BASICによる高校数学 (新・数学とコンピュータシリーズ)

片 桐 重延 監修 片 桐重 延 ・ 飯 田健 三 ・ 佐 藤 公作 志 賀 清一 ・高橋 公 共著

R

〈日本複 写 権 セ ン ター委 託 出 版物 〉 本 書 の全 部 また は一 部 を無 断 で複 写 複 製(コ ピー)す る こ とは,著 作 権 法 上 での 例 外 を除 き,禁 じられ て い ます 。 本 書 か らの 複 写 を希 望 さ れ る場合 は,日 本複 写権 セ ン ター(03‐3401‐2382)にご連 絡 くだ さい。

序

文

  平 成6年 度 よ り実 施 され た 新 しい高 校 数 学 で は,コ

ンピ ュー タ に関 す る取 扱 い

が い ま まで 以上 に重 視 され て い る。 そ れ は,こ れ か ら コ ン ピ ュー タに つ いて,ま た,コ

ン ピュー タに 関連 す る 「数 学 」 に つ いて学 ぼ う とす る人 々 に と って学 び が

い のあ る もの で あ る。 元 来,日 本 の数 学 教 育 は,戦 後 長 い間 大 学進 学者 のた めの, あ る い は,将 来 特 に数 学 を必 要 とす る人 々 の た め の もの で あ った。 しか し,数 学 が情 報 化,高 度 技 術 社 会 の た め に さ ま ざ ま なか た ちで 関 与 して き た現 在,も

はや

単 に,将 来,数 学 を 特 に必 要 とす る人 々や,理 工 系 を志 す 人 々 の た あ の もので は な くな り,よ り広 い意 味 で の 知 的 ユ ー ザ ー と いわ れ る人 々 が数 学 を学 習 す る時 代 が きた の で あ る。 この こ と は,「 中等 教 育(中 学 ・高 校)に

おけ る数 学 的 リテ ラー

シ ー は,情 報 化,高 度 技 術 社 会 に お け る一 般 的 知識 人 が もつ べ き標 準 的 な教 養 を 目指 す こ と にな る」(数 学 教 育 の 会)の 指 摘 に も端 的 に示 され て い る。 ま さ に, コ ン ピュ ー タ関連 の数 学 は,こ れ か らの生 涯学 習 の基盤 と して の数 学 で あ る とい っ て も過 言 で はな い。   本 シ リー ズ(全10巻)は,コ

ン ピュ ー タ関 連 の数 学 を次 の各 分 野 に分 け て 企

画 した。 そ れ は既 刊 の 「数 学 と コ ン ピュ ー タシ リー ズ(全8巻)」 現 代 向 け に発 展 させ,新

の思 想 を よ り

しい中 等 数 学 の考 え を 取 り入 れ た もの で あ る。

  第 一 は,  

● コ ン ピュ ー タ言 語 と処 理

 

●BASICに

 

●BASICに

の 内 容 で,コ 数 学A,数

よ る数学 の 問題 解 法 よ る高校 数 学 ン ピ ュー タ関 連 の数 学 を学 ぶ た め の基 盤 と新 しい数 学 ,特 に高 校 の

学Bの

内容 に準 拠 した もの で あ る 。BASIC言

語 は,こ

れ らの 教 科 書

の ほ とん どで使 用 され て い る言 語 で あ り,こ れか らも数 学 教育 用 言 語 の 主 流 と し て導 入 され るで あ ろ う。

 第二 は  

● 行 列 と線 形 計 算

 

●数値計算

 

●確率統計

に そ の特 徴 が 見 られ る よ うに,こ れか らの 高 校 数学,あ

るい は,大 学 初 年 度 の 数

学 に取 り入 れ られ る で あ ろ う,行 列,線 形 計 算,数 値 計 算,確 ざ した。 主 題 の性 格 上,や

率 統 計 の基 礎 を 目

や難 解 な問 題 も含 まれ るが,全 体 を とお して 読 めば 高

校 生 に も理 解 で き る よ うに心 が け たつ も りで あ る。 い う まで もな く,高 校 現 場 で 数 学Cを 中 心 に こ れ か ら コ ン ピ ュー タ関 連 の 数 学 を教 え よ う とす る先 生 方 や,大 学 で こ れ らの数 学 を平 易 に学 習 しよ うと い う人 々 に と って も有効 に利 用 で き るで あ ろ う。   第 三 は,  

● 数 学 ソ フ トに よ る 曲線 と図 形 処 理   ● 数 学 ソ フ トに よ る数 式 処 理 と関 数

に お い て取 り上 げ た数 学 ソフ トウ ェ ア に よ る数 学 の展 開 で あ る。 数 学 ソ フ トは い ま や ます ます 発 展 し,こ れか らの 数 学 で 欠 く こ との で きな い分 野 に な りつ つ ある。 図 形 処 理 や 数 式 処 理,関 数 と グ ラ フの 扱 い に つ い て は,単 に 中等 数 学 の み な らず 数 学 教 育 や 数 学 の研 究 に お い て も有 効 な手 段 に な る。 こ こで は,代 表 的 な数 学 ソ フ トにつ いて 取 り上 げ,問 題 の解 法 を 試 み た。  他 に  

● コ ンピ ュ ー タ に よ る グ ラ フ ィ ック ス

は,コ

ン ピュ ー タ グ ラ フ ィ ック スを そ の基 盤 か ら誰 にで もわ か る よ うに や さ し く

解 説 した もの で あ り,  

● コ ンピ ュ ー タ によ る成 績 処 理

は,主 と して 小 学 校,中 学校,高

等学 校 に お け る教 科 担 任,学 年 担 任 の先 生 方 の

学 期 ご との,ま た,学 年 末 の 成績 処 理 とそ の省 力 化 等 につ い て,誰 に で も利 用 で き る よ う に解 説 した。 また,こ て も示 した。

こで は,ソ

フ トウェ アを 利 用 した処 理 方 法 につ い

  以 上,こ

れか らコ ン ピュ ー タを 学 習 す る人,コ

ンピ ュ ー タ に関 連 す る数 学 を学

習 し,教 育 しよ う とす る人,数 値 計 算 に習 熟 し数学 の社 会 に お け る有 効 な活 用 を 図 る人,さ

らに,数 学 の ソ フ トウ ェ ア を有 効 に利 用 しよ う とす る人 々 に と っ て,

この全10巻 の 書 が座 右 の銘 の ご と く,有 効 に活 用 され る こ とを願 って や ま な い 。   な お,多 忙 な 中 を この シ リー ズの 執 筆 に あ た られ た 白石 和 夫,高 橋 公,飯

田健

三,室 岡 和 彦,佐 藤 公 作,志 賀 清 一,山 路 進,金 子 伸 一 の各 氏 に お礼 を 申 し上 げ る と と も に,本 シ リー ズ の 出版 を企 画 ・推 進 して くだ さ った東 京電 機大 学 出版 局, お よ び終始 ご助 言 くだ さ った 同編 集 課 長 朝 武 清 実 氏 に 深甚 の感 謝 を 捧 げ た い。 1995年3月 監 修   片 桐  重 延

は じめ に   改訂 され た学 習 指 導要 領 で は、 小 学 校,中 学 校,高 等 学 校 を とお して数 学 教 育 の な か に コ ン ピュ ー タを 導 入 す る こ とに そ の 目 的 の一 つ が あ る。 高等 学 校 の数 学 にみ る と数 学Aに

「計 算 と コ ン ピュー タ」,数 学Bに

お か れ た。 そ して,数 学Cに 計 算,お

「算 法 と コ ン ピュ ー タ」 が

つ いて は行列 と線 形 計 算,い

ろ い ろ な 曲 線,数

値

よ び統 計 処 理 の 全 範 囲 を とお して コ ン ピ ュー タを使 用 す る こ とが前 提 と

され た 。 コ ン ピュ ー タ を活 用 す る こ と によ って 「数 学 的 な 見 方 や 考 え 方 の よ さ を 認 識 」 させ,「 数 学 を 積極 的 に活 用 す る態 度 を育 て る」 教 育 をめ ざ してい る とい っ て も過 言 で は な い。 お そ ら く,次 の改 訂 にお いて は,数 学 の 全 分 野 に渡 って適 宜 適 切 に コ ン ピュ ー タを導 入 す る こ と に な るで あ ろ う。   数 学 の な か で コ ン ピ ュー タを指 導 す るね ら いの 一 つ に,ア ル コ リズ ムの 指導 が あ る。 数 学 で ア ル コ リズ ム,あ る い は算 法 と い う と き に,そ れ は問 題 を解 決 す る 基 本 と な る考 え方 で,論 理 で あ る。 プ ロ グ ラ ミング を と お して そ れ を少 しで も明 らか に で きれ ば と思 う。 本 書 の第1章   数 と式,第2章 第4章

  関 数,第3章

 数列

図形 と方 程 式 は主 と して この点 に重 点 を お いて 書 い た。 そ して,何 よ り

も コ ン ピ ュー タお よ び,プ

ロ グ ラ ミング を と お して 数 学 に興 味 を い だ き,楽

しく

数学 を学 習 す る こ とが で きれ ば幸 で あ る。   他 の 一 つ は,数 学 を積 極 的 に活 用 す る こと で あ る。 従 前 の学 校 数 学 に み られ た よ うな,い わ ゆ る数 学 の 学 習 の た め の 問題,学 習 の た め の学 習 に もは や現 代 っ子 は興 味 を 示 さな くな って きた 。 コ ン ピ ュー タを使 って現 実 の 問題 を解 く ことが で き,数 学 を 活 用 す る こ とを 体 得 す る こ とが で きれ ば これ に過 ぐ る こ とな い と考 え る。 第5章   微 分 ・積 分,第6章

 確 率統 計,第7章

  い ろ い ろな 曲線 は こ の こ

と に重 点 をお いて 書 い た。   本 書 が 高 等 学 校 数 学 を 学 ぶ 人 達 に と って,ま た,数 学 を指 導 す る人達 に十 分 に 活 用 され,数 学 へ の興 味 と関 心 を 高 め て ほ しい と願 う次 第 で あ る。 1996年2月

 

著 者 しるす

目

次

第1章  数と式  1.1  数 と 演 算

 1

 [1]  数 の 計 算

 1

 [2] 

 3

乗法

 [3]  自然 数 に関 す る算 法 と プ ロ グ ラム

 7

  1.2  最 大 公約 数 と最 小 公 倍 数

 11

 1.3  整 式 の 除 去

 14

 [1]  除 法 の 算 法

 14

 [2]  組 立 て 除 法 の 算 法

 16

 [3]  10進 数 とp進 数 の 変 換

 19

  21

 1.4  方 程 式 の 解  [1]

 [2] 

 1次 方 程式

  21

2次 方 程式

  22

 練習問題

第2章  関   2.1 

  25

数

2次 関 数  [1] 

2次 関 数 の グ ラ フ

 [2] 

2次 方 程 式 ・2次 不 等 式 32

  27  27

  35

  2.2  三 角 関 数  [1] 

三 角関 数 の グ ラ フ

 [2]  三 角関 数 の合 成  [3]  三 角方 程 式 ・三 角 不 等 式

  2.3  指 数 関数 ・対 数 関 数

  35   38  40

  41

 [1]  指数 関数

 41

 [2]  対 数 関数 とそ の グ ラ フ

 43

 [3] 

 46

逆 関 数 とそ の グ ラフ

 [4]  方 程 式 ・不等 式   2.4 

 46

分 数 関 数 ・無 理 関 数  [1]  分 数 関数 とそ の グ ラ フ  [2]

 無理関数

  48  48  50

 練習問題

第3章  数  

3.1

  52

式

 数列と漸化式  [1]

 数列

 53

 [2]

 漸化式

 55

 [3]  隣 接3項 間 の漸 化 式   3.2 

  3.3 

  53

 56

数列の和

  57

 [1]

 数列の和

 57

 [2]

 等比数列の和

 57

  59

二項定理  [1]

 [2] 

 二項定理 パ ス カル の 三 角形

 59   60

  3.4  数 列 の 極 限

  62

数列の収束

  62

 [2]  数 列 の 発 散

  63

 [1] 

 [3]

 無限級数の和

 [4]  循 環 小数

 練習問題

  64   67

  68

第4章  図形と方程式   4.1  直 線 の 方程 式

  69

 [1] 

1次 式 の 表 す 図 形

  69

 [2] 

2直 線 の 交 点

  71

  4.2  円  [1] 

  73   73

円 の表 示

 [2]  円 と直 線 の 共 有 点

 74

 [3]  2円 の共 有 点

 75

  4.3  軌 跡 と作 図

  76

 [1]  線 分 の垂 直 二 等 分 線

 76

 [2]  角 の二 等 分 線

 77

 [3]  そ の他 の軌 跡

 78

  4.4  不 等 式 の 表 す 領 域  [1] 

y＞f(x)の

形

 [2]  連 立 不 等 式 で表 され る領 域

  79  79

 80

 練習問題

  81

第5章  微分 ・積分   5.1  方 程 式 の 解 法  [1]  解 の存 在 区 間 の探 索

  82  82

 [2]  二 分 法 に よ る 区 間縮 小 法

  85

 [3]  割 線 法

  88

 [4] 

ニ ュ ー トン法

 [5]  反 復 法

 91  94

  5.2  数値 積 分 法  98  [1]  区 分求 積法

 98

 [2]  台形 の 公式 に よ る方 法

 102

 [3] 

 105

シ ン プ ソ ン の 公 式 に よ る方 法

 練習問題

 111

第6章  確率と統計   6.1  場 合 の 数

 112

 [1]  三 角 数,四 角 数 の 列 の 表 示  [2]  順 列 ・組 合 せ  [3]

 い ろ い ろ な順 列

 112  114  115

  6.2  確 率 の 計 算

 118

 [1]  確 率 と そ の基 本 法 則

 118

 [2]  反 復 試 行 と その 確 率

 121

 [3]  い ろ い ろ な確 率

 123

  6.3  資 料の 整 理

 125

 [1]  平 均 を求 め る

 125

 [2]  度 数 分 布 の作 成

 126

 [3]  散 布 度 を求 め る

 129

 [4]  相 関 と相 関 係 数

 130

  6.4  確 率 分布  [1]

 133

 確率分布

 133

 [2]  母 集 団 分 布 と標 本 分 布

 139

 練習問題

 142

第7章  いろいろな曲線   7.1    7.2 

関 数y=f(x)型

の曲線のグラフ

 143

2次 曲 線

 152

 [1]

 放物線

 152

 [2]

 楕 円

 156

 [3]

 双 曲線

 161

  7.3  媒 介 変数 表 示 と媒 介 変 数方 程 式

 165

7.4  極 座 標 と極 方程 式  [1]

 極座標

 [2]  直角 座 標 と極 座 標  [3]

 極方程式

 [4] 

2次 曲 線 の極 方 程 式 に よ る総 合 化

 181  181  182  182  186

 練習問題

 188

問 お よび練 習 問題 の解 答  (1)  問 の 解 答  (2)  練 習 問 題 の 解 答

索

引

 190  190  226

  247

第1章  数 と式   こ の章 で は,数

と式 の計 算 を 中心 に して,演 算 の アル ゴ リ ズ ム とBASICに

よ る計 算 方

法 を述 べ る。 ま た,数

と式 の計 算 に関 連 して,い

題 の算 法 とBASICに

よ って プ ロ グ ラ ミ ングす る方 法 につ いて 取 り扱 う こ とに す る。 こ こ

くつ か の問 題 を と り あ げ て,こ

れ らの問

で取 り扱 う こ とが ら は,あ らゆ る高 校 数 学 の基 礎 と な る もの で あ る。 プ ロ グ ラ ミ ン グ の言 語 に つ い て は,本

シ リー ズ第2巻 の方 向 に そ って 構 造 化BASIC(以

下,単

にBASICと

い

う)を 用 い た 。

1.1  数 と演 算 [1]  数の計 算   わ れ わ れ は,も  

の の 個 数 を 数 え る と き に,自

1,2,3,4,5,‥‥‥

と い う 数 を 使 う 。 こ れ を 自 然 数 と い い,自

然 数 に0お

け た 数 を 合 わ せ て 整 数 と い う 。 す な わ ち,  

然 に

…,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,…

が 整 数 で あ る。   次 に,p,qを

整 数(q≠0)と

す る と き,

よ び,マ

イ ナ スの符 号 を つ

〓ま た は の 形 で 表 さ れ た 数 を 有 理 数 と い う。 特 に 整 数 は,q=1の

と き と 考 え られ るか ら,

も ち ろん 有理 数 で あ る。   有 理 数p/qは,小

数 に 直 す と,5/2=2.5の

よ う に 有 限 小 数 で 表 され る場 合 と,

(1.1) の よ うに,あ る桁 か ら先 を周 期 的 に繰 り返 す 無 限 小 数 にな る場 合 が あ る。 これ を 循 環 小 数 とい い,例 え ば,式(1.1)の

と表 す 。 こ の 方 法 を 用 い る と,例

場 合 は,繰

り返 しの部 分 を と って

え ば,

(1.2) (1.3) の循 環 小 数 に な る。 ま た,有 限 小 数,循 環 小 数 は分 数 の形 で 表 す こ とが で き る。  こ れ に 対 して,

(1.4) (1.5) な ど は,循 環 しな い無 限 小 数 に な る。 こ の よ うな循 環 しな い無 限小 数 で 表 され る 数 を 無理 数 とい う。  有 理 数 と無 理 数 を合 わ せ て 実 数 と い う。 〔 例 題1〕BASICで

次 の計 算 を せ よ。

(1)

 (2)

  (3)

(4)

 (5)

 (6)

〔 解 〕

ダ イ レ ク トモ ー ドで 計 算 す る 。 計 算 の 結 果 は,次

の とお りで あ る。

  BASICに

は,ダ

イ レ ク ト モ ー ド と プ ロ グ ラ ム モ ー ドが あ

計算の結果 23.2 2.514286 .3333333 .6666667 1024 1.414214

る。 こ の よ う な 簡 単 な 計 算 は 前 者 で 行 う。   た だ し,定 〔 例 題1〕 第8位

数 の 型 宣 言 を せ ず に 計 算 し た 結 果,例

の(3),(4)は,本

来 は 無 限 小 数 に な る は ず が,小

が 四 捨 五 入 さ れ,第7位

BASICで

え ば, 数

ま で 表 示 さ れ る。 こ の よ う に

は,変 数,定 数 を 型 宣言 〔 注〕を せ ず に使 用 す る と,単 精 度 実 数 型(有

桁7桁)で

効

計 算 され る。 さ らに 正 確 な 計算 を 要 す る と き に は,倍 精 度 実 数 型 で計

算 す る。 この とき は,例 え ば,

と な る。 しか し,無 理 数 は 一 般 に ど こ か の 桁 で 打 ち 切 られ,有

理 数 で 近似 して 表

示 さ れ る。 〔 注〕 変 数,定 数 の型 につ い て は,本 シ リー ズ の第2巻

問1  BASICで

次 の近 似値 を求 め よ。

(1)

 (2)

(3)

 (4)

[2] 

乗

  x,yに 法,除

法

値 を 与 え て,x,yに

関 す る 整 式 や 分 数 式,無

理 式,ま

法 を く り返 し て 復 合 し た 式 の 値 を 求 め る 。 こ こ で は,い

にBASICで  √a(a＞0)の

簡 単 な プ ロ グ ラ ム を 作 っ て,こ

〔 例 題2〕xの

値 を 入 力 して,次

れ ら に乗

くつ か の例 を も と

の よ う な 無 理 数 は,あ

算 術 関 数 を 用 い て 計 算 す る。

の 式 の 値 を 求 め よ。   (2)

た,こ

れ ら の 値 を 求 め る こ と に す る。

よ う に 根 号 を 含 む 数 や,ea,π

そ の 近 似 値 を 求 め て 代 入 す るか,BASICの

(1)

を参 照 され た い。

らか じめ

(3)

(4)

(5)

(6)

〔 解〕   プ ロ グ ラ ム お よ び 計 算 例 は,次

の よ う に な る(プ

ロ グ ラ ム1.1)。

プ ロ グ ラ ム1.1

計 算例 X=12 (1)=393000 (5)=23

問2  x,yの

(2)=4909 (6)=12.04159

(3)=20735

(4)=1.005917

値 を 入 力 して,次 の 式 の 値 を 求 め よ。

(1) (2)

問3 

〓と して,次 の各 式 の 値 を 求 め よ。

(1) 

〔 例 題3〕

(2) 

正 の 数a,b,cを

(3)

入 力 し て,こ

で き る か ど うか を 判 断 し,三 〔 解 〕a,b,cが

の3つ

の 数a,b,cを

三 辺 とす る 三 角 形 が

角 形 が で き る と きに は そ の面 積 を 求 め よ。

三 角 形 を な す と き,そ

の 面積 はヘ ロ ンの公 式

を 用 い て 求 め る。 ま た,3正 ル ー チ ン で 計 算 す る。a,b,cが

数a,b,cが

三 角 形 を な す か ど う か は,例

え ば,サ

三 角 形 を な す 条 件 と して は,

あるいは

を用 い る。   フ ロ ー チ ャ ー ト は 図1.1(1),(2),に,プ

ロ グ ラ ム と 計 算 例 を プ ロ グ ラ ム1.2に

示 す 。

(2)

(1) 図1・1

ブ

プ ロ グ ラ ム1.2

計算例 ?  7,24,25

三 辺 は 7 

24 

25 

面 積=84

l5 

17 

面 積=60

11 

10

?  8,15,17

三 辺 は 8  ?  12,11,10

三 辺 は  12 

 面 積=51.52123

?  5,7,15

三 角 形 を な さ な い

  〔 例 題3〕

で は 正 の 数 α,b,cを

入 力 して,こ

の3つ

の 数 が 果 た して 三 角 形 の三

辺 を な す か ど う か を 判 断 しな け れ ば な ら な い 。 プ ロ グ ラ ム1.3で,こ

の処理 を

「サ ブ ル ー チ ン」 を 用 い て 行 っ た 。 ア ル ゴ リ ズ ム の 観 点 か ら い う と,「 別 に 取 り扱 う こ と が で き る一 連 の 演 算 」 と して ま と め て ブ ロ ッ ク処 理 を し た 。   この サ ブル ー チ ンで 用 い た で も通 用 す る が,「IF」 い が あ る(第2巻,第1章

問4 

「GO

SUB∼RETURN」

文 は,従

来 型 のBASIC

文 の 使 い 方 と サ ブ ル ー チ ンの ラ ベ ル の か き 方 に 若 干 の 違 参 照)。

〔 例 題3〕 の プ ロ グ ラ ムを 従 来 型 のBASICに

直 せ。

問5  正 の数a,b,cを

入 力 して,鋭 角 三 角 形 か,直 角 三 角 形 か,鈍 角 三 角 形 か を判 断 せ よ。

a,b,ｃ が三 角 形 を な さ ない 時 は,そ の 旨 出力 せ よ。

[3] 

自然 数 に 関 す る 算 法 と プ ロ グ ラ ム

(1)  自然 数 の約 数 を求 め る   あ る数kが,自

然 数aの 約 数 で あ る か ど うか は,aをkで

るか ど うか で判 定 す る こと が で きる。 例 え ば,a=6の

割 って 余 りが0で

あ

とき,そ の約 数 は6を 順

に 自然数 で割 って い って6の 約 数 は,

で あ る。   す な わ ち,aをkで

割 っ た と き の 余 り をrと

  (ⅰ) r=0 

な らば,kはaの

約 数 で あ る。

 (ⅱ) r≠0 

な ら ば,kはaの

約 数 で な い。

 ま た,「kをaの約数

る と,√a以

と す る と,〓

し た と き,

も ま たaの約数

下 の 約 数 を 求 め る こ と に よ り,√a以

で あ る 」｡こ

る 。 こ こ に,任

意 の 自 然数aの

の考 え を用 い

上 の約 数 も求 め る こ と が で き

約 数 を 全 て 求 め る算 法(ア

ル ゴ リ ズ ム)が

存在 す

る。 〔 注 〕 あ る問 題 を解 く手 順 の こと を算 法 とい う。 特 に,プ

ロ グ ラム を作 る と き に,そ

の手

順 の こ とを 算 法,ま た は,ア ル ゴ リズ ム とい う こ とが多 い。

〔 例 題4〕 〔 解〕

任 意 の 自 然 数aの

任 意 の 自 然 数aを

ラ ム は,プ

ロ グ ラ ム1.3の

約 数 をす べ て 求 め よ。

入 力 し て,そ

の 約 数kを

求 め る算 法(図1.2)と

よ う に な る 。 い く つ か のaに

プ ログ

つ いて 計 算 例 を示 す 。

プ ロ グ ラ ム1.3

計算 例 ? 12 1 12 2 6 3 4 ? 16 1 16 28 4

図1.2

問6  図1.2の   (1)10 

問7 

(2)24 

(3)56 

プ ロ グ ラム1.3を

  (1)526 

(2) 

手 順 に従 って,次 の 数 の約 数 を求 め よ。 (4)112

用 い て,次 の 数 の約 数 を求 め よ。

(2)1024 

(3)2056 

(4)15682

素 数 を求 め る算 法

  2以 上 の 自 然 数aが,素 か ど うか は,aを2以 ば 素 数 で は な く,割 割 っ て い く こ と は,算

数 か ど う か を 判 定 す る 算 法 を 考 え て み よ う。aが

上,a−1以

下 の 自 然 数 で 順 に 割 っ て い っ て,約

り切 れ な け れ ば 素 数 で あ る 。 しか し,2か

慮 して計 算 す る こ とで も っ と簡単 に な る。   (i) 2は 素 数 で あ る 。  (ⅱ) 2以 外 の 偶 数 は 素 数 で な い 。

数 を持 て

らa−1ま

法 と し て は 正 し く と もむ だ が あ る 。 そ こで,次

素数

で順 に の方 法 を考

 (ⅲ) aが 奇 数 の と き,k≦√aの

自 然 数kに

は 素 数 で あ る(な ぜ な らば,a=klと

つ い て,aが

した と き,k≦lな

割 り 切 れ な け れ ばa ら ば,k≦√aで

あ

る 。)。   す な わ ち,k=2,3,5,…

に お い て,√aを

越 え な い最 大 の 自然 数 ま で に つ いて

調 べ れ ば 十分 で あ る。

〔 例 題5〕2以

上 の 自 然 数aに

〔 解 〕 上 記(ⅰ),(ⅱ)(ⅲ)の ラ ム1.4,aは

つ い て,aが

素 数 か ど うか を 判 定 して 示 せ 。

手 順 に 従 っ て プ ロ グ ラ ム を 作 成 す る 。 図1.3,プ

入 力 す る。

図1.3

ロ グ

プ ロ グ ラ ム1.4

計 算例 ? 5 aは 素 数 ? 11 aは 素 数 ? 29 aは 素 数 ? 2 aは 素 数 ? 18 aは 素 数 で な い

問8 

プ ロ グ ラ ム1.4を

  (1)321 

問9 nを (3) 

用 い て,次

(2)569 

の数 が 素 数 か ど うか を 判 定 せ よ。

(3)1169 

入 力 して,2か

(4)12560

らnま で の素 数 をす べ て 表 示 せ よ 。

素 因数 分解

  自 然 数aを

素 数 の 積 に 分 解 す る こ と を 素 因 数 分 解 と い う 。 例 え ば,a=12を

素 因 数 分 解 す る と,12=22×3と 〔 例3〕

自 然 数aを

〔 解 〕aがkで 1.5の

な る。

素 因 数 分 解 せ よ。 た だ し,aは

割 り切 れ た と き,そ

のkを

表 示 す る 。 プ ロ グ ラ ム は,プ

よ う に な る 。 こ の プ ロ グ ラ ム で は,3行

し た 。 こ のnは,本

来 はa(最

しで も速 め る た め にnと る の で あ る。

入 力 す る もの とす る。

目で

初 に 入 力 し た)と

お い た 。 こ こ で は,aをkで

「FOR

k=2

して も よ い が,計

TO

ログ ラム n」 と

算 の 速 度 を少

割 り切 る素 数 をす べ て 求 め

計算例

プ ロ グ ラ ム1.5

?5 5=5 ?7 7=7 ?8 222=8 ?9 33=9 ?62 231=62

問10 

プ ロ グ ラ ム1.5を

  (1)360 

問11 

用 い て,次

(2)1896 

プ ロ グ ラ ム1.5を

の 数 を 素 因 数分 解 せ よ。

(3)8600 

(4)16596

従 来 型 のBASICプ

ロ グ ラム に変 更 せ よ。

1.2  最大公約数 と最小公倍数   2つ の 自 然 数a,bの

公 約 数 をkと

す る と き,

で あ る。   こ のkの

う ち で 最 大 の も の が 最 大 公 約 数gで

gcm(greatest る の に,い

common

measureの

略)と

あ る 。 あ る い は,最

大公 約 数 を

記 す こ と が あ る。 最 大 公 約 数 を 求 め

ろ い ろ な 方 法 が 用 い られ て き た。

  例 え ば,a,bを

そ れ ぞ れ 素 因 数 分 解 し て,共

具 体 的 な2数,a=264,b=180に

通 な 因 数 を 求 め て い く方 法 が あ る。

つ い て 計 算 す る と,

で,最

大 公 約 数 は12で

あ る。 も ち ろ ん,こ

の と き2,4,6,12は

す べ て2数264,

180の 約 数 で あ る。   ユ ー ク リ ッ ドの 算 法(ア つ の 自 然 数a,bに

ル ゴ リズ ム)を

つ い て,a＞bで

シ リー ズ 第1巻

参 照),2

あ れ ば,

  こ れ を 用 い る と ア ル ゴ リ ズ ム は,図1.4の ラ ム1.6と

用 い る と(本

よ う に な る。 プ ロ グ ラ ム は,プ

ログ

な る。 プ ロ グ ラ ム1.6

計 算例 ? 108,84 12 ? 264,180 12

図1.4

 引 き算 を 繰 り返 し行 う算 法 を,「 引 き算 を 繰 り返 して行 った 結 果 は,除 り で あ る 」 と い う 論 法 に お きか え る と,除

算 の余

算 の余 りを利 用 して最 大 公 約 数 を 求 め

る こ と が で き る。   2つ の 自然 数a,bに

つ い てaをbで

割 っ た と き の 商 をg,余

り をrと

す る と,

 こ こ で,

  こ の 論 法 で2つ

の 自 然 数a,bの

最大公約数 を求 め る ことがで きる。 この算法

を ユ ー ク リ ッ ドの 互 除 法 ま た は,互

〔 例 題4〕 〔 解〕

除 法 と い う。

互 除 法 の 算 法 を 用 い て,2つ

の 自然 数a,bの

最大 公約 数 を 求 め よ。

こ の 算 法 を 用 い る場 合 に,gcm(a,b)を

計 算 す る 手 順 と,gcm(b,a)を

計 算 す る 手 順 を 区 別 す る。 し た が っ て,gcm(r,b)は

常 にgcm(b,r)に

して 計

算 す る。 〔 注 〕 図1.4,プ

ロ グ ラ ム1.6で

は,gcm(b,a)(a＞b)と

くな る。 そ の た め にbをaに,rをbに

し て 計 算 す る と先 に進 ま な

代 入 して い る。 プ ロ グ ラ ム1.7

計 算例 ? 108,84 12 ? 2211,1139 67 ? 264,180 12

図1.5

問12 

プ ロ グ ラ ム1.7を

  (1)12,

4 

(2)62,

用 い て,次 126 

の2数 (3)67890,

の 最 大 公 約 数 を求 め よ。 12345

1.3  整 式 の 除 法 [1]  除法 の算法  あ る1つ

の 文 字(こ

A(x),B(x)が

こ で は,xを

用 い る)に

つ い て,整

理 し た2つ

の整 式

あ る 。 こ の と き,

(1.6)   た だ し,R(x)はB(x)よ で あ るQ(x)とR(x)を

り低 次 の 式 で あ る 。 求 め る こ と を 整 式 の 除 法 と い い,Q(x)を

余 り と い う。A(x)がm次

の 整 式,B(x)がn次

ば,商Q(x)は(m−n)次

の 整 式,R(x)は(n−1)次

  次 は,A(x)をB(x)で

の 整 式 で あ っ て,m≧nで

余 りR(x)を

〔 解 〕A(x)をB(x)で

 ①  6÷3=2を  ② 

割 る算 法 の例 題 で あ る。 割 った

求 め よ。 割 って い く手 順 は ① … ⑧ で あ る。

求 め る。

A(x)=A(x)−B(x)×(2x3)と

す る。

(右辺 の式 を改 めてA(x)と   ③ −3÷3=−1を

あれ

以 下 の整 式 で あ る。

〔 例 題5〕A(x)=6x5−x4+10x2−9x−3をB(x)=x2+x−4で 商Q(x)と

商,R(x)を

求 め る。

す る)

 ④ 

A(x)=A(x)−B(x)×(−x2)と

 ⑤  9÷3=3を

す る。

求 め る。

 ⑥  A(x)=A(x)−B(x)×(3x)と  ⑦  3÷3=1を

す る。

求 め る。

 ⑧  A(x)=A(x)−B(x)×1と   最 後 のA(x)=2x+1は,B(x)よ

す る。 り次 数 が 低 い か ら,こ

の と き のA(x)が

り と な る 。 す な わ ち,

で あ る 。 こ の 算 法 を フ ロ ー チ ャ ー トで 表 す と,図1.6の

よ う に な る。

図1.6

〔注 〕

(1) 各 段 階 にお け るA(x)の (2)  aはA(x)のm次 (3)  x0=1で

あ る 。

次 数 をmと

の 係 数bはB(x)のn次

す る。B(x)の の係 数

次 数 をnと

す る。

余

問13 

図1.6の

フ ロ ー チ ャ ー トを 用 い て,A(x)をB(x)で

割 った と きの 商 と余 り を 求 め

よ 。

[2]  組立 て除法 の算法  整 式A(x)を

整 式B(x)で

割 って商 と余 りを求 め る算 法 で,除 数B(x)がxの

1次 式 で あ れ ば,組 立 て除 法 と い う簡 単 な算 法 が あ る。 これ を組 立 て 除法 の 算 法 (ア ル ゴ リズ ム)と も い う。 〔 例 題6〕3次 〔 解〕

式ax3+bx2+cx+dをx−α

〔 例 題5〕

で 割 っ た と き の 商 と 余 り を 求 め よ。

と 同 じ よ う に 割 り算 を 実 行 す れ ば,次

の よ う に な る。

  この 除 法 の特 徴 は,商Q(x)の2次

の係 数 が 割 られ る式A(x)の3次

の 係 数a

で あ る こ とか ら始 ま り,Q(x)の1次

の係 数 は,Q(x)の2次

けてbを 加 え た もの に な る。Q(x)の

次 の係 数 は,前 の 項 の 係 数 にα を か け てc

の 係 数aにα

をか

を加 え た もの に な る とい うよ うな く り返 しに な って い る こ とで あ る。 この点 に 注 意 す れ ば,次 の よ うな算 法 をつ くる こ とが で き る。

2次 の係 数   1次 の係 数

 定 数 項 

 こ の 計 算 の 算 法 を フ ロ ー チ ャ ー トに 示 せ ば,図1.7の

余り よ う に な る。

図1.7

問14  4x3−x2−6x+3をx−2で

問15  A(x)をax−bで

割 っ た 商 と余 り を 組 立 て 除 法 で 求 め よ 。

割 っ た 商 をQ(x),余

り をRと

す れ ば,式(2.1)か

ら

この式 を

と変 形 す る こ と で,A(x)をax−bで の 方 法 でx3−3x2+4x−1を2x−1で

割 っ た 商 と 余 り は,組

立 て 除 法 で 求 め ら れ る。 こ

割 った 商 と余 りを 求 あ よ。

〔 例 題7〕a0xn+a1xn-1+…+an-1x+anを(x−α)で

割 った ときの商 と余

り を 求 め る算 法 を プ ロ グ ラ ム で 示 せ 。 た だ し,n,α,a0,a1,a2,…,anを

入 力 して

商 と余 りを求 め る。 〔 解〕

図1.4の

1.8で

は,A(x)をn次

ラ ム で はk)は

フ ロ ー チ ャ ー トで は,出 の 整 式 と し,配

力 記 号 を 省 略 し た 。 ま た,プ 列a(n),b(n)を

入 力 す る。 ま た,B(x)=b1xn-1+b2xn-2+…+bnと

用 い た 。nと

ロ グラム α(プ ロ グ す る。

プ ロ グ ラ ム1.8

計 算例 ?

3,2 A(x)の 係 数=3 −1 −5

4

B(x)=x−(2) Q(x)の ?

係 数=3

5

5

余 り

R=14

2,2 A(x)の 係 数=3 −1 −5

B(x)=x−(2) Q(x)の 係 数=3

問16 

プ ロ グ ラ ム1.8を

5

余 り

用 い て,次

3x5−x4−5x3+4x2−5x+3

R=5

の 式 を(x+2)で

割 った と きの商 と余 りを 求 め よ。

[3]  10進 数 とp進 数の変換

を2353と

書 く よ う に,a,b,c,dを0か

ら9ま

で の10個

の数 字 の いず れ か とす る

と き,

(1.7) をabcdと

書 く と き,こ

数 を10進

数 と い う。

の 書 き 表 し方 を10進

  同 じ よ う に,a,b,c,dが0,1の

法 と い い,10進

法 で書 き表 され た

い ず れ か で あ る と き,

(1.8) をabcd2に を2進

書 く と き,こ

の 書 き 表 し方 を2進

法 と い い,2進

法 で 書 き表 さ れ た 数

数 とい う

〔 注 〕 上 の 記 数 法 で,最 高桁 の数 字aは0で らp−1ま

で のp個

をabcdpと

書 いて,こ れ をp進

〔 例 題8〕10進

の数 字(a≠0)の

数nをp進

あ って は な ら な い。 一 般 に,a,b,c,dを0か

いず れ か を 表 す もの とす る と き,

数 と い う。

数 に 変 換 す る プ ロ グ ラ ム を 作 り,n,pの

い くつ か の 数

に つ い て計 算 例 を示 せ 。 〔 解 〕nをpで

割 っ た 商 をq,余

り をrと

す る と,

(1.9) と な る。   式(1.9)の   ま た,プ

最 初 のrは,p進 ロ グ ラ ム で は,各

使 用 した 。kは

今 回 はn,kの

数 の1番

下 の 桁 の 数 と な る。

回 の 割 り算 の 余 りrを 保 存 す る た め に 配 列r(k)を 値 に よ っ て 実 際 のp進

定 す る こ と に した 。 プ ロ グ ラ ム と 計 算 例 は,プ

数 の 桁 数 よ り少 し大 き め に 設

ロ グ ラ ム1.9の

よ う に な る。

プ ロ グ ラ ム1.9

計算例 ?

45,2,10

n=45  2進 数;1 0 ?

p=2 1

0

1

1

1

0

879,2,50

n=  879  2進

数;1

p=  2 1

0

? 546,8,8 n= 546  8進数;1

p= 0

16進

計 算 例 の16進

1

1

1

2

p= 16

数;1

数:1

1

8

4

? 382,16,5 n= 382 

〔注 〕

1

7

7

14

14

は16進

表 示 の17E16で

あ る。

う。

問17 

プ ロ グ ラ ム1.9を

(1)2進

数 

〔注 〕16進

用 い て,10進

(2)6進

数

数 の2556を

  (3)8進

数 の10,11,12,13,14,15は,そ

数

次 の(1)∼(4)のp進

  (4)16進

数 に直 せ 。

数

れ ぞ れA,B,C,D,E,Fで

表 す 。

1.4  方程式の解 [1]  1次 方程 式   xを 未 知 数 と し た と き,

(1.10) をxに

関 す る1次

  式(1.10)を

方 程 式 と い う。

  ① a≠0の

解 く に は,bを

右 辺 に移 項 して

と き は こ の 両 辺 をaで

  ② a=0,b≠0の

と き,解

  ③ a=b=0の

と き,解

割 っ て,解

はx=〓

は 存 在 し な い 。 こ の と き 「xは 不 能 で あ る 」 と い

は 無 数 に 存 在 す る 。 こ の と き 「xは 不 定 で あ る 」 と

い う。

〔 例 題9〕

係 数a,bを

入 力 して1次 方 程 式

を 解 く算 法 を 示 せ 。 ま た,プ 〔 解 〕a≠0か

ロ グ ラ ムを 作 って 示 せ。

さ ら にb=0か

ど う か 判 断 し,a≠0の

ど う か を 判 断 し て,b≠0の

出 力 す る 。 フ ロ ー チ ャ ー ト は図1.8,プ の よ う に な る。

と き は 解 を 出 力 す る 。a=0の と き は 不 能,b=0の

と き は, と き は不 定 と

ロ グ ラ ム お よ び 計 算 例 は プ ロ グ ラ ム1.10

プ ロ グ ラ ム1.10

実行例 ?63,3 x=21 ?0,89 不能 ?0,0 不定 図1.8

問18 

プ ロ グ ラ ム1.10に

  (1) 

よ っ て,次

の1次

方 程 式 の解 を求 め よ。

(2) 

(3)

[2]  2次 方程式  2次 方 程 式

(1.11) が あ る。 この 方程 式 を解 く方 法 に は,左 辺 を 因数 分 解 して解 く方 法 や,定 数 を右 辺 に ま とめ,左 辺 の平 方 を 完成 して解 く方 法 が あ る。 ま た,2次

関数 の グ ラ フ を

用 い て2次 方 程 式 の解 に つ い て2章 で考 え る。 しか し,こ こで は,2次

方程式 の

解 の公 式 を用 いて 計 算 で解 く算 法 を考 え よ う。   解 の公 式 を 用 い る と,2次

方程 式(1.11)の

解 は,

(1.12) と し て,

(1.13) で 表 さ れ る。

  特 に,xの1次

の 係 数 が2の

倍 数,す

な わ ち,b=2b'の

と き は,D'=D/4と

お いて

(1.14) で あ る。 手 計 算 の と き は,解

の 公 式(1.14)を

使 えば 有 利 に解 を 求 め る こ とが で

き る。 式(1.12)のDを2次

方 程 式(1.11)の

解 を判 別 す る た め の 判 別 式 と い

う。   こ こ で,数

に つ い て 複 習 し て お こ う。

  有 理 数 と無 理 数 を 合 わ せ た 数 が 実 数 で あ っ た 。 す な わ ち,aを

実 数 と す る と,

(1.15) で あ る。  実 数 に対 して,平 方 して 負 に な る数 を 考 え て,こ れ を 虚 数 とい う。

特 に,平

方 し て−1に

な る 数 を,iで

表 し,虚

数 単 位 と い う。 す な わ ち,

(1.16) で あ る。iは,imaginaryの

頭 文 字 を と っ た も の で あ る。

  実 数a,bと,虚

用 い て次 の よ うな数 を考 え る。

数 単 位iを

(1.17) これ を 複 素 数 と い う 。 複 素 数 の 式(1.17)で,特 る 。 ま た,a=0,b≠0の   ま た,複

にb=0の

実数 にな

と きzを 純 虚 数 と い う。

素 数 の 式(1.17)に

お い て,aをzの

  複 素 数 の 相 等 に つ い て は,次

実 部,bをzの

の よ うに 定 め る。

  特 に,

 ま た,a+biとa−biは

と き はzは

互 い に 共 役 な 複 素 数 と い う。

虚 部 と い う。

問19  次 の複 素 数 の 加 法,減 法,乗 法,除 法 を行 え。  (1) 

(2)

  (3) 

(4)

〔 注〕i2=−1と

し,除 法 で は,分 母 の共 役 複 素 数 を分 母 と分 子 にか け よ。

  複 素 数 を 導 入 す る こ と に よ っ て,2次 を 用 い る と,D≧0の   す な わ ち,2次

と き は 実 数 解,D＜0の 方 程 式(1.11)は

の と き,重

解(2つ

〔 例 題10〕

解 の 公 式(1.13)を

と き,相

の 解 が 重 な る),③D＜0の

用 い て,次

重 解 は1つ,虚

の2次

別 式(1.12) な る。

異 な る 実 数 解,②D=0

と き,虚

数 解 と な る。

方程式

方 程 式 の 解 を 求 め る プ ロ グ ラ ム を か け。

数 解 は−b+√Di,−b−√Diの

ロ グ ラ ム の 工 夫 を す る 。 フ ロ ー チ ャ ー ト は 図1.9,プ グ ラ ム1.11に

解 は,判

と き は 虚 数 解,と

①D＞0の

 の 解 を 求 め る 算 法 を 示 せ 。 ま た,2次 〔 解〕

方 程 式(1.11)の

示す。

図1.9

形 に 出 力 す る よ うに プ ロ グ ラ ム と 計 算 例 は,プ

ロ

プ ロ グ ラ ム1.11

計 算例 ?

2,1,1

x=−.25

?

+

.6614378

.6614378

i

2,−3,1

x=1 

?

i −.25 −

.5

1,2,1

x=−1

問20 

プ ロ グ ラ ム1.11を

用 い て,次

  (1) 

の2次

方 程 式 の 解 を 求 め て 出 力 せ よ。

(2)

練習問題 1.  次 の値 を計 算 して表 示 せ よ。 (1)

  (2)

  (3)

  (4)

2.  500以 下 の 自然 数 が あ る。 次 の問 に 答 え よ。  (1)7で

割 った ら3余 る数 の個 数 を求 め よ。

 (2)7で

割 り切 れ る数 の和 を求 め よ。

3.  自然数aを

入力 して,aが

偶 数 か 奇数 か を分 けず に,aが

素 数 か ど うか を 判 定 す る プ

ロ グ ラ ムを作 れ。 ま た,そ の プ ロ グ ラム を 用 い て,次 の 数 が 素 数 か ど うか を判 定 せ よ。  (1)91 

(2)1523 

(3)45725

4.  プ ロ グ ラ ム1.5を 用 いて,n以 ま た,n=10と

5.  2つ の 自然 数a,bの

最 大 公 約 数 をg,最

が 成 り 立 つ 。a,bを

(1)12,48 

のa,bに

の 数 式 を(x+2)で

(1)167 

数,5進 (2)1823 

数 で表 示 せ よ。 (3)3190

8.  2次 方 程 式 の 解 の 公 式 を 用 い て,次 1.11を

割 っ た と き の商 と余 りを 求 め よ 。

(2)

7.  次 の 数 を4進  

求 め る プロ グ

(3)2211,1139

用 い て,次

(1) 

最 小 公 倍 数(1cm)を

つ いて 最 大 公 約 数 と最 小 公 倍 数 を 求 め よ。

(2)108,84 

6.  プ ロ グ ラ ム1.8を  

小 公倍 数 をlと す る と き,

入 力 して 最 大 公 約 数(gcm)と

ラ ム を 作 れ 。 ま た,次  

下 の 自然 数 を す べ て素 因 数分 解 す る プ ロ グ ラム を 作 れ 。

して実 行 せ よ。

用 い て よ い。

の2次

方 程 式 の 解 を 求 め よ 。 た だ し,プ

ログ ラム

第2章  関

数

  この 章 で は,関 数y=f(x)の

グ ラ フを描 くプ ロ グ ラム を作 成 し,2次

関数 や 三 角 関 数,

指 数 関 数,分 数 関 数 な ど,関 数 の 性質 を考 察 す る。 ま た,関 数y=f(x)の して,方 程 式f(x)=0や

不 等 式f(x)≧0,f(x)＜0な

グ ラフを利用

どの 解 が ど の よ うな 意 味 を も つ

か を考 え る。

2.1 

2次 関数

[1]  2次 関数の グ ラフ  yがxの

関 数 で,y=−3x2やy=2x2+5x−3の

さ れ る と き,yをxの2次 してy=ax2+bx+cの

よ う に,xの2次

関 数 と い う。xの2次

与 え ら れ て い る と き,定

座 標 平 面 上 でkをx座

標 に,f(k)をy座

形 を 関 数y=f(x)の

グ ラ フ と い い,y=f(x)を

と表 す 。

定 数(a≠0)と

形 の式 で表 され る。

  関 数y=f(x)が

  関 数f(x)に

関 数 はa,b,cを

式 で表

お い て,定 義 域x1≦x≦x2を

義 域 に 属 す る 全 て の 実 数kに

対 して,

標 に もつ 点 全 体{(k,f(k))}が

描 く図

そ の グ ラ フ の 方 程 式 と い う。 明 示 す る と き は,f(x)(x1≦x≦x2)

図2.1

〔 例 題1〕2次 を 作 成 し,そ 〔 解〕

関 数y=2x2−4x−1(−8≦x≦8)の

グ ラ フを描 くプ ロ グ ラム

の グ ラ フの特 徴 を述 べ よ。

グ ラ フ を 描 く領 域 を−8≦x≦8,−5≦y≦5と

した グ ラ フ が か け る よ う にPSET文

す る。 で き る だ け連 続

の 間 隔 は0.01と

す る 。 た だ し,こ

り小 さ く し す ぎ る と描 画 に 時 間 が か か る 。 座 標 軸 は,x1,x2,y1,y2を サ ブ プ ロ グ ラ ムjikuで

の値 を余 変 数 に もつ

記 述 す る。

  こ の 章 で 考 察 す る い ろ い ろ な 関 数y=f(x)の

グ ラ フ を 描 く に は,関

変 更 す れ ば よ い。 プ ロ グ ラ ム2.1

図2.2

数 の式 を

  グ ラ フ の 観 察 か ら2次

関 数y=2x2−4x−1の

グ ラ フ の 特 徴 は,次

の とお り

で あ る。   ①  直 線x=1に

関 し て 対 称 で あ る。

  ②  頂 点 が(1,−3)で,下   ③ y=2x2の

に 凸 の放 物 線 で あ る。

グ ラ フ と 合 同 で あ る。

  ④  y切 片 は−1で,x軸 〔注 〕

と2点

で 交 わ る。

グ ラ フの 描 画 領 域 。

  コ ン ピ ュ ー タ の 画 面 に は,図

形 を表 示 す るた め の グ ラ フ ィ ック画 面 と文字 を表

示 す る た め の テ キ ス ト画 面 が あ り,通 点,後

者 は25×80文

が(0,0),右   一 方,テ

常,前

ッ トの 小 さ な

字 で 構 成 さ れ て い る 。 グ ラ フ ィ ッ ク 画 面 は,左

下 隅 が(639,399)で,縦 キ ス ト画 面 は,左

画 面 は 「WINDOW」

者 は縦 横400×640ド

座 標 は 上 か ら下 に 向 か っ て 増 加 す る 。

上 が(1,1),右

下(25,80)で

あ る。 グ ラ フ ィ ッ ク

命 令 に よ って 数 学 で 用 い る 画 面 に 変 換 す る。 す な わ ち,関

数 の グ ラ フ や 図 形 を 描 く 数 学 の 領 域x1≦x≦x2,y1≦y≦y2を 「WINDOW(x1,x2)−(y1,y2)」

  〔 例 題1〕

と記 述 す る(本

の グ ラ フ の 観 察 か ら2次

数y=ax2の   y=f(x)の ラ フ をG'と

指 定す るに は

シ リ ー ズ 第2巻

関 数y=ax2+bx+cの

参 照)。

グ ラ フ は,2次

関

グ ラ フを平 行 移動 した もの で あ る こ とが わか る。 グ ラ フGをx軸 す る と き,グ

上 の 任 意 の 点 をP(x,y)をx軸 をP'(x',y')と

方 向 に+p,y軸 ラ フG'の

P(x,y)はy=f(x)上

  し た が っ て,グ

方 向 に+qだ

方 向 に+p,y軸

方 向 に+qだ

す る。 ら,

に あ る か ら,

ラ フG'の

け平 行 移 動 し た グ

方 程 式 を 求 め て み よ う。y=f(x)の

  こ の と きx'=x+p,y'=y+qか

と な る。

上隅の座標

方 程 式 は,

図2.3

グラ フ

け平 行 移 動 した点

問1 

上 の こ と か ら,y=x2の

グ ラ フ をx軸

グ ラ フ の 方 程 式 は,y=(x−3)2−2で 時 に 描 き,こ

方 向 に3,y軸

方 向 に−2だ

あ る。y=x2とy=(x−3)2−2の

け平 行 移 動 した グ ラ フを 同

の こ とを確 か め よ。

  2次 関 数y=a(x−p)2+qに フ を 観 察 し,定 数p,qの

お い て,定

数a,p,qを

変 化 さ せ た動 的 な グ ラ

働 き を 調 べ よ う。

〔 例 題2〕y=a(x−p)2+qで,x2の

係 数 はa=1と

さ せ る と き の グ ラ フ を 描 き,そ

の グ ラ フ を 観 察 し,定

固 定 し,定

数p,qを

変化

数 の グ ラ フに 果 た す役 割 を

考 え よ。 〔 解〕

は じめ に,定

つ い で,定 ム は,プ

ロ グ ラ ム2.2の

「jiku2」 は 「SUB 〔 注 〕qを

数pを−5か

数qを−5か

ら5ま

ら5ま で1刻

で1刻

よ う に す る 。 な お,以

jiku2」(プ

み で 変 化 さ せ た グ ラ フ を 描 く。

み で 変 化 さ せ た グ ラ フ を 描 く。 プ ロ グ ラ 後,x軸,y軸

ロ グ ラ ム2.2(1))を

変 化 させ る と きは,プ ロ グ ラ ム2.2でpをqに

プ ロ グ ラ ム2.2(1)

を描 くプ ロシー ジ ャ

用 い る。 お きか え る。

プ ロ グ ラ ム2.2(2)

 図2.4,図2.5の ①  pの

グ ラ フ か ら,p,qの

役 割 … 放 物 線 の 頂 点 のx座

る 際 のx軸

役 割 と し て,次 標,ま

た はy=ax2の

へ の 移 動 の 大 き さ を 示 す(図2.4)。

図2.4 pの

図2.5 qの

変化に よるグラフ

変化 によるグラフ

の こ と が 読 み と れ る。 グ ラ フ を平 行 移 動 す

② qの

役 割 … 頂 点 のy座

標,ま

た はy軸

  一 般 に,y=ax2+bx+cは,次

 し た が っ て,2次

へ の 移 動 の 大 き さ を 示 す(図2.5)。

の よ う に 変 形 で き る。

関 数y=ax2+bx+cの

 軸が直線x=〓 の 放 物 線 で,y=ax2の

グ ラ フは

頂点が点〓 グ ラ フ と合 同 で あ る。

[2]  2次 方程 式 ・2次 不等 式   2次 関 数y=ax2+bx+ｃ 点 のx座 =0の

の グ ラ フ とx軸,す

標 は,y=ax2+bx+cとy=0を 解であ る

な わ ち,直

連 立 さ せ た2次

。 こ の こ と か ら,2次

方 程 式 や2次

文 字 を 含 む 方 程 式 の 解 の 個 数 等 を2次

線y=0と

の共有

方 程 式ax2+bx+c

不 等 式 の 解,さ

ら に,係

数 に

関 数 の グ ラ フ を 利 用 して 求 め る こ と が で き

る。

〔 例 題3〕

プ ロ グ ラ ム2.1を

修 正 し,次

の2次

関 数 の グ ラ フ はx軸

と共 有 点 を も

つ か ど うか 調 べ よ。   (1)  解 〕x,yの

(2) 

(3)〔

変 域 を そ れ ぞ れ−8≦x≦8,−5≦y≦5と

ax2+bx+cの

係 数a,b,cを

入 力 して,そ

を用 いて 共 有点 の座 標 を求 め る。 プ ロ グ ラ ム2.3

す る 。2次

の グ ラ フ を 描 く 。 そ の 後,解

関 数y= の公式

図  2.6

  実 行 結 果 か ら(1),(2),(3)の2次 点 は,(1)の

グ ラ フ は,x軸

共 有 点 を も つ｡(3)の  

と2個

の 共 有 点 を も つ。(2)の

グ ラ フ は,x軸

y=ax2+bx+c 

の グ ラ フ がx軸

な る 。 ま た,共

グ ラ フ は,x軸

と共 有 点 を も た な い 。2次

と1個

関数

(a≠0) 

と 共 有 点(α,0)を

  し た が っ て,x=α  

関 数 の グ ラ フ は,図2.6と

は2次

(2.1)

も つ と き ,0＝aα2+bα+cと

な る。

方程式

ax2+bx+c=0 

(2.2)

の 解 で あ る。 逆 に,2次 関 数 の 式(2.1)の

方 程 式(2.2)が

解x=α

を も つ と き,点(α,0)は2次

グ ラ フ と ｘ軸 と の 共 有 点 で あ る 。

有 の

  こ こ で,b2−4acに

注 目 す れ ば,2次

方 程 式ax2+bx+c=0の

解 の 個 数 は,

次 の よ う に ま と め られ る。  ①  b2−4ac＞0な

ら ば,2個

の解

 ②  b2−4ac=0な

ら ば,1個

の 解(こ

 ③  b2−4ac＜0な

ら ば,解

  そ こ で,式b2−4acを2次 と い い,文

字Dで

〔 例 題4〕2次

れ を 重 解 と い う)

を もた な い。 方 程 式ax2+bx+c=0の

判 別 式(Discriminant)

表す。

方 程 式x2−2kx+2k+3=0の

て ど の よ う に 変 わ る か,kの

解 の 個 数 が,定

数kの

変 化 に 応 じ てy=x2−2kx+2k+3の

値 に よ っ グ ラフを

描 いて調 べ よ。 〔 解〕   こ こ で は,関 定 数kの

値 は,−2か

数 の グ ラ フ を 線 分 で 描 く よ う に プ ロ グ ラ ム2.1を ら4ま

で き ざ み 幅1で

変 更 す る。

変 化 させ る。

プ ロ グ ラ ム2.4

  グ ラ フ の 観 察 か ら,y=x2−2kx+2k+3の

グ ラ フ は,kの

上 下 に 移 動 す る 。 頂 点 のy座

注 目 す る と グ ラ フ がx軸

す る,す

な わ ち,k=−1,3の

x2−2kx+2k+3=0の は2個

標−k2+2k+3に

。−1＜k＜3の

と き,x軸 解 は1個 と き,解

と の 共 有 点 は1個

で あ る 。 ま た,k＜ は な い。

増 減 に つ れ て,

で あ る か ら,方

−1,3＜kの

に接 程 式

と き,解

図 2.7

問2  2次 関 数 の グ ラ フを 利 用 して,次 の2次 不 等式 の 解 を求 め よ。  (1) 2x2+x−1≦0 

(2) −x2+2x−3＞0 

問3  プ ロ グ ラ ム2.1を 修 正 して,2次 y=x+mの

関 数y=｜x2−1｜

グ ラ フの 共 有点 の個 数 は,い ろ い ろ なmの

(3) x2−4x+4≦0

の グ ラ フ を描 け。 ま た,直

線

値 に対 して 変 化 す る。 共 有 点 の

個 数 の変 化 を観 察 せ よ。

2.2  三 角 関数 [1]  三角 関数のグ ラフ   座 標 平 面 上 で,x軸

の 正 の部 分 を始 線 に と り,角 の動 径 と原 点Oを

半 径rの 円 と の交 点 をP(x,y)と

の 値 は,半

径rに

す る。 この と き,

関 係 な く定 ま る θ の 関 数 で あ る 。

中 心 とす る

図 2.8

 これ らを 角 θ の そ れ ぞ れ 正 弦,余

弦,正

接 と い い,ま

と め て,一

般 角 θの三 角

関 数 と い う 。 す な わ ち,

r=1の

と き の 円 を 特 に単 位 円 と い う。 単 位 円 に お い て は,円

は(cosθ,sinθ)で

座 標

あ る。

  一 般 角 に 対 す る三 角 関 数 の グ ラ フ を 描 き,三 〔 例 題5〕

周 上 の 点Pの

角 θを 度 で 入 力 して,正

角 関 数 の特 徴 を 調 べ よ う。

弦 関 数y=sinθ

の グ ラ フを 描 く プ ロ グ ラ ム

を作 成 せ よ。 〔 解 〕x,yの   BASICに

描 画 域 を そ れ ぞ れ−360°

≦x≦360,−2≦y≦2と

備 わ っ て い る 組 込 み 関 数 と し て の 三 角 関 数 は,弧

め られ て い る 。θ°の 正 弦 関 数 の 値 を 求 め る に は,pai=3 のtに

す る。

θ ×pai/180(プ

換 す る必 要 が あ る。 プ ロ グ ラ ム2.5

ロ グ ラ ム で は θ はxと

し た)を

度 法 に よ る角 で 定

.14159と 代 入 し,弧

して,sin(t) 度法 の角 に変

〔 注 〕 以 下,三 角 関 数 につ い て は座 標 軸 を描 くの に プ ロ グ ラ ム2.5の

「SUB

jiku」 を用

い る。

図  2.9

問4 

プ ロ グ ラ ム2.5を

き,そ

の 性質 を調 べ よ。

  グ ラ フ か ら,xが

変 更 し,余

弦 関 数y=cosθ,正

弦 関 数y=tanθ

の グ ラ フ も描

どん な値 で も

  sin(x+360°)=sinx,cos(x+360°)=cosx,tan(x+180°)=tanx が 成 り 立 つ こ と が わ か る。 こ の よ う に,ど

ん なxに

対 して も

  f(x+p)=f(x) で あ る 定 数pが

あ る と き,関

数f(x)を

正 の 最 小 数 を 基 本 周 期 と い う。

周 期 関 数,pを

周 期 と い う。 周 期 の うち

  三 角 関 数y=sinx,y=cosx,y=tanxは,そ

れ ぞ れ360°,360°,180°

を周期

と す る 周 期 関 数 で あ る 。 こ の 周 期 性 が 三 角 関 数 の 最 も 重 要 な 性 質 で あ る。

問5  次 の三 角 関 数 の グ ラフ を描 き,値 域 や 基 本 周 期,基 cosx,y=tanxと

本 の 三 角 関 数y=sinx,y=

の位 置 関 係 を考 察 せ よ。 

(1)  y=sin(2x+60°) 

(2)  y=3cosx/2 

(3)  y=1/2tanx−1

  (4)  y=￨sin2x￨

[2] 

三

角 関 数

の 合

成

  こ こ で,y=a:sinx+b:cosxと

い う形 の 三 角 関 数 の グ ラ フ を 描 き,そ

の

性 質 を 調 べ て み よ う。

〔 例 題6〕   プ ロ グ ラ ム2.5を 周 期 や 最 大 値,最

関 数(1),(2)の

ラ フ は,ま

の 関 数 の グ ラ フ を 描 け 。 ま た,そ

た,1つ

(2)y=4sinx−3cosx グ ラ フ は,図2.10(1),(2)と

な る 。 図2.10か

の 三 角 関 数 の グ ラ フ に な る こ と が わ か る。

プ ロ グ ラ ム2.6

〔注 〕

の基本

小 値 を 求 め よ。

  (1) y=sinx+cosx  〔 解〕

変 更 し,次

プ ロ グ ラ ム2.6は

〔例 題6〕(2)に

つ い て示 した。

ら,そ

れ らの グ

図 2.10(1)

図  2.10(2)

  基 本 周 期 は い ず れ も2π,(1)の 小 値 は5,−5で 〔注 〕

三 角 関 数 の 加 法 定 理 を 用 い る と,〔 例 題6〕 sinx+cosx=√2sin(x+45°)

 

4sinx−3cosx=5sin(x−α°)

 

(た だ し,α はtanα=3/4と

グ ラ フ を 描 い て,関

の と き のxの す る。

小 値 は√2,−√2,(2)の

最 大 値,最

あ る。

 

問6 

最 大 値,最

な る 正 の 最 小 の 角)と

数y=√3cosx−sinx−1の

値 を 求 め よ 。 ま た,合

の(1),(2)の

式 はそれぞれ

合 成 す る こ と が で き る。

最 大 値 と 最 小 値,お

成 公 式 を 利 用 して 確 か め よ。 た だ し,0°

よ び,そ

≦x＜360°

と

[3] 

三 角 方 程 式

〔 例 題7〕 すxの

・三 角 不 等 式

三 角 関 数 の グ ラ フ を 利 用 し,0≦x＜360°

値,お

よ び,不

  (1) tanx=1 

等 式 を み た すxの

の等 式 を み た

値 の 範 囲 を 求 め よ。

(2) cosx−sinx=−1 

(3) 2sinx＞1

〔 解 〕y=tanx,y=cosx−sinx,y=2sinxの グ ラ フ と 直 線 と の 交 点 のx座

の 範 囲 で,次

グ ラ フ を 描 き,そ

れ ぞれ の

標 を 調 べ る。 そ の く わ し い 値 は 計 算 を 併 用 し て 求 め

る。 (1) 図2.11か

ら,y=tanxの

グ ラ フ と 直 線y=1の

交 点 のxの

値 を 読 み と る と,

45°,225° で あ る。 (2) 図2.12か

ら,y=cosx−sinxの

と る と,90°,180°

グ ラ フ と 直 線y=−1の

で あ る。

図  2.11

図 2.12

交 点 のxを

読 み

(3)  y=2sinｘ,y＞1か

ら30°

≦x≦150°

図 2.13

問7 

0≦x＜360°

の と き,次

  (1) √3sinx+cosx=2 

2.3  [1] 

の 三 角 方 程 式 ・不 等 式 を 解 け 。 (2)  2cosx−√3＞0

指数 関 数 ・対 数 関 数 指数関 数

 aを1で

な い正 の定 数 とす る。 実 数 全 体 を定 義 域 と す る関 数  y=ax

をaを 底 とす る指 数 関 数 とい う。   一 般 に,指 数 関 数 の グ ラ フは ①  定 義 域 は実 数 全 体,値 域 は正 の数 全 体 ② a＞1の

と き,xの

0＜a＜1の

値 が 増加 す る と,yの

と き,xの

③  グ ラ フ は点(0,1)を

値 も増 加 す る。

値 が 増加 す る と,yの

通 り,x軸

値 は減 少 す る。

が 漸 近 線 で あ る。

 上 の ② の性 質 に 関連 して,例 え ば,指 数 関 数y=2xで

は,2x+1=2x×21で

あ る か ら,xが1増

加 す る とyの

値 は2倍

と な り,y=(1/2)xで

は1/2倍

とな

る。   一 般 に,f(x)=axと

す れ ば,f(x+y)=ax+y=ax×ay=f(x)×f(y)と

な る。 こ れ が 指 数 関 数 の 重 要 な 特 徴 で あ る。

〔 例 題8〕

次 の 指 数 関 数 の グ ラ フ を 描 け 。 ま た,指

数 関 数y=2xと

の位置 関係

を調 べ よ。

(1) 〔 解〕

 y=2x+3

(2) 

y=2x−1

(3) y=〓

グ ラ フ の 描 画 域 を−8≦x≦8,−5≦y≦5と

は,図2.14の(1)∼(3)と

な る。

プ ロ グ ラ ム2.7

図  2.14

す る。 そ れ ぞ れ の グ ラ フ

  グ ラ フ の 観 察 か らy=2xと

の 位 置 関 係 は,(1)x軸

し た も の 。 ま た,2x+3=2x・23=8・2xか (2)y軸

の 方 向 に−1だ

らy=2xを8倍

[2] 

け平行 移動

した グ ラ フ と も い え る。

け 平 行 移 動 した も の 。(3)y軸

問8  次 の関 数 の グ ラ フを 描 き,y=3xの (1)  y=2×3x 

の 方 向 に −3だ

に 関 して 対 称 移 動 し た も の 。

グ ラ フ と の位 置関 係 を調 べ よ。

(2)  y=〓 (3) 

y=3x+2 (4) 

y=3-x

対 数 関 数 と そ の グ ラ フ

  指 数 関 数y=3xの た すxが

た だ1つ

グ ラ フ か らわ か る よ う に,正 定 ま る 。 こ の 値xを3を

の 数Mに

底 とす るMの

対 し て,3x=Mを

満

対 数 と い い,x=log3M

と表 す 。   一 般 に,a＞0,a≠1の aを 底 と す るMの

と き,正

の 数Mに

対 数 と い い,x=logaMと

対 して,ax=Mと

な るxの

表 す 。 ま た,Mをaを

の 真 数 と い う。

図  2.15

 a0=1

,a1=aで

 一 般 に   をaを

,a＞0,a≠1の

あ る か ら,こ と き,正

れ を 対 数 で 書 き 直 す とloga1=0,logaa=1 の 数xを

y=logax 底 と す るxの

対 数 関 数 と い う。

定 義 域 とす る関 数

値 を,

底 と す るx

  対 数 関 数y=logaxに

は,次

①  定 義 域 は 正 の 数 全 体,値 ② a＞1の

と き,xの

0＜a＜1の

域 は実数 全 体

値 が 増 加 す る と,yの

と き,xの

③  グ ラ フ は 点(0,1)を と す れ ば,対

の よ うな性 質 が あ る。

値 も 増 加 す る。

値 が 増 加 す る と,yの

通 る 。 ま た,y軸

値 は減 少 す る。

が 漸 近 線 で あ る。 ま た,f(x)=logax

数 の性 質 か ら

f(xy)=logaxy=logax+logay=ｆ(x)+f(y) と な る 。 こ れ は2次

〔 例 題9〕

関数 や三 角 関 数 に は な い対 数 関 数 の 重 要 な特 徴 で あ る。

次 の 対 数 関 数 の グ ラ フ を 描 け 。 ま た,対

数 関 数y=log2xの

グ ラフと

どん な位 置 関 係 に あ る か調 べ よ。   (1) y=log2(−x)  〔 解〕

(2) y=log2(x+3) 

グ ラ フ の 描 画 域 を−8≦x≦8,−5≦y≦5と

れ て い る 対 数 関 数 は,底

を 用 い,こ

x＞0が NEXT文

自 然 対 数logexで

れ を

あ る た め,そ の 範 囲 を3つ

プ ロ グ ラ ム2.8

がeの

(3) y=log4x す る 。BASICに

組 み込 ま

あ る た め,底 の 変 換 公 式〓

〓と記 述 す る 。 真 数 条 件 −x＞0,x−3＞0,

れ ぞ れ の グ ラ フ の 現 れ る 範 囲 が 異 な る 。 そ こ で,FOR に 分 け て,そ

れ ぞ れ の グ ラ フ を 描 く こ と に す る。

図  2.16

  そ れ ぞ れ の グ ラ フ か ら対 数 関 数y=log2xと (1)はy軸

に 関 して 対 称 移 動,(2)はx軸

の 位 置 関 係 は,次

方 向 に−3だ

の よ うに な る。

け 平 行 移 動,(3)は1/2倍

した もの で あ る。 問9  次 の 対 数 関 数 の グ ラ フを描 き,y=log3xと   (1)  y=log3(x+1)

  (2)  y=log31/x

の位 置関 係 を調 べ よ。  (3)  y=log3(−x)

指 数 関 数y=2x

 (2.3)

対 数 関 数y=log2x

 (2.4)

と,

の グ ラ フ の 位 置 関 係 を 調 べ て み よ う。 式(2.3)と と な る か ら,そ P(a,b)と

れ ら は 直 線y=xに

す る と,b=2aで,こ

座 標 と す る 点 をQと Qは

そ れ ぞ れx座

線y=xに

グ ラ フ は,図2.17

関 し て 対 称 で あ る 。 い ま,式(2.3)上 れ を 対 数 で 表 す とa=log2bと

す れ ば,点Qは

標,y座

式(2.4)の

式(2.4)上

の点 を

な る 。(b,a)を

に あ る こ と を 示 し て い る 。 点P,

標 が 入 れ 替 わ っ て い る 点 だ か ら 図2.17の

よ う に,直

関 して 対 称 と な る。

  した が っ て,指

数 関 数y=2xと

に 関 して 対 称 で あ る。

対 数 関 数y=log2xの

グ ラ フ は,直

線y=x

図  2.17

[3] 

逆 関 数 と そ の グ ラ フ

 一 般 に,xの う ど1つ

関 数y=f(x)に

お い て,yの

だ け 定 ま る と き,xはyの

立 変 数 をxで

にxの

値 が ち ょ

関 数 と 考 え られ る 。 こ の 関 数 をx=f-1(y)

と表 す 。x=f-1(y)は,y=f(x)と き は,独

値 を 定 め る と,逆

逆 の 対 応 を 示 す 関 数 で あ る。 関 数 を 表 す と

表 す か らxとyを

入 れ 換 え てy=f-1(x)をy=f(x)の

逆 関 数 と い う。   例 え ば,y=axの logaxは

と き,対

指 数 関 数y=axの

  2点P(a,b),Q(b,a)は

数 の 定 義 か らx=logayで

あ る か ら,対

数 関 数y=

逆 関 数 で あ る。 直 線y=xに

ラ フ と そ の 逆 関 数y=ｆ-1(x)の

関 し て 対 称 で あ る か ら,y=f(x)の

グ ラ フ は 直 線y=xに

グ

関 して 対 称 と な る 。

[4]  方程式 ・不等 式   指 数 に 未 知 数 を 含 む 等 式,不

等 式 の 解 を 求 め て み よ う。

〔 例 題10〕

等 式 を 解 け。

次 の 指 数 方 程 式,不

  (1) 3x-2=9  〔解 〕

(2)  22x-1≧8

指 数 関 数y=3x-2,y=22x-1の

と の 交 点 のx座

グ ラ フ を 描 き,そ

れ ぞ れ 直 線y=9,y=8

標 に 着 目 す る。詳 し い 値 は 計 算 で 求 め る(プ ロ グ ラ ム は 省 略 す る)

。

(1)  2つ の グ ラ フ の 交 点 のx座 (2) y=22x-1の

標 を 探 す と,x=4と

グ ラ フ が 直 線y=8よ

な る(図 略)。

り 上 方 に あ るxの

範 囲 を 求 め る。 求 め る

xの 範 囲 は,x≧2(図2.18)。

図  2.18

問10  次 の 指 数 方 程 式,不   (1)  2x-3=2 

等 式 を解 け。

(2)  3x+1≦81

 次 に,真 数 に未 知 数 を含 む等 式,不 等 式 の解 を求 めて み よ う。 〔 例 題11〕

次 の 対 数 方 程 式,不

等 式 を解 け。

  (1) log3(x+3)+log3(x+5)=1 

(2) log3(2x−1)＜1

〔 解 〕 対 数 関 数y=log3(x+3)+log3(x+5),y=log3(2x−1)の を 描 き,そ

れ ぞ れ 直 線y=1と

の 交 点 のx座

(1) y=log3(x+3)+log3(x+5)と い｡2つ

 

真 数 の 条 件2x−1＞0と あ る。

標 に着 目す る。

直 線y=1と

の グ ラ フ の 交 点 のx座

(2) y=log3(2x−1)の

グ ラ フ

の 交 点 のx座

標 を 探 す と,x=−2と

グ ラ フ が 直 線y=1よ 図2.20か

な る(図2.19)。

り下 方 に あ るxの

ら求 め るxの

標 を 探せ ば よ

範 囲 を求 め る。

範 囲 は,1/2＜x＜2で

図 2.19

〔 注 〕 実 際 に は正 確 な値 は計 算 で求 め る。

図  2.20

問11  次 の 対 数 方 程 式,不 等 式 を解 け。 (1)  log2(x+1)−log2(x−1)=2 

(2)  log3x+log3(x+2)＜1

2.4  分 数 関 数 ・無 理 関数 [1]  分数 関数 とそのグ ラフ 〓の よ う に,xの

関 数 をxの

分 数 関 数,ま

た は有 理 関 数 と い う。

  分 数 関 数 の 定 義 域 は,分

母 を0に

つ の 分 数 関 数 の 定 義 域 は,そ  

し な い す べ て の 実 数 で あ る 。 例 え ば,上

の3

れ ぞ れ次 と な る。

{x￨x≠0},{x￨x≠−1/2},{x￨xは,す

〔 例 題12〕aが0で

分 数 式 で 表 され る

な い定 数 の と き,aの

べ て の 実 数}

変 化 に応 じた 分 数 関数〓

グ ラ フを 描 くプ ロ グ ラ ムを 作成 し,分 数 関 数 の特 徴 を 考 察 せ よ。

の動 的

〔 解〕

プ ロ グ ラ ム2.9を

2.21に

な る。

−5＜a＜5,き

ざ み 幅1と

した と き の グ ラ フは図

プ ロ グ ラ ム2.9

図  2.21

〔 注〕y=〓(I,Ⅲ

象 限)の と き は水 色 で,a＜0(Ⅱ,Ⅳ

表示 した が,出 力 の 図2.21に   分 数 関 数y=a/xの

象 限)の と き は赤 色 で

は カ ラ ー色 はで な い。

グ ラ フ は,図2.21の

ご と く左 右,上

下 と も ど こ ま で も延

び た 曲 線 で あ る 。 こ れ を 直 角 双 曲 線 と い う。 グ ラ フ か ら考 察 し て,分 次 の よ う な 性 質 が あ る。

数 関数 に は

①  定 義 域 はx≠0で,x=0に

対 応 す る グ ラ フ上 の 点 はな い。

②  a＞0の

と き,グ

ラ フ は 第1象

限 と第3象

限 に な る。

a＜0の

と き,グ

ラ フ は 第2象

限 と第4象

限 に な る。

③  グ ラ フ は原 点 に関 して対 称 で あ る。 ④  x軸,y軸  一 般 に

が漸 近 点 で あ る。 の グ ラ フ は,y=〓

,y=〓

方 向 にqだ

の グ ラ フをx軸 方 向 にp,y軸

け 平 行 移 動 した グ ラ フ で,漸 近 線 は2直線x=p,y=qで

はy=〓

y=〓

と 変 形 で き る か ら,そ

あ る 。ま た,

の グ ラ フ はy=

〓の グ

ラ フを 平 行 移 動 した もの で あ る。

問12  分 数 関 数y=〓

の グ ラ フを 描 け。 また,そ の 漸 近 線 の 方 程式 を求 め よ。

問13  次 の問 に答 え よ。 (1) グ ラ フを 利 用 して,分 数不 等 式

(2)  x＞1の

と き,

〓≦2x+1を

解 け。

〓の最 小 値 を求 め よ。

[2]  無理 関数   y=√x−2

やy= √x2+1

+3の

よ う に,根

号 の 中 にxを

含 む 式 で 表 され る

関 数 をxの 無 理 関 数 と い う。 無 理 関 数 の定 義 域 は,根 号 の 中 を負 に しな いす べ て の実 数 で あ る。 例 え ば,上 の2つ の無 理 関 数 の定 義 域 は,そ れ ぞれ 次 式 とな る。  

{x￨x≧2},{x￨xは

  y=√2x−6はy=√2(x−3)と

す べ て の実 数} 変 形 で き る。

  した が っ て,無 y=√2xの 軸 がx軸

理 関 数y=√2x−6の

グ ラ フ をx軸

方 向 に3だ

グ ラ フ は,図2.22か

ら示 さ れ る よ うに,

け 平 行 移 動 した も の で,頂

点 が 点(3,0),

で左 に 凸 の放 物 線 の上 半 分 で あ る。

図2.22

〔 例 題13〕y=√￨x￨の √￨x￨ ＞x2を

グ ラ フ を 用 い て,方

よ び不 等 式

解 け。

〔 解 〕 方 程 式√￨x￨=x2の

解 は,無

x2の グ ラ フ の 共 有 点 のx座   x=

程 式√￨x￨=x2お

−1,  0, 

 ま た,不 等 式√￨x￨＞x2の 上 側 に あ る部 分 のxの プロ グ ラ ム2.10

理 関 数y=√￨x￨の

グ ラ フ と2次

関数y=

標 の 値 で あ る。 1

解 は,y=√￨x￨の

グ ラ フ がy=x2の

値 の 範 囲 で あ る か ら,−1＜x＜0,0＜x＜1で

グ ラフよ り あ る。

 (2)  (4)

図2.23

問14 

グ ラ フ を 利 用 し て,x−1=√25−x2を

x−1≧√25−x2を

み た すxの

解 け 。 ま た,無

理 不等 式

範 囲 を 求 め よ。

練習問題

1.  2次関数〓

の グラ フ を描 け。

2.  2次 関 数y=mx2−2x+mの

わ らな い,た め のmの

グ ラ フ が,x軸

と(1)2点

で 交 わ る,(2)接

す る,(3)交

値 の範 囲 を求 め よ。

3.  方 程 式x￨1−x￨=mxの

解 の個 数 は,定 数mの

関 数y=x￨1−x￨,y=mxの

値 に よ って どの よ うに変 化 す るか を

グ ラフ を描 い て考 察 せ よ。

4.  次 の 関 数 の グ ラ フを描 け。 ま た,最 大 値,最 小 値 が あれ ば それ を 求 め よ。 三 角 関 数 に つ いて は,そ の 基本 周 期 も求 め よ。 (1)

(3) 5.  グ ラ フを 用 い て,次 の方 程 式,不 等 式 を 解 け。 (1) 6.  分 数 関 数y=1/2

  (2)

xの

グ

ラフ と1次関

数y=mx+1の

グ ラフが共有

点 をも

た ないよ

うに定 数 の値 の範 囲 を定 め よ。 7.  無理 関 数y=√x…

① と1次 関 数y=x+k…

の グ ラ フの共 有 点 の個 数 をkの

② の グ ラ フ を利 用 し,式 ① と式 ②

変 化 に応 じて 調 べ よ。

第3章  数

列

 一 般 項 や漸 化 式 か ら数 列 を 表 示 した り,和 を求 め た りす る。 す べ て を 同 じ ア ル ゴ リ ズ ム で計 算 して しま う こ と も可能 で あ るが,個 別 の数 列 に つ い て よ り簡 単 な方 法 も あ る。 数 列 や数 列 の和 の極 限 に つ い て は,収 束 や発 散 の速 度 に大 き な違 い が あ る。 そ の 様 子 を 調 べ る た め に は,個 々 の 数列 に あ った プ ロ グ ラム が必 要 とな る。

3.1  数 列 と漸 化 式 [1] 数 列   あ る 規 則 に 従 っ た 数 の 並 び を 数 列 と い い,そ 順 に,第1項,第2項,第3項,… a1,a2,a3,…,an,…

…,第n項,…

ま た は{an}と

の 各 数 を 項 と い う。 初 め の 項 か ら … と い う。 数 列 を 表 す に は,

い う記 号 を 用 い る。 ま た,第1項

を 初 項,第n

項 を一 般 項 と も い う。

) 1 (

〔 例 題1〕

一 般 項 が次 の よ うに表 さ れ る数 列 の初 項 か ら第10項   (2)

〔 解 〕(1)プ

 (3)

ロ グ ラ ム3.1を

入 力 し,実

後 を そ れ ぞ れ,3^(n−1);,3^n−2^n;と 文 を 置 い た の は,次

ま で求 め よ。

行 す る 。(2),(3)は2行 す れ ば よ い 。NEXT文

に 別 の プ ロ グ ラ ム を 実 行 し た と き に,今

目 のPRINT文

の

の 後 のPRINT 回 の プ ログ ラム の

PRINT位

置か ら表 示 が 始 ま るの を さ け る ため で あ る。

プロ グ ラ ム3.1

計算の結果 1

3

5

〔 例 題2〕  2つ の 数 列{3n−1},{5n−2}の

7

9

第100項

11

13

15

ま で で,両

17

19

方 の 数 列 に共 通

して い る数 を す べ て求 め よ。 〔 解〕

〔 例 題1〕

で は,数

列 の 項 の1つ1つ

な か っ た 。 こ の 問 題 で は,2つ す る。DIM

は コ ン ピ ュ ー タの メ モ リ ーへ 記 憶 し

の 数 列 を2つ

の 配 列a( 

a(m),b(m)は,a(0)∼a(m),b(0)∼b(m)ま

),b(  )に 記 憶 し て 処 理 で が使用 で きる

よ う に す る宣 言 で あ る 。 プロ グ ラ ム3.2

計算の結果 8

問1 

23

38

158

173

278

293

〔 例 題2〕

53

68

188

203

に お い て,数

を す べ て求 め よ。

83

98

218

113 233

列{3n−1}の

128 248

143 263

項 で 数 列{5n−2}の

項 の2倍

に等 しい もの

[2]  漸 化式  数 列{an}が 等 差 数 列 で あ る と き,と な りあ う2項 の差 が一 定 で あ る。公 差 をd と す る とan+1−an=dで

あ る 。等 比 数 列 の と き は,公

比 をrと

す ると

で あ る。 この よ うな式 は初 項 が決 ま れ ば次 々 に値 が代 入 され,数 列{an}が 決 ま っ て い く。 この 式 を 数 列 の 漸 化式 とい う。 漸 化 式 か ら一 般 項 を求 め る の は面 倒 な場 合 が 多 い が,「 初 項 か ら第100項

ま で を あ げ よ 。」 と い うよ うな 問 題 は,コ

ンピュー

タ に よ って 簡 単 に求 め る こ とが で きる。

〔 例 題3〕 〔 解〕

初 項2,公

差3の 等 差 数 列 を初 項 か ら第20項

プ ロ グ ラ ム3.3を

入 力 し,実

まで求 め よ。

行 す る。 漸 化 式 が そ の ま ま プ ロ グ ラ ム の 中 に

現 れ る よ う に配 列 を使 った。 プロ グ ラ ム3.3

計算の結果 2   32

〔 注 〕 計算 の 結 果 を 例 え ば10項 要 す るが,こ

8 38

11

14

17

20

23

26

29

41

44

47

50

53

56

59

づ つ プ リ ン トす る た あ に は プ ロ グ ラム の中 で 特 別 な工 夫 を

こで は省 略 す る。

問2  初項3,公

〔 例 題4〕

5 35

比2の 等 比 数列 を初 項 か ら第20項

初 項1000,公

〔 解 〕 第1000項

差−3の

ま で を配 列 を使 っ て求 め よ。

等 差 数 列 の 第1000項

を漸 化 式 を使 って 求 め よ。

だ け求 め るの で 配列 を使 わ な い で記 述 す る。

0-1997

プロ グ ラ ム3.4

計算の結果

問3  問2の プ ロ グ ラ ムを配 列 を使 わ な い で記 述 せ よ。 。

[3]  隣接3項 間の 漸化式  an+2=an+1+anと

い う漸 化 式 は 隣 り あ う3項

間 の 漸 化 式 と い う。 こ の 式 は 初 項 と 第2項

の 間 の 関 係 式 で あ り,隣

を 決 め る こ と に よ って,第3項

接3項 か らあ

と が 次 々 と 決 ま っ て い く。

〔 例 題5〕a1=0,a2=1,an+2=an+1+anに

よ っ て 定 ま る 数 列 の 初 項 か ら 第20

項 まで を求 め よ。 〔 解 〕 記 述 をわ か りや す くす る た め に配 列 を 用 い る。 プロ グ ラ ム3.5

計算の結果 55

問4 

1 89

1 144

2 233

3 377

5 610

8 987

13 1597

21 2584

〔 例 題5〕 を配 列 を用 い な い で記 述 せ よ。

34 4181

3.2  数 列 の 和 [1] 数列の和   数 学 で 数 列 の和 を考 え る と きは,タ イ プ の違 う数列 につ い て別 々 に考 え て いた が,コ

ン ピュ ー タを 利 用 す る と きは,初 項 か ら末 項 まで を単 純 に足 して い く方 法

で処 理 す る こ とが で きて,速

さ もそ れ ほ ど遅 くな らな い。 コ ン ピュ ー タで は一 般

に,積 は和 を何 回 も行 う こ とに よ って表 現 して い るの で,等 差 数 列 の和 を公 式 を 使 って積 で表 す の と,単 純 に初 項 か ら足 して い くの と大 差 が な い わ けで あ る。 数 列 が一 般 項 で 表 され て い るか,漸 化 式 で表 され て い るか に よ って少 し表 現 が異 な るだ けで あ る。 〔 例 題6〕

数 列{n2−n}の

〔 解 〕S=0と プロ

初 項 か ら第20項

して,Sに

まで の和 を求 め よ。

初 項 か ら順 番 に 足 し て い け ば よ い 。

グ ラ ム3.6

計算の結果 01

1

2

3

5

8

13

問5 a1=1,an+1=2an+1で

21

34

55

89

144

233

377

610

表 さ れ た 数 列 の 初 項 か ら第20項

987

1597

2584

4181

ま で の 和 を 求め よ 。

[2] 等比数列の和   コ ン ピ ュー タを 使 え ば数 列 の和 は,数 列 の 種類 に よ らず に同 じ方 法 で 求 め れ ば よ い。 しか し,等 比 数 列 の 和 に つ い て は,「 複 利 に よ る積 み 立 て 預 金 の 計 算 」 な ど の実 務 上 重 要 な内 容 が あ るの で特 に取 扱 う こ とに す る。

  複 利 法 で はa(円)を

年 利 率rでn(年)間

預 け る と,元 利 合計 がa(1+r)n(円)

と な る ので,毎 年 同 じ額 を積 み立 て る積 み 立 て 預 金 のn(年)後

の 元 利 合 計 は,

等 比 数 列 の 和 と な る。 〔 例 題7〕6か

月 ご と に10万 円 を積 み 立 て る と き,10年

に な る か 。 た だ し,利

率 は6か

月 ご と の 複 利3%で

後 の元利 合 計 は い くら

あ り,10年

後 の 最 後 は積 み

立 て を しな い も の と す る 。

〔 解 〕 等 比 数列 の 和 の 公 式 を 使 って 求 め る方 法 で は な く,次 の よ うに考 えて み る。 期 の終 わ り の 元 利 合 計 をSn(万 1.03+10で

あ り,1年

円)と

す る と,6か

後 の 元 利 合 計 はS2=S1×1.03+10で

後 の 元 利 合 計 はSn=Sn-1×1.03+10と Sと

月 後 の 元 利 合 計 はS1=10×

考 え られ る 。BASICで

して 計 算 し て も 結 果 が 変 わ ら な い の で,配

最 後 は 積 み 立 て を し な い の で10を

あ る 。n×6か は,Snは

月

すべ て

列 を 使 わ な い で 記 述 す る 。 ま た,

ひ く。

プロ グ ラ ム3.7

計算の結果 10年後 の 元利 合計 は2767648円

問6  〔 例 題7〕 を等 比 数 列 の和 と して計 算 せ よ。

  住 宅 ロー ンな ど で使 わ れ る元 利 均 等 払 い の 返 済 は,利 (円)をnか

月 借 りた と き,そ の元 利 合 計 を一 定 額a(円)で

積 み立 て た預 金(1か

月 後 か ら始 め,nか

月 目 もa(円)入

済 し,差 し引 き0と な る よ うにす る もので あ る。

率r(月

利)の 複 利 でA

同 じ利 率r(月

利)で

れ る)の 元 利 合 計 で 返

〔 例 題8〕0.5%の

月 利 で500万

円 を20年

間 借 り た と き,元

利 均 等 払 い の1か

月

の返 済額 はい く らに な るか 。 〔 解 〕1か

月 の 返 済 額 をa(円)と

し,n=20×12と

す る と,

a(1.005n-1+1.005n-2+…+1.005+1)=500×1.005n

で あ る。 この左 辺 の等 比 数 列 の和 の部 分 は,〔 例 題7〕 と 同 様 の ア ル ゴ リズ ム で 求 め た 。1か

月 の平 均 金 額 は 平 均 す る と,35821.52(円)に

な る。

プロ グ ラ ム3.8

計算の結果 1ケ月 の返済 額 は35821.52円

問7 

〔例 題8〕

に お い て,月

利 が0.4%と

す る と,1か

月 の返 済 額 は い く らか。

3.3  二 項 定理 [1]  二 項 定 理 〓の式 を二 項 定理  を 二 項 係 数 と い う。 ま た,

を 展 開 式 の一

般 項 と い う。

〔 例 題9〕(2a−3b)10の 〔解 〕

展 開 式 のa7b3の

係 数 を求 め よ。

展 開 式 の 一 般 項 は10Cr(2a)10-r(−3b)rで,a7b3の

係 数 は10C327(−3)3

-414720

で あ る 。 組 合 せ を 求 め る 関 数 プ ロ シ ー ジ ャ をC(n,r)と ロ シ ー ジ ャ をf(n)と た め,負

す る 。 こ の2つ

し,n!を

求 め る関数 プ

の プ ロ シ ー ジ ャ は エ ラ ー 処 理 を して い な い

の 値 を 入 れ て も チ ェ ッ ク し な い の で 注 意 が 必 要 で あ る。

プロ グ ラ ム3.9

計算の結果

問8  (sa+tb)nの s,t,n,rの

展 開式 のan-rbrの

項 の係 数 を求 め る プ ロ グ ラム を作 成 せ よ。 ただ し,

値 は プ ロ グ ラム 中 で入 力 す る よ う にせ よ。

[2]  パ スカルの三 角形   (a+b)nの

展 開 式 の 係 数 は,図3.1

の よ う に1を 二 等 辺 三角 形 の等辺 に並 べ, 隣 同 士 を 加 え て 次 の 行 に す る こ とに よ っ て得 られ る。 これ を パ ス カ ル の三 角 形 と い う。 こ れ は,nCr=n-1Cr-1+n-1Crと

関係 式 が 成 り立 つ か らで あ る。

い う 図3.1

〔 例 題10〕

パ ス カ ル の 三 角 形 をn+1段

ま で 表 示 す る プ ロ グ ラ ム を 作 成 せ よ 。n

の 値 は,プ

ロ グ ラム の中 で入 力 す るよ うに せ よ。

〔 解 〕 組 み 合 せ の公 式 を使 わ ず に,隣 同士 の項 を たす と い う アル ゴ リズ ム で1次 元 の 配 列 を 用 い て作 成 す る。   左 側 の1は0(プ ロ グ ラ ム13行

ロ グ ラ ム6行

目)別

目 のb=0)と

た す と 考 え,右

に 取 り扱 っ た 。 ま た,5行

0の と き は 内 側 のFORル

目 でiを0か

ー プ が 実 行 さ れ な い でj=1だ

側 の1だ

け は(プ

ら変 化 さ せ た 。i= け 実 行 さ れ る の で,1

番 上 の 段 の 数 も 別 に 扱 わ な く て す む 。 配 列 の 値 は次 の 段 階 で 新 し い も の に か き換 え られ て し ま う の で,変

数cに

一 時 的 に記 録 し次 のbの

  結 果 的 に9行

目 で は1つ

前 のa(j−1)の

な る 。PRINT

USING文

に した の は,値

ロ グ ラ ム を 単 純 に す る た め に,二

値 とす る。

内 容 とa(j)の

内 容 を加 えた ことに

の 表 示 を上 下 で揃 え るた め で あ る。 プ

等 辺 三 角 形 で はな く直角 三 角 形 に並 ぶ よ うに表

示 した。 プロ グ ラ ム3.10

計算の結果 n=?4 1 1

1 1

1

問9  パ スカ ル の三 角形 を使 って,(a+b)nの ムの 中 で 入 力 す るよ うに せ よ。

2 11 3 3 1 4 6

4

1

展 開 式 の係 数 を求 め よ。nの 値 は プ ロ グ ラ

3.4  数列の極 限 [1]  数列 の収束  数 列 の 中 で,項

の個 数 が 有 限 で あ る数 列 を有 限 数 列 と い い,項 が 限 りな く続 く

数 列 を無 限 数 列 と い う。   数 列{an}に

お い て,nを

り な く近 づ く な ら ば,数

限 り な く大 き くす る と き,anの 列{an}は

値 が 一 定 の値 α に 限

α に 収 束 す る と い い,α

を 数 列{an}の

極限 値

と い う。

〔 例 題11〕

次 の一 般 項 で 表 され た 数 列 の収 束 す る様 子 を,初 項 か ら第40項

まで

表 示 して 調 べ よ。 (1)

  (2)

〔 解 〕FOR∼NEXT文 い の で,倍

の中 で 値 を計 算 して表 示 す る。 有 効 数 字 が6桁 で は少 な

精 度 変 数 を 利 用 した 。 ま た,表

示 を そ ろ え る た め にPRINT

文 を 使 用 し た 。(1)の プ ロ グ ラ ム を 示 し た が,(2)は3行 の 後 を 「(n#−1)/(2*n#+1)」

目 のPRINT

USING USING文

に変 更 す る。

プロ グ ラ ム3.11

計算の結果 略 〔 注 〕N88BASICで

は,「FOR∼NEXT｣文

の カ ウ ンタ変 数 に倍 精 度 変 数 は使 え な い 。

問10  次 の 一 般 項 で 表 され た数 列 の 収 束 す る様 子 を,初 項 か ら第81項 して調 べ よ。

(1)

 (2)

ま で5項 ご と に表示

 

〔例 題12〕

〔例 題11〕(2)の

数 列 の 収 束 の 様 子 をn=10,100,1000,…

…,1010と

し

て調 べ よ。 〔解 〕

〔 例 題11〕(2)の

数 列 の 収 束 は 遅 い の で,第40項

が は っ き り し な か っ た 。 そ こ でnを

ま で の 値 で は収 束 す る の

不 連 続 に 変 化 さ せ て 調 べ る 。 数 値 は10進

で 表 示 さ れ て い る の で,10i(i=1,2,3,…,10)と

変 化 させ て 調 べ る の が わか りや

す い 。 あ ま り大 き な 数 に す る と オ ー バ ー フ ロ ー し て し ま う の で,1010ぐ が 適 当 で あ る 。 た だ し,nの

法

らい ま で

値 を不 連 続 に大 き く して い くと収 束 しな い 数 列 を収

束 さ せ て し ま う こ と が あ る の で 注 意 が 必 要 で あ る。 プロ グ ラ ム3.12

計算の結果 0.42857142857143 0.49253731343284 0.49925037481259 0.49992500374981 0.49999250003750 0.49999925000038 0.49999992500000 0.49999999250000 0.49999999925000 0.49999999992500

問11  問10の

数列を 〔 例 題11〕 の 方法 で収 束 の状 況 を 確認 せ よ。

[2]  数列 の発散  収 束 しな い数列 は発 散 す る とい う。  n → ∞ の と きan→∞  n → ∞ の と きan→ (−1)n,(−2)nな

と な る と き,数

列{an}は

− ∞ と な る と き ,数

列{an}は

正 の 無 限 大 に 発 散 す る と い う。 負 の 無 限 大 に 発 散 す る と い う。

ど は 正 の 値 と 負 の 値 が 交 互 に 現 れ,収

数 列 を 振 動 す る とい う。

束 しな い。 この よ う な

〔 例 題13〕

次 の一 般 項 で 表 され た数 列 の 発散 の 様 子 を 調 べ よ。

  (1)  (−2)n 

(2)  log2n

〔 解 〕

と

〔 例 題11〕

る の で,PRINT

〔 例 題12〕

USING文

の2通

り の 方 法 で 調 べ る。 数 の 絶 対 値 が 大 き く な

は 使 って い な い 。(2)の 増 加 の 仕 方 が ゆ っ く り し て い

る こ とが わ か る。 ほ ん と に 発 散 して い る か ど う か 疑 問 に思 う か も しれ な いが,y= lo g2xは,yの

ど ん な 大 き な 値 に も対 応 す るxの

値が存在す るので確 か に発散 す

る の で あ る。 プロ

グ ラ ム3.13(1)

プロ グ ラ ム3.13(2)

計 算 の 結果(1)略 計 算 の 結 果(2) 3.321928085759251 13.28777234303701 23.25349660031476 33.21928085759251

6.643856171518503 16.60964042879625 26.57542468607401

9.965784257277752 19.9315685145555 29.89735277183326

問12  次 の一 般 項 で 表 さ れ た数 列 の収 束,発 散 の様 子 を 調 べ よ。 (1) 

(2)

[3] 無限級数の和  a1+a2+a3+…+an+…

a3+…+anを

を 無 限 級 数 と い い,Σanと

無限級数

Σanの 部 分 和 と い い,limSnが

表 す 。Sn=a1+a2+

存 在 す る と き,そ

の極

限値 を無 限 級 数 の和 とい う。 極 限 値 が 存 在 しな い と き,無 限 級 数 は発 散 す る とい う。

〔 例 題14〕

次 の 無 限 級 数 の 収 束 の 様 子 を 調 べ よ。

(1)

 (2)

〔 解 〕(1)は 無 限 等 比 級 数 な ので,〔 例 題7〕 の方 法 で和 を求 め る。 収 束 は か な り 速 い の でS50ま

で 調 べ る。(2)は 階 乗 を 計 算 す る 変 数 をt#と

で あ る た め,n#は1か 束 が 速 い の で,S19ま

ら始 め,t#の

計 算 はPRINT文

し た が,初

項 が0!

の 後 で 行 う。 驚 く ほ ど 収

で 調 べ る。

プロ グ ラ ム3.14(1)

プロ グ ラ ム3.14(2)

計算 の結 果(1)  略 計 算 の 結 果(2) 1  2 2.708333333333333 2.718253968253968 2.718281801146385 2.718281828446759 2.718281828459043

  2.666666666666667

  2.5

  2.716666666666666   2.71827876984127

  2.718055555555555   2.718281525573192

  2.718281826198493

  2.718281828286169   2.718281828458995

  2.71828182845823   2.718281828459046

  2.718281828459046

問13  次 の無 限級 数 の収 束 の様 子 を調 べ よ。 (1)

〔 例 題15〕 (1)

  (2)

次 の 無 限 級数 の収 束,発 散 の様 子 を調 べ よ。  (2)

〔 解 〕(1)は

収 束 が 遅 い の で,Snのnは10,000ま

表 示 し,そ

れ 以 降 は1,000ご

で はす べ て

と に表示 す るプ ログ ラム は次 の よ うに な る。 これ で

も徐 々 に 値 が 増 え て い くの で,極 は 困 難 で あ る 。 しか し,

で 調 べ る 。n≦20ま

限値 の有 効 数 字 の何 桁 ま で求 め られ た か の判 断

よ り,極

限 値 が2よ

り小 さ い こ と は わ か る 。

  (2)は 発 散 す る の で あ る が,こ 1+1/2+1/3+…+1/nと 発 散 す る の で,右

辺 も発 散 す る。nを10,000ま

示 し,そ れ 以 降 は1,000ご (n+1)の

の 発 散 の 仕 方 もゆ っ く り で あ る 。log(n+1)＜ い う不 等 式 が 定 積 分 を 使 っ て 証 明 で き る 。 左 辺 が で 調 べ,n≦10ま

で はすべ て表

と に 表 示 す る プ ロ グ ラ ム は 次 の よ う に な る 。 ま た,log

値 も右側 に表 示 す る よ うに考 え た。

プロ グ ラ ム3.15(1)

計 算 の結 果(1)  略

プロ グ ラ ム3.15(2)

計 算 の 結 果(2)  略

問14  関 数1/xの

定 積 分 を 用 い て,log(n+1)＜1+1/2+1/3+…+1/n(n≧1)

を証 明 せ よ。

[4] 循環小数   小 数 点 以 下 の 数 字 が 有 限 個 で あ る 小 数 を 有 限 小 数 と い い,無

限 に続 く小 数 を 無

限 小 数 と い う。 無 限 小 数 の うち小 数 部 分 の 数字 が あ る と ころ か ら循環 して現 れ る も の を 循 環 小 数 と い う。 有 理 数q/p(p,qは 小 数,循

互 い に 素 で あ る整 数)は

環 小 数 の ど れ か に な る 。 そ れ に対 し て,無

整 数,有

限

理 数 は循 環 し な い 無 限 小 数 で

表 され る。   循 環 小 数 は,循

環 す る 部 分 の 始 ま り と終 わ り の 数 字 の 上 に ・を つ け て 表 示 す る。

例 え ば,1/3=0.333…=0.3,4/35=0.1142857142857…=0.1142857で 整 数,有

限 小 数 の 最 後 の 数 字 の 右 に0が

続 い て い る と考 え る と す べ て の 有 理 数 は

循 環 小 数 で あ る と 考 え ら れ る 。 な ぜ な ら ば,有 で 割 っ た 余 り は0,1,2…,p−1の

あ る。

理 数q/pの

ど れ か で あ り,有

割 り算 に お い て,p

限 回 の 割 り算 で 余 り が 同 じ

に な る と き が で て く る 。 そ の 間 の 商 が 循 環 す る数 と な る 。

〔 例 題16〕

次 の分 数 を 循 環 小 数 で 表 せ。

) 1 (   (2)

〔 解 〕(1)に

つ い て は,ダ イ レ ク トモ ー ドで 「?4/13#」

と な る こ と が わ か る が,(2)に

つ い て は 桁 数 が 多 す ぎ て,循

る こ と が で き な い 。 そ こ で,割 a÷bの

商 をcと

い く。STR$関

し,余

が 終 了 す る の で,GOTO文

環 す る部分 を見つ け

り 算 を 任 意 の 桁 で 表 示 す る プ ロ グ ラ ム を作 成 す る。

り を 新 し いaと

す る 。q$と

い う文 字 列 に 商 を 記 入 して

数 は 数 値 を 文 字 列 に す る関 数 で あ る が,先

し ま う の で,MID$関

る 。aを10倍

と 計 算 す れ ば,0.307692

頭 に空 白文 字 を つ け て

数 を 使 い 空 白 を 取 り 除 く。 余 りaが0と でFLAG:に

飛 ぶ 。i=1の

な る と き 割 り算

と きだ け 小 数 点 を 記 入 す

して 次 の 桁 の 割 り算 に 移 る 。1/17=0.0588235294117647で

と が わ か る。 こ の 方 法 で は 小 数 第1000位

ま で 求 め る こ と も可 能 で あ る 。

あ る こ

プロ グ ラ ム3.16

計算の結果 ? 1,17 ? 20 0.0588235294117647058

〔注 〕N88BASICで

は,1つ

の 文 字 列 変 数 は255文

字 ま で しか 表 せ な い 。(2)に つ い て は,

や や 技 術 的 な処 理 で あ るか ら扱 わ な くと もよ い。

問15  次 の分 数 を循 環 小 数 で表 せ 。 (1)

  (2)

練習問題 1.  数 列1,3,7,15,31,… 2.  初 項1000,公

数 列{anbn}の 3.  1200か

… の 初 項 か ら 第20項

差 −3の

等 差 数 列{an}と,初

ま で を 求 め よ。 項1,公

比2の

等 比 数 列{bn}に

対 し て,

第 何 項 まで の 和 が 初 め て 負 とな るか 。

ら1700ま

で の 自 然 数 の う ち,7で

割 る と3余

る も の の 個 数 と,そ

れ らの和 を 求

め よ。 4.  数 列1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…

の初項 か ら 第

100項 まで の和 を 求 め よ。 5.  住 宅 ロ ー ンの 元 利 均 等払 い で は各 回 の返 済 額 の うち,元 金 の返 済 額 と 利 息 の 返 済 額 の 内 訳 を 示 し,そ れ を 償 還表 と呼 ん で い る。0.5%の

月利 で500万

そ の元 利 均等 払 い の償 還 表 を作 成 せ よ。 た だ し,12か 6.  nC0+nC1+nC2+…+nCn=2nで

円 を20年 間 借 り た と し,

月 ご と に表 示 す る もの とす る。

あ る こ と をn=20と

して 確 か め よ 。

第4章  図形と方程式   この章 で は 直線 を 表 示 し,2直

線 の交 点 を求 め る。 円 と直 線,円

と 円 を 表 示 し,交 点 を

求 め,定 規 と コ ンパ スを使 った作 図 を コ ン ピュ ー タで で きる よ うに す る。 ま た,不 表 す領 域 に つ い て取 り扱 う。 しか し,2次 第7章

で扱 って い るの で,こ

曲 線 と して の放 物 線,だ

円,双

等式の

曲線 につ いて は

こで は省 略 す る。

4.1  直線の方程式 [1]  1次 式の 表す 図形   x,yの1次

式ax+by+c=0は,座

標 平 面 上 で 直 線 を表 す 。 これ を 画 面 に

表 示 す る に は ど うす れ ば よ い だ ろ うか 。

〔 例 題1〕a,b,cを

入 力 し,直 線ax+by+c=0を

作図 す る プログ ラムを作成

せ よ。

〔 解〕

ま ず,bが0で

を 表 示 す る 。b=0の

ち,グ

ラ フ はy軸

な い と き,yをxの

と き は,a≠0の

式 で 表 し,PSET(x,y)を

と き両 辺 をaで

用 いて直線

割 っ てx=−c/a,す

なわ

に 平 行 な 直 線 に な る。 座 標 軸 は 「jiku2」 と い う サ ブ ・プ ロ シ ー

ジ ャ を 利 用 す る 。 以 下 の 例 題 の プ ロ グ ラ ム に お い て,特

に こ と わ ら な い 限 り,座

標 軸 は｢SUB

jiku 2」 を 用 い る こ と に す る。 プ ロ グ ラ ム は プ ロ グ ラ ム4.1,計

例 は 図4.1(1),(2)に

示 す 。

プロ グ ラ ム4.1

図4.1(1)

算

図4.1(2)

問1 

2点(x1,y1),(x2,y2)が

与 え られ た と き,こ

の2点

を結 ぶ線 分 を表 示 せ よ。

[2]  2直 線 の交点   平 行 で な い2直

線a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0の

交 点 の 座 標 は,

連 立 方 程 式 を 解 くこ と によ り求 め られ る。 〔 例 題2〕x,yの1次

式 で表 され た2直 線 の交 点 の 座 標 を表 示 し,2直

線 と交 点

を 図 示 せ よ。 〔解 〕d=a1b2−a2b1と

す る と,2直

で あ る 。 こ の と きは交点

は 存 在 し な い 。d≠0の

〓で あ る。 こ こ で,直

「SUB

lineabc」

とが で き る。

線 が 平 行 ま た は 一 致 す る と き はd=0

を 用 い た 。 こ れ は,プ

と きは,〓,

線 を 求 め る た め に,サ

ロ グ ラ ム4.1を

ブ ・プ ロ シ ー ジ ャ

変 更 す る こと で作 成 す る こ

プロ グ ラム4.2

図4.2

問2 

プ ロ グ ラム4.2を 用 い て,次 の2直 線 を 表 示 し,交 点 の座 標 を求め よ。

(1)

  (2)

4.2 

円

[1]  円の表 示   円 は,数

学 座 標 で 中 心,半

る。 中 心(3,−4)で

〔 例 題3〕x軸

半 径2の

と 直 線y=xの

径 を 指 定 す る とCIRCLE文 円 は,CIRCLE(3,−4),2と

両 方 に接 し,中

心 が 第1象

で円 を描 く ことがで き す れ ば よ い。

限 に あ る 半 径1,2,3,4

の 円 を表 示 せ よ。

〔 解 〕 中 心 はx軸 と22.5°の 角 を な す 原 点 を 通 る直 線 上 にあ る 。順 に, 〓で あ る。

 プ ロ グ ラ ム4.3,図4.3の プロ

よ うに な る。

グ ラ ム4.3

図4.3

問3  1辺 の 長 さ4の 正三 角 形 に内 接 す る円 と外 接 す る 円 を作 図 せ よ。

[2]  円 と直線の 共有点  円 と直 線 は共 有 点 が な いか,接 す るか,異 な る2点 で交 わ る か の い ず れ か で あ る。 方程 式 が 与 え られ れ ば,共 有 点 の 個 数 を調 べ る ことが で き る。 〔 例 題4〕

中 心(2,1),半

(1)

径3の 円 と次 の 直線 を表 示 し,共 有 点 の個 数 を調 べ よ 。

〔 解〕

  (2)

円 は,CIRCLE(2,1),3で

した 「SUB lineabc」 の 直 線 は,円

図4.4

作 図 し,3つ

の 直 線 は,プ

を 用 い る。(1)の 直 線 は,円

と接 し(共

プロ グ ラ ム4.4

 (3)

有 点1),(3)の

直 線 は,円

と2点

ロ グ ラ ム4.2で

作成

で 交 わ る(共 有 点2)。(2)

と共 有 点 を もた な い。

問4  円x2+y2=9と

直 線x−2y+2=0と

の交 点 にお いて 接 す る接 線 を表 示 せ よ。

[3]  2円 の共有点   2円 が 共有 点 を もつ か ど うか は,2円 数 は,交 わ る と き は共 有 点 が2,接

の 位 置 関 係 に よ って き ま る。 共 有 点 の 個

す る と きは共 有 点 は1で あ る。 そ の 他 の と き

は共 有 点 は な い。 また,

(4.1) (4.2)   円 の 式(4.1),(4.2)が

共 有 点 を もつ と き は,次

の方 程式 はそ の 共 有 点 を通 る図

形 で あ る。

k=−1 の と き,そ れ は共 有 点 を通 る直線 とな るの で,そ れ と ど ち らか の 円 と の 共 有点 を求 め れ ば よ い。 〔 例 題5〕

中 心(2,1),半

(1)  中 心(−3,2),半

 (3)中 〔 解〕

心(3,−1),半

径2の

円 と次 の 円 と の共 有 点 の個 数 を調 べ よ。

径1 

(2)中

プロ グ ラ ム4.5

径1

径2

そ れ ぞ れ の 円 は 「CIRCLE文

(2)は 共 有 点1,(3)は

心(2,4),半

共 有 点2で

」 を 用 い た 。 図4.5か

あ る。

ら,(1)は

共 有 点 な し,

図4.5

問5 

〔 例 題5〕 に お い て共 有 点 の あ ると き,共 有 点 を通 る直 線 も表 示 せ よ。

4.3  斬跡 と作 図 [1]  線分 の垂直二 等 分線  線 分ABの

垂 直 二 等 分 線 は,2点A,Bか

〔 例 題6〕2点A(−4,0),B(2,0)か

らの 距 離 の 等 しい点 の 軌 跡 で あ る。

ら等 距 離 に あ る 点 の 軌 跡 をA,Bを

中 心 とす

る 同 じ半 径 の円 の交 点 を表 示 す る こと に よ って 作 図 せ よ。 〔解 〕

半 径 は3か

コ ピ ー に お い て,等   プロ グ ラ ム4.6

ら5ま

で0.1ず

つ 増 や して い く こ と に す る。 実 行 画 面 の ハ ー ド

し い 半 径 の 円 の 交 点 を 結 ん だ も の が 図4.6で

あ る。

図4.6

問6  等 しい半 径 の2円 の交 点 を結 ぶ こ と によ って,線 分ABの

垂 直 二 等 分 線 を表 示 せ よ。

[2]  角 の二等分 線   1点 か ら引 いた2本 の半 直線 か ら等 距 離 にあ る点 の軌 跡 を角 の二 等分 線 とい う。 角 の二 等 分 線 を 円 を 用 い て作 図 す る こ とが で き る。 〔 例 題7〕x軸

と 直 線y=mx(m＞0)と

の な す 角 の う ち,第1象

限 に あ る角 の

二 等 分 線 を表 示 せ よ。 〔 解 〕x軸

上 の 点B(2,0)と,傾

中心 とす る半 径3の 円 の 交点Aを を結 んで ∠xOZの プロ グ ラ ム4.7

きmの

半 直 線OZ上

の 点C(2cos

s,2sin

s)を

求 め る。 実 行 画面 の ハ ー ドコ ピー に お い てOA

二 等分 線 を 作 図 す る。

図4.7

問7 

〔 例 題7〕 に お いて,角 の 二 等 分 線上 に 中心 の あ る 円 が半 直線 に 内接 す る様 子 を 表 示

させ,2本

の 半 直 線 か らの 距 離 が 等 しい こ とを確 認 せ よ。

[3]  その他 の軌 跡 〔 例 題8〕2点(−3,0),(3,0)か 〔 解〕

らの 距 離 の 比 が1:2で

あ る点 の 軌 跡 を 調 べ よ 。

こ の 軌 跡 は 円 と な る。 こ れ を ア ポ ロ ニ ウ ス の 円 と い う 。 従 来,ア

ポ ロニ ウ

スの 円 を コ ン ピュ ー タで作 成 す る と きは,計 算 で 求 め た結 果 を 使 って 表 示 す る こ とが 多 か った。 この方 法 は半 径2iと4iの

同 心 円 を2点 を 中心 と して表 示 し,そ

のハ ー ドコ ピー に お い て交 点 を 強 調 し,軌 跡 が 円 とな る こ とを 確 か め る。 プロ グ ラ ム4.8

図4.8

問8 

〔 例 題8〕 に お い て,距 離 の比 が3:2で

あ る点 の 軌 跡 を 調 べ よ 。

4.4  不 等式の表す領 域 [1]  y＞f(x)の

形

  不 等 式 の表 す領 域 は座 標 平 面 上 の 点 につ いて,不 等 式 を満 た す か ど うか調 べ て 満 たす 領 域 を 図示 す れ ば よ い。 その 領 域 の 境 界 とな るの は,不 等 号 を等 号 に 取 り 替 え た方 程 式 の表 す 図 形 で あ る。 〔 例 題9〕

不 等 式y＞x2−x−2の

満 たす 領 域 を 図示 せ よ。

〔 解 〕 関 数 の グ ラ フ は 曲 線 上 の 点 を 細 か く表 示 して い く。 ま た 領 域 は,そ に含 ま れ る1点(x1,y1)を (x1,y1)の

と っ てPAINT(x1,y1),a,bで

あ る 側 の 色 コ ー ド,bは

サ ブ ・プ ロ シ ー ジ ャ の 「SUB

で 記 入 す る こ と に し た 。 こ れ は,軸 る。

塗 り つ ぶ す 。aは

境 界 線 の 色 コ ー ドで あ る 。 ま た,こ

jiku 2」 を 変 更 して 「SUB

の領域

jiku」 と し,座

点

の 場 合, 標軸 を後

に よ って領 域 を分 割 す るの を さ け る た め で あ

プロ グ ラ ム4.9

図4.9

〔注 〕

座 標 軸 で 領 域 が 分 割 さ れ る こ と を さ け る た め に,10行

で

「PSET(x,y),4」

と して

曲線 を色 コー ド4で 描 い た。 問9  第3象 限 で不 等 式y＞2/xを

満 た す領 域 を図 示 せ よ。

[2] 連立不等式で表される領域  y＞f(x),y＞g(x)で 〔 例 題10〕 〔 解〕

表 され る領 域 は,そ れ ぞれ の満 たす 領 域 の共 通 部 分 にな る。

連 立 不 等 式y＞x2−x−3,y＜2x−1の

関 数 の グ ラ フ を2つ

は 色 も れ を 防 ぐ た め0.005に プロ グ ラ ム4.10

満 た す領 域 を図 示 せ よ。

描 く た め に ユ ー ザ ー 定 義 関 数 を2つ した 。 結 果 は 図4.10の

使 った。 きざ み幅

よ う に な る。

図4.10

問10  不 等 式y＞x2−x−3,y＞2x−1の

満 たす 領 域 を 図示 せ よ。

練習問題 1.  直 線(2k−1)x+ky+3−k=0のkの

値 を−5か

ら5ま

で1ず

つ 変 化 させ て い っ

た と き,直 線 は ど う変 化 す るか 示 せ。 2.  2直線x+kx−4=0,kx−y+4k=0の

交 点 は,kの

値 を−5か

ら5ま

で1ず

つ 変 化 させ て い った と き ど うな るか。 3.  円x2+y2−6x−4y+8=0と,直

線2x+y−1=0の

交 点 に お け る接 線 を 表 示

せ よ。

4.  〔 例 題5〕 に お い て2円 が接 す る と き,接 点 を通 る共 通 接 線 を表 示 せ よ。 5.  (0,0),(4,0)に

至 る距 離 の 比 が1:3で

6.  不 等 式(x+y)(2x+y+1)(y+2)≧0を

あ る点 の軌 跡 を求 め よ。 満 たす 点 を図 示 せ よ。

第5章  微 分 ・積 分   この章 で は,数 学 の一 分 野 で あ る数 値 計 算 法 の 基 礎 につ いて 学 習 す る。 こ の数 値 計 算 法 は,代 数 式 で表 せ る"閉 じた解"を もた ない 数 理 的 な 問 題 を解 くのが ね らい で あ る。   な お,こ の数 値 計 算 法 で ど う して も避 け られ な か った,高 度 で,繁 雑 で,膨

大 な量 の計

算 の重 労 働 か らは コ ン ピュ ー タ に よっ て 解 放 され た 。 さ らに,ど う して も避 け られ な い 誤 差 の発 生 へ の対 応 の仕 方 につ いて は,数 学 の 基礎 理 論 が 支 え て くれ て い るの で あ る。

5.1  方程式の解法   工 学 上 の技 術 的 な問 題 の解 析 に は,高 次 の代 数方 程 式 や 三 角 関数,指 数 関数, 対 数 関 数 等 を含 ん だ超 越 方 程 式 の解 を,逐 次 近 似 的 な解 法 で あ る数 値 計 算 に よ っ て 求 め る必 要 が でて くる。

[1]  解 の存在 区間の探 索   それ ぞれ の実 数 解 の存 在 区 間 を割 り出す 簡 単 な方 法 は,関 数 の グ ラ フを描 き実 数 解 の個 数 を確 認 し,次 に,一 定 区間 幅(ピ

ッチ)で 関数 値 を 出力 させ て,関 数

値 の符 号 の逆 転 す る2点 区 間 を割 り出 す こ とで あ る。   関 数y=f(x)の

グ ラ フ に お い て,区

x=x1,x2,…,xi,xi+1,…,xn

間[α,β]のn等

分点

図5.1

を と る と き,

(5.1) な ら ば,区

〔 例 題1〕

間[xi,xi+1]内

に実 数 解 が 存 在 す る ことが わ か る。

次 の方程式

(5.2) に お い て,式(5.2)の

左 辺 の式 を

(5.3) と お い て,コ

ンピ ュー タ を 用 い て 式(5.3)の

グ ラ フ を 描 き,式(5.2)の

個 数 と 解 の 存 在 区 間 を 調 べ よ 。 次 に 式(5.3)の 〔 解〕 表5.1と

プ ロ グ ラ ム5.1に

よ っ て グ ラ フ を 描 き,関

な る 。 解 の 存 在 区 間 は グ ラ フ か ら は, [−1,0],

[0,1],[1,2]

 数 値表 か らは, [−1,−0.5],[0,0.5],[1,1.5]

と,グ

ラ フよ り多少 詳 しい デ ー タが得 られ る。

プロ グ ラ ム5.1

実数 解 の

関 数 値 表 を 作 成 して 調 べ よ。 数 値 表 を 作 成 す る と 図5.2,

表5.1

図5.2

問1  次の方程式 の 実 数解 の 存在 区 間 を,グ ラ フ と関 数 値 表 の そ れ ぞ れ につ いて 調 べ よ。

問2  次の方程式   x2−sinx=0

の実 数 解 の存 在 区 間 を,グ

ラフ と関 数 値 表 の そ れ ぞ れ に つ い て 調 べ よ。

〔 注 〕 数 値 表 に よ る探 索 に は2つ の注 意 す べ き問 題点 が あ る。 つ ま り,n等

分 した と きの

区 間 幅 が 広 す ぎ る た め,解 を飛 び越 して しまい,そ れ を 見 落 す 場 合 と,解 が 非 常 に 接 近 し て い る た め,区 間 幅 が広 す ぎて解 を見 落 して し ま う場 合 で あ る 。 こ う した 点 は,グ

ラフ

(ピ ッチ に留 意 して)を 利 用 して 防 ぐよ う にす る と よい。

[2]  二分 法 による 区間縮小法   お お ま か な実 数 解 の存 在 区間 が決 定 され る と,さ

らに こ の解 の存 在 区 間 を何 ら

か の方 法 で縮 小 し,実 用 に耐 え る高 い精 度 の近 似 解 が 得 られ る ま で,こ の操 作 を 反 復 す る。   この方 法 の1つ

に二 分 法 が あ る。 二 分 法 は解 の存 在 区 間 幅 の 中心 点 で 評 価 を行

い,解 の存 在 す る区 間 を さ らに半 分 に縮 小 す る。 そ して,こ

の過 程 を有 効 な精 度

の近 似 解 が得 られ る まで逐 次 反 復 す る(図5.3)。

図5.3

 ま た,区 間 を縮 小 す る際,解 が 中 間点 の左 右 の い ず れ か に存 在 す るか は,段 階 Ⅰで

(5.4)

 中 間 点xi+2を

計 算 し,

f(xi)・f(xi+2)

の符 号 で評 価 す る。 す な わ ち,負 の と きが 左側 で,正 の と き は右 側 に な る。 そ し て,同 一 アル ゴ リズ ムで 効 率 よ く計 算 処 理 が で き るよ うにす る た め,そ れ ぞ れ xi+1←xi+2,xi←xi+2

と して 段 階Ⅱ に 進 む 。 そ し て,こ

の 操 作 ・計 算 を 反 復 す る(図5.4)。

図5.4

 な お,こ

こ で は 収 束 判 定 は 区 間 幅 をe=10-n(n:正

整 数)と

し て￨xi+1−xi￨

＜eで 計算 を停 止 す る もの とす る。 〔 例 題2〕

方程式  x2−3=0

の 区 間[1,2]に

存 在 す る解 を 二 分 法 に よ って求 め よ。

〔解 〕f(x)=x2−3と   段 階Ⅰ

  図5.4よ

お く。

：xi=1,xi+1=2と

り,解

し て,そ

の 中 間 点 を 式(5.4)に

は 右 側 に あ る か らxi←xi+2,す

  縮 小 区 間 幅 は￨xi+2−xi+1￨=￨1.5−2￨=0.5で,こ

な わ ち,x1=1.5と

よ って 求 め る。

す る。

の値 が収 束条 件 よ り大 き

い と き は,さ

ら に,計

  段 階Ⅱ:新

た なxi,xi+1を

  段 階Ⅰ:xi,xi+1の

  図5.4よ

り,解

算 を 続 行 して 段 階Ⅱ に 進 む 。 用 い て 段 階Ⅰ に 戻 り,同

じ ア ル ゴ リズ ム を 反 復 す る。

中 間 点 を 求 め る。

は 左 側 に あ る か らxi+1←xi+2,す

な わ ち,xi+1=1.75と

更 新

さ れ る。   縮 小 区 間 幅 は￨xi+2−xi+1￨=￨1.75−1.5￨=0.25で,こ

大 き い と き は,さ

ら に,計

 こ の よ うに,同

の値 が収 束 条 件 よ り

算 を 続 行 して 段 階Ⅱ に 進 む 。

じア ル ゴ リズ ムを 縮 小 区 間 幅│xi+2−xi+1│ が 収 束 判 定 条 件 を

満 たす まで 反 復 操 作 を 実 行 す る。 〔 例 題3〕

方程式

  x2−3=0

の 区 間[1,2]に

存 在 す る解 を コ ン ピュー タを用 い て二 分 法 で 求 め よ 。 た だ し

e=10-6と

す る。

〔 解〕

プ ロ グ ラ ム5.2の

,

結 果 の と お り。

プロ グ ラ ム5.2

計算の結果 収 束 条 件e=?.000001 ×1=?1 ×2=?2

1.732051

  9.536743E−07

問3 

〔 例 題1〕 に お いて,方 程 式(5.2)の

し,e=10-5と

区 間[1,2]の

実 数 解 を 二 分 法 で 求 め よ。 た だ

せ よ 。

[3] 割線法   図5.5に

お い て,方

の 試 行 点 をx1,x2,こ

真 の 実 数 解 をα,そ

し て,α

れ に 対 応 す る 関 数 値 を そ れ ぞ れf(x1),f(x2)と

  こ の と き,点P1,P2を か る よ う に,x3は

程 式f(x)=0の

通 る 直 線 とx軸

と の 交 点 をx3と

に 近 い2つ す る。

す る 。 図5.5か

らもわ

必 ず α に近 い点 に な っ て い る。

図5.5

  次 に,点P1を 点x4を

固 定 して,P1とP3(x3,f(x3))の2点

求 め る 。 そ して,こ

を 結 ぶ 直 線 とx軸

との 交

う し た 操 作 ・計 算 を 真 の 解 α の 近 似 値x(x=xi+1)

が 所 望 の 精 度 に 達 す る ま で 反 復 す る。   一 般 に,2点P(x1,f(x1)),P(xi,f(xi))を

結 ぶ 直 線 とx軸

は よ り α に近 い 点 と な る 。 こ の 直 線P1Piの

 こ の 直 線 のx軸

と の 交 点 はy=0よ

り,

方 程 式 は,

と の 交 点x(=xi+1)

(5.5)

〔 例 題4〕

方 程 式x2−3=0の

区 間[1,2]に

線 法 で 求 め よ 。 た だ し,e=10-5と

あ る解 を コ ン ピ ュ ー タ を 用 い て 割

せ よ。

〔 解 〕 収 束状 況 を み るた め に,解 を含 む縮 小 区 間 を逐 次 出力 す る。 フロ ー チ ャー ト は 図5.6,結

果 は プ ロ グ ラ ム5.3と

な る。

図5.6

プロ グ ラ ム5.3

計算の結果 収 束条 件e=?

.00001

×1=?1 × 2=?2 x

1.66667 1.72727 1.73171 1.73203 1.73205 1.73205 1.732051

  な お,図5.7の は,3回

− 0.222222 −0.333333 − 0.016529 −0 .001190 − 0.000086 − 0.000006 − 0.000000

0.060606 0.004435 0.000319 0.000023 0.000002

1.66893E−06

よ う にf(x1)≒f(x2)の

目 の 試 行 で 解x3は

  ま た,図5.8の

xi−x1

y

と き,収

束 しな い と き が あ る。 これ

無 限 遠 点 に な って し ま う か ら で あ る。

よ う な 重 解 の 場 合 は,解

α は割 線 法 で は 求 め られ な い の で,次

に 学 習 す る ニ ュ ー ト ン法 等 で 求 め る と よ い 。

図5.7

図5.8

問4  方程式   x5+5x+1=0

の解 の 存 在 区 間 を 調 べ,割 線 法 に よ りe=10-5で

解 を求 め よ。

[4]  ニ ュ ー ト ン 法   微 分 可 能 な 関 数y=f(x)の

導 関 数y=f'(x)と

=0の

解 を求 め る こ とが で き る

5.9の

よ う に,x1を

接 線 を 利 用 して,方

程 式f(x)

。 こ の 方 法 を ニ ュ ー ト ン法 と い う。 す な わ ち,図

め る と,xi+1はxiよ

初 期 値 と し て,先

行 の 試 行 値xiよ

り確 実 に 真 の 解 α に 近 付 く。

図5.9

り,次

の 試 行 値xi+1を

求

 こ のxi+1は,点Piに   x=xiに

お け る 接 線 とx軸

と の 交 点 と し て 得 ら れ る。

お け る接 線  y−f(xi)=f'(xi)(x−xi)

と,x軸(y=0)と

の 交 点 は,

 0−f(xi)=f'(xi)(x−xi)

(5.6)   式(5.6)に

お け るxはxiの

次 の 試 行 値 と して 得 ら れ る の で,x=xi+1と

こ こ で,

て,xi+1=〓

i =1

,2,3,…

と す る と,次

第 に 数 列{xi}は

お い

真

の 解 α に 近 付 い て ゆ く。

 な お,精 度eに 対 して￨xi+1−xi￨＜eが て,計

成 立 した と き収 束 した もの と判 定 し

算 を停 止 す る もの とす る。

〔 例 題5〕

方 程 式x2−3=0をx1=2と

ン 法 で 解 け 。 た だ し,e=10-10と

し て,コ

ン ピ ュ ー タを 用 い て ニ ュ ー ト

す る。

〔 解 〕 プ ロ グ ラ ム5.4お よ び計 算 結 果 は,次 の よ う に な る。 計 算 の 結 果 は収 束 状 況 を み るた め に,解 を 逐 次 出 力 す るよ うに した。 プロ グ ラ ム5.4

計算の結果 収 東条 件e=?0.0000000001

初期値?2 x(i) 2.0000000000 1.7500000000 1.7321428563 1.7320508100 1.7320508076

〔 注 〕#記

号 は,倍 精 度 を 表 す(有 効 桁 数16桁)。

〔例 題6〕

方 程 式9x2−12x+4=0を

初 期 値x1=1と

し,コ

ニ ュ ー ト ン 法 で 解 け 。 た だ し, e=10-10,

ン ピ ュー タを用 い よ。

〔解 〕f(x)=9x2−12x+4と

〔 例 題5〕

お く と,  f'(x)=18x−12で

の プ ロ グ ラ ム5.4に

お い て,3,4行

あ る。

の 関数 の 定 義 を 次 の よ う に変 更

す る。

  DEF fnf(x#)=9*x#^2−12*x#+4   DEF

fng(x#)=18*x#−12

  結 果 は,0.6666666716と

な る。

 な お,〔 例 題6〕 の収 束 速 度 が極 め て遅 く,二 分 法 と余 り変 わ らな い 。 そ の 理 由 は,真

の 解 が 重 解 の た め で あ る(図5.10)。

図5.10

図5.11

  ニ ュ ー ト ン法 で 発 散 の 原 因 と な る の は,図5.11の

よ う に,f'(xi)(勾

配)が0

に 近 付 く た め に試 行 点 が 無 限 遠 点 に 飛 ん で し ま う 場 合 と,図5.12の と 次 の 試 行 値xi+1と

が 無 限 ル ー プ に 入 っ て しま う 場 合 で あ る 。 し か し,こ

た 注 意 を 要 す る 点 は,別 ズ 第2巻

よ う に,xi

の 試 行 点 を 選 択 す る こ と で 防 ぐ こ と が で き る(本

う し シ リー

参 照)。

図5.12

問5 

方 程 式xex=1を

ニ ュ ー ト ン 法 で 解 け 。 た だ し,e=10-10と

し,コ

ンピュー タを

用 い よ。

[5]  反復法   方 程 式f(x)=0の

解 を 求 め る と き,こ

れ をx=g(x)と

式 を 変 形 し て,連

立

方程式  y

=x

 y

=g(x)

  (1)  (2)

を 考 え て,f(x)=0の

解 を 式(1),(2)の 交 点 のx座

あ る。 す な わ ち,最

初 の 試 行 値x1よ

れ を 試 行 値 と し て,次

り 出 発 して,近

の 近 似 値xi+1をxi+1=g(xi)で

標 と して 得 よ う と す る手 法 で 似 値xiが

得 ら れ た と き,こ

求 め る方 法 で あ る。 この

方 法 を 反 復 法 と い う。

〔 例 題7〕 y=e-xの2つ

問5の

方 程 式xex=1の

解 を,こ

の 関 数 の 交 点 と して,反

の 式 をx=e-xと

復 法 で 求 め よ(図5.13参

変 形 し て,y=x, 照)。

図5.13

〔 解〕

図5.13の

の 試 行 値x1=1に

よ う に,直

線y=xと

対 し て 図5.14か

曲 線y=e-xが

交 わ っ て い る と き,最

初

ら,

図5.14

 こ のx2の

値 は 図5.14よ

以 下 同 様 に,図5.14か

と な る。 図5.14か

り,明

らか に 真 の 解 α の よ り よ い 近 似 解 と な って い る。

ら,

ら も わ か る よ う に,こ

α に 近 づ い て ゆ く。 収 束 判 定 は￨xi+1−xi￨が

の 数 列x1,x2,x3,…

は しだ い に 真 の解

所 望 の 精 度 に 達 し た と き と し,こ

の と き の 解 を 真 の 解 α の よ り よ い 近 似 解 とす る 。

〔 例 題8〕

〔 例 題7〕 を コ ン ピ ュ ー タを 用 い て 解 け。 な お,初

期 値x1=1,e=10-5

とせ よ。 〔 解 〕n=30と

し た プ ロ グ ラ ム お よ び 計 算 の 結 果 は,プ

ロ グ ラ ム5.5と

な る。

プロ グ ラ ム5.5

計算の結果 .00001

収束 条件e=? 初期値

×1=?1

回 数n=?30

22

  0.5671408176

 な お,一 般 に方 程 式x=f(x)型

の 反 復 法 に お け る収 束 条 件 は解 αの 近 傍 で

 ￨f' (x)￨＜1

 (5.7)

が 成 立 す れ ば よ い 。￨f'(x)￨≧1の 傍 で 式(5.7)が 反 復 法 で は,初 (図5.16),無

と き は 収 束 し な い の で(図5.15),解

成 立 す る よ う に,何

らか の方 法 で式 を変 形 して反 復 法 を用 い る。

期 値 の 取 り方 い か ん に よ っ て 発 散 し た り,他 限 ル ー プ に な っ た りす る こ と が あ る(図5.17)。

の 解 に 収 束 した り こ う し た と き は,

適 当 に 初 期 値 を 選 び 直 す こ と に よ っ て 収 束 す る よ う工 夫 す る 。 〔 例 題8〕 に つ い て み る と,f'(x)=−e-xと と な っ て,式(5.7)を

αの近

な り,区

満 た して い る。

間[0,1]で

−1＜f'(x)＜

の場 合 −e-1

図5.16 図5.15

図5.17

問6 

方 程 式logx=2−xの

解 を 反 復 法 で 解 け 。 な お,e=10-5と

せ よ。

5.2  数値積分法  数 値 積 分 法 の主 目的 は,関 数f(x)の〔 注1〕 不 定 積 分 が 得 られ な い と き と か,得 が た い と きとか,あ

る い は,デ ー タが数 値 表 で しか得 られ な い場 合 に定 積 分 す る

の に用 い られ る。 こ う した 場 合 は,関 数f(x)を このP(x)に

補 間 多項 式P(x)で

置 き換 えて,

積 分 の理 論 を適 用 す る。 こ う した計 算 手 法 を数 値 積 分 法 と い う。

[1]  区分 求積法   図5.20の

よ う に,区

間[a,b]〔

注2〕 をn等

分(n:分

割 数)し,区

間 幅 をhと

し

て 順に   x0(=a),x1,x2,…,xn(=b)

と す る 。 た だ し,f(x)≧0〔注3〕

と し,hは

(5.8)  こ こ で,関

数f(x)とx=aとx=bで

囲 ま れ た 部 分 の 面積Sは,

図5.18

  面積Sは,n個

あ る長 方 形 の底 辺(区 間 幅)を 限 りな く小 さ くす れ ば,斜

分〔 注4〕 の面 積 の総 和〓

線部

の極 限値 と一 致 す る もの と考 え られ る の で,

(5.9) 〔 注1〕√1+x3,e-xの 〔 注2〕

区 間[a,b]を

よ うな 関 数 の不 定 積 分 は普 通 の関 数 で は表 せ な い。 必 ず し も等 間 隔 に分 割 しな くて も式(5.9)が

成 立 す る こ と が知 ら

れ て い る。

〔 注3〕

過 不 足 分 の面 積〓

の部分は小 さ くな り, さ ら に,こ

う した

部分 の面積 の過不足 が相殺 され る可能性 がある。 〔 注4〕

区 間[a,b]に

お い て,f(x)≦0の

と き,面積S=−∫baf(x)dx,ゆ

え に,こ

の

場 合 の面 積 は そ の絶 対 値 で あ る。  こ の 考 え 方 は 式(5.9)か

ら も わ か る よ うに,n→∞

に 対 し てSnは∫baf(x)dx

の 近似 値 を意 味 す るの で,十 分 に大 きい,適 当 なnに 対 してSお

よ びSn両 者 間

の 誤差 を要 求 す る精 度 ま で小 さ く してSの 近 似 値Snを 求 め る こ とが で き る。 こ の 計算 手 法 を区 分 求 積 法 とい う。 〔 例 題9〕2次

関 数y=x2に

等 分 して,式(5.9)を

つ い て,区

間0≦x≦1の

間 の 面 積 を そ の 区 間 をn

用 いて 区 分 求 積 法 で 求 め よ。 な お,定 積 分 に よ る場 合 の 面

積 と比 較 せ よ。

図5.19

〔解 〕

図5.19か

ら,

 ま た,

 こ れ よ り,

問7 

〓と な る 。

3次 関 数y=x3に

つ い て,区

間[0,1]をn等

分 し,式(5.9)を

用 いて区 分求積 せ

よ。 な お,定 積 分 に よ る場 合 の 面 積 と比 較 せ よ。

〔 例 題10〕

関 数y=f(x)つ

い て,区

間[a,b]をn等

て 区 分 求 積 す る と フ ロ グ ラ ム を か け 。 次 に,〔 例 題10〕

分 し て,式(5.9)を

用 い

の 区 分求 積 を コ ン ピ ュ ー

タ で 求 め よ。 〔 解 〕n=10,100,1000,10000の 0.3333333…

場 合 に つ い て 区 分 求 積 を 求 め た が,真

と比 べ て 収 束 速 度 は か な り遅 い 。

の値 の

プロ グ ラ ム5.6

計算例 a,b,n=?0,1,10 .3850001 a,b,n=?0,1,100 .3383496 a,b,n=?0,1,1000 .3338285 a,b,n=?0,1,10000 .3333934

〔 例 題11〕

分 割 数 をn=10000と

よ 。 ま た,そ

して,次 の 定 積 分 を 区 分 求 積 法 に よ って 求 め

の と きの πの値 は小 数 第 何 位 まで 正 しいか。

〔 解 〕DEF fnf=SQR(1−x^2)と b=0.5,n=10000を

し て,プ

ロ グ ラ ム5.6を

入 力 して 区 分 求 積 値0.478302を

利 用 す る 。a=0,

得 る 。 題 意 よ り,

 πに関 す る方 程 式

を π に つ い て 解 い て π=3.14154778866…

 し た が っ て,小

問8 

関 数y=sinxに

∫0πsinxdxを

数 点 以 下 第4位

つ い て,区

…,真

の 値：

π=3.1415926535…

…

ま で正 しい 。

間[0,π]を

分 割 数n=1000と

して,定

区 分 求積法 で 求 め よ。 ま た,定 積 分 を して 結 果を比較 せ よ。

積分

[2]  台形 の公式 による方法   区 分 求 積 法 は,小 さい長 方 形 の総 和 で真 の面 積 の近 似 値 を求 め た。 これ に対 し て 小 さ く作 った 台 形 の 面積 の総 和 で近 似 す る方 法 が台 形 公 式 に よ る方 法,す

なわ

ち台 形 法 で あ る。 この 求積 法 は少 な い分 割 数 で比 較 的 よ い近 似 値 を得 る こ とが で き る。 〔 例 題12〕

図5.20の

(x0,y0),(x1,y1)で

よ う に,関

数y=f(x)上

与 え られ て い る と き,面

の2点A0,A1の 積Sを

座 標が それ ぞ れ

近 似 的 に求 め よ。

図5.20

〔 解 〕2点A0,A1を

通 る 直 線 は,次

の 多 項 式 と し て 得 ら れ る 。 こ れ を1次

のラグ

ラ ン ジ ュの 補 間 多項 式 と い う(本 シ リー ズ第5巻 第3章 参 照)。

(5.10)   こ こ で,式(5.9)とx軸 B1A1)の

面 積S0'を

お よ びx=x0,x=x1と 求 め る。

で 囲 ま れ た 部 分(台

形A0B0

こ の こ と か ら,区

間[x0,x1]に

お け る 近 似 さ れ た 面 積 は,S0≒S0'よ

り,

(5.11)   次 に,台

形 公 式 を 導 いて み よ う。 〔 例 題12〕

よ り,同

様 に,区

間[x1,x2]に

お け る近 似 され た面 積 は,

(5.12)   次 に,図5.21で,区 対 応 してy0,y1,y2，

間 幅hが

等 間 隔 で,順

にx0,x1,x2,…

… ，ynが 与 え ら れ て い る 。 こ の と き,曲

お よ び 直 線x=x0とx=xnと

で 囲 ま れ た 面 積Sを

図5.21

求 め る。

，xnと お き,こ 線y=f(x)とx軸

れに

(5.13) と して,台

形 公 式 を 導 く こ とが で き る 。

〓の値 を台 形 公 式 に よ って 求 め よ。 ま た,台

〔 例 題13〕 の プ ロ グ ラ ム を か き,n=100と 巻 第2章

シ リ ー ズ 第2

参 照)。 〓と お く。n=100と

〔 解 〕 I'と

して コ ン ピ ュ ー タ で 計 算 せ よ(本

形公 式

す る と,a=0,b=1,h=0.01と

  な お,プ

ロ グ ラ ム を 組 む に あ た り,台

し て,Iの

台 形 公 式 に よ る近 似 値 を

して コ ン ピ ュ ー タ を 使 う。

形 公 式(5.13)を

次 の よ うに 式 変 形 を し

て お く。

プ ロ グ ラ ム5.7

計算の結果 ?  0,1,100 a=0

b=1

.785394

 次 に,こ れ を定 積 分 で求 め て比 較 して み よ う。

で あ る。 〔注1〕x=tanθ

と 変 換 す る と,

  こ の 例 で は,n=10で0.7849814,n=50で0.7853815,n=100で0.7853943 と な る の を み る と,比 な み に,n=100の

較 的 分 割 数 が 少 な く て も精 度 の よ い 近 似 値 が 得 ら れ る 。 ち

と きの相 対 誤 差 〔 注2〕 は,

で あ る。 〔 注2〕

有 効 桁 数 を考 え る と きに 用 い る。 許 容 誤 差 をeと

き は,￨x−a￨/￨x￨の

値 とeと の比 較,真

して,真 の値 が わ か っ て い る と

の値 が 不 明 の と き は,￨xk−xk−1￨/￨xk￨の

値 とeと の 比 較 で 判 定 す る。

問9  次 の 式 の 値 を,分 割 数 を100と

して台 形 法 と定 積 分 に よ って求 め,各

々の相 対誤 差

を調 べ よ。 また,分 割 数 が 同 じで も相 対 誤 差 に差 が 現 れ る の は な ぜ か。 (1)

 (2)

[3]  シ ンプソ ンの公 式 による方法   台形 公 式 に よ る求 積 の場 合,曲 線 の下 の面 積 は分 割 数 を適 当 に制御 す る ことで, 精度 の よ い近 似 値 が得 られ る。 しか し,曲 線y=f(x)を で な く,放 物 線 で近 似 す る こ とに よ って,さ

台形公式 で用 いた直線

らに よ い精 度 の近 似 値 が 得 られ る。

そ こで再 び,そ の近 似 関数 を導 く際 に ラ グ ラ ンジ ュ の補 間 多 項 式 を 用 い る こ とに す る。 シ ンプ ソ ンの公 式 を導 く過 程 で,多 少 面 倒 な計 算 が 入 るが,考 え方 は単 純 で あ る。

  図5.22で,3点A0(x0,y0),A1(x1,y1),A2(x2,y2)を 次 補 間 多 項 式 は,式(5.14)で

与 え ら れ る(本

通 る ラ グ ラ ン ジ ュ の2 シ リー ズ 第5巻

第3章

参 照)。

(5.14)  こ こ で,x1−x0=x2−x1=h,x2−x0=2hを

式(5.14)に

代 入 し て,

(5.15)   図5.22で,区

間[a,b]に

お い て 曲 線y=f(x)と

一 致 し て い る も の と考 え て ,式(5.14)をx0か 真 の 面 積Sの

近 似 値S'を

求 め る こ とが で き る。

図5.22

式(5.14)の らx2ま

放 物線 は ほぼ

で 定 積 分 す れ ば,求

め る

 さ ら に,x1−x0=x2−x1=h,x2−x0=2hを

利 用 し な が ら,次

の 計 算 を 進

め る。

個 々 に 整理 す る と,

(5.16)

図5.23

〔例 題14〕

関 数y=1/xで,x=1,x=1.5,x=2に

y=1,y=2/3,y=1/2で

あ る と き,x軸

対 す るyの

お よ びx=1,x=2と

値 が そ れ ぞ れ

で囲 ま れ た 部

分 の面 積 を 求 め よ。 〔解 〕h=0.5,y0=1,y1=2/3，y2=1/2を式(5.16)に

代入 す る。

 な お ， 定 積 分 で 求 め る と,

で,台

形 公 式 で は0.708程

度 で あ る の に 対 して,か

な り近 似 して い る こ と が わ か

る。

〔例 題15〕 

5.23の

関 数y=f(x)上

の(2n+1)個

よ う に 与 え ら れ て い る と き,y=f(x)とx軸

よ って 囲 ま れ た 部 分 の 面 積 を,式(5.16)を よ。

の 点A0,A1,A2,A3，

… ，A2nが

図

お よ びx=x0,x=x2nに

繰 り返 し利 用 す る こ と に よ っ て 求 め

〔 解 〕

い ま,題

意 よ り,区

  同 じ よ う に,区

  以 下,同

間[x0,x2]に

間[x2,x4]に

お い て 囲 ま れ た 面 積 をS1と

お い て 囲 ま れ た 面 積S2は,

様 な 操 作 を 繰 り返 す こ と か ら類 推 して,S3,S4,…,Snを

で き る。 求 め る面 積 をSと

す る と,

す る と,一

求 め る こ とが

般 の シ ン プ ソ ンの 公 式 が 次 の よ う に して 導

か れ る。

(5.17) 〔 例 題16〕

定積分

を シ ン プ ソ ン の 公 式 で 求 め る と き の 流 れ 図 と プ ロ グ ラ ム を か け 。 ま た,こ い てn=100の プ ロ グ ラ ム5.8

場 合 の 結 果 と 〔例 題16〕

の 結 果 と比 較 せ よ。

れ を用

計算の結果 ? 0,.5,100 a=O b=.5n=100 .4783057

図5.24

問10  次 の式 の値 を分 割 数 を100と た,問10と

して シ ン プ ソ ンの 方法 で 求 め,相 対 誤 差 を 調 べ よ 。 ま

比 べ よ。

(1)

(2)

練習問題 1.  二 分 法 に よ っ て,方

程 式3x3-x2-x第4=0の

実 数 解 を 求 め よ 。 な お,e=10-5

とせ よ。 2.  割 線 法 に よ り,方

程 式x3-3x-1=0を

3.  反 復 法 に よ って,方 程 式 4.  方 程 式2x+x-4=0が 法 で 解 け 。 な お,e=10-5,n=50と 5.  区 分 求 積 に よ り,

解 け 。 な お,e=10-5と

せよ。

〓 を 解 け 。 な お,e=10-5,n=50と

反 復 法 が 適 用 で き る よ う に 式 を 変 形 せ よ 。 次 に,こ

せ よ 。

れ を反 復

せ よ。

〓を求 め,定 積 分 の値 と比 較 せ よ。 た だ し,n=100と

せ よ。 6.  台 形 公 式 お よ び シ ン プ ソ ン の 公 式 に よ っ て,次 とせ よ 。

の 定 積 分 の 値 を 求 め よ 。 た だ し,n=10

第6章  確率と統計   この章 で は,確 率 と統 計 につ いて ご く初歩 の 問題 か ら取 り扱 う。 高 校 数 学 の 中 で 確 率 に 関 す る事 項 は,「 数 学Ⅰ 」 の 中 で 個 数 の処 理 と確 率 にお いて 扱 い,「 数 学B」 布 と して取 り扱 う。 統 計 に関 して は,「 数学C」

の中 で確率 分

の中 で 統 計 処 理 にお いて 扱 わ れ て い る。 し

か し,こ れ ら は それ ぞ れ が 分 け られ て お り,統 一 的 に取 り扱 っ た項 目 は な い 。 こ こ で は場 合 の数 か ら始 め て,確 率 の 計 算,資 料 の 整理,確 率 分 布,統 計 処 理 と統 一 的 に 取 り扱 う よ うに す る。

6.1  場 合 の 数   6.1節

で は,自

然 数 に 対 応 す る数 の 列 を 考 え る。

[1]  三 角形,四 角数の列 の表 示   自然 数 の 列1,2,3…

に そ れ ぞ れ1,1+2,1+2+3,…

こ の 自 然 数 の 列 を 三 角 数 と い う。 三 角 数 は,図6.1の べ て 表 す こ と が で き る。 ま た,自 応 さ せ る と き,こ

然 数 の 列1,2,3…

の 自 然 数 の 列 を 四 角 数 と い う。

を 対 応 さ せ る と き, よ うに碁 石 を 三角 形 状 に 並 に そ れ ぞ れ12,22,32…

を対

図6.1

〔 例 題1〕1番

目か らn番 目 ま で の三 角 数 を表 示 し,続

い て,1番

目 か らn番 目

ま で の 三 角 数 の 和 を 表 示 す る プ ロ グ ラ ム を 作 成 せ よ 。 次 に,n=20と

して そ の

値 を 求 め よ。 〔 解 〕 三 角数 は 自然 数 を順 に加 え て 得 られ る。 自然 数iが1か 増 え る 間,変

数sに

つ い て,s=s+iと

ら20ま で1ず

い う代 入 命 令 を 繰 り 返 せ ば,三

角数 が

得 ら れ る。 プ ロ グ ラ ム6.1

計算 の 結果 20 1 3 210 1540

?

6

10

15

21

28

36

45

55

66

78

91

105

120

136

153

問1  1番 目か ら20番 目 まで の 四 角数 の 和 を求 め る プ ロ グ ラム を作 成 せ よ。

171

つ

190

[2]  順 列 ・組 合 せ (1) 

順 列nPrの

〔 例 題2〕n,rの

値 を求 め る

値 を 入 力 して,nPrの

〔 解 〕 変 数sの

初 期 値 を1に

け て,変

値 を 代 入 す る。

数sに

値 を 出 力 す る プ ロ グ ラ ムを 作成 せ よ。

し,sにn−(r−1)か

ら1ず

つ 増 や した 整 数 を か

プ ロ グ ラ ム6.2

計算 例 n=? 10 r=? 4 5040

〔注 〕nP0=1と

定 め る 。r=0の

れ ずs=1を

問2 n!を

(2) 

場 合 に 上 の プ ロ グ ラ ム で はFOR∼NEXT文

得 る 。 こ の 値1がnP0の

値 を表 す 。

表 示 す る プ ロ グ ラ ム を 作 成 せ よ 。 た だ し,n=0の

組 合 せnCrの

〔 例 題3〕n,rの 〔解 〕nPrをr!で

が実行 さ

と き,n!=1と

す る。

値 を求 め る

値 を 入 力 して,nCrの 割 っ た 値 が,求

値 を 出 力 す るプ ロ グ ラ ムを 作 成 せ よ。

め るnCrで

あ る 。 こ こ で は,ncr=1と

この値 に

〓をi=1か

掛 け る と,分

母 はr!,分

子 はnPrに

な る か ら,結

果 はnCrを

用 し てnCrの

値 を 出 力 す る プ ロ グ ラ ムを作 る こと がで き る。

らrま

し て,

での値 を順 に

表 す。 この こ と を利

プ ロ グ ラ ム6.3

計算例 n=?10 r=?4 組 合 わ せ の 値=210

〔注 〕r=0の こ の 値 がnC0を

場 合,上

の プ ロ グ ラ ム のFOR∼NEXT文

が 実 行 さ れ ず,ncr=1を

得 る。

表す。

[3] いろいろな順列 (1)  重 複 順 列  n種

類 の 数 字1,2,3,…,nか

ら同 じ も の を 繰 り 返 し使 う こ と を 許 し て,3個

の数

字 で で き る 順 列 の す べ て を 表 示 す る プ ロ グ ラ ム を 作 成 して み よ う 。   3重 のFOR∼NEXT文 がで き る。 プ ロ グ ラ ム6.4

計算 の結果 略

を 利 用 して,3個

の 数 字 で で き る 順列 を 表 示 す る こ と

問3 

a,b,c,d,eの5文

字 か ら同 じ も の を 繰 り返 し 使 う こ と を 許 し て,3個

と る順 列 の す

べ て を 表 示 す る プ ロ グ ラムを 作 成 せ よ。

(2)  最 短 の 道 す じの 総 数 〔 例 題4〕

図6.2の

ら地 点Qへ

よ う に,街

路 が 碁 盤 の 目 の よ う に な っ た 町 が あ る。 地 点Pか

行 く最 短 の 道 す じは何 通 りあ る か を求 め る プ ロ グ ラム を作 成 せ よ。

図6.2

〔 解〕

右 に1区

画 進 む こ と を1,上

6.2の 道 す じ は,1,2,1,1,2,2,1の た が っ て,最

に,IF∼THEN文

の1と3個

表 せ ば,例

の2の

え ば,図

順 列 で あ る。 し

の 順列 の 総 数 で あ る。

利 用 し て,求

め る順 列 で あ る もの だ け を表 示 す る よ う

を 用 い る。 求 め る 順 列 で あ る か ど う か は,7つ

あ る こ とに よ って判 断 で きる。

プ ロ グ ラ ム6.5

画 進 む こ と を2で

よ う に4個

短 の 道 す じの 総 数 は,こ

  7重 のFOR∼NEXTを

積 が8で

に1区

の文字 変数 の

計算 の結果 略

〓に等 しい こ とを 確 か め よ。

問4  上 の プ ロ グ ラ ムか ら最 短 の道 す じの総 数 が

(3)  無 記 名 投 票 の票 の分 か れ方 〔 例 題5〕a,b,c3人

の 立 候 補 者 に10人 が 無 記 名投 票 す る。 この と き の 票 の 分 か

れ方 を す べ て表 示 し,全 部 で何 通 りあ るか を求 め る プ ロ グ ラ ム を作 成 せ よ。 〔 解 〕a,b,c3人

に 対 す る10人

の 無 記 名 投 票 は,a,b,cか

個 と る組 合 せ で あ る。10重 のFOR∼NEXTを るが,こ

ら繰 り返 し を 許 し て10

利 用 す れ ば 解 決 で き る と思 わ れ

こで は次 の方 法 を と る。

  a,b,cに

投 票 す る 人 数 を,そ

y≧0,z≧0か 3重 のFOR∼NEXT文 得 ら れ る。 プ ロ グ ラ ム6.6

れ ぞ れx,y,z(人)と

つx+y+z=10で を 利 用 し,条

す る 。 こ の と き,x≧0,

あ る。 こ の 考 察 に よ り,x,y,zに 件 に 適 す るx,y,zを

つ いて の

表 示 す る プ ロ グ ラ ムが

計算 の結果  略 問5 x,y,zを

自 然 数 と す る と き,x+y+z=15を

満 た す 整 数 の 組(x,y,z)を

すべ て

表 示 し,全 部 で何 通 りあ るか を求 め る プ ロ グ ラ ムを 作 成 せ よ。

6.2  確 率の計算 [1]  確率 とそ の基本法 則 (1)  確 率 の基 本 法 則  大 小2つ の サ イ コ ロを振 る とい う試 行 に お け る全 事 象 を表 示 し,全 事 象 を 集 合 とみ た とき の要 素 の個 数 を 求 め る プ ロ グ ラ ムを作 成 して み よ う。  次 の プ ロ グ ラム は,全 事 象 と全 事 象 の 要 素 の 個 数 を 表 示 す るプ ログ ラムであ る。 プ ロ グ ラ ム6.7

計算結果 略

問6  大 小2つ

の サ イ コ ロ を振 る試 行 に お いて,大

小 さ い サ イ コ ロ の 目 が1で あ る事 象 をBと

きい サ イ コ ロの 目が1で

す る と き,A∪Bの

あ る事 象 をA,

すべてを表示す るプロ グラ

ムを作 成 せ よ。

問7  大 小2つ

の サ イ コ ロを 同時 に振 る と き,1の

目が で な い事 象 の す べ て を 表 示 し,引

き続 い て,そ れ らの事 象 の総 数 を表 示 す る プ ロ グ ラ ムを 作 成 せ よ。

(2)  サ イ コ ロ振 りの 疑 似 実 験   RND関

数 とINT関

数 を 利 用 し て,1か

ら6ま

イ コ ロ を 実 際 に 続 け て 振 っ た と 同 じ よ う に,1か

で の 目 を 発 生 さ せ て,1つ ら6ま

のサ

で の 目を発 生 さ せ る プ ロ

グ ラ ム を 作 る こ と が で き る。 こ の よ う な 疑 似 実 験 を シ ミ ュ レー シ ョ ン と い う。   RND関

数 は 乱 数 を 発 生 さ せ る関 数 で あ る が,そ

  サ ブ ル ー チ ンMACHI:は,表 れ ば,待

ち 時 間 は 短 く,処

プ ロ グ ラ ム6.8

の 値 は0以

上1未

示 時 間 の 調 整 の 役 目 を も つ 。2000よ 理 が 早 く な り,2000よ

満 で あ る。 り 小 さ くす

り 大 き くす れ ば 遅 く な る 。

計 算 結 果   略  サ イ コ ロの 目 が次 々 に表 示 さ れ る。 〔注 〕ON∼GOSUBは,複

〔 例 題6〕

プ ロ グ ラ ム6.8の

数 の サ ブ ル ー チ ン を もつ プ ロ グ ラ ム の 分 岐 に 用 い る。

サ イ コ ロ 振 り の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に お い て,サ

イ コ ロ を50回

振 った と き,各 目 の で る回 数 を配 列 変 数 に代 入 して,そ れ らの 回 数 を 表 示 す る プ ロ グ ラ ム を作 成 せ よ。 〔 解 〕RND文

に よ って発 生 す る乱 数 の 種 を時 間(秒)ご

MIZE(VAL(RIGHT$(TIME$,2)))で プ ロ グ ラ ム6.9

あ る。

と に変 え る コマ ン ドがRANDO

計 算例 回数 を決 め て下さ い?200 1の 目の でる回数 37

2の目の で る回数   32 3の 目の で る回数   31 4の 目の で る回数  30 5の 目 の で る回数  

32

6の 目の で る回数   38

〔 注 〕3行

目の 「OPTION

BASE

す る。 配 列 の基 底 要 素 が"0"の BASE文

1」 は配 列 の基 底 要 素 が"1"で,1番 と き は,0番

」 を省 略 した と き は基 底 要 素 は"0"と

問8  大 小2つ

か ら6番

か ら6番 ま で 確 保

ま で が 確 保 さ れ る 。 「OPTION

して 扱 わ れ る。

の サ イ コ ロを 振 る疑 似 実 験 にお いて,各

目の で る回 数 を 表 示 す る プ ロ グ ラ

ム を作 成 せ よ。

[2]  反 復試 行 とその確率 (1)  反 復 試 行 と その 確 率 〔 例 題7〕1枚

の硬 貨 を続 けて5回 投 げ る反 復 試 行 の 全 事 象 を 表 示 す る プ ロ グ ラ

ム を作 成 せ よ。 〔 解 〕 表 を ○,裏 を × で 表 す 。 プ ロ グ ラ ム6.10

計算の結果  略 問9 

〔 例 題7〕 の 表 示 を 利 用 して,1枚

(裏が2回)で

の 硬 貨 を5回 投 げ る反 復 試 行 に お い て,表

る場 合 の 数 が5C3に 等 しい こ とを 確 か め よ。 ま た,1枚

の 硬 貨 を5回

が3回 投 げて

表 が3回 で る確 率 を 求 め よ。

問10  1枚 の硬 貨 を5回 投 げ て,そ の うちr(回)が

表,5−r(回)が

裏で ある事象 を すべ

て 表示 す る プ ロ グ ラ ム を作 成 せ よ。

問11 

サ イ コ ロ を6回

振 る と き1の

目 がr(回)で

る 確 率 を,rの

値 が0,1,2,3,4,5,6で

あ

る場 合 に つ い て そ れ ぞ れ求 め よ。

(2)  ジ ャ ンケ ンの確 率 〔 例 題8〕A,B2人

が3回

ジ ャ ン ケ ンを す る と き,Aが2回

勝つ確 率 を求 め る プ

ロ グ ラ ム を作 成 せ よ。 〔 解 〕 反 復 試 行 の 確 率nCrpr(1−p)n−rを

用 い る。

プ ロ グ ラ ム6.11

計算の結果 3回

問12  A,B,C3人

の ジ ャ ン ケ ン で2回

作 成 せ よ。

が5回

勝つ

確 率=.2222222

ジ ャ ン ケ ン を す る と き,Aが2回

勝つ 確 率 を 求 め る プ ロ グ ラ ム を

[3]  いろ いろな確率 (1)  優 勝 す る確 率 〔例 題9〕A,Bの2チ

ー ム が ゲ ー ム を 行 い,先

る。1戦 ご との勝 つ確 率,負

に4勝

け る確 率 は と もに1/2で

し た ほ うが 優 勝 チ ー ム と な

あ ると き,Aが

優 勝 す る確

率 を求 め る プ ロ グ ラ ムを作 成 せ よ。 〔 解 〕 優 勝 す る の は,4勝0敗(3戦

ま で に3勝0敗

下 同 様 に 考 え て),4勝1敗,4勝2敗,4勝3敗 て,そ

し,4戦

目 に 勝 つ 場 合,以

の いず れ か の場 合 で あ る。 そ し

れ ぞ れ の 確 率 は,

で あ り,各 事 象 は互 い に排 反 で あ るか ら,こ れ らの 確 率 の 和 がAチ す る確 率 で あ る 。 プ ロ グ ラ ム6.12に れ3C3,4C3,5C3,6C3を

ー ムの優勝

お い て,C(0),C(1),C(2),C(3)は,そ

れぞ

表 して い る。

プ ロ グ ラ ム6.12

計算の結果 Aチ

問13 

ー ム が 優 勝 す る 確 率=.5

〔例 題9〕

に お い て,1戦

にAチ

ー ム の 勝 つ 確 率 が0.6で

あ る と す る と,Aチー

優 勝 す る確 率 は ど うな るか 。 ただ し,引 き分 け は な い もの とす る。 この と きAチ 勝 す る確 率 を プ ログ ラム6.12を

改 訂 して求 め よ。

ムが

ー ムが優

(2)  誕 生 日の 重 な る 確 率   何 人 か の 中 に 誕 生 日(月 と 日)の 同 じ人 が い る確 率 を考 え よ う。1年 を365日 と して,あ

る 日が 誕生 日で あ る確 率 は,ど の 日 も同様 に確 か ら しい とす る。

  この 前提 で,何 人 か の人 が い る と き,「 誕生 日が重 な る人 が い る」 こ と は,「 全 員 の 誕生 日が異 な る」 こ との余 事 象 で あ るか ら,「少 な く と も2人 が 同 じ誕 生 日 で あ る確 率 」=1− 〔例題10〕 n(人)の

「全員 の 誕 生 日が 異 な る確 率 」 に よ って得 られ る。 中 で 少 な くと も2人 が 同 じ誕 生 日 で あ る確 率 を 求 め る プ ロ

グ ラム を作 成 せ よ。

〔 解 〕 求 め る確 率 は,

〓で あ る。

プ ロ グ ラ ム6.13

計 算例 人 数?  40 同 じ 誕 生

問14 

日 の 人 が い る 確 率=.8912318

上 の プ ロ グ ラ ム に お い て,n=10,15,25の

問15  〔 例 題10〕 の確 率 が90%を

場 合 の 確 率 を そ れ ぞ れ 求 め よ。

超 え る の は,人 数 が 何人 以 上 の と きで あ るか 。 そ の と き

の人 数 を求 め る プ ロ グ ラ ムを 作 成 して答 え よ。

6.3  資料の整理 [1]  平均 を求める  あ る ク ラス で数 学 の テ ス トが 行 わ れ た 。 この 数 学 の テ ス トの平 均 を求 め る プ ロ グラ ムを作成しよう。  テ ス トを受 け た人 数 は10人,点

数 は下 の よ う に得 られ た とす る。

47,49,55,42,27,82,63,14,95,35  こ の ク ラ ス の 数 学 の テ ス トの 平 均 は,次 〔注 〕

こ の 項 は,本

〔 例 題11〕

シ リー ズ 第2巻

の プ ロ グ ラ ム6.14で

で 扱 っ て い る が,こ

求 め ら れ る。

こで再 度 扱 うこ と にす る。

上 の数 学 の テ ス トの 平均 を求 め よ。 た だ し,点 数 をREAD∼DATA

文 を 用 い て配 列 変 数 に入 力 せ よ。 〔 解 〕DATA文 プ ロ グ ラ ム6.14

は プ ロ グ ラ ムの ど こ にお い て もよ い。

計 算例 人 数  ?  10 平 均=50.9

[2]  度数分 布の作 成 (1)  大 き さ の 順 に 並 び 換 え る  デ ー タを大 きさ の順 に 並 び換 え る。 大 き さの 順 に並 び 替 え る こ と を ソー トす る と い う。

 20人 の生 徒 の身 長 が,  160,155,167,160,158,167,179,165,171,163  161,169,182,162,165,152,153,176,171,156

の よ うな ク ラ スが あ る。

〔 例 題12〕

上 の デ ー タ を 入 力 し,す

べ て の デ ー タ を大 き さ の順 に 並 び 替 え て 出

力 す る プ ロ グ ラ ムを 作成 せ よ。 〔 解 〕20個

の デ ー タ がsi(1)か

らsi(20)ま

で の配 列 変 数 に格 納 さ れ て い る と し

よ う。 こ の デ ー タ を 大 き い順 に 並 び 替 え る に は,次  20個 の デ ー タ の 最 大 値 をsi(1)に

の よ う な 手 順 が 考 え られ る。

格 納 す る。

  残 り の19個

の デ ー タ の 最 大 値 をsi(2)に

格 納 す る。

  残 り の18個

の デ ー タ の 最 大 値 をsi(3)に

格 納 す る。

の デ ー タ の 最 大 値 をsi(19)に

格 納 す る。

  残 り の2個

 この 手 順 を プ ロ グ ラ ム で 実 現 す る に は,SWAP文 プ ロ グ ラ ム6.15

が 有 効 で あ る。

計 算例 人 数?20  182  179  176  171  171  169  167  167  165  165  163  162  161  160  160  158  156  155  153  152

問16  20人 の生 徒 の身 長(単 位cm)が

の よ う な ク ラ ス が あ る。 こ の デ ー タ を 入 力 して,大

(2)度

き さ の 順 に ソ ー トせ よ 。

数 を数 え る

下 の数 値 は,生 徒 数 が40人 の ク ラ スの 数学 の テ ス トの点 数 を表 して い る。

  こ の テ ス トの 点 数 を10点

刻 み の 階 級 と して 度 数 を 数 え る プ ロ グ ラ ム を 作 成 し

よ う。   ま ず,点 は,dos(k)に

数 を 配 列 変 数t(40)に ，k×10点

読 み 込 む 。 次 に,10点

以 上,(k+1)×10点

  カ ウ ン トの 方 法 は い ろ い ろ あ る が,点 い と き,dos(k)に1を

〔 例 題13〕

る。

未 満 の 点 数 を カ ウ ン トす る 。

数 を10で

割 っ た 商(整

数)がkに

等 し

加 え る 方 法 で 数 え る こ と が で き る。

上 の 数 学 の テ ス トの10点

〔 解 〕 k=0,1,2,3,…,9に

刻 みの度数 を数 え るに

刻 み の度 数 を数 え る プ ロ グ ラムを 作 成 せ よ。

つ い て,dos(k)=dos(k)+1に

よ って度 数 を数 え

プ ロ グ ラ ム6.16

計算 例 人 数  ?  40 90 − 80 − 70 − 60 − 50 − 40 −

30 − 20 − 10 − 0 −

1  2

4 9 9 10

3 1 1 0

〔 注〕   a¥bは,aをbで

割 った商(整 数)を 表 す 。

問17  〔 例題13〕 の 度 数 を ヒス トグ ラ ム に表 す プ ロ グ ラ ムを 作 成 せ よ。

[3]  散 布度 を求め る  散 らば りの程 度 を比 較 す るの に,平 均 か らの偏 差 の平 方 の 平 均 の平 方 根 を用 い る こ とが あ る。 平 均 か らの 偏 差 の 平 方 の平 均 を分 散,分 散 の平 方 根 を標 準 偏 差 と い う。

 一 般 に

,n(個)の

デ ー タx1,x2,x3,…,xnの

平 均 をxと

す る と,分

散s2は

(6.1)   分 散s2を

求 め る 式(6.1)は,

(6.2) と変 形 で き る 。

〔 例 題14〕  〔 例 題13〕 で 扱 った 数 学 の テ ス トの標 準 偏 差 を 求 め よ。 〔 解〕   分 散 の 平 方 根 を 求 め る 。 分 散s2は プ ロ グ ラ ム6.17

式(6.2)を

利 用 す る。

計算 例 人 数?40 標 準 偏 差  15.93769

問18  例 題12で

扱 った20人

の身 長 の標 準 偏 差 を 求 め よ。

[4]  相関 と相 関係数  10名 の生 徒 の数 学 と理 科 の小 テ ス トの 点 数 が,次 の よ う に得 られ た。   数 学:6,4,5,5,2,7,8,7,10,6   理 科:7,5,5,8,4,6,8,9,10,8

  数 学,理

科 の 平 均 点 は そ れ ぞ れ5.4,6.2で

 こ こで,図6.3の

あ っ た。

よ う に 理 科 の 点 数 を 縦 軸 に,数

学 の 点 数 を 横 軸 に と り,そ

ぞれ の特 点 を 座 標 平 面 上 に点 で記 入 す る。 例 え ば,数 学 が6点,理

れ

科 が7点 で あ

る こ と を1点(6,7)と

記す。

 図6.3の

の 変量 の組 を座 標 平 面 上 の点 で 表 した もの を相 関 図 と い

よ うに,2つ

う。

図6.3

 x

 点 の分 布 が 右 上 が りの場 合,数 学 の点 数 が 増 加 す る と理 科 の点 数 も増 加 す る傾 向 が あ る。 この場 合,2つ

の 変 量 に は正 の相 関 が あ る と い う。 これ に対 して,点

の分 布 が右 下 が りの場 合,数 学 の点 数 が増 加 す る と理 科 の 点数 は減 少 す る傾 向 が あ る。 この場 合,2つ

の変 量 に は負 の相 関 が あ る とい う。

 相 関 関係 の度 合 い を数 値 で 表 す。 ,yをn(個)の

変 量 の そ れ ぞ れ の 平 均 と して,相

関 図 を2直

線x=x,y=yで

4つ の 領 域 に 分 け る 。   変 量 の 組(xk，yk)に

つ い て,

を 用 い て,pk=(xk−x)(yk−y)と

お く と,点P(xk，yk)が

領 域 に あ る と き は,pk＞0,点P(xk，yk)が

②,④

図6.4の

①,③

の

の 領 域 に あ る と き は,pk＜0

で あ る。

図6.4

 こ こ で,資

料 全 体 に つ い て,pkの

総 和 の平 均

(6.3) を 求 め る。 この 値 は正 の 相 関 が あ る場 合 は正 の大 き な値 にな り,負 の 相 関 が あ る 場 合 は負 で 絶 対 値 が 大 きな 値 に な る。

 ま た,式(6.3)が

異 な る単 位 の 変 量 に つ い て も比 較 で き る よ う に ,偏

ぞれ の 標 準 偏 差sx,syで

差 をそれ

〓の総和 の平均

割 った値

(6.4) を2つ の 変 量 の 相 関係 数 とい う。   式(6.3)は,

(6.5)  よ っ て,相

関 係 数 は,式(6.5)を

それ ぞ れ の 標 準 偏 差 で割 って得 られ る

。

〔 例 題15〕  この項 の は じめ に取 り上 げ た数 学 と 理 科 の 小 テ ス トの 相 関 係 数 を 求 め るプ ロ グ ラム を作 成 せ よ。 〔 解 〕 2つ の 変 量 の 平 均 を そ れ ぞ れmx,my,分 の 値 をssxyと

お く。

プ ロ グ ラ ム6.18

散 を そ れ ぞ れssx,ssy,式(6

.5)

計算 例 人 数 ? 10 相 関 係 数.8273402

問19  次 の10人

の体 重 と身 長 の相 関係 数 を求 め る プ ロ グ ラム を作 成 せ よ。

体重

  60,55,56,67,50,47,65,59,51,58

身長

 169,167,165,177,161,157,177,172,162,163

6.4  確 率 分 布 [1]  確 率分布  一 般 に

,確

率 変 数Xの

取 り 得 る 値 をx1,x2,x3,…,xnと

確 率 を そ れ ぞ れp1,p2,p3,…,pnと

 P(X=xk)=pk

と表 す。 この よ うに,Xの

し,そ

れ らの値 を と る

す る と き,   (k=1,2,3,…,n)

そ れ ぞ れ の値 を と る確 率 を 示 した もの を,確 率 変 数X

の確 率 分 布 と い う。 問20  2つ のサ イ コ ロ を 同時 に振 る と き,出 る 目の 数 の 和Xの

確率分布を示せ。

(1)  確 率 変 数 の平 均 値 と分 散  確 率 変 数Xの

確 率 分 布 が,表6.1の

よ う に与 え られ て い る とき, 表6.1

をXの

平 均 値 あ るい は期 待 値 とい い,E(X)で

 ま た,

をXの

(X−m)2 の平均 値

E(X)=m と し て,

分 散 と い い,V(X)で

表す。

表 す。

 ま た,分 散 の正 の平 方 根 をXの

標 準 偏 差 とい い,D(X)で

表 す 。 す な わ ち,

で あ る。

 確 率 変 数X,Yに   a,bを

つ いて,次 の 性質 が成 り立 つ。

定 数 とす る と き,

(6.6) (6.7) (6.8) (6.9)  上 の 性 質 を 用 い る と,

(6.10)  した が っ て,

(6.11) を 得 る。

〔 例 題16〕3つ

の サ イ コ ロを 同 時 に振 る と きの 出 る 目 の数 の合 計 の期 待 値 を求 め

よ。

〔 解 〕3重

のFOＲ

∼NEXT文

を 用 い て,3つ

の サ イ コ ロ の 目 を表 す。

プ ロ グ ラ ム6.19

計 算の結果 略

(2)  二 項 分 布 の 平 均 と標 準偏 差  1つ の サ イ コ ロ を 続 け て10回

振 る と き,1の

目 がr(回)出

る確 率 は

で あ る。

 一 般 に ,事 象Aの お い て,事 象Aが 布は

起 こ る確 率 がpで 起 こ る回数 をXと

あ る試 行 を独 立 にn(回)繰 す る と,Xは

り返 す 試 行 に

確 率 変 数 で あ り,Xの

確 率分

で あ る。   上 の 式 で 表 さ れ る よ う な 確 率 分 布 を 二 項 分 布 と い い,B(n,p)で 確 率 変 数Xの

確 率 分 布 がB(n,p)で

あ る と き,Xは

表 す 。 ま た,

二 項 分 布B(n,p)に

従 う とい

う。

〔 例 題17〕  B(n,p)の

平 均 と標 準 偏 差 を求 め る プ ロ グ ラムを 作 成 せ よ。

〔 解 〕 初 め に,nCrの

値,す

なわ ち二 項 係 数 を求 め る こ とを 考 え よ う。

  パ ス カ ル の 三 角 形 の 頂 点 の 係 数 はC(0,0)=1,nが1の =1,C(1,1)=1,nが2の

段 の 係 数 は,C(2,0)=1,C(2,1)=C(1,0)+

C(1,1),C(2,2)=1で

 一 般 に

,nの

段 の 係 数 はC(1,0)

得 ら れ る。

段 の 両 端 の 係 数 はC(n,0)=1,C(n,n)=1で

によ って得 られ る。 プ ロ グ ラ ム6.20

あ り,各

〓の 平 均 で あ る。

係 数 は,

計算例 n=?

30

p=?

．4

平 均 値

分

=12.00

散=7.20

標 準 偏 差=2.68

問21  〔 例 題17〕 の プ ロ グ ラム を利 用 して,硬 貨 を50回 投 げ て,表 の 出 る 回 数Xの

平 均,

分 散,標 準 偏 差 を求 め よ。

  1回 の試 行 で事 象Aの 象Aが

起 こ る回数Xの

起 こる確 率 がpで あ る試 行 をn(回)繰 確 率 分 布 につ い て,   V(X)=np(1−p)

  E(X)=np, が 成 り立 つ 。 ま た,標

問22 

〔 例 題17〕

り返 す と き,事

準 偏 差 を σ(X)と

の プ ロ グ ラ ム に,上

偏 差 σ(X)=√V(X)を

す る と,σ(X)=√V(X)で

の 平 均E(X)=np,分

あ る。

散V(X)=np(1−p),標

準

表 示 させ るプ ロ グ ラ ムを加 え て,〔 例 題17〕 で算 出 した 値 と一 致

す るこ とを 確 かめ よ。

(3)  正 規 分 布   あ る範 囲 の す べ て の(実)数

値 を と るよ うな確 率 変 数 を連 続 的 な 確 率 変 数 と い

う。 これ に対 して,こ れ まで扱 って きた もの の個 数 や起 こ った回数 な どの よ うに, とび とび の値 を と る確 率 変 数 を離 散 的 な 確 率 変 数 と い う。   あ る試行 をn(回)繰

り返 して得 た連 続 的 な変 数Xの

値 の 相 対 度 数 分 布 を,階

級 の 幅 を小 さ くしな が ら ヒス トグ ラム に表 し続 け る と,あ る一 定 の曲 線 に近 づ い て い く。 この 曲線 をXの

分 布 曲 線 と い う。

 一 般 に,連 続 的 な確 率 変 数Xの f(x)を

分 布 曲 線 が,y=f(x)で

表 され る と き,関

数

確 率密 度 関数 とい う。

  同一 試 行 を繰 り返 して得 られ る結 果 な ど の よ うに,多 数 の資 料 につ いて,そ の 分 布 を調 べ て み る と,左 右 対 称 で あ る山 型 の グ ラ フを もつ分 布 で 近 似 され る こ と が 多 い。

 この分 布 の確 率 密 度 関 数 は,

で 表 さ れ,y=f(x)の

グ ラ フは正 規 分 布 曲 線 と呼 ば れ る。

〔 例 題18〕  σ,mの 値 を 入 力 して,正 規 分 布 曲 線 を描 く プ ロ グ ラム を作 成 せ よ 。 〔 解 〕 WINDOW上 プ ロ グ ラ ム6.21

に定 義 した 関数 の グ ラ フを描 く。

図6.5

問23  二 項 分 布 を ヒス トグ ラム表 示 し,そ の画 面 に正 規 分 布 曲線 を加 え る プ ロ グ ラ ム を 作 成 せ よ。

[2] 母集団分布と標本分布   大 き さNの と し,そ

あ る母 集 団 に お い て,変

れ ら の 値 を と る 度 数 を,そ

 この母 集 団 か ら1つ の変 量Xを をpkと

量Xが

と る 異 な る 値 をx1,x2,x3,…,xN

れ ぞ れf1,f2,f3,…,fNと

取 り出 した と き,Xがxkと

す る。

い う値 を と る確 率

す る と,

(6.12) で あ る。

  したが って,こ のXは 量Xの

確 率変 数 で あ り,式(6.12)で

与 え られ た確 率 分 布 を 変

母 集 団 分 布 と い う。 ま た,母 集 団 分 布 の平 均 値,分

ぞれ,母 平 均(m),母

分 散(σ2),母

散,標

準 偏差 を それ

標 準 偏 差(σ)で 表 す 。

  あ る変 量 か らな る1つ の母 集 団 か ら,大 き さnの 標 本 を 復 元 抽 出 す る試 行 にお いて,こ れ らのn(個)の あ る。

値 は取 り出す た び に決 ま るか ら,そ れ ぞ れ 確 率 変 数 で

 こ れ ら をX1,X2,X3,…,Xnで

を標 本 平 均 と い う。Xは

表 す と き,

大 きさnの 標 本 を 抽 出 す る とい う試 行 ご と に定 ま る確

率変 数 で あ る。   大 き さnの

標 本(X1,X2,X3,…,Xn)を

り 出 す と い う試 行 をn(回)続 Xnは,そ

れ ぞ れ 毎 回1つ

復 元 抽 出 す る 試 行 は,1個

の標 本 を 取

け て 行 う独 立 反 復 試 行 で あ る。ま た,X1,X2,X3,…,

ず つ 母 集 団 か ら復 元 抽 出 し て い る か ら,そ

れぞ れの確

率 変 数 は 母 集 団 と 同 じ確 率 分 布 を も つ 。

 一 般 に,母 平 均m,母 と き,標 本 平 均Xの

 平均

標 準 偏 差 σの 母 集 団 か ら大 きさnの 標 本 を復 元 抽 出 す る

平 均 と標 準偏 差 は

〓標準偏差

で 得 られ る。

(1)  母 平 均 の推 定  nが 十 分 大 き けれ ば標 本 平 均Xの

と な るkの

 こ こで,不

分 布 は,正 規 分 布 で近 似 で き る。 この と き,

値 を 正 規 分 布 表 を 用 い て 求 め る と,k=1.96〔注〕

等式

を 得 る。

〓は,

(6.13) と変 形 で き る か ら,

(6.14) を 得 る。

  式(6.14)は,標

わ ち,Xの1つ

本 の95%が

満 た して い る こ と を 意 味 す る 。 す な

の値xが 得 られ た と き,母 平 均mが

の 中 に あ る と推 定 す る と,信

 この 区 間 を信 頼 度95%の  信 頼 度99%の

式(6.13)を

頼 性 は95%で

区間

あ る と い え る。

 を 信頼 区間 の 幅 とい う。

信 頼 区 間 とい い,

と き も同様 に して,そ の信 頼 区間 は,

で あ る。 〔注 〕 式(6.13)の

度99%の

σ係 数k=1.96は

と き も σの係 数 は3に

通 常 は2に

く り上 げ て 用 い ら れ る こ と が 多 い 。 信 頼

く り上 げ て用 い る こ とが あ る。

問24  あ る工 場 で 生 産 され て い る電 球 の 中 か ら無 作 為抽 出 で100個 均 値 と標 準 偏 差 を 調 べ た と ころ,そ れ ぞ れ2000時 度95%で

間,130時

を選 び,有

効 時 間 の平

間 で あ った。 この電 球 の 信 頼

の平 均 有 効 時 間 を 推定 せ よ。

(2)  母 比 率 の 推 定   母 集 団 に お い て,性 質Aを 質Aを

もつ 要 素 全 体 に対 す る割 合 をpと す る と き,pを

もつ もの の母 比 率 と い う。 標 本 比 率p'と

  標 本 比 率p'か

性

の関 係 につ いて 考 え よ う。

ら母 比 率pの 推 定 につ い て は,標 本 平 均 か ら母 平 均 を 推 定 す る

の と同様 な考 察 に よ って,次 の こ とが 成 り立 つ 。   大 き さnの 標 本 の標 本 比 率 をp'と す る と,母 比 率pの 信 頼 度95%の は,

で あ る。

信頼 区 間

 同 様 に して,信 頼 度99%の

信頼区間は

で あ る。

問25  あ る企 業 の虫 歯 の検 査 で 虫 歯 が ない 者 の 割 合pを 推 定 す るの に,任

意 の100人

ん で 虫 歯 の ない 者 の 人 数 を調 べ た ら9人 で あ った とい う。pに 対 す る信 頼 度95%の

を選

信頼 区

間 を求 め よ。

練習問題 1. 1番 目か ら20番 目 ま で の三 角 数 を表 示 し,続 い て1番

目 か ら20番

目ま での三 角数 の

和 を表 示 す る プ ロ グ ラ ム を作 成 せ よ。 2. a,b,c,d,eの5文

字 か ら,異

な る3文

字 を 選 ん で 作 る組 合 せ の す べ て を 表 示 す る プ ロ

グ ラム を作 成 せ よ。 3.  大 小2つ

の サ イ コ ロ を 振 る 試 行 に お い て,大

き い サ イ コ ロ の 目 が1で,か

つ小 さいサ

イ コロ の 目 が1で あ る事 象 のす べ て を表 示 す る プ ロ グ ラム を作 成 せ よ。 4.  1枚 の硬 貨 を5回 投 げ る と い う反 復 試 行 にお いて,3回

表 が 出 る確 率 を 求 め る プ ロ グ ラ

ム を作 成 せ よ。 5.  1枚 の硬 貨 を5回 投 げ る と い う反 復 試 行 にお いて,r(回)表

が 出 る確 率 を 求 め る プ ロ

グ ラム を作 成 せ よ。 6. nの 値 とrの 値 を入 力 して,nCrの プ ロ グ ラ ム を 用 い て,16C7の

値 を 出力 す る プ ロ グ ラ ム を 作 成 せ よ 。 ま た,そ

値 を求 め よ。

の

第7章  いろいろな曲線   この 章 で は,こ れ ま で学 習 を して きたy=f(x)型

の グ ラ フを 描 い た り,こ

れ か ら新 し

く学 習 を す る2次 曲線,媒 介 変 数 表 示 に よ る曲線,極 形 式 に よ る曲線 等 に つ い て,例

題を

中 心 に して,そ の グ ラ フを描 く学 習 を す る。   なお,グ

ラ フ は場 合 に よ って は,直 接,定 義 よ り作 図 した り,関 数 電 卓 で 計 算 し た結 果

を プ ロ ッ ト した り,ま た,BASICの

プ ロ グ ラム に よ って コ ン ピ ュ ー タ で 曲 線 の グ ラ フ を

描 い た りす る こ とに す る。

7.1  関 数y=f(x)型

の曲線のグ ラフ

  い ま ま で は 微 分 法 な ど を 用 い て,関

数 の 増 減 や 極 値,漸

近 線 等 を調 べ て グ ラ フ

を 描 い て き た 。 そ れ を コ ン ピ ュ ー タ を 使 用 す る こ と に よ っ て,す 見 や す く,か

つ,き

ば や く 正 確 に,

れ い に 画 面 に 表 示 さ せ る こ と が で き る。 更 に,単

重 労 働 か ら も一 気 に 解 放 さ れ る 。 ま た,こ 具 体 的 に 把 握 す る こ と が で き る し,ま

調な計算の

の方 法 に よ って 関 数 の 微 妙 な 変 化 等 を

た,い

ま まで の 方 法 で 描 い た グ ラ フ の チ ェ ッ

ク に も 使 え る。

〔 例 題1〕  関数

に つ い て,x=−8か

で グ ラ フ を コ ン ピ ュ ー タ で か い て み よ。

らx=8ま

で,刻

み 幅=0.01

〔 解 〕 考 え 方 と して は,x=−8か の 値 を 逐 一 計 算 し,計 算 さ れ たx,yを め,そ

ら0.01ず

つxを

増 や し な が ら,そ

の 都 度y

ペ ア と し て そ れ ぞ れ の 座 標 点(x,y)を

求

れ ら を プ ロ ッ ト し て い く。

  つ ま り,こ

の 処 理 の 一 切 を コ ン ピ ュ ー タ に 代 行 さ せ る わ け で あ る 。 こ の 結 果 は,

プ ロ グ ラ ム7.1〔注〕,図7.1と み 幅=0.01"と

な る 。 な お,今

後,"x=−8か

い う 表 現 は,"−8≦x≦8(Δx=0.01)"と

らx=8ま

表 す こ とに す る。

プ ロ グ ラ ム7.1

図7.1

〔注 〕  wx=8:wy=5は,wx:wy=600:400=8:5で

で,刻

標 準 値 で あ る。

〔 例題2〕  次 の 関数

−3π ≦x≦3π(Δx=0.01)の

〔 解 〕  プ ロ グ ラ ム7.2に をPAI=3.14159と

後 は,関 7.2と

目 でPAI(ラ

x=−3＊pai

用 い て か き替 え る。 す な わ ち, TO

3＊pai

STEP

0.01

数 値 の 計 算 式 を 挿 入 す れ ば よ い 。 結 果 は プ ロ グ ラ ム7.2,グ

な る。

プ ロ グ ラ ム7.2

ジ ア ン)

した。

目 をPAIを

  FOR

お い て,π が 直 接 使 え な い の で2行

して定 義 す る。

 ま た,WX=8,WY=5と

  次 に,3行

グ ラ フ を コ ン ピ ュー タで か け。

ラ フは図

図7.2

問1 

次 の 関 数 の グ ラ フ を コ ン ピ ュ ー タ で か け 。 た だ し,−3π

≦x≦3π(Δx=0.01)と

す る。

(1)

 (2)

〔 例 題3〕  次 の 関数

−3π ≦x≦3π〔注〕(Δx=0.01)の

〔 解 〕  プ ロ グ ラ ム7.3に

グ ラ フを コ ン ピ ュー タで か け。

お い て,与

式 の 分 母 を0と

す るxの

値 を 変 域 よ り除 く た

め,関 数 値 を 計 算 す る直前 で この た め の チ ェ ック プ ロ グ ラ ムを挿 入 す る。 す な わ ち,エ

ラ ーを 回 避 す るた め の処 置 で あ る。  IF

x=0

THEN

  結 果 は プ ロ グ ラ ム7.3,グ プ ロ グ ラ ム7.3

GOTO

tugi

ラ フ は 図7.3と

な る。

図7.3 〔注 〕 以 後 の 例 題 に お い て,「SUB jiku

2」 に つ い て は,〔 例 題2〕

jiku

1」 に つ い て は

〔例 題1〕

の サ ブ ル ー チ ン,「SUB

の サ ブ ル ー チ ン を 用 い る こ と に す る。

問2  次 の関 数 の グ ラフ を コ ン ピュ ー タで か け。 ) 1 (

(2)

〔 例題4〕  次 の 関 数

−3π ≦x≦3π(Δx=0.01)の

〔 解 〕  プ ロ グ ラ ム7.3の5行

グ ラ フを コ ン ピュ ー タで か け。

に お い て,与

式 の 分 母1−x2を0に

の 変 域 よ り 除 く た め の プ ロ グ ラ ム に 変 更 す る。 す な わ ち, IF

x=−1 OR

  結 果 は プ ロ グ ラ ム7.4,グ プ ロ グ ラ ム7.4

x=1

THEN

ラ フ は 図7.4と

GOTO な る。

tugi

す るxの

値 をx

図7.4

〔 例 題5〕  次 の 関 数   y2=x3−x − 8≦x≦8(Δx=0.01)の

〔 解〕   ま ず,与

式 をyに

グ ラ フを コ ン ピ ュ ー タで か け。

つ い て 解 く。

 y =±√x3−x

 √の 中 の 数 式 の 値 は,常 ラ ム7.5に

  次 に,6行

お い て,5行

をIF(x^3−x)＜0

のY=SQR(x＾3−x)で,Yの

PSET(x,−y),7:PSET(x,y),7と 7.5と

にx3−x≧0で

な る

プ ロ グ ラ ム7.5

な け れ ば な らな い。 そ こ で プ ロ グ THEN

GOTO

値 が 正 負 と2つ す る 。 結 果 は,プ

tugiと

した。

あ る の で,7行

ロ グ ラ ム7.5,グ

で

ラ フは 図

図7．5

問3  次 の関 数 の グ ラ フを コ ン ピ ュ ー タで か け。 (1)

  (2)

〔例 題6〕   次 の 関 数 の グ ラ フ を コ ン ピ ュ ー タで か け 。

た だ し,0≦k≦4(Δk=0.25)と

し,こ

れ に 対 して,−8≦x≦8(Δx=0.01)

で曲 線 をか く もの とす る。 〔 解〕   ま ず,0≦k≦4(Δk=0.25)の さ せ,こ

た め に,FOR∼NEXT文

れ を う け て,−8≦x≦8(Δx=0.01)の

文 に よ っ て 反 復 さ せ る 。 す な わ ち,次 ラ ム7.5を

ら に,FOR∼NEXT

の よ う に 二 重 構 造 の ル ー プ に な る。 プ ロ グ

利 用 す る 。 結 果 は プ ロ グ ラ ム7.6,グ

プ ロ グ ラ ム7.6

た め に,さ

に よ って 反 復

ラ フ は 図7.6と

な る。

図7.6

問4  次 のkの

変 化 に対 して 関 数 の グ ラ フを コ ンピ ュー タでか け。

〔 例 題7〕  次 の 関 数 の グ ラ フ を コ ン ピ ュ ー タ で か け 。

〔 解〕   プ ロ グ ラ ム7.4に  IF

x=0

お い て,5行

THEN

GOTO

と6行

をそれぞれ

tugi

 y=SIN(1/x) と 変 更 す れ ば よ い 。 結 果 は,プ プ ロ グ ラ ム7.7

ロ グ ラ ム7.7,グ

ラ フ は 図7.7と

な る

図7.7

  と こ ろ で,図7.7の

グ ラ フ で は,原

点 近 傍 の様 子 が非 常 に わか りに く くな って

い る 。 こ の 点 を 改 良 す る の に は,2つ に お い て,2行  

ロ グ ラ ム7.7

を

WX=2:wy=1.25:PAI=3.14159

と 変 更 し,画

面,つ

ま り,映

像 を 拡 大 す る 方 法 で あ る 。 次 に,プ

れ た 点 が 複 雑 に 密 集 し て い る と,曲 点 を 遂 次 結 び,微 つ ま り,変 y1,y2を

の 方 法 が あ る。 す な わ ち,プ

線 の 流 れ が 把 握 で き な い 。 そ こ で,そ

そ の 次 の 近 傍 点x+0.01と

計 算 し,2点(x,y1),(x+0.01,y2)を ロ グ ラ ム7.7に

の2点

結ぶ。

お け る6行,7行

を そ れ ぞ れ,

  y1=sin(1/x):y2=sin(1/(x+0.01))  LINE(x,y1)−(x+0.01,y2),7

に 変 更 す る 。 結 果 は プ ロ グ ラ ム7.8,グ プ ロ グ ラ ム7.8

れ らの

小 な 直 線 群 で 全 体 と して 曲 線 の 概 形 が 見 や す くす る手 法 を と る。

域 内 の 任 意 のxと

  そ こ で,プ

ロ ッテ ィ ング さ

ラ フ は 図7.8と

な る。

に お け るyの

値

図7.8

  こ の 簡 単 な 手 法 は,よ

く原 点 の 近 傍 に お け る 曲 線 の デ リケ ー トな 変 化 の 追 跡 に

用 い ら れ る 。 要 は,wx,wyの (x1,y1)−(x2,y2),7の

値 の制 御 を い か にす るか ，   PSET(x,y)とLINE

い ず れ を 利 用 す る か は,対

象 の 曲 線 の 性 質 を 見 て,適

に判 断 す る こ とが 大 切 で あ る。

問5  次 の関 数 を,原 点 の 近 傍 で 見 や す い グ ラ フ に コ ン ピ ュー タでか け。

7.2 

2次 曲 線

[1]  放 物 線  図7.9に

お い て,定

点Fと,Fを

通 ら

な い定 直線 か ら等 距 離 に あ って,関 係 式   PF=PH

を 満 た す 動 点Pの

 (7.1)

描 く軌 跡 を 放 物 線 と

い う。 図7.9

切

  条 件 式(7.1)を

み た し な が ら 動 く 点Pは

7.10の

を プ ロ ッ トして軌 跡 の概 形 を推 定 してみ よ う。

よ う に,点

ど ん な 図 形 を 描 く か ， 動 点Pを

図

図7.10

 直 線l⊥ 直線m,直

線lに 平 行 な直 線 群 の間 隔 は,同 心 円 の半 径 の 間 隔 と等 し

くな る よ う にな って い る。 した が って,Fを の う ち,PF=PHと

中心 とす る 同心 円群 と交 わ る直 線 群

な る2点 を プ ロ ッテ ィ ン グす れ ば よ い。 そ の 結 果 は 図7.11

と な る。

図7.11

問6  図7.12に

お い て,三 角 定 規ABCの

の長 さ に等 しい糸 の一 端 を点Aの 鉛筆 の先 端 で糸 を辺ABに

辺BCが

直 線lに

乗 る よ う に お く。 ま た,AB

位 置 に 固 定 させ,他 の一 端 を定 点Fに

固定 す る。 次 に,

押 しつ け,ゆ る まな い よ うに糸 を 張 りな が ら三 角 定 規 を 直線l

上 を 滑 らせ る と,鉛 筆 の 先 端Pは

放 物 線 を 描 く。 実 際 に 作 図 して,そ の 理 由 を述 べ よ。

図7.12

 次 に,図7.9を

用 いて,条 件 式(7.1)を

み よ う 。PF=PHよ

 両 辺 を2乗

満 た す動 点Pの

軌 跡 の方 程 式 を 求 め て

り,

し,展 開 して 整 理 す る と,放 物線 の方 程 式

(7.2) を 得 る 。 こ れ は 式(7.2)に

お い て,x,yを

交 換 し た 式x2=4cy(y=xに

が 放 物 線 で あ る こ と か ら も わ か る よ う に,方 し て,定

点F(c,0)を

放 物 線 の 焦 点,定

〔 例 題8〕  放 物 線y2=8xに

程 式(7.2)も

直 線x=−cを

対 称)

ま た 放 物 線 で あ る。 そ 放物 線 の 準 線 と い う。

つ い て,焦 点 の座 標 と準線 の方 程 式 を求 めて,そ

の

グ ラ フを描 け。 〔解 〕  y2=4(2)xよ

焦 点(2,0),準

り,式(7.2)に

お い てc=2で

あ る 。 し た が っ て,

線x=−2

  こ こ で 注 意 す る こ と は,こ

の 曲 線 が(7,2)の

こ と を 確 定 す る た め に は,適

当 なx(x＞0),例

を 求 め,曲

あ る こ とを 押 さえ る こ とで あ る。

線 上 の 点(2,4)で

曲 線 で あ り,他 え ば,x=2に

の放物線で はない 対 す るyの

値4

グ ラ フ は,図7.13と

な る。

図7.13

〔 例 題9〕  放 物 線y2=8xの

グ ラ フ を コ ン ピュ ー タで か け。

〔解 〕  結 果 は プ ロ グ ラ ム7.9,図7.14と プ ロ グ ラ ム7.9

な る。

図7.14

  放 物 線y2=4cxをy=±2√cxと 計 算 し,そ

のx,yで

して,xに

曲 線 上 の 点(x,y)を

対 す るyの

決 定 し,高

速 で,正

値 を コ ン ピュ ー タ で 確 に,か

つ,き

れ

い に プ ロ ッ テ ィ ン グ して い る 。 こ れ を 制 御 す る の が プ ロ グ ラ ム で あ る 。

問7  放 物 線y2=2xの

焦 点 の 座 標 と準 線 の方 程 式 を求 め,グ

ラ フの概 形 を 描 け。 ま た,

コ ンピ ュー タで 確 認 せ よ。

[2]楕

円

  図7.15に

お い て,2定

点F,F'ま

で の距 離 の和 が 常 に一 定

(7.3) で あ る動 点 の描 く軌 跡 を楕 円 と い う。 定 点F,F'を

図7.15

楕 円 の 焦 点 と い う。

  条 件 式(7.3)に 動 点Pを,図7.16の

お い て,和

が14の

と き,す

な わ ち,PF+PF'=14を

よ う に 点 を プ ロ ッ ト し て,そ

満 たす

の グ ラ フの 概 形 を 推 定 して み

よ う。

図7.16

  定 点F,F'の る2つ

同 心 円 の う ち,そ

の 円 を 捜 して は,2つ

れ ぞ れ の 半 径PF,PF'の

の 円 の2つ

和 が,ち

ょ う ど14と

の 交 点 を プ ロ ッ トす る と,図7.17と

る。

図7.17

な な

問8  図7.18は,楕

円 の か き 方 を示 した も

の で あ る。2定 点F,F'に

ピ ン を立 て,そ

れ

に輪 に な った糸 をか け て,図 の よ う に 糸 が ゆ る ま な い よ うに ピ ンと張 り なが ら鉛 筆 の 先 端 を一 回 り動 か す と楕 円 が作 図 で き る。 実 際 に 作 図 を して,そ の理 由 を述 べ よ。

図7.18

  次 に,図7.15を

用 い て,条

る 。PF+PF'=2aよ

 両 辺 を2乗

 さ ら に,両

件 式(7.3)を

満 た す 動 点Pの

軌 跡 の方程式 を求 め

り,

して 整 理 す る と,

辺 を2乗

して 整 理 す る と,

(7.4)   図7.19の

△PFF'に

お い て,PF+PF'＞FF'よ

り,2a＞2c

(7.5)  し た が っ て,

(7.6) と お い て,式(7.6)を

式(7.4)に

代 入 して,両

辺 をb2で

割 る と,楕

円 の方 程 式

(7.7) が 得 ら れ る 。 な お,焦

点 のx座

標c(c＞0)は

式(7.5)よ

り,

(7.8)

  し た が っ て,焦 (7.7)に

点 の 座 標 はF(√a2−b2,0),F'(−√a2−b2,0)と

お い て,x軸(y=0)と

の 交 点 はA(a,0),A'(−a,0),y軸(x=0)と

の 交 点 はB(0,b),B'(0,−b)で

あ る。

  こ の4点A,A',B,B'を い い,焦

点F,F'の

楕 円の頂点 と 中 点 を楕 円 の 中 心 と

い う。 し た が って,こ 式(7.5)よ

な る。 式

の楕 円 の グ ラフ は

り横 長 に な る。 グ ラ フ を 描 く

と 図7.19と

な る 。 こ の 場 合,a＞b＞0

で あ る が,も

しb＞a＞0の

場 合 は,縦 図7.19

長 の 楕 円 の グ ラ フ に な る。

〔 例 題10〕

次 の 楕 円 につ い て,頂

点,焦

点,中

心 の 座 標 を 求 め て,グ

ラフの概

形 を 描 け。

〔解〕 与 式 を 変形 して,

  式(7.7)よ 図7.20が

り,a=6,b=4,式(7.8)よ

り,c=√62−42=2√5,こ

得 られ る 。

図7.20

れ よ り,

〔 例 題11〕 〔 解〕

〔 例 題10〕

結 果 は,プ

の グ ラ フ を コ ン ピ ュ ー タ で 確 認 せ よ。

ロ グ ラ ム7.10,図7.21と

プロ グ ラ ム7.10

図7.21

な る。

問9  次 の 楕 円 につ い て,頂 点,焦 点 の 座標 を求 め,グ

ラ フの概 形 を描 け。 また,コ ンピュ

ータで 確 認 せ よ。 (2)

(1) 

[3]  双 曲 線   図7.22に

お い て,2定

点F,F'か

ら の 距 離 の 差 が 一 定,つ

ま り

(7.9) の 関 係 を 満 たす 動 点Pの

軌 跡 を双 曲 線 とい い,2定

点F,F'を

双 曲線 の焦点 とい

う ｡

図7.22

  2定 点 か らの 距 離 の 差 が6の

と き,す

6と 同 義)を 満 た す 動 点Pを,図7.23の

な わ ち,PF∼PF'=6(￨PF−PF'￨= よ う に点 を プ ロ ッ ト して グ ラ フ の 概 形

を 推 定 して み よ う。

図7.23

  定 点F,F'の な る2つ

同 心 円 の う ち,そ

の 円 を 探 して は,そ

れ ぞ れ の 半 径PF∼PF'の

の2つ

差 が,ち

ょ う ど6と

の 円 の 交 点 を プ ロ ッ トす る と,図7.24と

な

る。

図7.24

問10 

図7.25は,双

曲線 の描 きかた を示

した もの で あ る。 す なわ ち,直 線 定 規 の 一 端 をF'で

回 転 で き るよ う に 固 定 し,他

の一 端

Qに 糸(定 規 よ り短 い)の 一 端 を 固 定 す る。 ま た,糸 の他 の一 端 を定 点Fに 筆 の先Pで

固 定 す る。 鉛

ゆ るま な い よ う に糸 を張 り,PQ

の 部分 が 定規 に沿 うよ うに して,定

規 の 点Q

を 矢 印 の 方 向 に 回転 す る と双 曲 線 が 描 け る。 図7.25

実 際 に 作 図 し,そ の理 由 を述 べ よ。   次 に,図7.22を る 。 い ま,動 F'(−c,0)と

用 い て,条

点Pの す る。

件 式(7.9)を

座 標 を(x,y)と

満 た す 動 点Pの

し,2焦

軌 跡 の方 程式 を求 め

点 の 座 標 を そ れ ぞ れ,F(c,0),

 な お,△PFF'に

お い て,PF∼PF'＜FF'よ

り2a＜2c

(7.10)   PF∼PF'=2aは,￨PF∼PF'￨=2aと

 両 辺 を2乗

同 義 で あ る 。 よ っ て,

して,

  整 理 し て,

 両 辺 を2乗

して整 理 す る と,

(7.11)   式(7.10)よ

り,c2−a2＞0,こ

こ で,

(7.12) と お い て,式(7.12)を

式(7.11)に

代 入 して,双

曲線の方程式

(7.13) が 得 ら れ る。   ま た,双 い い,焦

曲 線 のx軸(y=0)と

の 交 点A(a,0),A'(−a,0)を

点 の 座 標 は,式(7.12)よ

が 得 られ る。 な お,式(7.13)よ  こ こ で,式(7.13)を

り,c2=a2+b2を

りy軸(x=0)と

変 形 し て,

双曲線の頂点 と

導 き,

の 交 点 は 存 在 し な い。

(7.14)  こ こ で,x→

± ∞ と す る と,

〓と な り,式(7.14)は,

(7.15) と な る。 こ の 式 を 双 曲 線 の漸 近 線 と い う。 こ の漸 近 線 の 意 味 は,式(7 わ す 双 曲 線 は,￨x￨の な く式(7.15)の 7.26に

.13)の

表

値 が 大 き く な る に つ れ て(原 点 よ り離 れ る に つ れ て),限

り

表 わ す漸 近 線 に 近 づ い て い く と い う こ と で あ る 。 こ の 様 子 を 図

示 す 。 こ れ ら を 総 合 す る と,双 曲 線 の 式(7.13)の

図7.26

図7.27

グ ラ フ は 図7 .27と

な る。

〔 例 題12〕

次 の双 曲線

に つ いて,漸 近 線,頂 点,焦 点 を求 め て,グ 〔 解〕

漸 近 線 は 式(7.15)よ

  頂 点 はA(3,0),A'(−3,0),焦 図7.28と

ラ フの 概 形 を 描 け。

り,

点 はF(√10,0),F'(−√10,0)で,結

果 は

な る。

図7.28

問11  次 の 双 曲 線 に つ い て,頂 点,焦 点,漸 近 線 を求 め,グ (1) 

ラ フの概 形 を描 け。

(2)

7.3  媒 介変数 表示 と媒介変 数方程式   い ま まで の 曲 線 は,そ の 曲線 上 の任 意 の点P(x,y)が yを 結 びつ け た方 程 式 を 導 く こ とが で きた。 一 方,多 数yと

満 た す 条 件 か ら,直接x, くの 方程 式 は変 数xと,変

をそ れぞ れ 第 三 の変 数 で表 し,こ れ を 媒 介 と して,間

接 的 にx,yを

関連

づ け る こ と が で き る 。 こ の と き の 第 三 の 変 数 を 媒 介 変 数 と い う。   例 え ば,条

件"定

し い 点P(x,y)の

点F(c,0)とFを

軌 跡"か

程 式y2=4cxは,変

通 ら な い 定 直 線(x=−c)ま

ら,放

数x,yを

物 線 の 方 程 式y2=4cxが

そ れ ぞ れ 第 三 の 変 数,例

での距 離 が等

得 ら れ た 。 一 方,方 え ば,tを

用 い て,

(7.16) と表 す こ とがで き る。   一 般 に,曲

線(直 線 も含 む)上

の 点(x,y)が,そ

関 数 と し て,x=f(t),y=g(t)の と い い,tを

よ う に 表 さ れ る と き,こ

の 第 三 の 変 数tの れを媒 介変 数表 示

媒 介 変 数〔注〕 とい う。

  ま た,式(7.16)か 的 に 変 数xとyを   ま た,曲

れ ぞ れ1つ

ら媒 介 変 数tを

消 去 す る と,y2=4cxが

間 接

結 びつ けて い る こと がわ か る。

線 に よ っ て は,x,yの

関 係 を 陽 関 数y=f(x)や

で 表 す こ と が 極 め て 困 難 で あ っ た り,あ る。 こ う し た 場 合,こ

る い は,不

の 媒 介 変 数 に は 時 間,距

  媒 介 変 数 表 示 で 表 さ れ た 関 数 の グ ラ フ は,媒 値 に 対 して,逐

ア と し て,点(x,y)を

陰 関 数f(x,y)=0

可 能 で あ っ た り す る場 合 が あ

の 媒 介 変 数 に よ る 手 法 を 用 い る と,大

式 が 得 られ る 。 な お,こ

媒 介 変 数tの

得 ら れ,tが

一,そ

定 め,そ

れ ぞ れx,yの

変 見 通 しの よ い 関 係

離,角

な ど を用 い る ことが多 い。

介 変 数tの

値 を 変 化 さ せ な が ら,

値 を 計 算 し,そ

れ ら の 点 を プ ロ ッ ト し て,そ

のx,yの

値 をペ

の曲線 の グ ラフの

概 形 を 描 く こ と が で き る 。 こ の 手 法 は 極 め て 簡 潔 で あ る。   も し,こ

の 際,計

れ に よ って,計

算 が 大 変 な と き は,例

え ば,関

数 電 卓 を 利 用 す れ ば よ い。 こ

算 の わ ず わ ら し さ か ら解 放 さ れ る。 具 体 的 に は,計

算 結 果 を数 値

表 に し て こ れ を 利 用 して プ ロ ッ トす れ ば よ い 。 〔 注 〕 媒 介 変 数 の こ とを 助 変 数 あ る い はパ ラメ ー タ と もい う。

〔 例 題14〕2定

点A(x1,y1),B(x2,y2)を

求 め よ 。 た だ し,x1≠x2と

す る。

通 る直 接 の方 程 式 を媒 介 変 数 表 示 で

〔 解 〕 図7.29に

お い て,2点A,Bを

通 る 直 線 上 の 任 意 の 点 をP(x,y)と

を 媒 介 変 数 と して,

 な お,式(7.17)で

媒 介 変 数tを

消 去 す れ ば,

と して,直 線 の方 程 式 が 得 られ る。

図7.29

〔 例 題15〕

図7.30の

と す る 半 径rの

円 の 周 上 の 動 点 をP(x,

y)と す る。 い ま,動 P0を 出 発 し てt(秒)後 こ の と き,円

ような原点 を 中心

点Pはx軸

上 の点

の位 置 とす る。

の 媒介 変 数 表 示 を求 め よ。

た だ し,点Pは

毎 秒 ω(ラ

ジ ア ン)で 正

の 向 き に 回 転 す る も の とす る 。

図7.30

〔 解 〕 △POHに

〔 例 題16〕

お い て,題

意 よ り ∠POH=ωt,

媒 介 変数tで 表 され た,媒 介 変 数 表 示

し,t

に つ い て,0≦t≦2π(Δt=π/12)で お,関

数 電 卓 を用 い よ。

〔 解〕

数 値 表 は 表7.1,グ

数 値 表 を作 成 して曲 線 の概 形 を 描 け。 な

ラ フ は 図7.31と 表7.1

図7.31

な る。

 一 般 に,x軸

上 を 動 点(x,0)が

単 振 動 し,y軸

上 を動 点(0,y)が

単 振 動 して い

る と き,そ れ ぞ れ の 振 動 の 中 心 が 原 点 な らば,

(7.18) と な る 。 こ の と き点(x,y)の

描 く曲 線 を リサ ー ジ ュ(Lissajous)と

サ ー ジ ュ は オ シ ロ ス コ ー プ を 用 い て,周 値 に よ っ て は,簡

単 な 楕 円,放

い う。 こ の リ

波 数 の 測 定 に 応 用 さ れ る 。m ,n,α,β

物 線 に な る が,一

の

般 的 に は複 数 な 周 期 的 あ る い は

非 周期 的 な 曲線 に な る。   式(7.18)に

お い て,a=b=1,m=1,n=2,α=β=π/2と

が 得 ら れ る 。 こ の よ う に,パ る こ と に よ っ て,い

ラ メ ー タa,b,m,n,α,β

お く と,

に い ろ い ろ な値 を 代 入 す

ろ い ろ な リ サ ー ジ ュ の 媒 介 変 数 表 示 が 得 ら れ る。

問12  次 の曲線 に つ い て,各 問 に答 え よ。

(1)

媒 介 変 数tの

値 を−2≦t≦2(Δt=0.5)でx,yを

計 算 し,数

値 表7.2を

作成 して

曲線 の概 形 を描 け。 表7.2

(2)  媒 介 変 数tを 消 去 して,こ の 曲線 の 形 を 特 定 せ よ。 問13  次 の 媒介 変 数表 示 よ り媒 介 変 数tを 消 去 して,そ の グラ フ を描 け。

問14

0≦t≦2π

の と き,次 の媒 介 変 数 表 示 よ り媒 介 変 数tを 消去 して,そ の グ ラ フを描 け。

〔 例 題17〕

次 の 媒 介 変 数 表 示 の 曲 線 の グ ラ フ を コ ン ピ ュ ー タで か け 。

〔 解 〕 前 例 に 従 って,グ

ラ フを描 く際 に 関数 電 卓 を用 い て数 値 表 を作 成 し,こ れ

を 利 用 して も よ いが,そ れ で も,や は り面 倒 な手 続 き に な る こ と が多 い。 手 作 業 によ って グ ラ フを 描 くプ ロ セ スが 理解 で きた な らば,今 度 は,こ れ ま で の一 連 の 作 業 の 一切 を コ ン ピュ ータ に代 行 させ,グ

ラ フを一 気 に,高 速 で,し か も正 確で,

きれ いに 仕 上 げ た ほ うが 便 利 で あ る。   プ ロ グ ラ ム は プ ロ グ ラ ム7.1に プ ロ グ ラ ム7.11,グ   Flow)を

お い て,2行

ラ フ は 図7.32と

と5行

な る 。 な お7行

避 け る た め に 挿 入 し た プ ロ グ ラ ム で あ る。

プ ロ グ ラ ム7.11

図7.32

を ア レ ン ジ す る 。 結 果 は, は オ ー バ ー フ ロ ー(Over

問15  次 の 媒 介 変 数 表 示 の 曲 線 の グ ラ フ を,プ

〔 例 題18〕

(2*t)と

参 考 に コ ン ピュー タでか け。

(2)

(1) 

〔 解〕

ロ グ ラ ム7.11を

〔 例 題16〕

の グ ラ フ を コ ン ピ ュ ー タで か け 。

プ ロ グ ラ ム7.11に

お い て,5行

と6行

変 更 す る。 結 果 は プ ロ グ ラ ム7.12,グ

プ ロ グ ラ ム7.12

図7.33

を そ れ ぞ れx=SIN(t),y=SIN ラ フ は 図7.33と

な る。

問16  次 の媒 介 変 数 表 示 の 曲線 の グ ラ フ を,コ (1) 

  図7.34で,x軸

ンピ ュー タで か け。

(2)

上 を す べ る こ と な く こ ろ が る 半 径aの

円Cの

周 上 の定 点 の 描

く 曲 線 を サ イ ク ロ イ ド と い う。

図7.34

  最 初 の 定 点P0の の と す る。 ま た,そ

 した が っ て,サ

位 置 を 原 点 と し,そ

れ がP(x,y)の

れ ま で に 回 転 し た 角 を ∠HCP=t(ラ

位 置 ま で 回 転 して き た も ジ ア ン)と す る と,

イ ク ロ イ ドの 媒 介 変 数 表 示 は,

(7.18) と し て 得 ら れ る。

 な お,定

点Pの

軌 跡 の 描 か れ る様 子 は,図7.35と

な る。

図7.35

問17  式(7.18)を

用 い て,サ

イ ク ロ イ ドの グ ラ フ を コ ン ピ ュ ー タ で か け 。 た だ し,a=

1と せ よ 。

〔 例 題19〕

図7.36に

外 側 の 固 定 点(常 定 点 の 位 置 をP0と (x,y)ま

お い て,x軸

に,CP=bと し,原

上 を す べ る こ と な く こ ろ が る 半 径aの

円Cの

して)が 描 く軌 跡 を トロ コ イ ドと い う。 最 初 の 固 点OがKの

位 置 ま で 動 い た と き,固

で 動 い た も の と す る 。 こ の と き,そ

れ ま で に 回 転 し た 角 を ∠HCK=t

と した と き の 外 ト ロ コ イ ドの 媒 介 変 数 表 示 を 求 め よ 。

図7.36

定 点P0がP

  次 に,ト 〔 解〕

ロ コ イ ドの グ ラ フ を コ ン ピ ュ ー タ で か け(た だ し,b＞a＞0)。

△CPQに

お い て,

結 果 は プ ロ グ ラ ム7.13,図7.37と

な る。

プ ロ グ ラ ム7.13

図7.37

問18  〔 例 題19〕 で,固 定 点 が 円 の 内側 に あ っ た場 合 の トロ コ イ ドの 媒 介 変 数 表 示 を 求 め

(図7.38),a=2,b=1の

と き,コ

ン ピ ュ ー タで グ ラ フ を 描 け 。

図7.38

〔例 題20〕

図7.39に

が 内 接 しな が ら,す

お い て,原

点 を 中 心 と す る,半

径aの

円Oに

べ る こ と な く こ ろ が る も の と す る(0＜b＜a)。 位 置 に あ り,こ

半 径bの

円C

最 初,こ

ろ

が る 円 の 周 上 の 固 定 点 がx軸

上 の 点Aの

れ よ り 出 発 し て 点Pま

で 動 い た と す る 。 こ の 円C上

の 固 定 点 の 描 く 曲 線 を 内 サ イ ク ロ イ ド と い う。 こ

の 内 サ イ ク ロ イ ド曲 線 の 媒 介 変 数 表 示 を 求 め よ 。   次 に,内

サ イ ク ロ イ ドの グ ラ フ を コ ン ピ ュ ー タ で か け 。 た だ し(a,b)=(4,1)

と す る。

図7.39

〔 解〕

こ ろ が る 円Cの

固 定 点 が 最 初A(a,0)に

あ り,点P(x,y)の

い た も の と す る。 い ま,∠AOT=t,∠PCT=α,∠RPC=β

位 置 まで動 とす る と

こ こ で,

 ま た,l‖x軸

こ の β を,前

よ り,

のx,yの

式 の β に 代 入 し て,内

サ イ ク ロ イ ドの 媒 介 変 数 表 示 が 次

の よ う に 得 られ る 。

(7.19)

  結 果 は,プ

ロ グ ラ ム7.14,グ

プ ロ グ ラ ム7.14

ラ フ は 図7.40と

な る。

図7.40

問19図7.41に

お いて,原 点 を 中心 とす る半 径aの

べ る こ とな くこ ろが る と き,動 円Cの 最 初,動 円 の 固 定 点Pはx軸

円Oに

円周 上 の固 定 点Pの

上 の点A(a,0)に

半 径bの

円 が 外 接 し な が らす

軌 跡 を外 サ イ ク ロイ ドとい う。

あ る もの とす る。 こ の と き,外

サイ ク ロ

イ ドの 媒 介 変 数 表 示 を求 め よ。   次 に,外 サ イ ク ロ イ ド曲 線 の グ ラ フを プ ロ グ ラ ム を組 み,コ a,bの 入 力 は,(a,b)=(4,1)と

せ よ。

図7.41

ン ピュ ー タで か け 。 な お,

〔 例 題21〕

図7.42に

お い て,原

点 を 中 心 と す る 半 径aの

円Oに,半

が 内 接 し な が ら す べ る こ と な く こ ろ が る も の と す る(a＞b＞0)。

径bの

円C

こ の と き,動

円 の 内 側 の 固 定 点 の 描 く 曲 線 を 内 トロ コ イ ドと い う 。   最 初,固 お,固

定 点 がBに

定 点 は 動 円Cの

す る。 こ の と き,内   次 に,内 (4,1,2)と

あ っ て,動

円 が 回 転 して 点Pま

で動 い た もの とす る。 な

中 心 か ら常 に 一 定 の 距 離c(CP=c)の

位 置 に あ る もの と

トロ コ イ ドの 媒 介 変 数 表 示 を 求 め よ 。

ト ロ コ イ ド の グ ラ フ を コ ン ピ ュ ー タ で か け 。 た だ し,(a,b,c)= せ よ。

〔 解〕

 ま た,α=β+t,TS=ATよ

りbα=at,

した が っ て,

こ の β の 式 を 前 のx,yの

β に 代 入 し て,内

ト ロ コ イ ド曲 線 の 媒 介 変 数 表 示 が,

次 の よ う に 得 ら れ る。

(7.20)

  な お,図7.43の

場 合 で も,媒

き る。 す な わ ち,TS=TAよ

介 変 数 表 示 は 式(7.20)に

り,

図7.43

 同 様 に,

一 致 す る こ とが証 明 で

  式(7.20)に

よ っ て,内

(a,b,c)=(4,1,−0.5)と

ト ロ コ イ ドの グ ラ フ を コ ン ピ ュ ー タ で か す る。

プ ロ グ ラ ム7.15

図7.44

問20  次 の媒 介 変 数 表 示 さ れ た曲 線 の グ ラ フを コ ン ピ ュ ー タで か け。

く 。 た だ し,

7.4  極座標 と極 方程式 [1]  極座標   こ れ ま で,平

面 上 の 任 意 の 点P(x,y)

は 直 角 座 標 で 表 し て きた 。 こ の 平 面 上 の 点P(x,y)は

図7.45の

か らの 距 離 と,x軸

よ う に,原

点O

か らの回 転 角 で 表 す

方 法 が あ る。

 一般 に,動 径(原 点Oか の 長 さ をr,OXか を 点Pの

らの 距 離)OP

図7.45

ら の 回 転 角 を θ と し て,点Pの

極 座 標 と い い,点Oを

極,半

直 線OXを

位 置 をP(r,θ)で 始 線,OPを

表 す。 これ

動 径,そ

して θを

偏 角 と い う。   な お,動

径 はr≧0と

す る の が 普 通 で あ る が,と

P(r,θ)と

点P(−r,θ+π)を

き に は,負

の 動 径 も許 し,点

同 一 点 と み な す こ とが あ る(図7.46を

図7.46

参 照)。

問21  次 の極 座 標 の 点 を 表 示 せ よ。 (1) 

(4)

(3) 

(2) 

[2]  直角 座標 と極座標   次 に,直 角 座 標 と極 座 標 相 互 間 の 関係 を み て み よ う。 図7.47の

よ う に,直

角

座標 の原 点 を極 座 標 の 極 に,直 角座 標 のx軸 の正 の部 分 を極 座 標 の始 線 に一 致 さ せ る こ と によ って,直 角 座 標 の 点P(x,y)と

極 座 標 の 点P(r,θ)と

の 間 に,次

の 関係 式 が得 られ る。

(7.21)

(7.22)

図7.47

問22  直 角 座 標 で 表 され た,次 の 点 を 極 座 標 で 表 せ。 (1) 

(2) 

(3) 

(4)

[3]  極方程 式   極 座 標(r,θ)の

平 面 の 上 で,点Pがrと

θの 関 数

(7.23) で 表 さ れ る と き,式(7.23)を

動 点Pの

描 く曲 線 の 極 方 程 式 と い う｡

〔 例 題22〕

図7.48に

お い て,直

aの 定 円 周 上 の 定 点Oと,こ 回 る動 点Qと b(一

の 円周 上 を

を 結 ん だ 直 線 上 に,PQ=

定 値)と

(r,θ)の

径OA=

な る よ う に と っ た 点P

軌 跡 を 求 め よ。

図7.48

〔 解 〕

(7.24)〔

  式(7.24)に b=1,0≦ 値 表7.3,グ

お い て,a=bの

注1〕

と き の 曲 線 を カ ー ジオ イ ドと い う。 こ こ で は,a=

θ ≦ π〔 注2〕 と して 数 値 表 を 作 成 して グ ラ フ の 概 形 を 描 い た 。 結 果 は 数 ラ フ は 図7.49と

な る。 表7.3

図7.49

〔 注1〕

リマ ソ ン

〔 注2〕

求 め た 曲 線 は実 線 の 部 分 で あ る。0≦ θ≦2π とす る と,破 線 部 分 ま で加 わ り,曲

線 の グ ラ フ は完 結 す る。

問23  動 径 の 長 さrが 回 転 角 θに 比 例 す る と き,動 点P(r,θ)の 比 例 定 数 と して,r=kθ

描 く曲線 の方 程 式 はkを

で与 え られ る。 こ の曲 線 を アル キ メデ スの ら線 とい う。  〓す なわ ち,極 方 程 式r=6/π

θで 数 値 表 を作 成 し,

曲 線 の グ ラ フを 描 け。

〔 例 題23〕 (2,1)と

〔 例 題22〕

〔 解〕

の 曲 線 の グ ラ フ を コ ン ピ ュ ー タ で か け 。 た だ し,(a,b)=

せ よ。 極 方 程 式 で 表 さ れ る 曲 線 の グ ラ フ は,極

rを 計 算 し,そ

の ペ ア の 値(r,θ)を

角 座 標(x,y)に

座 標(r,θ)に

お い て θに 対 す る

プ ロ ッ トす る よ り は,式(7.21)に

変 換 し て プ ロ ッ トす る 方 が 便 利 で あ る 。 そ れ は,い

ロ グ ラ ム が 活 用 で き る ば か り で な く,直

よ って 直 ま まで の プ

角座 標 の方 が慣 れ て い る こ とな どが 挙 げ

られ る 。   極 座 標(r,θ)を

媒 介 変 数 θ に 対 し,x=rcosθ,y=rsinθ

へ 変 換 す る た め に,あ

らか じめrの

は プ ロ グ ラ ム7.16,グ

ラ フ は 図7.50と

プ ロ グ ラ ム7.16

値 をr=acosθ+bで な る。

で 直 角 座 標(x,y) 計 算 し て お く。 結 果

図7.50

問24  極 方 程 式r=2acosθ

問25 

を 直 角 座 標 系(x,y)に

関 数(x2+y2)2=a2(x2−y2)を

問26次

直せ。

極 方 程 式 に直 せ。

の極 方 程 式 の曲 線 の グ ラ フを コ ン ピ ュー タで か け。 なお,パ

ラ メ ー タ の 値 は下 記

の とお りを す る。 (2)

(1) 

〔 例 題24〕

〔 例 題23〕

に お い て は,極

の グ ラ フ を(a,b)=(2,1)とa,bを (2,0,5)…(2,5)(2,1)と 〔 解 〕aを

定 数2と

プ ロ グ ラ ム7.17

い ち い ち 手 で 入 力 して 描 た が,こ

れ を(2,0)

自動 的 に 変 化 さ せ て み よ 。 し て 固 定 し,bを

に つ い て グ ラ フ を か く。 な お,bは は プ ロ グ ラ ム7.17,グ

方程式

自動 的 に 変 化 さ せ な が ら,そ

れ ぞれ の場合

も っ と小 さ い 刻 み で 変 化 さ せ て も よ い 。 結 果

ラ フ は 図7.51と

な る。

図7.51

問27  次 の 極 方 程 式 の グ ラ フを コ ン ピュー タで か け。

な お,1≦k≦7(Δk=1),0≦

θ ≦2π(Δθ=0.005)と

せ よ。

[4]  2次 曲線の極方程式による総合化   こ れ ま で の 放 物 線,楕

円,双

曲線 の研 究 は古 代 ギ リ シ ャ〔 注〕の3つ

を 発 して い る 。 こ の3大

難 問 は解 析 的 に み れ ば,結

局,3次

帰 着 で き る 。 定 規 に よ っ て 引 け る の は 直 線ax+by+c=0,コ も の は 円x2+y2+αx+βy+γ=0の 程 式 で は,初 線,す

た め,直

方程 式 を解 く問 題 に ンパ ス で 描 け る

線 と 円 と に 分 解 で き な い3次

等 幾 何 学 的 手 法 で は作 図 は不 可 能 で あ っ た 。 そ こで,そ

な わ ち,一

般 の 円 錐 曲 線(2次

曲 線)を

の難 題 に端

方

れ以外の曲

あ ら か じ め 描 い て お き,そ

の曲 線

と 定 規 と コ ンパ ス で 解 決 す る 手 法 が 研 究 さ れ た 。 そ の 研 究 は メ ナ イ ク モ ス(BC 375∼325)が

最 初 に 研 究 し,ア

ポ ロ ニ ウ ス(BC260∼200)へ

と続 い た 。 そ の 後,

図 形 に 運 動 の 概 念 を 導 入 し,軌 跡 の 曲 線 を 利 用 す る 方 向 へ と 発 展 し て い っ た 。 〔 注〕(1)  任 意 の角 を三 等 分 す る方 法  (2) 1つ の 立 方 体 の2倍

の 体 積 を もつ 立 方 体 の 一

辺 を求 め る方 法   (3) 1つ の 円 の面 積 と等 しい面 積 を 持 つ 正 方 形 の 一 辺 を 求 め る方 法

  さて,メ ナ イ ク モ ス や ア ポ ロニ ウス の円 錐 曲 線 論 は放 物 線,楕

円,双 曲 線 の そ

れ ぞれ の特 性 につ い て の体 系 的 な研 究 で あ った。 そ れ で は,円 錐 曲 線 の準 線 を 発 見 し,幾 何 学 と代 数 学 の利 点 を生 か したパ ッポ ス(AD380年

頃)の 方 法,す

なわ

ち,こ れ らの3曲 線 相 互 間 の 関 係 を 総 合 的 に み る方 法 に つ い て求 べ るこ とにす る。   図7.52に お いて,焦 点Fか 一 定 値(e:離 心 率)

らの 距 離PFと,準

線gか

らの 距 離PHと

の比 が

(7.25) の と き,こ

の 式(7.25)を

満 た す 動 点P(r,θ)の

軌 跡 を 極 方 程 式 で 求 め て み よ う。

図7.52

 い ま,焦 点Fを

極 に,焦 点Fを

通 り準 線gに 垂 直 な直 線 を 始 線 とす る と,

(7.26)   式(7.26)を

式(7.25)に

代 入 す る と,

こ れ をrに

つ い て 解 く と,極

方程式

(7.27) が 得 られ る。 離 心 率 につ い て は,図7.53か 0＜e＜1の

と き,楕

e =1の

と き ,放

物線

e＞1の

と き,双

曲線

ら も わ か る よ う に,

円

を表 す。 この極 方 程 式 の曲 線 を か くプ ロ グ ラム は比 較 的簡 単 に 出来 るが,こ は省 略 す る。

図7.53

練習問題 1.  次 の 曲 線 の グ ラ フ を 描 け 。 た だ し,き

2.  次 の 関数 の グラ フ を描 け。 (1) 

ざ み 幅 はΔx=0.001と

(2)

(1) 

(2)

す る。

こで

3.  次 の 関 数 の グ ラ フを描 け。

4.  次 の きざ み 幅,kを

与 え て関 数 の グ ラ フを 描 け。

5.  次 の媒 介 変 数 表 示 の 曲線 の グ ラ フを,〓

で 数 値 表 を 作 成 して

描 け。

6.  次 の 媒 介 変 数 表 示 の 曲 線 の グ ラ フを描 け。

(1)

7. 

 (2)

次 の 媒 介 変 数 表 示 の 曲 線 の グ ラ フ を 描 け 。 た だ し,(m,n)=(3,2)と

す る。

8.  与 え られ た パ ラメ ー タの値 に よ って次 の 曲 線 の グ ラ フを 描 け。 (1)

(2)

9.  問23の

ア ル キ メ デ ス の ら線 を コ ン ピ ュ ー タ で か け 。

10.  次 の極 方 程 式 で 表 され た曲 線 の グ ラ フを描 け。 た だ し,パ ラメ ー タの値 は与 え られ た もの に よ る。 (1) (2)

問お よび練習問題 の解答 (1) 問 の 解 答 第1章 

数 と式

問1  略 問2  CLS INPUT x,y a=3*x^3−6*x^2*y−x*y^2+2*y^3

b=3*y−2*x−3*x^3 c=6*x^2−x*y+y^2 u=3*a+5*b−c v=a*b w=2*a−b+c^2 PRINT"X=";x;"Y=";y PRINT"A=";a,"B=";b,"C=";c PRINT"U=";u,"V=";v,"W=";w END

計算例 ?2,5 X=2  Y=5 A=104 

B=−13 

U=208 V=−1352 

C=39 W=1742

問3  CLS x=1/(SQR(7)−SQR(5)):y=1/(SQR(7)+SQR(5)) a=x+y b=x*y

c=x^2+y^2 PRINT END

x,y,a,b,c

計算の結果 2.44091 

.2048417 

2.645752 

.5000002 

問4  略 問5 

CLS INPUT a,b,c GOSUB sankaku IF k=1 THEN IF a^2+b^2＞c^2 AND c^2+a^2＞b^2

AND b^2+c^2＞a^2 THEN

6.000003

PRINT"鋭

角 三 角 形"

ELSEIF

a^2+b^2=c^2 OR

b^2+c^2=a^2

OR c^2+a^2=b^2 PRINT"直 角 三 角 形"

THEN

ELSE

PRINT"鈍 END IF ELSE

角 三 角 形"

PRINT"三 END

角 形

を な

さ な

い"

IF

END

sankaku: IF

a+b＞c

AND

b+c＞a

AND

c+a＞b

THEN

k=1 ELSE END IF RETURN

問6  略 問7 

(1)  ? 526 1  526 2  263

(2)

 ?

問8 

(1)  ? 321

aは素 数 でな い

(2) 

1024

? 569

aは素 数

1 1024 2  512

(3) 

4  256

?1169

aは素数でない

8  128 16  64 32 

(4) 

32

?

12560

aは 素 数 でない

(3)  ? 2056 1  2056 2  1028 4  514 8  257 (4) 

?

15682 1  15682 2  7841

問9   CLS INPUT n FOR a=2

TO

IF

a=2

THEN

r= IF

a MOD r=0

2 THEN

FOR

k=3

r=a MOD IF r=0 NEXT k PRINT "a=" owari: NEXT a END

n PRINT

GOTO

"a=";a;"素

TO k THEN a;"素

数":GOTO

owari

SQR(a) GOTO

STEP owari

数"

2

owari

計 算例 ? 12

a=2素 a=3素 a=5素 a=7素

数 数 数 数

a=11素

問10  (1)

 ?

数

360 2  2  2  3  3  5=360

問11  略 問12 

? 1896

(2) 

(1)  ?

12,4 4

2  2  2  3  79=1896

(2) 

(3)  ? 8600

? 62,126 2

2  2  2  5  5  43=8600

(3)  ? 12345,67890 15

? 16596

(4) 

2  2  3  3  461=16596

問13  商  x2+3x−1

 余 り5

問14  略 問16 

問15  略

? 5,−2 A(x)の

係 数=3 −1 −5 

4 −5 

3

B(x)=x−(−2)

Q(x)の 係 数=3 −7 

9 −14 

23 

余 り  R=−43

問17  (1)  ? 2556,2,15 n=2556  2進 (2) 

? 2556,6,8 n=2556 

6進 (3) 

数;

(1) 

p=6 1  5  5  0  0

p=8 7  7  4

数;4 

? 2556,16,5 n=2556  16進

問18 

0  0  1  1  1  1  1  1  1  0  0

? 2556,8,6 n=2556 

8進 (4) 

p=2

数;1 

数;9 

p=16 15 

12=9FC

? 75.−45

問19 

(1) −5−i

x=−3 (2)  2−9i (2) 

? 4,−20 x=−5

(3) −26+2i

(3) 

? 0,1

(4) 

不能 問20 

(1) 

? 2,5,−2 x=.3507811 

(2) 

? 1,2.828427,3 x=−1.414214+1 i 

− 2.850781

−1 .414214−1 i

1−i

第2章  関 問1 

数

DECLARE

SUB

jiku2

(x1,

x2,

y1,

y2)

wx=8:wy=5 JIKU2 −wx, FOR

wx, −wy,

x=−wx

TO

wy

wx

STEP

.01

y=x^2

PSET(x,y),3 y=(x−3)^2−2

PSET(x,y),4 NEXT  END

x

(解 図2.1)

解 図 2.1 問2 

(1) −1≦x≦1/2 (2)  解 は な い (3)  x=2

グ ラ フ を描 くプ ロ グ ラム は 次 の とお り。 DECLARE SUB jiku2 wx = 8:wy =5 JIKU2 −wx,

(x1,

wx, −wy,

PRINT"係

a(3),

b(3),

FOR

i=1

TO

READ

a(i), 

NEXT

に す

c(3)

3 b(i),

c(i)

i

FOR

j = 1 TO

FOR

x

= −8

3 TO

8

STEP

y=a(j)*x^2+b(j)*x+c(j) PSET (x,y),7 NEXT

NEXT

x

j

END DATA

2,1,−1

DATA −1,2,−3 DATA

1,−4,4

(解 図2.2)

y1,

wy

数a,b,cをdata文

DIM

x2,

.01

る"

y2)

解 図

2.2

問3  (解 図2.3) 共 有点 の個 数 は次 の と お り (1) m＜−1の

と き0個

(2)  m=−1の

と き1個

(3) −1＜m＜1,

5/4＜mの

と き2個

(4)  m=1,5/4の

(5)  1＜m＜5/4の

と き3個

とき4個

解 図

問4 

略

問5 

(1),(2),(3)は

略

(4)  (解 図2.4)

解 図

2.4

2.3

問6  最 大 値  

1(x=330°

最 小 値  −3(x=150°

の と き) の とき)

(解図2.5)

解 図 2.5

問7  (1)  60°(解 図2.6)

(2)  0≦x＜30°, 330° ＜x＜360°(解

解 図 2.6

図2.8)

解 図  2.7

問8  (1) yの 値 を2倍

問9  (1) x軸 方 向 に−1だ

け 平行 移 動

(2) y軸 に 関 して対 称 移 動

(2) x軸 に 関 して対 称 移 動

(3)  x軸

(3) y軸 に関 して 対称 移 動

方 向 に−2平

(4)  (2)と 同 じ

行移動

問10 

(1)  4(解

図2.8)

  (2)  x≦3(解

図 略)

解 図  2.8

問11  (1) x=5/3

  (2)  0＜x＜1(解

図2.9)

解 図  2.9

問12 

漸 近 線x=−1,y=2(解

図2.10)

解 図 2.10

問13 

(1)−1≦x＜2,x≧3(解

図2.11)

解 図  2.11

(2)最

小 値3(解

図2.12)

解 図  2.12

問14 

x=4 4≦x≦5(解

図2.13)

解 図  2.13

第3章  数 問1 

列

〔列 題2〕

の プ ロ グ ラ ム3.2に

お い て,10行

目 のIF文

の 条 件 をa(i)=2*b(j)と

す る。

計算の結果 26

問2 

  56 

〔列 題3〕

86 

116 

146 

の プ ロ グ ラ ム3.3に

a(n)*2と

176 

206 

お い て,4行

236 

266 

296

目 をa(1)=3,7行

目 をa(n+1)=

す る。

問3  CLS m=20 a=3 PRINT

a,

FOR

n=1 

TO

m−1

a=a*2 PRINT NEXT

a, n

PRINT END 問2お

よ び 問3の 計 算 の結 果

0 

1 

5 

8 13 

55 

89 

610 

987 

問4  隣 りあ う2つ の 項 を足 す た め にaとbの め にcと い う変 数 も必 要 に な る。 CLS m=20 a=0:b=1 PRINT

a,

FOR

=

n

c=ａ+b PRINT a=b

b=c NEXT END

n

b, 1

c,

TO

m −

2

1 

2 

3

21 

34

144 

233 

377

1597 

2584 

4181

変 数 が 必 要 で あ り,次 のaとbを

決 め るた

計算の結果 3 

6 

12 

24 

96 

192 

384 

768 

48 1536

3072 

6144 

12288 

24576 

49152

98304 

196608 

393216 

786432 

1572864

問5  CLS s=0:a=1 FOR

n=1 

TO

20

s=s+a

a=2*a+1 NEXT

計算の結果

n

PRINT

s

2097130

END 問6  CLS s=0 FOR

n=1 

TO

20

s=s+10*1.03^n NEXT

n

PRINT"10年

後 の 元 利 合 計 は";s*10000;"円"

END

計算の結果  問7 

〔 例 題8〕

10年 後 の 元 利 合 計 は2767648(円)

の プ ロ グ ラ ム3.8に

計算の結果

お い て,6∼7行

問8  組 合 せ と階乗 の 関数 は プ ロ グ ラム3.9の DECLARE DECLARE

目 の1.005を1.004に

1ヶ 月 の 返 済額 は平均 す ると32447.73(円)

FUNCTION FUNCTION

c f

もの を使 用 す る。

(n,r) (n)

CLS INPUT "s,t,n";s,t,n DO INPUT

r:

IF

r＜0 OR

u=c(n,r)*s^(n−r)*t^r PRINT"rと 係 数 は LOOP END

r＞7 "; r,u

THEN

EXIT

DO

変 更 す る。

計算 の結 果 s,t,n? 

2,3,7

?3

rと係 数 は 

3 

15120

4 

22680

?4

rと係 数 は 

問9 

プ ロ グ ラム3.10に

お いて,iに

削 除 し,次 の4行 をEND文 FOR 

I=1 

PRINT NEXT 

TO

関 す るFOR∼NEXTル

ー プ の 中 のPRINT文

の 前 に 挿 入 す る。

n+1

USING"####"；a(I); I

PRINT

計算の結果 n=?

10 1 

問10  CLS FOR

10 45 

問12  略 問13  略

252 

210 

120 

45 

10 

1

計算 の結果 81

k

+ 1)

=

(3 *

(2) PRINT 略

210 

n# = 1 TO i#=n# − 1 IF i# MOD 5

n#

PRINT USING END IF NEXT  n# END

問11 

120 

=

0

THEN

/ SQR(n# *

"##.################";

USING文

n#

+

1) k

の 後 ろの 式 を 変 更 す れ ば よ い。

2.8284270763397220 3.1235806941986080 3.0782153606414790 3.0565359592437740 3.0441696643829350 3.0362167358398440 3.0306816101074220 3.0266103744506840 3.0234911441802980 3.0210254192352290 3.0190274715423580 3.0173761844635010 3.0159881114959720 3.0148055553436280 3.0137856006622310 3.0128970146179200 3.0121161937713620

を

問14  関 数1/xは

減 少 関 数 だ か ら,〓

こ こ で,〓

で あ り,成

問15  (1),(2)をそ れ ぞ れ 小数50位,40位

まで 表 示 す る と循 環 す る部 分 が現 れ る。

計算 の結果 ? ?

1,23 50 0.0434782608695652173913043478260869565217391309347

?

19,85

?

40

0.223529411764705882352941176470588235294

第4章  図形 と方程式 問1 

DECLARE wx

SUB

= 16:

jiku2 −wx,

PRINT"2点

jiku2

wy

=

x2,

y1,

y2)

10

wx, −wy,

wy

を 結 ぶ 線 分"

INPUT "(x,y)"; INPUT "(x,y)"; LINE

(x1,

(x1,

y1)−(x2,

x1, x2,

y1 y2 y2)

END (解 図4.1)

解 図  4.1

問2 

(1)(-1,-0.75)

り 立つ｡

  (2)(−2,−2)

問3 

DECLARE wx

=

SUB 8: 

wy

jiku2 -wx, LINE

(-2,

LINE

(2,

CIRCLE CIRCLE

jiku2 =

(x1,

wx, -wy, 0)−(0,

y1,

y2)

wy 2 *

0)−(0,

(0, (0,

x2,

5

2 *

SQR(3)) SQR(3))

2 / SQR(3)), 2 / SQR(3)),

2 / SQR(3) 4 * SQR(3)

/ 3

END (解 図4.2)

解 図 4.2

問4

  DECLARE

SUB lineabc

DECLARE COMMON wx =

SUB

jiku2

SHARED 8:wy =

jiku2 −wx,

(x1,

wx,

(0,

0),

wy

SQR(41)) y(1) −

2

x(2) =

2 *

y(2) −

2

5

/y(2)

=

1

TO

x

= −wx

2 TO

y=m(i) *

PSET NEXT NEXT i END

/

/y(1)

= −x(2) FOR

c1

/ 5

(4 − 2 *

i

y1,

3

y(2) = x(1) =

FOR

x2,

線 ax+by+c=0" "a,b,c="; a1, b1, a1, b1, c1

m(1) = −x(1)

c)

5

DIM x(2),y(2) y(1) = (4 + SQR(41))

m(2)

b,

wy

wx, −wy,

CIRCLE PRINT"直 INPUT lineabc

(a,

wx

STEP

(x−x(i)) +

(x,

y),

.01 y(i)

7

x

(解 図4.3)

解 図  4.3

y2)

問5 

(解 図4.4)

解 図 4.4

問6  略 問8 

問7  略

DECLARE

SUB

COMMON wx

SHARED

=

16: 

FOR

i

(x1,

wx,

wy=

jiku2 −wx,

=

1 (−3,

CIRCLE

(3,

x2,

y1,

wy

10 wx, −wy,

CIRCLE

NEXT END

jiku2

TO

6 0),

0),

wy

STEP 18

12

.5 /

5 *

/ 5 *

i

i

i

(解 図4.5)

解 図 4.5

y2)

問9  DECLARE CLS wx

SUB

=

8 :

WINDOW

jiku

wy

=

(x1,

x2,

fnf

FOR

x

(x)

= 2 / x

= −wx

TO

=

0

THEN

y=fnf(x) PSET (x,

y),

x

tugi: NEXT

wy

等 式 の 表 す 領 域"

DEF IF

wy)

wx, −wy,

PRINT"不

y2)

5

(−wx, −wy)−(wx,

jiku −wx,

y1,

wx

STEP

GOTO

.001

tugi

4

x

PAINT

(−2, −3),

3,

4

END

(解 図4.6)

解 図 4.6

問10 

DECLARE CLS wx = 16: WINDOW

SUB

jiku 

wy

=

(x1,x2,x1,y2)

10

(−wx, −wy)−(wx,

wy )

jｉku −wx, DEF fnf

wx, −wy, (x) = x ^

wy 2 −

x −

DEF

(x)

x − 

1

fng

FOR

x

= −wx

= TO

2 * wx

y1 = fnf(x) y2 = fng(x) PSET (x, y1), PSET (x, y2), NEXT

STEP

3

.005

4 4

x

PAINT

(2,

4),

3,

4

END

(解 図4.7)

解 図 4.7

第5章 

微 分 ・積 分

問1 

区 間[3,3.5]に

問2 

解 は,x=0と

解 は存 在 す る。 区 間[0.5,1]に

問3 ￨x2−x1￨≦10-5で 問4 

解 は,区

問5

f(x)=xex−1と

間[−0.5,0]に

 解 は 区 間[0,1]に

存 在 す る。

計 算 を 終 了 す る 。 近 似 解 は 約1.299995 存 在 して,近

似 解 は 約−0.199936

お く と,f'(x)=(1+x)ex(=g(x)) あ る(解

図5.1)。

解 図 5.1

し た が っ て,プ

ロ グ ラ ム5.4に

お い て,

と す る。  e=10-10,初 と し て,近

期 値1,n=50

似 値 は 解 図5.2と

な る。

解 図 5.2

問6  〓 と お く と,

ゆ え に 解 は 区 間[1,2]に

あ る。 式(1)か

ら,x=2−logx 〓とおくと〓[1,2]に

対 応 して,￨f'(x)￨＜1で

解 は 収 束 す る。   した が っ て,プ 果 は 解 図5.3に

ロ グ ラ ム5.5に

お い て,fnf(x#)=2#−LOG(x#)と

す る。 結

よ る。

解 図 5.3

問7

問8 

プ ロ グ ラ ム5.6に

お い て,

と し,a=0,b=3.14159,n=1000を

入

力 す る。   区 分 求 積 値1.999972を

得 る(解 図5.4)。

解 図 5.4

問9 

(1)プ

ロ グ ラ ム5.7で,fnf(x)=SQR(x)と

して,

相対誤差

(2)プ

ロ グ ラ ム5.7で,fnf(x)=SIN(x)と

す る。

相対誤差 解 図 5.5

関 数 の グ ラ フの 凹 凸 に よ る(解 図5.5)。

問10 

(1)  プ ロ グ ラ ム5.8で,fnf(x)=SQR(x)と

し て,

相 対 誤 差   0.000121

S100=0.6665854 

(2)  プ ロ グ ラ ム5.8で,fnf(x)=SIN(x)と

し て,

相 対 誤 差   0.000001

S100=1.999998 

(解 図5.6)

解 図 5.6

第6章  確率 と統計 問1 

プ ロ グ ラ ム6.1の

注 釈 文 の 部 分 を'四 角 数 の 表 示 と し,s=s+iの

部 分 をs=i^2

に替 え る。 問2 

'n!の 値 の 表 示 CLS S=1 INPUT " n=" ; n FOR i = 1 TO S=S*i NEXT i

PRINT

n

USING "###&

&##########";

n; "

!=";

s

END

計算例 n=? 

10

3628800

10!=

問3 

プ ロ グ ラ ム6.4に お い て,注 釈 行 は'5個 か ら3個 とる重 複 順 列 と し,開 始 行 に次 の 3行 を 挿 入 す る。

 ま た,INPUT

nをn=5と

変 え,PRINT

&";l$(i);m$(j)；n$(k);:print" 

問4  最 短 の 道 す じの総 数 は,35と 問5 

問6 

プ ロ グ ラ ム6.6に 始 値 ,終

+z=15に

す る。 ま た,PRINTプ

挾 む 。PRINTプ

釈 行 を'和 が15の

USING"&&&

に 等 しい 。

整 数 解 の す べ て の 表 示 に 替 え,FOR

替 え る 。 ま た,x+y+z=10をx+y

ロ ン プ ト 文 を"整 行 と 次 の 行 をIF

ロ ン プ ト 文 を"す

プ ロ グ ラ ム6.7のs=s+1と IFで

をPRINT

替 え る。

カ ウ ン トさ れ る。 そ の数 は,〓

値 を そ れ ぞ れ1,15に

プ ロ グ ラ ム6.7のs=s+1の で 挾 む 。PRINTプ

問7 

お い て,注

∼NEXTの

USING文 ";と

i=1

教 解 の 個 数"と 0R

j=1

THEN

べ て の 事 象 の 要 素 の 個 数="と

次 の 行 をIF

ロ ン プ ト 文 を"す

i＜ ＞1

AND

す る。

j＜ ＞1

べ て の 事 象 の 要 素 の 個 数="と

と END

替 え る。 THENとEND 替 え る。

IF

= "×"

問8 

プ ロ グ ラ ム6.9のDIM文

の 行 をDIM

kr(6),ks(6),INT文

(RND*6)+1:s=INT(RND*6)+1,次 ks(s)+1,PRINTプ ; ks(k)と 問9 

ロ ン プ ト 文 を"#の

目 の 出 る 回 数####

####";k;kr(k)

そ れ ぞ れ 替 え る。

表 が3回

出 る の は,○

○ ○ × ×,○ ○ ×○ ×,○ ○ × × ○,○

○ × × ○ ○,× ○ ○ ○ ×,× ○ ○ ○ ×,× ○ ×○ ○,× 表 す 値 は5C3に

問10 

の あ る 行 をr=INT

の 行 をkr(r)=kr(r)+1:ks(s)=

'1枚

等 し い 。 し た が っ て,表

の 硬 貨 を5回

が3回

投 げ でr回

× ○ ○ ×,○

× ○ ○ ○ の10通

× ○ × ○,

り。 こ の 回 数 を

出 る 確 率 は10/32=5/16

表 が 出 る事 象

CLS "○":

a$(2)

=

"×":

b$(1)

=

"○":

b$(2)

= "×"

c$(1)

=

"○":

c$(2)

=

"×":

d$(1)

=

"○":

d$(2)

=

e$(1)

=

"○":

e$(2)

INPUT"表 FOR i

=

1

a$(1) =

FOR

の 回 数";r TO 2

j = 1 TO

FOR k FOR l FOR

=

1 =

m

IF

"×"

2

TO

2 TO 2 1 TO 2

1 =

i + j

+ k

+ 1

+ m = 10

‐r

THEN

S=S+1

PRINT END NEXT m NEXT l NEXT k

NEXT

a$(i)

+ b$(j)

+ c$(k)

+ d$(l)

+ e$(m)

+

"

IF

j

NEXT PRINT END

i :

PRINT"事

象 の 個 数=";S

計算の結果 表 の回数?3 ○ ○○ × ×  ○ × ×○○ 

○ ○ ×○ ×  ×○○ ○ × 

○○ ××○  ×○ ○ ×○ 

○ ×○○ × ×○ ×○ ○

事象 の個 数=10

問11 'サ CLS

イ コ ロ を6回

振

り1の

目 がr回

出 る 確 率

n=6:p=1/6 FOR r = 0 TO 6 t=1:s=1 FOR k = 1 TO r t

=

t *

NEXT

k

pr =

t

PRINT NEXT END

(n ‐

/

s *

USING"1の r

k

p

+

^

1):

r *

s

=

(1 ‐

目 が#回

s *

p)

k

^

(n ‐

r)

出 る 確 率=#.#####";r;pr

○ ×○ ×○ ×× ○○ ○

;"

計算の結果 1の 1の 1の 1の 1の 1の 1の

問12 

目 目 目 目 目 目 目

が0回 が1回 が2回 が3回 が4回 が5回 が6回

出 出 出 出 出 出 出

る る る る る る る

確 確 確 確 確 確 確

率=0.33490 率=0.40188 率=0.20094 率=0.05358 率=0.00804 率=0.00064 率=0.00002

プ ロ グ ラ ム6.11のn=5,PRINTプ

率=";pr,に

ロ ン プ ト文 を"5回

の ジ ャ ン ケ ン で2回

問13 

プ ロ グ ラ ム6.12のpの

問14 

n=10の

問15 

'n人 の 中 に 少 な PRINT n=0:t=1:p=.9

値 をp=0.6に

替 え る。

確 率=0.1169481,n=15の

WHILE

(1

確 率=0.2529013,n=25の

く と も2人

確 率=0.5686996

の 誕 生 日 が 同 じ で あ る 確 率

‐ t)＜=P

n=n+1:t=1 FOR

ｉ

=

1

t = t * NEXT WEND PRINT END

TO

n

(365

‐ i

+

1)

/

365

i USING"確

率 が90%を

越 え る 人 数=##&&";n;"人"

計算の結果 確 率 が90%を

越 え る 人 数=41人

問16 

プ ロ グ ラ ム6.15のDATAを

問17 

プ ロ グ ラ ム6.16のPRINT

PRINT

与 え ら れ た デ ー タ に 取 り 替 え る。 USINGの

行 を 次 の5行

と取 り替 え る。

USING"###&&";K*10;" ";

FOR

j=1TO

dos(k)

print"■";

NEXTj PRINT 問18 

勝 っ確

そ れ ぞ れ替 え る。

プ ロ グ ラ ム6.17のDATAを

計算例 人 数?20標

準 偏 差=8.126322

与 え られ た デ ー タ に 取 り替 え る 。

‐”

問19  プ ロ グ ラム6.18の

注 釈 行‘数 学 の点 数 の読 み 込 み,‘ 理 科 の 点 数 の 読 み込 み を そ れ ぞ

れ,‘体 重 の読 み込 み,‘身 長 の読 み込 み,DATAを

与 え られた デ ー タにそれ ぞれ取 り

替 え る。

計算例 人 数?10相 問20 '確

関 係 数.9427755

率 分 布 を表 す プ ログ ラ ム

CLS OPTION

BASE

DIM

dos(12)

FOR

i

=

FOR

1

1 TO

j = 1 TO

6

6

s=s+1

k=i+j dos(k) NEXT j NEXT

= dos(k)

+ 1

i

'相 対 度 数 の 表 示 FOR k = 2 TO PRINT USING PRINT USING NEXT k END

12 "###& &####&&###"; k; “ " (#.####)";dos(k)/s

;

dos(k); “/";

s;

計算の結果

問21 

2 ‐

1/ 

36 

(0.0278)

3 ‐

2/ 

36 

(0.0556)

4 ‐

3/ 

36 

(0.0833)

5 ‐

4/ 

36 

(0.1111)

6 ‐

5/ 

36 

(0.1389)

7 ‐

6/ 

36 

(0.1667)

8 ‐

5/ 

36 

(0.1389)

9 ‐

4/ 

36 

(0.1111)

10 ‐ 11 ‐ 12 ‐

3/ 

36 

(0.0833)

2/ 

36 

(0.0556)

1/ 

36 

(0.0278)

プ ロ グ ラ ム6.20でnに50,pに0.5を n=?50'p=?.5'平

それ ぞ れ 入 力 す る。

均 値=25.00'分

問22  プ ロ グ ラム6.20のPRINT

USING行

PRINT "np=";n*p print

"np(1‐p)=";n*p*(1‐p)

print

"sqr(np(1‐p))=";SQR(n*p*(1‐p))

散=12.50'標

とEND行

準 偏 差=3.54

の 間 に,次 の3行 を 挿 入 す る。

問23 

'正 規 分 布 曲線 を 表 示 す る プ ロ グ ラ ム DECLARE SUB jiku (x1, x2, y1, y2) DIM z(60, 60), p(60) '範 囲 の 設 定

x1 =‐

10:

jiku

x1,

INPUT INPUT

x2 =

50:

x2,

y1,

y1 = ‐.1: y2

=

.2:pai

=

3.14159

y2

"n=";n

"p=";

p

'2項 係 数 の 計 算 z(0, 0) = 1 FOR i=

1

z(i, 0) FOR j

=

TO

n

= 1:

z(i, i)

1

i ‐1

TO

z(i,j) =z(ｉ‐1,

NEXT

= 1 j‐1)+z(i‐1,

j)

j

NEXT '2項

i 分 布 の 表 示

FOR

ｉ =0

P(i)=

TO

n

z(n, i) * (p

^

NEXT i FOR i

= 0

TO

LINE

(i,

p(i))‐(i +

i) *

((1 ‐p) ^

(n‐i))

n 1,

0),

4,

B

NEXT i '関 数 の 定 義 k= DEF 'グ

1

PSET FOR

y =

/

(0, x

p *

=

k *

(1 ‐p) * EXP(‐(x ‐n *

2 *

pai) p) *

(x ‐

n *

p)

/

(2 *

n *

p *

(1 ‐p)))

0) 0

TO

n

STEP

.5

FNA(x)

LINE ‐(x,

NEXT END

SQR(n *

FNA (x) = ラ フ の 表 示

y),

2

x

(解 図6.1)

解 図 6.1 〔注 〕 サ ブ ・ プ ロ シ ー ジ ャ 「SUB

jiku」

は,プ

ロ グ ラ ム6.21の

も のを 用 い る。

問24 

'信 頼 度95%で

の 平均 有 効 時 間

CLS k=1.96 INPUT"標 本 の 個 数";n INPUT"標 本 の 有 効 時 間";m INPUT"標 本 の 標 準 偏 差";s a=m‐k*s/SQR(n):b=m+k*s/SQR(n) PRINT"母 平 均 の 信 頼 区 間=";

PRINT

USING

"[

####.##,####.##]";

a;

b

END

計算の結果 標本 の 個数?100 標本 の 有効時 間?2000 標 本 の標 準偏 差?130 母 平 均 の 信 頼 区 間=[1974.52,2025.48]

問25 

'信 頼 度95%で CLS

の 信 頼 区 間

k=1.96 INPUT"標

本 の 個 数";n

INPUT"標 P=m/n

本 の 有 性 個 数";m

a = p ‐ PRINT"母

PRINT

k * SQR(p * (1 ‐ p) 比 率 の 信 頼 区 間=";

USING

"[

#.##,

/

n):

#.## ］";

b a;

=

p

+

b

k *

END

計算の結果 標 本 の個 数?100 標 本 の有 性個 数?9 母 比 率 の 信 頼 区 間=[0.03,0.15

第7章  問1 

]

い ろ い ろな 曲 線

(1)DECLARE

SUB

wx

=

8:

wy

jiku2 ‐wx, FOR x = ‐3 *

y=x*SIN(x) PSET (x, NEXT END (解 図7.1)

x

jiku2(x1,

=

5:

wx, ‐wy, pai

y),

x2,

pai

7

TO

= wy 3 *

y1,

y2)

3.14159 pai

STEP

.001

SQR(p

*

(1 ‐

p)

/

n)

解 図  7.1

〔 注 〕 「SUB jiku 2, BAS」

は省 略 す る(本 文 参 照 の こ と)。 以 下 同 じ。

(2)  (解図7.2)

解 図  7.2

問2 

(1)  DECLARE

wx

=

SUB

8:

wy

jiku2 ‐wx, FOR x = ‐wx

IF

x

=

tugi: NEXT END

0

(解 図7.3)

(x, x

(x1,

x2,

y1,

y2)

5

wx, ‐wy, TO wx

y=x‐1/x+1/x^2 IF y ＜‐wy

PSET

jiku2

=

THEN

.001

GOTO

OR

y),

wy STEP

y ＞

7

tugi wy

THEN

GOTO

tugi

解 図  7.3 (2) 

(解 図7.4)

解 図  7.4 問3 

(1)  (解 図7.5) 

(2)  DECLARE

wx

SUB

=

2:

wy

jiku2 ‐wx, FOR x = ‐wx

IF y

x ^ =

x2,

y2)

wy STEP

2 ‐x ^ (x,‐y),

y1,

1.25

wx, ‐wy, TO wx

SQR(x ^

PSET

tugi: NEXT END

jiku2(x1,

=

.001

4 ＜ 2 ‐

0

x ^ 7:

THEN

GOTO

tugi

4)

PSET

(x,

x

(解 図7.6)

解 図 7.5

解 図 7.6

y),

7

問4 

DECLARE

wx

SUB

=

8:

jiku2(x1,

wy

=

jiku2 ‐wx,

FOR

x2,

wx, ‐wy,

k

= 0

FOR

x

TO

2

= ‐wx

IF

x

3

y2)

wy

STEP TO

^

y1,

5

+

.2

wx

k

STEP

=

.01

0

THEN

y ＞

wy

GOTO

tugi

y=4*x^2/(x^3+k) IF

y ＜‐wy

PSET tugi: NEXT NEXT k END

(x,

OR

y),

THEN

GOTO

tugi

7

x

(解 図7.7)

解 図  7.7 問5 

DECLARE

wx

=

SUB

2:

wy

=

jiku2 ‐wx, FOR x = ‐3 *

x

y1

= x *

tugi: NEXT END

(x,

x1,

x2,

1.25:

pai

=

wx, ‐wy, pai

IF LINE

=

jiku2( 

0

OR

wy 3 *

TO

x

SIN(1 y1)‐(x

+

pai

.01

=

/ x): +

y1,

y2)

3.14159

.01,

0

y2

STEP

.01

THEN

GOTO

=

+ .01) *

y2),

x

(解 図7.8)

解 図  7.8

(x 7

tugi

SIN(1

/

(x

+

.01))

問6  糸 の長 さ=ABよ

 定 点Fか

り,

らの長 さPFは,常

問7 

プ ロ グ ラ ム7.9に

問8 

糸 は 長 さ が一 定 値 定値

PF+PF'=一

定 値−FF'

距 離 は一 定値

∴  PF+PF'=一 問9 

定

プ ロ グ ラ ム7.10に

お い て,

(1)

(a,b)=(5.3)を

入 力 す る。

(2)

(a,b)=(2.6)を

入 力 し て,

c=SQR(B^2−A^2) 焦 点 の 座 標 を(0,c),(0,−c)に

問10

す る。

 (一定)

(一 定)

(一 定) (解 図7.9) 問11

略

問12

(1)

(解 図7.10)

等 しい。 を入 力 す れ ば よ い。

お い て,

PF+PF'+FF'=一

FF'の

に定 直 線lま で の距 離PB(PB⊥l)に

解 図 7.9

解 図 7.10

(2)

式(1) 式(1)'→

式(2)

問13

式(1)よ

り,

次 に,式(1)よ

り,

分 数 分 等 式 を解 い て,

解 図 7.11 (解 図7.11)

問14

 (1)

(2) 式(2)よ

り,

式(1)を

代 入 し,

次 に,0≦t≦2π

に対 して

(解 図7.12)

解 図 7.12 問15 

(1)  (解 図7.13)

解 図 7.13 (2)  DECLARE

wx

=

SUB

8:

wy

jiku2 ‐wx, FOR t = ‐wx IF

t

= ‐1

jiku2

=

(x1,

x2,

y1,

y2)

5

wx, ‐wy, TO wx THEN

wy STEP

.01

GOTO

tugi

x=3*t/(1+t^3) y=3*t^2/(1+t^3) IF

y ＜ ‐wy

PSET tugi: NEXT END

(解 図7.14)

(x, t

OR

y),

y ＞

7

wy

THEN

GOTO

tugi

解 図  7.14

問16  (1) DECLARE wx

=

SUB 8:

wy

jiku2 ‐wx, FOR t = ‐pai

jiku2 =

5:

(x1, pai

wx, ‐wy, TO pai

=

x2,

y1,

y2)

3.14159

wy STEP

.005

x=3*(COS(t))^3 y=3*(SIN(t))^3 IF

y ＜ ‐wy

PSET tugi: NEXT END

(x,

OR

y),

y ＞

wy

THEN

GOTO

tugi

7

t

(解 図7.15)

解 図 7.15

(2)  (解 図7.16)

解 図  7.16

問17 

DECLARE

wx

SUB

=

8:

jiku2(x1,

wy

=

jiku2 ‐wx,

5:

=

wx, ‐wy,

INPUT " a="; FOR t = ‐3 * x=a*(t‐SIN(t))

PSET

(x,

y1,

y2)

3.14159

wy

a

pai

y=a*(1‐COS(t)) IF y＜‐wy tugi: NEXT END

x2,

pai

TO

OR

3 *

y＞wy

y),

pai

STEP .01

THEN

GOTO

tugi

7

t

(解 図7.17)

解 図 7.17

 と して,

問18

DECLARE wx

=

SUB 16:wy

jiku2 ‐wx,

INPUT FOR

(x1,

=

pai

a:

= ‐3 *

tugi: NEXT END

(x, t

(解 図7.18)

OR

y),

x2, =

7

y1,

y2)

3.14159

wy

INPUT

pai

x=a*t‐b*SIN(t) y=a‐b*COS(t) IF y ＜ ‐wy

PSET

10:

wx, ‐wy,

"a="; t

jiku2

"b=";

TO

3 *

pai

y ＞

wy

THEN

b STEP

.01

GOTO

tugi

解 図  7.18

 と お く と,

問19

(〔注 〕の ② よ り)

(〔注 〕の ① よ り)

同様 に

〔注 〕TP=TAよ

り,

DECLARE wx

=

SUB 16:

wy

jiku2 ‐wx,

jiku2

(x1,

=

pai

10:

wx, ‐wy,

x2, =

PSET

(x,

.01

b *

y=(a+b)*SIN(t)‐ IF y ＜ ‐wy

OR

y),

y2)

wy

INPUT "a,b="; a, b FOR t = 0 TO 2 * pai STEP x=(a+b)*COS(t)‐b*COS((a+b)/b*t)

tugi: NEXT END

y1,

3.14159

y ＞

wy

THEN

SIN((a GOTO

tugi

7

t

(解 図7.19)

解 図

問20  DECLARE wx

=

SUB 8:

wy

jiku2 ‐wx,

FOR x

jiku2 =

5:

pai

wx, ‐wy,

t

= ‐pai

=

pai *

PSET

(x,

=

x2,

y1,

y2)

wy

TO

pai

STEP .001

2 *

SIN(pai *

y),

7.19

3.14159

t ‐

y=1‐2*COS(pai*t) IF y ＜ ‐wy OR tugi: NEXT END

(x1,

y ＞wy

THEN

t)

GOTO

7

t

(解 図7.20)

解 図

7.20

tugi

+ b)

/ b *

t)

問22

問21

解 図  7.21

解 図  7.25

解 図 7.22

解 図 7.26

解 図  7.23

解 図 7.27

解 図 7.24

解 図  7.28

問23  (数値 表)

(解 図7.29)

解 図 7.29

問24

問25

よ り, よ り,

r≠0よ り

問26(1) 

DECLARE

wx

SUB

=

8:

wy

jiku2(x1,

=

jiku2 ‐wx,

5:

=

wx, ‐wy,

INPUT t

= ‐pai

y1,

y2)

3.14159

wy

"a,b,k=";

FOR

x2,

pai a,

TO

b,

k

pai

STEP

y ＞

wy

r=a+b*COS(k*t)

.001

x=r*COS(t) y=r*SIN(t) IF

y ＜‐wy

PSET tugi: NEXT END

(x,

OR

y),

THEN

GOTO tugi

7

t

(解 図7.30) (2)(解

図7.31)

解 図 7.30

解 図  7.31 問27 

DECLARE

wx

SUB

=

4:

wy

jiku2 ‐wx,

INPUT " FOR k FOR

a="

= t

IF

jiku2(x1,

1 =

=

x2,

2.5:

pai

wx, ‐wy, ; a

TO 7 0 TO

COS(k *

=

IF

y

tugi: NEXT NEXT k END

(解 図7.32)

＜ ‐wy

(x,

2 *

3.14159

pai

t)

＜ 0

t

OR

y),

y2)

wy

STEP

y

7

.005

THEN

r = a * SQR(COS(k * x=r*COS(t) y=r*SIN(t) PSET

y1,

GOTO

tugi

t))

＞

wy

THEN

GOTO

tugi

解 図  7.32

(2) 練習問題の解答 第1章 

数 と式

1 .2 

.(1)  17.94427 

(2)  1.490712 

.(1)  72 

(2)  17892

(3)  0.372678 

(1)  CLS

i=0 FOR

n

IF

=

1

(n

TO

MOD

(2)  CLS s=0 FOR

500

7)

= 3 THEN

= (n

1 TO 500 MOD 7) =

s=s+n

3 

END NEXT PRINT END

IF n s

a

FOR

k

= 2 TO

r =

a

MOD

IF

n IF

i =i+1 END IF NEXT n PRINT i END . CLS INPUT

(4)  120

r=0

SQR(a)

k THEN

PRINT"aは

NEXT k PRINT"aは o wari: END

素 数"

解 答(1)  ?91 aは 素数 でな い (2) 

?1523

aは 素数 (3)  ?45725

aは 素数 でな い

素 数

で

な

い":GOTO

owari

0

THEN

4. 

CLS

INPUT PRINT FOR a

n

m=

a

FOR

k

実行 例

=

2

TO

=

2

n

?10

TO

m

2=2 3=3

DO r =m IF r PRINT

MOD = 0 k;

k THEN

2  2 

m=m/k END

5. 

CLS INPUT DO

UNTIL

r ＜＞

0

k "=";

a,

a

b:

3=6

7=7

IF

LOOP

NEXT PRINT NEXT a END

2=4

5=5

c

=

a:

d

=

2 

2

3 

3=9

2 

5=10

b

解 答(1) 

r =

IF c=d d=r LOOP PRINT

PRINT

c ‐

r

=

d *

0

INT(c

THEN

/

d)

EXIT

DO (2) 

"gcm=";

d

"lcm=";

a *

2=8

?12,48 gcm=12 lcm=48 ?108,84 gcm=12 l cm=756

b / d

END

(3) 

?2211,1139 gcm=67 lcm=37587

6.

(1)

?3,‐2 A(x)の

係 数=3 ‐1 ‐5 

B(x)=x‐(‐2

4

)

Q(x)の 係 数=3 ‐7 

9

余 り

R=‐14

(2) 

?5,‐2 A(x)の

係 数=3 ‐1 ‐5  

B(x)=x‐(‐2) Q(x)の 係 数=3 ‐7 

9 ‐14 

?167,4,6 n=167 

4進 数;2 

3 23

8. 

7.(1) 

4 ‐5 

p=4 2  1  3

5進

p=5 数;1 

1  3  2

(2)  ?1823,4,6 n=1823 

4進

数;1 

p=4 3  0  1  3  3

?1823,5,6 n=1823 

5進

数;2 

p=5 4  2  4  3

(3)  ?3190,4,6 n=3190 ` 4進 数;3 0 

p=4 1  3  1  2

?3190,5,7 n= 3190 

5進

第2章  関

数;1 

p=5

0  0  2  3  0

数

1. 

(解 図2.1)

解 図 2.1

R=‐43

?4,‐8,5 x=1 

?167,5,6 n=167 

余 り

+.5 

i 

1 ‐.5 

i

2.(1) −1＜m＜1,m≠0の

と き,2点

(2)  m=±1の

と き,接

(3) m＜−1,m＞1の 問2 

DECLARE

wx

=

16:wy

=

x2,

wx, ‐wy,

y2)

wy

TO

x

y1,

10

m=‐1.2 FOR

わ らな い。

jiku2(x1,

jiku2 ‐wx, FOR

す る。 と き,交

SUB

で 交 わ る。

= ‐wx

1.2

STEP.2

TO

wx

y),

7

STEP

.01

y=m*x^2‐2*x+m

PSET NEXT NEXT m END

(x, x

(解 図2.2)

解 図 2.2 3. 

0＜m＜1,m＞1の

と き,3

m=0,1の

と き,2

m＜0の

と き,1

DECLARE wx

=

SUB

jiku2

4:wy

=

jiku2 ‐wx, FOR

m FOR y

wx, ‐wy, = ‐1 x

=

TO

x *

.5

TO

wx

STEP

ABS(1 ‐

x)

(x,

y),

4

(x,

y),

3

x

(解 図2.3)

y1,

wy STEP

y=m*x

PSET

x2,

2

= ‐wx

PSET

NEXT NEXT m END

(x1,

2.5

.01

y2)

(3) 

解 図 2.3

4.  (1)  最 大 値 

1 

 最小値−1  (2) 最 大 値  2 

 最小値−2 

基 本 周 期  360° (解 図2.4)

基 本周 期   180° (解 図2.4)

解 図 2.4 (解 図2.5)

(4) 最 小 値   0 

(解 図2.5)

解 図 2.5

5.(1)60°

  3/2

(2)

＜x＜360°

 

(解 図2.6)

解 図  2.6

 (解 図2.7)

解 図 2.7

6.  m＜−1/2

DECLARE wx

SUB

=

4:

jiku2

wy

=

jiku2 ‐wx,

wx, ‐wy,

FOR

M

= 0

FOR

x

= ‐wx

STEP ‐1

TO

wx

= 1 /

(2 *

y2

=

M *

x

(x, (x,

y1), y2),

PSET PSET

x2,

y1,

y2)

wy

TO ‐10

y1

NEXT NEXT END

(x1,

2.5 /

STEP

2

.01

x)

+

1

3 4

x M

(解 図2.8)

解 図  2.8

7.

0＜k＜1/4の

と き2個

k＜0,k=1/4の

k＞1/4の

と きな し

DECLARE wx

=

と き1個

SUB

jiku2

4:wy

=

jiku2 ‐wx,

(x1,

wx, ‐wy,

FOR

K

= ‐1

FOR

x

=

y1

0

TO

TO

x2,

y1,

y2)

2.5 1

wx

wy STEP

.25

STEP

.01

= SQR(x)

y2=x+K

PSET PSET NEXT NEXT K END (解 図2.9)

(x, (x,

y1), y2),

3 4

x

解 図 2.9

第3章  数

列

1.  階 差 が初 項2公 比2の 等 比 数 列 に な って い るの で,一 般 項 は初 項 に 階 差数 列 の(n−1) 項 まで の和 を加 えれ ば よ い。 1 

3 

7 

15 

31

63 

127 

255 

511 

1023

8191 

16383 

32767

262143 

524287 

1048575

2047 4095  65535 

131071 

2.  項 の番 号 と そ の項 ま での 和 を表 示 し,和 が 負 と な っ た と き プ ロ グ ラ ムを終 了 させ る。 3.  計 算 の結 果 72 

104292

4.  計 算 の 結 果 338350

5 . CLS n=20*12 t#=500*10000# z#=t#

s#=0 FOR

i=1

TO

n

t#=t#*1.005 s#=s#*1.005+1 NEXT

i

x#=FIX(t#/s#) PRINT"1ヶ

月 の 返 済 額 は";x#;"円"

PRINT"回

数","

PRINT"

", "元 金","利 息","元 利 合 計"

FOR

i=1

返

済

TO n

r#=FIX(z#*.005) IF i=nTHEN PRINT

i,z#,r#,z#+r#,0

ELSE z#=z#+r#‐x# PRINT

i, x#‐r#, r#, x#,

END

IF

NEXT

i

END

z#

額

"

,"残 高"

0

計算の結果 1ヶ

月 の 返 済 額 は35821円

回 数 

返

元 金 

済

額 

利 息 

残高 元利 合 計

12 

11432 

24389 

35821 

4866509

24 

12137 

23684 

35821 

4724788

216 

31622 

4199 

35821 

808248

228 

33573 

2248 

35821 

416220

240 

35658 

178 

35836 

6.  問9の

プ ロ グ ラ ム に お い て,n=20と

し,

END中

計算の結果 1048576

FOR

i=1

TO n+1

s=s+a(i) NEXT i PRINT

s

PRINT

2^n

第4章  図形 と方程式 1.  DECLARE

wx

SUB

=

jiku2

16:wy=

jiku2 ‐wx, FOR

(x1,

wx, ‐wy,

k

x2,

= ‐5

TO

wy

5

a=2*k‐1:b=k:

IF

c=3‐k

b ＜＞ FOR

0

x

THEN

= ‐wx

TO

y=‐a/b*x‐c/b PSET (x, y), NEXT ELSEIF FOR

x a ＜＞ y

0

= ‐wy

PSET

(x, y

(解 図4.1)

STEP

.01

wy

STEP

.01

THEN TO

y),

wx

7

x=‐c/a NEXT ELSE END IF NEXT k END

y1,

10

7

y2)

の前 に次 の行 を 挿 入 す る。

解 図 4.1

2 3

.略 .(解 図4.2)

解 図 4.2

4 .(解 図4.3)

解 図  4.3

5. 

DECLARE COMMON wx =

SUB

jiku2

SHARED 8: wy =

jiku2 ‐wx,

FOR

i

NEXT END

1

TO

(0, (4,

x2,

y1,

y2)

wy

5

wx, ‐wy,

=

CIRCLE CIRCLE

(x1,

wx,

2.2

0), 0),

wy

STEP

i 3 *

.2

i

i

(解 図4.4)

解 図  4.4

6 . (解 図4.5)

解 図  4.5

第5章 

微 分 ・積 分

1.3x3−x2−x−4=0は に お い て,

区 間[1,2]に

実 数 解 が あ る(例

題1参

照)。

プ ロ グ ラ ム5.2

とす る。 2.  x3−3x2−1=0の

実 数 解 は,区 間[−2,−1],[−1,0],[1,2]に

あ る(例

題1参

照)。

の と き, の と き, の と き, (プ ロ グ ラ ム5.3に

3.  区 間[0,1]に

よ る)

唯一 つ の実 数 解 を もつ(例 題1参

照)。 (プ ロ グ ラ ム5.5に

よ る)

と お く と, 収 束 条 件e=?.00001 初 期 値 ×1=?1 回 数n=?50

の範 囲 で と す る こ と が で き る。

27

4.  f(x)=x+2x−4と

して 関 数 値 を 計 算 す る と,[1,1.5]に と して, 

  0.4655741751

実 数 解 が あ る(例 題1参

照)。

と お く と,

に 対 し て, した が っ て,こ

の と き は￨f'(x)￨＞1と

な る。

と す る と,

.00001

収 東 条件e=?

初期値×1=?1 1≦x≦2に

対 して

回 数n=?50

21 

し た が っ て,x=log2(4−x)に

1.3861644268

反 復 法 が 適 用 で き る 。 プ ロ グ ラ ム5.5に

より

5.  区 分 求 積 に よ る 値=0.6906536

(プ ロ グ ラ ム5.6に

a,b,n=?0,1,100 .6906536

よ る)

6.  台 形 公 式 の と き の 値 は1.112332(プ

ロ グ ラ ム5.7に

シ ン プ ソ ン の 公 式 の と き の 値 は1.111446(プ ?0,1,10 a= 0 b= 1 n= 1.112332

よ る)

ロ グ ラ ム5.8に

よ る)

10

?0,1,10 a= 0 b= 1 n= 10 1.111446

第6章  確率 と統計 1.  プ ロ グ ラ ム6.1と

異 な る プ ロ グ ラ ム で あ る が 同 じ働 き を す る 。

'三 角 数 の 表 示 CLS s=0:n=20:i=0:sum=0 FOR i = 1 TO n s = s + i: sum = PRINT s; NEXT i PRINT : PRINT sum END

2.  (2)CLS l$(1) m$(1) n$(1)

sum

+

s

= =

"a": "a":

l$(2) m$(2)

= =

"b": "b":

l$(3) m$(3)

= "c": l$(4) = "c": m$(4)

= "d": l$(5) = "d": m$(5) =

=

"a":

n$(2)

=

"b":

n$(3)

=

=

=

1

5

"c":

n$(4)

"d":

= "e" "e"

n$(5） =

"e"

s=0 FOR

i

FOR

TO

j = 1 TO

IF

j ＞

i

FOR

k

=

1 TO

IF

k＞j

s =

s+1

PRINT END

NEXT END

NEXT NEXT

5

THEN

5

AND

USING

k＞i

THEN

"&&&&&&";

l$(i); m$(j);

n$(k);

: PRINT

"

";

IF

k

IF

j i

PRINT

PRINT"組

み 合 わ せ の 個 数";s

END

3.  プ ロ グ ラ ム6.7に

THENとENDIFで

お い て 第6行

の,s=s+1の

挾 む。 ま た,PRINTプ

行 と 第7行

を,IFi=1ANDj=1

ロ ン プ ト文 を"す べ て の 要 素 の 個 数="

に替 え る。 4.  プ ロ グ ラ ム6.11に

文 を"表 が3回

お い て,nを5,rを3,pを0.5に

出 る確 率="に

替 え る。

す る。 ま た,PRINTプ

ロ ンプ ト

5. 

'1枚 の 硬 化 を5回 CLS n=5: p=.5 INPUT"回 数";r t=1:s=1 FOR k = 1 TO r t

=

t *

NEXT pr

k

+

1):

s

表 が 出 る 確率

=

s *

k

k =

t

/

PRINT END

6. 

(n ‐

投 げ てR回

s *

p

^

USING"表

r *

(1 ‐

が#回

p)

^

(n ‐

r)

確 率=#.####";r;pr

'二 項 係 数 を 求 め る プ ロ グ ラ ム CLS OPTION BASE 0 INPUT "n=" ; n

DIM c(n, n) '二 項 係 数 の 算 出 c(0,

0)

FOR

i

= 1

=

c(i,

1

TO

0)

FOR

j

n

c(i,

1

i ‐

=

= 1:

c(i, j)

TO =

i)

= 1

1

c(i ‐

1,

j ‐

1)

+

c(i ‐ 1,

j)

NEXT.j NEXT

i

'二 項 係 数 の 表 示

INPUT "

r=";

PRINT

r

USING "###C##=#######";

n;

END

計 算例 n=?30 r=?5 30C

第7章  1. 

5=

142506

い ろい ろ な 曲線

(1)  DECLARE

wx

=

SUB

4:

wy

jiku2 ‐wx, FOR x = ‐3 *

jiku2

=

wx, ‐wy, pai

y=x^2*SIN(2*x) PSET (x, y), NEXT END (解 図7.1)

x

(x1,

2.5:

7

pai TO

x2,

= wy 3 *

y1,

y2)

3.14159 pai

STEP

.001

r;

c(n,

r)

CLS INPUT FOR i s=0

計算の結果 ?1000 1.5 .7078772 .7005792 .6981169 .6968797 .6961363 .6956396 .6952846 .6950178 .69481 .6946443 .6945088 .6943957 .6942996 .6942173 .6941461 .6940836 .6940285 .6939796 .6939358

n =

1

TO

n

STEP

50

FOR j = 0 TO i a = 1 / (i + j) s=s+a

NEXT

j

PRINT NEXT i PRINT END

s

解 図  7.1 (2) 

DECLARE wx

=

SUB 8:

wy

jiku2 ‐wx, FOR x = ‐3 * y

=

4 *

PSET NEXT END

(x,

jiku2 =

5:

wx, ‐wy, pai EXP(‐x

y),

(x1, pai

=

TO

wy 3 *

^

2) *

x2,

y1,

y2)

3.14159 pai SIN(4 *

STEP

.001 x)

7

x

(解 図7.2)

解 図  7.2

2. 

(1)  DECLARE

wx

SUB

=

8:

jiku2

wy

=

jiku2 ‐wx, FOR x = ‐wx IF

1 ‐

(x1,

5:

pai

wx, ‐wy, TO wx x ^

2

PSET tugi: NEXT END

(x,

0

y1,

.001

THEN

GOTO

tugi

x)/(1‐x^2) y ＞ wy THEN

y),

y2)

3.14159

wy STEP

=

y=x * SIN(3 * IF y ＜ ‐wy OR

x2,

=

GOTO

tugi

7

x

(解図7.3)

解 図 7.3 (解 図7.4)

(2) 

解 図  7.4 3. 

DECLARE

wx

SUB

=

4:

wy

=

jiku2 ‐wx, FOR x = ‐wx IF y

x

IF

=

wx, ‐wy, TO wx 0

OR

y ＜ ‐wy (x, ‐y),

x

(解 図7.5)

(x1,

x2,

y1,

y2)

2.5 wy STEP

(4 ‐

SQR((1 ‐

PSET

tugi: NEXT END

=

jiku2

x) ^

OR

y ＞ 7:

x

.001 ^ 2 *

wy PSET

2)

/ (4 ‐

THEN (x,

x ＜

0

x ^

GOTO y),

THEN 2)

tugi 7

GOTO /

x)

tugi

解 図 7.5 4. 

DECLARE

SUB

wx =

=

jiku2 ‐wx,

FOR

jiku2

8:wy

(x1,

wx, ‐wy,

k FOR

= ‐10 x

x2,

y1,

TO

= ‐wx

wy

10 TO

STEP wx

1

STEP

.01

IF x ^ 3 ‐ 3 * x + k ＜ 0 y=SQR(x^3‐3*x+k) IF y ＜ ‐wy OR y ＞ wy THEN PSET

tugi: NEXT NEXT k END

y2)

5

(x, ‐y),

7:

PSET

(x,

THEN GOTO y),

x

(解 図7.6)

解 図 7.6

5

. 略

GOTO tugi 7

tugi

6. 

(1) 

(解 図7.7)

解 図  7.7 (2) 

DECLARE

wx

=

SUB

8:

jiku2(x1

wy

jiku2 ‐wx, FOR t = ‐wx

=

,

x2,

y1,

y2)

5

wx, ‐wy, TO wx

wy STEP

.01

x=2*t^2/(1+t^2) y=2*t^3/(1+t^2) IF

y

PSET tugi: NEXT END

＜ ‐wy

(x,

OR

y),

y ＞

wy

THEN

7

t

(解 図7.8)

解 図  7.8

GOTO

tugi

7. 

DECLARE wx

SUB

=

4:

wy

jiku2 ‐wx,

INPUT FOR

jiku2 =

t

m,

= ‐pai

x2,

pai

wx, ‐wy,

"m,n=";

x=

(x1,

2.5:

=

y1,

y2)

3.14159

wy

n

TO

pai

STEP

y ＞

wy

.005

COS(m*t)

y=SIN(n*t) IF

y ＜ ‐wy

PSET

(x,

tugi: NEXT END

OR

y),

THEN

GOTO

7

t

(解 図7.9)

8

解 図  7.9

.  (1)(解

図7.10)

解 図 7.10

tugi

8. 

(2)  DECLARE

wx

SUB

=

16:

jiku2

(x1,

=

pai

wy

10:

jiku2 ‐wx, wx, ‐wy,wy INPUT "a,b,c="; a, FOR

t

= ‐pai

x

=

(a +

y

=

(a

IF

TO

+

PSET

pai

b) *

SIN(t) ‐c *

y),

y ＞

y1,

y2)

3.14159

c

*

COS(t) ‐

OR

(x,

b,

pai

b) *

y ＜ ‐wy

tugi: NEXT END

x2,

=

STEP

.005

c *

COS((a

+

wy

SIN((a + THEN

GOTO

b)

/

b *

t)

b)

/

b *

t)

tugi

7

t

(解図7.11)

解 図 7.11 9. 

DECLARE wx

=

SUB 8:

=

jiku2 ‐wx,

FOR

t

jiku2

wy

5:

wx, ‐wy,

=

0

TO

2

y ＜ ‐wy

PSET tugi: NEXT END

(x,

y1,

y2)

3.14159

pai

STEP

.005

t

OR

y),

x2,

= wy

*

r = 6 / pai * x = r * COS(t) y = r * SIN(t) IF

(x1, pai

y ＞

wy

THEN

GOTO

tugi

7

t

(解 図7.12)

解 図 7.12

10. 

(1)  (解 図7.13)

解 図 7.13 (2) 

DECLARE wx

=

SUB 16:

wy

jiku2 ‐wx,

INPUT FOR

jiku2

(x1,

=

pai

10:

wx, ‐wy,

"a,k="; t

= ‐pai

a, TO

x2, =

y1,

wy

k pai

STEP

.001

IF COS(t) = 0 THEN GOTO r = a / COS(t) + k x=r*COS(t) y=r*SIN(t) IF

y ＜ ‐wy

PSET tugi: NEXT END

(x,

OR

y),

y2)

3.14159

y ＞

wy

tugi

THEN

7

t

(解 図7.14)

解 図  7.14

GOTO

tugi

索 期待値 

あ 行 186

ア ポ ロ ニ ウ ス 

78

ア ポ ロ ニ ウ ス の 円 

7,61

ア ル ゴ リ ズ ム 

134

基本周期 

37

逆関数 

46

共役 な複素数 

23 74,75

共有点 

181

極  1次 方程式 

21

極限 

一般 項 

53

極限値 

62 62,64

極座標 

181 182

内 サ イ ク ロ イ ド 

175

極方程式 

内 ト ロ コ イ ド 

178

虚数 

23

虚数単位 

23

虚部 

23

グ ラ フ ィ ッ ク 画 面 

29

円 

73

か 行 カ ー ジ オ イ ド 

183

98

区分求積法 

解の公式 

22

組合せ 

114

解 の存在 区間 

82

組立て除法 

16

外 サ イ ク ロ イ ド 

177 77

角の二等分線 

公約数 

11

確率 

118

合成 

38

確率分布 

133

互除法 

13

確率変数 

134

確率密度 関数 

137

さ 行

型宣言 

3

サ イ ク ロ イ ド 

割線 法 

88

サ ブ ル ー チ ン 

関 数 プ ロ シ ー ジ ャ 

60

最大公約数 

元利 合計 

58

三角関数  三角数 

軌跡

 76,153

三角不等式 

172 6 11 36 112 40

引

三角方程式 

40 3

算術関数 

53

数列の和 

57

正規分布 

137

正規分布 曲線 

138

129

散布度  算法 

数列 

7,8,13

シ ンプ ソ ンの 公 式 

109

正 弦 

36

四角数 

112

正弦関数 

37

指数関数  指数方程式,不 等式  始線  自然数  実数 

41,45 46 l81 1,  7,  9,  10

2,23

整数 

1

正接 

36

正 の相関 

23

周期 

37

素因数分解 

周期関数 

37

相関 

収束判定条件  重解  重複順 列  10進 数 

循環小数  純虚数 

62,  63,  65

相関図 

34

130 132 130,131

双曲線 

161

双曲線の焦点 

161

19

双曲線の頂点 

163

相対誤差 

105

2,67 23

初項 

53 166

素数 

14

台形公式 

43

対数 

63

3

ダ イ レ ク トモ ー ド 

真数 

141

8,10

た 行

除法  振動 

10,11

115

114

信頼区間 

164

相関係数 

87

順列  助変数 

55,56

漸近線 

実部 

収束 

131

漸化式 

対数 関数  対数方程式,不 等式 

104 43 43,45 47

信頼区間 の幅 

141

楕 円 

156

信頼度 

141

楕 円の焦点 

156

楕 円の中心 

159

楕 円の頂点 

159

垂 直二等分線 

76

は 4

36

単位円 

3

単精度実数型 

パ ラ メ ー タ 

166

場合 の数 

112

媒介変数 

166

直線の方程式 

69

媒介変数表示 

166

直角双曲線 

49

倍精度実数型 

3

積み立て預金 

57

テ キ ス ト画 面 

29

発散 

63,64,65 121

反復試行 

94

反復法 

ト ロ コ イ

ド 

等比数列の和 

判別式 

23,24,34

173

標準偏差 

129

57

標本平均 

140

動経 

181

度数 

127

プ ロ グ ラ ム モ ー ド 

度数分布 

126

プ ロ シ ー ジ ャ 

30

複素数 

23

な 行

複利 

ニ ュ ー ト ン法 

91

負 の相関 

2進 数 

19

部分和 

19

分散 

2進 法 

2次 関数 

27,32

2次 曲 線 

152

2次 不等式 

3

58 131 64 129

分数関数 

48

分布曲線 

137

32

2次 方程式 

22,32

ヘ ロ ンの公 式 

2直 線 の交 点 

71

平均 

125

二項係数 

59

偏角 

181

二項定理 

59

二項分布 

136

二分法 

85

 行 パ スカ ルの 三 角 形  パ ッ ポ ス 

60 187

放物線 

152,154

放物線の準線 

154

放物線 の焦点 

154

母集団分布 

139

母標準偏差 

139

母比率 

141

母比率の推定 

141

母分散 

139

母平均 

139

余弦 

36

母平均の推定 

140

余弦関数 

37

有理 数 

ま 行

ら 行

無限関数 

50,51

無限級数 

64,65

無限級数の和 

ラ グ ラ ン ジュ の補 間 多 項 式 

64

無限小数 

2,67

無限数 

2,67

無限数列 

2,67

メ ナ イ ク モ ス 

186

102,106

リサ ー ジ ュ 

169

リマ ソ ン 

184

離数 的な確率変数 

62

無理数 

2,67

137

領域 

79

利率 

58

連続 的な確率変数 

や 行

137

英 字 ・記 号

約数 

7

β(n,P)  gcm 

136 11,13

ユ ー ク リ ッ ドの 互 除 法 

13

nCr 

114

ユ ー ク リ ッ ドの 算 法 

12

nPr 

114

有限小数  有理関数 

2,67 48

P進 数 

19

新 ・数 学 と コ ン ピ ュ ー タ シ リ ー ズ

BASICに

3

よ る高 校 数 学

1996年3月20日

  第1版1刷

発行

著

者 片 桐 重 延   飯 田 健 三  佐 藤 公 作   志 賀 清 一  高 橋   公

機 大 学 発行者 学校法 人 東京電 代 表 者 廣 川 利 男 発行所 東 京 電 機 大 学 出 版 局 〒101 東 京 都 千 代 田 区 神 田 錦 町2‐2 振 替 口 座  00160‐5‐71715

印刷 三功印刷㈱ 製本 ㈱ 徳住 製本所 装丁 高橋壮一

〓

Katagiri Iida Shiga

電 話  (03)5280‐3433(営

業)

(03)5280‐3422(編

集)

Shigenobu

Kenzo 

Sato

Kiyokazu 

Printed in Japan *無 断 で 転 載 す る こ と を禁 じ ます 。 *落 丁 ・乱 丁 本 はお 取 替 え い た し ます 。

ISBN

4‐501‐52480‐4

C3355

R〈日本 複 写 権 セ ン ター 委 託 出版 物 〉

Kohsaku TaKahashi

Ko 1996

プログラミング教科書 高校 生 のた め の FORTRAN JIS基

本水準に よる

ビギナーズ FORTRANプ

秋 冨   勝 他 共 著 B5判  128頁  2色 刷 FORTRAN学 習 ・演 習のテ キ ス トとして,2色 刷 で 見やす く学 びやすく編集 した。JIS基 本水準 に基 づき, さらに上位水 準 で学ん で ほ しい事 にっ いて も記 述。

若 山 芳 三郎 著 A5判  200頁

高校 生 の ため の

高 校 生の ため の

基 礎BASIC

応 用BASIC

新JISフ

新JISフ

ロー チ ャー ト

好 評の 前著 「 プ ログ ラム例 に よるFORTRANの 入 門」 をJISの 改正,入 力 方法 の変化 等 に あわせ て書 き改 めた もの であ る。

ロー チ ャー ト

秋 冨  勝 他 共 著 B5判   104頁  2色 刷 BASICの 学 習 ・パ ソコン演習 のテキ ス トと して,2 色 刷で見 やす く学びや す く編 集 した。 特に 高校生 に 親 しみの もて るプ ログラ ムを選び 基本 を重視 した。

若 山 芳 三 郎 他 共 著 B5判  106頁  2色 刷

高校生のための ポ ケコ ン

高 校 生の ため の

カ シ オ版 ／ シ ャ ー プ版

ログ ラ ミ ング

グ ラフ ィックか らファイル,実 用的 な プ ログ ラムま でどの機種 でも学べ るよ うに解 説。口絵 に グラフィッ クのカ ラー写真 をのせ,楽 しく学 べ る。

C 若 山 芳 三 郎 著 B5判  88頁

諸房  岑 他 共 著 B5判  各128頁 ポケ コンの基 本性能 が十 分 に利 用 でき るよ う,電 卓 機 能 ・統 計計 算か らBASIC,C言 語,CASLま で, 具体的 に例題 を取 り入 れ た。

高校 生のた めのCプ ログ ラ ミン グ教 育 の教 科 書 ・演 習書 と して,QuickCを 取 り上 げ,内 容 を精選 して 編 集。 高校生 の親 しみ や すい豊 富な プ ログラ ミング 課 題 を掲 載。

高 校生 の た めの

教 育 と コ ン ビュ ー タ

パ

ワー プ ロ ・表 計 算 ・図 形 ・BASIC

教 師 の た め の コ ン ピ ュ ー タQ&A

秋 冨  勝 他 共 著 B5判   148頁  2色 刷

秋 冨  勝 著 B5判  168頁

市販 ソフ トで も評価 の高い一太 郎,Lotus1‐2‐3,花 子にBASICの 基礎 を取 り上 げ,そ の操 作法 が取 得 でき るよ うに,コ ンパ ク トに1冊 にま とめた。

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＊定 価,図 書 目録のお 問い合 わせ ・ご要望 は出版局 までお願 い 致 します. 

P‐62