Cohomologie galoisienne, 5e édition (Lecture Notes in Mathematics 5)

Lecture Notes in Mathematics Editors: A. Dold, Heidelberg E Takens, Groningen

5

S rin er

BPlin g Heidelberg New York Barcelona Budapest Hong Kong London Milan Paris Santa Clara Singapore

Tokyo

Jean-Pierre Serre

Cohomologie Galoisienne Cinqui~me 6dition, r6vis6e et compl6t6e

~ Springer

Auteur Jean-Pierre Serre Coll~ge de France 3 rue d'Ulm F-75231 Paris Cedex 05, France

2nd printing 1997 (with minor corrections)

Cataloging-in-Publication Data applied for.

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Serre, Jean-Pierre: Cohomologie galoisienne / Jean-Pierre Serre. - 5. 6d., r6v. et compl~t~e, 2nd print. - Berlin ; Heidelberg ; New York ; Barcelona ; Budapest ; Hong Kong ; London ; Milan ; Paris ; Santa Clara ; Singapore ; Tokyo : Springer, 1997 (Lecture notes in mathematics ; 5) ISBN 3-540-58002-6

Mathematics Subject Classification (1991): 12Gxx, 20E18, 20Gxx, 22Exx ISSN 0075- 8434 ISBN 3-540-58002-6 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-58002-6 Springer-Vedag New York Berlin Heidelberg ISBN 3-540-06084-7 4e 6dition Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-06084-7 4th edition Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg

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INTRODUCTION A LA PREMII~RE ]~DITION (1964) Ces notes reproduisent avec quelques modifications un cours fait au Coll~ge de France pendant l'ann~e 1962-1963. On y trouvera ~galement un texte in~dit de Tate (Annexe au Chap. I), et un autre de Verdier, tous deux consacr~s h la dualit~ des groupes profinis. Une r~daction pr~liminaire de ces notes, due ~ Michel Raynaud, m ' a ~t~ tr~s utile; je l'en remercie vivement.

INTRODUCTION A LA CINQUI]~ME I~DITION (1994) Cette nouvelle ~dition a ~t~ r~alis~e en ~ Springer-Verlag, que j'ai plaisir ~ remercier.

par les soins de M. KSllner et

J'ai profit6 de l'occasion pour faire une s~rie de modifications: - mise ~ jour de la bibliographie; - mise h jour des probl~mes et conjectures mentionn6s dans le texte; - adjonction de nombreux exercices, d'un index, et de plusieurs annexes (r~sum~s de cours, notamment). Pour faciliter les r6f6rences, rancienne num6rotation des propositions, lemmes et th6or~mes a ~t~ conserv6e. Les passages nouveaux sont, le plus souvent, imprim6s en caract~res plus petits que le texte original.

Jean-Pierre Serre

Table d e s mati~res

Chapitre I. C o h o m o l o g i e des groupes profinis § 1.Groupes profinis ................................................. 1.1. Ddfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. S o u s - g r o u p e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. I n d i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. P r o - p - g r o u p e s et p - g r o u p e s de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. P r o - p - g r o u p e s libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 3 4 5 6

§ 2. C o h o m o l o g i e ..................................................... 2.1. Les G-modules discrets .......................................... 2.2. Cochaines, cocycles, cohomologie ................................. 2.3. Basses dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Fonctorialit~ ................................................... 2.5. Modules induits ................................................ 2.6. C o m p l d m e n t s ..................................................

8 8 8 10 11 12

§ 3. D i m e n s i o n c o h o m o l o g i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. La p - d i m e n s i o n cohomologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. D i m e n s i o n cohomologique s t r i c t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. D i m e n s i o n c o h o m o l o g i q u e des s o u s - g r o u p e s et des e x t e n s i o n s . . . . . . . . 3.4. C a r a c t d r i s a t i o n des g r o u p e s profinis G tels que cdp(G) < 1 . . . . . . . . . . 3.5. M o d u l e d u a l i s a n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15 16 17 19 22

§ 4. Cohomologie des p r o - p - g r o u p e s ...................................

25 25 27 30 32 35

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

Modules simples ............................................... Interprdtation de HI: gdndrateurs ................................ Interprdtation de H2: relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U n thdor~me de Safarevi~ ....................................... Groupes de Poincard ............................................

§ 5. C o h o m o l o g i e n o n abdlienne ....................................... 5.1. Ddfinition de H ° et de H I ....................................... 5.2. Espaces principaux homog~nes sur A - nouvelle ddfinition de H I (G, A) 5.3. Torsion ....................................................... 5.4. Suite exacte de cohomologie associde ~ un sous-groupe .............. 5.5. Suite exacte de cohomologie associde ~ un sous-groupe distingud ...... 5.6. Cas d'un sons-groupe ab~lien distingud ............................ 5.7. Cas d'un sous-groupe central .................................... 5.8. C o m p l d m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. U n e propridt6 des g r o u p e s d e d i m e n s i o n c o h o m o l o g i q u e < 1 . . . . . . . . . .

9

42 42 43 44 47 49 50 52 54 54

viii

Table des m a t i ~ r e s

I n d i c a t i o n s b i b l i o g r a p h i q u e s s u r le C h a p i t r e I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

Annexes 1. ( J . T a t e ) - Q u e l q u e s

th~or~mes de dualitd ..........................

2. ( J - L . V e r d i e r ) - D u a l i t ~ darts la c o h o m o l o g i e d e s g r o u p e s p r o f l n i s . . . 1. M o d u l e s i n d u i t s e t c o - i n d u i t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. H o m o m o r p h i s m e s locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Le thd~or~me d e dualit~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. A p p l i c a t i o n d u th&)r~me d e dualit6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. L ' i n ~ g a l i t 6 d e G o l o d - S a f a r e v i ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. E n o n c ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. D 6 m o n s t r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 64 64 67 69 73 77 77 78

C h a p i t r e II. C o h o m o l o g i e g a l o i s i e n n e - cas c o m m u t a t i f § 1. G d n d r a l i t d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. C o h o m o l o g i e galoisienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. P r e m i e r s e x e m p l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82 82 83

§ 2. C r i t ~ r e s d e d i m e n s i o n c o h o m o l o g i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. U n r~sultat auxiliaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Cas o h p est ~gal ~ la c a r a c t ~ r i s t i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. C a s o h p e s t different de la caract~ristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 85 86 87

§ 3. C o r p s d e d i m e n s i o n _~ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. D~finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. R e l a t i o n avec l a propri4t4 (C1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. E x e m p l e s d e c o r p s d e d i m e n s i o n < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88 88 89 90

§ 4. T h ~ o r ~ m e s d e t r a n s i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 93 93 95

4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

E x t e n s i o n s alg~briques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extensions transeendantes ....................................... Corps locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D i m e n s i o n e o h o m o l o g i q u e d u g r o u p e de Galois d ' u n corps d e n o m b r e s algdbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. L a propri~t~ ( C r ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97 97

§ 5. C o r p s p - a d i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. P ~ p p e l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. C o h o m o l o g i e d e s G k - m o d u l e s finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. P r e m i e r e s a p p l i c a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. C a r a c t 4 r i s t i q u e d ' E u l e r - P o i n c a r ~ (cas ~l~mentaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. C o h o m o l o g i e n o n ramifi6e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Le g r o u p e d e Calois d e la p - e x t e n s i o n m a x i m a l e d e k . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. C a r a c t 4 r i s t i q u e d ' E u l e r - P o i n c a r ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. G r o u p e s de t y p e m u l t i p l i c a t i f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100 100 100 103 103 105 105 108 112

§ 6. C o r p s d e n o m b r e s a l g ~ b r i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115 115 116 118

6.1. M o d u l e s finis - d~finition des g r o u p e s P~(k, A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Le th~or~me d e p r o p r e t ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. E n o n c ~ s des th~or~mes d e P o i t o u e t Tare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I n d i c a t i o n s b i b l i o g r a p h i q u e s sur le C h a p i t r e II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

Table des mati~res

ix

Annexe. C o h o m o l o g i e galoisienne des e x t e n s i o n s transcendantes pures (R6sum~ des cours de 1991-1992) ..................................... 1. U n e s u i t e e x a c t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Le c a s l o c a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. C o u r b e s a l g 6 b r i q u e s e t c o r p s d e f o n c t i o n s d ' u n e v a r i a b l e . . . . . . . . . . . . . . . .............................................. 4. L e c a s o h K = k ( T ) 5. N o t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. A n n u l a t i o n p a r c h a n g e m e n t d e b a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. C o n d i t i o n s d e M a n i n , a p p r o x i m a t i o n f a i b l e e t h y p o t h ~ s e d e S c h i n z e l . . . . 8. B o r n e s d u c r i b l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120 120 121 121 122 123 124 125 126

Chapitre III. C o h o m o l o g i e galoisienne non c o m m u t a t i v e 1. Formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

Tenseurs ...................................................... Exemples ..................................................... Vari~t4s, groupes alg~briques, etc ................................. E x e m p l e : les k - f o r m e s d u g r o u p e S L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Corps de dimension _< 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

R a p p e l s s u r les g r o u p e s l i n ~ a i r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N u l l i t ~ d e H 1 p o u r les g r o u p e s l i n ~ a i r e s c o n n e x e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le th~or~me de Steinberg ....................................... P o i n t s r a t i o n n e l s s u r les e s p a c e s h o m o g ~ n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Corps de dimension < 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. 3.2.

L a c o n j e c t u r e II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemples .....................................................

4. Th$or~mes de flnitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. L a c o n d i t i o n ( F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. C o r p s d e t y p e ( F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. F i n i t u d e d e l a c o h o m o l o g i e d e s g r o u p e s l i n ~ a i r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. F i n i t u d e d ' o r b i t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. L e c a s r6el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. C o r p s d e h o m b r e s a l g ~ b r i q u e s ( t h ~ o r ~ m e d e B o r e l ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. U n c o n t r e - e x e m p l e a u " p r i n c i p e d e H a s s e " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indications bibliographiques sur le Chapitre I I I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128 128 130 131 132 135 135 137 139 141 146 146 147 149 149 150 151 153 154 156 156 161

A n n e x e . C o m p l d m e n t s de c o h o m o l o g i e galoisienne ( R ~ s u m ~ d e s c o u r s d e 1990-1991) ........................................................ 1. N o t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. L e c a s o r t h o g o n a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. A p p l i c a t i o n s e t e x e m p l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. P r o b l ~ m e s d ' i n j e c t i v i t 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. L a f o r m e t r a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. L a t h d o r i e d e B a y e r - L e n s t r a : b a s e s n o r m a l e s a u t o d u a l e s . . . . . . . . . . . . . . . 7. C l a s s e s d e c o h o m o l o g i e n ~ g l i g e a b l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162 162 162 164 166 167 168 170

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180

Chapitre I

Cohomologie des groupes profinis

§ 1. Groupes profinis

1.1. Ddfinition On appelle groupe profini un groupe topologique qui est limite projective de groupes finis (munis chacun de la topotogie discrete). Un tel groupe est compact et totalement discontinu. R6ciproquement: P r o p o s i t i o n 0. Un groupe topologique compact totalement discontinu est profini. Soit G un tel groupe. Comme G est totalement discontinu et localement compact, les sous-groupes ouverts de G forment une base de voisinages de 1, cf. Bourbaki TG III, §4, n°6. Un tel sous-groupe U est d'indice fini dans G puisque G est compact; ses conjugu~s gUg -1 sont en hombre fini et leur intersection V est un sous-groupe ouvert normal de G. De tels V forment donc une base de voisinages de 1; l'application canonique G -* (lim G/V est injective, continue, et d'image dense; comme G est compact, c'est un isomorphisme. Donc G est profini. Les groupes profinis forment une cat6gorie (les morphismes ~tant les homomorphismes continus) oh les produits infinis et les limites projectives existent.

Exemples. 1) Soit L/K une extension galoisienne de corps commutatifs. Le groupe de Galois G(L/K) de cette extension est, par construction m~me, limite projective des groupes de Galois G(LjK) des extensions galoisiennes finies L d K contenues dans L/K; c'est donc un groupe profini. 2) Un groupe analytique compact sur le corps p-adique Qp est profini (en tant que groupe topologique). En particulier, SL~(Zp), Sp2n(Zp), ... sont des groupes profinis. 3) Soit G u n groupe discret, et soit G la limite projective des quotients finis de G. Le groupe G est appel~ le groupe profini associd d G; c'est le s6par6 compl~t~ de G pour la topologie d~finie par les sous-groupes de G d'indice fini; le noyau de G --* G est l'intersection des sous-groupes d'indice fini de G. 4) Si M est un groupe ab61ien de torsion, son dual M* = Horn(M, Q / Z ) , muni de la topologie de la conve~'gence simple, est un groupe profini commutatif. On obtient ainsi une anti-6quivalence (dualit6 de Pontrjagin): groupes ab61iens de torsion ¢==~ groupes profinis commutatifs.

1.2. Sous-groupes

3

Exeraice8.

1) Montrer qu'un groupe profini commutatif sans torsion est isomorphe ~ un produit (en g~n~ral infini) de groupes Zp. [Utiliser la dualit~ de Pontrjagin pour se ramener au th~or~me disant que tout groupe ab~lien divisible est somme directe de groupes isomorphes ~ Q ou ~ un Qp/Zp, cf. Bourbaki A VII.53, exerc. 3.] 2) Soit G = SL,~(Z), et soit f l'homomorphisme canonique G -* lip SL~(Zp). (a) Montrer que f est surjectif. (b) Montrer l'~quivalence des deux propri~t~s suivantes: (bl) f est un isomorphisme; (b2) tout sous-groupe d'indice fini de SLy(Z) est un sous-groupe de congruence. [Ces propri~t~s sont connues pour ~tre vraies si n ~ 2 et fausses s i n = 2.]

1.2.

Sous-groupes

T o u t sous-groupe ferm~ H d ' u n groupe profini G est profini. De plus, l'espace homog~ne G / H est c o m p a c t totalement discontinu. 1. Si H e t K sont deux sous-groupes fermds du groupe profini G, avec H D K , il existe une section continue s : G / H --~ G / K .

Proposition

(Par "section", on entend une application s : G / H --* G / K dont le compos~ avec la projection G / K ~ G / H est l'identit~.) On va utiliser deux lemmes: 1. Soit G un groupe compact et soit (Si) une ]amiUe filtrante ddcroissante de sous-groupes fermds. Soit S = A S~. L 'application canonique

Lemme

G / S --~ lim G/S~ est alors un homdomorphisme. E n effet, cette application est injective, et son image est dense; c o m m e l'espace de d~part est c o m p a c t , le lemme en r~sulte. (On aurait pu aussi invoquer Bourbaki, T G III.59, cot. 3 ~ la prop. 1.) 2. La proposition 1 est vraie lorsque H / K est ]ini. Si de plus H e t K sont distinguds dans G, l'extension

Lemme

1 ---* H / K ~

G/K

~G/H

,1

est scindde (cf. n ° 3.4) au-dessus d'un sous-groupe ouvert de G / H . Soit U un sous-groupe ouvert distingu~ de G tel que U N H C K . La restriction de la projection G / K --~ G / H ~ l'image de U est alors injective (et c'est un h o m o m o r p h i s m e lorsque H e t K sont distinguds, ce qui d~montre la deuxi~me pattie du lemme). Son application r~ciproque est donc une section sur l'image de U (qui est ouverte); on la prolonge en une section sur G / H t o u t entier par translation. D 6 m o n t r o n s m a i n t e n a n t la prop. t. O n p e u t supposer que K = 1. Soit X l'ensemble des couples (S, s), oh S est un sous-groupe ferm6 de H , et s est une

4

§ 1. Groupes profinis

section continue G / H --* G/ S. On ordonne X en convenant que ( S, s) > (S', s') si S C S r et si s ~ est le compos~ de s e t de G / S -* G/S'. Si (S~, s~) est une famille totalement ordonn@e d'~l@ments de X , et si S = n s ~ , on a G / S = ~im G/S~ d'apr~s le lemme 1; les si d@finissent donc une section continue s : G / H --~ G/S; on a (S, s) ~ X. Cela montre que X est un ensemble ordonn~ inductif. D'apr~s le th~or~me de Zorn, X contient un ~l~ment maximal (S,s). Montrons que S = 1, ce qui ach~vera la d@monstration. Si S @tait distinct de 1, il existerait un sous-groupe ouvert U de G tel que S N U ~ S. En appliquant le lemme 2 au triplet (G, S, S N U), on obtiendrait une section continue G / S --, G / ( S N U), et en la composant avec s : G / H ~ G / S , cela donnerait une section continue G / H --* G / ( S n U), contrairement au fait que (S, s) est maximal.

Exercices. 1) Soit G u n groupe profini op@ra~t continfiment sur un espace compact totalement discontinu X. On suppose que G op~re librement, i.e. clue le fixateur de tout @l~ment de X est @gal ~ 1. Montrer qu'il existe une section continue X / G --~ X. [Raisonner comme pour la prop. 1.] 2) Soit H u n sous-groupe ferm~ d'un groupe profini G. Montrer qu'il existe un sous-groupe ferm@ G ~ de G qui est tel que G = H . G ~, et qui est minimal pour cette propri@t&

1.3. Indices On appelle hombre surnaturel un produit formel [ I pnp, o~t p parcourt l'ensemble des nombres premiers, et oh np est un entier _> 0 ou +oo. On d~finit de mani~re ~vidente le produit, le pgcd et le p p c m d'une famille quelconque de nombres surnaturels. Soit G u n groupe profini, et soit H u n sous-groupe ferm@ de G. On d@finit l'indice (G : H) de H dans G comme le ppcm des indices (G/U : H / ( H n U)), pour U parcourant l'ensemble des sous-groupes ouverts distingu@s de G. On voit facilement que c'est aussi le p p c m des indices (G : V) pour V ouvert contenant H. P r o p o s i t i o n 2. (i) Si K C H C G son$ des groupes profinis, on a (G: K) = (G: H). (H: K) . (ii) Si (Hi) est une famille filtrante dgcroissante de sous-groupes ]ermgs de G, et si g = n H i , on a ( G : H ) = p p c m ( G : Hi). (iii) Pour que H soit ouvert dans G, il faut et il su•t que (G : H) soit un nombre naturel (i.e. un @l@ment de N ) . D@montrons (i): si U est ouvert distingu@ dans G, posons Gu = G/U, Hu = H/(H N U), Ku = K/(K A U). On a Gu D Hu D Ku, d'oh

(Gu : K u ) = (Gu : Hu) " (Hu : K u ) • On a par d@finition p p c m ( G u : K u ) = (G : K ) et p p c m ( G u : Hu) = (G : H). D'autre part, les H N U sont cofinaux dans l'ensemble des sous-groupes ouverts distingu@s de H; il en r@sulte que p p c m ( H v : K u ) = ( H : K), d'o5 (i). Les assertions (ii) et (iii) sont imm@diates. Noter qu'en particulier on peut parler de l'ordre (G : 1) d'un groupe profini G.

1.4. Pro-p-groupes et p-groupes de Sylow

5

Exercices. 1) Soit G u n groupe profini, et soit n u n entier ~ 0. Montrer l'~quivalence des propri~t~s suivantes: (a) n e s t premier ~ l'ordre (G : 1) de G. (b) L'application x ~-* x n de G dans G est surjective. (b') L'application x ~-~ x '~ de G dans G est bijective. 2) Soit G u n groupe profini. D~montrer l'~quivalence des trois propri~t~s suivantes: (a) La topologie de G est m~trisable. (b) On a G = lira Gn, oil les Gn (n > 1) sont fnis et les homomorphismes Gn+l ~ Gn sont surjectlfs. (c) L'ensemble des sous-groupes ouverts de G est d~nombrable. Montrer que ces propri~t~s entra~nent: (d) I1 existe un sous-ensemble d~nombrable dense dans G. Construire un exemple off (d) est v~rifi~e, mais pas (a), (b), (c) [prendre pour G le dual d'un Fp-espace vectoriel de dimension infinie d~nombrable]. |

,,

.

3) Soit H u n sous-groupe ferm~ d'un groupe profini G. On suppose H ~ G. Montrer qu'il existe x E G tel qu'aucun conjugu~ de x n'appartienne ~ H [se ramener au cas off G est fini]. 4) Soit g un ~l~ment d'un groupe profini G, et soit Cg = (g) le plus petit sousgroupe ferm~ de G contenant g. Soit l i P np l'ordre de Ca, et soit I l'ensemble des p tels que np = ~ . Montrer que:

I-I z, × 1] z/p ° p z pEl

p~l

1.4. Pro-p-groupes et p-groupes de Sylow Soit p un n o m b r e premier. Un g r o u p e profini H est appel~ un pro-p-groupe si c'est une limite projective de p-groupes, ou, ce qui revient au m~me, si son ordre est une puissance de p (finie ou infinie, bien entendu). Si G est un g r o u p e profini, un sous-groupe H de G est appel~ un p-groupe de Sylow de G si c'est un pro-p-groupe et si (G : H ) est premier ~ p. P r o p o s i t i o n 3. Tout groupe profini G posskde des p-groupes de Sylow, et ceuxci sont conjuguds. O n utilise le lemme suivant (Bourbaki, T G 1.64, prop. 8): Lemme

3. Une liraite projective d'ensembles finis non rides est non vide.

Soit X la famille des sous-groupes ouverts distingu~s de G. Si U E X , soit P ( U ) l'ensemble des p-groupes de Sylow du g r o u p e fini G / U . En appliquant le lemme 3 au syst~me projectif des P ( U ) , on obtient une famille coh~rente H u de p-groupes de Sylow des G / U , et l'on v6rifie ais6ment que H = lim H u est un p-groupe de Sylow de G, d'ofi la premiere pattie de la proposition. De m~me, si H e t H ~ sont deux p-groupes de Sylow de G, soit Q(U) l'ensemble des x E G / U qui t r a n s f o r m e n t l'image de H dans celle de HI; en appliquant le lemme 3 aux Q(U), on volt que lim Q(U) ~ O, d'ofi un x E G tel que x H x -1 = H ~. O n d 6 m o n t r e par le m~me genre d ' a r g u m e n t s :

6

§ 1. Groupes profinis

P r o p o s i t i o n 4. (a) Tout pro-p-sous-groupe de G est contenu dans un p-groupe de Sylow de G. (b) Si G --* G r est un morphisme surjectif, l'image d'un p-groupe de Sylow de G est un p-groupe de Sylow de G ~.

Exemples. 1) Le groupe Z a pour p-groupe de Sylow le groupe Zp des entiers p-adiques. 2) Si G est analytique compact sur Qp, les p-groupes de Sylow de G sont ouverts (cela r6sulte de la structure locale bien connue de ces groupes). L'ordre de G est donc le produit d'un entier naturel par une puissance de p. 3) Soit G un groupe discret. La limite projective des quotients de G qui sont des p-groupes est un pro-p-groupe, not~ Gp, et appel6 le p-compldtd de G; c'est le plus grand quotient de G qui soit un pro-p-groupe. Exercice. Soit G u n groupe discret tel que G ~b = G/(G, G) soit isomorphe h Z (par exemple le groupe fondamental du compl~mentaire d'un noeud dans R3). Montrer que le pcompl~t6 de G est isomorphe h Zp.

1.5. Pro-p-groupes

libres

Soit I un ensemble, et soit L(I) le groupe discret fibre engendr~ par des ~l~ments x~ indexes par I. Soit X la famille des sous-groupes distingu~s M de L(I) tels que: a) L ( I ) / M est un p-groupe fini, b) M contient presque t o u s l e s x~ (i.e. tous sauf un hombre fini). Posons F ( I ) = lim L ( I ) / M . Le groupe F ( I ) est un pro-p-groupe que l'on appelle le pro-p-groupe fibre engendr~ par les xi. L'adjectif "libre" est justififi par le rfisultat suivant: P r o p o s i t i o n 5. Si G est un pro-p-groupe, les morphismes de F ( I ) dans G correspondent bijectivement aux famiUes (gi)iEl d'dldments de G qui tendent vers zdro suivant le filtre des compldmentaires des parties finies. [Lorsque I e s t fini, la condition lim gi = 1 est supprim~e; d'ailleurs, les compl~mentaires des parties finies ne forment pas un filtre... ] De faqon plus precise, on associe ~ un morphisme f : F ( I ) --~ G la famille (g~) = (f(xi)). Le fait que la correspondance ainsi obtenue soit bijective est imm~diat.

Remarque. A cStd de F ( I ) , on peut d~finir le groupe F~(I) limite projective des L ( I ) / M pour les M v~rifiant seulement a). C'est le p-compl~t~ de L(I); les morphismes de F~ (I) dans un pro-p-groupe G correspondent bijectivement aux families quelconques (g~)iel d'~l~ments de G. On verra plus loin (n ° 4.2) que Fs(I) est libre, c'est-h-dire isomorphe ~ un F ( J ) , pour J convenable.

1.5. Pro-p-groupes libres

7

Lorsque I = [1,n], on 6crit F(n) ~ la place de F ( I ) ; le groupe F(n) est le pro-p-groupe libre de rang n. On a F(0) = {1} et F(1) est isomorphe au groupe additif Zp. On va donner une repr6sentation explicite du groupe F(n): Soit A(n) l'alg~bre des s6ries formelles associatives (non n6cessairement commutatives) en n ind6termin~es tl, . . . , to, ~ coefficients dans Z v (c'est ce que Lazard appelle "l'alg~bre de Magnus"). [Le lecteur qui n'aime pas les s6ries formelles "non n6cessairement commutatives" d6finira A(n) comme un compl~t6 de l'algbbre tensorielle du Zp-module (Zp)n.] Muni de la topologie de la convergence simple des coefficients, A(n) est un anneau topologique compact. Soit U le groupe multiplicatif des 616ments de A de terme constant ~gal g 1. On v6rifie ais~ment que U est un pro-p-groupe. C o m m e U contient les 616ments 1 4- ti, la prop. 5 montre qu'il existe un morphisme 0 : F(n) -~ U qui applique x, sur 1 4-t~ pour tout i.

Proposition

6 (Lazard). Le morphisme O : F(n) ~ U est injectif. [On peut donc identifier F(n) au sous-groupe ferm6 de U engendr6 par les

1 4- ti.] On d6montre m6me un r6sultat plus fort. Pour l'6noncer, convenons d'appeler

Zv-alg~bre d ' u n pro-p-groupe G la limite projective des alg~bres des quotients finis de G, ~ coefficients dans Zp; cette alg~bre sera not6e Zp[[G]]. On a:

Proposition

7. II existe un isomorphisme continu ~ de Zp[[F(n)]] sur A(n) qui transforme xi en 1 + ti. On ddfinit sans difficult6s l'homomorphisme a : Zp[[F(n)]] --~ A(n). D ' a u t r e

part, soit I l'id~al d'augmentation de Zp[[F(n)]]; les propri6t6s ~I6mentaires des p-groupes finis montrent que les puissances de l'id6al I tendent vers 0. C o m m e les xi - 1 appartiennent ~ I, on en d6duit qu'il existe un homomorphisme continu

~ : A(n) --* Zv[[(F(n)] ] qui applique t~ sur xi - 1. I1 n ' y a plus alors qu'~ v~rifier que ~ o ~ -- 1 et o ~ = 1, ce qui est imm6diat.

Remarques. 1) Lorsque n = 1, la prop. 7 montre que la Zp-alg~bre du groupe F = Zp est isomorphe £ l'alg~bre Zp[[T]], laquelle est un anneau local r~gulier de dimension 2. C'est l~ le point de d6part de l'6tude, faite par Iwasawa, des "F-modules", cf. [143], ainsi que Bourbaki AC VII.§ 4. 2) On trouvera dans la th~se de Lazard [101] une ~tude d6taill~e de F(n), bas~e sur les prop. 6 et 7. Par exemple, si l'on filtre A(n) par les puissances de l'id~al d ' a u g m e n t a t i o n I , la filtration induite sur F(n) est celle de la suite centrale descendante, et le gradu6 associ6 est la Zp-alg~bre de Lie libre engendr~e par les classes Ti des ti. La filtration d~finie par les puissances de (p, I ) est ~galement int~ressante.

§ 2. Cohomologie

2.1. L e s G - m o d u l e s

discrets

Soit G u n groupe profini. Les groupes ab61iens discrets sur lesquels G op~re continfiment forment une cat6gorie ab6lienne CG, qui est une sous-cat6gorie pleine de la cat6gorie de tousles G-modules. Dire qu'un G-module A appartient CG signifie que le fixateur de tout 61~ment de A est ouvert dans G, ou encore que l'on a:

A = UAU , lorsque U parcourt l'ensemble des sous-groupes ouverts de G (comme d'habitude, A U d~signe le sous-groupe de A form~ des ~l~ments invariants par U). Un ~l~ment A de CG sera appel~ un G-module discret (ou m~me simplement un G-module si aucune confusion ne peut en r~sulter). C'est pour ces modules que la cohomologie de G va ~tre d~finie.

2.2. Cochaines,

cocycles, cohomologie

Soit A E Cc. Nous noterons Cn(G, A) l'ensemble des applications continues de G n dans A (noter que, puisque A est discret, "continue" ~quivaut ~ "localement constante"). On d~finit le cobord

d:Cn(G,A)

~Cn+I(G,A)

par la formule usuelle

(df)(gl,..., gn+l) = g l ' / ( g 2 , . . . , gn+l)

-~- E(--X)'f(gl,''-, i----1

gigi+l,...,gn+l)

+(-1)"+1f(91,... ,gn) On obtient ainsi un complexe C*(G,A) dont les groupes de cohomologie Hq(G,A) sont appel~s les groupes de cohomologie de G d coe~cients dans A. Lorsque G est fini, on retrouve la d~finition habituelle de la cohomologie des groupes finis; le cas g~n~ral peut d'aiUeurs se ramener ~ celui-l~, grace ~ la proposition suivante:

2.3. Basses dimensions

9

8. Soit (Gi) un syst~me projeetif de groupes pro]inis, et soit (Ai) un syst~me inductif de Gi-modules discrets (les homomorphismes Ai --~ Aj 6tant compatibles en un sens 6vident avec les morphismes Gj --~ Gi). Posons G = lira Gi, A = lim Ai. On a alors Proposition

Hq(G,A) = lim Hq(G~,Ai)

pour tout q > O.

En effet, on voit sans difficult6s que l'homomorphisme canonique

lira C*(a,, A 4 ~

c * ( a , A)

est un isomorphisme, d'ofi le r~sultat en passant & l'homologie. C o r o l l a i r e 1. Soit A un G-module discret. On a:

Ha(G, A) = lim Hq(G/U,A v)

pour tout q >_O,

lorsque U parcourt l'ensemble des sous-groupes ouverts distinguds de G. En effet, G = lim G / U et A = lim A v. C o r o l l a i r e 2. Soit A un G-module discret. On a:

Hq(G, A) = lim Ha(G, B)

pour tout q > 0

lorsque B parcourt l'ensemble des sous-G-modules de type fini de A. En effet, on a A = lim B. C o r o l l a i r e 3. Pour q > 1, les groupes Hq(G, A) sont des groupes de torsion. Lorsque G est fini, ce rdsultat est classique. Le cas g~n6ral s'en d6duit, gr&ce au corollaire 1. On pourra donc facilement se ramener au cas des groupes finis, qui est bien connu (voir par exemple Cartan-Eilenberg [25], ou "Corps Locaux" [145]). On en d6duit par exemple que les Hq(G, A) sont nuls, pour q > 1, lorsque A est un injectif de C c (les A U dtant alors injectifs sur les G/U). C o m m e la cat6gorie C c a suffisamment d'injectifs (mais pas suffisamment de projectifs), on voit que les foncteurs A ~ Hq(G, A) sont les foncteurs ddrivds du foncteur A ~ A c, c o m m e il se doit.

2.3. Basses

dimensions

H ° ( G , A) = A a, comme d'habitude. H 1(G, A) est le groupe des classes d'homomorphismes croisds continus de G dans A. H2(G, A) est le groupe des classes de syst~mes de facteurs continus de G dans A. Si A est fini, c'est aussi le groupe des classes d'extensions de G par A (d~monstration standard, reposant sur l'existence d'une section continue, d~montr~e au n ° 1.2).

10

§ 2. Cohomologie

Remarque. Ce dernier exemple sugg~re de d~finir les Hq(G,A) lorsque A est un Gmodule topologique quelconque, en partant des cochMnes continues. Ce genre de cohomologie se rencontre effectivement dans les applications, cf. [148].

2.4. F o n c t o r i a l i t ~ Soient G e t G ' deux groupes profinis, et soit f : G --* G ' un morphisme. Soient A E Ca, A' E CG,. On a la notion de morphisme h : A' ---* A compatible avec f (c'est un G-morphisme, lorsqu'on regarde A ~ comme un G-module au moyen de f ) . Un tel couple (f, h) d6finit par passage ~ la cohomologie des homomorphismes

H q ( G ' , A ')

~ Hq(G,A) ,

q >_ O.

Ceci s'applique n o t a m m e n t lorsque H est un sous-groupe ferm~ de G, et que A = A' est un G-module discret; on obtient les homomorphismes de restriction Res :

Hq(G,A) ---~ H q ( H , A ) ,

q >_O.

Lorsque H est ouvert d'indice fini n dans G, on d~finit (par exemple, par passage ~ la limite ~ partir des groupes finis) les homomorphismes de corestric-

tion C o r : g q ( H , A) ~

Hq(G, A ) .

On a Cor o Res = n, d'o~: Proposition

9. Si (G : H) = n, le noyau de Res : Hq(G,A) ---* H q ( H , A ) est

annuld par n. C o r o l l a i r e . Si (G : H) est premier d p, Res est injectif sur la composante p-primaire de Ha(G, A). [Ce corollaire s'applique n o t a m m e n t au cas oh H est un p-groupe de Sylow de G.] Lorsque (G : H ) est fini, le corollaire r6sulte directement de la proposition pr6c~dente. On se ram~ne h ce cas en ~crivant H comme intersection de sousgroupes ouverts, et appliquant la prop. 8.

Exercice. Soit f : G --~ G' un morphisme de groupes profinis. (a) Soit p u n nombre premier. Prouver l'6quivalence des propri~t6s suivantes: (lp) L'indice de f(G) darts G' est premier ~ p. (2p) Pour tout G'-module p-primaire A, l'homomorphisme HI(G ', A) --* H ~(G, A) est injectif. [Se ramener au cas oh G e t G' sont des pro-p-groupes.] (b) D~montrer l'6quivalence de: (1) f est surjectif. (2) Pour tout G'-module A, l'homomorphisme H 1(G', A) --* H ~(G, A) est injectif. (3) M~me 6nonc6 que (2), en se bornant aux G'-modules A qui sont finis.

2.5. Modules induits

11

2.5. M o d u l e s i n d u i t s Soit H u n sous-groupe ferm6 du groupe profini G, et soit A E C H. Le module induit A* = M H ( A ) est d6fini comme l'ensemble des applications continues a* de G dans A telles que a*(hx) = h. a*(x) si h E H , x E G. Le groupe G op~re sur A* par la formule: =

Pour H = (1}, on ~crit MGA; les G-modules ainsi obtenus sont appel~s induits ("co-induits" dans la terminologie de [145]). Si l'on associe ~ tout a* E M H ( A ) sa valeur au point 1, on obtient un homomorphisme M H ( A ) ~ A qui est compatible avec l'injection de H dans G (cf. n ° 2.4); d'ofi des homomorphismes

Hq(G, MH(A)) ~

Ha(H, A) .

10. Les homomorphismes Hq(G, M ~ ( A ) ) -~ Hq(H,A) ddfinis cidessus sont des isomorphismes.

Proposition

On note d ' a b o r d que, si B E Co, on a H o m e ( B , M ~ ( A ) ) = H o m H ( B , A). On en tire le fait que le foncteur M H transforme injectifs en injectifs. C o m m e d ' a u t r e part il est exact, la proposition en r~sulte, par un th~or~me de comparaison standard. C o r o l l a i r e . La cohomologie d'un module induit est nulle en dimension > 1. C'est le cas particulier H -- { 1}. La proposition 10, due ~ Faddeev et Shapiro, est tr~s utile: elle permet de ramener la cohomologie d'un sous-groupe ~ celle du groupe. Indiquons comment on peut, de ce point de vue, retrouver les homomorphismes Res et Cor: (a) Si A E CG, on d~finit un G-homomorphisme injectif

i: A

,M~(A)

en posant: i(a)(x)

=

x.a.

Par passage £ la cohomologie, on vdrifie que l'on obtient la restriction R e s : Hq(G, A) --* Hq(G, M ~ ( A ) ) = U q ( S , A) . [Pour H = (1}, on a donc obtenu un ]oncteur d'effacement, souvent utile.] (b) Supposons H ouvert dans G, et soit A E CG. On d~finit un Ghomomorphisme surjectif

, : M H ( A ) --~ A en posant:

~(a*) =

Z xEG/H

x.a*(x-1) ,

12

§ 2. Cohomologie

formule qui a un sens puisque x.a*(x -x) ne d d p e n d que d e la classe d e x m o d H . P a r p a s s a g e h la cohomologie, 7r d o n n e la corestriction C o r : gq(H, A) = Ha(G, MH(A)) --* gq(G, A) . E n effet, c ' e s t lh un m o r p h i s m e d e foncteurs c o h o m o l o g i q u e s qui coincide avec la t r a c e en d i m e n s i o n z~ro.

Exerciees. 1) On suppose H distingud dans G. Si A E Ca, on fait op6rer G sur M~(A) en posant ga*(x)=g..(g-1 ). Montrer que H op~re trivialement, ce qui permet de consid~rer clue G/H op~re sur M H ( A ) ; montrer que les operations ainsi d~finies commutent aux opdrations de G d~finies dans le texte. En d$duire, pour chaque entier q, une operation de G/H sur Hq(G, M~(A)) = Hq(H,A). Montrer que cette opdration coincide avec l'opdration naturelle (cL n ° suivant). Montrer que M~(A) est isomorphe h MC/H(A) si H op~re trivialement sur A. En d~duire, lorsque (G : H) e.st fini, les formules:

Ho(G/H, MH(A)) = A

et

Hi(G/H, MH(A)) = 0 pour i > 1.

2) On suppose que (G : H) = 2. Soit E l'homomorphisme de G sur ( J : l } de noyau H. En faisant op~rer G sur Z par ~, on obtient un G-module Ze. (a) Soit A E CG, et soit Ae = A ® Ze. Montrer que l'on a une suite exacte de G-modules: 0 ---~ A ----~ Ma(A) n ~ A~ ~ O . (b) En ddduire la suite exacte de eohomologie

.....

H'(G,A) ~

H'(H,A) -----* Cot n , (G,A~) ~

H'+I(G,A)

,... ,

et montrer que, si x e Hi(G, Ae), on a 5(x) = e . x (cup-produit), oh e est un ~ldment de H i ( G , Ze) que l'on explicitera. (c) Application au cas off 2. A = 0, d'ofi A~ = A. [Ceci est l'analogue profini de la suite exacte de Thom-Gysin pour les rev~tements de degr~ 2, un tel rev~tement ~tant identifi~ h u n fibrd en spheres de dimension 0.]

2.6.

Compl6ments

O n laisse a u lecteur le soin de t r a i t e r les p o i n t s s u i v a n t s (qui s e r o n t utilis~s d a n s la suite): a) Cup produits Propri~t~s v~ri~es, n o t a m m e n t p a r r a p p o r t a u x suites exactes. F o r m u l a i r e : R e s ( x . y) = Res(x) • R e s ( y ) Cor(x. Res(y)) = Cor(x) .y .

2.6. Compl4ments b) Suite

spectrale des

13

extensions de groupes

Si H est u n sous-groupe distinguG ferm~ de G, et si A E CG, le g r o u p e G / H op~re de fa~on n a t u r e l l e sur les H q ( H , A), et ces o p e r a t i o n s sont continues. O n a u n e suite spectrale:

H P ( G / H , H q ( H , A)) ==, H n ( G , A ) . E n basses d i m e n s i o n s , cela d o n n e la suite exacte

0 - - , H a ( G / H , A H)

~HI(G,A)

--~ HI(H,A)G/"

. , H 2 ( G / H , A H)

, H2(G,A) .

Exercices (relations entre cohomologie des groupes discrets et des groupes profinis). 1) Soit G u n groupe discret, et soit G ~-* K un homomorphisme de G dans un groupe profini K. On suppose que l'image de G est dense dans K. Pour tout M E CK, on a des homomorphismes

Hq(K,M)-----* H q ( G , M ) ,

q>_O.

On se bornera ~ la sous-catdgorie C~: de CK form6e des M finis. (a) Montrer l'6quivalence des quatre propri6t~s suivantes:

A,~. Hq(K, M ) ---* Hq(G, M ) est bijecti] pour q < n e t injecti] pour q = n + 1 (quel que soit M E C~).

B,~. Hq(K, M ) -~ Hq(G, M) est suvjectif pour tout q <_ n. Cn. Pour tout x E H q ( G , M ) , 1 <_ q <_ n, il existe un M I E CK contenant M tel que x donne 0 dans Hq(G, M'). Dn. Pour tout x E H q ( G , M ) , 1 <_ q < n, il existe un sous-groupe Go de G, image rdciproque d'un sous-groupe ouvert de K, tel que x induise zdro dans Hq ( Go, M). [Les implications An =~ B,~ =~ Cn sont imm~diates, de m~me que B,~ =~ D~. L'implication C,~ =~ AN se d~montre par r~currence sur n. Enfin, Dn =~ Cn se d~montre en prenant pour M t le module induit M ~ ° (M).] (b) Montrer que A0, . . . , Do sont vraies. Montrer que, si K est ~gal all groupe profini G associ~ ~ G, les propri~t~s A1, . . . , Di sont vraies. (c) On prend pour G le groupe discret P G L ( 2 , C); montrer que G = {1} et que H2(G, Z / 2 Z ) # 0 [utiliser l'extension de G fournie par SL(2, C)]. En d~duire que G ne v~rifie pas A2. (d) Soit K0 un sous-groupe ouvert de K, et Go son image r4ciproque dans G. Montrer que, si G --* K v4rifie An, il en est de m~me de Go --~ K0, et r~ciproquement. 2) [Dans ce qui suit, on dira que "G v~rifie An" si l'application canonique G -~ v~rifie A,~. Un groupe sera dit "bon" s'il v~rifie An pour tout n.] Soit E / N = G une extension d'un groupe G v~rifiant A2. (a) On suppose d'abord N fini. Soit I le commutant de N dans E. Montrer que I e s t d'indice fini dans E; en d~duire que I / ( I M N ) v~rifie A2 [appliquer 1, (d)], puis qu'il existe u n sous-groupe E0 d'indice fini de E tel que E0 n N - {1}. (b) On suppose ~ partir de maintenant que N e s t de type fini. Montrer (en utilisant (a)) que tout sous-groupe d'indice fini de N contient un sous-groupe de la forme E0 A N, oh E0 est d'indice fini dans E. En d~duire une suite exacte:

l --~ ~ - - ~ ~--~ ~ - - ~ i.

14

§ 2. Cohomologie

(c) On suppose en outre que N e t G sont boils, et que les Hq(N, M) sont finis pour tout E-module fini M . Montrer que E est bon [comparer les suites spectrales de B I N = G e t de E / N = G]. (d) Montrer qu'une extension successive de groupes libres de type fini est un bon groupe. Application aux groupes de tresses ("braid groups"). (e) Montrer que SL(2, Z) est un bon groupe [on p o u r r a utiliser |e fait qu'i| contient un sous-groupe libre d'indice fini]. [On peut montrer que S L y ( Z ) n'est pas bon s i n > 3.]

§ 3. Dimension cohomologique

3.1. La p-dimension

cohomologique

Soit p un nombre premier, et soit G u n groupe profini. On appelle p-dimension cohomologique de G, et on note cdp(G), la borne inf~rieure des entiers n v6rifiant la condition suivante: (*). Pour tout G module discret de torsion A, et tout q > n, la composante p-primaire de Hq(G, A) est nulle. (Bien entendu, s'il n'existe aucun entier n v~rifiant cette condition, on a cdp(G) = +oo.) On pose cd(G) = sup cdp(G): c'est la dimension cohomologique de G. P r o p o s i t i o n 11. Soit G un groupe profini, soit p un hombre premier, et soit n un entier. Les propridtds suivantes sont dquivalentes: (i) cdp(G) < n. (ii) On a Hq(G, A) = 0 pour tout q > n et tout G-module discret A qui est un groupe de torsion p-primaire. (iii) On a Hn+I(G, A) = 0 lorsque A est un G-module discret simple annuld par p. Soit A un G-module de torsion, et soit A = ( ~ A(p) sa d~composition canonique en composantes p-primaires. On volt facilement que Hq(G, A(p)) s'identifie la composante p-primaire de Ha(G, A). L'~quivalence de (i) et (ii) en r~sulte. L'implication (ii) =~ (iii) est triviale. D'autre part, si (iii) est v~rifi~, un argument de d~vissage imm~diat montre que H n + I ( G , A) = 0 lorsque A est fini, et annul~ par une puissance de p; par limite inductive (cf. prop. 8, cot. 2) le m~me r~sultat s'dtend ~ t o u t G-module discret A qui est un groupe de torsion p-primaire. On en d~duit (ii) en raisonnant par r~currence sur q: on plonge A dans le module induit M e ( A ) , et on applique rhypoth~se de r~currence ~ M c ( A ) / A , qui est encore un module de torsion p-primaire. P r o p o s i t i o n 12. Supposons que cdp(G) <_ n, et soit A un G-module discret p-divisible (i.e. tel que p : A --* A soit surjectif). La composante p-primaire de H q ( G , A ) est alors nulle pour q > n. La suite exacte 0 fournit la suite exacte

~Ap---~A

P,A

,0

16

§ 3. Dimension cohomologique

Hq(G, Av) ~

Hq(G,A) v

Hq(G,A ) .

Pour q > n, on a Ha(G, Av) = 0 par hypoth6se. La multiplication par p e s t donc injective dans Hq(G, A), ce qui signifie bien que la composante p-primaire de ce groupe est r~duite h 0. C o r o l l a i r e . Si cd(G) <_ n, et si A E CG est divisible, on a Hq(G, A) = 0 pour q>n.

3.2. D i m e n s i o n cohomologique stricte Gardons les m6mes hypotheses et notations que ci-dessus. La p-dimension cohomologique stricte de G, not6e scdv(G), est la borne inf~rieure des entiers n tels que: (**) Pour tout A E CG, on a Hq(G,A)(p) = 0 pour q > n. [C'est la m~me condition que (*), ~ cela pros qu'on ne suppose plus que A soit un module de torsion.] On pose encore scd(G) = supscdv(G); c'est la dimension cohomologique stricte de G. P r o p o s i t i o n 13. scdp(G) est dgal d cdv(G ) ou d cdv(G ) + 1. II est clair que scdv(G ) _> cdv(G ). I1 faut donc prouver que scdv(G ) < cdv(G ) + 1 . Soit A E Co, et formons la d6composition canonique du morphisme p : A --* A. Elle consiste en deux suites exactes: 0

,N

,A

~ I ---~0,

0

, I

~A

~Q - - ~ 0

,

avec N = Ap, I = pA, Q = A/pA, le compos~ A --* I --* A 6tant la multiplication par p. Soit q > cdv(G ) + 1. Comme N e t Q sont des groupes de torsion p-primaires, on a Hq(G, N) = Hq-I(G,Q) = O. Il en r6sulte que

Hq(G,A) ---* Hq(G,I)

et

Hq(G,I) ~

Hq(G,A)

sont injectifs. La multiplication par p dans Ha(G, A) est donc injective, ce qui signifie que Ha(G, A)(p) = O, et d6montre que scdv(G ) < cdv(G ) + 1, cqfd.

Exemples. 1) Prenons G = Z. On a cdq(G) = 1 pour tout p (c'est imm~diat, cf. par exemple [145], p. 197, prop. 2). D'autre part, H2(G, Z) est isomorphe H i ( G , Q / Z ) = Q / Z , d'ofi scdv(G ) = 2.

3.3. Dimension cohomologique des sous-groupes et des extensions

17

2) Soit p ~ 2, et soit G le groupe des transformations affines x ~-~ ax + b, avec b E Zp, et a E Up (groupe des unit6s de Zp). On peut montrer que cdp(G) = scdp(G) = 2 [utiliser la prop. 19 d u n ° 3.5]. 3) Soit / un nombre premier, et soit Ge le groupe de Galois de la cl5ture alg~brique Qt du corps e-adique Ql. Tate a montr~ que l'on a cdp(Gt) = scdp(Ge) = 2 pour tout p, cf. chap. II, n ° 5.3.

Exercice. Montrer que scdp(G) ne peut pas ~tre ~gal h 1.

3.3. Dimension

cohomologique

des sous-groupes

et des

extensions Proposition

14. Soit H u n sous-groupe fermd d'un groupe profini G. On a cdp(H) _< cdp(G) scdp(H) < scdp(G)

avec dgalitd dans chacun des cas suivants: (i) (G : H) est premier d p. (ii) H est ouvert darts G, et cdp(G) < +oo. On ne s'occupera que de cdp, le raisonnement ~tant analogue pour scdp. Si A est un H - m o d u l e discret de torsion, M n (A) est un G-module discret de torsion et Hq (G, MH ( A ) ) = Hq (n , A ), d'oh ~videmment l'in~galit~ cdp(H) < cdp(G) . L'in~galit~ en sens inverse r~sulte, dans le cas (i), du fait que Res est injectif sur les composantes p-primaires (corollaire h la proposition 9). Dans le cas (ii), posons n = cdp(G), et soit A un G-module discret de torsion tel que Hn(G,A)(p) ~ O. On va voir que Hn(H,A)(p) ~ O, ce qui montrera bien que cdp(H) = n. Pour cela, il suffit de prouver le lemme suivant: L e m m e 4. L 'homomorphisme Cor : Hn(H, A) ~ Hn(G, A) est surjectif sur les

composantes p-primaires. En effet, soit A* = M ~ ( A ) , et soit 7r : A* --* A l'homomorphisme d~fini au n ° 2.5, b). Cet homomorphisme est surjectif, et son noyau B e s t de torsion. On a donc Hn+I(G, B)(p) = 0, ce qui montre que

H'~(G, A*)

, H'~(G, A)

est surjectif sur les composantes p-primaires. C o m m e cet homomorphisme s'identifie h la corestriction (cf. n ° 2.5), le lemme en r~sulte. C o r o l l a i r e 1. Si Gp est un p-groupe de Sylow de G, on a cdp(G) = cdp(Gp) = cd(Gp)

et

scdp(G) = scdp(Gp) = scd(Gp) .

18

§ 3. Dimension cohomologique C'est 6vident.

C o r o l l a i r e 2. Pour que cdp(G) = 0 il est ndcessaire et su~isant que l'ordre de G soit premier d p. C'est 6videmment suffisant. Pour montrer que c'est n~cessaire, on peut supposer que G est un pro-p-groupe (cf. cot. 1). Si G ~ {1}, il existe un homomorphisme continu de G sur Z / p Z , d'apr6s une propri6t6 616mentaire des p-groupes (cf. par exemple [145], p. 146). On a alors H i ( G , Z / p Z ) ¢ 0, d'ofi cdp(G) > 1. C o r o l l a i r e 3. Si cdp(G) ~ 0,co, l'exposant de p dans l'ordre de G est infini. Ici encore, on peut supposer que G est un pro-p-groupe. Si G 6tait fini, la partie (ii) de la proposition montrerait que cdp(G) = cdp({1}) = 0, contrairement l'hypoth~se. Donc G est infini. C o r o l l a i r e 4. Supposons que cdp(G) = n soit fini. Pour que scdp(G) = n, il faut et il suI]it que la condition suivante soit vdrifide: Pour tout sous-groupe ouvert H de G, on a H n + I ( H , Z)(p) = 0. La condition est ~videmment n6cessaire. Inversement, si elle est v6rifi6e, on a H n + t ( G , A ) ( p ) = 0 pour tout G-module discret A qui est isomorphe $ u n MH c [xz m'~j, avec m > 0. Mais tout G-module discret B de type fini sur Z e s t isomorphe ~ un quotient A / C d'un tel A (prendre pour H un sous-groupe ouvert distingu~ de G operant trivialement sur B). C o m m e Hn+2(G, C)(p) est nul, on en d~duit que H n + I ( G , B)(p) = 0, et par passage ~ la limite ce r~sultat s'~tend tout G-module discret, cqfd. La prop. 14 admet le compl~ment suivant:

Proposition 14'. Si G est sans p-torsion, et si H est un sous-groupe ouvert de G, on

a

cdp(G) = cdp(H)

et

scdp(G) = scdp(H) .

Vu la prop. 14, tout revient k montrer que cdp(H) < cx) entraSne cdp(G) < oo; voir l~-dessus [149], ainsi que [151], p. 98, et Haran [66]. P r o p o s i t i o n 15. Soit H un sous-groupe distingud fermd d'un groupe profini G. On a l'indgalitd: c@(G) < cd~(H) + c d p ( G / H ) . On utilise la suite spectrale des extensions de groupes:

E~2J = H i ( G / H , H i ( H , A)) ==~ H n ( G , A) . Soit donc A un G-module discret de torsion, et prenons n > cdp(H) + c d p ( G / H ) . Si i + j = n, on a, soit i > cdp(G/H), soit j > c @ ( H ) , et la composante p-primaire de E~ 'j est nulle dans les deux cas. D'ofi la nullit~ de la composante p-primaire de Hn(G, A), cqfd.

3.4. Caract~risation des groupes profinis G tels que cdv(G ) < 1

19

Remarque. Supposons que n = c @ ( H ) et m = c d p ( G / H ) soient finis. La suite spectrale fournit alors un isomorphisme canonique: Hn+m(G, A)(p) = H m ( G / H , H n ( H , A))(p) . Cet isomorphisme p e r m e t de donner des conditions pour que cdp(G ) soit dgal c d p ( H ) + c d p ( G / H ) , cf. n ° 4.1. Exercices. 1) Montrer que, dans l'assertion (ii) de la prop. 14, on peut remplacer l'hypoth~se "H est ouvert dans G" par la suivante "l'exposant de p dans (G : H) est fini". 2) Les notations 6tant celles de la proposition 15, on suppose que l'exposant de p dans (G : H) n'est pas nul (i.e. cdv(G/H ) ~ 0). Montrer que l'on a l'in6galit6 scdp(G) < cdp(H) + scdv(G/H ). 3) Soit n un entier. On suppose que, pour tout sous-groupe ouvert H de G, les composantes p-primaires de H'~+I(H, Z) et Hn+2(H, Z) sont nulles. Montrer que scdv(G ) < n . [Si Gp est un p-groupe de Sylow de G, on montrera que Hn+I(Gp,Z/pZ) = 0, et on appliquera la prop. 21 du n ° 4.1 pour prouver que cdp(G) _< n.]

3 . 4 . Caract~risation des groupes profinis G tels que cdp(G) _~ 1 Soit 1 --* P --~ E ~ W -~ 1 une extension de groupes profinis. Nous dirons q u ' u n g r o u p e profini G poss~de la propridtd de rel~vement pour l'extension pr6c6dente si t o u t morphisme f : G --* W se relive en un morphisme f ' : G -* E (i.e. s'il existe fr tel que f = u o f ' ) . Cela ~quivaut ~ dire que l'extension 1

,P

,El

,G

~1,

image r6ciproque de E par f , est scindde (i.e. a d m e t une section continue G --* E I qui est un homomorphisme). P r o p o s i t i o n 16. Soit G u n groupe profini et soit p un nombre premier. Les propridtds suivantes sont dquivalentes: (i) cd~(G) < 1. (ii) Le groupe G poss~de la propridtd de rel~vement pour les extensions 1 --* P ~ E --* W --~ 1 o~ E est fini, et o~ P e s t un p-groupe abdlien annuld par p. (ii bis) Toute extension de G par un p-groupe abdlien fini annuld par p est scindde. (iii) Le groupe G poss~de la propridtd de reI~vement pour les extensions 1 ---* P --~ E -* W --* 1 o~ P est un pro-p-groupe. (iii bis) Toute extension de G par un pro-p-groupe est scindde. (Il s'agit, bien entendu, d'extensions dans la cat~gorie des groupes profinis.)

20

§ 3. Dimension cohomologique

I1 est clair que (iii) ¢~ (iii bis) et que (ii bis) ~ (ii) =~ (ii bis), consid~rons une extension 1

,P

,Eo

(ii). Pour prouver que

,G---~I

de G par un p-groupe ab~lien fini P annul~ par p. Choisissons un sous-groupe ouvert normal H de E0 tel que H N P = 1; la projection Eo --~ G identifie H un sous-groupe ouvert normal de G. Posons E = E o / H et W = G / H . On a une suite exacte 1 ---~ P ,E ,W ,1. D'apr~s (ii), le morphisme G -* W se relive ~ E. C o m m e le carr~ E0

, G

E

,W

est cart~sien, on en d~duit que G se relive dans E0, i.e. que Eo est scind~e. D'oh (ii bis). La correspondence entre ~l~ments de H2(G, A) et classes d'extensions de G par A (cf. n ° 2.3) montre que (i) ¢~ (ii bis). On a (iii bis) ~ (ii bis) trivialement. Reste donc ~ montrer que (ii bis) entraine (iii bis). On s'appuie pour cela sur le lemme suivant: L e m m e 5. Soit H un sous-groupe ]erred distingud d'un groupe profini E, et soit H ~ un sous-groupe ouvert de H. Il existe alors un sous-groupe ouvert H " de H, contenu dens H ~, et distingud dens E. Soit N le normalisateur de H ~ dans E, c'est-~-dire l'ensemble des x E E tels que x H t x -1 = H ~. C o m m e x H t x -1 est contenu dans H , on voit que N e s t l'ensemble des dl~ments qui appliquent un compact (~ savoir H ~) dens un ouvert (~ savoir H ' , considdr~ comme sous-espace de H ) . I1 s'ensuit que N e s t ouvert, donc que les conjugu~s de H ~ sont en nombre fini. Leur intersection H n r~pond aux condition pos~es. Revenons maintenant & la d~monstration de (ii bis) ~ (iii bis). Soit 1 --* P -~ E --* G --* 1 une extension de G par un pro-p-groupe P. Soit X l'ensemble des couples (P~, s), oh P~ est ferm~ darts P e t distingu~ dens E, et oh s est un rel~vement de G dens l'extension 1

, P/P'

, E/P'

, G ---, 1 . !

!

C o m m e au n ° 1.2, on ordonne Z en convenant que (P{, Sl) > (P~, s~) si P~ C P~ et si s2 est le compos~ de Sl evec la projection E / P { -~ E/P~. L'ensemble X est inductif. Soit (P~, s) un dldment maximal de X; tout revient ~ montrer que l'on aPl=l. Soit E~ l'image r~ciproque de s(G) dens E. On a une suite exacte 1

,pI

,E8

,G---~I.

3.4. Caxact~risation des groupes profinis G tels que cd~(G) ~ 1

21

Si P ' ¢ 1, le l e m m e 5 m o n t r e qu'il existe un s o u s - g r o u p e o u v e r t P ~ de PC, d i s t i n c t de P~, e t distingud d a n s E . P a r d6vissage ( P ~ / P ~ ~tant un p - g r o u p e ) , on p e u t s u p p o s e r que P ~ / P ~ est ab~lien et annul~ p a r p. Vu (ii bis), l ' e x t e n s i o n

1 -----. P ~ / P ~ ---* E ~ / P ~

, G

, 1

est scind~e. D'ofl un rel~vement de G d a n s E s / P ~ et a fortiori d a n s E / P '~. Ceci c o n t r e d i t le c a r a c t ~ r e m a x i m a l de (P~, s). O n a d o n e b i e n P~ = 1, ce qui ach~ve la d ~ m o n s t r a t i o n . Corollaire.

Un pro-p-groupe libre F ( I ) est de dimension cohomologique < 1.

V~rifions p a r e x e m p l e la propri~t~ (iii bis). Soit E / P = G une e x t e n s i o n de G = F ( I ) p a r u n p r o - p - g r o u p e P , et soient x~ les g~n~rateurs c a n o n i q u e s de F ( I ) . Soit u : G --* E une section continue p a s s a n t p a r l'~l~ment n e u t r e (cf. prop. 1), et soient ei -- s(xi). P u i s q u e les xi t e n d e n t vers 1, il en est de m ~ m e des e,, et la prop. 5 m o n t r e qu'il existe un m o r p h i s m e s : G --* E t e l que s ( x i ) = ei. L ' e x t e n s i o n E est donc scind~e, cqfd.

Exercices. 1) Soit G u n groupe et soit p un nombre premier. Consid~rons la propri~t~ suivante: (.p). Pour toute extension 1 --* P --* E --* W --* 1, oh E est fini et oh P e s t un p-groupe, et pour tout morphisme surjecti/ f : G --* W , il existe un morphisme surjectif ff : G ~ E qui relive f. (a) Montrer que cette propri~t~ ~quivaut ~ la conjonction des deux suivantes: (lp). cdp(G) _< 1. (2p). Pour tout sous-groupe ouvert distingu~ U de G, et tout entier N >_ 0, il existe z l , . . . , Z N E H I ( U , Z / p Z ) tels que les ~l~ments s(z~) (s E G/U, 1 < i < N ) soient lin~airement ind~pendants sur Z / p Z . [On commencera par montrer qu'il suffit d'exprimer (*p) dans les deux cas suivants: (i) tout sous-groupe de E se projetant sur W est ~gal ~ E; (ii) E est produit semi-direct de W par P , et P e s t un p-groupe ab~lien annul~ par p. Le cas (i) ~quivaut ~ (lp) et le cas (ii) ~ (2p).] (b) Montrer que, pour v~rifier (2p), il suffit de consid~rer les sous-groupes U assez petits (i.e. contenus dans un sous-groupe ouvert fix~). 2) (a) Soient G et G J deux groupes profinis v~rifiant (,p) pour tout p. On suppose qu'il existe une base (Gn) (resp. (G'n)) de voisinages de l'414ment neutre dans G (resp. G ~) form6e de sous-groupes ouverts distingu6s tels que G/G,~ (resp. G~/G~) soit r6soluble pour tout n. Montrer que G e t G' sont isomorphes. [On construira pax r6currence s u r n deux suites d6croissantes (Hn), ( H i ) , avec Hn C G~, H i C G~, Hn et H i ouverts distingu~s dans G e t G ~, et une suite coh6rente (f,~) d'isomorphismes G / H~ -~ G' / H~.] (b) Soit L l e groupe libre (non ab61ien) engendr6 par une famille d6nombrable d'616ments (xi); soit Lr.s = ~ L / N , pour N distingu~ dans L, contenant presque t o u s l e s xl, et tel que L / N soit r~soluble et fini. Montrer que Lres est un groupe pror6soluble (i.e. limite projective de groupes r6solubles finis) m6trisable qui v~rifie (,p) pour tout p; montrer, en utilisant (a), que tout groupe profini v6rifiant ces propri6t6s est isomorphe ~ L .... [Cf. Iwasawa, [751.1 3) Soient G u n groupe fini, S u n p-groupe de Sylow de G, et N le normalisateur de S dans G. On suppose que S a la "propridtd d'intersection triviale", i.e. S ~ g S g - ~ = 1 si g q~ N.

22

§ 3. Dimension eohomologique (a) Si A est un G-module fini p-primaire, montrer que l'applieation Res: H~(G, A) ~

Hi(N, A) = Hi(S, A) N/s

e.st un isomorphisme pour tout i > 0. [Utiliser la caract@risation de l'image de Res donn@e dans [25], Chap. XII, th. 10.1.] (b) Soit 1 --* P --~ E --* G --* 1 une extension de G par un pro-p-groupe P. Montrer que tout rel~vement de N dans E se prolonge en un rel~vement de G. [Se ramener au cas off P est commutatif fmi, et utiliser (a) avec i -- 1, 2.] 4) Donner un exemple d'extension 1 --* P --* E --* G --, 1 de groupes profinis aymat les propri@t6s suivantes: (i) P est un pro-p-groupe. (ii) G est fini. (iii) Un p-groupe de Sylow de G se relive dams E. (iv) G ne se relive pas dans E [Pour p > 5, on peut prendre G = SL2(Fp), E = SL2(Zp[w]), off w e s t une racine primitive p-i~me de l'unit@.]

3.5. M o d u l e dualisant Soit G u n groupe profini. Nous noterons C~ (resp. C~) la cat@gorie des Gmodules discrets A qui sont des groupes finis (resp. des groupes de torsion). La cat@gorie C 0 s'identifie ~ la cat@gorie lin~ C/c des limites inductives d'objets de C/a. On d@signera par (Ab) la cat@gorie des groupes ab61iens. Si M E (Ab) on posera M* = H o m ( M , Q / Z ) , et on munira ce groupe de la topologie de la convergence simple ( Q / Z 6tant consid@r@ comme discret). Lorsque M est un groupe de torsion (resp. un groupe fini), son dual M* est profini (resp. fini). On obtient ainsi (cf. n ° 1.1, exemple 4) une @quivalence ("dualit@ de Pontrjagin") entre la cat@gorie des groupes ab@liens de torsion et la cat6gorie oppos6e g celle des groupes profinis commutatifs. P r o p o s i t i o n 17. Soit n u n entier > O. Faisons les hypotheses suivantes: (a) cd(G) <_ n. (b) Pour tout A E C G, I le 9roupe Hn(G, A) est fini.

Alors le foncteur A ~-* H~(G, A)* est reprgsentable sur CIc par un dldment I de C~. [En d'autres termes, il existe I E C~ tel que les foneteurs H o m V ( A , I ) et

H'~(G, A)* soient isomorphes pour A parcourant C~.] Posons S(A) = Hn(G, A) et T(A) = Hn(G, A)*. L'hypoth~se (a) montre que S est un foneteur eovariant et exact ~ droite de C~ dans (Ab); l'hypoth~se (b) montre qu'il prend ses valeurs dans la sous-eat@gorie (Ab I) de (Ab) fortune des groupes finis. C o m m e le foneteur * est exact, on en d&luit que T est un foneteur eontravariant exact ~ gauche de C~ dans (Ab). La prop. 17 est alors une eons@quenee du lemme suivant:

3.5. Module dualisant

23

L e m m e 6. Soit C une catggorie abdlienne noethdrienne, et soit T : C O --* (Ab) un foncteur contravariant exact ~ droite de C dans (Ab). Le foncteur T e s t alors reprdsentable par un objet I de lim~ c . Ce r~sultat se trouve dans un expos~ Bourbaki de Grothendieck [61], ainsi que dans la th~se de Gabriel ([52], Chap. II, n ° 4). Rappelons le principe de la d~monstration: Un couple (A, x), avec A E C et x E T(A), est dit minimal si x n'appartient aucun T(B), off B est un quotient de A distinct de A (si B est un quotient de A, on identifie T(B) £ un sous-groupe de T(A)). Si (A', x') et (A, x) sont des couples minimaux, on dit que (A', x') est plus grand que ( A, x) s'il existe un morphisme u : A --* A ~ tel que T(u)(x') = x (auquel cas on v~rifie que u est unique). L'ensemble des couples minimaux est un ordonnd filtrant, et l'on prend I -- lim A suivant cet ordonn~ filtrant. Si l'on pose T(I) = lim T(A), les x d~finissent un ~l~ment canonique i E T(I). Si f : A --* I e s t un morphisme, on fait eorrespondre ~ f l'~l~ment T(f)(i) de T(A), et l'on obtient un homomorphisme de Horn(A, I) dans T(A). On v~rifie sans difficult~s (c'est tout de m~me l~ qu'intervient l'hypoth~se noeth~rienne) que cet homomorphisme est un isomorphisme.

Remarques. 1) Ici, T(I) est simplement le dual (compact) du groupe de torsion Hn(G, I) et l'~l~ment canonique i E T(I) est un homomorphisme i: Hn(G,I)

, q/Z.

L'application HomC(A,I) ~ Hn(G,A) * s'obtient en faisant correspondre f E H o m e ( A , I) l'homomorphisme

Hn(G,A) J ~ Hn(G,I)

' , Q/Z

.

2) Le module I est appel~ le module dualisant de G (pour la dimension n). I1 est d~termin~ ~ isomorphisme pros; plus pr~cis~ment, le couple (1,4) est

ddtermind h isomorphisme unique pr~s. 3) Si l'on s'dtait restreint aux G-modules p-primaires, on n'aurait eu besoin que de l'hypoth~se cdp(G) _< n. 4) Par passage ~ la limite, on d~duit de la prop. 17 que, si A E C 0, le groupe

H'~(G, A) est dual du groupe compact Home(A, I), la topologie de ce dernier groupe ~tant celle de la convergence simple. Si l'on pose A = Hom(A, I), et si l'on consid~re A comme un G-module par la formule (gf)(a) = g. f(g-la), on a H o m G ( A , I ) -- H°(G, A) et la prop. 17 s'exprime alors comme une dualitd entre Hn(G, A) et H°(G, A), le premier groupe ~tant discret, et le second compact. P r o p o s i t i o n 18. Si I e s t module dualisant pour G, I e s t aussi module dualisant

pour tout sous-groupe ouvert H de G.

24

§ 3. Dimension cohomologique

Si A E CfH, on a M g ( A ) E C~ et H"(G, M g ( A ) ) = H'~(H,A). On en d6duit que Hn(H, A) est dual de HomG(M~(A), I). Mais il est facile de voir que ce dernier groupe s'identifie fonctoriellement ~ Homn(A, I). Il s'ensuit que I e s t bien le module dualisant de H.

Remarque. L'injection canonique de Homa(A, I) dans HomH(A, I) d6finit par dualit6 un homomorphisme surjectif H~(H, A) --* H'~(G, A) qui n'est autre que la corestriction: cela se volt sur l'interpr6tation de la corestriction donn6e au n ° 2.5. C o r o l l a i r e . Soit A E CIG. Le groupe A = Horn(A, I) est la limite inductive des

duaux des H'~(H,A), pour H parcourant l'ensemble des sous-groupes ouverts de G (les applications entre ces groupes 6tant les transpos6es des corestrictions). Cela r6sulte par dualit6 de la formule 6vidente .4 = lim Hom H (A, I) .

Remarque. On peut pr6ciser l'~nonc6 pr6c6dent en prouvant que les op6rations de G sur s'obtiennent par passage ~ la limite ~ partir des op6rations naturelles de G / H sur Hn(H, A), pour H ouvert distingud dans G. P r o p o s i t i o n 19. Supposons n > 1. Pour que scdp(G) = n + 1, il faut et il suJ:fit

qu'il existe un sous-groupe ouvert H de G tel que I H contienne un sous-groupe isomorphe d Qp/Zlo. Dire que I H contient un sous-groupe isomorphe ~ Q p / Z p 6quivaut k dire que H o m g ( Q p / Z p , I) ¢ 0, ou encore que H'~(H, Qp/Zp) ¢ 0. Mais Hn(H, Qp/Zp) est la composante p-primaire de Hn(H, Q / Z ) , lui-m~me isomorphe ~ H n+l (H, Z) (utiliser la suite exacte habituelle

0

,z

,Q--~Q/Z---,0

ainsi que l'hypoth~se n >_ 1). La proposition r~sulte donc du cor. 4 ~ la prop. 14.

Exemples. 1) Prenons G = 7,, n = 1. Soit A E C 0, et notons a l'automorphisme de A d6fini par le g6n6rateur canonique de G. On v6rifie facilement (cf. [145], p. 197) que Hi(G, A) s'identifie ~ AG = A / ( a - 1)A. On en conclut que le module dualisant de G est le module Q / Z , avec op6rateurs triviaux. On retrouve en particulier le fait que scdp(G) = 2 pour tout p. 2) Soit Q t la clSture alg~brique du corps i-adique Ql, et soit G le groupe de Galois de Q t sur Ql- On a cd(G) = 2, et le module dualisant correspondant est le groupe ~ de toutes les racines de l'unit6 (chap. II, n ° 5.2). La proposition pr6c~dente redonne le fait que scdp(G) = 2 pour tout p, cf. chap. II, n ° 5.3.

§ 4. Cohomologie des pro-p-groupes

4.1. Modules

simples

P r o p o s i t i o n 20. Soit G un pro-p-groupe. Tout G-module discret annuld par p et simple est isomorphe h Z / p Z (avec op6rateurs triviaux). Soit A un tel module. I1 est clair que A est fini, et on peut le consid~rer comme un G / U - m o d u l e , off U est un sous-groupe ouvert distingu6 convenable de G. On est ainsi ramend au cas oh G est un p-groupe (fini), cas qui est bien connu (cf. par exemple [145], p. 146). C o r o l l a i r e . Tout G-module discret fini et p-primaire admet une suite de composition dont les quotients successifs sont isomorphes d Z/pZ. C'est ~vident. P r o p o s i t i o n 21. Soient G un pro-p-groupe et n u n entier. Pour que cd(G) _~ n, il ]aut et il sui~it que Hn+I(G, Z / p Z ) -- 0. Cela r6sulte des prop. 11 et 20. C o r o l l a i r e . Supposons que cd(G) soit dgal h n. Si A est un G-module discret fini, p-primaire, et non nul, on a H n ( G , A) ~ O. En effet, d'apr~s le corollaire ~ la prop. 20, il existe un homomorphisme surjectif A --* Z / p Z . Comme cd(G) _< n, l'homomorphisme correspondant: H'~(G, A) ----* H n ( V , Z / p Z )

est surjectif. Mais la prop. 21 montre que H n ( G , Z / p Z ) ~ 0. D'ofi le r~sultat. La proposition suivante pr6cise la prop. 15: P r o p o s i t i o n 22. Soient G u n groupe profini et H un sous-groupe ]ermg distingud de G. On suppose que n = cdp(H) et m = c d p ( G / H ) sont finis. On a l'ggalitd cdp(G) = n + m dans chacun des deux cas suivants: (i) H est un pro-p-groupe et H n ( H , Z/pZ) est fini. (ii) H est contenu dans le centre de G.

26

§ 4. Cohomologie des pro-p-groupes

Soit ( G / H ) ~ un p - g r o u p e de Sylow de G / H , et soit G' son i m a g e r~ciproque d a n s G. O n sait que c d p ( G ~) < c d p ( G ) < n + m , et que cdp(G~/H) = m. Il suffira d o n c de p r o u v e r que c d p ( G ~) = n + m , en d ' a u t r e s t e r m e s on peut supposer que G / H est un pro-p-groupe. O n a d ' a u t r e p a r t (cf. n ° 3.3):

Hn+m(G, Z / p Z ) = H m ( G / H , H'~(H, Z / p Z ) ) . D a n s le cas (i), Hn(H, Z / p Z ) est fini et non nul ( P r o p o s i t i o n 21). I1 s ' e n s u i t que H m ( G / H , H'~(H, Z / p Z ) ) est non nul (cor. k la prop. 21), d'ofi H'~+'~(G, Z / p Z ) 0 et c d p ( G ) = n + m. D a n s le cas (ii), le g r o u p e H est ab61ien, donc p r o d u i t d i r e c t de ses sousg r o u p e s de Sylow H r . D ' a p r ~ s la prop. 21, on a Hn(Hp, Z / p Z ) ~ 0 et c o m m e H p est f a c t e u r d i r e c t d a n s H , il s ' e n s u i t que Hn(H, Z / p Z ) ¢ 0. D ' a u t r e p a r t , les o p e r a t i o n s de G / H s u r Hn(H, Z / p Z ) sont triviales. E n effet, d a n s le cas d ' u n Hq(H, A) quelconque, ces o p e r a t i o n s p r o v i e n n e n t de l ' a c t i o n de G sur H (par a u t o m o r p h i s m e s int~rieurs) et s u r A (cf. [145l, p. 124), et ici ces d e u x actions s o n t triviales. E n t a n t que G/H-module, Hn(H, Z / p Z ) est donc i s o m o r p h e u n e s o m m e d i r e c t e ( Z / p Z ) (I), l ' e n s e m b l e d ' i n d i c e s I ~ t a n t non vide. O n a donc:

Hn+m(G, Z / p Z ) = Hra(G/H, Z / p Z ) (I) ~ O, ce qui ach~ve la d ~ m o n s t r a t i o n c o m m e ci-dessus.

Exercice. Soit G un pro-p-groupe. On suppose que Hi(G, Z / p Z ) est de dimension finie n~ sur Z/pZ pour tout i, et que n~ = 0 pour i assez grand (i.e. cd(G) < -I-c~). On pose E(G) = ~ ( - 1 ) i n ~ ; c'est la caract~ristique d'Euler-Poincard de G. (a) Soit A un G-module discret, d'ordre fini pa. Montrer que les Hi(G, A) sont finis. Si p,~(A) d~signe leur ordre, on pose:

x(A) = Z ( - 1 ) ~ n ~ ( A ) • Montrer que x(A) = a . E(G). (b) Soit H u n sous-groupe ouvert de G. Montrer que H possL~ie les m~mes propri6t6s que G, et que l'on a E(H) = ( G : g ) . E(G). (c) Soit X / N = H une extension de G pax un pro-p-groupe N v6rifiant les m~mes propri6t6s. Montrer qu'il en est de m~me de X et que l'on a E(X) = E(N) • E(G). (d) Soit G1 un pro-p-groupe. On suppose qu'il existe un sous-groupe ouvert G de G1 v6rifiant les propri6t6s ci-dessus. On pose E(G1) = E(G)/(GI : G). Montrer que ce nombre (qui n'est plus n6cessairement entier) ne d6pend pas du choix de G1. G6n6raliser (b) et (c). Montrer que E(G1) ~ Z :=~ G1 contient un 616ment d'ordre p (utiliser la prop. 14t). (e) On suppose que G est un groupe de Lie p-adique de dimension ~ 1. Montrer, en utilisant les r6sultats de M. Lazaxd ([102], 2.5.7.1) que l'on a E(G) = O. (f) Soit G le pro-p-groupe d~fini par deux g~n~rateurs x, y e t pax la relation x n = 1. Soit H le noyau de l'homomorphisme f : G --* Z/pZ tel que .f(x) = 1, f(y) = O. Montrer que H est libre de base {xiyx-i}, 0 _< i <_ p - 1. En d~duire que E(H) = 1 - p et E(G) = p-i _ 1.

4.2. Interpr4tation de Hi: g4nSrateurs

27

4.2. Interpr4tation de Hi: g4n4rateurs Soit G un pro-p-groupe. Dans toute la suite de ce §, on pose:

Hi(G) = Hi(G, Z / p Z ) . En particulier, Hi(G) d4signe Hi(G, Z / p Z ) = Horn(G, Z / p Z ) . P r o p o s i t i o n 23. Soit f : G1 --* G2 un morphisme de pro-p-groupes. Pour que f soit surjectif, il faut et il s u ~ t que H i ( f ) : H i ( G 2 ) ~ H i ( G 1 ) soit injectif. La n4cessitd est claire. Inversement, supposons que f(G1) # G2. I1 existe alors un quotient fini P2 de G2 tel que l'image P1 de f(G1) dans P2 soit distincte de P2. On sait (cf. par exemple Bourbaki A 1.73, prop. 12) qu'il existe un sousgroupe distingu4 de P2, d'indice p, contenant P1. En d'autres termes, il existe un morphisme non nul ~ :/)2 --* Z / p Z qui applique/'1 sur 0. Si l'on consid~re comme un 414ment de HI(G2), on a ~r 6 K e r H l ( f ) , cqfd.

Remarque. Soit G u n pro-p-groupe. Notons G* le sous-groupe de G intersection des noyaux des homomorphismes continus r : G -~ Z/pZ. On voit facilement que G* = G p . (G, G), oh (G, G) d4signe l'adh4rence du groupe des commutateurs de G. Les groupes G/G* et H I ( G ) sont duaux l'un de l'autre (le premier 4tant compact et le second discret). La prop. 23 peut donc se reformuler ainsi: P r o p o s i t i o n 23 bis. Pour qu'un morphisme G1 --* G2 soit surjecti], il faut et

il su1~it qu'il en soit m~me du morphisme G1/G~ --, G2/G~ qu'il ddfinit. Ainsi, G* joue le r61e d'un "radical", et la proposition pr4c4dente est analogue au "lemme de Nakayama", si utile en alg~bre commutative.

Exemple. Si G est le groupe libre F(I) d4fini au n ° 1.5, la prop. 5 montre que H i ( G ) s'identifie ~ la s o m m e directe ( Z / p Z ) U), et G/G* au groupe produit ( Z / p Z ) I. Proposition

24. Soit G un pro-p-gwupe et soit I un ensemble. Soit O: HI(G) ---* (Z/pZ) (I)

un homomorphisme. (a) II existe un morphisme f : F(I) --* G tel que 8 = H i ( f ) . (b) Si 8 est injectif, un tel morphisme f e s t surjectif. (c) Si 8 est bijectif, et si cd(G) _< 1, un tel morphisme f e s t un isomorphisme. Par dualit4, 8 d4finit un morphisme 8' : ( Z / p Z ) I --+ G/G* de groupes compacts, d'oh en composant un morphisme F(I) - , G/G*. C o m m e F(I) a la proprint4 de rel~vement (cf. n ° 3.4), on en d4duit un morphisme f : F(I) --, G qui r4pond ~videmment ~ la question. Si 8 est injectif, la prop. 23 montre que f e s t surjectif. Si en outre cd(G) _< 1, la prop. 16 montre qu'il existe un morphisme 9: G -* F ( I ) tel que f o g = 1. On a H l ( g ) o H l ( f ) = 1. Si 8 = H i ( f ) est bijectif, il s'ensuit que Hi(g) est bijectif, donc que g est surjectif. C o m m e f o g = 1, ceci montre que f e t g sont des isomorphismes, et ach~ve la d4monstration.

28

§ 4. Cohomologie des pro-p-groupes

C o r o l l a i r e 1. Pour qu'un pro-p-groupe G soit isomorphe d u n quotient du prop-groupe fibre F ( I ) , il faut et il s u ~ t que H i ( G ) air une base dont le cardinal soit <_ Card(I). En effet, si cette condition est remplie, on peut plonger H 1(G) dans (Z/pZ) (/) , et appliquer (b). En particulier, tout pro-p-groupe est quotient d'un pro-p-groupe libre. C o r o l l a i r e 2. Pour qu'un pro-p-groupe soit libre, il faut et il su.Oit que sa dimension eohomologique soit <_ 1. C'est n~cessaire, on le sait. R6ciproquement, si cd(G) < 1, on choisit une base (ei)~el de H i ( G ) ; cela donne un isomorphisme O: H i ( G )

, (Z/pZ) (D ,

et la prop. 24 montre que G est isomorphe ~ F ( I ) . Indiquons deux cas particuliers du eorollaire precedent: C o r o l l a i r e 3. Soit G u n pro-p-groupe, et soit H un sous-groupe fermd de G. (a) Si G est fibre, H est fibre. (b) Si G est sans torsion et si H est libre, et ouvert dans G, alors G est libre. L'assertion (a) est immediate. L'assertion (b) r~sulte de la prop. 14~, C o r o U a i r e 4. Les pro-p-groupes Fs(I) ddfinis au n ° 1.5 sont libres. En effet, ces groupes v~rifient la propridtd de rel~vement de la prop. 16. Ils sont donc de dimension cohomologique _ 1. On va pr6ciser un peu le corollaire 1 dans le cas particulier off I e s t fini. Si gl, . . . , gn sont des ~l~ments de G, nous dirons que les gi engendrent G (topologiquement) si le sous-groupe qu'ils engendrent (all sens alg~brique) est dense dans G; il revient au m~me de dire que tout quotient G / U , avec U ouvert, est engendrd par les images des 9i. P r o p o s i t i o n 25. Soient gl, . . . , gn des dldments d'un pro-p-groupe G. Les conditions suivantes sont dquivalentes: (a) gl, . . . , gn engendrent G. (b) L'homomorphisme g : F ( n ) --* G ddfini par les g~ (cf. prop. 5) est surjee-

t~ (c) Les images dans G/G* des gi engendrent ce groupe. (d) Tout ~r e H i ( G ) qui s'annule sur les 9~ est dgal d O. L'~quivalence (a)v~(b) se volt directement (elle r~sulte aussi de la prop. 24). L'~quivalence (b)¢~(c) r~sulte de la prop. 23 bis, et (c)¢~(d) se d~duit de la dualit~ reliant H i ( G ) et G/G*.

4.2. Interpr6tation de H i : g6n6rateurs Corollaire.

29

Le nombre minimum de gdndrateurs de G est dgal d la dimension

de H i ( G ) . C ' e s t clair. Le n o m b r e ainsi d6fini est appel6 le rang de G.

Exercices. 1) Montrer que, si I e s t un ensemble infini, F8(1) est isomorphe ~ F(2I). 2) Pour q u ' u n pro-p-groupe G soit m6trisable, il faut et il suffit que Hi(G) soit d6nombrable. 3) Soit G u n pro-p-groupe. Posons G1 = G, et d6finissons par r6currence G~ au moyen de la formule G,~ = (Gn-1)*. Montrer que les Gn forment une suite d6croissante de sous-groupes distingu6s ferm6s de G, d'intersection r6duite ~ {1}. Montrer que les Gn sont ouverts si et seulement si G est de rang fini. 4) On note n(G) le rang d ' u n pro-p-groupe G. (a) Soit F u n pro-p-groupe libre de rang fini, et soit U un sous-groupe ouvert de F. Montrer que U est un pro-p-groupe de rang fini, et que l'on a l'6galit6:

n ( U ) - 1 = ( F : U ) ( n ( F ) - 1) . [Utiliser l'exercice d u n ° 4.1 en notant que E(F) = 1 - n ( F ) . ] (b) Soit G u n pro-p-groupe de rang fini. Montrer que, si U est un sous-groupe ouvert de G, U est aussi de rang fini. D6montrer l'in6galit6:

n(U) - 1 _< ( G : V)(n(G) - 1). [Ecrire G comme quotient d ' u n pro-p-groupe libre F de m6me rang, et appliquer (a) l'image r6ciproque U ~ de U dans F.] Montrer que, s'il y a 6galit6 dans cette formule pour tout U, le groupe G est libre. [M6me m6thode que ci-dessus. Comparer les filtrations (Fn) et (G,~) d6finies dans l'exercice 3; montrer par r6currence sur n que la projection F -~ G d6finit par passage au quotient un isomorphisme de F/Fn sur G/Gn. En d6duire que c'est un isomorphisme.] 5) Soit G un groupe nilpotent engendr6 par une famille finie d'616ments ( X l , . . . , xn}. (a) Montrer que tout 616ment de (G, G) s'fcrit sous la forme: (~l,y,)...(~,,y,),

~v~c y, ~ G.

[Raisonner par r6currence sur la elasse de nilpotence de G, et utiliser la filtration centrale descendante Cm(G), ef. Bourbaki LIE II.44.] Enoncer (et d6montrer) un r4sultat analogue pour les c'r'(G), m > 2. (b) On suppose que G est u n p-groupe fini. Montrer que tout 616ment du groupe G* = GV(G, G) s'6crit sous la forme

y~(xl,yl)...(x.,y.),

avec y, e c .

6) Soit G u n prc~p-groupe de rang fini n, et soit { x l , . . . , xn} une famille d'61~ments engendrant topologiquement G. (a) Soit ~ : G '~ --* G l'application (Yl . . . . , yn) ~'* ( X h y l ) ' ' ' (xn, Y,O" Montrer que l'image de ~o est 6gale au groupe d6riv6 (G, G) de G. [Se ramener au cas off G est fini et utiliser l'exerc. 5.] En d6duire clue (G, G) est fermd dans G. M~me 6nonc6 pour les autres termes de la suite centrale descendante de G. (b) Montrer (par la m~me m6thode) que tout 616ment de G* s'6crit sous la forme ~(~l,yl)..( x . , ~ . ) , avec y~ ~ C.

30

§ 4. Cohomologie des pro-p-groupes

(c) Soit F u n groupe fini, et soit f : G --* F u n homomorphisme de groupes (non ndcessairement continu). Montrer que f e s t continu, i.e. que Ker(f) est ouvert dans G. [Utiliser l'exerc. 1 d u n ° 1.3 pour montrer que F est un p-groupe s i f est surjectif. Raisonner ensuite par r~currence sur l'ordre de F. Si cet ordre est dgal k p, utiliser (b) pour montrer que G* est contenu darts Ker(f), qui est donc ouvert. Si cet ordre est > p, appliquer l'hypoth~se de rdcurrence ~ la restriction de j: ~ G*.] (d) D~luire de (c) que tout sous-groupe d'indice ]ini de G est ouvert. [J'ignore si cette propridtd s'dtend ~ tousles groupes profinis G qui sont topologiquement de type fini.]

4.3. Interpr6tation de H2: relations Soit F u n pro-p-groupe, et soit R u n sous-groupe ferm6 distingud de F . Soient r l , . . . , r n E R. Nous dirons que les r~ engendrent R (comme sous-groupe distingu6 de F ) si les conjugu6s des ri engendrent (au sens alg6brique) un sousg r o u p e dense de R. I1 revient au m~me de dire que R e s t le plus petit sous-groupe ferm6 distingu6 de F contenant les ri. P r o p o s i t i o n 26. Pour que les ri engendrent R (comme sous-groupe distingu6 de F), il ]aut et il s u ~ t que tout dl~ment 7r E H i ( R ) F/n qui s'annule sur les ri

soit ggal h O. [On a H i ( R ) = Hom(R/R*, Z / p Z ) et le g r o u p e F I R op~re sur R/R* par a u t o m o r p h i s m e s int~rieurs. Il op~re donc sur H i ( R ) - c'est un cas particulier des r~sultats d u n ° 2.6.] Supposons que les conjugu~s g ri g - 1 des r~ engendrent un sous-groupe dense de R, et soit ~ un ~l~ment du g r o u p e H i ( R ) F/R tel que Ir(ri) = 0 pour t o u t i. Puisque ~ est invariant par F / R , on a ~ ( g x g -1) = ~r(x) pour g E F et x E R. O n en conclut que v s'annule sur les g r i g -1, donc sur R, d'ofi ~ -- 0. Inversement, supposons cette condition v~rifi~e, et soit R ' le plus petit sousg r o u p e ferm~ distingu~ de F contenant les ri. L'injection R ' --+ R d~finit un homomorphisme ]:Hi(R) -* H I ( R ' ) , d'ofi par restriction un h o m o m o r p h i s m e f : H i ( R ) F --* HI(RI) F. Si Ir E K e r ( f ) , ~ s'annule sur R I, donc sur les ri, et = 0 par hypoth~se. O n en conclut que K e r ( f ) ne contient a u c u n ~l~ment non nul invariant par F. Vu le corollaire g la prop. 20, ceci entraine K e r ( f ) = 0, et la prop. 23 m o n t r e que R ' --* R e s t surjectif, d'ofi R ' = R, cqfd. C o r o l l a i r e . Pour que R puisse ~tre engendrd par n dldments (comme sousg r o u p e distingu~ de F), il faut et il su]flt que

d i m H l ( R ) F/R < n . C ' e s t ~videmment n~cessaire. Inversement, si dim H l ( R ) F/R < n, la dualit~ existant entre H i ( R ) et R/R* m o n t r e qu'il existe n dl~ments ri E R tels que (r,, ~r) = 0 pour t o u t i entraine r -- 0. D'ofi le r~sultat cherch~.

Remarque. La dimension de H I (R) F/R sera appel~e le rang du sous-groupe distingud R.

4.3. Interpr6tation de H2: relations

31

On va appliquer ce qui pr6cbde au cas oil F est 6gal au pro-p-groupe libre F(n), et on posera G = F I R (le groupe G est donc d6crit "par g6n6rateurs et relations").

Proposition 27.

Les deux conditions suivantes sont dquivalentes: (a) Le sous-groupe t t est de rang fini (comme sous-groupe distingu6 de F ( n ) ). (b) H2(G) est de dimension finie. Si ces conditions sont vdrifides, on a l'dgalitd: r=n-hl

+h2 ,

o~ r e s t le rang du sous-groupe distingud R, et hi = dimH~(G). (Noter que hi est le rang du groupe G.)

On applique la suite exacte d u n ° 2.6, en tenant compte de H 2 ( F ( n ) ) = O. On trouve: 0

, Hi(G)

) H i ( f (n))

, H i ( R ) G ~ , H2(G)

~0 .

Cette suite exacte montre que H i ( R ) G e t H2(G) sont simultan6ment finis ou infinis, d'oh la premiere partie de la proposition. La deuxi~me pattie r6sulte aussi de cette suite exacte (former la somme altern6e des dimensions). C o r o l l a i r e . Soit G u n pro-p-groupe tel que H I ( G ) et H2(G) soient f n i s . Soit Xl, . . . , xn un systdme minimal de gdndrateurs de G. Le nombre r des relations entre les xi est alors dgal d la dimension de H2(G). [Les xi d~finissent un morphisme surjectif F ( n ) --~ G, de noyau R, et le rang de R (comme sous-groupe distingue) est par d~finition, le "nombre des relations entre les xi" .] En effet, l'hypoth~se suivant laquelle les xi forment un syst~me minimal de g~n6rateurs 6quivaut ~ dire que n = dim H I (G), cf. corollaire ~ la prop. 25. La proposition montre que r = h2, cqfd. Remarque. La d6monstration de la prop. 27 utilise de fa~on essentielle l'homomorphisme 5 : H i ( R ) G --~ H2(G), d~fini au moyen de la suite spectrale, i.e. par "transgression". On peut en donner une d~finition plus 616mentaire (cf. HochschildSerre [72]): on part de l'extension 1

~ R/R*

+ F/R*

~ G ----+ 1 ,

noyau ab61ien R / R * . Si r : R / R * --~ Z / p Z est un ~l~ment de H * ( R ) G, ~ transforme cette extension en une extension E~ de G par Z / p Z . La classe de E~ dans H2(G) est alors 6gale £ - 5 ( ~ ) . En particulier, sous les hypotheses du corollaire, on obtient une d6finition directe de l'isomorphisme 5: H i ( R ) c

, H2(G) .

32

§ 4. Cohomologie des pro-p-groupes

4.4. Un th~or~me

de Safarevi~

Soit G un p-groupe fini. Soit n(G) le nombre minimum de g~n~rateurs de G, et r(G) le nombre de relations entre ces g~n~rateurs (dans le pro-p-groupe libre correspondant). On vient de voir que n(G) = dim H i ( G ) et r(G) -- dim H2(G). [On pourrait aussi faire intervenir le nombre minimum R(G) de relations d~finissant G comme groupe discret. II est trivial que R(G) >_ r(G), mais je ne vois aucune raison (pas plus en 1994 qu'en 1964) pour qu'il y ait toujours ~galit~.] P r o p o s i t i o n 28. Pour tout p-groupe fini G, on a r(G) >_ n(G). La diffdrence r ( a ) - n ( a ) est gale au rang du grou g 3 ( a , Z). La suite exacte 0 --* Z --* Z --* Z / p Z --* 0 fournit la suite exacte de cohomologie: 0 ----* H i ( G )

, H2(G, Z) P, H2(G, Z) ----* H2(G)

) H3(G, Z)p ---* 0 ,

off H3(G, Z)p d~signe le sous-groupe de H3(G, Z) form4 des 414ments annul4s par p. Comme G est fini, tous ces groupes sont finis, et en faisant le produit altern4 de leurs ordres, on trouve 1. Ceci donne l'4galit4: r(a) = n(a) - t ,

avect=dimHa(a,z)p.

I1 est clair que t e s t aussi le nombre de facteurs cycliques de H3(G, Z), i.e. le rang de ce groupe, d'oh la proposition. Le r~sultat ci-dessus conduit ~ se poser la question suivante: la difference r(G) - n(G) peut-elle ~tre petite? Par exemple, peut-on avoir r(G) - n(G) = 0 pour de grandes valeurs de n(G)? [Dans les seuls exemples connus, on a n(G) = O, 1, 2 ou 3, cf. exerc. 2. I1 n'en est rien. Dans [135], en 1962, Safarevid fait la conjecture suivante: (*) - La diffdrence r(G) - n(G) tend vers l'infini avec n(G). Peu de temps apr~s, Golod et Safarevi6 [56] ont d4montr4 cette conjecture. Plus pr4cis4ment (voir Annexe 3): T h 4 o r ~ m e 1. Si G est un pro-p-groupe fini ~ 1, on a r(G) > n(G)2/4. (L'in4galit4 prouv4e dans [56] est 14g~rement moins bonne. Celle donn4e cidessus est due ~ Gaschiitz et Vinberg, cf. [27], Chap. IX.) La raison pour laquelle Safarevi6 s'int4ressait ~ cette question ~tait: T h 4 o r ~ m e 2 (cf. [135], [136]). Si la conjecture (*) est vraie (ce qui est le cas), le probl~me classique des "tours de corps de classes" admet une rdponse ndgative, i.e. il existe des "tours" infinies. De faqon plus pr4cise: T h 4 o r ~ m e 2'. Pour tout p, il existe un corps de nombres k, et une extension galoisienne infinie L / k qui est non ramifide et dont le groupe de Galois est un pro-p-groupe.

4.4. Un th~or~me de Safarevi~

33

En particulier: C o r o l l a i r e 1. Il existe un corps de nombres k tel que route extension finie de k air un nombre de classes divisible par p.

C o r o l l a i r e 2. Il existe une suite croissante de corps de nombres ki, de degrds ni --* oo et de discriminants Di, tels que IDa[1/n~ soit inddpendant de i.

La d~monstration du th. 2' s'appuie sur le r~sultat suivant: P r o p o s i t i o n 29. Soit K / k une extension galoisienne non ram(fide d'un corps de hombres k, dont le groupe de Galois G est un p-groupe fini. On suppose que K n'a aucune extension cyclique non rami]ide de degrd p. On note rl (resp. r2) le hombre de conjuguds rdels (resp. complexes) de k. On a alors: r(G) -

<

+ r2

(Lorsque p ---: 2, la condition de "non ramification" porte aussi sur les places archim~diennes.) Ddmonstration de la prop. 29 (d'apr~s K.Iwasawa [77]). Posons: I g = groupe des id~les de K, CK = I K / K * , groupe des classes d'id~les de K, UK = sous-groupe de I g form~ des ~l~ments (xv) tels que xv soit une unitd

du corps K . , pour toute v non archim~dienne, EK -----K* N UK, groupe des unit~s du corps K , Ek = groupe des unit~s du corps k, Clg = I K / U K • K* = groupe des classes d'id~aux de K. On a les suites exactes de G-modules: 0

, UK/EK

~ CK

~

elk

~0

0

,

, UK

~UK/EK

~0

EK

Le fait que K n'a pas d'extension cyclique non ramifi~e de degr6 p se traduit, v/a la th~orie du corps de classes, en disant que CIK est d'ordre premier ~ p; les groupes de cohomologie Hq(G, CIK) sont donc triviaux. I1 en est de m6me des groupes Hq(G, U~): cela r6sulte de ce que K / k est non ramifi6e. Appliquant la suite exacte de cohomologie, on en d6duit des isomorphismes

D'autre part, la th~orie du corps de classes montre que Hq(G, CK) est isomorphe _Hq-2(G,Z). En combinant ces isomorphismes, et en prenant q = - 1 , on voit que H - a ( G , Z) = I~°(G, EK) = E k / N ( E K ) . Mais H - 3 ( G , Z) est dual de Ha(G, Z), cf. [25], p. 250, donc a m~me rang. Appliquant la prop. 28, on volt que r ( e ) - n(G) est ~gal au rang de E k / N ( E K ) . D'apr~s le th~or~me de Dirichlet, le groupe Ek peut ~tre engendr6 par r l + r2 ~16ments. Le rang de E k / N ( E K ) est donc < rl + r2, ce qui d6montre la proposition. (Si k ne contient pas de racine primitive p-i~me de l'unit~, on peut m~me majorer r(G) - n(G) par r l + r2 - 1.)

34

§ 4. Cohomologie des pro-p-groupes

Revenons m a i n t e n a n t au thfor~me 2'. Soit k un corps de nombres alg4briques (totalement imnginnire si p = 2) et soit k(p) In plus g r a n d e extension galoisienne non ramifi6e de k d o n t le groupe de Galois G soit un pro-p-groupe. II s'agit de prouver l'existence de corps k tels que k(p) soit infini. Supposons en effet que k(p) soit fini. E n appliquant la proposition pr4c6dente ~ k ( p ) / k , on voit que l'on a: _< + _< [k: Q]. Or n ( G ) est facile h 4vnluer, grace ~ In th4orie du corps de classes: c'est le rang de In c o m p o s n n t e p-primaire du g r o u p e Clk. O n p e u t construire des corps k, de degr4s born6s, tels que n(G) --* oo. Cela contredit la conjecture (.), cqfd.

Exemple. P r e n o n s p = 2. Soient Pl, . . . , PN des hombres premiers, deux ~ deux distincts, et congrus ~ 1 m o d 4. Soit k = Q ( x / - p l "" "PN). Le corps k est un corps imaginaire quadratique. On a r , = 0, r2 - - 1 . D ' a u t r e part, il est facile de voir que les extensions quadratiques de k engendr4es par les v f ~ , avec 1 < i < N , sont non ramifi6es et ind4pendantes. O n a donc n(G) > N e t r ( G ) - n(G) < 1. Remarque. I1 y a des r6sultats analogues pour les corps de fonctions d'une variable sur un corps fini Fq (on consid~re des "tours" oil certaines places fix6es se d4composent compl~tement - comme le font les places archim6diennes pour les corps de nombres). Cela permet, pour tout q, de construire des courbes projectives irr4ductibles lisses Xi sur Fq ayant les propri4t&s suivantes (cf. [153], ainsi que Schoof [142]): (a) Le genre gi de X~ tend vers l'infini. (b) Le hombre des Fq-points de Xi est > c(q)(gi - 1), o~ c(q) est une constante > 0 ne ddpendant que de q (par exemple c(q) = 2/9 si q = 2, cf. [142]). Exgrcices. 1) D4montrer l'in4galit4 r(G) _> n(G) de la prop. 28 en passant nu quotient par le groupe des commutnteurs de G. 2) Soit n un entier. On consid~re des syst~mes c(i,j, k) d'entiers, avec i,j, k 6 [1, n], qui sont altern6s en (i, j). (a) Montrer que, pour tout n ~ 3, il existe un tel syst~me jouissnnt de la propri~t~ suivnnte: (.) - Si des ~16ments Xl, ..., Xn d'une alg~bre de Lie g de caract~ristique p v6rifient les relations

xJl =

c(i, j, k ) z k , k

on a xl ----0 pour tout i. (b) A tout syst~me c(i, j, k), on associe le pro-p-groupe Gc d~fini par n g6n6rateurs xl, et par les relations

[Iz

,

i < j,

avec (x,y) = x y x - 1 y-1. Montrer que dim Hi(Go) -- n e t dim H2(Gc) -- n ( n - 1)/2. (c) On suppose p ~ 2. Montrer que, si le syst~me c(i,j, k) v4rifie la propri6t4 (.) de (a), le groupe Ge correspondant est ]ini.

4.5. Groupes de Poincar~

35

[Filtrer G en posant Ga = G, Gn+l = GPn" (G, G,). Le gradu4 associ~ gr(G) est une alg~bre de Lie sur Z/pZ[~r], off deg(Ir) = 1. Montrer que l'on a [x~, xj] = ~ . c(i, j, k)zr.xk clans gr(G). En d4duire que gr(G)[~] = 0, d'ofi la finitude de gr(G), et celle de G.] (d) Comment faut-il modifier ce clue pr4c~de lorsque p = 2? (e) Montrer que le pro-p-groupe engendr~ par trois gdn~rateurs x, y, z li4s par les trois relations

xyx-1 --_-yl+p

,

yzy-1

= zl+p ,

Z X Z - 1 = xl+p

est un groupe fini (cf. J. Mennicke, [106l).

4.5.

Groupes

de Poincar4

Soit n u n entier > 1, et soit G u n pro-p-groupe. Nous dirons que G est un groupe de Poincard de dimension n si G v~rifie les conditions suivantes: (i) Hi(G) = Hi(G, Z / p Z ) est fini pour tout i. (ii) d i m H n ( G ) = 1. (iii) Le cup-produit

H'(G) × H~-~(G) ---* H~(G) ,

i > 0 quelconque,

est une forme bilindaire non d6gdn6rde. O n peut exprimer plus bri~vement ces conditions en disant que l'alg~bre

H*(G) est de dimension finie, et v~rifie la dualit4 de Poincar4. Noter que la condition (iii) entraine que Hi(G) = 0 pour i > n. O n a donc cd(G) = n. Exemples. 1) Le seul groupe de Poincar4 de dimension 1 est Zp (~ isomorphisme pros). 2) Un g r o u p e de Poincar4 de dimension 2 est appel4 un groupe de Demugkin (cf. [147]). P o u r un tel groupe, on a d i m H 2 ( G ) = 1, ce qui m o n t r e (cf. n ° 4.3) que G peut 8tre d4fini par une seule relation

R ( x l , . . . , Xd) = 1 ,

off

d = r a n g ( G ) = dim H I ( G ) .

Cette relation n'est d'ailleurs pas quelconque. O n peut la mettre sous forme canonique, cf. Demu~kin [43], [44], [45] ainsi que L a b u t e [92]. Par exemple, si p # 2, on p e u t prendre: R=x

ph

1 (xl,x2)(x3,z4)'"(x2m-I,Z2m),

m=ldimH

I(G), h = l , 2 , . . . , o o ,

ph

en c o n v e n a n t que x 1 = 1 si h = oo. 3) M. L a z a r d [102] a montr4 que, si G est un groupe analytique p-adique de dimension n, c o m p a c t et sans torsion, alors G est un g r o u p e de Poincar4 de dimension n. Cela fournit une bonne provision de tels groupes ( a u t a n t - et m~me plus - que d'alg~bres de Lie de dimension n sur Qp).

36

§ 4. Cohomologie des pro-p-groupes

Si G est un groupe de Poincar~ de dimension n, la condition (i), jointe au corollaire ~ la prop. 20, montre que les H i ( G , A) sont finis, pour tout A fini. C o m m e d ' a u t r e part, on a cd(G) = n, le module dualisant I de G est d~fini (cf. n ° 3.5). On va voir qu'il fournit une vraie "dualit~ de Poincar~": P r o p o s i t i o n 30. Soit G un pro-p-groupe de Poincard de dimension n, et soit I son module dualisant. Alors: (a) I e s t isomorphe d Q p / Z p comme groupe abdlien. (b) L'homomorphisme canonique i : H n ( G , I) -* Q / Z est un isomorphisme de H n ( G , I) sur Q p / Z p (identifid h u n sous-groupe de Q / Z ) . (c) Pour tout A E CIG et tout entier i, le cup-produit

Hi(G,A) x

Hn-i(a,A)

, Hn(G,I) = Qn/Zp

met en dualitd les deux groupes finis Hi(G, A) et H n - i ( G , A).

[On note CG / la cat4gorie des G-modules discrets finis qui sont p-primaires. Si A est un G-module, on pose A = Horn(A, I ) , cf. n ° 3.5.] La d4monstration se fait en plusieurs 4tapes: (1) - Dualit4 lorsque A est annuld par p. C'est alors un Z / p Z - e s p a c e vectoriel. Son dual sera not4 A* (on verra plus tard qu'il s'identifie £ .4). Le cup-produit d4finit pour tout i une forme bilin4aire H i ( G , A ) x H " - i ( G , A *)

~Hn(G) = Z / p Z .

Cette forme est non ddgdndrde. En effet, c'est vrai lorsque A = Z / p Z par d~finition m~me des groupes de Poincar~. Vu le corollaire ~ la prop. 20, il suffit donc de montrer que, si l'on a une suite exacte 0 -~ B --* A --* C --* 0, et si notre assertion est vraie pour B et pour C, elle est vraie pour A. Cela r~sulte d'un petit diagramme de t y p e standard. Plus pr~cis~ment, la forme bilin6aire ~crite ci-dessus ~quivaut ~ la donn~e d ' u n homomorphisme ai : H i ( G , A)

, H n - i ( G , A*)* ,

et dire qu'elle est non d4g4n4r4e signifie que ~i est un isomorphisme. D'autre part, on a la suite exacte: 0 ---* C*

} A* - - * B* - - * 0 .

En passant aux suites exactes de cohomologie, et en dualisant, on obtient le diagramme: •..--,

Hi-I(G,C)

--,

Hi(G,B)

1

-

l

--~ H i ( G , A )

--* H i ( G , C )

+

+

l

~

...

l

... __, HJ+I(G,C*) * - , H J ( G , B * ) * - . H J ( G , A * ) * --. H i ( G , C * ) * -~ ...

avec j = n -- i.

4.5. Groupes de Poincar~

37

On v~rifie, par un simple calcul de cochaines, que les carr6s extraits de ce diagramme sont eommutatifs au signe pros [de faqon plus precise, les carr6s marqu6s + sont commutatifs, et le carr~ marqu~ - a pour signature (-1)i]. C o m m e les fl~ches verticales relatives h B e t C sont des isomorphismes, il en est de m~me de celles relatives ~ A, ce qui d6montre notre assertion. (2) - Le sous-groupe Iv de I formd des dldments annulds par p e s t isomorphe d

z/pz. Prenons A annul~ par p. Le r~sultat que r o n vient de d~montrer prouve que Hn(G, A)* est fonctoriellement isomorphe ~ H o m e ( A , Z / p Z ) . D ' a u t r e part, la d~finition m~me du module dualisant montre qu'il est aussi isomorphe HomG(A, Ip). Vu l'unicit~ de l'objet repr~sentant un foncteur donn~, on a bien

xp = Z/pZ. (3) - Le module dualisant I e s t isomorphe (comme groupe abdlien) d Z/pkZ ou

a Qp/Zp. Cela r~sulte de la relation Ip = Z / p Z , et des propri~t~s ~ldmentaires des groupes de torsion p-primaires. (4) - Si U est un sous-groupe ouvert de G, U est un groupe de Poincar~ de dimension n, et Cot : Hn(U) --" Hn(G) est un isomorphisme. Soit A ~- MU(Z/pZ). On v~rifie facilement que A* est isomorphe h A et la dualit~ d~montrde dans (1) prouve que Hi(U) et Hn-~(U) sont duaux l'un de l'autre. En particulier, d i m H n ( U ) = 1, et comme Cot : Ha(U) --, Hn(G) est surjectif (n ° 3.3, lemme 4), c'est un isomorphisme. Enfin, il n'est pas difficile de montrer que la du~litd entre H~(U) et H'~-~(U) est bien celle du cup-produit. (5) - Pour tout A c C Gf ~ posons Ti(A) = 4lim Hi(U,A), pour U ouvert dans G .... (les homomorphismes ~tant ceux de corestriction). On a alors T~(A) = 0 pour

i ~ n, et Tn(A) est un foncteur exact en A (~ valeurs dans la catdgorie des groupes profinis abdliens). Il est clair que les T i forment un foncteur cohomologique (le foncteur lira ~tant exact sur la cat~gorie des groupes profinis). Pour montrer que T i -- 0 pour i ~ n, il suffit donc de le prouver pour A -~ Z/pZ. Mais alors les Hi(U) sont duaux des Hn-i(U), et on est ramen~ ~ prouver que lim Hi(U) = 0 pour j ~ 0, les homomorphismes ~tant ceux de restriction, ce qui est trivial (et vrai pour tout groupe profini et tout module). Une fois ddmontr~e la nullit~ des T i, i ~ n, l'exactitude de T ~ est automatique. (6) - Le groupe I est isomorphe ~ Qp/Zp, comme groupe abdlien. On sait que Hn(U, A) est dual de HomU(A, I). En passant ~ la limite, on en d~duit que Tn(A) = lim Hn(U, A) est dual de lim HomU(A, I). Vu (5), le foncteur Hom(A, I) est exact; cela signifie que I e s t Z-divisible, et, en comparant avec (3), on volt qu'il est isomorphe h Qp/Zp.

38

§ 4. Cohomologie des pro-p-groupes

(7) - L'homomorphisme Hn(G, I) - , Qv/Zv est un isomorphisme. Le groupe des Z-endomorphismes de I est isomorphe ~ Zv (op6rant de faqon 6vidente). Comme ces operations commutent ~ l'action de G, on voit que HomG(I, I) = Zp. Mais d'autre part, HomG(I, I) est aussi 6gal au dual de Hn(G, I), cf. n ° 3.5. On a donc un isomorphisme canonique Hn(G, I) --* Qp/Zp, et il n'est pas difficile de voir que c'est l'homomorphisme i. (8) - Fin de la ddmonstration. II reste la partie (c), autrement dit la dualit6 entre Hi(G, A) et Hn-~(G, A). Cette dualit6 est vraie pour A = Z/pZ, par hypoth~se. A partir de l~, on proc~de par d6vissage, exactement comme dans (1). I1 suffit simplement d'observer que, si 0 --* A -~ B -~ C -~ 0 est une suite exacte dans C G~ I la suite 0 -* C --, /~ --* A --~ 0 est aussi exacte (cela provient de ce que I est divisible): on peut utiliser le m~me genre de diagramme. C o r o l l a i r e . Tout sous-groupe ouvert d'un groupe de Poincard est un groupe de Poincard de m~me dimension. On l'a vu en cours de route.

Remarques. 1) Le fait que I soit isomorphe h Q v / Z v montre que A est canoniquement isomorphe d A (comme G-module). On a une excellente dualit6. 2) Notons Up le groupe des unit6s p-adiques (61~ments inversibles de Zv). C'est le groupe des automorphismes de I. Comme G op~re sur I, on voit que cette op6ration est donn6e par un homomorphisme canonique

x:G

,Up.

Cet homomorphisme est continu; il d6termine I (~ isomorphisme pros); on peut dire qu'il joue le r61e de l'homomorphisme d'orientation lrl - , {±1} de la topologie. Noter que, puisque G est un pro-p-groupe, X prend ses valeurs dans le sousgroupe U (1) de Up form6 des 616ments - 1 mod p. L'homomorphisme X est l'un des invariants les plus int6ressants du groupe G: a) Lorsque G est un groupe de Demufikin (i.e. n = 2), G est d6termin6 isomorphisme pros par les deux invariants suivants: son rang, et l'image de X dans Up, cf. Labute [92], th. 2. b) La dimension cohomologique stricte de G d~pend de Im(x): P r o p o s i t i o n 31. Soit G u n pro-p-groupe de Poincard de dimension n, et soit X : G -~ Up l'homomorphisme qui lui est associd. Pour que scd(G) soit @al n + 1, il faut et il su]:fit que l'image de X soit finie. Dire que Im(x) est finie revient h dire qu'il existe un sous-groupe ouvert U de G tel que x(U) = {1}. Or cette derni~re condition signifie que I U contient (et est en fait 6gal h) Qp/Zp. D'ofi le r6sultat, en vertu de la prop. 19.

4.5. Groupes de Poincar~

39

Remarque. La s t r u c t u r e du g r o u p e U(v1) est bien et s i p = 2, il est isomorphe ~ {=t=1} x prop. 31 p e u t donc se reformuler ainsi: P o u r p ~ 2, scd(G) = n + 1 ~quivaut Pour p = 2, scd(G) = n + 1 ~quivaut

connue: si p ~ 2, il est isomorphe ~ Zv, Z2 (cf. par exemple [145], p. 220). La ~ dire que X est trivial. £ dire que x(G) = (1} ou {=t=l}.

Exemple. Supposons que G soit un groupe analytique p-adique de dimension n, et soit L(G) son alg~bre de Lie. D'apr~s Lazard ([102], V.2.5.8), la caract~re X associd ~ G est donn~ par: X(S) -- detAd(s) (s E G), oh Ad(s) d6signe l'automorphisme de L(G) d6fini par t ~-* sts -1. En particulier, on a scdp(G) = n + 1 si et seulement si Trad(x) = 0 pour tout x e L(G); c'est le cas si L(G) est une alg~bre de Lie r~ductive. La proposition suivante est utile dans l'6tude des groupes de Demu~kin: P r o p o s i t i o n 32. Soit G u n pro-p-groupe, et soit n u n entier > 1. Supposons que H i ( G ) soit fini pour i <_ n, que d i m H n ( G ) = 1, et que le cup-produit H i ( G ) × Hn-~(G) ~ Hn(G) soit non ddgdndrd pour i < n. Si en outre G est

infini, c'est un groupe de Poincard de dimension n. I1 suffit 6 v i d e m m e n t de prouver que Hn+I(G) = 0. Pour cela, il faut d ' a b o r d ~tablir quelques propridt~s de dualit6: (1) Dualitd pour les G-modules finis A annulds par p. O n proc~de c o m m e dans le (1) de la d~monstration de la prop. 30. Le cupproduit d6finit des h o m o m o r p h i s m e s

a~ : H'(G, A)

~. H n - ' ( G , A*)* ,

0 < i < n.

Par hypoth~se, ce sont des isomorphismes pour A = Z / p Z . Par d~vissage on en conclut facilement que ce sont des isomorphismes pour 1 < i < n - 1, que a0 est surjectif, et que a n est injectif [la diff6rence avec la situation de la prop. 30 est q u ' o n ignore si les H n+l sont nuls, ce qui donne de l~gers ennuis aux extr6mitds des suites exactes]. (2) Le foncteur H°(G, A) est coeffafable. C'est une propri6t6 g6n6rale des groupe profinis dont l'ordre est divisible par poo: Si A est annul6 par pk (ici k = 1, mais peu importe), on choisit un sousgroupe o u v e r t U de G op6rant trivialement sur A, puis un sous-groupe ouvert V de U d'indice divisible par pk. O n pose A' = M Y ( A ) , et l'on consid~re l ' h o m o m o r p h i s m e surjectif r : A I - A, d~fini au n ° 2.5. Par passage ~ H °, on obtient C o t : H ° ( V , A ) --* H ° ( G , A ) . Cet h o m o m o r p h i s m e est nul; en ellet, il est 6gal ~ No~v, lequel est ~gal ~ (U : V) • N a / v . L ' h o m o m o r p h i s m e H°(G, A') ~ H°(G, A) est donc nul, ce qui entraine que H ° est coeffaqable.

40

§ 4. Cohomologie des pro-p-groupes

(3) La dualitg vaut en dimensions 0 et n. I1 s ' a g i t d e p r o u v e r que s 0 et a,~ sont bijectifs p o u r t o u t A annuld p a r p. Il suflit ( p a r t r a n s p o s i t i o n ) de le faire p o u r a0. O n choisit une suite e x a c t e 0 ~ B - ~ C ~ A --~ 0, telle clue H ° ( G , C ) ~ H ° ( G , A ) soit nul, cf. (2). O n a alors le d i a g r a m m e :

0

~ H°(G,A)

~

HI(G,B)

---*

HI(G,C)

g n ( G , C * ) * ---. H n ( G , A * ) * -----. H ' ~ - I ( G , B * ) * -----. H n - I ( G , C * ) *

.

Les fl~ches relatives a u x H 1 sont des i s o m o r p h i s m e s . II s ' e n s u i t que s 0 est injectif, d ' o h le r d s u l t a t p u i s q u ' o n salt ddj~ q u ' i l est surjectif. (4) Le foncteur H n est exact ~ droite. C e | a rdsulte p a r d u a l i t d de ce clue H ° est e x a c t ~ gauche. (5) Fin de la dgmonstration. Le r d s u l t a t que l ' o n v i e n t de d d m o n t r e r e n t r a i n e que c d ( G ) <_ n. En effet, si x E H n + I ( G , A), x i n d u i t 0 sur un s o u s - g r o u p e o u v e r t U de G, et d o n n e d o n c 0 d a n s H'~+I(G, M U ( A ) ) . E n u t i l i s a n t la suite exacte, et le fait que H n e s t e x a c t d r o i t e , on v o l t que x = 0, cqfd. Ezercices.

1) Soit G u n pro-p-groupe commutatif. Montrer l'dquivalence de: (a) cdp(G) = n; (b) G est isomorphe ~ (Zp)~; (c) G est un groupe de Poincard de dimension n.

2) Soit G le groupe fondamental d'une surface compacte S de genre g; on suppose g > 1 si S est orientable et g > 2 sinon. Soit Gp le p-compldtd de G. Montrer que c'est un groupe de Demu~kin, et que, pour tout Gp-module fini et p-primaire A, H~(Gp; A) -~ HI(G, A) est un isomorphisme. Montrer que la dimension cohomologique stricte de Gp est dgale ~ 3, et expliciter l'invariant X de Gp. 3) Soit G le pro-p-groupe d6fini par deux gdn6rateurs x, y lids par la relation -~ = 9 q, avec q E Zp, q -- 1 modp. Montrer que G est un groupe de Demu~kin, et que son invariant X est donnd par les formules:

xyx

x(y) = 1,

x(~) = q.

Dans quel c a s c e groupe est-il de dimension cohomologique stricte dgale ~ 3? Application au p-groupe de Sylow du groupe affine ax + b sur Zp. 4) Soit G u n pro-p-groupe de Poincard de dimension n, et soit I son module dualisant. Soit J --- H o m ( Q p / Z p , I). Le G-module J e s t isomorphe ~ Zp comme groupe compact, le groupe G opdrant au moyen de X. (a) Soit A un G-module fini p-primaire. On pose A0 = A ® J, le produit tensoriel dtant pris sur Zp. Montrer que A0 est canoniquement isomorphe au dual A* de A. (b) Pour tout entier i > 0, on consid~re la limite projective Hi(G, A) des groupes d'homologie Hi(G/U, A), oh U est ouvert distingud dans G e t op~re trivialement dans A. Etablir un isomorphisme canonique

4.5. Groupes de Poincar4

41

HI(G, A) = H " - ' ( G , Ao) • [On utilisera la dualit~ existant entre Hi(G/U, A) et Hi(G/U, A*), cf. [25], p. 249-250.] 5) Soit G un pro-p-groupe de Poincar4 de dimension n > 0. (a) Soit H u n sous-groupe ferm4 de G, distinct de G. Montrer que R e s : gn(G) ~

Hn(H)

est 0. [Se r a m e n e r au cas off H est ouvert, et utiliser la partie (4) de la d 4 m o n s t r a t i o n de la prop. 30.] (b) On suppose que (G : H ) = co, i.e. que H n'est pas ouvert. Montrer que cd(H)
sous-groupe ouvert de G. Soient rG

rH -- 2 = ( G : H)(rG -- 2) . [Utiliser l'exerc, d u n ° 4.1, en r e m a r q u a n t que E(G) = 2 - r e et E(H) = 2 - r H . ] Inversement, cette propri~t4 caractdrise les groupes de Demu~kin, cf. D u m m i t L a b u t e [48].

§ 5. C o h o m o l o g i e non abdlienne

Dans tout ce paragraphe, G d~signe un groupe profini.

5.1. D6finition

de H ° et de H 1

Un G-ensemble E est un espace topologique discret sur lequel G op~re continfiment; c o m m e dans le cas des G-modules, cela revient ~ dire que E = U Ev, pour U parcourant l'ensemble des sous-groupes ouverts de G (on note E v le sous-ensemble de E form~ des 616ments invariants par U). S i s E G et x E E, le transform~ s(x) de x par s sera souvent not~ 8x [mais jamais x 8, pour 6viter l'horrible formule x (st) = (xt)S)]. Si E et E' sont deux G-ensembles, un morphisme de E dans E ~ est une application ] : E --~ E ~ qui commute ~ l'action de G; lorsqu'on voudra pr~ciser G, on dira "G-morphisme". Les G-ensembles forment une cat6gorie. Un G-groupe A est un groupe dans la cat~gorie pr~c~dente; cela revient dire que c'est un G-ensemble, muni d'une structure de groupe invariante par G (i.e. S(xy) = SxSy). Lorsque A est commutatif, on retrouve la notion de Gmodule, utilis~e dans les paragraphes precedents. Si E est un G-ensemble, on pose H ° ( G , E) = E G, ensemble des ~16ments de E invariants par G. Si E est un G-groupe, H°(G, E) est un groupe. Si A est un G-groupe, on appelle 1-cocycle (ou simplement cocycle) de G dans A une application s H as de G dans A qui est continue et telle que:

ast = a~Sat

(s,t E G).

L'ensemble de ces cocycles est not~ Z~(G,A). Deux cocycles a e t a' sont dits cohomotogues s'il existe b E A tel que a's = b-lasSb. C'est lh une relation d'~quivalence dans ZI(G,A), et l'ensemble quotient est not~ HI(G,A). C'est le "premier ensemble de cohomologie de G dans A"; il poss~de un ~l~ment distingu~ (appel6 "~l~ment neutre" bien qu'il n ' y ait pas de loi de composition sur HI(G,A) dans le cas g~n~ral): la classe du cocycle unit~; on le note indiff~remment 0 ou 1. On v~rifie imm6diatement que

Hi(G, A) = lira HI(G/U, A v) , pour U parcourant l'ensemble des sous-groupes ouverts distingu6s de G; de plus, les applications HI ( G /U, A u) --* H* (G , A) sont injectives.

5.2. Espaces principaux homog~nes sur A - nouvelle d6finition de H 1(G, A)

43

Les e n s e m b l e s de cohomologie H ° ( G , A ) e t H i ( G , A) sont fonctoriels en A, et c o i n c i d e n t avec les g r o u p e s de cohomologie de d i m e n s i o n 0 et 1 lorsque A est commutatif.

Remarques. 1) O n a u r a i t envie de d6finir aussi H 2 ( G , A ) , H a ( G , A ) , ... J e ne m ' y risq u e r a i pas; le l e c t e u r que cela int6resse p o u r r a c o n s u l t e r Dedecker [38], [39] et G i r a u d [54]. 2) Les H 1 non ab61iens sont des ensembles pointds; la n o t i o n de suite e x a c t e a d o n c un sens ( l ' i m a g e d ' u n e a p p l i c a t i o n est 6gale ~ l ' i m a g e r 6 c i p r o q u e de l'616ment n e u t r e ) ; toutefois, une telle s u i t e e x a c t e ne d o n n e a u c u n r e n s e i g n e m e n t sur la relation d'equivalence d6finie p a r une a p p l i c a t i o n ; on r e m 6 d i e r a £ ce d6faut ( p a r t i c u l i b r e m e n t sensible d a n s [145], p. 131-134), grhce h la n o t i o n d e "torsion", d6velopp6e a u n ° 5.3.

Exercices. 1) Soit A un G-groupe, et soit A • G le produit semi-direct de G par A (d6fini de telle sorte que sas -1 -= Sa pour a E A et s E G). Un cocycle a = (as) E ZI(G, A) d6finit un relbvement continu

f~ :G----* A . G par f~(s) = aa • s, et r6ciproquement. Montrer que les rel~vements f~ et fa' associ~s des cocycles a e t a ~ sont conjugu6s par un 616ment de A si et seulement si a e t a ~ sont cohomologues. 2) Soit G --= 7.; on note a l e g6n6rateur canonique de G. (a) Si E est un G-ensemble, a d6finit une permutation de E dont toutes les orbites sont finies; inversement, une telle permutation d6finit une structure de G-ensemble. (b) Soit A un G-groupe. Soit (a~) un cocycle de G dans A, et soit a = a~. Montrer qu'il existe n >_ 1 tel que a'~(a) --- a e t que a.a(a).., a'~-l(a) soit d'ordre fini. Inversemeat, tout a E A pour lequel il existe un tel n correspond ~ u n cocycle et k un seul. Si a e t a ' sont deux tels 616ments, les cocycles correspondants sont cohomologues si et seulement s'il existe b E A tel que a' = b-l.a.a(b). (c) Comment faut-il modifier ce qui precede lorsqu'on remplace 7. par Zp?

5.2. E s p a c e s p r i n c i p a u x h o m o g ~ n e s sur A - n o u v e l l e d ~ f i n i t i o n de Hi(G, A) Soit A un G - g r o u p e , et soit E un G-ensemble. O n dit que A op~re ~ gauche sur E (de fa~on c o m p a t i b l e avec l ' a c t i o n de G) s'il op~re sur E au sens usuel et si S(a.x) -= Sa.Sx p o u r a E A, x E E (ce qui revient h dire que l ' a p p l i c a t i o n c a n o n i q u e d e A × E d a n s E est un G - m o r p h i s m e ) . O n dcrit aussi A E p o u r r a p p e l e r que A op~re ~ gauche ( n o t a t i o n ~vidente p o u r les o p e r a t i o n s ~ d r o i t e ) . U n e s p a c e principal homog~ne sur A est un G - e n s e m b l e non v i d e P , s u r lequel A op~re ~ d r o i t e (de faqon c o m p a t i b l e avec G) de fa(;on ~ en faire un "espace affine" sur A (i.e. p o u r t o u t couple x, y E P , il existe un a E A et un seul t e l que y --- x - a). L a n o t i o n d ' i s o m o r p h i s m e e n t r e d e u x tels espaces se d~finit de fa~on ~vidente.

44

§ 5. Cohomologie non ab~lienne

P r o p o s i t i o n 33. Soit A un G-groupe. Il y a une correspondance bijective en-

tre l'ensemble des classes d'espaces principaux homog~nes sur A et l'ensemble HI(G,A). Soit P ( A ) le premier ensemble. On d6finit une application

)~ : P ( A ) --~ H ' ( G , A ) de la mani~re suivante: Si P E P ( A ) , on choisit un point x E P. S i s E G, on a Sx E P, donc il existe as E A tel que Sx = x.as. On v~rifie tout de suite que s ~-* as est un cocycle. Changer x en x • b change ce cocycle en s ~-* b-ZasSb, qui lui est cohomologue. On peut donc d~finir £ en convenant clue £(P) est la classe de as. En sens inverse, on d~finit # : H I ( G , A) --* P ( A ) ainsi: Si a8 E ZZ(G, A), on note P a l e groupe A sur lequel G op~re par la formule "tordue" suivante: sl x

~-

as .S x

.

Si l'on fait opdrer A ~ droite sur Pa par translations, on obtient un espace principal homog~ne. Deux cocycles cohomologues conduisent ~ des espaces isomorphes. Cela d~finit l'application p, et l'on v~rifie sans mal que A o # = 1 et # o ~ = 1.

Remarque. Les principaux consid~r~s ci-dessus sont des principaux h droite. On d~finit de m~me la notion de principal h gauche; on laisse au lecteur le soin de d~finir une correspondance bijective entre les deux notions.

5.3. T o r s i o n Soit A un G-groupe, et soit P u n espace principal homog~ne sur A. Soit F u n G-ensemble off A op~re ~ gauche (de fa~on compatible avec G). Sur P x F, consid~rons la relation d'~quivalence qui identifie un ~l~ment (p, f ) aux ~l~ments (p.a, a-Z f ) , a E A. Cette relation est compatible avec l'action de G, et le quotient est un G-ensemble, notd P x AF, ou pF. Un ~l~ment de P x AF s'~crit sous la forme p.f, p E P, f E F, et l'on a (pa)f = p(af), ce qui justifie la notation. Noter que, pour tout p E P, l'application f ~-* p. f e s t une bijection de F sur p F ; pour cette raison, on dit que p F est obtenu ~ partir de F en tordant au moyen

de P. L'op~ration de torsion peut aussi se d~finir du point de vue des cocycles. Si

(as) E ZI(G, A), on note a F l'ensemble F sur lequel G op~re par la formule

s,f : a s . S f . On dit que aF s'obtient en tordant F au moyen du cocycle as. La liaison entre ces deux points de rue est facile g faire: s i p E P, on a vu que p d6finit un cocycle as par la formule *p = p.as. L'application f ~-* p . f de

5.3. Torsion

45

tout g l'heure est un isomorphisme du G-ensemble ~F sur le G-ensemble pF; on a en effet p.S,y = p . as.Sf = Sp.Sf = Sip.f ) . Ceci montre en particulier que ~F est isomorphe d bF si a e t b sont cohomologues. Remarque. I1 faut observer qu'il n'y a pas en g~n~ral d'isomorphisme canonique entre a F et bF, et que par suite il est impossible d'identifier ces deux ensembles, comme on serait tent~ de le faire. En particulier, la notation a F , avec c~ ~ H i ( G , A), est dangereuse (bien que commode... ). Inutile de dire qu'une telle difficult~ existe tout aussi bien en topologie dans la th~orie des espaces fibres (que nous sommes d'ailleurs en train de d~marquer). L'op~ration de torsion jouit d'un certain nombre de propri~t~s ~l~mentaires: (a) a F est fonctoriel en F (pour des A-morphismes F --* F ' ) , (b) On a a(F x F') = a F x aF'. (c) Si un G-groupe B op~re ~ droite sur F (de fa~on h commuter ~ Faction de A), B op~re aussi sur ~F. (d) Si F est muni d'une structure de G-groupe invariante par A, cette mSme structure sur a F est encore une structure de G-groupe. Exemples. 1) On prend pour F le groupe A lui-m~me, les operations ~tant les translations h gauche. Comme les translations ~ droite commutent aux translations gauche, la propri~t~ (c) ci-dessus montre que A op~re ~ droite sur aF, et l'on volt tout de suite que l'on obtient ainsi un espace principal homog~ne sur A (c'est celui not~ ~ P au n ° precedent). Dans la notation P x AF, cela s'~crit: pxAA=p, formule de simplification que l'on rapprochera de E •A A = E. 2) On prend encore pour F l e groupe A, les operations ~tant cette lois donn~es par les automorphismes intdrieurs. Comme ceux-ci respectent la structure de groupe de A, la propri~t~ (d) montre que aA est un G-groupe [on pourrait tordre de m~me tout sous-groupe distingu~ de A]. Par d~finition, aA a m~me ensemble sous-jacent que A, et les operations de G sur aA sont donn~es par la formule Stx

---- a s . S x . a - s

1

(S C G, x C A).

P r o p o s i t i o n 34. Soit F un G-ensemble o~ A opOre ~ gauche (de faqon compatible avec G), et soit a un cocycle de G dans A. Alors le groupe tordu aA op~re sur aF, de fa~on compatible avec G. Il faut voir que l'application (a,x) H ax de aA x ~F dans a F est un G-morphisme. C'est un calcul imm~diat.

46

§ 5. Cohomologie non ab61ienne

C o r o I l a i r e . Si P e s t un principal homog~ne sur A, le groupe p A op~re d gauche sur P, et fair de P un espaee principal homog~ne h gauche sur p A . Le f a r que p A op~re sur P e s t un cas particulier de la prop. 34 (ou se volt directement, au choix). I1 est clair que cela d~finit sur P une structure d'espace homog~ne principal ~ gauche sur pA. Remarque. Si A e t A' sont deux G-groupes, on ddfinit de mani~re Svidente la notion d'espace (A, A')-principah c'est un espace principal sur A (~ gauche), et sur A' (~ droite), les operations de A e t A' commutant. Si P est un tel espace, le corollaire precedent montre que A s'identifie ~ p A ~. Si Q est un espace (A', A")principal (A" ~tant un autre G-groupe), l'espace P o Q = P × A'Q est muni d'une structure canonique d'espace (A', A")-principal. On obtient ainsi une loi de composition (non partout d~finie) sur l'ensemble des espaces "biprincipaux".

Proposition 35. Soit P un espace principal h droite sur un G-groupe A, et soit A' --- p A l e groupe correspondant. Si l'on associe ~ tout espace principal homog~ne Q (~ droite) sur A' le eomposd Q o P, on obtient une bijection de H I ( G , A ') sur H I ( G , A ) qui transforme l'dldment neutre de H I ( G , A ') en la elasse de P dans H i ( G , A). [Plus bri~vement: si l'on tord un groupe A par un cocycle de A lui-m~me, on trouve un groupe A ~ qui a m~me cohomologie que A en dimension 1.] On d~finit l'opposd P de P ainsi: c'est un espace (A, A')-principal, identique P comme G-ensemble, le groupe A operant h gauche par a.p = p.a-1, et le groupe A ~ h droite par p.a r = at-l.p. En faisant correspondre ~ tout principal droite R sur A l e compos~ R o P , on obtient par passage aux classes une application r~ciproque de celle donn6e par Q H Q o P, d'ofi la proposition. ?

Proposition 35 bis. Soit a E Z I ( G , A ) , et soit A' = aA. A tout cocycle a s !

dans A' associons a s • as; on obtient un cocycle de G dans A, d'o~ une bijection ta : Z 1(G, A') ---* Z 1(G, A) . Par paasage au quotient, ta ddfinit une bijection Ta : H I ( G , A ')

~ H'(G,A)

transformant l'dldment neutre de H I ( G , A ~) en la classe ~ de a. C'est essentiellement une transcription de la proposition pr~c~dente en termes de cocycles. On peut aussi la d~montrer par calcul direct. Remarques. 1) Lorsque A est abdlien, on a A ~ = A e t ~a est simplement la translation par la classe a de a. 2) Les prop. 35 et 35 bis, pour ~videntes qu'elles soient, n'en sont pas moins utiles. Ce sont elles, on le verra, qui permettent de d~terminer les relations d'~quivalence qui interviennent dans les diverses "suites exactes de cohomologie'.

5.4. Suite exacte de cohomologie associ~e ~ un sous-groupe

47

Exercice.

Soit A un G-groupe. Soit E(A) l'ensemble des classes d'espaces (A, A)-principaux. Montrer que la composition fait de E(A) un groupe, et que ce groupe op~re sur Hi(G, A). Si A est ab~lien, E(A) est produit semi-direct de Aut(A) par le groupe Hi(G, A). Dans le cas g~n~ral, montrer que E(A) contient comme sous-groupe le quotient de Aut(A) par les automorphismes int~rieurs d~finis par les ~l~ments de A c. Comment peut-on d~finir E(A) au moyen de cocycles?

5.4.

Suite

exacte

de cohomologie

associ~e

Soient A et B deux G-groupes, et soit u : A -~ B u n h o m o m o r p h i s m e d~finit une application

hun

sous-groupe

G - h o m o m o r p h i s m e . Cet

v : U I ( G , A ) ----* U I ( G , B ) . Soit a E Hi(G, A). Supposons que l'on veuille d6crire la fibre de a p o u r v, c'esth-dire l'ensemble v - l ( v ( a ) ) . Choisissons un cocycle a repr~sentatif de a, et soit b son image dans B. Si l'on pose A ~ -- aA, B ~ = bB, il est clair que u d~finit un homomorphisme u' : A ' , B' , d ' o h v' : H I ( G , A ') --" HI(G,B'). O n a en outre le d i a g r a m m e c o m m u t a t i f suivant (off les lettres r~ et Tb d~signent les bijections d~finies au n ° precedent): g I (G, A) - ~

g

g 1 ( e , B)

g VI

H I ( G , A ') ~

Hi(G, B') .

C o m m e rb t r a n s f o r m e l'~l~ment neutre de Hi(G, B ~) en v(~), on en d~duit que ra est une bijection du noyau de v ~ sur la fibre v - l ( v ( ~ ) ) de a. En d ' a u t r e s termes, la torsion p e r m e t de transformer t o u t e fibre de v e n un noyau - et ces n o y a u x eux-m~mes peuvent figurer dans des suites exactes (cf. [145], loc. cit.). O n va appliquer ce principe au cas le plus simple, celui oh A est un sous-

groupe de B. O n introduit l'espace homog~ne B / A des classes h gauche de B suivant A; c'est un C-ensemble, et H ° ( G , B / A ) est d6fini. De plus, s i x E H°(G, B/A), l'image r~ciproque X de x dans B e s t un espace principal homog~ne (h droite) sur A; sa classe dans H i (G, A) sera n o t r e ~(x). Le cobord ainsi d~fini jouit de la propri6t~ suivante: Proposition

36. La suite d'ensembles pointds:

1 -~ S ° ( G , A) ~ S°(C, B) --* H°(G, B/A) Z Hi(G, A) -~ Hi(G, B) est exacte.

48

§ 5. Cohomologie non ab~lienne

Le plus simple consiste ~ traduire la d~finition de $ e n termes de cocycles; si c E (B/A) G, on choisit b E B se projetant sur c, et on pose as = b-l.'b; c'est un cocycle dont la classe est 5(c). Son expression m~me montre qu'il est cohomologue ~ 0 dans B, et que tout cocycle de G dans A cohomologue ~ 0 duns B e s t de cette forme. D'oh la proposition. C o r o l l a i r e 1. Le noyau de H I(G, A) --* Hi(G, B) s'identiJle ~ l'espace quotient

de (B/A) c par l'action du groupe B G. L'identification se f a r grace ~ 5; il faut voir que 5(c) = 5(c ~) si et seulement si il existe b E B G tel que bc = c~; c'est facile. C o r o l l a i r e 2. Soit ~ E Hi(G, A), et soit a un cocycle reprgsentant a. Les

dldments de Hi(G, A) ayant m~me image que a dans Hi(G, B) correspondent bijectivement aux glgments du quotient de H°(G, ~B/~A) par l'action du groupe H ° (G, aB). Cela r4sulte par "torsion" du corollaire 1, suivant ce qui a 4t4 expliqu4 plus haut. C o r o l l a i r e 3. Pour que H I(G, A) soit ddnombrable (resp. fini, resp. rgduit ~ un

4ldment), il ]aut et il su~it qu'il en soit de m4me de son image dans Hi(G, B), ainsi que de tousles quotients (aB/~A)G /(~B) ~, pour a 6 ZI(G, A). Cela r~sulte du corollaire 2. Il se trouve que l'on peut d~crire explicitement l'image de HI(G,A) duns Hi(G, B) [tout comme si H~(G, B/A) avait un sensl:

Proposition

37. Soit /3 e Ht( G, B) et soit b 6 ZI( G, B) un reprgsentant de/3. Pour que /3 appartienne d l'image de HI(G,A), il faut et il sul~it que l'espace b(B/A), obtenu en tordan~ B / A au moyen de b, air un point invariant par G. [Combin~ uvec le cot. 2 ~ la prop. 36, ceci montre que l'ensemble des ~l~ments de Hi(G, A) uyant pour image/~ est en correspondance bijective uvec le quotient

g°(G, b(B/A))/H°(G, bB).] Pour que/~ appurtienne ~ l'image de Hi(G, A), il fuut et il suffit qu'il existe b E B tel que b-lb,Sb uppartienne ~ A pour tout s E G. S i c d~signe l'image de b dans B/A, ceci signifie que c = b~.Sc, c'est-~-dire que c E H°(G, b(B/A)), cqfd.

Remarque. La prop. 37 est analogue au classique th~orhme d'Ehresmann: pour que le groupe structural d'un fibr~ principal puisse ~tre r~duit ~ un sous-groupe donn~ de celui-ci, il fuut et il suffit que l'espace fibr~ en espaces homog~nes associ~ uit une section.

5.5. Suite exacte de cohomologie associ4e ~ un sous-groupe distingu~ 5.5. Suite distingu~

exacte

de cohomologie

associ~e

hun

49

sous-groupe

On suppose A distingu~ dans B, et l'on pose C = B / A ; ici, C est un G-groupe. Proposition

0

38. La suite d'ensembles pointds:

, AG

, BG

, C G ~-~ H I ( G , A )

~ H I ( G , B ) -----* H I ( G , C )

est exacte. La v~rification est immediate (cf. [145], p. 133). Les fibres de l'application H i ( G , A) --* H i ( G , B ) ont ~t~ d~crites au n ° 5.4. Toutefois, le fait que A soit distingu~ dans B simplifie cette description. On note tout d ' a b o r d ceci: Le groupe C G op~re de fafon naturelle ( ~ droite) sur H i ( G , A). En effet, soit c E C G, et soit X ( c ) son image r~ciproque dans B; le G-ensemble X ( c ) est muni, de fa0on naturelle, d'une structure d'espace (A, A)-principal; si P e s t principal pour A, le produit P o X ( c ) est encore principal pour A, d'ofi l'op~ration cherch~e. [Traduction en termes de cocycles: on relive c en b E B; on a 8b = b. xs, avec xs E A; ~ tout cocycle as de G dans A, on associe le cocycle b - l a s b x s = b-lasSb; sa classe de cohomologie est la transform~e de celle de (as) par c.] P r o p o s i t i o n 39. (i) S i c E C G, on a 5(c) = 1.c, o~ 1 reprdsente l'dldment neutre de H i ( G , A). (ii) Deux dldments de HI(G, A) ont m~me image dans H i ( G , B) si et seulement si ils sont transformds l'un de l'autre par un dldment de C G. (iii) Soit a E Z I ( G , A), soit ~ son image dans H i ( G , A), et soit c E C G. Pour que ~ . c = c~, il faut et il suj~it que c appartienne h l'image de l'homomorphisme H°(G, aB) --* H°(G, C). [On note a B le groupe obtenu en tordant B au moyen du cocycle a - ~tant entendu que A op~re sur B par automorphismes int~rieurs.] L'~quation 5(c) = 1.c rdsulte de la d~finition m~me de 5. D ' a u t r e part, si deux cocycles as et a~ de A sont cohomologues dans B, il existe b E B tel que a~s = b-lasSb; s i c est l'image de b dans C, on en d~duit Sc = c, d'oh c E C G, et il est clair que c transforme la classe de as en celle de a s. La r~ciproque est triviale, ce qui d~montre (ii). Enfin, si b E B relive c, et si c~.c = (~, il existe x E A tel que as = x-Xb-lasSbSx, ce qui s'~crit aussi bx = asS(bx)a~ 1, i.e. bx E H°(G, aB). D'oh (iii). C o r o l l a i r e 1. Le noyau de H I ( G , B ) --~ H t ( G , C ) s'identifie au quotient de H 1(G, A) par l'action du groupe C G. C'est clair.

50

§ 5. Cohomologie non ab61ienne

C o r o l l a i r e 2. Soit ~ • H i ( G , B), et soit b u n cocycle reprdsentant ~. Les gldments de H i ( G , B) avant m~me image que ~ dans H I ( G , C ) correspondent

bijectivement aux dlgments du quotient de HI(G, bA) par l'aetion du groupe n ° ( G , bC). [Le groupe B op6re sur lui-m6me par automorphismes int6rieurs, et laisse stable A; cela permet de tordre la suite exacte 1 --* A --* B --~ C --* 1 par le cocycle b.] Cela r6sulte du cor. 1 par torsion, comme on l'a expliqu6 au n ° pr6c6dent.

Remarque. La Proposition 35 montre que Hi(G, bB) s'identifie h H i ( G , B), et de m6me H I(G, bC) s'identifie h H 1(G, C). Par contre, H I(G, hA) n'a en ggndral aucune relation avec HX(G,A). C o r o l l a i r e 3. Pour que H 1(G, B) soit ddnombrable (resp. flni, resp. rdduit ~un

dldment), il faut et il su~it qu'il en soit de m~me de son image dans Hi(G, C), ainsi que de tous les quotients H i ( G , bA)/(bC) G, pour b • ZI(G, B). Cela r6sulte du cor. 2.

Exercice. Montrer que, si l'on associe k tout c E C G la classe de l'espace (A, A)-principal X (c), on obtient un homomorphisme de C G dans le groupe E(A) d6fini dans l'exercice du n ° 5.3.

5.6. Cas

d'un

sous-groupe

ab61ien distingu6

On suppose A abdlien et distingu~ dans B. On conserve les notations du n ° pr~cddent. On note additivement Hi(G, A), qui est maintenant un groupe ab~lien. Si a E Hi(G, A), et c E C c, on note a c le transformd de a par c, d~fini comme on l'a vu plus haut. On se propose d'expliciter cette op6ration Pour cela, on remarque que l'homomorphisme ~vident C c --* Aut(A) fait op~rer C c (~ gauche) sur le groupe HI(G,A); le transform~ de a par c (pour cette nouvelle action) sera not~ c. a.

Proposition 40.

On

a a c =

c -1 • a + ti(c) pour a E Hi(G, A) et c • C G.

C'est un simple calcul: si l'on relbve c en b • B, on a Sb = b.x,, et la classe de xs est 5(c). D'autre part, si a, est un cocycle de la classe a, on peut prendre pour repr6sentant de ac le cocycle b-lasSb, et pour repr6sentant de c - l . a le cocycle b-lasb. On a b-la~Sb = b-lasb • xs, d'ofi la formule. C o r o l l a i r e 1. On a ~(clc) = ~(c) + c -1 • ~(cr). On ~crit que ac'c = ( ~ ' ) c . En d~veloppant, cela donne la formule voulue. C o r o l l a i r e 2. Si A est dans le centre de B, ~ : C G ~ Hi(G, A) est un homo-

morphisme, et ~e = (~ + ~(c).

5.6. Cas d'un sous-groupe abdlien distingu~

51

C'est clair. On va maintenant se servir du groupe H 2 ( G , A). A priori, on aurait envie de d~finir un cobord: H i ( G , C) --~ H 2 ( G , A). Sous cette forme, ce n'est possible que lorsque A est contenu dans le centre de B (cf. n ° 5.7). On a cependant un r~sultat partiel, qui est le suivant: Soit c E Z I ( G , C ) un cocycle de G dans C. Puisque A est ab~lien, C op~re sur A, et le groupe tordu cA est bien ddfini. On va associer ~ c une classe de cohomologie A(c) E H2(G, cA). Pour cela, on relive c8 en une application continue s ~-~ b8 de G dans B, et l'on forme l'expression: as,t = bsSbtb-~ 1 • La 2-cochaine ainsi obtenue est un cocycle ~ valeurs dans ~A. En effet, si l'on tient compte de la fa~on dont G op~re sur ~A, on voit que cela revient ~ l'identit~: a-ls,t

" bsSat,ub-~

1 • as,tu

" a-lst,u = 1 ,

(s, t, u E G ) ,

ou, en explicitant: bstSb-~lbsl • ~,s k s~~t st~~u s~-lk-1 ~tu % • bs s b t u b s t -1u

"

i. t,stu s t t,~u- l b -st1 = 1

ce qui est bien exact (tous les termes se d~truisent). D'autre part, si l'on remplace le rel~vement b8 par le rel~vement a~bs, ' le cocycle a~,t est remplac~ par le cocycle as, t ' • as,t, avec , = (Sa')s,t = as,.bsSa,tb~l "ast , - 1 ., as,t cela se v~rifie par un calcul analogue au precedent (et plus simple). Ainsi, la classe du cocycle as,t est bien d~termin~e; on la note A(c). P r o p o s i t i o n 41. P o u r que la classe de cohomologie de c appartienne d l'image de H 1 (G, B ) dans H 1(G, C), iI faut et il suffit que A(c) soit nul. C'est ~videmment n~cessaire. R~ciproquement, si A(c) = 0, ce qui precede montre que l'on peut choisir bs de telle sorte que bsSbtb~t I = 1, et bs est un cocycle de G dans B d'image ~gale ~ c. D'ofi la proposition. C o r o l l a i r e . Si H2 ( G , cA) = 0 pour tout c E Z I ( G , C) , l 'application HI(G, B) ~

H i ( G , C)

est surjective. Exercices. 1) Retrouver la prop. 40 en utilisant l'exercice d u n ° 5.5 et le fait que E ( A ) est produit semi-direct de Aut(A) par H 1(G, A). 2) Soient c et c' E ZI(G, C) deux cocycles cohomologues. Comparer A(c) et A(c').

52

§ 5. Cohomologie non ab61ienne

5.7. Cas

d'un

sous-groupe

central

On suppose maintenant que A est contenu dans le centre de B. Si a = (a,) est un cocycle de G dans A, et b = (b,) un cocycle de G dans B, on v6rifie aussit6t que a.b = (a, .b,) est un cocycle de G dans B. De plus, la classe de a.b ne d6pend que des classes de a et de b. On en conclut que le groupe ab61ien H 1(G, A) op~re

sur l'ensemble HI(G, B). P r o p o s i t i o n 42. Deux dldments de Hi(G, B) ont m~me image dans HI(G,C)

si et seulement si ils sont transformds l'un de l'autre par un dldment de H 1(G, A). La d6monstration est imm6diate. Soit maintenant c E ZI(G, C). C o m m e C op~re trivialement sur A, le groupe tordu cA utilis6 au n ° 5.6 s'identifie canoniquement ~ A, et l'616ment A(c) appartient ~ H2(G, A). Un calcul facile (cf. [145], p. 132) montre que A(c) = A(c') si c et d sont cohomologues. Ceci d6finit une application A : Hi(G, C) ---, H2(G, A). En combinant les prop. 38 et 41, on obtient: P r o p o s i t i o n 43. La suite 1

~ A a ---* B a

~C G

HI(G,A )

~ H I ( G , B ) --~ HI(G,C)

z~ H2(G,A )

est exacte. C o m m e d'habitude, cette suite ne fournit de renseignements que sur le noyau de HI(G,C) --* H2(G,A), et pas sur la relation d'6quivalence correspondante. Pour en obtenir, il faut "tordre" les groupes consid6r6s. Plus pr6cis6ment, observons que C op~re par automorphismes sur B e t que ces automorphismes sont triviaux sur A. S i c = (cs) est un cocycle de G dans C, on peut donc tordre la suite exacte 1 --* A --* B -* C --* 1 au moyen de c, et l'on obtient la nouvelle suite exacte 1 ~A ~ ~B - - - ~C , 1 . D'o~ un nouvel op~rateur cobord Ac : HI(G,~C) --* H2(G,A). C o m m e on a en outre une bijection canonique T¢ : HI(G, cC) --~ Hi(G, C), on p e u t s'en servir pour comparer A et Ac. Le r6sultat est le suivant: P r o p o s i t i o n 44. On a A o %(.y') = Ac(~/' ) + A(~), o~ 7 E Hi(G, C) ddsigne

la classe de c, et o~ ~ parcourt HI(G, cC). Soit d8 un cocycle repr~sentant 7 ~. On choisit comme ci-dessus une cochaine b8 (resp. b'8) dans B (resp. dans cB) relevant cs (resp. c~). On peut repr6senter A(~/) par le cocycle

as,t = b88btb~t1 , et Ac(7' ) par le cocycle

5.7. Cas d'un sous-groupe central

53

, t = b,s . bsSb~b_~l • b,t , -1 • as, D ' a u t r e p a r t To(7') peut 6tre repr6sent6 par clsc,, que l'on rel6ve en blsbs. O n peut donc repr6senter A o re(7 I) par le cocycle ,

--_ blsbs.Sbl~b t t

as,t

h-thl -1 vst

" vst

.

C o m m e as.~ est dans le centre de B, on peut ~crire: i as, t • as, t

=

t1~ st1.-1 .I -1 OsOs otOs as,tost •

En remplaqant a~,t par sa valeur et en simplifiant, on constate q u ' o n trouve as,t, " d'ofi la proposition. C o r o l l a i r e . Les dldments de H i ( G , C) avant m ~ m e image que "r par A correspondent bijectivement aux dldments du quotient de H i ( G , ~B) par l'action de HI(G,A). En effet, la bijection Tg-1 transforme ces ~l~ments en ceux du noyau de Ac

:

H I ( G , cC) ~

H2(G,A) ,

et les prop. 42 et 43 m o n t r e n t que ce noyau s'identifie au quotient de H i ( G , cB) par Faction de H i ( G , A). Remarques. 1) Ici encore, il est faux en g~n~ral que H i ( G , cB) soit en correspondance bijective avec H 1(G, B). 2) On laisse au lecteur le soin de formuler les crit~res de ddnombrabilit~, finitude, etc., qui r~sultent du corollaire precedent. Exercice. Comme C G op~re sur B par automorphismes int~rieurs, il op~re aussi sur H 1(G, B). Notons (c,f~)~-~c*]3 ( c e C c, ] 3 E H I(G,B)) cette action. Montrer que l'on a: c * ] 3 = ~ ( c ) - ' .]3 ,

oh 5(c) est l'image de c dans Hi(G, A), cf. n ° 5.4, et off le produit 5(c) -1 •/3 est relatif l'action de H 1(G, A) sur H 1(G, B).

54

§ 5. Cohomologie non ab~lienne

5.8. Compl6ments On laisse au lecteur le soin de traiter les points suivants: a) E x t e n s i o n s d e g r o u p e s Soit H un sous-groupe ferm~ distingu~ de G, et soit A un G-groupe. Le groupe G / H op~re sur A H, ce qui fait que H I ( G / H , A H) est d~fini. D'autre part, si (ah) • Z I ( H , A ) et s i s • G, on peut d~finir le transform~ s(a) du cocycle a = (ah) par la formule: s(a)h

= 8(as-,hs)

•

Par passage au quotient, le groupe G op~re sur H I ( H , A ) , et l'on v~rifie que H op~re trivialement. On peut donc dire que G / H opgre sur HI(H, A), tout comme dans le cas ab~lien. On a une suite exacte:

1

~ H I ( G / H , A H) ~

HI(G,A)

~ H I ( H , A ) c/H ,

et l'application H i ( G / H , A H) --* H t ( G , A ) est injective.

b) Induction Soit H un sous-groupe ferm~ de G, et soit A un H-groupe. Soit A* = M ~ ( A ) le groupe des applications continues a* : G --* A telles que a* (hx) = ha* (X) pour h E H et x • G. On fait op~rer G sur A* par la formule (aa*)(x) = a*(xg). On obtient ainsi un G-groupe A* et l'on a des bijections canoniques

H ° ( G , A *) = H ° ( H , A )

et

5.9. Une propri6t6 des groupes cohomologique ~ 1

H I ( G , A *) = H I ( H , A ) .

de dimension

Le r~sultat suivant aurait pu figurer au n ° 3.4: P r o p o s i t i o n 45. Soit I un ensemble de hombres premiers, et supposons que cdp(G) < 1 pour tout p c I. Le groupe G poss~de alors la propridtd de rel~vement

pour les extensions 1 --* P --~ E --* W -~ 1, oi~ E est fini, et oi~ l'ordre de P n'est divisible que par des nombres premiers appartenant d I. On raisonne par r~currence sur l'ordre de P, le cas off C a r d ( P ) = 1 ~tant trivial. Supposons donc C a r d ( P ) > 1, et soit p u n diviseur premier de C a r d ( P ) . Par hypoth~se, on a p E I. Soit R un p-groupe de Sylow de P. Nous allons distinguer deux cas: a) R e s t distingu~ dans P. C'est alors l'unique p-groupe de Sylow de P , et il est distingu~ dans E. On a l e s extensions:

5.9. Une propri6t~ des groupes de dimension cohomologique < 1 1 1

~R ,

~E---~E/R

P / R ----* E / R - - ~

55

~1 W

, 1 .

C o m m e C a r d ( P / R ) < C a r d ( P ) , l'hypoth~se de r6currence montre que l'homomorphisme f : G --* W donnd se relbve en g : G --* E / R . D ' a u t r e part, puisque R e s t un p-groupe, la prop. 16 du n ° 3.4 m o n t r e que g se relive en h : G -* E. O n a bien ainsi relevd f . b) R n'est pas distingud dans P . Soit E ~ le normalisateur de R dans E, et soit P~ le normalisateur de R dans P . O n a P ' = E ' M P . D ' a u t r e part, l'image de E ~ dans W e s t 6gale ~ W t o u t entier. En effet, s i x E E, il est clair que x R x -1 est un p-groupe de Sylow de P , et la conjugaison des groupes de Sylow entraine l'existence d ' u n y E P tel que x R x - I = y R y -1. O n a alors y - i x E E ' , ce qui m o n t r e que E = P . E ~, d ' o h notre assertion. O n d6duit de l~ l'extension: 1

*PI----*E'----~W

~1.

C o m m e C a r d ( P ' ) < C a r d ( P ) , l'hypothbse de r6currence m o n t r e que le morphisme f : G --* W se relive en h : G --, E ' , et c o m m e E ' est un sous-groupe de E , cela achbve la d6monstration. C o r o l l a i r e 1. Toute extension de G par un groupe profini P dont l'ordre n'est divisible que par des hombres premiers appartenant it I e s t scindde. Le cas off P e s t fini se d6duit directement de la proposition pr6cddente et du lemme 2 du n ° 1.2. O n passe de l~ au cas g6n6ral par Zornification, c o m m e au n ° 3.4 (volt aussi exerc. 3). Remarque. Le corollaire pr6c6dent redonne le fait q u ' u n e extension d ' u n groupe fini A par un g r o u p e fini B est scind6e lorsque |es ordres de A et de B sont premiers entre eux (cf. Zassenhaus, [189], Chap. IV, § 7). Un groupe profini G est dit projectif (darts la cat6gorie des groupes profinis) s'il a la propri6t6 de rel~vement pour toute extension; cela revient ~ dire que, pour tout morphisme surjectif f : G' --- G, oh G' est profini, il existe un morphisme r : G --, G' telquefor= 1. C o r o U a i r e 2. Si G esg un groupe profini, les propridggs suivanges song gquivalenges: (i) G est projectif. (ii) cd(G) < 1. (iii) Pour tout hombre premier p, les p-groupes de Sylow de G song des pro-p-groupes libres. L'6quivalence (ii) ¢* (iii) est connue. L'implication (i) =~ (ii) est claire (cf. prop. 16). L'implication (ii) =~ (i) r6sulte du cor. 1, appliqu6 au cas oh I e s t l'ensemble de tons les nombres premiers. Exemples de groupes projectifs: Ca) le compl6t6 d'un groupe libre (discret) pour la topologie des sons-groupes d'indice fini; (b) un produit direct 1-Iv Fp, off chaque F v est un pro-p-groupe libre.

56

§ 5. Cohomologie non abdlienne

Proposition

4 6 . Les hypotheses dtant ceUes de la prop. 45, soit

1

~A

~B---~C

~1

une suite exacte de G-groupes. Supposons que A soit fini, et que tout hombre premier divisant l'ordre de A appartienne d I. Alors l'application canonique H i ( G , B) --* H i ( G , C) est surjective. Soit (cs) un cocycle d e G h valeurs d a n s C. Si 7r ddsigne l ' h o m o m o r p h i s m e B --* C, soit E l ' e n s e m b l e des couples (b, s), avec b G B , s E G, t e l s q u e lr(b) = cs. O n m u n i t E d e la loi de c o m p o s i t i o n suivante (cf. exerc. 1 d u n ° 5.1): (b, s ) . (b', s ' ) =

(b.~b', ss')

.

Le fait que css, = cs .'cs, m o n t r e que lr(b.'U) = c~s,, ce qui r e n d licite la d6finition prdcddente. O n vdrifie t o u t d e s u i t e que E , m u n i d e c e t t e loi de c o m p o s i t i o n et de la t o p o l o g i e i n d u i t e p a r celle d u p r o d u i t B x G, est un g r o u p e c o m p a c t . O n a des m o r p h i s m e s 6 v i d e n t s A --* E et E --* G, qui font d e E une extension de G par A. V u l e corollaire 1 ~ la p r o p . 45, c e t t e e x t e n s i o n est scindde. Il existe donc u n e s e c t i o n c o n t i n u e s ~-- es qui est un m o r p h i s m e de G d a n s E . Si l'on dcrit es E E sons la f o r m e (b~, s), le fait que s ~-* e~ soit un m o r p h i s m e se t r a d u i t p a r le fait que b, est u n cocycle d e G d a n s B r e l e v a n t le cocycle c8 donn6. D'ofi la proposition.

Soit 1 -* A --* B ---* C --. 1 une suite exacte de G-groupes. Si A est fini, et si c d ( G ) < 1, l'applieation canonique H I ( G , B ) --* HX(G,C) est surjective.

Corollaire.

C ' e s t le cas p a r t i c u l i e r oh I e s t l ' e n s e m b l e d e t o u s les n o m b r e s premiers.

Ezercices. 1) Soit 1 --* A --- B --* C --* 1 une suite exacte de G-groupes, avec A abdlien fini. Le procddd utilisd dans la ddmonstration de la prop. 46 attache h tout c G ZI(G, C) une extension Ec de G par A. Montrer que l'action de G sur A d~duite de cette extension est celle de cA, et que l'image de Ec dans H2(G, cA) est dgale h l'dldment A(c) ddfini au n ° 5.6. 2) Soit A un G-groupe fini, d'ordre premier h l'ordre de G. Montrer que l'on a H 1(G, A) = 0. [Se ramener au cas fini, o~t le r ~ u l t a t est connu: c'est une consdquence du th6or~me de Feit-Thompson disant que les groupes d'ordre impair sont r6solubles.] 3) Soit 1 --* P --* E --* G --* 1 une extension de groupes profinis, off G e t P satisfont aux hypotheses du cor. 1 ~ la prop. 45. Soit E ' un sous-groupe fermd de E se projetant sur G, et minimal pour cette propri6t6 (cf. n ° 1.2, exerc. 2); soit P ' = P A E'. Montrer que P ' = 1. [Sinon, il existerait un sous-groupe ouvert P " de P ' , normal dans E ' , avec P " ~ P ' . En appliquant la prop. 45 ~ l'extension 1 --* P ' / P " ---* E~/P" --* G --* 1, on en ddduirait un rel~vement de G darts E ' / P " , d'oh un sous-groupe fermd E" de E ' , se projetant sur G, et tel que E~'n P ' = P " ; cela contredirait le caract~re minimal de E'.] En d6duire une autre ddmonstration du cor. 1 h la prop. 45. 4) (a) Soit P u n groupe profini. D6montrer l'6quivalence des propri6t6s suivantes: (i) P e s t limite projective de groupes nilpotents finis. (ii) P e s t produit direct de pro-p-groupes.

5.9. Une propri~t~ des groupes de dimension cohomologique < 1

57

(iii) Pour tout p premier, P a un seul p-groupe de Sylow. Un tel groupe est dit pronilpotent. (b) Soit f : G --~ P u n morphisme surjectif de groupes profinis. On suppose que P est pronilpotent. Montrer qu'il existe un sous-groupe pronilpotent P ' de G tel que f ( P ' ) = P. [Ecrire P comme quotient d ' u n produit F = I ] p Fp, oh les Fp sont des pro-p-groupes libres, et relever F --, G en F --~ G grace au cot. 2 de la prop. 45.] Lorsque P e t G sont des groupes finis, on retrouve un r~sultat connu, cf. Huppert [74], m 3 . 1 0 . ) 5) Montrer que tout sous-groupe ferm~ d'un groupe projectif est projectif.

Indications bibliographiques sur le Chapitre I

La presque totalit~ des r~sultats des §§ 1, 2, 3, 4 est due h Tate. Tate lui-m~me n'a rien publiC; toutefois, certains de ses r~sultats ont ~t~ rddig~s par Lang, puis par Douady (cf. [47], [97], [98]). D'autres (notamment les d~monstrations reproduites au n ° 4.5) m'ont ~t~ communiques directement. Exceptions: le n ° 3.5 (module dualisant), et le n ° 4.4 (th~or~me de Safarevi~). Le § 5 (cohomologie non ab~lienne) est tir~ d'un article de Borel-Serre [18]; il est directement inspir~ de la cohomologie non ab~lienne des faisceaux; sous ce rapport, l'expos~ fait par Grothendieck h Kansas [58] est particuli~rement utile.

A n n e x e 1. (J. Tate) - Q u e l q u e s thdor dualit

mes de

T r a d u c t i o n l i b r e d ' u n e l e t t r e d a t ~ e d u 28 m a r s 1963

•.. Tu es inutilement prudent en ce qui concerne le module dualisant: aucune hypoth~se de finitude n ' e s t n~cessaire. De faqon g~n~rale, soit R u n anneau topologique dans lequel les id~aux bilat~res ouverts forment un syst~me fondamental de voisinages de 0. Si I est un tel ideal et si M est un R - m o d u l e , soit MI = H o m R ( R / I , M ) le sous-module de M form~ des ~l~ments annul4s par I. Soit C ( R ) la cat6gorie des R - m o d u l e s M qui sont r6unions des MI. Soit T : C(R) ° --~ (Ab) un foncteur additif contravariant t r a n s f o r m a n t limites inductives en limites projectives. Un tel foncteur T e s t exact d gauche si et seulement si il est reprdsentable. Lorsque R e s t discret, ce r~sultat est bien connu: l'application M = H o m n ( R , M ) --* H o m ( T ( M ) , T ( R ) ) d6finit un m o r p h i s m e de foncteurs aM : T ( M ) ~ H o m n ( M , T ( R ) ) qui est bijectif lorsque M est libre, donc aussi p o u r t o u t M si T e s t exact ~ gauche (utiliser une r~solution libre de M). Dans le cas g~n6ral, si I est un id6al bilat~re ouvert de R, la cat6gorie C ( R / I ) est une sous-cat6gorie pleine de C ( R ) , et le foncteur d'inclusion C ( R / I ) --, C ( R ) est exact et c o m m u t e ~ lin~. Il s'ensuit que, si T e s t exact gauche, il en est de m 6 m e de sa restriction ~ C ( R / I ) , et, p o u r t o u t M E C ( R / I ) , on a un isomorphisme fonctoriel (,)

T ( M ) --~ H o m n ( M , T ( R / I ) ) .

Si l'on applique c e c i / , M = R/Io, o~ Io D I, on voit que r ( R / l o ) = T(R/I)~o. En posant E = l i m 1 ~ o T ( R / I ) , on en d6duit T ( R / I o ) = Ex0; a p p l i q u a n t la formule (,) I0, on en tire

T(M) = HomR(M,E)

pour t o u t M E C(R/Io).

Enfin, si M est arbitraire, on a:

T ( M ) = tim T(MIo) = lim n o m R ( M 1 0 , E ) = H o m R ( M , E ) . Bien entendu, l'additivit~ de T suffit ~ d~finir le m o r p h i s m e fonctoriel

aM : T ( M )

, HomR(M, E) ,

et le bon ~nonc~ consiste k dire que les trois propri~t~s suivantes sont ~quivalentes: T e x a c t / ~ gauche, T o ~ ----i ~ _ o T }iil) Tsemi-exact,(Toli_m)-:-*(li, l_m_moT) surjectif, e t a M e s t i n j e c t i f p o u r t o u t M (iii) aM est bijectif pour t o u t M .

Soit m a i n t e n a n t G un groupe profini. Si A E CG et si S est un sous-groupe ferm6 de G, on posera:

60

Annexe 1. (J. Tate) - Quelques th6or~mes de dualit6

Dr(S,A) = lim Hr(V,A) * , VDS

la limite ~tant prise sur les sons-groupes ouverts V de G contenant S, et par rapport aux transposfs Cor* des homomorphismes de corestriction. [On rappelle que, si B e s t un groupe ab61ien, on note B* le groupe H o m ( B , Q / Z ) . ] Les Dr(S, A) forment u n foncteur homologique contravariant: g toute suite exacte 0 --* A' --* A --* A" --, 0 correspond use suite exacte:

• ..

, Dr(S,A) ---* Dr(S,A')

, Dr-I(S,A") ~

D~_I(S,A)

,...

On pose Dr(A) = Dr({1}, A); du fait que G / U op~re sur Hr(U, A), on a Dr(A) 6 Ca. En particulier, posons: Er = Dr(Z) = lint Hr(G, ZIG~U])*

E'~ = ~

D r ( Z l m Z ) = lim~g r ( G , (ZlmZ)[e/U])*

.

U , rn

O n peut appliquer ce qu'on a dit au d6but aux anneaux topologiques R = Z[G] = ~ _ Z[G/U]

et

R' = ZIG] = Jim (Z/mZ)[G/U].

On a C(R) = Ca, C(R') = C~. D'o~t (en prenant pour T le foncteur Hr(G, morphismes fonctoriels

aM : Hr(G, M)* ----* HomG(M, Er)

pour M 6 CG

Homa(M,E')

pour M 6 C~.

' : H q G , M)" ---. aM

)*) des

Comme T transforme ~ en ~im, on en d6duit l'6quivalence des trois conditions suivantes: aM est bijectif pour tout M 6 CG, aM est injectif pour tout M • CG, scd(G) _< r. M~me chose en remplaGant aM par a~4, C a par C~, et scd(G) par cd(G). Supposons maintenant cd(G) < r. On a alors:

Er+, = Dr+1(Z) = Dr(Q/Z) = ~

Hr(U, Q/Z)*

---lin~Homu(Q/Z, E') = U Horn(Q/Z, E') u . On retrouve ainsi ton crit~re: scdp(G) = r + 1 ~

(E'r) e contient un sous-groupe isomorphe g Qp/Zp.

Exemple: G = Z, E~ -- Q / Z , d'o~t E2 = Horn(Q/Z, Q / Z ) = Z. On en conclut que, pour tout M 6 CG, on a:

H2(G, M)* = HomG(M, Z ) . Si cd(G) = scd(G) = r, alors bien stir E~ est le sons-module de torsion de E~. Exemple: si G = G(Qp/Qp), la th6orie du corps de cla~ses local montre que E2 = li.n~~'*, oh K* d4signe la compactification naturelle du groupe multiplicatif K*, le corps K parcourmat l'ensemble des extensions finies de Qp; le groupe ~ = E~ est bien le sons-groupe de torsion de E2.

Passons/~ un thdor~me de dualitd. Le mieux que je puisse faire est le dr61e de fourbi suivant:

A n n e x e 1 . (J. Tate) - Quelques th4or~mes de dualit4

61

Ddfinition. Si A 6 C o , on dit que cd(G, A) < n si Hr(s, A) = 0 pour t o u t r :> n et tout sous-groupe ferm~ S de G. L e m m e 1. Soit A 6 Co. Les trois propridtds suivantes sont dquivalentes: (i) c d ( G , A ) = 0. (ii) Pour tout sous-groupe ouvert distingud U de G, le G/U-module A v est coho-

mologiquement trivial. (iii) Pour tout couple U, V, avec V D U, formd de sous-groupes ouverts distinguds

de G, l'homomorphisme N : Ho(V/U,A U) ~

H°(V,U,A U)

ddfini par la trace est bijectif. L'4quivalence de (ii) et (iii) r~sulte du th. 8, p. 152, de [145], appliqu4 h q = - 1 , 0. D ' a u t r e part, si (i) est v6rifi4, la suite spectrale HP(V/U, Hq(U, A)) ::~ H(V, A) d4g6nbre; comme sa limite est triviale, on en conclut que HP(V/U, A v) = 0 pour p # 0, d ' o h (ii). Inversement, si (ii) est v6rifi4, on a:

HP(V,A) = lin~ HP(V/U,A v) = 0

pour p # 0,

d'ofi HP(S, A) = lim~vDs HP(V, A) = 0 pour tout sous-groupe term6 S de G, ce qui d4montre (i). Soit m a i n t e n a n t A 6 Co, et soit

0

,A---*X°---,X1---*

...

une r~solution canonique de A, par exemple celle donn4e par les cochaines homog~nes continues (non n~cessairement "~quivariantes"). Soit Z " le groupe des cocycles de X n. O n a la suite exacte: (1)

O ----* A

- - - ~ X 0 ------¢ X 1 .

.

.

.

.

X n-1

---4 Z n ---¢0.

L e m m e 2. cd(G, A) < n ¢=:v cd(G, Z '~) = 0. E n effet, pour t o u t r # 0, on a:

g r ( s , Z") = Hr+I(S, Z "-1) . . . . .

H r + " ( S , A) .

T h ~ o r ~ m e 1. Si cd(G, A) <_n, on a une suite spectrale de type homologique: (2)

E2q = Hp(G/U,H"-q(U,A)) ~

Hp+q = H"-(P+q)(G,A) ,

associde fi tout sous-graupe ouvert distingu6 U de G. De plus cette suite spectrale est fonctorielle en U: si V C U, l'homomorphisme

Hp(G/V, H " - q ( v , A)) --* Hp(G/U, u n - q ( u , A)) ~ consid~rer est celui qui provient de G / V --* G / U et de l'homomorphisme Cor : Hn-q(v, A) --, Hn-q(u, A). C o r o l l a i r e . Si cd(G, A) <_ n, pour tout sous-groupe fermd distingu~ N de G il existe

une suite spectrale de type cohomologique: (3)

E~ q =

HP(G/N, D._q(N,

A)) ~

H"-C~+q)CG, A)* .

En particulier, pour N = {1}: (4)

HP(G, D._q(A)) ~

H"-(P+q)(G, A)* .

62

Annexe I. (J. Tate) - Quelques thdor~mes de dualitd

Le coroUaire se ddduit du thdor~me 1 en appliquant |e foncteur dualitd *, en utilisant la dualitd pour la cohomologie des groupes finis [i.e. la formule Hp(G/U, B)* = HP(G/U, B*), cf. [25], p. 249-250], et en prenant la limite inductive pour les U contenant N. Le thdor~me 1 lui-m~me n'est pas difficile ~ ddmontrer. On consid~re le complexe:

(s)

o --~

(x°) U ---, (x')"

---, ... ~

(x"-~)

U ~

(z") U ---, o

ddduit de (1). On le r~crit sous forme homologique: 0

(6)

~

~

_

~

....

½ ~ ~ 0 .

On a donc Hq(Y.) = H n - q ( U , A ) pour tout q. Appliquons maintenant g Y. le foncteur "chaines par rapport ~ G / U " . On obtient un complexe double C.. de type homologique: c , , ~ = c ~ ( v / u , Yq) . Passant h l'homologie "dams la direction de q", on trouve Cp(G/U, H n - q ( u , A)) puisque Cp eat un foncteur exact. Prenant ensuite l'homologie dans la direction de p, on obtient le terme E2q = Hp(G/U, H n - q ( U , A ) ) cherchd. D'autre part, si l'on prend d'abord l'homologie par rapport ~ p, on trouve Hp(G/U, Yq). Cea groupes sont nuls pour p ~ 0 h cause des lemmes 1 et 2; les m~mes lemmes montrent que, pour p = 0, on a:

Ho(GIU, Yq) = H ° ( G / U , Yq) = yqC/u = ( ( X , , - q ) t r ) c / u = (X,~-q)a . On obtient ainsi un complexe dont la (co)homologie eat H n - q ( G , A), comme on le ddsirait. D'oh le thdor~me. Applications: T h ~ o r ~ m e 2. Soit G un groupe profini et soit n u n antes sont dquivalentes:

entier >_ O. Les conditions suiv-

(i) scd(G) = n, E,, -- D~(Z) est divisible, et Dq(Z) = 0 pour q < n. (ii) scd(G) = n, Dq(A) = 0 pour q < n lorsque A E Ca est de type fini sur Z. (iii) H r ( G , Hom(A, E~)) = H'~-r(G, A)* pour tout r, et pour tout A E CG de type fini sur Z. De m~me: T h ~ o r ~ m e 3. Les conditions suivantes sont gquivalentes: (i) cd(G) = n, D q ( Z / p Z ) = 0 pour q < n e t tout nombre premier p. (ii) cd(G) = n, Dq(A) = 0 pour q < n e t tout A E CIe. (iii) H r ( G , Horn(A, E')) = H " - r ( G , A)* pour tout r et tout a E C~. Note que D I ( Z ) eat toujours nul et clue Do(Z) = 0 si l'ordre de G eat divisible par pOO pour tout p. Ainsi, si scd(G) = 2, le groupe G vdrifie les conditions du thdor~me 2 (pour n = 2) si et seulement si Ez est divisible. C'est le cas pour G(Qp/Qp) par exemple. Ce n'eat pas le cas pour G ( k / k ) , off k est u n corps de nombres totalement imaginaire. Too bad ... Voici une application du th~or~me 3: Si G est un pro-p-groupe analytique tel que cdp(G) < oo, le th6or~me de dualitd (iii) s'applique [i.e. G est u n groupe de Poincard clans la terminologie du n ° 4.5]. En effet,

A n n e x e 1 . (J. T a t e ) - Q u e l q u e s t h 6 o r 6 m e s d e d u a l i t 6

63

o n s a l t d ' a p r ~ L a a a r d que G c o n t i e n t u n s o u s - g r o u p e o u v e r t U qui e s t u n g r o u p e d e Poincax6; c o m m e les D o s o n t les m 6 m e s p o u r U e t p o u r G, o n e n c o n c l u t q u e Dq(Z/pZ) = 0 p o u r q < n e t on a p p l i q u e (i) =~ (iii) [Get a r g u m e n t d 6 m o n t r e en fait ceci: si G est u n p r o - p - g r o u p e d e d i m e n s i o n c o h o m o l o g i q u e finie c o n t e n a n t u n s o u s - g r o u p e o u v e r t qui est u n g r o u p e de Poincar6, alors G est l u i - m 6 m e u n g r o u p e de Poincar6.]

A n n e x e 2. ( J - L . V e r d i e r ) - D u a l i t 6 d a n s la cohomologie des groupes profinis

§ 1.

Modules induits et co-induits

Ddfinitions 1.1. Soient G u n groupe profiul, V un sous-groupe ouvert, Y un V - m o d u l e discret topologique. Le m o d u l e induit M ~ ( Y ) a 6t6 d6fini au chap. 1, § 2, n ° 5 (oh il a ~t~ not6 M ~v (Y) . . . ). Le module co-indult v M ( Y ) est d~fini par: v M ( y ) = Z(G) ® z ( v ) Y • C ' e s t un G - m o d u l e par l ' i n t e r m ~ l i a i r e du premier facteur. O n v~rifie que c'est un C - m o d u l e discret topologique (e'est le m o d u l e induit dans la terminologie de [145]). Soit X un C - m o d u l e discret, topologique. D~signant par X ° le V - m o d u l e sousjacent, on posera X v ---- v M ( X °) et v X = M ~ ( X ° ) . X v est un foncteur en X . C ' e s t aussi un foncteur covariant en V. Si V I e s t un sous-groupe ouvert de G contenu dans V, on d4finit de mani~re ~vidente une application X v , --* X v . De m~me v X est un foncteur covariant en X et contravariant en V. O n se propose d'~tudier les foncteurs X v et v X . P r o p o s i t i o n 1.2. Le bi-foncteur (V, X ) ~-* X v est canoniquement isomorphe au bifo,~aeu,': (Y, X ) ~ Z ( C / V ) ® z X . L 'opgration de G surce dernier module est:

g:z®x~gz®gx

gEG, xEX,

zEZ(G/V).

De m~me le bi-foncteur v X est isomorphe au bi-foncteur:

(v, x )

~ nom~(Z(a/V), X ) ,

o¢z l'opgration de G surce dernier module est: (ga)(z) = g(a(g-lz))

a E H o m z ( Z ( G / V ) , X ) , z E Z(G/V), g E G.

Indiquons s i m p l e m e n t c o m m e n t on d6finit les isomorphismes. Soit 90 la classe, dans

G/V, d ' u n ~16ment de g de G. A t o u t 614ment g®x de X v associons l'6l~ment g°®gx de Z ( G / V ) ® z X . O n v6rifie q u ' o n d~finit ainsi un isomorphisme de X v sur Z ( G / V ° ® z X , fonctoriel en X et en V. De m~me, h t o u t 616ment a de v X , i.e. ~ t o u t e application continue a : G --* X v6rifiant

a(v9) = va(g)

v • II, 9 • G,

associons l'application ~ : G -* X : g ~-~ 9a(g-1). O n v4rifie que l'application ~ se factorise par G / V et que par suite elle d~finit un ~l~ment de Homz(Z(G/V), X). On v~rifie ensuite facilement que l'application ainsi d~finie est un isomorphisme fonctoriel en X et en V. Par abus de notation, nous noterons encore X v et v X les foncteurs Z ( G / V ) ® z X et Homz(Z(G/V), X ) . Les propri~t~s de ces foncteurs sont r6sum~es dans la proposition suivante:

1. Modules induits et co-induits

65

Proposition 1.3. 1) II existe des isomorphismes tri-fonctoriels:

Homa(Xv, Y) ~, Home(X, vY) ~ Homv(X, Y) . 2) Pour un sous-groupe ouvert V donnd, il existe un isomorphisme fonctoriel en X: i v : X v ---+v X . (Cet isomorphisme ne saurait dvidemment pas fitre fonctoriel en V.) 3) Les foncteurs X ~-* X v et X ~-* v X sont exacts en X et commutent aux limites inductives et projectives quelconques. 4) Lorsque X est un G-module injectif, les G-modules X v et v X sont injeetifs. 5) Soit V' un sous-groupe ouvert de G, contenant V e t normalisant V. V' opgre droite sur X v ~- Z ( G / V ) ® z X par l'intermddiaire de V ' / V . Cette structure de V'module h droite est fonctorieUe en X . Elle est aussi fonctorielle en V au sens suivant. Soit U un sous-groupe ouvert de G contenu dans V et invariant dans V'. L 'application canonique: X u --+ X v est compatible avec les structures de V'-modules. De m~me, V' op&re d gauche sur v X = H o m z ( Z ( G / V ) , X ) par l'intermddiaire de V ' / V . Les opdrations de V' commutent aux opdrations de G. Cette structure de V'-module g~ gauche est fonctorielle en X et en V. De plus, si nous transformons le V I-module ~ droite X v en un V'-module fi gauche en posant: v' * x = xv t- 1, l'isomorphisme i v de (2) est un isomorphisme de V'-modules. 6) Pour la structure de V'/V-module d droite de X v , on a: H,(V'/V, Xv) =0

pour i • O

et

Ho(V'/V, X v ) = X v , ,

6)' Pour la structure de W / V - m o d u l e fi gauche de v X , on a: H,(V'/V, v X ) = O

pour i # O

et

H°(V'/V, vX) =v,X

•

Ddmonstration. La premiere assertion est triviale h partir de la deuxi~me d~finition des foneteurs X v et v X . L'isomorphisme iv de la deuxi~me assertion s ' o b t i e n t en eonsid~rant la base eanonique de Z ( G / V ) . Les propri~t~s (3) et (4) se d~duisent alors formellement des propri~tgs (1) et (2). La d~monstration de (5) n'est q u ' u n e suite de v~rifications triviales. D~montrons les propri~t6s (6) et (6)'. Z ( G / V ) est u n V ' / V module h droite induit. Done X v et v X sont des W / V - m o d u l e s induits. Reste ~ voir que H o ( V ' / V , X v ) = X v , et que H ° ( V ' / V , v X ) = v , X ee qui est ~vident. Nous utiliserons les modules induits pour eonstruire des r~solutions. De mani~re precise, soient X u n G - m o d u l e discret, X ° le groupe ab~lien sous-jacent, K ° ( X ) = M G ( X °) le m o d u l e i n d u i t correspondant, ¢(X) : X --~ K ° ( X ) l'injection canonique, Z I ( X ) = coker(e(X)), et j l ( X ) : K ° ( X ) ---* Z I ( X ) le morphisme canonique. D~finissons alors par r~currence pour tout entier i _> 1: K'(X)

= K°(Z'(X))

Z I + I ( x ) = coker(e~) ,

,

~ = ~(Z'(X)), ji+x = j I ( z , ( x ) )

,

d ~-1 = e ~ o j i . On a d~fini ainsi u n complexe K * ( X ) fonetoriel en X, et u n morphisme fonetoriel ¢ : id --* K* faisant de K * ( X ) une r~solution de X. P r o p o s i t i o n 1.4. K* est un foncteur covariant, additif, exact, commutant aux limites inductives filtrantes. Pour tout entier positif i et pour tout G-module discret X , le Gmodule K~ ( X ) est cohomologiquement trivial (i.e. cd(G, K ' ( X ) ) = O, c]. A n n e x e 1).

66

Annexe 2. (J-L. Verdier) - Dualit6 dans la cohomologie des groupes profinis

La derni~re assertion est ~vidente car les K~(X) sont des modules induits. Pour prouver la premiere assertion, il suffit de prouver que K ° ( X ) est un foncteur exact en X et qu'il commute aux limites inductives fiitrantes. Soit: 0---~ X ' - - * X - - ~ X " ---~0 une suite exacte de G-modules discrets. La suite: 0 - - * X '° - - , X ° ~

X "° ---* 0

des groupes ab61iens sous-jacents, est exacte. On en d~duit imm~diatement que la suite:

0~

MG(X'0) ---* MG(XO) ---* MG(X"0) ~

0

est exacte. Soit de m~me X~ un syst~me inductif fi]trant de G-modules discrets et X -- l i n ~ X~. Soit m le morphisme canonique n_~(K°(X~)) --~ K°(X) . c~

Le morphisme m est ~videmmentinjectif; montronsqu'il est surjectif. Pour cela, il suffit de montrer que toute application continue: a : G --* X, se factorise par un X~. Or G 6tant compact et X discret, I'hnage de G par a est finie. Cette image est donc contenue dans l'image, dans X, d'un X~.

Ddfinition 1.5. Toute r~solutionde X, fonctorielleen X, poss~dant les propri~t6s de la proposition 1.4, sera appelde foncteur rdsolvant (cf. T6hoku [59]). P r o p o s i t i o n 1.6. Soient (K[,el) et (K~,E2) deux ]oncteurs rdsolvants, ll existe un foncteur rdsolvant ( K~, ea) et deux morphismes de ]oneteurs rdsolvants

tels que le diagramme suivant soit eommutatif : id ~

K;

• 21 g~ - ~ g~ Soit K~(X) le complexe simple associ~ au double complexe: K~(K~(X)). Le foncteur K [ ~tant exact, le complexe K~(X) est acyclique saul en dimension z~ro. Le foncteur X ~-* K~ (X) est exact et commute aux limites inductives filtrantes. De plus pour tout entier i > O, Kia(X) est cohomologiquement trivial car il est somme directe de Gmodules cohomologiquement triviaux. Enfm les morphismes d'injection des complexes K [ (X) et K~ (X) dans le double complexe g~ (K~(X)) d6finissent des morphismes de complexes m 3 : K~' ---~ g ~ m3

*

fonctoriels en X, qui induisent un isomorphisme sur les objets de cohomologie, tels que le diagramme suivant soit commutatif:

x

-~ KHx)

K~(X)-~ K;(X) ce qui permit de d~finirle morphisme ea et ach~ve la d~monstration.

2. Homomorphismes locaux

§ 2.

67

Homomorphismes locaux

Ddfinition 2.1. Soient S u n sous-groupe ferm6 de G, X et Y deux G-modules discrets. On posera: H o m s ( X , Y) = ~

Horny(X, Y) ~

VDS

lim H o m o ( X v , Y) _Z., lira H o m a ( X , v Y ) , VDS

VDS

les ]imites inductives 6tant prises suivant le systbme projectifdes sous-groupes ouverts V contenant S. Le groupe H o r n s ( X , Y) sera appel~ le groupe des homomorphismes locaux en S. Lorsque S -- {1), on posera H o m s ( X , Y) = Horn(X, Y). P r o p o s i t i o n 2.2. Soit U un sous-groupe fermd de G, contenant S et normalisant S. 1) Le 9roupe U / S op&e sur H o r n s ( X , Y), faisant de H o r n s ( X , Y ) un U/S-module discret topologique; de plus: H ° ( U / S, H o r n s ( X , Y)) = H o m u ( X , Y). 2) Si Y est injecti], on a c d u / s ( H o m s ( X , Y ) ) = O. 3) Les foncteurs ddrivds droits de Y ~-* H o m s ( X , Y) (~ valeurs dans la cat6gorie des U/S-modules) sont:

Ext,(X, Y) = lin~_Ext'(X, y) _Z_, ~ VDS

Exta(Xv,' Y) ~ ~

VDS

lim Extc(X,' v V )

•

VDS

Ddmonstration. 1) On v~rifie sans diflicult6s que H o m ( X , Y) est le plus grand sousmodule de H o m z ( X , Y) sur lequel G op~re continfiment et que H o m ( X , y ) S = H o m s ( X , Y) . L'assertion s'en d6duit imm6diatement. 2) I1 faut montrer que, pour tout sous-groupe U et tout entier i > 0, H'(U/S, Horns(X, Y)) = 0 . Or tout sous-groupe ouvert V' contenant S contient un sous-groupe ouvert V, contenant S e t normalis6 par U. On en d~duit que H ° ( U / S , H o r n s ( X , Y)) = l i ~ H ° ( U • V/V, H o r n y ( X , Y)) , VDS

la limite 6tant prise sur les sous-groupes V normalis~s par U. Par suite, d'aprks chap. I, § 1, prop. 8, on peut supposer que S est ouvert. Soit Z" une r~solution (index6e par les entiers n4gatifs) du U/S-module Z, par des U/S-modules libres de type fini. On a alors: H*(U/S, Homs(X,Y))

= H* ( H o m•u / s ( Z • , H o m s ( X , Y ) ) 1 .

Mais, S 6tant ouvert, on a H o m s ( X , Y) = Horns(X, Y). I1 vient Mors en utilisant les isomorphismes canoniques: H * ( U / S , H o m s (X, Y)) = H . (Homu(X, . . H. o m z ( Z , Y))) . Les termes du complexe Z" sont des sommes directes de modules isomorphes ~ Z ( U / S ) . Par suite, les termes du complexe H o m ~ ( Z ' , Y) sont des sommes directes de modules t H o m ~ / s d ~ i g n e le complexe des morphismes.

68

Annexe 2. (J-L. Verdier) - Dualit6 darts la cohomologie des groupes profinis

isomorphes ~ H o m z ( Z ( U / S ) , Y ) . Or Y est G-injectif, donc U-injectif. Par suite, d'aprbs la prop. 1.3, le U-module H o m z ( Z ( U / S ) , Y ) est injectif. Les termes du complexe Hom~.(Z °, Y) sont donc des U-modules injectifs. De plus, les modules de cohomologie de ce complexe sont tout nuls, sauf en dimension z6ro oh l'on a H ° (Hom~. ( Z ' , Y)) = Y. Le complexe Hom~. (Z °, Y) e_st donc une r6solution injective du U-module Y. On a donc H (U/S, H o m s ( X , Y)) = E x t u ( X , Y) . Mais Y, 6tant G-injectif, est U-injectif, c.q.f.d. 3) L'assertion est claire. C o r o l l a i r e 2.3. ll existe une suite spectrale: E~ 'q = HP(U/S, E x t , ( X , Y)) ==~ Ext~+q(X, Y) . C'est la suite spectrale des foncteurs compos~s (prop. 2.2, (1)) qui s'applique ici cause de la prop. 2.2, (2). P r o p o s i t i o n 2.4. Lorsque X est de type fini (en tant que groupe abdlien ou bien en tant que G-module, c'est la m~me chose), ou bien lorsque S est ouvert, on a: H o r n s ( X , Y) = n o m s ( X , Y )

et

E x t , ( X , Y) = E x t ' ( X , Y) .

Le cas S ouvert est trivial. Supposons clue X soit de type fini. Le groupe G op~re alors sur X, par l'interm6diaire de G / V ' oh V' est un sons-groupe ouvert invariant assez petit. On en d6duit que pour tout sous-groupe ouvert V assez petit: H o m v ( X , Y) = Homz(X, y V ) et par suite, X ~tant de type fini en tant que groupe ab~lien: Horn(X, Y) = Homz(X, Y) • La proposition s'en d~duit ais~ment. C o r o l l a i r e 2.5. Lorsque U est ouvert (par exemple U = G), la suite spectrale 2.3 devient: HP(U/S, E x t , ( X , Y)) ~ Ext~]+q(x, Y) . Lorsque X est de type fini, ou bien lorsque S est ouvert, cette suite spectrale devient: HP(U/S, E x t , ( X , Y) ~

Ext~+q(Z, Y) .

En particulier, lorsque X est de type fini, on a: Hr(U, E x t , ( X , Y)) ==~ Ext[y+q(X, Y) . Cette suite spectrale fournit la suite exacte illimitde: 0 -~ H I ( u , H o m z ( X , Y) --* E x t ' : (X, Y) --* H°(U, E x t z ( X , Y ) ~ H2(U, Homz(X, Y)) ~ . . . • .. --* HP(U, H o m z ( X , Y)) --* E x t , ( X , Y) --* H p - I ( u , E x t z ( X , Y)) L H p+I (U, Homz(X, Y)) --~ - • •

3. Le th6orbme de dualit6

69

Remarques 2.6. 1) Soit V un sous-groupe ouvert invariant de G. Pour tout couple de G-modules X et Y, le groupe ab61ien Ext~,(X,Y) est muni d'une structure de G/V-module. Cette structure de G / V - m o d u l e peut se d6finir simplement de la mani~re suivante: E x t , ( X , Y) est fonctoriellement isomorphe ~ E x t ~ ( X v , Y). Or, (prop. 1.3 (5)) X v est muni d'une structure de G/V-module ~ droite. On en d6duit que, pour tout foncteur contravariant F , b, valeur darts la cat6gorie des groupes ab61iens, F ( X v ) est un G / V module ~ gauche. Soit S u n sous-groupe ferm6 de G, invariant. La remarque pr6c~dente nous permet d'obtenir facilement la structure de G/S-module de E x t , ( X , Y). En effet, le G/S-module E x t , ( X , Y) est la limite inductive des G/S-modules E x t , ( X , Y), la limite 6tant prise sur les sous-groupes ouverts V invariants et contenant S. 2) Lorsque X = Z, Ext~,(Z, Y) -- Hi(V, Y) est donc muni d'une structure de G/Vmodule. Supposons que G op~re trivialement sur Y. La structure de G/V-module de Hi(V, Y) est alors d6duite des op6rations de G sur V par automorphismes int6rieurs. 3) Soient V un sous-groupe ouvert de G, X un G-module. On a alors les isomorphismes: Hi(V, X ) ~ HI(G, v X ) ~ Hi(G, X v ) , le premier isomorphisme 6tant d6fini g partir des isomorphismes de la prop. 1.3 (1), le second 6tant d6fini ~ l'aide de l'isomorphisme de la prop. 1.3 (2), iv : X v --~ v X . Soit V' un-sous-groupe ouvert invariant de G, contenu dans V. L'homomorphisme canonique: v X --+ v, X d6finit un homomorphisme canonique: Hi(V, X) ~ H i ( V ', X), qui n'est autre que la restriction. De m6me, l'homomorphisme canonique: X v , --+ X v d~finit un homomorphisme: H~(V ', X) --* Hi(V, X ) qui n'est autre que la corestriction.

§ 3.

Le th~or~me de dualit~

Nous noterons C l'une des cat6gories: -

-

CG cat6gorie des G-modules discret topologiques, C b sous-cat6gorie pleine de C a des G-modules de torsion,

- C~ sous-cat6gorie pleine de C a des G-modules de p-torsion. Pour simplifier l'6criture, le foncteur H°(G, ) sera not6 F . Soient X ° et Y" deux complexes d'une cat6gorie additive quelconque. Horn ° ( X ' , Y ' ) d6signera le complexe simple des morphismes de X ° dans Y ' . Lorsqu'on utilisera un foncteur r6solvant (D6finition 1.5), il s'agira toujours d'un foncteur r6solvant g valeur dans C et non pas seulement ~ valeur dans C a . Le foncteur K" de la prop. 1.4 est, lorsque l'argument est un objet de C, g valeur dans C). P r o p o s i t i o n 3.1. Soient A un groupe abdlien, X ~ K * ( X ) un foncteur rdsolvant. 1) Le foncteur X ~-+ H o m ~ b ( F K * ( X ) , A) de C d valeur dans les complexes de groupes abdliens, est reprgsentable. En d'autres termes, il existe un eomplexe Uc(A) d'objets de C et un isomorphisme de foneteurs: " * (X), A) -----* ~ Homc(X A : HOmAb(FK °,

rc(A)).

Le complexe Fc(A) est fonctoriel en A. Le foncteur: A ~-+ Fc(A) est unique d isomorphisme unique pr~s.

70

Annexe 2. (J-L. Verdier) - Dualit4 dans la cohomologie des groupes profinis 2) Le complexe Fc(A) ne ddpend pas, ?~ homotopie pros, du foncteur rgsolvant

choisi. 3) Lorsque A est un groupe abdlien injectif, les objets du complexe Fc(A) sont injectifs.

4) Soit X ~ K*(X) un foncteur rdsolvant de Co, qui, lorsque X est un objet de Cb (resp. de C~), est a valeur dans 6~a (resp. C~). Fcb(A ) est le sous-complexe de torsion de Fcc (A). Le complexe Fc~ (A) est la pattie p-primaire de Pc~ (a). 5) Lorsque A est un groupe abglien injectif, les objets de cohomologie de Fc( A) sont donnds par les formules suivantes:

a) C = Ca H - q ( ~ c ~ ( A ) ) = lira Homz(nq(v , Z), A), V, cor

la limite inductive dtant prise sur les sous-groupes ouverts et les morphismes de corestrictions. La structure de G-module est dgfinie par la structure de G-module d droite de Ha(v, Z) lorsque V e s t invariant dans G. b) C = C b H - a ( F c b ( A ) ) = nn~ H o m z ( H q ( V , Z / m Z ) , a ) V, cor,va

c) c = c ~ H-q(Fc~(A)) =

h~

Homz(Hq(V,Z/pmZ),A)

V, e o r ,~,n

Ddmonstration. 1) D'apr~s les propri6t4s des foncteurs r4solvants (D6finition 1.5) le foncteur: X ~-* H o m ( F K i ( X ) , A ) est contravariant, exact ~ gauche, et il transforme limite inductive filtrante en limite projective filtrante. Comme la cat6gorie C est localement noeth&ienne (cf. Gabriel [52], chap. 2), ce foncteur est repr4sentable (cf. Gabriel [52], chap. 2, n ° 4 ou encore darts ce cours, chap. I, § 3, lemme 6). L'o.ssertion s'en d4duit ais~ment. 2) Soient K [ et K~ deux foncteurs r4solvaats; pour d6montrer l'assertion, on peut supposer, d'apr~s la prop. 1.6, qu'il existe un morphisme de r~solution m : K [ --* K~. On en d6duit un morphisme fonctoriet en A ~ : Fc, I(A) --* Fc,2(A) qui poss~de la propri6t6 suivante: pour tout objet X de C le morphisme d6duit de m: H o m e (X, Pc,, (A))

, H o m c " (X, Fc,2(A)) -

induit un isomorphisme sur les groupes de cohomologie. O n en d~duit que le morphisme m est un isomorphisme h homotopie pr~s. 3) Clair. 4) Clair. 5) Etudions le cas C = CG. L'isomorphisme A induit sur les groupes de cohomologie un isomorphisme: A

q: n o m z ( g q ( G , X ) , A )

~. H - q ( n o m o ( X ,

Fc~(A)) .

Prenant X = Z v et passant h la limite inductive sur les sous-groupes ouverts, on obtient le r4sultat annonc~. On proc&te de m~me pour les autres cas. On d4signera par R(Ab) (resp. R(C)), la cat~gorie des complexes finis (i.e. ne comportant qu'un nombre fini d'objets non nuls) de groupes ab41iens (resp. d'objets

3. Le thdor~me de dualit~

71

de C) 2. Lorsque le foncteur F est de dimension cohomologique finie sur C, il existe des foncteurs r~solvants fnis (i.e. tel que pour tout objet X de C, K ° (X) soit un complexe fini): si on consid~re le foncteur r~solvant donn~ par la prop. 1.4, les Z i, pour i assez grand, sont cohomologiquement triviaux. Soit donc X ~-* K * ( X ) un foncteur r~solvant fini. On le prolonge & la cat~gorie R(C) de la mani~re suivante: si X* est un objet de R(C) on pose:

K * ( X °) = complexe simple associfi au complexe double: K i ( X j) . P r o p o s i t i o n 3.2. Supposons que F soil de dimension cohomologique finie sur C. Soient X ---* g * ( x ) un loncteur rdsolvant fini, X ° un objet de R(C), A ° un objet de R(Ab). 1) Il exisSe un foncteur A* ~ F o ( A °) d valeur dans R(C) et un isomorphisme bi-fonctoriel:

,4: Hom'Ab(FK*(X'), A') -% Homb(X °, Pc(A°)). 2) L'isomorphisme A ddfinit un homomorphisme de complexes (i.e. commutant avec la diff4rentielle) de degrd zgro:

#: F K * F c ( A ' ) ---* A" tel que l'isomorphisme ,4 -1 soit le eomposd des homomorphismes: Homc(X ,F(A ))~

HOmAb(FK ( X ) , F K

Fc(A ))-~

HOmAb(FK ( X ) , A ) .

Ddmonstration. La d4monstration de (1) est triviale & partir de la prop. 3.1 (1). Pour d4montrer l'assertion (2), on transpose les d4monstrations classiques sur les foncteurs adjoints. Soit X* un objet de R(C). Nous d4signerons par H~(G, X ' ) le i-~me groupe d'hypercohomologie de F(X*). Soit de plus Y* un autre objet de R(C); nous d~signerons par E x t ~ ( X °, Y°) le i-~me hyperext (cf. [25], chap. XVII, n ° 2). Cette notation, o~ C n'intervient pas, n ' a p p o r t e cependant pas de confusion grace au L e m m e 3.3. Un objet I, injectif dans C, est injectif dans Ca. Le cas C = Ca 4tant trivial, ~tudions par exemple le cas C = Cb. Soit J un injectif de C a . I1 est clair clue le sous-objet de torsion j t de J e s t un injectif de C~ et que tout objet de C 0 se plonge dans un injectif de ce type. II nous suffit donc de montrer que J~ est un injectif de C a . Mais J, 4tant injectif, est facteur direct du module induit injectif M c ( J °) off j 0 est le groupe ab41ien injectif sous-jacent & J. On en d4duit que j t est facteur direct de M c ( J ° ) ~ = M a ( J °t) qui est injectif dans Ca. Le cas C = C~ se d4montre de mani~re analogue.

Dgfinition 3.4. Un complexe dualisant de C est un complexe fini D ° de C muni de ~ : H°(G, D °) --* Q / Z un homomorphisme tel que les homomorphismes compos~s: H i ( G , X °) x Exta~(X °, D °) ~

H ° ( G , D 0) ~

Q/Z

(la premiere fl~che 4tant ddfinie par le cup-produit), d~finissent des isomorphismes de foncteurs: E x t b ' ( X ' , D °) -% Homz(H~(G, X°), Q / Z ) . 2 Les morphismes de R(Ab) (resp. R(C)) sont les homomorphismes de complexes, i.e. conservant le degr4 et commutant avec la diff~rentielle.

72

Annexe 2. (J-L. Verdier) - Dualit6 dans la cohomologie des groupes profinis

L'unicit6 du complexe dualisant est explicit~e par la proposition ci-dessous. Soit X ° un objet de R(C). Une r~solution injective de X" est un homomorphisme de complexes X ° --, Inj(X °) dans un complexe dont tousles objets de degr4 n4gatif sont nuls sauf at, plus un nombre fini d'entre eux, homomorphisme qui induit un isomorphisme sur les objets de cohomologie. I1 existe des r6solutious injectives ([25], chap. XVII). Les r4solutions injectives sont uniques K homotopie pr~s. P r o p o s i t i o n 3.5. Soient ( D~ , Q1) et ( D~, 82) deux complexes dualisants de C, Inj(D~) et Inj(D~) deux rdsolutions injeetives. Il existe un isomorphisme h homotopie pros et un seul: s : Inj(DT) ~ Inj(D~)

qui soit compatible avec ~1 et Q2. Nous ne d6montrerons pas cette proposition. T h ~ o r ~ m e 3.6. Soit G u n groupe profini de dimension cohomologique finie (resp. de p-dimension cohomologique finie). Les catdgories CG, C t , C~ (resp. C p) poss~dent des complexes dualisants. En effet l'isomorphisme A de la prop. 3.2 donne, en passant h la cohomologie, des isomorphismes: A q: Homz(Hq(G, X°), Q / Z ) -7-, E x t ~ q ( x °, F c ( q / z ) )

.

De plus, le (2) de la prop. 3.2 permet de d4finir un homomorphisme

~ : H°(C, rc(q/Z))

~ q/z

et la deuxi~me paxtie de l'aesertion (2) ainsi que la d4finition du cup-produit montrent que l'isomorphisme A-lq est d6fini par l'homomorphisme compos& Ext~q(X ", F c ( q / z ) )

x Hq(a, X') ~

H°(G, F c ( q / z ) )

~-~ Q / Z .

Nous noterons I" (resp. ~t, resp. I'P) le complexe de G-modules injectifs Fca (Q/Z) (resp. F c ~ ( Q / Z ) , resp. F c ~ ( Q / Z ) ) obtenu d'apr~s la prop. 3.1 h l'aide d'un foncteur r6solvant quelconque s. Les objets de cohomologie de ces complexes sont dorm's par les formules de la prop. 3.1 (5). Changer de foncteur r~solvant revient k remplacer les complexes I, ~'t ~p par des complexes homotopiquement 6quivalents. Lorsque, par exemple, G est de dimension cohomologique finie, le complexe I est homotope h u n complexe injectif fini et le th4orbme 3.6 montre que l'isomorphisme de 0-foncteurs:

A_q : H o m z ( H q ( a , X), Q / Z ) ---* H - q ( H o m S ( X , D)

X 6 ob(CG)

(d~fini par la proposition 3.1 sans hypoth~e sur G) est d4fini ici par un cup-produit. P r o p o s i t i o n 3.7. Soit G un groupe profini et soit H un groupe opdmnt sur G, possddant la propridtd suivante: pour tout sous-groupe ouvert V de G, il existe un sous-groupe ouvert V' contenu dans V, invariant par H e t par G. Alors, pour tout entier q, H op~re sur H-q('D et si on ddsigne par hq l'opdration d'un h 6 H sur H-q('D, on a la fo~nule: hq(ga) = h(g)hq(a)

g6G,

a 6 H-"(I).

a Lorsqu'aucune confusion n'en r~sultera on dcrira simplement I (resp. I t, IP).

4. Application du thdorbme de dualit4

73

En d'autres termes, H op&re sur le G-module H-q(~[) de faUGh compatible avec les automorphismes de H sur G. De plus, si H --- G e t si G op~re sur lui-m~me par automorphismes intdrieurs, l'opdration de G sur H-q('f) n'est autre que l'opdration naturelle de G sur H - q ( [ ) . Enfin on a l e s m~mes rdsultats pour les complexes "[t et -[P. En effet, d'apr~s la prop. 3.1 H - q ( I ) = lim n o m z ( H q ( V , Z), Q / Z ) . V, c o r

Lorsque V e s t invariant par H et par G, H opbre sur H o m z ( H - q ( V , Z), Q / Z ) de fa~on compatible avec les op4rations de G qui, eUes, s'obtiennent ~ partir des op&ations de G sur V par automorphismes int6rieurs. D'oh le r 6 s u l t a t e n p assant ~ la limite inductive. On refait le m6me raisonnement pour les complexes I t et I p. P r o p o s i t i o n 3.8. Soient G un groupe profini, V un sous-groupe ouvert invariant. 1) Le V-module H - q ( ' f v ) est canoniquement isomorphe au V-module obtenu en restreignant les scalaires dans le G-module H - q ( ' f c ) . 2) Rdciproquement, G op~re sur V par automorphismes intdrieurs et vdrifie la condition de la prop. 3.7. It op~re donc sur H - q ( I v ) . Le G-module ainsi obtenu est canoniquement isomorphe d H - q ( I c ) . On a des r6sultats analogues avec les complexes ~t et I'P. Ddmonstration. La premiere assertion est 6vidente h partir des formules de la prop. 3.1. La deuxi~me assertion se d6duit imm&tiatement de la prop. 3.7. Les deux derni~res propositions nous serviront g d6terminer le complexe dualisant de G connaissant celui de V.

§ 4.

Application du th6or~me de dualit6

Ddfinition ,~. 1. Soient G un groupe profini, p u n nombre premier. Le groupe G est dit de Cohen-Macaulay strict en p st: 1) G est de p-dimension cohomologique finie. 2) Le complexe I ~ n ' a qu'un seul objet de cohomologie non nul. 3) Les objets de cohomologie de I~ sont injectifs en tant que groupes ab61iens. Remarques ,~.,9.. 1) Si G est de Cohen-Macaulay strict en p e t si cdp(G) = n, l'objet de cohomologie non nul de I ~ est H - ~ ( I ~ ) . C'est donc le module dualisant de G (chap. I, § 3, n ° 5). 2) Par analogie avec la th6orie de la duaiit6 dams les anneaux locaux, on dit que G est un groupe de Cohen-Macaulay en p s'il poss~de les deux premieres propri6t6s de la d6finition 4,1. Je ne connais pas de groupe de Cohen-Macaulay qui ne soit pas de Cohen-Macaulay strict.

74

Annexe 2. (J-L. Verdier) - Dualit~ darts la cohomologie des groupes profinis

Soit G u n groupe de Cohen-Macaulay en p. Nous noterons I'P = H - " ( I ~ ) (n -- cdp(G)) le module dualisant de G. Le th~or~me de dualit~ s'~crit alors: A _ q : H o m z ( H q ( G , X ) , Q / Z ) - - ~ E x t ~ - q ( x , I'~)

X 6 ob(C~).

En effet, on peut prendre comme complexe dualisant le eomplexe r4duit au seul objet I'P en degr~ - n e t z~ro ailleurs. L'isomorphisme de dualit4 est d4fini k l'aide du cupproduit et de l'homomorphisme canonique Q : H " ( G , I p) -~ Q / Z . Nous poserons S q ( G ) = Hq(G, Z/pZ). P r o p o s i t i o n 4.3. Soit G u n groupe profini tel que cdp(G) = n. Les deux propridtds suivantes sont dquivalentes: 1) G est de Cohen-Macaulay strict en p. 2) Pour tout q # n, li_~v, cor Homz(Hq(Y), Q / Z ) = {0}. Ddmonstration. 1) =~ 2). En effet en posant X = Z / p Z v dans la formule de dualit~ on obtient l'isomorphisme: Homz(Hq(V), Q/Z)

~ , Ext~z-q(Z/pZ, IP) .

En passant ~ la limite inductive sur les sous-groupes ouverts, on obtient le r6sultat. (On utilise la prop. 2.4.) 2) =~ 1). Les foncteurs X H ~mmv,cor Homz(Hq(V, X), Q / Z ) forment un 0-foncteur. Le G-module Z / p ~ Z a d m e t t a n t une suite de composition ~ quotients Z / p Z , on en d4duit que pour tout entier m: lin~ Homz(Hq(Y, Z / p m Z ) , Q / Z ) = {0}

q# n

V~cor

d'ofi, en utilisant la prop. 3.1 (5), le fait clue G est de Cohen-Macaulay. Reste ~ montrer que le module dualisant I'P est divisible. Or le th6or~me de dualit4 nous donne, encore une lois en passant ~ la limite sur les sous-groupes ouverts, l'isomorphisme: U x t ~ ( Z / p Z , I p) ---. lim H o m z ( H " - l ( V ) , Q / Z ) V, cor

d'oh le r&sultat (on suppose n > 0, le cas n -- 0 ~tant trivial). Soit G un groupe d e Cohen-Macaulay strict en p. Soit X un G-module fini de p-torsion. On posera: X = Homz(X,I'P). C'est un G-module discret de p-torsion. Le foncteur X ~-~ .~ est exact (I'P est divisible). P r o p o s i t i o n 4.4. L 'isomorphisme de dualitd ddfinit un isomorphisme de O-]oncteurs: n o m z ( g q ( G , X), Q / Z ) _T_., g " - q ( G , X ) , l'isomorphisme dtant ddJini par le cup-produit:

Hq(G,X) x H"-q(G,X) u___. H.(G,~p) et l'homomorphisme canonique: Q: H n ( G , I "p) - - * q / Z

.

4. Application du th~or~me de dualit~

75

Ddmonstration. En effet, le th~or~me de dualit~ s'~crit:

H o m z ( H ° ( G , X), Q / Z ) - ~ E x t ~ - q ( X , I'P) . Mais X est de type fini et I'P est divisible. Le corollaire 2.5 nous fournit alors un isomorphisme: E x t ~ - q ( X , I'P) ~

s n - q ( G , Homz(X, IP)) = Hn-q(G, X )

d'ofi l'isomorphisme annoncd. Le fait que l'isomorphisme de dualitd soit ddfini par le cup-produit fournit la seconde partie de la proposition. Ddfinition 4.5. Un groupe profini G est dit de Poincard en p si G est de CohenMacaulay strict en p et si le module dualisant de G est isomorphe, en tant que groupe ab~lien, ~ Q p / Z p .

P r o p o s i t i o n 4.6. Soit G u n pro-p-groupe tel que cdp(G) = n. Les propridtds suivantes sont dquivalentcs: 1) G est un groupe de Pomcard en p. 2) Les Hq(G) sont des espaces vectoriels de dimension finie; Hn(G) est de dimension 1; le cup produit: Hq(G) × H'~-q(G) v_~ Hn(G ) est une forme bilindairc non ddgdndrde. 1) ~ 2). Remarquons d ' a b o r d que le sons-G-module de I'P: noyau de la multiplication par p, est isomorphe ~ Z / p Z en tant que groupe ab61ien et que G y op~re trivialement (G est un pro-p-groupe). Ecrivons l'isomorphisme de dualit6: nomz(H'~(G), Q/Z) ~

HomG(Z/pZ, IP) - ~ Z / p Z ,

ce qui montre que H n (G) est de dimension 1. Ensuite le G-module Z / p Z ~tant isomorphe au C-module Z / p Z , la prop. 4.4 fournit un isomorphisme: Homz(Hq(G), Z / p Z ) - ~ H'~-q(G) ,

ce qui montre que les espaces vectoriels Hq(G) sont isomorphes ~ leurs biduaux et que par suite ils sont de dimension finie. De plus, on v6rifie ais6ment, k l'aide de la prop. 4.4, que l'isomorphisme pr6c6dent est d6fini par le cup-produit: Hq(G) × H'~-q(G) ~

H"(G) ,

et que par suite ce cup-produit est non d6g6n6r~. 2) ~ 1). Cette implication a d6jh 6t6 d~montr~e (chap. I, § 4, n ° 5, d6monstration de la prop. 30). P r o p o s i t i o n 4.7. Soit G u n groupe profini de p-dimension cohomologique finie. Supposons qu'il existe un sous-groupe ouvert V de G qui soit de Cohen-Macaulay en p (resp. de Cohen-Macaulay strict en p, resp. de Poincarg en p). Alors G est de CohenMacaulay en p (resp . . . . ). La rdciproque est vraie i.e. si G est de Cohen-Macaulay en p (resp . . . . ), tout sous-groupe ouvert V de G est de Cohen-Macaulay cn p (resp . . . . ). Ces ~nonc~s sont triviaux ~ partir des d~finitions et de la prop. 3.8. Lazard a montr6 que, si G est un groupe analytique de dimension n sur Qp, tous les sous-groupes ouverts de G assez petits sont des groupes de Poincar6. On a done:

76

Annexe 2. (J-L. Verdier) - Dualit~ dans la cohomologie des groupes profinis

C o r o l l a i r e 4.8. Soit G u n 9roupe analytique de dimension n sur Qn, compact, de pdimension cohomologique finie. Alors G est un groupe de Poincarg en p de dimension n. Exercices. 1) Soit G u n groupe profini dont l'ordre est divisible par pOO. Montrer que

H ° ( I ~ ) -- {0}. 2) Soit G u n l'&luivalence:

groupe de Cohen-Macaulay en p et soit n = cdp(G). Montrer

G de Cohen-Macaulay strict en p ~

tim H o m z ( H n - l ( V ) , Q / Z ) = {0} .

-----4 V~cor

3) Soit G u n groupe de p-dimension cohomologique 1. Alors G est un groupe de Cohen-Macaulay strict en p. 4) Soient F ( J ) un p-groupe libre, { a i } i e j les g6n6rateurs, (a~) les sous-groupes ferm~s engendr~s par les g6n6rateurs. Montrer que le module dualisant de F ( J ) est

iEJ

Annexe

3. - L ' i n 6 g a l i t 6 d e G o l o d - S a f a r e v i ~

II s'agit de prouver l'6nonc6 suivant (cf. n ° 4.4): Th6orhme

1. Si G est un p-groupe ~ 1, on a r > d2/4, avec

d= dimH~(G,Z/pZ)

et

r = dimH2(G,Z/pZ)

.

O n va voir que ce th~or~me provient d ' u n r~sultat gfin~ral sur les alg~bres locales.

§ 1.

Enoncfi

Soit R u n e alg~bre de dimension finie sur un corps k, et soit I un id6al bilat~re de R. O n fait les h y p o t h ~ e s suivantes: (a) R = k ~ / . (b) I e s t nilpotent. Ces hypotheses entrainent que R e s t un anneau local (non n & e s s a i r e m e n t commutatif) de radical I et de corps r4siduel k, cf. Bourbaki AC II, n ° 3.1. Si P e s t un R - m o d u l e (g gauche), de type fini, les Torff(P, k) sont des k-espaces vectoriels de dimension finie. On posera:

t~(P) = dim~ Toria(P, k) . Soit m = to(P) = dimk P / I . P . Si ¢ 1 , . . . , a~m est une k-base de P / I . P , soient x l . . . . , xm des rel~vements dans P de ~ 1 , . . . ,era. D'apr~s le l e m m e de Nakayama, les x~ engend r e n t P . Ils d6finissent done un m o r p h i s m e surjeetif

x:Rm----,p, et l'on a Ker(x) C I . R m. Ceci s'applique n o t a m m e n t ~ P = k, avec m -- 1, xl = 1 et Ker(x) = I. O n a:

to(k) = 1 , tt (k) = dimk TOrlR(k, k) = dimk I / I 2 ,

t2(k) = dimk Tor~(k, k) = dimk T o r ~ ( l , k) . Nous allons d6montrer: Th6or~me

1'. Si I ~ O, on a t2(k) > t l ( k ) 2 / 4 .

Cet ~noncd entraine le th. 1. En effet, si l'on prend k = F v e t R = Fv[G], l'alg~bre R e s t une alghbre locale dont le radical I e s t l'id~al d'augrnentation de R (cela r~sulte, par exemple, de la prop. 20 d u n ° 4.1). De plus, on a Tor~(k, k) -- H~(G, Z / p Z ) , d'ofi

ti(k) = dim Hi(G, Z / p Z ) = dim HI(G, Z / p Z ) , puisque Hi(G, Z / p Z ) et H i ( G , Z / p Z ) sont d u a u x l'un de l'autre. D'ofi le th. 1.

78

A n n e x e 3. L'indgMit6 de Golod-Safarevi~

§ 2.

D6monstration

Posons d = t l ( k ) et r = t2(k). On a: d=tl(k)=to(I)=dimkl/12

r=t2(k)=ta(l).

et

L'hypoth~se I ~ 0 &tuivaut h d > 1. D'apr~s ce qui a dtd dit plus haut, il existe une suite exacte O -.-~ d - - - . Rd ----. I -.-~ O , avec J C I . R d. C o m m e r = t l ( I ) = t 0 ( J ) , on voit que J est isomorphe ~ un quotient de R r. D ' o h une suite exacte R r - _ ~ Rd......~ I.......~ O ,

avec Im(6) = g C I . R d (ddbut d ' u n e rgsolution m i n i m a l e de I, cf. e.g. [24], [66]). E n faisant le p r o d u i t tensoriel de c e t t e suite exacte par R / r ' , o/l n e s t un entier > 0, on obtient la suite exacte (R/I'~) ~ ~

( R / I ' ~ ) d -----, I l I '~+' ~

O.

Mais le fait que l'image de e soit contenue dans I • R d montre que l ' h o m o m o r p h i s m e ( R / I ' ~ ) ~ ---, ( R / I ' ~ ) d se factorise par ( R / I n - l ) ~. O n obtient ainsi une suite exacte (R/r*-l) ~

, (R/In) ~ ~

I / I n+x ~

O.

D'ofi l'indgalit6 d . dimk R / I '~ < r . d i m k R / I '~-1 + dimk I / I "~+1 , valable p o u r t o u t n > 1. Si l'on pose a(n) = d i m k R / I n, ceci s'6crit: (*.)

d" a(n) < r . a ( n -

1) + a ( n + 1) - 1

(n >_ 1).

Une premiere consdquenee de ( . . ) est l'indgalitd r > 1. En effet, s i r = O, on a d . a(n) <_ a ( n + 1) - 1 d'ofi a(n) < a ( n + 1), ce qui est impossible puisque a(n) = dimk R / I n e s t c o n s t a n t p o u r n g r a n d ( I dtant nilpotent). Supposons que d 2 - 4r soit >_ 0. On p e u t factoriser le polyn6me X 2 - d X + r en ( X - A)(X - #), off A et # sont rdels > 0, avec # > A (d'oh p > 1, puisque Ap = r). Posons A ( n ) = a(n) - Aa(n - 1) .

On a A ( n + 1) - ~ A ( n ) : a ( n + 1) - (A + # ) a ( n ) + A~aCn - 1) = a(,~ + 1) - d . aCn) + r . ~ ( n - 1 ) ,

ce qui p e r m e t de rdcrire (*n) sous la forme: (*~n)

A ( n + 1) - p A ( n ) >_ 1

pour n > 1.

Or on a a(0) = 0, a(1) = 1, a(2) = d + 1, d ' o h A(0) = 0, A(1) = 1, A(2) = d + 1 - A = 1 + #. O n ddduit alors de (.~), par r~currence sur n, que A(n) > 1 + # +... + pn-,

( n >_ 1).

C o m m e # > 1, ceei entra~ne A ( n ) > n. C'est absurde puisque a ( n ) , donc aussi A ( n ) , est c o n s t a n t p o u r n grand. O n a donc bien d z - 4r < 0, eqfd.

2. D 6 m o n s t r a t i o n

79

Exercice. Soit G u n pro-p-groupe. O n pose d = dim H i ( G , Z / p Z ) , r = dim H2(G, Z / p Z ) et l'on suppose clue d et r sont finis (de sorte que G est "de pr6sentation finie"). (a) Soit R la limite projective des alg~bres Fp[G/U], off U p a r c o u r t l'ensemble des sous-groupes ouverts n o r m a u x de G. Montrer que R est une Fp-alg~bre locale, de radical I = K e r : R --* F v. (b) M o n t r e r que I n est de codimension finie darts R. O n pose a(n) = dim R / I n. Montrer que dim 1/12 = d, et que, si on ~crit I sous la forme R d / J , on a d i m J / I J = r, cf. B r u m e r [24] et U a r a n [66]. En d~duire que l'in~galit~ (*n) est encore valable (m~me d~monstration). (c) On suppose d > 2 et r <<_d2/4. D~duire de (.~) qu'il existe une constante c > 1 telle que a(n) > c '~ p o u r n assez grand. D'apr~s Lazard ([102], A.3.11), ceci entraine que G n'est pas un groupe analytique p-adique.

C h a p i t r e II

Cohomologie

galoisienne - cas commutatif

§ 1. G n ralit s

1.1. Cohomologie

galoisienne

Soit k un corps, et soit K une extension galoisienne de k. Le groupe de Ga|ois G(K/k) de l'extension K/k est un groupe profini (cf. Chap. I, n ° 1.1), et on peut lui appliquer les m6thodes et les r~sultats du Chapitre I; en particulier, si G(K/k) opbre s u r u n groupe discret A(K), les Hq(G(K, k), A(K)) sont bien d6finis (si A(K) n'est pas commutatif, on se limite ~ q = 0, 1). En fait, on travaille rarement avec une extension K/k fixe. La situation est la suivante: On dispose d'un corps de base k, et d'un foncteur K ~-* A(K) d6fini sur la cat6gorie des extensions alg6briques s~parables de k, ~ valeurs dans la cat6gorie des groupes (resp. des groupes ab~liens), ce foncteur v6rifiant les axiomes suivants: (1) A(K) = lim A(Ki), pour Ki parcourant l'ensemble des sous-extensions de K de type fini sur k. (2) Si K -* K ~ est une injection, le morphisme A(K) --* A(K ~) correspondant est une injection. (3) Si K~/K est une extension galoisienne, A(K) s'identifie h

H°(G(K'/K), A(K')). [Cela a un sens, car le groupe G(K~/K) op~re - par fonctorialit~ - sur A(K% De plus, l'axiome (1) entraine que cette action est continue.]

Remarques. 1) Si ks d~signe une cl6ture s~parable de k, le groupe A(ks) est bien d~fini, et c'est un G(ks/k)-groupe. Sa connaissance dquivaut (hun isomorphisme de foncteurs pros) h celle du foncteur A. 2) I1 arrive souvent que le foncteur A puisse ~tre d~fini pour routes les extensions de k (non ndcessairement alg~briques, ni s~parables), et cela de faqon v~rifier (1), (2), (3). L'exemple le plus important est fourni par les "schemas en groupes": si A est un schSma en groupes sur k, localement de type fini sur k, les points de A ~ valeurs dans une extension K/k forment un groupe A(K) ddpendant fonctoriellement de K , et ce foncteur v~rifie les axiomes (1), (2), (3) [l'axiome (1) r~sulte de ce que A est localement de type fini]. Ceci s'applique

1.2. Premiers exemples

83

notamment aux "groupes alg~briques", c'est-~-dire aux schdmas en groupes de type fini sur k. Soit A un foncteur v~rifiant les axiomes ci-dessus. Si K ' / K est une extension galoisienne, [es Hq(G(K'/K), A(K')) sont d~finis (si A n'est pas commutatif, on se limite h q = 0, 1). On les note Hq(K'/K, A). Soient K~/KI et K~/K2 deux extensions galoisiennes, de groupes de Galois G1 et G 2. On suppose donn~e une injection K1 ~ K2. Supposons qu'il existe une injection K~ J~ K~ prolongeant l'inclusion i. On d~finit au moyen de j un homomorphisme G2 --* GI et un morphisme A(K~) ~ A(K~); ces deux applications sont compatibles, et d~finissent des applications

Hq(G1, A(K~))

, Ha(G2, A(K~)) ;

ces applications ne ddpendent pas du choix de j (cf. [145], p. 164). On a donc des applications

Hq(KI/KI, A)

, Hq(K~/K2, A)

ne d~pendant que de i (et de l'existence de j). En particulier, on voit que deux cl6tures s~parables de k ddfinissent des Hq(ks/k,A) en correspondance bijective canonique. Cela permet de laisser tomber le symbole ks et d'&rire simplement Ha(k, A). Les Ha(k, A) d~pendent fonctoriellement de k.

1.2. Premiers

exemples

Soit Ga (resp. Gin) le groupe additif (resp. multiplicatif), d6fini par la relation G , ( K ) = K (resp. GIn(K) = K*). On a (cf. [145], p. 158): P r o p o s i t i o n 1. Pour route extension gaIoisienne K / k , on a H 1(K/k, Gin) = 0 et Ha(K/k, Ga) = 0 (q >_ 1). En fait, lorsque K / k est ]inie, les groupes de cohomologie modifies fflq(K/k, Ga) sont nuls pour tout q E Z.

Remarque. Les groupes Hq(K/k, Gm) ne sont en g~ndral pas nuls pour q > 2. On rappelle que le groupe H2(K/k, Gin) s'identifie h la pattie du groupe de Brauer Br(k) d&ompos~e par K; en particulier, H2(k, Gin) = Br(k), cf. [145], Chap. X. C o r o l l a i r e . Soit n u n entier >_ 1, premier d la caractdristique de k. Soit Izn le groupe des racines n-i~mes de l'unitd (dans ks). On a:

Hl(k, pn) = k*/k *n .

84

§ 1. G~n6ralit~s On a une suite exacte: ' #n

1

' Gm

n

Gm

~

1 ,

oh n d~signe rendomorphisme x ~-* x n. D'oh la suite exacte de eohomologie:

k* n k*

, Hl(k,#n) ~

H l ( k , Gm) .

Le corollaire en r~sulte puisque H i ( k , Gin) = 0, d'apr~s la prop. 1.

Remarques. 1) Le m~me argument montre que H2(k, IZn) s'identifie h Brn(k), noyau de la multiplication par n dans Br(k). 2) Si/z~ est contenu dans k*, on peut identifier #n ~ Z / n Z en faisant choix d'une racine primitive n-i~me de l'unit~. Le corollaire ci-dessus donne done un isomorphisme entre les groupes:

k*/k *n

et

Hom(Gk,Z/nZ) = HI(k,Z/nZ) .

On retrouve la classique "th~orie de Kummer", cf. Bourbaki A.V. § l l . n ° 8.

§ 2. Crit

res de dimension cohomologique

Dans les paragraphes suivants, on note Gk le groupe de Galois de ks~k, o6 ks est une cl6ture s6parable de k. Ce groupe est d6termin6 ~ isomorphisme (non unique) pr~s. S i p est un nombre premier, on note Gk(p) le plus grand quotient de Gk qui soit un pro-p-groupe; le groupe Gk (p) est le groupe de Galois de l'extension ks(p)/k; cette extension est appel6e la p-extension maximale de k. On se propose de donner des crit~res permettant de calculer la dimension cohomologique de Gk et des Gk(p), cf. Chap. I, § 3.

2.1. Un

r~sultat

auxiliaire

P r o p o s i t i o n 2. Soit G u n groupe profini, et soit G(p) = G / N le plus grand quotient de G qui soit un pro-p-groupe. Supposons que cdv(N ) _< 1. Les applications

canoniques Hq(G(p), Z/pZ)

, Hq(G, Z / p Z )

sour alors des isomorphismes. En particulier, cd(G(p)) < cdv(G ). Soit N / M le plus grand quotient de N qui soit un pro-p-groupe. Il est clair que M est distingu~ dans G, et que G/M est un pro-p-groupe. Vu la d6finition de G(p), ceci entraine M = N. Ainsi, tout morphisme de N dans un pro-pgroupe est trivial. En particulier, on a Hi(N, Z / p Z ) = 0. D'autre part, puisque cdp(N) < 1, on a H'(N,Z/pZ) = 0 pour i > 2. Il r~sulte alors de la suite spectrale des extensions de groupes que l'homomorphisme

Hq(G/N, Z/pZ)

, Hq(G, Z/pZ)

est un isomorphisme pour tout q >_ 0. L'in6galit~ cd(G/N) <_cdv(G ) en r6sulte, gr£ce ~ la prop. 21 du Chapitre I.

Exercice. Les hypotheses ~tant celles de la prop. 2, soit A un G(p)-module de torsion pprimaire. Montrer que l'application canonique de Hq(G(p), A) dans Hq(G, A) est un isomorphisme pour tout q _~ 0.

86

§ 2. Crit~res de dimension cohomologique

2.2. Cas

oh pest

~gal h la caract~ristique

P r o p o s i t i o n 3. Si k est un corps de earactdristique p, on a cdp(G~) < 1 et cd(Gk(p)) < 1. Posons x p - x = f ( x ) . L'application f est additive, et donne lieu h la suite exacte: 0 ,Z/pZ 'Ga !'Ga--*O. En effet, cela signifie (par d6finition!) que la suite de groupes ab61iens

0

,z/pz--

ks f-Lks

,0

est exacte, ce qui est facile ~ voir. Par passage h la cohomologie, on en d6duit la suite exacte: H l ( k , Ga) --~ Y 2 ( k , Z / p Z ) , g2(k, Ga). Vu la proposition 1, on en d6duit que H2(k, Z / p Z ) = 0, i.e. H2(Gk, Z / p Z ) = 0. Ce r6sultat s'applique aussi aux sous-groupes ferm6s de Gk (puisque ce sont des groupes de Galois), et en particulier h ses p-groupes de Sylow. Si H d6signe l'un d'eux, on a donc cd(H) < 1 (cf. Chap. I, prop. 21), d'ofi cdp(Gk) _< 1 (Chap. I, cot. 1 h la prop. 14). Si N e s t le noyau de Gk --~ Gk(p), ce qui pr6c~de s'applique aussi h N e t montre que cdp(N) _< 1. La proposition 2 permet d'en d6duire que cd(Gk(p)) _< cdp(Gk) _< 1, cqfd. C o r o l l a i r e 1. Le groupe Gk (p) est un pro-p-groupe fibre. Cela r6sulte du Chap. I, cor. 2 ~ la prop. 24. [Comme Hl(Gk(p)) s'identifie ~ k / f ( k ) , on peut m6me calculer le rang de

Gk(p) ] C o r o l l a i r e 2 (Albert-Hochschild). Si k ~ est une extension radicielle de k, l'application canonique Br(k) -* Br(k ~) est surjective. Soit k's une cl6ture s6parable de k' contenant ks. Du fait que k ' / k est radiciet, on peut identifier Gk au groupe de Galois de k~/k'. On a: Br(k) = H2(ak, k*) ,

Br(k') = H2(ak, k'8*) .

De plus, pour tout x 6 k'~, il existe une puissance q de p telle que x q 6 ks; en d'autres termes, le groupe k s'* / k s* est un groupe de torsion p-primaire. Puisque cdp(Gk)_< 1, o n a d o n c H 2 (Gk, k 8,* / k s) • = O, et la suite exacte de cohomologie montre que H:(Gk, k2) ~ HU(Gk, k's*) est surjectif, cqfd.

Remarques. 1) Lorsque k' est une extension radicielle de hauteur 1 de k, le noyau de Br(k) --, Br(k') peut se calculer ~ l'aide de la cohomologie de la p-alg~bre de Lie des ddrivations de k'/k, cf. G.P. Hochschild, [70], [71]. 2) Soit Brp(k) le noyau de la multiplication par p dans Br(k). On peut d~crire Brp(k) en termes de forrnes diffdrentielles de la mani~re suivante:

2.3. Cas off p e s t different de la caract~ristique

87

Soit O~:(k) le k-espace vectoriel des 1-formes diff~rentielles ~ x i dyi de k, et soit H~(k) le quotient de ~ : ( k ) par le sous-groupe engendrd par les diff~rentielles exactes dz (z ~ k), ainsi que par les (x p - x)dy/y (x E k, y E k*), cf. Kato [81]. Il existe un isomorphisme H~(k) --* Brp(k) et un seu! qui associe ~ la forme diff~rentielle x dy/y la classe [x, y) de l'alg~bre centrale simple d~fmie par des g~n4rateurs X, Y, li~s par:

XP-X=x,

YP=y,

YXY-I=X+I,

cf. [145], Chap. XIV, § 5.

Exercice. Soient x, y E k. On d~finit un ~l~ment [x,y] de Brp(k) par: [x,y]=[xy, y)

si

y~0,

et

[x,y]=0

si y = 0 ,

cf. Remarque 2). Montrer que [x, y] est ]a classe dans Br(k) de l'alg~bre centrale simple de rang p2 d~finie par deux g~n~rateurs X, Y li~s par les relations

X p=x,

YP=y,

XY-YX=-I.

Montrer que [x, y] est une fonction biadditive et antisym~trique du couple (x, y).

2.3. Cas

oh pest

different

de la caract~ristique

P r o p o s i t i o n 4. Soit k un corps de caractdristique ~ p, et soit "nun entier >_ 1.

Les conditions suivantes sont dquivalentes: (i) ¢dp(Gk) _< n, (ii) Pour route extension algdbrique K de k, on a Hn+I(K, Gm)(p) = 0 et le groupe Hn( K, Gin) est p-divisible. (iii) M~me dnoncd quc dans (ii), d cela pros qu'on se limite aux extensions K / k qui sont sdparables, finies, et de degrd premier d p. [On rappelle que, si A est un groupe ab~lien de torsion, A(p) ddsigne la composante p-primaire de A.] Soit #p le groupe des racines p-ibmes de l'unit~; il est contenu dans ks. On a la suite exacte: 0 ~ #p - - ~ G m ~ G m ~0 , cf. n°l.2. L a suite exacte de cohomologie montre que la condition (ii) ~quivaut dire que Hn+I(K, #p) = 0 pour tout K; traduction analogue pour (iii). Ceci ~tant, supposons que cdp(Gk) _< n. C o m m e GK est isomorphe ~ un sous-groupe ferm~ de Gk, on a aussi cdp(GK) _< n, d'ofi Hn+I(K,#p) = O. Ainsi (i) =ez (ii). L'implication (ii) :o (iii) est triviale. Supposons maintenant (iii) v~rifi~e. Soit H u n p-groupe de Sylow de Gk, et soit K / k l'extension correspondante. On a: K = lira Ki , oh les Ki sont des extensions finies s~parables de k, de degr~ premier ~ p. Vu (iii), on a Hn+I(K~, ~p) = 0 pour tout i, d'ofi Hn+I(K, #p) -- 0, i.e. H n+l (H, IZp) - 0. Mais H est un pro-p-groupe, donc op~re trivialement sur Z / p Z ; on peut ainsi identifier # p e t Z/pZ, et la prop. 21 du Chapitre I montre que c d ( H ) < n, d'oh la condition (i), cqfd.

§ 3. Corps de dimension _ 1

3.1. D~finition P r o p o s i t i o n 5. Soit k un corps. Les propridtds suivantes sont dquivalentes: (i) On a cd(Gk) <_ 1. Si k est de caractdristique p ~ O, on a en outre Br(K)(p) = 0, pour route extension algdbrique K / k . (ii) On a B r ( K ) = 0 pour route extension algdbrique K / k . (iii) Si L / K est une extension galoisienne finie, avee K algdbrique sur k, le G ( L / K ) -module L* est cohomologiquement trivial ([145], Chap. IX, § 3). (iv) Sous les hypotheses de (iii), la n o r r a e NL/K : L* --* K* est surjective. (i) bis, (ii) bis, (iii) bis, (iv) bis: m~mes dnoneds que (i), . . . , (iv) d cela pros qu'on se borne aux extensions K / k qui sont finies et sdparables sur k. Les 6quivalences (i) ~ (i) bis, (ii) ~ (ii) bis r6sultent du cor. 2 k la prop. 3. L'6quivalence (i) ~:~ (ii) r6sulte des prop. 3 et 4. Les ~quivalences (ii) bis ¢* (iii) bis ¢* (iv) bis sont d6montr6es dans [145], p. 169. D'autre part, si k v~rifie (ii), toute extension alg6brique K / k v6rifie (ii), donc aussi (ii) bis et (iii) bis, ce qui signifie que k v6rifie (iii). Comme (iii) =~ (iii) his trivialement, on volt que (ii) =~ (iii), et le m~me argument montre que (ii) ~ (iv), cqfd. Remarque. La condition Br(k) -- 0 ne sumt pas U entralner (i) . . . . , (iv), cf. exerc. 1. Ddfinition. Un corps k est dit de dimension ~ 1 s'il v6rifie les conditions 6quivalentes de la prop. 5.

On ~crit alors dim(k) < 1. P r o p o s i t i o n 6. (a) Toute extension algdbrique d'un corps de dimension ~ 1 est aussi de dimension ~_ 1. (b) Soit k un corps parfait. Pour que dim(k) (_ 1, il faut et il su~it que cd(Gk) _< 1. L'assertion (a) est triviale. Pour (b), on remarque que, si k est parfait, l'application x ~-, x p e s t une bijection de k~ sur lui-m~me; il s'ensuit que la p-composante des Hq(k, Gin) est nulle, et en particulier Br(k)(p). Comme ceci s'applique ~ toute extension alg6brique K / k , on voit que la condition (i) de la prop. 5 se r6duit ~ cd(Gk) _< 1, cqfd.

3.2. Relation avec la propridt~ (CI)

89

Proposition

7. Soit k un corps de dimension <_ 1, et soit p un nombre premier. On a cd(Gk(p)) <_ 1.

O n ~crit Gk(p) = G k / N . C o m m e cd(Gk) < 1, on a c d ( N ) < 1, et la prop. 2 m o n t r e que c d ( G k / N ) < cdp(Gk), d ' o h . . . etc. Exercices. 1) (M. Auslander) Soit ko un corps de caract~ristique 0 ayant les propri~t~s suivantes: ko n'est pas algfibriquement clos; ko n'a aucune extension abfilienne non triviale; dim(k0) _< 1. (Exemple de tel corps: le compos~ de toutes les extensions galoisiennes finies r~solubles de Q.) Soit k = ko((T)). Montrer que Br(k) = 0 bien que k ne soit pas de dimension < 1. 2) En caract~ristique p > 0, montrer qu'il existe des corps k de dimension ,~ 1 tels que [k : k p] = pr, oh r est un entier > 0 donnfi (ou +c~). [Prendre pour k une cl6ture s~parable de Fp(T1 . . . . ,Tr).] S i r > 2, en dfiduire qu'il existe une extension radicielle finie K / k telle que N g / k : K* -~ k* ne soit pas surjective. [Cela montre que les hypotheses de sfiparabilitfi de la prop. 5 ne peuvent pas ~tre supprim~es.]

3.2. R e l a t i o n avec la propri~t~ (C1) C'est la propri~t~ suivante: (Cl). Toute dquation f ( x l , . . . , xn) = O, olz f est un polyn6me homog~ne de degrd d < n, d coe1~icients dans k, a une solution non triviale dans k n. O n verra des exemples de tels corps au n ° 3.3. P r o p o s i t i o n 8. Soit k un corps vdrifiant (C1). (a) Toute extension algdbrique k' de k vdrifie (C1). (b) Si L / K est une extension finie, avec K algdbrique sur k, on a N L / I~ ( L * ) = g*. Pour p r o u v e r (a), on peut supposer k' fini sur k. Soit F ( x ) un polynSme homog~ne, de degr~ d, en n variables, et h coefficients dans k'. Posons f ( x ) = N k , / k F ( x ) ; en choisissant une base el, . . . , em de k l / k , et en exprimant les c o m p o s a n t e s de x au moyen de cette base, on voit que f s'identifie h un polynSme homog~ne, de degr~ din, en n m variables, et h coefficients dans k. Si d < n, on a d m < n m , et ce polynSme a un z~ro non trivial x. Cela signifie que Y k , / k F ( x ) = O, d'ofi F ( x ) = O. Pla~ons-nous m a i n t e n a n t dans les hypotheses de (b), et soit a E K*. Si d = [L : K], consid~rons l'~quation N(x) = a. x d,

aveczEL,

x0EK.

C'est une ~quation de degr~ d, ~ d + 1 inconnues. C o m m e , d'apr~s (a), le corps K v~rifie (C1), cette ~quation a une solution non triviale (x, x0). Si x0 ~tait nul, on aurait N ( x ) = 0 d'ofi x = 0, contrairement ~ I'hypoth~se. Donc x0 ~ 0, et N ( x / x o ) = a, ce qui d~montre la surjectivit~ de la norme.

90

§ 3. Corps de dimension _< 1

C o r o l l a i r e . Si k vgrifie (C1), on a dim(k) < 1, et, si k est de caract~ristique p > O, [k : k p] est ggal d l ou d p. Vu la proposition pr~c6dente, le corps k v~rifie la condition (iv) de la proposition 5. On a donc bien dim(k) _< 1. D ' a u t r e part, supposons k ~ k p, et soit K une extension radicielle de k de degr~ p. D'aprbs la proposition pr~c~dente, on a N ( K ) = k. Or N ( K ) = K p. On a donc K p = k, d'ofi K p2 = k p et [k: k p] --- [ g : g p] = p.

Remarques. 1) La relation "[k : k p] = 1 ou p" peut aussi s'exprimer en disant que les seules extensions radicielles de k sont les extensions k p-~, avec i = 0, 1 , . . . , oo. 2) La r6ciproque du corollaire pr~c6dent est fausse: il existe des corps parfaits k de dimension _< 1 qui ne sont pas (C1), cf. exercice ci-dessous.

Exercice (d'apr~s J. Ax [8]). Ca) Construire un corps k0 de caract6ristique 0, contenant toutes les racines de l'unit6, et tel que G(ko/ko) = Z: x Za. [Prendre une extension alg6brique convenable de C((X)).] (b) Construire un polynSme homog~ne f ( X , Y), de degr~ 5, k coefficients dans ko, qui ne repr6sente pas 0. [Prendre le produit d'un polynfme de degr~ 2 et d'un polynSme de degr~ 3.] (c) Soit kl = ko((T)), et soit k le corps obtenu en adjoignant ~ kl les racines n-i~mes de T, pour tout entier n premier ~ 5. Montrer que G(fc/k)=Z2 x Z 3 x Z 5 ,

d'ofl dim(k) < 1.

Montrer que le polynSme i=5

F(X1 . . . . . X5, Y1 . . . . . Ys) = ~

T'$(X~, Y~)

i=l

est de degr~ 5 et ne repr~sente pas 0 sur k. Le corps k n'est donc pas (C1). [Une construction analogue, mais plus compliqu6e, donne un exemple de corps de dimension < 1 qui n'est (Cr) pour aucun r, cf. [8].]

3.3. Exemples de corps de dimension ~ 1 a) Un corps fini est (C1): th~or~me de Chevalley [31]. En particulier, il est de dimension _< 1. b) Une extension de degr~ de transcendance 1 d'un corps alg~briquement clos est (C1): th6or~me de Tsen (cf. [95]). En particulier ... etc. c) Soit K un corps muni d'une valuation discrete ~ corps r~siduel alg~briquement clos. Supposons que K soit hensdlien, et que K soit sdparable sur K. Alors K v~rifie (C1): th(ior~me de Lang [95]. Cela s'applique en particulier ~ l'extension maximale non ramifi6e d'un corps local ~ corps r~siduel parfait. d) Soit k une extension alg~brique du corps Q. Ecrivons k = lim k~, les ki ~tant finis sur Q, et notons V/l'ensemble des "places" de ki (une "place" d ' u n

3.3. Exemples de corps de dimension < 1

91

corps de nombres peut ~tre d~finie comme une topologie sur ce corps, d~finie par une valeur absolue non triviale). Soit V -- lim V~. S i v C V, la place v induit sur chaque k~ une place, et le compl~t~ (k~). est d~fini. Posons:

nv(k) = ppcm[(ki)v : qv] , c'est un hombre "surnaturel" (cf. Chap. I, n ° 1.3), qui est appel~ le degrd de k en

~.

P r o p o s i t i o n 9. Soit k une extension algdbrique de Q, et soit p u n nombre premier. On suppose que p ~ 2, ou que k est totalement imaginaire. Si, pour route place ultramdtrique v de k, l'exposant de p dans le degrd local nv(k) est infini, on a cdp(Gk) <_ 1. [On dit que k est "totalement imaginaire" s'il n ' a d m e t aucun plongement dans R. Il revient au m~me de dire qu'on a nv(k) = 2 pour toute place v de k ddfinie par une valeur absolue archim~dienne.]

Ddmonstration. On va d'abord prouver que la composante p-primaire de Br(k) est nulle. Pour cela, soit x E Br(k), avec px = O. C o m m e k -- ! i m k~, on a Br(k) = lim Br(k~), et x provient d'un ~l~ment x0 E Br(k~o). Or on salt (cf. par exemple Artin-Tate [6], Chap. 7) qu'un ~l~ment du groupe de Brauer d'un corps de nombres est caract~ris~ par ses images locales, elles-m~mes donn6es par des invariants a p p a r t e n a n t ~ Q / Z . Si i > i0, l'image x(i) de x dans Br(k~) a des invariants locaux bien d~finis; soit W~ le sous-ensemble de V~ form~ des places off l'invariant local de x(i) est non nul. Les Wi forment un syst~me projectif (pour i <_ i0); nous allons voir que lim W~ = 0. En effet, s i v • lim Wi, l'image de x dans chacun des groupes de Brauer Br((k~)v) est non nulle. Mais on salt que, lorsqu'on fait une extension d'un corps local, l'invariant d ' u n 616ment du groupe de Brauer se trouve multipli6 par le degr6 de l'extension (cf. [145], p. 201). Si alors v e s t ultram6trique, pOO divise n , ( k ) et, pour i assez grand, le degr6 de (ki)v sur (kio)v est divisible par p, ce qui entraine que l'invariant de x(i) en v est nul, contrairement ~ l'hypoth~se; de m6me, si v e s t archim6dienne (ce qui n'est possible que s i p = 2), le corps (k~). est 6gal ~ C pour i assez grand, et l'invariant de x(i) en v est encore nul. On a donc bien )ira W~ -- 0, et comme les Wi sont finis, cela entraine W~ = 0 pour i assez grand (cf. Chap. I, n ° 1.4, lemme 3), d'oh x(i) = 0 et x = 0. On a bien prouv6 que Br(k)(p) = 0. Pour la m6me raison, on a Br(kr)(p) = 0 pour toute extension alg6brique k r de k, et la prop. 4 montre que cdp(Gk) < 1, cqfd. C o r o l l a i r e . Si k est totalement imaginaire, et si le degrd local de route place ultramdtrique de k est dgal ~ o% on a dim(k) _< 1. En effet, k est parfait, et cdp(Gk) est _< 1 pour tout p: on peut appliquer la prop. 6.

Remarque. On ignore si un corps k qui v6rifie les conditions du corollaire ci-dessus est n6cessairement (C1); c'est peu probable.

92

§ 3. Corps de dimension :'- 1

Exercices. 1) Ddmontrer la rdciproque de la prop. 9 [utiliser la surjectivitd des applications canoniques Br(k) --~ Br(kv)]. 2) Montrer clue GQ ne contient pas de sous-groupe isomorphe ~ Zp x Zp [remarquer qu'un tel sous-groupe est de dimension cohomologique 2, et utiliser la prop. 9]. D'apr~s Artin-Schreier [5], GQ ne contient pas de sous-groupe fini d'ordre > 2, et ne contient pas Z/2Z x Zp. En ddduire que tout sous-groupe fermd commutatif de G Q est isomorphe, soit Z/2Z, soit ~ un produit l-lpelZp, oh Iest une pattie de l'ensemble des hombres premiers. En particulier un tel sous-groupe est topologiquement monog~ne. 3) Soit k un corps parfait.Montrer clueles troispropridtds suivantes sont dquivalentes: (i) k est alg4briquement clos; (ii) dim k((t)) < 1; (iii) dim k(t) < 1.

§ 4 . Th

or

mes d e t r a n s i t i o n

4.1. Extensions alg~briques P r o p o s i t i o n 10. Soit k r u n e extension algdbrique d'un corps k, et soit p u n nombre premier. On a cdp(Gk,) < cdv(Gk), et il y a dgalitd dans chacun des deux cas suivants: (i) [kr: k]s est p r e m i e r d p. (ii) cdv(Gk) < oo et [ k ' : k]s < c~. Le g r o u p e de Galois Gk, s'identifie ~ un sous-groupe du groupe de Galois Gk et son indice est 6gal ~ [k ~ : k]8. La proposition r~sulte donc de la prop. 14 du C h a p i t r e I. Remarque. On a e n fait un r6sultat plus precis: P r o p o s i t i o n 10'. Supposons [k' : k] < oo. On a alors cdp(Gk,) -- cdp(Gk), saul lorsque les conditions suivantes sont simultandment satisIaites:

(a) v = 2;

(b) k est ordonnable ( - 1 n'est pas somme de carr~s dans k); (c) ed2(Gk,) <~ c<). (Exemple: k -- R, k' = C.) On applique la prop. 14' du Chap. I au groupe profini Gk et ~ son sous-groupe ouvert Gk,. On en d~duit que, si cdp(Gk) ~ cdp(Ga,), le groupe Gk contient un dl~ment d'ordre p. Or, d'apr~s un th~or~me d'Artin-Schreier ([5], voir aussi Bourbaki A VI.42, exerc. 31), ceci n'est possible que s i p = 2 et si k est ordonnable. D'ofi le r~sultat.

4.2. E x t e n s i o n s t r a n s c e n d a n t e s P r o p o s i t i o n 11. Soit k' une extension de k, de degrd de transcendance N . Si p est un hombre premier, on a cdp(Gk,) ~ N + cd~(Gk) . Il y a ggalitd lorsque k' est de type fini sur k, cdp(Gk) < oo, et que p est distinct de la caractdristique de k.

94

§ 4. Th6or~mes de transition

Compte tenu de la prop. 10, on peut se borner au cas o5 k' = k(t); on a alors N = 1. Si k d~signe une cl6ture alg~brique de k, k/k est une extension quasigaloisienne de groupe de Galois Gk. De plus, cette extension est lin6airement disjointe de l'extension k(t)/k. On en conclut que le groupe de Galois de l'extension -k(t)/k(t) s'identifie k Gk. D'autre part, si H d6signe le groupe de Galois de k(t)/-k(t), le th~or~me de Tsen montre que cd(H) < 1. Comme Gk,/H = Gk, la prop. 15 du Chapitre I donne l'in~galit~ cherch~e. k(t)

I

/I k(t) = k'

I/ k Reste k voir qu'il y a 6galit6 lorsque cdp(Gk) < oo et que p e s t distinct de la caract6ristique de k. Quitte £ remplacer Gk par un de ses p-groupes de Sylow, on peut supposer que Gk est un pro-p-groupe. Si #p d6signe le groupe des racines p-i~mes de l'unit~, Gk op~re de faqon triviale sur pp, ce qui montre que les racines p-i~mes de l'unit~ appartiennent ~ k. Posons d = cdp(Gk). Nous allons voir que H d+l (Gk,, pp) ~ 0, ce qui ~tablira l'in6galit6 cherch6e. La suite spectrale des extensions de groupes (cf. Chapitre I, n ° 3.3) donne

Hd+l( Gk', l~p) = Ha(Gk, HI( H, #v)) • Mais Hl(H,l~p) = Hl(-k(t),#p). Posons, pour simplifier l'4criture, K = k(t). La suite exacte 0 -* /~p --, Gm ~ Gm --* 0, appliqu6e au corps K, montre que Hi(K, I~p) = K * / K *p, et cet isomorphisme est compatible avec l'action du groupe Gk = Gk,/H. On a donc: Ha+I(Gk,, #p) = Hd(Gk, K * / K *p) . Soit w : K* --* Z la valuation de K = k(t) d~finie par un ~l~ment de k (par exemple 0); par passage au quotient, w d~finit un homomorphisme surjectif K * / K *p --~ Z/pZ qui est compatible avec l'action de Gk. On en d~duit un homomorphisme Hd(Gk, g * / g *p) , Hd(Gk, Z / p Z ) qui est ~galement surjectif (car cdp(Gk) <_ d). Mais, puisque Gk est un pro-pgroupe, on a Hd(Gk,Z/pZ) ~ O. I1 s'ensuit que Hd(Gk,K*/K *p) ~ O, d'ofi Hd+l(Gk,#p ) ~ O, cqfd.

4.3. Corps locaux

95

C o r o l l a i r e . Si k est, soit un corps de fonctions d'une variable sur un corps fini, soit un corps de fonctions de deux variables sur un corps algdbriquement clos, on a cd(Gt¢) = 2. [Par "corps de fonctions de r variables" sur un corps k0, on entend une extension de k0, de degr~ de transcendance r, et de t y p e fini sur ko.] Cela r6sulte de ce que cd(Gko) est 6gal h 1 (resp. h 0) lorsque k0 est un corps fini (resp. un corps alg~briquement ctos).

Remarques. 1) Lorsque k' est une extension transcendante pure de k, la projection Gk, --* Gk est scindde (il suffit de le voir lorsque k' = k(t), auquel cas cela se d6duit du r~sultat analogue pour k((t)), cf. n ° 4.3, exerc. 1, 2). Il en r~sulte (cf. Ax [8]) que, pour tout Gk-module A, l'application canonique Hi(k, A) ----, g i ( k ', A) ,

i = O, 1. . . .

est injective. Cela montre en particulier que cdp(Gk,) > cdp(Gk), m~me si cdp(Gk) = or. 2) Pour plus de d~tails sur les relations entre la cohomologie galoisienne de k(t) et celle des extensions finies de k (valeurs, rdsidus, etc), voir le § 4 de l'Annexe.

4.3. Corps locaux P r o p o s i t i o n 12. Soit K un corps complet pour une valuation discrete de corps rdsiduel k. Pour tout nombre premier p, on a:

cdp(GK) _~ 1 + cdp(G~) . II y a dgalitd lorsque cdp(Gk) < oo et que p e s t distinct de la caractdristique de K . La d ~ m o n s t r a t i o n est analogue h la pr~c~dente. On utilise l'extension non ramifi~e m a x i m a l e Kn~ de K. Le groupe de Galois de cette extension s'identifie Gk; d ' a u t r e part, celui de K s / K n r est de dimension cohomologique _< 1 (cf. n ° 3.3 ainsi que [145], Chap. XII). La prop. 15 du C h a p i t r e I s'applique et m o n t r e que cdp(Gg) < 1 + cdp(Gk). Lorsque d = cdp(Gk) est fini, et que p est premier ~ la caract~ristique de K , on se ram~ne c o m m e pr~c~demment au cas off Gk est un pro-p-groupe. O n calcule Hd+I(GK,/dp). O n trouve:

H d+l (GK, Izp) = H d (Gk, K *, r / K *,r r) . La valuation de K~r d~finit un h o m o m o r p h i s m e surjectif *

*P

g~r/g;~ ~

Z/pZ,

d'ofi un h o m o m o r p h i s m e surjectif Hd(Gk, Kn~/Kn~r) ---' Hd(Gk, Z / p Z ) , et on en d~duit encore que Hd+I(GI¢, #p) est ~ 0, cqfd.

96

§ 4. Th6orbmes de transition

C o r o l l a i r e . Si le corps rdsiduel k de K est fini, on a cd~(GK) = 2 pour tout p distinct de la caractgristique de K .

On a en effet Gk = Z, d'ofi cdp(Gk) = 1 pour tout p. Remarque.

Si cdp(Gk) = oo, on a cdp(GK) = c~, cf. exerc. 3 ci-dessous. Exercices.

Dans ces exercices, K et k satisfont aux hypotheses de la prop. 12. 1) On suppose k de caract~ristique 0. On a une suite exacte (*)

1 ~

N ~

G K ----* Gk ----, 1 ,

o~ N = G ( K / K , ~ , ) est le groupe d'inertie de G K .

(a) D~finir u n isomorphisme canonique de N sur ~im #~, off #~ d~signe le groupe des racines n-i~mes de l'unit~ de k (ou de K , cela revient au m~me). En d~duire que N e s t isomorphe (non canoniquement) h Z. (b) Montrer que l'extension (,) est scind6e. [Silr est une uniformisante de K, montrer que l'on peut choisir des 7r~, n > 1, darts K tels que ira = 7r et (Trnm) m = It,, pour tout couple n , m >_ 1. Si H est le sous-groupe de G K qui fixe les 7rn, montrer que GK est produit semi-direct de H et de N.] 2) On suppose k de caract6ristique p > 0. Une extension galoisienne finie de K est dite moddrde si son groupe d'inertie est d'ordre premier h p. Soit Kmod la compos6e de ces extensions. On a K s D Kmod D K n r D K. Les corps r6siduels de gmod et Knr sont 6gaux h ks; celui de K~ est k. (a) Soit N = G ( K m o d / K n ~ ) . Montrer que N = ~ i m / ~ , off n parcourt les entiers _> 1 premiers h p. Montrer que l'extension 1 ~

N ---* G ( K m o d / K ) ~

Gk ~

1

est seind6e [m~me m6thode que dans l'exerc. 1]. (b) Soit P = G(K,/Kmod). Montrer que P eat u n pro-p-groupe. (c) Montrer que l'extension 1

, G ( g s / K n ~ ) ---, Ci~ - - - . a k

,1

est scind6e [utiliser (a) ainsi que le fait que toute extension de Gk par P est scind~e puisque cdp(Gk) <_ 1, cf. prop. 3 - voir aussi Hazewinkel [41], App., th. 2.1, pour le cas off k est parfait.] 3) Utiliser le scindage de GK --* Gk, ddmontr6 dans les deux exercices ci-dessus, pour prouver que, si A est un Gk-module, les applications canoniques Hi(k,A)----~H'(K,A),

i = 0,1,...,

sont injectives (cf. [8]). On a donc cdp(Gk) < cdp(GK) pour tout p.

4.4. Dimension cohomologique du groupe de Galois d'un corps de hombres ... 4.4. Dimension cohomologique corps de hombres alg~briques

du groupe

de Galois

97

d'un

P r o p o s i t i o n 13. Soit k un corps de nombres algdbriques. Si p # 2, ou si k est totalement imaginaire, on a cdp(Gk) < 2. La d~monstration s'appuie sur le lemme suivant: L e m m e 1. Pour tout hombre premier p il existe une extension abdlienne K de Q dont le groupe de Galois est isoraorphe d Zp, et dont les degrds locaux n v ( K ) sont dgaux h pOO, pour route place ultramdtrique v de K . [Comme K est galoisienne sur Q, le degr~ local n v ( K ) d'une place v de K ne d~pend que de la place induite par v sur Q; si cette derni~re est d~finie par le nombre premier g, on ~crira n~(K) au lieu de nv(K).] Soit d'abord Q(p) le corps obtenu en adjoignant ~ Q les racines de l'unit~ d'ordre une puissance de p. I1 est bien connu ("irr~ductibilit~ des polyn5mes cyclotomiques") que le groupe de Galois de cette extension s'identifie canoniquement au groupe Up des unit~s du corps Qp. De plus, le groupe de d~composition D~ d'un nombre premier g est ~gal ~ Up tout entier si g -- p, et ~ l'adh~rence du sous-groupe de Up engendr~ par g si g ~ p (cf. [145], p. 85). Dans tous les cas, on volt que Dt est infini, et il en r~sulte que son ordre (qui n'est autre que nt(Q(p))) est divisible par p ~ . Notons maintenant que Up est produit direct d'un groupe fini par le groupe Zp (cf. par exemple [145], p. 220). Une telle d~composition d~finit un sous-corps K de Q(p) tel que G ( K / Q ) = Zp. Comme [Q(p) : K] est fini, les degr~s locaux de K / Q sont n~cessairement ~gaux ~ pO~, ce qui ach~ve la ddmonstration du lemme. Revenons maintenant ~ la prop. 13. Soit K un corps jouissant des propri~t~s ~nonc~es dans le lemme 1, et soit L un compos~ de K avec k. Le groupe de Galois de L / k s'identifie ~ un sous-groupe ferm~ d'indice fini du groupe G ( K / Q ) ; il est donc lui aussi isomorphe ~ Zp. Le m~me argument montre que les degr(~s locaux des places ultram~triques de K sont ~gaux ~ pOO. D'apr~s la prop. 9, on a cdp(GL) _ 1. Comme d'autre part, on a cdp(Zp) = 1, la prop. 15 du Chapitre I montre que cdp(Gk) _< 2, cqfd.

4.5. La propri6t6

(Cr)

C'est la suivante: (Cr). Toute dquation homog~ne f ( x l , . . . , x n ) = O, de degrd d, dt coe~icients dans k, a une solution non triviale dans k n s i n > d r. (Noter que (Co) ¢~ k est alg~briquement clos; quant ~ (C1), voir n ° 3.2.) La propri6t~ (Cr) jouit de "th~or~mes de transition" analogues h ceux des n °s 4.1 et 4.2. De faqon plus precise:

98

§ 4. Th~or~mes de transition

(a) Si k' est une extension alg6brique de k, et si k est (Cr), alors k ~ est (Cr), cf. Lang [95]. (b) Plus g6n6ralement, si k ~ est une extension de k de degr~ de transcendance n, et si k est (Cr), alors k' est (Cr+n), cf. L a n e [95], compl6t6 par N a g a t a

[118l. En particulier, t o u t e extension de degr~ de transcendance <_ r d ' u n corps alg~briquement c l o s e s t (C~); ceci s'applique n o t a m m e n t au corps des fonctions m ~ r o m o r p h e s sur une vari~t~ analytique complexe, compacte, de dimension r. Par contre la prop. 12 n'a pas d'analogue pour (C~): si K est un corps local dont le corps r~siduel k est (Cr), it n'est pas vrai en gdndral que K soit (Cr+l). L'exemple le plus simple est celui de Terjanian [174], oh r = 1, k = F2, K = Qz; Terjanian construit un polynSme homog~ne f, de degr~ 4, en 18 variables, h coefficients entiers, qui n'a pan de z~ro non trivial dans Q2; comme 18 > 42, cela montre que Q2 n'est pas (C2), bien que son corps r~siduel soit (C1). Pour d'autres exemples, voir Creenberg [57], ainsi que BoreviS-Safarevi5 [21], Chap. I, n ° 6.5. Le ca8 r = 2

La propri~t~ (C2) est particuli~rement int~ressante. Elle entraine: ( . ) Si D est un corps gauche de centre k et fini sur k, la nor'me rdduite

N r d : D* --* k* est surjective. E n effet, si [D : k] = n 2, et si a E k*, l'~quation Nrd(x) = at n e s t homog~ne de degrd n e n n 2 + 1 inconnues (~ savoir t et les c o m p o s a n t e s de x); si k est (C2), elle a donc une solution non triviale, ce qui m o n t r e que a est n o r m e rdduite d ' u n ~l~ment de D*. Une autre consequence de (C2) est: (**) Toute forrne quadratique h 5 variables (ou davantage) s u r k est isotrope (i.e. repr~sente 0). Cela p e r m e t de classer compl~tement les formes q u a d r a t i q u e s sur k (suppos~ de caract~ristique ¢ 2) au moyen de leur rang, de leur discriminant (dans k * / k .2 = H l ( k , Z / 2 Z ) ) , et de leur invariant de H a s s e - W i t t (dans Br2(k) = H 2 ( Z / 2 Z ) ) , cf. W i t t [187] ainsi que Scharlau [139], II.14.5. Lien entre (Or) et cd(Gk) < r

On a vu au n ° 3.2 que (C1) =~ cd(Gk) <_ 1. II est probable que (Cr)=~cd(Gk)
pour tout r >_O.

C'est (trivialement) vrai pour r = 0, et c'est (non trivialement) vrai pour r = 2, d'apr~s des r~sultats de Merkurjev et Suslin. Plus pr~cis~ment: T h ~ o r h m e M S (Suslin [167], cor. 24.9). Soit k un corps parfait. Les propridtds suivantes sont dquivalentes:

(a) cd(Gk) _< 2. (b) La propridtd (.) ci-dessus (surjectivitd de la norme r~duite) est vraie pour toutes les extensions finies de k.

Comme (C2) =~ (b), on en ddduit bien que (C2) =~ cd(Gk) < 2 lorsque k est parfait; le cas gdndral se famine imm&liatement ~ celui-lh.

4.5. La propri~t~ (C~)

99

Remarques. 1) Un point essentie| dans la d6monstration du th6or~me MS est la construction d~un homomorphisme k*/Nrd(D*) -~ Ha(k, #~2), qui est injectif si n e s t sans facteur carr6, cf. Merkurjev-Suslin [109], th. 12.2. 2) On peut se demander si cd(Gk) < 2 entraine (**). n n'en est rien. Merkurjev a montr~ (cf. [108]) que, pour tout N > 1, il existe un corps k de caract~ristique 0, avec cd(Gk) = 2, qui poss~de une forme quadratique anisotrope de rang N. Si N > 4, un tel corps n'est pas (C2); il n'est m~me pas (Cr) si l'on choisit N > 2r. 3) Pour un r4sultat partiel dans la direction (Cr) =~ cd(Gk) _< r, voir exerc. 2.

Exercices. 1) On suppose k de caract~ristique ~ 2; on note I l'ideal d'augmentation de l'anneau de W i t t de k. Montrer, comme consequence de r~sultats de Merkurjev et Suslin (cf. [4], [1ii]), que les propri~t~s suivantes sont ~quivalentes: (a) Les formes quadratiques sur k sont caract~ris~es par leur rang, leur discriminant et leur invariant de Hasse-Witt. (b) I s = O. (c) HS(k, Z / 2 Z ) = 0. 2) On suppose k de caract~ristique ~ 2. S i x E k* on note (x) l'~l~ment correspondant de HI(k, Z / 2 Z ) = k*/k .2, cf. n°l.2. On note (M 0 la propri~t~ suivante de k (cas particulier des conjectures de Milnor [117]): Hi(k, Z / 2 Z ) est engendr~ par les cup-produits des ~l~ments de Hi(k, Z/2Z). On suppose que k est (C~) pour un entier r > 1. (a) Soient xl . . . . . xl E k*. Montrer que le cup-produit ( x 0 . . . (x0 E Hi(k, Z / 2 Z ) est 0 si i > r. [Soit q la i-forme de Pfister ( 1 , - x 0 ® .-. ® ( 1 , - x i ) . L'invariant d'Arason [3] de q est ( x 0 - . . (x 0. Si i > r, (Cr) entraine que q est isotrope, donc hyperbolique, et son invariant est 0.] (b) On suppose que les extensions finies de k ont la propri~t~ (M~+I). Montrer que cd2(Gk) < r. (c) Mdme ~nonc~ que (b), avec ( M r + 0 remplac~ par (Mr). [Ainsi, on a (C~) =¢ cd2(Gk) < r si l'on admet les conjectures de Milnor.] 3) On suppose que k est (C,) de caract~ristique p > 0. (a) Montrer que [k : k p] < pr. En d~duire que les groupes de cohomologie H~(k), d~finis par Bloch et Kato (cf. [81]), sont 0 pour i > r + 1. (b) On suppose p = 2. Montrer, en utilisant les r~sultats de Kato sur les formes de Pfister (loc. cir., prop. 3) que H;(k) = 0 pour i - r + 1. (I1 est probable que ce r~sultat est ~galement valable pour p ¢ 2.)

§ 5. Corps p-adiques

Dans tout ce paragraphe, la lettre k d~signe un corps p-adique, c'est-~-dire une extension finie du corps Qp. Un tel corps est complet pour une valuation discrete v e t son corps rdsiduel k0 est une extension finie Fpl du corps premier Fp; c'est un corps localement compact.

5.1. Rappels a) Structure de k* Si U(k) d~signe le groupe des unit~s de k, on a la suite exacte

o

,V(k)

,k*

Z

,o.

Le groupe U(k) peut ~tre consid~r~ comme un groupe analytique p-adique compact commutatif; sa dimension N est ~gale ~ [k : Qp]. D'apr~s la th~orie de Lie, U(k) est donc isomorphe au produit d'un groupe fini F par (Zp)N; il est clair que F n'est autre que l'ensemble des racines de l'unit~ contenues dans k; en particulier, c'est un groupe cyclique. Il r~sulte de ce d~vissage de k* que les quotients k*/k *n sont finis pour tout n > 1, et l'on peut facilement ~valuer leur ordre. b) Le groupe de Galois Gk de k/k est de dimension cohomologique dgale d 2 (cf. n ° 4.3, cor. ~ la prop. 12). c) Le groupe de Brauer Br(k) = S2(k, Gm) s'identi]ie d Q / Z , cf. [145], Chap. XIII. Rappelons bri~vement comment se fait cette identification: Si l'on note knr l'extension maximale non ramifi~e de k, on montre d'abord que Br(k) = H2(knr/k, Gm), autrement dit que tout ~l~ment de Br(k) est "neutralis~" par une extension non ramifi~e. On montre ensuite que la valuation v donne un isomorphisme de H2(kn~/k, Gin) sur H2(knr/k, Z); comme G(knr/k) -- Z, le groupe H2(knr/k, Z) s'identifie ~ Q / Z , ce qui donne l'isomorphisme cherch~.

5.2. Cohomologie

des Gk-modules

finis

Ici, et dans toute la suite, on note pn le groupe des racines n-i~mes de l'unit~ de k; c'est un G/c-module.

5.2. Cohomologie des Gk-modules finis

101

L e m m e 2. On a H1(k,#n) = k*/k *n, H2(k,#n) = Z / n Z et Hi(k,#n) = 0 pour i ~_ 3. En particulier tousles Hi(k, #n) sont des groupes finis. On ~crit la suite exacte de cohomologie correspondant ~ la suite exacte 0 --~/~n - - - ' G m ~-~ G m

~0 ,

cf. n ° 1.2. On a H°(k, Gm) = k*, Hl(k, G m ) : 0 et H2(k, G m ) = Q / z . On en d~duit la d~termination de Hi(k, # , ) pour i < 2; le cas i > 3 est trivial puisque cd(Gk) - 2. Proposition

14. Si A est un Gk-module fini, Hn(k, A) est fini pour tout n.

Il existe ~videmment une extension galoisienne finie K de k telle que A soit isomorphe (comme G/l-module) h une somme directe de modules de type #n. Vu le lemme 2, les Hi(K, A) sont finis. La suite spectrale

Hi(G(K/k), Hi(K, A)) ~

Hn(k, A)

montre alors que les Hn(k, A) sont finis. En particulier, les groupes H2(k, A) sont finis; on peut donc appliquer au groupe Gk les r~sultats du Chap. I, n ° 3.5, et d~finir le module dualisant I de Gk. T h ~ o r ~ m e 1. Le module dualisant I e s t isomorphe au module # rdunion des

#n, n > l. [On notera que # est isomorphe h Q / Z en tant que groupe ab~lien, mais pas en tant que Gk-module.] Posons G = Gk pour simplifier les notations. Soit n un entier >_ 1, et soit In le sous-module de I form~ des ~l~ments annulus par n. Si H est un sous-groupe de G, on sait que I est un module dualisant pour H , et HomH(#n, In) = H o m H ( p n , I ) s'identifie au dual de H2(H, #n), lequel est isomorphe h Z / n Z d'apr~s le lemme 2 (appliqu~ h l'extension de k correspondant h H). En particulier, le r~sultat est inddpendant de H. I1 s'ensuit que Hom(#~, In) = Z / n Z et que G op~re trivialement sur ce groupe. Si fn : ~n --* In ddsigne l'~l~ment de H o m ( # ~ , I n ) correspondant au gfin~rateur canonique de Z / n Z , on volt facilement que fn est un isomorphisme de ttn sur In compatible avec les operations de G sur ces deux groupes. En faisant tendre n vers l'infini (multiplicativement!) on obtient un isomorphisme de # sur I, ce qui d6montre le th~or~me. T h f i o r ~ m e 2. Soit A un Gk-module fini, et posons: A' = Horn(A, #) = Hom(A, Gin) •

Pour tout entier i, 0 < i < 2, le cup-produit Hi(k,A) × H2-~(k,A ') ~

H2(k,#) = Q/Z

met en dualitd les groupes finis Hi(k, A) et H2-i( k, A').

102

§ 5. Corps p-adiques

Pour i = 2, c'est la d~finition mSme du module dualisant. Le cas i = 0 se f a m i n e au cas i = 2 en rempla~ant A par A' et en observant que (A') ~ = A. Pour la m~me raison, dans le cas i = 1, il suffit de prouver que l'homomorphisme canonique HX(k,A) , HI(k,A') * = Hom(HX(k,A'),Q/Z) ' eat injectif. Or c'est '~)urement formel" h partir de ce que l'on sait d~jh. En effet, puisque te foncteur H 1(k, A) eat effaqable, on peut plonger A dans un Gk-module B de telle sorte que H I ( k , A ) ---, H I ( k , B ) soit nul. En posant C = B / A , on a un diagramme commutatif:

g°(k,S)

, H°(k,C)

~

HI(k,A)

H2(k, B')* ---* H2(k,C')* - , H I ( k , A ' ) * . C o m m e a et fl sont bijectifs et 6 surjectif, on en conclut que 7 eat injectif, cqfd.

Remarques. 1) Le th~or~me de dualit~ pr6c6dent eat dfi h Tate [171]. La d6monstration initiale de Tate passait par l'interm~diaire de la cohomologie des "torea"; elle utilisait de faqon essentielle lea th~or~mea de Nakayama (cf. [145], Chap. IX). Poitou en a donn~ une autre d~monstration, qui consiste h se ramener par d~vissage au cas de/~n (cf. exerc. 1). 2) Lorsque le corps k, au lieu d'6tre p-adique, eat un corps de s~riea formelles ko((T)) sur un corps fini ko ~ p l ~l~ments, lea r6sultats ci-dessus restent valablea sans changement, pourvu que le module A soit d'ordre premier h p. Pour lea modules p-primaires, la situation eat diff~rente. I1 faut interpreter A' = Horn(A, Gin) comme un groupe alg~brique de dimension z~ro (correspondant ~ une alg~bre qui peut avoir des ~l~ments nilpotents), et prendre la cohomologie de ce groupe non plus du point de vue galoisien (qui ne donnerait rien), mais du point de vue "plat". De plus, comme H I ( k , A ) n'est pas fini en g6n6ral, il faut le munir d'une certaine topologie, et prendre lea caract~res qui sont continus pour cette topologie; le th~or~me de dualit~ redevient alors applicable. Pour plus de d6tails, voir Shatz [157] et Milne [116].

Exercices. 1) En appliquant le th~or~me de dualit~ au module A = Z/nZ, montrer que l'on retrouve la dualit~ (donn6e par la th~orie du corps de classes local) entre Hom(Gk, Z/nZ) et k*/k*'*. Lorsque k contient les racines n-i~mes de l'unit~, on peut identifier A ~ A' = ~n; montrer que l'application de k*/k *'~ x k*/k *'~ dans Q / Z ainsi obtenue est donn~e par le syrabole de Hilbert (cf. [145], Chap. XIV). 2) On prend pour k un corps complet pour une valuation discr6te, dont le corps r6siduel k0 est quasi-fini (cf. [145], p. 198). Montrer que les th6or~mes I e t 2 restent valables, pourvu que l'on se limite ~ des modules finis d'ordre premier ~ la caract6ristique de k0. 3) La partie "purement formelle" de la d~monstration du th~or~me 2 est en fait un th6or~me sur les morphismes de foncteurs cohomologiques. Quel est ce th6or6me?

5.3. Premieres applications

103

4) Montrer directement, par application des crit~res de Verdier (cf. Chap. I, Annexe 2, § 4) que Gk est un groupe de Cohen-Macaulay strict. En d~duire une autre ddmonstration du th~or~me 2.

5.3. Premieres Proposition

applications

15. Le groupe Gk est de dimension cohomologique stricte @ale

h2. En effet, le groupe H°(Gk,I) = H°(Gk,#) n'est autre que le groupe des racines de l'unit6 contenues dans k, et on a vu au n ° 5.1 que ce groupe est fini; la proposition en rdsulte, compte tenu de la prop. 19 du Chap. I. Proposition

16. Si A est une varidtd abdlienne ddfinie sur k, on a

H2(k, A) = O . Pour tout n > 1, soit An le sous-groupe de A noyau de la multiplication par n. On voit imm~diatement que H2(k, A) = lim H2(k, An). D'apr~s le th~or~me de dualitY, H2(k, An) est dual de H°(k, A~n). D'autre part, si B d~signe la vari~t~ ab~lienne duale de A (au sens de la dualit~ des vari~t~s abdliennes), on sait que A~n peut ~tre identifi~ ~ Bn. On est donc ramen~ ~ prouver que l'on a: lim H°(k, Bn) = O . Or B(k) = H°(k, B) est un groupe de Lie p-adique compact et ab~lien. Son sous-groupe de torsion est donc fini, ce qui prouve que les H ° ( k , Bn) sont contenus dans un sous-groupe fini fixe de B; la nullit~ de lim H ° ( k , Bn) en r~sulte ais~ment.

Remarque. Tate a d~montr~ que Hi(k, A) s'identifie au dual du groupe compact H ° ( k , B), cf. [97], [170]; il ne semble pas que ce r~sultat puisse s'obtenir simplement ~ partir du th~or~me de dualit~ d u n ° precedent.

Exercice. Soit T u n tore dfifini sur k. Montrer que les conditions suivantes sont ~quivalentes: (i) T(k) est compact, (ii) Tout k-homomorphisme de T dans Gm est trivial, (iii) H ~ ( k , T ) = O.

5.4. Caractdristique

d'Euler-Poincar~

(cas ~l~mentaire)

Soit A un Gk-module fini, et soit h~(A) l'ordre du groupe fini H~(k, A). Posons:

x(A) = h°(A) " h2(A) hi(A)

104

§ 5. Corps p-adiques

O n obtient un n o m b r e rationnel > 0 que l'on appelle la caractdristique d'EulerPoincard de A. Si 0 --* A --* B --* C --* 0 est une suite exacte de Gk-modules, on voit facilement que l'on a: x ( B ) = xCA)" x ( C ) . C ' e s t l' "additivitd" des caract~ristiques d'Euler-Poincar4. Tate a montr6 que x ( A ) ne ddpend que de l'ordre a de A (de fa~on plus prdcise, il a prouv4 l'4galitd x ( A ) = 1/(o : a0), oh 0 ddsigne l ' a n n e a u des entiers de k, cf. n ° 5.7). Nous nous contenterons, pour le m o m e n t , d ' u n cas particulier 614mentaire:

Proposition

17. Si l'ordre de A est premier ~ p, on a x ( A ) = 1.

O n va utiliser la suite spectraleassocide ~ la t o u r d'extensions k --* knr ~ k. Le groupe G ( k , ~ / k ) s'identifie ~ Z, on le salt. Si l'on d4signe par U le groupe G(-k/knr), la th6orie des groupes de ramification m o n t r e que le p-groupe de Sylow Uv de U est distingu6 dans U, et que le quotient V = U/Up est isomorphe au p r o d u i t des Zt, pour ~ ~ p (cf. n ° 4.3, exerc. 2). O n en d4duit facilement que H~(U,A) est fini pour t o u t i, et nul p o u r i _> 2. L a suite spectrale

H~(knr/k, HJ(knr, A)) ==~ Hn(k, A) devient ici

H ' ( F . , H J ( U , A ) ) ==~ H n ( k , A ) . O n en tire:

H°(k,A) = H°(7.,H°(U,A)) ,

H2(k,A) = HI(7.,HI(U,A)) ,

et l'on a une suite exacte:

0

, HI(2, H°(U,A))

, HI(k,A) ~

H°(Z, HI(U,A))

, O.

Mais, si M est un Z - m o d u l e fini, il est immddiat que les groupes H°(7,, M ) et H i ( Z , M ) ont m~me n o m b r e d'41dments. En appliquant ceci ~ M = H ° ( U , A ) et M = Hi(U, A), on volt que h i ( A ) = h°(A) • h2(A), ce qui ddmontre bien que x ( A ) = 1.

Exercice. Montrer que le groupe Up d4fini dans la ddmonstration de la prop. 17 est un pro-pgroupe libre. En ddduire que l'on a Hi(U, A) = 0 pour j >_ 2 et pour tout Gk-raodule de torsion A. Montrer que, si A est un p-groupe ~ 0, le groupe H 1(U, A) n'est pas fini.

5.5. Cohomologie non ramifi~e 5.5. Cohomologie

non

105

ramifide

Nous conservons les notations d u n ° precedent. Un Gk-module A est dit non ramifid si le groupe U = G(-k/knr) op~re trivialement sur A; cela permet de consid~rer A comme un Z-module, puisque G(knr/k) = 7,. En particulier, les groupes de cohomologie Hi(k~r/k, A) sont d~finis. Nous les noterons H~r(k , A). P r o p o s i t i o n 18. Soit A un Gk-module fini et non ramifid. On a: (a) U°r(k, A) = H°(k, A). (b) H~r(k,A ) s'identifie 5 an sous-groupe de HI(k,A); son ordre est dgal celui de H°(k, A). (e) H ~ ( k , A) = 0 pour i >_ 2. L'assertion (a) est triviale; l'assertion (b) r~sulte du fait que H ° ( Z , A) et H i ( Z , A) ont m~me nombre d'~l~ments; l'assertion (c) r~sulte de ce que Z e s t de dimension cohomologique ~gale ~ 1. P r o p o s i t i o n 19. Soit A un Gk-module fini, non ramifid, et d'ordre premier ~ p. Le module A' = Hom(A, #) jouit des m~mes propridtds. De plus, dans la dualitd

entre HI(k,A) et HI(k,A'), chacun des sous-groupes H~r(k,A ) et H~r(k,A' ) est l'orthogonal de l'autre. Soit ~ le sousomodule de # form~ des ~l~ments d'ordre premier £ p. I1 est bien connu que ~ est un Gk-module non ramifi~ (le g~n~rateur canonique F de G(kn~/k) = Z op~re sur ~ par )~ ~-* )J, q ~tant le hombre d'~l~ments du corps r~siduel k0). Comme A' = Horn(A, ~), on en d~duit que A' est non ramifi& Le cup-produit HI~(k,A) × H~r(k,A' ) --" H2(k,#) se factorise ~ travers H2nr(k, ~), qui est nul. Il en r~sulte que Hit(k, A) et H~r(k , A') sont orthogonaux. Pour prouver que chacun est exactement l'orthogonal de l'autre, il suffit de v~rifier que l'ordre hS(A) de g l ( k , A ) est ~g~l au produit h ~ ( A ) , h~(A') des ordres de H ~ ( k , A) et H~,(k, A'). Or la prop. 18 montre que h~r(A ) = h°(m), et de m~me h~(A') = h°(A'). D'apr~s le th~or~me de dualitY, h°(A ') = h2(A). Comme x(A) = 1 (cf. prop. 17), on en d~duit bien que

hi(A) = h°(A) • h2(A) = h~r(A) . h~(A') ,

cqfd.

Exercice. Etendre les prop. 17, 18, 19 aux corps comptets pour une valuation discrete de corps r~siduel quasi-fini. Peut-on faire de m~me pour les prop. 15 et 16?

5.6. Le groupe

de Galois

de la p-extension

maximale

de k

Soit k(p) la p-extension maximale de k, au sens du § 2. Par d~finition, le groupe de Galois Gk(p) de k(p)/k est le plus grand quotient de Gk qui soit un pro-pgroupe. Nous allons ~tudier la structure de ce groupe.

106

§ 5. Corps p-adiques

P r o p o s i t i o n 20. Soit A un Ga(p)-module de torsion et p-primaire. Pour tout entier i >_O, l'homomorphisme canonique

H'(Gk(p), A) ~

H'(Gk, A)

est un isomorphisme. On utilise le lemme suivant: L e m m e 3. Si K est une extension algdbrique de k dont le degrd est divisible par pOO, on a Br(K)(p) = 0. On ~crit K comme r~union de sous-extension finies K a de k. On a B r ( K ) = lim Br(Ka). De plus chaque Br(K~) s'identifie ~ Q / Z , et si K~ contient K s , l'homomorphisme correspondant de B r ( K a ) dans Br(K~) est simplement la multiplication par le degr~ [K~ : Ks] (cf. [145], p. 201). Le lemme r~sulte facilement de l~ (cf. d~monstration de la prop. 9, n ° 3.3). Revenons ~ la ddmonstration de la proposition 20. Le corps k(p) contient la p-extension maximale non ramifi~e de k, dont le groupe de Galois est Zp; on a donc [k(p) : k] = pOO et le lemme 3 s'applique ~ toutes les extensions alg~briques K de k(p). Si I = G(-k/k(p)), cela entraJne que cdp(I) < 1, cf. n ° 2.3, prop. 4. On a donc H i ( I , A ) = 0 pour i >_ 2; mais on a aussi H I ( I , A ) = 0, car tout homomorphisme de I dans un p-groupe est trivial (cf. n ° 2.1, d~monstration de la prop. 2). La suite spectrale des extensions de groupes montre alors que les homomorphismes H~(Gk/I, A) ~ H~(Gk, A) sont des isomorphismes, cqfd. T h ~ o r ~ m e 3. Si k ne contient pas de racine primitive p-i~me de l'unitd, le groupe Gk (p) est un pro-p-groupe libre, de rang N + 1, avec N = [k : Qp]. D'apr~s la prop. 20, on a H2(Gk(p), Z/pZ) = H2(k, Z/pZ); le th~or~me de dualit~ montre que ce dernier groupe est dual de H°(k, pp), qui est nul par hypoth~se. On a donc H2(Gk(p), Z / p Z ) = 0, ce qui signifie que Gk(p) est libre, cf. Chap. I, n ° 4.2. Pour calculer son rang, il faut d~terminer la dimension de H l(Gk (p), Z / p Z ) , qui est isomorphe ~ H l (Gk, Z / p Z ) . D'apr~s la th~orie du corps de classes local (ou le th~or~me de dualitd) ce groupe est dual de k*/k*P; v u l e s r~sultats rappel~s au n ° 5.1, k*/k *pest un Fp-espace vectoriel de dimension N + I , cqfd. T h ~ o r ~ m e 4. Si k contient une racine primitive p-i~me de l'unitd, le groupe Gk(p) est un pro-p-groupe de DemuSkin de rang N + 2, avee N = [k : Qp]. Son module dualisant est la composante p-primaire #(p) du groupe # des racines de l'unitd.

5.6. Le groupe de Galois de la p-extension maximale de k

107

On a H°(k, ttp)= Z/pZ, d'oh H2(k, Z/pZ) = Z/pZ. Appliquant la prop. 20, on voit que H2(Gk(p), Z / p Z ) = Z/pZ, et H~(Gk(p), Z / p Z ) = 0 pour i > 2, ce qui montre d~j~ que cdp(Gk(p)) = 2. Pour v~rifier que Gk(p) est un groupe de Demu~kin, il reste ~ prouver que le cup-produit:

H~(Gk(p), Z / p Z ) × Hl(Vtc(p),Z/pZ)

) H2(Ga(p), Z / p Z ) = Z/pZ

est une forme bilin6aire non d~g6n~r6e. Or cela r6sulte de la prop. 20, et du r~sultat analogue pour la cohomologie de k (noter que # p e t Z/pZ sont isomorphes). Le rang de Gk(p) est 6gal ~ la dimension de Hl(Gk(p), Z/pZ), qui est ~gale celle de k*/k *p, c'est-h-dire N + 2. Reste ~ montrer que le module dualisant de Gk(P) est p(p). Tout d'abord, puisque k contient #p, le corps obtenu en adjoignant ~ k les racines p~-i~mes de l'unit~ est une extension ab~lienne de k, de degr6 < pn-1; elle est donc contenue dans k(p). Cela montre d~j~ que p(p) est un Gk(p)-module; d'apr~s la prop. 20, on

a

H2(Gk(p), p(p)) = H~(k,/z(p)) = (Q/Z)(p) = Qp/Zp . Soit maintenant A un Gk(p)-module fini et p-primaire. Posons: A' = Hom(A, #) = Hom(A, #(p)) . On obtient ainsi un Gk(p)-module. Si 0 < i < 2, le cup-produit d~finit une application bilin~aire:

Hi(Gk(p), A) x H2-i(Gk(p), A')

.~ H2(Gk(p),#(p)) = Q p / Z p .

D'aprbs la prop. 20, cette application s'identifie ~ l'application correspondante pour la cohomologie de Gk; d'aprbs le th. 2, c'est donc une dualit6 entre Hi(Gk(p), A) et H2-i(Gk(p), AI), ce qui ach~ve de prouver que #(p) est le module dualisant de Gk(p). C o r o l l a i r e (Kawada). Le groupe Gk(p) peut 6tre dgfini par N + 2 gdndrateurs

et une relation. Cela r6sulte des 6galit6s:

dimHl(Gk(p), Z/pZ)) --- N + 2 et

dimH2(Gk(p), Z/pZ)) = 1 .

Remavque.

La structure de Gk(p) a 6t~ d6termin~e compl~tement par Demu~kin [43], [44] et Labute [92]. Le rdsultat est le suivant: notons pS la plus grande puissance de p telle que k contienne les racines pS-i~mes de l'unit4, et supposons d'abord que p~ # 2 (c'est notamment le cas si p # 2). On peut alors choisir les g4n~rateurs Xl, ..., xlv+2 de Gk(p), et la relation r entre ces g~n~rateurs, de telle sorte que l'on ait: r = x~'(~1,~2)... (~.+I,~N+.)

[On pose (x, y) = xyx-ly -1. Noter que l'hypoth~se p~ ~ 2 entraine que N est pair.] Lorsque p" = 2 et que N est impair, la relation r peut s'~crire

108

§ 5. Corps p-adiques 2

4

r ~-- X l X 2 ( x 2

~x 3 ) ( x 4 ,

Xs)

• • • (XN-t-l~ XN-F2)

,

cf. [147] ainsi que Labute [92], th. 8. Ainsi, pour k = Q2, le groupe Gk(2) est engendrd (topologiquement) par trois dldments x, y, z lids par la relation x2y4(y, z) = 1. Lorsque pS = 2 et que N e s t pair, la structure de G~(2) ddpend de l'image du caract~re cyclotomique X : Gk --, U2 = Z~ (cf. [92], th. 9): si Im(x) est le sous-groupe fermd de U2 engendrd par - 1 + 21 ( f _~ 2), on a ~2-i-21 ~

r = ~1

- .

txl,x2)(xS,x4)"'(XN+I,XN+2) ;

si Im(x) est engendrd par - 1 et 1 + 21 ( f ~_ 2), on a 21

~ 2It

r = zl~xl,x2~xa

~=3, = 4 ) " '

(zN+I,XN+2)

.

Exerdces. Dans ces exercices k est un corps complet pour une valuation discrete de corps rdsiduel Fq, avec q = p f .

1) Soit kmod la compos~e des extensions galoisiennes moddr~es de k, cf. n ° 4.3, exerc. 2. Montrer que G ( k m o d / k ) est isomorphe au produit semi-direct de Z par Z', off Z' = l-It•p Zt et le gdndrateur canonique de Z op~re sur Z I par A ~-- qA. Montrer que ce groupe est isomorphe au groupe profini associd au groupe discret ddfini par deux gdndrateurs x, y lids par la relation y x y -1 = x q. 2) Soit £ u n nombre premier ~ p. On se propose de ddterminer la structure du pro-t-groupe G k ( t ) , cf. § 2. (a) On suppose que Fq ne contient pas de racine primitive t-ibme de l'unitd, autrement dit que t ne divise pas q - 1. Montrer que Gk(t) est u n pro-t-groupe libre de rang 1, et que l'extension k ( g ) / k est non ramif~e. (b) On suppose que q -- 1 (mod ~). Montrer que G~(t) est un groupe de Demufikin de rang 2. Montrer, en utilisant l'exercice 1, que G~(t) peut ~tre ddfini par deux gdndrateurs x, y lids par la relation y x y -1 = x q. Montrer que ce groupe est isomorphe ausons-groupedugroupeaffine (~

~)formddesmatricestellesquebEZ~,etque

a E Z~ soit une puissance t-adique de q. (c) Les hypotheses dtant celles de (b), on note m la valuation t-adique de q - 1. Montrer que m est le plus grand entier tel que k contienne les racines lm-ibmes de l'unitd. Montrer que, si ~ ~ 2, ou s i t = 2 et m ~ 1, le groupe G k ( t ) peut ~tre ddfini par deux gdndrateurs x et y lids par la relation yxy

--1 ~

xl-i-tm

S i t = 2, m -- 1, soit n la valuation 2-adique de q + 1. Montrer que Gk(2) peut ~tre ddfini par deux gdndrateurs x et y lids par la relation yxy

--1

--(1-I-2

: ~

,=)

(d) Expliciter le module dualisant de Gk(£) dans le cas (b).

5.7.

Caractdristique

d'Euler-Poincard

O n revient a u x n o t a t i o n s d u n ° 5.4. E n particulier, 0 ddsigne l ' a n n e a u des entiers de k. P o u r t o u t x E k, o n n o t e Ilxllk la valeur absolue n o r m a l i s d e de x, cf. [145], p. 37. P o u r t o u t x E 0, o n a:

5.7. Caract~ristique d'Euler-Poincar4

109

1 tlxllk

=

(o:

"

En particulier: IIplt

=

avec N = [k: qp].

Si A est un Gk-module fini, on note x(k, A) (ou simplement x ( A ) s'il n'y a aucun risque de confusion sur k) la caractdristique d'Euler-Poincard de A (n ° 5.4). Le th~orbme de Tate s'6nonce alors ainsi: T h ~ o r ~ r n e 5. Si l'ordre du Gk-module fini A est ggal h a, on a: x ( A ) = Ila]lk Les deux membres de la formule d~pendent "additivement" de A. On est donc ramen~, par un d~vissage imm~diat, au cas off A est un espace vectoriel sur un corps premier. Si ce corps est de caract~ristique • p, le th~or~me a d~j~ ~t~ d~montr~ (prop. 17). On peut donc supposer que A est un espace vectoriel sur Fp. On peut alors consid~rer A comme un Fp[G]-module, oh G d~signe un quotient fini de Gk. Soit K ( G ) le groupe de Grothendieck de la cat~gorie des FpIG]-modules de type fini (cf. par exemple Swan [168]); les fonctions x ( A ) et HaHk d~finissent des homomorphismes X et ~ de K ( G ) dans Q~_, et tout revient prouver que x -- ~. Comme Q~_ est un groupe ab~lien sans torsion, il suffit de montrer que X et q0 ont la m~me valeur sur des ~l~ments x~ de K ( G ) qui engendrent K ( G ) ® Q. Or on a l e lemme suivant: L e m m e 4. Pour tout sous-groupe C de G, notons M e l'homomorphisme de K ( C ) ® Q dans K ( G ) ® Q ddfini par le foncteurs M E du Chap. I, n ° 2.5 ("module induit"). Le groupe K ( G ) ® Q est engendrd par les images des M c , pour C pareourant l'ensemble des sous-groupes cycliques de G d'ordre premier d p. Ce r~sultat peut se d~duire de la description de K ( G ) @ Q au moyen de "caract~res modulaires". On peut aussi, plus simplement, appliquer les r~sultats g~n~raux de Swan [168], [169]. Il r~sulte de ce lemme qu'il suffit de prouver l'~galit~ x ( A ) = Ilallk lorsque A est un Fp[G]-module de la forme M E ( B ) , avec C sous-groupe cyclique de G, d'ordre premier ~ p. Or, si K est l'extension de k correspondant ~ C, et si b -- Card(B), on a: x(K,B) = x(k,A)

et

IIb[IK = (llbllk) [K:k] = Ilallk .

La formule ~ d~montrer est donc ~quivalente ~ la formule x ( K , B) = HBIIK, ce qui signifie que nous sommes ramends au cas du module B, ou encore (quitte changer le corps de base), que nous sommes ramends au cas oi~ le groupe G est cyclique d'ordre premier d p. Cela va simplifier la situation, du fait notamment que l'alg~bre Fp[G] est maintenant semi-simple. Soit L l'extension de k telle que G ( L / k ) = G. Comme l'ordre de G est premier celui de A, on a:

110

§ 5. Corps p-adiques

H i ( k , A ) = H°(G, Hi(L, A))

pour tout i.

Cela nous a m i n e h introduire l'dldment hL(A) de K ( G ) ddfini par la formule: i----2

hL(A) = ~ - - ~ ( - 1 ) ' [ H ' ( L , A)] i----0

off [H~(L,A)] ddsigne l'dldment de K ( G ) qui correspond au K ( G ) - m o d u l e

H'(L,A). Soit d ' a u t r e part 0 : K(G) --* Z l'unique homomorphisme de K(G) dans Z tel que O([E]) = dim H°(G, E) pour tout K ( G ) - m o d u l e E. On a dvidemment: logp x ( A ) = O(hL( A) ) • Or, on peut expliciter hL(A): L e m m e 5. Soit rG e K ( G ) la classe du module Fp[G] ("reprdsentation rdguli~re"), soit N = [k : Qp], et soit d = dim(A). On a:

hL(A) = - d N . r G . Admettons pour un instant ce lemme. C o m m e O(rG) = 1, on en ddduit que O(hL(A)) = - d Y , d'ofi x(A) = p-dN = ilpdllk = ilallk" Tout revient donc ~ ddmontrer le lemme 5. Notons d ' a b o r d que le cup-produit ddfinit un isomorphisme de G-modules:

Hi(L, Z / p Z ) ® A

, H ' ( L , A) .

Dans l'anneau K ( G ) , on a donc:

hL(g) = hL(Z/pZ) . [A] et tout revient ~ prouver que hL(Z/pZ) = --N.rG (en effet, on vdrifie sans difficultds que rG • [A] = dim(A).rG). On peut donc se borner a ddmontrer le

lemme 5 lorsque A = Z / p Z . Or, dans ce cas, on a: H°(L, Z / p Z ) = Z / p Z , HI(L, Z / p Z ) = Hom(GL, Z / p Z ) = dual de L*/L *p (thdorie du corps de classes) H2(L, Z / p Z ) = dual de H°(L, #p) (th~orbme de dualitd). Soit U le groupe des unit~s de L. On a la suite exacte:

0

, U/U p

, L * / L *p ----* Z / p Z

,0.

Si l'on ddsigne par hL(Z/pZ)* le dual de hL(Z/pZ), on voit alors que l'on a:

hL(Z/pZ)* = - [ U / U p] + [H°(L, # p ) ] .

5.7. Caract6ristique d'Euler-Poincar6

111

Soit V l e sous-groupe de U form~ des 616ments congrus ~ 1 m o d u l o l'id~al maximal de l ' a n n e a u 0L. On a V / V p = U/U p, et le groupe H°(L,/zp) n'est autre que le sous-groupe pV de V form~ des 616ments x de V tels que x p = 1. O n p e u t d o n c 6crire:

--hL(Z/pZ)* = [V/V p] - ~V] = [Tor0(V, Z / p Z ) ] - [TOrl (1I, Z / p Z ) ] . Mais V e s t un Zp-module de t y p e fini, et l'on sait (c'est l'un des r6sultats ~16mentaires de la th~orie de Brauer, cf. par exemple Giorgiutti [53]) que l'expression [Tor0(V, Z / p Z ) ] - [TOrl(V, Z / p Z ) ] ne d6pend que du produit tensoriel de V avec Qp (ou encore, si l'on veut, de l'alg~bre de Lie du groupe anMytique p-adique V). Or, le th6or~me de la base normale m o n t r e que cette alg~bre de Lie est un Q[G]-module libre de rang N. O n a donc:

[Wor0(Y,Z/pZ)]- [Worl(V,Z/pZ)] =

g.ra

,

et c o m m e ( r c ) * = r a , on volt bien que hL(Z/pZ) est 6gal ~ - N . r c , ce qui ach~ve la d6monstration.

Remarque. La d~monstration initiale de Tate (cf. [171]) n'utilisait pas le lemme 4, mais le remplaqait par un a r g u m e n t de "d~vissage" moins pr6cis: on se trouvait ramen~ au cas d'extensions galoisiennes L / k mod~r~ment ramifi~es, mais d ' o r d r e ~ventuellement divisible par p. L'~tude de L*/L *pest alors plus d~licate, et Tate avait dfi faire appel h u n r~sultat d'Iwasawa [76]; il m ' a d'ailleurs communiqu~ une d~monstration "cohomologique" du r~sultat en question (lettre du 7 avril 1963).

Exercices. 1) Montrer directement que, si V e t V' sont des Zp[G]-modules de type fini, tels queV®Qp=V I®Qp,ona: [y/py] -

[pV]=

dans K(G).

[V'/pV'] -[pv']

[Se ramener au cas off V D V ~ D pV, et utiliser la suite exacte: o ---, #'

~

#

--, v/v'

~

V'/pV' ---, V/pV

---, v / v '

- - ~ o .]

2) Soit F u n corps de caract~ristique p, soit A un espace vectoriel de dimension finie sur F, et supposons que Gk op~re continfiment (et lin~airement) sur A; les groupes de cohomologie Hi(k, A) sont alors des F-espaces vectoriels. On pose: ~(A) = ~-'~(-1) i dim H~(k, A) . Montrer que ~(A) = - N - d i m ( A ) , avec N = [k : Q~]. [M~me d~monstration que pour le th$or~me 5, en rempla~ant partout le corps Fp par le corps F.] 3) M~mes hypotheses que dans l'exercice pr~c6dent. On se donne une extension galoisienne L/k, de groupe de Galois G fini, telle que GL op~re trivialement sur A (i.e. A est un F[G]-module). On pose

112

§ 5. Corps p-adiques

hL(A) = E ( - 1 ) ~ [ H ' ( L , A)] , darts le groupe de Grothendieck KF(G) des F[G]-modules de type fini. Montrer que l'on a encore la formule: ha(A) = - N . dim(A).ra . [Utiliser la th6orie des caract~res modulaires pour se ramener au cas off G est cyclique d'ordre premier h p.] 4) M~mes hypotheses et notations que dans les deux exercices pr6cd
5.8. Groupes de type multiplicatif Soit A un Gk-module de type fini sur Z. On d6finit son dual A ~ par la formule habituelle: A' = Hom(A, Gin) • Le t r o u p e A' est le groupe des k-points d'un groupe alg6brique commutatif, d~fini sur k, et que nous d~signerons encore par Horn(A, Gin). Lorsque A est fini, A' est fini; lorsque A est libre sur Z, A' est le tore de groupe des caract~res A (cf. Chap. III, n ° 2.1). On se propose d'6tendre au couple (A, A') le th6or~me de dualit6 d u n ° 5.2. Le cup-produit d6finit des applications bilin6aires

0,: H~(k, A) x H2-~(k, A')

, H2(k, Gin) = Q / Z

(i = 0,1,2).

T h 6 o r ~ m e 6. (a) Soit H°(k, A) ^ le complgtd du groupe abdlien H°(k, A) pour

la topologie des sous-groupes d'indice flni. L'application Oo met en dualitd le troupe compact H°(k, A) ^ et le troupe discret H2(k, A'). (b) L 'application 01 met en dualitd les deux troupes finis H I ( k, A) et H I ( k, A'). (c) Le troupe H°(k, A ~) peut ~tre canoniquement muni d'une structure de troupe analytique p-adique; soit H°(k, A') ^ son complgtd pour la topologie des sous-groupes ouverts d'indice fini. L 'application 02 met en dualit~ le troupe discret H2(k, A) et le troupe compact H°(k, A') n. [Lorsque A est fini, on peut supprimer les op6rations de compl6tion de (a) et de (c), et l'on retrouve le th~orbme 2 du n ° 5.2.] On v a s e borner ~ esquisser une d6monstration par "d6vissage": on devrait pouvoir aussi proc6der directement ~ partir des r6sultats des Annexes 1 et 2 au Chap. I.

i) Cas o~t A = Z On a A' = Gin; l'assertion (a) r6sulte de risomorphisme H2(k, Gin) = Q / Z ; rassertion (b) r6sulte de ce que HI(k, Z) = 0 et Hi(k, Gin) = 0; l'assertion (c) r6sulte de ce que H2(k, Z) est isomorphe ~ Hom(Gk, Q / Z ) , et la th6orie du corps de classes local (thfior~me d' "existence" compris) montre que ce groupe est dual du compl6t6 de k* pour la topologie des sous-groupes ouverts d'indice rink

5.8. Groupes de type multiplicatif

113

ii) Cas oi~ A = ZIG], avec G quotient fini de Gk Si G est le groupe de Galois de l'extension finie K / k , on a Hi(k, A) = H i ( K , Z) et de m~me H i ( k , A ') = H i ( K , Gm). On est ainsi ramen~ au cas pr~c6dent (pour le corps K ) , h condition bien entendu de v6rifier certaines commutativitds de diagrammes. iii) Finitude de H i ( k , A) et de H i ( k , A') Cette finitude est connue lorsque A lui-m~me est fini (cf. n ° 5.2). Par d6vissage, on est donc ramen~ au cas oh A est libre sur Z. Soit K / k une extension galoisienne finie de k, de groupe de Galois G, telle que GK op~re trivialement sur A. On a H I ( K , A) = H o m ( G K , A) = 0, et de m~me H i ( K , A') est nul (th. 90). On a donc:

gl(k,A) = HI(G,A)

et

Hl(k,X)

= H I ( G , A ") .

I1 est 6vident que le groupe H i ( G , A) est fini; la finitude du groupe H i ( G , A') se d6montre sans difficult6s (cf. Chap. III, n ° 4.3).

iv) Cas gdndral On 6crit A comme quotient L / R , off L e s t un Z[G]-module libre de type fini, G 6tant un quotient fini de Gk. D'apr~s (ii), le th. 6 est vrai pour L, et l'on a H i ( k , L) = H i ( k , L p) = 0. Les suites exactes de cohomologie relatives aux suites exactes de coefficients: 0 ---* R

,L

, A --*0

0 ~

, L'

", R I ----* 0

A'

se coupent chacune en deux tronqons. On obtient ainsi les diagrammes commutatifs (I) et (II) ci-dessous. Pour les 6crire plus commod6ment, nous ne mentionnerons pas explicitement le corps k, et nous noterons E* le groupe des homomorphismes continus d'un groupe topologique E dans le groupe discret Q / Z ; pour les groupes topologiques que nous avons ~ consid6rer, il se trouve que "continu" 6quivaut h "d'ordre fini'. Ceci 6tant, les diagrammes en question sont les suivants: 0

* Hi(R) *

fl T 0 ~

H I ( R ')

, H°(A)" ~

:2 T

H°(L) * ~

T

H°(R) *

,0

f, T

, H2(A ') ---* H 2 ( L ') ---* H 2 ( R ')

~0

et 0

-.., H I ( A )

gl I

(II)

0

, Hl(A') *

, H2(R)

g2 I , H°(R') *

- - ~ H2(L)

g3 I

, H2(A)

,0

g4 1

~ H°(L') * ----* H°(A') * ~

0

Bien entendu, les fl~ches verticales sont d6finies par les applications bilin6aires 0i. I1 faut noter 6galement que les lignes de ces deux diagrammes sont des suites exactes; c'est ~vident pour le diagramme (I) ainsi que pour la premiere ligne du diagramme (II); en ce qui concerne la deuxi~me ligne du diagramme (II), il faut

114

§ 5. Corps p-adiques

remarquer le foncteur Homcont(G, Q / Z ) est exact sur la cat6gorie des groupes ab61iens localement compacts G qui sont totalement discontinus et d6nombrables l'infini. Le th60r6me 6 revient & dire que les applications f2, gl et g4 sont bijectives. Or, d'aprhs (ii), ga est bijective. On en d6duit que g4 est surjective. Comme ce r6sultat peut s'appliquer & tout Gk-module A, il est 6galement vrai pour R, ce qui prouve que g2 est surjective; de lg et du diagramme (II), on tire que g4 est bijective, puis que g2 est bijective, et enfin que gl est bijective. Revenant au dia~ gramme (I), on volt q u e f l et f3 sont bijectives; on en d6duit que f2 est injective, donc aussi f4, et finalement f2 est bijective, ce qui ach~ve la d~monstration.

Remarque. Lorsque A est libre sur Z (autrement dit lorsque A ~ est un tore), on peut donner une d~monstration plus simple du th~or~me 6, bas~e sur les th~or~mes du type Nakayama-Tate (cf. [145], Chap. IX).

§ 6. Corps de nombres alg

briques

Dans ce paragraphe, on note k un corps de nombres algdbriques, c'est-~-dire une extension finie de Q. Une place de k est une classe d'4quivalence de valeurs absolues non impropres de k; l'ensemble des places est not4 V. S i v 6 V, le compl4t4 de k pour la topologie associ4e ~ v est not4 kv; s i v est archim4dienne, kv est isomorphe £ R ou C; s i v est ultram4trique, kv est un corps p-adique.

6.1. Modules

finis - d~finition

des groupes

Pi(k, A)

Soit A un Gk-module fini. Le changement de base k ~ kv permit de d~finir les groupes de cohomologie Hi(kv, A). [Lorsque v e s t une place archim~dienne, nous conviendrons que H°(kv, A) d~signe le 0-i~me groupe de cohomologie modifid (cf. [145], Chap. VIII, n ° 1) du groupe fini Gk. ~ valeurs dans A. Si par exemple v e s t complexe, on a H°(k~, A) = 0.] D'apr~s le n ° 1.1, on a des homomorphismes canoniques:

H~(k, A) --* H~(kv, A) . Ces homomorphismes peuvent s'interpr~ter de la mani~re suivante: Soit w une extension de v h k, et soit D~ le groupe de d4composition correspondant (on a s 6 Dw si et seulement si s(w) = w). Notons k~ la r~union des completes des sous-extensions finies de k [attention: ce n'est pas le compl~t~ de pour w, cf. exerc. 1]; on d~montre facilement que kw est une cl6ture alg~brique de kv, et que son groupe de Galois est Dw. On peut donc identifer H~(kv, A) H~ ( Dw, A ), et l'homomorphisme

H~(k, A) ~

U~(kv, A)

devient alors simplement l'homomorphisme de restriction:

H'(Gk,A)

~ H~(D~,A).

La collection des homomorphismes H~(k, A) -~ H~(k~, A) d4finit un homomorphisme Hi(k,A) --* l-IH~(kv, A). En fair, le produit direct peut ~tre remplac4 par un sous-groupe convenable. De fa~on pr4cise, soit K / k une extension galoisienne finie de k telle que Gk op~re trivialement dans A, et soit S u n ensemble fini de places de k contenant toutes les places archim4diennes ainsi que

116

§ 6. Corps de nombrea alg6briques

toutes les places que se ramifient dans K. I1 est facile de voir que, pour v ¢ S, le Gk -module A est non rami]id au sens d u n ° 5.5, et les sous-groupes Hinr(kv,A) sont bien d~finis. Soit Pi(k, A) le sous-groupe du produit l-lvey Hi(k,, A) form~ des syst~mes (Xv) tels que Xv appartienne ~ H~r(kv, A) pour presque tout v e V. On a:

L'homomorphisme eanonique Hi(k, A) ---* [I Hi(k,, A) applique Hi(k, A) dans Pi(k, A).

P r o p o s i t i o n 21.

En effet, tout ~l~ment x de Hi(k, A) provient d'un ~l~ment y E Hi(L/k, A), oh L/k est une extension galoisienne fine convenable. Si T d4signe la r~union de S e t de l'ensemble des places de k ramifi6es dans L, il est clair que l'image Xv de x dans Hi(k~, A) appartient h H~(k,,, A) pour tout v ¢ T, d'ofi la proposition. Nous noterons fi : Hi(k,A) --* Pi(k,A) l'homomorphisme d~fini par la proposition pr~c~dente. D'apr~s la prop. 18 du n ° 5.5, on a:

P°(k, A)=II H°(kv, A)

(produit direct),

p2(k, A)= H H2(kv, A)

(somme directe).

Quant au groupe PI(k,A), Tate propose de le noter [IHl(kv,A), pour bien montrer qu'il est interm~diaire entre un produit direct et une somme directe. Enfin, les groupes P~(k, A), i _> 3, sont simplement les produits (fnis) des Hi(kv, A), pour v parcourant l'ensemble des places axchim~diennes rdelles de k. En particulier, on a Pi(k, A) = 0 pour i > 3 si k est totalement imaginaire, ou si A est d'ordre impair.

Remarque. L'application f0 est ~videmment injective, et Tate a d~montr~ (cf. n ° 6.3) que les fi, i > 3, sont bijectives. Par contre, f l et f2 ne sont pas n~cessairement injectives (cf. Chap. III, n ° 4.7).

Exercices. 1) Soit w une place ultram~trique de la clSture algdbrique k de k. Montrer que le corps k~ d~fini plus haut n'eat pas complet [remarquer qu'il eat r~union d~nombrable de sons-espacea ferrn~s sans points int~rieurs, et appliquer le th~or~rae de Baire]. Montrer que le cornpl$t~ de k~, eat un corps alg4briquement clos. 2) D~finir lea Pi(k,A) pour i n~gatif. Montrer que le syst~me des forme un foncteur cohomologique en A.

6.2. Le th~or~me

(Pi(k,A)}~ez

de propret~

Les groupes Pi(k,A) d6finis au n ° pr6c6dent peuvent ~tre munis de fa(jon naturelle d'une topologie de groupe localement compact (cas particulier de la notion de "somme directe locale" due h Braconnier): on prend comme base de voisinages de 0 les sous-groupes 1-Iv~tTH~r(kv, i A), off T parcourt

6.2. Le th~or~me de propret~

117

l'ensemble des parties finies de V contenant S. Pour P°(k, A) = H H°(k,, A), on trouve la topologie produit, qui fait de P°(k, A) un groupe compact. Pour PI (k, A) = ~ H~(k,, A) on trouve une certaine topologie de groupe localement compact; pour p2(k, A) = H H2(kv, A), on trouve la topologie discrete. T h ~ o r ~ m e 7. L'homomorphisme canonique

f~ : H~(k,A)

, P'(k,A)

est une application propre, lorsqu'on munit H~ ( k, A) de la topologie discrete, et P~(k, A) de la topologie ddfinie ci-dessus. Nous ne d~montrerons ce th~or~me que pour i -- 1. Le cas i = 0 est trivial, et le cas i _> 2 r~sulte des th~or~mes plus precis de Tate et Poitou qui seront ~noncds au n ° suivant. Soit T u n e partie de V contenant S, et soit P~(k,A) le sous-groupe de PI(k,A) form~ des ~l~ments (x~) tels que xv E H~r(kv, A ) pour tout v ~ T. Il est clair que P~(k, A) est compact, et que r~ciproquement tout sous-ensemble compact de pI(k,A) est contenu dans l'un des P~(k,A). Il nous suffira donc de prouver que l'image r~ciproque XT de P~(k, A) dans Hi(k, A) est finie. Par d~finition, un ~l~ment x E HI(k,A) appartient ~ XT si et seulement si il est non ramifi~ en dehors de T. D~signons, comme ci-dessus, par K / k une extension galoisienne finie de k telle que GK op~re trivialement sur A, et soit T ' l'ensemble des places de K prolongeant les places de T. On voit facilement que l'image de XT dans Hi(k, A) est form~e d'~l~ments non ramifies en dehors de T; comme le noyau de H l(k, A) --* HI(K, A) est fini, on est donc ramen~ k montrer que ces ~l~ments sont en hombre fini. Ainsi (quitte ~ remplacer k par K), on peut supposer que Gk op~re trivialement sur A. On a alors Hi(k, A) -- Hom(Gk, A). Si ~o e Hom(Gk, A), ddsignons par k(~) l'extension de k correspondant au noyau de ~; c'est une extension ab~lienne, et ~a d~finit un isomorphisme du groupe de Galois G(k(~o)/k) sur un sous-groupe de A. Dire que to est non ramifi~ en dehors de T signifie que l'extension k(~o)/k est non ramifi~e en dehors de T. C o m m e les extensions k(~) sont de degr~ borne, le th~or~me de finitude que nous voulons d~montrer est une consequence du r~sultat plus precis suivant: L e m m e 6. Soit k un corps de hombres algdbriques, soit r un entier, et soit T

un ensemble ]ini de places de k. II n'existe qu'un hombre fini d'extensions de degrg r de k qui soient non ramifides en dehors de T. On se f a m i n e tout de suite au cas oh k ~- Q. Si E est une extension de Q de degr~ r non ramifi~e en dehors de T, le discriminant d de E sur Q n'est divisible que par des nombres premiers p appartenant ~ T. De plus, l'exposant de p dans d est born~ (cela r~sulte, par exemple, du fait qu'il n'existe qu'un nombre fini d'extensions du corps local Qp qui soient de degr~ < r, cf. Chap. III, n ° 4.2; voir aussi [145], p. 67). Les discriminants d possibles sont donc en nombre fini. C o m m e il n'existe q u ' u n nombre fini de corps de hombres ayant un discriminant donn~ (th~or~me d'Hermite), cela d~montre le lemme.

118

§ 6. Corps de nombres alg6briques

6.3. E n o n c f s d e s t h 6 o r ~ m e s d e P o i t o u et T a t e Conservons les notations pr6c6dentes, et posons A ~ = Horn(A, Gin). Le th6or~me de dualit6 du cas local, joint ~ la prop. 19 du n ° 5.5, entrMne que P°(k, A) est dual de p2(k,A~) et P I ( k , A ) est dual de P I ( k , A ' ) [il faut faire un peu attention aux places archim6diennes - cela marche, grace A la convention faite au d6but d u n ° 6.1.]. Les trois th6or~mes suivants sont nettement plus difficiles. Nous nous bornerons ~ les 6noncer: T h ~ o r ~ m e A . Le noyau de fl

: HI(k,A) f~ : H 2 ( k , A ') --, H H2(k,,,A ') sont en dualitd.

--* [ I H I ( k ~ , A )

et celui de

On observera que cet 6nonc6, appliqu6 au module X , entraine la finitude du noyau de f2; le cas i = 2 du th6or6me 7 r6sulte imm~diatement de 1~. T h 6 o r 6 m e B . Pour i > 3, l'homomorphisme

f~ : g ' ( k , A ) ---* 1-I H ' ( k ~ , A ) est un isomorphisme. [Bien entendu, on peut se borner aux places v qui sont r6elles, i.e. telles que k~ = R.] T h ~ o r 6 m e C . On a une suite exacte:

04

H°(k,A) (fini)

--* l - I g ° ( k v , A ) ~ H 2 ( k , A ' ) * ~ (compact)

(compact)

HI(k,A) (discret)

~,,

I] Hl(kv, A) ~/ (loc.compact)

0 *-- H ° ( k , A ' ) * ~ H H 2 ( k , , A ) (fini)

(discret)

~- H 2 ( k , A ) (discret)

~ gl(k,A') * (compact)

Tous les homomorphismes qui figurent dans cette suite sont continus. (On a not6 G* le dual - au sens de Pontrjagin - du groupe localement compact G.) Ces th6or~mes sont 6nonc6s dans l'expos6 de Tate $ Stockholm [171], avec de br~ves indications sur les d6monstrations. D'autres d6monstrations, dues Poitou, se trouvent dans le s6minaire de Lille de 1963, cf. [126]. Voir aussi Haberland [65] et Milne [116].

Indications bibliographiques sur le Chapitre II

La situation est tout ~ fait analogue £ celle du Chapitre I: presque t o u s l e s r~sultats sont dus £ Tate. La seule publication de Tate ~ ce sujet est son expos~ ~ Stockholm [171], qui contient une foule de r~sultats (beaucoup plus qu'il n'a ~t~ possible d'exposer ici), mais tr~s peu de d~monstrations. Heureusement, les d~monstrations du cas local ont ~t~ r~dig~es par Lang (notes polycopi~es); d'autres se trouvent dans l'expos~ de Douady au s~minaire Bourbaki [47]. Mentionnons ~galement: 1) L'int~r~t de la notion de "dimension cohomologique" (pour le groupe de Galois Gk d'un corps k) a ~t~ signal~ pour la premiere lois par Grothendieck, propos de son ~tude de la "cohomologie de Weil". La prop. 11 d u n ° 4.2 lui est due. 2) Poitou a obtenu les r~sultats du § 6 ~ peu pros en m~me temps que Tate. Il a expos~ ses d~monstrations (qui semblent diff~rentes de celles de Tare) dans le sdminaire de Lille [126]. 3) Poitou et Tate ont dt~ tous deux influences par les rdsultats de Cassels, relatifs ~ la cohomologie galoisienne des courbes elliptiques, cf. [26].

Annexe - Cohomologie galoisienne des extensions transcendantes pures [Le texte qui suit reproduit, avec des changements mineurs, le r4sum4 des cours de la chaire d'Alg~bre et G~om4trie, publi4 dans l'Annuaire du CoU~ge de France, 1991-1992, p. 105-113.]

Le cours a comport4 deux parties.

Cohomologie de

1.

k(T)

Il s'agit de r4sultats essentiellement connus, dus ~ Faddeev [50], Scharlau [138], Arason [3], Elman [49]. . . . On peut les r4sumer comme suit:

§ 1.

Une suite exacte

Soient G u n groupe profini, N un sous-groupe distingu4 ferm4 de G, F l e quotient G / N , et C un G-module discret sur lequel N op~re trivialement (i.e. un F-module). Faisons l'hypoth%se: (1.1) H ~ ( N , C ) = 0 pour tout i > 1. La suite spectrale H ° (U, H ° (N, C)) =~ H" (G, C) d4g6n~re alors en une suite exacte: (1.2) • .. , g ' ( P , C ) ~ H~(G,C) r H , - I ( U , H o m ( N , C ) ) - - ~ H i + l ( p , C ) . . . . L'homomorphisme r : H i ( G , C ) ~ H~-I(F, H o m ( N , C ) ) figurant dans (1.2) est d4fini de la mani~re suivante (cf. Hochschild-Serre [72], Chap. II): Si a est un ~14ment de Hi(G, C), on peut repr4senter a par un cocycle a ( g l , . . . , gl) qui est normalis4 (i.e. 4gal ~ 0 lorsqu'un des g, est 4gal ~ 1), et qui ne d4pend que de 91 et des images 72 . . . . ,7i de g2,... ,g~ dans F. Pour 72,... ,7~ fix4s, l'application de N dans C d~finie pax n ~-~ a(n, g 2 , . . . , g i ) (n 6 N), est un 41~ment b(72,..., ~ ) de Horn(N, C) et la (i - 1)-cocha~ne b ainsi d4finie sur F est un (i - 1)-cocycle ~ valeurs dans Hom(N, C); sa classe de cohomologie est r(a). Faisons l'hypoth~se suppl6mentaire: (1.3)

L'extension

1 ----* N ----* G ----* F

~1

est scmdge.

L'homomorphisme H~(F, C) ---* Hi(G, C) est alors injectif, et (1.2) se r4duit ~ la suite exacte:

(1.4)

0

, H' (F, C) ---* H' (G, C) -/-* H'-' (F, Horn(N, C)) ---* 0.

2. Le cas local § 2.

121

Le cas local

Si K est un corps, on note Ks une clSture sdparable de K, et l'on pose GK = G ( K s / K ) . Si C est un G g - m o d u l e (discret), on dcrit H I ( K , C) h la place de H i ( G K , C). Supposons que K soit muni d'une valuation discrgte v, de corps rdsiduel k(v); notons Kv le compl6t6 de K pour v. Choisissons un prolongement de v h Ks; soient D et I les groupes de d~composition et d'inertie correspondants; on a D -~ G ~ . et D / I ~- G~(~). Soit n u n entier > 0, premier h la caract6ristique de k(v), et soit C u n GK-module tel que n C = 0. Faisons l'hypoth~se suivante:

C est non ramifid en v

(2.1)

(i.e. l op~re trivialement sur C).

On peut alors appliquer h la suite exacte 1 - , I --* D --* Gk(~) --* 1 les r~sultats du § 1 (les hypoth~ses (1.1) et (1.3) se v~rifient sans difficultY). Le Gk(~)-module Horn(I, C) s'identifie h C ( - 1 ) -- Hom(#,~, C), oh p~ d~signe le groupe des racines n-i~mes de l'unit~ (dans k(v)~ ou dans Ks, cela revient au m~me). Vu (1.4), cela donne la suite exacte: (2.2)

0 ~

HiCk(v), C) ----* H i ( K v , C) -Y--* H i - l ( k ( v ) , C ( - 1 ) ) ---* 0 .

Soit a C H i ( K, C) et soit c~v son image (par restriction) dans H i ( K ~ , C). L'dl6ment r(av) de H i - l ( k ( v ) , C ( - 1 ) ) est appel~ le rdsidu de ct en v, est not6 r~(c~). S'il est non nul, on dit que t~ a un p61e en v. S'il est nul, on dit que a est rdgulier (ou "holomorphe") en v; dans c e c n s , a , s'identifie h u n dldment de H i ( k ( v ) , C ) , qui est appel~ la valeur de ct en v, et not6 a(v).

§ 3.

Courbes

alg6briques et corps de fonctions d'une variable

Soit X une courbe projective lisse connexe sur un corps k, et soit K = k ( X ) le corps de fonctions correspondant. Soit X l'ensemble des points fermds du schdma X. Un dldment x de _X peut ~tre identifi~ ~ une valuation discrete de K, triviale sur k; on note k(x) le corps rdsiduel correspondant; c'est une extension finie de k. Comme ci-dessus, soit n un entier > 0, premier k la caract6ristique de k, et soit C u n Gk-module tel que n C = 0. Le choix d ' u n plongement de ks dans Ks ddfinit un homomorphisme GK ---* Gk, ce qui permet de considdrer C comme un Gg-module. Pour tout x E X , l'hypothbse (2.1) est satisfaite. Si c~ E H I ( K , C), on peut donc parler du r~sidu rx(c~) de c~ en x; on a rx(a) e g ~ - l ( k ( x ) , e ( - 1 ) ) . On ddmontre: (3.1) On a r~:(c~) = 0 pour tout x e X saul un hombre fini (autrement dit l'ensemble des pSles de c~ est fini). De faqon plus pr6cise, soit L / K une extension galoisienne finie de K assez grande pour que c~ provienne d ' u n 61~ment de H i ( G ( L / K ) , CL), oh CL = H°(GL, C). On a r~(a) = 0 pour tout x en lequel l'indice de ramification de L / K est premier h n. (3.2) On a la "formule des rdsidus": Z C o r k k(x) r~(~) = 0 xex

dans Hi-1 (k, C ( - 1 ) ) ,

off wor k ' ~ k(x) : H ' - l ( k ( x ) , C ( - 1 ) ) --* H ' - l ( k , C ( - 1 ) ) striction relativement h l'extension k ( x ) / k .

ddsigne l'homomorphisme de core-

122

Annexe. Cohomologie galoisienne des extensions transcendantes pures

(Pr6cisons ce clue l'on entend pax Cor~ si F / E est une extension finie: c'est le produit de la corestriction galoisienne nsuelle (correspondant h Pinclnsion GF --* GE) par le degr6 ins6parable [F : E]~. Le compos6 Cor~ o Res~ est 6gal h la multiplication pax I F : E].)

Application Soit f E K*, et soit D = )-~xex_ n x x le diviseur de f. Supposons D disjoint de l'ensemble des p61es de a. Cela permet de d6finir un 616ment a(D) de Hi(k, C) par la formule a ( D ) = Z n~wor k(~) k a(x). ~.

xelDI

On d~Iuit de (3.2) la formule suivante: (3.3)

c~(D) =

~

Corkk(=)(f(x))'rx(a) ,

x p S l e d v t~

o~: (f(x)) est l'61~ment de H l ( k ( x ) , pn) d6fini par l'~16ment f(x) de k(x), v/a la th~orie de Kummer; rx(a) e H i - l ( k ( x ) , C ( - 1 ) ) est le r~sidu de t~ en x; (f(x)).r~ (a) est le cup-produit de (f(x)) et de r~(a) dans Hi(k(x), C), relativement l'application bilin6aire/zn x C ( - 1 ) --* C. Lorsque c~ n'a pas de p61es, (3.3) se r6duit a(D) = 0 , analogue cohomologique du thdor~me d'Abel. Cela permet d'associer h (~ un homomorphisme du groupe des points rationnels de la jacobienne de X dans le groupe Hi(k, C); pour i = 1, on retrouve une situation 6tudi~e dans le cours de 1956-1957, cf. Groupes Algdbriques et Corps de Classes [144].

§ 4.

L e c a s o h K ---- k ( T )

C'est celui oh X est la droite projective P1. Du fait que X poss~ie tin point rationnel, l'homomorphisme canonique Hi(k, C) -+ H i ( K , C) est injectif. Un 616ment de HI(K, C) est dit constant s'il appartient ~ Hi(k, C). On d6montre: (4.1) Pour que ~ E H I ( K , C) soit constant, il faut et il suj~it que rx(a) = 0 pour tout x E X (i.e. que a n'ait pas de pSles). (4.2) Pour tout x E X_, soit gx e H i - l ( k ( x ) , C ( - 1 ) ) . x saul un nombre fini, et que: k(x)

~--~ Cor~

0x=0

Supposons que O= = 0 pour tout

dansHi-l(k,C(-1)).

Il existe alors a 6 H i ( K , C) tel que r~(a) = 0= pour tout x E X . On peut r~sumer (3.1), (3.2), (4.1), (4.2) par la suite exacte: (4.3) 0 ~Hi(k,C) ~ HI(K,C) ~ ~)Hi-l(k(x),C(-1)) ~ H i - I ( k , C ( - 1 ) ) --~ O. xex_

5. Notations

123

Remarque. Soit a • H i ( K , C ) , et soit P~ l'ensemble de ses p61es. Les dnoncds ci-dessus mont r e n t que a est d4termind sans ambiguitd par ses rdsidus, et par sa valeur en un point rationnel de X non contenu dans Pa. En particulier, la valeur de a peut se calculer p a r t i r de ces donn~es. Voici un formule p e r m e t t a n t de faire un tel calcul si oo ~ P~: (4.4)

=

(oo) +

-

~EPa

oh (~(x) est la valeur de a en un point rationnel x • X ( k ) , x ~ P~, x ~ oo; a(cx~) est la valeur de a au point cx); (x - y) est l'dldment de H 1( k ( y ) , / ~ ) ddfini par x - y; (x - y).ru(a ) est le cup-produit de (x - y) par le r~sidu r~(a), calculd dans H~(k(y), C); k est la corestriction: H ' ( k ( y ) , C) --* H i ( k , C). C or k(u) Cela se ddduit de (3.3), appliqud tt la fonction f ( T ) = x - T, dont le diviseur D est

(x) - (oo). Gdndralisation d plusieurs variables Soit K = k(T1,...,71,,) le corps des fonctions de l'espace projectif P m de dimension m. T o u t diviseur irrdductible W de P m ddfinit une valuation discrete v w de K. L'dnoncd suivant se ddduit de (4.1) par rdcurrence sur m: (4.5) Pour que c~ • H i ( K , C )

soit constant (i.e. a p p a r t i e n n e h H i ( k , C ) ) , il faut et il su~it que c~ n'ait de p6le en aucune valuation v w (et l'on p e u t m6me se borner aux W distincts de l'hyperplan h l'infini, i.e. on p e u t se placer sur l'espace a~ine de dimension m, et non sur l'espace projectif).

2. § 5.

Application: spdcialisation du groupe de Brauer Notations

Ce sont celles du § 4, avec i = 2 et C = p , , d'ofi C ( - 1 ) = Z / n Z . O n a H 2 ( K , C ) = B r . ( K ) , noyau de la multiplication par n dans le groupe de B r a u e r B r ( K ) . La suite exacte (4.3) s'dcrit alors: 0 ---* Brn(k) ~

Brn(K) ~

~ H l ( k ( x ) , Z / n Z ) ---* H i ( k , Z / n Z ) ~ xex

0.

Elle est due ~t D.K. Faddeev [50]. Soit a E B r n ( K ) , et soit P~ C X l'ensemble de ses p61es. S i x E X ( k ) est un point rationnel de X = P1, et s i x ~ Pa, la valeur de a en x est un ~ldment a ( x ) de Brn(k). O n s'int~resse h la variation de a ( x ) avec x, et en particulier h l'ensemble V i a ) des x tels q u e a ( x ) = 0 ("lieu des zdros de a " ) . O n aimerait c o m p r e n d r e la s t r u c t u r e de V(c~). ( P a r exemple, si k est infini, est-il vrai que V(c~) est, soit vide, soit de cardinal dgal celui de k?) Le cas oh n = 2 et oh a est un symbole (f, g), avec f, g E K*, est particuli~rement intdressant, h cause de son interpretation en termes du fibrg en coniques de base X d$fini par l'dquation homog~ne

U2 - f(T)V 2 -

g ( T ) W2 = 0 .

124

Annexe. Cohomologie galoisienne des extensions transcendantes pures

L'dtude de V(a) peut &re abordde de plusieurs points de vue. Le eours en a envisagd trois: annulation de a par changement de base rationnel (cf. § 6), conditions de Marlin et approximation faible (cf. § 7), bornes du crible (cf. § 8).

§ 6.

Annulation par changement de base

On suppose, pour simplifier, que k est de caractdristique 0. Soit c~ e B r , ( K ) , avec g = k(T) comme ci-dessus. Soit f ( T ' ) une fonction rationnelle en une variable T~; supposons f non constante. Si l'on pose T = f(T~), on obtient un plongement de K dans K ~ = k(T'). D'o/L par changement de base, u n ~ldment f * a de B r n ( g ' ) . On dit clue c~ est tug par K ' / K (ou par f) si f * ~ = 0 dans Br,~(g'). S'il en est ainsi, on a a(t) = 0 pour tout t E X ( k ) qui n'est pas un p61e de a, et qui est de la forme f ( t ' ) , avec t' E P l ( k ) . En particulier, Y(a) est non vide (et mfime de cardinal ~gal h eelui de k). On peut se demander s'il y a une rdciproque. D'o5 la question suivante: (6.1) Supposons V ( a ) non vide. Existe-t-il une fonction rationneUe non eonstante f qui rue a ? Voici une variante ~ point base de (6.1): (6.2) Soit to E Y(&). Existe-t-il f comme dans (6.1), telle que to soit de la ]orme f(t~o), avec t~o e P l ( k ) ? On sait (Yanchevskii [188]) que (6.2) a une rdponse positive si k est local hens~lien ou si k = R. Lorsqu'on ne fait pas d'hypothb~se sur k, on n ' a de rdsultats clue pour n = 2. Pour les dnoncer, introduisons la notation suivante: (6.3)

d(a) = degP~ = ~ [k(x) : k] . zEP~

(L'entier d(c~) est le hombre de p~les de ~, multiplicitds comprises.) T h 6 o r ~ m e 6.4 (Mestre [112]). La question (6.2) a une rdponse positive lorsque n = 2 et d(a) < 4. Remarques. 1) La ddmonstration du th. 6.4 donne des informations suppldmentaires sur les corps K ' = k(T') qui tuent ~; par exemple, on peut s'arranger pour que [K' : K] = 8. 2) Mestre a ~galement obtenu des r~sultats dans le c a s n = 2, d(c~) = 5. Voiei une consdquenee du th. 6.4 (cf. [113]): T h ~ o r ~ m e 6.5. Le groupe SL2(FT) a la propridtd "GaiT", i.e. eat groupe de Galois d'une extension galoisienne Q-rdguli&e de Q(T). En particulier il existe une infinitd d'extensions galoisiennes de Q, deux k deux disjointes, dont le groupe de Galois est SL2(F7). I1 y a des r~sultats analogues pour les groupes A~12, 6-Ae et 6-A7.

7. Conditions de Martin, approximation faible et hypothbze de Schinzel § 7.

Conditions Schinzel

de Manin,

approximation

faible et

hypoth~se

125 de

On suppose maintenant que k est un corps de nombres algdbriques, de degr~ fini sur Q. Soit ,U l'ensemble de ses places (archimg
v ( a ) c v^(a) , et l'on peut se demander quelle est l'adhdrenee de V ( a ) dans VA(a). Pour r~pondre (ou tenter de r~pondre) A cette question, il y a lieu d'introduire (A la suite de ColliotTh~l~ne et Sansuc) les "conditions de Manin": Disons qu'un al~ment j3 de Brn(K) est subordonnd h c~ si, pour tout x E _X, r~(/~) est un multiple entier de rx(a); on a en particulier P~ C P~. Soit Sub((~) l'ensemble de ces 41dments; c'est un sous-groupe de Brn(K) contenant Brn(k), et le quotient S u b ( a ) / B r n ( k ) est fini. Si ~ E Sub(a), et si x = (xv) est un point de VA(a), on a ~(xv) = 0 pour presque tout v. Cela permet de d~finir un 41~ment m(fl, x) de Q / Z par la formule: (7.1) m(~, x) = Z inv~ f~(x~), oh invv d~signe l'homomorphisme canonique de Br(kv) dans Q / Z . La fonction x ~ m(~, x) est localement constante sur V^(a) et s'annule sur V(a); de plus, elle ne d~pend que de la classe de B mod Br.(k). Notons VAM(a) le sous-espace de VA(a) d~fini par les "conditions de Manin":

(7.2)

m(B,x) = 0

pour tout ~ E Sub(a).

C'est un sous-espace ouvert et ]erred de VA(a) qui contient V(a). Il parait raisonnable de faire la conjecture suivante: (7.3 ?) V ( a ) est dense dans VM(a). En particulier: (7.4 ?) Si v M ( a ) ~ 0, on a V(a) ~ 0: les conditions de Manin sont "les seules" s'opposer ~ l'existence d'une solution rationnelle de l'~quation a ( x ) -- 0. (7.5 ?) Si S u b ( a ) -- Brn(k) (i.e. s'il n'y a pas de condition de Manin), Y ( a ) est dense dans VA(a); il y a approximation faible: le principe de Hasse est valable. La plupart des r~sultats concernant (7.3 ?), (7.4 ?) et (7.5 ?) sont relatifs au cas n = 2. Dans le cas g~n~ral, on a toutefois le th~or~me suivant, qui complete des r~sultats ant~rieurs de Colliot-Th~l~ne et Sansuc (1982) et Swinnerton-Dyer (1991), cf. [36], [37]: T h ~ o r ~ m e 7.6. L'hypoth~se (H) de Schinzel [141] entra¢ne (7.3 ?).

126

Annexe. Cohomologie galoisienne des extensions transcendantes pures

[Rappelons l'6noncd de l'hypoth~se (H): soient P~(T),..., Pro(T) des polyn6mes coefficients darts Z, irrdductibles sur Q, de termes d o m i n a n t s > O, et tels clue, p o u r t o u t n o m b r e premier p, il existe n v E Z tel que Pi(np) ~ 0 ( m o d p) p o u r i = 1 . . . . . m. Alors il existe une infinitd d'entiers n > 0 tels clue Pi(n) soit un n o m b r e premier pour i -- 1 . . . . ,m.]

Remarque. Le th. 7.6 p e u t ~tre 6tendu aux syst~mes d'dquations as(x) = 0, oh les as sont des ~16ments de B r n ( K ) en hombre fini. O n doit alors remplacer S u b ( a ) par l'ensemble des ~ E B r n ( K ) tels que, pour t o u t x E _X, r x ( ~ ) a p p a r t i e n n e au sous-groupe de Hl(k(x), Z / n Z ) engendr~ par les r ~ ( a , ) .

§ 8.

Bornes

du crible

O n conserve les n o t a t i o n s ci-dessus, et l'on suppose (pour simplifier) que k -- Q. Si

x e X(k) = P I ( Q ) , on n o t e H(x) la hauteur de x: s i x = p/q ofl p e t q sont des entiers premiers entre eux, on a H(x) = sup(Ip I, Iql). Si H --* c~, le nombre des x tels que g ( x ) < H est cH 2 + O(H. log H ) , avec c = 12/7r 2. Soit N~(H) le h o m b r e des x e V(t~) tels que H(x) < H. O n aimerait connaitre la croissance de Na(H) q u a n d H --* oo. Un a r g u m e n t de crible [155] p e r m e t en t o u t cas d ' e n donner une majoration. Pour Snoncer le r6sultat, convenons de n o t e r ex(c~) l'ordre du r6sidu r x ( a ) de a en x (pour x E X ) ; on a e x ( a ) = 1 si x n'est pas un pSle de a. Posons (S.l) 5(a) = Z ( I - 1/ex(a)) • xEx Th~or~me

8.2.

On a N~(H) << H2/(logH) 6(~) pour H ~ oo.

Noter que, si a n ' e s t pas constant, on a 5(a) > 0, et le th6or~me ci-deasus montre que "peu" de points rationnels a p p a r t i e n n e n t k V ( a ) . O n p e u t se d e m a n d e r si la m a j o r a t i o n ainsi obtenue est optimale, sous l'hypoth~se V ( ~ ) ~ 0. A u t r e m e n t dit: (8.3) Est-il vrai que N , ( H ) >> H2/(logH) '(•) pour H assez grand, si V(a) ~ O? (Pour un r~sultat encourageant dans cette direction, voir Hooley [73].)

Remarque. II y a des 6nonc6s analogues p o u r les corps de nombres, et p o u r les syst~mes d'6quations ai(x) = 0; on dolt alors remplacer ex(a) par l'ordre du groupe engendr6 par les r x ( a l ) .

Chapitre III

Cohomologie galoisienne non commutative

§ 1. F o r m e s

Ce paragraphe est consacr~ ~ l'illustration d'un "principe" g~n~ral, qui s'~nonce approximativement ainsi: Soit K/k une extension de corps, et soit X un "objet" d~fini sur k. Nous dirons qu'un objet Y, d~fini sur k, est une K/k-forrae de X si Y devient isomorphe ~ X lorsqu'on ~tend le corps de base ~ K. Les classes de telles formes (pour la relation d'~quivalence d~finie par les k-isomorphismes) forment un ensemble E(K/k, X).

Si K/k est galoisienne, on peut dtablir une correspondance bijeetive entre E(K/k, X) et HI(G(K/k),A(K)) oit A(K) ddsigne le groupe des K-automorphismes de X. I1 serait ~videmment possible de justifier cet 6nonc6 en d6finissant axiomatiquement la notion d' "objet d6fini sur k", celled' "extension des scalaires", et en leur imposant certaines propri6t6s simples. Je ne m'aventurerai pas jusque l~, et je me bornerai $ traiter deux cas particuliers: celui des espaces vectoriels munis de tenseurs, et celui des vari6t6s alg6briques (ou des groupes alg6briques). Le lecteur que le cas g6n6ral int6resse pourra se reporter $ l'expos6 VI du s6minaire Grothendieck [64], intitul6 "Categories fibr~es et descente"; voir aussi Giraud [54].

1.1. Tenseurs Cet exemple est discutd en d~tail dans [145], Chap. X, § 2. R~sumons-le rapidement: L' "objet" est un couple (V, x), off V est un k-espace vectoriel de dimension finie, et x un tenseur sur V d'un type (p, q) fix& On a donc

x e T~(V)

= TP(V)

® Tq(V *) .

La notion de k-isomorphisme de deux objets (V,x) et (V',x') est claire. Si K est une extension de k, et si (V, x) est un objet d~fini sur k, on obtient un objet (VK, XK) d~fini sur K e n prenant pour VK l'espace vectoriel V ®k K et pour XK l'~l~ment x ® 1 de T~(VK) = T~(V) ®k K. Cela d~finit sans ambigu~t~ la notion de K/k-forme de (V, x); nous noterons E(K/k) l'ensemble de ces formes (~ isomorphisme pros). Supposons d'autre part que K / k soit galoisienne, et soit

1.1. Tenseurs

129

A ( K ) le groupe des K - a u t o m o r p h i s m e de (VK,xK); si s E G ( K / k ) et f E A ( K ) , on d~finit ~f • A ( K ) par la formule: s f = ( l ® s ) o f o (1 ® s - l ) . [Si f est repr6sent6 par une matrice (aij), s f est repr6sent6 par la matrice (~a~j).] On d6finit ainsi une structure de G(K/k)-groupe sur A(K), et l'ensemble H I ( G ( K / k ) , A ( K ) ) est bien d~fini. Soit maintenant ( V ' , x ' ) une K/k-forme de (V,x). L'ensemble P des isomorphismes de (V~., x~¢) sur (VK, XK) est muni de faqon 6vidente d'une structure d'espace homog~ne principal sur A ( K ) , et ddfinit donc un dl~ment p de HS(G(K/k), A(K)), cf. Chap. I, n ° 5.2. En faisant correspondre p h ( V ' , x ' ) on obtient une application canonique

O: E ( K / k ) --* H I ( G ( K / k ) , A ( K ) ) .

Proposition 1. L 'application 0 ddfinie ci-dessus est bijective. La d~monstration est donnde dans [145], loc. cit. Indiquons seulement que l'injectivit~ est triviale, et que la surjectivit~ r~sulte du lemme suivant: L e m m e 1. Pour tout entier n, on a H I ( G ( K / k ) , G L ~ ( K ) ) = 0. (Pour n = 1 on retrouve le "th~or~me 90" bien connu.)

Remarque. Le groupe A ( K ) est en fait d~fini pour toute k-alg~bre commutative K; c'est le groupe des K-points d'un certain sous-groupe alg~brique A de G L ( V ) . Du point de vue matriciel, on obtient les ~quations de A en explicitant la relation TPq(f)x = x [il convient de noter que le groupe alg~brique A ainsi d4fini n'est pas n~cessairement "lisse" sur k (en t a n t que schema) - son faisceau structural peut par exemple avoir des ~l~ments nilpotents non nuls (cf. n ° 1.2, exerc. 2)]. D'apr~s les conventions du Chap. II, § 1, on pourra ~crire H I ( K / k , A) h la place de H 1(G(K/k), A(K)). Lorsque K = ks, on 6crira simplement H 1(k, A). La proposition prdcddente ne nous permet d'~tudier que les extensions galoisiennes. La proposition suivante permet souvent de se ramener h ce cas: 2. Soit g la sous-alg~bre de Lie de gI(V) formde des dldments laissant invariant x (au sens infinitesimal - cf. Bourbaki, LIE I, § 3). Pour que le groupe algdbrique A des automorphismes de (V, x) soit lisse sur k, il faut et il suffit que sa dimension soit dgale h ceUe de g. Si cette condition est rdalisde, toute K/k-fo~ne de (V, x) est aussi une ks/k-fo~rae.

Proposition

Soit L l'anneau local de A en l'~l~ment neutre, et soit m son ideal maximal. On constate facilement que g n'est autre que l'espace tangent ~ A en l'~l~ment neutre, a u t r e m e n t dit |e dual de m / m 2. C o m m e dim(A) = dim(L), on voit que l'~galit~ dim(g) = dim(A) signifie que L e s t un anneau local r~gulier, ou encore que A est lisse sur k en l'~l~ment neutre

130

§ 1. Formes

(donc partout, par translation). Cela d6montre la premiere assertion. Soit d'autre part (V ~, x') une K/k-forme de (V, x), et soit P la k-vari~t~ des isomorphismes de (V ~, x') sur (V, x) [on laisse au lecteur le soin de la d~finir en forme au moyen d ' u n foncteur - ou au moyen d'~quations explicites]; le fait que (V ~, x ~) et (V, x) soient K-isomorphes montre clue P(K) est non vide. On volt alors que PK et AN sont K-isomorphes; en particulier PK est lisse sur K , et il en r~sulte clue P est lisse sur k. D'aprks un r6sultat 61~mentaire de g6amCtrie alg6brique, les points de P t~ valeurs dans k8 sont denses dans P. L'existence d'au moins un tel point suffit ~ assurer que (V, x) et (V', x ~) sont ks-isomorphes, cqfd.

1.2. Exemples a) Prenons pour tenseur x une forme bilin6aire altern6e non d~g~n~rde. Le groupe A est le groupe symplectique S p attach~ ~ cette forme. D'autre part, la th~orie 616mentaire des formes altern6es montre que toutes les formes de x sont triviales (i.e. isomorphes ~ x). D'oh: Proposition

3. Pour route extension galoisienne K / k , on a H i ( K / k , Sp) = 0.

b) Supposons la caract~ristique diff~rente de 2, et prenons pour x une forme bilin6aire sym6trique non d~g~n~r~e. Le groupe A est le groupe orthogonal O(x) d~fini par x. On en conclut: P r o p o s i t i o n 4. Pour route extension galoisienne K/k, l'ensemble H i ( K / k , O(x))

est en correspondance bijective avec l'ensemble des ]ormes quadratiques ddfinies sur k qui sont K-dquivalentes d x. Pour p = 2, il faut remplacer la forme bilin6aire sym6trique par une forme quadratique, ce qui oblige ~ abandonner le cadre des espaces tensoriels (cf. exercice 2). c) Prenons pour x un tenseur de type (1, 2), ou, ce qui revient au m~me, une structure d' alg~bre sur V. Le groupe A est alors le groupe des automorphismes de cette alg~bre, et g l'alg~bre de Lie de ses ddrivations. Lorsque V = M n ( k ) les K/k-formes de V sont simplement les alg~bres centrales simples de rang n 2 sur k, neutralis~es par K ; le groupe A s'identifie au groupe projectif P G L n ( k ) , et l'on obtient ainsi une interpretation de H l ( K / k , P ( 3 L n ) en termes d'alg~bres centrales simples, cf. [145], Chap. X, § 5.

Exercices. 1) Montrer que toute d~rivation de Mn(k) est int6rieure. Utiliser ce fait, combin~ avec la prop. 2, pour retrouver le th6or~me suivant lequel toute alg~bre centrale simple admet un corps neutralisant galoisien sur le corps de base. 2) Soit V un espace vectoriel sur un corps de caract6ristique 2, soit F une forme quadratique sur V, et soit bF la forme bilin~aire associ~e. Montrer que l'alg~bre de Lie g du groupe orthogonal O(F) est fortune des endomorphismes u de V tels clue bF(a,u(a)) = 0 pour tout a. Calculer la dimension de {] en supposant la forme bF non d~g6n6r~e (ce qui entra~ne dimV -~ 0 mod 2); en d~duire la lissit~ du groupe O(F) dans ce cas. Ce r~sultat subsiste-t-il lorsque bF est d~g~n6r~e?

1.3. Vari~t~s, groupes alg~briques, etc. 1.3. Vari~t~s,

groupes

alg~briques,

131

etc.

Nous prenons maintenant comme objet une varidtd algdbrique (resp. un groupe alg6brique, resp. un espace homog~ne alg6brique sur un groupe alg6brique). Si V e s t une telle vari6t6, d6finie sur un corps k, et si K est une extension de k, on note A(K) le groupe des K-automorphismes de VK (muni ~ventuellement de sa structure de groupe, resp. d'espace homog~ne). On d~finit ainsi un foncteur A u t v v~rifiant les hypotheses du Chap. II, § 1. Soit maintenant K / k une extension galoisienne de k, et soit V' une K/kforme de V. L'ensemble P des K-isomorphismes de V~ sur VK est ~videmment un espace principal homog~ne sur le G(K/k)-groupe A(K) = A u t y ( K ) . On d6finit ainsi, comme au n ° 1.1, une application canonique

~ : E ( g / k , V) ----, H l ( g / k , A u t v ) . Proposition

5. L 'application 9 est injective. Si V e s t quasi-projective, eUe est

bijective. L'injectivit~ de ~ est triviale. Pour 6tablir sa surjectivit~ (lorsque V e s t quasiprojective), on applique la m6thode de la "descente du corps de base" de Weil. Cela revient simplement ~ ceci: Supposons pour simplifier que K / k soit finie, et soit c = (cs) un 1-cocycle de G(K/k) dans A u t v ( K ) . En combinant cs avec les automorphismes 1 ® s de VK, on fait op~rer le groupe G(K/k) sur VK; la vari~t~ quotient:

cY = (VK)/G(K/k) est alors une K/k-forme de V Ice quotient existe du fait que V a dt~ suppos~e quasi-projective]. On dit que cV s'obtient en tordant V au moyen du cocycle c (cette terminologie est visiblement compatible avec celle du Chap. I, n ° 5.3). Il est facile de voir que l'image de cV par ~ est 6gale h la classe de cohomologie de c; d'o~ la surjectivit6 de 8. C o r o U a i r e . Si V e s t un groupe algdbrique, l'application 0 est bijective. On sait en effet que toute vari6t6 de groupe est quasi-projective.

Remarques. 1) I1 r~sulte de la prop. 5 que deux vari~t~s V e t W ayant m~me ]oncteur d'automorphismes ont des K/k-formes qui se correspondent bijectivement ( K ~taut une extension galoisienne de k). Exemples: alg~bres d'octonions

~. ~

alg~bres centrales simples de rang n 2 alg~bres semi-simples involution

groupes simples de type G2 vari~tds de Severi-Brauer de dimension n - 1

z

~

groupes classiques ~ centre trivial

132

§ 1. Formes

2) Le f o n c t e u r A u t v n'est pas t o u j o u r s reprgsentable (dans la cat4gorie des k-sch4mas); de plus, m ~ m e s'il est repr4sentable, il se p e u t que le schema qui le repr4sente ne soit pas de t y p e fini sur k, c'est&-dire ne d4finisse pas u n "groupe alg4brique" a u sens h a b i t u e l du terme.

1.4. Exemple: les k-formes du groupe S L . On suppose n >_ 2. Le groupe S L , est un groupe semi-simple d4ploy6 simplement connexe dont le systbme de racines est irr4ductible de type (A,~_,). Le schema de Dynkin correspondant est: •

sin=2,

et

:

:

...

-- s i n > 3 .

Son groupe d'automorphismes est d'ordre 1 s i n = 2 et d'ordre 2 s i n > 3. Cela entraine que le groupe Aut(SLn) est connexe si n = 2, e t a deux composantes connexes s i n :> 3. Il a y int4r6t ~ s4parer ces deux cas: Le cas n = 2 On a Aut(SL2) = S L 2 / # 2 = P G L 2 . Or ce groupe est aussi le groupe des automorphismes de l'alg~bre de matrices M2. On en d4duit (cf. Remarque 1) d u n ° 1.3) que les k-formes de SL2 et de M2 se correspondent bijectivement. Or celles de M2 sont les alg~bres centrMes simples de rang 4 sur k, autrement dit les alg~bres de quaternions. On obtient ainsi une correspondance:

k-formes de SL2 ¢=~ alg~bres de quaternions sur k . Explicitons cette correspondance: a) Si D est une alg~bre de quaternions sur k, on lui associe le groupe SLD (cf. n ° 3.2), qui est une k-forme de SL2; les points rationnels de ce groupe s'identifient aux 41~ments de D de norme r~duite 1. b) Si L est une k-forme de SL2, on montre (en utilisant par exemple les r4sultats g4n~raux de Tits [179]) que L poss~de une repr4sentation k-lin~aire 02 : L - - - + G L v de dimension

4, qui est ks-isomorphe

,

~ la s o m m e

direete de d e u x

copies de la

repr4sentation standard de SL2; de plus, cette repr4sentation est unique, g isomorphisme pr~s. Le commutant D = EndG(V) de 02 est l'alg~bre de quaternions correspondant h L. (Lorsque k est de caract4ristique 0, on trouvera d'autres descriptions de D, ~ partir de l'alghbre de Lie de L, dans Bourbaki LIE VIII, § 1, exerc. 16 et 17.) Le c a s n > 3 Le groupe Aut(SLn) est engendr4 par sa composante neutre PG:Ln et par l'automorphisme externe x ~-* tx-x (rappelons que tx d4signe la transpos4e d ' u n e matrice x). Consid~rons alors l'alg~bre M 2 = M n x M n , munie de l'involution

(x,u)H(~,~)" =('y,'~). On peut plonger G L n dans le groupe multiplicatif de M 2 par x ~-* (x, tx-1), et l'on obtient ainsi le groupe des ~14ments u de M 2 tels que u.u ° = 1. A for~iori, on obtient ainsi un plongement de SL,,. De plus, ces plongements donnent des identifications A u t ( G L , ) = A u t ( S L , ) -- A u t ( M 2, *) ,

1.4. Exemple: les k-formes du groupe SL,~

133

ofl A u t ( M ~ , *) d~signe le groupe des automorphismes de l'alg~bre h involution ( M 2, ,). E n r a i s o n n a n t comme dans le c a s n = 2, on ddduit de 1~ clue les k-]ormes de SL,~ (ainsi que celles de G L n ) correspondent aux alg~bres d involution ( D, *) jouissant des proprigtds suivantes: (i) D est semi-simple et [D : k] = 2n 2. (ii) Le centre K de D est une k-alg~bre gtale de rang 2, i.e. k x k, ou une extension q u a d r a t i q u e sdparable de k. (iii) L'involution • est "de deuxi~me esp~ce", i.e. elle i n d u i t sur K l ' u n i q u e automorphisme n o n trivial de K . De fa~on plus prdcise, la k-forme de GL,~ associ~e k (D, ,) est le groupe unitaire U o ; ses k-points sont les dl~ments u de D tels que u • u* -- 1. Q u a n t ~t la k-forme de SL,~, c'est le groupe spdciat unitaire S U p ; ses k-points sont |es ~ldments u de D tels que u . u* = 1 et Nrd(u) = 1, off Nrd : D --* K d~signe la norme rdduite. O n a u n e suite exacte: 1 ---* S U p ----* U D ~

G ~ ----* 1 ,

off G ~ d6signe le tordu du groupe G m par le caract~re e : G~ --* { + l } associ6 h l'alg~bre quadratique K / k . (Autre d6finition de e: il donne l'action du groupe de Galois Ga sur le sch6ma de Dynkin.) Deux cos particuliers m~ritent d'etre mentionnds explicitement: a) Formes intdrieures. On a K = k x k, i.e. ~ = 1. L'alg~bre ~ involution (D, .) se ddcompose alors en D -- ,4 × A °, off "4 est centrale simple de rang n 2, "4o est l'alg~bre oppos~e, et l'involution est (x, y) ~ (y, x). Le groupe S U p correspondant n'est autre que S L y , cf. n ° 3.2. Noter que "4 e t / t o d o n n e n t des groupes isomorphes. b) Cas hermitien. C'est celui off K est u n corps, et D est une alg~bre de matrices M r ( K ) . O n v$rifie facilement que l'involution * est de la forme x ~-~ q t~.q-1 , oh 5: est le conjugu~ de x par l'involution de K , et q est u n dldment hermitien inversible de M,~(K), ddfini ~ multiplication p r ~ par u n ~l~ment de k*. La k-forme de SL,~ associ~ ~t (D, , ) n ' e s t autre que le groupe unitaire unimodulaire SUq ddfini par q (vu comme forme h e r m i t i e n n e sur K ) . Ses k-points rationnels sont les ~l~ments u de G L ~ ( K ) satisfaisant ~: q = u.q.t~ et det(u) = 1 . Remarque. II y a des r ~ u l t a t s analogues pour les autres groupes classiques, eL Well [184] et Kneser [871 (si la caract~ristique est ~ 2), et Tits [178] (si la caract~ristique est 2). Exercices. 1) M o n t r e r que Pautomorphisme x ~-* tx-1 de SL~ coincide avee l~automorphisme

2) Montrer que A u t ( G L 2 ) = {+1} x Aut(SL2). E n dd~duire la classification des k-formes de G L 2 . 3) Le groupe d ' a u t o m o r p h i s m e s de la droite projective P1 est P G L 2 . En d~duire que les k-formes de P1 (i.e. les eourbes projectives lisses a b s o l u m e n t irr~ductibles de genre 0) correspondent aux k-formes de SL2 ainsi q u ' a u x alg~bres de quaternions. Si k est de earaet~ristique ¢ 2, eette correspondance associe ~. l'alg~bre de quaternions i 2 = a, j2 = b, i j = - j i , la eonique de P2 d'~quation Z 2 = a X 2 + b Y 2.

134

.... 3~3

§ 1. Formes Si k est de caractdristique 2, l'alg~bre de quaternions d~finie par i 2 + i = a, j2 = b, 1 = i + 1, correspond ~ la conique d ' ~ l u a t i o n

X 2 + X Y + a Y 2+bZ 2 = 0

( a E k , b E k * - c f . Chap. II, n° 2.2).

§ 2. Corps de dimension _ 1

Sauf mention expresse du contraire, le corps de base k est suppos~ parfait. On r~serve le nom de "groupe alg~brique" aux schemas en groupes sur k qui sont de type fini et lisses (ce sont essentiellement les "groupes alg~briques" de Weil, ~ cela pros que nous ne les supposons pas n~cessairement connexes). Si A est un tel groupe, on ~crit H i ( k , A) ~ la place de Hl(-k/k, A), -k d~signant une clSture alg~brique de k, cf. n ° 1.1.

2 . 1 . R a p p e l s s u r les g r o u p e s l i n ~ a i r e s (a~f~rences: eorel [16], norel-Tits [20], Chevalley [34], Demazure-Gabriel [41], Demazure-Grothendieck [42], Platonov-Rapinchuk [125], Rosenlicht [129], Steinberg [166], Tits [177].) Un groupe alg~brique L e s t dit lin~aire s'il est isomorphe £ un sous-groupe d'un groupe GLn; il revient au m~me de dire que la vari~t~ alg~brique sousjacente ~ L e s t a~iue. Un groupe lin~aire U est dit unipotent si, lorsqu'on le plonge dins G L n , tous ses ~l~ments sont unipotents (et cela ne d~pend pas du plongement choisi). Pour cela, il faut et il suffit que U admette une suite de composition dont les quotients successifs sont isomorphes au groupe additif Ga ou au groupe Z / p Z (en caract~ristique p). Ces groupes sont peu int~ressants du point de r u e cohomologique:

Proposition

6. Si U est un 9roupe lindaire unipotent connexe, on a

Hl(k,U) = O . [Cet ~nonc~ ne s'~tend pas au cas d'un corps de base imparfait, cf. exerc. 3.] Cela rdsulte du fait que H i ( k , Ga) -- 0 (Chap. II, Prop. 1). Un groupe lin~aire T e s t appel~ un tore s'il est isomorphe (sur k) ~ un produit de groupes multiplicatifs. Un tel groupe est d~termin~ ~ isomorphisme pros par son groupe des caract~res X ( T ) = Horn(T, G,n), qui est un Z-module libre de rang fini sur lequel op~re continfiment G(-k/k). Tout groupe lindaire connexe r~soluble R poss~de un plus grand sous-groupe unipotent U, qui est distingu~ dins G. Le quotient T = R / U est un tore, et R

136

§ 2. Corps de dimension _< 1

est produit semi-direct de T et de U. (Cette ddcomposition p e u t s'effectuer sur le corps de base.) T o u t g r o u p e lin~aire L possL~de un plus grand sous-groupe distingufi r~soluble connexe R, appel~ son radical. Lorsque R = 1 et que L est connexe, on dit que L est semi-simple; dans le cas g~n~ral, la c o m p o s a n t e neutre (L/R)o de L / R est semi-simple. Ainsi, t o u t groupe lin~aire a d m e t une suite de composition dont les quotients successifs sont de r u n des quatre types suivants: G o , un tore, un g r o u p e fini, un groupe semi-simple. U n sous-groupe P de L est dit parabolique lorsque L / P est une vari~t~ complete; si P e s t en o u t r e r~soluble et connexe, on dit que P e s t un sous-groupe de Borel de L. Tout sous-groupe parabolique contient le radical R de L. Supposons k algfibriquement clos, et L connexe. Les sous-groupes de Borel B de L peuvent fitre caract~ris~s par l'une des propri~t~s suivantes: a) sous-groupe r~soluble connexe maximal de L. b) sous-groupe parabolique minimal de L. E n outre, les sous-groupes de Borel sont conjugufis entre eux, et ~gaux ~ leurs normalisateurs. [On n o t e r a que, lorsque k n'est pas algfibriquement clos, il peut n'exister a u c u n sous-groupe de Borel de L qui soit d~fini sur k - cf. n ° 2.2.] U n sous-groupe C d ' u n g r o u p e lin~aire L est appel~ u n sous-groupe de Cartan s'il est nilpotent et ~gal h la c o m p o s a n t e neutre de son normalisateur. Il existe au moins un sous-groupe de C a f t a n dfifini sur k, et ces sous-groupes sont conjugu~s (sur k, mais pas en gfin~ral sur k). Lorsque L est semi-simple, les sous-groupes de C a f t a n ne sont autres que les tores maximaux.

Exercices. 1) Soient L un groupe r~ductif connexe, et P u n sous-groupe parabolique de L. Montrer que l'application H 1(k, P) --* H 1(k, L) est injective. [On sait, cf. Borel-Tits [20], th. 4.13, que L(k) op~re transitivement sur les kpoints de l'espace homog~ne LIP. Cela entraine (Chap. I, prop. 36), clue le noyau de Hi(k, P) --* H l(k, L) est trivial. Conclure par un argument de torsion, l 2) (d'aprEs J.Tits) Soient B et C des sous-groupes alg~briques d'un groupe lin~aire D, et soit A = B N C. On suppose que les alg~bres de Lie de A, B, C et D satisfont aux conditions: LieA=LieBNLieC

et

LieB+LieC=LieD.

I1 en r~sulte que B/A ---*D/C est une immersion ouverte. On suppose que D(k) est dense pour la topologie de Zariski (c'est le cas si D est connexe, et k est parfait infini). (a) Montrer que le noyau de Hi(k, B) ---+Hi(k, D) est contenu dans l'image de H l(k, A) -~ H 1(k, S). [Si b • Zl(k, B) est un cobord dans D, et si l'on tord l'inclusion B/A ---* D/C par b, on trouve b(B/A) --* b(D/C) = D/C. Comme les points rationnels de D/C sont dense.s, l'ouvert b(B/A) de b(D/C) a un point rationnel. Conclure en utilisant la prop. 36 du Chap. I.] (b) M~me ~nonc~, avec B remplac~ par C. (c) En d~duire que, si HI(k,A) = 0, le noyau de HI(k,B) ---*HI(k,D) est trivial. En particulier, si Hi(k, A) et Hi(k, D) sont tous deux 0, il en est de m~me de Hi(k, B) et de H t (k, C).

2.2. Nullit~ de H 1 pour les groupes lin~aires connexes

137

3) Soit ko un corps de caract6ristique p, et soit k = ko((t)) le corps des s6ries formelles en une variable sur ko. C'est un corps imparfait; lorsque/co est alg6briquement clos, c'est un corps de dimension < 1 (c'est m6me un corps (C1), cf. Chap. II, n ° 3.2). Soit U le sous-groupe de Ga × Go form~ des couples (y, z) v~rifiant l'~quation yP - y = tz p. Montrer que c'est un groupe unipotent connexe de dimension 1, lisse sur k. D~terminer Hi(k, U) et montrer que ce groupe n'est pas rdduit ~ 0 s i p ~ 2. Montrer que l'on a un r~sultat analogue en caract~ristique 2 en prenant l'~quation y2 + y = tz a.

2.2.

Nullit~

de H t pour

les groupes

lin6aires

connexes

T h 6 o r 6 m e 1. Soit k un corps. Les quatre propridtds suivantes sont dquivalentes: (i) H i ( k , L) = 0 pour tout groupe algdbrique lindaire L connexe. (i') H i ( k , L) = 0 pour tout groupe algdbrique semi-simple L. (ii) Tout groupe algdbrique lindaire L contient un sous-groupe de Borel ddfini Bur k .

(ii') Tout groupe algdbrique semi-simple L contient un sous-groupe de Borel ddfini sur k. De plus, ces propridtds entrainent que dim(k) _< 1 (cf. Chap. II, § 3). (On rappelle que k est suppos6 parfait.) On proc6de par 6tapes: (1) (ii) ¢v (ii'). C ' e s t trivial. (2) (ii') =:~ dim(k) < 1. Soit en effet D un corps gauche de centre une extension finie k' de k, avec [D : k'] = n 2, n >_ 2. Soit S L D le k ' - g r o u p e alg6brique c o r r e s p o n d a n t (cf. n ° 1.4 et n ° 3.2); c'est un groupe semi-simple dont les k'-points rationneis s'identifient aux 616ments de D de n o r m e r~duite 1. Soit L = R k , / k ( S L D ) le k-groupe alg6brique d6duit de ce groupe par restriction des scalaires ~ la Weil (cf. [119], [185]). Ce groupe est semi-simple ~ 1. Si (ii') est v6rifi~, il contient un 616ment unipotent ~ 1, ce qui est absurde. On a donc bien dim(k) < 1. (3) (i') ~ dim(k) _< 1. Soit K une extension finie de k, et soit L un K - g r o u p e alg6brique. D6finissons c o m m e ci-dessus le groupe RK/k(L); les k-points de ce groupe f o r m e n t ce que l'on a appel6 au Chap. I, n ° 5.8, l'induit de L(k). O n a HI(K,L) = gl(k, RK/k(n)) ,

loc. cit.

Si L est semi-simple, R K / k ( L ) l'est aussi, et l'on a donc H i ( K , L) = O, vu l'hypoth~se (i'). A p p l i q u a n t ceci au groupe P G L n (n arbitraire) on en conclut que le g r o u p e de Brauer de K est nul, d'ofi dim(k) _< 1. (4) dim(k) < 1 =~ H 1(k, R) = 0 lorsque R est r~soluble. Le groupe R e s t extension d ' u n tore par un groupe unipotent. C o m m e la cohomologie de ce dernier est nulle, on volt q u ' o n est ramen6 au cas off R e s t un tore, cas qui est trait~ dans [145], p. 170. (5) (i) ¢=~ (i'). L'implication (i) =~ (i') est triviale. Supposons (i') v6rifi6. D ' a p r 6 s (3) et (4), on a H i ( k , R) = 0 lorsque R e s t r6soluble, d'ofi (i) en utilisant la suite exacte des H 1 .

138

§ 2. Corps de dimension < 1 (6) (i') ~=~ (ii'). On s'appuie sur le lemme g6n6ral suivant:

L e m m e 1. Soient A un groupe algdbrique, H u n sous-groupe de A, et N le normalisateur de H dans A. Soient c un 1-cocycle de G ( K / k ) d valeurs dans A(-k), et soit x E H I ( k , A ) la classe de cohomologie correspondante. Soit cA le groupe algdbrique obtenu en tordant A au moyen de c (A operant sur lui-m~me par automorphismes int6rieurs). Les deux conditions suivantes sont dquivalentes: (a) x appartient h l'image de H I ( k , N ) -~ HI(k,A), (b) Le groupe cA contient un sous-groupe H ~ dd]ini sur k qui est conjugud de H (sur la clSture alg6brique k de k). C'est une simple cons6quence de la prop. 37 du Chap. I, appliqu6e ~ l'injection de N dans A; il faut simplement remarquer que les points de A / N correspondent bijectivement aux sous-groupes de A conjugu6s de H , et de m~me pour c(A/N). Revenons h la d~monstration de (i') ~ (ii). Si (ii) est vraie, et si on applique le lemme 1 h u n sous-groupe de Borel B du groupe semi-simple L, on voit que Hi(k, B) --* Hi(k, L) est surjectif. Comme d'apr~s (2) et (4), on a Hi(k, B) = O, il en r~sulte bien que H I (k, L) est nul. Inversement, supposons (i') v~rifi~e, et soit L un groupe semi-simple. On se ram~ne tout de suite au cas off le centre de L e s t trivial (le centre ~tant d~fini comme sous-sch~ma en groupes, non n~cessairement lisse), ce que l'on exprime en disant que L e s t un groupe adjoint. D'apr~s Chevalley [42], cf. aussi [35], il existe une forme Ld de L qui est ddployde, et L se ddduit de Lu par torsion au moyen d'une classe x E Hl(k, Aut(Ld)). Mais la structure du groupe Aut(Ld) a dtd d6termin~e par ChevaUey; c'est le produit semi-direct E . Lu, off E est un groupe fini, isomorphe au groupe d'automorphismes du diagramme de Dynkin correspondant. Tenant compte de l'hypoth~se (i~), on voit que Hl(k, Aut(Ld)) s'identifie h HI(k, E). Mais les 61~ments de E (identifi~ un sous-groupe de Aut(Ld)) laissent stable un sous-groupe de Borel B de Ld; si donc N d6signe le normalisateur de B dans Aut(Ld), on voit que

HI(k, N) ---* Hi(k, Aut(La)) est surjectif. En appliquant le lemme 1, on en d~duit que L contient un sousgroupe de Borel d~fini sur k, cqfd.

Remarque. Les groupes semi-simples poss~dant des sous-groupes de Borel d~finis sur k sont dits quasi-ddployds. T h ~ o r ~ m e 2. Lorsque k est de caractdristique zdro, les quatre propridtds du thdor~me 1 sont dquivalentes aux deux suivantes: (iii) Tout groupe algdbrique semi-simple non rdduit d l'dldment neutre contient un dldment unipotent ~ 1. (iv) Toute alg~bre de Lie semi-simple g ~ 0 contient un dldment nilpotent ~ O.

2.3. Le th~or~me de Steinberg

139

L'~quivalence de (iii) et (iv) r~sulte de la th~orie de Lie. L'implication (ii ~) =~ (iii) est triviale. Pour d~montrer l'implication en sens inverse on raisonne par r~currence sur la dimension du groupe semi-simple L. On peut supposer L ~ 0. Choisissons un sous-groupe parabolique minimal P de L d~fini sur k (cf. G o d e m e n t [55]), et soit R son radical. Le quotient P / R est semi-simple et ne poss~de aucun ~l~ment unipotent ~ 1. Sa dimension est strictement inf~rieure celle de L du fait que L poss~de au moins un ~l~ment unipotent ~ 1 (Godement, loc. cir., th. 9). Vu l'hypoth~se de r~currence, on a donc P = R, ce qui signifie que P est un sous-groupe de Borel de L.

2.3. Le th~or~me de Steinberg C'est la rdciproque du th. 1: T h d o r ~ m e 1' ("conjecture I" de [t46]). Si k est parfait et dim(k) < 1, les propridtds (i), . . . , (ii') du th. 1 sont satisfaites. E n particulier, on a H I ( k , L) = 0 pour tout groupe lindaire connexe L. Ce th~or~me est dfi h Steinberg [165]. I1 avait 6t6 d'abord d6montr6 dans les cas particuliers suivants: a) Lorsque k est un corps fini (Lang [96]) On a alors un r6sultat plus g6n6ral: H i ( k , L) = 0 pour tout groupe alg~brique connexe L (non n6cessairement lin6aire). La d6monstration repose sur la surjectivit6 de l'application x ~-* x -1 • F ( x ) , off F est l'endomorphisme de Frobenius de L, cf. Lang, loc. cir. b) Lorsque L e s t rdsoluble, ou semi-simple de type classique (le cas Da trialitaire ~tant exclu), c]. [146]. La d6monstration utilise l'exerc. 2 ci-apr~s. c) Lorsque k est un corps (C1) de caractdristique 0 (Springer [162]). Utilisant le th6or~me 2, on volt qu'il suffit de montrer l'inexistence d'une alg~bre de Lie semi-simple 9, non r~duite ~ 0, dont t o u s l e s ~16ments sont semisimples; on peut ~videmment supposer que la dimension n de 9 est minimale. Soit r le rang de if. Si x E g, le polyn6me caract~ristique d e t ( T - ad(x)) est divisible par T~; soit f r ( x ) le coefficient de T ~ dans ce polynSme. I1 est clair que f~ est une fonction polynomiale de degr~ n - r sur l~. C o m m e k est (C1), il s'ensuit qu'il existe x ~ 0 dans g tel que f r ( x ) = 0. Soit c le centralisateur de x dans g; comme x est semi-simple, le fait que f~(x) soit nul signifie que dim c > r; comme x ~ 0, on a dim c < n. On sait (cf. Bourbaki, LIE I, § 6, n ° 5) que c est produit d'une alg~bre ab~lienne par une alg~bre semi-simple. Vu l'hypoth~se de r~currence, cette derni~re est r6duite h 0; donc c e s t commutative, d'ofi l'in6galit~ dim(c) < r, et l'on obtient une contradiction. Ddmonstration du thdor~me 1'. Elle repose sur le r~sultat suivant, qui se d6montre par une construction explicite, que l'on trouvera dans Steinberg [165]:

140

§ 2. Corps de dimension < 1

T h ~ o r ~ m e 2'. Soit L un groupe semi-simple simplement connexe (cf. n ° 2.2) quasiddployd, et soit C une classe de conjugaison de L(ka) formde d'dldments semi-simples rdguliers. Si C est rationneUe sur k (i.e. stable par l'action de Gk), elle eontient un point rationnel sur k. (Cet ~nonc~ est vrai sur tout corps k: on n ' a besoin, ni de l'hypoth~se dim(k) ~ 1, ni de l'hypoth~se que k est parfait, cf. Borel-Springer [19], II.8.6.) C o r o l l a i r e . Soit L un 9roupe semi-simple eonnexe quasi-ddployd. Pour tout dldment x de H i ( k , L) il existe un tore maximal T de L tel que x appartienne h l'image de H I (k, T) -~ H ~(k, L). Indiquons comment le corollaire se dg~luit du th. 2'. Vu Lang [96], on peut supposer que k est infini. Soit a = (a~) un cocycle de Gk darts L ( k , ) repr6sentant x. Le groupe L op~re par automorphismes int~rieurs sur lui-m~me, donc aussi sur son rev&tement universel L. On peut tordre L e t L par a; on obtient des groupes aL et aL. Soit z un ~l~ment semi-simple r4gulier de ~L, rationnel sur k (un tel 4l~ment existe du fait que k est infini). Soit C la classe de conjugaison de z dans ~L(k,) = L(ks)_I1 est clair que C est stable par Gk. Vu le th. 2' il existe donc z0 E C N L(k). Soit T l'unique tore maximal de L contenant z0, et soit T son image dans L (qui est un tore maximal de L). Le centralisateur de zo est T. Ceci montre que L / T = L / T s'identifie ~ la classe de conjugaison C. Par construction, le tordu de L I T par a contient u n point rationnel (~ savoir z). On en conclut que a ( L / T ) a un point rationnel. D'apr~s la prop. 37 du Chap. I, cela montre que la classe de a appartient l'image de H I ( k , T ) dans HI(k, L), cqfd. Revenons ~ la d~monstration du th. 1I. Supposons k parfait et dim(k) <_ 1. On a alors H i ( k , A) = 0 pour tout A lin~aire connexe commutatif, cf. d~monstration du th. 1. Vu le corollaire ci-dessus, on a donc H i ( k , L) = 0 pour tout L semi-simple quasid4ploy~. Mais, si M est un groupe semi-simple quelconque, on peut l'~crire comme un tordu M = aL, oh L est quasi-d~ploy~, et off a est un cocycle dans le groupe adjoint L ~dj de L. Vu la nullit~ de HI(k, L~dJ), d~montr~e ci-dessus, on a M -~ L, ce qui montre que M est quasi-d~ploy~. On a donc prouv~ la propri~t~ (iiI) du th. 1, cqfd.

Remarques. 1) Lorsque k n'est pas suppos~ parfait, le th. 11 reste valable, ~. condition de se borner au cas off L e s t rdducti] connexe (Borel-Springer, loc. cir.); il y a des contreexemples pour L unipotent, cf. n ° 2.1, exerc. 3. 2) Lorsque L e s t un groupe simple (ou presque simple) de type (B,~), (C,~) ou (G2), on peut prouver la nullit~ de H i ( k , L) sous une hypoth~se moins forte que dim(k) < 1; il suffit que l'on ait: cd2(Gk) < 1 si caract(k) ~ 2; k parfait si caract(k) = 2. I1 y a des 4nonces analogues pour les autres types (A,), . . . , (Es), cf. [156], § 4.4. 1) Donner un exemple de courbe elliptique E sur un corps parfait k telle que

H ' ( k , E ) ~ 0 et dim(k) ~ 1. (Le th~or~me de Lang [96] ne s'~tend donc pas ~ tousles corps de dimension < 1.) 2) Soit K / k une extension quadratique s~parable, et soit L un groupe r~ductif connexe sur k. (a) Soit x E H i ( K / k , L). Montrer qu'il existe u n tore maximal T de L tel que x appartienne ~ l'image de HI ( K / k , T) dans H 1( K / k , L ).

2.4. Points rationnels sur lea eapaces homog~nes

141

[On peut supposer k infini. Soit a l'~l~ment non trivial de G ( K / k ) . On peut representer x par un cocycle (a~) tel que av soit un ~I~ment semi-simple r~gulier de L(K), cf. I146], n ° 3.2. On a alors aa.a(a~,) = 1, ce qui montre que le tore maximal T contenant ao eat d~fini sur k. Le tore T convient.] (b) On suppose que k eat parfait de caract4ristique 2. Montrer que H 1( K / k , L) = O. [Utiliser (a) pour se ramener au cas oh L e s t un tore. Remarquer que l'application z ~-~ z 2 eat alors une bijection de L ( K ) sur lui-m~me.] (c) Utiliser (a) et (b) pour justifier la Remarque 2) du texte. 3) Soit g une alg~bre de Lie simple sur un corps k de caract~ristique z~ro. Soit n (reap. r) la dimension (reap. le rang) de g. On sait (cf. Kostant, [89]) que l'ensemble 9~ des ~l~ments nilpotents de g eat l'ensemble des z~ros communs h r polynSmes homog~nea It, . . . , /r de degr~s ml, . . . , m~ tels que m l + . " + m~ = (n + r)/2 . Utiliser ce rgsultat pour retrouver le fait que 9u ~ 0 lorsque le corps k eat (C1).

2.4.

Points

rationnels

sur

les espaces

homog~nes

Les r6sultats des n °s pr6c6dents p o r t e n t sur le premier ensemble de cohomologie H 1, c'est-~*dire sur les espaces principaux homogbnes. Le th6orbme cidessous, dfi k Springer, permet de passer de 1~ aux espaces homogbnes quelconques: T h ~ o r ~ m e 3. Supposons k parfait de dimension < 1. Soit A un groupe algdbrique et soit X un espace homog~ne ( d droite) sur A. Il existe alors un espace principal homog~ne P sur A e t un A - h o m o m o r p h i s m e 7r : P --* X . (I1 va sans dire que A, X , P , 7r sont supposes d~finis sur k.) A v a n t de donner la d~monstration, nous allons expliciter quelques consequences de ce th~or~me (en supposant toujours k parfait de dimension < 1): C o r o l l a i r e 1. Si H I ( k , A ) rationnel.

= O, tout espace homog~ne X sur A a un point

E n effet l'espace principal P e s t n&essairement trivial, donc poss~de un point rationnel p; l'image de p par 7r est un point rationnel de X . Ce r~sultat est n o t a m m e n t applicable lorsque A est lindaire connexe, cf. th. 11. C o r o l l a i r e 2. Soit f : A --~ A' un h o m o m o r p h i s m e surjectif de groupes algdbriques. L 'application correspondante: H I ( k , A ) ---, H I ( k , A ') est surjective. Soit x r E H I ( k , A ' ) , et soit P ' un espace principal homog~ne sur A ' corres p o n d a n t ~ x I. En faisant op~rer A sur P ' au moyen de f , on m u n i t p i d ' u n e s t r u c t u r e de A-espace homog~ne. D'apr~s le th~or~me 3, il existe un espace principal homog~ne P sur A a d m e t t a n t un A - h o m o m o r p h i s m e 7r : P --~ pi. Soit x E H i ( k , A) la classe de P. On v~rifie imm~diatement que l'image de x dans H i ( k , A 1) est ~gale ~ x', cqfd.

142

§ 2. Corps de dimension < 1

C o r o U a i r e 3. Soit L un groupe algdbrique lindaire ddfini sur k, et soit Lo sa composante neutre. L 'application canonique H i ( k , L) ----* H i ( k , L / L o ) est bijective. Le corollaire 2 montre que cette application est surjective. D'autre part, soit c un 1-cocycle de G(-k/k) ~ valeurs dans L(k), et soit cLo le groupe obtenu en tordant L0 au moyen de c (cela a un sens car L op~re sur Lo pax automorphismes int~rieurs). Le groupe cLo ~tant lin$aire connexe, on a H i ( k , cLo) = O, d'apr~s le th. 1~. Appliquant la suite exacte de cohomologie non abdlienne (cf. Chap. I, n ° 5.5, cot. 2 k la prop. 39), on en d~duit que H I ( k , L ) -4 H I ( k , L / L o ) est injective, cqfd. [La cohomologie des groupes lindaires est ainsi enti~rement ramende h celle des groupes finis, pourvu bien sdr que dim(k) <_ 1.] Ddmonstration du thdor~me 3 Choisissons un point x E X(k). Pour tout s E G(-k/k), on a Sx E X(k), et il existe donc as E A(k) tel que Sx = x . as. On volt facilement que l'on peut supposer que (as) d~pend continfiment de s, autrement dit que c'est une 1-cocha~ne du groupe G(-k/k) h valeurs dans A(-k). Si (as) dtait un cocycle, on pourrait trouver un espace principal P sur A e t un point p E P(k) tels que Sp = p. as; en posant lr(p- a) = x . a on d~finirait alors un A-homomorphisme r : P --* X qui r~pondrait aux conditions voulues. On est donc ramen~ h d~montrer la proposition suivante: P r o p o s i t i o n 7. Sous les hypotheses ci-dessus, on peut choisir la 1-cochaine (as) de telle sorte que ce soit un cocycle. On va dtudier des syst~mes {H, (as)} formds d'un sous-groupe alg~brique H de A (d~fini sur k) et d'une 1-cochaine (aa) de G(-k/k) ~ valeurs dans A(k), ces deux donndes dtant assujetties aux axiomes suivants: (1) x . H = x (H est contenu dans le stabilisateur de x) (2) Sx = x.as pour tout s E G(-k/k) (3) Pour tout couple s, t E G ( k / k ) , il existe hs,t e H(-k) tel que as'Sat = hs,t'ast • (4) as.SH.a; 1 = H pour tout s E G(-k/k). L e m m e 2. II existe au moins un syst~me {H, (as)}. On prend pour H l e stabilisateur de x, et pour (as) n'importe quelle cochaine v~rifiant (2). Comme x.asSat = S t x = x.ast, on en conclut qu'il existe hs,t E H(-k) tel que as~at = hs,t.a,,t, d'ofi (3). La propri~t~ (4) est immediate. On va maintenant choisir un syst6me {H, (as)} tel que H soit minimal. Tout revient h prouver que H est alors r6duit h l'616ment neutre, car l'axiome (3) montrera alors que (as) est un cocycle.

2.4. Points rationnels sur les espaces homog~nes

143

L e m m e 3. Si H est minimal, la composante neutre Ho de H est un groupe rdsoluble. Soit L le plus grand sous-groupe lin6aire connexe de H0. D'apr~s un thdor~me de Chevalley, L e s t distingu~ dans H0, et le quotient H o / L est une vari6td abdlienne. Soit B u n sous-groupe de Borel de L, et soit N son normalisateur dans H. On va montrer que N = H; cela entrainera que B e s t distingu6 dans L, donc dgal ~ L, et H0 sera bien un groupe r6soluble (extension d'une vari6t6 ab61ienne par B). Soit s E G(-k/k). Il est clair que SB est un sous-groupe de Borel de SL, lequel est le plus grand sous-groupe lin6aire connexe de Silo. On en conclut que asSBas I e s t un sous-groupe de Borel de as~Las 1, lequel coincide avec L (puisque c'est le plus grand sous-groupe lin6aire connexe de asSHoas 1 -= Ho). La conjugaison des sous-groupes de Borel montre donc qu'il existe hs E L tel que h s a s ~ B a ~ i h [ 1 = B; on peut 6videmment s'arranger pour que hs d6pende continfiment de s. Posons alors a~s = hsas. Le syst~me {N, (a'~)} vdrifie les axiomes (1), (2), (3), (4). En effet, c'est 6vident pour (1) et (2). Pour (3), d6finissons h's,t par la formule: IS I a s o, t =

I I hs,tas~:

.

Un calcul imm6diat montre que l'on a:

hs " asShtas 1 " hs,t = hls,t " hst • C o m m e asShta~ 1 E asSHa~ 1 = H, on d~duit de cette formule que hls,t appartient h H . D'autre part, on a par construction a~SBals -1 = B. I1 en r6sulte I que les automorphismes int~rieurs d6finis par ast et a 1s8 a tI transforment tous deux StB en B; l'automorphisme int6rieur d6fini par leur quotient hls,t transforme doric B e n lui-m~me, ce qui prouve bien que h I$,t appartient ~ N e t d6montre (3). Enfin, puisque l'automorphisme int6rieur d6fini par a's transforme SB en B, il transforme aussi ~N en N, ce qui d6montre (4). C o m m e H est minimal, on en ddduit que N = H , ce qui d6montre le lemme. L e m m e 4. Si H est minimal, H est rdsoluble. Vu le lemme 3, il suffit de prouver que H / H o est r6soluble. Soit P u n sousgroupe de Sylow de H / H o , soit B son image r6ciproque dans H , et soit N son normalisateur. Le raisonnement du lemme prdc6dent s'applique encore ~ N (la conjugaison des sous-groupes de Sylow remplaqant celle des sous-groupes de Borel), et l'on en conclut que N = H. Ainsi, tout sous-groupe de Sylow de H / H o est distingud; le groupe H / H o est alors produit de ses sous-groupes de Sylow, donc nilpotent, e t a fortiori r~soluble. L e m m e 5. Si dim(k) _< 1, et si H c s t commutateurs.

minimal, H est dgal h son groupe des

Soit H ' le groupe des commutateurs de H. On va d'abord faire op6rer G ( k / k ) sur H / H I. Pour cela, si h E H et s E G(-k/k), posons:

144

§ 2. Corps de dimension < 1 s' h = a s S h a s I .

L'axiome (4) montre que S'h appartient ~ H; si de plus h E H ' , on a S'h E H ' . Par passage au quotient, on obtient ainsi un automorphisme y ~-+ S,y de H / H ' . En utilisant la formule (3), on voit que l'on a St,y = 8,(t,y), ce qui signifie que H/H'

est u n G ( - k / k ) - g r o u p e .

Soit hs,t l'image de hs,t dans H / H ' . l'identit6:

C ' e s t un 2-cocyele. Cela se voit sur

astSat_ l a s_ 1 . asSatStauSat-ulasl . a s s atuastu -1 . a s t u S t a u- l a s t- l = 1 .

qui, par passage ~ H / H ' ,

donne: ----1

-h- s1, t

• ~,-~ t,u

• -hs,t~

•

hst,u

=

1 .

Mais la structure des groupes alg~briques commutatifs montre que H / H ' ( - k ) poss~de une suite de composition dont les quotients sont, soit de torsion, soit divisibles. C o m m e dim(k) < 1, on a done H2(G(-I~/k), H / H ' ( - k ) ) = 0, cf. Chap. I, n ° 3.1. Ainsi le cocycle (hs,t) est un cobord. On en conclut qu'il existe une 1coch~ne (hs) ~ valeurs dans H ( k ) telle que: = n-; 1 . 8'n? 1.

ns ,

avee

e

On a ~' h [ l = asS h t l a-~ 1 =- h~a~S h t l a s l h-~ 1 mod H ' ( k ) .

Quitte ~ changer h'~,t, on peut donc 6crire: h~,t = h s 1. h s a s ~ h t l a s l h s

1 • h's,t " hst •

En posant a 's = hsas, la formule pr6c6dente devient: 18

!

I

!

a s a t =- hs,tast .

Le syst~me { H ' , (a~)} v~rifie done les a~iomes (1), (2), (3). L'axiome (4) se v~rifie sans difficult~s. C o m m e H est minimal, on en conclut bien que H --- H ~. F i n de la d ~ m o n s t r a t i o n

Si {H, (as)} est un syst~me minimal, les lemmes 4 et 5 montrent que H = {1}, donc que (as) est un cocycle, ce qui d6montre la prop. 7, et du m6me coup le th6orbme 3. Exercices.

1) Avec les notations de la d~monstration du lemme 5, montrer qu'il existe sur une structure de k-groupe alg~brique telle que la structure de G ( k / k ) - m o d u l e correspondante sur H / H ' ( k ) soit celle d6fmie darts le texte. H/H'

2) Montrer clue le th~or~me 3 reste valable lorsqu'on remplace l'hypoth~se dim(k) < 1 par la suivante:

2.4. Points rationnels sur les espaces homog~nes

145

Le stabilisateur d'un point de X est un groupe lin6aire unipotent. [On utilisera le fait que H2(k, H) = 0 pour tout groupe commutatif unipotent H.] 3) On suppose que dim(k) < 1 et que la caract6ristique p e s t ~ 2. Soit f u n e forme quadratique non d~g~n~r~e en n variables (n > 2). Montrer en utilisant le th. 3 que, pour toute constante c ~ 0, l'6quation f(x) = c a une solution dans k. [Observer que le schema des solutions de cette ~quation est un espace homog~ne du groupe S O ( f ) , lequel est connexe.] Retrouver ce r~sultat par une d~monstration directe, utilisant uniquement t'hypoth~se cd2(Gk) < 1.

§ 3. Corps de dimension ___ 2

3.1. La conjecture II Soient L un groupe semi-simple et T un tore maximal de L. Le groupe X ( T ) des caract~res de T e s t un sous-groupe d'indice fini du groupe des poids du syst~me de racines correspondant. Si ces deux groupes sont ~gaux, on dit que L est simplement connexe (cf. par exemple [125], 2.1.13). C o n j e c t u r e I I . Soit k un corps parfait tel que cd(Gk) < 2, et soit L un groupe semi-simple simplement connexe. On a H i ( k , L) = O. Cette conjecture a ~t~ d~montr~e dans de nombreux cas particuliers: a) Lorsque k est un corps p-adique: Kneser [86]. b) Plus g~ndralement, lorsque k est un corps complet pour une valuation discrete dont le corps rdsiduel est parfait de dimension <_ 1: Bruhat-Tits [22] et [23], III. c) Lorsque k est un corps de hombres totalement imaginaire (pour L de type classique: Kneser [87]; pour L de type D4 trialitaire, G2, F4, E6, ET: Harder [67]; pour L de type E8: Chernousov [30]). d) Lorsque L est de type An intdrieur (Merkurjev-Suslin, cf. n ° 3.2). e) Plus g~n~ralement, lorsque L e s t de type classique (D4 trialitaire exceptS): BayerParimala [10]. f) Lorsque L est de type G2 ou F4 (voir par exemple [156l). Remarques. 1) Dans l'~nonc4 de la conjecture II, on devrait pouvoir remplacer l'hypoth~se "k est parfait" par "[k : k p] < p", si k est de caract~ristique p > 0 (une hypoth~se encore plus faible devrait m~me suffire, cf. [156]). Par exemple, la conjecture devrait s'appliquer ~ tout corps k qui est une extension trauscendante de degr~ 1 d'un corps parfait ko de dimension < 1 (c'est vrai si k0 est fini, d'apr~s Harder [67], III). 2) Tout groupe semi-simple L0 peut s'~crire de fa~on unique sous la forme Lo = L/C, off L est simplement connexe, et C est un sous-groupe fini du centre de L. Si l'on suppose que C est lisse, on peut l'identifier h u n G~-module galoisien, d'oh un op~rateur cobord (cf. Chap. I, n ° 5.7) A : HX(k, Lo) ----, H2(k,C) . Si la conjecture II s'applique h k, cet op~rateur est injectif (Chap. I, cot. ~ la prop. 44); cela permet d'identifier HX(k, L0) h u n sous-ensemble du groupe H2(k, C) (noter que ce sous-ensemble n'est pas toujours un sous-groupe, cf. n ° 3.2, exercice).

3.2. Exemples

147

3.2. Exemples a) L e g r o u p e

SLD

Soit D u n e alg~bre centrale simple sur k, de rang fini; on a [D : k] : n 2, oh n est un entier > 1 (parfois appel@ le degrd de D). Soit Gm/D le k-groupe alg@brique tel que G m / D ( k ' ) = (k~®kD) * pour t o u t e extension k ~ de k; c'est une k-forme du g r o u p e G L n . O n a Gm/D(k) = D*. La norme r@duite Nrd d@finit un morphisme surjectif Nrd : Gm/D ~G m • Soit S L D le noyau de Nrd. C ' e s t une k-forme (dite "int@rieure") du g r o u p e S L y , cf. n ° 1.4; c'est donc un groupe semi-simple simplement connexe. Sa cohomologie se d@termine au moyen de la suite exacte:

H°(k, Gm/D)

, n ° ( k , Gm)

~ HI(k, SLD)

, HI(k, Gm/D) .

Les d e u x groupes de gauche sont respectivement @gaux ~ D* et h k*. O n m o n t r e sans difficult@ (par le m@me a r g u m e n t que p o u r G L n ) que l'on a H i ( k , GIn~D) = 0. O n d@duit de lh une bijection

k * / i r d ( n * ) ~- Hi(k, SLD) • E n particulier, Hi(k, S L D ) est rdduit d 0 si et seuIement si Nrd : D* --* k* est

surjectif. C'est le cas, d ' a p r ~ Merkurjev-Suslin (cf. Chap. II, n ° 4.5, th. MS) si k est parfait et cd(Gk) < 2 (l'@nonc@ dans le th. MS suppose que D est un corps gauche - le cas g@n@ral se ram~ne facilement h celui-lh). La conjecture II est donc vraie pour SLD.

Remarque. Le th. MS fournit en outre une rdciproque de la conjecture II: si k est un corps tel que HX(k, L) = 0 pour tout L semi-simple simplement connexe, on a cd(Gk) < 2. b) Le groupe

Spin n

O n suppose la caract@ristique de k diff@rente de 2. Soit q une forme quadratique non d@g@n@r~ede rang n, et soit SOq le groupe orthogonal unimodulaire correspondant. C'est un g r o u p e semi-simple connexe ( s i n >_ 3, ce q u ' o n supposera). Son rev@tement universel est le groupe S p i n q des spineurs. O n a une suite exacte: 1

~ #2 ~

S p i n q - - ~ SOq ~

1 ,

avec #2 = { + 1 } .

D'apr~s le n ° 5.7 du Chap. I, on en d@duit la suite exacte de cohomologie: Spinq(k)

~SOq(k)

~ k*/k .2 ~

Hl(k, Spinq)

~ Hl(k, SOq) ~ , Br2(k) ,

148

§ 3. Corps de dimension < 2

puisque HI(k,#2) L'homomorphisme

=

k*/k .2 et H2(k, p2) -- Br2(k), cf. Chap. If, n ° 1.2.

5 : SOq(k) --~ k*/k .2 est la aortae spinorielle (Bourbaki A IX.§ 9). Quant ~ rapplication A : H l ( k , SOq)

, Br2(k) ,

elle est li~e ~ l'invariant de Hasse-Witt w2 par la formule suivante: s i x E H l ( k , SOq) et si qx ddsigne la forme quadratique ddduite de q par torsion au m o y e n de x, on a A ( x ) = w2(qx) - w2(q), cf. Springer [60], ainsi que Annexe, § 2.2. N o t e r que H i ( k , S O q ) peut ~tre identifid ~ l'ensemble des classes de formes quadratiques de rang n qui ont m~me discriminant (dans k*/k .2) que q. C o m p t e t e n u de la suite exacte de cohomologie ci-dessus, on en ddduit:

Pour que H i ( k , S p i n q ) soit rdduit d O, il faut et il s u ~ t que les deux conditions suivantes soient satisfaites: (i) La norme spinorielle 5: S O q ( k ) --* k * / k .2 est surjective. (ii) Toute forme quadratique de rang n, qui a l e m~me discriminant et le m~me invariant de Hasse-Witt que q, est isomorphe d q. D'aprks Merkurjev-Suslin, ces conditions sont satisfaites si cd2(Gk) <_ 2 (cf. BayerParimala [10] - voir aussi l'exerc. 1 du Chap. II, n ° 4.5). La conjecture II est donc vraie pour Spinq.

Exercice. On prend n = 3, et l'on choisit pour q la forme standard X 2 - Y Z . (a) Montrer que l'image de A : Hi(k, SOq) --* Br2(k) est formd~e des ~l~ments ddcomposables de Br2(k) --- H2(k, Z/2Z), i.e. de ceux qui sont cup-produits de deux dldments de Hi(k, Z/2Z). (b) En ddduire, en utilisant Merkurjev [108], qu'il existe un corps k de caractdristique 0, avec cd(G~) = 2, tel que l'image de A ne soit pas un sous-groupe de Br2(k).

§ 4. Th or mes de finitude

4.1. La condition (F) P r o p o s i t i o n 8. Soit G u n groupe pro]ini. Les trois conditions suivantes sont dquivalentes: a) Pour tout entier n, le groupe G n'a qu'un hombre fini de sous-groupes ouverts d'indice n. a ~) M~me dnoncd que a), en se bornant aux sous-groupes ouverts distinguds. b) Pour tout G-groupe fini A (cf. Chap. I, n ° 5.1), l'ensemble H I ( G , A ) est

tim. Si H est un sous-groupe ouvert de G d'indice n, l'intersection H J des conjugu~s de H est un sous-groupe ouvert distingu~ de G d'indice _< n! (en effet le quotient G / H rest isomorphe ~ un sous-groupe du groupe des permutations de G/H). On d~duit facilement de l~ l'~quivalence de a) et at). Montrons que a) =~ b). Soit n l'ordre du G-groupe fini A, et soit H u n sousgroupe ouvert distingu~ de G operant trivialement sur A. Vu a), les sous-groupes ouverts de H d'indice _< n sont en nombre fini. Leur intersection H ~ est un sonsgroupe ouvert distingu~ de G. Tout homomorphisme continu f : H -~ A est trivial sur H ~. On en conclut que le compos~

HI(G,A)

~H I ( H , A )

, HI(H',A)

est trivial. Cela entraine (cf. la suite exacte du Chap. I, n ° 5.8) que Hi(G, A) s'identifie h H I ( G / H ~, A), lequel est Svidemment fini. Montrons que b) =~ a). Il faut voir que, pour tout entier n, le groupe G ne poss~de qu'un nombre fini d'homomorphismes dans le groupe sym~trique Sn de n lettres. Cela r~sulte imm~diatement de la finitude de Hi(G, Sn), le groupe G operant trivialement sur Sn. Tout groupe profini G v~rifiant les conditions de la prop. 8 sera dit "de type (F)". P r o p o s i t i o n 9. Tout groupe profini G qui peut ~tre topologiquement engendrd par un nombre fini d'dldments est de type (F). En effet, il est clair que les homomorphismes de G dans un groupe fini donn~ sont en nombre fini (puisqu'ils sont d~termin~s par leurs valeurs sur les g~n~rateurs topologiques de G).

150

§ 4. Th4or~mes de finitude

Pour qu'un pro-p-groupe soit de type (F), il faut et il s u ~ t qu'il soit de rang fini.

Corollaire.

Cela r~sulte des deux propositions pr~c~dentes, combin~es avec la prop. 25 du Chap. I.

Exercices.

1) Soit G u n groupe profini de type (F), et soit f : G --* G un homomorphisme surjectif de G sur lui-m~me. Montrer que f est un isomorphisme. [Soit X,, l'ensemble des sous-groupes ouverts de G d'indice donn~ n. Si H E Xn, on a f - l ( H ) e Xn, et f d~finit ainsi une injection f,, : Xn --* Xn. Comme Xn est fini, f~ est bijective. On en conclut clue le noyau N de f est contenu dans tolls les sous-groupes ouverts de G, et il est donc r&tuit ~ {1}.] 2) Soit F un groupe discret et soit F l e groupe profini associ~ (Chap. I, n ° 1.1). On suppose: (a) L'application canonique P --* F est injective. (b) F est de type (F). Prouver que / ' est Hopfien, i.e. que tout endomorphisme surjectif de U est un isomorphisme [appliquer l'exerc. 1 ~ F]. Montrer que tout sous-groupe de type fini de GLn (C) satisfait h (a) et (b). (Ceci s'applique en particulier aux groupes arithm~tiques.) 3) Soit (Np), p = 2, 3, 5 .... une famille non born~e d'entiers > 0, index~e par les nombres premiers. Soit Gp la puissance Np-i~me du groupe Zp et soit G le produit des Gp. Montrer que G est de type (F), bien qu'il ne puisse pas ~tre topologiquement engendr4 par un nombre fini d'~l~ments.

4.2. Corps de type (F) Soit k un corps. Nous dirons que k est de type (F) si k est parfait et si le groupe de Galois G(-k/k) est de t y p e (F) au sens precedent. Cette derni~re condition revient dire que, p o u r t o u t entier n, il n'existe q u ' u n n o m b r e fini de sous-extensions de k (resp. de sous-extensions galoisiennes) qui soient de degr~ n sur k.

Exemptes de corps de type (F). a) Le corps R des nombres rdels. b) U n corps fini. [En effet, un tel corps a d m e t une seule extension de degr6 donn6 - d'ailleurs son g r o u p e de Galois est Z et petit donc fitre topologiquement engendr6 par un seul 61dment.] c) Le corps C ( ( T ) ) des sgries ]ormelles en une variable sur un corps algfibriquement clos C de cara~t6ristique z6ro. [Mfime a r g u m e n t que dans le cas pr6c6dent, en r e m a r q u a n t que les seules extensions finies de C((T)) sont les corps C((T1/n)), d'apr~s le th~or~me de Puiseux (cf. [145], p. 76).] d) U n corps p-adique (autrement dit une extension finie de Qp). C'est 1~ un r~sultat bien connu. O n peut par exemple le d6montrer de la mani~re suivante; t o u t e extension finie de k s'obtient en faisant d ' a b o r d une extension non ramifi~e, puis une extension t o t a l e m e n t ramifi~e. C o m m e il n ' y a q u ' u n e seule extension non ramifi6e d ' u n degr~ donn~, on est rameng au cas totalement ramifid. Or

4.3. Finitude de la cohomologie des groupes lin6aires

151

une telle extension est donn~e par une "~quation d'Eisenstein" T n + a l T n-1 + • .- + an -- 0, off les a~ appartiennent ~ l'id~al m a x i m a l de l'anneau des entiers de k, et off an est une uniformisante. L'ensemble de ces ~quations forme un espace compact pour la topologie de la convergence des coefficients; d ' a u t r e part, on sait que deux dquations voisines d~finissent des extensions isomorphes (c'est une consequence du "lemme de Krasner", cf. par exemple [145], p. 40, exercices 1 et 2). D'ofi la finitude cherch~e. [On a en fait des r~sultats beaucoup plus precis: i) Krasner [91] a calcul~ explicitement le nombre des extensions de degr4 n d'un corps p-adique k. Le r~sultat s'~nonce (et se d~montre) plus simplement si l'on "compte" chaque extension avec un certain poids, cf. [152]. De faqon plus precise, si U est une extension totalement ramifi~e de degrd n de k, l'exposant du discriminant de k'/k peut s'~crire sons la forme n - 1 + c(U), off c(k') est un entier > 0 (composante "sauvage"). Si l'on ddfinit le poids w(k r) de U par la formule

w(k') = q-C(k') , off q est le nombre d'~l~ments du corps r~siduel, on a la formule de masse suivante (cf. [152], th. 1): W

(k r) ~ - - - n ~

kI

o5 U parcourt l'ensemble des extensions totalement ramifi~es de k, de degr~ n, contenues dans k. ii) Iwasawa [76] a montr~ que le groupe G(-k/k) peut ~tre topologiquement engendr~ par un nombre fini d'~l~ments (le r~sultat n'est pas mentionn~ explicitement, mais c'est une consequence facile du th. 3, p. 468).]

Exercice. Soit k un corps parfait. On suppose que, pour tout entier n _> 1 et toute extension finie K de k, le quotient K * / K *nest fini. Montrer que k ne poss~de qu'un nombre fini d'extensions galoisiennes rdsolubles de degr4 donn~ premier ~ la caract&ristique de k. Application au cas p-adique?

4.3. F i n i t u d e de la cohomologie des groupes lin~aires Th~orhme

4. Soit k un corps de type (F), et soit L un 9roupe algdbrique lindaire

ddfini sur k. L'ensemble H I ( k , L ) est fini. O n proc~de par ~tapes: (i) Le g r o u p e L e s t fini (i.e. de dimension z~ro). L'ensemble L(k) des points de L rationnels sur k est alors un G(k/k)-groupe fini, et on p e u t lui appliquer la prop. 8. D'ofi la finitude de

H i ( k , L) = Hi(G(-k/k), L(k)) . (ii) Le g r o u p e L est rdsoluble connexe. E n appliquant le cot. 3 de la prop. 39 du Chap. I, on se ram~ne au cas off L est u n i p o t e n t et au cas off L e s t un tore. Dans le premier cas, on a HI(k, L) = O,

152

§ 4. Th~or~mes de finitude

cf. prop. 6. Supposons donc que L soit un tore. I| existe alors une extension galoisienne finie kJ/k telle que L soit k'-isomorphe ~ u n produit de groupes multiplicatifs Gin. Comme H 1(k', Gin) est nul, on en conclut que H 1(k', L) = 0, donc que H ~(k, L) s'identifie ~ H 1(k'/k, L). En particulier, s i n = [k' : k], on a nx = 0 pour tout x E Hi(k, L). Consid~rons alors la suite exacte:

0

~Ln

,L

n-~L

,0,

et la suite exacte de cohomologie qui lui est associ~e. On voit que H:(k,L~) s'applique sur le noyau de HI(k, L) 2. HI(k, L), c'est-k-dire sur Hi(k, L) tout entier. Comme Ln est fini, le cas (i) montre que Hi(k, L,) est fini, et il est de m~me de HI(k, L). (iii) Cas gdndral. On utilise le r~sultat suivant, dfi ~ Springer: L e m m e 6. Soit C un sous-groupe de Cartan d'un groupe lindaire L, et soit N

le normalisateur de C dans L. L'application canonique Hi(k, N) --* HI(k,L) est surjective. (Ce r6sultat est valable sur tout corps parfait k.) Soit x E HI(k,L), et soit c u n cocycle repr6sentant x. Soit cL le groupe obtenu en tordant L au moyen de c. D'apr~s un th~or~me de Rosenlicht ([130], voir aussi [16], th. 18.2), le groupe eL poss~de un sous-groupe de Cartan C' d6fini sur k; lorsqu'on dtend le corps de base ~ k, les groupes C et C ' sont conjugu6s. D'apr~s le lemme 1 du n ° 2.2 il s'ensuit que x appartient ~ l'image de Hi(k, N) dans Hi(k, L), ce qui dfimontre le lemme. Revenons maintenant ~ la d6monstration du th6orbme 4. Soit C un sousgroupe de Cartan de L, d6fini sur k, et soit N son normalisateur. D'apr~s le lemme pr6c6dent, il suffit de prouver que H 1(k, N) est fini. Or le quotient N / C est fini; d'aprbs (i), Hi(k, N / C ) est fini. D'autre part, pour tout cocycle c valeurs dans N, le groupe tordu cC est r~soluble connexe, et Hi(k, cC) est fini d'aprhs (ii). Appliquant alors le cot. 3 de la prop. 39 du Chap. I, on en ddduit bien que H t (k, N) est fini, cqfd. C o r o l l a i r e . Soit k un corps de type (F). a) Les k-formes d'un groupe semi-simple dgfini sur k sont en hombre fini (~ isomorphisme pros). b) IIen est de m~me des k-formes d'un couple (V,x), o~ V est un espace vectoriel et x un tenseur (cf. n ° 1.1). Cela r6sulte du fait que, dans les deux cas, le groupe d'automorphismes de la structure 6tudi~e est un groupe alg~brique lin6aire.

Remarques. 1) Si k est un corps de caract~ristique z~ro et de type (F), on peut montrer que les k-formes de tout groupe alg6brique lin6aire sont en hombre fini; il faut

4.4. Finitude d'orbites

153

pour cela ~tendre le th~or~me 4 ~ certains groupes non alg6briques, ceux qui sont extensions d ' u n g r o u p e discret "de t y p e arithm6tique" par un g r o u p e lin6aire; p o u r plus de d~tails, cf. Borel-Serre [18], § 6. 2) Soit k0 un corps fini, et soit k -- ko((T)). Le th~or~me 4 ne s'applique pas k (ne serait-ce que parce que k n'est pas parfait - on p e u t d'ailleurs m o n t r e r que H I (k, Z / p Z ) est infini, s i p est la caract~ristique de k). Toutefois, on p e u t prouver que Hi(k, L) est fini lorsque L e s t rdducti] connexe. [Principe de la d6monstration (d'apr~s J. Tits): Soit k = ko((t)). On a dim(k) _< 1. D'apr~s Borel-Springer ([19], n ° 8.6), cela entralne U~(k,L) = O, cf. n ° 2.3. On a donc H~(k, L) = H~(k/k, i). Or la thdorie de Bruhat-Tits ([23], Chap. III, n ° 3.12) montre que H I (k/k, L) se plonge dans une r~union finie d'ensembles de cohomologie du type H ~(ko, L 0 , oh les L~ sont des groupes alg~briques lindaires (non n~cessairement connexes) sur le corps r4siduel ko. D'apr~s le th. 4, appliqud ~ ko, chacun des H ~(ko, L 0 est fini. Il en est donc de m~me de H~(k/k, L), cqfd.]

4.4.

Finitude

d'orbites

5. Soit k un corps de type (F), soit G u n groupe algdbrique ddfini sur k, et soit V un espace homog~ne de G. Le quotient de V(k) par la relation d'dquivalence dgfinie par G(k) est ]ini.

Th6or~me

L'espace V e s t r6union d ' u n hombre fini d'orbites de la c o m p o s a n t e neutre de G; cela p e r m e t de se ramener au cas o~ G est connexe. Si V(k) = 0, il n ' y a rien d~montrer. Sinon, soit v E V(k) et soit H l e stabilisateur de v. L ' a p p l i c a t i o n canonique G / H --, Y d~finit une bijection de ( G / g ) ( k ) sur Y(k). D'apr~s le cot. 1 de la prop. 36 du Chap. I, le quotient de (G/H)(k) par G(k) s'identifie au noyau de l'application canonique ~ : Hi(k, H) --* HI(k, G). I1 suffit donc de prouver que cette application est propre, i.e. que c~-1 transforme un ensemble fini en un ensemble fini. Soit L l e plus grand sous-groupe lin6aire connexe de G, soit M = L n H, et soient A = G/L, B = HIM. D'apr~s un th~or~me de Chevalley, A est une vari6t6 ab~lienne, et B s'envoie injectivement dans A. O n a un d i a g r a m m e c o m m u t a t i f :

H l ( k , g ) --~ HI(k,G) g I (k, B) ~-~ g 1 (k, A) C o m m e M est lindaire, le th6or~me 4 (combin6 h la prop. 39 du Chap. I) m o n t r e que 7 est propre. D ' a u t r e part, d'apr~s le th~or~me de "complete r~ductibilit6" des vari6t~s ab61iennes, il existe une vari~tfi abdlienne B ~ de m6me dimension que B e t u n h o m o m o r p h i s m e A --* B ~ tels que le compos~ B --* A --* B ~ soit surjectif; de plus, B ~ et A --* B t peuvent 6tre d6finis sur k. C o m m e le noyau de B --* B ~ est fini, r a r g u m e n t utilis~ ci-dessus m o n t r e que le compos6 Hi(k, B) --* Hi(k, A) --, Hi(k, B t) est propre. It s'ensuit que ~ e s t propre, donc aussi 5 o 7 = / 3 o ~, d ' o h la propret6 de a, cqfd.

154

§ 4. Th~or~mes de finitude

C o r o l l a i r e 1. Soit k un corps de type (F), et soit G u n groupe algdbrique lindaire ddfini sur k. Les totes maximaux (resp. les sous-groupcs de Caftan) de G ddfinis sur k forment un hombre fiui de classes (pour la conjugaison par les 616ments de G(k)). Soit T u n tore maximal (resp. un sous-groupe de Cartan) de G d6fini sur k (s'il n ' y en a pas, il n ' y a rien ~ d6montrer); soit H son normalisateur dans G. C o m m e tous leg totes m a x i m a u x (resp . . . . ) sont conjugu6s sur k, ils correspondent bijectivement aux points de l'espace homog~ne G/H; ceux qui sont d6finis sur k correspondent aux points de G / H rationnels sur k; d'apr~s le th6or~me 5, ils se r6partissent en un nombre fini de classes modulo G(k), d'oh le r6sultat cherch& C o r o l l a i r e 2. Soit k un corps de caractgristique zdro de type (F), et soit G un

groupe semi-simple ddfini sur k. Les dldments unipotents de G(k) ]orment un hombre fini de classes (pour la conjugaison par les 616ments de G(k)). M6me ddmonstration que le cor. 1, en utilisant le fait (d6montr6 par Kost a n t [89]) que les 616ments unipotents de G(k) se r6partissent en un hombre fini de classes.

Exercices. On d~signe par k un corps de type (F). 1) Soit f : G --* G' un homomorphisme de groupes alg6briques. On suppose que le noyau de f e s t un groupe lin6aire. Montrer que l'application correspondante HI(k, G) --~ HI(k, G') est propre. 2) Soit G un groupe alg6brique, et soit K une extension finie de k. Montrer que l'application Hi(k, G) --* HI(K, G) est propre. [Appliquer l'exercice 1 au groupe

G' = nK/kCC).]

4 . 5 . L e c a s r6el Les rdsultats des n °s pr&~dents s'appliquent bien entendu au corps R. Certains peuvent d'ailleurs s'obtenir de f~.~on plus simple par des arguments topologiques. Ainsi par exemple le th~or~me 5 r~sulte du fait (d~montr~ par Whitney) que toute vari&d alg~brique r6elle n ' a qu'un nombre fini de composantes connexes. Nous allons voir que, pour certains groupes, on peut aller plus loin et d&erminer explicitement H 1. Partons d'un 9roupe de Lie compact K. Soit R l'alg~bre des fonctions continues sur K qui sont combinaisons lin~aires de coefficients de representations matricieUes (complexes) de K. Si R0 d~signe la sous-alg~bre des fonctions rdelles de R, on a R = R 0 ® R C . On sait (cf. par exemple ChevaUey, [32], Chap. Vi) que R0 est l'alg~bre afiine d'un R-groupe alg6brique L. Le groupe L ( R ) des points r6els de L s'identifie ~ K ; le groupe L ( C ) est appel~ le complexifid de K. Le groupe de Galois g = G ( C / R ) op~re sur L(C).

4.5. Le cas rdel

155

T h d o r ~ m e 6. L'application canonique ~ : H I ( g , K ) --. H I ( 9 , L ( C ) ) est bijecrive. ( C o m m e 1~ opbre trivialement sur K , H i ( g , K ) est l'ensemble des classes dans K , m o d u l o conjugaison, des dldments x tels que x 2 = 1.) Le g r o u p e g opbre sur l'algbbre de Lie de L ( C ) ; les dldments invariants forment l'alg~bre de Lie t de K , et les dldments anti-invariants forment un suppldmentaire p de t. L'exponentielle ddfinit un isomorphisme analytique rdel de p sur une sous-varidtd fermde P de L ( C ) ; il est clair que x P x -1 = P pour t o u t x E K ; de plus (Chevalley, loc. cit.) t o u t dldment x E L ( C ) s'dcrit de mani~re unique sous la forme z = xp, avec x E K et p E P . Ces rdsultats dtant rappelds, montrons que s est surjectif. Un 1-cocycle de g dans L ( C ) s'identifie h u n dldment z E L ( C ) tel que z~ = 1. Si l'on dcrit z sous la forme xp, avec x E K et p E P , on trouve x p x p -1 = 1 (car ff = p - l ) , d'ofi p = x 2. x - l p x . Mais x - l p x appartient ~ P , et l'unicitd de la ddcomposition L ( C ) = K . P montre que x 2 = 1 et x - l p x = p. Si Px est la pattie de P formde des dldments c o m m u t a n t h x, on voit facilement que Px est l'exponentielle d ' u n sous-espace vectoriel de p. O n en conclut que l'on peut dcrire p sous la forme p = q2, avec q E Pz. O n en tire z = qxq et c o m m e ~ = q - l , on voit que le cocycle z e s t cohomologue au cocycle x, qui est h valeurs dans K . M o n t r o n s m a i n t e n a n t que H i ( 9 , K ) --* H I ( I L L ( C ) ) est injectif. Soient x E K et x ~ E K deux dldments tels que x 2 = 1, x ~2 = 1, et supposons qu'ils soient cohomologues dans L ( C ) , c'est-h-dire qu'il existe z E L ( C ) tel que x ~ = z - i x - 5 . Ecrivons z sous la forme z = yp, avec y E K et p E P . O n a: x ~ = p-ly-lxyp-1

,

d'oh

x ~.x~-lpx~ = y-lxy.p-1

.

Appliquant ~ nouveau l'unicitd de la ddcomposition L ( C ) = K • P , on en tire x ~ = y - l x y , ce qui signifie que x et x t sont conjuguds dans K , et achbve la ddmonstration. Exemples. (a) Supposons que K soit connexe, et soit T l'un de ses totes maximaux. Soit T2 l'ensemble des t E T tels que t 2 = 1. O n sait que t o u t dldment x E K tel que x 2 = 1 est conjugud d ' u n dldment t E T2; de plus, deux dldments t, t ~ de T2 sont conjuguds dans K si et seulement si ils sont transformds Pun de l'autre par un dldment du groupe de W e y l W de K. Il rdsulte donc du thdorbme 6 que H i ( R , L) = H 1 ({j, L ( C ) ) s'identifie d l'ensemble quotient T 2 / W .

(b) P r e n o n s pour K le groupe des a u t o m o r p h i s m e s d ' u n g r o u p e c o m p a c t semi-simple connexe S. Soit A (resp. L) le groupe algdbrique associd ~ K (resp. ~ S). O n sait que A est le groupe des a u t o m o r p h i s m e s de L. Les dldments de H i ( R , A) correspondent donc aux ]ormes rdelles du g r o u p e L, et le thdorbme 6 redonne la classification de ces formes au moyen des classes d' "involutions" de S (rdsultat dfi ~ Elie C a f t a n ) .

156

§ 4. Th6or~mes de finitude

4.6. Corps

de hombres

alg6briques

(thdor6me

de Borel)

Soit k un corps de hombres algdbriques. Il est clair que k n'est pas de type (F). On a toutefois le thdor~me de finitude suivant: T h d o r ~ m e 7. Soit L un 9roupe algdbrique lindaire ddfini sur k, et soit S u n ensemble fini de places de k. L'application eanonique

ws : g l ( k , L )

' H HI(kv, L) v~t8

est propre. Puisque les H l ( k v , L ) sont f n i s (cf. th~orhme 4), on peut modifier S volont~, et en particulier supposer que S = 0 (auquel cas on ~crit w au lieu de ws). De plus, quitte ~ tordre L, on est ramen~ ~ montrer que le noyau de w est fini; en d'autres termes: T h d o r ~ m e 7'. Les dldments de H i ( k , L) qui sont nuls localement sont en nombre fini. Sous cette forme, le thdor~me a dtd ddmontrd par Borel lorsque L e s t rdductif connexe ([14], p. 25). Le cas d'un groupe lindaire connexe se famine immddiatement au prdcddent. I1 est moins facile de se ddbarrasser de l'hypothbse de connexion; je renvoie pour cela ~ Borel-Serre [18], § 7.

4.7. Un

contre-exemple

au

"principe

de Hasse"

Conservons les notations du n ° 4.6. II existe des exemples importants off l'application w: H 1(k, L) ' H H1 (k~, L) est injective; c'est notamment le cas lorsque L e s t un groupe projectif ou un groupe orthogonal. On peut se demander si ce "principe de Hasse" s'6tend tons les groupes semi-simples. Nous Mlons voir qu'il n'en est rien. L e m m e 7. Il existe un G(-k/k)-module fini A tel que l'application canonique de H i ( k , A) dans I]~ H l ( kv, A) ne soit pas injective. On commence par choisir une extension galoisienne finie K / k dont le groupe de GMois G jouisse de la propri~t~ suivante: Le ppcm des ordres des groupes de ddcomposition des places v de k est strictement infdrieur d l'ordre n de G. [Exemple: k = Q, g = Q ( v / ~ , v / ~ ) ; le groupe G est de type (2, 2) et ses sous-groupes de d~composition sont cycliques d'ordre 2 ou r~duits ~ l'dl~ment neutre. Des exemples analogues existent sur tout corps de nombres.] Soit E = Z/nZ[G] l'alg~bre du groupe G sur l'anneau Z / n Z , et soit A l e noyau de l'homomorphisme d'augmentation E --, Z / n Z . Comme la cohomologie

4.7. Un contre-exemple au "principe de Hasse"

157

de E est triviale, la suite exacte de cohomologie montre que H I ( G , A) = Z / n Z . Soit x un g6n6rateur de HI(G,A), soit q le p p c m des ordres des groupes de d6composition Gv, et soit y = qx. On a 6videmment y 7~ 0; d ' a u t r e part, puisque tout 616ment de H 1(G, A) est annul6 par q, l'image de y dans les H 1 (G., A) est nulle. C o m m e HI(G,A) s'identifie ~ un sous-groupe de HI(k,A), on a bien construit un 61~ment non nul y E Ht(k, A) dont toutes les images locales sont nulles. L e m m e 8. II existe un G(-k/k)-module fini B tel que l'application canonique de

H2( k, B) dans 1-Iv H2( kv, B) ne soit pas injective. C'est nettement moins trivial. On peut proc~der de deux fa~ons: (1) On commence par construire un G(-k/k)-module fini A v~rifiant la condition du lemme 7. On pose e n s u r e B = A' = Hom(A,k*) . D'apr~s le th~or~me de dualit~ de Tate (Chap. II, n ° 6.3, th. A), les noyaux des applications

HI(k,A) ~

H H'(kv,A)

et

H2(k,B) ~

10

H H2(k,,B) 11

sont en dualitY. C o m m e le premier est non nul, il en est de m~me du second. (2) Construction explicite: On prend pour B une extension:

0

, ]z,.,

* B ---, Z / n Z

,0

off #n d~signe le groupe des racines n-ibmes de l'unit~. On choisit B de telle sorte que, du point de vue de sa seule structure de groupe ab~lien, ce soit la somme directe Z / n Z $ #n; sa structure de G(-k/k)-module est alors d~termin~e par un ~l~ment y du groupe H l(k, H o m ( Z / n Z , #n)) = H 1(k, #n) = k*/k *n • C o m m e filament de H2(k, B), on va prendre l'image canonique 5 d'un ~l~ment x E H2(k, #n); un tel ~l~ment s'identifie h un ~l~ment d'ordre divisant n du groupe de Brauer Br(k), et comme tel il est ~quivalent h la donn6e d'invariants locaux Xv E ( ~ Z ) / Z v~rifiant les conditions habituelles (~-']~xv = O, 2Xv = 0 s i v est une place r~elle, et Xv = 0 s i v est une place complexe). On veut s'arranger pour que ~ ne soit pas nul, mais soit nul localement. La premiere condition revient dire que x n'appartient pas h l'image de d : Hi(k, Z/nZ) ~ HZ(k, #~). Cette application n'est pas difficile h expliciter; tout d'abord le groupe HI(k, Z/nZ) n'est autre que le groupe des homomorphismes X : G(k/k) ---, ( ~ Z ) / Z ; d'apr~s la th~orie du corps de classes, X s'identifie h u n homomorphisme du groupe des classes d'id~les de k dans ( ~ Z ) / Z ; on notera (X,) les composantes locales de XOn v~rifie alors sans difficult~s que le cobord dx de X est l'fil~ment de H2(k, #n) dont les composantes locales (dx)~, sont ~gales h Xv(Y). La premiere condition portant sur x est donc la suivante:

158

§ 4. Th6or6mes de finitude (a) Il n'existe pas de caract~re X ~ H~( k, Z / n Z )

tel que xv = Xv(Y) pour

tout v. E n e x p r i m a n t que 5 s ' a n n u l e localement, on o b t i e n t de m~me: (b) Pour tout place v, il existe ~ov e H~(kv, Z / n Z ) tel que x~ = ~o~(y). Exemple num~rique: k = Q, y = 14, n = 8, x~ = 0 pour v ~ 2, 17 et X2 ~- - - X 1 7 : 1 . Il faut v~rifier les conditions (a) et (b): Vdrification de (a) - Supposer que l'on ait un caract~re global X tel que X- (14) = x~. On va examiner la somme ~ X~(16) (qui devrait ~tre nuUe, puisque X s'annule sur les id~le principaux). Il est bien connu que 16 est une puissance 8-i~me dans les corps locaux Qp, p # 2 (cf. Artin-Tate, [6], p. 96); on a donc X~(16) = 0 pour v ~ 2. D ' a u t r e part, on a 144 =- 16 rood Q~s [cela revient h voir que 74 E Q~s, ce qui rSsulte du fait que - 7 est un carr~ 2-adique]. On en d6duit X2(16) = 4X2(14) = ~, 1 et la somme des X~(16) n'est pas nulle. C'est la contradiction cherch~e. Vdrification de (b) - Pour v ~ 2, 17, on prend ~ = 0. Pour v = 2, on prend le caract~re de Q [ ddfini par la formule ~2(a) = w ( a ) / 8 , off w(a) ddsigne la valuation de c~; on a bien ~o2(y) = qo2(14) = t . Pour v = 17, on remarque que le groupe multiplicatif (Z/17Z)* est cyclique d'ordre 16, et admet pour g~n~rateur y -- 14 [il suffit de v~rifier que 14s --- - 1 mod 17, or 2s -- 1 mod 17, et 7s = ( - 2 ) 4 = - 1 m o d 17]. Il existe donc un caract~re ~01v du groupe des unit6s 17-adiques qui est d'ordre 8 et prend la valeur - ~ sur y; on le prolonge n'importe comment en un caract~re d'ordre 8 de Q~7, et cela ach~ve la v~rification de (b). [Cet exemple m ' a ~t~ signal~ par Tate. Celui que j'avais utilis~ primitivement ~tait plus compliqu~.] 9. Soit B u n G(k/k)-module fini, et soit x ~ H2(k, B). II existe un groupe semi-simple connexe S ddfini sur k, dont le centre Z contient B, et qui jouit des deux propridtd suivantes: (a) L'dldment x donnd appartient a l'image de d : H~(k, Z / B ) --* H2(k, B). (b) On a H~(k~,S) = 0 pour route place v de k. Lemme

Soit n u n e n t i e r > 1 tel que n B -- O. O n p e u t t r o u v e r une e x t e n s i o n galoisienne finie K / k assez g r a n d e p o u r que les t r o i s c o n d i t i o n s s u i v a n t e s soient r~alis6es: i) B est un G(K/k)-module; ii) l'~l~ment x donn~ p r o v i e n t d ' u n ~l~ment x' e H 2 ( G ( K / k ) , B); iii) le corps K c o n t i e n t les racines n-i~mes d e l'unit~. Soit B ~ = H o r n ( B , Q / Z ) le d u a l de B; o n p e u t ~ v i d e m m e n t ~crire B ~ c o m m e q u o t i e n t d ' u n m o d u l e l i b r e sur Z / n Z [ G ( K / k ) ] . P a r dualitY, on en conclut que l'on peut plonger B dans un module Z libre de rang q sur Z / n Z [ G ( K / k ) ] . D u fait que Z est libre, on a H 2 ( G ( K / k ) , Z ) = 0 et il existe u n 61~ment y E H I ( G ( K / k ) , Z / B ) tel que dy ~ = x~; l'~l~ment y~ d~finit un dl~ment y E H I ( k , Z / B ) , e t il est clair que dy = x. T o u t r e v i e n t donc ~ t r o u v e r u n g r o u p e s e m i - s i m p l e S a y a n t p o u r c e n t r e Z et v~rifiant la c o n d i t i o n (b) d u lemme. P o u r cela, p a r t o n s d u g r o u p e L = S L n x . . - x S L n (q facteurs). Si l'on consid~re L c o m m e un g r o u p e alg~brique s u r K , son centre est i s o m o r p h e Z / n Z x ... x Z / n Z ( t o u s l e s ~l~ments d u c e n t r e sont r a t i o n n e l s sur le corps de base p u i s q u ' o n a pris la p r e c a u t i o n de s u p p o s e r que K c o n t i e n t les racines n-i~mes de l'unit~). Soit S le g r o u p e RK/a(L) o b t e n u ~ p a r t i r de L p a r r e s t r i c t i o n d u corps de b a s e de K ~ k. Le c e n t r e d e S est i s o m o r p h e ( c o m m e G(-k/k)-module) la s o m m e d i r e c t e de q copies d e

4.7. Un contre-exemple au "principe de Hasse"

RK/k(Z/nZ) =

159

;

on p e u t done l'identifier au module Z introduit plus haut. I1 reste enfin h v~rifier la condition (b). Or il est facile de voir que S est isomorphe sur kv au p r o d u i t des groupes Ri~../k. (L), oh w p a r c o u r t l'ensemble des places de K prolongeant v (cf. Weil, [185], p. 8); on a done bien H l ( k , , S) = I-[~]v H I ( K ~ , L) = 0 puisque la cohomologie de SL~ est triviale. Nous p o u v o n s m a i n t e n a n t fabriquer le contre-exemple eherch6: 8. Il existe un groupe algdbr~que semi-simple connexe G ddfini sur k et un dldment t E H I ( k , G ) tels que: (a) On a t ~ 0 . (b) Pour tout place v de k l'image t, de t dans H I ( k , , G ) est triviale.

Th~or~me

D'apr~s le lemme 8, il existe un G(k/k)-module fini B e t un ~l~ment x E H2(k, B) tel que x ~ 0 et que les images locales x, de x soient toutes nulles. Soit S u n groupe semi-simple v~rifiant les conditions du lemme 9 par r a p p o r t au couple (B, x). D'apr~s ces conditions, le centre Z de S contient B, et il existe un ~l~ment y E Hi(k, Z / B ) tel que dy = x. Soit G le g r o u p e S / B , et soit t l'image de y dans Hi(k, G). Nous allons voir que le couple (G, t) v~rifie les conditions du th~or~me. (a) - Soit A : Hi(k, G) - , H2(k, B) l'op~rateur de cobord d~fini par la suite exacte 1 - , B --* S -~ G --, 1. Le d i a g r a m m e c o m m u t a t i f :

HI(k,Z/B)

d H2(k,B) id

HI(k,G )

,a H 2 ( k , B )

m o n t r e qua A(t) = dy = x. C o m m e x ~ 0, on a bien t ~ 0. (b) - O n utilise la suite exacte:

Hl(k

,S)

,

Le m~me a r g u m e n t qua ci-dessus m o n t r e qua A ( t . ) = x. = 0; c o m m a H l(k,,, S) = 0 (cf. lemme 9), on a b i e n t . = 0, cqfd.

Reraarques. 1) La construction pr~c~dente donne des groupes G qui sont "strictement interm~diaires" entre simplement connexe et adjoint. Cela conduit ~ se demander si le "principe de Hasse" est vrai dans ces deux cas extremes. C'est le cas, comma l'ont montr~ une s~rie de travaux culminant en celui de Chernousov [30] sur Es (pour un expos6 d'ensemble, voir Platonov-Rapinchuk [125], Chap. 6). Lorsque G est simplement connexe, on a m~me le r~sultat suivant, conjectur~ par M. Kneser [85] (at d~montr~ par lui pour les groupes classiques, cf. [85], [87]): L'application canonique H I(k,G) --* [I HI( k~, G) est bijeetive. (Le produit est 6tendu aux places v telles qua k~ -~ R; pour les autres places, on a d'ailleurs H l ( k , , a ) = 0, cf. [861.)

160

§ 4. Th6or~mes de finitude

Ainsi, par exemple, si G est de type G2, H l (k, G) a 2r 616ments, oh r est le nombre de places r6elles de k. 2) T. Ono a utilis6 une construction analogue ~ celle du lemme 9 pour construire un groupe semi-simple dont le nombre de Tamagawa n'est pas un entier, cf. [121]. Cela a amen~ Borel (voir [15]) ~ poser la question suivante: y a-t-il des relations entre le hombre de Tamagawa et la validit~ du prineipe de Hasse? La r~ponse est affirmative: voir l~-dessns Sansue [137], ainsi que Kottwitz [90], qui utilise le principe de Hasse pour d~montrer la conjecture de Weft suivant laquelle le hombre de Tamagawa d ' u n groupe simplement connexe est ~gal ~ 1. (Inversement, il y a de nombreux cas oh l'on peut d~luire le principe de Hasse d ' u n calcul de nombres de Tamagawa.)

Indications bibliographiques sur le Chapitre III

Le contenu du § 1 est "bien connu" mais n'est expos6 nulle part de mani~re satisfaisante - le present cours inclus. Les conjectures I e t II ont ~t~ exposOes au Colloque de Bruxelles [146], en 1962. Les th~or~mes 1, 2, 3 sont dus ~ Springer; les deux premiers figurent dans son expos6 £ Bruxelles [162], et il m'a communiqu~ directement la d~monstration du th~or~me 3. D'apr~s Grothendieck (non publiS), on pent ddmontrer un r~sultat un pen plus fort, h savoir la nullit8 des " H 2 non ab61iens" sur tout corps de dimension _< 1. Le § 4 est extrait presque sans changements de Borel-Serre [18]; j'ai simplement ajout6 la construction d'un contre-exemple au "principe de Hasse". ***

Voici enfin une br~ve |iste de textes relatifs aux divers types de groupes semi-simples et contenant (explicitement ou non) des r~sultats de cohomologie galoisienne: Groupes semi-simples gdndraux: Grothendieek [60], Kneser [85], [86], Tits [175], [177], [178], [179], [lS0], Springer [162], Borel-Serre [18], Borel-Tits [20], Steinberg [165], Harder [67], [68], nruhat-Tits [23], Chap. III, Sansuc [137], Platonov-Rapinchuk [125l, Host [132]. Groupes classiques e~ alg~bres d involution: Well [184], Grothendieck [63], Tits [178], Kneser [87], Merkurjev-Suslin [109], Bayer-Lenstra [9l, Bayer-Parimala [10]. Groupes orthogonaux et ]ormes quadratiques: Witt [187], Springer [159], [160], Delzant [40], Pfister [124], Milnor [117], Lam [94], Arason [3], Merkurjev [107], [108], Scharlau [139l, Jacob-Rost [78]. Groupe G2 et oetonions: Jacobson [79], van der Blij-Springer [12], Springer [163]. Groupe F4 et alg~bres de Jordan exceptionnelles: Albert-Jacobson [2], Springer [161], [163], Jacobson [80], McCrimmon [105], Petersson [122], Host [131], PeterssonRacine [123]. Groupe Ea: Chernousov [30].

A n n e x e - Compl galoisienne

ments d e c o h o m o l o g i e

[Le t e x t e qui suit r e p r o d u i t , avec des c h a n g e m e n t s mineurs, le r~sum~ des cours de la chaire d ' A l g ~ b r e et G~om~trie publi~ d a n s l'Annuaire du Coll~ge de France, 1990-1991, p. 111-121.]

Le cours a ~t4 consacr~ au m~me sujet que celui de 1962-1963: la cohomologie galoisienne. Il a surtout insist~ sur les nombreux probl~mes que posent les groupes semisimples lorsque l'on ne fait pas d'hypoth~se restrictive sur le corps de base.

§ 1.

Notations

k est un corps commutatif, suppos6 de caract6ristique ~ 2, pour simplifier; ks est une cl6ture s6parable de k; - G(ks/k) est le groupe de Galois de ks~k; c'est un groupe profini. Si L e s t un groupe alg6brique sur k, on note Hi(k, L) le premier ensemble de cohomologie de G(ka/k) valeurs dans L(k~). C'est un ensemble point& Si C est uu G(ka/k)-module, on d~finit pour tout n > 0 des groupes de cohomologie -

-

H'~(k, C) = Hn(G(ks/k), C) . Par exemple, si C = Z / 2 Z , on a

Hi(k, Z / 2 Z ) = k*/k .2 et

H2(k, Z / 2 Z ) = Br2(k) (noyau de la multiplication par 2 dans le groupe de Brauer de k). L'un des th~mes du cours a 6t~ d'expliciter les relations qui existent (ou qui pourraient exister) entre l'ensemble HI(k,L) pour L semi-simple, et les groupes H'~(k, C) pour C = Z / 2 Z (ou Z / 3 Z , ou tout autre "petit" module sur G(ks/k)). § 2.

Le cas orthogonal

C'est celui qui est le mieux compris, grkce ~ son interpr6tation en termes de classes de formes quadratiques: Soit q une forme quadratique non d6g6n6r~e de rang n > 1 sur k, et soit O(q) le groupe orthogonal de q, vu comme groupe alg6brique sur k. Si x est un 616ment de Hi(k, Q(q)), on peut tordre q par x et l'on obtient une autre forme quadratique qz de m~me rang n que q. L'application x ~-* (q~) d6finit une bijection de Hi(k, O(q)) sur l'ensemble des classes de/ormes quadratiques non ddgdndrdes de rang n sur k. On a un r~sultat analogue pour la composante neutre SO(q) de O(q), ~ condition de se borner aux formes quadratiques ayant m~me discriminant que q. Ainsi, tout invariant des classes de formes quadratiques peut ~tre interpr6t6 comme une fonction sur l'ensemble de cohomologie Hl(k,O(q)), ou sur l'ensemble

Hi(k, SO(q)).

2. Le cas orthogonal

163

2.1. E x e m p l e s d'invariants: les classes de Stiefel-Whitney Ecrivons q comme somme directe orthogonale de formes de rang 1:

q= ( a l ) $ ( a 2 ) ~ . . . $ ( a n ) = (al,a2 . . . . . a,) ,

avecai•k*.

S i m est u n entier > 0, on d6finit u n 616ment w,,,(q) de Hm(k, Z / 2 Z ) par la formule (2.1.1)

Z

w,,(q) =

il<...
(ail)"'(ai")" m

(On a not6 (a) l'616ment de Hi(k, Z/2Z) d6fini par a • k*: le produit ( a ~ , ) . . - ( a , m ) est un cup-produit dans l'alg~bre de cohomologie H* (k, Z/2Z).) On montre (A. Delzant [40]) que win(q) ne d6pend que de la classe d'isomorphisme de q (et pas de la d6composition choisie); cela provient du fait bien connu que les relations entre formes quadratiques "r~sultent des relations en rang < 2". On dit que win(q) est la m-i~me classe de Stiefel-Whitney de q.

Remarques. 1) Les classes wl (q) et w2(q) ont des interpr6tations standard: discriminant, invariant de Hasse-Witt. Les win(q), m _> 3 sont moins int6ressantes; il y a avantage les remplacer (dans la mesure du possible) par les invariants de la th6orie de Milnor, cf. n°2.3 ci-apr~s. 2) La m6me mfithode conduit ~ d'autres invariants. Ainsi, s i n est pair >_ 4 et si

q = (al . . . . . an) est tel que wl(q) = 0 (autrement dit, a l . . . a , ~ est un carr6), on peut montrer que l'616ment ( a x ) " - ( a n - l ) de Hn-l(k, Z / 2 Z ) est un invariant de la classe de q. Le c a s n = 4 est particuli~rement int~ressant. 2.2. C o m p o r t e m e n t d e wl(q) et w2(q) p a r torsion Soit x E Hi(k, O(q)). On associe g x des 616ments 61 (x) E H i (k, Z/2Z)

et

62 (x) • H 2(k, Z/2Z)

de la fa~on suivante: 61 (x) est l'image de x dans H l(k, Z/2Z) par l'application d6duite de l'homomorphisme det : O(q) --* {+1} = Z/2Z; 52(x) est le cobord de x relatif g la suite exacte de groupes alg~briques: 1

, Z / 2 Z - - ~ O(q) ---, O(q) - - 4 1 .

(Le groupe O(q) est un certain rev~tement quadratique de O(q) qui prolonge le rev~tement spinoriel Spin(q) --* SO(q). On peut le caract6riser par la propri~t6 suivante: une sym~trie par rapport ~ un vecteur de carr6 a se relive en un ~16ment d'ordre 2 de O(q) rationnel sur le corps k(~cfa).) Les invariants 51 (x) et 62(x) permettent de calculer les classes wl et w2 de la forme qx d6duite de q par torsion au moyen de x. On a en effet: (2.2.1) (2.2.2)

w:(qx) = wl(q) + 61(x) w2(qx) = w2(q) + 61(x) • w:(q) + 62(x)

dans H: ( k, Z / 2 Z ) , dans H2(k, Z/2Z).

164

Annexe. CompI6ments de cohomologie galoisienne

2.3. Les c o n j e c t u r e s d e M i l n o r Soit kM(k) = ( ~ k M ( k ) l'anneau de Milnor (rood 2) de k (d6fini au moyen de symboles multilin6aires ( a l , . . . , an) = ( a l ) . . " (a,~), a, E k*, avec les relations 2(a) -- 0 et (a,b) = 0 si a + b - - 1). Soient W~ l'anneau de Witt de k, et Ik son ideal d'augmentation (noyau de l'homomorphisme canonique Wk --* Z/2Z). On d6finit de fa~on naturelle des homomorphismes

(2.3.1)

k~(~) ~

IriS'; +l

et

kM(k) ----, Hn(k,

(2.3.2)

z/2z).

Les conjectures de Milnor [117] disent que ces homomorphismes sont des isomorphismes. Cela a 6t6 d6montr6 pour n <_ 3 (Arason [3], [4], Jacob-Rost [78], MerkurjevSuslin [111]) et il y a des r6sultats paxtiels pour n _> 4.

§ 3.

Applications

et exemples

3.1. I n v a r i a n t s ~ v a l e u r s d a n s H S ( k , Z / 2 Z ) : le cas d u g r o u p e s p i n o r i e l Soit q une forme quadratique non d6g6n6r~e sur k, et soit x un ~16ment de H 1(k, Spin(q)). Si l'on tord q par x, on obtient une forme quadratique q= de m~me rang que q. D'apr~s (2.2.1) et (2.2.2), les invariants wl et w2 de q~ sont les m~mes que ceux de q. I I e n r6sulte que l'616ment qx - q de l'anneau de Witt Wk appartient au cube I~ de l'id6al d'augmentation Ik. En utilisant l'homomorphisme 3 4 1k/I; ---, H3(k, Z/2Z)

construit par Arason [3] (qui est en fait un isomorphisme, cf. n ° 2.3), on obtient un 616ment de H3(k, Z / 2 Z ) que nons noterons i(x). On a: (3.1.1)

i(x)=O ~

qx=q

( m o d l 4) .

On a ainsi d6fini une application canonique (3.1.2)

Hi(k, Spin(q)) ~

HS(k, Z / 2 Z ) .

3.2. I n v a r i a n t s ~ v a l e u r s d a n s HS(k, Z / 2 Z ) : cas g ~ n ~ r a l Soit G u n groupe semi-simple s~mplement connexe d~ploy~, et choisissons une representation irr6ductible 0 de G dans u n espace vectoriel V de dimension n. Supposons Q orthogonale, ce qui est par exemple le eas si G est de l'un des types G2, F4 ou Es. II existe alors une forme quadratique non d6g6n6r6e q sur V qui est invariante par 0(G). On obtient ainsi u n homomorphisme G --* O(q). Vu les hypotheses faites sur G, cet homomorphisme se relive en un homomorphisme : G ~

Spin(q)

.

En utilisant (3.1.2) on d6duit de 1~ une application (3.2.1)

i i : Hl(k, G) ~

H3(k, Z / 2 Z ) ,

dont on montre facilement qu'elle ne d~pend pas du choix de q.

3. Applications et exemples

165

3.3. L e g r o u p e G~ Supposons que G soit ~gal au groupe exceptionnel G2, et soit d~ploy~. On sait qu'il y a alors des bijections naturelles entre les trois ensembles suivants:

H 1(k, G2); classes d'alg~bres d'octonions sur k; classes de 3-formes de Pfister sur k. II r6sulte de l~, et des th~or~mes cites ci-dessus, que, si r o n prend pour Q la representation fondamentale de degr~ 7 de G2, l'application i~ correspondante est une bijection de H 1(k, G2) sur le sous-ensemble de H3(k, Z / 2 Z ) ]ormg des ~lgments ddcomposables (i.e. cup-produits de trois ~l~ments de H~(k, Z / 2 Z ) ) . Cela donne une description cohomologique tout ~ fait satisfaisante de l'ensemble H~(k, G~). On peut aller un peu plus loin. Notons i l'injection de H~(k, G2) dans H~(k, Z / 2 Z ) que nous venons de d~finir. Soit ~ une representation irr6ductible quelconque de G2; il lui correspond d ' a p r ~ (3.2.1) une application

i~ : H~(k, G2) ----, H 3 ( k , Z / 2 Z ) . On d6sire comparer i~ ~ i. Le r~sultat est le suivant (je me borne ici au cas of~ le corps de base est de caract~ristique 0): (3.3.1) On a, soi~ i~ = i, soit i~ = O. De fa~on plus precise, soit m~w~ ÷m~w~ le poids dominant de ~, ~crit comme combinaison lin~aire des poids fondamentaux wl et w~ (¢v~ correspondant ~ la representation de degr~ 7, et w~ ~ la representation adjointe). On peut d~terminer (grace ~ des formules qui m ' o n t ~t~ communiqu~es par J.Tits) dans quel cas on a i~ = i; on trouve que cela se produit si et seulement si le couple (m~, m2) est congru (rood 8) ~ l'un des douze couples suivants: (0,2), (0,3), (1,0), (1,4), (2,0), (2,3), (4,3), (4,6), (5,2), (5,6), (6,3), (6,4). Ainsi, pour la representation adjointe, qui correspond ~ (0, 1), on a i~ = 0. On peut pr~ciser ceci en d~terminant explicitement la forme de Killing Kill= de la k-forme de G~ associ~e ~ un ~l~ment donn~ x • H~(k, G~). Si q~ : (1) ~ q0 est la 3-forme de Pfister associ~e ~ x (i.e. la forme norme de l'alg~bre d'octonions correspondante), on trouve que Kill= est isomorphe d (-1, -3~ ® qO. 3.4. L e g r o u p e F4 Ici encore, on dispose d'une interpretation concrete de la cohomologie: les ~l~ments de H 1(k, F4) correspondent aux classes d'alg~bres de Jordan simples exceptionnelles de dimension 27 sur k. Ma|heureusement, on est loin de savoir classer de telles alg~bres, malgr6 les nombreux r~sultats d~j~ obtenus par Albert, Jacobson, Tits, Springer, McCrimmon, Racine, Petersson (cf. [2], [80], [105], [1221, [123], [161], [163]). Ces r6sultats sugg~rent que les 61~ments de H i (k, F4) pourraient ~tre caract6ris~s par deux types d'invariants: (invariant mod 2) - La classe de la forme quadratique Tr(x 2) associ6e ~ l'alg~bre de Jordan, cette classe 6tant elle-mfime d6termin6e par le couple d'une 3-forme de Pfister et d'une 5-forme de P]ister divisible par la pr6c~dente. Du point de vue cohomologique, cela signifie un ~16ment d6composable x3 • H3(k, Z / 2 Z ) (obtenu par (3.2.1) grfice ~ la representation irr~luctible 8 de dimension 26 de F4), et un ~16ment x5 de HS(k, Z / 2 Z ) de la forme x5 = x3yz, avec y, z • H 1(k, Z/2Z). (invariant mod 3 - en supposant la caract~ristique ~ 3) - Un ~l~ment de H 3 (k, Z / 3 Z ) dont je n'ai qu'une d~finition conjecturale, bas~e sur la "premiere construction de Tits" (cette d~finition a ~t~ justifi~e par Rost [131], [132]). Pour le moment, le seul cas qui puisse ~tre trait~ compl~tement est celui des alg~bres de Jordan dites "r~luites" (celles ofJ l'invariant mod 3 est 0): on sait, d'aprbs

166

Annexe. Compl~ments de cohomologie galoisienne

un thdorbme de Springer [163], que l'invariant rood 2 (i.e. la forme trace) d~termine alors l'alg~bre de Jordan ~ isomorphisme pr~s. 3.5. L e g r o u p e Es Lorsque k est un corps de nombres, la structure de H i ( k , Es) vient d'etre d~termin~e par Chernousov et P r e m e t (cf. [30], [125]): le principe de Hasse est valable, ce qui entraine par exemple que le hombre d'~l~ments de HI(k, Es) est 3 r, oh r e s t le nombre de places r~elles de k. La d~monstration de ce r~sultat a fait l'objet d'une s~rie d'expos~s dans le s~minaire commun avec la chaire de Th~orie des Groupes. Lorsque k est un corps quelconque (ou m~me, par exemple, le corps Q(T)), on salt fort peu de choses sur H l ( k , Es). Les r~sultats g~n~raux de Grothendieck [60] et de Bruhat-Tits ([23], III) sugg~rent qu'un ~l~ment de cet ensemble pourrait avoir comme invariants des classes de cohomologie (de dimension :> 3) m o d 2, mod 3 et mod 5 (car 2, 3, 5 sont les hombres premiers de torsion de Es, cf. A. Borel, Oe. II, p. 776). Voir l~-dessus Rost [132], ainsi que [156], § 7.3.

§ 4.

Probl~mes

d'injectivit~

L'ensemble H 1(k, G) est fonctoriel en k et G: a) Si k ~ est une extension de k, on a une application naturelle

HI(k,G) ---, HI(k' G) . b) Si G - , G' est un morphisme de groupes alg~briques, on a une application naturelle Hi(k, G) --* Hi(k, G'). On dispose d'une s~rie de cas oh ces applications sont injectives: (4.1) - thdor~me de simplification de Witt [187]) Si q = ql • q2, of1 les q~ sont des formes quadratiques, rapplication Hi(k, O(ql)) --, H 1(k, O(q)) est injective. (4.2) - M~me ~nonc~, pour les groupes unitaires associ~s aux alg~bres ~ involution sur k, cf. Scharlau [139], chap. 7. (4.3) (Springer [159]) - Injectivit~ de Hi(k, O(q)) --~ Hl(k ', O(q)) lorsque k' est une extension finie de k de degrd impair. (4.4) (Bayer-Lenstra [9]) - M~me ~nonc~ que (4.3), pour les groupes unitaires au lieu des groupes orthogonaux. (4.5) (Pfister [124]) - Injectivit~ de H 1(k, O(q)) --, g 1(k, O ( q ® q')) lorsque le rang de q' est impair (le morphisme O(q) --* Q(q ® q') ~tant d~fini par le produit tensoriel). On aimerait avoir d'autres ~nonc~s du m~me type, par exemple les suivants (qui sont peut-~tre trop optimistes): (4.6 ?) - Si k' est une extension finie de k de degr~ premier ~ 2 et 3, l'application

Hi(k, F4) ---* Hl(k ', F4) est injective. (4.7 ?) - M~me ~nonc~ pour Es, avec {2, 3} remplac~ par {2, 3, 5}.

Remarque. Soit G u n groupe alg~brique sur k, et soient z, y deux 41~ments de HI(k,G). Supposons que x et y aient les m~mes images dans HI(k',G) et dans Hi(k," ,G) o5 k' et k" sont deux extensions finies de k de degr~s premiers entre eux (par exemple [k' : k] - 2 et [k" : k] = 3). Ceci n'entraine pas x = y contrairement ~ ce qui se passe dans le cas ab~lien; on peut en construire des exemples, en prenant G non connexe; j'ignore ce qu'il en est lorsque G est connexe.

5. La forme trace § 5.

167

La forme trace

Il s'agit de la s t r u c t u r e de la forme q u a d r a t i q u e T r ( x 2) associ~e ~ une k-alg~bre de dimension finie. D e u x cas particuliers ont ~t~ consid~r~s:

5.1. Alg~bres centrales simples Soit A une telle alg~bre, suppos~e de rang fini n 2 sur k. On lui associe la forme quadratique qA dSfinie par

qA(x) = TrdA/k(x 2) . Notons q~ la forme trace associ~e ~ l'alg~bre de m a t r i c e s M n ( k ) de m~me rang que A; c'est la s o m m e directe d ' u n e forme hyperbolique de rang n(n - 1) et d ' u n e forme unit~ (1, 1 , . . . , 1 ) de rang n. O n d ~ i r e c o m p a r e r qA et qO. I1 y deux cas ~ distinguer: (5.1.1) n est impair Les formes qA et qO sont alors isomorphes; cela r~sulte du th~or~me de Springer cit~ en (4.3). (5.1.2) n e s t pair Soit (A) la classe de A dans le groupe de Brauer de k. Le produit de (A) par l'entier

n / 2 est un ~l~ment a de Br2(k) -- H2(k, Z / 2 Z ) . O n a: Wl(qA) = wl(q °)

et

w2(qA) = w2(q 0) + a .

(La formule relative h wl est facile. Celle relative ~ w2 s ' o b t i e n t en consid~rant l ' h o m o m o r p h i s m e P G L n --, SOn2 donn~ par la representation adjointe et en m o n t r a n t , par un calcul de poids et racines, que cet h o m o m o r p h i s m e ne se relive pas au groupe Spinn2 s i n est pair.)

5.2. Alg~bres c o m m u t a t i v e s ~tales Soit E une telle alg~bre, soit n son rang et soit qE la forme trace correspondante. Les invariants wl et w2 de qE se calculent par une formule connue (cf. [154]). Le cours a donn6 une d S m o n s t r a t i o n de cette formule quelque peu diffSrente de la d S m o n s t r a t i o n originale, et a appliqu6 le r~sultat obtenu aux 6quations quintiques h la KroneckerHermite-Klein. Le cas oh n = 6 pose des problbmes intSressants: 1) Notons e : G ( k s / k ) --* Ss l ' h o m o m o r p h i s m e qui correspond ~ E par la th~orie de Galois; cet h o m o m o r p h i s m e est dSfini g conjugaison pr~s. Si l'on compose e avec un a u t o m o r p h i s m e extSrieur de $6, on obtient un h o m o m o r p h i s m e e' : G ( k s / k ) --, S¢ qui correspond ~ une autre alg~bre 6tale E ' de rang 6 ("r~solvante sextique"). Comment ddterminer qE' h partir de qE ? La recette est la suivante: si l'on 6crit qE et qE' SOUS la forme qE=(1,2)~Q, qE, : ( 1 , 2 ) @ Q ' , oh Q et Q' sont de rang 4 (c'est possible d'apr~s [154], App. I), on a Q~ = (2d) ® Q, oh d est le discriminant de E (i.e. de qE). 2) Supposons que l'on ait ~t la lois wl(q~) = 0 et w2(qE) = 0. O n p e u t se d e m a n d e r si qE est isomorphe ~ la forme unitd ( 1 , . . . , 1) (comme ce serait le cas si le rang dtait < 6). C ' e s t vrai si k est un corps de nombres (ou un corps de fonctions rationnelles sur un corps de nombres). C ' e s t faux en gdnSral.

168

Annexe. Compl4ments de cohomologie galoisienne

§ 6.

La thdorie de Bayer-Lenstra:

bases normales autoduales

Soit G un groupe fini. On s'int6resse aux G-alg~bres galoisiennes sur k, ou, ce qui revient au m6me, aux G-torseurs sur k, G 6tant consid6r6 comme un groupe alg6brique de dimension 0 sur k. Une telle alg~bre L e s t d6termin6e, g isomorphisme (non unique) pros, par la donn~e d ' u n homomorphisme continu ~L : a(k,/k)

~

a

.

Lorsque ~L est surjectif, L e s t u n corps, et c'est une extension gMoisienne de k de groupe de Galois isomorphe g G. Dans [9], E. Bayer et H. Lenstra s'int~ressent au cas o~ L poss~de une base normale autoduale ("BNA"); cela signifie qu'il existe un ~l~ment x de L tel que qL(x) ~- 1 et que x soit orthogonal (relativement ~ qL) ~t tons les gx, g E G, g ~ 1. (Ainsi, les gx forment une "base normale" de L, et cette base est sa propre duale relativement ~ qL.) On peut donner un crit~re cohomologique pour l'existence d'une BNA: si Uo d~signe le groupe unitaire de l'alg~bre ~ involution k[G], on a u n plongement canonique de G dans UG(k); en composant ~L avec ce plongement on obtient un homomorphisme G(ks/k) --+ UG(k), homomorphisme que l'on peut regarder comme un 1-cocycle de G ( k , / k ) dans Ua(ks). La classe eL de ce cocycle est un ~16ment de H l ( k , Ua). On a eL = 0 si et seulement si L a une BNA. De ce crit~re, combin6 avec (4.4), Bayer-Lenstra d~luisent le th~or~me suivant: (6.1) - S'il existe une extension de degrd impair de k sur laquelle L acquiert une BNA, alors L a une BNA sur k. En particulier: (6.2) - Si G est d'ordre impair, route G-alg~bre galoisienne a une BNA. Voici quelques autres r6sultats relatifs aux BNA, obtenus en collaboration avec E. Bayer, cf. [11]: Soit L une G-alg~bre galoisienne, et soit ~L : G ( k , / k ) ---, G l'homomorphisme correspondant. S i x est u n ~l~ment de Hn(G, Z/2Z), son image par ~*L: H'~(G, Z / 2 Z ) -----, H'~(G(ks/k), Z / 2 Z ) = H'~(k, Z / 2 Z ) sera notre XL. (6.3) Pour que L air une BNA, il faut que xL = 0 pour tout x E H I ( G , Z / 2 Z ) (autrement dit, l'image de G ( k , / k ) dans G doit fitre contenue dans t o u s l e s sousgroupes d'indice 2 de G). Cette condition est sufftsante si la 2-dimension cohomologique de G ( k , / k ) est < 1 (autrement dit si les 2-groupes de Sylow de G(ks/k) sont des pro2-groupes libres). (6.4) - Supposons que k soit un corps de hombres. Pour que L air une BNA, il faut que ~L(Cv) = 1 pour toute place rdelle v de k (cv d~signant la conjugaison complexe relative ~ une extension de v ~ k,). Cette condition est sul~sante si H i ( G , Z / 2 Z ) = H2(G, Z / 2 Z ) = 0. (6.5) Le cas o~ un 2-groupe de Sylow de G est abglien dlgmentaire Soit S un 2-groupe de Sylow de G. Supposons que S soit u n groupe abdlien ~ldmentaire d'ordre 2r, r _> 1; l'ordre de G est 2rm, avec m impair.

6. La th~orie de Bayer-Lenstra: bases normales autoduales

169

(6.5.1) - II existe une r-forme de Pfister g~, et une seule h isomorphisme pros, telle que (2 ~) ® qL ~- m ® q~ (somme directe de m copies de q~). Cette forme constitue un invariant de l'alg~bre galoisienne L considdr~e. C'est la forme unit~ si L a une BNA. R~iproquement: (6.5.2) - Supposons que le normalisateur N de S op~re transitivement sur S - {1}. 1l y a alors dquivalence entre:

(i) L a une BNA. (ii) La f o r m e qL est isomorphe h la ]orme unitd de rang 2 r m . (iii) La f o r m e qlL e s t isomorphe h la forme unitd de rang 2 r. Lorsque r e s t assez petit, ce r~sultat peut se traduire en termes cohomologiques. En effet, l'hypoth~se que N op~re transitivement sur S - {1} entraine qu'il existe un ~l~ment x de H r ( G , Z / 2 Z ) dont la restriction h tout sous-groupe d'ordre 2 de G est ¢ 0, et un tel ~l~ment est unique, h l'addition pros d'une classe de cohomologie "n6gligeable" (cf. § 7 ci-apr~s). L'~l~ment correspondant xL de H r ( k , Z / 2 Z ) est un invariant de l'alg~bre galoisienne L.

(6.5.3)

- S u p p o s o n s r < 4. Les conditions (i), (ii), (iii) de (6.5.2) sont alors dquivalentes

h:

(iv) On a xL = 0 darts H r ( k , Z / 2 Z ) . L'hypoth~se r < 4 pourrait ~tre supprim~e si les conjectures d u n ° 2.3 ~taient d~montr~. Exemples.

1) Supposons que r = 2 et que N op~re transitivement sur S - {1}; c'est le cas si G = A4, A5 ou P S L 2 ( F q ) avec q = 3 (mod 8). Le groupe H 2 ( G , Z / 2 Z ) contient un seul ~l~ment x ~ 0; soit G l'extension correspondante de G par Z/2Z. Il r~sulte de (6.5.3) que L a une BNA si et seulement l'homomorphisme ~aL : G ( k s / k ) -~ G se relive en un homomorphisme dans G. Un tel rel~vement correspond h une G-algkbre galoisienne L; on peut montrer qu'il est possible de s'arranger pour que L posskde elle aussi une BNA. 2) Prenous pour G le groupe SL2(Fs) ou le groupe de Janko J1. Les hypotheses de (6.5.2) et (6.5.3) sont alors satisfaites avec r = 3. Le groupe H a ( G , Z / 2 Z ) contient un seul ~l~ment x ¢ 0, et l'on voit que L a une BNA si et seulement si XL = 0 darts HS(k, Z / 2 Z ) . Remarque.

La propridt4 pour une G-alg~bre galoisienne L d'avoir une BNA peut se traduire en terme de "torsion galoisienne" de la mani~re suivante: Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur k, muni d'une famille q = (qi) de tenseurs quadratiques (de type (2, 0), (1, 1), ou (0, 2), peu importe). Supposons que (7 op~re sur V en fixant chacun des qi. On peut alors tordre (V, q) par le G-torseur correspondant h L. On obtient ainsi une k-forme (V, q)L de (V, q). On peut d~montrer: (6.6) Si L a une BNA, (V, q)L est isomorphe h (V, q). De plus, cette propri6t6 caractdrise les alg~bres galoisiennes ayant une BNA. (Noter que ce r~sultat serait faux pour les teuseurs cubiques.)

170

Annexe. Compl6ments de cohomologie galoisienne

§ 7.

Classes de c o h o m o l o g i e n~gligeables

Soient G u n groupe fini et C un G - m o d u l e Un ~l~ment x de Hq(G, C) est dit ndgligeable (du point de vue galoisien) si, pour tout corps k, et tout homomorphisme continu : G(k,/k)

--* G,

on

a

~*(x) = 0

darts Hq(k, C) .

([1 revient au m~me de dire que XL = 0 pour toute G-alg~bre ga|oisienne L.) Exemple. Si a, b sont deux ~14ments quelconques de H i ( G , Z / 2 Z ) , le cup-produit ab(a + b) est un 414ment n4gligeable de H3(G, Z/2Z).

Voici quelques r6sultats sur ces classes: (7.0) - Si q = 1, aucun 41dment non nul de Hq(G,C) n'est ndgligeable. Il en est de m~me si q = 2 et G agit trivialement sur C. (7.1) - Pour tout groupe fini G il existe un entier q(G) tel que toute classe de cohomologie de G d'ordre impair et de dimension q > q(G) soit ndgligeable. Ce r6sultat ne subsiste pas pour les classes d'ordre pair. D'ailleurs aucune classe de cohomologie (h part 0) d'un groupe cyclique d'ordre 2 n'est n~gligeable, comme on le voit en prenant k = R. (7.2) - Supposons que G soit abglien dldmentaire d'ordre 2r. S i x E Hq(G, Z / 2 Z ) , les propridtgs suivantes sont dquivalentes: (a) x est ndgligeable. (b) La restriction de x d tout sous-groupe d'ordre 2 de G est O. (c) x appartient h l'iddal de l'alg~bre H*(G, Z / 2 Z ) engendrd par les ab(a + b), o5 a et b parcourent H i ( G , Z / 2 Z ) . (I1 y a des r~sultats analogues lorsque G est ab61ien ~l~mentaire d'ordre pr (p ~ 2), et C = Z / p Z . ) (7.3) - Supposons que G soit isomorphe d u n groupe symdtrique S,~. Alors: (a) Si N est impair, tout dldment de Hq(G, Z / N Z ) , q > 1, est ndgligeable. (b) Pour qu'un dldment de Hq(G, Z / 2 Z ) soit ndgligeable, il faut et il s u ~ t que ses restrictions au.T. sous-groupes d'ordre 2 de G soient nulles.

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Index

(I.1.5) = chap. I, n ° 1.5 associ6 (groupe profini -/~ un groupe discret)

I.l.1

bon (groupe) 1.2.6 Borel (sous-groupe de -) III.2.1 - (th~or~me d e - ) III.4.6 -

Caxtan (sous-groupe de -) III.2.1 cocycle (de G dans un G-groupe) 1.5.1 cohomologie (d'un groupe profini) 1.2.2 condition (F) III.4.1 conjecture I III.2.3 conjecture II III.3.1 corestriction 1.2.4 Demu~kin (groupe de -) 1.4.5 d~ploy~ (groupe -) III.2.2 dimension < 1 (corps de -) 11.3.1 dimension cohomologique (d'un groupe profini) discret (G-module -) 1.2.1 dualisant (module-) 1.3.5 ensemble de cohomologie (premier -) 1.5.1 Euler-Poincar6 (caract~ristique d'-) 1.4.1,II.5.4 forme

III.1

G-ensemble 1.5.1 G-groupe 1.5.1 Hasse (principe de -)

III.4.7

indice (d'un sous-groupe fermd) induit (module-) 1.2.5 libre (pro-p-groupe -) non ramifi6 (module -)

1.1.5 II.5.5

ordre (d'un groupe profini) p-adique (corps -)

II.5

1.1.3

1.1.3

1.3.1

Index parabolique (sous-groupe-) III.2.1 p-compl6t6 (d'un groupe discret) 1.1.4 p-dimension cohomologique 1.3.1 p-extension maximale (d'un corps) II.2 Poincar6 (groupe de -) 1.4.5 Poitou-Tate (th6or~mes de -) II.6.3 principal (espace - homog~ne) 1.5.2 profini (groupe -) I.l.1 projectif (groupe profini-) 1.5.9 pronilpotent (groupe profini -) 1.5.9 propret6 (th6or~me de-) II.6.2 pro-p-groupe 1.1.4 propri6t6 (C~) II.3.2 propri6t6 (C~) II.4.5 quasi-d6ploy~ (groupe semi-simple -)

III.2.2

radical (d'un groupe alg6brique) III.2.1 rang - (d'un pro-p-groupe) 1.4.2 - (d'un pro-p-groupe libre) 1.1.5 (d'un sous-groupe distingu6) 1.4.3 relbvement (propri~t6 de -) 1.5.9 restriction 1.2.4 -

Safarevi~ (th~or~me de -) 1.4.4 scind4e (extension -) 1.3.4 section (d'une projection sur un quotient) 1.1.2 semi-simple (groupe alg~brique -) III.2.1 Shapiro-Faddeev (th~or~me de -) 1.2.5 simplement connexe (groupe semi-simple -) III.3.1 Springer (th~*or~mede -) III.2.4 Steinberg (th~or~me de -) III.2.3 stricte (dimension cohomologique -) 1.3.2 - (p-dimension cohomologique -) 1.3.2 surnaturel (hombre-) 1.1.3 Sylow (groupes de - d'un groupe profini) 1.1.4 -

Tate (th~or~mes de-) II.5.1,II.5.7 torsion (op6ration de -) 1.5.3 tour (de corps de classes) 1.4.4 unipotent (groupe alg6brique-) Zp-alg~bre (d'un pro-p-groupe)

III.2.1 1.1.5

181

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