rectangle IlK par KA au carré obtenu de KA est égal au rapport du rectangle obtenu du

ro, ro rx.

ro,

xr.

e

ro

or;

119

J

J

\

)

.

4.?

\~ .~.. 0·\ilJ\ ~~.c' t ,·Wb \ .\..d\ •. la..bi.c' I~ ~J 0 J 0 ) 0 ~

t..r" 0 1;-Hl.-\

't ~:3'l L.,..,.~J ;) ~ y

\ la..bi

l...AJ ,~L.:...:....o / \ ..+~ .. &

5

~J 't ~ 3\ ~ ~\ :r ~J ~ 3 J \ 0~~1 ~\y1iJ

~3\~J"3~J~t~~J IJ~ ~3\~ r~~ ~~J,3\ iWi.Ff t ~~J ,1.j~~ 3'Y 4b ~\ ~ ;;~i iY' j 1. -:3 .hA:l \.)-4 (~J "iY' JÀ11

t r

~jA~0~'0~~~1~0~"~iY'0 ;)tojr1. J~ ~ ~jA ~ G' ~ SU y ~ :r 0~ ~lJ\ ~\ J~ OS y :r 15' ~\:r ~ dJ~J !~ t ~ t 3 y..rè:r 0~ ~lJ\ ~1 ~ G' \.)-4 0~ ~lJ\ tI.rI- l J~ G' ~ OS J ~ ~J "ï ~w.\

L -:; [~] ~ L j :j L ~ / [r] tl:W : ~ 9 - [r ,~] ~\ : ~\ 7 - [r] &i :~ 5 [r] ~ ~ :~~ ~ 0~ 11- [r]~~ :0~~ / [r ,~] 0 ~ :~ 0 10 - [r] J t :[3 / [r] ~ t J t ~ ~ :~ t ~ t J ~~ ~ 0~ 12 - [r] ~b : ~ / '[r] ~\ ~\ :~\ / [~] ~~\ ~ ~J ,[~]

~

10

120

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

produit de XO par or au carré de or; le rapport du carré de BK au carré de KA est donc égal au rapport du carré de LlO au carré de or. Le rapport de BK à KA est donc égal au rapport de LlO à or et le rapport de Bç à KA est égal au rapport de Lly à or. D'autre part, le rapport de lIA à AK est égal au rapport de xr à ro et le rapport de KA à AB est égal au rapport de or à rs ; le rapport de AlI à Ae est donc égal au rapport de xr [M-103 f ] à rs. À partir de cela on montre, comme on l'a montré précédemment, que le rapport de HP à eA est égal au rapport de NT à sr et que le rapport de El à ZA est égal au rapport de Ar à Mr. Le rapport des perpendiculaires Bç, HP, El à ce qui se sépare de l'axe, c'est-à-dire AK, AB, AZ, est égal au rapport des perpendiculaires Lly, NT, Ar à ce qui se sépare de l'axe, c'est-à-dire or, sr, Mr; et les rapports des parties de AK, qui est l'axe de AB, qui sont séparées par les perpendiculaires, aux parties de ro, qui est l'axe de r Ll, qui sont séparées par les perpendiculaires, sont des rapports égaux. La section AB est donc semblable à la section rLl. B

H

E L\

TI

K

ç

N A

X

e

z

A

0

Y P

M

......

T

r

l'

1

Fig. 12.2

D'autre part, nous posons [A-245 f ] la section AB semblable à la section rLl. <Je dis que les figures des deux sections sont semblables>. Étant donné que les deux sections sont semblables, nous menons dans la section AB des perpendiculaires quelconques, çB, HP, El, à l'axe; et dans la section rLlles perpendiculaires Lly, NT, Ar<à l'axe>, telles que les rapports de ces perpendiculaires à ce qu'elles séparent des deux axes soient des rapports égaux, et de même pour les rapports de ce qui est séparé de l'un des deux axes à ce qui est séparé de l'autre. Le rapport [B-125 f ] de BK à AK

121

t

liJA ~ .~ t <:!r J~ ~ t ~ J Y~ iJ-o 0~ ,:?jJ\ r;-h-J\ D' J~ s y ~ .~ t <:!JA J~ ~ <:!.r' ~ D' <:!JA J~ S y

.~ tJ~t ~~D' J~-rY~ 0~J'~ tJ~ ~~ J~ D' ~J t ~ J~ ~ J ~ Sl J~ \J ~ 0~ ,~IJ

r\of-

/

r .Ù"'~ J~ ~ J ~Ll J~ J \ ~ 'Ù"'~ J~~ t ~Ll J~ ü 0 ~n:: ~~) ~ 01,~T ~ LoS ,~~ 4.r0.1.~~.j

5

r

-r y

;;~I ~ .~ i J~ -:., J ~ïj J~ ':? ~ 01J ,~ ù"" t ~ ;;~I ~ ,jlLl31 ':tJ ,~\ iJ-o ~ ~ J~ ':? 0) " ------rU \ ~J'~ r ~ ~ ~ t ':tJ ,~\ ~ ~ L, Jt ~ J ü 0 y:. ,:?jJ\ 't ~ i WI J~ ,;;~~\ ~.;JI 'Y \ ('+--' Y' ,:?jJ\ ,Sl ~ ~ Y 1~ '~JL....:..o ~ ,;;~~I ~ .;JI, ~ ~ (*'"" 0

r

10

. ~~ y

(.

1)

J I-------,+..--,b---+--+--j- - - - - 1 \ 0 I - - - - - +-r...)-"--+--+--i- - - 1 ~

t

~

J-"i.o-\

'-"" Ja...il!>

• lé' :. '\ :,\ : ~ ~

~

)

~ ~..:> ~ I~A

·

:.

~ ...hi /

~ ~.

c-

\_~ bu, ~\~

~"

.. .;

·<0~~

~

L.,

;;~I

~J ,-:" J ü

Y 1~

t

.j (~ b}J ,~L.:...:.o 0~\ 0~ ~}J ~ :.4CI ~~ ~ .jJ '':? 0) r Y d:; ~ ~I

0 ~ ~~J ~~J~ ~ ~\ ~ ~ L,

r\~O-..,., S Y

/

Jt o~'1\ ok ~

~ .~'11 ~I 4.r ~ Lo J~~\

J.>.I 4.r ~ Lo

3 - [r) ~ :(JJ\JI)S y 2 - [y) ~b :~ t .. o~ 1-2- [r ,y) J t :t J 1 / [y) ~b: t ~ .. o ~iJ 4 - [r) O)~ :(~~I) ~ / [y) ~ 0~t :(JJ\JI) Jt üJG 0 t ~o~i~:~r"o ~9-7 - [r)~:~7 - [r)~:~J ~I ~~ L,Jt ~()) (~yo~i ~ ~ r~4.r~ t.JAJ ~I ~ ~ l, / [r 'y ,I].JAJ :~J / [r ,1] ~:~ / [r]» :) ( 8 - [y] jlLl3\.JAJ r LJi Jt 11-10 - [r 'y ,1] ~J :~J9 - [r] () :t~ / [r ,1] ~:~ / [r ,y) ~ y :ç-~ 16 - [r)0~: ~~ 15 - [r) ~:~ Il - [r) o)~ :o~\JI [r) ~b : ~i 18 - [r) ( ) : t ~

~

"0

o

15

122

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

est donc égal au rapport de L10 à or, le rapport de KA à Ae est égal au rapport de or à rs, le rapport de Ae à eH est égal au rapport de rs à NS, le rapport de BK à eH est alors égal au rapport de L10 à NS. Le rapport du carré de KB au carré de He est donc égal au rapport du carré de L10 au carré de NE. C'est pourquoi le rapport du rectangle obtenu du produit de IlK par KA au rectangle obtenu du produit de Ile par eA est égal au rapport du rectangle obtenu du produit de XO par or au rectangle obtenu du produit de XE par Er, en raison de ce qu'on a montré dans la proposition 21 du livre 1. Mais puisque le rapport de KA à Ae est égal au rapport de or à rE, [et que le rapport de KA à AIl est égal au rapport de or à rX]14, le rapport de KIl à Ile est égal au rapport de OX à XE et le rapport de Ile à Ke est égal au rapport de [A-245 V ] XE à SO. Mais le rapport de Ke à eA est égal au rapport de OS à sr; le rapport de Ile à eA est donc égal au rapport de XS à sr. Le rapport du rectangle obtenu du produit de Ile par eA au carré de eA est donc égal au rapport du rectangle obtenu du produit de XE par Er au carré de Er. Mais le rapport du carré de Ae au carré de eH est égal au rapport du carré de rs au carré de NE. Le rapport du rectangle obtenu du produit de rre par eA au carré de eH est donc égal au rapport du rectangle obtenu du produit de XE par sr au carré de EN. Mais le rapport du rectangle obtenu du produit de rre par eA au carré de eH est égal au rapport de rrA au côté droit, comme on l'a montré dans la proposition 21 du livre I. Le rapport du rectangle obtenu du produit de XE par sr au carré de EN est égal au rapport de xr au côté droit, d'après ce qu'on a montré également dans la proposition 21 du livre l, et les deux figures construites sur rrA et Xrsont semblables. Ce qu'il fallait démontrer.

- 13 - Si les figures des sections hyperboliques ou elliptiques construites sur des diamètres autres que les axes sont semblables, et si les droites ordonnées qui tombent sur ces diamètres entourent avec ces diamètres des angles égaux, alors les sections sont semblables.

14

Par hypothèse. Voir Note complémentaire [10].

123

'0"~ Ji~ t ~~JiU ~J ,~ t Ji ~ ~Sl Ji ~ L .k Ji s y ~ '0" 0 Ji 0" ~ ~ L .k Ji ~ ~J ~j4 Ji ~ ~j4 ~ .k L~j4 Ji y s ~j4 ~J 00" 0 Ji ~

Jiu ~ s J y~ ~ 0~ ~jJI &--lI ~ dljJ 0~J 00" 0 ~ 0~ ~jJI cUI ~ ~ -i .k J y ~ ~ 0~ ~jJI cUI ~ ,~ 0" J 0" Jy~ ~ 0~ ~jJI cUI Ji~ t J t J y~ ~ ~ "q 13' ~ .~ .\ ~lli\· 15 \~:.'\ ...... .ü ~ \... \ · <->". U J 4.J4 ~ ~ ~ ~

J;-Ho-\

~ 0~ ,J ~ Ji ~ t ~ J 1 Jiu ~~ '0" ~ Ji ~ t ~ D Ji.k J ~ 0~J 0" J JiJ t ~ .k J Ji J :5' ~ o~ 0" ~10" t ~ ~ ~lD ~J 0t 0" Ji 0" J /

5

10

0~~jJI ~I ~ 0~J ,~ 0" Jl0"J ~~ Ji.kJ y~ ~ 0~ ~jJI cUI ~ ~ ~j4 Ji IL -i.k Jy~ ~

~ L.k~.r-o Ji ~~..ro ~J o~ 0" ~j-A Ji ~ 0" ~ 0" J

-i.k J y~ ~ 0~ ~jJI cUI ~ 00" 0 ~j4 Ji 0" ~ ~j4 ~ 0" ~ 0" J y ~ ~ 0~ ~jJI cUI 4--:S L .k ~j-A Ji ~ Ji ~ ~.k J y~ ~ 0~ ~l.ll cUI ~J 00 0" ~j-A Ji ZJllil ~ 15 ~I -i ~ w ,~l.4j1 ~I Ji 1J ~ L .k ~j4 o 0"~.r-o Ji ~ 0" ~ 0" J y~ ~ 0~ ~l.ll cUI ~J oï . \ ~W\·4.J4 15 ~ \~:. '\ · ~\. .. 1~1.U, Y\....Aj\ ~\ q ~ .. ~ ~ .. ~ ~ ~ c-- ($" • (j · o~ b~) L., dl~J! :;~li:.o ~ J 1 J ~ 0~ 01.illl 0~l; )

:~J

... tJ6-[r]~:Y:]4-[I]~4JI~ :(~WI)~3-[Y]0~:~02 ~)~I~I:J~ ... ~J /[I]~ltJ\~ ~i :~~Jt 8 -[I]~ltJ\~ ~i :~ ... n / [r ,y] ~t:f~ 10 - [r ,y] 9 - [r] Ç-\ :J 1/ [10] ~ ~ 13 - [y] (1, :(~WI) 11: 12 - [y] LI:\1: Il - [r] LI:\1: / [y] ~b .[r] ~ : ~ J 18 - [r] ~ : 0 ~ 16 - [\] ~b : &J\ 15 - [y] 0 ~ : (~W\)

t-3 :3-t

15

20

124

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

Soit deux hyperboles ou deux ellipses de centres Z et 1 et de diamètres rA et EM Que les angles [B-125 que ces diamètres entourent avec leurs droites ordonnées soient égaux et que les deux figures construites sur rA et EM soient semblables. Je dis que les deux sections sont semblables. V

]

H

B

z A

Fig. 13.1

x K

M

Fig. 13.2

Démonstration : Menons des points r et E deux droites tangentes aux sections, re et EO. Ces deux droites sont parallèles aux droites ordonnées qui tombent sur ces deux diamètres; c'est pourquoi les angles qui sont aux points r et E sur les diamètres rA et EM sont égaux. Soit les deux axes des deux hyperboles [M-1Ü3 V ] AB et L1K; l'angle erz est alors égal à l'angle OEI car [A-246r] les droites tangentes sont parallèles aux droites ordonnées. Menons des points A et L1 des perpendiculaires aux axes, AH et L1X; elles

125

J

--

;-

~ ~ ~lt ~ ~ ~ ~ ~ (~b\ :clJ~ 0~~

0:!.1A ~ ~ ~\ ~.r=JI

1,# 0yj\,ro 0~\ 0\,4..9 ·t-~ 1, ~

~ J ~ ~~ ~ ~I ~ ~ ~ ~ ~\ yIJ)\ dJ~ .l;-\.r-Ç'

5

0P !0:!}üJ1

j ~ 1, ~J\j 0~ ,:S-:; y \ / 0:!~\)\ ~\ ~ cHJ .~JL...:... ;-

--

J-~i\-\ .~~\ 1,# ~j\~ ~W\ 1,#\ / 0'1,~ ~

t

~J\) ~J~

0\~ ,~ ~

(l ~ ~\ ~ 0:!~~ -;

\ ~ iJ.o (~J

~ :~ 7 -

0\~J: 0\4! 6 -

[r] 0~~ :~~ 3 ·[r] ~~ :~J\) 9 - [r]

[r]

[r ,y] ~lA~ :dL~ 0lA~

5 -

10

126

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

rencontrent les diamètres rA et BM. Construisons deux cercles, ZH et XI, circonscrits aux triangles HAZ et L1XI. T y

-----o---v'------U-------"o~---___oB

M

A

Fig. 13.3

Fig. 13.4

Faisons passer par les points A et L1 deux droites çAT et 'l'L1y parallèles aux deux droites tangentes. Les deux figures construites sur rA et BM sont semblables ; les deux droites AH et L1X sont tangentes aux deux sections ; les deux droites Aç et L1'l' sont deux droites ordonnées sur les diamètres; le rapport du rectangle Zç par çH au carré de Aç est donc égal au rapport du rectangle Ir par 'l'X au ca~é de L1'l', car chacun de ces deux rapports est égal au rapport du diamètre transverse au côté droit associé à chacun des diamètres, comme on l'a montré dans la proposition 37 du livre 1. Mais le rectangle Zç par çH est égal au rectangle Tç par çA et le rectangle Ir par 'l'X est égal au rectangle Y'l' par 'l'L1. Le rapport du rectangle obtenu du produit de Tç par çA au carré de çA est donc égal au rapport du rectangle obtenu du produit de Y'l' par 'l'L1 au carré de 'l'L1. C'est pourquoi le rapport de Tç à çA est égal au rapport de Y'l' à 'l'L1. Les deux angles qui sont aux points et 'l' sont égaux et ne sont pas droits, car les diamètres rA et BM ne sont pas des axes. Mais les diamètres des cercles sont les droites HZ et XI; les angles qui sont aux points Z et l sont donc égaux, d'après ce qu'on a montré dans les lemmes qui précèdent ce traité l5 . Or les deux angles et IBO sont eux aussi [B-126 f ] égaux et les deux triangles et IBO sont

ç

zre

15

Voir supra, p. 34.

zre

127

rj

~ ,~J.)j \ r~U: 0~ ~Jib ~j.~ J~ ~~ . <.j (,

ü

.r ~ 0.:'""W\ ~ ~j\J-O ~ -; ï ~ ~ ~j

\

J .) "2 lb.;..j '0~~ ~ J ~ ~ 0~ 01.ill\ 0~\., · ~ ~ .0-:!~\ ~ ~~ lb.;.. ~ ~

t .) ~

u!Z \ lb.;....,,~ 0L,lt

,~ .) lj.J-4 J~ J ~ '-Î ~ ~ ~ ~ .r \ljro J~

r .r '-Î ~ j

~L.4J\ ~\ J~ ~4J.\ ~\ ~ ~\ ~lA 0A ;;~\j

J5' 0~

y ~\ J ~ W' '0-:!~\ 0A ~Ij jsJ eu}L- J~ '-Î ~ ~ ~j ,\.r J.r ü eu/ . - r.r J ~~ \.r ~ .r ü y ~ 0A 0~ ~lJ\ eu\ ~ ,.) ~ '-Î ~ t lj.J-4 J~ .) ~ ~ ~ t y ~ 0A 0~ ~ll\ &-JI ~ \ .r ljr 0l:::!j\YI.,,·.) ~ J~ ~ t ~ \.r J~.r ü ~ dJll 0~j·.) ~ ---.r j

\'

o

~j' ï ~W.\ 0A

J ->_

;-

4.S. L.: • 'J .. ~ 0

,~ _.. ~~_ ~.. J 0-l:.J~-' L.:.o

r

~

te

..

t,,::-,

~ ~

~

..

--

1, ~ j ~.., 0~",L.:.o

..

- - _-

t

0

;:;;-

-l:U\

..

<.j 1, ~ j ~ / 0l:U\ ~\ 0~"'\Y\'"

~ : Ü 1~ 3 - [~] ~b : ~ J L j ~ 2-1 - [r ,~] 1L j : j 1L / [r] ~ : ~ 1 :~ t Il - [r ,~] 0YK..:JU: 0YK..:Jlj 4 - [1] ~I I~
[r] ~ :~ 13 - [r] ~ : ~ ~ / [r ,~] t ~ [r] L ~ :t ~ 16 - [~] «~ ~~L.JI ~I


·[r ,~]

~ :~j

/

0

0

10

0

~ 0l:U\ 0l:::!j\yIJ ,~ J j lb.;.. ~ ~Ji\..J\ \~j'~ W . \-JL:s::J\ \.lA ~~ \;: .. q üL,..\.A1\ L)~ . j - ~ .. 4.SlU , 0- L:J...., ~ ~.. -:)~ .. L::-, ..

J-''''-Y

5

15

128

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

semblables. Menons des points r et E deux perpendiculaires rN et EE aux deux axes. On a alors le rapport du rectangle obtenu du produit de ZN par Ne au carré de rN égal au rapport du rectangle obtenu du produit de lE par EO au carré de EE, d'après ce qu'on a montré dans les lemmes qui précèdent ce traité. Mais le rapport [A-246 V ] du rectangle ZN par Ne au carré de rN est égal au rapport du diamètre transverse, qui est AB, au côté droit, comme on l'a montré dans la proposition 37 du livre 1. De même, le rapport du rectangle lE par EO au carré de EE est égal au rapport du diamètre transverse KL1 au côté droit. Les rapports des deux axes AB et KL1 à leurs côtés droits sont donc égaux et les deux figures construites dans ces deux sections sur leurs axes sont semblables. Les deux sections sont par conséquent semblables, comme on l'a montré dans la proposition précédente. Il est également clair que ceci s'ensuit nécessairement dans les deux ellipses, si les deux axes BA et KL1 sont ou bien tous les deux des grands axes, ou bien tous les deux des petits axes, car le rapport de BA à son côté droit, dans les deux cas, est égal au rapport de KL1 à son côté droit. Et l'assertion est la même pour les grands axes et les petits axes l6 • Ce qu'il fallait démontrer.

- 14 - Une parabole n'est semblable ni à une ellipse, ni à une hyperbole. Soit une parabole AB, son axe AHI7 • K

z B

M

r

e

A

Ao---_E-o-----Z)-H

N

o

Fig. 14.1

16

17

Voir Notes complémentaires [11], [12]. Voir Note complémentaire [13].

Fig. 14.2

_

~

1

0\

~

w.,.....

~

_:

=-~ ............ ----.....

1

0\

~

'tUt

f.

~

[r

f

1

f1

00·

1

:

~ c·

·C

""'--"

~

~

t;J

~

~

s·

~

1::.:

~

-

~ É::

~

J:

T Cs..

-(.

..........

E .. E .

Ut

....--

.~.

~r'~

:.

::-~ <[

·s.

f~

E ~"-..... 1 ;::

:\, t:-

"-.....

:

••

1> ~t, ~~ ri_1 ::- t=

~IJ· ~['1.. -"-..... ·C f ~.:L ~l:: ~.c: ff

't:- ::- .... T [

'~I

-(:!.....~ ..........

~~~:~

-">........ ..

t~F,r-~ .~ ~ ~·C

~:~~

\, ff '. . -.. c..

T., -( ~ ,t' ~

~

..

:"-..... -~

~~1:

~

~:

ft,~r.l/\

..

0'

f{

C·

'(i,

-

ri

C>

C-

t-

.~

.,

-( \.,.

V

'-"

~ ~

-

~

§:

f

c. ~-

~I

t

~1·

'Ç.

c:

1-

1

li,"

-

t=

cr ~.

1 ,~.

(~

- ~ ~f,~ (, . . ~-I <{ ~- i , t.: -( 1- ~ ~

bc.

,<{

"",~0lt~

r -( l

c- c- ~ 'Ç. E_, cf -[ §: -t g -( ~'r-~ ç!= - ~ - -1 _ _c-

c ~~

•

Ji Eî

t1 -

c- _ ~- b r~' ~" -- - "_ E-: ~

h

_~

f -[

~~::J .l~ c-

~

~

·ft- ~~ \~~ -clf f-~ 't~'---i~r1-~ 11~-1-~J~~ ~c- tt l-

1

~t~

-

r-(

~-

C>

-

:~.

- <{ l ,. ~

t!.

1

-

:.

:

Ut

~

1

1

_

_

•

-( 1 _

0

~

t

_

t

~.

r<'

1

1

Vl.

E!~.

""'

(>

~

1

f

C·

.~

c>

c-I t~

<{(>0l 1

--

C·

:.

'Ç.

1

\0

N

.......

t!

-(

~-I ~ - [~: ~- \ i::.: a''l..· : .f~"c- 1> i:J~ q:,- ~ l' - -c ~, -~

c--~ 'Ç.

~ ~.

-L~ ~ -

1-

Eî

f{ ,~ t't ~

G

~ - ~ ~'~~I ,~-E -~c~ 1; .t l' ~= 'r'[, ~\..; ''l..' ·c li r::J ft~ t ,<{ L:, c- ~ la 'i;~

f~

'~~~. B

~

E

~:r è- _ ::J~' -~ Ji- ct- ~ -~ i t l' ~, ~ 'f t ' c- t.: '~ ~ ft- c-''l..- -f,. ~~ 1; f!- t"~ 1>~ ~ ~ -i: (;- ,~, ct- -: " 1= . ct· ~IJ· ~,'~!L l ~ -C- ~I -c (, 't -:0ct- Cr -L~ ~~ §: Ji, ' ~ - r-

t

liJ 1,

.

J.

~

t~ ~

"..J

F'

.-(:

I

tr:-

130

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques Ô

r

--
8-n-----o-A.

l}----_ _

=:

-o M

0

Fig. 14.3

Si c'est possible, que cette section soit semblable à l' hyperbole ou à l'ellipse, TL1, que l'axe de rL1 soit la droite TA, que [A-247 f ] le côté de la figure de la section, qui est le diamètre transverse, soit la droite MT. Soit les perpendiculaires BI, ZN, L1E', KG, dans les sections. Que leurs rapports à ce qu'elles séparent des axes dans l'une des sections soient égaux aux rapports à ce qu'elles séparent de l'axe dans l'autre section; et que les rapports des segments qui se séparent de l'un des axes aux segments qui se séparent des autres axes soient égaux. Le rapport de ZH à HA est alors égal au rapport de [M-I04 f ] KA à AT, le rapport de HA à AB est égal au rapport de AT à Te et le rapport de AB à BB est égal au rapport de re à eL1. Le rapport de ZH à BB est donc égal au rapport de KA à L1e, et le rapport du carré de ZH au carré de BB est égal au rapport du carré de KA au carré de L1e. Mais le rapport du carré de ZH au carré de BB est égal au rapport de HA à AB, comme on l'a montré dans la proposition 20 du livre 1. Or le rapport de HA à AB est égal au rapport de AT à Te ; le rapport du carré de KA au carré de L1e est donc égal au rapport de AT à Te et est égal au rapport du rectangle obtenu du produit de MA par AT au rectangle obtenu du produit de Me par eT, comme on l'a montré dans la proposition 21 du livre 1. Le rapport de Ar à re est donc égal au rapport du rectangle obtenu du produit de MA par Ar au rectangle obtenu du produit de Me par eT, et la droite Me est donc égale à la droite MA ; ce qui est absurde. La parabole n'est semblable à aucune des autres sections. Ce qu'il fallait démontrer. [B126 V ]

131

s

r:~OJ ~o~~o-'or

°--0

~

t

~ ,:?lJ\ ~~\} ~\)\ F~ 4-~. ~'" FI \~ cP ,~i 0~ r

HV-\

y:.,:?lJ\,~\~~ /~J,J~.h...;.. ~~~~J'~~ I.Y'

~ 0 j ':? ~ 4-:k t~\ -i o~i ~J ,~ i..b> ~4J.\ ~I

~JL- t~\ ~i -i i~\ 0-0 J..a.-A11o Jt ~ ~J't:s r

~

_

~

Jt rlolo-r

F\

--l>\ ~ ~ ~\ ~\ ~J ~y->.':J\ ~ ~ ~ ~ ~ 5 -( j ~ · ~JL:..o y->. ~\ i4--J\ 0-0 J-1.s ~\ ~I i4--J\ ,1.~~t~J~~~tï[~J,~J~tD /~ï[

Jt

/

D

~ ~(> Jt ( j ~ .~1. Jt 1.~ ~ ~ Jt ~~J .1. ~ Cj.ro Jt D Cjj4 ~ ~ Cjj4 Jt ( j Cjj4 ~J ,1. ~ Jt "X ~\

(>

(>

10

Jr ~~ 0-0 0~ ,:?lJ\ ~\ ~J 1. ~ Jt ~ J ~ ~ Cjj4
,~ 1. ~1. i ~~ ~ 0~ ,:?lJ\ ~\ Jt~ J ~ ,:?lJ\ ~\ ~ 1. ~ Jt ~ J ~ 0P ·ï m..A.\.1 0-0 15 ~I

~ 1. i ~~ 0-0 0~ ,:?lJ\ ~\ \~~ ..

la:"

Jt ~ J ~ ~ ~~ 0-0 0~

~ ':J ti~\ ~\,j.ul>. \k ~J

c--

~

pt

y

J~ 1,

,~~

pt

/ ~,

~ .~ 1,

/.~ 0\ b~)\ L, ~~J ~~':J\ t~\ ~

:~ 3 - [13]~) ~I ~I ~[r ,y] ~ (~ ... :. ~b Ji

C[r] ~ljJ) ~Iy :~.:ul ... ~~ 1 ~I:~ ... ..\.>.i ~ 5-4 - [r] ~:~ / [r] t:f$ 4 - [1] F I :t~1 / [r ,1] ~b : C~WI) r4-J I 6 - [r] ~J : ~J 5 - [r] ~ ~J~ : ~ ~JL-.o / [y] ~ 13-12 -

[1] ~u :~I

10 -

[1] ~4JI ~ ~i:~

... ~J 9 - [r ,y] ~I

l,r~~:~1,~l,ry~~~~13- [r,y]~JJr~~:~J··· ~~

'[r'Y]

~1,:Jr16-[r] ~~:y~~~~15-[r]~1,

15

132

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

-15 - Une hyperbole n'est pas semblable à une ellipse. Soit une hyperbole AB, une ellipse TL1 et leurs axes AK et TZ. Soit les deux diamètres transverses [A-247 V] AE et TZ. Si ces deux sections étaient semblables, alors il y aurait dans les deux sections certaines perpendiculaires comme les perpendiculaires BN, es, L10 et AlI telles que leurs rapports à ce qu'elles séparent des axes dans les deux sections à la fois soient des rapports égaux <et que les rapports des segments séparés sur l'un des axes aux segments séparés sur l'autre axe soient égaux>18. e A

B

E

A

H

K

rv-------{::>---Q----------Q z

M

o N

Fig. 15.1

TI

Fig. 15.2

Nous montrons, comme nous l'avons montré dans la proposition précédente, que le rapport du carré de BK au carré de BH est égal au rapport du carré de AM au carré de L1I, est égal au rapport du rectangle obtenu du produit de EK par KA au rectangle obtenu du produit de EH par HA et est égal au rapport du rectangle obtenu du produit de ZM par MT au rectangle obtenu du produit de ZI par TI. Le rapport du rectangle obtenu du produit de EK par KA au rectangle obtenu du produit de EH par HA est donc égal au rapport du rectangle obtenu du produit de ZM par MT au rectangle obtenu du produit de ZI par IT.

18 Voir Note complémentaire [14].

Jt TI l!.ro ~ 0\, \k J.:.i 'f.:J\ ~\ ~ ~ W ,~ :09 0A 0~ 'f.:J\ ~\ ~J 'f ~ ljfO Jt i J lj.JA ~ L y lj.JA ~J TC~ L ~ Y~ 0A 0~ 'f.:J\ ~\ Jt G' ~r; Y~ ~ 0~ 'fl.l\ ~\ Jt ~ i ~ i j y ~ 0A 0~ 'f.:J\ ~I Jt G' ~ ~ y~ 0A 0~ 'f.:J\ ~\ ~ .'f ~ ~ 'f j y~ 0A 0~ 'f.:J\ ~\ ~

TC ~ L ~ y ~ 0A 0~ 'f.:J\ ~I

· ~ 'f ~ 'f j y ~ 0A 0~ 'f.:J\ ~\

~

/ [y]

0tJ: 0~ 4 -

r j:rJ 9 -

[r] j

~: j~ /

~i j y~

[y] ~b: 0\~ ... 0\~\ / [r ,y] r ~: j~ 3 [r] ~: ~ 5 - [r] t~)} [y] ~ J ~ :J J 12 - [r ,y] rJ :r j Il - [r] ~ : ~\ / [y] .[y] ~ J : ~ j / [y] rJ : r j 14 -

[14]~) ~\ ~\ 7 -

[r ,y] ~ ~ :~ ~ / [y] ~ J : ~ j

Jt ~ i

10

134

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

S'il en était ainsi et que le rapport de KA à AH était égal au rapport de MT à TI, le rapport de KE à EH serait alors égal au rapport de MZ à ZI ; ce qui est absurde. La section AB n'est donc pas semblable à la section Tf1. Ce qu'il fallait démontrer.

- 16 - Deux sections opposées sont égales et semblables. Soit deux sections opposées, A et B, leur axe est AB. Je dis que les deux sections A, B sont égales et semblables.

B

A

Fig. 16

Démonstration : Les deux côtés droits des deux sections A et B sont égaux, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 14 du livre 1. Mais la droite AB est un côté commun [A-248 f ] aux deux figures; les deux figures construites sur l'axe des deux sections A et B sont donc semblables et égales. La section A est par conséquent semblable à la section B et lui est égale, comme on l'a montré dans la proposition 2 de ce livre 19 • Ce qu'il fallait démontrer. - 17 - Si on a des sections semblables et si on mène des droites tangentes à celles-ci qui aboutissent à leurs axes, [M-104 V] telles qu'elles entourent avec les axes des angles égaux; si on mène à partir des points de contact les diamètres des sections; si on marque sur chacun de ces diamètres un point tel que les rapports des droites entre ces points marqués et les sommets de ces diamètres aux droites tangentes soient des rapports

19

Voir Note complémentaire [15].

135

~ü, 4J LI,( 1.# ~..r>iJ ~l.:.:.o t# wl5' \~l- .}.!~ 0A ~.r>\J '~JL....:...o l:\.,~ i4--J\ t: Ul>\J /' 4-0'-+- Jl ~ wLSJ ~U4:l ~ ~ ~ ~ .:.......wJ ' t..,..bAlJ ).b!i -r L..-:l1 1.#\ Jl ).h.i\ll d.l:i -rJj) ~J c.........w ~I ..h.4:.JI ~ ~\ 1.#1 y

.\;-\.\.-1'

0~~ : 0~~ 0~J~ 4 -

y

[y] ~ J : ~ j

[r] r j [y] ~ : j r 2 - [1] ~~ : I~~ 1 [r 'Y]0l:J~ :~ 10 - [1] ~:~ 9 - [r]0~~ [y] ~I 0~~ :~I
[r]

/

~: ~ 5 -

15

136

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

égaux ; et si des droites parallèles aux droites tangentes, qui coupent des segments des sections, passent par les points marqués, alors ces segments sont semblables et semblablement placés20 • Si des segments sont semblables et semblablement placés, alors les rapports de leurs diamètres aux droites tangentes sont des rapports égaux et les angles entourés par les droites tangentes et les axes sont égaux. Que les sections semblables soient d'abord deux sections paraboliques, AB et KA ; que leurs axes soient AZ et KO ; que les deux droites qui leur sont tangentes soient rz et MO et que les deux angles AZr et MOK soient égaux. Faisons passer par les points r et M les deux diamètres des deux sections rE et MS; [B-127 f ] que le rapport de Er à rz soit égal au rapport de MS à MO. Faisons passer par les points E et S les deux droites L1B et NA parallèles aux droites rz et MO. Je dis que les deux segments [A-248 V] BrL1 et AMN sont semblables et semblablement placés. p

H

r E

o

Fig. 17.1

Fig. 17.2

Démonstration : Menons des points A et K les perpendiculaires AH et KX aux deux axes et prolongeons les deux diamètres Er et MS jusqu'à ce qu'ils les rencontrent aux points H et X. Posons le rapport de pr au double de rz égal au rapport de er à rH et posons le rapport de çM au double de

20

Voir Note complémentaire [16].

137

)

t

j

~ ~\ ~ 0-:.~~ --:gï ~ Ir (~bi :clJ.~ 0~~ ~J '0 ( ~ ~ l..A~ i> iY' i~ 0 ':?~ (~J '0 OS (l

J~ i.r~~J'(~~~~1.~j~~J~~)~ 15 ~J 0l{J 4 - [r] t~1

:FI 2 -

[16] çJ) ~I ~I 3-1 - [r] ~ :~I 1 :w~ 8 - [r ,y] ~~ [1] ~:~ 5 - [r ,y] ~~ ~J ~JJ: ~~ 12-[1]~~:~10-[r]~~:~'" ~J~yU 10-9-[r'Y] 4~ ~ j :~) 15 - [r ,y] r ~ :~ r 14 - [y] 4.,jlA~ :~~ 0lA~ 13 - [1] ~~ :0~~

'[r] J:. ~ ~~J'~:~

/

[r]

138

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

MO égal au rapport de IIM à MX. PT et çM sont donc les deux côtés droits relatifs aux diamètres TE et ME. On a donc le carré de i1E égal au rectangle obtenu du produit de PT par TE, comme on l'a montré dans la proposition 49 du livre 1. Et de même on a le carré de NE égal au rectangle obtenu du produit de çM par ME. Mais les deux angles KOM et AZT sont égaux et égaux aux deux angles XMO et HTe, car les deux droites XM et TH sont parallèles aux deux droites OK et ZA, comme on l'a montré dans la proposition 46 du livre 1. Les angles XMO et HTZ sont donc égaux, les angles qui

sont aux points H et X sont égaux et les angles qui sont e et II sont égaux; les triangles eTH et XIIM sont donc semblables et le rapport de eT à TH est égal au rapport de IIM à MX; le rapport de PT à TZ est donc égal au rapport de çM à MO. Or on a posé le rapport de TZ à TE égal au rapport de MO à ME. Le rapport de PT à TE est donc égal au rapport de çM à ME. On montre à partir de cela, comme nous l'avons montré dans la proposition Il de ce livre, qu'à partir de TE sont issues des droites parallèles à la droite i1B, et à partir de la droite ME des droites parallèles à la droite AN, et telles que les rapports de ces droites parallèles aux deux bases L1B, NA, à ce qu'elles séparent des deux diamètres du côté des points T et M, qui sont les sommets des deux segments, sont des rapports égaux ; et que les rapports de ce qui se sépare de l'un des diamètres à ce qui se sépare de l'autre diamètre sont aussi des rapports égaux. Or les angles entourés par les droites ordonnées qui sont parallèles à ces deux bases et les diamètres dans les deux segments à la fois, sont égaux, car les angles qui sont aux points Tet M [A-249 r] sont égaux; alors le segment BTi1 est semblable au segment AMN et la position de celui-ci est semblable à la position de celui-là. De même, posons le segment i1TB de l'une des sections semblable au segment NMA de l'autre section.

139

,:?~~\j~ i~J ~) :'>H!3i JiiJ~ ti~ ~ ~ ) y ~ 0-0 :.>~ ,:?.:J\ ~ ~JL- ~ ljYO :.>h ' Ù'" i 0 ~ Ù'" :.> Cjj-4 :.> ~ dJ l...5'J · ï ~ l..i.l. 1 0-0 .ho ~ 1 ~ ~ LJ ,0 ~ ~ j \ ~ l:::!JljJ .Ù'" i ~ i ~ y~ 0-0:'>~ ,:?.:J\ ~ ~JL..o --L ~ i 3 ~ :.>'1 ,.1 ~ L t i 3 0 J \) :.>l::!JL-J :.>l::!JL..:.., t i 3 l:::!JI.:J. ï ~w.\ 0-0 y ~\ ~ ~ loS ,ïj ~ :.>4jly ':.>l::!JL.:..o "0 L ~ ~ :.>L:lJI :.>L::JljJ\J ,:.>L::JL. K 0 j ~ L , :.> ~ L..:.:.o i J 3 L ~ .1 lili.o.! · :.> l:::!J L.:.o J .1 ~ :.> t:.U \ :.> l:::!J\)IJ ~ j~ Ji~) ~J ·3 iJiiJ~L~ Ji~.1 ~J 'Ù'" i Ji t i ~ 0 ~ Ji j ~ ~ ~ wiS ~J · t i Ji i ~ ~ ~ W ,dJ~ 0-0~. KK..! .Ù'" i Ji i ~ ~ 0 ~ Ji ~) ~ 0-OJ y ~ U ~jlJ-O .1",.6>- o~ 0-0 [..p-:! d ,~llil o~ 0-0 "Ç ~\ t.:jI."J.\ .1",.13-\ 0 ~ ~ :.>~J ' :.> J U t.:i,....o .1# Ù'" i ..b..;. W ~\ ~ ~ l.' 0:!~1 0-0 J...:W Lo U;i J :.> y ~ ~~~ ;-

st

,r.

10

Jt.

0:!~\ j.>.\ ~ ~ L, ~ :'>~J '~JL.:..o ~ ,~\ ~\)

rH",-i

5

15

~ ~ ~\ 4IJ)~ · ~J~ ~ ~i .;> ~I ~\ 0-0 ~ Lo Ji \"K lI~ ~\ ~ ~\ e ~~lAJI ~4J ~jl~1 ~.rJ\.1",.6>~ ~ y ~ .~JL..:.., / ~ ~ ~ ~\ 4 IJ)I:.>"'J '~JL.........::...

r

--

J \ :.>

.~J~~JJ:.>\J~~ ;-

.

~;-

~ ~ ~\ j.>.\ ~ y ~ ~ L..bi ~ b~ , ~\J

. .;>~I ~I 0-0 :dJ~J / [,] ~b :~lAlI 3 - [,] ~ j :~) / [,] :J~J::JH 2 - [,], ~ :, ~J 1

: :Jl::J~J 5 - [~] ~ ,~, 6 - [,] (

0

~ [~]

(

0

J

ljM

ljM : (

:ljM, ~, ~ 4 - [,] ~ :ljM:J / [,'~' 1] dJiJJ

~

,J / [, ,~ ,1] j ~

( : 1, ~ ( / [,] :Jl::J~J

8 - [,] ~b:ï / [~] «~~~:Y6.» ~~I~ ~:~I /[,'~] ~:~ Il - [, ,~] J , J :, J J / [,] (1,: (~1, / [, ,~] ~b: :Jl::J~ ... :Jl::JI)IJ

,~]

JL,: 0AJ /

[,

,~] J~: 0A / [~] (..,..;..: (~/ [~]:J~~) :~) 12 - [,] ~ j :~)

~I :~I 15 - [, '~]:J J :J:J 14 - [,] ~:~ / [,] u,# :1,# 13 - [, :~117-[~]~l.,j:t:J~".:J~J16-15-[I]~ :~/[,,~,I]

/[I]~I:~I..\,>.)/[,]~~ .):~~ .)20 - [,]~:~ 19 - [,,~,I]~I

.[,] , J j [~] :J , J :J , :J

20

140

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

Soit TE et ME leurs diamètres, BL1 et AN leurs bases, et T et Mies points de leurs sommets; que les droites TZ et MO leur soient tangentes en ces deux points. Je dis que les angles AZT et KOM sont égaux et que le rapport de ET à TZ est égal au rapport de ME à MO. Nous menons les droites que nous avons menées précédemment. Étant donné que les deux segments sont semblables, les deux angles entourés par les droites L1B et TE sont égaux aux deux angles entourés par AN et ME. Or les droites ZT et OM sont parallèles aux droites BL1 et AN, et les angles aux points T, M, E, E sont égaux. S'il en est ainsi et que les angles ZTE, OME sont obtus, alors l'angle ZTE est égal à l'angle OME et l'angle [B127 V] qui est au point Z est égal à l'angle qui est au point O. De même, le rapport de L1B à ET est égal au rapport de NA à EM en raison de la similitude des deux segments des sections ; le rapport de L1E à ET est donc égal au rapport de NE à EM. [M-I0S f ] Or le rapport de PT à L1E est égal au rapport de L1E à ET et le rapport de çM à NE [A-249 V ] est égal au rapport de EN à EM: le rapport de PT à TE est donc égal au rapport de çM à ME. Or le rapport de pr au double de TZ est égal au rapport de er à TH et le rapport de çM au double de MO est égal au rapport de IIM à MX. Mais le rapport de er à rH est égal au rapport de IIM à MX; le rapport de ZT à TP est donc égal au rapport de OM à Mç - en raison de la similitude des deux triangles TeH et IIMX. Le rapport de TZ à TE est donc égal au rapport de OM à ME. Or on avait montré que les deux angles aux points Z et o sont égaux.

- 18 - De même, nous posons les sections que nous avons mentionnées des hyperboles ou des ellipses, toutes les autres choses demeurant comme nous les avons mentionnées dans la proposition précédente. Que les deux diamètres TE et ME aboutissent aux centres des deux sections, qui sont les points l et T; que le rapport de TE à la tangente TZ soit égal au rapport de EM à MO et que les angles AZT, KOM soient égaux. Je dis que les segments L1TB et NMA sont semblables.

141

~ LQ"~=-'.J) \.::kAjJ Cl J ~ y ~l:;~IJJ '..r i 0 ~ ~\~ ~J

" -i=J\j Clt :J"';Ü! t i j ~ lh;. ~I ~lA ~ ~\ ..rL.......:JJ!i ·t i Jt ..r i ~ j ~ Jt ~ 0 ~ Clb Cll:::!JL..::.o ~ ~ j 1 Cl1J ,~w...:o Cl~\ Cll5' ~1J. ~ï 4-.-r>i ~\ 1.#1 (~J

~\ ~j\}J 0~j~ tJ ~ ~ y ~ ~

4

?

~ ~\ ~j\)\

5

l: \J)I.; ,Cl J ~ y Cll:j \~ i t ~ j lh;.J ...r i t' Cl J 4 ~ ~J\j wLS"J ,clj1{ clJ~ ClLS" ~1J '~Jl-.:.o ..r ~ ~ ~ ~ ~\

r

~J\)\J '..r.r ~ ~I) ~JL..o 0 ~ j ~J\j Cl~ '~~..r i t 0 ~ j l;-\"V-~~ ,\\j,~\ oo\\Looj \.ltL 00\\/ .. '-'" 00 j .t~ ~ ~ r o~. oj) ~ ~ ~ .,-\.0-('

Jt ~ ~J .~\ ~ ~HL.:.:J i ..r ~t J Cl ~ ~ 0 Jl y ~ ~ 0 ~t~ ~~~t~) ~J / 'i..r ~t..r Cl ~ ~ 0

.\;-H\-\

o~~t~)~'i..r~tCl..r~/..rCl~ti~~J

J!:-

( ~ ~t ~ 1. ~ j ~ Jt ~ ) ~J ...r i ~t i ~ ~ ~ ~ ~t ~ 1. i: ... 5J !0 i ~t i Ji: . •, 'S Jt i ~ ~J Cl~ !~ i ~t i t ~ ) ~ ~t ~ j ~J·0 i ~t i J ~ ~t ~ 0 ~_~tj ~ ~ ·Cl~~ 0 ~ (.k~ 'l:J:'4 · Cll:::!JL..::.o t j ~ ~ ~\ ~J\)\ Cl\ ~ L:{ JiJ'..r i

10

U JtA

rt

r

15

,~b Ji :i..d\j ~# b~~ ~\ t,,1AJ\ ~ b1J' ~!J -~­ \~ ~J ,\k

J..:i ~l.l\ ~\ -i

~t 0 ~ ~ ~J

.Ü

~

\..:h4j

b~~ L., ~ ~~~\)iL.. ~J

~J ,~I ~?.ro

!~JL..::.o ~ ~ j \ l:::!Jlj ~J

0

~

't i Jt i..r ~ ..r W \ j~

-• • \oo •. ~ J · 0~

Jt..r i

'--J':>-

\0 ••

~

"

oo.L.A· \ : J~\j

~ 0"

T

5 - [r ,y,I]~~ 0~1:~~ 0~1 /[r] I~~:~~ /[r] ~~1:4~i 4 / [r ,y] ~ ~ [r] ~:~ 7 - [y] 0 J ~: 0 J 6 - [r ,y' 1] ~JL,: 0l::JL, / [r ,y] ~ :~ Il - [r] r ~ :r-~ 10 - [r ,y] ~JI)U :~JI)IJ 8 - [r] I~~: ~~ - [r] ~ j : ~ ) / [r] ~ :0 ~ / [y] 0 ~ : ~ 0 12 - [r] ~ ~ [r] ~ :r ~ ~:~ ... ~J/[Y]~~:~r'" ~J15-[r,I]~b:Jr'" ~J15-13 18 - [r] «~ 0i b~)i ~ dJ~J» ~~ JWi: 0L::J~ 17 - [r] ~:) ~ / [1] ~4JI I~ ~,(~1.1 ~WIJ (~D ~L:JI ~:~ / [r] -;:~ 20 - [r] ~ ~.:ul: ~I / [y] ~~:~}J - [r] ~~I L: t r 21 - «~J» J.,J «r» J~I ;;~Ift ~i ~I ~ ~[r ,y] ~I '[r] 0~~: 0~~ / [r ,y] 0 r J :J r 0 / [r] ~ :Y ~ ~ 22

r : r/ 0

0

0 :

)

/

20

142

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

p

r E

8

N

T

Fig. 18.1-2

Que le rapport de PT au double de TZ, tangente à la section L1T, soit à TH; et que le rapport de çM au double de MO, égal au rapport de tangente à la section NA., soit égal au rapport de IIM à MX; alors rp et çM sont les côtés droits relatifs aux diamètres TE et ME, comme on l'a montré dans la proposition 50 du livre 1. Menons des points A, K, r, MIes perpendiculaires AH, KX, rr, Mfl aux deux axes. Puisque les deux sections sont semblables, alors les figures construites sur leurs axes seront elles aussi semblables, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 12 de ce livre. Mais si les figures de ces sections construites sur les deux axes sont semblables, alors le rapport du rectangle Ir par rZ au carré de Tr est égal au rapport du rectangle Typar yO au carré de My, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 37 du livre 1. Or nous avons posé égaux les deux angles aux points Z et O. Mais les angles aux points r et y sont égaux car ils sont droits ; les triangles TrZ et MOy sont donc semblables. Mais nous avons montré que le

er

21

Voir Note complémentaire [17].

143

)

J:- J~ ~) ~ ~J J~ i J ~ <J Cl> &.a:JJ -r W \ t i J:- J~ i -r ~J 'L ~ ~ ~ W '-r i ~ ':fp ~û ~ i -r ) ~ Cl~ ,J i ~ ~\ ~ ;;~i r~ "X ï ~ u-o r~J ·ï ~w.l u-o ~ ~I

J~ ~ 1, ~ ~ ~&4J -r W \ j ~ 0

oh

(j-4

,~L..:...:..., ~\~~ etJ~\ ~\

t

0-;!.k

5

~ ClLS' \~b .~llil

tü

~ ~ 6 ~ l!f4 J~ j 6 ~ 6 ':f ~ ~ Cl~ ~ Cll:1J\ ClI:::!J\)\" · ï ~lli\ u-o .) ~\ ~ ~ ':f.ill ,t i l!JA J~

t

-:- ~

L

~

t

i 6 ~ J"3' [1 ~ ~\ ~ ~ W ,~L:.:..o ~i \
Cl\.ill\ w~ Cl~ 'Cl~L:...:.o ~\ Cl~ ·

"1...::-, ~

~

-l:U\ -l:J \. \\ . _..

w

~ ~ ~J. Cl~L.:.:.o

~~ ~-'

tt

i

~ loA~ ~

·

J.i

~

-t -):- ~ . t... ::-,

j 6 ~ W49 · Cl~l; 4~ 'ClI:::!J~

10

144

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

rapport du rectangle Ir par rZ au carré de rr est égal au rapport du rectangle Ty par [A-250 r ] yO au carré de My; les triangles rlr et MTy sont 22 donc semblables, d'après les lemmes qui ont précédé ce traité. Mais l'angle qui est au point l est égal à l'angle qui est au point T; les angles IrZ et TMO sont donc égaux et les angles qui sont aux points E et E sont égaux, car la droite tangente est parallèle aux droites ordonnées. Mais les angles qui sont aux points A et K sont droits et les deux angles qui sont aux points T et l sont égaux ; il reste alors les deux angles qui sont aux points H et X, égaux. Or on a montré que les deux angles zrI et OMT sont égaux; les triangles erH et IIMX sont donc semblables et le rapport de er à rH est égal au rapport de IIM à MX. Mais on a posé le rapport de TP au double de rz égal au rapport de re à rH et on a posé le rapport de çM au double de MO égal au rapport de IIM à MX ; le rapport de rp à TZ est donc égal au rapport de Mç à MO ; or le rapport de rz à rI est égal au rapport de OM à MT; le rapport de TP à rI est donc égal au rapport de Mç à MT. C'est pour cette raison que le rapport de rp à r8 est égal au rapport de Mç à M~. Par conséquent les deux figures dont l'une est entourée par les droites rp, r8 et dont l'autre est entourée par Mç, M~ sont semblables. De même, le rapport de rp à rz est égal au rapport de Mç à MO et le rapport de TZ à TE, nous l'avons posé égal au rapport de MO à ME; le rapport de rp à TE est donc égal au rapport de çM à ME. S'il en est [M-1ü5 V] ainsi et si la figure entourée par les droites rp, r8 est semblable à la figure entourée par les droites Mç, ML, alors, si nous divisons rE en des parties et si nous menons par les points de division des droites parallèles à L1B qui est la base du segment, si nous divisons la droite

22

Voir Note complémentaire [18.1].

145 rro.-\

t

tl st t ü

üLo..w.\

~ ~ ~~~.r JtJ"6 st ~ ':f ~ ~ ,Ji

st ~ ':fllJ '0~~ t ü

~ ~\ ~J\)U ~Jl.......o ~

'0:S!J L.:.o

t i

ü j ~

i ~ ':f ~ Wi..J · t i ~j-4 Jt ~ ~\ ~J\)\J · yL.:S:J\ \~ J.:..j ~I

z.h4j

':f \ "

Q

,

)~ (,L:U\ (,l::.:J\)\ (,~ .ü ~ --

~# j\~ ~W\ y\ 0:J '~J~ ~

(,l:.!J I}I ~ IS'

~ -

(.j (.

.üJ

' (, L:....:i Li ~ ï ~

0

~ ~ ~\ Y\J)\J

..l:..c (,

t:..u\ (,l:.!J\)J · ~.r=J\

.. t..:·, ~ • L:U\ .l:J \.. \\ .~, ... ~ ~ Ü "L.:·, ~ · ~ 0 _ 0 _..J_ Y_I,.5-.-- ~J" .. ~ 0

L:U\

i t ':f ~ j 0J\j 0\ ~ (,lS .üJ ·0:S!J L......:.o ·3 i Jt i J ~ (. ~ Jt ~ 1. ~J ,(,~~ 3 i J (. ~ 1. ~J '(. ~ Jt 1.~ ~ j ~ Jio Jt) ~ ~ ~ ~IS' ~J j ~ ~t ) ~ ~ ! 3 i ~t i J ~ t i ~ Jt i ~ ~ ~ 'Ü i Jt ;:t ~ ':f ~ Jt j ~ ~J · t i Jt ~ i ~ ~ ~ ~t ) ~ ~ dJlJ (,~J · Ü i ~t ~ i ~ ':f ~ ~t ) ~ ~ ~)~ Lb;. w..\.>4 ~ (,\llJ\ 0~Ü .iY i ~t ~ i ~ ~i~ j~Jt)~~(,~,~iJ·(,~~iYi~i~'.:I~J ~ • Ù"" i Jt t i ~ lAl:.4- ~ ~ ~ Jt j ~ ~J t i Jt • Ù"" i Jt i ~ ~ ~ Jt ) ~ .lH ,0-(' ~ ~ ) ~ Lb;. d...i ~ ':f.:J\ j5::..:JI (,LSJ ,dJl.5' dJ~ 1 0 LS \~~ o ~ \. ..J \~t lJ}è 'iY ~ Lb;. "-! ~ ':f.:J\ j5::..:Jy 4-~ ..~ Wi..J , (,l:.!J L..:.o

5

ü

10

15

0

0

r r

Q

-

:;~\j ~ ,:?lJ\ y ~ J ~j\J-O

~" \1,# rW:J\ ~ ~

""

~"';"\J 'rW~

: ~ / [r] ~lll : ~I 3 - [r ,y] ~ ü ~ : ~ ~ ~ 2 - [r] ~ :j ~ / [r ,y] ~ Ü : ~ ~ 1 [r] IS ~ ~ [y] IS ~ j : j ~ ~ / [r ,y] :J~J [1]:J~::Jp 4 - [18] ~) ~I.;ul [r] ~l;: :Jl:.o.:il; 6 - [r] 1,~ : 1,# / [r] yIJ)l!: yIJ)IJ 5 - [1] ~~I ~ ~i :.ü10 -[r'Y]:J~J~:~J~/[r]~~:~~7-[y]~b:~ ... 17-6:(yWI)) ~ 13 - [r] ~b:~ Il - [y] ~b:~ ... 1,~ 11-10 - [1] ~b / [r ,y] r ~ : ~ r 15 - [r] j ~ :) ~ / [r] ~~i :J~ : ~~4 ~ 14 - [r] j ~ ~ r : (j" r / [r] ~ ~ [y] ) ~ : j ~ 16 - [r ,y] ~ j [1] j t :j ~ / [r] j ~ : ) ~ r1 ,« ~~J» "'1Ji ~ : :J~J / [r] ~~ [y] .ü ~}i : I~~ 18 - [r ,y] ~ r :r ~ 17 - [r] ·[r] b~IJ: 4.;..iJ 20 - [r ,y] ~b: lb.;. / [y] ~ ~ 0 : 0

/

20

146

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

ME selon les rapports des parties de la droite TE et si nous menons également par les points de division [A-25Ü V ] des droites parallèles à la droite AN qui est la base du segment, alors on montre, comme on l'a montré dans la proposition 12 de ce livre, que les rapports des droites parallèles qui ont coupé [B-128 f ] la droite TE à ce qu'elles séparent de celleci du côté du point T, sont égaux aux rapports des droites parallèles qui ont coupé la droite ME à ce qu'elles séparent de celle-ci du côté du point M. Et les angles engendrés par la base L!B avec la droite TE sont égaux aux angles engendrés par la base AN avec la droite ME, car ces angles engendrés par la base AN avec la droite ME sont égaux aux angles, aux points T et M, engendrés par les droites tangentes et les diamètres ; les deux segments L!TB et NMA sont donc semblables et semblablement placés. p H

Z

N

x

e O'-----Q------O----;;-.L------"O<::c-----I

A

o

O-----O-----O----------;".L-------->---..::~----I

T B

A

Fig. 18.3

Fig. 18.423

De même, nous posons le segment L!TB semblable au segment NMA. Je dis que les angles TZA, MOK sont égaux et que le rapport de TE à TZ est égal au rapport de ME à MO. Si les deux segments sont semblables, alors on y mène des droites parallèles aux droites L!B et NA, en nombre égal, qui coupent les droites TE et ME suivant des angles égaux, et telles que leurs rapports, ainsi que les rapports des bases L!B, AN, à ce qu'elles séparent du diamètre, soient des rapports égaux, et que les rapports des parties de TE aux parties de ME soient eux aussi égaux. Mais les droites menées dans le segment L!TB jusqu'à la droite TE parallèlement à la droite L!B peuvent les rectangles appliqués sur la droite TP, excédant ou déficients d'un rectangle semblable au rectangle entouré par les droites TP et TD, d'après ce qu'on a montré

23

Voir Note complémentaire [18.2].

,,-

~"

~\ 4~\-,

,0

"

-

r ~ ~-' ,~\

~ ~ rL..i\ ~ ~ ~ ~

" 0 J Y ~j\~ lb# / rL..i'1\ ~ ~ ~;!jI.,.:J.1 .k#\ ~ ,) ,~Ull ok ~ ':-":! ~\ ~ ~ W',~ r\~A-y .k#\ ~ ~~0 \.(~ ~ Loo Jt o~ ~ / ~-;JI .l;-~C'-\ ~1J ,L.hAJ\ ~~U ~ ~lJ\

l.J\.q

.. IJY~

.-~

r

~

-

l,lt~ \_~+;L,

~

~

\\-~~

45" ~

r

e

"\\L·\-"\\ '-:? ..)~

Cl J ;)j,C\j ~~ ~\ l.!\"}J ~j~ 0 ~ ~ ~ ~ ;)j,C\.; ~~ ~I ~jL.o I,j" Î ..b..;. Cl J ;)j,C\.; ~~ ~\ l.!\j~1 ok Cl ~ 'I,j" Î ~

e

~ !pl ~j I,j"W\ YI ~ U~I.d-\

'r

e

~ ~ ~ ~\ 'l.!\.,}J

.~~ ~-'-' 0~~

J

r0 y~ ~

~~I ~ ~i :r~'" ~ /[y]~~:~ ... ~ 5-4-[\] ~~IJ:4y>.iJ 1 9 - [\] ~:~ 8 - [\,y]~~:~\ ... ~~~17 - [1]~:~4 -[1] ~

1-"1\

.1':'.1 ~[

~ ~

~~ \ ,~] .. L •J

~IJj : ~IJj 13 -

\. A_ ~

:~~ \. A_ ~

~JJ.

~JJ

/

[~] ·\A'~: '\"A'~

.

W~

W~

[1] ~~ : lo / [\ ,y] ~ ~~ : I~~ 12 - [\ ,y] \ ~ : ~ \ Il - [19] . [\] j ~ : ) ~ 18 - [\

,y] j

ri)

~ : ) ~ 17 - [\] Wli

5

148

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

dans la proposition 50 du livre 1 ; de même, les droites menées dans le segment NMA jusqu'à la droite ME parallèlement à la droite AN peuvent les rectangles appliqués suivant çM, excédant ou déficients d'un rectangle semblable au rectangle entouré par les droites Mç et MI. S'il en est ainsi, alors on montre, comme on l'a montré dans la proposition 12 de ce livre, que le rapport de rp à r8 est égal au rapport [A-251 f ] de Mç à MI. S'il en est ainsi et que les droites ordonnées rencontrent les deux diamètres selon des angles égaux de sorte que le rapport du rectangle Ir par rZ au carré de rr [B-128 V ] soit égal au rapport du rectangle Ty par yO au carré de My. Or les deux angles r et y sont droits et les angles ZrI et OMT sont égaux, alors les deux triangles IrZ et TMO sont semblables, d'après ce qu'on a montré dans les lemmes qui précèdent ce traité. Et on montre cela dans l'hyperbole d'une manière générale. Quant à l'ellipse, on le montre, à condition que les deux axes AI et KT soient tous les deux les grands axes ou tous les deux les petits axes. Si donc le rapport de TP à r8 est égal au rapport de Mç à MI, alors le rapport du rectangle rE par E8 au carré de L1E est égal au rapport du rectangle ME par EI au carré de NE, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 21 du livre 1. Mais le rapport du carré de L1E au carré de rE est égal au rapport du carré de NE au carré de ME ; le rapport du rectangle 8E par Er au carré de ET est donc égal au rapport du rectangle IE par EM [A-251 V] au carré de EM. C'est pour cela que le rapport de 8E à ET est égal au rapport de IE à EM. Mais le rapport de Ir à rz est égal au rapport de TM à MO, en raison de la similitude des triangles Irz et TMO. Mais la droite r8 est le double de la droite TI et la droite MI est le double de la droite MT; le rapport de rz à rE est donc égal au rapport de MO à ME; or les angles aux points Z et 0 sont égaux. Ce qu'il fallait démontrer. [M-1 06f]

149

-:-w ~ \~:. '\ .. .. ~ ~ ~I L~I ~ ,~ J y ~j\ro ~~J '..r i.h>. Jt J i ~ ~ ~ll\ ~~ ~ ~ ce ~ J\ ~lë ~ ~)1J \ u!Z Jt JWü ~ ~ Jt u!Z i / 4--:S ~ ~ ~t) ~ ~ ~i ,~W\ o~ ero '-;-"':! ~\ ·

.....q 1, - L:L\

~ (~":?

~

~t I~ ~l.5' .. ~~ J ....

? ?

rto\-!

. \ ~14l\.

~

"

-

5

.~\

1.J\. lr-· . L.::q .. IJ)~~~ .l;-ltA-y

~~

/

:le: ~ .. q 1,

~

...

Jt j

6 ~ CjJA

l:.:Jlj wl.5'J ,~\;

~

t6

_L..:..

~

6

wlSJ


,~l.5' ~~

·lS

W

~\

yJ

c.? ~ ~ wl.5'J '~JL..:.o

l:.:Jlj wl.5'J ·

t i CjJA Jt t t ~ t

ü

~ W' ,~~~ t i ü j ~ c.? 'f:.J:'o ~~ '~JL:o Ü i t c.? ~ j · Lok. G~ ~I)I F I .} ~ -ill~J ! yl::5:J\ I~ ~ ~I üLo..l.1l.\ .}

~ ü 0]; c.? 1 \ ~ ~ ~~ J~ ~. ~--: ~1-J ,~WI ~\ .} LoIJ ~ wl.5' ~~ '0-:!~~\ ~I ~ b~ ~4} ~.,k~\ ~I l!JA Jt ~
.l;-to\-!

10

,

15

j~~.ü\~~~\~J~~~~ ~~~J·t\ü 20

t

j ~ ~ ~LJJ\ ~L:lJ\)\J !..r i ~t t. i

r ...

·S 0 ~ ~t

/ .~ 0\ b~)\ L, ~~J ~ 0~JL..:.o

13 - [r ,y] 1~lj : ~tj 7 - [r ,y] ~ ~: ~~ 5 - [r ,y, 1] dJlJj :dJl...5'j 1 ~:) ~ 14 - [r] I~~: ~~ / [y] ~b :~I ... ~.,1~1 / [r] J.,1~1 ~I :~.,1~1

~I j

Jt ~ r ~ ~ 0 tJ-4 Jt ~ r ~ ~ r & ~ 0~ : ~ 0 ... 0~ 15-14 - [r] - [r] ~--; tJ-4 Jt j ~ ~ ~ ) & ~ ~ 0 tJ-4 Jt ~ r ~ ~ r & ~ 0~ [y]

~r

~ 20 - [r] ~ : j ~ ~ 19 - [r] ~ r : (y W1) r ~ 18 - [r] ~ 0 : 0 ~ / [r] J j ~ 1:\ 16 .[y] ~ r :~ r / [y] ~~ :0 ~ 21 - [r] ~ :(Jj~l)

150

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

- 19 - Si on mène dans la parabole ou dans l'hyperbole des droites telles qu'elles soient perpendiculaires à l'axe, alors les deux segments que séparent deux quelconques de ces perpendiculaires, de part et d'autre, sont égaux, semblables et semblablement placés. Quant aux autres segments, ils ne leur sont pas semblables. Soit une parabole ou une hyperbole d'axe AA. Que l'on mène dans la section deux droites telles qu'elles soient perpendiculaires à l'axe; soit BB et TK ; qu'elles séparent de la section deux segments BT et BK. Soit les segments L1E et BK deux segments qui n'ont pas été séparés par les deux mêmes perpendiculaires. Je dis que les deux segments BT et BK sont semblables et que les deux segments L1E et BK sont dissemblables 24 • Que les deux segments BT et BK soient semblables et égaux, ceci est clair car chacun d'eux se superpose à l'autre, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 7 de ce livre. Que les deux segments L1E et BK soient dissemblables, cela se montre comme suit. r

(1------{)-------{1--A{}t----------{)

A

K

Fig. 19

Que les deux segments L1E et BK soient semblables, si c'est possible. Joignons [M-I06 V] les droites L1E et TB et prolongeons-les jusqu'aux points Z et H Mais les deux segments L1E et BK sont semblables et le segment BK se superpose au segment BT, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 7 de ce livre. Le segment L1E est donc semblable au segment BT; par

24

Voir Note complémentaire [19].

+ ~ ~ . . . . fi'

~

~

~

~

Il

'~

~

~ ~: ~' ~,

1

•

1

"'.

l crf. (~

'~',

CI' l' f

~,

:r r.;

00 ........... -(

st: :. :~

1

~

t-I

~t

VJ 1

Vt

:!.....

f

•

t:=

~:L

~

Vt

:

lJ 1

C·

::

(1 1

.

f) \.;..

.(

N:

C'<'I...........

'1:.

s~. ~ ~'<'

_

~

• ,..........

:.

~.:. f ri"~ .tf. ~ :~: t f~"c~ .:- l r.;l:~~ 1.f;'--.' ~ ~ b :r f ·C"' : rz ~,,. . . . . ~~ t:.}t.~ I~ _' .r-: [ 'L · ~·.I~ ~l tJ.. f.. F ~ [~r ~~ .. ~ ~' ~ C ft.t . -~~ f.' (;\ : t·· ~-

r

l:;............. ~~.[ -:; ~

[:-

~ :~ I} ~. {ç \.-~'I ~~ f~

6; ~ ~ ,:.1 -

l

'D.

1-· ·r;:-.t ~ f2.,~.............. t ~~,............ ~ _ if.:: ~t:; E! ~. t

. î· ~ f

:.,..........:.

.~; ..' ~ f. f. t

t-

•

1

c-

'G>

~

-

·f -

l

t-~ CI·rPf,~,

:

[;

1

.-:.E

:

,t: CI' ~ 'C ~ ~~ ~f ~t~

~

,e;;'

t ,~I

~

:

:.

~

f)

Il ~:

'9

:.

1

(h:;

lJ

t-:

{ (;\

{f' ~~ ,ri tt

c. ,cf,

~

~,~ ~ LI

~.

f)

-

~

'"

"'\p.

c~

•

r:

.~

~V•

:

r:f\\ -

-

1

-~

~ Ir: ~lJ'

:

ff· 't:

•

· : · -~.t-

: c.'~ ~:

~

\.s)

,e;;

~

Vt

1

~

Ut

~

-

t! ~

"[

r

ct· :

1=.fA

~.

f~ -

r: f~

:~

B~·

~

,t

~

, f ~~ ~.' ~ t ~ cl 1.~1 o

C,

~

.' f ~,l b~~~ ~ t t

lJ 1

'"

t t~

~ :b· : : ~:

~ ~ ~ : ~ ~. :.: ~ ,C1, C· b ~ t-I c·: ~: -~~: C;:-~·f ~ .~ 1 G .:t b V :.~: "r~ C (;\ ~~~ : C"~.( :[\ f·· f)

lJ

:~:

~

~ b~~

t." ~ ~

t,,~,·.~( 1.'·.~ ~~:(~;\ 1::~~

\-

t- •

.~ ~

y. ~+b.: -L~ ~ t-I

:

v

r

A

~~~ '~i7 ~~

;l' ,~, t, ft

~.

-

\.-,1

c t : · (f {:r.;

-.

fi '

CI'~,

1;'

~ ~ ;r

•

C·

',r, f

cr:

~.--:~ :b

-~..L·

~ ~~

. Ct:! ~

-.1

-.1

t . ( F :; ,,'~

~....::... t-I '""1 ~: 1·

Vt:!.....

1

,..J

,..J

~

~ 1

152

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

conséquent, si on prolonge les droites TB et L1E, elles rencontrent l'axe suivant des angles égaux, étant donné ce qu'on a montré dans les deux propositions qui précèdent celle-ci. Les deux droites TB et L1E sont donc parallèles. [A-252 f ] Menons la droite ME coupant les droites TB et L1E en deux moitiés. Menons du point M une droite parallèle à la droite L1EZ; soit MI. La droite ME est donc un diamètre de la section, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 28 du livre II. Mais la droite MI est parallèle aux droites ordonnées qui tombent sur lui ; elle est donc tangente à la section. Mais les deux segments TB et L1E sont semblables ; le rapport de MI à ME est donc égal au rapport de MI à MN, d'après ce qu'on a montré dans les deux propositions précédentes ; ce qui est absurde. Le segment L1ME n'est donc pas semblable au segment BK. Ce qu'il fallait démontrer. - 20 - Si l'on mène dans l'ellipse des droites telles qu'elles soient perpendiculaires à son axe, alors deux quelconques de ces perpendiculaires séparent de [B-129 f ] part et d'autre deux segments semblables et semblables aux deux segments séparés par les perpendiculaires dont les distances au centre sont égales aux distances de ces deux perpendiculaires ; la position de ces quatre segments est semblable et aucun d'eux n'est semblable à un autre . 25 segment de 1a sectIon . Soit une ellipse d'axe AA ; soit deux autres droites Be et TK qui coupent l'axe suivant des angles droits et soit deux autres droites qui coupent l'axe suivant des angles droits et telles que leurs distances du centre soient égales aux distances de celles-là, soit ZI et HO; je dis que les segments BT, BK, ZH, JO sont semblables et qu'aucun autre segment de la section ne leur est semblable.

A'-<--+------+-------------l-----+-------üA

K

Fig. 20

25

Voir Note complémentaire [20].

153

,,---

~\-,j ~ ~\ ~ ,~~\ ~ \j1j\ \~t

(;

-~ y ~ lb;..j .~ y ~

-i

r tot -\

~ y ~ \.k;.;" \~ ~ 0:!.ill\ ~\ ~ .ü L., ~i (jo '~j~ (~j ,~ ~ ~ y ~ ? la.1.1.i Ij" i ..b>. (~j , 0l:)~ '~.rW Ij" i.kJ "'-? i ~ j 0 ~ y ~j\ro lb.;.. /;: ~ (jo ~y:J\ 1.#)J-4 '-? i .h..>.j "y tlWl\ (jo ~I ~ ,-?.llJ Ji '-? i ~! 0~L.:.:.o ~ y ~ l:a..b;j"F Ij"\.( ~,~ wl}\ cil.)j ! \~ û-:!.illl ~\ J ~ '0 i Ji '-? i ~ Ij" i "~ 0i b~) L., cil.)~ !TI ~ ~ 'J 0 i ~ ~ "......tl>.

r!

...w

-i

w

d--+-----j----t-------t----v

J

[21]~) ~I ~I 9-13 -

- [1] ~ : 4;.0

10 -

[r] ~b :~14l1 5 - [r ,~] ~ ~ :~ ~ / [~] ~ Ü :~ ~ 1 [r] wL-I: ~~i 9 -

~ 17-16 - [1] ~4JI i.Î ~i: (.j~J ... ~ 15-16 - [1] (.jl~i

-

.[rI t

(.jlb>.: (.jlb>.

14

:t ~ 17 - [II ~~I .j ~i : t L ~ j

5

154

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

Il est clair que les segments BT, BK, ZH et 10 sont semblables et semblablement placés, car ils se superposent les uns aux autres, d'après ce [A252 V ] qu'on a montré dans la proposition 8 de ce livre. Aucun autre segment ne leur est semblable. On montre cela comme suit. Si c'est possible, que le segment i1E soit semblable à ces segments; joignons les droites i1E, TB. Si on les prolonge, alors, si l'une d'elles rencontre l'axe, l'autre le rencontre selon un angle égal à l'angle selon lequel l'a rencontré la première, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 18 de ce livre. Les droites i1E et TB sont donc parallèles. Partageons-les en deux moitiés et faisons passer par les deux points du milieu la droite MNE ; la droite MNE est donc un diamètre pour les deux segments, comme on l'a montré dans la proposition 28 du livre II. Mais puisque les deux segments i1E et TB sont semblables, le rapport de TB à EM est égal au rapport de i1E à MN; ce qui est absurde car, si nous joignons les droites MB, MT et si nous les prolongeons, elles ne passeront pas par les points Li et E. Le segment LiE n'est donc pas semblable au segment TB. Ce qu'il fallait démontrer.

- 21 - Si on mène dans des paraboles des droites telles qu'elles soient perpendiculaires aux axes et telles qu'elles coupent des axes, du côté des sommets des sections, des parties dont les rapports aux [M-1 Ü7 f ] côtés droits - pour tous les segments - soient des rapports égaux, alors les segments séparés par ces perpendiculaires dans l'une des sections sont semblables aux segments séparés par les autres perpendiculaires dans les autres sections, et ils sont semblablement placés ; et ils ne sont pas semblables à d'autres parmi les segments pris dans ces sections. Soit AB et EZ deux paraboles d'axes AE et E8. Soit leurs côtés droits [A-253 f ] AIl et EP. Menons dans l'une des sections les perpendiculaires BM et i1E et dans l'autre section les perpendiculaires Zr et X8. Soit le rapport de AM à AIl égal au rapport de Er à EP et le rapport de EA à AIl égal au rapport de E8 à EP. Je dis que le segment BAO est semblable au segment ZEL, le segment LiA semblable au segment XE et le segment i1B semblable au segment ZX.

155

.l;-~o~-\

4,j~ ,~L..:.:.o ~J ~JJ ~L..:.:.o t ~ r j TI ~ '-;-' &i ) loI! ~k 0A r ~I J ~ w ,~ ~ ~ ~ ~I ~k :;~ ~ :

\~

... ~

~l! ,(..$ • \ ~ "y >

\ :.+: ~ A

A

'1 ~\ L,\j .~Lil\ /

I~~ .'-;-' ~ ~ ~ J...:ùJ .~\ ~k ~ L.bi ~ ,~\ :;1 ~ ~\ ~JI)I ~ ~ '-;-'-::;

~

\.h.;...j

y>. ';II

~ ,~\ l.o.A..\>1

•

.;J :;1 ~~ ,1l.4:l\

.~Ul.I ~lA 0A l::! ~I ~ ~ W ,JJ~I

'-r :; i .h;.. ~I ~ ~ ~J ,~ ~ \ 0-&0 0

•

r!

4-::k

.Â:'; · :;l:!j \,,:.0

:;~J .'-;-' m..A1\ 0A ~\ ~.:& W,~ yb! -r:; i.h;J Jl:;-:; 4-:.S i -r Jl,-;-,~ ~:;~ ,:;~~ '-;-'~ ~ ~ "'" ,,-" .. ~ \jf ~ '~~~\j ~ \y \ ~ ~j \~l b'1 ,u1;. \k ~0 \ ""

5

10

--.~0\ b~)\ L,dJ~j~Y~~~'1o~~.o ~ -

wLSJ ,1,.,1> wLs::l.\ t~\ J ~y>.\" \~l- T7 \,) 4-... ~ t.:k; t.,1üJ\ -rJj) J..:. l4" i~\ 0A ~J i4--J 1

~ ~~\"

/ Jl rl,v-r

" .. " " ~.~\ ~\:;~ '~JL..:.o~~ ,~I ~ ~:W~\ t~';I1 0A ~';I\ ~~';II ~ ~\ ~I ~ t~\ ..\>\ 0A ~~';I\ d.G ~~.,.;..u.\ ~I 0A LA~ ~ ~J ,~~ ~J ~JJ ,~';I\ t~\

15

·t~\d.G ~

~j'~ ~ \ \0+.. 0+ '~jjoy \ ~ 0 WLG 0~ ~ -,,--j-~o,-\ ~ ~ \ y ~~~ ~\ J>.\ ~ (~j.) 0 J \ / 0Wl4J\ l.o.A~ G ~

4-:.S J 1 Jl ~ 4••• J ~J' ~ J G j ~~~ y>.'j\ ~\ ~J t \'-;-' L.hi :;1 : J..,J\J !) ~ ~l ~ ~ ~ J \ Jl 1 -r ~J ) ~ Jl

·3j ~ ~y ~~j 0 3 ~ ~~~j

'tY'

0

j~ ~

0~ : 0~J 8 - [1] ~b : ~ 7 - [r] ~~ 'lI : ~ ':JI 5 - [il ~ : ~ 2 - [r] if' : t ~ 1 :(JJ~I) ~I 14 - [r 'y' 1] ~l5:j: w~J 12 - [1] ~4JI
[y] ~~ :G 20 - [r] (j-A :~ 19 - [y] «~~» 4l:-i ~: ~JJ 16.(1] ~b [r] &i :(JJ ~I) ~ 22 - [r] &i :~ / [r])A :~ / [r] ~ 1: 1~ 0

20

156

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

On montre, comme on l'a montré dans la proposition Il de ce livre, que le segment BAO est semblable au segment ZEL.

r~----jJ--------n A

- - - - - - - ( } - - - - { } - - - o - - - - - { ) - - - - - - - - ( ; .....

o

K

A

N

p

n

Fig. 21.1

Fig. 21.2

On montre ainsi que les deux segments ilB et ZX sont semblables. Joignons les droites ilB et XZ et prolongeons-les. Elles rencontrent les deux axes aux points K et a. Partageons les droites ilB et XZ en deux moitiés aux points et et faisons passer par ceux-ci deux droites parallèles aux deux axes. Soit reA et HçT. Menons par les points r et H deux perpendiculaires aux deux axes. Soit TN et Ho. Le rapport de AIl à chacune de AE 6 et AM est égal au rapport de EP à chacune de E8 et E1 • On montre à partir de cela, comme nous l'avons montré dans la proposition Il [B-129 V ] de ce livre 27 , que le rapport du carré de ilE au carré de BM est égal au rapport du carré de X8 au carré de Zr. Le rapport de ilE à BM est donc égal au rapport de X8 à Zr. De même, le rapport de EK à KM est égal au rapport de ao à ar. Par conversion, on a le rapport de KE à EM égal au rapport de a8 à Or. De même, le rapport du carré de ilE au carré de BM est égal au rapport du carré de au carré de Zr ; le rapport de EA à AM est

e ç

Xo

26

27

Litt. : à Br et BD. Il s'agit plutôt de 1.11, et donc d'une simple inadvertance lors de la copie.

157

0

-U----QJ

'>a::-

~ o-------o---:--o--n--------=n--

t

l-~ \ _.~ : \~ . . . ~lJ,· 1.. A'~ ~

~ ~

~

fi

W~

"-J

'-').

~

".L_A·

t ~tJ

~ W

·"do ~ ~ ~ ~\ ~ ,~l.i:.....,\ ~ ~.#J 'j J ~ ~ ~ ~J 'J:-1. ~ ~ ~ ~ j J ~ ~ ~ ~J (~ ~ ~ (.#J .ÜJ:- (J 1,~ 4=k~ ~j\~~

5

~ ~\"JS JiJ \ ~ ·t (0~ ~~\ ~ :.r:.~~ '-Î ~ LoS ,clj~ ~ 0.1. "}. ~ ~ 0 ~ »-\., J5' Ji ~ ~ ~ Ù"" \ j;-\~h;" C!jA ~ i ~ C!jA Ji Ù"" ~ l!jA ~ 0 i ,~w.\ ok ~ j0:J\

/"4

0.".s:::;J .~ j ~i ~ J ~ i ~ ~i Ù"" ~ ~ .~ j C!j""4 Ji ~ J ~ ü)..... , \.:.:Ji \~lJ .~ do Ji ~ do ~ Ji r:; ~ cljjJ

rs

~i Ù"" ~ l!f4 ~ 0lJ ' ~iJ ·~ ~ ~i ~ do ~ i Ù"" Ji-:;:? ~ ~ ~ Ji \ Ù"" ~ ,~ j l!f4 Ji ~ J C!jA ~ i ~ l!jA

',-:-,] ~ \ ~ :~~ \ 8 -

[r',-:-,] Jt:~~\ ~4 - [r ,1] ~b:l~ooo ~iJ 3

- [r] ~ :r'-:-' / [r] ~ ~ :~ ~ 10 - [r] ~ :r'-:-' / [r] ~ ~ :~ ~ 9 - [r] j () : ~ / [r :r '-:-' 13 - [1] ~b :G ~ ... l~tJ 12-11 - [r ,,-:-,] ~ ~: ~~ / [r]::s:::;:ç Il ·[r]

~

10

158

Le sixième livre ct' Apollonius sur les coniques

donc égal au rapport de 8B à Br, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 20 du livre 1. Par conversion, le rapport de AE' à E'M sera égal au rapport de B8 à 8r. Or nous avons montré que le rapport de KE' à E'M est égal au rapport de a8 à 8r ; le rapport de KE' à E'A est donc égal au rapport de a8 à 8B. Mais le rapport de E'A à E'.1 est égal au rapport de B8 à 8X, donc le rapport de KE' à E'.1 est égal au rapport de a8 à 8X. Mais les angles qui sont aux points E' et 8 sont droits, donc les triangles K.1E' et a8X sont semblables et les deux angles aux points K et a [A-253 V ] sont égaux. Mais le rapport de .1K à KB28 est égal au rapport de Xa à aZ et, par conversion, le rapport de K.1 à .1B est égal au rapport de aX à XZ. Mais .1B a été partagée en deux moitiés au point e et XZ a été partagée en deux moitiés au point ç ; le rapport de K.1 à .1e est donc égal au rapport de aX à Xç. C'est pour cela que le rapport de E'.1 à E'A est égal au rapport de 8X à 8T. Mais la droite AE' est égale à la droite rN et la droite 8T est égale à la droite Ho ; le rapport de .1E' à rN est donc égal au rapport de X8 à Ho, et c'est pour cela que le rapport de E'A à AN est égal au rapport de 8B à Bo, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 20 du livre 1. Par conversion, le rapport de AE' à E'N est égal au rapport de B8 à 80. Mais on avait montré que le rapport de KE' à E'A est égal au rapport de a8 à 8B ; le rapport de KE' à E'N est donc égal au rapport de a8 à 80. C'est pour cela que le rapport de K.1 à .11 est égal au rapport de aX à XY. Si nous séparons, on a le rapport de KI à 1.1 égal au rapport de aY à YX. Or le rapport de Ke à e.1 est égal à çX, donc le rapport de Ke à est égal au rapport de au rapport de à Mais le rapport de à est égal au rapport de à çH car les sont semblables. Le rapport de Ke à er est donc égal triangles 1er et au rapport de à çH. Mais la droite Ke est égale à la droite tangente menée de r à l'axe, car elle est parallèle à la droite eK et elles sont entre deux droites parallèles. De même également, la droite est égale à la droite tangente menée du point H à l'axe; le rapport de la droite tangente menée

aç çy.

aç YçH aç

le er

el

Yç

aç

28

Voir Note complémentaire [21].

159

·\ tll4l\ ~ -X J-<..:J\ ~ ~ ,:?lU ,~ Jl ~~ ~ ~ .)i ~ ~ .>-iJ .-:.. ~ ~C~ ~ i -r ~~

~ \ ~ Ü)~, ~ \~t-,

i -r

0

~j.~ ~l ~ ~ ~ \ ~

Jl ~ ~ .~ ~ Jl

~~ ~

Ji ç ~ ~~Ji~~,J~Ji~~ ~~Ji\~ J ~ ~ ~ ~3 ~ '0~1J ~ ~ ~ ~ 0l.:U\ 0~j\)\j .J ~ l;-~o,-\

s-:; ~ .. l:J . iJ W ..j

5

~ / -. t.Y'

-X <.s.. t_;~ ~ W.l.:U\ W.l:J..j \..y qiJ W• \'"(HA'~ ~,) ~~ ~~ü)~,~ï~b·j~~~ ~ J ~ ~-X J~ jJ~JJ.:,~~~~ ,)~ .>-iJ.jJ~~J~~ ·é~ .---;:-:: t\ -.. -. ~ ~ t\ ~ ~ ,--;: ~ l~·· • W~j ~ <J (f" <J t.Y' • (f" • ~ '-.>' ~ Yj~~J~j.Ü ~~lJ ~~J~~i ~~~~jJ 10

~~ ~~ J ~ .) ~ ~~ -r ,) ~. t (Y)~ ü ~.h>.J .)~ ~~

w ,t ~ ~~~ ~~ ~~ \-r~dHj .)~J·t (

wl5', ~ \~lj·\ tlW\ ~-X J-<..:J\ ~ ·~ J~ ~ ~ ~ \-r J~ ~ ~ .)i ~ ~ ~J · t ~ J~

~ ~ ~ ~ ~l ~ \ ~

~ ,) ~~ ~ ~ dJlJ .)~J • t ~ ~~ ~ ~ ~ .) -r ~~ ~ j ~ ~ ~ ':? Jl ':? s ~ wl5' , ~ \~lj ·j J Jl J ~ ~ ~·J~~l~~~ ~1,~lD~wl5' w\!j·JjJi ~ j ~ ~ 1, Jl1, ':? ~j ,~ Jl ~ ~ ':? 1, Jl D

~J.:, ~~ D ~ . .)~~ (~J~J.:,~~.)"1 '(~ J~ [~ ~.:J\ -rW\ .b;JJ )L- D ..b;.. ~J • ( ~ J~ ~ ~ ~ l.!.IJl.S'J .~j\~ ~ ~ WJ ,TI Y)I)-O ~"1 ,~\ J~ ~ 0-" t\ - ~ (j4 •

(f" (

20-6 -

[r ,y]

• ~jJ\

[~..

~

~ :~ 5 -

W\

[r]

.b;JJ

G ~ -;.- . ..b;.. • _é. ..j ~ t.Y' w~

~ :~ ~ 4 -

[y] ~t,j : ~ ~ Jt ...

~\

..

~ 5-4

[y)~\~.,J ~i:~ 8 - [r] ~ :j~7 - [21)ri)~\~\:[.~ ... ~J

- [r) ç

[r)6 ~ :ü ~ / [r) dJ~ :dJ.:J 10 - [r' \) ~t,j:~ 9 - [r) ~t,j W 14-12 - [r ,y) J ~ : ~ J / [r) é- : t [. / [r)6 ~ :ü ~ Il ~J:~ 17 - [r) ~ :J ~ 16 - [r] ~b :~14l\ 13 - [y] « ~/~» L ~4J\ :D / [\] ~b : ~ 20 - [r] i l :D 19 - [r] ~ :J ~ / [r] ~ : <.j 1, 18 - [r] .[y] =;:"( 22 - [r ,y] dJ.:JJ :dJ~J 21 - [r) TI ~ 4:-:3i :

:~ J /

t ~ ...

15

20

160

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

du point T à Te est donc égal au rapport de la droite tangente menée du point H à Hç. Or on a montré dans la proposition 17 de ce livre que, s'il [M-1 07 V ] en est ainsi et si les deux angles entourés par les deux droites tangentes avec les deux axes sont égaux, [A-254f ] alors les segments des sommets desquels sont menées les droites tangentes sont semblables. Les deux segments L1TB et XHZ sont donc semblables et semblablement placés. De même, nous posons le segment 8B un segment non séparé par les perpendiculaires que nous avons mentionnées. Je dis qu'il n'est pas semblable au segment L1TB. En effet le segment [B-130f ] L1TB est semblable au segment XHZ et le segment XHZ n'est pas semblable au segment 8B, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 19 de ce livre, car il n'est pas séparé par les mêmes deux perpendiculaires. Le segment 8B n'est donc pas semblable au segment L1TB. Ce qu'il fallait démontrer. - 22 - Il se produit pour les hyperboles et les ellipses semblables l'analogue de ce qui s'est produit et que nous avons montré dans la proposition précédente pour les paraboles. 29 Que ce que nous avons mentionné pour la parabole reste dans son état et que les deux diamètres Te et Hç aboutissent aux centres J1 et T. Menons des points Tet H deux droites tangentes aux deux sections ; soit Tyet H8. Elles sont parallèles aux droites L1K et Xa, donc le rapport de AM au côté droit <de la première section> est égal au rapport de Er au côté droit de l'autre section. Si les deux sections sont semblables, alors leurs figures seront également semblables, comme on l'a montré dans la proposition 12 de ce livre. Le rapport du diamètre transverse de l'une des sections à son côté droit [A-254 V ] est donc égal au rapport du diamètre transverse de l'autre section à son côté droit. Mais nous avons posé que les rapports de ces côtés droits aux droites AM et Er sont égaux. S'il en est ainsi et si les deux figures des sections sont semblables, alors on montre, comme on l'a montré dans la proposition 12 de ce livre, que si, dans le segment BAO, des droites sont menées parallèlement à la droite BO et si dans le segment ZEE des

29 Il s'agit de la construction des figures avec les mêmes lettres que dans la proposition précédente.

161 y\~ 1,.>•

0A):! ~\

o.ÀA 1;-\

,v-t

•

0~1

4

\\ .>-~.

($"

~lJ\

•

ij4 (~..

•

t-r

W\y\~.~\ · \~

J ~ "üJ . .;:, (. J~ (. ~ 0A (~,:?jJ\y."W\

~ 0t.U\ 0l:::!J\)\ wl5'J ,djJS 0l5' / I~~ dj~ 0\ m.ill

e

r~ol.-I LW\ 1.#\ (j>.1.;J\ ~\ 0~ / '0:S!J L...::..o ~I 0l....,WI -L'J ~JJ '0~L.:...:.o j (. J ~ ~ ,) ~ · ~l..:..:.o 4---Jj) 0A

5

. ~L:1..:o

J.#\!! b.,$~ ~\ ~.4.C~\ ~ ') ~ ..

--

r\r.-..,., ~ ') j (.

\ 0-&-\'''' al ')

--

J L.b;J j

--

""

,) / L.b.i 0 1dj~J ~~ ,~W\ o.a 0A ~ ~\ .} c::e-:J l-.S ,') j; ~ (.

J

Ca:i

') j; ~ ~ b~, J .~.>~~~~ IA·'\ . . .~"

~ ~~~

10

" " _.." 0\ b~)\ L, ~~J ~y~ ~ ~ ~ ~ ~ 1; ~. 4~~ 0\~~ .~

~ ,:?jJ\ ~ ~ d'~ ~L.:.::l.\ ~W\., ;;~\)\ t~\ - Ç3 .tt!lSJ.I.} d'~ d \.a J..:! ,:?jJ\ ~\.}

1, ~

\)=i 4J ,.Jl>. ~ ~'--! ~l5J.\ ~\

J b..rS~ l.o ~

M

15

~ ~\.( ~ (. ~ ~.J-o (~J .ü J ,:??jA J~.;:, (. ~\ J~ ~ ~ 'd' J ~ 04j\j-4 l.o.+9 ,j; (. ~ 4k

r

t

0L-1..il1 0L.S ~~. r> ':JI ~ ~l...4J\ ~\ J~ 6 0 ~ ~UJ\ W ,,\IA'l..:..:.o ~t \ . \('" te :,l.! ".~L:1..:o "",,\.fir: .. ~ """" '-"..~

o~:~ ~ \('" te'\.J ,.~ u- ... ~ '-Y '-"..- ;-

1;-~ol.-\ ~\ ~

.r-

/

~lAJï ~ J~ ~I

~ ~~\ ~\ ~ • ~w.\

j,>.

J~ ~lAJl ~\ ~J • ~lAJI ~ J~.;> ':JI ~\ 0A ~~I ~ 0 LSJ djl.5' dj~ 01.5' ~}.j '0:S!J~ lo.A~ l:.5' "ü 6 0 ~ d ,m..i\..\ o.a 0A ":-':! ~\ J ~ w ,~ ~~ ,~L.:...:.o ~\ tY

0

:~

j L..h;

JJ t

~y

~jlJ-4 1,.,1>-

t \~ ~ J

(~ <0~>

/ lr :J] 1,~ :~ ( / lr ,y] ~:( 2 - lr ,y] ~ (:1, ~ / lr ,y] (:~ 1 :~ ( 16 - lr]..b;. :1,~ / lr] ~J : 4 J 15 - lr] ~:~ 10 - lr] ~b 0~~ :~~ 19 - lr] I~}..!: ~~ 18 - lr] n :S"":; / lr]..b;.: 1; ( 17 - lr] ~~ / lr 'y' 1] ~J: ~J / ly].;>YlJ :.;>'11 ~I ~ 21 - lr] ~: ~ / lr] .lr] 2:t y / lr] ~ ly] Jt :~ 24 - lI] ~b : ~l4JI d ..

20

162

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

x

H

r

e

B

o

T

i\

p

n

Fig. 22.1

droites sont menées parallèlement à la droite ZE, telles que le nombre des droites menées dans le segment BAD soit égal au nombre des droites menées dans le segment ZEE; que leurs rapports soient égaux à leurs rapports, que le rapport des droites menées dans le segment ZEE, ainsi que celui de la droite ZE, aux segments qu'elles séparent de l'axe du côté du point E soient égaux aux rapports des droites menées dans BAD ainsi qu'à celui de la droite BD aux segments qu'elles séparent de l'axe du côté du point A ; et que les rapports des segments séparés de l'axe AM aux segments séparés de l'axe Er soient égaux, alors les deux segments BAD et ZEE sont semblables. De même, le rapport de AM à AIl - qui est le côté droit - est égal au rapport de Er à EP - qui est le côté droit; et le rapport de AE' à AIl est aussi égal au rapport de E8 à EP. C'est pour cela que les rapports des deux droites L1E' et BM aux deux droites AE' et AM sont égaux aux rapports des deux droites X8 et Zr aux deux droites E8 et Er. Mais le rapport de E'A à 8E est égal au rapport de AM à Er et le rapport de AM à MB est égal au rapport de Er à Zr, donc le rapport de L1E' à BM est égal au rapport de X8

163

j ~

J

\

\"

.l;~

0

~

(>

t

l.Y

) t )

t \ I..;-J L..1i ~ ~~\ .1,#\

~~ 0~J • ~ j y t:j\.,,- .1# ~J' ~ ~ 0~J ,~ 0 j L.1i ~ 4#\ .1,#\ ~.MS lt ~\ ~ ~ ~ Jt ,~ j ~J ,~ ~ j ~ ~ ~~\ 1,,#\ ~ ~ Ji, t I..;-J ~J' t \ I..;-J ~ ~#\ .1,#\ ~ ~ ~ Ji ~ ~ 0A ~ ~\ EAJ\ ~ 0~J.ï ~ ~\ 0A ~-~-j t \ I..;-J \ K.h;; .t:JL.......:....o ~ 0 ~ ~ J,a ';-.1 ~\ ~\

J=

J= \.(

5

·0~~

Ji ~ ~ '~L.4J\ ~\ Y. ~lJ\ .J \ Ji ~ ~ 0~' ~iJ -~ Ji ~ ~ J \ Ji ~i -r \ ~J !~L.4J\ ~\ Y. ~lJ\.~ 0

t_~ .. .( \ - \ t_~ \\ ----:: -~ t_.:..- ~ dJlJ ·c.. ~ o ~ ~ \ ~ ~ (.5f \ • ~ ~ • 4J~ ~ ~J .~ 0 Ji~~~Ji \-r~J-~o ~ ~Ji~j ,~ j Ji ~ J ~ i I..;-J Ji-r ~ ~ ·~ j Ji ~ 0 ~ I..;-J i Ji ~

. .. ~ 3-2 -

[r

,y]

t 1y

:~

0

j 2 -

[r ,y] ~

0

j :

t

1y /

[r]

~

) :~ j

1

:~I ... \.(5-3-[r]~o):~j/[r]~b:~J... l,pI3-[I]~b:~oj

:dJlJ 10 -

[r] ~b : ~i 9 - [r] ~b : ~I 6 - [r] ~b : ~ 4 - [1] ~~I ~ ~i

~I~ :~--:; / [r]~:Yr 12-[I]~b:~ 11-[1]~:~ /[I]~b

·[r] J: ~ dJlS'J' ~

10

164

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

à ZT. C'est pour cela que le rapport de BK à KM est égal au rapport de Da à aT. Par conversion, le rapport de KB à BM est égal au rapport de aDà DT. Mais le rapport de BM à BA est égal au rapport de DT à DE, car le rapport de BA à AM est égal au rapport de DE à ET. Le rapport de KB à BA [Ml üS f ] est donc égal au rapport de aD à DE. Or le rapport de BA à BL1 est égal au rapport de ED à DX, donc le rapport de KB à BL1 est égal au rapport de 0'8 à 8X. Mais les angles aux points B et 8 sont droits ; les angles aux points K et a sont donc eux aussi égaux. C'est pourquoi les angles aux points yet sont égaux. Les deux sections sont semblables, leurs figures sont donc semblables. Mais les droites Ty, He sont tangentes ; le rapport du rectangle AN par Nyau carré [A-255 f ] de TN est donc égal au rapport du rectangle To par oe au carré de Ho, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 37 du livre J. Mais le rapport du carré de rN au carré de Nyest égal au rapport du carré de Ho au carré de oe, en raison de la similitude des triangles TNyet Hoe. Le rapport du rectangle AN par Nyau carré de Ny est donc égal au rapport du rectangle To par oe au carré de eo ; c'est pour cela que le rapport de AN à Nyest égal au rapport de To à eo. Mais le rapport de yN à NT est égal au rapport de eo à oH, en raison de la similitude des triangles; le rapport de AN à TN est donc égal au rapport de To à Ho. Mais les angles en N et 0 sont droits ; les triangles ANr et ToH sont donc semblables. Les angles qui sont aux points A et T sont alors égaux; or les angles aux points yet sont égaux; le rapport de yA à Ar est donc égal au rapport de eT à TH, et le rapport de yK à re est égal au rapport de ea à Hç, car la droite ry [B-13Ü V ] est parallèle à la droite BK et la droite He est parallèle à la droite Mais les deux figures des sections sont elles aussi semblables, donc le rapport de AM à MB est égal au rapport de ET à ZT et le rapport de MB à MK est égal au rapport de ZT à Ta; le rapport de AM à MK est donc égal au rapport de ET à Ta; si nous séparons, on a le rapport de AM à AK égal au rapport de ET à Ea. De même, le rapport de AA à

e

e

ça.

165

,l.4ü \~t, .G ~ ~t ~ ~ ~

rs

~t

-r:; ~ clJjJ 0Aj

~j .G ~ Jt ~ ~ ~ i 0" Jt-:;;:X ~ ~~ ~.~o \\~~;l <->f'\\ \/~~'\~'~ <->f'\\~ ~~ • ~f'., • \ 0"

Jt i

0"

\0,,01

r\·A-r:

Jt ~ ~

~ 0"

\001

•

Jt \ 0" ~j'~ Jt ~ ~

~

Il

0"

-:;;:x

Jt-:;;:X

~ 0l:.U\ 0~J\)\J ·3 ~ Jt ~ ~ ~ ~ ~ Jt ~ ,3 ~ ..Wl:J..J ~ ~\ -. S "L.. ::\ ~ .l:U\ .l:J \. 'li , · Wl! ~ "L.. ::·, .. ~ ~ W W ~JY W ~~

0l.a..b4J\., '~jL....::...o J.;"

t ~ ~ 0L:.U\ 0l....::!jl)\ 0~ dJjJj

r t~ l1>.j '0~~ L.,..."YK..1J '0~~ ,t r ~jA Jt t J.;
r~OO-\

° °

t °~..)-"4 Jt ~ ~j ï ~Ull -:ro ) ~\ ~ ~ ,:?ill ~ · J.; t r t °~ ':f::Ji.o ~L.=..:J J.; t l!..)-"4 Jt t r ~jA ~ l!.)-4 Jt t J.; ~ t ü ~ ~ t °~j-4 Jt t °~ °J ~ -.. ~ ·t· 1; \\t· ü~-·· \\~~dJll·é-: ·t· 1; l!jA

W(

'J

•

(.5f'

•

•

(

W (.5f'

~ 0 ~ Jt :JJ ~ -Lt"lt\,\ "-!W '0~~ r t ü~ J Wi.o.! '0 W l;

°

0l:.lJ\ 0~j\)1 ~\S ~j' 0~j~

,(üJt ü l;-\\".-y

5

.h;.. ,:?j\j:!

J.;~ ~JJtJ

ü

w.

W~J

r t Jt t 1; ~ ~ °Jt

t ~ ~j\jj ·t rJt t

J~

ü

t ~ '~jL:.,1; t~ ~

1 t ~ .h;.. 0~ 'Jz r Jt ~ 1; ~ .k ~ Jt SE ~j

s-r

~\S , w..aJ \~t, · ~ G Jt G 0 ~ Jt "FI ~ · ~ G Jt ~;l \\Jl~,\li'~\Q./~o \\~o~n \\;l~ • ,(.5f' • v(.5f' • (.5f' , • \ooIf'

.. .../

0l.:.a.kAJIJ :0~~ 0L.a.kAJIJ 8-7 -

t :t 1; 12 - [r] t

15-14 -

[r

15

~ 0l:.U\ 0~jljJl!

'0~~ ~\ ~ 0}J' ~ij .~ Jz .h.;. ,:?jlj:! 1; ( .h;..j TI G j ~s-r Jt ~ i ~j G j Jt G 0 ~ ~ i Jt"FI ~

1;

10

,~]

t(

[r] OS ~:-:;:-X 5 - [r] ~ ~~ ~ :~ ~~ ~~ 3 :t ( Il - [r] t :t ( 9 - [r] ..b;. : 1; ( 8 - [r ,~] 0 ~~ :(t 14 - [r ,~] 0 ~ ~~ 0 :~ 0 ~t 0 14-13 - [r ,~]

t

0

t

t

t

t ( ...

1; ~ 0 t :( ü ~ 0 J 15 - [~] ~b : ~Li.:j J ~ :~ J / [1] 0l::J~ :~J~ 17 - [1] ~b: 0L::J I)1 ... 0l:UI / [1] 0L::J I)IJ JJ~I) ~ j 20 - [r] ~ t :~ ( / [r ,~] 1; ~ :~ 1; / [1] 4-;J :~J 18 - [r ,~] ü)~ :w~ 21 - [~] ~b :~ 0 ••• ~ 22-21 - [r] ~ :~ r / [~] j ~ :(~WIJ

: 0L:.:J I)l! 16 - [~] (

·[r] 31: JI / [r] JI :3122 - [r]

20

166

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

r e y

A

N

TI

x

p

Fig. 22.2

AM est égal au rapport de ET à Er, car le rapport de AA à AIl et le rapport de AIl à AM sont égaux aux rapports de ET à EP et au rapport de EP à Er, donc le rapport de AA à AK est égal au rapport de TE à Ea; c'est pour cela qu'on a le rapport de AA à AK égal au rapport de ET à Ta. De même, le rapport de AN à Nyest égal au rapport de To à oe, en raison de la similitude des triangles; le rapport de NA à Ay est donc égal au rapport de oT à Te. Mais le rapport de NA à Ay est égal au rapport du carré de AA au carré de Ay, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 37 du livre 1. De même, le rapport de oT à Te est égal au rapport du carré de ET au carré de Te ; le rapport du carré de AA au carré de Ay est donc égal au rapport du carré de ET au carré de Te et le rapport de AA à Ayest égal au rapport de ET à Te. Or nous avons montré que le rapport de AA à AK est égal au rapport de ET à Ta; le rapport de Ay à AK est donc égal au rapport de Te à Ta; [A-255 V ] c'est pourquoi le rapport de Ay à yK est égal au rapport de Te à ea. Mais le rapport de Ty à yA est égal au rapport

167 ~

~~o,i

/fi t -.0-0-0-0-0

0

~ .\1 t':' u

0-----1

J

..r

o

i.S

J

:J

(o/~o_o

~'~------I 1t •

011 i.-J

U"'

0

..

.:>

'-'

)

/ [r] n :JI / [r] ü Jt ~ ~ Jt ü 1 [r] n :Jl3 - [r] ~lSJ :~lJJ / [r] j o:~ 2 - [1] ~b :~ ~ ~i :.l; Ü Jt / [r 'Y] ~\.,j : ~ ü t 5 - [y] ~b : ~ :.>~ Jl4-3 : (~UJI) ~j-4 / [r] u. : ~ t 7 - [r ,y] dJlJJ : dJwJ / [r] 31 : ~rl 6 - [1] ~4J\ 9 - [r] 1, j :.l; ~ / [r] ~ (~W\J JJ~\) ü 8 - [y] y1.-J\ J~J ~~\ ~ ~i o[r] ~b :Jt.l; Ü .. oLi' ü 11-10 - [r] ~:n 10 - [r] ~ :ü [r]

:.> ~ 2-1 -

- [r]

[r]

~-~ :ü

j

0

~t ~ ~ : ~ Jt ü ~

0

0 :

0

0

0/

00.0

000

0 :

000

0

0

0 /

n:n

168

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

de Hf) à f)T, en raison de la similitude des triangles TyA et Hf)T, donc le rapport de Ty à yK est égal au rapport de Hf) à f)(j. Or nous avons montré précédemment que le rapport de yK à Te est égal au rapport de f)(j à Hç, donc le rapport de Ty à Te est égal au rapport de Hf) à Hç. Mais les deux angles aux points yet f) sont égaux, donc les deux segments L1TB et XHZ sont semblables et semblablement placés, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 18 de ce livre. D'autre part, si nous posons un segment le, non séparé par les perpendiculaires que nous avons mentionnées et sans que, dans l'ellipse, il soit non plus séparé par des perpendiculaires dont les distances au centre sont égales aux distances des autres perpendiculaires, alors je dis qu'il n'est pas semblable au segment L1TB. Si c'est possible, qu' il lui soit semblable. Mais le segment L1B est semblable au segment XZ, donc le segment le est semblable au segment XZ, et ils ne sont séparés ni par les mêmes perpendiculaires ni par des perpendiculaires dont les distances au centre sont égales à leurs distances ; ce qui est absurde, comme on l'a montré dans les propositions 19 et 20 de ce livre. Le segment le n'est donc pas semblable au segment XZ, ni au segment L1TB. Ce qu'il fallait démontrer. [A-256f ; B-131 f ; M-I08 V

]

- 23 - Dans les sections dissemblables, aucun segment de l'une n'est semblable à un segment de l'autre. Soit AB et TL1 deux sections dissemblables. Qu'elles soient d'abord toutes les deux des hyperboles, ou toutes les deux des ellipses. Je dis qu'aucun segment de AB n'est semblable à aucun segment de TL1. Si cela est possible, que le segment BE soit semblable au segment L1Z. Joignons les droites BE et L1Z et partageons-les en deux moitiés aux points H et e. Soit les points A et K les centres des deux sections. Joignons les droites HMA et eNK qui sont les diamètres des deux sections, comme on l'a montré dans la proposition 47 du livre 1. Les droites HMA, eNK ou bien sont des axes ou bien ne le sont pas. Si elles sont des axes et si les deux segments BE et L1Z sont semblables, alors on mène jusqu'à l'axe les droites

169

3'1 ~t t ~ ~.ü.l; (J t ~ '!::j:.o ~L.:..:l ~L.~.l; ~ 1. ~ Jt 3'1 ~ 0i ~T ~ ~ ~j .~.l;

~t .l; (~

,d- (

t

~ ~ 0L:1J\ 0~j\)\j .d- (Jt};( ~ 1, ~ Jt ~ ~ ~j 4Wjj 0~L:.:.o j (3 I..;-l ~ ~ ~ '0l::!jL...:..o .l;

t

l::! ~\ -i ~ W' ,~U:.o 'Jj b.rS',) ~I Ô~~\ ~ 'J L.1i 'J '2 L.1i ~ b~, ~ij .~w.\ o~ 0A

!y>.~1 ô~~\ ~ )5').\ 0A LA~ ô.4Ci ~WI F I .~~ ~ • •

5

-i ~i ~

~~;} •

IA ••

\:J&il!

"'t-'~..T

'J tf~ 'j 3 ~ ~I..;-l ~~j .~;r+" .•:.. ~ ,~i 0~

)5').\ ~ ~~ o~\;}J ~~~ O~\ \ Q+l~ ~J j J ~ ~ ~ .~W\ o~ 0A ~j.b.:! ~\ ~~ W ,u.l>. I~ !LA~ ~

..

~

-

10

--

///.~0\ b~)\ ~dJ~J~Y~ ~~;}JjJ~'1'-t'~~

a-r 0"\-\ J

J-\ "'\-y .1;-\

L.1i

~

~w\.>.\.

L.1i

~

'1" ~ '4-: ·

iJA.

~

.. q _L::q -":;;? .. '-:? t~ · y>. 'l\ ~

'/\-i

~ -'J.,i bH -

j

-

,

~~

·

1 ~ ~L:..:.o .d- 0l.a..6.i ~

I..;-l

~:;;

15

~

· ~~ ~ ~ y \ ~ ~ ~;} ~l:J~l! ~~b ~ J\ ~J.j\j j

~

0

I..;-l

~ ~j • j ~ L.1i

J ~ ~I

0

I..;-l

L.1i

4 • •:.

"1.9

,dj,)

~i 0}J

\)-5'yo ~j .1, ( ~ ~ ~ ~ \0.+ 0 , ~j

~I .) ~ W ,~ 0\# loAj ,~ J i (~ ~j .l b~ 'Ji lob,~ b~ 0 i lot ~ J i ( lb;.;. ï ~lli\ 0A)o

Jt r.f.= ~}J ,~L.:...:..,

j ~

: ~ ( ~~ ~ 1; / [,] ~l,j : ~

0

I..;-l

~ ~iSj ~ blS 0~ .djJS

t

,y] ~ 1; ( : Ü 1; ( / [,] ~ : J ~ 1 [y] ~b : ~ ( ... ~ 3 - [,] ~ J~ 1; ~

2 - [,

: 'i / [1] ~b : ~ / [,] ~ : 'i ~ 6 -

ci

- [,] 4~~ : ~~~ / [1] ~ : ~ 10 - [,] ~ : 'i ~ 9 - [1] ~4.11 ~i : ~ 16 - [,] ~ : 'i ~ 12 - [, ' y] ~ ~. ~J ~ 14l 1 0 lA 0A : ~ W 1 0 lA 0A :5J Il ~

,:5 :J / [,] ~ [y] ~b [1]

20 - [,] ~ ~:

~: ~

wJ ~ 19 -

[,

/ [,] j-SJ-4: 1j-SJ-4 18 - [, ,y] ~b ,y] J-<..:zJI I~ ~,~'J J~IJ ûLS ,~I .[,]~.:J:~~21-[,]~:J,(

20

Le sixième livre ct' Apollonius sur les coniques

170

parallèles à la droite BE, telles que leur rapport et le rapport de BE aux segments séparés de l'axe du côté du sommet de la section soient égaux aux rapports des droites dont le nombre est égal au nombre de celles menées à l'autre axe et qui sont parallèles à la droite L1Z, et de la droite L1Z, aux segments séparés de l'axe de l'autre section du côté de son sommet, et telles que les rapports des segments séparés sur l'un des deux axes aux segments séparés sur l'autre axe soient égaux, et que les droites parallèles soient des perpendiculaires aux deux axes. Alors les deux sections AB et TL1 sont semblables. Or nous les avons posées dissemblables; ce qui est absurde. E

z N

e

B 1\

P

A

f1

K

Fig. 23.1

::: r

x

Fig. 23.2

Si les diamètres HMA et eNK ne sont pas des axes, alors nous posons les axes AA et rK, nous menons des points M et N les perpendiculaires MIT, NX aux axes et nous menons également à partir de ces points deux droites MP et NE tangentes aux sections. Puisque les deux segments BE et L1Z sont semblables et qu'on a mené de leurs sommets MP et NE qui leur sont tangentes, alors on montre, à partir de cela, comme on l'a montré dans la proposition 18 de ce livre 30 , que les deux triangles MPA et NEK sont semblables. Mais les droites MIT et NX sont des perpendiculaires, donc le rapport du rectangle AIT par ITP au carré de MIT est égal au rapport du rectangle KX par XE au carré de NX, comme on l'a montré dans les

30

Voir Note complémentaire [22].

171

5

J

)

1

~ JI ~I ~ b~ ,~~ J i ( \fi ~ ~ 013 (~j '0 0 J i ~ ~I ~ ~:J~ ~ ~ .:ro(~j - - -

, , - -

r

9

"

j ~ oy~ 0)ij.~0)\ ~~~l(~ ~\ ~

"" '-r 0 ) i ~ ~ 0l..lt 0\.1;.. ~\) .:ro (~\ ~j '0~~ J) i ~:.o 0i ,Uw.\ o~.:ro JD:JI ~ 0,::1 W' dJ~.:ro ~ ~~ -_..

e=

) J ~ J J &- ~ '0b~ 0 0 J i \.1;..j ·0~~ OS -r 0

~ 0,::1 W '0 0 ~r

Ji-r 0 ~ 0 OS &- ~ J

i ~.ro

Ji

~ 0~J j ,:) ..b..>.J ~ 0 ~ ~jlJA 0~J o~i ~I : j ,:) ~J ••. ~I 3-1 ~ lt» ~J ,[~] o~\JI ~ ~....J) ~ l( w.,l.>.i ~ ~ ~ L, Jt o~\JI :-~\ -'>\ 4 - Ir ,y] ~: ~ :3 - Id ~: ~ 2 - ..r-.4-l 1J «'"'-..1) - [~] o)~: (~J / [~] ~I :~I /

r

[1]..r-.4J I ~ ~i: ~ 9 - [~] ~I

~ ~ r [r] ~ ~ :tj-'J 0 ) r / [1] ~~I : (~i Il - [r] ~ ,:) :j ,:) / [r] 0 r:) r 10 0~~: 0~~ / [r] ~ :S tj-'J 0 13 - [22]~) ~I):ùl ~[r] ~:~ 12 - [1] .[1] Z;X :J314 - J-:. ~ dJ~J '[r] j J:) J / [r]

tj-'J

10

172

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

lemmes qui précèdent ce [A-256 V ] traité. Mais le rapport du rectangle AIl par IlP [B-131 V] au carré de MIl est égal au rapport du diamètre transverse au côté droit pour la section AB, comme on l'a montré dans la proposition 37 du livre 1 ; et de même le rapport du rectangle KX par XB au carré de E M

z N

p

.... c r - - - - ( ) - - - - - - ( ) - - - - D - - - - - - - - - o N

A

K

Fig. 23.4

Fig. 23.5

NX est égal au rapport du diamètre transverse relatif à la section TL1 à son côté droit; le rapport du diamètre transverse de la section AB à son côté droit est donc égal au rapport du diamètre transverse de la section TL1 à son côté droit. Les figures des deux sections AB et TL1 sont donc semblables. S'il en est ainsi, alors les deux sections sont semblables, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 12 de ce livre. Les deux sections AB et TL1 sont donc semblables. [M-lü9 f ] Or nous les avons posées dissemblables; ce qui est absurde. Le segment BE n'est donc pas semblable au segment L1Z.

- 24 - D'autre part, nous posons la section AB une parabole, et la section TL1 une hyperbole ou une ellipse. Or il est clair que la section est dissemblable de la section, d'après ce que nous avons dit dans la proposition 14 de ce livre. Je dis alors que les deux segments BE et L1Z sont dissemblables. E

M

H

N

B A

Fig. 24.1

e

z Fig. 24.2

173 o

r~'---

o/ __'~r~ ·-;·il_f'o1\- ~O------t )

1

J

J

Wb } r~\j .:l ~ &J W~ y \ & ~ b}j , l..2.:\J - JS !~Ul.\ ~~ 0-0 ..l:! ~\ -i Lill ,:?.ill ,~\ ~ 'j ~\ \)1 ~ yaJ

!

---

·~~ y:p j

~ ~ y ~

y

01 : J~l!

j

2-

[r]

~J:~J / «~tLJI~I~:Yl>.» [y]~~~ ~ :y~1 1

:clJiSJ / [r] JJ~I :\3 - [r ,y] ~ ~l.iJI ~I Jt y 1~ :y 1~ ~WI ~I Jt 6 - [1] ~b:~ ... ~ 6-4 - [1] j--;: ~ ~ 4 - [y] ~b: ~ / [r ,y, 1] clJ.:JJ ~ / [Y]0~~ [r] ~~: 0~~ / [y] ~I :~I 7 - [r] ~: ~ - [r] «~ 0i b~)i ~ clJ~J» ~~ JWi: j ~ 9 - [1] ~b :~I / [1] ~ltJI ~ :~

.[r] J.,iIJ : J.,it! 12 - [r] ~bJ : ~b Ji 10

10

174

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

S'ils sont semblables, alors on peut mener en eux des droites en nombre égal, parallèlement aux droites BE et L\Z, telles que leurs rapports aux segments qu'elles séparent de l'un des deux diamètres du côté du sommet du segment, lequel est le point M, soient égaux aux rapports des droites qui séparent des segments de l'autre diamètre aux segments qu'elles en séparent du côté du sommet du segment, [A-257 f ] lequel est N; et que, également, le rapport de la base au diamètre soit égal au rapport de la base au diamètre, et que les rapports des parties de l'un des diamètres aux parties de l'autre diamètre soient égaux. On montre ainsi que ceci relève de l'impossible, comme on l'a montré pour l'ensemble des sections dans la proposition 14 de ce livre. Si l'une des deux sections est une hyperbole et l'autre une ellipse, on montre l'impossibilité de cela comme on l'a montré dans la proposition 15 de ce livre. Ce qu'il fallait démontrer. - 25 - Aucune partie de l'une des trois sections coniques ne peut être un arc de cercle31 • Soit la section ABT. Je dis qu'aucune partie de celle-ci ne peut être un arc de cercle. Si cela est possible, que ABT soit un arc de cercle dans lequel on mène deux droites quelconques non parallèles, soit AB et FE. On y mène aussi la droite ZH qui ne leur est pas parallèle. Menons la droite ze parallèle à la droite AB et la droite HK parallèle à la droite TE, et menons EA parallèle à la droite ZH. Nous partageons les droites que nous avons menées en deux moitiés aux points M, N, S, 0, II, X et nous joignons les droites MN, SO et r K

x

Fig. 25

31

Voir Note complémentaire [23].

175

~

~

lA..\.>.\ ~ .~ 0~ 0\ ~ 'l ~YliJ\ üu,..V ....=.J.\

t# -

~

~

-

10

.~~L~ ~ C~

L.....,i ~ .~ 0~ 0i ~ 'l oÛl :J.,iIJ !~ y

\~

~~ .~~\~~

~ ~ ~ (~J ,o~b 0-" L....~ ~ y \ ~,~ 0 lS 0~

A-

rj..b>.

~i 4-:J (~J

'0

~y

\

4.Je ~?- ~ ~j\y.o

~ ..b;l.. ~j \~ ~ .h.;..J Y \ ..b;l.. ~j \~ .1 j ..b>. ~~J ~~ )1.,.., ~~ 4~\ ~\ 1.#\ ~J ·rj..b;l.. yj\~ J 0 (~J 1.#\ o~ .J J t ~ 0 i 1.# ~J '0 J ~"5 r..h4.:l ~ , 0

t

«~I» ~ ~: ~i / [1] ~I :~I 4 - [r' 1] ~:~ / [1] ~I :~I 3 [r ,y] «~LQ1I» ~ ~ :J6J.I ~ dJ~ ~i / [r] 0:~1 :~I 6 - [r ,y]

:J6J.I ~ /

.kJ~1 :üU,J~1 10 -

[r] ~ [y] ~:~ 9 - [y] ~l,j :dJ~ 8 - [r ,y] J~ [r ,y] ~ ~ y 1:~ y 112 - [23]~) ~I ~I ~[r ,y] ·[r] J (:~ 17 - [1] ~ltJI ~

~i :~jl.,..:.o ~ 15-14 -

0

15

176

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

rrx.

Ces droites sont donc des diamètres du cercle; elles partagent les droites que nous avons menées [A-257 en deux moitiés et leur sont perpendiculaires. Mais elles sont aussi des diamètres de la section, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 28 du livre II. Les droites MN, sa et rrx sont donc des axes pour la section, sans qu'aucune d'elles ne prolonge son associée, [B-132f ] car les trois premières droites ne sont pas parallèles; ce qui est absurde car dans aucune des sections il n'y a pas plus de deux axes, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 50 du livre II. [M-109 V] Il n'est donc pas possible qu'une partie de l'une des sections soit un arc de cercle. Ce qu'il fallait démontrer. V

]

- 26 - Si des plans parallèles coupent le cône dans une même direction et si, parmi ces plans menés dans la direction du sommet du cône, certains sous-tendent l'angle extérieur, alors les hyperboles engendrées sont semblables et inégales. Soit le cône ABr; qu'il soit coupé par deux plans parallèles. Soit les deux droites KN et eM leurs intersections avec la base. Menons du centre de la base du cône une perpendiculaire à ces deux droites ; soit BAHr. Coupons le cône par un plan passant par la droite Br et par l'axe du cône; que ce plan coupe la surface du cône suivant les deux droites AB et Ar et que les deux intersections de ce plan et des deux plans parallèles soient les droites LlA et ZH. Prolongeons-les jusqu'aux points a et E. Je dis que la section eZM est semblable à la section KLlN sans lui être égale. N Fig. 26

~ ~\S,., ,ow\>r\,., ~ J ~j\~ r~ 1,,.,~\ ~ \~1- -;?,," ~ " '~J'.~\ ~Jlyl üiiJ I -1J..PJ.I 0"'1) ~b:.r ~..,.>I l~t.;JI r."h-JI '~JL.:o ~ ~~ ~~.;JI o..\tllYI

t.,kAJ\

0~

10

~y\~1,,.,~~ ~,.,. 0yj\~ 0~

c}> o~WI t' o,u.L;

ci·

ho ..J,.,

0L5'r-=J.I w~

)oS..ro :.r r~J 'i -1 :;3

~ Î~~ ~I ~.u Jt -1J~\ ~ ~ -1J..PJ.I ~J .~ J y

15

r

~,., ,1,,.,~\~,., ~ y ~

c}> ~ 1,,.,..PJ.\ ~ ~\ \-a 0~~\ 0~\~'" ,~ \ y \ ~jl~1 ù? b Y(f---f-~I----(J-----6---~ ~

~

&i

UJ ~I

Jt w ~J

-~ j 1,

\

&i

'

rj

14

J; ~

" -01: J~l! ~ 0 t

.ciJ,.,~ ~~,.,,~ ~

,y] ~ :(~WI) ':tJ / [y] ô~l.uJ :ô~l..ul 1 L [y] ~~ ~ ~..w?J ,[\ ,y] ~~ :ô..\.>IJ ~ ~ / [\ ,y] ÜU,J.r>J.I :1,J.r>J.I 8 - [\] ~I: &JI 18 - [\ ,y] ~ \ 1, :\ 1, ~ 14 - «\S.,r>' ~...~.:l) ~ ,« t» .[\] ~ [1] -;s::;-;s 23 - [1] j 1, :\ j 1, 22 - [\] ~:~ 5 - [1] ~b :~YWI 4 - [\

20

178

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

Démonstration: Menons du point A une droite Arr parallèle aux droites L1A et ZH et posons le rapport de OL1 à L1E égal au rapport du carré de Arr au rectangle obtenu du produit de Brr par rrT. Posons également le rapport de EZ à Z1 égal au rapport du carré de Arr au rectangle obtenu du produit de Brr par rrT. Si la droite BA est perpendiculaire à la droite KN, alors les droites menées dans l'hyperbole KL1N jusqu'à la droite LiA, et qui sont parallèles à la droite KN, peuvent les rectangles appliqués à L1E, qui est le côté droit, en les excédant d'un rectangle [A-258 f ] semblable au rectangle entouré par les droites OL1 et EL1, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 12 du livre J. De même, les droites menées dans l'hyperbole eZM jusqu'à la droite ZH et qui sont parallèles à la droite eM peuvent les rectangles appliqués à Z1, qui est le côté droit, en les excédant d'un rectangle semblable au rectangle [B-132 entouré par les droites EZ et Z1. Les angles entourés par la droite KN avec la droite L1A sont égaux aux angles entourés par la droite eM et la droite ZH, car ces droites sont parallèles deux à deux. Les deux sections sont donc semblables, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 12 de ce livre. Mais le rectangle OL1 par L1E est plus petit que le rectangle EZ par Z1. Les deux sections eZM et KL1N sont donc inégales, d'après ce qu'on a montré dans la seconde proposition de ce livre. Ce qu'il fallait démontrer. V

]

- 27 - Si des plans parallèles coupent un cône et rencontrent les deux côtés du triangle qui passe par son axe, sans être parallèles à sa base, ni antiparallèles à celle-ci, alors les ellipses engendrées seront semblables et inégales.

179 -

- -

~

~

-

l'

,J 1~ ( j J ~ ~ l:!jl~ lb;. 1~ ~ r~!.:ll :~~ CllA)"!

~ Cl~,:?lJ\ ~IJ~J ll!jA~ '-'"" ~J~ ~ ~~J

J~ J 1l!jA ~ ':? j J~j ~ ~i ~J ,~ J ~ J ~ ~~ 0

r~~ J ~..b>. ClLS ~}J .~ J ~ J ~ ~~ ~ Cl~ ,:?lJI ~I ,~ ..b>. J~ ..d1)1 ~ &i ~ r?J ~I .k#1 Cl~ ,~ ..b>. ~ ,:?.:JI ''-'"'' ~ J~ JL.a1 ~I (~I ~ <.SyÏ1 ,~ U ~jl.,.., Cl~J

r~Oi\-1 ~ ~ ,:?lJI ~~ 4-"..:., / ~ oL4~ ~ ~)1J ,~l.4JI ~I Y' <.SyÏ1 ~i ~.>.SJ .\ tll.Al.\ ~ '-:"":! J-ûJI ~ ~ W , ~ '-'"" ~ t L1.;.. U ~jl.,.., Cl~J ' ( j ..b>. J~ ..dl)1i j .k &i ~ r~ ~I .k#1 ~ ~)1J ,~l.4JI ~I Y' ,:?lJI '':? j J~ JL.a1 ~I (.,h-JI ~ 'i .k J;-\n-y .;JI l.:!IJ)IJ · ':? j j 0 L1.;.. ~ ~ / ,:?lJ\ &-J~ 4-" .•:. 6.h..., d...o~ e i 1,..b>. ~ ~ ~I l.!\"}J ~JL...., ~..b>. e ~ ~ ~ ~

·w·\

..

5

10

\ .A.''1,. ..b>. ()

\~:.'\ "~,.\A'~ .~\j.\. At ~,,~ W~ W ~W ..)~~ -

-

1'-

-

-

~.~j~jo ~~~\~ ~ ~ ~ t~j.~WJok~~

!tllAl.I

O.a ~ ~WI J-ûJI .} ~ ,:?.ill '~JL....:..., ~ ~ i . . . .

l'

j.k

l'

.,·~·\b~\L,~~ \""./..-;- W ) !j

,:?lJI ..:.Jil.1 ~ ~J ~jl~ (~ .kJ.r=-J.I w.ki I~l- j! - . t~1 Cl}J ,4J t.i.ll.:...f 'lJ .kJ.,;J.I o..u:.l.4J ~jl>f ~ ~J ,cl .. ~ ~ A • ~J~ y::è ~L.:.:., G~ ~I ~WI

5 - [r]

Uj :

J ~ / [~] ~b : ~~ ~ :.>~ ,:?.:JI 4 - [r] ~ 1: J 12 - [r] ~ 1: J 1 1

[r]~b:~1 / [~]~b:ï W / [r'~]~ ~: ~~ 8 - [1] ~b:(JJ~I)~ ~ ~ ~~ L ~.k>:.>~ :r 1, \S"z 10-8 - [r] ~b: ~i / [r] ~b :~llil / - [r '~]l:IJYü: l:IJyIJ Il - [~] \S"z ~lyl r j 1, ~ (~ ~I 1,#1 :.>~ " 1,

&i

\1

\c(':.'1

r~r ~

L

.....

~

I~ : • i14-[]·\"A,~,,"_L-:lü:·\A.~·~\.!13 iJ ~ W~ ~ W~ w

r

I~J H(,:?j~ jo ~ 0-O~i ~ ~~ ~ ~J» [r'~] ~b~ .[I]tL,~~ \"') ,:?i ,;;)~I o~ t' ~ l( ~I \",)J \",)1 ~."wl ~ ~ ~J ,\",)1 t' ~ ';} lt \",)1 ~ ,:?jl~I~) ..\..ilJ '(J-\'~ .~ yl:ul) JJ~I \",yJI)~ '0 L 0-0 ~i J t .~ ~I) «~ ~~ ~ ~ ~ ~i ,:?j ~j 0 ~ :'>~J» ~J [1] ~ oJ-.:t?,:?.:J1 18 - [r]

y :
[r ,~] ~J~ :~J~ 15 - [r ,~] ~: ~ / (1;-\.A '[r]W~:W~

15

180

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

Que deux plans parallèles coupent le cône ABT. Soit les deux droites eM et KN leurs intersections avec le plan de base du cône. Faisons passer par le centre de la base du cône une droite perpendiculaire aux [A-258 V ] deux droites BM et KN. Soit BTHA. Qu'un plan passant par cette droite et par l'axe du cône coupe le cône. Soit les deux intersections de ce plan et des deux plans parallèles les droites ZEH et .10A. Je dis que les deux sections ZPE et .1XO sont semblables et inégales. [M-11 Of]

K

e B

r

H M

A

TI

N

Fig. 27

Démonstration. Menons du point A une droite Arr parallèle aux droites ZH et .1A ; que chacun des rapports de 0.1 à .1E et de EZ à Z1 soit égal au rapport du carré de Arr au rectangle obtenu du produit de Brr par rrT. Si la droite BTA est perpendiculaire à KN, alors les droites menées dans l'ellipse .1XO jusqu'à la droite .10, parallèles [B-133 f ] à la droite KN, peuvent les rectangles appliqués à .1E, le côté droit, déficients de rectangles semblables au rectangle entouré par les droites .1E et .10, comme on l'a montré dans la proposition 13 du livre 1. De même, les droites menées dans l'ellipse ZPEjusqu'à la droite ZE, parallèlement à la droite BM, peuvent les rectangles appliqués à Z1, le côté droit, déficients de rectangles semblables

0\Sy:...=J.I 0~1 ~J '0l:j\~ 0bh..., ~ y 11.J~ ~ j;-roA-\

e

o~Ü ySjA ~ ~J.:;3 i 1. ~ 1.J~\ o~Û ~ l..-.&J ~J .J ~ y ~ ys i 1. ~ / ~ (~~ 0~ lb.> .1J .;.J.1 0\Sy:...=J.I 0~\ ~J ,1.J.#\ ~J YI \~.1f ~ 1.J.#1 ,. - - - ~ 0~ : J"JU ! J t ~ r 0 j ~ ~j\.,.:l.\ 0?'h UJ ~\ \~

r

/.0:::.J~ ~ 0~~

-

.,-\\'-(' " j \ ~

~

~

~

0)

j

r j ~ l:!j\".., lb>. \ ~ ~ r~ !.:lI,. :d1~ 0\.A)"!

---

J

t c,

~

-

~

l....+-o O..L>\J ~ ~ j

~~ j 0 ~J (j" ~ ~~ ~ J y y~ ~ 0~ ~l.l\

t

~ ~J J~ J\l!r

-i &-J\ ~~I t J ~ &i -i r..PJ ~\ 1.#\ 0~ ,ys ~ (~~ J ~ y

.h.;.. 0\S ~1! .~ J .,-\n-..." Jl,.;.j

5

~I r."h-JI ~ ~.,z ,ys y

/ ~j\~ 0~J

't

10

~ .h.;.. J~

&-J~ ~ l>.~ oL4\.ë ~ ~J ,~WI ~I Y' ~.:J\ (j" ~ J~ d1jSJ · ï ~w.1 ~ ~ ~\

0~J

-

0

j.h.;.. J~ ~~\

J ~ W' 't ~ (j" ~ lb>. '-! ~ ~.:J\,. -_.. 0)

&i -i r"";':; ~\ ,.1#\~.,z W:!\ ~

j

,~l.4J\ ~\ Y. ~.:JI ,~ j J~ Jl,.;.j ~I r."h-J\ ~ , i 1. Y

~j\"..,

L~~I~ ~i:~.J~~I

... ~3-2-[r,y,I]~~I~I:01S~10~1

,~:~jl~1 ~J

![r 'y ,1] ~I

~

0""' : 0""'--:;

[y]

I~~: ~~

14 -

8-

/

[r] ë j

:

t

:~J~I /

[r] li+! :14-: 4 - [y]

J ~ 6 - (J- \ "'\ V . ~ ) ~ ~ «~J~I» ~ ~~ j=.~~,j\J

[r]~:~J

[y, 1] dJjJJ

:dJl5'J

1

«~»

/ [r] ~:Jy 9 - [1] ~:~ / [r] ~:~J /[r] 13 - [r] 0""' j: 0""' ~ 12 - [y] ~jJI ~I:
: 0 )

15

182

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

au rectangle entouré par les droites ZE et ZI. L'angle KAL1 est égal à l'angle eHZ car les droites KA et AL1 sont parallèles aux droites eH et HZ; et le rectangle entouré par les droites L10, L13 est semblable au rectangle [A-259 f ] entouré par ZE, ZI. S'il en est ainsi, alors les deux sections sont semblables, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 12 de ce livre. Les deux sections L1XO et ZPE sont donc semblables et elles sont inégales, car le rectangle ZE par ZI est plus grand que le rectangle 0L1 par L15'. Or on a montré dans la proposition 2 de ce livre que, s'il en est ainsi, alors les deux sections sont inégales. Ce qu'il fallait démontrer. - 28 - Nous voulons montrer comment trouver dans un cône droit connu une section égale à une parabole connue. Soit le cône droit connu un cône par l'axe duquel passe le triangle ABT, et la parabole connue la section L1E dont l'axe est L1A et le côté droit L1Z. Que le rapport de L1Z à AH soit égal au rapport du carré de TB au rectangle obtenu du produit de AB par AT. Menons la droite He parallèle à la droite AT. Coupons le cône par un plan qui passe par la droite He et qui est perpendiculaire au plan ABr. Qu'il engendre la section KH, d'axe He. Je dis que la section KH est égale à la section L1E. A

E

~v--

z

r

B K

Fig. 28

A_

183

.~ j ~ j

~ ~ ~lJ\ ~~ 4-~ ..:., ~~ 4..4l' i r ~j ~ 0 4j Ir" -;J TI ~ 0"1 'j ( 1, ~j 1) ~j L....o -:;jS ~j Ijj / ~jJ\ ~I ~.r ~ ~ lb;. ~ ~ ~jJI ~Ij 'j ( ( 1, J-~O\-\ W', 0~~ ~\ 0~ ,dj~ dj~ 0\S \~l-, .~ j ~ j lb;. ~ ~ lb;.

~j '0~~ ~) j -

-

oÜj .

.r ~ ~ ~

t

~ ~ .t.lllil~.k 0A '-:"":! ~\ ~ ~ ,,- " .. 0A ~\ ~? ~ ~ j ~ 0:J '0:l:!j L....::.o ~

t J

cb-

5

~ ~\ 01J ,dj~ 0\S \~l dj~ 0\ ~lli\ ~k 0A y ~\ ~ ~

..

""

. ~ 0\ b~)\ ~ clj~-, ~0:l:!-'~

~jL.....o ~ i}s-o ~ü l,j~.j ~ ~ ~ 0i ..\:!.fl-

ri! -

.i)-ti~~

~ \., ,~ y 1 -:..1io ~ ~ \1,j~ i"w, 1 ~ \.Al \ 1,j.PJ. \ ~ J~ j ~ ~ ~j • j ~ ~\.Al\ oW...;j j ; ~j ~ i"w,\ til5:J.1 .~ 1 ~ y \ y~ 0-0 0~ ~jJ\ ~\ J~y~ l!f4 ~(l 1, ( ~ ~ ~ l,j..PJ.\ F j ,~ \ Y ~j\j-O 1, (.b>. (~j ~jJ\ [3' -:"~j !WÜ 4\jj ~ ~ y \ ~ ~ WL; 0~j

10

&i

&i

.~ ~;l.-

[3' &i 0~ :J.,;t! !1, (

~

~ 0-------;--

J

:y~ 13 -

[r] ~ ~:~

\l,.,"01~ Il - [y] ~b :r~ 9 3(:~ 16 - [y] y \ :~ \ 14 - [r ,y] ~b

yf /

·[r]

[r] l,J~:

15

184

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

Démonstration: Les perpendiculaires menées dans la section KH jusqu'à He peuvent les rectangles appliqués à une droite dont le rapport à la droite AH est égal au rapport du carré de Br au rectangle obtenu du produit de AB par Ar, d'après ce qu'on a montré dans la proposition Il du livre 1. Mais le rapport de LiZ à AH est égal au rapport du carré que l'on obtient de BT au rectangle obtenu du produit de AB par AT; la droite .1Z est donc égale au côté droit de la section KH. Or on a montré dans la proposition 1 de ce livre que, s'il en est ainsi, alors les deux sections sont égales. [M-11 aV] La section LiE est donc égale à la section HK. Je dis qu'il n'existe aucune section dans le cône telle que son point sommet, qui est l'extrémité de l'axe, soit sur la droite AB et qui soit égale à la section LiE, à l'exception de cette section. S'il est possible qu'une autre [A-259 parabole égale à la section .1E existe, alors son plan coupe le plan du triangle passant par l'axe du cône selon des angles droits, et l'axe de la section sera dans le plan du triangle ABr car le cône est un cône droit. Il en est ainsi pour l'axe de toute section dans un cône droit. S'il [B-133 est possible qu'une autre section dont le sommet est sur la droite AB soit égale à la section .1E, alors son axe sera parallèle à la droite AT et le point de son sommet sera autre que le point H. Mais le rapport de son côté droit à la droite que sépare cette section de la droite AB du côté du point A est égal au rapport du carré de la droite Br au rectangle AB par AT. Mais ce rapport est égal au rapport de la droite .1Z à la droite AH. La droite LiZ n'est donc pas égale au côté droit relatif à l'autre section. Mais les deux sections sont égales ; ce qui est absurde, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 1 de ce livre. Il n'y a donc pas sur la droite AB un sommet de l'axe d'une autre section égale à la section LiE. Ce qu'il fallait démontrer. V

]

V

]

- 29 - Nous voulons montrer comment trouver dans un cône droit32 connu une section égale à une hyperbole connue, si le rapport du carré de l'axe du cône au carré du demi-diamètre de la base n'est pas plus grand que

32

Voir Note complémentaire [24].

185

4j L...o ~ i Ao ~l; J.,j~ ~ ~ ~ tir

~

Jt l,j~\ \*"" tir

u-:? ~ \)1

..\:!~ -]3'~ w~ \~t 'iAo ~\j &4l

: (~Ujl) -.b>. / [r ,y] ~.:ul ~I: ~I L~I 2 - [r ,y] ~( .1..;. [1] .1..;. : ~( 1 ~yll~ ~ ~i:0~~.:uI~yll~ 4 - [r]~b :~ 1~3 - [r,y]~b ~b : ~ ... 0~J 9 - [r ,y] JJ ~I :ï 6 - [r] ~~I t..,J.I ~ ~i ':t [y] ~~I 14 - [1] ~~I ~ ~i :~li 13 - [1] ~b:~ 12 - [y] ~b:~ Il - [r ,y] : ~~ 19 - [1] FI :FI / [1] ~J~ :JY 17 - [r] ~~:~ 116 - [I]J~ :~J~ :~ 22 - [24]~) ~I ~I :~û 21 - [1] ~b:~ / [r] ~ :y 1/ [r] ~~~ .[1] ~~I ~ ~i:~ / [y] ~I J~ ~i

186

Le sixième livre ct' Apollonius sur les coniques

le rapport du diamètre transverse, qui est l'axe de la section connue, à son côté droit. Soit le cône droit connu le cône dont le triangle qui passe par son axe est ABT et son axe AB. [A-260 r ] Soit L1E l'hyperbole connue, d'axe L1L', dont la figure est le rectangle entouré par les droites HL1, L1Z. n

E

H

cr p

Fig. 29

Que le rapport du carré de AB au carré de BB soit d'abord égal au rapport de HL1 à L1Z. Menons dans l'angle BAlI une droite parallèle à la droite AB et égale à HL1 ; soit lIN. Faisons passer par la droite lIN un plan perpendiculaire au plan du triangle ABT; qu'il coupe le cône; son intersection sera une hyperbole dont l'axe est IN. Puisque la droite AB est parallèle à la droite lIN, le rapport de lIN, diamètre transverse, au côté droit de la section est égal au rapport du carré de AB au rectangle obtenu du produit de BB par Br, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 12 du livre l ; et est égal au rapport de HL1 à L1Z. Mais la droite lIN est égale à la droite HL1, donc la droite L1Z est égale au côté droit de la section dont l'axe est IN. La figure de la section dont l'axe est IN est donc égale à la figure de la

)

~ ~~ ~ (~ y 1, l!j-4 J~};ï Cjj--4 ~.':J) ~j · .) J ~ ~ ( J ~jL.oj };ï U ~}J'"O lb;. J 1 y ~jlj J (~j 41jj ~ ~ y 1-:J.i., &u ~ Wli .)~ b..h..., .) J .k;.. ~ ~j .k;...):5u . .) '-? ~j (,.\jlj La..6; u..bi .)~j ,1,j..PJ.I ~ tWIJ

.j

~\ J~ ,~4J.I ~I Y. ,-?.:JI ,.) J ~ .)~ , .) J U iJ'O};ï

&lli

~ 1, y Y"""':' 0A .)~ ,-?.:J\ ~I J~ };ï Cj~ ~ ~WI .b..;.j .j ~ J~ ~ (~j ,ï m..ll\ 0A~ ~\ J ~ loS ,~ 1, ~ .)~ ,-?.:JI

E4U ~WI ~ ;Lo j

F1j ~~.~ ~

~ .b;J , ~ ( U

;Lo .) J

JûJ;Lo.) '-?~ ,-?.:J\ F I ~ . .) '-?

[r ,y] ~.w.:~J / [I].b J ::1l7 - [r ,y] ~b :~LQJI 3 - [r ,y] F :~I 1 - [1] ~b:..b> / [r ,y] ~:~9 - ~y)1 (~I ~ 63-62.~ ~I :0 J / : 0 ~ ... ~ 14 - [1] ~b: 0~ 13 - [r ,y] .b y ~ ~.b :~.k ~.k y 12-11 ·[r]~b

10

188

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

section L1E. La section L1E et la section dont l'axe est IN sont donc égales, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 2 de ce livre; et il n'existe aucune autre section égale à la section L1E telle que le point du sommet de son axe soit sur la droite AB. Si cela est possible, alors l'axe de cette section sera dans le plan du triangle ABr, comme on l'a montré dans la proposition qui précède 33 , et le triangle ABr sera perpendiculaire au plan où se trouve cette autre section. Mais puisque c'est une hyperbole et qu'elle est égale à la section L1E, alors son axe rencontre Ar au delà du point A et la partie de l'axe qui dépasse le triangle jusqu'à sa rencontre avec Ar est égale à la droite L1H, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 2 de ce livre; et ce n'est pas la droite JIN, ni une parallèle à celle-ci, car si elle lui était parallèle, elle ne lui serait pas égale. S'il en est ainsi, alors, si on mène du point A une droite [M-111 r] parallèle à cet axe, [A-26Ü elle tombe entre Ae et Ar ou entre Ae et AB. Que la droite qui lui est parallèle soit la droite AM; alors le rapport du carré de AM au rectangle BM par Mr est égal au rapport de L1H à L1Z, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 12 du livre 1 et la proposition 2 de ce livre. Mais le rapport de L1H à L1Z est égal au rapport du carré de Ae au rectangle obtenu du produit de Be par er; le rapport du carré de AM au rectangle BM par Mr est donc égal au rapport du carré de Ae au rectangle obtenu du produit de Be par er; ce qui est absurde car le carré de AM est plus grand que le carré de Ae et le rectangle obtenu du produit de BM par Mr est plus petit que le rectangle obtenu du produit de Be par er. De même, si nous posons le rapport du carré de A e au carré de e B plus petit que le rapport de HL1 à L1Z, si nous circonscrivons un cercle ABr au triangle ABr et si nous prolongeons la droite Ae jusqu'en P, alors le rapport de Ae à ep est plus petit que le rapport de HL1 à L1Z. Soit le rapport de Ae à er égal au rapport de HL1 à L1Z. Soit la droite XE parallèle à la droite Br. Joignons les droites AME et AKX; que chacune des droites JIN, çO soit égale à la droite L1H et que la droite çO soit parallèle à la droite AM et la droite JIN parallèle à la droite AK. Faisons passer par les droites V

]

33

Cette démonstration se trouve dans celle de VI.28.

189

~j . ~lli\ ok ~ y J-<..:J\ -

J

~ ,:?lU '04j~ 0

if'''

-

':? ~ ,:?lJ\ -

&!

I..b.;.. ~ ~ 0'"'1) ~:.>~ '0 ~ F;L...o';"1 ~J';! ,~ 1.;-' 1 ~ ~ FI dJ~ ~:.>~ lÛ}.J ,dJ~ ~i:.>}.J &-JI ~ Wli ~ 1.;-' l,". lio :,>~j , IJ.A J.:; s?~1 J-<..:JI ~ w y.j ,~Ij FI dJ~ :'>')j .Wli 41jj ~ .r>')1 FI dJ~ ~ s?lJl .1.;-'

ci

ci

&i

5

(~lo :,>~j ï~;r- ~)l>~ I~~ :'>~'~F;L...o

ci ~ w '( ~Y 4 L- ~ 1 ~:.>i Jl.:..w.l:r ~I 0A j

0 U } 4j""J,~ j\~ ~j 0 J ~ ~ ~j ~~W\ ok ~ y J-<..:J\ ~ 0A (.;..i ~i lÛ~ ,dJ~ dJ~ :.>t5' l~lj·J;L...o ~ :.>~ J 4jlJ'O 1, 1~ ~ jl ~ Ij 1, 1 ~ ~ ~j / ,~I clJlJ )I,j-O /..b.;.. 1

-

r\\\-r

l;-~i.-\ il.;-'

if'-

-

-

cL Jl ~ ~jO ~:.>p. ~..b.;.. J s?jl"ll YI ~

.1.;-'

10

~

J-<..:Jlj ï ~llil 0A ~ J-<..:JI ci ~ loS 'j ~ Jl ( ~ ~ ~ i ci 0A :,>.H s?lJI Jl LI ~jO ~ j ~ Jl ( ~ ~j .~W.l oJ.A 0A 1.;-'

~jO ~ ~ i ~ i 1.;-' ~ Jl ~ CjjO ~ · ~ 1. ci 1. 1.;-' 1.;-'~ ~ CjJ-4 :.>~ ,u.L.;. IJ.Aj !~ 1. ~ 1. 1.;-' I.;-'~ ~ :.>~ s?l.ll Jl LI s?l.ll ~ jJI ~ i ~ i 1.;-' 1.;-'~ 0A :,>.H s?lJ~ ,1. 1Cj.:-o ~ ~I if'-

_ . .

-

15

if'

·~l,Jl,YY~~0~ ~ ( ~ 0A Jil 1.;-' 1, Cj.:-o J 11. 1Cj..ro 4--=t ~ b~ , l.a:! Ij ..b.;.. (~j ~ 1.;-' 1 ~ ~ ~ ;;.p b ~ 1.;-' 1ëJ.i.o ~ ~j 'j ~ Jl

-

if'-

-

...

:;if'

LI 4--=t ~ · j ~ Jl ~ ( ~ 0A Jii ) 1. Jl LI ~ ,~ Jl LI

t

~j .~ 1.;-' Y 4},.., 0'"' J..b.;.. ~j 'j ~ Jl ~ (~ 1, Ji Y 4j L....o t :.> J ~ 0A .L>~ J{ ~j ,J"3\ 0'"' i 1 ~ ~j .3\ Y 4i,..., :.> J..b..;..j ~ Y 4jlJ-O t ..b.;.. ~j '( ~

-r

... ~J 15-13 -

-r

[r] JJ~I :\12 - [1] ~b:~ / [1] ~b :~I 8 - [1] ~b:&i 5 19 - [y] (. ~:~ / [y]~i :Jii 18 - [1] ~b :y~ 17 - [r ,y] ~b :~ 1, 21 - [r] y ~ : j--:; / [r] j 1, :) 1, / [r] ~ :~ 20 - [r] ~b : ~ / [y] ~J : ~J - [1] ~I l.a ci G.:-~IJ ~~I ~ ~[r] ~ r 1:~ r 122 - [r ,1] ~ J :~ J .[y] ~b :31 ... ~J / [y] LI:~ 23

20

190

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

fIN,

çO deux plans perpendiculaires au plan ABT; ils engendrent dans le

cône deux hyperboles d'axes AO, IN. Le rapport de [B-134 r ] HL1 à L1Z est donc égal au rapport de AB à Br; il est égal au rapport de AM à ME et est égal au rapport du carré de AM au rectangle obtenu du produit de AM par ME. Mais le produit de AM par ME est égal au produit de BM par MT; le rapport de L1H à L1Z est donc égal au rapport du carré de AM au rectangle obtenu du produit de BM par MT. Mais le rapport du carré de AM au rectangle obtenu du produit de BM par Mr est égal au rapport de çO, diamètre transverse de la figure [A-261 r] de la section dont l'axe est OA, à son côté droit, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 12 du livre I. Les figures de la section L1E et de la section dont l'axe est OA sont donc égales. Or on a montré dans la proposition 2 de ce livre que, s'il en est ainsi, alors la section L1E et la section dont l'axe est AO sont égales. De même, on montre que la section L1E est égale à la section dont l'axe est IN Il n'existe pas d'autre - troisième - section dont le sommet de l'axe soit sur l'une des droites AB, Aret qui soit égale à la section L1p4.

34 Voir Notes complémentaires [25] et [26]. Figure de la traduction arabe représentée dans les manuscrits [A, B, M] :

ç

TI

N

B c;--------O-M---O------<>---=-Q-O--;----Q---------(J

p

r

191

4\.,j ~ ~ l..;-l \ ~ ~ ~l; 0U~ ~ t ~ 0 J ~ ~

·(.) ~ t J \ Q+.. Qi- ~ ~ ~\j ~ 1,Jj~lJ J (.) \j ~ ~ Wl! ~ ~..ro ~j .r i Jt ~ ~j t 1. Jt 1:ï ~ j ~ Jt ~ r / ~ l..;-l~ ~ 0~ ,:?lJ\j 0.r i J ~l..;-l~ ~ 0~ ,:?lJ\ ~\ Jt ~

r\H-y

11

j ~.)1

J

r

~ ~ .~ i ~ i y l..;-l~ ~ 0~ ,:?1JJ;\....-o.r i ~j o~ i ~ i l..;-ll..;-l~ ~ 0~ ,:?lJ\ ~\ Jt ~~..ro ~

rrl\-I

5

·t ~ ~ ~ i ~ i l..;-ll..;-l~ ù-4 0~ ,:?lJ\ ~\ Jt ~ ~jA ~ Jt .J tAo ~ ,:?l.l\ ~\ / ~ ~ ~L~.l.l ~\ Y. ,:?lJl l

&i

,:?lJ\ ~\., ~ ~ 0\ ~w.\ ~ '":"'":! ~\ J ~ loS ,~l.4J\ clj~ 0\ ~lAl\ oh ~ y ~\ J ~ 0 lS ..lJj 004j L...:.o J t ~

&i- 0}J ,clJ~ 0 lS \~t 00 ':? ~ ,:?lJ\ ~;Lo ~ &i 0\ ~ ~\ ~ .i>-i ~ ~ .ri) 0~ èJlj.;..1 &i ~.-":! ~j

clj~j 04j L...:.o o

t

J ~ ,:?lJ\ ~\., ~ -

;-

~;-

0

~

\ l..;-l \

o~~ ~jLo0~j

:~~ ... CJJ\JI) ~

~ ~ dJl.5'J '[r] ~ r :~ r 3 - [r] ~~: 0~~ 1 :0l5' 10 - [~] ~J:~ 7 - [1] ~4.l1 ~ ~i :~ r ~ 6-5 - [~] ~\,j 14-13 - [r ,~] ~ 0 : 0 ~ 12 - [1] ~4.l1 ~ ~i:~ ~IJ 12-11 - [1] ~\,j 7-4 -

:1~[r,~,I]~~1

.[26]~)J[25]ri)~I~I~[~]~\,j:~ ... ~lj

10

192

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

S'il est possible qu'il existe une autre section, selon ce que nous avons indiqué, alors son axe sera dans le plan ABT, comme on l'a montré pour la parabole. Menons la droite ATparallèle à cet axe. On montre, comme on l'a montré précédemment, que la droite A T ne tombe ni sur AK ni sur AM et que le rapport de L1H à L1Z est égal au rapport du carré de A T au rectangle obtenu du produit de BT par TT et égal au rapport du carré de AT au rectangle AT par Ta, car ce rectangle est égal au rectangle BT par TT. Mais le rapport du carré de A T au rectangle A T par Ta est égal au rapport de A T à Ta. Le rapport de L1H à L1Z est donc égal au rapport de A T à Ta; ce qui est absurde car le rapport de L1H à L1Z est égal au rapport de AB à er, qui est égal au rapport [A-261 de ATà T8. Posons également le rapport du carré de Ae au carré de eB plus grand que le rapport de L1H à L1Z. Je dis qu'il n'existe pas dans le cône une section égale à la section L1E. S'il Yen a une, alors menons la droite AM parallèle au diamètre de cette section. On a donc le rapport du carré de AM au obtenu du produit de BM par MT égal au rapport de L1H à L1Z. Mais le rapport du carré de AB au produit de Be par er est plus grand que le rapport de L1H à L1Z. On a donc le rapport du carré de AM au rectangle obtenu du produit de BM par MT plus petit que le rapport du carré de AB au rectangle Be par eT. Mais le carré de AM est plus grand que le carré de AB et le rectangle obtenu du produit de BM par MT est plus petit que le rectangle Be par eT; ce qui est absurde. Il n'existe donc pas dans le cône une section égale à la section L1E. Ce qu'il fallait démontrer. [B134 V] V

]

- 30 - Nous voulons montrer comment trouver dans un cône droit connu une section égale à une ellipse connue. Soit un cône droit connu dont le triangle passant par son axe est ABT; que l'ellipse connue soit la section L1E, d'axe L1H et de côté [M-111 V] droit L1Z. Circonscrivons un cercle ABT au triangle ABr et posons le rapport de

193

~ -i:.>~ ~:'>}9' b.f~ lo J.&-?-ï Ei ~~ :.>1 ~I :'>}9 ·~I dJlJ ~jl".., ü 1-h;. r~ ·til5:.l1 FI .} ~ W' ,~ y \ ( ~ ~ :.>Ij'~ J.&- '1j 3\ J.&- & '1 ü \ -h;. ~I ~ï ~ LoS ~ ~ü

-i ü

y y ~ ~ :.>~ ,:?lJI ~I Jt ü 1~jO ~ j ~ Jl

~;L...-~I\lA:.>"1,~ü~ül~Jlül~jO~j 5

-i

1;-rï\-\

Jl ü I~ ~ü ü 1~Jlü 1~jO~j .~ü -i üy ~:.>"1 ,u.1>. llA !~ ü Jl ü \ ~ j ~ Jl ( ~ ~ ,~ Ü • ~ ü Jl ü \ / ~ ~ ~\ .1 Jl 1:1 ~ j ~ Jl ( ~ ,,::;".

,t

J~

(

~ ~ ~ ~\ ~ 1, ~j-4 J~ 1, \ ~j-A ~ ~\ ~J

,~~ :.>IS' :,>}9.~ Ei ':?jL..: Ei .1j~1 ~~ '1 ~l :J.;ti !j ~ ,:?lJI Jl ~ ~jO ~ :.>~ · FI dJ~ ~ ~jlJ04 ~ -h;. r~ b}9 Jl 1:1 ~r ~j ·j ~ Jl ( ~ ~ ~ i ~ i y y ~ ~ :.>~

-i

:.>~ 'j ~ Jl ( ~ ~ ~ ~I ~ .k

~ ~- Jil ~ i

-i .1 y

y

10

~ ~ :.>~ ,:?lJl

-i i yy~ ~:.>~ ,:?lJ\ ~\ Jl ~ CjjO ~ ,,-

~j.1 \ ~jA 0A ~\ i \ ~rj·~.1 ~.1 y ~ Jl.1 \ CjjO 15 ,,-~~ ~.u..L;. llA !.~ .k.~.1 y ~ 0A J..il ~ i ~ i y

-i

l~:.>1 b~)1

1;-\\"1.--,..

~jL...- L.:..bi i}s-o ~Û .1j ..,..;..o

lo dJ~j!e ~ F;~

Ei .1j~1

-i ~ ~ ~ :.>1 ~.fl- J ·i}s.o~bF i}s.o ~ü .1j .;....o ~

1;-\\\-r

~j !~ Y 1~ A ,:?lJ\ ~ J.&J.&- ~j .j ~ ~lA..l\ / ~j ( ~ ~j ~ i."w.1 ~WI 0'" i ~l ~ ~ ~j ,~ y 1 4-).c ~ ~ oii b ~ y \ ~

Ei

/ J: ~ dJ~J '[r] ~ 1:ü \ 2 - [~] :~ ü 4 -

FI

~ 0l5' 0~ b~~ ~ ~: byS~ ... 0~ 1

[r ,y] ~b:~ / [r ,y] ~:~ 3 - [r ,y] dJ~ ':?jl.,: :dJlJ ~jl~ [r] ~b:~ j ~ ... ~-\ 8-7 - [r] ~ :~ Ü 6 - [r] (:~ Ü 5 - [r] ~ 10 - [r] ~ :~ 1, / [1] ~b :(~l;8IJ JJ~I) ~j-4 9 - [r ,~] ~ :(~l;8I) ~ : j ~ 12 - [r] ~b :~j-4 / [1] ~b :~I / [r] 4J~: ~jl~ Il - [1] ~b:~.,: .,.;.T ~ :~ 17 - [~] ~b : ~j-4 14 - [r ,~] ~ : ~~ ~ 0~ ,:?lJI 13 - [r] ~ ~ '[r] 8-

20

194

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

AM à MS égal au rapport de L1H à L1Z. Il est clair que cela est possible et facile. Menons dans le triangle ABTune droite orr parallèle à la droite AM et égale à la droite L1H. Faisons passer par la droite orr un plan qui coupe le cône et qui est perpendiculaire au plan du triangle ABT. Il engendre dans le cône une ellipse; son axe sera la droite orr et le rapport de orr à son côté droit est égal au rapport du carré de AM au rectangle BM par MT, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 13 du livre 1. Mais le produit de BM par MT est égal au produit de AM par MS. Le rapport de orr, [A-262 f ] le diamètre transverse, à son côté droit est donc pour cette section égal au rapport du carré de AM au rectangle AM par MS. Mais le rapport du carré de AM au rectangle AM par MS est égal au rapport de AM à MS. Mais le rapport de AM à MS est égal au rapport de L1H à L1Z. Le rapport de orr au côté droit de la section dont l'axe est orr est donc égal au rapport de L1H à L1Z. Les deux figures de la section L1E et de la section dont l'axe est 0 rr sont donc semblables et égales. Les deux sections sont donc elles-mêmes égales, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 2 de ce livre.

A

o

B

r

T

M

Fig. 30

Je dis qu'il n'existe dans ce cône aucune autre section dont le sommet du côté de A soit sur la droite AB et qui soit égale à la section L1E.

195

~ y l.:....lio -i ~:~J.J+..., ~ dJ~ G.1...., J

t

.b;.

,Ji ~ Y'J !j ~ J~ (. ~ ~ 4J L- ~ U 4jl.J-4 J t .b;.

~ ~J '(. ~ U

,WLJLJ\· \~.>-~\~~ \~~LJ .~. 1, .~\\~ .. ~)~ • • L~~ 0~J ~~ ~ ~ 0~J ,J t .b;. ~ 0~J ' l.aiu la.1; l.J.PJ.I 6~

-i

-i ~ w

.,-nr-I

,~ i -i i y eL J~ ~ l!J-4 ~ ~l4JI ~ J~ J t ,:?.illll..- ~ i ~ i y y ~ 0-0 0~ ,:?lJIJ · ï ~llil 0-0 ~ ~I J~' ~4J.I pl Y' / ,:?lJI ,J t ~ '4J" i -i ~ y y-!> 0-0 0~ ~J .4J" i -i ~ eL J~ ~ l!J-4 ~ - ~I 14J - ~l4JI ~ 4J" i J~ ~ ~J • 4J" i J~ ~ ~ 4J" i ~ ~ ~ J~ ~ l!J-4

&Ail

J t ~ ,:?lJ\ ~UJ\ ~I J~ J t ~ ! j ~ J~ (. ~ ~ 0~w..:., J t ~ ,:?lJI ~ ~ j ~ J~ (. ~ ~ ~lA 0-0 y ~I ~ W' '0l:!JL..:.., \,,~ ..A.:Ii 0L..1.4JIJ · 0l:!J~

-i

F\" :;-:;

5

10

·

.~l4l\

~ ,:?lJI ~...J) 0~.-r>ï ~ l.J~\ Ik -i ~J;! 'i oû~: J".JiJ

·:;-:; F

4JL., 0~J Y 1.b;. ~ ï ~

15

196

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

Si cela est possible, alors nous montrons, comme nous l'avons montré dans la proposition 28 de ce livre, que son axe est dans le plan du triangle ABr et que son plan est perpendiculaire au plan ABr. Si cette section est une ellipse, alors son axe rencontre la droite Br. Si elle est égale à la section L1E, alors son axe est égal à la droite L1H, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 2 de ce livre, et son sommet du côté du point A sera sur la droite AB. Son axe ne tombe donc pas sur orr et ne lui est pas parallèle. Si nous menons du point A une droite parallèle à cet axe, elle ne tombe pas sur la droite AM. Qu'elle soit comme la droite [A-262 V ] A T. La droite A T coupe donc l'arc AT car elle n'est pas parallèle à la droite Br; et le rapport du diamètre transverse de la section à son côté droit est égal au rapport [B135 f ] du carré de AT au rectangle BTpar TT, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 13 du livre 1 ; il est aussi égal au rapport de L1H à L1Z. Mais le rectangle BT par TT est égal au rectangle A T par TL. Le rapport du carré de A T au rectangle A T par TL est donc égal au rapport de L1H à L1Z. Quant au rapport du carré de AT au rectangle A T par TL, il est égal au rapport de AT à TL. Quant au rapport de L1H à L1Z, il est égal au rapport de AM à ME. Le rapport de A T à TL est donc égal au rapport de AM à ME ; ce qui n'est pas possible. Il n'existe donc pas dans ce cône une section égale à la section L1E, telle que le point de son sommet, du côté du point A, soit sur la droite AB, autre que la section dont l'axe est orr. Ce qu'il fallait démontrer.

- 31 - Nous voulons montrer comment trouver un cône droit qui entoure une parabole connue et qui soit semblable à un cône droit connu. Soit la parabole BAr d'axe AA et le côté droit AL1 de cette section. Soit le cône droit connu EZK et le triangle EZK qui passe par son axe. Faisons passer par la droite AA un plan perpendiculaire au plan où se trouve la section BAT. Soit le plan eAA. Menons dans ce plan la droite AM et faisons en sorte qu'elle entoure avec la droite AA un angle égal à l'angle EZK.

197

) ,~W\ oh 0-0 --

r! ~\ ~.. ~ W,~ b~ ,dJ~ ~i.:>~ ~--

Y\J) ~ ~ y \ ~ ~ ~Li ~ 0\J ~ y \ ~ ~ ~ ~

\~tJ .~ y.b>. ~ ~.:>~, ~b y

~I ~~ W '( ~Y}L- ~.:>~ ,:;-;

-~ ~.y \.b.> ~ Y. \ ~ ~

J;-t"\t-\

r\\"o-y

la.1J F\ dJ~.:>lS \~b .Wü

dJlJ yj\J-O 0"~ ~ ü

\.k;. \ UA.,j ~

\.h;d

~

F

~JL-.:>l5'

0- sflJ\ ~""''''\)J -,t.lW\ o.u 0-0 ~

t

0-0 ~..r-->\ \~b·~)1~ '1J J .b>.

'Ü \ /

Ji.o ~.~.b>.

~

5

~ ë\.J'!

& ~ ,~I

~ Jt ~~\ ~\ ~ ~ ':>~J ,~ y Y)lJA ~ ~~ ,~ 1 ~\ ~ ~ W ,~ ü -i ü y ~ Jt ü \ ~.r / 4--:S ~lAJl -i ü-y r:1- ~J .j ~ ~t ( ~ ~ ~i ':tJ!Ï ~L..il.\ 0-0 ~

10

-i ü ï r:1- ~t ü \ ~J-4 ~ • U'" Ü ~ ü \ ~ }L- ~ ü 'U'" ü -i ü \ ~ Jt ü \ ~.r ~ ~t! · j ~ Jt ( ~ ~ U'" ü ~t ~ 4--:S ~".Lj ~~t ( ~ ~ loiJ

.U'"

Ü

~t Ü

~ · ~ ~ \h ! 0" i ~t ~ ~ U'" Ü ~t

<-f ~~ ~i: ~ .:>~ .~

.:>\

b~)1 ~ dJ~J ! J

'0

t

Ü

\ \

~~

~

· 0"

i

~ F } L - ~ l.J~\ Ih ~ ~~

~

sf.:J\

FI c.Sr-- y

\ .b>. ~ \ ~

YJ~ :~J~ / [y] ~b :~J~ ... F 4 - [r ,y] ~IJ: l~lJ / [y] ~IJ :(JJ~I) l~lJ 3 ,y] ~ 1:(~WI) ü 1/ [r] ~I [y] ~ ~ 1 :(JJ~I) ü 17 - [r] ~b :( ~~ / [r]

'[r ,y] ~ :~-~ Il - [1] ~J :~J 10 - [r] ~:~ 9 - [r ,y] r~tj ~L:JI ~ [r JJ~I) ~ r 14 - [y] ~ r ~ ~ ~ ~l ~ ~j-4: j ~ ~l ( ~ 13 - ~ ~ illl{J - [r] y 1:-;\19 - [r ,y] ,:?lJI :~I 15 - [27]~) ~I ~I:~ / [r] ~ r:(~WIJ ... 0 21-20 - [y] êhlLJ :êhllJ / [1] ~l:J :r~1 / [r ,y] ~b :~l1JI 20 22 - [r ,y] J 1, :J 11, / [r] ,:?lJI ~ ~ ,:?lJI :,:?lJI 21 - [y] ~ltJI ~ ~i:~ ·[r'Y]~:~

15

198

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

Faisons le rapport de L1A à AM égal au rapport de KZ à ZEe Construisons sur AM un triangle AeM semblable au triangle EZK. Prolongeons les droites eA et eM à partir des points A et M. Construisons un cône de sommet le point e et de base le cercle construit sur la droite AM et tel que cette droite soit un de ses diamètres et qu'elle soit perpendiculaire au plan AeM. L'angle MAA est donc égal à l'angle EZK. Mais l'angle EZK est égal à l'angle eMA, donc l'angle MAA [A-263 f ] est égal à l'angle [M-112 f ] eMA et la droite AA est parallèle à la droite eM qui est le côté du triangle passant par l'axe. Le plan où se trouve la section connue engendre donc dans le cône une parabole. Or le rapport de L1A à AM est égal au rapport de KZ à ZE, qui est égal au rapport de AM à Me. Le rapport de AL1 à AM est donc égal au rapport de AM à Ae, car Ae est égal à Me. Le rapport du carré de MA au carré de Ae est donc égal au rapport de AL1 à Ae. Mais le carré de Ae est égal au rectangle Ae par eM. Le rapport du carré de MA au rectangle obtenu du produit de Ae par eM est donc égal au rapport de L1A à Ae ; le côté droit de la section engendrée dans le cône est donc la droite L1A, et elle est aussi le côté droit de la section BAT. Mais les paraboles dont les côtés droits sont égaux sont égales, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 1 de ce livre. La section BAT est donc placée dans le cône que nous avons construit. Or le cône que nous avons construit est semblable au cône EZK, car le triangle EZK est semblable au triangle AMe. Je dis que la section ne se trouve dans aucun autre cône semblable au cône EZK et tel que son sommet soit de ce côté-ci du plan de la section, à l'exception de ce cône. N

8h------------=-
B

E

r

Fig. 31 35

35

Voir Note complémentaire [28].

Z

0---------{)

K

199

~ ~ j.-.:lJ '0 j J~ ~ ~~ ~~ r; ~ ~J.~ ~J\) ï ~ 0"" i 1. II: r~J · i 1. \ ~ ~ ,:. (if 4-~ .•:,. \ili., ..b>. ~ J-..a1 ~\ ~}i\..J\ 4..J..lCüJ 1. ~ 4......,1) 0~ u,J.r%o j.-.:lJ t:\Jj ~ i 1. I~~ ~ Wü 0~J' 4J ~ YI Ik 0~J'~ ~J\) ~JL.....o ~ ~J\jJ.~ ~JI) ~JL.....o J \ i ~JljJ .Wü

·r

.r

5

~=:~~=~ Y ~j\"..., Jï..b>. 0N ,\ i 1. / ~J\) ~JL- / J \ i ~J\Y ,\ i 1. i".w.\ ~\ Y ,:?:J\ &-J\J ·~4 yf ,:?:J\ èJil.\ ~ Y. ,:?:J\ i 1. ~I j J~ jX 4--:S ~ J~ r; ~J · Ctil5:.o ~ 1.J,;J.\ '-Î 6..bo:! 0".1,:1\~~~~~~~~~0P,1.i~~ ~4--:S ':f 0

:1\ ~j-4J.:1\ J~ ~ 4--:S:1\ ~r J~ ()-o

0~ ,:?jJ\ ~\ ~~

F

rr ~r ~ .1. i Jio:1\

rr ~j-4 ~ 'i 1. ~ :1\ &-J

}L...o

~UJ\ ~\ 0~ !:1\ ~~ r; ~ i 1. ~ :1\ y ~ t~\J .~ \ y ~ ~l.4J\ ~\ ~\ y.J ,\ ~ ..b>.1.J~1 ~ 6..bo:! \ ~\ '-Î ~ W' '~J~ ':f ~JL.....:.o Wl4J\ ~YW\ ~\ ttil5:.l.1 1.J~\" · ~ ,:?:J\ 1.J '-Î t""";J--4 ~ \ y ~ .tJlli\ ok 0""

,:?:J\

~

- -

y

-

.r\

~ ~ ~ ~ 0':1 ,~ ~ ,:?.:J\ l,J,;J.\ ~ ~ ,:?.:J\ .1, \ \

~ 1.J~ ~..,.;-Î 1.J~ '-Î ~~ ~ ~\ Ik 0~ :J.~tJ .1.J,;J.\ \k

(,Sr-'

,~\ ~:r ~WI ok

'-Î ~\) ~

~ 1,

10

0~J ~

\' ~

J

~

18 - [\'] r 1, : 1, r / [r] ~ : ~ 10 - [r] 1, r :\' 1, 7 - [r] 1, rI: (JJ \JI) 1 r 1, 6 .[28] ~) ~I ~I : ~I - [1] ~b :l,a

15

200

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

Si cela est possible, alors soit un autre cône qui entoure cette section et qui soit semblable au cône EZK. Soit le cône dont le sommet est le point 1. Qu'un plan perpendiculaire au plan où se trouve la section connue passe par l'axe du cône et coupe ainsi le plan de la section. Le lieu où ce plan-ci coupe ce plan-là est l'axe de la section. Mais la droite AA est l'axe de la section; la droite AA est donc l'intersection des deux plans. Mais le plan BAA est perpendiculaire au plan où se trouve la section et il passe par la droite AA ; le point l est donc dans le plan BAA. Soit les droites IN et lA deux côtés du cône; la droite IN est donc parallèle [A-263 V] à la droite AA et l'angle ZEK est égal à l'angle AIN et à l'angle ABM. La droite AI est donc sur le prolongement de la droite AB. Prolongeons la droite AM jusqu'au point E. Mais la section BAT est dans le cône dont le sommet est le point 1. Si nous faisons le rapport d'une droite quelconque à AI égal au rapport du carré de AE au rectangle entouré par les droites AI et lE, alors cette droite est le côté droit de la section BAT. [B-135 Mais la droite ALl est le côté droit de la section BAT; le rapport du carré de AE au rectangle obtenu du produit de AI par lE est donc égal au rapport de LlA à AI. Mais le rapport du carré de AM au rectangle obtenu du produit de AB par BM était égal au rapport de LlA à AB. Or le rapport du carré de AM au rectangle obtenu du produit de AB par BM est égal au rapport du carré de AE au rectangle entouré par les droites AI et lE, en raison de la similitude des triangles. On a donc le rapport de LlA à A B égal au rapport de LlA à AI; ce qui est absurde. Il n'existe donc pas un autre cône qui entoure cette section, tel que le point de son sommet soit situé dans ce même côté du plan où se trouve la section et qui soit semblable au cône EZK. Ce qu'il fallait démontrer. V

]

- 32 - Nous voulons montrer comment construire un cône droit qui entoure une hyperbole connue et qui soit semblable à un cône droit connu. Il faut que le rapport du carré de l'axe de ce cône au carré du demidiamètre de sa base ne soit pas plus grand que le rapport du diamètre [A264 r] transverse, dans la figure de la section construite sur son axe, au côté droit de celle-ci.

tt

,--...,..

- [t

€.i....t~.

o

ç. , , :

~·C

0'\ 1

1,--...,.

0

....

-

1-

t~ c:~a~

"-:t. ~ 1-

G

[

~. C·

a

r.,. L ~ ~ ,ç. (,- L:',

:r"

.~

s"t

I

j

1-

-'1

.......

~

tr=-

~.

. CL:~":~ ~. ~~ (,-1 ,,- i=:' i=: E.. (,-1 "'L &

-(

1

o

-'1

I

tr=-

(r ( "

e.,~. :

(L

_1'1 ç

L

~

[t.:

00

r..............

,--...,.

_

1

_

. tr.......

..

1

1

..

---.. C. ~c;:-

-(

l "

••

. •

~).

~

-~

---..t

.~

........

tT~lc··rf

C.

·C

C

~

~ C·

ft.t

V\

1

;:-1

. . . .".

te:::.

l~ LI'--"'" trl,--...,. tr ~ . .fl -.i.... ~ ~ ~ J. f'~ 2: 1f t ~t t tr. c ..

~

l:r ~I~'I~ 1 ·l~·1 ~ ~·I ~I ;

,--...,..t .. ~ ,--...,.'--"'" -(

1

1

\-. trf
.~

C-I

~ tr ,--...,. .. -::!..-

....

,--...,.

1

1 ........ ~

C,--...,.-=-I

~

.......

~.

~

---"a

'C '~. '. '~I

r c;

(,- ~

~~ ~. ~,

~

1

(,- c..

:'1 t-: CL ., E.. "_

-~ ~

1

1

1

'i: (,-

~-
1

t

,r

~ ~h i=: ~

tt<-

ct

~, .~.

(r

,ç.. ~

C"

'r

1 •

,ç. (,-,

~

f\\ :c.

'11

r

(r

t_. C ._. ILIl': ~-

-

L le '['1- ~~ cf' LI:~~: t;. c·:c LI (,- i=: ri- {:' ,\;

\;

(,-1 ..( Ë ,,,ç.. -1 c. 1 (.,. h ~: ~: (r if- . i=:.( l ~ c.. Ir · ~ ~ l' ~ ~ ,ç. & "";; li· ct 1 ' .

~. ~~

C·

r :.~- \ .t~ ,r\:~. ·l·~-

~ ~,

~..~

1

1

C·

(r C·

o

N

1

:.~.

.~ ~f

:.

~-

~
~Q.

i=:

~

-

--:

~:~

c.

-

,ç.\

,ç.

•
·

~

V\

.......

.......

o

1

V\

li'

r ):

~

,ç.1 c::.. (;\ - Ir ç,.. - (0 -\ t~ ~ f) li' l ,ç. (;; c.: "-0 ~ ,ç. ~. ~

Î.:

r ~I~· - ~ r:~ ~ ~~ f f 1- ~

~-

C·

\

- :

- Q

,'ç. [

C·

•

~

N

o

[

~. ":b 'C~'· t: - ~ '~. ~ ~ 1·(' E.'~ ~C.I l} (-'~ [ -1- ~~ ~ \\ -
,ç.

:r 1;~ ,~.

1-~1-t

-~

.: C·

f f"

-

~

C·

1

i=:~.,~C, 'C 5-1~ 1·([ f. '[' ~, .E' (., ~ - ~ -:~ ~ j" t~E! ··(:r · _.~ !!: ~I f ,[: ~ ~ ~ ~ r' tt C, '-~~·I --;.c.t ~~~ 1 t ~'I f(1- b [" ft. \- ~ '~.'~ ~~. ~I ~"~I ~ - ~ 1-[ ~ .- ~~ { tr .L~C· ~ ~".l'+ ~.. f{E1'J( [:G\. ,ç.IQ E"Q ): 1---. '~. c;; 1" ~. r
~

1

v.J

N

........

.......

~

\.s. 1

202

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

Soit une hyperbole connue BAT d'axe AA, de diamètre transverse AN. Soit sur l'axe de cette section la figure 36 entourée par les droites NA et AT et soit le cône connu le cône dont le triangle qui passe par l'axe est EZK. Prolongeons la droite KE jusqu'à Li et faisons passer par la droite AA un plan perpendiculaire au plan où se trouve la section; soit le plan MAA. Traçons dans ce plan, sur la droite NA, le segment de cercle NeA, capable d'un angle égal à l'angle LiEZ [M-112 V] et complétons le cercle. Partageons l'arc NeA en deux moitiés au point e et menons du point e la perpendiculaire es à AN. Soit d'abord le rapport du carré de EH, qui est l'axe, au carré de ZH, égal au rapport de NA à AT et prolongeons la droite Ne au delà du point e, comme la droite NM. Menons la droite AM parallèle à la droite ep ; puisque l'arc NP est égal à l'arc PA, l'angle Nep est égal [B-136f ] à l'angle peA; l'angle MAe est donc égal à l'angle eMA. Construisons un cône isocèle dont le sommet est le point e et la base un cercle de diamètre AM dont le plan est perpendiculaire au plan eAA. S'il en est ainsi, alors le plan o

r M

B

A

Ko--------u-----ü Z

p

Fig. 32

36

Litt. : soit la figure de l'axe de cette section la figure entourée.

203

,~~~I<).#J,Jl~J~ IY~i~ Xllj&i~ .1J..p J.lJ ",:.1 1f0 \.h.;.. 4...! ~ ,:?lJ\ J,.(..::JI ~\ \.u. ~ J.ûJ

-; J t ~ .h;. r~J · ~ ~ Jf ':? lJ 1 .ul.i.o ':? lJ\ .1J.Al\ i..,hll l:!IJj ~ ~I ~ ,:?lJI &-JI ~

b..b...., Jl.h;. ~ ~J o,pb ~ L..bi f0.h;. ~ &-JI l.k.t ~J .J \ i Y'J Wl! i ~J ,:;~LJ\ ~J

1;-\\r-

/ ')

0

Wl! 0~

eh-

~ ~J\) ~J~ ~J\)

J..:-Z \ 1, 0

5

~

~ ~ ~ r~~.1 ~ ~ r~J ,.1~~~ \.1 0 -r'; .~1,

f0 ~ [j~.)A Jt ,~I Y' ,:?lJ\ ' [ <) li.)A

r~J 'i 0 .b;.S t..,lA.:....,1 ~.1

t..6Â.j

4 ....:/':J) ~J

~.1 0 .h;. r~J

~Jlj 0~ , T) -r~ ~JL..o ) 0 -r"; 0~ · ) .1 Y

!ü 1

Jt

4it-4 ~ .h;.

-,-\'\-~ ~ · \ \ 1, ~J\) ~J~ 1, \ \ ~J\)! ~ \ 1,) ~J\) / ~J~) 1, 0 -

~

- ; -

~J \ \ \A.# :;,p\~ ~~liJ 1, ~ ~\) ~LJ\ ~J~ lbJ~

&-JI 0~ ,dJl5' dJ~ 01.5' I~~ .W\J l:!IJj ~ J 1.1

eh- ~ ~\J

t

\.

J

(

.o--o--o.s

)~

)

[1] ~b: 1,J#1 ,..,hl 13 - ~I I~


/ [,] T0:~ / [, ,y] ~ ~:~ / [,] ~u :(~liJI) ~.:ul / [,] ,..,hl 1 / [, ,y] J.b [1] Jr: JI, 5 - J= ~ dJ~J ,[y] ~:-;

~J :~~ 7 - [1] ~I: r:b-~j\

: ~J~ ... ~JI) / [,] ~ : ) 1, 0 12 - [,]

Tj : ï) / [,] ~ :) 0 / [,] 1, ) : ) 1, Il - [,]

.[,] .b JI: J 1.b 14 - [,] .bu :.b l , /

[y] ~u

10

204

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

dans lequel se trouve la section connue engendre dans le cône une hyperbole dont l'axe est la droite AA et le diamètre transverse AN L'angle ABM est égal à l'angle ZEK, car le segment AeN est capable d'un angle égal à l'angle ZEL1 Mais les droites BA et BM sont égales et les droites ZE et EK sont égales. Menons la perpendiculaire err; on a donc le rapport du carré de EH au rectangle KH par HZ égal au rapport du carré de err au rectangle Mrr par rrA 37 • Mais le rapport du carré de EH au rectangle KH par HZ est égal au rapport de NA à AT. Le rapport du carré de err au rectangle Mrr par rrA est donc égal au rapport de NA à AT. Les droites ordonnées abaissées [A-264 V] de la section engendrée sur la droite AA peuvent le rectangle appliqué à ATl'excédant d'un rectangle semblable au rectangle entouré par les droites NA et AT, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 12 du livre 1. Mais les perpendiculaires abaissées de la section BAT sur AA peuvent aussi le rectangle appliqué à la droite A T, l'excédant d'un rectangle semblable au rectangle entouré par les droites NA et A T. La section BAT est donc égale à la section engendrée dans le cône dont le sommet est le point e et la base le cercle de diamètre AM, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 2 de ce livre. Mais elle est dans son plan et son axe tombe sur son axe. Le cône dont le sommet est le point e entoure donc la section BAT et il est semblable au cône EZK car le rapport de err à rrM est égal au rapport de EH à HZ. Je dis qu'aucun cône semblable au cône EZK n'entoure donc cette section, tel que le point de son sommet soit situé du côté où se trouve le point e par rapport au plan où se trouve la section BAT, à l'exception de ce cône que nous avons construit. Si cela est possible, qu'un autre cône l'entoure, celui dont le sommet est le point 1. On montre, comme on l'a montré dans la proposition précédente, que le point l est dans le plan eAA. Que les deux côtés du cône soient les deux droites 10 et AI et que ce cône soit semblable au cône EZK. L'angle AIO est donc égal à l'angle ZEK et l'angle ZEL1 est égal à l'angle AIN. Le

37 AI-TusÏ se réfère dans une glose au lemme 7 (lire 8) des Banu Musa (Tome 1.1, p. 493-494 et 524-527). Il écrit: « Glose: d'après ce qui a été montré dans la septième proposition, de ce qui précède le traité» (ms. Oxford, Marsh 667, fol. 135 f ).

205

JI.1> ~ (J~ (,.\jlj ls.h; l.j..PJ.I


~j Ij ...k-Z (J 1. 1La..b..; (J ~ ,~ ~j 1) ~j L......, i 1, 1~j Ijj • (J l:j L..:.o s-; 0 j lb;.j (J l:j L...:.o i 1. "I"t Lh;..j . .:1 0 j ~j \y ~j l.....J

rY

~ j r..
rY

.\;-r"lH

JI.1> ~ ~.:I\J..\ ~I ~ / L..j1"JI ~.r=J\ 1.~ · ü 1~i

G

~ kh.... ~\1 ~ ~yj ü 1Ji J~ .;JI r...,h-JI ~ (.)"..z ·ï 4:JW,1 ~ ':-':! ~\ "..z J \ ~ ~ \ ~ &! 0A W\"J\ o~:J\J ~ ~ ,:?~I ~~ 4-Mo ,10, G...h..., ~~ ~ ~yj ü 1.1> Ji JL..2:i ~I) ,:?jJ\ l.j~\
-

- -

&4U

y

5

10

y

- -

- -

15

.j r..Jir.. 0 ~ (J~j ,~ l.j~ ~ l.j~ FI \~ ~ '1 ~i : J.;li - -

~

\ "-J

...hi

~ 1~11\ ~\.

· · c- ..

~

C- ~

-

.1,

~

y

q"1 J \ · ~\ ~ ':r ~" )

\

A

~

..

A

~

· ~ ':? 11\ .1,J..PJ. \ <.>~

'.:H.~ ~ ~i) ,:?~I jAj ,~ï l,j~ ~.b..).;,~ (Jl$' (J~ · <' \~ · J \ .1, ~ · ~~ w · t ,\k ~ \ :: <.>11\ \ <' :. '\ .. .. W ~ C~~.. .. ~~~

~j\jJ.~ l,j~M~ l.j~1 l.lAj !':? \ t ':? ~ .kj~1 LaW ~ ~ ~ ~ • (J ':? 1~jly .:1 j ~jljj ~ ~j\Y ~jL...o t ':? 1 0

l( ~UI ~I ~ ~

lt : yl») [y) ~~ ~ ~ ~

[r) ~ : J r 6 - [1) ~b : ~ 1 [r] ~b :~lë.l.1 10 - [r] ~lll &-JI :~I (~I 9 - [r ,y] ~:~ 8 - «~l:5:JI ~ ~J~ :J~ 13 - [r' 1] ~b: ~i / [r] «wl"JI» ~ ~J ,3\ ~:Jl ~ Il [1] J 1,:J 11,/ [r ,~] ~:~ 22 - [r] ~:~ 21 - [r ,~] ~:~ 16 - [r] / [y] L : ~ 24 - [r ,~] S0 :0 / [r] if' : t ~ / [r ' I]lh;. : ~ 23 - [r] 1, J 1 .[I)~b:t?

20

206

Le sixième livre ct' Apollonius sur les coniques

point 1 se trouve alors sur l'arc AeN et la droite 01, si elle est prolongée, tombe sur le point N. Joignons la droite PI et menons du point A la droite AO qui lui est parallèle et du point lIa droite Iç parallèle à la droite NA. Or la section BAT est dans le cône dont le sommet est le point 1 et on a prolongé son axe, qui est AA, jusqu'au point N. Le rapport du carré de Iç au rectangle Aç par çO est donc égal au rapport de NA, diamètre transverse, à A T, qui est le côté droit. Mais le rapport de NA à A T est égal au rapport du carré de EH au rectangle ZH par HK. [A-265 f ] Le rapport du carré de Iç au rectangle Oç par çA est donc égal au rapport du carré de EH au rectangle ZH par HK. Mais les deux angles NIP et PIA sont égaux et égaux aux angles IAO et AOI; les angles IAO, AOI sont donc égaux. Mais l'angle AIO est égal à l'angle ZEK; les triangles AIO et ZEK sont donc semblables. Mais nous avons montré que le rapport du carré de Iç au rectangle Oç par çA est égal au rapport du carré de EH au rectangle ZH par HK. Mais la droite ZH est égale à la droite HK ; la droite Aç est donc égale à la droite çO. Or son rapport à elle est égal au rapport de IN à 10, qui est égal au rapport de NX à XA. La droite NX est donc égale à la droite XA ; ce qui est absurde car la droite ep est un diamètre du cercle et il a coupé la droite NA suivant des angles droits au point S. Il n'existe donc aucun cône, autre que celui [M-113 f ] que nous avons construit, qui soit semblable au cône EZK et qui entoure la section BAT. De même, nous posons le rapport du carré de EH au carré de ZH plus petit que le rapport de NA à AT. Nous procédons comme nous avons procédé précédemment. On a le rapport du carré de EH au rectangle ZH par HK égal au rapport du carré de eIl au rectangle Mil par IlA, en raison de la similitude des triangles. Mais le rectangle Mil par IlA est égal au carré de IlA, qui est égal au carré de es. Mais le carré de eIl est égal au carré de AS. [B-136 Le rapport du carré de EH au rectangle ZH par HK est donc égal au rapport du carré de AS au carré de es. Mais le carré de AS est égal au rectangle PS par se. Le rapport du carré de EH au rectangle ZH par HK, qui est égal au carré de ZH, est donc égal au rapport du rectangle V

]

207 -

-

-

;-

~) .h> ~ 00 UA.,j ~ ëj ,~I \~~,~

Go\ lb>. ..) ~

Y

t

--

..h..>.j '0 1, \ I,j"~

~ ~ Go\ t.. ..) ~ lb>. \ ~ ~ (~J ---!~ ~ ~\) ~jJ\ 1,j~\ J ~ 1y ~ oJ:- ~ ~ \ 0 ~ ~ ~

~J 0

, - \

0

00

; - - ; -

.lJ.:l\ .>Jj

t J:- ~ J:-

1

r:-1- ~~ J:- ~ Cj-r' ~

~j ~L4J\ ~\ Y. ~jJI 0

rt\O-\

ü

0

-::;

t.b..Q.j

~~ JI y.j ~

1J~ ,~4J.\ p l Y. ~jJ\ ,r;) ~

5

J:- ~ Cjr ~ / o3( J r j ~ J~ r 0 ~r ~ ü 1 J~ r;) ~jljj o3( J r j ~ J~ r ~r ~ \ J:- J J:- t ~ J~ t \ ':? ~J\jJ '':? t \ t \ ':? ~J\Y 0~J~J 0~J~ \ ':?)) ':? 0 S0 t ~ 1 WW!S0 ~;\Y ~jL...o t ~ \ ~j\jj 0~jL..:.o ~ t \ 0

r:: ,~ ::-t ~ ~ ~ ~

q :. (.S..

,u

L~~;- ~

'...:,~

~ 0 ~ A'~ .. ~ JJJ . 0~ 0

o

..q y (.S ~ 'r' ..

.rbi ) .k b

q:\ ~;-

(.S ~

1wI..

0

0

u\ ..

;-

j

10

~ J~ r ~r ~ -~ t:. y J ~ ~ ~ 0

~IJ 0

0';;1 ,u.l.;. lu! \ -:; Y jL......, -:; 0

J

.b~.L \ ~~

~~ ~ 0l,j" ~ ~ L..!lû ~\.,; ~ r;).b>. ~

r\\r-r

\

0

~3( Y)~ rj.b>.j .3(J r

.b;.; ~ \.5 ,~.

\

0

'uj

-:; 0

~~I..J\

~jJI / .kj~\ r.>.,......, ,~ \ y ~ ~ ~ .kj~ ~ 1,j~

15

.~ -

J~ 10 ~ 0A Jil

~

rj

; - -

r j r:-1- ~~ r

~-r' J~

~;-

r Cjr ~ ~ b~ , ~Ij

-

0

0

~-r' ~ 0~ ~ï ~ W ~j 'Ü 1 ~j o~:Jü\ ~l.:l...:J \ J ~ J i r:-1- ~~ J 1, ~-r' ~ 3( }~ JJ:; Cjrj 0l,j" 1, ~r ~ Y. ~jJI \ J~.rl}~ \ J J J i J~ I,j" \ ~r ~ 3( ~ r j ~ J~ r ~r ~ 0l,j" I~.rl 0

0

0

.1;-\ n-y

J~ r

1, I,j"

0

~r ~

;.1, J I,j"

I,j" )

&.J }~

I,j" \

~rj

'I,j"

~ I,j") ~ ~ ' r j ~r ~ Y. ~jJ\ '3( J r

j

~

/ [r ,y] ~-ï :f~ 3 - [r] ~ ) ~ : ~ 2 - [r] ~ j : ~ ) 1 :3( ... ~ 7-6 - [r] ~b:3(~ 6 - [r ,y] ~-~ :~ ~ / [1] ~:YAJ~ ,y] ~ 0: 0~ 12 - [y] ~b: 0L::J~ ... L::JI} 9-8 - [r] ~:) ~ 0 8 - [y] ~b ~ ~u :~u / [r ,y] ~Jlj : 41Jj 14 - [r] j 1, :) 1, 13 - [r ,y] ~ t :t~ [r ·[r ,y] ~ :~J 18 - [r] 1,J~ ~ :.kJ~ ~ / [r] ~ ~ 4 -

[r]

~

1, ~r

[y]

~ ~ :~ ~

/

20

208

Le sixième livre ct' Apollonius sur les coniques

PS par se au carré de se, lequel est égal au rapport de PS à se. Mais le rapport du carré de EH au carré de ZH est plus petit que le rapport de NA à AT. Le rapport de PS à se est donc plus petit que le rapport de NA à A T. Posons le rapport de PS à Sy égal au rapport de NA à AT, faisons passer par le point y une droite IyçL parallèle à la droite NA, joignons les droites [A-265 IP, IN, lA et menons du point A la droite AG parallèle à la droite IP. On montre, comme on l'a montré précédemment, que les deux triangles GIA et ZEK sont isocèles et semblables. Si nous construisons un cône tel que son sommet soit le point l et sa base un cercle de diamètre AO, dont le plan est perpendiculaire au plan eAA, alors le plan où se trouve la section BAT coupe ce cône et de son intersection on a une hyperbole telle que l'axe de cette section soit la droite AA, son diamètre transverse AN et telle que le rapport de NA à AT soit égal au rapport de PS à Sy, qui est égal au rapport de PX à XI. Mais le rapport de PX à XI est égal au rapport du rectangle PX par XI au carré de XI. Or le rectangle PX par XI est égal au rectangle NX par XA. Le rapport du rectangle NX par XA au carré de IX est donc égal au rapport de NA à AT. Mais le rapport du rectangle NX par XA au carré de IX est égal au rapport du carré de Iç au rectangle Oç par çA, car la surface AçIX est un parallélogramme. Le rapport de NA à AT est donc égal au rapport du carré de Iç au rectangle Aç par çO. La droite AT est donc le côté droit de la section engendrée dans le cône AIO. On montre à partir de cela, comme nous l'avons montré précédemment dans cette proposition, que le cône de sommet le point l entoure la section BAT, laquelle sera aussi entourée par un autre cône, comme ce cône dont le sommet sera alors le point L, si on joint les droites NL et AL et si on prolonge la droite NL. Ces deux cônes sont semblables au cône EZK. Je dis que cette section ne sera pas entourée par un troisième cône semblable au cône ZEK et tel que son sommet soit situé du côté où se trouve le point l par rapport au plan où se trouve la section BAT. [B-137 f ] V

]

209

~r J~ L 0 lir ~j .1, ~ J~ ~) ~ ~ ,,-

-

)

10 ~ ~ Jil 1, ~ J~ ~ ~ L..,_·.. ~ ,ü \ q -\· ~ -.-


·Col 1J~ 10 ~ ~ Jil L j

\_--.:. .ü \ q w. L ~ (..5"q -~).~ ~ (..5" J;-~\o-I 1~ 0 ~)~ / 1,# ~j 'i.J'" t.fZ t ~ ~ ~ U ~jl~ C6> t ~ ~ lo.S ,~.M}.tl ~) ~ U ~jl>-" C6> ï ~ ~ (~j ~ ~ 0}.9 · 0~L:...:., ~L.JI l:!jL...:.., Y0 1~ t ,,:Ji.o 0i 'i JZ ~ ~L; ~j 'tllA..rb! oJ!b ~.u:.L;j ~ ~ ~..J) 0~ \l,j~ \~ ~ y y ,:?-:J\ &-J\ 0~ ,Wu l:!\j) ~ J \ 1, ~ ~

~ .r::r;j

F

(..5"

5

\ &i

FI clJ~ ~ 0~j' ~\j &i ol:!~ ~ ~ 0~j 1,j..PJ.I ':t' ~I 't ~ J~ ~) ~ Col 1J~ ~ ~j ,Yi ~4J.I 0..rb!j

,jl.b>.

10

J~ ~3 ~3) ~~ ~ 3 J~3) ~j .~ 3 J~ 3)~ ~~ ,\ 3~ 3 0 &-JlL..o~3 ~3) ~j.~ 3 lir 13 ~ 3 0 ~ ~j • Col \ J~ ~ ~ 3~lir J~ 13 ~3 0

~ 0~ , 1t.fZ ~ t.fZ t ~ J~ t.fZ ~ lir ~ 3 ~ li.)-4 J~

J~ t.fZ ~ ~r ~ Col 1~~ ~ ~ · t),l,.;~1 ~jl.,.:.o 3 ~ t.fZ \ ~ ~~ ,:?-:J\ ~ ~l..iJ\ ~\ ~ ü \ ~ , t t.P ~ t.P \ ~ .t ':? \ ~ ,:?-:J\ 1,j~\ ~jJI 1,j~1 .Ji ,J,.(..:J\ \l.\ ~ i.>..Z ~ ~ W ,clJ~ ~ ~.M}

7" -" J.i.o ."..;.\- 1,j~ Wr.:!\ ~ ~j ,~ 1y ~ ~ ~ ~ 40......,\) .b>. l....i:lij i.J'" \ i.J'" 0 l..1....;.. ~j I~~ i.J'" ~ ~....J) 0H ,1,j~1

15

\l.\

.~ 1,J~ 0~ 0U,J~\ 0\~J .~ 0

0~J ,Y0l,J~ ~ ~\j l,J~ ~ ~ '1 ~l :J"';~ --

-

~ w I~-:J\ ~\. j ..>· \ ~· c.. ~ L - ~ ~I~ ~

\ A l .. q +; AJ \ ~ '-F ~

" )

• ~\

'Ê

~

:~ ~ t':? 4 - [r] ~:\0 3 - [y] 4-:k ~ ~ q<&» ~'1Ji ~ : (t:JWI) C7JA 1 - [r] 1, JI: J 11, 8 - [r] ~ :) ':? 5 - [r] ~ ~ [y] ) ':? 0 ':? : 0 ':? ) ':? / [r] ~ t:= / [r] J~ :3 ~ 14 - [1] ~41 ~: ~ / [r] ~ :3 ':? 13 - [r] 3 j :(~WI) 3) Il ~G: ~i 19 - [r] <:fI: t ':? 117 - [r] ~ 1[1] 3 ~ 1:3 ':? ~ 115 - [y] ':? ~ :~ ':? 21 -

[y] ~

1 :~ 1/

[r] ~:~

[y] O)~:~J / [r'Y] 0~:0N20 - [y] [r] 1,J~ 0~ :1,J~ 0~ / [r] ~:~ 0

0/

.[1] ~G : (JJ\JI) ~ 23 -

20

210

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

En effet, le point de son sommet est sur l'arc AIN, comme nous l'avons montré précédemment. Que ce soit le point r. Joignons la droite r8P. On montre, par l'inverse de la démonstration que nous avons précédemment donnée, que le rapport de NA à AT est égal au rapport de P8 à 8r ; ce qui est absurde, car ce rapport était égal au rapport de [A-266 f ] PE à Er. Il n'y a donc pas un troisième cône semblable au cône EZK qui entoure cette section. Si le rapport du carré de EH au carré de ZH est plus grand que le rapport de NA à AT, alors il n'est pas possible qu'il y ait un cône semblable au cône EZK qui entoure la section BAT. Si cela était possible, qu'elle soit entourée par le cône dont le sommet est le point 1. On montrera par un procédé analogue à celui qui précède que le rapport de PX à XI est égal au rapport de NA à AT. Mais le rapport de NA à AT est plus petit que le rapport du carré de EH au carré de HZ, lequel, nous l'avons montré précédemment, est égal au rapport de PE à Ee. Le rapport de PX à XI est donc plus petit que le rapport de PE à Ee ; ce qui est absurde. Aucun [M-113 V] cône semblable au cône ZEK n'entoure donc la section BAT. Ce qu'il fallait démontrer.

- 33 - Nous voulons montrer comment construire un cône droit, semblable à un cône droit connu, qui entoure une ellipse connue. Soit ABrl'ellipse connue, dont le plus grand axe est Aret dont le côté droit est AL1. Soit le cône droit connu le cône EKZ. Faisons passer par la droite Ar un plan perpendiculaire au plan où se trouve la section ABr. Traçons dans ce plan, sur la droite Ar, un arc capable de l'angle ABrégal à l'angle [A-266 V ] ZEK. Partageons l'arc rA en deux moitiés au point B et menons du point B la droite BIA, de manière que le rapport de BA à AI soit égal au rapport de rA à AL1. Menons également la droite BE de manière qu'elle se partage selon ce rapport et

211 r\\"V-y

r n i -\

!i..l.Z ~ ~ W ,~ ~ \ 0".,.J ~ ~~ ~.......J) ~ ~i I!.U~J ~ oWi ,:?11\ 0lA~\ ~ ~o" ..j .) ~~,h.;.. ~J .~ ~ ~ wLS ..ü ~~ ,u.l;. \~J !-:... ~ ~1 ~) ~ ü 1 ~1 ~ ~ ~i ~.:J\j .kJ~ EAJ\ \~ ~ ~

·t

0" ~10" ) / ~ .~l,J~

5

Jl ~ ~ ~ ~i r j ~j-4 Jl r ~ ~~ ~ wl5' ~~ .~ \ ~ ~ ~ ~ .kJ~ 4.*.•:', .kJ.;..o ~~ ~i ~ ;) ol"j~

,ü \

\:.~

~ ~ 0

..

0

.~ 1,J~ . -=--\ \ ~ ~, .. ~ ~\) <.>11\ .. 0

..

~~

oU 0;oU

~ 0 0

Jl ~ ~J .ü \ Jl ~ ~ ~ J Jl J) ~ ~i iJ.4.:l1 ft"!.d\ 0" ) ~ ~i ~ ..ü cjll 'j r ~j-4 Jl r ~ ~j-4 ~ ~ Jii ü \ -.u.l>. \k ~1, 4.r Jl4.r) ~ ~ Ji\ ':? J Jl J) ~.1, 4.r Jl

10

;--

'\;-llf-r

b~)

L,

I!.U~J!S0 .kJ~ Y':! .kJ~ ~ \ ~ ~ ~ / ~ o

0

0

·~0

~li .kJ~ ~* • •:',

~lA..l\

\

Wli \1,J~ ~ ~ ~ ~i ~.; -~.\~~b~~\~

w"';J

15

~ \ J.,k~\ ~J ~ ~ \ i"wl ~W\ ~\ ~

·0

.kJ.;..o i#1 ~l4JI .kJj>J.\.",-:;l ~~~ ô.J ~.:J\ ~\ ~ Wli b..b...., ~ \ .h;.. ~ :r:A-J / ~J\) ~JL- ~J\j J..:.Z L.,J ~ I.h;.. ~ y ~J .Wli 41J j

\&i

.\;-ni-\

~ r~J ,.1, ~ ~ ~ \ ~ 0".,J ~J .~ .1, 14-:k S0 Jl \~ ~ ':? J Jl ô.J J 1, ~ 0~ , 4-\~1 J ':? 1, .h;.. 1, ~ ,~\ ~~ ~ ~ ~ 4\.r>-10".k.h;.. r~ ~i clJl5'J.-:;l lo..:J clj~J ,r~lj JIllIJ [, ,y] r~G ~L;JI ~: ~ 2 ~b : ..ü / [,] ü ~ Jt ü ) : ~ ~ Jt ~ ) 3 - [, ,y] J.::j : ~ / [, ,y] o~ [y] o~ ~J ,[, ,y] 1,Jj-J-I ô~b :1,J#1 8 - [, ,y] ~: (+....~ 7 - [,] y->T :CJlj 4 - [y] ~ [y] ,~I ~I :,~I ~..dl 9 - [, ,y] ~:~ / [y] «Ô~yj»: «ôJiI~» J~ - [, ,y] (j: j ( 10 - [,] ~b :ü 1 Jt ç ~J 10-9 - [,] J j :J) / [,] ~~ ~ 18 - [r ,y] 0 : 0 / [1] ~b :r~1 17 - [r]0 :Y012 - [r] Jj:J) Il :~ 21 - [1] y1-JI J~ :l.r~ / [r ,y] ~J: 1~ l.r~ ~J 20 - [y] ~b: &i .[r ,y] «~» ~ ~:~ / [y] ~b

: oUi / [,

,y] ) ~ Ü

:)

~~

/

~

20

212

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

joignons les droites AI et rI. Menons la droite III parallèle à la droite Ar et la droite AIl parallèle à la droite BA. Construisons un cône de sommet le point l et de base le cercle dont le diamètre est AM. Je dis que ce cône est semblable au cône EZK et qu'il entoure la section ABr. e

E

fr------f-----+--o----+----------:::oN

An---------u---------=u::-- - - - - - - = = " ' " ' 3 l .J - - - - - - - - o Z X r A

0---------D

K

Fig. 33

Démonstration: L'angle BIr est égal à l'angle eArcar ils sont dans un même arc. Il est aussi égal à l'angle IMA car les droites le et AM sont parallèles. L'angle eArest donc égal à l'angle AMI. Mais l'angle MIA est égal à l'angle Aer. Il reste l'angle IAM égal à l'angle erA. Les triangles AMI et Aer sont semblables; mais le triangle Aer est semblable au triangle ZEK et ils sont isocèles. Le triangle AMI est donc isocèle et semblable au triangle ZEK. Le cône dont le sommet est le point l et dont la base est le cercle de diamètre AM est donc semblable au cône ZEK. Mais le plan où se trouve la section ABr engendre dans ce cône une ellipse dont le plus grand axe est Ar, et le rapport de rA à A..1 est égal au rapport de eA à AI et égal au rapport du rectangle eA par AI au carré de AI. Mais le rectangle BA par AI est égal au rectangle r A par AA. Le rapport de r A à A..1 est donc égal au rapport du rectangle r A par AA au carré de AI. Or le rapport du

213

jo----os

J

~~ ~

f

- -

f

4'1 ~ \ 1, ~J\) ~J~ ~ ~ 1, ~J\j 0\ :~~

..

~j\)! · 0lâ~ ~ ,~ 1,

- -

f

~

-

0LA~

f

i \ 1, ~ ~ 0'i \ i ~ ~j\) ~jL.o ~\ if'j'ô»,\., \ ~J\) ~J~ \ '-f' \ ~J\jJ ''-f' \ \ ~J\) ~J~ ~ \ 1,

~J ~ 0 4-:~ ~ 1, \ '-f'

\ \ ~ · \ ~ 1, ~J\) ~J~ \

5

\ ~ ~J\j

~j~ ~ i \ ~ ,~l...J\ l:j~ Wj ,~ ..:.Ji.o ~ ~ 1. 1 ô.J!I.,J\ ô.J..lClJj ~ ~ d......J) ~jJ\ l.j ..PJ.L; ,~ 1:' liÇ ~ ~LJI

~~~I..;-l \Ei~~jJ\ r\j·~~j~:.k':~ ~ loll~ ~\ ~ \Jt \~ ~j'~ \ J.,k'i\ ~ 0~ Wb ls.bi 1,j..PJ.\ \~ ~ ~j .~ J ~r Jt ~ J ~ J 1. ~ ~j ~ J ~t J 1. ~ ~ ~ -:;l Jt \~ ~ ,JI ~ J ~ ~ ;~ ~ J ~ J1: ~ ~ J ~r Jt JI ~ J~ ~ ~j .~ J Cjr Jt JI
~Jlj ~ :~JI) ~J~ 6 - [\] l~:~

0:Y0 / [\] ~:~ :;L,

/ [\] ~ [y] 'f

1, :1,

'f 5 - [\] J 'f :J 'f 1 ,y]

8 - [\] ~J :~J / [\] ~J~ :~J~ 7 - [\

13 -[\'Y]0:Y010 -[\'Y]0:Y09 -[\]~J:~/[\'Y] .[\] Ti :(~WI) Jl14 - [1] ~~I ~ ~i : ~ / [\] YJL,

10

214

Le sixième livre ct' Apollonius sur les coniques

rectangle r A par AA au carré de AI est égal au rapport du carré de JII au rectangle AJI par JIM, car la surface JIAAI est un parallélogramme. Le rapport de r A à AL1 est donc égal au rapport du carré de JII au rectangle AJI par JIM. Mais la droite Ar est le diamètre transverse. La droite AL1 est donc le côté droit de la section engendrée dans le cône, et elle est aussi le côté droit de la section ABr. La section ABr est donc entourée par le cône que nous avons construit, d'après ce qu'on a montré dans la proposition 2 [A-267 f ] de ce livre. De même, on montre qu'elle est entourée par un autre cône dont le sommet est le point N, si on mène les droites AN et Nr; et il n'y a pas un troisième cône semblable au cône EZK qui entoure cette section et qui soit tel que le point de son sommet soit situé du même côté par rapport au plan. S'il est possible qu'un autre cône l'entoure, alors nous montrons, comme nous l'avons montré dans la proposition précédente, que si par son axe passe un plan perpendiculaire au plan où se trouve la section, alors l'intersection de ces deux plans [B-137 est le plus grand des deux axes de la section. On montre également, comme on l'a montré pour l'hyperbole dans la proposition précédente, que le point du sommet du cône est sur l'arc Aer. Que ce soit le point 0 et que les deux côtés du cône soient OA et or. Faisons passer par les points e et 0 la droite eox, menons la droite AH parallèle à la droite ex et la droite OH parallèle à la droite Ar. Le triangle OAP est donc isocèle [A-267 et le rapport du carré de OH au rectangle AH par PH est égal au rapport de rA à AL1. Mais le rapport du carré de OH au rectangle AH par PH est égal au rapport du rectangle rx par XA au carré de OX, car la surface OHAX est un parallélogramme et le rectangle rx par XA est égal au rectangle ex par XO. Le rapport de rA à AL1 est donc égal au rapport du rectangle ex par XO au carré de XO. Or ce V

V

]

]

215

,,-

"

-

·t~'1\ ~j\~ ~ J \ J ~ 0'1 '\ J ~ J \ ~

st J

Y' ~ \ .h>.J · i J Y'J ,1,J~\

st

--

Jt ~ J t.JA

\ ~ J~ s? J ~r ~ -:;\ J~ 1 ~ ~ G~u.\ ~L4J\ ~\ Y' -:;\.h;J ,~4J.\ ~\

&W- -

--

~"

. A.llAl\ ~~ / ~ y

J-<..=JI st ~ s?.ill

,~ ~.:J\ ~J#\ ~ ~ ~ y \ ~ ,~ y \ ~ ~w\ ~\ ~\ r nv -\

L.,

I~~ ,":) ~

J).;>.ï 1,J~ ~ ~ d ~ ~i i.!JJ~J

lI,.....

-

--"

~ éJlj .;>.\ 1,J~ ~\ \~ ~ ~J ,~ \~:. q · ~ ~ ~...

y

..

5

• ~\

0 0 \ lb. ("p-I

~ ~I ~J.A st J) ~ 0~:--SS: 1,J~

w ,. · blJ,

lI,..

. \ l,

~"j>

~ · cU ~ • \ • ~ -\ • \j J~... .. 0 ~ 0"

"

~.:J\ ~\ ~ ~l.i ~ ~ ~ j~ 0t ~\ , \k ~ ~.:J\

~-\,V-~ ~\.JA / ~\ ~~ ~~\ ~\

01J ,Wu

10

~\Jj ~ ~\

J-<..=JI st ~\)\ tt.,;; 1\ st ~ W' ~i ~J 'y~\ ~ ~ J.,,1~\

~ ~.~ ~ \ ~~ ~ 0~ ~J~\ ~\) ~ 0\ \k ~ ~.:J\

,J t

1,.h..;.

t 1, ~ ~ ~J .~ t Tt l,J#\ W..; ~J t

~ 0~ .~ \ Y 1;-nv-\

~j\JA L t .h>.J J 1, y

~jlJA Cl.h>. (~J

15

L) ~ Cl ~ J~ L t tir ~ / 0~J ~L.J\ s?J~ ) 1t ~ ~ Ç) ~ Cl ~ J~ L t 4.~,jJ'-:;\ J~ I~ 4••,,5 ~J' tYl..;;}\ s?j\j:-A J 1L t ~ 0;} 'J t tir J~ \ J ~ J ~ ~ ~ -:;\ J~ \~ ~ 't J ~ J 1, ~)~ \ J ~ J~ ~ 't J J ~ J 1, ~ st ~\ ~ ~J · t J tir J ~ t J st J 1,

20

c;r

7-[r]uo:~/[r,y]~lJJ:~.>SJ

6-[r]~:rJ /[r]Sl:JI/[r]
/ [y] yh-JI J~ : ~ 9 - [r ,y] Y0 :G 8 - [r] ~b : y>.ï / [r] ~ ~ 1: ~ 0 ~ - [r'·'-J] l:....J ~ / [r] ~J ... ['-J]. / [r'.'-J] ~ ~ 12 - ['-J] l:....J ... ~ . (J\-JJ .... '~J \ '" '..~-v-'~ ~ ![r] jï [y] ~: ï / [1] ~u:~ 15 - [r ,y] L L / [y] (t :~ t 14 :() / [r] ~lc : ) 1t 16 - [r] j t :( t / [r] 0 1,: J 1, / J= ~ r~~ ~I)IJ r~l) ~ld..\ 20 - [1] ~4JI ~ ~i:~ 19 - [r] ( j : ( ) 17 - [y] I~ ~ :() [r] t j

c

t: t

....

..- .-

'[r]~J:~

216

Le sixième livre d'Apollonius sur les coniques

rapport est égal au rapport de ex à XO. Le rapport de AT à A.1 est donc égal au rapport de ex à XO. Mais il était aussi égal au rapport de eA à AI. Le rapport de ex à XO est donc égal au rapport de eA à AI; ce qui n'est pas possible. Il ne peut donc se trouver un troisième cône qui entoure cette section et qui soit semblable au cône EZK. Ce qu'il fallait démontrer. Le sixième livre de l'ouvrage d'Apollonius sur les Coniques est achevé.

217

5

~ 5-

[r] ~J : ~J 3 - [y]

ô.} ~ ~\j (\~t» \A~ ~J

I.aJ: l.a /

[y] ~~~~

[r] ~b: ~ J ...

~2-

[r] jl :-;\1

üu,Jj>JJ y~ ~ :ül1,J#\ ... y~

~\J->"~» ~l.tJ\ ~ ~J .«O~J ill ~IJ /~" ':tJ ~JA ~ (~tJ ~Y\jJ ~Y\j

':tJ ~~:.r->-J ill\ ~» \A~ ~J [r] ~b [y] «O~J ill\ ~\J .[1] «~i ~\J ~ ~ ill\ ~J et:l WI y) ill\ ~\J» \A~ ~ ~[r] «"~

NOTES COMPLÉMENTAIRES

[1, p. 100; ar. p. 101, 7] Dans les deux traditions manuscrites, ce paragraphe est placé au début de la troisième proposition. Le numéro de celle-ci a été noté au début du paragraphe. Il est cependant évident que celui-ci est un complément - un corollaire pour ainsi dire - des deux premières propositions. En effet, dans les propositions VI. 1 et VI.2, Apollonius rapporte les sections coniques à l'axe et au côté droit qui lui est relatif. Il lui restait donc à recommencer avec un diamètre quelconque, pas nécessairement l'axe, et son côté droit relatif, et par conséquent à tenir compte de l'angle formé par ce diamètre et les ordonnées. Problème assez facile; Apollonius n'éprouve aucun besoin de s'y appesantir, puisque, comme il le rappelle, le modèle de la démonstration est le même que dans le cas de l'axe. Il écrit: «~W ~ ~~J \ l+-J\ tj (on montre cela, comme on l'a montré pour les axes) ». Si on désigne par (9 et (9/ les angles des diamètres et de leurs droites ordonnées, on aura immédiatement les résultats suivants: paraboles: 9= 9/ Ç::} C = c/ et (9 = (9/ coniques à centre : ~ = ~ / Ç::} C = C ~ d = d/ et (9 = (9/. Le paragraphe complète donc les deux premières propositions. Cette conclusion s'est imposée aux lecteurs - commentateurs et traducteurs - des Coniques. Ainsi al-Shïrazï (seconde moitié du xr siècle) place ce paragraphe, dans son Examen des Coniques (Ta~afful:t), à la fin de VI.2 et le sépare ainsi de VI.3 (ms. Istanbul, Ahmet III, 3463, fol. 111 J. Na~ïr al-Dïn al-Tusï, dans sa Rédaction des Coniques, sépare ce même paragraphe de la troisième proposition et le place là où il doit être (mss Rampur, 2906, fol. 207 ; India Office, Loth 745, fol. 161 Ibn Abï Jarrada écrit en marge du manuscrit A, face au début de la proposition VI.3 : V

).

cJ

J-W 'Jj'~ ~ ~ ~l ,ç~\

\11 ~ ~ ~j ,:;~Jji (J~ (Ji ~ l:Ak:~»

.«o~\fr~i ~~ ~ ~~j.()~ lç « Je dis: c'est ici que doit être le début de la proposition 3 ; ce qui précède (le paragraphe évoqué) est l'achèvement de la proposition 2, étant donné qu'il lui est lié et qu'il n'a aucun lien à ce qui suit. Rédigé par Mu1)ammad ibn ~Umar ibn Abï Jarrada» (ms. Istanbul, Aya Sofia 2762, fol. 240r ) ».

Dans sa traduction latine, E. Halley fait de même (p. 68).

[2, p. 100 ; ar. p. 101, 13-15] Dans les deux premières propositions et dans le corollaire évoqué dans le paragraphe rédigé à leur suite, Apollonius établit les conditions pour que deux sections coniques d'un même genre soient égales. Il est naturel de soulever

220

Notes complémentaires

ensuite la question de l'égalité entre deux sections coniques de genres différents. C'est précisément ce qu'il fait. Or on s'attendrait à un énoncé qui englobe tous les cas qu'il considère ensuite où il distingue d'une part entre l'ellipse - courbe fermée - et les autres courbes ayant des branches infinies, et puis d'autre part entre ces dernières; c'est-à-dire un énoncé du genre :

. « -û\)\ ~\ i.fJL.: '1 t}l5:1\ ~\J ,yy\ t~\ i.fJ~ '1 ~W\ ~\» « L'ellipse n'est pas égale aux sections qui restent, et la parabole n'est pas égale à l' hyperbole» ou, comme l'a proposé Na~ïr al-Dïn al-Tüsï dans sa Rédaction:

« une section n'est pas égale à une section qui n'est pas d'un même genre» (mss Rampur, 2906, fol. 207 ; India Office, Loth 745, fol. 161 V

).

On note que le paragraphe débute par la locution ~W\ ~\ ~i (quant à l'ellipse) ; ceci suggérerait donc qu'un énoncé plus global a précédé cette locution. En tout cas, tout indique que, s'il y avait eu une omission (dans le texte grec ou dans la version arabe), celle-ci n'aurait pas dépassé quelques mots. C'est pour cette raison que nous avons placé cette phrase dans le texte, à titre bien entendu conjectural. Dans son commentaire du traité d'Archimède De l'équilibre des figures planes, Eutocius rappelle la définition d'Apollonius des segments semblables. L'examen de cette définition citée par Eutocius montre qu'elle n'est pas identique à celle effectivement donnée dans le livre VI. Il manque à la définition rapportée par Eutocius la condition sur les angles, ce qui ne pouvait pas échapper à Eutocius s'il avait entre les mains le texte du livre VI. Voir la discussion de cette question au Tome 1, p. 21-22, de cette édition des Coniques.

[3, prop. 3, p. 102 ; ar. p. 103,4] Glose d'al-Tüsï :

~ ~J~J? eLJi~J~~eL~~i,J? Ji~~0P:~6.» ~JL-,

\

~

j

,~ ~ ~

J J ;L...., ~ ~ \ ~ j

,n ~ J ~ eL Ji ~ ~ \ ~ eL . «U1>.

\~ ~J ~J

«Glose: le rapport de MK à KA, c'est-à-dire le rapport du rectangle MK par AB au rectangle KA par AB, est donc égal au rapport du rectangle BM par MK au rectangle BA par AK, donc BM par MK est égal à AB par MK, donc BM est égal à eA ; ce qui est absurde» (ms. Oxford, Marsh 667, fol. 122).

221

Notes complémentaires

[4, prop. S, p. 104 ; aI. p. lOS, 14] Au lieu de AKe et BAe, on trouve AK et BA dans les deux familles de manuscrits représentées par A et B ; ce qui indique qu'il en était ainsi dans la traduction du manuscrit grec, et très vraisemblablement dans le manuscrit lui-même. Or cet exemple - entre bien d'autres que nous ne relevons pas - est significatif de la traduction latine de Halley, et de l'impact qui fut le sien sur les traductions française et anglaise. Commençons par rappeler le texte : ,(ms. 31) ~ .JAJ ,~L:J\J ~ ~ ~ 1, ~ 1, ~ \

0H '( ~ 1, ~ 1, 01J ,~iJ» 0 \

~ ~ ~ .~ J~.w..;~ ~.1>J ,(ms. J ~)1, J~.JAJ ,~L:-U;~

.«~J~ \.w..~.1>J~J~ \~~;~ De ce texte, voici la traduction, littérale, que nous avons donnée: « De même ABe est égale à eBH; Are est alors égale à eBL1 et le reste, qui est AKe (ms. AK), est égal au reste, qui est BAe (ms. BA) ; et la ligne AKL1 est égale à la ligne rAB. La surface AKL1B tout entière est donc égale à la surface ArAB tout entière, et la ligne AKL1B à la ligne ArAB. » Ainsi, une fois montré que Are est égale à eBL1, on entend établir que AKL1B est égale à ArAB ; les restes sont aussi égaux: AKe plus un quart d'ellipse d'une part, BAe plus un quart d'ellipse d'autre part. La conclusion s'ensuit nécessairement. Dans sa traduction latine, Halley s'est arrêté à AK et BA, et les a considérés non pas comme deux segments (il arrive souvent que dans le texte un segment ou une surface soit désigné par deux lettres seulement), mais comme deux courbes, estimant que le texte est lacunaire. Il a donc ajouté une phrase pour combler ce qu'il pensait être une lacune. Il écrit : « Triangulum autem ABe aequale est triangulo BHe : Area igitur Are Areae BL1e aequalis est, ac Area residua AeK residuae BAe ut & Curva AK Curvae BA aequalis. » (p. 69). Or cette lacune, comblée par la phrase soulignée, n'existe pas. On remarque aussi que Halley ajoute des termes tels que triangle, aire, courbe, absents du texte. Disons-le une fois pour toute : la traduction de Halley, grâce à laquelle le texte d'Apollonius a été connu, est bien de son temps, une traduction libre, qui s'autorise certaines gloses. Ver Eecke l'a rendue rigoureusement telle quelle, jugeant lui aussi le texte lacunaire. D'autres ont depuis suivi le même chemin, mais avec moins de bonheur.

[5, prop. 6, p. 106; ar. p. 107, 2 ; trad. p. 20] Ibn Abï Jarrada écrit en marge de l'énoncé de cette proposition la glose suivante (ms. Istanbul, Aya Sofia 2762, fol. 241 V) :

222

Notes complémentaires

'0~r:J\ ~ 0~y:J\J ,~\)\ tlli\.1 ~ 0-:!~\ ~\ \~ ~ ()~ ~~ ,)~

\.a :~»

'«;;~\ft '-Ii ~~ ~ ~ ~J Sur cette question, voir le commentaire mathématique, p. 20.

[6, prop. 6, p. 106 ; are p. 107, 13] Ibn Abi Jarrada propose la formulation suivante:

W' ,J ~ ~ ~ ~ .b>. ~

* \ ~ ~ ~ ~~\ :\~ 0~ 0i ~ :~»

'«;;~\ft'-li ~~ ~ ~~J·(;;j~~~)YtlLQ1\ ~ j~\~~ « Je dis: il faut que ce soit ainsi: la tangente à la section L1rM coupe la droite L1N en deux moitiés au point 1\., comme on l'a montré dans la proposition 7 du livre II. Rédigé par Mu1)ammad ibn (Umar ibn Abi Jarrada» (ms. Istanbul, Aya Sofia 2762, fol. 241 V) ».

[7, prop. 7, p. 108 ; ar. p. 109, 13] Ibn Abi Jarrada a écrit dans une glose une remarque sur la démonstration par Apollonius de l'égalité des droites BZ et ZL1 d'une part, et AH et EH, d'autre part:

.~ û~i ~i ~ ,~\ ~~.rJ 1,.# ~~ ,tlL1~\ o.a ~J~ ~J~

o.a :~»

'«;;~\ft'-li ~~~ ~~J « Je dis : celles-ci (les droites) sont égales, sans qu'il soit besoin de s'étendre, car elles sont des ordonnées à l'axe et sont partagées aussi en des moitiés par lui. Rédigé par Mu1)ammad ibn (Umar ibn Abi Jarrada» (ms. Istanbul, Aya Sofia 2762, fol. 242) ».

[8, prop. 8, p. 112 ; are p. 113, 1] À la lecture de ces lignes, on constate que l'énonciation avec l'expression habituelle ÀÉyw OTt rendue en arabe par 01 J~i manque. D'aucuns pourraient croire qu'il y a là une omission qu'il faudrait restituer. Or l'examen des quatre premiers livres des Coniques, c'est-à-dire ceux qui nous sont parvenus dans la version d'Eutocius et dans une traduction arabe d'un manuscrit indépendant, nous montre qu'une telle situation se présente plus d'une fois, par exemple dans les propositions 2, 26, 29 du second livre, pour ne considérer que lui, aussi bien dans le texte grec que dans le texte arabe; c'est dire que rien n'autorise à faire endosser la responsabilité de cette absence aux traducteurs ou aux copistes. Mais cela confirme d'autre part qu'Eutocius n'a pas omis cette énonciation lors de son

Notes complémentaires

223

édition. L'examen des situations où celle-ci manque également montre qu'il s'agit ou bien d'une proposition dont tout ou partie découle d'une - ou des - propositions précédentes, ou bien d'une proposition qui traite d'un problème de construction, ou bien enfin d'une proposition qui n'est qu'une réplique d'une autre, démontrée dans une précédente section. Dans cette proposition 8, Apollonius veut démontrer: a) que le segment ril se superpose au segment EZ, ainsi qu'aux segments MN et

se; b) qu'il ne se superpose à aucun autre segment. Or a) découle directement de VI.7 et V1.4. C'est donc un corollaire. On comprend qu'Apollonius n'insiste pas et donne directement la démonstration. Mais b) est une affirmation nouvelle qu'Apollonius démontre par réduction à l'absurde. Ainsi, avant cette démonstration, il en énonce l'objet par l'expression habituelle. Or cette situation n'est nullement unique: Apollonius procède ainsi dans 1.51 par exemple. Nous voulons dire par cette remarque qu'il s'agit là, selon toute vraisemblance, d'une variante du style de rédaction d'Apollonius, style uniforme certes, mais non mécanique et qui parfois varie.

[9, prop. 9, p. 114 ; ar. p. 115,2-3] « or les segments )~

ze et EH ... du centre »,

~J

... L 01, j.

Cette locution est parfaitement correcte et n'a subi aucune altération. Elle signifie que ze et EH ne sont pas découpés par deux mêmes cordes perpendiculaires à l'axe, ni par deux couples de cordes symétriques par rapport au centre de la section, cas qui peut se présenter pour l'ellipse et les deux sections opposées. Dans sa rédaction des Coniques, al-Shirazi a introduit le terme « mêmes» (4L:c~), terme utilisé par Apollonius en d'autres endroits, par exemple VI.22, pour faire ressortir le sens. Il écrit ainsi:

«car deux mêmes perpendiculaires ne tombent pas sur eux (les deux segments) et leurs distances du centre ne sont pas égales (ms. Istanbul, Carullah 1507, fol. 115) ».

[10, prop. 12, p 122 ; ar. p. 123, 8] « ... et que le rapport de KA à An est égal au rapport de or à rx », J~ J~ ~ t ~ J \ J~ E ~J . Ibn Abi Jarrada a isolé cette phrase dans le texte même entre deux signes "'1" et "J~" . Il écrit alors en marge:

224

Notes complémentaires

~J ,4-)i ~~ :i ;;~L:) ~J ,\~ ~\ ~ ~ ~J

~ ~~ 4...;J~~ ~\ ~ ~~\

~ ~ d:..iJj.4 ~ ~\ '4...;J~\

Ji ~J lf)J .J"k 0~~~ ~\~\

v

r

)

~

·~JJiJt ~ .kJ

~J ,t~.,l\ ~ ~

Ji 4...;J~\ ~ wl$ II cûi ~J' ~ 0~y-:J\

.... ~ ·l:QJ~\\ü ~,I- A",Y\-;i ~J

"Ji" ":i" ~Y\c ~ ~jJ\ \~: ~»

Ji JS

..

~wi ~~"k

JJ

' . W~\\I...-l·.:.1\ \II...-l . .:.1\ L-.;5 ,1 -A",YWi 0-4 r . ~ t5~ . ...r--. ~

~

~~'~~Ji~t~~JiU ~J

.«;;~\~ ~i ~ ~ ~ ~ ~J .o.J~ W' '0~y-:J\ \11 ~ ~J « Je dis: ce qui est entre les deux signes "la" "i/cr' se trouve ainsi dans toutes les copies [des Coniques] ; c'est un ajout dont on n'a pas besoin et qui ne relève pas du sujet. Sa [Apollonius] démonstration est longue, et il est possible de parvenir à ce que l'on cherche de cette proposition d'une manière plus accessible, mais il sous-entend au cours de la démonstration la chose suivante: puisque le rapport du produit au produit, qui est composé des deux rapports de leurs côtés, est égal au rapport du produit au produit, composé des deux rapports de leurs côtés, alors les deux rapports composés sont égaux et le rapport de KA à Ae est égal au rapport de OT à TE. Il reste donc le rapport de Kn à ne égal au rapport de OX à XE. C'est sur cela que l'on bâtit l'achèvement de la démonstration, comme il [Apollonius] l'avait mentionné. Rédigé par Mu}:1ammad ibn ~Umar ibn Abi Jarrada» (ms. Istanbul, Aya Sofia 2762, fol. 245 r ). La remarque d'Ibn Abi Jarrada est exacte, mais l'authenticité de la phrase d'Apollonius n'est pas objet de doute: elle figure dans tous les manuscrits de la traduction. Al-Tüsi, à son tour, isole cette même phrase et écrit la glose suivante:

«Glose : car les rectangles proportionnels sur les côtés proportionnels sont semblables» (ms. Oxford, Marsh 667, fol. 125r ).

[11, prop. 13, p. 128 ; ar. p. 129, 14; voir supra, p. 33] Voici le texte d'Ibn Abi Jarrada: Ü

\J~~ b\S.,J ~~'~\~EJ~~0~:ii~W\~\~~:~»

~~ ~ ~\ wW

't ~~~ ~Jü~~ ~ \ 0 1SJ ,~~ J~~ ~.rJ\~t

~

~ ~~J.~~ ~yAJ\~J'0-=~\J.c;;~i ~,~~~~\..illJ~ [) .«;;~\~~i~~

225

Notes complémentaires

« Je dis : Il faut dans les deux ellipses que les deux points T et y ne soient pas sur les sections, car, s'ils y étaient, et si AT et .1y étaient des ordonnées pour les diamètres Ar et ME , alors Aç serait égale à çT et .1r serait égale à 'l'Y, et ainsi ATet ~y seraient divisées en deux moitiés par les diamètres ZH et IX des deux cercles et elles seraient donc des perpendiculaires aux diamètres; or ceci n'est pas l'hypothèse. Rédigé par Mu1).ammad ibn ~Umar ibn Abi Jarrada » (ms. Istanbul, Aya Sofia 2762, fol. 246 ». V

)

[12, prop. 13, p. 128 ; ar. p. 129, 14] Au cours de la démonstration de cette proposition VI.13, Apollonius déduit l'égalité des deux angles Z et !, sans justification aucune. Les Banu Musa ont ajouté à cet endroit du texte la phrase « d'après les lemmes qui précèdent ce traité ». Il s'agit du septième lemme (voir Tome 1.1, p. 492-493 et 520-525). Dans sa Rédaction des Coniques, al-Tusi modifie en quelque sorte la rédaction de cette proposition. Il commence par établir un lemme qu'il utilisera dans la démonstration de cette proposition, comme dans quelques autres par la suite. Lemme d'al-Tusi : ." ~lil\ \ ~ v. w,li.., v. ~ ~ ~J)0'4(rJ A

j1."J\

".

\.

•

"

G ~b \~ ~ .1l>i ~..J \)\

v~ •

A

•

~û .. ~I~ - lé»

~

~~

~ ~ ~l5'J '~J~ ~J\j ~ ~ Ji (\..;>-~\ ~ ~w\ ~j1~J ~~\..JJ '0~~ 4~ ,~..;>-~\ ~ ~ ~\J>.1 ~

L~Y \ ~~\::J~~\."J\jo ::J~y \F~~l.4J\~Çi-=J\j ~ (~J ::J.1

° \~ y

L:..:J\j ~l5'J

L~ ~

j ::J ~ \ ~~ 0L..a1,l.4J\ ~ L ~ y \j1J~ 5

\j~ ~~J '04-!~j o::J~ Y \ L-:l:LJ :J~ ,n~ ~ L ~ ~y ~J ~J~ 0~~ .1 \

~~

°~ J y

- ~ <Jl>

~0

y (Y

~ '~\~ ~ j ::J ~ \ J ~~ iJ'"' \

~~

-

0 y ~y ~ -

°0 J y

~j1J (~

J y <Jl> ~ y ~J ' ~4\Jj ~JL.:J

~:o\JL.J.Y,~~ ~ ~yy ( ~~~~ 0~J~

iJ'"'0

~LsJ ~ ~çi-=J\j~JL..:J -~ 0Y L ~'~ 0 L~J'iJ'"'O ~ 10

226

Notes complémentaires ~ o .

~

~

\.- ·L:.JIJ ~J ,.~ ~~-~ l'~,'' A'~ 0 ..J L ..J.r 0~

,,:?,.r~0

y 1~

-

A·~I t)L;~1 ..

~

\

'0~J~ - ~J~I ~ - ~ y l ":?'~ ~ 0l:..JI.,JI j:; ~Jly '~ ~ .y

- [~] ~4Jlj : ~41Jj 8 -

[J] ~ [~]

<.S ~ 1,

0

FI .JAJ ~ 0~~ j

0

0

~

~: ~ 5 - [~] ~\j : ~\j 1

.[~]~:~ 12-[J,~]~I:~1 Il « Étant donné deux triangles rectangles inscrits dans deux cercles, on mène de leurs angles droits deux droites qui coupent les deux cercles et les deux cordes de leurs droits (les diamètres) - après le prolongement (du diamètre) ou avant selon deux angles égaux, et telles que le rapport des deux parties de la corde (du diamètre) dans l'un soit égal à leur rapport dans l'autre; alors ils sont semblables.

A

H

~v r

z

Que l'on mène des deux angles droits B et E des triangles ABr, L1EZ, inscrits dans les deux cercles ABrH et L1EZK, les deux cordes BIH et EeK qui coupent les diamètres Ar et L1Z en l et e et telles que les angles BIA, BeL1 soient égaux et que le rapport de BI à IH soit égal au rapport de Ee à eK. Nous disons: les deux triangles ABT, L1EZ sont semblables. En effet, puisque nous menons les cordes BAN et EME qui coupent Ar et L1Z selon des droits, alors les triangles BAI, EMe sont semblables, en raison de l'égalité de leurs angles. Mais le rapport de BI à BA - a fortiori BI à BN - est égal au rapport de Ee à EM - a fortiori Ee à EE. Mais puisque, par composition, le rapport de HB à BI est égal au rapport de KE à Ee, alors, par l'égalité, le rapport de BH à BN est égal au rapport de KE à EE. Joignons HN et KE. Les deux triangles HBN, KEE - en raison de l'égalité des angles B, E et de la proportionnalité des côtés qui les entourent - sont semblables. Les angles H, K sont donc égaux. Mais ils interceptent les arcs BAN et EL1E. Les angles r et Z qui interceptent les arcs AB et EL1 - les moitiés des deux premiers - sont donc égaux. Les deux triangles ABr et L1BZ sont donc semblables. C'est ce qu'on recherche» (mss Rampur, 2906, fol. 212213 ; India Office, Loth 745, fol. 165v -166).

227

Notes complémentaires

[13, prop. 14, p. 128 ; ar. p. 129, 16-131,2] Il Y a une différence dans la rédaction de l'ecthèse entre les deux traditions manuscrites. Dans les manuscrits B et M, on lit :

« Soit deux sections: une parabole AB - d'axe AH - et une hyperbole ou une ellipse qui lui ressemble, Tf1 ».

On constate dans cette rédaction deux anomalies: l' ecthèse n'est pas séparée de la démonstration, puisque celle-ci continue la locution précédente; et on désigne l'axe avant la section. De plus, l'expression habituelle par laquelle débute une démonstration par l'absurde est absente. Il s'agit de la locution ~i 0~ (si c'est possible). La rédaction dans A est beaucoup plus proche du stYle d'Apollonius; c'est celle que nous avons retenue. On lit :

·(1~~Jy\~ti~~H» ,«~~~,:?ll\~W\Ji ~\)\~4 \~....... ~\ \~H ~i 0~ « Soit une parabole AB, son axe AH. Si c'est possible, que cette section soit semblable à l' hyperbole ou à l'ellipse Tf1 ... ».

Or cette rédaction soulève elle aussi un problème en rappelant l'hyperbole ou l'ellipse avec l'article défini, comme si celles-ci avaient été évoquées auparavant. La rédaction canonique dans le style d'Apollonius - mais qui n'a pas toujours été suivie - serait:

y \~ 0t:J~t!~ ~~ ~ ~\.jJi ~\jJ ,(1 ~ ~J Y \~ti~ '0~ H» .«~~~~ '1 « Soit deux sections: une parabole AB - d'axe AH - et une hyperbole ou une

ellipse, Tf1 ; je dis que la section AB n'est pas semblable à la section Tf1 ». Rien ne garantit que telle était la rédaction initiale. Mais la différence entre les deux traditions manuscrites, que nous n'avons aucun moyen de dater ni d'expliquer, concerne seulement l' histoire de la traduction arabe.

[14, prop. 15, p. 132 ; ar. p. 133, 7] Dans sa traduction, E. Halley a ajouté l'expression qui s'impose, étant donné la définition de la similitude des sections, à savoir : « et abscissae ad abscissa in eadem ratione » (p. 75).

228

Notes complémentaires

[15, prop. 16, p. 134 ; ar. p. 135, la] La référence est ici à la proposition V1.2. En marge du manuscrit A, une glose, vraisemblablement d'Ibn Abi Jarrada, ajoute VI.12 :

« Ceci se démontre à partir de la proposition 2 et de la proposition 12 de ce livre» (ms. Istanbul, Aya Sofia 2762, fol. 248). Ceci est bien exact. Notons que dans la tradition manuscrite de [B, M], la référence est à la proposition 12.

[16, prop. 17, p. 136 ; ar. p. 137, 1-2] «alors ces segments sont semblables et semblablement placés »,« ~~ ~JJ ~~ ~\ cll1 0~ ». La locution « semblables et semblablement placés» est utilisée sous cette forme ou une forme équivalente, «~.,..s t""-;J-4J ~~ », à partir du premier livre des Coniques. On la rencontre dans la version d'Eutocius dans les propositions 1.12 (48, 15), 1.13 (26,27),1.54 (186, 15,24),1.56 (194, 25,34) (voir Tome 1.2 de cette édition). La traduction arabe ne rend cette expression de cette manière que dans les deux propositions 1.54 et 1.56 et la traduit différemment dans 1.12 et 1.13. Ainsi, elle rend dans 1.56 l'expression E'{ÔEt O{-lOt