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EJEMPLO. Consideremos la función real definida por l,ipe 0, 0 < 0 < TT, 0 < ^ < 2 T T (véase la figura 5.17.) La matriz Jacobiana para cada punto (r, ?, 0) C M3 es calculada por eos tpsenO r eos íp eos 0 A = ( sen <¿? sen 0 r sen ? eos 9 eos 0 —rsen# sen#, 0) fe = (r eos (/? eos #, rsen(p eos 0, — rsen#) Al calcular las normas se tiene
donde < p,p > se define por la primer expresión en la cadena de igualdades. Aquí hacemos la primer distinción entre los puntos y los vectores. Más que definir la operación < , > para puntos, es más conveniente definirla para vectores, con motivo de las aplicaciones. DEFINICIÓN. Dados los vectores £ = (£\£ 2 ,£ 3 ), rj = (r?\VW) en el espacio cartesiano R3, se define el producto escalar de ellos, definido por < £,77 >, como el número real (escalar)
Observemos que el producto escalar es una operación ejercida sobre una pareja de vectores y su valor es un número real. EJEMPLO. Si 6 = (-1,0,3) y £2 = (£,>/2,4) en R3, se tiene que su producto escalar es
=< (-1,0,3), (j¿,y/2,4) >= (-1) Q
EJEMPLO. Dados los vectores £1 = (4, -1) y £2 = (1,4) se tiene que su producto escalar en el plano, está dado por < 6 , 6 >=< (4, -1), (1,4) >= (4)(1) + (-1)(4) - 4 - 4 = 0 El producto escalar definirá una norma en virtud del siguiente Lema. 1
En algunos textos clásicos la notación utilizada para el producto escalar es mediante un punto •, corno se indica < {,,1 > =
^••n
que hace que también se le llame producto punto. Nosotros utilizaremos en este trabajo la notación < , > para efectuar las operaciones que lo requieran.
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Vectores en R2 y R3
74
LEMA 2.2 Dados los vectores £,77, £1,^2 en el espacio Cartesiano R 3 , y los números reales Ai, A2 son justas las fórmulas a. < f, 77 > = < 77, £ > b . < ATfi + A2f2> r; > = Ai < £1, 77 > +A2 < £2,77 > c. < £ , £ > > 0 para ¿ocio £. De hecho, < £, £ > = 0 si y sólo si, £ = 0. <] a. Ya que £ = ( £ \ f 2 , f 3 ) , T? = (r/1, ?72, // 3 ), entonces
b. Si 6 = (£U!,£33U2 = féUf-í3), entonces
= Ai < (Cí,£?,£?), foV,»/3) > +A2 < (^,í22,^3),('?1,r,2,r?3) > = Ai < ^i,r/ > +A2 < £2,f7 > c. Por un cálculo directo,
< Í¿ >=< (t\e,e), (e,e,ñ >= (e1)2 + (ñ2 + (ñ2 > o De hecho, Oí1)2 + (e2)2 + (£3)2 = 0 <=» í 1 = í 2 = í 3 = 0. O Sea £ € R 3 , y considérese el conjunto de vectores en R 3 , ei = ( 1 , 0 , 0 ) e2 = (0,1,0) e 3 = (0,0,1) 2
3
O Si ^ = (^,^ ,^ ) es un vector arbitrario, al calcular el producto escalar de £ con cada uno de estos vectores se tiene que
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2.2 El producto escalar y la norma en R3
75
es decir, obtenemos las coordenadas de £. [> En general, si £ = (£*,£2, • • • £ n ) es un vector en R n , y lo definimos por et = (0,0,«-• ,1,0,0) al vector con 1 en la z-ésima coordenada y con las demás coordenadas nulas, se obtiene que lo que nos da la z-ésima coordenada de £. De esta forma £ en R3 se puede escribir como
£ = ^(i,o,o) + £2(o,i,o) + ^3(o, 0,1) = ( e 1 , ^ 3 ) es decir, donde los vectores eL son como se definieron. EJEMPLOS. a. El vector £i = ( — 1,4, —2) se puede escribir en términos de los vectores ei, e-2, e3 como, d = ( - 1 , 4 , - 2 ) = (-1,0,0) 4- (0,4,0) + (0,0,-2) = -1(1,0,0)+4(0,1,0) -2(0,0,1) = - l e í + 4e2 - 2e3 b. El vector £2 = (2,0,3) se escribe como £2 = 2ex + 0e2 + 3e3 = 2ex + 3e3 > Los vectores ei,e 2 ,e 3 definidos de esta forma son llamados vectores canónicos y satisfacen: a. En producto escalar de un vector canónico consigo mismo es la unidad, < ei,ei > = 1, < e 2 ,e 2 > = 1, < e 3 ,e 3 > = 1 b. El producto escalar entre dos de ellos diferentes es cero, < ei,e 2 > = < (1,0,0), (0,1,0) > = 0, < e i , e 3 > = 0 ,
<e2,e3>=0
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Vectores en R2 y R3
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El conjunto de vectores {ei, e2, 63} se dice ser la base canónica de R3. Dos vectores £, 7/ tales que < £, 77 >= 0 se llamarán ortogonales. Más adelante explicaremos el por qué de esta definición. EJEMPLO. a. Los vectores £ = ( - 1 , 1 , 2) y 77 = (2, 2, 0) son ortogonales debido a que < £,77 > = < (-1,1,2), (2,2,0) > = - 2 + 2 + 0 - 0 . b . Los vectores £ = (1,-1,3) y r\ = (1,-1,1) no son ortogonales debido a que < f,77> = < (1,-1,3), (1,-1,1) > = 1 + 1 + 3 = 5 ^ 0 c. Si £ = (£ x ,f 2 ) es un vector plano (en R~), es fácil construir un vector ortogonal a £, si se cambia el orden de las coordenadas y el signo de una de ellas: •/? = ( - í 2 ^ 1 ) -
<
< £,7? >=< (eu 2 ), (-í 2 ^ 1 ) >= - ^ c 2 + É V = 0.
Para muestra, si £ = (1, 2), entonces r¡ = ( — 2,1) es ortogonal a £. > En virtud del Lema 2.3 se pueden definir los conceptos de distancia entre dos puntos, norma del vector, y ángulo entre dos vectores. DEFINICIÓN. Definimos la norma del vector f = (f\£ 2 ,£ 3 ), conocida por ||£||, como
EJEMPLO. Dados los vectores £x = (-1,0,3) y £> = ( ^ , ^ , 4 ) , se calculan sus normas por
73
v/73
No es difícil comprobar que se cumplen las siguientes propiedades de la. norma.
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2.2 El producto escalar y la norma en
77
LEMA 2.3 Para los vectores £,77 G R 3 1/ los escalares /i, A G R se cumple que
a- ||Ae|| = |A|||e|| b. Sz < £,77 > = 0 entonces
||£ -f /?|| = ||£ — T/||- ^
tal caso, los vectores £
y i) se llamarán ortogonales o perpendiculares. c. Si £ y rj son perpendiculares, entonces es justo El teorema de Pitágoras (véase la figura 2.5 a.)
d. Se cumple la igualdad de Schwarz
e. Se cumple la desigualdad triangular
y la igualdad es válida si £ yrj son múltiplos por escalares (véase la figura 2.5 b.).
a. Figura 2.5: a. Teorema de Pitágoras b. Desigualdad del Triángulo. Demostramos algunos incisos de este Lema. a.
b.
=< * + n-* + n >=
+2
v, v
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Vectores en R 2 y R¿
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=< £, £ > + < r/, r] >=< f, £ > - 2 < f, 77 > + < 77, 77 >
c. Ya se comprobó en b . con las primeras tres igualdades, bajo el supuesto que < £,77 > = 0. d. Se deja como ejercicio. e. Por el inciso d., aplicado en la segunda desigualdad siguiente
| | í + r,\\2 = < £ , £ > + 2 < Z,ri > + < V , v > = \\Z\\2 + 2 < S , v > < m\2 +2\<S,r,>\
2
+ |M| 2 < Híll2 + 2||e|||M| + INI 2
se cumple que lo que implica nuestra afirmación. > EJEMPLO. Sean los vectores £ = (-1,1,0), r¡ = (2,2,1). Entonces son perpendiculares pues < £, r] >= 0 y se verifica que
es decir, se cumple el inciso a. del Lema 2.4,
Por otro lado, ||£|| 2 = 2, \\rj\\2 = 9, lo que verifica que se cumple El teorema de Pitágoras,
EJEMPLO. Sean los vectores £ = (-1,1,1) y r¡ = (2, - 2 , 1 ) , entonces
lo que indica que se cumple la desigualdad del triángulo para estos vectores,
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2.2 El producto escalar y la norma en R3
79
Un vector £ £ IR tal que ||£|| = 1 se llamará vector unitario. Así pues, dado el vector 77 6 E 3 que no sea nulo, se garantiza la construcción del vector unitario >
I I „! I
lo cual se verifica directamente, " "
- "-" = 1
>
EJEMPLO. Para el vector rj = (1,4, -3) se tiene que ||r/|| = >/26, con lo que se construye el vector unitario ,
=
(1,4,-3) v/26
=
/ 1 4_ - 3 \ V V ^ ' \/26' '
Ahora pasamos a definir la distancia entre los puntos arbitrarios del espacio, como la norma del vector localizado entre ellos. S e a n d a d o s d o s p u n t o s p = (£1,2/1,21), q = (£2? 2/21^2) e n el e s p a c i o
cartesiano, se define la distancia i entre los puntos mencionados, como la norma del vector £ = p — q, es decir,
= < (xi - x2, V\ - 2/2, ¿1 ~ 2 2 ), {xi - :r 2 , 2/1 - 2/2, *i - 22) >
= {xi - x2)2 + (y! - 2/2)2 + (^i - z 2 ) 2 EJEMPLO. Sean los puntos p = (1,2,3) y q = ( - 2 , - 1 , 0 ) entonces la distancia entre los puntos p y q se calcula por la norma del vector £ = P-
de donde, ¿ = \/27 Sean ahora dos vectores, £ vector unitario y 77 un vector arbitrario. Buscamos un vector £ en la dirección de £ tal que sea la proyección ortogonal de r¡ en £, es decir, el vector r/ - ( sea ortogonal al vector £ como lo muestra la figura 2.6. < Ya que r¡ - ( se busca ortogonal a £, se deberá satisfacer que <
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Vectores en R 2 y R 3
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Por otro lado, si £ está en la dirección de £, entonces es suficiente con encontrar un escalar A tal que £ = A£. Al sustituir en la ecuación de ortogonalidad se tiene que
0 = < V ~ C,£ > = < V ~ A£,£ > = < r/,e > - A < £,£ > en virtud de que £ es unitario y por lo tanto ||£|j = 1. Esto implica que A = < 77, £ > = < £, 77 >, y que entonces C=
>
Así, dados los vectores £ unitario y 77 arbitrario, podemos definir la proyección ortogonal del vector 77 en el vector unitario £ como el vector
C =<£,»?>£ que es un vector que está en la misma dirección que £ (véase la figura 2.6).
Figura 2.6: Proyección de un vector. EJEMPLO. Realizamos la proyección del vector 77 = ( —1,1,1) en el vector £-(2,-1,5). <] Ya que £ no es unitario, lo normalizamos mediante la división por su norma £ (2,-1,5) / 2 -1 5 /30' v/30' \/30 De esta manera, el vector buscado es
= ¿ < (2,-1,5), (-1,1.1) > (2,-1,5) = ¿(2,-1,5)= ( 1 , El cálculo en este ejemplo prueba el siguiente corolario.
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2.2 El producto escalar y la norma en R3
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COROLARIO 2.1 La proyección del vector r¡ arbitrario en el vector no nulo £, llamado £, se calcula por la fórmula
En muchas ocasiones, cuando no haya confusión, entenderemos no al vector £ obtenido, sino al escalar (factor de £) < g, V > como la proyección mencionada. De la figura 2.6 se tiene que si £, r\ son vectores arbitrarios y £ es la proyección de rj en £ entonces al considerar el ángulo 9 entre los vectores £ y n se tiene que \ Si se sustituye el valor de C = "ff¿n f £ se tiene entonces que
cos9
- LlM
IHIII4II2
ll?ll
cuando consideremos a ^ G [O,TT]. Esto demuestra el siguiente Lema. LEMA 2.4 Si £ = (f 1 ,^ 2 ,^ 3 ), V = (771, r72, /73) son dos vectores en R3, formando un ángulo 9 entre ellos, se define éste ángulo por la igualdad ,3
=
donde 0 < 9 < n. En otras palabras el producto escalar de los vectores £ y r\ se puede escribir como
EJEMPLO. Si los vectores £ y 77 cumplen que < £, 77 > = 0, sabiendo que ambos son no nulos, entonces
lo que implica que cos# — 0, y consecuentemente 9 — TT/2. Esto justifica
su nombre de vectores ortogonales.
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Vectores en IR2 y R:
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EJEMPLO. Sean los vectores £ = (2, - 1 , 1 ) y r\ = (3, - 4 , - 4 ) , entonces < £,T) >= 6 + 4 - 4 = 6 y las normas son ||£|| = \/6 y \\r¡\\ = \/41 <3 Por lo tanto, el ángulo formado por £ y 77 es
/£,y
6
= are eos x, ( ,,,,, ,, ,, ) = arceos
[
= are COSA/—. O Vov41 V 41
Como última observación de esta sección tenemos que de las relaciones
podemos decir que
IKIIIMI
<1
lo que nos lleva a verificar la desigualdad de Schwarz
< IKI enunciada en el inciso d. del Lema 2.3.
2.3
El producto vectorial
Definimos ahora el producto vectorial en el espacio R 3 . DEFINICIÓN. Sean £ = ( É 1 , ^ 3 ) , rj = faW,^3) dos vectores en R 3 . Se define el producto vectorial de £ con 77 definido por [£,77], como el vector en R 3 con coordenadas
en la base canónica ordenada {ei,e 2 ,e 3 }. 2 Una forma de recordar las coordenadas del vector [£,77] e s a través de la siguiente cadena convencional de igualdades
2
En algunos textos utilizan otra notación para asegurar la operación del producto vectorial, por ejemplo: x y A. Para ejemplificar [£,??] = É x r) = £ A rj Nosotros utilizaremos la notación [, ] donde se requiera efectuar la operación del producto vectorial.
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2.3 El producto vectorial -
l]2t; 3 ) < - i
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- (O/
- £2"
'2 + (í el
c*
7/1
y/'
e1
el
n
<-:Í
donde el determinante último se calcula mediante la expresión penúltima. EJEMPLO. Dados los vectores £ = (1, -1,1) y // = (-2, 3,1) se tiene que e\
C'i
e-¿
1 -2
-1 3
1 1
-1 3
= e\
1 1
1 -2
i
1 + t".\
-2
-1 3
= ei(-4) -e 2 (3) + ^ ( l ) = (-1,-3,1) = (1,1,3),// = (2,2,6) obtenemos <
EJEMPLO. Para los vectores vector 1 2
1 2
3 6
1 3 2 6
ti
— (i 2
1 3 2 6
+ f*
1 1 1 1
-ft:*(0) = (0,0,0)
En este último ejemplo no es extraño tener el resultado vector (0,0.0). debido a que los vectores £ y // dados son paralelos, es decir, £ es un múltiplo escalar de //, de hecho, f = \q. De manera general, dados dos vectores paralelos £ y //, su producto vectorial es nulo.
¡1 rf 1
= A(0,0,0) - (0,0,0). >
o
La recíproca de esta afirmación, que toda pareja de vectores cuyo producto vectorial se anula es una pareja de vectores paralelos, es también cierta y es consecuencia del inciso f. del Lema 2.5. Observamos que el producto vectorial [, ] está definido en parejas de vectores en R3 y su valor es otro vector en R1*. Mostramos ahora las propiedades del producto vectorial [, ] de dos vectores espaciales. DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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Vectores en R2 y„ TCP 3
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L E M A 2.5 Dados los vectores £,//, C en W tiene
y los escalares X, // e R se
a.
[£, //]
es ortogonal a £ y i) :
< [£, //], £ > = 0
y
< [£,//],// > = 0
h.
[£,//] = —['/,£],
A^,//] = [í* A//] = A[^, //]
(anticonmutatividad)
(conmutatwidad respecto a escalar).
d.
(distribuüvidad)
, A// -f //(,"] = A[í, //] e.
f.
— I lili
^
donde 0 es el ángulo entre £, y
[£« ['/- C]] + [C [C //]] + [^/, [C, i]] = 0
(Igualdad de Jacobi)
<\ Hacemos las pruebas apenas de algunos incisos de este Lema, a. Si £ = (S 1 ,^ 2 ,S : *), // = {tj\rf<>ñ
entonces
Si escogemos, por ejemplo a £, obtenemos
b. Por la propiedad de cambiar el signo a un determinante, si se permutan dos renglones se tiene e>2
e e? =ee ^ T)1
if
I?
eo 2
1
e e en
d. El corolario 1.7 prueba la distribución mediante la cadena de igualdades: eo
+ /iC2
A//3 +
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2.3 El producto vectorial c\
85 ('i
~A
i¡2
('.•>
(•:<,
e e e! c ec
rf
Los demás incisos se comprueban de manera similar. D> De la propiedad f. del Lema 2.5, se tiene que si dos vectores no nulos £, r¡ satisfacen que su producto vectorial es el vector cero, entonces
0 = 11(0,0,0)11 = ||fc,7/]|| = IKHIM|s<.n0, lo que implicaría que el ángulo 0 formado por ellos satisface que sen# — 0 o bien 0 = ir. Esto es, los vectores son paralelos. Por esto es que podemos definir a un par de vectores como paralelos, si su producto vectorial se anula. EJEMPLO. Sean los vectores £ = (1, - 1 , 2 ) y /; = (0, 1,3), entonces, por el inciso a. del Lema 2.5 el vector [£,//] es ortogonal tanto a £ como a, //. Esto es, e\
<
C=
e<2
e-¿
0 - 1 2 0 1 3
= (-3
-
es ortogonal a £ y a q. D> Si se consideran dos vectores arbitrarios £, // en R'\ estos generan un paralelogramo R como lo muestra la figura 2.7
Figura 2.7: Área de un paralelogramo. Tal paralelogramo R tiene una base ||£|| y altura ||//|| sen#, donde 0 es el ángulo entre £ y q. De esta manera, el área del paralelogramo es calculado por Área (R) = (base x altura) = ||£|| ||/;|| sen9 con lo que tal área se calcula según el inciso f. del Lema 2.5 mediante las igualdades Área (R) = ||£|| ||r/|| s e n # = ||[£, r/]||
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Vectores en R2 y
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EJEMPLO. Calcular el área del paralelogramo generado por los vectores £ = (7.8.9) y,, = (-3,5,2). <\ Primeramente calculamos el vector [£,//],
;•'/] =
('I
C'2 <'\\
7 -3
8 9 5 2
8 5
9 2
7 **
ó
9 2
7
8 5
= r^-29) - c 2 (il) + ^(59) - (-29,-41,59). y después el área del paralelogramo Área = ||[£, /,]|| = v/(-29) 2 + (-11) 2 + (59)2 = V6003 >
Figura 2.8: Momento de acción de £ en // Por otro lado, el producto vectorial puede ser considerado mecánicamente como el momento de acción del vector £ en el punto p que tiene asociado el vector de posición i] (véase lafigura2.8).
2.4
El triple producto escalar y bases de R3
Ahora, definimos el producto mixto o triple producto escalar de tres vectores ordenados. DEFINICIÓN. Dados los vectores £, //, C en E 3 se define el producto mixto o triple producto escalar de ellos al número real definido por (£, *7, 0 Ye n e s e orden, como &•'/, 0 =<[£•»/]. C> Obtenemos el siguiente resultado, útil para problemas prácticos.
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2.4 El triple producto escalar y bases de
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LEMA 2.6 Dados los vectores espaciales £ = ( £ \ £ 2 , £ 3 ) , r\ — (771,77a, 77a) VC=(C\C2X3) se tiene a. El producto mixto de £,rj y £ en coordenadas se calcula por
e e e e e c3 b . £/ producto mixto no cambia si se hacen las permutaciones circulares, es decir,
c. El producto mixto es anticonmutativo al transponer dos vectores, por ejemplo, (É.'j.C) = -(»?,£, 0 d- (£, ^7, C) — 0 si y sólo sí, los tres vectores están contenidos en un mismo plano. e. El volumen V del paralelepípedo tendido sobre £,rj y £ se calcula por
O Ya que (£,//, C) = < [£,??], C >, entonces, e2
v2
-e2
e e
e -c2
e3
+ e3
V2
f3
AC,
nl
n2
c1 c 2 c 3 e e e 41 í 2 £ 3 c1 c 2 c 3 1 2 3 í/ 1
7] a.rj lo que demuestra el punto
7/ 2
77á
r¡
Los puntos b. y e . tienen pruebas análogas utilizando las propiedades de los determinantes.
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Vectores en R2 y
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Figura 2.9: Volumen del paralelepípedo. Para demostrar el punto d., de la figura 2.9 se tiene que el paralelepípedo tiene una base con área ||[f, rj\|| y altura igual a la proyección de ( en [f, 77] cuya longitud es el valor absoluto
,»?], C > Por lo tanto, el volumen del paralelepípedo será Volumen=área de la base x altura =
que prueba la afirmación. El inciso e. se sigue inmediatamente del inciso d. t> EJEMPLO. Sean los vectores £ = (1,1,0), rj = ( 0 , - 2 , 3 ) , C = (1,1,1)Entonces, el triple producto escalar de ellos se calcula
£,*?, 0 =
1 1 0 -2 1 1
0 3 1
= 1
-2 1
3 1
- 1 =
0 3 1 1
0
+0 1
-2 1
-2
EJEMPLO. Dados los vectores £ = (1,0,0),77 = (0,2,0), C = (4,2,0) obtenemos 1 0 0 2 0 0 2 0 = 1 2 0 = 0 4 2 0
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2.4 El triple producto escalar y bases de
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lo que era de esperarse pues £, 77 y £ son coplanares. De hecho se observa directamente que £ = 4£ -f 2r/. EJEMPLO. El volumen del paralelepípedo generado por los vectores £ = (2,-1,1), 77 = (1,2,3) y C = (1,1,-2) es 2 -1 = 1(^,01 = 1 2 1 1
1 3 -2
= I — 30| = 30
Consideremos ahora los vectores £1,^2, ^3 en M3 satisfaciendo que su triple producto escalar no se anula
(6,6,6) # o Entonces, por el Lema 2.6 se tiene que no son coplanares, es decir, ninguno de ellos depende de los otros. Esto se observa del hecho de que si alguno de ellos fuera combinación lineal de los otros, por ejemplo
entonces su triple producto escalar sería, mediante determinantes ti1
6
(6,6,6) = 6
A?
6
6 6 ^6 lo que no puede ser.
+
6 6
6
=
6
6 = 2
A 6
+M
6
6 6 6
= 0
DEFINICIÓN. El conjunto de vectores { 6 , 6 , 6 } C K3 se dice ser linealmente independiente si su triple producto escalar no se anula, es decir, EJEMPLO. Sean los vectores canónicos {ei,e 2 ,e 3 } C R3. < Es claro que (ei,e 2 ,e 3 ) =
1 0 0 0 1 0 =1 0 0 1
lo que los hace linealmente independientes. >
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Vectores en
90 EJEMPLO. Sea el conjunto de vectores 6 = (1,1,0),
<3 Su triple producto escalar se calcula por
6
1 1 0 0 1 1 1 1 1
—
1 1 1 1
0 1 1 1
— I
lo que nos dice que son linealmente independientes. O EJEMPLO. Sea ahora el conjunto de vectores 6 =(i,i,o), 6 = (2,5', 3)' <3 El triple producto escalar entre ellos es 1 i o 0 1 1 2 5 3
1 5
1 3
0 1 2 5
lo que hace de ellos un conjunto linealmente dependiente. Esto es, existen escalares /i, A tal que, por ejemplo, & = A£i + nfr = A(l, 1,0)+ es decir, (2,5,3) = (A, A, 0) + (0, /i, //) = (A, A + /i, /i) o bien,
lo que implica que A = 2. /¿ = 3. Por lo tanto, una dependencia lineal entre ellos se da mediante la igualdad
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2.4 El triple producto escalar y bases de
91
EJEMPLO. Sea el conjunto {^(1,2),^2 = (1/2,1)} C R2, entonces 1 1/2
2 1 =1-1=0
lo que hace de estos vectores un conjunto linealmente dependiente en el plano R2. De hecho ^ = 2£2. EJEMPLO. El conjunto de vectores {^ = (1,2), f2 = (-2,1)} es linealmente independiente en R2 pues £2
1 -2
2 1
=
5/0.
En general, un conjunto de n-vectores en Rn {Éi,É2, • • • & . }
se llamará linealmente independiente si el determinante de la matriz formada por tales vectores no se anula, es decir,
É»
Sea 1111 conjunto {^1,^2^3} de vectores linealmente independientes en R3. Ya que no todos pertenecen a un mismo plano, al considerar cualquier vector espacial ;/, las proyecciones paralelas de 77 en cualquiera de los vectores nos provee de escalares \\,\2,^?> £ R tales que el vector rj es una combinación lineal de ^1,^2^2 mediante la igualdad
como lo muestra la figura 2.10. Esto es. el conjunto de vectores {£1^ £2,^3} genera al espacio R3 mediante combinaciones lineales. DEFINICIÓN. El conjunto de vectores {£1^2,£3} C R3 se llamará una base para R3, si todos los vectores son linealmente independientes y generan al espacio R3 mediante combinaciones lineales. Resumimos la discusión anterior en el siguiente resultado.
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Vectores en R2 y R 3
92
Figura 2.10: Proyección paralela de 77. T E O R E M A 2.1 Un conjunto de vectores {£ 1? £2, • • • 6 j C Rn es una base de vectores para Rn, si y sólo si, k = n y el determinante
E J E M P L O . Los vectores canónicos espaciales {ei - (1,0,0), e2 = (0,1,0), e 3 = ( 0 , 0 , 1 ) } son u n a base de IR3, llamada la b a s e c a n ó n i c a . Cualquier vector 77 = (/71,772,773) G IR3 se escribe V = V\Z\ +me2 + 77363E J E M P L O . El conjunto de vectores { 6 = (1,1,0),
6 = (0,1,1),
6 = (1,1,1)}
es una base de vectores para R 3 <\ De hecho, si r¡ G M 3 , se tiene que existen escalares Ai, A2, A3 tales que
es decir, si 77 = (r/ 1 ,^ 2 , /7a), entonces ( ^ , r?2, r/ 3 ) = Ai ( 1 , 1 , 0) + A 2 (0,1,1) + A 3 (l, 1,1)
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2.4 El triple producto escalar y bases de
93
A3, Ai + A2 + A3, A2 + A3
o equivalentemente, los escalares Ai, A2, A3 resuelven el sistema de ecuaciones Ai + A3 = T)1 Ai -f A2 + A3 = rf A2 + A3 - T]3 Tal sistema de ecuaciones tiene determinante t
1 0 1 1 1 1 0 1 1
D=
6
= (6,6,6)^0
6 6
lo que implica que ese sistema tiene solución para las incógnitas Ai, A2, A3. De hecho, por El método de Cramer
T
0 1 1
1 1 1
0 1
1 1 D
1 1
i
i
0
D 1 1 0 A9 =
r/1
T
n
s
D
i i i
i
9
o
T 1
V 1
7,6,6)
(6,^?, 6) (6,6,6)
D
Esto se puede generalizar en el siguiente Lema, enunciado apenas para el caso tridimensional. L E M A 2.7 Si el conjunto {£1^2, £3} C M3 es una base de vectores para Rs y q G M3 es tal que i] = Ai6 + A2Í2 + ^3^3, entonces los coeficientes A1.A2.A3 están dados por las igualdades 1
~ Te
si
•6-6)
'
3
~~
(6,6,6)
EJEMPLO. Sea /; = (-1,3, - 1 ) É R 3 y sea la base de R3 dada por {^ = (1,1.0), ^2 = (0,1,1), 6 = (1,1,D}
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Vectores en R2 y
94
Al calcular los determinantes, tenemos, i i o 0 i i 1 i i
6 6 -1 0 1
(n,6 ,6) = 6 6 (6
6) =
=
C1 6, 6, »/) =
— 71
3 1 1
-1 1 1
1 -1
1 3
0 -1
1
1
1
1 0
1 1
0 1
-1
3
-1
1 1
—
3 1
_
1 3
i
1 1
1
-1 1 1 -1
-
3 1
^ 1
-1 1
-1 1
0 -1
1 -1
A
= -5
de donde, por el Lema 2.7 se tiene que 4 — —= 4
(6,6,6) A, =
= 1=4
(6,6,7?)
-5
(6,6,6)
i
hacen que Ai6 + A 2 6 + A3f3 - 4(1,1,0) + 4(0,1,1) - 5(1,1, 1) = (4,4, 0) + (0, 4, 4) + ( - 5 , - 5 , - 5 ) = (4, 8, 4) + ( - 5 , - 5 , - 5 ) = ( - 1 , 3 , - 1 ) =r]. > E J E M P L O . Sean los vectores básicos {^ = (1,2), £2 = (-2,1)} de R 2 . Entonces dado 77 = (-1,3) se tiene que V = A1C1 + A2^2 para los valores de Ai y A2 dados por -2
3 1
1 _2
2 1
V
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2.4 El triple producto escalar y bases de 1 -1 1 -2
A2 =
95
2 3 2 1
Esto se comprueba directamente de la igualdad Ai6 + A2£2 = 1(1, 2) + l ( - 2 , - 1 ) = (1,2) 4- (-2,1) = (-1,3) D> Consideremos ahora una base {^1,^2,^3} de R 3 y la ordenamos según el signo del determinante dado por el triple producto escalar
Í3
DEFINICIÓN. Decimos que la base dada {£1,6,£3} de R 3 tiene una
orientación positiva a la derecha (regla de la mano derecha) si al considerar en el orden £i,¿;2,£3, el triple producto escalar
es positivo. EJEMPLO. Los vectores básicos {ex = (1,0,0), e2 = (0,0,0), e 3 - (0,0,1)} dados en ese orden le dan una orientación a la derecha al espacio R , en virtud de que (ei,e2,63) =
62
1 0
0 0 1 0
= 1
o 1 o EJEMPLO. En cambio, si se toma el orden de los vectores básicos canónicos dado por {ex = (1,0,0), e 3 = (0,0,1), e2 = (0,1,0)} entonces tal orden le da una orientación negativa a la derecha a R 3 en virtud de que 1 0 0 0 0 1 0 1 0
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Vectores en
96
EJEMPLO. El conjunto de vectores básicos { 6 = (1,1,0), 6 = (0,1,1), 6 = (1,1,1)}
ordenados así, le dan una orientación a R3 positiva a la derecha en virtud de la igualdad
6 6
i i o 0 i i 1 i i
i
EJEMPLO. Los vectores básicos {fi = (1,2), f = (-2,1)} de R2 le dan una orientación positiva a la derecha al plano en virtud de que el siguiente determinante es positivo
6
1 2 -2 1
Se observa que al tomar dos vectores no nulos arbitrarios £,77, sí [£,77] 0, entonces los vectores unitarios
conforman una base que está orientada positiva a la derecha (regla de la mano derecha) por la elección del producto [£,77]. Todos los conceptos mencionados forman parte de los conocimientos básicos de los cursos de Geometría analítica del plano y del espacio.
2.5
Vectores y valores propios de una matriz
En algunos problemas de aparición cotidiana en las ciencias naturales y la ingeniería es necesario resolver una igualdad matricial del tipo
donde A es una matriz cuadrada (n x n), ( es un vector columna (n x 1) y A es un escalar. En otras palabras, dada un matriz cuadrada A, el problema es encontrar un vector £ y un escalar A que hagan válida la mencionada ecuación. Discutiremos el caso de dimensión 3 y mencionaremos los resultados que se pueden extender para dimensiones arbitrarias.
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2.5 Vectores y valores propios de una matriz
97
Sea A una matriz de 3 x 3, A=
«n
«12
«13
«21
«22
«23
«31
«32
«33
y definimos el vector incógnita £ por el vector columna,
Entonces la ecuación matricial se escribe A=
«11
«12
«13
«21
«22
«23
«31
= A
«33 J
«32
\
£
3
o bien, «11
«12
«13
«21
«22
«23
«31
«32
«33
«11
«12
«13
«21
«22
«23
«31
«32
«33
-A
que matricialmente se escribe 0 =
y que induce el sistema de ecuaciones lineales «11
-
A
«12
«21
«22 - A
«31
«32
«13 «23 «33
~
es decir, el sistema homogéneo en
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V e c t o r e s e n E 2 y R3
98
Tal sistema lineal homogéneo tiene asociada a la matriz (A — A/), y por el teorema 1.7, el sistema lineal homogéneo obtenido tiene soluciones no triviales (£ ^ (0,0,0)), si y sólo sí, det (A - XI) = 0, donde det define la operación determinante de una matriz. Caracterizamos a los escalares A y a los vectores £ que cumplen la condición matricial dada inicialmente, para la matriz A. DEFINICIÓN. Si A es una matriz cuadrada real, entonces el escalar A se dirá un valor propio de A si satisface la ecuación det (XI - A) = 0
llamada la ecuación característica de la matriz A. Observamos que, de la relación 0 = det(A/ — A) = det (A — XI) para calcular los valores propios de una matriz, ocuparemos cualquiera de estas ecuaciones. EJEMPLO. Calcule los valores propios de la matriz real de 2 x 2 3
A-(
2
A
-{-i
o
<3 Al realizar las operaciones matriciales 1
0 \ _ /
0
1 )
3
I -i
2 \ _ / A-3
-2
0 i - I
A
1
se obtiene, det(A/ -A)
= á e t (
X
3
* ) = X2 - 3A + 2
1
lo que implica que la ecuación característica de A es A2 - 3A + 2 = 0 Las raíces de esta ecuación son A = l y A = 2, y son los valores propios
de A. \> EJEMPLO. Calcule los valores propios de la matriz 9
1
¿d
-L
5
2
<3 Procediendo como en el ejemplo anterior se obtiene det(A7 - A) = det
\
x
) = A2 -\
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2.5 Vectores y valores propios de una matriz
99
Con lo cual, los valores propios de A deben satisfacer la ecuación cuadrática A2 + 1 = 0. Dado que las únicas soluciones de esta ecuación son los números imaginarios A = 2 y A = — ¿, se sigue A no tiene valores propios reales. O EJEMPLO. Encuentre los valores propios de
Corno en los ejemplos anteriores, se obtiene
det(A7 -A)
= det [
-3
A- 2
0
= A:* - 8A2 4- 17A - 1
Por lo tanto, los valores propios de A deben satisfacer la, ecuación de tercer grado A"3 - 8A2 + 17A - 4 = 0 Por inspección A = 4 es una raíz, es decir, (A-4)(A 2 - 4 A + 1) = 0 consiguientemente, las raíces restantes de tal cúbica satisfacen la ecuación A2 - 4A + 1 = 0 la cual se puede resolver mediante la fórmula cuadrática. Por tanto, los valores propios de A son A= 4
A = 2 - >/3 y
A = 2 - v/5
>
DEFINICIÓN. Sean, A una matriz cuadrada, y A un valor propio de A. El vector f se dirá un vector propio de A asociado a A si satisface la ecuación matricial (A - A/)£ = 0 EJEMPLO. Sea la matriz cuadrada de 3 x 3 dada por
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Vectores en E 22 ,ry
100
1D>3
O Calculamos sus valores propios resolviendo la ecuación 0 - dvt{A - XI) es decir. 0 =
2-A -1 0
-1 2- A 0
0 0 4- A
= (-1-A)(A 2 - 1A + 3 )
cuyas raíces son A = 1,3, 1. Para calcular los vectores propios asociados a cada valor propio, consideramos la ecuación ínatricial (.4 - A/K = 0 para cada valor de A, es decir, el sistema homogéneo,
(i - x)e = o. Para A = 1 se tiene el sistema
Notamos que la primer ecuación es la misma que la segunda, y que necesariamente £'* = 0. Si ponemos x = f, entonces la solución general de esto sistema es lo que indica que un vector propio asociado a A = 1 es 1 0 Para A = 3 se obtiene el sistema homogéneo
£3 = 0 cuya solución general es del tipo
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2.5 Vectores y valores propios de una matriz
101
lo cual implica que un vector propio asociado a A = 3 es 1 -i
o
Análogamente, para A = 4 se tiene el sistema, lineal -2Í1 - £ 2 = 0 -£* - 2£2 = 0 Oí 3 = 0 La tercer ecuación nos dice que £'* es arbitraria, mientras que el sistema de 2 x 2 formado por las dos primeras ecuaciones tiene sólo la solución trivial para £ \ £ 2 , debido a que -2 -1
-1 -2
3 j¿ O
Por lo tanto, la solución general de este último sistema homogéneo es
lo que implica que un vector propio asociado a A = 4 es
De esta manera, el conjunto
es un conjunto de vectores propios de A. Observamos que este conjunto es una base de R 3 debido a que 1 1 0
1 -1 0
0 0 1
= -2
EJEMPLO. Sea la matriz A=
1 2 -4
2 -2 -2
-4 -2 1
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Vectores en R2 y
102
Calculamos sus vectores y valores propios. <\ Calculamos primeramente el determinante 1 -A 0 = 1
2 -4 -2 - A -2 -2 1- A
= A3 - 27A - 54
La ecuación cúbica obtenida tiene raíces enteras Ai = 6, Xo = — 3, A3 = 3. donde una de ellas es doble. El sistema lineal homogéneo para un valor propio A es
Para el valor propio doble A = — 3 se tiene el sistema lineal homogéneo en las incógnitas £ l , £~\ £'*,
Al resolver por El método de Gauss-Jordán, se tiene, 1 2 -1
2 1 -2
-1 -2 1
0 0 0
/?! - 2/?2) -> i? 2 , (/?i - R-¿) 4 0 0
0 0
2 - 4 0 0 0 0 0
que induce la única ecuación con tres incógnitas l^1 + 2£2 - 4£3 = 0 4=^> 2 ^ + í 2
- 0
Al poner ^ — i, £2 = s, la solución general tiene la forma, -s\
=(t,0,i
Os--
2'
u.i DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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2.5 Vectores y valores propios de una matriz
103
E s t o e s , l o s v e c t o r e s o b t e n i d o s al t o m a r ¿ = 1, s = 0 y í = 0 , s = 2,
6 = [ o ) , &= 2 son vectores propios asociados a A = —3. Para el valor propio A = 6 se tiene el sistema homogéneo
— 2£2 — 5£3 = 0 que se resuelve mediante El método de Gauss-Jordán de la siguiente forma. -5 2 -4
2 -4 - 8 - 2 - 2 - 5
0 \ 0 (2RX +bR2) -> R2, (4R1 - bR3)-> R3 0/
-5 0 0
2 -36 18 -5 0 0
-4 -18 9
2 -36 0
0 0 0
-4 -18 0 -5 0 0
0 0 0
2 - 4 0 2 1 0 0 0 0
Es decir, se tiene el sistema, 1
+ 2£2 - 4£3 = 0
2£2 - e 3 = o
en el cual, si se pone £2 = t se tiene una solución general,
De esta forma, tomando t — 5, se tiene el vector
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Vectores en R2 y
104 que es un vector propio asociado a A = 6. Notamos que el sistema de vectores propios
{6 = (1,0,1), ^ - (0,2,1), 6 = (5,6,10)} es una base de vectores para R , debido a que 1 0 5 0 2 6 1 1 10
= -24 ± 0 O
EJEMPLO. Consideremos la matriz A= y procedamos a calcular sus vectores y valores propios. < Un cálculo directo nos muestra que
0=
1-A 1 0
0 2-A 1
0 0 2-A
= (1-A)(2-A)2
lo que nos indica inmediatamente que los valores propios son Ai = 1, A2 = 2 y A3 = 2. El sistema de ecuaciones lineales homogéneas que nos ayuda a calcular los vectores propios es
(2
=o =0
De esta forma, para el valor propio A = 1 se tiene el sistema lineal, O^1 = 0
lo que nos indica que £J es arbitrario y que £2 = —£x, £3 = f1. En otras palabras, la solución general es
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2.5 Vectores y valores propios de una matriz
105
y por lo tanto,
es un vector propio asociado a A = 1. Para el caso A = 2 se tiene el sistema lineal í1 + 0£2 = 0 f + 0£3 = 0
<=^ \ 0£2 = 0 2 { £ 4- 0£3 = 0
lo que nos indica, de la primera ecuación que £x = 0, de la tercera que £2 = 0 y que £3 es arbitrario, es decir, la solución del sistema es del tipo general (£\£ 2 >£ 3 ) = (0,0, t) = ¿(0,0,1) De esta manera, el vector & = es el único vector propio asociado a A = 2. D> De la discusión inicial se tiene el siguiente resultado. TEOREMA 2.2 Las siguientes proposiciones son equivalentes para una matriz cuadrada (n x n) dada. a. A tiene un valor propio A. b. det{A - XI) = 0. c. Existe un vector propio £ para A asociado al valor propio X. Una matriz cuadrada se dice diagonal si sus entradas que no están sobre su diagonal son todas idénticamente nulas. EJEMPLO. La matriz cuadrada
es una matriz diagonal. DEFINICIÓN. Una matriz cuadrada real (n x n) A se dice diagonalizable si existe una matriz invertible B tal que el producto B~lAB es una matriz diagonal. En este caso se dice que B diagonaliza a la matriz A. Tenemos el siguiente resultado para el proceso de diagonalización de una matriz cuadrada.
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Vectores en R2 y R3
106
T E O R E M A 2.3 Para una matriz cuadrada A de (nxn) las siguientes proposiciones.
son equivalentes
a. A es diagonalizable b . Los vectores propios A conforman una base de R n y la matriz B formada por los vectores propios de A (como vectores columna) diagonaliza A. < Daremos la prueba apenas para las matrices de 3 x 3, indicando que para dimensiones mayores la prueba es análoga. Suponemos que A = Asx3 es diagonalizable. Entonces existe una matriz
(
bu
bi2 &13
621
b22
^23
tal que B~l AB es una matriz diagonal D — B~XAB que tiene forma,
Esto implica necesariamente que BD = AB. Por un lado, se tiene n BD=
\ b21 31
612 bi^ \ 6 22 ^32
í Ai
623 I I b33 j \
0 0
0
0 \
A2 0
0 A3 /
=
/ A1611 A26i2
A3613
Ai621 \ Ai631
A 3 6 23 A3633
A 2 6 22 A 2 6 32
donde hemos escrito a la última matriz mediante sus columnas. Por otro lado, si escribimos a la matriz B mediante sus columnas, de la multiplicación de matrices se tiene AB = A(bi
b2 63) = {Abx
Ab2
Ab2)
De esta manera, al igualar columnas en la igualdad AB = BD se obtienen las igualdades Abi = A1&1,
Ab2 = \2B2,
Ab3 = A 3 6 3
es decir, {61, 62, 63} es un conjunto de vectores propios de A asociados a IOG valores propios correspondientes Al7 A2,A3.
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2.5 Vectores y valores propios de una matriz
107
Por otro lado, debido a que B es invertible, se cumple la relación
(61,62,63) =
hi 621
612 622
613 623
hi
632
633
que hace de {61, 62, 63} una base de vectores propios para E 3 . Esto demuestra que a. implica b . Para probar la recíproca, sean {£1, £2, £3} los vectores propios de A asociados a los valores propios Ai, A2 y A3 respectivamente, y sea
B = (6 6 6) =
( í\ £ ti ti
Ú Ú
\ f1 \
P2 S3
S3
P3 S3
Entonces B es invertible pues los vectores son linealmente independientes. Por las consideraciones anteriores se tiene que
f 62 6 )
i 0 0
0 A2 0
0 0 A3
= BD
donde D es la matriz diagonal, cuyas entradas diagonales son los valores propios de A, es decir,
De esta manera, B diagonaliza a A pues se cumple la igualdad matricial AB = BD, o equivalentemente, B~l AB — D. Esto termina la prueba del teorema. D> Otro resultado útil para el proceso se diagonalización es el siguiente, cuya prueba omitimos por ser más técnica. LEMA 2.8 Si los valores propios de una matriz cuadrada A son todos diferentes entre sí, entonces los vectores propios de A conforman una base de vectores propios. Este resultado, junto con el teorema 2.3, implica el siguiente que es de gran utilidad.
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1
0
8
V
e
c
t
o
r
e
s
en R2 y
T E O R E M A 2.4 Si la matriz cuadrada A de n x n tiene diferentes entre sí a todos sus valores propios, entonces es diagonalizable. Esto implica necesariamente que BD = AB. <] Por el Lerna 2.8, si los valores propios de A son diferentes entre sí, entonces los vectores propios de A conforman una base de R'\ Por el teorema 2.3, A es necesariamente diagonalizable \> EJEMPLO. Para la matriz cuadrada A=
se o b t u v i e r o n los vectores propios {fi = ( 1 , 1 , 0 ) , £ 2 = ( 1 , - 1 , 0 ) , £ 2 = ( 0 , 0 , 1 ) } asociados a los valores propios A = l , A 3 = 3 y A = 4 r e s p e c t i v a m e n t e , y que conforman u n a b a s e d e IR3. Sea B la m a t r i z B = que cambia la base canónica {e 1,62,63} por la base de vectores propios
Por el teorema 1.5 se tiene que B~l
=
/ 1/2 1/2 \ 0
1/2 -1/2 0
y un cálculo directo prueba que / 1/2 1/2 \ 0
B~lAB=
-
/ 1/2 3/2
\
0
1/2 -1/2 0
1/2 -3/2
0 0
0
4
es una matriz diagonal, con los valores propios como elementos diagonales. Consecuentemente A es diagonalizable por la matriz B. >
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2.5 Vectores y valores propios de una matriz
109
El siguiente ejemplo nos muestra que una matriz A puede ser diagonalizable, aún sin tener todos sus valores propios distintos. EJEMPLO. Para la matriz cuadrada A = se obtuvo una base de vectores propios {Ci = (1, 0,1), & = (0, 2,1), £3 = (5, 6,10), } asociados a los vectores propios Ai = \2 = —3 y \-3 = 6 respectivamente. Sea la matriz B dada por
que cambia la base canónica {ei,e 2 ,e 3 } por la base de vectores propios obtenida. Mediante El método de Gauss- Jordán de la sección 1.8 se puede obtener que /
B'1
=
7/2 3/2 V -1/2
5/4 - 5 / 2 5/4 - 3 / 2 - 1 / 4 1/2
y un cálculo directo demuestra que B~lAB
= (
7/2 3/2 -1/2
5/4 - 5 / 2 5/4 - 3 / 2 - 1 / 4 1/2
En otras palabras, la matriz B diagonaliza a la matriz A. t> EJEMPLO. Al considerar la matriz A=
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Vectores en
110
se obtuvieron los valores propios Ai = 1 y A2 = 2, y apenas dos vectores propios correspondientes a tales valores propios
{£1 =(1,-1,-1), fc = (0,0,1)} < Como este conjunto es linealmente independiente, pero no conforma una base de R , se sigue que la matriz A no es diagonalizable. D> Sobre métodos más generales de diagonalización el lector interesado puede referirse al trabajo de Antón (1981), donde encontrará más datos.
2.6
Rectas y Planos en E 3
En esta parte introducimos los conceptos de recta y plano como objetos contenidos en un espacio tridimensional, caracterizándolos mediante los elementos que les definen. Rectas en el espacio Dados, un punto p E Mn y un vector f, los puntos q de la recta L C pasa por p y es paralela a £ satisfacen la ecuación
para algún número real
que
(véase la figura 2.11). q
o 5 Figura 2.11: La recta en R n . DEFINICIÓN. Decimos que la ecuación q = p + t£:
teR
es la ecuación de la recta contenida R n por el punto p con el vector director £. Se llama también ecuación paramétrica de L pues depende del parámetro t.
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2.6 Rectas y Planos en R3
111
EJEMPLO. Hallar la ecuación paramétrica de la recta L en el plano que pasa por los puntos p\ — (3, 2) y p2 = (4,1). <\ La recta pasa por p = (4,1) y la dirige el vector de posición É = P 2 - P i = (4,1)-(3,2) = (1,-1) De esta manera, si q = (x, y) está sobre la recta, entonces satisface la relación
En otras palabras, el par de ecuaciones y = i ~t definen a la recta L. Si en las relaciones anteriores despejamos t,t = x—4, t = I—y, entonces, al igualar tales ecuaciones se obtiene x —4 = 1 — y que implica la igualdad y = -x +5 que también define a la recta L, pero sin parámetro (véase la figura 2.12) EJEMPLO. Hallar la ecuación de la recta L en IR4 que pasa por los puntos Pi = (2,3,4,2),
p2 - (6,4,-5,1)
<3 Tal recta pasa por p = (2, 4, 3, 2) y tiene vector director É = Pi - P2 = (2,4,3,2) - (6,4, - 5 , 1 ) = (-4,0,8,1) Por lo tanto, en las coordenadas (x,y,z,w) q = (x, y, z, w) e L, cumple las igualdades (x,y,z,w)
se tiene que todo punto
= (2,4,3,2) + ¿ ( - 4 , 0 , 8,1) = (2,4, 3, 2) + (-4í,0, 8t,t)
= ( 2 - 4 t , 4 , 3 + 8t,2 + í) Esto es, la recta L se define por el sistema paramétrico x = 2 - 4í y =A teR z = 3 -f 8t
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Vectores en R2 y
112
,2)
Figura 2.12: Recta y = —x + 5 Para ilustrar, evaluamos en estas igualdades algunos argumentos temporales t e R. Si se toma t = 0 entonces el punto (x = 2, y = 4, z = 3, w = 2) está en la recta L. Si t — — 1, entonces también el punto con coordenadas x — 6, y = 4, z = — 5, IÍ; = 1 pertenece a L. [> En particular, aquí estamos interesados en las rectas contenidas en R3, tal que si pasan por un punto p = (a,b,c) con vector director £ = (£ 1 ,£ 2 ,£ 3 ), se tenga su definición mediante un sistema que tenga la forma,
Planos en el espacio Dados, un punto p £ R3 y un vector n G R3, se define la ecuación del plano P pasando por el punto p con el vector normal (ortogonal) n, como el conjunto de puntos q (variables) € R3, tales que satisfacen la ecuación. < n,q - p >= 0 o bien, la ecuación equivalente, < n,q > = < n,p > La figura 2.13 ilustra la definición para el plano 2-dimensional en R3. Notamos que para el caso de R n , se pueden hacer definiciones análogas para un (n - l)-plano.
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2.6 Rectas y Planos en R3
113
n
* 0
Figura 2.13: El plano en R3. EJEMPLO. Sea el punto p = (-3,1,2) en R3 y sea n = (-4,5,3) un vector en R3. La ecuación del plano por el punto p y normal n es, en coordenadas q = (x, y, z), viene dado por la igualdad <
< (-4,5,3), (x,y,z) >=< (-4,5,3), (-3,1,-2) >
o equivalentemente, -Ax + 5y + 3z = 12 + 5 - 6 - 11 lo cual implica que la ecuación buscada del plano en R3 es -4z + by + 3z = 11 > En general, para la ecuación < n,q >=< n,p > del plano P pasando por p = (pi,P2?P3) c o n vector normal n = (a, 6, c) se tiene que en las coordenadas (x, y, z) los puntos q = (x, y, 2) de P satisfacen la ecuación < {a,b,c),
(x,y,z)
>=< (a,b,c),
(pi,p2,P3) >
o equivalentemente, satisfacen la ecuación ax + by + cz = api H- &P2 -f cp3 = d De esta forma, una ecuación del tipo ax + by + c¿ = d representa la ecuación de un plano en R3 conteniendo un vector normal n — (a, 6, c).
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Vectores en R2 y
114
EJEMPLO. La ecuación 2x + 3y -f 6z = representa a un plano en R3 con un vector normal n = (2,3,6) <] Si hacemos y — 0, z — 0 sobre el plano R2 2 entonces, de la ecuación dada se tiene 2x = 1, lo que implica que # = ^. Por otro lado, si hacemos y — 0, x — 0 sobre el plano R2 y entonces se obtendría que en este caso z ~ ¿ Finalmente, si tomamos x — 0, 2 = 0 sobre el plano R2 2, entonces, a partir de la ecuación del plano se tiene que y = ^. Lo anterior nos da los cortes del plano sobre los ejes, y la extensión del triángulo mostrado en la figura 2.14 nos realiza totalmente el plano. t>
Figura 2.14: Parte del plano 2x + 3y + 6z = 1 en el primer octante. OBSERVACIÓN. Dos planos P\, P2 en el espacio son paralelos si sus respectivos vectores normales son paralelos. EJEMPLO. Sean los planos en R3, dados por las ecuaciones -x + 2y-4z
= 2,
3x - 6y + 12z = 7
< Sus normales respectivos son m = (-1,2,-4),
y n2 = (3,-6,12)
Al calcular el producto vectorial de estos normales, e\
e2
es
-1 3
2 -6
-4 12 - 6 ) = (0,0,0)
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2.6 Rectas y Planos en
115
se concluye que rt\ y ri2 son paralelos, lo que implica que los planos son paralelos. i> Generalizamos la idea de ángulo formado entre dos planos. DEFINICIÓN. Sean dos planos P\,P2 contenidos en R 3 y sean n i , n 2 sus normales respectivos. Se define el ángulo 0 formado por los planos P\ y P2 como el ángulo 9 formado por sus normales n\ y n
x - 2y + z = 3
verificar si son paralelos. De no serlo, calcular su intersección y el ángulo entre ellos.
Figura 2.15: Ángulo formado por dos planos en R 3 . < Los vectores normales respectivos son m = (1,2,3)
y
n 2 = (1,-2,1)
con lo que tenemos, i [ n i , 712] =
e2
e3
1 2 1 -2
3 1
= (2+ 6 , - ( 1 - 3 ) , - 2 - 2 )
= (8,2,-4) #(0,0,0) Por lo tanto, los normales n\ y n2 no son paralelos y consecuentemente los planos se intersectan. Los puntos (x, y, z) contenidos en la intersección deberán satisfacer ambas ecuaciones.
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Vectores en R2 y
116
Tales p u n t o s se d e t e r m i n a n al resolver el s i s t e m a lineal 2 x 3 ,
x + 2y + 3z = 1 x - 2y + z = 3 el cual, al hacer z — t induce el sistema, x-2y
= 3-t
Utilizamos La regla de Cramer para resolver este sistema. Calculando los determinantes, obtenemos, 1 1 D,=
l-3t 3-t
2 -2
1 1
1-3* 3-t
2 -2
=
-4
=
8t-8
= (3 - t) - (1 - 3t) =
y de esta manera, Dx
8t -4
= -2t 4- 2
Dy 2 2 -4 D Por lo tanto, la solución del sistema (intersección de los planos) es la recta parametrizada x = -2t + 2 y =
donde ¿ € K es un parámetro temporal. En particular, si ¿ = 0 se tiene la solución particular # = 2, y = — ?¿,z = 0, es decir, el punto (2, ^, 0) está en ambos planos, lo que se verifica directamente al sustituir en las ecuaciones de los planos, • í 2 + 2 (-i)+3(0) = 1 \ (^) Para calcular el ángulo entre los planos se calcula el ángulo 6 entre sus vectores normales /
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2.6 Rectas y Planos en
117
es decir, 0 = arccos(O) = — lo que nos dice que los planos son ortogonales. O Es fácil probar el siguiente Lema utilizando las ideas del ejemplo anterior.
LEMA 2.9 Si la pareja de planos •hy
\z — d\
no es paralela, entonces se intersectan en una recta parametrizada. aún, forman el ángulo 0 dado por, ni,n2
0 = arceos
Más
>\
donde ri\ — ( a i , 6 i , c i ) , 712 = (02,^2,02) son los normales
respectivos.
<\ Es un cálculo directo al resolver el sistema de ecuaciones lineales dado por los planos. \> EJEMPLO. Calcular la intersección de los planos en R 3 , x — y -f 3z = 9 3x - by + z = - 4
\x - ly + z = 5 < Resolvemos el sistema de ecuaciones de 3 x 3 usando La regla de Cramer.
D =
9 -4 5
1 -1 3 -5 4 -7 -1 -5 -7 1 9 3 -4 4 5
3 1 1 3 1 1
-5 -7
-3 3 1 1
-4 5
3 = 3 4
1 1
-5 -7
-4 5
1 1
3 4
9 5
4-3
3 4
9 -4
-1 -7
1 9 4 5
-5 -7
1
-1 -5 9
+ 3 -4
= 168
-93
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118
Vectores en 1 3
J
4
-7
9 -4 5
1 5
-5 -7
3 4
-4 5
+ 9
3 4
-5 -7
= -7
Por lo tanto, las soluciones al sistema son Dx
168
93 D
^2
D
-2
De esta manera, el punto donde se intersectan los planos tiene coordenadas ( >2 De igual forma, para dimensiones mayores (n > 3) podemos definir la ecuación de un plano en R n (hiperplano) mediante los mismos elementos, n vector normal, p punto por donde pasa y q el vector variable, utilizando la ecuación < n,p > = < n,q > Por ejemplo, la ecuación 6x - 3y + z - 2w + 3v = 8 define un plano de dimensión 4 en el espacio M5 en el sistema de coordenadas (x, y, z, v, w) con un vector normal n = (6, —3,1, —3, —2). EJEMPLO. Calcular la intersección en R 4 de los hiperplanos de dimensión 3, definidos por, 2x + ly + 3z + £ = 5 x + 3y + 5z - 2¿ = 3 z 4- 5y - 9z + 82 = 1 42 + 5¿ = 12 < Para calcular la intersección es necesario resolver el sistema, y lo realizamos mediante El método de Gauss-Jordan. 2 7 1 3 1 5 5 18
3 1 5 5 - 2 3 9 8 1 4 5 12
1 3 5 -2 2 7 3 1 1 5 - 9 8 5 18 4 5
3 \ 5 1 12
(Ri - R2)
- R2)
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2.6 Rectas y Planos en
V / 1 0 0
3 _1 1 1
3 -1 -2 -3 5 7 -7 -7
, (5ñi - ,
R.i) -
( / 1 0 0 0
119
5 7 14 21 -2 -5 5 5
_2 _5
3 \
-10 -15
1 2
\ )~
/ \
3 /
3 \ 1 -1 -1
{R-¿
y
0
5 7 0 0
_2
3 \ 1 0 o 0 / De esta manera, nos queda el sistema lineal de 2 x 4 dado por / I
3 -1 0 0
+ R:2)
-5 0 0
x + 3y 4- 52 - 2t = 3 - y -f Iz - 5í = 1 Tal sistema lo resolvemos por La regla de Cramer en virtud de que D=
1 0
3 -1
= -1
lo que nos asegura que el sistema í x + 3y = 3 - bz + 2í \ - y = 1 - 72 + 5t tiene solución en dos variables libres z,t. La segunda ecuación indica la solución para la variable y, y es suficiente con calcular sólo el siguiente determinante, 3 - 5z + 2t l - 7 z + 5t
3 -1
= - 6 + 262
17*
De esta manera, D
- 6 + 26z - 17* -1
y por lo tanto, las soluciones se escriben
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Vectores en
120
para argumentos reales arbitrarios de z y t. Este último sistema define a un plano de dimensión 2 contenido en R4, esto es, la intersección de los hiperplanos dados de dimensión 3 es un plano de dimensión 2. > Distancia de un punto a un plano Dados, un plano P y un punto p G E 3 , la distancia de p al plano P es la distancia ortogonal de p a los puntos q del plano P.
•P
Figura 2.16: Distancia de un punto a un plano. Para calcular la distancia mencionada, se procede de la siguiente malera.
< Si el plano P se define por la ecuación ax + by -f cz — d entonces n — (a, b, c) es un vector normal p. Por otro lado, cuando el punto q E P nos da la distancia ortogonal buscada, entonces el vector p — q es múltiplo de n, es decir, p — q — tn
para algún escalar t (ya que son paralelos), lo que implica que
Por otro lado, al buscar g G ? , este punto está en la recta con un vector n que se une a p con q, escrita de la forma
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2.6 Rectas y Planos en R3
121
donde p = (pi,p 2 ,P3) y n = ( a 5 ^ c ) e s el vector director de la recta. Buscamos entonces un escalar t tal que la recta contenga un punto q € P q satisfaciendo el sitema que define a la recta, pero además q esté también contenido en P. Para esto, q — (x, y,z) (E L debe también satisfacer la ecuación del plano, es decir, d = a(#a + pi) + 6(t6 + p 2 ) + c(tc + p 3 ) = t(a 2 -f 62 -fe 2 ) + api + 6p2 4- cp3 = (api 4- 6p2 + cp3) 4- t(a 2 4- b2 + c2) lo que indica, al despejar t, _ d - (api H-6p2 + cp3) _ d - (api + 6p2 + cp3) ( a 2 + 6 2 + c2) " ||n|| 2 Por otro lado, el punto q G P debe satisfacer además la relación
llg-p|| = l*INI siendo \\q — p\\ la distancia buscada de q a p. Si entendemos por ¿ a tal distancia, se tiene £ - \t\ INI -
«-I«lll»l|-
ld-(aPi+fcP2
|||| 2
lo que implica _ \d- (api 4-6p2 4-cp3)[
INI Se resume la anterior discusión en el siguiente lema. LEMA 2.10 La distancia í del punto p — (pi,p 2 ,P3) al plano P definido por la ecuación ax 4- by 4- cz — d se calcula por la fórmula f
_ \d-
(api 4-frp2 4-cp 3 )|
INI donde n = (a,b,c) es el normal a P Si p = (pi,p 2 ,p 3 ) está en el plano, entonces satisface la ecuación del plano, es decir, 0 = d - (api 4- bp2 + cp3) y. por lo tanto, su distancia al plano P es cero.
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Vectores en R2 y R 3
122 E J E M P L O . Sea el plano P dado por la ecuación 3x + 2y - z = - 1
y tomemos el punto p — (2, 5, 6). < La distancia í del punto p al plano P es calculada mediante la cadena de igualdades, •6]| y/9 + 4 + 1
|-l-10| yf\A
11 y/U
Ejercicios 1. Calcular < £,77 > para cada pareja de vectores dada. a. b. c. d. e.
£ = (-1,2), 77= (3,1) £ = (-1,0,1), 77 = (1,2,3) £ = (-1,2,3), i; = (1,2,-4) £ = (1,1,0,-1), 77 = (-1,0,1,2) £ = (4, - 2 , 3, - 1 ) , r; = ( - 1 , - 2 , 3, - 4 ) ¿Cuáles de las parejas de vectores dados son ortogonales?
2. Calcular ||£|| y |[7711 en cada uno de los incisos del ejercicio 1. 3. Calcular el coseno del ángulo formado por cada pareja de vectores £ y 77 del ejercicio 1. 4. Calcular los ángulos del triángulo formado por los puntos a. (-1,1,1), (1,-2,3), (3,-1,1) b. (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 5. a. Calcular la proyección de £ y 77 de todos los vectores del ejercicio 1. b. Calcular la proyección de 77 en £ de todos los vectores del ejercicio 1. 6. Demostrar que para dos vectores £, 77 con ángulo 0 entre ellos se cumple la fórmula
7. a. b. c. d.
Calcular el producto vectorial [£, 77] de los vectores £ = (2,3,-1) 77 = (6, 2, 3) £ = (-6,0,5) 77 = (3,0,3) £ = (1,0,-1) 77 = (-1,0,2) £ = (1,2,3) 77 = (2,4,6) ¿Cuáles de las parejas de vectores dados son paralelos?
8. Calcular el área del paralelogramo formado por los vectores £ y 77 en cada inciso del ejercicio 7.
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2.6 Rectas y Planos en R3
123
9. Calcule el volumen del paralelepípedo formado por las siguientes ternas de vectores. Calcule primero su triple producto escalar. a. £ = (2,0,1), v = (1,3,2), C= (4,-1,1) b. £ = (-2,1,1), r/= (-4,3,2), C = (0,0,1) c. £ = ( 0 , - 1 , - 1 ) , 77 = (0,0,-1), C = (-1,2,3) d. ¿Cuáles son una base de vectores en R3 ? e. Escriba el vector (—3,-4,1) como combinación lineal de cada base encontrada. 10. ¿Cuáles de las siguientes matrices son diagonalizables?
e. A =
g. A =
i. A = Para el caso afirmativo, calcule la matriz B, que cambia la base canónica por la base de vectores propios, tal que B~1AB sea diagonal. Compruebe, realizando el cálculo, que B~lAB es diagonal, y que los vectores propios que conforman B son una base. 11. Encontrar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntos indicados a. b. c. d.
(1,1,-1) Y (4,3,2) (0,1,-6) y (-4,0,2) (1,-2) y (2,1) (1,1,-1,1) y (4,4,-4,4)
12. Calcular la ecuación paramétrica de la recta por p con dirección £ para cada pareja dada. a. p = (1,1,-1), £ = (-2,3,-1) b. p = ( - 2 , l ) , £-(4,2) c. p = (2,3,0), £ = (-1,2,3)
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Vectores en R2 y R3
124 d. p = (0,1,1,2),
^ = (-1,3,4,2)
13. Dar la ecuación de la recta que tiene un vector director £ que es ortogonal a los vectores ( = (1,1,1) y rj = (-1,0,1) , y que pasa por el punto (-3,1,2). 14. Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto dado p y tiene vector normal n para cada pareja dada. a. n = (-1,1,2), p = (2,3,-1) b. n = (4,-2,3), p = (-1,4,1) c. n = (-1,5,3), p= (4,1,6) 15. Calcular la ecuación del plano que pasa por los tres puntos dados a. (1,1,1), (2,1,-1), (3,0,1) b. (3,-2,-1), (1,2,3), (2,-3,1) c. (4,0,2), (2,-1,0), (0,2,3) 16. Calcular el ángulo con el que se intersectan los planos a. definidos por a. y b. en el ejercicio 14. b. definidos por a. y b. en el ejercicio 15. c. definidos por c. del ejercicio 14 y c. del ejercicio 15. í x+y+x=1 \ -x+y-z=0 e.
17. Calcular la intersección de las parejas de planos dadas en todos los incisos del ejercicio 16. 18. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto p y cuyo vector director £ es el normal al plano P cuando: a. p = (1,1,1) y P pasa por los puntos (1,1, -1), (-2, 3,1), (6, 2,0) b. p — (1,0,3) y P es ortogonal a los planos x-y-Y z = 2 —x + y — z — \ c. p = (2,3,1) y F es paralelo al plano qua pasa por los puntos (4,2,-1), (0,1,-3),(1,0,2) 19. Calcular la intersección de la recta L con el plano P, si a. L y P son la recta y el plano de a. en el ejercicio 18. b. L y P son la recta y el plano de c. en el ejercicio 18. c. L es la recta por p = (1,3,4) con vector director £ = (2,1,0), y P es el plano con ecuación 2x — y -f z = 4
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2.6 Rectas y Planos en R3
125
20. Calcular la distancia del punto p al plano P si a. p = (1,0,3), P : 6x - Sy + z = 6. b. p= (-2,1,3), P : x + y + z = 2. c. p= (4,3,2), P pasa por los puntos. (1,1,1), (0,0,0), ( - 1 , 1 , - 1 )
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Capítulo 3
Curvas en R 2 y en TD)3 3.1
Curvas suaves
En este capítulo estudiamos aquellos objetos geométricos en R 3 conocidos como curvas. Lo hacemos de dos maneras, como la imagen de una función vectorial de variable real, y como objetos para los cuales localmente se ven como una imagen de cierta función vectorial de variable real (curvas parametrizadas). Iniciamos la discusión con un ejemplo. EJEMPLO. Una recta en R 3 es un objeto que se describe por un punto donde pasa p — (pi,P2,P3) y un vector director f = (£ 1 ,£ 2 ,£ 3 ). < Su ecuación se describe como una relación de tipo 7 : R -> R 3 donde a cada punto t G R se asocia un vector formado por coordenadas que son funciones reales de variable real 7 (í)
= (x(t), y(t), z(t)),
siendo las funciones coordenadas definidas por el argumento escalar mencionado, x = x(t) = £H + pi y = y{t) = í2t + ?2 z = z(t) = £ 3 t + p 3 >
DEFINICIÓN. Una función vectorial de argumento escalar es una relación 7 : (0,6) - * R 3
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Curvas en R2 y en
128
Figura 3.1: Función vectorial de variable real. tal que a cada t G (a, b) se le asocia un vector j(t) en R 3 . En coordenadas x, y, 2 de M3, tal asociación se escribe
), z(t)) donde x, t/, z : (a, 6) —• R son funciones reales (definidas sobre R) de variable real t. Esto es, las funciones coordenadas se escriben X = X(t) y = y(t) , z = z(t)
t€(a,b)
En otra notación, utilizando la base canónica {ei,e2,e3J de R 3 , podemos escribir tal asociación mediante la igualdad = x(t)e1 + y(t)e2 4- z(t)e3 A lo largo de este trabajo, utilizaremos preferentemente la notación — (x(t),y(t),z(t)) que no involucra a los vectores canónicos. EJEMPLO. Sea la función 7 : R -> R 2 dada por la relación 7(¿) = (eos t, sen t) < Es una función vectorial (a R 2 ) con argumento escalar dado por la variable t e R. Hacemos una asignación de argumentos y calculamos sus valores, como lo muestra la siguiente tabla.
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3.1 Curvas suaves
129
t
7(í) (1,0)
0 TT/4
V2 ' 2 ; (0,1)
TT/2 4
\
2 ' 2 ;
(-1,0)
IX
(5/4)*
V 2'
2;
(3/2)7T
(0,-1)
(7/4)TT
(V2 _V2\ V2' 2;
(1,0) (9/4)TT
V 2 ' 2J
A continuación mostramos cómo se consiguieron algunos elementos de la tabla. 7(0) = (eos 0, sen 0) = (1,0) 7(TT/4)
= (cos7r/4,sen7r/4) =
—, — I
7(?r/2) = (cos7r/2,sen7r/2) = (0,1) '3TT\
_ /
7((3/2)7r)
= (0,-l)
Observamos que todos los valores de 7 obtenidos de esta manera están contenidos en el círculo unitario del plano Rly como se muestra en la figura 3.2. Afirmamos que la imagen de R bajo 7 es completamente el círculo unitario
Sl = {(x,y)\x2+y2 = l} Para demostrar esto, sea ^(t) un punto en la imagen, entonces, ||7(t)|| 2 = 11 (eos í, sen t) \ | 2 - eos2 t 4- sen2t = 1
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Curvas en R2 y en
130
7(3) Y(0)=Y(27Ü)
(eos
tfsen
t)
Figura 3.2: Círculo unitario de S 1 por lo tanto, ya que ||7(¿)|| = 1 entonces, para cualquier ¿GK, 7 ( Í ) £ S1 Ahora sea (x, y) E 5 1 y sea t el ángulo que forma el vector (x, y) con el eje x. Si sobre el círculo se localizan las coordenadas (x, y) de un punto. En virtud de que el radio de S1 es 1, se tienen las igualdades trigonométricas x = eos t y = sen t de donde (x,y) € S1 está en la imagen 7. De esta manera, la imagen de 7 es un círculo unitario. Como las funciones sení, cosí son 2TT- periódicas, entonces 7 enrrolla al círculo S 1 en contra de las manecillas del reloj un número infinito (numerable) de veces. > EJEMPLO. Consideremos la función vectorial 7 : ( — 00,00) —> E 2 dada por la regla de correspondencia 7 (¿)
= (i?cos¿, R sen*)
donde R es un número real positivo. O Tendremos en este caso que, al escribir tal relación como 7(¿) = (i?cosí, i? sen¿) - i?(cos¿, sen¿) ésta es una deformación del círculo unitario a un círculo de radio R > 0 con centro en el origen de coordenadas (véase la figura 3.3). O EJEMPLO. Sea ahora la función 7 : (-00, 00) —> 7 (¿)
dada por la relación
= (4cosí, 4sení, 2t)
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3.1 Curvas suaves
131
< 7 es la función que a cada t le asocia un punto en IR3, mediante las relaciones \x(t) = 4 cosí y(t) = 4sen¿ Al olvidar momentáneamente la variable z, se tiene que los puntos con coordenadas (x, y) en la imagen de 7 se mueven en un círculo de radio 4, según el ejemplo anterior. La variable z sólo se mueve con su dirección, dirigiéndose positivamente. Esto nos dice que la imagen 7(2) está contenida en la superficie dada por x2 + y2 = 16 que es un cilindro circular de radio 4 con directriz del eje z. Al evaluar 7 en los extremos del intervalo [0, 2TT] se obtienen los puntos
(Reos t,Rsen t)
Figura 3.3: Círculo de radio R. 7(0) = (4,0,0)
que quedan verticalmente situados en dirección del eje z, y a una distancia (vertical) igual al 4TT, lo que nos dice que la imagen de 7 es una hélice de radio 4 y con paso de altura 47r (que se repite a intervalos de t iguales a 2TT) como lo muestra la figura 3.4. > Iniciamos ahora la discusión de la diferenciabilidad de una curva espacial, utilizando para ello los conceptos y resultados clásicos del cálculo diferencial en una variable (véase Reyes, 1996).
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Curvas en R2 y en K3
132
Figura 3.4: Hélice de radio 4 con paso de altura 4TT. Sea 7 : (a, b) —» R 3 una función vectorial de variable real definida en el intervalo (a, 6) C R. Sean / 0 , í £ (a, 6) con el argumento temporal variable t próximo del tiempo prefijado toCalculamos la diferencia entre sus vectores imágenes 7(¿) — 7(¿o) y luego la comparamos vía un cociente con la diferencia de argumentos (lo cual es posible pues podemos dividir vectores entre escalares). 7(t) — 7(¿o) ( t-tn
diferencia de imágenes diferencia temporal
Si pensamos en las imágenes como posiciones de un cuerpo puntual que se mueve en el espacio, tal cociente representaría un vector velocidad promedio en el intervalo [to, t], y el proceso de límite nos daría un vector velocidad instantánea (en caso de existir) al tiempo toDefinimos tal proceso de límite en el espacio, mediante los límites de las funciones coordenadas que son ya de conocimiento del cálculo diferencial de funciones reales de variable real. DEFINICIÓN. Se dice que la función 7 : (a, b) en el punto to £ (a,&), si existe el límite vectorial hm
t — t0 = lim í—ín
= lim
(x{t),y(t),z(t))
x(t)-x(t0) t-t0
y(t)-y{t0) t-t0
i3 es diferenciable
- (x(to),y(to),z(to)) t - to z(t)-z(t0) t-to
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3.1 Curvas suaves
133
En tal caso, tal vector se definirá por —-(¿o) — ^ m dt ¿-¿o t -10 y se llamará la derivada de 7 en el punto t-o. Si en cada punto del intervalo la función 7 es diferenciable, se dirá simplemente que es una función diferenciable. Ya que el límite que define a 7^-(¿o) depende de la existencia de cada uno de los límites por coordenadas (según la última igualdad en la definición), entonces tenemos, L E M A 3.1 La función 7 es diferenciable en to, si y sólo sí, cada función coordenada es diferenciable en ¿ 0 . Esto es, si cada límite dx , .
x(t) - x(t{))
%0)y> = Km V{t) - V{to) dt " í™tn t - t•o
existe. De aquí que 7 es diferenciable, si y sólo sí, cada una de sus funciones coordenadas es diferenciable. De esta manera, el problema de diferenciabilidad de una curva se ha reducido a la diferenciabilidad de las funciones coordenadas. Por eso podemos iniciar una discución de una propiedad más fuerte de las funciones vectoriales de variable real, es decir, de las curvas diferenciables. 1 Por una función vectorial suave de clase Cr entenderemos a una función vectorial cuyas funciones coordenadas son diferenciables de clase Cr con r > 1. De esta manera, 7 es una función suave, si cada una de sus funciones coordenadas es una función real de variable real suave en el intervalo J = (a.b).
Por El t e o r e m a de Whitney (Teorema 4.9 de Reyes, 1996), cada una de las funciones coordenadas de una función vectorial de variable real cuando es continua, puede aproximarse por una función de clase Cr. Así, en las aplicaciones, cuando se piensa en una función vectorial de variable X
E1 lector no familiarizado con la clase de diferenciabilidad de una función real puede consultar el capítulo 3 de Reyes, 1996.
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Curvas en R2 y en R3
134
real, ésta se supone de una clase de diferenciabilidad lo suficientemente alta, de acuerdo a las necesidades del problema que se esté solucionando. Esto es, en las aplicaciones, las curvas espaciales genéricamente se piensan suaves. Si la curva 7 es suave, definimos a su derivada en el punto arbitrario t G J = (a,b) usando una notación clásica: ^ = 7(í) = (i(í), y(t), ¿(t)) donde el punto sobre la variable define a la derivada respecto al tiempo t. El vector derivada i(t) es un vector que además de ser tangente a la curva 7 en el punto 7(t), es un vector localizado posicionado en el punto 7(í). DEFINICIÓN. Una función vectorial 7 : (a, 6) —• R3 se llamará una curva regular, si para todo t € (a, b) su derivada i(t) no se anula. EJEMPLO. Sea la función vectorial 7(¿) = (cosí, senM), entonces la curva de imagen 7 en el intervalo (a, b) = (—00, 00) es una hélice de paso de altura 2?r, contenida en el cilindro x2 4- y2 = 1 del espacio R3. Claramente j(t) — (—sení, cosí, 1) es un vector que nunca se anula y, por ello, es que la curva es regular, (véase la figura 3.5 a.).
Figura 3.5: Curvas imágenes de funciones vectoriales
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3.1 Curvas suaves
135
EJEMPLO. Sea la función vectorial 7 : (-00, 00)
dada por
Entonces su imagen es un círculo de radio R > 0 con centro en el origen del plano R2. Su derivada i(t) = ( — Rsent, Rcost) es un vector que no se anula y, por lo tanto, se entenderá también como una curva regular (véase la figura 3.5 b.). EJEMPLO. Considérese la curva 7 : J
dada por
= (¿3 - M 2 -
< Es claro que el dominio de la curva 7 es todo el eje real J = ( — oo, 00). Inicialmente, para hacer el dibujo de la imagen de esta curva, asignamos algunos argumentos a la función y calculamos sus valores t
7(0
-3
-2
(-24,8)
(-6,3)
(0,0)
0
1
2
3
(0,-1)
(0,0)
(6,3)
(24,8)
Teniendo estos valores vectoriales en el plano, utilizamos ahora un método analítico para dibujar más precisamente la imagen de 7. Procedemos a analizar los vectores imágenes de la curva plana según los argumentos en el dominio, utilizando para ello las funciones coordenadas. A fin de resolver la desigualdad i3 — t > 0 para la primer función coordenada, calculamos las raíces de i3 — t = 0 que son t — 0,1, — 1. Estos números nos dividen el intervalo ( — 00, oo) en tres partes que nos permiten resolver tal desigualdad, sabiendo que e[-i,o]
ó t e [1,00].
Consecuentemente, para la primer función coordenada se tiene t3 -t > 0 t3 - t < 0
> t G [-1,0] U [l,oo) t e (-00, -1) U (0,1)
Análogamente para la segunda función coordenada, la ecuación t2 — 1 = 0, tiene las raíces t = ±1, lo que implica, t2 - 1 > 0
(-oo,-l] U[l,
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Curvas en R2 y en
136
o
(-1,1)
Evaluamos a 7 en los puntos importantes t — 0, —1,1 obtenidos al resolver las desigualdades anteriores:
7(0) = ((O)3 - ( 0 ) , O2 - 1 ) = (0,-1) y al dividir al dominio J en los subintervalos ( - o o , - l ) , (-1,0), (0,1),(l,oo) se obtiene la tabla ( — 00, - 1 )
x(t) y(t)
(0, - 1 ) -
0)
+ -
-
+
(1 - o c )
+ +
que indica la posición de la imagen de un argumento sobre la curva 7 en los cuadrantes del plano (véase figura 3.6), según las signaturas de sus coordenadas.
y
)
N \
A
s
X
, Y(-D
\ Y(-D
7(0). Y(0)
Figura 3.6: Posición de la imagen de la curva ^(t) = (t3 -t,t2-
1)
Ahora realizamos un análisis cualitativo de 7, usando su derivada - (3¿2-l,2¿)
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3.1 Curvas suaves
137
mediante un método similar al usado para la signatura de 7 en el plano. Para la primer coordenada x(t) de j(t) se tiene x{t) = 3¿2 - 1 > 0 <=> 3t2 - 1 > 0 <<=> 3¿2 > 1 de donde
Por lo tanto, x(t) - 3¿ - 1< 0 4=> ¿ E ^
—, — J
Análogamente, para la segunda coordenada de 7(t), y(t) = 2t> 0<=> x e (0,oc)
y(t) = 2t < 0 4-» x e (-oc, 0) De las dos desigualdades anteriores se consiguen los puntos importantes 0'
Y 3 \/3 3 ' 3
Ahora calculamos la imágenes bajo 7 y 7 de estos puntos importantes: 7(0) = (0,-1)
7(0) = (-1,0)
La figura 3.6 ilustra a tales puntos y a sus vectores velocidad (tangentes) correspondientes.
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Curvas en R2 y en
138
Con los intervalos -oo,--
73N '00
:-$•:
obtenidos mediante este segundo análisis se forma la siguiente tabla que describe la signatura de las coordenadas de j(t) — (x),y(t)).
x(t) y(t) 7(0
+ \
/
+ +
+ \
La flecha del renglón correspondiente a j(t) en cada subintervalo describe cualitativamente la posición del vector velocidad tangente a j(t) (véase lafigura3.6). Además, observamos que la imagen de 7 tiene una autointersección en 'y(l) = 7( —1) lo que le hace ser una función que no es inyectiva. En el punto 7(1) = 7( —1) = (0,0) se tienen dos vectores derivadas 7 (l)
= ( 3 í 2 - l , 2 0 | 1 = (2,2)
7 ( - l ) = (3¿ 2 -1,201-1 = (2,-2) De esta forma un trazo de la curva en una región acotada alrededor de (0, 0) estaría dado por lafigura3.6. Hacemos el análisis a los extremos del dominio J = ( — 00, 00). Si t —» —00, entonces, lim t—<• — 0 0
= lim ( ¿ 3 - M 2 - l ) = ( lim (3 ~¿), t—> — 00
t—* — oc
lim (t2-!))
-> (-00,00)
t—> — 00
por El teorema de alto orden (véase Teorema 2.23 de Reyes, 1996). Análogamente, si t orden, se tiene
+00, entonces, por el mismo teorema de alto
lim 7(í) = ( lim ¿3, lim ¿ 2 )^(oo,oo) lo que se puede observar en la figura 3.6. \> A los vectores derivadas *y(t) se les entenderá también como vectores velocidad de 7 en el punto 7(í). A la longitud de 7(t), es decir a ||7(¿)|| se le llamará la rapidez de 7 en el punto 7(¿).
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3.1 Curvas suaves
139
EJEMPLO. (La cúspide) Sea la función vectorial dada por
< Es claro que el dominio de la curva 7 es J — (—00, 00). Asignamos primeramente algunos argumentos a la función 7 calculando sus valores, y obteniendo la siguiente tabla. t
7(0
-3
-2
(-27,9)
(-8,4)
-1
0
(-1,1)
(0,0)
1
2
3
(1.1)
(8,4)
(27,9)
Procedemos de forma análoga al ejemplo anterior, estudiando la signaturas de la función y su derivada. Para la primer función coordenada, resolvemos la desigualdad x(t) — t3 > 0 que simplemente es equivalente a t > 0 . Por lo tanto, x(t) = t3 > o <=> t e [o, oo] y consecuentemente, x(t) = t3 < 0 <=^ t € [-oo, 0) Análogamente para la segunda coordenada, obtenemos, y(t) = t2 > 0 ^=> t e (-oo, ex)) Evaluamos los puntos importantes encontrados, que es apenas t = 0, 7(0) = (0,0) y con los subintervalos obtenidos se tiene la tabla de signatura de x(t) y(t)
(-00,0) -
+
(0,00)
+ +
Analizamos la signatura de la derivada de la curva,
resolviendo primeramente la desigualdad, x(t) = 3t2 > 0 <=> t e (-oo, 0) U (0, oo)
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Curvas en R2 y en
140 Por otro lado, y = 2t > 0<=>t <E (0,oo)
y(t) = 2t < 0 4=^t G (-oo,0) y se tiene en este caso, nuevamente el punto importante t = 0. Calculemos las imágenes bajo 7 y 7 de este punto importante 7(0) = (0,0) 7(0) = (0,0) que hace de *y(t) una curva irregular. Ahora con los intervalos ( — 00, 0), (0, 00) se forma la siguiente tabla de signaturas de las componentes de los vectores velocidad, x(t) y(t) 7(*)
(-03,0)
(O.oo)
+ \
+ +
Finalmente, hacemos el análisis a los tiempos extremos del dominio J = ( — 00,00), calculamos los límites, lim 7(t) = lim (¿ 3 ,¿ 2 ) = ( lim t 3 , lim t2) -> (-00,00) t—+ — oc
t—> — oc
t—> — oc
í—> —oc
lim 7(¿) - lim (t3, t2) = ( lim ¿3, lim t2) - • (00, 00) La figura 3.7 ilustra el trazo de la curva imagen de esta función llamada cúspide. D> Damos ahora unas propiedades aritméticas de la derivada de funciones vectoriales con argumento escalar. LEMA 3.2 Sean 71,72 : (a, b) —» M3 dos funciones vectoriales suaves de variable real. a. Para los escalares A, ¡1 G M, se verifica fácilmente que i ^ ( í ) = A7i(í) b. Para una función real de variable real suave X — X(t) definida en el intervalo (a, b) C R es justa la relación ^ (*) = Á(í)7(0 + A(í)7(í)
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3.1 Curvas suaves
141
y
(0,0)
X
Figura 3.7: Curva imagen de la cúspide. <] Son cálculos directos y omitimos su prueba O. Sean ahora dos funciones vectoriales suaves 71,72 • (&,6) —> R. en todo el intervalo, y consideremos para cada t € (a,b) los vectores velocidad 7i (0< 72(0- Se tiene el siguiente resultado acerca del cálculo de la derivada en productos escalar y vectorial. LEMA 3.3 5?; 71, 72 : (a, b) fórmulas de Leibniz:
son funciones suaves, son justas las
a.
b.
c.
(í).72(*),-¿jr(*)J =(71,72,73) + (7i,72,73) + (7i,72,73) donde (, , ) es el triple producto escalar. < Son igualmente cálculos directos y se omiten. O EJEMPLO. Sean las curvas espaciales suaves 7i(í) = (cosí,senÍ,2TT(Í))
y 7 2 (í) = (4í 2 ,2í, -t)
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Curvas en R2 y en R3
142
< Ya que 71 (t) = (—sent, cosí, TT) y 72(t) = (8¿,2, —1) se tiene que a.
d
72 >=< 71,72 > + < 7i,72 >
-r, <
= < (-sen¿,cos¿,27r),(4¿ 2 ,2¿,-¿) > + < (cos¿,sen¿,27r¿), (8¿,2,-1) = -4¿ 2 sen t + 2í eos ¿ - 2TTÍ -f 8í eos í + 2sen¿ - 2nt
= (2 - 4t 2 )sen ¿ + lOí eos t - 4nt b . De igual forma, ^[71,72] = [71,72] + [71,72] e\
-sení 4t2
cosí 2TT 2t -t
= (—t eos £ — 4?r¿, —¿sen ¿ — -(-(—sent —
4TT,COS£
e2
eos t 8t
+
8TT¿2,
e3
sen t 2irt 2 -1
— 2¿sen t — 4t2 eos i)
8TT¿ 2 ,2COS¿
— 8£sen¿)
2
= (—t eos £ — sen t — 8TT¿, eos ¿ — ¿sen ¿, —4¿ eos t — lOtsen ¿4-2 eos t)
>
Introducimos ahora el concepto de curva regular parametrizada, que es de gran utilidad en las aplicaciones a la mecánica, física e ingeniería. Este concepto, aunque en apariencia tiene definición abstracta, en realidad es establecida acorde a la experiencia cotidiana. 2
DEFINICIÓN. Una curva regular parametrizada T es un subconjunto de R 3 (ó de R 2 ) tal que para cualquier punto p G T existe una función vectorial de variable real suave 7 : J -> R 3 satisfaciendo que, si J — (—e, e) para un número e > 0 , entonces a. La imagen de 0 bajo 7 es el punto p, es decir, 7(0) = p b . La velocidad de 7 no se anula en todo el intervalo, esto es, i 0 para todo
t£J
2
Por ejemplo, cuando se estudia una trayectoria espacial de un cuerpo, es difícil estudiarla en su totalidad, así que se procede a estudiarla por fragmento, es decir, por partes que se pueden parametrizar con una variable temporal adecuada, en un intervalo temporal adecuado.
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3.1 Curvas suaves
143
c. La imagen de J bajo 7 está contenida en F, en otras palabras, 7(¿) 6 T para todo t G J Si la imagen de J bajo 7 cubre a F, diremos que la pareja (7, J) es una parametrización de F. En caso contrario, diremos que la pareja (7, J) es sólo una parametrización de F alrededor del punto p G F.
-£
Figura 3.8: Curva regular parametrizada. En coordenadas (x, y, z) del espacio cartesiano, la curva 7(¿) está definida por el vector 7 (í)
= (*(*), y(í), z(t))
t G J,
donde las coordenadas x(t), y(t), z(t) son funciones reales suaves definidas en el intervalo J — (—e, e) que contiene a t — 0 (véase la figura 3.8). En adelante, cada vez que hagamos referencia al dominio de parametrización de una curva F alrededor de un punto p lo definiremos por [a, b] en lugar de (-e,e), tomando en este caso, el dominio más amplio para parametrizar tal curva F. Esto es, cada vez que demos una curva F, la entenderemos, sin pérdida de generalidad, como la imagen de una función
donde [a, b] C R, siendo 7 una función suave con coordenadas suaves. Para 7 : [a, 6] —• F curva regular parametrizada, en cada punto 7(t) € F se define un vector tangente a F en tal punto, como el vector derivada de 7 en í, esto es, ' dx dy dzs
La notación 7 = j(t) es muy conveniente, como ya hemos mencionado, a la hora de hacer cálculos, sobre todo en problemas de aplicación.
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Curvas en R2 y en
144
A continuación damos ejemplos de parametrizaciones de curvas F c R 3 (ol2). EJEMPLO. Considere la elipse en el plano con semieje mayor a > 0 y semieje menor 6, definida por la ecuación x2
r •
y2
—+ —= i a2
+
b2
< Una deformación del círculo unitario parametrizado por t —> (cos¿, sení), por un escalar a en la primera coordenada, y por el escalar b en la segunda coordenada, nos da la parametrización requerida. Esto es,
r : ( *=« « » *
íeR
[ y = 6sen¿, parametriza suavemente a la elipse F. Si escribimos 7(2) = (a cosí, frsení), entonces el vector tangente a 7 en el punto 7(2) 6 F se calcula por v(t) — 7(t) = (—asent, 6cosí) Como v(t) ^ 0, entonces F resulta ser una curva regular. > EJEMPLO. Sea F C R3 una hélice contenida en un cilindro de radio 4 y con paso de altura h = 4TT. <\ Para poder parametrizar a F, partimos de que una hélice contenida en un cilindro de radio R y paso de altura h = 2/CTT tiene la parametrización general í = v(t) =t-+ (Rcost, Rsent,kt), t e R SijR = 4 y / i = 4?r = 2(2TT), entonces k — 2, lo que lleva a que la parametrización de F está bien definida por
Si se define por ^(t) = (4cos¿, 4sen¿, 2¿), t € R, a tal curva, entonces el vector tangente en el punto 7(2) G F está descrito por v(t) = 7(í) = (-4sen¿, 4cosí, 2), vector que no se anula. Esto hace que la hélice F sea una curva regular. >
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3.1 Curvas suaves
145
EJEMPLO. Sea F el círculo de radio R > 0 con centro en el origen de coordenadas dado por
< Al considerar la función vectorial 7 : ( — 00, DO) —> R2 dada por 7(¿) = (Rcost,Rsent) entonces su imagen F es el círculo dado. Su derivada = (-Rsent,Rcost) es un vector que no se anula y, por lo tanto, se entenderá también como una curva regular. Anotamos que la función vectorial y(t) = (fícos2£, Rs'm2t) tiene como imagen también al mismo círculo, pero su vector derivada es más grande de norma que la de 7(¿). De hecho, = (-2físen2í,2fícos2t). lo que implica que ||7(í)|| - ||(-2ñsen2t, 2ñcos2í)|| = 2ñ = 2||(- J Rsent, fíeost)|| = 2||7(t)|| lo que nos dice que la norma de *y(t) es el doble de la norma de 7(í). (La figura 3.9 ilustra esta situación). Decimos simplemente que la parametrización 7(t) "va más rápida" que la de j(t). >
Figura 3.9: Parametrizaciones del círculo de radio R > 0.
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Curvas en R2 y en R3
146
3.2
La segunda derivada. Aceleración
Ya se ha mencionado sobre la clase de diferenciabilidad de una función vectorial de variable real (curva suave) 7 : J -> R3 relegando las definiciones a las propiedades de las funciones coordenadas x — x(t) y = y(t) , te J z = z(t) Particularmente, una curva de clase C2 es una función vectorial de variable real cuyas componentes son funciones de clase C2. Entendemos por ^(t) la segunda derivada de la curva 7 en el punto 7(2), y en coordenadas le escribimos 7(¿) = (x(t),y(t),z{t))
= x(t)ei+y(t)e2
+
'¿(t)e3
donde los puntos indican derivación respecto a la variable temporal t € J. DEFINICIÓN. Al vector espacial j(t) se le llamará el vector aceleración de la curva 7 en el punto j(t). EJEMPLO. Sea el círculo de radio i?, con centro en el origen, parametrizado por, 7(¿) = (i?cosí, Rsent), t e R <\ Un cálculo simple nos muestra que 7(¿) = (-Rsent, 7(¿) - (-Reost,-Rsent)
Rcost) = -fl(cos¿, sent)
lo que nos dice que j(t) — —i(t). Esto es, el vector de posición j(t) y su aceleración j(t) son paralelos con sentidos opuestos. D> EJEMPLO. Dada la curva suave = (e2t,sen4t,cost) calcular i(t) y 7(t). O Directamente, obtenemos los vectores velocidad y aceleración, = (2e 2í ,4cos4t,-sent)
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3.2 La segunda derivada. Aceleración
147
7(0 = (4f;2¿, -16senát, - eos/) > EJEMPLO. Dada la curva suave
calcular < 7(0, 7(0 > y [7(0,7(01< Al calcular directamente los vectores velocidad y aceleración de 7 ni 7(0, obtenemos 7(0 = (2¿,3¿2,4¿:i)
de donde
( 0 ( 0 >= 4* -f 18¿:l 43t2
[7(0,7(01 = 2
e3
6¿ 12í
+e3(12¿2 -6¿ 2 ) = Consideremos ahora cualquier curva 7 = 7(¿) tal que tenga una norma constante (por ejemplo 7(0 = (R eos t, Raen t) el círculo de radio /?), esto es, para todo t € J, tenemos que
117(011 = * donde A: es una constante no negativa. O Ya que k — 117(011» entonces
de donde, al derivar cada miembro respecto al tiempo t obtenemos
0 - - < 7(0,7(0 >=< 7,7(0 > + < 7(0,7(0 > = 2<7(0,7(0> es decir, < 7(0,7(0 > = 0 lo que nos dice que 7(0 y 7 son ortogonales. Así, utilizando este razonamiento para aquellas curvas con vectores velocidad con norma constante ||7(0ll — k s e tiene,
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Curvas en E 2 y en R3
148
Las curvas suaves que tienen rapidez constante son tales que sus vectores velocidad y aceleración son ortogonales. EJEMPLO. Sea la curva circular espacial 7(0 = ( l c o s M s e n / , 6 ) <\ El vector velocidad se calcula ->(/) = (—lswiMcosM)) cuya norma es ||7(0ll
=
•!•
Por lo tanto, el vector velocidad ^(t) es ortogonal al vector aceleración -
(-lcosr,-4sen/,0)
debido a la discusión anterior, y como se puede apreciar mediante el cálculo directo, > = lGcosfsenf- 16 eos ¿sen* = 0 D>
Ejercicios 1. Dibujar la granea en R2 o RA según corresponda, de las funciones a. ->,(0 = (3
d. 74(0 = (r'eosf,r'sen/)
e. lr)(t) = (jcosf, fscnO f. ~/(i(/) = ( i ^ c o s / , - ^ s e n / ) ,
/ >1
g. 7 7 ( 0 - ( e o s / , senf, t) h. l»{t) = (-leosf, lsen/, ef) 2. a. Calcule la derivada de las funciones del ejercicio 1. b.
Calcular el vector tangente a cada curva en los puntos t = 1, t —
7T/2, t = 7T.
3. Calcular, para las curvas del ejercicio 1, a.
i
b. ÜrM), 74(0] c
#(71(0, 75(0,->«(*))•
4. Calcular 7(¿) para cada curva en 1. y el vector aceleración en los puntos
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Capítulo 4
Campos escalares en En este capítulo hacemos el análisis cualitativo de una función de varias variables reales, generalizando algunos conceptos conocidos ya para funciones reales de una variable real.
4.1
Regiones en R2 y R3
Iniciamos esta sección describiendo los objetos geométricos en R" que van a ser utilizados a lo largo del capítulo. Estos objetos gozan de características que son usadas para estudiar las propiedades de funciones que están definidas en subconjuntos del espacio euclidiano R". En general, en la teoría diferenciable de funciones reales de variable real, los dominios se presumen de la forma D = (a, b) es decir, intervalos abiertos. Al intervalo (a, b) se le llama abierto pues no contiene las orillas a.b. Generalizamos este concepto de conjunto abierto en R"1. Si p € R n y e > 0 es un número real positivo, se define la bola de radio e y centro en p, como el conjunto sólido
DEFINICIÓN. Dado un conjunto Q C R", se dice que es un conjunto abierto en R n , si para cada p E Q existe un número c > ü tal que la bola de radio e y centro en p está contenida totalmente en {}. esto es.
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150
Campos escalares en
Figura 1.1: Conjunto abierto en R". Véase» la figura. 1.1. EJEMPLO. Todo intervalo abierto (a, b) C R es un intervalo abierto. < Esto ya se demostró anteriormente, notando que en el caso unidimensional una bola corresponde a un intervalo. D((p) = {qeR\\\q-p\\
<e} = {qeR\
\q - p\ < e}
= {(11 - c < q - p < c} = {q\ p - e < q < p + e}
Los siguientes ejemplos omiten las demostraciones de las afirmaciones mostrando apenas una ilustración de los subconj untos que intervienen. En general hacemos hincapié que un conjunto abierto í} de Rn es un conjunto "gonlito" que no tiene orilla (frontera). EJEMPLO. Una bola de radio e con centro en cualquier p € Rn es un conjunto abierto. <3 En este caso Í2 es una bola B€(p) > EJEMPLO. Sea ü c R2 la parte del plano definido por
<\ El conjunto Q es abierto en R2 (véase la figura 4.2). D> EJEMPLO. Sea íí C R2 el subconj unto dado por
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4.1 Regiones en R2 y
151
y=x
..<\\
Figura 4.2: Semiplano inferior x > y. < Claramente íl es un subconjunto abierto en R2.
>
EJEMPLO. Sea el conjunto Ü = {(x,y,z)\x2+y2
que define el interior de un cono. Se afirma que es un conjunto abierto en < Al considerar la igualdad
tal ecuación describe a un cono y íl define el interior del cono como lo muestra la figura 4.3. > EJEMPLO. Sea el conjunto íí = {(x, y, z) \ x2 + y2 > 1} C M3. < Entonces Q es un conjunto abierto en R3 y es el exterior del cilindro unitario (véase la figura 4.4). > DEFINICIÓN. Definimos al conjunto C c R n como un conjunto cerrado en Mn, si su complemento en Rn es abierto. Para ejemplos de conjuntos cerrados tenemos a los complementos de los conjuntos abiertos dados en los ejemplos anteriores. EJEMPLO. a. El conjunto C = (-oo, a] U [6,oc)
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152
Campos escalares en
y
Figura 4.3: Interior del cono z2 — x2 + y
Figura 4.4: Exterior del cilindro unitario. es cerrado en la recta real R. b . El conjunto C={(x,y)\x
es cerrado en el plano R . c. El conjunto es cerrado en IR2. d. El exterior del cono, incluyéndolo C =
{(x,y,z)\x2+y2
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4.1 Regiones en R2 y R¿
153
es un conjunto cerrado en R3. e. El interior del cilindro unitario, incluyendo al cilindro {(x,y,z)\x2+y2
C =
es un conjunto cerrado de R 3 . Es claro que existen subconj untos de Rn que no son ni abiertos ni cerrados. Por ejemplo D = ( —1, 2] es un intervalo que no es abierto ni cerrado en R. Sea íí C IR.3 un subconjunto. Se dice que el punto q e R3 es punto frontera de íí si toda bola con centro en p intersecta a íí y al complemento de íí. Al conjunto contenido en Rn definido por <9íí = {p £ Rn\ p es frontera de íí} se llamará frontera de íí en R n . Damos algunos ejemplos de fronteras de conjuntos. EJEMPLO. a. La frontera de íí — (a, b) es el conjunto formado por la pareja de puntos, d{a,b) = {a, b} b . La frontera del conjunto cerrado C — {(x, y)\ x < y} es la misma que la de su complemento, el abierto Q = {(x, y)\ x > y} y es la recta
Tal conjunto está contenido en el cerrado C y no pertenece al subconjunto abierto íí. c. La frontera del abierto íí = {(#, y)| x2 4- y2 < 4} es la misma que la del cerrado C — {(#, y)\ x2 + y2 < 4} y la constituye el conjunto cilindrico dü = dC = {(x,y)\x2
+y2
=4}
que está contenido en el cerrado C. d. Dados los conjuntos íí = (x,y,z)\x2 {(x, y, z)\x2 +y2 > z2} cerrado, tenemos
+ y2 < z2} abierto, y C =
OC = OÜ = {(x, y, z) | x 2 + y2 = z2}
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Campos escalares en
154 es la frontera tanto de C como de Í1.
Entre las características geométricas de un subconjunto de Rn está aquella que nos asegura que tal subconjunto no está dividido en pedazos ajenos entre sí. DEFINICIÓN. Decimos que el conjunto Q C Mn es conexo si dados dos puntos p, q, G í¿, existe una curva F que los une, totalmente contenida en
n. Si Í1 no es un conjunto conexo se llamará disconexo, (véase la figura 4.5). EJEMPLO. Sea el conjunto del plano íí = {(x,y)\x2
+ y2 < 1
ó
x2 + y2 > 4}
Se afirma que Q es disconexo.
Figura 4.5: Conjuntos conexo y disconexo. < Dados p y q con ||p|| < 1 con \\q\\ > 2 se tiene cualquier curva que los une se sale del conjunto íl. \> EJEMPLO. El conjunto anular
A= {{x,y) GR 2 |
1 <x2 +y2 < 4}
encerrado entre los círculos de radios 1 y 2 respectivamente, con centros en el origen, es un conjunto conexo. En general un conjunto conexo es aquél que está formado por una sola pieza. Esto es, un conjunto conexo en Rn se entiende intuitivamente como un conjunto que no se divida en varias piezas. DEFINICIÓN. Por una región en Rn entenderemos un conjunto íl C Rn que es abierto y conexo.
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4.2 Campos escalares en R3
4.2
155
Campos escalares en R3
Pasamos ahora a definir a una función real con argumento vectorial, utilizando los conceptos dados de abierto y conexo. Por un campo escalar definido en la región Q C R n
entendemos a la función real de variable vectorial, es decir, una asociación tal que cada punto p G 0, se le asocia el número real f(p).
Figura 4.6: Función vectorial / : Q C R n -> R. En coordenadas x, y, 2 del espacio R 3 esta asociación se escribe, para el punto p = (x, y, z), f(p) = f{x,y,z) Esto es, si (x, y, z) G fi, bajo la función / se le asociaría el número real (x,y,z)
->
f(x,y,z)
En adelante, usaremos indistintamente los nombres de función real de variable vectorial y campo escalar. DEFINICIÓN. La gráfica de una función / : íl —• R es un subconjunto Graf(/) de R4 definido por
{((
(
( y ^ ) G Q, (
}
Análogamente, para una función definida en la región plana Q C R 2 , / : Q —> R se tiene su gráfica como el subconjunto Graf (/) = {(x, y, z) | (x, y) G fi, 2 = / ( x , y)}
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C a m p o s escalares en R3
156
Figura 4.7: Gráfica de f(x, y) = x2 + y2 contenido en R 3 , constituyendo una superficie en tal espacio tridimensional. Damos algunos ejemplos donde la regla de correspondencia es dada de antemano. E J E M P L O . Sea el campo escalar cuya regla está dada por
f(x,y) = x2 + y2 < Claramente, el dominio de / es Q — R2 y su gráfica es la superficie definida por el conjunto contenido en R 3
que resulta ser un paraboloide circular (véase la figura 4.7). D> E J E M P L O . Sea la función / : Í7 —> R dada por la regla de correspondencia f(x,y) = >/4 - x2 - y2 < Para calcular el dominio Q imponemos la condición 4 — x2 — y2 > 0 o equivalentemente,
4 >x2 Esto es, para (x,y) € Q se debe cumplir que ||(x,y)|| < 2 lo que nos dice que el dominio fi deberá ser un disco cerrado de radio 2 con centro en el origen de coordenadas.
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4.2 Campos escalares en
157
X
Figura 4.8: Gráfica de f(x,y) = yjA — x2 — y2. La gráfica de / es el conjunto cerrado Graf (/) = {(*, y, sjl-x2-
y2) | x2 + y2 < 4}
Si ponemos z = \/4 - x2 — y2 entonces, al elevar cuadrados obtenemos 22 =
4
_
X2
_
y2
de donde, x2 -h y2 + z2 = 4
que es una esfera de radio 2 con centro (0,0,0). De esta manera, la gráfica de / es la parte superior de tal esfera como lo muestra la figura 4.8. >
R
(x,y)
Figura 4.9: Parte del plano x
= lenél primer octante.
EJEMPLO. Sea la función / : fi -> R dada por la regla f{x,y,z)
= ln(l - x -y - z)
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Campos escalares en R 3
158
<] La función está definida en una región de R 3 determinada por la relación
1-x-y-z>
0
es decir, En la igualdad x + y + z — 1 tenemos un plano con cortes con los ejes x = 1, y = 1 y z = 1. Al tomar el punto p = (0,0,0) se tiene que sus coordenadas satisfacen 0 + 0+ 0 = 0 < 1 es decir, p satisface la relación x-\-y-\-z
4.3
Superficies y curvas de nivel
En esta parte estudiaremos un método para trazar aproximadamente la gráfica de una función de dos variables mediante los conjuntos de nivel de tal función (imágenes inversas) contenidos en el dominio. DEFINICIÓN. Para un campo escalar / : íí C M3 -> R y un valor c G R dados, se define el conjunto de nivel de / al valor c, definido por f~l(c), como la imagen inversa de c bajo / , esto es, f~l{¿)
= {(x,y,z)\f(x,y,z)
= c}
En otras palabras, es el conjunto de puntos {x, y, z) £ Ü que bajo / alcanzan el mismo valor / ( x , y, z) — c. EJEMPLO. Sea la función
Calcular los conjuntos de nivel para los valores c = 1,0,1. <] Para el caso c = — 1, se tiene que por definición f-'i-l)
= {(x,y,z)\x2
+y2 + z2 = -1}
Esto es, los puntos (x, y, z) en tal conjunto deberán satisfacer la relación x2 + y2 + z2 = — 1, lo cual es imposible.
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4.3 Superficies y curvas de nivel
159 1
Consecuentemente, el conjunto de nivel obtenido / conjunto vacío.
( —1) = 0 es el
Consideremos ahora el valor c = 0. Entonces en este caso, r\0)
= {(*, y, z)\x2+
2 y
+ z2=0}
es decir, los puntos contenidos en tal conjunto deberán satisfacer la relación x2 + y2 + z2 = 0, y tal relación es apenas resuelta cuando x = y = z — 0. Por lo tanto, el conjunto de nivel para c — 0 es apenas el punto
r 1 (o) = {(o.o.o)} Finalmente, consideramos el valor c — 1, y entonces en este caso,
Es decir, los puntos en tal conjunto deberán satisfacer la relación x2 -h y + z2 = 1, la cual corresponde a la ecuación de la esfera S2 C IR3, esto es, 2
De esta última discusión, se observa que para un valor c arbitrario los puntos (x,y,z) en el conjunto de nivel f~l(c) deberán de satisfacer la ecuación x2 + y2 + z2 = c
la cual tiene sentido apenas (puede ser resuelta) para c > 0, es decir, /~ 1 (c) es vacío si c < 0. Si c = 0 hemos ya notado que / - 1 ( 0 ) s e reduce al punto (0,0,0). Por otro lado, si c > 0 entonces / - 1 ( c ) e s u n a esfera con centro en el origen y de radio i? = y/c como lo muestra la figura 4.10. eje
z
--0 Plano
(x,y)
Figura 4.10: Conjuntos de nivel de x2 -f y 4- z — c
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Campos escalares en
160
Notamos además que para c\ / c2 se tienen dos esferas diferentes f~l(c\) ¥" f~lic2) en virtud de que los radios de cada una es diferente. Por lo tanto, los conjuntos de nivel folian (dividen) al dominio de la función f(x, y, z) — x2 + y2 + z2 mediante esferas (hojas) que no se intersectan entre sí. D> La afirmación última es válida en general para cualquier campo escalar 1. Esto es, f-.nc LEMA 4.1 Los conjuntos de nivel de un campo escalar f folian (dividen) al dominio mediante conjuntos (hojas) f~l(c) que no se intersectan entre si.
< Si para los valores c\ / c2 € R, los conjuntos de nivel respectivos /~ 1 (ci) y f~l{c2) se intersectan, f~l(c\) D f~l(c2) / 0 , entonces sea l 1 l p e f~ (c\) n / ~ ( c 2 ) . Ya que p e f~ {c\) y p G /~ 1 (c 2 ), entonces f(p) = c\ y f(p) — C2, lo que no puede ser pues / es una función y a cada punto del dominio le asocia un valor y sólo uno. > La discusión que hemos realizado se puede llevar a cualquier función de varias variables, particularmente para funciones del tipo f(x,y), donde los conjuntos de nivel f~~l(c) son curvas planas que folian el dominio de / (véase la figura 4.11).
c>0
I'--
c<0
Figura 4.11: Curvas de nivel y gráfica de la función f{x,y)
= x2 - y'
EJEMPLO. Dada la función en dos variables,
describir a los conjuntos de nivel para c — —1, 0,1. < Para el valor c = — 1, se tiene la relación
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4.3 Superficies y curvas de nivel
161
que corresponde a una hipérbola con sus componentes verticales y pasando por los vértices (0,1) y (0,-1) respectivamente. Para el valor c = 0 se deberá de cumplir la relación x-2 - y2 = 0 <=> (x, +y)(x - y) = 0 <=> y = ±x que corresponde a un par de rectas por el origen de coordenadas. Tales rectas son las asíntotas de la hipérbola encontrada cuando se estudio el nivel c = —1. Finalmente para el caso c = 1, se cumplirá la relación
que corresponde a una hipérbola con sus componentes horizontales que pasan por los vértices (1,0) y ( — 1,0) respectivamente, teniendo como rectas asíntotas a y = ±x. Un análisis semejante al realizado nos permite concluir que si c £ R es un valor arbitrario se cumple que a. Para c < 0, el conjunto f~l{c) es una hipérbola vertical con vértices en los puntos (0, ^/c), (0, — >/c), y con rectas asíntotas y — ±x. b. Para c — 0, f~l(c)
es la pareja de rectas por el origen y = ±x.
c. Para c > 0, el conjunto f~l{c) es una hipérbola horizontal con vértices en los puntos (^/c, 0), ( —>/c, 0), y con rectas asíntotas y = ±x. La figura 4.11 ilustra las curvas de nivel en este ejemplo. í> Observemos detenidamente el proceso de foliar el dominio íl de la función / mediante conjuntos de nivel. Damos hiicialmente un valor de / a la "altura" c 6 R y buscamos el conjunto f~1(c) que es la imagen inversa de c bajo / . En otras palabras, f~l(c) es la forma del conjunto que tiene la gráfica de la función / cuando se observa sólo a la altura c de los posibles valores. Más correctamente, cada subconjunto de nivel f~l(c) es la parte de la gráfica de la función / suspendida dentro de la gráfica a un nivel del valor igual a c, lo que nos dice que se puede construir la gráfica de la función / : í} — . > R con el simple hecho de foliar {} con los conjuntos de nivel, y después colocar cada conjunto de nivel a su altura correspondiente. Este proceso nos recuerda a la descripción de las zonas geográficas mediante mapas topográficos que detallan la configuración de ellas utilizando curvas de nivel. Cada curva de nivel corresponde a una altura determinada y el conjunto total de curvas nos ayuda a describir la topografía de la zona estudiada (véase figura 4.12).
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Campos escalares en
162
Figura 4.12: Curvas de nivel en topografía. EJEMPLO. Consideremos nuevamente el campo escalar,
f(x,y) =
x2-y2
< Ya hemos estudiado cuáles son las curvas de nivel de esta función, por lo que se tienen los siguientes resultados. a. Para un valor c < 0 , el corte de la gráfica
con el plano horizontal (a la altura) z — c corresponde a una hipérbola en el plano E^ y en dirección del eje y, con vértices en (0, y/c), (0, —y/c) y asíntotas y = ±x. b. Para el valor c — 0, el corte de la gráfica Graf (/) con el plano horizontal z = 0 corresponde al par de rectas y — ±x en el plano R^i2/. c. Para el valor c > 0, el corte de la gráfica Graf (/) con el plano horizontal 2 = 0 corresponde a una hipérbola en el plano Rx y en dirección del eje x, con vértices en (y^, 0), ( — y/c, 0), y con asíntotas y = ±x. La figura 4.11 describe la gráfica de esta función que es un paraboloide hiperbólico (silla de montar). \> Los siguientes ejemplos nos indican que en general, hacer el trazo de la gráfica de una función de dos variables no es simple cuando se usa la metodología de las curvas de nivel, y que hay que encontrar argumentos más sotisficados para el trazo, debido a que la estructura de las curvas de nivel es complicado, o demasiado simple para la elaboración de tal trazo. EJEMPLO. Considérese la función definida en íí - R2 - {(0,0)} por la regla de correspondencia x2 + y2
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4.3 Superficies y curvas de nivel
163
<3 Calculamos sus curvas de nivel para un valor arbitrario r G R. Los puntos (x,y) G f~l{c) deberán satisfacía- la relación xy
x1 + y2 o equivalentemente (omitiendo el origen de coordenadas). xy = c(x2 + y2) <==> ex2 — xy + cy2 = 0
Si se resuelve la última ecuación para y en términos de x, se tiene? que y =
x± 2c
que corresponde a ecuaciones de rectas por el origen cuya pendiente depende del valor de c. Tales valores de c están condicionados a que 1 — Ir:2 > 0 , es decir, a que ~^ < c < ^- Las curvas de nivel, que realmente no pasan por ((),()), están trazadas en la figura 4.13 para ciertos valores de c. Claramente es difícil realizar el dibujo de la gráfica con estos elementos en virtud de que el haz de líneas obtenidas al ser levantados a sus valores respectivos dificultan su pegado continuo, además de la aparición del punto singular /; =•((),()). La traza de la gráfica de / realizada por el programa de Mathematica se muestra en la figura 4.13 que describe su complejidad cerca del punto singular. > c>0
c<0
;--_
c
c>0
Figura 4.13: Curvas de nivel y gráficas de f(x,y)
=
EJEMPLO. Consideremos el campo escalar cuartico / ( x , y) = x4 - y4 - Axy
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164
Campos escalares en
< Para el valor c £ R, los puntos (x,y) e f~l(c) ecuación
deberán satisfacer la
x4 -f y4 — 4xy = c.
Tal ecuación no es a primera vista reconocida y, de hecho, la forma de las curvas de nivel varían según el valor c. En el capítulo 9 (de los apéndices) buscaremos tales curvas de nivel utilizando un análisis cualitativo de la función alrededor de los llamados puntos críticos, que determinan localmente (alrededor de ellos) la estructura de las curvas de nivel. De hecho mostraremos las siguientes propiedades de la función / . a. Si c < — 2 entonces f~l{c) es vacío, es decir, sólo cuando c > —2 el conjunto de nivel f~l{c) es no vacío. b. Cuando c — - 2 la curva de nivel es la pareja de puntos críticos aislados c. Cuando — 2 < c < 0r la curva de nivel f~x(c) está compuesta por una pareja de curvas cerradas que encierran a los puntos críticos mencionados en b. d. Cuando c — 0 la curva de nivel / - 1 (0) es una curva que se autointersecta en (0, 0) en forma de "ocho" y que en cada uno de sus pétalos encierra las parejas de curvas mencionados en c. e. Cuando c > 0 la curva de nivel f~l{c) es un circuito cerrado que encierra a la figura de "ocho" dada por f~1(0). Cabe resaltar que una prueba contundente de todos los resultados mencionados en este ejemplo serían provistos por la teoría básica de la rama de las matemáticas conocida como Geometría Algebraica. La figura 4.14 ilustra las curvas de nivel de la función y su gráfica trazada por el programa de Mathematica. o La moraleja de los últimos ejemplos es que, en general, no es simple ni siquiera construir las curvas de nivel de una función . Más aún, ya teniendo las curvas de nivel de una función (vértebras de la gráfica), en muchas ocasiones no es fácil construir su gráfica (columna vertebral). Lo recomendable, entonces, durante el análisis de un campo escalar de dos variables, es el uso de un programa de graficación ejecutado por un ordenador. Para el caso de una función de tres variables, la construcción de su gráfica es imposible debido a que está sumergida en un espacio real de dimensión cuatro, objeto que no es simple dibujar.
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4.4 Derivadas parciales y el gradiente
165
Figura 4.14: Curvas de nivel y gráfica de f(x, y) — x + y4 — \xy.
4.4
Derivadas parciales y el gradiente
A continuación iniciamos el estudio de la propiedad de diferenciabilidad de un campo escalar definido en una región del espacio R3 (ó R 2 ). Sean, / : Q —» R una función real de variable vectorial definida en la región Í2 C R3, y p = (xo,yo,zo) £ SI un punto arbitrario. Si dejamos fijas las coordenadas yo, zo y variamos la variable XQ en el intervalo [xo, + h] podemos formar el cociente (parcial) f(x0 + h, yo, zo) - /(x 0 , yo, ¿o) y tomar el límite cuando h —> 0 (véase la figura 4.15). DEFINICIÓN. Si tal límite existe, se llamará la derivada parcial de / respecto a x en el punto p — (xo, yo, ¿o) Y se entenderá por df,
x
i-
f(xo +
— (x o ,yo,2 O ) = lim ax h-+o
h,yo,zo)-f{xo,yo,zo) h
Tal cantidad define la variación de la función / en el punto p = z en a (#O,2/OÍ °) ^ dirección del eje x. Análogamente, se construyen la derivada parcial de / respecto a y en P= {xo,Vo,zo) como df ( \ y fixo,yo + k,zo) — f{xo,yo,zo) x y Z k-+o h dy °' °' ° y la derivada parcial de / respecto a z en el punto (xo,yo, ZQ) mediante la igualdad r\ £
£/
1^ /J\
£/
\
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Campos escalares en
166
si tales límites existen.
z=f(x,y)
Figura 1.15: Derivada parcial de una función respecto a x. Como (.ro, /yo, z{)) es arbitrario, el cálculo de tales parciales se obtiene derivando ordinariamente la función dada respecto a la variable indicada dejando fijas las otras variables. E J E M P L O . Sea el campo escalar
<1 Calculamos sus derivadas parciales derivando ordinariamente respecto a la variable indicada, fijando las otras variables, obteniendo en cualquier punto arbitrario (x,y,z) del plano,
E J E M P L O . Sea la función en tres variables
Por un cálculo directo se tiene, en cualquier punto (a,\ y, z) del dominio,
E J E M P L O . Dado el campo escalar f{x,y)
= sen (ar
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4.4 Derivadas parciales y el gradiente
167
calcular las derivadas parciales de / en el punto p =
(1,TT).
< Calculamos directamente en cada punto (x, y) del dominio, — (x,y) =ycos(xy) — (x,y) = xcos{xy) y al evaluar e n p = (1,7r) se tiene, — - ( l , 7 r ) = 7TCOS7T = —7T
ox —— ( l , 7 r ) = ÍCOSTT = — 1
D>
dy En ocasiones, para fines de cálculo, es conveniente omitir el argumento donde se toman las derivadas parciales, esto es,
9f(
,
df
se sobreentiende que identifican a la misma cantidad. Para el campo escalar / : ü c R 3 —> IR se define en el punto p G Í7 el vector formado por las derivadas parciales en tal punto, llamado el gradiente del campo / en el punto p, y definido por
EJEMPLO. Si /(x, y) = sen(xy) y p = (1, n) entonces el vector gradiente de / en p es el vector,
EJEMPLO. Sean / ( x , y) = x2y3 y p = (3, 2). < Para cualquier punto P se tiene
y, por lo tanto, el gradiente de / en el punto p = (3, 2) es el vector V/(3,2) = (2xy\3xy2){3,2)
= (48, 108) >
Tenemos el siguiente resultado acerca de las propiedades aritméticas del gradiente de un campo escalar.
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Campos escalares en R3
168
TEOREMA 4.1 Sean f,g : Í2 C R 3 - R dos campos escalares tales que sus derivadas parciales existan en cada punto, entonces a. El gradiente de la suma de funciones satisface la regla,
V(/ + g)p = V/ p + Vgp b. El (¡radíente es lineal respecto a escalares, es decir, V(\f)p
= AV/,,
donde A € R es un escalar. c. Se cumple La fórmula de Leibniz
= gVf + <\ Damos a])enas la demostración de a.
EJEMPLO. Sea la función continua en tres variables dada por,
f(x,y,z) = senxy + exyz < Entonces, para cada punto p = (x,y,z) en e\ espacio,
= (y eos ;n/, x eos xy, 0) p 4- (yzexyz, xzedyz,
xyexyz)p
= (y eos xy + 2/zexí/', x eos xy -f xzexyz, xye a?/2 ) p Particularmente, en el punto p = (1, TT, 0) se tiene V/(il7r,o) = (ycosxy + yzexyz, x eos xy + xzexyz,
xyexyz)(i,n,0)
= (n eos TT) -h 7r(0)e ( 1 ) ( 7 r ) ( 0 ) , 1 COS(TT) 4- (l)(0)e°, 7re°) = (-7T, - l , 7 r ) .
O
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4.4 Derivadas parciales y el gradiente
169
Damos ahora la definición de diferenciabilidad de un campo escalar. DEFINICIÓN. Sean, una función / : ii C R 3 -> R y p <E íí un punto con coordenadas (x,y,z). Se dice que / es diferenciable en p, si existe una función real de variable vectorial g(h) tal que \g(h)+
existe en el punto p. Si la función / : Q —> R es diferenciable en cada punto de íl, simplemente diremos que / es diferenciable en Q. A continuación damos una condición necesaria para que un campo escalar tenga la propiedad de diferenciabilidad. Su prueba se omite, pero el lector puede referirse a Lima (1992). TEOREMA 4.2 (de diferenciabilidad). Sea f : íí C R3 -> R y supóngase que en el punto p G íí las funciones determinadas por las derivadas parciales ox
oy az
existen y son continuas (véase el capítulo 8 en los apéndices) en el punto p. entonces f es diferenciable en p. Un corolario inmediato a este teorema es el siguiente. C O R O L A R I O 4.1 Toda función f : Q —> R que involucre a las funciones clásicas en las variables independientes x, y, z, es una función diferenciable. E J E M P L O S . Las siguientes funciones son diferenciables en su dominio natural. a. Cualquier polinomio P(x,y,z)
en las variables x,y,z,
P(x, y, z) = 6xyz3 + 2x2yz
por ejemplo,
xy2z2 + 3
c. f(x, y, z) — sen \/l — eTy —
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Campos escalares en R3
170 d. f{x,y) = l e. f(x, y, z) = aictan(y/x -f z) f- fixi Viz) — xV
Un resultado inmediato cuya prueba tampoco realizaremos es el siguiente, referente, a la aritmética de las funciones diferenciables. L E M A 4.2 La suma (y diferencia), el producto y el cociente de funciones reales de variable vectorial que son diferenciables, es una función diferenciable EJEMPLO. Las siguientes funciones son diferenciables en todo su dominio natural. a. f(x,y,z)=6xyz2
+ J-y,++%z
b. f(x, y, z) = sen y/1 + exy — z -f ln (1 — ^/xy + -% ) y v j c. / ( # , y, z) = arctan (^) -f xyz + ln(z + x)
4.5
La regla de la cadena
En muchas ocasiones algunos problemas que involucran funciones de variable vectorial pueden reducirse a problemas de funciones reales de variable real que son más simples de estudiar, mediante la composición con curvas contenidas en las regiones donde están definidas tales funciones. A continuación damos el procedimiento. Sean, / : Q —> R una función diferenciable en todo punto de la región íl C R3, y 7 : (a, 6) —• Í7 una curva diferenciable. Entonces la composición
es una función real de variable real definida por,
EJEMPLO. Sean, el campo escalar, f(x,y,z) = xeyz +yezx y la curva diferenciable = (4cosí,4sení, 2t).
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4.5 La regla de la cadena
171
Figura 4.16: Gradiente de una función. Entonces = /(4cosí, 4senf, 2í) = 4cosfe ( 4 s e l l t ) ( 2 í ) + 4 s e n í e ( 2 t ) ( 4 c o s í ) = 4e 8tsen< cosí + 4e 8 t c o s í sení es decir, (/ ° 7)(¿) = 4e 8 í s e n í cos¿ +
Ae8tcostsent
resulta ser una función real de variable real, diferenciable. E J E M P L O . Sean la función
f{x,y) = ln(xy) y la curva diferenciable ^(t) = (¿, p-) con t > 0. <] Calculamos el dominio de / ,
{
x > 0 y y >0 ó x <0 y y< 0
lo que nos dice que la unión de cuadrantes positivo (estricto) y negativo (estricto) Q = {{x, y) j (.r > 0, y > 0), {x < 0, y < 0)} es el dominio de / , y que la curva
está contenida en Q.
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Campos escalares en
172
f(y(t))
Figura 4.17: Regla de la cadena. Entonces, la composición (/o7)(t), que resulta ser una función diferenciable, se calcula por
(/ ° 7)(«) = /(7(í)) = f(t, l/t2) = ln(í 1/í2) = ln(l/í) = - lní > Damos una fórmula para calcular la derivada de una composición de funciones como la que se ha mencionado (véase la figura 4.17). TEOREMA 4.3 (Regla de la cadena) Para una curva suave ^(t) y una función diferenciable f(x, y, z) se cumple la fórmula
dt
•(*)=< V / 7 ( t ) , 7 ( * ) >
que es la derivada de la composición f o 7 en el tiempo t. Esto es, en coordenadas x, y, z del espacio se tiene
df dx dx dt
df dy dy dt
df dz dx dt
Sea t £ (a, b) un punto arbitrario y considérese el incremento vectorial
Es claro que h -> (0,0,0) si s -> 0.
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4.5 La regla de la cadena
173
En virtud de que / es diferenciable, particularmente en el punto vectorial 7(¿), se cumple que h) -
),
=<
h > +\\h\\g(h)
donde lini/l_+(O,o,o) 9(h) — 0, siendo h cualquier incremento vectorial. Si se toma h — y(t -f s) — 7(t), entonces se tiene = < V / 7 ( t ) , 7 ( í + s)-
a) - -y(t)\\g(h)
7(í)
que al dividir entre el incremento s nos da
s
\
'
s
"'
Si tomamos el límite cuando s —> 0 se tiene que 7) ,<, dt
1:_
/ ( 7 ( í + «)) - / ( 7 ( 0 )
=
/v
/
t Hr
limg(ft) =
•S —* U
=< V / 7 ( t ) , 7 ( 0 > debido a que lim;,^( 0 0 0) ^(/i) = 0 . O EJEMPLO. Sea la función diferenciable f(x, y) = x2 + 2xy y sean x — r eos (p, y — r sen <¿? con ip € [0, 2TT] . <3 Al formar la función g(r,y>) — f(r cos(/9,r sen ip) se tiene, al derivar la función g respecto a su variable verdadera r,
T — Ir eos2 (
dr
2rsen<^ eos ^ + 2r eos ^ sen^ = 2r eos2 y? + 4 sen? eos (/?
Si
dg
df dx
df dy
dip
dx d(f
dy dip
= (2x + 2y)(-rsen(p) 4- (2x)(rcos(f)
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Campos escalares en = (2rcos? -f 2r sen ip)(-r sen(p) -f 2r eos ip r eos (p = -2r 2 sen (pcosip — 2r2sen2(p + 2r 2 eos2
EJEMPLO. Considere el campo escalar de tres variables w = /(#, y, z) — exy eos z y las funciones x = tu y = sen(tu) z = u2 O Al calcular la variación de w respecto a t se tiene, dw__d¿dx_ dj_dy_ d¿ dz_ dt ~ dx dt + dy dt + dz dt = (2/eX2/ eos z)u -f (xeX2/ eos z)u eos(tu) - (eX2/sen z)(0) = uexy eos z[y + x cos(tu)] = uetu
sen
^íu) eos u2 [sen íi¿ + íi¿ cos(tu)]
EJEMPLO. Dada la función u = /(x 2 - y, #2/) calcular las derivadas parciales, du dx'
du dy
< Construimos variables explícitas para la función / , dadas por í r = = x2 -y
Tenemos entonces que al derivar la función u respecto a su variable explícita x,
du_d¿dr
dLdq_d¿
d¿
&¿
d¿
9x
9g 9x
dq
dr
dq
3r 3x
dr
Por otro lado, cuando se deriva u respecto a su variable explícita y se obtiene
du_dJ_d_L
d¿dq
8y ~ 8r dy
dq dy
=
d¿ dr [
'
dj_
d¿_d¿
dq l '
dq
dr
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4.5 La regla de la cadena
175
EJEMPLO. Sea la función
Calcular las derivadas parciales dg_ dt'
dg_ dg_ dx: dy
< Entendemos por u — t2x, v = ty a las coordenadas explícitas de / . Entonces, dg dfdu dfdv (df\ (df\. . — — 1 ;—= — (2tx) — (y) dt du dt dv dt \ du) \dv J
df
df
Por otro lado,
dg_ = d¿du dx
du dx
+
d£dv_ = d¿
dv dx
2+
du
d¿ dv
=t2^¿
du
Un cálculo análogo prueba que, dg _ df du dy du dy
df dv _ df dv dy dv
EJEMPLO. Supóngase que en una habitación Q C R3 está definida una función / : Q —-> R tal que en cada punto p de Q nos da una temperatura. <\ Si un insecto recorre una trayectoria en í! tal que en cada punto de la trayectoria la temperatura / es constante c, al conocer tal trayectoria por 7(í) con t £ [a, 6], se tiene que f(l(t)) = c Al derivar ambos lados esta ecuación se tiene,
pero, por la regla de la cadena esto implica que (V/7(t),7(í))=0 Lo anterior nos dice que los vectores gradiente V/7(¿) y velocidad j(t) son ortogonales para todo punto ^(t) de la trayectoria (véase la figura 4.18). Se dice en este caso, que el insecto realizó una trayectoria con la misma temperatura (isotermal). D>
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Campos escalares en
176
Figura 4.18: Trayectoria isotermal.
4.6
Derivada direccional
Introducimos ahora un concepto fundamental a la hora de hacer el análisis de un campo escalar (función real de variable vectorial) definido en una región Q C R 3 . Sea / : SI C R 3 —> M. una función diferenciable y, sean, el punto p G S2 y £ un vector unitario. La línea recta que pasa por p y con dirección £ tiene una ecuación paramétrica dada por 7 ( * ) = P + *£ con 7(0) = p , 7(0) = £ Para los puntos sobre el segmento de recta, contenido en SI, se tiene un valor real bajo la función / dado por
Si calculamos la variación de / a lo largo de tal línea obtenemos, por la regla de la cadena, d(/Q7)
dt
= (V/ 7 ( t ) ,7(í)>
Particularmente, en t = O se tiene df{p + U dt
DEFINICIÓN. Tal variación de / se llamará la derivada direccional de / en el punto p G SI en la dirección de £.
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4.6 Derivada direccional
177
En coordenadas x,y, z se tiene la igualdad
Observamos que para cuando se toma un vector localizado arbitrario // T¿ 0 con extremo inicial en p, también se puedo hablar de la derivada direccional de la función / en dirección // con el simple hecho do calcular la derivada de / en la dirección del normalizado £ = JAT, en virtud de que £ y r] tienen la misma dirección y sentido (véase la figura 1.19).
Figura 4.19: Derivada direccional de / en p en la dirección £. Una notación apropiada para conocer a la derivada direccional de la función / en el punto p, en la dirección del vector £ es, dtr
""
EJEMPLO. Sea el campo escalar f{x,y) = x2 + y2 Calcular la derivada direccional de / en el punto p = ( — 1,3) en la dirección < Como el vector rj no es unitario pues ||r/|| = y/E, hemos de hacerlo unitario mediante la cadena de igualdades, ,
n
(1,2) y/E
/ i
2
V V ^ ' y/E
De esta manera,
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178
Campos escalares en
OBSERVACIÓN. Si en particular se toman el vector canónico £ = e\ (1,0,0) se tiene que
que es la derivada parcial ordinaria respecto a la primer coordenada. Análogamente,
OBSERVACIÓN. De la cadena de igualdades
donde 9 es el ángulo formado por V/ p y el vector unitario £, se tiene una función en la variable 0 definida por, h{0) = ||V/|| eos6 Sabiendo que la relación de £ con 9 está determinada de manera biunívoca, tenemos que a. h tiene un valor máximo en 9 = 0, es decir, cuando £ está en el mismo sentido y dirección que V/ p . b. h tiene un valor mínimo en 9 — n, y se obtiene es decir, cuando £ está en dirección de V/ p pero con sentido contrario. De esta manera, la función f crece más rápidamente alrededor del punto p en dirección del vector gradiente V/ p ^ y decrece más rápidamente en dirección del vector — V/ p .
EJEMPLO. Sea el campo escalar f(x,y) = x2 +xy + y2 < De la anterior discusión, en el punto p = ( — 1,1) la función crece más rápidamente en dirección del vector r? = V/ p - (2x + y, 2y + *)(_i,i) = (-1,1)
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4.7 El Teorema de Taylor
179
Al normalizar // obtenemos el vector unitario
que nos permite calcular la derivada direccional en dirección de A/, mediante
!%/,-< V/,,( > - ((-1,1). ( ^ ) ) = ^ + ^ - - L . Si Por otro lado, la función / decrece más rápidamente cu p en la dirección del vector —r/ = —Vfp = (1, — 1). La derivada direccional de la función / en el punto p, en tal dirección es, en este caso,
-,/„ =< v/,, - 5 >= (<-i, i,, (-L, ^1)) = --L - -L = - ^
4.7
El Teorema de Taylor
En esta parte generalizamos El teorema de Taylor, para funciones reales con variable vectorial que están definidas en regiones del espacio euclidiano. Lo hacemos apenas para funciones suaves de dos variables, suponiendo una extensión natural para el caso de más variables. La idea básica del teorema consiste en aproximar una función de cierta clase de diferenciabilidad por un polinomio en el número de variables independientes, de la misma forma que para el caso de una sola variable (véase Reyes, 1996). Comenzamos la sección con el concepto de derivada parcial de orden superior. EJEMPLO. Sea el campo escalar diferenciable
< Al calcular sus derivadas parciales se obtienen las nuevas funciones
^ L
2
+
y
2
=9l(x,y)
+ 2
y
=g2(x,y)
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Campos escalares en R3
180
Claramente g\ y #2 también son funciones diferenciables y se puede calcular sus derivadas parciales ^(x, ax
y) = 2ex2+»2 + 2x 2xex2+«2 = (2 +
4x2)ex2+y2
Jr(x,y)
óy
^•(x,y) ^•(x,y)
= 2x2yex2+y2
=
= 2ex*+y2 +2y2yex2+y2
= (2 +
4y2)ex2+y2
que resultan ser nuevamente funciones diferenciables. Al omitir (por notación) las funciones g\,g
'd_l dy \dx
De ahora y en adelante, adoptaremos la siguiente notación para las
llamadas segundas derivadas parciales de la función / ,
df\ dx \dx)
d2f dxdx
02f dx2
d (df\ dy \dxJ
d2f dydx
d (df\ dx \dy J
d2f dxdy
df\ dy \dyj
d2f d2f dydy dy2
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4.7 El Teorema de Taylor
181
Con esta notación, las segundas derivadas parciales de la función dada / se escriben,
f
dydx d2f dxdy
Observamos que para este caso se cumple la igualdad de las relaciones obtenidas para las segundas derivadas parciales mixtas: dydx
dxdy
DEFINICIÓN. Si la función / : ft C E 2 -> R es tal que sus derivadas parciales existen dx dy ' y como funciones definidas en fí son continuas, se dice que la función es de clase C 1 . Si además las funciones ^£, -^- son diferenciables y sus derivadas parciales (segundas derivadas parciales de la función /)
dydx d2f
son continuas, entonces / se dirá una función de clase C2. Las derivadas parciales segundas d2f 0 2f dydx' dxdy
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Campos escalares en R3
182
se llaman las segundas derivadas parciales mixtas. En el ejemplo anterior se indicó una propiedad de igualdad de tales parciales mixtas. Una condición suficiente para la igualdad en general se tiene el teorema siguiente, cuya prueba es muy técnica y la omitimos (véase Lima, 1992). TEOREMA 4.4 (Conmutatividad de las segundas parciales mixtas). Sea / : Í2 —> R campo escalar de clase C2, esto es? las funciones obtenidas para las segundas derivadas parciales son continuas (véase el capítulo 8), entonces se cumple la igualdad de conmutatividad,
dydx
dxdx
EJEMPLO. Dada la función
mostramos la validez del teorema 4.4 para este campo escalar. <3 Al calcular la derivada parcial de la función respecto a x se tiene
| £ = 2xyi + 3y y consecuentemente, al derivar esta última función respecto a y obtenemos d2f
dydx
= 6xy" + 3
Por otro lado, dy lo que implica —— = 6xy + 3 = > üxay = 6xy + 3 üxay üxóy Inductivamente, podemos definir a una función f(x, y) de clase Cr (con r > 1), si para cualquier partición del entero r en los enteros s y m, la derivada parcial r—ésima de / dada por dymdxs existe y es una función continua. Aquí, 0 < s < r, 0 < m < r y r = m + s.
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4.7 El Teorema de Taylor
183
En la expresión Qrf
dymdxs se entiende que se calcula m—derivadas parciales de / respecto a la variable y y s—derivadas parciales respecto a x, realizando en total un cálculo de m -f s — r derivadas parciales. La extensión de la definición de clase de diferenciabilidad para un campo escalar de más variables es una analogía a la dada para apenas dos variables. El Teorema 4.4 se puede extender para una función que depende de más variables. Esto es, si f(x,y,z) es una función que satisface las condiciones dadas de diferenciabilidad, el teorema de conmutatividad se cumple también. De hecho, por ejemplo, d2f dxdz
d2f dzdx
82f dxdy
=
d2f dydx
d2f dzdy
=
d2f dydz
Si la misma función /(x, y, z) es de clase C 3 , entonces la conmutatividad se extiende de manera natural. EJEMPLO. Consideremos a f(x,y,z) un campo escalar función de clase C 3 definido en alguna región del espacio. < Se tiene la siguiente cadena de igualdades,
d3f 2
dydx
=
fd¡\
j^_
=
dydx \dxJ =
JP_ /a/\
=
dxdy \dxJ
d í d2f\=
d_ id2} dx \dydx
a3/ dx2dy
dx \dxdy) También se cumplen las igualdades,
a3/ dzdydx
dzdxdy
dxdydz
dxdzdy
así como la igualdad,
a3/ 2
dydz
dz2dy
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184
Si f(.i\y,z) es una función de clase C 4 , también se cumple el teorema de coinnutatividad de las derivadas parciales. Por ejemplo, son justas las igualdades 04f 04f d4f = = 2 2 OzOyOx 0x 0zdy dydx2dz 04f _ 04f _ d4f 3 ¿ OxOz ~~ Oz' Ox ~~ Ozdxdz2 04f d4f d4f Oy2dx'2 Dx20y2 dydxdydx Generalizando lo anterior, si f(x, y, z) es una función de clase Cr con (/• > 1), d teorema de coinnutatividad también se extiende. Por ejemplo,
0rf f
m
O'f n
m
0z üy 0x
d'f
n
e
0y 0x dz
n
dx dz*dym-
donde f 4- m + n = r. Aquí se entiende que la función / se va a derivar parcialmente r veces en total: í veces respecto a la variable z, m veces respecto a la variable y y m veces respecto a la variable x. EJEMPLO. Calcular las derivadas parciales dxdydz'
<93/ dzdydx
para la función
nx,y,z) = e*»* < En la notación dada, tenemos que
dydz
2 2 xyz yzevyz z = (x + = xe**z + x2yzé** 4- s xVyz)e )e
de donde, /)3f ^
•/
dxdydz
/I
i
xvz xXJ/2 O \^dUZ / _ X. 2xyz)e +, (x +, ^.2x1yz)yze
Por otro lado,
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4.7 El Teorema de Taylor
185
d2f +- = zexyz + yz2xexyz dydx
yxz2)exyz
= {z +
d'sf = (1 + 2xyz)exyz dzdydx
yxz2)xyexyz
+ {z +
lo que veriñca las igualdades de las parciales mixtas. O Ahora construimos el polinomio de Taylor de una función suave con dos variables. Recordamos que para funciones reales de variable real se tenía que si la función / : (a,6) —> R es de clase C r , entonces, por El teorema de Taylor, alrededor del punto pG (a, 6) la función / se escribe localmente
+
( p r + ( ( p ) )
donde o((x — p) r + 1 ) significa un error en el monomio x — p de orden r (véase Reyes, 1996). Aquí, la expresión polinomial de grado r en el monomio x — p i
x
p
)
+
{
x
p
f
+
^
p
f
+
+
{
x
p
r
se llama El polinomio de Taylor de grado r de la función / en el punto PGeneralizamos la idea de aproximar una función en dos variables f(x,y) mediante un polinomio de grado r en dos variables x, 7/, para cuando la función dada es de clase Cr. Un polinomio lineal en las variables x, y es del tipo P\{x,y) = coo + cio(x -a) + c O i ( y - b) donde, los coeficientes c^ son constantes reales, al igual que a y b. Un polinomio cuadrático en las variables x, y es del tipo:
P2(x,y) = c00 + cio(x-a)
+ cOi(y - b)
+c 20 (x - a) 2 + cu{x - a){y - b) + cO2(y - b)2 donde, nuevamente, los coeficientes c%3 son constantes reales.
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186
Campos escalares en
Un polinomio cúbico tiene la forma P¿{x,y) = coo +
CIQ(X-
a) + col(y - 6)
parte lineal 2
2
x - a ) ( i / - 6) parte cuadrática
+ c 30 (x - a)3 + c 2 i(x -
Q)2(^ -
b) + c 12 (x -
Q)(T/ -
fr)2 +
CO3(T/
- 6)*
parte cúbica Observamos que, en general, un polinomio de grado r en las variables x, y se escribe,
k=l
\k=i+j
Iniciamos un proceso de aproximación de cualquier función de dos variables que sea suave, por un polinomio en dos variables. Sea / ( x , y) una función arbitraria de clase CT definida en una región íl, en el punto p — (a, b) G £1 y sea (x, y) G U cualquier punto cercano a p. Primeramente intentamos aproximar a / linealmente en una cercanía del punto p, mediante el polinomio f(x, V) = Í(P) + cipjx - a) + CQI(X - b\ +o((z - a) 2 , (y - b)2)
parte lineal donde la expresión o((x — a) 2 , (x — b)2) define un error en los monomios x — a y y — b de orden dos. <1 Calculamos los coeficientes ctJ apropiados, calculando primeramente
lo que nos dice que, al calcular en p = (a, 6), esto es, en x = a, y = 6, — (a, b) = cío + o((x - a), (y - b))\x=a,y=b = c io lo que nos da el primer coeficiente.
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4.7 El Teorema de Taylor
187
Igualmente, de la relación
se obtiene, al evaluar en p = (a, 6),
Por lo tanto, la aproximación lineal de / alrededor de p sería mediante la expresión
f(x,y) = f(a,b) + ^(a,b)(x-a) + ^(a,b)(y-b) + o((x-a)\(y-b)2) Aproximamos ahora a la función f(x,y) el polinomio cuadrático f(x,y)
O
hasta el orden dos, mediante
= /(a,b) + |£(a,&)(:r - a) + ^ ( a , 6 ) ( j / - 6)
-hc2o(x - a) 2 + c n ( x -a)(y - b) + cQ2fa - 6)2;+o((x - a) 3 , (y - 6)3) parte cuadrática donde la expresión o((x — a) 3 , (y — b)3) define un error de orden cúbico en los monomios indicados. < Procedemos a calcular las constantes C20, Cu, C02 apropiadas del polinomio.
donde la expresión o((x — a)2, (y — b)3) define un error de orden dos en el monomio x — a junto con un error de orden tres en el monomio y — b. Por lo tanto,
lo que al evaluar en el punto (a, b) nos dice que
es decir,
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188
Campos escalares en
Además, se tiene
o2/ dydx
=
cu+o((x-a)2,(y-b)2)
lo que nos indica, al elvaluar en el punto (a,b), d2f (a, b) = cu dydx Por otro lado, al derivar parcialmente respecto a y la función inicial / se tiene
?£ = ?f(a, b) + cn(x -a) + 2cm(y - b) + o((x - a)3, {y ~ b)2) ay
oy
con lo que,
Al evaluar en el punto p — (a, b) esta expresión se obtiene,
a2/
_ 2c
2
¿)y y por lo tanto,
_ 1 d2f 2 dy2
De esta forma, hasta el orden dos la aproximación de la función / es, f(x,y) = f(p) 4- —(p)(x - a) + —(p)(y - b)
+o((x-a)3,(y-b)3)
>
Un intento de aproximación a orden tres para / sería dada por el polinomio,
f(x,y) = f(a,b) + | £ (a,b) (x - a) + ^{a,
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4.7 El Teorema de Taylor
189
+c3o(x - a) 3 + c 2 i(x - a)2{y - b) + cl2(x - a)(y - b)2 + cO3(?/ - 6)3 +o((x-a)4, (y-6)4) donde o((x — a) 4 , (y — b)4) es un error de orden cuatro en los monomios dados. Calculamos los coeficientes C30, C21, C12, C03 de tal expresión utilizando el mismo procedimiento. <\ Derivando parcialmente la igualdad respecto a la variable x, tenemos
+ 3 c 3 ü ( x - a ) 2 + 2c 2 1 (x - a)(y - b) + c12(y - b)2 + o{{x - a ) 3 , {y - fe)4) de donde,
y entonces,
lo que nos indica, al evaluar el punto (a, b)
Así, podemos calcular c-¿o por
C30 =
3!
Por otro lado, - ^ 2 = 2c 21 +o((x-a) 2 ,(2/-6) 3 ) dydx de donde,
lo que implica C21 =
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Campos escalares en E 3
190 Además, de ^ podemos obtener
d2f dydx
Pf a, b) + 2c2i (x - a) + 2c12(y - 6) + o((x - a) 3 , (y - bf) dydx
y de esto, 2
dy dx
=
2c12+o((x-af,(y-b)2)
Por lo tanto, d3f [a,b) = 2c 12 dy2dx con lo que se obtiene el coeficiente
2 Otro cálculo análogo prueba que, — 3 (a b)~ dy
es decir, 3!
Por lo tanto, el desarrollo a orden tres nos quedaría, al sustituir tales coeficientes,
/(*, y) = /(a, b) + y-(a, b)(x - a) + y-(a, /
-{x - af + dydx2^ ' (x - a)2(y - b) + dy2()x^
3!
— (y-bf + o((x-a)\(y-b4))
?
(x _ a)(^ - 6)2 >
Observamos que la relación anterior se puede escribir, al tomar p = (a, 6), también como
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4.7 El Teorema de Taylor
2!0!
191
v
(x-a)
+
OH»
(x~a)
(2/~6)+
uní
\x~a)(y-•
Procediendo inductivamente, es fácil ver que la parte cuártica del polinomio buscado es,
(
* - a ) 4 + ^ r <* -añy ~b) d4f
/
P
- W + - j ^ - (y - b
Podemos escribir la generalización de toda la discusión anterior en el siguiente resultado. TEOREMA 4.5 (de Taylor) Si / ( x , y) es un campo escalar de clase Cr, entonces alrededor del punto p — (a, 6) G Q se tiene que la función se escribe como el polinomio de grado r en dos variables
¿(E
k-\
donde la cantidad o((x — a ) r + 1 , (y — 6) r + 1 ) es un error de orden r + 1 en los monomios x — a y y — b. DEFINICIÓN. A la expresión (sin error) del lado derecho de la ecuación en El teorema de Taylor se le llamará El polinomio de Taylor de grado r de la función / en el punto p, en las variables independientes. EJEMPLO. Sea la función f(x,y)
= sen(a:y)
Desarrollar El polinomio de Taylor alrededor de p = (0,0) hasta orden dos. O Aquí, a = 0, b — 0, y al calcular las parciales (hasta las segundas) se tiene
— = ycos(xy), ax
—— = cos(xy) - xysen(xy) ayox
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Campos escalares en R3
192
—
= -y2sen(xy),
— = xcos(xy),
— = -x2sen(x?/)
Por lo tanto, los coeficientes se calculan evaluando en el punto (a, b) = (0,0), ^-(0,0) = 0, ^ ( 20 , 0 ) = 0, -|^-(0,0) = 1, ^-(0,0) = 0, & 20 , 0 ) = 0 <9.r ox dyax ay dy y por la fórmula de Taylor del teorema 5.2 se tiene que,
d 2
^
' f (Q o) ^ 4 ( 0 0) (x - 0)(2, - 0) + ^ - ( ^ - 0) 2 + o((x - 0)\ (y - Of ! 1 ;
Esto es, hasta orden dos la función dada se escribe sen(xy) = xy + o(x3, y3) Otra forma de realizar el desarrollo anterior, es observando que para una variable z real el desarrollo de la función seno alrededor de ZQ — 0 es Z¿ sen2
25
"yT
= z _ _ + _ _ ± -+ 0 ( 8 )
Ahora, defínase 2 = xy, y considérese p = (0,0). Entonces, 2(0,0) — 0 = z 0 , y sustituyendo la variable 2, hasta el orden dos, se obtiene sen(xy) = (xy) - ^
- + o(7) = xy + o(3)
que es la misma expresión obtenida. \> La forma de desarrollar las funciones en varias variables utilizando los desarrollos conocidos de Taylor para una variable, ayudan en general para omitir una buena cantidad de cálculos. No obstante hay que tener práctica para reconocer las sustituciones apropiadas y los puntos alrededor de los cuales se está desarrollando. Esto se ha mostrado en el ejemplo anterior y se muestra nuevamente en el siguiente. EJEMPLO. Desarrollar la función f{x,y) = ln{l+xy)
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4.7 El Teorema de Taylor
193
en polinomio de Taylor hasta orden tres alrededor del punto p = (0, 0). < Calculamos las derivadas parciales hasta orden tres,
2
df
y
dx
1 + xy
df dy
1 + xy
(1 + x y ) - yx
df dydx
1
xy)
d2f dx2
2 (1 + xy)
d2f
— X"
dy2
2 (1 + xy)
dx3
2y3 3 (1 + xy)
dy3
2x3 3 (1 + xy)
-y2 9
d3f dy2dx d3f dydx2 De esta manera,
'
Xy
> *
(l + xy)3
2
2 -2j/(l + xy) + y 2(l+yx)x 4 ( 1 - hxy)
-2y (l + xy)3
|(0,0) = 0,|(0,0) = (0,0)= O (o,o). 0.^.(0.0) = i. dydx dy d2f d3f d 3f d3f - 4 3( 0 , 0 ) = O, ^~-(0,0) = O, «-¿-(0,0) - O, ^4(0,0) =O dx dydx dydx dy3
dx2
Por lo tanto, alrededor de p — (0,0) se tiene que la función ln(l + xy) se escribe
f(x,y)
xy) = ln(l + 0) + |^(O,O)(ar - 0) + |^(0,0)(y - 0) ox oy
( i 0 )
+
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194
Campos escalares en
^í(o,o) ,
(y - O)3 + o((x - O)4, (y - O)4) = xy + o(x\ y4)
Por otro lado, el desarrollo alrededor de ZQ = 0 de la función ln(l 4- z) está dado por la igualdad ln(l + *) = z - y + o(3) Por eso, si ponemos z — xy entonces el punto (a, b) = (0,0) corresponde al punto ZQ = 0 y entonces \2
(
ln(l + xy) =xy-
2 2
&%- + o(3) = xy - ^ ~ + o(5) z z = xy + o(3)
igualdad que se ha obtenido ya, utilizando el teorema 4.5. O Damos ahora un ejemplo del desarrollo de un polinomio alrededor de un punto. E J E M P L O . Dar el polinomio de Taylor alrededor del punto p= (1,2) de la función polinominal
< Calculamos todas las posibles derivadas parciales, obteniendo,
- £ ¿ - 3 £Í oyz
oyox df
/
0, 2 o/ 3 12 6, 0, ' dd ' 9 ' dydx2 ' dy2dx De esta forma, al evaluar cada derivada obtenida en el punto p se tiene
§£(1,2) = -3, dx
d2 f
d2f
§£(1,2) = -21 dy
d2f
^4(1,2) = 6, ^ - ( 1 , 2 ) = -3, ^4(^2) = "24 d2
dydx
dy2
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4.8 Diferencial total de un campo escalar
üxó
(1 , 2) = 6 ,
^(1.21=0.
195
¡S(..2)-0.
üyüxr
üy-üx
a..2,,.>2 Oír
Por lo tanto, por el teorema 4.5, alrededor de (1,2) la función / se escribe
(x-l)2
3(:/:- l)(?y- 2)
2!0!
1!1!
21(/y - 2)'1 2),
3!0!
2!1!
1!2!
()!3!
2
= - 9 - 3(x - 1) - 2l(y - 2) + 3(.T - I ) - 3 ( J : - l)(yy - 2) - V2(y - 2)" + ( * - l ) : í - 2 ( ? / - 2) ;í debido a que las derivadas parciales d(j onkíii cuatro en adelante se anulan todas. \>
4.8
Diferencial total de un campo escalar
Para el campo escalar / : D C R2 —> R y el punto arbitrario /; = (x,y) G D. se tiene el incremento total de / en p dado por
donde h = Ax y k — Ay son incrementos arbitrarios en las variables dadas. De la definición de diferenciabilidad de / en />, dada en la sección 1.1. se tiene que / es diferenciable en p si el incremento total A / puede escribirse en la forma
A/ - ?f(p)Ax + ?f(p)Ay + o(\\(Ax. A.(/)||2) üx
üy
cuando ||(Ax, Ay)\\ —•»- 0. Podemos escribir lo anterior mediante la notación convencional
en virtud de que o(||(Ax, A.y)||2) -> 0. DEFINICIÓN. Para la función diferenciable / : D C R2 -> IR se define la diferencial total de / por la igualdad df = —dx 4- —dy üx üy
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Campos escalares en E 3
196
EJEMPLO. Dada la función f(x,y) — \\\{x2 -f y2) definida en la región plana D = R2 - {((),())}, calcule su diferencial total. <] En virtud de que Of
2x
üx
'
2
Of 2
x + y ' üy
2y .r 2 -h ;
''
se tiene /' . (ir = -r(i-i'
Oy
2:r 2
. 2
2//
.r 2 + ?y2
x + ;¿y
De esta nicUHTa, ])ara calcular aproximadamente ln(0.091 2 + 0.992) tomamos ./• = 0 y y = 1 obteniendo que Ax = 0.091, Ay = —0.01, lo que nos indica que
y coiiseciieiití'iiiente,
ln(().O912 + 0.992) « /(0,1) 4- df = ln(0 2 -f l 2 ) - 0.02 es decir, ln(().O912 + Ü.992) % -0.02 o Dv manera análoga, para una función diferenciable de tres variables, se tiene1 una diferencial total, ax
oy
óz
EJEMPLO. Dada la función T — ed'yz, calcular su diferencial total. O Primero calculamos las derivadas parciales
f =
yze.^=xze,^
üx oy luego construimos la diferencial total ijm
'ÍT""
oz
'-ÍT"1
dT = —dx + —dy -f —dz = yzedyzdx + x¿ ea"ysrf2/ -h xy exyzdz üx oy oz Para una función de clase C2 se define la diferencial total de segundo orden por d2f y se calcula mediante dy2
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4.8 Diferencial total de un campo escalar
197
Si escribimos la expresión anterior en notación operacional se tiene.
-(I + donde la aplicación del operador se realiza mediante la convención
0 ( 0\ Ox \¿)y)
O2 üyüx
O2 üxüy
Oíd Oy \0x
EJEMPLO. Sea u = cosx1 cos;/y. Calcular <í2u. < Calculamos las derivadas parciales, obteniendo, 0(i ux
da ' uy
-— = — s e n x c o s ? / , —— = — COS:/:S(ÍII vy
ü2u 02u 'ó2 u —2- = — c o s x cos/y, = sen./: sen /y. — 1- — —eos./' eos vy, üx ' Oyóx ' Oy lo que indica eme du" = — eos x eos ydx" -\- 2 sen x sen ydxdy — eos x eos ydy
í>
De manera inductiva, se tiene para un campo escalar / de clase CM la tercera diferencial total d;* f = d(d¿f), y vieiKí dada j>or d* f = -—-dx'^ + 3 -—-—-dx"dy -+- 3-———dxdy~ -f -—-dy ^r-i r)i,,)x~ ' OyOx ' Oír que en notación convencional operacional'podemos escribir
En forma general, en notación convencional, se tiene la k—ésima diferencial total del campo escalar de clase Ck dada por
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Campos escalares en R3
198
í[\\v sv desarrolla de acuerdo a la fórmula del binomio de Newton. EJEMPLO. Para e-1 campo escalar u = y\nx calcular d4u. <\ De acuerdo al Triángulo de Pascal, los coeficientes del binomio de Newton do grado 1 son 1, 1,6, 1,1, lo cual nos indica que
Oy2Ox2 ""
O4 ti , , 4
. 04u
04u
.,
,?,•>
—l(lx -h .i——dx*dy + 6 ., el/-
4
¿
Oyóx*
04u
t
odx~dy- + 4—dxdi/ ¿
+
ó
Oy üx
ay4
oy ox
Dv c\sta. manera., al calcular las derivadas parciales Ou ü~u
y
y
da
O" ii
Ux1 = " Í 2 ' 'Oydx
1 =
ü"u
x' W1
=
03u \^/
Ox4
^rt
(l
x4' Oydx3
».*/
*-r
^s
x¿ ' dy2dx2
-t+S
K+J
0y3dx
\.%/
^ ^
dy4
y sustituirlas se obtiene 2 \
rfi.3d
=
_6y d j ,4
+
8
da;3d
>
Si consideramos el elemento vectorial diferencial en IR3, en la base canónica {e\,e2,e¿} dado por el vector simbólico
dr = (dx, dy,dz) entonces la diferencial total de un campo escalar / está dada por
=< grad/, df>
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4.8 Diferencial total de un campo escalar
199
Ejercicios 1. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos son abiertos? ¿Cuáles son cerrados? ¿Cuáles son conexos? Haga un dibujo para cada conjunto dado. a. íl = {(x,y)\
\x\>l}
b. Q= { ( x , y ) \ x +y < l } c . Q = {{x,y)\ \x\ + \y\>l}
d. n = {(x,y)\\Senx\>4} e. ü = {(x, y, z)\ x + y + 2z < 2} f. Ü = {(x,y,z)\x2-y2-z2
x2+y2
y2}
2. Calcular los dominios de los siguientes campos escalares y dar su característica topológica (abierto, cerrado, conexo). a. fi{x,y) = \]x2 + y2 - 4 b- Í2(x,y)= c. / 3 (x, y) = arccos(2x - y) d. Í4(x,y) = ln(y2 - x) e- /5(^2/) =2/ + \fx f. gi(x,y,z) = g. g2(x,y,z) = arcsen h. g3(x,y,z) = l n ( 9 x i. g4{x,y,z) = >Jx + 2y- Zz 3. Dibujar las curvas de nivel de las siguientes funciones definidas en dominios del plano. Hallar tales dominios. a. fi(x,y) = Ax-y b. f2{x,y) = ^ c. / 3 (x iJ /) = l 4. Hallar las superficies de nivel de las siguientes funciones definidas en dominios de R3. a. fi (x, y, z) = 6x - 3y 4- 2z
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200
Campos escalares en
b. c. f3(x, y, z) = sjx2 + y2 + z2 d. f4(x,y,z)
x2-y2-z2
=
5. Calcular las derivadas parciales T^, £-, -^ de cada una de las funciones indicadas. a. /i (x, y, z) = x3y4 + xyz2 - 3z3y3 b. fo (x, y, 2) = sen(xy2) -f xsen y + ysen 2 c. /3(x, y, 2) = x sen(y — 2) 4- 2arctan(xy) d. / 4 (x, y, 2) = y/x2+y2eyz
+ \/x 2 4- 22 ln(xy)
e. 6. a. Mostrar que la función 2 = yy/xsen (^) satisface la ecuación 92
2 92
x •— +xy—- = y2 9x 9y b. Probar que la función ^ = | - + f + ^ — r satisface la ecuación 9 92 ™¿
9 92
X3
_i_ ^ .-^
9x
dy
y
7. Para los incisos del ejercicio 5. correspondientes, calcular el gradiente de la función correspondiente en el punto dado. a. V/i(x,y,2)
en
p= (1,1,1)
b. V/ 2 (x,y,2)
en
p= (l, f, f)
c. V/s(x,y, 2)
en
p= (0, | , j )
d. Vf4(x,y,z)
en
p = (-1,0,1)
8. a. Sean = t + 2s = 52 - í
y la función u = x2 + 2xy + y2 -f z2. Calcular §7 y f^ mediante la regla de la cadena. b. Dados x = sen(í + 5),
y — cos(í -h 5)
la función i¿ = ^qr^, calcular ^ , | ^ mediante la regla de la cadena.
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4.8 Diferencial total de un campo escalar
201
c. Dado u = (x2 + y2 + z 2 ) 3/2 , calcular du du du dx' dy' dz d. Sea la función u = f(r — s, s -t, t — r), demostrar que du
du
du
^r os + TT or + ^7 ot
=0
e. Sea u = f í ^.s+y¿ ), demostrar que
du du x— +y— = 0 dx dy f. Dada la función g(x, y) — f(x + y, x — y), demostrar la igualdad
dgdg dx dy
fdf\2 \duj
2
\ dv
donde u = x + y, v = x - y. g. Dado el ángulo constante <¿> y las relaciones x = u eos (f — v sen ip y — u sen tp -\- v eos (p
demostrar que la función compuesta f(x,y) = g(u,v) satisface la relación
h. Calcular el gradiente V/ p para las siguientes funciones, si r = \Jx2 + y2 4- z2 y f{x, y, z) = h(r) donde, i) h(r) = r2
ii) h(r) = lnr iii) h(r) — e~r 9. Calcular la derivada direccional D^fp para las funciones, puntos y vectores dados.
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Campos escalares en R3
202
b. / ( x , y) — a r c t a n (xy), x2+y2
c . f(x,y) = e-(
\
d. /(x, y,z)=y e. f(x,y,z)
p = ( —1,1), p= (0,0),
arctan(xz),
£ = (1,—2)
£ = (1,1)
p = (1,1,1),
=xy + yz + zx,
f = (-1,0, 2)
p= ( - 1 , 1 , - 1 ) , 2
f = (1,-1,2)
2
10. a. Dada la función /(x, ?/, z) = x -h XT/ + z dar la dirección £ en la que crece más rápidamente / en el punto p = ( — 1,1,1). Calcular D^ fp para estos elementos. b. Sea la función f(x,y) =
x2 + y2
En qué dirección crece más rápidamente / en el punto p = (1,0)? 11.
a. Calcular -^£ y £ ^ para f(x,y) = lntan(2/ + x)
b. Calcular ^
y £ ^ para f(x,y) = arctan
c. Calcular f^, f^r y §¿fó para /(x, 7/) = y sen xy + x eos xy d. Calcular ¿ ^ , ^
y ^
para
w
= sen(2x + y2)
e. Dada la función u — x3y2 demostrar la validez de la igualdad d5u
d5u
f. Sea la función u = A=e i?1. Probar que satisface la ecuación du
12.
d2u
Sea /(x, y) = g(r,
J x = r eos (p \
y = rsentp
demostrar que se cumple la igualdad 7h5 + -~fr: + -¿2-QQ2~-dx2 ' Qy2
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4.8 Diferencial total de un campo escalar
203
13. Sea f(x, y) una función tal que para cualquier número real t se cumple que en todo el dominio de / es justa la igualdad f(tx,ty) = tnf(x,y), donde n es un número entero. a. Demostrar que se cumple la igualdad
b. Mostrar además que también se cumple que
14. Demostrar que la función u — e3x+4y cos(5z) satisface La ecuación diferencial de Laplace, d2u
d2u
d2u
15. Desarrollar hasta orden tres en fórmula de Taylor las funciones indicadas en los puntos indicados. a. b. c. d. e.
f(x,y) = e2xsen2y en /(#, y) — cos(x2 — y) f(x, y) = ln(l + x 4- y) f(x, y) — x2 4- xy -+- y3 f(x, y) — x2 + xy -f y2
el punto p — (1,TT/2). en el punto p — (0, — TT). en el punto p = (1,1). en el punto p = (0,0) en el punto p = ( — 1,1)
16. Dado el polinomio
¿Cuál es el término de orden cuatro de su expresión de Taylor en el punto p=(0,0)? 17. Calcular df, df2 y c/3/ para las funciones a.-e. del ejercicio 15.
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Capítulo 5
Campos vectoriales en 5.1
Funciones del tipo
rm
En este capítulo hacemos un estudio de los aspectos básicos de las funciones vectoriales con argumento vectorial del tipo R n —» R m , llamadas también campos vectoriales deñnidos en R n con valores vectoriales en R m . De hecho, los dominios de tales funciones en general serán regiones contenidas en el espacio de dimensión n. Dada la región (conjunto abierto conexo) Q C R n , una función de tipo / : fi - • Rm a cada punto p € Q le asocia el punto q — f(p) en R m . En los correspondientes sistemas de coordenadas, si p — (xi, • • • , x n ), q = (y¡, • • • , y,n) entonces tal función se escribirá (2/1,2/2,* •• ,2An) Como las coordenadas y^s dependen de p, entonces cada una de ellas es una función real dependiente de p, 2/i = fi(p) = f\{x\,
• • • ,xn)
siendo cada una de las / ¿ , funciones reales de variable vectorial definidas en {}, para i = 1, 2, • • • , m. / ¡ : n -* R
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Campos vectoriales en
206
R"
Figura 5.1: Función de Rn -> R m . y son llamadas las funciones coordenadas de la función / (véase la figura 5.1). Esto es, la función / se escribe en coordenadas, como -- , x n ) = ( f i ( x i , - -
,xn), /2(xi,--- ,xn),--' ,/m(xi,---
,xn))
EJEMPLO. Sea la función / cuya regla de correspondencia está dada por /
y
f(x,y) = [xy, \nxy2,——Entonces / está definida en una región Q de R2 y toma valores en R3. < Procedamos a calcular el dominio de la función, analizando cada función coordenada. Ciertamente la coordenada primera xy y la tercera J^TI no ofrecen alguna restricción. La segunda función coordenada impone la condición de que el argumento xy2 deberá ser positivo. Como xy2 > 0, necesariamente cuando x > 0, y ^ 0, el dominio es entonces Cl = {(x,y)\x>
0,^0}
y la función / está bien definida en fi. Las funciones coordenadas se escriben explícitamente, fi(x,y) = xy,
f2(x,y) =
, h(x,y) =
y
t>
La figura 5.2 ilustra el dominio de la función. \> EJEMPLO. Sea la función vectorial de argumento real -f(t) = (£2 + 1,\/1 -t, senf)
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5.1 Funciones del tipo Rn
207
Q
x
Figura 5.2: Dominio de (:r, y) —> íxy
Claramente, es una función real con valores en M3, esto es, tiene la forma Q C R -> IR3. <] Se condiciona la variable t a que 1 — t > 0, lo que nos dice que 1 > ¿, de donde el dominio de 7 es entonces,
n = {t e R I t < 1} = (-oo,l]
(1111111111 i 111]
Figura 5.3: Curva espacial. Las funciones coordenadas de 7 vienen dadas por /i (/) =•• t1 4- 1.
/ 2 (¿) = \/l - í,
/3(0
[.;; íigura 5.-> ilustra la imagen de 7 en el espacio de dimensión tres. O E J E M P L O . Sea la función dada por
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Campos vectoriales en
208
Esta función está definida en una región espacial y toma valores en M2, esto es, / es de la forma \l C_ K
.
—> K
< Para calcular su dominio imponemos la condición xz > 0, lo que equivale a ' x >0 y z >0 ó x <0 y z <0 lo que implica que el dominio es la región espacial ü = {(x,y,z)
|x >0 y
z > 0,
ó
x<0
y
z < 0,
yeR}
La figura 5.4 ilustra el dominio de la función, que es la unión de cuatro octantes en R3.
z N
! X N
\
S N
v
V
I
SN
N
s
x
\
y S
s s s
X
Figura 5.4: Dominio del campo (x2 + y2, \nxz + y). Las funciones coordenadas del campo vectorial / son, en este caso
fi(x,y,z)
= x2 -hy2,
f2(x,y,z)
EJEMPLO. El campo escalar / : R3 dencia
= lnxz + y > dado por la regla de correspon-
está definido en R 3 (n = 3,m = 1), y tiene sólo una función coordenada. Le damos una estructura aritmética al conjunto de funciones del tipo fí C Rn —> Rni mediante las propiedades vectoriales del codominio Rm.
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5.1 Funciones del tipo Rn - • R1"
209
Si / , g : Í2 —» R m son dos funciones definidas en el mismo dominio en R , se puede definir la suma de ellas n
/ 4- ry : Í2 -> R"1
como la función que en coordenadas del dominio y codominio se» calcula por (/ ) ( • • , *n) = f{-i'i, • • • *„) 4- (ry(:/'i, • • • , ./"„ )
Si A es un escalar, se define la función nueva A/ : Í2 — R m como aquella que en coordenadas se escribe
También definimos una categoría de las funciones vectoriales mediante la composición ordinaria de funciones. Sean las funciones / : í ! c R" -> R"\ y : f/ C R1" -> Rk de tal forma que la imagen de U bajo / esté contenida en f/, es decir, /(Í2) C í/. Se define la composición de la función / con g g o / : U -> Rfc a través de la igualdad,
véase la figura 5.5. A continuación damos ejemplos de la composición de funciones vectoriales de argumento vectorial. EJEMPLO. Sean las funciones vectoriales dadas por f{x,y,z)
2
2
2
= (X ,T/ + z )
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Campos vectoriales en
210
R
gCf(p))
Figura 5.5: Composición de funciones. Í/(//,
r) = (ln(u + v),elu\uv)
<\ a. Calculemos y o f cniin punto arbitrario (x,y,z) esta composición.
del dominio de
(,, o /)(,-. u.z) = .<•/(/(.,-, y. z)) = í/(.r-, y2 + z2) = (ln(.r- + i)2 + z% (-'"(tf">+-""')..r2(.V- + z2)) áv donde, la coinj)osición es del tipo (jof:
íl{ C E 3 - > E 3
b . C'alculanios f o y en un punto arbitrario (w, w) del dominio correspondiente.
composición que tiene el tipo foy:
íl2 C R 2 - > R 2
>
EJEMPLO. Dadas la*s funciones vectoriales y y(u, v, w) = (uv — w, u + v -f Calcular ^ o / , / o #.
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5.1 Funciones del tipo R n ->
m
R
2
1
1
<\ a. Ciertamente g o / no tiene sentido pues la imagen de / es un subconjunto del plano R 2 , mientras que el dominio de g es la región espacial 3
b . Para el punto (i¿, v1 w) se cumple que (/ ° 9){u, v, w) = f(g(u, v, w)) = f(uv
-w,u-
u 4- v + w , (uv — w)(u -\-v-\-w) + (u + v-\- w)' 1 4- (uv — w)2 Para optimizar la discusión sobre la continuidad de las funciones vectoriales de argumento vectorial, apelamos a la siguiente definición que garantiza la continuidad de los campos vectoriales en los subsecuentes ejemplos. DEFINICIÓN. Una función / : íí -> Rn -> E m es continua en ü, si y sólo sí, cada una de sus funciones coordenadas f¿ : Q —•> R es continua. Transformaciones Lineales De entre todas las funciones R n —> R m se destacan las llamadas tranformaciones lineales. Estas ayudarán a definir la diferenciabilidad de una función vectorial de variable vectorial. Iniciamos el tratado básico con las transformaciones lineales más simples R 3 —> R 3 , obteniendo la mayor información para este tipo de transformaciones y argumentamos inductivamente la generalización de estos resultados para transformaciones lineales más generales del tipo R n —> R m . Sea la función L : R 3 -+ R 3 dada por L(x, y, z) = (aux -f auy + aviz, a2\x -f a22 + ^23^, a^x -h a32y + a33z) donde cada a¿j es un número real. < Es claro que si u,v,w son las coordenadas, en el codominio de L, entonces cada función se escribirá, u = aux + ai2y + a13z v = a2\x + a22y -f a23z w — a3\x + a32y + 0332 que matricialmente se escribe,
«31
«22
«23
«32
«33
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212
Campos vectoriales en
En otras palabras, si definimos a los vectores variable dependiente e independiente como los vectores columna, (\ P= \ V I , A = {aij), q =
la relación anterior se escribe mediante la igualdad q = Ap = L(p) En adelante, abusando de la notación, cada vez que en una transformación lineal apliquemos a un vector, para el cálculo tomaremos a tal vector como un vector columna, escribiendo finalmente el resultado del cálculo como un vector renglón elemento del codominio. Con esta asociación y con la conversón de notación se tiene, a. Si Pi,P2 £ R (considerados como vectores), entonces L(Pi +P2) = A(pi +p2) = Api Hh Ap2 = L(pi) + L(p2) es decir, se cumple que +P2) = L(Pl) + L(p2) b . Si A G p entonces L{Xp) — A(Xp) = X(Ap) = AL(p), es decir, se satisface la igualdad, L(Xp) = XL(p)
DEFINICIÓN. La función L se dice que es una transformación lineal por satisfacer las propiedades a. y b . Hemos observado que una matriz A = Asx¿ tiene asociada una transformación iineal L : R 3 —•> R 3 que satisface las propiedades a. y b . de la definición. Recíprocamente, sea dada la transformación L : R3 —> R 3 tal que satisface a. y b . (es decir, es lineal), y sean los vectores {e\,e2,ez} básicos en R 3 tal que todo punto (#, y, z) se escriba (x, y, z) = xe1 4- ye2 -f ze3
Definamos a los vectores columna (escritos convencionalmente de esta manera),
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5.1 Funciones del tipo Rn -» Rm
213
Afirmamos que la matriz construida por los vectores columna así obtenidos
(
«11
«12
«13
«21
«22
«23
«31
«32
«33
está asociada a la tranformación lineal L y la define cuando se evalúan los puntos del dominio <\ En efecto, al tomar un punto (x,y,z)
se tiene
L(x, y, z) = L(xei + ye2 4- ze<3) = L(xe{) 4- L(ye2) + L(ze3)
«11
«12
«13
«21
«22
«23
«31
«32
«33
Podemos generalizar esto para dimensiones arbitrarias m, n haciendo una reconstrucción similar a la utilizada para este caso especial. Una tranformación lineal L : R n —» R m es aquel campo vectorial que satisface las condiciones a. y b . de la definición dada. De esta manera se tendrá el siguiente teorema general. T E O R E M A 5.1 Sea L : IRn -> R m una transformación lineal, entonces existe una única matriz real de m x n, A = («¿j) asociada a L tal que para todo x — (xi,--- ,x n ) se tiene que (utilizando la convención para el cálculo),
(
«11
••'
«l
«mi
0>rn
La matriz A es tal que si {e\,62, • • • en} es la base en R n , entonces, L aplicado al vector e} es el vector columna, \ *'¿j
L(e3) = \
«mj
esto es, el j — ésimo vector columna de la matriz asociada A.
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Campos vectoriales en R3
214
< La unicidad del teorema se deja como un ejercicio para el lector. D> Hasta aquí, el lector ya habrá observado que una transformación lineal en general, tendrá sólo en sus funciones coordenadas a expresiones lineales en las variables, sin términos independientes. En los siguientes ejemplos el lector deberá aprender a reconocer por simple inspección una transformación lineal, y a calcular su matriz asociada. EJEMPLO. Sea la transformación L : R 3 -+ R3 dada por,
L(x, y,z) = (y + z, x + z, x + y) < Al considerar la matriz A dada por A= y a (x,y,z) un vector en R3, se tiene, A y, por lo tanto, A está asociada a L, lo que dice que L es una transformación lineal. Más aún, si se toma la base canónica { ei = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e 3 = (0,0,0)} entonces, al aplicar A en cada uno de ellos se obtiene
A(ei) =
lo que nos da los vectores columnas de la matriz A. O
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5.1 Funciones del tipo IR" -* R'"
215
EJEMPLO. Sea la transformación L : R2 -> E:i (Infinida ]>or L(;r,; í /)-(2;r- / y, 3.r+ 1/y, 2.r) O Al considerar la matriz de 3 x 2 dada por -i 3 1 2 0
=
se tiene que \
f
A(
1
\,
y)
(2 3 \i 2
1
=
4 0
= I 3,
lo que indica c^ue A está asociada a L. Si se toman los vectores básicos c,\ = (1,0), (•> = (0.1), ciitonccs tendremos los vectores columna de la matriz A mediante los cálculos.
« • • ' • ( • • ) ( ! ) • ( !
« • ( • : ) < ; > • ( : EJEMPLO. Sea la transformación lineal L(x, y, z) —' (—x — y + z, áz — 2x + 2y)
< Al considerar la matriz real 2
2 4
es fácil ver que A es la matriz asociada a l t> EJEMPLO. Sea la transformación lineal L : R'* —* R dada por L(x, y, z) — (yx —'¿y+ (lz < Si se considera el vector renglón, ¿ = (
6
"
3
2
)ix:f
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Campos vectoriales en
216 para el vector (.r,//.¿), se obtiene, ,1
//
= (ü
-3
2), x : ,
2/
=6x-3y-
lo que dice que .4 es la matriz asociada a la transformación lineal L. D> Damos ahora una interpretación geométrica de una transformación lineal para el caso L : R2 -> R 3 .
Figura 5.6: Geometría de una transformación lineal. Si consideramos un vector en el plano R~, este se puede escribir como una combinación lineal de los vectores básicos.
De esta manera, su imagen bajo L se escribiría como £ 2 e 2 ) = $1L(e1) lo que nos dice que la imagen de ^ es una combinación lineal de los vectores imágenes de los básicos, en R 3 (véase la figura 5.6). De esta manera, la imagen del cuadrado en el plano IR2 generado por los vectores e\,e.2 bajo la transformación L es el paralelogramo en R 3 tendido sobre los vectores L(e\) y L(eo)^ como lo muestra la figura 5.6. En general, si L : R n —> R m es una transformación lineal y f G R" es un vector posicionado en el origen, entonces L(£) es también un vector en R m posicionado en el origen. Obtenemos ahora una matriz asociada a la composición de transformaciones lineales, en términos de las matrices asociadas a cada una de las
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5.1 Funciones del tipo R n -> R m
217
transformaciones que intervienen en la composición. Lo hacemos apenas para el caso especial de las transformaciones lineales del tipo R 2 —> R 2 , generalizando el resultado de manera natural. Consideremos dos transformaciones lineales del plano en el plano, dadas por L\ (x, y) — (ax 4- by, ex 4- dy) L2(u1 v) = (au 4- /3v, yu 4- Sv) donde a, 6, c, d, a, /?, 7, ó son números reales. < Al realizar su composición tenemos para un vector (x, y) £ R 2 ,
(L2 oLi)(x,y) = L2(L1(x,y)) = L2(ax + by,cx + dy) — (a(ax 4- by) 4- /?(cx 4- dy),/y(ax + 6?/) + ¿(ex 4- oh/)) = (aax 4- a6?/ 4- (3ex 4- /3
ib + ó d ) \ y ) ~ ~ \
({ja + óc)x + {jb + 5d)y
entonces la matriz asociada a la composición L2 o L\ es C =
a 4- Pe 1
ab 4- /3c?
7a 4- <$c 76 4-
Por otro lado, las matrices asociadas a L ¡ y L2 son
c dy
\ 7 s
respectivamente, y un cálculo prueba que el producto B A = (
a
í 3
) (
a
b
\ ^ (
a a
+
f3c
ab +
0 d \
c
lo que nos dice que la composición L2 o L\ tiene asociada al producto de las matrices correspondientes en el mismo orden. t> Generalizamos la anterior discusión en el siguiente resultado.
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218
Campos vectoriales en
TEOREMA 5.2 Para una pareja de transformaciones lineales 1 : K.
—> K
.L2 • 1&
,
—^ 1K.
cuyas matrices asociadas son respectivamente A = Arnxn
(para L\)
y
B = Bkxm
(para
L2)
La composición L2 o L\ tiene asociada a la matriz producto
EJEMPLO. Sean dadas las transformaciones lineales Li(x, y) = (2x - y, y + x,4y) L2{x,y,z)
= ( - Z — 2 / - 2, 2 + 3x)
<] Las matrices asociadas respectivas son 2 - 1 \ = ( 1 1 0 4 /
ó
u
l
(para L x )
J
)
(para L2)
y por el teorema 5.3, la matriz de la composición L2 o Li es entonces,
Por lo tanto, al aplicar convencionalmente en un vector se tiene,
(L2 oLi)(x,y) =
-3
- 4 \ / x \ _ ( -3x - Ay
lo cual se puede escribir en forma transpuesta como (L2 o Li)(x, y) = (-3z - 4y, 6x + y)
O
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5.2 La matriz jacobiana
5.2
219
La matriz jacobiana
Comenzamos en esta sección, a discutir la propiedad de diferenciabilidad de una función vectorial de variable vectorial, generalizando lo que se obtuvo para caso de funciones reales de variable vectorial, donde intervenía fuertemente la continuidad de las derivadas parciales que conforman el gradiente. El objeto matemático necesario para generalizar el gradiente viene dado por una matriz cuyas entradas en cada punto son las derivadas parciales de las funciones coordenadas, respecto a todas las variables independientes. Esta matriz lleva el nombre de Matriz Jacobiana. Sea / : ü C Rrl —> se escriba f(p) = (/i(
una función tal que en coordenadas del codominio • • ,/ m (p)), para peücR71. Cada función coordenada es real de variable vectorial /i : fi -* R
Si cada función ft : 1 = 1,2, ••• ,ra
tiene un gradiente en el punto p para toda
entonces podemos formar la siguiente matriz m x n, \
\ llamada La matriz Jacobiana de la función / en el punto p. Damos ahora algunos ejemplos en dimensiones bajas, esto es, para cuando n, m < 3. EJEMPLO. Sea la función / : R dencia. f(x,y) =
R dada por la regla de correspon-
< Debido a que las funciones coordenadas son
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220
Campos vectoriales en
La matriz Jacobiana en cualquier p G M
es
De esta manera, en el punto particular del dominio p = (1,2), se tiene la matriz Jacobiana de 2 x 2, /(1 2) =
[ 2xv x2 I
'
v ¿xy
x
~ [ 4 1
/ (12)
\ ^
l
E J E M P L O . Sea la función / : R 2 -> IR3 d a d a por la regla,
g(x, y) = (xy, senx, x2 + y2) < Ya que las funciones coordenadas son gi{x,y) = xy,
gz{x,y) = x2 + y2
g2{x,y) = sena;,
entonces en cualquier punto p cjel codominio se tiene una Matriz Jacobiana de 3 x 2, D
9P= \
H
%
^3
^3
= I coL /
\
2.7!
0 2?/
/ P
Por ejemplo, si p = (TT, TT/2) entonces, al evaluar se obtiene la matriz
En este momento damos pauta para iniciar el estudio de la propiedad de diferenciabilidad de una función vectorial de argumento vectorial extendiendo la definición de diferenciabilidad de un campo escalar. DEFINICIÓN. Sean / : ü C R n -> R m , una función vectorial de argumento vectorial y un punto p € Q. Se dice que / es diferenciable en p si existen, una función g : R n -> R m y una transformación lineal Lp : R n -> R m tales que y
A continuación se propone una condición suficiente y necesaria para la diferenciabilidad de un campo vectorial.
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5.2 La matriz jacobiana
221
TEOREMA 5.3 (de diferenciabilidad) Una función f : Q -> Rm es diferenciable en el punto p, si y sólo sí, La matriz Jacobiana de f en p existe y las entradas ,¿ = 1,2,..- ,m
¿ = 1,
,n
son continuas, Esto es, cada función ^ - es continua en p. En este caso, la transformación lineal Lp : E n —> R m tiene como asociada a La matriz Jacobiana.
DEFINICIÓN. A la transformación lineal Lp : Rn -* Rrn
se le llama la diferencial de la función / en el punto p. A su matriz asociada en la base canónica (Jacobiana)
se le llamará la derivada de la función / en el punto p.
f •
f(p)
.m
Figura 5.7: Aplicación de un vector £ bajo la diferencial dfp. Observemos en realidad que la diferencial Lp T
. Fpn
Lip . K
TTpm
—> K.
se aplica en los vectores de posición £ con extremo en p,
bajo La matriz Jacobiana Dfp.
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Campos vectoriales en M3
222
Entenderemos por Lp = dfp a la transformación lineal asociada a Dfpi ajp . K
—» K
que define una transformación lineal entre los espacios Rn y R m . Esto es, si £ es un vector de Rn entonces dfp(£) es un vector de Rm (véase la figura 5.7). A una función que es diferenciable en cada punto de su dominio se le llamará diferenciable. EJEMPLO. Sean, la función diferenciable f{x,y) — (xcosx, sen x) el punto p = (~, TT) , y el vector f = ( — 1,2). Calcular
df.^).
<\ Calculamos La matriz Jacobiana de la función en el punto p, Df. = ( p V xcosz
~X S6n y sen x
y la evaluamos en el punto p = ( f ,TT), obteniendo, COSTT
- T T / 2 sen TT \
-1
0
sen TT/2 J V 0
/
I
Por lo tanto, para £ = ( — 1,2) se tiene, al aplicar convencionalmente, que -1 0 \ / - l \ í 1
EJEMPLO. Sean, la función diferenciable, J(x, y) = (\nxy,x2 + y2, y/xy), el punto p = (4,3), y el vector £ = (2,1). Calcular dfp(£). < Calculamos La matriz Jacobiana de la función en el punto arbitrario
Dfp = I
¿
i
1
2y
2*
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5.3 La regla de la cadena
223
de donde, al evaluar en p = (4, 3) se tiene que
II 4
I
1 / 4 2V 3
Por lo tanto, al aplicar en el vector f = (2,1) de manera convencional, se obtiene, #(4.3) (O =
5.3
La regla de la cadena
En el capítulo 4 hemos dado una versión más general del teorema de diferenciabilidad, para la composición de funciones, para cuando eran del tipo R —> R 3 —> R. En esta sección damos un resultado más general acerca de la diferenciabilidad de la composición de funciones diferenciables del tipo R" —» R7n —^ R^ (k,n,m enteros arbitrarios), llamada también Regla de la cadena (véase la figura 5.8).
Figura 5.8: Regla de la cadena. EJEMPLO. Sea la pareja de funciones vectoriales
g(u, v, w) — (uv — w, u + v + w) < Las matrices Jacobianas respectivas están dadas por, -2x\
Df
=
y
2y
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224
Campos vectoriales en
DgP =
V
U
—1
1
1
1
p
Observamos que sólo tiene sentido la composición dada por J o g . ¡K —> K.
—• ¡K.
la cual ya ha sido calculada y está definida por la regla / r
w
x
U
(
( / ° g)(u, v,w)=
+
V
+W
—— \1 +
/
x/
rr, (it 4- v + ^ ) ( w + u H-
(ÍXV
- w)¿
y cuya matriz Jacobiana se calcula en un punto p G t 3 por D(fog)p 2
( + (uv-w)2)2
{l-\-{uv-w)2)2
2
v + 2u -f 2i; -f 2nv + w 4- it; i¿ 4- 2uv + 2u + 2v + uw (l-\-{uv-w2)2
uv 4- u 4- v cuyo cálculo resulta ser muy complicado. Por ejemplo, si se toma el punto p — (1,1,1) entonces, . 1 ) 9 Por otro lado, sabiendo que g(p) = g(l, 1,1) = (0, 3) = q se tendrá Dfq = .D/(o,3) =
n
n
í
DgP - Dgihhl)
= ^
1
1
l
l
~l\ 1
j
Pero al realizar el producto de matrices se tiene que 0
l \ / l
1 -1 \ _ / 1 1 1
3 6 J V1 1
l J " V 9 9 3
lo que nos indica que
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5.3 La regla de la cadena
225
Ya, que el punto q = //(/>), entonces lo anterior se escribe de manera más explícita y en términos de /; como
La fórmula que se ha obtenido al final del ejemplo será propuesta como La regla de la cadena. El enunciado será dado en términos de diferenciales, lo cual no nos causa problema alguno, ya que la, prueba involucrará sus matrices Jacobianas asociadas. TEOREMA 5.4 (Regla de la cadena). Sean dos funciones diferendables f:ílc R" — R'" (j : U C R ? " -> Rk
de tal forma que la irnayen de íl bajo la función f este contenida en U C Rm. Si p G íl es un punto arbitrario, entonces la función compuesta fjof:íl-+U
^Rk
es diferenciable en el punto p y la diferencial de tal composición en el punto p cumple la iyualdad
O Como las matrices asociadas a las diferenciales son las Jacobianas. será suficiente con demostrar la igualdad
Ya que / es diferenciable en p G íh existe una función o : R" —' R'" tal que
Análogamente, como g es diferenciable en el punto q G [/, existe una función i¡) : R'1' -* Re tal que lim||/l.,|_(,^(fc) = 0 Sea ahora, q = f(p) y considérese el incremento A: = / ( / ; -f h) — f{p). entonces k = f(l> + h) - f(p)
= Df,,(h)
+
\\h\\o(h)
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226
Campos vectoriales en M
y además .'/(/(/' + /')) = .'/(/(/') + *•) = u(f(p)) + D{,J(P) ((Dfp(h) + | | / Í | | ¿ ( / 0 )
+ \\Df,Ah) + WhMWWtiDUih) + WhMh)) Por lo tanto, de la linealidad de Dgj^
se tiene que
.(/(/' + M) - U(f(p)) = D!iI{l>)Dfp(l¡)
+ VJ(/«)
donde y-(/»)
= ||/»||D í//(/)) (o(//)) + \\Df,,{h) + \\h\\d>{h)\\t{Dfp(h) + \\hMh))
C\)ino liiii||/,||_o ó(//) = 0 y k —* 0 <=> /¿ —• 0, se tiene que lim
ll/'li-o sal)iendo (jue ^ : R" -* R f . D(» esta manera, se cuniplo la pareja de igualdades
.'/(/O' + /')) " 9{Í(P)) = Dgfu>)Dfp(h)
+ ^(h)
lini||/,j| .o ^p(h) = O
o eímivalentenu^nte, (. o /)(/' + h) - (g o f)(p) = DgfUl)Dfp(h)
+ *(
lo (iue demuestra el teorema. O EJEMPLO. Dada la pareja de funciones,
calcular D(f o g)p% donde p = (1,1). <3 Las matrices Jacobianas están dadas por i u-\-v uu
i n-\-v uv
Dgp = \ ve v
ue a 2y
2 z )
q
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5.3 La regla de la cadena
227
Ya que g(p) = g(l, 1) = (ln 2, e, 1) = q se tiene que ±
-
2
2
(i
o
o\
Por La regla de la cadena, tenemos finalmente,
(
I
2
e
I
2
e
1/2 1/2 2e2 + 2 2e2 + 2 EJEMPLO. Sean 7(¿) = {x{t),y{t),z{t)) una curva diferenciable f(x,y,z) una función arbitraria real de variable vectorial. Si 7(í) C ü, siendo £2 el dominio de / en R3 entonces,
es una función real de variable real diferenciable, w o 7 : R —> R. < Si p = 7(í) es un punto sobre la curva, por La regla de la cadena se tiene dt =
(9¿d¿d¿\
I d¿\
\dx Oy dz)l{t)
\ ñ i \
dt
=
d¿dx d¿dy d¿± dxdt
Oydy
dz dt
/ t
=
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Campos vectoriales en R3
228
5.4
Cambios de coordenadas
En esta sección mostramos uno de los resultados más importantes del análisis matemático moderno, el teorema de la Función Inversa. Aunque se omite su demostración, se ilustra su alcance con ejemplos y se dan referencias para los lectores interesados en la parte teórica. EJEMPLO. Consideremos el siguiente sistema lineal de ecuaciones de 3x3, x + 2y + 3z = 1 2x + 5y 4- 3z = 2 x + 82 = 3 < Si se consiera la matriz del sistema, A= se tiene que detA — — 1, de donde A es invertible con inversa, 1
= [
-40 13 5
16 9 -5 -3 -2 - 1
que puede ser calculada mediante El método de Gauss-Jordan. Ya que el sistema dado se puede escribir matricialmente
entonces el vector columna con las incógnitas puede despejarse mediante la multiplicación de A~l, esto es,
V3) \
z
= A~l
)
lo que nos indica que
y, por lo tanto, que el punto con coordenadas (x,y,z) = (3, - 6 - 2) es la solución a tal sistema.
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5.4 Cambios de coordenadas
229
Veamos el problema inicial desde otro ángulo. Si consideremos a LA : M2 —• R 3 la transformación lineal asociada a la matriz A, entonces el sistema de ecuaciones inicial puede ser visto mediante la ecuación funcional (con notación convencional),
es decir, el problema consiste en encontrar un punto (x, y, z) del dominio de LA tal que bajo la aplicación de la transformación tenga imagen en el punto dado (1,2,3), LA(x,y,z) = (1,2,3) Por el proceso mostrado, se tiene que si detA ^ 0, y LA-i es la transformación lineal asociada a la matriz A~l, entonces el punto buscado es
Si se analiza un sistema de ecuaciones más general, « 1 1 ^ ~r «122/ i" « 1 3 ^ ~ ^ 0>2\X ~\~ «222/ ~^~ « 2 3 ^ = ^
a 3 ix 4- a32y 4- «33^ = w con la matriz asociada al sistema dada por «11
«12
«13
A = [ «21
«22
«23
«31
«32
«33
entonces, una condición para que el sistema tenga solución para las incógnitas (ar, y, z) en términos de los números (n, 1?, K;) es que de¿^4 7^ 0. Si éste es el caso y se define por
A~
= I 021
022 °23 032 ^33
entonces la solución al sistema de ecuaciones viene dado por la ecuación matricial X\ í bu 612 013 \ / U = I &21 ^22 b23 I ( V w
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Campos vectoriales en R 3
230
En términos funcionales, si LA '• R 3 —> R 3 es la transformación lineal asociada a la matriz A y LA-\ : R 3 —> R 3 es la transformación lineal asociada a la matriz A~l, el sistema de ecuaciones en las incógnitas (x, y, z) y su solución en términos de (u,v,w) vienen dados por la equivalencia funcional LA(x\ y, z) = (u, v, w) <=> (x, y, z) = LA~i (u, v, w) Esta equivalencia señala explícitamente las propiedades de invertibilidad de cada transformación lineal mencionada. De hecho, de la igualdad AA~l identidad se tiene que
= A~lA
= /, donde / es la matriz
LA o LA-i = LAA-i = L¡ = I LA-\ oL A = LA-iA = L¡ = / lo que nos dice que LA y LA-\
son mutuamente inversas y que
Este problema de invertibilidad se puede formular en términos más generales, cuando se tiene una función vectorial de variable vectorial. Como se entiende del ejemplo anterior, las funciones inversas sirven como operaciones de cancelamiento o despeje (véase Capítulo I de Reyes, 1996). DEFINICIÓN. Sea / : ü C R n -* R n una función vectorial de variable vectorial. La función g : f(Cl) C R n —> íl se dice ser una función inversa de la función si se cumple que es tal que g o f : Ü -> / ( f i ) - • Í7,
es tal que
fog gof
= l = l
siendo / la función identidad (véase la figura 5.9). E J E M P L O . Sea la función / : R 2 —> R 2 dada por la regla de correspondencia
f(x,y) = (ex cosy, exseny) < Si se escriben las coordenadas de la imagen, u = ex eos y v = exseny
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5.4 Cambios de coordenadas
231
Figura 5.9: Invertibilidad de una función. entonces, al dividir la segunda ecuación por la primera se obtiene v
(u\
— — tan y =^> y — arctan — u Vv/ Si se elevan al cuadrado las igualdades en ambos miembros y se suman los lados respectivos se tendría que u" + v" = (j- 'l eos" y -f c"'s(m2tj = c2 lo que implica cjue
x = ln Ju1 -f v1 De esta manera, con base en un cálculo realizado mediante despejes, se obtiene una función (x, y) = g{u, v) = í ln \Jvr + r 2 , arctan í — j j la cual tiene un dominio de definición Dx = R2 - {(u, v)\ u / 0} - R2 - {eje v} En otras ¡)alabras, bajo esta regla g obtenida, no torio punto (//. v) £ R2 acepta solución para la equivalencia /(:r, y) = (?¿, v) <=> {x, y) = g(u. v). Por eso es que llamamos a g una función inversa, porque está definida no en toda la imagen de / . Otro cálculo simple nos muestra que la función, h(it, v) = í ln y/u2 + t' 2 . arecot ( — J J
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232
Campos vectoriales en
es UIIÍV función obtenida, mediante el método similar, y que es inversa para / definida en el conjunto D-2 = R2 - {ejeu} Lo que es claro, es que un cálculo directo nos mostraría que en el conjunto Dx D D2 = D = R2 - {ejes u, v} las funciones // y g coinciden en sus valores. p> EJEMPLO. S<»n. / : D c R - > R una función diferenciable real de variable real y sea p € D un punto regular de / , es decir la derivada f'(p) no se anula. < Por el t(u)reina de la función inversa (Capítulo 3 Reyes, 1996) se tiene que existen intervalos ./;, alrededor de p y J(¡ alrededor de q = f(p) de tal forma que la restricción de la función / a esos intervalos
/ : ./„ - J, (^s inv(Ttiblo y su inversa es diferenciable. Más aún, si g : J(¡ —> Jp es la función inversa local de / alrededor de q = f(p)< entonces la ecuación (gof)(x) = x iiii})lica. ])or La regla de la cadena l = (!jof)'(.v)=g'(f(.v))f'(x) Al evaluar en .v = p se tiene que la derivada de la función inversa g en el punto q = f(p) se calcula,
g'ü) =
(f'())-1
Decimos en este caso que la función / es una invertible local pues tiene una inversa local g que también es diferenciable. O El siguiente resultado generaliza el ejemplo anterior y nos provee de una gran cantidad de funciones localmente invertibles de clase Cr. La prueba se omite, pero el lector interesado puede referirse al trabajo de Lima (1992). Para una función de clase Cr, f : Rn —> Rm entenderemos a una función cuyas funciones coordenadas f¡ : Rn —> Wrn son de clase C1.
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5.4 Cambios de coordenadas
233
TEOREMA 5.5 (de la función inversa local) Sean, f : Q C Rn -> IR" una función de clase Cr(r > 1) y p £ íl un punto tal que La matriz Jacobiana
i tenga un determinante no nulo: detA / 0. Entonces f es una función localmente invertible en p. Esto es, en una vecindad de p y en otra vecindad de q — f(p), la función tiene una inversa local g que es de clase Cr. Más aún, si q — f(p) es la imagen se tiene que La matriz Jacobiana de g en q se calcula invirtiendo la matriz Dfp, es decir,
Dgq = {Dfprl EJEMPLO. Considerar nuevamente la función / : R2 —> R2
f(x,y) = (ex cosy, exseny) de la cual no se puede obtener una función inversa global explícita. < Sea p = (x, y) G IR2 un punto arbitrario del dominio. Su matriz Jacobiana viene dada por L) tyD =
/ excosy , \ e rsen y
-exseny ,r e cosy
lo que nos dice que e C Sy det(Df ° v Jy> p)= elxseny
Seny "f ex cosy
= ex
Por lo tanto, la función / es invertible localmente en cada punto y dependiendo de éste, tendrá una función inversa local como alguna de las dos diferentes halladas anteriormente, según la forma de despejar las variables. D>
DEFINICIÓN. Dada La matriz Jacobiana en un punto p de una función / : R n -+ Rn de clase C r , definida por Dfp, a su determinante det{Dfp) se le llama el Jacobiano de la función / en el punto p y lo calculamos por Jfp, es decir
Jfp - det(Dfp) Así. repasamos el teorema de la función inversa diciendo que una función Rn —> Rn de clase Cr cuyos Jacobianos no se anulan en todo el dominio es localmente invertible de clase Cr.
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Campos vectoriales en R3
234
Para optimizar cálculos utilizaremos la notación clásica que utiliza subíndices variables para definir la derivación parcial. Por ejemplo, Ju
~
h
du'
Uz
'dzr"
"~ dx'
definirá la derivación parcial respecto a la variable indicada. Por otro lado, si una función E n —> R n es definida por (2/i ••• ,2/n) = f(xi ••• ,xn) el jacobiano de / en el punto p se definirá por
EJEMPLO. En la función suave R2 -* R2 dada por (u, v) = f(x,y) = (ex eos y, exsen y) se tiene du
x
= — = e cosy, ax
dv = — = exseny, JP
du
uy = — = -e seny ay
dv vy = — = ex eos y ex cosy exseny
D(x,y)
—exseny exeos y
Particularmente, en el punto p = (1,1) se tiene que Jf(i.i)
=el=e
de donde / es invertible alrededor del punto (1,1) con una inversa local g(u,v) = í ln \u2 + v2, arctan í — J J definida alrededor del punto /(1,1) = (ecos 1, esen 1). O EJEMPLO. Dada la función f(x,y,z) = (xz,xy,yz) verificar su invertibilidad alrededor del punto p = ( — 1,1, — 1).
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5.4 Cambios de coordenadas
235
Si calculamos por (u,v,w) = f(x,y,z)
— (xz,xy,yz), es decir,
u = xz
V = xy w = yz
1 entonces J fp =
D(u, v, w)
ux
Uy
uz
Vx
Vy
Vz
wx
Wy
wz
z 0 x — y x 0 0 z y
= 2xyz
De esta manera, el Jacobiano se anula sólo en los planos coordenados x = y = z = 0. Por lo tanto, J / ( i , u ) = 2 ^ 0, lo que nos dice que / es invertible en una localidad del punto (1,1,1), y procedemos a calcular en este caso una función inversa local de / . De las ecuaciones u — xz, v = xy se obtiene que uv = x2zy. Al utilizar ahora w = yz en uv = x2zy se tiene que uv = x2w lo que nos dice que X
:=:
uv w
uv w
x = ±\l —
Análogamente, se obtienen,
Ya que q = ( 1 , - 1 , - 1 ) = / ( —1,1,—1) está en el dominio para cualquier elección de signos, se tiene, al elegir los apropiados, que la inversa local g tiene la forma,
^
v
;
/ ívv Ivw \ \l w ]/ u
luw \ v
en virtud de los signos del punto p = ( — 1,1,-1).
>
En muchas ocasiones, el sistema cartesiano de coordenadas no es bueno para describir objetos geométricos o mecánicos que están incluidos en el espacio vectorial R 3 . Por eso, es preciso utilizar otro tipo de coordenadas que describen con fórmulas más simples tales objetos. De esta forma, si se conocen las coordenadas que se van a utilizar en lugar de las cartesianas,
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236
Campos vectoriales en
K
b.
Figura 5.10: Regiones en R3 y R2. justo es que se establezca una relación biunívoca entre las colecciones correspondientes a tales sistemas de coordenadas. Cabe mencionar que en muchas ocasiones, tal relación biunívoca entre tales sistemas puede establecerse entre regiones. EJEMPLO. Sea el campo escalar F(r
11 z) — r 2 4- ?/2 -I- z2
Ya que F es una función suave (por lo tanto, continua) se tiene que
es una región abierta de R3 Esto, es la bola de radio 1 con centro en (0,0, 0) de R3 es una región abierta (véase figura 5.10 a). EJEMPLO. Considere el semiplano superior J7+ = {(x,y) e R2|
y > 0}
Este conjunto es una región abierta en R2, pues la función F(x, y) — y es continua y H+ — F'1^, oo) (véase figura 5.10 b). Claramente la cerradura del semiplano superior H+ = {(x,y)eR2\
y>0}
es una región con frontera en el plano R2. En algunas ocasiones, una región está definida por varias desigualdades. Esto es, cada punto de la región satisface un número finito de desigualdades del tipo Fi(x,y,z) < ai F2(x,y,z) < a2 Fn(x,y,z) < an
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5.4 Cambios de coordenadas
237
donde las funciones F\, • • • , Fn son continuas en el espacio R 3 , y a i , • • • , an son números reales. EJEMPLO. Consideremos la región en el plano R2 acotada por la elipse
O De la figura 5.11 se puede observar que la variable x está necesariamente en el intervalo [—2,2] y que la variable y está encerrada desde la curva y = ^A\/4 — x2 hasta la curva y — -4»\/4 — x2. La definición de y se obtiene al despejar a y de la ecuación inicial,
Figura 5.11: Región elíptica en K 2 . De esta forma, la región ü se puede describir totalmente por las desigualdades
Estas desigualdades son equivalentes al sistema de desigualdades
Fi{x,y) = -x<2 F2(x,y)=x<2
F3{x,y) = - {y + ¿±jf) <0 que provienen del par de desigualdades obtenido. \>
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Campos vectoriales en
238
En general, entender un sistema de desigualdades como el que se obtuvo en la parte final del ejemplo anterior es difícil, y es más cómodo describir a una región por desigualdades como las que se obtuvieron directamente en el ejemplo anterior, las cuales señalan los conjuntos donde era permisible tomar cada una de las variables. EJEMPLO. Considérese la región Q en el plano definida por desigualdades y > x2,
y < 4 - x2
< La figura 5.12 nos muestra que la primer desigualdad se refiere a la región por encima de la parábola y = x2, mientras que la segunda desigualdad se refiere a la región por debajo de la parábola y — 4 — x2. Por lo tanto, la región Í7 es aquella acotada inferiormente por y = x2 y acotada superiormente por y = 4 — x2.
Figura 5.12: Región Q del plano R 2 . Los puntos de intersección entre las parábolas satisfacen las ecuaciones y = x2 y — 4 - x2 que al igualar: x2 — 4 — x 2 , nos da los puntos x = ±y/2. Esto hace que x esté en el intervalo [—A/2, A/2], mientras que la variable y es permisible entre las curvas y — x2 hasta y — 4 — x2. Por lo tanto, la región SI está completamente descrita por las desigualdades - \ / 2 < x < \ / 2 , x2
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5.4 Cambios de coordenadas
239
<3 Una inspección a la ecuación del plano x + y + z = 1, nos muestra que los puntos de intersección con los ejes coordenados son (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1), como se muestra en la ñgura 5.13, quedando tal porción del plano en el primer octante: x > 0, y > 0, z > 0 Si en la ecuación x + y + z = 1, ponemos y = 0 y z = 0, entonces x = 1, lo que determina para x el intervalo [0,1].
y=l-x z=0
Figura 5.13: Región espacial acotada por planos. Para determinar el dominio de y, hacemos z — 0 en la ecuación x 4- y 4z = 1, obteniendo x + y = \oy = l — x, lo que según se muestra en la misma ñgura, e indica que 0 < y< 1 -x Finalmente, al despejar z de la ecuación x+y+z — 1, se obtiene z — l—x—y, lo que dice que la variable z debe satisfacer la desigualdad 0 < z< 1 - x - y Por lo tanto, la región espacial V se describe por el conjunto V = {(x,y,z)\0
<x
>
EJEMPLO. Consideremos la región espacial acotada por la parte superior de la esfera 2 i x~ + y z =4. <\ Al proceder por analogía al ejemplo anterior haciendo y — 0, z = 0 en la ecuación dada, se obtiene que x2 = 4 o x = ±2. Al observar la figura 5.14, tenemos que el intervalo numérico para x es [—2,2].
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240
Campos vectoriales en
Por otra parte, si se anula z en la ecuación, se tiene que x2 4- y2 = 4 lo que al despejar a y en términos de x nos da y = ±\/4 — x 2 , que según la figura 5.17, nos indica el dominio para la variable ?/, — v 4 — x2 < y < v 4 — x2 Finalmente, si en la ecuación inicial se despeja a z, se obtiene que z = ±y4—- x2 — y2, lo que según la misma figura 5.17, la variable z deberá satisfacer la desigualdad 0 < z < \/A - x2 ~ y2 pues se considera la parte superior de la esfera.
Figura 5.14: Semiesfera superior R 3 . De esta manera, la región V C R 3 acotada de esta forma, está totalmente descrita por las desigualdades - 2 < x < 2,
- \/A-x
2
2
< y < A/4-X ,
2
2
0 < z < V'A - X -y }
O
Como se mencionó antes, situaremos un cambio de sistemas coordenados en regiones contenidas en R 3 (ó en R 2 ). DEFINICIÓN. Sean x, y, z y u, v, w dos sistemas de coordenadas en R 3 . Por un cambio de sistemas de coordenadas en una región {} se entiende una función diferenciable e invertible íí —> fi, que en coordenadas se escribe x = x(u, v, w) y = y(u.v,w) z = z(u, i\ w)
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5.4 Cambios de coordenadas
241
con una función inversa diferenciadle definida en {} por u = u(x,y,z) v = v(x,y,z) w — w(x, y, z) Para (¡o — (UQ, UO, ivo) C 12 un punto definido en las coordenadas. •//., r, ir. considérese el correspondiente en íl en las coordenadas x,y,z, definido j)or Po = (£0,2/0, z 0 ). DEFINICIÓN. El punto p 0 e íl se llama un valor regular para el cambio de coordenadas, sí la matriz
( es no singular, es decir, det A /
¡)x
():r
ün üu <)n üv 0. punto ()z Elóz
r/o se llamará punto regular.
En otras palabras, po es un valor regular para el sistema do coordenadas (u,v,w) si la parte lineal A es una matriz invertible. El siguiente resultado nos habla de la invertibilidad local alrededor de un punto regular de un cambio de coordenadas. Este se sigue del Teorema de la función inversa. T E O R E M A 5.6 Sipo es un panto regular para el cambio de coordenadas, entonces en una vecindad de po en íl se puede definir una transformación inversa. En otras palabras, la parte lineal del cambio de coordenadas en qo define su invertibilidad localmente. Esto es, define localmente un cambio de coordenadas. A continuación damos ejemplos de cambios de coordenadas en el plano R2 y en el espacio R 3 . Se hará uso del Teorema 5.6 en cada uno de ellos. Coordenadas polares Considérese en el plano IR2 el sistema de coordenadas cartesianas (x,y). Introducimos ahora en el mismo plano otro sistema de coordenadas (r, ¡p)< donde r > 0 y tp G (0,2TT). La relación entre los sistemas de coordenadas es x = r eos ip y—
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Campos vectoriales en
242
<] Dado un punto (/o, yo) = (/o, procedemos a verificar la condición de invertibilidad local, y para ello necesitamos calcular la matriz Jacobiana en A -
eos ¡p()
-ró
s e n
•/•(, e o s
De esta forma, el determinante de la parte lineal A se calcula - / ' o sei /'o e o s
= /'o,
con lo (nu\ d( tA T¿ •() en R + x ((), 2TT). Una función que da un caml)io inverso de coordenadas está dado por
í '•= \ sf = a re tan (y/.v) que no está definido cuando ./• = 0. De esta manera, ya que la imagen correspondo al ojo // (donde y? = ^-, ^n), se tiene una correspondencia de coordenadas (./•, //) y (/', y?) en ai)ena.s los cuadrantes (sin los ejes) del plano. La figura 5.15 ilustra esto. Al sistema de coordenadas (r,ip) se le llama de coordenadas polares. D>
Figura 5.15: Coordenadas Polares en R". EJEMPLO. Consideremos la curva en el plano definida por la ecuación en coordenadas cartesianas 25a:2 + lOxy + y2 - 1 = 0 <1 Al realizar el cambio de coordenadas cartesianas por polares, tenemos que la ecuación anterior se transforma en 0 = 25x J + \Qxy + y - 1 = 25(r eos ip)~ + 10r eos
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5.4 Cambios de coordenadas
243
+ (r sen (p)2 — 1 = 25r 2 eos 2 tp + 10r 2 eos <¿? sen <¿> -f r2sen2<¿? - 1 = r 2 [25 eos 2 (p + 10 eos ip 4- sen V ] - 1 = r 2 [5 eos <¿> -f sencp] 2 - 1 o bien, en la relación bivalente r = -
±1
D>
5 eos (p + semp
EJEMPLO. Consideremos la relación en coordenadas polares dada por r — 1 — eos (p <\ Para pasar tal relación a coordenadas cartesianas, procedemos como sigue, r = 1 — eos (p <=> 1 — r = eos
F(x,y) = V*2 + y2 - 1 en la región Q = {(x,y)\x2
-f y2 > 1}.
<1 Al realizar la transformación de coordenadas cartesianas a polares (r, (p) se tiene una nueva función F(r, ip) — F(r eos
[0, 2TT]} O
EJEMPLO. Sea fí la región con frontera en el plano, definida por las coordenadas cartesianas
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Campos vectoriales en E3
244
Este conjunto corresponde a una región anular con centro en (0, 0) de radio interior 1 y radio exterior 2. <\ Al describir a íl con coordenadas polares, tenemos íí = {(r,v?) | 1 < r < 2 , ipe
[0,2TT]}
pues la relación dada por 1 < x2 + y2 < 4 es equivalente en polares a 1 < r 2 < 4, ó bien a 1 < r < 2. [> Coordenadas cilindricas Considérese en R el sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) e introdúzcase el sistema nuevo dado por la tripleta (r, tp, z) donde r,
sei\(p
—rsemp r eos íp
0
0
COSip
= detA =
0 0 1
—
eos cp semp
r sen ip = r
r cos<¿>
y este es diferente de cero, si r > 0. Este conjunto corresponde a todo el espacio con excepción del eje z. Una función inversa es calculada por r= p = aicta.n(y/x) definida cuando x ^ 0. Como tp G (0, 2TT), entonces se tiene un cambio de coordenadas (x,y,z) por (r,tp,z), y viceversa, sólo cuando el punto es tomado fuera de los planos x — 0, y = 0 en R .
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5.4 Cambios de coordenadas
245
^o (r,ip,z)
y
Figura 5.16: Coordenadas cilindricas. Este sistema se conoce como coordenadas cilindricas. Lafigura5.16 ilustra este EJEMPLO. Considérese la relación dada en coordenadas cartesianas por x2 + y2 - 2z2 = 0
<3 En coordenadas cilindricas (r, cp, z) esta relación se escribe 0=
(x2+y2)-2z2=r2-2z2,
es decir, r2 = 2z2 o bien, r = ±y/2z O EJEMPLO. Consideremos la función definida por F(x,y,z) = \Jz - x2 - y2 en la región íí = {(x, y, z)\ z > x2 + y2} C IR3. <] En coordenadas cilindricas la función se escribe de forma más simple F(r, (p, z) — F(r eos ip, r sen ip, z) — \/z - (reosep)2 - (rsen^) 2 = \Jz - r 2 definida en la región íí que en coordenadas cilindricas es escrita como íí = {(r, ip, z) | z > r 2 , cp G [0, 2TT]}.
O
EJEMPLO. La región espacial anular-cilindrica dada por íí = { ( X , Í / , 2 ) | 1 < x2 +y2 < 4, 0 < z < 1}
en coordenadas cilindricas se escribe íí = {{r,ip,z)\l
[0,2TT]}.
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246
Campos vectoriales en
Coordenadas esféricas Como último ejemplo, sean las coordenadas cartesianas (x,y,z) en R 3 considere nuevas coordenadas (r, ip, 0) en R 3 dadas por las ecuaciones x — r eos (psen0, y = r sen
—r sen <¿> sen r eos <¿? sen 0 0
y su Jacobiano es
D(x,y,z)
= detA = r2sen<9.
De esta manera, detA = 0, si y sólo sí , r = 0 ó 0 = 0, TT, lo cual define otra vez una transformación del espacio excepto el eje z en estas coordenadas. Un cálculo directo nos demuestra que una transformación inversa en la región de invertibilidad, está dada por r = y/x2 +y2 (p = arctan 7 = arceos Este sistema se conoce como coordenadas co-geográficas esféricas, y se ilustra en la figura 5.17. E J E M P L O . Consideremos la ecuación espacial en coordenadas cartesianas d a d a por x2 + y2 + z2 - 4 = 0 < En coordenadas esféricas (r, <¿?, 0), tal ecuación se escribe 0 = (rcos
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5.4 Cambios de c o o r d e n a d a s
247
Figura 5.17: Coordenadas co-geográh'cas esféricas. lo que dice cpie la relación inicial se lleva, bajo la transformación de coordenadas en la relación simple r = 2 D> E J E M P L O . Considérese la función
definida en la región íl = {(J:, /y, z)\{) < ./:'" + y2 + z2 < 1} < En coordenadas esféricas, esta transformación se reduce a F(r,ip*0) = F(r eos ^sen 0. rsen^senfl, reos 0) 1 ln(l - (rcos^sen^) 2 - (rsen^sen^) 2 - (r(eosfl)-)
1 ln(i - r2)
definida en la misma región que en coordenadas esféricas se escribe Í2 = { ( r , ^ , » ) | 0 < r < 1.0 < ^ < 2TT. 0 < # < TT}. D>
E J E M P L O . Consideremos la región íl = {(;i\ /y, 2)| 0 < x2 + y2 + 22 < /?2} correspondiente a una bola sólida de radio /? en el espacio R'\ <3 En coordenadas esféricas (r\^,9) tal región se puede escribir Í2 = {(r, ^?, fl)| 0 < r < /?. 0 < ? <
2TT.
0 < 0 < n}
>
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Campos vectoriales en
248
5.5
Campos vectoriales en
Considérese una región íl C R' , do tal forma que a cada punto p £ Q se le asocia un vector espacial X(p) 6 R 3 . Entonces diremos que en íl está definido un campo de vectores A : íl -+ R 3 o que en íl actúa el c a m p o vectorial X. EJEMPLO. Sea íl C R 3 una región que ocupa el flujo de un líquido estacionario. < Es claro que a cada punto p G íl lo podamos asociar su vector de velocidad A"(/;). Do esta forma, so construye el campo de vectores velocidad del flujo (campo d e velocidades), como una función A : Í2 —*• R 3 que a cada p e íl lo asocia el vector velocidad X(p). La figura 5.18 a. ilustra el campo vectorial de esto ejemplo. O
O
a. Figura 5.18: a. Campo de velocidades b . Campo gravitacional. EJEMPLO. Consideremos la fuerza de atracción en R 3 ejercida por un cuerpo puntual de masa m que está situado en el origen de coordenadas. <3 Si íl C R 3 es una región del espacio no conteniendo el origen, entonces para cada objeto situado en el punto P e Í2, se le asocia el vector (fuerza gravitacional) ejercido por su atracción hacia el cuerpo puntual de masa m. Si se define el vector por X(p), entonces se está construyendo un campo vectorial (fuerzas gravitacionales) en Q, definido por la función X : fi —> IR3 tal que a cada punto p G Í2 le asocia el vector gravitacional X(p) (véase la figura 5.18 b . O
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5.5 Campos vectoriales en R2 y R3
249
Si la asociación p —> X(p) en los ejemplos anteriores es suave, como una función vectorial de argumento vectorial, diremos que los campos vectoriales son suaves. DEFINICIÓN. Sea Í2 una región del espacio R3. Por un campo vectorial suave X actuando en tt entenderemos una función A
. i I —> M.
que asocia a cada punto p £ Q el vector espacial X(p), de tal forma que la asociación es suave como una función vectorial de argumento vectorial. El la práctica, para visualizar un campo de vectores definido en una región íí, se dibujan los vectores asociados X(p) a los puntos p G íi, teniendo a p como punto donde nace el vector X{p). La figura 5.18 ilustra esta forma de visualizar los campos vectoriales de velocidades y gravitacional. EJEMPLO. Sea un campo escalar suave arbitrario definido en una región espacial Í7, F
:Q^R
<\ Podemos asociar a cada punto p € Í7 el vector gradiente gradF(p), construyendo así un campo vectorial X definido por
donde X(p) — gradF(p). Se puede comprobar fácilmente que si gradF(p) ^ (0,0,0), entonces es un vector ortogonal al conjunto de nivel F~1(h) conteniendo a p. El campo X = grad F se llama el campo gradiente obtenido del campo escalar F. > Si se considera el sistema de coordenadas x, y, z para íí, entonces un campo de vectores X tiene la forma X(x,y,z) = (P(x,y,z), Q{x,y,z), R(x,y,z)), donde P, Q y R son campos escalares, P,Q,R: ü ->R Por ejemplo, el campo gradiente del escalar F se escribe en las coordenadas cartesianas x, y, z,
*<»-(£<<»•£<») DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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Campos vectoriales en R3
250 siendo en este caso P_
r
dF
dF
n_
— ~7\ i V — ~r\
ax
üy
R^
i fi —
dF
~T:
üz
EJEMPLO. Sea el campo escalar F en el plano definido por F(x,y) = x2 + y2 < Entonces el campo gradiente asociado al campo escalar F es (dF \0x
dF ' dy
\ )
'
p
Para ilustrar cómo actúa este campo vectorial en el plano, calculamos en algunos puntos sus vectores correspondientes. X(0,0) = (0,0) X(l,0) = (2,0)
Sabemos que para / i G l u n valor es positivo, los conjuntos de nivel del campo escalar F tienen una ecuación, x2 + y2 = h
y corresponden a círculos concéntricos en el origen. Los vectores gradientes son ortogonales a ellos. La figura 5.19 ilustra este ejemplo.. \> EJEMPLO. Determinemos el campo vectorial definido por la fuerza de atracción gravitacional de un cuerpo A de masa m sobre un cuerpo B de masa 1. < Supongamos que el cuerpo de masa m está localizado en R3. De La ley de gravitación universal se sigue que la fuerza X con la cual atrae el cuerpo A al cuerpo B es X(p) = T^¥ donde p = (x,y, z) es la posición del cuerpo A. Recordemos que |p| = \/x2 Jry2jrz2) y por lo tanto ye2 + ze-¿)
_ ,y,Z
—
¿
r¿
(x + y
o equivalentemenie krnze:i
kmxei )3/2 ,2)3/2
(j .2
+
y2
+
,2)3/2
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5.5 Campos vectoriales en R2 y
251
En este caso las funciones escalares que definen al campo vectorial son „,
kmx
x
Q(x,y,z) =
kmy 2
(x + y2 + x2)3/2 kmz R{x,y,z) = 2 2 (x +y + :r2)3/2
Figura 5.19: Campo gradiente de F = x2 + y2. Mostramos que un campo vectorial crea una "dinámica" dentro de la región Q contenida en R 3 donde actúa. EJEMPLO. Consideremos nuevamente el campo de velocidades X del líquido estacionario dentro de la región Q C R 3 . Bajo la influencia de tal campo, cualquier punto se "moverá" por la acción de la velocidad X(p) del líquido, creando una trayectoria. En los puntos de tal trayectoria también se ejercen tangencialm mte velocidades que son vectores del campo que actúa en fi. Si se conoce por jp(t) la trayectoria (curva) que se realiza desde el punto p (tomado como tiempo incial t = 0), para tiempos t > 0, se tiene que la velocidad 7P(¿) de la curva en el punto 7P(¿), pertenece al campo X. Esto es, el punto jp(t) de la trayectoria tiene asociado al vector velocidad X(~)P(t)) que también es la velocidad %(t), es decir,
%{t) = x(rp(t)) Diremos en este caso que la curva t —• 7p(í)> e s u n a curva integral del campo vectorial X, condicionada a pasar por 7 p (0) = p.
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252
Campos vectoriales en
En otras palabras, una curva integral del campo X de velocidades es una curva cuyos vectores tangentes pertenecen además al campo X (véase figura 5.20). DEFINICIÓN. Sea X un campo vectorial suave en í] C R 3 , y sea 7:(-e,e) ->íí, e > 0 una curva suave definida en el intervalo ( — e,e) a Vi. Decimos que 7 es una curva integral del campo X, si para todo t G (—e,e) se satisface la igualdad Esto es, 7 es una curva integral de X si sus vectores tangentes j(t) forman parte del campo (véase la figura 5.20).
Figura 5.20: Curvas integrales de un campo vectorial Sean x, y, z las coordenadas de íl donde el campo X se escribe X(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) entonces la curva ^(t) — (x(t), ?/(£), z(t)) será una curva integral del campo X si para t G (—e, e) se cumple la cadena de igualdades (x(t),y(t),i(t))=í(t)
= X(-r(t)) = X(x(t),y(t),z(t))
= (P(x(t),y(t), z(t)), Q(x(t),y(t), z(t)),R(x(t), y(t),z(t))) Esto es equivalente a que, suprimiendo la variable t (sabiendo que las coordenadas dependen de tal variable), se cumpla el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales
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5.5 Campos vectoriales en R2 y R3
253
x = P(x,y,z) y = Q(x,y,z) , z = R(x,y,z)
(x,y,z)eíl.
Consecuentemente, para que una curva 7(2) sea una curva integral del campo vectorial X = (P,Q,R), sus coordenadas x(t),y(t), z(t) deben satisfacer el sistema de ecuaciones diferenciales mencionado. Surge el problema de la existencia de curvas integrales de un campo vectorial suave X definido en una región íl C IR3. El conjunto de tales curvas integrales conformarían el flujo asociado al campo de vectores en el cual un objeto se podría mover libremente bajo la acción de tal campo. El siguiente teorema, el cual no demostraremos, nos garantiza la existencia de una curva integral del campo, la cual pasa por un punto condicionado y que está determinada de manera única. T E O R E M A 5.7 Sea Q una región de R 3 y sea X un campo de vectores suave definido en Q. Entonces, para el punto p G Q a. Existe una curva integral suave 7 : (a,6) ->íí del campo integral X, definida en un intervalo máximo (a,b) C R que contiene a 0 y tal que 7(0) = p. b . La curva 7 es única en el sentido de que cualquier otra curva integral suave del campo 7:(a',6')-íí pasando por p, coincide con 7 en (a, 6) n (a'',&'), suponiendo
de inicio que
La prueba de este teorema es objeto de La Teoría de las Ecuaciones Diferenciales y sale del alcance de este libro. Otra forma de determinar las curvas del flujo del campo vectorial X = F(x, y, z)ex + Q(x, y, z)e2 + R(x, y, z)e3 es resolver las ecuaciones diferenciales equivalentes, dx P(x,y,z)
dy ~ Q{x,y,z)
dz ~
R(x,y,z)
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Campos vectoriales en E 3
254
pero en este caso, las soluciones están determinadas sin el parámetro temporal t. A continuación, damos ejemplos de curvas integrales para campos vectoriales en el plano. La búsqueda de tales curvas integrales obedece en general a la solución del sistema de ecuaciones diferenciales mencionado. Se hace mención al lector que en general no es simple resolver un sistema de este tipo para encontrar las curvas integrales del campo que actúa en la región £7, además de que los métodos de solución que se conocen merecen un trabajo aparte. EJEMPLO. Consideremos en Q = R2 el campo de vectores constante
esto es, P(x, y) = 1 y Q(x, y) = 0. < Entonces sus curvas integrales deberán de satisfacer el sistema de ecuaciones diferenciales cuyas soluciones para cualquier punto (xo,yo) € ü tienen la forma x(t) = t + XQ 7 ( í ) :
\
y(t)=yo
Esta curva integral t -> 7 (í) = (x(¿), y(t)) = (t + x0, yo) corresponde a una recta paralela al eje x, que en el tiempo t = 0 pasa por el punto (#o,2A)) ^ ^* La figura 5.21 ilustra el campo vectorial de este ejemplo, junto con sus curvas integrales (flujo del campo). O EJEMPLO. Sea en Q = R2 el campo vectorial dado por X(x,y) = {-y,x) es decir, P(x,y) = -y, Q(x,y) = x. < El sistema de ecuaciones diferenciales asociado al campo es í x = P{x,y) = -y \ y = Q(x,y) = x Mediante métodos del Álgebra lineal se puede comprobar que la curva integral al tiempo t = 0 pasando por el punto (#o, Uo) ^ fí, tiene la forma ^
= x
° c o s í ~y°
sen l
t^M
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5.5 Campos vectoriales en R2 y
255
X=(1,O) o
>—o
>—o
Figura 5.21: Campo constante X = (1,0). Por ejemplo, para el punto (x 0 , yo) = (1,1) se tiene que la curva integral pasando por él está definida por -y(¿) = (cosí — sení, sení 4- cosí) Ya que lh(í)|| 2 = ( c o s í - s e n í ) 2 4- (sení + cosí) 2 = 2 se tiene que tal curva integral por (1,1) es una circunferencia de radio y/2 con centro en el origen. De manera análoga, la curva integral de X que pasa por el punto arbitrario (x o ,yo) satisface que Ib(0112 = (xo eos Í - T / 0 sení) 2 + (x0 sent + y0 cosí) 2 = ^o + Vo lo que nos indica que también es una circunferencia con centro en el origen La figura 5.22 nos ilustra este campo vectorial junto con sus curvas integrales, que conforman una familia de círculos concéntricos, sobre los cuales se mueve el campo en dirección contraria a las manecillas del reloj.
X(x,y)
Figura 5.22: Curvas integrales del campo X(x,y) = (—y,x).
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Campos vectoriales en R¿
256
Una forma más simple de obtener las curvas integrales sin la expresión explícita del parámetro t para el campo del ejemplo anterior, se muestra a continuación EJEMPLO. Determine las líneas de flujo del campo vectorial plano del ejemplo anterior, X — — ye\ + xe
< Para encontrar las líneas de flujo del campo vectorial plano X = P(x,y)ex
+Q{x,y)e2
debemos resolver la ecuación diferencial dx _ dy P(x,y) " Q{x,y) es decir, dy_ _ Q(x,y) dx - P(x,y) En nuestro ejemplo P(x,y) — —y, Q(x,y) = x, y, por lo tanto, obtenemos dy x dx -y o equivalentemente _
dz
2
4=>
2
(- C\ =
(- Co
2 2 Reacomodando los términos, concluimos que las líneas de flujo son de la forma x2 + y2 = c es decir, son circunferencias con centro en el origen. t> EJEMPLO. Encuentre las líneas de flujo del campo vectorial X = e1 + x ( y - l ) e 2 <1 Las líneas de flujo se obtienen resolviendo la ecuación diferencial dx
T
dy =
x(y-1)
es decir xdx — —^-r.
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5.5 Campos vectoriales en R2 y R3
257
Integrando en ambos lados obtenemos 2/- 1 es decir, siendo c una constante de integración, la solución se escribe implícitamente, x2
EJEMPLO. (Campo gradiente). Considere un campo escalar F, y el campo gradiente asociado en la región Q de R3 en las coordenadas x, y, z.
X(s, 1/, 2) = grad F(s,„, *) = {—, —, — < Entonces las ecuaciones diferenciales para este campo gradiente vienen dadas por
Como es sabido, el vector tangente de una curva integral -r(t) = (x{t),y(t),z(t)) es el vector =gradF(z(t), y(t),z(t)) y éste es ortogonal al conjunto de nivel donde se encuentra el punto Ya que el campo gradiente es ortogonal a los conjuntos de nivel de F, entonces el flujo (conjunto de curvas integrales) de X = gradF es ortogonal a los conjuntos de nivel de F. Particularmente si F — T es el campo de temperaturas, entonces un objeto situado sobre un conjunto de nivel T~1(To) tenderá a moverse de manera natural hacia la dirección del gradiente X = gradT para ganar calor, llevado por la acción misma del campo gradiente. D> DEFINICIÓN. El campo vectorial X es conservativo si existe una función escalar F tal que X = VF. En tal caso, llamamos a F una función potencial para X. EJEMPLO. Muestre que el campo vectorial gravitacional es conservativo. < El campo vectorial está dado por, _ km{xel + ye2 + ze3) (x2 +y2 + z2)6'2
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258
Campos vectoriales en
es decir, A
(•''<.'/' ~) =
kmxc\ (.r* + !? + Z*)V*
ktnyc'2 (J:-> + j,2 + ,2)3/2
kinze-¿ (X2 + y2 + 22)3/2
Definiendo a la función
y calculando el gradiente obtenemos,
C/J'
6*2
¿/(/
h in.ve \
kmyi'2
kmze¿
con lo cual concluimos que el campo X es conservativo O E J E M P L O . Determine el campo gradiente definido por el campo escalar
<3 Ya que el campo gradiente es de la forma
, OR OR OR V/?(.r, í/, C) = —-f! + -TT-C'2 + "^-^3 a.r ay Oz calculemos primero las derivadas parciales
Oy -
d
"€
Oz
De esta manera, el campo gradiente de R(x\ y, z) es V7?(.r, y, z) = (^e^-^ -f 2jr2y2e"r2j/)c1 + x'¿ + x 3 2e x ^e E J E M P L O . Si el campo escalar T
(
)
23 2
(\ + x + y2 +Az2)
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5.6 Divergencia, gradiente y rotor
259
da la temperatura en el punto (x,?/,z), determine el campo gradiente VT y la dirección en la cual aumenta más rápido la temperatura en el punto (1,1,0). < Calculemos primero las derivadas parciales de
T(x,y,z)
dT_ ~dx~ ~ (1 + x2 dT dy ~ (I + x2 + y2 + 4z2)2 dT _ -184z ~dz = ( l + x 2 - f y2 El campo gradiente de T es dT dT dT V r = — e i + — e 2 + —-e 3 ax ay c;z es decir, (1 + x2 + y2 + Az2)2
~T
(1 + x2 + y2 + Az2)2
184ze3 (1 + x2 + y2 + Az2)2
Calculemos ahora el campo gradiente en el punto (1,1,0)
46
46
De este último se sigue que la temperatura aumenta más rápido en la
dirección f = ( - f , - f ,0)
>
El teorema 5.7 muestra que cuando en una región Q actúa un campo de vectores, la acción de éste en cualquier punto conlleva a movimientos naturales vía las curvas integrales del campo. Cualquier otra trayectoria que no sea dentro de una curva integral deberá requerir de un "trabajo".
5.6
Divergencia, gradiente y rotor
En esta sección damos algunas fórmulas que son importantes para la teoría del análisis vectorial, y se hace con el espíritu de desarrollar un cálculo operacional en los campos escalares y vectoriales mediante el vector simbólico
de Hamilton.
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Campos vectoriales en
260
El vector de Hamilton definido por dx' dy dz actúa en los campos vectoriales X por las ecuaciones convencionales siguientes. Para un campo vectorial X = (P, Q, R) se define su divergencia, definida por div X, como el campo escalar definido por áwX =< V,X > donde el producto escalar se calcula convencionalmente, dy
dzj
dx
dy
Este campo escalar divA" mide, cuando se evalúa en el punto p, los posibles desagües o manantiales del campo X en tal punto, como se muestra en la figura 5.23. Un análisis más profundo de este concepto se realiza mediante los métodos del análisis vectorial.
Figura 5.23: Divergencia de un campo vectorial. Para el campo vectorial X = (P, Q, R) se define su campo de rotación o rotor, definido por rotJT, como el campo vectorial rotX = [V,X] donde el producto vectorial indicado se calcula convencionalmente d/dx P
d/dy Q
d/dz R
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5.6 Divergencia, gradiente y rotor
dR
=
0Q
(dR
DR
261
dP
OQ OP
0Q\
(OP
o~ )e i + I ~o
0R\
(OQ OP
I ~ñ
T" e2 + U
T"
\ c^/
c/¿ /
\0z
Ox)
\0x
Oy
_ (dR \0y
OQ OP Oz' Oz
dR OQ Ox' Ox
OP Oy
El campo vectorial rot X mide, cuando se evalúa en el punto p, las posibles rotaciones que tiene el campo durante su acción en tal punto. La figura 5.24 ilustra esta idea, que puede ser estudiada más profundamente con la teoría del análisis vectorial.
Figura 5.24: Rotor de un campo vectorial. Si F es un campo escalar suave, podemos efectuar la operación de V en F defíniendo el campo vectorial gradiente grad F = donde el vector simbólico de Hamilton V actúa en F mediante la igualdad grao r
v x
_ ( 0 0 0\ i ~ ,~ ,~ i \0x Oy Oz)
.r
__ (OF OF 0F\ i ~~ , ~ , ~~ i \ Ox Oy Oz )
EJEMPLO. Calcular la divergencia y el rotor del campo X = {x2,xy, z2y) = x2ex -f xye2 4- z2ye3 <\ Por cálculos directos se obtiene Ox2 =<
>=
Ox
d(xy) , O(z2y) Oy
Oz
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Campos vectoriales en
262
= 2x + x + 2zy = 3x
=
fd(z2y)
d(xy)\
fd(z2y)
dx2\
f d(xy)
dx2
= (z2 - 0)ei - (0 - 0)e2 + (y - 0)e3 = (^2, 0, y) ^> EJEMPLO. Calcular grad(divX) y div(rotX) para el campo
<\ Mediante cálculos directos se tiene dx
= (x,y,z) = [V,X] =
dy
z2x
d/dy x2 — y2
d/dz y2 + 22
+2 2 ) dx
d(z2x) dz
dz 2
-y2) dx
d(z2x)\c dy )
= (2y - O)ei - (O - 22x)e2 4- (2x - O)e3 = (2y, 2zx, 2x) Consecuentemente, grad (div X) = V(22 - 2y + 22) 2z) d(z2 - 2y + 2z) d{z2 - 2y-\-2z) dy
div (rot X) =< V, (2y,
dz
= (0,-2,22
>=
Del ejemplo anterior, para el campo dado X se obtuvo la igualdad div (rot X) = 0. La siguiente proposición nos indica que esta igualdad se cumple en general para cualquier campo vectorial. Se obtienen más relaciones entre los operadores grad, div y rot.
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5.6 Divergencia, gradiente y rotor
263
LEMA 5.1 Para los campos vectoriales X y Y, y los campos escalares suaves F y G actuando en una región V C R'* se. cumplen las identidades básicas del cálculo operacional vectorial a. rot (grad F) = 0 b . div (TOÍX) = 0
c. dW(FX) =< VF,X > + F < V,X > d. grad (FG) = Fgrad G -f G grad F e. rot {FX) = F rot X + [VF, X] f. div [X, y] =< r, rot X > - < X, rot F > gdiv (grad F) = AF donde se define el operador Laplaciano A - —1 " üx
+
— + — Oy* Oz2
actuando en el campo escalar F mediante la igualdad, 02F
02F
<\ Damos la demostración de algunas de las afirmaciones, dejando el resto para el lector. Como ya se mencionó, el espíritu de la, prueba es puramente operacional. a. La siguiente relación es válida, rot (grad F) = [V, VF] = 0 pues los vectores V y VF son paralelos. b. Por un cálculo directo, div (rot X) =< V, [V, X] >= (V, V, X) = 0 donde (, , ) es el triple producto escalar, y en la expresión dada se repite el vector V. c. De la relación de divergencia, se tiene,
div(FX) =< V,FX >= ^-{FP) + £-
^
ai oy üz ,.0P OQ BR n0F ñF 0F = F— + F-f- + F— + P— + Q— +nR— üx ay üz üx üy üz
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Campos vectoriales en
264
= F < V,X > +
<X,VF>
f. De la definición del triple producto escalar, se tiene,
div[X,Y} = (V,X,Y) =
d/dx d/dy d/dz P Q R R' Pf Qf
donde X = (P,Q,R), Y = (P',Q',R'). Pero un cálculo directo en los determinantes (Identidad de Jacobi) muestra que
d/dx d/dy d/dz P Q R P Q' R' P Q' R' d/dx d/dy d/dz P Q R
P Q R d/dx d/dy d/dz P Q' R'
o bien (V, X, Y) = (X, V, Y) - (y, V, X) lo que prueba la afirmación f. Los incisos d., e. y g. se dejan al lector como ejercicio. > Consideremos un cambio de coordenadas en la región ü C M3, dado por el sistema x — x(u, v,w) y = y(u,v,w) z = z(u,v,w), entonces, en cada punto p € Í2, la base canónica {ei, e^ 63} se transforma, bajo La matriz Jacobiana dx
dx
dx
dv
dw
A= en el conjunto de vectores básicos {Aei,Ae2,Aes},
es decir, en la base
{fuJvJw} dada por f Ju
_(dx dy_ dz\ _ ~ \du du du)
l
dx dy dz
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5.6 Divergencia, gradiente y rotor
265
/ dx dy dz ; \ ow i ow •> Tow Al normalizar cada uno de esos vectores se tiene una base de vectores {eu,ev,ew}, donde, jw
e,,
— I ^
o
(dx &£ dz\ Y du ' du' duJ
=
Ju
)x_ dj¿ dz_ \
Jdv' dv' dv)
fv
C-i, — 2
(dx)
dv) dw'
ein
^
dwi dw J
=
^ \dw)
Jw (± ~2
d2L)2 4. (ÉJL\
dw)
\dv)
^
ll/wll
\dw)
Calculemos las normas de los vectores imágenes iniciales, por
K = WfvW h w = \\fw\\ esto es, Supongamos que el conjunto de vectores {eu,ev,ew} es ortogonal, es decir, ortogonal entre sí por pares. El elemento de desplazamiento infinitesimal vectorial df, en las coordenadas (x, y, z) está dado por dr — (dx, dy, dz) = dxt\ -f dye2 + dze% Al cambiar el sistema coordenado, el desplazamiento infinitesimal vectorial dr*en las coordenadas (u,v,w) está dado en la base {fu, fv, fw} por dr = fudu + fvdv + fwdw esto es, en la base unitaria {en, ev, ew} las coordenadas de dr son , dr = hueudu -f /ivev dv 4- /i^e^ dw = /indi¿ eu -f hvdv ev -f hwdw ew
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Campos vectoriales en E 3
266
= (hudu, hvdv, hwdw) En otras palabras, bajo el cambio de coordenadas, los elementos infinitesimales son, hudu para la primer coordenada, hvdv para la segunda, y hwdw para la tercera. Sea F un campo escalar tal que su gradiente en coordenadas (x, y,z) se escribe ^ dF dF dF gradJ F = — ex + —- e2 4- -77-^3 a?/ az c/x entonces, para las coordenadas (u, v, w) se tiene la relación dF = —du + -^-dv 4- — ch¿; c/n av ow í 1 dF\ u 1 ( l dF\ , ^ f I dF \hu du J \hv dv J V ^ ^^ lo que indica que las coordenadas del gradiente en la base {eUl ev, ew} son necesariamente, \ hu du ' hv dv ' /iu, dw Cálculos más complicados nos demuestran que para un campo vectorial X = (P, Q, R), el cambio de coordenadas nos lleva la divergencia de X en las coordenadas x,y,z, _dP ox
dQ dR I oy dz
div A —— I -
en la expresión huhvhw
[(pftv/lii;) [du
+
^ (Qhuhw) + 4¡ ov ow {RKK)
en las coordenadas (i¿, v, w). Por otro lado, el rotor del campo X en las coordenadas x, Í/, 2 dado por /dñ
9Q\
/(9P
dR\
(dQ
dP\
V dy
dz J
\dz
dx)
\dx
dy J
se transforma en 1 fd(Rh ) d(Qhv)\ rot X = —— — w e hvhw \ ov ow ) u íd(Phu) _ d(Rhw)\ e + j _ íd(Qhv) _ d(Phu) hwhu \ dw du ) huhv \ dx dz
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5.6 Divergencia, gradiente y rotor en las coordenadas
267
(u,v,w).
EJEMPLO. Sean las coordenadas esféricas co-geográficas x = r eos (f sen 0 y = r sen (¿> sen 0, z = r eos 6 <3 Ya se ha demostrado que
(
eos (/?sen0 sen (f sen 0 eos 0
— r señasen 0 reos ip cos0 r eos (psen0 rsemp cos0 — r sen0 0
lo cual implica, haciendo u = r, v = tp, w = 0, fr — (eos (psen^, sen
hy> -
H/VPII = rsen6»
he =
\\fe\\=r
De esta manera, los vectores básicos en las coordenadas (r, ?, 0) son f
e r = — = (eos (psen0, sen ip sen 0, eos 0) hr e
v
=
T~ rir
=
(-sen (p, eos cp, 0)
ee = (eos 0, semp eos 0, —sen0) y un cálculo directo prueba que {er,e<¿>, e^} es ortogonal. De esta forma, para un campo escalar F, en las coordenadas (r, (/?, 0) se tiene que / 1 dF 1 dF 1 5F F
1
dF
idF
dr ' r sen 0 9cp ' r
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268
C a m p o s vectoriales e n
Mientras que para un campo vectorial X = (P,Q,R) fórmulas d[yX
1
=
\djPhyho) [ Or
d(Qhrhe) O Oip
d{r2sen0P) r 2 sen<9 [ Or
d{rQ) 7T d
l
se cumplen las
06 d(rsen0R) 06
1 f n0(r2P) OQ 0(sen6R)] 'sen<9— + r—+r" r sen0 _ | dr ' ' dip 06 J 2
1 d(r2P) r2 dr
1
[
fO(Phr)
1 dQ Q rsen 00 dd(p
d(Rhe)\
|
r 2 sen<9 V O^p , t Or J
1
ÍO{QK)
O(Phr
0(rsen6Q)\ er 06
'd{rsenOQ) r sen # \ ar
v
r \Ó6
1 d(sen6R) r sen 6 86
<9P\ a^
1 0{sen6R)\ 1/ 9ñ rr — - er r2sen6 \ d
O(rR)\ or J
1 / r sen 6/ \
ñO(rQ)
ar
0P\ ac/9 /
Dejamos como ejercicio al lector verificar que en las coordenadas (u,v,w) se cumple la siguiente igualdad para el Laplaciano de un campo escalar F. A F = div grad F _
1 ¡0_ íhvhw0F\ huhvhw [Ou \ hu Ou J
0_ íhuhw0F\ Ov \ hv Ov)
_O_ íhuhv0FY\ Ow \ hw Ow J\
Consecuentemente, para las coordenadas esféricas se tiene, para un campo escalar F, AF =
r2sen9
__ ^ ^rrss ee nn 0_j 0_j + +_ _ ^ ^ ^ ^ jj + +^ ^ (sene—jj (sene—jj
a / 2 a2 F \
i
82F
i
a a (
dr )) ++ r2sen2edif2 ++ r2sen0 00 \
dF dF_ 00
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5.6 Divergencia, gradiente y rotor
269
La ecuación del calor Consideremos un cuerpo físico Í7 C R 3 , y designemos su temperatura en el punto (x,y, z) en el instante t por el campo escalar u =
u(x,y,z,t)
Afirmamos que el campo u satisface la ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden du
2
a
~dt^
í d2u
[~d^
d2u +
d 2u 2+
^ 'd~2
donde (x, y, z) G ü y a 6 R. Al utilizar el operador de Laplace, dx2
+
dy2
+
dz2
lo anterior equivale a que la función u debe satisfacer la ecuación —- = azAu dt
llamada la ecuación de conducción de calor. < Al tomar un cubo infinitesimal a del cuerpo íl (véase la figura 5.25), la cantidad de calor que atraviesa la cara izquierda de a de derecha a izquierda durante el tiempo (t,t + At) es, hasta, un infinitésimo
donde a es el coeficiente de conductibilidad térmica del cuerpo que se considera constante en cualquiera de sus puntos.
Ax
Ay
Figura 5.25: Calor atravesando el cubo infinitesimal en Í7.
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Campos vectoriales en M3
270
Lo anterior se debe a que la cantidad indicada de calor es proporcional al número a, al área Ay Az de la cara que se examina, al incremento de tiempo At y a la velocidad de variación de la temperatura en la dirección del eje x que es igual a la derivada parcial ^ . La derivada parcial varía dentro de los límites de la cara, pero, despreciando infinitésimos de orden superior, se puede suponer que en toda la cara es igual a | ^ en el punto La cantidad de calor que pasa por la cara derecha de a de derecha a izquierda es, análogamente, igual a Ou a — ( x + Ax, y, z, t)Ay Az At ox De esta forma, la cantidad de calor que entra en el cubo a por sus caras izquierda y derecha durante el lapso de indicado es igual a Ou Ou a — ( x + Ax, y, z, t)Ay Az At - a—-(x, y, z)Ay Az At ox Ox pero, por el teorema del valor medio para u en la variable x, se tiene que Ou Ou a —-(x + Ax, 2/, z, t)Ay Az At - a — (x, y, z)Ay Az At ox ox 0 2u = a — (x, 2/, z, t) Ax Ay Az At. En virtud de que en las otras caras del cubo ocurre igual, entonces la cantidad total de calor que entra en a en el lapso (t, t + At) es, la suma de las cantidades de calor que entra durante este tiempo por todas las caras de a. ÍO^u (Pu
Por las mismas consideraciones, hasta un infitésimo del volumen Ax Ay Az de a, este número (cantidad de calor ) es igual también a Ou P—AxAyAzAt donde (3 es el calor específico del cuerpo que suponemos constante en todos sus puntos. Igualando, obtenemos, después de las simplificaciones, la ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden mencionada, donde
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5.6 Divergencia, gradiente y rotor
271
Se ha mostrado que la temperatura del cuerpo Q es la función u = Í¿(X, y, z, t) que satisface la ecuación de conducción del calor, donde a2 es una constante positiva. Nos hemos limitado al caso cuando el cuerpo tiene en todos sus puntos un calor específico constante y un coeficiente de conductibilidad que no varía. La ecuación diferencial obtenida tiene un conjunto infinito de soluciones, y para encontrar entre ellas una solución determinada es necesario imponer sobre la función u condiciones adicionales, llamadas condiciones iniciales y de frontera. Este problema sale del alcance de este trabajo. La distribución del calor en un cuerpo se llama estacionaria si la temperatura u del cuerpo depende de la posición del punto (x,y,z) y no depende del tiempo t. Es decir, si u = u(x,y,z), entonces
lo que implica que el campo escalar u satisface la ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden
DEFINICIÓN. La función i¿(#, y, z) se llama armónica sobre la región Q si tiene derivadas parciales continuas de segundo orden sobre íl y satisface sobre Q la ecuación Au = 0. llamada la ecuación de Laplace. LEMA 5.2 Suponga que la región acotada Q tiene como frontera suave a la superficie S sobre la cual se dá la función continua f(x,y,z). Entonces en la cerradura Q existe una única función continua u(x,y,z), armónica sobre la región íí, tal que u\s =
f(x,y,z)
Este resultado tiene una interpretación física sencilla. Si sobre la frontera superficial 5 del cuerpo Q se mantiene una temperatura i¿, tal que u\s = f(x,y,z) es la función continua dada sobre 5, entonces dentro del cuerpo se establece una única temperatura bien determinada, armónica u(x,y,z). Desde el punto de vista físico, esta afirmación es obvia, aunque puede ser demostrada matemáticamente. Este problema, llamado el problema de Dirichlet, está parcialmente investigado y se conocen diferentes métodos numéricos de solución.
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Campos vectoriales en R3
272
Ejercicios. 1. Sean las transformaciones lineales L\ (x, y, z) = (x -f 2y + 3¿,4x -f 5?/ + 62) L2(i¿, v, w) = (u + 3v + 5w, 6u + 7v + 9w) Calcular L\ oL2 y L2oL\, usando sus matrices asociadas en la base canónica. 2. Hacer lo mismo que el ejercicio 1. para las transformaciones lineales Ls(x, y, z) = (x + y, y -h z, 2 + x) L4(i¿, v,w) = (v + w, u + u>, u + v) es decir, calcular L30L4 y L40L3. 3. Sean las transformaciones lineales, *Í \ **^« ( i I —
I wu«iy
(y • «X/ ~j
KJ LJm %JL J
L 6 ( x , y,z) = (x + y + z,x -y - z)
y considérense las transformaciones Li,L2lLz 2.. Calcular las transformaciones lineales
y L4 en los ejercicios 1. y
a. L4 o L5 b . L5 o L 6 c. L2 o L 5 Calcular la aplicación de cada transformación lineal dada en el vector indicado. d. L 5 (£), si £ = (-1,1) e. L 6 (£), si £ = (1,0,1) f. L 3 (£), si £ = (-1,2,3) g. L4oL5(0, h. L 5 o ¿ 6 ( £ ) ,
si £ = (1,2) si £ = ( 3 , - 2 , 1 )
4. Dar los dominios de definición (regiones) de los siguientes campos vectoriales. a- fi(x,y) = {x2 + y2,
xy-x2)
b. h{x,y) = [yjx2-y2,xy3
ln(xy)
c. f3{x,y,z) =
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5.6 Divergencia, gradiente y r >tor
273
d. / 4 (x, y, z) = (arcsen (x + y + 2), zy, x2 + Í/2 + ¿2) 5. Utilizando las funciones del ejercicio 4. calcular las composiciones indicadas. a. / 3 o / 2 b. /i o / 3 C
/3 O /
4
d- /4 ° h e. / 4 o /2
6. Calcular la matriz Jacobiana de cada uno de los incisos del ejercicio 4. 7. Calcular la matriz Jacobiana de la función dada en el punto p indicado. a. f(x,y,z) = (x2 + y2,xcosyz) en p = ( l , 0 , TT/2) b. f(x,y) = (e x senx, ey cosx) en p = ( 0 , 0 ) c. / ( X , 2 / , 2 ) ( ^ , 3 X + 2 2 ,T/ 2 Z) en p= (1,1,1) d. f(x, y) = (ln xy, sen xy, x2 + y) en p= (2,1) 8. a. Hallar los puntos del dominio de la función 7. b . donde el Jacobiano se anula. b. Hallar los puntos del dominio de la función 8. c. donde el Jacobiano se anula. 9. Calcular, utilizando La regla de la cadena, las matrices Jacobianas de las composiciones de todos los incisos del ejercicio 5. 10. ¿Cuáles de las siguientes funciones se pueden considerar un cambio de coordenadas local, en el punto que se indica? a. f{x,y) = (x2y + l,x2 -i-y2) en p = (1,1) b. f(x,y) = (x2 + y2,y/y + y/x) en p = (4,16) c. f{x,y) = (exy,\nx) en p = ( l , l n 2 ) d. f(x,y,z) = {xz,xy,yz) en p = ( l , 4 ) f. f(x,y,z) = (ycosx,ysenx,z) en p = (?r/4,4,3) 11. Dibuje e integre, sin usar el parámetro temporal, los siguientes campos vectoriales. a. X(x,y) = (x,y) b. X(x,y) = {-x,y) c. X{x,y) = {x,-y) d. X(x,2/) = (-x,-2/) e. X(x,y) = (x2,7y)
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Campos vectoriales en R 3
274 f. XU.!j) = (.r2,-u) g. A' = grad/<\ donde F(x,y) — x2 — y2
12. a. Calcule la divergencia y el rotor de todos los campos vectoriales del ejercicio 11. h. Calcule la divergencia y el rotor de los campos vectoriales siguientes. i. Xi (.i\ /y. z) = (y - x, x + /y, yz) ii. XL>(./\/y.c) = (x2c^\ y2c~d'z, z2c~xy) iii.
X.<(./\ /y, z) = (z'2y - .r, x'2z + ;(/, y2x - z)
iv. A"4(.r, y, z) = (.r'sen zy, cycosxz,
ezacnyx)
13. Vt'riñíiiu1 las igualdades siguientes para los campos vectoriales del ejercicio 12. a. div (rot X) = 0, X = X{, X 2 , A"3, X4 b. div [A'i, A"2] = < X 2 ,rot A^ > - < X l T r o t X 2 > c. iliv [Ar:{, A"4] = < A4,rotXj > - < X 3 , r o t X 4 > 14. Si F(x.y, z) — x + ?/2 H- 2 2 , verifique las igualdades siguientes, usando los campos vectoriales del ejercicio 12. a. rot (FX) = Frot X + [VF, X], b. rot(gradF) = 0 c. div (gradF) = AF
X = Xu
X2
15. Demostrar que en las coordenadas (u,v,w) se cumple la igualdad siguiente para el Laplaciano de un campo escalar F arbitrario.
huhvhw [du \ hu du)
dv \ hu dv )
dw \ hw dw
16. Calcule la divergencia y el rotor de cualquier campo vectorial X, y el gradiente de un campo escalar, en los siguientes sistemas de coordenadas. a. En coordenadas cilindricas. b . En las coordenadas (u, v, w) donde x = uevw y = veuw z = weuv c. En las coordenadas pseudoesféricas (r,\,ip)
donde
x — r cosh x y — r senh \ eos ip z — r senh donde r > 0, \ > 0, 0 < 9 < 2TT.
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Apéndices
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Capítulo 6
Elementos Básicos de Superficies en TD)3 En este capítulo introducimos el concepto básico de superficie en el espacio euclidiano R . Damos ejemplos ele las superficies más comúnmente conocidas y un tratamiento general de su estudio. Utilizamos una notación para definir a los planos coordenados de la siguiente manera. Rj. y definirá al plano (x,y) contenido en R'\ R.^~, definirá al plano (x, z) contenido en R'\ mientras que RjJ z definirá al plano (y/, z) contenido en R 3 . DEFINICIÓN. A los puntos {x,y,z) e R:* (iue satisfagan una relación real del tipo R(x,y,z) = 0 se les dirá que conforman una superficie ordinaria en R'\ EJEMPLO. (El plano). Un conjunto de puntos en el espacio que satisfacen una ecuación del tipo ax + by 4- cz — d se dice c^ue forman un plano con vector normal a —
(a,h,c).
< Tales puntos también satisfacen la relación
j?(x, y, z) - ax -f by -f (z - d = U lo que asegura que un plano es una superficie1 (plana) en R'5. í>
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278
Elementos Básicos de Superficies en
y X Figura 6.1: Superficie esférica en
J>3
EJEMPLO. (La esfera de radio r) Sea r > 0 un número real dado. <3 Los puntos (x, y, z) G R 3 tales que distan r del origen conforman una superficie esférica satisfaciendo la ecuación y/x2 + y2 + z2 =r o equivalentemente, x2 + y2 + z2 = r2 En otras palabras, los puntos sobre tal esfera, deberán satisfacer la relación: R(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - r2 = 0 lo que hace que la esfera con radio r y centro en el origen sea una superficie en IR3. Esto se ilustra en la figura 6.1. Para muestra, la ecuación x2 4- y2 + z2 = 16 describe a una superficie esférica de radio 4 con centro en (0, 0, 0). t>
6.1
Superficies de revolución
Consideremos en el plano x, z una curva 7 que es la gráfica de una función z — / ( x ) , tal que no corta al eje z. Al hacer girar 7 en torno al eje z se obtiene una superficie de revolución S contenida en R 3 . Afirmamos que S es una superficie ordinaria según nuestra definición. < Sea el punto (xo,2/o> 2o) ^ &. Afirmamos que satisface una relación del tipo
R(xo,yo,zo) = 0
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6.1 Superficies de revolución
279
Cierto es que (:Í;(), ;(/(J, z{)) está en el círculo obtenido al hacer girar el punto (:ro,2o) de la curva 7. Pero entonces,
y todos los puntos del círculo de radio x{) están a la niisnia altura c() y contenidos en el plano R2 y en un círculo de radio x{). Es decir, tienen una ecuación en el plano z — ¿{) dada por x2 + y2 = x2} como se muestra, en la figura 6.2.
X
Figura 6.2: Superficie de revolución. Esto implica que sobre tal círculo se cumple la igualdad
Ya que (x 0 , ?y(), z0) es arbitrario, entonces cada punto (.i\y,z) € S debe satisfacer la ecuación es decir, los puntos (x, y, z) G S satisfacen además la relación R(x,y,z) = z - f(y/x2 + y'2) = 0 lo que hace de 5 una superficie. O De igual forma, si z = f(y) y se hace girar 7 alrededor del eje z, se obtiene la misma relación. Esto es, si z = f(x) ó z = f(y) para obtener la ecuación de la superficie 5 obtenida al girar la gráfica 7 de / alrededor del eje z es necesario reemplazar, en un caso,
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Elementos Básicos de Superficies en
280 o bien, en el otro caso,
+ y2
y —> yx2
EJEMPLO. Consideremos la curva z = x2 que es la ecuación de la parábola en el plano x, z con x > 0.
Figura 6.3: Paraboloide circular z = x -f y . La ecuación de la superficie de la revolución S (paraboloide circular) obtenida al hacer girar tal parábola alrededor del eje z es z = (\/x2 -i-y2)2 = x2 + y2 o equivalentemente, la relación x2 + i/2 - 2 = 0 Véase la figura 6.3 que describe a esta superficie. EJEMPLO. Sea 1 z =— y
la hipérbola canónica en el plano y, z con y > 0. La ecuación de la superficie de revolución S obtenida al hacer girar alrededor del eje z es
que se logra al sustituir y —> y'x 2 -f y2.
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6.1 Superficies de revolución
281
Figura 6.4: Hiperboloide circular. Tal superficie se llama un hiperboloide circular y se ilustra en la figura 6.5. EJEMPLO. Sea el semicírculo en el plano R^
y
dado por la ecuación
donde la variable x < 0. Al hacer girar en torno al eje y (intercambiando) reemplazando en este caso la variable + x2 se obtiene la superficie de revolución
o bien, X2
+
y2
+
Z2
=
R2
que es la ya conocida esfera de radio R con centro en (0, 0,0). l>
Figura 6.5: Superficie cilindrica.
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282
6,2
Elementos Básicos de Superficies en
Superficies cilindricas
Sea 7 una curva contenida en un plano coordenado y sea i el eje perpendicular a tal plano. Si por cada punto (xo, 2/o^o) £ 7 pasamos una recta paralela a i obtenemos una superficie cilindrica 5. La curva 7 se llama generatriz de 5 y í se llama la directriz. Se afirma que 5 es superficie en nuestro contexto. < Sin pérdida de generalidad, supóngase que 7 está en el plano M^.j2/. Por ser curva en R^y las coordenadas x, y satisfacen una ecuación R(x, y) = 0 Sea (x, y,z) G 5 entonces (x, y) £ 7 lo que implica que i?(x, £/) = 0. Claramente el punto (x, y, 2), omitiendo a la variable 2, también la satisface, es decir, si se define (abusando de la notación) a la relación
entonces S es una superficie (véase lafigura6.5). EJEMPLO. Sea la curva plana
un círculo de radio 4 con centro en el origen. Esta genera en el espacio la superficie cilindrica 5 definida por la misma ecuación, quedando libre la variable z.
2 2
x+y=16 Figura 6.6: Cilindro circular recto. Se llama cilindro circular recto de radio 2 con centro en el origen y con directriz al eje z (véase figura 6.6).
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6.3 Superficies cónicas
283
EJEMPLO. Sea la curva sinusoidal y = sena:, x £ [—7T, TT]. Tal curva genera la superficie cilindrica en la misma ecuación, siendo z libre. Se llama cilindro sinusoidal con directriz al eje z. La figura 6.7 ilustra a esta superficie.
Figura 6.7: Cilindro sinusoidal. EJEMPLO. Sea 7 la gráfica de la función z = ey en el plano R~ y. Esta curva genera la superficie cilindrica z - ey = 0
con la variable x libre. Se llama cilindro exponencial con directriz el eje x (véase la figura 6.8).
6.3
Superficies cónicas
Dada una curva 7 en el espacio R 3 y un punto v, se define una superficie S al tomar el haz de rectas por v que intersectan también a 7. Se llama una superficie cónica con vértice v y base 7. La figura 6.9 ilustra a este tipo de superficies.
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Elementos Básicos de Superficies en
284
Figura 6.8: Cilindro exponencial. Y
Figura 6.9: Superficie cónica. Una relación R{x,y,z) en las variables x,y,z, se dice homogénea de grado 5, si para cualquier t G R y cualquier punto (x, y, z) se cumple la igualdad
R(tx,ty,tz) =tsR(x,y,z)
Para muestra, la relación - z2 es homogénea de grado 2. En efecto,
<3 R(tx, ty, tz) = (tx)2 + (ty)2 - (tz)2 = t2x2 + t2y2 - t2z2 = t2(x2 +y2 - z2) =t2R(x,y,z)
>
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6.3 Superficies cónicas
285
Otro ejemplo, es la relación R(x, y, z) = xy2 + x2y + yS - z2y la cual es una relación homogénea de grado 3, como se muestra en el siguiente cálculo.
<
R{tx, ty, tz) = tx(ty)2 + (tx)2(ty) + (ty)3 - {tz)2(ty) = t*(xy2 + x2y -f ys - y2y) = í3#(:r, y, z)
>
Una relación 7?(x, y, z) homogénea, define una superficie como se muestra en el siguiente Lema. LEMA 6.1 La relación R(x,y,z) = 0, donde R(x,y,z) grado s define una superficie cónica.
es homogénea de
<1 Sea R(x,y,z) — 0 tal que R es homogénea de grado s, y supóngase que v = (0,0,0). Sea p0 = (xo,yo,zo) tal que R(yo,xo, z0) = 0. Se afirma que toda la recta por po y v satisface la relación. Tal recta tiene, en las variables x, y, la ecuación
De esta manera, si el punto (x, y, z) está sobre la recta, entonces R{x, y, z) = R(tx0, *yo, **o) = t*R(x0, y0, ¿o) = ts{0) = 0 lo que demuestra que (x, y, z) € S.
>
EJEMPLO. La relación
R(x,y,z) = x2 +y2 - z1 es homogénea de grado 2 y por lo tanto, la relación X2 +
y2
_
Z2 =
0
define una superficie cónica. <3 Claramente i?(0,0,0) = O2 + O2 - 02 = 0, lo que nos dice que el punto (0,0,0) está en la superficie y es su vértice. De la relación x2 -f y2 — z2 = 0, si despejamos a 2 2 , obtenemos 9
9
9
x~ +y = z". DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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Elementos Básicos de Superficies en
286
z = 1, x2 + y2 = 1
^
J
Figura 6.10: Cono circular. Si tomamos 2 = 1, entonces x2 -f y2 = 1 es un círculo de radio 1, lo que nos dice que la curva 7, base de la superficie es un círculo. La superficie cónica S es un cono circular con vértice en (0,0,0). La figura 6.10 muestra esta superficie. t> EJEMPLO. Sea la relación 22
homogénea de grado 2, entonces por el Lema 6.1, define una superficie cónica. <\ Al hacer R(x, y, 2) = 0 se obtiene la ecuación x2 a2
y2 o2
z2 c¿
o bien, despejando los términos en z se tiene la relación equivalente x2
y2 _ z2
Si se hace z = c obtenemos una curva 7 base de la superficie, dada por 9
_
9
+*L 9
'^
=1
j 9
que es la ecuación de una elipse con parámetros a, 6, a una altura z — c. Le llamaremos a tal superficie un cono elíptico con vértice en el punto v — (0,0,0), y se ilustra en la figura 6.11. t>
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6.4 Elipsoides, Hiperboloides y Paraboloides
287
Figura 6.11: Cono elíptico.
6.4
Elipsoides, Hiperboloides y Paraboloides
En esta parte definimos nuevas superficies a partir de las ya conocidas, utilizando cambios afines de coordenadas, como la deformación de los ejes cor denados y las traslaciones. < Dada la esfera unitaria en R3, x2 + y2 + z2 = 1,
en las coordenadas cartesianas x,y, z, la podemos deformar en un elipsoide enR 3 , 9
9
U
V
9
W
~^+ ¥ + Tí5" en las nuevas coordenadas u,v,w, mediante la deformación de los ejes coordenados
donde los parámetros a, b, c > 0, o bien, mediante las relaciones inversas, u = ax v = by w — cz lo cual se comprueba con la simple sustitución 9 /?/\ \Q /
9 / TJ \ VO/
9 / ID \ V e /
2 U a
2 1) O
2 U) C
La figura 6.12 ilustra al elipsoide. >
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Elementos Básicos de Superficies en
288
Mediante procesos análogos de deformación de los ejes y usando otras cordenadas 1 , es posible obtener superficies nuevas a partir de superficies ya conocidas. A continuación damos ejemplos. EJEMPLO. (Elipsoide circular). Sea 7 la elipse centrada en (0,0) del plano IR^2, definida por la ecuación x2 z2 - 7 + - r = 1, a¿ c¿
a,c> 0
< Si se hace girar 7 alrededor del eje 2, al reemplazar x —> \/x2 + y2 se obtiene la superficie de revolución elipsoidal dada por la ecuación
llamada elipsoide circular (véase la figura 6.12).
x Figura 6.12: Elipsoide circular. Al hacer una deformación del eje y mediante el reemplazo de la variable y Por ay v al sustituir en la última ecuación se tiene z2 -i
c2
x2 =
a2
y2 \- -—i 2
b
z2 c2
es decir, x2 a¿
2
y b2
2
z c2
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6.4 Elipsoides, Hiperboloides y Paraboloides
289
Figura 6.13: Elipsoide. que es la ecuación de un elipsoide con parámetros a,b,c (véase la figura 6.13). >
EJEMPLO. (Hiperboloide de una hoja). Consideremos la hipérbola en el plano R2, z dada por la ecuación,
donde los parámetros a, b > 0.
Como cada punto de la hipérbola genera un círculo al girarla. Esto se ilustra en la figura 6.14. Si se deforma el eje y con el reemplazo ay y-> 6 se obtiene la nueva relación 1
X2
a1
1
/ ay \ V6 /
o
a2
c2
X2
a2
+
«y a2
:2
a2
b2
c2
2
En la sección 5.4 damos un tratamiento más completo a éste proceso de cambiar coordenadas en el espacio R .
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290
Elementos Básicos de Superficies en
Figura 6.11: Hiperboloide circular de una hoja. o equivalentemente. y
9
9
que corresponde a una hiperboloide elíptico de una hoja (véase la figura G.15). Para muestra, la relación
define un hiperboloide elíptico de una hoja O EJEMPLO. (Hiperboloide de dos hojas). Si la misma hipérbola del ejemplo precedente en el plano IR">c con la ecuación
se hace girar alrededor del eje a:, al reemplazar z —> >/y2 + 2 2 se obtiene la superficie de revolución con ecuación X2
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6.4 Elipsoides, Hiperboloides y Paraboloides
291
Figura 6.15: Hiperboloide elíptico de una hoja. es decir,
y tal superficie se llamará hiperboloide circular de dos hojas. Al hacer la deformación del eje y mediante el cambio coordenado cy se obtiene la nueva ecuación 2
2?
- _22 _ ¿L _ _2 2 " a
b
que corresponde a un hiperboloide elíptico de dos hojas (véase la figura 6.16). Para muestra, la ecuación
es un hiperboloide elíptico de dos hojas, D> EJEMPLO. (Paraboloide elíptico). Sea la parábola cuadrática en el plano R^2 dada por la ecuación az = x
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292
Elementos Básicos de Superficies en
Figura G.16: Hiperboloide elíptico de dos hojas. <3 Si se hace girar alrededor del eje z haciendo el reemplazo canónico x —> y/x'2 + y'2 en la última relación, se obtiene un paraboloide con ecuación
o equivalentemente. 9
,
9
" +y o bien, a
a
llamado paraboloide circular. ^ se obtiene
Si se deforma el eje y por el cambio coordenado y nueva la ecuación
a2
a
a
a
b
es decir,
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6.4 Elipsoides, Hiperboloides y Paraboloides
293
Figura 6.17: Paraboloide elíptico. con los parámetros a, 6, con el mismo signo, que representa un paraboloide elíptico (véase la figura 6.17). > NOTA. Si en la ecuación obtenida en el ejemplo anterior a
¡
b
se tienen signos diferentes para a y b, la superficie se llamará paraboloide hiperbólico, y su gráfica se muestra en la figura 6.18. A esta superficie se le conoce también como silla de montar.
— -
Figura 6.18: Paraboloide hiperbólico. Observamos que hasta este punto todas nuestras superficies obtenidas mediante la deformación de los ejes han estado centradas en el origen de
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Elementos Básicos de Superficies en
294
coordenadas y todas tienen una descripción dada por una fórmula cuadrática. En realidad, si se tiene una expresión cuadrática del tipo Ax2 + By2 + Cz2
= 0
donde no hay términos cruzados en las variables, 2 siempre es posible identificarla como una de las superficies de la lista que hemos mencionado. El proceso para la identificación involucra una translación de ejes coordenados del origen en R 3 a otro punto del espacio. Si p = (h,k,l) es un punto del espacio R 3 , entonces al utilizar las coordenadas (u,v,w) en R 3 ligadas a las coordendas cartesianas mediante las fórmulas x =u+h } ( u — x —h
z = w+1 j
y w—z—i
conseguimos una translación del punto origen (0,0, 0) al punto p = (/i, k, 1) como lo muestra un cálculo simple (de hecho una sustitución). Si x = h, y = k, z = I, entonces u — 0, v = 0, w = 0, y reciprocamente si u = 0, v — 0, w — 0, entonces x = h, y = k, z = I, y como lo muestra la figura 6.19.
y
V
(x>y)
y V
u
k
u
h
x
x
Figura 6.19: Translación de ejes coordenados. 2 Si hay términos cruzados el proceso de identificación se complica y para ello es necesario utilizar métodos del Algebra Lineal.
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6.4 Elipsoides, Hiperboloides y Paraboloides
2{)5
E J E M P L O . Hacer una translación de ejes del origen de coordenadas al punto p = ( - 1 , 3 , - 2 ) . <] Al utilizar fórmulas so tiene que las nuevas variables //, r. //' en este sistema nuevo son dadas por, u = x - ( - 1 ) =x 4- 1 ] ( x = a- 1 v = y - 3= y - 3 \ <=> I y = v 4 3 } w = 2 - ( - 2 ) = 2 4- 2 J [ z = w-2
D>
E J E M P L O . Id(?ntificar a, la superficies (\s])acial dada por la ecuaci('>n x2 4- y" 4 2" — x 4 y = 0 <] Hacemos un completamiento do términos para tener trinomios cuadrados perfectos, asociando los semejantes, 0 = x2 4- y2 4- 2 2 - x + y = {x2 - x) 4 (;/y2 4 y) 4- 2 2 de donde,
x — — Al hacer la translación de ejes con nuevas coordenadas //. v\ tr dadas j)or u = x - 1/2 = x - 1/2 v = yy 4- 1/2 = y - ( - 1 / 2 ) 2 =
2 - 0
=
2 - 0
tenemos el nuevo origen en el punto (1/2. —1/2.0) y la ecuación en estas nuevas coordenadas dada por 2 9 9 ?¿2 4- i>~ -\- z" =
que es una na esfera de radio yy éé
=
1 7
^
De esta manera, la ecuación inicial describe a una esfera de radio R = • ^ con centro en el punto c = (^. ^ , 0 ) . t> EJEMPLO. Identificar a la superficie en R 3 dada por la ecuación 4x2 4- 422 - y2 - Sx 4- 82 + Ay + 4 = 0
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Elementos Básicos de Superficies en M3
296
< Al agrupar términos obtenemos que 0 = (4x2 - Sx) - (y2 - 4y) 4- {4z2 4- 82) 4- 4 - 4(x2 - 2x) - {y2 - 4y) + 4(¿2 + 2*) 4- 4 = 4(x2 - 2x 4- 1) - (y2 - 42/ + 4) + 4(¿2 4- 2^ + 1) 4- 4 - 4 o bien, 4(x - I) 2 - (2/ + 2)2 + 4(z -fl) 2 = 0 Al hacer la translación de ejes al punto (1,-2,-1) mediante las ecuaciones
obtenemos la nueva ecuación en el sistema de coordenadas u,v,w dado por 4t¿2 — v2 4- 4it;2 = 0 Ya que la relación es homogénea de grado 2, se tiene una superficie cónica, y al despejar la variable con signo negativo, se tiene v2 = 4t¿2 4- 4w2 De esta forma, si v = c es una constante arbitraria se obtiene la ecuación de la base del cono c 2 = Au2 4- 4u>2 «=> í - j
,2
= u2 4- w
que es un círculo de radio R = c/2. De esta manera, la ecuación <
4x2 4- 4¿2 - y2 + Sx 4- 82 + 4y 4- 4 = 0
define a un cono circular en dirección del eje y con vértice en el punto (1,-2,-1). O EJEMPLO. Identificar la superficie dada por la ecuación x2 - z2 - 4x 4- Sz - 2y = 0
<3 Al completar cuadrados obtenemos 0 - {x2 - 4x) - {z2 - Sz) -2y
= (x2 - 4x 4- 4) - (z2 - 82 4-16) - 2y + 12
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6.4 Elipsoides, Hiperboloides y Paraboloides
297
= (x-2)2-(z+4)2-2(y-6) de donde, 2(y-6) = (x-2) 2 -(¿ + 4)2
o bien,
Al realizar la translación de ejes al punto (2, 6, —4) usando las ecuaciones u — x —2 ( x = u +2 v = y — 6 <=> < y = v + 6 w =z + 4 I z = tu — 4 se obtiene la ecuación V —
u
w
1 2 - 2
que corresponde a un paraboloide hiperbólico. De esta manera, la ecuación inicial describe a un paraboloide hiperbólico centrado en el punto (2,6, - 4 ) . o EJEMPLO. Analizar la ecuación cuadrática 9x2 4- 4y2 - 36z2 - 18x - Sy - 72z 4-13 = 0 e identificar a la superficie que define. < De la completación de cuadrados en tal ecuación se obtiene 0 = (9x2 - 18x) + (Ay2 4- Sy) - (36¿2 + 12z) 4-13 = 9(x2 - 2x) 4- 4(?/2 4- 2y) - 36(z2 4- 2z) 4-13 = 9(x2 - 2x 4-1) 4- 4(?/2 4- 2y 4-1) - 36(z2 + 2z + 1) 4-13 - 9 - 4 + 36 es decir, - 3 6 = 9{x - I) 2 + 4(y + I) 2 - 36(z 4-1) 2 o bien,
lo que equivale a
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298
Elementos Básicos de Superficies en R3
al efectuar la translación de ejes al punto de coordenadas u —x ~ 1 ( v = y + 1 <=> ¡ w =z+ 1 [
( 1 , - 1 — 1) mediante al cambio x = u+1 y =v- 1 2 = it; — 1
obtenemos una nueva ecuación 2
4
9
que corresponde a un hiperboloide elíptico de dos hojas. De esta manera, la ecuación inicial define a un hiperboloide elíptico de dos hojas concentrado en el punto ( 3 , - 1 , - 1 ) . D>
Ejercicios. 1. Dar las coordendas del centro y dar el radio de la esfera definida por la ecuación a. x2 + y2 + z2 - y -f 2z + 1 = 0 b. x2 + y2 + z2 = 4¿ - 3 c. 2x2 + 2y2 + 2z2 = 3z-4y-2 2. Dado el punto p = (0, —1, 2) decir si está dentro, fuera o sobre cada una de las esferas dadas en los incisos del ejercicio 1. 3. Decir qué superficies espaciales definen las siguientes ecuaciones a. y2 = 2x b. z2 = xz c. 2/3 - 4a;2 d. x2 + 2/2 = 4 e. x2 — y2 = 1 f. x2 - z2 - 0 4. Dar la ecuación del cono cuyo vértice es el punto (0,0, - 1 ) y cuya base es la curva a. elíptica ¿ + \ = 1 b. circular 4x2 + Ay2 = 1 5. Calcular la ecuación de la superficie 5 obtenida al hacer girar a. La recta x + y = 1 en el plano Rj y alrededor del eje x. b. La parábola y = z2 en el plano Rjj>2 alrededor del eje y. c. La hipérbola X2 = 1 en el plano Rj 2 alrededor del eje 2.
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6.4 Elipsoides, Hiperboloides y Paraboloides
299
6. a. Dar las ecuaciones de las líneas de intersección de la superficie dada por z = y2 — x2 con los planos z = I, x = 1, y = 1, respectivamente. b . Dar la ecuación de la línea de intersección de las superficies f z= \ z=
l-x2-y2 x2+y2
7. Identificar a las siguientes superficies mediante una translación de ejes. a. x2 4 z2 - Ax - Az 4- 4 = 0 b. x2 4 y2 - z2 - 2y + 2z = 0 c. x2 4- 2y2 4- 2z2 - Ay 4- Az + 4 = 0 d. Ax2 + y2 - z2 - 2Ax - Ay + 2z -f 35 = 0 e. x2 4 y2 - z2 - 2x - 2y 4- 2a; 4 2 = 0 f. x 2 4 y2 - 6x 4 6y - Az 4 18 - 0 g. 9x - z2 - 18x - 182/ - 6z = 0
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Capítulo 7
Orientación de curvas y poligonales 7.1
Orientación.
En este capítulo introducimos los conceptos de orientación de una curva suave y el de curva poligonal (curva suave por pedazos), que resulta de gran utilidad para las aplicaciones en las ciencias naturales. Dada una curva F c R 3 parametrizada por la función 7 : [a, b] ->R 3 de tal forma que ||7(í)|| / 0, diremos que la orientación de F es del punto 7(a) e F al punto 7(6) E F, y que está inducida por la orientación del intervalo orientado [a,6]+ (véase la figura 7.1). Distinguimos a la curva orientada de esta forma por F"1". Naturalmente, esto hace que F + esté orientada por el vector tangente 7(í). Supongamos que el parámetro t es una función de un nuevo parámetro r € [c, d], esto es t — t(r), y que es una biyección diferenciable t:[c,d]->[a,&] Entonces diremos que F se puede reparametrizar por el parámetro r en el intervalo [c, d] por la composición 7(r)
=
7(Í(T))
Dicho de otra forma, F está parametrizada por la función 7 : [c, d] —• R3. La función 7 se dice ser una reparametrización de F.
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Orientación de curvas y poligonales
302
Figura 7.1: Hélice unitaria de paso 2TT EJEMPLO. Sea F la primera espira de la hélice unitaria de paso 2TT, con la parametrización 'y(t) = (cosí, sen¿,i) en el intervalo (1,0, 2TT).
[0,2TT].
Esto orienta a F + del punto (1,0,0) al punto
< Sea ahora la reparametrización de F inducida por el cambio de parámetro t = 2TT - r definida para r G [0, 2TT], 7(r)
= (COS£(2TT-T), sen (2TT - r ) , 2TT -
r)
En este caso 7 invierte la orientación de F pues 7(0) = (1,0, 2TT) y 7(2TT) - (1,0,0).
Notamos que la función biyectiva que cambia los parámetros t : [0,2TT] - • [0,2TT],
t = 2TT - T
es tal que j ^ = — 1 < 0. La figura 7.1 ilustra esta situación. > La última observación en el ejemplo anterior no es extraña. De hecho, el siguiente resultado nos impone condiciones sobre la derivada de una función que cambia los parámetros, para que en la reparametrización se conserve la orientación. LEMA 7.1 Sea 7 : [a, 6] —•> R • una parametrización de la curva F que induce una orientación F + . Si t € [a, b] es el parámetro de 7 y existe un
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7.1 Orientación.
303
cambio de parámetro t = t(r) definido en el intervalo [c,d], entonces la reparametrización dada por 7(T)
=
es tal que, a. conserva la orientación de T, si j ^ > 0 en todo el intervalo [c,d]. b . cambia la orientación de T, si jj¿ < 0 en ¿odo eZ intervalo [c, d]. < Pjr la regla de la cadena, se tiene que
lo que nos indica que los vectores ^ 7 y 7 son paralelos. La cantidad ^ indica el sentido de cada uno y, por lo tanto, la orientación . > A una curva F que es la unión (+) de las curvas suaves Fi, F2, • • • , F^ se le llamará una curva poligonal orientada, o curva suave por pedazos orientada (véase la figura 7.2 a.) La definimos por simplicidad por F+ = F+ + F+ + • • • + F+ imponiendo la condición de que la curva F^~ inicia donde termina Ft_ 1 . EJEMPLO. Sea F la unión (+) de los segmentos de las parábolas y\ = x2, y2 = 2 — x2 comprendidos entre sus intersecciones en los puntos (1,1) y (-1,1). O Si Fi es el segmento de la parábola y = x2 en el intervalo [-1,1] y F2 es el segmento de la parábola y = 2 — x2 en el intervalo [—1,1], entonces F + = F^-f F j es tal que la orientación inicia en el punto ( — 1,1), recorre por T~t hasta (1,1) y luego recorre por F j hasta ( — 1,1) siguiendo la orientación invertida del intervalo [—1,1] que definimos por [—1,1]". La curva F + es en total una curva cerrada iniciándose en el punto (—1,1) y cerrando su circuito en el mismo punto (véase la figura 7.2 b.) Damos una parametrización de F + = Tf -f- T\ como sigue. Fi es la curva definida por y = x2 si x G [—1,1]+, de donde, poniendo x — t y y = t2 se obtiene la curva 71 (t) = {t,t2) con t G [—1,1]+ que da orientación a Fj". Para parametrizar a F 2 con la orientación que define a la poligonal F + , siendo el segmento inmediato de Ff, consideramos su definición. F 2 es la curva y = 2 — x2 con x € [—1,1], lo que indica que F j está orientada por el intervalo [—1,1]". Usemos el cambio lineal de intervalos x: [1,2]+ - [ - 1 , 1 ] - = [1,-1] +
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Orientación de curvas y poligonales
304
que lleva 1 —• 1, 2 —> —1 definido por, x = x(t) = -2(¿ - 1) + 1 = 3 - 2í. Ya que los puntos sobre la curva F 2 son de la forma (x, 2 - x2), entonces 2 72(¿) = (3 - 2¿, 2 - (3 - 2¿) ) con t e [1,2] parametriza a F j . Por lo tanto, la curva 7 = *y(t) que parametriza a todo el circuito con la orientación seguida de F+ = F+ + F+ es 7(í)
1K)
f \
(M2)
-1<*<1
( 3 - 2 t , 2 - (3-2¿)2)
\
donde 7 : [—1,2] —+ M2 es regular por pedazos O
(-1,1)
b.
a.
Figura 7.2: a. Poligonal b. Curva V cerrada orientada. El ejemplo anterior nos da una manera de orientar a una región plana Q que tiene como frontera a una curva cerrada poligonal F. Para orientar a tal región, parametrizamos a F de tal forma que recorra el circuito en sentido contrario a las manecillas del reloj (regla de la mano derecha) Esto es equivalente a considerar el marco dado por la pareja ordenada de vectores {n(¿),7(¿)}, donde n(t) es un vector normal a 7(2) y j(t) es el vector tangente, satisfaciendo la relación de orientación 0 < det
n(t)
7(0
= -det
n(t)
No es difícil ver que esto se logra al orientar la curva cerrada F + en contra de las manecillas del reloj y tomar sus vectores normales n(t) apuntando hacia afuera de f¿ (véase la figura 7.3). Esta es una manera de orientar a una región Q provista con una frontera conformada por una poligonal cerrada. La definiremos por Í7+.
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7.2 Longitud de arco y ángulo entre curvas
305
n
Figura 7.3: Orientación de una región plana Í7 + .
7.2
Longitud de arco y ángulo entre curvas
Ahora se exponen los conceptos de longitud de arco de curva suave y el de ángulo entre dos curvas regulares. Dada una curva regular F c R 3 , parametrizada por
si se toma p G F, hasta un infinitésimo de longitud ||<¿7|| en tal punto de la curva, éste se descompone infinitesimalmente como
\\dy\\2=dx2+dy2+dz2
Figura 7.4: Longitud de arco de una curva.
donde dx,dy,dz son las componentes infinitesimales del infinitésimo del arco (vectorial) dj (véase lafigura7.4).
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306
Orientación de curvas y poligonales
Dv allí que ||rf->|| - y/dx'2 + dy2 + dz2
Dv esta forma,, si ('(V) define la longitud de F entonces, esta se calcula por Í(F) = i \Vh\\ = / y/dx2 + ífy2 Jv Jv /r Jv Por lo tanto, si en cordenadas cartesianas 7 = 7(f) parametriza a F en el intervalo [a, b], 7(0 = (x(t), t/(f), ¿(¿)),
entonces iy = y(t) di
t £ [a, 6]
y de esta manera, la longitud de F se calcula por ((V) = i y/dx2 + dy2 + dz2 = / ./r
y/x{t)2dt2 4- ¿f(*)2d*2 + ¿(<)2d¿2
^[íi.fc]
La igualdad hace que la siguiente definición sea natural. DEFINICIÓN. La longitud de la curva regular parametrizada F C R3 se define por C(T) = [' y/
= / " ||t.(t)Hdí,
donde v(t) = ^(t) es el vector velocidad tangente a la curva F en el punto El siguiente ejemplo ilustra esta definición que se ha heredado directamente de los resultados básicos del cálculo. EJEMPLO. Sea el subconjunto del plano
identificado como el círculo de radio i? y centro en (0,0). DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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7.2 Longitud de arco y ángulo entre curvas
307
< Una parametrización que hace de SR una curva regular, está dada por el sistema ( x = Rcost ^ rt , /|X I y = rC sent De la definición, la longitud de 5 ¿ se calcula por /•27T
£ = £(SlR)=
\/R2 sen2t -f i? 2 eos2 t dt Jo
y/R2(sen2t
= i Jo
+eos2 t)dt = í Jo
Rdt =
2TTR.
>
EJEMPLO. Sea F C M3 la hélice contenida en el cilindro de radio 4 y paso de altura h — 4TT. <\ Ya se vio en el Capítulo 3, que las ecuaciones que definen paramétricamente a F son x — 4 eos t y = 4 sen t z = 2t V
lo que implica que,
debido a que v(t) = (—4sent, 4cosí, 2). Por lo tanto, en el intervalo [0, 2TT], la longitud de esta hélice, hasta el primer paso es P2TT
=
r2n
\\v(t)\\dt= ^0
= 2V207T
t>
Jo
El siguiente resultado nos asegura la independencia de la longitud de una curva respecto a una parametrización. Esto es, la definición de longitud está bien definida, pues no depende de la parametrización escogida de la curva. L E M A 7.2 Sea F una curva regular parametrizada por
donde 7 = y(t), t e [a, b]. Si 7 : [c,d] —» F, con 7 = 7(7-) es otra parametrización tal que el parámetro temporal t = t(r) es una función del parámetro r £ [c, d], t:[c,d\->[a,b],
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Orientación de curvas y poligonales
308
con jj-p > 0. entonces las longitudes del arco en las panunetrizaciones respectivas son las mismas, esto es,
e= í'\\i(t)\\dt=
f WI
Ja
= i
Je
<\ Defínase 5(T) =
(rl(t.(T)),
) , x3(t(r)) = (yl(r),
y2(r),
y svn c\ vector velocidad , x
1 = W(T) =
(dyl
dy2
dy¿\
- y - , -jí-, -f- ) , \(IT dr d.r )
C
Entóneos, por definición, £ = j f \\w(T)\\dT. Por otro lado, por La regla de la cadena,
\W(T)\\
E
=
i dxL dt
dt
d?
\
De esta forma, como dt/dr > 0, por el teorema de cambio de variable se tiene que
1= J'' \\w(T)\\dT = J \\v(t{T))\\^-dT = J \\v{t)\\ dt = i lo que concluye la demostración. > Finalizamos con el concepto de ángulo entre dos curvas. Consideremos ahora dos curvas regulares suaves Fi y 1^ tal que están parametrizadas por 72 : [a, b)
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7.2 Longitud de arco y ángulo entre curvas
309
respectivamente. Supóngase además que en las imágenes del punto /o se intersectan las curvas Fi y 1^, esto es, *o) =72(^0)
Si tales curvas están definidas en coordenadas ;r, y, z por f 7iW = (*i(*),2/2(*),2i(*))
1 72(0 = (* 2 (0, 2/2(0, -2(0) y son tales que sus vectores tangentes en el punto común 71 (¿()) = 72(^0) son dx\ dyi dz
entonces es natural definir el ángulo formado por esas curvas en 71(^0) — 72(¿o) como el ángulo formado por sus vectores tangentes. Esto es, si tal ángulo es 0, entonces
< t V> cos
*
=
La figura 7.5 ilustra esta discusión.
7i
Figura 7.5: Ángulo entre dos curvas. EJEMPLO. Sean las curvas Ti y T2 definidas por r1:ll(t)
= (t,t2)
r 2 : 72(0 = ( M 3 )
con
í€[0,4]
con
ÍG[O,4]
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310
Orientación de curvas y poligonales
< Es claro que 7i(l) = 72(1) = (1,1) es el punto de intersección de las curvas Fi y IV Si nombramos a los vectores tangentes respectivos por
n = 72(1) = (1,3) entonces el ángulo formado en (1,1) por las curvas Fi y F2 es
' =a r c c o s « R = arceos I
7 ,
= arccos I = arceos 10
7.3
Ejercicios
1. Dé una orientación a las curvas definidas en los incisos a, b , c y g en el ejercicio 1. del capítulo 4. 2. a. Calcule la longitud de arco de 0 a TT en las curvas de los incisos del ejercicio 1. b . Calcular el ángulo entre las curvas dadas en los puntos donde se intersectan. 71 (t) - (2cosí, 2sen¿), l2(t) = (¿, t2) = (e ¿ cosí, e'sení), 72(t) = (t,t)
Indicación: calcule primero los puntos de intersección.
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Capítulo 8
Límites y puntos singulares En este capítulo discutimos someramente el concepto de límite; de una función real de variable vectorial en un punto de acumulación del dominio. Los temas son tratados de igual forma eme en el capítulo 2 de Reyes (1996).
8.1
Puntos de acumulación y límites
Sea Í2 C Rn una región del espacio euclidiano, de dimensión n, donde consideramos apenas n — 2,3. DEFINICIÓN. El punto p G R'* se dirá que es un punto de acumulación para la región Í2, sí toda bola Bt(p) intersecta no vacíamente a íl. Esto es, para cada bola de radio e > 0 con centro en p se encuentra un punto q G Í2 contenido en tal bola. Si p no es de acumulación para Í2, se dirá un punto aislado (véase la figura 8.1). En términos menos precisos, un punto de acumulación p de la región Q es aquél que está tan próximo de íl como se desee. El punto p no necesariamente está contenido en Q, pero se puede aproximar a él por puntos contenidos en U. EJEMPLO. Sea Í2 = (a, b) C R1, es claro que p = a es un punto de acumulación de £2. Todo punto q G (a, b) es de acumulación. EJEMPLO. Sea Í2 = R2 - {(0,0)}, entonces p(0,0) es un punto de acumulación de Í2. También todo punto q / (0,0) contenido en Í2 es de
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312
Límites y puntos singulares
acumulación para Q. EJEMPLO. Sea la región espacial fi = {(x,y,z)\x
+ y + z < 1}
acumulación
aislado Figura 8.1: Puntos de acumulación y aislados. Definamos ahora el concepto de límite de una función real de variable vectorial en un punto de acumulación de su dominio, en términos de los límites de funciones reales de variable real. Sea / : íl —• R una función real de variable vectorial, y sea p € R3 un punto de acumulación de íl. Entendamos por q = (x, y, z) el vector variable y entendemos que el punto q £ Q se aproxima al punto p por la notación limg_>p. Además, si p — {p\,P2,Pz) son las coordenadas, el número real \\q - p\\ se entiende como Il9 - P\\ = \ A * - P I ) 2 + (y - P2)2 + (* - Í > 3 ) 2 .
DEFINICIÓN. Se dice que la función /(x, y, z) tiene límite L en el punto de acumulación p de Í7, definido por limf(x,y,z) = L q-*p
si y sólo sí, se cumple que existe el límite real, de variable real lim (f(x,y,z)-L) = 0 lk-p||-o Ya que conocemos del cálculo diferencial básico, el cálculo de los límites de variable real, así como su existencia, se tiene la siguiente lista de resultados para los límites en variables vectoriales.
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8.1 Puntos de acumulación y límites
313
LEMA 8.1 El limite de la función real de variable vectorial, \imf(x,y,z)
=L
cuando existe es único. TEOREMA 8.1 (Aritmética de límites) Sean f,g : fi -> R dos funciones reales de variable vectorial y p G E 3 un punto de acumulación de la región Q tales que, lim f(x, y, z) = Li, q-*p
lim g(x, y, z) = L2 q—*p
entonces a. lim q _ p (/ ± g)(x, y, z) = lim q _ p f(x, y, z) ± limq_^p g(x, y, z) = Li ± L2 b. limq_>p(/^)(x, y, z) = lim q ^ p /(x, y, z) limg_p g(x, y, 2) = LXL2 c. Cuando L2 / 0 5e ¿iene además que ,y,z)
L2
Estos resultados nos garantizan el cálculo de límites de funciones en puntos de acumulación que están contenidos en el dominio. A continuación damos un par de ejemplos, donde se aplica apenas una simple sustitución. EJEMPLO. Sea la función /(x, y, z) = ln(l - x - y - z) + x2 + y2 + z2 + 1 < Es claro que el punto p = (0, 0, 0) está contenido en el dominio £2 de / y es un punto de acumulación de Q. Por el teorema anterior se tiene que lim
f(x,y,z)=
lim
[ln(l - x - y - z) -Yx2 +y2z2 + 1] = 1
que se obtiene de una sustitución simple. > EJEMPLO. Calcular el límite, lim
ex+y
(x,2/)-»(l,l)
< Una sustitución directa nos lleva a que lim
e x+y = e 1+1 = e2 >
(x,3/)-(l,l)
El problema del cálculo de límites de variable vectorial se complica cuando el punto de acumulación p no está en el dominio natural de la función.
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314
8.2
Límites y puntos singulares
Puntos singulares
Un caso interesante de un punto de acumulación es aquél cuando no está contenido en el dominio de una función por generar una indeterminación al momento de tratar de evaluarlo. Si en el intento de evaluación genera un cociente por cero se dice que tal punto es una singularidad algebraica de la función (véase el capítulo 2 de Reyes, 1996). EJEMPLO. Consideremos nuevamente nuestra vieja conocida función f(x y) analizada en el capítulo 4 y mostrada en lafigura4.13. < Su dominio es la región Q = R 2 — {(0,0)}, siendo el punto p = (0, 0) de acumulación de íl. a. Tomemos una aproximación en Q a p a través el eje x, es decir mediante los puntos de la forma (x, 0), y en este caso se tiene lim
,/ j(x,y)
X
—
V 0 —7——~ = lim — = lim 0 = 0
lim
(z,0)-»(0,0) X¿ -+- y
(x,y)->p
x~*0 X¿
x-^0
b. Consideremos ahora una aproximación en í} a p a través del eje y, es decir, mediante los puntos de la forma (0,?/), y en este caso se tiene lim
/ ( x , y) =
lim
—
= lim — = lim 0 = 0
(0,y)-(0,0) X2 + y2
(x,y)->(0,0)
Í/-0 í/2
y-0
c. Si hacemos la aproximación en íl al punto /? por la recta identidad y — x se obtiene 2
lim (x,y)->(0,0)
f(x,y)
=
lim
-5
r = lim —
(x,x)-»(0,0) X¿ + ?/Z
x —0 X2 + X¿
2
1
= lim -—- = x-^0 2 x 2
2
De esta manera, hemos encontrado que existen trayectorias que se aproximan al punto p = (0, 0) y sus límites correspondientes no son iguales. Ya que el límite tiene que ser único por cualquier forma de aproximación, se concluye que el límite lim
(x,y)->(0,0) X- + y2
no existe. \> Una forma más general de estudiar un límite como el del ejemplo anterior es usar un cambio de coordenadas . Esto es, utilizar otras variables
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8.2 Puntos singulares
315
que identifiquen una posible dependencia del límite en una dirección o de una curva. EJEMPLO. Sea nuevamente el límite xy x + y2
lim
2
Usemos el siguiente cambio de coordenadas polares x = r eos 9 y — rsenO Entonces el cociente dado se expresa xy r2 eos 9 sen 9 — = = eos 0 sen 0 x2 -f y2 r2 De donde, en virtud de que (x, y) —•> (0,0) <€=> r —> - 0, se tiene que lim
—Z
xy
(avy) —(0,0) X -f ?T
= lim eos 0 sen 0 — eos 0 sen 0 r-+0
que depende del ángulo 9 con el cual se aproximen las variables (x, y) al origen. Por ejemplo, sobre la recta y — 0 (eje x) el ángulo es 0 — 0 lo que implica que sen 0 = 0 y, por lo tanto, el límite buscado sobre esa recta es cero. Análogamente, sobre la recta x = 0 (eje y) el ángulo es 0 — \ , lo que implica que cos# = 0 y, por lo tanto, el límite buscado sobre tal recta es igualmente cero. En el caso de calcular sobre la recta y — x, el ángulo es 0 — TT/4 y, por lo tanto, COSTT/4 sen TT/4 — - ^ . - ^ — \ — 1/2 que es el límite calculado anteriormente, o EJEMPLO. Calcular el límite hm
<1 Al usar el cambio de coordenadas (polares) x — r eos 0 y — r sen 0
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316
Límites y puntos singulares
se tiene que x 2 + y2 = r 2 , de donde
Ya que (x, y) —> (0, 0) <=> r —> 0 se tiene que, 2 ,. 2 o
lim
—
2
2
+ yy¿ xxz + —
rz
,. = lim
r 2 (\/r 2 + 1 + 1) / / \ = lim —^ '- = lim ( V r 2 + 1 + 1 =2 Por lo tanto, lim ^= (x,y)-*(0,0) ^ / x 2 + ?/2 + 1 - 1
2 D>
EJEMPLO. Calcular el límite hm
—r
-
(*,S/)-(0,0) X 2 + ?/2
< Nuevamente, usando el cambio de coordenadas anterior, x = r eos 9,
y — sen 9
se tiene que (x + y)2 _ (reos9 r —- — x2 + y2
+ rsen<9) 2 _ r 2 ( c o s 0 + sen6>)2 _ 2 — — ^cos (/ ~f~ sen oj r2 r2
que depende de la variable 9. Si se toma por ejemplo 9 = 0 (eje x) se tiene que, li m
\
+ V
\ = lim(cos<9 + sen<9)2 = (cosO + senO)2 = 1
(x,j/) —(0,0) X2 + ? / 2
r^0
Por otro lado, si se toma 9 — TT/4 (la recta y = x) se tiene que,
lim
i l2 ± 41 = lim(cos7r/4+sen7r/4) = f ^ + ^ ) = ( ^ ) 2 = 2,
(x,y)-(o,o) x + y
r—o
y 2
2 J
lo que nos dice que tal límite no existe. D>
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8.3 Continuidad
8.3
317
Continuidad
Ahora extendemos el concepto de continuidad que conocemos para funciones reales de variable real, para funciones reales de variable vectorial. DEFINICIÓN. Sea / : íí C R3 -> R una función y sea p <E V un punto arbitrario del dominio. Decimos que la función / es continua en el punto p si a. p es un punto aislado de íí. b. cuando p es punto de acumulación de Í2, entonces
lim
f(x,y,z) = f(p)
(x,y,z)-»p
Si la función / es continua en cada uno de los puntos de su dominio se dirá simplemente que / es continua. Del teorema sobre la aritmética de limites se tiene que la suma (y diferencia), el producto y el cociente de funciones continuas es una función continua. Más aún, en todas las funciones vectoriales donde intervengan las funciones clásicas: polinomios, exponenciales, trigonométricos, etc, con varias variables independientes, se tendrán funciones continuas. EJEMPLO. A continuación todas las funciones que se mencionan son continuas (redundante decir que en sus dominios naturales). a. f{x,y) = 7¿p b. f(x, y) = arcsen (x2 + y2)
d. f(x,y,z e f(x v) Como es de dominio general, un problema interesante es aquél cuando una función con una singularidad p precisa de ser extendida continuamente en tal punto. Un resultado sobre la extensión continua es el siguiente. T E O R E M A 8.2 Si f es una función continua en la región ü, C R 3 y p es una singularidad de f, para que f tenga una extensión continua F en el dominio D = Q U {p} es necesario y suficiente que lim
f(x,y,z)
=L
(x,y,z)-*p
exista.
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318
Límites y puntos singulares
< En este caso, la extensión continua de / en p está dada por la función F(x,y,z) =
L
si
(x,y,z)=p
A continuación ilustramos el teorema 8.2 con un ejemplo. EJEMPLO. Considérese la función
f(z,y) = f
V
o
¿Se puede extender continuamente la función en el punto singular p — (0,0)? <3 Ciertamente el dominio de la función / es Í7 = R2 — {(0, 0)}, siendo p — (0,0) un punto singular de / . De manera análoga al caso de una sola variable, calculamos el límite 3 2
\imJ(xy) (x,j/)-.(O,O)
! im X 2 +xy l/ 2 (x,2/)->(0,0)
'
Usando el cambio de variables mencionado anteriormente, 1 x = reos 9
= rsen9
\y se tiene que o
9
x3y2 2 x -\-y
r3 eos3 9 r2 sen29
2
r2
r2 eos3 sen2
De esta manera, X3
lim ) ( 0 0 )
/ ( # , y) =
lim ( ) ( 0 0 )
—r
2
X 2 + ?/ 2
= lim r eos3 9 sen29 = 0 r-0
Por lo tanto, la extensión continua de la función / en el punto está dada por la nueva función, (*,V) #(0,0)
^
Un resultado importante de la continuidad de una función que es de interés en las aplicaciones en el siguiente
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8.3 Continuidad
319
TEOREMA 8.3 (del valor intermedio). Si f : ü —> R es una función continua definida en una región (conexa) y para los puntos p, q € Q C R se tiene que f(p) < f(q), entonces para todo valor c £ [/(p), /()] existe un punto r € tt, tal que f(r) = c. < Sea 7 : [0,1] —» Í2 una curva continua tal que una a los puntos p y g € fi, es decir, tal que 7(0) = p y 7(1) = Í2 -> R dada por Entonces, es fácil ver que g es una función real de variable real continua, tal que g(0) = f(p),g(l) = f(q). Por el teorema del valor intermedio para funciones continuas reales de variable real, para c G [/(p),/()] existe un argumento tQ € [0,1] tal que g(t0) = c. Defínase r = 7(^0), entonces se tiene que f(r) = /(7(¿o)) — 9{to) — c, lo que termina la prueba. >
Ejercicios 1. Calcular los siguientes límites. a. lim (a ., y) ^ (1 , 2) (4x + 6?/2) b . l i m ( x , y ) _ ( _ M ) -j£^ n
i;T«
_
c. lim(a.íy)_>(1.o) d. lim ( a v y ) _ ( 2 , 2 )
are sen
(y/x)
—YTx^—
e.
2. Analizar las siguientes funciones en el punto singular situado en el origen. ¿En cuáles singularidades se puede extender continuamente la función? a-
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320
Límites y puntos singulares
g. f7(x,y) = (x + y)sen± h. f8{x,y) = (x + y)sen-¿-
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Capítulo 9
Valores extremos de funciones 2 En este capítulo hacemos el análisis local de una función de clase Cr alrededor de un punto p, para el caso en que la función está definida en una región {} del plano R . Los resultados aquí obtenidos se generalizan para más variables y damos ejemplos de estas generalizaciones.
9.1
Plano tangente
En esta sección introducimos el concepto de espacio tangente en un punto de un conjunto de nivel de una función real de variable vectorial, mediante el uso del vector gradiente. Consideremos el caso Rn = R3, y sean, / : ü C R3 -> R una función suave, c un valor arbitrario en R y la superficie de nivel c de / ,
Si 7 : (a, b) —> íí es una curva tal que j(t) £ 5, entonces para todo t G (a, b) se cumple /(7(t)) = c. <3 Al derivar cada lado de la igualdad respecto a t se tiene
y por La regla de la cadena, en todo el intervalo (a, 6), se cumple la igualdad
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Valores extremos de funciones
322
Tomemos un punto arbitrario q G S y una curva 7 tal que 7(0) = q. Kntoiices 7(0) es un vector tangente a 7 en q. De esto, se tiene que
Concluimos entonces que el vector gradiente Vf(¡ es ortogonal al vector tangente 7(0). Resumiendo, dado un punto q G 5 y una curva 7(¿) G 5 tal que 7(0) = q se tiene que el gradiente de / en q es ortogonal al vector tangente 7(0) = v. Como la curva ^(t) pasando por el punto q es arbitraria, entonces se puede realizar la siguiente definición.
Figura 9.1: Plano tangente a una superficie de nivel. DEFINICIÓN. Definimos el plano tangente TqS a la superficie de nivel 5 en el punto q, como el plano pasando por q ortogonal al vector V/í/? y lo definimos por TqS (véase la figura 9.1). Hemos supuesto, en la definición dada, que necesariamente V/íy ^ (0,0,0). EJEMPLO. Calcular el plano tangente a la esfera x2 -f y2 + z2 = 3 en el punto q — (1,1,1). < La relación 9
i
2
,
2
o
x +y + z = ó implica que Sea / :
x2 + y2 + 23 - 3 = 0 la función definida por
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9.1 Plano tangente
323
entonces la esfera dada se escribe como la superficie de nivel f-l(0)
= {(*, y, *)!/(*, V, z) = 0} = {(z, y, z)\x2 + y2 + z2 - 3 = 0}
El punto (1,1,1) pertenece al conjunto de nivel /~ 1 (0), pues I 2 -f-12 -h I 2 — 3= 0 Después, calculamos el vector gradiente V/(i 11), .M) = (2,2,2)
Por lo tanto, la ecuación del plano tangente a S = /~ 1 (0) en (1,1,1) se calcula < (2,2,2),(x,y,z) > = < (2, 2,2), (1,1,1) > es decir, la ecuación buscada es, 2x + 2y + 2z = 6 \> Mencionamos que la metodología utilizada para calcular planos tangentes a superficies se aplica también para calcular en general, los espacios tangentes de conjuntos de nivel de funciones suaves. Particularmente, el método se usa para calcular rectas tangentes de curvas planas, como lo muestra el siguiente ejemplo. EJEMPLO. Calcular la recta tangente a la curva C :
x2y + y3 = 10
en el punto (1,2). < Consideremos la función f{x,y) = x2y + y3. Entonces, la curva dada C está definida como la curva de nivel, = {(x,y)\ f{x,y)
= 10} = {(x,y)\ x2y + y3 = 10} = C.
Verificamos primeramente que el punto (1,2) € / - 1 ( 1 0 ) , pues l 2 (2) + ( 2 ) 3 - 2 + 8 = 10 y después calculamos el gradiente V/(i, 2 ) = (2xy, x2 + 3y 2 ) (1>2) = (4,13) Por lo tanto, la ecuación del tangente (que es una recta) T(2,2)C es?
o equivalentemente, 4x + 13y = 30
>
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324
9.2
Valores extremos de funciones
Puntos regulares y críticos
Sean, / : íl C R~ —> • IR una función de clase C y p = (a, 6) un punto en Í2. Entonces, el desarrollo de Taylor de / alrededor de p hasta orden 2 esta dado por
/(•'••//) = f(p) + § ;
^
si el punto variable (;r, /y) está próximo del punto p en Í2. DEFINICIÓN. Si el punto p es tal que V/ p 7^ (0,0), entonces se dirá un punto regular de / , y f(p) se dirá un valor regular. < En este caso, podemos suponer que ^ (p) ^ 0, y por El teorema de Taylor , la función se escribe localmente como la aproximación - - f(p) + ^
^
(
es decir, si A = f(p), B = '^(p), C = §¿(p), entonces z = A + B(x - a) + C(y - b) es la ecuación del plano tangente de la gráfica de la función / en el punto (p,f(p)) = {a,b,f(a,b)). En otras palabras, alrededor de un punto regular la función / está aproximada por la ecuación del plano tangente en una vecindad del punto p. La figura 9.2 ilustra esta aproximación. D> Esta discusión generaliza el concepto de la recta tangente a la gráfica de una función real de variable real de los cursos de cálculo básico, al del plano tangente a la gráfica (superficie) de una función de dos variables con valores reales. Dicho en otras palabras, la ecuación del plano tangente aproxima a la función alrededor del punto en cuestión. EJEMPLO. Calcular aproximadamente / ( l . l , 1.1) si
<3 Aproximamos / alrededor del punto p — (1,1), calculando
d£=y dx
d¿ = x x'
dy
y
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9.2 Puntos regulares y críticos
325
lo que nos dice
üx
?
'
üy
Por lo tanto, la ecuación del plano tangente de la granea de / en el punto (1,1,0) es z = /(1,1) + B(x - 1) + C(y - 1) - (./: - 1) + (y - 1). que aproxima a f(x,y) — \\\{xy) alrededor del punto (1,1). De esto, la aproximación buscada se calcula por 2(1.1,1.1) = (1.1 - 1) + (1.1 - 1) = 0.1 + 0.1 = 0.2 Esto es, ln(l.l)(l.l) « 0 . 2 O
• :
=
/(.'•..'/)
(T) P Figura 9.2: Aproximación lineal de / en p. Cuando el punto p no es regular, el problema de aproximación de una función / se complica. Hacemos un análisis para el caso más simple de cuando no se tiene un punto regular. DEFINICIÓN. Si V / p = (0,0), es decir, las derivadas parciales de la función / se anulan en el punto p,
^(P)=O=^(P) ax
üy
entonces p se dirá un punto crítico de / . Al valor f(p) se le llamará un
valor crítico.
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Valores extremos de funciones E 2
326
Por El teorema de Taylor, alrededor del punto p la función / está aproximada por el polinomio cuadrático 1 cP- f
a)(y - b) 4- -—^(p)(y - b)h ? {p){y f)2f
lo cual puede escribirse matricialmente como
< Comprobamos que la multiplicación de las matrices señaladas en la última igualdad conducen a la expresión de la parte cuadrática de la aproximación. Al realizar el producto de las dos matrices finales, se obtiene la expresión (x-a
y -b)
a?/ 2
lo que sigue debido a la conmutatividad de las derivadas parciales mixtas de / en p. > La matriz cuadrada obtenida de esta manera tiene un nombre y características especiales. DEFINICIÓN. La matriz de 2 x 2 dada por
se llamará matriz Hessiana de la función / en el punto crítico p.
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9.3 Formas cuadráticas básicas
327
Es claro que La matriz Hcssiana ///,, es de la forma M L ~ ' L N
A
y, por lo tanto, es una matriz simétrica, es decir, coincide con su transpuesta, At
_ ( M
L \
Tales matrices simétricas están estrechamente relacionadas con las llamadas formas cuadráticas que definen superficies cuadráticas. Repasamos , entonces, un aspecto básico de las formas cuadráticas más simples en dos variables, eme ya hemos estudiado en el capítulo (>. Antes de iniciar la discusión de las formas cuadráticas, definimos los conceptos de valores máximo y mínimo local de una función de argumento vectorial. DEFINICIÓN. Sean, / : íí C R2 -> R una función arbitraria y p e íl un punto en el dominio de / . Decimos eme la función / tiene en f(p) un a. Valor mínimo local, si existe un número r > 0 tal que para cualquier punto (x,?y) contenido en la bola de radio c > 0 y centro en p (Df(p)). se tiene que f(p) < f{x,y) b. Valor máximo local, si existe un número r > 0 tal que para cualquier (x,y) e Bf(p) se cumple que f{x,y) < f(p) La figura 9.3 ilustra la definición. Si para cualquier (x,y) G íl se cumple que /(J?, y) > /(/>) entonces f(p) se dirá un mínimo global de la función / en íl. Análogamente se define un máximo global de la función / en íl.
9.3
Formas cuadráticas básicas
D E F I N I C I Ó N . P o r u n a f o r m a c u a d r á t i c a d e2 x 2 e n t e n d e m o s a u n a
matriz simétrica, real, de la forma A
( NI
L \
At
A
tal que a u n a pareja de vectores £ = ( í 1 , ^ 2 ) , // = (z/1. // 2 ) los aplica en un número real q(£, q) mediante la regla matricial
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328
Valores extremos de funciones E 2 —» R
que definimos simplemente por rf At;, siendo £ un vector columna y jf un vector renglón. Así, una forma cuadrática aplicará en un sólo vector £ = (£1,£2) mediante la fórmula
generando una función q : R2 —> E que está caracterizada por la matriz dada A. EJEMPLO. Sea la función cuadrática en las variables i¿, v dada por la expresión qi(u,v) = u2 + v2 O Entonces, escribiendo al vector £ = (i¿, v), podemos escribir matricialmente tal expresión como qi(u,v) = u2 + 2(0)uv + v2 = (u v) ( ^ J J ( ^ de donde #i tiene asociada la matriz simétrica (forma cuadrática) 1 0 Por otro lado, en p — (0, 0) la función tiene un valor mínimo local en gi(0,0) = 0 Esto se puede apreciar observando que la cuadrática z — u2 + v2 corresponde a un paraboloide circular que se abre verticalmente en dirección positiva del eje z. Si consideramos valores c G E próximos de 0, entonces las imágenes inversas bajo / (curvas de nivel) f~l(c) corresponden a curvas cerradas que de hecho son círculos con ecuaciones u2 + v2 = c. La figura 9.4 a. ilustra a la gráfica de esta forma cuadrática en una proximidad del origen de coordendas. O EJEMPLO. Ahora, consideremos la forma cuadrática dada por, ^2(^7 v) — ^u
—v
< Esta tiene un valor máximo local en /(O, 0) = 0 y tiene asociada la matriz simétrica -1 0 0 -1
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Casa abierta al tiempo
9.3 Formas cuadráticas básicas
329
máximo local
mmimo local
p
p
Figura 9.3: Valores máximos y mínimos locales. De igual forma que para el caso anterior, se observa que la gráfica de q2(u, v) es un paraboloide circular que se abre verticalmente en dirección negativa del eje z. También, si consideramos valores negativos c € R próximos del valor máximo /(O) = 0, las curvas de nivel correspondientes u2 -f v2 = —c son curvas cerradas, que además son círculos. La figura 9.4 b . ilustra la gráfica de q2(u,v) es una proximidad del origen. D>
U
Q± u* +vz
b.
-(u2
Figura 9.4: Formas cuadráticas ±(u2 EJEMPLO. Consideremos la función cuadrática en las variables i¿, v dada por qs(u,v) = u2 -v2
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Casa abierta al tiempo
330
Valores extremos de funciones
que tiene asociada la matriz simétrica 1 0
0 -1
debido a que, si ponemos el vector £ = (i¿, v) como un vector columna, matricialmente podríamos escribir qs(u, v) = u2 — v2 — (u v
Por otro lado, la cuadrática q2{u, v) = u2 — v2 corresponde a la gráfica de la superficie paraboloide hiperbólico. Por esto, al tomar cualquier valor c £ R próximo del valor /(O, 0) = 0, la curva de nivel asociada u2 — v2 — c corresponde a una hipérbola, mientras que la curva de nivel /~ 1 (0) esta formado por la pareja de rectas y = ±x que se intersecan en el origen de coordenadas. Por lo tanto, e n p = (0,0) se tiene un punto silla /(0, 0) = 0 para la función q<¿ (ni valor máximo, ni valor mínimo). La figura 9.5 ilustra esta forma cuadrática. D> EJEMPLO. Análogamente, la forma cuadrática = -u2 +v2 tiene asociada la matriz simétrica -1 0
0 1
y en el punto silla p = (0,0) tiene asociado un valor /(0,0) = 0 llamado también silla. Zoológico de formas cuadráticas básicas Extendemos ahora el tratado general de una forma cuadrática, bosquejando a todas las formas cuadráticas básicas. Dada la forma cuadrática q(u, v) = au2 + bv2,
con a, b constantes diferentes de cero, esta función tiene asociada la matriz simétrica a 0 0
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9.3 Formas cuadráticas básicas
331
Figura 9.5: Forma cuadrática u2 — v2. cuya gráfica tiene un comportamiento alrededor del punto (p, f(p)) — (0, 0, 0) tiene alguna de las formas mostradas en la figura 9.6. Observamos que las formas cuadráticas básicas no tienen términos cruzados en xy. Para cuando hay tales términos, estos se pueden omitir mediante el uso del siguiente resultado del Algebra Lineal y cuya prueba puede verse en Antón (1981). LEMA 9.1 (de Sylvester de diagonalización) Sea la matriz simétrica BR
- ( M - \ L
L
N
Entonces, bajo un cambio lineal de coordenadas en el plano puede ser llevada a una matriz diagonal de la forma A=
Ai 0
0 A2
donde X\ A2 son los valores propios de A, que satisfacen el polinomio característico,
- í! Más aún se tiene que, det
M L
L N
= det
Ai 0
0 A2
— A1A2
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Valores extremos de funciones
332
a,b < 0
a,b > 0
a, b diferentes signos Figura 9.6: Zoológico de formas cuadráticas básicas. Para ilustrar el alcance del Lema de Sylvester damos el siguiente ejemplo. EJEMPLO. Sea la matriz simétrica D
1 2 2 1
con determinante det(B) = —3. <\ Procedemos a diagonalizar a la matriz B, calculando sus valores propios al resolver el polinomio cuadrático,
= A2 - 2A - 3. cuyas raíces son Ai = 1, A2 = — 3. De esta manera, la matriz diagonalizada es A=
1
0
0
-3
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9.4 Puntos críticos no degenerados
333
cuyo determinante es det(A) = —3. Por otro lado, la matriz A tiene asociada la forma cuadrática q(u,v) = u2 - 3v2 que corresponde a un paraboloide hiperbólico (silla de montar) con un punto silla en el origen (0,0,0). Por lo tanto, la forma cuadrática asociada a la matriz B está dada en los vectores £ = (x, y) y matricialmente por, y
corresponde cualitativamente a un paraboloide hiperbólico con un punto silla en el origen (0,0,0). P> El ejemplo anterior nos muestra que para analizar y caracterizar a un punto crítico p de una función f(x,y) es suficiente con calcular su matriz Hessiana B — Hfp que es una matriz simétrica, y después diagonalizarla utilizando el Lema de Sylvester. Al obtener sus valores propios, conformamos la matriz diagonal
que caracteriza a una forma cuadrática básica de las mencionadas, para el caso en que los valores propios sean ambos diferentes de cero.
9.4
Puntos críticos no degenerados
DEFINICIÓN. Sea / : tt -> R una función de clase C2 tal que en el punto crítico p £ Q se tenga que el determinante de La matriz Hessiana
det(Hfp) = det ( | ¿ ( P ) #
( P )
) #0
entonces llamamos al punto p un punto crítico no degenerado.
Observamos que si la matriz diagonalizada de Hfp es la matriz \i
0
0
A9
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Valores extremos de funciones R2 —> R
334
entonces será suficiente que ambos valores propios Ai y A2 sean diferentes de cero para que p sea un punto crítico no degenerado, en virtud de que por el Lema de Sylvester, det(A) = det(Hfp) = A1A2. EJEMPLO. Sea la función cuadrática en dos variables f(x,y) = 3x2 -\xy-Yy2 Analizar el comportamiento en sus puntos críticos mediante las matrices Hessianas correspondientes. < El conjunto Q — Dom(f) — R2 es un dominio abierto y conexo. Realizaremos el análisis de los puntos críticos. Hallamos primeramente el gradiente, calculando las primeras derivadas parciales.
?f = _4x +12 dy Es claro que V/ p = (0,0) si y sólo si, es decir, los puntos críticos se obtienen al resolver el sistema lineal 6x - 4y = 0 -4x + 2y = 0 Como el determinante principal del sistema D=
6 _4
-4 2
= 12 - 16 = - 4 / O,
entonces, x = 0, y — 0 es la única solución de tal sistema. Esto es, p — (0,0) es el único punto crítico, con valor cítico /(0,0) = 3(0)2 - 4(0)(0) + O2 = 0 Ahora calculamos las derivadas parciales segundas, dx2
^
= 6
'
dydx
=
^
4i
'
dy2
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9.4 Puntos críticos no degenerados
335
y obtenemos en el punto crítico p(0,0),
Por lo tanto la matriz Hessiana de / en el punto crítico p(0,0) se calcula _4
2
Después, encontramos los valores propios Ai,A2 para diagonalizar la matriz:
0==det
[ l - 4 2 J " H o 1J J = d e t ( - 4 2 - A =(6-A)(2-A)-16 = A2-
con lo que,
de donde,
lo que implica que en el punto (0,0,/(0,0)) sobre la gráfica de / se tiene un punto silla, y además que el punto crítico p — (0,0) es no degenerado. Analizamos algunas curvas de nivel de / utilizando los resultados de la descripción de una forma cuadrática alrededor del origen de cordenadas. a. Si se toma el valor z = 1 entonces 1 = 3x2 - Axy + y2 es la ecuación de una hipérbola en el plano R 2 b. Al tomar el valor — 1 = z entonces se tiene, - 1 = Sx2 -4xy
+ y2
que es la ecuación de otra hipérbola en R 2 . c. Si se considera z — 0 entonces se tiene la ecuación 0 = Zx2 - 4xy + y2
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336
Valores extremos de funciones
y para resolver en términos de la variable x nos da, ± y/16^2 - 12y2
iy ± 2y
" ~^~ " I \y
1 es decir, la pareja de rectas
y=x y = 3x que son las asíntotas de las hipérbolas dadas por la familia de ecuaciones 3x2 — 4xy + y2 = c
donde c £ R es valor arbitrario de la función / . La figura 9.7 describe la complejidad de la gráfica de la función /, así como sus curvas de nivel. O Utilizamos el ejemplo anterior para hacer la siguiente observación. < La función cuadrática inicial tenía la ecuación /(x, y) = 3x2 — 4xy + y2 que matricialmente se puede escribir
v)
3
-2 \ í x
siendo la matriz simétrica asociada (forma cuadrática) A x
~
3 -2
-2 1
Por otro lado, encontramos que la matriz Hessiana en el punto crítico era la forma cuadrática
Esto ocurre debido a que en la construcción de la matriz Hessiana durante la discusión general se factorizó el escalar \ dando paso a la Hessiana como se definió. D> Utilizamos ahora toda la herramienta que se ha desarrollado, para analizar puntos críticos de funciones suaves de dos variables.
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9.4 Puntos críticos no degenerados
curvas de nivel
337
>'
gráfica
Figura 9.7: Curvas de nivel y gráfica de f(x, y) = 3x2 — Axy + y2. EJEMPLO. Sea la función polinomial de grado 4 en dos variables dada por la igualdad, f(x,y) = x4 + y4 -Axy y cuyo dominio es Í2 = R~. <\ Calculamos sus puntos críticos, igualando las coordenadas del gradiente a cero, í ^=4x3-4t/ = 0 o equivalentemente, resolviendo el sistema de ecuaciones x3 - y = 0 y3 - x = 0
Al despejar la variable y de la primera ecuación se tendrá = x3 y si se sustituye x3 en la segunda ecuación se tendría (x3)3 — x — 0, lo que implicaría que x9 — x — 0. Por lo tanto, es necesario resolver la ecuación de grado 9, x(xs - 1) = 0 Al factorizar el lado izquierdo de esta ecuación se tiene que x(x4 - l)(x4 + 1) = 0 «=> x{x2 + l)(x2 - 1) = 0 lo que nos da las raíces x — 0, 1, - 1 .
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Valores extremos de funciones R2
338
Al sustituir tales mices en la ecuación y = tfx nos daría que y 0, 1 , - 1 . Por lo tanto, los puntos críticos son p\ — (0,0), P2 = (1,1), (—I, — 1) y sus valores críticos correspondientes serán,
Ps
Al calcular las derivadas parciales segundas de la función / se tiene O2 f ux-
.,
- 4 = 12.r2,
O2 f üyüx
d2 f üy
o
—f- = -4, - 4¿ = Uy2
lo que da la matriz Hessiana en cada punto crítico p, Hip
\2x2 " \ -4
-4 122
Procedemos a analizar cada uno de los puntos críticos obtenidos, mediante la diagonalización de su correspondiente matriz Hessiana a. Para el punto crítico (0,0), su matriz Hessiana es, Hf
Q
Para calcular los valores propios de esta matriz resolvemos la ecuación cuadrática característica. -A -4
-4 -A
- X2 - 16
lo que implica que A = ±4. De esta forma, la matriz diagonal es la forma cuadrática 4 0
0 -4
lo que nos dice que en el punto (0,0, /(0,0)) = (0,0, 0) hay un punto silla. Además en una localidad del punto crítico (0,0) las curvas de nivel son hipérbolas cuyas separatrices son dos curvas que se intersectan en el punto (0,0), que es no degenerado. b . En el punto crítico (1,1), se tiene la matriz Hessiana 12
-4
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9.4 Puntos críticos no degenerados
339
Para calcular los valores propios resolvemos la ecuación cuadrática 0 =
12-A -4
-4 12-A
= (12 - A) 2 - 16 = A2 - 24A + 128
esto es, Ai = 16, A2 = 8.
Lo anterior implica que /(1,1) = —2 es un mínimo local pues la matriz diagonalizada es, en este caso, 16 0 0 8 En virtud de que /(1,1) = —2 es un mínimo local, se tiene que las curvas de nivel de valores c próximos de —2 (de hecho mayores) son curvas cerradas que encierran al punto crítico no degenerado (1,1) c. Análogamente al inciso anterior, en virtud de que en el punto crítico ( — 1,1) la matriz Hessiana es, 12 -4
-4 12
la función tiene un mínimo local en / ( — I, —1) = —2. Una inspeccción simple de la gráfica de la función mediante los puntos críticos y sus valores críticos nos asegura la forma de las curvas de nivel de la función, las cuales vienen dadas por la familia de ecuaciones x4 -f y4 — Axy = c
siendo c 6 R un valor que está condicionado a ser > — 2 que es el valor mínimo de la función. Cuando c = — 2 las curvas de nivel se reducen a la pareja de puntos críticos Si — 2 < c < 0 entonces la ecuación x4-{-y4 — Axy = c describe una pareja de curvas disconexas que son cerradas y encierran a los puntos críticos p\ y P2Si c = 0, la ecuación x4 + y4 — Axy = 0 describe una curva que es la unión de otras dos que se intersectan en el punto (0,0) y conforman una figura en forma de "ocho". Cuando c > 0 la curva de nivel asociada se vuelve un circuito que encierra a la figura de "ocho"
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340
Valores e x t r e m o s de funciones
Ya anteriormente Imbuimos mostrado este ejemplo, y ahora con el uso de la Teoría diforonciable se ha, podido hacer un análisis más preciso, pero que aún no está totalmente completado. La figura. 9.8 ilustra cualitativamente el mapa topográfico do las curvas de nivel de la gráfica de la función. \>
mínimo local
mínimo local
Figura 9.8: Mapa topográfico de /(.r, y) = aA + y4 —
De hecho, aún para funciones polinomiales de dos variables, el análisis de una curva de nivel es complicado y requiere de metodología matemática moderna provista por áreas como la Geometría Algebraica. Hablando con la verdad, estas herramientas están muy fuera de nuestro alcance y apelamos a las construcciones de las gráficas de funciones de dos variables mediante las computadoras. Este análisis, aunque es cuantitativo y poco analítico, es de gran ayuda en los problemas prácticos. Estos ejemplos muestran cuan complejos pueden ser las curvas de nivel asociadas a una función de dos variables. Es claro que el problema se complica para dimensiones mayores. Así que en los subsecuentes ejemplos analizaremos apenas la forma de los puntos críticos, teniendo en cuenta la forma local de la gráfica en una vecindad de cada uno de ellos, cuando estos son no degenerados. EJEMPLO. Analizar los puntos críticos de la función f(x,y) =x2 + x2y + y2 + 4 < Como es sabido, los puntos críticos se calculan al resolver la ecuación
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9.4 Puntos críticos no degenerados
341
es decir, al resolver el sistema de ecuaciones { jf. = 2.r 4- 2.ry = 0
lo que equivale a que 2(x + xy) = 0 / :r(l-yy)=O 2?y + :r2 - 0 ^ ^ < . ^
í "r = " <=> <
°. " \
de donde í
:/; = 0
1 y = -1
y y
y = —£ ?y = ^
í
r = 0,
^"^ I y = - 1 ,
vy --= 0 -^ = ¿v/2
lo que implica (jue los jMintos críticos buscados son
Calculamos sus valores críticos correspondientes,
La matriz Hessiana de / en cualquier punto crítico p es 2 + 2yy 2:r 2./: 2 y pasamos ahora a analizar cada punto crítico obtenido. a. En el punto crítico p\ = (0,0), tenemos la matriz Hessiana 2x \ 2
7((,o)
(2
0
V« 2
que de hecho ya es una matriz diagonal. No obstante, para afirmar que su diagonalización es la misma, procedemos a realizar tal diagonalización. Para calcular los valores propios de la matriz Hj\{)()) solver la ecuación
se tiene que re-
n0-
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Valores extremos de funciones
342
lo que implica que Ai = 2 = A2 > O, y por lo tanto, /(0,0) = 4 es un valor mínimo local. b. Para el punto crítico p 2 = ( —\/2, —1). la matriz Hessiana es, en este caso, 2(-v / 2)
o
-2V2
-2>/2
2
Calculamos los valores propios, Q =
0-A -2>/2
-2^ 2-A
A
-2\[2
-2\/2
2-A
= A2 - 2A - 8
de donde, Ai = 4 A2 = —2. Esto es, la diagonal asociada es 4 0
0 -2
lo que nos dice que f(->y/2, — 1) = 5 corresponde a un valor crítico silla. c. El punto crítico p¿ = (\/2, —1) tiene como matriz Hessiana a
Para calcular sus valores propios, es preciso resolver la ecuación 0 =
0- A 2\/ 2
2\/2 2-A
A
2\/2
2\/2 2-A
= A2 - 2A - ,
y obtenemos nuevamente, Ai = 4, A2 = —2. Por lo tanto, / ( \ / 2 , — 1) = 5 corresponde también a un valor silla. Observamos que todos los puntos críticos de esta función son no degenerados, ya que todos los valores propios obtenidos no se anulan. \> EJEMPLO. Dada la función f(x, y) = xy(l - x - y) = xy - x2y - xy2 analizar sus puntos críticos mediante el método mostrado. < El gradiente de la función es V / P = {y- 2xy -y2,
x - x2 -
2xy)p
y se anula, si y sólo si, se satisface el sistema y - 2xy - y2 = 0 x — x2 — 2xy — 0
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9.4 Puntos críticos no degenerados
343
o equivalentemente, y(l-2x -y) = 0 x(l-x-2y) =0 esto es, y=0 ó
1 - 2x - y = 0 y x = 0 ó 1 - x - 2y = 0 lo que implica que, ?y = 0
y = 0
y
= 0 y 1 - 2x - y = 0 ?/ = 0 y 1 — :/; — 2 ;/y = 0 1 - 2x - ? / = () y 1 - :r - 2;/y = 0 J?
de donde se obtienen los puntos críticos, Pi - (0,0),
P2 = (0,1),
p-¿ =
con los valores críticos correspondientes 3,1/3) = 1/27 Procedemos a analizar los puntos críticos sabiendo que la matriz Hessiana en cada uno de ellos viene dada por - 2x - 2y 2x a. Para el punto crítico p\ = (0,0), la matriz Hessiana está dada por. H f{OÁ)) —
Q
y sus valores propios se calculan resolviendo la ecuación 0 =
-A 1
1 -A
de donde A = ± 1 . Esto dice que /(0,0) = 0 corresponde a un valor silla. b. En el punto p9 = (0,1), la matriz Hessiana correspondiente es, -2 -1
-1 0
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344
Valores extremos de funciones
y sus valores propios se calculan al resolver la ecuación, 0=
-2-A -1
-1 -A
Encontramos los valores propios Ai,A2 donde, Ai =
2
> 0,7
-2-V8
A2 =
*
2
<0
y por lo tanto /(0,1) = 0 es un valor crítico silla. c. El punto crítico p¿ = (1,0) tiene asociada la matriz Hessiana 0
-1
y sus valores propios se calculan mediante la ecuación 0 =
-1 -A -1 - 2 - A
2A -
que tiene soluciones A,
>0
,
x
,
<
B
lo qua hace también de /(l,0) = 0 un valor crítico silla. d. Finalmente, el punto crítico p¿ = (1/3,1/3) tiene la matriz Hessiana _ ( -2/3 -1/3 ( _ 1/3 - 2 / 3
#7(1/3,1/3) -
y los valores propios se calculan al resolver la ecuación -2/3-A-1/3 -1/3 cuyas soluciones son \x = - 1 / 3 ,
A2 = - 1
que hace de / (^, | ) = 1/27 un valor crítico mínimo. Nuevamente, en este ejemplo nos hemos encontrado con puros puntos críticos no degenerados, pues todos los valores propios calculados son distintos de cero. O
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9.4 Puntos críticos no degenerados
345
EJEMPLO. Analizar los puntos críticos de la función / ( x , y) = yyfx - y2 - x -f 6y <3 Calculamos sus puntos críticos resolviendo el sistema,
que equivale a (si x ^ 0),
= 2y - 6 Al igualar las ecuaciones obtenemos ^ = 2y — 6, y resolviendo nos da y = 4. Por lo tanto, obtenemos para x,
lo que nos dice que x — 4. De esta forma el único punto crítico de la función es p — (4,4), y su valor crítico es /(4,4) = 12. La matriz Hessiana viene dada por,
HfP=\ *± y de esta manera, la matriz Hessiana en el único punto crítico es 64 1
4
4 e
~'
cuyos valores propios se calculan mediante la solución de la ecuación 0 =
"
64
4
\
-2-A
107
Q
que al resolver nos da los valores de A, X
_ -127 +V17665 ~ 128
>
'
- 1 2 7 - V17665 <0 128
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Valores e x t r e m o s de funciones R2 —> R
346
lo que hace de /(4, 4) = 12 un valor silla. Además, se tiene que el punto crítico es no degenerado. t> Hacemos hincapié de que el análisis de la granea de una función suave alrededor de un punto crítico no degenerado es simple y está totalmente descrito por la zoología de las formas cuadráticas básicas y el Lema de Sylvester. No obstante, cuando la matriz Hessiana en el punto crítico tiene un valor propio A = 0, el análisis se complica y su estudio sale de nuestras posibilidades. La Teoría de singularidades y Catástrofes establecida por R. T h o m , provee de la herramienta moderna necesaria para analizar el caso mencionado. A los puntos críticos tales que su matriz Hessiana tiene un valor propio nulo, se les llama puntos críticos degenerados. Cabe mencionar que la Teoría expuesta aquí se extiende a varias variables como lo muestra el siguiente ejemplo. EJEMPLO. Analizar los puntos críticos de la función f(x, y, z) = x2 + xy + y2 + yz + z2 <\ Claramente el dominio de la función / es toda la región espacial Por otro lado, el gradiente de / está dado por
de donde Vfp — (0,0,0), si y sólo sí, se cumple 2x + y = 0 x + 2y + z = 0 y + 2z - 0 El determinante de tal sistema lineal es 2 1 0
1 2 1
0 1 2
= 4^0
lo que nos dice que tal sistema sólo tiene la solución trivial p — (0,0,0), que es entonces el único punto crítico. La matriz Hessiana es, para este caso, la matriz simétrica de 3 x 3 f)-r¿
B = dx'óz
OyOz
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9.5 Multiplicadores de Lagrange
347
Procedamos a calcular los valores propios de la matriz resolviendo la ecuación cúbica 0 = det
2-A 1 0
-A
= (2 - A)
2-A 1
1 0 2-A 1 1 2-A
1 2-A - (2-A)(A 2 - 4 A + 2)
Las raíces de tal ecuación cúbica son los números positivos Ai = 2 , A2 = 2 - \ / 2 ,
A 3 - 2 + \/2
como se puede comprobar fácilmente. De esta manera, la matriz diagonalizada obtenida es / 2 A =
0
\ 0
0
0
2 - y/2
0
0
2 + V2
con la diagonal en números positivos. Esto haría que el valor crítico /(O, 0,0) = 0 sea un valor mínimo local y que el punto crítico p — (0, 0, 0) sea no degenerado, o
9.5
Multiplicadores de Lagrange
Damos inicio ahora al estudio de los valores extremos de una función que están sujetos a un dominio restringido dentro de su dominio natural. Para ello iniciaremos la discusión pensando que el dominio restringido mencionado tiene una característica adecuada en su forma: es un subconjunto del espacio, que es cerrado, y que está acotado (limitado) en el sentido que la norma de cada uno de sus puntos está superada por un número fijo apropiado. DEFINICIÓN. Un conjunto K C Rn que es cerrado y acotado se llamará compacto. Hacemos una extensión del Teorema de Weierstrass (Reyes (1996)) para el caso de una función en varias variables, con un dominio compacto. TEOREMA 9.1 (Weierstrass) Toda función f : K -> R continua (con K compacto) alcanza sus valores máximo y su mínimo dentro de K.
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Casa abierta al tiempo
348
Valores extremos de funciones R2
Jrnin
Figura 9.9: El Teorema de Weierstrass. < Consideremos el caso en que la función / no sólo es continua, sino además es suave de clase Cr (r > 1). Si los puntos pi,P2> • * * ,Pk son críticos para la función / en el interior de K, calculamos sus valores críticos
Después, se buscan los extremos de / en los puntos frontera, y en tales puntos obtenemos los valores
en la
De entre el conjunto de todos los valores obtenidos
se escogen el máximo y el mínimo (véase la figura 9.9). > Por el Teorema de Weierstrass, para calcular los valores extremos de una función real de argumento vectorial deñnida en un conjunto compacto K, es necesario buscar en su interior los puntos críticos y evaluarlos, además de buscar en la frontera a aquellos puntos que pudieran dar valores extremos (véase la figura 9.9). Procedamos a dar un método para localizar a tales puntos distinguidos en la frontera de K, suponiendo que tal frontera está definida como una superficie de nivel. A este método se le conoce como el de multiplicadores de Lagrange. Sea 5 una superficie definida por una ecuación g(x,y,z) = 0
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9.5 Multiplicadores de Lagrange
349
donde g es una función suave en una región Í2 que contiene a S y tal que tf,*)#
(0,0,0)
Dada / : Í2 —> R donde U es la región conteniendo a 5 , se dice que / tiene un extremo restringido a S en el punto p G 5 , sí en una vecindad de p G 5 se cumple que en una vecindad de p € 5 se cumple que f(p)>f{x,y,z) en cuyo caso se dirá que f(p) es un máximo local de / en S. Pero si en tal vecindad ocurre que f(p)
<\ Sea 7 : J —> S una curva diferenciable pasando por 7(0) = p y tomemos la composición / o 7 : J -> R dada por ( / o Entonces, por la regla de la cadena, la composición es diferenciable y
Al evaluar en el tiempo t = 0, se obtiene que d -(/o7)(0)=
Ya que f(p) es extremo en S (es decir, un máximo o mínimo local sobre S) se tiene 0=^(/°7)(0)=
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Valores extremos de funciones E 2
350
debido a que para una función real de variable real, cuando alcanza un extremo (local o global) se tiene un punto crítico en t = 0. Como 7(0) es un vector tangente en p y la curva 7 es arbitraria, entonces esto nos dice que el vector V / p es ortogonal al plano tangente TPS. Ya que también \/gpl.TpS1 paralelo a \7gp.
tendremos entonces que el vector V / p es
Por lo tanto , existe un número real A diferente de cero tal que V / p = AVgp (véase la figura 9.10). D>
R •o
Figura 9.10: Multiplicador de Lagrange. EJEMPLO. Hallar el máximo y el mínimo de la función
f(x,y) = x + y sujetos a la restricción x2 + y2 = 1. En otras palabras, encontrar los valores máximo y mínimo de / sobre el círculo unitario S. <\ Por el Teorema de Lagrange, es necesario resolver la ecuación
con g(x, y) — x2 -f y2 — 1 definiendo a S como el conjunto de nivel
Al calcular los gradientes se tiene V/ ( l i V ) = (1,1),
y
Vg{x,y) = (2x,2y)
y entonces, buscamos los valores de x, y y A tal que satisfagan la ecuación (1,1) =
\(2x,2y)
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9.5 Multiplicadores de Lagrange
351
sabiendo además que x2 -\- y2 — 1 — 0. Al resolver el sistema
usando que A / 0, se tiene que
2Xx 2Xy
II:
i
1
=
1=
x2 + i
X
y
1
Por lo tanto, 2
V2A,) ' • ( de donde
2
:¿)
= 1
= i
es decir, A =
= i
V2 2
De esta forma, obtenemos las soluciones de x, y en el círculo dadas por,
1
,V2
^V2
que implica que hay 4 puntos candidatos sobre el círculo x2 -\-y2 = 1, y que estos sean,
I\^ 2 '
2 y) '
I2' ^
2 yj '
I 2 ' 2 y) ' ^
\ 2 ' 2
J
Si evaluamos cada uno de ellos se tiene que,
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Valores extremos de funciones R2
352
P,n
-y/2 -V2 2 ' 2
Figura 9.11: Extremos de x + y en el círculo unitario. Por lo tanto, los valores máximo y minimo de / sobre el círculo unitario son fmax = \/2,
alcanzado con el punto
frnin — — V¿,
alcanzado con el punto
\/2
-x/2
,
pin = 2
'
2
/
La figura 9.11 ilustra este ejemplo, o E J E M P L O . Sea la función en dos variables,
f{x,y) = x + y2 Calcular sus máximos y minimos sujetos a la restricción 2x2 + y2 — 1. <] El gradiente de la función / se calcula,
y definimos la función auxiliar g(x, y) = 2x2 + y2 — 1 para la restricción. Entonces, la curva plana 2x2 + y2 — 1 que es una elipse, se puede escribir como la imagen inversa de 0 bajo g, es decir g'1^) y además, sobre cada punto (x, y) de tal curva,
Ahora buscamos A 7^ 0 tal que V / p = AVgp para algunos puntos (x, y) sobre la curva, esto es, tal que
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9.5 Multiplicadores de Lagrange
353
o equivalentemente, 1 = 4Ax
2y = 2\y sujetas a la condición de restricción 2x2 -f y2 — 1. De la segunda ecuación, si y / 0 entonces A = 1, y de la primer ecuación se tendría necesariamente que 1 = 4x, lo que implicaría que x — \ Al usar la condición con x — 1/4, obtenemos,
que al resolver para y nos da, , Por esto, los puntos candidatos obtenidos mediante este análisis son,
Consideremos ahora el caso cuando y — 0. Entonces, de la primer ecuación (A ^ 0 ) se tiene que 1 Como que al sustituir en la ecuación de condición nos da (con y = 0), 2
2
í-V-i
Tal ecuación nos provee de la solución para A,
y por lo tanto,
x = —:
= - = ±—- =
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Valores extremos de funciones R 2
354
De aquí, que los puntos candidatos sean en este caso,
Usando ahora el Teorema de Weierstrass, evaluamos todos los puntos obtenidos en ambos casos,
1 7_ 9 4+ 8 ~ 8
y concluimos (pie, sobre la elipse 2x2 + y2 — 1, la función / tiene los extremos
/•
-2
J rrnix
^i
f Jiiitn
-^ ^
, 1^
Damos ahora un ejemplo en tres variables donde se conjugan el Teorema de Weirestrass y el método de los multiplicadores de Lagrange. EJEMPLO. Sea la función /(¿r, y, z) = x2 -f xy 4- y2 + yz + z2 Hallar sus valores máximo y mínimo dentro de la bola de radio 1 con centro en el origen de coordenadas. < Ya que la bola de radio 1 con centro en el origen es un cerrado y acotado, (compacto) utilizamos el Teorema de Weirestrass. Este nos indica que hay que buscar los extremos en el interior x2 4- y2 + z < 1 a través de los puntos críticos , y en la frontera x2 + y2 + z2 = 1 mediante el método de multiplicadores de Lagrange. 2
1. Los puntos críticos de la función f(x, y, z) = x2 + xy + y2 + yz + z2
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9.5 Multiplicadores de Lagrange
355
se han localizado ya en un ejemplo previo (de hecho en todo R 3 ), obteniendo apenas el punto crítico no degenerado q = (0, 0,0) con valor crítico /(0,0,0) = 0. Esto termina la búsqueda en el interior de la bola. 2. Procedamos entonces a buscar los extremos en la frontera x2 -j- y2 + z2 = 1, es decir, los extremos de / sujetos a esta última restricción. La frontera de la bola, que es una esfera de radio 1, está definida por la ecuación x2 + y2 + z2 = 1 Al calcular el vector gradiente de / se tiene entonces, V / p = (2x +
Í/,
x + 2y + z, y + 2z)
Ahora sea la función auxiliar g(x,y, z) = x2 + y2 + z2 — 1, entonces la esfera está definida como el conjunto g~l{0), y en cada punto,
Buscamos entonces un escalar A tal que V / p = AVgp, es decir tal que (2x + y, x + 2y + z, y + 2¿) = A(2x, 2y, 2z) o equivalentemente que satisfaga las ecuaciones del sistema, 2x + y = 2Xx \ + 2y + z = 2\y y + 2z = 2\z En otras palabras, buscamos una condición para A tal que el sistema 2 ( 1 - \)x + y = 0 + 2(l - \)y + z = 0 2/ + 2 ( l - A ) * = O tenga soluciones no triviales. Pero, el determinante de este sistema homogéneo se anula cuando D =
2(1-A) 1 0
1 2(1-A) 1
0 1 2(1-A)
lo que nos dice que hay soluciones no triviales para el sistema sólo para valores del multiplicador A dados por A = 1,
A2i3 = 1 ±
^
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Valores extremos de funciones
356
Buscamos, consecuentemente:, las soluciones no triviales considerando el sistema lineal dado por la pareja,
í
2{l-\)x 2(]
+ y =0 -X)y + z = 0
y para, valores que este sistema tenga soluciones no triviales se necesita que 2(1-A) 1
1 2(1-A)
Pero tal determinante se anula, sí y sólo sí. 1(1 - A)2 - 1 = 0 es decir. A = ^, 2/3. Por lo tanto si A ^ ^, ^ entonces 2(1-A) 1
D=
1 2(1-A)
y el sistema lineal inicial tiene soluciones no triviales, que a continución conseguimos. Si hacemos z = t, entonces para el sistema con parámetro t, í 2(1-X)r + y = O \ x+ 2(1-\)y=-t se tienen los determinantes 0
1
-t
2(1-A)
2(1-A)
= t.
1
O i
= - 2 / ( 1 - A)
y }>or lo tanto la solución en general es la recta,
y~ ^
J.
que depende de los valores encontrados de A. Ya que tenemos las soluciones del sistema, utilizamos las condiciones de los multiplicadores obtenidos A = 1,A2,A3. a. Multiplicador A = 1.
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9.5 Multiplicadores de Lagrange
357
Se obtiene en este caso la ecuación de la recta •x =
- t
y además x¿ + y1 + z¿ = 1, de donde4 i2 + i2 — 1, lo (pie implica, (pie.
2
* 2
Por lo tanto sustituyendo el valor de / en la ecuación de la recta se tienen los puntos,
b . Multiplicador A = 1 - ^f. Se obtiene en este caso la ecuación de la recta dada por. x=t — — v 2t z —t
condicionada a x2 + y2 + ¿r = 1, de donde. 2
2
2 _
2
_
[
lo que implica (pie ¿ = ±^. De esta manera, se tienen entonc(ís los puntos
c. Multiplicador A = 1 -f ^r Se tiene, en este caso, el sistema solución x=i y = \/27 z = t
y además x2 + y2 -f z2 — 1, de donde ¿2 -f 2/:2 -f f — 1, lo (pie implica que
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Valores extremos de funciones R2 —• E
358
Los puntos obtenidos son, en este caso, Vb
_ íl
y/2 l \
_ í
~ \ 2 ' ~2~' 2J '
P6
1 -y/2
l\
~ y~2' 2 ' ~ 2 y
Se han obtenido mediante todo el proceso los puntos candidatos del Teorema de Weierstrass,
\^^T)
[2, Y'2) '
' [Y^^)
(A ñ. A\
(i }H i\ (_l _ñ
A\
y 2' 2 ' 2 ) ' ^2' 2 ' 2 J ' y 2' 2 * 2 J Al evaluar tales puntos obtenemos sus valores correspondientes
_ \/2 l \
2 '2J
2'
1 \/2
l
De esta manera, sobre la frontera (esfera) se tienen los valores máximo y mínimo dados por t
-1
^
f
-1 +
^
Consecuentemente, ya que el interior se tenía que /(0,0,0) = 0, entonces los valores máximo y mínimo de / en toda la bola cerrada son, fmin=0
\/2 y /max = l + -y--
>
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9.5 Multiplicadores de Lagrange
359
Ejercicios 1. Calcular los valores extremos locales de aula función dada, utilizando para ello el Lema de Sylvester. Clasificarlos como máximos, mínimos o sillas. a. f{x,y)
= xy'2(l - x - y)
b. f(x, y) = x2 + 4y2 - 4:r
c. /(x,2/) = (x 2 +y 2 )(l-eí- J - 2 + « 2 )) d. f{x,y) = e*smy e. f{x, y) = x¿ 4- y:i - ITyxy 2. a. Dar los valores extremos de la función de dos variables /(.r. y) = x2 4 y2 — xy — Ay en la región limitada por las rectas x = 0, ;¿y = 0, ./• 4- y — 1 — 0 b. Dar los valores máximo y mínimo de la función /(;/:, y) — x2 f Wy1 +x — y en el triángulo limitado por las rectas x — 1, y = 1, r + y = 1 3. Dar los valores extremos de la función dada, con la restricción que se indica. a. f(x, ?y, z) = 2x2 + 2Í/ 2 xy
b. / ( x , í/, 2) = ze ,
2
Z2,
X-
y+ - =0
2
x +y =z
4. a. Calcular los valores máximo y mínimo de la función f(x, y) — x 4- y2 en el círculo unitario. b. Calcular el valor máximo y el valor mínimo de la función f(x.y) x 4- y 4- z sobre la esfera x2 -\- y2 + z2 = 1.
=
5. a. Calcular los valores extremos de la función f{x,y, z) — x 4- 2y — 2z en la bola unitaria x2 -\- y2 -{- z2 < 1. b. Calcular el valor máximo y el valor mínimo de la función f(x.z) x — y — z dentro de la bola x2 4- y2 4- z2 < 1.
=
6. Sea un círculo de radio R. Dar las dimensiones del triángulo eme se puede inscribir dentro del círculo, y que tenga área máxima. 7. Hallar las dimensiones de un paralelepípedo de volumen máximo que tenga fija una área dada A. 8. De entre los rectángulos con área dada A, hallar las dimensiones de aquél que tiene perimetro con valor mínimo. 9.
Dar la distancia más corta de la elipse j
4 y2 = 1 hasta la recta
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Capítulo 10
Funciones implícitas Sea íl C R" una región con frontera y sea / : S! —> f(Q) un difeomorfismo global , esto es, una función diferenciable, invertible con una inversa diferenciable g : f(Q) —» Í2. El siguiente resultado cuya prueba se omite (pues requiere de las herramientas de la teoría de la Topología Algebraica) nos indica que los puntos interiores de Q bajo la aplicación de / son llevados al interior de / ( í l ) , y los puntos de la frontera de íl son llevados en la frontera de f(íl). (Véase la figura 10.1). TEOREMA 10.1 (de la invarianza del dominio) Sean fi C Rn una región con frontera d£l y sea f : íl -+ f(íl) C R n un difeomorfismo global. Entonces f(Q) es una región con frontera en R n . Los puntos interiores de ü son llevados bajo f en puntos interiores de f(tt) y los puntos frontera en dil son llevados bajo f en la frontera df(Q). EJEMPLO. Sea la función R 2 -> R2 dada por /(#, y) = (ax, by) = (i¿, v),
con a, b > 0.
De las ecuaciones, u = ax v = by
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Funciones implícitas
362
se obtienen las coordenadas inversas, x= a
que dan una función inversa '.
I" dada por,
Claramente la función / : íl —• f(íl) es difeomorfismo que lleva el interior del disco Q en el interior del elipsoidal / ( í í ) , llevando la frontera del disco x2 -f y2 — 1 en la elipse ^r + p- = 1, cumpliéndose el Teorema de la invarianza del dominio, (véase la figura 10.1).
f(dü)
Figura 10.1: Teorema de invarianza del dominio. EJEMPLO. Consideremos la transformación E 2 —> R2 dada por f(r,ip) = (rcos<¿?, rsen<¿?) donde un punto p = (r, tp) toma unidades en números positivos para la primer coordenada y en radianes para la segunda. < Sea Vi la región con frontera en el plano E 2 dada por el cuadrado íí = {(r, tp)\ 0 < r < 1,
0 < if < TT/4}
entonces, de la definición d de la función / es claro que en coordenadas x, y del codominio, las relaciones se escriben x = r eos <¿?,
y = r sen
que es el cambio de coordenadas cartesiano por coordenadas polares. Una simple inspección nos muestra que la región f(íl) es la cuarta parte del círculo unitario en el primer cuadrante, con la frontera incluida. Aquí nuevamente los puntos interiores del cuadrado í} son llevados en los interiores de f(VL) bajo la función / , y la frontera de ü en la frontera de
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363 , cumpliéndose totalmente el Teorema de invarianza de dominio. Ahora damos paso a la demostración de un resultado que es equivalente al Teorema de la función inversa, y que en virtud de que ya se conoce éste, se presenta como una de sus consecuencias: El Teorema de la función implícita. Iniciamos la discusión con un ejemplo. EJEMPLO. Sea la función en dos variables f(x,y)=x2
+ y2
< Si c G M+ U {0} es un valor arbitrario, se tiene que la curva de nivel f~ (c) está dada por la ecuación x2 -\-y2 — c. Sea (x, y) £ / - 1 ( c ) , entonces al despejar la variable y se tiene que y — ±\/c — x2. l
Si y es una coordenada positiva, entonces necesariamente y = y/c — x2. De esta manera la variable y se puede escribir localmente como una función y = h(x) en los puntos (x,y) G f~l(c), es decir para tales puntos,
la función y — h(x) se llama una función implícita para la función / . Observamos que la derivada implícita y' se calcula mediante la derivación de la igualdad x2 -\- y2 — c, es decir, 2x + 2yy' = 0 o equivalentemente, , V
—2x _ x _ -x
_
-x
~~2y~ ~ y ~ h(x) ~~ 7 ^ ~ P
la cual tiene sentido para —y/c < x < y/c. Por ejemplo si x — 0, entonces y = y/c de donde en el punto (0, y/c) se tendría una pendiente ^'(O) = 0. O Enunciamos y demostramos el Teorema de la función implicita para dos variables. La generalización se muestra apenas en los ejemplos subsecuentes. TEOREMA 10.2 (de la Función Implícita). Sea f : íí C R 2 -> R una función de clase Cr y sea p = (a,b) £ íl tal que f(a,b) = c y tal que jff-(a,b) / 0. Entonces existe una función y = h(x) de clase Cr definida en una vecindad del punto x — a enR, tal que h(a) = b y todos los puntos
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364
Funciones implícitas
de la gráfica de h están contenidos en el conjunto de nivel f~1(c)J es decir, sí el punto (x,y) = (x, h(x)) está en la gráfica de h en el plano, entonces, c=
f{x,y)=f(x,h(x))
<1 Sea la función definida por 0(x, y) — (x, f(x,y)). 1
0
fx
fy
Se tiene
donde fd. es la derivada parcial de / en la variable x, y fy la derivada parcial de / respecto a la variable y. De esto, el Jacobiano es
y por el Teorema de la función inversa, existen, una vecindad de /; en íl y una vecindad de q = f(p) donde está definida para la función dada 0, una función inversa local ip de clase Cr. Sean las coordenadas (x, z) en el codominio de ó y póngase i¡){x,z)
=
Si además se denotan z — f{x,y)
(x,g(x,z))
y y — g(x,z),
entonces
(x, y) = ip o 0(x, y) = v((p{x, y)) = ^ ( x , / ( x , y)) (x, z) = Ó o i/;(x, z) = ó{i>{x, z)) = (P(x, g(x, z))
Definamos entonces para c = /(a, 6), la función suave de clase C'\ en la variable x en una vecindad de x = a, dada por h(x) = g(x,c) se tiene entonces 0(x, h(x)) = O(x, g{x, c)) = 4>(w(x. c)) = (x. c) y por otro lado, para x en la vecindad de x = a, 0(x,/i(x)) = (x./(x./i(x))) de donde necesariamente f(x,h(x))
— c.
Ya que c — /(a, b) y /(a, /i(a)) = c, se tiene que h(a) = b lo que termina la prueba del Teorema (véase el la figura 10.2). D>
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365
x,h(x))
bll
f
-C
Figura 10.2: Teorema de la función implícita. Observemos que para este caso, sí sobre la curva de nivel f(x, y) = c la variable y se puede escribir implícitamente por la función y — h(x) en la vecindad del punto (x = a,y = 6), entonces al derivar parcialmente la ecuación de la curva de nivel / ( # , y) = c respecto a la variable x se obtiene la derivada implícita ordinaria y' = hf(x) respecto a x. < Si f(x,y)
= c, entonces, por la regla de la cadena,
dx dx
dy dx
o equivalentemente, sabiendo que y = h(x)
que se puede escribir fx + fyyf De esta manera,
= 0.
V
, = -/* fy
sabiendo que fy = -gf- ^ 0. D> E J E M P L O . Sea la función en dos variables dada por, f(x,y) = xcosxy < Al calcular la derivada parcial respecto a la variable y se tiene fy(x,y) = -x2senxy
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366
Funciones implícitas
y particularmente en el punto p = (1,TT/2), obtenemos 7,(1,77/2) = 1 / 0 De aquí, por el Teorema de la función implícita, existe una función y — h(x) en la cercanía de x = 1, tal que h(l) = TT/2 y tal que la derivada de tal función en x = 1 se calcula , -fx cosxy - xysenxy y (i) - - f - l ( W 2 ) l
TT =
Procedamos a calcular en este caso la función implícita resolviendo el caso general para las curvas de nivel. Si c E IR, entonces, f(x,y) — xcosxy — c implica que, para x ^ 0, se tiene c eos xy = — x o equivalentemente, al despejar la variable y obtenemos y — — arceoss I — \X / x \x J
Así, en x = 1, y — TT/2 se cumple c = /(1,TT/2) = 0, de donde, la constante c = 0 y la función particular buscada es y = h(x) = - arceos (0) = x x cuya derivada es, y' = h'{x) =
^
De esta manera, y = h(l) = TT/2 y y' = ti(l) = —TT/2 lo que comprueba nuestros cálculos obtenidos. D> El Teorema de la función implícita para el caso de funciones de tres variables se establece de la siguiente manera, y omitimos su prueba que procede de igual forma que para el caso de dos variables. TEOREMA 10.3 (Función implícita). Sea f : íí C E 3 -> IR una función de clase Cr y sea p — (a, 6, c) un punto arbitrario de Q tal que f(a,b,c) = d y -gL(a,b,c) y¿: 0. Entonces en una vecindad del punto (a, b) en el plano, existe una función z — h(x, y) de clase Cr tal que la gráfica
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367
está contenida en la stiperficie de nivel / ( # , y, z) = d, esto es, para puntos (.r, y) cercanos del punto (a, b) se tiene que f{(x,y),
h(x,y)) = d
y
h(a,b) = c.
Más aún se cumplen las igualdades para las parciales,
El siguiente ejemplo muestra que en general no se puede calcular explícitamente la función /i, sino que apenas se demuestra su existencia. E J E M P L O . Sea la función f(x, y,z) = zs - z - xy sen z Mostrar que en una vecindad del punto (0, 0, 0) la variable z se puede poner en función de las otras dos variables sobre la superficie de nivel /(a;,2/,*)=/(0,0,0)=0 <\ Calculamos la derivada parcial de / respecto a z en el punto (0, 0, 0), obteniendo ^-(0,0,0) =3z2-l-
*2/eos *|(o,o,o) = - 1 ^ 0
y por el Teorema de la función implícita 10.3, existe en una vecindad del punto (0,0) en el plano, y una función z = h(x,y) de clase Cr tal que, /i(0,0) = 0 y
/(x,2/,/ í (x,t / ))
Por otro lado, las derivadas parciales de h en el punto (0, 0) se calculan ^(0,0) = ^ ( 0 , 0 . 0 ) = q 9 ~ySen* (0,0,0) = 0 dx fz 3z2 - 1 - xy eos z
í£(0,0) = ^ ( 0 , 0 , 0 ) = —r^^
(0,0,0) = 0
ay fz 3z2 - 1 - xy eos z Al tratar de proceder a buscar la función z = h(x,y) a partir de la superficie de nivel z¿ - z - xy sen z — 0, podemos observar que no es simple despejar a z en términos de las otras variables (x,y), lo que nos dice que, en general, la función h mencionada en el Teorema 10.3 no es fácil de encontrar. D>
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368
Funciones implícitas
Ejercicios. 1. Mostrar que /(x, y) — c define una función implícita y — h(x) alrededor del punto dado p — (a, b). Calcular y' = h'(a). a. b. c. d.
f(x,y)=ycosxy en p = (TT/2, 1) f{x,y) = xey -y+ 4 en p = ( - 2 , l ) / ( x , y ) = xy + y4 + x 4 en p = ( l , - l ) /0r,2/) = a;2 + 2a;2/ + 2/2 en p = (1,1)
2. Mostrar que la función f(x,y,z) — c define una función implícita z = h(x,y) en una vecindad del punto dado p = (a,b,c). Calcular ~^(a, 6) y a. / ( T , y, 2) = 2 — 2 3 -f xy sen 2 en p = (0, 0, TT/2) b. / ( x , y, 2) = x 2 + y2 -f z 2 + 2xyz en p = (1,1,1) c. f(x, y, z) = x -y + 2z - exyz en p = (0,1,1)
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índice Algebra Lineal, 3, 331 ángulo, 3 Antón, 110 bola, 149 campo (s) conservativo, 257 de rotación, 260 escalar, 155, 176 gradiente, 249 vectorial, 205, 208, 249 vectorial gradiente, 261 cilindro circular recto, 282 exponencial, 283 sinusoidal, 283 círculo, 306 unitario, 130 combinación lineal, 216 compacto, 347 conexo, 154 conjunto abierto, 149 cono circular, 286 elíptico, 286 coordenadas polares, 315, 362 pseudoesféricas, 274 curva (s), 3 ángulo entre, 305, 308, 309 de nivel, 335 diferenciable, 133
integral, 251 longitud de, 306 longitud de arco de, 305 orientación de, 301 parametrización do, 113 poligonal, 301 poligonal orientada, 303 regular, 134, 135, 115 regular parametrizada, 112 reparametrización de, 301 suave por pedazos, 303 cúspide, 140 derivada, 221 cociente parcial, 165 conmutatividad de las segundas parciales mixtas. 182 direcional, 176 parcial, 165 parcial de orden superior. 179 parciales mixtas. 181, 182. 185 segundas derivadas parciales. 180 desigualdad del triángulo, 77 desplazamiento infinitesimal. 265 determinante (s), 10. 20 cofactor de un, 23 elementos del, 22 menor de un, 22 ordenes, 30 paridad de, 22 Teorema del desarrollo de, 24 difeomorfismo
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global, 361 diferencial, 221 total, 195 total de segundo orden, 196 dimensión, 65 disconexo, 154 distancia, 3, 76, 79, 121 divergencia, 260 ecuación de Laplace, 271 del calor, 269 del plano, 112 diferencial de Laplace, 203 paramétrica, 110 elipsoide, 287, 289 circular, 288 error, 186, 187 escalar, 13, 18, 67 esfera, 278 espacio Euclidiano, 72 tangente, 321 vectorial real, 70 estacionaria, 271 estructura algebraica, 67 flujo, 253 formas cuadráticas, 327, 328, 331 frontera, 153 función clase de una, 181 continua, 317 continua en el punto, 317 coordenada, 206 diferenciare, 132, 133, 169, 221, 222 implícita, 363 inversa, 228, 230 inversa local, 233 potencial, 257 vectorial, 127 vectorial suave. 133
ÍNDICE Geometría Algebraica, 164, 340 gradiente, 167 gráfica, 155 hélice, 131 hiperboloide circular, 281 circular de dos hojas, 291 circular de una hoja, 289, 290 de dos hojas, 290 de una hoja, 289 elíptico, 291 hiperplano, 118 intervalo abierto, 149 k—ésima diferencial total, 197 Lagrange J. L., 349 Lema de Sylvester de diagonalización, 331 ley de gravitación universal, 250 ley del paralelogramo, 69 límite (s), 312 aritmética de, 313 cambio de coordenadas en, 314 marco, 304 Mathematica, 163, 164 matriz (es), 10 cuadrada, 12 diagonal, 105, 331 diagonalizable, 105 dimensiones de una. 11 ecuación característica de una, 61 entrada de una, 11 Hessiana, 326 identidad. 20 inversa, 31, 54, 55 invertible, 31, 56 Jacobiana. 219. 221 Jacobiano de una. 233
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ÍNDICE nula, 12, 14 operaciones elementales de, 47, 50, 52 ortogonal, 63 principal, 9 real, 11 semejante, 52 simétrica, 327 submatrices, 9 transpuesta, 14 valor propio de una, 61, 98 vector propio de una, 99 método de Gauss-Jordán, 50 multiplicadores de Lagrange, 348, 349 números imaginarios, 99 paraboloide, 292 circular, 280, 292, 329 elíptico, 293 hiperbólico, 293, 330 plano (s), 3, 277 tangente, 322 polinomio cuadrático, 185 cúbico, 186 de Taylor, 185, 191 lineal, 185 problema de Dirichlet, 271 punto aislado, 311 crítico, 164, 325 crítico degenerado, 346 crítico no degenerado, 333 de acumulación, 311 frontera, 153 regular, 324 silla, 330, 338 singular, 163 recta (s), 3 región, 154
371 regla de la cadena, 172, 223, 225 regla de la mano derecha, 304 Reyes J.G, 311 separatrices, 338 silla de montar, 162, 293 singularidad algebraica, 314 sistema compatible, 37, 49 de coordenadas cartesiano, 65 escalonado, 46 homogéneo, 39, 42 inconsistente, 48 parametrizado, 39 solución biparamétrica, 51 paramétrica, 51 trivial, 39, 40, 42 superficie base de una, 283 cilindrica, 282 cónica, 283 de revolución, 278 directriz de una, 282 generatriz de una, 282 ordinaria, 277 Teorema de diferenciabilidad, 169, 221 Teorema de invarianza de dominio, 361, 363 Teorema de la función implícita, 363, 366 Teorema de La regla de Cramer, 34 Teorema de Lagrange, 349 Teorema de Pitágoras, 77 Teorema de Taylor, 191, 324 Teorema de Weierstrass, 347 Teorema del determinante de un producto, 30 Teoría de singularidades y Catástrofes, 346
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372 Topología Algebraica, 361 tranformación (es) lineal, 212 transformación (es) elementales, 30 lineal, 211, 213 traslación de ejes coordenados, 294 valor (es) crítico, 325 extremo restringido, 349 máximo global, 327 máximo local, 327, 328, 349 mínimo global, 327 mínimo local, 327, 328, 349 propio, 331 regular, 324 variación, 165. 176 vector (es), 3, 70 aceleración, 146 ángulo entre, 76, 115 base canónica de, 76, 92 base de, 91, 96 canónico, 75 columna, 11 combinación lineal de, 89 de Hamilton, 260 de posición, 69, 71 dependencia lineal de, 90 director, 110 linealmente independientes, 91 norma del, 72, 73, 76 normal, 112, 304 orientación negativa, 95 orientación positiva a la derecha, 95 ortogonales, 77, 81 paralelos, 72, 83, 85 producto escalar de, 73, 86 producto mixto de, 86 producto punto de, 73 producto vectorial de, 82 proyección de un, 81
ÍNDICE proyección ortogonal de un, 79, 80 rapidez, 138 regla de la mano derecha, 95, 96 renglón, 11 resultante, 70 tangente, 143 unitario, 79 velocidad, 132, 138 velocidad promedio, 132 vértice, 283
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Bibliografía
Anton, H., Introducción al Álgebra Lineal, ed. Limusa, México, 1981. Lima, E.L., Curso de Análise, Projeto Euclídes, IMPA, Rio de Janeiro, Brasil, 1992. Reyes, J. G., Cálculo Diferencial para las Ciencias Naturales, Trillas, 1996.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES, se terminó de imprimir en el mes de diciembre de 2002 en la Sección de Talleres Gráficos del Departamento de Publicaciones de Rectoría General de la Universidad Autónoma Metropolitana. Se tiraron 1000 ejemplares sobre papel gráfico bond de 44.5 kgs. en tipos Times de 10 y 11 pts. y Times bold de 14 pts. Diseño de portada a cargo de D.C.G. Ma. de Lourdes Pérez Granados de la Sección de Textos y Formación del mismo Departamento..
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ISBN: 970-31-0096-1
9 789703 100965 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]