Differentialgeometrie 011

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Johannes Gutenberg-Universit¨ at Mainz Institut f¨ ur Mathematik Staudinger Weg 9 55099 Mainz

Vorlesungsskript

Differentialgeometrie Marc A. Nieper-Wißkirchen WS 2005/06–SS 2006

Inhaltsverzeichnis I.

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

7

1. C k -Mannigfaltigkeiten 9 1.1. Die Kategorie der C k -Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Differenzierbare Funktionen und die Zerlegung der Eins . . . . . . . . . . 11 2. Lineare Approximation 2.1. Der Tangentialraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Tangentialvektoren als Derivationen . . . . . . . . . . . . . 2.3. Die Tangentialgarbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Die Kotangentialgarbe und das Differential von Funktionen 2.5. Kritische Stellen differenzierbarer Abbildungen . . . . . . .

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13 13 16 18 19 20

3. Lokale Eigenschaften differenzierbarer Abbildungen 23 3.1. Immersionen und Submersionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.1. Der Sardsche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2. Der Rangsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Surjektive Submersionen 31 4.1. Faserr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5. Vektorfelder und Fl¨ usse 33 5.1. Operationen mit Vektorfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2. Die Liesche Klammer von Vektorfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6. Liesche Gruppen 6.0.1. Linearisierung Liescher Gruppenhomomorphismen 6.1. Liesche Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Die adjungierte Darstellung einer Lieschen Gruppe . . . . 6.3. Fundamentale Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . .

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35 35 36 37 38

7. Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten 7.1. Tensorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Die Liesche Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 44 49

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3

Inhaltsverzeichnis 8. Integration auf Mannigfaltigkeiten 8.1. Die Orientierungsgarbe . . . . . . . 8.2. Mannigfaltigkeiten mit Rand . . . 8.3. Integration von Volumenformen . . 8.4. Der de Rhamsche-Kohomologiering

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57 57 61 63 68

II. Horizontale Strukturen

75

9. Horizontale Strukturen auf Submersionen 9.1. Horizontale Strukturen . . . . . . . . . . 9.2. Horizontale Hochhebungen . . . . . . . . 9.3. Zusammenh¨ ange . . . . . . . . . . . . . 9.4. Die Kr¨ ummungsform . . . . . . . . . . . 9.5. Zusammenh¨ ange auf Hauptfaserb¨ undeln

77 77 79 82 85 88

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10.Kovariante Ableitungen 93 10.1. Kovariante Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 10.2. Modul-wertige Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 10.3. Der induzierte Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 11.Affine Mannigfaltigkeiten 101 11.1. Affine Mannigfaltigkeiten und die zweite Fundamentalform . . . . . . . . 101 11.2. Der Torsionstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

III. Ausgew¨ ahlte Kapitel

105

IV. Mathematische Physik

107

V. Anh¨ ange

109

A. Grundlagen 111 A.1. Kategorientheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 A.2. Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 B. Lineare Algebra 117 B.1. Die ¨ außere Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 C. Topologie 119 C.1. Topologische R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 C.2. Lokale topologische R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 C.3. Metrische R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4

Inhaltsverzeichnis C.4. Parakompakte Hausdorffr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 C.5. Eigentliche Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 D. Lokal geringte R¨ aume 123 D.1. Garben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 D.2. Weiche und feine Garben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 D.3. Lokal geringte R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 E. Analysis 131 E.1. Differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 F. Liesche Algebren 133 F.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 F.2. Der Satz von Ado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5

Inhaltsverzeichnis

6

Teil I.

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

7

1. C k -Mannigfaltigkeiten 1.1. Die Kategorie der C k -Mannigfaltigkeiten Definition 1.1. Seien X ein topologischer Raum, n ∈ N0 und k ∈ Nˆ0 . Eine n-dimensionale C k -Struktur auf X ist eine Garbe CXk lokaler R-Algebren auf X, so daß X zusammen (k) mit CXk als Strukturgarbe lokal isomorph zu (Rn )0 ist. ˆ 0 . Die Garbe C k Beispiel 1.1. Sei n ∈ N0 , G ∈ U(Rn ) eine offene Teilmenge und k ∈ N G der k-fach stetig differenzierbaren Funktionen auf G definiert die kanonische C k -Struktur von G. Bemerkung 1.1. Sei X ein topologischer Raum. Eine C k -Struktur CXk auf X ist eine Untergarbe der Garbe CX der stetigen reellwertigen Funktionen auf X. ˆ 0 . Sei (Ui )i∈I eine offene Beispiel 1.2. Seien X ein topologischer Raum, n ∈ N0 und k ∈ N n ¨ Uberdeckung von X und xi : Ui → R ein Hom¨oomorphismus auf die offene Teilmenge n x(Ui )inU(R ) f¨ ur jedes i ∈ I. Ist dann xi0 ◦ x−1 i : xi (Ui ∩ Ui0 ) → xi0 (Ui ∩ Ui0 ) f¨ ur je zwei Indizes i, i0 ∈ I eine C k -Abbildung, so existiert genau eine C k -Struktur CXk auf X, so daß xi : Ui → Rn zusammen mit dem Morphismus x∗i :

−1 k i Cxi (Ui )

→ CUki , f 7→ f ◦ xi

von Garben lokaler R-Algebren u ur jedes i ∈ I ein Morphismus lokal geringter ¨ber Ui f¨ R¨aume u ¨ber k ist. In dieser Situation heißt xi : Ui → Rn eine n-dimensionale Karte der C k -Struktur CXk auf X u ¨ber Ui , xi0 ◦ xi−1 der Kartenwechsel von xi nach xi0 und die ¨ Familie (xi )i∈I ein n-dimensionaler C k -Atlas von X zur Uberdeckung (Ui )i∈I . ˆ 0 . Seien n ∈ N0 und sei V ein n-dimensionaler R-Vektorraum. Sei Beispiel 1.3. Sei k ∈ N A ein affiner Raum u ¨ber V . Sei (xi )i∈I die Familie der affinen Karten xi : A → Rn . Dann ¨ ist (xi )i∈I ein n-dimensionaler C k -Atlas von A zur Uberdeckung (A)i∈I . Dieser definiert k k die kanonische C -Struktur CA auf A. Definition 1.2. Seien n ∈ N0 und k ∈ Nˆ0 . Eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit P ist ein lokal geringter parakompakter Hausdorffraum P , dessen Strukturgarbe CXk eine n-dimensionale C k -Struktur auf P ist. (k) Sei x ∈ X. Ein Isomorphismus Xx → (Rn )0 lokal geringter R¨aume u ¨bee R heißt n-dimensionale lokale C k -Karte von X an x.

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1. C k -Mannigfaltigkeiten Seien P und Q zwei C k -Mannigfaltigkeiten. Ein Morphismus f : P → Q von C k Mannigfaltigkeiten ist ein Morphismus f : P → Q lokal geringter R¨aume. Wir nennen einen solchen Morphismus auch eine C k -Abbildung von P nach Q. Mit Diff (k) bezeichnen wir die konkrete Kategorie der C k -Mannigfaltigkeiten. ˆ 0 . Seien n ∈ N0 und sei V ein n-dimensionaler R-Vektorraum. Sei Beispiel 1.4. Sei k ∈ N

A ein affiner Raum u ¨ber V . Dann ist A zusammen mit der kanonischen C k -Struktur CAk eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit. ˆ 0 . Sei X eine C k -Mannigfaltigkeit und G ∈ U(X) eine offene Beispiel 1.5. Sei k ∈ N Teilmenge von X. Dann ist X zusammen mit der C k -Struktur CGk := CXk |G eine C k Mannigfaltigkeit, die offene Untermannigfaltigkeit G von X. Bemerkung 1.2. Der Vergißfunktor U : Diff (k) → Top, der jede C k -Mannigfaltigkeit P auf den zugrundeliegenden topologischen Raum P und jeden Morphismus f : P → Q f¨ ur zwei C k -Mannigfaltigkeiten P und Q auf die zugrundeliegende stetige Abbildung abbildet, ist treu. Eine stetige Abbildung f : P → Q definiert genau dann einen Morphismus von C k Mannigfaltigkeiten, wenn f¨ ur alle Punkte p ∈ P C k -Karten xp : Pp → Rm 0 und yf (p) : Qf (p) → n R0 existieren, so daß m n yf (p) ◦ fp ◦ x−1 p : R0 → R0 k-fach stetig differenzierbar ist. Beispiel 1.6. Sei (Pi )i∈I ` eine Familie n-dimensionaler C k -Mannigfaltigkeiten. Dann ist der lokal geringte Raum i∈I Pi u ¨ber`R wieder eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit. Die Inklusionsabbildungen ji : Pi →` i∈I Pi sind Ck -differenzierbar. Zusammen mit diesen Morphismen ji f¨ ur i ∈ I ist i∈I Pi eine (kanonische) Summe in der Kategorie Diff (k) . Beispiel 1.7. Sei P eine m-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit und Q eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit. Dann gibt es genau eine (m + n)-dimensionale C k -Struktur CPk×Q auf dem Produktraum P × Q, so daß (x, y)(p,q) : (P × Q)(p,q) → Rm+n 0 n f¨ ur alle (p, q) ∈ P × Q und C k -Karten xp : Pp → Rm 0 und yq : Qq → R0 eine (m + n)dimensionale Karte wird. Zusammen mit dieser C k -Struktur heißt P × Q die Produktmannigfaltigkeit von P und Q. Die Projektionen f : P × Q → P, (p, q) 7→ p

und g : P × Q → Q, (p, q) 7→ q sind C k -differenzierbar. Zusammen mit den Morphismen p und q ist P × Q ein (kanonisches) Produkt in der Kategorie Diff (k) . Sei V ein m-dimensionaler Vektorraum und W ein n-dimensionaler Vektorraum. Sei A ein affiner Raum u ¨ber V und B ein affiner Raum u ¨ber W . Dann ist die C k -Struktur auf dem Produkt A × B dieselbe wie die kanonische C k -Struktur auf dem affinen Raum A×B u ¨ber V × W .

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1.2. Differenzierbare Funktionen und die Zerlegung der Eins

1.2. Differenzierbare Funktionen und die Zerlegung der Eins Bemerkung 1.3. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit. Wir nennen eine stetige Funktion f ∈ CPk (U ) f¨ ur eine offene Menge U ∈ U(P ) eine C k -Funktion (von P ) u ¨ber U . Eine stetige Funktion f : U → R ist genau dann eine C k -Funktion, wenn f¨ ur alle n −1 n p ∈ U eine Karte x : Pp → R0 existiert, so daß f ◦ (xp ) : R0 → R eine k-fach stetig differenzierbare Funktion ist. Beispiel 1.8. Seien P eine C k -Mannigfaltigkeit, p ∈ P und x = (x1 , . . . , xn ) : Pp → Rn0 eine Karte von P an p. Dann ist jede Koordinatenfunktion xi : Pp → R0 eine C k -Funktion. Bemerkung 1.4. Seien P und Q zwei C k -Mannigfaltigkeiten und f : P → Q eine stetige Abbildung. Dann ist f genau dann eine C k -Abbildung, wenn f¨ ur alle p ∈ P und u ∈ k CQ,f gilt, daß (p) k u ◦ fp ∈ CP,p .

Lemma 1.1. Seien P eine C k -Mannigfaltigkeit, A ⊂ P eine abgeschlossene Teilmenge von P und A ⊂ G ∈ U(X). Dann existiert eine C k -Funktion f ∈ CPk (P ) mit f |A = 1 und f |X\G = 0. Beweis. Da P ein lokal kompakter parakompakter Hausdorffraum ist, existieren lokal ¨ endliche Uberdeckungen (Ui )i∈I und (Ui0 )i∈I durch offene Mengen von P , so daß f¨ ur alle 0 ur i ∈ I gilt, daß U i ⊂ Ui und Ui0 kompakt ist, und so daß Ui ⊂ G oder Ui ⊂ X \ A f¨ jedes i ∈ I. Sei f¨ ur den folgenden Abschnitt i ∈ I fest gew¨ahlt. Sei p ∈ P . Wir w¨ahlen eine Karte xp : Pp → Rn0 von P an p mit x : U → Rn f¨ ur ein U ∈ U(P ). Dann w¨ahlen wir > 0, so daß U (0) ⊂ x(U ∩ Ui ). Nach Lemma E.1 existiert eine beliebig oft differenzierbare Funktion g : R → R mit g(t) = 0 f¨ ur t ≤ 0 und g(t) > 0 f¨ ur t > 0. Wir setzen  g( 32 −kx(p0 )k)  2 f¨ ur p0 ∈ x−1 (U (0)) und 1 0 0 fp : P → R, p0 7→ g( 3 −kx(p )k)+g(kx(p )k− 3 ) 0 f¨ ur p0 ∈ P \ x−1 (U 2 (0)). 3

Dies definiert eine C k -Funktion fp mit fp ≥ 0, fp (p) > 0 und supp fp ⊂ Ui . Die kompakte Teilmenge U i wird durch (Up )p∈U i mit Up := fp−1 (R>0 ) offen u ¨berdeckt. Daher existieren p1 , . . . , pm ∈ U i mit Ui ⊂

m [

Upi .

i=1

Wir setzen fi :=

m X

fp : P → R.

i=1

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1. C k -Mannigfaltigkeiten Dies ist eine C k -Funktion fi mit fi ≥ 0, fi (p) > 0 f¨ ur p ∈ U i und supp fi ⊂ Ui . Schließlich setzen wir P i∈I,Ui ⊂G fi P . f := i∈I fi Aussage 1.1. Seien P eine C k -Mannigfaltigkeit. Dann ist die Strukturgarbe CPk eine weiche Garbe. Beweis. Sei A eine abgeschlossene Teilmenge von P und s ∈ CPk (A) eine C k -Funktion auf A. Wir suchen eine C k -Funktion sˆ ∈ CPk (P ) mit sˆ|A = s. Zun¨achst existieren eine offene Teilmenge A ⊂ U ∈ U(P ) und ein s˜ ∈ CPk (U ) mit s˜|A = s. Da P ein normaler Hausdorffraum ist, existiert ein A ⊂ V ∈ U(X) mit V ⊂ U . Nach dem Lemma w¨ ahlen wir eine C k -Funktion f : P → R mit f |A = 1 und f |X\V = 0. F¨ ur f · s˜ gilt dann, daß f · s˜|A = s und f · s˜|U \V = 0. Damit l¨aßt sich f · s˜ durch 0 zu einer CPk -Funktion sˆ ∈ CPk (P ) mit sˆ|A = s fortsetzen. Folgerung 1.1. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit. Die Strukturgarbe CPk von P besitzt Zerlegungen der Eins. Beweis. Dies folgt aus Aussage D.5.

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2. Lineare Approximation 2.1. Der Tangentialraum Definition 2.1. Sei Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Ein Kurvenkeim γ an Pp ist ein Morphismus γ : R0 → Pp lokaler C k -Mannigfaltigkeiten. Zwei Kurvenkeime γ1 , γ2 : R0 → Pp heißen ¨ aquivalent (in erster Ordnung), falls (f ◦ γ1 )0 (0) = (fp ◦ γ2 )0 (0).

∀fp ∈C k

P,p

¨ Die Aquivalenzklasse γ(0) ˙ eines Kurvenkeims γ : R0 → Pp heißt der durch γ definierte Tangentialvektor an Pp . Wir schreiben γ(0) ˙ · fp = (fp ◦ γ)0 (0). Die Menge T Pp (p) der an Pp definierten Tangentialvektoren heißt der Tangentialraum an Pp . Bemerkung 2.1. Ist P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0, so sind Kurvenkeime, Tangentialvektoren und Tangentialr¨ aume von P an p durch die entsprechenden Begriffe an der lokalen C k -Mannigfaltigkeit Pp definiert. Dies gilt entsprechend f¨ ur den Begriff der Tangentialabbildung, der unter eingef¨ uhrt wird. Bemerkung 2.2. Seien Pp und Qq zwei lokale C k -Mannigfaltigkeiten und fp : Pp → Qq ein Morphismus lokaler C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Sind dann γ1 , γ2 : R0 → Pp Kurvenkeime an Pp , so gilt . . γ˙ 1 (0) = γ˙ 2 (0) =⇒ (f ◦ γ1 ) = (f ◦ γ2 ) . Damit induziert f eine Abbildung . T fp (p) : T Pp (p) → T Qq (q), γ(0) ˙ 7→ (f ◦ γ) (0), die Tangentialabbildung von fp . ˆ Beispiel 2.1. Sei k ∈ N.

Sei Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit. Dann ist T idPp (p) = idT Pp (p) .

Sind Qq und Rr weitere lokale C k -Mannigfaltigkeiten und fp : Pp → Qq und gq : Qq → Rr Morphismen lokaler C k -Mannigfaltigkeiten, so ist T (gq ◦ fp )(p) = (T (gq )(q)) ◦ (T (fp )(p)).

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2. Lineare Approximation Damit definiert die Abbildung einer lokalen C k -Mannigfaltigkeit Pp auf die Menge T Pp und die eines Morphismus fp : Pp → Qq lokaler C k -Mannigfaltigkeiten auf T fp (p) einen Funktor von der Kategorie der lokalen C k -Mannigfaltigkeiten in die Kategorie der Mengen. Aussage 2.1. Sei m ∈ N0 . Seien V ein m-dimensionaler Vektorraum und A ein affiner Raum u ¨ber V . Sei a ∈ A. Dann definiert jeder Vektor v ∈ V den Tangentialvektor . (t 7→ a + t · v) (0) an Aa . Diese Zuordnung ist eine Bijektion V → T A(a), f¨ ur deren Umkehrung, die wir die Pfeilabbildung nennen, gilt T A(a) → V, γ(0) ˙ 7→ ~u = γ 0 (0). Sei weiter n ∈ N0 . Seien W ein n-dimensionaler Vektorraum und B ein affiner Raum u ¨ber W . Sei f : A → B eine C k -Abbildung. Dann gilt ∀u∈T A(a)

−−−−−−→ T f (a)(u) = Df (a)(~u).

Beweis. Zun¨ achst sei die Pfeilabbildung wie oben definiert, wobei wir aber aus Gr¨ unden der Wohldefiniertheit f¨ ur jeden Tangentialvektor einen festen Repr¨asentanten w¨ahlen. Dann gilt (t 7→ a + t · v)0 (0) = v, das heißt, die Pfeilabbildung ist eine Linksinverse. Um zu zeigen, daß sie auch Rechtsinverse ist, sei γ : R0 → Aa eine Kurve. Wir wollen −−→ . γ(0) ˙ = (t 7→ a + t · γ(0)) ˙ (0) zeigen. Dazu sei g ∈ Aa gegeben. Dann gilt ←−− −−→ . ∂ ˙ (t 7→ a + t · γ(0)) ˙ (0) · g = (0) g(a + t · γ(0)) ∂t −−→ ˙ = dg(a)(γ(0)) = dg(a)(γ 0 (0)) = (g ◦ γ)0 (0) = γ(0) ˙ · g. Um schließlich die letzte Aussage u ¨ber die Tangentialabbildung zu zeigen, sei γ : R0 → Aa ein Kurvenkeim an Aa . −−−−−−−−→ −−−−−−.−→ T f (a)(γ(0)) ˙ = (f ◦ γ) (0) = (f ◦ γ)0 (0) −−→ = Df (a)(γ 0 (0)) = Df (a)(γ 0 (0)).

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2.1. Der Tangentialraum Bemerkung 2.3. Sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und A ein affiner Raum u ¨ber V . Aufgrund der letzten Aussage existiert auf den Tangentialr¨aumen T A(a) von A f¨ ur jedes a ∈ A eine eindeutige Struktur als Vektorraum, so daß die Pfeilabbildung T A(a) → V, u 7→ ~u eine Isomorphismus reeller Vektorr¨ aume wird. Aussage 2.2. Sei Pp eine lokale n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Dann existiert auf dem Tangentialraum T Pp (p) genau eine Struktur als n-dimensionaler Vektorraum, so daß f¨ ur jede C k -Abbildung fp : Pp → Af (p) in einen affinen Raum A u ¨ber einem endlich-dimensionalen reellen Vektorraum V die Abbildung −−−−−−→ dfp (p) : T Pp (p) → V, u 7→ T fp (p)(u) eine R-lineare Abbildung ist. In Zukunft betrachten wir die Tangentialr¨ aume immer auf diese Art und Weise als reelle Vektorr¨ aume. Beweis. Die Eindeutigkeit der Vektorraumstruktur folgt aus der Tatsache, daß dxp (p) : T Pp (p) → Rn f¨ ur eine beliebige Karte xp : Pp → Rn0 eine Bijektion ist. F¨ ur fp : Pp → Af (p) gilt dann dfp (p) = d(fp ◦ (xp )−1 ◦ xp )(p) = D(fp ◦ x−1 p )(0) ◦ dxp (p), so daß dfp (p) eine R-lineare Abbildung ist. Bemerkung 2.4. Seien Pp und Qq zwei lokale C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Dann ist die Tangentialabbildung T fp (p) : T Pp (p) → T Qq (q) eines Morphismus fp : Pp → Qq lokaler C k -Mannigfaltigkeiten eine R-lineare Abbildung. Beispiel 2.2. Sei Pp eine lokale n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Sei xp : Pp → Rn0 eine Karte von Pp an p. Sei (e1 , . . . , en ) die Standardbasis von Rn . Dann ∂ existiert f¨ ur jedes i ∈ {1, . . . , n} ein ∂x i (p) mit −−−−→ ∂ (p) = ei ∂xi und

∂ ∂ (p), . . . , n (p) ∂x1 ∂x

ist eine Basis von T P (p), die Gaußsche Basis von T P (p) zur Karte xp : Pp → Rn0 . k , so gilt Ist f ∈ CP,p ∂ (p) · f = ∂i (f ◦ x−1 p )(0) ∂xi f¨ ur jedes i ∈ {1, . . . , n}.

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2. Lineare Approximation Ist yp : Pp → Rn0 eine andere Karte von Pp an p, so gilt f¨ ur jedes i ∈ {1, . . . , n}, daß n

X ∂xj ∂ ∂ (p) = (p) · j (p) i i ∂y ∂y ∂x j=1

mit

∂xj := ∂i xj ◦ yp−1 . ∂y i

Beispiel 2.3. Seien Pp und Qq zwei lokale C k -Mannigfaltigkeiten. Seien f : (P ×Q)(p,q) → Pp und g : (P × Q)(p,q) → Qq die beiden kanonischen Projektionen. Dann ist (T f (p), T g(q)) : T (P × Q)(p, q) → T P (p) × T Q(q) ein Isomorphismus von R-Vektorr¨aumen. In Zukunft werden wir T (P × Q)(p,q) und T P (p) × T Q(q) verm¨ oge dieses Isomorphismus miteinander identifizieren.

2.2. Tangentialvektoren als Derivationen Lemma 2.1. Seien Pp eine lokale C ∞ -Mannigfaltigkeit und xp = (x1p , . . . , xnp ) : Pp → ∞ Keime Rn0 eine Karte von Pp . Dann existieren f¨ ur jeden Funktionskeim φp ∈ CP,p (ψ1 )p , . . . , (ψn )p mit n X φp = φ(p) xip · ψi . i=1

Beweis. Wir setzen 0

Z

(ψp )i : Pp → R, p 7→

1

0 ∂i (φp ◦ x−1 p )(t · x(p )) dt.

0

F¨ ur

p0

∈ Pp gilt dann φ(p) +

n X

xip · ψi

i=1

Z = φ(p) + 0

n 1X

0 xip · ∂i (φp ◦ x−1 p )(t · x(p )) dt

|i=1

{z

∂ 0 (φp ◦x−1 p )(t·x(p )) ∂t

}

0 1 0 = φ(p) + (φp ◦ x−1 p )(t · x(p )) t=0 = φ(p ). Aussage 2.3. Seien Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit. Dann ist T P (p) → DerC k (R), u 7→ (fp 7→ u · fp ) P,p

eine wohldefinierte injektive R-lineare Abbildung. Ist k = ∞, so ist die Abbildung ein Isomorphismus von R-Vektor¨ aumen.

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2.2. Tangentialvektoren als Derivationen Beweis. Sei f¨ ur den Beweis D : T P (p) → DerC k (R), u 7→ (fp 7→ u · fp ). P,p

k . Dann gilt nach der Produktregel, daß Seien γ˙ ∈ T P (p) und fp , gp ∈ CP,p 0 0 0 γ(0)·(f ˙ ˙ ˙ p gp ) = ((fp gp )◦γ) (0) = g(p) (fp ◦γ) (0)+f (p) (gp ◦γ) (0) = g(p) γ(0)·f p +f (p) γ(0).

Damit ist die Abbildung wohldefiniert, das heißt, das Bild von D ist in den Derivationen k mit Werten in R. von CP,p Um die Linearit¨ at von D nachzuweisen, sei xp = (x1p , . . . , xnp ) : Pp → Rn0 eine Karte von Pp . Dann gilt f¨ ur v ∈ Rn , daß ∂ . −1 T x−1 (p)((t 7→ t · v) (0)) · fp = (0)(fp ◦ x−1 p )(t · v) = d(fp ◦ xp )(v), ∂t woraus folgt, daß D linear ist, denn T x−1 (p) ist linear. Als n¨achstes zeigen wir die Injektivit¨ aP t von D. Dazu sei u ∈ T P (p) mit D(u) = 0. ∂ Damit existieren u1 , . . . , un ∈ R mit u = ni=1 ui ∂x i (p). Dann folgt 0 = D(u) · xip =

n X

i uj ∂j (xip ◦ x−1 p )=u ,

j=1

f¨ ur jedes i ∈ {1, . . . , n}. Damit ist u = 0. Sei jetzt k = ∞. Wir zeigen, daß in diesem Falle D surjektiv ist. Dazu sei d ∈ ∞ (R) eine Derivation. Wir setzen DerCP,p n X

u :=

d(xip ) ·

i=1

∂ (p). ∂xi

∞ gegeben. Nach dem letzten Lemma Wir wollen D(u) = d zeigen. Dazu sei ein φp ∈ CP,p ∞ mit existieren (ψ1 )p , . . . , (ψn )p ∈ CP,p

φp = φ(p) +

n X

xip · (ψi )p .

i=1

Damit gilt D(u)(φp ) = =

n X

d(xip ) ·

i,j=1 n X

∂ (p) xjp · (ψi )p ∂xi

d(xip ) · (ψi )p

i=1

= d φ(p) +

n X

! xip · (ψi )p

= d(φp ).

i=1

17

2. Lineare Approximation

2.3. Die Tangentialgarbe Definition 2.2. Sei Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Wir setzen T Pp :=

a

T Pp (p0 ).

p0 ∈P

Ein Vektorfeld Xp von Pp an p ist ein Abbildungskeim Xp : Pp → T Pp mit Xp (p0 ) ∈ T Pp (p0 ),

∀p0 ∈Pp

k der Keim so daß f¨ ur alle C k -Funktionskeime fp ∈ CP,p

Xp · fp : Pp → R, p0 7→ X(p0 ) · f k . ein C k -differenzierbarer Keim ist, also ein Element in CP,p Die Menge der Vektorfelder von Pp an p wird mit ΘP,p bezeichnet.

Bemerkung 2.5. Sei Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Verm¨oge punktweiser Addition und punktweiser skalarer Multiplikation ist ΘP,p in kanonischer Weise ein CkP,p k ). Untermodul von DerC k (CP,p P,p

Beispiel 2.4. Seien Pp eine lokale n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0 und xp : Pp → Rn0 eine Karte von Pp an p. Dann ist ∂ ∂ 0 : Pp → TPp , p0 7→ (p ) i ∂x ∂xi f¨ ur jedes i ∈ {1, . . . , n} ein Vektorfeld von Pp an p, das i-te Gaußsche Basisvektorfeld zur Karte xp . k gilt F¨ ur ein fp ∈ CP,p ∂ = ∂i (fp ◦ x−1 p ). ∂xi Bemerkung 2.6. Seien Pp eine lokale n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0 und xp : Pp → Rn0 eine Karte von Pp an p. Dann ist

k CP,p

⊕n

→ ΘP,p , (u1 , . . . , un ) 7→

n X i=1

ui ·

∂ ∂xi

k -Moduln. ein Isomorphismus von CP,p

Bemerkung 2.7. Seien Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Dann ist ΘP,p (p) = ΘP,p ⊗C k R → T P (p), Xp ⊗ 1 7→ X(p) P,p

ein Isomorphismus von R-Vektorr¨aumen.

18

2.4. Die Kotangentialgarbe und das Differential von Funktionen Definition 2.3. Sei P eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Die Garbe ΘP :=

a

ΘP,p

p∈P

der Keime von Vektorfeldern von P heißt die Tangentialgarbe von P . F¨ ur jedes U ∈ U(X) heißen die Schnitte in ΘP (U ) Vektorfelder von P u ¨ber U . Bemerkung 2.8. Sei P eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Die Tangentialgarbe ΘP ist in kanonischer Weise ein CPk -Untermodul der Garbe DerC k CPk der P

Derivationen von CPk mit Werten in CPk .

Bemerkung 2.9. Sei P eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit und x : U → Rn eine Karte von P . Dann ist

CPk |U

⊕n

1

n

→ ΘP |U , (u , . . . , u ) 7→

n X

ui ·

i=1

∂ ∂xi

ein Isomorphismus von CPk |U -Moduln. Insbesondere ist ΘP ein lokal freier CPk -Modul vom Rang n.

2.4. Die Kotangentialgarbe und das Differential von Funktionen Definition 2.4. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Die zur Tangentialgarbe ΘP duale Garbe k ΩP := Θ∨ P = H omC k (ΘP , CP ) P

heißt die Kotangentialgarbe von P . F¨ ur jedes p ∈ P heißt T ∨ P (p) = ΩP (p) der Kotangentialraum von P an p. k eine Beispiel 2.5. Seien Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0 und fp ∈ CP,p C k -Funktionenkeim von Pp . Dann ist

−−−−−−→ df (p) : T P (p) → R, u 7→ T f (p)(u) ein Element von T ∨ P (p), das Differential von f an p. Beispiel 2.6. Seien Pp eine lokale n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0 und xp : Pp → Rn0 eine Karte von Pp . Dann ist (dx1 (p), . . . , dxn (p))

19

2. Lineare Approximation eine Basis von T ∨ P (p), die duale Basis zur Gaußschen Basis ( ∂x∂ 1 (p), . . . , ∂x∂n (p)), das heißt insbesondere, daß ∂ i ∀i,j∈{1,...,n} dx (p) (p) = δji . ∂xj k , so gilt Ist fp ∈ CP,p

df (p) =

n X

df (p)

i=1

∂ (p) · dxi (p). ∂xi

Ist yp : Pp → Rn0 eine weitere Karte von Pp an p, so gilt f¨ ur jedes i ∈ {1, . . . , n}, daß i

dx (p) =

n X ∂xi j=1

∂y j

(p) · dy j (p).

Bemerkung 2.10. Seien Pp eine lokale n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0 und xp : Pp → Rn0 eine Karte von Pp . Dann ist

k CP,p

⊕n

→ ΩP,p , (u1 , . . . , un ) 7→

n X

un · dxip

i=1 k -Moduln. ein Isomorphismus von CP,p

2.5. Kritische Stellen differenzierbarer Abbildungen Definition 2.5. Seien Pp und Qq zwei lokale C l -Mannigfaltigkeiten mit l > 0 und ˆ 0 mit k ≤ l. Dann fp : Pp → Qq ein Morphismus lokaler C k -Mannigfaltigkeiten. Sei k ∈ N ist p eine kritische Stelle von f mindestens k-ter Ordnung genau dann, wenn ∀r∈{1,...,k},(X1 )p ,...,(Xr )p ∈ΘP,p

(X1 · · · · · Xr · f )(p) = 0.

Eine kritische Stelle mindestens erster Ordnung heißt einfach kritische Stelle. Beispiel 2.7. Seien Pp und Qq zwei lokale C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0 und fp : Pp → Qq ein Morphismus lokaler C k -Mannigfaltigkeiten. Dann ist p genau dann eine kritische Stelle mindestens erster Ordnung von fp , wenn T f (p) = 0. In diesem Falle sagen wir einfach, p ist eine kritische Stelle von f . Aussage 2.4. Seien Pp und Qq zwei lokale C l -Mannigfaltigkeiten mit l > 0 und fp : Pp → Qq ein Morphismus lokaler C k -Mannigfaltigkeiten. Seien k ≤ l und p eine kritische Stelle

20

2.5. Kritische Stellen differenzierbarer Abbildungen mindestens (k − 1)-ter Ordnung von f . Dann existiert genau eine symmetrische R-kmultilineare Abbildung k K k T f (p) : T P (p) → T Q(q) mit T k f (p)(X1 (p), . . . , Xk (p)) = (X1 · · · · · Xk · f )(p).

∀(X1 )p ,...,(Xk )p ∈ΘP,p

Beweis. Da die kanonische Abbildung T Pp → T P (p), Xp 7→ X(p) surjektiv ist, existiert h¨ ochstens ein T k f (p) mit der geforderten Eigenschaft. Die Existenz zeigen wir durch Konstruktion. Dazu sei xp : Pp → Rn0 eine Karte. Wir setzen ∂ ∂ ∂ ∂ k T f (p) (p), . . . , i (p) := · · · · · i · f (p). ∂xi1 ∂x k ∂xi1 ∂x k f¨ ur jedes k-Tupel (i1 , . . . , ik ) ∈ {1, . . . , n}k und definieren eine multilineare Abbildung T k f (p) : T P (p)×k → T Q(q) durch R-lineare Fortsetzung. Aufgrund des Schwarzschen Vertauschungssatzes ist diese Abbildung symmetrisch, entspricht also einer Abbildung T k f (p) :

Kk

T P (p) → T Q(q).

Um nachzurechnen, daß diese Abbildung die geeigneten Eigenschaften hat, seien (X1 )p , . . . , (Xk )p ∈ l T Pp gegeben. Dann existieren C l -Funktionskeime (X11 )p , . . . , (Xkn )p ∈ CP,p mit ∀j∈{1,...,k}

(Xj )p =

n X i=1

(Xji )p ·

∂ . ∂xip

Es folgt n X

∂ ∂ ik (X1 · · · · · Xk · f )(p) = · 1 · · · · · Xk · k · f (p) ∂x ∂x i1 ,...,ik =1 n X ∂ ∂ · · · · · · f (p) = X1i1 (p) · · · · · Xikk (p) · ∂x1 ∂xk i1 ,...,ik =1 n X ∂ ∂ i1 k k = X1 (p) · · · · · Xik (p) · T f (p) (p), . . . , k (p) = T k f (p)(X1 (p), . . . , Xk (p)); ∂x1 ∂x X1ii

i1 ,...,ik =1

dabei haben wir an einer Stelle ausgenutzt, daß p ein kritischer Punkt (k−1)-ter Ordnung von f ist.

21

2. Lineare Approximation Beispiel 2.8. Seien Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0 und fp : Pp → R ein C k -Funktionskeim von P an p. Sei p eine kritische von f . Dann heißt dk f (p) :

2 K

−−−−−−−−−−→ T P (p) → R, u1 · u2 7→ T k f (p)(u1 , u2 )

die Hessesche von f an p. Beispiel 2.9. Seien Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 1 und γ : R0 → Pp ein Kurvenkeim in P an p. Sei 0 eine kritischer Stelle von γ, das heißt, γ(0) ˙ = 0. Dann heißt γ¨ (0) := T 2 γ(∂, ∂) ∈ T P (p) die Beschleunigung von γ an p. k . Sei Aussage 2.5. Seien Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0 und fp : CP,p r ∈ 2N0 mit r ≤ k, so daß p eine kritische Stelle von Pp mindestens (r − 1)-ter Ordnung ist. Ist dann Kk dk f (p) : T P (p) → R

positiv definiert, das heißt, ∀u∈T P (p)\{0}

dk f (p)(uk ) > 0,

so ist p ein striktes Minimum von fp . Beweis. Sei xp : Pp → Rn0 eine Karte von Pp . Dann ist die zu beweisende Aussage gleichbedeutend mit der Aussage, daß n fp ◦ x−1 p : R0 → R

bei 0 ein striktes Minimum hat. Dies folgt aus dem Kriterium f¨ ur Extrema aus der mehrdimensionalen Analysis.

22

3. Lokale Eigenschaften differenzierbarer Abbildungen 3.1. Immersionen und Submersionen Definition 3.1. Sei fp : Pp → Qq ein Morphismus lokaler C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Dann heißt rk f (p) := rk T f (p) der Rang von f an p. Ist rk f (p) = dim Pp , das heißt, ist T f (p) injektiv, so heißt f immersiv an p. Ist rk f (p) = dim Qq , das heißt, ist T f (p) surjektiv, so heißt f submersiv an p. Bemerkung 3.1. Sei fp : Pp → Qq ein Morphismus lokaler C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Dann ist f an p genau dann immersiv, wenn dim Pp ≤ dim Qq und f an p Maximalrang hat, und an p genau dann submersiv, wenn dim Pp ≥ dim Qq und f an p Maximalrang hat. Definition 3.2. Sei f : P → Q ein Morphismus von C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Dann heißt f immersiv, wenn f an allen p ∈ P immersiv ist, submersiv, wenn f an allen q ∈ Q submersiv ist. F¨ ur ein r ∈ N0 heißt die Abbildung f von konstantem Range r, wenn ∀p∈P

rk f (p) = r.

Bemerkung 3.2. Ist f : P → Q eine surjektive Submersion zwischen C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0, so k¨ onnen wir P verm¨ oge f als Raum u ¨ber Q auffassen. In diesem Zusammenhang nennen wir P einen Faserraum u ¨ber Q. Bemerkung 3.3. Sei f : P → Q eine injektive Immersion zwischen C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Induziert f dann einen Hom¨ oomorphismus f |P : P → f (P ) von P auf das mit der Teilraumtopologie versehene Bild f (P ), so nennen wir in diesem Falle dann f h¨ aufig eine Einbettung. Beispiel 3.1. Seien P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0 und U ∈ U(P ) eine offene Teilmenge. Dann ist die Inklusionsabbildung i : U → P, p 7→ p eine Einbettung. Solche Abbildungen nennen wir offene Einbettungen. Weiter ist i submersiv.

23

3. Lokale Eigenschaften differenzierbarer Abbildungen Beispiel 3.2. Seien P und Q zwei C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Dann sind die beiden kanonischen Projektionen r : P × Q → P und s : P × Q → Q jeweils Submersionen und f¨ ur P 6= ∅, Q 6= ∅ sogar Faserr¨aume. Sind p ∈ P und q ∈ Q, so sind die Inklusionen P → P × Q, p0 7→ (p0 , q) und Q → P × Q, q 0 7→ (p, q 0 ) abgeschlossene Einbettungen, das heißt Einbettungen, deren Bild eine abgeschlossener Teilraum ist. Aussage 3.1. Sei f : P → Q ein Morphismus von C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Dann ist die Rangabbildung rk f : P → N0 , p 7→ rk f (p) nach unten halbstetig, also ∀p∈P ∃p∈U ∈U(P ) ∀p0 ∈U

rk f (p0 ) ≥ rk f (p).

Beweis. Sei p ∈ P . Wir setzen q := f (p). Es ist ∀p0 ∈Pp rk f (p0 ) ≥ f (p) n zu zeigen. Dazu w¨ ahlen wir Karten xp : Pp → Rm 0 und yq : Qq → R0 von P an p beziehungsweise von Q an q. Da dx(p0 ) : T P (p0 ) → Rm und dy(q 0 ) : T Q(q 0 ) → Rn f¨ ur alle p0 ∈ Pp und q 0 ∈ Qq Isomorphismen von R-Vektorr¨aumen sind, reicht es, die Bedingung f¨ ur m n g0 := yq ◦ fp ◦ x−1 p : R0 → R0

zu zeigen. In diesem Falle ist {u ∈ Rm 0 | rk g(u) ≥ rk g(0)} =

^rk g(0) u ∈ Rm | (Dg(u)) = 6 0 0

und die rechte Seite ist offen. Folgerung 3.1. Sei f : P → Q ein Morphismus von C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Dann sind die Mengen {p ∈ P | f ist an p immersiv} und {p ∈ P | f ist an p submersiv} offene Mengen.

24

3.1. Immersionen und Submersionen Beweis. Die Aussage folgt aus der vorhergehenden Aussage und der Charakterisierung von Immersivit¨ at beziehungsweise Submersivit¨at durch die Maximalit¨at des Ranges. Aussage 3.2. Sei fp : Pp → Qq ein Morphismus lokaler C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0 und dim Pp = dim Qq . Dann sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: I Der Abbildungskeim fp ist an p immersiv. S Der Abbildungskeim fp ist an p submersiv. D Der Abbildungskeim fp ist an p ein lokaler Diffeomorphismus. Beweis. Seien xp : Pp → Rn0 und yq : Qq → Rn0 Karten von P an p beziehungsweise von Q an q. Die Aussagen I und S sind ¨ aquivalent zur Aussage rk f (p) = dim Pp = dim Qq , welche wiederum ¨aquivalent zur Invertierbarkeit von T f (p) : T P (p) → T Q(q) beziehungsweise von T g(0) : Rn0 → Rn0 ist, wobei n n g0 := yq ◦ fp ◦ x−1 p : R0 → R0 .

Nach dem lokalen Umkehrsatz der mehrdimensionalen Analysis ist die Invertierbarkeit von T g(0) ¨aquivalent zur Aussage, daß g0 und damit auch fp ein lokaler Diffeomorphismus ist, also zu D.

3.1.1. Der Sardsche Satz Definition 3.3. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Eine Teilmenge N ⊂ P heißt Lebesguesche Nullmenge von P , falls f¨ ur alle Karten x : U → Rn von P das Bild x(U ∩ N ) eine Lebesguesche Nullmenge in Rn ist. Beispiel 3.3. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Ist dann (Ni )i∈N eine abz¨ahlbare Familie Lebesguescher Nullmengen von P , so ist [ Ni i∈N

wieder eine Lebesguesche Nullmenge von P . Beispiel 3.4. Sei f : P → Q ein Morphismus von C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Ist dann N eine Lebesguesche Nullmenge von P , so ist das Bild f (N ) eine Lebesguesche Nullmenge von Q. Definition 3.4. Sei f : P → Q ein Morphismus von C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Ein Punkt q ∈ Q heißt regul¨ arer Wert von f , falls f an allen p ∈ P mit f (p) = q submersiv ist. Satz 3.1. Sei f : P → Q ein Morphismus zwischen C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Hat P abz¨ ahlbare Topologie und ist k > dim P − dim Q, so ist die Menge der nicht regul¨ aren Werte von f eine Lebesguesche Nullmenge von Q.

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3. Lokale Eigenschaften differenzierbarer Abbildungen ¨ Beweis. Sei (Ui )i∈N eine offene Uberdeckung von P , so daß f¨ ur jedes i ∈ I Karten m n xi : Ui → R und yi : Vi → R mit Vi ∈ U(X) von P beziehungsweise von Q mit f (Ui ) ⊂ Vi existieren. Es reicht zu zeigen, daß f¨ ur jedes i ∈ N die Menge {f (p) | f |Ui ist an p ∈ Ui nicht submersiv} . eine Lebesguesche Nullmenge von Vi ist. Dies ist aber gleichbedeutend damit, daß {yi (f (p)) | yi ◦ f |Ui ist an p ∈ Ui nicht submersiv} eine Lebesguesche Nullmenge von Rn ist. Dies ist aber die Aussage des Sardschen Satzes aus der mehrdimensionalen Analysis. Beispiel 3.5. Sei f : X → Y ein Morphismus von C k -Mannigfaltigkeiten mit dim X < dim Y . Dann ist sein Bild f (X) eine Lebesguesche Nullmenge von Y .

3.2. Der Rangsatz Lemma 3.1. Sei Pp eine lokale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0 und (u1 , . . . , uk ) ein System linear unabh¨ angiger Vektoren des Tangentialraumes T P (p). Dann existiert eine n Karte xp : Pp → R0 von P an p mit ∀i∈{1,...,k}

∂ (p) = ui . ∂xi

Beweis. Sei x ˜p : Pp → Rn0 eine beliebige Karte von P an p. Wir erg¨anzen (u1 , . . . , uk ) zu einer Basis (u1 , . . . , un ) von T P (p). Sei A : Rn → Rn derjenige Isomorphismus von R-Vektorr¨aumen, f¨ ur den ∀i∈{1,...,n}

A(d˜ x(p)(ui )) = ei

gilt, wobei (e1 , . . . , en ) die Standardbasis des Rn ist. Dann ist xp := A ◦ x ˜p : Pp → Rn0 eine geeignete Karte. Aussage 3.3. Sei fp : Pp → Qq ein Morphismus lokaler C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Sei yq : Qq → Rn0 eine Karte von Q an q, und f¨ ur d ∈ {1, . . . , n} gelte T Q(q) = f∗ (T P (p)) +

n M

R·

i=d+1

∂ (p). ∂y i

Dann existiert eine Karte xp : Pp → Rm 0 von P an p, so daß ∀i∈{1,...,d}

26

xip = yqi ◦ fp .

3.2. Der Rangsatz Beweis. Wir bemerken zun¨ achst, daß offensichtlich rk T f (p) ≥ d. Wir setzen R :=

n M

∂ (p) ⊂ T Q(q). ∂y i

R·

i=d+1

Nach Voraussetzung existieren u1 , . . . , un ∈ T P (p) und v1 , . . . , vn ∈ R, so daß ∂ (q) = f∗ (ui ) + vi . ∂y i

∀i∈{1,...,n}

Das System (u1 , . . . , ud ) muß in T P (p) linear unabh¨angig sein. Nach dem vorgehenden Lemma existiert somit eine Karte zp : Pp → Rm 0 von P an p mit ∀i∈{1,...,d}

∂ (p) = ui . ∂z i

Wir definieren xp : Pp → Rm 0 durch ∀i∈{1,...,m}

xip

( yqi ◦ fp = zi

f¨ ur 1 ≤ i ≤ d und f¨ ur d + 1 ≤ i ≤ m sonst.

Es bleibt zu zeigen, daß xp eine Karte ist. Dazu ist zu zeigen, daß xp : T P (p) → Rn0 ein lokaler Diffeomorphismus ist. Nun gilt f¨ ur alle i ∈ {d + 1, . . . , m} und j ∈ {1, . . . , m}, daß ∂xi (p) = δji , ∂z j und f¨ ur alle i, j ∈ {1, . . . , m}, daß ∂ ∂xi j j i (p) = ui · (y ◦ f ) = f∗ (ui ) · y = (q) − v · y j = δji . ∂z j ∂y i m Damit hat die Funktionalmatrix von xp ◦ zp−1 : Rm 0 → R0 an 0 die Gestalt

Id Im−d

∗ 0,

also ist xp ◦ zp−1 an 0 ein lokaler Diffeomorphismus und damit auch xp . Folgerung 3.2. Sei fp : Pp → Qq eine Submersion lokaler C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Ist dann yq : Qq → Rn0 eine Karte von Q an q, so existiert eine Karte xp : Pp → Rm 0 von P an p mit ∀i∈{1,...,n} xip = yqi ◦ fp . In dieser Situation heißt (yq1 , . . . , yqn , xn+1 , . . . , xm p p ) eine Faserraumkarte von fp .

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3. Lokale Eigenschaften differenzierbarer Abbildungen Bemerkung 3.4. Sei fp : Pp → Qq eine Submersion lokaler C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Sind dann yq : Qq → Rn0 eine Karte von Q an q und xp : Pp → Rm 0 eine Karte von P an p wie in der Folgerung, so gilt m n yq ◦ fp ◦ x−1 p : R0 → R0 ,

(v 1 , . . . , v m ) 7→ (v 1 , . . . , v n ).

Insbesondere sind Submersionen offene Abbildungen. Der folgende Satz ist der sogenannte Rangsatz. Er ist wesentlich f¨ ur das lokale Studium von Abbildungen konstanten Ranges. Satz 3.2. Sei fp : Pp → Qq eine Morphismus konstanten Ranges r zwischen C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Dann existieren eine Karte xp : Pp → Rm 0 von P an p und eine Karte yq : Qq → Rn0 von Q an q, so daß ( xip f¨ ur 1 ≤ i ≤ r und ∀i∈{1,...,n0} yqi ◦ fp = 0 f¨ ur r + 1 ≤ i ≤ n. Beweis. Nach dem Lemma existiert eine Karte zq : Qp → Rm von Q an q mit r M

R·

i=1

∂ (q) = f∗ (T P (p)). zi

Daher existiert nach der Aussage (mit d = r) eine Karte xp : Pp → Rn0 von P an p mit ∀i∈{1,...,r}

xip = zqi ◦ fp .

m n Die Ableitung von zq ◦ fp ◦ x−1 p : R0 → R0 ist von der Form Ir 0 n : Rm 0 → Rm ∗ A0 n−r mit A0 : Rm 0 → Rm−r . Da fp allerdings konstanten Rang r hat, muß sogar A0 = 0 gelten. Damit existieren C k -Abbildungen hr+1 , . . . hn : Rr0 → R0 mit

∀i∈{r+1,...,n}

zqi ◦ fp = hi0 ◦ (x1 , . . . , xr )p .

Schließlich definieren die Karte yq : Qq → Rn0 von Q an q durch ( zqi f¨ ur 1 ≤ i ≤ r und i ∀i∈{1,...,n} yq = zqi − hi0 ◦ (z 1 , . . . , z r )q f¨ ur r + 1 ≤ i ≤ n.

Bemerkung 3.5. Sei fp : Pp → Qq ein Morphismus konstanten Ranges r lokaler C k Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Sind dann xp : Pp → Rm 0 einze Karte von P an p und yq : Pp → Rn0 eine Karte von Qq wie im Rangsatz, so gilt m n yq ◦ fp ◦ x−1 p : R0 → R0 ,

(v 1 , . . . , v m ) 7→ (v 1 , . . . , v r , 0, . . . , 0).

Daher heißen Morphismen konstanten Ranges auch Subimmersionen.

28

3.2. Der Rangsatz Folgerung 3.3. Sei fp : Pp → Qq eine Immersion lokaler C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Dann existieren eine Karten xp : Pp → Rm 0 von P an p und eine Karte yq : Qq → Rn0 von Q an q, so daß ( xip f¨ ur 1 ≤ i ≤ m und i ∀i∈{1,...,n} yq ◦ fp = 0 f¨ ur m + 1 ≤ i ≤ n. Damit sind Immersionen lokal injektiv.

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3. Lokale Eigenschaften differenzierbarer Abbildungen

30

4. Surjektive Submersionen 4.1. Faserr¨ aume

31

4. Surjektive Submersionen

32

5. Vektorfelder und Flu ¨sse 5.1. Operationen mit Vektorfeldern Definition 5.1. Sei f : P → Q ein Morphismus zwischen zwei C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Dann heißen zwei Vektorfelder X ∈ ΘP (P ) und Y ∈ ΘQ (Q) auf P beziehungsweise Q f -verwandt, falls f∗ X = f ∗ Y ∈ (f ∗ ΘQ )(P ), das heißt ∀p∈P

f∗ X(p) = Y (f (p)).

5.2. Die Liesche Klammer von Vektorfeldern Aussage 5.1. Sei f : P → Q ein Morphismus zwischen zwei C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Sind dann Xi ∈ ΘP (P ) und Yi ∈ ΘQ (Q) f¨ ur i ∈ {1, 2} f -verwandt, so sind auch die Lieschen Klammern [X1 , X2 ] und [Y1 , Y2 ] f -verwandt, das heißt f∗ [X1 , X2 ] = f ∗ [Y1 , Y2 ]. Beweis. Seien p ∈ P , q := f (p) und ψq ∈ Cq∞ . Dann gilt (f∗ [X1 , X2 ])p · ψ = [X1 , X2 ] · (f ∗ ψ)p = X1 · X2 · (f ∗ ψ)p − X2 · X1 · (f ∗ ψ)p = X1 · (f∗ X2 )p · ψ − X2 · (f∗ X1 )p · ψ = X1 · (f ∗ Y2 )p · ψ − X2 · (f ∗ Y2 )p · ψ = (f∗ X1 )p · Y2 · ψ − (f∗ X2 ) · Y1 · ψ = (f ∗ Y1 )p · Y2 · ψ − (f ∗ Y2 )p · Y1 · ψ = (f ∗ [Y1 , Y2 ])p · ψ

Lemma 5.1. Sei f : X → Y ein Morphismus von lokal geringten R¨ aumen, und sei F ein OY -Modul. Sind dann p ∈ X, q := f (p) und sp ∈ (f ∗ F )p , so existieren (t1 )q , . . . , (tr )q ∈ Fq und φ1p , . . . , φrp ∈ Op mit r X sp = (φi f ∗ ti )p . i=1

Beweis. Es ist (f ∗ F )p = Op ⊗Oq Fq .

33

5. Vektorfelder und Fl¨ usse Das Lemma ist insbesondere f¨ ur folgendes Lemma interessant: Lemma 5.2. Seien f : X → Y ein Morphismus lokal geringter R¨ aume. Seien p ∈ X, q := f (p) und Ap , Bp ∈ Θp . Dann w¨ ahlen wir (C1 )q , . . . , (Cr )q ∈ Θq , φ1p , . . . , φrp , ψp1 , . . . , ψpr ∈ Op mit r r X X (f∗ A)p = (φi f ∗ Ci )p und (f∗ B)p = (ψ i f ∗ Ci )p . i=1

i=1

Dann gilt (f∗ [A, B])p =

r X i=1

Beweis.

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((A · ψ i − B · φi ) f ∗ Ci )p +

X 1≤i<j≤r

((φi ψ j − ψ i φj ) f ∗ [Ci , Cj ])p .

6. Liesche Gruppen 6.0.1. Linearisierung Liescher Gruppenhomomorphismen Definition 6.1. Sei fe : Ge → He ein Morphismus lokaler Liescher Algebren. Seien g und h die zugeh¨ origen Lieschen Algebren. Dann heißt die R-lineare Abbildung fL : g → h mit ∀A∈g

(fL (A))(e) = f∗ (A(e))

die Linearisierung von fe . Lemma 6.1. Sei fe : Ge → He ein Morphismus lokaler Liescher Algebren. Ist dann A ∈ g, so sind A und fL (A) f -verwandt. Beweis. Sei g ∈ G. Dann gilt fL (A)(f (g)) = (Lf (g) )∗ f∗ (A(e)) = f∗ (Lg )∗ (A(e)) = f∗ (A(g)).

Folgerung 6.1. Sei fe : Ge → He ein Morphismus lokaler Liescher Algebren. Dann gilt ∀A∈g

f ◦ γA = γfL (A) ,

das heißt f ◦ exp = exp ◦fL : g → He . Aussage 6.1. Sei fe : Ge → He ein Morphismus lokaler Liescher Algebren. Seine Linearisierung fL : g → h ist ein Homomorphismus Liescher Algebren. Beweis. Seien A, B ∈ g. Dann sind [A, B] und [fL (A), fL (B)] f -verwandt. Insbesondere gilt f∗ ([A, B](e)) = [fL (A), fL (B)](e). Außerdem ist [fL (A), fL (B)] linksinvariant. Damit folgt [fL (A), fL (B)] = fL ([A, B]).

Bemerkung 6.1. Ist He ⊂ Ge eine lokale Liesche Untergruppe einer lokalen Lieschen Gruppen und i : He → Ge die Inklusionsabbildung, so ist iL : h → g ein injektiver Morphismus Liescher Algebren, das heißt wir k¨onnen h als Liesche Unteralgebra von g auffassen. Bemerkung 6.2. Indem jeder lokalen Lieschen Gruppe Ge ihre Liesche Algebra GL und jedem Homomorphismus f : Ge → He lokaler Liescher Gruppen seine Linearisierung fL : GL → HL zugeordnet wird, wird ein Funktor von der Kategorie der lokalen Lieschen Gruppen LieG(∗) in die Kategorie der Lieschen Algebren LieAR (¨ uber R) definiert.

35

6. Liesche Gruppen

6.1. Liesche Untergruppen Die zusammenh¨ angenden Lieschen Untergruppen einer Lieschen Gruppe G k¨onnen durch ihre Lieschen Algebren als Unteralgebren der Lieschen Algebra von G klassifiziert werden. Das ist die Aussage des folgenden Satzes: Aussage 6.2. Sei G eine Liesche Gruppe mit Liescher Algebra g. Dann induziert die Abbildung, welche einer Lieschen Untergruppe H von G ihre Liesche Algebra h zuordnet, eine Bijektion von der Menge der zusammenh¨ angenden Lieschen Untergruppen von G auf die Menge der Lieschen Unteralgebren von g. Beweis. Sei h eine Liesche Unteralgebra von g. Es ist zu zeigen, daß genau eine zusammenh¨ angende Liesche Untergruppe H von G existiert, deren Liesche Algebra h ist. Zun¨ achst wollen wir die Existenz von H zeigen. Dazu sei H der von h erzeugte CG∞ Untermodul von ΘG . Dieser ist lokal frei vom Rang dim h und sogar involutiv, da h unter der Lieklammer abgeschlossen ist. Sei H die durch H definierte maximale Integralmannigfaltigkeit mit e ∈ H. Da h nur aus linksinvarianten Vektorfeldern besteht, folgt, daß g · H die maximale Integralmannigfaltigkeit durch g ∈ G ist. Damit folgt, daß H abgeschlossen unter Multiplikation ist, also eine (abstrakte) Untergruppe von G ist. Aufgrund der Quasiregularit¨at von H ist damit H eine Liesche Untergruppe von G. Weiter ist T H(e) = {X(e) ∈ T G(e) | X ∈ h} und damit ist die Liesche Algebra von H gerade h. Auf der anderen Seite wird durch diese Konstruktion klar, daß H eindeutig so konstruiert werden muß. Bemerkung 6.3. Eine analoge Bijektion gibt es auch im Falle lokaler Liescher Gruppen. Satz 6.1. Der Funktor LieG(∗) → LieA0 R f , welcher einer lokalen Lieschen Gruppe Ge ihre Liesche Algebra GL und jedem Morphismus fe : Ge → He lokaler Liescher Gruppen ¨ seine Linearisierung fL : GL → HL zuordnet, ist eine Aquivalenz von Kategorien. Beweis. Zun¨ achst zeigen wir, daß der Funktor wesentlich surjektiv ist. Sei also g eine endlich-dimensionale Liesche Algebra u ¨ber R. Wir suchen eine lokale Liesche Gruppe Ge mit GL = g. Dazu beachten wir, daß wir nach dem Satz von Ado F.1 ohne Einschr¨ankung annehmen k¨ onnen, daß g eine Liesche Unteralgebra einer Lieschen Algebra der Form gl(V ) f¨ ur einen endlich-dimensionalen R-Vektorraum V ist. Nach der letzten Aussage existiert damit eine Untergruppe G der Lieschen Gruppe GL(V ), deren Liesche Algebra isomorph zu g ist. Als n¨ achstes m¨ ussen wir zeigen, daß der Funktor treu ist, das heißt, sind fe , fe0 : Ge → He zwei Morphismen zwischen lokalen Liescher Gruppen mit fL = fL0 : GL → HL , so ist (0) (0) fe = fe0 . Dies folgt aber daraus, daß exp ◦fL = fe ◦ exp und daß exp : (GL )0 → Ge und exp : (HL )0 → He (lokale) Diffeomorphismen sind. Schließlich zeigen wir, daß der Funktor voll ist, das heißt, ist l : GL → HL ein Homomorphismus Liescher Algebren f¨ ur lokale Liesche Gruppen Ge und He , so existiert ein

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6.2. Die adjungierte Darstellung einer Lieschen Gruppe Homomorphismus fe : Ge → He lokaler Liescher Gruppen mit fL = l. Dazu betrachten wir die lokale Liesche Gruppe Ke := (G×H)e , deren Liesche Algebra durch k := GL ×HL gegeben ist. Da l ein Homomomorphismus Liescher Algebren ist, folgt, daß l := {(X, l(X)) ∈ k | X ∈ GL } eine Liesche Unteralgebra von k ist. Aufgrund der Aussage existiert damit eine lokale Liesche Untergruppe Le von Ke , deren Liesche Algebra gerade durch l als Liesche Unteralgebra von k gegeben ist. Die Linearisierung der Projektion pe : Le → Ge ist gerade durch die Projektion l → GL gegeben, welche ein Isomorphismus ist. Damit ist pe (lokal) umkehrbar. Wir setzen schließlich fe := qe ◦ p−1 e , wobei qe : Le → He die andere Projektion ist, das heißt, Le ist der Graph der Abbildung fe . Die Linearisierung fL von fe ist dann gerade l.

6.2. Die adjungierte Darstellung einer Lieschen Gruppe Definition 6.2. Sei G eine Liesche Gruppe mit Liescher Algebra g. Wir bezeichnen mit I : G × G → G, (g, h) 7→ g · h · g −1 die Konjugationsoperation von G auf sich selbst. Dann heißt Ad : G → GL(g), g 7→ (L Ig ) die adjungierte Darstellung der Liegruppe G. Bemerkung 6.4. Sei G eine Liesche Gruppe mit Liescher Algebra g. Dann ist ihre adjungierte Darstellung Ad : G → GL(g) ein Homomorphismus Liescher Gruppen. Aussage 6.3. Sei G eine Liesche Gruppe und g ihre Liesche Algebra. Dann gilt f¨ ur die adjungierte Darstellung Ad : G → GL(g), daß −−−−−−−−→ ∀A ∈ A : (AdL (A))(e) = ad(A), das heißt insbesondere gilt Ad ◦ exp = exp ◦ ad : g → GL(g). Beweis. Seien A, B ∈ g. Es reicht zu zeigen, daß −−−−−−−→ AdL (A)(e)(B)(e) = ad(A)(B)(e) = [A, B](e) gilt. Dazu rechnen wir

−−−−−−−→ d d d AdL (A)(e)(B)(e) = Ad(γA (t))(B)(e) = (RγA (−t) )∗ (LγA (t) )∗ (B(e)) = (RγA (−t) )∗ B(γA (t)) = [A dt t=0 dt t=0 dt t=0

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6. Liesche Gruppen

6.3. Fundamentale Vektorfelder Definition 6.3. Seien Ge eine lokale Liesche Gruppe mit Liescher Algebra g und P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Sei L : Ge × P → P eine Operation von G auf P . F¨ ur jedes A ∈ g AP := L∗ (−A(e), 0) ∈ ΘP (P ) das fundamentale Vektorfeld zu A auf P . Bemerkung 6.5. Operiere die lokale Liesche Gruppe Ge mit Liescher Algebra g auf der C k -Mannigfaltigkeit P mit k > 0. F¨ ur A ∈ g gilt dann ∀p∈P

. A(p) = (γ−A · p) ,

insbesondere also ∀p∈P,fp ∈C k

P,p

d A(p) · f = fp (exp(−tA) · p). dt t=0

Genauer ist sogar Φ : P × R → P, (p, t) 7→ γA (−t) · p der maximale Fluß von AP . Insbesondere ist AP ein vollst¨andiges Vektorfeld von P . Beispiel 6.1. Operiere die lokale Liesche Gruppe Ge trivial auf der C k -Mannigfaltigkeit P mit k > 0. Dann ist AP = 0 f¨ ur alle A ∈ g, wobei g die Liesche Algebra von Ge ist. Aussage 6.4. Operiere die lokale Liesche Gruppe Ge auf der C ∞ -Mannigfaltigkeit P . Sei g die Liesche Algebra zu Ge . Die Abbilding g → ΘX (X), A 7→ AP ist ein Homomorphismus Liescher Algebren. Beweis. Sei R : P × Ge → P, (p, g) 7→ g −1 · p die zu L geh¨orige Rechtsoperation. Dann gilt wegen T J(e) = −idT G(e) mit J : Ge → Ge der Inversenbildung, daß R∗ (0, A) = AP ◦ R, das heißt (0, A) und AP sind R-verwandt. Damit sind f¨ ur alle A, B ∈ g auch (0, [A, B]) und [AP , BP ] R-verwandt, das heißt [A, B]P ◦ R = R∗ (0, [A, B]) = [AP , BP ] ◦ R. Werten wir dies an (p, e) f¨ ur ein p ∈ P aus, so erhalten wir [A, B]P (p) = [AP , BP ](p). Bemerkung 6.6. Es k¨ onnen analog fundamentale Vektorfelder zu Rechtsoperationen definiert werden. Operiert etwa die lokale Liesche Gruppe Ge mit Liescher Algebra g von rechts auf der C k -Mannigfaltigkeit P mit k > 0, so gilt f¨ ur das fundamentale Vektorfeld zu A ∈ g, daß AP = R∗ (0, A(e)) ∈ ΘP (P ).

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6.3. Fundamentale Vektorfelder Beispiel 6.2. Operiere die Liesche Gruppe G mit Liescher Algebra g durch Rechtsmultiplikation auf sich selbst. Dann ist AG = A f¨ ur alle A ∈ g. Beispiel 6.3. Seien G eine Liesche Gruppe mit Liesche Algebra g und f : P → B ein G-Hauptfaserb¨ undel. Dann ist P × g →P V P, (p, A) 7→ Ap ein wohldefinierter Isomorphismus von Vektorb¨ undeln u ¨ber P .

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6. Liesche Gruppen

40

7. Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten 7.1. Tensorfelder Definition 7.1. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. F¨ ur r, s ∈ N0 heißt der CX∞ -Modul ⊗r ⊗s Θr,s X := ΘX ⊗ ΩX die Garbe der (r, s)-Tensoren auf P . Mit T r,s P bezeichnen wir das Vektorb¨ undel, dessen Garbe von Schnitten gerade Θr,s P ist. Wir setzen außerdem M r,s ∗,∗ ΘX := ΘX . r,s∈N0

Dies ist eine assoziative doppelt-graduierte CXk -Algebra. Beispiel 7.1. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Dann gilt 0,0 ΘX = CX∞

und

Θ1,0 X = ΘX .

Außerdem ist Θ0,s ur s ∈ N0 die Garbe der s-fach CX∞ -multilinearen Abbildungen auf X f¨ ΘX . Bemerkung 7.1. Sei P eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Seien r, s ∈ N0 . Verm¨oge der Darstellung

GL(n)×(Rn )⊗r ⊗(Rn )⊗s → (Rn )⊗r ⊗(Rn )⊗s , (A, u1 ⊗· · ·⊗ur ⊗v 1 ⊗· · ·⊗v s ) 7→ A·u1 ⊗· · ·⊗A·ur ⊗· · ·⊗(v 1 ·A−1 )⊗· · ·⊗ wird Θr,s P durch

⊗(r+s) Θr,s P = LP ⊗GL(n) R

als ein am GL(n)-Torsor LP der Basisfelder assoziierte lokal freier CPk -Modul dargestellt. Bemerkung 7.2. Seien P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0 und R ∈ Θr,s X (X) mit r, s ∈ N0 . Dann induzert R eine s-fach C k (P )-multilineare Abbildung R : Θ(X) × · · · × Θ(X) → Θ(X)⊗r {z } | s

und damit eine (r + s)-fach C k (P )-multilineare Abbildung R : Ω(X) × · · · × Ω(X) × Θ(X) × · · · × Θ(X) → C k (P ). | {z } | {z } r

s

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7. Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten Beispiel 7.2. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Seien r, s ∈ N und i ∈ {1, . . . , r} und j ∈ {1, . . . , s}. Dann der Kontraktionsmorphismus ˆ i ⊗·⊗Xr ⊗α1 ⊗· · ·⊗ˆ trij : Θr,s → Θr−1,s−1 , X1 ⊗· · ·⊗Xr ⊗α1 ⊗· · ·⊗αs 7→ αj (Xi ) (X1 ⊗· · ·⊗X αj ⊗·⊗Xs ) ein Morphismus von Grad (−1, −1). Lemma 7.1. Sei P ein parakompakter lokal geringter Raum, welcher Zerlegungen der Eins besitzt. Seien E1 , . . . , En , F Garben von OP -Moduln. Sei Q : E1 (P ) × . . . En (P ) → F (P ) eine O(P )-multilineare Abbildung. Dann existiert genau ein Homomorphismus ˜ : E1 ⊗ · · · ⊗ En → F Q von OP -Moduln, so daß f¨ ur si ∈ Ei (P ), i ∈ {1, . . . , n}, gilt, daß ˜ )(s1 ⊗ · · · ⊗ sn ) = Q(s1 , . . . , sn ). Q(P ˜ zu zeigen, definieren wir zun¨achst Keime Q ˜ p : (E1 )p ⊗ Beweis. Um die Existenz von Q · · · ⊗ En )p → Fp f¨ ur jedes p ∈ P . Aufgrund der Eindeutigkeit der Konstruktion wird ˜ p )p∈P zu einem globalen Homomorphismus Q ˜ verkleben. dann folgen, daß die (Q ˜ Um Qp zu definieren, seien (si )p ∈ (Ei )p , i ∈ {1, . . . , n} vorgegeben. Da die Garben E1 , . . . , En weich sind, also Ei (P ) → (Ei )p surjektiv ist, k¨onnen wir ohne Einschr¨ankung annehmen, daß die Repr¨ asentanten der Keime schon global definiert sind, also si ∈ Ei (P ). ˜ offensichtlich gelten, daß Dann muß im Falle der Existenz von Q ˜ p ((s1 )p ⊗ · · · ⊗ (sn )p ) = Q(s1 , . . . , sn )p , Q ˜ zeigt. Um die Existenz von Q ˜ p folgern zu k¨onnen, was die Eindeutigkeitsaussage u ¨ber Q bleibt zu die Wohldefiniertheit, das heißt, daß die rechte Seite der letzten Gleichung unabh¨ angig von den gew¨ ahlten Repr¨asentanten der Keime ist. Seien etwa s1 , s01 ∈ E1 (P ) mit (s1 )p = (s01 )p . Aufgrund der Weichheit der Garbe OP existiert ein f ∈ O(P ) mit fp = 0 und ∀p0 ∈P

s1 (p0 ) 6= s01 (p0 ) =⇒ f (p0 ) = 0.

Damit ist f (s1 − s01 ) = s1 − s01 , also Q(s1 − s01 , . . . )p = Q(f (s1 − s01 ), . . . )p = (f Q(s1 − s01 , . . . ))p = 0.

Bemerkung 7.3. Dieses Lemma k¨onnen wir insbesondere auf die Situation von Tensorfeldern anwenden auf C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0 anwenden und erhalten: Seien r, s ∈ N0 und sei Q : (ΘP (P )∨ )r × ΘP (P )s → CPk (P ) eine CPk (P )-multilineare Abbildung. Dann existiert genau ein Tensorfeld R ∈ Θr,s (P ), so daß ∀α1 ,...,αr ∈ΘP (P )∨ ,X1 ,...,Xs ∈ΘP (P )

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Q(α1 , . . . , αr , X1 , . . . , Xs ) = (α1 ⊗· · ·⊗αr )(R(X1 ⊗· · ·⊗Xs )).

7.1. Tensorfelder Beispiel 7.3. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Sei ∇ : Θ(P ) × Θ(P ) → Θ(P ), (X, Y ) 7→ ∇X Y eine R-lineare Abbildung mit ∀X,Y ∈Θ(P ),f ∈C ∞ (P )

∇f X Y = f ∇X Y

und ∇X f Y = f ∇X Y + (X · f ) Y.

(Abbildungen dieser Form werden im Teil u ¨ber horizontale Strukturen auftreten und heißen kovariante Ableitungen.) Dann ist Ω(P ) × Θ(P ) × Θ(P ) → C ∞ (P ), (α, X, Y ) 7→ α(∇X Y − ∇Y X − [X, Y ]) eine C ∞ (P )-multilineare Abbildung. Damit existiert nach der Bemerkung genau ein (1, 2)-Tensorfeld T ∈ Θ1,2 (P ) mit ∀X,Y ∈Θ(P )

T (X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ].

(Das Tensorfeld T heißt der Torsionstensor der kovarianten Ableitung ∇.) Definition 7.2. Sei f : P → Q eine differenzierbare Abbildung zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Z Wir definieren einen Homomorphismus 0,∗ ∗ ΘQ → f∗ Θ0,∗ P , β 7→ f β

assoziativer Z-graduierter CQ∞ -Algebren durch die Setzung ∀V ∈U(Q),β∈Θ0,1 (V )=Ω(V ),X∈Θ(f −1 (V ))

(f ∗ β)(X) := β(f∗ X).

0,1 (Hier sei beachtet, daß die CQ∞ -Algebra Θ0,∗ Q durch ΘQ erzeugt wird.)

V Wir definieren einen Homomorphismus ΘP∗,0 → f ∗ Θ∗,0 Q , R 7→ f∗ R assoziativer Z-graduierter CP∞ -Algebren durch die Setzung ∀U ∈U(P ),R∈Θ1,0 (U )=Θ(U )

f∗ R := (T f )(R).

(F¨ ur den Fall von Vektorfeldern hatten wir diese Bezeichnung schon fr¨ uher eingef¨ uhrt. Außerdem sei wieder angemerkt, daß die CP∞ -Algebra Θ0,∗ durch Θ1,0 P P erzeugt wird.) I Ist f sogar ein Diffeomorphismus, so definieren wir einen Isomorphismus ∗,∗ ∗ Θ∗,∗ Q → f∗ ΘP , S 7→ f S

assoziativer Z-graduierter CQ∞ -Algebren durch ∀V ∈U(Q),T ∈Θ∗,0 (V ),β∈Θ0,∗ (V )

f ∗ (T ⊗ β) = (f∗−1 T ) ⊗ f ∗ β.

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7. Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten Bemerkung 7.4. Ist f : P → Q eine differenzierbare Abbildung zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten, 0,∗ ∞ so k¨ onnen wir verm¨ oge des CQ∞ -Algebrenhomomorphismus’ f ∗ : Θ0,∗ Q → f∗ ΘP die CQ 0,∗ Algebra f∗ Θ0,∗ P insbesondere als ΘQ -Algebra auffassen.

Bemerkung 7.5. Ist f : P → Q ein Diffeomorphismus zwischen CQ∞ -Mannigfaltigkeiten, ∗,∗ ∗ ∗ ∗,∗ so k¨ onnen wir den Morphismus f ∗ : Θ∗,∗ Q → f∗ ΘP auch als einen Morphismus f : f ΘQ → ∗,∗ ΘP auffassen. Da dieser Morphismus ein Morphismus von CP∞ -Moduln ist, induziert er insbesondere faserweise lineare Abbildungen f ∗ : T ∗,∗ Q(f (p)) → T ∗,∗ P (p) f¨ ur jedes p ∈ P . Beispiel 7.4. Operiere die lokale Liesche Gruppe Ge von rechts verm¨oge R : Pp ×Ge → Pp auf der lokalen C ∞ -Mannigfaltigkeit Pp . Dann wird f¨ ur r, s ∈ N0 eine Abbildung ∗,∗ Ge → HomR (Θ∗,∗ P (p)), g 7→ (S 7→ (Rg )∗ S(p g) P,p , T

definiert. F¨ ur festes S ∈ Θ∗,∗ P,p ist die induzierte Abbildung Sˆ : Ge → T ∗,∗ P (p), g 7→ (Rg )∗ S(p g) differenzierbar. Von besonderem Interesse ist diese Konstruktion f¨ ur lokale 1-Parametergruppen, also Gruppenwirkungen, die durch den Fluß von Vektorfeldern gegeben sind.

7.2. Die Liesche Ableitung Definition 7.3. Sei f : P → Q eine differenzierbare Abbildung zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Sei i : P → P × R, p 7→ (p, 0). Eine differenzierbare Abbildung F : (P × R)P ×0 → Q mit F ◦ i = f heißt eine Variation der differenzierbaren Abbildung f . Ist F eine Variation von f , so heißt F˙ := (∂ · F ) ◦ i0 ∈ Θ(f ) die von F induzierte infinitesimale Variation l¨ angs f . Jedes Vektorfeld l¨ angs einer Abbildung kann als infinitesimale Variation aufgefaßt werden. Um dieses zeigen zu k¨onnen, brauchen wir zun¨achst eine Aussage u ¨ber die Existenz von Differentialgleichungen zweiter Ordnung auf Mannigfaltigkeiten. Lemma 7.2. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k ≥ 2. Dann existiert eine globale Differentialgleichung zweiter Ordnung auf P , das heißt ein Vektorfeld S ∈ Θ(T P ) mit (πP )∗ S = idT P .

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7.2. Die Liesche Ableitung ¨ Beweis. Wir w¨ ahlen eine Uberdeckung (Ui )i∈I von P , so daß Karten xi : Ui → Rn von P existieren. F¨ ur i ∈ I sei (p1i , . . . , pni , p˙1i , . . . , pni ) : πP−1 (Ui ) → R2n die kanonische B¨ undelkarte zu xi , f¨ ur die also f¨ ur j ∈ {1, . . . , n} insbesondere ∂ j und ∂ j verwandt sind ∂pi

bez¨ uglich πP . Dann setzen wir Si :=

n X

p˙ji

j=1

∂ ∂pji

∂xi

∈ Θ(πP−1 (Ui )),

es gilt also insbesondere (πP )∗ Si = idπ−1 (Ui ) . P

¨ W¨ahlen wir schließlich eine Zerlegung (fi )i∈I der Eins zur Uberdeckung (Ui )i∈I , so ist X S := fi Si ∈ Θ(T P ) i∈I

eine wohldefinierte Differentialgleichung zweiter Ordnung auf P . Lemma 7.3. Sei f : P → Q eine differenzierbare Abbildung zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Jedes X ∈ Θ(f ) ist eine infinitesimale Variation von f , das heißt, es existiert eine Variation F : (P × R)P ×0 → Q von f mit X = F˙ . Beweis. Sei S ∈ Θ(T Q) irgendein Vektorfeld, welches eine Differentialgleichung zweiter Ordnung auf Q beschreibt, es gelte also (πQ ) ∗ S = idT Q . Sei Φ : (T Q × R)T Q×0 → Q eine universelle L¨osung dieser Differentialgleichung. Wir setzen F := Φ ◦ (X × idR ) : (P × R)P ×0 . Dann ist wegen Φ(·, 0) = (πQ )∗ X = f und (∂ · Φ)(·, 0) = idT Q die Abbildung F eine Variation von f , welche X als infinitesimale Variation hat. Aussage 7.1. Sei f : P → Q eine differenzierbare Abbildung zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Sei X ∈ Θ(f ) ein Vektorfeld l¨ angs f . Dann existiert genau eine Derivation 0,∗ LX : Θ0,∗ Q → f∗ ΘP , α 7→ LX α 0,∗ 0,∗ der R-Algebra ΘQ in den ΘQ -Modul f∗ Θ0,∗ ur die folgende Axiome gelten: P , f¨

L1 Es gilt ∀V ∈U(Q),φ∈C ∞ (V )=Θ0,0 (V )

LX φ = X · φ ∈ C ∞ (f −1 (V )) = (f∗ Θ0,0 P )(V ).

L2 Es gilt ∀V ∈U(Q),φ∈C ∞ (V )=Θ0,0 (V )

LX (dφ) = d(X · φ) ∈ Ω(f −1 (V )) = (f∗ Θ0,1 P )(V ).

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7. Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten Die Derivation LX heißt die Liesche Ableitung l¨angs des Vektorfeldes X. Beweis. Im Falle der Existenz ist LX sicherlich eindeutig, da die Garbe Θ0,∗ Q von R∞ ∞ Algebren u ¨ber Q durch CQ und ΩQ erzeugt wird und ΩQ als Garbe von CQ -Algebren wiederum durch das Bild von d : CQ∞ → ΩQ erzeugt wird. Damit bleibt, die Existenz zu zeigen. Dazu w¨ahlen wir eine Variation F : (P ×R)P ×0 → Q von f mit X = F˙ . F¨ ur V ∈ U(Q), α ∈ Θ0,s (V ) mit s ∈ N0 und Z1 , . . . , Zs ∈ Θ(f −1 (V )) definieren wir dann d ∀p∈f −1 (V ) (LX α)(Z1 , . . . , Zs )(p) := α(F (·, t)∗ Z1 (p), . . . , F (·, t)∗ Zs (p)). dt t=0 Dies definiert eine Derivation wie gefordert, welche die Axiome erf¨ ullt. Bemerkung 7.6. Sei f : P → Q eine differenzierbare Abbildung zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Sei F : (P × R)P ×0 → Q eine Variation von f . Ist dann α ein (0, ∗)-Tensorfeld auf Q, so induziert F eine Variation F ∗ α des Tensorfeldes f ∗ α auf P . Nach dem Beweis ist die zu F ∗ α geh¨ orende infinitesimale Variation dann offensichtlich durch das Tensorfeld . (F ∗ α) = LF˙ α auf P gegeben. Bemerkung 7.7. Sei f : P → Q eine differenzierbare Abbildung zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Dann wird durch die Liesche Ableitung ein Morphismus 0,∗ f ∗ ΘQ → f −1 DerR (Θ0,∗ Q , f∗ ΘP ), X 7→ LX

von R-Moduln u ¨ber P definiert, das heißt die Liesche Ableitung ist mit Lokalisierung auf P vertr¨ aglich. Beispiel 7.5. Seien f : P → Q und g : Q → R zwei differenzierbare Abbildungen zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Ist dann X ∈ Θ(f ) ein Vektorfeld l¨angs f , so gilt ∀β∈Θ0,∗ R

Lg∗ X β = LX (g ∗ β).

Beispiel 7.6. Seien f : P → Q und g : Q → R zwei differenzierbare Abbildungen zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Ist dann Y ∈ Θ(g) ein Vektorfeld l¨angs g, so gilt ∀β∈Θ0,∗ R

Lf ∗ Y β = f ∗ LY (β).

Folgerung 7.1. Seien f : P → Q und g : Q → R zwei differenzierbare Abbildungen zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Seien dann X ∈ Θ(Q) und Y ∈ Θ(R) verwandte Vektorfelder bez¨ uglich g, so folgt ∀β∈Θ0,∗ R

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LX (f ∗ β) = f ∗ (LY β).

7.2. Die Liesche Ableitung Aussage 7.2. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Sei X ∈ Θ(P ) ein globales Vektorfeld auf P . Dann existiert genau eine Derivation ∗,∗ LX : Θ∗,∗ P → ΘP , R 7→ LX R

der R-Algebra ΘP∗,∗ in den ΘP∗,∗ -Modul Θ∗,∗ ur die folgende Axiome gelten: P , f¨ L1 Es gilt ∀U ∈U(P ),φ∈C ∞ (U )=Θ0,0 (U )

LX φ = X · φ.

L2 Es gilt ∀U ∈U(P ),φ∈C ∞ (U )=Θ0,0 (U )

LX (dφ) = d(X · φ).

L3 Es gilt ∀U ∈U(P ),Y ∈Θ(U )=Θ1,0 (U )

LX Y = [X, Y ].

Die Derivation LX heißt wieder die Liesche Ableitung l¨angs des Vektorfeldes X. Beweis. Im Falle der Existenz ist LX sicherlich eindeutig, da die Garbe Θ∗,∗ P von R∞ Algebren u ¨ber P durch CP , ΘP und OmegaP erzeugt wird und ΩP als Garbe von CP∞ -Algebren wiederum durch das Bild von d : CP∞ → ΩP erzeugt wird. Damit bleibt, die Existenz zu zeigen. Dazu sei Φ : P × R0 → P der lokale Fluß von X mit Φt (p) = Φ(p, t) f¨ ur p ∈ P , t ∈ R0 . F¨ ur U ∈ U(P ), α ∈ Θr,s (V ) mit r, s ∈ N0 und definieren wir dann d ∀p∈U (LX α)(p) := ((Φ∗t R)(Φt (p))). dt t=0

Dies definiert eine Derivation wie gefordert, welche die Axiome erf¨ ullt. Bemerkung 7.8. Die so definierte Liesche Ableitung stimmt auf (0, ∗)-Tensoren mit der vorher definierten Lieschen Ableitung f¨ ur den Fall eines Vektorfeldes l¨angs der Identit¨at u ¨berein. Beispiel 7.7. Operiere die lokale Liesche Gruppe Ge von rechts verm¨oge R : Pp ×Ge → Pp auf der lokalen Mannigfaltigkeit Pp . Sei : g → T G(e), A 7→ A(e) der kanonische Isomorphismus von der Liealgebra g von G in den Tangentialraum von G am neutralen Element e. Ist dann S ∈ Θ∗,∗ ur die Ableitung der Abbildung P,p , so gilt f¨ Sˆ : Ge → T ∗,∗ P (p), R 7→ ((Rg )∗ S)(p g) gerade ˆ ◦ : g → T ∗,∗ , A 7→ LA S, (dS) P denn f¨ ur A ∈ g gilt bekanntlich d ˆ (dR)(A(e)) = ((Rexp(tA(e)) )∗ S)(p exp(tA(e))) = LAP S, dt t=0 nach Definition des fundamentalen Vektorfeldes AP zu A.

47

7. Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten Beispiel 7.8. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Seien U ∈ U(P ) und α ∈ Ω(U ) = Θ0,1 (U ). Dann gilt f¨ ur jedes Vektorfeld X ∈ Θ(P ), daß ∀Y ∈Θ(U ) (LX α)(Y ) = X · α(Y ) − α([X, Y ]). Um dies nachzurechnen, k¨onnen wir α = f dφ mit f, φ ∈ C ∞ (U ) annehmen. Dann gilt (LX (f dφ))(Y ) = (X · f )(Y · φ) + f (Y · X · φ) = X · (f dφ)(Y ) − (f dφ)([X, Y ]). Beispiel 7.9. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Seien r, s, i, j ∈ N0 mit i ≤ r und j ≤ s. Die Spur trij ist f¨ ur jedes Vektorfeld X ∈ Θ(P ) invariant, das heißt r−1,s−1 [trij , LX ] = trij ◦LX − LX ◦ trij : Θr,s . P → ΘP

Um dies nachzurechnen, k¨ onnen wir ohne Einschr¨ankung r = s = i = j = 1 annehmen. Sei weiter U ∈ U(P ) und Y ∈ Θ(U ) und α ∈ Ω(U ). Dann gilt

tr(LX (Y ⊗α)) = tr(LX (Y )⊗α+Y ⊗LX (α)) = α(LX (Y ))+(LX α)(Y ) = α([X, Y ])+X·α(Y )−α([X, Y ]) Aussage 7.3. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Sind X, Y ∈ Θ(P ) zwei Vektorfelder, so gilt f¨ ur den Kommutator der Operatoren LX und LY , daß [LX , LY ] = L[X,Y ] , das heißt die Liesche Ableitung induziert einen Morphismus ∗,∗ L : ΘP → DerR (Θ∗,∗ P , ΘP ), X 7→ LX

von Garben Liescher Algebren u ¨ber R. Beweis. Die Idee des Beweises ist nachzurechnen, daß die Derivation [LX , LY ] die Axiome der Lieschen Ableitung in Richtung [X, Y ] erf¨ ullt. Seien f ∈ C ∞ (P ) und Z ∈ Θ(P ). Dann gelten [LX , LY ]f = X Y f − Y X f = L[X,Y ] f und damit [LX , LY ](df ) = d([LX , LY ]f ) = d(L[X,Y ] f ) = L[X,Y ] (df ). Schließlich haben wir aufgrund der Jacobi-Identit¨at [LX , LY ]Z = [X, [Y, Z]] − [Y, [X, Z]] = [[X, Y ], Z] + [Y, [X, Z]] − [Y, [X, Z]] = L[X,Y ] (Z). Aussage 7.4. Sei Pp eine lokale C ∞ -Mannigfaltigkeit und R ∈ Θ∗,∗ P,p ein lokales Tensorfeld. Dann ist R genau dann unter dem Fluß Φ : Pp × R0 → Pp , (p0 , t) 7→ Φt (p0 ) eines Vektorfeldes Xp ∈ ΘP,p invariant, das heißt also ∀p0 ∈Pp ,t∈R0

(Φ∗ R)(Φ(p0 , t)) = R(p0 ),

wenn LXp Rp = 0. Beweis. Seien s, t ∈ R0 und p0 ∈ Pp . Wir setzen Rt (p0 ) := Φ∗t R(Φt (p0 )). Dann gilt d d d 0 0 ∗ Rt (p ) = Φt+s R(Φs+t (p )) = Φ∗t (Φ∗s R(Φs (Φt (p)))) = Φ∗t LX R(Φt (p)). dt ds ds s=0

s=0

Aus dieser Gleichung l¨ aßt sich die Behauptung dann in beiden Richtungen ablesen.

48

7.3. Differentialformen

7.3. Differentialformen Definition 7.4. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. F¨ ur k ∈ N0 heißt der CX∞ -Modul ΩkX :=

k ^

ΩX

die Garbe der (Differential-)k-Formen auf X. Wir setzen außerdem M ΩkX . Ω∗X := k∈N0

Dies ist eine kommutative Z-graduierte CX∞ -Algebra. Beispiel 7.10. Sei P eine n-dimensionale C ∞ -Mannigfaltigkeit. Dann ist Ω0X = CX∞ , und f¨ ur k > n ist ΩkX = 0. Beispiel 7.11. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Ist U ∈ U(P ) und f ∈ CX∞ (U ), so ist df ∈ Ω1X (U ) = ΩX (U ). Bemerkung 7.9. Sei P eine n-dimensionale C ∞ -Mannigfaltigkeit. Seien k ∈ N0 . Verm¨oge der Darstellung GL(n) × wird ΩkP durch

k ^

Rn , (A, u1 ∧ . . . ∧ uk ) 7→ (u1 · A−1 , . . . , un · A−1 ) ΩkP = LP ⊗GL(n) R⊗(r+s)

als ein am GL(n)-Torsor LP der Basisfelder assoziierter lokal freier CPk -Modul dargestellt. Beispiel 7.12. Sei P eine n-dimensionale C ∞ -Mannigfaltigkeit. Dann ist ΩnP an den GL(n)-Torsor LP verm¨ oge der Darstellung GLG(n) × R → R, (A, v) 7→ (det A)−1 v assoziiert. Bemerkung 7.10. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit und x : U → Rn mit U ∈ U(P ) eine Karte von P . Dann gilt k ∈ N0 , daß M ΩkX |U = CX∞ |U · dxi1 ∧ · · · ∧ dxik . 1≤i1 <···
Auch hier sehen wir, daß ΩkP lokal frei vom Rang

n k

ist.

49

7. Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten Bemerkung 7.11. Sei f : P → Q ein Morphismus zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. 0,∗ 0,∗ von Θ0,∗ Z Der Morphismus f ∗ : Θ0,∗ Q → f∗ ΘP induziert zwischen den Quotienten Ω einen Morphismus f ∗ : Ω∗Q → f∗ ΩP von Garben von CQ∞ -Moduln.

L Sei X ∈ Θ(f ) ein Vektorfeld l¨angs der Abbildung f . Der Morphismus LX : Θ0,∗ Q → f∗ Θ0,∗ P eine Derivation

LX : Ω∗Q → f∗ Ω∗P

der Garbe Ω∗Q von R-Algebren in den Ω∗Q -Modul f∗ Ω∗P . Aussage 7.5. Sei f : P → Q ein Morphismus von C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Sei X ∈ Θ(f ) ein Vektorfeld l¨ angs f . Dann existiert genau eine Derivation ιX : Ω∗Q → f∗ Ω∗−1 P , β 7→ ιX β vom Grad −1 der Garbe Ω∗Q von CQ∗ -Algebren in den Ω∗Q -Modul f∗ Ω∗P (insbesondere ist ιX also CQ∞ -linear), f¨ ur die gilt: ∀V ∈U(Q),β∈Ω(V )=Ω1 (V )

ιX (β) = β(X).

Diese Ableitung heißt innere Ableitung nach dem Vektorfeld X. Beweis. Im Falle der Existenz ist ιX sicherlich eindeutig, da Ω∗Q als CQ∗ -Algebra von ΩQ erzeugt wird. Um die Existenz zu zeigen, konstruieren wir ιX halmweise. Daß dies zu einem globalen Objekt zusammenkleben wird folgt dann schon aus der schon bewiesenen Eindeutigkeit. Sei p ∈ P . Wir setzen q := f (p). Sei yq : Qq → Rn0 eine Karte von Q an q. F¨ ur 1 ≤ i0 , . . . , ik−1 ≤ n setzen wir dann (ιX (dy i0 ∧ . . . ∧ dy ik−1 ))p :=

k−1 X

cij ∧ . . . ∧ dy ik (−1)j (X · y ij ) dy i0 ∧ . . . ∧ dy

j=0 ∗−1 ∞ linear zur gesuchten Abbildung ι ∗ und dies CQ,q Xp : ΩQ,q → ΩP,p fort. Hierdurch wird offensichtlich eine Derivation wie gew¨ unscht definiert.

Bemerkung 7.12. Seien f : P → Q ein Morphismus von C ∞ -Mannigfaltigkeiten und X ∈ Θ(f ) ein Vektorfeld l¨ angs f . Da ιX : Ω∗Q → f∗ Ω∗−1 insbesondere ein Morphismus P ∞ von CQ -Moduln ist, k¨ onnen wir ihn damit auch als Morphismus ιX : f ∗ Ω∗Q → Ω∗−1 P auffassen. Damit induziert er insbesondere eine faserweise lineare Abbildungen ∗

f :

∗−1 ^ Q

f¨ ur jedes p ∈ P .

50

∨

(T )Q(f (p)) →

∗ ^ P

(T ∨ )(p)

7.3. Differentialformen Bemerkung 7.13. Sei f : P → Q ein Morphismus von C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Dann induziert die innere Ableitung einen Morphismus ι : f ∗ ΘQ → DerCP∞ (f ∗ Ω∗Q , Ω∗−1 P ) von Garben von CP∞ -Moduln, das heißt die innere Ableitung ist nicht nur mit Lokalisierung vertr¨aglich, sondern auch CP∞ linear im Vektorfeld, nachdem abgeleitet wird. Aussage 7.6. Seien P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit und seien X, Y ∈ Θ(P ) zwei Vektorfelder auf P . Dann kommutieren (im graduierten Sinne) die Derivationen ιX und ιY , das heißt 0 = [ιX , ιY ] : Ω∗P → Ω∗−2 P . Insbesondere ist ιX : Ω∗P → Ω∗−1 ein Differential vom Grad −1 auf der CP∞ -Algebra P Ω∗P . Beweis. Der Beweis ist trivial, da es reicht, die Behauptung auf ΩP = Ω1P nachzurechnen, welches Ω∗P erzeugt. Da aber [ιX , ιY ](Ω1P ) ⊂ Ω−1 P =0 gilt, folgt die Behauptung. Bemerkung 7.14. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. F¨ ur k ∈ N0 definiert ein α ∈ ΩkP (U ) 0,k mit U ∈ U(P ) ein Tensorfeld α ˜ ∈ Θ (X) durch ∀X1 ,...,Xk ∈Θ(U ) ˜ ˜α(X1 , . . . , Xk ) := (ιXk ◦ · · · ◦ ιX1 )(α). Das so definierte Tensorfeld α ˜ ist alternierend. Dadurch wird ein Isomorphismus ∗ ^ Ω∗P = ( ΘP )∨ ⊂ Θ0,∗ P

von der Garbe der Differentialformen auf P in die Garbe der alternierenden Multilinearformen auf der Tangentialgarbe von P definiert. Aussage 7.7. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Dann existiert genau eine Derivation d : Ω∗P → Ω∗+1 P von der Garbe Ω∗P von R-Algebra u vom Grad 1, welche ¨ber P in den Ω∗P -Modul Ω∗+1 P den Morphismus d : CP∞ = Ω0P → ΩP = Ω1P fortsetzt und f¨ ur die ∀U ∈U(P ),φ∈CP∞ (U ) dd(φ) = 0 gilt. Diese Derivation heißt a ¨ußere oder Cartansche Ableitung.

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7. Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten Beweis. Im Falle der Existenz ist d sicherlich eindeutig, da Ω∗P als Garbe von R-Algebren von CP∞ und ΩP erzeugt wird und ΩP wieder durch das Bild von d : CP∞ → ΩP erzeugt wird. Um die Existenz zu zeigen, konstruieren wir d halmweise. Daß dies zu einem globalen Objekt zusammenkleben wird folgt dann schon aus der schon bewiesenen Eindeutigkeit. Sei p ∈ P . Sei xp : Pp → Rn0 eine Karte von P an p. F¨ ur 1 ≤ i0 , . . . , ik−1 ≤ n und ∞ φp ∈ CP,p setzen wir dann (d(φ dxi0 ∧ . . . ∧ dxik−1 ))p := (dφ ∧ dxi0 ∧ . . . ∧ dxik−1 )p . Hierdurch wird offensichtlich eine Derivation wie gew¨ unscht definiert. Aussage 7.8. Seien P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Dann ist d : Ω∗P → Ω∗+1 ein DiffeP rential vom Grad 1 auf der Garbe Ω∗P von R-Algebren, das heißt 1 0 = d2 = [d, d] : Ω∗P → Ω∗+2 P . 2 Beweis. Es reicht, die Behauptung auf den Erzeugern von Ω∗P als Garbe von R-Algebren nachzurechnen. Dies folgt aber sofort aus den Axiomen der ¨außeren Ableitung. Aussage 7.9. Sei f : P → Q ein Morphismus von C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Dann gilt f¨ ur jedes Vektorfeld X ∈ Θ(f ) l¨ angs der Abbildung f , daß LX = [d, ιX ] = d ◦ LX + LX ◦ d : Ω∗Q → f∗ Ω∗P . Beweis. Es reicht, f¨ ur [d, ιX ] die Axiome der Lieschen Ableitung nach X nachzurechnen. Sei dazu φ ∈ C ∞ (V ) mit V ∈ U(Q). Dann gelten [d, ιX ]φ = ιX dφ = X · φ = LX φ und [d, ιX ](dφ) = dιX dφ = dLX φ = LX (dφ).

Folgerung 7.2. Sei f : P → Q ein Morphismus von C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Dann gilt f¨ ur jedes Vektorfeld X ∈ Θ(f ) l¨ angs der Abbildung f , daß LX ◦ d = d ◦ LX , daß also [LX , d] = 0. Aussage 7.10. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit und seien X, Y ∈ Θ(P ) zwei Vektorfelder auf P . Dann gilt ι[X,Y ] = [LX , ιY ] = LX ◦ ιY − ιY ◦ LX : Ω∗P → Ω∗−1 P .

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7.3. Differentialformen Beweis. Da [LX , ιY ] und ι[X,Y ] Derivationen vom Grad −1 der Garbe Ω∗P von R-Algebren ist, reicht es, die Behauptung auf Funktionen und totalen Differentialen von Funktionen nachzurechnen. Nun gilt f¨ ur f ∈ C ∞ (U ) mit U ∈ U(P ) aus Gradgr¨ unden, daß [LX , ιY ]f = 0 = ι[X,Y ] f. Weiter gilt [LX , ιY ]df = LX (Y · f ) − ιY d(X · f ) = X · Y · f − Y · X · f = [X, Y ] · f = ι[X,Y ] df.

Aussage 7.11. Seien P und Q zwei C ∞ -Mannigfaltigkeiten und H : (P × R)P ×I → Q eine C ∞ -Homotopie. F¨ ur t ∈ I sei it : P → P, p 7→ (p, t). Wir setzen Ht := H ◦it f¨ ur alle ∞ t ∈ I und f := H0 und g := H1 . (In diesem Falle sagen wir, f und g seien C -homotop (verm¨oge H).) F¨ ur t ∈ I sei weiter Xt := (∂H) ◦ it ∈ Θ(Ht ). Dann wird eine R-lineare Abbildung K : Ω∗ (Q) → Ω∗−1 (P ) durch Z ∀β∈Ω∗ (Q),p∈P

K(β)(p) =

1

(ιXt β)(p) dt 0

definiert, f¨ ur die ∀β∈Ω∗ (Q) , g ∗ β − f ∗ β = [d, K](ω) = dKβ + Kdβ gilt. Beweis. Aufgrund der Satzes u ¨ber die differenzierbaren Abh¨angigkeit eines Integrals (¨ uber einem Kompaktum) von einem Parameter ist K(β) f¨ ur β ∈ Ω∗ (Q) in jedem Falle wieder eine Differentialform. Dabei bleibt, die zweite Behauptung zu zeigen. Nun gilt nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zun¨achst, daß Z 1 Z 1 ∗ ∗ g β−f β = LXt β dt = (dιXt β + ιXt dβ) dt. 0

0

Die ¨außere Ableitung vertauscht mit dem Integral, daher erhalten wir g ∗ β − f ∗ β = dKβ + Kdβ.

Folgerung 7.3. Seien f, g : P → Q zwei C ∞ -homotope Abbildungen zwischen C ∞ Mannigfaltigkeiten. Ist dann β ∈ Ω∗ (Q) eine d-geschlossene Differentialform, das heißt dβ = 0, so ist g ∗ β − f ∗ β ∈ Ω∗ (P ) eine d-exakte Differentialform, das heißt im Bild von d : Ω∗−1 (P ) → Ω∗ (P ).

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7. Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten Wir beenden diesen Abschnitt, indem wir kurz auf Theorie der relativeb Differentialformen bez¨ uglich eines Faserraumes eingehen. Es werden dadurch die in diesem Abschnitt definierten Begriffsbildungen erweitert. Definition 7.5. Sei f : P → Q ein C ∞ -Faserraum. F¨ ur k ∈ N0 heißt der CP∞ -Modul Ωkf :=

^k

Ωf

mit ∗ Ωf := Θ∨ f = ΩP /(f ΩQ )

die Garbe der (relativen) (Differential-)k-Formen auf f . Wir setzen außerdem M Ω∗f := Ωkf . k∈N0

Dies ist eine kommutative Z-graduierte CP∞ -Algebra. Beispiel 7.13. Sei f : P → Q ein C ∞ -Faserraum. Wir erinnern uns, daß f¨ ur alle p ∈ P die Inklusion der Faser P (p) ⊂ P von f einen kanonischer Isomorphismus ΘP (p) (p) ' T hetaf (p) vom Tangentialraum der Faser an p auf den Raum der vertikalen Vektoren an p induziert. Ist dann U ∈ U(P ) und α ∈ Ωf (U ), so wird u ur alle q ∈ Q ¨ber diese Identifikation f¨ eine gew¨ ohnliche Differentialform α(q) = i∗ α ∈ ΩP (p) (U ∩ P (p)) induziert, wobei i : P (p) → P die Inklusion der Faser ist. ¨ Die u ur gew¨ohnliche Differentialformen besitzen Aquivalente f¨ ur ¨blichen Operationen f¨ relative Differentialformen, indem die u ¨blichen Operationen faserweise angewendet werden: Bemerkung 7.15. Sei g : P 0 →Q P ein Morphismus zwischen C ∞ -Faserr¨aumen f 0 : P 0 → Q und f : P → Q u ¨ber Q. Sei X ∈ Θf (g) ein vertikales (!) Vektorfeld l¨angs g. Es existiert genau ein Morphismus ιX : Ω∗f → g∗ Ω∗−1 von Garben von CP∞ -Moduln f0 vom Grade −1, so daß ∀q∈Q,U ∈U(P ),α∈Ωf (U )

(ιX α)(q) = ιX(q) (α(q)),

das heißt, das innere Ableitung von Differentialformen auf Faserr¨aumen kann faserweise gebildet werden. Es existiert genau ein Morphismus d : Ω∗f → Ω∗+1 von Garben von R-Moduln vom f Grade 1, so daß ∀q∈Q,U ∈U(P ),α∈Ωf (U ) (dα)(q) = d(α(q)), das heißt, die ¨ außere Ableitung von Differentialformen auf Faserr¨aumen kann faserweise definiert werden.

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7.3. Differentialformen Es existiert genau ein Morphismus g ∗ : Ωf → g∗ Ωf 0 von Garben von CP∞ -Moduln, so daß ∀q∈Q,U ∈U(P ),α∈Ωf (U ) (g ∗ α)(q) = (g(q))∗ (α(q)), das heißt wir k¨ onnen Differentialformen auf Faserr¨aumen faserweise zur¨ uckziehen. Es existiert genau ein Morphismus LX : Ωf → g∗ Ωf 0 von Garben von R-Algebren, so daß ∀q∈Q,U ∈U(P ),α∈Ωf (U ) (LX α)(q) = LX(q) (α(q)), das heißt, die Liesche Ableitung von Differentialformen auf Faserr¨aumen kann faserweise gebildet werden. Bemerkung 7.16. Die u ur die Operationen des inneren Ableitung, ¨blichen Rechenregeln f¨ der ¨außeren Ableitung und der Lieschen Ableitung bleiben f¨ ur Differentialformen auf Faserr¨aumen erhalten.

55

7. Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten

56

8. Integration auf Mannigfaltigkeiten 8.1. Die Orientierungsgarbe Wir erinnern daran, daß die Einheitengruppe von Z durch Z× = {1, −1} gegeben ist. Diese ist wiederum eindeutig isomorph zur (additiv geschriebenen) Gruppe Z/(2). Definition 8.1. Sei P eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Verm¨oge des Gruppenhomomorphismus’ sgn : GL(n) → Z× , A 7→

det A |det A|

erweitern wir den GL(n)-Torsor LP der Basisfelder von P zum Z/(2)-Torsor SP := LP ×GL(n) Z× , der Orientierungsgarbe der Mannigfaltigkeit P . Sei U ∈ U(P ). Eine Orientierung s von P u ¨ber U ist ein Schnitt s ∈ OP (U ). Eine Orientierung von P ist eine Orientierung von P u ¨ber P . Besitzt P eine Orientierung, so heißt P orientierbar. Beispiel 8.1. Sei P eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Sei Ω× P die Garbe der nirgends verschwindenden n-Formen auf P . Diese Garbe ist ein R∗ -Torsor und kann verm¨oge des Gruppenhomomorphismus’ GL(n) → R∗ , A 7→ (det A)−1 durch ∗ Ω× P = LP ×GL(n) R

als Erweiterung des GL(n)-Torsors der Basisfelder dargestellt werden. Damit induziert der Gruppenhomomorphismus sgn : R∗ → Z× , x 7→

x |x|

einen Morphismus sgn : Ω× P → SP von Garben u ¨ber P . Insbesondere induziert jede nirgends verschwindende n-Form ω ∈ Ωn (U ) u ¨ber einer offenen Menge U ∈ U(P ) eine Orientierung sgn ω ∈ S (U ) von P u ¨ber U .

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8. Integration auf Mannigfaltigkeiten Bemerkung 8.1. Es folgt, f¨ ur eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0, daß die Orientierungsgarbe SP eine lokal konstante Garbe ist, deren Halme Z× -Hauptr¨aume sind. Insbesondere k¨ onnen wir den Totalraum Pˆ der Garbe SP u ¨ber P auf genau eine Weise mit der Struktur einer C k -Mannigfaltigkeit versehen, so daß die Projektion Pˆ → P eine ¨ ¨ zweibl¨ attrige Uberlagerung von C k -Mannigfaltigkeiten wird. Diese Uberlagerung heißt die Orientierungs¨ uberlagerung von P . Damit ist eine Mannigfaltigkeit genau dann orientierbar, wenn ihre Orientierungs¨ uberlagerung trivial ist, also einen Schnitt besitzt. Beispiel 8.2. Sei P = {∗} eine 1-punktige Mannigfaltigkeit. Dann k¨onnen wir in kanonischer Weise Pˆ mit Z× identifizieren. Damit hat der Punkt P genau zwei Orientierungen, n¨ amlich 1 und −1. Bemerkung 8.2. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Verm¨oge der kanonischen Inklusion Z× → R operiert die Gruppe Z× durch Skalarmultiplikation auf jedem CPk Modul E . Daher k¨ onnen wir |E | := E ×Z× SP setzen. Insbesondere ist |E | wieder ein CPk -Modul. Ist E lokal frei vom Rang r, so ist |E | ebenso lokal frei vom Rang r. die C k Definition 8.2. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Wir nennen Θ∗,∗ P P Garbe der ungeraden Tensorfelder auf P . (In diesem Zusammenhang heißen die gew¨ohnlichen Tensorfelder zur Abgrenzung auch gerade Tensorfelder.) Bemerkung 8.3. Analog k¨ onnen wir f¨ ur die diversen Quotienten- beziehungsweise Un∗,∗ k tergarben von ΘP f¨ ur eine C -Mannigfaltigkeit P mit k > 0 verfahren. So gibt es zum Beispiel die Garbe |Ω∗P | der ungeraden Differentialformen von P . Definition 8.3. Sei P eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Ein nirgends verschwindender Schnitt von |ΩnP | heißt eine Volumenform auf P . Bemerkung menformen

k 8.4. Sei P eine n-dimensionale C -Mannigfaltigkeit. Die Garbe der Volu Ω× von P ist verm¨oge der Gruppenhomomorphismus’ P

GL(n) → R× , A 7→ |det A| durch × Ω = LP ×GLG(n) R× P gegeben. Beispiel 8.3. Sei P eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Dann k¨ onnen wir Volumenformen von P verm¨oge des Morphismus × Ω× P → ΩP , ω 7→ |ω| mit ∀p∈P,ωp ∈Ω×

P,p

|ω|p := ωp ⊗ sgn ωp

konstruieren. Auf diese Weise konstruierte Volumenformen heißen positive Volumenformen.

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8.1. Die Orientierungsgarbe Bemerkung 8.5. Sei P eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Seien E und F zwei C k -Moduln. Sei |H om| (E , F ) die Garbe der Garbenhomomorphismen η : E |U → F |U , U ∈ U(P ) mit ∀V ∈U(U ),f ∈C k (V ),s∈E (V )

η(f s) = |f | η(s).

Diese Garbe ist in nat¨ urlicher Weise wieder ein CPk -Modul. Es existiert genau ein Morphismus von Garben von C ∞ -Moduln n ^ |ΩnP | → |H om| ( ΘP , CPk ), ω 7→ (X1 ∧ . . . Xn 7→ ω(X1 , . . . , Xn )), P

mit ∀U ∈U(P ),ω∈|Ω× |(U ),X1 ,...,Xn ∈Θ(U )

|ω| (X1 , . . . , Xn ) := ω(X1 , . . . , Xn ) sgn ω(X1 , . . . , Xn ).

Bemerkung 8.6. Sei P eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Die Garbe der positiven Volumenformen ist eine Untergarbe konvexer Teilmengen von |ΩnP |. Beispiel 8.4. Sei P eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Wir wollen zeigen, daß immer eine (globale) positive Volumenform ω ∈ |Ω× | (P ) von P existiert. ¨ Dazu w¨ahlen wir eine offene Uberdeckung von (Ui )i∈I von P , so daß Karten xi : Ui → n ¨ R existieren. Sei (fi )i∈I eine Zerlegung der Eins von CPk zur Uberdeckung (Ui )i∈I . F¨ ur i ∈ I definieren wir dann die positive Volumenform ωi := dx1i ∧ · · · ∧ dxni ∈ Ω× . In |Ωn | (P ) k¨onnen wir dann ω :=

X

fi ωi

i∈I

setzen. Aufgrund der Konvexit¨ at von Ω× P gilt dann sogar ω ∈ Ω× (P ). Orientierungen k¨ onnen wir auch in einer relativen Situation betrachten. Dazu definieren wir: Definition 8.4. Sei f : P → Q ein C k -Morphismus zwischen C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Die Orientierungsgarbe von f ist Sf := SP ×Z× f −1 SQ . Bemerkung 8.7. Sei f : P → Q ein C k -Morphismus zwischen C k -Mannigfaltigkeiten mit k > 0. Dann ist Sf nat¨ urlich isomorph zur Garbe der Morphismen f −1 SQ → SP von × Z -Torsoren u ¨ber P . Eine Orientierung S von f ist ein Morphismus S : f −1 SQ → SP von Z× -Torsoren u ¨ber P . Ein orientierter C k -Morphismus f : P → Q ist ein C k -Morphismus f : P → Q zusammen mit einer Orientierung S von f .

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8. Integration auf Mannigfaltigkeiten Beispiel 8.5. Sei f : P → {∗} die Projektion einer C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0 auf die einpunktige Mannigfaltigkeit. Dann ist die Orientierungsgarbe SP von P kanonisch isomorph zur Orientierungsgarbe Sf von f . Beispiel 8.6. Sei f : P → Q ein C k -Diffeomorphismus zwischen zwei C k -Mannigfaltigkeiten P und Q, k > 0. Da f einen nat¨ urlichen Isomorphismus zwischen f −1 SQ und SP induziert, besitzt f eine nat¨ urliche Orientierung. Ist f : P → Q sogar ein orientierter C k -Diffeomorphismus und P (und damit Q zusammenh¨ angend), so nennen wir f orientierungserhaltend, wenn seine nat¨ urliche Orientierung mit der gegebenen u ¨bereinstimmt und orientierungsumkehrend andernfalls. Definition 8.5. Sei i : Q → P eine C k -Immersion einer C k -Mannigfaltigkeit P mit k > 0. Eine ¨ außere Orientierung S von Q in P ist ein Schnitt S ∈ Si (Q), also ein Morphismus S : i−1 SP → SQ von Z× -Torsoren u ¨ber Q. Beispiel 8.7. Sei i : Q → P eine C k -Immersion einer C k -Mannigfaltigkeit P der Kodimension Eins, das heißt dim P − dim Q = 1. Jedes Vektorfeld X ∈ Θ(i) von P mit ∀q∈Q

X(q) 6= T Q(q)

induziert eine ¨ außere Orientierung S : i−1 SP → SQ von Q, n¨amlich durch ∀q∈Q,ωi(q) ∈Ω×

P,i(q)

S(sgn ωi(q) ) = sgn(ιX(q) ωi(q) ).

Wir wollen das letzte Beispiel noch ein wenig spezialisieren: Beispiel 8.8. Sei n ∈ N. Sei i : Rn−1 → Rn , (u1 , . . . , un−1 ) 7→ (u1 , . . . , un−1 , 0). Seien ∂1 , . . . , ∂n ∈ Θ(Rn ) die kanonischen Basisvektorfelder. Dann ist die kanonische ¨ außere Orientierung von Rn−1 in Rn durch das Vektorfeld −i∗ ∂n ∈ Θ(i) gegeben. Beispiel 8.9. Sei f : P → Q ein C k -Faserraum, k > 0. Dann ist ∀q∈Q

Sf (q) = SP (q) ,

das heißt die Fasern bez¨ uglich f der Orientierungsgarbe von f sind die Orientierungsgarben der Fasern von f . Definition 8.6. Sei f : P → Q ein C ∞ -Faserraum. Die Garbe |Ω|∗f der ungeraden Differentialformen auf f ist der CQ∞ -Modul |Ω|∗f := Ω∗f ×Z× Sf . Bemerkung 8.8. Die bisher hergestellten Zusammenh¨ange zwischen gew¨ohnlichen Differentialformen und Orientierungen sind auch in der relativen Situationen f¨ ur Differentialformen auf Faserr¨ aumen und Orientierungen auf Faserr¨aumen richtig.

60

8.2. Mannigfaltigkeiten mit Rand

8.2. Mannigfaltigkeiten mit Rand In diesem Abschnitt wollen wir den Begriff einer Mannigfaltigkeit mit Rand einf¨ uhren, um den Satz von Stokes in voller Allgemeinheit formulieren zu k¨onnen. Die Vollkugel beispielsweise ist keine Mannigfaltigkeit im eigentlichen Sinne, allerdings eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Der Rand ist dann eine Sph¨are, n¨amlich die Kugeloberfl¨ache. Definition 8.7. Sei Pˆ eine C k -Mannigfaltigkeit. Sei P ⊂ Pˆ eine abgeschlossene Teilmenge. Wir sagen, P hat glatten Rand, falls f¨ ur alle p ∈ ∂P eine C k -Submersion fp : Pp → R mit n o Pp = p0 ∈ Pˆp | fp (p0 ) ≥ 0 existiert. Beispiel 8.10. Sei n ∈ N0 . Die n-dimensionale obere Halbebene Hn := (u1 , . . . , un ) ∈ Rn | un ≥ 0 hat einen glatten Rand. Definition 8.8. Sei k ∈ N0 . Sei n ∈ N0 . Eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit P mit Rand ist eine lokalisierte n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit PˆP , wobei P ⊂ Pˆ eine abgeschlossene Teilmenge mit glattem Rand ist. Seien P und Q zwei C k -Mannigfaltigkeiten mit Rand. Ein Morphismus f : P → Q von C k -Mannigfaltigkeiten mit Rand ist ein Morphismus f : P → Q lokalisierter lokal geringter R¨aume. Wir nennen einen solchen Morphismus auch eine C k -Abbildung von P nach Q. (k) Mit Diff ∂ bezeichnen wir die konkrete Kategorie der C k -Mannigfaltigkeiten mit Rand. Beispiel 8.11. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit. Dann ist PP eine C k -Mannigfaltigkeit mit Rand. Auf diese Weise l¨ aßt sich der Kategorie der Mannigfaltigkeiten Diff (k) in die Kategorie der Mannigfaltigkeiten mit Rand Diff (k) volltreu einbetten, und wir werden so jede Mannigfaltigkeit als Mannigfaltigkeit mit Rand auffassen. Insbesondere ist der Rn eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand. Beispiel 8.12. Sein Pˆ eine C k -Mannigfaltigkeit, k > 0. Sei f : Pˆ → R eine C k -Submersion. o Dann ist P := p ∈ Pˆ | f (p) ≥ 0 in nat¨ urlicher Weise eine C k -Mannigfaltigkeit mit Rand. Bemerkung 8.9. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit Rand, k > 0. Dann existiert f¨ ur alle p ∈ ∂P eine Karte xp : Pˆp → Rn0 , so daß xp (Pp ) = Hn0 , das heißt C k -Mannigfaltigkeiten mit Rand sehen lokal wie RnHn aus. Bemerkung 8.10. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit Rand. Jede Garbe EPˆ auf Pˆ induziert eine Garbe EP := i−1 EPˆ auf dem abgeschlossenen Teilraum P ⊂ Pˆ , wobei i : P → Pˆ die Inklusionsabbildung ist.

61

8. Integration auf Mannigfaltigkeiten Aussage 8.1. Sei PˆP eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit Rand, k > 0. Dann ist der topologischen Rand ∂P von P in Pˆ eine regul¨ are Untermannigfaltigkeit von Pˆ , der Rand von P . n o Beweis. Sei p ∈ ∂P . Dann existiert eine C k -Submersion fp : Pˆp → P mit Pp = p0 ∈ Pˆ | f (p0 ) ≥ 0 . Es folgt, daß n o ∂Pp = p0 ∈ Pˆp | f (p0 ) = 0 und damit ist nach dem Satz u ¨ber gleichungsdefinierte Untermannigfaltigkeiten ∂P eine regul¨ are Untermannigfaltigkeit von Pˆ . Eine Mannigfaltigkeit ist eine Mannigfaltigkeit mit Rand ohne Rand: Beispiel 8.13. Eine C k -Mannigfaltigkeit P mit Rand, k > 0, ist genau dann eine gew¨ ohnliche Mannigfaltigket, wenn ∂P = ∅ ist. Definition 8.9. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit Rand, k > 0, und Q und R seien C k Mannigfaltigkeiten. Dann heißt eine C k -Abbildung f : P → Q transversal zu einer C k Abbildung g : R → Q, falls sowohl fˆ: Pˆ → Q als auch ∂f := f |∂P : ∂P → Q transveral zu f sind. Beispiel 8.14. Sei f : P → Q eine C k -Submersion mit Rand, k > 0, das heißt, P ist eine C k -Mannigfaltigkeit mit Rand und Q ist eine C k -Mannigfaltigkeit und fˆ: Pˆ → Q und ∂f : ∂P → Q sind C k -Submersionen. Dann ist f zu jeder C k -Abbildung g : R → Q von einer weiteren C k -Mannigfaltigkeit transversal. Aussage 8.2. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit Rand, k > 0, und Q und R seien C k -Mannigfaltigkeiten. Sei die C k -Abbildung f : P → Q transversal zur C k -Abbildung g : R → Q. Dann ist P ×Q R eine abgeschlossene Teilmenge von Pˆ ×Q R mit glattem Rand und (Pˆ ×Q R)P ×Q R ist zusammen mit den nat¨ urlichen Projektionen (Pˆ ×Q R)P ×Q R → PˆP und (Pˆ ×Q R)P × R → R ein Faserprodukt von P und R u ¨ber Q in der Kategorie der Q

C k -Mannigfaltigkeiten mit Rand. ˆ Beweis. Sei (p, f (p) = g(r). Wir w¨ahlen eine C k -Submersion fp : Pˆp → n r) ∈ P ×Q R, also o R mit Pp := p0 ∈ Pˆ | fp (p0 ) ≥ 0 . Dann ist nach Voraussetzung fp transversal zu den Fasern von f . Daher ist h(p,r) : (P ×Q R)(p,r) → R, (p0 , r0 ) 7→ fp (p0 ) wieder eine C k -Submersion. Es gilt n o (P ×Q R)(p,r) = (p0 , r0 ) ∈ Pˆ ×Q R | fp (p0 ) ≥ 0 . Daraus folgt f¨ ur den topologischen Rand ∂(P ×Q R) = (∂P ) ×Q R (relativ zu Pˆ ×Q R), und dieser ist glatt. Damit ist (Pˆ ×Q R)P ×Q R eine C k -Mannigfaltigkeit mit Rand. Die Behauptung, daß diese Mannigfaltigkeit ein Faserprodukt in der Kategorie der C k Mannigfaltigkeiten mit Rand ist, folgt daraus, daß Pˆ ×Q R ein Faserprodukt von Pˆ und Ru ¨ber Q in der Kategorie der C k -Mannigfaltigkeiten ist.

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8.3. Integration von Volumenformen Beispiel 8.15. Sei f : P → Q ein C k -Submersion mit Rand, k > 0. Dann ist jede Faser P (q) f¨ ur alle q ∈ Q eine C k -Mannigfaltigkeit mit Rand. Aussage 8.3. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit Rand, k > 0. Sei i : ∂P → Pˆ die Inklusion des Randes. Dann existiert genau eine ¨ außere Orientierung S : i−1 SPˆ → S∂P auf ∂P in P n(das heißt, in Pˆ ), so ur alle p ∈ P und alle C k -Submersionen fp : Pˆ → o daß f¨ R mit Pp = p0 ∈ Pˆ | f (p0 ) ≥ 0 gilt, daß ∀u∈ΘPˆ (p),u·f <0,sgn ω∈SPˆ (p)

S(sgn ω) = sgn(ιu ω).

Wir nennen diese Randorientierung die nat¨ urliche Randorientierung von ∂P in P . n o Beweis. Sei gp : Pˆ → R eine weitere C k -Submersion mit der Eigenschaft Pp = p0 ∈ Pˆ | g(p0 ) ≥ 0 , Dann ist zu zeigen ∀u∈ΘPˆ (p) u · f < 0 ⇐⇒ u · g < 0. Sei dazu γ : R0 → Pˆp ein C k -Kurvenkeim an p mit 0 > γ(0) ˙ · f = (f ◦ γ)0 (0). Daraus folgt aufgrund der Eigenschaft von fp , daß ∀∈R0 ,>0

γ() ∈ P

und γ(−) ∈ Pˆ \ P.

Aufgrund der Eigenschaft gp folgt daraus wiederum, daß 0 > γ(0) ˙ · g = (g ◦ γ)0 (0).

Beispiel 8.16. Wir betrachten Hn , n > 0, als Mannigfaltigkeit mit Rand ∂Hn = Rn−1 . Dann ist die kanonische ¨ außere Orientierung von Rn−1 in Rn gerade die nat¨ urliche Randorientierung des Randes Rn−1 in Hn ⊂ Rn .

8.3. Integration von Volumenformen Aussage 8.4. Sei P eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit Rand mit k > 0. Dann existiert genau eine R-lineare Abbildung Z Z n : |Ω |c (P ) → R, ω 7→ ω, P

P

so daß f¨ ur alle offenen Teilmengen U ∈ U(Pˆ ), alle (Rand-)Karten x : U → Rn und alle f ∈ Cck (U ) gilt, daß Z Z f dx1 ∧ · · · ∧ dxn = f (x−1 (u)) du1 · · · dun . P

Die Abbildung

R P

x(U ∩P )

heißt das Integral u ¨ber P .

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8. Integration auf Mannigfaltigkeiten R ¨ Beweis. Zun¨ achst konstruieren wir die Abbildung P . Dazu sei (Ui )i∈I eine offene Ubern deckung von P , so daß Karten xi : Ui → R von P f¨ ur alle i ∈ I existieren. Weiter ¨ w¨ahlen wir eine Zerlegung (fi )i∈I der Eins zur Uberdeckung (Ui )i∈I . Sei ω ∈ |Ωn |c (P ). F¨ ur alle i ∈ I existieren dann eindeutig gi ∈ C k c (Ui ) mit fi ω = gi dx1i ∧ · · · ∧ dxni ∈ |Ωn |c (Ui ). Dann setzen wir

Z ω := P

XZ xi (Ui ∩P )

i∈I

1 n gi (x−1 i (u)) du · du .

Die Summe auf der rechten Seite ist endlich, daß ω kompakten Tr¨ager hat und daher nur endlich at R viele gi nicht verschwinden. Offensichtlich hatten wir aufgrund der Additivit¨ von P gar keine andere Wahl als diese Setzung. R Es bleibt daher zu zeigen, daß unser so konstruiertes Integral P die geforderten Eigenschaften hat. Zun¨ achst die charakterisieR ist es offensichtlich R-linear. Es bleibt daher ˆ ), x : U → Rn eine (Rand-)karte rende Eigenschaft von P zu zeigen. Dazu sei U ∈ U( P und g ∈ Cck (U ). Mit ω := g dx1 ∧ · · · ∧ dxn gilt dann f¨ ur alle i ∈ I, daß j 1 ∂x dxi ∧ · · · ∧ dxni , fi ω = fi g dx1 ∧ · · · ∧ dxn = fi gi , k ∂xi j,k∈{1,...,n} mit den obigen Bezeichnungen ist also j ∂x gi := fi g k . ∂xi

∀i∈I

Schließlich ist nach dem Transformationssatz f¨ ur mehrdimensionale Integral Z Z ∂xj XZ X X i −1 1 −1 n 1 n −1 fi (x−1 gi (xi (u)) du ·du = gi (x (u)) k ◦x du · · · du = ∂x x(U ∩P ) xi (Ui ∩P ) x(U ∩P ) i∈I

i∈I

i∈I

was noch zu zeigen war. Fangen wir mit einem trivialen Beispiel an: Beispiel 8.17. Sei P eine 0-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, k > 0. Sei ω ∈ Ω0 c (P ) = Cck (P ). Dann ist Z X ω= ω(p). P

p∈P

(Fast alle Summanden der Summe verschwinden, da ω kompakten Tr¨ager hat.) Der Transformationssatz f¨ ur mehrdimensionale Integrale nimmt f¨ ur Mannigfaltigkeiten die folgende Gestalt an: Aussage 8.5. Sei f : P → Q ein Diffeomorphismus zwischen C k -Mannigfaltigkeit mit Rand, k > 0. Dann gilt Z Z ∀ω∈|Ωn |(Q) ω= f ∗ ω. Q

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P

8.3. Integration von Volumenformen Beweis. Wir m¨ ussen zeigen, daß Z

n

|Ω |c (Q) → R, ω 7→

f ∗ω

P

die charakterisierende Eigenschaft des Integrals u ¨ber Q hat. n ˆ Dazu sei V ∈ U(Q) und y : V → R eine (Rand-)Karte von Q. Sei g ∈ sheaf C kc (V ). Dann gilt Z Z Z 1 1 ∗ n n f (g· dy ∧ · · · ∧ dy ) = (g◦f )· d(y ◦ f ) ∧ . . . d(y ◦ f ) = (g◦y) du1 · · · dun , P

y(V ∩Q)

P

denn x := y ◦ f : U := f −1 (V ) → Rn ist eine Karte von P . Es gibt noch eine relative Version des Integrals f¨ ur Differentialformen auf Faserr¨aumen, die wir kurz erw¨ ahnen wollen: Bemerkung 8.11. Sei f : P → Q eine C ∞ -Submersion mit Rand. Dann existiert genau ein Morphismus Z : f! Ω∗f → CQ∞ f

von Garben von C ∞ -Moduln, so daß f¨ ur alle q ∈ Q und alle ω ∈ (f! Ω∗f )(q) gilt, daß Z

Z ω=

f

ω. Pp

Beispiel 8.18. Sei f : P → Q eine C ∞ -Submersion der Faserdimension n mit Rand. Sei ΩnP → Ωnf , ω 7→ ω ¯ die nat¨ urliche Projektion. ∗ n ∗ Sei Φ : ΩP → Ωf ⊗ f ΩQ der nat¨ urliche Morphismus von CP∞ -Moduln, f¨ ur den gilt, daß ∀p∈P,ω∈Ωn (p),β∈Ω∗−n (q) Φ(ω ∧ (f ∗ β)(p)) = ω ¯ ⊗ (f ∗ β)(p). P

Q

Dieser Morphismus definiert einen nat¨ urlichen Morphismus n ∗ ∗ ∗−n f! |ΩP | → f! ( Ωf ⊗ f ΩQ ) = (f! Ωnf ) ⊗ |Ω|∗−n Q , das heißt, das Integral u ¨ber relative Differentialformen induziert ein Integral Z : f! |Ω∗P | → Ω∗−n Q , f

welches ein Morphismus von Grade −n von Z-graduierten C ∞ -Moduln ist. Als eine Anwendung geben wir den Satz von Liouville an:

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8. Integration auf Mannigfaltigkeiten Beispiel 8.19. Sei F : (P × R)P ×0 → Q die Variation einer C ∞ -Abbildung f : P → Q zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten P und Q mit Rand, und sei P kompakt. Sei X := F˙ ∈ Θ(f ) die infinitesimale Variation von F . Verm¨oge g : (P × R)P ×0 → R0 , (p, t) 7→ t fassen wir (P × R)P ×0 als (lokalisierten) Faserraum u ¨ber R0 auf. × Sei ω ∈ |Ω | (P ) eine Volumenform. Dann ist die Abbildung Z Z ∗ V = F Q : R0 → R, t 7→ Ft∗ ω g

P

differenzierbar mit V 0 (0) =

Z LX ω. P

Beispiel 8.20. Sei Q eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Dann definieren wir die C ∞ -Mannigfaltigkeit mit Rand P := {(q, s, t) ∈ Q × R × R | t ≤ s} ⊂ Q × R × R. Sei f : P → Q × R, (q, s, t) 7→ (q, s). Dann ist f eine C ∞ -Submersion mit Rand. Es gilt ∂f : ∂P = {(q, s, s) | Q × R × R} → Q × R, (q, s, s) 7→ (q, s). Seien weiter g : P → Q × R, (q, s, t) 7→ (q, t) und h : Q × R → Q, (q, t) 7→ q. Dann gilt Z ∀U ∈U(P ),ω∈(h! |Ω∗ |)(U ) g ∗ ω = ω. Q×R

∂P

Die a ¨ußere Ableitung ist der zum Randoperator adjungierte Operator. Das ist die wesentliche Aussage des Satzes von Stokes. Wir wollen den Satz von Stokes allerdings zun¨ achst in einer relativen Version formulieren: Satz 8.1. Sei f : P → Q eine C ∞ -Submersion der Faserdimension n mit Rand. Dann gilt Z Z Z Z = [ , d] = ◦d − (−1)n d ◦ : f! |Ω∗P | → Ω∗−n Q . ∂f

f

f

f

¨ Beweis. Sei V ∈ U(Q) und (Ui )i∈I eine offene Uberdeckung von f −1 (V ) ⊂ P und (fi )i∈I ∗ eine Zerlegung der Eins. Dann gilt f¨ ur ω ∈ (f! |ΩP |)(V ), daß Z Z X Z XZ [ , d]ω = [d, ](fi ω) = fi ω = −(−1)n ω, f

i∈I

f

i∈I

∂f

∂f

falls der Satz f¨ ur die fi ω, i ∈ I schon richtig ist. Damit reicht es f¨ ur eine Faserraumkarte (x1 ◦ f, . . . , xm ◦ f, y 1 , . . . , y n ) : U → Rm+n f¨ ur U ∈ U(P ) und ω = Rg dy I ∧ f ∗ dy J mit g ∈ Cck (U ) und I ⊂ {1, . . . , n} und J ⊂ {1, . . . , k} den Kommutator [ f , d]ω auszurechnen. Nicht triviale Beitr¨age gibt es f¨ ur die F¨ alle |I| = n und |I| = n − 1. Im Falle, daß |I| = n gilt Z Z Z m Z X [ , d]ω = ( (dg) dy I ) dxJ −(−1)n d(( gdy I )dxJ ) = (−1)n f

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f

f

j=1

f

m

X ∂g dxj ∧dxJ −(−1)n j ∂(x ◦ f ) j=1

Z f

∂

8.3. Integration von Volumenformen Im anderen Falle, n¨ amlich daß |I| = n − 1, gilt Z Z n Z X ∂g i [ , d]ω = dω = ( dy ∧ dy I ) dxJ . i ∂y f f f i=1

Damit berechnen wir f¨ ur q ∈ Q folgendes Integral Z Z ∞ Z ∞ Z ∞ n Z n n X X ∂g i X i−1 −1 n i−1 1 u dy = (−1) ∂i (g(q)◦y ) d u = (−1) du · · · d n−1 dun ∂i (g(q)◦y − i f ∂y y(U (q))∩Hn −∞ −∞ 0 i=1

i=1

i=1

Es folgt, daß Z [d,

Z ]ω = (

f

I

Z

J

g(q) dy |∂f ) dx =

∂f

ω|∂f . ∂f

Die gew¨ohnliche Version des Satzes von Stokes ist der Fall, daß Q einpunktig ist. Folgerung 8.1. Sei P eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit Rand mit k > 0. Dann gilt f¨ ur alle ω ∈ |Ω|n−1 c (U ), daß Z Z dω = ω|∂P . P

∂P

Definition 8.10. Sei P ein C ∞ -Mannigfaltigkeit und ω ∈ |Ω× | (Q) eine Volumenform. Dann ist die Divergenz ÷ω bez¨ uglich ω derjenige Morphismus ÷ω : ΘQ → CP∞ , X 7→ ÷ω X von Garben von R-Vektorr¨ aumen u ur den ¨ber P , f¨ ∀U ∈U(P ),X∈Θ(U ) (÷o megaX) ω ◦ |U = LX ω|U gilt. Beispiel 8.21. Sei ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn die Standardvolumenform des Rn . F¨ ur ein U ∈ P ∂ i ∈ C ∞ (U ), i ∈ {1, . . . , n} gilt dann mit X U(Rn ) und ein Vektorfeld X = ni=1 X i ∂x i ÷X := ÷ω X =

n X ∂X i i=1

∂xi

.

Als Folgerung zum Satz von Stokes k¨ onnen wir jetzt den Integralsatz von Gauß angeben: Folgerung 8.2. Seien P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit mit Rand und ω ∈ |Ω× | (P ) eine Volumenform auf P . Dann gilt f¨ ur jedes Vektorfeld X ∈ Θc (P ) mit kompaktem Tr¨ ager, daß Z Z (÷ω X) ω = ιX ω. P

∂P

67

8. Integration auf Mannigfaltigkeiten

8.4. Der de Rhamsche-Kohomologiering Definition 8.11. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Wir setzen Z ∗ := ker(d : Ω∗P → Ω∗+1 P ). Dann ist Z ∗ eine Garbe von Z-graduierten kommutativen R-Algebren u ¨ber P , die Garbe der geschlossenen Differentialformen auf P . Weiter setzen wir B := im(d : Ω∗−1 → Ω∗P ), P wobei in diesem Falle im das Pr¨agarbenbild bezeichnet, das heißt, es gilt B(U ) = d(Ω∗−1 P (U )). Dann ist B eine Pr¨ agarbe homogener Ideale von Z , die Pr¨ agarbe der exakten Differentialformen auf P . Definition 8.12. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Die Z-graduierte kommutative R-Algebra mit Eins H ∗ (P ) := Z (P )/B(P ) heißt der de Rhamsche Kohomologiering von P . Weiter heißt die Z-graduierte kommutative R-Algebra (ohne Eins!) Hc∗ (P ) := Z ∗ c (P )/B ∗ c (P ) heißt der de Rhamsche Kohomologiering mit kompaktem Tr¨ ager von P . ∗ ¨ Ist α ∈ Z (P ), so bezeichnen wir die Aquivalenzklasse von α in H ∗ (P ) in der Regel ¨ mit [α]. Ist α ∈ Z ∗ c (P ), so bezeichnen wir die Aquivalenzklasse von α in Hc∗ (P ) ebenso mit [α]. Bemerkung 8.12. Sei P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Da Zc (P ) ein Modul u ¨ber Z (P ) und bez¨ uglich dieser Modulstruktur Z (P ) Bc (P ) ⊂ Bc (P ) und B(P ) Zc (P ) ⊂ Bc (P ) gelten, ist Hc∗ (P ) in kanonischer Weise ein Modul u ¨ber H ∗ (P ). Bemerkung 8.13. Ist f : P → Q eine C ∞ -Abbildung zwischen C ∞ -Mannigfaltigkeiten P und Q, so wird ein wohldefinierter Homomorphismus Z-graduierter kommutativer R-Algebren mit Eins f ∗ = H ∗ (f ) : H ∗ (Q) → H ∗ (P ), [α] 7→ [f ∗ α] induziert. Ist f : P → Q sogar eigentlich, so gilt mit α ∈ Ωc (Q), daß f ∗ α ∈ Ωc (P ). In diesem Falle wird ein weiter wohldefinierter Homomorphismus Z-graduierter kommutativer RAlgebren f ∗ = Hc∗ (f ) : Hc∗ (Q) → Hc∗ (P ), [α] 7→ [f ∗ α]

68

8.4. Der de Rhamsche-Kohomologiering induziert. Diese Abbildung ist mit der eben definierten und der Modulstruktur von Hc∗ (·) u aglich. ¨ber H ∗ (·) vertr¨ Diese Konstruktionen sind mit Identit¨aten und Kompositionen vertr¨aglich. Damit werden dadurch ein Funktor H ∗ (·) von der Kategorie der C ∞ -Mannigfaltigkeiten in die Kategorie der Z-graduierten kommutativen R-Algebren und ein Funktor Hc∗ (·) von der Kategorie der C ∞ -Mannigfaltigkeiten zusammen mit den eigentlichen C ∞ -Abbildungen zwischen ihnen in die Kategorie der Z-graduierten kommutativen R-Algebren definiert. Bemerkung 8.14. Indem wir in den obigen Konstruktionen die Garbe der gerade Differentialformen jeweils durch die Garbe der ungeraden Differentialformen ersetzen, erhalten ˜ ∗ beziehungsweise die ungerade de Rhamwir die ungerade de Rhamschen Kohomologie H ∗ ˜ ˜ ∗ (H ˜ c∗ ) von schen Kohomologie Hc mit kompaktem Tr¨ ager. Dies definiert einen Funktor H ∞ der Kategorie der C -Mannigfaltigkeiten zusammen mit den orientierten (eigentlichen) C ∞ -Abbildungen zwischen ihnen in die Kategorie der Z-graduierten R-Vektorr¨aume. ˜ ∗ als auch H ˜ c∗ sind in nat¨ Sowohl H urlicher Weise Z-graduierte Moduln u ¨ber Hc∗ und Hc∗ . Bemerkung 8.15. Sind f, g : P → Q zwei zueinander homotope C ∞ -Abbildungen zwischen zwei C ∞ -Mannigfaltigkeiten P und Q. Dann folgt aus 7.3, daß f ∗ = g ∗ : H ∗ (Q) → H ∗ (P ), denn (g ∗ − f ∗ )(Z ∗ (Q)) ⊂ B ∗ (P ). Damit wird sogar ein Funktor H ∗ (·) von der Kategorie der C ∞ -Mannigfaltigkeiten zusammen mit den Homotopieklassen von C ∞ -Abbildungen in die Kategorie der Zgraduierten kommutativen R-Algebren definiert. ˜ ∗ (·) von der Kategorie der C ∞ -Mannigfaltigkeiten Bemerkung 8.16. Analog wird ein Funktor H zusammen mit den Homotopieklassen orientierter C ∞ -Abbildungen in die Kategorie der Z-graduierten R-Vektorr¨ aume definiert. Beispiel 8.22. Sei f : P → Q eine Homotopie¨aquivalenz zwischen zwei Mannigfaltigkeiten, das heißt also, daß f : P → Q eine C ∞ -Abbildung ist, f¨ ur die eine C ∞ -Abbildung g : Q → P existiert, so daß g ◦ f : P → P homotop zur Identit¨at idP und f ◦ g : Q → Q homotop zur Identit¨ at idQ sind. Dann ist f ∗ : H ∗ (Q) → H ∗ (P ) ein Isomorphismus, insbesondere sind H ∗ (P ) und H ∗ (Q) isomorph. Ist insbesondere P eine zusammenziehbar, das heißt homotopie¨aquivalent zur einpunktigen Mannigfaltigkeit {∗}, so gilt H ∗ (P ) = R. Bemerkung 8.17. Sei P eine n-dimensionale C ∞ -Mannigfaltigkeit. Nach dem Satz von Stokes ist die Abbildung Z Z n ˜ : Hc (P ) → R, [ω] 7→ ω P

P

wohldefiniert. Wir wollen im folgenden Satz zeigen, daß diese Abbildung f¨ ur den Fall, daß die Mannigfaltigkeit P zusammenh¨ a ngend ist, ein Isomorphismus ist. Insbesondere folgt daraus R n der Kern des Integrals P : |Ω |c (P ) → R gerade aus den exakten Formen besteht. Um diesen Satz allerdings zu zeigen, ist vorher der Beweis einiger Lemmata n¨otig.

69

8. Integration auf Mannigfaltigkeiten Lemma 8.1. Seien P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit und f : P × R → P, (p, t) 7→ p das triviale Faserb¨ undel u ¨ber P mit typischer Faser R. Wir betrachten f mit seiner kanonischen Orientierung. Sei g : P × R → R, (p, t) 7→ t die Projektion auf die Faser. Es ist Z , ω 7→ ω f∗ : f! Ω∗P ×R → Ω∗−1 P f

CP∞ -Moduln

vom Grad −1, das heißt ∗ 0 = [d, f∗ ] = d ◦ f∗ + f∗ ◦ d : f! ΩP ×R → |ΩP |∗ . R Sei weiter e ∈ Ω1c (R) mit R e = 1. Dann ist ∗ ∗ e∗ : Ω∗P 7→ f! Ω∗+1 P ×R , η 7→ g e ∧ f η

ein Morphismus differential-graduierter

ein Morphismus differential-graduierter CP∞ -Moduln vom Grad 1, das heißt 0 = [d, e∗ ] = d ◦ e∗ + e∗ ◦ d : |Ω∗P | → f! Ω∗+2 P ×R , und es gilt id|Ω∗ | = f∗ e∗ = f∗ ◦ e∗ . P Schließlich definieren wir P˜ := {(p, s, t) | t ≤ s} und h : P˜ → P, (p, s, t) 7→ (p, s) und k : P˜ → P, (p, s, t) 7→ (p, t). Damit definieren wir Z ∗ ∗−1 K : f! ΩP ×R → f! ΩP ×R , ω 7→ k ∗ (ω − e∗ f∗ ω). h

Dies ist ein Morphismus K : f! Ω∗P ×R → f! Ω∗−1 P ×R , ω 7→ Kω von Garben von CP∞ -Moduln vom Grad −1, und es gilt idf! |Ω∗

P ×R

| = e∗ f∗ + [d, K] = e∗ ◦ f∗ + d ◦ K + K ◦ d.

Beweis. Nach der relativen Version vom Stokesschen Satz gilt, daß Z [d, f∗ ] = = 0. ∂(P ×R)

Daß [d, Re∗ ] = 0 folgt unmittelbar aus der Tatsache, daß de = 0, da Ω2R = 0. Wegen R e = 1 folgt ebenso schnell f∗ e∗ = id. Es bleibt, [K, d] zu bestimmen. F¨ ur p ∈ U und t ∈ R gilt nun wegen [d, e∗ ] = 0 und [d, f∗ ] = 0, daß Z Z ∗ [d, K]ω = [d, ]k (ω − e∗ f∗ ω) = k ∗ (ω − e∗ f∗ ω) = ω − e∗ f∗ ω. h

70

∂h

8.4. Der de Rhamsche-Kohomologiering Folgerung 8.3. Seien P eine C ∞ -Mannigfaltigkeit und f : P × R → P, (p, t) p das 7→ ∗ triviale Faserb¨ undel u ¨ber P mit typischer Faser R. Dann induziert f∗ : f! ΩP ×R → ∗−1 Ω einen Isomorphismus P ˜ c∗ (P × R) → H ˜ c∗−1 (P ) f∗ : H graduierter R-Vektorr¨ aume. Bemerkung 8.18. Das Lemma und die Folgerung gelten analog f¨ ur den Fall gerader Differentialformen, das heißt f¨ ur die gew¨ ohnliche de Rhamsche-Kohomologie mit kompaktem Tr¨ager. Beispiel 8.23. Seien n ∈ N0 und k ∈ Z. Dann gilt ( R f¨ ur k = n und k n Hc (R ) = 0 sonst und zwar ist

Z Rn

: Hcn (Rn ) → R, ω 7→

Z ω Rn

ein kanonischer Isomorphismus. Folgerung 8.4. Sei ψ ∈ |Ωn |c (Rn ), n ∈ N, mit Z ψ 6= 0. Rn

Dann existiert f¨ ur jedes ω ∈ |Ωn |c (Rn ) ein λ ∈ R und ein η ∈ Ωn−1 c (Rn ) mit ω − λ ψ = dη . Beweis. Wir setzen

R n ω λ := RR . Rn ψ

Dann gilt Z ω − λ ψ = 0, Rn

also existiert nach dem Beispiel ein η ∈ Ωn−1 (Rn ) mit ω − λ ψ = dη. c Lemma 8.2. Sei P eine zusammenh¨ angende Mannigfaltigkeit. Sei x : U → Rn eine Karte von P mit U ∈ U(P ). Sei ψ ∈ |Ωn |c (U ). Dann existiert zu jedem p ∈ P eine offene Umgebung Up ∈ U(P ), p ∈ Up , so daß f¨ ur alle ω ∈ |Ωn |c (Up ) ein λ ∈ R und ein n−1 (P ) mit η ∈ Ω c ω − λ ψ = dη existieren.

71

8. Integration auf Mannigfaltigkeiten Beweis. Sei Z die Menge aller p ∈ P , die die behauptete Eigenschaft haben. Wir m¨ ussen zeigen, daß Z = P . Nach Definition ist Z offen. Nach dem Lemma ist weiter U ⊂ Z. Da P zusammenh¨ angend ist, reicht es daher zu zeigen, daß Z abgeschlossen ist. Dazu p ∈ Z. Sei y : V → Rn , V ∈ U(P ) mit p ∈ V ein Karte von P an p. Wir wollen zeigen, daß wir Up = V w¨ ahlen k¨onnen. Dazu sei ω ∈ |Ωn |c (V ) gegeben. Es existiert 0 n ein R q 0∈ V ∩ Z. Ohne Einschr¨ankung sei Uq ⊂ V . Wir w¨ahlen weiter ψ ∈ |Ω |c (Uq ) mit Uq ψ = 1. Nach Definition von Uq existiert ein λ1 ∈ R mit ψ 0 − λ1 ψ = dη1 f¨ ur ein η1 ∈ |Ωn |c (P ). Nach der letzten Folgerung existiert außerdem ein λ2 ∈ R und ein η2 ∈ |Ωn |c (P ) mit ω − λ2 ψ 0 = dη2 . Schließlich ist ω − λ1 λ2 ψ = d(λ2 η1 + η2 ).

Schließlich k¨ onnen wir den versprochenen Satz beweisen: Satz 8.2. Sei P eine zusammenh¨ angende n-dimensionale C ∞ -Mannigfaltigkeit. Dann ist die Abbildung Z ˜ cn (P ) → R :H P

˜ cn (P ) = 1. ein Isomorphimsmus. Insbesondere ist also dim H n sei ψ ∈ |Ωn |c (U ) mit RBeweis. Sei x : P → R , U ∈ U(P ) eine Karte von P . Weiter n ur alle ω ∈ |Omega |c (P ) ein λ ∈ R und ein U ψ 6= 0. Dann reicht es zu zeigen, daß f¨ ∗−1 η ∈ Ωc (P ) mit ω − λ ψ = dη

existieren. Dazu w¨ ahlen wir zu jedem p ∈ P eine offene Umgebung Up ∈ U(P ), p ∈ Up von ¨ p in P nach dem letzten Lemma. Sei (fp )p∈P eine Zerlegung der Eins zur Uberdeckung (Up )p∈P . F¨ ur p ∈ P k¨ onnen wir dann f¨ ur fp ω die Eigenschaft von Up ausnutzen: es existiert ein λp ∈ R und ein ηp ∈ |Ωn |c (P ) mit fp ω − λp ψ = dηp . Daraus folgt ω−(

X

p∈P,supp ω∩Up 6=∅

λp ) ψ = d(

X

ηp .

p∈P,supp ω∩Up 6=∅

(Da ω kompakten Tr¨ ager hat, sind die auftretenden Summen endlich.) ¨ Sp¨ ater, wenn wir mit Hilfe der Riemannschen Geometrie die Existenz guter Uberdeckungen zeigen k¨ onnen, werden wir diesen Satz zur vollen Poincar´e-Dualit¨at ausweiten.

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8.4. Der de Rhamsche-Kohomologiering Aussage 8.6. Sei f : P → Q eine eigentliche orientierte C ∞ -Abbildung zwischen zwei C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Sei zudem Q zusammenh¨ angend. Wir setzen n := dim Q. Dann existiert genau ein deg f ∈ R mit Z Z ∀ω∈|Ωn |c (Q) f ∗ ω = (deg f ) ω. P

Q

Die Zahl deg f heißt der Abbildungsgrad von f . R Beweis. Da ein ω ∈ |Omega|nc (Q) mit Q ω 6= 0 existiert, ist deg f im Falle seiner Existenz eindeutig, n¨ amlich R ∗ f ω deg f = PR . Qω 0 n Um die Existenz zu beweisen, n−1sei ω ∈ |Ω |c0(Q) gegeben. Nach dem letzten Satz existiert (Q) mit ω − λ ω = dη. Dann gilt nach dem Satz von ein λ ∈ R und ein η ∈ Ω c Stokes und wegen f ∗ dη = df η , daß R ∗ Z R ∗ Z Z f ω f ω ∗ 0 P λ· ω = PR ω0. f ω = R ω ω Q Q P Q Q

Beispiel 8.24. Sei f : P → Q eine eigentliche orientierte C ∞ -Abbildung zwischen zwei C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Sei zudem Q zusammenh¨angend. Ist dim P 6= dim Q, so folgt deg f = 0. Beispiel 8.25. Sei f : P → Q ein orientierter C ∞ -Diffeomorphismus zwischen zwei zusammenh¨angenden C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Dann gilt ( 1 falls f orientierungserhaltend ist und deg f = −1 falls f orientierungsumkehrend ist. Beispiel 8.26. Seien f, g : P → Q zwei zueinander homotope orientierte C ∞ -Abbildungen zwischen zwei kompakten C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Sei zudem Q zusammenh¨angend. Dann gilt deg f = deg g. Der Abbildungsgrad kann wie folgt bestimmt werden: Lemma 8.3. Seien f : P → Q eine eigentliche orientierte C ∞ -Abbildung zwischen zwei C ∞ -Mannigfaltigkeiten der Dimension n. Sei zudem Q zusammenh¨ angend. F¨ ur einen Punkt p ∈ P , an dem f submersiv ist, definieren wir ( 1 falls T f (p) : T P (p) → T Q(f (p)) orientierungserhaltend ist und degp f := −1 falls T f (p) : T P (p) → T Q(f (p)) orientierungsumkehrend ist. Ist dann q ∈ Q ein regul¨ arer Wert (der nach dem Satz von Sard immer existiert), so ist X deg f = degp f. p∈f −1 (q)

(Es sei beachtet, daß f −1 (q) als kompakter diskreter Raum endlich ist.)

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8. Integration auf Mannigfaltigkeiten Beweis. Sei q ∈ Q ein regul¨ arer Wert. Dann existiert ein zusammenh¨angender Teilraum V ∈ U(Q), q ∈ Q, so daß f¨ ur alle p ∈ A := f −1 (q) ein Up ∈ U(P ) mit p ∈ P existiert, so daß f |Up : Up → V ein Diffeomorphismus ist. Es ist fUp genau dann orientierungserhaltend, wenn degp f = 1. R Jetzt w¨ ahlen wir ein ω ∈ |Ωn |c (V ), n := dim P , mit Q ω 6= 0. Dann gilt Z (deg f )

Z ω=

Q

∗

f ω= P

XZ p∈A Up

f ∗ω =

X

degp f.

p∈A

Folgerung 8.5. Sei f : P → Q eine eigentliche orientierte C ∞ -Abbildung zwischen zwei C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Sei zudem Q zusammenh¨ angend. Dann ist deg f ∈ Z. Mit Hilfe des Abbildungsgrades k¨onnen wir außerdem den Satz vom Igel beweisen: Aussage 8.7. Sei n ∈ 2N0 . Sei X ∈ Θ(Sn ) ein Vektorfeld auf der Sph¨ are gerader Dimension. Dann X mindestens eine Nullstelle, das heißt es existiert ein p ∈ Sn mit X(p) = 0. Beweis. Wir nehmen an, daß es ein Vektorfeld gibt, welches keine Nullstelle hat. Dann − → n existiert auch ein Vektorfeld X ∈ Θ(S ) mit X = 1. Wir definieren die Homotopie −−−→ H : Sn × R → Sn , (p, t) 7→ cos(t π) cot p + sin(π t) X(p) von der Identit¨ at idSn zur Abbildung −idSn . Daher sind idSn und −idSn homotop, haben also denselben Abbildungsgrad. Die eine ist allerdings ein orientierungserhaltender, die andere ein orientierungsumkehrender Diffeomorphismus.

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Teil II.

Horizontale Strukturen

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9. Horizontale Strukturen auf Submersionen 9.1. Horizontale Strukturen Sei f : P → Q eine Submersion der Faserdimension n = dim P − dim Q. Wir erinnern daran, daß die Garbe Θf der vertikalen Vektoren von P eine lokale freier CQ∞ -Untermodul vom Rang n von ΘP ist. Zwar gibt es immer ein Komplement f¨ ur diesen Untermodul, dieses ist allerdings nicht eindeutig. Die Fixierung eines solchen Komplementes heißt horizontale Struktur, die wir in diesem Abschnitt definieren werden. Definition 9.1. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Eine horizontale Struktur H auf f ist ein CQk -Untermodul H von ΘP , so daß Θf ⊕ H = ΘP . Beispiel 9.1. Ist f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Ist H eine horizontale Struktur auf P , so ist die induzierte Projektion ωH : ΘP = Θf ⊕ H → Θf , (v, u) 7→ v ein Morphismus lokal freier CPk -Moduln mit ker ωH = H

und ωH |Θf = idΘf .

Ist umgekehrt ω : ΘQ → Θf ein Morphismus lokal freier CPk -Moduln mit ω|Θf = idΘf , so ist Hω := ker ω eine horizontale Struktur auf P . Mit anderen Worten entsprechen die horizontalen Strukturen auf f kanonisch genau den Θf -wertigen 1-Formen ω ∈ (Ω1P ⊗P Θf )(P ), welche unter der kanonischen Einschr¨ankungsabbildung Ω1P ⊗P Θf → Ωf ⊗P Θf = E ndQ (Θf ) auf idΘf abgebildet werden. Daher werden wir ab sofort solche Schnitte von Ω1P ⊗P Θf ebenfalls horizontale Strukturen von f nennen.

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9. Horizontale Strukturen auf Submersionen Beispiel 9.2. Seien P und Q zwei C k -Mannigfaltigkeiten, k > 0. Sei f : Q × P → Q, (q, p) 7→ q das triviale Faserb¨ undel u ¨ber P mit typischer Faser P . Sei g : Q × P → P, (q, p) 7→ p die Projektion auf die typische Faser. Wegen Θf = g ∗ ΘP definiert die nat¨ urliche Zerf¨ allung ΘQ = f ∗ ΘQ ⊕ g ∗ ΘP verm¨oge f ∗ ΘQ eine horizontale Struktur auf Q × P , die nat¨ urliche horizontale Struktur auf f . Beispiel 9.3. Sei I ∈ U(R). Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit mit k > 0. Sei f : I × P → I, (t, p) 7→ t das triviale Faserb¨ undel u ¨ber I mit typischer Faser P . Sei g : I × P → P, (t, p) 7→ p die Projektion auf die typische Faser. Ist dann X ∈ Θ(g) ein Vektorfeld auf P l¨angs g, so wird eine horizontale Struktur ωX auf f durch ω : ΘI×P = f ∗ ΘI ⊕ g ∗ ΘP , (∂, Y ) 7→ Y − X definiert. Auf der anderen Seite wird solche horizontale Struktur auf f auf diese Weise definiert. Bemerkung 9.1. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Ist E ein CPk -Modul, so wollen wir f ∗ Ω1Q ⊗ E den CPk -Modul der horizontalen E -wertigen 1-Formen nennen. In kanonischer Weise ist ker(Ω1P ⊗P Θf → Ωf ⊗P Θf ) = f ∗ Ω1Q ⊗ Θf , die Garbe der horizontalen T hetaf -wertigen 1-Formen. Sind ω, ω 0 ∈ (Ω1P ⊗P Θf )(P ) zwei horizontale Strukturen von P , so ist ω − ω 0 ∈ ∗ (f Ω1Q ⊗ Θf )(P ) eine horizontale f -wertige 1-Form. Ist umgekehrt ω ∈ (Ω1P ⊗P Θf )(P ) eine horizontale Struktur von P und ist α ∈ (f ∗ Ω1Q ⊗ Θf )(P ) eine horizontale f -wertige 1-Form, so ist ω + α ∈ (Ω1P ⊗P Θf )(P ) wieder eine horizontale Struktur von P , das heißt die Menge der horizontalen Strukturen von P ist in kanonischer Weise ein affiner Raum u ¨ber (f ∗ Ω1Q ⊗ Θf )(P ). Bemerkung 9.2. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Sei U ∈ U(P ). Nennen wir eine horizontale Struktur von f |U : U → f (U ) eine horizontale Struktur von f u ¨ber U , so bilden die horizontalen Strukturen von P in kanonischer Weise eine Garbe Af auf P , die Garbe Af der horizontalen Strukturen von P . Nach der letzten Bemerkung ist diese Garbe in kanonischer Weise eine Garbe affiner R¨aume u ¨ber dem CQk -Modul. (Da in der Kategorie der C k -Moduln immer komplemente existieren, besitzt diese Garbe einen Schnitt, es existiert also immer eine horizontale Struktur auf P .) Beispiel 9.4. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Sei g : Q0 → Q eine C k Abbildung von einer weiteren C k -Mannigfaltigkeit. Dann bezeichnen wir mit f 0 : P 0 := g ∗ P → Q0 die induzierte Submersion u ¨ber Q0 . Sei weiter gˆ : P 0 → P die induzierte Abbildung zwischen den Totalr¨aumen. Die nat¨ urlichen Abbildung g ∗ : gˆ∗ Ω1P → Ω1P 0 und der Isomorphismus gˆ∗ Θf = Θf 0 induzieren einen Morphismus g ∗ : Ω1P ⊗P Θf → (ˆ g )∗ (Ω1P 0 ⊗P 0 Θf 0 ).

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9.2. Horizontale Hochhebungen Durch Einschr¨ ankung induziert dieser Morphismus einen Morphismus g ∗ : AP → gˆ∗ AP 0 affiner R¨aume u ¨ber f ∗ Ω1Q ⊗P Θf . Damit induziert jede horizontale Struktur ω ∈ A (P ) eine horizontale Struktur g ∗ ω ∈ A (P 0 ). Aussage 9.1. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. F¨ ur jede horizontale Struktur ω ∈ A (P ) ist dann f∗ : H := ker ω : → f ∗ ΘQ ein Isomorphismus von CQk -Moduln. Bezeichnen wir die Umkehrung dieses Isomorphismus’ mit ˜ f ∗ ΘQ → H , β 7→ β, ˜ zwei f -verwandte so sind f¨ ur alle V ∈ U(Q) und X ∈ Θ(V ) die Vektorfelder X und X Vektorfelder. ˜ die ω-horizontale Hochhebung von X. Wir nennen X Es gilt ^ ˜ Y˜ ] − [X, ˜ Y˜ ]). ∀V ∈U(Q),X,Y ∈Θ(V ) [X, Y ] = ω([X, Beweis. Daß f∗ ein Isomorphismus ist, folgt sofort aus der Definition einer horizontalen Struktur und der Tatsache, daß Θf gerade als Kern von f∗ : ΘP → f ∗ ΘQ definiert ist. ˜ zwei f -verwandte Vektorfelder sind. Ebenso, daß X und X Es bleibt, die Aussage u ¨ber die Liesche Klammer zu zeigen. Dazu beachten wir, daß ^ ˜ ˜ ˜ Y˜ ] − [X, [X, Y ] und [X, Y ] wiederum f -verwandt sind. Damit ist [X, Y ] ein vertikales ^ Vektorfeld. Da nach Definition ω([X, Y ]) = 0, folgt daraus die Aussage. Bemerkung 9.3. Es lassen sich weitere Spezialf¨alle f¨ ur horizontale Strukturen einf¨ uhren. k Operiert zum Beispiel eine Liesche Gruppe G auf einer C -Submersion f : P → Q, k > 0, das heißt f¨ ur alle g ∈ G ist Lg : P → P ein Morphismus von Submersionen u ¨ber Q, so nennen wir eine horizontale Struktur ω ∈ A (P ) von P eine G-invariante horizontale Struktur von f , falls ∀g∈G (Lg )∗ ω = 0. Dazu sei beachtet, daß die Garbe Θf der vertikalen Vektorfelder von P ein G-invarianter CPk -Untermodul von ΘP ist. Analog zur obigen Vorgehensweise k¨onnen wir dann weiter die Garbe AQG := (f∗ AP )G der G-invarianten horizontalen Strukturen von f definieren.

9.2. Horizontale Hochhebungen Definition 9.2. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Sei ω ∈ A (P ) eine horizontale Struktur auf P . Ein Morphismus gˆ : R → P von einer weitere C k -Mannigfaltigkeit R heißt dann ωhorizontal, wenn 0 = gˆ∗ ω ∈ 1R ⊗R gˆ∗ Θf ,

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9. Horizontale Strukturen auf Submersionen das heißt ∀r∈R,w∈T P (r)

ω(T gˆ(p)(w)) = 0.

Definition 9.3. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Sei ω ∈ A (P ) eine horizontale Struktur auf P . Seien I ∈ U(R) ein offenes Intervall mit 0 ∈ I und α : I → Q eine C k -Kurve in Q. Ist dann p ∈ P mit f (p) = α(0), so heißt eine ω-horizontale C k -Kurve α ˆ : Iˆ → Q, wobei ˆ ˆ I ∈ U(R) ein offenes Intervall mit 0 ∈ I ist, eine ω-horizontale Hochhebung von α zum Anfangswert p, falls Iˆ ⊂ I und f ◦ α ˆ = α|Iˆ. Eine ω-horizontale Hochhebung α ˆ : Iˆ → Q von α zum Anfangswert p heißt maximal, falls f¨ ur jede weitere ω-horizontale Hochhebung α ˜ : I˜ → Q von α zum Anfangswert p ˜ ˆ gilt, daß I ⊂ I und α ˜=α ˆ |I˜. Satz 9.1. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Sei ω ∈ A (P ) eine horizontale Struktur auf P . 1. Sei I ∈ U(R) ein offenes Intervall mit 0 ∈ I und α : I → P eine C k -Kurve. Ist dann p ∈ P mit f (p) = α(0), so existiert genau eine maximale ω-horizontale Hochhebung α ˜ : I˜ → Q von α zum Anfangswert p. Gilt dann sup Iˆ < sup I, so ist lim ˆ (t) = ∞, das heißt die Menge der ωˆα t→sup I

Grenzpunkte von α ˆ ist leer. Gilt inf Iˆ > inf I, so ist limt→inf Iˆ α ˆ (t) = ∞, das heißt die Menge der α-Grenzpunkte von α ˆ ist leer. Insbesondere folgt, daß Iˆ = I, falls ˆ relativ kompakt in P ist. α ˆ (I) 2. F¨ ur die maximalen ω-horizontalen Hochhebungen gilt folgende differenzierbare Abh¨ angigkeit von Anfangswerten: 3. Sei R eine weitere C k -Mannigfaltigkeit. Zu jedem r ∈ R sei ein pr ∈ P gegeben, so daß die Abbildung g : R → P, r 7→ pr differenzierbar ist. Sei weiter f¨ ur jedes r ∈ R ein offenes Intervall Ir mit 0 ∈ Ir k gegeben und eine C -Kurve αr : Ir → P gegeben. Es sei [ I := {r} × Ir ∈ U(R × R) r∈R

offen, und wir fordern, daß α:

[

I → P, (r, t) 7→ αr (t)

eine C k -Abbildung ist. Ist dann f¨ ur r ∈ R die C k -Kurve α ˆ r : Iˆr → Q die maximale ω-horizontale Hochhebung von αr zum Anfangswert pr , so ist [ Iˆ := {r} × Iˆr ∈ U(R × R) r∈R

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9.2. Horizontale Hochhebungen offen, und es gilt, daß α ˆ:

[

Iˆ → Q, (r, t) 7→ α ˆ r (t)

eine C k -Abbildung ist. Beweis. Mit den Bezeichnungen des zweiten Teils sei f 0 : P 0 := α∗ P = I ×Q P → I das Urbild der Submersion P unter α. Sei h : P 0 → P, (t, p) 7→ p der nat¨ urliche Morphismus von Faserr¨aumen u ¨ber α. Sei ω 0 := α∗ ω ∈ A (P 0 ) die induzierte horizontale Struktur auf P 0 . Sei ∂˜ die ω 0 -horizontale Hochhebung von ∂ ∈ Θ(I). F¨ ur r ∈ R sei γr : Iˆr → P 0 die maximale Integralkurve von ∂˜ zum Anfangswert (0, pr ) ∈ P . Dann ist α ˆ r := h ◦ γr : Iˆr → P gerade die maximale ω-horizontale Hochhebung von αr zum Anfangswert pr , denn ist umgekehrt α ˜ r : I˜r → P , wobei I˜r ∈ U(R) eine offenes Intervall mit 0 ∈ I˜r ist, eine ω-horizontale Hochhebung von αr zum Anfangswert pr , so ist γ˜r : I˜r → P 0 , t 7→ (t, α ˜ r (t)) eine Integralkurve von ∂˜ zum Anfangswert (0, pr ). Damit ist die Existenz maximaler ω-horizontaler Hochhebungen bewiesen, und die u ur Fl¨ usse von Vektorfeldern¨brigen Aussagen des Satzes folgen aus den entsprechenden f¨ Folgerung 9.1. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Seien g, h : R → P zwei ω-horizontale C k -Abbildungen von einer weiteren C k -Mannigfaltigkeit R, welche zusammenh¨ angend ist. Gilt dann f ◦ g = f ◦ h und gilt g(r) = h(r) f¨ ur ein r ∈ R, so folgt schon f = g. Beispiel 9.5. Operiere eine Liesche Gruppe G auf einer C k -Submersion f : P → Q, k > 0. Sei ω eine G-invariante horizontale Struktur von P . Sei α : I → Q eine C k Kurve, wobei I ∈ U(R) ein offenes Intervall mit 0 ∈ I ist. Ist dann α ˆ : Iˆ → P eine ω-horizontale Hochhebung von α zu einem Anfangswert p ∈ P mit f (p) = α(0), so ist g·α ˆ := Lg ◦ α : Iˆ → P eine Hochhebung von α zum Anfangswert g p. Es ist α ˆ genau dann eine maximale ω-horizontale Hochhebung, wenn g · α ˆ eine maximale ω-horizontale Hochhebung ist. Beispiel 9.6. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit, k > 0, und sei p ∈ P . Sei weiter I ∈ U(R) ein offenes Intervall mit 0 ∈ I. Wir betrachten das triviale Faserb¨ undel f : I × P → I, (t, p) 7→ t u ¨ber I mit typischer Faser P . Sei g : I × P → P, (t, p) 7→ p die Projektion auf die typische Faser P . Sei weiter X ∈ Θ(g) ein Vektorfeld l¨angs g. Dies definiert nach Beispiel 9.3 eine horizontale Struktur ω = ωX ∈ Af (I × P ) von f . Ist dann α = (idI , γ) : I → I × P die maximale ω-horizontale Hochhebung von idI : I → I zum Anfangswert (0, p), so ist γ : I → P gerade die maximale L¨osung der durch X gegebenen zeitabh¨ angigen Differentialgleichung zum Anfangswert p, das heißt, die Theorie der zeitabh¨ angigen Differentialgleichungen ist ein Teil der Theorie der horizontalen Strukturen.

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9. Horizontale Strukturen auf Submersionen Beispiel 9.7. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Sei ω ∈ A (P ) eine horizontale Struktur von f . Sei g : Q0 → Q eine C k -Abbildung von einer weiteren C k Mannigfaltigkeit Q0 . Es sei ω 0 := g ∗ ω ∈ A (P 0 ) die induzierte horizontale Struktur auf der induzierten Submersion f 0 : P 0 := g ∗ P → Q0 . Ist dann α : I → Q0 eine C k -Kurve in Q0 , wobei I ∈ U(R) ein offenes Intervall mit 0 ∈ I ist und γ : Iˆ → P eine ω-horizontale Hochhebung von g ◦ α zu einem Anfangswert p ∈ P mit g(α(0)) = f (p), so ist α ˆ : Iˆ → P 0 , t 7→ (α(t), γ(t)) eine ω-horizontale Hochhebung von α zum Anfangswert (α(0), p).

9.3. Zusammenh¨ ange Definition 9.4. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Dann heißt eine horizontale Struktur ω ∈ A (P ) ein Zusammenhang auf f , falls f¨ ur alle C k -Kurven α : I → Q, wobei I ∈ U(R) ein offenes Intervall mit 0 ∈ I ist, und alle p ∈ P mit f (p) = α(0) f¨ ur die ˆ ˆ maximale ω-horizontale Hochhebung α ˆ : I → P zum Anfangswert p gilt, daß I = I. Beispiel 9.8. Sei f : P → Q eine eigentliche C k -Submersion, k > 0. Dann ist jede horizontale Struktur ω ∈ A (P ) auf P ein Zusammenhang. Beispiel 9.9. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Sei ω ∈ A (P ) eine horizontale Struktur von f . Sei g : Q0 → Q eine C k -Abbildung von einer weiteren C k Mannigfaltigkeit Q0 . Es sei ω 0 := g ∗ ω ∈ A (P 0 ) die induzierte horizontale Struktur auf der induzierten Submersion f 0 : P 0 := g ∗ P → Q0 . Ist dann ω ein Zusammenhang von P , so ist nach Beispiel 9.7 auch ω 0 ein Zusammenhang. Aussage 9.2. Operiere eine Liesche Gruppe G auf einem C k -Faserraum f : P → Q transitiv, das heißt also die induzierten Operationen G × P (q) → P (q) auf den Fasern sind f¨ ur alle q ∈ Q transitiv. Dann ist jede G-invariante horizontale Struktur ω ∈ A G (P ) von P ein Zusammenhang von P . Beweis. Sei α : I → Q eine C k -Kurve auf Q, wobei I ∈ U(R) ein offenes Intervall mit 0 ∈ I ist. Sei α ˆ : Iˆ → P die maximale ω-horizontale Hochhebung von α zu einem Anfangswert p ∈ P mit f (p) = α(0). Wir m¨ ussen zeigen, daß Iˆ = I. Dazu zeigen ˆ wir zun¨ achst sup I = sup I. Wir nehmen an, daß t := sup Iˆ < sup I. Da lokal ω-horizontale Hochhebungen existieren (denn die Fasern von P sind nicht-leer), existiert insbesondere ein J ∈ U(I) mit t ∈ J und eine ω-horizontale C k -Kurve β : J → P mit f ◦ β = α|J . Wir w¨ahlen ein s ∈ Iˆ ∩ J. Sei g ∈ G mit g β(s) = α ˆ (s). Dann ist ( α ˆ (u) f¨ ur u ∈ Iˆ und α ˜ : Iˆ ∪ J → P, u 7→ g β(u) f¨ ur u ∈ J

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9.3. Zusammenh¨ange eine wohldefinierte ω-horizontale Hochhebung von α zum Anfangswert p, ein Widerspruch zur Maximalit¨ at von α ˆ. Der Beweis von inf Iˆ = inf I geht analog. Definition 9.5. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Sei ω ∈ A (P ) ein Zusammenhang. Sind dann t1 , t2 ∈ R, t1 ≤ t2 und α : [t1 , t2 ] → Q eine C k -Abbildung, so definieren wir eine Abbildung kα : P (α(t1 )) → P (α(t2 )), p 7→ α ˆ p (t2 ). Dabei bezeichnet f¨ ur ein p ∈ P mit f (p) = α(t1 ) die Abbildung α ˆ p : [t1 , t2 ] → Q die ω-horizontale Hochhebung von α zum Anfangswert p. Sind s1 , s2 ∈ R mit t1 ≤ s1 ≤ s2 ≤ t2 , so setzen wir kss21 α := kα|[s1 ,s2 ] . Bemerkung 9.4. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Sei ω ∈ A (P ) ein Zusammenhang auf P . Sei q0 ∈ Q. Sei R eine weitere C k -Mannigfaltigkeit. Seien t0 , t1 ∈ R mit t1 < t2 . Sei f¨ ur jedes r ∈ R eine C k -Abbildung αr : [t0 , t1 ] → Q gegeben, so daß α : R × [t0 , t1 ] → Q, (r, t) 7→ αr (t) eine C k -Abbildung ist und so daß αr (t0 ) = q0 . Dann ist die Abbildung kα : R × P (q0 ) → P, (r, p) 7→ (kαr ) (p) eine C k -Abbildung. Bemerkung 9.5. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Sei ω ∈ A (P ) ein Zusammenhang auf P . Seien t0 , t1 ∈ R mit t0 ≤ t1 . Sei α : [t0 , t1 ] → Q eine C k -Abbildung. Wir definieren dann α−1 : [t0 , t1 ] → Q, t 7→ α(t1 − t + t0 ). Dann ist kα : P (α(t0 )) → P (α(t1 )) ein C k -Diffeomorphismus mit Umkehrung (kα)−1 = kα−1 . Sei weiter t ∈ [t0 , t1 ]. Dann gilt weiter ktt10 α = (ktt1 α) ◦ (ktt0 ). Definition 9.6. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit. F¨ ur p0 , p1 ∈ P und t0 , t1 ∈ R mit t0 ≤ t1 bezeichnen wir mit Ωk (P, p0 , t0 , p1 , t0 ) die Menge der stetigen Abbildungen α : [t0 , t1 ] → P mit α(t0 ) = p0 und α(t1 ) = p1 , welche st¨ uckweise C k -differenzierbar sind. Ist t1 < t0 , setzen wir Ωk (P, ∗, t0 , ∗, t1 ) = ∅.

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9. Horizontale Strukturen auf Submersionen Bemerkung 9.6. Sei f : P → Q eine C k -Submersion. Sei ω ∈ A (P ) ein Zusammenhang auf f . Ist dann α ∈ Ωk (Q, q0 , t0 , q1 , t1 ), so existiert aufgrund der letzten Bemerkung genau eine Abbildung kα : P (q0 ) → P (q1 ) mit kα = (ksskk−1 α) ◦ · · · ◦ (kss10 α) f¨ ur jede Zerlegung t0 =: s0 ≤ s1 ≤ · · · ≤ sk−1 ≤ sk := t1 des Intervalls [t0 , t1 ], so daß α|[si ,si+1 ] f¨ ur i ∈ {0, . . . , k − 1} eine C k -Abbildung ist. Bemerkung 9.7. Wir k¨ onnen den Inhalt der letzten beiden Bemerkungen auch kategoriell beschreiben: Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Sei ω ∈ A (P ) ein Zusammenhang auf P . Seien q0 , q1 , q2 ∈ Q und t0 , t1 , t2 ∈ R mit t0 ≤ t1 ≤ t2 . Sind α ∈ Ωk (Q, q0 , t0 , q1 , t1 ) und β ∈ Ωk (Q, q1 , t1 , q2 , t2 ), so definieren wir β ◦ α ∈ Ωk (Q, q0 , t0 , q2 , t2 ) durch ( α(t) f¨ ur t ∈ [t0 , t1 ] und β ◦ α : [t0 , t2 ] → P, t 7→ β(t) f¨ ur t ∈ [t1 , t2 ]. Mit dieser Struktur wird Q × R zu einem kleiner Kategorie Ωk (Q), deren Morphismenmengen durch Ωk (Q, ·, ·, ·, ·) gegeben werden. Weiter definieren wir eine kleine Kategorie ∆k (f ), deren Objektmenge Q ist und deren Morphismenmenge ∆k (f, q0 , q1 ) der Morphismen von q0 ∈ Q nach q1 ∈ Q durch die Menge der C k -Diffeomorphismen von P (q0 ) nach P (q1 ) gegeben ist. Die Komposition in der Kategorie ∆k (f ) ist durch Komposition der Diffeomorphismen definiert. Dann definiert k in nat¨ urlicher Weise einen Funktor von der Kategorie Ωk (Q) in die k Kategorie ∆ (f ). Definition 9.7. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Sei ω ∈ A (P ) ein Zusammenhang auf f . F¨ ur jedes q ∈ Q heißt dann die Untergruppe n o Holω (q) := kα : P (q) → P (q) | α ∈ Ωk (Q, q, ∗, q, ∗) der Diffeomorphismengruppe von P (q) die Holonomiegruppe von ω an q. Bemerkung 9.8. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Sei ω ∈ A (P ) ein Zusammenhang auf f . Ist dann α ∈ Ωk (Q, q0 , ∗, q1 , ∗), so ist Holω (q0 ) → Holω (q1 ), g 7→ (kα) ◦ g ◦ (kα)−1 ein Isomorphismus von Gruppen. Ist Q zusammenh¨ angend, so sind insbesondere alle Holonomiegruppen von f zueinander isomorph. Satz 9.2. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0, und sei Q zusammenh¨ angend. Besitzt f dann einen Zusammenhang, so ist f schon ein Faserb¨ undel.

84

9.4. Die Kr¨ ummungsform Beweis. Sei ω ∈ A (P ) ein Zusammenhang auf f . Triviale F¨alle ausgeschlossen, k¨onnen wir davon ausgehen, daß Q nicht leer ist. Sei also q0 ∈ Q. Wir setzen F := P (q0 ) = f −1 ({q}). Sei q ∈ Q. Wir konstruieren jetzt eine lokale Trivialisierung von f um q mit typischer Faser F . Dazu sei y : V → Rn , V ∈ U(Q) eine Karte von Q mit q ∈ V und y(V ) ⊂ U1 (0). F¨ ur q 0 ∈ V setzen wir αq0 : [0, 1] → Q, t 7→ x−1 (t · x(q)). Es gilt αq0 (0) = q und αq0 (1) = q 0 . Weiter w¨ahlen wir eine C k -Abbildung β : [0, 1] → Q mit β(0) = q 0 und β(1) = q0 . Die Kurven αq0 h¨angen differenzierbar von q 0 ab. Daher ist φ : f −1 (V ) → V × F, p 7→ (f (p), (kβ ◦ αf−1 (p) )(p) eine C k -Abbildung mit einer C k -Umkehrung φˆ : V × F → f −1 (V ), (q 0 , v) 7→ (kαq ◦ β −1 )(v). Es folgt, daß φ eine lokale Trivialisierung ist. Folgerung 9.2. Sei f : P → Q eine eigentliche C k -Submersion, k > 0, und sei Q zusammenh¨ angend. Dann ist f ein Faserb¨ undel. Als Faserb¨ undelsatz von Ehresmann“ wird meist diese Folgerung bezeichnet, welche ” sofort aus der letzten Folgerung in Verbindung mit Aussage C.2 folgt: Folgerung 9.3. Sei f : P → Q ein C k -Faserraum, k > 0, mit zusammenh¨ angenden, kompakten Fasern, und sei Q zusammenh¨ angend. Dann ist f ein Faserb¨ undel.

9.4. Die Kr¨ ummungsform Definition 9.8. Sei X ein lokal geringter Raum, und sei g

f

E : 0 −−−−→ H −−−−→

X

−−−−→ V −−−−→ 0

eine exakte Sequenz von OX -Moduln, wobei ΘX wie u ¨blich die Garbe der Derivationen auf X bezeichnet. Dann heißt der Morphismus ΩE :

^2

H → V , A ∧ B 7→ −g([f (A), f (B)])

von OX -Moduln die Kr¨ ummungsform von E. (Es ist schnell nachgerechnet, daß die obige Vorschrift in der Tat einen Morphismus von OX -Moduln definiert.)

85

9. Horizontale Strukturen auf Submersionen Beispiel 9.10. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Dann definiert jede horizontale Struktur ω ∈ A(P ) von f eine exakte Sequenz 0 −−−−→ f ∗ ΘQ ' Hω −−−−→ ΘP −−−−→ Θf −−−−→ 0. Die Kr¨ ummungsform dieser exakten Sequenz heißt die Kr¨ ummungsform Ωω der horizontalen Struktur ω. Sie ist eine horizontale 2-Form mit Werten in der Garbe der vertikalen Vektorfelder Θf . Gilt Ωω = 0, so heißt ω integrabel. (Zu dieser Begriffsbildung beachte man die folgende Bemerkung.) Bemerkung 9.9. Sei X ein lokal geringter Raum. Sei E : 0 −−−−→ H −−−−→

X

−−−−→ V −−−−→ 0

eine exakte Sequenz von OX -Moduln. Dann ist H ' f (H ) genau dann ein integrabler OX -Untermodul von ΘX , wenn ΩE = 0. Aussage 9.3. Sei h : X → X 0 ein Morphismus lokal geringter R¨ aume. Seien g

f

E : 0 −−−−→ H −−−−→

X

−−−−→ V −−−−→ 0

und f0

g0

E 0 : 0 −−−−→ H 0 −−−−→ X 0 −−−−→ V 0 −−−−→ 0 zwei exakte Sequenzen lokal freier OX - beziehungsweise OX 0 -Moduln. Induziert dann h∗ : ΘX → h∗ ΘX 0 einen Morphismus von E nach h∗ E 0 , so gilt ^2 h∗ ΩE 0 = h∗ ΩE ∈ (( H ) ⊗ h∗ V 0 )(X). Beweis. Seien p ∈ X, q := f (p) und Ap , Bp ∈ Hp . Dann w¨ahlen wir (C1 )q , . . . , (Cr )q ∈ Hq0 und φ1p , . . . , φrp , ψp1 , . . . , ψpr ∈ Op mit r X

(h∗ A)p =

i

∗

(φ h Ci )p

und

(h∗ B)p =

i=1

r X

(ψ i h∗ Ci )p .

i=1

Dann gilt nach Lemma 5.2: (h∗ ΩE (A ∧ B))p = −h∗ (g([f (A), f (B)]))p = −g 0 (h∗ [f (A), f (B)])p  r X X = −g 0  (f (A) · ψ i − f (B) · φi ) h∗ f 0 (Ci ) + (φi ψ j − ψ i φj ) h∗ [f 0 (Ci ), f 0 (Cj i=1

=(

X

(φi ψ j − ψ i φj ) h∗ ΩE 0 (Ci , Cj ))p

1≤i<j≤r

= ΩE 0 (h∗ A ∧ h∗ B)p = (h∗ ΩE 0 )(A ∧ B)p .

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1≤i<j≤r

9.4. Die Kr¨ ummungsform Beispiel 9.11. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Sei ω ∈ A (P ) eine horizontale Struktur auf f . Sei g : Q0 → Q eine C k -Abbildung von einer weiteren C k -Mannigfaltigkeit Q0 . Sei ω 0 := g ∗ ω ∈ (P 0 ) die induzierte horizontale Struktur auf f 0 : P 0 := g ∗ P : → Q0 . Dann gilt g ∗ Ωω = Ωω0 ∈ ((f 0 )∗ Ω2Q0 ⊗P 0 g ∗ Θf )(P 0 ). Aussage 9.4. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Sei ω ∈ A (P ) ein integrabler Zusammenhang auf f . Ist dann P˜ ⊂ P eine Integralmannigfaltigkeit von Hω , so ist die induzierte Abbildung f |P˜ : P˜ → Q ¨ eine C k -Uberlagerung. Beweis. Sei p ∈ P˜ . Da f∗ |Hω : Hω → f ∗ ΘQ ein Isomorphismus von CPk -Moduln ist, ist f |P˜ ein lokaler C k -Diffeomorphismus. Ist α : [0, 1] → Q eine C k -Abbildung mit α(0) = f (p), so sei α ˆ : [0, 1] → P die ω-horizontale Hochhebung mit α ˆ (0) = p. Da α ˆ eine Hω integrale Abbildung ist, folgt, daß α ˆ : [0, 1] → P˜ , und zwar als C k -Abbildung. Damit lassen sich Wege mit Anfangspunkt f (p) beliebig auf P˜ hochheben. Es folgt, daß P˜ eine ¨ ist. C k -Uberlagerung Folgerung 9.4. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Sei ω ∈ A (P ) ein integrabler Zusammenhang auf f . Dann sind folgende Bedingungen ¨ aquivalent: I Die horizontale Struktur ω ist integrabel, das heißt Ωω = 0. H Die horizontale Verschiebung bez¨ uglich ω ist eingeschr¨ ankt wegunabh¨ angig, das heißt, sind [α] = [β] ∈ π1 (Q, ∗, ∗), so ist kα = kβ. Satz 9.3. Sei f : P → Q eine C k -Submersion, k > 0. Sei ω ∈ A (P ) eine horizontale Struktur auf f . Seien p ∈ P , q := f (p) ∈ Q. Seien u, v ∈ Θ(q). F¨ ur jede C k -Abbildung 2 F : (R )0 → Qq mit ∂1 (0) · F = u und ∂2 (0) · F = −v gilt dann, daß γ(0) ˙ =0

und

1 γ¨ (0) = −Ωω (u, v). 2

wobei γ : R0 → P (q), s 7→ (kF |∂Is )(p). Beweis. Sei f 0 : P 0 := F ∗ P → R20 der induzierte Faserraum mit induzierter horizontaler Struktur ω 0 := F ∗ ω ∈ A (P 0 ). Seien X1 , X2 ∈ H00 die horizontalen Hochhebungen von ∂1 , ∂2 ∈ ΘR2 ,0 . Seien Φ1,2 : P00 × R0 → P00 die lokalen Fl¨ usse von X1 , X2 . Dann ist nach der geometrischen Interpretation der Lieschen Klammer bekanntlich −1 γ˜ : R0 → P 0 (0), s 7→ (Φ2 )−1 s ◦ (Φ1 )s ◦ (Φ2 )s ◦ (Φ1 )s (p)

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9. Horizontale Strukturen auf Submersionen eine C k -Abbildung mit γ˜˙ (0) = 0

und γ¨˜ (0) = 2 [X1 , X2 ](p).

Wir halten fest, daß daraus insbesondere folgt, daß [X1 , X2 ] horizontal ist, daß also γ¨˜ (0) = −2Ωω0 (∂1 , ∂2 ). Weiter gilt, daß ∀s∈R0

cs (4), γ˜ (s) = ∂I

cs : [0, 4] → P die horizontale Hochhebung von ∂Is : [0, 4] → R2 mit Anfangswert wobei ∂I 0 p ist. Es filgt, daß γ = F ◦ γ˜ . Daher gilt γ(0) ˙ =0

und γ¨ (0) = −2 F∗ Ωω0 (∂1 , ∂2 )(p) = Ωω (F∗ ∂1 , F∗ ∂2 )(p) = Ωω (u, v).

9.5. Zusammenh¨ ange auf Hauptfaserb¨ undeln Bemerkung 9.10. Seien G eine Liesche Gruppe und f : P → Q ein C k -G-Hauptfaserb¨ undel. Sei g die Liesche Algebra zu G. Wir setzen gP := CPk ⊗R g. Wir erinnern daran, daß gP → Θf , A 7→ AP ein Isomorphismus von CPk -Moduln ist, wobei AP das von A ∈ g erzeugte fundamentale Vektorfeld auf P ist. In Zukunft k¨onnen wir also Θf -wertige Differentialformen als gwertige auffassen. Zum Beispielen fassen wir ab sofort Af als affine Untergarbe von ΩP ⊗ g u ¨ber f ∗ ΩQ ⊗ g auf. Aussage 9.5. Seien G eine Liesche Gruppe und f : P → Q ein C k -G-Hauptfaserb¨ undel. Sei g die Liesche Algebra zu G. Sei V ∈ U(Q). V Es ist ω ∈ ΩP (f −1 (V )) ⊗ g genau dann eine horizontale Struktut, wenn ∀p∈f −1 (V ),A∈g

ω(A(p)) = A.

I Es ist ω ∈ A (f −1 (V )) ⊂ ΩP (f −1 (V )) ⊗ g genau dann G-invariant, falls ∀g∈G

ω ◦ (Rg )∗ = Ad(g)−1 ◦ ω.

Beweis. V Sei p ∈ P und u ∈ T P (p). Dann existiert ein A ∈ g mit A(p) = u. Daher gilt, daß ω|Θf = idΘf genau dann, wenn ∀p∈f −1 (V ),A∈g

ω(A(p)) = A.

I Sei Φ : gP → Θf der kanonische Isomorphismus. Dann gilt ∀p∈P,A∈g

Φ−1 (Rg (Φ(g, A))) = (p g, Ad(g)−1 (A)).

Daraus folgt die Behauptung.

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9.5. Zusammenh¨ange auf Hauptfaserb¨ undeln Beispiel 9.12. Seien G eine Liesche Gruppe und f : P → Q ein C k -G-Hauptfaserb¨ undel. Sei g die Liesche Algebra zu G. Dann existiert immer ein G-invarianter Zusammenhang auf f . Diesen erhalten wir zum Beispiel mittels einer Zerlegung der Eins von Q aus lokalen G-invarianten Zusammenh¨ angen. Aussage 9.6. Seien G eine Liesche Gruppe und f : P → Q ein C k -G-Hauptfaserb¨ undel. k Sei g die Liesche Algebra zu G. Operiere G von links auf einer weiteren C -Mannigfaltigkeit F . Sei h : E := P ×G F → Q das assoziierte Faserb¨ undel. Die durch P ×F → E, (p, u) 7→ [p, u] induzierte Tangentialabbildung sei wieder mit ΘP × ΘF → ΘE , (v, w) → [v, w] bezeichnet. Sei V ∈ U(P ). Ist dann ω ∈ A G (V ) ein G-invarianter Zusammenhang, so wird eine horizontale Struktur ωF ∈ A (h−1 (V )) von E u ¨ber f −1 (V ) durch ∀p∈P,u∈F,v∈Θ(p),w∈Θ(u)

ωF ([v, w]) = [0, ω(v)(u) + w]

definiert. Es heißt ωF die zu ω assoziierte horizontale Struktur von h. Beweis. Zun¨achst zeigen wir, daß ωF wohldefiniert ist. Seien dazu v ∈ ΘP (p), v 0 ∈ ΘP (p0 ), v ∈ ΘF (u) und v 0 ∈ ΘF (u0 ) mit [v, w] = [v 0 , w0 ]. Dann existiert ein g ∈ G mit p0 = p g und u0 = g −1 u. Weiter existiert ein A ∈ g mit v 0 − (Rg )∗ v = A(p g) und −1 u). Es folgt, daß w0 − (Lg )−1 ∗ w = −A(g

−1 −1 ωF [v 0 , w0 ] = [0, (Ad(g)−1 (ω(v)))(g −1 u)+A(g −1 u+(Lg )−1 u) = [0, (Lg )−1 ∗ w−A(g ∗ (ω(v)(u))+(Lg )∗ w] = [0, ω(v)(

Damit ist ωF wohldefiniert. Jetzt begr¨ unden wir, warum ωF eine horizontale Struktur definiert. Dazu sei bemerkt, daß jeder vertikale Vektor von h von der Form [0, w] mit w ∈ Θ(u) ist. Damit gilt ωF ([0, w]) = [0, w].

Bemerkung 9.11. Seien G eine Liesche Gruppe und f : P → Q ein C k -G-Hauptfaserb¨ undel. k Sei g die Liesche Algebra zu G. Operiere G von links auf einer weiteren C -Mannigfaltigkeit F . Sei h : E := P ×G F → Q. Sei ω ∈ AfG (Q) ein G-¨aquivarianter Zusammenhang auf f . Dieser induziert einen Zusammenhang auf P ×F → B, (p, u) 7→ p. Dann ist ωF ∈ Ah (Q) die einzige horizontale Struktur auf E, so daß P × F →B E, (p, u) 7→ [p, u] ein horizontaler Morphismus von Faserb¨ undeln ist.

89

9. Horizontale Strukturen auf Submersionen Bemerkung 9.12. Seien G eine Liesche Gruppe und f : P → Q ein C k -G-Hauptfaserb¨ undel. k Sei g die Liesche Algebra zu G. Operiere G von links auf einer weiteren C -Mannigfaltigkeit F . Sei h : E := P ×G F → Q. Nach der letzten Aussage existiert damit ein nat¨ urlicher Morphismus (f∗ Af )G → h∗ Ah von Garben u ¨ber Q. Beispiel 9.13. Seien G eine Liesche Gruppe und f : P → Q ein C k -G-Hauptfaserb¨ undel. Dann operiert G durch Linksmultiplikation auf G, und es gibt einen nat¨ urlichen Isomorphismus P → P ×G G. Diesbez¨ uglich gilt ω = ωG f¨ ur alle ω ∈ A G (V ) mit V ∈ U(Q). Lemma 9.1. Seien G eine Liesche Gruppe und f : P → Q ein C k -G-Hauptfaserb¨ undel. k Sei g die Liesche Algebra zu G. Operiere G von links auf einer weiteren C -Mannigfaltigkeit F . Sei h : E := P ×G F → Q. Sei ω ∈ A G (Q) ein G-¨ aquivarianter Zusammenhang auf f und ωF die dazu assoziierte horizontale Struktur. Sei α : I → Q eine C k -Kurve mit 0 ∈ I. Sei weiter e := [p, u] ∈ E mit h(p, u) = α(0). Ist dann α ˜ : I → P die ω-horizontale Hochhebung von α zum Anfangswert p, so ist α ˆ : t 7→ [α(t), u] die ωF -horizontale Hochhebung von α zum Anfangswert e. Damit ist insbesondere die assoziierte horizontale Struktur ωE ein Zusammenhang. Beweis. Sei t ∈ I. Dann ist ωF (α ˆ˙ (t)) = ωF ([α ˜˙ (t), 0]) = [0, ω(α ˜˙ (t)] = 0.

Lemma 9.2. Seien G eine Liesche Gruppe und π : P → B ein G-Hauptfaserb¨ undel. Sei weiter V ein Vektorraum, auf dem G von links operiert. Sei ξ : E → P ×G V → B das assoziierte Vektorraumb¨ undel. Sei E der CB∞ -Modul der Schnitte von E. Dann existiert ein Isomorphismus η : (CP∞ ⊗R V )G → E von CB∞ -Moduln, so daß f¨ ur alle lokalen Eichungen s : U → P , U ∈ U(B) gilt, daß ∀v∈(CP∞ ⊗R V )G =((CP∞ (π−1 (U ))⊗R )(V ))G

η(v) = [s, v ◦ s].

Beweis. Zun¨ achst zeigen, wir, daß η wohldefiniert ist. Dazu sei s0 : U → P eine andere Eichung. Dann existiert ein g : U → G mit s0 = s . Damit ist [s0 , v ◦ s0 ] = [s g, v ◦ (s g)] = [s g, g −1 v ◦ s] = [s, v ◦ s]. Um zu zeigen, daß η ein Isomorphismus ist, geben wir die Umkehrung ηˇ : E → (CP∞ ⊗R )G an. Dazu sei [p, v] ∈ E (U ). Dann setzen wir ηˇ([p, v]) : π −1 (U ) → V, p 7→ ((p0 )−1 p) v. Dies definiert eine wohldefinierte Umkehrung von η(U ).

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9.5. Zusammenh¨ange auf Hauptfaserb¨ undeln Beispiel 9.14. Seien G eine Liesche Gruppe und π : P → B ein G-Hauptfaserb¨ undel. Dann operiert G verm¨ oge der adjungierten Darstellung kanonisch auf ihrer Lieschen Algebra g. Bez¨ uglich dieser Darstellung sei AdP := P ×G g das assoziierte Faserb¨ undel, das sogenannte adjungierte B¨ undel von P . Dann gilt nach dem letzten Lemma, daß der CB∞ -Modul der Schnitte A dP von AdP gerade (CP∞ ⊗R g)G ist. Bemerkung 9.13. Seien G eine Liesche Gruppe und π : P → B ein G-Hauptfaserb¨ undel. G Sei g die Liesche Algebra von G. Dann ist A in nat¨ urlicher Weise eine Garbe affiner R¨aume u ¨ber dem CB∞ -Modul ΩB ⊗B A dP der A dP -wertigen 1-Formen u ¨ber B. Aussage 9.7. Seien G eine Liesche Gruppe und π : P → B ein G-Hauptfaserb¨ undel. Sei ω ∈ A G (B) ⊂ Ω2 (P ) ⊗ g ein G-invarianter Zusammenhang auf P . Dann gilt f¨ ur die Kr¨ ummungsform Ωω von ω, daß 1 dω + [ω, ω] = Ωω ∈ ((f ∗ Ω2B )(P ) ⊗ g)G = Ω2B ⊗B A dP. 2 Beweis. Seien p ∈ P und Xp , Yp ∈ Θp . Wir m¨ ussen Xp · ω(Yp ) − Yp · ω(Xp ) − ω([Xp , Yp ]) + [ω(Xp ), ω(Yp )] = Ωω (Xp ∧ Yp ) zeigen. Dazu betrachten wir drei F¨ alle: 1. Es seien Xp und Yp vertikal, etwa Xp = Ap und Yp = Bp f¨ ur A, B ∈ g. Dann gilt Xp ·ω(Yp )−Yp ·ω(Xp )−ω([Xp , Yp ])+[ω(Xp ), ω(Yp )] = Xp ·B−Yp ·A−[A, B]+[A, B] = 0 = Ωω (Xp ∧Yp ). 2. Es seien Xp horizontal und Yp vertikal. Dann k¨onnen wir Yp = Bp f¨ ur B ∈ g annehmen. Außerdem k¨ onnen wir annehmen, daß Xp invariant unter der Gruppenoperation ist. Insbesondere gilt [Xp , Yp ] = 0, denn der Fluß von Yp ist (p, t) 7→ p exp(t B). Damit gilt: Xp · ω(Yp ) − Yp · ω(Xp ) − ω([Xp , Yp ]) + [ω(Xp ), ω(Yp )] = Xp · B = 0 = Ωω (Xp ∧ Yp ). 3. Schließlich seien Xp und Yp horizontal. Dann gilt Xp ·ω(Yp )−Yp ·ω(Xp )−ω([Xp , Yp ])+[ω(Xp ), ω(Yp )] = −ω([Xp , Yp ]) = Ωω (Xp ∧Yp ).

91

9. Horizontale Strukturen auf Submersionen

92

10. Kovariante Ableitungen 10.1. Kovariante Ableitungen Definition 10.1. Seien P eine C k -Mannigfaltigkeit, k > 0 und E ein CPk -Modul. Eine kovariante Ableitung ∇ von P ist ein Morphismus ∇ : E → ΩP ⊗ E, s 7→ (∇s : X 7→ ∇X s) von Garben von R-Vektorr¨ aumen u ¨ber P , so daß ∀p∈P,

k ,s∈E φ∈CP,p p

∇(φ e) = dφ ⊗ s + φ ∇s.

(Im allgemeinen ist ∇ also nicht CPk -linear.) Ist s ∈ E (U ) mit U ∈ U(P ) ein Schnitt von E , so heißt s parallel (bez¨ uglich ∇), falls ∇s = 0. urliche Beispiel 10.1. Sei P eine C k -Mannigfaltigkeit, k > 0. Dann tr¨agt CPk eine nat¨ kovariante Ableitung, n¨ amlich das totale Differential d : CPk → ΩP . Beispiel 10.2. Seien P eine C k -Mannigfaltigkeit, k > 0 und E ein CPk -Modul. Ist ∇ : E → ΩP ⊗ E eine kovariante Ableitung von E , so ist ∇ + α f¨ ur einen Morphismus α : E → ΩP ⊗ E von CPk -Moduln wieder eine kovariante Ableitung. Umgekehrt gilt: Bemerkung 10.1. Seien P eine C k -Mannigfaltigkeit, k > 0 und E ein CPk -Modul. Sind ∇, ∇0 : E → ΩP ⊗ E zwei kovariante Ableitung von E , so ist ∇ 0 − ∇ : E → ΩP ⊗ E ein Morphismus von CPk -Moduln, insbesondere also CPk -linear. Bemerkung 10.2. Seien P eine C k -Mannigfaltigkeit, k > 0 und E ein CPk -Modul. Sei U ∈ U(P ). Nennen wir eine kovariante Ableitung von E |U eine kovariante Ableitung von E u ¨ber U , so bilden die kovarianten Ableitungen von P in kanonischer Weise eine Garbe AE auf P , die Garbe AE der kovarianten Ableitungen von E . Dies ist nach der letzten Bemerkung eine Garbe affiner R¨aume u ¨ber ΩP ⊗ E nd(E ).

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10. Kovariante Ableitungen Beispiel 10.3. Seien P eine C k -Mannigfaltigkeit und E , F zwei CPk -Moduln mit kovarianten Ableitungen ∇. Auf E ⊕ F gibt es genau eine kovariante Ableitung ∇, so daß ∀p∈P,ep ∈Ep ,fp ∈Fp

∇(ep , fp ) = (∇ep , ∇fp ).

Auf E ⊗ F gibt es genau eine kovariante Ableitung ∇, so daß ∀p∈P,ep ∈Ep ,fp ∈Fp

∇(ep ⊗ fp ) = (∇ep ) ⊗ fp + ep ⊗ (∇fp ).

Auf H om(E, F ) gibt es genau eine kovariante Ableitung ∇, so daß ∀p∈P,ηp ∈H om(E,F )p ,ep ∈Ep

(∇ηp )(ep ) = ∇(ηp (ep )) − ηp (∇p ).

Insbesondere tr¨ agt E ∨ eine nat¨ urliche kovariante Ableitung, wenn E eine besitzt. Beispiel 10.4. Sei f : B 0 → B ein Morphismus von C k -Mannigfaltigkeiten, k > 0. Sind dann E ein CPk -Modul und ∇ eine kovariante Ableitung auf E , so gibt es genau eine kovariante Ableitung f ∗ ∇ auf f ∗ E mit ∀p0 ∈P,ep ∈Ep

(f ∗ ∇)(f ∗ ep ) = f ∗ (∇ep ).

Im folgenden Lemma untersuchen wir einen besonderen Spezialfall der induzierten kovarianten Ableitung im Falle einer konstanten Abbildung: Lemma 10.1. Sei f : X → Y eine konstanter Morphismus lokal geringter R¨ aume. Sei F ein OY -Modul mit kovarianter Ableitung. Dann ist f ∗ F ein (trivialer) OX -Modul mit induzierter kovarianter Ableitung ∇. Und zwar gilt f¨ ur alle p ∈ X und sp ∈ (f ∗ F )p , daß ∇sp = dsp . Beweis. Sei q := f (p). Weiter w¨ahlen wir (t1 )q , . . . , (tr )q ∈ Fq und φ1p , . . . , φrp ∈ Op mit sp =

r X

(φi f ∗ ti )p .

i=1

Damit gilt f¨ ur alle X ∈ Θp , daß ∇sp =

r X i=1

94

(dφi f ∗ ti )p +

r X i=1

(φi f ∗ (∇ti ))p = dsp .

10.1. Kovariante Ableitungen Lemma 10.2. Seien B eine C k -Mannigfaltigkeit, k > 0 und E ein CPk -Modul. Ist dann D : E (B) → (ΩB ⊗ E )(B) eine R-bilineare Abbildung mit ∀φ∈C k (B),s∈E (B)

D(φ s) = dφ ⊗ s + φ D(s),

so existiert auf E genau eine kovariante Ableitung mit ∀s∈E (B)

∇s = D(s).

Beweis. Wir konstruieren ∇ zun¨ achst halmweise. Aus der Eindeutigkeit der Konstruktion wird dann folgen, daß die Keime zu einem globalen Morphismus verkleben. Sei dazu p ∈ B. Sei weiter sp ∈ Ep . Ohne Einschr¨ankung k¨onnen wir davon ausgehen, daß s ∈ E (B). Dann setzen wir ∇sp := D(s)p . Sei s0 ∈ E (B) ein anderer Schnitt mit sp = s0p . Dann ist zu zeigen, daß D(s)p = D(s0 )p . Dazu w¨ahlen wir ein f ∈ Cpk mit fp = 0 und ∀p0 ∈B

s(p0 ) 6= s0 (p0 ) =⇒ f (p0 ) = 0.

Damit ist f (s − s0 ) = s − s0 , also D(s − s0 )p = D(f (s − s0 ))p = dfp ⊗ (s − s0 )p + fp D(s − s0 ) = 0.

Die folgende Konstruktion kovarianter Ableitungen heißt die Levi–Civita-Konstruktion: ” Aussage 10.1. Seien X ein lokal geringter Raum und E und F zwei OX -Moduln. Sei ι : E → E ⊕ F die nat¨ urliche Inklusion und π : E ⊕ F → E die kanonische Projektion. Ist dann ∇ eine kovariante Ableitung auf E ⊕ F , so existiert genau eine kovariante Ableitung ∇ auf E , so daß π ◦ (∇ι) = 0, das heißt ∀p∈P,sp ∈Ep

(∇(ι(s)) − ι(∇(s)))p ∈ Fp ⊂ (E ⊕ F )p .

Beweis. Offensichtlich m¨ ussen wir ∇sp := π(∇(ι(s)))p f¨ ur alle p ∈ P und sp ∈ Ep setzen. Es ist lediglich nachzurechnen, daß dadurch eine kovariante Ableitung definiert wird. Dadurch sei φp ∈ Op . Dann gilt ∇(φ s)p = π(∇(φ ι(s))) = π(dφ ⊗ ι(s))p + (φ π(∇ι(s)))p = (dφ ⊗ s)p + (φ ∇s)p .

95

10. Kovariante Ableitungen Definition 10.2. Sei f : X → Y ein Morphismus lokal geringter R¨aume. Seien weiter E ein OX -Modul mit kovarianter Ableitung ∇ und F ein OY -Modul mit kovarianter Ableitung ∇. Sei F : E →f F ein Morphismus von Modulgarben u ¨ber f , das heißt ein Morphismus F : E → f ∗ F von OX -Modul. Diesen k¨onnen wir also als Schnitt des OX Moduls H omX (E , f ∗ F ) auffassen, welcher eine nat¨ urliche kovariante Ableitung besitzt. Dann heißt ∇F ∈ (ΩX ⊗X H omX (E , f ∗ F ))(X) die kovariante Ableitung von F . Gilt ∇F = 0, so heißt F parallel oder auch kovariant konstant. Bemerkung 10.3. Sei f : X → Y ein Morphismus lokal geringter R¨aume. Seien weiter E ein OX -Modul mit kovarianter Ableitung ∇ und F ein OY -Modul mit kovarianter Ableitung ∇. Ist dann F : E →f F ein Morphismus von Modulgarben u ¨ber f , so gilt also f¨ ur alle p ∈ P , u ∈ Θp und sp ∈ Ep , daß ∇f∗ u F (sp ) − F (∇u sp ) = (∇F )u sp .

10.2. Modul-wertige Differentialformen Definition 10.3. Seien X ein lokal geringter Raum u ¨ber einem K¨orper k und E ein OX -Modul. Dann heißt Ω∗X ⊗X E der Z-graduierte OX -Modul der E -wertigen Differentialformen. Bemerkung 10.4. Seien X ein lokal geringter Raum u ¨ber einem K¨orper k und E ein OX -Modul. Dann ist Ω∗X ⊗X E in nat¨ urlicher Weise ein Z-graduierter Ω∗X -Modul. Aussage 10.2. Seien X ein lokal geringter Raum u orper k und E ein OX ¨ber einem K¨ Modul. Sei ∇ eine kovariante Ableitung von E . Dann existiert genau ein Morphismus d∇ : Ω∗X ⊗X E → Ω∗+1 X ⊗X E von Garben von k-Vektorr¨ aumen u ¨ber X, so daß die Leibnizregel ∀k∈Z,p∈X,αp ∈Ωkp ,sp ∈Ep

dω (αp ⊗ sp ) = (dαp ) ⊗ sp + (−1)k αp ∧ ∇sp

erf¨ ullt ist und d∇ mit ∇ auf E u ¨bereinstimmt, das heißt ∀p∈X,sp ∈Ep

d∇ sp = ∇sp .

Beweis. Der Beweis geht analog wie im Falle der gew¨ohnlichen Cartanschen Ableitung.

96

10.2. Modul-wertige Differentialformen Aussage 10.3. Sei f : Y → X ein Morphismus lokal geringter R¨ aume und E ein OX Modul mit kovarianter Ableitung ∇. Die induzierte kovariante Ableitung auf f ∗ E wollen wir wieder mit ∇ bezeichnen. Dann gilt 0 = d∇ ◦ f − f ◦ d∇ = [d∇ , f ∗ ] : Ω∗X ⊗X E → f∗ (Ω∗+1 ⊗Y f ∗ E ), Y das heißt ∀q∈Y,sf (q) ∈Ω∗f (q) ⊗O

E f (q) f (q)

d∇ (fq∗ α) = fq∗ (d∇ α).

Beweis. Es reicht, die Behauptung auf Ef (q) f¨ ur jedes q ∈ Y nachzurechnen. Sei sp ∈ Ep mit p := f (q). Dann gilt d∇ (fq∗ s) = ∇(fq∗ s) = fq∗ ∇s = fq∗ d∇ s nach Definition von dω und der induzierten kovarianten Ableitung auf f ∗ E . Aussage 10.4. Sei f : Y → X ein Morphismus lokal geringter R¨ aume. Sei E ein OX Modul mit kovarianter Ableitung ∇. Die induzierte kovariante Ableitung auf f ∗ E wollen wir wieder mit ∇ bezeichnen. Sei A ∈ Θ(f ) ein Vektorfeld l¨ angs f . Dann existiert genau ein Morphismus, die Liesche Ableitung in Richtung A, LA : Ω∗X ⊗X E → f∗ (Ω∗Y ⊗Y f ∗ E ), mit ∀α∈Ω∗X ,s∈E

LA (α ⊗ s) = (LA α) ⊗ s + (f ∗ α) ⊗ ∇A s.

Beweis. Sei φ ∈ OX . Dann gilt (LA (φ α)) ⊗ s + (f ∗ φ α) ⊗ ∇A s = (LA α) ⊗ (φ s) + f ∗ α∇A (φ s).

Bemerkung 10.5. Analog k¨ onnen wir die Liesche Ableitung modulwertiger Tensorfelder einf¨ uhren. Bemerkung 10.6. Wie schon im Falle skalarwertiger Differentialformen gilt hier auch [d, ιA ] = LA . Aussage 10.5. Sei X ein lokal geringter Raum. Sei E ein OX -Modul mit kovarianter Ableitung ∇. Dann existiert genau ein F ∇ ∈ HomX (E , Ω2X ⊗ E), so daß ∀s∈Ω∗X ⊗E also Die Form F ω

d∇ d∇ s = F ∇ ∧ s,

1 F ∇ = [d∇ , d∇ ]. 2 heißt der Kr¨ ummungstensor zu ∇.

97

10. Kovariante Ableitungen Beweis. F¨ ur s ∈ E setzen wir

F ∇ s := d∇ d∇ s.

Sei jetzt α ∈ Ω∗X . Dann gilt mit dieser Setzung d∇ d∇ (α ⊗ s) = (d2 α) ⊗ s + α ⊗ (d∇ )2 s = α ∧ F ∇ s = F ∇ (α ⊗ s).

Bemerkung 10.7. Sei X ein lokal geringter Raum. Sei E ein OX -Modul mit kovarianter Ableitung ∇. Ist dann ΩX lokal frei vom endlichen Rang, so k¨onnen wir F ∇ als E nd(E )wertige 2-Form auffassen, da dann Hom(E , Ω2X ⊗ E ) = (Ω2X ⊗ E nd(E ))(X). Aussage 10.6. Seien X ein lokal geringter Raum und E ein OX -Modul mit kovarianter Ableitung ∇. Dann gilt ∀A,B∈ΘX ,s∈E

F ∇ (A, B, s) = ∇A ∇B s − ∇B ∇A s − ∇[A,B] s.

Beweis. Es gilt ιB ιA F ∇ s = ιB ιA d∇ d∇ s = −ιB d∇ ιA d∇ s + ιB LA d∇ s = −ιB d∇ ∇A s + LA ιB d∇ s − ι[A,B] d∇ s = −∇B ∇A s + ∇A ∇B s − ∇[A,B] s.

Bemerkung 10.8. Der Kr¨ ummungstensor ist mit induzierten horizontalen Strukturen vertr¨ aglich, das heißt: Seien f : Y → X ein Morphismus lokal geringter R¨aume und E ein OX -Modul mit kovarianter Ableitung ∇. Die induzierte kovariante Ableitung auf f ∗ E wollen wir mit f ∗ ∇ bezeichnen. Dann gilt Ff

∗∇

= f ∗ F ∇ ∈ HomY (f ∗ E , Ω2X ⊗ E ).

Die folgende Folgerung wollen wir die Cartansche Strukturgleichung f¨ ur den Kr¨ ummungstensor nennen. Folgerung 10.1. Seien f : Y → X ein Morphismus lokal geringter R¨ aume und E ein OX -Modul mit kovarianter Ableitung ∇. Die auf f ∗ E induzierte kovariante Ableitung wollen wir wieder mit ∇ bezeichnen. Dann gilt ∀A,B∈ΘY ,s∈f ∗ E

f ∗ (F ∇ (f∗ A, f∗ B))(s) = ∇A ∇B s − ∇B ∇A s − ∇[A,B] s.

Die folgende Aussage heißt auch die zweite Bianchi-Identit¨ at:

98

10.3. Der induzierte Zusammenhang Aussage 10.7. Seien X ein lokal geringter Raum und E ein OX -Modul mit kovarianter Ableitung ∇. Dann gilt 0 = [d∇ , F ∇ ] ∈ HomX (E , Ω3X ⊗ E ). Beweis. Es ist [d∇ , F ∇ ] = d∇ ◦ d∇ ◦ d∇ − d∇ ◦ d∇ ◦ d∇ = 0.

10.3. Der induzierte Zusammenhang Definition 10.4. Sei ξ : E → B ein Vektorb¨ undel u ¨ber einer Mannigfaltigkeit B. Sei ∇ eine kovariante Ableitung auf dem CB∞ -Modul E der Schnitte von E. Sei t ∈ (ξ ∗ E )(E) der tautologische Schnitt, welcher durch idE : E → E induziert wird. Dann ist die Zusammenhangsform K von ∇ die E -wertige 1-Form K := ξ ∗ ∇t ∈ (ΩE ⊗ E )(E). Aussage 10.8. Sei ξ : Eb → Bb ein Vektorb¨ undel u ¨ber einer lokalen Mannigfaltigkeit Bb . ∞ Sei ∇ eine kovariante Ableitung auf dem Cb -Modul Eb der lokalen Schnitte von Ee . Ist dann s ∈ Ee ein lokaler Schnitt von Ee , welchen wir auch als Morphismus s : Bb → Ee interpretieren, so gilt s∗ K = K ◦ s∗ = ∇s ∈ Ω(b) ⊗ E (e),

d.h.

∀v∈Θ(b)

K(s∗ v) = ∇v s.

Aus der Zusammenhangsform l¨ aßt sich also die kovariante Ableitung zur¨ uckgewinnen. Beweis. Es gilt K(s∗ v) = (ξ ∗ ∇)s∗ v (t) = (s∗ ξ ∗ ∇)v (s∗ t) = ∇v s.

Beispiel 10.5. Sei ξe : Eb → Bb ein lokales Vektorb¨ undel u ¨ber einer lokalen Mannigfal∞ tigkeit Bb . Sei ∇ eine kovariante Ableitung auf dem Cb -Modul Eb der lokalen Schnitte von Ee . Seien weiter α0 : R0 → Bb eine lokale Kurve in Bb und α ˆ 0 : R0 → Eb eine lokale Kurve an E0 mit ξ ◦ α ˆ 0 = idR0 . Dann k¨ onnen wir α ˆ 0 insbesondere als lokalen Schnitt in α∗ Eb auffassen. Es gilt K ˆ˙α0 = (α∗ ∇)∂0 α ˆ. Aussage 10.9. Sei ξe : Eb → Bb ein lokales Vektorb¨ undel u ¨ber einer lokalen Mannigfaltigkeit Bb . Sei ∇ eine kovariante Ableitung auf dem Cb∞ -Modul Eb der lokalen Schnitte von Eb . Sei e ∈ E(b). Dann gilt

99

10. Kovariante Ableitungen

100

11. Affine Mannigfaltigkeiten 11.1. Affine Mannigfaltigkeiten und die zweite Fundamentalform Definition 11.1. Eine affine Mannigfaltigkeit X ist eine Mannigfaltigkeit zusammen mit einer kovarianten Ableitung auf der Kotangentialgarbe ΩX . Bemerkung 11.1. Sei X eine Mannigfaltigkeit. Da ΘX ' Ω∨ X ist die Angabe einer kovarianten Ableitung auf der Kotangentialgarbe mit der Angabe einer kovarianten Ableitung auf der Tangentialgarbe gleichbedeutend. Beispiel 11.1. Sei A ein affiner Raum u ¨ber dem endlich-dimensionalen R-Vektorraum V . Dann existiert auf dem Tangentialb¨ undel πA : T A → A von A genau eine kovariante Ableitung ∇, so daß −−−→ → − ∀p∈A,X∈Θp ,u∈Θ(p) ∇u X = dp X (u). Beispiel 11.2. Sei M eine affine Mannigfaltigkeit. Sei ∇ die kovariante Ableitung auf ΘM . ∞ -Moduln, so ist ∇ + α wieder Ist dann α : ΘM → ΩM ⊗M → ΘM ein Morphismus von CM eine kovariante Ableitung auf ΘM . Betrachten wir die Mannigfaltigkeit M zusammen mit dieser kovarianten Ableitung als affine Mannigfaltigkeit, so schreiben wir M α . Beispiel 11.3. Seien G eine Liesche Gruppe und g ihre Liesche Algebra. Dann existiert genau eine kovariante Ableitung ∇0 auf ΘG , so daß ∀A∈g

∇A = 0.

Das letzte Beispiel k¨ onnen wir noch ein wenig ausbauen. Beispiel 11.4. Seien G eine Liesche Gruppe und g ihre Liesche Algebra. Jede bilineare Abbildung λ: g × g → g induziert einen Morphismus ˜ : ΘG ⊗G ΘG → ΘG λ von CG∞ -Moduln mit ∀A,B∈Θ(G)

˜ θ(λ(A, B)) = λ(θ(A), θ(B)),

dabei ist θ ∈ (ΩG ⊗ g)(G) die kanonische 1-Form auf G. Damit existiert auf ΘG genau eine kovariante Ableitung ∇λ mit ∀A,B∈g

∇λA B = λ(A, B),

101

11. Affine Mannigfaltigkeiten das heißt mit den Bezeichnungen des letzten Beispiels gilt ˜ ∇λ = ∇0 + λ. Ein Spezialfall ergibt sich, wenn wir λ := [·, ·] setzen. Die zugeh¨orige kovariante Ableitung wollen wir mit ∇ bezeichnen. Definition 11.2. Sei f : M → N eine differenzierbare Abbildung affiner Mannigfaltig∞ -Moduln. keiten. Diese induziert bekanntlich einen Morphismus f∗ : ΘM → f ∗ ΘN von CM Dann heißt ∇f := ∇(f∗ ) ∈ (ΩM ⊗M ΩM ⊗M ∗ ΘN )(M ) die zweite Fundamentalform von f . Es gilt also ∀p∈M,u∈Θ(p),Xp ∈Θp

(∇f )(u, X(p)) = ∇u (f∗ X) − f∗ (∇u X).

Die Abbildung f heißt affin, falls ∇f = 0. Beispiel 11.5. Seien A und B zwei affine R¨aume. Dann ist eine Abbildung f : A → B genau dann affin im klassischen Sinne, wenn sie affin im Sinne der letzten Definition ist. Beispiel 11.6. Sei i : M → N eine Immersion einer Mannigfaltigkeiten M in eine affine ∞ -Untermodul von Θ . Dann wird M Mannigfaltigkeit N . Sei weiter N ⊂ i∗ ΘN ein CM N nach der Levi–Civita-Konstruktion genau auf eine Weise zu einer affinen Mannigfaltigkeit, so daß die zweite Fundamentalform Werte in N annimmt, das heißt also ∀p∈M,u,v∈ΘM (p)

(∇f )(u, v) ∈ N (p).

Zur Anwendung kommt dieses Beispiel insbesondere dann, wenn i eine Hyperfl¨ achenimmersion ist, das heißt dim N − dim M = 1. Dann definiert jedes Vektorfeld X ∈ (i∗ ΘN )(M ) mit ∀p∈M X(p) 6= i∗ Θ(p) ∞ · X. einen Untermodul N wie oben, n¨amlich N := CM

11.2. Der Torsionstensor Definition 11.3. Sei M eine affine Mannigfaltigkeit. Sei i ∈ E nd(ΘM )(M ) die Identit¨ at, welche wir verm¨ oge des kanonischen Isomorphismus’ ΩM ⊗ ΘM ' H om(ΘM ) als ΘM wertige 1-Form auf M auffassen. Dann heißt die ΘM -wertige 2-Form T M := d∇ i ∈ (Ω2M ⊗M ΘM )(M ) der Torsionstensor der affinen Mannigfaltigkeit M . Die affine Mannigfaltigkeiten M heißt torsionsfrei, falls T M = 0.

102

11.2. Der Torsionstensor Beispiel 11.7. Seien M eine affine Mannigfaltigkeit und α : ΘM → ΩM ⊗M ΘM ein ∞ -Moduln. Dann gilt Morphismus von CM α

T M = T M + α ∧ i. Aussage 11.1. Sei M eine affine Mannigfaltigkeit. Dann gilt ∀X,Y ∈ΘM

T M (X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ].

Beweis. Bemerkung 11.2. Sei f : N → M ein Morphismus von Mannigfaltigkeiten. Sei M eine affine Mannigfaltigkeit. Dann gilt f ∗ T M = d∇ f∗ ∈ (Ω2N ⊗N f ∗ ΘM )(M ), wobei wir f∗ ∈ Ω1N ⊗ f ∗ ΘM als f ∗ ΘM -wertige 1-Form auf N auffassen. Es folgt die Cartansche Strukturgleichung f¨ ur den Torsionstensor“: ” Folgerung 11.1. Sei f : N → M ein Morphismus von Mannigfaltigkeiten. Sei M eine affine Mannigfaltigkeit. Dann gilt: ∀X,Y ∈ΘN

T M (f∗ X, f∗ Y ) = ∇X f∗ Y − ∇Y f∗ X − f∗ [X, Y ].

Folgerung 11.2. Seien M und N affine Mannigfaltigkeiten. Sei f : M → N ein nicht notwendigerweise affiner Morphismus von Mannigfaltigkeiten. Dann gilt ∀X,Y ∈ΘM

hf (X, Y ) − hf (Y, X) = T N (f∗ X, f∗ Y ) − f∗ T M (X, Y ).

Folgerung 11.3. Seien M und N affine, torsionsfreie Mannigfaltigkeiten. Sei f : M → N ein nicht notwendigerweise affiner Morphismus von Mannigfaltigkeiten. Dann ist die zweite Fundamentalform ⊗2 hf ∈ Ω M ⊗M f ∗ ΘN symmetrisch. Folgerung 11.4. Sei f : M → N ein Morphismus affiner Mannigfaltigkeiten, das heißt f ist affin. Dann gilt f ∗ T N = f∗ T M . Folgerung 11.5. Sei i : M → N eine Immersion einer Mannigfaltigkeiten M in eine ∞ -Untermodul von Θ , so daß affine Mannigfaltigkeit N . Sei weiter N ⊂ i∗ ΘN ein CM N N ⊕ΘM = i∗ ΘN . Wir versehen M mit der durch die Levi–Civita-Konstruktion bez¨ uglich N gegebene affine Struktur. Ist dann π : i∗ ΘN → ΘM die Projektion auf ΘM l¨ angs N , so gilt T M = π ◦ f ∗T N . Ist insbesondere N torsionsfrei, so ist auch M torsionsfrei. Aussage 11.2. Sei M eine Mannigfaltigkeit. Sei AM := AΘM die Garbe der kovarianten 0 ⊂ A Ableitungen auf ΘM . Sei weiter AM M die Garbe der torsionsfreien kovarianten Ableitungen auf M .

103

11. Affine Mannigfaltigkeiten

104

Teil III.

Ausgew¨ ahlte Kapitel

105

Teil IV.

Mathematische Physik

107

Teil V.

Anh¨ ange

109

A. Grundlagen A.1. Kategorientheorie Definition A.1. Eine Kategorie C ist eine Klasse C von Objekten von C zusammen mit Klassen C(A, B) = {f : A → B} von Morphismen von A nach B f¨ ur je zwei Objekte A, B ∈ C, einem Identit¨ atsmorphismus idA ∈ C(A, A) f¨ ur jedes Objekte A ∈ C und einer Kompositionsabbildung C(A, B) × C(B, C) → C(A, C), (f, g) 7→ g ◦ f = f ; g, so daß folgende Axiome erf¨ ullt sind: C1 Die Kompositionsabbildungen ◦ sind assoziativ, das heißt, ∀A,B,C,D∈C,

f : A→B,g : B→C,h : C→D

h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f.

C2 Die Morphismen idA sind Links- und Rechtseinheiten, das heißt ∀A,B∈C,f : A→B

f ◦ idA = f = idB ◦ f.

Die Kategorie C heißt lokal klein, falls f¨ ur alle A, B ∈ C die Klasse C(A, B) eine Menge ist. In Zukunft wird der Begriff Kategorie“ bei uns f¨ ur lokal kleine Kategorie“ ” ” stehen, es sei denn, es wird explizit etwas anderes gesagt. Die Kategorie C heißt klein, falls sie lokal klein ist und zudem die Klasse C der Objekte eine Menge ist. Beispiel A.1. Die Kategorie Set der Mengen ist diejenige Kategorie, deren Objekte die Mengen, deren Morphismen von A nach B f¨ ur je zwei Mengen A und B die Abbildungen von A nach B und deren Komposition die Hintereinanderausf¨ uhrung (Verkn¨ upfung) von Abbildungen ist. Beispiel A.2. Die Kategorie Grp der Gruppen ist diejenige Kategorie, deren Objekte die Gruppen, deren Morphismen von G nach H f¨ ur je zwei Gruppen G und H die Gruppenhomomorphismen von G nach H und deren Komposition die Hintereinanderausf¨ uhrung (Verkn¨ upfung) von Gruppenhomomorphismen ist. Definition A.2. Seien C und D zwei Kategorien. Ein Funktor F : C → D ist eine Abbildung F : C → D zusammen mit Abbildungen F : C(A, B) → D(F (A), F (B)) f¨ ur je zwei Objekte A, B ∈ C, so daß folgende Axiome erf¨ ullt sind:

111

A. Grundlagen F1 Der Funktor ist mit den Kompositionsabbildungen vertr¨aglich, das heißt, ∀A,B,C∈C,f : A→B,g : B→C

F (g ◦ f ) = F (g) ◦ F (f ).

F2 Der Funktor ist mit den Identit¨aten vertr¨aglich, das heißt, ∀A∈C

F (idA ) = idF (A) .

Sei F : C → D ein Funktor. Der Funktor F heißt treu, wenn F auf Morphismen injektiv ist, das heißt, ∀A,B∈C,f,g : A→B

F (f ) = F (g) =⇒ f = g.

Der Funktor F heißt voll, wenn F auf Morphismen surjektiv ist, das heißt, ∀A,B∈C,g : F (A)→F (B) ∃f : A→B

F (f ) = g.

Der Funktor F heißt volltreu, wenn er treu und voll ist. Beispiel A.3. Sei U : Grp → Set der Funktor, der jede Gruppe auf die zugrundeliegende Menge ihrer Elemente und jeden Gruppenhomomorphismus auf die zugrundeliegende Abbildung zwischen den Elementmengen abbildet. Ein Funktor dieser Art wird auch Vergißfunktor genannt. Er ist treu, da ein Gruppenhomomorphismus durch die zugrundeliegende Abbildung beschrieben wird. Im Sinne der folgenden Bemerkung ist Grp damit eine konkrete Kategorie. Bemerkung A.1. Eine konkrete Kategorie C ist eine Kategorie C zusammen mit einem treuen Funktor U : C → Set, dem Vergißfunktor. H¨aufig definieren wir konkrete Kategorien C durch Angabe von Objekten A, welche in nat¨ urlicher Weise als Mengen U (A) aufgefaßt werden k¨ onnen, und durch Angabe der Morphismenklassen C(A, B) f¨ ur je zwei Objekte als Teilmenge der Menge der Abbildungen von U (A) nach U (B). Auf Morphismen wird U dann die Inklusion. So gibt es zum Beispiel die konkrete Kategorie CRng der kommutativen Ringe, deren Objekte die kommutativen Ringe (mit Eins) und deren Morphismen die Ringhomomorphismen von Ringen mit Eins sind. Analog seien Kategorien f¨ ur andere algebraische Strukturen definiert. Definition A.3. Seien C eine Kategorie und A, B ∈ C zwei Objekte. Eine Summe A+B von A und B ist ein Objekt A + B ∈ C zusammen mit zwei Morphismen i : A → A + B und j : B → A + B, so daß folgende universelle Eigenschaft erf¨ ullt ist: ∀C∈C,i0 : A→C,j 0 : B→C ∃!f : A+B→C

i0 = f ◦ i und j 0 = f ◦ j.

Die Morphismen i und j heißen Inklusionen. Analog zur Summe zweier Objekte wird die Eigenschaft als Summe einer beliebige Familie von Objekten definiert. Wir sagen, die Kategorie C hat (endliche, kleine) Summen, falls f¨ ur jede Familie (Ai )i∈I von Objekten von C (mit ` I endlich, I eine Menge) eine Summe der Familie existiert, die dann in der Regel i∈I Ai geschrieben wird.

112

A.2. Operationen Beispiel A.4. In der Kategorie der Mengen existieren kleine Summen: Ist etwa (Ai )i∈I eine kleine (das heißt, I ist eine Menge) Familie von Mengen, so wird durch a [ Ai := Ai × {i} i∈I

i∈I

zusammen mit den Inklusionen ji : Ai →

a

Ai , a 7→ (a, i)

i∈I

f¨ ur jedes i ∈ I eine (kanonische) Summe der Familie (Ai )i∈I definiert. In der Regel werden wir Ai mit seinem Bild unter ji f¨ ur jedes i ∈ I identifizieren.

A.2. Operationen Definition A.4. Sei G eine Gruppe. Eine G-Operation auf einer Menge X ist eine Abbildung L : G × X → X, (g, x) 7→ g · x, welche folgende Axiome erf¨ ullt: O1 Die Abbildung L besitzt e als linksneutrales Element, das heißt, ∀x∈X

e · x = x.

O2 Die Abbildung L ist linksassoziativ, d.h. ∀g,h∈G

g · (h · x) = (g · h) · x.

Sei x ∈ X. Die Menge G · x := {g · x | g ∈ G} heißt die Bahn der Operation L durch den Punkt x. Die Untergruppe Gx := {g ∈ G | g · x = x} von G heißt die Standgruppe der Operation L am Punkt x. Eine G-Menge X ist eine Menge X zusammen mit einer G-Operation L : G × X → X auf X. Beispiel A.5. Eine Gruppe G operiert durch Linksmultiplikation auf sich selbst. Damit k¨onnen wir jede Gruppe in kanonischer Weise als G-Menge ansehen. Bemerkung A.2. Seien G eine Gruppe und X eine G-Menge. Seien x, y ∈ X. Dann gilt G · x = G · y ⇐⇒ x ∈ G · y ⇐⇒ y ∈ G · x. Gilt G · x = G · y, so sind Gx und Gy zueinander konjugierte Untergruppen von G.

113

A. Grundlagen Definition A.5. Eine Operation L einer Gruppe G auf einer Menge heißt 1. frei, wenn alle Standgruppen trivial sind, das heißt, ∀x∈X

Gx = {e} ,

2. effektiv, wenn der Schnitt aller Standgruppen trivial ist, das heißt, \ Gx = {e} , x∈X

und 3. transitiv, wenn X die einzige Bahn ist, das heißt G·x=G f¨ ur ein und damit f¨ ur alle x ∈ X. Eine Menge X mit einer freien und transitiven G-Operation auf X ist eine G-Hauptmenge X. Beispiel A.6. Ist G eine Gruppe, so wird G durch die kanonische G-Operation eine G-Hauptmenge. Bemerkung A.3. Seien G eine Gruppe und X eine G-Hauptmenge. F¨ ur je zwei Punkte x, y ∈ X existiert genau ein g ∈ G mit g · x = y. Wir schreiben daher symbolisch y · x−1 f¨ ur dieses g. F¨ ur jeden Punkt x ∈ X wird eine Bijektion G → X, g 7→ g · x mit der Umkehrabbildung X → G, y 7→ y · x−1 definiert. Beispiel A.7. Sei k ein angeordneter K¨orper. Eine k>0 -Hauptmenge nennen wir auch eine offene k-Halbgerade. Sei H eine offene k-Halbgerade. Dann existiert genau eine Abbildung H × H → H, (x, y) 7→ x + y und genau eine Ordnung ≤ auf H, so daß ∀h∈H,x,y∈H

(x + y) · h−1 = x · h−1 + y · h−1

und ∀h∈H,x,y∈H

114

x ≤ y ⇐⇒ x · h−1 ≤ y · h−1 .

A.2. Operationen ¯ := {0} + H den Abschluß von H und Ist H eine offene k-Halbgerade, so nennen wir H eine abgeschlossene k-Halbgerade. Wir setzen die Operation + auf H durch ∀x∈H¯

0+x=0=x+0

und die Ordnung ≤ auf H durch ∀x∈H¯

0≤x

¯ fort. Die Operation von G auf H wird durch auf H ∀g∈G

g·0=0

¯ fortgesetzt. auf H

115

A. Grundlagen

116

B. Lineare Algebra B.1. Die ¨ außere Algebra Aussage B.1. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und 0 −−−−→ M 0 −−−−→ M −−−−→ M 00 −−−−→ 0 eine exakte Sequenz freier R-Moduln. Sei n := rk M 00 . Wir bezeichnen mit ^n ^n M→ M 00 , x 7→ x ¯ 00 den nat¨ urlichen Homomorphismus von R-Moduln, der V durch die Projektion M → M V∗ in∗ 0 M. duzierte wird. Weiter identifizieren wir Elemente von M mit ihren Bildern in Dann existiert genau ein nat¨ urlicher Morphismus

Φ:

^∗

M→

von R-Moduln, so daß f¨ ur alle x ∈

Vn

^n

M 00 ⊗

^∗−n

M und alle y ∈

M0

V∗−n

M 0 gilt, daß

Φ(x ∧ y) = x ¯⊗y gilt. Beweis. Wir k¨ onnen ∗ ≥ n voraussetzen. Sei (y1 , . . . , yk ) eine Basis von M 0 . Weiter sei (z1 , . . . , zn ) ein System von Elementen in M , welches auf eine Basis von M 00 projiziiert wird. Dann ist (y1 , . . . , yk , z1 , . . . , zn ) eine Basis von M . Die kanonische Abbildung ^n

M⊗

^∗−n

M 00 →

^∗

M, x ⊗ y 7→ x ∧ y

ist surjektiv, wie in der obigen Basisdarstellung von M zu sehen. Daher ist Φ im Falle der Existenz eindeutig. Die Existenz von Φ wird durch Konstruktion gegeben. Und zwar setzen wir ( 0 f¨ ur r 6= n Φ(zi1 ∧ · · · ∧ zir ∧ yj1 ∧ · · · ∧ yjs ) := zi1 ∧ · · · ∧ zir ⊗ yj1 ∧ · · · ∧ yjs f¨ ur r = n, wobei i1 , . . . , ir ∈ {1, . . . , n} und j1 , . . . , jr ∈ {1, . . . , k} und setzen die Abbildung linear fort.

117

B. Lineare Algebra

118

C. Topologie C.1. Topologische R¨ aume Definition C.1. Sei X eine Menge. Eine Topologie T auf X ist ein System von Teilmengen von X, so daß folgende Axiome erf¨ ullt sind: T1 Es ist ∅ ∈ T. T2 Es ist X ∈ T. T3 Das System T ist abgeschlossen unter endlichen Schnitten, das heißt, ∀U1 ,...,Un ∈T

U1 ∩ . . . ∩ Un ∈ T.

T4 Das System T ist abgeschlossen unter beliebigen Vereinigungen, das heißt, ∀U⊂T

[

U ∈ T.

Die Teilmengen U ⊂ X, f¨ ur die U ∈ T gilt, heißen offene Teilmengen der Topologie T. Die Teilmengen A ⊂ X, f¨ ur die X \ A ∈ T gilt, heißen abgeschlossene Teilmengen von T. Ein topologischer Raum X ist eine Menge X zusammen mit einer Topologie U(X) auf X. Beispiel C.1. Sei X eine Menge. Die feinste Topologie auf X ist durch das System P(X) gegeben, das heißt, jede Teilmenge von X ist offen. Die gr¨ obste Topologie auf X ist {∅, X}, das heißt, die einzigen offenen Teilmengen von X sind die leere Menge ∅ und X selbst. Beispiel C.2. Seien X ein topologischer Raum und A eine Teilmenge von X. Dann wird durch {A ∩ U | U ∈ U(X)} eine Topologie auf A definiert, die Teilraumtopologie von A in X. Definition C.2.

119

C. Topologie

C.2. Lokale topologische R¨ aume Definition C.3. Ein lokaler topologischer Raum Xx ist ein topologischer Raum X zusammen mit einem Punkt x ∈ X. Seien Xx und Yy zwei lokale topologische R¨aume. Ein Morphismus fx : Xx → Yy ¨ lokaler topologischer R¨ aume ist eine Aquivalenzklasse stetiger Abbildungen f : U → Y ¨ mit x ∈ U ∈ U(X) und f (x) = y bez¨ uglich der Aquivalenzrelation ∀x∈U,V ∈U(X),f : U →Y,g : V →Y,f (x)=y=g(x)

f ∼x g ⇐⇒ ∃x∈W ∈U(X) f |W = g|W .

¨ Da diese Aquivalenzrelation mit der Komposition stetiger Abbildungen vertr¨ aglich ist, k¨ onnen wir die Komposition von Morphismen lokaler topologischer R¨aume in der offensichtlichen Weise definieren. Definition C.4. Seien X und Y zwei topologische R¨aume. Eine stetige Abbildung f : U → Y mit x ∈ U ∈ U(X) heißt ein lokaler Hom¨ oomorphismus an x f¨ ur ein x ∈ X, falls fx : Xx → Yf (x) ein Isomorphismus lokaler topologischer R¨aume ist. Aussage C.1. Seien X und Y zwei topologische R¨ aume und x ∈ X. Eine stetige Abbildung f : U → Y ist genau dann ein lokaler Hom¨ oomorphismus an x, falls ein x ∈ W ∈ U(X) existiert, so daß f (W ) ∈ U(Y ) und f einen Hom¨ oomorphismus f |W : W → f (W ) induziert. Beweis. =⇒ Sei f : U → X ein lokaler Hom¨oomorphismus an x. Dann existieren eine stetige Abbildung g : V → Y mit f (x) ∈ V ∈ U(Y ) und x ∈ U 0 ∈ U(X) und f (x) ∈ V 0 ∈ U(Y ), so daß g ◦ f |U 0 = idU 0 und f ◦ g|V 0 = idV 0 . Wir setzen W := U 0 ∩ f −1 (V 0 ). Ist w ∈ W , so folgt g(f (w)) = w ∈ U 0 , also f (w) ∈ g −1 (U 0 ) ∩ V 0 . Damit gilt f (W ) ⊂ g −1 (U 0 ) ∩ V 0 . Ist z ∈ g −1 (U 0 ) ∩ V 0 , also g(z) ∈ U 0 , so folgt f (g(z)) = z, also z ∈ f (W ). Damit gilt g −1 (U 0 ) ∩ V 0 ⊂ f (W ). Es folgt, daß f (W ) = g −1 (U 0 ) ∩ V 0 offen in Y ist. Die stetige Abbildung g|f (W ) : f (W ) → W ist die Umkehrung von f |W : W → f (W ). ⇐= Sei x ∈ W ∈ U(X), so daß f (W ) ∈ U(Y ) und f einen Hom¨oomorphismus f |W : W → f (W ) induziert. Dann ist ((f |W )−1 )f (x) : Yf (x) → Xx die Umkehrung von fx .

Definition C.5. Sei n ∈ N0 . Ein topologischer Raum X ist eine n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit, wenn f¨ ur alle x ∈ X ein lokaler Hom¨oomorphismus fx : Xx → Rn0 existiert. Ein solcher Hom¨ oomorphismus heißt Karte von X an x.

120

C.3. Metrische R¨aume

C.3. Metrische R¨ aume Definition C.6. Sei X eine Menge und k ein angeordneter K¨orper. Eine Pseudometrik ¯ auf X ist eine Abbildung d : X × X → H ¯ in eine abgeschlossene kd: X × X → H ¯ so daß folgende Axiome erf¨ Halbgerade H, ullt sind: D1 Die Abbildung d ist symmetrisch, das heißt, ∀x,y∈X

d(x, y) = d(y, x).

D2 Es gilt ∀x∈X

d(x, x) = 0.

D3 Es gilt die Dreiecksungleichung, d.h. ∀x,y,z∈X

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Die Pseudometrik d heißt Metrik, falls zus¨atzlich folgendes Axiom gilt: D4 Die Pseudometrik d ist definit, das heißt, ∀x,y∈X

d(x, y) = 0 =⇒ x = y.

Ein (pseudo-)metrischer Raum X ist eine Menge X zusammen mit einer (Pseudo)Metrik dX auf X. Beispiel C.3. Sei k ein angeordneter K¨ orper. Dann wird durch d : k × k → k>0 , (x, y) 7→ |x − y| eine Metrik auf k definiert. ¯ Definition C.7. Sei X ein pseudometrischer Raum mit Pseudometrik d : X × X → H. F¨ ur jedes ∈ H und x ∈ X heißt U (x) := x0 ∈ X | d(x, x0 ) < die -Umgebung von x (in X). ¯ Bemerkung C.1. Sei X eine pseudometrischer Raum mit Pseudometrik d : X × X → H. Dann bildet (U (x))∈H,x∈X eine Basis einer Topologie auf X, die Basis der kanonischen Topologie auf X. Die Topologie ist genau dann hausdorffsch, wenn d eine Metrik ist.

121

C. Topologie

C.4. Parakompakte Hausdorffr¨ aume C.5. Eigentliche Abbildungen Lemma C.1. Seien X ein lokal kompakter Hausdorffraum und Y ein Hausdorffraum. Sei f : X → Y eine surjektive offene stetige Abbildung mit zusammenh¨ angenden Fasern. Sei y ∈ Y , so daß X(y) = f −1 ({y}) kompakt ist. Dann existiert f¨ ur alle U ∈ U(Y ) mit X(y) ⊂ U ein V ∈ U(Y ) mit y ∈ Y und f −1 (V ) ⊂ U und ∀y0 ∈U

X(y 0 ) ist kompakt.

Beweis. Da X ein lokal kompakter Hausdorffraum ist, k¨onnen wir davon ausgehen, daß U kompakt ist, indem wir U eventuell schrumpfen. Insbesondere ist dann ∂U kompakt. Nach Definition des Randes gilt ∂U = U ∩ (M \ V ). Es folgt unter anderem, daß X(y) ∩ ∂U = ∅. Wir setzen V := f (U ) \ f (∂V ). Da f eine offene Abbildung ist und Bilder kompakter Mengen unter f abgeschlossen sind, ist V ∈ U(Y ). Ist nun y 0 ∈ V , so folgt X(y 0 ) ⊂ X \ ∂U = V ∪(X \U ), wobei die Vereinigung eine disjunkte ist. Da X(y 0 ) nach Voraussetzung offen ist, folgt X(y 0 ) ⊂ V ⊂ V . Insbesondere ist X(y 0 ) kompakt. Außerdem folgt, daß f −1 (V ) ⊂ U . Aussage C.2. Seien X und Y zwei lokal kompakte Hausdorffr¨ aume. Sei f : X → Y eine surjektive offene stetige Abbildung mit zusammenh¨ angenden kompakten Fasern. Dann ist f eine eigentliche Abbildung. Beweis. Es reicht zu zeigen, daß Urbilder kompakter Teilr¨aume unter f wieder kompakt ¨ sind. Sei dazu L ⊂ Y kompakt. Sei (Ui )i∈I eine offene Uberdeckung von f −1 (L). Sei y ∈ f −1 (L). Dann existiert eine endliche Teilmenge Iy ⊂ I, so daß [ X(y) ⊂ Uy := Ui . i∈Iy

Nach dem vorherigen Lemma k¨onnen wir ein Vy ∈ U(Y ) mit y ∈ V (y) und f −1 (Vy ) ⊂ Uy w¨ahlen. Da L nach S Voraussetzung kompakt ist, existiert eine endliche Teilmenge J ⊂ L, so daß L = y∈J Vy . Es folgt, daß [ [ Ui = f −1 (L), y∈J i∈Iy

also existiert eine endliche Teil¨ uberdeckung von f −1 (L), also ist f −1 (L) kompakt.

122

D. Lokal geringte R¨ aume D.1. Garben Definition D.1. Sei X ein topologischer Raum. Ein Raum Y u ¨ber X ist ein topologischer Raum Y zusammen mit einer stetigen Abbildung π : Y → X, der Fußpunktabbildung. aume u aumen Sind Y und Y 0 zwei R¨ ¨ber X, so ist ein Morphismus f : Y →X Y 0 von R¨ u ¨ber X eine stetige Abbildung f : Y → Y 0 mit π 0 ◦ f = π, wobei π : Y → X und π 0 : Y 0 → X die Fußpunktabbildungen sind. Die konkrete Kategorie der R¨ aume u ¨ber X wird mit Top(X) bezeichnet. Definition D.2. Sei X ein topologischer Raum. Eine Garbe F u ¨ber X ist ein Raum F u ¨ber X, so daß die Fußpunktabbildung π : Y → X ein lokaler Hom¨oomorphismus ist. Ist F eine solche Garbe u ur U ∈ U(X) eine stetige Abbildung ¨ber X, so heißt f¨ s : U → F mit π ◦ s = idU ein Schnitt von F u ¨ber U . Wir bezeichnen mit F (U ) die Menge der Schnitte u ¨ber U . Ist x ∈ X, so heißt Fx := π −1 ({x}) der Halm von F an x. Aussage D.1. Sei X ein topologischer Raum und F eine Garbe u ¨ber X. Seien s ∈ F (U ) und t ∈ F (V ) mit U, V ∈ U(X) zwei Schnitte der Garbe. Dann ist die Menge {x ∈ U ∩ V | s(x) = t(x)} offen. Beweis. Sei x ∈ U ∩ V mit f := s(x) = t(x). Sei f ∈ W ∈ U(F ), so daß f¨ ur Fußpunktabbildung π : F → X gilt, daß π|W ein Hom¨oomorphismus auf eine offene Teilmenge π(W ) ⊂ U ∩ V ist. Es ist x ∈ Z := s−1 (W ) ∩ t−1 (W ) ∈ U(U ∩ V ). Da f auf W injektiv ist, folgt f¨ ur z ∈ Z aus f (s(z)) = z = f (t(z)), daß s(z) = t(z). Es gilt damit x ∈ Z ⊂ {x0 ∈ U ∩ V | s(x0 ) = t(x0 )}. Garben lassen sich aus sogenannten Pr¨agarben konstruieren, die als n¨achstes eingef¨ uhrt werden. Bemerkung D.1. Sei X ein topologischer Raum. Die Menge U(X) der offenen Mengen von X bildet die Menge der Objekte einer kleinen Kategorie U(X), deren Morphismenmenge ur UX(U, V ) f¨ ur je zwei offene Mengen U, V ∈ U(X) aus genau einem Element rU V f¨ V ⊂ U besteht und in allen anderen F¨ allen leer ist.

123

D. Lokal geringte R¨aume Definition D.3. Sei X ein topologischer Raum und C eine Kategorie. Eine Pr¨ agarbe F von Objekten von C auf X ist ein Funktor F : U(X) → C, das heißt ein Objekt F (U ) ∈ C f¨ ur U ∈ U(X) und ein Morphismus rU V : F (U ) → F (V ) f¨ ur jedes Paar U, V ∈ U(X) offener Mengen mit V ⊂ U , so daß folgende Axiome erf¨ ullt sind: P1 Die Morphismen sind assoziativ, das heißt, ∀U,V,W ∈U(X),W ⊂V ⊂U

rV W ◦ rU V = rU W : F (U ) → F (W ).

P2 Die trivialen Morphismen sind die Identit¨aten, das heißt, ∀U ∈U(X)

rU U = idF (U ) .

Die Kategorie C(X) der Pr¨ agarben von Objekten von C auf X ist die Funktorkategorie CU(X) . Beispiel D.1. Sei X ein topologischer Raum und k ein kommutativer Ring (mit Eins). Die Pr¨ agarbe kX der k-wertigen Funktionen auf X ist diejenige Pr¨agarbe von k-Algebren auf X, f¨ ur die kX (U ) die Menge aller Abbildungen U → k f¨ ur jede offene Menge U ∈ U(X) und f¨ ur die rU V : kX (U ) → kX (V ), f 7→ f |V gilt. Bemerkung D.2. Sei X ein topologischer Raum und F eine Pr¨agarbe von Mengen auf X. Wir setzen Fx := lim −→ x∈U ∈U(X)

¨ f¨ ur jedes x ∈ X, das heißt, ein Element in Fx ist eine Aquivalenzklasse sx von Elementen ¨ s ∈ F (U ) bez¨ uglich der Aquivalenzrelation ∀x∈U,V ∈U(X),s∈F (U ),t∈F (V )

s ∼x t ⇐⇒ ∃x∈W ∈U(X) rU W (s) = rV W (t).

Dann setzen wir F :=

a

Fx .

x∈X

F¨ ur alle s ∈ F (U ) f¨ ur U ∈ U(X) setzen wir [ s(U ) := sx ∈ F . x∈U

Die Mengen s(U ) bilden die Basis der kanonischen Topologie auf F . Bez¨ uglich dieser Topologie ist F zusammen mit der Fußpunktabbildung π : : F → X, f¨ ur die ∀x∈X,y∈Fx quadπ(y) = x gilt, eine Garbe, f¨ ur die Fx in der Tat der Halm u ur jedes x ∈ X ist. Wir nennen ¨ber x f¨ F die zu F assoziierte Garbe.

124

D.1. Garben Bemerkung D.3. Sei X ein topologischer Raum und F ein Pr¨agarbe abelscher Gruppen auf X. Mittels des Vergißfunktors U : Ab → Set k¨onnen wir F als Pr¨agarbe von Mengen auf X ansehen. Die zu dieser Pr¨ agarbe assoziierte Garbe sei F . Die Gruppenstruktur auf den Mengen F (U ) f¨ ur jedes U ∈ U(X) induziert die Struktur abelscher Gruppen auf jedem Halm Fx f¨ ur x ∈ X, so daß die induzierten Abbildungen X → F , x 7→ 0 ∈ Fx , F ×X F →X F , (s, t) 7→ s + t und F →X F , s 7→ −s stetig sind. Eine Garbe mit einer solchen Struktur auf den Halmen heißt eine Garbe abelscher Gruppen auf X. Die Garbe F abelscher Gruppen auf X heißt die zur Pr¨agarbe F abelscher Gruppen assoziierte Garbe. Ein Morphismus von Garben abelscher Gruppen ist ein Morphismus von Garben, der halmweise einen Homomorphismus abelscher Gruppen induziert. Analog werden (assoziierte) Garben (lokaler) kommutativer Ringe mit Eins oder von (lokalen) k-Algebren f¨ ur jeden kommutativen Ring k mit Eins und die Morphismen zwischen ihnen definiert. Beispiel D.2. Sei X ein topologischer Raum und k ein kommutativer Ring. Mit kˆX bezeichnen wir die zu kX assoziierte Garbe von k-Algebren. Es gilt kˆX (U ) = kX (U ) f¨ ur jedes U ∈ U(X). Eine Untergarbe von kˆX heißt eine Garbe von k-wertigen Funktionen auf X. Beispiel D.3. Sei X ein topologischer Raum. Mit CX bezeichnen wir die Unterpr¨ agarbe der stetigen reellwertigen Funktionen von RX . Die assoziierte Garbe der stetigen Rwertigen Funktionen auf X bezeichnen wir mit CX . Sie ist eine Garbe lokaler R-Algebren. Beispiel D.4. Seien n ∈ N0 und G ∈ U(Rn ) eine offene Teilmenge. Sei k ∈ N0 . Mit k bezeichnen wir die Unterpr¨ CG agarbe der k-fach stetig differenzierbaren Funktionen von RG . Die assoziierte Garbe der k-fach differenzierbaren R-wertigen Funktionen auf G bezeichnen wir mit CGk . Sie ist eine Garbe lokaler R-Algebren. Definition D.4. Seien X ein topologischer Raum und F eine Garbe abelscher Gruppen u ur ein U ∈ U(X). Dann ist der Tr¨ ager von s die Teilmenge ¨ber X. Sei s ∈ F (U ) f¨ supp s := {x ∈ X | sx 6= 0} . Aussage D.2. Seien X ein topologischer Raum und F eine Garbe abelscher Gruppen u ur ein U ∈ U(X). Dann ist der Tr¨ ager supp s von s eine ¨ber X. Sei s ∈ F (U ) f¨ abgeschlossene Teilmenge von U . Beweis. Es ist U \ supp(s) = {x ∈ U | 0x = s(x)}, und diese Menge ist offen in U . Beispiel D.5. Sei X ein topologischer Raum und O eine Untergarbe der Garbe CX der stetigen reellwertigen Funktionen auf X. F¨ ur einen Schnitt s ∈ O(U ) mit U ∈ U(X) gilt dann supp s = {x ∈ U | s(x) 6= 0} ∩ U,

125

D. Lokal geringte R¨aume Beweis. ⊂ Sei x ∈ U mit sx 6= 0. Dann existiert f¨ ur alle x ∈ V ∈ U(U ) ein x0 ∈ V mit s(x0 ) 6= 0. Daraus folgt, daß x ∈ {x ∈ U | s(x) = 0}. ⊃ Sei x ∈ U mit s(x) 6= 0. Daras folgt, daß sx 6= 0, also x ∈ supp s. Daraus folgt, daß {x ∈ U | s(x) 6= 0} ⊂ supp s. Da supp s in U abgeschlosssen ist, folgt schließlich die Behauptung.

D.2. Weiche und feine Garben Definition D.5. Sei X ein parakompakter Hausdorffraum. Eine Garbe F auf X heißt weich, falls f¨ ur jede abgeschlossene Menge A von X die Einschr¨ankungsabbildung F (X) → F (A), s 7→ s|A surjektiv ist. Definition D.6. Seien X ein parakompakter Hausdorffraum und A eine Garbe von Ringen u ¨ber X. Ein A -Modul F heißt fein, falls der A -Modul H omA (F, F ) weich ist. Beispiel D.6. Seien X ein parakompakter Hausdorffraum und A eine Garbe von Ringen. Dann sind fein und weich ¨ aquivalente Bedingungen f¨ ur A . Aussage D.3. Seien X ein parakompakter Hausdorffraum und A eine Garbe von Ringen u ¨ber X. Jeder feine A -Modul F ist auch weich. Beweis. Sei A eine abgeschlossene Menge und s ∈ F (A). Dann existiert ein A ⊂ U ∈ U(X) und ein s˜ ∈ F (U ) mit s˜|A = s. Da X normal ist, existiert ein A ⊂ V ∈ U(X) mit V ⊂ U. Da H omA (F, F ) weich ist, existiert ein Morphismus f : F → F von A -Moduln mit f |A = idF |A und f |X\V = 0. F¨ ur den Schnitt f (˜ s) gilt, daß f (˜ s)|A = s und f (˜ s)|U \V = 0. Damit l¨ aßt sich der Schnitt s˜ durch 0 zu einem Schnitt sˆ ∈ F (X) mit sˆ|A = s fortsetzen. Aussage D.4. Seien X ein parakompakter Hausdorffraum und A eine weiche Garbe von Ringen u ¨ber X. Dann ist jeder A -Modul F fein. Beweis. Sei A eine abgeschlossene Menge und f ∈ H omA (F , F )(A). Dann existiert ein A ⊂ U ∈ U(X) und ein f˜ ∈ H omA (F , F )(U ) mit f˜|A = f . Da X normal ist, existiert ein A ⊂ V ∈ U(X) mit V ⊂ U . Da A weich ist, existiert ein Schnitt s ∈ A (X) mit s|A = 1 und s|X\V = 0. F¨ ur den ˜ ˜ ˜ Schnitt s · f gilt, daß s · f |A = f und s · f |U \V = 0. Damit l¨ aßt sich der Schnitt f˜ durch 0 zu einem Schnitt fˆ ∈ H omA (F , F )(X) mit fˆ|A = f fortsetzen.

126

D.2. Weiche und feine Garben Bemerkung D.4. Sei k ein kommutativer Ring mit Eins. Sei X ein lokal geringter Raum u ¨ber k und (fi )i∈I eine Familie von Funktionen fi ∈ OX (X), welche lokal endlich ist, das heißt, ∀x∈X ∃x∈U ∈U(X) |{i ∈ I | supp fi ∩ U 6= 0}| < ∞. Dann existiert genau eine Funktion f=

X

fi ∈ OX (X),

i∈I

so daß ∀x∈X

X

fx =

(fi )x .

i∈I,(fi )x 6=0

Um dies einzusehen, w¨ ahlen wir f¨ ur jedes x ∈ X ein x ∈ Ux ∈ U(X), so daß f¨ ur Ix := ¨ {i ∈ I | supp fi ∩ U 6= 0} gilt, daß P |Ix | < ∞. Dann ist (Ux )x∈X eine offene Uberdeckung von X, und es gilt ∀x∈X f |Ux = i∈Ix fi |Ux , so daß f lokal stetig und damit stetig ist. Definition D.7. Seien X ein parakompakter Hausdorffraum u ¨ber k und A eine Garbe von Ringen u ¨ber X. ¨ ¨ Sei (Ui )i∈I eine offene Uberdeckung von X. Eine Zerlegung der Eins von A zur Uberdeckung (Ui )i∈I ist eine Familie (fi )i∈I von Schnitten fi ∈ A (X), welche folgende Axiome erf¨ ullt: Z1 Die Tr¨ager der fi sind in den Ui enthalten, das heißt, ∀i∈I

supp fi ⊂ Ui .

Z2 Die Familie der Tr¨ ager der fi ist lokal endlich, also ∀x∈X ∃x∈U ∈U(X) Z3 Es gilt

P

i∈I

|{i ∈ I | supp fi ∩ U 6= 0}| < ∞.

fi = 1.

¨ Wir sagen, A besitze Zerlegungen der Eins, wenn zu jeder offenen Uberdeckung (Ui )i∈I eine Zerlegung der Eins von A existiert. Aussage D.5. Seien X ein parakompakter Hausdorffraum und A eine Garbe von Ringen u aquivalent: ¨ber X. Dann sind folgende Bedingungen ¨ F Die Garbe A ist weich. Z Die Garbe A besitzt Zerlegungen der Eins. ¨ Beweis. F =⇒ Z Sei (Ui )i∈I eine offene Uberdeckung von X. Da X parakompakt ist, existiert eine lokal endliche Verfeinerung (Vj )j∈J von Ui . Nach dem Schrump0 ¨ fungssatz existiert weiter eine offene Uberdeckung (Vj0 )j∈J mit V j ⊂ Vj f¨ ur jedes j ∈ J.

127

D. Lokal geringte R¨aume F¨ ur diesen Beweis sei eine Teilzerlegung eine Familie (gj )j∈J 0 von Schnitten gj ∈ A (X) mit J 0 ⊂ J und supp gj ⊂ Vj f¨ ur jedes j ∈ J 0 und X

gj |S

j∈J 0

j∈J 0

0

Vj

= 1.

Sei Z das System aller Teilzerlegungen. Dieses System ist durch S Inklusion geordnet. Jede Kette Z0 in Z besitzt eine obere Schranke, n¨amlich Z0 in Z. Nach dem Zornschen Lemma besitzt Z damit ein maximales Element (gj )j∈J 0 . Wir wollen zeigen, daß J 0 = J. Angenommen, dies ist nicht so. Dann existiert ein j ∈ J \ J 0 . Da A weich ist, existiert ein Schnitt gj ∈ A (X) mit gj |A = 1 −

X

gj 0 |A ,

j 0 ∈J 0

S 0 wobei A := j 0 ∈J 0 V j 0 ∪ Vj0 , eine abgeschlossene Menge, und gj |X\Vj = 0. Es folgt, daß die Familie (gj 0 )j 0 ∈J 0 ∪{j} echt gr¨oßer als (gj 0 )j 0 ∈J 0 , ein Widerspruch zur Maximalit¨ at von (gj 0 )j 0 ∈J 0 . Damit ist also J 0 = J. Da (Vj )j∈J eine Verfeinerung von (Ui )i∈I ist, existiert eine Abbildung h : J → I mit Vj ⊂ Uh(j) f¨ ur alle j ∈ J. Wir setzen X

fi :=

gj

j∈J,h(j)=i

und Wi :=

S

j∈J

Vj f¨ ur jedes i ∈ I. Dann gilt supp fi ⊂

[

supp gj ⊂ Wi ⊂ Ui .

h(j)=i

Wir zeigen, daß (Wi )i∈I lokal endlich ist. Dazu sei x ∈ X gegeben. Da (Vj )j∈J lokal endlich ist, existiert ein x ∈ U ∈ U(X) mit |{j ∈ J | Vj ∩ U 6= ∅}| < ∞. Daraus folgt |{i ∈ I | Wi ∩ U 6= ∅}| < ∞. Damit ist (Wi )i∈I lokal endlich, (supp fi )i∈I damit lokal endlich. ¨ Es folgt, daß (fi )i∈I eine Zerlegung der Eins von A zur Uberdeckung (Ui )i∈I ist. Z =⇒ F Seien A eine abgeschlossene Teilmenge von X und s ∈ A (A) ein Schnitt. Dann existieren ein A ⊂ U ∈ U(X) und ein Schnitt s˜ ∈ A (U ) mit s˜|A = s. Da X normal ist, existiert ein A ⊂ V ∈ U(X) mit V ⊂ U . ¨ Wir w¨ ahlen eine Zerlegung (f, g) der Eins von A zur Uberdeckung (V, X \ A) von X. Dann gilt f¨ ur den Schnitt f · s˜, daß f · s˜|A = s und f · s˜|U \V = 0. Damit l¨ aßt sich der Schnitt f · s˜ durch 0 zu einem Schnitt sˆ ∈ A (X) mit sˆ|A = s fortsetzen.

128

D.3. Lokal geringte R¨aume

D.3. Lokal geringte R¨ aume Definition D.8. Sei k ein kommutativer Ring mit Eins. Ein lokal geringter Raum X u ¨ber k ist ein topologischer Raum X zusammen mit einer Garbe OX lokaler k-Algebren u ¨ber X, der Strukturgarbe von X. Seien X und Y zwei lokal geringte R¨ aume. Ein Morphismus f : X → Y lokal geringter R¨ aume u ¨ber k ist eine stetige Abbildung f : X → Y zusammen mit einer Morphismus f ∗ : f −1 OY → OX von Garben lokaler k-Algebren u ¨ber X. Ist X ein lokal geringter Raum, so bezeichnen wir mit mX,x das maximale Ideal der lokalen k-Algebra OX,x f¨ ur jedes x ∈ X. Beispiel D.7. Sei X ein lokal geringter Raum u ¨ber R, so daß die Strukturgarbe OX eine Untergarbe der Garbe CX der stetigen reellwertigen Funktionen ist. F¨ ur jedes x ∈ X ist dann mX,x = {sx ∈ OX,x : sx (x) = 0} . Lemma D.1. Sei k ein kommutativer Ring mit Eins. Seien X und Y zwei lokale geringte R¨ aume u ¨ber k, so daß die Strukturgarbe OX eine Untergarbe von CX und die Strukturgarbe OY eine Untergarbe von CY ist. Ist dann f : X → Y ein Morphismus lokal geringter R¨ aume u ¨ber k, so folgt ∀x∈X,sf (x) ∈OY,f (x)

fx∗ (sf (x) ) = sf (x) ◦ fx ∈ OX,x .

Beweis. Sei x ∈ X, und sei sf (x) ∈ OY,f (x) dargestellt durch s : V → k mit f (x) ∈ V ∈ U(Y ). Es folgt f¨ ur x0 ∈ f −1 (V ), daß (f ∗ s)(x0 ) = (f ∗ (s − s(f (x0 ))))(x0 ) + s(f (x0 )) = s(f (x0 )), da fx∗0 das maximale Ideal mY,f (x0 ) in das maximale Ideal mX,x0 abbildet. Daraus folgt fx∗ (sf (x) ) = sf (x) . Beispiel D.8. Sei X ein topologischer Raum. Durch die Setzung OX := CX wird X in kanonischer Weise zu einem lokal geringten Raum u ¨ber R. Beispiel D.9. Sei n ∈ N0 und G ∈ U(Rn ) eine offene Teilmenge. Sei k ∈ N0 . Dann wird G durch die Setzung OX := CGk zu einem lokal geringten Raum u ¨ber R, dem lokal geringten Raum G(k) . Beispiel D.10. Sei k ein kommutativer Ring mit Eins. Sei X ein lokal geringter Raum u ur jedes U ∈ U(X) der topologische ¨ber k. Dann wird durch die Setzung OU := OX |U f¨ Raum U zu einem lokal geringten Raum u ber k. ¨ Definition D.9. Ein lokaler lokal geringter Raum Xx ist ein lokal geringter Raum X zusammen mit einem Punkt x ∈ X. Seien Xx und Yy zwei lokale lokal geringte R¨aume. Ein Morphismus fx : Xx → Yy ¨ lokaler lokal geringter R¨ aume ist eine Aquivalenzklasse von Morphismen f : U → X ¨ lokal geringter R¨ aume mit x ∈ U ∈ U(X) und f (x) = y bez¨ uglich der Aquivalenzrelation ∀x∈U,V ∈U(X),f : U →Y,g : V →Y,f (x)=y=g(x)

∼x g ⇐⇒ ∃x∈W ∈U(X) f |W = g|W .

129

D. Lokal geringte R¨aume ¨ Da diese Aquivalenzrelation mit der Komposition stetiger Abbildungen vertr¨aglich ist, k¨ onnen wir die Komposition von Morphismen lokaler topologischer R¨aume in der offensichtlichen Weise definieren.

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E. Analysis E.1. Differenzierbare Funktionen Lemma E.1. Es existiert eine monoton wachsendende beliebig oft differenzierbare Funktion g : R → R mit g(t) = 0 f¨ ur t ≤ 0 und g(t) > 0 f¨ ur t > 0. Beweis. Wir setzen ( 0 g : R → R, t 7→ exp(− 1t )

f¨ ur t ≤ 0 und f¨ ur t > 0.

Diese Funktion ist monoton wachsend und erf¨ ullt g ≥ 0 und g(t) > 0 f¨ ur t > 0. Es bleibt zu zeigen, daß g beliebig oft differenzierbar ist. Dazu zeigen wir, daß f¨ ur jedes Polynom P ∈ R[x] die Funktion ( 0 f¨ ur t ≤ 0 und gP : R → R, t 7→ 1 1 ur t > 0. P ( t ) · exp(− t ) f¨ stetig differenzierbar mit der Ableitung gx2 P −P 0 ist. Daß g = g1 beliebig oft differenzierbar ist, folgt dann induktiv. Zun¨achst ist gP stetig, da 1 1 lim P ( ) · exp(− ) = 0. t t

t→0,t≥0

Weiter ist gP differenzierbar, da 1 1 ∂ P ( ) · exp(− ) = 0. t→0,t≥0 ∂t t t lim

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E. Analysis

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F. Liesche Algebren F.1. Definition Speziell f¨ ur die Differentialgeometrie sind Liesche Algebren aus zwei Gr¨ unden interessant. Zum einen wird die Garbe der Vektorfelder auf einer C ∞ -Mannigfaltigkeit durch die Liesche Klammer zweier Vektorfelder eine Garbe von Lieschen Algebren. Außerdem kann jeder Lieschen Gruppe ihre Liesche Algebra zugeordnet werden, was das Studium dieser Gruppen sehr erleichtert. Definition F.1. Sei k ein K¨ orper mit char k 6= 2. Eine Liesche k-Algebra g ist eine k-Algebra, deren Multiplikation [·, ·] : g × g → g, Liesche Klammer von g genannt, folgende Axiome erf¨ ullt: L1 Die Liesche Klammer ist schiefsymmetrisch, das heißt, ∀X,Y ∈g

[X, Y ] + [Y, X] = 0.

L2 Die Liesche Klammer erf¨ ullt die Jacobi-Identit¨at, das heißt, ∀X,Y,Z∈g

[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0.

Eine Liesche k-Algebra mit trivialer Liescher Klammer heißt abelsch. Beispiel F.1. Die abelschen Lieschen k-Algebren entsprechen genau den k-Vektorr¨aumen. Beispiel F.2. Sei k ein K¨ orper mit char k 6= 2. Sei A eine assoziative k-Algebra. Dann wird der zugrundeliegende k-Vektorraum von A zu einer Lieschen Algebra durch die Setzung [X, Y ] := X · Y − Y · X f¨ ur alle X, Y ∈ A. Beispiel F.3. Sei k ein K¨ orper mit char k 6= 2. Damit k¨onnen wir also End(V ) f¨ ur jeden k-Vektorraum V kanonisch als Liesche k-Algebra auffassen. Bemerkung F.1. Sei k ein K¨ orper mit char k 6= 2. Eine assoziative k-Algebra A ist genau kommutativ, wenn die zugeh¨ orige Liesche Algebra A abelsch ist.

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F. Liesche Algebren

F.2. Der Satz von Ado Gegenstand dieses Absatzes wird der Satz von Ado sein, nach dem jede endlich-dimensionale Liesche Algebra u ¨ber einem K¨orper der Charakteristik Null als Unteralgebra einer Matrizenalgebra realisiert werden kann. Dieser Satz erlaubt es dann zu schließen, daß jede endlich-dimensionale reelle Liesche Algebra die Liesche Algebra eine Lieschen Gruppe ist. Bevor wir den Satz formulieren und beweisen, folgt zun¨achst eine Reihe von Lemmata. Lemma F.1. Sei k ein K¨ orper mit char k = 0. Seien a eine endlich-dimensionale Liesche k-Algebra und A ihre universelle einh¨ ullende Algebra. Sei I ein echtes zweiseitiges Ideal von A. Dann ist A/I genau dann endlich-dimensional, wenn ∀a∈A ∃p∈k[x]\{0} p(a) ∈ I. Beweis. =⇒ Sei A/I endlich-dimensional und a ∈ A. Dann existiert ein N ∈ N, so daß 2 , . . . , aN ) linear abh¨ (1, a, aP angig modulo I sind, Pdas heißt, es existieren p0 , . . . , pn ∈ k mit ni=0 pi ai ∈ I. Damit k¨onnen wir p := ni=0 pi xi setzen. ⇐= Sei X1 , . . . , Xn eine Basis der Lieschen Algebra a. Zu i ∈ {1, . . . , n} existieren nach Voraussetzung Ni und (cij )0<j≤Ni mit cij ∈ k, so daß pi (Xi ) ∈ I mit pi := xNi +

Ni X

cij xNi −j .

j=1

F¨ ur r ∈ N0 folgt, daß Xir

∈I+

N i −1 X

k · Xis

s=0

mit i ∈ {1, . . . , n}. Daraus wiederum folgt f¨ ur r1 , . . . , rn ∈ N0 , daß X1r1 · · · Xnrn ∈ I +

NX 1 −1 s1 =0

···

NX n −1

k · X1s1 · · · Xnsn .

sn =0

Unter Benutzung des Satzes von Poincar´e–Birkhoff–Witt folgt damit, daß (X1s1 · · · Xnsn )0≤si
Folgerung F.1. Sei k ein K¨ orper mit char k = 0. Seien a eine endlich-dimensionale Liesche k-Algebra und A ihre universelle einh¨ ullende Algebra. Seien I1 , . . . , In echte zweiseitige Ideale von A, so daß A/Ii f¨ ur i ∈ {1, . . . , n} endlichdimensional ist. Sei I := I1 · · · · · In . Dann ist I ein echtes zweiseitiges Ideal von A mit A/I

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F.2. Der Satz von Ado T Beweis. Zun¨achst ist sicherlich I ⊂ ri=1 Ir , und damit ist I ein echtes Ideal. Sei a ∈ I. Es existieren p1 , . . . , pr ∈ k[x] mit pi (a) ∈ Ii f¨ ur jedes i ∈ {1, . . . , r}. Damit folgt, daß p(a) ∈ I f¨ ur p := p1 · · · pr ∈ k[x]. Da a beliebig war, ist nach dem Lemma damit A/I endlich. Lemma F.2. Sei k ein K¨ orper mit char k = 0. Seien a eine endlich-dimensionale Liesche k-Algebra und A ihre universelle einh¨ ullende Algebra. Sei n ⊂ a ein Ideal von a. Sei f : a → End(V ) eine endlich-dimensionale Darstellung von a, so daß f (X) nilpotent f¨ ur alle X ∈ n ist. Sei fˆ: A → End(V ) die induzierte Darstellung assoziativer k-Algebren. Sei K := ker fˆ ⊂ A. Setze Ip := (K + A · n · A)p f¨ ur p ∈ N. Dann gelten: P F¨ ur alle p ∈ N ist Ip ein echtes zweiseitiges Ideal von A, so daß A/Ip endlichdimensional ist. K Es existiert ein N ∈ N, so daß Ip ⊂ K f¨ ur p ≥ N . D Sei d : a → a eine Derivation mit d(a) ⊂ n. Sei dˆ: A → A die induzierte Derivation ˆ p ) ⊂ Ip . assoziativer Algebren. Dann gilt f¨ ur alle p ∈ N, daß d(I Beweis. P Sei 0 = V0 ⊂ · · · ⊂ VN = V die Fahne von V , so daß ∀a∈A ˆ(f )(a)(Vi ) ⊂ Vi und die induzierte Darstellung von A auf Vi /Vi−1 irreduzibel ist f¨ ur alle i ∈ {1, . . . , N }. Dann gilt n o I := I1 ⊂ a ∈ A | ∀i∈{1,...,N } fˆ(a)(Vi ) ⊂ Vi1 . Damit muß 1 6= I, insbesondere ist I1 (und damit auch die Ip ) ein echtes zweiseitiges Ideal von A. Da K ⊂ I, folgt, daß A/I endlich-dimensional sein muß. Nach der Folgerung ist also auch A/Ip f¨ ur alle p ∈ N endlich-dimensional. K Seien a1 , . . . , aN ∈ I. Dann ist fˆ(a1 · · · aN ) = fˆ(a1 )◦· · ·◦ fˆ(aN ) = 0, weil insbesondere fˆ(ai )(Vi ) ⊂ Vi−1 f¨ ur i ∈ {1, . . . , N } und schließlich V0 = 0. Damit ist Ip ⊂ K f¨ ur p ≥ N. ˆ ˆ ⊂ I1 . Es D Aus den Voraussetzungen folgt, daß d(A) ⊂ A · I · A, also insbesondere d(I) ˆ folgt, daß d(Ip ) ⊂ Ip f¨ ur alle p ∈ N. Schließlich k¨ onnen wir den Satz von Ado formulieren und beweisen: Satz F.1. Sei k ein K¨ orper mit char k = 0. Sei g eine endlich-dimensionale Liesche k-Algebra mit Nilradikal n. Dann existiert eine treue endlich-dimensionale Darstellung f : g → End(V ), so daß f (X) nilpotent f¨ ur alle X ∈ n ist. Beweis.

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