Springer-Lehrbuch
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J.-Matthias Graf von der Schulenburg Andy Zuchandke
Übungen zur Versicherungsökonomik
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Prof. Dr. J.-Matthias Graf von der Schulenburg Andy Zuchandke Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Institut für Versicherungsbetriebslehre Königsworther Platz 1 30167 Hannover Deutschland
[email protected] [email protected]
ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-20577-4 e-ISBN 978-3-642-20578-1 DOI 10.1007/978-3-642-20578-1 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)
Vorwort
Liebe Leserinnen und Leser, das Aneignen von Fachwissen wird häufig sehr erleichtert, wenn es direkt auf konkrete Fragestellungen angewendet werden kann. Dies ermöglicht es auch, das theoretische Verständnis über wirtschaftliche Zusammenhänge zu überprüfen und gleichzeitig zu kontrollieren, ob die Theorien und Modelle wirklich verstanden wurden. Deshalb bieten wir seit Jahren unseren Studierenden neben Vorlesungen und Seminaren auch vorlesungsbegleitendende Übungsveranstaltungen an. Aus diesen Veranstaltungen ist vor einem Jahr das Übungsbuch zu Public Health und der Gesundheitsökonomik entstanden, dem nunmehr das Übungsbuch zu versicherungsökonomischen Fragen folgt. Die hier vorgestellte Aufgabensammlung mit Musterlösungen enthält verschiedene Arten von Übungen, in denen das erlernte Fachwissen angewendet und überprüft werden kann. Das Fachwissen wiederum kann aus den einschlägigen versicherungsökonomischen Lehrbüchern extrahiert werden bzw. wird in entsprechenden Lehrveranstaltungen vermittelt. Das Übungsbuch ist insbesondere für versicherungsökonomische und finanzwirtschaftliche Studiengänge an Universitäten und Fachhochschulen geeignet. Die Aufgaben sind dabei so gewählt, dass ein breites Spektrum an Themen abgedeckt wird. Insgesamt ist das Übungsbuch in vier Themenbereiche aufgeteilt, die zum Teil aufeinander aufbauen. Im ersten Kapitel werden Übungsaufgaben zu den Grundlagen der Versicherungstechnik präsentiert, wobei zunächst allgemeine Grundlagen und anschließend Aufgaben der Sparten Schadenversicherung, Lebensversicherung und Rückversicherung präsentiert werden. Das zweite Kapitel des Übungsbuchs beinhaltet das Thema Entscheidung unter Unsicherheit, wobei der Fokus insbesondere im Bereich der Entscheidung unter Risiko liegt. Darüber hinaus werden Fragestellungen zu den Themen Erwartungsnutzentheorie, Risikoaversion, Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie präsentiert. Das dritte Kapitel beinhaltet Übungsaufgaben zum Thema Theorie der Versicherungsnachfrage und des Versicherungsangebots. Dabei werden zunächst Aufgaben unter der Annahme symmetrischer Informationen betrachv
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Vorwort
tet, um anschließend auf die Annahme der asymmetrischen Informationsverteilung überzugehen. Das abschließende Kapitel befasst sich mit Fragestellungen zur staatlichen Regulierung (z. B. bei asymmetrischen Informationen) sowie zur Sozialversicherung. Im Rahmen der staatlichen Regulierung werden Aufgaben vorgestellt, die einen Einblick in die Wirkung verschiedener Maßnahmen geben, bspw. die Einführung einer Pflichtversicherung. Daran anschließend bilden u. a. Aufgaben zur Finanzierung der Sozialversicherung und der aktuellen Rentenformel den Abschluss der Aufgabensammlung. Zu allen Übungsaufgaben werden ausführliche Lösungen mit Zwischenschritten präsentiert. Dabei stellen die in dem Übungsbuch beschriebenen Lösungswege eine von vielen Möglichkeiten dar. Wir haben jeweils die Vorgehensweise aufgezeigt, die wir am verständlichsten erachten. An dieser Stelle soll noch ein wichtiger Hinweis gegeben werden: die in diesem Übungsbuch beschriebenen Aufgabenstellungen sind in den meisten Fällen hypothetischer Natur und beruhen nicht auf logischen bzw. realen Zahlen. Allerdings verdeutlichen sie die grundlegende Systematik der Berechnungsmethoden und sind so konzipiert, dass sie aus didaktischer Sicht zu aussagekräftigen und nachvollziehbaren Ergebnissen führen. Dabei haben wir darauf geachtet, dass alle Aufgaben mithilfe eines nicht-programmierbaren Taschenrechners gelöst werden können. Ein Übungsbuch hat nie den Status eines unabhängigen Werkes, sondern wird in Verbindung mit Lehrbüchern verwendet. Bei der Konzeption des vorliegenden Übungsbuches haben wir uns maßgeblich an den folgenden Werken orientiert: Versicherungsökonomie (Roland Eisen, Peter Zweifel), Versicherungsbetriebslehre (Dieter Farny), Klassische und moderne Formen der Rückversicherung (Peter Liebwein), Versicherungsökonomik – Ein Leitfaden für Studium und Praxis (J.-Matthias Graf von der Schulenburg). Abschließend möchten wir uns bei Martin Frank, Simone Krummaker, Alexander Kuhlmann, Tim Linderkamp, Hellmer Schmidt, Theresa Schmidt und Christoph Schwarzbach für das Kontrollieren und Korrekturlesen der Übungsaufgaben bedanken. Darüber hinaus gilt unser Dank Anne-Cathrin Birke für die Unterstützung bei der Formatierung des Textes und der Erstellung der Abbildungen. Wir wünschen allen Studierenden und Interessierten viel Spaß beim Rechnen und Lösen der Aufgabensammlung! Hannover, im September 2011
J.-Matthias Graf von der Schulenburg Andy Zuchandke
Inhaltsverzeichnis
Teil I Aufgaben 1
Grundlagen der Versicherungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Allgemeine Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Versicherung vs. Wette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Varianz eines Versicherungsbestandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Poisson-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Versicherungsbetrug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Schadenverteilung I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Schadenverteilung II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Schadenversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Feuerversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 KFZ-Haftpflichtversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Schadenwahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Lebensversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Sterbetafel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Äquivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Todesfallversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Erlebensfallversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Todes- und Erlebensfallversicherung I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6 Todes- und Erlebensfallversicherung II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.7 Deckungs- und riskiertes Kapital I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.8 Deckungs- und riskiertes Kapital II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.9 Kündigung und Stundung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.10 Abschlusskosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.11 Deckungs- und riskiertes Kapital III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Rückversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Formen der Rückversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Quoten-Rückversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Summenexzedenten-Rückversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Einzel- und Kumulschadenexzedenten-Rückversicherung . .
3 3 3 3 4 4 4 5 6 6 6 7 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 12 12 13 13 14 vii
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Inhaltsverzeichnis
1.4.5 1.4.6
Jahresüberschaden-Rückversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Burning-Cost Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
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Entscheidung unter Unsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Entscheidung unter Ungewissheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Entscheidungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Investitionsentscheidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Optimismusparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Entscheidung unter Risiko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Monty-Hall Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Erwartungswert und Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 St. Petersburg Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Erwartungsnutzenkriterium I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Erwartungsnutzenkriterium II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6 Quizshow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7 Ermittlung einer Nutzenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.8 Welche Lotterie ist besser? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.9 Risikoeinstellung I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.10 Risikoaversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.11 Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie I . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.12 Sicherheitsäquivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.13 Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie II . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.14 Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie III . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.15 Approximation der Risikoprämie I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.16 Approximation der Risikoprämie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.17 Risikoeinstellung II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 17 17 17 18 19 19 19 20 20 20 21 21 22 22 23 23 23 24 24 24 25 25
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Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Nachfrage und Angebot unter symmetrischen Informationen . . . . . . 3.1.1 Versicherungsentscheidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Zahlungsbereitschaft und Mindestprämie . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Optimalitätsbedingung der Versicherungsnachfrage . . . . . . . . 3.1.4 Versicherungsprämie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Versicherungsnachfrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6 Kostenaufschlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.7 Transferleistung des Staates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Prävention und Nachfrage nach Versicherung unter symmetrischen Informationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Präventionsmaßnahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Sprinkleranlage I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Einbruchdiebstahl I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Prävention und Versicherungsnachfrage I . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Sprinkleranlage II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6 Prävention und Versicherungsnachfrage II . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7 Einbruchdiebstahl II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27 27 27 27 28 28 28 29 30 30 30 30 31 31 32 32 33
Inhaltsverzeichnis
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3.3 Nachfrage und Angebot unter asymmetrischen Informationen . . . . . 3.3.1 Market for Lemons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Adverse Selektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Moral Hazard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Sprinkleranlage III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Einbruchdiebstahl III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Staatliche Regulierung und Sozialversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Staatliche Regulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Einführung einer Versicherungssteuer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Rauchverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Pflichtversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Nachfrage nach Gesundheitsleistungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Sozialversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Versicherungskonkurrenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Umlageverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Aaron Bedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Bruttolohnanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Rentenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6 Rentenkalkulation I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.7 Rentenkalkulation II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37 37 37 37 38 38 39 39 39 40 40 41 41 42
Teil II Lösungen 5
Grundlagen der Versicherungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Allgemeine Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Versicherung vs. Wette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Varianz eines Versicherungsbestandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Poisson-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Versicherungsbetrug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Schadenverteilung I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.6 Schadenverteilung II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Schadenversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Feuerversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 KFZ-Haftpflichtversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Schadenwahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Lebensversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Sterbetafel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Äquivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Todesfallversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Erlebensfallversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.5 Todes- und Erlebensfallversicherung I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.6 Todes- und Erlebensfallversicherung II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.7 Deckungs- und riskiertes Kapital I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.8 Deckungs- und riskiertes Kapital II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45 45 45 46 48 49 50 52 55 55 55 57 58 58 59 60 62 64 67 68 75
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5.3.9 Kündigung und Stundung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.10 Abschlusskosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.11 Deckungs- und riskiertes Kapital III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Rückversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Formen der Rückversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Quoten-Rückversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Summenexzedenten-Rückversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Einzel- und Kumulschadenexzedenten-Rückversicherung . . 5.4.5 Jahresüberschaden-Rückversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.6 Burning-Cost Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Entscheidung unter Unsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.1 Entscheidung unter Ungewissheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.1.1 Entscheidungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.1.2 Investitionsentscheidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.1.3 Optimismusparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.2 Entscheidung unter Risiko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.2.1 Monty-Hall Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.2.2 Erwartungswert und Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.2.3 St. Petersburg Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.2.4 Erwartungsnutzenkriterium I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.2.5 Erwartungsnutzenkriterium II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.2.6 Quizshow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.2.7 Ermittlung einer Nutzenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.2.8 Welche Lotterie ist besser? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.2.9 Risikoeinstellung I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.2.10 Risikoaversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.2.11 Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie I . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.2.12 Sicherheitsäquivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.2.13 Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie II . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.2.14 Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie III . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.2.15 Approximation der Risikoprämie I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.2.16 Approximation der Risikoprämie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.2.17 Risikoeinstellung II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
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Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.1 Nachfrage und Angebot unter symmetrischen Informationen . . . . . . 123 7.1.1 Versicherungsentscheidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.1.2 Zahlungsbereitschaft und Mindestprämie . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.1.3 Optimalitätsbedingung der Versicherungsnachfrage . . . . . . . . 126 7.1.4 Versicherungsprämie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.1.5 Versicherungsnachfrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.1.6 Kostenaufschlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.1.7 Transferleistung des Staates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Inhaltsverzeichnis
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7.2 Prävention und Nachfrage nach Versicherung unter symmetrischen Informationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.2.1 Präventionsmaßnahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.2.2 Sprinkleranlage I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.2.3 Einbruchdiebstahl I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.2.4 Prävention und Versicherungsnachfrage I . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.2.5 Sprinkleranlage II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.2.6 Prävention und Versicherungsnachfrage II . . . . . . . . . . . . . . . 151 7.2.7 Einbruchdiebstahl II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.3 Nachfrage und Angebot unter asymmetrischen Informationen . . . . . 155 7.3.1 Market for Lemons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.3.2 Adverse Selektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 7.3.3 Moral Hazard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 7.3.4 Sprinkleranlage III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.3.5 Einbruchdiebstahl III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 8
Staatliche Regulierung und Sozialversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.1 Staatliche Regulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.1.1 Einführung einer Versicherungssteuer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.1.2 Rauchverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 8.1.3 Pflichtversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 8.1.4 Nachfrage nach Gesundheitsleistungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 8.2 Sozialversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8.2.1 Versicherungskonkurrenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8.2.2 Umlageverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 8.2.3 Aaron Bedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 8.2.4 Bruttolohnanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.2.5 Rentenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 8.2.6 Rentenkalkulation I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 8.2.7 Rentenkalkulation II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Anhang A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Anhang B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Abkürzungsverzeichnis
ARA bspw. bzw. c. p. DAV d. h. DK etc. EU EV EW ges. KFZ Max. Min. Mio. NP Nr. q. e. d. RK RP RRA RV SÄ sog. usw. u. U. vs. VS z. B. zw. zzgl.
absolute Risikoaversion beispielsweise beziehungsweise ceteris paribus Deutsche Aktuarvereinigung das heißt Deckungskapital et cetera Erwartungsnutzen Erstversicherer Erwartungswert gesamt Kraftfahrzeug Maximum Minimum Millionen Nettoprämie Nummer quod erat demonstrandum riskiertes Kapital Risikoprämie relative Risikoaversion Rückversicherer Sicherheitsäquivalent sogenannte und so weiter unter Umständen versus Versicherungssumme zum Beispiel zwischen zuzüglich xiii
Teil I
Aufgaben
Kapitel 1
Grundlagen der Versicherungstechnik
1.1 Allgemeine Grundlagen 1.1.1 Versicherung vs. Wette Eine mögliche Definition für Versicherung lautet: „Versicherung ist die Verknüpfung eines Kapital-, Risiko- und Informationstransfers. Der Kapitaltransfer löst eine bedingte Forderung aus, die beim Versicherungsnehmer risikomindernd wirkt. Im Versicherungsvertrag verpflichtet sich der Versicherte, dem Versicherer bestimmte Informationen zu überlassen.“1 Grenzen Sie anhand der Definition Versicherung und Wette voneinander ab. Verdeutlichen Sie Ihre Aussage in einer geeigneten Grafik.
1.1.2 Varianz eines Versicherungsbestandes Betrachten Sie einen Versicherer mit einem homogenen Versicherungsbestand von n unabhängigen Risiken. Mit einer Wahrscheinlichkeit p von 40 % tritt ein individueller Schaden ein, der vereinfachend auf eine 1 Geldeinheit normiert ist. Der Schaden des gesamten Versicherungsbestands ist L. a) Ermitteln Sie Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung und Variationskoeffizient des Schadens L für einen Versicherungsbestand von 1: n D 1 2: n D 100 3: n D 1:000 Risiken und erläutern Sie Ihre Ergebnisse. 1 von der Schulenburg, J.-M. (2005): Versicherungsökonomik: Ein Leitfaden für Studium und Praxis, Verlag Versicherungswirtschaft, Karlsruhe
J.-M. Graf von der Schulenburg, A. Zuchandke, Übungen zur Versicherungsökonomik. DOI 10.1007/978-3-642-20578-1_1, © Springer 2011
3
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1 Grundlagen der Versicherungstechnik
b) Beschreiben Sie, welche Rolle die Größe des übernommenen Risikos bei der Kalkulation von Bruttoprämien spielen kann? Gehen Sie dabei auch auf die Aussagekraft der unter a) ermittelten Größen ein.
1.1.3 Poisson-Verteilung Betrachten Sie einen Versicherer mit einem Versicherungsbestand von 10.000 Verträgen. Nehmen Sie an, die Schadenwahrscheinlichkeit beträgt 0,02 % und die Verteilung der Schadenanzahl X folgt approximativ einer Poisson-Verteilung. Verwenden Sie für die nachfolgenden Aufgaben die im Anhang B befindliche Tabelle zur Poisson-Verteilung. a) Ermitteln Sie den Erwartungswert und die Varianz für die Anzahl der auftretenden Schäden. b) Wie wahrscheinlich ist es, dass kein Schadenfall eintritt? c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass maximal 2 Schadenfälle eintreten? d) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 oder 3 Schadenfälle eintreten? e) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 5 Schadenfälle eintreten?
1.1.4 Versicherungsbetrug Sie sind Mitarbeiter bei einem Versicherer und dort für die Schadenabwicklung zuständig. Einige Versicherungsnehmer nutzen ihre privaten Informationen aus und führen im Rahmen falscher Schadenmeldungen Versicherungsbetrug durch. Zur Identifizierung von Versicherungsbetrug wird in ihrer Abteilung jede Schadenmeldung überprüft. Sie gehen davon aus, dass 70 % aller Schadenmeldungen richtig (d. h. als berechtigt oder unberechtigt) identifiziert werden können. Eine nicht korrekte Identifizierung birgt die Gefahr, dass Versicherungsleistungen für falsche Meldungen gewährt oder für korrekte Meldungen abgelehnt werden. Nehmen sie an, dass in 10 % der Schadenmeldungen Versicherungsbetrug vorliegt. Wie viel Prozent a) aller Schadenauszahlungen sind nicht gerechtfertigt? b) aller Ablehnungen sind nicht gerechtfertigt?
1.1.5 Schadenverteilung I Betrachten Sie eine Schadenversicherung, deren Schadenverteilung einer Normalverteilung N .1:200I 3002/ folgt. a) Skizzieren Sie die Dichtefunktion der Normalverteilung und beschreiben Sie diese. Gehen Sie dabei auf die grundlegenden Eigenschaften einer Normalverteilung ein.
1.1 Allgemeine Grundlagen
5
b) Sie werden beauftragt, die nachstehenden Szenarien zu berechnen. Verwenden Sie dafür die im Anhang B befindliche Tabelle zur Standard-Normalverteilung. 1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schaden maximal 1.500 Euro beträgt? 2. Die Versicherung geht davon aus, dass die Schadenhöhe zwischen 900 Euro und 1.600 Euro liegt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Schadenhöhe genau in dem angegebenen Intervall liegt? 3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit übersteigt der Schaden 1.700 Euro? 4. In welchem symmetrischen Intervall wird die Schadenhöhe mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegen? c) Beurteilen Sie kritisch, inwiefern die Annahme der Normalverteilung bei Versicherungsschäden sinnvoll ist.
1.1.6 Schadenverteilung II Betrachten Sie die drei in der Tabelle dargestellten Schadenverteilungen eines Versicherungsbestandes. Nehmen Sie an, dass der Versicherer für einen Vertrag den erwarteten Schaden als Versicherungsprämie verlangt (sog. faire Prämie). a) Stellen Sie die Dichte- und Verteilungsfunktion der Schadenverteilungen grafisch dar. b) Ermitteln Sie die Netto-Versicherungsprämie für alle drei Verteilungen. Zeigen Sie anhand der in a) dargestellten Verteilungsfunktion A, wie in der Grafik die Nettoprämie abgelesen werden kann. c) Wie verändert sich die jeweilige Versicherungsprämie, wenn der Versicherer einen Selbstbehalt in Höhe von 15.000 Euro einführt? Schadenverteilung A Schaden in Euro Wahrscheinlichkeit
0
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
10 %
14 %
21 %
30 %
16 %
9%
Schadenverteilung B Schaden in Euro Wahrscheinlichkeit
0
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
25 %
23 %
20 %
17 %
10 %
5%
Schadenverteilung C Schaden in Euro Wahrscheinlichkeit
0
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
5%
12 %
16 %
19 %
23 %
25 %
6
1 Grundlagen der Versicherungstechnik
1.2 Schadenversicherung 1.2.1 Feuerversicherung Eine Feuerversicherung hat ihren Versicherungsbestand in 8 Teilschadengruppen i aufgeteilt. Die durchschnittliche Versicherungssumme v der im Bestand befindlichen Einzelverträge beträgt 100.000 Euro. Die nebenstehende Tabelle enthält für jede Teilschadengruppe den Durchschnittsschaden (di ) sowie die Anzahl an Schäden (zi ). zi
i
di
zi
1
i
5.000
di
325
5
45.000
50
2
15.000
194
6
55.000
32
3
25.000
132
7
65.000
28
4
35.000
86
8
75.000
15
a) Ermitteln Sie die Gesamtschadensumme D sowie den Durchschnittsschaden d und die Schadenausbreitung a des Gesamtbestands. b) Wie hoch ist der Schadensatz p bei einer Schadenhäufigkeit von h D 0;02? Was sagt dieser Wert aus? Wie hoch wäre die Nettoprämie für eine Versicherungssumme von 80.000 Euro?
1.2.2 KFZ-Haftpflichtversicherung Betrachten Sie einen KFZ-Versicherer, der die nachfolgende KFZ-Haftpflichtversicherung mit einer Bonus-Malus Tarifierung anbietet: Im ersten Jahr nach Abschluss der Versicherung zahlt der Versicherungsnehmer eine Jahresprämie in Höhe von 1.000 Euro, was einem Beitragssatz von 100 % entspricht. Nach jedem Jahr ohne Inanspruchnahme von Versicherungsleistungen erhält der Versicherungsnehmer einen Bonus, d. h. der maßgebliche Beitragssatz reduziert sich um 10 Prozentpunkte. Der Mindestbeitragssatz wird bei 30 % festgesetzt und der maximale Beitragssatz beträgt 100 %. Sollte der Versicherungsnehmer in Jahr t Leistungen in Anspruch nehmen, erhält er in t C 1 keinen Bonus, stattdessen steigt der Beitragssatz um 10 Prozentpunkte. Nehmen Sie an, ein Fahrzeughalter hat im Jahr 2009 eine KFZ-Versicherung unter den bekannten Bedingungen abgeschlossen. Im Laufe des Jahres 2011 hat er mit seinem KFZ einen Unfall und verursacht dabei an einem anderen Fahrzeug einen Schaden in Höhe von 1.000 Euro. a) Wie hoch sind die Kosten für den Versicherungsnehmer, wenn der Versicherer die Unfallkosten übernimmt? Lohnt sich in diesem Fall die Schadenmeldung für den Versicherungsnehmer? (Berücksichtigen Sie für die Berechnung einen kalkulatorischen Zinssatz r von 6 %.)
1.3 Lebensversicherung
7
b) Wie hoch sind die Kosten für den Versicherungsnehmer, wenn der Beitragssatz im Fall einer Leistungsinanspruchnahme um 20 Prozentpunkte steigt? Lohnt sich die Schadenmeldung für den Versicherungsnehmer? c) Erläutern Sie allgemein, welche Kosten dem Versicherungsnehmer im Fall eines Schadens entstehen, falls der Versicherer den Schaden übernimmt. Welche Kosten entstehen dem Versicherungsnehmer, wenn er zum Zeitpunkt des Schadeneintritts die Maximalprämie bzw. die Mindestprämie zahlt?
1.2.3 Schadenwahrscheinlichkeit Das Versichertenkollektiv eines KFZ-Versicherers besteht aus zwei unterschiedlichen Risikogruppen, zu 40 % aus guten und zu 60 % aus schlechten Risiken. In der nachfolgenden Tabelle sind die Unfallwahrscheinlichkeiten für beide Risikogruppen dargestellt. Alle Zufallsereignisse sind stochastisch unabhängig. Anzahl der Unfälle 0
1
2
gutes Risiko
0,9
0,08
0,02
0
3
schlechtes Risiko
0,7
0,17
0,1
0,03
a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Versicherungsnehmer im nächsten Jahr genau 1. einen Unfall 2. zwei Unfälle hat. b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Versicherungsnehmer der Gruppe der schlechten Risiken zuzuordnen ist, wenn er im ersten Jahr keinen Unfall und im zweiten Jahr zwei Unfälle hatte?
1.3 Lebensversicherung 1.3.1 Sterbetafel Betrachten Sie die im Anhang A dargestellten DAV-Sterbetafeln. a) Erläutern Sie das grundlegende Prinzip dieser Sterbetafeln und gehen Sie dabei auf die einzelnen Größen ein. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein 40-jähriger Mann 1. das 60. Lebensjahr erreicht? 2. vor Erreichen des 85. Lebensjahres verstirbt?
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1 Grundlagen der Versicherungstechnik
Im aktuellen Jahr haben 25 Frauen im Alter von 35 Jahren eine Erlebensfallversicherung abgeschlossen. Die Versicherungssumme im Erlebensfall wird mit Vollendung des 70. Lebensjahres ausgezahlt. c) Mit wie vielen Auszahlungen kalkuliert der Lebensversicherer, wenn die DAVSterbetafel (siehe Anhang A) berücksichtigt wird? Runden Sie das Ergebnis auf eine ganze Zahl auf.
1.3.2 Äquivalenzprinzip Der Prämienberechnung in der Lebensversicherung wird das Äquivalenzprinzip zugrundegelegt. a) Erläutern Sie das Prinzip und gehen Sie dabei auf die Relevanz der bei der Prämienberechnung berücksichtigten Rechnungsgrundlagen ein. b) Besitzt dieses Prinzip für jeden einzelnen Vertrag im Bestand Gültigkeit? Begründen Sie Ihre Antwort.
1.3.3 Todesfallversicherung Sie arbeiten bei einem Lebensversicherer und sind dort für die Prämienkalkulation zuständig. Für die Prämienkalkulation verwenden Sie die DAV-Sterbetafeln (siehe Anhang A). Ein 50-jähriger Mann möchte eine Todesfallversicherung auf Lebenszeit gegen Zahlung einer jährlichen Prämie (vorschüssig) abschließen. Die Versicherungssumme soll 100.000 Euro betragen. a) Wie lautet die Ausgangsgleichung für das Äquivalenzprinzip für diese Situation? Erläutern Sie die Gleichung. b) Ermitteln Sie die Nettoprämie für diesen Kontrakt? c) Der Versicherer begrenzt die Absicherung im Todesfall auf ein Alter von 55 Jahren. Wie viel muss der Mann jährlich zahlen, wenn er eine Absicherung des Todesfalls bis zur Vollendung des 55. Lebensjahres vereinbart? d) Wie verändert sich die Nettoprämie aus Teilaufgabe c), wenn Sie einen Rechnungszinsfuß in Höhe von 1. 1,5 % 2. 0 % annehmen?
1.3 Lebensversicherung
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1.3.4 Erlebensfallversicherung Eine 45-jährige Frau möchte für ihre finanzielle Situation im Rentenalter vorsorgen und überlegt daher, eine Versicherung auf den Erlebensfall über 100.000 Euro abzuschließen. Die Erlebensfallsumme möchte sie im Alter von 65 Jahren ausgezahlt bekommen. Verwenden Sie zur Beantwortung der nachfolgenden Fragen die DAV-Sterbetafeln (siehe Anhang A). a) Stellen Sie die Ausgangsgleichung des Äquivalenzprinzips für diese Situation auf, wenn die Versicherungsnehmerin die Prämie einmalig im Voraus zahlt? Erläutern Sie die Gleichung. b) Wie hoch ist die Nettoprämie für diesen Kontrakt? c) Wie hoch ist die Nettoprämie, wenn die Prämie jährlich und vorschüssig gezahlt werden soll? d) Die Frau möchte die jährliche Prämie 15 Jahre lang zahlen, die Versicherungssumme allerdings erst nach Vollendung des 65. Lebensjahres ausgezahlt bekommen. Wie verändert sich die Prämie? Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Prämie aus Teilaufgabe c). e) Der Versicherer bietet der Kundin an, die Hälfte der Erlebensfallsumme bereits nach 12 Jahren auszuzahlen. Der Rest wird mit Ablauf der Versicherung ausgezahlt. Welchen Einfluss hat diese Variante auf die Höhe einer vorschüssigen, jährlichen Prämie, wenn diese über die gesamte Laufzeit gezahlt wird?
1.3.5 Todes- und Erlebensfallversicherung I Ein 30-jähriger Mann möchte für die nächsten 30 Jahre sein Todesfallrisiko absichern und darüber hinaus etwas für die Altersvorsorge tun. Sie arbeiten bei einem Versicherer und bieten dem Kunden eine Versicherung mit einer Versicherungssumme von 80.000 Euro im Todes- und Erlebensfall an. Verwenden Sie zur Beantwortung der nachfolgenden Fragen die DAV-Sterbetafeln (siehe Anhang A). a) Wie lautet die Ausgangsgleichung des Äquivalenzprinzips für die beschriebene Situation, wenn die Prämie jährlich (vorschüssig) gezahlt wird? Erläutern Sie die Gleichung. b) Ermitteln Sie die Nettoprämie für diesen Kontrakt. c) Wie verändert sich das Ergebnis, wenn der Kunde die Prämie 1. einmalig bei Vertragsabschluss 2. nachschüssig zahlen möchte. [Hinweis: Beachten Sie, dass der Kalkulationszinssatz der Sterbetafeln im Anhang A 2,25 % beträgt.]
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1 Grundlagen der Versicherungstechnik
d) Der Kunde möchte lediglich die Hälfte der Todesfallsumme im Erlebensfall erhalten. Welchen Einfluss hat diese Variante auf die jährliche Prämie? e) Der Kunde hat aktuell einen Kredit in Höhe von 80.000 Euro, der in 15 Jahren ausläuft. Aus diesem Grund möchte er für die ersten 15 Jahre eine Todesfallsumme in Höhe des Kreditlimits vereinbaren. Nach Beendigung der Kreditverpflichtung soll sich die Todesfallsumme auf 20.000 Euro reduzieren. Die Erlebensfallsumme soll 80.000 Euro entsprechen. Wie hoch ist die jährliche Prämie für diesen Vertrag?
1.3.6 Todes- und Erlebensfallversicherung II Betrachten Sie die 45-jährige Frau aus Aufgabe 1.3.4. Sie möchte ihre Erlebensfallversicherung bereits mit Vollendung des 50. Lebensjahres ausgezahlt bekommen. Allerdings vereinbart sie keine absolute Todesfallsumme, sondern dass im Todesfall die bereits eingezahlten Prämien an die Erben ausgezahlt werden. Verwenden Sie zur Beantwortung der nachfolgenden Fragen die DAV-Sterbetafeln (siehe Anhang A). a) Wie hoch ist die jährliche Prämie, wenn diese vorschüssig gezahlt wird? b) Welche einmalige Prämie müsste die Kundin zahlen, wenn diese zu Beginn der Vertragslaufzeit geleistet wird?
1.3.7 Deckungs- und riskiertes Kapital I Betrachten Sie einen Versicherungsvertrag mit einer Versicherungssumme VS, einer Gesamtlaufzeit T , der Nettoprämie P und einem zugrundeliegenden Rechnungszinsfuß von r (mit r > 0). a) Stellen Sie unter Annahme einer bei Vertragsbeginn zu zahlenden Einmalprämie den für den Versicherer relevanten Verlauf von Deckungskapital (DK) und riskiertem Kapital (RK) einer 1. Erlebensfallversicherung 2. Todesfallversicherung 3. Todes- und Erlebensfallversicherung grafisch dar und erläutern Sie den Verlauf. b) Wie sieht der Verlauf von Deckungs- und riskiertem Kapital für die in a) genannten Verträge unter Annahme einer stetigen Prämie aus? c) Erläutern Sie, wie der Zinssatz und die Sterbewahrscheinlichkeit den Verlauf von Deckungs- und riskiertem Kapital beeinflussen und veranschaulichen Sie Ihre Ergebnisse grafisch.
1.3 Lebensversicherung
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1.3.8 Deckungs- und riskiertes Kapital II Eine 50-jährige Frau schließt für 10 Jahre eine Versicherung auf den Erlebens- und Todesfall ab. Das Todesfallrisiko möchte sie mit einer Versicherungssumme von 50.000 Euro absichern. Nach Ablauf der Versicherung möchte sie die gleiche Summe als Ablaufleistung erhalten. Verwenden Sie zur Beantwortung der nachfolgenden Fragen die DAV-Sterbetafeln (siehe Anhang). a) Wie hoch ist die zu zahlende Nettoprämie, wenn diese 1. einmalig 2. jährlich und vorschüssig gezahlt wird. b) Ermitteln Sie für die Jahre t D 0; 2; 4; 6; 8; 10 das Deckungskapital für den Fall einer jährlichen Prämienzahlung. [Hinweis: Das Deckungskapital entspricht dem Barwert der zukünftigen Versicherungsleistungen abzüglich der zukünftigen Prämienzahlungen für die Restlaufzeit der Versicherung] c) Stellen Sie für den diskreten Fall einer jährlichen Prämienzahlung [mit Hilfe der Ergebnisse aus b)] den Verlauf des Deckungs- und riskierten Kapitals grafisch dar.
1.3.9 Kündigung und Stundung Ein 20-jähriger Mann schließt eine Versicherung auf den Erlebensfall über 130.000 Euro ab und möchte die Versicherungssumme im Alter von 65 Jahren ausgezahlt bekommen. Die Zahlung der Prämie erfolgt jährlich (vorschüssig). Nach 25 Jahren wird der Versicherungsnehmer arbeitslos und möchte daraufhin die Versicherung kündigen. Für die Kündigung erhebt der Versicherer keine Kosten. Als vorzeitige Ablaufleistung betrachtet der Versicherer das aktuelle Deckungskapital. Verwenden Sie zur Beantwortung der nachfolgenden Fragen die DAV-Sterbetafeln (siehe Anhang A). a) Ermitteln Sie den Betrag, den der Versicherungsnehmer im Fall einer Kündigung ausgezahlt bekommt. Als Alternative bietet der Versicherer seinem Kunden eine kostenlose Stundung der Beiträge unter Anpassung der Versicherungssumme an. b) Ermitteln Sie die vom Versicherer angepasste Versicherungssumme unter Berücksichtigung des Äquivalenzprinzips. [Hinweis: Betrachten Sie das in a) ermittelte Deckungskapital als Einmalprämie zum Zeitpunkt t D 25]
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1 Grundlagen der Versicherungstechnik
1.3.10 Abschlusskosten Betrachten Sie eine 40-jährige Frau, die eine Todesfallversicherung mit einer Laufzeit von 10 Jahren abschließt. Die Versicherungssumme beträgt 100.000 Euro und die Prämienzahlung erfolgt jährlich (vorschüssig). Verwenden Sie zur Beantwortung der nachfolgenden Fragen die DAV-Sterbetafeln (siehe Anhang A). a) Ermitteln Sie die Nettoprämie für die Todesfallversicherung. Der Versicherer erhebt für Provisionszahlungen an Versicherungsvermittler Abschlusskosten in Höhe von 4 % der Prämiensumme. Diese müssen bei Vertragsabschluss vom Versicherungsnehmer an den Versicherer gezahlt werden. Der Versicherer reicht die Abschlusskosten direkt an den Versicherungsvermittler weiter. b) Wie hoch sind die vom Versicherungsnehmer an den Versicherer zu zahlenden Abschlusskosten? Der Versicherer vereinbart, dass die Zahlung der Abschlusskosten des Versicherungsnehmers auf die gesamte Laufzeit verteilt wird. Jedoch zahlt der Versicherer die Abschlusskosten sofort nach Vertragsabschluss an den Versicherungsvermittler aus. c) Welche monatliche Bruttoprämie Pbrutto muss der Versicherungsnehmer zahlen?
1.3.11 Deckungs- und riskiertes Kapital III Betrachten Sie Todesfallversicherung aus Aufgabe 1.3.10. a) Ermitteln Sie das Deckungskapital für t D 0; 1; 5; 10 für den Fall, dass die Zahlung der Abschlusskosten in Höhe von 4 % der Beitragssumme gleichmäßig über die gesamte Laufzeit verteilt wird. b) Stellen Sie den Verlauf von Deckungs- und riskiertem Kapital für den Fall einer stetigen Prämie grafisch dar und erläutern Sie die Grafik.
1.4 Rückversicherung 1.4.1 Formen der Rückversicherung Erläutern Sie die zwei unterschiedlichen Formen der Rückversicherung. Gehen Sie dabei auch auf verschiedene Vertragsvarianten ein.
1.4 Rückversicherung
13
1.4.2 Quoten-Rückversicherung Für die Sparte Verbundene Wohngebäudeversicherung eines Versicherungsunternehmens besteht ein Quoten-Rückversicherungsvertrag. Im Rahmen des Vertrages übernimmt der Rückversicherer 40 % der im Portfolio befindlichen Risiken. a) Ermitteln Sie die Haftung, den Anteil der Prämien sowie den Schadenanteil des Erst- und Rückversicherers für die nachfolgenden Sturmschäden. 1. Versicherungssumme 150.000 Euro, Prämie 0,2 % der Versicherungssumme, Schaden 80.000 Euro. 2. Versicherungssumme 400.000 Euro, Prämie 0,15 % der Versicherungssumme, Schaden 50.000 Euro 3. Versicherungssumme 1.000.000 Euro, Prämie 0,15 % der Versicherungssumme, Schaden 300.000 Euro. 4. Versicherungssumme 2.500.000 Euro, Prämie 0,2 % der Versicherungssumme, Schaden 2.000.000 Euro. b) Stellen Sie die Aufteilung der übernommenen Risiken grafisch dar.
1.4.3 Summenexzedenten-Rückversicherung Nr.
VS in Euro
Prämie in %
Schaden
der VS
in Euro
1
150.000
15
2
250.000
15
80.000 0
3
800.000
20
100.000
4
1.000.000
20
0
5
1.600.000
25
230.000
6
2.000.000
25
1.500.000
7
2.500.000
25
0
8
3.200.000
30
1.000.000
Ein Erstversicherer hat das in der oben aufgeführten Tabelle dargestellte Versicherungsportfolio im Bestand, für das ein Summenexzedenten-Rückversicherungsvertrag besteht. Im Rahmen des Vertrages ist für den Erstversicherer ein Maximum von 200.000 Euro festgelegt und der Exzedent des Rückversicherers ist auf 10 Maxima beschränkt. a) Berechnen Sie jeweils die Haftung, den Anteil der Prämien sowie den Schadenanteil des Erst- und Rückversicherers für die angegebenen Versicherungsverträge.
14
1 Grundlagen der Versicherungstechnik
b) Stellen Sie die Aufteilung der Risiken des Summenexzedenten-Rückversicherungsvertrags grafisch dar. c) Ermitteln Sie den Gewinn des Erstversicherers. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Gewinn des Erstversicherers, den er ohne den Summenexzedenten-Rückversicherungsvertrag erzielen würde. Nehmen Sie dabei an, dass dem Erstversicherer keine weiteren Kosten entstehen.
1.4.4 Einzel- und Kumulschadenexzedenten-Rückversicherung Ein Erstversicherer hat im Rahmen eines Einzelschadenexzedenten-Rückversicherungsvertrags pro Risiko einen Selbstbehalt (Priorität) von 300.000 Euro. Die Haftungsstrecke des Rückversicherers pro Risiko beträgt 1 Mio. Euro. Weiterhin besteht ein Kumulschadenexzedenten-Rückversicherungsvertrag mit einer Priorität von 500.000 Euro. Die Haftungsstrecke des Rückversicherers beträgt für diesen Vertrag 2 Mio. Euro. Die über die Haftungsstrecken hinausgehenden Schäden trägt wieder der Erstversicherer. a) Ermitteln Sie für die folgenden Versicherungsverträge die Teilung der Schäden im Rahmen des oben angegebenen Schadenexzedenten-Vertrages. Die Schäden 2, 4, 5, 7 und 8 sind aufgrund des gleichen Schadenereignisses eingetreten und werden als Kumulschaden anerkannt. Beachten Sie dabei, dass bei der Aufteilung der Schäden zunächst der Einzelschadenexzedenten-Vertrag berücksichtigt wird. Nr.
Schaden in Euro
Nr.
Schaden in Euro
1
250.000
5
800.000
2
400.000
6
1.000.000
3
500.000
7
1.500.000
4
700.000
8
2.000.000
b) Stellen Sie die Aufteilung der übernommenen Risiken für den Einzelschadenexzedenten-Vertrag grafisch dar.
1.4.5 Jahresüberschaden-Rückversicherung Ein Erstversicherer besitzt einen KFZ-Versicherungsbestand, bei dem 150.000 Fahrzeuge versichert sind. In den letzten Jahren ergab sich eine Schadenhäufigkeit von 5 % mit einem durchschnittlichen Schaden in Höhe von 2.000 Euro. Diese Kennzahlen werden auch für das aktuelle Jahr erwartet. Die durchschnittlichen Prämieneinnahmen betragen 150 Euro. Zur Absicherung von außergewöhnlichen Schadenereignissen vereinbart der Erstversicherer einen JahresüberschadenRückversicherungsvertrag mit einer Priorität von 100 % der Prämieneinnahmen.
1.4 Rückversicherung
15
Den darüber hinausgehenden Jahresgesamtschaden übernimmt der Rückversicherer, allerdings ist die Haftungsstrecke auf 30 % der Priorität begrenzt (30 % xs 100 %). a) Ermitteln Sie den zu übernehmenden Schadenanteil für den Erst- und Rückversicherer, wenn die Schadenhäufigkeit und der durchschnittliche Schaden im aktuellen Jahr konstant bleiben. b) Ein extremer Winter hat die Schadenhäufigkeit aufgrund glatter Straßen um 10 Prozentpunkte erhöht, allerdings hat sich der Durchschnittsschaden auf 1.600 Euro reduziert. Wie verändert sich die Aufteilung der Schadenübernahme aufgrund dieser Situation?
1.4.6 Burning-Cost Verfahren Für das Jahr 2011 soll ein Einzelschadenexzedenten-Vertrag mit Hilfe des Burning Cost Verfahrens tarifiert werden. Der Einzelschadenexzedenten-Vertrag beinhaltet einen Selbstbehalt von 100.000 Euro und eine Priorität in Höhe von 400.000 Euro. Als Grundlage für die Kalkulation stehen Schadendaten der Jahre 2007–2010 zur Verfügung: Werte in Euro
2007
2008
2009
2010
Bruttoschäden
80.000 120.000
75.000 98.000
60.000 320.000
82.000 123.000
238.000 350.000
105.000 450.000
325.000 480.000
187.000 213.000
580.000
580.000
508.000
423.000
700.000
650.000 720.000
4.000.000
4.200.000
Prämieneinnahmen
568.000 4.500.000
5.000.000
Zusätzliche Aspekte wie bspw. Preissteigerungen werden bei der Kalkulation nicht berücksichtigt. a) Ermitteln Sie die Schadenaufteilung zwischen Erst- und Rückversicherer für die Jahre 2007–2010. b) Wie hoch ist die erwartete Schadenlast für den Rückversicherer in 2011, wenn das erwartete Prämienvolumen 5,5 Mio. Euro beträgt? Welche Bruttoprämie Pbrutto muss der Erstversicherer zahlen, wenn der Rückversicherer zusätzlich einen Aufschlag von 6 % auf den erwarteten Schaden erhebt?
Kapitel 2
Entscheidung unter Unsicherheit
2.1 Entscheidung unter Ungewissheit 2.1.1 Entscheidungsregeln Betrachten Sie die allgemeine Ergebnismatrix mit den Aktionen ai , den Umweltzuständen zj und den jeweiligen Ergebnissen eij : Zustand
z1
...
zj
a1
e11
...
e1j
...
...
...
...
ai
ei1
...
eij
Aktion
Erläutern Sie anhand der allgemeinen Ergebnismatrix die grundlegende Idee der folgenden Entscheidungsregeln: a) b) c) d) e) f)
Maximin Regel Maximax Regel Hurwicz-Regel Prinzip des unzureichenden Grundes (Laplace Regel) Savage-Niehans-Regel Krelle Regel
2.1.2 Investitionsentscheidung Ein Unternehmer plant ein zusätzliches Investitionsprojekt und kann zwischen verschiedenen Investitionsalternativen .a1 ; : : :; a5 / entscheiden. Der Erfolg der verschiedenen Projekte ist jedoch abhängig von verschiedenen Umweltzuständen (wirtJ.-M. Graf von der Schulenburg, A. Zuchandke, Übungen zur Versicherungsökonomik. DOI 10.1007/978-3-642-20578-1_2, © Springer 2011
17
18
2 Entscheidung unter Unsicherheit
schaftliche Entwicklung, Entwicklung des Marktes usw.). Der Unternehmer identifiziert 5 mögliche Zustände .z1 ; : : :; z5 /, allerdings sind ihm die Eintrittswahrscheinlichkeiten der Szenarien nicht bekannt. Je nach Investition und Szenario realisiert der Unternehmer einen unterschiedlichen Gewinn. Die jeweiligen Gewinne sind in der nachfolgenden Tabelle dargestellt. Zustand
z1
z2
z3
z4
z5
8.000
1.000
3.000
Aktion a1
4.000
5.000
a2
3.000
5.000
800
11.000
6.000
a3
3.000
5.000
1.500
2.000
2.500
a4
2.000
700
2.000
1.200
4.000
a5
10.000
6.000
8.000
600
3.200
Der Unternehmer möchte sich für eines dieser Projekte entscheiden, ist jedoch unschlüssig. Welches Investitionsprojekt wählt der Unternehmer, wenn er anhand der folgenden Regel entscheidet: a) Der Unternehmer ist sehr pessimistisch und trifft seine Entscheidung mit Hilfe der Maximin Regel. b) Der Manager ist sehr optimistisch und entscheidet nach der Maximax Regel. c) Der Unternehmer entscheidet mit Hilfe der Hurwicz-Regel, sein Optimismusparameter beträgt D 0;2. d) Da der Unternehmer die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Szenarien nicht kennt geht er davon aus, dass alle Szenarien mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten (Prinzip des unzureichenden Grundes bzw. Laplace Regel). e) Der Unternehmer entscheidet mit Hilfe der Savage-Niehans-Regel. f) Der Unternehmer kennt seine Ungewissheitspräferenzfunktion ! eij D
1 e 2 C 4 eij 10:000 ij
und entscheidet gemäß der Krelle Regel.
2.1.3 Optimismusparameter Ein Unternehmer plant für das kommende Jahr seine Produktionsmenge und hat dafür drei unterschiedliche Produktionspläne .a1 ; : : :; a3 / zur Auswahl. Die Nachfrage hängt jedoch von drei unterschiedlichen Szenarien .s1 ; : : :; s3 / ab (wirtschaftliche Entwicklung) und somit ist der Gewinn ungewiss. Die möglichen Gewinne sind in der folgenden Tabelle dargestellt. Der Unternehmer möchte seine Entscheidung über den Produktionsplan mit Hilfe der Hurwicz-Regel festlegen.
2.2 Entscheidung unter Risiko
19
Zustand z j
z1
z2
z3
a1
2.500
5.000
0
a2
1.000
4.500
1.500
a3
3.000
1.500
1.500
Aktion a i
a) Für welche Strategie entscheidet sich der Unternehmer, wenn er einen Optimismusparameter von D 0;3 angibt? b) Der Unternehmer ist sich bei dem angegebenen Optimismusparameter nicht sicher. Stellen Sie die Werte der einzelnen Aktionen in Abhängigkeit des Optimismusparameters grafisch dar und zeigen Sie den Entscheidungsverlauf. Erläutern Sie ihr Ergebnis im Hinblick auf kritische Werte des Optimismusparameters.
2.2 Entscheidung unter Risiko 2.2.1 Monty-Hall Problem Ein Teilnehmer in einer Fernsehshow wird vor drei gleich aussehende Türen gestellt. Hinter einer der Türen befindet sich der Hauptgewinn, ein Auto. Hinter den beiden anderen Türen befindet sich jeweils eine Niete. Der Kandidat soll nun eine Tür auswählen. Nachdem er dies getan hat, öffnet der Showmaster eine der nicht gewählten Türen, hinter der sich eine Niete befindet. Der Showmaster gibt dem Kandidaten nun die Gelegenheit zu wechseln. Erläutern Sie dieses Spiel mit Hilfe von Entscheidungsbäumen! Welche Strategie sollte der Kandidat wählen?
2.2.2 Erwartungswert und Varianz Betrachten Sie die Ergebnismatrix aus Aufgabe 2.1.2. Der Unternehmer ist noch immer unsicher hinsichtlich seiner Entscheidung. Aus diesem Grund beauftragt er eine Unternehmensberatung, Eintrittswahrscheinlichkeiten p.si / für die einzelnen Szenarien zu ermitteln. Daraufhin erhält der Unternehmer die nachfolgende Tabelle.
p(s i )
s1
s2
s3
s4
s5
0,2
0,3
0,25
0,1
0,15
a) Der Unternehmer entschließt sich daraufhin, den Erwartungswert als Entscheidungskriterium zu berücksichtigen. Wie fällt seine Entscheidung aus?
20
2 Entscheidung unter Unsicherheit
Die Unternehmensberatung weist den Unternehmer darauf hin, dass er gegebenenfalls die Gewinnschwankungen berücksichtigen sollte. Aus diesem Grund entschließt sich der Unternehmer, neben dem Erwartungswert auch die Varianz 2 zu berücksichtigen und die Wahl gemäß des Zusammenhangs der beiden Größen ;.; / D 10 0;005 2 zu treffen. b) Wie ändert sich die Entscheidung des Unternehmers unter Berücksichtigung von Erwartungswert und Varianz?
2.2.3 St. Petersburg Paradoxon In einem Spielkasino wird das folgende Spiel angeboten: Eine faire Münze wird so lange geworfen, bis das erste Mal „Kopf“ realisiert wird. Der Gewinn richtet sich danach, wie oft die Münze geworfen wurde. Fällt sofort beim ersten Wurf „Kopf“, erhält der Spieler 2 Euro. Für jeden weiteren Wurf verdoppelt sich der bis dahin erreichte Gewinn (d. h. fällt beim zweiten Mal „Kopf“ erhält der Spieler 4 Euro, beim dritten Mal „Kopf“ 8 Euro usw.). Für das Spiel ist ein Spieleinsatz erforderlich, der zuvor gezahlt werden muss. a) Stellen Sie die Auszahlungen (ohne Berücksichtigung eines Spieleinsatzes) und die Wahrscheinlichkeiten für die ersten 6 Runden in einer Tabelle dar. b) Nehmen Sie an, der Spieleinsatz beträgt 10.000 Euro. Würde der Spieler an dem Spiel teilnehmen, wenn er anhand des Erwartungswertkriteriums kalkuliert? Wie hoch ist der erwartete Gewinn? Erläutern Sie das Ergebnis.
2.2.4 Erwartungsnutzenkriterium I Betrachten Sie den Unternehmer aus Aufgabe 2.1.2 und 2.2.1. Die Unternehmensberatung weist den Unternehmer auf das Erwartungsnutzenkriterium hin. a) Erläutern Sie dem Unternehmer allgemein dieses Kriterium. Aufgrund ihrer Erklärung entschließt sich der Unternehmer, seine Entscheidung mit Hilfe des Erwartungsnutzenkriteriums zu treffen. b) Wie würde seine Entscheidung ausfallen, wenn er durch die Nutzenfunktion U.w/ D ln w charakterisiert ist, wobei w das Vermögen bzw. den Gewinn des Unternehmers darstellt?
2.2.5 Erwartungsnutzenkriterium II Betrachten Sie das Spiel aus Aufgabe 2.2.3. Wie hoch ist die maximale Zahlungsbereitschaft für das Spiel, wenn der Spieler nach dem Erwartungsnutzenkriterium
2.2 Entscheidung unter Risiko
21
entscheidet und seine Nutzenfunktion U.w/ D ln w lautet, wobei w das Vermögen darstellt? Pk n [Hinweis: lim 2 kC2 D 2] n D 1 2n D lim 2k k!1
k !1
2.2.6 Quizshow Sie sind Kandidat in einer Quizshow, in der in maximal fünf Spielrunden jeweils Fragen mit „Richtig“ oder „Falsch“ beantwortet werden müssen. Haben Sie die erste Frage richtig beantwortet, erhalten Sie 2.000 Euro und kommen eine Runde weiter. Nach der zweiten richtig beantworteten Frage erhalten Sie 6.000 Euro, nach der dritten richtig beantworteten Frage 15.000 Euro, nach der vierten richtig beantworteten Frage 28.000 Euro und nach der fünften richtig beantworteten Frage 44.000 Euro. Beantworten Sie eine Frage nicht korrekt, scheiden Sie aus und erhalten 0 Euro. Sie haben jedoch die Möglichkeit, nach jeder richtig beantworteten Frage aufzuhören und das bis dahin erspielte Geld zu behalten. Gehen Sie weiterhin davon aus, dass Sie die Antworten nicht wissen und in jeder Runde raten müssen. a) Stellen Sie das Spiel in einem Entscheidungsbaum dar. b) Nach welcher Runde sollten Sie aufhören, falls Sie anhand des Erwartungswertkriteriums entscheiden? c) Würde sich Ihre Entscheidung ändern, wenn Sie nach dem Erwartungsnutzenkrip 3 terium entscheiden und ihre Nutzenfunktion U.w/ D w 2 lautet? Begründen Sie Ihre Antwort.
2.2.7 Ermittlung einer Nutzenfunktion In einem Experiment soll die Nutzenfunktion von Teilnehmern ermittelt werden. Den Teilnehmern wird folgendes Spiel angeboten: Sie haben die Möglichkeit in ein Projekt zu investieren. Im Erfolgsfall erhalten Sie 10.000 Euro und im Misserfolgsfall 0 Euro. Gegeben der möglichen Ergebnisse werden den Teilnehmern sichere Auszahlungen Si präsentiert. Die Teilnehmer werden daraufhin gefragt, bei welcher Erfolgswahrscheinlichkeit pi sie indifferent sind zwischen der sicheren Auszahlung Si und dem Investitionsprojekt. In der nachstehenden Tabelle hat Teilnehmer A seine Wahrscheinlichkeiten angegeben, bei denen er (gegeben der jeweiligen sicheren Auszahlung) indifferent ist zwischen Investition und sicherer Auszahlung. Si
100
400
1.600
2.500
4.900
8.100
pi
0,1
0,2
0,4
0,5
0,7
0,9
a) Stellen Sie den Verlauf der Nutzenfunktion U.w/ von Teilnehmer A grafisch dar. [Hinweis: Normieren Sie die Werte U.10:000/ D 1 und U.0/ D 0.]
22
2 Entscheidung unter Unsicherheit
b) Wie lautet die Nutzenfunktion von Teilnehmer A? c) Teilnehmer B hat die nachfolgenden Wahrscheinlichkeiten angegeben. Was für eine Nutzenfunktion besitzt er? Si
100
400
1.600
2.500
4.900
8.100
pi
0,01
0,04
0,16
0,25
0,49
0,81
2.2.8 Welche Lotterie ist besser? Ihnen werden die folgenden zwei Lotterien angeboten: 1 2 2 3 L1 7:000; I 2:000; und L2 4:000; I 1:000; 3 3 5 5 Weiterhin besitzen Sie ein Vermögen w0 in Höhe von 3.000 Euro und Ihre Nutzenfunktion in Abhängigkeit des Vermögens w lautet U.w/ D ln w. a) Für welche Lotterie würden Sie sich entscheiden, wenn Sie den Nutzen des Erwartungswertes als Entscheidungskriterium berücksichtigen? b) Ermitteln Sie für beide Lotterien den Erwartungsnutzen. Inwiefern beeinflusst die Berücksichtigung des Erwartungsnutzens Ihre Entscheidung? c) Für welche Lotterie würden Sie sich entscheiden, wenn Ihre Nutzenfunktion 1 U.w/ D e 1:000 w lautet und Sie den Erwartungsnutzen berücksichtigen?
2.2.9 Risikoeinstellung I Gegeben sind die folgenden Nutzenfunktionen in Abhängigkeit des Vermögens w: 1. U.w/ D 0;5 w C 40 2. U.w/ D ln.w C 1/ 3. U.w/ D 0;01 w 2 a) Ermitteln Sie formal das Monotonie- und Krümmungsverhalten für w 0 der oben angegebenen Nutzenfunktionen. Welche Aussage ergibt sich daraus für den Grenznutzen und die Risikoeinstellung des jeweiligen Individuums? b) Betrachten Sie die folgende Situation: Ein Individuum besitzt ein Vermögen w0 in Höhe von 2.000 Euro, jedoch kann sich das Vermögen aufgrund eines Vermögensschaden mit einer Wahrscheinlichkeit von p D 13 um 1.500 Euro reduzieren. Ermitteln Sie 1. den Erwartungswert, 2. den Nutzen des Erwartungswertes und 3. den Erwartungsnutzen
2.2 Entscheidung unter Risiko
23
für die oben angegebenen Nutzenfunktionen. Vergleichen Sie die Ergebnisse im Hinblick auf die Risikoeinstellung. c) Ermitteln Sie unter Anwendung des Arrow-Pratt Maßes die absolute Risikoaversion für alle angegebenen Nutzenfunktionen. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den ermittelten Risikoeinstellungen in a).
2.2.10 Risikoaversion Gegeben sind die folgenden Nutzenfunktionen in Abhängigkeit des Vermögens w: 1. U.w/ D 0;05 w 2. U.w/ D p 1 e 0;01 w 3. U.w/ D w a) Stellen Sie die absolute und relative Risikoaversion als Funktion des Vermögens w dar. Ermitteln Sie die absolute und relative Risikoaversion für ein Vermögen von 500 Euro und 5.000 Euro. b) Zeigen Sie formal, wie sich die absolute und relative Risikoaversion mit steigendem Vermögen verändert? Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse. c) Zeigen Sie formal, dass die relative Risikoaversion der negativen Grenznutzenelastizität des Vermögens entspricht. Was sagt die relative Risikoaversion demnach aus?
2.2.11 Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie I a) Erläutern Sie die Begriffe Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie. b) Betrachten Sie die Situation in Aufgabe 2.2.9b). Ermitteln Sie für alle in der Aufgabe angegebenen Nutzenfunktionen das Sicherheitsäquivalent und die Risikoprämie. Vergleichen Sie die Ergebnisse. c) Stellen Sie den Zusammenhang zwischen Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie für alle drei Nutzenfunktionen grafisch dar und erläutern Sie diese.
2.2.12 Sicherheitsäquivalent Betrachten Sie eine Entscheidungsträgerin, deren Präferenzen durch eine lineare Nutzenfunktion charakterisiert sind. Eine Lotterie bietet die Gelegenheit, 1.500 Euro mit einer Wahrscheinlichkeit von p und 500 Euro mit einer Wahrscheinlichkeit von .1 p/ zu gewinnen. Wie groß ist p, wenn das Sicherheitsäquivalent 900 Euro beträgt?
24
2 Entscheidung unter Unsicherheit
2.2.13 Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie II Betrachten Sie die durch die nachfolgenden Nutzenfunktionen charakterisierten Personen, wobei w das Vermögen darstellt: 1. U.w/ D e 0;05 w 1 3 2. U.w/ D w 5 3. U.w/ D 0;5 w C 80 Alle drei Personen besitzen ein Los, bei dem jeder Teilnehmer mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % 100 Euro gewinnen kann. Alle Teilnehmer, die nicht zu den Gewinnern zählen, erhalten einen Trostpreis in Höhe von 10 Euro. a) Der Tombolabetreiber bietet den Spielern an, das Los für 20 Euro abzukaufen. Wer von den drei Personen lässt sich auf den Handel ein? Erläutern Sie das Ergebnis. b) Wie hoch ist die Risikoprämie der einzelnen Spieler?
2.2.14 Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie III Betrachten Sie eine Person, die durch die vom Vermögen w abhängige Nutzenfunktion U.w/ D 1 e 0;001 w charakterisiert ist und ein Vermögen w0 in Höhe von 2.000 Euro besitzt. Die Person nimmt an einer Lotterie teil, bei der sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % das Vermögen verdoppeln kann. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % könnte sich das Vermögen allerdings auch halbieren. a) Ermitteln Sie das Sicherheitsäquivalent sowie die Risikoprämie, wenn die Hälfte des Vermögens investiert wird. b) Welchen Anteil des Vermögens w0 sollte die Person investieren, wenn sie ihren Erwartungsnutzen maximieren möchte? Wie hoch sind Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie in dieser Situation?
2.2.15 Approximation der Risikoprämie I Die Risikoprämie kann über folgende Gleichung approximativ ermittelt werden1 : RP
1 Var.X / ARA 2
Dabei entspricht X der Zufallsvariable (z. B. das Vermögen). Nehmen Sie folgende Situation an: Eine Person ist durch die vom Vermögen w abhängige Nutzenfunktion 1
Der Zusammenhang kann mit Hilfe einer Taylorreihenentwicklung des Zusammenhangs E ŒU.w0 C X/ D U.w0 C SÄ/ ermittelt werden.
2.2 Entscheidung unter Risiko
25
p U.w/ D 3 w charakterisiert und besitzt ein Vermögen w0 in Höhe von 20.000 Euro. Ihr wird eine Lotterie angeboten, bei der sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % 5.000 Euro gewinnen kann. Mit der Gegenwahrscheinlichkeit verliert die Person jedoch 5.000 Euro. [Hinweis: Rechnen Sie nicht mit gerundeten Werten der ARA, ansonsten können erhebliche Rundungsdifferenzen auftreten.] a) Ermitteln Sie die Risikoprämie an der Stelle w0 mit Hilfe des oben angegebenen Zusammenhangs. b) Wie verändert sich die Risikoprämie, wenn 1. sich das Vermögen w0 um 20.000 Euro erhöht, 2. die Person im Erfolgsfall 10.000 Euro gewinnt und im Misserfolgsfall 10.000 Euro verliert, p 3 3. die Nutzenfunktion des Individuums U.w/ D w 2 lautet?
2.2.16 Approximation der Risikoprämie II Zwei Personen A und B nehmen an einem Spiel teil, bei dem sie im Erfolgsfall 5.000 Euro gewinnen und im Misserfolgsfall 1.250 Euro verlieren können. Die Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt 20 %. Beide Personen besitzen ein Vermögen w0 von p 50.000 Euro. Person A ist durch die Nutzenfunktion UA .w/ D w und Person B durch die Nutzenfunktion UB .w/ D ln w charakterisiert, wobei w das Vermögen darstellt. a) Bestimmen Sie das Sicherheitsäquivalent und die Risikoprämie für beide Personen. b) Wie hoch ist die absolute und relative Risikoaversion beider Personen an der Stelle des gegebenen Vermögens w0 ? Welche der beiden Personen weist eine höhere absolute Risikoaversion aus? c) Approximieren Sie die Risikoprämie mit Hilfe der Gleichung aus Aufgabe 2.2.14. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit der ermittelten Risikoprämie in a).
2.2.17 Risikoeinstellung II Eine zwischen den folgenden ˚ Person hat die Möglichkeit ˚ Lotterien zu entscheiden: L1 5:000; 12 I 5:000; 12 oder L2 8:000; 15 I 2:000; 45 . Darüber hinaus besitzt das Individuum ein Vermögen w0 in Höhe von 7.000 Euro. Die Nutzenfunktion des Individuums in Abhängigkeit des Vermögens w lautet: 8 1 ˆ < für 0 w 10:000 w2 1:000 U D 1 ˆ : w2 C 40 w 200:000 für 10:000 < w 20:000 1:000
26
2 Entscheidung unter Unsicherheit
a) Stellen Sie den Verlauf der Nutzenfunktion grafisch dar und erläutern Sie diesen. Gehen Sie dabei auch auf die Risikoeinstellung des Individuums ein. b) Für welche Lotterie wird sich die Person entscheiden, wenn sie ihre Entscheidung anhand des Erwartungsnutzenkriteriums trifft? c) Ändert sich die Entscheidung, wenn das Vermögen w0 um 5.000 Euro steigt? Begründen Sie Ihre Antwort.
Kapitel 3
Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
3.1 Nachfrage und Angebot unter symmetrischen Informationen 3.1.1 Versicherungsentscheidung Ein Kunstliebhaber besitzt eine wertvolle Skulptur, deren Wert auf 275.000 Euro taxiert wurde. Die Wahrscheinlichkeit dass ihm die Skulptur gestohlen wird schätzt der Kunstliebhaber auf 1 %. Ein Versicherer bietet ihm an, die Skulptur für eine Prämie von 2.750 Euro gegen Diebstahl zu versichern. Der Kunstliebhaber gilt generell als risikoavers. Wird er den Versicherungsvertrag abschließen? Begründen Sie Ihre Antwort.
3.1.2 Zahlungsbereitschaft und Mindestprämie Betrachten Sie ein risikoaverses Individuum mit einer monoton steigenden Nutzenfunktion sowie einen risikoneutralen Versicherer. a) Erläutern Sie, wie hoch die maximale Zahlungsbereitschaft des Individuums für Vollversicherungsschutz ist und welche Prämie der Versicherer für Vollversicherungsschutz mindestens verlangen würde. Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen maximaler Zahlungsbereitschaft und Mindestprämie anhand einer geeigneten Grafik. b) Welcher Zusammenhang von maximaler Zahlungsbereitschaft und Mindestprämie ergibt sich bei 1. einem risikoneutralen Individuum? 2. einem risikofreudigen Individuum?
J.-M. Graf von der Schulenburg, A. Zuchandke, Übungen zur Versicherungsökonomik. DOI 10.1007/978-3-642-20578-1_3, © Springer 2011
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28
3 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
3.1.3 Optimalitätsbedingung der Versicherungsnachfrage Betrachten Sie ein Individuum mit einer Nutzenfunktion U.w/. Das Individuum besitzt das Vermögen w0 und mit einer Wahrscheinlichkeit von p tritt ein Vermögensschaden in Höhe von L ein. Das Individuum kann eine Versicherungsdeckung nachfragen und zahlt dafür eine Prämie P .I / D I , wobei I die vereinbarte Schadenzahlung bzw. die Versicherungsdeckung darstellt und den Prämiensatz bezeichnet. a) Formulieren Sie das allgemeine Entscheidungsproblem des Individuums gemäß der Erwartungsnutzentheorie. b) Ermitteln Sie die Indifferenzkurven des Erwartungsnutzens sowie deren Steigung für die folgenden Nutzenfunktionen: p 1. U.w/ D w 2. U.w/ D 0;5 w 3. U.w/ D w 2 Skizzieren Sie die Indifferenzkurven in einem Zwei-Zustands-Diagramm. Welche Steigung haben die Indifferenzkurven entlang der Sicherheitslinie? c) Interpretieren Sie die Steigung der Indifferenzkurven aus ökonomischer Sicht. d) Leiten Sie die Versicherungsgerade her und erläutern Sie das Ergebnis. Stellen Sie die Versicherungsgerade in einem Zwei-Zustands-Diagramm grafisch dar. e) Erläutern Sie die Optimalitätsbedingung der Versicherungsnachfrage und stellen Sie diese für die drei in b) betrachteten Nutzenfunktionen grafisch dar.
3.1.4 Versicherungsprämie Betrachten Sie einen risikoneutralen Versicherer, der auf dem Versicherungsmarkt als Preisnehmer agiert. Der Versicherer bietet die Versicherungsdeckung I an, wobei der potentielle Schaden mit einer Wahrscheinlichkeit von p eintritt. Für den Versicherungsschutz verlangt der Versicherer eine Prämie P .I / D I . a) Nehmen Sie an, dem Versicherer entstehen für die Übernahme des Risikos keine weiteren Kosten. Leiten Sie den erwarteten Gewinn des Versicherers her und ermitteln Sie, welchen Prämiensatz er verlangen wird? Erläutern Sie das Ergebnis. b) Wie verändert sich der vom Versicherer verlangte Prämiensatz , wenn zusätzlich Verwaltungskosten in Höhe von K.I / D ˇ I , mit 0 < ˇ < 1, entstehen?
3.1.5 Versicherungsnachfrage Betrachten Sie ein Individuum mit einer Nutzenfunktion U.w/ D ln w, wobei w das Vermögen bezeichnet. Das Individuum besitzt ein Vermögen w0 und mit einer Wahrscheinlichkeit von p tritt ein Vermögensschaden in Höhe von L ein. Ein Versicherer
3.1 Nachfrage und Angebot unter symmetrischen Informationen
29
bietet dem Individuum an, sich gegen das Risiko abzusichern. Für die Übernahme des Risikos verlangt der Versicherer die Prämie P .I / D I . a) Stellen Sie das Entscheidungsproblem des Individuums formal dar und leiten Sie die optimale Versicherungsnachfrage her. b) Zeigen Sie anhand der unter a) ermittelten Versicherungsnachfrage, welchen Versicherungsschutz das Individuum im Fall einer fairen Prämie nachfragen würde. c) Aufgrund zusätzlicher Verwaltungskosten erhebt der Versicherer einen Prämienaufschlag auf die faire Prämie, sodass > p gilt. Zeigen Sie mit Hilfe der Optimalitätsbedingung, wie sich der Prämienaufschlag auf die Versicherungsnachfrage auswirkt? d) Zeigen Sie formal, wie sich die Nachfrage nach Versicherungsleistungen ändert, wenn sich 1. das Vermögen w0 verändert 2. der Schaden L verändert e) Wie verändert sich der Anteil der Versicherungsdeckung am Schaden (sog. Deckungsgrad), wenn sich der Schaden erhöht? Stellen Sie den Zusammenhang formal dar und erläutern Sie das Ergebnis.
3.1.6 Kostenaufschlag Ein Individuum besitzt die Nutzenfunktion U.w/ D 1 e 0;1 w , wobei w das Vermögen in 1.000 Euro darstellt, und verfügt über ein Vermögen in Höhe von 9.000 Euro. Mit einer Wahrscheinlichkeit von p D 0;4 tritt ein Vermögensschaden ein, wodurch sich das Vermögen um 5.000 Euro reduziert. Das Individuum hat jedoch die Möglichkeit, sich bei einem Versicherer gegen den Schaden zu versichern. Der Versicherungsvertrag beinhaltet eine Prämienzahlung in Höhe von P .I / D I an den Versicherer. a) Berechnen Sie die Versicherungsnachfrage für den Fall, dass die Versicherung eine faire Prämie anbietet. b) In welcher Höhe fragt das Individuum Versicherungsschutz nach, wenn der Versicherer einen Kostenaufschlag ˇ von 25 % auf die faire Prämie erhebt? Veranschaulichen Sie Ihr Ergebnis in einer geeigneten Grafik. c) Angenommen, das Individuum würde vom Versicherer vor die Wahl gestellt: Entweder „Vollversicherung“ oder „keine Versicherung“. Wie würde sich das Individuum entscheiden und wovon hängt seine Entscheidung ab? d) Bis zu welchem prozentualen Kostenaufschlag wäre das Individuum bereit, bei der Wahl „Vollversicherung“ oder „keine Versicherung“ die Vollversicherung zu wählen? e) Der Versicherer entscheidet sich dafür, einen absoluten Kostenaufschlag Kfix in Höhe von 200 Euro zu erheben. Wie viel Versicherung fragt das Individuum nach?
30
3 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
f) Verändert sich die Versicherungsentscheidung aus e), wenn die Versicherung einen absoluten Kostenaufschlag von 700 Euro verlangt? Stellen Sie die Ergebnisse aus e) und f) in einem Zwei-Zustandsdiagramm grafisch dar.
3.1.7 Transferleistung des Staates Ein Individuum besitzt ein Vermögen in Höhe von 50.000 Euro. Im Falle eines Vermögensschadens reduziert sich das Vermögen um 39.600 Euro. Die Wahrscheinlichkeit für einen Schadeneintritt beträgt p D 0;25. Ein Versicherer bietet dem Individuum an, sich gegen diesen Schaden zu versichern. Für die Versicherungsdeckung I verlangt der Versicherer die Zahlung einer p Prämie P .I / D I . Das Individuum ist durch die Nutzenfunktion U.w/ D w charakterisiert, wobei w das Vermögen darstellt. Der Versicherer erhebt einen prozentualen Kostenaufschlag ˇ in Höhe von 60 % auf die faire Prämie. a) Wie viel Versicherungsschutz fragt das Individuum nach und wie hoch sind die von den Versicherungsnehmern zu zahlenden Kosten? Der Staat erkennt die Verringerung der Nachfrage aufgrund der von den Versicherern erhobenen Kosten und möchte diesem Effekt mit einer Subventionszahlung gegensteuern. Die Versicherungsnehmer erhalten die in Teilaufgabe a) ermittelten Kosten in Form einer festen Subventionszahlung S zurück. b) Wie verändert die Subventionszahlung die Nachfrage nach Versicherungsleistung und das Erwartungsnutzenniveau? Interpretieren Sie das Ergebnis.
3.2 Prävention und Nachfrage nach Versicherung unter symmetrischen Informationen 3.2.1 Präventionsmaßnahmen Im Rahmen von Präventionsmaßnahmen gibt es die Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit eines Schadeneintritts und/oder die Höhe des Schadens zu reduzieren. Erläutern Sie die beiden Möglichkeiten und stellen Sie die Auswirkung der Präventionsmaßnahmen in einem Nutzendiagramm für eine Nutzenfunktion U.w/, mit U 0 .w/ > 0 und U 00 .w/ < 0, grafisch dar.
3.2.2 Sprinkleranlage I Ein Einzelhändler besitzt ein kleines Lagerhaus, in dem seine Produkte gelagert werden. Er überlegt, eine Sprinkleranlage zu installieren, um mögliche Schäden
3.2 Prävention und Nachfrage nach Versicherung unter symmetrischen Informationen
31
im Falle eines Brandes zu reduzieren. Der durchschnittliche Wert der in der Lagerhalle befindlichen Produkte liegt bei 15.000 Euro. Im Falle eines Brandes entsteht ein Schaden in Höhe von 8.000 Euro und die Wahrscheinlichkeit für einen Brand liegt bei 50 %. Die Installation einer Sprinkleranlage würde dem Unternehmer 1.500 Euro kosten, dafür würde sich die Schadenhöhe halbieren. Der Unternehmer ist risikoavers und seine Nutzenfunktion in Abhängigkeit des Vermögens w lautet U.w/ D ln w. a) Ist es für den Unternehmer sinnvoll die Sprinkleranlage zu installieren, wenn er anhand des Erwartungsnutzenkriteriums entscheidet? b) Würde sich die Entscheidung verändern, wenn der Unternehmer 3.000 Euro für die Installation zahlen müsste? c) Wie viel würde der Einzelhändler maximal bereit sein für die Installation einer Sprinkleranlage zu bezahlen?
3.2.3 Einbruchdiebstahl I Ein Hauseigentümer besitzt in seinem Hausrat verschiedene Wertgegenstände (Bilder, Schmuck usw.) in Höhe von 70.000 Euro. Der Hauseigentümer hat Angst, dass in sein Haus eingebrochen wird und die Wertgegenstände gestohlen werden. Die Einbruchwahrscheinlichkeit schätzt er auf 20 %. Im Fall eines Einbruchdiebstahls vermutet er, dass 80 % seiner Wertgegenstände gestohlen werden. Damit das Haus etwas sicherer ist, denkt der Hauseigentümer über den Einbau einer Alarmanlage nach. Die Alarmanlage würde nach Informationen eines Fachmanns die Wahrscheinlichkeit eines Einbruchs um 10 Prozentpunkte reduzieren und würde 3.000 Euro kosten. Der Hauseigentümer ist durch die Nutzenfunktion U.w/ D 200 w w 2 charakterisiert, wobei w das Vermögen in 1.000 Euro bezeichnet. a) Lohnt es sich für den Hauseigentümer die Alarmanlage zu installieren? b) Wie würde sich der Hauseigentümer entscheiden, wenn er in seinem Hausrat Wertgegenstände in Höhe von lediglich 20.000 Euro besitzt?
3.2.4 Prävention und Versicherungsnachfrage I Betrachten Sie eine Person, die ein Vermögen w0 besitzt und durch die Nutzenfunktion U.w/ (mit U 0 .w/ > 0 und U 00 .w/ < 0/ charakterisiert ist, wobei w das Vermögen darstellt. Mit einer Wahrscheinlichkeit von p tritt ein Schaden ein, der das Vermögen um L.e/ reduziert. Die genaue Schadenhöhe ist abhängig von den eigenen Präventionsanstrengungen e, wobei gilt: L0 .e/ < 0, L00 .e/ > 0. Allerdings entstehen für die Prävention Kosten in Höhe von K.e/ D e.
32
3 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
a) Erläutern Sie allgemein das Entscheidungsproblem der Person und ermitteln Sie formal die Optimalitätsbedingung. b) Skizzieren Sie die Optimalitätsbedingung in einem Zwei-Zustands Diagramm und erläutern Sie diese. Ein Versicherer bietet der Person Versicherungsschutz I an und verlangt dafür eine faire Prämie. c) Wie verändert sich das Entscheidungsproblem der Person? Ermitteln Sie allgemein die optimale Versicherungsnachfrage und zeigen Sie, wie sich das Präventionsniveau im Vergleich zu a) verändert. Gehen Sie davon aus, dass der Versicherer das Präventionsniveau beobachten kann. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis unter Verwendung einer geeigneten Grafik.
3.2.5 Sprinkleranlage II Betrachten Sie den Einzelhändler aus Aufgabe 3.2.2. Nehmen Sie zusätzlich einen Versicherer an, der das Risiko eines Brandes absichern kann und dafür eine faire Prämie verlangt. a) Welchen Versicherungsschutz I wird der Einzelhändler nachfragen, wenn der Versicherer das Präventionsverhalten beobachten kann? Wird sich der Einzelhändler weiterhin für den Einbau einer Sprinkleranlage entscheiden? b) Erläutern Sie, wovon die Entscheidung für Prävention abhängt, wenn der unter a) ermittelte Versicherungsschutz nachgefragt wird. c) Stellen Sie Ihr Ergebnis grafisch dar.
3.2.6 Prävention und Versicherungsnachfrage II Betrachten Sie einen Taxi-Unternehmer, dessen Taxis ausgesprochen verbraucht und marode sind und dementsprechend die Unfallwahrscheinlichkeit relativ hoch ist. Er hat jedoch die Möglichkeit die Fahrzeuge zu warten und durch die Wahl eines Anstrengungsniveaus e die Eintrittswahrscheinlichkeit für einen Unfall p.e/ D 1 1 100 e (mit e 0) zu beeinflussen. Durch die Schadenverhütung entstehen dem 2 Unternehmer Kosten, die bereits in Nutzeneinheiten ausgedrückt sind. Die Nutzenfunktion des Taxi-Unternehmers in Abhängigkeit des Vermögens und des Anstren1 gungsniveaus lautet U.w; e/ D ln.w/ 2000 e 2 . Der Vermögenswert des Fuhrparks beträgt 10.000 Euro und der Taxi-Unternehmer befürchtet den Eintritt eines Schadens in Höhe von 8.000 Euro. Die Höhe des Schadens bleibt von den Anstrengungen unbeeinflusst. a) Formulieren Sie das Entscheidungsproblem. b) Welches optimale Anstrengungsniveau sollte der Taxi-Unternehmer wählen?
3.3 Nachfrage und Angebot unter asymmetrischen Informationen
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Der Gesetzgeber sieht für die Fahrzeuge von Taxi-Unternehmen Vollkaskoversicherungspflicht vor. Versicherungsverträge werden zu einer fairen Prämie angeboten. c) Formulieren Sie das veränderte Entscheidungsproblem. Welches Präventionsniveau wird der Unternehmer bei gleichzeitiger Versicherung wählen, wenn der Versicherer das Anstrengungsniveau beobachten kann?
3.2.7 Einbruchdiebstahl II Betrachten Sie den Hauseigentümer aus Aufgabe 3.2.3. Ein Versicherer bietet dem Hauseigentümer Versicherungsschutz zu einer fairen Prämie an. Gehen Sie davon aus, dass der Versicherer das Präventionsverhalten beobachten kann. a) Welchen Versicherungsschutz wird der Hauseigentümer nachfragen und wird er sich weiterhin für einen Einbau der Alarmanlage entscheiden? b) Erläutern Sie, wovon die Entscheidung für Prävention abhängt, wenn der unter a) ermittelte Versicherungsschutz nachgefragt wird. c) Stellen Sie Ihr Ergebnis grafisch dar.
3.3 Nachfrage und Angebot unter asymmetrischen Informationen 3.3.1 Market for Lemons Stellen Sie sich einen Gebrauchtwagenmarkt vor, auf dem Autos mit 4 unterschiedlichen Qualitäten .A B C D/ angeboten werden, welche die Verkäufer zu Preisen von A0 D 9.500 Euro, B 0 D 7.500 Euro, C 0 D 5.500 Euro und D 0 D 3.500 Euro anbieten. Die Preise spiegeln die Qualität der Autos wider. Es gibt ferner vier Käufer mit identischen Präferenzen, die für ein Auto mit der Qualität A 10.000 Euro, für ein Auto der Qualität B 8.000 Euro, für ein Auto der Qualität C 6.000 Euro und für ein Auto der Qualität D 4.000 Euro bezahlen würden. a) Welches Marktergebnis ergibt sich unter der Annahme, dass 1. die Käufer Kenntnis über die Qualität der angebotenen Autos besitzen? 2. die Käufer die Qualität der Autos nicht abschätzen können? b) Erläutern Sie das unter 2. auftretende Problem im Hinblick auf Versicherungsmärkte.
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3 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
3.3.2 Adverse Selektion Betrachten Sie verschiedene Individuen mit einem Vermögen w0 von 50.000 Euro. Mit einer exogenen Wahrscheinlichkeit kann ein Individuum erkranken, wodurch ein finanzieller Schaden in Höhe von 40.000 Euro entsteht. Alle Individuen besitzen eine Nutzenfunktion U.w/ D ln w, wobei w das Vermögen in 1.000 Euro bezeichnet. Die Individuen unterscheiden sich lediglich in ihrer Krankheitswahrscheinlichkeit. 75 % der Individuen werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % krank, die anderen mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 %. Für die Versicherer wird Risikoneutralität und vollkommener Wettbewerb angenommen. a) Zeigen Sie formal, dass die Indifferenzkurven der guten Risiken steiler verlaufen als die Indifferenzkurven der schlechten Risiken. b) Welches Marktgleichgewicht ergibt sich, wenn der Versicherer beide Risikotypen identifizieren kann? Stellen Sie Ihr Ergebnis grafisch dar. c) Nehmen Sie an, der Versicherer kann lediglich die Anteile der Risikotypen beobachten aber nicht die einzelnen Risiken identifizieren. Aus diesem Grund bietet der Versicherer eine einheitliche Prämie für alle Individuen an. Welchen Prämiensatz würde der Versicherer in diesem Fall verlangen? Welche Versicherungsdeckung wäre für beide Risiken optimal? Würden die Risikotypen Ihre optimale Menge nachfragen? d) Stellen Sie das Ergebnis aus c) grafisch dar und erläutern Sie anhand dieser Grafik, ob das Ergebnis ein stabiles Gleichgewicht darstellt. Der Versicherer entschließt sich zwei Versicherungsverträge anzubieten, einen für die guten Risiken und einen für die schlechten Risiken. e) Formulieren Sie das Entscheidungsproblem des Versicherers. f) Ermitteln Sie, welche zwei Verträge der Versicherer anbieten wird. Ist dieses Gleichgewicht stabil? Stellen Sie das Ergebnis grafisch dar.
3.3.3 Moral Hazard Erläutern Sie den Begriff Moral Hazard in Bezug auf Versicherungsmärkte. Veranschaulichen und erläutern Sie die verschiedenen Arten von Moral Hazard.
3.3.4 Sprinkleranlage III Betrachten Sie den Einzelhändler aus Aufgabe 3.2.5. Nehmen Sie an, der Versicherer kann das Präventionsverhalten nicht mehr beobachten. a) Für welches Präventionsniveau entscheidet sich der Einzelhändler? Welche Konsequenz ergibt sich daraus für den Versicherer?
3.3 Nachfrage und Angebot unter asymmetrischen Informationen
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b) Stellen Sie das Ergebnis aus a) in einem Zwei-Zustands Diagramm grafisch dar. c) Welche Möglichkeit hat der Versicherer, das Verhalten aus a) einzugrenzen? d) Ermitteln Sie rechnerisch das Ergebnis aus c) für den Fall, dass der Versicherer den Deckungsgrad als Versicherungsleistung festlegt.
3.3.5 Einbruchdiebstahl III Betrachten Sie den Hauseigentümer aus Aufgabe 3.2.7. Nehmen Sie zusätzlich an, dass der Versicherer das Präventionsverhalten nicht beobachten kann. a) Wie verändert sich das Verhalten des Hauseigentümers und welche Konsequenz ergibt sich daraus für den Versicherer? b) Stellen Sie Ihr Ergebnis in einem Zwei-Zustands-Diagramm grafisch dar. c) Welche Möglichkeit hat der Versicherer, das Verhalten aus a) einzugrenzen? Veranschaulichen Sie die Wirkung in einem Zwei-Zustands-Diagramm. d) Ermitteln Sie das Ergebnis aus c) rechnerisch.
Kapitel 4
Staatliche Regulierung und Sozialversicherung
4.1 Staatliche Regulierung 4.1.1 Einführung einer Versicherungssteuer Betrachten Sie erneut den Hauseigentümer aus Aufgabe 3.3.5. Der Staat erkennt das Problem des risikoerhöhenden Moral Hazards und möchte mit Hilfe einer Besteuerung von Versicherungsverträgen die Nachfrage reduzieren, um damit die Anreize zur Prävention aufrecht zu erhalten. Aus diesem Grund erhebt der Staat einen Steuersatz in Höhe von 100 % auf die faire Versicherungsprämie. a) Erläutern Sie das Entscheidungsproblem des Hauseigentümers? b) Ist der Steuersatz ausreichend, um dem Problem des Moral Hazards entgegenzuwirken?
4.1.2 Rauchverhalten Betrachten Sie einen privaten Krankenversicherungsmarkt, in dem die Versicherer als Preisnehmer agieren und ein Versicherungsnehmer Raucher oder Nichtraucher sein kann. Weiterhin ist bekannt, dass Rauchen einerseits das Erkrankungsrisiko von p auf p 0 (mit .0 < p < p 0 < 1/ erhöht und andererseits zu dem in Geldeinheiten gemessenen individuellen Wert des Rauchens a1 führt. Die Individuen verfügen über eine konkave Nutzenfunktionen und weder die Versicherer noch die Regierung können beobachten, ob ein Versicherungsnehmer raucht. Nehmen Sie weiterhin an, dass für die Individuen in einer Situation ohne Versicherungsschutz Nichtrauchen optimal ist. a) Erläutern Sie das Entscheidungsproblem und geben Sie an, welche Art von Versicherungsdeckung die Versicherer anbieten werden. Stellen Sie das Ergebnis in einem Zwei-Zustands Diagramm grafisch dar. J.-M. Graf von der Schulenburg, A. Zuchandke, Übungen zur Versicherungsökonomik. DOI 10.1007/978-3-642-20578-1_4, © Springer 2011
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38
4 Staatliche Regulierung und Sozialversicherung
Damit das Nichtrauchen gefördert wird, führt die Regierung eine Besteuerung des Zigarettenkonsums ein. Demnach muss jeder Raucher eine Steuer t abführen. b) Erläutern Sie, wie sich das Entscheidungsproblem aufgrund der Steuer verändert. Zeigen Sie grafisch, ob sich die angebotene Versicherungsdeckung der Versicherer c. p. verändert. Begründen Sie Ihr Ergebnis.
4.1.3 Pflichtversicherung Betrachten Sie die Aufgabe 3.3.2. Um das Problem der adversen Selektion zu beseitigen, führt die Regierung eine Pflichtversicherung mit vollständigem Versicherungsschutz ein. Alle Individuen zahlen eine einheitliche Prämie. a) Ermitteln Sie das Nutzenniveau der beiden Risikotypen und vergleichen Sie es mit der Marktlösung symmetrischer und asymmetrischer Informationen (siehe Aufgabe 3.3.2b) und f)). b) Erläutern Sie das Ergebnis anhand einer geeigneten Grafik. Die Regierung möchte mögliche Umverteilungseffekte zwischen guten und schlechten Risiken reduzieren und vereinbart daher, dass lediglich 30 % der erwarteten Schäden im Rahmen einer Pflichtversicherung abgesichert werden müssen. c) Ermitteln Sie das Nutzenniveau für beide Risikotypen und vergleichen Sie es mit den Ergebnissen in a). d) Nehmen Sie an, zusätzlich zur Pflichtversicherung können die Individuen über den privaten Versicherungsmarkt Versicherungsschutz nachfragen. Wie viel Versicherungsschutz werden die Individuen beider Risikogruppen zusätzlich zur Pflichtversicherung nachfragen, wenn auf dem privaten Versicherungsmarkt faire Prämien angeboten werden?
4.1.4 Nachfrage nach Gesundheitsleistungen Betrachten Sie einen Markt für Gesundheitsleistungen G, bei dem die Anbieter für Gesundheitsleistungen als Preisnehmer agieren und ihre Kostenfunktion K.G/ D 10 G lautet. Im Krankheitsfall würde eine Person gegeben der Nachfragefunktion DG .P / D 150 10 P Gesundheitsleistungen nachfragen, wobei P der Preis pro Gesundheitsleistung ist. a) Wie viel Gesundheitsleistungen wird eine erkrankte Person nachfragen, wenn kein Versicherungsmarkt existiert? Nehmen Sie an, ein Krankenversicherer versichert die Personen und übernimmt alle anfallenden Kosten für Gesundheitsleistungen. b) Wie verändert sich daraufhin die Nachfrage nach Gesundheitsleistungen?
4.2 Sozialversicherung
39
c) Stellen Sie das Ergebnis aus b) sowie die resultierenden Wohlfahrtseffekte grafisch dar. Interpretieren Sie die Ergebnisse und gehen Sie dabei auf die Einführung einer Versicherungsdeckung mit Selbstbeteiligung ein.
4.2 Sozialversicherung 4.2.1 Versicherungskonkurrenz Betrachten Sie eine Person mit einem Vermögen w0 in Höhe von 10.000 Euro. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 30 % tritt ein Krankheitsfall ein, der einen finanziellen Schaden in Höhe des gesamten Vermögens verursacht. Der Staat hat jedoch ein Mindestniveau in Höhe von 1.500 Euro eingeführt um eine Grundsicherung zu gewährleisten. p Die Person ist durch die vom Vermögen w abhängige Nutzenfunktion U.w/ D w charakterisiert. a) Stellen Sie die Situation in einem Nutzendiagramm grafisch dar und erläutern Sie die Grafik. Ein Versicherer bietet der Person Vollversicherungsschutz gegen Zahlung einer fairen Prämie an. Der Versicherer ist risikoneutral und agiert als Preisnehmer. b) Wird die Person eine Versicherung abschließen? c) Wie wird die Entscheidung über den Abschluss einer Versicherung ausfallen, wenn die Person ein Vermögen in Höhe von 5.000 Euro besitzt? Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Situation ohne Mindestniveau.
4.2.2 Umlageverfahren Eine risikoaverse Person ist durch die Nutzenfunktion U.w/ D 100 w 2 w 2 charakterisiert, wobei w das Vermögen in 1.000 Euro bezeichnet. Die Person habe ein Vermögen w0 in Höhe von 10.000 Euro. Sie wird von einem totalen Vermögensverlust bedroht und die Schadenwahrscheinlichkeit beträgt p D 0;5. a) Wie groß ist der Erwartungsnutzen der Person? Nehmen Sie an, identische Personen schließen sich zu einer Risikogemeinschaft zusammen. Die Risiken sind unabhängig. b) Ermitteln Sie den Erwartungsnutzen bei Teilung aller auftretenden Schäden zwischen den Individuen, wenn sich 1. 2 Personen 2. 3 Personen zu einer Risikogemeinschaft zusammenschließen. Ist der Zusammenschluss zu einer Risikogemeinschaft sinnvoll? Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse.
40
4 Staatliche Regulierung und Sozialversicherung
4.2.3 Aaron Bedingung Betrachten Sie eine geschlossene Volkswirtschaft mit den folgenden Charakteristika: • Individuen leben zwei Perioden. • Die Generation, die in Periode t geboren wird, besteht aus Nt Individuen und erhält in dieser Periode das Lohneinkommen wt . • Die in Periode t geborenen Individuen zählen in der Periode t C 1 zur Rentnergeneration, die nicht mehr arbeiten. • Zu jedem Zeitpunkt gibt es Nt Arbeiter und Nt 1 Rentner. • Die Bevölkerung wächst in jeder Periode um n Prozent. • Das Lohneinkommen steigt in jeder Periode um g Prozent. Der Staat möchte eine Rentenpflichtversicherung einführen und überlegt, ob ein Umlageverfahren oder ein Kapitaldeckungsverfahren vorteilhafter ist. Jedes Individuum soll einen Anteil seines Lohneinkommens an die Rentenversicherung zahlen und erhält dafür im Rentenalter eine Rente R. Am Kapitalmarkt kann der gegebene Zins rk erwirtschaftet werden. a) Ermitteln Sie die interne Verzinsung r des Kapitaldeckungs- und des Umlageverfahrens. Erläutern Sie, von welchen Faktoren die Verzinsung abhängig ist und wann das Umlageverfahren vorteilhaft ist. Unterstellen Sie für jede Periode ein ausgeglichenes Budget des Umlageverfahrens. b) Nehmen Sie für die geschlossene Volkswirtschaft an, dass das Bevölkerungswachstum 3 % beträgt und das Lohnwachstum 2 %. Auf dem Kapitalmarkt beträgt der Zinssatz 5 %. Für welches Rentensystem sollte sich der Staat in dieser Situation entscheiden?
4.2.4 Bruttolohnanpassung Betrachten Sie eine geschlossene Volkswirtschaft mit den folgenden Charakteristika: • Individuen leben zwei Perioden. • In der ersten Periode erwirtschaften Sie ein Bruttoerwerbseinkommen wt und in der zweiten Periode zählen Sie zur Rentnergeneration, die nicht mehr arbeitet. • In jeder Periode leben Ntj Erwerbspersonen und Nta Rentner. Die Regierung führt ein umlagefinanziertes Rentensystem ein, bei dem die Rentner einen bestimmten Anteil ' des aktuellen Erwerbseinkommens als Rente erhalten (entspricht dem relativen Rentenniveau). Damit ein ausgeglichenes Budget der Rentenversicherung sichergestellt ist, müssen die Erwerbspersonen den Beitragssatz vom Bruttoerwerbseinkommen zahlen.
4.2 Sozialversicherung
41
a) Ermitteln Sie den erforderlichen Beitragssatz in Abhängigkeit aller relevanten Größen, wenn das Rentenniveau vom Bruttoerwerbseinkommen kalkuliert à wird.  Zeigen Sie, wie eine Veränderung des Altersquotienten AQt D
Nta j
Nt
auf den
Beitragssatz wirkt. Die Regierung verändert die gesetzliche Regelung und definiert das Rentenniveau relativ zum Nettoerwerbseinkommen. b) Ermitteln Sie den erforderlichen Beitragssatz in Abhängigkeit aller relevanten Größen für den Fall, dass die Erwerbspersonen vom Bruttoeinkommen lediglich den Beitragssatz abführen müssen. Weitere Steuern und Abgaben werden nicht erhoben. Zeigen Sie, wie eine Veränderung des Altersquotienten auf den Beitragssatz wirkt. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Ergebnis aus a).
4.2.5 Rentenformel Beschreiben und erläutern Sie anhand der aktuellen Rentenformel, wie die monatlichen Rentenzahlungen in der deutschen gesetzlichen Rentenversicherung berechnet werden. Gehen Sie auch auf den Zweck und die Wirkungsweise der in der aktuellen Rentenanpassungsformel enthaltenen Faktoren ein.
4.2.6 Rentenkalkulation I Ein Absolvent der Leibniz Universität Hannover wird berufstätig und möchte seine zukünftige Rente nach den derzeitigen Grundsätzen der deutschen gesetzlichen Rentenversicherung kalkulieren. Er geht davon aus, dass sein Gehalt 40 Jahre lang 45.000 Euro betragen wird. Das Durchschnittsentgelt aller Versicherten wird seiner Meinung nach stets 30.000 Euro betragen. Der Absolvent möchte nicht mit 67, sondern bereits mit 64 Jahren in Rente gehen. Sein Rentenartfaktor beträgt 1,0 (Rente wegen Alters). Der aktuelle Rentenwert bei seiner Verrentung sei 30,00 Euro. a) Wie hoch wird die zukünftige monatliche Rente des Absolventen voraussichtlich sein? Der Absolvent will, c. p., einen anderen aktuellen Rentenwert berechnen. Der vorherige Rentenwert sei 30,00 Euro, der Lohnfaktor und der Beitragssatzfaktor seien 1,0. Aufgrund der demografischen Entwicklung geht der Absolvent davon aus, dass der Rentnerquotient in der Periode t 1 0;70 und in der Periode t 2 0;30 betragen wird. Der Gewichtungsfaktor ˛ sei 0,25. b) Wie würde sich die monatliche Rente des Absolventen verändern, wenn die gesetzliche Rente sinken dürfte?
42
4 Staatliche Regulierung und Sozialversicherung
4.2.7 Rentenkalkulation II Von der gesetzlichen Rentenversicherung sind Ihnen folgende Daten mitgeteilt worden: • • • • • • • • •
Durchschnittsentgelt aller Versicherten pro Periode D 30:000 Euro Rentenregelalter: 67 Jahre aRt 1 D 35 BEt 1 D 30:000 Euro BEt 2 D 20:000 Euro Beitragssatzfaktor D 1 RQt 1 D 0;5 RQt 2 D 0;4 ˛ D 0;5
mit: • • • •
aRt D Rentenwert des Jahres t BEt D Durchschnittliches Bruttoentgelt im Jahr t RQt D Rentnerquotient des Jahres t ˛ D Gewichtungsfaktor
Eine Verkäuferin hatte über 40 Jahre ein Einkommen von 25.000 Euro und geht nicht mit 67 Jahren in Rente, sondern bereits mit 66 Jahren. Ihr Rentenartfaktor ist 1,0. a) Welche monatliche Rente kann Sie erwarten? b) Wie verändert sich die zu erwartende Rentenhöhe, wenn BEt 1 D 22:000 Euro und RQt 1 D 0;8 wäre? Die Bundesregierung beschließt den Rentenversicherungsbeitragssatz von 20 % auf 25 % und den Altersvorsorgeanteil von 2 % auf 5 % zu erhöhen. c) Wie verändert sich die Rente der Verkäuferin unter den ursprünglichen Bedingungen?
Teil II
Lösungen
Kapitel 5
Grundlagen der Versicherungstechnik
5.1 Allgemeine Grundlagen 5.1.1 Versicherung vs. Wette Versicherung und Wette haben die Gemeinsamkeit, dass durch einen festen Kapitaltransfer eine ex-ante festgelegte, bedingte Forderung entsteht. Im Rahmen der Versicherung bedeutet dies die Zahlung einer Versicherungsprämie und den Erhalt einer Versicherungsleistung im Schadenfall. Bei einer Wette wird ein Wetteinsatz gezahlt und dafür erhält die Person im Erfolgsfall einen Wettgewinn. Der Unterschied zwischen Versicherung und Wette liegt darin, dass der Abschluss einer Versicherung die Abwälzung eines nicht gewollten Risikos bedeutet, der Abschluss einer Wette hingegen die bewusste Übernahme eines Risikos. Eine Versicherung wirkt demzufolge risikomindernd, eine Wette risikoerhöhend. In den folgenden Abbildungen ist ein konstanter Einkommensstrom Y .t/ über die Zeit t abgebildet, zum Zeitpunkt t0 tritt das jeweilige Ereignis (Wettereignis bzw. Schadenereignis) ein. Wette:
J.-M. Graf von der Schulenburg, A. Zuchandke, Übungen zur Versicherungsökonomik. DOI 10.1007/978-3-642-20578-1_5, © Springer 2011
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46
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
Versicherung:
In den beiden Abbildungen ist der Unterschied zwischen Versicherung und Wette erkennbar. Die Versicherung reduziert das Einkommensrisiko und verstetigt damit den Einkommensstrom. Im Vergleich dazu führt die Wette zu einer Ver-unstetigung des Einkommensstroms.
5.1.2 Varianz eines Versicherungsbestandes a) Allgemein können die Größen folgendermaßen ermittelt werden: Erwartungswert: E.L/ D
N X
pi Li
i D1
Varianz und Standardabweichung: Var.L/ D
N X
pi .Li E.L//2
i D1
p .L/ D Var.L/ Variationskoeffizient: Var K.L/ D
.L/ E.L/
1. n D 1 Der Erwartungswert des Schadens lautet: E.L/ D p L C .1 p/ 0 D 0;4 1 C 0;6 0 D 0;4
5.1 Allgemeine Grundlagen
47
Die Varianz des Schadens ergibt sich aus: Var.L/ D p .L E.L//2 C .1 p/ .0 E.L//2 Var.L/ D 0;4 .1 0;4/2 C .1 0;4/ .0 0;4/2 D 0;4 0;6 D 0;24 Die Standardabweichung des Schadens L ist: p p .L/ D Var.L/ D 0;24 D 0;49 Der Variationskoeffizient des Schadens L lautet: p .L/ 0;24 p Var K.L/ D D D 1;5 D 1;22 E.L/ 0;4 2. n D 100 Allgemein gelten für den Erwartungswert und die Varianz von n unabhängigen Zufallsvariablen Xi : ! n n X X Xi D E .Xi / E i D1
Var
n X
!
i D1
D
Xi
i D1
n X i D1
Var .Xi / C 2
n 1 X
n X
Cov Xi ; Xj
i D1 j DnC1
Da die Risiken des Versicherungsbestandes unabhängig sind, gilt Cov.Xi ; Xj / D 0. Demzufolge gilt für den Erwartungswert und der Varianz des Schadens von n homogenen und unabhängigen Risiken: ! n n X X Li D E .Li / D n E.L/ E Var
i D1 n X i D1
! Li
i D1 n X
D
Var .Li / D n Var.L/
i D1
Für n D 100 ergeben sich die folgenden Werte: E .Ln D 100 / D n E.L/ D 100 0;4 D 40 Var .Ln D 100 / D n Var.L/ D 100 0;24 D 24 p p .Ln D 100 / D n Var.L/ D 24 D 4;9 p p 24 .Ln D 100 / Var K .Ln D 100 / D D D 0;015 D 0;122 E .Ln D 100 / 40 3. n D 1:000 Für n D 1:000 ergeben sich die folgenden Werte: E .Ln D 1:000 / D n E.L/ D 1:000 0;4 D 400 Var .Ln D 1:000 / D n Var.L/ D 1:000 0;24 D 240
48
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
p
p .Ln D 1:000 / D n Var.L/ D 240 D 15;49 p p .Ln D 1:000 / 240 D D 0;0015 D 0;039 Var K .Ln D 1:000 / D E .Ln D 1:000 / 400 Ein Vergleich der Ergebnisse zeigt, dass mit steigendem Versicherungsbestand der Erwartungswert und die Varianz proportional zur Anzahl der Risiken zunehmen. Die Standardabweichung steigt hingegen unterproportional. Der Variationskoeffizient stellt eine Normierung der Standardabweichung dar und gibt somit die Entwicklung der Standardabweichung in Relation zum Erwartungswert an. Wie an den Ergebnissen erkennbar ist, sinkt der Variationskoeffizient mit steigender Anzahl an Risiken. b) Beim Übergang von der Netto- zur Bruttoprämie werden u. a. Risikozuschläge berücksichtigt (neben weiteren Zu- und Abschlägen wie bspw. Kostenzuschläge), die von der Größe des übernommenen Risikos abhängig sind. Die Höhe des Risikozuschlags sollte sich dabei an Kenngrößen orientieren, die das Risiko messen, wie bspw. die Varianz. Eine Betrachtung der Varianz würde jedoch nicht in jedem Fall einen Ausgleich im Kollektiv abbilden, da die Varianz z. B. bei homogenen und unabhängigen Risiken proportional zur Anzahl der Verträge wächst. Besser geeignet wäre eine Berücksichtigung anderer Risikomaße, wie die Standardabweichung oder der Variationskoeffizient. Natürlich spielen für die Ermittlung des Risikozuschlags noch andere Faktoren, wie z. B. die Gesamtschadenverteilung, eine Rolle.
5.1.3 Poisson-Verteilung a) Für eine Poisson-Verteilung gilt: E.X / D Var.X / D p n In diesem Fall sind der Erwartungswert und die Varianz: E.X / D Var.X / D p n D 0;0002 10:000 D 2 b) Für die nachfolgenden Teilaufgaben ist der Wert D p n D 2 relevant. Dementsprechend beträgt die Wahrscheinlichkeit: P .X D 0/ D 0;1353 ) 13;53 % c) P .X 2/ D 0;6767 ) 67;67 % d) P .2 X 3/ D P .X 3/ P .X 1/ D 0;8571 0;4060 P .2 X 3/ D 0;4511 ) 45;11 % e) P .X 5/ D 1 P .X 4/ D 1 0;9473 D 0;0527 ) 5;27 %
5.1 Allgemeine Grundlagen
49
5.1.4 Versicherungsbetrug A KA B KB
Auszahlung keine Auszahlung Betrug kein Betrug
a) Der Anteil der nicht gerechtfertigten Auszahlungen entspricht der bedingten Wahrscheinlichkeit P .BjA/, d. h. wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eines Betrugs, wenn eine Versicherungsleistung ausgezahlt wurde? Die Wahrscheinlichkeit kann über den Satz von Bayes ermittelt werden. Allgemein gilt: P .BjA/ D
P .A \ B/ P .A/
bzw. aufgrund des Zusammenhangs P .A \ B/ D P .AjB/P .B/ kann die Gleichung auch folgendermaßen umgeformt werden: P .BjA/ D
P .AjB/ P .B/ P .A/
P .AjB/ entspricht der Wahrscheinlichkeit einer Auszahlung, wenn ein Versicherungsbetrug vorliegt. Dies ist der Fall, wenn der Versicherungsbetrug nicht identifiziert wird, was annahmegemäß für 30 % der Fälle gilt. Demnach ist: P .AjB/ D 0;3 P .B/ entspricht der Betrugswahrscheinlichkeit, die bei 10 % liegt, d. h.: P .B/ D 0;1 P .A/ entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass es zu einer Auszahlung kommt. Dies ist der Fall, wenn eine korrekte Meldung richtig identifiziert wurde oder eine Betrugsmeldung falsch identifiziert wurde. Formal lautet P .A/: P .A/ D 0;7 P .KB/ C .1 0;7/ P .B/ D 0;7 0;9 C 0;3 0;1 D 0;66 Daraus ergibt sich: P .BjA/ D
0;3 0;1 P .AjB/ P .B/ D D 0;0455 ) 4;55% P .A/ 0;66
Somit sind 4,55 % der Auszahlung nicht gerechtfertigt, d. h. in 455 von 10.000 Auszahlungen liegt Versicherungsbetrug vor. b) Wie in Teilaufgabe a) kann der Anteil der nicht gerechtfertigten Ablehnungen über die bedingte Wahrscheinlichkeit P .KBjKA/ ermittelt werden. Das heißt wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Schadenmeldung, wenn eine
50
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
Versicherungsleistung nicht ausgezahlt wurde? Mit Hilfe des Satzes von Bayes entspricht die bedingte Wahrscheinlichkeit: P .KBjKA/ D
P .KAjKB/ P .KB/ P .KA/
P .KAjKB/ entspricht der Wahrscheinlichkeit einer Ablehnung der Leistung wenn kein Betrug vorliegt. Dies ist der Fall, wenn die korrekte Schadenmeldung nicht identifiziert wird, was in 30 % der Fälle gilt. Demnach ist: P .KAjKB/ D 0;3 P .KB/ entspricht der Wahrscheinlichkeit einer korrekten Schadenmeldung, was zu 90 % der Fall ist, d. h.: P .KB/ D 0;9 P .KA/ entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass die Auszahlung abgelehnt wird. Dies ist der Fall, wenn eine korrekte Meldung nicht richtig identifiziert wurde oder eine Betrugsmeldung korrekt identifiziert wurde. Dementsprechend gilt: P .KA/ D 0;9 0;3 C 0;1 0;7 D 0;34 Daraus ergibt sich: P .KBjKA/ D
0;3 0;9 P .KAjKB/ P .KB/ D D 0;7941 P .KA/ 0;34
Somit sind 79,41 % der Leistungsablehnungen nicht gerechtfertigt, d. h. in 7.941 von 10.000 Ablehnungen liegt eine korrekte Schadenmeldung vor.
5.1.5 Schadenverteilung I a) Dichtefunktion einer Normalverteilung
5.1 Allgemeine Grundlagen
51
Die Dichtefunktion einer Normalverteilung verläuft symmetrisch um den Erwartungswert . An der Stelle besitzt die Dichtefunktion gleichzeitig ihr Maximum und bei und C liegen die Wendepunkte der Funktion. b) Für die Betrachtung der Standardnormalverteilung N .0I 1/ wird die Zufallsvariable L unter Anwendung der folgenden Formel transformiert: ZD
L 1:200 L D 300
1. P .L 1:500/ D F .1:500/ D ˚
1:500 1:200 300
D ˚.1/ D 0;8413
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 84,13 %. 2. P .900 L 1:600/ D F .1:600/ F .900/ 1:600 1:200 900 1:200 P .900 L 1:600/ D ˚ ˚ 300 300 4 4 ˚.1/ D ˚ Œ1 ˚ .1/ P .900 L 1:600/ D ˚ 3 3 P .900 L 1:600/ D 0;9082 .1 0;8413/ D 0;7495 Die Wahrscheinlichkeit beträgt 74,95 %. 3. P .L 1:700/ D 1 F .1:700/ D 1 ˚
1:700 1:200 300
D1˚
5 3
P .L 1:700/ D 1 0;9525 D 0;0475 Die Wahrscheinlichkeit beträgt 4,75 %. 4. P .Lu L Lo / D 0;95 Eine Standardisierung von L ergibt: X z2;5 % D 0;95 P z2;5 % P . z2;5 % L C z2;5 % / D 0;95 P .1:200 300 1;96 L 1:200 C 300 1;96/ D 0;95 P .612 L 1:788/ D 0;95 Die Schäden liegen in dem Intervall Œ612; 1:788 c) Bei Versicherungsschäden sind die Eigenschaften der Normalverteilung, insbesondere der symmetrische Verlauf um den Erwartungswert, grundsätzlich nicht gegeben. Eine mögliche Verteilung von Versicherungsschäden ist bspw. eine rechtsschiefe Verteilung. Das bedeutet die Eintrittswahrscheinlichkeit von kleinen Schäden bzw. dass kein Schaden eintritt ist relativ hoch und die Wahrscheinlichkeit von Großschäden relativ gering (z. B. Privathaftpflichtschäden).
52
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
5.1.6 Schadenverteilung II a) Schadenverteilung A:
Schadenverteilung B:
5.1 Allgemeine Grundlagen
53
Schadenverteilung C:
b) Die Nettoprämie (NP) entspricht dem erwarteten Schaden: NP D E.L/ D
n X i D1
pi Li
54
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
Daraus ergeben sich die Nettoprämien der Verteilungen: NPA D 0;1 0 C 0;14 10:000 C 0;21 20:000 C 0;3 30:000 C 0;16 40:000 C 0;09 50:000 D 25:500 NPB D 0;25 0 C 0;23 10:000 C 0;2 20:000 C 0;17 30:000 C 0;1 40:000 C 0;05 50:000 D 17:900 NPC D 0;05 0 C 0;12 10:000 C 0;16 20:000 C 0;19 30:000 C 0;23 40:000 C 0;25 50:000 D 31:800 Für die Schadenverteilung A soll gezeigt werden, wie die Nettoprämie abgelesen werden kann:
Die Nettoprämie (bzw. der Erwartungswert) entspricht der Fläche oberhalb der Verteilungsfunktion. c) Aufgrund des Selbstbehalts in Höhe von 15.000 Euro betragen die vom Versicherer zu übernehmenden Schäden: Schaden Leistung des Versicherers
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
0
5.000
15.000
25.000
35.000
Für die Nettoprämien ergibt sich daraus: NPA D 0;1 0 C 0;14 0 C 0;21 5:000 C 0;3 15:000 C 0;16 25:000 C 0;09 35:000 D 12:700 NPB D 0;25 0 C 0;23 0 C 0;2 5:000 C 0;17 15:000 C 0;1 25:000 C 0;05 35:000 D 7:800 NPC D 0;05 0 C 0;12 0 C 0;16 5:000 C 0;19 15:000 C 0;23 25:000 C 0;25 35:000 D 18:150
5.2 Schadenversicherung
55
Aufgrund des eingeführten Selbstbehalts reduzieren sich alle Versicherungsprämien, wobei die absolute Änderung bei Schadenverteilung C aufgrund der höheren Wahrscheinlichkeit größerer Schäden am größten ist.
5.2 Schadenversicherung 5.2.1 Feuerversicherung a) Gesamtschaden: DD
8 X
di zi D 17:800:000
i D1
Durchschnittsschaden: D 17:800:000 D d D D D 8 D 20:649;65 P z 862 zi i D1
Die Gesamtschäden belaufen sich auf 17,8 Mio. Euro, wobei der durchschnittliche Schaden bei 20.649,65 Euro liegt. Schadenausbreitung: 20:649;65 d D D 0;2065 v 100:000 Insgesamt ergibt sich eine Schadenausbreitung von 20,65 %, d. h. pro 100 Euro Versicherungssumme entsteht ein Schaden in Höhe von 20,65 Euro. aD
Der Schadensatz p kann folgendermaßen ermittelt werden: p D h a D 0;02 0;2065 D 0;00413 Der Schadensatz beträgt 4,13 ‰. Er ist das Produkt aus Schadenhäufigkeit und Schadenausbreitung und entspricht somit dem erwarteten Schaden pro Euro Versicherungssumme bzw. der Nettoprämie pro Euro Versicherungssumme. Die Nettoprämie ergibt sich aus: NP D p VS D 80:000 0;00413 D 330;40 In diesem Fall beträgt die Nettoprämie 330,40 Euro.
5.2.2 KFZ-Haftpflichtversicherung a) Im Jahr 2009 startet der Fahrzeughalter mit der Maximalprämie von 1.000 Euro (100 %). Aufgrund des Bonussystems beträgt die Prämie 2011 800 Euro. Der
56
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
Unfall in 2011 führt dazu, dass er in 2012 keinen Bonus von B D 0;1 1:000 D 100 Euro erhält und zusätzlich um S D 0;11:000 D 100 Euro hochgestuft wird. In der nachfolgenden Tabelle sind die jährlichen Prämien und Kosten dargestellt: Jahr
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
Prämie ohne Schaden
700
600
500
400
300
300
300
Prämie mit Schaden
900
800
700
600
500
400
300
Kosten durch Unfall
200
200
200
200
200
100
0
Unter Berücksichtigung des Diskontsatzes betragen die Gesamtkosten zum aktuellen Zeitpunkt: KD
5 X i D1
200 100 C D 912;97 i .1;06/ .1;06/6
Die Kosten einer Schadenmeldung belaufen sich auf insgesamt 912,97 Euro und sind somit kleiner als der Unfallschaden (1.000 Euro). In diesem Fall ist die Schadenmeldung für den Fahrzeughalter günstiger als die Unfallkosten selbst zu tragen. b) In diesem Fall ändert sich die Kostensituation wie folgt: Jahr
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
700
600
500
400
300
300
300
300
Prämie mit Schaden
1.000
900
800
700
600
500
400
300
Kosten durch Unfall
300
300
300
300
300
200
100
0
Prämie ohne Schaden
Unter Berücksichtigung des Diskontsatzes betragen die Gesamtkosten: KD
5 X i D1
300 200 100 C C D 1:471;21 .1;06/i .1;06/6 .1;06/7
Die Kosten einer Schadenmeldung belaufen sich auf insgesamt 1.471,21 Euro und sind somit größer als der Unfallschaden (1.000 Euro). Hier ist die Schadenmeldung für den Fahrzeughalter teurer als die Unfallkosten selbst zu tragen. c) Ein Schadenfall im Jahr t hätte für den Fahrzeughalter zur Folge, dass er im Jahr t C 1 den Bonus nicht erhält und demzufolge Kosten in Höhe des nicht gewährten Bonus B entstehen, sofern er nicht bereits die Minimalprämie gezahlt hat. Darüber hinaus wird der Fahrzeughalter, falls er nicht den Maximalbetrag zahlt, hochgestuft und es entstehen zusätzliche Kosten in Höhe von S. Sofern der Fahrzeughalter ohne Schadenfall in n Jahren die Mindestprämie erreicht, betragen die zusätzlichen Kosten bis zum Jahr t D n pro Jahr B C S. Aufgrund der Annahme B D S betragen die Kosten im Jahr t D nC1 B CS B D S , da im Nichtschadenfall in t D n die Mindestprämie erreicht ist und im Schadenfall noch nicht. Erst in t D n C 2 ist auch im Schadenfall die Mindestprämie erreicht und die Prämienzahlungen haben sich vollständig angeglichen. Formal können
5.2 Schadenversicherung
57
die Gesamtkosten folgendermaßen dargestellt werden: KD
n X B CS S C i .1 C r/ .1 C r/nC1
i D1
Die Kosten der zukünftigen Jahre müssen dabei mit dem Diskontsatz r auf das aktuelle Jahr diskontiert werden. Für den Fall, dass der Fahrzeughalter die Maximalprämie zahlt, kommt es zu keiner Höherstufung. Aus diesem Grund muss lediglich die Nichtberücksichtigung des Bonus für das nächste Jahr betrachtet werden. Demzufolge hat der Fahrzeughalter bis zum Jahr t D n zusätzliche Kosten in Höhe von B, die Gesamtkosten ergeben sich aus: KD
n X i D1
B .1Cr/i
Zahlt der Fahrzeughalter im Jahr des Schadenfalls die Mindestprämie, wird er zwar hochgestuft, allerdings muss der Bonus nicht berücksichtigt werden, da die Mindestprämie bereits erreicht ist. Für B D S ergeben sich die Gesamtkosten: KD
B 1Cr
5.2.3 Schadenwahrscheinlichkeit S G
schlechtes Risiko gutes Risiko
a) Ermittlung der Wahrscheinlichkeit 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Versicherungsnehmer genau 1 Unfall hat, lautet: P .1/ D 0;6 0;17 C 0;4 0;08 D 0;134 Die Wahrscheinlichkeit beträgt 13,4 %. 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Versicherungsnehmer genau 2 Unfälle hat, lautet: P .2/ D 0;6 0;1 C 0;4 0;02 D 0;068 Die Wahrscheinlichkeit beträgt 6,8 %. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Versicherungsnehmer zur Gruppe der schlechten Risiken gehört, wenn er im ersten Jahr 0 und im zwei-
58
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
ten Jahr 2 Unfälle hat, kann als bedingte Wahrscheinlichkeit P .S j0 \ 2/ ausgedrückt werden. Laut Satz von Bayes ergibt sich die Wahrscheinlichkeit aus: P .S j0 \ 2/ D
P .0 \ 2jS / P .S / P .0 \ 2/
P .S / entspricht dem Anteil der schlechten Risiken und ist in der Aufgabenstellung mit P .S / D 0;6 gegeben. P .0 \ 2jS / ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein schlechtes Risiko im ersten Jahr 0 und im zweiten Jahr 2 Unfälle hat und ergibt sich aus: P .0 \ 2jS / D 0;7 0;1 D 0;07 P .0 \ 2/ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Versicherungsnehmer im ersten Jahr 0 und im zweiten Jahr 2 Unfälle hat. Diese ergibt sich aus der gewichteten Wahrscheinlichkeit, dass ein schlechtes Risiko oder ein gutes Risiko im ersten Jahr 0 und im zweiten Jahr 2 Unfälle haben, d. h.: P .0 \ 2/ D 0;6 P .0 \ 2jS / C 0;4 P .0 \ 2jG/ P .0 \ 2/ D 0;6 0;7 0;1 C 0;4 0;9 0;02 D 0;0492 Einsetzen in die obige Gleichung ergibt: P .S j0 \ 2/ D
0;07 0;6 D 0;8537 0;0492
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Versicherungsnehmer mit diesem Schadenverlauf ein schlechtes Risiko ist, liegt bei 85,37 %.
5.3 Lebensversicherung 5.3.1 Sterbetafel a) Die Sterbetafel stellt die Sterblichkeits- bzw. Überlebensverhältnisse einer fiktiven und festen Personengemeinschaft von 1.000.000 Personen dar. In der ersten Spalte ist das Alter x angegeben. Die zweite Spalte enthält die Sterbewahrscheinlichkeiten q.x/. Der Wert q.x/ gibt die Wahrscheinlichkeit an, innerhalb des Alters x zu versterben und somit das Alter x C 1 nicht zu erreichen. Die dritte Spalte enthält die Personen lx die das Alter x erreichen und die vierte Spalte beinhaltet die Personen dx , die innerhalb des Alters x versterben und somit das Alter x C1 nicht mehr erreichen. Die nächsten beiden Spalten stellen die diskontierten Werte der Spalten lx .Dx / und dx .Cx / dar und sind Hilfsgrößen, bspw. für die Berechnung von Nettoprämien. Auch die letzten beiden Spalten Nx und Mx stellen lediglich Hilfsgrößen dar. Nx .Mx / entspricht der ab dem Alter x aufsummierten Werte von Dx .Cx / und stellt u. U. eine Vereinfachung bei der Prämienberechnung dar.
5.3 Lebensversicherung
59
b) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann 1. das 60. Lebensjahr erreicht, ist: P .x D 60/ D
888:867 l60 D 0;9164 D l40 969:933
Die Wahrscheinlichkeit für einen 40-jährigen Mann, das 60. Lebensjahr zu erreichen, beträgt 91,64 %. 2. vor Erreichen des 85. Lebensjahres verstirbt, ist: 84 P
P .x < 85/ D
x D 40
l40
dx D
l40 l 85 969:933 200:433 D D 0;7934 l40 969:933
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein 40-jähriger Mann vor dem Erreichen des 85. Lebensjahres verstirbt, beträgt 79,34 %. c) Gesucht ist die Anzahl der Frauen, die das 70. Lebensjahr überlebt: P .x D 70/ D
l70 841:698 D 0;8535 D l35 986:224
Die Überlebenswahrscheinlichkeit beträgt 85,35 %. Das heißt von den 25 Frauen werden 0;8535 25 D 21;34 22 Frauen das 70. Lebensjahr überleben und demzufolge kalkuliert der Lebensversicherer mit 22 Auszahlungen.
5.3.2 Äquivalenzprinzip a) Das Äquivalenzprinzip stellt die künftigen Prämieneinnahmen und die künftigen Leistungen gegenüber, d. h. es gilt: Barwert der künftigen Beiträge = Barwert der künftigen Leistungen Der Barwert wird verwendet, um die Beiträge und die Leistungen zum heutigen Zeitpunkt zu ermitteln und somit eine Vergleichbarkeit herzustellen, da sich die Zahlungsströme über viele Perioden erstrecken können. Demzufolge ist der Rechnungszinsfuß ein wichtiger Bestandteil der Rechnungsgrundlagen. Da zukünftige Beiträge und Leistungen mit Ungewissheit verbunden sind, spielen Wahrscheinlichkeiten, wie bspw. Sterbewahrscheinlichkeiten, eine große Rolle bei der Kalkulation und somit in den Rechnungsgrundlagen. Zusätzlich werden in den Rechnungsgrundlagen Kostenzuschläge (z. B. für Abschluss- und Verwaltungskosten) sowie sonstige Zuschläge und Rabatte berücksichtigt. Das Einbeziehen der Kosten sowie Zuschläge und Rabatte ergibt die kalkulierte Bruttoprämie. b) Da aufgrund der Ungewissheiten zukünftiger Beiträge und Leistungen Wahrscheinlichkeiten berücksichtigt werden, kann das Äquivalenzprinzip lediglich
60
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
für eine Grundgesamtheit, z. B. die Gesamtheit der Verträge, Gültigkeit besitzen. Eine Betrachtung für einen einzelnen Vertrag ist somit nicht möglich.
5.3.3 Todesfallversicherung a) Ausgehend von dem in der DAV-Sterbetafel betrachteten fiktiven Bestand ergibt sich für das Äquivalenzprinzip die folgende Gleichung: 1 X
P lx C i v i D
i D0
1 X
VS dx C i v i C 1
i D0
Die linke Seite der Gleichung entspricht dem Barwert der zukünftigen Prämienzahlungen. Da die Prämie jährlich und vorschüssig gezahlt wird, ergibt sich die Prämienzahlung im Jahr i aus dem Produkt der Prämie P und der im Jahr i noch Lebenden lx C i . Aufgrund der Barwertbetrachtung werden die Prämienzahlungen mit v i auf das aktuelle Jahr diskontiert. Die Prämienzahlung läuft theoretisch bis i D 1, da eine Todesfallversicherung auf Lebenszeit vereinbart wurde und dementsprechend kein festes Vertragsende besteht. Die rechte Seite der Gleichung entspricht dem Barwert der zukünftigen Leistungen, d. h. den Zahlungen der Versicherungssumme VS. Die Leistungszahlung am Ende des Jahres i ergibt sich aus dem Produkt der Versicherungssumme und der Anzahl der Personen, die innerhalb des Jahres i versterben, d. h. in diesem Fall jeweils dx C i . Auch hier wird die Zahlung der Versicherungssumme auf das aktuelle Jahr diskontiert, allerdings mit dem Faktor v i C 1 , da die Leistungen nachschüssig gezahlt werden und somit die Leistung des ersten Jahres i D 0 am Ende des Jahres gezahlt wird und bereits mit v1 diskontiert werden muss. Das Leistungsversprechen verläuft theoretisch ebenfalls bis i D 1. b) Ermittlung der Nettoprämie: P
1 X
l50 C i vi D 100:000
i D0
1 X
d50 C i vi C 1
i D0
Eine Erweiterung beider Seiten mit v 50 ergibt: v
50
P
1 X
i
l50 C i v D v
50
100:000
i D0
P P
1 X nD0 1 X i D0
d50 C i v i C 1
i D0
l50 C i v 50 C i D 100:000
1 X nD0
D50 C i D 100:000
1 X
1 X i D0
C50 C i
d50 C i v 51 C i
5.3 Lebensversicherung
61
Da die Werte in der DAV-Sterbetafel lediglich bis zum Alter x D 100 angegeben sind, gilt allgemein: 1 X
Dx D
x D 50
100 X
Dx D N50
1 X
und
x D 50
Cx D
x D 50
100 X
Cx D M50
x D 50
Für die Aufgabenstellung ergibt sich daraus: P N50 D 100:000 M50 100:000M50 100:000 173:518 P D D D 2:767;02 N50 6:270:959 Die Nettoprämie für die Todesfallversicherung auf Lebenszeit beträgt 2.767,02 Euro. c) Aufgrund der kürzeren Laufzeit verändert sich die Gleichung zu: P
4 X
D50 C i D 100:000
i D0
4 X
C50 C i
i D0
Mit Hilfe des Zusammenhangs b X
Dx D Na Nb C 1
und
xDa
b X
Cx D M a M b C 1
x Da
kann die Gleichung folgendermaßen umgeschrieben werden: P .N50 N55 / D 100:000 .M50 M55 / 100:000 .M50 M55 / P D .N50 N55 / 100:000 .173:518 166:523/ D 473;35 P D .6:270:959 4:793:206/ Bei einer Laufzeit von fünf Jahren beträgt die jährliche Nettoprämie 473,35 Euro. d) Ausgehend von der Gleichung P
1 X i D0
l50 C i v i D 100:000
1 X
d50 C i v i C 1
i D0
müssen die Diskontfaktoren v i ermittelt werden, da in den angegebenen DAVSterbetafeln ein Zinssatz r von 2,25 % verwendet wurde.
62
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
1. r D 1;5 % P
4 4 X X l50 C i d50 C i D 100:000 i .1;015/ .1;015/i C 1
i D0
i D0
4 P
d50 C i i C1 .1;015/ i D0 P D 4 P l50 C i i .1;015/ i D0 4:126 3:773 4:522 4:964 5:448 C 100:000 C C C 1;015 1;0152 1;0153 1;0154 1;0155 P D 935:209 930:244 943:856 939:731 C C 947:629 C C 1;015 1;0152 1;0153 1;0154 100:000
P D 477;60 2. r D 0 % P
4 4 X X l50 C i d50 C i D 100:000 i .1/ .1/i C 1
i D0
i D0
100:000 P D
4 P i D0
P D
4 P i D0
d50 C i
l50 C i
100:000 .3:773 C 4:126 C 4:522 C 4:964 C 5:448/ .947:629 C 943:856 C 939:731 C 935:209 C 930:244/
P D 486;15 Im Vergleich zur Nettoprämie in c) ist erkennbar, dass die Nettoprämie bei einem sinkenden Zinssatz steigt. Der Grund für die höhere Nettoprämie liegt in dem geringeren Zinseszinseffekt.
5.3.4 Erlebensfallversicherung a) Für die Erlebensfallversicherung lautet die Gleichung: P l45 D VS l65 v 20
5.3 Lebensversicherung
63
Aufgrund der Einmalprämie ergibt sich der Barwert der Beiträge aus dem Produkt der Prämie und der Anzahl der im Alter von 45 Jahren lebenden Personen. Eine Diskontierung muss nicht berücksichtigt werden, da die Prämienzahlung zu Beginn der Laufzeit erfolgt. Der Barwert der Leistungen ergibt sich aus dem Produkt der Versicherungssumme und der Anzahl der im Alter von 65 Jahren noch lebenden Personen. Die Leistung muss dabei auf das aktuelle Jahr mit v20 diskontiert werden. b) Die Erweiterung beider Seiten der Gleichung mit v 45 ergibt: v 45 P l45 D v 45 100:000 l65 v 20 Umstellen der Gleichung nach P ergibt: P D45 D 100:000 D65 100:000 D65 100:000 211:560 P D D D 58:893;45 D45 359:225 Die Frau muss eine einmalige Prämie in Höhe von 58.893,37 Euro zahlen. c) Bei jährlicher Zahlung ändert sich die Gleichung zu: P
19 X
l45 C i v i D V S l65 v20
i D0
Die Prämie wird in diesem Fall jährlich von den im jeweiligen Jahr noch Lebenden gezahlt. Darüber hinaus werden die Prämienzahlungen auf den aktuellen Zeitpunkt diskontiert. Die Erweiterung beider Seiten der Gleichung mit v 45 ergibt: P
19 X
l45 C i v 45 C i D VS l65 v 65
i D0
P D
100:000 D65 100:000 211:560 D D 3:700;19 N45 N65 8:839:653 3:122:107
Die jährliche Prämie beträgt 3.700,19 Euro d) Die Gleichung verändert sich in dieser Situation zu: P
14 X
l45 C i v 45 C i D VS l65 v 65
i D0
P D
100:000 D65 100:000 211:560 D 4:640;48 D N45 N60 8:839:653 4:280:645
Da sich der Barwert der Leistungen nicht verändert, jedoch die Anzahl der Prämienzahlungen reduziert, erhöht sich die jährliche Prämie von 3.700,19 Euro auf 4.64,48 Euro.
64
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
e) In diesem Fall ändert sich die Gleichung zu: P
19 X
l45 C i v45 C i D
i D0
VS VS l57 v 57 C l65 v65 2 2
Die Hälfte der Versicherungssumme wird an die mit 57 noch Lebenden ausgezahlt und die andere Hälfte an die mit 65 noch Lebenden. Die Auszahlungen werden dabei auf das aktuelle Jahr diskontiert. Umstellen nach P ergibt: P D
50:000 D57 C 50:000 D65 N45 N65
P D
50:000 266:117 C 50:000 211:560 D 4:177;29 8:839:653 3:122:107
Aufgrund der vorzeitigen Teilauszahlung erhöht sich die jährlich zu zahlende Prämie von 3.700,19 Euro auf 4.177,29 Euro. Dies liegt zum einen an einer vor dem Vertragsende stattfindenden sicheren Zahlung und zum anderen an dem mit der Teilauszahlung verbundenen geringeren Zinseszinseffekt.
5.3.5 Todes- und Erlebensfallversicherung I a) Die Ausgangsgleichung für diese Todes- und Erlebensfallversicherung lautet: P
29 X i D0
l30 C i vi D VS
29 X
d30 C i v i C 1 C VS l60 v 30
i D0
Die linke Seite der Gleichung entspricht dem Barwert der zukünftigen Prämienzahlungen. Da die Prämie jährlich und vorschüssig gezahlt wird, ergibt sich die Prämienzahlung im Jahr i aus dem Produkt der Prämie P und der im Jahr i noch Lebenden lx C i . Aufgrund der Barwertbetrachtung werden die Prämienzahlungen mit v i auf das aktuelle Jahr diskontiert. Die rechte Seite der Gleichung entspricht dem Barwert der zukünftigen Leistungen, d. h. den Zahlungen der Versicherungssumme. Zum einen besteht der Barwert der zukünftigen Leistungen aus der Leistung im Todesfall und zum anderen aus der Leistung im Erlebensfall. Die Leistungszahlung im Todesfall am Ende des Jahres i ergibt sich aus dem Produkt der Versicherungssumme und der Anzahl der Personen, die innerhalb des Jahres i versterben, d. h. in diesem Fall jeweils d30 C i . Da die Versicherungssumme jeweils am Ende des Jahres gezahlt wird, erfolgt eine Diskontierung mit dem Faktor vi C 1 . Der Barwert der Leistungen im Erlebensfall ergibt sich aus dem Produkt der Versicherungssumme und der Anzahl der im Alter von 60 Jahren noch lebenden Personen. Die Leistung muss dabei auf das aktuelle Jahr mit v 30 diskontiert werden.
5.3 Lebensversicherung
65
b) Die Erweiterung der obigen Gleichung mit v 30 ergibt v30 P
29 X
l30 C i v i D v 30 VS
i D0
P
29 X
29 X
! d30 C i vi C 1 C VS l60 v30
i D0
D30 C i D VS
i D0
29 X
C30 C i C VS D60
i D0
P D
80:000 .M30 M60 / C 80:000 D60 N30 N60
P D
80:000 .185:470 156:671/ C 80:000 233:904 D 1:931;73 14:389:278 3:509:805
Die jährliche Nettoprämie der Todes- und Erlebensfallversicherung beträgt 1.931,73 Euro. c) Die Gleichung der Todes- und Erlebensfallversicherung im Fall 1. einer einmaligen Prämie ändert sich folgendermaßen: P l30 D VS
29 X
d30 C i v i C 1 C VS l60 v 30
i D0
Erweitern mit v 30 ergibt: P D30 D VS
29 X
C30 C i C VS D60
i D0
P D
80:000 .M30 M60 / C 80:000 D60 D30
P D
80:000 .185:470 156:671/ C 80:000 233:904 D 41:856;35 502:104
Die einmalig zu zahlende Nettoprämie der Todes- und Erlebensfallversicherung beträgt 41.856,35 Euro. 2. einer nachschüssig zu zahlenden jährlichen Prämie ändert sich folgendermaßen: P
30 X i D1
l30 C i v i D VS
29 X
d30 C i v i C 1 C VS l60 v 30
i D0
Aufgund der nachschüssigen Prämienzahlung zahlen lediglich die am Ende des jeweiligen Jahres noch Lebenden die Prämie.
66
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
Erweitern mit v 30 ergibt: P
30 X i D1
P
30 X
29 X
l30 C i v 30 D VS
d30 C i v 30 C i C 1 C VS l60 v 30
i D0
D30 C i D VS
i D1
29 X
C30 C i C VS D60
i D0
P D
80:000 .M30 M60 / C 80:000 D60 .N31 N61 /
P D
80:000 .185:470 156:671/ C 80:000 233:904 D 1:980;56 .13:887:174 3:275:901/
Aufgrund der nachschüssigen Zahlung erhöht sich die Nettoprämie im Vergleich zu einer vorschüssigen Nettoprämie von 1.931,73 Euro auf 1.980,56 Euro. Dies liegt zum einen daran, dass aufgrund der Sterbefälle weniger Versicherte die Prämie zahlen und zum anderen, dass sich der Zinseszinseffekt verringert. d) Die Vereinbarung der Auszahlung von 40.000 Euro im Erlebensfall verändert die Prämie folgendermaßen: P D
80:000 .185:470 156:671/ C 40:000 233:904 D 1:071;75 14:389:278 3:509:805
Die Nettoprämie reduziert sich auf 1.071,75 Euro. e) Die Reduzierung der Todesfallsumme nach 15 Jahren beeinflusst die Ausgangsgleichung folgendermaßen: P
29 X
l30 C i vi D VS
i D0
14 X
d30 C i v i C 1 C
i D0
C VS l60 v
29 VS X d30 C i vi C 1 4 i D15
30
In diesem Fall teilt sich die Zahlung der Todesfallsumme in zwei Intervalle auf. In den ersten 15 Jahren erfolgt eine Zahlung der kompletten Versicherungssumme an die Verstorbenen. Danach wird lediglich ein Viertel der Versicherungssumme an die während der restlichen Laufzeit Verstorbenen gezahlt. Die Zahlungen werden mit dem Faktor v i C 1 auf den aktuellen Zeitpunkt diskontiert. Erweitern mit v 30 ergibt: P
29 X i D0
D30 C i D VS
14 X i D0
C30 C i C
29 VS X C30 C i C VS D60 4 i D15
5.3 Lebensversicherung
67
P D
80:000 .M30 M45 / C 20:000 .M45 M60 / C 80:000 D60 .N30 N60 /
P D
80:000 .185:470 178:411/ C 20:000 .178:411 156:671/ 14:389:278 3:509:805 C
80:000 233:904 14:389:278 3:509:805
P D 1:811;84 Die Reduzierung der Todesfallsumme nach 15 Jahren führt zu einer Reduzierung der Prämie auf 1.811,84 Euro.
5.3.6 Todes- und Erlebensfallversicherung II a) Die Ausgangsgleichung der Todes- und Erlebensfallversicherung lautet P
4 X
l45 C i v i D
i D0
4 X
.i C 1/ P d45 C i v i C 1 C VS l50 v 5
i D0
Die Versicherungssumme für den Todesfall ist in diesem Fall von der Anzahl der gezahlten Prämien abhängig und beträgt im ersten Jahr P , im zweiten Jahr 2 P usw. Erweitern mit v 45 ergibt: v 45 P
4 X
l45 C i v i D v 45
i D0
P
4 X
! .i C 1/ P d45 C i vi C 1 C VS l50 v5
i D0
D45 C i D P
i D0
4 X
4 X
.i C 1/ C45 C i C VS D50
i D0
Umstellen nach P ergibt: " P .N45 N50 /
4 X
# .i C 1/ C45 C i
D VS D50
i D0
VS D50 P D 4 P .i C 1/ C45 C i .N45 N50 / i D0
68
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
P D
100:000 318:340 Œ.1:713:058/ .1 535 C 2 585 C 3 637 C 4 690 C 5 742/
P D 18:693;20 Die jährliche Nettoprämie beträgt 18.693,20 Euro. Das heißt, sollte die Frau im ersten Jahr versterben, würden die Erben 18.693,20 Euro erhalten, sollte sie im zweiten Jahr versterben 37.386,40 Euro usw. b) Bei Zahlung einer Einmalprämie verändert sich die Ausgangsgleichung folgendermaßen: P l45 D P
4 X
d45 C i vi C 1 C VS l50 v5
i D0
Die Versicherungssumme im Todesfall entspricht hier der Prämie P , da diese einmalig im Voraus gezahlt wird und im Todesfall an die Erben ausgezahlt werden soll. Die Erweiterung mit v 45 ergibt: P D45 D P
4 X
C45 C i C VS D50
i D0
P ŒD45 .M45 M50 / D VS D50 P D
100:000 318:340 D 89:412;31 Œ359:225 .164:709 161:520/
Die Einmalprämie der Todes- und Erlebensfallversicherung beträgt 89.412,31 Euro.
5.3.7 Deckungs- und riskiertes Kapital I a) Allgemein gilt, dass das Deckungskapital den Kapitalreserven für zukünftige Leistungen entspricht. Der konkrete Betrag des Deckungskapitals errechnet sich aus den zukünftigen Leistungen abzüglich der zukünftigen Prämienzahlungen, jeweils auf den aktuellen Zeitpunkt diskontiert. Das riskierte Kapital ist dabei die Differenz aus vereinbarter Versicherungssumme und Deckungskapital. Es existiert demnach ein direkter Zusammenhang zwischen Deckungskapital und riskiertem Kapital. Die folgenden Erläuterungen beziehen sich deshalb nur auf das Deckungskapital.
5.3 Lebensversicherung
69
1. Erlebensfallversicherung:
Zu Beginn der Versicherungslaufzeit entspricht das Deckungskapital der gezahlten Einmalprämie EP. Das Deckungskapital ist monoton steigend. Der monoton steigende Verlauf resultiert einerseits daraus, dass das angesammelte Deckungskapital der im Laufe der Zeit verstorbenen Versicherungsnehmer auf die noch lebenden Versicherungsnehmer aufgeteilt wird. Andererseits führt der positive Kapitalmarktzins zu Zinserträgen aus dem Deckungskapital. Am Ende der Laufzeit entspricht das Deckungskapital der zu zahlenden Erlebensfallsumme. 2. Todesfallversicherung:
Wie bei der Erlebensfallversicherung entspricht das Deckungskapital zu Beginn der Versicherungslaufzeit der gezahlten Einmalprämie. Das Deckungs-
70
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
kapital ist über die gesamte Laufzeit monoton fallend, da aufgrund der Sterbewahrscheinlichkeit Versicherungsleistungen gezahlt werden müssen und diese das Deckungskapital reduzieren. Am Ende der Versicherungslaufzeit hat das Deckungskapital einen Wert von 0 erreicht, da keine Auszahlungen im Erlebensfall fällig werden. 3. Todes- und Erlebensfallversicherung:
Das Deckungskapital einer Todes- und Erlebensfallversicherung stellt eine vertikale Aggregation des Deckungskapitals einer Todesfallversicherung und einer Erlebensfallversicherung dar. Zu Beginn der Laufzeit entspricht das Deckungskapital der gezahlten Einmalprämie. Der Verlauf des Deckungskapitals ist monoton steigend. Der steigende Verlauf resultiert lediglich aus den erwirtschafteten Zinserträgen. Dies liegt daran, dass der Versicherungsnehmer entweder eine Versicherungsleistung im Todesfall oder im Erlebensfall erhält, d. h. die Versicherungssumme wird in jedem Fall gezahlt, entweder im Todes- oder Erlebensfall. Somit führt lediglich ein positiver Zinseffekt zu einer Nettoprämie, die geringer ist als die vereinbarte Versicherungssumme. Am Ende der Laufzeit entspricht das Deckungskapital der zu zahlenden Erlebensfallsumme.
5.3 Lebensversicherung
71
b) Deckungs- und riskiertes Kapital im Fall einer stetigen Prämie: 1. Erlebensfallversicherung:
Zu Beginn der Versicherungslaufzeit hat das Deckungskapital einen Wert von 0. Der monoton steigende Verlauf resultiert einerseits aus den kontinuierlichen Prämienzahlungen, andererseits führt die Sterblichkeit dazu, dass das angesammelte Deckungskapital der im Laufe der Zeit verstorbenen Versicherungsnehmer auf die noch lebenden Versicherungsnehmer aufgeteilt wird. Zusätzlich führt der positive Kapitalmarktzins zu Zinserträgen aus dem Deckungskapital. Der Verlauf des Deckungskapitals befindet sich in jedem Punkt oberhalb des Verlaufs der kumulierten Prämienzahlungen, da die eben genannten Effekte das Deckungskapital positiv beeinflussen. Am Ende der Laufzeit entspricht das Deckungskapital der zu zahlenden Erlebensfallsumme. 2. Todesfallversicherung: Wie bei der Todesfallversicherung ist die Höhe des Deckungskapitals zu Beginn der Laufzeit 0, da eine stetige Prämienzahlung betrachtet wird. Aufgrund der stetigen Prämie steigt das Deckungskapital im ersten Abschnitt der Versicherungslaufzeit an. Der Anstieg erfolgt solange, wie die zusätzlichen Prämieneinnahmen größer sind als die Auszahlungen von Versicherungsleistungen aufgrund von Todesfällen. Unter der Annahme einer steigenden Mortalitätsrate sowie des durch Sterbefälle kleiner werdenden Versichertenkollektivs verändert sich das Verhältnis zwischen Einnahmen und Ausgaben. Das heißt, in einem zweiten Abschnitt der Versicherungslaufzeit ist der das Deckungskapital erhöhende Effekt der Prämieneinnahmen kleiner als der das Deckungskapital verringernde Effekt der Auszahlung von Versicherungsleistung aufgrund von Todesfällen. Als Folge daraus reduziert sich das Deckungskapital. Am Ende der Versicherungslaufzeit erreicht das De-
72
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
ckungskapital erneut einen Wert in Höhe von 0, da keine Auszahlungen im Erlebensfall fällig werden.
3. Todes- und Erlebensfallversicherung:
Das Deckungskapital einer Todes- und Erlebensfallversicherung stellt eine vertikale Aggregation des Deckungskapitals einer Todesfallversicherung und einer Erlebensfallversicherung dar. Zu Beginn der Laufzeit ist das Deckungskapital 0. Zunächst steigt das Deckungskapital relativ stark an, da die auf das Deckungskapital wirkenden positiven Effekte größer sind als die auf das Deckungskapital wirkenden negativen Effekte (siehe zu den einzelnen Effekten 1. und 2.). Der Anstieg des Deckungskapitals wird in einem bestimmten Bereich kleiner, da sich das Verhältnis aus Prämieneinnahmen und Leistun-
5.3 Lebensversicherung
73
gen aufgrund einer steigenden Sterbewahrscheinlichkeit zu Ungunsten der Einnahmen entwickelt. Allerdings reduziert sich durch die steigende Sterbewahrscheinlichkeit ebenfalls die Leistung im Erlebensfall, wodurch das Deckungskapital weiterhin (und unter Umständen wieder stärker) ansteigt. Am Ende der Laufzeit entspricht das Deckungskapital der zu zahlenden Erlebensfallsumme. c) Zinssatz: Ein steigender Zinssatz führt zu einer Erhöhung der erwirtschafteten Zinserträge, unabhängig von der betrachteten Versicherungsart. Demzufolge sinkt die zu zahlende Nettoprämie bei einem steigenden Zinssatz. Aufgrund der höheren Zinserträge muss zu jedem Zeitpunkt t < T c. p. weniger Deckungskapital vorhanden sein, wodurch das Deckungskapital insgesamt auf einem niedrigeren Niveau verläuft. Diese Wirkung tritt bei allen Versicherungsarten auf (Erlebensfallversicherung, Todesfallversicherung, Erlebens- und Todesfallversicherung). Der Effekt eines steigenden Zinssatzes ist beispielhaft für eine Todesfallversicherung mit laufender Prämienzahlung dargestellt:
Sterbewahrscheinlichkeit: Eine Erhöhung der Sterbewahrscheinlichkeit hat je nach betrachteter Versicherungsart unterschiedliche Effekte. Bei einer Todesfallversicherung führt die erhöhte Sterbewahrscheinlichkeit zu einer höheren Anzahl an Leistungen, was c. p. mit einer steigenden Prämie verbunden ist. Insgesamt muss zu jedem Zeitpunkt t < T c. p. mehr Deckungskapital vorhanden sein, da die erwartete Anzahl an Versicherungsleistungen im Todesfall höher ist. Demzufolge verläuft das Deckungskapital auf einem höheren Niveau. Exemplarisch ist der Effekt für eine Todesfallversicherung mit Einmalprämie dargestellt:
74
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
Im Fall einer Erlebensfallversicherung führt eine höhere Sterbewahrscheinlichkeit zum entgegengesetzten Effekt. In diesem Fall ist die Summe aller Auszahlung c. p. niedriger, da während der Laufzeit der Versicherung eine höhere Anzahl an Versicherten verstirbt und somit das Deckungskapital auf die noch lebenden Versicherten aufgeteilt wird. Im Fall einer Einmalprämie würde diese c. p. sinken und demzufolge wäre zu jedem Zeitpunkt t < T weniger Deckungskapital ausreichend. Das Deckungskapital verläuft somit auf einem niedrigeren Niveau. Im Fall einer laufenden Prämienzahlung (z. B. jährlich) kommt jedoch ein zusätzlicher Effekt hinzu, der erhöhend auf die Prämie und das Deckungskapital wirkt. Eine höhere Sterbewahrscheinlichkeit verringert die erwartete Prämienzahlung über die Zeit, weshalb die Prämie aufgrund dieses Effekts c. p. steigt. Der Gesamteffekt auf die laufende Prämie und somit auf das Deckungskapital ist demnach nicht eindeutig. Für den Fall einer Erlebensfallversicherung mit Einmalprämie ist der Effekt einer höheren Sterbewahrscheinlichkeit in der folgenden Abbildung dargestellt:
5.3 Lebensversicherung
75
Der Gesamteffekt einer veränderten Sterbewahrscheinlichkeit bei der Todes- und Erlebensfallversicherung ist ebenfalls nicht eindeutig, da die zuvor beschriebenen Effekte eine entgegengesetzte Wirkung haben.
5.3.8 Deckungs- und riskiertes Kapital II a) Ermittlung der Nettoprämie für den Fall einer 1. Einmalprämie Die Ausgangsgleichung lautet: P l50 D 50:000
9 X
d50 C i v i C 1 C 50:000 l60 v10
i D0
Die Erweiterung mit v 50 ergibt P D50 D 50:000
9 X
C50 C i C 50:000 D60
i D0
P D
50:000 .M50 M60 C D60 / D50
P D
50:000 .161:520 151:033 C 245:228/ D 40:163;82 318:340
Die Einmalprämie der Todes- und Erlebensfallversicherung beträgt 40.163,82 Euro. 2. Jährlichen Prämie Die Ausgangsgleichung lautet: P
9 X
l50 C i v i D 50:000
i D0
9 X
d50 C i vi C 1 C 50:000 l60 v 10
i D0
Die Erweiterung mit v 50 ergibt: P
9 X
D50 C i D 50:000
i D0
9 X
C50 C i C 50:000 D60
i D0
P D
50:000 .M50 M60 C D60 / N50 N60
P D
50:000 .161:520 151:033 C 245:228/ D 4:492;61 7:126:595 4:280:645
Die jährliche Nettoprämie der Todes- und Erlebensfallversicherung beträgt 4.492,61 Euro.
76
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
b) Wie bereits in 5.3.7a) erläutert, entspricht das Deckungskapital den Kapitalreserven für zukünftige Leistungen. Insgesamt müssen zu jedem Zeitpunkt t der Versicherungslaufzeit Reserven in der Höhe vorhanden sein, damit die zukünftigen Leistungen gedeckt sind. Dabei werden noch ausstehende Prämienzahlungen mit den zukünftigen Leistungen verrechnet. Das Deckungskapital ergibt sich demzufolge aus den zukünftigen Leistungen aufgrund von Todes- und/oder Erlebensfällen abzüglich der zukünftig noch zu zahlenden Prämien. Die Werte werden dabei auf den aktuellen Zeitpunkt diskontiert. Für eine Todes- und Erlebensfallversicherung errechnet sich das Deckungskapiges tal eines fiktiven Gesamtbestandes gemäß der DAV-Sterbetafeln DKt aus: ges
DKt
D VS
9X t
d50 C t C i v i C 1 C VS l60 v 10 t P
i D0
9X t
l50 C t C i vi
i D0
Der erste Term entspricht dem Barwert der zukünftigen Leistungen im Todesfall. Der zweite Term entspricht dem Barwert der zukünftigen Leistungen im Erlebensfall und der dritte Term entspricht dem Barwert der noch ausstehenden Prämienzahlungen. Wird das Deckungskapital pro Versichertem (DKt / betrachtet, muss das gesamte Deckungskapital mit der Anzahl der zum Zeitpunkt t noch Lebenden im Alter x dividiert werden, d. h.: VS DKt D
9P t i D0
d50 C t C i vi C 1 C VS l60 v10 t P
VS
9 t P i D0
DKt D VS
v 50 C t v 50 C t
l50 C t C i v i
ergibt:
d50 C t C i v
9 t P i D0
DKt D
i C1
C l60 v
10 t
P
l50 C t d50 C t C i v
50Ct Ci C1
9P t i D0
C l60 v
60
l50 C t v 50 C t P VS
DKt D
i D0
l50 C t
Eine Erweiterung der rechten Seite mit
DKt D
9P t
9P t i D0
l50 C t C i v50 C t C i
l50 C t v 50 C t 9P t i D0
C50 C t C i C VS D60 P
9P t i D0
D50 C t C i
D50 C t VS .M50 C t M60 C D60 / P .N50 C t N60 / D50 C t
l50 C t C i v i
v 50 C t v 50 C t
5.3 Lebensversicherung
77
Einsetzen von VS D 50:000 und P D 4:492;61 ergibt: DKt D
50:000 .M50 C t M60 C D60 / 4:492;61 .N50 C t N60 / D50 C t
Daraus folgt für die Deckungsbeiträge zu den Zeitpunkten t D 0; 2; 4; 6; 8; 10: DK0 D
50:000 .M50 M60 C D60 / 4:492;61 .N50 N60 / D50
DK0 D
50:000 .255:715/ 4:492;61 .2:845:950/ D 0;02 0 318:340
DK2 D
50:000 .M52 M60 C D60 / 4:492;61 .N52 N60 / D52
DK2 D
50:000 .254:028/ 4:492;61 .2:217:067/ D 9:050;21 302:864
DK4 D
50:000 .M54 M60 C D60 / 4:492;61 .N54 N60 / D54
DK4 D
50:000 .252:224/ 4:492;61 .1:618:903/ D 18:544;86 287:848
DK6 D
50:000 .M56 M60 C D60 / 4:492;61 .N56 N60 / D56
DK6 D
50:000 .250:143/ 4:492;61 .1:050:553/ D 28:498;23 273:260
DK8 D
50:000 .M58 M60 C D60 / 4:492;61 .N58 N60 / D58
DK8 D
50:000 .247:820/ 4:492;61 .511:175/ D 38:964;64 259:068
DK10 D
50:000 .M60 M60 C D60 / 4:492;61 .N60 N60 / D60
DK10 D
50:000 .D60 / D 50:000 D60
78
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
c) In der folgenden Abbildung ist der Verlauf des Deckungskapitals dargestellt:
Wie im stetigen Fall hat das Deckungskapital zu Beginn der Laufzeit einen Wert von 0. Im Laufe der Zeit steigt das Deckungskapital an, bis es am Ende der Laufzeit (in t D 10) der noch zu zahlenden Versicherungssumme im Erlebensfall entspricht.
5.3.9 Kündigung und Stundung a) Das Deckungskapital pro Versichertem einer Erlebensfallversicherung mit jährlicher Prämie lautet: VS l65 v45 t P DKt D
44P t i D0
l20 C t
Erweitern der obigen Gleichung mit VS l65 v45 t P DKt D
44P t i D0
v 20 C t v 20 C t
44P t i D0
ergibt:
l20 C t C i vi
l20 C t VS l65 v65 P
DKt D
l20 C t C i vi
v20 C t v 20 C t
l20 C t C i v 20 C t C i
l20 C t v20 C t
5.3 Lebensversicherung
79
Vereinfachen führt zur Gleichung: DKt D
VS D65 P .N20 C t N65 / D20 C t
Um das Deckungskapital und somit die Ablaufleistung bestimmen zu können, muss zuvor die zu zahlende Prämie ermittelt werden. Diese ergibt sich aus: P D
130:000 D65 130:000 195:908 D D 1:439;94 N20 N65 20:102:566 2:415:727
Das Deckungskapital zum Zeitpunkt t D 25 entspricht: 130:000 D65 1:439;94 .N45 N65 / D45 130:000 195:908 1:439;94 .7:953:177 2:415:727/ D 353:420 D 49:500;44
DK25 D DK25 DK25
Im Fall einer Kündigung nach 25 Jahren würde dem Versicherungsnehmer ein Betrag in Höhe von 49.500,44 Euro ausgezahlt. b) Aufgrund der zuvor geleisteten Prämienzahlungen hat sich in den ersten 25 Jahren ein Deckungskapital pro Versichertem von DK25 D 49:500;44 angesammelt. Dieses Deckungskapital soll ausreichen die zukünftigen Ansprüche abzudecken. Das Deckungskapital entspricht demzufolge in diesem Fall einer Einmalprämie für eine Versicherungslaufzeit von 20 Jahren. Laut Äquivalenzprinzip gilt somit: P l45 D VS l65 v 20
bzw. DK25 l45 D VS l65 v20
Der Barwert der Beiträge ergibt sich aus dem Produkt der Einmalprämie (in diesem Fall dem in a) ermittelten Deckungskapital) und der Anzahl der im Alter x D 45 Lebenden. Der Barwert der Leistungen ergibt sich aus dem Produkt der Versicherungssumme und den im Alter x D 65 Lebenden. Zusätzlich wird der Wert mit v 20 auf den Zeitpunkt t D 25 diskontiert. Da die Prämienzahlung gestundet wurde, ist die Äquivalenz von Prämien und Leistungen für eine Versicherungssumme von VS D 130:000 nicht länger gewährleistet. Die angepasste Versicherungssumme beträgt: VS D
DK25 l45 l65 v 20
80
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
Eine Erweiterung mit
v 45 v 45
ergibt:
VS D
DK25 l45 v 45 l65 v 20 v 45
VS D
DK25 D45 49:500;44 353:420 D D 89:299;29 D65 195:908
Der Versicherer reduziert die Versicherungssumme im Erlebensfall von 130.000 Euro auf 89.299,29 Euro.
5.3.10 Abschlusskosten a) Die Nettoprämie der Todesfallversicherung ergibt sich aus: P
9 X
l40 C i vi D 100:000
i D0
9 X
d40 C i vi C 1
i D0
Die Erweiterung beider Seiten mit v 40 ergibt: P
9 X
D40 C i D 100:000
i D0
9 X
C40 C i
i D0
P D
100:000 .M40 M50 / N40 N50
P D
100:000 .166:773 161:520/ D 144;27 10:767:627 7:126:595
Die Nettoprämie beträgt 144,27 Euro. b) Da die Prämienzahlung innerhalb der Laufzeit jährlich erfolgt, ergibt sich die Prämiensumme aus: Pges D P 10 D 144;72 10 D 1:442;7 Demzufolge betragen die Abschlusskosten: K/ D 0;04 Pges D 0;04 1:442;7 D 57;71 c) Die Zahlung der Abschlusskosten des Versicherungsnehmers über die gesamte Laufzeit (Zillmerung) bedeutet eine Erhöhung der jährlichen Nettoprämie P um den gezillmerten Prämienanteil Pz . Für den gesamten Versicherungsbestand müssen die Abschlusskosten dem gezillmerten Prämienanteil entsprechen, der
5.3 Lebensversicherung
81
über die gesamte Laufzeit gezahlt wird. Demzufolge muss gelten: l40 K/ D
9 X
Pz l40 C i v i
i D0
Die linke Seite der Gleichung entspricht der Summe der Abschlusskosten aller im Alter x D 40 Lebenden. Die rechte Seite der Gleichung setzt sich aus dem Barwert des gezahlten Prämienanteils Pz aller in den jeweiligen Versicherungsjahren Lebenden zusammen. Die Erweiterung beider Seiten mit v 40 ergibt: D40 57;71 D Pz
9 X
D40 C i
i D0
Umstellen der Gleichung nach Pz ergibt: Pz D
D40 57;71 403:713 57;71 D 6;40 D N40 N50 10:767:627 7:126:595
Der gezillmerte Prämienanteil beträgt 6,40 Euro. Die Bruttoprämie ergibt sich demnach aus: Pbrutto D P C Pz D 144;27 C 6;40 D 150;67
5.3.11 Deckungs- und riskiertes Kapital III a) Das Deckungskapital zum Zeitpunkt t entspricht dem Barwert der zukünftigen Leistungen abzüglich der noch zu zahlenden Versicherungsprämien. Für die Todesfallversicherung ergibt sich das Deckungskapital für einen fiktiven Bestand gemäß der Sterbetafel aus der Gleichung: ges
DKt
D VS
9X t i D0
d40 C t C i vi C 1 Pbrutto
9X t
l40 C t C i vi
i D0
Der erste Term entspricht dem Barwert der zukünftigen Leistungen an die Verstorbenen (bzw. deren Erben) innerhalb der Versicherungslaufzeit. Der zweite Term entspricht dem Barwert der zukünftigen Prämienzahlungen (hier die Bruttoprämien) aller im jeweiligen Versicherungsjahr noch Lebenden.
82
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
Das Deckungskapital pro Versichertem setzt sich zusammen aus: VS DKt D
9P t i D0
d40 C t C i vi C 1 Pbrutto
VS DKt D
l40 C t C i vi
9P t i D0
v 40 C t v 40 C t
ergibt:
d40 C t C i vi C 1 Pbrutto
9P t i D0
l40 C t C i vi
l40 C t VS
DKt D
i D0
l40 C t
Die Erweiterung der rechten Seite mit
DKt D
9P t
9P t i D0
C40 C t C i Pbrutto
9P t i D0
v40 C t v 40 C t
D40 C t C i
D40 C t VS .M40 C t M50 / Pbrutto .N40 C t N50 / D40 C t
Daraus ergibt sich für das Deckungskapital zum Zeitpunkt t D 0; 1; 5; 10: DK0 D
100:000 .M40 M50 / 150;67 .N40 N50 / D40
DK0 D
100:000 .166:773 161:520/ 150;67 .10:767:627 7:126:595/ 403:713
DK0 D 57;71 DK1 D
100:000 .M41 M50 / 150;67 .N41 N50 / D41
DK1 D
100:000 .166:428 161:520/ 150;67 .10:363:914 7:126:595/ 394:485
DK1 D 7;69 DK5 D
100:000 .M45 M50 / 150;67 .N45 N50 / D45
DK5 D
100:000 .164:709 161:520/ 150;67 .8:839:653 7:126:595/ 359:225
DK5 D 169;24 DK10 D
100:000 .M50 M50 / 150;67 .N50 N50 / D0 D50
5.4 Rückversicherung
83
Zu Beginn der Laufzeit ist das Deckungskapital negativ in Höhe der Abschlusskosten K/ , da der Versicherer die Abschlusskosten sofort nach Vertragsabschluss an den Versicherungsvermittler zahlt. Der Versicherungsnehmer zahlt die Abschlusskosten hingegen über die gesamte Laufzeit verteilt. Nach einem Jahr ist das Deckungskapital bereits positiv. Am Ende der Laufzeit entspricht es dem Wert 0. b) Deckungs- und riskiertes Kapital im Fall von gezillmerten Abschlusskosten
Wie bereits in a) erläutert, ist das Deckungskapital zunächst negativ. Der Grund dafür liegt in den zu Beginn des Vertrages entstehenden Kosten, die erst im Laufe der Zeit bis zum Ende der Vertragslaufzeit getilgt werden. Der Verlauf entspricht dem Verlauf der Todesfallversicherung ohne Abschlusskosten. Da es sich um eine Todesfallversicherung handelt, erreicht das Deckungskapital am Ende der Vertragslaufzeit den Wert 0.
5.4 Rückversicherung 5.4.1 Formen der Rückversicherung [Hinweis: Die Unterscheidung von Formen und Arten der Rückversicherung folgt dem Konzept von Farny (2011), Versicherungsbetriebslehre sowie Schulenburg (2005), Versicherungsökonomik – Ein Leitfaden für Studium und Praxis. In der Literatur ist ebenso eine umgekehrte Unterscheidung möglich.] Bei den Formen der Rückversicherung geht es um die Aufteilung von Risiken und Prämien zwischen Erst- und Rückversicherer. Grundsätzlich wird zwischen proportionaler und nicht-proportionaler Rückversicherung unterschieden.
84
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
Proportionale Rückversicherung: Bei der proportionalen Rückversicherung ergibt sich der Anteil der vom Rückversicherer übernommen Risiken anhand eines von der Versicherungssumme übernommenen Anteils. Die Übernahme der Risiken, Schäden und Prämien erfolgt dabei proportional zur Aufteilung des Risikos (bzw. der Versicherungssumme). Dementsprechend ist hier die Versicherungssumme das maßgebliche Kriterium. Der vom Rückversicherer übernommene Anteil wird Rückdeckung genannt, der beim Erstversicherer verbleibende Anteil Selbstbehalt. Die Aufteilung von Risiko und Prämie erfolgt dabei unabhängig von einem Schadeneintritt. Die wichtigsten Formen in der proportionalen Rückversicherung sind die Quoten-Rückversicherung und die Summenexzedenten-Rückversicherung sowie Mischformen beider. Quoten-Rückversicherung: Bei der Quoten-Rückversicherung beteiligt sich der Rückversicherer mit einem festen Anteil am Risiko (bzw. der Versicherungssumme) des Erstversicherers. Der Selbstbehalt entspricht somit einem festen Prozentsatz des Risikos. Die auftretenden Schäden und Prämien werden ebenfalls im gleichen Verhältnis aufgeteilt. Summenexzedenten-Rückversicherung: Bei der Summenexzedenten-Rückversicherung wird der Selbstbehalt des Erstversicherers am Risiko in Form eines absoluten Betrages (sog. Maximum) vereinbart. Das darüber hinausgehende Risiko wird proportional zwischen dem Erst- und Rückversicherer aufgeteilt. Aus dieser Aufteilung ergibt sich für jeden Versicherungsvertrag eine individuelle Quote. Anhand dieser individuellen Quote werden ebenfalls Schäden und Prämien aufgeteilt. Häufig begrenzt der Rückversicherer seine Haftung (sog. Exzendent) in Form eines Vielfachen des Maximums. Darüber hinausgehende Risiken werden wieder vollständig vom Erstversicherer übernommen. Nicht-proportionale Rückversicherung: Bei der nicht-proportionalen Rückversicherung erfolgt die Aufteilung anhand der Schadenhöhe und nicht anhand des Risikos (bzw. der Versicherungssumme). Der Erstversicherer übernimmt dabei einen absoluten Betrag vom Schaden (sog. Priorität), den darüber liegenden Schaden übernimmt der Rückversicherer (sog. Haftungsstecke). Auch hier wird die Haftungsstecke häufig begrenzt. Aufgrund der Nicht-Proportionalität ist die Aufteilung der Prämien aufwendiger und wird individuell berechnet. Dabei finden z. B. das Burning-Cost-Verfahren oder das ExposureVerfahren Anwendung. Nicht-proportionale Rückversicherungen werden u.a. in Form von Schadenexzedenten-Rückversicherungen oder Jahresüberschaden-Rückversicherungen vereinbart.
5.4 Rückversicherung
85
Schadenexzedenten-Rückversicherung: Bei der Schadenexzedenten-Rückversicherung (sog. Excess of Loss (XL)) wird ein absoluter Betrag als Priorität des Erstversicherers festgelegt. Dabei kann die Priorität pro Erstversicherungsvertrag (sog. Working XL) oder pro Schadenereignis (sog. Catastrophe XL) festgelegt werden. Ein Working XL Vertrag soll dabei einen Schutz vor Großrisiken bieten und ein Catastrophe XL Vertrag einen Schutz vor Kumulschäden. Jahresüberschaden-Rückversicherung: Bei der Jahresüberschaden-Rückversicherung verpflichtet sich der Rückversicherer von der Summe aller in einem Jahr auftretenden Schäden, den die Priorität übersteigenden Anteil zu übernehmen. Die Priorität wird dabei meist als Prozentsatz der gesamten Prämieneinnahmen vereinbart. Ein solcher Vertrag bietet dem Erstversicherer Schutz vor Schwankungen im Schadenverlauf.
5.4.2 Quoten-Rückversicherung a) Schaden 1 Gesamt Haftung (VS)
Erstversicherer
Rückversicherer
90.000
60.000
150.000
D 150.000 0,6 Schaden
80.000
48.000 D 80.000 0,6
32.000
300
180
120
D 150.000 0,002
D 300 0,6
Prämie
Schaden 2
Haftung (VS) Schaden Prämie
Gesamt
Erstversicherer
Rückversicherer
400.000
240.000
160.000
50.000
30.000
20.000
600
360
240
Schaden 3
Haftung (VS) Schaden Prämie
Gesamt
Erstversicherer
Rückversicherer
1.000.000
600.000
400.000
300.000
180.000
120.000
1.500
900
600
86
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
Schaden 4 Gesamt
Erstversicherer
Rückversicherer
Haftung (VS)
2.500.000
1.500.000
1.000.000
Schaden
2.000.000
1.200.000
800.000
5.000
3.000
2.000
Prämie
b) Aufteilung der übernommenen Risiken:
5.4.3 Summenexzedenten-Rückversicherung a)
Erstversicherer
Rückversicherer
Haftung
Prämie
Schaden
Haftung
Prämie
Schaden
1
150.000
22.500
80.000
0
Quote 0%
0
0
2
200.000
30.000
0
50.000
20 %
7.500
0
3
200.000
40.000
25.000
600.000
75 %
120.000
75.000
4
200.000
40.000
0
800.000
80 %
160.000
0
5
200.000
50.000
28.750
1.400.000
87,5 %
350.000
201.250
6
200.000
50.000
150.000
1.800.000
90 %
450.000
1.350.000
7
500.000
125.000
0
2.000.000
80 %
500.000
0
8
1.200.000
360.000
375.000
2.000.000
62,5 %
600.000
625.000
Die Haftung des Rückversicherers ergibt sich aus der Versicherungssumme abzüglich des Maximums von 200.000 Euro und abzüglich des Teils der Versicherungssumme, der die Haftungsstrecke des Rückversicherers von 2.000.000 Euro übersteigt.
5.4 Rückversicherung
87
Bspw. ist die Haftung des Rückversicherers für Risiko Nr. 5: Haftung5 D 1:600:000 200:000 D 1:400:000 Aus dem Verhältnis der Haftung des Rückversicherers und der Versicherungssumme ergibt sich die individuelle Quote des Rückversicherers, die für die Aufteilung der Prämien und der Schäden relevant ist. Bspw. ist die Quote des Rückversicherers für Risiko Nr. 5: Quote5 D
1:400:000 D 0;875 ) 87;5% 1:600:000
b) Aufteilung der übernommenen Risiken:
c) Allgemein gilt: Gewinn D Erlös Kosten .G D E K/ Der Erlös entspricht den Prämieneinnahmen, die der Erstversicherer gemäß der individuellen Quote erhält. Der Erlös mit Rückversicherungsschutz entspricht somit: E EV D
8 X
PrämieEV i D 717:500
i D1
Die Kosten entsprechen den realisierten Schäden (annahmegemäß existieren keine weiteren Kosten), die der Erstversicherer gemäß der individuellen Quote tragen muss. Die Kosten mit Rückversicherungsschutz entsprechen: K
EV
D
8 X i D1
SchadenEV i D 658:750
88
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
Der Gewinn des Erstversicherers ist demzufolge: G EV D E EV K EV D 717:500 658:750 D 58:750 Der Erstversicherer realisiert mit seinem rückgedeckten Versicherungsbestand einen Gewinn in Höhe von 58.750 Euro. Dieser Gewinn soll mit dem Gewinn ohne Rückversicherungsschutz verglichen werden. In dieser Situation hat der Erstversicherer einen Ertrag in Höhe von: E ges D
8 X
Prämiei D 2:905:000
i D1
Die Kosten belaufen sich auf: K ges D
8 X
Schädeni D 2:910:000
i D1
Daraus ergibt sich ein Gewinn in Höhe von: G ges D E ges K ges D 2:905:000 2:910:000 D 5:000 Ohne den Rückversicherungsschutz würde der Erstversicherer einen Verlust in Höhe von 5.000 Euro realisieren.
5.4.4 Einzel- und Kumulschadenexzedenten-Rückversicherung a) Zunächst wird bei der Aufteilung der Schäden die EinzelschadenexzedentenRückversicherung berücksichtigt. Aufgrund der Priorität von 300.000 Euro und der Haftungsstrecke von 1 Mio. Euro ergibt sich die folgende Aufteilung der einzelnen Schäden: Schaden-Nr.
Gesamtschaden
Schaden EV
1
250.000
250.000
Schaden RV 0
2
400.000
300.000
100.000
3
500.000
300.000
200.000
4
700.000
300.000
400.000
5
800.000
300.000
500.000
6
1.000.000
300.000
700.000
7
1.500.000
500.000
1.000.000
8
2.000.000
1.000.000
1.000.000
Für Schaden 1 trägt der Erstversicherer den gesamten Schaden, da dieser unter der Priorität liegt. Für die Schäden 2–6 liegt der Gesamtschaden über der Priorität, aber innerhalb der Haftungsstrecke, weshalb der Erstversicherer jeweils den
5.4 Rückversicherung
89
Schaden in Höhe der Priorität übernimmt und der Rückversicherer den darüber liegenden Schadenanteil. Lediglich für Schaden 7 und 8 geht der Gesamtschaden über die Haftungsstrecke hinaus, weshalb der Rückversicherer den Schaden in Höhe der Haftungsstrecke übernimmt und der Erstversicherer die Priorität plus den über die Haftungsstrecke hinausgehenden Schadenanteil. Zusätzlich muss überprüft werden, ob eine Schadenübernahme im Rahmen des Kumulschadenexzedenten-Vertrags möglich ist. Dafür müssen mehrere Schäden aufgrund eines Schadenereignisses eingetreten sein (sog. Kumulschaden), was laut Aufgabenstellung für die Schäden 2, 4, 5, 7 und 8 der Fall ist. Für diese Schäden muss die Gesamtschadensumme ermittelt werden, allerdings abzüglich der Haftung des Rückversicherers im Rahmen des EinzelschadenexzedentenVertrags. Die Gesamtschadensumme für den Erstversicherer der Schäden 2, 4, 5, 7, 8 beträgt 2.400.000 Euro. Die Priorität des Kumulschadenexedenten-Rückversicherungsvertrags beträgt 500.000 Euro, die Haftungsstrecke 2.000.000 Euro. Da der Gesamtschaden nach Abzug der Priorität innerhalb der Haftungsstrecke liegt, übernimmt der Rückversicherer im Rahmen des KumulschadenexzedentenVertrags 1.900.000 Euro. Der Erstversicherer übernimmt die Priorität in Höhe von 500.000 Euro. b) Aufteilung der Risiken für den Einzelschadenexzedenten-Vertrag
5.4.5 Jahresüberschaden-Rückversicherung a) Für die Ermittlung der Schadenaufteilung müssen zunächst der Gesamtschaden S und die Prämieneinnahmen EP ermittelt werden: S D 150:000 0;05 2:000 D 15:000:000 EP D 150 150:000 D 22:500:000
90
5 Grundlagen der Versicherungstechnik
Die Schadensumme ist kleiner als die Prämieneinnahmen. Somit liegt die Schadensumme innerhalb der Priorität (beträgt 100 % der Prämieneinnahmen), weshalb der Erstversicherer den Gesamtschaden selbst trägt. b) In dieser Situation ergibt sich eine Schadensumme in Höhe von: S D 150:000 0;15 1:600 D 36:000:000 Die Prämieneinnahmen bleiben konstant bei 22.500.000 Euro. In dieser Situation ist die Schadensumme größer als die Prämieneinnahmen und liegt somit über der Priorität. Die Haftungsstrecke des Rückversicherers liegt bei 30 % der Prämieneinnahmen, also bei 0;3 22:500:000 D 6:750:000. Der Schaden liegt sogar über der Priorität plus Haftungsstrecke. Demzufolge übernimmt der Rückversicherer den Anteil der Haftungsstrecke in Höhe von 6.750.000 Euro. Den Rest (29.250.000 Euro) übernimmt der Erstversicherer.
5.4.6 Burning-Cost Verfahren a) Unter Berücksichtigung einer Priorität des Erstversicherers in Höhe von 100.000 Euro sowie einer Haftungsstrecke des Rückversicherers von 400.000 Euro ergeben sich die in den nachfolgenden Tabellen aufgelisteten Schadenaufteilungen der Jahre 2007 – 2010. 1. Jahr 2007 Nr.
1
2
3
4
5
6
Schaden
80.000
120.000
238.000
350.000
580.000
700.000
EV
80.000
100.000
100.000
100.000
180.000
300.000
RV
0
20.000
138.000
250.000
400.000
400.000
Insgesamt übernimmt der Rückversicherer im Jahr 2007 einen Schaden in Höhe von 1.208.000 Euro. 2. Jahr 2008 Nr.
1
2
3
4
5
6
7
Schaden
75.000
98.000
105.000
450.000
580.000
650.000
720.000
EV
75.000
98.000
100.000
100.000
180.000
250.000
320.000
RV
0
0
5.000
350.000
400.000
400.000
400.000
Insgesamt übernimmt der Rückversicherer im Jahre 2008 einen Schaden in Höhe von 1.555.000 Euro.
5.4 Rückversicherung
91
3. Jahr 2009 Nr.
1
2
3
4
5
Schaden
60.000
320.000
325.000
480.000
508.000
EV
60.000
100.000
100.000
100.000
108.000
RV
0
220.000
225.000
380.000
400.000
Insgesamt übernimmt der Rückversicherer im Jahr 2009 einen Schaden in Höhe von 1.225.000 Euro. 4. Jahr 2010 Nr.
1
2
3
4
5
6
Schaden
82.000
123.000
187.000
213.000
423.000
568.000
EV
82.000
100.000
100.000
100.000
100.000
168.000
RV
0
23.000
87.000
113.000
323.000
400.000
Insgesamt übernimmt der Rückversicherer im Jahr 2010 einen Schaden in Höhe von 946.000 Euro. b) Im Rahmen des Burning-Cost Verfahrens werden für die aktuelle Tarifierung Informationen aus zurückliegenden Jahren verwendet. Dabei wird das Verhältnis aus Exzess-Schäden, d. h. Schäden die der Rückversicherer trägt, und Prämieneinnahmen berücksichtigt, auch relative Schadenlast SL genannt. Die folgende Tabelle enthält die relative Schadenlast der Jahre 2007–2010 als auch den Durchschnitt der relativen Schadenlast über den Gesamtzeitraum: Jahr
2007
2008
2009
2010
Gesamt
Exzess Schaden
1.208.000
1.555.000
1.225.000
946.000
4.934.000
Prämienvolumen
4.000.000
4.200.000
4.500.000
5.000.000
17.700.000
30,20 %
37,02 %
27,22 %
18,92 %
27,88 %
Relative Schadenlast
Gegeben der durchschnittlichen relativen Schadenlast und des kalkulierten Prämienvolumens kann die erwartete Schadenlast des Rückversicherers für 2011 ermittelt werden. Diese ergibt sich aus: SL D 0;2788 5:500:000 D 1:533:400 Die erwartete Schadenlast beträgt somit 1.533.400 Euro. Dieser Wert entspricht quasi der Nettoprämie, die der Erstversicherer zahlen muss. Die Bruttoprämie Pbrutto ergibt sich aus der Nettoprämie zzgl. 6 % Kostenaufschlag, d. h.: Pbrutto D 1:533:400 .1;06/ D 1:625:153;67 Insgesamt muss der Erstversicherer eine Bruttoprämie in Höhe von 1.625.153,67 Euro zahlen.
Kapitel 6
Entscheidung unter Unsicherheit
6.1 Entscheidung unter Ungewissheit 6.1.1 Entscheidungsregeln a) Die Maximin-Regel nimmt einen extremen Pessimismus des Entscheiders an, da sie nur die ungünstigsten Ergebnisse einer Aktion berücksichtigt. Das Gütemaß ˚ einer Aktion ai ergibt sich demnach aus: ˚.ai / D min eij j
In einem zweiten Schritt werden die Gütemaße der einzelnen Aktionen ai verglichen und die Aktion gewählt, bei der das ungünstigste Ergebnis den höchsten Wert annimmt. Demzufolge ergibt sich die Auswahl einer Aktion aus: ˚.ak / D max min eij j
i
b) Die Maximax-Regel nimmt einen extremen Optimismus des Entscheiders an, da für die Bewertung einer Aktion nur die beste Ergebnisausprägung berücksichtigt wird. Das Gütemaß einer Aktion ergibt sich demzufolge aus: ˚.ai / D max eij j
Im zweiten Schritt werden die Gütemaße verglichen und die Aktion mit dem höchsten Wert gewählt. Die Auswahl einer Aktion ergibt sich demzufolge aus: ˚.ak / D max max eij i
j
c) Die Hurwicz-Regel kombiniert die in a) und b) genannten Entscheidungsregeln und bildet eine Gewichtung aus dem extremen Pessimismus und Optimismus. Das Gütemaß einer Aktion berechnet sich aus: ˚.ai / D max eij C .1 / min eij ; j
j
mit
1
J.-M. Graf von der Schulenburg, A. Zuchandke, Übungen zur Versicherungsökonomik. DOI 10.1007/978-3-642-20578-1_6, © Springer 2011
93
94
6 Entscheidung unter Unsicherheit
Der Parameter entspricht dem Optimismusparameter und wird vom Entscheider festgelegt. Für D 0 entspricht die Entscheidungsregel der Maximin-Regel für D 1 der Maximax-Regel. Die Auswahl einer Aktion ergibt sich erneut aus dem Vergleich der Gütemaße aller Aktionen. Dabei wird auch hier diejenige Aktion mit dem höchsten Wert gewählt. Die Auswahl ergibt sich demzufolge aus: ˚.ak / D max max eij C .1 / min eij i
j
j
Obwohl die Hurwicz-Regel eine Gewichtung der Maximin- und Maximax-Regel vornimmt, basiert die Entscheidung dennoch auf lediglich zwei Extrempositionen. d) Die Laplace-Regel geht davon aus, dass die Eintrittswahrscheinlichkeiten der einzelnen Umweltzustände unbekannt sind und deshalb alle Umweltzustände als gleichwahrscheinlich angenommen werden. Gegeben dieser Annahme kann das Gütemaß einer Aktion durch die gewichtete Summe der Umweltzustände ermittelt werden: ˚.ai / D
n n X 1 1 X eij D eij n n
j D1
j D1
Auch hier ergibt sich die optimale Aktion aus dem Vergleich der Gütemaße und Auswahl des höchsten Wertes: 0 1 n X 1 ˚.ak / D max @ eij A i n j D1
e) Die Savage-Niehans-Regel berücksichtigt die Opportunitätskosten eines Umweltzustandes, d. h. die Abweichung vom maximal erreichbaren Ergebnis des jeweiligen Umweltzustandes. In diesem Zusammenhang wird eine Opportunitätskostenmatrix erstellt, wobei die Opportunitätskosten sij wie folgt berechnet werden: sij D max ekj eij k
Der Wert sij gibt die Höhe der Opportunitätskosten an, die der Entscheider realisieren würde, wenn der Umweltzustand zj eintritt und der Entscheider die Aktion ai gewählt hat. Gegeben der Savage-Niehans-Regel wird versucht, die Opportunitätskosten zu minimieren. Demzufolge wird auf die Opportunitätskostenmatrix eine Minimax-Regel angewandt, aus den maximalen Gütemaßen der einzelnen Aktionen wird der minimale Wert ausgewählt, d. h. ˚.ak / D min max sij i
j
6.1 Entscheidung unter Ungewissheit
95
f) Die Krelle-Regel nutzt eine vom Entscheider abhängige Ungewissheitspräferenzfunktion !.eij /, um die Ergebnisse eij zu transformieren. Im Normalfall wird eine monoton wachsende Funktion mit abnehmendem Grenzwert betrachtet, d. h. ! 0 .eij / > 0 und ! 00 .eij / < 0. Das Gütemaß einer Aktion ergibt sich aus der Summe der transformierten Ergebnisse: ˚.ai / D
n X
!.eij /
j D1
Wie bei allen Entscheidungsregeln werden auch hier in einem zweiten Schritt die Gütemaße der einzelnen Aktionen ai verglichen und die Aktion mit dem höchsten Wert gewählt, d. h.: 0 1 n X ˚.ak / D max @ !.eij /A i
j D1
6.1.2 Investitionsentscheidung a) Die minimalen Gewinne der Projekte sind in der letzten Spalte dargestellt: z1
z2
z3
a1
4.000
5.000
8.000
1.000
z4
3.000
z5
Minimum
a2
3.000
5.000
800
11.000
6.000
800
a3
3.000
5.000
1.500
2.000
2.500
1.500
a4
2.000
700
2.000
1.200
4.000
700
a5
10.000
6.000
8.000
600
3.200
600
1.000 ) Max.
Von den geringsten Gewinnen der jeweiligen Projekte ist der Gewinn des Projekts 3 mit 1.500 Euro am höchsten. Demnach wählt der Unternehmer das Projekt 3. b) Die maximalen Gewinne der jeweiligen Projekte sind in der letzten Spalte dargestellt: z1
z2
z3
a1
4.000
5.000
8.000
1.000
z4
3.000
z5
Maximum 8.000
a2
3.000
5.000
800
11.000
6.000
11.000
a3
3.000
5.000
1.500
2.000
2.500
5.000
a4
2.000
700
2.000
1.200
4.000
4.000
a5
10.000
6.000
8.000
600
3.200
10.000
) Max.
Von den maximalen Gewinnen der jeweiligen Projekte ist der Gewinn des Projekts 2 mit 11.000 Euro am höchsten. Demnach wählt der Unternehmer das Projekt 2.
96
6 Entscheidung unter Unsicherheit
c) In der nachstehenden Tabelle ist die Berechnung der Werte abgebildet: Max
Min
Hurwicz-Regel
a1
8.000
1.000
˚.a1 / D 0,2 8.000 C 0,8 1.000 D 2.400
a2
11.000
800
˚.a2 / D 0,2 11.000 C 0,8 800 D 2.840
a3
5.000
1.500
˚.a3 / D 0,2 5.000 C 0,8 1.500 D 2.200
a4
4.000
700
˚.a4 / D 0,2 4.000 C 0,8 700 D 1.360
a5
10.000
600
˚.a5 / D 0,2 10.000 C 0,8 600 D 2.480
) Max.
Bei einem Optimismusparameter von D 0;2 erreicht Projekt 2 den maximalen Wert (˚.a2 / D 2:840). Somit wählt der Unternehmer Projekt 2. d) In der nachstehenden Tabelle sind die gewichteten Summen der Gewinne der einzelnen Projekte abgebildet: Laplace-Regel a1
˚.a1 / D
1 5
.4.000 C 5.000 C 8.000 C 1.000 C 3.000/ D 4.200
a2
˚.a2 / D
1 5
.3.000 C 5.000 C 800 C 11.000 C 6.000/ D 5.160
a3
˚.a3 / D
1 5
.3.000 C 5.000 C 1.500 C 2.000 C 2.500/ D 2.800
a4
˚.a4 / D
1 5
.2.000 C 700 C 2.000 C 1.200 C 4.000/ D 1.980
a5
˚.a5 / D
1 5
.10.000 C 6.000 C 8.000 C 600 C 3.200/ D 5.560
) Max.
Bei Anwendung der Laplace-Regel erreicht Projekt 5 mit ˚.a5 / D 5:560 den maximalen Wert. Demnach wählt der Unternehmer Projekt 5. e) Nachstehend ist die Opportunitätskostenmatrix abgebildet: z1
z2
z4
z5
a1
6.000
1.000
z3 0
10.000
3.000
Maximum 10.000
a2
7.000
1.000
7.200
0
0
7.200
a3
7.000
1.000
6.500
9.000
3.500
9.000
a4
8.000
5.300
6.000
9.800
2.000
9.800
a5
0
0
0
10.400
2.800
10.400
) Min.
Anhand des folgenden Beispiels soll die Berechnung der Opportunitätskostenmatrix (Wert für e41 / verdeutlicht werden: Für den Umweltzustand z1 ist der maximale Gewinn 10.000, der mit Projekt 5 realisiert wird. Sollte der Unternehmer Projekt 4 gewählt haben, realisiert er nur einen Gewinn von 2.000 Euro. Somit ergibt sich ein Opportunitätskostenwert von 10:000 2:000 D 8:000 Euro, d. h. der Unternehmer hätte 8.000 Euro mehr Gewinn realisieren können. Insgesamt ergeben sich für jedes Projekt die in der letzten Spalte enthaltenen maximalen Opportunitätskosten. Projekt 2 liefert den daraus kleinsten Wert mit 7.200 Euro, deshalb wählt der Unternehmer Projekt 2.
6.1 Entscheidung unter Ungewissheit
97
f) In der nachstehenden Tabelle sind die transformierten Werte abgebildet: z4
z5
P5
j D 1 !.e ij /
z1
z2
z3
a1
14.400
17.500
25.600
3.900
11.100
72.500
a2
11.100
17.500
3.136
31.900
20.400
84.036
a3
11.100
17.500
5.775
7.600
9.375
51.350
a4
7.600
2.751
7.600
4.656
14.400
37.007
a5
30.000
20.400
25.600
2.364
11.776
90.140
) Max.
Anhand des folgenden Beispiels (für !.e11 /) soll die Berechnung der transformierten Werte verdeutlicht werden: !.e11 / D
1 4:0002 C 4 4:000 D 1:600 C 16:000 D 14:400 10:000
Unter Anwendung der Krelle-Regel ergeben sich die in der letzten Spalte aufgeführten Werte der jeweiligen Projekte. Den maximalen Wert erreicht dabei Projekt 5 mit 90.140. Somit würde der Unternehmer bei Anwendung dieser Entscheidungsregel Projekt 5 wählen.
6.1.3 Optimismusparameter a) Die Anwendung der Hurwicz-Regel mit D 0;3 ergibt die nachfolgenden Ergebnisse: Max
Min
a1
5.000
0
Hurwicz-Regel
a2
4.500
1.000
˚.a2 / D 0,3 4.500 C 0,7 1.000 D 2.050
a3
3.000
1.500
˚.a3 / D 0,3 3.000 C 0,7 1.500 D 1.950
˚.a1 / D 0,3 5.000 C 0,7 0 D 1.500 ) Max.
Der Unternehmer würde sich in diesem Fall für den Produktionsplan 2 entscheiden. b) Zunächst werden die Funktionen ˚i ./ ermittelt: a1 W a2 W
˚i ./ D 5:000 C .1 / 0 D 5:000 ˚i ./ D 4:500 C .1 / 1:000 D 1:000 C 3:500
a3 W
˚i ./ D 3:000 C .1 / 1:500 D 1:500 C 1:500
98
6 Entscheidung unter Unsicherheit
Die Grafik zeigt, dass mit einem zunehmendem Optimismusparameter zunächst ein Wechsel von Produktionsplan 3 zu 2 stattfindet und dann ein Wechsel von 2 zu 1 (gestrichelter Verlauf). Ebenfalls ist zu erkennen, dass (wie bereits rechnerisch ermittelt) für D 0;3 Produktionsplan 2 gewählt wird. Analytische Bestimmung der kritischen Werte: Wie in der Grafik erkennbar ist, findet ein Wechsel von Produktionsplan 3 zu 2 sowie von 2 zu 1 statt. Wechsel von 3 zu 2: ˚3 ./ D ˚2 ./ 1:500 C 1:500 D 1:000 C 3:500 500 D 1500 500 1 D 2 D 3 1:500 4 Der Wechsel von Produktionsplan 3 zu 2 findet bei D Wechsel von 2 zu 1:
1 4
statt.
˚2 ./ D ˚1 ./ 1:000 C 3:500 D 5:000 1:000 D 1:500 1:000 2 D 1 D 2 1:500 3 Der Wechsel von Produktionsplan 2 zu 1 findet bei D 23 statt. Zusammenfassend kann folgende Aussage getroffen werden: • im Intervall 0 • im Intervall 14 <
1 4 2 3
wählt der Unternehmer Produktionsplan 3 wählt der Unternehmer Produktionsplan 2
6.2 Entscheidung unter Risiko
• im Intervall
2 3
99
< 1 wählt der Unternehmer Produktionsplan 1
[Hinweis: Hierbei wurde angenommen, dass bei Indifferenz zw. Produktionsplan 3 und 2 (2 und 1) der Produktionsplan 3 (2) gewählt wird]
6.2 Entscheidung unter Risiko 6.2.1 Monty-Hall Problem Für die Erläuterung sei angenommen (ohne die Allgemeingültigkeit der Ergebnisse einzuschränken), dass sich das Auto hinter Tür B verbirgt. Zunächst wird die Situation betrachtet, dass der Teilnehmer seine ursprüngliche Entscheidung beibehält:
Zu Beginn wählt der Kandidat zufällig eine der drei Türen A, B oder C . Die Wahrscheinlichkeit eine der drei Türen zu wählen ist P .A/ D P .B/ D P .C / D 13 . Fällt die Wahl auf Tür A (bzw. C ), so öffnet der Showmaster sicher die Tür C (bzw. A). Fällt die Wahl auf Tür B, so öffnet der Showmaster zufällig, also mit einer Wahrscheinlichkeit von P D 12 , Tür A oder C . Da der Kandidat nicht wechselt, behält er mit Sicherheit die zu Beginn gewählte Tür. Anhand des Entscheidungsbaums ist ersichtlich, dass der Kandidat am Ende mit einer Wahrscheinlichkeit von P .Auto/ D 16 C 16 D 13 die Tür mit dem Auto gewählt hat. Mit der Gegenwahrscheinlichkeit von P .Niete/ D 13 C 13 D 23 hat der Kandidat allerdings eine Tür gewählt, hinter der sich eine Niete befindet.
100
6 Entscheidung unter Unsicherheit
Jetzt wird die Situation betrachtet, dass der Teilnehmer seine ursprüngliche Entscheidung ändert:
Auch hier gilt P .A/ D P .B/ D P .C / D 13 . Der Showmaster wird erneut bei Wahl der Tür A (bzw. C ) sicher Tür C (bzw. A) öffnen. Bei Wahl der Tür B öffnet er mit einer Wahrscheinlichkeit von P D 12 Tür A oder C . Nachdem der Showmaster eine Tür geöffnet hat, wechselt der Kandidat jedoch seine ursprüngliche Wahl. Wie anhand des Entscheidungsbaums erkennbar ist, hat der Kandidat am Ende mit einer Wahrscheinlichkeit von P .Auto/ D 13 C 13 D 23 die Tür mit dem Auto gewählt. Mit der Gegenwahrscheinlichkeit von P .Niete/ D 16 C 16 D 13 hat der Kandidat allerdings eine Tür gewählt, hinter der sich eine Niete befindet. Ergebnis: Ein Vergleich der beiden Strategien zeigt, dass der Kandidat in 1 von 3 Fällen das Auto gewinnt, wenn er seine ursprüngliche Entscheidung beibehält. Wechselt der Kandidat jedoch die gewählte Tür gewinnt er dagegen in 2 von 3 Fällen das Auto. Somit sollte der Kandidat die ursprünglich gewählte Tür wechseln, um seine Gewinnwahrscheinlichkeit zu erhöhen.
6.2.2 Erwartungswert und Varianz a) Die Formel für den Erwartungswert (/ des Projekts ai lautet: E.ai / D i D
5 X j D1
p.sj / eij
6.2 Entscheidung unter Risiko
101
Beispiel für Projekt a1 : 1 D 0;2 4:000 C 0;3 5:000 C 0;25 8:000 C 0;1 1:000 C 0;15 3:000 1 D 4:850 ai
Erwartungswert
a1
4.850
a2
4.300
a3
3.050
a4
1.830
a5
6.340
) Max.
Den maximalen Erwartungswert erreicht das Projekt 5 mit 6.340 Euro. In diesem Fall würde sich der Unternehmer für das Projekt 5 entscheiden. b) Die Formel für die Varianz ( 2 / des Projekts ai lautet: Var.ai / D
i2
D
5 X
p.sj / .eij i /2
j D1
Beispiel für Projekt a1 : i2 D 0;2 .4:000 4:850/2 C 0;3 .5:000 4:850/2 C 0;25 .8:000 4:850/2 C 0;1 .1:000 4:850/2 C 0;15 .3:000 4:850/2 D 4:627:500 Beispielrechnung für den Wert ;1 .; 2 /: ;1 .; 2 / D 10 4:850 0;005 4:627:500 D 25:362;5 Bei Berücksichtigung von Erwartungswert und Varianz (laut des angegebenen Zusammenhangs) ergibt sich der maximale Wert bei Projekt 1 mit 25.363,5. Demnach wählt der Unternehmer in diesem Fall Projekt 1. Varianz
;i .; 2 /
4.850
4.627.500
25.362,5
4.300
8.470.000
650
a3
3.050
1.897.500
21.012,5
a4
1.830
1.142.100
12.589,5
a5
6.340
8.176.400
22.518
ai
Erwartungswert
a1 a2
) Max.
102
6 Entscheidung unter Unsicherheit
6.2.3 St. Petersburg Paradoxon a) Die Wahrscheinlichkeit Kopf (K) oder Zahl (Z) zu werfen ist stochastisch unabhängig und somit ist die Wahrscheinlichkeit in Runde n Kopf oder Zahl zu werfen: P .Kn / D P .Zn / D
1 2
Die Wahrscheinlichkeit in Runde • 1 das erste Mal Kopf zu werfen ist: P .K 1 / D P .K1 / D
1 2
• 2 das erste Mal Kopf zu werfen ist: P .K 2 / D P .Z1 / P .K2 / D
1 1 1 D 2 2 4
• 3 das erste Mal Kopf zu werfen ist: 1 1 1 1 D 2 2 2 8
P .K 3 / D P .Z1 / P .Z1 / P .K2 / D • n das erste Mal Kopf zu werden ist:
P .K n / D P .Z1 / : : : P .Zn 1 / P .Kn / D
n 1 2
Daraus ergeben sich für die ersten 6 Runden die in der Tabelle angegebenen Werte: Runde
1
2
3
4
5
6
Auszahlung Wahrscheinlichkeit
2
4
8
16
32
64
1 2
1 4
1 8
1 16
1 32
1 64
Erwartete Auszahlung
1
2
3
4
5
6
b) Der Gewinn in Runde n ergibt sich aus G.n/ D 2n . Da keine Obergrenze für die Anzahl der Runden existiert, kann die Anzahl der Würfe unendlich groß werden. Demnach beträgt der erwartete Gewinn: E.G/ D P .K 1 / G.1/ C P .K 2 / G.2/ C : : : C P .K n / G.n/ 2 n 1 1 1 E.G/ D 2 C 22 C : : : C 2n 2 2 2 1 n 1 X X 1 n D 2 D 1D1 2 nD1 nD1
6.2 Entscheidung unter Risiko
103
Da der erwartete Gewinn unendlich groß ist, wäre auch die maximale Zahlungsbereitschaft des Teilnehmers in dieser Situation unendlich groß. Dementsprechend wäre er bereit, den Spieleinsatz in Höhe von 10.000 Euro zu zahlen.
6.2.4 Erwartungsnutzenkriterium I a) Das Erwartungsnutzenkriterium wurde von Daniel Bernoulli 1937 auf der Basis des St. Petersburg Paradoxon entwickelt. Entscheidend ist dabei die Überlegung, dass das Verhalten eines Entscheiders nicht allein über Eintrittswahrscheinlichkeiten und Auszahlungen prognostiziert werden kann. Bernoulli hat deshalb empfohlen, den Wert über die subjektive Nutzenbewertung zu ermitteln. Nicht die Auszahlungen sollen mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtet werden, sondern die mit Hilfe einer Nutzenfunktion ermittelten Nutzenwerte. b) Die Formel für den Erwartungsnutzen (EU) des Projekts ai lautet: EU.ai / D EŒU.ai / D
5 X
p.sj / U.eij / D
j D1
5 X
p.sj / ln eij
j D1
Beispiel für Projekt a1 : EU.a1 / D 0;2 ln 4:000 C 0;3 ln 5:000 C 0;25 ln 8:000 C 0;1 ln 1:000 C 0;15 ln 3:000 D 8;35 ai
Erwartungswert
a1
8,35
a2
8,06
a3
7,92
a4
7,34
a5
8,55
) Max.
Den maximalen Erwartungswert erreicht das Projekt 5 mit einem Erwartungsnutzen von EU.a1 / D 8;55. Demzufolge würde sich der Unternehmer in diesem Fall für das Projekt 5 entscheiden.
6.2.5 Erwartungsnutzenkriterium II Der Nutzen in Runde n ergibt sich aus U.n/ D ln.2n /. Der Erwartungsnutzen lautet demnach: 1 n X 1 1 n EU D P .K / U.1/ C : : : C P .K / U.n/ D ln.2n / 2 nD1
104
6 Entscheidung unter Unsicherheit
EU D
1 n X 1 nD1
2
n ln 2 D ln 2
1 X n D 2 ln 2 D ln 4 2n nD1
Der Erwartungsnutzen EU D ln 4 entspricht einer Zahlungsbereitschaft in Höhe von 4 Euro.
6.2.6 Quizshow a)
In jeder Runde ist die Erfolgswahrscheinlichkeit P D 12 und nach jeder erfolgreichen Runde können Sie entscheiden, ob Sie das Geld nehmen oder weiterspielen. In der ersten Runde des Spiels beträgt die Wahrscheinlichkeit P D 12 2.000 Euro zu erhalten. Die Wahrscheinlichkeit in der 2. Runde 6.000 Euro zu erhalten, ergibt sich aus der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit in der ersten und zweiten Runde richtig zu antworten, d. h. P .R1 \ R2 /. Aufgrund der Unabhängigkeit ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit: P .R1 \ R2 / D P .R1 / P .R2 / D
1 1 1 D 2 2 4
Für die dritte Runde gilt analog, dass die Wahrscheinlichkeit 15.000 Euro zu erhalten der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit entspricht in der ersten, zweiten und dritten Runde richtig zu antworten, d. h.: P .R1 \ R2 \ R3 / D P .R1 / P .R2 / P .R3 / D
1 1 1 1 D 2 2 2 8
Für die weiteren Runden lauten die Wahrscheinlichkeiten: 1 2 1 P .R1 \ R2 \ R3 \ R4 \ R5 / D 2 P .R1 \ R2 \ R3 \ R4 / D
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
D
1 16
1 1 D 2 32
Die Wahrscheinlichkeit eines Misserfolgs in der jeweiligen Runde ergibt sich aus der Gegenwahrscheinlichkeit, bspw. für Runde 2 aus 1 P .R1 \ R2 /.
6.2 Entscheidung unter Risiko
105
b) Zunächst wird der Erwartungswert des Gewinns für jede Runde gebildet. Dieser ergibt sich aus der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit, in der aktuellen und den vorherigen Runden die richtige Antwort zu wählen (siehe a)). Die Erfolgswahrscheinlichkeit entspricht der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse. Die Erwartungswerte sind somit: E1 .w/ D E2 .w/ D E3 .w/ D E4 .w/ D E5 .w/ D
1 1 2:000 C 0 D 1:000 2 2 1 3 6:000 C 0 D 1:500 4 4 1 7 15:000 C 0 D 1:875 8 8 1 15 28:000 C 0 D 1:750 16 16 31 1 44:000 C 0 D 1:375 32 32
Ein Vergleich der Erwartungswerte zeigt, dass der maximale Wert in der dritten Runde erreicht wird. Demnach sollten Sie bis zur dritten Runde spielen, sofern Sie nicht bereits vorher ausgeschieden sind. Nach erfolgreichem Bestehen der dritten Runde sollten Sie die sichere Zahlung in Höhe von 15.000 Euro wählen. c) Die Ermittlung der Erwartungsnutzen ergibt: EU1 D EU2 D EU3 D EU4 D EU5 D
1 p 1 p 3 3 2:0002 C 02 D 79;37 2 2 p 1 p 3 3 3 6:0002 C 02 D 82;55 4 4 1 p 7 p 3 3 15:0002 C 02 D 76;03 8 8 1 p 15 p 3 3 28:0002 C 02 D 57;63 16 16 1 p 31 p 3 3 44:0002 C 02 D 38;95 32 32
Ein Vergleich der Erwartungsnutzen zeigt, dass der maximale Wert bereits in der zweiten Runde erreicht wird. Demnach sollten Sie bis zur zweiten Runde spielen, sofern Sie nicht bereits vorher ausgeschieden sind. Nach erfolgreichem Bestehen der zweiten Runde sollten Sie die sichere Zahlung in Höhe von 6.000 Euro wählen.
106
6 Entscheidung unter Unsicherheit
6.2.7 Ermittlung einer Nutzenfunktion a) Zunächst werden die Nutzenwerte für den Erfolgs- und Misserfolgsfall normiert: U .10:000/ D 1 U.0/ D 0 Daraus ergibt sich der Erwartungsnutzen: EU D p U.10:000/ C .1 p/ U.0/ D p 1 C .1 p/ 0 D p Der Erwartungsnutzen entspricht somit der Erfolgswahrscheinlichkeit. Indifferenz zwischen dem Projekt und der sicheren Zahlung Si bedeutet: EU D p D U.Si / Für die sichere Zahlung Si D 100 und der von Teilnehmer A angegebenen Wahrscheinlichkeit pi D 0;1 bedeutet dies U.100/ D 0;1 Daraus ergibt sich folgender grafischer Verlauf:
In der Grafik ist erkennbar, dass die Nutzenfunktion von Teilnehmer A konkav verläuft. b) Der konkave Verlauf kann p bspw. auf eine Wurzelfunktion hindeuten. Die Bildung der Quadratwurzel Si ergibt jeweils das Hundertfache des dazugehörigen Nutzenwertes. Dementsprechend lautet die Nutzenfunktion von Teilnehmer A: 100 U.w/ D
p w
p ,
U.w/ D
w 100
6.2 Entscheidung unter Risiko
107
c) Die grafische Darstellung der Nutzenfunktion zeigt einen linearen Verlauf der Nutzenfunktion:
Die Nutzenfunktion von Teilnehmer B verläuft linear. Die Werte der sicheren Auszahlungen entsprechen jeweils dem 10.000 fachen der dazugehörigen Nutzenwerte. Dementsprechend lautet die Nutzenfunktion von Teilnehmer B: 10:000 U.w/ D w
,
U.w/ D
1 w 10:000
6.2.8 Welche Lotterie ist besser? a) Ermittlung des Erwartungswertes und Nutzen des Erwartungswertes: 1 .3:000 C 7:000/ C 3 2 E.L2 / D .3:000 C 4:000/ C 5 E.L1 / D
2 .3:000 2:000/ D 4:000 3 3 .3:000 1:000/ D 4:000 5
U ŒE.L1 / D U ŒE.L2 / D ln 4:000 Beide Lotterien haben denselben Erwartungswert und somit auch denselben Nutzen des Erwartungswertes. Demzufolge ist der Entscheider indifferent zwischen den beiden Lotterien. b) Ermittlung des Erwartungsnutzens: 1 2 ln 10:000 C ln 1:000 D 7;68 3 3 2 3 EU.L2 / D ln 7:000 C ln 2:000 D 8;10 5 5
EU.L1 / D
Da EU.L2 / > EU.L1 /, würde die Entscheidung zugunsten der Lotterie 2 ausfallen.
108
6 Entscheidung unter Unsicherheit
c) Ermittlung des Erwartungsnutzens: 1 10:000 2 1:000 e 1:000 C e 1:000 D 7:343;97 3 3 2 7:000 3 2:000 EU.L2 / D e 1:000 C e 1:000 D 443;09 5 5
EU.L1 / D
In diesem Fall würde die Entscheidung zugunsten von Lotterie 1 ausfallen, da EU.L1 / > EU.L2 /.
6.2.9 Risikoeinstellung I a) Monotonie- und Krümmungsverhalten: 1. U 0 .w/ D 0;5 ;
U 00 .w/ D 0
Die Funktion ist monoton wachsend mit einer konstanten Steigung, d. h. der Grenznutzen ist positiv und konstant ŒU 0 .w/ > 0; U 00 .w/ D 0. In diesem Fall ist der Entscheider risikoneutral. 2. U 0 .w/ D
1 wC1
;
1 U 00 .w/ D .wC1/ 2
Für w 0 ist die Funktion monoton wachsend und konkav, d. h. der Grenznutzen ist positiv und abnehmend ŒU 0 .w/ > 0; U 00 .w/ < 0. In diesem Fall ist der Entscheider risikoavers. 3. U 0 .w/ D 0;02 w ;
U 00 .w/ D 0;02
Für w 0 ist die Funktion monoton wachsend und konvex, d. h. der Grenznutzen ist positiv und zunehmend ŒU 0 .w/ > 0; U 00 .w/ > 0. In diesem Fall ist der Entscheider risikofreudig. b) Der Erwartungswert ist unabhängig von der zugrundeliegenden Nutzenfunktion und lautet: E.w/ D .1 p/ 2:000 C p .2:000 1:500/ 2 1 E.w/ D 2:000 C 500 D 1:500 3 3 1. Nutzen des Erwartungswertes und Erwartungsnutzen: U1 ŒE.w/ D 0;5 .1:500/ C 40 D 790 2 1 EU1 D .0;5 2:000 C 40/ C .0;5 500 C 40/ D 790 3 3 EU1 D U1 ŒE.w/ ) risikoneutrales Individuum
6.2 Entscheidung unter Risiko
109
2. Nutzen des Erwartungswertes und Erwartungsnutzen: U2 ŒE.w/ D ln.1:500 C 1/ D 7;31 1 2 EU2 D ln.2:000 C 1/ C ln.500 C 1/ D 7;14 3 3 EU2 < U2 ŒE.w/ ) risikoaverses Individuum 3. Nutzen des Erwartungswertes und Erwartungsnutzen: U3 ŒE.w/ D 0;01 1:5002 D 22:500 2 1 EU3 D .0;01 2:0002 / C .0;01 5002 / D 27:500 3 3 EU3 > U3 ŒE.w/ ) risikofreudiges Individuum c) Die Formel für die absolute Risikoaversion (ARA) lautet: ARA.w/ D
U 00 .w/ U 0 .w/
1. ARA1 .w/ D
0 D0 0;5
Die absolute Risikoaversion eines risikoneutralen Individuums ist 0. 2. ARA2 .w/ D
1 .wC1/ 2 1 wC1
D
1 >0 wC1
Für w > 0 ist die absolute Risikoaversion eines risikoaversen Individuums positiv. 3. ARA3 .w/ D
0;02 1 D <0 0;02w w
Für w > 0 ist die absolute Risikoaversion eines risikofreudigen Individuums negativ.
6.2.10 Risikoaversion a) Die Formel für die absolute Risikoaversion (ARA) und die relative Risikoaversion (RRA) lautet: ARA.w/ D
U 00 .w/ U 0 .w/
und RRA.w/ D
U 00 .w/ w D ARA.w/ w U 0 .w/
110
6 Entscheidung unter Unsicherheit
1. U 0 .w/ D 0;05 ; ARA.w/ D
U 00 .w/ D 0
0 D 0 ) ARA.500/ D ARA.5:000/ D 0 0;05
RRA.w/ D 0 w D 0 ) RRA.500/ D RRA.5:000/ D 0 2. U 0 .w/ D 0;01 e 0;01 w ; ARA.w/ D
U 00 .w/ D 0;0001 e 0;01 w
0;0001 e 0;01 w D 0;01 0;01 e 0;01 w
) ARA.500/ D ARA.5:000/ D 0;01 RRA.w/ D 0;01 w ) RRA.500/ D 5 ; 3. U 0 .w/ D
1 w 0;5 ; 2
RRA.5:000/ D 50
1 U 00 .w/ D w 1;5 4
1 w 1;5 1 ARA.w/ D 4 D 1 2 w w 0;5 2 ARA.500/ D RRA.w/ D
1 ; 1:000
ARA.5:000/ D
1 1 w D 2w 2
)
1 10:000
RRA.500/ D RRA.5:000/ D
1 2
b) Veränderung von ARA ŒARA0 .w/ und RRA ŒRRA0 .w/: 1. ARA0 .w/ D RRA0 .w/ D 0 Die absolute und relative Risikoaversion ist 0, unabhängig von der Höhe des Vermögens. Die Nutzenfunktion ist somit durch Risikoneutralität charakterisiert. 2. ARA0 .w/ D 0 ;
RRA0 .w/ D 0;01 > 0
Die Nutzenfunktion besitzt eine konstante absolute Risikoaversion sowie eine zunehmende relative Risikoaversion. Das heißt, mit steigendem Vermögen wird ein gleichbleibender absoluter Betrag in ein Risikoprospekt investiert. Die zunehmende RRA bedeutet hingegen, dass mit steigendem Vermögen ein geringerer Anteil des Vermögens in ein Risikoprospekt investiert wird. 1 < 0 ; RRA0 .w/ D 0 2 w2 Die Nutzenfunktion besitzt eine abnehmende absolute Risikoaversion sowie eine konstante relative Risikoaversion. Das heißt, mit steigendem Vermögen
3. ARA0 .w/ D
6.2 Entscheidung unter Risiko
111
wird ein größerer absoluter Betrag in ein Risikoprospekt investiert. Die konstante RRA bedeutet hingegen, dass mit steigendem Vermögen ein gleichbleibender Anteil des Vermögens in ein Risikoprospekt investiert wird. Im Vergleich mit Nutzenfunktion 2. scheint es plausibler zu sein, dass mit steigendem Vermögen der gleiche Anteil (konstante RRA) in ein Risikoprospekt investiert wird und demzufolge der absolut investierte Betrag mit steigendem Vermögen ebenfalls steigt (abnehmende ARA). c) Es soll gezeigt werden, dass folgender Zusammenhang gilt: D RRA D
U 00 .w/ w U 0 .w/
Die Grenznutzenelastizität entspricht dem Verhältnis aus prozentualer Veränderung des Grenznutzens und prozentualer Veränderung des Vermögens: D
U 0 .w/ U 0 .w/ w w
D
U 0 .w/ w 0 w U .w/
Für marginale Veränderungen ergibt sich daraus: D
w dU 0 .w/ w U 00 .w/ 0 D U 00 .w/ 0 D 0 w dw U .w/ U .w/ U .w/
Eine Erweiterung beider Seiten mit .1/ ergibt: D
U 00 .w/ w D RRA U 0 .w/
)
q. e. d.
Demnach sagt die relative Risikoaversion aus, um wie viel Prozent sich der Grenznutzen bei einer einprozentigen Veränderung des Vermögens approximativ verändert.
6.2.11 Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie I a) Sicherheitsäquivalent (SÄ): Das Sicherheitsäquivalent ist der Betrag, bei dem der Entscheidungsträger indifferent zwischen dem sicheren Ergebnis und einem zufallsabhängigen Ergebnis X ist. Formal ergibt sich das Sicherheitsäquivalent aus: SÄ D U 1 ŒEU.X / Demnach stiftet das Sicherheitsäquivalent dem Entscheider den gleichen Nutzen wie das zufällige Ereignis.
112
6 Entscheidung unter Unsicherheit
Risikoprämie (RP): Die Risikoprämie entspricht der Differenz aus Erwartungswert und Sicherheitsäquivalent und gibt die maximale Zahlungsbereitschaft des Individuums an, um von der Risikosituation mit Erwartungswert E.X / in eine sichere Zahlung in Höhe des Sicherheitsäquivalents SÄ zu wechseln. Formal ergibt sich die Risikoprämie aus: RP D E.X / U 1 ŒEU.X / D E.X / SÄ b) Ermittlung von Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie: SÄ D U 1 ŒEU.X /
,
U.SÄ/ D EU.X /
1. EU1 D 0;5 SÄ1 C 40 SÄ1 D 2 EU1 80 D 2 790 80 D 1:500 RP1 D E.w/ SÄ1 D 1:500 1:500 D 0 Für ein risikoneutrales Individuum entspricht das Sicherheitsäquivalent dem Erwartungswert und demzufolge beträgt die Risikoprämie 0 Euro. 2. EU2 D ln.SÄ2 C 1/ SÄ2 D e EU2 1 D e 7;14 1 D 1:260;43 RP2 D E.w/ SÄ2 D 1:500 1:260;43 D 239;57 Für das risikoaverse Individuum ist das Sicherheitsäquivalent kleiner als der Erwartungswert und demzufolge ist die Risikoprämie positiv. Diese beträgt für die betrachtete Lotterie 239,57 Euro. 2
3. EU3 D 0;01 SÄ3 p p SÄ3 D 100 EU3 D 10 29:025 D 10 170;37 D 1:703;70 RP3 D E.w/ SÄ3 D 1:500 1:703;70 D 203;70 Für das risikofreudige Individuum ist das Sicherheitsäquivalent größer als der Erwartungswert und demzufolge ist die Risikoprämie negativ. Das bedeutet, dass ein risikofreudiges Individuum keine positive Zahlungsbereitschaft für den Wechsel von der Risikosituation in eine sichere Zahlung (in Höhe des Sicherheitsäquivalents) hat. c) Zusammenhang zwischen Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie: 1. U.w/ D 0;5 w C 40
6.2 Entscheidung unter Risiko
113
Wie in der Grafik erkennbar ist, sind Erwartungsnutzen und Nutzen des Erwartungswertes bei einem risikoneutralen Individuum gleich groß. Dementsprechend sind auch der Erwartungswert und das Sicherheitsäquivalent identisch, d. h. die Zahlungsbereitschaft zur Vermeidung des Risikos (Risikoprämie) ist 0. d) U.w/ D ln.w C 1/ Aufgrund des konkaven Verlaufs der Nutzenfunktion (risikoaverses Individuum) ist der Nutzen des Erwartungswertes größer als der Erwartungsnutzen. Dies führt dazu, dass das Sicherheitsäquivalent kleiner als der Erwartungswert ist und das Individuum somit eine positive Zahlungsbereitschaft zur Vermeidung des Risikos hat.
114
6 Entscheidung unter Unsicherheit
e) U.w/ D 0;01 w 2
Im Gegensatz zum konkaven Nutzenverlauf führt ein konvexer Verlauf zu der Situation, dass der Erwartungsnutzen größer ist als der Nutzen des Erwartungswerts. Dementsprechend ist das Sicherheitsäquivalent größer als der Erwartungswert und die Risikoprämie ist negativ. Das heißt, einem risikofreudigen Individuum müsste ein positiver Betrag gezahlt werden, damit es bereit wäre das Risiko zu vermeiden.
6.2.12 Sicherheitsäquivalent Bei einer linearen Nutzenfunktion verhält sich die Entscheidungsträgerin risikoneutral, somit sind Sicherheitsäquivalent und Erwartungswert gleich groß ŒSÄ D E.w/. Daher gilt: 900 D p 1:500 C .1 p/ 500 900 D 500 1:000 p p D 0;4 Die Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt 40 %.
6.2.13 Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie II a) Ein Spieler ist bereit, das Los für 20 Euro zu verkaufen, wenn sein Sicherheitsäquivalent kleiner ist als der vom Tombolabetreiber angebotene Betrag. Demzu-
6.2 Entscheidung unter Risiko
115
folge wird zunächst der Erwartungsnutzen der Lotterie berechnet und anschließend das Sicherheitsäquivalent bestimmt: 1. EU1 D 0;1 e 0;05 100 1 C 0;9 e 0;05 10 1 D 15;33 15;33 D e 0;05SÄ1 1
)
3
SÄ1 D 20 ln 14;33
)
SÄ1 D 53;25
3
2. EU2 D 0;1 100 5 C 0;9 10 5 D 5;17 3
5;17 D SÄ25 5
SÄ2 D 5;17 3 D 15;46 3. EU3 D 0;1 .0;5 100 C 80/ C 0;9 .0;5 10 C 80/ D 89;5 89;5 D 0;5 SÄ3 C 80 SÄ3 D 2 89;5 160 D 19 Der vom Tombolabetreiber angebotene Betrag in Höhe von 20 Euro ist größer als das Sicherheitsäquivalent von Person 2 sowie 3 und kleiner als das Sicherheitsäquivalent von Person 1. Demzufolge würden sich Person 2 und 3 auf den Handel einlassen. b) Ermittlung der Risikoprämie: 1. RP1 D E.w/ SÄ1 D 19 53;25 D 34;25 2. RP2 D E.w/ SÄ2 D 19 15;46 D 3;54 3. RP3 D E.w/ SÄ3 D 19 19 D 0
6.2.14 Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie III a) Ermittlung des Erwartungsnutzen, wenn die Hälfte des Vermögens, d. h. 1.000 Euro, in die Lotterie investiert werden: • Im Erfolgsfall besitzt die Person w1 D 3:000 (2.000 Euro aus der Lotterie und 1.000 Euro, die nicht investiert wurden) • Im Nichterfolgsfall besitzt die Person w2 D 1:500 (500 Euro aus der Lotterie und 1.000 Euro, die nicht investiert wurden) E.w/ D 0;5 w1 C 0;5 w2 D 0;5 3:000 C 0;5 1:500 D 2:250 EU D 0;5 1 e 0;001 w1 C 0;5 1 e 0;001 w2 EU D 0;5 1 e 0;001 3:000 C 0;5 1 e 0;001 1:500 D 0;8635 Die Ermittlung des Sicherheitsäquivalents ergibt sich aus: EU D 0;8635 D 1 e 0;001 SÄ
116
6 Entscheidung unter Unsicherheit
SÄ D 1:000 ln .1 0;8635/ SÄ D 1:991;43 Die Risikoprämie ist demnach: RP D E.w/ SÄ D 2:250 1:991;4 D 258;57 b) Ermittlung des zu investierenden Anteils ˛ vom Vermögen w0 : Allgemein ergibt sich ein Vermögen im Erfolgs- und Nichterfolgsfall von: w1 D 2:000 ˛ 2000 C 2 ˛ 2000 D 2:000 C 2:000 ˛ 1 w2 D 2:000 ˛ 2000 C ˛ 2000 D 2:000 1:000 ˛ 2 Der zweite Summand entspricht dem investierten Betrag und der dritte Summand entspricht dem Betrag bei Erfolg bzw. Misserfolg. Einsetzen in die Funktion des Erwartungsnutzens ergibt: EU.˛/ D 0;5 1 e 0;001 .2:000 C 2:000 ˛/ C 0;5 1 e 0;001 .2:000 1:000 ˛/ Der Erwartungsnutzen ist eine Funktion in Abhängigkeit vom Anteil ˛. Die Maximierung des Erwartungsnutzens ergibt sich aus der Ableitung des Erwartungsnutzens nach ˛: EU0 .˛/ D .0;5/ .2/ e 2 2 ˛ 0;5 e 2 C ˛ D 0 Auflösen nach ˛ ergibt: .2/ e 2 2 ˛ C e 2 C ˛ D 0 2 e 2 2 ˛ D e 2 C ˛ ln 2 e 2 2 ˛ D ln.e 2 C ˛ / ln 2 C .2 2 ˛/ D 2 C ˛ ln 2 D 3 ˛ ln 2 D 0;231 ˛ D 3 Der optimale Anteil beträgt ca. 23,1% und somit sollte die Person einen Betrag von 0;231 2:000 D 462 Euro in die Lotterie investieren, wenn sie ihren Erwartungsnutzen maximieren möchte. Ermittlung von Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie: w1 D 2:000 C 2:000 ˛ D 2:000 C 2:000 0;231 D 2:462 w2 D 2:000 1:000 ˛ D 2:000 1:000 0;231 D 1:769
6.2 Entscheidung unter Risiko
117
Der Erwartungsnutzen beträgt: EU D 0;5 1 e 0;001 2:462 C 0;5 1 e 0;001 1:769 D 0;8721 Daraus ergeben sich das Sicherheitsäquivalent und die Risikoprämie: EU D 0;8721 D 1 e 0;001 SÄ SÄ D 1:000 ln .1 0;8721/ D 2:056;51 RP D E.w/ SÄ D 2:250 2:056;51 D 193;49 Bei Investition des optimalen Anteils am Vermögen in die Lotterie erhöht sich das Sicherheitsäquivalent der Person von 1.991,73 Euro auf 2.056,51 Euro und demzufolge sinkt c. p. die Zahlungsbereitschaft (Risikoprämie), in eine sichere Situation zu wechseln.
6.2.15 Approximation der Risikoprämie I a) Ermittlung der absoluten Risikoaversion: U 0 .w/ D
1 2 3
;
U 00 .w D
2 5
3w 9 w3 2 53 w 2 ARA.w/ D 9 D 1 23 3 w w 3 2 D 0;00003N ARA.w0 / D 3 20:000 Ermittlung von Erwartungswert und Varianz: E.w/ D 0;5 5:000 C 0;5 .5:000/ D 0 Var.w/ D 0;5 .5:000 0/2 C 0;5 .5:000 0/2 D 25:000:000 Damit kann die Risikoprämie ermittelt werden: 2 1 1 Var.w/ ARA.w0 / D 25:000:000 2 2 3 20:000 2:500 RP D 416;67 6
RP
b) Veränderung der Risikoprämie: 1. Eine Erhöhung des Vermögens w0 auf 40.000 Euro beeinflusst die Risikoaversion folgendermaßen: ARA.w0 / D
2 D 0;000016N 3 40:000
118
6 Entscheidung unter Unsicherheit
RP D
1 2 25:000:000 D 208;33 2 3 40:000
Die Verdopplung des Vermögens w0 führt zu einer Halbierung der Risikoprämie von 416,67 Euro auf 208,33 Euro. Der Grund für die Reduzierung liegt in der abnehmenden ARA. 2. Die Veränderung der Gewinn- und Verlustsituation beeinflusst die Varianz: E.w/ D 0;5 10:000 C 0;5 .10:000/ D 0 Var.w/ D 0;5 .10:000 0/2 C 0;5 .10:000 0/2 Var.w/ D 100:000:000 2 1 D 1:666;67 RP 100:000:000 2 3 20:000 Die Erhöhung der Varianz führt zu einem Anstieg der Risikoprämie von 416,67 Euro auf 1.666,67 Euro. Dies liegt an der mit der höheren Varianz verbunden gestiegenen Unsicherheit des Risikoprospekts. 3. Die Veränderung der Nutzenfunktion beeinflusst die ARA: U 0 .w/ D
2 1 3
;
U 00 .w/ D
2 4
3w 9 w3 2 43 w 1 ARA.w/ D 9 D 2 13 3w w 3 1 D 0;000016N ARA.w0 / D 3 20:000 1 1 D 208;33 RP 25:000:000 2 3 20:000 Die Veränderung der Nutzenfunktion führt zu einer Reduzierung der ARA und demzufolge sinkt die Risikoprämie von 416,67 Euro auf 208,33 Euro.
6.2.16 Approximation der Risikoprämie II a) Der Erwartungswert ist: E.w/ D0;2 .50:000 C 5:000/ C 0;8 .50:000 1:250/ D 50:000 Das Sicherheitsäquivalent und die Risikoprämie von Person A lauten: p p EUA D 0;2 50:000 C 5:000 C 0;8 50:000 1:250 D 223;5 p EUA D SÄA
6.2 Entscheidung unter Risiko
119
2 p p SÄA D 0;2 55:000 C 0;8 48:750 D 49:969;85 RPA D E.w/ SÄA D 50:000 49:969;85 D 30;15 Das Sicherheitsäquivalent und die Risikoprämie von Person A lauten: EUB D 0;2 ln.50:000 C 5:000/ C 0;8 ln.50:000 1:250/ D 10;82 EUB D ln SÄB SÄB D e 0;2 ln 55:000 C 0;8 ln 48:750 D 49:940;43 RPB D E.w/ SÄB D 50:000 49:940;43 D 59;57 Das Sicherheitsäquivalent von Person A ist größer bzw. die Risikoprämie ist kleiner. b) Ermittlung der absoluten Risikoaversion für Person A und B: UA0 .w/ D
1 1 2
;
UA00 .w/ D
1 3
2w 4 w2 1 1 1 ARAA .w0 / D D D 2w 2 50:000 100:000 1 1 0 00 ; UB .w/ D 2 UB .w/ D w w 1 1 ARAB .w0 / D D w 50:000 Im Vergleich zu Person A hat Person B eine doppelt so hohe absolute Risikoaversion. c) Der Erwartungswert und die Varianz des Spiels lauten: E.w/ D 0;2 5:000 C 0;8 .1:250/ D 0 Var.w/ D 0;2 .5:000 0/2 C 0;8 .1:250 0/2 D 6:250:000 1 1 1 D 31;25.30;15/ RPA Var.w/ ARAA D 6:250:000 2 2 100:000 1 1 1 RPB Var.w/ ARAB D 6:250:000 D 62;5.59;57/ 2 2 50:000 Ein Vergleich der approximativ ermittelten Risikoprämien mit den unter a) ermittelten Risikoprämien zeigt die Differenz der Ergebnisse. In diesem Beispiel sind die approximativ ermittelten Risikoprämien höher.
6.2.17 Risikoeinstellung II a) Wie anhand der Grafik erkennbar ist, verläuft die Nutzenfunktion im Vermögensintervall Œ0; 10:000 konvex, d. h. in diesem Bereich verhält sich die Person risikofreudig. In dem Intervall Œ10:000; 20:000 verläuft die Nutzenfunktion kon-
120
6 Entscheidung unter Unsicherheit
kav, d. h. in diesem Bereich ist die Person risikoavers. An der Stelle w D 10:000 liegt somit ein Wechsel im Risikoverhalten von risikofreudig zu risikoavers vor.
b) Für Lotterie 1 ist das Vermögen im Erfolgsfall w1 D 7:000 C 5:000 D 12:000 und im Misserfolgsfall w2 D 7:000 5:000 D 2:000. Für Lotterie 2 gilt: w1 D 15:000 und w2 D 5:000. Das heißt, im Erfolgsfall muss der konkave Bereich der Nutzenfunktion berücksichtigt werden und im Misserfolgsfall der konvexe Bereich. Demzufolge ist der Erwartungsnutzen: 1 1 EU.L1 / D 12:0002 C 40 12:000 200:000 2 1000 1 1 2:0002 C 2 1000 EU.L1 / D 70:000 1 1 EU.L2 / D 15:0002 C 40 15:000 200:000 5 1000 1 4 5:0002 C 5 1000 EU.L2 / D 55:000 EU.L1 / D 70:000 > EU.L2 / D 55:000 Im Fall eines Vermögens w0 in Höhe von 7.000 Euro ist der Erwartungsnutzen bei Lotterie 1 größer und somit würde sich die Person für Lotterie 1 entscheiden. c) Wie in b) muss hier ebenfalls im Erfolgsfall der konkave Bereich der Nutzenfunktion berücksichtigt werden und im Misserfolgsfall der konvexe Bereich: 1 1 2 17:000 C 40 17:000 200:000 EU.L1 / D 2 1000 1 1 2 C 7:000 2 1000 EU.L1 / D 120:000
6.2 Entscheidung unter Risiko
121
1 1 EU.L2 / D 20:0002 C 40 20:000 200:000 5 1000 1 4 10:0002 C 5 1000 EU.L2 / D 120:000 EU.L1 / D 120:000 D EU.L2 / D 120:000 Im Fall eines Vermögens w0 in Höhe von 12.000 Euro ist der Erwartungsnutzen beider Lotterien gleich groß. Die Person ist somit indifferent zwischen Lotterie 1 und Lotterie 2. Der Grund für die Änderung liegt in der Erhöhung des Vermögens, wodurch sich die Risikoprospekte stärker in den risikoaversen Bereich verschoben haben.
Kapitel 7
Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
7.1 Nachfrage und Angebot unter symmetrischen Informationen 7.1.1 Versicherungsentscheidung Der erwartete Vermögenswert der Skulptur E.w/ beträgt: E.w/ D 0;99 275:000 C 0;01 0 D 272:250 Die Versicherung bietet dem Kunstliebhaber die Möglichkeit, ein sicheres Vermögen in Höhe des Vermögenswertes der Skulptur abzüglich der zu zahlenden Versicherungsprämie zu realisieren. Das sichere Vermögen beläuft sich auf 275:000 2:750 D 272:250 und entspricht dem Erwartungswert. Allgemein gilt für ein risikoaverses Individuum SÄ < E.w/, d. h. ein sicheres Vermögen, dass kleiner ist als der Erwartungswert der Risikosituation, stiftet den gleichen Nutzen wie der Erwartungsnutzen der Risikosituation. Da in dieser Situation das sichere Vermögen dem Erwartungswert entspricht, ist der Nutzen mit Versicherungsschutz größer als ohne Versicherungsschutz und somit lohnt sich für den Kunstliebhaber der Abschluss der Versicherung.
7.1.2 Zahlungsbereitschaft und Mindestprämie a) Unter der Annahme, dass das Individuum über ein Vermögen in Höhe von w1 verfügt und mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit ein Vermögensschaden eintritt, wäre der Versicherungsnehmer maximal bereit einen Betrag in Höhe von ZBmax D w1 SÄ
J.-M. Graf von der Schulenburg, A. Zuchandke, Übungen zur Versicherungsökonomik. DOI 10.1007/978-3-642-20578-1_7, © Springer 2011
123
124
7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
für eine Vollversicherung zu zahlen. Der damit realisierte sicherere Betrag in Höhe des Sicherheitsäquivalents führt zu Indifferenz des Individuums zwischen unsicherer und sicherer Situation. Der risikoneutrale Versicherer würde für Vollversicherungsschutz eine Mindestprämie Pmin in Höhe des erwarteten Schadens verlangen. Dieser erwartete Schaden bzw. die Mindestprämie ergibt sich aus: Pmin D w1 E.w/
In der Grafik ist erkennbar, dass die maximale Zahlungsbereitschaft eines risikoaversen Individuums für Vollversicherungsschutz größer ist als die vom Versicherer verlangte Mindestprämie. Das bedeutet, dass in dieser Situation zwischen ŒPmin ; ZBmax ein Prämienbereich existiert, für den eine Vertragsvereinbarung möglich ist. b) Risikoneutrales Individuum: Anhand der Grafik ist erkennbar, dass die maximale Zahlungsbereitschaft eines risikoneutralen Individuums der verlangten Mindestprämie des Versicherers entspricht. In diesem Fall kann ein Vertrag für Vollversicherungsschutz nur existieren, wenn der Versicherer die Mindestprämie verlangt. Liegt die verlangte Prämie über der Mindestprämie, würde kein Markt für Vollversicherungsschutz zustandekommen.
7.1 Nachfrage und Angebot unter symmetrischen Informationen
125
Risikofreudiges Individuum:
Für den Fall eines risikofreudigen Individuums ist die maximale Zahlungsbereitschaft kleiner als die Mindestprämie und demzufolge würde in dieser Situation kein Vertrag zustande kommen.
126
7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
7.1.3 Optimalitätsbedingung der Versicherungsnachfrage a) Unter Berücksichtigung der Nachfrage nach Versicherungsdeckung I (mit I 0) ergeben sich die folgenden Vermögenssituationen: • Im Nichtschadenfall: w1 D w0 I • Im Schadenfall: w2 D w 0 I L C I D w 0 C .1 / I L Das allgemeine Entscheidungsproblem für das Individuum ist die Maximierung des Erwartungsnutzens in Abhängigkeit der Höhe des Versicherungsschutzes I : max EU D .1 p/ U.w0 I / C p U.w0 C .1 / I L/ I
b) Indifferenzkurven stellen alle Kombinationen von w1 und w2 dar, die einen konstenten Erwartungsnutzen ergeben. p p 1. EU1 D .1 p/ w1 C p w2 Umstellen nach w2 ergibt die Indifferenzkurve für ein konstantes Nutzenniveau EU: p p EU1 .1 p/ w1 w2 D p p !2 EU1 .1 p/ w1 w2 .w1 / D p 2 Die Steigung der Indifferenzkurve dw entspricht der Grenzrate der Substitudw1 tion (GRS). Die GRS ergibt sich allgemein aus dem totalen Differential:
dEU D .1 p/ U 0 .w1 / dw1 C p U 0 .w2 / dw2 Da das Erwartungsnutzenniveau entlang einer Indifferenzkurve konstant ist, gilt dEU D 0. Unter dieser Berücksichtigung und durch Umstellen der Glei2 chung nach dw ergibt sich für die Steigung: dw1 GRS D
dw2 1 p U 0 .w1 / 0 D dw1 p U .w2 /
Die Ableitungen lauten: U 0 .w1 / D
2
1 p
und U 0 .w2 / D
w1
2
1 p
w2
Demzufolge ist die GRS: 1p GRS1 D p
p1 2 w1 p1 2 w2
D
p w2 1p p p w1
In der folgenden Abbildung ist der Verlauf der Indifferenzkurven skizzenhaft dargestellt:
7.1 Nachfrage und Angebot unter symmetrischen Informationen
127
Wie in der Grafik zu erkennen ist, verlaufen die Indifferenzkurven für ein risikoaverses Individuum konvex mit einer negativen Steigung. Allgemein gilt: je weiter eine Indifferenzkurve vom Nullpunkt entfernt liegt, umso größer ist der Erwartungsnutzen (EU0 < EU1 < EU2 ). 2. EU2 D .1 p/ 0;5 w1 C p 0;5 w2 Umstellen nach w2 ergibt die Indifferenzkurve für ein konstantes Nutzenniveau EU: EU2 .1 p/ 0;5 w1 0;5 p .1 p/ EU2 w1 w2 .w1 / D 0;5 p p w2 D
Ermittlung der GRS: U 0 .w1 / D 0;5
und U 0 .w2 / D 0;5
Die GRS lautet somit: 1 p 0;5 1p GRS2 D D p 0;5 p In der folgenden Abbildung ist der Verlauf der Indifferenzkurven skizzenhaft dargestellt:
128
7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
Wie in der Grafik zu erkennen ist, verläuft die Indifferenzkurve für ein risikoneutrales Individuum linear mit einer negativen Steigung. Allgemein gilt: je weiter eine Indifferenzkurve vom Nullpunkt entfernt liegt, umso größer ist der Erwartungsnutzen (EU0 < EU1 < EU2 ). 3. EU3 D .1 p/ w12 C p w22 Umstellen nach w2 ergibt die Indifferenzkurve für ein konstantes Nutzenniveau EU: EU3 .1 p/ w12 p s EU3 .1 p/ w12 w2 .w1 / D p w22 D
Ermittlung der GRS: U 0 .w1 / D 2 w1
und U 0 .w2 / D 2 w2
Die GRS lautet somit: GRS3 D
1 p 2 w1 1 p w1 D p 2 w2 p w2
In der folgenden Abbildung ist der Verlauf der Indifferenzkurven skizzenhaft dargestellt:
Wie in der Grafik zu erkennen ist, verläuft die Indifferenzkurve für ein risikofreudiges Individuum konkav mit einer negativen Steigung. Auch hier gilt: je weiter eine Indifferenzkurve vom Nullpunkt entfernt liegt, umso größer ist der Erwartungsnutzen (EU0 < EU1 < EU2 ). Ermittlung der GRS entlang der Sicherheitslinie: Entlang der Sicherheitslinie gilt w1 D w2 und somit gilt ebenfalls U 0 .w 1 / D U 0 .w2 /.
7.1 Nachfrage und Angebot unter symmetrischen Informationen
129
Die GRS ist entlang der Sicherheitslinie stets: GRSjw1 D w2 D
1p p
Diese Steigung gilt unabhängig von der zugrundeliegenden Nutzenfunktion. c) Interpretation: 2 Die Grenzrate der Substitution dw entspricht dem Austauschverhältnis der Verdw1 mögen im Schaden- und Nichtschadenfall unter Berücksichtigung eines konstanten Erwartungsnutzens. Dementsprechend stellt die GRS approximativ die Bereitschaft dar, im Nichtschadenfall auf eine Einheit Vermögen zu verzichten, um im Schadenfall ein Vermögen in Höhe von jGRSj (bspw. Versicherungsschutz) zu erlangen. Der Absolutwert der GRS kann auch als Zahlungsbereitschaft (bspw. für Versicherungsschutz) betrachtet werden. Ein kleiner Wert der GRS entspricht einer relativ hohen Zahlungsbereitschaft für eine zusätzliche Einheit (bspw. eine Einheit Versicherungsschutz) im Schadenfall. Je höher der Absolutbetrag der GRS ausfällt, umso geringer ist die Zahlungsbereitschaft. Exakt 1 entspricht die Zahlungsbereitschaft dem Verhältnis dw , das genau den Kehrwert dw2 dw2 der GRS dw1 darstellt. d) Ermittlung der Versicherungsgeraden w2 .w1 /: Wie bereits in a) beschrieben, ergeben sich unter Berücksichtigung der Nachfrage nach Versicherungsdeckung I die folgenden Vermögenssituationen: • Im Nichtschadenfall: w1 D w0 I • Im Schadenfall: w2 D w 0 I L C I D w 0 C .1 / I L Umstellen der Gleichung im Nichtschadenfall nach I ergibt: I D
w0 w1
Einsetzen dieser Gleichung in die Gleichung im Schadenfall stellt die Versicherungsgerade w2 .w1 / dar: w w 0 1 L w2 D w0 C .1 / 1 1 w1 w2 .w1 / D wo L Die Versicherungsgerade kann als Budgetbedingung des Haushalts bei Unsicherheit interpretiert werden. Durch den Abschluss von Versicherungsschutz kann sich der Haushalt von Ausgangspunkt A (siehe Grafik) entfernen. Für eine Versicherungseinheit (I D 1) gibt der Haushalt im Zustand ohne Schaden Euro auf und erhält dafür im Schadenfall (1 ) Euro bzw. bei Verzicht auf eine Einheit im Nichtschadenfall erhält das Individuum im Schadenfall 1 Einheiten.
130
7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
Die Versicherungsgerade verläuft umso flacher, je höher die Versicherungsprämie bzw. der Prämiensatz (siehe Grafik < 0 / ist. Das heißt, umso weniger erhält das Individuum im Schadenfall bei Verzicht auf eine Einheit im Nichtschadenfall. Dabei verläuft die Versicherungsgerade stets durch den Punkt A, d. h. eine Veränderung der Prämie führt zu einer Drehung der Versicherungsgeraden durch den Punkt A. e) Optimalitätsbedingung: Die Optimalitätsbedingung ergibt sich aus der Maximierung des Erwartungsnutzens (siehe a)): max EU D .1 p/ U.w0 I / C p U.w0 C .1 / I L/ I
Die Bedingung erster Ordnung lautet: EU0 .I / D .1 p/ U 0 .w0 I / ./ C p U 0 .w0 C .1 / I L/ .1 / D 0 .1 p/ U 0 .w0 I / ./ D p U 0 .w0 C .1 / I L/ .1 / U 0 .w0 I / 1 1p 0 D p U .w0 C .1 / I L/ Nach der Erweiterung beider Seiten mit .1/ kann die Optimalitätsbedingung folgendermaßen zusammengefasst werden: GRS D
1
Die linke Seite der Gleichung entspricht der Grenzrate der Substitution. Die rechte Seite entspricht der Steigung der Versicherungsgeraden. Im Optimum
7.1 Nachfrage und Angebot unter symmetrischen Informationen
131
entspricht die Kompensation, die das Individuum im Schadenfall für den Verzicht auf eine Einheit im Nichtschadenfall fordert, der vom Versicherer gezahlten Kompensation. Solange das Individuum gemäß seiner Präferenzen pro Einfordert (d. h. jGRSj < 1 /, lohnt es heit eine geringere Kompensation als 1 sich für das Individuum den Versicherungsschutz zu erhöhen. Umgekehrt lohnt es sich für das Individuum den Versicherungsschutz zu reduzieren, wenn es eine höhere Kompensation verlangt. Grafisch betrachtet entspricht die Optimalitätsbedingung dem Tangentialpunkt zwischen der Indifferenzkurve und der Versicherungsgeraden. Nachfolgend ist die Optimalitätsbedingung der drei Nutzenfunktionen beschrieben: a) Die hergeleitete Optimalitätsbedingung führt bei einem risikoaversen Individuum zu der in der Grafik abgebildeten Situation. Das Optimum entspricht dem Tangentialpunkt zwischen Indifferenzkurve und Versicherungsgerade. Die Prämie der Versicherungsgeraden ˛ 0 ist geringer als die Prämie der Geraden ˛ 1 , weshalb die optimale Versicherungsnachfrage bei ˛0 höher ist (Punkt B vs. Punkt C).
b) Bei einem risikoneutralen Individuum besitzt die GRS eine konstante Steigung. Für D p (Versicherungsgerade ˛0 / sind die Steigung von Indifferenzkurve und Versicherungsgerade identisch. In diesem Fall ist das Individuum indifferent zwischen jeglichem Grad an Versicherungsschutz. Die Indifferenzkurve EU0 liegt dabei exakt auf der Versicherungsgeraden ˛ 0 auf. Für den Fall > p (Versicherungsgerade ˛ 1 / ist die Randlösung „kein Versicherungsschutz“, d. h. Punkt A, optimal.
132
7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
c) Im Fall eines risikofreudigen Individuums führt die Betrachtung der Optimalitätsbedingung (Punkt B) nicht zum korrekten Ergebnis. Aufgrund der Konkavität der Indifferenzkurven ist unter der Annahme p stets die Randlösung „keine Versicherung“ (Punkt A) optimal, wie auch in der Grafik erkennbar ist.
Formal ist dies ersichtlich, da die über den Erwartungsnutzen ermittelte optimale Nachfrage nach Versicherungsschutz ein Minimum darstellt. Die zweite Ableitung des Erwartungsnutzens lautet: EU00 .I / D 1 p U 00 .w0 l/ ./2 ƒ‚ … „ƒ‚… „ƒ‚… „ >0
C
>0
>0
00
p U .w0 C .1 / I L/ .1 /2 „ƒ‚… „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … >0
>0
>0
Da alle einzelnen Terme positiv sind ist die zweite Ableitung ebenfalls positiv, was einen konvexen Verlauf des Erwartungsnutzens bedeutet und somit die ermittelte Versicherungsnachfrage ein Minimum darstellt.
7.1 Nachfrage und Angebot unter symmetrischen Informationen
133
7.1.4 Versicherungsprämie a) Erwarteter Gewinn E.G/ des Versicherers: Mit einer Wahrscheinlichkeit von (1 p) hat der Versicherer einen Gewinn in Höhe der Prämie. Mit der Wahrscheinlichkeit von p hat der Versicherer einen Gewinn in Höhe der Prämie abzüglich der zu zahlenden Versicherungsleistung. Der erwartete Gewinn ist somit E.G/ D .1 p/ I C p . I I / D I p I Ermittlung des Prämiensatzes : Ein Versicherer, der als Preisnehmer agiert, realisiert einen Gewinn von 0, d. h.: E.G/ D I p I D 0 I DpI Dp Der Prämiensatz entspricht somit der Eintrittswahrscheinlichkeit des Schadens, eine so genannte faire Prämie. b) Unter Berücksichtigung der Kosten K.I / ändert sich der erwartete Gewinn zu: E.G/ D .1 p/ . I / C p . I I / K.I / E.G/ D I p I ˇ I D 0 I DpI CˇI DpCˇ Unter Berücksichtigung der Verwaltungskosten ist der Prämiensatz um ˇ Einheiten höher. ˇ entspricht dabei sowohl dem Prozentsatz der von der Versicherungsdeckung I entstehenden Verwaltungskosten als auch die in Prozentpunkten gemessene Erhöhung des Prämiensatzes im Vergleich zum Prämiensatz in a).
7.1.5 Versicherungsnachfrage a) Das Entscheidungsproblem des Individuums lautet: max EU D .1 p/ ln.w0 I / C p ln.w0 C .1 / I L/ I
Die optimale Versicherungsnachfrage wird durch Ableiten des Erwartungsnutzens nach I ermittelt: EU0 .I / D .1 p/ D0
1 1 ./ C p .1 / w0 I w0 C .1 / I L
134
7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
Aus der Ableitung ergibt sich die Optimalitätsbedinung:
.1 / w0 I .1 p/ D p w0 C .1 / I L
Die linke Seite entspricht der Steigung der Versicherungsgeraden und die rechte Seite der GRS. Umstellen der Optimalitätsbedingung nach I ergibt: .1 p/ .w0 C .1 / I L/ D p .1 / .w0 I / .1 p/ .1 / I C .1 p/ .w0 L/ D p .1 / w0 p .1 / I .1 p/ .1 / I C p .1 / I D p .1 / w0 .1 p/ .w0 L/ I .1 / Œ.1 p/ C p D p .1 / w0 .1 p/ .w0 L/ I .1 / D w0 p .1 / .1 p/ w0 C .1 p/ L I .1 / D w0 Œp .1 / .1 p/ C .1 p/ L Daraus ergibt sich die optimale Versicherungsnachfrage aus dem folgenden Zusammenhang: I D
w0 Œp C .1 p/ L .1 /
b) Eine faire Prämie bedeutet D p Daraus ergibt sich für die Nachfrage: w0 Œp p C .1 p/ p L .1 p/ p L D p .1 p/ p .1 p/ I DL
I D
Das Individuum fragt im Fall einer fairen Prämie Vollversicherungsschutz nach. c) Prämienaufschlag: > p Die ermittelte Optimalitätsbedingung lautet: .1 p/ .1 / w0 I D p w0 C .1 / I L Aufgrund der Situation > p gilt folgender Zusammenhang: .1 / .1 p/ > p Damit die Optimalitätsbedingung erfüllt ist, muss gelten: w0 I >1 w0 C .1 / I L
7.1 Nachfrage und Angebot unter symmetrischen Informationen
135
Daraus ergibt sich: w0 I > w0 C .1 / I L L > .1 / I C I I < L Falls der Versicherer keine faire Prämie anbietet ( > p), fragt das Individuum Versicherungsschutz nach, der kleiner ist als der Gesamtschaden. Demzufolge wird lediglich eine Teildeckung nachgefragt. d) Veränderung der Versicherungsnachfrage: 1. Veränderung von w0 : Die Ableitung der optimalen Versicherungsnachfrage nach wo ergibt: @I p Q0 D @wo .1 / Die Veränderung ist abhängig vom Verhältnis p und . Für den Fall D p gilt: @I D0 @wo Bei einer fairen Prämie wird Vollversicherungsschutz nachgefragt, unabhängig von der Höhe des Vermögens. Für den Fall > p gilt: @I <0 @wo Bei einer unfairen Prämie reduziert sich die Nachfrage mit steigendem Vermögen. Dieser Zusammenhang ergibt sich aus der mit dem Vermögen sinkenden absoluten Risikoaversion im Fall der zugrundeliegenden Nutzenfunktion u.w/ D ln w. Für den unwahrscheinlichen Fall < p gilt: @I >0 @wo In diesem Fall würde sich die Nachfrage mit steigendem Vermögen erhöhen. Das liegt daran, da das Individuum in diesem Fall Überversicherung nachfragt und somit von einem Schadenfall profitieren würde. 2. Veränderung von L: @I .1 p/ D >0 @L .1 /
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7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
Ein größerer Schaden L erhöht die Nachfrage nach Versicherungsleistung. Dabei gilt der folgende Zusammenhang: Für den Fall D p gilt: @I D1 @L Bei einer fairen Prämie erhöht (verringert) sich die Nachfrage im gleichen Umfang wie die Erhöhung (Verringerung) des Schadens. Dies liegt daran, dass im Fall einer fairen Prämie Vollversicherungsschutz nachgefragt wird. Für den Fall > p gilt: @I <1 @L Bei einer unfairen Prämie ist die Erhöhung (Verringerung) der Nachfrage geringer als die Erhöhung (Verringerung) des Schadens. Dies liegt daran, dass im Fall einer unfairen Prämie Teilversicherungsschutz nachgefragt wird. Für den unwahrscheinlichen Fall < p gilt: @I >1 @L In diesem Fall ist die Erhöhung (Verringerung) der Nachfrage größer als die Erhöhung (Verringerung) des Schadens. Dies liegt daran, dass im Fall < p Überversicherungsschutz nachgefragt wird.
e) Der optimale Deckungsgrad ˛ D IL kann über den in a) ermittelten Zusammenhang der optimalen Nachfrage nach Versicherungsschutz dargestellt werden: I w0 Œp C .1 p/ L 1 D L .1 / L w .1 p/ L w .1 p/ Œp 0 0 Œp C D C ˛ D L .1 / L .1 / L .1 / .1 /
˛ D
Ableiten des optimalen Deckungsgrads nach L ergibt: @˛ w0 Œp D 2 @L L .1 / Da sowohl der Nenner als auch w0 stets positiv sind, ist die Veränderung vom Verhältnis p und abhängig. Für den Fall D p gilt: @˛ D0 @L
7.1 Nachfrage und Angebot unter symmetrischen Informationen
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Bei einer fairen Prämie ist der Deckungsgrad von einer Erhöhung des Schadens unabhängig. Dies liegt daran, dass im Fall einer fairen Prämie Vollversicherungsschutz nachgefragt wird, unabhängig von der Höhe des Schadens. Für den Fall > p gilt: @˛ >0 @L Bei einer unfairen Prämie erhöht (verringert) sich der Deckungsgrad bei einer Erhöhung (Verringerung) des Schadens. Dies liegt daran, dass im Fall einer unfairen Prämie Teilversicherungsschutz nachgefragt wird. Aufgrund der Risikoaversion steigt der Deckungsgrad im Fall einer Erhöhung des Schadens und umgekehrt. Für den unwahrscheinlichen Fall < p gilt: @˛ <0 @L In diesem Fall verringert (erhöht) sich der optimale Deckungsgrad bei einer Erhöhung (Verringerung) des Schadens.
7.1.6 Kostenaufschlag a) Die Vermögenssituation im Schaden- und Nichtschadenfall lautet: • Im Nichtschadenfall: w1 D w0 I D 9 0;4 I • Im Schadenfall: w2 D w 0 I L C I D 4 0;4 I C I D 4 C 0;6 I Die Ermittlung der Versicherungsnachfrage ergibt sich aus dem folgenden Entscheidungsproblem: h i h i max EU D 0;6 1 e 0;1 .9 0;4 I / C 0;4 1 e 0;1 .4 C 0;6 I / I
Ableiten des Erwartungsnutzens nach I ergibt: EU0 .I / D 0;6 0;04 e 0;1 .9 0;4 I / C 0;4 0;06 e 0;1 .4 C 0;6 I / D 0 e 0;1.90;4 I / D e 0;1 .4 C 0;6 I / 9 0;4 I D 4 C 0;6 I I D 5 Im Fall einer fairen Prämie fragt das Individuum Vollversicherungsschutz in Höhe von 5.000 Euro nach.
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7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
b) Kostenaufschlag O D p .1 C ˇ/ D 0;4 .1 C 0;25/ D 0;5 Dadurch ändert sich das Entscheidungsproblem zu: i h i h EU D 0;6 1 e 0;1 .9 0;5 I / C 0;4 1 e 0;1 .4 C 0;5 I / Ableiten des Erwartungsnutzens nach I ergibt: EU0 .I / D 0;6 0;05 e 0;1 .9 0;5 I / C 0;4 0;05 e 0;1 .4 C 0;5 I / D 0 0;6 e 0;1 .9 0;5 I / D 0;4 e 0;1 .4 C 0;5 I / ln 1;5 e 0;1 .9 0;5 I / D ln e 0;1 .4 C 0;5 I / ln 1;5 C ln e0;1 .9 0;5 I / D 0;4 0;05 I ln 1;5 0;9 C 0;05 I D 0;4 0;05 I 0;1 I D 0;5 ln 1;5 I D 0;945 Aufgrund des Kostenaufschlags reduziert das Individuum die Versicherungsnachfrage und fragt lediglich eine Teildeckung in Höhe von 945 Euro nach. Das Ergebnis ist in der folgenden Grafik dargestellt:
Unter der Annahme einer fairen Prämie ergibt sich die optimale Versicherungsnachfrage in Punkt B. Aufgrund des Kostenaufschlags dreht sich die Versicherungsgerade (in Punkt A) von ˛0 zu ˛1 . Im Ergebnis verringert sich die optimale Versicherungsnachfrage von Punkt B zu Punkt C. c) Aufgrund der Entscheidung „Vollversicherung“ oder „keine Versicherung“ müssen die beiden Nutzenniveaus verglichen werden. Es stellt sich somit die Fra-
7.1 Nachfrage und Angebot unter symmetrischen Informationen
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ge, ob das Individuum mit Vollversicherung und Zahlung der unfairen Prämie einen höheren Erwartungsnutzen erreicht oder durch Verzicht auf Versicherungsschutz? Demnach müssen beide Erwartungsnutzenniveaus verglichen werden: EU.I D L; O D 0;5/ R EU.I D 0/ Bei Vollversicherung ist das Vermögen in beiden Zuständen identisch. Demzufolge ist der Erwartungsnutzen: EU.I D L; O D 0;5/ D 1 e 0;1 .9 0;5 I / D 1 e 0;1 .9 0;5 5/ D 0;478 Der Erwartungsnutzen ohne Versicherung wird folgendermaßen ermittelt: EU.I D 0/ D 0;6 1 e 0;1 9 C 0;4 1 e 0;1 4 D 0;488 Der Vergleich beider Erwartungsnutzen zeigt EU.I D L; O D 0;5/ D 0;478 < EU.I D 0/ D 0;488 Das Individuum würde in diesem Fall keine Versicherung nachfragen. Die Entscheidung für oder gegen eine Vollversicherung hängt sowohl vom Ausmaß des Kostenaufschlags als auch von der Risikoaversion des Individuums ab. d) Gesucht ist der prozentuale Kostenaufschlag ˇ auf die faire Prämie, bei dem die Erwartungsnutzen von Vollversicherung sowie Zahlung der unfairen Prämie und Verzicht auf Versicherungsschutz gleich sind. In diesem Fall ist das Individuum indifferent zwischen beiden Situationen und wäre gerade noch bereit Vollversicherungsschutz abzuschließen. Formal kann der Vergleich folgendermaßen dargestellt werden: EU.I D L; O D .1 C ˇ/ p/ D EU.I D 0/ 1 e 0;1 .9 .1 C ˇ / 0;4 5/ D 0;488 Umstellen nach ˇ liefert: ln 0;512 D 0;1 .9 .1 C ˇ/ 2/ ln 0;512 D 0;7 C 0;2 ˇ ˇ D 0;1528 Bis zu einem Kostenaufschlag von 15,28 % auf die faire Prämie ist das Individuum bereit, eine Vollversicherung nachzufragen. Dies entspricht einem Prämiensatz in Höhe von O D 0;4 .1 C0;1528/ D 0;46. Bei diesem Prämiensatz wäre das Individuum indifferent zwischen dem Abschluss einer Vollversicherung und keiner Versicherung.
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7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
e) Unter Berücksichtigung eines absoluten Kostenaufschlags in Höhe von Kfix D 0;2 (entspricht 200 Euro) lautet das Entscheidungsproblem: h i h i max EU D 0;6 1 e 0;1 .9 0;4 I 0;2/ C 0;4 1 e 0;1 .4 C 0;6 I 0;2/ I h i h i max EU D 0;6 1 e 0;1 .8;8 0;4 I / C 0;4 1 e 0;1 .3;8 C 0;6 I / I
Ableiten nach I ergibt: EU0 .I / D 0;6 0;04 e 0;1 .8;8 0;4 I / C 0;4 0;06 e 0;1 .3;8 C 0;6 I / D 0 e 0;1 .8;8 0;4 I / D e 0;1 .3;8 C 0;6 I / 0;88 C 0;04 I D 0;38 0;06 I 0;1 I D 0;5 I D5 Ein absoluter Kostenaufschlag (Fixkosten) hat keinen Einfluss auf die ermittelte optimale Nachfrage. Allerdings ist es möglich, dass keine Versicherung einen höheren Nutzen stiftet als Vollversicherung bei Zahlung eines absoluten Kostenaufschlags. Aus diesem Grund muss zusätzlich überprüft werden, ob Vollversicherungsschutz oder kein Versicherungsschutz einen höheren Erwartungsnutzen stiftet. Formal bedeutet dies: EU.I D L; Kfix D 0;2/ R EU.I D 0/ D 0;488 EU.I D L; Kfix D 0;2/ D 1 e 0;1 .9 0;4 5 0;2/ D 0;493 EU.I D L; Kfix D 0;2/ D 0;493 > EU.I D 0/ D 0;488 Trotz des absoluten Kostenaufschlags in Höhe von 200 Euro fragt das Individuum Vollversicherung nach. f) Ermittlung der Versicherungsnachfrage bei Zahlung eines absoluten Kostenaufschlags in Höhe von 700 Euro (Kfix D 0;7). Auch in diesem Fall hat der absolute Kostenaufschlag keinen Einfluss auf die ermittelte optimale Versicherungsnachfrage. Allerdings muss auch hier überprüft werden, ob keine Versicherung oder Vollversicherung bei Zahlung des absoluten Kostenaufschlags einen höheren Erwartungsnutzen stiftet. Vergleich der Erwartungsnutzenniveaus: EU.I D L; Kfix D 0;7/ R EU.I D 0/ D 0;488 EU.I D L; Kfix D 0;7/ D 1 e 0;1 .9 0;4 5 0;7/ D 0;467 EU.I D L; Kfix D 0;7/ D 0;467 < EU.I D 0/ D 0;488 Bei einem absoluten Kostenaufschlag in Höhe von 700 Euro verzichtet das Individuum auf Versicherungsschutz, da dies einen höheren Erwartungsnutzen stiftet. Die Ergebnisse sind in der folgenden Grafik dargestellt:
7.1 Nachfrage und Angebot unter symmetrischen Informationen
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Ein konstanter Kostenaufschlag führt zu einer Parallelverschiebung der Versicherungsgeraden nach links. Dabei verlaufen die Versicherungsgeraden durch den Punkt D (Kfix D 0;2) bzw. Punkt E (Kfix D 0;7). Die Tangentialpunkte sind in Punkt F bzw. G zu finden, was weiterhin einen Vollversicherungsschutz impliziert. Für den Fall Kfix D 0;2 ist Punkt F optimal, da Punkt A (kein Versicherungsschutz) unterhalb der Indifferenzkurve EU2 liegt und demzufolge das Nutzenniveau bei Vollversicherung größer ist. Im Fall Kfix D 0;7 liegt der Punkt A oberhalb der Indifferenzkurve, weshalb Vollversicherungsschutz in dieser Situation nicht optimal ist (Punkt G).
7.1.7 Transferleistung des Staates a) Der Prämiensatz beträgt: O D p .1 C ˇ/ D 0;25 .1 C 0;6/ D 0;4 Das Entscheidungsproblem lautet demzufolge: p p max EU D 0;75 50:000 0;4 I C 0;25 10:400 C 0;6 I I
Ableiten des Erwartungsnutzens nach I ergibt: 1 p 2 50:000 0;4 I 1 p D0 C 0;25 0;6 2 10:400 C 0;6 I
EU0 .I / D 0;75 0;4
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7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
p p 50:000 0;4 I D 2 10:400 C 0;6 I 50:000 0;4 I D 41:600 C 2;4 I 2;8 I D 8:400 I D 3:000 Das Individuum fragt eine Teildeckung in Höhe von 3.000 Euro nach. Das Individuum zahlt demzufolge einen Kostenaufschlag in Höhe von: K D ˇ p I D 0;6 0;25 3:000 D 450 b) Der Staat zahlt eine Subvention in Höhe von 450 Euro, d. h. in beiden Zuständen erhöht sich das Vermögen um 450 Euro. Daraus verändert sich das Maximierungskalkül zu: p max EU D 0;75 50:000 0;4 I C 450 I p C 0;25 10:400 C 0;6 I C 450 Ableiten des Erwartungsnutzens nach I ergibt: 1 50:450 0;4 I 1 p D0 C 0;25 0;6 2 10:850 C 0;6 I p p 50:450 0;4 I D 2 10:850 C 0;6 I EU0 .I / D 0;75 0;4
2
p
50:450 0;4 I D 43:400 C 2;4 I 2;8 I D 7:050 I D 2:517;86 Aufgrund der Subventionszahlung verringert das Individuum die Nachfrage nach Versicherungsleistung von 3.000 Euro auf 2.517,86 Euro. Diese Verringerung resultiertp aus der absoluten Risikoaversion (ARA). Aufgrund der Nutzenfunktion u.w/ D w besitzt das Individuum eine abnehmende absolute Risikoaversion, d. h. bei steigendem Vermögen nimmt die Risikoaversion ab und das Individuum fragt c. p. weniger Versicherungsschutz nach. Die gezahlte feste Subvention in Höhe von 450 Euro bewirkt einen Vermögensanstieg, welcher genau zu diesem Effekt führt. In diesem Fall wird der Zweck der Subenvtionszahlung (Erhöhung der Versicherungsnachfrage) nicht erfüllt. Bei einem Individuum mit konstanter absoluter Risikoaversion würde die Subventionszahlung keinen Einfluss auf die Nachfrage nach Versicherungsleistung haben. Bei einer steigenden absoluten Risikoaversion würde die Nachfrage nach Versicherungsleistung aufgrund der Subvention steigen.
7.2 Prävention und Nachfrage nach Versicherung unter symmetrischen Informationen
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7.2 Prävention und Nachfrage nach Versicherung unter symmetrischen Informationen 7.2.1 Präventionsmaßnahmen Beeinflussung der Wahrscheinlichkeit eines Schadeneintritts: Darunter werden Maßnahmen verstanden, bei der die Wahrscheinlichkeit eines Schadenereignisses reduziert wird, die Höhe des potentiellen Schadens jedoch unverändert bleibt. Bspw. würde die Benutzung eines Fahrradschlosses die Wahrscheinlichkeit eines Fahrraddiebstahls reduzieren. Sollte es dennoch zu einem Diebstahl kommen, wäre der eingetretene Schaden unverändert. Die Wirkung ist in der nachfolgenden Abbildung allgemein für einen Vermögensschaden dargestellt:
Es ist erkennbar, dass das Vermögen in beiden Zuständen (mit und ohne Schaden) um die Präventionskosten Kp sinkt. Darüber hinaus verringert sich die Schadenwahrscheinlichkeit. Dies hat zur Folge, dass sich der Erwartungswert relativ betrachtet nach rechts verschiebt, d. h. dass das Streckenverhältnis AC kleiner wird AB 0 0 AC AC < AB . Insgesamt wirken die Präventionskosten negativ auf den ErwarA0 B 0 tungsnutzen, die Reduktion der Schadenwahrscheinlichkeit wirkt positiv. Je nachdem welcher dieser beiden Effekte eine stärkere Wirkung erzeugt, kann sich der Erwartungsnutzen insgesamt erhöhen, reduzieren oder beide Wirkungen gleichen sich aus. In der obigen Grafik erhöht sich der Erwartungsnutzen und somit ist die Präventionsmaßnahme vorteilhaft. Beeinflussung der Schadenhöhe: Darunter werden Maßnahmen verstanden, bei der die eintretende Schadenhöhe reduziert wird, die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Schadens jedoch unverändert
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7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
bleibt. Bspw. würde das Tragen eines Fahrradhelms die Wahrscheinlichkeit eines Sturzes nicht beeinflussen (eine unveränderte Fahrweise vorausgesetzt), jedoch würde sich die Wahrscheinlichkeit von Kopfverletzungen im Fall eines Sturzes und somit das Ausmaß des Schadens reduzieren. Die Wirkung ist in der nachfolgenden Abbildung für einen Vermögensschaden allgemein dargestellt:
Dabei ist erkennbar, dass das Vermögen im Nichtschadenfall um die Präventionskosten Kp sinkt. Darüber hinaus verändert sich das Vermögen im Schadensfall um L Kp (L entspricht der Reduzierung des Schadens). Damit eine Präventionsmaßnahme überhaupt sinnvoll sein kann, sollte die Differenz positiv ausfallen. Ansonsten sinkt das Vermögen in beiden Zuständen und somit reduziert sich ebenfalls der Erwartungsnutzen. Insgesamt betrachtet wirken die Präventionskosten negativ auf den Erwartungsnutzen, die Reduktion des Schadens wirkt positiv. Je nachdem welcher dieser beiden Effekte eine stärkere Wirkung erzeugt, kann sich der Erwartungsnutzen insgesamt erhöhen, reduzieren oder beide Wirkungen gleichen sich aus. In der Grafik erhöht sich der Erwartungsnutzen und somit wäre die Präventionsmaßnahme vorteilhaft.
7.2.2 Sprinkleranlage I a) Der Einzelhändler würde die Sprinkleranlage installieren, wenn der Erwartungsnutzen größer ist als der Erwartungsnutzen bei Verzicht auf die Installation. Demzufolge müssen beide Erwartungsnutzenniveaus verglichen werden. Das Vermögen bei installierter Sprinkleranlage lautet: • im Nichtschadenfall: w1 D w0 Kp D 15:000 1:500 D 13:500 • im Schadenfall: w2 D w0 Kp L2 D 15:000 1:500 4:000 D 9:500 Das Vermögen bei Verzicht auf eine Sprinkleranlage lautet: • im Nichtschadenfall: w1 D w0 D 15:000 • im Schadenfall: w2 D w0 L D 15:000 8:000 D 7:000
7.2 Prävention und Nachfrage nach Versicherung unter symmetrischen Informationen
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Der Erwartungsnutzen bei Einbau der Sprinkleranlage lautet: L EUP D .1 p/ ln .w0 Kp / C p ln w0 Kp 2 EUP D 0;5 ln.13:500/ C 0;5 ln.9:500/ D 9;335 Bei Verzicht auf die Installation ist der Erwartungsnutzen: EU0 D .1 p/ ln .w0 / C p ln .w0 L/ EU0 D 0;5 ln .15:000/ C 0;5 ln .7:000/ D 9;235 EUP D 9;335 > EU0 D 9;235 Der Erwartungsnutzen ist bei Installation der Sprinkleranlage größer als bei Verzicht auf die Anlage. Somit wird der Unternehmer die Sprinkleranlage installieren. b) Vergleich der Erwartungsnutzen mit und ohne Prävention EUP D 0;5 ln .15:000 3:000/ C 0;5 ln .15:000 3:000 4:000/ EUP D 9;190 EU0 D 9;235 EUP D 9;190 < EU0 D 9;235 In diesem Fall lohnt sich die Installation der Sprinkleranlage nicht, da der Erwartungsnutzen bei Installation der Sprinkleranlage kleiner ist als bei Verzicht auf die Anlage. c) Der Einzelhändler ist maximal bereit einen Preis zu zahlen, bei dem er indifferent ist zwischen Installation und keiner Installation der Sprinkleranlage. Gesucht ist somit der Wert KP , für den gilt: L EUP Kp ; D EU0 .L/ 2 Daraus ergibt sich: 0;5 ln .15:000 KP / C 0;5 ln .15:000 KP 4:000/ D 0;5 ln .15:000/ C 0;5 ln .15:000 8:000/ ln .15:000 KP / C ln .11:000 KP / D ln .15:000/ C ln .7:000/ Auflösen der Gleichung nach KP ergibt: e ln .15:000 KP / C ln .11:000 KP / D e ln .15:000/ C ln .7:000/ .15:000 KP / .11:000 KP / D 15:000 7:000 165:000:000 26:000 KP C KP2 D 105:000:000
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7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
60:000:000 26:000 KP C KP2 D p K 1 D 13:000 ˙ 13:0002 60:000:000 2
K 1 D 13:000 ˙ 10:440;31 2
K1 D 2:559;69 K2 D 23:440;31 Der Wert K2 entfällt, da die Kosten in Höhe von 23.440,31 Euro höher sind als das Vermögen w0 (15.000 Euro). Der Einzelhändler ist demzufolge maximal bereit, 2.559,69 Euro für die Installation der Sprinkleranlage zu zahlen.
7.2.3 Einbruchdiebstahl I a) Wie in Aufgabe 7.2.2 wird der Erwartungsnutzen mit und ohne Prävention vergleichen: Der Erwartungsnutzen bei Einbau der Alarmanlage lautet: EUP D .1 pp / Œ200 .w0 Kp / .w0 Kp /2 C pp Œ200 .w0 Kp L/ .w0 Kp L/2 EUP D 0;9 Œ200 67 672 C 0;1 Œ200 11 112 EUP D 8:227;8 Der Erwartungsnutzen bei Verzicht auf die Alarmanlage lautet: EU0 D .1 p0 / Œ200 .w0 / .w0 /2 C p0 Œ200 .w0 L/ .w0 L/2 EU0 D 0;8 Œ200 70 702 C 0;2 Œ200 14 142 EU0 D 7:800;8 EUP D 8:227;8 > EU0 D 7:800;8 Der Erwartungsnutzen bei Installation der Alarmanlage ist größer als bei Verzicht auf den Einbau. Somit wird der Hauseigentümer die Alarmanlage einbauen. b) Vergleich der Erwartungsnutzen mit und ohne Prävention: EUP D 0;9 Œ200 17 172 C 0;1 Œ200 1 12 D 2:819;8 EU0 D 0;8 Œ200 20 202 C 0;2 Œ200 4 42 D 3:036;8 EUP D 2:819;8 < EU0 D 3:036;8 Beträgt der Gesamtwert 20.000 Euro, führt der Einbau der Alarmanlage zu einer Reduzierung des Erwartungsnutzens. In diesem Fall würde der Hauseigentümer auf den Einbau der Alarmanlage verzichten.
7.2 Prävention und Nachfrage nach Versicherung unter symmetrischen Informationen
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7.2.4 Prävention und Versicherungsnachfrage I a) Das allgemeine Entscheidungsproblem lautet: max EU D .1 p/ U.wo K.e// C p U.wo K.e/ L.e// e
Die Person maximiert ihren Erwartungsnutzen über die Wahl des Anstrengungsniveaus e. Bei der Maximierung des Erwartungsnutzens sieht sich die Person einem trade-off zwischen der Schadenreduktion durch Präventionsanstrengungen und den Kosten der Präventionsanstrengungen gegenüber. Die Maximierung des Erwartungsnutzens wird über die Ableitung nach e erreicht: EU0 .e/ D .1 p/ U 0 .wo K.e// .K 0 .e// C p U 0 .wo K.e/ L.e// .K 0 .e/ L0 .e// D 0 Daraus ergibt sich die Optimalitätsbedingung: .1 p/ U 0 .wo K.e// .K 0 .e// D p U 0 .wo K.e/ L.e// .K 0 .e/ C L0 .e//
U 0 .wo K.e// K 0 .e/ C L0 .e/ .1 p/ 0 D p U .wo K.e/ L.e// K 0 .e/
Da K 0 .e/ D 1 kann die Optimalitätsbedingung vereinfacht werden:
U 0 .wo K.e// .1 p/ 0 D 1 C L0 .e/ ) GRS D GRT p U .wo K.e/ L.e//
Die linke Seite der Optimalitätsbedingung entspricht der Grenzrate der Substitution und die rechte Seite entspricht der Grenzrate der Transformation. Im Optimum gilt demzufolge GRS D GRT. b) In der folgenden Grafik ist die Optimalitätsbedingung aus a) dargestellt:
148
7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
Ausgehend von Punkt A lohnt es sich für das Individuum Prävention zu betreiben, da der Absolutwert der Steigung der Transformationkurve größer ist als der Absolutwert der Steigung der Indifferenzkurve. Die Steigung der Transformationskurve gibt dabei an, wie viel Vermögen das Individuum im Schadensfall erlangt, wenn es im Nichtschadenfall auf eine Einheit Vermögen verzichtet (in diesem Fall durch die Investition in Präventionsmaßnahmen). Solange die Erlangung von Vermögen im Nichtschadenfall durch Prävention größer ist als der Betrag, den das Individuum gemäß der Indifferenzkurve verlangt (d. h. jGRTj > jGRSj/, lohnt es sich für das Individuum zusätzlich in Prävention zu investieren (bspw. Punkt B). Umgekehrt lohnt es sich für das Individuum das Niveau der Prävention zu reduzieren, wenn das Individuum gemäß seiner Indifferenzkurve mehr Vermögen verlangt (d. h. jGRTj > jGRSj/. Das Optimum ist in Punkt C erreicht. c) Unter Berücksichtigung von Nachfrage nach Versicherungsdeckung und der Zahlung einer fairen Prämie verändert sich das Entscheidungsproblem zu: max EU D .1 p/ U.wo K.e/ p I / e;I
C p U.wo K.e/ L.e/ C .1 p/ I / In dieser Situation maximiert die Person ihren Erwartungsnutzen über das Anstrengungsniveau e und die Nachfrage nach Versicherungsschutz I . Die optimale Höhe ergibt sich aus der Ableitung des Erwartungsnutzens nach e und I: EU0 .e/ D .1 p/ U 0 .wo K.e/ p I / .K 0 .e// C p U 0 .wo K.e/ L.e/ C .1 p/ I / .K 0 .e/ L0 .e// D 0 EU0 .I / D .1 p/ U 0 .wo K.e/ p I / .p/ C p U 0 .wo K .e/ L.e/ C .1 p/ I / .1 p/ D 0 Die Optimalitätsbedingung für die Nachfrage nach Versicherungsleistungen bei fairer Prämie bedeutet Gleichheit der Grenznutzen in beiden Zuständen, d. h.: U 0 .wo K.e/ p I / D U 0 .wo K.e/ L.e/ C .1 p/ I / Demzufolge müssen auch die Vermögen in beiden Zuständen gleich sein: wo K.e/ p I D wo K.e/ L.e/ C .1 p/ I I D L.e/ Daraus folgt: auch bei der Möglichkeit von Schadenverhütungsmaßnahmen fragt ein risikoaverses Individuum bei fairer Prämie Vollversicherungsschutz nach. Die genaue Höhe des Versicherungsschutzes ist in diesem Fall jedoch abhängig von der Höhe des Präventionsniveaus.
7.2 Prävention und Nachfrage nach Versicherung unter symmetrischen Informationen
149
Für das optimale Präventionsniveau ergibt sich daraus: EU0 .e/ D .1 p/ U 0 .wo K.e/ p L.e// .K 0 .e// C p U 0 .wo K.e/ p L.e// .K 0 .e/ L0 .e// D 0 0
0
0
K .e/ C L .e/ .1 p/ U .wo K.e/ p L.e// 0 .w K.e/ p L.e// D 0 p U o K .e/
.1 p/ D 1 C L0 .e/ p
Im Vergleich zur Situation in a) ist die Grenzrate der Substitution absolut betrachtet größer, da U 0 .wo K.e// < U 0 .wo K.e/ L.e// [siehe Optimalitätsbedingung in a)]. Somit muss auch die Grenzrate der Transformation absolut gesehen größer sein. Aufgrund der Annahme L0 .e/ < 0 und L00 .e/ > 0 muss das Präventionsniveau e im Vergleich zu a) sinken. Demzufolge fragt die Person in dieser Situation Vollversicherungsschutz nach und reduziert im Vergleich zu a) das Präventionsniveau e. Das Ergebnis ist ebenfalls anhand der Grafik erkennbar:
Unter Berücksichtigung der Nachfrage nach Versicherungsschutz hat das Individuum die Wahl, Vermögen im Schadenfall über Versicherungsschutz oder über Prävention zu erlangen. Ausgehend von Punkt A kann das Individuum im Schaerlangen denfall über Versicherungsschutz ein Vermögen in Höhe von .1/ (Versicherungsgerade ˛0 /, über Prävention ein Vermögen in Höhe von jGRTj, bei Verzicht von jeweils einer Einheit im Nichtschadenfall. Anhand der Grafik ist in Punkt A ersichtlich, dass jGRTj > .1/ gilt und demzufolge das Individuum Prävention wählen sollte. Die Vorteilhaftigkeit der Prävention besteht bis zum Erreichen von Punkt D. Bis zu diesem Punkt erfolgt eine Parallelverschiebung der Versicherungsgeraden bis zu ˛ 1 . Über den Punkt D hinaus
150
7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
verändert sich das Verhältnis, d. h. jGRTj < .1/ . Dies bedeutet, dass es ab diesem Punkt besser ist, zusätzliches Vermögen im Schadenfall über Versicherungsschutz zu erlangen. Da der Versicherer eine faire Prämie verlangt, fragt das Individuum Vollversicherungsschutz nach und erreicht letztendlich Punkt E und das Erwartungsnutzenniveau EU3 . Zum Vergleich: In einer Situation ohne Prävention würde das Individuum ebenfalls Vollversicherung nachfragen und Punkt F erreichen, was jedoch ein geringeres Erwartungsnutzenniveau als EU3 bedeuten würde.
7.2.5 Sprinkleranlage II a) In Aufgabe 7.2.4 wurde bereits allgemein gezeigt, dass ein risikoaverser Versicherungsnehmer bei fairer Prämie Vollversicherungsschutz (I D L) nachfragt. Folglich fragt der Einzelhändler in dieser Situation ebenfalls Vollversicherung nach. Es ist lediglich zu klären, ob der Einzelhändler unter Berücksichtigung der Vollversicherung weiterhin die Sprinkleranlage installiert oder nicht. Dafür werden für beide Situationen (Prävention und keine Prävention) die Nutzenniveaus verglichen. Da Vollversicherungsschutz nachgefragt wird, ist das Vermögen in beiden Zuständen identisch. Da der Versicherer das Präventionsniveau beobachten kann, zahlt der Einzelhändler die Prämie für Versicherungsschutz entweder in Höhe der vollen Schadenhöhe oder der reduzierten Schadenhöhe. Daraus ergeben sich die Nutzenniveaus bei Installation der Sprinkleranlage: L EUP D ln w0 Kp D ln.15:000 0;5 4:000 1:500/ D 9;35 2 und bei Verzicht der Installation: EU0 D ln.w0 L/ D ln .15:000 0;5 8:000/ D 9;31 EUP D 9;35 > EU0 D 9;31 Da das Nutzenniveau bei Installation der Sprinkleranlage größer ist, fragt der Einzelhändler im Ergebnis Vollversicherungsschutz nach und führt die Installation der Sprinkleranlage durch. b) Im Rahmen der Entscheidung für oder gegen Prävention sieht sich der Einzelhändler einem trade-off zwischen den Kosten der Prävention und den Kosten des Vollversicherungsschutzes gegenüber. Bei Prävention spart der Einzelhändler einen Teil der Versicherungsprämie, muss jedoch im Gegenzug Kosten für die Prävention aufbringen. Führt der Einzelhändler hingegen keine Prävention durch, hat er keine Einsparung bei der Prämie, aber dafür auch keine Kosten für die Prävention. Für das betrachtete Beispiel ist der Effekt der Reduzierung des Prämienaufwands größer als der Effekt der Kosten für Prävention, weshalb sich der Einzelhändler weiterhin für den Einbau der Sprinkleranlage entscheidet.
7.2 Prävention und Nachfrage nach Versicherung unter symmetrischen Informationen
151
c) In der folgenden Grafik ist das Ergebnis aus a) dargestellt:
Bei Installation der Sprinkleranlage verschiebt sich das Vermögensniveau von Punkt A zu Punkt C. Ausgehend von diesem Punkt kann das Individuum Versicherungsschutz nachfragen. Da sich die Eintrittswahrscheinlichkeit und somit die faire Prämie nicht verändert, kommt es zu einer Parallelverschiebung der Versicherungsgeraden nach rechts bis zur Geraden ˛1 . Aufgrund der fairen Prämie fragt der Einzelhändler Vollversicherungsschutz nach und erreicht den Punkt D und das Erwartungsnutzenniveau EU1 . Bei Nichtinstallation der Sprinkleranlage würde der Einzelhändler ebenfalls Vollversicherungsschutz nachfragen und Punkt B erreichen. Das Erwartungsnutzenniveau EU0 ist jedoch geringer als das Niveau EU1 .
7.2.6 Prävention und Versicherungsnachfrage II a) Das Entscheidungsproblem lautet: max EU D Œ1 p.e/ U.w1 ; e/ C p.e/ U.w2 ; e/ e
Das Vermögen im Schadenfall (w2 ) und im Nichtschadenfall (w1 ) beträgt: w1 D w0 D 10:000 w2 D w0 L D 10:000 8:000 D 2:000 Daraus ergibt sich: 1 1 1 2 C e ln 10:000 e max EU D e 2 100 2:000 1 1 1 2 C e ln 2:000 e 2 100 2:000
152
7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
Der Taxiunternehmer maximiert seinen Erwartungsnutzen über das Anstrengungsniveau e. Das Anstrengungsniveau beeinflusst auf der einen Seite die Schadeneintrittswahrscheinlichkeit auf der anderen Seite entstehen für die Prävention Kosten. b) Gesucht ist das optimale Anstrengungsniveau. Dieses kann über die Ableitung des in a) aufgestellten Erwartungsnutzens ermittelt werden: 1 1 1 1 1 0 2 ln 10:000 e C C e e EU .e/ D 100 2:000 2 100 1:000 1 1 ln 2:000 e2 C 100 2:000 1 1 1 C e e D0 2 100 1:000 Umstellen der Bedingung 1. Ordnung nach e ergibt: 1 1 1 1 ln 10:000 e2 e e2 100 200:000 2:000 100:000 1 1 1 1 ln 2:000 C e2 eC e2 D 0 100 200:000 2:000 100:000 1 1 1 .ln 10:000/ .ln 2:000/ e D0 100 100 1:000 1 1 e D ln 5 1:000 100 e D 10 ln 5 D 16;09 Das optimale Anstrengungsniveau für den Taxi-Unternehmer ist e D 16;09. Daraus ergibt sich eine Schadeneintrittswahrscheinlichkeit von p D 0;34. Im Vergleich zur Situation ohne Prävention reduziert sich die Wahrscheinlichkeit somit um 16 Prozentpunkte. c) Das allgemeine Entscheidungsproblem bei Vollversicherung ist weiterhin: max EU D Œ1 p.e/ U.w1 ; e/ C p.e/ U.w2 ; e/ e
Jedoch ist das Vermögen im Schadensfall (w2 ) sowie im Nichtschadensfall (w1 ) identisch und das Vermögen ist nun aufgrund der Prämienzahlung abhängig vom Anstrengungsniveau: w1 D w2 D 10:000 p.e/ 8:000 Daraus ergibt sich für das Entscheidungsproblem: 1 max EU D .1 p.e// ln.10:000 p.e/ 8:000/ e 2 C .p.e// e 2:000 1 ln.10:000 p.e/ 8:000/ e2 2:000
7.2 Prävention und Nachfrage nach Versicherung unter symmetrischen Informationen
153
Da das Vermögen in beiden Zuständen identisch ist, vereinfacht sich das Entscheidungsproblem zu: 1 1 1 e 8:000 e2 max EU D ln 10:000 e 2 100 2:000 1 max EU D ln.6:000 C 80 e/ e2 e 2:000 Ableiten des Erwartungsnutzens nach e ergibt: EU0 .e/ D
1 1 80 e D0 6:000 C 80 e 1:000
Daraus ergibt sich die Optimalitätsbedingung: 1 1 D e 75 C e 1:000 Auflösen nach e ergibt das optimale Anstrengungsniveau: 1:000 D .75 C e/ e e C 75 e 1:000 D 0 2
r 5625 75 e1 D ˙ C 1:000 2 2 4 r 10:625 75 D 11;55 e1 D C 2 4 r 10:625 75 D 86;55 e2 D 2 4
Da e 0 ergibt sich ein optimales Anstrengungsniveau von e D 11;55. Das optimale Anstrengungsniveau bei Existenz einer Vollversicherung ist niedriger im Vergleich zur Situation ohne Versicherungsschutz.
7.2.7 Einbruchdiebstahl II a) Nachfrage nach Versicherungsschutz: Auch in diesem Fall gilt, dass der Hauseigentümer bei fairer Prämie Vollversicherungsschutz nachfragt. Die optimale Nachfrage beträgt demnach: I D L D 56 Allerdings stellt sich die Frage, ob der Hauseigentümer weiterhin die Alarmanlage einbaut oder aufgrund des Versicherungsschutzes darauf verzichtet. Dafür
154
7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
werden für beide Situationen (Prävention und keine Prävention) die Nutzenniveaus verglichen. Da Vollversicherung nachgefragt wird, ist das Vermögen in beiden Zuständen identisch. Der Versicherer kann das Präventionsniveau beobachten, weshalb der Prämiensatz der tatsächlichen Schadenwahrscheinlichkeit entspricht, die wiederum von der Präventionsentscheidung abhängig ist. Die Schadenwahrscheinlichkeit bei Prävention entspricht pP D 0;1 und die Schadenwahrscheinlichkeit ohne Prävention beträgt p0 D 0;2 Daraus ergeben sich die Nutzenniveaus: EUP D 200 .w0 pP L KP / .w0 pP L KP /2 EUP D 200 .70 0;1 56 3/ .70 0;1 56 3/2 D 8:510;04 EU0 D 200 .w0 p0 L/ .w0 p0 L/2 EU0 D 200 .70 0;2 56/ .70 0;2 56/2 D 8:302;56 EUP D 8:510;04 > EU0 D 8:302;56 Der Erwartungsnutzen mit Prävention ist in diesem Fall größer als der Erwartungsnutzen ohne Prävention, weshalb es für den Hauseigentümer lohnenswert ist, trotz Vollversicherungsschutz eine Alarmanlage zu installieren. b) Wie im Fall der Sprinkleranlage in Aufgabe 7.2.5, sieht sich der Hauseigentümer ebenfalls einem trade-off zwischen den Kosten der Prävention und den Kosten des Vollversicherungsschutzes gegenüber. Bei Prävention spart der Hauseigentümer einen Teil der Versicherungsprämie, muss jedoch im Gegenzug Kosten für die Prävention aufbringen. Führt der Hauseigentümer hingegen keine Prävention durch, hat er keine Einsparung bei der Prämie, aber dafür auch keine Kosten für die Prävention. Für das betrachtete Beispiel ist die Reduzierung des Prämienaufwands größer als die Kosten für Prävention, weshalb sich der Hauseigentümer weiterhin für den Einbau der Sprinkleranlage entscheidet. c) Das Ergebnis ist in der folgenden Grafik dargestellt:
7.3 Nachfrage und Angebot unter asymmetrischen Informationen
155
Durch den Einbau der Alarmanlage verschiebt sich das Vermögensniveau von Punkt A zu Punkt C. Ausgehend von diesem Punkt kann der Hauseigentümer Versicherungsschutz nachfragen. Da sich die Schadeneintrittswahrscheinlichkeit durch die Alarmanlage reduziert und somit auch die faire Prämie geringer wird, verlaufen sowohl die Indifferenzkurven (siehe EU0 / als auch die Versicherungsgerade ˛1 steiler. Aufgrund der fairen Prämie fragt der Hauseigentümer Vollversicherungsschutz nach und erreicht den Punkt D und das Erwartungsnutzenniveau EU0 . Bei Nichtinstallation der Alarmanlage würde der Hauseigentümer ebenfalls Vollversicherungsschutz nachfragen und Punkt B erreichen. Das Erwartungsnutzenniveau EU00 ist jedoch geringer als das Niveau EU0 .
7.3 Nachfrage und Angebot unter asymmetrischen Informationen 7.3.1 Market for Lemons a) Ermittlung des Marktergebnisses: 1. Unter der Annahme vollständiger Informationen werden alle Gebrauchtwagen verkauft. Die maximale Zahlungsbereitschaft ist für jeden Gebrauchtwagen größer als der verlangte Preis. Bspw. wird ein Auto mit der Qualität A für 9.500 Euro verkauft. 2. Unter der Annahme unvollständiger Informationen können die Käufer die Qualität der Autos nicht abschätzen. Da es Autos mit 4 unterschiedlichen Qualitäten gibt, gehen die Käufer davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit jeweils p D 0;25 beträgt ein Auto mit der Qualität A, B, C oder D zu erhalten. Gegeben dieser Wahrscheinlichkeiten ergibt sich die mittlere Zahlungsbereitschaft der Käufer aus dem Erwartungswert der jeweiligen Zahlungsbereitschaften: 1 1 1 1 E.ZB/ D 10:000 C 8:000 C 6:000 C 4:000 D 7:000 4 4 4 4 Die Zahlungsbereitschaft der Käufer für ein Auto, dessen Qualität sie nicht beobachten können, ist 7.000 Euro. Die Verkäufer kennen natürlich die Qualität der Gebrauchtwagen. Diese Kenntnis führt dazu, dass die Autos mit der Qualität A und B vom Markt genommen werden, da die Zahlungsbereitschaft kleiner ist als die Qualität der Autos bzw. den vom Verkäufer verlangten Preis. Diese Reaktion ist von den Käufern beobachtbar, weshalb sie ihre Zahlungsbereitschaft anpassen. Da nur noch Autos mit der Qualität C und D auf dem Markt sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit ein Auto der Qualität C bzw. D zu erhalten p D 0;5. Demzufolge ist der Erwartungswert: E.ZB/ D
1 1 6:000 C 4:000 D 5:000 2 2
156
7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
Gegeben der Zahlungsbereitschaft von 5.000 Euro wird auch das Auto mit der Qualität C vom Markt genommen, weshalb nur noch das schlechteste Auto mit der Qualität D auf dem Markt angeboten wird. Dafür ist die Zahlungsbereitschaft 4.000 Euro, was über dem Preis der Verkäufer von 3.500 Euro liegt. Im Ergebnis werden somit lediglich die schlechtesten Autos (d. h. nur Autos der Qualität D) verkauft. b) Das in 2. auftretende Phänomen der adversen Selektion kennzeichnet das Problem der Negativauslese aufgrund asymmetrischer Informationsverteilung. Auf Versicherungsmärkten besteht das Problem der asymmetrischen Informationsverteilung zwischen Versicherungsnehmer und Versicherer. Der Versicherer hat keine vollständige Kenntnis über die Schadenwahrscheinlichkeit des Versicherungsnehmers. Das führt dazu, dass der Versicherer eine Mischkalkulation vornimmt. Diese Mischkalkulation kann zu einer vom Versicherer verlangten Prämie führen, die für gute Risiken (Versicherungsnehmer mit einer geringen Schadenwahrscheinlichkeit) unattraktiv ist und sie demnach weniger oder sogar keinen Versicherungsschutz nachfragen. Im Ergebnis kann es dazu führen, dass lediglich schlechte Risiken (Versicherungsnehmer mit einer hohen Schadenwahrscheinlichkeit) Versicherungsschutz nachfragen und demzufolge der erwartete Gewinn der Versicherer aufgrund der angebotenen Mischprämie negativ ist.
7.3.2 Adverse Selektion a) Zur Ermittlung der Steigung der Indifferenzkurven werden die GRS der guten Risiken (GRSG ) und die der schlechten Risiken (GRSS / ermittelt. Allgemein lautet die GRS (siehe 7.1.3): GRS D
1 p U 0 .w1 / 0 p U .w2 /
Zu beachten ist dabei, dass die GRS, also die Steigung der Indifferenzkurven, negativ ist. Demzufolge soll der folgende Zusammenhang gezeigt werden: GRSG < GRSS
1 pG pG
UG0 .w1 / UG0 .w2 /
<
1 pS US0 .w1 / 0 pS US .w2 /
Da beide Risikogruppen identische Nutzenfunktionen besitzen gilt UG0 .w/ D US0 .w/. Daher vereinfacht sich die Ungleichung zu: 1 pS 1 pG > pG pS .1 pG / pS > .1 pS /p G pS > pG
)
0;5 > 0;1
)
q. e. d.
7.3 Nachfrage und Angebot unter asymmetrischen Informationen
157
Annahmegemäß ist die Schadenwahrscheinlichkeit der schlechten Risiken größer als die Schadenwahrscheinlichkeit der guten Risiken und somit ist gezeigt, dass für jede Kombination .w1 ; w2 / die Indifferenzkurven der guten Risiken steiler verlaufen als die der schlechten Risiken. b) Bei Beobachtung der Risikotypen bietet der Versicherer den guten Risiken Versicherungsschutz zu G D pG D 0;1 an und den schlechten Risiken zu S D pS D 0;5. Da dies für beide Risikogruppen eine faire Prämie bedeutet, ergibt sich im Marktgleichgewicht Vollversicherung für die Individuen beider Risikogruppen. Das heißt beide Risikogruppen fragen einen Versicherungsschutz in Höhe von I D 40 nach. Für die Berechnung der Nachfrage nach Vollversicherungsschutz siehe 7.1.5b). Die folgende Abbildung stellt das Marktgleichgewicht grafisch dar:
Sowohl die Versicherungsgerade der guten Risiken (al ) als auch die Indifferenzkurven der guten Risiken verlaufen steiler als die Versicherungsgerade ah und die Indifferenzkuren der schlechten Risiken. Im Optimum fragen beide Risikotypen Vollversicherungsschutz nach. Die guten Risiken erreichen dabei Punkt B und die schlechten Risiken Punkt C. c) Der angebotene durchschnittliche Prämiensatz N entspricht dem mit den Anteilen beider Risikogruppen gewichteten fairen Prämiensatz der jeweiligen Risiken: N D 0;75 G C 0;25 S D 0;75 0;1 C 0;25 0;5 D 0;2 Die Versicherungsnachfrage der guten Risiken ergibt sich aus der Maximierung des Erwartungsnutzens der guten Risiken: max EU D 0;9 ln.50 0;2 I / C 0;1 ln.50 40 0;2 I C I / I
EU0 .I / D 0;9
0;2 0;8 C 0;1 D0 50 0;2 I 10 C 0;8 I
158
7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
Auflösen nach I ergibt: 0;9 0;2 .10 C 0;8 I / D 0;1 0;8 .50 0;2 I / 1;8 C 0;144 I D 4 0;016 I I D 13;75 Da die angebotene Versicherungsprämie für die guten Risiken relativ teuer ist (sie ist größer als die risikogerechte Prämie der guten Risiken), wäre für die Individuen ein Teilversicherungsschutz in Höhe von 13.750 Euro optimal. Die Versicherungsnachfrage der schlechten Risiken ergibt sich aus der Maximierung des Erwartungsnutzens der schlechten Risiken: max EU D 0;5 ln.50 0;2 I / C 0;5 ln.50 40 0;2 I C I / I
EU0 .I / D 0;5
0;2 0;8 C 0;5 D0 50 0;2 I 10 C 0;8 I
Auflösen nach I ergibt: 0;2 .10 C 0;8 I / D 0;8 .50 0;2 I / 2 C 0;16 I D 40 0;16 I I D 118;75 Da die angebotene Versicherungsprämie für die schlechten Risiken zu günstig ist (sie ist geringer als die risikogerechte Prämie der schlechten Risiken), wäre für die Individuen eine Überversicherung in Höhe von 118.750 Euro optimal. Diesen Versicherungsschutz würden sie jedoch nicht nachfragen, da sich die schlechten Risiken in diesem Fall als solche zu erkennen geben würden. Aus diesem Grund fragt die Gruppe der schlechten Risiken die gleiche Versicherungsdeckung nach wie die Gruppe der guten Risiken. Darüber hinaus würden die schlechten Risiken bei einer Überversicherung vom Schadensfall profitieren (Versicherungsleistung > Schaden), wodurch das Problem des Moral Hazards entstehen würde. d) In der Grafik ist erkennbar, dass die Versicherungsgerade der Mischkalkulation am über der Versicherungsgeraden der schlechten Risiken ah und unterhalb der Versicherungsgeraden der guten Risiken al liegt. Aus diesem Grund ist die optimale Versicherungsnachfrage der guten Risiken in Punkt D (Teilversicherungsschutz) und die der schlechten Risiken in Punkt E (Überversicherungsschutz) zu finden. Damit sich die schlechten Risiken als solche nicht zu erkennen geben, fragen sie den Versicherungsschutz der guten Risiken nach (Punkt D) und erreichen damit das Erwartungsnutzenniveau EUh2 , welches jedoch kleiner als das eigentlich optimale Erwartungsnutzenniveau EUh1 ist. Allerdings stellt das vereinende Gleichgewicht in Punkt D kein stabiles Gleichgewicht dar. Da die Indifferenzkurven der schlechten Risiken flacher als die der guten Risiken verlaufen, existiert ein Bereich (Fläche Z), in dem die guten Risiken besser gestellt wären (höheres Erwartungsnutzenniveau) und die schlechten Risiken schlechter.
7.3 Nachfrage und Angebot unter asymmetrischen Informationen
159
Unter der Annahme, dass ein Versicherer den Punkt D als Versicherungsschutz anbietet, erwirtschaftet er einen Nullgewinn (Kontrakte liegen auf der relevanten Versicherungsgeraden am /. Ein Versicherungsangebot eines Konkurrenten innerhalb der Fläche Z würde zu einer Abwanderung der guten Risiken aus dem ursprünglichen Vertrag führen. Lediglich die schlechten Risiken bleiben in dem Ausgangsvertrag. Damit verschiebt sich die Zusammensetzung des Versichertenkollektivs in Richtung schlechter Risiken, was zu einer erwarteten Verlustsituation des Versicherers führt. Im Gegensatz dazu würde der Konkurrent einen erwarteten Gewinn erwirtschaften, falls das Konkurrenzangebot unter der Versicherungsgeraden al liegt. Aufgrund der erwarteten Verlustsituation kann der Versicherer das ursprüngliche Angebot nicht aufrecht erhalten. Insgesamt betrachtet ist das vereinende Gleichgewicht nicht stabil.
e) Das Entscheidungsproblem bei Angebot eines separierenden Gleichgewichts ergibt sich daraus, den guten Risiken einen maximal möglichen Versicherungsschutz anzubieten, der jedoch die schlechten Risiken nicht besser stellt als der angebotene Vertrag für die schlechten Risiken. Dabei muss zusätzlich berücksichtigt werden, dass die Nullgewinnbedingung gewährleistet ist. Das heißt: max EUG I
unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen: 1. E.G/ D E.G/G D E.G/S D 0 2. EUS .S ; IS / EUS .G ; IG / Die Nullgewinnbedingungen sind entscheidend, um auf der einen Seite keinen erwarteten Verlust zu realisieren und auf der anderen Seite bei einem Gewinn keine Konkurrenzangebote anderer Versicherer zu riskieren. Die zweite Nebenbedingung besagt, dass die schlechten Risiken mit dem Vertrag für die schlech-
160
7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
ten Risiken mindestens so gut gestellt sind wie mit dem Vertrag für die guten Risiken. In diesem Fall lohnt es sich für die schlechten Risiken, den für die schlechten Risiken angebotenen Vertrag nachzufragen und nicht den Vertrag für die guten Risiken. Die zweite Bedingung rationiert somit den Vertrag der guten Risiken. Da die Erwartungsnutzenmaximierung der schlechten Risiken nicht weiter beeinflusst wird und die Nullgewinnbedingung das Angebot einer fairen Prämie sichert, ergibt sich der optimale Versicherungsschutz für die schlechten Risiken aus einer Vollversicherung zu fairer Prämie. Daraus ergibt sich das Erwartungsnutzenniveau: EUS .S D 0;5; IS D 40/ D ln.50 0;5 40/ D ln 30 D 3;401 Im zweiten Schritt wird ermittelt, welcher Versicherungsschutz IOG den guten Risiken maximal angeboten werden kann, damit die zweite Nebenbedingung gilt. Gesucht wird dabei der Versicherungsschutz, bei dem die schlechten Risiken gerade indifferent zwischen dem Vertrag für die guten Risiken und dem Vertrag für die schlechten Risiken sind, d. h.: EUS .S D 0;5; IS D 40/ D EUS .G D 0;1; IOG / Die Prämie der guten Risiken entspricht dabei ebenfalls einer fairen Prämie, d. h. G D pG D 0;1. Daraus ergibt sich: ln 30 D 0;5 ln.50 0;1 IOG / C 0;5 ln.50 40 0;1 IOG C IOG / Diese Gleichung muss nach IOG aufgelöst werden: 2 ln 30 D ln.50 0;1 IOG / C ln.50 40 0;1 IOG C IOG / ln 302 D ln.50 0;1 IOG / C ln.50 40 0;1 IOG C IOG / O
O
900 D e ln.50 0;1 IG / C ln.10 C 0;9 IG / 900 D .50 0;1 IOG / .10 C 0;9 IOG / 900 D 500 C 44 IOG 0;09 IOG2 4:400 O 40:000 IOG2 IG C D0 9 9 s 2:200 2:200 2 40:000 ˙ IOG 1 D 2 9 9 9 p 4:480:000 2:200 C D 479;622 IOG1 D 9 9 p 4:480:000 2:200 D 9;266 IOG2 D 9 9 IOG1 entfällt, da der Wert größer ist als der Schaden und Überversicherung kein stabiles Gleichgewicht darstellen kann. Somit gewährleistet ein Versicherungs-
7.3 Nachfrage und Angebot unter asymmetrischen Informationen
161
angebot für die guten Risiken in Höhe von maximal 9.266 Euro unter Zahlung einer fairen Prämie, dass die schlechten Risiken durch die Nachfrage nach dem Vertrag der guten Risiken nicht besser gestellt werden als bei einer Nachfrage nach Vollversicherungsschutz und Zahlung einer für die schlechten Risiken risikoadäquaten Prämie. Abschließend ist noch zu klären, ob der Versicherungsvertrag ein stabiles Gleichgewicht darstellt. Dafür muss überprüft werden, ob der Erwartungsnutzen der guten Risiken bei Nachfrage des Teildeckungsvertrages größer ist als der Erwartungsnutzen bei Nachfrage des Mischvertrages (Teilaufgabe c)). Ist dies nicht der Fall, gibt es die Möglichkeit für Konkurrenten, Mischverträge anzubieten, die die guten Risiken besser stellen als im separierenden Gleichgewicht und dennoch die Nullgewinnbedingung erfüllen. Wie bereits in d) erläutert, stellt jedoch ein Mischvertrag kein stabiles Gleichgewicht dar. Es muss also überprüft werden ob: EUG .G D 0;1; IOG D 9;266/ > EUG .N D 0;2; IG D 13;75/ EUG .G D 0;1; IOG D 9;266/ D 0;9 ln.50 0;1 9;266/ C 0;1 ln .10 C 0;9 9;266/ EUG .G D 0;1; IOG D 9;266/ D 3;795 EUG .N D 0;2; IG D 13;75/ D 0;9 ln.50 0;2 13;75/ C 0;1 ln .10 C 0;8 13;75/ EUG .N D 0;2; IG D 13;75/ D 3;774 EUG .G D 0;1; IOG D 9;266/ D 3;795 > EUG .N D 0;2; IG D 13;75/ D 3;774 Die Bedingung ist erfüllt und demnach ist das separierende Gleichgewicht stabil. In der folgenden Grafik ist das Ergebnis dargestellt:
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7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
Das separierende Gleichgewicht ist in Punkt F erreicht. Dabei ist erkennbar, dass den guten Risiken eine Teildeckung angeboten wird und den schlechten Risiken eine Volldeckung, jeweils zur risikoadäquaten Prämie. Die Indifferenzkurve der schlechten Risiken EUh0 verläuft dabei durch den Punkt F. Dies bedeutet, dass die schlechten Risiken indifferent sind zwischen Kontrakt C und F. Ein angebotener Versicherungsschutz über F würde die schlechten Risiken besser stellen, wenn sie sich als gutes Risiko ausgeben und die Teildeckung der guten Risiken nachfragen. Die Stabilität des separierenden Gleichgewichts ist dadurch gewährleistet, dass die Versicherungsgerade ˛m unterhalb der Indifferenzkurve für die guten Risiken EUl2 liegt. Demzufolge existiert kein Mischvertrag, der sowohl gute als auch schlechte Risiken besser stellt und zugleich die Nullgewinnbedingung erfüllt.
7.3.3 Moral Hazard Moral Hazard ist ein Phänomen der asymmetrischen Informationsverteilung. Es bezeichnet allgemein die Verhaltensanpassung eines Individuums, welche durch die Existenz eines Vertrages ausgelöst wird. Dabei ist entscheidend, dass die Verhaltensanpassung vom Vertragspartner nicht beobachtbar ist. Im Bereich der Versicherungsmärkte bedeutet diese Situation, dass sich das Verhalten einer Person aufgrund eines abgeschlossenen Versicherungsvertrags verändert. Bspw. ist es möglich, dass der Versicherungsnehmer präventive Maßnahmen unterlässt oder dem Versicherer im Schadenfall ein höherer Schaden gemeldet wird. In der folgenden Abbildung sind verschiedene Arten von Moral Hazard dargestellt:
Moral Hazard kann sowohl vor Eintritt des Schadens (ex-ante Moral Hazard) als auch nach eingetretenem Schadenfall (ex-post Moral Hazard) auftreten. Beim ex-ante Moral Hazard steigt die Wahrscheinlichkeit eines Schadens (risikoerhöhendes Moral Hazard) und/oder die Schadenhöhe nimmt zu (mengenerhöhendes Moral Hazard). In beiden Fällen kann die Ursache bspw. im Unterlassen präventiver Maß-
7.3 Nachfrage und Angebot unter asymmetrischen Informationen
163
nahmen liegen. Bspw. kann der Verzicht auf eine Grippeschutzimpfung die Wahrscheinlichkeit einer Grippe erhöhen. Ebenso kann der Verzicht auf den Einbau einer Brandschutztür den Schaden erhöhen. Nach Eintritt des Schadenfalls (ex-post Moral Hazard) ist es möglich, dass die Höhe des Schadens zunimmt, bspw. wenn ein KFZ-Eigentümer nach dem Unfall eine teure Werkstatt aufsucht.
7.3.4 Sprinkleranlage III a) Nichtbeobachtbarkeit des Präventionsniveaus: Sofern der Versicherer das Präventionsniveau nicht beobachten kann, vereinbart der Einzelhändler Versicherungsschutz unter der Prämisse die präventive Maßnahme durchzuführen (in diesem Fall den Einbau der Sprinkleranlage). Das Ergebnis entspricht dem Vollversicherungsschutz und die Zahlung der folgenden Prämie: P .I / D 0;5
L D 0;5 4:000 D 2:000 2
Da der Einzelhändler eine Versicherungsleistung in Höhe des gesamten Schadens erhält und die Prävention vom Versicherer nicht beobachtbar ist, hat der Einzelhändler keinen Anreiz die Sprinkleranlage tatsächlich einzubauen. In diesem Fall beträgt der Erwartungsnutzen des Einzelhändlers: EU0 D ln.w0
L / D ln.15:000 0;5 4:000/ D 9;47 2
Da der Einzelhändler keine Kosten für den Einbau der Sprinkleranlage hat aber auch keine erhöhte Prämie zahlen muss, ist der Erwartungsnutzen größer als bei Einbau der Sprinkleranlage (siehe Aufgabe 3.2.5) EU0 D 9;47 > EUP D 9;35 Demzufolge ist es für den Einzelhändler optimale Strategie, die Prävention bei Vertragsabschluss zu vereinbaren aber anschließend nicht durchzuführen. Für den Versicherer ergibt sich eine Änderung des erwarteten Gewinns: E0 .G/ D
L p L D 0;5 4:000 0;5 8:000 D 2:000 2
Der erwartete Gewinn des Versicherers beträgt 2.000 Euro. Dies führt dazu, dass der Versicherer die Versicherungsverträge nicht anbieten wird.
164
7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
b) In der folgenden Grafik ist das Ergebnis aus a) dargestellt:
Aufgrund der Nichtbeobachtbarkeit des Einbaus der Sprinkleranlage vereinbart der Einzelhändler Vollversicherungsschutz unter der Prämisse die Sprinkleranlage einzubauen, führt den Einbau im Nachhinein jedoch nicht durch. Die Kosteneinsparung führt zu einer Parallelverschiebung der Versicherungsgeraden ˛1 bis zum Punkt E (Versicherungsgerade ˛ 2 /, wodurch der Einzelhändler letztendlich in Punkt F landet und das Erwartungsnutzenniveau EU2 erreicht. Allerdings ist die für den Versicherer maßgebliche Gerade ˛ 0 , da die Sprinkleranlage nicht eingebaut wurde. Der Punkt F liegt oberhalb der Versicherungsgeraden ˛ 0 , was einen erwarteten Verlust des Versicherers bedeutet (wie in a) bereits ermittelt). c) Der Versicherer muss den Vertrag so gestalten, dass sich für den Einzelhändler ebenfalls ein Nachteil bei unterlassener Prävention ergibt. Dies kann der Versicherer dadurch erreichen, indem er den angebotenen Versicherungsschutz einschränkt und lediglich Verträge mit einer Teildeckung des potenziellen Schadens anbietet. In diesem Fall beteiligt der Versicherer den Einzelhändler an den Kosten im Schadenfall, wodurch für den Einzelhändler ein Anreiz bestehen kann, die Sprinkleranlage tatsächlich einzubauen. Insgesamt muss der Versicherer den maximal angebotenen Versicherungsschutz soweit reduzieren, dass der Erwartungsnutzen des Einzelhändlers bei Zahlung der günstigeren Prämie und Einbau der Sprinkleranlage mindestens so groß ist wie der Erwartungsnutzen bei Zahlung der günstigen Prämie und Verzicht auf den Einbau der Sprinkleranlage. Es muss demnach gelten: L L EUp IO; ; Kp EU0 IO; 2 2
7.3 Nachfrage und Angebot unter asymmetrischen Informationen
165
Dabei gibt IO die gesuchte Versicherungsdeckung an, für die die Bedingung erfüllt ist. d) Der Versicherer muss dafür den Versicherungsschutz soweit reduzieren, dass folgender Zusammenhang gilt: L L O O EUp I ; ; Kp EU0 I ; 2 2 Gesucht ist demzufolge die maximale Versicherungsdeckung IO D ˛O L bzw. der maximale Deckungsgrad, bei dem der Einzelhändler gerade indifferent zwischen Einbau der Sprinkleranlage und keinem Einbau der Sprinkleranlage ist: L 0;5 ln w0 ˛O Kp 2 L L L C 0;5 ln w0 ˛O C ˛O Kp 2 2 2 L L D 0;5 ln w0 ˛O C 0;5 ln w0 L ˛O C ˛O L 2 2 Auflösen nach ˛O ergibt: ln.13:500 2:000 ˛/ O C ln.9:500 C 2:000 ˛/ O D ln .15:000 2:000 ˛/ O C ln.7:000 C 6:000 ˛/ O O C ln.9:500 C 2:000 ˛/ O O C ln.7:000 C 6:000 ˛/ O D e ln.15:000 2:000 ˛/ e ln.13:500 2:000 ˛/
.13:500 2:000 ˛/ O .9:500 C 2:000 ˛/ O D .15:000 2:000 ˛/ O .7:000 C 6:000 ˛/ O 128:250:000 C 8:000:000 ˛O 4:000:000 ˛O 2 D 105:000:000 C 76:000:000 ˛O 12:000:000 ˛O 2 17 93 ˛O C D0 2 32 s 17 2 93 17 ˙ ˛O 1 D 2 4 4 32 r 485 17 ˛O 1 D C D 8;14 4 32 r 485 17 ˛O 2 D D 0;3569 4 32 ˛O 2
166
7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
Der erste Wert ˛O 1 ist größer 1 und entfällt, da dieser Wert zu einer Überversicherung führen würde und damit der Anreiz zu Moral Hazard nicht verhindert werden kann. Somit beträgt der vom Versicherer maximal angebotene Deckungsgrad 35,69%. Bei dieser Teildeckung ist der Einzelhändler indifferent zwischen Einbau und keinem Einbau der Sprinkleranlage. Bei einer höheren Versicherungsdeckung hätte der Einzelhändler weiterhin den Anreiz keine Sprinkleranlage einzubauen.
7.3.5 Einbruchdiebstahl III a) Sofern der Versicherer das Präventionsniveau nicht beobachten kann, vereinbart der Hauseigentümer Versicherungsschutz unter der Prämisse die präventive Maßnahme durchzuführen (in diesem Fall den Einbau der Alarmanlage). Das Ergebnis entspricht dem Vollversicherungsschutz und die Zahlung der folgenden Prämie: P .I / D p L D 0;1 56 D 5;6 Da der Hauseigentümer Vollversicherungsschutz vereinbart hat und die Prävention vom Versicherer nicht beobachtbar ist, hat der Hauseigentümer keinen Anreiz die Alarmanlage wirklich einzubauen. In diesem Fall ist der Erwartungsnutzen des Hauseigentümers: 2 EU0 D 200 w0 p L w0 p L D 200 .70 0;1 56/ .70 0;1 56/2 D 8:732;64 Da der Hauseigentümer keine Kosten für den Einbau der Alarmanlage hat, aber auch keine erhöhte Prämie zahlen muss, ist der Erwartungsnutzen größer als bei Einbau der Alarmanlage (siehe Aufgabe 3.2.7) EU0 D 8:732;64 > EUP D 8:510;04 Demzufolge ist es für den Hauseigentümer optimale Strategie, die Prävention bei Vertragsabschluss zu vereinbaren, aber anschließend nicht durchzuführen. Für den Versicherer ergibt sich eine Änderung des erwarteten Gewinns: E0 .G/ D p L p0 L D 0;1 56 0;2 56 D 5;6 Der erwartete Gewinn des Versicherers beträgt -5.600 Euro, was dazu führt, dass der Versicherer die Verträge nicht anbieten wird.
7.3 Nachfrage und Angebot unter asymmetrischen Informationen
167
b) In der folgenden Abbildung sind die Ergebnisse aus a) dargestellt:
Aufgrund der Nichtbeobachtbarkeit des Einbaus der Alarmanlage vereinbart der Hauseigentümer Vollversicherungsschutz unter der Prämisse die Alarmanlage einzubauen, führt den Einbau im Nachhinein jedoch nicht durch. Die Kosteneinsparung führt zu einer Parallelverschiebung der Versicherungsgeraden von Punkt C zu Punkt A (Versicherungsgerade ˛ 2 /, wodurch der Hauseigentümer letztendlich Punkt E und das Erwartungsnutzenniveau EU01 erreicht. Die Steigung der Verischerungsgeraden ˛ 2 entspricht der Steigung der Geraden ˛1 , da der Versicherer aufgrund der Präventionsvereinbarung die günstigere Prämie verlangt. Der Punkt E entspricht keinem Tangentialpunkt, da der Hauseigentümer die Alarmanlage nicht einbaut und die Indifferenzkurven demzufolge flacher verlaufen (aufgrund der höheren Schadeneintrittswahrscheinlichkeit). Die für den Versicherer maßgebliche Versicherungsgerade ist die Gerade ˛ 0 , da die Alarmanlage nicht eingebaut wurde. Der Punkt E liegt oberhalb der Versicherungsgeraden ˛ 0 , was einen erwarteten Verlust der Versicherers bedeutet (wie in a) bereits ermittelt). c) Der Versicherer muss den Vertrag so gestalten, dass sich für den Hauseigentümer ebenfalls ein Nachteil bei unterlassener Prävention ergibt. Dies kann der Versicherer dadurch erreichen, dass er den angebotenen Versicherungsschutz einschränkt und lediglich Verträge mit einer Teildeckung anbietet. In diesem Fall beteiligt der Versicherer den Hauseigentümer an den Kosten im Schadenfall, wodurch für den Hauseigentümer der Anreiz erhöht wird, die Alarmanlage tatsächlich einzubauen. Insgesamt muss der Versicherer den Versicherungsschutz IO soweit reduzieren, dass der Erwartungsnutzen des Hauseigentümers bei Zahlung der günstigeren Prämie und Einbau der Alarmanlage mindestens so groß ist wie der Erwartungsnutzen bei Zahlung der günstigeren Prämie und Verzicht auf den Einbau der Alarmanlage.
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7 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot
In der folgenden Grafik ist die Situation dargestellt:
Der Versicherer möchte erreichen, dass sich der Hauseigentümer an die Vereinbarung hält und die Alarmanlage einbaut, d. h. dass der Hauseigentümer einen Vertrag gemäß der Versicherungsgeraden ˛1 wählt. Demnach reduziert der Versicherer den angebotenen Versicherungsschutz, was eine gleichmäßige Verschiebung der Punkte D und E entlang der Versicherungsgeraden bedeutet. Der Versicherungsschutz wird so weit reduziert bis der Hauseigentümer indifferent ist zwischen Einbau und Nichteinbau. Dieser Punkt ist bei Angebot des Teilversicherungsschutzes D0 bzw. E0 erreicht. Die Indifferenz ist daran erkennbar, dass sich die Indifferenzkurve EU2 (Einbau) und die Indifferenzkurve EU02 auf der Sicherheitslinie schneiden (Punkt F). Ein Schnittpunkt auf der Sicherheitslinie bedeutet ein identisches Sicherheitsäquivalent der beiden Situationen (Einbau vs. Kein Einbau), was gleichzeitig EU2 D EU02 bedeutet. Solange sich der Schnittpunkt oberhalb der Sicherheitslinie befindet, erreicht der Hauseigentümer durch den Nichteinbau ein höheres Erwartungsnutzenniveau. Demzufolge stellt der Punkt D0 die maximal mögliche Teildeckung dar, bei der ein Anreiz zur Prävention besteht. d) Der in c) beschriebene Zusammenhang bedeutet formal: EU IO; pP ; P ; Kp EU IO; p0 ; P h 2 i EUP D .1 pp / 200 w0 P IO Kp w0 P IOK p h i Cpp 200 w0 C .1 P / IO L Kp w0 C .1 P / IO L Kp 2
7.3 Nachfrage und Angebot unter asymmetrischen Informationen
h
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2 i
EU0 D .1 p0 / 200 w0 P IO w0 P IO h 2 i Cp0 200 w0 C .1 P / IO L w0 C .1 P / IO L h 2 i EUP D 0;9 200 67 0;1 IO 67 0;1 IO h 2 i C0;1 200 11 C 0;9 IO 11 C 0;9 IO h 2 i EU0 D 0;8 200 70 0;1 IO 70 0;1 IO h 2 i C0;2 200 14 C 0;9 IO 14 C 0;9 IO h i 0;9 13:400 20 IO 4:489 C 13;4 IO 0;01 IO2 h i C0;1 2:200 C 180 IO 121 19;8 IO 0;81 IO2 i h D 0;8 14:000 20 IO 4:900 C 14 IO 0;01 IO 2 h i C0;2 2:800 C 180 IO 196 25;2 IO 0;81 IO2 h i h i 0;9 8:911 6;6 IO 0;01 IO 2 C 0;1 2:079 C 160;2 IO 0;81 IO2 i h i h D 0;8 9:100 6 IO 0;01 IO2 C 0;2 2:604 C 154;8 IO 0;81 IO2 8:227;8 C 10;08 IO 0;09 IO2 D 7:800;8 C 26;16 IO 0;17 IO2 427 16;08 IO C 0;08 IO2 D 0 10:675 IO2 201 IO C D0 2 s 201 201 2 10:675 O I1=2 D ˙ 2 2 2 r 201 19:051 C D 169;51 IO1 D 2 4 r 19:051 201 O I2 D D 31;487 2 4 Der Wert IO1 entfällt, da dieser Überversicherung bedeutet. Die maximale Versicherungssumme, die der Versicherer anbieten sollte beträgt 31.487 Euro. Bei dieser Teildeckung ist der Hauseigentümer indifferent zwischen Einbau der Alarmanlage und kein Einbau. Ein höherer Versicherungsschutz bietet dem Hauseigentümer den Anreiz die Alarmanlage nicht einzubauen.
Kapitel 8
Staatliche Regulierung und Sozialversicherung
8.1 Staatliche Regulierung 8.1.1 Einführung einer Versicherungssteuer a) Das allgemeine Entscheidungsproblem für den Hauseigentümer ist die Maximierung des Erwartungsnutzens in Abhängigkeit von der Höhe des Versicherungsschutzes sowie der Entscheidung für oder gegen den Einbau einer Alarmanlage. Aufgrund der Versicherungssteuer zahlt der Hauseigentümer keine faire Prämie und fragt demzufolge keinen Vollversicherungsschutz nach. In der ersten Stufe maximiert der Hauseigentümer den Erwartungsnutzen über die Nachfrage nach Versicherungsleistung unter der Prämisse Prävention zu betreiben. Würde der Hauseigentümer Versicherungsschutz unter der Prämisse nachfragen, keine Prävention betreiben zu wollen, würde er sein Verhalten zu erkennen geben. Erst nach Vertragsabschluss und festgelegter Versicherungsdeckung entscheidet sich der Hauseigentümer für oder gegen den Einbau der Alarmanlage: Das Entscheidungsproblem lautet somit auf der ersten Stufe: max EUp D .1 pP / U .w0 O I KP / I
C pP U .w0 O I L C I KP / wobei der Prämiensatz O D .1 C t/ pP entspricht. Im zweiten Schritt muss überprüft werden, ob der Hauseigentümer bei der optimalen Nachfrage I einen Anreiz zum Einbau der Alarmanlage hat. Das heißt es muss überprüft werden, ob der Erwartungsnutzen mit Prävention größer ist als ohne. Formal bedeutet dies: O pP ; KP R EU0 I ; ; O p0 EUP I ; ;
J.-M. Graf von der Schulenburg, A. Zuchandke, Übungen zur Versicherungsökonomik. DOI 10.1007/978-3-642-20578-1_8, © Springer 2011
171
172
8 Staatliche Regulierung und Sozialversicherung
b) Die Frage ist, ob der Steuersatz in Höhe von 100 Prozent ausreicht, damit sich der Hauseigentümer im zweiten Schritt für den Einbau der Alarmanlage entscheidet. Unter Berücksichtigung der Versicherungsnachfrage sowie der Kosten für Prävention ergeben sich die folgenden Vermögenssituationen im NichtSchadenfall w1 und im Schadenfall w2 : w1 D w0 O I KP D w0 .1 C t/ pP I KP w1 D 70 0;2 I 3 D 67 0;2 I w2 D w0 O I L C I KP D w0 pP .1 C t/ I L C I KP w2 D 70 0;2 I 56 C I 3 D 11 C 0;8 I Die Ermittlung der optimalen Nachfrage I erfolgt über die Maximierung des Erwartungsnutzens: max EUp D 0;9 200 .67 0;2 I / .67 0;2 I /2 I C 0;1 200 .11 C 0;8 I / .11 C 0;8 I /2 Die Ableitung des Erwartungsnutzen nach I ergibt: EU0p .I / D 0;9 Œ40 2 .67 0;2 I / .0;2/ C 0;1 Œ160 2 .11 C 0;8 I / 0;8 D 0 0;2 I D 2;36 I D 11;8 Bei Einführung einer Versicherungssteuer von 100 Prozent fragt der Hauseigentümer eine Teildeckung in Höhe von 11.800 Euro nach. Nach Ermittlung der optimalen Nachfrage I D 11;8 entscheidet der Hauseigentümer, ob sich der Einbau der Alarmanlage lohnt: EUP I D 11;8; O D 0;2; pP D 0;1; KP D 3 R EU0 I D 11;8; O D 0;2; p0 D 0;2 0;9 200 .67 0;2 11;8/ .67 0;2 11;8/2 C 0;1 200 .11 C 0;8 11;8/ .11 C 0;8 11;8/2 R 0;8 200 .70 0;2 11;8/ .70 0;2 11;8/2 C 0;2 200 .14 C 0;8 11;8/ .14 C 0;8 11;8/2 EUP D 8:241;72 > EU0 D 7:989;98
8.1 Staatliche Regulierung
173
Der Erwartungsnutzen bei Einbau der Alarmanlage ist größer als bei Verzicht des Einbaus. Somit ist die Maßnahme der Steuereinführung zielführend, den Anreiz zu Moral Hazard zu unterbinden.
8.1.2 Rauchverhalten a) Hier tritt das Problem des risikoerhöhenden ex-ante Moral Hazards auf, da weder Versicherer noch Regierung feststellen können, ob ein Individuum raucht. Das Individuum wird bei Vertragsabschluss vereinbaren nicht zu rauchen und bei Angebot einer fairen Prämie Vollversicherung nachfragen. Aufgrund der Nichtbeobachtbarkeit des Rauchverhaltens wird sich das Individuum nicht an die Vereinbarung halten und rauchen. In der Grafik ist diese Situation in Punkt D dargestellt. Die Argumentation folgt weitestgehend der Lösung 7.3.5c).
Um das Problem des Moral Hazards zu unterbinden, bietet der Versicherer lediglich eine Teildeckung in Höhe von maximal C0 (bzw. D0 ) an. Im Ergebnis schließt das Individuum Teildeckung ab und raucht nicht. b) Die Besteuerung reduziert das Vermögen eines Individuums im Fall des Rauchens in beiden Zuständen (Schadenfall und Nichtschadenfall) um t Euro. Demzufolge verschiebt sich der Ausgangspunkt in der Grafik von Punkt B zu Punkt F und somit ist die Versicherungsgerade ˛ 2 relevant. Aufgrund der Steuer ist es c. p. für ein Individuum weniger attraktiv zu rauchen. Das grundlegende Problem des Moral Hazards bleibt jedoch bestehen.
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8 Staatliche Regulierung und Sozialversicherung
Unter der Annahme des gleichen Versicherungsangebots wie in a) erreicht das Individuum im Fall des Rauchens ein strikt niedrigeres Erwartungsnutzenniveau (Punkt G liegt unterhalb der Indifferenzkurve EU01 /, weshalb Nichtrauchen strikt besser ist als Rauchen. Diese Situation führt dazu, dass der Versicherer den angebotenen Versicherungsschutz auf C00 (bzw. D00 ) erhöhen kann, ohne den Anreiz des Nichtrauchens zu unterbinden. Der maximal mögliche Versicherungsschutz befindet sich in Punkt E0 . In diesem Punkt ist das Individuum erneut indifferent zwischen Rauchen und Nichtrauchen. Insgesamt ergibt sich für das Individuum ein höheres Nutzenniveau, da ein höherer Versicherungsschutz besteht, das Individuum nicht raucht und dementsprechend auch keine Steuer gezahlt wird.
8.1.3 Pflichtversicherung a) Der durchschnittliche Prämiensatz beträgt N D 0;2 (siehe Aufgabe 7.3.2c)). Beide Gruppen sind durch die gleiche Nutzenfunktion charakterisiert und da auch die Vermögenssituation identisch ist, sind die Erwartungsnutzen beider Risiken identisch und betragen: N I D L/ D EUS .; N I D L/ D ln.50 0;2 40/ D 3;737 EUG .; Ermittlung der Erwartungsnutzen im Fall symmetrischer Informationen: EUG . D 0;1; I D L/ D ln .50 0;1 40/ D 3;829 EUS . D 0;5; I D L/ D ln .50 0;5 40/ D 3;401 Erwartungsnutzen im Fall asymmetrischer Informationen: EUG .G D 0;1; IG D 9;266/ D 0;9 ln.50 0;1 9;266/ C 0;1 ln.10 C 0;9 9;266/
8.1 Staatliche Regulierung
175
EUG .G D 0;1; IG D 9;266/ D 3;795 EUS . D 0;5; I D L/ D ln .50 0;5 40/ D 3;401 Anhand der Ergebnisse ist ersichtlich, dass die schlechten Risiken von der Pflichtversicherung profitieren und die guten Risiken schlechter gestellt werden. Insgesamt kommt es somit in der Pflichtversicherung zu einer Umverteilung von guten zu schlechten Risiken. b) Die Ergebnisse aus a) sind in der folgenden Grafik abgebildet:
Die Besserstellung der schlechten Risiken liegt daran, dass die Durchschnittsprämie geringer ist als die faire Prämie für schlechte Risiken und diese deshalb zu günstigen Versicherungsschutz erhalten. Das heißt, die Versicherungsgerade ˛ h liegt unterhalb der Versicherungsgeraden ˛ m . Die guten Risiken zahlen dagegen eine relativ teure Prämie (Versicherungsgerade ˛ h liegt unterhalb der Versicherungsgeraden ˛ m ), weshalb der Erwartungsnutzen im Fall der Pflichtversicherung kleiner ist als im Gleichgewicht bei symmetrischer Informationsverteilung sowie im separierenden Gleichgewicht. Die guten Risiken würden demnach sowohl ein separierendes Gleichgewicht als auch eine Teildeckung bevorzugen (EUl0 > EUl2 > EUl3 ) c) Pflichtversicherung in Höhe von 30 % der Schäden: I D 0;3 L D 12:000 Der Erwartungsnutzen beider Risiken beträgt: N I D 0;3 L/ D 0;1 ln .22 0;2 12/ C 0;9 ln .50 0;2 12/ EUG .; N I D 0;3 L/ D 3;774 EUG .; EUS .; N I D 0;3 L/ D 0;5 ln .22 0;2 12/ C 0;5 ln.50 0;2 12/ N I D 0;3 L/ D 3;419 EUS .; Ein Vergleich mit den Ergebnissen in a) zeigt, dass der Erwartungsnutzen der guten Risiken gestiegen und der Erwartungsnutzen der schlechten Risiken gesunken ist. Die guten Risiken stellen sich somit bei einer partiellen Pflichtversiche-
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8 Staatliche Regulierung und Sozialversicherung
rung in Höhe von 30 % der Schäden besser. Ausgehend von dem obligatorischen Mindestdeckungsgrad kann der private Versicherungsmarkt Zusatzversicherungen anbieten, die dem Prinzip des trennenden Gleichgewichts entsprechen. d) Wie bereits in Aufgabe 3.3.2 gilt auch hier, dass die schlechten Risiken im trennenden Gleichgewicht Vollversicherung nachfragen, da Ihnen eine faire Prämie angeboten wird. Allerdings ist zu beachten, dass lediglich 70 % des Schadens über den privaten Versicherungsmarkt versichert wird, da 30 % bereits im Rahmen der Pflichtversicherung abgedeckt ist. Demnach ergibt sich für den Erwartungsnutzen der schlechten Risiken: EUS .S D 0;5; IS D 28/ D ln.w N 0;3 L S 0;7 IS / EUS D ln.50 0;2 12 0;5 28/ D ln 33;6 D 3;514 Im zweiten Schritt wird ermittelt, welcher Versicherungsschutz IG angeboten werden kann, damit die erste Nebenbedingung gilt. Gesucht wird dabei der Versicherungsschutz, bei dem die schlechten Risiken indifferent sind zwischen dem Vertrag für die guten Risiken und dem Vertrag für die schlechten Risiken, d. h.: EUS .S D 0;5; IS D 28/ D EUS .G D 0;1; IG / Die Prämie der guten Risiken entspricht dabei ebenfalls einer fairen Prämie, d. h. G D pG D 0;1. Daraus ergibt sich ln 33;6 D 0;5 ln.50 0;2 12 0;1 I / C 0;5 ln.50 28 0;2 12 0;1 I C I / Diese Gleichung muss nach I aufgelöst werden: 2 ln 33;6 D ln.47;6 0;1 I / C ln.19;6 C 0;9 I / 1:128;96 D e ln.47;6 0;1 I / C ln.19;6 C 0;9 I / 1:128;96 D .47;6 0;1 I / .19;6 C 0;9 I / 1:128;96 D 932;96 C 40;88 I 0;09 I 2 I 2 454;22 I C 2:177;77 D 0 p I 1 D 227;911 ˙ .223;91/2 2:177;73 2
I1 D 227;911 C 222;26 D 44;376 I2 D 227;911 222;26 D 4;846 I1 entfällt, da der Wert größer ist als der Schaden und Überversicherung kein stabiles Gleichgewicht darstellen kann. Dementsprechend bietet der Versicherer zum Prämiensatz G D 0;1 einen maximalen Versicherungsschutz in Höhe von 4.846 Euro sowie Vollversicherungsschutz zum Prämiensatz S D 0;5 an. In diesem Fall wären die schlechten Risiken durch den Teilversicherungsvertrag und Zahlung einer „günstigen“ Prämie nicht besser gestellt.
8.1 Staatliche Regulierung
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Abschließend ist noch zu klären, ob der Versicherungsvertrag ein stabiles Gleichgewicht darstellt. Dafür muss überprüft werden, ob der Erwartungsnutzen der guten Risiken bei Nachfrage des Vertrages für gute Risiken größer ist als der Erwartungsnutzen bei Nachfrage des Mischvertrages (siehe 7.3.2c)). Ist dies nicht der Fall, gibt es die Möglichkeit für Konkurrenten, Mischverträge anzubieten, welche die guten Risiken besser stellen als im trennenden Gleichgewicht und die Nullgewinnbedingung gewährleisten. Die Nachfrage der guten Risiken bei einer Durchschnittsprämie (IG D 13;75) ist größer als die Mindestversicherung (Imin D 12). Demzufolge entspricht der optimale Versicherungsschutz eines Mischvertrages insgesamt IG D 13;75. Das heißt, es muss überprüft werden, ob folgender Zusammenhang gilt: EUG .G D 0;1; IG D 4;846/ > EUG .N D 0;2; IG D 13;75/ EUG .G ; IG / D 0;9 ln.47;6 0;1 4;846/ C 0;1 ln.19;6 C 0;9 4;846/ EUG .G ; IG / D 3;785 N IG / D 0;9 ln.50 0;2 13;75/ C 0;1 ln.10 C 0;8 13;75/ EUG .; N IG / D 3;774 EUG .; N IG / D 3;774 EUG .G ; IG / D 3;785 > EUG .; Die Bedingung ist erfüllt und demnach ist das trennende Gleichgewicht stabil.
8.1.4 Nachfrage nach Gesundheitsleistungen a) Die Anbieter auf Versicherungsmärkten sind Preisnehmer. daher ergibt sich der Gewinn aus: G.G/ D E.G/ K.G/ D P G 10 G Daraus resultiert die Optimalitätsbedingung: G 0 .G/ D P 10 D 0 P D 10 .Preis D Grenzkosten/ Demzufolge beträgt der Marktpreis für Gesundheitsleistungen 10 Euro. Die Nachfrage DG beträgt demzufolge: DG .P D 10/ D 150 10 10 D 100 Die individuelle Nachfrage nach Gesundheitsleistung liegt bei G D 100 Einheiten. b) Aufgrund des Vollversicherungsschutzes für Gesundheitsleistungen ist der Preis, den die Personen zu zahlen haben, P D 0. Unter dieser Annahme ist die individuelle Nachfrage: DG .P D 0/ D 150 10 0 D 150
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8 Staatliche Regulierung und Sozialversicherung
Im Vergleich zur Situation in a) werden 50 Einheiten mehr Gesundheitsleistungen nachgefragt. c) In der folgenden Grafik ist die Nachfrage nach Gesundheitsleistungen dargestellt:
Bei einem zu zahlenden Preis in Höhe von 10 Euro entspricht die Gesamtwohlfahrt der Konsumentenrente, die der Fläche A in der obigen Grafik entspricht (die Produzentenrente ist 0). Das Wohlfahrtsniveau ist demzufolge: W0 D A Eine Vollversicherung führt zu einem Anstieg der Nachfrage nach Gesundheitsleistungen auf 150 Einheiten. Demzufolge erhöht sich die Konsumentenrente auf die Flächen A C B C C, da die Konsumenten keinen direkten Preis für die Gesundheitsleistungen zahlen müssen. Allerdings müssen die Kosten des Versicherers für die Zahlung der Gesundheitsleistungen dieser Erhöhung gegengerechnet werden. Die Kosten ergeben sich aus den Flächen B C C C D. Insgesamt ergibt sich somit ein Wohlfahrtsniveau von W1 D .A C B C C/ .B C C C D/ D A D Die Veränderung der Wohlfahrt entspricht somit W D W1 W0 D .A D/ A D D Aufgrund der Vollversicherung resultiert demnach ein Wohlfahrtsverlust in Höhe des Dreiecks D. Eine Selbstbeteiligung würde den individuell zu zahlenden Preis wieder erhöhen, zu einer Reduzierung der Nachfrage beitragen und damit den Wohlfahrtsverlust reduzieren. Der Effekt eines Selbstbehalts auf die Nachfrage nach Gesundheitsleistung ist dabei von der Preiselastizität der Nachfrage abhängig.
8.2 Sozialversicherung
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8.2 Sozialversicherung 8.2.1 Versicherungskonkurrenz a) Die in der Aufgabenstellung beschriebene Situation ist in der folgenden Grafik dargestellt:
Das Mindesteinkommen führt dazu, dass das Vermögen nicht unter wmin und das Nutzenniveau somit nicht unter U.wmin / fallen kann. Aus diesem Grund ist der Verlauf der Nutzenfunktion für 0 w wmin horizontal. Demzufolge ist für N relevant, sondern die die Ermittlung des Erwartungsnutzens nicht die Strecke A0 N Der daraus resultierende Erwartungsnutzen EU0 .w/ ist größer als Strecke AB. der Erwartungsnutzen ohne Mindestniveau EU.w/ und dementsprechend auch 0 das Sicherheitsäquivalent (SÄ > SÄ). Die Existenz eines Mindestniveaus kann für die Nachfrage nach Versicherungsschutz relevant sein. Im Fall eines Vollversicherungsschutzes und Zahlung einer fairen Prämie hat ein Versicherungsnehmer ein sicheres Vermögen in Höhe von E.w/ (siehe 7.1.2). Aufgrund des Mindestniveaus kann es passieren, dass 0 das Sicherheitsäquivalent SÄ bei einem risikoaversen Individuum größer als der Erwartungswert ist. In diesem Fall würde das risikoaverse Individuum trotz fairer Prämie keinen Versicherungsschutz nachfragen und damit eher risikofreudig agieren. b) Vollversicherungsschutz und Zahlung einer fairen Prämie führt in beiden Zuständen zu den Vermögen: w1 D w2 D 10:000 0;3 10:000 D 7:000 Die Entscheidung über den Abschluss von Vollversicherungsschutz ist von der Höhe des Erwartungsnutzens abhängig. Der Erwartungsnutzen bei Abschluss
180
8 Staatliche Regulierung und Sozialversicherung
einer Vollversicherung lautet: p EUV D 7:000 D 83;67 Ohne Versicherungsschutz ergibt sich ein Erwartungsnutzen von: p p EU0 D 0;3 wmin C 0;7 w0 p p EU0 D 0;3 1:500 C 0;7 10:000 D 81;62 EUV D 83;67 > EU0 D 81;62 Im Ergebnis ist der Erwartungsnutzen bei Abschluss von Vollversicherungsschutz größer als ohne Versicherungsschutz. Demzufolge wird die Person den Vollversicherungsschutz abschließen. c) In diesem Fall führt Vollversicherungsschutz und Zahlung einer fairen Prämie in beiden Zuständen zu einem Vermögen von: w1 D w2 D 5:000 0;3 5:000 D 3:500 Die Entscheidung über den Abschluss der Vollversicherung ist von der Höhe des Erwartungsnutzens abhängig: p EUV D 3:500 D 59;16 p p EU0 D 0;3 w min C 0;7 w 0 p p EU0 D 0;3 1:500 C 0;7 5:000 D 61;12 EUV D 59;16 < EU0 D 61;12 In diesem Fall ist der Erwartungsnutzen bei Abschluss der Vollversicherung kleiner als ohne Versicherungsschutz. Das Individuum agiert aufgrund der Grundsicherung risikofreudig und verzichtet somit auf die Möglichkeit eines Vollversicherungsschutzes. Ohne die Existenz eines Mindestniveaus verändert sich der Erwartungsnutzen für den Fall, dass keine Versicherung nachgefragt wird. Der Erwartungsnutzen lautet dann: p p p EU0 D 0;3 0 C 0;7 w 0 D 0;7 5:000 D 49;5 In dieser Situation ist der Erwartungsnutzen ohne Versicherungsschutz kleiner als der Erwartungsnutzen mit Vollversicherungsschutz (EU0 D 49;5 < EUV D 59;16). Das bedeutet, dass ohne Grundsicherung die Person den Vollversicherungsschutz abschließen würde.
8.2.2 Umlageverfahren a) Der Erwartungsnutzen ergibt sich aus der folgenden Gleichung: EU.w/ D 0;5 .100 10 2 102 / C 0;5 .100 0 2 02 / D 400
8.2 Sozialversicherung
181
Der Erwartungsnutzen des risikoaversen Individuums beträgt in der beschriebenen Situation EU.w/ D 400. b) Ermittlung des Erwartungsnutzens im Risikokollektiv: 1. Beim Zusammenschluss zu einer Risikogemeinschaft können verschiedene Szenarien eintreten. Im Fall n D 2 können beide Personen, eine Person oder keine Person einen Schaden erleiden, wobei der Gesamtschaden gleichmäßig auf die Personen aufgeteilt wird. Die Höhe der Schäden pro Person und die Wahrscheinlichkeiten sind in der nachfolgenden Tabelle abgebildet: Schadenanzahl
2
1
0
Schadenhöhe pro Person in Euro
20.000 2
10.000 2
0
Wahrscheinlichkeit
p p D 0,52
2 p .1 p/
.1 p/ .1 p/
D 2 0,52
D 0,52
Demzufolge beträgt der Erwartungsnutzen eines Individuums: EU.n D 2/ D 0;52 .100 10 2 102 / C 2 0;52 .100 5 2 52 / C 0;52 .100 0 2 02 / EU.n D 2/ D 425 2. Im Fall n D 3 können die in der nachfolgenden Tabelle abgebildeten Szenarien eintreten: Schadenanzahl
3
2
1
0
Schadenshöhe pro Person in Euro
30.000 3
20.000 3
10.000 3
0
Wahrscheinlichkeit
p3 D 0,53
3 p2 .1 p/
3 p .1 p/2
.1 p/3
D 3 0,53
D 3 0,53
D 0,53
EU.n D 3/ D 0;53 .100 10 2 102 / 20 C 3 0;5 100 2 3
3
10 C 3 0;5 100 2 3 3
20 3 10 3
2 ! 2 !
C 0;53 .100 0 2 02 / EU.n D 3/ D 433;33 Zusammenfassend gilt: EU.n D 3/ D 433;33 > EU.n D 2/ D 425 > EU.n D 1/ D 400:
182
8 Staatliche Regulierung und Sozialversicherung
Das heißt, für eine risikoaverse Person erhöht sich der Erwartungsnutzen mit steigender Anzahl an Personen im Risikokollektiv.
8.2.3 Aaron Bedingung a) Ermittlung der internen Verzinsung: Der Beitrag eines Individuums zur Rentenversicherung im Zeitpunkt t beträgt: Tt D w t Die interne Verzinsung ergibt sich allgemein aus: rD
Rt C 1 Tt Tt
Kapitaldeckungsverfahren: Im Rahmen eines Kapitaldeckungsverfahrens erhält ein Individuum die Rente: RtKC 1 D .1 C rK / Tt D .1 C rK / wt Daraus ergibt sich die Rendite rD
RtKC 1 Tt .1 C rK / wt wt D D rK Tt wt
Die Verzinsung entspricht somit exakt dem Kapitalmarktzins. Umlageverfahren: Aufgrund der Annahme eines ausgeglichenen Budgets gilt im Rahmen des Umlageverfahrens, dass die Gesamtauszahlung an Renten den Einzahlungen der arbeitenden Generation entspricht. Im Jahr t C 1 gibt es in der Volkswirtschaft Nt Rentner und Nt C 1 Arbeiter. Die Rentner erhalten die Rente RtUC 1 . Somit gilt in t C 1 die Gleichung: Nt RtUC 1 D Nt C 1 wt C 1 Das heißt, die Gesamtzahlung an die Rentnergeneration (linke Seite) entspricht den gesamten Beitragseinnahmen der Erwerbstätigen. Die individuelle Rente beträgt demzufolge: RtUC 1 D
Nt C 1 wt C 1 Nt N
t C1 Der Quotient N kann aufgrund des Zusammenhangs Nt C 1 D .1 C n/ Nt t folgendermaßen umgeformt werden:
Nt C 1 D .1 C n/ Nt
8.2 Sozialversicherung
183
Die individuelle Rente kann somit zu RtUC 1 D .1 C n/ wt C 1 umgeformt werden. Die interne Verzinsung beträgt demnach: rD
RtUC 1 Tt .1 C n/ wt C 1 wt .1 C n/ wt C 1 D D 1 Tt wt wt w
t C1 kann aufgrund des Zusammenhangs wt C 1 D .1 C g/ wt Der Quotient w t folgendermaßen umgeformt werden:
wt C 1 D .1 C g/ wt Für die interne Verzinsung ergibt sich somit: r D .1 C n/ .1 C g/ 1 bzw. .1 C r/ D .1 C n/ .1 C g/ Das bedeutet, dass die interne Verzinsung im Umlageverfahren sowohl vom Bevölkerungswachstum als auch vom Lohnwachstum abhängig ist. Bei der Entscheidung für eines der beiden Verfahren stellt sich die Frage, welche Verzinsung größer ist: rK Q .1 C n/ .1 C g/ 1
bzw. .1 C rK / Q .1 C n/ .1 C g/
Das Kapitaldeckungsverfahren ist vorteilhaft, wenn der Kapitalmarktzins größer ist als das Produkt aus Lohnwachstum und Bevölkerungswachstum. b) rK D 0;05 ;
n D 0;03 ;
g D 0;02
.1 C 0;05/ Q .1 C 0;03/ .1 C 0;02/ 1;05 < 1;0506 bzw. 5 % < 5;06 % In dieser Situation ist die interne Verzinsung des Umlageverfahrens größer als die interne Verzinsung des Kapitaldeckungsverfahrens. Der Staat sollte somit ein Umlageverfahren einführen.
8.2.4 Bruttolohnanpassung a) Beitragssatz: Aufgrund des ausgeglichenen Budgets und dass sich das Rentenniveau vom Bruttoerwerbseinkommen ergibt, gilt: Ntj t wt D Nta 'tbrutto wt
184
8 Staatliche Regulierung und Sozialversicherung
Umstellen nach t ergibt: t D
Nta j
Nt
'tbrutto D AQt 'tbrutto
Die Veränderung des Beitragssatzes in Abhängigkeit des Altersquotienten ergibt sich durch die Ableitung des Beitragssatzes t nach AQt : @ t D 'tbrutto > 0 @AQt Eine Veränderung des Altersquotienten um eine Einheit verändert den Beitragssatz in der Höhe des relativen Rentenniveaus. b) In dieser Situation ist das Nettoeinkommen für die Ermittlung der Rentenhöhe relevant. Das Nettoeinkommen beträgt .1 t / wt . Daraus ergibt sich für ein ausgeglichenes Budget: j
Nt t wt D Nta 'tnetto .1 t / wt Umstellen nach t ergibt: Ntj t C t N at 'tnetto D Nta 'tnetto t D
j
Nta 'tnetto
Nt C Nta 'tnetto
Erweitern mit t D
j Nt
j
Nt
j
Nt
ergibt
Nta 'tnetto C Nta 'tnetto
j
Nt
j Nt
D
AQt 'tnetto 1 C AQt 'tnetto
Die Veränderung des Beitragssatzes in Abhängigkeit vom Altersquotienten ergibt sich durch die Ableitung des Beitragssatzes t nach AQt : ' netto .1 C AQt 'tnetto / 'tnetto AQt 'tnetto @ t D t @AQt .1 C AQt 'tnetto /2 @ t 'tnetto D >0 @AQt .1 C AQt 'tnetto /2 Die Abhängigkeit des Beitragssatzes vom Altersquotienten ist positiv. Somit führt ein Anstieg von AQ führt zu einer Erhöhung des Beitragssatzes. Da für den Nenner .1 C AQt 'tnetto /2 > 1 gilt, ist der Einfluss des Altersquotienten auf den Beitragssatz im Vergleich zur Bruttolohnanpassung kleiner. Dieser geringere Einfluss ergibt sich daraus, da eine Erhöhung des Beitragssatzes das für die Rente zugrundeliegende Nettoeinkommen reduziert und somit die Last eines gestiegenen Altersquotienten auf die Rentner und die Arbeiter verteilt wird.
8.2 Sozialversicherung
185
8.2.5 Rentenformel Die Monatsrente wird anhand der folgenden Formel berechnet: Monatsrente D persönliche Entgeltpunkte Rentenartfaktor aktueller Rentenwert Persönliche Entgeltpunkte: Persönliche Entgeltpunkte D Summe der Entgeltpunkte Zugangsfaktor mit: n X Entgelt des Versicherten in Periode n Summe der Entgeltpunkte D Durchschnittsentgelt i D1 aller Versicherten in Periode n
Es wird allerdings nur das Entgelt der Versicherten berücksichtigt, welche die Beitragsbemessungsgrenze nicht übersteigen. Für 2011 gelten die jährlichen Beitragsbemessungsgrenzen von 66.000 Euro (West) oder 57.600 Euro (Ost). Für 2009 wurde das Durchschnittsentgelt auf 30.506 Euro festgelegt. Allgemein gilt: Je länger Beiträge gezahlt wurden und je höher das jeweilige Arbeitseinkommen war, desto höher fällt die monatliche Rente aus (Berücksichtigung des individuellen Äquivalenzprinzips). Je höher c. p. das Einkommen aller anderen im aktiven Erwerbsleben stehenden Versicherten ist, desto niedriger ist die individuelle Rente. Der Zugangsfaktor beträgt 1,0 („Normalrente“), wenn eine Rente erst mit dem Erreichen eines bestimmten Lebensalters beansprucht wird (65 Jahre in 2011, ab 2012 schrittweise Anhebung auf 67 Jahre). Dieser verringert sich pro Monat im Falle eines verfrühten Renteneintritts um 0,003 und erhöht sich pro Monat im Falle eines späteren Renteneintritts um 0,005. Rentenartfakor: Für die Ermittlung der Monatsrente ist ebenfalls die Art der Rente wichtig. Bspw. werden die folgenden Rentenartfaktoren bei der Berechnung berücksichtigt: • • • •
Rente wegen Alters: 1,0 Rente wegen voller Erwerbsminderung: 1,0 Vollwaisenrente: 0,2 Halbwaisenrente: 0,1
186
8 Staatliche Regulierung und Sozialversicherung
Aktueller Rentenwert: Der aktuelle Rentenwert ergibt sich aus der „Rentenanpassungsformel“, der einer monatlichen Rente aus den Beiträgen eines Durchschnittsverdienenden für ein Jahr entspricht. BEt 1 100 AVAt 1 RVBt 1 RQt 1 1 ˛C1 aRt D aRt 1 BEt 2 100 AVAt 2 RVBt 2 RQt 2 „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … Lohnfaktor
Beitragssatzfaktor .Riesterfaktor/
Nachhaltigkeitsfaktor
mit: aRt D Rentenwert des Jahres t BEt D Durchschnittliches Bruttoentgelt im Jahr t AVAt D Altersvorsorgeanteil im Jahr t („Riester-Treppe“) RVBt D Rentenversicherungsbeitragssatz im Jahr t RQt D Rentnerquotient des Jahres t Zahl der (Äquivalenz-)Rentner Zahl der (Äquivalenz-)Beitragszahler Gesamtrentenvolumen .Äquivalenzrentner D I Standardrente (Eckrente) Gesamtbeitragsvolumen / Äquivalenzbeitragszahler D Durchschnittsentgeld ˛ D Gewichtungsfaktor D
Lohnfaktor: Der Lohnfaktor hat den Zweck einer Kopplung der Rentenentwicklung an die Lohnentwicklung. Damit soll gewährleistet werden, dass ein steigendes Bruttoentgelt zu einer Rentenerhöhung führt und umgekehrt. Beitragssatzfaktor („Riesterfaktor“): Der Beitragssatzfaktor hat zum einen den Zweck einer Reduzierung der gesetzlichen Rente um das Niveau der durchschnittlichen privaten Vorsorge („Riester-Rente“) und zum anderen die Senkung der gesetzlichen Rente bei steigenden Beitragssätzen. Damit wird die Belastung der Erwerbstätigen durch verstärkte private Altersvorsorge und erhöhte Beiträge zur gesetzlichen Rentenversicherung bei der Ermittlung des Rentenwertes berücksichtigt. Das heißt, eine höhere Belastung durch private Altersvorsorgeanteile oder Beitragssätze führt c. p. zu einem reduzierten Rentenwert und umgekehrt.
8.2 Sozialversicherung
187
Nachhaltigkeitsfaktor: Der Nachhaltigkeitsfaktor hat den Zweck einer Kopplung der Rentenentwicklung an die demografische Entwicklung. Damit sollen die Lasten der demografischen Entwicklung auf Erwerbstätige und Rentner verteilt werden. Das heißt, eine höhere Anzahl an Rentnern im Vergleich zur Anzahl der Beitragszahler führt zu einem größeren Rentnerquotienten und somit c. p. zu einer geringeren Rentenanpassung und umgekehrt. Der Faktor ˛ gewichtet die Lastverteilung der demografischen Entwicklung zwischen Rentnern und Beitragszahlern. Für ˛ D 0 gilt, dass ein steigender Rentnerquotient vollständig von den Beitragszahlern getragen wird. Für ˛ D 1 wird ein steigender Rentnerquotient vollständig von den Rentnern getragen. Bei allen Anpassungen muss jedoch die gesetzlich festgelegte Schutzklausel berücksichtigt werden, die eine Reduzierung des Rentenwerts verhindert. Eine eventuell ausgebliebene Reduzierung des Rentenwertes wird dann mit zukünftigen Erhöhungen des Rentenwertes verrechnet.
8.2.6 Rentenkalkulation I a) Ermittlung der Monatsrente: Die persönlichen Entgeltpunkte ergeben sich aus: Zugangsfaktor Summe der Entgeltpunkte D .1 .67 64/ 12 0;003/
40 X 45:000 30:000
i D1
45:000 D 53;52 D 0;892 40 30:000 Da der Absolvent 3 Jahre bzw. 36 Monate früher in Rente geht, reduziert sich der Zugangsfaktor um 36 0;003. Die Monatsrente ergibt sich jetzt aus: Monatsrente D persönliche Entgeltpunkte Rentenartfaktor aktueller Rentenwert Monatsrente D 53;52 1 30 D 1:605;60 Die zu erwartende monatliche Rente beträgt 1.605,30 Euro. b) Ermittlung des aktuellen Rentenwerts: Die Formel für den aktuellen Rentenwert lautet: BEt 1 100 AVAt 1 RVBt 1 RQt 1 aRt D aRt 1 1 ˛ C1 BEt 2 100 AVAt 2 RVBt 2 RQt 2
188
8 Staatliche Regulierung und Sozialversicherung
Daraus ergibt sich für die angegebenen Daten der folgende Rentenwert: 0;7 0;25 C 1 D 20 aRt D 30 1 1 1 0;3 Die zu erwartende Monatsrente beträgt somit: Monatsrente D 53;52 1 20 D 1:070;40 Aufgrund des im Vergleich zu a) geringeren aktuellen Rentenwertes beträgt die zu erwartende monatliche Rente 1.070,40 Euro.
8.2.7 Rentenkalkulation II a) Die persönlichen Entgeltpunkte betragen: 40 X 25:000 25:000 D 0;964 40 D 32;13 .1 .67 66/ 12 0;003/ 30:000 30:000 i D1
Der aktuelle Rentenwert ist: 30:000 0;5 0;5 C 1 D 45;94 1 1 aRt D 35 20:000 0;4 Die Monatsrente beträgt somit: Monatsrente D 32;13 1 45;94 D 1:476;05 Die zu erwartende monatliche Rente beträgt 1.476,05 Euro. b) Ermittlung des aktuellen Rentenwerts: 22:000 0;8 aRt D 35 0;5 C 1 D 19;25 1 1 20:000 0;4 Die Schutzklausel verhindert die Reduzierung des aktuellen Rentenwertes von 35 auf 19,25, weshalb der vorherige Rentenwert fortzuführen ist. Die Monatsrente beträgt somit: Monatsrente D 32;13 1 35 D 1:124;55 Die zu erwartende monatliche Rente beträgt 1.124,55 Euro. c) Ermittlung des aktuellen Rentenwerts: 30:000 100 5 25 0;5 aRt D 35 0;5 C 1 D 41;23 1 20:000 100 2 20 0;4 Die zu erwartende Monatsrente beträgt somit: Monatsrente D 32;13 1 41;23 D 1:324;72 Die zu erwartende monatliche Rente beträgt 1.324,72 Euro.
Anhang A
Die nachfolgenden Sterbetafeln enthalten die von der Deutschen Aktuarvereinigung (DAV) zur Verfügung gestellten Sterbewahrscheinlichkeiten q.x/ für eine Versicherung auf den Todesfall. Der zugrundeliegende Kalkulationszinssatz r beträgt 2,25%. dx D qx lx l x C 1 D l x dx Dx D lx v x C x D dx v x C 1 Mx D
100 x X
Cx C n
nD0
Nx D
100 x X
Dx C n
nD0
v x D .1 C r/x DAV-Sterbetafel 2008 T für Männer x
qx
lx
dx
Dx
Nx
Mx
0
0,006113
1.000.000
6.113
1.000.000
5.978
Cx
36.300.562
201.210
1
0,000423
993.887
420
972.017
402
35.300.562
195.232
2
0,000343
993.467
341
950.225
319
34.328.546
194.830
3
0,000275
993.126
273
928.997
250
33.378.320
194.511
4
0,000220
992.853
218
908.305
195
32.449.323
194.261
5
0,000182
992.634
181
888.122
158
31.541.019
194.065
6
0,000155
992.454
154
868.421
132
30.652.896
193.907
7
0,000139
992.300
138
849.180
115
29.784.475
193.776
8
0,000129
992.162
128
830.378
105
28.935.296
193.660
9
0,000125
992.034
124
812.001
99
28.104.917
193.556
10
0,000129
991.910
128
794.034
100
27.292.916
193.456
11
0,000143
991.782
142
776.461
109
26.498.882
193.356
12
0,000173
991.640
172
759.267
128
25.722.421
193.248
J.-M. Graf von der Schulenburg, A. Zuchandke, Übungen zur Versicherungsökonomik. DOI 10.1007/978-3-642-20578-1, © Springer 2011
189
190 x
Anhang A Nx
Mx
13
0,000222
qx
991.469
lx
dx 220
742.431
Dx
Cx 161
24.963.155
193.119
14
0,000303
991.248
300
725.932
215
24.220.724
192.958
15
0,000417
990.948
413
709.743
289
23.494.792
192.743
16
0,000557
990.535
552
693.836
378
22.785.049
192.453
17
0,000709
989.983
702
678.190
470
22.091.213
192.075
18
0,000850
989.281
841
662.796
551
21.413.023
191.605
19
0,000953
988.440
942
647.661
604
20.750.227
191.054
20
0,001012
987.498
999
632.805
626
20.102.566
190.450
21
0,001022
986.499
1.008
618.254
618
19.469.761
189.824
22
0,001004
985.491
989
604.032
593
18.851.507
189.206
23
0,000963
984.501
948
590.147
556
18.247.475
188.613
24
0,000911
983.553
896
576.605
514
17.657.328
188.057
25
0,000856
982.657
841
563.403
472
17.080.724
187.544
26
0,000808
981.816
793
550.534
435
16.517.320
187.072
27
0,000772
981.023
757
537.984
406
15.966.787
186.637
28
0,000752
980.265
737
525.740
387
15.428.803
186.231
29
0,000745
979.528
730
513.784
374
14.903.063
185.844
30
0,000752
978.799
736
502.104
369
14.389.278
185.470
31
0,000768
978.063
751
490.686
369
13.887.174
185.100
32
0,000791
977.311
773
479.520
371
13.396.488
184.732
33
0,000820
976.538
801
468.597
376
12.916.968
184.361
34
0,000855
975.738
834
457.910
383
12.448.371
183.985
35
0,000895
974.903
873
447.451
392
11.990.461
183.602
36
0,000945
974.031
920
437.213
404
11.543.010
183.211
37
0,001005
973.110
978
427.188
420
11.105.796
182.806
38
0,001083
972.132
1.053
417.368
442
10.678.608
182.387
39
0,001181
971.079
1.147
407.742
471
10.261.240
181.945
40
0,001301
969.933
1.262
398.299
507
9.853.498
181.474
41
0,001447
968.671
1.402
389.027
551
9.455.199
180.967
42
0,001623
967.269
1.570
379.916
603
9.066.172
180.416
43
0,001833
965.699
1.770
370.953
665
8.686.255
179.813
44
0,002082
963.929
2.007
362.126
737
8.315.302
179.148
45
0,002364
961.922
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353.420
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0,004974
941.643
4.684
259.068
1.260
4.791.820
153.625
59
0,005402
936.960
5.061
252.107
1.332
4.532.752
152.364
60
0,005884
931.898
5.483
245.228
1.411
4.280.645
151.033
61
0,006449
926.415
5.974
238.420
1.504
4.035.417
149.621
62
0,007126
920.441
6.559
231.670
1.615
3.796.997
148.118
63
0,007935
913.881
7.252
224.958
1.746
3.565.327
146.503
64
0,008898
906.630
8.067
218.262
1.899
3.340.369
144.757
65
0,010025
898.563
9.008
211.560
2.074
3.122.107
142.858
66
0,011323
889.555
10.072
204.830
2.268
2.910.548
140.784
67
0,012797
879.482
11.255
198.055
2.479
2.705.718
138.516
68
0,014460
868.227
12.555
191.218
2.704
2.507.663
136.037
69
0,016332
855.673
13.975
184.306
2.944
2.316.445
133.333
70
0,018440
841.698
15.521
177.306
3.198
2.132.140
130.389
71
0,020813
826.177
17.195
170.207
3.465
1.954.833
127.191
72
0,023475
808.982
18.991
162.997
3.742
1.784.626
123.727
73
0,027035
789.991
21.357
155.668
4.116
1.621.629
119.984
74
0,030413
768.634
23.376
148.127
4.406
1.465.961
115.869
75
0,034287
745.257
25.553
140.462
4.710
1.317.834
111.463
194 x
Anhang A qx
lx
Dx
Cx
Nx
76
0,038749
719.704
27.888
dx
132.661
5.027
1.177.372
106.753
Mx
77
0,043937
691.817
30.396
124.714
5.359
1.044.712
101.725
78
0,049993
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33.066
116.611
5.701
919.998
96.366
79
0,057024
628.354
35.831
108.343
6.042
803.387
90.665
80
0,065113
592.523
38.581
99.917
6.363
695.043
84.623
81
0,074288
553.942
41.151
91.356
6.637
595.126
78.260
82
0,084590
512.791
43.377
82.708
6.842
503.771
71.623
83
0,096095
469.414
45.108
74.046
6.959
421.063
64.780
84
0,109028
424.305
46.261
65.458
6.980
347.017
57.821
85
0,123611
378.044
46.730
57.038
6.895
281.559
50.842
86
0,140022
331.314
46.391
48.887
6.695
224.522
43.947
87
0,158257
284.922
45.091
41.117
6.364
175.635
37.252
88
0,178185
239.832
42.734
33.848
5.899
134.518
30.888
89
0,199669
197.097
39.354
27.205
5.312
100.670
24.990
90
0,222504
157.743
35.098
21.294
4.634
73.465
19.677
91
0,246453
122.645
30.226
16.191
3.903
52.171
15.043
92
0,271195
92.418
25.063
11.933
3.165
35.980
11.141
93
0,295584
67.355
19.909
8.505
2.459
24.047
7.976
94
0,319362
47.446
15.152
5.859
1.830
15.542
5.517
95
0,343441
32.294
11.091
3.900
1.310
9.683
3.687
96
0,367818
21.203
7.799
2.504
901
5.783
2.377
97
0,392493
13.404
5.261
1.548
594
3.278
1.476
98
0,417460
8.143
3.399
920
376
1.730
882
99
0,442716
4.744
2.100
524
227
810
506
100
1
2.644
2.644
286
279
286
279
Anhang B
Tabelle zur Standard-Normalverteilung z
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0
0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
0,1
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0,2
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0,3
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0,4
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0,5
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0,6
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0,7
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0,8
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0,9
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1,0
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1,1
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1,2
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1,3
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1,4
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1,5
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1,6
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1,7
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1,8
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1,9
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2,0
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2,1
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2,3
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2,5
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2,6
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2,8
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2,9
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J.-M. Graf von der Schulenburg, A. Zuchandke, Übungen zur Versicherungsökonomik. DOI 10.1007/978-3-642-20578-1, © Springer 2011
195
196
Anhang B
Tabelle zur Poisson-Verteilung
0
1
0.02
0.9802
0.9998
2 1
3 1
4 1
5 1
0.06
0.9418
0.9983
1
1
1
1
0.10
0.9048
0.9953
0.9998
1
1
1
0.20
0.8187
0.9825
0.9989
0.9999
1
1
0.30
0.7408
0.9631
0.9964
0.9997
1
1
0.40
0.6703
0.9384
0.9921
0.9992
0.9999
1
0.50
0.6065
0.9098
0.9856
0.9982
0.9998
1
0.60
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0.9966
0.9996
1
0.70
0.4966
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0.9942
0.9992
0.9999
0.80
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0.9986
0.9998
0.90
0.4066
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0.9997
1.00
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0.9197
0.9810
0.9963
0.9994
1.10
0.3329
0.6990
0.9004
0.9743
0.9946
0.9990
1.20
0.3012
0.6626
0.8795
0.9662
0.9923
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1.30
0.2725
0.6268
0.8571
0.9569
0.9893
0.9978
1.40
0.2466
0.5918
0.8335
0.9463
0.9857
0.9968
1.50
0.2231
0.5578
0.8088
0.9344
0.9814
0.9955
1.60
0.2019
0.5249
0.7834
0.9212
0.9763
0.9940
1.70
0.1827
0.4932
0.7572
0.9068
0.9704
0.9920
1.80
0.1653
0.4628
0.7306
0.8913
0.9636
0.9896
1.90
0.1496
0.4337
0.7037
0.8747
0.9559
0.9868
2.00
0.1353
0.4060
0.6767
0.8571
0.9473
0.9834
3.00
0.0498
0.1991
0.4232
0.6472
0.8153
0.9161
4.00
0.0183
0.0916
0.2381
0.4335
0.6288
0.7851
