Differentialgeometrie

Differentialgeometrie Andreas Kriegl email:[email protected] http://www.mat.univie.ac.at/∼kriegl/LVA.html Fakult¨ at f¨ ur Mathematik der Universit¨at Wien A-1090 Wien, Nordbergstr. 14

Dieses Skriptum ist nach meiner f¨ unfst¨ undigen Vorlesung “Differentialgeometrie” im Wintersemester 1989/90 entstanden. Es enth¨alt auch etliche erg¨anzende Teile (zum gr¨ oßten Teil aus meiner Vorlesung “Analysis auf Mannigfaltigkeiten” im Wintersemester 1984/85). Nat¨ urlich ist es unm¨ oglich, diese u ¨ber Jahrhunderte entwickelte Theorie der gekr¨ ummten R¨ aume mit all ihren Aspekten umfassend darzustellen. Bei der Auswahl des Inhalts habe ich mich von folgenden Ideen leiten lassen: Wir beginnen mit den 1-dimensionalen Teilmannigfaltigkeiten der Ebene, den Kurven, die bereits zur Zeit Eulers sehr untersucht waren. Besonderes Augenmerk legen wir dabei auf das Studium der Kr¨ ummung, welches sich als roter Faden durch das ganze Skriptum zieht. Im Kapitel 2 f¨ uhren wir Mannigfaltigkeiten zuerst als Teilmengen eines Euklidischen Raums und erst danach als abstrakte Objekte, welche durch Verkleben von Euklidischen R¨aumen entstehen, ein. Dieses Methode, alle Begriffe zuerst f¨ ur Teilmannigfaltigkeiten des Rn zu entwickeln und sie in der Folge auf abstrakte Mannigfaltigkeiten zu u ¨bertragen, wurde im ganzen Skriptum durchgezogen, und wird der LeserIn hoffentlich helfen, die geometrische Anschauung nicht zu verlieren. Im Kapitel 3 wird das Konzept der Ableitung auf Mannigfaltigkeiten u uhrt zu Tangentialraum und Tangentialabbildung und wird be¨bertragen. Das f¨ nutzt, um einen Begriff von Teil- und Quotientenobjekten von Mannigfaltigkeiten zu bekommen. Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten werden im Kapitel 4 eingef¨ uhrt. Dazu werden die Tangentialr¨aume zum Tangentialb¨ undel vereinigt und Vektorfelder als Schnitte dieses B¨ undels untersucht. Im Kapitel 5 wird das zum Tangentialb¨ undel duale Vektorb¨ undel, das Kotangentialb¨ undel konstruiert. Als n¨ achstes folgt die Definition einer Riemann-Mannigfaltigkeit als jene Mannigfaltigkeit, auf der man mit Hilfe der Riemann-Metrik, einem faserweisen inneren Produkt, die beiden B¨ undel miteinander identifizieren kann. Im Spezialfall des R2 wird die Struktur der Riemann-Fl¨achen diskutiert. Kapitel 6 ist den Differentialformen und ihrer algebraischen Struktur gewidmet. Es soll als Vorbereitung f¨ ur die Integration auf Mannigfaltigkeiten in Kapitel 7 dienen. Auf RiemannMannigfaltigkeiten werden die gefundenen Differentialoperatoren genauer untersucht und der Satz von Stokes geometrisch interpretiert. Es folgt ein Kapitel u ¨ber Hyperfl¨ achen. Insbesondere werden hier Drehfl¨achen, Regelfl¨achen und Minimalfl¨ achen behandelt. Geod¨ aten, Paralleltransport und kovariante Ableitung werden f¨ ur Hyperfl¨ achen und dann allgemein f¨ ur Riemann-Mannigfaltigkeiten besprochen. Das letzte Kapitel faßt Grundlegendes u ¨ber Lie-Gruppen zusammen. Dem Skriptum sind auch viele Aufgaben beigef¨ ugt, die mit Hilfe der Hinweise wohl alle ohne allzugroßen Aufwand gel¨ost werden k¨onnen. Das Literaturverzeichnis umfaßt die zitierten Originalarbeiten, es soll aber auch als Hinweis f¨ ur weiterf¨ uhrende Literatur verstanden werden. Da man in der Differentialgeometrie auf den zu untersuchenden Objekten eine sehr reichhaltige Struktur zu Verf¨ ugung hat, fließen aus den diversesten Gebieten der Mathematik Methoden in sie ein. Voraussetzung zur erfolgreichen Bew¨altigung des dargebotenen Stoffes ist eine gr¨ undliche Kenntnis der Grundvorlesungen aus Analysis und der (dazu bereits ben¨ otigten) (multi)linearen Algebra. Ein tieferes Studium der Topologie ist nur f¨ ur einige der Abschnitte in Kapitel 2 bzw. im Abschnitt ¨ n¨ otig. Was gew¨ohnliche und partielle Differentialgleichungen u ¨ber Uberlagerungen betrifft, die ja eine zentrale Bedeutung f¨ ur die verschiedensten Existenzs¨atze in der Differentialgeometrie haben, so sind die ben¨otigten Aussagen wohl auch ohne deren fundierte Kenntnis verst¨ andlich. Komplexe Analysis hilft beim Verst¨andnis der Riemann-Fl¨ achen, alle n¨ otigen Begriffe werden allerdings vollst¨andig angegeben. c 15. Dezember 2008 [email protected]

iii

Ich m¨ ochte an dieser Stelle den Verfassern der ersten Auflage dieses Skriptums Barbara Geipel, Bernhard Reisecker und Oliver Fuchs herzlichst danken. Es war wahrlich keine einfache Aufgabe, meinen doch recht sprunghaften Vortrag in eine lesbare Form zu bringen. Auch wurden sie von mir damit gequ¨alt, ein ¨alteres Skriptum (zur zweitgenannten Vorlesung) zu inkorporieren. Ich m¨ochte an dieser Stelle auch den Verfassern dieses Skriptums, Hubert Schicketanz, Stefan Felsner, Markus Fulmek und Thomas Fischer f¨ ur ihre damaligen Bem¨ uhungen danken. Weiters gilt mein Dank allen H¨ orern dieser Vorlesung, die durch ihre Fragen, Anmerkungen und Kritik dazu beigetragen haben, daß dieses Skriptum eine hoffentlich doch recht abgerundete Darstellung des Gebietes geworden ist. Mein Dank gilt auch meinem Lehrer und Kollegen Peter Michor, in dessen Vorlesungen und Seminare ich vieles des hier Inkludierten gelernt habe. Nat¨ urlich wird die aufmerksame LeserIn (Tipp-)Fehler finden k¨onnen. Ich m¨ochte hier gleich die Bitte aussprechen, mir diese mitzuteilen (Geteiltes Leid ist halbes Leid). Zuk¨ unftige Generationen von StudentInnen werden es zu sch¨atzen wissen. Andreas Kriegl, Wien 9. April 1990 Vorwort zur zweiten u ¨berarbeiteten Auflage: Aufgrund zahlreich eingegangener Druckfehlerlisten habe ich diese Neuauflage erstellt. Ich m¨ochte bei dieser Gelegenheit allen, die auf diese Weise zur Verbesserung dieses Skriptums beigetragen haben, herzlichst danken. Ich habe auch einige neue Abschnitte beziehungsweise ¨ 24 S¨ atze hinzugef¨ ugt. Vor allem w¨are dabei der Abschnitt u ¨ber Uberlagerungen sowie der Satz von Sard 21.17 zu erw¨ahnen. Nat¨ urlich w¨are ich f¨ ur die Mitteilung verbliebener oder neu hinzugekommener Fehler nach wie vor sehr dankbar. Andreas Kriegl, Wien 26. September 1994 Vorwort zur dritten u uhrlicher Abschnitte ¨berarbeiteten Auflage: Es wurden ausf¨ ¨ u und klassische Mechanik hinzugef¨ ugt. ¨ber klassische Liegruppen, Uberlagerungen Aufgenommen wurden auch diverse Darstellungen der hyperbolischen Geometrie sowie ein Beweis der Baker-Campbell-Hausdorff Formel. Dar¨ uberhinaus wurden wieder zahlreiche Druckfehler beseitigt. Diesbez¨ uglich gilt mein Dank vor allem Dr. Eva Adam und Mag. Bernhard Reisecker, die mich mit ausf¨ uhrlichen Druckfehlerlisten versorgt haben. Andreas Kriegl, Wien 20. Feber 1996.

Im Zuge der Vorlesung im Wintersemester 2000/01 habe ich die Abschnitte 15.2 , 33.10 , 52.7 , 52.9 , 53.5 , 54.2 , 55.8 , 58.1 , 59.3 , 64.7 hinzugef¨ ugt. Anl¨ aßlich der Vorlesung im Sommersemester 2005 wurde das Skriptum von AMSTeX in LaTeX umgewandelt. Andreas Kriegl, Wien 15. Feber 2005.

J¨ org Arnberger verdanke ich die koordinatenfreie Version des Beweises von 33.7 . Einige wesentliche Korrekturen verdabnke ich Helge Kr¨ uger.

iv

c 15. Dezember 2008 [email protected]

Inhaltsverzeichnis I.

Kurven

1

1. Euklidische R¨ aume

1

2. Grundlegendes u ¨ber Kurven in der Ebene

11

3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene

16

4. Geschlossene Kurven

36

5. Einfach geschlossene Kurven

45

6. Konvexe Kurven und Eilinien

52

7. Kurven im h¨ oher Dimensionalen

58

8. Exkurs u ¨ber Knoten

63

II.

Mannigfaltigkeiten

69

9. Beispiele zweidimensionaler Fl¨achen 10. Teilmannigfaltigkeiten des R

n

69 76

11. Beispiele von Teilmannigfaltigkeiten

81

12. Homotopiegruppen der Sph¨aren

98

13. Exkurs u ¨ber Gruppenerweiterungen

99

14. Beispiele von Lie-Gruppen

109

15. Glatte Abbildungen

135

16. Abstrakte Mannigfaltigkeiten

137

17. Produkte und Summen von Mannigfaltigkeiten

146

18. Zerlegungen der Eins

148

19. Topologisches u ¨ber Mannigfaltigkeiten

152

III.

Tangentialraum

159

20. Tangentialraum und Derivationen

159

21. Immersionen

169

22. Submersionen

187

23. Faserb¨ undel ¨ 24. Uberlagerungen

188

IV.

Vektorfelder

189 225

25. Tangentialb¨ undel

225

26. Teilvektorb¨ undel

231

c 15. Dezember 2008 [email protected]

v

KAPITEL 0. INHALTSVERZEICHNIS 27. Vektorfelder

239

28. Gew¨ ohnliche Differentialgleichung erster Ordnung

243

29. Lie-Klammer

246

30. Integralmannigfaltigkeiten

256

V.

Kotangentialb¨ undel

31. Konstruktion und 1-Formen

267

32. Riemann-Mannigfaltigkeiten

274

33. Isometrische und konforme Diffeomorphismen

276

34. Riemann-Fl¨ achen

282

35. Riemann’scher Abbildungssatz

284

36. Uniformisierungssatz

285

VI.

Differentialformen

289

37. Motivation

289

38. Multilineare Algebra, Tensoren

292

39. Vektorb¨ undel-Konstruktionen

297

40. Differentialformen

300

41. Differentialformen auf Riemann MF

303

42. Graduierte Derivationen

308

43. Divergenz, Rotation und Laplace

321

44. Kohomologie

325

45. Klassische Mechanik

332

VII.

Integration

345

46. Orientierbarkeit

345

47. Integration und der Satz von Stokes

349

48. Integration auf Riemann-Mannigfaltigkeiten

355

49. Der Laplace-Beltrami-Operator

357

50. Anwendungen zum Satz von Stokes

364

VIII.

vi

267

Hyperfl¨ achen

389

51. Normalkr¨ ummungen

389

52. Haupt-, Gauß- und mittlere Kr¨ ummung

391

53. Formeln f¨ ur Hyperfl¨ achen

399

54. Drehfl¨ achen

409

55. Regelfl¨ achen und Torsen

418

56. Minimalfl¨ achen

428

57. Geod¨ aten

433

58. Exponentialabbildung

437

59. Integralsatz von Gauß-Bonnet

444

c 15. Dezember 2008 [email protected]

KAPITEL 0. INHALTSVERZEICHNIS 60. Fl¨ achen konstanter Kr¨ ummung

453

61. Paralleltransport

455

62. Kovariante Ableitung

457

63. Jacobi-Felder

471

64. Riemann-, Ricci- und Schnittkr¨ ummung

475

66. Die Begleitbeinmethode von Cartan

492

67. Nochmals Jacobi-Felder

502

65. R¨ uckblick auf Kr¨ ummungen

505

IX.

Lie-Gruppen

507

66. Lokale versus globale Struktur

507

67. Infinitesimale Struktur

510

68. Infinitesimale versus lokale Struktur

514

69. Untergruppen

520

70. Homogene R¨ aume

523

71. Strukturtheorie

529

72. Aufgaben

536

Literaturverzeichnis

545

Index

549

c 15. Dezember 2008 [email protected]

vii

I.

Kurven

In den Grundvorlesungen u ¨ber Analysis behandelt man Funktionen, die auf offenen Teilmengen eines Rn definiert sind. An manchen Stellen hatten sich aber schon Definitionsbereiche eingeschlichen, die allgemeiner waren. So z.B. bei der Methode der Lagrange-Multiplikatoren, wo man versucht, Extremwerte von reellwertigen Funktionen zu finden, welche auf Mengen der Gestalt g −1 (0) definiert sind. Auch bei den Integrals¨ atzen von Gauß und Stokes kamen Teilmengen des Rn vor, die als Kurven und Fl¨ achen bezeichnet wurden. Mengen dieser Art heißen Mannigfaltigkeiten. Auf ihnen wollen wir in dieser Vorlesung die Analysis entwickeln. In diesem Kapitel werden wir uns mit den einfachsten, n¨amlich den 1-dimensionalen, Mannigfaltigkeiten (kurz Kurven) besch¨ aftigen. Wir wollen uns aber zuerst nochmals jene R¨aume in Erinnerung rufen, auf denen dies alles aufbaut und in denen sich der gr¨oßte Teil abspielen wird, n¨amlich die

1. Euklidische R¨ aume 1.1 Definition (Euklidische R¨ aume) Zum Begriff des Euklidischen Raums gelangt man, wenn man die Eigenschaften der R¨ aume, in denen man (Euklidische) Geometrie treiben kann, zusammenfaßt. Nat¨ urlich bestehen diese R¨aume aus Punkten. Man kann orientierte Strecken zwischen je zwei Punkten betrachten und parallele, gleich lange und gleich orien→ − tierte Strecken zu Vektoren ab zusammenfassen. Vektoren kann man mit reellen Skalaren strecken und man kann sie addieren, indem man ihre Repr¨asentanten aneinanderh¨ angt. Vektoren bilden also einen Vektorraum E. Nach Wahl eines − → Ursprungs 0, k¨ onnen wir Punkte a mit ihren Ortsvektoren 0a identifizieren. Wir wollen aber auch die L¨ ange von Strecken messen k¨onnen und ben¨otigen daf¨ ur eine Norm |x| f¨ ur Vektoren x ∈ E. Da diese Norm geometrisch relevant sein soll, sollte der Satz von Pythagoras gelten, und allgemeiner die ParallelogrammGleichung |a − b|2 + |a + b|2 = 2(|a|2 + |b|2 ) f¨ ur die Diagonalen a + b und a − b eines Parallelogramms mit erzeugenden Seiten-Vektoren a und b gelten. Daß der Satz von Pythagoras diese Gleichung impliziert sieht man wie folgt: Seien e und f die beiden Diagonalen des Parallelogramms und h die H¨ohe einer Ecke auf die Diagonale e und x der Abstand des H¨ ohenfußpunktes zum Schnittpunkt der Diagonalen. Dann gilt nach Pythagoras 2 e 2  f 2 e − x + h2 , b2 = + x + h2 , und = h2 + x2 , a2 = 2 2 2 und somit nach Addition und Einsetzen  e 2  e 2  f 2 a 2 + b2 = 2 + 2(x2 + h2 ) = 2 +2 . 2 2 2 c 15. Dezember 2008 [email protected]

1

1.1

1. Euklidische R¨ aume

f2 e2

x

h b

a

Die Parallelogramm-Gleichung gew¨ahrleistet, daß die Polarisierungsformel   1 2 1 |x + y|2 − |x|2 − |y|2 oder auch h x | y i := |x| + |y|2 − |x − y|2 h x | y i := 2 2 eine Bilinearform, das sogenannte skalare Produkt h | i : E × E → R, definiert, siehe [61, 6.2.2] Mit deren Hilfe k¨onnen wir nicht nur die L¨ ange |x| ≥ 0 eines Vektors x durch |x|2 = h x | x i berechnen, sondern auch Winkel ^xy ∈ [0, π] mittels cos(^xy) = h x | y i /(|x||y|). Insbesondere gilt: x ⊥ y ⇔ h x | y i = 0 und x k y ⇔ |h x | y i | = |x||y|. Beachte, daß wegen D hv|wi h v | w i w E hw|wi = 0 v− w = hv|wi− |w| |w| |w|2 das innere Produkt h v | w i das Produkt aus der L¨ange |w| des Vektors w mit der (mit Vorzeichen behaftenten) L¨ ange der normal-Projektion des Vektors v auf die von w erzeugte Gerade ist.

v

v - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ w <wÈw> €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ w <wÈw> w

C

Wenn wir das von orthogonal stehenden Vektoren x und y erzeugte rechtwinkelige Dreieck mit Kathetenl¨ angen a := |x|, b := |y|, Hypothenusenl¨ ange c = |x − y| und Winkel α betrachten, so folgt damit umgekehrt der Satz von Pythagoras

a b x

Β

B

c y

Α

x-y

A 2

2

c = |x − y| = h x − y | x − y i = h x | x i − h x | y i − h y | x i + h y | y i = |x|2 − 2h x | y i + |y|2 = a2 + b2 sowie die u ¨blichen Formel cos(α) = cos(^(x − y, −y)) = also 0 ≤ α ≤

π 2

hx − y| − yi |y|2 − h x | y i b = = |x − y| · | − y| |x − y| · |y| c

und analog cos(β) =

a π mit 0 ≤ β ≤ c 2

wegen Pythagoras also cos(α)2 + cos(β)2 =

2

b2 a2 + 2 = 1 ⇒ cos(β)2 = 1 − cos(α)2 = sin(α)2 2 c c a ⇒ sin(α) = cos(β) = und α + β = π. c

c 15. Dezember 2008 [email protected]

1.1

1. Euklidische R¨ aume

Da wir uns in dieser Vorlesung auf endlich dimensionale Geometrie beschr¨anken wollen, setzen wir voraus, daß der Vektorraum E endlich dimensional ist. Es sei eine (geordnete) Basis (e1 , . . . , en ) von E gew¨ahlt. Dann l¨aßt sich jeder Pn E = j j Vektor x ∈ E als x = x e j mit eindeutigen Koeffizienten x ∈ R (seinen j=1 Koordinaten) schreiben, d.h. die Abbildung  1 x X   xj ej ∈ E Rn 3  ...  7→ j xn ist ein Isomorphismus. Wir setzen  x1   [x]E :=  ...  ∈ Rn , 

xn

dann ist x 7→ [x]E der dazu inverse Isomorphismus E∼ = Rn , x 7→ [x]E . Ist die Basis zus¨ atzlich orthonormal gew¨ahlt (i.e. |ei | = 1 und eP ur i 6= i ⊥ ej f¨ k i j), so gilt f¨ u r die Koordinaten x = h x | e i (denn h x | e i = h x e | ek i = k k i i P i Pn k 2 k 2 x h e | e i = x ) und |x| = (x ) und das skalare Produkt hat die Form i k i k=1 Pn h x | y i = k=1 xk y k . Mit S n−1 bezeichnet wir die (n − 1-dimensionale) Sph¨ are S n−1 := {x ∈ Rn : kxk = 1}. Es sei A : E → F eine lineare Abbildung zwischen endlich dimensionalen Vektorr¨ aumen, E = (e1 , . . . , en ) eine geordnete Basis von E und F = (f1 , . . . , fm ) eine geordnete Basis von F . Dann ist A durch seine Werte A(ej ) eindeutig bestimmt, und diese ihrerseits durch ihre Koeffizienten akj bzgl. der Basis F, i.e. Pm Pn A(ej ) = k=1 akj fk . F¨ ur ein allgemeines x = j=1 xj ej ist X  X  X X X X A(x) = A xj ej = xj A(ej ) = xj akj fk = akj xj fk , j

d.h.

j

j

k

j

k

a11  [A(x)]F =  ...

  1 . . . a1n x ..  ·  ..  =: [A] .. E,F · [x]E , . .   .  m m n a1 . . . an x wobei der Multiplikationspunkt die Matrizenmultiplikation bezeichnet. Wir bezeichnen also die Matrix-Darstellung einer linearen Abbildung A : E → F bez¨ uglich Basen E := (e1 , . . . , en ) von E und F := (f1 , . . . , fm ) von F mit [A]E,F . 

Die Abbildung A 7→ [A]E,F liefert dann einen Isomorphismus des Raums L(E, F ) aller linearer Abbildungen von E nach F mit den Raum der n×m-Matrizen L(n, m): L(E, F ) ∼ = L(n, m), A 7→ [A]E,F Ist insbesonders E = F und A = idE =: 1, dann ist [A]E,F die Matrix, die als j-te Spalte die Koeffizienten von ej bzgl. der Basis (fj )j besitzt. Ist zus¨ atzlich B : F → G linear und G = (g1 , . . . , gk ) eine Basis von G, dann gilt: [B ◦ A]E,G [x]E = [BAx]G = [B]F ,G [Ax]F = [B]F ,G [A]E,F [x]E , also [B ◦ A]E,G = [B]F ,G · [A]E,F . c 15. Dezember 2008 [email protected]

3

1.2

1. Euklidische R¨ aume

Setzt man insbesonders A = id oder B = id so erh¨alt man mit weiteren Basen E¯ von E und F¯ von F : [A]E,F = [1]F¯ ,F · [A]E, ¯F ¯ · [1]E,E¯. Ist also R die lineare Basiswechsel-Abbildung ej 7→ e¯j f¨ ur j = 1, . . . , n, dann ist −1 [R]E,E = [1]E,E und somit [R]−1 = [R ] = [1] und somit f¨ ur A ∈ L(E, E): ¯ ¯ E,E E, E E,E −1 [A]E,E = [1]E,E ¯ E¯ · [R]E,E , ¯ E¯ · [1]E,E¯ = [R]E,E · [A]E, ¯ · [A]E,

also [A]E,E · [R]E,E = [R]E,E · [A]E, ¯ E¯. ¯ Mit der Abk¨ urzung [A]E := [A]E,E und E = R(E) besagt dies: [A]E · [R]E = [R]E · [A]R(E) . Wir werden diese Identit¨ at bei der Konstruktion der Eulerwinkel in 1.3 verwenden. 1.2 Bewegungen Da wir im allgemeinen weder einen Ursprung noch ausgezeichnete Basis-Richtungen gegeben haben, sollten alle Konzepte, die wir in der (Differential-)Geometrie entwickeln werden, invariant unter Bewegungen sein. Als Bewegungen kennen wir Translationen und Drehungen (sowie deren Zusammensetzungen). Diese sind alle l¨ angenbewahrend. Ist umgekehrt eine l¨angenbewahrende Abbildung (eine sogenannte Isometrie) f : E → E gegeben und ist die Abbildung R : E → E durch R(x) := f (x) − f (0) definiert, dann ist R(0) = 0 und f¨ ur alle x, y ist |R(x) − R(y)|2 = |f (x) − f (y)|2 = |x − y|2 Insbesondere ist |R(x)| = |x| (f¨ ur y = 0) und somit gilt: 2hR(x), R(y)i = |R(x)|2 + |R(y)|2 − |R(x) − R(y)|2 = |x|2 + |y|2 − |x − y|2 = 2hx, yi. Sei nun (ek )k=1,...,n eine Orthonormalbasis Pn von E. Es ist dann auch (R(ek ))k=1,...,n eine Orthonormalbasis, und f¨ ur x = k=1 xk ek ist R(x) =

n X

hR(x), R(ek )i · R(ek ) =

k=1

n X

hx, ek i · R(ek ) =

k=1

n X

xk R(ek )

k=1

Also ist R linear, i.e. n o R ∈ L(E) := L(E, E) := T : T ist eine lineare Abbildung von E nach E . Weiters folgt aus h R(x) | R(y) i = h x | y i , daß Rt ◦ R = idE und somit 1 = det(idE ) = det(Rt ◦ R) = det(R)2 . Also liegt R in der allgemeinen linearen Gruppe GL(E) := {T ∈ L(E) : T ist invertierbar} = {T ∈ L(E) : det(T ) 6= 0} und sogar in der orthogonalen linearen Gruppe O(E) := {T ∈ GL(E) : T t ◦ T = idE } = {T ∈ L(E) : ∀ x, y : h T x | T y i = h x | y i }. Auch alle Spiegelungen geh¨ oren zu O(E). Eigentliche Bewegungen sollten solche sein, wo man die Punkte im Laufe der Zeit t von der Anfangstellung f¨ ur t = 0 in die Endstellung f¨ ur t = 1 bewegen kann. Wir suchen also nicht nur eine Abbildung f , sondern eine “stetig” durch t ∈ [0, 1] parametrisierte Familie von Bewegungen ft : E → E mit f0 = idE und f1 der gegebene Endwert. F¨ ur Translationen fb : x 7→ x+b erhalten wir eine stetige Kurve von Bewegungen durch ftb : x 7→ x+tb und f¨ ur Drehungen Rϕ um den Winkel ϕ durch Rtϕ . Allgemein sollte der translationsfreie Teil Rt : x 7→ ft (x) − ft (0) eine stetige Kurve in O(E) sein. Da die 4

c 15. Dezember 2008 [email protected]

1.2

1. Euklidische R¨ aume

Determinantenfunktion als Polynom stetig ist auf O(E) ⊂ L(E) und Werte in {±1} hat, muß sie konstant sein, d.h. det(R1 ) = det(R0 ) = det(idE ) = 1. Die Abbildung R ∈ O(E) ist in diesem Fall also sogar ein Element der speziellen linearen Gruppe SL(E) := {T ∈ L(E) : det(T ) = 1}, also eine Volums-erhaltendene lineare Abbildung, und somit liegt R auch in der speziellen orthogonalen linearen Gruppe SO(E) := {T ∈ O(E) : det(T ) > 0}, ¨ d.h. ist eine Drehung. Zur Ubersicht folgendes Diagramm: L(E) O

det

//R O

 SL(E)  O

? / GL(E) O

det

? / / R \ {0} O

?  SO(E)

? / O(E)

det

? / / Z2

F¨ ur E := Rn mit der standard-Bilinearform bezeichnet man SO(E) auch als SO(n) und analog f¨ ur die anderen oben erw¨ahnten Gruppen. Um hingegen z.B. eine Spiegelung an einer Achse in der Ebene zu realisieren k¨onnen wir die Ebene an dieser Achse im Raum um 180o drehen, z.B. ist die Spiegelung an der e1 -Achse die Einschr¨ ankung auf R2 ∼ = R2 × {0} ⊆ R3 von     1 0 0 1 0 0 0 −1 0  = 0 cos π − sin π  0 0 −1 0 sin π cos π Dazu m¨ ussen wir allerdings den zugrundeliegenden Raum (in diesem Fall die Ebene) verlassen. Bewegungen, bei denen das nicht notwendig ist, sind also die sogenannten orientierungserhaltenden Abbildung, d.h. der linearen Anteil R hat positive Determinante. Zwei geordnete Basen (ek ) und (fk ) heißen gleich orientiert, falls der Basiswechsel (das ist jene lineare Abbildung, welche ek auf fk f¨ ur alle k abbildet) ¨ orientierungserhaltend ist. Eine Orientierung auf E ist eine Aquivalenzklasse von gleich orientierten Basen. Es gibt also genau zwei Orientierungen auf E, und diese sind durch Angabe einer Basis festgelegt. Umgekehrt werden wir weiter unten (siehe auch 24.45 ) zeigen, daß jedes R ∈ SO(n) sich durch eine glatte Kurve in SO(n) mit idE verbinden l¨aßt, d.h. SO(n) wegzusammenh¨ angend ist. Wir haben damit gezeigt, daß die Bewegungen genau die Kompositionen von je einer Translation und einer Drehung sind. Unter einer eigentlichen Bewegung wollen wir also eine orientierungs- und l¨ angenerhaltende Abbildung verstehen. Diese ist von der Form f : x 7→ Ax + b mit x ∈ E und A ∈ SO(E). Die zugeh¨orige Gruppe wird auch als Ax + b-Gruppe bezeichnet, siehe 14.2 . Jede eigentliche Bewegung erh¨alt also abgesehen von einer additiven vektoriellen Konstante: 1. 2. 3. 4.

L¨ angen (nach Definition); das innere Produkt (wegen der Polarisierungsformel); Winkel (wegen der Cosinusformel); Linearkombinationen (d.h. ist linear); c 15. Dezember 2008 [email protected]

5

1.3

1. Euklidische R¨ aume 5. Volumen (d.h. die Determinante); 6. Orientierung (wegen der Determinante).

1.3 Drehungen. Wie sieht die SO(n) nun aus: O(1) = {±1} ∼ = Z2 , SO(1) = {1}. O(2) ∼ = S 1 : (Siehe auch 14.19 ). Sei A ∈ SO(2), dann ist A = (Ae1 , Ae2 ) und 2 (Aei )i=1 ist eine orthonormal Basis. Es ist also Aej ∈ S 1 := {(a, b) ∈ R2 : a2 + b2 = 1} und Ae1 ⊥ Ae2 , d.h. wenn wir Ae1 = (a, b) setzen, so ist Ae2 = λ(−b, a) und wegen |Ae2 | = 1 = |Ae1 | ist λ = ±1. Schließlich ist 1 = det(A) = λ(a2 + b2 ) = λ. Wir bezeichnen mit z ⊥ denjenigen Normalvektor auf z 6= 0 der gleichen L¨ange wie z ∈ R2 , und zwar jenen so daß (z, z ⊥ ) eine positiv orientierte Basis ist. Bekanntlich k¨ onnen wir S 1 durch (cos ϕ, sin ϕ) mit ϕ ∈ R parametrisieren, also existiert zu (a, b) ∈ S 1 ein ϕ ∈ R mit (a, b) = (cos(ϕ), sin(ϕ)). Wir wollen nun zeigen, daß die Matrix     a −b cos ϕ − sin ϕ A= = b a sin ϕ cos ϕ eine Drehung Rϕ der Punkte der Ebene um den Winkel ϕ beschreibt. Anstatt den Punkt z zu drehen und dann die Koordinaten [Rϕ (z)]E des Bild-Punktes im Bezug auf die gegeben Basis E zu bestimmen, k¨onnen wir aber auch die Basis um den unglichen Punktes bez¨ uglich Winkel −ϕ drehen, und die Koordinaten [z]E¯ des urspr¨ dieser neuen Basis E¯ : (Rϕ )−1 (E) bestimmen.

Es ist mit [z]E =: xy und [z]E¯ =: xy¯¯ : (1)

x = x1 + x2

(2)

y¯ = y¯1 + y¯2

(3)

y = y¯2 cos ϕ

(4)

x2 = y¯2 sin ϕ

(5)

x ¯ = x1 cos ϕ

(6)

y¯1 = x1 sin ϕ

e2 -

e2 j

P

und somit sukzessive 1 (3) ⇒ y¯2 = y cos ϕ (4) ⇒ x2 = y¯2 sin ϕ = y tan ϕ

-

y2

y

x1 e1 x2 -

-

(5), (1) ⇒ x ¯ = x1 cos ϕ = x cos ϕ − y sin ϕ

x

y1 j

2

(6), (1) ⇒ y¯1 = x1 sin ϕ = x sin ϕ − y

sin ϕ cos ϕ -

(2) ⇒

1 − sin2 ϕ y¯ = x sin ϕ + y = x sin ϕ + y cos ϕ. cos ϕ

e1

Beachte, daß wegen Rϕ ◦ Rψ = Rϕ+ψ daraus die Additionstheoreme der Winkelfunktionen folgen:       cos(ϕ + ψ) cos ϕ − sin ϕ cos ψ = Rϕ+ψ · e1 = Rϕ · Rψ · e1 = · sin(ϕ + ψ) sin ϕ cos ϕ sin ψ   cos ϕ · cos ψ − sin ϕ · sin ψ . = sin ϕ · cos ψ + cos ϕ · sin ψ 6

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1.3

1. Euklidische R¨ aume

F¨ ur jeden Vektor z 6= 0 im R2 erhalten wir somit den Normalvektor z ⊥ durch eine Drehung Rπ/2 um π2 aus z:

z⊥ =



0 1

     x −y −1 · = . 0 y x

Man beachte weiters, daß obiger Isomorphismus S 1 zu einer Gruppe macht. Kennen wir diese Gruppenmultiplikation? Ja es ist die Einschr¨ankung der Multiplikation von C ∼ = R2 .

Da die Drehungen genau die Zu- SHw¦ L sammensetzungen von je zwei Spiegelungen sind (Die Zusammensetzung S = Sw ◦ Sv zweier Spiegelungen Sv und Sw ist die Drehung um den doppelten Winkel φ der Spiegelungsachsen v ⊥ und w⊥ ), wird die Gruppe O(2) der orthogonalen Abbildungen durch die Spiegelungen erzeugt. Genauer gesagt ist jedes A ∈ O(2) Zusammensetzung von h¨ochstens zwei Spiegelungen, und zwar ist jede Zusammensetzung einer geraden Anzahl von Spiegelungen ein Drehung und f¨ ur jede ungerade Anzahl eine Spiegelung.

SHv¦ L j j w¦ j v¦ =Sv Hv¦ L j Sv Hw¦ L j w v

Nun zu O(3). F¨ ur jedes A ∈ O(E) bezeichnen wir mit Fix(A) := {x ∈ E : Ax = x} die Menge der Fixpunkte, oder auch den Eigenraum zum Eigenwert 1. Wenn F := Fix(A) = E ist, dann ist A = idE . c 15. Dezember 2008 [email protected]

7

1.3

1. Euklidische R¨ aume

Sei nun dim(Fix(A)) = dim E − 1, d.h. es existiert ein 0 6= v ∈ E mit F = {v}⊥ . O.B.d.A. d¨ urfen wir |v| = 1 annehmen. Da F invariant ist unter A, ist es auch F ⊥ (denn sei w⊥ x0 ∈ F ⊥ und x ∈ F , dann ist 0 = h x0 | x i = v − 2h v •| w i w



Q h Ax0 | Ax i = h Ax0 | x i , also Ax0 ∈ F ⊥ ) und

Q Q

somit ist Av = ±v. Wegen v ∈ / F ist folglich Q

Q Av = −v, und damit x − h x | v i v ∈ F f¨ ur alle QQ Q

Q Q•v x ∈ E, denn Q 0

Q

•

 h x−h x | v i v | v i = h x | v i −h x | v i ·h v | v i = 0. Q

v − h v | w i w

Q Somit ist sQ Q

h v | w iQ   w Q

Ax = A (x − h x | v i v) + h x | v i v Q w s Q Spiegelung = x − h x | v i v + h x | v i (−v) = x − 2h x | v i v. Dies beschreibt also eine Spiegelung an der F = {v}⊥ -Ebene. Sei nun A ∈ SO(3) beliebig und sei p(λ) := det(λ − A) das charakteristische Polynom zu A. Es gilt: p(λ) = det(λ − A) = det((λ − A)t ) = det(λ − At ) = det(λ − A−1 )       1 1 − A A−1 = det(−λ) · det − A · det A−1 = det −λ λ λ   1 · 1, = (−λ)n p · λ d.h. p ist ein reziprokes Polynom und f¨ ur λ = 1 und n = 3 erhalten wir 2 p(1) = 0. Somit ist 1 immer ein Eigenwert, d.h. F 6= {0}. Falls also dim F = 1, d.h. F = hvi f¨ ur einen Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist, dann ist auch die Ebene {v}⊥ invariant, und A auf dieser eine Drehung, also ist A eine Drehung um die v-Achse. F¨ ur A ∈ O(3) kann auch der Fall F = {0} auftreten, z.B. die Punktspiegelung   −1 0 0 A =  0 −1 0  0 0 −1 Dann betrachten wir das Bild Av 6= v eines beliebigen v ∈ S 2 und die Spiegelung S and der Symmetrieebene (Av − v)⊥ . Diese bildet ebenfalls v auf Av ab und somit ist v ∈ Fix(S −1 ◦ A), also S −1 ◦ A eine Spiegelung oder eine Drehung und damit Zusammensetzung zweier Spiegelungen. Wir erhalten also auch f¨ ur die Gruppe O(3), daß sie von den Spiegelungen erzeugt wird, und zwar ben¨otigen wir jeweils h¨ ochstens 3 St¨ uck. Mittels Induktion von oben nach der Dimension der Fixpunktraums kann man leicht zeigen, daß O(n) von den Spiegelungen erzeugt wird (siehe auch 14.10 ), und das ¨ allgemein h¨ ochstens n viele ben¨otigt werden. Man kann obige Uberlegungen u ¨ber die Fixpunktmengen auch dazu verwenden das Zentrum (also jene Elemente die mit allen anderen kommutieren) der Gruppe O(n) zu bestimmen, siehe 24.28 . Insbesonders folgt, daß die SO(n) wegzusammenh¨angend ist, denn jede Drehung l¨ aßt sich mit der Identit¨ at verbinden. Hingegen besitzt O(n) zwei Zusammenhangskomponenten n¨ amlich SO(n) und {A ∈ O(n) : det(A) = −1} = Sv · SO(n), wobei Sv eine beliebige Spiegelung bezeichnet. 8

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1.3

1. Euklidische R¨ aume

Jeder Einheitsvektor v ∈ S 2 := {x ∈ R3 : |x| = 1} zusammen mit z ∈ S 1 bestimmt eine eindeutige Drehung mit Achse v und ‘Winkel’ z. Also erhalten wir eine surjektive Abbildung S 2 × S 1 → SO(3). Diese Abbildung ist nicht injektiv, denn (v, z) und (−v, −z) beschreibt die gleiche Drehung und alle (v, 1) wirken als Identit¨at. Die Zusammensetzung dieser Abbildung mit id ×eiπ : S 2 × [−1, 1] → S 2 × S 1 faktorisiert u ¨ber S 2 × [−1, 1] → D3 := {x ∈ R3 : |x| ≤ 1}, (x, t) 7→ tx: S 2 × [−1, 1]

/ / S2 × S1

 D3

 / / SO(3)

Beachte dazu, daß eine Abbildung f : X → Y genau dann u ¨ber eine surjektive ˜ zu einer eindeutig bestimmten Abbildung f˜ : X ˜ → Y Abbildung p : X → X faktorisiert, wenn f (x1 ) = f (x2 ) aus p(x1 ) = p(x2 ) folgt, denn die einzige m¨ogliche Definition von f˜ ist f˜(˜ x) = f˜(p(x)) = f (x), wobei wir ein x im Urbild von x ˜ bzgl. p gew¨ ahlt haben. Diese Definition macht genau dann Sinn, h¨angt also nicht von der Wahl des x ab, wenn f (x1 ) = f (x2 ) aus p(x1 ) = t˜ x = p(x2 ) folgt. Beachte weiters, daß unter diesen Voraussetzungen f˜ genau dann surjektiv ist, wenn f es ist. Die untere Zeile obigen Diagramms ist bis auf die Identifizierung z ∼ −z f¨ ur z ∈ S 2 = ∂D3 injektiv und ist eine Quotientenabbildung, die den projektiven Raum P3 , den wir in 16.12.5 und 11.9 kennenlernen werden, als Bild hat. Also ist SO(3) ∼ = P3 . Es gibt noch eine sch¨ onere Parametrisierung der SO(3), und zwar mittels eines surjektiven Gruppen-Homomorphismuses S 3 → SO(3) mit Kern Z2 , siehe 14.19 und 24.40 . Kugelkoordinaten (ϕ, ϑ) 7→ (cos(ϕ) cos(ϑ), sin(ϕ) cos(ϑ), sin(ϑ)) liefern eine surjektive Abbildung S 1 ×S 1 → S 2 und somit erhalten wir auch eine surjektive Abbildung S 1 × S 1 × S 1  S 2 × S 1  SO(3). Eine geometrischere Beschreibung von Drehungen durch 3 Winkel ist die folgende Beschreibung S 1 × S 1 × S 1  SO(3) durch Euler-Winkel: Es sei R ∈ SO(3) beliebig und fj := R(ej ) das Bild der Standard-Basis in R3 . Wir wollen nun R als Komposition von 3-Drehungen, die jeweils eine KoordinatenAchse fix lassen, darstellen. Es gen¨ ugt die Werte der Drehungen auf e1 und e2 zu beschreiben, denn e3 = e1 × e2 ist der eindeutig bestimmte Vektor, der normal auf e1 und e2 steht und zwar so, daß (e1 , e2 , e3 ) positiv orientiert ist. Um e1 in f1 zu drehen, m¨ ussen wir um eine Achse k ∈ {e1 }⊥ ∩ {f1 }⊥ = h{e2 , e3 }i ∩ h{f2 , f3 }i drehen. Um nun noch e2 in f2 zu drehen, und dabei die Zuordnung e1 7→ f1 nicht zu zerst¨ oren, k¨ onnen wir zuerst um e1 den Vektor e2 nach k drehen und zuletzt um f1 den Vektor k nach f2 zu drehen. e1

7→

e1

7→ f1

7→

f1

e2

7→

k

7→

7→

f2

R1

R2

k

R3

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9

1.3

1. Euklidische R¨ aume

e3

e3

f1

f1 f3

f3

k

k

e1

e1 e2

e2

f2

f2

id

R1

e3

e3

f1

f1 f3

f3

k

e1

k

e1 e2

e2

f2

f2

R2

R3

Es seien also ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 die sogenannten Eulerwinkel von R, welche gegeben sind durch ϕ1 := ]e2 k;

ϕ2 := ]e1 f1 ;

ϕ3 := ]kf2 .

Es sei E = (e1 , e2 , e3 ) die Standard-Basis, E 0 = R1 (E) = (e1 , k, . . . ) und E 00 = (R2 ◦ R1 )(E) = R2 (E 0 ) = (f1 , k, . . . ). Dann sehen die Matrizen-Darstellungen der zugeh¨ origen Drehungen R1 , R2 und R3 wie folgt aus:   1 0 0 [R1 ]E = 0 cos ϕ1 − sin ϕ1  0 sin ϕ1 cos ϕ1   cos ϕ2 0 − sin ϕ2 1 0  [R2 ]E 0 =  0 sin ϕ2 0 cos ϕ2   1 0 0 [R1 ]E 00 = 0 cos ϕ3 − sin ϕ3  0 sin ϕ3 cos ϕ3

10

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2.2

1. Euklidische R¨ aume Folglich ist nach dem am Ende von 1.1 Gezeigten: [R3 ◦ R2 ◦ R1 ]E = [R3 ]E · [R2 ◦ R1 ]E = [R2 ◦ R1 ]E · [R3 ]E 00 = [R2 ]E · [R1 ]E · [R3 ]E 00 = [R1 ]E · [R2 ]E 0 · [R3 ]E 00 0

=

1

B B0 @

0  =

0 cos ϕ1 sin ϕ1

10

0 cos ϕ2 CB B − sin ϕ1 C 0 A·@ cos ϕ1 sin ϕ2

cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 cos ϕ1 sin ϕ2

0 1 0

− sin ϕ2 1 CB B 0 C A·@0 cos ϕ2 0

− sin ϕ2 sin ϕ3 cos ϕ1 cos ϕ3 −sin ϕ1 cos ϕ2 sin ϕ3 sin ϕ1 cos ϕ3 +cos ϕ1 cos ϕ2 sin ϕ3

10

0 cos ϕ3 sin ϕ3

1

0 C − sin ϕ3 C A cos ϕ3

− sin ϕ2 cos ϕ3 − sin ϕ1 cos ϕ2 cos ϕ3 −cos ϕ1 sin ϕ3 cos ϕ1 cos ϕ2 cos ϕ3 −sin ϕ1 sin ϕ3



2. Grundlegendes u ¨ ber Kurven in der Ebene In diesem Abschnitt kl¨ aren wir den Begriff der Kurve und behandeln die ausgezeichneten Parametrisierungen nach der Bogenl¨ange. ussen. Dazu Wir werden des ¨ ofteren das skalare Produkt h | i differenzieren m¨ rufen wir aus der Analysis (siehe [59, 6.1.7.1] und [59, 6.1.8]) das folgende Lemma in Erinnerung: 2.1 Lemma (Produktregel). Es sei l : E → F eine lineare Abbildung und b : E1 × E2 → E eine bilineare Abbildung zwischen endlich dimensionalen Vektorr¨ aumen. Dann ist die Ableitung von l und die von b gegeben durch l0 (x)(v) = l(v)

und

b0 (x1 , x2 )(v1 , v2 ) = b(x1 , v2 ) + b(v1 , x2 ).

Beweis. In der Tat ist die (Richtungs-)Ableitung ∂ ∂ l0 (x)(v) = l(x + t · v) = (l(x) + t · l(v)) = l(v) und ∂t t=0 ∂t t=0 ∂ b0 (x1 , x2 )(v1 , v2 ) = b((x1 , x2 ) + t (v1 , v2 )) ∂t t=0 ∂ = b(x1 , x2 ) + t (b(x1 , v2 ) + b(v1 , x2 )) + t2 b(v1 , v2 ) ∂t t=0 = 0 + b(x1 , v2 ) + b(v1 , x2 ) + 0

2.2 Definition (Kurven) Eine parametrisierte Kurve in einem Euklidischen Raum E ist eine Abbildung c : I → E, wobei I ein (zumeist) offenes Intervall in R und c gen¨ ugend oft differenzierbar ist (wir wollen der Einfachheit halber immer unendlich oft differenzierbar (kurz gesagt glatt) voraussetzen) und c0 (t) 6= 0 f¨ ur alle t ∈ I ist (c heißt dann auch regul¨ ar). Da wir aber im wesentlichen nicht an der Parametrisierung der Kurve, sondern mehr an ihrer geometrischen Gestalt interessiert sind, geben wir noch folgende Definition: ¨ Eine geometrische Kurve Γ ist eine Aquivalenzklasse von parametrisierten Kur¨ quivalent heißen, falls ein Diffeoven, wobei c0 : I0 → E und c1 : I1 → E a morphismus ϕ : I0 → I1 (d.h. ϕ bijektiv und sowohl ϕ als auch ϕ−1 glatt sind) c 15. Dezember 2008 [email protected]

11

2.3

¨ ber Kurven in der Ebene 2. Grundlegendes u

existiert, mit c1 ◦ ϕ = c0 . ? E _@@ @@c1 ~~ ~ @@ ~~ @ ~ ~ ϕ / I1 I0 c0

¨ Eine orientierte geometrische Kurve ist eine Aquivalenzklasse von parametri¨ quivalent heißen, falls ein ϕ wie oben existiert, sierten Kurven, wobei c1 und c2 a welches zus¨ atzlich ϕ0 (t) > 0 f¨ ur alle t erf¨ ullt (d.h. streng monoton wachsend ist). Also ist eine (orientierte) geometrische Kurve durch Angabe einer Parametrisierung, d.h. einer parametrisierten Kurve in dieser Klasse, bereits festgelegt. Wir k¨ onnen uns im folgenden also darauf beschr¨anken, Konzepte f¨ ur parametrisierte Kurven zu entwickeln, sollten aber immer darauf achten, daß diese Konzepte wirklich geometrischer Natur sind, d.h. nicht von der Auswahl der Repr¨asentanten (= Parametrisierungen) abh¨ angen und auch invariant unter Bewegungen sind. Unter dem Bild einer geometrischen Kurve versteht man das Bild einer (jeder) Parametrisierung.

2.3 Bemerkungen Verschiedene geometrische Kurven k¨onnen sehr wohl das gleiche Bild besitzen: 1. Der Kreis: t 7→ (cos t, sin t) wobei man jedes (offene) Intervall der L¨ange gr¨ oßer als 2π als Parameter Intervall verwenden kann, z.B. also I1 := R oder I2 := ]0, 3π[. 2. Ein weniger triviales Beispiel ist:

Wir k¨ onnen aber zeigen, daß der Parameter einer parametrisierten Kurve c : I → E lokal aus den Bildpunkten berechnet werden kann: Sei dazu 0 ∈ I und c0 (0) 6= 0. Wir definieren eine glatten Funktion Ψ : I × c0 (0)⊥ → E durch Ψ(t, x) := c(t) + x. c’H0L¦

c’H0L

12

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¨ ber Kurven in der Ebene 2. Grundlegendes u

2.4

F¨ ur die partiellen Ableitungen von Ψ erhalten wir ∂1 Ψ(0, 0) = c0 (0) und ∂2 Ψ(0, 0) · v = v. Die Ableitung Ψ0 (0, 0) ist somit gegeben durch Ψ0 (0, 0) : (s, v) 7→ ∂1 Ψ(0, 0) · s + ∂2 Ψ(0, 0) · v = s · c0 (0) + v, ein linearer Isomorphismus R × c0 (0)⊥ → E. In Koordinaten k¨onnen wir das auch wie folgt sehen: Sei (f1 , . . . ) eine Basis von c0 (0)⊥ , dann ist die Jakobi-Matrix der Ableitung Ψ0 (0, 0) bzgl. der Basen E := ((1, 0), f2 , . . . ) und F := (c0 (0), f2 , . . . ) gegeben durch   1 0 0 [Ψ (0, 0)]E,F = , 0 idc0 (0)⊥ und somit invertierbar. Nach dem inversen Funktionensatz (siehe 10.2 ) ist Ψ ein lokaler Diffeomorphismus, d.h. es gibt eine offene Umgebung von 0 (o.B.d.A. der Form I1 × V mit I1 ⊆ R und V ⊆ c0 (0)⊥ offen) und eine offene Umgebung U von c(0), so daß Ψ : I1 × V → U ein Diffeomorphismus ist. Da Ψ(t, 0) = c(t) ist, gilt Ψ−1 (c(t)) = (t, 0) f¨ ur alle t ∈ I1 . Die Zusammensetzung p := pr1 ◦Ψ−1 : U → I1 × V → I1 ist dann eine lokale Linksinverse zu c. Dies zeigt auch, daß wir den Parameterwechsel in der Definition geometrischer Kurven bloß als Hom¨ oomorphismus voraussetzen brauchen, denn er ist dann automatisch ein Diffeomorphismus. In der Tat, wenn f¨ ur zwei parametrisierte Kurven cj : Ij → E mit (j ∈ {0, 1}) ein Hom¨oomorphismus ϕ : I0 → I1 mit c1 ◦ϕ = c0 gegeben ist, dann finden wir f¨ ur jedes t0 ∈ I0 eine Umgebung U von c0 (t0 ) = c1 (ϕ(t0 )) und V von ϕ(t0 ) und ein glattes Linksinverses p zu c1 : V → U . Somit ist aber ϕ = p ◦ c1 ◦ ϕ = p ◦ c0 auf ϕ−1 (V ) und somit glatt auf der (wegen der Stetigkeit von ϕ) offenen Umgebung ϕ−1 (V ) von t0 . = EO a ? ?U\ p

 c1 ;x V >>>> x >>>>> xx >>>> xx x >>> xx ϕ|ϕ−1 V −1 /V ϕ (V )  o>> ϕ|ϕ−1 V m x M >> xx x >> x x > {xx / I1 I0 ϕ c0

2.4 Definition (Punkte geometrischer Kurven) ¨ Ein Punkt auf einer geometrischen Kurve Γ ist eine Aquivalenzklasse von Paaren (c, t) mit c ∈ Γ (d.h. c : I → E ist eine Parametrisierung von Γ) und t ∈ I, wobei (c1 , t1 ) ∼ (c2 , t2 ) :⇔ es existiert ein Diffeomorphismus ϕ : I2 → I1 mit c2 = c1 ◦ ϕ und ϕ(t2 ) = t1 . Unter der Vielfachheit eines Punktes versteht man die Kardinalit¨at der Menge {t0 : c(t0 ) = c(t)} f¨ ur einen (jeden) Repr¨asentanten (c, t). Ein Punkt mit Vielfachheit 1, 2, . . . heißt einfacher Punkt, Doppelpunkt,. . .. Ein Punkt l¨ aßt sich am besten als ein Zweig der Kurve durch einen Bildpunkt vorstellen: c 15. Dezember 2008 [email protected]

13

2.7

¨ ber Kurven in der Ebene 2. Grundlegendes u

2.5 Die Tangente Die Tangente an eine parametrisierte Kurve c im Punkt t ist die affine Gerade c(t) + R · c0 (t). Lemma. Die Tangente ist ein geometrisches Konzept, d.h. reparametrisierungsinvariant und auch invariant unter Bewegungen. Beweis. Zuerst zeigen wir die Invarianz unter Reparametrisierungen. Seien (c, t) und (¯ c, t¯) zwei Repr¨ asentanten des gleichen Punktes einer geometrischen Kurve, und ϕ ein zugeh¨ origer Parameterwechsel, d.h. c¯ = c ◦ ϕ und t = ϕ(t¯). Die Tangente von c¯ in t¯ ist die von c in t, denn c¯(t¯) + R · c¯0 (t¯) = c(ϕ(t¯)) + R · (c ◦ ϕ)0 (t¯) = c(t) + R · c0 (ϕ(t¯)) · ϕ0 (t¯) = c(t) + R · c0 (t) (man verwende R · ϕ0 (t¯) = R). Nun zur Bewegungs-Invarianz: Sei x 7→ A(x)+b eine Bewegung und (c, t) ein Punkt einer Kurve. Die bewegte Kurve ist dann c¯ : t 7→ A(c(t)) + b. Die bewegte Tangente von c in t ist die Tangente der bewegten Kurve c¯, denn A(c(t) + R · c0 (t)) + b = A(c(t)) + b + R · A(c0 (t)) = = (A(c(t)) + b) + R · (A ◦ c)0 (t) = c¯(t) + R · c¯0 (t) (man verwende die Kettenregel (siehe [59, 5.5.2] oder [59, 6.1.9]) und A0 (x)(v) = A(v) nach 2.1 , da A linear ist).

2.6 Definition (Tangentialvektor und L¨ ange) Der Einheitstangentialvektor τ (t) im Punkt einer parametrisierten Kurve ist 0 definiert durch τ (t) := |cc0 (t) ur die Wohldefiniertheit verwenden wir die Regu(t)| . F¨ larit¨ at der Kurve, d.h. c0 (t) 6= 0. Man beachte, daß auch dieser ein geometrisches Konzept f¨ ur orientierte geometrische Kurven darstellt, dazu muß man allerdings beachten, daß c(t) zum Euklidischen Raum und c0 (t) hingegen zum zugeh¨origen Vektorraum geh¨ ort. Sei c : I → E eine Kurve, [a, b] ⊂ I ein abgeschlossenes Teilintervall, und Z = {a = Pm t0 < · · · < tm = b} eine Zerlegung, dann ist Lba (c, Z) := i=1 |c(ti ) − c(ti−1 )| die L¨ ange des Polygonzuges durch die Punkte c(ti ). Die L¨ ange der Kurve von a bis b ist definiert als Lba (c) := supZ Lba (c, Z). F¨ ur a > b sei Lba (c) := −Lab (c) und es gilt: Laa31 (c) = Laa21 (c) + Laa32 (c). 2.7 Lemma (L¨ ange als Integral). Sei c : I → E eine Kurve (C 1 w¨ urde gen¨ ugen) und [a, b] ⊂ I, dann gilt: Lba (c) < ∞, R b ∂ t Lba (c) = a |c0 (t)|dt und ∂t La (c) = |c0 (t)|. 14

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2.9

¨ ber Kurven in der Ebene 2. Grundlegendes u Beweis. Siehe [59, 6.5.12]. Wir zeigen zuerst, daß die L¨ange endlich ist: m m Z ti X X 4-Ungl. HS Lba (c, Z) = |c(ti ) − c(ti−1 )| == | c0 (t)dt| ≤ ≤

i=1 m Z ti X i=1 b

⇒ Lba (c) ≤

Z

i=1

|c0 (t)|dt =

ti−1

Z

ti−1

b

|c0 (t)|dt

a

|c0 (t)|dt < ∞.

a

Nun zur Ableitung: Es ist Z t+h t+h t c(t + h) − c(t) Lt+h ≤ t (c) = La (c) − La (c) ≤ 1 |c0 (t)|dt h h h h t Beide Seiten dieser Ungleichung konvergieren gegen |c0 (t)| f¨ ur h → 0, also auch der ∂ t mittlere Term, d.h. ∂t La (c) = |c0 (t)|. Weiters gilt wiederum wegen des Hauptsatzes [59, 5.2.2] der Analysis Lba (c) = Rb Rb ∂ t L (c)dt = a |c0 (t)|dt. a ∂t a Da die Bogenl¨ ange unter Reparametrisierungen und Bewegungen invariant ist, ist sie ebenfalls ein geometrisches Konzept.

2.8 Definition (Parametrisierung nach der Bogenl¨ ange) Eine Parametrisierung c einer Kurve heißt Parametrisierung nach der Bogenl¨ ange falls |c0 (t)| = 1 f¨ ur alle t. F¨ ur die L¨ange bez¨ uglich solcher Parametrisierungen gilt also Lba (c) = b − a. 2.9 Satz (Bogenl¨ angenparametrisierung). Jede geometrische Kurve besitzt eine solche Parametrisierung. Je zwei Parametrisierungen nach der Bogenl¨ ange der gleichen Kurve sind u ¨ber einen Parameterwechsel der Form t 7−→ ±t + a ¨ aquivalent. Beweis. Zur Existenz: Sei c : I → E eine Parametrisierung einer Kurve, a ein Punkt im Intervall I und s(t) := Lta (c) die nach 2.7 differenzierbare L¨angenfunktion s : R ⊃ I → R, mit s0 (t) = |c0 (t)| > 0. Insbesonders ist s(I) zusammenh¨angend und somit wieder ein Intervall. Die Umkehrfunktion ϕ : s(I) → I, s 7−→ t(s) ist C ∞ , da die Norm C ∞ auf E \ {0} ist. Die Parametrisierung c¯ := c ◦ ϕ ist die gesuchte Parametrisierung nach der Bogenl¨ange, da dc dt dc 1 dc 1 dc 1 d¯ c = · = · ds = · 0 = · . ds dt ds dt dt dt |c (t)| dt | dc dt | Zur Eindeutigkeit: Seien c und c ◦ ϕ zwei Parametrisierungen nach der Bogenl¨ange, dann gilt: 1 = |(c ◦ ϕ)0 (t)| = |c0 (ϕ(t))| · |ϕ0 (t)| = |ϕ0 (t)|, da |(c ◦ ϕ)0 (t)| = 1 = |c0 (ϕ(t))|. Es folgt: |ϕ0 (t)| = 1 f¨ ur alle t, also ϕ0 = ±1. Wir Rt 0 erhalten schließlich ϕ(t) = ϕ(a) + a ϕ (r)dr = ϕ(a) ± t. c 15. Dezember 2008 [email protected]

15

3.2

¨ ber Kurven in der Ebene 2. Grundlegendes u

Beispiel Betrachten wir einen Kreis c : t 7→ r(cos t, sin t) + M . F¨ ur s(t) := Lt0 (c) erhalten wir Rt 0 0 |c (t)| = r und damit s(t) = 0 |c (x)|dx = t · r. Also ist die Umkehrfunktion s 7→ angenparametrisierung ist s 7→ c(t(s)) = r(cos rs , sin rs ) + t(s) = rs , und eine Bogenl¨ M . Der Einheitstangentialvektor ist τ (s) = (− sin rs , cos rs ). 2.10 Lemma. F¨ ur eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Kurve c gilt c00 (s) ⊥ c0 (s) f¨ ur alle s. Beweis. Wir differenzieren die Gleichung 1 = |c0 (s)|2 = h c0 (s) | c0 (s) i laut 2.1 und erhalten 0 = h c00 (s) | c0 (s) i +h c0 (s) | c00 (s) i = 2h c0 (s) | c00 (s) i . Also gilt c00 (s) ⊥ c0 (s) f¨ ur alle s.

3. Kru ¨ mmung von Kurven in der Ebene In diesem Abschnitt wird der zentrale Begriff der Kr¨ ummung f¨ ur ebene Kurven studiert. 3.1 Definition Unter dem Einheitsnormalvektor ν an eine parametrisierte Kurve c im Punkte t versteht man ν(t) := τ (t)⊥ , wobei wir f¨ ur jeden Vektor x 6= 0 im R2 mit x⊥ den eindeutig bestimmten Vektor bezeichnen, welcher normal auf x steht, gleiche L¨ange wie x hat und links von x liegt (d.h. (x, x⊥ ) ist positiv orientiert), siehe 1.3 . Dieser ist also durch eine Drehung um π2 von x gegeben:  1 ⊥    1  2 −x x x 0 −1 = · = . 1 0 x2 x2 x1 Wie der Tangentialvektor ist auch der Einheitsnormalvektor ein geometrisches Konzept f¨ ur orientierte Kurven. Das Paar (τ, ν) nennt man das Begleitbein der Kurve. F¨ ur jeden Parameterwert t ist (τ (t), ν(t)) eine gut zur Kurve passende Basis der Ebene. 3.2 Definition (Kr¨ ummung) Da ein Kreis umso st¨ arker gekr¨ ummt ist, je kleiner der Radius r ist, wollen wir als Maß f¨ ur die Kr¨ ummung K des Kreises den Kehrwert 1r verwenden. Falls der Kreis positiv orientiert ist, also eine Linkskurve beschreibt, sei seine Kr¨ ummung positiv, andernfalls negativ. Eine Gerade kann man als Grenzfall eines Kreises f¨ ur r → ∞ 1 betrachten, und die entsprechende Definition f¨ ur ihre Kr¨ ummung als K := ∞ =0 stimmt auch mit der Anschauung der nicht-Gekr¨ ummtheit u berein. ¨ Wir k¨ onnen den Mittelpunkt M eines Kreises aus den ersten paar Ableitungen beim ±s Punkt s einer Bogenl¨ angenparametrisierung k(s) = r(cos ±s r , sin r )+M errechnen: ±s k 0 (s) = ±(− sin ±s r , cos r ) = τ (s),

⇒

00

|k (s)| =

1 r

= ±K

±s k 00 (s) = − 1r (cos ±s r , sin r )

und

00 2 ±s M = k(s) − r(cos ±s r , sin r ) = k(s) + k (s) · r = k(s) +

16

⇒

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k 00 (s) . |k 00 (s)|2

3.2

3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene

ΝHsL kHs<

ΤHsL K×ΝHsL

Sei allgemeiner c eine nach der Bogenl¨ange parametrisierte Kurve mit c00 (s) 6= 0. Unter dem Kr¨ ummungskreis im Punkt s versteht man jenen Kreis k, welcher c bei s von Ordnung 2 ber¨ uhrt, d.h. c(s) = k(s), c0 (s) = k 0 (s) und c00 (s) = k 00 (s). Der 00 (s) Mittelpunkt dieses Kreises ist wegen obiger Formel durch M = k(s) + |kk00 (s)| 2 = 00

(s) c(s) + |cc00 (s)| 2 gegeben und sein Radius ist r = auch seine Existenz.

1 |c00 (s)| .

Mittels dieses Ansatzes folgt

Die Kurve der Kr¨ ummungsmittelpunkte (wohldefiniert, wo |c00 | = 6 0) heißt Evolute. Unter der Kr¨ ummung K(s) der Kurve c bei s versteht man die Kr¨ ummung des Kr¨ ummungskreises. c’HtL

ΤHtL cHtL

vHtL eHtL

F¨ ur den Kr¨ ummungskreis gilt: c00 (s) = k 00 (s) = K(s) · ν(s), wo ν(s) die Einheitsnormale an k bzw. c und K(s) die Kr¨ ummung ist. Nach dem Newtonschen Gesetz “Kraft = Masse × Beschleunigung” mißt K(s) die (skalare Gr¨oße der) Kraft, die n¨ otig ist, um den, mit skalarer Geschwindigkeit |c0 (s)| = 1 bewegten Punkt (mit Einheitsmasse) auf der Kurve zu halten. Wir k¨ onnen also K als den Koeffizienten von τ 0 = c00 bzgl. des zweiten Vektors ν des Begleitbeins (τ, ν) auffassen. Wenn wir diese Gleichung τ 0 = K · ν mit einer Rotation R um π/2 drehen, dann erhalten wir ν 0 = R(τ )0 = R(τ 0 ) = R(K · ν) = K · R(ν) = K · R2 (τ ) = −K · τ. c 15. Dezember 2008 [email protected]

17

3.2

3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene

Zusammen sind das die sogenannten Frenet’schen Ableitungsgleichungen: τ0 = K · ν ν 0 = −K · τ, die die Ableitung des Begleitbeins in der Basis, welche durch das Begleitbein gegeben ist, ausdr¨ ucken.

c’HtL Τ’HtL ΤHtL eHtL

vHtL

ΝHtLΤHtL cHtL v’HtL 0

t Mit c(s) =: (x(s), y(s)) ergibt sich folgende explizite Formel f¨ ur die Kr¨ ummung K(s) = h K(s) · ν(s) | ν(s) i = h c00 (s) | ν(s) i = h c00 (s) | τ (s)⊥ i = det(c0 (s), c00 (s)), denn det(x, y) = det

 x1 x2

y1 y2

 = x1 y2 − x2 y1 =

D y  −x  E 1 2 = h y | x⊥ i . y2 x1

Falls c nicht nach der Bogenl¨ ange parametrisiert ist, sei t 7→ s(t) die Bogenl¨angenfunktion und c¯ = c ◦ s−1 die Reparametrisierung nach der Bogenl¨ange. In diesem Fall erhalten wir f¨ ur die Kr¨ ummung:  
Kc¯(s) = det(¯ c0 (s), c¯00 (s)) = det c0 (t) s10 , c00 (t) − c0 (t) s10 s00 (s10 )2 =

1 (s0 )3

det(c0 (t), c00 (t)) + 0 ⇒

⇒ Kc (t) = Kc¯(s(t)) =

h c0 (t)⊥ | c00 (t) i det(c0 (t), c00 (t)) = , |c0 (t)|3 |c0 (t)|3

wobei wir Folgendes verwendeten: c = c¯◦s, c0 = (¯ c0 ◦s)s0 , c00 = (¯ c00 ◦s)(s0 )2 +(¯ c0 ◦s)s00 . Wir wollen nun zeigen, daß der Kr¨ ummungkreis unter Bewegungen invariant ist. Dazu gen¨ ugt es, die Invarianz des Mittelpunktes M (s) = c(s) +

c00 (s) K(s)ν(s) ν(s) = c(s) + = c(s) + |c00 (s)|2 |K(s) · 1|2 K(s)

zu zeigen: Sei c nach der Bogenl¨ange parametrisiert und sei c¯(t) = R(c(t)) + a die durch x 7→ Rx + a bewegte Kurve. Die Kr¨ ummung von c¯ ist dann:
0 00 Kc¯(t) = det(¯ c (t), c¯ (t)) = det R(c0 (t)), R(c00 (t))
= det R(c0 (t), c00 (t)) = det R · det(c0 (t), c00 (t)) = Kc (t), da det R = +1. Somit ist die Kr¨ ummung invariant und damit auch der Mittelpunkt. 18

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3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene

3.3

3.3 Lemma (Kr¨ ummungskreis als Limes). Sei c eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Kurve, c00 (s) 6= 0. F¨ ur je drei verschiedene Punkte s1 , s2 , s3 sei M (s1 , s2 , s3 ) der Mittelpunkt des Kreises durch die Punkte c(s1 ), c(s2 ), c(s3 ) und M (s) der Mittelpunkt des Kr¨ ummungskreises von c. Dann gilt: M (s1 , s2 , s3 ) → M (s) f¨ ur s1 , s2 , s3 → s. Gleiches gilt auch f¨ ur die Radien.

Beweis von 3.3 . Die Streckensymmetrale zwischen c(t1 ) und c(t2 ) ist in Normalvektorform gegeben durch  z:

D

 c(t1 ) + c(t2 ) E =0 c(t2 ) − c(t1 ) z − 2

und die Streckensymmetrale zwischen c(t2 ) und c(t3 ) in Parameterform durch 

  ⊥ c(t2 ) + c(t3 ) :λ∈R . + λ · c(t3 ) − c(t2 ) 2

Der Mittelpunkt M (t1 , t2 , t3 ) des Kreises durch die 3 Punkte c(t1 ), c(t2 ) und c(t3 ) liegt somit am Schnittpunkt der beiden Streckensymmetralen, d.h. ist gegeben durch  ⊥ c(t2 ) + c(t3 ) M (t1 , t2 , t3 ) := + λ · c(t3 ) − c(t2 ) , 2 wobei λ L¨ osung der Gleichung 0=

D

c(t ) + c(t )  ⊥ c(t ) + c(t ) E 1 2 2 3 c(t2 ) − c(t1 ) + λ · c(t3 ) − c(t2 ) − , 2 2

also E c(t2 ) − c(t1 ) c(t1 ) − c(t3 )   λ= 2 det c(t3 ) − c(t2 ), c(t2 ) − c(t1 ) D

ist, d.h. E  ⊥ c(t ) − c(t ) c(t ) − c(t ) 2 1 1 3 c(t2 ) + c(t3 )   · c(t3 ) − c(t2 ) . M (t1 , t2 , t3 ) = + 2 2 det c(t3 ) − c(t2 ), c(t2 ) − c(t1 ) D

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19

3.3

3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene cHt1 L

c Ht1 L + c Ht2 L €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2

M

cHt2 L

c Ht2 L + c Ht3 L €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2

cHt3 L

Wegen Z t2 Z 1   c(t2 ) − c(t1 ) 1 c0 (t) dt = c0 t1 + s(t2 − t1 ) ds = t2 − t1 t2 − t1 t1 0 Z 1Z 1  c(t1 )−c(t2 ) c(t3 )−c(t2 )  − t3 −t2 t1 −t2 = c00 t2 + s1 (t3 − t2 ) + s2 s1 (t1 − t3 ) ds2 ds1 t1 − t3 0 0 gilt c(t1 ), c(t2 ), c(t3 ) → c(t) c(t2 ) − c(t1 ) c(t1 ) − c(t3 ) c(t3 ) − c(t2 ) , , → c0 (t) t2 − t1 t1 − t3 t3 − t2   c(t1 ) − c(t2 ) c(t3 ) − c(t2 ) − /(t1 − t3 ) → c00 (t) t1 − t2 t3 − t2 f¨ ur t1 , t2 , t3 → t, also E  ⊥ c(t ) − c(t ) 2 1 c(t1 ) − c(t3 ) c(t2 ) + c(t3 )   · c(t3 ) − c(t2 ) M (t1 , t2 , t3 ) = + 2 2 det c(t3 ) − c(t2 ), c(t2 ) − c(t1 ) D

=

c(t2 ) + c(t3 ) + 2 D

c(t2 )−c(t1 ) t2 −t1



c(t1 )−c(t3 ) t1 −t3

E

 ⊥ 2)   · c(t3t )−c(t 3 −t2 c(t3 )−c(t2 ) 2) 2 )−c(t1 ) 2 det c(t3t3)−c(t , (t2c(t −t2 −t1 )·(t1 −t3 ) − (t3 −t2 )·(t1 −t3 )  ⊥ h c0 (t) | c0 (t) i 1   · c0 (t) → c(t) + = c(t) + ν(t). K(t) 0 00 2 det c (t), c (t) +

nmb.3.4 Sublemma. Sei c : [a, b] → R2 stetig differenzierbar. Sei w = 6 0 ein Richtungsvektor einer Geraden durch c(a) und c(b). Dann existiert ein r ∈ ]a, b[ f¨ ur das c0 (r) ein skalares Vielfaches von w ist. 20

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3.3

3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene

cHrL

cHaL

cHbL

Beweis des Sublemmas. Sei w 6= 0 ein Richtungsvektor einer Geraden durch c(a) und c(b) und ν := w⊥ , d.h. h ν | c(b) − c(a) i = 0. Also erf¨ ullt g : [a, b] → R definiert durch g(t) := h c(t) − c(a) | ν i die Randbedingungen g(a) = 0 = g(b). Aus dem Satz von Rolle folgt: ∃ r ∈ ]a, b[ : 0 = g 0 (r) = h c0 (r) | ν i . Somit ist c0 (r) ⊥ ν ⊥ w, d.h. c0 (r) k w. Wir kommen nun zu dem eigentlichen Beweis des Lemmas: Beweis. Angenommen es existieren s1 < s2 < s3 beliebig nahe an s, sodaß c(s1 ), c(s2 ), c(s3 ) auf einer Geraden mit dem Richtungsvektor ν liegen. Aus dem Sublemma folgt, daß s1,2 und s2,3 existieren mit s1 < s1,2 < s2 < s2,3 < s3 und c0 (s1,2 ) k ν k c0 (s2,3 ). Also ist c0 (s1,2 ) = λc0 (s2,3 ) mit einen λ = ±1, da |c0 | = 1. Falls λ = −1 f¨ ur beliebig nahe s1 < s2 < s3 , dann ist c0 (s1,2 ) = −c0 (s2,3 ). Da die linke Seite gegen c0 (s), die rechte Seite aber gegen −c0 (s) strebt, ist dies ein Widerspruch zur Voraussetzung c0 (s) 6= 0, d.h. λ = +1 und somit c0 (s1,2 ) = c0 (s2,3 ). Es c0 (s1,2 )−c0 (s2,3 ) konvergiert also 0 = → c00 (s) 6= 0, das ist ein Widerspruch. Demnach s1,2 −s2,3 ist M (s1 , s2 , s3 ) f¨ ur s1 , s2 , s3 nahe s wohldefiniert. Sei nun h : I → R definiert durch h(t) := |c(t) − M (s1 , s2 , s3 )|2 . Dann ist h(s1 ) = h(s2 ) = h(s3 ) und nach dem Mittelwertsatz existieren s1,2 und s2,3 mit h0 (s1,2 ) = 0 = h0 (s2,3 ) und weiters existiert ein s1,2,3 mit h00 (s1,2,3 ) = 0. Die Ableitungen von h sind: h0 = 2h c0 | c − M i   h00 = 2 h c00 | c − M i + h c0 | c0 i . Wir erhalten zwei implizite Gleichung f¨ ur M : h c0 (s1,2 ) | c(s1,2 ) i = h c0 (s1,2 ) | M (s1 , s2 , s3 ) i h c00 (s1,2,3 ) | c(s1,2,3 ) i + 1 = h c00 (s1,2,3 ) | M (s1 , s2 , s3 ) i . Sei A(t1 , t2 ) die Matrix (c0 (t1 ), c00 (t2 )) (wobei wir c0 (t1 ) und c00 (t2 ) als Zeilenvektoren auffassen). Dann k¨ onnen wir (*) wie folgt schreiben:   h c0 (s1,2 ) | c(s1,2 ) i A(s1,2 , s1,2,3 ) · M (s1 , s2 , s3 ) = . h c00 (s1,2,3 ) | c(s1,2,3 ) i + 1 Mit s1 , s2 , s3 → s konvergiert A(s1,2 , s1,2,3 ) gegen A(s, s) = (c0 (s), c00 (s)) in L(R2 ). Also ist auch A(s1,2 , s1,2,3 ) invertierbar f¨ ur s1 , s2 , s3 nahe s und A(s1,2 , s1,2,3 )−1 → −1 A(s, s) . Somit konvergiert M (s1 , s2 , s3 ) gegen   h c0 (s) | c(s) i A(s, s)−1 · =: M (s). h c00 (s) | c(s) i + 1 c 15. Dezember 2008 [email protected]

21

3.6

3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene

Unter Verwendung von (*) erhalten wir: h c0 (s) | M (s) − c(s) i = 0 ⇒ M (s) − c(s) = λν(s) f¨ ur ein λ ∈ R h c00 (s) | c(s) − M (s) i = −1 ⇒ −1 = h c00 (s) | − λν(s) i = h K(s)ν(s) | − λν(s) i = = −K(s)λ|ν(s)|2 = −K(s)λ ⇒λ=

1 K(s)

und M (s) = c(s) +

ν(s) . K(s)

3.5 Polarkoordinaten versus kartesische Koordinaten Aus den Grundvorlesungen kennen wir die Abbildung p, die den Polarkoordinaten (r, ϕ) ∈ R2 die kartesischen Koordinaten (x, y) := (r cos ϕ, r sin ϕ) = r · eiϕ ∈ C = R2 zuordnet. r eij

y Φ

x

Wir wollen nun umgekehrt Punkten im R2 , gegeben in kartesischen Koordinaten, zugeh¨ orige Polarkoordinaten auf differenzierbare Weise zuordnen.   cos ϕ −r sin ϕ Die Ableitung von p ist durch gegeben und ist f¨ ur r = 0 nicht insin ϕ r cos ϕ vertierbar. Also ist dieses Problem lokal um 0 ∈ C nicht l¨osbar, deshalb nehmen wir 0 aus, d.h. wir betrachten die Einschr¨ankung von p : (R \ {0}) × R → C \ {0}. Diese Einschr¨ ankung ist nach dem Inversen-Funktionensatz lokal ein Diffeomorphismus. Sie ist aber nur lokal injektiv. Um sie global injektiv zu machen schr¨anken wir sie weiter zu einer Abbildung p : R+ × R → C \ {0} ein. Noch immer ist der Winkel ϕ aber nur bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von 2π festgelegt. Also m¨ ussen wir ϕ auf ein Intervall der L¨ ange 2π beschr¨anken - damit wir leicht von Differenzierbarkeit sprechen k¨ onnen - auf ein offenes Intervall. Bei gegebenem ϕ0 ∈ R sei dieses Intervall ]ϕ0 − π, ϕ0 + π[. Dann ist p : R+ × ]ϕ0 − π, ϕ0 + π[ → C \ {teiϕ0 : t ≤ 0} ein Diffeomorphismus. Das Bild bzgl. p ist die (komplexe)p Ebene ohne einen Halbstrahl. Wir k¨ onnen sogar explizit die Umkehrfunktion r = x2 + y 2 und ϕ = arctan( xy ) bzw. ϕ = arccot( xy ) angeben, wenn wir f¨ ur arctan und arccot den passenden Zweig w¨ ahlen.

3.6 Lemma (Kr¨ ummung als Richtungs¨ anderung). Sei c : I → C eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Kurve mit c0 : I → S 1 := {z ∈ C : |z| = 1}. Sei s0 ∈ I und θ : I → R f¨ ur s nahe s0 eine differenzierbare L¨ osung von eiθ(s) = c0 (s). Dann folgt K(s) = θ0 (s). Das bedeutet, daß die ¨ Kr¨ ummung K die infinitesimale Anderung des Winkels der Tangente mißt. 22

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3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene

3.7

Beweis. Durch Differenzieren der Gleichung c0 (s) = eiθ(s) erh¨alt man c00 (s) = iθ0 (s)eiθ(s) = θ0 (s)ic0 (s) = θ0 (s)ν(s), das ist aber die implizite Gleichung f¨ ur die Kr¨ ummung ⇒ K(s) = θ0 (s). Zusammenfassung Die Kr¨ ummung einer nach der Bogenl¨ange parametrisierten Kurve kann aufgefaßt werden als: ummungskreises, 1. Der Kehrwert 1r = |c00 (s)| = |K(s)| des Radius r des Kr¨ d.h. jenes Kreises, der c am besten approximiert, versehen mit einen Vorzeichen welches sich daraus ergibt ob der Kr¨ ummungskreis positiv oder negativ orientiert ist, siehe 3.2 . 2. Der skalare Wert der Beschleunigung c00 (s) = K(s)ν(s), siehe 3.2 . ¨ 3. Die infinitesimale Anderung des Winkels der Tangente K(s) = θ0 (s), nach Lemma 3.6 . ¨ 3.7 Polarkoordinaten als Uberlagerung Wir wollen nun das globale Verhalten der Polarkoordinaten untersuchen. Sei p : R2 → C wie in 3.5 die Abbildung (r, ϕ) 7→ reiϕ , die Polarkoordinaten kartesische Koordinaten zuordnet. Definition. In der Topologie nennt man eine stetige Abbildung p : X → Y zwischen Haus¨ ¨ dorffr¨ aumen eine Uberlagerung, falls eine Uberdeckung von Y mit offenen sogenannten trivialisierenden Mengen U ⊂ Y existiert, sodaß p−1 (U ) die disjunkte Vereinigung von offenen Teilmengen Uj , genannt Bl¨ atter, mit j ∈ J ist und p|Uj : Uj → U ein Hom¨ oomorphismus f¨ ur alle U und alle j ∈ J ist. Falls die Kardinalit¨ at κ der Indexmenge J nicht von U abh¨angt, bezeichnet man p : X → Y ¨ auch als eine κ-bl¨ attrige Uberlagerung.

Das Urbild p−1 (U ) ist dann die topologische Summe seiner Bl¨atter, denn eine Teilmenge V ⊆ p−1 (U ) ist genau dann offen, wenn V ∩ Uj offen ist f¨ ur alle j ∈ J. Sei c : I → X eine stetige Kurve f¨ ur welche (p ◦ c)(I) ganz in einer trivialisierenden Umgebung U liegt, so ist c(I) ganz in einem Blatt u ¨ber U enthalten, denn die zusammenh¨ angende Menge c(I) kann nicht verschiedene Summanden der topologiF schen Summe j∈J Uj treffen. c 15. Dezember 2008 [email protected]

23

3.9

3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene

¨ L¨ angs Uberlagerungen lassen sich Kurven liften: 3.8 Lemma (Liftung von Kurven). ¨ Sei p : X → Y eine Uberlagerung, c : I → Y eine stetige Kurve mit 0 ∈ I und sei x0 ∈ p−1 (c(0)). Dann existiert eine eindeutige stetige Kurve c˜ : I → X genannt Lift von c mit p ◦ c˜ = c und c˜(0) = x0 . {0} _  I

x0

/X >

c˜

p c

 /Y

Beweis. Zuerst die Eindeutigkeit: Seien c1 und c2 zwei Lifts. Dann ist 0 ∈ T := {t ∈ I : c1 (t) = c2 (t)} und T ist abgeschlossen. Zu einem t ∈ T sei U eine trivialisierende Umgebung von c(t) und U0 das Blatt u ¨ber U , welches c1 (t) = c2 (t) enth¨alt. Da c1 und c2 stetig sind, haben sie f¨ ur t0 nahe t Werte in U0 , und da p : U0 → U eine 0 0 Bijektion ist, ist c1 (t0 ) = (p|−1 ur diese t0 . Also ist T offen. Weil I U0 ◦ c)(t ) = c2 (t ) f¨ ein Intervall und somit zusammenh¨angend ist, stimmt T mit I u ¨berein, d.h. c1 = c2 . Nun zur Existenz: Sei T := {t ∈ I : Ein Lift c˜ von c auf der Strecke von 0 nach t existiert}. Klarerweise ist 0 ∈ T und T ein Intervall. Wir zeigen, daß T keinen Rand in I besitzt. Angenommen t ∈ I w¨are ein Randpunkt von T , o.B.d.A. t ≥ 0. Sei U eine trivialisierende Umgebung von c(t), dann ist c(t0 ) ∈ U f¨ ur t0 nahe t. Sei U0 0 jenes (eindeutige) Blatt u ur alle hinreichend nahen ¨ber U welches c˜(t ) enth¨alt f¨ t0 < t (bzw. im Falle t = 0 den Punkt x0 ). Dann l¨aßt sich c˜ durch p|−1 U0 ◦ c lokal um t (eindeutig) fortsetzen, und somit ist t kein Randpunkt von T ; ein Widerspruch. 3.9 Folgerung. Sei c : I → S 1 eine stetige Kurve, dann existiert ein stetiger Lift c¯ : I → R, d.h. ei¯c(t) = c(t) f¨ ur alle t ∈ I. Ist t0 ∈ I, so ist c¯ eindeutig durch Angabe von c¯(t0 ) ∈ R mit ei¯c(t0 ) = c(t0 ) bestimmt. Falls c glatt ist, so auch c¯. ¨ Beweis. Offensichtlich beschreibt θ 7→ eiθ jene Uberlagerung R → S 1 , die aus der ¨ in 3.5 durch Polarkoordinaten gegebenen Uberlagerung p : R+ × R → C \ {0} durch Einschr¨ ankung auf R ∼ = {1} × R = p−1 (S 1 ) → S 1 gegeben ist. Also haben wir die Liftungseigenschaft nach 3.8 . Die Glattheit von c˜ folgt, da p ein lokaler Diffeomorphismus ist. 2. Beweis. Wir geben nun einen zweiten direkteren Beweis, der auch gleichzeitig die Glattheit des Liftes liefert. Zuerst eine Vorbemerkung: Sei c¯ ein Lift von c. Wegen der Stetigkeit von c existiert ein δ > 0 mit |c(t)−c(t0 )| < 2 f¨ ur alle |t−t0 | < δ. Dann ist |¯ c(t)−¯ c(t0 )| < π f¨ ur diese t, denn w¨ are es gr¨ oßer als π f¨ ur ein t so nach dem Zwischenwertsatz auch gleich π f¨ ur ein anderes t und somit c(t) = −c(t0 ) also |c(t) − c(t0 )| = 2, Widerspruch. Also ist c¯(t) = ϕ(c(t)) f¨ ur |t − t0 | < δ, mit ϕ wie in 3.5 und Anfangswert ϕ0 = c¯(t0 ). Nun zeigen wir die Eindeutigkeit lokaler Lifts: Seien cj : Ij → R zwei Lifts von c|Ij f¨ ur j = 1, 2, wobei Ij 3 t0 ein offenes Teilintervall von I ist. Sei X := {t ∈ I1 ∩ I2 : c1 (t) = c2 (t)}. Wir m¨ ussen zeigen, daß X = I1 ∩ I2 . Die Menge X ist nicht leer, da t0 ∈ X, und sie ist abgeschlossen in I1 ∩ I2 , da sie durch eine stetige 24

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3.10

3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene

Gleichung gegeben ist. Sei nun t ∈ X, dann ist cj (t0 ) = ϕ(c(t0 )) f¨ ur t0 nahe t, wegen der Vorbemerkung. Also ist X auch offen. Da das offene Intervall I1 ∩ I2 zusammenh¨ angend ist, folgt X = I1 ∩ I2 . Schließlich die Existenz: Sei X die Menge der t ∈ I, bis zu welchen ein (eindeutiger) Lift existiert, genauer: t ∈ X ⇔ ein Lift c¯ : J → R von c|J existiert f¨ ur ein offenes Teilintervall J von I, welches t und t0 enth¨alt. Die Menge X ist nicht leer da t0 ∈ X, denn ϕ ◦ c ist ein lokaler Lift von c, wo ϕ wie in 3.5 mit Anfangswinkel c¯(t0 ) ist. Sie ist nach Konstruktion offen, da die Intervalle J als offen vorausgesetzt sind. Sie ist auch abgeschlossen in I: Sei n¨amlich t ∈ I im Abschluß von X. Wegen der gleichm¨ aßigen Stetigkeit von c auf kompakten Teilintervallen von I existiert ein δ > 0 mit |c(t0 ) − c(t00 )| < 2 f¨ ur |t0 − t00 | < δ mit t0 ∈ [t0 , t]. Sei t1 ∈ X mit |t1 − t| < δ. Dann sind c¯ und ϕ ◦ c lokale Lifts um t1 von c, wobei ϕ wie in 3.5 mit Anfangswert c¯(t1 ) bei t1 ist. Also stimmen sie wegen der Eindeutigkeit u ¨berein und ergeben zusammen einen lokalen Lift, der auf einer Umgebung von [t0 , t] definiert ist, i.e. t ∈ X. Da I zusammenh¨angend ist, folgt X = I, also existiert ein Lift auf ganz I. 3.10 Liften mittels des Kurvenintegrals Eine dritte Methode den Lift c¯ f¨ ur glattes c zu erhalten, verwendet das Kurvenintegral und die dazu notwendigen Differentialformen (mit denen wir uns in Kapitel 5 und 6 noch sehr eingehend besch¨aftigen werden): Sei f : R2 k U → Rn , differenzierbar. Dann ist die Ableitung f 0 (oder auch das totale Differential df ) von folgender Gestalt: df = f 0 : U → L(R2 , Rn ) := {T : R2 → Rn : T ist linear}. Allgemein heißt eine Abbildung ω : U → L(R2 , Rn ) 1-Form (mit Werten im Rn ). Eine 1-Form heißt exakt :⇔ ∃ f : U → Rn glatt mit df = ω. F¨ ur die linearen Abbildungen x : (x, y) 7→ x und y : (x, y) 7→ y ergeben sich nach 2.1 die zwei speziellen exakten 1-Formen dx und dy: dx(x, y)(u, v) = u bzw.

dy(x, y)(u, v) = v.

F¨ ur jedes glatte f : R2 → Rm haben wir allgemein df (x, y)(u, v) = df (x, y)(u · (1, 0) + v · (0, 1)) = u · df (x, y)(1, 0) + v · df (x, y)(0, 1) = dx(x, y)(u, v) ·

∂f ∂x (x, y)

+ dy(x, y)(u, v) ·

∂f ∂y (x, y)

oder k¨ urzer nach Weglassen von (u, v) ∈ R2 als Gleichheit f¨ ur Abbildungen in 2 L(R , Rm ): ∂f df (x, y) = ∂f ∂x (x, y) · dx(x, y) + ∂y (x, y) · dy(x, y), wobei wir die Reihenfolge der Faktoren ausgetauscht haben, damit die Wirkung auf ∂f m (u, v) klarer ist (Beachte: ∂f und dx(x, y), dy(x, y) ∈ L(R2 , R) ∂x (x, y), ∂y (x, y) ∈ R 2 m und das Produkt v · T ∈ L(R , R ) ist definiert durch (v · T )(z) := T (z) · v f¨ ur v ∈ Rm , T ∈ L(R2 , R) und z ∈ R2 ). Noch k¨ urzer k¨ onnen wir das nach Weglassen von (x, y) ∈ R2 als Gleichheit f¨ ur Abbildungen R2 → L(R2 , Rm ) schreiben als df =

∂f ∂x

· dx +

∂f ∂y

· dy.

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25

3.10

3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene

Analog erhalten wir die Koordinatendarstellung einer allgemeinen 1-Form ω: ω(x, y)(u, v) = u · ω(x, y)(1, 0) + v · ω(x, y)(0, 1) =: dx(x, y)(u, v) · ω1 (x, y) + dy(x, y)(u, v) · ω2 (x, y) ⇒ ω = ω1 · dx + ω2 · dy wobei ωi : U → Rn definiert ist durch ω1 (x, y) := ω(x, y)(1, 0) und ω2 (x, y) := ω(x, y)(0, 1). Sei c : [a, b] → U eine Kurve mit c(t) = (x(t), y(t)) und ω wie oben, dann berechnet sich das Kurvenintegral wie folgt: Z Z Z b ω = ω1 (x, y) · dx + ω2 (x, y) · dy := ω(c(t))(c0 (t)) dt c

c

Z = a

a b dy ω1 (c(t)) dx dt (t) dt + ω2 (c(t)) dt (t) dt

Mittels des Kurvenintegrals l¨ aßt sich eine Funktion f : R2 → Rm aus ihrem Differential und einem Anfangswert rekonstruieren, denn Z b Z b Z f (c(b)) − f (c(a)) = (f ◦ c)0 (t) dt = df (c(t))(c0 (t)) dt = df, a

a

c

¨ f¨ ur jede Kurve c von c(a) nach c(b). Die Uberlagerung p : R+ × R → R2 \ {0} via Polarkoordinaten aus 3.5 war gegeben durch (r, ϕ) 7→ r eiϕ . Wir wollen eine Kurve c : I → R2 \ {0} zu einer Kurve c¯ : I → R+ × R l¨angs p liften. Die Projektion auf die erste Komponente (r, ϕ) 7→ r faktorisiert zu einer p wohldefinierten 2 glatten Funktion r : R \ {0} → R gegeben durch (x, y) → 7 x2 + y 2 . Somit ist p 2 2 r(¯ c(t)) = x(t) + y(t) . R+ × R GG GG r GG GG G# p ;R 

√

x2 +y 2

C \ {0} F¨ ur die zweite Projektion geht das nicht so (Der Winkel ϕ kann aus den kartesischen Koordinaten nur bis auf ganzzahliges Vielfaches von 2π berechnet werden). Aber wir k¨ onnen die zweite Komponente als Kurvenintegral schreiben Z ϕ(¯ c(t)) = ϕ(¯ c(0)) + dϕ c¯|[0,t]

Da ϕ bis auf ein ganzzahliges Vielfaches auch auf C \ {0} bestimmt ist, kann man hoffen, daß das Differential dϕ zu einer 1-Form ω auf C \ {0} hinunterfaktorisiert. Wegen der Kettenregel dϕ(u)(v) = ω(p(u)) · dp(u)(v) berechnen wir dazu das Dif¨ ferential der Uberlagerungsabbildung z = p : C ⊃ R+ × R → R2 \ {0} ⊂ C, iϕ (r, ϕ) 7→ z := r e :  dr  ∂(reiϕ ) ∂(reiϕ ) · dr + · dϕ = eiϕ dr + i r eiϕ dϕ = r eiϕ + i dϕ dz = d(reiϕ ) = ∂r ∂ϕ r Somit ist dz eiϕ dr + i r eiϕ dϕ dr = = + i dϕ = d(ln r) + i dϕ iϕ z re r 26

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3.12

3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene

als Abbildungen R+ × R → L(R2 , C) ∼ = L(R2 , R) + i L(R2 , R). Oder in kartesischen Koordinaten: dz dx + i dy (x − iy) dx + i (x − iy) dy d(ln(r)) + i dϕ = = = z x + iy x2 + y 2 x dx + y dy x dy − y dx = +i , x2 + y 2 x2 + y 2 wobei x, y : R+ × R −z→ C → R, und somit ist x dy − y dx x dx + y dy und dϕ = . 2 2 x +y x2 + y 2 Wir k¨ onnen aber x und y auch als Koordinatenprojektionen auf C auffassen, und dx somit x dy−y als 1-Form ω auf C \ {0} = R2 \ {0}. F¨ ur diese ist dϕ(u)(v) = x2 +y 2 ω(p(u))(dp(v)) und somit erhalten wir schlußendlich Z ϕ(¯ c(t)) = ϕ(¯ c(0)) + dϕ d(ln r) =

c¯|[0,t]

Z

t

dϕ(¯ c(τ ))(¯ c0 (τ )) dτ

= ϕ(¯ c(0)) + 0

Z = ϕ(¯ c(0)) +

t

ω(c(τ ))(c0 (τ )) dτ

0

Z = ϕ(¯ c(0)) + c|[0,t]

x dy − y dx , x2 + y 2

wobei in der letzten Zeile x und y die Koordinatenprojektionen R2 → R bezeichnen. Insbesonders berechnet diese Formel c¯(t) ∈ R f¨ ur c : I → S 1 ⊆ C \ {0}. 3.11 Satz (Die Kr¨ ummung charakterisiert die Kurve). Sei K : I → R eine glatte Abbildung, so gibt es, bis auf Bewegungen, genau eine Kurve, die eine Bogenl¨ angenparametrisierung c besitzt, f¨ ur die Kc (s) = K(s) gilt. Beweis. Sei c eine nach der Bogenl¨ange parametrisierte Kurve mit der Kr¨ ummung 0 0 K, d.h. |c (s)| = 1 f¨ ur alle s und K(s) = θ (s) nach 3.6 , wobei θ ein Lift von c0 iθ(s) ist, und somit e = c0 (s) gilt. Also folgt Z s Z s θ(s) = θ(0) + θ0 (τ ) dτ = θ(0) + K(τ )dτ und 0 0 Z s Z s c(s) = c(0) + c0 (τ )dτ = c(0) + eiθ(τ ) dτ. 0

0

Dabei ist c(0) der frei w¨ ahlbare Anfangspunkt der Kurve, und θ(0) der frei w¨ahlbare Winkel der Anfangsrichtung. Je zwei solche Anfangsdaten liefern eine Bewegung, welche die zugeh¨ origen Kurven ineinander u uhrt. Sei c wie oben definiert. Dann ¨berf¨ ist c0 (s) = eiθ(s) , also |c0 (s)| = 1, d.h. c ist nach der Bogenl¨ange parametrisiert. Da θ der Lift ist, gilt Kc (s) = θ0 (s) = K(s). 3.12 Definition (Scheitel und Spiralb¨ ogen) Falls K(t) = 0, dann heißt t ein Flachpunkt. Falls t ein Flachpunkt ist, an dem die Kr¨ ummung das Vorzeichen ¨andert, so heißt t ein Wendepunkt. Falls die Kr¨ ummung ein lokales Extremum bei t besitzt, so heißt t ein Scheitel. Falls K monoton und nirgends 0 ist, so heißt c ein Spiralbogen. c 15. Dezember 2008 [email protected]

27

3.14

3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene

3.13 Lemma, Kneser. Sei c ein Spiralbogen. Dann ist jeder Kr¨ ummungskreis mit kleinerem Radius in jedem mit gr¨ oßerem enthalten. F¨ ur jeden Punkt s der Kurve, liegt die eine H¨ alfte ¨ von c im Inneren des Kr¨ ummungskreises bei s und die andere H¨ alfte im Außeren.

Beweis. Wir betrachten die Ableitung der Evolute: 1 e(s) := c(s) + ν(s) und setzen K(s) ⇒ e0 (s) = c0 (s) + R0 (s)ν(s) + R(s)ν 0 (s)

R(s) :=

1 K(s)

= τ (s) + R0 (s)ν(s) − R(s)K(s)τ (s) = R0 (s)ν(s). F¨ ur die vorletzte Gleichheit verwendeten wir die Frenet’schen Ableitungsgleichungen. Die Bogenl¨ ange der Evolute berechnen wir mit Hilfe des Integrals: Z b Z b b 0 La (e) = |e (s)|ds = |R0 (s)|ds = (da R0 konstantes Vorzeichen hat) a

Z =

a

a b

R0 (s)ds = |R(b) − R(a)|

⇒ |e(b) − e(a)| ≤ Lba (e) = |R(b) − R(a)| d.h. der Kreis mit gr¨ oßerem Radius umfaßt den mit kleinerem. Man bemerke, daß Gleichheit |e(b) − e(a)| = Lba (e) nur dann gilt, wenn e konstant ist oder die Strecke von e(a) nach e(b) 6= e(a) parametrisiert. Falls e konstant ist, so 0 = e0 = R0 ν, d.h. R ist konstant und damit c ein Kreisbogen. Andernfalls ist 0 6= e0 (s) k v := e(b) − e(a) 6= 0 lokal in s und somit auch ν(s) k v und τ (s) k v ⊥ f¨ ur s mit R0 (s) 6= 0. Also parametrisiert c (zumindest lokal) eine Gerade und damit ist K = 0, ein Widerspruch. F¨ ur den zweiten Teil der Aussage k¨onnen wir o.B.d.A. annehmen, daß die Kr¨ ummung monoton wachsend bzw. R monoton fallend ist. Bei festem t und t ≤ t0 schließen wir, daß c(t0 ) im Inneren des Kr¨ ummungskreises bei t liegt, da c(t0 ) auf 0 dem Kr¨ ummungskreis bei t liegt und dieser in jenem bei t enthalten ist (R(t) ≥ R(t0 )). Falls t0 ≤ t schließen wir analog. 3.14 Rollkurven Gegeben seinen zwei nach Bogenl¨ange parametrisierte Kurven c0 und c1 . Gesucht ist die Bahn c eines in der Ebene von c1 fixierten Punktes p, wenn die Kurve c1 l¨ angs jener von c0 abrollt. 28

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3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene

3.14

Wir wollen c nach der abgerollten L¨ange t parametrisieren. Das Abrollen von c1 l¨ angs c0 bedeutet, daß wir eine Bewegung Bt suchen, die den Punkt c1 (t) auf c0 (t), die Einheitstangente τ1 (t) auf τ0 (t) und somit die Einheitsnormale ν1 (t) auf ν0 (t). Aus der ersten Bedingung folgt, daß Bt die Form Bt (x) = Rt (x − c1 (t)) + c0 (t) hat. Es sei θ1 (t) und θ0 (t) der Winkel der Tangente an c1 und c0 zum Zeitpunkt t. Dann muß Rt die Drehung um θ0 (t) − θ1 (t) sein. Also ist die Gleichung der Rollkurve c durch c(t) := ei(θ0 (t)−θ1 (t)) (p − c1 (t)) + c0 (t) gegeben. F¨ ur die Ableitung von c erhalten wir: c0 (t) = i(θ0 − θ1 )0 (t)ei(θ0 (t)−θ1 (t)) (p − c1 (t)) − ei(θ0 (t)−θ1 (t)) c01 (t) + c00 (t) = i(K0 (t) − K1 (t))ei(θ0 (t)−θ1 (t)) (p − c1 (t)) − ei(θ0 (t)−θ1 (t)) eiθ1 (t) + eiθ0 (t) = (K0 (t) − K1 (t))iei(θ0 (t)−θ1 (t)) (p − c1 (t)) Somit ist die skalare Geschwindigkeit: d v(t) = c(t) = |K0 (t) − K1 (t)| |p − c1 (t)|. dt Die zweite Ableitung von c ist: c00 (t) = i(K0 − K1 )0 (t)ei(θ0 −θ1 )(t) (p − c1 (t)) + i(K0 − K1 )(t)i(K0 − K1 )(t)ei(θ0 −θ1 )(t) (p − c1 (t)) − i(K0 − K1 )(t)ei(θ0 −θ1 )(t) c01 (t) = (K0 − K1 )0 (t)iei(θ0 −θ1 )(t) (p − c1 (t)) − ((K0 − K1 )(t))2 ei(θ0 −θ1 )(t) (p − c1 (t)) − (K0 − K1 )(t) iei(θ0 −θ1 )(t) c01 (t). c 15. Dezember 2008 [email protected]

29

3.14

3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene

Folglich ist det(c0 (t), c00 (t)) =  = det (K0 − K1 )(t)iei(θ0 (t)−θ1 (t)) (p − c1 (t)), 2 i(θ0 −θ1 )(t)



K1 )(t)iei(θ0 −θ1 )(t) c01 (t)

− ((K0 − K1 )(t)) e (p − c1 (t)) − (K0 −   = ((K0 − K1 )(t))3 det p − c1 (t), i(p − c1 (t))   − ((K0 − K1 )(t))2 det p − c1 (t), c01 (t)   = ((K0 − K1 )(t))3 |p − c1 (t)|2 − ((K0 − K1 )(t))2 det p − c1 (t), c01 (t) . F¨ ur die Kr¨ ummung K von c erhalten wir schließlich

det(c0 (t), c00 (t)) |c0 (t)|3 (K0 − K1 )(t)3 |p − c1 (t)|2 − (K0 − K1 )(t)2 det(p − c1 (t), c01 (t)) = |(K0 − K1 )(t)|3 |p − c1 (t)|3   1 p − c1 (t) 0 sign((K0 − K1 )(t)) − det , c (t) = |p − c1 (t)| |(K0 − K1 )(t)| |p − c1 (t)|3 1  sign((K0 − K1 )(t))  1 0 2 = det(p − c (t), c (t)) . |p − c (t)| − 1 1 1 |p − c1 (t)|3 (K0 − K1 )(t)

K(t) =

Sei nun die abrollende Kurve c1 ein Kreis mit Radius 1, d.h. c1 (t) := eit und p = (a, 0). Dann ist c01 (t) = ieit K1 = 1 p − c1 (t) = (a − cos t, − sin t) |p − c1 (t)|2 = a2 − 2a cos t + 1 = (a2 + 1) − 2a cos t det(p − c1 (t), c01 (t)) = det(a − eit , ieit ) = a cos t − 1 und somit ist die Kr¨ ummung der Rollkurve  sign((K0 − K1 )(t))  1 2 0 K(t) = |p − c (t)| − det(p − c (t), c (t)) 1 1 1 |p − c1 (t)|3 (K0 − K1 )(t)  sign(K0 (t) − 1) a cos t − 1  = 2 a2 + 1 − 2a cos t − 3/2 K0 (t) − 1 |a + 1 − 2a cos t| Zykloiden. Sei nun insbesonders c0 eine Gerade, d.h. c0 (t) = t.

30

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3.14

3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene

Dann ist K0 (t) = 0 und somit  −1 a cos t − 1  2 a + 1 − 2a cos t − −1 |a2 + 1 − 2a cos t|3/2 a(cos t − a) = 2 |a + 1 − 2a cos t|3/2

K(t) =

Und speziell f¨ ur a = 1, d.h. einen Punkt auf dem Kreis, ist √ √ (1 − cos t) 1 K(t) = − = −1/(2 2 1 − cos t) = − . 3/2 4| sin(t/2)| |2 − 2a cos t| Nun wollen wir die Scheitel bestimmen. Dazu schreiben wir √ cos t − a aK(t) = . (a + 1/a − 2 cos t)3/2 Dann ist d√ aK(t) = − sin t (a + 1/a − 2 cos t)−5/2 ((a + 1/a − 2 cos t) + 3(cos t − a)) dt = − sin t (a + 1/a − 2 cos t)−5/2 (1/a − 2a + cos t) d√ Somit ist dt aK(t) = 0 genau dann, wenn sin t = 0 oder cos t = 2a − a1 . Epi- und Hypozykloiden Sei nun c0 ein Kreis mit Radius R, d.h. c0 (t) = R e±it/R .

Dann ist K0 = ±1/R und somit sign(K0 (t) − 1)  2 a + 1 − 2a cos t − |a2 + 1 − 2a cos t|3/2 sign(±1/R − 1)  2 = 2 a + 1 − 2a cos t − |a + 1 − 2a cos t|3/2

K(t) =

a cos t − 1  K0 (t) − 1 a cos t − 1  ±1/R − 1

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31

3.15

3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene

Ist insbesonders a = 1, d.h. p ein Punkt am abrollenden Kreis, dann ist sign(±1/R − 1)  1 − cos t  K(t) = 2(1 − cos t) + ±1/R − 1 |2(1 − cos t)|3/2   sign(±1/R − 1) 1 = √ √ 2+ ±1/R − 1 2 2 1 − cos t sign(±1/R − 1) R ∓ 2 = √ √ · 2 2 1 − cos t R ∓ 1 1 R∓2 = sign(±1/R − 1) · · 4| sin t/2| R ∓ 1 3.15 Einh¨ ullende - Enveloppe Zu jeder geometrischen ebenen Kurve ist die Familie ihrer Tangenten assoziiert. Wir wollen nun bestimmen, welche Geraden-Scharen auf diese Weise auftreten k¨onnen. Sei c : I → C eine Parametrisierung der Kurve, dann ist die Tangente an der Stelle t durch {c(t) + sc0 (t) : s ∈ R} gegeben, oder implizit durch  z : h z | ν(t) i = h(t) , mit ν(t) := τ (t)⊥ und h(t) := h c(t) | ν(t) i . Nach 3.9 existiert eine eindeutig bestimmte glatte Funktion ϑ : I → R mit eiϑ(t) = τ (t) und somit (− sin(ϑ(t)), cos(ϑ(t))) = i eiϑ(t) = i τ (t) = ν(t) Falls c nach der Bogenl¨ ange parametrisiert ist, so ist ϑ0 = K nach 3.6 . F¨ ur allgemeine Parametrisierungen ist somit ϑ0 (t) 6= 0 genau dann, wenn die Kr¨ ummung K(t) nicht verschwindet, denn sei c¯ eine Bogenl¨angenparametrisierung, also c(t) = c¯(s(t)), dann ist c0 (t) = s0 (t) c¯0 (s(t)) = s0 (t) τ (t) = s0 (t) ei ϑ(t) und c00 (t) = s00 (t) ei ϑ(t) + s0 (t) i ϑ0 (t) ei ϑ(t) und somit K(t) =

s0 (t)2 ϑ0 (t) ϑ0 (t) det(c0 (t), c00 (t)) = = 0 . 0 3 0 3 |c (t)| s (t) s (t)

Sei nun umgekehrt eine Schar von Geraden in Hess’scher Normalvektorform  z : h z | i eiϑ(t) i = h(t) , mit ϑ und h glatt und ϑ0 (t) 6= 0 f¨ ur alle t ∈ I gegeben. Wir suchen eine Kurve c mit diesen Geraden als Tangenten, d.h. eine L¨ osung von D E c(t) i eiϑ(t) = h(t) D E c0 (t) i eiϑ(t) = 0 Differenzieren der 1. Gleichung und Einsetzen der 2. liefert: h0 (t) = h c0 (t) | i eiϑ(t) i + h c(t) | i2 eiϑ(t) ϑ0 (t) i = −ϑ0 (t) h c(t) | eiϑ(t) i . Damit kennen wir aber die Normalprojektionen von c(t) auf die Orthonormalbasis ullende Kurve c gegeben durch (eiϑ(t) , i eiϑ(t) ) und somit ist die sogenannte einh¨ c(t) = h c(t) | eiϑ(t) i eiϑ(t) + h c(t) | i eiϑ(t) i i eiϑ(t) = −

h0 (t) iϑ(t) e + h(t) i eiϑ(t) . ϑ0 (t)

F¨ ur die Ableitungen von c erhalten wir folglich

32

c0 =

h0 ϑ00 − h00 ϑ0 − h (ϑ0 )3 iϑ e +0 (ϑ0 )2

c00 =

h0 ϑ00 − h00 ϑ0 − h (ϑ0 )3 0 iϑ iϑ e + (ϑ0 )2



h0 ϑ00 − h00 ϑ0 − h (ϑ0 )3 (ϑ0 )2

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0

eiϑ ,

3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene

3.15

also eine regul¨ are Kurve genau dort wo h0 ϑ00 − h00 ϑ0 − h (ϑ0 )3 6= 0 ist und f¨ ur deren Kr¨ ummung 0 00  0 00 2 00 0 0 3 −3 h ϑ − h00 ϑ0 − h (ϑ0 )3 det(c0 , c00 ) 0 h ϑ − h ϑ − h (ϑ ) ϑ = K= |c0 |3 (ϑ0 )2 (ϑ0 )2 (ϑ0 )3 = 0 00 |h ϑ − h00 ϑ0 − h (ϑ0 )3 | Insbesonders liegt die Kurve lokal immer auf der sign(ϑ0 ) Seite der Tangente. In 6.3 werden wir dies noch exkpliziter machen indem wir als bessere Parametrisierung jene nach dem Winkel der Tangente verwenden werden. Eine klassischere L¨ osungsmethode dieser Aufgabenstellung ist die folgende: Sei c : I → E eine Parametrisierung der Kurve, dann ist die Tangente durch s 7→ c(t) + sc0 (t) gegeben, oder implizit durch E D
x ν(t) = h(t), mit ν(t) := c0 (t)⊥ und h(t) := h c(t) | ν(t) i . y Nach Anwendung einer Drehung, k¨onnen wir annehmen, daß e1 der Einheitstangentialvektor in einem Punkt ist und somit f¨ ur nahe t in der Tangentengleichung y nach x aufgel¨ ost werden kann, d.h. die Form y = a(t) · x + b(t) besitzt, wobei a(t) der Anstieg der Kurve c : t 7→ (x(t), y(t)) zum Zeitpunkt t ist und b(t) durch Einsetzen von c(t) anstelle von (x, y) erhalten wird. Wenn die Kr¨ ummung K von c nicht verschwindet, dann muß a0 (t) 6= 0 sein, denn a(t) = y 0 (t)/x0 (t) und somit ist a0 (t) =

x0 (t)y 00 (t) − y 0 (t)x00 (t) det(c0 (t), c00 (t)) |c0 (t)|3 = = 0 2 K(t). 0 2 0 2 x (t) x (t) x (t)

Sei allgemein eine glatt parametrisierte Familie von Geraden vorgegeben. Nach Anwendung einer Drehung haben diese lokal die Gestalt y = a(t) · x + b(t). Wir wollen nun versuchen eine Kurve c zu finden, die diese Geraden als Schar der Tangenten hat. Man nennt c dann die Einh¨ ullende oder Enveloppe dieser Geraden. Es soll also c(t) = (x(t), y(t)) sowohl y(t) = a(t) · x(t) + b(t) als auch y 0 (t) = a(t) · x0 (t) erf¨ ullen. Der Fall, daß a konstant ist, ist nicht interessant, denn dann muß eine dazu passende Kurve c eine Gerade parametrisieren und somit auch b konstant sein. Darum setzten wir a als streng monoton oder besser ein wenig st¨arker a0 (t) 6= 0 f¨ ur alle t voraus. Falls c existiert, so bedeutet das nach dem Obigen, daß die Kr¨ ummung von c nicht verschwindet. Dann k¨onnen wir den Anstieg als Parameter p verwenden. Die Gleichungen sind dann dy y(p) = p · x(p) + g(p) und = p, dx mit g := b ◦ a−1 . Beachte, daß die Existenz einer regul¨aren L¨osung c (mit nicht verschwindender Kr¨ ummung) das Folgende f¨ ur g bedeutet: dy dy dx dg = −1·x− · = −x dp dp dx dp d2 g dx =− 6= 0 dp2 dp Wenn wir nun die Kurve nach x umparametrisieren (es ist ja x0 (p) 6= 0), so ist die Gleichung die Clairaut’sche Differentialgleichung y(x) = y 0 (x) · x + g(y 0 (x)), c 15. Dezember 2008 [email protected]

33

3.15

3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene

wobei wir die Bedingung, daß x als Parameter gew¨ahlt werden kann bedeutet, daß p0 (x) = y 00 nirgends verschwindet. Wenn wir diese Bedingung nicht verlangen, so erhalten wir als L¨ osungen auch jede Gerade der Schar (dann ist y 0 konstant p). Um die Kurve c zu finden m¨ ussen wir also die Clairaut’sche Differentialgleichung y = x · y 0 + g(y 0 ) mit g 00 (y) 6= 0 l¨ osen. Dies ist eine implizite Differentialgleichung F (x, y, y 0 ) = 0 mit F (x, y, p) := x · p + g(p) − y. Wenn ∂p F 6= 0 w¨ are, dann k¨ onnen wir diese implizite Gleichung nach dem impliziten Funktionensatz in eine explizite verwandeln. Aber wenn wir die Differentialgleichung nach x differenzieren, so erhalten wir d F (x, y(x), y 0 (x)) = ∂1 F (x, y, y 0 ) + ∂2 F (x, y, y 0 ) · y 0 + ∂3 F (x, y, y 0 ) · y 00 , 0= dx wobei ∂1 F (x, y, p) = p, ∂2 F (x, y, p) = −1 und ∂3 F (x, y, p) = x + g 0 (p) ist. Also ist 0 = y 0 − 1 · y 0 + ∂3 F (x, y, y 0 ) · y 00 . Falls y nicht eine Gerade beschreibt, so ist y 00 6= 0 und folglich ∂3 F (x, y, y 0 ) = 0. Die u ¨bliche Methode in dieser Situation ist, y 0 als neue Variable p zu verwenden (wegen y 00 6= 0 ist dies nach dem inversen Funktionensatz m¨oglich). D.h. unsere Gleichung lautet nun F (x(p), y(p), p) = 0 zusammen mit y 0 (p) = p · x0 (p). Differenzieren wir nun F (x(p), y(p), p) nach p so erhalten wir d F (x(p), y(p), p) = ∂1 F (x, y, p) · x0 + ∂2 F (x, y, p) · y 0 + ∂3 F (x, y, p) · 1 dp = (∂1 F + p · ∂2 F ) · x0 + ∂3 F

0=

und falls ∂1 F + p · ∂2 F 6= 0 ein System expliziter Differentialgleichungen ∂3 F x0 = − (∂1 F + p · ∂2 F ) p · ∂3 F . y 0 = p · x0 = − (∂1 F + p · ∂2 F ) Dies f¨ uhrt nun zwar oft zum Ziel, nicht aber in unserer speziellen Situation, denn da ist, wie wir bereits gesehen haben, ∂1 F + p · ∂2 F = 0. Nach dem Obigen ist dann aber 0 = ∂3 F = x + g 0 (p), d.h. x(p) = −g 0 (p) und aus F (x(p), y(p), p) = 0 folgt y(p) = p · x(p) + g(p). Und das System ist mit x(p) = −g 0 (p) y(p) = p · x(p) + g(p) dy somit gel¨ ost, wobei wir nur noch p := (−g 0 )−1 x substituieren m¨ ussen: Wegen dx =p d 2 d d 00 ist ( dx ) y = dx p = 1/ dp x = −1/g (p) 6= 0, d.h. die L¨osungskurve ist regul¨ar und hat Kr¨ ummung ungleich 0. Beachte, daß nat¨ urlich die Geraden y(x) = p · x + g(p) selbst ebenfalls L¨ osungen des Systems sind.

Wir k¨ onnen auch zeigen, daß die Kurve immer auf der selben Seite der Tangente bleibt, denn x(p) = −g 0 (p)

x0 = −g 00

x00 = −g 000

y(p) = p · x(p) + g(p)

y 0 = p · x0 = −p · g 00

y 00 = −g 00 + p · g 000

⇒ h c00 (p) | ν(p) i = x00 · (−p) + y 00 · 1 = p · g 000 − g 00 − p · g 000 = −g 00 6= 0 Insbesonders ist jede Kurve mit nicht verschwindender Kr¨ ummung die Enveloppe ihrer Tangenten. 34

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3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene

3.15

Weiters ist die Evolute die Enveloppe der Normalen. In der Tat ist die Evolute e einer Kurve c durch 1 ν(t) e(t) := c(t) + K(t) gegeben, wobei wir annehmen d¨ urfen, daß c nach der Bogenl¨ange parametrisiert ist. Die Ableitung von e ist dann 1 0 K 0 (t) ν(t) ν (t) − K(t) K(t)2 1 K 0 (t) K 0 (t) = τ (t) + ν(t) = − ν(t) (−K(t)τ (t)) − 2 K(t) K(t) K(t)2

e0 (t) = c0 (t) +

und somit ist e regul¨ ar solange c keinen Scheitel (K 0 (t) = 0) besitzt. Es kann die entsprechende Clairaut’sche Differentialgleichung dazu benutzt werden die Evolute zu berechnen. Sei z.B. die Ellipse durch die Parametrisierung t 7→ (a cos t, b sin t) gegeben (a ≥ b). Der Anstieg des Normalvektors (−a sin t, b cos t)⊥ = (−b cos t, −a sin t) ist p = ab tan t und (zumindest im 1-ten Quadranten wegen sin t = 1 √ tan t und cos t = √1+tan ) 2 1+tan2 t (b2 − a2 )p g(p) = y(p) − x(p) · p = b sin t − p a cos t = p a 2 + b2 p 2 und die L¨ osung der entsprechenden Clairaut’schen Differentialgleichung ist (a2 − b2 )a2 x(p) = p 3 a 2 + b2 p 2 (a2 − b2 )b2 p3 y(p) = p 3 a2 + b2 p2 und somit die Astroide (ax)2/3 + (by)2/3 = (a2 − b2 )2/3 .

Beispiel. Kaustiken.

Wir wollen als Anwendung die Kaustik eines Halbkreises bestimmen, d.h. die Begrenzungslinie jener Punkte im Inneren des Halbkreises, die von den Reflexionen parallel einfallender Lichstrahlen getroffen werden. c 15. Dezember 2008 [email protected]

35

4.1

3. Kr¨ ummung von Kurven in der Ebene

In es sei eit einer der Reflexionspunkte. Ein Tangentialvektor des reflektierten Strahls ist dann ei2t , d.h. ϑ(t) = 2t und der Abstand zum Nullpunkt h(t) := h eit | iei2t i = − sin(t). Somit ist diese Kaustik  3 cos(t) − cos(3t)  h0 (t) , sin(t)3 , c(t) := − 0 eiϑ(t) + h(t) i eiϑ(t) = ϑ (t) 4 eine Hypozykloide mit Radien im Verh¨altnis 1:2, eine sogenannte Nephroide (oder Nierenkurve).

4. Geschlossene Kurven In diesem Abschnitt behandeln wir geschlossene Kurven und ihre Windungs- und Umlaufszahlen. Topologisch gesehen ist eine geschlossene Kurve eine Abbildung c : [a, b] → Rn mit c(a) = c(b). Da diese Darstellung f¨ ur die Differentialgeometrie ungeeignet ist (in den Randpunkten k¨ onnen Ecken oder sogar Spitzen auftreten), definieren wir wie folgt: 4.1 Definition (geschlossene Kurve) Eine parametrisierte geschlossene Kurve c : [a, b] → E ist eine C ∞ -Abbildung, welche c(k) (a) = c(k) (b) f¨ ur alle k ∈ N erf¨ ullt. O.B.d.A. sei |b − a| = 2π. Man kann eine parametrisierte geschlossene Kurve auch als eine (o.B.d.A. 2π-) periodische C ∞ -Abbildung c : R → E auffassen, bzw. als eine Abbildung c : S 1 := {z ∈ C : |z| = 1} → E, welche in folgendem Sinn C ∞ ist: t 7→ c(eit ) ist C ∞ . R? ?? ?? c ?? 

p

E

/ / S1 }} }}c } }~ }

Zwei parametrisierte geschlossene Kurven c1 , c2 , aufgefaßt als Abbildungen S 1 → ¨ quivalent, wenn es einen Diffeomorphismus der Gestalt E, heißen genau dann a ϕ : S 1 → S 1 mit c2 ◦ ϕ = c1 gibt. Aufgefaßt als Abbildungen R → E, heißen ¨ quivalent, wenn es einen Diffeomorphismus ϕ¯ : R → R gibt, sie genau dann a welcher zu einen ebensolchen von S 1 faktorisiert und welcher c2 ◦ ϕ¯ = c1 erf¨ ullt. 36

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4. Geschlossene Kurven

4.5

Diese Faktorisierungs-Eigenschaft von ϕ¯ ist ¨aquivalent mit ϕ(t ¯ + 2π) = ϕ(t) ¯ ± 2π f¨ ur alle t ∈ R, siehe Aufgabe 72.22 . ¨ Eine geometrische geschlossene Kurve ist eine Aquivalenzklasse von parametrisierten geschlossenen Kurven. 4.2 Definition (Windungszahl) Ist c : [0, 2π] → R2 \ {0} eine geometrische geschlossene Kurve, so verstehen wir c(0) unter der Windungszahl von c um den Nullpunkt W0 (c) := c¯(2π)−¯ ∈ Z wobei 2π c 1 c¯ : [0, 2π] → R ein Lift von |c| : [0, 2π] → S ist. Diese Definition macht sogar f¨ ur geschlossene Kurven, die nur stetig sind, Sinn. Nach Bemerkung 3.10 erhalten wir f¨ ur die Windungszahl einer C 1 -Kurve: Z Z 1 1 −ydx + xdy dz W0 (c) = = . 2π c x2 + y 2 2πi c z Ist z0 ∈ C beliebig, c : [0, 2π] → C \ {z0 } eine geschlossene Kurve, dann ist Wz0 (c) := W0 (c − z0 ) die Windungszahl von c um den Punkt z0 . Wie wir uns leicht u onnen, erhalten wir folgendes Lemma: ¨berzeugen k¨ 4.3 Lemma. Die Windungszahl ist unter Bewegungen und Reparametrisierungen invariant. 4.4 Definition (Homotopie) Zwei geschlossene Kurven ( c0 , c1 : R → X ⊆ Rn , 2π-periodisch) heißen homotop in X :⇔ ∃ H : R × I → X stetig, mit H(t, j) = cj (t) f¨ ur alle t ∈ R und j = 0, 1, und die Abbildung t 7→ H(t, s) ist 2π-periodisch f¨ ur alle s ∈ I := [0, 1]. Die Abbildung H heißt dann Homotopie von c0 nach c1 . F¨ ur glatte Kurven darf man o.B.d.A. annehmen, daß H glatt ist. [45, S.57]. Beachte, daß homotop zu sein eine ¨ Aquivalenzrelation ist. Unter H kann man sich eine Familie H(., s) geschlossener Kurven vorstellen, die c0 mit c1 verbindet.

4.5 Lemma (Homotopie-Hochhebungseigenschaft). ¨ Sei p : X → Y eine Uberlagerung, H : I × Z → Y eine stetige Abbildung (d.h. eine Homotopie) und sei f : Z → X eine stetige Abbildung mit p(f (z)) = H(0, z) c 15. Dezember 2008 [email protected]

37

4.6

4. Geschlossene Kurven

˜ : I ×Z → X f¨ ur alle z ∈ Z. Dann existiert eine eindeutig bestimmte Homotopie H ˜ ˜ mit p ◦ H = H und H(0, z) = f (z) f¨ ur alle z ∈ Z.

Z _ (0,id)

 I ×Z

f ˜ H H

/X < p

 /Y

Dies ist nur die durch z ∈ Z parametrisierte Version von 3.8 : H(·, z) entspricht c, ˜ z) entspricht c˜. f (z) entspricht x0 , und H(·, ˜ z) als eindeutigen Lift der Kurve H(·, z) : I → Y Beweis. Wir sind gezwungen, H(·, ˜ mit Anfangswert H(0, z) = f (z) zu definieren. Bleibt nur noch die Stetigkeit in (t, z) nachzuweisen. Sei dazu Ut eine trivialisierende Umgebung von H(t, z) und ˜t jenes Blatt u ˜ z) enth¨alt. Sei δt > 0 so gew¨ahlt, daß f¨ sei U ur ¨ber Ut , welches H(t, 0 0 ˜ 0 , z) ∈ U ˜t . |t − t| ≤ δt einerseits H(t , z) ∈ Ut und somit auch andererseits H(t ¨ Diese δt -Umgebungen bilden eine offene Uberdeckung des kompakten Intervalls I, und besitzen somit eine endliche Teil¨ uberdeckung. Wir finden also 0 = t0 < · · · < tN = 1, sodaß die kompakte Menge H([ti−1 , ti ]×{z}) ganz in einer trivialisierenden Umgebung Ui liegt. Wegen der Stetigkeit von H k¨onnen wir Umgebungen Vi von z in Z w¨ ahlen, mit H([ti−1 , ti ] × Vi ) ⊂ Ui . Sei V eine offene Umgebung von z, welche ˜1 ), als auch in all den endlich vielen Vi enthalten ist. sowohl in f −1 (U ˜ in (t, z) f¨ Wir zeigen nun mit Induktion nach i, daß H ur alle t ∈ [0, ti ] stetig ist. Es ˜ i−1 , z) ∈ U ˜i , also existiert nach Induktionsvoraussetzung eine Umgebung liegt H(t ˜i . Es muß nun aber f¨ V 0 ⊂ V von z mit H({ti−1 } × V 0 ) ⊆ U ur alle z 0 ∈ V 0 die ˜ z 0 ) auf ganz [ti−1 , ti ] in U ˜i bleiben, denn H([ti−1 , ti ] × V ) ⊂ Ui . Also Kurve H(·, −1 0 0 ˜ ˜ ist H(t, z ) = p|U˜ (H(t, z )) f¨ ur alle t ∈ [ti−1 , ti ] und alle z 0 in V 0 und somit ist H i 0 auch auf [ti−1 , ti ] × V stetig. 4.6 Satz (Wie man Homotopie erkennt). F¨ ur zwei geschlossene Kurven c0 und c1 gilt: W0 (c0 ) = W0 (c1 ) ⇔ c0 und c1 sind homotop in R2 \ {0}. Beweis. (⇐) Sei eine Homotopie H von c0 nach c1 gegeben. Z 1 dz W0 (H(., s)) = 2πi H(.,s) z Diese Zahl h¨ angt stetig von s ab, falls die Homotopie glatt ist. Die Abbildung s 7→ W0 (H(., s)) mit W0 (H(., s)) ∈ Z ist also konstant nach dem Zwischenwertsatz. ⇒ W0 (c0 ) = W0 (H(., 0)) = W0 (H(., 1)) = W0 (c1 ). Zwischenbemerkung: Falls H nicht glatt, sondern nur stetig ist, k¨onnen wir das Kurvenintegral nicht verwenden. Mit folgender Rechnung erreichen wir aber das gleiche Ergebnis: ¯ : R2 → R × R, mit Zu jeder stetigen Homotopie H gibt es einen stetigen Lift H ¯ ¯ ¯ H(t,s) ReH(T,s) iImH(t,s) . Dies ist die Homotopie-HochhebungseigenH(t, s) = e =e e ¨ schaft 4.5 der Uberlagerungs-Abbildung exp : R2 → C \ {0}, z 7→ ez . 38

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4.8

4. Geschlossene Kurven ¯ s) ist dann ein Lift von Der Imagin¨ arteil ImH(., ¯

H(.,s) |H(.,s)| ,

denn

¯

eReH(t,s) · eiImH(t,s) H(t, s) ¯ = ReH(t,s) = eiImH(t,s) . ¯ ¯ iImH(t,s) |H(t, s)| |e | · |e | | {z } | {z } ¯ eReH(t,s)

1

Da H(., s) periodisch ist gilt: ¯

¯

H(0, s) = H(2π, s) ⇒ eH(0,s) = eH(2π,s) ¯ s)) − Im(H(2π, ¯ ⇒ Im(H(0, s)) ∈ 2πZ ¯ s)) − Im(H(2π, ¯ ⇒ Im(H(0, s)) ist konstant in s. | {z } 2πW0 (H(.,s))

Von nun an rechnet man wie oben. (⇒) Sei nun W0 (c0 ) = W0 (c1 ) =: W0 ∈ Z. Wir k¨onnen o.B.d.A. annehmen, daß |c0 (t)| = 1 = |c1 (t)| f¨ ur alle t. Denn c und ρ · c sind homotop in R2 \ {0} verm¨oge 1 H(t, s) := (1 − s)c(t) + sρ(t)c(t), wobei ρ : R → R+ gegeben ist durch t 7→ |c(t)| . ¯ s) := (1 − s)¯ Sei c¯j ein Lift von cj . Dann verbindet H(t, c0 (t) + s¯ c1 (t) die Kurven c¯0 ¯ und c¯1 . Somit ist c0 und c1 homotop in R2 \ {0} verm¨oge H(t, s) := eiH(t,s) , wobei die Zwischenkurven t 7→ H(t, s) geschlossen sind, denn ¯ + 2π, s) − H(t, ¯ s) = (1 − s)2πW0 (c0 ) + s2πW0 (c1 ) = 2πW0 H(t ¯

¯

⇒ eiH(t+2π,s)−iH(t,s) = ei2πW0 = 1 ¯

¯

⇒ H(t + 2π, s) = eiH(t+2π,s) = eiH(t,s) = H(t, s). 4.7 Folgerung. Die Windungszahl Wz (c) ist konstant f¨ ur z aus den Zusammenhangskomponenten von R2 \ c(R)

+1 0

+1

+2

-1

0

-1

Beweis. Seien z0 und z1 zwei Punkte in der gleichen Komponente, dann existiert eine Kurve z : R → R2 \ c(R) mit z(j) = zj f¨ ur j = 0, 1. Die Windungszahl von c um den Punkt z(s) ist: Wz(s) (c) = W0 (c−z(s)). Wir definieren nun eine Homotopie zwischen c(t) − z0 und c(t) − z1 : 4.6

H(t, s) := c(t) − z(s) 6= 0 f¨ ur alle t,=s== ⇒ W0 (c − z0 ) = W0 (c − z1 ). 4.8 Satz (Wie man die Windungszahl bestimmt). Sei v ∈ S 1 und c eine geschlossene Kurve in R2 \ {0}, welche den von v erzeugten Halbstrahl H := {rv : r > 0} nur transversal schneidet, d.h. c(t) ∈ H hat die lineare Unabh¨ angigkeit von c0 (t) und v zur Folge. c 15. Dezember 2008 [email protected]

39

4.9 Dann gilt W0 (c) =

4. Geschlossene Kurven P

t∈c−1 H

sgn det(v, c0 (t)).

Man kann also die Windungszahl berechnen, indem man z¨ahlt wie oft und in welcher Richtung die Kurve an einem Halbstrahl vorbeikommt. Aus dem Satz von Sard (siehe 21.17 ) folgt, daß die Kurve fast alle Halbstrahlen transversal schneidet, siehe [8, 9.2.7].

Beweis. O.B.d.A. sei c nach Bogenl¨ange parametrisiert. Die Summe hat endlich viele Summanden. W¨ aren es unendlich viele, so w¨ urde nach dem Satz von BolzanoWeierstraß ein H¨ aufungspunkt der t ∈ c−1 (H) existieren. Wegen der Transversalit¨at gilt aber c(t0 ) ∈ / H f¨ ur t0 6= t nahe t. Falls c−1 (H) = ∅ ist, dann ist W0 (c) = 0 (siehe Aufgabe 72.20 ) und somit der Satz wahr. Andernfalls sei {t1 < · · · < tn } := {t : c c(t) ∈ H}, sei ϕ ein Winkel mit eiϕ = −v und sei c¯ ein Lift von c = |c| . Wir setzen t0 := tn − L(c), dann ist 2πW0 (c) = c¯(tn ) − c¯(t0 ). F¨ ur tk−1 < t < tk liegt c(t) nicht auf H und somit c¯(t) in einem Intervall ]ϕk − π, ϕk + π[ mit einem ϕk ∈ ϕ + 2πZ. (
+π falls c¯(t) < c¯(tk ) f¨ ur t < tk
c¯(tk ) = lim c¯(t) = ϕk + t%tk −π falls c¯(t) > c¯(tk ) f¨ ur t < tk Aber c¯(t) < c¯(tk ) f¨ ur t < tk gilt genau dann, wenn c(t) von 0 aus gesehen rechts von c(tk ) liegt f¨ ur t nahe tk , oder ¨aquivalent falls det(v, c0 (tk )) > 0. Somit ist c¯(tk ) = ϕk + sgn det(v, c0 (tk ))π und analog f¨ ur die untere Grenze c¯(tk−1 ) = ϕk − sgn det(v, c0 (tk−1 ))π. Damit gilt: n X (¯ c(tk ) − c¯(tk−1 )) 2πW0 (c) = c¯(tn ) − c¯(t0 ) = k=1

=π

n  X k=1 n X

= 2π

sgn det(v, c0 (tk )) + sgn det(v, c0 (tk−1 ))



sgn det(v, c0 (tk )).

k=1

Warnung Ab nun werden wir auch f¨ ur geschlossene Kurven voraussetzen, daß sie regul¨ar sind (d.h., daß ihre Ableitungen nirgends verschwinden)! 4.9 Definition (Umlaufszahl und Isotopie) Sei c : [0, 2π] → R2 eine geschlossene regul¨are Kurve. Dann nennen wir W0 (c0 ) =: U (c) die Umlaufzahl der Kurve. 40

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4.10

4. Geschlossene Kurven

2

1

3

Zwei geschlossene Kurven heißen isotop :⇔ ∃ H : R × R → R2 glatt; H(t, j) = cj (t) f¨ ur j = 0, 1 und alle t; H(t + 2π, s) = H(t, s) f¨ ur alle t, s; H(., s) ist regul¨ ar f¨ ur alle s d.h.

∂ ∂t H(t, s)

6= 0 f¨ ur alle t, s.

¨ Auch isotop zu sein ist eine Aquivalenzrelation (beachte, daß wir H(t, .) als konstant in der N¨ ahe von 0 und 1 annehmen k¨onnen und somit die Isotopie zusammenst¨ uckeln k¨ onnen. Ein Kreis ist homotop in R2 aber nicht isotop so verformbar, daß sich seine Umlaufrichtung umdreht. Die folgende Zeichnung zeigt, daß die Regularit¨at dabei essentiell ist.

Eine Sph¨ are hingegen l¨ aßt sich isotop so verformen, daß ihr Inneres nach außen gest¨ ulpt wird [76]. F¨ ur jede Konstante ρ > 0 ist c und ρ · c isotop verm¨oge H(t, s) := ρs c(t). F¨ ur jede eigentliche Bewegung B ist c und B ◦ c isotop, denn f¨ ur B(x) := Rϕ (x) + v sei Bs (x) := Rsϕ (x) + sv, dann ist H(t, s) := Bs (c(t)) eine Isotopie. Weiters ist c isotop zu c ◦ ϕ f¨ ur jeden Parameterwechsel ϕ: In der Tat  orientierungserhaltenden  definiert H(t, s) := c (1 − s)t + sϕ(t) die gesuchte Isotopie, denn ( c(t) f¨ ur j = 0 H(t, j) = (c ◦ ϕ)(t) f¨ ur j = 1   H(t + 2π, s) = c (1 − s)(t + 2π) + s ϕ(t + 2π) | {z } ϕ(t)+2π

    = c (1 − s)t + sϕ(t) + 2π = c (1 − s)t + sϕ(t) = H(t, s)    0 0 ∂ H(t, s) = c (1 − s)t + sϕ(t) (1 − s) + sϕ (t) . ∂t | {z }| {z } 6=0, da c regul¨ ar ist

>0, da ϕ0 (t)>0

4.10 Satz von Whitney-Grauenstein. Zwei geschlossene Kurven c0 , c1 : [0, 2π] → R2 sind genau dann isotop, wenn ihre Umlaufzahlen gleich sind. Beweis. (⇒) Sei H eine Isotopie. Die Umlaufzahl U (H(., s)) = W0 (∂1 H(., s)) c 15. Dezember 2008 [email protected]

41

4.10

4. Geschlossene Kurven

h¨ angt stetig von s ab, ist also konstant. Somit ist U (c1 ) = U (c0 ). (⇐) Die Idee der Umkehrung ist, aus der Gleichheit der Umlaufzahlen die Gleichheit der Windungszahlen der Ableitungen um 0 zu schließen und damit seinerseits mittels 4.6 eine Homotopie zwischen den Ableitungen zu erhalten. Durch Integration dieser Homotopie wollen wir dann eine Isotopie der gegebenen Kurven erhalten. Damit der letzte Schritt funktioniert, m¨ ussen wir einige Normalisierungen vornehmen: O.B.d.A. k¨ onnen wir folgendes annehmen: 2π > 0 isotop sind. 1. Die L¨ ange von cj sei 2π. Geht, da c und ρc f¨ ur ρ := L(c) 2. Die cj seien nach der Bogenl¨ange parametrisiert: Denn c ist isotop zu c ◦ ϕ ist, f¨ ur jeden orientierungserhaltenden Parameterwechsel ϕ. 3. Es sei cj (0) = 0.Dies erreichen wir durch eine Bewegung und die daraus wie in nmb!4.9 konstruierter Isotopie. 4.

Falls U (c0 ) = 0 m¨ ussen wir eine weitere Normalisierung vornehmen: Es ist dann 0 = U (cj ) = W0 (c0j ) =

1 (θj (2π) − θj (0)). 2π

Da somit θj 2π-periodisch ist, existiert ein Minimum von θj an einer Stelle αj ∈ R. O.B.d.A. liegt das Minimum von θj bei 0, denn c und c ◦ ϕ sind isotop, wo der Parameterwechsel ϕ durch die Translation ϕ(t) := t + αj gegeben ist. Es sei θj ein Lift von c0j =

c0j |c0j |

mit θj (0) := 0. Aus W0 (c00 ) = U (c0 ) = U (c1 ) =
W0 (c01 ) folgt mittels 4.6 , daß H1 (t, s) := ei (1−s)θ0 (t)+sθ1 (t) eine Homotopie zwischen c00 und c01 mit Werten in S 1 ist. Durch Integrieren der Homotopie H1 wollen wir eine Homotopie zwischen c0 und c1 , den Stammfunktionen von c00 und c01 erRt halten. Aber t 7→ 0 H1 (τ, s)dτ ist im allgemeinen keine geschlossene Kurve. Wir behaupten: Z 2π Z t t H1 (τ, s)dτ H(t, s) := H1 (τ, s)dτ − 2π 0 0 ist eine Isotopie zwischen c0 und c1 : Z t Z 2π t H1 (τ, j) dτ H(t, j) = H1 (τ, j) dτ − 2π 0 | {z } 0 | {z } c0j (τ )

c0j (τ )

1.HS

= === = cj (t) − cj (0) −

t (cj (2π) − cj (0)) = cj (t), 2π

da cj 2π-periodisch und an den Endpunkten 0 ist. Wir zeigen nun, daß H(., s) 2π-periodisch ist: Z t+2π Z 2π t+2π H(t + 2π, s) = H1 (τ, s)dτ − 2π H1 (τ, s)dτ 0

Z =

0

2π

Z

2π+t

H1 (τ, s)dτ + 0

| 2π

Rt 0

H1 (τ, s)dτ {z }

t −( 2π

Z + 1)

H1 (τ,s)dτ

= H(t, s) 42

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2π

H1 (τ, s)dτ 0

4.12

4. Geschlossene Kurven

Wir m¨ ussen nur mehr die Regularit¨at von H(., s) f¨ ur alle s zeigen. Dazu nehmen ∂ H(t, s) = 0 ist, f¨ ur ein t und ein 0 < s < 1. wir indirekt an, daß ∂t Z 2π ∂ 1 0 = ∂t H(t, s) = H1 (t, s) − 2π H1 (τ, s)dτ ⇒ 0 Z 2π Z 2π = 2π · |H1 (t, s)| = H (τ, s)dτ |H1 (τ, s)|dτ 1 | {z } 0 0 1

R 2π R 2π Wie schauen Funktionen x := H1 (., s) : [0, 2π] → R2 aus, f¨ ur die | 0 x| = 0 |x| R 2π ist? Wir definieren v := 0 x ∈ R2 . Bei der folgenden Rechnung verwenden wir in dieser Reihenfolge: die Linearit¨at des inneren Produkts, die Dreiecksungleichung und die Ungleichung von Cauchy-Schwarz.  Z 2π  Z 2π 2 h x | v i x v = |v| = h v | v i = 0 0 Z 2π Z 2π Z 2π x · |v| = |v|2 . ≤ |h x | v i | ≤ |x| · |v| = 0

0

0

Es gilt also Gleichheit und somit |h x(τ ) | v i | = |x(τ )| · |v|. Das heißt, daß x(τ ) proportional zu v ist, i.e. x(τ ) = ρ(τ ) · v wobei ρ : [0, 2π] → R ist. Es folgt, daß H1 (t, s) f¨ ur laufendes t proportional zu einem fixen Vektor v ist. Da |H1 (t, s)| = 1, ist H1 (t, s) konstant bez¨ uglich t f¨ ur ein gewisses s. Also ist 0 = W0 (H1 (., s)) = W0 (c00 ) = U (c0 ). F¨ ur diesen Fall haben wir aber das Minimum von θj bei 0 gew¨ahlt, d.h. θj (t) ≥ θj (0) f¨ ur alle t und j = 0, 1
Weiters wissen wir, daß t 7→ H1 (t, s) = ei (1−s)θ0 (t)+sθ1 (t) konstant ist. Damit ist auch t 7→ (1 − s)θ0 (t) + sθ1 (t) konstant, und wegen θj (t) ≥ θj (0) sind θ0 und θ1 selbst konstant, also auch c0j . D.h. die cj parametrisieren Geraden. Das steht aber im Widerspruch zur Vorraussetzung, daß die cj geschlossene Kurven sind.

4.11 Definition (totale Kr¨ ummung) Unter der totalen Kr¨ ummung einer nach Bogenl¨ange parametrisierten Kurve RL 2 c : [0, L] → R versteht man 0 K(s)ds. 4.12 Satz. F¨ ur nach Bogenl¨ ange parametrisierte geschlossene Kurven c gilt: Z L K(s)ds = 2πU (c). 0

Beweis. Es sei c nach der Bogenl¨ange parametrisiert. 1 (θ(L) − θ(0)) U (c) =W0 (c0 ) = 2π Z L Z L 1 1 0 = θ (s)ds = K(s)ds, 2π 0 2π 0 wobei θ ein Lift von c0 ist. c 15. Dezember 2008 [email protected]

43

4.13

4. Geschlossene Kurven

4.13 Sei c eine geschlossene Kurve. Ein Doppelpunkt {t, s} heißt regul¨ ar, falls c0 (t) 0 und c (s) linear unabh¨ angig sind. Ein Wendepunkt t heißt regul¨ ar, falls K 0 (t) 6= 0. Unter einer Doppeltangente {t, s} versteht man Parameter t 6= s, sodaß die Tangente an c in t und s u ar, falls K(t)K(s) 6= 0 ¨bereinstimmt. Sie heißt regul¨ ist. Satz von Fabricius-Bjerre-Halpern. Sei c eine geschlossene Kurve, deren Doppelpunkte, Wendepunkte und Doppeltangenten alle regul¨ ar sind, so gilt T+ − T− = D + 21 W . Dabei ist D die Anzahl der Doppelpunkte, W die Anzahl der Wendepunkte, T+ die Anzahl der Doppeltangenten, wo die Kr¨ ummungsmittelpunkte auf der gleichen Seite liegen, und T− die Anzahl der u ¨brigen Doppeltangenten. t6 t5

t3 t1

w2

w1

t4 t2

F¨ ur einen Beweis siehe [8, 9.8.1]. Wir bemerken, daß obige Formel auch f¨ ur Kurven mit Mehrfachpunkten und Mehrfachtangenten gilt, wenn man richtig z¨ahlt.

44

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4. Geschlossene Kurven

5.5

Hier ist D = 3, W = 0, T+ = 3 und T− = 0.

5. Einfach geschlossene Kurven ¨ In diesem Abschnitt behandeln wir geschlossene Kurven ohne Uberschneidungspunkte, sogenannte einfach geschlossene Kurven. Wir rekapitulieren einige S¨atze u ¨ber sie aus der komplexen Analysis und aus der algebraischen Topologie und zeigen den Umlaufsatz von Hopf und den Vierscheitelsatz von Mukhopadahaya. 5.1 Definition (einfach geschlossene Kurve) Eine einfach geschlossene Kurve ist eine geschlossene Kurve c : S 1 → Rn , die injektiv ist. Man kann sie auch als Abbildung c : [0, 2π] → Rn mit c(t1 ) = c(t2 ) ⇒ t1 = t2 oder {t1 , t2 } ⊆ {0, 2π} auffassen, oder als 2π-periodische Abbildung c : R → Rn mit c(t1 ) = c(t2 ) ⇒ t1 − t2 ∈ 2π · Z. Im Zusammenhang mit einfachgeschlossenen, stetigen Kurven, auch Jordan-Kurven genannt, sind folgende tiefliegende S¨atze zu erw¨ahnen: 5.2 Jordanscher Kurvensatz. Sei c : S 1 → C eine einfachgeschlossene stetige Kurve, so besitzt C \ c(S 1 ) genau zwei Zusammenhangskomponenten. Der Rand jeder Komponente ist c(S 1 ). Eine Komponente ist beschr¨ ankt und einfachzusammenh¨ angend (Diese heiß das Innere ¨ von c und die andere Komponente das Außere von c). F¨ ur Punkte z im Inneren ¨ gilt Wz (c) = ±1 f¨ ur solche im Außeren Wz (c) = 0. Ohne Beweis, siehe z.B. [21, Chapt.9, App. 4.2]. 5.3 Riemannscher Abbildungssatz. Falls ein echtes Gebiet G ⊂ C einfachzusammenh¨ angend ist und z0 ∈ G beliebig ist, so existiert genau eine biholomorphe Abbildung h : D := {z ∈ C : |z| < 1} → G mit h(0) = z0 und h0 (0) > 0. Ohne Beweis, siehe z.B. [87, S.221]. Es gilt auch folgende Aussage f¨ ur den Rand: 5.4 Satz von Carath´ eodory. Falls der Rand eines einfachzusammenh¨ angenden Gebietes G durch eine Jordanoomorphismus Kurve parametrisiert werden kann, so erweitert sich h aus 5.3 zu einem Hom¨ ˜ : D → G. h Ohne Beweis, siehe die Originalarbeit [14]. Falls der Rand sogar glatt ist gilt: 5.5 Satz von Painlev´ e und Warschawski. Falls der Rand eines einfachzusammenh¨ angenden Gebiets G durch eine glatte einfachgeschlossene Kurve parametrisiert werden kann, so ist h : D → G aus 5.4 ein Diffeomorphismus. Ohne Beweis. Der erste Beweis(versuch) stammt von [85]. Der erste anerkannte Beweis wurde von [101] gegeben. Eine Verallgemeinerung f¨ ur strikt pseudo-konvexe Gebiete im Cn wurde von [25] gegeben. c 15. Dezember 2008 [email protected]

45

5.6

5. Einfach geschlossene Kurven

Diese S¨ atze k¨ onnen wir nun zu einer sehr starken Formulierung des Jordanschen Kurvensatzes zusammenf¨ ugen:

5.6 Satz von Schoenflies, 1910. Sei c : S 1 → C eine einfachgeschlossene, stetige Kurve, so existiert ein Hom¨ oomorphismus c˜ : C → C mit c˜|S 1 = c.

Beweis. Sei G0 die, wegen des Jordanschen Kurvensatzes 5.2 existierende, beschr¨ ankte einfachzusammenh¨ angende Komponente von C \ c(S 1 ), und sei z0 ∈ G0 . Wegen des Riemannschen Abbildungssatzes 5.3 und des Zusatzes von Carath´eodory 5.4 existiert ein Hom¨oomorphismus H : D → G0 mit H(0) = z0 . 1 1 Somit erhalten wir einen Hom¨ oomorphismus h := H|−1 ∂G0 ◦ c : S → c(S ) = ∂G0 → ˜ : D → D mit ∂D = S 1 . Diesen k¨ onnen wir radial zu einem Hom¨oomorphismus h z ˜ h(z) := |z|h( |z| ) erweitern. So erhalten wir schließlich einen Hom¨oomorphismus ˜ : D → G, welcher c : S 1 → C erweitert und H0 (0) = z0 erf¨ H0 := H ◦ h ullt. F¨ ur die zweite Komponente G∞ k¨onnen wir v¨ollig analog einen Hom¨oomorphismus H∞ : {z ∈ C : |z| ≥ 1} → G∞ erhalten, welcher c : S 1 → C erweitert. Denn, wenn z−z0 wir die Inversion z 7→ z0 + |z−z 2 am Einheitskreis um z0 anwenden, so machen 0| wir aus G∞ wieder die beschr¨ ankte Komponente der am Kreis gespiegelten Kurve. Diese beiden Hom¨ oomorphismen H0 und H∞ passen zusammen und liefern somit einen Hom¨ oomorphismus c˜ : C → C welcher c : S 1 → C erweitert.

Das Analogon zum Jordanschen Kurvensatz im H¨oherdimensionalen ist falsch, wie Alexanders geh¨ ornte Sph¨ are zeigt, [3]. Dabei handelt es sich um eine stetige injektive Abbildung von S 2 → R3 ⊂ S 3 , deren eine Komponente nicht einfachzusammenh¨ angend ist.

46

c 15. Dezember 2008 [email protected]

5. Einfach geschlossene Kurven

5.7

5.7 Umlaufsatz von Hopf, 1939. Ist c eine einfach geschlossene Kurve, so gilt: U (c) = ±1. Beweis. O.B.d.A. sei c Bogenl¨angen parametrisiert. Wir betrachten Γ(t, s) := c(t)−c(s) |c(t)−c(s)| mit dem Definitionsbereich D := {(t, s) : 0 < s < t < L}, wobei c 15. Dezember 2008 [email protected]

47

5.7

5. Einfach geschlossene Kurven

c : [0, L] → R2 eine einfach geschlossene Kurve ist. Dieses Γ l¨aßt sich auf dem Abschluß D stetig fortsetzen. s c’H0L

c’HtL

c HsL - c H0L - €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ È c HsL - c H0L È

D

c’H0L

c HtL - c H0L €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ È c HtL - c H0L È

-c’H0L

t

Auf den Katheten {(t, 0) : t ∈ ]0, L[} und {(L, s) : s ∈ ]0, L[} ist das klar. Auf der Hypothenuse geht das durch folgende Formel: lim Γ(t, s) = c0 (r),

s,t→r

wobei wir wie folgt rechnen: zuerst definieren wir Z 1 c(t) − c(s) γ(t, s) := c0 (s + ρ(t − s))dρ = . t−s 0 R1 Also ist γ : R × R → R2 stetig und lims,t→r γ(t, s) = 0 c0 (r + ρ(r − r))dρ = c0 (r). Weiters ist γ(t, s) γ(t, s) · (t − s) = sgn(t − s) Γ(t, s) = |γ(t, s) · (t − s)| |γ(t, s)| γ(t, s) c0 (r) lim Γ(t, s) = lim = 0 = c0 (r). t,s→r |γ(t, s)| t,s→r |c (r)| t>s

t>s

Auf der Hypothenuse {(t, t) : t ∈ [0, L]} definieren wir Γ(t, t) := c0 (t). F¨ ur die Ecke (L, 0) gilt: L − t0 = t

c ist L-periodisch

======= = lim Γ(L − t0 , s) = ============= = lim Γ(t, s) = 0

t%L s&0

t &0 s&0

γ(−t0 , s) sgn(−t0 − s) = −c0 (0) t ,s&0 |γ(−t0 , s)|

= 0lim Γ(−t0 , s) = 0lim t ,s&0

Also setzen wir Γ(L, 0) := −c0 (0) und haben eine stetige Fortsetzung von Γ auf D erhalten. Wir suchen eine Gerade parallel zur x-Achse, welche c ber¨ uhrt, sodaß c in der oberen Halbebene liegt. Sei 0 ein Punkt, wo c diese Gerade ber¨ uhrt. O.B.d.A. sei
c0 (0) = 10 . Wir sehen, daß Γ eingeschr¨ankt auf die Hypothenuse die Kurve c0 ist, die verm¨ oge Γ homotop zu Γ eingeschr¨ankt auf den Katheten ist. Die Behauptung des Satzes l¨ aßt sich nun leicht nachrechnen: U (c) = W0 (c0 ) = W0 (Γ|Hypothenuse ) = W0 (Γ|Katheten )   1 (π − 0) + (π + π − (0 + π)) = 2π = 2π 2π = 1. Der Umlaufsatz von Hopf l¨ aßt sich auch auf Kurven mit Ecken, das sind st¨ uckweise C ∞ -Kurven, welche in den Eckpunkten keine Spitzen haben, d.h. daß der linksseitige Tangentialvektor und der rechtsseitige nicht entgegengesetzt orientiert sind, 48

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5.8

5. Einfach geschlossene Kurven

erweitern. Sei c auf den Teilintervallen [ti , ti+1 ] glatt, wobei die ti die Ecken von c sind, dann definieren wir die Umlaufzahl von c als: ! U (c) =

1 2π

X

(γi (ti+1 ) − γi (ti )) +

X

i

ϕi

i

0

wobei γi ein Lift von |cc0 | |[ti ,ti+1 ] ist und ϕi ∈ ]−π, +π[ der Winkel zwischen linksseitiger und rechtsseitiger Tangente bei c(ti ) ist.

Π-Γ Γ

Α

Β

Π-Β

Π-Α

Betrachten wir als Beispiel die Umlaufzahl eines Dreiecks 4: U (4) =

1 1 ((π − α) + (π − β) + (π − γ)) = (3π − (α + β + γ)) = 1. 2π 2π

5.8 Lemma Suss. Seien c1 , c2 zwei orientierte Kurvenst¨ ucke mit positiver Kr¨ ummung, gemeinsamer Sehne zwischen den Endpunkten, gemeinsamen Einheitstangentialvektoren in den Endpunkten und gemeinsamer totaler Kr¨ ummung 5 π. Falls c1 , c2 nicht die gleiche Kurve parametrisieren, so existieren Punkte t1 , t2 mit (gleicher Tangentenrichtung und) Kc1 (t1 ) > Kc2 (t2 ).

Beweis. Sei c eine nach der Bogenl¨ange parametrisierte Kurve mit K > 0 und totaler Kr¨ ummung 5 π. Ist c0 (s) = eiθ(s) so gilt 0 < K(s) = dθ(s) ds . Das bedeutet, daß θ streng monoton wachsend und differenzierbar mit einer nicht verschwindenden Ableitung ist. Also k¨ onnen wir die Kurve nach dem Winkel θ der Tangente c 15. Dezember 2008 [email protected]

49

5.10

5. Einfach geschlossene Kurven

umparametrisieren, d.h. c¯(θ(s)) = c(s). Wir erhalten: Z s2 Z c¯(θ2 ) − c¯(θ1 ) = c(s2 ) − c(s1 ) = c0 (s)ds = Z

θ2

= θ1 θ2

Z =

θ1

ds eiθ dθ dθ =

Z

s1 θ2

θ1

s2

eiθ(s) ds

s1 1 eiθ K(s(θ)) dθ

1 dθ, eiθ K(θ) ¯

¯ wo K(θ) die Kr¨ ummung von c¯ ist. Seien θ1 und θ2 die Werte von θ an den Endpunkten. Nach Voraussetzung hat das Intervall [θ1 , θ2 ] h¨ochstens L¨ange π. Da c1 , c2 eine gemeinsame Sehne zwischen den Endpunkten besitzen, ist: Z θ2 0 = (c2 − c1 )|θθ21 = eiθ ( K¯ 21(θ) − K¯ 11(θ) )dθ. θ1

Multiplizieren wir mit e

−iθ1

Z

θ2

0= θ1

und nehmen den Imagin¨arteil davon, so ergibt sich 1 1 − ¯ ) dθ. Im(ei(θ−θ1 ) ) ( ¯ {z } K2 (θ) K1 (θ) | | {z } sin(θ−θ1 )=0 (*)

¯2 = K ¯ 1 , das bedeutet, daß c¯2 = c¯1 ist. Damit Falls (*) konstant 0 ist, dann ist K parametrisieren c1 und c2 die gleiche Kurve. 1 1 1 1 Andernfalls gibt es θ+ , θ− , sodaß: K2 (θ > K1 (θ und K2 (θ < K1 (θ . +) +) −) −) 5.9 Folgerung. [108]. Ein Bogen c im Inneren eines Kreises mit Radius R ber¨ uhre den Kreis in den Endpunkten. Er habe die gleiche totale Kr¨ ummung wie der zugeh¨ orige Kreisbogen und diese sei 5 π. Die Kr¨ ummung in den Randpunkten sei positiv. Dann besitzt die Kr¨ ummung von c ein lokales Minimum im Inneren.

Beweis. Falls ein t mit K(t) 5 0 existiert, sind wir fertig. Also nehmen wir an, daß K u uss folgt, es existiert ein t0 mit ¨berall positiv ist. Aus dem Lemma von S¨ K(t0 ) < R1 . An den Endpunkten t1 , t2 ist die Kr¨ ummung aber = R1 und damit existiert ein Minimum. 5.10 Vierscheitelsatz. [77], [97] Jede einfach geschlossene Kurve besitzt mindestens vier Scheitel. 50

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5.10

5. Einfach geschlossene Kurven

Beweis. Wir betrachten den Umkreis der Kurve, d.h. den Kreis mit kleinstem Radius, welcher die Kurve im Inneren enth¨alt. O.B.d.A. sei c so parametrisiert, daß Wz (c) = +1 f¨ ur alle z im Inneren der Kurve. Behauptung: In jedem Ber¨ uhrpunkt t der Kurve mit dem Umkreis ist K(t) > 0:

z

cHtL

Angenommen K(t) < 0, dann l¨auft die Kurve vom Kreismittelpunkt aus gesehen von links nach rechts. Sei z ein Punkt am Radius, f¨ ur den die Verbindung zum Ber¨ uhrpunkt ganz im Inneren liegt. Dies ergibt einen Widerspruch zur Annahme, daß Wz (c) = +1 ist. (Wende 4.8 auf den Halbstrahl von z zum Ber¨ uhrpunkt an) Behauptung: Auf jedem halben Umkreis liegt ein Ber¨ uhrpunkt.

Angenommen es l¨ age auf einem halben Umkreis kein Ber¨ uhrungspunkt, dann k¨onnten wir den Umkreis so verschieben, daß er die Kurve in keinem Punkt mehr ber¨ uhrt. Damit w¨ are er nicht mehr der Kreis mit kleinstem Radius, der die Kurve im Inneren enth¨ alt. Wir haben also erreicht, daß es mindestens zwei St¨ ucke der Kurve gibt, welche in den Randpunkten den Kreis ber¨ uhren, dort eine positive Kr¨ ummung besitzen und der zugeh¨ orige Bogen h¨ ochstens ein Halbkreis ist. Behauptung: Die totale Kr¨ ummung eines dieser Kurvenst¨ ucke ist gleich der totalen Kr¨ ummung des zugeh¨ origen Kreisbogens: Falls dem nicht so w¨ are, erg¨ anzen wir das Kurvenst¨ uck durch den (an den Endpunkten leicht deformierten) komplement¨aren Kreisbogen und erhalten eine einfach geschlossene Kurve mit U 6= ±1. Das ist ein Widerspruch zum Umlaufsatz 5.7 . c 15. Dezember 2008 [email protected]

51

6.1

5. Einfach geschlossene Kurven

Aus 5.9 folgt, daß die Kr¨ ummung der Kurvenst¨ ucke je ein Minimum im Inneren besitzt. Es gibt also mindestens zwei Minima und damit auch zwei Maxima. Daher hat die Kurve mindestes vier Scheitel.

6. Konvexe Kurven und Eilinien In diesem Abschnitt schr¨ anken wir unsere Betrachtungen schließlich auf solche einfach geschlossene Kurven ein, welche Rand eines konvexen Gebiets sind. Wir behandeln die Eulerparametrisierung nach dem Winkel der Tangente und studieren einige Ungleichungen und Inklusionen, die die Kr¨ ummungskreise involvieren. 6.1 Satz und Definition (Konvexe Kurven). Sei c eine einfach geschlossene Kurve, dann sind ¨ aquivalent: 1. die Kr¨ ummung K hat konstantes Vorzeichen (d.h. K ≥ 0 oder K ≤ 0). RL 2. 0 |K| = 2π. 3. die Kurve c ist global konvex (d.h. c liegt immer ganz auf einer Seite der Tangente). 4. die Kurve c ist der Rand eines konvexen Gebietes (d.h. das Innere ist konvex). ¨ Eine einfach geschlossene Kurve c, welche eine (alle) dieser Aquivalenzbedingungen erf¨ ullt, heißt konvexe Kurve. Beweis. 4.12 5.7 RL RL RL (1 ⇔ 2) Es ist | 0 K| = ==== = |2πU | = === = 2π. Dann gilt (2)⇔ 0 |K| = | 0 K| ⇔ K hat konstantes Vorzeichen, d.h. (1).

(1 ⇒ 3) Sei c nach der Bogenl¨ange parametrisiert und eiθ(t) = c0 (t). Weil K(t) = θ0 (t) nach (1) konstantes Vorzeichen hat, ist der Lift θ monoton und f¨ ur 0 ≤ t1 , t2 ≤ L gilt Z Z t2 Z t2 5.7 (1) L |θ(t2 ) − θ(t1 )| = θ0 (t)dt = === = 2π. K(t)dt ≤ K(t)dt = t1 t1 0 Wir nehmen indirekt an, daß es einen Punkt t0 gibt, sodaß die Kurve c auf beiden Seiten der Tangente an t0 liegt. Sei v := c0 (t0 )⊥ . Seien weiters t− und t+ so gew¨ahlt, daß h c(t− ) | v i minimal bzw. h c(t+ ) | v i maximal ist, dann gilt: h c(t− ) | v i < h c(t0 ) | v i < h c(t+ ) | v i . 52

c 15. Dezember 2008 [email protected]

6.1

6. Konvexe Kurven und Eilinien

c’Ht0 L cHt- L cHt+ L cHt0 L

v

Wir differenzieren h c(t) | v i nach t: d dt h c(t) | v i

= h c0 (t) | v i = 0 f¨ ur t = t− , t+ , da Extremalwerte, und f¨ ur t = t0 , da v = c0 (t0 )⊥ .

Es folgt weiters: ∃ t1 , t2 ∈ {t0 , t− , t+ } mit der Eigenschaft, daß c0 (t1 ) = c0 (t2 ). Also ist θ(t1 ) = θ(t2 ) + 2πk mit k ∈ {0, ±1}, wegen |θ(t1 ) − θ(t2 )| ≤ 2π. Fall k = 0 ist, so gilt: θ(t1 ) = θ(t2 ) ⇒ θ ist konstant auf [t1 , t2 ] ⇒ c0 ist konstant auf [t1 , t2 ] Z t2 ⇒ c(t2 ) − c(t1 ) = c0 (τ )dτ = (t2 − t1 )c0 (t1 ) t1

⇒ h c(t2 ) − c(t1 ) | v i = (t2 − t1 )h c0 (t1 ) | v i = 0 ⇒ h c(t1 ) | v i = h c(t2 ) | v i Dies ist ein Widerspruch zu h c(t− ) | v i < h c(t0 ) | v i < h c(t+ ) | v i . Wenn andernfalls |θ(t1 ) − θ(t2 )| = 2π ist, dann ist der Lift auf den Intervallen [0, t1 ] und [t2 , L] konstant. Da es aber egal ist, ob man mit dem Lift zuerst von t1 nach t2 geht, oder von t2 nach t1 + L k¨onnen wir annehmen, daß der Lift auf dem Intervall [t2 , t1 + L] konstant ist, und somit funktioniert obiges Argument auch in diesem Fall und liefert ebenfalls einen Widerspruch. ΘH2ΠL

ΘH0L t1

t2

L

(3 ⇒ 4) Wir nehmen indirekt an, daß es zwei Punkte a, b im Inneren der Kurve gibt, sodaß ihre Verbindungsstrecke ab die Kurve trifft und damit das Innere verl¨aßt. Sei c 15. Dezember 2008 [email protected]

53

6.2

6. Konvexe Kurven und Eilinien

nun γ eine stetige Kurve im Inneren, welche a und b verbindet. Wir w¨ahlen ein uhrpunkt. minimales t0 mit aγ(t0 ) ∩ Bild(c) 6= ∅. Damit ist aγ(t0 ) Tangente im Ber¨ Aus (3) folgt, daß die Kurve ganz auf einer Seite dieser Tangente liegt. Dies ist ein Widerspruch, denn die Normale durch a zu aγ(t0 ) muß die Kurve in beiden Richtungen treffen, da a im Inneren liegt.

c

a

ΓHt0 L

b

c

(4 ⇒ 1) Wir nehmen o.B.d.A. an, daß 0 im Inneren der Kurve liegt und W0 (c) = +1 ist. Jeder Halbstrahl {t · eiϑ : t ≥ 0} trifft die Kurve genau einmal und zwar transversal, da das Innere konvex ist und die Tangente somit den offenen Kegel mit einen kleinen Ball um 0 als Basis und den Schnittpunkt als Spitze nicht treffen darf, also nicht parallel zum Halbstrahl eiϑ ist.

0

cHt0 L

Es gen¨ ugt zu zeigen, daß die Kr¨ ummung nie negativ ist. Da W0 (c) = +1 ist, gilt nach 4.8 , daß die Kurve die Halbstrahlen von rechts nach links schneidet. W¨are ¨ K < 0, so l¨ age 0 im Außeren des Kr¨ ummungskreises. Das w¨are ein Widerspruch zur Konvexit¨ at des Inneren.

6.2 Definition (Eilinien)

Eine Kurve heißt Eilinie falls sie konvex ist und keine Flachpunkte besitzt, d.h. also K > 0 oder K < 0 u ¨berall gilt. 54

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6.3

6. Konvexe Kurven und Eilinien 6.3 Eulerdarstellung

Sei c eine Eilinie. O.B.d.A. sei 0 im Inneren von c und K > 0 (oder ¨aquivalent W0 (c) = 1). Der Winkel ϑ ∈ [0, 2π] der Tangente kann als Parameter von c verwendet werden (tangentiale Polarkoordinaten), der die urspr¨ ungliche Orientierung induziert. Die Kurve ist die Einh¨ ullende der Tangenten.

Die Hessesche Normalvektorform der Tangente ist         x(ϑ) sin ϑ x sin ϑ =: h(ϑ), = y(ϑ) − cos ϑ y − cos ϑ
ϑ ⊥ wobei h > 0 den Normalabstand zum Nullpunkt mißt und −sin = cos ϑ = −τ
(ϑ) x iθ −ie der nach außen weisende Normalvektor an die Kurve ist. Der Punkt y = c(θ) liegt auf der Tangente, und erf¨ ullt somit die sogenannte Eulerdarstellung der Kurve in komplexer Gestalt: h(ϑ) = h c(ϑ) | − ieiϑ i . Durch Differenzieren erhalten wir (vgl. 3.15 ) h0 (ϑ) = h c0 (ϑ) | − ieiϑ i +h c(ϑ) | − i2 eiϑ i . | {z } =0 da ⊥

Bez¨ uglich des Begleitsbeins (eiϑ , ieiϑ ) = (τ (θ), ν(θ)) stellen wir nun c und c0 in Koordinaten dar: c(ϑ) = h c(ϑ) | eiϑ i eiϑ + h c(ϑ) | ieiϑ i ieiϑ | {z } | {z } h0 (ϑ)

0

00

iϑ

c (ϑ) = h (ϑ)e

−h(ϑ)

0

+ h (ϑ)ie

iϑ

− h0 (ϑ)ieiϑ − h(ϑ)i2 eiϑ = (h(ϑ) + h00 (ϑ))eiϑ .

Wegen W0 (c) = 1 muß h(θ)(h(θ) + h00 (θ)) = det(c(θ), c0 (θ)) > 0 sein wegen 4.8 . Also ist h(θ) + h00 (θ) > 0. 2.7

ds F¨ ur die Kr¨ ummung gilt K = dϑ ==== |c0 (ϑ)| = h(ϑ) + h00 (ϑ) ds . Mit Hilfe von dϑ = ergibt sich (vergleiche auch mit dem Beweis von 5.8 ) die Kr¨ ummung und der Kr¨ ummungsradius R als

K(θ) =

dθ 1 = ds h(θ) + h00 (θ)

und R(θ) = h(θ) + h00 (θ).

c 15. Dezember 2008 [email protected]

55

6.4

6. Konvexe Kurven und Eilinien

h’’HΘL h’HΘL Θ hHΘL

0

Θ

cHΘL

Weiters erhalten wir f¨ ur die L¨ ange der Kurve folgende auf Cauchy zur¨ uckgehende Formel: Z

2π

2π

Z

0

|c (ϑ)|dϑ =

L=

Z

00

2π

h(ϑ) + h (ϑ)dϑ =

0

0

Z

2π

h(ϑ)dϑ + 0 = 0

R(θ) dθ, 0

da h0 eine 2π-periodische Funktion ist. Zur Berechnung der Fl¨ache des Inneren verwenden wir den Gauß’schen Integralsatz f¨ ur die Ebene: Z

Z

A= A

=

dx ∧ dy =

d(x, y) = 1 2

A

1 2

Z xdy − ydx ∂A

2π

Z

(h0 (θ) cos θ + h(θ) sin θ) · (h(θ) + h00 (θ)) sin θ {z } | {z } |

0

y0

x

! 0

00

− (h (θ) sin θ − h(θ) cos θ) (h(θ) + h (θ)) cos θ dθ | {z }| {z } x0

y

1 2

Z

1 = 2

Z

1 = 2

Z

=

2π

h(θ) · (h(θ) + h00 (θ))dθ

0 2π

h2 (θ)dθ +

0

1 2

Z

2π

h · h00 {z }

|0 R h · h0 |2π − 2π (h0 )2 | {z 0 } 0 0

2π

h(θ)2 − h0 (θ)2 dθ.

0

Diese Formel geht auf Blaschke zur¨ uck. Beachte, daß z dz = (x dx + y dy) + i(x dy − y dx) = d(x2 + y 2 )/2 + i(x dy − y dx) ist, und somit A =

1 2

R

R  1 xdy − ydx = Im z dz = 2 ∂A ∂A

1 2i

R ∂A

z dz ist.

6.4 Satz. Die L¨ ange bzw. Fl¨ ache einer Eilinie liegt zwischen jener des gr¨ oßten und jener des kleinsten Kr¨ ummungskreises. 56

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6.6

6. Konvexe Kurven und Eilinien Beweis. F¨ ur den Kr¨ ummungsradius gilt: R(ϑ) = dies in die obigen Gleichungen f¨ ur L und A ein: Z 2π L= R(ϑ) dϑ

= h(ϑ) + h00 (ϑ). Setzen wir

1 K(ϑ)

0

⇒ 2πRmin ≤ L ≤ 2πRmax Z 2π Z 2π hR h(h + h00 ) = 2A = 0

0

Z ⇒Rmin |{z} L

≤ Rmin

≥2πRmin

2π

2π

Z h ≤ 2A ≤ Rmax

0

h ≤ Rmax 0

L |{z}

≤2πRmax

2 2 ⇒πRmin ≤ A ≤ πRmax .

6.5 Satz. Jede Eilinie liegt zwischen jeden gr¨ oßten und jeden kleinsten Kr¨ ummungskreis. Beweis.

c

k

c

Wir zeigen die Aussage u ummungskreis. Analog zeigt man ¨ber den kleinsten Kr¨ die Aussage u oßten Kr¨ ummungskreis und zwar indirekt: Angenommen ¨ber den gr¨ die Eilinie c trifft einen kleinsten Kr¨ ummungskreis im Inneren. Dann k¨onnen wir jenen Kreis k suchen, der seinen Mittelpunkt auf dem Durchmesser des kleinsten Kr¨ ummungskreises hat, welcher die Kurve im gleichen Punkt ber¨ uhrt und der gerade noch im Inneren der Kurve liegt. Nach dem Lemma von S¨ uss 5.8 folgt die Existenz eines Punktes t, f¨ ur den gilt: Kc (t) > Kr¨ ummung des Kreises k > Kr¨ ummung des kleinsten Kr¨ ummungskreises = maxs Kc (s). Das ist ein Widerspruch. 6.6 Isoperimetrische Ungleichung. Sei c eine einfach geschlossene Kurve mit L¨ ange L und Fl¨ ache (des Inneren) A, so gilt L2 ≥ 4πA. Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn c einen Kreis parametrisiert. Beweis. O.B.d.A. sei L = 2π (man wende hierzu eine Streckung an) und sei c : [0, 2π] → C nach der Bogenl¨ ange parametrisiert. Wir bilden die Fourierreihe c(t) = R 2π P∞ 1 ikt −ikt dt. Dann hat c0 die k=−∞ λk e P mit den Koeffizienten λk := 2π 0 c(t)e ikt Fourierreihe k λk ike . Nach der Parsevalschen Gleichung gilt Z 2π X X 1 1= |c0 (t)|2 dt = |λk ik|2 = k 2 |λk |2 . 2π 0 k

k

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57

7.1

6. Konvexe Kurven und Eilinien

Nach dem Gaußschen Integralsatz in der Ebene ist Z Z 2π Z 1 1 (xy 0 − yx0 )dt A= xdy − ydx = 2 dx ∧ dy = 2 0 ∂A A Z 2π  0 1 = 2 Im c(t)c (t)dt = 21 Im (h c0 | c i ) , 0

da c¯c0 = (x − iy)(x0 + iy 0 ) = (xx0 + yy 0 ) + i(xy 0 − yx0 ) f¨ ur c(t) =: x(t) + iy(t). Nach der Parsevalschen Gleichung gilt X X h c0 | c i = 2π λk λk ik = 2π ik|λk |2 . k

k

Also erhalten wir ! A = 12 Im 2π

X

ik|λk |2

k

=π

X

k|λk |2 ≤ π

k

X

k 2 |λk |2 = π,

k

weil k ≤ k 2 f¨ ur alle k. Gleichheit gilt genau dann, wenn |λk | = 6 0 h¨ochstens f¨ ur solche k ist, wo k = k 2 ist, d.h. f¨ ur k = 0, 1. Damit ist die isoperimetrische Ungleichung gezeigt, und Gleichheit gilt genau dann, wenn c(t) = λ0 e0 + λ1 eit , d.h. c einen Kreis parametrisiert. In [24] wird dieser Satz sogar f¨ ur stetige einfach geschlossene Kurven gezeigt. 6.7 Bonnesensche Ungleichung. Sei c eine Eilinie mit Umkreisradius R und Inkreisradius r, so gilt L2 − 4πA ≥ π 2 (R2 − r2 ). F¨ ur einen Beweis siehe [8, 9.9.3].

7. Kurven im h¨ oher Dimensionalen In diesem Abschnitt u ¨bertragen wir die grundlegenden Begriffe wie Einheitstangentialvektor, Einheitsnormalvektor und Kr¨ ummung auf Kurven in mehrdimensionalen Rn ’s. Eine Kurve c : I → Rn kann man nach der Bogenl¨ange parametrisieren, das heißt |c0 (t)| = 1. Daraus folgt durch Differentiation, daß h c0 | c00 i = 0. Wir k¨onnen c00 als die Kraft (Beschleunigung), die gebraucht wird, damit der Punkt (mit Einheitsmasse) auf der Kurve bleibt, interpretieren. 7.1 Definition (Kr¨ ummung und Begleitbein) Die Kr¨ ummung einer nach der Bogenl¨ange parametrisierten Kurve c im Punkt t ist als K(t) := |c00 (t)| ≥ 0 definiert. Falls K(t) 6= 0, dann heißt νt := |c001(t)| c00 (t) der Hauptnormalenvektor von c in t. onnen wir die beiden Vektoren τ (siehe 2.6 ) und ν zu einer positiv orienIm R3 k¨ tierten Orthonormalbasis {τ, ν, β} erg¨anzen, indem wir den Binormalenvektor β als β := τ × ν definieren. Diese Basis heißt das Begleitbein der Kurve. Im Rn+1 gehen wir wie folgt vor: Seien c0 (t), c00 (t), . . . , c(n) (t) linear unabh¨angig. Mittels des Gram-Schmidt’schen Orthogonalisierungsverfahrens l¨aßt sich daraus eine orthonormale Familie ν0 , ν1 , . . . , νn−1 konstruieren. (Dabei geht man induktiv vor, um zu zeigen, daß f¨ ur k linear unabh¨angige Vektoren a1 , a2 , . . . ak ein eindeutig bestimmter Vektor v existiert, welcher normal auf die a1 , a2 , . . . , ak−1 steht, mit ak einen Winkel α (mit |α| < π/2) einschließt und im Erzeugnis der 58

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7.3

7. Kurven im h¨ oher Dimensionalen

a1 , a2 , . . . ak liegt.) Wir erg¨ anzen nun ν0 , ν1 , . . . , νn−1 zu einer positiv orientierten Orthonormalbasis ν0 , ν1 , . . . , νn−1 , νn des Rn+1 . Diese Orthonormalbasis heißt Begleitbein der Kurve. 7.2 Definition (Kr¨ ummungen) Wir wollen nun das Analogon der Frenet’schen Ableitungsgleichungen herleiten. Dazu ben¨ otigen wir die Komponenten h νi0 | νj i von νi0 bzgl. der Basisvektoren νj . Pn F¨ ur jeden Vektor νi0 gilt: νi0 = j=0 h νi0 | νj i νj . Wir differenzieren die Gleichung h νi (s) | νj (s) i = δij nach s und erhalten: h νi0 | νj i + h νi | νj0 i = 0 ⇒ h νi0 | νj i = −h νi | νj0 i . Also ist die Matrix (h νi0 | νj i )i,j schiefsymmetrisch. Da νi ∈ h{c0 , . . . , c(i+1) }i ist, kann man νi auch auf folgende Weise darstellen: νi =

i+1 X

aj · c(j)

j=1

⇒ νi0 =

i+1  X

 D E a0j · c(j) + aj · c(j+1) ∈ {c0 , c00 , . . . , c(i+2) }

j=1

Da νj normal steht auf c0 , c00 , . . . c(j) ist somit h νi0 | νj i = 0 f¨ ur j > i + 1. Außerdem ist offensichtlich h νi0 | νi i = 0 f¨ ur alle i und folglich stehen in der Diagonalen der Matrix von (h νi0 | νj i )i,j 0-en, und nur oberhalb und unterhalb der Diagonalen stehen auf schiefsymmetrische Weise Eintragungen. F¨ ur eine Kurve c heißt h νi0 | νi+1 i =: Ki+1 die (i + 1)-te Kr¨ ummung.   0 K1 0 ... 0  ..  .. −K1 . 0 K2 .      0 .. .. h νi | νj i =  0  . . 0 −K 2     . . . .. ..  .. 0 Kn  0 ... 0 −Kn 0 F¨ ur eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Kurve c in R2 ergibt sich: c00 E D K1 = h ν00 | ν1 i = (c0 )0 00 = |c00 | = K. |c | Wir haben folgendes gezeigt: 7.3 Frenet’sche Ableitungsgleichungen. F¨ ur das Begleitbein (νi )ni=0 einer Kurve c im Rn+1 gilt: νi0 = −Ki · νi−1 + Ki+1 · νi+1 , wobei K0 := 0, Kn+1 := 0, ν−1 := 0 und νn+1 := 0. Beweis. νi0

=

n X j=0

h νi0 | νj i | {z }

=0 f¨ ur |i−j|6=1

·νj = h νi0 | νi+1 i ·νi+1 + h νi0 | νi−1 i ·νi−1 | {z } | {z } =Ki+1

0 h νi−1 | νi i =Ki

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59

7.6

7. Kurven im h¨ oher Dimensionalen

7.4 Lemma. Das Begleitbein und die Kr¨ ummungen sind geometrische Objekte. Beweis. Bleibt dem Leser u ¨berlassen!

7.5 Bemerkung Umgekehrt lassen sich die Ableitungen einer nach der Bogenl¨ange parametrisierten Kurve wie folgt als Linearkombinationen des Begleitbeins schreiben: c0 = ν0 c00 = ν00 = K1 ν1 − 0 c000 = (K1 ν1 )0 = K10 ν1 + K1 ν10 = K10 ν1 + K1 (K2 ν2 − K1 ν0 ) = K1 K2 ν2 + K10 ν1 − K1 2 ν0 . Nach dem Taylorschen Lehrsatz l¨aßt sich eine Kurve c nun wie folgt schreiben: c00 (0) 2 c000 (0) 3 c0 (0) t+ t + t + O(t4 ) 1! 2! 3! K1 (0)ν1 (0) 2 = c(0) + ν0 (0)t + t 2 K1 (0)K2 (0)ν2 (0) + K10 (0)ν1 (0) − (K1 (0))2 ν0 (0) 3 + t + O(t4 ) 6   (K1 (0))2 3 t ν0 (0) = c(0) + t − 6     K1 (0) 2 K10 (0) 3 K1 (0)K2 (0) 3 + t + t ν1 (0) + t ν2 (0) + O(t4 ) 2 6 6

c(t) = c(0) +

7.6 Definition (Torsion) Sei c : R → R3 eine Kurve mit τ := ν0 , ν := ν1 , β := τ × ν = ν2 , dann nennt man K := K1 die Kr¨ ummung und T := K2 die Torsion der Kurve. Die Ableitungsgleichungen lauten dann: τ0 ν0 β0

= = =

+Kν −Kτ

+T β −T ν

Die von ν und β aufgespannte Ebene durch c(0) heißt Normalebene, die von τ und ν aufgespannte heißt Schmiegebene und die von τ und β aufgespannte heißt rektifizierende Ebene. Sind x, y, z die Koordinaten von c bez¨ uglich τ, ν, β im Punkt c(0). Laut 7.5 gilt K 2 (0) 3 t + O(t4 ) 6 K(0) 2 K 0 (0) 3 y(t) = t + t + O(t4 ) 2 6 K(0)T (0) 3 z(t) = t + O(t4 ) 6 Wir betrachten die Projektion der Kurve in die Ebenen des begleitenden Dreibeins: 2 3 Zuerst die Projektion auf die Schmiegebene: Wir erhalten y = K 2 t + O(t ), x = t + O(t3 ) und nach Vernachl¨ assigen der Glieder h¨oherer Ordnung y ≈ x2 K 2 . x(t) = t

60

−

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7.7

7. Kurven im h¨ oher Dimensionalen

F¨ ur die Projektion auf die rektifizierende Ebene erhalten wir x = t + O(t3 ), z = KT 3 4 3 KT 6 t + O(t ) und somit z ≈ x 6 . F¨ ur die Projektion auf die Normalebene erhalten wir y = 3 6 O(t4 ) und somit y 3 ≈ ( K 2 ) t = als 3-dimensionales Bild:

2 9K (KT ) 6 2T 2 62 t

K 2 3 2 t + O(t ),

z=

KT 3 6 t +

9K ≈ z 2 2T 2 . Diese Projektionen ergeben

Β

Ν Τ

7.7 Lemma. Die Kr¨ ummungen Ki (i = 1, . . . , n) und das Begleitbein (ν0 , . . . , νn ) einer nach der Bogenl¨ ange parametrisierten Kurve sind durch folgende Bedingungen eindeutig festgelegt: (j)

c(j+1) = ν0 ≡ K1 · . . . · Kj · νj

mod h{ν0 , . . . , νj−1 i},

Ki > 0 f¨ ur i < n und (ν1 , . . . , νn ) ist eine positiv orientierte Orthonormalbasis. Beweis. Wir wissen bereits (wegen 7.5 ), daß diese Gleichung f¨ ur j = 1, . . . , 3 erf¨ ullt ist. Nehmen wir an, sie ist f¨ ur j erf¨ ullt, d.h. (j) ν0

= K1 · . . . · Kj · νj +

j−1 X

ai νi

(*),

i=0

so m¨ ussen wir die Behauptung nur mehr f¨ ur j + 1 zeigen: Dazu differenzieren wir (*) und erhalten (j+1)

ν0

= (K1 . . . Kj ) · νj0 + (K1 . . . Kj )0 · νj +

j−1 X (a0i · νi + ai · νi0 ) i=0

≡ (K1 . . . Kj )(Kj+1 · νj+1 − Kj · νj−1 ) ≡ K1 . . . Kj Kj+1 · νj+1

mod h{ν0 , . . . , νj }i

mod h{ν0 , . . . , νj }i,

da νi0 f¨ ur i < j und Kj νj−1 im Erzeugnis der ν0 , . . . , νj liegen. c 15. Dezember 2008 [email protected]

61

7.9

7. Kurven im h¨ oher Dimensionalen

Nach Konstruktion ist f¨ ur Also gilt: D 0 < h νj | c(j+1) i = νj

j < n der Winkel zwischen νj und c(j+1) kleiner als π/2. E X ai νi = K1 · . . . · Kj h νj | νj i . K1 · . . . · Kj νj + | {z } i<j 1

Hiermit sind alle Kj > 0 f¨ ur j < n. Nach Konstruktion bilden die νj eine positiv orientierte Orthonormalbasis. Umgekehrt folgt aus c(j+1) ≡ K1 · . . . · Kj νj

mod h{ν0 , . . . , νj−1 }i

und Kj > 0 f¨ ur j < n, daß h{ν0 , . . . , νj−1 }i = h{c0 , . . . , c(j) }i f¨ ur 1 ≤ j < n sowie (j+1) 0 < h νj | c i . Wegen der Orthogonalit¨at ist also νj das Begleitbein. Weiters ist K1 · · · · · Kj der eindeutig bestimmte Koeffizient von νj , in der Entwicklung von (j) ν0 bzgl. der Basis (ν0 , . . . , νn ) und damit Ki die entsprechende Kr¨ ummung. 7.8 Folgerung. 2 Es ist K1n K2n−1 . . . Kn−1 Kn = det(c0 , . . . , c(n+1) ) und insbesonders hat Kn hat das gleiche Vorzeichen wie det(c0 , . . . , c(n+1) ). F¨ ur Raumkurven c : I → R3 ist die 0 00 000 2 Torsion somit durch T = det(c , c , c )/K gegeben.

Beweis. Nach den Regeln f¨ ur das Rechnen mit Determinanten erhalten wir n−1   X det(c0 , . . . , c(n+1) ) = det ν0 , K1 ν1 , . . . , K1 · . . . · Kn νn + ai νi i=0

= K1 n K2 n−1 . . . Kn−1 2 Kn 1 det(ν0 , . . . , νn ) | {z } {z } | >0

=1 da pos. orientiert

7.9 Satz (Die Kr¨ ummungen charakterisieren die Kurve). Seien Ki : I → R glatte Funktionen f¨ ur 1 ≤ i ≤ n mit Ki (t) > 0 f¨ ur i < n. Dann gibt es eine bis auf Bewegungen eindeutig bestimmte Kurve im Rn+1 , welche nach der Bogenl¨ ange parametrisiert genau die Ki als Kr¨ ummungen besitzt. Die Devise ist also: “Sag mir, wie Du Dich kr¨ ummst und windest, und ich sag Dir wer Du bist”! Beweis. O.B.d.A. sei 0 ∈ I. Wir behaupten: Es existiert genau eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Kurve mit gegebenen Kr¨ ummungen und den Anfangsbedingungen: c(0) = 0 und mit der Standardbasis e0 , . . . , en als Begleitbein bei 0. Nach den Frenet’schen Ableitungsgleichungen muß νj0 = Kj+1 · νj+1 − Kj · νj−1 f¨ ur j = 0, . . . , n und νj (0) = ej sein. Dies ist ein lineares, homogenes Differentialgleichungssystem mit (n + 1)2 eindimensionalen Gleichungen und entsprechenden Anfangsbedingungen. F¨ ur ein solches System existiert eine eindeutige L¨osung (ν0 , . . . , νn ), f¨ ur die wir zeigen werden, daß dieses das Begleitbein einer Kurve ist. Wir behaupten, daß die νi f¨ ur jeden Zeitpunkt orthonormiert sind: Wir definieren gij := h νi | νj i : I → R. Dann ist gij (0) = δij . Mit 0 gij = h νi0 | νj i + h νi | νj0 i = Ki+1 gi+1,j − Ki gi−1,j + Kj+1 gi,j+1 − Kj gi,j−1

erhalten wir abermals ein lineares, homogenes Differentialgleichungssystem mit (n + 1)2 eindimensionalen Gleichungen und entsprechenden Anfangsbedingungen 62

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8.1

7. Kurven im h¨ oher Dimensionalen

gij (0) = δij . Auch hier muß es eine eindeutige L¨osung gij geben. Wir sehen andererseits, daß δij eine L¨ osung ist: Ki+1 δi+1,j − Ki δi−1,j + Kj+1 δi,j+1 − Kj δi,j−1 =  0  = −Ki + Kj+1 = 0  Ki+1 − Kj = 0

 f¨ ur |i − j| = 6 1 0 f¨ ur i = j + 1 = δi,j  f¨ ur j = i + 1

Also ist gij = δij , d.h. die νi sind orthonormiert. Sie sind auch positiv orientiert, denn det(ν0 , . . . , νn )(0) = 1 und det(ν0 , . . . , νn )(t) = ±1 f¨ ur alle t. Wegen des Zwischenwertsatzes folgt, det(ν0 , . . . , νn )(t) = 1 f¨ ur alle t. Es gibt h¨ochstens eine Rt Kurve c, welche die νi als Begleitbein hat und c(0) = 0 erf¨ ullt, n¨amlich: c(t) := 0 ν0 , denn c0 muß gleich ν0 sein. Es ist |c0 | = |ν0 | = 1, also ist c nach der Bogenl¨ange (j) parametrisiert. Durch Differenzieren erhalten wir c(j+1) (t) = ν0 und wegen der Differentialgleichung f¨ ur die νj gilt (j)

ν0 ≡ K1 · . . . · Kj νj

mod h{ν0 , . . . , νj−1 }i

f¨ ur j < n wie im Beweis von 7.7 gezeigt wurde. Also ist auch c(j+1) (t) ≡ K1 · . . . · Kj νj

mod h{ν0 , . . . , νj−1 }i

und damit sind die Kj die Kr¨ ummungen von c und die νi das Begleitbein nach Lemma 7.7 . Jede andere Kurve mit diesen Kr¨ ummungen l¨aßt sich durch eine eindeutig bestimmte Bewegung in eine Kurve mit (denselben Kr¨ ummungen und) obigen Anfangsbedingungen transformieren. Diese ist nach dem bisher Gesagten eindeutig bestimmt, also auch jene.

8. Exkurs u ¨ ber Knoten Dieser Abschnitt dient dazu, einen ersten Einblick in die Knotentheorie (ein Teilgebiet der algebraischen Topologie) zu vermitteln.

8.1 Definition (¨ aquivalente Knoten) Eine (geometrische) einfach geschlossene Kurve im R3 heißt Knoten. Wir wollen nun beschreiben, was es heißt, daß zwei Knoten im wesentlichen gleich sind. Dazu betrachten wir zwei parametrisierte einfach geschlossene Kurven cj : S 1 → R3 f¨ ur j ∈ {0, 1}. Wir nennen sie isotop (in Analogie zu diesem Begriff f¨ ur geschlossene Kurven) :⇔ eine Isotopie h existiert, d.h. eine glatte Abbildung h : S 1 × [0, 1] → R3 mit h(t, j) = cj (t) f¨ ur j ∈ {0, 1} wo h(., s) eine einfach geschlossene Kurve f¨ ur jedes s ∈ [0, 1] ist. Das scheint aber noch nicht die gew¨ unschte Beschreibung zu sein, denn wenn wir c0 in c1 u uhren, so m¨ ussen wir auch die umgebende “Luft” ein wenig ¨berf¨ mitbewegen. Also definieren wir: c0 und c1 heißen diffeotop :⇔ eine Diffeotopie H existiert, d.h. eine Abbildung H : R3 ×[0, 1] → R3 mit H(c0 (t), 1) = c1 (t) f¨ ur alle t ∈ S 1 , H(., 0) = idR3 wo H(., s) : R3 → R3 ein Diffeomorphismus f¨ ur alle s ∈ [0, 1] ist. c 15. Dezember 2008 [email protected]

63

8.2

¨ ber Knoten 8. Exkurs u

Es gilt der Satz, daß sich jede Isotopie h zu einer Diffeotopie H erweitern l¨aßt, d.h. h(t, s) = H(h(t, 0), s). Die Definition der Isotopie macht auch f¨ ur geometrische Kurven [cj ], die ja bereits durch ihr Bild Kj ⊂ R3 festgelegt sind, Sinn. Man braucht nur die erste Bedingung durch H(K0 , 1) = K1 ersetzen. Die n¨ achste Frage, die sich stellt, ist, ob nicht schon die Angabe eines Endwertes, d.h. eines Diffeomorphismus H1 : R3 → R3 ausreicht, um die Existenz einer Diffeotopie H mit H(., 1) = H1 zu gew¨ahrleisten. Allgemein kann das nicht stimmen, denn eine Diffeotopie verbindet die Identit¨at stetig mit dem Endwert. Die Identit¨ at ist orientierungsbewahrend, also muß es auch der Endwert sein. Unter dieser Voraussetzung gilt allerdings:

8.2 Satz. [26] Jeder die Orientierung erhaltende Diffeomorphismus l¨ aßt sich zu einer Diffeotopie erweitern. ¨ quivalent bezeichWir k¨ onnen also abschließend zwei geometrische Knoten als a nen, wenn es einen Diffeomorphismus (oder ¨aquivalent – wie man zeigen kann – einen Hom¨ oomorphismus) H : R3 → R3 gibt, der einen Knoten auf den anderen abbildet. ¨ Jede Aquivalenzklasse von geometrischen Knoten zerf¨allt dann in ein oder zwei Diffeotopieklassen, je nachdem ob ein (jeder) Repr¨asentant diffeotop zu seinem Spiegelbild ist oder nicht. Ein Knoten heißt amphicherial, wenn er zu seinem Spiegelbild diffeotop ist. ¨ ¨ Jede Aquivalenzklasse von orientierten geometrischen Knoten zerf¨allt in zwei Aquivalenzklassen bez¨ uglich der Relation “orientiert-¨aquivalent” (d.h. der Diffeomorphismus respektiert die Orientierung der Knoten), je nachdem ob ein (jeder) Repr¨asentant zum umgekehrt durchlaufenen Knoten orientiert-¨aquivalent ist. Ein orientierter Knoten heißt invertierbar, wenn ersteres gilt. Der erste nicht invertierbare Knoten wurde von [95] gefunden.

                     ??  ?? ?? ?

?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?    

Eine Tabelle von Beispielen mit den verschiedenen Eigenschaften ist die folgende: 64

c 15. Dezember 2008 [email protected]

8.3

¨ ber Knoten 8. Exkurs u invertierbar

nicht invertierbar

amphicheral

nicht amphicheral

Damit ist nun zwar theoretisch gekl¨art, wann zwei Knoten als gleich anzusehen sind, aber wie man das in der Praxis feststellt, wissen wir noch nicht. Eine Idee dazu ist, daß ein Knoten K gerade durch das beschrieben wird, was er nicht ist, d.h. durch sein Komplement R3 \ K. Dies wurde allerdings erst 1989 bewiesen: 8.3 Satz. [32] Zwei Knoten sind genau dann ¨ aquivalent, wenn ihre Komplemente hom¨ oomorph sind. Eine M¨ oglichkeit um festzustellen, ob zwei Komplemente hom¨oomorph sind, ist die Homotopiegruppe π(R3 \ K), die man auch die Knotengruppe von K nennt, zu vergleichen. Ein englisches Gedicht faßt die wichtigsten Resultate u ¨ber die Knotengruppe zusammen: A knot and another knot may not be the same, although the knot group of the knot and the others knot’s knot group differ not. But if the knot group of a knot is the knot group of the not knotted knot then the knot is not knotted. D.h. zwei Knoten k¨ onnen die gleiche Knotengruppe besitzen, aber nicht ¨aquivalent sein. Ein Beispiel ist:

Falls die Knotengruppe eines Knotens die von S 1 ⊂ R2 ⊂ R3 , also gleich Z ist, so ist der Knoten aufkn¨ upfbar, d.h. ¨aquivalent zu S 1 . Dies wurde von [20] unter der Ben¨ utzung eines Lemmas, welches erst in [86] bewiesen wurde, gezeigt. c 15. Dezember 2008 [email protected]

65

8.3

¨ ber Knoten 8. Exkurs u

Somit verbleibt das Problem, die Knotengruppe eines Knotens zu berechnen. Dies geschieht z.B. mittels der Wirtinger Darstellung. Wir wollen das am Beispiel des einfachsten nicht trivialen Knotens, des Dreiblattes, durchf¨ uhren. Wir stellen uns dazu den Knoten als Vorhangschiene vor, an der ein nach unten unbegrenzter Vorhang h¨ angt. Sei x0 ein fixer Punkt oberhalb des Knotens. Wir w¨ ahlen f¨ ur jeden Teil des Knotens, der zwischen zwei Durchstoßpunkten mit dem Vorhang liegt, eine Schlinge cj durch x0 , welche im Uhrzeigersinn einmal um diesen Teil l¨ auft, wenn man vom Knoten aus in Fahrtrichtung schaut. Sei nun ein beliebiger Repr¨ asentant eines Elements der Knotengruppe gegeben, d.h. eine geschlossene Kurve c im R3 \ K durch x0 . Wir k¨onnen die Kurve so homotop verformen, daß sie den Vorhang nur transversal schneidet. Dann k¨onnen wir sie homotop im R3 \ K weiter verformen, indem wir die Teile, die in den durch den Vorhang entstehenden Kammern liegen, nach oben zu x0 heben, die Durchstoßpunkte aber gleich lassen. Nun verschieben wir die Durchstoßpunkte l¨angs der W¨ande der vom Vorhang erzeugten Kammern, sodaß sie schließlich mit jenen der cj f¨ ur j = 1, 2, 3 u onnen wir aber die F¨aden der Kurve c, die von x0 zu den ¨bereinstimmen. Dann k¨ Durchstoßpunkten laufen, mit den entsprechenden Teilen der cj zur Deckung bringen, und sehen somit, daß sich c zu einer Aneinanderh¨angung der Kurven cj sowie dem umgekehrt durchlaufenen cj homotop verformen l¨aßt. Die Knotengruppe wird also von den cj erzeugt. Sie ist somit ein Quotient der freien Gruppe mit Erzeugern {c1 , c2 , c3 }. Wir m¨ ussen noch die Relationen finden, die wir aus der freien Gruppe herausfaktorisieren m¨ ussen, um die Knotengruppe zu erhalten. Dazu betrachten wir einen kleinen Kreis, welcher waagrecht um eine Kante der Kammern des Vorhangs l¨auft, welche so entstanden ist, daß der Knoten den Vorhang so trifft wie z.B. wir die Schlinge c1 . Dieser Kreis ist klarerweise homotop zur konstanten Kurve x0 , also repr¨ asentiert er das neutrale Element e in der Knotengruppe. Seine Beschreibung −1 mittels der kleinen Schlingen cj lautet aber c1 c−1 2 c1 c3 . Wir haben also sicher die −1 Relation c1 c−1 2 c1 c3 ∼ e, sowie jene, die durch zyklisches Permutieren der Indizes 1, 2, 3 entstehen. Diese erzeugen schon alle Relationen, denn damit eine beliebige geschlossene Kurve c homotop zur Konstanten ist, muß sie sich so verformen lassen, daß sie den Vorhang nicht mehr trifft. Dazu muß man die Schnittpunkte zur Deckung bringen. Nur wenn man dabei eine Kante u ¨berschreitet ¨andert sich die Darstellung als Wort (endliche Folge) der cj und c−1 andert sich der j , und zwar ¨ entsprechende Teil, der durch einen Durchstoßpunkt ck beschrieben wird, genau nach obiger Relation. Zusammenfassend haben wir also gesehen, daß unsere Knotengruppe G als Erzeu−1 −1 −1 gende c1 , c2 , c3 besitzt und die Relationen durch c1 c−1 2 c1 c3 ∼ e, c2 c3 c2 c1 ∼ e −1 −1 und c3 c1 c3 c2 ∼ e erzeugt werden. Man schreibt * G=

c1 , c2 , c3 :

−1 c1 c−1 2 c1 c3 ∼e, −1 c c2 c−1 3 2 c1 ∼e, −1 c3 c−1 1 c3 c2 ∼e

+

Nun m¨ ussen wir zeigen, daß G nicht die triviale Gruppe ist. Im allgemeinen ist das ein schwieriges Problem, da das Wortproblem f¨ ur endlich erzeugte Gruppen nicht algorithmisch l¨ osbar ist. Aus der 1.ten Relation entnehmen wir, daß c3 ∼ c1 c2 c−1 1 . Durch Einsetzen von c3 erhalten wir D E −1 −1 −1 −1 −1 G = c1 , c2 : c2 c1 c−1 c c c ∼ e, c c c c c c ∼ e . 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 66

c 15. Dezember 2008 [email protected]

8.3

¨ ber Knoten 8. Exkurs u Nun gilt aber −1 −1 c2 c1 c−1 2 c1 c2 c1 ∼ e ⇔

⇔

c2 c1 c2 ∼ c−1 1 c2 c1 c2 c1 c2 c1 c2 ∼ c2 c1 c2

und die gleiche Relation ergibt sich auch durch Umformen der zweiten Relation. Setzen wir x := c1 c2 c1 und y := c1 c2 , so ist c1 = y −1 x und c2 = x−1 y 2 , also erzeugt auch x gemeinsam mit y diese Gruppe und die Relation u ¨bersetzt sich in x ∼ x−1 y 3 . Somit gilt G = hx, y : x2 ∼ y 3 i. Diese Gruppe ist nicht Z, da wir einen surjektiven Gruppenhomomorphismus f : G → S3 in die Permutationsgruppe S3 von drei Elementen angeben k¨onnen: f (x) := (12), f (y) = (123). Dann gilt f (x)2 = (12)2 = (1) = (123)3 = f (y)3 , also ist f ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus. Und da (123) und (12) ganz S3 erzeugen, ist er auch surjektiv. Somit kann G nicht Abelsch und damit nicht isomorph zu Z sein, denn (123)(12) = (23) 6= (13) = (12)(123). Wir bemerken allerdings, daß die Abelisierung G/G0 der Knotengruppe, d.h. wenn man zur Knotengruppe noch die Relationen ci cj ∼ cj ci hinzunimmt, isomorph zu −1 Z ist, denn die erzeugenden Relationen wie z.B. c1 c−1 ¨bersetzen sich 2 c1 c3 ∼ e u 0 dann in c2 ∼ c3 . Also ist G/G = hc1 , c2 , c3 : c1 = c2 = c3 i = hc1 i ∼ = Z. Daß die Knotengruppe G jedes Knotens als Abelisierung G/G0 ∼ = Z hat, stammt von [86]. Da die Knotengruppe die Knoten nicht charakterisiert, hat man eine ganze Reihe anderer Invarianten eingef¨ uhrt. Wir wollen hier nur mehr auf eine eingehen. Und zwar sucht man die Fl¨ ache kleinsten Geschlechts (siehe 9 ), welche den Knoten als Rand besitzt. Diese Fl¨ ache heißt Seifertfl¨ ache. Ihr Geschlecht ist dann die gew¨ unschte Invariante. Falls ein Knoten alternierend ist, so kann man diese Fl¨ache minimalen Geschlechts wie folgt erhalten. Man denkt sich eine Haut in Form einer großen Kreisscheibe in der xy-Ebene, die ein Loch hat, in welchem der Knoten liegt. Nun macht man das Loch kleiner, bis man auf den Knoten trifft und zieht die Haut dann entlang des Knotens, bis man sie in der Mitte verbinden kann. Dann zieht man den Rand der Scheibe zu einem Punkt unterhalb des Knotens zusammen. Die Haut bildet nun die Seifertfl¨ ache. Dabei heißt ein Knoten alternierend, wenn er eine Darstellung besitzt, bei der man abwechselnd die kreuzenden Teile u ¨ber- und unterschreitet, wenn man den Knoten entlanggeht. Der erste nicht alternierende Knoten wurde von [4] gefunden.

Wir wollen nun die Seifertfl¨ ache des Dreiblatts zerlegen.

Wir zerschneiden sie an den senkrechten nach unten weisenden Strecken in den ¨ Uberkreuzungspunkten und markieren diese, wo die Fl¨ache wieder zusammengeklebt werden muß, mit a0 , a1 und a2 . Der Knoten selber durchl¨auft die St¨ ucke c2 , b0 , c1 , b2 , c0 und b1 . c 15. Dezember 2008 [email protected]

67

8.3

¨ ber Knoten 8. Exkurs u

b2

a1 c2

b0

a0

c0

c1 a2

b1

So erhalten wir schließlich einen Torus, welcher ein Loch besitzt, also eine Fl¨ache mit Geschlecht 1. Die Seifertfl¨ ache des trivialen Knotens aber ist eine Scheibe, d.h. eine Sph¨ are mit Loch, hat also Geschlecht 0. Somit haben wir erneut gesehen, daß das Dreiblatt ein nicht trivialer Knoten ist. a1

c2

c0

a2

a0

a2

68

b1

c1

b0

b2

a1

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II.

Mannigfaltigkeiten

In diesem Kapitel f¨ uhren wir den Begriff der Mannigfaltigkeit ein. Wir beginnen dabei spielerisch mit zweidimensionalen Teilmannigfaltigkeiten des R3 , sogenannten Fl¨achen, verallgemeinern diese dann im zweiten Abschnitt zu Teilmannigfaltigkeiten des Rn , und pr¨ azisieren im dritten Abschnitt die spielerischen Beispiele vom Anfang. Nach einem Einschub u ¨ber die Homotopietheorie von h¨oher dimensionalen Sph¨ aren behandeln wir noch die klassischen Beispiele von Mannigfaltigkeiten, die eine glatte Gruppenstruktur tragen, also von sogenannten Lie-Gruppen. Nach Einf¨ uhrung des Begriffs der glatten Abbildung haben wir gen¨ ugend Einsicht, um uns abstrakten Mannigfaltigkeiten zuzuwenden, damit meine ich solche Mannigfaltigkeiten die nicht (von vornherein) in einem umgebenden Euklidischen Raum sitzen. Nach Produkten und disjunkten Vereinigungen von Mannigfaltigkeiten gehen wir dann noch auf die Reichhaltigkeit der glatten Funktionen auf ihnen ein, insbesonders betrifft das Trennungsaxiome wie etwa jenes von Hausdorff, Lokalkompaktheit und vor allem Parakompaktheit und die damit a¨quivalente Existenz von Partitionen der Eins, die das zentrale Hilfsmittel darstellen um von lokalen Konstruktionen (also z.B. solchen aus der Analysis) zu globalen u ¨bergehen zu k¨onnen.

9. Beispiele zweidimensionaler Fl¨ achen Wir wollen uns in diesem Abschnitt vorerst spielerisch mit zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten vertraut machen. Das sind Objekte, die lokal, bis auf Verbiegungen und Dehnungen, wie eine Scheibe im R2 aussehen.

9.1 Beispiele orientierbarer Fl¨ achen

Sph¨are c 15. Dezember 2008 [email protected]

69

9.1

9. Beispiele zweidimensionaler Fl¨ achen a

a

a

Zylinder a

b

b

a

a

Torus

Orientierbare kompakte Fl¨achen vom Geschlecht 2 und 3 70

c 15. Dezember 2008 [email protected]

b

9. Beispiele zweidimensionaler Fl¨ achen

9.3

Orientierbare kompakte Fl¨ache vom Geschlecht 3 9.2 Klassifikationssatz f¨ ur orientierbare Fl¨ achen. Jede zweidimensionale, kompakte, zusammenh¨ angende Fl¨ ache im R3 ist hom¨ oomorph zu einer Fl¨ ache von Geschlecht g, d.h. entsteht aus der Sph¨ are durch Ankleben von g Zylinder. Ohne Beweis, siehe z.B. [45, 9.3.5]. Einen Indizienbeweis geben wir in 9.4 . 9.3 Beispiele nicht-orientierbarer Fl¨ achen Beispiele von zweidimensionalen, zusammenh¨angenden, nicht orientierbaren Fl¨achen: a

a

M¨obiusband c 15. Dezember 2008 [email protected]

71

9.3

9. Beispiele zweidimensionaler Fl¨ achen

Schneidet man das M¨ obiusband der L¨ange nach auf, so erh¨alt man ein zweifach verdrehtes Band, das man im R4 aufdrehen kann (siehe 11.10 ).

a1

a2

a1 a2

a2

a1

a2

2-fach verdrehtes M¨obiusband

Beispiele von zweidimensionalen, zusammenh¨angenden, kompakten, nicht orientierbaren Fl¨ achen:

a

b

b

a

b

a

Klein’sche Flasche

Das nennt man die Klein’sche Flasche, die man im R4 ohne Doppelpunkte realisieren kann und die auch durch Verkleben zweier M¨obiusb¨ander entsteht. 72

c 15. Dezember 2008 [email protected]

9.3

9. Beispiele zweidimensionaler Fl¨ achen

Klein’sche Flasche zerschnitten

Ein anderes Beispiel ist die projektive Ebene P2 , dies ist die Menge aller Geraden durch den Nullpunkt im R3 . Man kann die projektive Ebene aus der Sph¨are auf folgende Weise erhalten: Die antipodalen Punkte auf der Sph¨are erzeugen die gleiche Gerade und m¨ ussen miteinander identifiziert werden. Dazu kleben wir die n¨ordliche Hemisph¨ are antipodal auf die s¨ udliche. Wir m¨ ussen noch die gegen¨ uberliegenden ¨ Punkte am Aquator miteinander identifizieren. Hierzu verformen wir die Halbkugel zu einer Scheibe, von der wir auf beiden Seiten einen Halbkreis ausschneiden ¨ und erhalten nach Verkleben der antipodalen Punkte am Aquator ein M¨obiusband und eine Scheibe. Nun muß man nur mehr den Rand der Scheibe mit dem des M¨obiusbandes verkleben.

a1 b1 a2

b2

a1

b2

a2

a2

a2

a1

b1 b1 b2

Projektive Ebene

Man kann sich das auf drei Arten vorstellen:

1) Man zeichnet das M¨ obiusband und klebt die Scheibe (mit Selbstdurchdringung) an.

2) Man zeichnet die Scheibe und klebt das M¨obiusband (mit Selbstdurchdringung) an. Das nennt man auch die Kreuzhaube. c 15. Dezember 2008 [email protected]

73

9.3

9. Beispiele zweidimensionaler Fl¨ achen

b1 a1

a3 a1 b1

a3

b2

a2

a3

a1

b2 b2

a2

b1 a2

Kreuzhaube

3) Auch hier kleben wir an ein M¨obiusband (dreifach verdreht und selbstdurchdrungen) eine Scheibe. Das nennt man auch Boy’s Surface.

74

c 15. Dezember 2008 [email protected]

9.3

9. Beispiele zweidimensionaler Fl¨ achen

e3

e1

e2

e3

e2

e1

e3

e3

e1

e2 e2

e1

Konstruktion von Boys Fl¨ache c 15. Dezember 2008 [email protected]

75

10.1

9. Beispiele zweidimensionaler Fl¨ achen

9.4 Klassifikationssatz nicht-orientierbarer Fl¨ achen. Jede nicht orientierbare, zweidimensionale, zusammenh¨ angende, kompakte Fl¨ ache entsteht aus einer Sph¨ are durch Ankleben von endlich vielen (≥ 1) Kreuzhauben. Die Anzahl der angeklebten Kreuzhauben heißt Geschlecht der Fl¨ ache. Ohne Beweis, siehe z.B. [45, 9.3.10]. Ein Indizienbeweis daf¨ ur und f¨ ur 9.2 geht mittels Chirurgie wie folgt: Man sucht eine einfach geschlossene Kurve auf der Fl¨ache M , welche M nicht in zwei Teile zerschneidet, und verbreitert diese Kurve zu einem Band, also einem am Ende verklebten Rechteck. Je nachdem ob dieses verdreht verklebt ist oder nicht, ist es ein M¨obiusband oder ein Zylinder. Wir entfernen diese Band und kleben an den/die beiden Schnittkreise eine/zwei Kreisscheiben und erhalten eine neue Fl¨ ache M 0 . Umgekehrt entsteht also M aus M 0 durch Ankleben eines Kreuzhaube oder eines Henkels. Wir fahren mit diesem Prozeß fort, bis die entstandene Fl¨ ache l¨ angs jeder einfach geschlossenen Kurve in zwei Teil zerf¨allt. Man u ¨berzeugt sich, daß diese dann hom¨oomorph zur Sph¨are ist, denn jede solche Schnittlinie l¨ aßt sich zu einem Zylinder erweitern und klebt man an die beiden Restteile Scheiben, so haben die kleineren entstandenen Fl¨achen die selbe Eigenschaft. Also entsteht M aus der Sph¨ are durch Ankleben von Henkeln und Kreuzhauben. Allerdings ist auch nicht offensichtlich, daß obiger Prozeß wirklich nach endlich vielen Schritten abbricht. Weiters bleibt noch zu zeigen, daß es gen¨ ugt nur ausschließlich Henkel oder ausschließlich Kreuzhauben anzukleben. Dazu gen¨ ugt es zu zeigen, daß wenn man in einen Torus ein Loch schneidet und daran ein M¨obiusband klebt, so ist das das Gleiche, wie wenn man in eine Klein’sche Flasche ein Loch schneidet und daran ein M¨ obiusband klebt. Dies zeigt folgende Zeichnung:

Umwandlung von Torus in Klein’sche Flasche

10. Teilmannigfaltigkeiten des Rn In diesem Abschnitt wollen wir Mannigfaltigkeiten als hinreichend “regul¨are” Teilmengen des Rn definieren. Wir werden sehen, daß diese auf verschiedenste Weise beschrieben werden k¨ onnen. 10.1 Definition (regul¨ are Abbildungen) Zuerst verallgemeinern wir den Begriff der Regularit¨at von Kurven aus 1.2 . Eine glatte Abbildung f : U → V , wobei U ⊆ Rn und V ⊆ Rm offen sind, heißt regul¨ ar, falls der Rang der Ableitung in jedem Punkt x ∈ U so groß wie m¨oglich, also gleich min{n, m} ist. 76

c 15. Dezember 2008 [email protected]

10. Teilmannigfaltigkeiten des Rn

10.4

Beachte, daß eine in einem Punkt regul¨are Abbildung lokal um diesen Punkt regul¨ar ist, denn der Rang kann lokal nicht fallen. Aus der linearen Algebra kennen wir folgende Beziehungen f¨ ur den Rang rang(A) einer linearen Abbildung A : Rn → Rm : rang(A) = dim(Bild(A)) = dim(Rn ) − dim(Ker(A)) Falls also m ≤ n ist, so bedeutet die Regularit¨at, daß die Ableitung in jedem Punkt surjektiv ist. Anderenfalls bedeutet sie, daß die Ableitung in jedem Punkt injektiv ist. ¨ F¨ ur die Aquivalenz der in 10.4 zu gebende Beschreibung “sch¨oner” Teilmengen n des R ben¨ otigen wir die folgenden zwei zentralen S¨atze aus der mehrdimensionalen Analysis: 10.2 Inverser Funktionensatz. Sei U offen im Rn und sei f : U → Rn glatt, mit f (0) = 0, und invertierbarer Ableitung an der Stelle 0. Dann ist f ein lokaler Diffeomorphismus, d.h. es gibt offene Umgebungen V ,V 0 von 0, sodaß f : V → V 0 bijektiv und f −1 glatt ist. Ohne Beweis, siehe reelle Analysis, z.B. [59, 6.2.1] und [59, 6.3.15]. 10.3 Impliziter Funktionensatz. Sei f : Rn × Rm → Rm glatt mit f (0, 0) = 0 und ∂2 f (0, 0) : Rm → Rm invertierbar. Dann gibt es lokal eine eindeutige L¨ osung y(x) von f (x, y(x)) = 0 und x 7→ y(x) ist C ∞ . Beweis. Siehe auch [59, 6.2.3] und [59, 6.3.15]. Wir definieren F : Rn × Rm → Rn × Rm mit F (x, y) := (x, f (x, y)). Diese Funktion ist glatt, und F (0, 0) = 0. Abgeleitet ergibt das eine (n + m) × (n + m)-Matrix:   id 0 0 F (0, 0) = ∗ ∂2 f (0, 0) Diese ist invertierbar, also folgt aus dem inversen Funktionensatz, daß F −1 lokal existiert und glatt ist. Da F in der ersten Variable die Identit¨at ist, gilt gleiches auch f¨ ur F −1 , also sei (u, g(u, v)) := F −1 (u, v). Dann gilt: f (x, y) = 0 ⇔ F (x, y) = (x, 0) ⇔ ⇔ (x, y) = F −1 (x, 0) = (x, g(x, 0)) ⇔ y = g(x, 0) 10.4 Satz (Charakterisierung von Teilmannigfaltigkeiten). F¨ ur eine Teilmenge M ⊆ Rn mit p ∈ M und m ≤ n sind folgende Aussagen aquivalent: ¨ 1. (lokale Parametrisierung) Es gibt eine glatte, bei 0 regul¨ are Abbildung ϕ : U → Rn , wobei 0 ∈ U offen im Rm und ϕ(0) = p, so daß f¨ ur alle offenen Umgebungen U1 von 0 ∈ U eine offene Umgebung W von p in Rn existiert mit ϕ(U1 ) = W ∩ M .

Rm

W p M

U j Rn

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77

10. Teilmannigfaltigkeiten des Rn

10.4

2. (lokaler Graph) Es gibt eine glatte Abbildung g : U → V , wobei U offen in einem m-dimensionalen Teilraum E des Rn und V offen in E ⊥ ist. Dabei soll gelten: p ∈ M ∩ (U × V ) = Graph(g) := {(x, g(x)) : x ∈ U } ⊆ E × E ⊥ ∼ = Rn . U´V E¦

M

p

V

E

U

3. (lokale Gleichung) Es gibt eine glatte, bei p regul¨ are Abbildung f : W → Rn−m , wobei p ∈ W offen im Rn und f −1 (0) = M ∩ W ist.

Rn-m W M

p 0 f

Rn

4. (lokale Trivialisierung) Es gibt einen Diffeomorphismus Ψ : W → W 0 , wo 0 ∈ W 0 offen in Rm × Rn−m und p ∈ W offen im Rn ist, und es gilt: Ψ(M ∩ W ) = (Rm × {0}) ∩ W 0 .

Rn-m W p M Y Rn

Rm

Beweis. O.B.d.A. sei p = 0 ∈ Rn . (1 ⇒ 4) Da ϕ0 (0) injektiv ist, existiert eine lineare, linksinverse Abbildung A : Rn → Rm , d.h. (A ◦ ϕ)0 (0) = A ◦ ϕ0 (0) = idRm . Nun wenden wir den inversen Funktionensatz 10.2 an und erhalten, daß A ◦ ϕ ein lokaler Diffeomorphismus von Rm ist. Es gibt also offene Mengen 0 ∈ U1 ⊂ U und 0 ∈ U2 des Rm , so daß A ◦ ϕ : U1 → U2 bijektiv ist und die Umkehrabbildung h := (A ◦ ϕ)−1 : U2 → U1 glatt ist. Sei W so gew¨ ahlt, daß ϕ(U1 ) = M ∩ W ist, sei W1 := A−1 (U2 ) ∩ W und sei 78

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10. Teilmannigfaltigkeiten des Rn

10.4

ψ := h ◦ A : W1 → U1 . Dann ist ψ eine glatte Linksinverse zu ϕ : U1 → W1 , denn A(ϕ(U1 )) ⊆ U2 und somit ist ϕ(U1 ) ⊆ A−1 (U2 )∩W = W1 . Also d¨ urfen wir o.B.d.A. annehmen, daß ϕ injektiv und ein Hom¨oomorphismus von U auf M ∩ W , also eine Einbettung ist. Analog zu 2.3 wollen wir die Parametrisierung ϕ zu einem lokalen Diffeomorphismus Φ erweitern. Sei E ⊆ Rn das Bild von ϕ0 (0). Dann ist dim(E) = m und bez¨ uglich E ⊕ E ⊥ ∼ = Rn ist ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) und ϕ0 (0) = (ϕ01 (0), ϕ02 (0)). Folglich 0 0 ist ϕ2 (0) = 0 und ϕ1 (0) : Rm → E ist injektiv (also bijektiv). Sei Φ : Rm ⊕ E ⊥ ⊇ U ⊕ E ⊥ → E ⊕ E ⊥ definiert durch Φ(u, v) := ϕ(u) + v = (ϕ1 (u), ϕ2 (u) + v). Die Jacobimatrix von Φ bei (0, 0) ist: Φ0 (0, 0) =



ϕ01 (0) ϕ02 (0)

 0 . id

Sie ist invertierbar, da ϕ01 (0) : Rm → E bijektiv ist. Aus dem Inversen-Funktionensatz 10.2 folgt, daß Φ ein lokaler Diffeomorphismus ist, d.h. ∃ U1 ⊆ U ⊆ Rm offen, ∃ V1 ⊆ E ⊥ offen und ∃ W1 ⊆ W offen, sodaß Φ : U1 × V1 → W1 ein Diffeomorphismus ist. Also ist ϕ(U1 ) = Φ(U1 × {0}) ⊆ W1 ⊆ W. Wegen der Eigenschaft (1) von ϕ existiert ein offenes W2 ⊆ Rn , und o.B.d.A. ist W2 ⊆ W1 , sodaß ϕ(U1 ) = W2 ∩ M . Wir definieren W 0 := Φ−1 (W2 ). Dann ist U1 × {0} ⊆ W 0 , denn Φ(U1 × {0}) = ϕ(U1 ) = W2 ∩ M , und weiters ist Φ : W 0 → W2 ein Diffeomorphismus mit inverser Abbildung Ψ := Φ−1 : W2 → W 0 . F¨ ur z ∈ W2 gilt: z ∈ M ⇔ ∃ u ∈ U1 : Φ(u, 0) = ϕ(u) = z ⇔ Ψ(z) = (u, 0) f¨ ur ein u ∈ U1 ⇔ Ψ(z) ∈ (Rm × {0}) ∩ W 0 . E¦

E¦

W1

U1 ´ V1 W’

Rm

W2

E

F

Insbesonders ist ϕ auf U1 die Einschr¨ankung eines Hom¨oomorphismuses, also ϕ : U1 → M eine topologische Einbettung auf eine offene Teilmenge von M . (4 ⇒ 3) Sei f := pr2 ◦ψ, wobei pr2 : Rm × Rn−m → Rn−m die zweite Projektion ist. Da f 0 (z) = pr2 ◦ ψ 0 (z) surjektiv ist, ist f regul¨ar. Sei z ∈ W dann gilt: |{z} | {z } surj.

bij.

z ∈ M ⇔ ψ(z) ∈ Rm × {0} ⇔ (pr2 ◦ψ)(z) = f (z) = 0 (3 ⇒ 2) Sei f eine lokale Gleichung wie in (3). c 15. Dezember 2008 [email protected]

79

10. Teilmannigfaltigkeiten des Rn

10.4

E¦

E

Wir definieren E := Ker f 0 (0) und verwenden Rn ∼ = E × E ⊥ . Wegen n dim Ker f 0 (0) + dim Bild f 0 (0) = |dim {zR }, | {z } | {z } E

n−m

n

⊥

ist dim E = m und dim E = n − m. Gesucht ist eine Funktion g : E → E ⊥ , welche implizit gegeben ist durch f (x, y) = 0 (d.h. (x, y) ∈ M ), und y = g(x). Um den impliziten Funktionensatz anwenden, betrachten wir die zweite partielle Ableitung von f : ∂f |(0,0) = ∂2 f (0, 0) : E ⊥ → Rn−m . ∂y Diese ist surjektiv, da wegen f 0 (0)(v1 , v2 ) = ∂1 f (0)(v1 ) + ∂2 f (0)(v2 ) f¨ ur (v1 , 0) ∈ E × {0} ∼ = E = Ker f 0 (0) folgendes gilt: ∂1 f (0)(v1 ) = f 0 (0)(v1 , 0) = 0. Da f 0 (0) : Rn → Rn−m surjektiv ist, ist also auch ∂2 f (0) : E ⊥ → Rn−m surjektiv und wegen dim(E ⊥ ) = n − m somit bijektiv. Aus dem impliziten Funktionensatz 10.3 folgt nun: ∃ U ⊆ E offen, ∃ V ⊆ E ⊥ offen und g : U → V glatt, mit g(x) = y ⇔ f (x, y) = 0 (2 ⇒ 1) Sei M lokal als Graph von g : U → V beschrieben. Wir definieren die glatte Abbildung ϕ : U → E × E ⊥ = Rn durch x 7→ (x, g(x)). Die Frage ist, ob ϕ die Menge M lokal beschreibt. Dazu schließen wir f¨ ur (x, y) ∈ U × V =: W wie folgt: (x, y) ∈ M ⇔ (x, y) ∈ Graph(g) ⇔ y = g(x) ⇔ (x, y) = (x, g(x)) = ϕ(x). Die Abbildung ϕ ist topologisch eine Einbettung, denn (x, y) 7→ y beschreibt eine Linksinverse. Definition (Konkrete Mannigfaltigkeit) Eine Teilmenge M des Rn mit einer der obigen ¨aquivalenten Eigenschaften f¨ ur all ihre Punkte p ∈ M heißt C ∞ -(Teil-)Mannigfaltigkeit (des Rn ) der Dimension m. Im Gegensatz zu Kurven d¨ urfen diese Mannigfaltigkeiten selbst f¨ ur m = 1 keine Doppelpunkte besitzen.

Rm

W p M

U j Rn

Eine glatte regul¨ are Abbildung ϕ : Rm ⊇ U → M ⊆ Rn mit offenen U ⊆ Rm und ϕ(0) = p, die eine Einbettung auf eine offene Teilmenge von M ist, heißt lokale (bei 80

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10. Teilmannigfaltigkeiten des Rn

11.2

p zentrierte) Parametrisierung von M . In (1 ⇒ 4) haben wir gezeigt, daß ein ϕ, welches (1) erf¨ ullt, lokal eine Parametrisierung ist. Die Komponenten u1 , . . . , um der Umkehrabbildung (u1 , . . . , um ) = u = ϕ−1 zu einer lokalen Parametrisierung ϕ heißen lokale Koordinaten von M . Punkte p ∈ M k¨onnen also lokal nach Vorgabe einer Parametrisierung ϕ durch Zahlen u1 (p), . . . , um (p) beschrieben werden.

11. Beispiele von Teilmannigfaltigkeiten In diesen Abschnitt geben wir nun eine Reihe von Beispielen und machen damit azise. auch die Fl¨ achen aus 9 pr¨

11.1 Kreis 1. Gleichung: x2 + y 2 = R2 . Sei also W := R2 \ {(0, 0)}, dann ist f : W → R definiert durch f (x, y) := x2 + y 2 − R2 eine Gleichung f¨ ur M , die auf ganz R2 \ {0} regul¨ar ist. 2. Parametrisierung: ϕ 7→ (x, y) := (R · cos ϕ, R · sin ϕ). F¨ ur alle (x0 , y0 ) ∈ M existiert ein ϕ0 ∈ R (gegeben durch eiϕ0 = (x0 , y0 )), sodaß ϕ 7→ (x, y) eine lokale Parametrisierung von U := ]ϕ0 − π, ϕ0 + π[ auf W ∩ M mit W√:= R2 \ {(−x0 , −y0 )}pist. 3. Graph: y = ± R2 − x2 oder x = ± R2 − y 2 Sei E := R × {0}, U√:= ]−R, +R[ ⊂ E und V := ]0, +R[ ⊂ E ⊥ . Dann ist M ∩ (U × V ) = {(x, R2 − x2 ) : x ∈ U } eine lokale Darstellung von M als Graph von g : U → V . 4. Trivialisierung: (R, ϕ) 7→ (R · cos ϕ, R · sin ϕ) also ψ : R2 → R2 mit ψ(M ) = {R} × R ∼ = R. Dies sind gerade Polarkoordinaten. 11.2 Zylinder 1. Gleichung: x2 + y 2 + 0 · z = R2 . Beachte, daß dies die gleiche Gleichung wie jene vom Kreis ist, allerdings nun aufgefaßt als Gleichung am R3 . 2. Parametrisierung: (ϕ, z) 7→ (R · cos ϕ, R · sin ϕ, z). Wir erhalten diese Parametrisierung indem wir einen Erzeuger des Zylinders verm¨oge z 7→ (R, 0, z) nach Bogenl¨ ange parametrisieren und diese mittels Winkel ϕ verm¨oge   cos ϕ − sin ϕ 0  sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1 um die z-Achse drehen also       cos ϕ − sin ϕ 0 R R cos ϕ  sin ϕ cos ϕ 0 ·  0  =  R sin ϕ  0 0 1 z z betrachten. √ p 3. Graph: y = ± R2 − x2 oder x = ± R2 − y 2 . 4. Trivialisierung: (ϕ, r, z) ↔ (r · cos ϕ, r · sin ϕ, z), das sind die Zylinderkoordinaten. Eine Parametrisierung f : Rm ⊇ U → M ⊆ Rn ist (per Definition) genau dann l¨ angenbewahrend, wenn die L¨ ange jeder Kurve c : [a, b] → U ⊆ Rm gleich jener der c 15. Dezember 2008 [email protected]

81

11.3

11. Beispiele von Teilmannigfaltigkeiten

Bildkurve f ◦ c : [a, b] → M ⊆ Rn ist, also Z b Z b Z |c0 (t)| dt = |(f ◦ c)0 (t)| dt = a

a

b

|f 0 (c(t))(c0 (t))| dt

a

gilt. Die ist genau dann erf¨ ullt, wenn f 0 (p) f¨ ur alle p ∈ U eine Isometrie ist, also |f 0 (p)(v)| = |v| f¨ ur alle v ∈ Rm erf¨ ullt, denn sei v ∈ Rn und cs : t 7→ p + t s v. Dann ist cs : [0, 1] → U f¨ ur alle s > 0 nahe 0 und somit Z 1 Z 1 Z 1 0 0 s |v| = |cs (t)| dt = |f (cs (t))(s v)| dt = s |f 0 (cs (t))(v)| dt 0

0

0

und da cs → c0 f¨ ur s → 0 gleichm¨aßig auf [0, 1] konvergiert ist auch Z 1 Z 1 |v| = |f 0 (c0 (t))(v)| dt = |f 0 (p)(v)| dt = |f 0 (p)(v)|. 0

0

Die Umkehrung ist offensichtlich. Obige Parametrisierung f : (ϕ, z) 7→ (R cos ϕ, R sin ϕ, z) ist nicht l¨angenbewahrend, denn ∂ |f 0 (ϕ, z)(1, 0)| = | f (ϕ, z)| = |R(− sin ϕ, cos ϕ, 0)| = R 6= |(1, 0)|, ∂ϕ f¨ ur R 6= 1. Dies kann aber leicht korrigiert werden, wenn wir die neue Parametrisierung f : (ϕ, z) 7→ (R ei ϕ/R , z) betrachten. Deren Ableitung ist   ϕ − sin( R ) 0 ϕ ) 0 f 0 (ϕ, z) =  cos( R 0 1 Die Spalten bilden nun ein Orthonormalsystem, also ist f 0 (ϕ, z) eine Isometrie und somit f L¨ angenbewahrend. 11.3 Kegel Drehung einer Geraden durch Null mit Anstieg α um die z-Achse. p 1. Gleichung: tan α = z/ x2 + y 2 oder (x2 +y 2 ) tan2 α = z 2 . Ersters beschreibt den Kegel, letzteres den Doppelkegel. Die Gleichung ist nicht regul¨ar bei (0, 0, 0), also m¨ ussen wir die Spitze entfernen, denn dort ist der (Doppel)Kegel keine Mannigfaltigkeit. 2. Parametrisierung: (ϕ, s) 7→ (s cos α cos ϕ, s cos α sin ϕ, s sin α). Diese Parametrisierung erhalten wir, indem wir eine Erzeuger der Kegels nach Bogenl¨ ange als s 7→ (s cos α, 0, s sin α) parametrisieren und diese mittels Winkel ϕ verm¨ oge   cos ϕ − sin ϕ 0  sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1 um die z-Achse drehen also       cos ϕ − sin ϕ 0 s cos α s cos α cos ϕ  sin ϕ cos ϕ 0 ·  0  =  s cos α sin ϕ  0 0 1 s sin α s sin α betrachten. p 3. Graph: z = ± tan α x2 + y 2 82

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11.4

11. Beispiele von Teilmannigfaltigkeiten

4. Trivialisierung: (ϕ, α, s) ↔ (s cos α cos ϕ, s cos α sin ϕ, s sin α), das sind die Kugelkoordinaten. z

2Π cosHΑL

cosHΑL

!!!!!!!!!!!!!!!!! ! x2 + y2 Α

s 1

y

x

Eine bessere Parametrisierung erh¨alt man durch Aufrollen des Kegels in eine Ebene:    ψ r cos α cos  cos α       ψ   ψ (x, y) 7→ (r, ψ) 7→ s := r, ϕ := 7→  ,  r cos α sin  cos α  cos α  r sin α wobei (x, y) kartesische und (ψ, r) Polarkoordinaten in der Ebene sind. Die Ableitung dieser Parametrisierung ist die Zusammensetzung von   cos α · cos( cosψ α ) −r cos α · sin( cosψ α )  cos α · sin( ψ ) r cos α · cos( ψ )  · 1 cos α cos α 0 sin α 0 

=

  cos ψ · 1 sin ψ cos α 0

−r sin ψ r cos ψ

−1

ψ ψ cos α cos ψ cos( cos α )−sin ψ sin( cos α )

ψ ψ cos α sin ψ cos( cos α )−cos ψ sin( cos α )

ψ ψ cos α cos ψ sin( cos α )+sin ψ cos( cos α ) cos α cos ψ

ψ ψ cos α sin ψ sin( cos α )+cos ψ cos( cos α ) sin α sin ψ

= !

von der man mit l¨ angerer direkter Rechnung zeigen kann, daß sie isometrisch ist.

11.4 Sph¨ are 1. Gleichung: x2 + y 2 + z 2 = R2 2. Parametrisierung: (ϕ, θ) 7→ (R cos θ cos ϕ, R cos θ sin ϕ, R sin θ) mit L¨angengrade ϕ und Breitengrade θ. Wieder erhalten wir diese Fl¨ache indem wir die Schnittkurve mit der x-z-Ebene betrachten, dem verm¨oge θ 7→ R(cos ϑ, 0, sin ϑ) parametrisierten (Halb-)Kreis und diesen mittels Winkel ϕ um die z-Achse drehen um       cos ϕ − sin ϕ 0 R cos ϑ R cos θ cos ϕ  sin ϕ cos ϕ 0 ·  0  =  R cos θ sin ϕ  0 0 1 R sin ϑ R sin θ zu erhalten. p 3. Graph: z = ± R2 − x2 − y 2 4. Trivialisierung: Kugelkoordinaten. c 15. Dezember 2008 [email protected]

83

11.4

11. Beispiele von Teilmannigfaltigkeiten z

Θ

j y

x

Man kann eine Sph¨ are auch parametrisieren, indem man auf den ber¨ uhrenden Kegel mit Anstieg α projiziert: 

 R cos θ cos ϕ   (x, y) 7→ (ϕ, s) 7→ (ϕ, θ(s)) 7→  R cos θ sin ϕ  , R sin θ dabei sind (ϕ, s) die Parameter der obigen Parametrisierung des Kegels und (ϕ, θ) die Parameter der Sph¨ are sind.

s 0

Α

Spezielle Wahlen der Funktion θ liefern die Radialprojektion, bzw. die Normalprojektion auf die Erzeugenden des Kegels, siehe Aufgabe 72.42 . Insbesonders ist man an F¨ achen- bzw. an Winkel-erhaltenden Abbildungen interessiert, denn wie wir noch sehen werden ist eine L¨angenerhaltende Abbildung nicht m¨oglich – man kann die Sph¨ are nicht durch Aufwickeln eines Blatt Papiers erzeugen. Besonders wichtig ist die stereographische Projektion: Man projiziert von einem Punkt der Sph¨ are (o.B.d.A. dem Nordpol) auf die Tangentialebene im antipodalen Punkt. Β

∆ Β

s

84

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11.5

11. Beispiele von Teilmannigfaltigkeiten Es ist 2β + ( π2 − θ) = π ⇒ β =

π 4

+

s = tan β = tan 2

θ 2

und somit ist



π θ + 4 2

 =

1 + tan(θ/2) . 1 − tan(θ/2)

Diese Projektion ist winkelerhaltend und Kreise werden auf Kreise oder Geraden abgebildet, siehe Aufgabe 72.41 . F¨ ur die Seefahrt ist diese Darstellung der Sph¨are allerdings nicht optimal: Dort ist man besonders an den Loxodromen interessiert, daß sind jene Kurven auf der Sph¨ are, welche die L¨ angenkreise unter einen fixen Winkel schneiden, denn das sind gerade die Bahnen die man zur¨ ucklegt wenn man bez¨ uglich Norden (Polarstern oder Kompass) konstanten Kurs h¨alt. In der stereographischen Projektion sind die Bilder der L¨ angenkreise Geraden durch 0, also die Loxodrome komplizierte Spira¨ len. Projeziert man hingegen auf den l¨angs des Aquators ber¨ uhrenden Zylinder, dann werden die L¨ angenkreise parallele Geraden und wenn man die Projektion Winkel-erhaltend w¨ ahlt (die sogenannte Merkator-Projektion) dann sind auch die Loxodrome Geraden, also der Kurs sehr leicht durch Einzeichnen der Verbindungsgerade zwischen Start- und Zielort zu bestimmen.

11.5 n-Sph¨ are S n := {x ∈ Rn+1 : |x| = 1} ⊂ Rn+1 . Die Funktion f : x 7→ |x|2 − 1 ist eine regul¨ are Gleichung f¨ ur S n , denn f 0 (x)(x) = 2|x|2 = 2 f¨ ur x ∈ S n . Als lokale Koordinaten verwenden wir die stereographische Projektion (aber diesmal auf die ¨ Aquatorialebene, was einen Faktor 1/2 bzgl. der gerade Besprochenen ergibt), d.h. wir suchen zu x ∈ S n ein y ∈ Rn = p⊥ ⊂ Rn+1 , wobei p ∈ S n der gew¨ahlte Pol ist, mit 0 = hp, p + λ(x − p)i = |p|2 − λhp, p − xi 1 1 = ⇒ ⇒λ = hp, p − xi 1 − hp, xi 1 ⇒ y = (1 − λ)p + λx = (x − hp, xip). 1 − hp, xi Umgekehrt x = p + µ(y − p) mit |x| = 1 ⇒ 1 = hx, xi = hp + µ(y − p), p + µ(y − p)i = 1 + 2hp, µ(y − p)i + µ2 hy − p, y − pi ⇒ 0 = µ2 |y − p|2 + 2µhp, y − pi = µ(µ|y − p|2 − 2hp, p − yi). Aus µ = 0 erhalten wir die uninteressante L¨osung x = p. Andernfalls ist µ=

2(1 − hp, yi) 2 = 2 2 |y| − 2 hy, pi +1 |y| + 1 | {z }

und damit

0

 1  x= 2 2y + (|y|2 − 1)p |y| + 1 c 15. Dezember 2008 [email protected]

85

11.6

11. Beispiele von Teilmannigfaltigkeiten

11.6 Torus

a

Ψ

A

p 1. Gleichung: z 2 + ( x2 + y 2 − A)2 = a2 2. Parametrisierung:   (A + a cos ψ) cos ϕ   (ϕ, ψ) 7→  (A + a cos ψ) sin ϕ  , a sin ψ mit L¨ angengrade ϕ und Breitengrade ψ. p F¨ ur den speziellen Torus z 2 + ( x2 + y 2 − A)2 = A2 − 1 = a2 mit A > 1 berechnen wir das Urbild unter der stereographischen Projektion R4 ⊃ S 3 → R3 bez¨ uglich des Punktes (0, 0, 0, 1) ∈ R4 wie folgt: (x1 , y1 , x2 , y2 ) 7→

1 z − hz, pip ist. (x1 , y1 , x2 , 0) da z 7→ 1 − y2 1 − hz, pi

Diesem Torus entspricht folgende Teilmenge des R4 :  x1 2 + y1 2 + x2 2 + y2 2 = 1    !2 p  2 x2 x1 2 + y1 2  + −A = A2 − 1 = a2   1−y 1 − y2 2 Unter Verwendung der ersten Gleichung formen wir die zweite wie folgt um: !2 p 2  x2 x1 2 + y1 2 − A − A2 + 1 + 0= 1 − y2 1 − y2 p x2 2 x1 2 + y1 2 x1 2 + y1 2 = + − 2A +1 2 2 (1 − y2 ) (1 − y2 ) 1 − y2 p 1 − (x2 2 + y2 2 ) 1 − y2 2 = − 2A +1 2 (1 − y2 ) 1 − y2 p ⇔ 2 = 1 + y2 + (1 − y2 ) = 2A 1 − (x2 2 + y2 2 ) Also wird der Torus durch folgendes Gleichungssystem beschrieben:  2  x1 + y1 2 + x2 2 + y2 2 = 1 1  1 − (x2 2 + y2 2 ) = 2 A  1   x1 2 + y1 2 = 2 . . . Kreis im R2 × {(0, 0)} A ⇔ 2 2   x 2 + y 2 = A − 1 = a . . . Kreis im {(0, 0)} × R2 2 2 A2 A2 86

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11.6

11. Beispiele von Teilmannigfaltigkeiten

Der Torus ist also das kartesische Produkt S 1 × S 1 von zwei aufeinander normalstehenden Kreisen. Die Parametrisierung

(ϕ, ψ) 7→

1 A

cos(Aϕ),

1 a Aϕ a Aϕ  sin(Aϕ), cos( ), sin( ) A A a A a

ist dann L¨ angenbewahrend, also l¨aßt sich ein Torus im R4 durch Einrollen einer Ebene erzeugen. Bemerkung: Folgender spezielle Schnitt durch den Torus im R3 ergibt zwei einander schneidende Kreise:

Wir verwenden auf der Schnittebene z = √

√ a x A2 −a2

die Basis mit den orthonormalen

A2 −a2 a , 0, A ) A

Vektoren ( sowie (0, 1, 0) und bezeichnen mit (s, y) die entsprechenden √ 2 2 a · s. Setzen wir dies in die Koordinaten. Dann ist x = AA−a · s und z = A p Torusgleichung z 2 + ( x2 + y 2 − A)2 = a2 ein, so erhalten wir

 a 2 s + A

!2 A2 − a2 2 2 s +y −A = a2 ⇔ A2 2 p (A2 − a2 )s2 + A2 y 2 − A2 a2 (A2 − s2 ) = p = (A2 − a2 )s2 + A2 y 2 + A4 − 2A2 (A2 − a2 )s2 + A2 y 2 p s2 + y 2 + (A2 − a2 ) = 2 (A2 − a2 )s2 + A2 y 2
2 s2 + y 2 + (A2 − a2 ) = 4(A2 − a2 )s2 + 4A2 y 2

A2 − (s2 + (y + a)2 ) · A2 − (s2 + (y − a)2 ) = 0,

r

⇔

⇔ ⇔ ⇔

und das ist die Gleichung zweier Kreise mit Mittelpunkte (0, ±a) in den (s, y)Koordinaten und Radius A. c 15. Dezember 2008 [email protected]

87

11.7

11. Beispiele von Teilmannigfaltigkeiten

11.7 Hopffaserung S 3 → S 2 Sie ist definiert durch folgendes kommutatives Diagramm S 3 _

Hopffaserung

/ S2 stereogr.Proj.

 C2

(z1 , z2 )

/

 /C

z2 z1

Da die Inverse zur stereographischen Projektion um p = (0, 0, 1) die Abbildung 2 −1)p y 7→ 2y+(|y| = |y|21+1 (2y, |y|2 − 1) ist, bekommen wir folgende Formel f¨ ur die |y|2 +1 Hopffaserung:  z z  1 2 2 (z1 , z2 ) 7→ z2 2 2 , | |2 − 1 = | z1 | + 1 z1 z1  z |z |2 − |z |2  z1 z¯1 2 2 1 = 2 , |z1 |2 + |z2 |2 z1 z1 z¯1   1 2 2 = 2z z ¯ , |z | − |z | . 2 1 2 1 |z1 |2 + |z2 |2 | {z } 1 weil (z1 ,z2 )∈S 3

Wir betrachten die Urbilder in der S 3 eines Breitenkreises auf der S 2 , dabei sind θ die Breitengrade.  π θ  z2 (z1 , z2 ) ∈ S 3 , | | = r = tan( + ) ⇔ z 4 2 ( 1 ) ( ) |z2 | = r|z1 | |z2 |2 = r2 |z1 |2 ⇔ ⇔ (z1 , z2 ) ∈ S 3 |z1 |2 + |z2 |2 = 1  1  ( )    |z2 |2 = r2  |z2 | = r|z1 | 1 + r2 ⇔ ⇔ 2 2   |z1 | (1 + r ) = 1  |z1 |2 = 1  2 1+r Das entspricht nach 11.6 unter der stereographischen Projektion S 3 → R3 einem √ Torus im R3 , wo A = r2 + 1 und a = r ist. udpols auf der S 2 : Wir betrachten das Urbild in S 3 des S¨ ∧

∧

(0, 0, −1) ∈ S 2 = (r = 0) ∈ R2 = (|z1 | = 1, z2 = 0) ⊂ S 3 , bzw. des Nordpols auf der S 2 : ∧

∧

(0, 0, +1) ∈ S 2 = (r = ∞) ⊂ R2 = (z1 = 0, |z2 | = 1) ⊂ S 3 . Wir behaupten allgemein: das Urbild jedes Punktes auf der S 2 (welcher bzgl. der stereographischen Projektion S 2 → C durch z0 ∈ C) gegeben ist, ist ein Kreis in der S 3 ⊂ R4 , den man als Schnitt der Sph¨are S 3 ⊂ R4 mit der Ebene z2 = z1 z0 erh¨ alt:   1 2       |z | = 1  ( )   1 + r2  2 2   (z1 , z2 ) ∈ S 3   |z2 | + |z1 | = 1 1 ⇔ ⇔ z2 2 2 |z2 | = r    = z0 ∈ C z2 = z1 z0  1 + r2    z1     z2 = z1 z0 88

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11.7

11. Beispiele von Teilmannigfaltigkeiten d.h. z1 durchl¨ auft einen Kreis, gleichzeitig durchl¨auft z2 ebenso einen Kreis.

z2

1

z1 0

1

In stereographischen den ersten beiden Gleichungen im R3 pKoordinaten √ entspricht 2 2 2 2 2 der Torus T : z + ( x + y − r + 1) = r2 . O.B.d.A. sei r = z0 ∈ R, ansonsten drehen wir um e−iθ , was einer Drehung in der (x, y)-Ebene entspricht.     x2 = rx1 , y2 = ry1  z2 = rz1                   1 1  2 2 2 2 |z | = r |z | = r 3 2 2 2 2 = Auf der S : 1+r   1+r           1 1     2 2  |z1 | =   |z1 | =  2 2 1+r 1+r  z = rx      2 2 2 Entspricht im R3 : x + y + z − 1 = 2ry   p p  2  z + ( x2 + y 2 − r2 + 1)2 = r2 Wobei wir z1 = x1 + i y1 , z2 = x2 + i y2 gesetzt haben und die Formeln f¨ ur die stereographische Projektion verwendeten: 2x 1 + |(x, y, z)|2 2z x2 = 1 + |(x, y, z)|2

x1 =

2y 1 + |(x, y, z)|2 |(x, y, z)|2 − 1 y2 = . 1 + |(x, y, z)|2 y1 =

Also ist das Urbild eines Punktes in den beiden Schnittkreisen des Torus mit der Ebene z = rx erhalten. Eine genauere Analyse liefert, daß es genau der vorne bzgl. y liegende der beiden ist. ¨ Das Außere des Volltorus in der S 3 ist wieder ein Torus, wobei das Innere das ¨ Urbild der S¨ udhalbkugel und das Außere das Urbild der Nordhalbkugel ist. c 15. Dezember 2008 [email protected]

89

11.9

11. Beispiele von Teilmannigfaltigkeiten

11.8 Mannigfaltigkleit der linearen Abbildungen fixen Ranges. Der Raum Lr (n, m) aller T ∈ L(n, m) von fixen Rang r ist eine Teilmannigfaltigkeit der Dimension r (n + m − r). F¨ ur maximales r = min{n, m} ist diese Dimension n · m = dim(L(n, m)), also ist in diesem Fall Lr (n, m) offen in L(n, m). Beweis. Wir beschreiben Lr (n, m) lokal als Graph. Sei dazu T0 ∈ Lr (n, m), d.h. rang(T0 ) = dim Bild T0 = r. Es sei F := Bild T0 und E := Ker T0⊥ . Dann ist T0 |E : E → F injektiv, und wegen dim E = n − dim Ker T0 = dim Bild T0 = dim F sogar bijektiv. Bez¨ uglich der orthogonal-Zerlegungen Rn = E ⊕ E ⊥ und Rm = F ⊕ F ⊥ hat also T0 folgende Gestalt:   A0 B 0 mit B0 = 0, C0 = 0, D0 = 0 und A0 invertierbar. C0 D0 Sei nun  U die  (wegen GL(E) ⊆ L(E, E) offen) offene Umgebung aller Matrizen A B T = mit A invertierbar. Dann liegt T in Lr (Rn , Rm ) genau dann wenn, C D dim Bild T = r. Es ist        v A B v Av + Bw T = = . w C D w Cv + Dw   v Somit ist T = 0 genau dann, wenn v = −A−1 Bw und Cv + Dw = 0, w oder ¨ aquivalent v = −A−1 Bw mit CA−1 Bw = Dw. Es ist also r = rang T = dim Bild T = dim Dom T − dim Ker T = n − dim Kern T genau dann, wenn alle w ∈ E ⊥ die Gleichung CA−1 Bw = Dw erf¨ ullen, d.h. D = CA−1 B ist. Die Abbildung nA B  o g: ∈ L(n, m) : A ∈ GL(E, F ) → L(E ⊥ , F ⊥ ), C 0



A C

B 0



7→ CA−1 B

ist auf der offenen Teilmenge U des linearen Teilraums    A B ∈ L(n, m) : D = 0 C D definiert und glatt und ihr Graph beschreibt Lr (n, m) in der offenen Menge    A B ∈ L(n, m) : A ∈ GL(E, F ) C D Die Dimension von Lr (Rn , Rm ) ist somit n m − (n − r) (m − r) = r (n + m − r). 11.9 Graßmannmannigfaltigkeiten G(r, n). Die Graßmannmannigfaltigkeit G(r, n) der r-Ebenen durch 0 im Rn ist eine Teilmannigfaltigkeit von L(n, n) der Dimension r (n − r). Wenn wir r = 1 w¨ ahlen, dann erhalten wir als Spezialfall die projektiven R¨aume Pn−1 = G(1, n) der Geraden durch 0 in Rn . Beweis. Wir identifizieren die linearen Teilr¨aume des Rn mit den orthogonal-Projektionen auf sie. Damit ist G(r, n) eine Teilmenge der Mannigfaltigkeit Lr (n, n). Sei E0 ein Teilraum von Rn der Dimension r und P0 die ortho-Projektion auf E0 . 90

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11.11

11. Beispiele von Teilmannigfaltigkeiten 

 1 0 gegeben. Ei0 0   A B ne Umgebung von P0 in Lr (n, n) ist dann durch die Matrizen mit C CA−1 B invertierbaren A gegeben. Eine lineare Abbildung P ist genau dann eine orthoProjektion, wenn sie idempotent (P 2 = P ) und selbstadjungiert P = P t ist, oder aquivalent mit einer Gleichung, wenn P t P = P ist. In der Tat: Daß P eine Projekti¨ on ist, bedeutet P |Bild P = id, d.h. P 2 = P , und eine Orthogonalprojektion zu sein bedeutet Ker(P ) = Bild(P )⊥ . Aus P 2 = P folgt aber Ker(P ) = Bild(1 − P ), denn P (1 − P ) = 0 und P x = 0 ⇒ x = x − P x = (1 − P )x. Somit ist Ker(P ) ⊥ Bild(P ) genau dann, wenn 0 = h(1 − P )x, P yi = hx, (1 − P t )P yi f¨ ur alle x, y, d.h. P = P t P . t t t t Umgekehrt folgt P = (P P ) = P P = P und somit P = P t P = P 2 .   A B F¨ ur die Matrix ist das genau dann der Fall, wenn A = At und C CA−1 B B t = C (dann ist auch (CA−1 B)t = B t (At )−1 C t = CA−1 B) und   At A + C t C At B + C t CA−1 B = B t A + B t (At )−1 C t C B t B + B t (At )−1 C t CA−1 B  t      A Ct A B A B = = B t B t (At )−1 C t C CA−1 B C CA−1 B Bez¨ uglich der Zerlegung Rn = E0 ⊕ E0⊥ ist P0 dann durch

oder ¨ aquivalent At A + C t C = A und damit At B + C t CA−1 B = At B + (A − At A)A−1 B = B, B t A + B t (At )−1 C t C = B t A + B t (At )−1 (A − At A) = B t (At )−1 A = C, B t B + B t (At )−1 C t CA−1 B = B t B + B t (At )−1 (A − At A)A−1 B = B t (At )−1 B = CA−1 B Zusammen sind die Gleichungen also At A + C t C = A (⇒ At = A), B = C t und D = CA−1 B. Dies sind r2 + r (n − r) + (n − r)2 unabh¨angige Gleichungen, und folglich sollte die Dimension von G(r, n) gerade n2 − (r2 + n2 − 2nr + r2 + nr − r2 ) = nr − r2 = r(n − r) sein. Diese Gleichungen beschreiben G(r, n) lokal als Graph von (A, C) 7→ (B, D) = (C t , CA−1 C t ) u ¨ber der Teilmenge {(A, C) ∈ L(E0 , Rn ) : A ∈ t t GL(E0 ), A A + C C = A} Es bleibt also zu zeigen, daß die Gleichungen regul¨ar sind und daf¨ ur ist es genug die Regularit¨ at der ersten Gleichung At A+C t C −A = 0 zu zeigen. Ist f : E1 → F1 eine regul¨ are Gleichung bei x0 und M lokal durch den Graphen von g : E1 → E2 u ¨ber f −1 (0) beschrieben, so ist M lokal um (x0 , y0 ) := (x0 , g(x0 )) durch die regul¨are Gleichung 0 = ϕ(x, y) := (f (x), y − g(x)) beschrieben: Es ist  0  f (x0 ) −g 0 (x0 ) ϕ0 (x0 , y0 ) = 0 id surjektiv(!), also ϕ(x, y) = (0, 0) eine regul¨are Gleichung und lokal (x, y) ∈ M , falls f (x) = 0 und y = g(x), also ϕ(x, y) = (0, 0). Ihr Differential in Richtung (X, Y ) ist (X, Y ) 7→ X t A + At X − X + Y t C + C t Y . Wir m¨ ussen also die Gleichung X t A + At X − X + Y t C + C t Y = Z f¨ ur (A, C) = (1, 0) also X t = Z nach (X, Y ) l¨ osen. Offensichtlich ist (Z t , 0) eine L¨osung. 11.11 Bemerkung. Verschiedene Beschreibungen von G(k, n). Es beschreibt   A B P = C D c 15. Dezember 2008 [email protected]

91

11.11

11. Beispiele von Teilmannigfaltigkeiten

mit A ∈ GL(k) genau dann eine Orthoprojektion vom Rang k, wenn At A + C t C = A, B = C t und D = CA−1 B gilt. Eine lokale Gleichung f¨ ur G(k, n) wird somit beschrieben durch nA B  o f: ∈ L(n, n) : A ∈ GL(k) → L(k, k) × L(n − k, k) × L(n − k, n − k) C D     A B 7→ At A + C t C − A, B − C t , D − CA−1 B . C D Die erste Gleichung k¨ onnen wir durch Multiplikation mit (A−1 )t von links und −1 A von rechts in id +(CA−1 )t (CA−1 ) = (A−1 )t umwandeln also wegen At = t (A A + C t C)t = At A + C t C = A in A = (1 + Z t Z)−1 f¨ ur Z := CA−1 . Beachte t t dabei, daß 1 + Z Z ∈ GL(k), da x + Z Zx = 0 ⇒ 0 = hx + Z t Zx|xi = kxk2 + kZxk2 ⇒ x = 0. Also wird G(k, n) lokal parametrisiert durch   A := (1 + Z t Z)−1 B := C t ϕ : L(k, n − k) 3 Z 7→ , C := ZA D := CA−1 B denn eine Retraktion ψ (d.h. ein Linksinverses) dazu ist gegeben durch nA B  o ψ: ∈ L(n, n) : A ∈ GL(k) → L(k, n − k) 7→ Z := CA−1 C D     1 0 0 Zt 0 Wegen ϕ(0) = und ϕ (0)(Z) = ist 0 1 Z 0 n 0 Z t  o Tϕ(0) G(k, n) = Bild(ϕ0 (0)) = : Z ∈ L(k, n − k) Z 0 und

 ⊥ n A o B Tϕ(0) G(k, n) = ∈ L(n, n) t −B D Ein lokale Trivialisierung Φ : L(n, n) → L(n, n) ist somit durch Φ : L(n, n) ∼ = L(k, n − k) × (L(k, k) × L(k, n − k) × L(n − k, n − k)) → L(n, n),     X Y X Y 7→ ϕ(Z) + Z W −Y t W 

gegeben. Daß  diesein lokaler Diffeomorphismus nahe 0 ist, sieht man auch expliziter: Q R Denn sei ∈ L(n, n), dann bedeutet S T     Q R X Y =Φ S T Z W       Q R A := (1 + Z t Z)−1 B := C t X Y ⇔ = + S T C := ZA D := CA−1 B −Y t W  A := (1 + Z t Z)−1 X +A=Q Y + Ct = R ⇔ t C := ZA −Y + C = S W + CA−1 C t = T  A := (1 + Z t Z)−1 X +A=Q Y = 21 (R − S t ) ⇔ 1 t C = ZA C := 2 (S + R ) W + CA−1 C t = T  C := 12 (S + Rt ) C = Z(1 + Z t Z)−1 A := (1 + Z t Z)−1 ⇔ X =Q−A Y = 12 (R − S t ) W = T − CA−1 C t Die zweite Gleichung C = Z(1+Z t Z)−1 beschreibt einen lokalen Diffeomorphismus bei 0, denn die Ableitung von Z 7→ C bei 0 in Richtung Z ist 0 · (∗) + Z · 1−1 = Z. z Dies ist kein globaler Diffeomorphismus, denn f¨ ur k = 1 = n − k hat z 7→ 1+z 2 Werte in {c : |z| ≤ 12 } und ist nur f¨ ur |z| < 1 injektiv. Im allgemeinen existiert 92

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11.11

11. Beispiele von Teilmannigfaltigkeiten wegen dem Banach’schen Fixpunktsatz f¨ ur kCk < mit Z = f (Z) := C(1 + Z t Z), denn

1 2

ein eindeutiges Z mit kZk ≤ 1

kf (Z)k = kCk k1 + Z t Zk ≤ kCk (1 + kZ t Zk) = kCk (1 + kZk2 ) < f 0 (Z)(W ) = C(W t Z + Z t W ) 0

1 (1 + 1) = 1 2

⇒

t

kf (Z)(W )k ≤ kCk (kW k kZk + kZ t k kW k) = 2 kCk kZk kW k

⇒

0

kf (Z)k ≤ 2 kCk kZk ≤ 2kCk < 1. Wegen kf (Z)k < kZk ist kZk < 1 f¨ ur den Fixpunkt Z. Es ist die Bijektion Z 7→ C ein Diffeomorphismus von {Z : kZk < 1} → {C : kCk < 12}, denn ihre Ableitung an einer Stelle Z mit kZk < 1 ist W 7→W · (1 + Z t Z)−1 − Z · (1 + Z t Z)−1 (W t Z + Z t W )(1 + Z t Z)−1 =   = W − (1 + ZZ t )−1 Z(W t Z + Z t W ) (1 + Z t Z)−1   = (1 + ZZ t )−1 (1 + ZZ t )W − ZW t Z − ZZ t W (1 + Z t Z)−1 = (1 + ZZ t )−1 (W − ZW t Z)(1 + Z t Z)−1 und verschwindet somit auf W 6= 0 genau dann, wenn W = ZW t Z, also kW k = kZW t Zk ≤ kZk2 kW k < kW k, ein Widerspruch.   A B Beachte weiters, daß f¨ ur P = durch C D  
A P1 := A B , P2 := C zwei lineare Abbildungen P1 ∈ L(n, k) und P2 ∈ L(k, n) geben sind mit maximalen Rang (wegen A ∈ GL(k)), welche Ker(P1 ) = Ker(P ) und Bild(P2 ) = Bild(P ) erf¨ ullen, denn Bild(P2 ) = Bild(P |Rk ) ⊆ BildP mit dim(Bild(P2 )) = k = dim(Bild(P )) und Ker(P1 ) = Ker(pr1 ◦P ) ⊇ Ker(P ) mit dim(Ker(P1 )) = n − dim(Bild(P1 )) = n − k = dim(Ker(P )). Schließlich ist der durch P beschriebene Teilraum Bild(P ) der Graph von Z := CA−1 , denn Bild(P ) = Bild(P2 ) = {(Ax, Cx) : x ∈ Rk } = {(y, CA−1 y) : y ∈ Rk } = Graph(Z) oder auch Bild(P ) = Ker(P )⊥ = Ker(P1 )⊥ = {(x, z) : Ax + Bz = 0}⊥ = {(−A−1 Bz, z) : z}⊥ = {(u, v) : hB t (At )−1 u|zi = hu|A−1 Bzi = hv|zi ∀ z} = {(u, B t A−1 u) : u}. Um schlußendlich G(k, n) noch lokal als Graph einer Abbildung

g:

z n

0 Z

Tϕ(0) G(k, n) (Tϕ(0) G(k, n))⊥ }| { }| { z   o n o Zt A B : Z ∈ L(k, n − k) → ∈ L(n, n) 0 −B t D   A B Z 7→ −B t D

zu beschreiben, muß 

0 Z

Zt 0





A + −B t

B D

 ∈ G(k, n)

liegen, also A ∈ GL(k), Z t − B = (Z − B t )t = Z t + B (d.h. B = 0), D = ZAZ t und At A + Z t Z = A gelten. Die letzte Gleichung ist wegen dem impliziten Funktionensatz f¨ ur kZk nahe 0 in A nahe id eindeutig glatt l¨osbar, denn die zweite partielle Ableitung von (Z, A) 7→ At A + Z t Z − A an der Stelle (0, id) ist A 7→ At + A − A = At ist ein Isomorphismus. Expliziter erhalten q wir dies aus dem Banach’schen Fixpunktsatz f¨ ur kZk <

1 2

mit kAk ≤

1 2

−

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1 4

− kZk2 =:

c 2

<

1 2,

93

11.12

11. Beispiele von Teilmannigfaltigkeiten

denn dann hat die Ableitung von A 7→ At A + Z t Z Operatornorm ≤ kAt k + kAk = 2 2kAk ≤ c < 1 und kAt A+Z t Zk ≤ kAt Ak+kZ t Zk = kAk2 +kZk2 ≤ c4 +kZk2 = 2c . Da A genau dann eine L¨ osung ist, wenn 1 − A eine ist, erhalten wir auch eine eindeutige Lßoung A mit k1 − Ak ≤ 2c . Die glatte Abh¨angigkeit von Z folgt, da die Ableitung von A 7→ At A + Z t Z − A f¨ ur solche A invertierbar ist, denn diese ist durch S 7→ At S + S A − S gegeben, w¨are also At S + S t A − S = 0, dann w¨are f¨ ur S 6= 0 kSk = kS t k = k(S − At S)A−1 k ≤ k1 − At k kSk kA−1 k = k1 − Ak kSk k(1 − (1 − A))−1 k ≤

∞ X c 1 c kSk k1 − Akk ≤ kSk 2 2 1− k=0

c 2

< kSk,

ein Widerspruch. Wir wollen nun das Bild der Parametrisierung ϕ : L(k, n−k) → G(k, n) geometrisch beschreiben. Es ist ϕ(0) (die Orthoprojektion auf) die Ebene Rk ,→ Rn , x 7→ (x, 0). Es ist P := ϕ(Z) die Orthoprojektion auf Bild(P ) = Graph(Z) =: ε und offensichtlich ist ε∩({0}×Rn−k ) = {(0, y) ∈ Graph(Z)} = {0}. Umgekehrt sei ε eine beliebige k-Ebene die {0}×Rn−k trivial schneidet, dann ist pr1 |ε : ε → Rk injektiv, denn Ker(pr1 ) = {0} × Rn−k und aus Dimensionsgr¨ unden ein Isomorphismus, also ε = {z = (pr1 (z), pr2 (z)) : z ∈ ε} = {(x, (pr2 ◦(pr1 |ε )−1 )(x) : x ∈ Rk } = Graph(Z), wobei Z := pr2 ◦(pr1 |ε )−1 : Rk → ε → Rn−k ∈ L(k, n − k). Es ist ε⊥ = {(x, y) : ∀ v ∈ Rk : hx|vi + hy|Z(v)i = 0} = {(−Z t y, y) : y ∈ Rn−k }. {z } | =hx+Z t y|vi

Somit erhalten wir einen Isomorphismus ∼ ε × ε⊥ ∼ Rk × Rn−k = = Rn ∼ = Rk × Rn−k gegeben durch (a, b) 7→ (a, Za) + (−Z t b, b) = (a − Z t b, Za + b) =: (x, y). Dessen Inverses erhalten wir durch L¨ osen des Gleichungsystems: ( ( t x + Z t y = (a − Z t b) + Z t (Za + b) = (1 + Z t Z)a x=a−Z b ⇒ y = Za + b y − Zx = (Za + b) − Z(a − Z t b) = (1 + ZZ t )b ( a = (1 + Z t Z)−1 (x + Z t y) ⇒ , b = (1 + ZZ t )−1 (y − Zx) wobei 1 + Z t Z und 1 + ZZ t invertierbar sind, da 0 = h1 + Z t Zx|xi = |x|2 + |Zx|2 ⇒ x = 0 und ebenso 0 = h1 + ZZ t y|yi = |y|2 + |Z t y|2 ⇒ y = 0. Die ortho-Projektion P auf ε ist somit durch P : (x, y) 7→ a := (1 + Z t Z)−1 (x + Z t y) 7→ (a, Za) gegeben. Dies zeigt auch eine direkte Rechnung, denn das Bild von P liegt offensichtlich in ε = Graph(Z), der Kern von P ist {(x, y) : (1 + Z t Z)−1 (x + Z t y) = 0} = {(x, y) : x = −Z t y} = ε⊥ und P |ε ist offensichtlich id. Also ist     A B (1 + Z t Z)−1 (1 + Z t Z)−1 Z t P = = = ϕ(Z). C D Z(1 + Z t Z)−1 Z(1 + Z t Z)−1 Z t Da jede Ebene ε das Bild g(Rk ×{0}) eines Isomorphismuses g ∈ GL(n) ist, erhalten wir somit Karten L(k, n − k) → G(k, n) zentriert bei ε. 11.12 Folgerung. Es ist M := {(ε1 , ε2 ) ∈ G(k, n) × G(n − k, n) : ε1 ∩ ε2 = {0}} eine offene Teilmenge 94

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11.12

11. Beispiele von Teilmannigfaltigkeiten

der Produktmannigfaltgkeit G(k, n) × G(n − k, n) und bzgl. pr1 |M : M → G(k, n) ein Vektorb¨ undel (siehe 25.5 ) u ¨ber G(k, n) mit typischer Faser L(n − k, n).

Beweis. Wir betrachten vorerst den ausgezeichneten Teilraum ε0 = Rk × {0} ⊆ Rn und die Parametrisierung ϕ : L(k, n − k) → G(k, n) aus 11.11 auf die offenen Umgebung U0 := {ε1 ∈ G(k, n) : ε1 ∩ ε⊥ 0 = {0}} von ε0 in G(k, n). Diese induziert ein glatte Abbildung −1



1 Z

−Z t 1



γ :U0 → GL(n), ε1 7→ Z := ϕ (ε1 ) 7→ g :=   A := (1 + Z t Z)−1 Z tD −1 mit g = , −ZA D := (1 + ZZ t )−1 denn AZ = (1 + Z t Z)−1 Z = Z(1 + ZZ t )−1 = ZD.

Es ist g(Rk × {0}) = Graph(Z) = Bild(P ) = ε1 nach 11.11 und g({0} × Rn−k ) = {(−Z t y, y) : y ∈ Rn−k } = {(x, Zx) : x ∈ Rk }⊥ = Graph(Z)⊥ = ε⊥ 1 . Es gilt f¨ ur ε2 ∈ G(n − k, n) genau dann (ε1 , ε2 ) ∈ M , wenn {0} = ε1 ∩ ε2 , also wenn {0} = γ(ε1 )−1 (ε1 ) ∩ γ(ε1 )−1 (ε2 ) = (Rk × {0}) ∩ γ(ε1 )−1 (ε2 ), d.h. γ(ε1 )−1 (ε2 ) ∈ U1 := {ε ∈ G(n − k, n) : ε0 ∩ ε = {0}} und diese offene Menge ist das Bild der bei ε⊥ 1 zentrierten Parametrisierung ϕ1 : L(n − k, n) → U1 ⊆ G(n − k, n) aus 11.11 . Somit erhalten wir eine Bijektion Φ : U0 × L(n − k, n) → U0 × U1 → {(ε1 , ε2 ) ∈ M : ε1 ∈ U0 } 
 (ε1 , Z1 ) 7→ (ε1 , ϕ1 (Z1 )) 7→ ε1 , γ(ε1 ) ϕ1 (Z1 ) . Diese Bijektion ist glatt, da γ und ϕ1 glatt sind und GL(n) × G(n − k, n) → G(n − k, n), (g, ε2 ) 7→ g(ε2 ) = g(Bild(P2 )) = Bild(g ◦ P2 ) es ist. Die Inverse ist durch 
 −1 (ε1 , ε2 ) 7→ ε1 , ϕ−1 γ(ε ) (ε ) 1 2 1 gegeben und somit ebenfalls glatt. Wenn nun ein anderes fixes Element in G(k, n) gegeben ist, dann existiert eine Drehung g0 ∈ O(n) so, daß g0 (ε0 ) = g0 (Rk × {0}) diese fixe Element ist. Und g −1 ×id

Φ

g0 ×g0

Φg0 : (g0 )∗ (U0 ) × L(n − k, n) 0−→ U0 × L(n − k, n) −→ M −→ M, (ε1 , Z1 ) 7→ (g0 × g0 )(Φ(g0−1 (ε1 ), Z1 )) = (ε1 , g0 · γ(g0−1 (ε1 )) · ϕ1 (Z1 )) ist dann eine entsprechende lokale Trivialisierung bei g0 (ε0 ) mit Inverser Φ−1 g

      −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 (ε1 , ε2 ) 7−→ (g0 × id) Φ g0 (ε1 ), g0 (ε2 ) = ε1 , ϕ1 γ(g0 ) · g0 · ε2 . 0

Die Transitionsfunktionen dieses Faserb¨ undel-Atlases berechnen sich nun wie folgt: Seien dazu g0 , g1 ∈ O(n) beliebig, dann ist f¨ ur ε1 ∈ g0 (U0 ) ∩ g1 (U0 ) und Z1 ∈ c 15. Dezember 2008 [email protected]

95

11.10

11. Beispiele von Teilmannigfaltigkeiten

L(n − k, n):   −1 (Φ−1 ◦ (g1 × g1 )−1 ◦ (g0 × g0 ) ◦ Φ ◦ (g0−1 × 1) (ε1 , Z1 ) g1 ◦ Φg0 )(ε1 , Z1 ) = (g1 × 1) ◦ Φ {z } | (g0−1 ·ε1 ,γ(g0−1 ·ε1 )·ϕ1 (Z1 ))

|

{z } (ε1 , g0 · γ(g0−1 · ε1 ) · ϕ1 (Z1 )) {z } (g1−1 · ε1 , g1−1 · g0 · γ(g0−1 · ε1 ) · ϕ1 (Z1 )) {z }

| |  =

ε1 , ϕ−1 1



−1 −1 −1 (g1−1 ·ε1 ,ϕ−1 ·g1 ·g0 ·γ(g0−1 ·ε1 )·ϕ1 (Z1 ))) 1 (γ(g1 ·ε1 )

γ(g1−1

−1

· ε1 )

|

·

g1−1

· g0 · {z =: g

γ(g0−1

 · ε1 ) ·ϕ1 (Z1 ) }

Es bildet g0 · γ(g0−1 · ε1 ) den Teilraum Rk × {0} auf g0−1 · ε1 und weiter auf ε1 ab ⊥ und den Teilraum {0} × Rn−k auf (g0−1 · ε1 )⊥ = g0−1 · ε⊥ 1 und weiter auf ε1 . Somit −1 −1 −1 −1 k l¨ aßt g := γ(g1 · ε1 ) · g1 · g0 · γ(g0 · ε1 ) die Teilr¨aume R × {0} und {0} × Rn−k invariant, ist also von der Form g = h1 × h2 und somit ist ϕ−1 1

    A −1 g · ϕ1 (Z1 ) = ϕ1 (h1 × h2 ) · C

  B  −1 h1 · A = ϕ1 D h2 · C

h1 · B h2 · D



= (h2 · C) · (h1 · A)−1 = h2 · Z1 · h−1 1 . Folglich ist die Transitionsfunktion faserweise Z1 7→ h2 · Z1 · h−1 1 , also linear und M → G(k, n) ein Vektorb¨ undel.

11.10 Aufdrehen eines 2-fach verdrehten Bandes Ein unverdrehtes St¨ uck eines Bandes ist parametrisiert durch ϕ0 : [0, 2π] × [−1, +1] → R3 ⊂ R4 ,

(θ, r) 7→ (θ, r, 0, 0).

Ein zweifach verdrehtes Band ist parametrisiert durch ϕπ : [0, 2π] × [−1, +1] → R3 ⊂ R4 ,

(θ, r) 7→ (θ, r cos θ, r sin θ, 0).

Wir wollen nun eine Diffeotopie F : R × R4 → R4 des R4 finden (d.h. eine glatt parametrisierte Familie t 7→ F (t; ) von Diffeomoerphismen des Rm mit F (0, ) = id und F (π, ) der gesuchte Diffeomorphismus), welche das nicht verdrehte Band in das 2-fach verdrehte Band u uhrt. Dazu bezeichnen wir die Koordinaten im R4 mit ¨berf¨ (x, y, z, w). Diese Diffeotopie F (t; ) soll die Hyperebenen normal auf die x-Achse invariant lassen, und dort als Drehung wirken. Wir bezeichnen diese Drehung in der Hyperebenen x + {0} × R3 zum Zeitpunkt t mit R(t, x) ∈ SO(R3 ). Und zwar soll dies gerade eine Drehung um den Winkel −t um die Achse ` = (cos x2 , sin x2 , 0) sein. Wir erhalten R(t, x) indem wir zuerst um die w-Achse die Achse ` in die y-Achse drehen, sodann um die y-Achse um den Winkel t drehen, und danach die y-Achse zur¨ uck auf die `-Achse um die w-Achse drehen. 96

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11.10

11. Beispiele von Teilmannigfaltigkeiten z

H0,CosHxL,SinHxLL

HCosHx2L,SinHx2LL

y

w

Die Matrizen-Darstellung von R(t, x) bez¨ uglich der Koordinaten (y, z, w) sieht also wie folgt aus: [R(t, x)] =     cos x2 − sin x2 0 cos x2 1 0 0 sin x2 0 cos x2 0 0 cos t sin t  − sin x2 cos x2 0 =  sin x2 0 − sin t cos t 0 0 1 0 0 1    x x x x cos 2 cos 2 − sin 2 0 sin 2 0 cos x2 0 − cos t sin x2 cos t cos x2 sin t  =  sin x2 0 0 1 sin t sin x2 − sin t cos x2 cos t   cos2 x2 + cos t sin2 x2 (1 − cos t) cos x2 sin x2 − sin t sin x2 = (1 − cos t) sin x2 cos x2 sin2 x2 + cos t cos2 x2 sin t cos x2  x x sin t sin 2 − sin t cos 2 cos t In den Randpunkten x = 0 und x = 2π ist   1 0 0 [R(t, 0)] = 0 cos t sin t  0 − sin t cos t und  1 [R(t, 2π)] = 0 0

 0 0 cos t − sin t sin t cos t

h¨ alt also die y-Achse fix. Unsere gesuchte Diffeotopie ist somit F (t; x, y, z, w) := (x, R(t, x)(y, z, w)) und die entsprechende Isotopie ϕt (θ, r) : = F (t; ϕ0 (θ, r)) = (θ, R(t, θ)(r, 0, 0))   = θ, 2r (1 + cos θ + cos t(1 − cos θ)), 2r (1 − cos t) sin θ, r sin t sin θ2 Klarerweise ist ϕt (θ, r) = (θ, r, 0, 0) f¨ ur θ = 0 und f¨ ur θ = 2π. Weiters sind ϕ0 und ϕπ die gew¨ unschten Randwerte. Und nach Konstruktion sind alle ϕt Einbettungen von [0, 2π] × [−1, 1] → R4 . c 15. Dezember 2008 [email protected]

97

12.2

11. Beispiele von Teilmannigfaltigkeiten

12. Homotopiegruppen der Sph¨ aren Dieser Abschnitt ist ein kurzer Exkurs u ¨ber Homotopiegruppen und somit in die Homotopietheorie, einem Teilgebiet der algebraischen Topologie. 12.1 H¨ ohere Homotopiegruppen In Analogie zur ersten Fundamentalgruppe π(X) = π1 (X) der Homotopieklassen geschlossener Kurven durch einen fixen Punkt eines zusammenh¨angenden, topologischen Raumes, definiert man die h¨ oheren Homotopie-Gruppen πk (X) als die Menge der Homotopieklassen von stetigen Abbildungen ϕ : S k → X, welche einen ausgezeichneten Punkt der n-Sph¨are auf einen fixen Punkt x0 ∈ X abbilden. Zwei solche Klassen [f1 ] und [f2 ] lassen sich multiplizieren, indem man die beiden Parameter-Sph¨ aren in ihren ausgezeichneten Punkten aneinander klebt, und dann eine andere k-Sph¨ are l¨ angs einem Großkreis durch ihren ausgezeichneten Punkt zusammenzieht, so daß die beiden Parameter-Sph¨aren entstehen. F¨ ur k > 1 ist diese Gruppenstruktur kommutativ.

f1

X

f2 Anstelle “L¨ ocher” mit “Lassos” (d.h. Elementen der π1 (X)) zu fangen, versucht man also “Netze” (d.h. Elemente der π2 (X)) und h¨oher dimensionale Analoga zu verwenden. 12.2 Homotopiegruppen der Sph¨ aren Nat¨ urlich will man diese geometrisch so einfach definierten Gruppen f¨ ur die einfachsten nicht trivialen Mannigfaltigkeiten, wie z.B. die Sph¨aren berechnen. Es gilt πk (S n ) = 0 f¨ ur 1 ≤ k < n. Z.B. sind also alle Sph¨aren der Dimension gr¨oßer als 1 einfachzusammenh¨ angend. Das Loch, das sie im Rn+1 umschließen, l¨aßt sich nicht mit Lassos fangen. Weiters gilt πk (S n ) = Z f¨ ur 1 ≤ k = n. Der Erzeuger dieser zyklischen Gruppe unendlicher Ordnung ist die Homotopieklasse der Identit¨at S k → S n . Etwas ur 1 ≤ k < 2n − 1. allgemeiner gilt der Stabilit¨ atssatz: πk (S n ) = πk+1 (S n+1 ) f¨ In Analogie zur 1-Sph¨ are wird man nun wohl erwarten, daß πk (S n ) = {0} ist f¨ ur k > n ≥ 1. ¨ Uberraschenderweise ist dem aber nicht so. Ein Gegenbeispiel ist die Hopffaserung S 3 → S 2 . Mittels der exakten Homotopiesequenz einer Faserung (siehe algebraische Topologie) l¨ aßt sich einfach zeigen, daß π3 (S 2 ) ∼ = π3 (S 3 ) ∼ = Z ist. Die Hopffaserung 3 2 S → S f¨ angt also irgend etwas auf der 2-Sph¨are ein. Es kann sogar passieren, wenn wir ganz sicher sein wollen, und etwas, das wir gefangen haben, noch mehrmals auf gleiche Weise fangen, daß dieses Ding pl¨otzlich frei wird, d.h. gewisse Homotopiegruppen πk (S n ) enthalten Torsionselemente (d.h. Elemente endlicher Ordnung) 98

c 15. Dezember 2008 [email protected]

13.1

12. Homotopiegruppen der Sph¨ aren

enthalten, oder sind sogar Torsionsgruppen (d.h. alle Elemente sind Torsionselemente). Es gilt allgemein, daß πk+n (S n ) eine Torsionsgruppe f¨ ur 0 < k 6= n − 1 ist. Es sind noch von keiner Sph¨are der Dimension gr¨oßer 1 alle Homotopiegruppen bekannt. Eine Tabelle der ersten Gruppen πk+n (S n ) der nieder-dimensionalen Sph¨ aren ist die folgende, wobei mit einer Eintragung ∞n (p1 )n1 . . . (pk )nk die Gruppe Zn ⊕(Zp1 )n1 ⊕· · ·⊕(Zpk )nk gemeint ist und 1 die triviale Gruppe {0} bezeichnet: k\n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1 ∞ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 12 ∞.12 24 24 24 24 24 24 4 12 2 22 2 1 1 1 1 1 5 2 2 22 2 ∞ 1 1 1 1 6 2 3 24.3 2 2 2 2 2 2 7 3 15 15 30 60 120 ∞.120 240 240 8 15 2 2 2 24.2 23 24 23 22 2 3 3 3 4 5 3 9 2 2 2 2 2 2 2 ∞.2 23 2 2 10 2 12.2 120.12.2 72.2 72.2 24.2 24 .2 122 6.2 11 12.2 84.22 84.23 504.22 504.4 504.2 504.2 504.2 504 12 84.22 22 26 23 240 1 1 1 12

13. Exkurs u ¨ ber Gruppenerweiterungen Wir werden im n¨ achsten Abschnitt eine Vielzahl von Beispielen von Lie-Gruppen geben. Einige dieser Gruppen werden wir aus Gruppenerweiterungen erhalten und dazu rekapitulieren wir in diesem Abschnitt diese Konstruktionen aus der Gruppentheorie. 13.1 Erweiterungen und Schnitte Unter einer Gruppenerweiterung versteht man eine kurze exakte Sequenz von Gruppen 1 → N −i→ G −p→ H → 1, d.h. alle Pfeile sind Gruppenhomomorphismen und f¨ ur je zwei aufeinanderfolgende f Pfeile •−fi→ •− i+1→ • gilt Bild(fi ) = Ker(fi+1 ). Im Detail bedeutet also Exaktheit bei (N ) Die Abbildung i ist injektiv (wir k¨onnen also N als Untergruppe i(N ) von G auffassen); (G) Es gilt Ker(p) = Im(i), d.h. diese Untergruppe i(N ) ist sogar ein Normalteiler und nach dem Homomorphiesatz ist Bild(p) ∼ = G/ Ker(p) = G/i(N ); (H) Die Abbildung p ist surjektiv, d.h. H = Bild(p) ∼ = G/i(N ). Bis auf die Isomorphismen i : N ∼ = i(N ) und Bild(p) ∼ = G/ Ker(p) ist eine kurze exakte Sequenz also nichts anderes als eine Gruppe G mit Normalteiler i(N ) und Quotient G/i(N ). Sei s : H → G eine rechtsinverse Abbildung zu p : G → H (erhalten z.B. durch Wahl von Urbildern). Dann ist G ∼ = N × H als Menge verm¨oge der Abbildungen G → N × H,

g 7→ (g · s(p(g))−1 , p(g))

N × H → G,

(n, h) 7→ i(n) · s(h).

und

c 15. Dezember 2008 [email protected]

99

13.1

¨ ber Gruppenerweiterungen 13. Exkurs u

In der Tat zeigt eine einfache Rechnung, daß die beiden Abbildungen invers zueinander sind. Wir wollen nun die Gruppenmultiplikation von G in N × H ausdr¨ ucken, d.h. durch das folgende kommutative Diagramm / N ×H

(N × H) × (N × H) ∼ =

∼ =

 G×G

 /G

·

Also gilt: (n1 , h1 ) · (n2 , h2 ) = (i(n1 ) · s(h1 ) · i(n2 ) · s(h2 ) · s(h1 · h2 )−1 , h1 · h2 ). Wir bezeichnen N × H mit dieser Gruppenstruktur als N ×s H. Wenn wir die Abbildungen c : H × H → N, ρ : H → Aut(N ),

c(h, h0 ) := s(h) · s(h0 ) · s(h · h0 )−1 und ρ(h)(n) := s(h) · n · s(h)−1 ,

verwenden (wobei wir mit Aut(N ) die Gruppe aller Gruppenisomorphismen N → N (also Gruppenautomorphismen von N ) mit der Komposition als Operation bezeichnen), dann k¨ onnen wir die Multiplikation auf N ×s H auch wie folgt aufschreiben (n, h) · (n0 , h0 ) = (n · ρ(h)(n0 ) · c(h, h0 ), h · h0 ). Wir haben somit folgendes kommutatives Diagramm: 1

/N

1

/N

/G O

i

p

/H

/1

pr2

/H

/1

∼ =

incl1

 / N ×s H

Eine weitere Abbildung s0 : H → G ist genau dann ebenfalls ein Schnitt, wenn eine (eindeutig bestimmte) Abbildung τ : H → N existiert mit s0 (h) = τ (h) · s(h) f¨ ur alle h ∈ H; denn τ (h) := s0 (h) · s(h)−1 hat genau dann Werte in N , falls p(τ (h)) = p(s0 (h) · s(h)−1 ) = p(s0 (h)) · p(s(h))−1 = h · h−1 = 1 gilt. F¨ ur die assoziierten Abbildungen c0 : H × H → N und ρ0 : H → Aut(N ) heißt das ρ0 (h)(n) = τ (h) · ρ(h)(n) · τ (h)−1 c0 (h, h0 ) = τ (h) · ρ(h)(τ (h0 )) · c(h, h0 ) · τ (h · h0 )−1 . Falls zwei exakte Sequenzen isomorph sind, d.h. ein Gruppenisomorphismus ϕ existiert, der folgendes Diagramm kommutativ macht, 1

/N

i

/N

0

/G O

p

/H

/1

p0

/H

/1

ϕ ∼ =

1

i

/ G0

dann ist f¨ ur Schnitte s : H → G von p : G → H und s0 : H → G0 von p0 : G0 → H auch ϕ ◦ s0 : H → G0 → G ein Schnitt von p : G → H und somit von der Form ϕ◦s0 = i◦τ ·s f¨ ur eine Abbildung τ : H → N . Mittels τ k¨onnen wir ϕ als Abbildung von N ×s0 H ∼ = G0 nach N ×s H ∼ = G nun wie folgt darstellen: ϕ(n, h) = ϕ(i0 (n) · s0 (h)) = ϕ(i0 (n)) · ϕ(s0 (h)) = i(n) · i(τ (h)) · s(h) = i(n · τ (h)) · s(h) = (n · τ (h), h). 100

c 15. Dezember 2008 [email protected]

¨ ber Gruppenerweiterungen 13. Exkurs u

13.4

Wir werden in den folgenden Abschnitten nun untersuchen, welche Eigenschaften c : H × H → N , ρ : H → Aut(N ) und τ : H → N in diversen Spezialf¨allen besitzen m¨ ussen. 13.2 Triviale Erweiterungen Gehen wir als erstes der Frage nach, wann die Gruppenstruktur N ×s H genau die des Produktes ist, d.h. ?

i(n1 ) · i(n2 ) = i(n1 · n2 ) = i(n1 ) · s(h1 ) · i(n2 ) · s(h2 ) · s(h1 · h2 )−1 , gilt. W¨ ahlen wir n1 = 1, so verk¨ urzt sich die Bedingung auf i(n2 ) · s(h1 · h2 ) · s(h2 )−1 = s(h1 ) · i(n2 ). Dies impliziert, daß s : H → G ein Gruppenhomomorphismus ist (setze n2 = 1) und s(h) mit i(n) f¨ ur alle h ∈ H und n ∈ N kommutiert (setze h2 = 1). In diesem Fall ist also sowohl c(h, h0 ) = 1 als auch ρ(h) = 1. Die Umkehrung gilt klarerweise. In den n¨ achsten beiden Abschnitten betrachten wir nun die F¨alle, wo nur eine der beiden Bedingungen c = 1 oder ρ = 1 erf¨ ullt ist. 13.3 Semidirekte Produkte Sei der Schnitt s : H → G ein Gruppenhomomorphismus (dies l¨aßt sich nicht immer erreichen, betrachte z.B. 2Z ,→ Z  Z2 := Z/2Z). Dann ist ρs : H → Aut(N ), h 7→ (n 7→ i−1 (s(h) · i(n) · s(h)−1 )) ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus, weiters ist c = 1 und die Multiplikation auf N × H somit durch (n1 , h1 ) · (n2 , h2 ) := (n1 · ρ(h1 )(n2 ), h1 · h2 ) gegeben. Andererseits liefert jeder Gruppenhomomorphismus ρ : H → Aut(N ) auf diese Weise eine Gruppenstruktur G auf N × H und eine kurze exakte Sequenz 1 → N −i→ G −p→ H → 1, wobei i : N → N × H die Inklusion auf den ersten Faktor und p : N × H → H die Projektion auf den zweiten Faktor ist. Als Schnitt s k¨onnen wir die Inklusion auf den zweiten Faktor verwenden. Man sagt in dieser Situation, daß G das semidirekte Produkt N nρ H mit Normalteiler N und Untergruppe H ist: Damit (1, 1) das neutrale Element ist, muß ρ(1)(n) = n und ρ(h)(1) = 1 gelten. F¨ ur das Assoziativgesetz ben¨ otigt man ρ(h)(n0 ) · ρ(hh0 )(n00 ) = ρ(h)(n0 · ρ(h0 )(n00 )) und wenn wir n0 = 1 w¨ ahlen, folgt ρ(hh0 )(n00 ) = ρ(h)(ρ(h0 )(n00 )), und mit h0 = 1 0 00 folgt ρ(h)(n ) · ρ(h)(n ) = ρ(h)(n0 · n00 ). Es ist also notwendig und hinreichend daf¨ ur daß N nρ H eine Gruppe wird, daß ρ eine Darstellung von H auf N (d.h. Gruppenhomomorphismus H → Aut(N )) ist. Es ist (n, h)−1 = (ρ(h)−1 (n−1 ), h−1 ) und somit ist (1, h) · (n, 1) · (1, h)−1 = (1 · ρ(h)(n), h · 1) · (ρ(h)−1 (1), h−1 ) = (ρ(h)(n), 1), d.h. ρ ist gerade die vom Schnitt s : h 7→ (1, h) induzierte Darstellung. 13.4 Getwistete Homomorphismen Sei nun s0 := τ · s : H → G ein zweiter Schnitt, der auch ein Gruppenhomomorphismus ist. Aus s0 (h·h0 ) = s0 (h)·s0 (h0 ) folgt τ (h·h0 )·s(h)·s(h0 ) = τ (h)·s(h)·τ (h0 )·s(h0 ), und somit τ (h · h0 ) · s(h) = τ (h) · s(h) · τ (h0 ), oder ¨aquivalent τ (h · h0 ) = τ (h) · ρ(h)(τ (h0 )) c 15. Dezember 2008 [email protected]

101

13.4

¨ ber Gruppenerweiterungen 13. Exkurs u

Also ist τ : H → N ein bez¨ uglich ρ getwisteter Gruppenhomomorphismus mit ρ0 (h)(n) = s0 (h) · n · s0 (h)−1 = τ (h) · s(h) · n · s(h)−1 · τ (h)−1 = τ (h) · ρ(h)(n) · τ (h)−1 .

Umgekehrt definiert jeder bez¨ uglich ρ getwistete Gruppenhomomorphismus τ : H → N eine neue Darstellung ρ0 durch ρ0 (h)(n) := τ (h) · ρ(h)(n) · τ (h)−1 , denn ρ0 (h · h0 )(n) = τ (h · h0 ) · ρ(h · h0 )(n) · τ (h · h0 )−1 = τ (h) · ρ(h)(τ (h0 )) · ρ(h)(ρ(h0 )(n)) · ρ(h)(τ (h0 ))−1 · τ (h)−1 = τ (h) · ρ(h)(τ (h0 ) · ρ(h0 )(n) · τ (h0 )−1 ) · τ (h)−1 = ρ0 (h)(ρ0 (h0 )(n)).

Wir wollen nun zeigen, daß wir genau dann zwei isomorphe exakte Sequenzen erhalten, wenn ρ und ρ0 mittels so einem τ in Beziehung stehen. Es existiere also ein Gruppenisomorphismus ϕ : G0 → G, der folgendes Diagramm kommutativ macht: 1

/N

i

/G O

p

/H

/1

p0

/H

/1

ϕ ∼ =

1

/N

i0

/ G0

Dann ist sowohl s : H → G := N nρ H, gegeben durch h 7→ (1, h), als auch die Zusammensetzung ϕ ◦ s0 : H → G0 → G ein Schnitt f¨ ur G, wobei s0 : H → 0 G := N nρ0 H der Schnitt h 7→ (1, h) sei. Also existiert nach Obigem ein bez¨ uglich ρ getwisteter Gruppenhomomorphismus τ : H → N (d.h. τ (h·h0 ) = τ (h)·ρ(h)(τ (h0 ))) mit ϕ(s0 (h)) = τ (h) · s(h) und somit ist ρ0 (h)(n) = ϕ(ρ0 (h)(n)) = ϕ(s0 (h) · n · s0 (h)−1 ) = ϕ(s0 (h)) · n · ϕ(s0 (h))−1 = τ (h) · s(h) · n · s(h)−1 · τ (h)−1 = τ (h) · ρ(h)(n) · τ (h)−1 , da ϕ nach Voraussetzung auf N als Identit¨at wirkt. Insbesonders besagt die Getwistetheit auch, daß τ (h · h0 ) = τ (h) · ρ(h)(τ (h0 )) = τ (h) · τ (h)−1 · ρ0 (h)(τ (h0 )) · τ (h) = ρ0 (h)(τ (h0 )) · τ (h).

onnen wir ϕ mittels τ als ϕ(n, h) = (n · τ (h), h) darstellen. Nach 13.1 k¨ 102

c 15. Dezember 2008 [email protected]

¨ ber Gruppenerweiterungen 13. Exkurs u

13.5

Umgekehrt k¨ onnen wir durch diese Formel mittels τ nun einen Gruppenisomorphismus ϕ : G0 → G definieren, denn ϕ(n, h) · ϕ(n0 , h0 ) = (n · τ (h), h) · (n0 · τ (h0 ), h0 ) = (n · τ (h) · ρ(h)(n0 · τ (h0 )), h · h0 ) = (n · τ (h) · τ (h)−1 · ρ0 (h)(n0 · τ (h0 )) · τ (h), h · h0 ) = (n · ρ0 (h)(n0 · τ (h0 )) · τ (h), h · h0 ) = (n · ρ0 (h)(n0 ) · τ (h · h0 ), h · h0 ) = ϕ(n · ρ0 (h)(n0 ), h · h0 ) = ϕ((n, h) · (n0 , h0 )).

Also stehen die Isomorphieklassen von Gruppenerweiterungen, die einen Gruppenhomomorphismus als Schnitt zulassen, in bijektiver Beziehung zu Hom(H, Aut(N ))/ ∼, wobei zwei Darstellungen ρ0 und ρ a¨quivalent heißen, wenn ein bez¨ uglich ρ getwisteter Gruppenhomomorphismus τ : H → N existiert, welcher sie wie oben beschrieben ineinander u uhrt. ¨berf¨

13.5 Zentrale Erweiterungen Betrachten wir nun den zweiten Fall, wo f¨ ur den Schnitt s : H → G folgendes (also ρ = 1) gilt: i(n) · s(h) = s(h) · i(n) f¨ ur alle n ∈ N , h ∈ H Damit das unabh¨ angig von s gilt, fordern wir, daß i(N ) im Zentrum Z(G) := {g ∈ G : g · g 0 = g 0 · g ∀ g 0 ∈ G} von G enthalten ist. So eine Erweiterung 1 → N → G → H → 1 (mit i(N ) in G zentral) heißt eine zentrale Erweiterung. Insbesonders ist dann N abelsch. Die Gruppenmultiplikation auf N × H ist also nach Ausn¨ utzen der Zentralit¨ at durch (n1 , h1 ) · (n2 , h2 ) = (n1 · n2 · c(h1 , h2 ), h1 · h2 ) gegeben, wobei c : H × H → N definiert ist durch c(h1 , h2 ) := s(h1 ) · s(h2 ) · s(h1 · h2 )−1 . Die beiden Seiten des Assoziativgesetzes sind nun: ((n1 , h1 ) · (n2 , h2 )) · (n3 , h3 ) = (n1 · n2 · c(h1 , h2 ), h1 · h2 ) · (n3 , h3 ) = (n1 · n2 · c(h1 , h2 ) · n3 · c(h1 · h2 , h3 ), h1 · h2 · h3 ) (n1 , h1 ) · ((n2 , h2 ) · (n3 , h3 )) = (n1 , h1 ) · (n2 · n3 · c(h2 , h3 ), h2 · h3 ) = (n1 · n2 · n3 · c(h2 , h3 ) · c(h1 , h2 · h3 ), h1 · h2 · h3 ) Es liefert also c genau dann eine assoziative Struktur, wenn die folgende “Kozykel”Gleichung erf¨ ullt ist c(h1 , h2 ) · c(h1 · h2 , h3 ) = c(h2 , h3 ) · c(h1 , h2 · h3 ), oder nach Ausn¨ utzung der Kommutativit¨at ∂c(h1 , h2 , h3 ) := c(h2 , h3 ) · c(h1 · h2 , h3 )−1 · c(h1 , h2 · h3 ) · c(h1 , h2 )−1 = 1. c 15. Dezember 2008 [email protected]

103

13.6

¨ ber Gruppenerweiterungen 13. Exkurs u

Da wir s(1) = 1 immer erreichen k¨onnen, indem wir s durch s0 (h) := s(h) · s(1)−1 setzen, d¨ urfen wir annehmen, daß c(1, 1) = s(1) = 1 gilt und weiters: 1 = ∂c(1, 1, h) = c(1, h) · c(1, h)−1 · c(1, h) · c(1, 1)−1 = c(1, h) 1 = ∂c(h, 1, 1) = c(1, 1) · c(h, 1)−1 · c(h, 1) · c(h, 1)−1 = c(h, 1)−1 1 = ∂c(h, h−1 , h) = c(h−1 , h) · c(1, h)−1 · c(h, 1) · c(h, h−1 )−1 = c(h−1 , h) · c(h, h−1 )−1 Dann folgt c(h, 1) · c(h, 1) = c(1, 1) · c(h, 1) also c(h, 1) = 1 und c(1, 1) · c(1, h) = c(1, h) · c(1, h) also c(1, h) = 1 und schließlich c(h, h−1 ) · c(1, h) = c(h−1 , h) · c(h, 1) also c(h, h−1 ) = c(h−1 , h). Dies zeigt, daß eine Abbildung c : H × H → N in eine Abelsche Gruppe N , welche die Kozykelgleichung und c(1, 1) = 1 erf¨ ullt eine Gruppenstruktur auf G := N × H durch (n, h) · (n0 , h0 ) := (n · n0 · c(h, h0 ), h · h0 ) (n, h)−1 = (n−1 · c(h, h−1 )−1 , h−1 ) festlegt, und zwar so, daß 1 → N −i→ G −p→ H → 1 eine Erweiterung ist, wobei i : N → G durch n 7→ (n, 1) und p durch (n, h) 7→ h gegeben sind. Dies ist eine zentrale Erweiterung, denn (n, 1)·(n0 , h0 ) = (n·n0 ·c(1, h0 ), h0 ) = (n0 ·n·c(h0 , 1), h0 ) = (n0 , h0 ) · (n, 1). Weiters ist s : H → N × H gegeben durch h 7→ (1, h) ein Schnitt und es gilt s(h) · s(h0 ) · s(h · h0 )−1 = (1, h) · (1, h0 ) · (1, h · h0 )−1 = (c(h, h0 ) · c(h · h0 , (h · h0 )−1 )−1 · c(h · h0 , (h · h0 )−1 ), 1) = (c(h, h0 ), 1)

13.6 Gruppen-Kozykeln Wieder fragen wir danach, welche Kozykeln c isomorphe Gruppen liefern. Sei dazu vorerst s0 ein zweiter Schnitt (mit s0 (1) = 1). Dann ist s0 (h) = τ (h)·s(h) = s(h)·τ (h) f¨ ur eine Abbildung τ : H → N , welche τ (1) = 1 erf¨ ullt. Eine direkte Rechnung (siehe 13.9 ) f¨ ur die assoziierten Kozykel c und c0 ergibt c0 (h, h0 ) = ∂τ (h, h0 ) · c(h, h0 ), mit ∂τ (h, h0 ) := τ (h0 ) · τ (h · h0 )−1 · τ (h). Sei nun ϕ : G0 → G ein Gruppenisomorphismus, welcher das folgende Diagramm kommutativ macht: 1

/N

i

/N

0

/G O

p

/H

/1

p0

/H

/1

ϕ ∼ =

1

i

/ G0

wobei G = N × H die vom Kozykel c induzierte Gruppenstruktur, und G0 = N × H die von c0 induzierte Struktur sei. Wieder erhalten wir zwei Schnitte s und ϕ ◦ s0 f¨ ur p : G → H, welche durch ein τ : H → N wie folgt ineinander umgerechnet werden k¨onnen: ϕ(s0 (h)) = τ (h) · s(h). F¨ ur die Kozykeln liefert eine kurze Rechnung: c0 (h, h0 ) = ∂τ (h, h0 ) · c(h, h0 ). 104

c 15. Dezember 2008 [email protected]

¨ ber Gruppenerweiterungen 13. Exkurs u

13.8

Umgekehrt l¨ aßt sich mittels τ : H → N ein Gruppenisomorphismus ϕ : G0 → G wie bei semidirekten Produkten durch ϕ(n, h) := (n · τ (h), h) definieren, denn ϕ(n, h) · ϕ(n, h0 ) = (n · τ (h) · n0 · τ (h0 ) · c(h, h0 ), h · h0 ) = (n · τ (h) · n0 · τ (h0 ) · ∂τ (h, h0 )−1 · c0 (h, h0 ), h · h0 ) = (n · n0 · τ (h · h0 ) · c(h, h0 ), h · h0 ) = ϕ((n, h) · (n0 , h0 )) Wir erhalten also, daß die Isomorphieklassen von zentralen Erweiterungen in bijektiver Beziehung zu {c ∈ N H×H : ∂c = 0}/{∂τ : τ ∈ N H } stehen. Dieser Quotient macht Sinn, da ∂ 2 τ = 0 f¨ ur alle τ : H → N . Man beachte, daß die Bedingungen c(1, 1) = 1 und τ (1) = 1 weggelassen werden k¨onnen, da ∂τ (1, 1) = τ (1) und ∂c0 = ∂c · c(1, 1)−1 , wobei c0 (h, h0 ) := c(h, h0 ) · c(1, 1)−1 = c(h, h0 ) · ∂τ (h, h0 ) ist mit τ : h 7→ c(1, 1)−1 .

13.7 Kohomologie von H mit Werten in einer Abelschen Gruppe Man kann das ∂, welches bei zentralen Erweiterungen aufgetaucht ist auch verallgemeinern, indem man f¨ ur eine Gruppe H und eine Abelsche Gruppe N (die wir der Einfachheit halber additiv schreiben) wie folgt definieren: C k (H, N ) := {c : H k+1 → N } ∂ : C k−1 (H, N ) → C k (H, N ) ∂c(h1 , . . . , hk+1 ) := = c(h2 , . . . , hk+1 ) +

k X (−1)j c(h1 , . . . , hj · hj+1 , . . . , hk+1 ) + (−1)k+1 c(h1 , . . . , hk ) j=1

Eine direkte Rechnung zeigt ∂ 2 = 0 und somit k¨onnen wir die Kohomologie von H mit Werten in N als H k (H; N ) := = Ker(∂ : C k (H, N ) → C k+1 (H, N ))/ Bild(∂ : C k−1 (H, N ) → C k (H, N )) definieren. Es beschreibt also H 1 (H; N ) die Isomorphieklassen von zentralen Erweiterungen von H mit zentraler Untergruppe N nach 13.6 und es ist H 0 (H; N ) = Ker(∂ : C 0 (H, N ) → C 1 (H, N )) = Hom(H, N )

13.8 Abelsche Erweiterungen Betrachten wir nun den Fall, wo N abelsch ist, aber nicht notwendig im Zentrum von G liegt, also sogenannte Abelsche Erweiterungen N ,→ G  H. Dann k¨onnen wir eine Wirkung ρ von H auf N durch ρ(p(g))(n) := g · n · g −1 definieren, d.h. das in 13.1 definierte ρ h¨angt nun nicht vom Schnitt s ab. In der Tat folgt aus p(g) = p(g 0 ), daß g −1 · g 0 ∈ N und somit ist g 0 · n · (g 0 )−1 = g · g −1 · g 0 · n · (g 0 )−1 · g · g −1 = g · n · g −1 und somit macht die Definition von ρ Sinn c 15. Dezember 2008 [email protected]

105

13.8

¨ ber Gruppenerweiterungen 13. Exkurs u

und ist eine Darstellung, da konj : G → Aut(N ) eine ist. p  i //H /G N konj

 { Aut(N )

ρ

Ist nun s : H → G irgendein Schnitt, dann ist die Gruppenmultiplikation auf N ×H durch (n1 , h1 ) · (n2 , h2 ) = (n1 · ρ(h1 )(n2 ) · c(h1 , h2 ), h1 · h2 ) gegeben, wobei c : H × H → N wie bei zentralen Erweiterungen in 13.5 oder wie in 13.1 definiert ist durch c(h1 , h2 ) := s(h1 ) · s(h2 ) · s(h1 · h2 )−1 . Die beiden Seiten des Assoziativgesetzes sind nun: ((n1 , h1 ) · (n2 , h2 )) · (n3 , h3 ) = = (n1 · ρ(h1 )(n2 ) · c(h1 , h2 ), h1 · h2 ) · (n3 , h3 ) = (n1 · ρ(h1 )(n2 ) · c(h1 , h2 ) · ρ(h1 · h2 )(n3 ) · c(h1 · h2 , h3 ), h1 · h2 · h3 ) (n1 , h1 ) · ((n2 , h2 ) · (n3 , h3 )) = = (n1 , h1 ) · (n2 · ρ(h2 )(n3 ) · c(h2 , h3 ), h2 · h3 )   = (n1 · ρ(h1 ) n2 · ρ(h2 )(n3 ) · c(h2 , h3 ) · c(h1 , h2 · h3 ), h1 · h2 · h3 ) Es liefert also c (zusammen mit ρ) genau dann eine assoziative Struktur, wenn (nach Ausn¨ utzung der Kommutativit¨at von N ) die folgende “Kozykel”-Gleichung erf¨ ullt ist   c(h1 , h2 ) · c(h1 · h2 , h3 ) = ρ(h1 ) c(h2 , h3 ) · c(h1 , h2 · h3 ), bzw.   ∂ρ c(h1 , h2 , h3 ) := ρ(h1 ) c(h2 , h3 ) · c(h1 · h2 , h3 )−1 · c(h1 , h2 · h3 ) · c(h1 , h2 )−1 = 0. Da wir s(1) = 1 immer erreichen k¨onnen, indem wir s durch s0 (h) := s(h) · s(1)−1 setzen, d¨ urfen wir annehmen, daß c(1, 1) = s(1) = 1 gilt und weiters: 1 = ∂ρ c(1, 1, h) = ρ(1)(c(1, h)) · c(1, h)−1 · c(1, h) · c(1, 1)−1 = c(1, h) 1 = ∂ρ c(h, 1, 1) = ρ(h)(c(1, 1)) · c(h, 1)−1 · c(h, 1) · c(h, 1)−1 = c(h, 1)−1 1 = ∂ρ c(h, h−1 , h) = ρ(h)(c(h−1 , h)) · c(1, h)−1 · c(h, 1) · c(h, h−1 )−1 = ρ(h)(c(h−1 , h)) · c(h, h−1 )−1 Dann folgt c(h, 1) · c(h, 1) = ρ(h)(c(1, 1)) · c(h, 1) also c(h, 1) = 1 und c(1, 1) · c(1, h) = ρ(1)(c(1, h)) · c(1, h) also c(1, h) = 1 und schließlich c(h, h−1 ) · c(1, h) = ρ(h)(c(h−1 , h)) · c(h, 1) also c(h, h−1 ) = ρ(h)(c(h−1 , h)). Dies zeigt, daß eine Abbildung c : H × H → N , welche die Kozykelgleichung und c(1, 1) = 1 erf¨ ullt, eine Gruppenstruktur auf G := N × H durch (n, h) · (n0 , h0 ) := (n · ρ(h)(n0 ) · c(h, h0 ), h · h0 ) (n, h)−1 = (c(h−1 , h)−1 · ρ(h−1 )(n−1 ), h−1 ) definiert und zwar so, daß 1 → N −i→ G −p→ H → 1 eine abelsche Erweiterung ist, wobei i : N → G durch n 7→ (n, 1) und p durch (n, h) 7→ h gegeben sind. Es ist s : H → N × H gegeben durch h 7→ (1, h) ein Schnitt und es gilt s(h) · s(h0 ) · s(h · h0 )−1 = (1, h) · (1, h0 ) · (1, h · h0 )−1 = (c(h, h0 ), 1). 106

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13.10

¨ ber Gruppenerweiterungen 13. Exkurs u 13.9 Isomorphieklassen abelscher Erweiterungen

Wieder fragen wir danach, welche Kozykeln c bei gleicher Wirkung ρ isomorphe Gruppen liefern. Sei dazu vorerst s0 ein zweiter Schnitt (mit s0 (1) = 1). Dann ist s0 (h) = τ (h) · s(h) f¨ ur eine Abbildung τ : H → N , welche τ (1) = 1 erf¨ ullt. Die folgende direkte Rechnung f¨ ur die assoziierten Kozykeln c und c0 ergibt c0 (h, h0 ) = s0 (h) · s0 (h0 ) · s0 (h · h0 )−1 = τ (h) · s(h) · τ (h0 ) · s(h0 ) · s(h · h0 )−1 · τ (h · h0 )−1 = τ (h) · s(h) · τ (h0 ) · s(h)−1 · s(h) · s(h0 ) · s(h · h0 )−1 · τ (h · h0 )−1 = τ (h) · ρ(h)(τ (h0 )) · c(h, h0 ) · τ (h · h0 )−1 = c(h, h0 ) · τ (h) · ρ(h)(τ (h0 )) · τ (h · h0 )−1 = ∂ρ τ (h, h0 ) · c(h, h0 )   wobei ∂ρ τ (h, h0 ) := ρ(h) τ (h0 ) · τ (h · h0 )−1 · τ (h) ist. Sei nun ϕ : G0 → G ein Gruppenisomorphismus, welcher das folgende Diagramm kommutativ macht: 1

/N

i

/N

0

/G O

p

/H

/1

p0

/H

/1

ϕ ∼ =

1

i

/ G0

wobei G = N × H die vom Kozykel c induzierte Gruppenstruktur, und G0 = N × H die von c0 induzierte Struktur sei. Wieder erhalten wir zwei Schnitte s und ϕ ◦ s0 f¨ ur p : G → H, welche durch ein τ : H → N wie folgt ineinander umgerechnet werden k¨onnen: ϕ(s0 (h)) = τ (h) · s(h). F¨ ur die Kozykeln liefert eine kurze Rechnung erneut: c0 (h, h0 ) = ∂ρ τ (h, h0 ) · c(h, h0 ). Umgekehrt l¨ aßt sich mittels τ : H → N ein Gruppenisomorphismus ϕ : G0 → G wie bei semidirekten Produkten durch ϕ(n, h) := (n · τ (h), h) definieren, denn ϕ(n, h) · ϕ(n, h0 ) = (n · τ (h) · ρ(h)(n0 · τ (h0 )) · c(h, h0 ), h · h0 ) = (n · ρ0 (h)(n0 ) · ρ0 (h)(τ (h0 )) · τ (h) · ∂ρ τ (h, h0 )−1 · c0 (h, h0 ), h · h0 ) = ϕ((n, h) · (n0 , h0 )) Wir erhalten also, daß die Isomorphieklassen von Abelschen Erweiterungen bzgl. einer Darstellung ρ : H → Aut(N ) in bijektiver Beziehung zu {c ∈ N H×H : ∂ρ c = 0}/{∂ρ τ : τ ∈ N H } stehen. Dieser Quotient macht Sinn, da ∂ρ2 τ = 0 f¨ ur alle τ : H → N . Man beachte, daß die Bedingungen c(1, 1) = 1 und τ (1) = 1 weggelassen werden k¨ onnen wie in 13.6 .

13.10 Kohomologie bez¨ uglich einer Darstellung ρ : H → Aut(N ) Man kann das ∂ρ , welches bei abelschen Erweiterungen aufgetaucht ist auch verallgemeinern, indem man f¨ ur eine Gruppe H und eine Abelsche Gruppe N (die wir c 15. Dezember 2008 [email protected]

107

13.11

¨ ber Gruppenerweiterungen 13. Exkurs u

der einfachheithalber additiv schreiben) und eine Darstellung ρ : H → Aut(N ) wie folgt definieren: C k (H, N ) := {c : H k+1 → N } ∂ρ : C k−1 (H, N ) → C k (H, N ) ∂ρ c(h1 , . . . ,hk+1 ) := ρ(h1 )(c(h2 , . . . , hk+1 ))+ +

k X

(−1)j c(h1 , . . . , hj · hj+1 , . . . , hk+1 ) + (−1)k+1 c(h1 , . . . , hk )

j=1

Eine direkte Rechnung zeigt ∂ρ2 = 0 und somit k¨onnen wir die Kohomologie von H mit Werten in N als Hρk (H; N ) := = Ker(∂ρ : C k (H, N ) → C k+1 (H, N ))/ Bild(∂ρ : C k−1 (H, N ) → C k (H, N )) definieren. Es beschreibt also Hρ1 (H; N ) die Isomorphieklassen von Erweiterungen von H mit Wirkung ρ : H → Aut(N ) und es ist Hρ0 (H; N ) = Ker(∂ρ : C 0 (H, N ) → C 1 (H, N )) = Hom(H, N ) 13.11 Transitive Gruppenwirkungen Wir wollen zuletzt noch die Situation untersuchen, wo N nur eine Untergruppe (und nicht ein Normalteiler) von G ist. Dann k¨onnen wir zwar wieder die Menge G/N der (rechten) Nebenklassen {g · N : g ∈ G} betrachten. Es ist p(g 0 ) = p(g) ⇔ g −1 g 0 ∈ N , denn aus g 0 N = gN folgt g −1 g 0 1 ∈ N und umgekehrt sei n := g −1 g 0 ∈ N , dann ist g 0 N = gnN = gN , also p(g 0 ) = p(g). Hier ist G/N keine Gruppe mehr, allerdings haben wir eine Wirkung von G auf G/N durch g 0 · gN := (g 0 g)N, denn (g1 g2 ) · gN = ((g1 g2 )g)N = (g1 (g2 g))N = g1 · (g2 g)N = g1 · (g2 · gN ). Offensichtlich ist diese Wirkung transitiv, d.h. f¨ ur je zwei Nebenklassen g0 N und g1 N existiert ein g ∈ G mit g · g0 N = g1 N (w¨ahle g := g1 g0−1 ). Allgemein sagt man, daß eine Gruppe G (von links) auf einer Menge X wirkt, wenn eine Abbildung λ : G × X → X (genannt Links-Wirkung) gegeben ist, die λ(e, x) = x f¨ ur alle x ∈ X und λ(gh, x) = λ(g, λ(h, x)) f¨ ur alle g, h ∈ G und ˇ : G → Bij(X) definiert durch g 7→ x ∈ X erf¨ ullt, d.h. wo die assoziierte Abbildung λ (x 7→ λ(g, x)) ein Gruppen-Homomorphismus ist. Unter einer Rechts-Wirkung einer Gruppe G auf einer Menge X versteht man eine Abbildung ρ : X × G → X, welche ρ(x, e) = x f¨ ur alle x ∈ X und ρ(x, gh) = ρ(ρ(x, g), h) f¨ ur alle g, h ∈ G und x ∈ X erf¨ ullt. Es ist ρ : X × G → X genau dann eine Rechts-Wirkung, wenn λ : G × X → X, definiert durch λ(g, x) := ρ(x, g −1 ), eine Links-Wirkung ist, oder auch genau dann, wenn Gop × X → X, (g, m) 7→ ρ(m, g) eine Links-Wirkung der Gruppe Gop , die als Menge G ist und die Multiplikation •op durch g •op h := h • g ¨ gegeben ist. Letztere Aquivalenz folgt, da ν : G → G, g 7→ g −1 ein GruppenHomomorphismus ist. Umgekehrt wirke G auf einer Menge H transitiv (das k¨onnen wir immer erreichen, indem wir uns auf einen Orbit G · h0 beschr¨anken). Und sei h0 ∈ H fix. Dann ist Gh0 := {g ∈ G : g · h0 = h0 } eine Untergruppe von G, die sogenannte Isotropie(unter)gruppe bei h0 , und G/Gh0 ist isomorph zu H als G-Raum, 108

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¨ ber Gruppenerweiterungen 13. Exkurs u

14.2

d.h. es gibt eine Bijektion ϕ : G/Gh0 → H, welche mit der Wirkung vertauscht (ϕ(g · x) = g · ϕ(x)). In der Tat ist ϕ durch ϕ(gGh0 ) := g · h0 gegeben und einfache Rechnungen zeigen die behaupteten Eigenschaften. Beachte, daß je zwei Isotropiegruppen Gh1 und Gh0 konjugiert zueinander sind, denn sei h1 = g1 · h0 , dann ist Gh1 = {g : g · h1 = h1 } = {g : g · g1 · h0 = g1 · h0 } = {g : g1−1 · g · g1 ∈ Gh0 } Weiters existiert genau dann ein Schnitt s : H → G mit s(p(1)) = 1 von p : G  H wenn eine Abbildung q : G → N existiert mit q ◦ i = idN : N → G → N und welche mit der rechts N -Wirkung vertauscht: (⇒) Aus p ◦ s = idH folgt p(g) = p(s(p(g))) und somit existiert ein ng ∈ N mit g = s(p(g)) · ng . Also ist q : g 7→ s(p(g))−1 · g eine wohldefinierte Abbildung q : G → N . Es gilt q|N = idN , denn s(p(n)) = s(p(1)) = 1, und q(g · n) = s(p(g · n))−1 · g · n = s(p(g))−1 · g · n = q(g) · n. (⇐) Umgekehrt sei q : G → N mit q|N = idN . Wir definieren s : H = G/N → G durch s(g · N ) := g · q(g)−1 . Dann ist s wohldefiniert, denn s(g · n) = g · n · q(g · n)−1 = g · n · (q(g) · n)−1 = g · n · n−1 · q(g)−1 = s(g). Weiters ist s(1 · N ) = g · g −1 = 1 und p(s(g · N )) = p(g · q(g)−1 ) = p(g), denn g −1 · g · q(g) = q(g) ∈ N .

14. Beispiele von Lie-Gruppen Etliche der klassischen Beispiele von Mannigfaltigkeiten sind sogar Lie-Gruppen, tragen also zus¨ atzlich eine glatte Gruppenstruktur. Wir f¨ uhren in diesen Abschnitt diese klassischen Lie-Gruppen ein, die wir zum Teil auch schon in 1 kennengelernt haben.

14.1 Allgemeine lineare Gruppe Der Vektorraum L(Rn , Rm ) = L(n, m) := {T : Rn → Rm linear } ist nmdimensional. Die allgemeine lineare Gruppe (engl. general linear group) (siehe auch 1.2 ) GL(Rn ) = GL(n) := {T ∈ L(n, n) : det T 6= 0} ⊂ L(n, n) ist eine offene (und somit n2 -dimensionale) Teilmannigfaltigkeit in L(n, n), denn sie ist durch eine stetige strikte Ungleichung gegeben. Bez¨ uglich der Komposition ist GL(n) eine Gruppe.

14.2 A x + b-Gruppen Sei E = F ⊕F 0 eine Zerlegung eines endlich dimensionalen Vektorraums E in lineare Teilr¨ aume F und F 0 . Es seien p und p0 die Projektionen auf F und F 0 mit Kern F 0 und F . Jedes T ∈ GL(E) hat bez¨ uglich dieser Zerlegung folgende Darstellung   A B T = , C D c 15. Dezember 2008 [email protected]

109

14.2

14. Beispiele von Lie-Gruppen

wobei A = p ◦ T |F ∈ GL(F ), D = p0 ◦ T |F 0 ∈ GL(F 0 ), B = p ◦ T |F 0 ∈ L(F 0 , F ) und C = p0 ◦ T |F ∈ L(F, F 0 ). Also l¨aßt T den Teilraum F invariant genau dann, wenn C = 0 ist, d.h. nA G= 0

B D



o : A ∈ GL(F ), D ∈ GL(F 0 ), B ∈ L(F 0 , F ) .

Wir haben folgende Untergruppen der Gruppe G := GLF (E) := {T ∈ GL(E) : T (F ) ⊆ F }: n1 Gb = 0 n 1 Gd = 0 nA Ga = 0 n A Ga,d = 0 n1 Gb,d = 0 nA Ga,b = 0

B 1



o : B ∈ L(F 0 , F ) ∼ = (L(F 0 , F ), +)

 o 0 : D ∈ GL(F 0 ) ∼ = GL(F 0 ) D  o 0 : A ∈ GL(F ) ∼ = GL(F ) 1  o 0 : A ∈ GL(F ), D ∈ GL(F 0 ) ∼ = GL(F ) × GL(F 0 ) D  o B : D ∈ GL(F 0 ), B ∈ L(F 0 , F ) D  o B : A ∈ GL(F ), B ∈ L(F 0 , F ) 1

G x< O bFFF FF xx x FF

- xxxx F1 Q ? G G Ga,b O O bEE < a,d bEE < b,d EE yyy EE yyy E E y y yE yE  ? - yyy EE1 Q - yyy EE1 Q  ? Ga bE GO b < Gd EE yy EE y EE yy E1 Q  ? - yyy {1} Dual haben wir die folgenden Gruppen-Epimorphismen, die jeweils durch Ersetzen der entsprechenden Eintragungen durch die neutralen Elemente 1 bzw. 0 gegeben sind G

Ga,b



Ga,d Gb,d EE EE yy y EE yy EE"   |y| yy "  Ga Gd

110

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14.3

14. Beispiele von Lie-Gruppen Dies liefert folgende kurze exakte Sequenzen von Gruppen  /G / Ga,d / Gb  1

/1

1

/ Gb,d  

/G

/ Ga

/1

1

 / Ga,b 

/G

/ Gd

/1

1

/ Gb  

/ Gb,d

/ Gd

/1

1

 / Gb 

/ Ga,b

/ Ga

/ 1,

Die nat¨ urlichen Inklusionen der rechtsstehenden Gruppen liefern Schnitte zu den Projektionen. Und somit erhalten wir semidirekte Produkte ∼ L(F 0 , F ) n (GL(F ) × GL(F 0 )) G= G∼ = Gb,d n GL(F ) G∼ = Ga,b n GL(F 0 ) Gb,d ∼ = L(F 0 , F ) n GL(F 0 ) ∼ L(F 0 , F ) n GL(F ), Ga,b = Wegen  −1  0 A B A · 0 D 0

B0 D0

  A · 0

 B = D  −1 0 A AA = 0

 A−1 (A0 B + (B 0 − BD−1 D0 )D) D−1 D0 D

lassen sich die entsprechenden Wirkungen leicht angeben. Wenn wir als E = F ×R w¨ ahlen, dann heißt die Gruppe Ga,b jener T ∈ GLF (E) die auf R als Identit¨ at wirken auch die A x + b-Gruppe, denn sie ist gerade die Gruppe der affinen Abbildungen. Der affinen Abbildung x 7→ A x + b wird dabei die Matrix   A b 0 1 zugeordnet. Man beachte, daß dies als Mannigfaltigkeit E × GL(E) ist, aber die Multiplikation komplizierter, n¨amlich die des semidirekten Produkts E n GL(E) ist. 14.3 Flaggen Es sei F : {0} = F0 ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ Fn = E eine aufsteigende Folge von Teilr¨aumen (eine sogenannte Flagge). Dann ist GLF (E) := {T ∈ GL(E) : T (Fj ) ⊆ Fj } eine ⊥ Lie-Gruppe, denn sei Fj0 := Fj−1 ∩ Fj ∼ = Fj /Fj−1 , so ist T ∈ GLF (E) genau dann, wenn es bez¨ uglich der Zerlegung E = F10 ⊕ · · · ⊕ Fn0 die Form 

T1,1

  0 0

... .. . 0

 T1,n ..  .  Tn,n

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111

14.4

14. Beispiele von Lie-Gruppen

hat mit Tj,j ∈ GL(Fj0 ) und Tj,l ∈ L(Fl0 , Fj0 ) f¨ ur j < l. Dies ist das prototypische Beispiel einer aufl¨ osbaren Lie-Gruppe falls dim Fk = k f¨ ur alle k. 14.4 Nilpotente Gruppen Wir k¨ onnen noch die Untergruppe jener Abbildungen betrachten, die auf Fj0 = Fj /Fj−1 als Identit¨ at wirken, d.h. in der Diagonale lauter Identit¨aten haben. Das ist ein prototypisches Beispiel einer nilpotenten Gruppe, wenn dim Fk = k f¨ ur alle k. Ein Spezialfall ist die Heisenberggruppe, die wir zuerst in anderer Form beschreiben als H := E ⊕ R, mit (x, t) · (y, s) := (x + y, t + s + b(x, y)), wobei b eine symplektische Form (d.h. b : E ×E → R is bilinear, schief-symmetrisch und nicht degeneriert, siehe 14.9 ) ist. Es ist (x, t)−1 = (−x, −t). Wieder ist H als Menge das Produkt der beiden (abelschen) Gruppen E und R. Diesmal ist es nicht ein semidirektes Produkt, sondern eine zentrale Erweiterung 1 → R → H → E → 1, die durch den Zykel b gegeben ist. Man kann H aber auch als Matrizengruppe beschreiben, wenn wir o.B.d.A. E := F ⊕ F setzen und b(x1 , y1 ; x2 , y2 ) := hx1 , y2 i − hx2 , y1 i w¨ ahlen (wir werden in 14.9 zeigen, daß jede symplektische Form von dieser Gestalt ist) und F ∼ = F ∗ via x 7→ hx, i verwenden.      1 x∗ t H∼ = 0 1 y  : x∗ ∈ F ∗ , y ∈ F, t ∈ R ⊆ GL(R × F × R)   0 0 1    1 x∗ y ∗ t   ∗  x ∈ F, x := hx, i    0 1 0 y ∼  : y ∈ F, y ∗ := hy, i ⊆ Sp(R × F × F × R) =  0 0 1 −x     t∈R   0 0 0 1 Der zweite Isomorphismus ist durch  1 x∗ 0 1 (x, y, t) 7→ T (x, y, t) :=  0 0 0 0

y∗ 0 1 0

 t ( ∗ y   mit x := hx, i  ∗ −x y := hy, i 1

gegeben. Er hat Werte in Sp(R × F × F × R) bez¨ uglich der symplektischen Form b(t1 , x1 , y1 , s1 ; t2 , x2 , y2 , s2 ) = t1 s2 − t2 s1 + x1 y2 − x2 y1 , denn diese ist durch die Matrix   0 0 0 −1 0 0 −1 0   J :=  0 1 0 0 1 0 0 0 gegeben und es gilt T (x, y, t)t JT (x, y, t) = J wie man leicht nachrechnet. Der erste Isomorphismus ist durch  1 (x, y, t) 7→ T (x∗ , y, t) := 0 0

x∗ 1 0

 (t + x∗ (y))/2  y 1

gegeben (Rechnung!). Nachdem wir nun einige “aufl¨ osbare” Gruppen kennengelernt haben, wollen wir uns den “halbeinfachen” zuwenden. 112

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14.6

14. Beispiele von Lie-Gruppen 14.5 Spezielle lineare Gruppe. Diese ist definiert durch SL(n) := {T ∈ L(n, n) : det(T ) = 1} ⊆ GL(n).

Also ist sie durch die Gleichung det(T ) = 1, bzw. f (T ) = 0 gegeben, wobei f : L(n, n) → R die Funktion f (T ) := det(T ) − 1 ist. Wir behaupten, daß diese Gleichung regul¨ ar ist, d.h. die Ableitung der Determinantenfunktion surjektiv ist. Da die Determinante multilinear in den Spalten (oder auch polynomial in den Koeffizienten) ist, folgt ihre Glattheit. Die Richtungsableitung an der Stelle A in Richtung B ist: det 0 (A)(B) = =

d dt |t=0 d dt |t=0

=

n d dt |t=0 t

d dt |t=0 det(A det( 1t + A−1 B)

det(A + tB) = det(tA) ·

 det(A) ·

· (1 + tA−1 B))

 1 1 −1 −1 + n−1 spur(A B) + · · · + det(A B) tn t

= det(A) spur(A−1 B). Dies zeigt die Surjektivit¨ at von det0 (A) und damit auch die Regularit¨at von det. Ohne die gesamte Ableitung det 0 (A) : L(Rn , Rn ) → R zu berechnen, kann man k¨ urzer auch so vorgehen: det 0 (A)(A) =

d dt |t=0

det((1 + t)A) = n(1 + t)n−1 |t=0 det A = n det A. | {z } (1+t)n det A

0

Folglich ist det (A) surjektiv und SL(Rn ) eine Mannigfaltigkeit der Dimension n2 − 1. 14.6 Orthogonale Gruppe. Sie ist definiert durch (siehe auch 1.2 ): O(n) := {T ∈ GL(n, n) : T t ◦ T = id} = {T ∈ GL(n, n) : hT x, T yi = hx, yi ∀ x, y}. So wie in Beispiel 14.5 wollen wir nun zeigen, daß die Ableitung f¨ ur die quadratische – daher auch glatte – Funktion f : GL(n) → Lsym (n, n) mit f (T ) := T t ◦ T = komp(T t , T ) surjektiv ist. Zu diesem Zweck, berechnen wir uns zuerst die Ableitung: f 0 (T ) · S = komp(S t , T ) + komp(T t , S) = S t ◦ T + T t ◦ S. Die Dimension von Lsym (n, n) ist offensichtlich (n+1)n . F¨ ur ein R ∈ Lsym (n, n) 2 existiert ein S ∈ L(n, n) mit S t ◦ T + T t ◦ S = R, denn (S t ◦ T ) + (S t ◦ T )t = R f¨ ur S t ◦ T = 21 R, d.h. S = (S t )t = ( 12 R ◦ T −1 )t = (T t )−1 21 R. Folglich ist f 0 surjektiv, und somit O(n) eine Teilmannigfaltigkeit von L(n, n) der Dimension dim(O(n)) = n2 − n(n+1) = n(n−1) . 2 2 Beachte, daß det(T ) = ±1 aus 1 = det(1) = det(T t T ) = det(T )2 f¨ ur T ∈ O(n) folgt. Somit ist O(n) ∼ = SO(n) n Z2 , wobei SO(n) := O(n) ∩ SL(n) = O(n) ∩ GL+ (n) eine offene Untergruppe von O(n) ist. Allgemeiner k¨ onnen wir die Stiefelmannigfaltigkeit V (k, n) := {T ∈ L(k, n) : T t T = id} betrachten (siehe auch 70.6 ). Die Elemente von V (k, n) sind somit isometrische Abbildung von Rk → Rn , und diese k¨onnen ¨aquivalent durch ihre Werte auf der c 15. Dezember 2008 [email protected]

113

14.7

14. Beispiele von Lie-Gruppen

standard-Basis des Rk also durch k-Tupel orthonormaler Vektoren im Rn , sogenannte orthonormale k-Beine im Rn , beschrieben werden. Die Funktion f : L(k, n) → Lsym (k, k), T 7→ T t T − id, ist glatt und erf¨ ullt f 0 (T )(S) = T t S + S t T . Also ist sie regul¨ar, denn f¨ ur symmetrisches R k¨onnen wir f 0 (T )(S) = R wie zuvor durch S := 21 T R l¨osen, was direktes Einsetzen beweist. 14.7 Gruppen invarianter Automorphismen, O b Wir wollen nun die orthogonale Gruppe verallgemeinern, indem wir eine beliebige Bilinearform b : E × E → R auf einem euklidischen Raum E betrachten. Mit Ob (E) := {T ∈ GL(E) : b(T x, T y) = b(x, y) ∀ x, y ∈ E} bezeichnen wir die Gruppe aller invertierbaren linearen Abbildungen, die die Bilinearform b invariant lassen. Bekanntlich stehen die Bilinearformen b : E × E → R in bijektiver Beziehung zu den linearen Abbildungen B : E → E, verm¨oge b(x, y) = hBx, yi = hx, B t yi : Denn b : E × E → R k¨ onnen wir genausogut als Abbildung ˇb : E → L(E, R) = E ∗ auffassen, welche durch x 7→ (y 7→ b(x, y)) gegeben ist. Das skalare Produkt h , i : E ×E → R entspricht dabei einer Abbildung ι : E → E ∗ , welche ein Isomorphismus ist, denn Ker(ι) = {x : hx, yi = 0 ∀ y} = {0}, und da dim(E) = dim(E ∗ ), ist ι bijektiv. Die Zusammensetzung B := ι−1 ◦ ˇb : E → E ∗ → E ist dann die gesuchte lineare Abbildung, denn b(x, y) = ˇb(x)(y) = (ι ◦ B)(x)(y) = hBx, yi. Die Gleichung b(T x, T y) = b(x, y) ist somit mit hT t BT x, yi = hBT x, T yi = hBx, yi aquivalent, und damit ist ¨ Ob (E) = {T ∈ GL(E) : T t BT = B}. Wir sollten also zeigen, daß dies eine regul¨are Gleichung ist. F¨ ur die Ableitung der Funktion f : GL(E) → L(E), welche durch f (T ) = T t BT − B definiert ist, erhalten wir f 0 (T )(S) = S t BT + T t BS. Wie bei O(E) k¨onnen wir nicht erwarten, daß sie surjektiv nach L(E, E) ist, sondern wir brauchen einen linearen Teilraum F ⊆ L(E, E) in welchem f Werte hat und auf welchen f 0 (T ) surjektiv ist. Wenn B (schief)symmetrisch ist, dann gilt das gleiche auch f¨ ur f (T ) und wir sollten also f¨ ur F den Teilraum L± (E, E) der (schief)symmetrischen linearen Abbildungen verwenden. Dieser hat als Dimension n(n + 1)/2 (bzw. n(n − 1)/2), wenn n die Dimension von E ist. Wenn U ∈ F ist und T die Identit¨at ist, so ist U = f 0 (T )(S) = S t B +BS dann nach S aufl¨ osbar, wenn wir ein S mit BS = 21 U in S finden k¨onnen, t denn dann ist auch S B = ±(BS)t = ± 12 U t = 12 U . Falls B invertierbar ist, so ist S := 12 B −1 U die L¨ osung. Falls T ∈ GL(E) beliebig ist, dann hat die Gleichung U = f 0 (T )(S) = S t BT + T t BS die L¨osung S = 12 B −1 (T −1 )t U , denn dann gilt T t BS = 12 U und S t BT = 21 U t T −1 (B −1 )t BT = ± 12 U t = 12 U . Falls also B injektiv ist, d.h. b nicht degeneriert ist, oder a¨quivalent x = 0 ⇐ ∀ y : b(x, y) = 0, Falls B (oder ¨ aquivalent ˇb) injektiv und damit bijektiv ist, so gilt gleiches auch f¨ ur B t und somit ist ˜b(y, x) := b(x, y) = hBx, yi = hx, B t yi = hB t y, xi ebenfalls nicht-degeneriert, also b auch in der anderen Variable nicht-degeneriert. dann ist Ob (E) eine Teilmannigfaltigkeit der Dimension ( n2 − n(n + 1)/2 = n(n − 1)/2 falls b symmetrisch ist dim Ob (E) := n2 − n(n − 1)/2 = n(n + 1)/2 falls b schief-symmetrisch ist. 114

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14.9

14. Beispiele von Lie-Gruppen

Man beachte, daß f¨ ur invertierbares B und T ∈ Ob (E) automatisch det(T ) = ±1 gilt, denn 0 6= det(B) = det(T t BT ) = det(T )2 det(B). 14.8 Der symmetrische Fall, O(n,k) Im symmetrischen Fall k¨ onnen wir nach dem Spektralsatz (Hauptachsentransformation) eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren ej mit zugeh¨origen Eigenwerten λj ∈ R finden. Es ist dann X B(x) = λj hx, ej iej j

und somit b(x, y) = hBx, yi =

X

λj hx, ej ihy, ej i

j

Da Ker(B) = {0} vorausgesetzt ist, m¨ pussen alle Eigenwerte λj 6= 0 sein, und somit sieht b in der Orthogonalbasis fj := |λj |ej wie folgt aus X X b(x, y) = xj y j − xj y j , λj >0

λj <0

wobei xj := hx, fj i die Koordinaten von x bez¨ uglich der Basis (fj ) bezeichnet. Man nennt so ein b auch pseudoeuklidisches Produkt. Solche sind f¨ ur die Relativit¨ atstheorie von Bedeutung. Beachte, daß es Vektoren x 6= 0 gibt, welche Norm b(x, x) = 0 haben und auch solche P mit negativerP Norm. Man nennt die mit verschwindender Norm lichtartig, d.h. j>k (xj )2 = j≤k (xj )2 (dies beschreibt einen “Kegel”), und die mit positiver Norm raumartig und die mit negativer Norm zeitartig. Betrachte z.B. die Form h(x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 )i := x1 y1 + x2 y2 − x3 y3 . Dann sind die Vektoren im Inneren des Doppelkegels mit der x3 -Achse die zeit¨ artigen, die im Außeren die raumartigen und die am Doppelkegel die lichtartigen. Bestimme das orthogonale Komplement jedes Vektors, zeige insbesonders, daß v ⊥ f¨ ur lichtartige Vektoren, gerade die Tangentialebene an den Kegel in v ist. Die Gruppe Ob (E) h¨ angt also bis auf Isomorphie nur von der Signatur, d.h. der Anzahl k der negativen Eigenwerte von b, ab und wird daher auch mit O(n, k) bezeichnet, wobei n = dim(E) ist. Man beachte, daß O(n, k) = O(n, n−k) ist (ersetze dazu b durch −b). Die offene Untergruppe SL(n) ∩ O(n, k) wird mit SO(n, k) bezeichnet. Die O(4, 1) wird (in der Physik) auch als die Lorenzgruppe bezeichnet. 14.9 Der schiefsymmetrische Fall, Sp(2n) Im schiefsymmetrischen Fall k¨ onnen wir eine Normalform wie folgt finden. Sei dazu b eine nichtdegenerierte schiefsymmetrische Bilinearform, eine sogenannte symplektische Form. Diese sind f¨ ur die klassischen Mechanik von Bedeutung (siehe Abschnitt 45 ). F¨ ur eine Teilmenge A ⊆ E bezeichnen wir mit A⊥ := {x ∈ E : x ⊥ y ∀ y ∈ A} das orthogonale Komplement. Wobei x ⊥ y heißt, daß b(x, y) = 0 ist. Da b schiefsymmetrisch ist, ist x ⊥ x f¨ ur alle x. F¨ ur jeden Teilraum F gilt dim E = dim F + dim F ⊥ (in der Tat: i∗ ◦ ˇb : E → E ∗ → F ∗ ist surjektiv, wobei i : F → E die Inklusion bezeichnet, denn ˇb : E → E ∗ ist nach Voraussetzung bijektiv, und i∗ : E ∗ → F ∗ ist klarerweise surjektiv (w¨ahle ein linksinverses p zu i, dann gilt i∗ ◦p∗ = id) und somit ist dim E = dim(Ker)+dim(Bild) = dim(F ⊥ )+dim(F )). c 15. Dezember 2008 [email protected]

115

14.10

14. Beispiele von Lie-Gruppen

Beachte f¨ ur Teilr¨ aume A und B die Gleichungen A⊥⊥ = A (⇐ A ⊆ A⊥⊥ und Dimensionsgr¨ unden), sowie (A + B)⊥ = A⊥ ∩ B ⊥ (trivial) und schließlich A⊥ + B ⊥ = ⊥ ⊥ ⊥⊥ (A + B ) = (A⊥⊥ ∩ B ⊥⊥ )⊥ = (A ∩ B)⊥ . Eine Teilmenge A ⊆ E heißt isotrop, falls A ⊆ A⊥ , d.h. b|A×A = 0. Es sei F so eine maximale isotrope Teilmenge. Wegen der Bilinearit¨at von b muß F ein Teilraum sein (solche Teilr¨ aume heißen Lagrange Teilr¨ aume). F¨ ur Lagrange Teilr¨ aume F gilt F = F ⊥ , denn andernfalls k¨onnen wir ein y ∈ F ⊥ \ F zu F hinzuf¨ ugen und erhalten eine gr¨oßere isotrope Teilmenge F ∪{y}. Somit ist dim E = dim F + dim F ⊥ = 2 dim F , also folgt aus der Existenz von Lagrange Teilr¨aumen, daß E geradedimensional sein muß. Wir w¨ ahlen nun zu einem Lagrange Teilraum F einen komplement¨aren Lagrange Teilraum F 0 . Das ist m¨ oglich, denn wenn f¨ ur einen isotropen Teilraum G mit G∩F = {0} noch G + F ⊂ E gilt, dann ist G⊥ + F = G⊥ + F ⊥ = (G ∩ F )⊥ = {0}⊥ = E ⊃ G + F und somit k¨ onnen wir ein y ∈ G⊥ \ (G + F ) finden, f¨ ur welches somit (Ry + G) ∩ F = {0}, also G1 := Ry + G ein gr¨oßerer isotroper Teilraum ist. Es sei ι0 : F 0 ,→ E die Inklusion. Dann ist ι∗ ◦ˇb◦ι0 : F 0 → E → E ∗ → F ∗ injektiv, denn der Kern von ι∗ ◦ ˇb ist F ⊥ = F und F ∩F 0 = {0}, und somit aus Dimensionsgr¨ unden ein Isomorphismus. Wir behaupten, daß der induzierte Isomorphismus E ∼ = F0 × F ∼ = F ∗ × F die symplektische Form b in die Form (y1∗ , y1 ; y2∗ , y2 ) 7→ y1∗ (y2 ) − y2∗ (y1 ) u ¨bersetzt. Sei also xj = yj0 + yj mit yj ∈ F und yj0 ∈ F 0 . Da F und F 0 isotrop sind, ist dann b(x1 , x2 ) = b(y10 , y2 )+b(y1 , y20 ) = b(y10 , y2 )−b(y20 , y1 ). Mit yi∗ := (ι∗ ◦ˇb◦ι0 )(yi0 ) ist b(y10 , y2 ) = b(ι0 y10 , ιy2 ) = ˇb(ι0 y10 )(ιy2 ) = (ι∗ ◦ ˇb ◦ ι0 )(y10 )(y2 ) = y1∗ (y2 ) und somit ist b(x1 , x2 ) = y1∗ (y2 ) − y2∗ (y1 ). W¨ahlen wir nun in F eine Basis (ej )k<j≤2k (mit 2k = dim E) und in F ∗ die duale Basis (ej )j>k . Mit (ej := e0k+j )j≤k bezeichnen wir die entsprechende Basis in F 0 . Dann ist (ej )P j≤2k=n eine Basis von E, die jener von F ∗ × F entspricht, und weiters ist y ∗ (y) = j yj y j , wobei yj die Koordinaten von y ∗ bzgl. ej und y j jene von y bzgl. ej bezeichnet. Also ist X b(x, y) = xj y j+k − xj+k y j , j≤k

die standard symplektische Form am R2k . Die entsprechende Gruppe wird mit Sp(2k) bezeichnet, und heißt reelle symplektische Gruppe. Da Sp(n) f¨ ur ungerades n nicht existiert, wird Sp(2k) in der Literatur bisweilen auch als Sp(k) bezeichnet!

14.10 Spiegelungen Wir wollen nun spezielle Abbildungen T ∈ Ob (E) f¨ ur symmetrische und schiefsymmetrische b beschreiben, und zwar solche, die eine Hyperebene als Fixpunktmenge {x ∈ E : T x = x} besitzen. Sei F diese Hyperebene und 0 6= y ∈ F ⊥ , d.h. F = {y}⊥ . Sei y 0 ∈ / F mit b(y 0 , y) = 1 (m¨oglich, da b(y 0 , y) = 0 ⇒ y 0 ∈ {y}⊥ = F ), dann l¨ aßt sich jedes x ∈ E als x = b(x, y)y 0 + (x − b(x, y)y 0 ) schreiben, und b(x − b(x, y)y 0 , y) = 0, d.h. x − b(x, y)y 0 ∈ F . Das gesuchte T muß also folgende Gestalt haben: T (x) = b(x, y)T (y 0 ) + (x − b(x, y)y 0 ) = x + b(x, y)(T (y 0 ) − y 0 ) =: x + b(x, y)y 00 . Damit T die Form b erh¨ alt, muß b(x1 , x2 ) = b(T (x1 ), T (x2 )) = b(x1 + b(x1 , y)y 00 , x2 + b(x2 , y)y 00 ) = = b(x1 , x2 ) + b(x1 , y)b(y 00 , x2 ) + b(x2 , y)b(x1 , y 00 ) + b(x1 , y)b(x2 , y)b(y 00 , y 00 ) 116

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14.10

14. Beispiele von Lie-Gruppen

gelten, d.h. b(x1 , y)b(y 00 , x2 ) + b(x2 , y)b(x1 , y 00 ) + b(x1 , y)b(x2 , y)b(y 00 , y 00 ) = 0. Wenn wir x2 = y 0 setzen und x1 ⊥ y w¨ahlen, dann folgt b(x1 , y 00 ) = 0, also ist y 00 ∈ {y}⊥⊥ = R y. Sei also y 00 = λy (mit λ 6= 0, da T nicht die Identit¨at sein kann). Dann ist λb(x1 , y)b(y, x2 ) + λb(x2 , y)b(x1 , y) + b(x1 , y)b(x2 , y)λ2 b(y, y) = 0 genau dann, wenn b(x2 , y)(±1 + 1 + λb(y, y)) = 0 ist f¨ ur alle x2 (w¨ahle x1 := y 0 ), 0 bzw. 1 + λb(y, y) = ∓1 (w¨ ahle x2 := y ). Im symmetrischen Fall ist das ¨aquivalent dazu, daß λb(y, y) = −2 (also b(y, y) 6= 0 2 ) ist und im schiefsymmetrischen ist es immer erf¨ ullt. und λ := − b(y,y) Die T ∈ Ob (E) mit einer Hyperebene F = {y}⊥ als Fixpunktmenge sind also genau ( mit b(y, y) 6= 0 im symmetrischen Fall x − 2 b(x,y) b(y,y) y T (x) := x + λb(x, y)y mit λ ∈ R im schiefsymmetrischen Fall Diese T heißen auch Spiegelungen, in Analogie zum Fall, wo b eine euklidische Metrik ist. x y THxL ΛbHx,yLy x

F y

F

THxL 0 Im symplektischen Fall ist jede Spiegelung orientierungserhaltend, denn   T (y ) = id λ y y 0 + λy liegt auf der gleichen Seite von F wie y 0 und somit ist die Kom0 1 ponentendarstellung von T bzgl. der Zerlegung E = F ×Ky 0 , und im symmetrischen   id 0 Fall orientierungsvertauschend, denn T (y) = y − 2y = −y und somit ist 0 −1 die Komponentendarstellung von T bzgl. der Zerlegung E = F × Ky.

Es l¨ aßt sich f¨ ur x 6= x0 mit b(x, x) = b(x0 , x0 ) genau eine Spiegelung T finden mit 0 T x = x , wenn b(x, x0 ) 6= b(x, x) ist, denn x0 = x + λb(x, y)y gilt genau dann, wenn y = µ(x0 − x) mit 1 = λµ2 b(x, x0 − x) = λµ2 (b(x, x0 ) − b(x, x)) gilt. Diese Abbildung T l¨ aßt (x0 −x)⊥ fix. Im symmetrischen Fall ist dann λb(y, y) = λµ2 b(x0 −x, x0 −x) = −2. Beachte, daß f¨ ur positiv definites b wegen der Ungleichung von Cauchy-Schwarz die Situation b(x, x0 ) = b(x, x) nicht eintreten kann. Im symplektischen Fall ist b(x, x) = 0 = b(x0 , x0 ) immer erf¨ ullt. Proposition. F¨ ur jede (schief-)symmetrische nicht-degenerierte Bilinearform b : E × E → R wird Ob (E) von den Spiegelungen erzeugt. Man kann zeigen, daß im symmetrischen Fall n = dim E viele Spiegelungen gen¨ ugen und im symplektischen sind mindestens n + 1 notwendig (siehe [21, Sur les Groups Classique, Hermann, Paris 1967]). Beweis. Im symmetrischen Fall w¨ahlen wir eine Orthonormalbasis von E (d.h. b(ei , ej ) = 0 und b(ei , ei ) = ±1) Die Bilder e0i := T (ei ) sind dann ebenfalls eine Orthonormalbasis. Wir zeigen nun mit Induktion, daß T bis auf Zusammensetzung mit Spiegelungen {e1 , . . . , ek } fix l¨aßt: In der Tat, wenn T nach Induktionsannahme die Menge {e1 , . . . , ek−1 } fix l¨aßt, und b(ek , e0k ) 6= b(ek , ek ) ist, dann bildet die Spiegelung S am orthogonalen Komplement zu e0k − ek den Vektor ek auf e0k ab und l¨aßt (e0k − ek )⊥ ⊇ (e0k )⊥ ∩ c 15. Dezember 2008 [email protected]

117

14.11

14. Beispiele von Lie-Gruppen

(ek )⊥ ⊇ {e1 , . . . , ek−1 } fix, also l¨aßt S −1 T sogar {e1 , . . . , ek } fix. Ist andererseits b(ek , e0k ) = b(ek , ek ), dann spiegeln wir zuerst am orthogonalen Komplement zu ek (mit b(ek , ek ) = ±1 6= 0) und danach an jenem zu e0k + ek (mit b(ek + e0k , ek + e0k ) = 2(b(ek , ek ) + b(ek , e0k )) = 4b(ek , ek ) 6= 0). Diese Spiegelungen lassen (ek )⊥ ∩ (ek + e0k )⊥ ⊇ {e1 , . . . , ek−1 } invariant und ihre Zusammensetzung bildet ek auf −ek und weiter auf e0k ab, also l¨aßt T bis auf diese Spiegelungen {e1 , . . . , ek } invariant. Im symplektischen Fall beweisen wir die Aussage mittels Induktion nach j := n − dim F , wo F := {x : T x = x}. F¨ ur j = 0 ist T = id. Sei also j > 0. F¨ ur jedes y ∈ E ist b(y, x) = b(T y, T x) = b(T y, x) f¨ ur alle x ∈ F , d.h. T y − y ∈ F ⊥ . Falls b(T y, y) 6= 0 ist (⇒ y ∈ / F ), dann existiert eine Spiegelung, welche y auf T y abbildet und die (T y − y)⊥ ⊇ F fix l¨ aßt. Bis auf diese Spiegelung l¨aßt also T auch F ⊕ R y fix. Andernfalls ist b(T y, y) = 0 f¨ ur alle y. Sei vorerst F ∩ F ⊥ 6= {0}. Dann w¨ahlen wir ein 0 6= x ∈ F ∩F ⊥ und ein y ∈ E mit b(y, x) = 1 (geht wie in der Beschreibung von Spiegelungen). Es gilt dann y ∈ / F , da x ∈ F ⊥ . Weiters ist b(T y, x) = b(T y, T x) = b(y, x) = 1 und somit existieren Spiegelungen die y auf x + y, bzw. T y auf x + y abbilden (denn b(y, x + y) = b(y, x) 6= 0 und b(T y, x + y) = b(T y, x) 6= 0), und (x + y − y)⊥ ∩ (x + y − T y)⊥ ⊇ F fix lassen. Also l¨aßt T bis auf diese Spiegelungen F ⊕ R y fix, und wir k¨ onnen die Induktionsannahme anwenden. Ist F = {0}, dann existiert ein x ∈ F ⊥ = E mit b(x, y) = 1 = b(x, T y), denn erg¨ anze (e1 := y, e2 := T y) zu einer Basis eines Lagrange Teilraums (beachte, daß der von {y, T y} erzeugte Teilraum isotrop ist) und setze x := e1 + e2 in Termen der dualen Basis (ei )ki=1 . Nun verfahre wie gerade zuvor. Ist schließlich F 6= {0} und F ∩ F ⊥ = {0}, dann ist E = F ⊕ F ⊥ und b induziert auf F ⊥ eine symplektische Form, denn f¨ ur y 0 ∈ F ⊥ mit b(y 0 , y) = 0 ∀ y ∈ F ⊥ 0 ⊥ ⊥ 0 gilt y ∈ (F ) = F und somit y = 0. Weiters l¨aßt T ∈ Ob (E) den Raum F ⊥ invariant, denn b(T y 0 , y) = b(T y 0 , T y) = b(y 0 , y) = 0 f¨ ur alle y ∈ F und y 0 ∈ F ⊥ . nach Induktionsvoraussetzung ist T |F ⊥ eine Zusammensetzung von Spiegelungen l¨ angs Vektoren in F ⊥ . Da solche Spiegelungen aber F = F ⊥⊥ fix lassen, ist T auf ganz E die Zusammensetzung dieser Spiegelungen. Folgerung. Es gilt Sp(2k) ⊆ SL(2k).

14.11 Der degenerierte Fall Falls b degeneriert ist, d.h. B einen nicht trivialen Kern K besitzt, dann k¨onnen wir ˜ := E/K betrachten. Falls b (schief)symmetrisch ist, so ist Ker B t = Ker B, und E ˜ ×E ˜ → R. somit induziert b eine nichtdegenerierte (schief)symmetrische Form ˜b : E b(x1 + k1 , x2 + k2 ) = b(x1 , x2 ) + hx1 , B t k2 i + hBk1 , x2 + k2 i = b(x1 , x2 ) Jedes T ∈ Ob (E) erh¨ alt diesen Kern, denn BT = (T −1 )t B impliziert, daß BT (K) = ˜ wobei 0 ist. Es ist also T ∈ Ob (E), genau dann wenn T (K) ⊆ K und T˜ ∈ O˜b (E), ˜ T definiert ist durch das Diagramm K T |K



  K

118

/E

p

T˜

T

 /E

//E ˜

p

 //E ˜

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14. Beispiele von Lie-Gruppen

14.13

˜ welcher durch (1 − sp, p) mit Wir verwenden nun den Isomorphismus E ∼ = K ⊕ E, ˜ der Inversen (k, x ˜) 7→ k + s(˜ x) gegeben ist (denn p(1 − sp) = 0), wobei p : E → E ˜ → E ein lineares Rechtsinverses dazu. Dann die kanonische Projektion ist und s : E ˜ wie folgt darstellen: k¨onnen wir T ∈ Ob (K × E)   T |K T s − sT˜ 0 T˜ ˜ mit T |K ∈ GL(K) und T˜ ∈ O˜b (E). (1 − s ◦ p) ◦ T ◦ s = T ◦ s − s ◦ T˜ ∼ GL(K) × O˜(E) ˜ × L(E, ˜ K), wobei der Als Mannigfaltigkeiten ist also Ob (E) = b ˜ Isomorphismus gegeben ist durch T 7→ (T |K , T := pT s, (1 − sp)T s = T s − sT˜). Aus 14.9 und 14.2 folgt, daß als Gruppe: ˜ o L(E, ˜ K) Ob (E) ∼ = (GL(K) × O˜b (E)) 14.12 Der unsymmetrische Fall Falls schließlich b weder symmetrisch noch schiefsymmetrisch ist, so zerlegen wir b in den symmetrischen und den schiefsymmetrischen Teil b = b+ + b− , wobei b± (x, y) = (b(x, y) ± b(y, x))/2 ist. Dem entspricht u ¨brigens gerade die Zerlegung von B = B+ +B− , wobei B± = (B ±B t )/2 ist. Dann ist Ob (E) = Ob+ (E)∩Ob− (E). Allerdings wissen wir nicht, ob dieser Durchschnitt von Mannigfaltigkeiten wieder eine ist. Jede abgeschlossene Teilmenge A ⊆ M einer Teilmannigfaltigkeit M ⊆ Rn l¨ aßt sich als Durchschnitt A = M ∩ N mit einer zweiten Teilmannigfaltigkeit N darstellen: W¨ ahle eine glatte Funktion f : M → R mit A = f −1 (0) und ein transversales Vektorfeld ξ zum M und betrachte N := {x + f (x) ξ : x ∈ M } . . . F¨ ur Lie-Gruppen kann man dies aber allgemein zeigen (abgeschlossene Untergruppen von Lie-Gruppen sind ebenso Lie-Gruppen, siehe 69.4 ). 14.13 Die Gruppen U (n,k) Betrachten wir den Spezialfall, wo b− (x, y) = b+ (Ix, y) verm¨oge einer Abbildung I, die eine b+ -Isometrie ist. Wenn ( )t transponieren bzgl. b+ bezeichnet so gilt I t I = 1 (da I eine b+ -Isometrie ist) und I t = −I (da b− schiefsymmetrisch und b+ symmetrisch ist). b+ (x, y) = b+ (Ix, Iy) = b+ (I t Ix, y) −b+ (Iy, x) = −b− (y, x) = b− (x, y) = b+ (Ix, y) = b+ (x, I t y) = b+ (I t y, x) Also ist I 2 = −1 und wir k¨ onnen folglich E zu einem komplexen Vektorraum machen, indem wir (r + i s) x := r x + s I(x) setzen. Man beachte, daß I auch eine b− Isometrie ist, denn b− (Ix, Iy) = b+ (I 2 x, Iy) = b+ (Ix, y) = b− (x, y). Wir fassen die beiden Gleichungen b± (T x, T y) = b± (x, y) in R zu einer Gleichung b(T x, T y) = b(x, y) in C = R2 zusammen, d.h. b(x, y) := b+ (x, y) + ib− (x, y). Dann ist b reellbilinear, konjugiert symmetrisch, denn b(y, x) = b+ (y, x) + ib− (y, x) = b+ (x, y) − ib− (x, y) = b(x, y), und sogar C-linear im zweiten Faktor, denn b(x, iy) = b+ (x, iy) + ib− (x, iy) = = b+ (iy, x) + ib+ (ix, iy) = ib+ (x, y) − b− (x, y) = ib(x, y). Also ist b eine hermitesche Form, die klarerweise ebenfalls nicht degeneriert ist wenn dies f¨ ur b+ gilt. c 15. Dezember 2008 [email protected]

119

14.13

14. Beispiele von Lie-Gruppen

Ist umgekehrt b eine beliebige hermitesche nicht degenerierte Form auf einem komplexen Vektorraum E, dann ist ihr Realteil b+ eine symmetrische nicht degenerierte Form und ihr Imagin¨ arteil eine symplektische Form b− und es gilt b− (x, y) = b+ (ix, y). In der Tat ist b+ (x, y) = (b(x, y) + b(x, y))/2 = (b(x, y) + b(y, x))/2 ∈ R b− (x, y) = (b(x, y) − b(x, y))/(2i) = (b(x, y) − b(y, x))/(2i) ∈ R und somit ist b± (schief-)symmetrisch und es gilt b+ (x, iy) + ib− (x, iy) = b(x, iy) = ib(x, y) = ib+ (x, y)−b− (x, y), d.h. b+ (x, iy) = −b− (x, y) oder ¨aquivalent b− (x, y) = −b− (y, x) = b+ (y, ix) = b+ (ix, y). Somit ergibt sich auch aus der nicht-Degeneriertheit von b jene von b± . Schließlich ist i eine b+ -Isometrie, denn b+ (ix, iy) = (b(ix, iy)+ b(ix, iy))/2 = (−i2 b(x, y) + −i2 b(x, y))/2 = (b(x, y) + b(x, y)))/2 = b+ (x, y). In dieser Situation ist Ob+ +b− (E) = Ob+ (E) ∩ Ob− (E) = Ob± (E) ∩ LC (E) = Ub (E) ⊆ LC (E), wobei Ub (E) := {T ∈ GL(E) : b(T x, T y) = b(x, y) ∀ x, y ∈ E} LC (E) := {T ∈ L(E) : T ist C-linear} = {T ∈ L(E) : T ◦ I = I ◦ T } und wir die Bezeichnung U (f¨ ur unit¨ar) verwendet haben, da b nun C-wertig ist: Offensichtlich ist Ob+ ∩ Ob− = Ub . Es ist Ub ⊆ LC (E), denn f¨ ur T ∈ Ob+ ∩ Ob− gilt b+ (T ix, T y) = b+ (ix, y) = b− (x, y) = b− (T x, T y) = b+ (iT x, T y) und somit ist T (ix) = iT (x) f¨ ur alle x, d.h. T ∈ LC (E). Umgekehrt ist Ob± ∩ LC (E) ⊆ Ob∓ , denn b∓ (T x, T y) = ±b± (iT x, T y) = ±b± (T ix, T y) = ±b± (ix, y) = b∓ (x, y). Man beachte noch, daß schiefhermitesche Formen nichts anderes als i b f¨ ur eine hermitsche Form b sind, also nichts Neues liefern. Sei nun E ein komplexer Vektorraum mit komplexer Basis (ei )i≤n , d.h. jedes z ∈ E Pn l¨ aßt sich eindeutig als z = j=1 z j ej mit Koeffizienten z j ∈ C schreiben. Es sei P2n z j =: xj + ixn+j die Zerlegung in Real- und Imagin¨arteil. Dann ist z = j=1 xj ej , wobei en+j := iej f¨ ur alle 1 ≤ j ≤ n ist. Also hat E als reeller Vektorraum die Basis (ej )2n arteile j=1 . Man beachte, daß zuerst alle Realteile und erst danach die Imagin¨ kommen, d.h. die durch die Basen gegebenen Isomorphismen E ∼ = Cn und E ∼ = R2n n ∼ 2 n ∼ 2n induzieren nicht den vielleicht erwarteten Isomorphismus C = (R ) = R , sondern ist noch mit dem Umordnungsisomorphismus (R2 )n ∼ = (Rn )2 zusammenge2n setzt. Die Multiplikation mit i am R ist also durch die Matrix   1 0 ... 0    . 0 1 . . . ..  0 1  I= mit 1 =  . .  −1 0 . . . . . 0  .. 0 ... 0 1 gegeben, und wir identifizieren LC (n) mit {T ∈ L(2n) : T ◦ I = I ◦ T }. Wenn T ∈ LC (E) bez¨ uglich der komplexen Basis (ej )j≤n die Matrixdarstellung   a1,1 + ib1,1 . . . a1,n + ib1,n   .. .. ..   = A + iB . . . an,1 + ibn,1 120

...

an,n + ibn,n

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14.13

14. Beispiele von Lie-Gruppen hat, dann hat T bez¨ uglich stellung  a1,1 . . .  .. ..  . .  an,1 . . .   b1,1 . . .   . ..  .. . bn,1

...

der reellen Basis (e1 , . . . , en ; ie1 , . . . , ien ) die Matrixdara1,n .. .

−b1,1 .. .

an,n b1,n .. .

−bn,1 a1,1 .. .

... .. . ... ... .. .

bn,n

an,1

...

 −b1,n ..  .    −bn,n  = A B a1,n   ..  . 

 −B , A

an,n

denn (A + iB)(ei ) = A ei + B iei und (A + iB)(i ei ) = −B ei + A iei . Sei nun b die standard hermitesche Form am Cn , d.h. b(z, w) =

n X

z¯j wj .

j=1

Die Gruppe Ub (E) wird dann auch als unit¨ are Gruppe U (n) bezeichnet. Wenn wir wie zuvor z j = xj + ixn+j und wj = y j + iy n+j setzen, dann ergibt sich n X

b(z, w) =

(xj y j + xn+j y n+j ) + i

j=1

n X (xj y n+j − xn+j y j ). j=1

Also ist der Realteil von b gerade die positiv definite symmetrische Standardform, der Imagin¨ arteil gerade die symplektische Standardform und U (n) = O(2n) ∩ Sp(2n) = O(2n) ∩ LC (n) = Sp(2n) ∩ LC (n). Wenn b die standard hermitesche Form mit Signatur k > 0 am Cn bezeichnet, d.h. n X X b(z, w) = z¯j wj − z¯j wj , j>k

j≤k

dann wird die Gruppe Ub (E) mit U (n, k) bezeichnet, und eine analoge Rechnung zeigt, daß Realteil und Imagin¨ arteil von b folgende Matrixbeschreibungen B± haben   B+ =  B− =

1k 0 0 1k

0 1k



−1k 0



     mit 1k =     

1 −1 0 .. . .. . 0

... 0 .. . .. .

k ... .. .

k+1

−1 1 .. .

...

... ...

...

..

.

..

.

0

n  0 ..  .    , ..  .   0 1

also ist U (n, k) = “O(2n, 2k)” ∩ “Sp(2n)” = “O(2n, 2k)” ∩ LC (n) = “Sp(2n)” ∩ LC (n), wobei die Gruppen unter Anf¨ uhrungszeichen nur bis auf Koordinatenvertauschungen durch die Standardformen beschrieben werden. Wie f¨ ur reelle Vektorr¨ aume, l¨ aßt sich nat¨ urlich auch f¨ ur komplexe Vektorr¨aume zeigen, daß die Gruppen U (n, k) Teilmannigfaltigkeiten von LC (E) sind. c 15. Dezember 2008 [email protected]

121

14.14

14. Beispiele von Lie-Gruppen

14.14 Komplex lineare Abbildungen, GLC , SLC Sei nun E ein komplexer n-dimensionaler Vektorraum. Wie im reellen Fall k¨onnen wir auch folgende Untergruppen des komplexen Vektorraums LC (E) betrachten. GLC (E) := {T ∈ LC (E) : T ist invertierbar} = GL(E) ∩ LC (E) SLC (E) := {T ∈ LC (E) : detC (T ) = 1} SUb (E) := {T ∈ SLC (E) : b(T x, T y) = b(x, y) ∀ x, y} = Ub (E) ∩ SLC (E) SU (n) := U (n) ∩ SLC (Cn ) SU (n, k) := U (n, k) ∩ SLC (Cn ) betrachten, wobei detC die komplexe Determinante und b : E × E → C eine hermitesche Form (mit Signatur) ist. Es sei C∗ die Gruppe C \ {0} bez¨ uglich der Multiplikation. Die Abbildung C∗ × SLC (n) → GLC (n), (t, T ) 7→ tT ist offensichtlich ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, denn detC (tT ) = tn detC (T ), mit Kern {( 1t , t · 1) : tn = 1} ∼ = Zn . Man ¨ kann zeigen, daß daraus leicht folgt, daß dies eine Uberlagerungsabbildung ist. Andererseits ist GLC (n) = SLC (n) n C∗ ein semidirektes Produkt, da die kurze exakte Sequenz 1 → SLC (n) ,→ GLC (n) −det→ C∗ → 1 via folgendem Gruppenhomomorphismus C∗ → GLC (n) splittet:   z 0 ... 0  . 0 1 . . . ..    z 7→  .  . . . . . . . . 0 0 ... 0 1 Im reellen Fall ist R+ × SL(n) → GL+ (n), (t, T ) 7→ tT ein Gruppenisomorphismus. Also kann man R∗ × SL(n) mit GL(n) als Mannigfaltigkeit identifiziert werden. Falls n ungerade ist, so liefert die gleiche Formel auch einen Gruppenisomorphismus R∗ × SL(n) → GL(n). Im geraden Fall ist GL(n) = SL(n) n R∗ wie zuvor wieder ein semidirektes Produkt. Wir wollen nun einen Zusammenhang zwischen reeller Determinante det und komplexer Determinante detC herstellen. Dazu betrachten wir die Exponentialfunktion P∞ 1 k d exp : LK (E) → GLK (E), T 7→ k=0 k! T . Offensichtlich ist exp0 (id)(T ) = dt t=0

exp(tT ) = T exp(0) = T f¨ ur alle t (oder allgemeiner exp0 (T )(S) = exp(T )S, falls T S = ST ist) und somit ist exp ein lokaler Diffeomorphismus bei 0. Es gilt detK (exp(T )) = espurK T , denn dazu betrachten wir f : R → LK (E) → GLK (E) → K \ {0} → K gegeben durch f (t) = ln(detK (exp(tT ))) (dies macht Sinn, da wir l¨ angs der Kurve t 7→ detK (exp(tT )) die komplexe Logarithmusfunktion wohldefiniert w¨ ahlen k¨ onnen). Dann ist f (0) = 0 und det0K (exp(tT ))exp0 (tT )(T ) detK (exp(tT )) detK (exp(tT )) spur(exp(−tT ) exp(tT )T ) = = spur(T ) detK (exp(tT ))

f 0 (t) =

also ist f (t) = t spur(T ), und f (1) = spur(T ) liefert das Gew¨ unschte. Wir wollen nun zeigen, daß | detC (T )|2 = detR (T ) ist f¨ ur C-lineares T . Da beides Polynome (in den Eintragungen der Matrix) von T sind, gen¨ ugt es das f¨ ur T nahe 122

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14.15

14. Beispiele von Lie-Gruppen

der Identit¨ at zu zeigen, also f¨ ur solche Abbildungen der Form exp(T ). F¨ ur diese gilt: | detC (exp(T ))|2 = detC (exp(T ))detC (exp(T )) = espurC (T ) espurC (T ) = espurC (T )+spurC (T ) = espurR (T ) = detR (exp(T )), denn es ist spurR (T ) = spurC (T ) + spurC (T ), denn sei A + iB die komplexe Matrixdarstellung von T , dann ist spurC (A ± iB) = spur(A) ± i spur(B) und   A −B spurR (T ) = spur = 2 spur(A) = B A = spurC (A + iB) + spurC (A − iB) = spurC (T ) + spurC (T ). Eine andere algebraische Methode, die selbe Gleichung zu erhalten, geht wie folgt:     A −B A − iB −B detR (T ) = det = det B A B + iA A     A − iB −B A − iB −B = det = det B + iA − i(A − iB) A − i(−B) 0 A + iB = det(A − iB) · det(A + iB) = detC (T ) · detC (T ) = | detC (T )|2 . 14.15 Komplexe Gruppen, O C , SpC Ist nun b : E × E → C eine C-bilineare (schief-)symmetrische, nicht degenerierte Form, dann wollen wir Ub (E) analog zum Fall einer hermiteschen Form als Durchschnitte reeller Gruppen beschreiben. Dazu zerlegen wir b in Real- und Imagin¨arteil, d.h. b(x, y) = b+ (x, y) + ib− (x, y), wobei b+ (x, y) = (b(x, y) + b(x, y))/2 ∈ R b− (x, y) = (b(x, y) − b(x, y))/(2i) ∈ R Dann sind der Realteil b+ und der Imagin¨arteil b− zwei reell bilineare (schief)symmetrische reell-wertige Formen, und es gilt −b− (x, y) + ib+ (x, y) = ib(x, y) = b(x, iy) = b+ (x, iy) + ib− (x, iy), d.h. b− (x, y) = −b+ (x, iy). Weiters gilt b+ (ix, iy) = −b− (ix, y) = ∓b− (y, ix) = ±b+ (y, i2 x) = −b+ (x, y). Eine R-lineare Bijektion, die sowohl b+ als auch b− erh¨alt ist C-linear, denn b+ (T x, T iy) = b+ (x, iy) = −b− (x, y) = −b− (T x, T y) = b+ (T x, iT y) ⇒ T iy = iT y; und umgekehrt erh¨ alt jede Abbildung T die b erh¨alt, auch den Real- und Imagin¨ arteil, d.h. Ob+ (E) ∩ Ob− (E) = Ob± (E) ∩ LC (E) = Ub (E) ⊆ LC (E). n Ist insbesonders Pn b idiei standard C-bilineare symmetrische Form am C , welche durch b(z, w) := i=1 z w gegeben ist, dann wird Ub (E) mit OC (n) bezeichnet. Beachte, daß das Analogon zu O(n, k) f¨ ur 0 < k < n uninteressant, da isomorph zu OC (n), ist. Real- und Imagin¨ arteil haben wegen X X b(z, w) = (xj y j − xn+j y n+j ) + i (xj y n+j + xn+j y j ) j

j

folgende Darstellung B+ =

 1 0

 0 , −1

B− =

 0 1

 1 . 0

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123

14.16

14. Beispiele von Lie-Gruppen

Sie haben beide Signatur n, denn  −1  1 1 1 · B− · 1 −1 1

 1 = B+ −1

und somit ist OC (n) = “O(2n, n)” ∩ “O(2n, n)” = “O(2n, n)” ∩ LC (n), wobei die Gruppen unter Anf¨ uhrungszeichen nur bis auf Koordinaten-Vertauschungen und Drehungen durch Standardformen beschrieben werden. Ist schließlich b die standard C-bilineare alternierende Form am C2m , welche durch b(z, w) :=

m X

(z i wm+i − z m+i wi )

i=1

gegeben ist, dann wird Ub (E) mit SpC (2m) bezeichnet. Real- und Imagin¨arteil haben wegen X b(z, w) = (xj y m+j − x2m+j y 3m+j − xm+j y j + x3m+j y 2m+j ) j

+i

X

(xj y 3m+j + x2m+j y m+j − xm+j y 2m+j − x3m+j y j )

j

folgende Darstellung 

0 −1 B+ =  0 0

 1 0 0 0 0 0 , 0 0 −1 0 1 0



0 0 B− =  0 −1

0 0 0 −1 1 0 0 0

 1 0 . 0 0

Somit ist SpC (2m) = “Sp(4m)” ∩ LC (2m), wobei die Gruppe unter Anf¨ uhrungszeichen nur bis auf Koordinaten Vertauschungen – welche durch (0)(123) und (0)(132) geben sind – durch die Standardform beschrieben wird. Beachte noch, daß GLC (E) ⊆ GL+ (E) := {T ∈ GL(E) : det(T ) > 0} OC (n) ⊆ SL(2n) SpC (2n) ⊆ SLC (2n), denn det(T ) = | detC (T )|2 ≥ 0 und T ∈ OC (T ) ⇒ T t T = 1, d.h. detC (T )2 = 1, also det(T ) = | ± 1|2 = 1. Da SpC (2n) nach 14.10 von den Spiegelungen erzeugt wird, und diese positive komplexe Determinante haben, gilt auch die letzte Inklusion. Wieder hat OC (n) zwei Zusammenhangskomponenten (detC = ±1), wobei SOC (n) := SLC (n) ∩ OC (n) jene der Identit¨at ist, wohingegen SpC (2n) und SLC (n) zusammenh¨ angend sind. 14.16 Quaternionisch lineare Abbildungen Man kann analoges auch f¨ ur den Schiefk¨orper der Quaternionen machen. Als Vektorraum k¨ onnen wir ihn mit H := R4 = C2 identifizieren. Die Multiplikation l¨aßt sich zum Beispiel f¨ ur (t, x), (s, y) ∈ R × R3 = H so einf¨ uhren: (t, x) · (s, y) := (ts − hx, yi, ty + sx + x × y). 124

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14.16

14. Beispiele von Lie-Gruppen Wir k¨ onnen eine Konjugation durch (t, x)∗ := (t, x) := (t, −x)

definieren. Es gilt p · q = q ·p, weiters q¯·q = |q|2 ∈ R ⊆ H und somit ist 1/q = q¯/|q|2 . Es gelten dann alle K¨ orper-Axiome bis auf das Kommutativgesetz der Multiplikation (siehe Aufgabe 72.65 auch f¨ ur andere Beschreibungen). Wenn wir die Standardbasis von R3 mit i, j, k bezeichnen, dann ist 1 ∈ R ⊆ H eine Einheit und es gilt i2 = j 2 = k 2 = −1; ij = k = −ji, jk = i = −kj, ki = j = −ik. Damit Matrizen mit quaternionischen Eintragungen quaternionisch linear (von links) auf Vektoren wirken, m¨ ussen wir quaternionische rechts-Vektorr¨aume E betrachten. Mit LH (E) bezeichnen wir den reellen Vektorraum aller T : E → E, welche H-linear sind. D.h. LH (E) = {T ∈ L(E) : T (xi) = (T x)i, T (xj) = (T x)j, T (xk) = (T x)k)} = {T ∈ LC (E) : T (xj) = (T x)j}, wobei die komplexe Struktur auf E durch C ∼ = C × {0} ⊆ H gegeben ist. Wir erhalten dann die Gruppen GLH (E) := {T ∈ LH (E) : T ist invertierbar} = GL(E) ∩ LH (E) SLH (E) := {T ∈ LH (E) : detR (T ) = 1} = SL(E) ∩ LH (E) Es sei (el )nl=1 eine Basis des quaternionischen Rechtsvektorraums E, d.h. jedes q ∈ E hat eine Darstellung q=

n X

el q l mit eindeutig bestimmten q l ∈ H

l=1 l

l und wir q =: z P + jz n+l mit z l , z n+l ∈ C darstellen, erhalten wir q = Pn wenn 2n l n+l = l=1 el z l , wobei wir en+l := el j gesetzt haben. D.h. (ej )2n j=1 l=1 el z +(el j)z ist eine Basis von E als komplexer Vektorraum. Man beachte, daß qj als quaternionische Koordinaten nat¨ urlich q l j hat, aber als komplexe Koordinaten

qj =

n X

el (z l + jz n+l )j =

l=1

n X

el (j z¯l + j 2 z¯n+l ) =

l=1

n X

el (−¯ z n+l ) +

l=1

n X

(el j)¯ zl,

l=1

wegen zj = j z¯, zj = (a + bi + cj + dk)j = aj + bk + c − di jz = j(a − bi − cj − dk) = aj + bk + c − di d.h. die Koeffizienten von qj ergeben sich als  1 z¯   0 −1  .  ·  ..  . 1 0 z¯2n Sei nun A + Bj die Matrixdarstellung bez¨ uglich dieser Basis mit komplexen P von T P Matrizen A und B, d.h. T (el ) = k ek Tlk = k ek (Akl + Blk j) und somit  X  X XX X X T (q) = T el q l = T (el )q l = ek Tlk q l = ek Tlk q l l

=

X

ek

l

X

k

=

X k

(Akl

+

l

Blk j)

l

· (z + jz

k n+l

k

l

 )

l

ek

X l

(Akl z l − Blk z n+l ) + ek j

X

 ¯ k z l + A¯k z n+l ) . (B l l

l

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125

14.16

14. Beispiele von Lie-Gruppen

Also hat T bez¨ uglich der komplexen Basis (e1 , . . . , en , e1 j, . . . , en j) folgende Matrixdarstellung   A −B ¯ A¯ . B Wenn wir nun die komplexe Basis zur reellen Basis (e1 , . . . , en ; e1 j, . . . , en j; e1 i, . . . , en i; e1 ji, . . . , en ji) erg¨ anzen, dann hat T folgende Matrizendarstellung nach dem in 14.13 Gezeigten, wobei wir A und B in Real- und Imagin¨arteil zerlegen, d.h. A = A1 + iA2 und B = B1 + iB2 :        A −B A −B A1 −B1 −A2 B2 −Im ¯ ¯ A¯ ¯    Re B A1 B2 A2       B A  =  B1  A −B A −B   A2 −B2 A1 −B1  Im ¯ Re ¯ B A¯ B A¯ −B2 −A2 B1 A1 Wenn wir diese Basis noch auf die nat¨ urlichere Form (e1 , . . . , en ; e1 i, . . . , en i; e1 j, . . . , en j; e1 k, . . . , en k) bringen, dann hat  A1 −A2  A2 A1  B1 B2 B2 −B1

T folgende Darstellung   −B1 −B2 1 0 −B2 B1   , mittels Konjugation mit  0 A1 −A2  0 A2 A1

0 0 1 0

0 1 0 0

 0 0  0 −1

Wir wollen nun LH (n) als Teilraum von LC (2n) bzw. L(4n) mit den so beschriebenen quaternionischen Strukturen auf C2n bzw. R4n auffassen. Da H ein schief-K¨ orper ist, geht nun aber so manches schief. So gibt die u ¨bliche Formel f¨ ur die Determinante nichts vern¨ unftiges, da sie nicht H-linear in den Spalten ist. Wir behaupten als n¨ achstes, p daß die komplexe Determinante auf LH (E) positiv ist, und somit detC (T ) = + det(T ) gilt. Dazu rechnen wir wie folgt:     A −B A1 + iA2 −B1 − iB2 detC = detC B1 − iB2 A1 − iA2 B A     A1 −B1 A2 −B2 2 = det + i det B1 A1 −B2 −A2     A2 −B1 A1 −B2 + i det − i det −B2 A1 −B1 A2     A1 −B1 A2 −B2 = det + det B1 A1 B 2 A2      A2 −B1 A2 −B1  2 + i det − (−1) det −B2 A1 −B2 A1 = | detC (A1 + iB1 )|2 + | detC (A2 + iB2 )|2 ≥ 0. Also gilt GLH (E) ⊆ GL+ C (E) := {T ∈ GLC (E) : detC (T ) > 0} + ∼ GLH (E) = R × SLH (E) SLH (E) = {T ∈ LH (E) : detC (T ) = 1} ⊆ SLC (E), wobei der Isomorphismus wie im reellen Fall durch T 7→ (det(T )1/n , det(T )−1/n · T ) gegeben ist. 126

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14. Beispiele von Lie-Gruppen

14.17

14.17 Quaternionische Formen, Q(n,k), Q− (n) Sei schließlich q : E × E → H eine Form die quaternionisch linear in der zweiten Variable und konjugiert (schief)symmetrisch nicht degeneriert ist. Es ist also q(x, yλ) = q(x, y)λ f¨ ur λ ∈ H, q(y, x) = ±q(x, y) und damit q(xλ, y) = ±q(y, xλ) = ¯ y). Dann bezeichnen wir mit ±q(y, x)λ = λq(x, Qq (E) := {T ∈ GLH (E) : q(T x, T y) = q(x, y) ∀ x, y ∈ E}. Wie zuvor zeigt man, daß dies eine Mannigfaltigkeit ist. Wir setzen s(x, y) := Re q(x, y) := q(x,y)+q(x,y) = q(x,y)±q(y,x) . Dann ist s (schief)symmetrisch (wegen 2 2 der 2. Darstellung), R-wertig (wegen der 1. Darstellung) und R-linear. F¨ ur alle λ ∈ S 3 ⊆ H gilt s(xλ, yλ) =

¯ ¯ λq(x, y)λ ± λq(y, x)λ ¯ ¯ = λs(x, y)λ = λλs(x, y) = s(x, y), 2

da s(x, y) ∈ R mit allen Quaternionen vertauscht. Es gilt q(x, y) = s(x, y) + i s(xi, y) + j s(xj, y) + k s(xk, y), denn s(x, y) + i s(xi, y) + j s(xj, y) + k s(xk, y) = 1 (q(x, y) + i q(xi, y) + j q(xj, y) + k q(xk, y)) = 2  ± (q(y, x) + i q(y, xi) + j q(y, xj) + k q(y, xk))  1 4q(x, y) ± (q(y, x) + i q(y, x) i + j q(y, x) j + k q(y, x) k) = 2  1 = 4q(x, y) ∓ 2q(y, x) 2 = q(x, y), wobei wir f¨ ur die vorletzte Zeile q(y, x) =: a + ib + jc + kd setzen, und dann alles ausmultiplizieren. Man beachte auch, daß f¨ ur λ ∈ {i, j, k} die Form (x, y) 7→ s(xλ, y) R-bilinear ist und s(yλ, x) = ±s(x, yλ) = ∓s(xλ2 , yλ) = ∓s(xλ, y) erf¨ ullt, d.h. ebenfalls (schief)symmetrisch ist. Umgekehrt sei s : E ×E → R R-bilinear und (schief-) symmetrisch und es existieren s-Isometrien I und J mit I 2 = −1 = J 2 und IJ + JI = 0 (Achtung: Die Multiplikation von rechts mit λ ∈ {i, j, k} ist nicht H-linear sondern nur eine R-lineare Abbildung I, bzw. J und K : x 7→ xk = xij = J(I(x)) = JIx). Dann k¨onnen wir E zu einem quaternionischen Rechtsvektorraum machen durch x · (a + ib + jc + kd) := xa + I(x)b + J(x)c + JI(x)d und q(x, y) := s(x, y) + i s(Ix, y) + j s(Jx, y) + k s(JIx, y) definiert eine konjugiert (schief-)symmetrische nicht-degenerierte Form die H-linear in der zweiten Variable ist. Offensichtlich ist jedes invertierbare T , welches q und damit auch s, s(I , ), s(J , ), s(JI , ) invariant l¨aßt, automatisch H-linear, denn s(IT x, T y) = s(Ix, y) = s(T Ix, T y) und somit IT x = T Ix und analog f¨ ur J. Es gilt also Qq (E) = Os (E) ∩ GLH (E). c 15. Dezember 2008 [email protected]

127

14.17

14. Beispiele von Lie-Gruppen

Falls nun q eine Standardform ist, d.h. eine der folgenden Formen: n X q(z, w) = z¯l wl l=1

q(z, w) =

X

z¯l wl −

l>k

q(z, w) =

n X

X

z¯l wl

l≤k

z¯l i wl

l=1

dann werden (wir) die entsprechenden quaternionischen Gruppen mit Q(n) = UH (n) Q(n, k) = UH (n, k) Q− (m) = Uα (m) = SpH (m) bezeichnen. Wir erhalten f¨ ur s bez¨ uglich der reellen Basis (e1 , . . . ; e1 i, . . . ; e1 j, . . . ; e1 k, . . . ) und der entsprechenden reellen Koordinaten (x1 , . . . ; xn+1 , . . . , x2n+1 , . . . ; x3n+1 , . . . ) f¨ ur z und (y 1 , . . . ; y n+1 , . . . , y 2n+1 , . . . ; y 3n+1 , . . . ) f¨ ur w wobei z l = xl + ixn+l + jx2n+l + kx3n+l und wl = y l + iy n+l + jy 2n+l + ky 3n+l : X s(x, y) = xl y l + xn+l y n+l + x2n+l y 2n+l + x3n+l y 3n+l l

s(x, y) =

X

xl y l + xn+l y n+l + x2n+l y 2n+l + x3n+l y 3n+l

l>k

−

X

xl y l + xn+l y n+l + x2n+l y 2n+l + x3n+l y 3n+l

l≤k

s(x, y) =

X

−xl y n+l + xn+l y l − x2n+l y 3n+l + x3n+l y 2n+l

l

D.h. die Matrizendarstellungen sind   1k 0 0 0  0 1k 0 0     0 0 1k 0  mit 1k wie zuvor; 0 0 0 1k   0 1 0 0    −1 0 0 0   = − J 0 mit J := 0  0 0 0 1 0 J 1 0 0 −1 0

 −1 0

und somit ist Q(n) = O(4n) ∩ LH (n) ⊆ SLH (n) Q(n, k) = “O(4n, 4k)” ∩ LH (n) ⊆ SLH (n) Q− (n) = “Sp(4n)” ∩ LH (n) ⊆ SLH (n)

Wir k¨ onnen aber auch je zwei Komponenten zusammenfassen. Wie wir bereits bei der U (n) in 14.13 gezeigt haben, ist h(x, y) := s(x, y) + i s(xi, y) eine (schief)hermitesche Form und j s(xj, y) + k s(xk, y) = j (s(xj, y) + i s(xji, y)) = j h(xj, y), wobei (x, y) 7→ h(xj, y) (symmetrisch) schiefsymmetrisch und komplex bilinear ist, 128

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14.17

14. Beispiele von Lie-Gruppen

denn h(yj, x) = s(yj, x) + i s(yji, x) = ±s(xj, y) ± i s(xji, y) = ±h(xj, y). Also hat q eine Zerlegung q(x, y) = h(x, y) + j h(xj, y) in (schief-)hermiteschen und (symmetrischen) schiefsymmetrischen C-bilinearen Teil. F¨ uhrt man das wieder f¨ ur die Standardformen durch, so erhalten wir X q(z, w) = (¯ z l − z¯n+l j)(wl + jwn+l ) l

=

X X (¯ z l wl + z¯n+l wn+l ) + j (z l wn+l − z n+l wl ) l

l

X X q(z, w) = (¯ z l − z¯n+l j)(wl + jwn+l ) − (¯ z l − z¯n+l j)(wl + jwn+l ) l>k

=

l≤k

X X (¯ z l wl + z¯n+l wn+l ) − (¯ z l wl + z¯n+l wn+l ) l>k

l≤k

+j

X

l

(z w

n+l

−z

n+l

wl ) − j

l>k

q(z, w) =

X

=

X

=

X

X (z l wn+l − z n+l wl ) l≤k

(¯ z l − z¯n+l j)i(wl + jwn+l )

l

(¯ z l iwl + z¯n+l (−j)iwl − z¯n+l (−j)ijwn+l − z¯l ijwn+l )

l

i(¯ z l wl − z¯n+l wn+l ) − ji

X

l

(z n+l wl + z l wn+l )

l

und somit Q(n) = U (2n) ∩ SpC (2n) = U (2n) ∩ LH (n) = SpC (2n) ∩ LH (n) Q(n, k) = “U (2n, 2k)” ∩ “SpC (2n)” = “U (2n, 2k)” ∩ LH (n) = “SpC (2n)” ∩ LH (n) Q− (n) = U (2n, n) ∩ “OC (2n)” = U (2n, n) ∩ LH (n) = “OC (2n)” ∩ LH (n) Warnung: Q(n) wird in der Literatur ¨ofters auch als Sp(n) bezeichnet. Die ist nicht die hier definierte Sp(n), welche deshalb dort als SpR (n) bzw. Sp(n, R) bezeichnet wird! nmb.13.5 Weitere klassische Gruppen Analog zum Raum L(n, m) der reell-linearen Abbildungen k¨onnen wir auch die R¨ aume der komplex- bzw. quaternionisch-linearen Abbildungen LC (n, m) bzw. LH (n, m) betrachten, und diese sind als reelle Vektorr¨aume 2mn- bzw. 4mn-dimensional. ¨ Mit ¨ ahnlichen Uberlegungen wie zuvor erh¨alt man nun: 1. Die unit¨ are Gruppe U (n) : = {T ∈ LC (n, n) : hT x, T yiC = hx, yiC } = {T ∈ GLC (n) : T t ◦ T = id} ist Mannigfaltigkeit der Dimension n2 . Dabei ist hx, yiC := c 15. Dezember 2008 [email protected]

P

j

xj y¯j . 129

14.18

14. Beispiele von Lie-Gruppen

2. Die quaternionische Gruppe Q(n) := {T ∈ LH (n, n) : hT x, T yiH = hx, yiH } = {T ∈ GLH (n) : T t ◦ T = id} P ist Mannigfaltigkeit der Dimension n(2n + 1). Dabei ist hx, yiH := j xj y¯j und die Konjugierte einer Quaternione (t, x) ∈ R × R3 = H ist (t, x) = (t, −x). 3. Die symplektische Gruppe Sp(n) := {T ∈ L(2n, 2n) : ω(T x, T y) = ω(x, y)} mit ω(x, y) =

n X

(xi y n+i − xn+i y i )

i=1

ist ebenso Mannigfaltigkeit der Dimension n(2n + 1). ¨ Als Ubung zeige man: SO(n) = O(n) ∩ SL(n) ist Mannigfaltigkeit der Dimension

n 2




SU (n) = U (n) ∩ SLC (n) ist Mannigfaltigkeit der Dimension (n2 − 1).

¨ 14.18 Ubersicht Gruppe GL(n) SL(n) O(n) O(n, k) Sp(n) 1) GLC (n) SLC (n) OC (n) SpC (n) 1) U (n) U (n, k) SU (n) SU (n, k) GLH (n) SLH (n) Q(n) Q(n, k) Q− (n) 1)

Dim n2 n2 − 1 n(n − 1)/2 n(n − 1)/2 n(n + 1)/2 2n2 2n2 − 2 n(n − 1) n(n + 1) n2 n2 n2 − 1 n2 − 1 4n2 4n2 − 1 n(2n + 1) n(2n + 1) n(2n − 1)

kompakt − − + − − − − − − + − + − − − + − −

komplex − − − − − + + + + − − − − − − − − −

Kurzbeschreibung detR 6= 0 detR = 1 sym,lin,pos-def sym,lin,def alt,lin,def C-lin, detC 6= 0 C-lin, detC = 1 sym,C-lin,def alt,C-lin,def konj-sym,pos-def konj-sym,def konj-sym,pos-def, detC = 1 konj-sym,def, detC = 1 H-lin, detR 6= 0 H-lin, detR = 1 konj-sym,H-lin,pos-def konj-sym,H-lin,def schief-konj-sym,H-lin,def

In diesen F¨ allen ist n = 2m gerade.

130

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14.19

14. Beispiele von Lie-Gruppen 14.19 Niedere Dimensionen

Gruppe SL(n) SO(n) SO(n, 1) Sp(n) SLC (n) SOC (n) SpC (n) SU (n) SU (n, 1) SLH (n) Q(n) Q(n, 1) Q− (n)

dim n2 − 1 n(n − 1)/2 n(n − 1)/2 n(n + 1)/2 2n2 − 2 n(n − 1) n(n + 1) n2 − 1 n2 − 1 4n2 − 1 n(2n + 1) n(2n + 1) n(2n − 1)

n=1 {1} {1} − − {1} {1} − {1} − S3 S3 − S1

n=2 S1 × C S1 R \ {0} S1 × C dim = 6 C \ {0} dim = 6 S3 1 S ×C dim = 15 dim = 10 dim = 10 dim = 6

n=3 dim = 8 P SU (2) P SL(2) − dim = 16 dim = 6 − dim = 8 dim = 8 dim = 35 dim = 21 dim = 21 dim = 15

dim= 0: Offensichtlich ist SL(1) = {t ∈ R : t = 1}, SO(1) = {1} ⊆ SL(1), SLC (1) = {z ∈ C : z = 1}, SU (1) = {z ∈ C : z = 1} ⊆ SLC (1), SO C (1) = {1} ⊆ SLC (1)

dim= 1:

U (1) = {z ∈ C : z¯z = 1} = S 1 ⊆ C. ¯ Q− (1) = S 1 , denn ziw = λziλw = zλiλw, genau dann, wenn i = λiλ, oder |λ| = 1 2 2 und λi = iλ, i.e. λ = a + ib mit a + b = 1.

Die definierende Gleichung der im folgenden gesuchten Untergruppen von SLC (2) ist neben detC = 1 durch b(T x, T y) = b(x, y) gegeben. Daf¨ ur gen¨ ugt es (x, y) := (e1 , e1 ), (x, y) := (e1 , e2 ) und (x, y) := (e2 , e2 ) einzusetzen, oder wenn b(x, y) = hBx, yi ist,
die Matrizengleichung T ∗ BT = B zu l¨osen. Da T
∈ SLC (2) liegt, ist d −b T = ac db invertierbar mit inverser Matrix T −1 = −c aßt sich die a . Also l¨ ∗ −1 Matrizengleichung auch als BT = (T ) B schreiben, und liefert uns im Folgenden die n¨ otigen Bedingungen an die Koeffizienten a, b, c und d. Die Elemente der Abelsch’en unter den folgenden Gruppen G werden wir gemeinsam diagonalisieren. D.h. f¨ ur jedes T ∈ G werden wir die Eigenwerte λT± und zugeh¨orige (von T unabh¨ angige) Eigenvektoren e± bestimmen. Wenn ΛT die Diagonalmatrix mit Eintragungen λT+ und λT− ist, und U die Matrix mit Spalten e+ und e− ist, d.h. U (e1 ) = e+ und U (e2 ) = e− , dann ist T · U = U · ΛT , d.h. U −1 · T · U = ΛT . Die Konjugation mit U bildet also die Gruppe G isomorph auf eine Gruppe von Diagonalmatrizen in SLC (2) ab. c 15. Dezember 2008 [email protected]

131

14.19

14. Beispiele von Lie-Gruppen

 SO(2) =

a −b

b a



denn

    λ 0 1 ∼ : a, b ∈ R, a2 + b2 = 1 ∼ : λ ∈ S = = S1, ¯ 0 λ  2 2   (1) a + c = 1 (b(e1 , e1 ) = 1)      (2) b2 + d2 = 1 (b(e , e ) = 1) a b 2 2 ∈ SO(2) ⇔ c d  (3) ab + cd = 0 (b(e1 , e2 ) = 0)     (4) ad − bc = 1 (det = 1)

Dann folgt d · (3) − b · (4) :

−b = c(d2 + b2 ) = c,

b · (3) + d · (4) :

d = a(b2 + d2 ) = a

und somit a2 + b2 = 1. K¨ urzer folgt das alles auch aus der Matrizengleichung BT = (T t )−1 B, mit B = id. Die Eigenwerte von T sind λ± = a±i b mit zugeh¨
origen Eigenvektoren e± = (1, ±i). 1 Also bildet die Konjugation mit U = 1i −i die Gruppe SO(2) isomorph auf die Diagonalmatrizen mit konjugiert komplexen Eintragungen vom Betrag 1 ab.         1 1 −i a b 1 1 a + ib 0 · · = −b a i −i 0 a − ib 2 1 i

 a SO(2,1) = b

  b 2 2 : a, b ∈ R, a − b = 1 ∼ = a    λ 0 ∼ : λ ∈ R \ {0} ∼ = = R \ {0}, 0 1/λ

Analog wie
bei der SO(2) folgt die erste Gleichung aus der Matrizengleichung mit 0 . Der erste B = 10 −1
Isomorphismus ist dann analog durch Konjugation mit der 1 Matrix U = 11 −1 der Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ± := a ± b gegeben. Konjugieren mit U liefert         1 1 1 a b 1 1 a+b 0 · · = b a 1 −1 0 a−b 2 1 −1 mit (a + b)(a − b) = 1. dim= 2 GLC (1) = C∗ .  a SO C (2) = −b

     b a 0 : a, b ∈ C, a2 + b2 = 1 ∼ : a ∈ C∗ ∼ = = C∗ , a 0 1/a

denn wie f¨ ur SO(2) erhalten erhalten wir die Gleichheit aus der Matrizengleichung   1 1 und den Isomorphismus durch Konjugation mit . Dann ist i −i         1 1 −i a b 1 1 a + ib 0 · · = −b a i −i 0 a − ib 2 1 i und (a + ib)(a − ib) = 1. 132

c 15. Dezember 2008 [email protected]

14.19

14. Beispiele von Lie-Gruppen dim= 3 

  b SL(2) = : a, b, c, d ∈ R, ad − bc = 1 d    a b 2 2 ∼ : a, b ∈ C, |a| − |b| = 1 , = ¯b a ¯
wobei der Isomorphismus durch Konjugation mit U := 11 −i geben ist, siehe 34.5 i und 72.62 , denn       a b α1 + iα2 β1 + iβ2 α1 + β1 α2 − β2 = U −1 · ·U = c d β1 − iβ2 α1 − iα2 −α2 − β2 α1 − β1 b−c a−d b+c a+d , α2 = , β1 = , β2 = − ⇔ α1 = 2 2 2 2 a c

a Beachte daß die Quadrik {(a, b) ∈ C2 : |a|2 − |b|2 = 1} verm¨oge (a, b) 7→ ( |a| , b) = a 1 √ ( , b) diffeomorph zum “Zylinder” S × C ist. Allerdings sieht die induzierte 2 1+|b|

Gruppenstruktur auf S 1 × C sehr kompliziert aus.

Sp(2) = SL(2),   a b denn ∈ Sp(2) ⇔ c d      0 −1 a c 0 ⇔ = · 1 0 b d 1 ⇔ ad − bc = 1

 SU (2,1) =

a ¯b

  −1 a · 0 c

   b 0 cb − ad = d ad − bc 0

  b 2 2 : a, b ∈ C, |a| − |b| = 1 ∼ = SL(2), a ¯


0 denn die Gleichheit folgt analog wie bei der SO(2, 1) mit B := 10 −1 und dem
hermite’schen Produkt. Der Isomorphismus ist durch Konjugation mit U := 11 −i i c 15. Dezember 2008 [email protected]

133

14.19

14. Beispiele von Lie-Gruppen

geben, siehe 34.5 und 72.62 , denn       a b α1 + iα2 β1 + iβ2 α1 + β1 α2 − β2 −1 =U · ·U = c d β1 − iβ2 α1 − iα2 −α2 − β2 α1 − β1 b−c a−d b+c a+d , α2 = , β1 = , β2 = − ⇔ α1 = 2 2 2 2  SU (2) =

  a b 2 2 ∼ : a, b ∈ C, |a| + |b| = 1 = S3 −¯b a ¯

wobei die Gleichung wieder wie f¨ ur die SO(2) folgt und der Isomorphismus durch die Darstellung der Quaternionen H als Matrizen in GLC (2) gegeben ist. Q(1) = S 3 , denn T ∈ Q(1) genau dann, wenn T ∈ GLH (1) = H mit T¯T = 1, und (a + ib + jc + kd) · (a + ib + jc + kd) = (a − ib − jc − kd) · (a + ib + jc + kd) = (a2 + b2 + c2 + d2 ) + i0 + j0 + k0. SLH (1) = S 3 , denn nach 14.16 ist    a1 + ia2 −(b1 + ib2 ) a detC = det 1 b1 − ib2 a1 − ia2 b1

  −b1 a +det 2 a1 b2

−b2 a2



= a21 +a22 +b21 +b22

(t + ix + jy + kz) · (a + ib + jc + kd) = (ta − xb − yc − zd) + i(xa + tb + yd − zc) + j(tc + ya + kb − xd) + k(za + td + xc − yb) also wirkt eine Quaternione (a + ib + jc + kd) als folgende Matrix auf einen Vektor (t, x, y, z):   a −b −c −d b a d −c     c −d a b  d c −b a und hat reelle Determinante (a2 + b2 + c2 + d2 )2 . und somit ist detC (q) = kqk2 f¨ ur jede Quaternione q. SO(3) = P SU (2) = P S 3 , wobei P G := G/Z(G) f¨ ur jede Gruppe G und Z(G) := {g ∈ G : ∀ h ∈ G : g · h = h · g} das Zentrum von G bezeichnet. Jede Einheitsquaternione q = a + ib + jc + kd wirkt orthogonal auf R4 = H durch Konjugation und l¨ aßt die Zerlegung R × R3 invariant, denn q −1 · 1 · q = |q|q 2 · q = 1 und |q −1 · p · q|2 = (q −1 · p · q) · (q −1 · p · q) = q · p · q · q −1 · p · q = q −1 · |p|2 · q = |p|2 ∼ {0} × R3 ⊆ H. Der Kern dieses Gruppenhoalso wirkt sie als Drehung am R3 = 3 momorphismuses H ⊇ S → SO(3) ist offensichtlich Z(S 3 ) = Z(H) ∩ S 3 = {±1}. Somit ist die Abbildung surjektiv, da SO(3) zusammenh¨angend ist, also SO(3) ∼ = S 3 /Z(S 3 ) = P S 3 . Geometrisch haben wir das in 1.3 auch so gesehen: Eine Drehung ist durch Drehachse und Drehwinkel festgelegt, also durch durch einen Vektor u ∈ D3 welcher der Drehung mit der Achse u/|u| ∈ S 2 und dem Drehwinkel π|u| ∈ [−π, π]/ ∼= S 1 134

c 15. Dezember 2008 [email protected]

15.2

14. Beispiele von Lie-Gruppen

¨ entspricht. Also erhalten wir eine 2-bl¨attrige Uberlagerung S 3 → S 3 / ∼= D3 / ∼∼ = SO(3) auch aus folgendem Diagramm S 2 × [−1, 1]  D3

id ×eiπ

/ / D3 / ∼ /

/ / S2 × S1  / / SO(3),

wobei die linke vertikale Abbildung durch (x, t) 7→ tx, die rechte durch (v, ϕ) 7→ “Drehung um v mit Winkel ϕ” gegeben sind und ∼ die von v ∼ −v erzeugte ¨ Aquivalenzrelation ist, siehe dazu auch 24.40 . Beachte, daß das Zentrum Z(SU (2)) von SU (2) durch {± id} gegeben ist und somit P SU (2) := SU (2)/Z(SU (2)) = S 3 /Z2 ist. SO + (3,1) = P SL(2) wird analog wie f¨ ur SO(3) = P S 3 gezeigt. F¨ ur Details dazu siehe ebenso 24.40 . Beachte, daß das Zentrum Z(SL(2)) von SL(2) durch {± id} gegeben ist und somit P SL(2) := SL(2)/Z(SL(2)) ist.

15. Glatte Abbildungen Um verschiedene Mannigfaltigkeiten miteinander in Beziehung zu setzen, ben¨otigen wir nat¨ urlich auch den Begriff der glatten Abbildungen zwischen ihnen und den geben wir jetzt. 15.1 Definition (glatte Abbildung) Sei f : M → N eine Abbildung zwischen zwei glatten Mannigfaltigkeiten M ⊆ Rm und N ⊆ Rn . Die Abbildung f heißt glatt (C ∞ ) :⇔ lokal l¨aßt sie sich zu einer glatten Abbildung f˜ : Rm → Rn erweitern, d.h. ∀ p ∈ M ∃ U (p) ⊆ Rm ∃ f˜ : U (p) → Rn glatt mitf˜|M ∩U (p) = f |M ∩U (p) . off.

Die konstante Abbildung, die Identit¨at und die Zusammensetzung glatter Abbildungen sind glatt: Seien f : M1 → M2 sowie g : M2 → M3 glatt und f˜ : U1 → Rn2 bzw. g˜ : U2 → Rn3 lokale, glatte Fortsetzungen, dann ist (g ◦ f˜) = g˜ ◦ f˜ : f˜−1 (U2 ) → Rn3 eine lokale, glatte Fortsetzung von g ◦ f , also ist g ◦ f glatt. 15.2 Beispiele glatter Abbildungen. 1. F¨ ur die klassischen Liegruppen G aus Abschnitt 14 ist die Multiplikation mult : G × G → G glatt, denn f¨ ur die offene Teilmenge GL(E) von L(E, E) ist dies die Einschr¨ ankung der bilinearen Abbildung (T, S) 7→ T S, und die anderen klassischen Liegruppen G sind Teilmannigfaltigkeiten in GL(E). Gleiches gilt f¨ ur die Inversion inv : G → G, denn f¨ ur GL(E) ist sie die L¨ osung der impliziten Gleichung mult(A, inv(A)) = id, auf die der inverse Funktionensatz anwendbar ist. Die Ableitung ist dabei durch inv0 (A)(B) = −A−1 BA−1 gegeben. c 15. Dezember 2008 [email protected]

135

15.4

15. Glatte Abbildungen

2. Orthogonales-Komplement-nehmen ⊥: G(k, n) → G(n − k, n) ist glatt als Einschr¨ ankung der affinen, durch P 7→ 1 − P gegeben Abbildung L(n, n) → L(n, n) auf G(k, n) ⊆ L(n, n). 3. Die Bild-Abbildung Bild : V (k, n) → G(k, n) ist glatt, denn als Abbildung von V (k, n) := {T ∈ L(k, n) : T t T = id} → G(k, n) ⊂ Lk (n, n) ist sie durch T 7→ T T t gegeben: Offensichtlich ist T T t die ortho-Projektion ((T T t )t (T T t ) = T tt T t T T t = T id T t = T T t ) mit Bild T ⊇ Bild T T t ⊇ Bild T T t T = Bild T .

15.3 Lemma (Karten sind Diffeomorphismen). Sei ϕ : U → M eine lokale Parametrisierung der Mannigfaltigkeit M . Dann ist ϕ lokal ein Diffeomorphismus.

Beweis. Nach Voraussetzung ist ϕ glatt. Im Beweis der Richtung (1 ⇒ 4) von Satz 10.4 haben wir ϕ zu einem lokalen Diffeomorphismus Φ : Rm × Rn−m → Rn erweitert. Aus der Bijektivit¨ at von ϕ : U → M ∩ V (ist Voraussetzung) folgt, daß ϕ−1 : M ∩ V → U als Abbildung existiert. Sie ist sogar glatt, denn lokal l¨aßt sie sich zu der glatten Abbildung Φ−1 erweitern.

15.4 Lemma (Glatte Abbildungen). F¨ ur eine stetige Abbildung f : M → N zwischen zwei Mannigfaltigkeiten M und N sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: 1. f ist glatt. 2. F¨ ur jede lokale Parametrisierung ϕ von M und jede lokale Parametrisierung ψ von N gilt: Die Abbildung ψ −1 ◦ f ◦ ϕ ist glatt wo sie definiert ist. 3. F¨ ur jedes p ∈ M existiert eine lokale Parametrisierung ϕ von M um p und existiert eine lokale Parametrisierung ψ um f (p), sodaß die Kartendarstellung ψ −1 ◦ f ◦ ϕ glatt ist. 136

c 15. Dezember 2008 [email protected]

16.1

15. Glatte Abbildungen

p

M

fHpL

N f

j

Ψ

Rm

Rn

U

V Ψ-1 ëfëj

Beweis. (1⇒2) Seien nun ϕ : U1 → V1 ∩ M und ψ : U2 → V2 ∩ N lokale Parametrisierungen. Die Abbildung ψ −1 ◦ f ◦ ϕ ist genau f¨ ur jene x ∈ U1 definiert, welche f (ϕ(x)) ∈ V2 erf¨ ullen. Das ist aber die offene Menge U1 ∩ (f ◦ ϕ)−1 (V2 ). Obige Abbildung ist glatt, da sie nur aus glatten Funktionen zusammengesetzt ist. (2⇒3) Wenn die Aussage f¨ ur alle lokalen Parametrisierungen gilt, dann erst recht f¨ ur eine spezielle. (3⇒1) Zu zeigen ist, daß f glatt ist. Dies ist eine lokale Eigenschaft, und lokal l¨aßt sich f folgendermaßen als Komposition von glatten Abbildungen darstellen: f = ψ ◦ (ψ −1 ◦ f ◦ ϕ) ◦ϕ−1 . | {z } glatt nach (3)

16. Abstrakte Mannigfaltigkeiten Unsere vorl¨ aufige Definition einer Mannigfaltigkeit ist nicht zufriedenstellend: Bisher verwendeten wir ganz wesentlich die Eigenschaften des umgebenden Raumes, der mit dem Objekt, das wir beschreiben wollen, begrifflich nichts zu tun hat. In diesen Abschnitt wollen wir nun den umgebenden Euklidischen Raum loswerden, und kommen so zum Begriff der abstrakten Mannigfaltigkeit. Die Relevanz dieses Ansatzes zeigen bereits folgende 16.1 Beispiele (Siehe auch Abschnitt 9 ). c 15. Dezember 2008 [email protected]

137

16.3

16. Abstrakte Mannigfaltigkeiten

1. Das M¨ obiusband entsteht “topologisch”, wenn man zwei Seiten eines Rechtecks miteinander identifiziert und das Ganze mit der Quotiententopologie versieht. Denkt man sich dieses Gebilde im R3 realisiert und zerschneidet es l¨ angs der Mittellinie, so entsteht bekanntlich ein mehrfach verdrehtes Band. F¨ uhren wir dasselbe aber “topologisch” durch, entsteht ein einfaches, nicht verdrehtes Band. Die beiden Figuren lassen sich aber im R3 nicht stetig ineinander u uhren, das geht erst im R4 . ¨berf¨ 2. Der “Klein’schen Flasche” oder vor allem der “projektiven Ebene” sieht man gar nicht ohne weiteres an, in welchen Rn sie “passen”, in den R3 jedenfalls nicht. Wir erweitern nun die Definition von Teilmannigfaltigkeiten des Rn zu einer solchen f¨ ur abstrakte Mannigfaltigkeiten. 16.2 Definition (Abstrakte Mannigfaltigkeit) Sei X eine beliebige Menge. Eine Karte (oder auch lokale Parametrisierung) von X ist eine injektive Abbildung ϕ : Rm ⊇ U → X, definiert auf einer offenen Menge U ⊆ Rm . Zwei Karten ϕ1 , ϕ2 heißen C ∞ -kompatibel oder vertr¨ aglich, falls der Kartenwechsel −1 −1 ϕ−1 2 ◦ ϕ1 : ϕ1 (ϕ2 (U2 )) → ϕ2 (ϕ1 (U1 )) ein Diffeomorphismus offener Mengen ist. Die Idee dahinter ist, daß jede Karte ϕ1 glatt sein soll, und nach 15.4 sollte dazu ϕ−1 2 ◦ ϕ1 dort wo es definiert ist glatt sein.

j

Ψ

Ψ-1 ëj

Ein C ∞ -Atlas einer Menge X ist eine Familie C ∞ -kompatibler Karten, deren ¨ quivalent, wenn alle ihre Bilder ganz X u ¨berdecken. Zwei C ∞ -Atlanten heißen a Karten miteinander C ∞ -kompatibel sind. Eine abstrakte C ∞ -Mannigfaltigkeit ist eine Menge zusammen mit einer ¨ Aquivalenzklasse glatter Atlanten. 16.3 Definition (Topologie einer Mannigfaltigkeit) Auf einer abstrakten Mannigfaltigkeit erh¨alt man eine Topologie, indem man definiert: U ⊆ X heißt offen :⇔ ϕ−1 (U ) ist offen im Rm f¨ ur jede Karte des Atlas. Die Karten ϕ : U → ϕ(U ) ⊂ M werden dann zu Hom¨oomorphismen. Denn stetig sind sie nach Konstruktion der Topologie auf M und falls U1 ⊂ U offen ist, so ist 138

c 15. Dezember 2008 [email protected]

16. Abstrakte Mannigfaltigkeiten

16.6

es auch ϕ(U1 ) ⊂ M denn ψ −1 (ϕ(U1 )) = (ϕ−1 ◦ ψ)−1 (U1 ) ist das Bild unter dem Hom¨ oomorphismus ϕ−1 ◦ ψ. Man verlangt u ¨blicherweise auch noch, daß diese Topologie Hausdorff ist, d.h.: je zwei disjunkte Punkte lassen sich durch disjunkte offene Umgebungen trennen. Die folgende Proposition zeigt, daß diese Definition wirklich eine Erweiterung von Definition 10.4 ist. 16.4 Proposition. Jede C ∞ -Teilmannigfaltigkeit M eines Rn ist in nat¨ urlicher Weise eine C ∞ -Mannigfaltigkeit und ihre Topologie ist die Teilraumtopologie. Beweis. Einen Atlas auf M erh¨alt man aus allen lokalen injektiven Parametrisierungen mittels 10.4 . Die Kartenwechsel sind dann glatt nach 15.3 und die Topologie von M ist die induzierte Topologie des umgebenden Rn , da die Parametrisierungen lokal Einbettungen sind, siehe den Beweis von 10.4 . 16.5 Proposition (Maximaler Atlas). Sei A ein C ∞ -Atlas f¨ ur M , dann ist Amax := {ϕ : ϕ Karte f¨ ur M und ϕ vertr¨ aglich mit allen ψ ∈ A} der eindeutig bestimmte maximale Atlas, der A umfaßt. Beweis. Wir zeigen zuerst Amax ist ein C ∞ -Atlas: Seien ϕ, ψ ∈ Amax , dann ist zu zeigen, daß ϕ−1 ◦ ψ glatt ist. Sei x ∈ ψ −1 (Bild ϕ) also ψ(x) ∈ Bild ϕ ∩ Bild ψ. Da A ein Atlas ist, folgt die Existenz eines χ ∈ A mit ψ(x) ∈ Bild χ. Somit ist ϕ−1 ◦ χ ◦ χ−1 ◦ ψ = (χ−1 ◦ ϕ)−1 ◦ (χ−1 ◦ ψ) lokal um x definiert. Die beiden geklammerten Teile sind laut Definition von Amax glatt und folglich ist auch ϕ−1 ◦ψ glatt. Sei nun B ein C ∞ -Atlas, der A umfaßt, dann ist z.z.: B ⊆ Amax . Sei ϕ ∈ B, dann ist ϕ vertr¨ aglich mit allen ψ ∈ B. Da B ⊇ A, ist ϕ vertr¨aglich mit allen ψ ∈ A, also ist nach Konstruktion ϕ ∈ Amax .

16.6 ¨ Die folgenden Uberlegungen zeigen, daß die Kartenwechsel, also eine Familie von lokalen Abbildungen Rm → Rm , schon die ganze Information u ¨ber M enthalten. Sei dazu {gαβ : α, β ∈ A} eine Familie von Diffeomorphismen offener Teilmengen −1 endlichdimensionaler Vektorr¨ aume, sodaß gαβ = gβα und (dort wo die linke Seite definiert ist) gαβ ◦ gβγ ⊆ gαγ gilt (Das sind offensichtlich Eigenschaften von Karten¨ wechseln). Es sei Uα := F Dom gαα S und wir definieren eine Aquivalenzrelation auf der disjunkten Vereinigung α Uα = α {α} × Uα durch: (α, x) ∼ (β, y) :⇔ gαβ (y) = x. ¨ Dies ist in der Tat eine Aquivalenzrelation: Reflexivit¨ at: Es ist gαα = idUα , denn aus (gαα )−1 = gαα folgt Bild gαα = Dom gαα = Uα und aus gαα ◦ gαα ⊆ gαα folgt, da gαα als Diffeomorphismus injektiv ist, gαα = id. Somit ist (α, x) ∼ (α, x). Symmetrie: Es sei (α, x) ∼ (β, y) also x = gαβ (y), d.h. y = (gαβ )−1 (x) = gβα (x), also (β, y) ∼ (α, x). Transitivit¨ at: Es sei (α, x) ∼ (β, y) ∼ (γ, z), also gαβ (y) = x und gβγ (z) = y. Somit ist gαγ (z) = (gαβ ◦ gβγ )(z) = gαβ (y) = x, also x ∼ z. c 15. Dezember 2008 [email protected]

139

16.8 Nun sei M :=

16. Abstrakte Mannigfaltigkeiten F

α∈A

 Uα /∼ und gα : Uα → M durch x 7→ [(α, x)]∼ definiert.

Dann ist gα injektiv, denn aus (α, x) ∼ (α, y) folgt x = gαα (y) = y. −1 Aus idUα = gαα ⊇ gαβ ◦ gβα = gβα ◦ gβα = idDom gβα folgt Dom(gβα ) ⊆ Uα und g(Dom(gβα )) = Dom(gαβ ) ⊆ Uβ .

Weiters sind die Kartenwechsel gβ−1 ◦ gα durch y = (gβ−1 ◦ gα )(x) ⇔ gβ (y) = gα (x) ⇔ (α, x) ∼ (β, y) ⇔ x = gαβ (y) ⇔ y = gβα (x) gegeben. Somit ist M eine C ∞ Mannigfaltigkeit und Kartenwechselabbildungen gβα = gβ−1 ◦ gα .

16.7 Definition (Topologische Mannigfaltigkeit)

Ein topologischer Raum M heißt topologische Mannigfaltigkeit :⇔ es gibt eine Familie von Hom¨ oomorphismen zwischen offenen Teilmengen eines endlichdimensionalen Vektorraums und offenen Teilmengen von M , deren Bilder M u ¨berdecken. Solche Hom¨ oomorphismen heißen Karten von M . Und eine Familie von Karten, deren Bilder M u ¨berdecken, heißt Atlas.

Bemerkungen 1. Falls M eine topologische Mannigfaltigkeit und A ein Atlas f¨ ur M ist, so sind alle Kartenwechsel automatisch Hom¨oomorphismen auf offenen Teilen des Rm . Man braucht also “nur” gen¨ ugend viele unter ihnen zu finden, so daß die entsprechenden Kartenwechsel differenzierbar sind, um einen glatten Teilatlas zu erhalten, und somit M als glatte Mannigfaltigkeit zu erkennen. 2. Nicht jede topologische Mannigfaltigkeit besitzt aber einen C ∞ -Atlas. Das erste Beispiel [52] war 10-dimensional. Heute ist 4 die niedrigste Dimension, f¨ ur die es ein Beispiel gibt.

Wir wollen nun unseren Differenzierbarkeitsbegriff f¨ ur Abbildungen zwischen Teilmannigfaltigkeiten auf abstrakte Mannigfaltigkeiten u ¨bertragen. Das Lemma 15.4 legt folgende Definition nahe:

16.8 Definition (Glatte Abbildung) Seien (M, A) und (N, B) zwei C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Eine Abbildung f : M → N heißt glatt :⇔ f ist stetig, und f¨ ur jeden Punkt x ∈ M existieren Karten ϕ ∈ A und ψ ∈ B, sodaß x ∈ Bild ϕ, f (x) ∈ Bild ψ und die Kartendarstellung ψ −1 ◦ f ◦ ϕ von f glatt ist. Das gilt dann ebenso f¨ ur beliebige Karten ϕ ∈ A und ψ ∈ B. 140

c 15. Dezember 2008 [email protected]

16.9

16. Abstrakte Mannigfaltigkeiten

f

j

Ψ

Ψ-1 ëfëj Insbesonders ist die Identit¨ at id : (M, A) → (M, B) genau dann ein Diffeomorphismus, wenn die beiden Atlanten A und B ¨aquivalent sind. 16.9 Bemerkungen 1. Die Stetigkeit von f setzt man voraus, damit die Kartendarstellung auf einer offenen Menge definiert ist. 2. Da der Kartenwechsel glatt ist, gen¨ ugt es, obige Eigenschaft bei jedem x f¨ ur eine Karte aus A und f¨ ur eine aus B um f (x) zu fordern, sie u ¨bertr¨agt sich auf alle Karten. 3. Wenn man R als topologische Mannigfaltigkeit auffaßt, lassen sich sehr leicht zwei C ∞ -Strukturen angeben: A1 := {id : R → R}, und A2 := {ϕ(x) = x3 : √ −1 3 R → R}. Diese sind nicht vertr¨aglich, da ϕ ◦ id : x → x nicht glatt d √ ist (denn dx ( 3 x) existiert nicht bei 0), definieren also zwei verschiedene ∞ C -Mannigfaltigkeitsstrukture auf R. Allerdings sind die beiden Strukturen diffeomorph, also doch gewissermaßen gleich. RO

f

ϕ

/R O

hier Mannigfaltigkeiten

id

/R hier Vektorr¨aume √ 3 Die Abbildung f = x ist ein Diffeomorphismus: f , f −1 sind bijektiv und √ 3 klarerweise stetig. Ebenso ist f glatt, da (id−1 ◦f ◦ϕ)(x) = f (x3 ) = x3 = x glatt ist. Analog ist f −1 glatt, da (ϕ−1 ◦ f −1 ◦ id)(x) = ϕ−1 (x3 ) = x glatt ist. 4. Ab dim M = 4 gilt nicht mehr allgemein, daß zwei C ∞ -Atlanten einer topologischen Mannigfaltigkeit bis auf Diffeomorphismus gleich sind. F¨ ur Dimension kleiner als 4 wurde es hingegen in [79] gezeigt. Nach [72] tr¨agt zum Beispiel die S 7 mindestens 15 nicht diffeomorphe C ∞ -Strukturen; die S 31 mehr als 16 · 106 . Genauer gilt: dim = n 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 . . . n Strukturen auf S 28 2 8 6 992 1 3 2 16256 2 16 16 . . . id

R

F¨ ur Rn , n 6= 4 gibt es genau eine glatte Struktur. F¨ ur n > 4 wurde das in [91] bewiesen. Ganz u ur den ¨berraschend konnte Kirby 1982 beweisen, daß f¨ R4 eine exotische C ∞ -Struktur existiert. In [93] wurde gezeigt, daß es sogar u ahlbar viele gibt. ¨berabz¨ c 15. Dezember 2008 [email protected]

141

16.12

16. Abstrakte Mannigfaltigkeiten

5. Die Klasse der C ∞ -Abbildungen zwischen zwei Mannigfaltigkeiten bilden eine Kategorie. Dabei versteht man unter einer Kategorie eine Klasse von R¨ aumen (Objekten) und Abbildungen (Morphismen), sodaß zu jedem Objekt die Identit¨ at ein Morphismus und die Zusammensetzung von Morphismen wieder ein solcher ist. Es ist also f¨ ur drei C ∞ -Mannigfaltigkeiten M, N, P und glatte Abbildungen f : M → N und g : N → P zu zeigen: a) g ◦ f : M → P ist glatt. b) id : M → M ist glatt. 16.10 Lemma (Offene Teilmannigfaltigkeit). Sei (M, A) eine C ∞ -Mannigfaltigkeit, und U offen in M . Dann ist U in nat¨ urlicher Weise eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Ein Atlas auf U ist durch die Einschr¨ ankungen von Karten von M gegeben. Beweis. Klarerweise ist (U, AU := {ϕ|ϕ−1 (U ) : ϕ ∈ A}) eine topologische Mannigfaltigkeit. Bleibt zu zeigen, daß die Kartenwechsel glatt sind: (ψ|ψ−1 (U ) )−1 ◦ ϕ|ϕ−1 (U ) = (ψ −1 ◦ ϕ)|ϕ−1 (U ) ist eine Einschr¨ ankung von C ∞ -Funktionen und somit C ∞ .

16.11 Bemerkungen 1. Es ist also sinnvoll, von C ∞ -Abbildungen zu sprechen, die nur auf offenen Teilmengen einer C ∞ -Mannigfaltigkeit definiert sind. 2. Die Karten ϕ einer C ∞ -Mannigfaltigkeit sind Diffeomorphismen ϕ : Rm ⊇ Dom ϕ → Bild ϕ ⊆ M. off.

off.

Insbesonders besteht Amax aus all jenen Karten ϕ, die Diffeomorphismen auf ihr Bild sind, d.h. ϕ−1 ◦ ψ ist ein Diffeomorphismus offener Mengen f¨ ur alle Karten ψ ∈ A.

16.12 Beispiele von Atlanten 1. S n = {x ∈ Rn+1 : |x| = 1} Wir konstruieren Karten durch radial-Projektionen auf die Tangentialebenen (“Radialprojektion”).

a+Ta Sn x

a

α + v = λx

v

mit hα, vi = 0 ⇒ ⇒ x 7→ v := hx, αi−1 · x − α, v 7→ x := (α + v) · |α + v|−1 .

142

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16.12

16. Abstrakte Mannigfaltigkeiten Eine Karte f¨ ur eine Umgebung von α ist also ∼ α⊥ → {x ∈ S n : hx, αi > 0} ⊆ M ϕα :Rn = ϕα (v) : = (α + v) · |(α + v)|−1 −1 ϕ−1 · x − α. α (x) = hx, αi

Die Menge {ϕα : α ∈ S n } bildet einen C ∞ -Atlas f¨ ur S n . Allerdings u ¨berdecken auch die Bilder der Karten ϕ±ei f¨ ur i = 1 . . . .n + 1 die S n . Da sowohl ϕα als auch ϕ−1 α glatt auf einer offenen Umgebung im Rn+1 sind, sind klarerweise alle Kartenwechsel glatt. 2. Der Atlas der stereographischen Projektion f¨ ur S n hat als Karten ψα mit α ∈ S n : ( ⊥ α → S n \ {α} ψα : v 7→ α + 2(v − α) · (|v|2 + 1)−1 mit der Umkehrabbildung

ψα−1 (x) = (x − hx, αi · α) · (1 − hx, αi)−1 . Die Karte ψα ist f¨ ur S n \ {α} definiert. F¨ ur einen Kartenwechsel gen¨ ugt es also, noch eine Karte f¨ ur α zu finden, etwa ψ−α . Den Kartenwechsel f¨ ur diese beiden ¨ Karten erh¨ alt man aus elementaren geometrischen Uberlegungen: Es seien v und −1 ∗ −1 v die Bilder unter ψα und ψ−α . Die Dreiecke (α, x, −α) und (α, 0, v) haben zwei gleiche Winkel, je einen rechten und jenen bei α, also sind sie ¨ahnlich. Die Dreiecke (0, v ∗ , −α) und (α, x, −α) sind aus entsprechenden Gr¨ unden ebenfalls ¨ahnlich. z

y

x

Aus dem Strahlensatz erh¨ alt man: |v| 1 = ∗ ⇒ |v| = |v ∗ |−1 ⇒ (ψα−1 ◦ ψα )(v) = v ∗ = v · |v|−2 . 1 |v | 3. Die naheliegende Frage, wie die beiden durch (1) und (2) gegebenen Strukturen auf S n zusammenpassen, ist so zu beantworten: Die Karten sind vertr¨aglich (d.h. erzeugen denselben maximalen Atlas), denn −1 ϕ−1 −α α : x 7→ x · hx, αi

ψβ : v 7→ β + 2(v − β) · (|v|2 + 1)−1 ϕ−1 α ◦ ψβ : v 7→

β + 2(v − β) · (|v|2 + 1)−1 −α hβ + 2(v − β) · (|v|2 + 1)−1 , αi

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143

16.12

16. Abstrakte Mannigfaltigkeiten

ist eine – wenn auch komplizierte – C ∞ -Funktion. Die Vertr¨aglichkeit der Karten kann auch daran erkannt werden, daß die Karten als lokale Diffeomorphismen des umgebenden Raums aufgefaßt werden k¨onnen. 4. Einpunktkompaktifizierung des Rn : Wir definieren auf Rn∞ := Rn ∪ {∞} einen Atlas durch χ0 und χ∞ , diese sind gegeben durch: χ0 : Rn → Rn∞ χ0 (x) = x χ∞ : Rn → Rn∞ χ∞ (0) = ∞ und χ∞ (x) = x · |x|−2 sonst. −1 n n Die Kartenwechsel χ−1 0 ◦ χ∞ und χ∞ ◦ χ0 von R \ {0} → R \ {0} errechnen −2 sich als: x 7→ x · |x| . Dieser Kartenwechsel ist uns schon in (2), bei der Sph¨are, begegnet. Behauptung: Rn∞ ∼ = S n mittels f (∞) = e1 und f (x) = ψe1 (x). Es ist klar, daß f bijektiv ist; bleibt zu zeigen, daß sowohl f als auch f −1 glatt ist: Die zu untersuchenden F¨ alle sind:

• • • •

ψe−1 ◦ f ◦ χ0 = χ0 = idRn \{0} 1 −1 ψe1 ◦ f ◦ χ∞ = χ−1 0 ◦ χ∞ −1 −1 ◦ f ◦ χ = χ ψ−e 0 ∞ ◦ χ0 1 −1 ◦ f ◦ χ = id ψ−e ∞ Rn \{0} 1

Dies sind alles Diffeomorphismen, also ist f ein Diffeomorphismus. 5. Projektive R¨ aume P n := { Geraden durch 0 im Rn+1 } = (Rn+1 \ {0})/∼ wobei x ∼ y ⇔ ∃ λ ∈ R \ {0}, sodaß λx = y. Als Karten w¨ahlt man etwa f¨ ur 0≤i≤n:   Rn → Rn+1 → P n h i ϕi :  (y 1 , . . . , y n ) 7→ (−1)i (y 1 , . . . , y i , 1, y i+1 , . . . , y n ) Das Vorzeichen ist dabei so gew¨ahlt, daß P n so orientiert wie m¨oglich wird, siehe (3) in 46.9 . Die ϕi gehen bijektiv von Rn nach {x ∈ Rn+1 \ {0} : xi+1 6= 0}/∼ . Der Kartenwechsel berechnet sich folgendermaßen: 1 n (ϕ−1 j ◦ ϕi )(y , . . . , y ) = h i (O.B.d.A. j > i) i 1 i i+1 n = ϕ−1 (−1) (y , . . . , y , 1, y , . . . , y ) = ============ = j

= (y j )−1 (−1)i (−1)j (y 1 , . . . , y i , 1, y i+1 , . . . , y j−1 , y j+1 , . . . , y n ). Das ist ein Diffeomorphismus (auf dem Definitionsbereich). Also ist P n eine C ∞ Mannigfaltigkeit. Ganz analoges Vorgehen liefert PCn (komplexe Geraden in Cn+1 ) mit dim PCn = 2n und PHn mit dim PHn = 4n. In 11.9 hatten wir eine weitere Beschreibung der projektiven R¨aume P n als Graßmannmannigfaltigkeit G(1, n + 1) ⊆ L(Rn+1 , Rn+1 ) gegeben. Dabei hatten wir Geraden durch 0 im Rn+1 mit den orthogonal-Projektionen auf sie identifiziert. Wir wollen nun zeigen, daß dies diffeomorphe R¨aume beschreibt. Sei dazu ϕ¯i : Rn → Rn+1 \ {0} gegeben durch (y 1 , . . . , y n ) 7→ (−1)i (y 1 , . . . , y i , 1, y i+1 , . . . , y n ). Dann ist ϕi = π ◦ ϕ¯i , wobei π : Rn+1 \ {0} → P n := Rn+1 / ∼ die kanonische Projektion x 7→ [x] bezeichnet. F¨ ur a, b ∈ E := Rn+1 sei a ⊗ b ∈ L(E, E) definiert 144

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16.13

16. Abstrakte Mannigfaltigkeiten

durch (a ⊗ b)(x) := ha, xib (F¨ ur eine Erkl¨arung dieser Notation siehe 38 ). Dann ist (a ⊗ b)t = b ⊗ a, denn h(a ⊗ b)x, yi = ha, xi · hb, yi = hx, (b ⊗ a)yi. Und weiters ist (a1 ⊗ b1 ) ◦ (a2 ⊗ b2 ) = ha1 , b2 i a2 ⊗ b1 . Folglich ist P := a ⊗ b genau dann eine ortho-Projektion (d.h. P t = P = P 2 ), wenn a = b und ha, bi = 1 ist. Die ortho-Projektionen P vom Rang 1 sind also genau die x x ⊗ |x| ist somit P der Gestalt P = a ⊗ a mit |a| = 1. Die glatte Abbildung x 7→ |x| n+1 eine surjektive Abbildung f : R \ {0} → G(1, n + 1) und faktorisiert zu einer glatten Bijektion P n → G(1, n + 1). Lokal erhalten wir eine inverse Abbildung, indem wir Abbildungen P nahe a ⊗ a den Punkt π(P (a)) ∈ P n zuordnen. Es ist n¨ amlich P (a) = hb, aib f¨ ur P = b ⊗ b und somit f (π(P (a))) = f (π(b)) = b ⊗ b = P . Also ist f der gesuchte Diffeomorphismus. / Rn+1 \ {0} Rn I II IIϕi II II I$  Pn

/ / Sn

ϕ ¯i

∼ = f

 / G(1, n + 1)  

/ L(Rn+1 , Rn+1 )

16.13 Bemerkung Zwischen projektiven R¨ aumen und Sph¨aren gibt es einige Beziehungen: ∼ S1. (1) Die projektive Gerade P 1 = Als Karten f¨ ur die S 1 w¨ ahlen wir ψ+ := ψ0,1 und ψ− := ψ0,−1 , die stereographischen Projektionen zu den Punkten (0, 1) und (0, −1) (vgl. Bsp. 16.12 ). F¨ ur den Kartenwechsel erhalten wir: −1 −1 (ψ0,1 ◦ ψ0,−1 )(x) = (ψ0,−1 ◦ ψ0,1 )(x) = x−1 auf R \ {0}

Als Karten f¨ ur P 1 ordnen wir jeder Ursprungsgeraden den Schnittpunkt mit den Geraden y = 1 (bzw. x = 1) zu, siehe 16.12.5 : ( ( R → P 1 \ [(0, 1)] R → P 1 \ [(1, 0)] ϕ− : und ϕ+ : x 7→ [(1, x)] x 7→ [(x, 1)] Mit der Karte ϕ− erhalten wir alle Klassen bis auf [(0, 1)] (das entspricht der y-Achse). Diesen Mangel behebt die Karte ϕ+ . Wir berechnen die Umkehrabbildungen: y −1 ϕ−1 )] 7→ y · x−1 = − : [(x, y)] = [(1, y · x x 1 ϕ−1 : P \ [(1, 0)] → R mit + x −1 ϕ−1 = + : [(x, y)] 7→ x · y y Nun zum Kartenwechsel: −1 −1 (ϕ−1 , + ◦ ϕ− )(x) = ϕ+ [(1, x)] = x

−1 −1 (ϕ−1 , − ◦ ϕ+ )(x) = ϕ− [(x, 1)] = x

jeweils auf R \ {0}. Sei f : P 1 → S 1 gegeben durch: ( 1 ψ− ◦ ϕ−1 − auf P \ [(0, 1)] f := 1 ψ+ ◦ ϕ−1 + auf P \ [(1, 0)]. c 15. Dezember 2008 [email protected]

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17.1

16. Abstrakte Mannigfaltigkeiten

−1 −1 Diese Abbildung ist wohldefiniert, da aus ψ− ◦ψ+ = ϕ−1 − ◦ϕ+ folgt, daß ψ− ◦ϕ− = −1 ψ+ ◦ ϕ+ . Sie ist aber auch ein Diffeomorphismus. Dies m¨ ussen wir nur f¨ ur die induzierte Funktion zeigen. Auf P 1 \ [(0, 1)] ist wegen f (Bild ϕ− ) = Bild ψ− die −1 −1 Kartendarstellung ψ− ◦ f ◦ ϕ− = ψ− ◦ ψ− ◦ ϕ−1 − ◦ ϕ− = id ein Diffeomorphismus.

PO 1 ϕ±

R

f

/ S1 O ψ±

R

1

Analog f¨ ur x ∈ P \ [(1, 0)]. Einfacher sieht man P 1 ∼ = S 1 auch mittels 16.12.4 : RB BB }} BBχ∞ } } BB }} B } }~ ∼ = / R∞ 1 P `A AA |> | AA || ϕ− AAA || χ0 || R ϕ+

(2) PC1 ∼ aßt sich das wie folgt veranschaulichen: Man parame= S 2 : Geometrisch l¨ trisiert die komplexen Ursprungsgeraden in PC1 durch ihre eindeutigen Schnitte mit der komplexen Gerade g := {(z, 1) : z ∈ C} ∼ = R2 . Nur die komplexe Gerade h 1 parallel zu g d.h. h = {(z, 0) : z ∈ C} ∈ PC bekommt kein Bild. Jene Geraden, die nahe bei h liegen, haben ihre Schnittpunkte weit draußen auf g. Also entspricht die noch fehlende Gerade h dem Punkt ∞ in der Einpunktkompaktifizierung R2∞ von R2 . Daß diese beiden R¨ aume isomorph sind, wissen wir aber (siehe Beispiel 16.12 ).

17. Produkte und Summen von Mannigfaltigkeiten Die einfachste M¨ oglichkeit, aus Mannigfaltigkeiten neue zu basteln, ist die Bildung von Produkten und Summen, die wir in diesen Abschnitt behandeln. 17.1 Proposition (Produkte). Qn F¨ ur i = 1, . . . , n sei (Mi , Ai ) eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Q Dann ist i=1 Mi in nat¨ urlicher Weise eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Der Atlas auf Mi ist gegeben durch n Y Ai := {ϕ1 × . . . × ϕn : ϕi ∈ Ai }. i=1

Das Produkt Mi hat folgende universelle Eigenschaft: Zu jeder C ∞ -Mannigfaltigkeit N und C ∞ -Abbildungen fi : N → Mi existiert eine eindeutige C ∞ -Abbildung Q f = (f1 , . . . , fn ), sodaß pri ◦f = fi . Dabei bezeichnet pri : Mi → Mi die C ∞ 1 n i Abbildung (x , . . . , x ) 7→ x . Die universelle Eigenschaft kann auch durch folgendes Diagramm ausgedr¨ uckt werden: Q pri M Mi `Ao < i i AA f f AA i AA A N Q Die auf i Mi induzierte Topologie ist gerade die Produkttopologie. Q

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17. Produkte und Summen von Mannigfaltigkeiten

17.3

Q Beweis. Offensichtlich ist durch den Atlas i Ai induzierte Topologie gerade die Produkttopologie, denn das Produkt von Hom¨oomorphismen ϕi ist ebenso ein Hom¨oomorphismus Y ϕ1 × . . . × ϕn : Dom ϕ1 × . . . × Dom ϕn → Bild ϕ1 × . . . × Bild ϕn ⊆ Mi . Die Kartenwechsel (ψ1 × . . . × ψn )−1 ◦ (ϕ1 × . . . × ϕn ) = (ψ1−1 ◦ ϕ1 ) × . . . × (ψn−1 ◦ ϕn ). sind als Produkte von Diffeomorphismen (ψi−1 ◦ ϕi ) selbst Diffeomorphismen, und Q somit ist Mi eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Q Wir behaupten nun pri : Mi → Mi ist glatt. Q Sei (x1 , . . . , xn ) ∈ Mi und ϕ1 × . . . × ϕn eine Karte um diesen Punkt. Dann ist ϕi Karte um xi . Somit ist m1 +···+mn ϕ−1 → Rm i , i ◦ pri ◦(ϕ1 × . . . × ϕn ) : R

(x1 , . . . , xn ) 7→ xi

eine lineare Projektion, also glatt. Seien fi ∈ C ∞ (N, Mi ), dann ist x 7→ f (x) = (f1 , . . . , fn ) die einzige Abbildung mit pri ◦f = fi . Bleibt noch zu zeigen: f ist C ∞ . Sei ϕ eine Karte von N , dann ist (ϕ1 × . . . × ϕn )−1 ◦ f ◦ ϕ = −1 = (ϕ−1 1 × . . . × ϕn ) ◦ (f1 ◦ ϕ, . . . , fn ◦ ϕ) −1 = (ϕ−1 1 ◦ f1 oϕ, . . . , ϕn ◦ fn ◦ ϕ).

Laut Vorraussetzungen waren ϕ−1 ◦ fi ◦ ϕ glatt (da die fi glatt sind), also ist f i glatt.

17.2 Beispiele von Produkten 1. Der Zylinder ist eine Teilmenge im R3 , n¨amlich das kartesische Produkt aus der S 1 und einen offenen Intervall I ⊆ R, also C ∞ -Mannigfaltigkeit. 2. Der n-dimensionale Torus im R2n entsteht durch das n-fache kartesische Produkt der S 1 ⊆ R2 : S1 × S1 × . . . × S1 =

n Y

S 1 = (S 1 )n = T n .

i=1

F¨ ur n = 2 ergibt sich der uns schon bekannte “Fahrradschlauch” (vgl. 11.6 ), allerdings als Teilmenge von R4 anstelle von R3 . 17.3 Proposition (Summen). F Seien (Mi , Ai ) C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Dann ist die disjunkte Vereinigung i Mi F in nat¨ uSrlicher Weise eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Ein Atlas A auf i Mi ist gegeben durch i Ai (hier ist keine Beschr¨ ankung der Indexmenge n¨ otig). F Zus¨ atzlich hat Mi folgende universelle Eigenschaft: Zu jeder C ∞ -Mannigfaltigkeit N und f¨ ur alle C ∞ -Abbildungen fi : Mi → N existiert eine eindeutige glatte Abbildung f mit G G f := fi : Mi → N, sodaß f |Mi = fi . i c 15. Dezember 2008 [email protected]

147

18.2

17. Produkte und Summen von Mannigfaltigkeiten

Dies kann auch durch folgendes Diagramm ausgedr¨ uckt werden: F  / Mi A i Mi AA f f AA i AA A | N S Beweis. F¨ ur ϕ, ψ ∈ Ai ist entweder ϕ−1 ◦ψ = ∅Foder ein i existiert mit ϕ, ψ ∈ Ai und somit ist ψ −1 ◦ ϕ glatt. Offene Mengen in Mi sind Vereinigungen offener Mengen in Mi . Die universellen Eigenschaft ist nun offensichtlich.

18. Zerlegungen der Eins Um aus lokalen Konstruktionen (wie sie z.B. in der Analysis behandelt werden) auch globale zu erhalten ben¨ otigen wir eine Methode, diese lokal zu verkleben. Wir brauchen dazu “Gewichts”-Funktionen, d.h. Funktionen, die nur lokal nicht verschwinden, gr¨ oßer oder gleich 0 sind und zusammen sich auf 1 summieren. Das sind die sogenannten Partitionen der Eins, die wir in diesen Abschnitt behandeln. 18.1 Definition (Partition der Eins) ¨ Sei M eine C ∞ -Mannigfaltigkeit und U eine offene Uberdeckung von M . Eine U unterordnete glatte Partition der Eins ist eine Menge F von glatten Abbildungen M → {t ∈ R : t ≥ 0} mit den Eigenschaften: 1. ∀ f ∈ F ∃ Uf ∈ U : Trg(f ) ⊆ Uf 2. Die Familie {Trg(f ) : f ∈ F} ist lokal endlich, d.h. ∀ p ∈ U ∃ U (p) sodaß {f ∈ F : Trg(f ) ∩ U (p) 6= 0} endlich ist. Dabei ist Trg(f ) der Abschluß von {x : f (x) 6= 0}. P 3. f ∈F f = 1 18.2 Satz (Partition der Eins). ¨ Sei X ⊆ Rn offen und sei U eine offene Uberdeckung von X. Dann gibt es eine C ∞ -Partition der Eins, die U untergeordnet ist. Beweis. Beh.: X (und in der Tat jeder separable metrische Raum) ist Lindel¨ of, ¨ d.h. jede offene Uberdeckung von X besitzt eine abz¨ahlbare Teil¨ uberdeckung. ¨ Sei also U eine offene Uberdeckung von X. Es sei X0 := {(x, r) : x ∈ Qn ∩X, 0 < r ∈ Q, ∃ U ∈ U : Ur (x) ⊆ U }. Dann ist X0 abz¨ahlbar und nach Definition existiert f¨ ur jedes (x, r) ∈ X0 eine Menge Ux,r ∈ U mit Ur (x) ⊆ Ur,x . Wir k¨onnen durch Auswahl also eine Funktion Ψ : X0 → U, (x, r) 7→ Ur,x definieren. Wir behaupten, daß das Bild U0 := Ψ(X0 ) von Ψ eine abz¨ahlbare Teil¨ uberdeckung zu U ist. Abz¨ahlbarkeit ¨ ist klar. Sei also x ∈ X beliebig. Da U eine Uberdeckung von X ist existiert ein U ∈ U mit x ∈ U . Da U offen ist existiert ein δ > 0 mit Uδ (x) ⊆ U . Sei r ∈ Q mit 0 < 2r < δ. Da Qn ∩ X in X dicht liegt existiert ein x0 ∈ Qn ∩ X mit d(x0 , x) < r und somit ist x ∈ Ur (x0 ) ⊆ Uδ (x) ⊆ U , also x ∈ Ur (x0 ) ⊆ Ur,x0 . Beh.: Es gibt glatte Funktionen mit beliebig kleinem Tr¨ager. Betrachten wir dazu die glatte Funktion h : R → R mit ( 1 ur t > 0 e− t > 0 f¨ h(t) := 0 f¨ ur t ≤ 0 148

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18.2

18. Zerlegungen der Eins Wenn wir f¨ ur x0 ∈ Rn und r > 0 nun eine glatte Funktion ϕ : Rn → R durch ϕ(x) := h(r2 −kx−x0 k2 ) definieren, dann ist ϕ(x) ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ Rn und 0 = ϕ(x) := h(r2 − kx − x0 k2 ) ⇔ ⇔ r2 − kx − x0 k2 ≤ 0 ⇔ x ∈ / Ur (x0 ). Das heißt also, der Tr¨ ager von ϕ ist gegeben durch Trg ϕ = {x : kx − x0 k ≤ r}.

Beh.: Es gibt eine abz¨ ahlbare lokal endliche Verfeinerung {Wn : n ∈ N} von U. ¨ Sei U die gegebene offene Uberdeckung von X. Zu jedem x ∈ U ∈ U w¨ahlen wir ein r > 0 mit {y : ky−xk ≤ r} ⊆ U . Nach obigem wissen wir, daß es ein ϕ ∈ C ∞ (Rn , R) gibt mit {y : ky − xk < r} = {y : ϕ(y) 6= 0} =: Uϕ . Diese Mengen bilden eine Verfeinerung von U. Da X Lindel¨of ist, existieren abz¨ahlbar ¨ viele Funktionen ϕ1 , ϕ2 , . . . s.d. {Uϕn : n ∈ N} eine Uberdeckung von X und eine Verfeinerung von U ist. Diese muß noch nicht lokal endlich sein, darum definieren wir Wn wie folgt: o n 1 ur 1 ≤ i < n ⊆ Uϕn . Wn := x : ϕn (x) > 0 ∧ ϕi (x) < f¨ n Es ist klar, daß die Wn offen sind (durch stetige Ungleichung gegeben), und Teilmengen von Uϕn sind. ¨ Die Wn bilden eine Uberdeckung von X, denn zu jedem x ∈ X existiert ein minimales n0 mit ϕn0 (x) > 0 und somit ist x ∈ Wn0 . Um zu beweisen, daß {Wn : n ∈ N} lokal endlich ist definieren wir eine offene Umgebung um x:  U (x) := y : ϕn0 (y) > 21 ϕn0 (x) . Falls Wk ∩ U (x) 6= ∅, dann sei y im Durchschnitt dieser beiden Mengen gew¨ahlt und es folgt: ϕi (y) <

1 k

f¨ ur i < k

Falls k > n0 ist, und zwar so groß, daß 1 k

und 1 k

<

1 2 ϕn0 (x) ϕn0 (x) 2

< ϕn0 (y).

ist, dann erhalten wir durch

< 21 ϕn0 (x) < ϕn0 (y) <

1 k

einen Widerspruch. Also existieren nur endlich viele k (≤ n0 ) mit Wk ∩ U (x) 6= ∅. Beh.: Es gibt eine Partition der Eins {fn : n ∈ N} mit {x : fn (x) 6= 0} = Wn . Wir definieren vorerst glatte Funktion ψn : X → {t : 0 ≤ t} durch 1  1  ψn (x) := h(ϕn (x)) · h − ϕ1 (x) · . . . · h − ϕn−1 (x) . n n Dann ist       ψn (x) 6= 0 ⇔ ϕn (x) > 0 ∧ n1 − ϕ1 (x) > 0 ∧ . . . ∧ n1 − ϕn−1 (x) > 0 ⇔ x ∈ Wn . c 15. Dezember 2008 [email protected]

149

18.4

18. Zerlegungen der Eins

P∞ Da {Wn : n} lokal endlich ist, sind in der Summe n=1 ψn lokal nur P endlich viele Summanden ungleich 0, und somit ∞ ∞ ist ψ := n=1 ψn ∈ C (X, R). Diese Funktion ψ ver¨ schwindet nirgends, da die {Wn : n ∈ N} eine Uberdeckung bilden. Nun definieren wir fn := ψψn ∈ C ∞ (X, R). Dann ist P X ψ ψn = =1 fn = ψ ψ und damit haben wir Punkt (3) von 18.1 gezeigt. (1) und (2) folgt nun aus: Trg(fn ) ⊆ Wn ⊆ Uϕn ⊆ U f¨ ur ein U ∈ U.

ψn

ψ

fn

Bemerkung Dieser Beweis funktioniert f¨ ur Lindel¨of-R¨aume X, in denen die Mengen der Gestalt {x : f (x) 6= 0} mit f ∈ C ∞ eine Basis der Topologie bilden. 18.3 Definition (Parakompaktheit) ¨ Ein topologischer Raum X heißt parakompakt, falls es f¨ ur jede offene Uberdeck¨ ung U von X eine lokal-endliche Verfeinerung V gibt. D.h. V ist eine offene Uberdeckung von X mit den Eigenschaften: 1. F¨ ur alle V ∈ V gibt es ein U ∈ U mit V ⊆ U (“Verfeinerung”). 2. F¨ ur alle x ∈ X gibt es ein Ux , sodaß h¨ochstens f¨ ur endlichviele V ∈ V gilt: Ux ∩ V 6= ∅ (d.h. ist lokal-endlich). Eine große Klasse von Beispielen f¨ ur parakompakte R¨aume liefert uns das 18.4 Lemma. S Sei X ein topologischer Raum mit X = n∈N Kn , wobei Kn kompakt ist in X und o . Dann gilt ist X parakompakt und Lindel¨ of. Kn ⊆ Kn+1 Beweis. Wir definieren zuerst An := Kn+1 \ Kno . Diese Mengen bilden eine kom¨ ¨ pakte Uberdeckung von X und wir blasen diese zu einer offenen Uberdeckung der o Form (Kn+2 \ Kn−1 )n∈N auf. Die Menge n o o Un := U ∩ (Kn+2 \ Kn−1 ) : U ∈ U ¨ ist eine Uberdeckung von An . Sei Un0 eine endliche Teil¨ uberdeckung, dann ist S offene 0 ¨ V = n∈N Un eine offene Uberdeckung von X und eine Verfeinerung von U. Es ist zu zeigen, daß V lokal-endlich ist. F¨ ur x ∈ X gibt es ein n, sodaß x ∈ An . Nach 0 0 0 0 Konstruktion von V k¨ onnen nur Mengen aus Un−2 ∪Un−1 ∪Un0 ∪Un+1 ∪Un+2 mit der 150

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18.7

18. Zerlegungen der Eins

S o offenen Umgebung Un0 = Kn+2 \ Kn−1 von An nicht leeren Durchschnitt haben. Dies sind aber nur endlich viele, damit ist X parakompakt. Aus der abz¨ahlbaren ¨ offenen Uberdeckung V gewinnt man auch leicht eine abz¨ahlbare Teil¨ uberdeckung von U, und somit ist X Lindel¨of. 18.5 Folgerung (Fortsetzung glatter Funktionen). Sei M eine Teilmannigfaltigkeit des Rn . Eine Abbildung f : M → R ist genau dann glatt, wenn es eine offene Teilmenge U des Rn gibt, die M umfaßt, und eine glatte Abbildung f˜ : U → R, die f fortsetzt, d.h. f˜|M = f . Beweis. Die Richtung von rechts nach links ist trivial! Umgekehrt existiert f¨ ur jedes p ∈ M eine offene Umgebung U (p) ⊆ S Rn undSeine glatte Fortsetzung f˜p : U (p) → R. Sei U := {U (p) : p ∈ M } und X := U = W ∈U W . Dann ist X ⊆ Rn offen und M ⊆ U . Nach 18.2 existiert eine Partition G der Eins, welche U untergeordnet ist, also insbesonders f¨ ur jedes g ∈ G ein p(g) ∈ M existiert mit Trg(g) ⊆ U (p(g)). Die ˜ Abbildung f definieren wir nun folgendermaßen: X f˜ := g · f˜p(g) , g∈G

˜p(g)

wobei g · f auf X \ Trg(g) durch 0 fortgesetzt zu denken ist (beachte, daß eine ¨ auf einer offenen Uberdeckung st¨ uckweise glatt definierte Funktion selbst glatt ist). In dieser Summe sind die einzelnen Summanden glatt, aber nur endlich viele sind 6= 0. Das heißt aber gerade, daß f˜ : X → R ebenfalls glatt ist. Um auch die letzte Gleichung zu zeigen, schr¨ anken wir f˜ auf M ein und rechnen f¨ ur ein x ∈ M :   X X g(x) ·f (x) = f (x). f˜(x) = g(x) · f˜p(g) (x) =  | {z } g∈G g∈G f (x) | {z } 1

18.6 Folgerung (Partition der Eins f¨ ur Mannigfaltigkeiten). ¨ Jede Teilmannigfaltigkeit des Rn besitzt f¨ ur jede offene Uberdeckung eine untergeordnete C ∞ -Partition der Eins. ¨ Beweis. Sei U eine offene Uberdeckung von M . O.B.d.A. Seien die U ∈ U so klein gew¨ ahlt, daß sie Bilder von Parametrisierungen sind und somit es offene Teilmengen ˜ des Rn gibt, die M lokal trivialisieren, also insbesonders U ˜ ∩ M = U erf¨ U ullen S ˜ ˜ ˜ ⊆ Rn offen (und (und f¨ ur die U ∩ M in U abgeschlossen ist). Es ist X := U ∈U U ˜ \ M und M ist abgeschlossen in X: Sei n¨amlich x ∈ X \ M , dann ∃ U ∈ U : x ∈ U ˜ : U (x) ∩ M = ∅). somit folgt ∃ U (x) ⊆ U ˜ : U ∈ Nach 18.2 existiert eine Partition F der Eins auf X, welche U˜ := {U U} untergeordnet ist. Also ist {f |M : f ∈ F } eine Partition der Eins, welche U untergeordnet ist. 18.7 Proposition (Nullstellenmengen). Jede abgeschlossene Menge A ⊆ Rn ist Nullstellenmenge einer C ∞ -Abbildung. Vergleiche das mit dem Satz 10.4 u ¨ber Nullstellenmengen regul¨arer Abbildungen. Beweis. Sei A ⊆ Rn abgeschlossen, und sei x ∈ Rn \ A, dann gibt es ein glattes ¨ fx ≥ 0 mit x ∈ Trg fx ⊆ Rn \A, kompakt. Sei U eine offene Uberdeckung von Rn \A n n mit Mengen der Gestalt Ux = {y : fx (y) > 0}, wobei x ∈ R \A. Da R \A Lindel¨of c 15. Dezember 2008 [email protected]

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19.2

18. Zerlegungen der Eins

ist, besitzt U eine abz¨ ahlbare Teil¨ uberdeckung. Seien f1 , f2 , ... die ensprechenden Funktionen. O.B.d.A. sei t1 +...+tn ∂fk n ≤ 1 f¨ (x) 2k ur x ∈ R und t1 + .. + tn ≤ k. ∂xt1 ....∂xtn n 1 Dies erreicht man durch Multiplikation von fk mit einer gen¨ ugend kleinen Zahl. P∞ Die Reihe k=0 fk konvergiert dann in allen partiellen Ableitungen gleichm¨aßig und definiert somit eine glatee Funktion f ≥ 0. F¨ ur diese gilt: f (x) = 0 ⇔ fk (x) = 0 f¨ ur alle k ⇔ x ∈ / Ufk f¨ ur alle k ∈ N ⇔ x ∈ A.

19. Topologisches u ¨ ber Mannigfaltigkeiten In diesem Abschnitt wollen wir die topologischen Eigenschaften von abstrakten Mannigfaltigkeiten besprechen. Insbesonders interessiert uns die Reichhaltigkeit der glatten Funktionen auf ihnen. Das betrifft einerseits Trennungseigenschaften wie Hausdorff oder vollst¨ andige Regularit¨at aber auch Begriffe wie Lokalkompaktheit, Separabilit¨ at und Parakompaktheit und somit Partitionen der Eins, die wir bereits in 18 kennengelernt haben. Wir werden auch die Existenz endlicher Atlanten skizzieren und damit erhalten, daß jede hinreichend regul¨are abstrakte Mannigfaltigkeit sich als konkrete Mannigfaltigkeit in einem Euklidischen Raum realisieren l¨aßt. Dies zeigt zwar, daß der Verzicht auf den umgebenden Raum nicht wirklich n¨otig war, aber dennoch hilft er klarer zu erkennen, welches die intrinsischen (d.h. nicht vom umgebenden Raum abh¨ angigen) Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten sind. 19.1 Lemma (Topologie von Mannigfaltigkeiten). Sei M eine C ∞ -Mannigfaltigkeit, dann hat M folgende Eigenschaften: 1. M ist T1 , d.h. x 6= y ⇒ ∃ U offen mit x ∈ U und y ∈ / U. 2. Jedes x ∈ M hat eine abz¨ ahlbare Umgebungsbasis. 3. M ist lokal wegzusammenh¨ angend (d.h. x ∈ M ⇒ ∃ Ux , sodaß ∀ y ∈ Ux gilt: es gibt eine glatte Kurve, die x und y verbindet). Beweis. (1) Sei x 6= y und x ∈ Bild ϕ. Dann ist entweder y ∈ / Bild ϕ und Bild ϕ ist die gesuchte Menge. Oder es ist y ∈ Bild ϕ, dann sind ϕ−1 (x) und ϕ−1 (y) verschiedene Punkte im Rm . Der Rm ist aber klarerweise T1 . Also gibt es eine Teilmenge O ⊆ Rm mit ϕ−1 (x) ∈ O und ϕ−1 (y) ∈ / O. Wenn wir nun U = ϕ(O) w¨ ahlen, dann ist y ∈ / U. (2) und (3) ergeben sich unmittelbar aus der lokalen Isomorphie von M und Rm . (In (3) w¨ ahle im Rm ein Geradensegment von ϕ−1 (x) nach ϕ−1 (y).) 19.2 Folgerungen (Zusammenhangskomponenten). Sei M eine C ∞ -Mannigfaltigkeit und Mi die Wegzusammenhangskomponenten von M . Dann sind die Mi offen in M und also selbst (wegzusammenh¨ angende) C ∞ F Mannigfaltigkeiten und M = Mi (siehe 17.3 ). Beweis. Die Offenheit der Wezusammenhangskomponenten folgt sofort aus lokal wegzusammenh¨ angend. Die Atlanten f¨ ur Mi ergeben sich somit als Ai = {ϕ|ϕ−1 (Mi ) : ϕ ∈ A}. F S Diese Karten liegen in Amax , also liegt der kanonische Atlas von ( Mi , Ai ), in Amax . Da die Atlanten vertr¨ aglich sind, ist insbesondere der von ihnen erzeugte maximale Atlas gleich. 152

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¨ ber Mannigfaltigkeiten 19. Topologisches u

19.5

19.3 Definition (Dimension) Bei wegzusammenh¨ angenden glatten Mannigfaltigkeiten kann f¨ ur jede Karte derselbe Vektorraum verwendet werden, denn die Ableitung des Kartenwechsels ist ein linearer Isomorphismus, also ist die Dimension der modellierenden Vektorr¨aume gleich. Damit ist die Dimension der Mannigfaltigkeit wohldefiniert. F¨ ur topologische Mannigfaltigkeiten ist es sehr viel schwieriger ein analoges Resultat zu erhalten! 19.4 Beispiel einer nicht-Hausdorff Mannigfaltigkeit Die Menge M := (R \ {0}) ∪ {01 , 02 } mit folgendem Atlas ist eine Mannigfaltigkeit, die nicht Hausdorff (kurz T2 , d.h. x 6= y ⇒ ∃ Ux , ∃ Uy , sodaß Ux ∩ Uy = ∅) ist. 01

02 Der Atlas bestehe aus folgenden zwei Karten ϕi f¨ ur i = 1, 2: ϕi : R → R ∪ {0i }, ϕi (0) = 0i , ϕi (t) = t f¨ ur t 6= 0 Der Kartenwechsel ϕ−1 at auf R \ {0} und damit auch glatt, d.h. 2 ◦ ϕ1 ist die Identit¨ M ist eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Aber M ist nicht Hausdorff: Eine Umgebungsbasis des Punktes 0i ist n o ]−ε, 0[ ∪ {0i } ∪ ]0, ε[ : ε > 0 . Somit enth¨ alt der Durchschnitt beliebiger Umgebungen von 01 und 02 ein punktiertes Intervall ]−ε, ε[ \ {0}. So eine Situation kann klarerweise nur dann auftreten, wenn es keine gemeinsame Karte f¨ ur die in Rede stehenden Punkte gibt. (Sonst verwende man die gemeinsame Karte und die T2 − Eigenschaft des Rn .) In [39] findet sich ein Beispiel f¨ ur eine nicht Hausdorff Mannigfaltigkeit, auf der jede glatte Funktion konstant ist. 19.5 Lemma (Topologie von Hausdorff Mannigfaltigkeiten). Sei M eine Hausdorff C ∞ -Mannigfaltigkeit, dann gilt: 1. M ist lokalkompakt (d.h. ∀ x ∈ M ∃ Ux , sodaß Ux kompakt ist; anders gesagt: es gibt relativ-kompakte Umgebungen). 2. Die C ∞ -Funktionen M → R trennen Punkte. Sie trennen sogar Punkte von abgeschlossenen Mengen (d.h. f¨ ur x ∈ / A, wo A abgeschlossen ist, existiert ein glattes f : M → R, sodaß f (x) = 1 und f (y) = 0 f¨ ur alle y ∈ A). Insbesondere ist M also vollst¨ andig regul¨ ar. Beweis. (1) Sei x ∈ M und ϕ ein Karte um x mit Dom ϕ ⊆ Rm offen. O.B.d.A. gelte ϕ(0) = x. Sei Wx ⊆ Rm eine Kugel um 0, wobei Wx ⊆ Dom ϕ kompakt ist. Dann ist ϕ(Wx ) eine offene Umgebung von x, und ϕ(Wx ) ist kompakt in M , da ϕ stetig ist. Also ist ϕ(Wx ) = ϕ(Wx ) und somit kompakt. (2) Sei x ∈ / A und A abgeschlossen, dann existiert eine relativ-kompakte Umgebung Wx von x, deren Abschluß ganz in einer Karte ϕ liegt. Somit ist ϕ−1 (x) ∈ ϕ−1 (Wx ) ⊆ ϕ−1 (Wx ) c 15. Dezember 2008 [email protected]

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19.6

¨ ber Mannigfaltigkeiten 19. Topologisches u

wobei ϕ−1 (Wx ) offen und ϕ−1 (Wx ) kompakt sind. Da ϕ−1 (x) ∈ / ϕ−1 (A) ist, gibt es ein r, sodaß {y ∈ Rm : d(y, ϕ−1 (x)) ≤ r} ⊆ ϕ−1 (Wx ) und {y ∈ Rm : d(y, ϕ−1 (x)) ≤ r} ∩ ϕ−1 (A) = ∅. Aus Satz 18.7 wissen wir, daß es eine glatte Abbildung f : Rm → R gibt, sodaß f (ϕ−1 (x)) = 1 und Trg f ⊆ {y ∈ Rm : d(y, ϕ−1 (x)) ≤ r}. Setzen wir nun g : M → R mit ( g(z) =

f (ϕ−1 (z)) falls z ∈ Bild ϕ 0

sonst.

Dann ist g(x) = 1 und A ⊆ (M \ Trg g), also g = 0 auf A. Da f und ϕ beide glatt sind und g|M \Wx = 0 ist, ist auch g glatt. Das war die Behauptung. 19.6 Satz (Parakompakte Mannigfaltigkeiten). Sei M eine Hausdorff C ∞ -Mannigfaltigkeit, so ist ¨ aquivalent: 1. M besitzt C ∞ -Partitionen der Eins. ¨ 2. M ist parakompakt, d.h. zu jeder offenen Uberdeckung existiert eine lokalendliche offene Verfeinerung die M u ¨berdeckt. 3. Jede Zusammenhangskomponente ist σ-kompakt, d.h. sie ist Vereinigung abz¨ ahlbar vieler kompakter Teilmengen. ¨ 4. Jede Zusammenhangskomponente ist Lindel¨ of, d.h. zu jeder offenen Uberdeckung existiert eine abz¨ ahlbare Teil¨ uberdeckung. 5. M ist metrisierbar, d.h. es existiert eine Metrik, die die Topologie erzeugt. ¨ Die Aquivalenz mit (5) soll hier nur erw¨ahnt, sp¨ater bewiesen werden. F¨ ur (5 ⇒ 2) siehe [58, 1.3.8] und f¨ ur (3 ⇒ 5) siehe [58, 3.3.10] bzw. f¨ ur (1 ⇒ 5) siehe 33.3 . Es wird auch oft Separabilit¨ at vorausgesetzt, allerdings wurde in [88] gezeigt, daß es nicht-metrisierbare separable normale Mannigfaltigkeiten gibt. Bemerkung Es besitzt nicht jede Hausdorff C ∞ -Mannigfaltigkeit die oben genannten Eigenschaften, als Beispiel dient die “Lange Linie”: Sei Ω die Menge der abz¨ahlbaren Ordinalzahlen, Ω = {1, 2, 3, . . . , ω, ω + 1, . . . , 2ω, 2ω + 1, . . . , ω 2 , ω 2 + 1, . . . , ω 3 , . . . ω

. . . , ω ω , . . . , ω ω , . . . . . . . . .}. Betrachtet man Ω × [0, 1) \ {(0, 0)}, versehen mit der lexikographischen Ordnung, d.h. ((α, t) ≤ (β, s)) ⇔ (α < β oder (α = β und t ≤ s)). Diese “Linie” kann mit der Ordnungstopologie zu einer C ∞ -Mannigfaltigkeit gemacht werden, die zwar Hausdorff, aber nicht parakompakt ist. Siehe [90, Vol.I, Appendix A] Beweis. (des Satzes 19.6 ) ¨ (1 ⇒ 2) Sei U offene Uberdeckung und F zugeh¨orige Partition der Eins. Dann existiert f¨ ur jedes x ∈ M eine Umgebung Ux sodaß I := {f ∈ F : Trg f ∩ Ux 6= ∅} endlich ist (dies entspricht der 2. Bedingung f¨ ur eine Partition der Eins). Somit ist ({x : f (x) > 0})f ∈F eine lokalendliche Verfeinerung von U. 154

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¨ ber Mannigfaltigkeiten 19. Topologisches u

19.8

¨ (2 ⇒ 3) Sei M0 eine Zusammenhangskomponente von M . Es existiert eine Uberdeckung mit relativ-kompakten Mengen (vgl. Lemma 19.5 ). Diese kann, da M0 parakom¨ pakt ist, als lokal-endlich angenommen werden. Sei U so eine Uberdeckung, dann gilt sogar: {U ∈ U : U ∩ W 6= ∅} ist endlich f¨ ur jedes W ∈ U, denn zu jedem x ∈ W existiert ein Vx , sodaß Vx nur endlich viele U ∈ U trifft. Da W kompakt ist, existiert eine endliche Teil¨ uberdeckung {Vx1 , . . . , Vxn } von W . Sei U ∈ U mit U ∩ W 6= ∅. Somit existiert ein i, sodaß U ∩ Vxi 6= ∅. F¨ ur die endlich vielen i tritt dieser Fall jeweils nur f¨ ur endlich viele U ∈ U ein, also ist auch {U ∈ U : U ∩ W 6= ∅} endlich. Wir w¨ ahlen nun ein W1 ∈ U. Sei W2 die Vereinigung u ¨ber jene endlich vielen U ∈ U, deren Schnitt mit W1 6= ∅ ist. Induktiv sei nun Wn die Vereinigung u ¨ber jene U ∈ U, deren Schnitt mit Wn−1 6= ∅ ist. Jedes Wi ist Vereinigung endlich vieler relativ-kompakter Mengen, also selbst S relativ-kompakt. Ist W := n Wn , so ist W offen. Wir wollen zeigen, daß W = M0 . Daf¨ ur gen¨ ugt es zu zeigen, daß M0 \ W offen ist. Sei also x ∈ / W , dann existiert ein U ∈ U mit x ∈ U . Klarerweise gilt U ∩ W = ∅, sonst g¨abe es ein n, sodaß U ∩ Wn 6= ∅, also x ∈ U ⊆ Wn+1 ⊆ W . Dies ist ein Widerspruch. Nun ist also M0 = W ∪ (M0 \ W ), und sowohl W als auch M0 \ W sind beide offen. Da M0 zusammenh¨ angend ist, muß W oder M0 \ W leer sein. S Aber W 6= ∅, also M0 \ W = ∅, und somit ist M0 = W . Die Gleichung M0 = n Wn zeigt die σ-Kompaktheit von M0 . (3 ⇒ 4) Dies folgt aus 18.4 (und rekursives Aufblasen einer kompakten abz¨ahl¨ baren Uberdeckung zu kompakten Umgebungen mittels 19.5 ). (4 ⇒ 1) In 18.2 wurde ein Beweis f¨ ur die Existenz von C ∞ -Partitionen der Eins gegeben, der als Voraussetzung Lindel¨of und die Existenz von C ∞ -Funktionen mit beliebig kleinen Tr¨ agern verwendet. Beides ist hier erf¨ ullt. Zum Abschluß dieses Exkurses in die Topologie noch einige Bemerkungen zur Dimensionstheorie (F¨ ur detailliertere Ausf¨ uhrungen siehe [23]): ¨ 19.7 Definition (Uberdeckungsdimension) ¨ Sei X ein parakompakter Hausdorff-Raum. Man sagt die Uberdeckungsdimen¨ sion von X ist h¨ ochstens n (kurz: UD-dim X ≤ n), falls es zu jeder offenen ¨ Uberdeckung von X eine offene Verfeinerung der Ordnung n + 1 gibt. (U heißt von Ordnung n + 1, wenn der Durchschnitt u ¨ber n + 2 verschiedene Mengen aus ¨ ¨ U immer leer ist.) Per Definition ist UD-dim X = n ⇔ UD-dim X ≤ n, aber nicht ¨ UD-dim ≤ n − 1. ¨ 19.8 Satz (Eigenschaften der Uberdeckungsdimension). Es gilt: ¨ 1. UD-dim [0, 1]n = n. 2. Wenn A abgeschlossen in X ist, dann gilt ¨ ¨ UD-dim A ≤ UD-dim X. ¨ 3. F¨ ur eine lokal-endliche abgeschlossene Uberdeckung A von X gilt: ¨ ¨ UD-dim X ≤ sup{UD-dim A : A ∈ A}. c 15. Dezember 2008 [email protected]

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19.10

¨ ber Mannigfaltigkeiten 19. Topologisches u

Ohne Beweis, siehe [23, S.295,268,278] 19.9 Folgerung. ¨ F¨ ur jede m-dimensionale, parakompakte, Hausdorff Mannigfaltigkeit M ist UD-dim M= m. ¨ Beweis. M besitzt eine offene Uberdeckung durch Mengen ϕ((0, 1)m ), wobei ϕ eine Karte f¨ ur M ist welche auf einer Umgebung von [0, 1]m definiert ist. Da M parakompakt ist, existiert eine lokal-endliche Verfeinerung U. Sei U − := {V : V ∈ ¨ U}, so ist U − eine lokal-endliche abgeschlossene Uberdeckung. ϕ−1 (V ) ⊆ [0, 1]m . ¨ Da ϕ Hom¨ oomorphismus ist und somit die UD-dim bewahrt, gilt unter Verwendung von 19.8 : (2)

(1) ¨ ¨ ¨ UD-dim V = UD-dim ϕ−1 (V ) ≤ UD-dim [0, 1]m == m, (3)

¨ ¨ UD-dim M ≤ sup{UD-dim V : V ∈ V}, ¨ also UD-dim M ≤ m. Umgekehrt gilt: Ist ϕ : [0, 1]m → M Karte, so ist ϕ([0, 1]m ) abgeschlossen in M , also ist nach 19.8 : (2)

(1) ¨ ¨ ¨ UD-dim M ≥ UD-dim ϕ([0, 1]m ) = UD-dim [0, 1]m == m.

¨ Zusammen folgt die Behauptung: UD-dim M = m. 19.10 Folgerung. Sei M eine parakompakte und zusammenh¨ angende Hausdorff-Mannigfaltigkeit. Sei ¨ O eine offene Uberdeckung von M , dann existiert ein p ≤ dim(M ) + 1 und eine Verfeinerung von O folgender Gestalt: V = {Vin : i ≤ p, n ∈ N}, sodaß Vin ∩ Vim = ∅, ∀ n 6= m. ¨ von M gleich dim M , alBeweis. Nach 19.9 ist die Uberdeckungsdimension ¨ so existiert zur offenen Uberdeckung O eine Verfeinerung O0 der Ordnung p ≤ ¨ UD-dim M +1. Da M parakompakt ist, existiert eine lokal endliche Verfeinerung O00 ¨ und da M nach 19.6 Lindel¨ of ist, k¨onnen wir annehmen, daß diese Uberdeckung 00 ¨ O abz¨ ahlbar ist. O.B.d.A. ist also O eine abz¨ahlbare lokal endliche Uberdeckung der Ordnung p. ¨ Wir zeigen nun mittels Induktion nach p, daß jede solche Uberdeckung eine Verfeinerung der gew¨ unschten Form besitzt. ¨ Dazu schrumpfen wir die Mengen in O zu einer kleineren Uberdeckung U. Das soll ¯ ⊆ O derart, daß die U heißen, wir konstruieren f¨ ur jedes O ∈ O ein U ∈ U mit U ¨ noch immer eine Uberdeckung bilden. S Dies kann induktiv geschehen: Sei O := {On : n ∈ N}. Zwischen M \ n≥2 On und ¯1 und erhalten O1 (erstere ist abgeschlossen, zweitere offen) schalten wir U1 und U ¨ eine Uberdeckung {U1 } ∪ {On : n > 1}. (Dies kann geschehen, da nach 18.7 eine ¯ 1 , die auf M \ S C ∞ -Funktion f existiert mit Tr¨ager in O n≥1 On identisch 1 ist. Nun erh¨ alt man U1 etwa durch U1 := {x : f (x) > 1/2}.) Im zweiten Schritt finden S wir genauso ein U2 zwischen M \ U1 ∪ n>2 On und O2 ; und so weiter. Nun betrachten wir die beiden Familien: Vp := die Menge der Durchschnitte von je p der O ∈ O, ¯ f¨ Ap := die Menge der Durchschnitte von je p der U ur U ∈ U 156

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¨ ber Mannigfaltigkeiten 19. Topologisches u

19.11

S S und bezeichnen ihre Vereinigungen mit Vp := Vp und Ap := Ap . Im folgenden Bild sind die großen Scheiben die Mengen in O, die kleinen Scheiben jene in U, die dunklen (rot/gr¨ un/blau f¨arbigen) “6-Ecke” sind die Punkte die in genau einem O ∈ O liegen, die Punkte in den n¨achst helleren Streifen liegen in genau 2 der O’s, die gr¨ oßeren “3-Ecke” liegen in genau 3 der O0 s (sind also die Elemente von Vp ) und die weißen kleinen “Dreiecke” sind die Elemente von Ap .

Es ist Vp eine Familie offener disjunkter Mengen, denn angenommen zwei verschiedene Mitglieder von Vp h¨ atten nichtleeren Durchschnitt, so h¨atten zumindest p + 1 der O ∈ O nichtleeren Durchschnitt, und das ist ein Widerspruch. Folglich ist Vp ⊆ M offen. Die Familie Ap besteht aus abgeschlossenen Mengen und ist lokal endlich, da die entsprechenden Elemente von Vp disjunkt sind. Somit ist Ap als lokal endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen selbst abgeschlossen und es gilt Ap ⊆ Vp . ¨ Wir behaupten nun, daß U eine abz¨ahlbare lokal endliche Uberdeckung von M \ Ap der Ordnung kleiner als p ist. Angenommen, es gibt p Mengen in U, deren Durchschnitt – eingeschr¨ankt auf M \ Ap – nicht-leer ist, so ist ebendieser Durchschnitt auch im Durchschnitt der nicht eingeschr¨ ankten Abschl¨ usse enthalten und liegt also nach Konstruktion in Ap . Das ist ein Widerspruch. Nach Induktionsvorraussetzung existiert also eine Verfeinerung der Gestalt {Vin : i < p, n ∈ N} von U, welche M \ Ap u ¨berdeckt und sodaß Vin ∩ Vim = ∅ ∀ i < p ∀ n 6= m. Zusammen mit der disjunkten Familie Vp =: {Vpn : n ∈ N} bilden diese Mengen dann die gew¨ unschte Verfeinerung von O. 19.11 Folgerung (Endlicher Atlas). Jede zusammenh¨ angende, parakompakte, m-dimensionale, glatte Hausdorff Mannigfaltigkeit von Dimension m besitzt einen Atlas mit h¨ ochstens m + 1 Karten. ¨ Beweis. Sei O eine offene Uberdeckung einer solchen Mannigfaltigkeit M mit Bildern ϕ(U ) von Karten ϕ : U → M mit offenen U im Rm . O.B.d.A. sei O abz¨ahlbar (M ist Lindel¨ of), d.h. O = {ϕi (Ui ) : i ∈ N}, wobei wir die Ui als disjunkt annehmen k¨onnen. Es gibt nach 19.10 eine Verfeinerung der Gestalt: {Oin : i ≤ p, n ∈ N} c 15. Dezember 2008 [email protected]

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19.11

¨ ber Mannigfaltigkeiten 19. Topologisches u

mit m 6= n : Oin ∩ Oim = ∅, wobei p ≤ dim M + 1. Zu Oin gibt es ein diffeomorphes Uin ⊆ Rm , vermittels einer gewissen Karte ϕni . Wir definieren nun [ [  Uin → Oin ϕi : n n  x 7→ ϕni (x) ∈ Oin f¨ ur x ∈ Uin . So sind die ϕi Diffeomorphismen, deren Bilder M u ¨berdecken, d.h.: {ϕi : 1 ≤ i ≤ p} ist ein C ∞ -Atlas. Als einfache Folgerung werden wir in 21.13 zeigen, daß jede solche Mannigfaltigkeit bis auf einen Diffeomorphismus als Teilmannigfaltigkeit eines Rn realisiert werden kann.

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III.

Tangentialraum

In diesem Kapitel werden wir den Begriff der Ableitung auf Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten u ¨bertragen. Da Ableitungen Richtungsvektoren ineinander u uhren, wirken sie nicht zwischen den Mannigfaltigkeiten sondern den eben¨berf¨ so zu besprechenden Tangentialr¨aumen. Als Anwendung werden wir dann erste einfache infinitesimale Eigenschaften wie Immersivit¨at und Submersivit¨at von Abbildungen besprechen. Unter zus¨atzlichen lokalen bis globalen Eigenschaften erhalten wir dann Einbettungen, Faserb¨ undel und als Spezialfall die bereits im ersten ¨ Kapitel angerissenen Uberlagerungen.

20. Tangentialraum und Derivationen Die Ableitung f 0 (x) einer Abbildung f : Rn → Rm an der Stelle x ist definiert als die lineare Approximation an die nach 0 verschobenen Funktion f . Auf Mannigfaltigkeiten l¨ aßt sich das nun nicht ohne weiteres u ¨bertragen, denn um von einer linearen Abbildung f 0 (x) sprechen zu k¨ onnen, muß diese zwischen Vektorr¨aumen (und nicht zwischen Mannigfaltigkeiten wie f es macht) laufen. Wir ben¨otigen also zuallererst eine lineare Approximation an eine Mannigfaltigkeit M im Punkt x ∈ M . Diese soll dann der Definitionsbereich bzw. Wertebereich der linearen Approximation von f bei x werden. 20.1 Satz (Beschreibung des Tangentialraums). Sei M eine Teilmannigfaltigkeit des Rn und p ∈ M . Dann sind folgende Teilmengen des Rn ident: 1. 2. 3. 4.

Bild ϕ0 (0), wobei ϕ eine lokale Parametrisierung von M mit ϕ(0) = p ist. {c0 (0) : c : I → M glatt, c(0) = p, I ein offenes Intervall mit 0 ∈ I}. Ker f 0 (p), wobei f eine regul¨ are Gleichung ist, die M lokal um p beschreibt. Graph g 0 (¯ p), wobei M lokal um p als Graph der Funktion g beschrieben wird mit p = (¯ p, g(¯ p)).

Insbesonders ist diese Teilmenge wegen (1) oder (3) ein linearer Teilraum und wegen (2) unabh¨ angig von der gew¨ ahlten Parametrisierung, Gleichung und der Darstellung des Graphens. Beweis. (1 ⊆ 2) Sei ϕ0 (0)(v) ∈ Bild(ϕ0 (0)), wobei v ∈ Rn ist. Wenn wir die lokal in M glatte Kurve c durch c(t) := ϕ(0 + tv) definieren, erhalten wir c0 (0) = ϕ0 (0)(v). (2 ⊆ 3) Wir betrachten nun ein c0 (0) f¨ ur eine Kurve c ∈ C ∞ (I, M ) mit c(0) = p und eine lokal regul¨ are Gleichung f f¨ ur M , f 0 ( p )(c0 (0)) = (f ◦ c)0 (0) = 0. |{z} |{z} c(0)

0

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20.3

20. Tangentialraum und Derivationen

d.h. c0 (0) ∈ Ker f 0 (p) (3 ⊆ 1) Da wir bereits 1 ⊆ 2 ⊆ 3 gezeigt haben, gen¨ ugt zu zeigen, daß die Teilr¨aume in (1) und (3) gleiche Dimension haben: dim Bild ϕ0 (0) = dim Rm = m dim Ker f 0 (p) = n − dim Bild f 0 (p) = m. | {z } Rn−m

(1 = 4) Eine Parametrisierung von M ist durch ϕ(u) = (u, g(u)) gegeben. Bild ϕ0 (¯ p) = Bild(id, g 0 (¯ p)) = {(v, g 0 (¯ p)(v)) : v ∈ Rm } = Graph g 0 (¯ p)

20.2 Definition (Tangentialraum und Tangentialabbildung) Den in 20.1 beschriebenen Teilraum des Rn nennt man den Tangentialraum an M im Punkt p und bezeichnet ihn mit Tp M . Seine Elemente heißen Tangentialvektoren. F¨ ur f : M → N definiert ( Tp M → Tf (p) N Tp f : c0 (0) 7→ (f ◦ c)0 (0) f¨ ur c ∈ C ∞ (I, M ) mit c(0) = p die Tangentialabbildung von f im Punkte p ∈ M . Diese Definition ist sinnvoll, d.h. h¨angt nicht von der Wahl von c ab, sondern nur von c0 (0). Seien c1 und c2 zwei solche Kurven mit c01 (0) = c02 (0). Zu f : Rm ⊇ M → N ⊆ Rn existiert eine glatte Abbildung offen

f˜ : Rm ⊇ U (p) → Rn mit f˜|M = f |U (p) . Dazu rechnen wir nun: analog

(f ◦ c1 )0 (0) = (f˜ ◦ c1 )0 (0) = f˜0 (p)(c01 (0)) = f˜0 (p)(c02 (0)) ===== (f ◦ c2 )0 (0). Die Tangentialabbildung Tp f ist linear, denn (Tp f )(c0 (0)) = (f ◦c)0 (0) = (f˜)0 (p)(c0 (0)) also ist Tp f = (f˜)0 (p)|T M , wobei f˜ eine lokale Erweiterung von f ist. p

20.3 Beispiel (Quadriken). Es sei f : E → R eine quadratische (d.h. f (tx) = t2 f (x) und insbesonders f (0) = 0) glatte Form und c 6= 0. Dann ist die Quadrik M := f −1 (c) = {x ∈ E : f (x) = c} eine Teilmannigfaltigkeit von E, denn Differenzieren der Homogenit¨atsgleichung liefert f 0 (tx)(tv) = t2 f 0 (x)(v), also f 0 (tx)(v) = tf 0 (x)(v) und weiters f 00 (tx)(tw, v) = tf 00 (x)(w, v), also f 00 (x) = f 00 (tx) = f 00 (0) f¨ ur t → 0. Nach dem Taylor’schen Lehrsatz ist somit f (x) = b(x, x), wobei b := 21 f 00 (0) eine symmetrische quadratische Form ist. 160

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20.3

20. Tangentialraum und Derivationen

Die Ableitung von f ist f 0 (x)(v) = b(x, v) + b(v, x) = 2b(x, v) und somit surjektiv bez¨ uglich v f¨ ur x ∈ M , denn 2b(x, x) = f (x) = c 6= 0. Der Tangentialraum von M bei x ist also Tx M {v ∈ E : b(x, v) = 0} =: x⊥ . Ein erstes Beispiel ist die Sph¨ are als Quadrik S n = f −1 (1), wobei f (x) := |x|2 . Die spezielle lineare Gruppe SL(E) := {T ∈ L(E) : det(T ) = 1} (siehe 14.5 ) hat als Tangentialraum bei id ∈ SL(E) den Teilraum {T ∈ L(E) : 0 = det0 (id)(T ) = spur(T )} der spurfreien linearen Abbildungen. Die orthogonale Gruppe O(E) := {T ∈ L(E) : T t T = id} (siehe 14.6 ) hat als Tangentialraum bei id den Teilraum {T ∈ L(E) : 0 = f 0 (id)(T ) = T t + T } der schiefsymmetrischen (d.h. antiselbstadjungierten) linearen Abbildungen, wobei f die quadratische Form f (T ) := T t T ist. Allgemeiner ist f¨ ur eine bilineare nicht-degenerierte Form b : E × E → R der Tangentialraum der in 14.7 behandelten Gruppe Ob (E) := {T ∈ L(E) : b(T x, T y) = b(x, y) ∀ x, y ∈ E} = {T ∈ L(E) : T t BT = B} (mit b(x, y) = hBx, yi) bei id gerade der Teilraum {T ∈ L(E) : T t B + BT = 0}, der bez¨ uglich B schiefsymmetrischen linearen Abbildungen. F¨ ur die in 14.7 - 14.19 behandelten Gruppen G erhalten wir auf entsprechende Weise folgende Beschreibungen des Tangentialraums bei id ∈ G, woraus wir wieder leicht die Dimension von G ablesen k¨onnen. G GL(n) GLC (n) GLH (n) SL(n) SLC (n) SLH (n) O(n), SO(n) O(n, k), SO(n, k) OC (n), SOC (n) U (n) U (n, k) SU (n) SU (n, k) Q(n) Q(n, k) Q− (n) Sp(2n) SpC (2n)

Tid G L(n) LC (n) LH (n) {T ∈ L(n) : spurR (T ) = 0} {T ∈ LC (n) : spurC (T ) = 0} {T ∈ LH (n) : spurR (T ) = 0} {T ∈ L(n) : T t + T = 0} {T ∈ L(n) : T t Ik + Ik T = 0} {T ∈ LC (n) : T t + T = 0} {T ∈ LC (n) : T ∗ + T = 0} {T ∈ LC (n) : T ∗ Ik + Ik T = 0} {T ∈ LC (n) : T ∗ + T = 0, spurC (T ) = 0} {T ∈ LC (n) : T ∗ Ik + Ik T = 0, spurC (T ) = 0} {T ∈ LH (n) : T ∗ + T = 0} {T ∈ LH (n) : T ∗ Ik + Ik T = 0} {T ∈ LH (n) : T ∗ i + iT = 0} {T ∈ L(2n) : T t J + JT = 0} {T ∈ LC (2n) : T t J + JT = 0}

Im Detail bedeutet das z.B. f¨ ur die O(n, k), daß   A B ∈ O(n, k) ⊆ L(Rk × Rn−k ) ⇔ C D  t    A B −1 0 −1 ⇔ · + C D 0 1 0 ⇔ At + A = 0,

B t = C,

dimR n2 2n2 4n2 n2 − 1 2(n2 − 1) 4n2 − 1 n(n − 1)/2 n(n − 1)/2 n(n − 1) n2 n2 n2 − 1 n2 − 1 n(2n + 1) n(2n + 1) n(2n − 1) n(2n + 1) 2n(2n + 1)

  0 A · 1 C

B D

 =0

Dt + D = 0

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161

20.6

20. Tangentialraum und Derivationen

und f¨ ur die Sp(2n), daß   A B ∈ Sp(2n) ⊆ L(Rn × Rn ) ⇔ C D  t  A B 0 ⇔ · C D 1 ⇔ C t = C,

  −1 0 + 0 1

−At = D,

  −1 A · 0 C

B D

 =0

B t = B.

20.4 Lemma. Kettenregel: F¨ ur drei Mannigfaltigkeiten M, N, P und zwei glatte Abbildungen f g f, g mit M → N → P gilt die Kettenregel: Tp (g ◦ f ) = Tf (p) g ◦ Tp f. F¨ ur die Identit¨ at id : M → M gilt: Tp (idM ) = idTp M : Tp M → Tp M. Produktregel: Sind f, g : M → R glatt, so gilt die Produktregel Tp (f · g) = f (p) · Tp g + g(p) · Tp f. Satz u ¨ ber inverse Funktionen: Es ist f genau dann ein lokaler Diffeomorphismus um p, wenn Tp f ein Isomorphismus ist. Beweis. Indem man alle auftretenden Funktionen glatt auf Umgebungen in den umgebenden Vektorr¨ aumen erweitert, folgt die Ketten- und ide Produkt-Regel aus den klassischen Versionen, siehe [59, 6.1.9] and [59, 6.1.13]. Der Satz u ¨ber inverse Funktionen ist ohnehin nur lokaler Natur also ebenfalls eine Konsequenz des klassischen Satzes 10.2 . Leider k¨ onnen wir die in 20.1 gegebenen Beschreibungen des Tangentialraums nicht direkt f¨ ur abstrakte Mannigfaltigkeiten verwenden, da der umgebende Vektorraum wesentlich eingeht. Wir brauchen also noch andere (abstraktere) Beschreibungen. Dazu beachten wir die Wirkung von v ∈ Tp M auf f ∈ C ∞ (M, R) verm¨oge f 7→ Tp f · v und geben folgende 20.5 Definition (Derivation) Eine Abbildung ∂ : C ∞ (M, R) → R heißt Derivation u ¨ber p ∈ M , wenn sie linear ist und die Produktregel erf¨ ullt, d.h. f¨ ur f, g ∈ C ∞ (M, R) und α ∈ R gilt: 1. ∂(f + g) = ∂f + ∂g 2. ∂(αf ) = α · ∂f 3. ∂(f · g) = ∂f · g(p) + f (p) · ∂g Mit Derp (C ∞ (M, R), R) bezeichnen wir die Menge aller Derivationen u ¨ber p ∈ M . Bez¨ uglich der punktweisen Operationen, ist dies ein Vektorraum. 20.6 Satz (Tangentialvektoren als Derivationen). Die Abbildung Tp M × C ∞ (M, R) → R (v, f ) 7→ (Tp f )(v) 162

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20.6

20. Tangentialraum und Derivationen induziert einen linearen Isomorphismus   Tp M → Derp (C ∞ (M, R), R)   Φp :  v 7→∂v : f 7→ (Tp f )(v)

F¨ ur jedes glatte f : M → N entspricht der Tangentialabbildung Tp f von f via Φp folgende Zuordnung auf der Seite der Derivation: Tp M

Φp

/ Derp (C ∞ (M, R), R)

∂_

(f ∗ )∗

Tp f

 Tf (p) N

3

Φf (p)

 / Derf (p) (C ∞ (N, R), R)

3

 (g 7→ ∂(g ◦ f ))= ∂ ◦ f ∗

Beweis. Wohldefiniertheit: Die Abbildung Tp M × C ∞ (M, R) → R, (v, f ) 7→ (Tp f )(v) ist klarerweise bilinear, also induziert sie eine lineare Abbildung Tp M → L(C ∞ (M, R), R) durch v 7→ (f 7→ (Tp f )(v)). Diese Abbildung hat Werte im Raum der Derivationen u ¨ber p, denn seien f, g : M → R zwei glatte Funktionen und v ∈ Tp M dann gilt nach der Produktregel 20.4 : ∂v (f · g) = Tp (f · g)(v) = f (p) · (Tp g)(v) + g(p) · (Tp f )(v). Kommutativit¨ at: Sei f : M → N glatt und p ∈ M . Dann kommutiert obiges Diagramm, denn f¨ ur v ∈ Tp M und g ∈ C ∞ (N, R) ist (Φf (p) ◦ Tp f )(v)(g) = (Tf (p) g)((Tp f )(v)) = (Tp (g ◦ f ))(v) = ∂(g ◦ f ), da ∂ := Φp (v) auf h ∈ C ∞ (M, R) durch ∂(h) = (Tp h)(v) wirkt. Lokalit¨ at von Derivationen: Wir zeigen zuerst, daß jede Derivation ∂ von C ∞ (M, R) u ¨ber p ∈ M ein lokaler Operator ist, d.h. der Wert ∂(f ) nur von f ∈ C ∞ (M, R) nahe p abh¨ angt. Seien also f1 , f2 ∈ C ∞ (M, R) mit f1 = f2 nahe p vorgegeben. Sei f := f1 − f2 und sei g ∈ C ∞ (M, R) so gew¨ ahlt, daß g(p) = 1 und daß der Tr¨ager von g in der Menge der x mit f (x) = 0 enthalten ist. Dann gilt: 0 = ∂(0) = ∂(g · f ) = g(p) ·∂(f ) + f (p) ·∂(g) = ∂(f ). |{z} |{z} 1

0

Daraus ergibt sich auch, daß ∂(f ) = 0 f¨ ur alle konstanten Funktionen f , denn ∂(1) = ∂(1 · 1) = 1 · ∂(1) + ∂(1) · 1, also ∂(1) = 0. Bijektivit¨ at f¨ ur offene Teilmannigfaltigkeiten: Wir wollen zuerst f¨ ur den Speoffen

zialfall 0 = p ∈ M = U ⊆ Rm die Bijektivit¨at von Φ beweisen. Sei (ei )m i=1 die m m Standardbasis im R ist, dann kann jeder Vektor v ∈ T M = R in der Basis als p P v = i v i ei entwickelt werden. Betrachten wir nun Φ : Tp M 3 v 7→ ∂v ∈ Derp (C ∞ (M, R), R) mit ∂v (f ) := (Tp f )(v) = f 0 (p)(v) =

m X (∂i f )(p) · v i , i=1

wobei ∂i f die i-te partielle Ableitung von f ist, d.h. ∂ (∂i f )(p) = ∂t f (p + tei ) = f 0 (p)(ei ). t=0 c 15. Dezember 2008 [email protected]

163

20.7

20. Tangentialraum und Derivationen

Die Derivation ∂v ist nichts anderes als “Richtungsableitung dv in Richtung v and der Stelle p zu nehmen” und Φ ist injektiv, denn die Komponenten von v k¨onnen verm¨ oge m X ∂v (prj ) = (∂i prj )(p) ·v i = v j | {z } i=1 δi,j

aus ∂v eindeutig rekonstruiert werden. Umgekehrt ist Φ aber auch surjektiv, denn f¨ ur ∂ ∈ Der0 (C ∞ (U, R), R), f ∈ C ∞ (U, R) und x nahe 0 gilt folgendes: Z 1X Z 1 Z 1 m X (∂i f )(tx)xi dt = (∂i f )(tx)dt f 0 (tx)(x)dt = xi f (x) − f (0) = 0 0 0 i i=1 | {z } =:hi (x)

und weiters, da ∂ ein lokaler Operator ist, ! m m   X X i ∂(f ) = ∂(f (0)) + ∂ pr ·hi = 0 + ∂(pri ) hi (0) + pri (0) ·∂(hi ) | {z } | {z } | {z } i=1

=

m X

i=1

=:v i

(∂i f )(0)

=0

v i · (∂i f )(0).

i=1

Also ist ∂(f ) = ∂v (f ) = Φ(v)(f ) f¨ ur alle f . Bijektivit¨ at im Allgemeinen: Sei nun M eine Mannigfaltigkeit, p ∈ M und ϕ eine lokale Parametrisierung von M zentriert bei p. Folgendes Diagramm zeigt, daß Φp eine Isomorphismus ist: / Tp M ,→ Rn

T0 ϕ ∼ =

Rm = T0 U Φ0 ∼ =

 Der0 (C ∞ (U, R), R)

Φp

(ϕ∗ )∗ ∼ =

/ Derp (C ∞ (ϕ(U ), R), R)

(incl∗ )∗ ∼ =

 / Derp (C ∞ (M, R), R)

Dabei ist T0 ϕ ein Isomorphismus nach 20.4 ; Φ0 ist einer wegen des Spezialfalls; (ϕ∗ )∗ : ∂ 7→ (f 7→ ∂(f ◦ ϕ)) ist einer, da ϕ : U → ϕ(U ) ein Diffeomorphismus ist; und schließlich ist der rechte untere ein solcher, da Derivationen lokale Operatoren sind; Also ist auch Φp ein Isomorphismus, und somit der Satz bewiesen. Wir k¨ onnen den Satz 20.6 nun dazu verwenden um den Tangentialraum abstrakter Mannigfaltigkeiten wie folgt zu definieren: 20.7 Definition (Tangentialraum einer abstrakten Mannigfaltigkeit) Unter dem Tangentialraum einer abstrakten Mannigfaltigkeit M bei p versteht man den Vektorraum Tp M := Derp (C ∞ (M, R), R). Beachte, daß wir damit f¨ ur Teilmannigfaltigkeiten M ⊆ Rn und insbseonders f¨ ur offene Teilmengen den in 20.2 definierten Tangentialraum Tp M ⊆ Rn durch einen nicht identen aber kanonisch isomorphen Vektorraum Tp M ⊆ L(C ∞ (M, R), R) ersetzt haben. Ist f ∈ C ∞ (M, N ) und p ∈ M , dann heißt die durch ∂ 7→ ((Tp f )(∂) : g 7→ ∂(g ◦ f )) f¨ ur ∂ ∈ Tp M und g ∈ C ∞ (N, R) 164

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20. Tangentialraum und Derivationen

20.8

definierte Abbildung Tp f = (f ∗ )∗ : Tp M → Tf (p) N , die Tangentialabbildung von M bei p.

20.8 Basen des Tangentialraums Wenn wir wie f¨ ur Abbildungen zwischen Rm ’s die Ableitung einer Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten als Matrix (also als Jacobi-Matrix) schreiben wollen so ben¨ otigen wir eine Basis. Aber selbst wenn wir im umgebenden Vektorraum eine Basis gew¨ ahlt haben, so bekommen wir noch lange keine ausgezeichnete Basis des Tangentialraums (man denke z.B. an die Sph¨are S 2 ). Wir k¨onnen aber wie folgt vorgehen. Sei dazu M eine Mannigfaltigkeit, p ∈ M und ϕ eine Karte von M zentriert bei p. Dann ist T0 ϕ : T0 Rm → Tp M ein linearer Isomorphismus nach 20.4 falls M eine Teilmannigfaltigkeit des Rn ist, aber auch im allgemeinen Fall einer abstrakur diese ganz leicht zu zeigen ist. Die Standardbasis ten Mannigfaltigkeit, da 20.4 f¨ m (ei )m des R wird durch den Isomorphismus Φ : Rm ∼ = Der0 (C ∞ (U, R), R) auf i=1 m die Basis der partiellen Ableitungen (∂i |0 )i=1 in T0 U abgebildet. Der Isomorphismus T0 ϕ bildet diese Basis weiter auf eine Basis (∂iϕ |p )m i=1 in Tp M ab, welche auf f ∈ C ∞ (M, R) durch ∂iϕ |p (f ) := (T0 ϕ)(∂i |0 )(f ) = (ϕ∗ )∗ (∂i |0 )(f ) = ∂i |0 (ϕ∗ (f )) = ∂i (f ◦ ϕ)(0). definiert ist, also durch partielles Ableiten der Kartendarstellung f ◦ ϕ von f in die i-te Richtung ei an der Stelle 0ϕ−1 (p). Zusammengefaßt also: Rm ei 

∼ = Φ

Φ

/ T0 U / ∂ i |0 

∼ = T0 ϕ

T0 ϕ

/ Tp M = Derp (C ∞ (M, R), R)

/ ∂ ϕ |p : f 7→ ∂i (f ◦ ϕ)(ϕ−1 (p)) i

Im Fall einer Teilmannigfaltigkeit M ⊆ Rn , sind dies (via der Einebttung Tp M ,→ Rn ) gerade die partiellen Ableitungen (T0 ϕ)(∂i |0 ) = (∂i ϕ)(0) := ϕ0 (0)(ei ) der Parametrisierung ϕ : U → M ⊆ Rn . Seien (u1 , . . . , um ) := ϕ−1 : M ⊇ ϕ(U ) → U ⊆ Rm die zu ϕ geh¨orenden lokalen Koordinaten, dann bezeichnen wir ∂iϕ |p ∈ Tp M = Derp (C ∞ (M, R), R) auch als ϕ ∂ ∂ui p := ∂i |p . Es dr¨ uckt die Schreibweise ∂iϕ zwar deutlicher aus, daß diese Derivation von der ∂ alschlicherweise Karte ϕ abh¨ angt und nicht, wie man der Bezeichnungsweise ∂u i f¨ i entnehmen k¨ onnte, nur von der i-ten Komponente u der Umkehrfunktion ϕ−1 = ∂ (u1 , . . . , um ). Die Bezeichnung ∂u ¨blichere und macht auch keine i ist allerdings die u
∂ ∂ Probleme, falls man sie nur als ∂u und nicht als ∂(ui ) interpretiert. i Ist ϕ nicht bei p zentriert, dann ist ϕ −1 ∂ (p)) f¨ ur f ∈ C ∞ (M, R) ∂ui p (f ) = ∂i |p (f ) = ∂i (f ◦ ϕ)(ϕ und insbesonders ist j j −1 ∂ (p)) = ∂i (prj )(0) = δij , ∂ui p (u ) = ∂i (u ◦ ϕ)(ϕ da wegen der Lokalit¨ at von

∂ ∂ui

die vorige Formel auch f¨ ur f ∈ C ∞ (ϕ(U ), R) gilt. p

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165

20.9

20. Tangentialraum und Derivationen

20.9 Transformationsverhalten von Tangentialvektoren Sei nun g ∈ C ∞ (M, N ) und seien ϕ−1 = u = (u1 , . . . , um ) lokale Koordinaten von M bei p, ebenso seien ψ −1 = v = (v 1 , . . . , v n ) lokale Koordinaten von N bei g(p). ∂ ) eine Basis von Tp M Wir wissen, daß Tp g : Tp M → Tg(p) N linear ist und ( ∂u i p ∂ ) eine von Tf (p) N ist. Wie sieht nun die Matrixdarstellung [Tp g] von sowie ( i ∂v

f (p)

Tp g bez¨ uglich dieser Basen aus? Da nach Definition von Tp g und wegen 20.6 das folgende Diagramm kommutiert (¯ g )0 (0)

Rm

/ Rn Φ ∼ =

Φ ∼ =

U

g ¯

ϕ

 M

 Der0 (C ∞ (U, R), R)

/V

T0 ϕ ∼ =

ψ g

 Derp (C ∞ (M, R), R)

 /N

 / Der0 (C ∞ (V, R), R)

T0 g ¯

T0 ψ ∼ =

Tp g

 / Derg(p) (C ∞ (N, R), R)

werden die entsprechenden Basen wie folgt abgebildet: e_i 

(¯ g )0 (0)

/ g¯0 (0)(ei )

P

j

Φ ∼ =

Φ ∼ =

  ∂_i

T0 g ¯

 j ∂ g ¯ (0) · ∂j i j _

/ (T0 g¯)(∂i )

P

T0 ϕ ∼ =



∂iϕ

∂i g¯j (0) · ej _

T0 ψ ∼ =



Tp g

/ (Tp g)(∂ ϕ ) i

 j ∂ g ¯ (0) · ∂jψ i j

P

P F¨ ur die Komponenten von Tangentialvektoren ξ = i ξ i ∂iϕ ∈ Tp M erhalten wir also folgendes:  X X X X (Tp g)(ξ) = (Tp g) ξ i · ∂iϕ = ξ i · (Tp g)(∂iϕ ) = ξi · ∂i g¯j (0) · ∂jψ i

=

X X j

i

i

j

 ξ · ∂i g¯ (0) · ∂jψ i

j

i

Die Komponenten von η =

P

j

η j ∂jψ := (Tp g)(ξ) ∈ Tg(p) N sind somit durch X ηj = ξ i · ∂i g¯j (0) i

geben, bzw. in Matrizen-Schreibweise  1  η ∂1 g¯1 (0) . . .  ..   .. ..  . = . . ηn

∂1 g¯n (0)

...

  1 ∂m g¯1 (0) ξ   ..  ..  ·  . , .

∂m g¯n (0)

ξm

also gerade durch Multiplikation mit der Jacobi-Matrix der Koordinatendarstellung g¯ = ψ −1 ◦ g ◦ ϕ von g. W¨ ahlen wir insbesonders g = idM und zwei Karten ϕ und ψ zentriert bei p ∈ M . Dann ist g¯ der Kartenwechsel ψ −1 ◦ ϕ von den Koordinaten (u1 , . . . , um ) := ϕ−1 zu den Koordinaten (v 1 , . . . , v m ) = ψ −1 . Wenn wir obige Formel ∂iϕ = (Tp id)(∂iϕ ) = 166

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20.10

20. Tangentialraum und Derivationen (Tp g)(∂iϕ ) = ist

P

j

∂i g¯j (0) · ∂jψ formal als Multiplikation von Matrizen auffassen, dann   ∂1 g¯1 (0) ∂1ϕ  ..   ..  . = . 

... .. . 1 ∂m g¯ (0) . . .

ϕ ∂m

  ψ ∂1 g¯m (0) ∂1   .  ..  ·  ..  .

∂m g¯m (0)

ψ ∂m

also erhalten wir die Basis (∂iϕ ) aus der Basis (∂jψ ) indem wir mit der transponierten Jacobi-Matrix des inversen Kartenwechsels ψ −1 ◦ ϕ = (ϕ−1 ◦ ψ)−1 von ϕ zu ψ multiplizieren. ϕ ψ ∂f ∂ ∂ Wenn wie nun ∂u i := ∂i , ∂v j := ∂j und ∂ui := ϕ −1 (∂i )|p (f ) = ∂i (f ◦ ϕ)(ϕ (p)) ist und somit

∂ ∂ui f

setzen und beachten, daß

∂i g¯j (0) = ∂i ((ψ −1 ◦ g ◦ ϕ)j )(ϕ−1 (p)) = ∂i (v j ◦ g ◦ ϕ)(ϕ−1 (p)) ∂ (v j ◦ g)(p) ∂ui gilt, dann besagt obige Formel f¨ ur g = id, daß X X ∂v j ∂ ∂ ϕ ψ j = (T id) (∂ · j ) = ∂ g ¯ (0) · ∂ = p i i j i i ∂u ∂u ∂v j j = ∂iϕ (v j ◦ g)(p) =

(beachte den memotechnischen Vorteil dieser Notation) bzw. in (formaler) Matrizenschreibweise:  ∂   ∂u1  m  ∂ . . . ∂u ∂v 1 ∂v 1 ∂v 1 ∂u1  ..   .. ..  ·  ..  ..  . = . . .   .  ∂ ∂v m

∂u1 ∂v m

...

∂um ∂v m

... .. . ...

∂v 1 ∂um

∂ ∂um

und   ∂v1 η1 ∂u1  ..   .  .  =  .. 

ηm

∂v m ∂u1

 ξ1 ..  ·  ..  . .   .  ∂v m ξm ∂um  

20.10 Beispiel Sei M = R3 . Wir w¨ ahlen 3 verschiedene Koordinatensysteme: (1) Kartesische Koordinaten x, y, z mit zugeh¨origen Basisvektoren: ∂ ∂z . (2) Zylinderkoordinaten r, ϕ, z mit zugeh¨origen Basisvektoren: (3) Kugelkoordinaten R, ϕ, ϑ mit zugeh¨origen Basisvektoren:

∂ ∂ ∂x , ∂y ,

∂ ∂ ∂ ∂r , ∂ϕ , ∂z .

∂ ∂ ∂ ∂R , ∂ϕ , ∂ϑ .

F¨ ur den Kartenwechsel und die Jacobimatrizen der Kartenwechsel erhalten wir f¨ ur (2) → (1): x = r · cos ϕ, y = r · sin ϕ, z = z  ∂x ∂x ∂x    cos ϕ −r · sin ϕ 0 ∂r ∂ϕ ∂z  ∂y ∂y ∂y    ∂r ∂ϕ ∂z  = sin ϕ r · cos ϕ 0 , ∂z ∂z ∂z 0 0 1 ∂r ∂ϕ ∂z f¨ ur (3) → (2): r = R · cos ϑ, z = R · sin ϑ  ∂r ∂r ∂r   cos ϑ ∂R ∂ϕ ∂ϑ  ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ   0  ∂R ∂ϕ ∂ϑ  = ∂z ∂z ∂z sin ϑ ∂R ∂ϕ ∂ϑ

 0 −R · sin ϑ , 1 0 0 R · cos ϑ

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167

20.11

20. Tangentialraum und Derivationen

und schließlich f¨ ur (1) → (3): p p R = x2 + y 2 + z 2 , ϕ = arctan(y/x), ϑ = arctan(z/ x2 + y 2 ). Das Ausrechnen ¨ der Jacobi-Matrix dieses Kartenwechsels u ¨berlassen wir dem Leser als Ubung. Wenn wir am R2 neben den kartesischen Koordinaten x, y neue Koordinaten x ¯ := x, y¯ = x + y verwenden, dann stimmen die jeweils ersten Koordinaten u ¨berein nicht aber die entsprechenden Derivationen ∂x ¯ ∂ ∂ y¯ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ · · = + = + 6= . ∂x |{z} ∂x ∂ x ¯ |{z} ∂x ∂ y¯ ∂x ¯ ∂ y¯ ∂x ¯ =1

=1

Es gibt auch die M¨ oglichkeit, den Tangentialraum einer abstrakten Mannigfaltigkeit geometrischer zu beschreiben. 20.11 Lemma (Tangentialvektoren via Kurven). Sei Cx∞ (R, M ) := {c ∈ C ∞ (R, M ) : c(0) = x} die Menge der glatten Kurven durch x ∈ M . F¨ ur eine solche glatte Kurve c und eine glatte Funktion f : M → R sei ∂c (f ) := (f ◦ c)0 (0). Dann definiert c 7→ ∂c eine surjektive Abbildung ∂ : Cx∞ (M, R) → Derx (C ∞ (M, R), R). ¨ Wir k¨ onnen also Tx M mit Cx∞ (R, M )/ ∼ identifizieren, wobei ∼ folgende Aquivalenzrelation ∞ auf Cx (R, M ) ist: c1 ∼ c2

:⇔

∀ f ∈ C ∞ (M, R) : (f ◦ c1 )0 (0) = (f ◦ c2 )0 (0).

Die Tangentialabbildung einer glatten Funktion g : M → N sieht in dieser Beschreibung so aus: (Tx g)(∂c ) = ∂g◦c . Dies entspricht also der Beschreibung von Tx M f¨ ur Teilmannigfaltigkeiten des Rn in (2) von 20.1 . Sie hat allerdings den Nachteil, damit die Vektorraumstruktur von Tp M nicht erkennen zu k¨ onnen. Beweis. Die folgende Rechnung zeigt, daß ∂c eine Derivation u ¨ber x ist:  0  0 ∂c (f + g) = (f + g) ◦ c (0) = (f ◦ c) + (g ◦ c) (0) = (f ◦ c)0 (0) + (g ◦ c)0 (0) = ∂c f + ∂c g  0  0 ∂c (λf ) = (λf ) ◦ c (0) = λ(f ◦ c) (0) = λ(f ◦ c)0 (0) = λ · ∂c f  0  0 ∂c (f · g) = (f · g) ◦ c (0) = (f ◦ c) · (g ◦ c) (0) = (f ◦ c)0 (0) · (g ◦ c)(0) + (f ◦ c)(0) · (g ◦ c)0 (0) = (∂c f ) · g(x) + (∂c g) · f (x) Um zu zeigen, daß die Zuordnung c 7→ ∂c surjektiv ist, w¨ahlen wir lokale Koordinaten ϕ−1 = (u1 , . . . , um ) zentriert umPx ∈ M . Jedes Element von Tx M = m i ∂ Derx (C ∞ (M, R), R) hat dann die Gestalt i=1 ξ ∂ui |x . Wir definieren nun eine 1 (lokale) Kurve c : R → M durch c(t) := ϕ(tξ , . . . , tξ m ), d.h. ui (c(t)) := tξ i f¨ ur 168

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20. Tangentialraum und Derivationen i = 1, . . . , m, dann gilt f¨ ur f ∈ C ∞ (M, R):  0   (f ◦ c)0 (0) = (f ◦ ϕ) ◦ (ϕ−1 ◦ c) (0) = (f ◦ ϕ)0 (0) (ϕ−1 ◦ c)0 (0) = (f ◦ ϕ)0 (0)(ξ 1 , . . . , ξ m ) =

m X

∂i (f ◦ ϕ)(0)ξ i

i=1

=

m X i=1

i ∂ ∂ui |x (f )ξ

=

m X

∂ ξ i ∂u i |x (f ).

i=1

Somit ist ∂c das vorgegebene Element von Tx M , mit dem einzigen Sch¨onheitsfehler, daß c nur lokal definiert ist. Da aber obige Rechnung nur vom Aussehen von c nahe 0 abh¨ angt, k¨ onnen wir c so umparametrisieren, daß sich nahe 0 nichts ¨andert, aber c(t) ganz in Dom(ϕ) bleibt. Daß Tx g die angegebene Gestalt hat ergibt sich sofort aus:    0 (Tx g)(∂c ) (f ) = ∂c (f ◦ g) = (f ◦ g) ◦ c (0)  0 = f ◦ (g ◦ c) (0) = ∂g◦c (f ). Vor allem unter Physikern ist auch folgende Beschreibung des Tangentialraums u ¨blich: 20.12 Lemma (Tangentialvektoren via Koordinaten). F¨ ur jede lokale Parametrisierung ϕ von M zentriert um x seien die Koordinaten m so vorgegeben, daß sie sich richtig transformieren, (ξϕi )m i=1 eines Vektors ξϕ ∈ R d.h. f¨ ur je zwei Karten ϕ1 und ϕ2 mitPKartenwechsel ψ = ϕ−1 2 ◦ ϕ1 gelte ξϕ2 = m ψ 0 (0) · ξϕ1 , oder in Koordinaten ξϕi 2 = j=1 ∂j ψ i (0) · ξϕj 1 . Dann entspricht diesem Koordinaten-Schema ein eindeutiger Tangentialvektor in Tp M und umgekehrt. Ist g : M → N eine glatte Funktion, so bildet Tx f solch ein Schema ξϕ ∈ Rm auf das Schema ηψ ∈ Rn ab, mit ηψ = (ψ −1 ◦ f ◦ ϕ)0 (0) · ξϕ . Beweis. Sei ξϕ ∈ Rm f¨ ur eine lokale Parametrisierung ϕ vorgegeben und seien (u1 , . . . , um ) := ϕ−1 die zugeh¨ origenP lokalen Koordinaten. Dann definieren wir eine m ∂ Derivation ∂ξ ∈ Tx M durch ∂ξ := i=1 ξϕi ∂u i . Diese Definition macht Sinn, d.h. ist unabh¨ angig von der Wahl der Karte ϕ, denn die ξϕ transformieren sich genauso ∂ wie die Koeffizienten einer Derivation bez¨ uglich der Basen ( ∂u i ). Umgekehrt bilden die Koeffizienten ξϕi einer Derivation ∂ ∈ Tx M bez¨ uglich der zu ∂ 1 m −1 geh¨ orenden Basis ( ∂ui ), genau ein richtig transformierendes ϕ = (u , . . . , u ) Koordinaten-Schema. Daß Tx g diese Schemata auf angegebene Weise abbildet, folgt sofort aus der Ko∂ ∂ ordinatendarstellung von Tx f bez¨ uglich der Basen ( ∂u i ) und ( ∂v j ) von Tx M und Tg(x) N .

21. Immersionen Wir wollen in den verbleibenden Abschnitten dieses Kapitels die Tangentialabbildung verwenden, um spezielle Eigenschaften von glatten Abbildungen zu studieren. Insbesondere interessieren wir uns f¨ ur den richtigen Begriff von “Unterobjekten” sowie “Quotientenobjekten” von Mannigfaltigkeiten. c 15. Dezember 2008 [email protected]

169

21.2

21. Immersionen

21.1 Definition (Immersionen und Submersionen) Es sei f ∈ C ∞ (M, N ), wo M, N Mannigfaltigkeiten sind. Dann heißt: f regul¨ ar :⇔ rang(Tx f ) ist maximal(= max{dim Tx M, dim Tf (x) N }) ∀ x ∈ M ; f immersiv :⇔ Tx f ist injektiv ∀ x ∈ M ; f submersiv :⇔ Tx f ist surjektiv ∀ x ∈ M. Man beachte, daß eine Abbildung genau dann immersiv ist, wenn sie regul¨ar ist und dim M ≤ dim N gilt. Ebenso ist sie genau dann submersiv, wenn sie regul¨ar ist und dim M ≥ dim N gilt. 21.2 Rangsatz. Es sei f ∈ C ∞ (M, N ) und r ∈ N. Dann ist rang(Tx f ) = r ∀ x ∈ M genau dann, wenn f¨ ur jedes x ∈ M eine Karte ϕ zentriert bei x und eine Karte ψ zentriert bei f (x) existiert, sodaß die lokal definierte Abbildung: ψ −1 ◦ f ◦ ϕ : Rr × Rm−r → Rr × Rn−r die Gestalt (x, y) 7→ (x, 0) hat. Beachte, daß wir (durch Einschr¨anken von ϕ auf ϕ−1 (f −1 (Bild ψ))) o.B.d.A. voraussetzen k¨ onnen, daß f (Bild ϕ) ⊆ Bild ψ ist und somit folgendes Diagramm kommutiert: M ⊇ Bild O ϕ

f |Bild ϕ

ϕ ∼ =

Rm ⊇ Dom ϕ

/ Bild ψ ⊆ N O ∼ = ψ

ψ −1 ◦f ◦ϕ

/ Dom ψ ⊆ Rn

Durch weiteres Verkleinern k¨ onnen wir die Gestalt Dom ϕ = W1 × W2 ⊆ Rr × Rn−r r und Dom ψ ∩ R = W1 (oder mittels Kompaktheitsargument sogar die Gestalt Dom ψ = W1 × W3 ⊆ Rr × Rn−r ) erreichen. Beweis. (⇐) Es ist rang Tx f = rang T0 (ψ −1 ◦ f ◦ ϕ) = rang((x, y) 7→ (x, 0)) = r. (⇒) O.B.d.A. sei M = Rm , N = Rn , x = 0 und f (x) = 0. Die Idee des Beweises besteht darin, daß f lokal ungef¨ahr wie die Ableitung f 0 (0) aussieht, und diese ist als lineare Abbildung vom Rang r bis auf Basiswechsel von der Form (x, y) 7→ (x, 0). Sei n¨ amlich F1 := Bild(f 0 (0)), F2 := F1⊥ , E2 := Ker(f 0 (0)) und E1 := E2⊥ . Es ist r = rang(f 0 (0)) = dim(F1 ) und somit dim(E1 ) := m − dim(E2 ) = dim(F1 ) und die Komponenten-Darstellung von f 0 (0) : E1 ⊕ E2 → F1 ⊕ F2 hat folgende Gestalt:   A 0 0 f (0) = , 0 0 mit invertierbaren A ∈ L(E1 , F1 ) und wenn wir f = (f1 , f2 ) schreiben, dann ist A = ∂1 f1 (0, 0). Wir versuchen nun durch lokale Diffeomorphismen die Abbildung f auf die gew¨ unschte Form zu bringen. Dazu betrachten wir zuerst eine leicht modifizierte Variante von f n¨ amlich die durch ϕ−1 : (x1 , x2 ) 7→ (f1 (x1 , x2 ), x2 ) gegebene glatte Abbildung −1 ϕ : E1 ⊕ E2 → F1 ⊕ E2 (die Bezeichnungsweise als Inverse werden wir gleich rechtfertigen). Die Jacobi-Matrix von ϕ−1 in 0 sieht wie folgt aus:     ∂1 f1 (0, 0) ∂2 f1 (0, 0) A 0 (ϕ−1 )0 (0) = = . 0 id 0 id 170

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21.3

21. Immersionen

Also ist (ϕ−1 )0 (0) invertierbar und wegen dem inversen Funktionen Satz 10.2 ist ϕ−1 ein lokaler Diffeomorphismus. Sei ϕ der zu ϕ−1 inverse lokale Diffeomorphismus und sei g := f ◦ ϕ, dann hat g = (g1 , g2 ) folgende Gestalt: g(y1 , y2 ) = (y1 , g2 (y1 , 0)). Denn x = (x1 , x2 ) := ϕ(y1 , y2 ) ⇒ y = (y1 , y2 ) = ϕ−1 (x1 , x2 ) = (f1 (x1 , x2 ), x2 ) ⇒ y1 = f1 (x1 , x2 ) = f1 (ϕ(y1 , y2 )) = g1 (y1 , y2 ). Weiters gilt Rang g 0 (y) = Rang f 0 (ϕ(y)) = r, da ϕ ein lokaler Diffeomorphismus ist. Also ist in der Komponenten-Darstellung von g 0 (y)   id 0 0 g (y) = ∂1 g2 (y) ∂2 g2 (y) die rechte untere Ecke ∂2 g2 (y) = 0 und somit g2 (y1 , y2 ) = g2 (y1 , 0). Um nun die zweite Komponente von g zu 0 zu machen setzen wir mit der Abbildung ψ −1 : F1 ⊕ F2 → F1 ⊕ F2 (die Bezeichnungsweise als Inverse werden wir ebenfalls gleich rechtfertigen) definiert durch ψ −1 (y1 , y2 ) := (y1 , y2 − g2 (y1 , 0)) zusammen. Die Komponenten-Darstellung von (ψ −1 )0 (x) ist gegeben durch   id 0 (ψ −1 )0 (y1 , y2 ) = −∂1 g2 (y1 , 0) id und somit ist ψ −1 ein lokaler Diffeomorphismus, also wirklich das Inverse eines ψ. Weiters gilt (ψ −1 ◦ f ◦ ϕ)(y1 , y2 ) = ψ −1 (y1 , g2 (y1 , 0)) = (y1 , g2 (y1 , 0) − g2 (y1 , 0)) = (y1 , 0) 21.3 Folgerung (Charakterisierung von Diffeomorphismen). F¨ ur glatte Abbildungen f gilt: f ist Diffeomorphismus ⇔ f und alle Tx f sind bijektiv. Beweis. (⇒) Die Abbildung f ist klarerweise bijektiv. Daß auch Tx f bijektiv ist, haben wir in 20.4 bereits gezeigt. (⇐) Die Abbildung g := f −1 ist wohldefiniert und stetig, da f als lokaler Diffeomorphismus offen ist. Nach dem Rangsatz 21.2 existieren also Karten ϕ und ψ um x bzw. f (x), sodaß f (Bild(ϕ)) ⊆ Bild(ψ) und ψ −1 ◦ f ◦ ϕ = id. BildO ϕ

f

∼ = ϕ

Rm o

? _ Dom ϕ

/ Bild ψ O ψ ∼ =

id

/ Dom ψ  

/ Rm

Es kann O.B.d.A. folglich Dom ψ = Dom ϕ gew¨ahlt werden. Somit ist z 7→ f −1 (z) = (ϕ ◦ ψ −1 )(z) glatt auf Bild ψ und f ist ein Diffeomorphismus, da ψ −1 eingeschr¨ankt auf Bild ϕ einer ist. c 15. Dezember 2008 [email protected]

171

21.4

21. Immersionen

21.4 Charakterisierung von Immersionen

Wir wollen nun versuchen herauszubekommen welche Teilmengen M von Mannigfaltigkeiten N so zu Mannigfaltigkeiten gemacht werden k¨onnen, daß die Inklusion f := incl : M → N glatt ist und daß die Tangentialr¨aume Tx M von M verm¨oge Tx f bijektiv auf Teilr¨ aume von Tf (x) N abgebildet werden, also f eine Immersion ist. Wir m¨ ussen dazu versuchen die Eigenschaft, daß f eine Immersion ist, mittels Karten von N auszudr¨ ucken. Nach dem Rangsatz 21.2 sehen Immersionen bzgl. geeigneter Karten ϕ zentriert bei x ∈ M und ψ zentriert bei f (x) ∈ N mit f (Bild ϕ) ⊆ Bild ψ und Dom ψ ∩ Rm = Dom ϕ wie die Inklusion incl : Rm ,→ Rn aus, also ist f |Bild ϕ bijektiv von Bild ϕ auf

Bild(f |Bild ϕ ) = f (Bild ϕ) = ψ(incl(Dom ϕ)) = ψ(Dom ψ ∩ Rm ) = ψ(Rm ),

und damit

−1 −1 −1 m ϕ = f |−1 Bild ϕ ◦ f |Bild ϕ ◦ ϕ = f |Bild ϕ ◦ f |Bild ϕ ◦ ϕ = f |Bild ϕ ◦ ψ ◦ incl = f |Bild ϕ ◦ ψ|R .

Wir k¨ onnen also durch geeignete Wahlen von Umgebungen Ux := Bild ϕ von x ∈ M und Karten ψ von N zentriert bei f (x) einen Atlas mit Karten ϕ := f |−1 Ux ◦ψ|Rm von M erhalten und die Kartendarstellung von f sieht dann wie die Inklusion Rm ,→ Rn aus. Dies zeigt die Richtung ( 1 ⇒ 2 ) von

Proposition. Charakterisierung von Immersionen. F¨ ur f ∈ C ∞ (M, N ) sind folgende Aussagen aquivalent:

1. f ist immersiv; 2. ∀ x ∈ M ∃ Ux offene Umgebung von x in M und eine Karte ψ zentriert −1 bei f (x) in N , sodaß f |U ◦ ψ|Rm : Dom ψ ∩ Rm → Ux ein wohldefinierter x Diffeomorphismus (und somit eine Karte von M ) ist; 3. f besitzt lokale Linksinverse, d.h. ∀ x ∈ M ∃ Ux offene Umgebung von x in M und ∃ h : N ⊇ Vf (x) → M glatt mit Vf (x) ⊇ f (Ux ) offen, h(f (x)) = x und h ◦ f = idUx . 172

c 15. Dezember 2008 [email protected]

21.5

21. Immersionen

N f

BildHjL=Ux

M

fHxL

fHML

-1x

f HBildHΨLL

f-1 HBildHΨLL

j= f-1 ëΨÈRm

Ψ

Rn-m domHΨL inj1

domHjL 0

domHjL Rm

Rm

Beweis. ( 1 ⇒ 2 ) habe wir eben gezeigt. m ( 2 ⇒ 3 ) sei Ux und ψ wie in 2 . Wir setzen ϕ := f |−1 Ux ◦ψ|Rm : Dom ψ∩R → Ux . Durch Verkleinern der Karte ψ k¨onnen wir erreichen, daß Dom ψ von der Form W1 × W2 ⊆ Rm × Rn−m ist. Nun setzen wir Vf (x) := Bild ψ und h := ϕ ◦ pr ◦ψ −1 , wobei pr : Rn = Rm ×Rn−m ⊇ W1 ×W2 → W1 ⊆ Rm die kanonische Projektion auf den ersten Faktor bezeichnet. Dann ist h : Vf (x) → Ux glatt, h(f (x)) = ϕ(0) = x und h ◦ f ◦ ϕ = ϕ ◦ pr ◦ψ −1 ◦ f ◦ ϕ = ϕ ◦ pr ◦ incl = ϕ = id ◦ϕ, also h ◦ f = id auf Bild ϕ = Ux .

( 3 ⇒ 1 ) Wegen h ◦ f = id lokal um x gilt id = Tx id = Tf (x) h ◦ Tx f , also ist Tx f injektiv und somit f eine Immersion. ( 1 ⇐ 2 ) Die Kartendarstellung von m f bez¨ uglich der Karten f |−1 Ux ◦ ψ|Rm : Dom ψ ∩ R → Ux und ψ ist −1 −1 f¯ = ψ −1 ◦ f ◦ f |−1 ◦ f |Ux ◦ f |−1 ◦ ψ ◦ incl = incl, Ux ◦ ψ|Rm = ψ Ux ◦ ψ|Rm = ψ

also ist rang Tx f = m nach 21.2 , d.h. f ist immersiv. 21.5 Folgerung. Es sei f ∈ C ∞ (M, N ) eine Immersion und g : P → M eine stetige Abbildung mit f ◦ g ∈ C ∞ (P, N ). Dann ist g ist glatt.

MO C3g

P

/N }> } }} ∞ }} }} f ◦g∈C f

Beweis. Sei z ∈ P und x := g(z). Es existieren Ux und h : Vf (x) → M wie in 21.4.3 . Da g stetig ist, ist g −1 (Ux ) eine offene Umgebung von z und darauf ist c 15. Dezember 2008 [email protected]

173

21.8

21. Immersionen

g = (h ◦ f ) ◦ g = h ◦ (f ◦ g) glatt. Sei z ∈ P und ψ eine Karte um f (g(z)) wie origer Umgebung Ux von x = g(z). Die stetige Abbildung g in 21.4 mit zugeh¨ ∞ hat lokal Werte im Bild der Karte ϕ := f |−1 ⇒ Ux ◦ ψ|Rm und somit gilt: f ◦ g C −1 −1 ∞ −1 ∞ incl ◦ϕ ◦ g = ψ ◦ f ◦ g ist C lokal um x ⇒ ϕ ◦ g ist C lokal um x ⇒ g ist C ∞ lokal um x. 21.6 Bemerkungen 1. Dabei ist die Stetigkeit von g wesentlich: Sei n¨amlich g : ]−π, π[ → ]−π, π[, definiert durch  ur t > 0   π − t f¨ 0 f¨ ur t = 0 g : t 7→   −π − t f¨ ur t < 0 und f : (−π, π) → R2 definiert durch f (t) := (sin t, − sin 2t) Π fëg

g -Π Π g

f -Π

Dann ist f ◦ g glatt, aber g ist nicht stetig, ergo auch nicht glatt. 2. Eine Mannigfaltigkeit M , die Teilmenge einer Mannigfaltigkeit N ist, heißt immersive Teilmannigfaltigkeit, falls die Inklusion incl : M → N eine Immersion ist. Eine immersive Teilmannigfaltigkeit ist im allgemeinen keine Teilmannigfaltigkeit im Sinn von 10.4 oder allgemeiner von 21.12 : f : R → R2 aus 21.6.1 ist eine injektive Immersion, aber f (R) ist keine Teilmannigfaltigkeit des R2 . 3. Die Mannigfaltigkeitsstruktur einer immersiven Teilmannigfaltigkeit ist im allgemeinen nicht durch die von N festgelegt wie 1 zeigt: f und f ◦ g erzeugen zwei verschiedene Mannigfaltigkeitsstrukturen auf M = Bild(f ) ∼ = ]−π, pi[. 21.7 Definition (Initiale und finale Abbildungen) Sei f ∈ C ∞ (M, N ). Die Abbildung f heißt initial :⇔ f¨ ur jede Abbildung g : P → M mit der Eigenschaft, daß f ◦ g glatt ist, g selbst glatt ist. Die Abbildung f heißt final :⇔ f¨ ur jedes g : N → P mit der Eigenschaft, daß g ◦ f glatt ist, g selbst glatt ist. 21.8 Satz (Charakterisierung initialer Immersionen). F¨ ur f in C ∞ (M, N ) sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: 1. f ist eine initiale Immersion; 2. f¨ ur jedes x ∈ M gibt es eine Karte ψ von N zentriert bei f (x), sodaß f −1 ◦ ψ|Rm : Dom ψ ∩ Rm → f −1 (C ∞ - Wegkompf (x) (Bild f ∩ Bild ψ)) ein wohldefinierter Diffeomorphismus (und somit eine Karte) ist; 3. f besitzt lokale Linksinverse im folgenden Sinn: ∀ x ∈ M ∃ h : Vf (x) → M glatt mit einer offenen Umgebung Vf (x) von f (x) in N und h(f (x)) = x sowie h ◦ f = id auf f −1 (C ∞ - Wegkompf (x) (Bild f ∩ Vf (x) )). 174

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21.8

21. Immersionen

Dabei sei C ∞ - Wegkompx (A) := {c(1) : c ∈ C ∞ (R, A) mit c(0) = x} f¨ ur A ⊆ N .

Es ist Ux := f −1 (C ∞ - Wegkompf (x) (Bild f ∩ V )) f¨ ur offenes V ⊆ N in M offen ist, denn f¨ ur z ∈ Ux ist die offene Umgebung C ∞ - Wegkompz (f −1 (V )) in Ux enthalten: Sei dazu y ∈ C ∞ - Wegkompz (f −1 (V )), d.h. eine glatte Kurve c : R → f −1 (V ) existiert mit c(0) = z und c(1) = y. F¨ ur die glatte Kurve f ◦ c : R → Bild f ∩ V gilt dann (f ◦ c)(0) = f (z) ∈ C ∞ - Wegkompf (x) (Bild f ∩ V ), also auch f (y) = (f ◦ c)(1), d.h. y ∈ Ux .

f-1 HBildHΨLL f

BildHjL=Ux

M

N fHxL

-1x

fHML

f HBildHΨLL

f-1 HBildHΨLL

j= f-1 ëΨÈRm

Ψ

Rn-m domHΨL inj1

domHjL 0

domHjL

Rm

Rm

Beweis.

( 1 ⇒ 2 ) Sei f eine Immersion. Dann existiert nach 21.4 ein Ux ⊆ M offen und eine Karte ψ um f (x) s.d. (f |Ux )−1 ◦ψ|Rm : Dom ψ∩Rm → Ux ein Diffeomorphismus ist. Wir wollen Ux und Bild ψ so verkleinern, daß Ux = f −1 (C ∞ - Wegkompf (x) (Bild f ∩ Bild ψ)) wird. c 15. Dezember 2008 [email protected]

175

21.8

21. Immersionen

N f

BildHjL=Ux

M

fHxL

fHML

-1x

f HBildHΨLL

f-1 HBildHΨLL

j= f-1 ëΨÈRm

Ψ

Rn-m domHΨL m

domHjL=domHΨLÝR

inj1

V0

Rm

W0

W0

Rm

Wir w¨ ahlen dazu eine offene C ∞ -wegzusammenh¨angende Umgebung U0 von x in M , welche U0¯⊆ Ux erf¨ ullt. Sei W0 := (f −1 ◦ ψ|Rm )−1 (U0 ) ⊆ Rm . Dann ist W0 offen und sei V0 ⊆ Dom ψ so gew¨ ahlt, daß W0 = V0 ∩ Rm . Weil f injektiv ist, gen¨ ugt es zu zeigen, daß f (U0 ) = C ∞ - Wegkompf (x) (Bild f ∩ ψ(V0 )). (⊆) Folgt unmittelbar aus f (U0 ) ⊆ Bild f und f (U0 ) = ψ(W0 ) ⊆ ψ(V0 ), weil f (U0 ) C ∞ -wegzusammenh¨ angend ist. (⊇) Sei c : R → Bild f ∩ ψ(V0 ) und c(0) = f (x); dann ist zu zeigen: c(1) ∈ f (U0 ). Wir definieren c¯ := (f |Ux )−1 ◦c : R → M . Da f eine initiale Immersion ist folgt, daß c¯ glatt ist. Es gen¨ ugt zu zeigen: c¯([0, 1]) ⊆ U0 . Angenommen: c¯([0, 1]) 6⊆ U0 . Wegen c¯(0) = x kann t0 > 0 minimal gew¨ahlt werden, sodaß c¯(t0 ) ∈ / U0 , d.h. f¨ ur t < t0 ist c¯(t) ∈ U0 und damit c¯(t0 ) ∈ U0¯⊆ Ux . Somit ist (((f |Ux )−1 ◦ ψ|Rm )−1 ◦ c¯)(t) ∈ (f −1 ◦ ψ|Rm )−1 (U0 ) = W0 f¨ ur t < t0 aber nicht f¨ ur t = t0 . Andererseits gilt ((f |Ux )−1 ◦ ψ|Rm )−1 (¯ c(t)) = ψ −1 (c(t)) ∈ V0 f¨ ur alle t ≤ t0 und damit ist ((f −1 ◦ ψ|Rm )−1 ◦ c¯)(t0 ) ∈ V0 ∩ Rm = W0 , ein Widerspruch. ( 2 ⇒ 3 ) Die selbe Definition von h wie im entsprechenden Beweisteil von 21.4 liefert nun ein Linksinverses auf Ux = f −1 (C ∞ - Wegkompf (x) (Bild f ∩ Bild ψ)). ( 3 ⇒ 1 ) Da Ux := f −1 (C ∞ - Wegkompf (x) (Bild f ∩ Vf (x) )) offen ist folgt die Immersivit¨ at von f aus 21.4 . Wir zeigen nun, daß f initial ist. Sei dazu g : P → M sodaß f ◦ g glatt ist. Wir m¨ ussen nur zeigen, daß g lokal um p ∈ P Werte in Ux f¨ ur x = g(p) hat. Wir w¨ ahlen dazu eine C ∞ -wegzusammenh¨angende Umgebung Up um p mit Up ⊆ 176

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21.11

21. Immersionen (f ◦ g)−1 (Vf (x) ). ⇒ (f ◦ g)(Up ) ⊆ Bild f ∩ Vf (x) , C ∞ -wegzusammenh¨angend ⇒ (f ◦ g)(Up ) ⊆ C ∞ - Wegkompf (g(p)) (Bild f ∩ Vf (x) ) ⇒ g(Up ) ⊆ f −1 (C ∞ - Wegkompf (g(p)) (Bild f ∩ Vf (x) )) = Ux

21.9 Bemerkungen 1. In dieser Situation (d.h. falls es eine initiale Immersion f : M → N gibt) ist die Mannigfaltigkeitsstruktur auf M eindeutig durch jene auf N bestimmt: In der Tat seien zwei Mannigfaltigkeitsstrukturen auf der Menge M gegeben, s.d. eine Abbildung f : M → N initial bzgl. beider Strukturen ist. Zwecks Unterscheidung bezeichnen wir mit M1 und M2 die Menge M mit der jeweiligen Mannigfaltigkeitsstruktur und betrachten die Identit¨at id : M1 → M2 . Dann ist id C ∞ , denn f ◦ id = f : M1 → N ist glatt und f : M2 → N initial. Genauso folgt auch id−1 : M2 → M1 ist glatt, also id : M1 → M2 ein Diffeomorphismus. 2. Eine Teilmenge M von N mit obiger Eigenschaft, d.h. ∀ x ∈ M ∃ ψ: C ∞ -Wegkompx (M ∩ Bild ψ) = ψ(Rm ), tr¨agt eine eindeutige Mannigfaltigkeitsstruktur, sodaß incl : M → N eine initiale Immersion wird, n¨amliche jene die als Atlas die Einschr¨ankungen ψ|Rm dieser Karten hat. So eine Teilmenge mit dieser Mannigfaltigkeitsstruktur heißt initiale Teilmannigfaltigkeit. 3. Jede initiale C ∞ -Abbildung ist injektiv. Sei f initial, f (x) = f (y), x 6= y; g(t) = x f¨ ur t > 0, g(t) = y sonst, so ist g nicht stetig, aber f ◦ g ist konstant, also C ∞ ⇒ g ist C ∞ (Widerspruch)! 4. In [50] wurde bewiesen, daß f : t → (t2 , t3 ), R → R2 eine initiale C ∞ Abbildung ist. Sie ist aber klarerweise nicht immersiv, da f 0 (0) = (0, 0). 5. Ein wichtiges Beispiel einer initialen Teilmannigfaltigkeit ist eine nichtperiodische Spirallinie auf dem Torus S 1 × S 1 gegeben durch f : t 7→ (exp(2πit), exp(2πiαt)) mit irrationalem Anstieg α. Hier zeigt sich, daß eine initiale Teilmannigfaltigkeit nicht die Spurtopologie tragen muß. Denn kein offene Intervall I ⊂ R gibt es ein offenes U ⊆ S 1 ×S 1 , sodaß I = f −1 (U ) (¨ aquivalent f (I) = U ∩ Bild(f )), da f (t) immer wieder in U liegt f¨ ur t → ±∞. Das motiviert die folgende restriktivere Definition. 21.10 Definition (Einbettung) Es sei f : M → N glatt, dann heißt f Einbettung :⇔ f ist injektive Immersion und f : M → f (M ) ist ein Hom¨oomorphismus, dabei trage f (M ) die Spurtopologie von N . 21.11 Satz (Charakterisierung von Einbettungen). F¨ ur f in C ∞ (M, N ) sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: 1. f ist eine Einbettung; 2. f¨ ur jedes x ∈ M gibt es eine Karte ψ von N zentriert bei f (x), sodaß f −1 ◦ ψ|Rm : Dom ψ ∩ Rm → f −1 (Bild ψ) ein wohldefinierter Diffeomorphismus (und somit eine Karte) ist; c 15. Dezember 2008 [email protected]

177

21.11

21. Immersionen

3. f besitzt lokale Linksinverse im folgenden Sinn: ∀ x ∈ M ∃ h : Vf (x) → M glatt mit einer offenen Umgebung Vf (x) von f (x) in N und h(f (x)) = x sowie h ◦ f = id auf f −1 (Vf (x) ).

BildHjL=f-1 HBildHΨLL

f

N fHxL fHML

x

M

j= f-1 ëΨÈRm

Ψ Rn-m

domHjL 0

inj1

Rm

domHΨL domHjL Rm

Beachte, daß der Unterschied zur Formulierung von Immersionen in 21.4 nur darin besteht, daß das Bild der konstruierten Karten nun ganz f −1 (Bild ψ) und nicht nur eine offene Umgebung Ux von x ist, d.h. Bild ψ ∩ Bild f nur einen wie Rm ⊆ Rn aussehenden Teil enthalten darf. Beweis. ( 1 ⇒ 2 ) Sei f eine Einbettung. Da f eine Immersion ist, existiert nach 21.4 f¨ ur x ∈ M ein Ux ⊆ M offen und eine Karte ψ um f (x), sodaß f −1 ◦ ψ|Rm : Dom ψ ∩ Rm → Ux ein wohldefinierter Diffeomorphismus ist. Wir wollen durch Verkleinern von Dom ψ erreichen, daß Ux = f −1 (Bild ψ). Da f ein Hom¨oomorphismus auf das Bild ist, gibt es W ⊆ Bild ψ offen mit W ∩ Bild f = f (Ux ). O.B.d.A. sei Bild ψ = W , dann ist Ux = f −1 (Bild ψ), denn Ux = (f −1 ◦ f )(Ux ) = f −1 (W ∩ Bild f ) = f −1 (Bild ψ ∩ Bild f ) = f −1 (Bild ψ). ( 2 ⇒ 3 ) Die selbe Definition von h wie im entsprechenden Beweisteil von 21.4 liefert nun ein Linksinverses auf Ux = f −1 (Bild ψ). ( 3 ⇒ 1 ) Nach 21.4 ist f immersiv. Weiters ist f injektiv, denn andernfalls sei x1 6= x2 mit y := f (x1 ) = f (x2 ) und h : Vy → M ein lokales Linksinverses wie in 3 . Dann ist xi ∈ f −1 (Vy ) und somit xi = (h ◦ f )(xi ) = h(y) unabh¨ angig von i, ein Widerspruch. Schließlich ist f ein Hom¨ oomorphismus auf sein Bild: Sei dazu (xi )i ein Netz in M f¨ ur welches f (xi ) gegen ein f (x∞ ) konvergiert. Sei h : V → M ein lokales Linksinverses wie in 3 mit einer offenen Umgebung V von f (x∞ ). Dann ist f (xi ) 178

c 15. Dezember 2008 [email protected]

21.13

21. Immersionen

schließlich in V und somit xi schließlich in f −1 (V ) und damit konvergiert xi = (h ◦ f )(xi ) = h(f (xi )) → h(f (x∞ )) = x∞ . ( 1 ⇐ 2 ) Nach 21.4 mit Ux := f −1 (Bild ψ) ist f immersiv. Weiters ist f injektiv, denn andernfalls sei f (x1 ) = f (x2 ) mit x1 6= x2 und ψ eine Karte zentriert beim Bildpunkt. Dann sind x1 , x2 ∈ f −1 (Bild ψ) und f¨ ur yi := ϕ−1 (xi ) mit ϕ := f −1 ◦ ψ|Rm gilt, y1 6= y2 aber (yi , 0) = f¯(yi ) = (ψ −1 ◦ f ◦ ϕ)(yi ) = (ψ −1 ◦ f )(xi ) ist unabh¨ angig von i, ein Widerspruch. Daß ϕ := f −1 ◦ ψ|Rm : Dom ψ ∩ Rm → f −1 (Bild ψ) eine wohldefinierte Bijektion ist, bedeutet f |f −1 (Bild ψ) → ψ(Rm ) ist bijektiv, also ψ(Rm ) = f (f −1 (Bild ψ)) = Bild ψ ∩ Bild f . Die Kartendarstellung von f ist dann ψ −1 ◦ f ◦ ϕ = ψ −1 ◦ f ◦ f −1 ◦ ψ ◦ incl = incl . Schließlich ist f ein Hom¨ oomorphismus aufs Bild: Sei U ⊆ M offen. Wir m¨ ussen zeigen: f (U ) ⊆ f (M ) ist offen bez¨ uglich der Spurtopologie von N auf f (M ). O.B.d.A. sei U ⊆ Bild ϕ = f −1 (Bild ψ) f¨ ur ein ψ mit obiger Eigenschaft. Dann ist ϕ−1 (U ) ⊆ Rm offen, also existiert ein offenes W ⊆ Dom ψ mit W ∩ Rm = ϕ−1 (U ), und es ist f (U ) = f (ϕ(ϕ−1 (U ))) = ψ(incl(ϕ−1 (U ))) = ψ(W ∩Rm ) = ψ(W )∩ψ(Rm ) = ψ(W )∩Bild f also f (U ) offen in Bild f bzgl. der Spurtopologie.

21.12 Definition (Teilmannigfaltigkeit) Eine Teilmenge M einer Mannigfaltigkeit N , die selbst Mannigfaltigkeit ist und die obige Eigenschaft bez¨ uglich der Inklusion incl : M ,→ N besitzt, heißt (regul¨ are) Teilmannigfaltigkeit von N . Jede Teilmenge M ⊆ N , die f¨ ur jeden Punkt x ∈ M eine Karte ψ von N zentriert bei x besitzt f¨ ur welche M ∩ Bild ψ = ψ(Rm ) gilt, ist selbst eine Mannigfaltigkeit mit dem Atlas gebildet durch diese Einschr¨ankungen ψ|Rm und die Inklusion incl : M ,→ N ist dann nach Konstruktion und 21.11 eine Einbettung, also M eine regul¨ are Teilmannigfaltigkeit von N . Diese zeigt, daß die Definition f¨ ur regul¨are Teilmannigfaltigkeuten von N = Rn mit der in 10.4 gegebenen u ¨bereinstimmt, denn Karten ψ von N = Rn wie in 21.11 (also mit M ∩ Bild ψ = ψ(Rm )) sind gerade lokale Trivialisierungen im Sinn von 10.4.4 . Das Bild f (M ) jeder Einbettung f : M → N ist offensichtlich eine regul¨are Teilmannigfaltigkeit von N und die Einbettung induziert einen Diffeomorphismus f : M → f (M ) aufs Bild, denn sowohl f als auch incl : f (M ) ,→ N sind initial, also f : M → f (M ) ein Diffeomorphismus. Bis auf Diffeomorphismen sidn also Einbettungen nichts anders als die Inklusion von regul¨aren Teilmannigfaltigkeiten. 21.13 Whitney’scher Einbettungssatz. Es sei M eine zusammenh¨ angende σ-kompakte (und somit parakompakte) C ∞ Mannigfaltigkeit der Dimension m, dann existiert eine Einbettung von M in einen c 15. Dezember 2008 [email protected]

179

21.15

21. Immersionen

endlichdimensionalen Vektorraum. “Jede” abstrakte Mannigfaltigkeit l¨ aßt sich also als Teilmannigfaltigkeit eines Rn realisieren. ur einen eleBeweis. Sei {ψi : 0 ≤ i ≤ m} ein endlicher Atlas nach 19.11 (f¨ mentaren Beweis von 21.13 ohne Verwendung von Dimensionstheorie siehe z.B. [12, S.73]). QmSei weiters fi eine zu {Bild ψi } geh¨orige Partition der Eins und sei f : M → i=0 (R × Rm ) die glatte Abbildung
m x 7→ fi (x), fi (x)ψi−1 (x) i=0 . Um 21.11 anzuwenden zeigen wir die Existenz lokaler linksinverser Abbildungen ¨ gi : (R × Rm )m ⊇ Vi → M f¨ ur eine offene Uberdeckung {Vi : 0 ≤ 1i ≤ m} von f (M ). Sei dazu   1 Vi : = (t, y) : ti > 0, yi ∈ Dom ψi , ti gi :Vi → M,

(t, y) 7→ ψi (t−1 i · yi )

Ui : = f −1 (Vi ) = {x ∈ M : fi (x) > 0}. Dann ist gi ◦ f = id auf Ui , denn  Ui 3 x 7→ (gi ◦ f )(x) = ψi

fi (x)ψi−1 (x) fi (x)



= ψi (ψi−1 (x)) = x

21.14 Bemerkungen 1. Nach dem Beweis von 21.13 lassen sich m-dimensionale Mannigfaltigkeiten in dem Rm(m+1) einbetten. Es geht aber auch in niederen Dimensionen. Und zwar l¨ aßt sich M in den Rn einbetten, wobei (i) f¨ ur n = 2m + 1 der Beweis relativ einfach ist, siehe [45, S.55]; (ii) f¨ ur n = 2m stammt er von [105]. Vermutung: Das minimale n = 2m − α(m) + 1, wobei α(m) die Anzahl der Einser in der Dualentwicklung von m ist. Welches n ist n¨ otig f¨ ur Immersion? (i) f¨ ur n = 2m ist der Beweis relativ einfach, siehe [45, S.24] (ii) f¨ ur n = 2m − 1 stammt er von [105] Vermutung: Das minimale n = 2m−α(m) um Immersionen zu erhalten. Diese Vermutung konnte schließlich bewiesen werden! Auf kompakten Mannigfaltigkeiten von [18] und allgemein von [13]. 2. Der Rang-Satz liefert uns auf einfachste Weise weitere regul¨are Teilmannigfaltigkeiten: Sei f ∈ C ∞ (M, N ). Dann gilt rang(Tx f ) = r ∀ x ∈ M ⇒ f −1 (y) ist regul¨are Teilmannigfaltigkeit von M . Beweis. Dies ist lokale Eigenschaft, wir k¨onnen also o.B.d.A. annehmen, daß M ⊆ Rm offen, N ⊆ Rn offen, dann folgt aus 21.2 , daß f lokal wie (x, y) 7→ (x, 0) aussieht und das Urbild f −1 (0) somit wie {0} × Rm−r . 21.15 Folgerung (Retrakte sind Mannigfaltigkeiten). Sei f ∈ C ∞ (M, M ), sodaß f ◦ f = f . Dann ist A := f (M ) regul¨ are Teilmannigfaltigkeit. D.h. glatte Retrakte von Mannigfaltigkeiten sind wieder Mannigfaltigkeiten. 180

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21.17

21. Immersionen

Beweis. Man beachte, daß x ∈ A := f (M ) genau dann wenn f (x) = x gilt: Denn x = f (y) ⇒ f (x) = f (f (y)) = f (y) = x, und umgekehrt x = f (x) ∈ f (M ). Sei x0 ∈ M und ϕ : Rm ⊇ U → ϕ(U ) ⊆ M eine um x0 zentrierte Karte. F¨ ur alle y in der Umgebung V := f −1 (ϕ(U )) ∩ ϕ(U ) gilt: y ∈ f (M ) ⇔ f (y) = y ⇔ (ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ)(ϕ−1 (y)) = (ϕ−1 ◦ f )(y) = ϕ−1 (y) ⇔ (id −f˜)(ϕ−1 (y)) = 0, wobei f˜ := ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ : U ⊇ ϕ−1 (V ) → U ⊆ Rm . F¨ ur z nahe 0 gilt: (f˜ ◦ f˜)(z) = (ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ ◦ ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ)(z) = = (ϕ−1 ◦ f 2 ◦ ϕ)(z) = (ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ)(z) = f˜(z), d.h. o.B.d.A. sei 0 ∈ U ⊆ Rm offen und f : U → Rm erf¨ ulle f (0) = 0 und f ◦ f = f lokal um 0, und wir haben zu zeigen, daß id −f eine regul¨are Gleichung lokal um 0 liefert. Es ist rang Tz (id −f ) ≥ rang T0 (id −f ) =: r. Aus f ◦ (id −f ) = 0 folgt T(id −f )(z) f ◦ (id −Tz f ) = 0 und somit Bild(id −Tz f ) ⊆ Ker(T(id −f )(z) f ). Also ist lokal rang(Tz (id -f)) ≤ dim Ker(T(id −f )(z) f ) = m − dim Bild(T(id −f )(z) f ) ≤ ≤ m − dim Bild(T0 f ) = dim Bild(id −T0 f ) = r, wobei wir f¨ ur die lineare Projektion T0 f die offensichtliche Gleichung T0 Rm = Bild(T0 f ) ⊕ Bild(id −T0 f ) verwendet haben. Nun verwende 21.14.2 .

21.16 Bemerkung Man kann umgekehrt zeigen, daß jede Teilmannigfaltigkeit M einer Mannigfaltigkeit N das Retrakt einer offenen Menge in N ist, siehe 62.9 oder [45, S.110]. Zusammen mit dem Einbettungssatz 21.13 besagt das, daß zusammenh¨angende σ-kompakte Mannigfaltigkeiten - bis auf Diffeomorphismen - genau die Retrakte offener Teilmengen endlichdimensionaler Vektorr¨aume sind. F¨ ur f ∈ C ∞ (M, N ) sei der Graph von f definiert als Graph(f ) := {(x, f (x)) : x ∈ M } ⊆ M × N. ¨ Dann ist Graph(f ) eine regul¨ are Teilmannigfaltigkeit. Der Beweis bleibt als Ubung. Hinweis: Graph(f ) ∼ =M 21.17 Satz von Sard. Die Menge der kritischen Werte einer glatten Abbildung zwischen σ-kompakten Mannigfaltigkeiten hat Lebesgue-Maß 0. Siehe auch [12, S.58] und [45, p.68]. Dieses Resultat gilt auch noch, wenn f ∈ C r (M, N ) mit r > dim M − dim N ist. In [105, A function not constant on a connected set of critical points, Duke Math. J. 1(1935) 514-517] wurde eine C 1 -Abbildung f : R2 → R konstruiert, die auf einem Bogen I kritisch, aber nicht konstant ist. Der Graph von f ist also eine Fl¨ache S ⊆ R3 , auf welcher ein Bogen f (I) liegt, sodaß die Tangentialebene an S in jeden Punkt horizontal ist, aber dennoch hat f (I) nicht konstante H¨ohe. c 15. Dezember 2008 [email protected]

181

21.19

21. Immersionen

Definition. Dabei heißt f¨ ur eine Abbildung f : M → N ein Punkt x ∈ M kritisch, falls Tx f : Tx M → Tf (x) N nicht maximalen Rang hat. Ein Punkt y ∈ N heißt kritischer Wert, falls ein kritischer Punkt x ∈ f −1 (y) existiert. Manchmal wir f¨ ur kritische Punkte nur verlangt, daß Tx f nicht surjektiv ist. Zumindestens f¨ ur den Satz von Sard macht das aber keinen Unterschied, denn nur im Fall dim M < dim N erhalten wir mehr kritische Werte (n¨amlich alle im Bild). Diese bilden aber nach der Folgerung in 21.18 ebenfalls eine Lebesgue-Null-Menge. Eine Menge N ⊆ Rn heißt Lebesgue-Null-Menge, falls f¨ ur jedes ε >S0 eine Folge von W¨ u rfeln ( oder Quadern oder Kugeln) (Q ) existiert mit N ⊆ k∈N Qk und k k∈N P k∈N |Qk | < ε. Eine Teilmenge N ⊆ M einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M heißt Lebesgue-Null-Menge, wenn daß Urbild unter jeder Karte eine Lebesgue-Null-Menge ist. 21.18 Lemma. Es sei U ⊆ Rm und N ⊆ U eine Lebesgue-Null-Menge. Weiters sei f : U → Rm eine C 1 -Abbildung. Dann ist auch f (N ) eine Lebesgue-Null-Menge. Beweis. Da U die Vereinigung abz¨ahlbar vieler kompakter konvexer Mengen ist (z.B. der Kugeln mit rationalen Mittelpunkts-Koordinaten und rationalem Radius, die in U enthalten sind), und weil die abz¨ahlbare Vereinigung von LebesgueNull-Mengen wieder eine Lebesgue-Null-Menge ist, d¨ urfen wir annehmen, daß N in einer kompakten konvexen Teilmengen von U enthalten ist. Weiters k¨onnen wir ¨ auch annehmen, daß die W¨ urfel einer Uberdeckung von N ebenfalls in einer (etwas gr¨oßeren) kompakten konvexen Teilmenge K ⊆ U enthalten sind. Da f : U → Rm C 1 ist, ist κ := sup{kf 0 (x)k : x ∈ K} := kf 0 |K k∞ < ∞. Sei Q ein Quader in K mit Seitenl¨ ange a. Dann ist nach dem Hauptsatz Z 1 √ |f (x1 ) − f (x0 )| = f 0 (x0 + t(x1 − x0 )) (x1 − x0 ) dt ≤ κ · |x1 − x0 | ≤ κ a m. 0

f¨ ur alle √ x1 , x0 ∈ Q. Also ist√f (Q) enthalten √ in einem Quader mit Seitenl¨ange 2 κ a m und Volumen (2 κ a m)m = (2 κ m)m |Q|. Das Bild einer abz¨ahlbaren √ ¨ Uberdeckung mit Quadern von Gesamt-Volumen kleiner als δ := ε/(2 κ m)m > ¨ 0 ist√ also in einer Uberdeckung mit Quadern von Gesamt-Volumen kleiner als (2 κ m)m · δ = ε enthalten. Es ist also eine Teilmenge N ⊆ M einer Mannigfaltigkeit genau dann eine LebesgueNull-Menge, wenn die Urbilder unter den Karten eines festen Atlasses LebesgueNull-Mengen sind. Folgerung. Es sei f : Rn → Rm C 1 und n < m, dann ist f (Rn ) eine Lebesgue-Null-Menge. Beweis. Man wende 21.18 auf f˜ := f ◦ pr : Rm = Rn × Rm−n → Rn → Rm und die Lebesque-Nullmenge N := Rm × {0} ⊆ Rm an. Wir ben¨ otigen noch den 21.19 Satz von Fubini. Es sei N ⊆ Rm kompakt und N ∩ ({t} × Rn−1 ) eine Lebesgue-Null-Menge f¨ ur alle t ∈ R. Dann ist N eine Lebesgue-Null-Menge in Rn . F¨ ur einen Beweis siehe [12, S.59] oder [60, 7.6.9]. 182

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21.19

21. Immersionen

Beweis des Satzes von Sard 21.17 . Beachte, daß falls f¨ ur jeden Punkt x einer Menge X ⊆ RmSeine Umgebung Ux existiert, s.d. f (Ux ∩ X) eine L-Nullmenge ist, so ist f (X) = x∈X f (Ux ∩ X) ebenfalls eine L-Nullmenge, denn abz¨ahlbar viele der Ux u ¨berdecken bereits X, da X nach dem Beweis von 18.2 Lindel¨off ist. Es gen¨ ugt somit den Fall f : Rm ⊇ U → Rn zu betrachten. Sei D die Menge der kritischen Punkte. Wir machen Induktion nach m. F¨ ur m = 0 ist der Satz trivial. Im Induktionsschritt wollen wir 21.19 anwenden, jedoch ist die Menge der kritischen Werte nicht kompakt, aber die kritischen Punkte sind eine abz¨ahlbare Vereinigung kompakter Mengen, denn die Menge der Punkte x, wo eine fixe r × rTeildeterminante von f 0 (x) verschwindet ist abgeschlossen, also die abz¨ahlbare Vereinigung ihrer Durchschnitte mit den kompakten B¨allen Bn (x) f¨ ur n ∈ N, und die kritischen Werte somit eine abz¨ ahlbare Vereinigung der kompakten Bilder all dieser kompakten Mengen (und damit 21.19 anwendbar). Sei

∂α f (x) = 0 f¨ ur alle |α| ≤ k}. ∂xα Die Dk sind abgeschlossen und erf¨ ullen D ⊇ D1 ⊇ D2 ⊇ . . .. Dk := {x ∈ U :

Es ist f (D \ D1 ) eine Lebesgue-Null-Menge: ∂ m Sei dazu x ∈ D\D1 . O.B.d.A. ist ∂x , (x1 , . . . , xm ) 7→ 1 f1 (x) 6= 0. Dann ist h : U → R 2 m −1 (f1 (x), x , . . . , x ) ein lokaler Diffeomorphismus und g := f ◦ h hat die Gestalt g : (f1 (x), x2 , . . . ) 7→ (x1 , . . . , xn ) 7→ (f1 (x), . . . , fn (x)) g : (t; x2 , . . . , xm ) 7→ (t, g 2 (t, x), . . . , g n (t, x)). Die Hyperebene Ht := {t} × Rn−1 ∼ = Rn−1 bleibt invariant unter g, und die Einschr¨ ankung gt (x) := (g 2 (t, x), . . . , g n (t, x)) von g auf sie hat x als kritischen Punkt genau dann, wenn (t, x) ein kritischer Punkt von g ist. Nach Induktionsvoraussetzung, sind die kritischen Werte von gt eine Lebesgue-Null-Menge, und nach dem Satz 21.19 von Fubini auch jene von g, dies sind aber auch jene von f = g ◦ h, da h ein Diffeomorphismus ist. Es ist auch f (Dk \ Dk+1 ) eine Lebesgue-Null-Menge: k+1 f1 ∂ k f1 Sei x ∈ Dk \ Dk+1 . OBdA. ist ∂x1 ∂x∂ m1 ...∂x mk (x) 6= 0 und sei w := ∂xm1 ...∂xmk . ∂w Dann ist w|Dk = 0 und ∂x (x) 6= 0. Es sei h(x) := (w(x), x2 , . . . , xm ). Dann ist 1 m h : U → R ein lokaler Diffeomorphismus und h(Dk ∩ U ) ⊆ {0} × Rm−1 ⊆ Rm . Wir betrachten die Abbildung g := f ◦ h−1 und ihre Einschr¨ankung g0 : {0} × Rm−1 → Rn . Die kritischen Werte von g0 sind nach Induktions-Voraussetzung eine LebesgueNull-Menge und jeder Punkt aus h(Dk ∩ U ) ist kritisch f¨ ur g0 , weil alle partiellen Ableitungen von g der Ordnung ≤ k und insbesonders die der Ordnung 1 von g0 verschwinden. Also ist f (Dk ∩ U ) = g0 (h(Dk ∩ U )) eine Lebesgue-Null-Menge. F¨ ur k > m n − 1 ist f (Dk ) eine Lebesgue-Null-Menge: Es sei Q ein W¨ urfel der Seitenl¨ange a. Aus der Taylor-Formel erhalten wir Z 1 (1 − t)k |f (x + h) − f (x)| = f (k+1) (x + th)(h, . . . , h) dt k! 0 n o Z 1 (1 − t)k dt |h|k+1 ≤ τ |h|k+1 ≤ sup kf (k+1) (x)k : x ∈ Q k! 0 | {z } =:τ

f¨ ur alle x ∈ Dk ∩Q. Wir zerlegen Q in r W¨ urfel der Seitenl¨ange ar . Sei Q0 solch ein W¨ urfel, der einen Punkt x ∈ Dk enth¨alt. Dann ist jeder Punkt in Q0 von der Form x + h mit |h| ≤ ar und somit ist f (Q0 ) enthalten in einem W¨ urfel der Kantenl¨ange m

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183

21.26

21. Immersionen


k+1 ak+1 )n 2 τ ar . Alle W¨ urfel zusammen haben Gesamtvolumen h¨ochstens rm (2rτn(k+1) und f¨ ur n(k + 1) > m konvergiert dieser Ausdruck gegen Null f¨ ur r → ∞.

21.25 Retraktionssatz. Es gibt keine stetige Retraktion Dn := {x ∈ Rn : |x| ≤ 1} → S n−1 := {x ∈ Rn : |x| = 1}. Unter einer Retraktion f auf eine Teilmenge Y ⊆ X versteht man eine Abbildung f : X → Y welche f |Y = id erf¨ ullt. Mehr der Anschauung entsprechend ist eine Deformation von Y auf X, d.h. eine stetige Abbildung F : [0, 1] × X → X, mit folgenden Eigenschaften: • ∀ t ∈ [0, 1] ∀ y ∈ Y : F (t, y) = y. • ∀ x ∈ X: F (0, x) = x. • ∀ x ∈ X: F (1, x) ∈ Y . Wenn wir mit Ft : X → X die Abbildung Ft (x) := F (t, x) bezeichnen, so ist also Ft |Y = idY , F0 = idX und F1 : X → Y eine Retraktion. Umgekehrt k¨ onnen wir aus einer Retraktion f : Dn → S n−1 ⊆ Dn eine Deformation F (t, x) := (1 − t) x + t f (x) machen. Beweis. Angenommen f w¨ are eine Retraktion. Wir wollen zuerst zeigen, daß f o.B.d.A. C ∞ ist. Sicher existiert eine Retraktion f1 : Dn → S n−1 , die in einer Umgebung von S n−1 C ∞ ist, z.B. ( f (x/|x|) = x/|x| f¨ ur 1/2 ≤ |x| ≤ 1 f1 (x) := f (2x) f¨ ur |x| ≤ 1/2. Nach der Aufgabe 2 (oder dem Satz von Stone-Weierstraß) existiert eine glatte Funktion f2 : Rn → Rn mit kf2 −f1 k∞ < 1. Sei nun h : Rn → [0, 1] C ∞ mit h(x) = 1 f¨ ur |x| ≤ 21 und h(x) = 0 f¨ ur |x| ≥ 1 und f3 (x) := (1 − h(x)) f1 (x) + h(x) f2 (x). Dann ist |f3 (x) − f1 (x)| = h(x) · |f2 (x) − f1 (x)| ≤ |f2 (x) − f1 (x)| < 1, d.h. f3 (x) 6= 0 und f¨ ur |x| ≥ 1 ist f3 (x) = f1 (x) = x/|x|. Schließlich ist f4 (x) := f3 (x)/|f3 (x)| die gesuchte C ∞ -Retraktion. Wir nennen diese wieder f . Nach dem Satz 21.17 von Sard existiert ein regul¨arer Wert y ∈ S n−1 von f und somit ist M := f −1 (y) eine 1-dimensionale Teilmannigfaltigkeit von Rn und y ∈ M ∩ S n−1 . Es sei z ∈ M ein weiterer Schnittpunkt der Zusammenhangskomponente von y in M mit S n−1 (Ein solcher existiert klaerweise, falls die Zusammenhangskomponente diffeomorph zu S 1 ist, und andernfalls ist sie diffeomorph zu R muß also Dn wieder verlassen, denn f −1 (y)∩Dn ist kompakt). Dann ist f (z) = z 6= y ein Widerspruch zu z ∈ f −1 (y).

21.26 Brouwer’s Fixpunktsatz. [228.1]Heuser2Jedes stetige f : Dn → Dn hat mindestens einen Fixpunkt. Beweis. 184

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21.22

21. Immersionen Angenommen f : Dn → Dn hat keinen Fixpunkt. Dann ist r : Dn → S n−1 definiert dadurch, daß x ∈ Dn auf dem Schnittpunkt der Geraden von f (x) nach x mit S n−1 der x n¨ aher liegt abgebildet wird eine stetige Retraktion, im Widerspruch zu 21.25 .

fHxL

x rHxL

Explizit ist r gegeben durch: r(x) := x − λ(f (x) − x), wobei λ ≥ 0 und 0 = |r(x)|2 − 1 = λ2 |f (x) − x|2 − 2λhx|f (x) − xi + |x|2 − 1, p hx|f (x) − xi + hx|f (x) − xi2 + |f (x) − x|2 (1 − |x|2 ) . d.h. λ = |f (x) − x|2

21.20 Definition (Transversale Abbildungen) Es seien M , N Mannigfaltigkeiten, A ⊆ N eine Teilmannigfaltigkeit. Eine Abbildung f : M → N heißt transversal zu A, falls Tx f (Tx M ) + Tf (x) A = Tf (x) N

∀ x ∈ M mit f (x) ∈ A

gilt. 21.21 Beispiel Sei A := S 1 in N := R2 und M := R sowie f : M → N wie im folgenden Bild. transversal

M N

nicht transversal

transversal

Es ist aber nicht gefordert, daß die Summe “direkt” ist; Z.B. ist die Identit¨at f : M := N → N transversal zu jeder Teilmannigfaltigkeit A ⊆ N aber im allgemeinen ist Bild(Tx f ) ∩ Tf (x) A 6= {0}. 21.22 Satz (Urbilder von Teilmannigfaltigkeiten). Es sei f ∈ C ∞ (M, N ) und K eine regul¨ are Teilmannigfaltigkeit N . Ist f transversal zu K, so ist f −1 (K) eine regul¨ are Teilmannigfaltigkeit von M . Insbesonders wenn f die Inklusion einer zweiten Teilmannigfaltigkeit M von N ist, dann ist unter der Transversalit¨atsbedingung Tx M + Tx K = Tx N f¨ ur x ∈ K ∩ M der Durchschnitt K ∩ M selbst eine Teilmannigfaltigkeit. Beweis. Sei x ∈ f −1 (K) und ψ eine Karte zentriert bei f (x), die K trivialisiert. Dann gilt f¨ ur x0 nahe x: x0 ∈ f −1 (K) ⇔ f (x0 ) ∈ K ⇔ ψ −1 (f (x0 )) ∈ Rk ⇔ (prn−k ◦ψ −1 ◦ f )(x0 ) = 0. c 15. Dezember 2008 [email protected]

185

21.24

21. Immersionen

Wir k¨ onnen somit 10.4 anwenden, um f −1 (K) als Teilmannigfaltigkeit von M zu erkennen, wenn wir zeigen, daß die lokale Gleichung prn−k ◦ψ −1 ◦ f regul¨ar ist. Es ist Tx (prn−k ◦ψ −1 ◦ f ) = prn−k ◦(T0 ψ)−1 ◦ Tx f , und da wegen der Transversalit¨at Tf (x) N = Bild(Tx f ) + Tf (x) K = Bild(Tx f ) + Bild(T0 ψ)(Rk ) ist, ist Tx (prn−k ◦ψ −1 ◦ f ) surjektiv, denn f¨ ur w ∈ Rn−k sei T0 ψ(w) = Tx f (v) + k mit v ∈ Tx M und k ∈ Tf (x) (K) und somit ist Tx (prn−k ◦ψ −1 ◦ f )(v) = prn−k ((T0 ψ)−1 (Tx f (v))) = prn−k (w − (T0 ψ)−1 (k)) = w, da (T0 ψ)−1 (Tf (x) K) = Rk . In 24.46 wird ein Beispiel gegeben, das zeigt, daß dieser Satz “st¨arker” ist als (2) in 21.14 . 21.23 Folgerung (Pull-back von Mannigfaltigkeiten). Sei fi ∈ C ∞ (Mi , N ), (i = 1, 2); und f1 transversal zu f2 , (d.h. f1 (x1 ) = f2 (x2 ) ⇒ Bild Tx1 f1 + Bild Tx2 f2 = Ty N ). Dann ist das Pull-back {(x1 , x2 ) : f1 (x1 ) = f2 (x2 )} eine regul¨ are Teilmannigfaltigkeit von M1 × M2 . Beweis. Die Abbildung f1 ×f2 : M1 ×M2 → N ×N ist glatt. K := {(x, x) : x ∈ N } ist regul¨ are Teilmannigfaltigkeit von N × N , da K etwa als Graph von id : N → N aufgefaßt werden kann. Gelingt es uns zu zeigen, daß f1 × f2 transversal zu K ist, d.h: (f1 (x1 ), f2 (x2 )) = (y, y) ∈ K ⇒ ⇒ Bild T(x1 ,x2 ) (f1 , f2 ) + T(y,y) K = T(y,y) (N × N ), so sind wir nach dem vorigen Satz fertig. Die zweite Bedingung wollen wir zur besseren Handhabung erst noch etwas umformen: Bild Tx1 f1 × Bild Tx2 f2 + T(y,y) K = Ty N × Ty N. Sei (w1 , w2 ) ∈ Ty N × Ty N , dann ist (w1 − w2 ) ∈ Ty N , und da f1 transversal zu f2 ist, existieren v1 , v2 mit w1 − w2 = Tx1 f1 (v1 ) + Tx2 f2 (v2 ). Nun geben wir einfach an, wie das Paar (w1 , w2 ) in der gew¨ unschten Weise dargestellt wird: (Tx1 f1 , Tx2 f2 )(v1 , −v2 ) + (Tx2 f2 (v2 ) + w2 , Tx2 f2 (v2 ) + w2 ) = (w1 , w2 ). Um die Bedeutung des Begriffs “transversal” zu unterstreichen, sei noch folgendes Theorem ohne Beweis angegeben: 21.24 Transversalit¨ atssatz. Sei f : M → N glatt und K ⊆ N eine regul¨ are Teilmannigfaltigkeit. Dann existiert “beliebig nahe” an f eine Abbildung g : M → N , die transversal zu K ist. (“Beliebig nahe” heißt dabei “in jeder Umgebung von f ”. Wobei die Umgebungen der zugrundeliegenden Topologie wie folgt beschrieben werden k¨ onnen: Sei {ϕi } ein ¨ Atlas von M , {Ki } eine Uberdeckung mit kompakten Mengen Ki ⊆ Bild(ϕi ), ψi eine Familie von Karten auf N mit f (Ki ) ⊆ Bild(ψi ), zuletzt seien noch δi > 0 und r ∈ N gegeben. Eine Umgebung von f hat dann die Gestalt: {g : g(Ki ) ⊆ Bild(ψi ) und |(ψi−1 ◦ g ◦ ϕi )(k) (x) − (ψi−1 ◦ f ◦ ϕi )(k) (x)| < δi f¨ ur k ≤ r und x ∈ Ki }.) 186

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22.2

21. Immersionen F¨ ur einen Beweis siehe [45, S.74] oder [12, S.158].

Nach der Diskussion von Immersionen und initialen Abbildungen nun zu den dualen Begriffen:

22. Submersionen 22.1 Proposition (Charakterisierung von Submersionen). Sei f ∈ C ∞ (M, N ), dann gilt f ist Submersion ⇔ f besitzt lokale Schnitte. (D.h. ∀ x ∈ M ∃ Uf (x) ⊆ N ∃ g x ∈ C ∞ (Uf (x) , M ) : g x (f (x)) = x und f ◦ g x = id auf Uf (x) , also dort, wo g x definiert ist. Lokal gibt es also ein Rechtsinverses.) Beweis. (⇒) Nach dem Rangsatz 21.2 existieren Karten ϕ um x, ψ um f (x), sodaß folgendes Diagramm kommutiert: BildO ϕ

f

/ Bild ψ O

ϕ

Rn × Rm−n ∼ = Rm ⊇

Dom ϕ

ψ pr1

/ Dom ψ

⊆ Rn

Dabei ist pr1 : Rm → Rn die Projektion. Setzen wir jetzt: Uf (x) := Bild(ψ) und g x := ϕ ◦ incl ◦ψ −1 , dann ist g x glatt mit g x (f (x)) = x. Bleibt also noch folgendes nachzurechnen: f ◦ g x = f ◦ ϕ ◦ incl ◦ψ −1 = ψ ◦ pr ◦ incl ◦ψ −1 = idUf (x) . (⇐) Seien Uf (x) und g x wie vorausgesetzt, dann gilt: Tf (x) id = idTf (x) N = Tf (x) (f ◦ g x ) = Tx f ◦ Tf (x) g x ⇒ Tx f ist surjektiv.

22.2 Folgerung (Submersionen sind offen und final). Jede Submersion f : M → N ist eine offene Abbildung. Jede surjektive Submersion f ist zus¨ atzlich final. Beweis. (f ist offen) Sei dazu U ⊆ M offen, x ∈ U , y = f (x) ⇒ ∃ Uy , g x mit g x (y) = x und f ◦ g x = id. O.B.d.A. sei (g x )−1 (U ) ⊇ Uy ⇒ f (U ) ⊇ (f ◦ g x )(Uy ) = Uy ⇒ f (U ) ist offen. (f ist final) Sei dazu g : N → P , sodaß g ◦ f glatt ist. Da f surjektiv ist, gibt es zu y ∈ N ein x ∈ M mit f (x) = y, dazu haben wir noch Uy und das glatte g x : Uy → M zur Verf¨ ugung, sodaß f ◦ g x = idUy ⇒ g|Uy = g ◦ f ◦ g x glatt ist, also auch g. c 15. Dezember 2008 [email protected]

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23.2

22. Submersionen

23. Faserbu ¨ ndel ur submersive Abbildungen f : P → M Karten ϕ : Rn × Nach 21.2 lassen sich f¨ m−n R ⊇ W1 ×W2 → P und ψ : W1 → M so finden, daß die Kartendarstellung von f gegeben ist durch pr1 : W1 ×W2 → W1 . Die Zusammensetzung Ψ := ϕ◦(ψ −1 ×id) : Bild ψ × W2 → W1 × W2 → Bild ϕ ist dann ein Diffeomorphismus s.d. f ◦ Ψ = pr1 : Ψ

P o f

 M o

y o ? _ Bild ϕ

∼ = ϕ

W1 × W2 o

∼ =

 W1 o

pr1

f |Bild ϕ

 ? _ Bild ψe o

∼ =

ψ

Bild ψ × W2

ψ −1 ×id

pr1

∼ = ψ −1

 Bild ψ

id

Eine st¨ arkere Eigenschaft von Abbildungen f werden wir jetzt kennenlernen: 23.1 Definition (Faserb¨ undel) Eine glatte Abbildung p : P → M heißt Faserb¨ undel :⇔ p ist lokal trivial, d.h. ∀ y ∈ M existiert eine offene Umgebung U ⊂ M und eine Trivialisierung Ψ von p u ¨ber U , d.h. eine C ∞ -Mannigfaltigkeit F sowie ein Diffeomorphismus Ψ : U × F → p−1 (U ), sodaß folgendes Diagramm kommutiert: Ψ / p−1 (U )   /P U × FE ∼ = x EE x x EE xx xx E xx xxp x pr1 EE x p| x −1 x E" {xx p (U ) {x /M U  dabei heißt F typische Faser (Auf Zusammenhangskomponenten von M sind alle Fasern diffeomorph). ¨ Ein Faserb¨ undel p ist eine Uberlagerung :⇔ die typische Faser F von p ist diskret. Dies ist die glatte Version der Definition, die wir in 3.5 gegeben haben. 23.2 Beispiele von Faserb¨ undeln 1. F¨ ur zwei Mannigfaltigkeiten M und N ist pr1 : M × F → M , (x, y) 7→ x ein Faserb¨ undel mit typischer Faser F . So geartete Faserb¨ undel heißen global trivial (oder kurz trivial). 2. Die Projektion M¨ ob → S 1 des M¨obiusbandes auf die Mittellinie ist ein Faserb¨ undel mit typischer Faser (−1, 1) ∼ = R.

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23. Faserb¨ undel 3. Die Hopffaserung: S 3 → S 2 ist ein Faserb¨ undel mit typischer Faser S 1 , siehe 11.7 . ¨ Beispiele von Uberlagerungen sind: 4. Die Abbildung R → S 1 gegeben durch t 7→ (cos t, sin t) ist eine abz¨ahlbarbl¨attrige ¨ Uberlagerung.

5. Folgende Abbildung R × (−1, 1) → M¨ob   (1 + t cos ϕ) cos(2ϕ)   ϕ   7→  (1 + t cos ϕ) sin(2ϕ)  t t sin ϕ ¨ ist eine abz¨ ahlbarbl¨ attrige Uberlagerung. Dies faktorisiert u ¨ber R×(−1, 1) → ¨ S 1 ×(−1, 1), (ϕ, t) 7→ (cos ϕ, sin ϕ, t) zu einer zweibl¨attrige Uberlagerung des M¨ obiusbandes durch den Zylinder S 1 × (−1, 1): R × (−1, 1) KK o o KK o KK oo o o KK o o KK o wo % / M¨ob S 1 × (−1, 1)   (x, y, t) 7→ (1 + tx)(x2 − y 2 ), (1 + tx)2xy, ty . ¨ 6. S n → P n , x 7→ R · x ist eine zweibl¨attrige Uberlagerung, siehe Aufgabe 72.53 . ¨ 7. S 3 → SO(3) und S 3 × S 3 → SO(4) sind zweibl¨attrige Uberlagerungen, siehe 14.19 bzw. Aufgabe 72.66 und 72.67 .

¨ 24. Uberlagerungen Wir wollen in diesem Abschnitt die grundlegenden Dinge aus der (Homotopie¨ )Theorie der Uberlagerungen vorstellen. Diese sind durchwegs topologischer Natur. ¨ Da aber f¨ ur eine topologische Uberlagerung p : Y → X im Sinn von 3.5 die Basis X genau dann zu einer glatten Mannigfaltigkeit gemacht werden kann, wenn es ¨ der Totalraum Y gemacht werden kann, und p dann eine glatte Uberlagerung im Sinn von 23.1 ist, kann der Leser durchaus annehmen, daß alle R¨aume (bis auf Ausnahmen in den Beispielen) glatte Mannigfaltigkeiten sind, und alle auftretenden stetigen Abbildungen glatt sind. c 15. Dezember 2008 [email protected]

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¨ 24. Uberlagerungen

24.2

¨ Eine Uberlagerungsabbildung p : Y → X ist also eine surjektive stetige Abbildung, so daß jedes x ∈ X eine offene Umgebung U ⊆ X hat, f¨ ur welche −1 p|p−1F (U ) → U bis auf einen Hom¨oomorphismus gerade die Projektion (U ) : p pr : J U → U f¨ ur irgendeine Menge J 6= ∅ ist. D.h. wir haben folgendes kommutatives Diagramm: ∼ F = ? _ p−1 (U ) o Y Fo J U FF FF z O FF FF z z FF injj F zz F p FF p| −1 F# p (U ) FF# }zzz pr  ? ?_U o Xo U id Die Bilder der Summanden U in p−1 (U ) ⊆ Y haben wir Bl¨atter genannt und U trivialisierende Umgebung. Die inversen Bilder von Punkten unter p sind die Fasern. 24.1 Beispiele und Bemerkungen. 1. Es sei Y := {(sin(2πt), cos(2πt), t) : t ∈ R} ∼ = R und p = pr1,2 : Y → S 1 ⊆ ¨ R2 . Dann ist p eine Uberlagerungsabbildung. Siehe 3.5 und auch 24.19 1 ∼ f¨ ur S = R/Z. ¨ 2. Die Abbildung z 7→ z n : S 1 → S 1 ist eine n-fache Uberlagerungsabbildung. 1 ∼ 1 Siehe auch 24.19 f¨ ur S = S /Zn . ¨ 3. Die Abbildung S n → P n ist eine zweifache- Uberlagerungsabbildung. Siehe Aufgabe 72.53 und 24.19 f¨ ur P n ∼ = S n /Z2 . ¨ 4. Es seien p1 : Y1 → X1 und p2 : Y2 → X2 zwei Uberlagerungsabbildungen, dann ist auch p1 × p2 : Y1 × Y2 → X1 × X2 eine. Beispiele daf¨ ur sind R2 → S 1 × S 1 , R2 → R × S 1 und R × S 1 → S 1 × S 1 . ¨ 5. Es gibt eine zweifache Uberlagerungsabbildung des M¨obius Streifen durch I× 1 S . Siehe 46.11 , 11.10 und 24.19 f¨ ur die Wirkung von Z2 auf [−1, 1]×S 1 gegeben durch (t, ϕ) 7→ (−t, ϕ + π). ¨ 6. Der Torus ist eine zweifache Uberlagerung der Kleinschen Flasche. Vergleiche mit 24.19 f¨ ur die Wirkung von Z2 auf S 1 × S 1 gegeben durch (ϕ, ψ) 7→ (−ϕ, ψ + π). ¨ 7. S 3 ist eine zweifache Uberlagerung von SO(3). Vergleiche mit den Aufgaben 72.66 und 72.67 sowie mit 24.19 f¨ ur die Wirkung von S 3 auf R3 ⊂ R4 = H gegeben durch x 7→ (y 7→ conjx (y)). Insbesonders haben wir P 3 ∼ = SO(3). ¨ 8. Es seien q : Z → Y und p : Y → X zwei Uberlagerungsabbildungen. Ist ¨ dann p ◦ q eine Uberlagerungsabbildung? – Ja, wenn X lokal einfach zusammenh¨ angend ist, da Bl¨ atter von p u ¨ber einer einfachzusammenh¨angenden Umgebung U wieder einfach zusammenh¨angend und daher trivialisierende F Umgebungen von q also ist (p ◦ q)−1 (U ) = q −1 (p−1 (U )) = q −1 ( J Vj ) = F −1 F (Vj ) und q −1 (Vj ) ∼ = Jj Vj (vgl. mit der Folgerung in 24.31 ). jq ¨ 9. Es sei p : Y → X eine Uberlagerungsabbildung und A ⊆ X. Dann ist −1 ¨ p|p−1 (A) : p (A) → A eine Uberlagerungsabbildung. 24.2 Lemma. ¨ Es sei p : Y → X eine Uberlagerung. Dann gilt: 1. Die Fasern sind diskret in Y . 2. Jede offene Teilmenge einer trivialisierenden Menge ist trivialisierend. 3. Wenn B ⊆ Y zusammenh¨ angend ist und p(B) ⊆ U f¨ ur irgendeine trivialisierende Menge U ist, dann ist B in irgendeinem Blatt enthalten. 190

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¨ 24. Uberlagerungen

24.3

4. Die Projektion ist ein surjektiver offener lokaler Hom¨ oomorphismus und daher eine Quotientenabbildung. Beweis. (1) Punkte in der Faser sind durch die Bl¨atter separiert. (2) Nimm die Einschr¨ ankung des obigen Diagramms. (3) B wird u ¨berdeckt durch die Bl¨atter. Da jedes Blatt offen und abgeschlossen in p−1 (U ) ist, ist die Spur auf B ebenfalls offen und abgeschlossen, und daher ist der Durchschnitt mit B genau f¨ ur ein Blatt nicht leer. (4) Offensichtlich ist die Projektion ein lokaler Hom¨oomorphismus. Daher ist sie offen und eine Quotientenabbildung.

24.3 Bemerkungen (1) Es sei f : M → N eine Submersion, nach dem Rangsatz 21.2 gibt es Karten ϕ um x und ψ um f (x), sodaß folgendes Diagramm kommutiert: Rn ⊇

∼ =

Dom ϕ pr

⊆M

f |Bild ϕ

 Dom ψ

Rm ⊇

/ Bild ϕ  / Bild ψ

∼ =

⊆N

Trifft man o.B.d.A. folgende Annahmen: Dom ϕ = U1 × U2 mit U1 ⊆ Rm und U2 ⊆ Rn−m beide offen, sowie Dom(ψ) = pr(Dom(ϕ)) = U1 . Dann ist Bild ψ = ψ(U1 ) = ψ(pr(U1 × U2 )) = f (ϕ(U1 × U2 )) = f (Bild(ϕ)) folgendes Diagramm kommutiert: ψ(U1 ) × U2

ψ −1 ×id

/ U1 × U2

pr1

 ψ(U1 )

ϕ

pr1 ψ

f

 / U1

−1

/ ϕ(U1 × U2 )

ψ

 / ψ(U1 )

Sei U := ϕ(U1 × U2 ), so gilt f (U ) = (f ◦ ϕ)(U1 × U2 ) = ψ(U1 ) und ∼ =

f (U ) × U2 KK KK KK pr1 KKK %

/U | | || ||f | }| f (U )

Dieses Bild ist dem f¨ ur Faserb¨ undel geforderten schon recht a¨hnlich. Kann n¨amlich U = f −1 (f (U )) gew¨ ahlt werden, dann ist f ein Faserb¨ undel mit trivialisierender Umgebung V := f (U ). V × FE EE EE E pr1 EE E"

/ f −1 (V ) = U s ss ss s ss f sy s

ψ ∼ =

V

¨ (2) Nicht jeder surjektive lokale Diffeomorphismus ist eine Uberlagerung. Zum Beispiel kann man ein endliches offenes Intervall I ⊆ R der L¨ange gr¨oßer als 2π neh¨ men. Dann ist die Einschr¨ ankung I → S 1 der Uberlagerung aus (1) in 24.1 keine ¨ Uberlagerung mehr. c 15. Dezember 2008 [email protected]

191

¨ 24. Uberlagerungen

24.4

Andererseits haben wir das folgende: Lemma. Es seien X und Y wegzusammenh¨ angend und Hausdorff. Weiters sei Y kompakt ¨ und f : Y → X sei ein lokaler Hom¨ oomorphismus. Dann ist f eine Uberlagerung. Beweis. Da f ein lokaler Hom¨oomorphismus ist, ist das inverse Bild von jedem Punkt x ∈ X diskret und abgeschlossen und daher auch endlich, da Y kompakt ist. Wir zeigen zun¨ achst, daß f surjektiv ist. In der Tat ist das Bild offen in X, da f ein lokaler Hom¨ oomorphismus ist. Es ist abgeschlossen, da Y kompakt und X Hausdorff ist. Da X (Weg)zusammenh¨angend angenommen ist, muß es ganz X sein. Es sei x ∈ X. F¨ ur jedes y ∈ f −1 (x) sei Uy eine Umgebung, welche hom¨oomorph abgebildet wird auf irgendeine Umgebung von x. Da f −1 (x) endlich ist, d¨ urfen wir die Uy als disjunkt voraussetzen. Indem wir die inversen Bilder des (endlichen) Durchschnitts der entsprechenden Umgebungen von x nehmen, d¨ urfen wir annehmen, daß das Bild die selbe Umgebung U ist f¨ ur alle y ∈ Uy . Daher ist p : Y → X ¨ eine Uberlagerung. Liftungseigenschaften ¨ Es sei p : (Y, y0 ) → (X, x0 ) eine Uberlagerung und f : (Z, z0 ) → (X, x0 ) eine ˜ das Blatt Abbildung. Nimm eine trivialisierende Umgebung U von x0 und es sei U ˜ von p u ber U , welches y enth¨ a lt. Dann ist (p| ) : U → U ein Hom¨ o omorphismus ¨ ˜ 0 U ˜ ⊆ Y ein stetiger lokaler Lift von f . und daher ist (p|U˜ )−1 ◦ f : Z ⊇ f −1 (U ) → U Es sei f˜ irgendein stetiger (lokaler) Lift von f mit f˜(z0 ) = y0 . Dann ist W := ˜ ) eine Umgebung von z0 und f˜(W ) ⊆ U ˜ , daher impliziert f = p ◦ f˜, daß f˜−1 (U −1 −1 ˜ ˜ (p| ˜ ) ◦ f = (p| ˜ ) ◦ p| ˜ ◦ f = f auf W , d.h. lokal ist der Lift von f˜ eindeutig. U

U

U

Wir k¨ onnen nun zeigen, daß der Lift global eindeutig ist und wir wollen bestimmen wann er existiert. 24.4 Proposition. ¨ Es sei p : Y → X eine Uberlagerungsabbildung und f : Z → X sei stetig mit zusammenh¨ angendem Z und Y Hausdorff. Dann stimmen zwei Lifte von f , welche in einem Punkte gleich sind, u ¨berein. Beweis. Es seien f 1 , f 2 zwei Lifte von f . Dann ist die Menge {z ∈ Z : f 1 (z) = f 2 (z)} offen-abgeschlossen. In der Tat, wenn U j das Blatt u ¨ber U ist, welches f j (z) j −1 enth¨ alt, dann ist f = (p|U j ) ◦ f auf der Umgebung (f 1 )−1 (U 1 ) ∩ (f 2 )−1 (U 2 ). Daher gilt f 1 = f 2 lokal um z genau dann wenn f 1 (z) = f 2 (z). 192

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¨ 24. Uberlagerungen

24.5

24.5 Proposition. Jeder Weg w : I → X hat einen eindeutigen Lift y w ˜ mit Startwert y w(0) ˜ = y −1 f¨ ur gegebenes y ∈ p (w(0)). Wege, die homotop sind relativ ihren initialen Werten, haben homotope Lifte. Insbesonders haben wir eine Wirkung von π1 (X, x0 ) auf p−1 (x0 ), welche durch [u] : y 7→ y u ˜(1) gegeben ist. Siehe auch 3.8 . Beweis. Nach 24.4 haben wir die Existenz eines Lifts zu zeigen. Indem wir einen Weg w als Homotopie, welche im zweiten Faktor konstant ist, ansehen, gen¨ ugt es zu zeigen, daß Homotopien h : I × I → X geliftet werden k¨onnen. Daf¨ ur w¨ ahlen wir eine Partition von I 2 in Quadrate Qi,j , sodaß h(Qi,j ) enthalten ist in einer trivialisierenden Umgebung Ui,j von X. Nun konstruieren wir induktiv S ˜ 1 l¨ ˜i,1 u einen Lift h angs i Qi,1 , indem wir das Blatt U ¨ber der trivialisierenden Um˜ 1 der rechten unteren Ecke von gebung von Qi,1 nehmen, welches das Bild unter h Qi−1,1 enth¨ alt und daher auch jenes der rechten Kante von Qi−1,1 (nach 24.2.3 ). ˜ 1 |Q definiert werden als (p|U )−1 ◦h|Q . Nun setzen wir die InduktiDann kann h i,1 i,1 i,1 S ˜ j f¨ on in der selben Art fort und erhalten Lifte h ur alle Streifen i Qi,j . Nach Induktion k¨ onnen wir zeigen, daß die Lifte auf den horizontalen Linien u ¨bereinstimmen: In der Tat ist das Bild von h auf einer horizontalen Kante enthalten im Durchschnitt der trivialisierenden Mengen, welches das Bild des oberen und unteren Quadrats ˜ j und h ˜ j−1 enthalten sind in den diesbez¨ enthalten. Und da die Lifte h uglichen Bl¨ attern, und also auch in dem Blatt u ¨ber dem Durchschnitt, sind sie gleich. Wir ˜ nennen die eben konstruierte geliftete Homotopie y0 h. Angenommen, h sei eine Homotopie rel. I˙ zwischen zwei Wegen w0 und w1 von x0 ˜ hat als Randwerte Lifte w nach x1 und es sei y0 ∈ p−1 (x0 ). Die Homotopie y0 h ˜0 y0 ˜ und w ˜1 mit w ˜0 (0) = y0 . Da s 7→ h(0, s) ein Lift des konstanten Wegs x0 ist, muß er konstant sein, daher gilt w ˜1 (0) = y0 . Also sind diese genau die Lifte von wj . Da ˜ s) ein Lift des konstanten Wegs x1 ist, ist er selbst konstant, d.h. y0 h ˜ ist s 7→ y0 h(1, ˙ eine Homotopie rel. I. Kompositionsgesetz: Der Lift

y0

ug · v ist

y0

u ˜ · y1 v˜, wo y1 := y0 u ˜(1).

Bemerkung. Die Liftungseigenschaft 24.32 liefert eine Abbildung von π1 (X, x0 ) in die Bijektionen von p−1 (x0 ) indem wir [u](y) := y u ˜(1) setzen. Diese ist wohldefiniert, denn ˙ und daher haben Kurven u homotop relativ I˙ haben Lifte y u ˜ homotop relativ I, sie den selben Endpunkt. Weiters haben wir [u · v](y) = y ug · v(1) = (y u ˜ · y1 v˜)(1) = y1 v˜(1) = [v](y1 ) = [v]([u](y)), wo y1 = y u ˜(1) = [u](y). Daher betrachten wir diese Abbildung als Rechtswirkung, d.h. wir schreiben y · [u] f¨ ur [u](y). Dann haben wir y · ([u] · [v]) = (y · [u]) · [v]. Beachte, daß Y genau dann wegzusammenh¨angend ist, wenn X wegzusammenh¨angend ist und diese Wirkung transitiv ist (d.h. es existiert ein y0 ∈ p−1 (x0 ) mit y0 · π1 (X, x0 ) = p−1 (x0 ), oder ¨aquivalent: F¨ ur alle y1 , y2 ∈ p−1 (x0 ) existiert ein g ∈ π1 (X, x0 ) mit y1 · g = y2 ): In der Tat, wenn Y wegzusammenh¨angend ist, dann ist es auch das surjektive Bild X. Und weiters hat eine Kurve v, die y1 , y2 ∈ p−1 (x0 ) verbindet, eine geschlossene Kurve u := p ◦ v als Bild und es gilt v = y1 u ˜ und somit y1 · [u] = y2 . Umgekehrt sei y1 ∈ Y beliebig. Da X wegzusammenh¨angend ist, haben wir eine Kurve u, die p(y1 ) mit x0 verbindet. Ihr Lift y1 u ˜ verbindet y1 mit y := y1 u ˜(1) ∈ c 15. Dezember 2008 [email protected]

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24.8

¨ 24. Uberlagerungen

p−1 (x0 ). Da π1 (X, x0 ) transitiv auf p−1 (x0 ) wirkt, gibt es ein [u0 ] ∈ π1 (X, x0 ) mit y · [u0 ] = y0 , d.h. die Kurve y u ˜0 verbindet y mit y0 . Wir werden diesen Gruppen-Homomorphismus π1 (X, x0 ) → Bij(p−1 (x0 )) in 24.15 und in 24.17 studieren. 24.6 Proposition. ¨ Es sei X wegzusammenh¨ angend. Dann k¨ onnen die Fasern von irgendeiner Uberlagerung p : Y → X bijektiv aufeinander abgebildet werden indem man eine Kurve, die Fußpunkte verbindet, liftet. Beweis. Es sei F0 := p−1 (x0 ), F1 := p−1 (x1 ) und es sei u ein Weg von x0 nach x1 −1 (1) eine Abbildung dann definiert y 7→ y u ˜(1) eine Abbildung F0 → F1 und y 7→ y ug F1 → F0 und diese Abbildungen sind invers zu einander, denn der Lift der Kurve u · u−1 ∼ 0 ist 0-homotop rel. I˙ und daher geschlossen. 24.7 Theorem. Es sei Z wegzusammenh¨ angend und lokal wegzusammenh¨ angend. Es sei p : Y → X ¨ eine Uberlagerung und f : Z → X stetig. Es seien x0 ∈ X, y0 ∈ Y und z0 ∈ Z Basispunkte und alle Abbildungen basispunkterhaltend. Dann hat f ein basispunkterhaltenden Lift f˜ genau dann, wenn Bild(π1 (f )) ⊆ Bild(π1 (p)), oder genauer π1 (f )π1 (Z, z0 ) ⊆ π1 (p)π1 (Y, y0 ). Beweis. (⇒) Wenn f = p ◦ f˜ ist, dann ist Bild(π1 (f )) = Bild(π1 (p) ◦ π1 (f˜)) ⊆ Bild(π1 (p)). (⇐) Es sei z ∈ Z beliebig. W¨ ahle einen Weg w von z0 nach z und nimm den Lift y0 ] ˜ ] f ◦ w und definiere f (z) := f ◦ w(1).

y0

Zuerst haben wir zu zeigen, daß diese Definition unabh¨angig von der Wahl von w [−1] ist. Seien dazu wj zwei Wege von z0 nach z. Dann ist f ◦ (w0 · w1 ) = (f ◦ w0 ) · −1 (f ◦ w1 ) ein abgeschlossener Weg durch x0 , daher existiert nach Voraussetzung ein abgeschlossener Weg v durch y0 mit p ◦ v ∼ (f ◦ w0 ) · (f ◦ w1 )−1 rel. I˙ und daher ist (p ◦ v) · (f ◦ w1 ) ∼ (f ◦ w0 ). Also gilt y0 f^ ◦ w0 (1) = y0 (p ◦ v)^ · (f ◦ w1 )(1) = y0 g y0 ^ y0 ^ ( p ◦ v · f ◦ w1 )(1) = f ◦ w1 (1). ˜ ein kleines Blatt Verbleibt zu zeigen, daß f˜ stetig ist. Es sei z ∈ Z fix und es sei U u ¨ber einer trivialisierenden Umgebung U von f (z), welches f˜(z) enth¨alt. Es sei W eine wegzusammenh¨ angende Umgebung von z mit f (W ) ⊆ U und es sei w ein Weg von z0 nach z. Dann k¨ onnen wir f¨ ur jedes z 0 ∈ W einen Weg wz0 in W von z ˜ ^ nach z 0 w¨ ahlen. Daher gilt f˜(z 0 ) = f ◦ (w · wz0 )y0 (1) = (y0 f] ◦ w · f (z) f^ ◦ wz0 )(1) = ˜ f (z) ^0 f ◦ wz (1). Aber da f ◦ wz0 enthalten ist in der trivialisierenden Umgebung ˜ das Blatt u U und U ¨ber U ist, welches den Lift f˜(z) enth¨alt, haben wir, daß ˜ f (z) ^0 f ◦ wz = (p|U˜ )−1 ◦ f ◦ wz0 ist, und daher gilt f˜(z 0 ) = ((p|U˜ )−1 ◦ f )(z 0 ) und ist somit stetig. Also ist es wichtig, das Bild von π1 (p) : π1 (Y, y0 ) → π1 (X, x0 ) zu bestimmen. 24.8 Proposition. ¨ Es sei p : (Y, y0 ) → (X, x0 ) eine Uberlagerung. Dann ist π1 (p) : π1 (Y, y0 ) → π1 (X, x0 ) injektiv und das Bild wird von jenen Klassen in π1 (X, x0 ) gebildet, f¨ ur die jeder Lift y0 w ˜ eines Repr¨ asentanten w abgeschlossen ist. Also wird das Bild von jenen g ∈ π1 (X, x0 ) =: G gebildet, welche auf y0 trivial wirken. Dies ist die sogenannte Isotropie-Untergruppe Gy0 von G bei y0 . 194

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¨ 24. Uberlagerungen

24.9

Beweis. Injektivit¨ at: Es sei [v] ∈ π1 (Y, y0 ) so, daß 1 = [p ◦ v], d.h. p ◦ v ∼ constx0 . onnen wir die Homotopie liften. Da der Lift von constx0 gerade consty0 Nach 24.5 k¨ ist haben wir [v] = 1. Wenn irgendein u einen abgeschlossenen Lift v hat, dann ist π1 (p)[v] = [p ◦ v] = [u]. Daher gilt [u] ∈ Bild(π1 (p)). Umgekehrt sei [u] ∈ Bild π1 (p). Dann existiert eine geschlossene Kurve v durch y0 mit [p ◦ v] = π1 (p)[v] = [u]. Daher ist u ∼ p ◦ v rel. ˙ und somit gilt y0 u ˙ also ist y0 u I, ˜ ∼ y0 pg ◦ v = v rel. I, ˜ ebenso abgeschlossen. Wir haben einen Gruppen-Homomorphismus G → bij(F ) mit Kern {g ∈ G : g · y = T y} = y∈F Gy . Aber sein Bild enth¨alt im allgemeinen nicht AutG (F ). Jedoch, da jedes ϕ ∈ AutG (F ) eindeutige bestimmt ist durch sein Bild von y0 und jedes solche Bild f¨ ur irgendein g ∈ G in der Form g · y0 geschrieben werden kann, versuchen wir herauszufinden, welche g ∈ G m¨oglich sind und wie eindeutig sie sind. 24.9 Lemma. Es wirke G transitiv auf F von rechts. Dann gilt: 1. Es ist Gy·g = g −1 Gy g. 2. Die Menge {Gy : y ∈ F } ist eine Konjugiertheitsklasse von Untergruppen von G. 3. Es sei H eine Untergruppe von G. Dann tr¨ agt die Menge H\G := {Hg : g ∈ G} von rechten Nebenklassen eine eindeutige (transitive) rechte G-ModulStruktur, derart daß die kanonische Projektion π : G → H\G, g 7→ Hg G-¨ aquivariant ist. 4. F¨ ur y ∈ F faktorisiert die Abbildung G → F , welche durch g 7→ y · g gegeben ist, zu einem G-Isomorphismus Gy \G → F . 5. Es sei ϕ ∈ HomG (F, F 0 ) := {ϕ : F → F 0 : ϕ(y · g) = ϕ(y) · g for all g ∈ G, y ∈ F }. Dann ist Gy ⊆ Gϕ(y) . 6. Es sei A ⊆ AutG (F ). Dann gilt A = AutG (F ) ⇔ ∀ y0 , y1 : Gy0 = Gy1 ⇒ ∃ ϕ ∈ A : ϕ(y0 ) = y1 . Wir setzen AutG (F ) := {ϕ ∈ bij(F ) : ϕ(y · g) = ϕ(y) · g for all y ∈ F, g ∈ G}. Also ist das die Kommutante des Bildes von G in bij(F ), oder die G-ModulIsomorphismen von F , oder die G-¨ aquivarianten Bijektionen von F . Beweis. (1) Wir haben g −1 Gy g = Gy·g , da h ∈ Gy·g ⇔ y·g·h = y·g ⇔ y·(ghg −1 ) = y, d.h. ghg −1 ∈ Gy . (2) Aus (1) schließen wir, daß die Untergruppen Gy konjugiert zueinander sind. Umgekehrt, wenn H = g −1 Gy g = Gy·g ist, ist sie von dieser Form. (3) Die einzige m¨ ogliche Wirkung auf H\G, so daß π G-¨aquivariant ist, ist gegeben durch Hg ·g 0 = π(g)·g 0 := π(g ·g 0 ) = π(gg 0 ) = H(gg 0 ). Daß die so definiert Wirkung Sinn macht, folgt aus Hg1 = Hg2 ⇒ H(g1 g) = (Hg1 )g = (Hg2 )g = H(g2 g). (4) Betrachte G → y·G gegeben durch g 7→ y·g. Diese Abbildung hat Bild y·G = F , da G transitiv wirkt. Weiters haben g 0 und g das selbe Bild y · g 0 = y · g genau dann, wenn g 0 g −1 ∈ Gy . (5) Wir haben Gy = {g : y · g = y} ⊆ {g : ϕ(y) · g = ϕ(y · g) = ϕ(y)} = Gϕ(y) . (6) Beachte, daß die rechte Seite gerade besagt, daß A transitiv auf S := {y : Gy = Gy0 } wirkt. (⇒) Es sei Gy0 ⊆ Gy1 und y ∈ F . Da G transitiv wirkt, existiert ein g ∈ G mit y = y0 · g. Wir setzen ϕ(y) = ϕ(y0 · g) := ϕ(y0 ) · g = y1 · g. Diese Definition macht Sinn, denn y0 · g 0 = y0 · g impliziert g 0 g −1 ∈ Gy0 ⊆ Gy1 und daher y1 · g 0 = y1 · g. Nach Konstruktion ist ϕ G-¨ aquivariant. c 15. Dezember 2008 [email protected]

195

¨ 24. Uberlagerungen

24.12

In der selben Art k¨ onnen wir ϕ−1 konstruieren, und sie sind invers zueinander, da jedes Element in AutG (F ) eindeutig bestimmt ist durch seine Werte auf y0 (benutze, daß G transitiv wirkt). (⇐) Es sei ϕ ∈ AutG (F ). Dann ist Gy0 = Gϕ(y0 ) nach (5) und daher existiert ein ψ ∈ A mit ψ(y0 ) = ϕ(y0 ). Wegen der Transitivit¨at der Wirkung haben wir ϕ = ψ ∈ A. F¨ ur H 0 := g −1 Hg 6= H haben wir eine G-¨aquivariante Bijektion H\G → H 0 \G, welche gegeben ist durch Hg 0 7→ H 0 g −1 g 0 . Sie ist wohldefiniert, da Hg1 = Hg2 ⇔ g2 g1−1 ∈ H ⇔ g −1 g2 g1−1 g ∈ g −1 Hg = H 0 ⇔ H 0 g −1 g2 = H 0 g −1 g1 . Sie ist Gaquivariant, da g 0 7→ g −1 g 0 von G → G G-¨aquivariant ist. ¨ 24.10 Folgerung. ¨ Es sei p : Y → X eine Uberlagerung mit wegzusammenh¨ angendem Y und es sei x0 ∈ X. Die Bilder π1 (p)(π1 (Y, y)) f¨ ur y ∈ p−1 (x0 ) bilden eine Konjugiertheitsklasse von Untergruppen in π1 (X, x0 ). ¨ Diese Konjugiertheitsklasse heißt charakterisierende Konjugiertheitsklasse der Uberlagerung p. Definition. ¨ Es seien p : Y → X und p0 : Y 0 → X zwei Uberlagerungen. Ein Homomorphismus ¨ f von Uberlagerungen ist eine fasererhaltende Abbildung f : Y → Y 0 , d.h. es kommutiert das Diagramm Y @ @@ p @@ @@ @

f

/ Y0 } } }} }} }~ } p0

X

Wir bezeichnen die Menge aller Homomorphismen von p : Y → X nach p0 : Y 0 → X mit Hom(p, p0 ). Beachte, daß ein Homomorphismus f nichts anderes ist als ein Lift von p : Y → X l¨ angs p0 : Y 0 → X. 24.11 Lemma. ¨ Es seien p : Y → X und q : Z → X Uberlagerungen des lokal wegzusammenh¨ angenden Raums X und f : Z → Y sei stetig und surjektiv mit p ◦ f = q. Dann ist f eine ¨ Uberlagerung. Wenn Y wegzusammenh¨ angend ist, dann ist f automatisch surjektiv. Beweis. Nimm eine wegzusammenh¨angende trivialisierende Menge U ⊆ X. Wir ˜ q von q u ˜ p von p u zeigen, daß jedes Blatt U ¨ber U durch f in ein Blatt U ¨ber U abgebildet wird. In der Tat, da die Bl¨atter hom¨oomorph zu U sind, sind sie ebenso ˜ q ) vollst¨andig enthalten in einem Blatt U ˜ p von wegzusammenh¨ angend, daher ist f (U q −1 p ˜ ). Also ist f (U ˜ ) die topologische disjunkte Vereinigung pu ¨ber U = (p ◦ f )(U q ˜ von gewissen Bl¨ attern U von q u ¨ber U . Es sei z0 ein Basispunkt in Z und wir setzen y0 := f (z0 ) und x0 := p(y0 ). Wenn Y wegzusammenh¨ angend ist und y ∈ Y beliebig ist, k¨onnen wir einen Weg v von y0 nach y finden. Es sei z0 pg ◦ v der Lift bez¨ uglich q und z sei sein Endpunkt. Dann ist f ◦ z0 pg ◦ v ein Lift von p ◦ f ◦ z0 pg ◦ v = q ◦ z0 pg ◦ v = p ◦ v, und stimmt daher u ¨berein mit v. Daher ist f (z) = v(1) = y. 24.12 Proposition. Es sei X lokal wegzusammenh¨ angend. Es seien p : Y → X und p0 : Y 0 → X zwei ¨ wegzusammenh¨ angende Uberlagerungen mit typischer Fasern F := p−1 (x0 ) und 196

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¨ 24. Uberlagerungen

24.14

F 0 := (p0 )−1 (x0 ) und es sei G := π1 (X, x0 ). Dann ist Hom(p, p0 ) ∼ = HomG (F, F 0 ) via Φ 7→ Φ|F . D.h. der Funktor von Covpc (X) → Acttr (G) ist voll und treu. Dabei heißt ein Funktor F : A → B voll (bzw. treu), wenn f 7→ F (f ) von A(A1 , A2 ) → B(F (A1 ), F (A2 )) surjektiv (bzw. injektiv) ist f¨ ur alle Objekte A1 , A1 in A. Es be¨ zeichne Cov(X) die Kategorie von Homomorphismen zwischen Uberlagerungen von X. Es sei Covpc (X) die volle Teilkategorie (d.h. die Inklusion ist ein voller ¨ Funktor) von wegzusammenh¨ angenden Uberlagerungen. Es bezeichne Act(G) die Kategorie von G-Homomorphismen zwischen G-Moduln, d.h. Wirkungen von G auf Mengen F . Es sei Acttr (G) die volle Teilkategorie von transitiven Wirkungen. Beweis. Wir zuerst zeigen, daß Φ|F ∈ HomG (F, F 0 ) f¨ ur Φ ∈ Hom(p, p0 ) gilt. Es sei y Φ(y) [u] ∈ G und y ∈ F . Dann ist Φ(y · [u]) = Φ( u ˜(1)) = u ˜(1) = Φ(y) · [u], da Φ ◦ y u ˜ der Lift von u mit Startwert Φ(y) ist. Diese Abbildung ist injektiv, denn Φ1 |F = Φ2 |F impliziert Φ1 (y0 ) = Φ2 (y0 ) und daher gilt Φ1 = Φ2 wegen der Eindeutigkeit der Lifte von p nach 24.4 . Nun die Surjektivit¨ at: Es sei ϕ : F → F 0 G-¨aquivariant. Als Φ : Y → Y 0 nehmen wir jenen Lift von p : Y → X, welcher y0 ∈ F auf ϕ(y0 ) in F 0 abbildet. Dieser Lift existiert nach 24.7 , denn π1 (p)(Y, y0 ) = Gy0 ⊆ Gϕ(y0 ) = π1 (p0 )(Y 0 , ϕ(y0 )) und Y ist lokal wegzusammenh¨ angend nach (4) in 24.2 . Schlußendlich ist Φ|F = ϕ, denn beide sind G-¨aquivariant und stimmen auf y0 u ¨berein. 24.13 Folgerung. Es sei Y wegzusammenh¨ angend und X sei lokal wegzusammenh¨ angend. F¨ ur jede ¨ Uberlagerungsabbildung p : Y → X haben wir Aut(p) ∼ = Autπ (X,x ) (p−1 (x0 )). 1

0

Die Elemente von Aut(p) := {f ∈ Diff(Y ) : p ◦ f = p} heißen Decktransformationen. Beweis. Da die Elemente von Aut gerade die Isomorphismen eines Objekts mit sich selbst sind, folgt das direkt aus 24.12 24.14 Theorem. Es wirke G transitiv von rechts auf F und es sei y0 ∈ F . Dann ist AutG (F ) ∼ = NormG (Gy0 )/Gy0 . F¨ ur eine Untergruppe H heißt die Menge von Elementen g ∈ G, welche g −1 Hg = H erf¨ ullen, die normalisierende Untergruppe von H in G. Sie ist die gr¨oßte Untergruppe von G, in welcher N eine normale Untergruppe ist, und wir wollen sie mit NormG (H) := {g ∈ G : g −1 Hg ⊆ H} bezeichnen. Beweis. Wegen (6) in 24.9 wissen wir, daß um y0 7→ y1 := y0 · g zu einem ϕ ∈ AutG (F ) zu erweitern, wir die Gleichung Gy0 = Gy1 = Gy0 ·g = g −1 Gy0 g brauchen. Also haben wir gezeigt, daß genau die g ∈ NormG (Gy0 ) Anlaß f¨ ur ein (eindeutig bestimmtes) ϕg ∈ AutG (F ) geben. D.h. evy0 : AutG (F ) ∼ = {y : Gy = Gy0 }. Wir zeigen als n¨ achstes, daß g 7→ ϕg ein Gruppen-(anti-)Homomorphismus ist. Dazu sei g1 , g2 ∈ NormG (Gy0 ). Wir haben zu zeigen, daß ϕg1 ◦ ϕg2 den Punkt y0 auf y0 · g1 · g2 abbildet. Wir haben (ϕg1 ◦ ϕg2 )(y0 ) = ϕg1 (ϕg2 (y0 )) = ϕg1 (y0 · g2 ) = ϕg1 (y0 ) · g2 = y0 · g1 · g2 . c 15. Dezember 2008 [email protected]

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¨ 24. Uberlagerungen

24.17

Verbleibt den Kern von diesem Homomorphismus zu berechnen: {g ∈ NormG (Gy0 ) : ϕg = id} = {g : y0 = y0 · g} = Gy0 . 24.15 Folgerung. ¨ Es sei p : Y → X eine wegzusammenh¨ angende Uberlagerung mit lokal wegzusammenh¨ angender Basis. Dann ist die Gruppe der Decktransformationen isomorph mit Norm(π1 (p)(π1 (Y, y0 )))/π1 (p)(π1 (Y, y0 )). Der Isomorphismus ist durch Zuordnen von [u] ∈ Norm(π1 (p)(π1 (Y, y0 ))) zur eindeutigen Decktransformation f gegeben, welche y0 auf y0 u ˜ abbildet. Beweis. Kombiniere 24.14 mit 24.13 . 24.16 Folgerung. ¨ Wenn p : Y → X eine einfachzusammenh¨ angende Uberlagerung mit lokal wegzusammenh¨ angend Basis ist, dann ist die Gruppe der Decktransformationen isomorph zu π1 (X, x0 ). Beweis. In dieser Situation ist π1 (Y, y0 ) = {1} und daher N := Norm(π1 (p)(π1 (Y, y0 ))) = π1 (X, x0 ) und so erhalten wir G ∼ = N/{1} ∼ = N nach 24.15 . 24.17 Proposition. ¨ Eine wegzusammenh¨ angende Uberlagerung eines lokal wegzusammenh¨ angenden Raums X heißt normal (oder auch regul¨ ar), genau dann, wenn eine der folgenden ¨ aquivalenten Bedingungen erf¨ ullt ist: 1. π1 (p)(π1 (Y, y0 )) ist normal f¨ ur (ein) jedes y0 in der Faser u ¨ber x0 . ¨ 2. Die Konjugiertheitsklasse der Uberlagerung besteht aus einer einzigen Gruppe. 3. Die Decktransformationen wirken transitiv auf der Faser u ¨ber x0 . 4. Wenn ein Lift eines geschlossenen Weges durch x0 geschlossen ist, dann sind es alle Lifte. ¨ Insbesonders ist dies erf¨ ullt, wenn π1 (X, x0 ) abelsch ist oder die Uberlagerung eine 2-fache ist oder π1 (Y, y0 ) = {1} gilt. Beweis. Diese Aussagen entsprechen gerade folgenden Aussagen f¨ ur transitive Wirkungen von G auf irgendeiner Menge F : 1 2 3 4

. . . .

Gy ist normal f¨ ur alle y ∈ F ; Gy = Gy0 f¨ ur alle y, y 0 ∈ F ; AutG (F ) wirkt transitiv auf F ; Wenn g einen Fixpunkt hat, dann wirkt es wie die Identit¨at.

(2⇒1) ist offensichtlich, da Gy = Gy·g = g −1 · G · g. (1⇒3) Wenn Gy normal ist, dann ist NormG (Gy ) = G und daher gilt AutG (F ) = G/Gy , und dieser Raum wirkt offensichtlich transitiv, da G es tut. (3⇒4) Es sei y0 · g = y0 und y ∈ F . Da AutG (F ) transitiv wirkt, gibt es einen Automorphismus ϕ mit y = ϕ(y0 ) = ϕ(y0 · g) = ϕ(y0 ) · g = y · g. (4⇒2) Es sei g ∈ Gy , d.h. y ist ein Fixpunkt von g. Daher wirkt g wie die Identit¨at, und somit ist g ∈ Gy0 f¨ ur alle y 0 ∈ F . ¨ Siehe 24.39 f¨ ur Beispiele von Uberlagerungen, welche nicht normal sind. 198

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¨ 24. Uberlagerungen

24.19

24.18 Proposition. ¨ Es sei p : Y → X eine normale Uberlagerung mit wegzusammenh¨ angendem Y und es sei X lokal wegzusammenh¨ angend. Dann faktorisiert p u ¨ber Y → Y / Aut(p) und gibt einen Hom¨ oomorphismus Y / Aut(p) ∼ = X. Beweis. Da jedes Φ ∈ Aut(p) fasererhaltend ist, haben wir, daß p konstant auf den Aut(p)-Bahnen ist und daher zu einer surjektiven Abbildung Y / Aut(p) → X faktorisiert. Wenn Aut(p) transitiv wirkt (d.h. p normal ist), dann ist diese Faktorisierung injektiv, da je zwei Punkte in der selben Faser im selben Orbit unter Aut(p) sind. Da Y → X und Y → Y / Aut(p) Quotientenabbildungen sind muß diese Bijektion ein Hom¨ oomorphismus sein. 24.19a Wir haben also f¨ ur gewisse auf einem Raum Y wirkende Gruppen G, daß Y → Y /G ¨ ¨ eine Uberlagerung ist. Es sei G eine Gruppe so, daß π : Y → Y /G eine Uberlagerung ist. Dann muß f¨ ur jedes y ∈ Y eine offene Umgebung U ⊆ Y /G existieren, sodaß ˜ ist, welche hom¨oomorph π −1 eine disjunkte Vereinigung von offenen Teilmengen U ˜ ) und π −1 (U ) = π −1 (π(U ˜ )) = G(U ˜ ). Also via π zu U sind. Somit ist U = π(U 0 ˜ 0 ˜ h¨ atten wir gerne, daß g(U ) ∩ g (U ) = ∅ f¨ ur alle g 6= g gilt. Man sagt, daß eine Gruppe, die diese Bedingungen erf¨ ullt, strikt unstetig auf Y wirkt, d.h. jedes y ∈ Y eine Umgebung V hat, sodaß g(V ) ∩ V = ∅ f¨ ur alle g 6= e. Offensichtlich hat die Wirkung der Decktransformationen diese Eigenschaft, denn ˜ )∩ U ˜ 6= ∅ impliziert, daß irgendein y ∈ U ˜ mit Φ(y) ∈ U ˜ existiert. Aus p(Φ(y)) = Φ(U ˜ p(y) und weil p|U˜ : U → U injektiv ist schließen wir, daß Φ(y) = y, aber dann gilt Φ = id nach 24.4 . Umgekehrt gilt: 24.19 Proposition. Es sei G eine Gruppe, welche strikt unstetig auf einem Raum Y wirkt. Dann ist ¨ p : Y → Y /G eine Uberlagerung. Wenn Y wegzusammenh¨ angend ist, dann gilt Aut(p) = G. Ist Y einfach zusammenh¨ angend, dann ist Aut(p) = π1 (Y /G). Ist Y zus¨ atzlich eine C ∞ -MF und G wirke strikt unstetig durch Diffeomorphismen, dann ist auch Y /G eine C ∞ -MF (die nicht Hausdorff zu sein braucht) und p : Y → Y /G ¨ eine C ∞ -Uberlagerung. Beweis. Wir bezeichnen mit p : Y → Y /G die Quotientenabbildung. Im ersten ¨ Schritt versuchen wir p : Y → Y /G zumindest mengentheoretisch als Uberlagerung zu erkennen. F¨ ur jeden Punkt p(x) = Gx ∈ Y /G existiert nach Voraussetzung eine offene Umgebung V in Y mit gV ∩ V = ∅ ∀ g 6= e. Also ist G p−1 (p(V )) = GV = gV, g∈G

und jedes gV ist offen in Y . Weiters ist p|gV : gV → p(V ) offensichtlich bijektiv. Also haben wir das folgende kommutative Diagramm: F F p _ / g∈G p(V ) Y Ho H ? p−1 (p(V )) g∈G gV ∼ = M MMM HH qq HH MMM qqq H q M H q MMM p q pr HH # & xqqq _ o ? Y /G p(V ) Wir haben also, daß p(V ) trivialisierend mit Bl¨attern ΦV f¨ ur Φ ∈ G ist. c 15. Dezember 2008 [email protected]

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¨ 24. Uberlagerungen

24.21

Offensichtlich wirkt jedes Φ ∈ G wie eine Decktransformation. Umgekehrt sei Φ : Y → Y eine Decktransformation. Dann gilt p(y) = p(Φ(y)) und daher gibt es irgendein Φy ∈ G mit Φy ·y = Φ(y). Da die zwei Abbildungen Φ und Φy die Identit¨at u ¨berdecken und auf y u ¨bereinstimmen, sind sie gleich. Die restlichen Resultate u ¨ber Aut(p) finden sich in 24.15 und 24.16 . Es wirke nun G auf der C ∞ -Mannigfaltigkeit Y durch Diffeomorphismen. Wir ϕ k¨onnen o.B.d.A. annehmen, daß obiges V Bild einer Karte Rm ⊆ V −∼ →V ⊆Y = ist. ϕ → Als Karten von Y /G verwenden wir nun die bijektiven Abbildungen Rm ⊆ V −∼ = p V −∼ → p(V ) ⊆ Y . =

Der Kartenwechsel f¨ ur zwei derartige Karten p◦ϕ : V → p(V ) und p◦ψ : W → p(W ) ist auf der Menge {x ∈ V : p(ϕ(x)) ∈ p(ψ(W ))} = {x ∈ V : ϕ(x) ∈ G(ψ(W ))} = {x ∈ V : ∃ g ∈ G, ∃ y ∈ W mit ϕ(x) = g(ψ(y))}. Da ϕ, ψ und g Hom¨ oomorphismen sind, ist diese Menge offen. Und die Kartenwechselabbildung (p ◦ ψ)−1 ◦ (p ◦ ϕ) ist gerade durch x 7→ y gegeben, d.h. durch ψ −1 ◦ g −1 ◦ ϕ und ist somit glatt. In der durch diesen Atlas definierte Mannigfaltigkeit Y /G sind folglich die Kartenbilder p(V ) offen, und p|V : V → p(V ) ein Diffeomorphismus. Somit auch ¨ p ◦ g : V → gV → p(V ), also ist p : Y → Y /G eine Uberlagerungsabbildung. Wenn Y Lindel¨ of ist und Y /G Hausdorff, dann ist auch Y /G Lindel¨of. 24.20 Beispiele. R/Z ∼ = S1 R2 /(Z × {1}) ∼ = S1 × R R2 /Z2 ∼ = S1 × S1 (S 1 × R)/Z2 ∼ obius-Band, wo Z2 = h(z, s) 7→ (−z, −s)i = M¨ 2 ∼ R /Z = M¨ obius-Band, wo Z = h(t, s) 7→ (t + 1, −s)i 1 1 ∼ Kleinsche-Flasche, wo Z2 = h(z, w) 7→ (−z, −w)i (S × S )/Z2 = (R o R)/(Z o Z) ∼ = Kleinsche-Flasche, wo Z o Z = {(t, s) 7→ (t + k, (−1)k s + l) : k, l ∈ Z} S n /Z2 ∼ = Pn , wo Z2 = hz 7→ −zi S 2k−1 /Zq ∼ = L(q; p1 , . . . , pk ) . . . dem Linsenraum, wo Zq = {(z1 , . . . , zk ) 7→ (wp1 z1 , . . . , wpk zk ) : wq = 1} 1 (C∗ × SLC (n))/Zn ∼ = GLC (n), wo Zn = {( , z id) : z n = 1} z S 3 /Z2 ∼ = SO(3), wo Z2 = {1, −1} und q 7→ (x 7→ qxq −1 ∈ R⊥ ⊆ H) (S 3 × S 3 )/Z2 ∼ = SO(4), wo Z2 = {1, −1} und (q 0 , q) 7→ (x 7→ q 0 xq −1 ∈ H) 24.21 Gegenbeispiel. Betrachte die gew¨ ohnliche Differentialgleichung dx = cos2 x, dt 200

dy = sin x. dt

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¨ 24. Uberlagerungen

24.21

Da dieses Vektorfeld beschr¨ ankt ist, existieren die L¨osungen global und wir erhalten eine glatte Funktion ϕ : R × R2 → R2 , welche zu jedem t ∈ R und (x, y) ∈ R2 die L¨ osung mit Werten (x, y) bei 0 zur Zeit t assoziiert. Wenn der initiale Wert cos2 x = 0 erf¨ ullt, dann ist die L¨osung y(t) = y(0) + t · sin x. dy sin x d 1 Andernfalls haben wir dx = cos 2 x = dx cos x , daher muß sie enthalten sein in 1 Translaten von {(y, x) : y(x) = cos x }. Weiters ist die Zeit, die man ben¨otigt um R x dt Rx von x = x0 zu x = x1 zu gelangen, durch t(x1 )−t(x0 ) = x01 dx dx = x01 cos12 x dx = 1 tan x|xx=x gegeben. 0 Man kann diese Differentialgleichung sogar explizit l¨osen, denn dx dx = cos2 x ⇒ d tan x = = dt dt cos2 x ⇒ tan x(t) = t + c ⇒ x(t) = arctan(t + c1 ) dy tan(t + c) = sin x = sin(arctan(t + c1 )) = ± p dt 1 + tan2 (t + c1 ) p ⇒ y(t) = c2 ± 1 + (t + c1 )2 . Beachte, daß der Quotientenraum R2 /R nicht Hausdorff ist. Er besteht aus einer F abz¨ ahlbaren Vereinigung Z R von R0 s zusammen mit den Punkten π/2 + π · Z. Ein Umgebungsbasis von π/2 + kπ wird durch Endintervalle der zwei umgebenden R0 s gegeben. Eine strikt diskontinuierliche Wirkung mit nicht-Hausdorff Orbitraum: Wenn wir die Wirkung der Untergruppe Z ⊆ R auf R2 betrachten, dann ist diese strikt diskontinuierlich, denn hinreichend schmale Streifen, welche keine der Achsen x = π2 + k π f¨ ur k ∈ Z enth¨ alt werden unter dieser Wirkung nach rechts verschoben. und hinreichend kleine B¨alle um Punkte auf diesen Achsen werden vertikal verschoben und nach rechts verzerrt. Der Orbitraum R2 /Z ist allerdings nicht Hausdorff, denn [(−π/2, 0)] und [(π/2, 0)] lassen sich nicht trennen. c 15. Dezember 2008 [email protected]

201

¨ 24. Uberlagerungen

24.22

Eine diskrete Gruppe mit abgeschlossenen Orbits die nicht strikt unstetig wirkt: Wir k¨ onnen den Raum X := ([−π/2, π/2] × R)/ ∼ bilden, wobei (−π/2, t) ∼ ¨ (π/2, −t). Da die Wirkung von R vertr¨aglich mit dieser Aquivalenz-Relation ist, wirkt R ebenso fixpunktfrei auf diesem M¨obiusband X. Die Bahnen der diskreten Untergruppe Z ⊆ R sind offensichtlich abgeschlossene Teilmengen. Jedoch ist die Wirkung nicht strikt unstetig, da f¨ ur jede Umgebung von [(π/2, 0)] irgendein Translat um t ∈ Z es wieder trifft. 24.22 Lemma. Sei G eine Gruppe die strikt diskontinuierlich auf einer Mannigfaltigkeit M wirkt. Dann sind die Orbits Gx diskrete Teilr¨ aume von M . Und die Topologie von M/G ist genau dann regul¨ ar (oder Hausdorff ), wenn {g ∈ G : gK ∩ K 6= ∅} endlich ist f¨ ur jede kompakte Menge K ⊆ M . Beweis. Wenn G strikt diskontinuierlich wirkt, dann ist der Orbit Gx eine diskrete Teilmenge, da aus gU ∩ U = ∅ ∀ g 6= e folgt, daß U ∩ Gx = {x}, also ist jeder Punkt in Gx offen. Insbesonders ist f¨ ur jede kompakte Menge K die Menge Gx ∩ K diskrete und kompakt also endlich. (⇒) Sei K ⊆ M kompakt. Wir behaupten, daß jeder Punkt x ∈ M eine Umgebung Ux ⊆ U besitzt, s.d. {g ∈ G S : gUx ∩ K 6= ∅} endlich ist. Sei {g ∈ G : gx ∩ K 6= ∅} = n {g1 , . . . , gn } und K 0 := K \ i=1 gi U . Dann ist K 0 kompakt und Gx ∩ K 0 = ∅, also 0 p(x) ∈ / p(K ). Wenn M/G regul¨ar ist, so finden wir eine offene Umgebung V von p(x), die p(K 0 ) nicht trifft. Dann ist Ux := U ∩ p−1 (V ) die gesuchte Umgebung, −1 denn f¨ ur alle g ∈ G trifft gUS (V ) die Menge K 0 nicht und f¨ ur g ∈ /S{g1 , . . . , gn } x ⊆p n n trifft gUx ⊆ gU die Menge i=1 gi U nicht also auch nicht K ⊆ K 0 ∪ i=1 gi U . ¨ Die Familie {Ux : x ∈ K} bildet eine offene Uberdeckung der kompakten Menge K, also reichen endlich viele, sagen wir {Ux1 , . . . , Uxn }, aus. Dann ist {g ∈ G : gK ∩ K 6= ∅} ⊆ {g ∈ G : g(

n [

Uxi ) ∩ K 6= ∅} =

i=1

=

n [

{g ∈ G : g(Uxi ) ∩ K 6= ∅} endlich.

i=1

ussen wir wegen 19.5 nur (⇐) Da M/G nach 24.19 eine Mannigfaltigkeit ist m¨ zeigen, daß M/G Hausdorff ist. Sei dazu y1 6= y2 in N := M/G. Falls y1 , y2 in einer trivialisierenden Menge V ⊆ N liegen, dann k¨onnen wir ein Blatt U u ¨ber V w¨ahlen, die beiden Punkte x1 := (p|U )−1 (y1 ) und x2 := (p|U )−1 (y2 ) dort durch offene Umgebungen trennen, und da p|U : U → V ein Hom¨oomorphismus ist, trennen die Bilder y1 von y2 . Falls y2 nicht in einer trivialisierenden Umgebung V von y1 liegt. Dann w¨ ahlen wir ein Urbild x1 von y1 und eine relativ kompakte Umgebung U1 ¯1 im Blatt u von x1 , deren Abschluß K := U ¨ber V von x1 enthalten ist. Dann ist G · K abgeschlossen: Sei n¨ amlich x ∈ / G · K, dann existiert eine (relativ kompakte) Umgebung U von x, s.d. {g ∈ G : gU ∩K 6= ∅} endlich ist, denn nach Voraussetzung ¯ ∪ K) ∩ (U ¯ ∪ K) 6= ∅} endlich. Wenn wir ist {g ∈ G : gU ∩ K 6= ∅} ⊆ {g ∈ G : g(U f¨ ur diese endlich vielen gi ∈ G, die Menge U nun so verkleinern, daß gi U ∩ K = ∅ (geht, da gi x ∈ / K), so ist GU ∩ K = ∅ und damit auch U ∩ GK = ∅. Somit ist U2 := M \ GK offen und disjunkt von GU1 ⊆ GK und die Bilder Vj := p(Uj ) sind offene Mengen, die y1 und y2 trennen. Wir haben in 24.21 ein Beispiel angegeben, welches zeigt, daß es nicht gen¨ ugt zu fordern, daß die Bahnen diskret sind (und die g 6= e fixpunktfrei sind) um eine 202

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¨ 24. Uberlagerungen

24.25

¨ Uberlagerung zu erhalten und es auch nicht gen¨ ugt, daß G strikt diskontinuierlich wirkt um einen Hausdorff-Quotienten zu erhalten. In den meisten unserer Beispiele ist aber M eine Lie-Gruppe und G eine Untergruppe von M , die durch Linksmultiplikation auf M wirkt. In dieser Situation gilt: 24.23 Lemma. Es sei M eine lokalkompakte Gruppe und G < M eine Untergruppe. Dann sind aquivalent ¨ 1. G ist diskret; 2. G wirkt auf M durch Linksmultiplikation strikt diskontinuierlich; 3. {g : gK ∩ K 6= ∅} ist endlich f¨ ur alle kompakten K ⊆ M . Beweis. (1⇒3) Sei K ⊆ M kompakt. Da (g, h) 7→ gh−1 stetig ist, ist K K −1 := {k 0 k −1 : k 0 , k ∈ K} kompakt und somit der Durchschnitt mit der diskreten Teilmenge G endlich. D.h. {g ∈ G : g ∈ K K −1 } = {g ∈ G : gK ∩ K 6= ∅} ist endlich. (2⇐3) Sei K eine kompakte Umgebung von x. Dann existieren nur endlich viele g ∈ G mit gK ∩ K 6= ∅ und wir k¨onnen K so verkleinern, daß gK ∩ K = ∅ f¨ ur alle diese g 6= e. (1⇐2) Sei U eine Umgebung von e in M mit gU ∩ U = ∅ f¨ ur alle g 6= e. Dann ist g ∈ gU und somit nicht in U f¨ ur g 6= e, also U ∩ G = {e}, d.h. {e} ist offen in G. Bekanntlich kann man den Raum G/M , bzw. den Raum der linken Nebenklassen Gx, genau dann zu einer Gruppe und p : M → G/M zu einen Gruppenhomomorphismus machen, wenn G ein Normalteiler in M ist, d.h. xGx−1 ⊆ G f¨ ur alle x ∈ M. 24.24 Lemma. Falls G eine zusammenh¨ angende Lie-Gruppe ist, dann ist eine diskrete Untergruppe H ⊆ G genau dann ein Normalteiler, wenn sie im Zentrum Z(G) := {z ∈ G : xz = zx ∀ x ∈ G} liegt. Beweis. (⇐) ist trivial. (⇒) Da die Abbildung z 7→ zxz −1 stetig ist und f¨ ur x ∈ H Werte in der diskreten Teilmenge H hat, ist sie konstant und somit ist gleich zxz −1 = exe−1 = x, d.h. x ∈ Z(G). Wenn H ein Normalteiler ist, dann ist klarerweise G/H eine Lie-Gruppe, lokal iso¨ morph zu G ist. Umgekehrt folgt aus den Liftungseigenschaften einer Uberlagerung ˜ ¨ sofort, daß die universelle Uberlagerung H einer Lie-Gruppe H ebenfalls Lie-Gruppe ist. Und es l¨ aßt sich ebenso zeigen, daß lokal isomorphe Lie-Gruppen isomorphe uni¨ verselle Uberlagerungen besitzen. Wir erhalten also bis auf Isomorphie alle lokal iso˜ ¨ morphen Gruppen, indem wir aus der entsprechenden universellen Uberlagerung G ˜ alle diskreten zentralen Untergruppen herausfaktorisieren. Falls das Zentrum Z(G) selbst diskret ist (was z.B. bei allen halbeinfachen Gruppen der Fall ist), dann ˜ := G/Z( ˜ ˜ die sogenannte adjungierte haben wir als anderen Extremfall ad(G) G), Gruppe. 24.25 Lemma. ¨ Es sei N ,→ G → H eine Uberlagerung von Gruppen und G zusammenh¨ angend (dann ist es auch H). Dann ist Z(H) genau dann diskret, wenn Z(G) es ist, und Z(H) ∼ = Z(G)/(Z(G) ∩ N ) und ad(G) = G/Z(G) ∼ = H/Z(H) = ad(H). c 15. Dezember 2008 [email protected]

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¨ 24. Uberlagerungen

24.27

Beweis. F¨ ur jeden surjektiven Gruppenhomomorphismus p : G → H gilt, daß p(Z(G)) ⊆ Z(H). Sei nun g ∈ G so, daß q(g) ∈ Z(H). Dann liegt xgx−1 g −1 in dem diskreten Normalteiler Ker(p) =: N , und da G zusammenh¨angend ist, ist dies gerade x1x−1 1−1 = 1, d.h. g ∈ Z(G). Also ist Z(G) = p−1 (Z(H)) und N ⊆ Z(G). Daraus folgen die u ¨brigen Eigenschaften mittels Isomorphiesatz: H/Z(H) = (G/N )/(Z(G)/N ) ∼ = (G/Z(G)) Wir wollen nun f¨ ur einige Gruppen die diskreten Untergruppen, bzw. das Zentrum bestimmen. Falls G abelsch ist, dann ist Z(G) = G. Wir werden in 71.8 zeigen, ¨ daß in diesem Fall die universelle Uberlagerung (Rn , +) ist. Weiters gilt 24.26 Lemma. Die diskreten Untergruppen von Rn sind genau die von linear unabh¨ angigen Vektoren erzeugten Untergruppen. Beweis. Wir beweisen das mittels Induktion nach n. F¨ ur n = 0 ist es trivial. Sei nun n > 0 und H < G eine diskrete Untergruppe. Wir w¨ahlen eine maximal linear unabh¨ angige Teilmenge H0 := {h1 , . . . , hk } von H. Falls k < n ist, dann liegt H in der von H0 aufgespannte Hyperebene, und ist somit nach Induktionsvoraussetzung von H0 erzeugt. Andernfalls ist k = n und wir betrachten die von {h1 , . . . , hn−1 } aufgespannte Hyperebene E. Dann ist H ∩ E eine diskrete Untergruppe von E und wird somit nach Induktionsvoraussetzung von linear unabh¨angigen {h01 , . . . , h0k0 } erzeugt. Da f¨ ur j < n die hj ∈ H ∩ E liegen, muß k 0 = k − 1 sein, und wir k¨onnen o.B.d.A. annehmen, P daß die {h1 , . . . , hk−1 } diese Erzeuger sind. Sei nun Q der kompakte Quader { j≤n tj hj : 0 ≤ tj ≤ 1}. Dann ist H ∩ Q endlich, und wir P w¨ ahlen ein h0 = j≤n tj hj ∈ H ∩ Q mit minimalen tn > 0 (solche gibt es, z.B. hn ). 0 Wir behaupten, daß P H von {h1 , . . . , hn−1 , h } erzeugt wird. Jedes h ∈ H l¨aßt sich nat¨ urlich als h = j
j

=

X

j



sj − kj + (sn − kn )tj hj + (sn − kn )hn .

j

Wenn wir kn := [sn ] und kj := [sj + (sn − kn )tj ] setzen, dann ist h00 ∈ Q und der Koeffizient von hn kleiner als jener von h0 , also muß er 0 sein, d.h. sn ∈ Z. Dann ist aber auch h − sn h0 ∈ H ∩ E und somit nach Induktionsvoraussetzung auch alle anderen sj ∈ Z. 24.27 Folgerung. Die einzigen n-dimensionalen zusammenh¨ angenden abelschen Lie-Gruppen sind (S 1 )k × n−k f¨ ur ein 0 ≤ k ≤ n. R Beweis. Jede abelsche Lie-Gruppe ist von der Form A ∼ = Rn /D, wobei D von k linear unabh¨ angigen Vektoren erzeugt wird. Nach Anwenden einer linearen Abbildung (uns somit eines Gruppenautomorphismuses)) k¨onnen wir o.B.d.A. annehmen, daß D = he1 , . . . , ek iGr = Zk × {0} ist, und somit ist A = Rn /D = (Rk × Rn−k )/(Zk × {0}) = (Rk /Zk ) × (Rn−k /{0}) = (S 1 )k × Rn−k . Um nun f¨ ur einige nicht Abelsche Gruppen G das Zentrum zu bestimmen, beachten wir folgendes: Falls G < Diff(M ) ist, und f¨ ur g ∈ G wir mit Fixg := {x ∈ M : gx = x} bezeichnen, dann gilt f¨ ur h ∈ Z(G), daß h(Fixg ) ⊆ Fixg , denn h(x) = h(g(x)) = g(h(x)). 204

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¨ 24. Uberlagerungen

24.29

24.28 Proposition. Die Gruppe G := {ax + b : a > 0, a, b ∈ R} hat als Zentrum Z = 1 = {x}. Die Gruppen SL(n), SO(n), SO(n, k), Sp(2m), SLC (n), SOC (n), SpC (2m), SLH (n) haben als Zentrum alle Vielfachen der Identit¨ at, die zu diesen Gruppen geh¨ oren. Im Detail heißt das: ( Z2 n ≡ 0 mod 2 Z(SO(n)) = 1 n ≡ 1 mod 2 Ebenso gilt Z(SLC (n)) = Zn . Die Gruppen Spin(n) haben als Zentrum   Z2 Z(Spin(n)) = Z2 × Z2   Z4

n ≡ 1 mod 2 n ≡ 0 mod 4 n ≡ 2 mod 4

Beweis. Die ax + b-Gruppe G ist eine Untergruppe der Diffeomorphismen von R. F¨ ur jedes t ∈ R existiert ein g ∈ G mit Fixg = {t} (z.B. a := 2, b := −t). Also h¨alt h ∈ Z(G) jedes t ∈ R fix, d.h. h = id. F¨ ur die Gruppen G ∈ {SL(n), . . . , SLH (n)} gehen wir wie folgt vor. Jede Hyperebene tritt als Fixpunktmenge Fix(g) = {x : g · x = x} eines g ∈ G auf. Also ist jeder eindimensionale Teilraum ein Durchschnitt von Fixpunktmengen Fix(gi ) und somit muß f¨ ur h ∈ Z(G) und jedem Vektor x 6= 0 die Gleichung gi · h · x = h · x gelten, also x ein Eigenvektor von h sein. Dies ist aber nur dann m¨oglich, wenn h ein Vielfaches der Identit¨ at ist. F¨ ur die SO(n) erhalten wir folglich: Es ist hx, yi = hλx, λyi = λ2 hx, yi ∀ x, y genau dann, wenn λ2 = 1 ist. F¨ ur die SLC (n) muß 1 = det(λ) = λn sein, d.h. λ eine n-te Einheitswurzel sein. F¨ ur die Spin(3) und Spin(4) erh¨alt man das Zentrum direkt aus den Isomorphismen mit S 3 und S 3 × S 3 . F¨ ur die allgemeinen Spin-Gruppen Spin(n) folgt es mittels des Zentrums der Clifford-Algebren Cliff(n).

24.29 Nicht strikt diskontinuierliche Wirkungen Wir wollen nun aber auch Gruppen untersuchen die nicht strikt diskontinuierlich wirken (siehe dazu auch 70 ). Das ergibt sich z.B. wenn wir eine gew¨ohnliche Differentialgleichung x0 (t) = f (x(t)) betrachten. Falls f¨ ur jeden Startwert x(0) die L¨osungen x global existiert, dann erhalten wir eine Abbildung Fl : R×M → M , wobei Fl( , x0 ) gerade die L¨osung zum Anfangswert x0 ist. Diese Abbildung induziert einen Gruppen-Homomorphismus Fl∨ : R → Diff(M ). Betrachten wir das zuerst lokal (also o.B.d.A. M = Rm ). Falls f (0) 6= 0, dann k¨onnen wir Rm in R f (0) ⊕ f (0)⊥ zerlegen, und die Abbildung R × f (0)⊥ → Rm ∼ = R ⊕ f (0)⊥ , (t, x) 7→ Fl(t, x) hat als Ableitung bei (0, 0):   1 0 ∂ ∂ ( ∂t Fl(t, 0), x) = (f (0), id ) = . ⊥ f (0) ∂x x=0 t=0 0 id c 15. Dezember 2008 [email protected]

205

¨ 24. Uberlagerungen

24.29

Also ist dies eine lokaler Diffeomorphismus, unter dem der Fluß gerade durch (s; t, x) 7→ (s + t, x) gegeben ist und f durch (t, x) 7→ (1, 0). R × f (0)⊥

∼ =

( +s)×f (0)⊥

 R × f (0)⊥

/E Fls

∼ =

 /E

F¨ ur eine kleine Umgebung U von 0 ist also U/G ∼ = f (0)⊥ . Wenn andernfalls f (0) verschwindet, dann approximieren wir die Differentialgleichung durch die Ableitung A := f 0 (0), d.h. wir betrachten die lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten x0 (t) = A · x(t). Mittels eines Basiswechsels k¨ onnen wir A auf Jordan’sche Normalform bringen. Danach k¨ onnen wir das transformierte System rekursiv von unten beginnend l¨osen. Sehen wir uns das im Fall m = 2 genauer an: Die Jordansche Normalform ist von der Gestalt   λ ε wobei λ, µ die Eigenwerte sind und ε ∈ {0, 1} ist. 0 µ Der Fall ε = 1 kann nur f¨ ur λ = µ auftreten. Also ist das transformierte System x0 (t) = λ · x(t) + ε · y(t) y 0 (t) = µ · y(t). Die zweite Gleichung y 0 (t) = µ · y(t) hat als L¨osung y(t) = eµ t y(0) und die erste Gleichung x0 (t) = λ · x(t) + ε · y(t) = λ · x(t) + εeµ t y(0) ist eine m¨oglicherweise inhomogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die allgemeine L¨ osung der zugeh¨ origen homogenen Gleichung ist x(t) = eλ t c f¨ ur jede Konstante c. Variation der Konstanten c liefert den Ansatz x(t) = eλ t c(t) f¨ ur die inhomogene Gleichung. Es ist x0 (t) = λ x(t) + εeµ t y(0) genau dann wenn λ eλ t c(t) + eλ t c0 (t) = λ eλ t c(t) + ε eµ t y(0), also wenn c0 (t) = εe(µ−λ) t y(0). Da ε = 0 ist, falls λ 6= µ, gen¨ ugt es den Fall λ = µ zu behandeln, i.e. c(t) = t y(0)+c(0). Also ist ( eλ t x(0) f¨ ur ε = 0 x(t) = λt e (x(0) + t y(0)) f¨ ur ε = 1 y(t) = eµ t y(0) Wir haben folgende triviale F¨ alle: 1. λ = µ = ε = 0 Es ist A = 0 und alle Punkte Fixpunkte. Also ist R2 /R ∼ = R2 . 2. λ = µ = 0 6= ε Es besteht R e1 aus lauter Fixpunkten und die parallelen Geraden sind Orbits. 3. λ = ε = 0 6= µ Es besteht R e1 aus lauter Fixpunkten und die Orbits stehen normal auf sie. Immer sonst ist 0 ein isolierter Fixpunkt und wir setzen M := R2 \ {0}. Wir haben dann folgende Beschreibungen: 4. λ = µ ∈ R, ε = 0 Die u ¨brigen Orbits sind die Halbstrahlen durch 0 und M/R ∼ = S1. 206

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¨ 24. Uberlagerungen

24.30

5. λ = µ ∈ R, ε = 1 Die u ¨brigen Orbits sind tangential an R e1 und M/R ∼ = S1. 6. λµ > 0, λ 6= µ Die Koordinaten-Halbachsen sind Orbits, und alle anderen sind tangential an die Achse mit absolut gr¨oßeren Eigenwert. Wieder ist M/R ∼ = S1. 7. λµ < 0, λ 6= µ Die Koordinaten-Halbachsen sind Orbits, und alle anderen sind tangential an je zwei normal stehende Halbachsen. Es besteht also M/R aus vier Kopien von R und vier nicht isolierten Punkten. ¯∈ 8. µ = λ /R Die Orbits sind Spiralen um 0. Wieder ist M/R ∼ = S1. 9. µ = −λ ∈ R · i Die Orbits sind Kreise um 0 und somit ist M/R ∼ = R.

¨ 24.30 Universelle Uberlagerung Wir wenden uns nun der Frage der Surjektivit¨at von Covpc (X) → Acttr (G) mit G = π1 (X, x0 ) zu. Dazu versuchen wir zuerst “maximale” Elemente zu finden. F¨ ur transitive Wirkungen ist das maximale Objekt G mit der Rechtsmultiplikation auf ur jede solche Wirkung von G auf irgendeinem F sich selbst nach 24.6 , denn f¨ haben wir eine G-¨ aquivariante Abbildung G → F . ˜ → X sollte also G = π1 (X, x0 ) ¨ Die entsprechende maximale Uberlagerung π :X als Faser haben und die Wirkung sollte durch Rechtsmultiplikation gegeben sein. ˜ ein BaInsbesonders m¨ ussen wir Gy = {1} f¨ ur alle y ∈ G haben. Sei y0 ∈ X ˜ y0 ) ist, haben wir, daß X ˜ einfach sispunkt und x0 := p(y0 ). Da Gy0 = π(p)π(X, zusammenh¨ angend sein sollte. ˜ finden wir einen Weg vy von y0 nach y und, da X ˜ einfach F¨ ur jeden Punkt y ∈ X ˙ zusammenh¨ angend ist, ist die Homotopie-Klasse [vy ] rel. I ist unabh¨angig von der Wahl des Weges vy definiert. Also haben wir eine Bijektion ˜∼ ˜ y0 ))/ ∼ . X = C((I, {0}), (X, rel.I˙

Wegen der Liftungseigenschaft 24.5 entsprechen diesen Homotopie-Klassen bijektiv die Homotopie-Klassen von Wegen startend bei x0 , d.h. ∼ ∼ = / C((I, {0}), (X, x ))/ ∼ =/ C((I, {0}), (X, ˜ y0 ))/ ∼ 0 ˜ K X KK rel.I˙ rel.I˙ KK pp KK p p KK pp KK ppp KK p p π◦ev K 1 ppev1 π KKK KK ppp p p KK pp KK KK  pppp % xp X

Es sei U eine trivialisierende wegzusammenh¨angende Umgebung von x1 ∈ X. Wir berechnen p−1 (U ). Beachte dazu, daß p−1 (x1 ) = {[u] : u ist ein Weg in X von x0 nach x1 } gilt. c 15. Dezember 2008 [email protected]

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¨ 24. Uberlagerungen

24.31 p−1 (U ) = {[w] : w(1) ∈ U }

(schreibe w = w · u−1 · u)

= {[v] · [u] : v(0) = x0 , v(1) = x1 , u(0) = x1 , u(I) ⊆ U } = {[v] · [u] : [v] ∈ p−1 (x1 ), u(0) = x1 , u(I) ⊆ U } [ [v] ˜ = U, [v]∈p−1 (x1 )

˜ := {[v] · [u] : u(0) = x1 , u(I) ⊆ U }. Wenn U wegzusammenh¨angend ist, wobei [v] U ˜ → U surjektiv. Um zu zeigen, daß sie injektiv ist, brauchen dann ist π|[v] U˜ : [v] U wir: u0 (1) = u1 (1) ⇒ [u0 ] = [u1 ], d.h. jede geschlossene Kurve in U durch x1 sollte 0-homotop in X sein. Ein Raum X, der eine Umgebungsbasis von Mengen mit dieser Eigenschaft hat, heißt semi-lokal einfachzusammenh¨ angend. Jede Mannigfaltigkeit hat offensichtlich diese Eigenschaft, den sie hat sogar kontrahierbare Umgebungen (sternf¨ ormige Bilder der Karten). F¨ ur einen wegzusammenh¨ angenden, lokal wegzusammenh¨angenden und semi-lokal ˜ als C((I, {0}), (X, x0 ))/ ∼ einfachzusammenh¨ angenden Raum X definieren wir also die Menge X

rel.I˙

˜ ˜ → X durch π([u]) := u(1). Da wir f¨ und π : X ur jedes U wie oben wollen, daß [u] U ˜ als offen. Um zu zeigen, daß ein Blatt u aren wir jene Mengen in X ¨ber U ist, erkl¨ diese Mengen die Basis einer Topologie bilden, m¨ ussen zwei solche Umgebungen U0 ˜0 ∩ y1 U ˜1 nehmen. Dann ist π(y) ∈ U0 ∩ U1 und daher k¨onnen und U1 mit y ∈ y0 U ˜ und wir eine solche Umgebung U ⊆ U0 ∩ U1 von π(y) finden. Dann ist y ∈ y U y0 y1 y˜ ˜ ˜ U ⊆ U0 ∩ U1 . ˜ → U ein Hom¨oomorphismus ist, und daher Offensichtlich haben wir, daß π|y U˜ : y U ˜ ¨ π : X → X eine Uberlagerungsabbildung ist. Beachte, daß wir f¨ ur irgendeinen Weg u, der bei x0 startet, haben, daß t 7→ [ut ] der Lift mit Startwert [constx0 ] =: y0 ist, wobei ut (s) := u(ts). ˜ wegzusammenh¨ ˜ der Weg [ut ] den Punkt [constx ] Also ist X angend, da f¨ ur [u] ∈ X 0 ˜ verbindet. mit [u] in X ˜ einfachzusammenh¨angend: Es sei daf¨ Schließlich ist X ur v eine geschlossene Kurve durch y0 . Dann ist u := p ◦ v eine geschlossene Kurve durch x0 . Es gilt v(t) = [s 7→ u(ts)], da beide Seiten Lifte von u mit Startpunkt y0 sind. Daher ist [constx0 ] = v(0) = v(1) = [u]. Da Homotopien geliftet werden k¨onnen, haben wir consty0 ∼ v ˙ rel. I. 24.31 Theorem. Es sei X wegzusammenh¨ angend, lokal wegzusammenh¨ angend und semi-lokal einfachzusammenh¨ angend. Dann existiert eine wegzusammenh¨ angende, einfachzusam¨ menh¨ angende Uberlagerung von X. ¨ Ist X eine Lindel¨ of Mannigfaltigkeit so auch die universelle Uberlagerung. ¨ Jede einfache-zusammenh¨ angende und wegzusammenh¨ angende Uberlagerung von X ¨ u angende Uberlagerung. ¨berlagert jede andere wegzusammenh¨ Beweis. Wir m¨ ussen f¨ ur den ersten Teil nur die Lindel¨of-Eigenschaft der univer˜ beweisen falls X eine Lindel¨of Mannigfaltigkeit ist. Dazu ¨ sellen Uberlagerung X S gen¨ ugt es die σ-Kompaktheit zu zeigen: Sei X = i Ui , wo die Ui trivialisierende relativ-kompakte Umgebungen sind. Da X Lindel¨of ist, kann die Indexmenge als ˜ sodaß p(x0 ) ∈ U0 . Es sei W0 jenes abz¨ ahlbar angenommen werden. Sei x0 ∈ X, Blatt u ¨ber U0 , welches x0 enth¨alt. Wir definieren rekursiv die Menge Wn als die Vereinigung aller Bl¨ atter u ¨ber Ui mit i ≤ n die einen Punkt aus Wn−1 enthalten. Jedes Wn besteht nur aus endlich vielen Bl¨attern und ist somit kompakt. Damit ist ˜ u {Wi } eine abz¨ ahlbare Familie relativ kompakter Mengen, die X ¨berdecken. 208

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¨ 24. Uberlagerungen

24.35

Die letzte Aussage folgt, da wir die Projektion von irgendeiner einfach-zusammen¨ ¨ h¨ angenden Uberlagerung nach 24.7 liften k¨onnen, und der Lift eine Uberlagerung ist nach 24.11 . Folgerung. Es sei X einfachzusammenh¨ angend und lokal wegzusammenh¨ angend und Y → X ¨ sei eine wegzusammenh¨ angende Uberlagerung. Dann ist p ein Hom¨ oomorphismus. Insbesonders ist jede einfachzusammenh¨ angende offene Teilmenge der Basis einer ¨ Uberlagerung ein trivialisierende Umgebung. Beweis. Da π1 (X, x0 ) = {1} transitiv auf p−1 (x0 ) wirkt, muß die Faser ein Punkt sein. 24.32 Proposition. ¨ Es sei p : Y → X eine Uberlagerung. Wenn X eine topologische Gruppe ist, so ist auch Y eine. Beweis. Die Gruppen-Operationen X × X → X und X → X k¨onnen zu Abbildungen Y × Y → Y und Y → Y geliftet werden: In der Tat, w¨ahle 1 ∈ p−1 (1). Dann ist π1 (µ ◦ (p × p))([u1 ], [u2 ]) = [(p ◦ u1 ) · (p ◦ u2 )] = π1 (p)[u1 · u2 ]. Also hat ¨ µ ◦ (p × p) einen eindeutigen Lift nach µ ˜ : Y × Y → Y wegen 24.11 . Ahnlich zeigt man π1 (ν ◦ p)([u]) = [p ◦ u]−1 = π1 (p)[u]−1 . 24.33 Lemma. Es wirke G transitiv auf F und F 0 . Dann gilt: F ∼ =G F 0 ⇔ {Gy : y ∈ F } = {Gy0 : 0 0 y ∈ F }. Beweis. (⇒) Es sei ϕ : F → F 0 ein G-¨aquivarianter Isomorphismus. Dann ist Gy ⊆ Gϕ(y) ⊆ Gϕ−1 (ϕ(y)) = Gy . (⇐) Nach Voraussetzung sind y ∈ F und y 0 ∈ F 0 mit Gy = Gy0 . Daher ist F ∼ =G Gy \G = Gy0 \G ∼ =G F 0 . 24.34 Folgerung. ¨ Zwei wegzusammenh¨ angende Uberlagerungen eines lokal wegzusammenh¨ angenden Raums sind genau dann ¨ aquivalent, wenn ihre Konjugiertheitsklassen die selben sind. Beweis. Ben¨ utze, daß p ∼ = p0 ⇔ F ∼ =G F 0 wegen 24.12 . 24.35 Lemma. Es sei q : Z → Y und p : Y → X gegeben mit lokal einfachzusammenh¨ angendem X und wegzusammenh¨ angendem Y . Wenn zwei der drei Abbildungen p, q und p ◦ q ¨ Uberlagerungen sind, dann auch die dritte. ¨ ¨ Beweis. Es seien p ◦ q und p Uberlagerungen. Dann ist q eine Uberlagerung nach 24.11 . ¨ ¨ Es seien p ◦ q und q Uberlagerungen. Wir behaupten, daß p eine Uberlagerung ist. Es sei U wegzusammenh¨ angend und trivialisierend f¨ ur p ◦ q und wir nehmen eine (notwendigerweise offene) Wegkomponente V von p−1 (U ). Es sei W eine WegKomponente von q −1 (V ). Dann ist W enthalten in q −1 (V ) ⊆ q −1 (p−1 (U )) = (p ◦ ˜ von p ◦ q u q)−1 (U ) und daher ist es enthalten in irgendeinen Blatt U ¨ber U . Also ist p ◦ q|W : W → X eine Einbettung, und daher auch q|W : W → V . Da q offen ist und V ⊆ p−1 (U ) = q(q −1 (p−1 (U ))) = q((p ◦ q)−1 (U )) gilt, k¨onnen wir wegen dem c 15. Dezember 2008 [email protected]

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24.38

¨ 24. Uberlagerungen

Wegenzusammenhang von V schließen, daß q|W : W → V surjektiv ist und daher ein Hom¨ oomorphismus ist. Also ist p|V = p ◦ q ◦ (q|W )−1 |V ein Hom¨oomorphismus. ¨ Es seien p und q Uberlagerungen. Dann ist p ◦ q eine nach 24.1 , falls X lokal einfachzusammenh¨ angend ist.

24.36 ¨ Nun wollen wir Uberlagerungen mit beliebig gegebener transitiver Wirkung von G auf irgendeinem F finden. Nach 24.9 haben wir, daß F ∼ =G H\G, wo H irgendeine Isotropie-Untergruppe Gy f¨ ur die Wirkung auf F ist. Da die universelle ˜ der Wirkung von G auf G durch Rechtsmultiplikation entspricht ¨ Uberlagerung X und als Automorphismus Gruppe G hat, wirkt die Untergruppe H strikt unstetig ˜ und X ˜ → X/H ˜ ¨ auf X =: Y ist eine Uberlagerung. Weiters faktorisiert die Abbil˜ →X u ˜ → Y und gibt eine Abbildung p : Y → X. Nach Lemma dung π : X ¨ber X ¨ 24.35 haben wir, daß p eine Uberlagerungsabbildung ist und seine Standard-Faser −1 ∼ H\π (x0 ) = H\G = F ist. Weiters, da die Wirkung von G auf G = π −1 (x0 ) durch Rechtsmultiplikation gegeben ist, ist das auch richtig f¨ ur die Wirkung auf p−1 (x0 ) = H\G. Also entspricht der Wirkung auf Y gerade die nat¨ urliche Wirkung von G auf H\G. Bis auf den Isomorphismus H\G ∼ =G F haben wir also die ¨ gew¨ unschte Uberlagerung von X gefunden, d.h. wir haben gezeigt: 24.37 Folgerung. Wenn ein lokal wegzusammenh¨ angender Raum X eine einfachzusammenh¨ angende ¨ Uberlagerung hat, dann existiert f¨ ur jede Untergruppe H von G := π1 (X, x0 ) eine ¨ Uberlagerung p : (Y, y0 ) → (X, x0 ) mit H = π1 (p)π1 (Y, y0 ). ¨ Weiters stehen die Isomorphieklassen von wegzusammenh¨ angenden Uberlagerungen von X in Bijektion zu Konjugiertheitsklassen von Untergruppen von π1 (X, x0 ). 24.38 Theorem. Es sei X wegzusammenh¨ angend, lokal wegzusammenh¨ angend und semi-lokal ein¨ fachzusammenh¨ angend. Dann haben wir eine Aquivalenz zwischen der Kategorie ¨ von wegzusammenh¨ angenden Uberlagerungen von X und transitiven Wirkungen von G := π1 (X, x0 ). Covpc (X) ∼ Acttr (G). Insbesonders haben wir eine Bijektion zwischen Isomorphieklassen von wegzusam¨ menh¨ angenden Uberlagerungen von X mit Standard-Faser F und Konjugiertheitsklassen von transitiven Wirkungen von G := π1 (X, x0 ) auf F . Beweis. Es ist ein allgemeines kategorielles Resultat, daß ein voller und treuer ¨ Funktor, der bis auf Isomorphismen surjektiv auf Objekten ist, eine Aquivalenz ist. In der Tat ist ein Inverses gegeben durch die Auswahl eines inversen Bildes f¨ ur jedes Objekt im Bild bis auf einen Isomorphismus, und wegen der Vollheit und Treue kann dies zu einem Funktor erweitert werden. Insbesonders haben wir, daß das Skelett der zwei Kategorien isomorph ist. Somit haben wir eine Bijektion zwischen Isomorphie-Klassen von wegzusammenh¨angenden ¨ Uberlagerungen und Isomorphie-Klassen von transitiven Wirkungen erhalten. Beachte, daß ein Isomorphismus transitiver Wirkungen nichts anderes ist als eine Bijektion der Darstellungsr¨ aume, welche die Wirkungen vertauscht, d.h. ρ(g, y) = ϕ−1 (ρ(g, ϕ(y))) erf¨ ullt. Wenn F = F 0 ist, dann ist dies gerade eine Bijektion ϕ von F , sodaß die zwei Wirkungen konjugiert zueinander sind via ϕ. 210

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¨ 24. Uberlagerungen

24.39

Bemerkung. ¨ Wir wollen nun ein Beispiel geben, daß f¨ ur zwei Uberlagerungen p : Y → X und 0 0 p : Y → X bis auf Isomorphie mehr als ein Element in Hom(p, p0 ) sein kann. ugt es die entsprechende Frage f¨ ur transitive Wirkungen zu beNach 24.37 gen¨ trachten. Dazu nehmen wir Untergruppen H < H 0 < G, f¨ ur welche NormG (H) = H und NormG (H 0 ) = H 0 gilt und f¨ ur welche ein g ∈ / H 0 mit gHg −1 ⊆ H 0 existiert. Insbesonders ist dann AutG (H\G) = {1} und AutG (H 0 \G) = {1}. Als n¨achstes definieren wir zwei G-¨ aquivariante Abbildungen ϕj : H\G → H 0 \G. Solch eine Abbildung ϕ ist eindeutig bestimmt durch ihre Werte ϕ(H) = H 0 g auf H, da dann ϕ(Hg 0 ) = ϕ(H · g 0 ) = H 0 g · g 0 = H 0 (gg 0 ) gilt. Diese Definition macht Sinn, da Hg1 = Hg2 gilt, d.h. g1 g2−1 ∈ H ⇒ gg1 g2−1 g −1 ∈ gHg −1 ⊆ H 0 , d.h. H 0 gg1 = H 0 gg2 . Also k¨ onnen wir das angenommene g und e verwenden. Diese zwei Abbildungen sind nicht dieselben, da g ∈ / H 0 ⇒ Hg 6= He. Verbleibt zu zeigen, daß H, H 0 , G und g gefunden werden k¨onnen. Sei dazu F endlich, G := Bij(F ) und es sei {Fj : j ∈ J} eine Partition von F in disjunkte Teilmengen von verschiedener Kardinalit¨at ungleich Null. Dann ist H := {ϕ ∈ G : ∀ j ∈ J : ϕ(Fj ) = Fj } eine Untergruppe mit NormG (H) = H. In der Tat, sei g ∈ G so, daß gHg −1 ⊆ H gilt und wir nehmen an, es g¨abe irgendein Fj mit g(Fj ) 6= Fj . Da |g(Fj )| = |Fj | ist, existieren j ∈ J und y1 , y2 ∈ Fj , sodaß g(y1 ) und g(y2 ) in verschiedenen Mengen Fj1 und Fj2 sind. Nun nimm h ∈ H, welches durch Austauschen von y1 und y2 gegeben ist. Dann bildet ghg −1 den Punkt g(y1 ) auf g(y2 ) ab, und daher ist Fj1 nicht invariant, also ist ghg −1 ∈ / H. Es sei F = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} und F1 = {1}, F2 = {2, 3}, F3 = {4, 5, 6} und F4 = {7, 8, 9, 10}. Es sei H durch die Partition {F1 , F2 , F3 , F4 } gegeben und H 0 sei gegeben durch {F1 ∪ F2 , F3 ∪ F4 } und es sei g := (1, 4)(2, 5)(3, 6) ∈ / H 0 . Dann ist 0 −1 −1 gHg−1 ⊆ H , denn g (F1 ∪ F2 ) = F3 , g (F3 ) = F1 ∪ F2 und g −1 (F4 ) = F4 , daher gilt ghg −1 (F3 ) = gh(F1 ∪ F2 ) = g(F1 ∪ F2 ) = F3 , ghg −1 (F1 ∪ F2 ) = gh(F3 ) = g(F3 ) = F1 ∪ F2 und ghg −1 (F4 ) = F4 . 24.39 Beispiel. ¨ Wir wollen nun alle 3-fachen Uberlagerungen von S 1 ∨ S 1 , dem Torus S 1 × S 1 und der Klein’schen Flasche bestimmen. F¨ ur die Homotopiegruppe G haben wir in diesen F¨ allen hα, β : ∅i, hα, β : αβ = βαi und hα, β : α2 β 2 = 1i. Zuerst haben wir alle transitiven Wirkungen von hα, β : ∅i auf {0, 1, 2} zu bestimmen. Wir schreiben die Bijektionen von {0, 1, 2} in der Zykel Bezeichnung, d.h. diese sind {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}. Wobei (1) Ordnung 1 hat, und (123) und (132) haben Ordnung 3 und der Rest hat Ordnung 2. Bis auf Symmetrie d¨ urfen wir annehmen, daß das Bild a von α kleiner oder gleiche Ordnung hat wie das Bild b von β. Wenn ord a = 1, d.h. a = (1), dann muß ord b = 3 sein (andernfalls ist die Wirkung nicht transitiv) und die zwei m¨oglichen Wahlen sind via (123) konjugiert. Wenn ord a = 2, dann kann ord b = 2 sein, aber b muß verschieden von a sein (andenfalls ist die Wirkung nicht transitiv) und irgendwelche zwei Wahlen sind via dem dritten Element von Ordnung 2 konjugiert, oder b hat Ordnung 3, und wieder sind alle m¨ oglichen Wahlen ¨ aquivalent. Nach Konjugation mit b erhalten wir a ∼ a0 und b ∼ b und nach Konjugation mit a0 erhalten wir a0 ∼ a0 und b ∼ b0 . Wenn die Ordnung von a und b gerade 3 ist, k¨onnen diese Elemente entweder gleich oder verschieden sein. Beachte, daß die Wirkung genau dann normal ist, wenn jedes g ∈ G entweder Fixpunkt- frei wirkt oder die Identit¨at ist. Also m¨ ussen zumindest a und b von c 15. Dezember 2008 [email protected]

211

¨ 24. Uberlagerungen

24.40

Ordnung 3 oder 1 sein. Diese schließt die 3 Wirkungen in der Mitte der nachstehenden Tabelle aus. Da die von a und b erzeugte Gruppe {(1), (123), (132)} ist, ist in allen anderen F¨ allen die Wirkung normal. Die letzten zwei Spalten bestimmt man ¨ durch Uberpr¨ ufen von ab = ba und a2 b2 = 1 Wir erhalten somit die folgenden Repr¨asentanten f¨ ur alle transitive Wirkungen: a (1) (123) (12) (12) (123) (123) (123)

b (123) (1) (13) (123) (12) (123) (132)

normal + + + +

Torus + +

Klein.Flasche + + + +

¨ 24.40 Die Uberlagerungen mittels SLC (2) ¨ Wir wollen nun die folgenden Uberlagerungen, die im Zusammenhang mit der SLC (2) auftauchen beschreiben: SLC (2) × SLC (2) iRRR eee2 llll5 yy< e e RRR e e e y e l e RRR e l y e l ee RRR ( llllll - yyyy $ eeeeeeeeeee R6 V SU (2) × SL(2) SL(2) × SL(2) SLC (2) SU (2) × SU (2) iRRR y< y< ll5 RRR yy lllll yy R y y R RRR yy ll yy RRR V - yy - y(y lllll 6 SU (2) SL(2)  SO (4) 2 C f iRRR fffflflfll5 yy< f f RRR f f f f y l f RRR l f y f l ffff RRR ll yyy f f l  f l f f RR6 V    ( ll % ffffffff  - y Q− (2) SO(4) SO+ (4, 2) SOC (3) hRRR y< y< ll6 RRR yy yy lllll R y y R RRR y ll y RRR V  - yyy(  llll  - yyy 6 SO(3) SO+ (3, 1) ¨ Die Uberlagerung SLC (2) × SLC (2) → SOC (4) Die Wirkung von ρ : LC (2) × LC (2) → LC (LC (2)) durch (T, S) 7→ (R → T R S −1 ) eingeschr¨ ankt auf SLC (2) × SLC (2) erh¨alt die quadratische Form detC : LC (2) → C und somit auch die zugeh¨ orige nicht degenerierte symmetrische C-Bilinearform b : LC (2) × LC (2) → C, b(T, S) := Trace(T · S ad ). Es ist SOb (LC (2)) ∼ = SOC (4). Der Kern des Gruppen-Homomorphismuses ρ : SLC (2) × SLC (2) → SOb (LC (2)) ⊆ GL(LC (2)) ist {(T, S) : T R = R S ∀ R} = {(T, T ) : T ∈ Z(SLC (2))} = {(λ id, λ id) : λ2 = 1} = {(± id, ± id)}. Die Ableitung von ρ : LC (2) × LC (2) → L(LC (2)) ist ρ0 (id, id)(T, S) : R 7→ T R − R S 212

c 15. Dezember 2008 [email protected]

¨ 24. Uberlagerungen

24.40

und hat Kern {(T, S) : (T ) = 0 = (S), T R = R S ∀ R} = {(0, 0)}. Aus Dimensionsgr¨ unden ist somit ρ ein lokaler Diffeomorphismus mit offenen Bild in SOb (LC (2)) ¨ und da SOC (4) zusammenh¨ angend ist (siehe 24.45 ), ist ρ eine Uberlagerungsabbildung. ¨ Die Uberlagerung SLC (2) = SpC (2) → SOC (3) = SO+ (4, 1) Die Wirkung ρ eingeschr¨ ankt auf die Diagonale SLC (2) ⊆ SLC (2) × SLC (2) l¨aßt die Identit¨ at id ∈ LC (2) invariant und somit auch das Komplement der spurfreien Matrizen {T ∈ LC (2) : spurC (T ) = 0} ∼ = C3 . Die Wirkung ρ1 : SLC (2) × SLC (2) → LC (LC (2)), (T, S) 7→ (R 7→ T R S ∗ ) l¨aßt ebenfalls detC und somit auch b invariant. Eingeschr¨ankt auf SLC (2) l¨aßt sie den Teilraum der hermite’schen und der anti-hermite’schen Matrizen invariant. Folgende Matrizen bilden eine Orthonormalbasis von {T ∈ LC (2) : T ∗ = T }         1 0 1 0 0 1 0 i , , und . 0 1 0 −1 1 0 −i 0 Somit hat die Bilinearform b darauf Signatur 3 und folglich ist SOb ({T ∈ LC (2) : T ∗ = T }) ∼ = SO+ (4, 3) = SO+ (4, 1). ¨ Die Uberlagerung SL(2) × SL(2) → SO+ (4, 2) Da das Bild der Wirkung ρ in LC liegt, und die Einschr¨ankung auf die Untergruppe SL(2) × SL(2) den Real- und den Imagin¨arteil invariant l¨aßt, ist ρ eine Komplexifizierung dieser Einschr¨ ankung. Die Form b ist reellwertig auf L(2) und hat Signatur 2. Also ist SOb (L(2)) ∼ = SO+ (4, 2). ¨ Die Uberlagerung SL(2) = SU (2, 1) = Sp(2) → SO+ (3, 1) Die Einschr¨ ankung der Wirkung auf die Diagonale SL(2) l¨aßt ebenfalls den Realteil invariant. Folgende Matrizen bilden eine Orthonormalbasis von {T ∈ L(2) : Spur(T ) = 0}       1 0 0 1 0 1 , und . 0 −1 1 0 −1 0 Somit hat die darauf reellwertige Form b Signatur 2. Also ist SOb ({T ∈ L(2) : spur(T ) = 0}) = SO+ (3, 2) ∼ = SO+ (3, 1). ¨ Die Uberlagerung SU (2) × SU (2) → SO(4) Der Raum H der Quaternionen ist ein Teilraum von LC (2) und wird von SU (2) × SU (2) (wegen S 3 ∼ = SU (2) ⊆ H) invariant gelassen. Die Bilinearform b ist positiv definit auf H und somit ist SOb (H) ∼ = SO(4). ¨ Die Uberlagerung SU (2) = SLH (1) = Q(1) = S 3 → SO(3) Die Einschr¨ ankung der Wirkung auf die Diagonale SU (2) l¨aßt R ⊆ H invariant und somit auch das b-orthogonale Komplement. Es ist SOb (H/R) ∼ = SO(3). c 15. Dezember 2008 [email protected]

213

¨ 24. Uberlagerungen

24.41 ¨ Die Uberlagerung SL(2) × SU (2) → Q− (2)

Es ist SU (2, 1) = {T ∈ SLC (2) : T ∗ JT = J} = SL(2) und das Bild von SU (2, 1) × SU (2) unter der Wirkung ρ l¨ aßt zus¨atzlich die Sesquilinearform q : (R1 , R2 ) 7→ 1 ∗ spur(J R R ) invariant, denn 1 2 2i q(T R1 S −1 , T R2 S −1 ) = spur(JT R1 S −1 (T R2 S −1 )∗ ) = spur(JT R1 S −1 (S ∗ )−1 R2∗ T ∗ ) = spur(JT R1 (S ∗ S)−1 R2∗ T ∗ ) = spur(T ∗ JT R1 R2∗ ) = spur(JR1 R2∗ ) = q(R1 , R2 ). Die Matrizen  1 e0 = 0

 0 ; 1

 e1 =

i 0

 0 ; −i

 e2 =

0 −1

 1 ; 0

 e3 =

0 i

 i 0

bilden eine orthonormal Basis bez¨ uglich q. Und somit hat SU (2) × SL(2) Werte in SOC (4) ∩ LH (2) = Q− (2). ¨ Als n¨ achstes wollen wir die universelle (zweibl¨attrige) Uberlagerung der O(n, k) beschreiben. Dazu ben¨ otigen wir die folgende Algebra: 24.41 Die Clifford-Algebra. Es sei b : E × E → K eine symmetrische Bilinearform auf einem endlich dimensionalen K-Vektorraum E. Dann existiert eine L¨ osung folgenden universellen Problems: Es ist Cliff b (E) eine assoziative Algebra mit 1 zusammen mit einer linearen Abbildung i : E → Cliff b (E) die i(x)2 = b(x, x) 1 erf¨ ullt. Und f¨ ur jede andere lineare Abbildung f : E → A die (*) erf¨ ullt mit Werten in einer assoziativen Algebra A mit 1, existiert ein eindeutiger AlgebraHomomorphismus f˜, welcher folgendes Diagramm kommutativ macht: E> >> >> > f >> 

/ Cliff b (E)

i !

A

{

f˜

Ist (ei )m i=1 eine Basis von E, so ist (ei1 · · · · · eik )i1 <···
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¨ 24. Uberlagerungen

24.43

Cn /Cn−1 ist eine Bijektion. In der Tat ist nach den Isomorphies¨atzen Cn /Cn−1 ∼ = (An /I ∩ An )/(An−1 /I ∩ An−1 ) ∼ = (An /I ∩ An )/((An−1 + I ∩ An )/I ∩ An ) ∼ = An /(An−1 + I ∩ An ) ∼ = An /(An−1 + Jn ) ∼ =

n ^

E, Vn

Nn E gerade jenes Ideal ist, welches E= E/Jn beschreibt.   / / Cn /Cn−1 / An /An−1 (I ∩ An )/(I ∩ An−1 ) OO cHc H OO q8 8 OO HH qqq HH q q HH qq HH qqq HH  / / Cn I ∩ O An  u HH 7/ A n O QQQ HH nnn O n QQQ HH n n n QQQ H nn QQQ HHH ) nnnn Q( An−1 + I ∩ An fMMWMWWWW MMM WWWWW MMM WWWWWW WWWWW M ? ? WW+ +  ?  3 S/ / / Cn−1 An−1 I ∩ An−1  L∞ L ∼ ∞ Vn E = Somit ist Cliff b (E) als Vektorraum isomorph zu n=1 Cn /Cn−1 = n=1 V E, und somit bilden die angegebenen Elemente eine Basis. Die universelle Eigenschaft folgt nun sofort, da f zu einem Algebra-HomomorphisN mus E → A fortgesetzt werden kann, und diese die Erzeuger des Ideals annihiliert. wobei Jn ⊆

Nn

24.42 Definition. Es gibt eine Antiinvolution ∗ : Cliff b (E) → Cliff b (E), welche durch v1 · · · · · vk 7→ (−1)k vk · · · · · v1 gegeben ist, also durch die Zusammensetzung von α : v1 · · · · · vk 7→ (−1)k v1 · · · · · vk mit τ : v1 · · · · · vk 7→ vk · · · · · v1 . Wir identifizieren E mit seinen Bild in Cliff b (E) und bezeichnen mit Pinb (E) die Gruppe Pinb (E) := {x ∈ Cliff b (E) : x · x∗ = ±1 = x∗ · x,

x · E · x∗ ⊆ E}.

Dabei darf ±1 nur f¨ ur K = R und b mit Signatur auch den Wert -1 annehmen. Weiters sei ρ : Pinb (E) → GL(E) definiert durch ρ(x)(v) := α(x) · v · x∗ . Mit Spinb (E) bezeichnen wir dann die Gruppe Spinb (E) := ρ−1 (SOb (E)). 24.43 Theorem. Die Abbildung ρ : Pinb (E) → Ob (E), sowie ihre Einschr¨ ankung ρ : Spinb (E) → ¨ SOb (E) sind zweibl¨ attrige Uberlagerungen. Proof. Wir zeigen zuerst, daß ρ(x) ∈ Ob (E) gilt: b(ρ(x)(v), ρ(x)(v)) = ρ(x)(v) · ρ(x)(v) = −ρ(x)(v) · ρ(x)(v)∗ = −α(x) · v · x∗ · (α(x) · v · x∗ )∗ = −α(x) · v · x∗ · x · v ∗ α(x)∗ = −α(x) · v · v ∗ α(x)∗ = b(v, v) α(x · x∗ ) = b(v, v). c 15. Dezember 2008 [email protected]

215

¨ 24. Uberlagerungen

24.44

b(v,x) Es wird Ob (E) nach 14.10 durch Spiegelungen Tx : v 7→ v−2 b(x,x) x mit b(x, x) 6= 0 erzeugt. Falls K = C ist oder −b positiv definit ist, so k¨onnen wir b(x, x) = −1 voraussetzen. Dann liegt x ∈ Pinb (E), denn x · x∗ = −x · x = −b(x, x) = 1. Falls −b Signatur hat, dann haben wir in der Definition von Pinb (E) die Gleichung x·x∗ = ±1 verwendet. Es ist ρ(x)(x) = α(x)·x·x∗ = α(x) = −x und f¨ ur b(v, x) = 0 ist ρ(x)(v) = α(x) · v · x∗ = −x · v · x∗ = v · x · x∗ = v, also ist Tx = ρ(x). − ∗ Es sei x ∈ Ker ρ, dann setzen wir x = x+ +x− ∈ Cliff + b (E)⊕Cliff b (E). Aus x·x = 1 folgt 1 = x+ · x∗+ + x− · x∗− und 0 = x+ · x∗− + x− · x∗+ ; und aus α(x) · v · x∗ = v f¨ ur ∗ alle v ∈ E folgt v = x+ · v · x∗+ − x− · v · v− und 0 = x+ · v · x∗− − x− · v · x∗+ . Somit ist v · x+ = x+ · v und damit liegt x+ im Zentrum von Cliff b (E), und v · x− = −x− · v. Somit ist x+ ∈ K und x− = 0. Aus 1 = x2 = x2+ folgt x = ±1. Es ist Pinb (E) und Spinb (E) zusammenh¨angend, denn t 7→ (cos(t)v + sin(t)w) · (cos(t)v − sin(t)w) f¨ ur t ∈ [0, π/2] verbindet −1 mit 1 falls v, w ∈ E so gew¨ahlt werden daß b(v, w) = 0 und b(v, v) = −1 = b(w, w) ist.

24.44 Beispiele und Anwendungen Der Gruppenhomomorphismus 

t 0  s : t 7→  .  ..

0 1 .. .

... ... .. .

 0 0  ..  .

0

0

...

1

ist ein Schnitt f¨ ur folgende kurze exakte Sequenzen von Gruppen 1

/ SL(n)  

/ GL(n)

det

/ / R∗

/1

1

/ SO(n)  

/ O(n)

det

/ / Z2

/1

1

/ SO(n, k) 

/ O(n, k)

det

/ / Z2

/1

1

/ SLC (n) 

/ GLC (n) detC / / C∗

/1

1

/ SU (n)  

/ U (n)

detC

/ / S1

/1

1

/ SU (n, k)  

/ U (n, k)

detC

/ / S1

/1

1

/ SOC (n)  

/ OC (n)

detC

/ / Z2

/1





und somit semidirekte Produkte GL(n) ∼ = SL(n) n R∗ O(n) ∼ = SO(n) n Z2 O(n, k) ∼ = SO(n, k) n Z2 GLC (n) ∼ = SLC (n) n C∗ U (n) ∼ = SU (n) n S 1 U (n, k) ∼ = SU (n, k) n S 1 OC (n) ∼ = SOC (n) n Z2 216

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¨ 24. Uberlagerungen

24.44

Die Abbildung (t, T ) 7→ tT liefert exakte Gruppen-Sequenzen 1

/ R∗ × SL(2n + 1)

/ GL(2n + 1)

/1

1

/ Zn

/ C∗ × SLC (n)

/ GLC (n)

1

/ R+ × SLH (n)

/ GLH (n)

/ 1,

/1

wobei die erste und die letzte folglich ein Isomorphismen beschreiben. Beachte f¨ ur die zweite Zeile, daß tT = id ⇔ T =

1 1 id mit 1 = det(T ) = n . t t

Gramm-Schmidt Orthonormalisierung: Wir wollen nun den Quotienten GL(n)/O(n) beschreiben. Beachte dazu, daß O(n) kein Normalteiler ist. Nach 13.11 w¨are es w¨ unschenswert eine “Projektion” von GL(n) auf O(n) zu finden. Das GrammSchmidt Orthonormalisierungsverfahren (angenwandt auf die Spalten der Matrizen aus GL(n)) liefert uns das Gew¨ uschte: P k Sei (ej ) die standard-Orthonormalbasis. Und fj := T (ej ) = ur ein k ek Tj f¨ T ∈ GL(n). Wir wenden nun das Orthonormalisierungsverfahren auf fj an und erP halten eine Orthonormalbasis fj0 mit fk0 = j≤k fj Dkj mit Djj > 0 und Dkj = 0 f¨ ur P 0 k j > k. Es sei S die orthogonale Abbildung S(ej ) = fj = k ek Sj . D.h. S = D ◦ T , wobei D die Abbildung ist, die fj auf fj0 abbildet. Also gilt X X X X XX ek Tik Dji = ek ek Sjk = S(ej ) = fj0 = fi Dji = Tik Dji i

k

Sjk

k i Ti

P

i

k

k

i

−1

Dji ,

Also ist = bzw. [T ] = [S] [D] , wobei [S] ∈ O(n) und [D] eine obere Dreicksmatrix mit nur positiven Eigenwerten ist. Beachte, daß D und damit auch S (0) (0) ungliche glatt von T abh¨ angt. In mehr Details: Sei F (0) = (f1 , . . . , fn ) die urspr¨ Matrix von T . Das Gramm-Schmidt Verfahren konstruiert nun rekursiv Matrizen F (k) und G(k) , so daß die ersten k Spalten orthogonal bzw. orthonormal aufeinander stehen und alle bis auf die k-te Spalte mit jenen von F (k−1) und G(k−1) u ¨bereistimmen. Und zwar ist G(k) = F (k) · D(k) , wobei D(k) die Diagonalmatrix (k) mit k-ter Eintragung 1/kfk k und sonst lauter 1-er ist. Und F (k) = G(k−1) · T (k) , wobei T (k) sich von der Identitt¨at nur dadurch unterscheidet, daß die k-te Spalte (k−1)

(−hf1

(k−1)

, fk

(k−1)

(k−1)

i, . . . , −hfk−1 , fk

)i, 1, 0, . . . , 0)

ist. das Produkt D(0) T (1) D(1) . . . T (k) D(k) ist dann die gesuchte obere Dreiecksmatrix. Diese Darstellung ist eindeutig, da der Durchschnitt dieser beiden Gruppen gerade {1} ist. Wir haben somit gezeigt: Iwasawa-Zerlegung f¨ ur GL(n). Es ist ◦ : O(n) × D+ (n) → GL(n) ein Diffeomorphismus, wobei D+ (n) ⊆ GL+ (n) die aufl¨ osbare Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen mit nur positiven Eigenwerten ist. Folglich haben wir im Sinne von 13.11 die Sequenz O(n) ,→ GL(n)  D+ (n), wobei wir hier linke Nebenklassen O(n) · D betrachtet haben, und ein Schnitt durch die Inklusion D+ (n) ,→ GL(n) gegeben ist. c 15. Dezember 2008 [email protected]

217

¨ 24. Uberlagerungen

24.45

Da T 7→ T −1 ein Gruppen-Antiisomorphismus ist, ist D+ (n) auch isomorph zu den rechten Nebenklassen. Beachte, daß K := O(n) eine kompakte Gruppe ist, denn f¨ ur T ∈ O(n) ist 1 = kT t T k = kT k2 (also O(n) ⊆ L(n) beschr¨ankt und abgeschlossen). Die Untergruppe D k¨ onnen wir auch weiter zerlegen in D = A · N , wobei A die Abelsche Gruppe der Diagonal-Matrizen mit positiven Eigenwerten und N die nilpotente Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen mit 1 als Dagonaleintragungen ist. Wir haben also G = GL(n) in G = K · A · N zerlegt. Beachte weiters, daß dies auch Zerlegungen GL+ (n) = SO(n) · D+ (n) und SL(n) = SO(n) · (SL(n) ∩ D+ (n)) liefert. Das Verfahren funktioniert genauso f¨ ur SU (n) ⊆ SLC (n) und Q(n) ⊆ SLH (n). ∼ Rn(n+1)/2 als Mannigfaltigkeit und somit Es ist D+ (n) ∼ = (R+ )n × Rn(n−1)/2 = kontrahierbar, d.h. O(n) ist ein Deformationsretrakt von GL(n) und es gen¨ ugt somit f¨ ur viele topologische Fragen (insbesonders homotopietheoretischer Natur) die Untergruppe O(n) (bzw. SO(n)) zu studieren. 24.45 Einige transitive Wirkungen Die Gruppen G der Form Ob (E), Ub (E) und Qb (E) wirken per Definition auf E (durch T 7→ (x 7→ T (x))) bzw. auch diagonal auf E × E (d.h. T 7→ ((x, y) 7→ (T x, T y))) und lassen die Niveau-Fl¨achen Ec := {x ∈ E : b(x, x) = c} (bzw. (E × E)c := {(x, y) : b(x, y) = c}) f¨ ur jedes c ∈ K invariant. F¨ ur festes x ∈ Ec bzw. (x, y) ∈ (E × E)c sei ρ : L(E) → Ec bzw. ρ : L(E) → (E × E)c die durch T 7→ T (x) bzw. T 7→ (T (x), T (y)) gegebenen linearen Abbildungen. Wir werden zeigen, daß f¨ ur alle diese Gruppen (bei geeigneter Wahl von c) zumindest eine dieser beiden Abbildung ρ surjektiv ist, also G auf der Niveaufl¨ache M = G · x transitiv wirkt. Weiters werden wir zeigen, daß die Fixpunktgruppe Gx eines festen Punkts x in der Niveaufl¨ ache vom selben Typ aber kleinerer Dimension wie G ist. Die daraus erhaltenen Hauptfaserb¨ undel Gx ,→ G  M (siehe auch 70.6 ) lassen uns dann mit Induktion unter anderem die Homotopiegruppen von G berechnen. SO(n). Diese Gruppe wirkt offensichtlich auf Rn . Der Orbit durch einen Punkt x0 ∈ Rn ist {x ∈ Rn : b(x, x) = b(x0 , x0 )} ∼ ur = S n−1 . In der Tat k¨onnen wir (f¨ n ≥ 2) sowohl x als auch x0 zu einer positiv orientierten Orthonormalbasis erg¨anzen (erg¨ anze zu irgendeiner Basis und wende das Gramm-Schmidt Verfahren an), und der Basiswechsel geh¨ ort dann zu SO(n). Insbesonders wirkt also SO(n) transitiv auf S n−1 und die Fixgruppe bzgl. 1 = (0, . . . , 0, 1) ∈ S n−1 ist isomorph zu SO(n−1) (denn T l¨ aßt dann auch 1⊥ = Rn−1 invariant), d.h. wir haben die Sequenz: SO(n − 1) ,→ SO(n)  S n−1 . SU (n) wirkt entsprechend auf Cn mit Orbits {x ∈ Cn : h(x, x) = c}, wobei h die standard Hermite’sche Form ist. Insbesonders wirkt also SU (n) transitiv auf S 2n−1 mit Fixgruppe bzgl. 1 = (0, . . . , 0, 1) isomorph zu SU (n − 1), d.h. wir haben die Sequenz: SU (n − 1) ,→ SU (n)  S 2n−1 . Q(n) wirkt schließlich auf Hn mit Orbits {x ∈ Cn : q(x, x) = c}, wobei q die standard Quaternionisch-Hermite’sche Form ist. Insbesonders wirkt also Q(n) transitiv 218

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¨ 24. Uberlagerungen

24.45

auf S 4n−1 mit Fixgruppe bzgl. 1 = (0, . . . , 0, 1) isomorph zu Q(n − 1), d.h. wir haben die Sequenz: Q(n − 1) ,→ Q(n)  S 4n−1 . SO + (n,k). Diese Gruppe wirkt f¨ ur k < n transitiv auf {x ∈ Rn : b(x, x) = 1} ∼ = k n−k−1 R ×S und die Fixgruppe von 1 = (0, . . . , 0; 1) ist isomorph zu SO+ (n−1, k). Also haben wir die Sequenz: SO+ (n − 1, k) ,→ SO+ (n, k)  Rk × S n−k−1 . In der Tat {x ∈ Rn : b(x, x) = 1} = {(x, y) ∈ Rk × Rn−k : −|x|2 + |y|2 = 1} ∼ = {(x, y) : x ∈ Rk × S n−k−1 }, wobei der Isomorphismus durch (x, y) 7→ (x, √ 1 2 y) 1+|x|

gegeben ist. Da 1⊥ = Rn−1 ist G1 = SO+ (n − 1, k). Schließlich folgt die Transitivit¨ at, indem wir f¨ ur x 6= y mit b(x, x) = 1 = b(y, y) in der x-y-Ebene x in y drehen. (geht durch Zusammensetzung von zwei Spiegelungen um x − z und y − z, wobei z ein Vektor in dieser Ebene mit b(z, z) = 1 und b(z, x) 6= 1 6= b(z, y) ist). SU (n,k) und Q(n,k). Hier gehen wir analog vor und erhalten SU (n − 1, k) ,→ SU (n, k)  R2k × S 2n−2k−1 Q(n − 1, k) ,→ Q(n, k)  R4k × S 4n−4k−1 . Sp(n) wirkt transitiv auf M := {(x, y) ∈ R2n : b(x, y) = 1} und die Fixgruppe von (em , em ) ist isomorph zu Sp(n − 2), wobei n = 2m ist. Also haben wir die Sequenz: Sp(n − 2) ,→ Sp(n)  Rn × S n−1 . Daß Sp(n) transitiv auf M wirkt, k¨onnen wir wie folgt sehen: F¨ ur b(x, y) = 1 = b(x0 , y 0 ) erg¨ anzen wir x und y zu komplementierten Lagrange Teilr¨aumen L und M und ebenso x0 und y 0 zu L0 und M 0 . Wir k¨onnen nun x mit Vektoren in y ⊥ zu einer Basis (x, e2 , . . . , em ) von L erg¨anzen und in M die via z 7→ b(z, ) duale Basis (y, em+2 , . . . , e2m ) w¨ ahlen. Und ebenso erhalten wir zweitens eine Basis (x0 , e02 , . . . , e0m ; y 0 , e0m+2 , . . . , e02m ) von E. Der Basiswechsel ist klarerweise der gesuchte Symplektomorphismus. Schließlich wollen wir noch {(x, y) : b(x, y) = 1} bestimmen. Es ist b(x, y) = hJx, yi und somit erhalten wir eine Kette von Diffeomorphismen: M := {(x, y) ∈ R2n : b(x, y) = hJx, yi = 1(⇒ y 6= 0)} via J × 1 1 ∼ = {(x, y) ∈ R2n : hx, yi = 1} via (x, y) 7→ (x + 2 y, y) |y| 1 ∼ = {(x, y) ∈ Rn × Rn∗ : hx, yi = 0} via (x, y) 7→ (x, y, |y|) |y| ∼ {(x, y, t) ∈ Rn × S n−1 × R+ : hx, yi = 0} via (x, y, t) 7→ (y, x; ln t) = ∼ = T S n−1 × R via (y, x; t) 7→ (y, x + t y) ∼ = S n−1 × Rn . SOC (n) und SpC (n). Hier erhalten wir analog SOC (n − 1) ,→ SOC (n)  {x ∈ Cn : b(x, x) = 1} ∼ = T S n−1 SpC (n − 2) ,→ SpC (n)  {(x, y) ∈ Cn × Cn : b(x, y) = 1} und M := {x ∈ Cn : b(x, x) = 1} = {(x, y) ∈ R2n : |x|2 − |y|2 = 1, hx, yi = 0} ∼ = {(x, y) ∈ S n−1 × Rn : hx, yi = 0} ∼ = T S n−1 c 15. Dezember 2008 [email protected]

219

¨ 24. Uberlagerungen

24.45 sowie

M := {(z, w) ∈ C2n : b(z, w) = hJ z¯, wiC = 1} n

= {(z, w) ∈ C ×

Cn∗

: hz, wiC = 1}

= {(z, w) ∈ Cn × Cn∗ : hz, wiC = 0}

via J × 1   w via (z, w) 7→ z − |w| 2,w   w , |w| via (z, w) 7→ z, |w|

= {(z, w, t) ∈ Cn × S 2n−1 × R+ : hz, wi + i hiz, wi = 0} via (z, w, t) 7→ (z + tw, w) = {(z, w) ∈ Cn × S 2n−1 : hiz, wi = 0} n

= {(z, w) ∈ C × S

2n−1

via (z, w) 7→ (z, iw)

: hz, wi = 0} = T S 2n−1

da hw, iwi = 0

Q− (n) wirkt transitiv auf {x ∈ Hn : q(x, x) = i} mit Fixpunktgruppe Q− (n − 1) bzgl. 1 := (0, . . . , 0; 1). Also erhalten wir eine Sequenz Q− (n − 1) ,→ Q− (n)  T S 2n−1 /R, wobei T S 2n−1 /R das (ziemlich nicht triviale) Komplement des durch Multiplikation mit i gegeben trivialen Linienb¨ undels des Tangentialb¨ undels T S 2n−1 ist, siehe 25.2 . In der Tat ist q(x, x) = −q(x, x), d.h. q(x, x) ∈ {0} × R3 , bzw. in Koordinaten X  (xl )2 + (xn+l )2 − (x2n+l )2 − (x3n+l )2 q(x, x) = i l

+ 2j

X

xn+l x2n+l − xl x3n+l



l

+ 2k

X

 xl x2n+l + xn+l x3n+l .

l

Und somit ist M := {(x, y, z, u) ∈ Rn × Rn × Rn × Rn : q(x, x) = i} = {(x, y, z, u) : |x|2 + |y|2 = 1 + |z|2 + |u|2 , h(x, y), (z, u)i = 0, h(x, y), (−u, z)i = 0} ∼ = {(v, w) ∈ S 2n−1 × Cn : v ⊥ w, v ⊥ iw} =: E, also ist E das orthogonale Komplement des trivialen Linienb¨ undels {(v, iv) : v ∈ S 2n−1 } ⊆ T S 2n−1 = {(v, w) : v ∈ S 2n−1 , v ⊥ w}. Die Fixpunktgruppe ist offensichtlich Q− (n), denn 1⊥ = Hn−1 . Daß Q− (n) auf M transitiv wirkt, sehen wir wie folgt: Die Standardbasis el erf¨ ullt q(ej , ek ) = i δj,k . Wir nennen so eine Basis eine Orthonormalbasis f¨ ur q. Jeder Vektor f1 mit q(f1 , f1 ) = i l¨ aßt sich zu einer Orthogonalbasis (fj ) induktiv wie folgt erweitern. Seien (fj )j≤k bereits gew¨ ahlt. Sei x 6= 0 in {x : q(fj , x) = 0 ∀ P j ≤ k}. Dann ist x linear unabh¨ angig von {f1 , . . . , fk }, denn andernfalls ist x = j≤k fj λj mit λj ∈ H, und 0 = q(fj , x) liefert induktiv λj = 0, d.h. x = 0. Da qP nicht degeneriert ist, existiert ein x0 mit q(x, x0 ) 6= 0. Dann setzen wir x00 := x0 + j≤q fj i q(fj , x0 ) und es gilt: q(x, x00 ) = q(x, x0 ) 6= 0 und q(fj , x00 ) = q(fj , x0 ) + q(fj , x0 ) i2 = 0. Nun ist q(x + x00 λ, x + x00 λ) = q(x, x) + λ q(x00 , x) + q(x, x00 ) λ + λ q(x00 , x00 ) λ. W¨are also q(x, x) = 0 f¨ ur alle x ∈ hf1 , . . . , fk i⊥ , dann w¨are q(x, x00 ) λ + q(x, x00 ) λ = 0 f¨ ur alle λ und somit q(x, x00 ) λ ∈ {0} × R3 f¨ ur alle λ und somit q(x, x00 ) = 0. Da 220

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¨ 24. Uberlagerungen

24.46

λ 7→ (λ · x · λ) transitiv auf {0} × R3 wirkt, k¨onnen wir o.B.d.A. annehmen, daß q(x, x) = i ist, und somit ist x das gesuchte fk+1 . Zusammenfassend haben wir also die folgenden Hauptfaserb¨ undel mit den angegebenen Dimensionen 

SO+ (n − 1, k) (n−1)(n−2) 2

SU (n − 1, k)  n2 −2n



Q(n − 1, k) (n−1)(2n−1)



SOC (n − 1)



(n−2)(n−1)

Q− (n − 1) (n−1)(2n−3)

/ SU (n, k) n2 −1

/ Q(n, k) / Sp(n)

(n−2)(n−1) 2

SpC (n − 2)

n(n−1) 2

n(2n+1)

 Sp(n − 2) 

(n−1)(n−2)



/ SO+ (n, k)

n(n+1) 2

/ SOC (n) n(n−1)

/ SpC (n) n(n+1)



/ Q− (n) n(2n−1)

/ / Rk × S n−k−1 n−1

/ / R2k × S 2n−2k−1 2n−1

/ / R4k × S 4n−4k−1 4n−1

/ / Rn × S n−1 2n−1

/ / T S n−1 2n−2

/ / T S 2n−1 4n−2

/ / T S 2n−1 /R 4n−3

Nun das in 21.22 versprochene Beispiel u ¨ber Transversalit¨at:

24.46 Das M¨ obiusband als Nullstellenmenge

Betrachten wir das M¨ obiusband M¨ob ⊆ R3 . Dieses kann nicht die Nullstellenmenge einer regul¨ aren R-wertigen Funktion sein, sonst w¨are das M¨obiusband orientierbar (siehe 46.8 ). Wir wollen nun M¨ob als Urbild der Einbettung P1 ,→ P2 unter einer Abbildung vom Volltorus nach P2 darstellen, die transversal zu P1 ist. Dazu die ¨ des Volltorus: folgende Uberlagerung p : R × D2 → Volltorus ⊆ R3 wobei D2 = {(t, s) ∈ R2 : t2 + s2 ≤ 1}     ϕ cos 2ϕ(1 + t · cos ϕ − s · sin ϕ)     p :  t  7→  sin 2ϕ(1 + t · cos ϕ − s · sin ϕ)  s t · sin ϕ + s · cos ϕ

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221

¨ 24. Uberlagerungen

24.46 p ist Zusammensetzung von Ψ1 und Ψ2 mit       ϕ ϕ ϕ  t¯   t · cos ϕ − s · sin ϕ t  Ψ1 :   7→   =:   und t · sin ϕ + s · cos ϕ s s¯     ¯ ϕ cos 2ϕ(1 + t)    t¯  Ψ2 :   7→  sin 2ϕ(1 + t¯)  s¯ s¯

mit den Ableitungen:   1 0 0 Ψ01 = ∗ cos ϕ − sin ϕ und ∗ sin ϕ cos ϕ   −2 sin 2ϕ(1 + t¯) cos 2ϕ 0 Ψ02 =  2 cos 2ϕ(1 + t¯) sin 2ϕ 0 0 0 1

Also ist p ein lokaler Diffeomorphismus, d.h. eine submersive Immersion

p−1 (M¨ ob) = {(ϕ, t, 0)} (vergleiche 9.3 ) p−1 (M¨ obiusband, das um π/2 verdreht startet) = {(ϕ, 0, s)}. Sei die glatte Abbildung p¯ : S 1 × D2 → Volltorus ⊆ R3 , definiert durch   x  2  (x − y 2 )(1 + tx − sy)  y       7→  2xy · (1 + tx − sy) . t ty + sx s Da ( π:

R × D2 → S 1 × D2 (ϕ, t, s) → (cos ϕ, sin ϕ, t, s)

¨ eine Submersion (sogar die universelle Uberlagerung) ist und p = p¯ ◦ π ein lokaler Diffeomorphismus ist, und da jeder Punkt des Torus unter p¯ zwei Urbilder hat, ist ¨ p¯ eine zweibl¨ attrige Uberlagerung. Außerdem gilt p¯−1 (M¨ob) = {(x, y; t, 0)}. Sei nun die glatte Abbildung f gegeben durch ( f:

222

S 1 × D2 → S 2 p (x, y; t, s) 7→ (x, y, s) · ( 1 + s2 )−1

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¨ 24. Uberlagerungen

24.46

¨ dann ist f −1 (S 1 ) = p¯−1 (M¨ ob), wo S 1 ⊆ S 2 der Aquator (i.e. s = 0). Da q : S 2 → P2 ¨ per Definition eine Uberlagerung ist, und p¯(x, y; t, s) = p¯(x1 , y1 ; t1 , s1 ) ⇒ ⇒ (x, y; t, s) = ±(x1 , y1 ; t1 , s1 ) p ⇒ f (x, y; t, s) = (x, y, s) · ( 1 + s2 )−1 q = ±(x1 , y1 , s1 ) · ( 1 + s21 )−1 = ±f (x1 , y1 ; t1 , s1 ) ⇒ q(f (x, y; t, s) = q(f (x1 , y1 ; t1 , s1 )), l¨ aßt sich also f¯:Volltorus → P2 durch folgendes Diagramm wohldefinieren: R × D2

R × D2

p

π

 S 1 × D2

p¯

 / Volltorus f¯

f

 S2

 / P2

q

Die Einschr¨ ankung von f¯ auf M¨ob macht folgendes Diagramm kommutativ. S 1 × D2

⊇

f

f

 S2

 S1

⊇

/ M¨ob

p¯

S 1 × (−1, 1) × {0}

⊆

Volltorus

f |M¨ ob q|S

1

 / P1

⊆



f¯

P2 ,

denn klarerweise ist f¯−1 (P1 ) = f¯−1 (q(S 1 )) = p¯(f −1 (S 1 )) = p¯(S 1 × (−1, 1) × {0}) = M¨ob. ¨ Da f transversal zur S 1 ist, ist auch f¯ transversal zu P1 (q ist Uberlagerung). Sei n¨ amlich v := (v0 , v1 , v2 ) ∈ T(x,y,0) S 2 ⊆ R3 . Dann ist v ⊥ (x, y, 0) = f (x, y, t, 0), d.h. d d (v0 , v1 ) ⊥ (x, y), i.e. (v0 , v1 ) ∈ T(x,y) S 1 . Weil dt |t=0 t · (1 + t2 )−1 = 1 und dt |t=0 (1 + 2 −1 2 t ) = 0) ist (0, 0, v2 ) = T(x,y,t,0) f (x, y; t, v2 ), also Tf (x,y,t,0) S = T(x,y,0) S 1 + Bild T(x,y,t,0) f .

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223

IV.

Vektorfelder

Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen werden auf Mannigfaltigkeiten durch Vektorfelder beschrieben. Um von der Glattheit jener sprechen zu k¨onnen, ben¨otigen wir das Tangentialb¨ undel als Mannigfaltigkeit bzw. besser als Vektorb¨ undel und diese beiden Dinge stellen wir in den ersten beiden Abschnitten bereit. Die n¨achsten beiden sind den Differentialgleichungen und ihren L¨osungen, den lokalen Fl¨ ussen, gewidmet. Es wird dann die Lie-Klammer als Obstruktion gegen das Vertauschen der lokalen Fl¨ usse zweier Vektorfelder behandelt. Schließlich folgt noch die Verallgemeinerung zu Integralmannigfaltigkeiten von Teilvektorb¨ undeln und der zentrale Satz von Frobenius u ber deren Existenz. ¨

25. Tangentialbu ¨ ndel 25.1 Motivation Wir wollen gew¨ ohnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung auf Mannigfaltigkeiten behandeln. Dazu betrachten wir zuerst den klassischen Fall: Ist eine Differentialgleichung x0 (t) = f (x(t)) bzw. x0 (t) = f (t, x(t)) gegeben, wobei f : U → Rn , U ⊆ Rn offen ist, so erh¨ alt man als L¨ osung zur Anfangsbedingung x(0) = x0 eine lokal definierte differenzierbare Kurve x : (a, b) → U . Wir wollen nun U durch eine Mannigfaltigkeit M ersetzen. Als L¨osungskurve x : (a, b) → M werden wir wohl eine differenzierbare Kurve in der Mannigfaltigkeit erhalten. Deren Ableitung x0 (t) an der Stelle t ist ein Tangentialvektor in Tx(t) M . Die die Differentialgleichung konstituierende Funktion f muß folglich Punkte x ∈ M auf Tangentialvektoren in diesen Punkten abbilden: G f : M 3 p 7→ f (p) ∈ Tp M, d.h. f : M → Tp M, p∈M

wobei

F

p∈M

Tp M die disjunkte Vereinigung aller Tp M mit p ∈ M bezeichnet.

25.2 Definition (Tangentialb¨ undel) Sei M eine Mannigfaltigkeit, so ist der Tangentialraum von M definiert durch: G [ T M := Tp M := {p} × Tp M. p∈M

p∈M

Auf T M definiert πM : {p}×Tp M 3 (p, v) 7→ p ∈ M die sogenannte Fußpunktabbildung. Jedes glatte f : M → N induziert eine Abbildung T f : T M → T N , die sogenannte Tangentialabbildung von f , die durch (T f )(p, v) := (f (p), Tp f (v)) mittels der Tangentialabbildung von f bei p Tp f : Tp M → Tf (p) N definiert ist. Es ist also T f |T M = Tp f : Tp M ∼ = {p} × Tp M → {f (p)} × Tf (p) N ∼ = Tf (p) N p

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225

25.3

25. Tangentialb¨ undel

linear. Seien f : M → N und g : N → P glatt, dann nimmt die Kettenregel aus 20.4 die sehr einfache Gestalt T (g ◦ f ) = T g ◦ T f an, wie folgende Rechnung zeigt:   (T (g ◦ f ))(x, v) = (g ◦ f )(x), Tx (g ◦ f )(v) 20.4 
 ==== = g(f (x)), Tf (x) g (Tx f )(v) =

(T g ◦ T f )(x, v) = T g(T f (x, v)) = T g(f (x), Tx f (v)) 20.4 
 = ==== = g(f (x)), Tf (x) g (Tx f )(v) Weiters gilt T idM = idT M und (T f )−1 = T (f −1 ) f¨ ur Diffeomorphismen f . 25.3 Bemerkungen Um von f : M → T M sch¨ one Eigenschaften (insbesondere Differenzierbarkeit) fordern zu k¨ o nnen, brauchen wir eine glatte Mannigfaltigkeitsstruktur auf T M = F T M . Betrachten wir dazu vorerst wieder Teilmannigfaltigkeiten M eines x x∈M Rn . S Sei M = U ⊆ Rm offen, dann ist Tp M = Rm und somit T M = p∈M {p} × Rm = M × Rm . F¨ ur eine glatte Abbildung f : Rm ⊇ U → V ⊆ Rn ist die Tangentialabbildung T f : U × Rm → V × Rn gegeben durch (T f )(x, v) = (f (x), f 0 (x)(v)). Sei nun M eine Teilmannigfaltigkeit des Rn und sei ϕ : Rm ⊇ U → W ∩ M eine lokale Parametrisierung. Dann ist [ TM = {p} × Tp M ⊆ M × Rn ⊆ Rn × Rn = R2n . p∈M

Weiters ist T ϕ : R ⊇ U × Rm = T U → T M , (x, v) 7→ (ϕ(x), ϕ0 (x)(v)) eine lokale Parametrisierung von T M : Sie ist klarerweise C ∞ und ist auf der offenen Teilmenge T U des R2m definiert. 2m

Die Ableitung von T ϕ an der Stelle (x, v) ∈ T U = U × Rm in Richtung (w, h) ∈ Rm × Rm ist (T ϕ)0 (x, v)(w, h) = (ϕ0 (x)(w) + 0, ϕ00 (x)(w, v) + ϕ0 (x)(h)). Die Jacobi-Matrix von T ϕ bei (x, v) ist somit:   ϕ0 (x) 0 . ϕ00 (x)( , v) ϕ0 (x) Da ϕ regul¨ ar ist, ist ϕ0 (x) invertierbar und somit auch die Jacobi-Matrix von T ϕ, d.h. T ϕ ist regul¨ ar. Sei f : M → N glatt und seien ϕ : Rm → M sowie ψ : Rn → N lokale Parametrisierungen und somit nach dem eben Gezeigen T ϕ und T ψ lokale Parametrisierungen von T M und T N . Die lokale Darstellung von T f bez¨ uglich dieser Parametrisierungen ist: (T ψ)−1 ◦ T f ◦ T ϕ = T (ψ −1 ) ◦ T f ◦ T ϕ = T (ψ −1 ◦ f ◦ ϕ). Da die lokale Darstellung ψ −1 ◦ f ◦ ϕ von f glatt ist, gilt gleiches auch f¨ ur die von T f , also ist auch T f glatt. Falls nun M eine abstrakte Mannigfaltigkeit ist, dann sollten wir mittels der Karten ϕ : Rm ⊇ U → M von M einen glatten Atlas {T ϕ : T U = U × Rm → T M } von 226

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25.6

25. Tangentialb¨ undel

T M definieren k¨ onnen. In der Tat zeigt die selbe Rechnung wie zuvor f¨ ur f = idM , daß der Kartenwechsel (T ψ)−1 ◦ T ϕ = T (ψ −1 ◦ ϕ) glatt ist. 25.4 Lemma (Tangentialb¨ undel als Faserb¨ undel). undel. F¨ ur jede Mannigfaltigkeit M ist T M −π→ M ein Faserb¨ Beweis. Wir m¨ ussen lokale Trivialisierungen von T M −π→ M finden. Sei dazu ϕ : U → M eine Karte von M . Dann ist ϕ : U → ϕ(U ) ⊆ M ein Diffeomorphismus auf eine offene Teilmenge von M und T ϕ : U × Rm = T U → T M ist eine Karte von T M nach 25.3 . Das Bild von T ϕ ist Bild(T ϕ) = {(x, v) ∈ T M : x ∈ Bild ϕ =: V, v ∈ Tx M } −1 = {(x, v) ∈ T M : x ∈ V } = πM (V ).

Eine Trivialisierung Ψ := T ϕ ◦ (ϕ−1 × Rm ) von π u ¨ber V ist nun durch folgendes Diagramm gegeben: TM o

⊇

π

π

 M o

w ∼ ? _ π −1 (V ) o = Tϕ

⊇

Ψ

TU o

∼

∼ =

/ U × Rm o = −1 ϕ

pr1

π

 ? _ V go

ϕ ∼ =

 U

 U o

V × Rm

×Rm

pr1 −1

ϕ ∼ =

 V

id

Bemerkung Wir haben noch eine zus¨ atzliche Struktur auf T M , denn die Fasern Tx M = π −1 (x) sind Vektorr¨ aume und T0 ϕ : Rm = T0 Rm → Tx M ist linear. 25.5 Definition (Vektorb¨ undel) Ein Faserb¨ undel p : E → M heißt Vektorb¨ undel (VB), falls alle Fasern p−1 (x) =: Ex Vektorr¨ aume sind und f¨ ur jedes x0 ∈ M eine offene Umgebung U ⊆ M sowie eine lokale Trivialisierung Ψ existiert, / p−1 (U ) U × RFk ∼ = FF x FF xx F xxp x pr1 FF F# {xxx U Ψ

die faserweise linear ist, d.h. Ψx := Ψ(x, .) : Rk → Ex ist linear f¨ ur jedes x ∈ U . So eine lokale Trivialisierung heißt dann Vektorb¨ undelkarte. Unter einem Vektorb¨ undel E → M kann man sich eine Familie {Ex : x ∈ M } von Vektorr¨ aumen vorstellen, welche durch M in einen gewissen Sinn glatt parametrisiert ist. 25.6 Satz (Tangentialb¨ undel als Vektorb¨ undel). Das Tangentialb¨ undel T M → M jeder Mannigfaltigkeit M ist ein Vektorb¨ undel. c 15. Dezember 2008 [email protected]

227

25.7

25. Tangentialb¨ undel ∼

Beweis. Sei ϕ : Rm ⊇ U −=→ V ⊆ M eine lokale Parametrisierung von M . Dann erhalten wir nach 25.4 eine lokale Trivialisierung Ψ von T M als oberste Zeile des folgenden kommutativen Diagramms: Ψ

V ×

ϕ×id Rm o ∼ =

pr1

 V o

U × Rm

% / T M |V

Tϕ ∼ =

pr1 ϕ ∼ =

π

 U

 / :V

ϕ ∼ =

id

Bleibt zu zeigen, daß v 7→ Ψ(x, v) von Rm → {x} × Tx M ∼ = Tx M linear ist. Diese Abbildung ist aber v 7→ (x, v) 7→ (ϕ−1 (x), v) 7→ (ϕ(ϕ−1 (x)), Tϕ−1 (x) ϕ · v) 7→ Tϕ−1 (x) ϕ · v | {z } =x

und somit klarerweise linear.

25.7 Bemerkungen 1. Zu zwei Vektorb¨ undelkarten ψU : U × Rk → p−1 (U ) und ψV : V × Rk → −1 p (V ) ist der Vektorb¨ undelkartenwechsel ψV−1 ◦ ψU : (U ∩ V ) × Rk → p−1 (U ∩ V ) → (U ∩ V ) × Rk von der Form   (x, v) 7→ (pr1 ◦ψV−1 ◦ ψU )(x, v), (pr2 ◦ψV−1 ◦ ψU )(x, v) . {z } | {z } | =x

=:ψV U (x)·v

Die wesentliche Komponente (pr2 ◦ψV−1 ◦ ψU ) : (U ∩ V ) × Rk → Rk haben wir dabei durch ψU V := (pr2 ◦ψV−1 ◦ ψU )∨ : U ∩ V → L(k, k) beschrieben (beachte dabei, daß ψV−1 ◦ ψU faserweise linear ist). Diese Abbildung ψV U heißt Transitionsfunktion. Es hat ψV U Werte in GL(k) ⊆ L(k, k), denn die Inverse zu ψV U (x) ist ψU V (x). 2. Im Falle des Tangentialb¨ undels T M → M erhalten wir Transitionsfunktionen wie folgt, wobei wir f¨ ur Karten ϕ : Rm ⊇ U → M die Bezeichnungsweise ϕ0 (y) f¨ ur Ty ϕ : Rm ∼ = Ty U → Tϕ(y) M verwenden: ψi (x, v) := (x, ϕi 0 (ϕi −1 (x))(v))

⇒

(x, ψi,j (x)(v)) := (ψi −1 ◦ ψj )(x, v) 
−1
 = x, ϕi 0 (ϕi −1 (x)) ϕj 0 (ϕj −1 (x)) (v) = (x, (ϕi −1 ◦ ϕj )0 (ϕj −1 (x))(v)) ψi,j (x) := (ϕi

−1

0

◦ ϕj ) (ϕj

−1

⇒

(x)).

Also sind diese Transitionsfunktionen im wesentlichen die Ableitung des Kartenwechsels ϕi −1 ◦ ϕj von M . 3. Die Transitionsfunktionen erf¨ ullen allgemein die Kozykel-Gleichungen: ψU3 U2 (x) ◦ ψU2 U1 (x) = ψU3 U1 (x) f¨ ur alle x ∈ U1 ∩ U2 ∩ U3 ψU U (x) = idRn f¨ ur alle x ∈ U 228

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25.7

25. Tangentialb¨ undel

4. Nach Konstruktion ist die Abbildung ψˆU V : (U ∩ V ) × Rk → Rk mit ψˆV U : (x, v) 7→ ψV U (x) · v glatt. Und wir behaupten nun, daß dies dazu ¨aquivalent ist, daß ψV U : U ∩V → GL(k) ⊆ L(k, k) selbst glatt ist. Um das zu beweisen, bezeichnen wir mit ev die glatte (da bilineare) Evaluationsabbildung ev : L(k, k) × Rk → Rk , (A, v) 7→ A · v. (⇐) gilt, da k ψˆV U : (U ∩ V ) × Rk −ψV U ×R → L(k, k) × Rk −ev→ Rk

(⇒) Es ist ψV U : U ∩ V → L(k, k) C ∞ , falls evy ◦ ψV U glatt ist ∀ y ∈ Rk , wobei evy : L(k, k) → Rk , T 7→ T (x) bezeichnet. Das ist der Fall, denn (evy ◦ ψV U )(x) = ψV U (x) · y = ψˆV U (x, y) ⇒ evy ◦ ψV U = ψˆV U ( , y) ist C ∞

∀ y.

5. Sei nun M eine Mannigfaltigkeit und p : E → M eine auf einer Menge E definierte Abbildung so, daß eine Familie von fasertreuen (d.h. p ◦ ψU = pr1 ) bijektiven Abbildungen ψU : U × Rk → p−1 (U ) existiert, wobei die U eine ¨ offene Uberdeckung von M bilden und die zugeh¨origen Transitionsfunktionen ψV U : U ∩ V → GL(k) wohldefiniert und glatt sind. Dann k¨ onnen wir E auf eindeutige Weise zu einer Mannigfaltigkeit machen, sodaß p : E → M ein Vektorb¨ undel mit Vektorb¨ undelkarten ψU wird: Eo

? _ p−1 (U ) o

U × Rk o

ϕ×Rk

pr1

p

p

 M o

ψU

 U o

 ? _U

W × Rk



/ Rm × Rk pr1

pr1 ϕ

  W



/ Rm

Als Parametrisierungen von E k¨onnen wir ψU ◦ (ϕ × Rk ) verwenden, wobei die ψU die gegebenen fasertreuen Abbildungen und ϕ Karten von M sind. Die Kartenwechselabbildungen von E sind dann (ψV ◦ (ϕ2 × Rk ))−1 ◦ (ψU ◦ (ϕ1 × Rk )) = −1 k ˆ = (ϕ−1 2 ◦ ϕ1 , ψV U ◦ ((ϕ2 ◦ ϕ1 ) × R )).

Nach Konstruktion sind die ψU Faserb¨ undelkarten und wir k¨onnen die Fasern Ex verm¨ ogen diesen zu Vektorr¨aumen machen und zwar so, daß die ψU faserlinear werden. 6. Aus 16.7 wissen wir, daß sich eine Mannigfaltigkeit aus ihren Kartenwechseln zur¨ uckgewinnen l¨ aßt. Bei Transitionsfunktionen eines VB haben wir ¨ eine ¨ ahnliche Situation: Sei U eine offene Uberdeckung von M . Ein Kozykel von Transitionsfunktionen, d.h. eine Familie von glatten Funktionen ψV U : U ∩ V → GL(k) f¨ ur U, V ∈ U, welche die Kozykel-Gleichungen (3) erf¨ ullt, definiert ein bis auf Isomorphie eindeutiges Vektorb¨ undel. Um das zu zeigen, definieren wir: Ex := {(U, w) : x ∈ U ∈ U, w ∈ Rk }/ ∼, wobei (U, w) ∼ (V, w0 ) ⇔ w0 = ψV U (x) · w. Es ist Ex ein Vektorraum mit ψU (x) : w 7→ [(U, w)], ein VektorraumIsomorphismus Rk → Ex . Die disjunkte Vereinigung G [ E := Ex := ({x} × Ex ) x∈M

x∈M

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229

25.10

25. Tangentialb¨ undel ist ein Vektorb¨ undel u ¨ber M mitFder Fußpunktabbildung p : E 3 (x, v) 7→ x ∈ M , denn E|U := p−1 (U ) = x∈U Ex ∼ = U × Rk verm¨oge der Trivialisierung ψU definiert durch ψU (x, w) := (x, [(U, w)]). F¨ ur den Kartenwechsel gilt:
(ψV−1 ◦ ψU )(x, w) = ψV−1 x, ψU (x) · w = (x, w0 ) ⇔ ⇔ (x, [(V, w0 )]) = ψV (x, w0 ) = ψU (x, w) = (x, [(U, w)]), also w0 = ψV U (x) · w.

25.8 Lemma (Einschr¨ ankung eines Vektorb¨ undels). Sei p : E → M ein Vektorb¨ undel und A ⊆ M eine Teilmannigfaltigkeit, dann ist E|A := p−1 (A) → A ein Vektorb¨ undel. Beweis. Da E → M einen VB-Atlas besitzt, existieren VB-Karten ψU , f¨ ur die gelten: E|U = p−1 (U ) o ∼ = LLL LLL L p LL LL%

ψU

U

U × Rk x x x xxpr x x 1 x{ x

Eine Einschr¨ ankung auf A liefert: ψU |A

(E|A )|U = p−1 (U ∩ A) o (U ∩ A) × Rk ∼ = RRR p RRR ppp RRR p p RRR p pp pr1 R( xppp U ∩A Wir sehen also, daß ψU |Rk ×A eine Vektorb¨ undelkarte f¨ ur E|A ist. 25.9 Definition (Vektorb¨ undelhomomorphismen) Sind p : V → M und q : W → N Vektorb¨ undel, so heißt eine glatte Funktion f¯ Vektorb¨ undelhomomorphismus u ¨ber f : M → N , falls folgendes Diagramm kommutiert und f¯x : Vx → Wf x linear ist ∀ x ∈ M . f¯

V p

/W q

 M

f

 /N

25.10 Lemma. Das Tangentialb¨ undel ist durch folgende Eigenschaften bis auf Isomorphie eindeutig festgelegt: F¨ ur jede abstrakte Mannigfaltigkeit M ist mit πM : T M → M ein Vektorb¨ undel u ur jedes glatte f : M → N ein VB¨ber M gegeben, und f¨ Homomorphismus T f : T M → T N u ¨ber f , sodaß gilt: 1. T (idM ) = id(T M ), T (f ◦ g) = T f ◦ T g “Kettenregel” 2. Es gibt einen nat¨ urlichen Isomorphismus zwischen T Rn und Rn × Rn , d.h. T RnEo EE EE π EEE "

230

∼ =

Rn

Rn × Rn uu uu u uu pr1 zuu

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26.2

25. Tangentialb¨ undel offen

3. Sei U ⊆ M . Dann gilt: T (incl) : T U → T M |U ist ein Isomorphismus. Ohne Beweis, siehe [90, S.122ff].

26. Teilvektorbu ¨ ndel 26.1 Definition (Teilvektorb¨ undel) Es seien p : E → M , q : F → M zwei Vektorb¨ undel, sodaß Fx Teilvektorraum von Ex ist ∀ x ∈ M . Dann heißt q : F → M Teilvektorb¨ undel von p : E → M , falls zu E ein VB-Atlas {ψU } existiert, der F |U auf U × Rn abbildet, d.h. ψU : U × Rk ∼ = E|U = p−1 (U ) und ψ|(U × Rn ) : U × Rn ∼ = F |U . Das bedeutet, daß ψU (x) den “konstanten” Teilraum Rn genau auf Fx abbildet. 26.2 Proposition (Bild eines Vektorb¨ undelmonomorphismuses). Seien q : F → M , p : E → M zwei VB, f : F → E ein VB-Monomorphismus (d.h. ein faserweise injektiver VB-Homomorphismus) u ¨ber idM , d.h. folgendes Diagramm kommutiert:

F A AA AA q AAA

f

/E } } }} }} p } ~}

M Dann gilt: f (F ) ist ein Teilvektorb¨ undel von E und ist isomorph via f zu F → M : F

∼ = f

/ f (F )

q

p|f (F )

 M

 M

Beweis. Da lokal beide VB trivial sind, nehmen wir o.B.d.A. an, daß F = M × Rn und E = M × Rk ist, sodaß f : M × Rn → M × Rk mit f (x, v) = (x, fx (v)). Da fx0 : Rn → Rk injektiv und linear ist, k¨onnen wir o.B.d.A. annehmen, daß: fx0 = incl : Rn → Rk . Sei pr eine Projektion Rk → Rn zu incl, dann ist pr ◦ incl = id ∈ GL(n). Die Abbildung x 7→ pr ◦fx ist eine Abbildung von M nach L(k, k), die somit lokal um x0 Werte in der offenen Teilmenge GL(n) ⊆ L(n, n) hat. O.B.d.A. sei M diese Umgebung von x0 . Es gilt: M × Rn O × Rk−n

ψ

/ M × Rk = E O

incl

M ×O Rn

incl ψ|(M ×Rn )

f

id

M × Rn

/ f (F ) O

id

/ M × Rn = F,

wobei ψ : (x; v, w) 7→ (x; fx (v) + (0, w)) dann eine VB-Karte mit Umkehrabbildung       ψ −1 : (x, z) 7→ x, (pr ◦fx )−1 ◦ pr (z), z − fx (pr ◦fx )−1 ◦ pr (z) c 15. Dezember 2008 [email protected]

231

26.5

26. Teilvektorb¨ undel

ist und f (F ) entspricht M × Rn . Es ist also f bez¨ uglich dieser Karte die Inklusion M × Rn → M × Rn × {0}k−n . 26.3 Folgerung (Tangentialb¨ undel einer Teilmannigfaltigkeit). Sei incl : A ⊆ M eine regul¨ are Teilmannigfaltigkeit. Dann ist T A ∼ = T incl(T A) ein Teilb¨ undel vom T M |A . Beweis. / T M |A y y y yypM y y| y

T incl

T AA AA AA pA AAA

A

Man wende 26.2 auf den VB-Monomorphismus T incl an. 26.4 Folgerung (Tangentialb¨ undel von Summen und Produkten). Die folgenden Diagramme beschreiben Vektorb¨ undel-Isomorphismen: Q T ( Mi ) π Q Mi

Q Mi

(T pri )i

/ Q T Mi Q

F T ( Mi ) o

F

T incli

πF Mi

π Mi

F

F Mi

Q Mi

F

T Mi

π Mi

F Mi

26.5 Lemma (Pull-back B¨ undel). Sei p : E → M ein VB, f : N → M glatt. Dann existiert eine nat¨ urliche ∗ ∗ VB-Struktur auf dem zur¨ uckgezogenen Vektorb¨ u ndel f p : f E → N mit F f ∗ p : Ef x 3 v 7→ x, wobei f ∗ E := x∈N Ef x ist. Außerdem existiert ein VBHomomorphismus p∗ f : f ∗ E → E mit p∗ f : Ef x 3 v 7→ v ∈ E. Diese Zuordnung hat folgende universelle Eigenschaft: F¨ ur jedes andere VB q : F → N und VB-Homomorphismus f¯ : F → E u ber f existiert ein eindeutiger VB¨ Homomorphismus f + : F → f ∗ E u ber id , der das folgende Diagramm kommutativ ¨ N macht: F

f¯

f+ q

! f ∗E

p∗ f

f ∗p

  N

$ /E p

f

 /M

Beweis. Wir k¨ onnen f ∗ E folgendermaßen als Teilmenge von N × E aufgefassen: f ∗E ∼ = N ×M E := {(x, v) : f (x) = p(v)} ⊆ N × E. Da p : E → M Submersion ist, folgt aus 21.23 (f und p sind transversal zueinander), daß N ×M E eine regul¨are Teilmannigfaltigkeit von N × E ist und 232

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26.7

26. Teilvektorb¨ undel

f ∗ (p) = pr1 |N ×M E, sowie p∗ f := pr2 |N ×M E glatt sind. Die Regularit¨at von N ×M E bewirkt dann die gew¨ unschte universelle Eigenschaft: F !

$ N ×M E

pr2

pr1

 N

/& E p

f

 /M

Der gesuchte, eindeutig bestimmte VB-Homomorphismus f + ist durch f + = (q, f¯) gegeben. Noch zu zeigen ist, daß: N ×M E → N ein VB ist und p∗ f sowie f + VB-Homomorphismen f¨ ur jeden VB-Homomorphismus f¯ sind. Dazu brauchen wir die lokale Trivialit¨ at von N ×M E → N , die aber aus jener von E → M folgt, da Einschr¨anken mit Zur¨ uckziehen vertauscht. F¨ ur U ⊆ M gilt: n o (f |f −1 (U ) )∗ (E|U ) = (x, v) : x ∈ f −1 (U ), v ∈ E|U , p(v) = f (x) n o = (x, v) : x ∈ f −1 (U ), v ∈ E, p(v) = f (x) = f ∗ E|f −1 (U ) weil p(E|U ) ⊇ f (f −1 (U )), und weil das Pull-back eines trivial B¨ undels trivial ist, also f¨ ur trivialisierende Umgebungen U folgendes gilt: f ∗ E|f −1 (U ) ∼ = (f |f −1 (U ) )∗ (U × Rn ) = f −1 (U ) × Rn Das Zur¨ uckziehen von VB-Isomorphismen liefert VB-Isomorphismen. Da E|U ∼ = k U × R ist, folgt, daß (f ∗ E)|f −1 (U ) ∼ = f −1 (U ) × Rk ist. Die VB-Operationen ergeben sich aus der universellen Eigenschaft, ebenso auch die Faserlinearit¨at von f + und p∗ f . 26.6 Lemma (Einschr¨ ankung als Pull-back). Ist p : E → M ein Vektorb¨ undel und A eine regul¨ are Teilmannigfaltigkeit von M , dann gilt E|A ∼ = incl∗ E. Beweis. Klarerweise hat p|p−1 (A) : E|A = p−1 (A) → A die universelle Eigenschaft von Lemma 26.5 , da p−1 (A) regul¨are Teilmannigfaltigkeit von E ist (p ist Submersion). Somit ist E|A zu incl∗ (E) isomorph. 26.7 Lemma (Exakte Vektorb¨ undelsequenzen splitten). Sei E 0 −i→ E 1 −p→ E 2 eine kurze exakte Sequenz von VB u ¨ber einer parakompakten Mannigfaltigkeit M . (d.h. i und p sind VB-Homomorphismen u ¨ber idM , i faserweise injektiv, p faserweise surjektiv und faserweise gelte: Bild(ix ) = Ker(px )). Dann gilt: E 1 ∼ = E0 ⊕ E2. Beweis. Nach 26.2 induziert i : E 0 → E 1 einen Isomorphismus auf ein Teilvektorb¨ undel von E 1 sund somit k¨onnen wir o.B.d.A. annehmen, daß i die Inklusion eines Teilb¨ undels ist. Wir konstruieren nun einen rechtsinversen Vektorb¨ undelhomomorphismus j : E 2 → 1 1 2 1 m ∼ E zu p : E → E . Lokal ist E |U = U × R und E 2 |U ∼ ur geeignete m, = U × Rk f¨ 0 k ∈ N. Unter dem ersten Isomorphismus entspricht E den Teilb¨ undel U × Rn × {0} c 15. Dezember 2008 [email protected]

233

26.8

26. Teilvektorb¨ undel

f¨ ur ein n ≤ m. Damit induziert die lokale Darstellung von p einen Isomorphismus U × {0} × Rm−n → U × Rk und dessen Inverse ist ein lokales Rechtsinverses zu p. ¨ Mittels einer Partition der 1, welche der Uberdeckung mit diesen trivialiserenden Umgebungen U untergeordnet ist k¨onnen wir diese lokalen Rechtsinverse verkleben und erhalten klarerweise ein Rechtsinverses j : E 2 → E 1 zu p. Der Isomorphismus E 0 ×M E 2 ∼ = E 1 ist dann durch (z 0 , z 2 ) 7→ i(z 0 )+j(z 2 ) gegeben und hat als Inverses −1 z 7→ (i (z − j(p(z))), p(z)), denn z − j(p(z)) ∈ Ker(p) = Bild(i). Wir wollen nun das Tangetialb¨ undel πE : T E → E (des Totalraums eines) Vektorb¨ undles p : E → M genauer bestimmen. Das Interessa daran ist insbesonders in Hinblick auf T 2 M = T (T M ) gegeben. Lokal ist E durch M × Rk und damit T E durch T (M × Rk ) = T M × Rk × Rk gegeben. Andererseits ist das Pull-back-B¨ undel p∗ (T M ) = E ×M T M lokal durch T M × Rk und p∗ (E) = E ×M E lokal durch M × Rk × Rk gegeben. Somit ist T E lokal isomorph zu p∗ (T M ) ×E p∗ (E). Um diese lokalen Isomorphismen zu globalen zu machen werden wir eine nat¨ urliche kurze exakte Sequenz p∗ (E) → T E → p∗ (T M ) von Vektorb¨ undeln u ber E konstruieren ¨ und darauf dann 26.7 anwenden. 26.8 Lemma (Tangentialb¨ undel eines Vektorb¨ undels). Sei p : E → M ein VB. Dann existiert eine kurze exakte Sequenz von VB u ¨ber E: +

E ×M E = p∗ (E) −i→ T E −T p → p∗ (T M ) = E ×M T M. Nach 26.7 ist somit T E ∼ = (E ×M E)×E (E ×M T M ) = E ×M E ×M T M , allerdings ist kein nat¨ urlicher Isomorphismus vorhanden. Beweis. Am einfachsten ist es einen Vektorb¨ undelhomomorphismus T p+ : T E → ∗ p (T M ) in das Pull-back durch folgendes Diagramm anzugeben: TE !

$ p∗ (T M )

' / TM πM

 E

p

 /M

Lokal ist T E durch T M × Rk × Rk und p∗ (T M ) durch T M × Rk sowie T p : T E → T M durch (ξ, v, w) 7→ ξ gegeben. Somit ist T p+ lokal durch (ξ, v, w) 7→ (ξ, v) beschrieben. Insbesonders ist T p+ faserweise surjektiv. Der faserweise Kern von T p+ sind jene Vektoren, die durch T p auf 0-Vektoren abgebildet werden, soltten also die Tangetialvektoren an Kurven in den Faser von E sein. Deshalb definieren wir einen VB-Homomorphismus i : p∗ (E) = E ×M E → T E d durch p∗ (E) = E ×M E 3 (v, w) 7→ dt |t=0 v + t w ∈ T E. Bez¨ uglich der lokalen k k ∗ k k Beschreibungen M × R × R von p (E) und T M × R × R von T E ist er durch d (x, v, w) 7→ dt |t=0 (x, v + tw) = (0x , v, w) gegeben. Faserweise ist er somit injektiv und es gilt Bild(i(x,v) ) = {(0x , v; w) : w ∈ Rk } = {(ξx , v, w) : (ξx , v) = 0(x,v) = (0x , v)} = Ker((T p+ )(x,v) ), also ist die Sequenz exakt. 234

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26.10

26. Teilvektorb¨ undel

26.9 Proposition. Es sei p : E → M ein Vektorb¨ undel. Dann ist T E|M := 0∗ (T E) ∼ = E ⊕ TM (kanonisch) als Vektorb¨ undel u ¨ber M , wobei 0 : M ,→ E den Nullschnitt bezeichnet. Beweis. Wir betrachten folgendes Diagramm: Eq

0 ι

"  T E| M  _

p

"    M

)/

TE

Tp

' / TM 

p

 /4 M  

πE

0

T0

/ TE

0

 /E

πM

 /E

πE

id d Die obere punktierte Abbildung ist durch v 7→ dt |t=0 t · v gegeben und die diagonale Abbildung existiert wegen der Eigenschaft des Pullbacks. Nach Konstruktion ist T p ◦ ι = 0. Offensichtlich ist ι ein Vektorb¨ undelmonomorphismus und T p|T E|M ein Vektorb¨ undelepimorphismus, denn T p ◦ T 0 = T (p ◦ 0) = T idM = idT M und somit ist T 0 : T M → T E|M ,→ T E ein kanonisches Rechtsinverses. Exaktheit von

0 → E → T E|M → T M → 0 folgt, denn lokal wird E durch M × Rk , weiters T E durch T M × Rk × Rk und T E|M d |t=0 (x, tv) = durch T M × {0} × Rk beschrieben. Weiters ist ι lokal durch (x, v) 7→ dt (0x , 0, v) und T p auf T E|M durch (ξ, 0, v) 7→ ξ gegeben. E



∼ =

ι

 M × Rk

/ T E|M ∼ =

Tp

 T M × {0} × Rk

/ TM ∼ =

 TM

26.10 Proposition. Jedes Vektorb¨ undel p : E → M ist isomorph zu einem Teilvektorb¨ undels eines trivialen B¨ undels M × Rs → M . Beweis.

E



p

 M

M9 × RLs LL LL   LL LL  L%   ∼  Tf =   / E ⊕ TM / TE / Rs × Rs / T E|M   KKK  KKK  pr1 πE  KKK KK%       f 0 / E / Rs M

Es sei f : E → Rs eine Einbettung (oder auch nur eine Immersion) der Mannigfaltigkeit E in einen Rs . Dann ist T f : T E → Rs × Rs ein Vektorb¨ undelmonomorphiss mus u ber f : E → R und somit T f ◦ ι : E ,→ T E| ,→ T E → Rs × Rs ein Vek¨ M s torb¨ undelmonomorphismus u ber M → E → R , also (p, pr ◦T f ◦ ι) : E → M × Rs ¨ 2 ein Vektorb¨ undelmonomorphismus u ber id . ¨ M Man kann zeigen (siehe 26.22 ), daß so ein Vektorb¨ undelmonomorphismus bereits f¨ ur s = dim(E) existiert. Dies ben¨otigt c 15. Dezember 2008 [email protected]

235

26.14

26. Teilvektorb¨ undel

26.11 Globalisierungs Theorem. [45, S53, 2,2,11] Es sei X eine Menge und U eine Menge von Teilmengen von X die X enth¨ alt und unter Vereinigung abgeschlossen ist. Sei weiters F ein Funktor von der bzgl. Inklusionen geordneten Kategorie U in die Kategorie der Mengen, also zu U ⊇ V ist eine Abbildung F (U ) → F (V ) gegeben. Dieser sei nicht trivial, d.h.S ∃ U ∈ U mit F (U ) 6= ∅, stetig, d.h. falls U0 ⊆ U linear geordnet ist, so ist F ( U0 ) = proj limU ∈U0 F (U ), und lokal erweiterbar, d.h. ∀ x ∈ X ∃ x ∈ U ∈ U ∀ V ∈ U : F (U ∪ V ) → F (V ) ist surjektiv. Dann ist F (X) → F (U ) surjektiv f¨ ur alle U ∈ U mit F (U ) 6= ∅. Insbesonders ist F (X) 6= ∅. Beweis. Es sei a0 ∈ F (U0 ) und M := {(a, U ) : U0 ⊆ U ∈ U, a ∈ F (U ), a 7→ a0 } partiell geordnet durch (a1 , U1 )  (a2 , U2 ) :⇔ U1 ⊆ U2 und a2 7→ a1 . Jede linear geordnete Teilmenge M0 von M S besitzt wegen der Stetigkeit von F ein maximales Element (a∞ , U∞ ) mit U∞ := M0 . Nach Zorn’s Lemma existiert ein maximales Element welches wir wieder mit (a∞ , U∞ ) bezeichnen von M. Angenommen U∞ ⊂ X. Sei x ∈ X \ U∞ . Da F lokal erweiterbar ist existiert ein x ∈ U ∈ U mit F (U ∪ U∞ ) → F (U∞ ) surjektiv f¨ ur alle V . Sei U 0 := U ∪ U∞ ⊃ U∞ und a0 0 ein Urbild in F (U ) von a∞ ∈ F (U∞ ). Dann steht (a0 , U 0 ) im Widerspruch zur Maximalit¨ at. 26.13 Lemma. [45, S89, 4.1.1] Sei p : E → M ×I ein Vektorb¨ undel. Dann existiert zu jedem x ∈ M eine Umgebung U ⊆ M , sodaß E|U ×I trivial ist. Beweis. Da I kompakt ist existierten 0 = t0 < · · · < tn = 1 und Umgebungen Ui T von x, sodaß E auf einer Umgebung von Ui × [ti , ti+1 ] trivial ist. Sei U := Ui . Wir zeigen mittels Induktion, daß E auf einer Umgebung von U × [0, ti ] ebenfalls trivial ist. Es gen¨ ugt dazu den Fall i = 2 zu betrachten. Seien dazu ϕi Trivialisierungen l¨ angs Umgebungen von U × [ti , ti+1 ]. Auf den Durchschnitt, eine Umgebung von U ×{t1 } k¨ onnen wir die Transitionsfunktion x 7→ (ϕ1x )−1 ◦(ϕ0x ) ∈ GL(k) betrachten. Dazu k¨ onnen wir eine Abbildung g auf einer Umgebung von U × [t1 , t2 ] finden, welche lokal um U × {t1 } mit der Transitionsfunktion u ¨bereinstimmt (Aufblasen des Definitionsbereichs). Dann k¨onnen wir ϕ0 durch (y, v) 7→ ϕ1 (y, g(y) · v) zu einer Trivialisierung auf eine Umgebung von U × [t0 , t2 ] erweitern. 26.14 Lemma. [45, S90, 4.1.3] Es sei V, U ⊆ N offen mit V ⊆ V ⊆ U und folgendes kommmutatives Digramm gegeben:  / U ×I U × {0}  _ g

 N × {0}

f

 /M

Dann existiert eine Abbildung h : N ×I → M mit h|N ×{0} = f und h|V ×I = g|V ×I . Dies ist eine Art Homotopieerweiterungstheorem. Beweis. Es sei ρ : N → [0, 1] C ∞ mit ρ|V = 1 und supp(ρ) ⊆ U . Dann erf¨ ullt h : N × I → M definiert durch ( f (x) f¨ ur x ∈ N \ supp(ρ) h(x, t) := g(x, ρ(x) t) f¨ ur x ∈ U das Gew¨ unschte. 236

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26. Teilvektorb¨ undel

26.17

 / U ×I U × {0}  : _ eLLL vv v LLL v LLL vv vv L ,vv  S3 / V × I Vk × {0} _ rK r r r g rrr  yrrr  / N ×I N × {0}  XXXX XXXXX XXXXX h XXXXX XXXXX f XXXXX $  XXX, M 26.16 Theorem. [45, S90, 4.1.5] Jedes Vektorb¨ undel p : E → M × I ist isomorph zu E|M ×{0} × I. ¨ Beweis. Wir betrachten eine lokal endliche Uberdeckung A mit Mengen A ⊆ M sodaß E l¨ angs einer Umgebung von A × I trivial ist. So eine u ¨berdeckung existiert wegen 26.13 , da M parakompakt ist. Sei U die Menge aller Vereinigungen von Teilmengen von A. F¨ ur N ⊆ M betrachte Paare (f, U ), wobei U ⊆ M eine offene Umgebung von N sei und f : E|( U × I) → E|U × I ein VB-Isomorphismus. Mit F (N ) bezeichnen wir ¨ die Aquivalenzklasse solcher Paare, wobei (f1 , U1 ) ∼ (f2 , U2 ) falls eine Umgebung U ⊆ U1 ∩ U2 von N existiert mit f1 |U ×I = f2 |U ×I . Klarerweise ist der Funktor F stetig und wegen 26.13 ist er nicht trivial und sogar lokal erweiterbar: Sei n¨amlich A ∈ A und N ∈ U. Dann m¨ ussen wir zeigen, daß F (A ∪ N ) → F (N ) surjektiv ist, also der Keim eines Vektorb¨ undelisomorphismuses E ∼ ¨ber N sich zu = E|M × I u einen solchen u ¨ber A ∩ N erweitern l¨aßt. Nach Voraussetzung ist E|A×I und damit auch E|A×{0} × I trivial und der Vektorb¨ undelisomorphismus durch den Keim eine Abbildung g : (N ∩ A) × I → GL(k) mit Einschr¨ankung zum konstanten Keim id auf N ∩ A ⊆ M gegeben. Nach 26.14 k¨onnen wir diese Abbildung zu einem Keim g : A × I → GL(k) erweitern, also erhalten wir eine Fortsetzung des Keims des Vektorb¨ undelisomorphismuses u ¨ber N × I zu einen u ¨ber (N ∩ A) × I. Nach 26.11 ist somit F (N ) 6= ∅ die gew¨ unschte Konklusion. 26.21 Definition. Es sei p : E → M ein Vektorb¨ undel mit Faserdimension k (ein sogenanntes kEbenenb¨ undel u undel-Monomorphismus ¨ber M ) und f : E → M × Rs ein Vektorb¨ u ¨ber idM . Daraus erhalten wir eine Abbildung g : M → G(k, s) mit Werten in der Graßmannmannigfaltigkeit der k-Ebenen im Rs indem wir x auf das Bild von f x : Rk ∼ undel = Ex → Rs abbilden. Nun betrachten wir das universelle Vektorb¨ E(k, s) → G(k, s), wobei E(k, s) := {(ε, v) ∈ G(k, s) × Rs : y ∈ ε} und den Vektorb¨ undelhomomorphismus γ : E → E(k, s), v 7→ (g(p(v)), v). Damit ist E ∼ = ∗ g (E(k, s)) und g heißt klassifizierende Abbildung des Vektorb¨ undels p : E → M . 26.17 Theorem. [45, S100, 4.3.4] Es sei s > k + dim(M ). Dann sind zwei k-Ebenenb¨ undel u ¨ber M genau dann isomorph, wenn die klassifizierenden Abbildungen M → G(k, s) homotop sind. Beweis. Es sei H : M × I → N eine Homotopie und p : E → N ein Vektorb¨ undel. Dann ist H ∗ E ein B¨ undel u ¨ber M × I und somit nach 26.16 isomorph c 15. Dezember 2008 [email protected]

237

26.23

26. Teilvektorb¨ undel

zu H ∗ E|M ×{i} × I = (Hi )∗ (E) × I f¨ ur i ∈ {0, 1} wobei Hi : x 7→ H(x, i). Somit sind auch die Einschr¨ ankungen (Hi )∗ E auf M ,→ M × I isomorph. Umgekehrt seien zwei B¨ undel u ¨ber M isomorph und f eine klassifizierende Abbildung eines der B¨ undel. Dann klassifiziert dieses klarerweise auch das andere B¨ undel. Da klassifizierende Abbildungen wegen der nachfolgenden Bemerkung f¨ ur s > k + dim(M ) bis auf Homotopie eindeutig sind, ist alles gezeigt. 26.18 Bemerkung. Es seien zwei klassifizierende Abbildungen f i : M → G(k, s) des Vektorb¨ undels E → M gegeben. Diese beschreiben also zwei VB-Monomorphismen ϕi : E → M × Rs u at mit f i (x) = Bild(ϕix ). Nach 26.19 Existiert ein VB¨ber die Identit¨ Monomorphismus ϕ : E × I → M × I × Rs welcher beide ϕi erweitert. Dieser induziert eine Homotopie f : M × I → G(k, n) zwischen den fi verm¨oge f (x, t) = Bild(ϕx,t : Ex → Rs ). 26.19 Proposition. [45, S100, 4.3.2] Es sei E → M × I ein k-Ebenen B¨ undel und ϕi : E|M ×{i} → (M × {i}) × Rs VB-Monos f¨ ur s > k + dim(M ). Dann existiert eine Erweiterung ϕ : E → M × Rs zu einen VB-Mono u ¨ber M × I. Beweis. Nach 26.16 existiert eine Erweiterung ϕ : E|U → U × Rs zu einen VB-Mono u ¨ber einer offenen Umgebung von M × {0, 1} ⊆ M × I dieser l¨aßt sich lokal nach 26.22 (siehe die Bemerkung nach 26.10 ) zu einen globalen VB-Mono erweitern. 26.22 Proposition. [45, S99, 4.3.1] Sei p : E → M ein k-Ebenenb¨ undel und U ⊆ M eine offene Umgebung eines abgeschlossenen A ⊆ M . Sei k ≥ dim E. Zu jeden Vektorb¨ undelMonomorphismus f : E|U → U × Rs existiert ein VB-Monomorphismus f˜ : E → M × Rs mit f˜ = f auf EV f¨ ur eine offenen Umgebung V ⊆ U von A. Beweisskizze. Falls p trivial ist, so definiert f eine Abbildung U → V (k, s) in die Stiefelmannigfaltigkeit. Wegen dim M ≤ s − k existiert nach 26.23 eine Erweiterung M → V (k, s) des Keims dieser Abbildung. Nach 26.24 kann diese glatt gew¨ ahlt werden. Somit erhalten wir einen VB-Monomorphismus E = M × Rk → M × Rs u ¨ber idM . Der allgemeine Fall folgt durch Anwendung von 26.11 : Sei n¨amlich U eine lokal endliche u ¨bderdeckung von M mit trivialisierenden Umgebungen. Sei W die Menge aller Vereinigungen von Mengen aus U F¨ ur W ∈ W sei F (W ) die Menge der Keime von VB-Monomorphismen g : E|V → V × Rs f¨ ur Umgebungen V ⊇ W , die lokal mit f auf einer Umgebung von A ∩ W u ¨bereinstimmen. Nach dem ersten Teil ist der Funktor F lokal erweiterbar und somit folgt das Resultat aus 26.11 . 26.23 Proposition. [45, 3.2.6] Es sei M eine q-dimensionale Mannigfaltigkeit, A ⊆ M abgeschlossen und q ≤ n − k. Dann erweitert sich jede stetige Abbildung A → V (k, n) zu einer Abbildung M → V (k, n). Beweisskizze. O.B.d.A. sei 0 < k < n. Indem wir M mit einer lokal endli¨ chen Uberdeckung durch Koordinatenscheiben u ¨berdecken und sukzessive erweitern d¨ urfen wir annehmen daß M = Dq . Nach Tietze’s Erweiterungssatz existiert eine Erweiterung g : Dq → L(k, n). Sei B := L(k, n) \ V (k, n). Dann ist g −1 (B) 238

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27.1

26. Teilvektorb¨ undel

abgeschlossen und g −1 (B) ∩ A = ∅. Nach 26.24 d¨ urfen wir annehmen, daß g C ∞ −1 auf einer Umgebung von g (B) deren Abschluß A nicht trifft. S Es ist B = j
27. Vektorfelder 27.1 Definition (Schnitte von B¨ undeln) Unter einem Schnitt σ eines Vektorb¨ undels (oder Faserb¨ undels) E −p→ M versteht man eine Abbildung σ : M → E, welche p ◦ σ = idM erf¨ ullt. Die Schnitte des Tangentialb¨ undels T M → M heißen Vektorfelder (VF) auf der Mannigfaltigkeit M . Den Raum der glatten Schnitte {σ ∈ C ∞ (M, E) : p ◦ σ = id} bezeichnet man mit Γ(E −p→ M ) oder kurz mit Γ(E), wenn die Fußpunktabbildung klar ist. Die Menge aller glatten Vektorfelder auf M bezeichnen wir auch mit X(M ) := Γ(T M −π→ M ). Schnitte k¨ onnen addiert und mit reellwertigen Funktionen f auf M punktweise multipliziert werden. Somit ist Γ(E −p→ M ) ein Vektorraum und sogar ein Modul u ¨ber C ∞ (M, R), also ein “Vektorraum” u ¨ber dem Ring C ∞ (M, R) (anstatt u ¨ber einem K¨ orper), d.h. es gilt: (1)

(f + g)ξ = f ξ + gξ,

(2)

(f · g)ξ = f (g · ξ),

f (ξ + η) = f ξ + f η, 1·ξ =ξ

Wir wollen mit Vektorfeldern oder allgemeiner mit Schnitten von Vektorb¨ undeln konkret rechnen. Dazu ben¨ otigen wir lokale Darstellungen. c 15. Dezember 2008 [email protected]

239

27.4

27. Vektorfelder

27.2 Lokale Beschreibung von Schnitten Lokal ist ein Schnitt s durch eine Abbildung s¯ der Basis M in die typische Faser Rk gegeben.  −1 (x, s¯(x)) s(x) o ψU (s(x)) E|U o BB BB B p BB B!

ψU

U

U × Rk u u uu u u uu pr1 uz u

Speziell f¨ ur das Tangentialb¨ undel erhalten wir: Dem Vektorfeld ξ entsprechen lokal Abbildungen (ξϕi )m : M → Rm , deren Gestalt von der Wahl der Karte ϕ abh¨angt: i=1 T ϕ◦(ϕ−1 ×Rm )

T M |Bild ϕ o Bild8 ϕ × Rm ∼ = eLLL qqq LLL qqq LLL q q i m ξ|Bild ϕ L qqq (id,(ξϕ )i=1 ) Bild(ϕ) Wir haben in 20.8 gesehen, daß falls (u1 , . . . , um ) = ϕ−1 lokale Koordinaten auf
∂ ∂ ϕ M sind, so ist ∂1ϕ |p = ∂u eine Basis von Tp M f¨ ur alle p im 1 |p , . . . , ∂m |p = ∂um |p Definitionsbereich U der Karte ϕ und der Isomorphismus T ϕ ◦ (ϕ−1 × Rm ) bildet ∂ ab. Jedes Vektorfeld ξ l¨aßt sich also auf U als die Standardbasis (x, ei ) auf ∂u i x Pm i ϕ ϕ ∂ ξ = i=1 ξϕ ∂i schreiben, wobei ∂i die Vektorfelder p 7→ ∂iϕ |p = ∂u i |p sind. Der ϕ i uglich der Basis ∂i deutet die Abh¨angigkeit Index ϕ der Komponenten ξϕ von ξ bez¨ dieser Komponenten von der Basis an, die ja wiederum von ϕ abh¨angt. Zumeist werden wir diesen Index aber, wie allgemein ¨blich, weglassen. Wir k¨onnen die KomP u ∂ ponenten ξ i berechnen,indem wir ξ = i ξ i ∂u i auf die lokale Koordinatenfunktion P P P ∂ j i j i i ∂ uj anwenden: ξ(uj ) = i ξ δi = ξj . Also ist ξ = i ξ ∂ui (u ) = i ξ(u ) ∂ui . 27.3 Folgerung. Ein Vektorfeld ξ ist genau dann glatt, wenn alle Komponenten ξϕi glatt sind. Beweis. Dies folgt sofort daraus, daß die lokalen Schnitte derum aus dem Diagramm T M |U o π|U

folgt, denn dem Schnitt (x, ei ).

Tϕ

ϕ×id

pr1

 U o

∂ ∂ui

V × Rm

ϕ

 V

∂ ∂ui

glatt sind, was wie-

/ U × Rm pr1

ϕ

 /U

ganz links entspricht rechts der konstante Schnitt x 7→

27.4 Beispiele von Schnitten 1. Das Tangentialb¨ undel von S n ⊆ Rn+1 als Teilb¨ undel von T Rn+1 |S n = S n × n+1 n n n+1 R ist T S = {(x, v) ∈ S × R : hx, vi = 0}. Insbesonders ist T S 1 = 2 2 {(x, y, u, v) : x + y = 1, xu + yv = 0}, also T S 1 ∼ = S 1 × R mittels (x, y, t) 7→ (x, y,-ty, tx). Somit ist das Tangentialb¨ undel der S 1 trivial, und zwar ist es der Zylinder. 240

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27.8

27. Vektorfelder

2. Die Projektion: M¨ obiusband → S 1 auf die Mittellinie ist auch ein VB, dessen ∼ Faser (−1, 1) = R ist. Dieses VB ist jedoch nicht trivial, denn andernfalls h¨atte man eine globale Trivialisierung ψ: / M¨ob S1 × R ∼ GG = z GG z z GG z GG zz G# }zz S1 ψ

ψ( ,1)

S1 A AA AA AA A

S1

/ M¨ob z z z z zz z} z

mit ψ(S 1 , 1) ∩ S 1 = ∅. So eine Abbildung gibt es aber nicht. 3. Auch T S 2 ist ein Vektorb¨ undel. Um die Frage, ob es auch trivial ist, beantworten zu k¨ onnen, nehmen wir an, es g¨abe eine Trivialisierung ψ : S 2 ×R2 → T S 2 . Mit ψ( , e1 ) h¨ atte man eine stetige Abbildung, die jedem x ∈ S 2 einen nichtverschwindenden Tangentialvektor zuordnet, so eine Abbildung existiert aber nicht (Igelsatz 50.11 ). 4. Da die S 3 eine glatte Gruppenstruktur tr¨agt, ist T S 3 ∼ = S 3 × R3 wieder ein triviales Vektorb¨ undel. 27.5 Definition (Linear unabh¨ angige Vektorfelder) Eine Familie von Vektorfeldern {ξ1 , . . . , ξk } auf M heißt (¨ uberall) linear unabh¨ angig, falls {ξi |p : 1 ≤ i ≤ k} linear unabh¨angig in Tp M ist f¨ ur alle p ∈ M . 27.6 Bemerkung (Parallelisierbare Mannigfaltigkeiten) Eine Mannigfaltigkeit M hat ein triviales Tangentialb¨ undel genau dann, wenn sie m = dim M u ¨berall linear unabh¨angige Vektorfelder besitzt. Sie heißt dann parallelisierbar. Ist T M trivial, d.h. T MDo DD DD πM DDD "

∼ = ψ

M

M × Rm uu uu upr u u 1 uz u

dann sind die ξi : x 7→ ψ(x, ei ) f¨ ur 1P≤ i ≤ m linear unabh¨angiges Vektorfelder. i Umgekehrt definiert ψ(x, (v i )m ) i=1 := i v ξi (x) eine Trivialisierung von T M , falls m {ξi }i=1 linear unabh¨ angig ist. So besitzt S 1 ein linear unabh¨angig Vektorfeld, da ihr Tangentialb¨ undel trivial ist. Der folgende Satz gibt Auskunft dar¨ uber, wieviele linear unabh¨angige Vektorfelder auf den h¨ oherdimensionalen Sph¨aren existieren (“wie trivial also das Tangentialb¨ undel ist”). 27.7 Satz (Linear unabh¨ angige Vektorfelder auf den Sph¨ aren). onnen genau m Vektorfelder linear unabh¨ angig gew¨ ahlt werden, wobei Auf der S n k¨ n + 1 = 24a+b · c mit a ∈ N0 , b ∈ {0, 1, 2, 3}, ungeraden c und m + 1 = 8 · a + 2b Ohne Beweis. Das Resultat wurde durch [22], [48] und [2] erhalten. Die Anzahl der linear unabh¨ angigen Vektorfelder auf den Sph¨aren h¨angt mit der Struktur gewisser Algebren zusammen: 27.8 Proposition. Es sei b : Rk+1 × Rn+1 → Rn+1 eine bilineare Abbildung, sodaß c 15. Dezember 2008 [email protected]

241

27.9

27. Vektorfelder 1. Aus b(v, x) = 0 folgt v = 0 oder x = 0 (Nullteilerfreiheit), 2. ∃ v0 ∈ Rk+1 , sodaß b(v0 , x) = x ∀ x ∈ Rn+1 (Linkseinheit),

dann existieren k linear unabh¨ angige Vektorfelder auf der S n . Beweis. Sei v ∈ Rk+1 , dann ist die Abbildung Rn+1 → Rn+1 mit x 7→ b(v, x) linear. Mit den Abbildungen ρ : Rn+1 \{0} → S n (Radialprojektion) und incl : S n → Rn+1 (kanonische Inklusion), kann ein glattes Vektorfeld ξv : S n → T S n wie folgt definiert werden: ξv = T ρ ◦ b(v, .) ◦ incl. Sind {v0 , v1 , . . . vk } u ¨berall linear unabh¨angig im Rk+1 , dann sind {ξv1 , . . . ξvk } linear unabh¨angig: Sei k X

λi ξvi |x = 0 ⇒ 0 =

i=1

k X

λi Tx ρ(b(vi , x)) = Tx ρ

k X

i=1

 λi b(vi , x)

i=1

Der Kern von Tx ρ ist der von x erzeugte Teilraum im Rn+1 ⇒ ⇒

k X

λi b(vi , x) = −λ0 x = −λ0 b(v0 , x) f¨ ur ein λ0 ∈ R

i=1

⇒b

k X

 λi vi , x = 0; da x 6= 0

i=0

⇒

k X

λi vi = 0 ⇒ λi = 0 ∀ i

i=0

(weil die vi linear unabh¨angig sind).

27.9 Folgerungen. 1. Die Sph¨ aren S 1 , S 3 und S 7 sind parallelisierbar: Als bilineare Funktionen b : Rn+1 × Rn+1 → Rn+1 , welche die Eigenschaften (i), (ii) von 27.8 erf¨ ullen, k¨ onnen folgende R-Algebra-Multiplikationen verwendet werden: n=1: C×C→C n=3:

H×H→H

n=7:

O×O→O

wobei O ∼ = R8 die Cayley-Zahlen (Oktaven oder Oktonionen) sind.

aren, denn aus Wegen 27.7 sind dies die einzigen parallelisierbaren Sph¨ 24a+b · c = 8a + 2b folgt c = 1 und weiter a = 0, also n = 2b − 1 f¨ ur b ∈ {0, 1, 2, 3}. 2. Wenn n ungerade ist, dann besitzt S n ein nichtverschwindendes Vektorfeld. F¨ ur b : R2 × Rn+1 → Rn+1 , wobei n + 1 = 2k f¨ ur k ∈ N ist, kann die Skalarmultiplikation mit komplexen Zahlen verwendet werden: C × Ck → C k ,

(λ; λ1 , . . . , λk ) 7→ (λ · λ1 , ., λ · λk )

3. Wenn G eine Lie-Gruppe mit neutralem Element e ∈ G ist, so ist T G ∼ = G × Te G. Der Isomorphismus ist durch ξ 7→ (π(ξ), T Lπ(ξ)−1 · ξ) = (π(ξ), T µ(0π(xs)−1 , ξ)) gegeben, f¨ ur Details siehe 67.2 .

242

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28.3

27. Vektorfelder

28. Gew¨ ohnliche Differentialgleichung erster Ordnung 28.1 Definition (Integralkurve) Es sei ξ ∈ X(M ) und I ein offenes Interval mit 0 ∈ I. Dann heißt c : I → M (L¨ osungskurve) Integralkurve des Vektorfeldes ξ durch p :⇔ c(0) = p,

c0 (t) = ξc(t) f¨ ur t ∈ I.

Wir werden folgenden u ur die L¨osung von ¨blichen Existenz- und Eindeutigkeitssatz f¨ gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen in Vektorr¨aumen benutzen. 28.2 Satz u ohnliche Differentialgleichungen. ¨ ber gew¨ Sei E ein Euklidischer Vektorraum (oder allfgemeiner ein Banachraum) und f : R × E → E eine glatte Funktion. Dann existiert ein offenes Intervall I um 0 in R und eine offene Kugel U um 0 in E, so daß f¨ ur alle x ∈ U eine eindeutige L¨ osung cx : I → E der gew¨ ohnlichen Differentialgleichung c0x (t) = f (t, cx (t)) mit cx (0) = x existiert. Weiters ist (t, x) 7→ cx (t) glatt als Abbildung I × U → E. Ohne Beweis. Siehe z.B. [21, 10.8.1 und 10.8.2]. Damit k¨ onnen wir nun folgende globale Version auf Mannigfaltigkeiten beweisen. 28.3 Satz u ohnliche Differentialglg. auf Mannigfaltigkeiten. ¨ ber gew¨ Sei ξ ∈ X(M ), dann gilt: 1. Zu jedem p ∈ M existiert eine eindeutige maximale Integralkurve cp : (tp− , tp+ ) → M zu ξ durch p (d.h. jede andere Integralkurve ist eine Einschr¨ ankung von cp ). ist. 2. Ist tp+ < ∞, dann gilt limt%tp+ c(t) = ∞, d.h. f¨ ur jede kompakte Menge K ⊆ M ist c(t) nicht in K f¨ ur t hinreichend nahe bei tp+ . p 3. Die Menge U = {(t, p); t− < t < tp+ } ⊆ R × M ist eine offene Umgebung von {0} × M . Die Abbildung Flξ : U → M , definiert durch Flξ (t, p) := cp (t), ist C ∞ und heißt der lokale Fluß des Vektorfeldes. Falls q := Flξ (s, p) existiert, so existiert Flξ (t+s, p) genau dann wenn Flξ (t, q) existiert, und die beiden stimmen u ¨berein. Diese Gleichung heißt auch EinparametergruppenEigenschaft, denn wenn Flξ global definiert ist, dann besagt sie: (Flξ )∨ : R → Diff(M ) ein Gruppen-Homomorphismus. Beweis. (1) lokale Existenz und Eindeutigkeit: O.B.d.A. sei U ⊆ Rm offen, ξ : U → Rm glatt. Wir suchen ein c mit c0 (t) = ξc(t) und c(0) = x. Dies ist eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung, deren lokale L¨osung nach 28.2 existiert und eindeutig ist, weil ξ lokal Lipschitz ist. Sie ist C ∞ , da ξ glatt ist. Globale Existenz und Eindeutigkeit: Seien c1 , c2 zwei Integralkurven. Die Menge {t ≥ 0 : c1 (t) = c2 (t)} ist eine abgeschlossene Teilmenge von Dom c1 ∩ Dom c2 . Angenommen sie stimmt nicht mit dieser u ¨berein, dann gibt es ein t in der Differenz. O.B.d.A. sei t > 0 dann existiert t0 := inf{0 < t ∈ Dom c1 ∩ Dom c2 : c1 (t) 6= c2 (t)}. Klarerweise ist c1 (t0 ) = c2 (t0 ). Nun sind aber t 7→ c1 (t0 + t) und t 7→ c2 (t0 + t) Integralkurven durch c1 (t0 ) = c2 (t0 ) und stimmen somit lokal u Das ist ein Widerspruch zur Eigenschaft des Infimums. Somit ist ¨berein. S cp := {c : c ist Integralkurve durch p} die wohldefinierte eindeutig bestimmte maximale Integralkurve durch p. Wir setzen (tp− , tp+ ) := Dom cp . c 15. Dezember 2008 [email protected]

243

28.3

28. Gew¨ ohnliche Differentialgleichung erster Ordnung

(3) Wegen (1) ist {0} × M ⊂ U und Flξ (0, p) = cp (0) = p. Einparametergruppen-Eigenschaft: Es existiere q := Fl(s, p), d.h. tp− < s < tp+ , da r 7→ Fl(r, p) die maximale Integralkurve mit Anfangswert p ist und diese ist f¨ ur tp− < r < tp+ definiert. Es ist t 7→ Fl(t, Fl(s, p)) die maximale Integralkurve mit Anfangswert q. Sie ist f¨ ur tq− < t < tq+ definiert. F¨ ur t mit tp− < s + t < tp+ ist t 7→ Fl(t + s, p) eine L¨ osung mit Anfangswert q = Fl(s, p). Also gilt wegen der Maximalit¨ at und Eindeutigkeit von t 7→ Fl(t, q) Gleichheit und tq− ≤ tp− − s < −s < tp+ − s ≤ tq+ . Insbesonders existiert also Fl(−s, q) und stimmt mit Fl(−s + s, p) = p u unden, daß tp− ≤ tq− + s und tq+ + s ≤ tp− . ¨berein. Also folgt aus Symmetriegr¨ p q Zusammen ergibt daß t− − t− = s = tp+ − tq+ und somit existiert Fl(t + s, p) genau dann wenn Fl(t, q) existiert und die beiden stimmen u ¨berein. Wir zeigen jetzt, daß U ⊆ R × M offen in der Produkttopologie ist und Fl darauf C ∞ : F¨ ur p ∈ M sei 
I := {t0 ∈ 0, tp+ : Fl ist auf einer offenen Umgebung von [0, t0 ] × {p} ⊆ U definiert und glatt}. geht man f¨ ur tp− vor): Wir zeigen indirekt, daß I = [0, t+ p ) ist (analog  +  + Angenommen I ⊂ 0, tp . Sei t0 := inf( 0, tp \ I) und q := Fl(t0 , p). F¨ ur p ∈ M existiert nach 28.2 eine offene Umgebung von (0, p) ∈ R × M , auf welcher der Fluß Fl definiert und glatt ist, somit ist t0 > 0. Ebenso ist Fl auf einer Umgebung (−ε, ε) × W von (0, q) glatt und wegen der Stetigkeit von t 7→ Fl(t, p) bei t0 existiert ein 0 < δ < ε so, daß Fl(t0 − δ, p) in W enthalten ist. Nach Konstruktion von t0 ist Fl auch auf einer Umgebung von [0, t0 − δ] × {p} glatt. Somit bildet x 7→ Fl(t0 − δ, x) eine Umgebung von p glatt nach W ab und damit ist die Zusammensetzung (s, x) 7→ Fl(s, Fl(t0 −δ, x)) auf einer Umgebung von [0, δ] × {p} glatt. Wegen der Einparametergruppen-Eigenschaft ist Fl(s, Fl(t0 −δ, x)) = Fl(s+t0 −δ, x), also Fl lokal um [t0 −δ, t0 ]×{p} glatt. Insgesamt ist Fl auf einer Umgebung von ([0, t0 − δ] ∪ [t0 − δ, t0 ]) × {p} = [0, t0 ] × {p} glatt, und damit eine Umgebung von t0 in I enthalten, ein Widerspruch zur Annahme.

p

W

FlHp,t0 L FlHp,t0 -∆L q

(2) Sei K ⊆ M kompakt. Angenommen es existieren tn → tp+ < ∞, sodaß pn := cp (tn ) ∈ K f¨ ur alle n. O.B.d.A. gelte pn → p∞ ∈ K (denn K ist kompakt). Nach (3) existiert ein δ > 0 so, daß der Fluß Fl(t, q) wohldefiniert f¨ ur |t| ≤ δ und q nahe bei p∞ . F¨ ur n gen¨ ugend groß seien pn solche Werte f¨ ur q, d.h. Fl(t, pn ) ist wohldefiniert f¨ ur |t| < δ. Andererseits gilt: Fl(t, pn ) = Fl(t, cp (tn )) = Fl(t, Fl(tn , p)) = Fl(t + tn , p) = cp (t + tn ). Also ist cp (s) wohldefiniert f¨ ur 0 ≤ s < tp+ , aber auch f¨ ur s = t + tn mit |t| < δ und n beliebig, d.h. tn − δ < s < tn + δ. Sei n so groß, daß tn > tp+ − δ. Dann ist cp auf [0, tp+ ) ∪ (tn − δ, tn + δ) ⊇ [0, tp+ ] wohldefiniert, ein Widerspruch zur Voraussetzung, daß die L¨ osungskurven nur bis vor tp+ definiert sind. 244

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28. Gew¨ ohnliche Differentialgleichung erster Ordnung

28.6

p0

K

p1 p2 p3 pp4 5 p p67 p¥

28.4 Beispiel (Exponentialabbildung) Es sei T ∈ L(n, n) und die Matrixmultiplikation von links S 7→ T ◦ S definiere ein Vektorfeld auf L(n, n). Gesucht ist die L¨osungskurve Γ : R → L(n, n), die Γ0 (t) = T ◦ (Γ(t)), als auch Γ(0) = S ∈ L(n, n) erf¨ ullt. Man definiert exp(T ) :=

∞ X 1 k T k!

k=0

und zeigt, daß die Reihe absolut konvergiert. Die L¨osung obiger Differentialgleichung lautet dann Γ(t) = exp(tT ) ◦ S, und der Fluß ist F l(t, S) = exp(tT ) ◦ S. Siehe Aufgabe 72.50 .

28.5 Definition (Vollst¨ andige Vektorfelder) Ein Vektorfeld ξ heißt vollst¨ andig, wenn Flξ global (d.h. f¨ ur alle t ∈ R) definiert ist.

28.6 Bemerkungen 1. Aus Punkt 2 des vorigen Satzes folgt direkt: Ist M kompakt, so ist jedes Vektorfeld vollst¨andig. 2. Falls M eine nichtkompakte Zusammenhangskomponente besitzt, dann existieren nichtvollst¨ andige Vektorfelder, z.B.: M = R, ξ(t) = 1 + t2 , also 0 2 c (t) = 1+c(t) . Zum Anfangswert c(0) = 0 ist dann die L¨osung c(t) = tan(t) nur f¨ ur t ∈ (−π/2, π/2) definiert. ∂ ∂ 3. Sei M = R2 , ξ(x, y) = y ∂x und η(x, y) = (x2 /2) ∂y . Wir behaupten, daß ξ und η vollst¨ andig sind: Flξ (t; x, y) = (x + ty, y), Flη (t; x, y) = (x, y + tx2 /2), denn d ξ ∂ ∂ Fl (t; x, y) = (y, 0) = y · ∂x + 0 · ∂y = ξ(F l(t; x, y)), dt f¨ ur η analog. Aber: ξ + η ist nicht vollst¨andig! 2 ∂ ∂ Es ist (ξ +η)|(x,y) = y ∂x + x2 ∂y und sei c(t) = (x(t), y(t)) eine L¨osungskurve. Dann ist x0 (t) = y(t) und y 0 (t) = x2 (t)/2, d.h. x00 (t) = x2 (t)/2 ⇒ x0 (t)2 = x(t)3 /3 + C. L¨ ost man die Differentialgleichung zum Anfangswert (y02 − 3 x0 )/3 = 0, f¨ ur x0 > 0, so zeigt sich, daß Flξ+η nicht global definiert ist. c 15. Dezember 2008 [email protected]

245

29.1

28. Gew¨ ohnliche Differentialgleichung erster Ordnung

4. Sei Flξt (p) := Flξ (t, p). Weil die L¨osungskurven in einer offenen Umgebung von p existieren, gilt wegen der 1-Parameteruntergruppen-Eigenschaft f¨ ur kleine t : (Flξt )−1 = Flξ−t . Der Fluß Flξt ist also ein lokaler Diffeomorphismus.

29. Lie-Klammer In 20.6 haben wir gesehen, daß wir Tp M mit Derp (C ∞ (M, R), R) identifizieren k¨onnen. Und zwar war ur lokale Koordinaten (u1 , . . . , um ) die Wirkung eines Tan P f¨ i ∂ gentialvektors v = i v ∂ui p ∈ Tp M auf f ∈ C ∞ (M, R) gegeben durch: X  X ∂ ∂ v(f ) = v i ∂u v i · ∂u i |p (f ) = i |p (f ) und insbesonders i j

v(u ) =

X

i i

v ·

j ∂ ∂ui |p (u )

j

= v , denn

i j ∂ ∂ui |p (u )

= ∂i (uj ◦ ϕ)(ϕ−1 (p)) = ∂i (prj )(ϕ−1 (p)) = δij .

29.1 Satz (Vektorfelder als Derivationen). Es gibt eine bilineare Abbildung X(M ) × C ∞ (M, R) → C ∞ (M, R), (ξ, f ) 7→ ξ · f = ξ(f ) (: p 7→ ξp (f ) ∈ R). Beachte, daß ξ · f ∈ C ∞ (M, R) wohingegen f · ξ ∈ X(M ). Diese bilineare Abbildung induziert einen R-linearen Isomorphismus von X(M ) mit Der(C ∞ (M, R)) := {∂ ∈ L(C ∞ (M, R)) : ∂(f · g) = ∂(f ) · g + f · ∂(g)}. Außerdem gilt: (f · ξ) · g = f · (ξ · g), d.h. dieser Isomorphismus ist sogar C ∞ (M, R)linear, wobei Der(C ∞ (M, R)) durch (f · ∂)(g) := f · ∂(g) zu einem Modul u ¨ber der kommutativen Algebra C ∞ (M, R) gemacht wird. Beweis. Wir definieren: ξ(f )(x) = (ξ(f ))(x) := ξ(x)(f ) = (Tx f )(ξ(x)) = (pr2 ◦T f ◦ ξ)(x). Also ist ξ(f ) = pr2 ◦T f ◦ ξ ∈ C ∞ (M, R). Die Zuordnung (ξ, f ) 7→ ξ(f ) ist linear in ξ, da Tx f linear ist. Sie ist linear in f , da ξ(x) ∈ Derx , also linear ist. Die induzierte Abbildung f 7→ ξ(f ) ist eine Derivation, denn ξ(f g)(x) = ξ(x)(f g) = ξ(x)(f ) · g(x) + f (x) · ξ(x)(g) = ξ(f )(x) · g(x) + f (x) · ξ(g)(x)
= ξ(f ) · g)(x) + (f · ξ(g) (x)
= ξ(f ) g + f ξ(g) (x). Die induzierte Abbildung X(M ) → Der(C ∞ (M, R)) ist surjektiv: Sei ∂ ∈ Der(C ∞ (M, R)) gegeben. Wir suchen ein Vektorfeld ξ ∈ X(M ), welches ξ(x)(f ) = ∂(f )(x) erf¨ ullt. Also ist ξ(x) = evx ◦∂ ∈ Derx (C ∞ (M, R), R) ∼ = Tx M. Verbleibt zu zeigen, ist. Seien dazu (u1 , . . . , um ) lokale Koordinaten. P daß ξi glatt ∂ i i Dann ist ξ(x) = i ξ(x) ∂ui |x , und die Komponenten ξ(x) = (evx ◦∂)(u ) = 246

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29.2

29. Lie-Klammer

∂(ui )(x) sind glatt in x. Also ist ξ ∈ X(M ). Daß die beiden Abbildungen ξ ↔ ∂ invers zueinander sind, ist klar, denn ξ i (x) = (evx ◦∂)(ui ) = ∂(ui )(x) = ξx (ui ) = ξ i (x) ∂(f )(x) = (evx ◦∂)(f ) = ∂(f )(x). Schließlich k¨ onnen wir noch folgende Umformung durchf¨ uhren: (f · ξ)(g)|p = (f · ξ)p · g = (fp · ξp ) · g = f (p) · (ξp · g) = f (p) · (ξ · g)p = f (p) · ξ(g)(p) = (f · ξ(g))|p . 29.2 Folgerung (Raum der Vektorfelder als Lie-Algebra). Durch die Zuordnung: X(M ) × X(M ) → X(M ), (ξ, η) → [ξ, η]
[ξ, η] : f 7→ ξ(η(f )) − η(ξ(f )) , wird eine bilineare Abbildung definiert, die den Raum X(M ) zu einer Lie-Algebra macht. D.h.: 1. Schiefsymmetrie: [ξ, η] + [η, ξ] = 0; 2. “Jacobi-Identit¨ at”: [ξ, [η, χ]] + [η, [χ, ξ]] + [χ, [ξ, η]] = 0; 3. Zus¨ atzlich gilt: [f ξ, gη] = f g · [ξ, η] + f ξ(g) · η − gη(f ) · ξ. Beweis. Wir f¨ uhren den Beweis f¨ ur den Raum Der(A) der Derivationen einer allgemeinen assoziativen Algebra A. Dazu definieren wir f¨ ur ξ, η ∈ Der(A) die LieKlammer von ξ mit η als [ξ, η] := ξ ◦ η − η ◦ ξ. Dann gilt [ξ, η] ∈ Der(A), denn klarerweise ist [ξ, η] linear und f¨ ur f, g ∈ A gilt: [ξ, η](f · g) = ξ(η(f · g)) − η(ξ(f · g)) = ξ(f · η(g)) + ξ(η(f ) · g) − η(f · ξ(g)) − η(ξ(f ) · g) = f · ξ(η(g)) + ξ(f )η(g) + η(f )ξ(g) + ξ(η(f )) · g − f · η(ξ(g)) − η(f )ξ(g) − ξ(f )η(g) − η(ξ(f )) · g = f · [ξ, η](g) + [ξ, η](f ) · g. Die Abbildung (ξ, η) 7→ [ξ, η] ist bilinear, denn die Komposition in L(A, A) ist bilinear und die Subtraktion in L(A, A) ist linear. Sie ist schiefsymmetrisch, denn [ξ, η] = ξ ◦ η − η ◦ ξ = −(η ◦ ξ − ξ ◦ η) = −[η, ξ] und erf¨ ullt die Jacobi-Gleichung, denn: [ξ, [η, χ]] + [η, [χ, ξ]] + [χ, [ξ, η]] = [ξ, η ◦ χ − χ ◦ η] + [η, χ ◦ ξ − ξ ◦ χ] + [χ, ξ ◦ η − η ◦ ξ] = ξ ◦ (η ◦ χ − χ ◦ η) − (η ◦ χ − χ ◦ η) ◦ ξ + η ◦ (χ ◦ ξ − ξ ◦ χ) − (χ ◦ ξ − ξ ◦ χ) ◦ η + χ ◦ (ξ ◦ η − η ◦ ξ) − (ξ ◦ η − η ◦ ξ) ◦ χ =0 c 15. Dezember 2008 [email protected]

247

29.2

29. Lie-Klammer

Zuletzt zeigen wir noch Punkt (3). Dazu rechnen wir:  
[f · ξ, g · η] (h) = (f · ξ) ◦ (g · η) − (g · η) ◦ (f · ξ) (h) =

= (f · ξ) (g · η)(h) − (g · η) (f · ξ)(h)

= (f · ξ) g · η(h) − (g · η) f · ξ(h)
= f · ξ(g) · η(h) + f · g · ξ η(h)
− g · η(f ) · ξ(h) − g · f · η ξ(h)   = f · g · [ξ, η] + f · ξ(g) · η − g · η(f ) · ξ (h).

Bemerkung Bez¨ uglich der VB-Kartendarstellung sieht [ξ, η] folgendermaßen aus: " # X X Bilinearit¨ at i ∂ k ∂ [ξ, η] = ξ , η = ======== = i k ∂u ∂u i k Xh ∂ ∂ i = ξi i , ηk k ∂u ∂u i,k

 ∂  ∂  ∂  h ∂  ∂ ∂ i k k i i , · η − η · ξ + ξ ∂ui ∂uk ∂ui ∂uk ∂uk ∂ui ik  h i  XX ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , da , = 0. = ξi i ηk − ηi i ξk k i ∂uk ∂u ∂u ∂u ∂u i 29.2.3

======

X

ξi ηk

k

Es ist der Koeffizient von [ξ, η] bez¨ uglich

∂ ∂uk

gerade [ξ, η]k =

P  i

 k k i ∂ξ ξ i ∂η − η . i i ∂u ∂u

Man kann umgekehrt diese lokale Formel dazu verwenden, die Lieklammer zu definieren. Man muß dazu aber die Vertr¨aglichkeit mit Kartenwechsel nachrechnen. Dies geht wie folgt: X ¯ ∂ η¯¯j ¯¯j  ∂ ¯ ∂ξ ξ¯i ¯i − η¯i ¯i ∂u ¯ ∂u ¯ ∂u ¯¯j ¯¯ i,j

=

XX ¯i,¯ j

=

=

¯ j

i

¯

¯

ξi

∂ X ∂ u ¯ j j  X i ∂ X ∂ u ¯j j  ∂ η − η ξ i j i ∂u ∂u ∂u ∂uj ∂u ¯¯j j i j

ξi

¯ ¯ X ∂ 2 u ¯j ∂ j  ¯j j ∂ u η + η ∂ui ∂uj ∂uj ∂ui j

¯

i

XX

¯

∂u ¯ i ∂ X ∂ u ¯j j  X i ∂ u ¯ i ∂ X ∂ u ¯j j  ∂ η − η ξ ¯ ¯ ∂ui ∂ u ∂ui ∂ u ¯i j ∂uj ¯i j ∂uj ∂u ¯¯j i

i

XX ¯ j

¯

ξi

¯

¯ ¯ X ∂ 2 u ¯j j ∂ u ¯j ∂ j  ∂ ξ + ξ ∂ui ∂uj ∂uj ∂ui ∂u ¯¯j i j X ∂η j ∂ξ j  ∂ = ξi i − ηi i ∂u ∂u ∂uj i,j

−

248

X

ηi

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29.4

29. Lie-Klammer F¨ ur offenes M ⊆ Rn gilt also: X [ξ, η]kx = (ξxi ∂i η k |x − ηxi ∂i ξ k |x ) = (η k )0 (x)(ξx ) − (ξ k )0 (x)(ηx ) i

d.h. [ξ, η](x) = η 0 (x) · ξx − ξ 0 (x) · ηx . Beispiel Es gilt: [ξ, η] ist nicht vollst¨ andig, wenn ξ und η wie in Punkt (3) der Bemerkung 28.6 sind: 2

∂ x , 2 [ξ, η] = [y ∂x

2

2

2

2

∂ ∂ ∂ x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = y x2 [ ∂x , ∂y ] + y ∂x ( 2 ) ∂y − x2 ∂y (y) ∂x = yx ∂y − x2 ∂x  d     c1 (t) = −c21 (t)/2 c1 (t) dt c(t) = ist L¨ osungskurve ⇔  c2 (t)  d c (t) = c (t) · c (t) 2 1 2 dt 2 und c2 (t) = (t + A)2 · B. Aus der Anfangsbedingung c(0) = Es folgt: c1 (t) = (t+A) ∂ ∂y ]

(x, y) ergibt sich A =

2 x

und B =

x2 y 4 .

Somit ist 2

2x , (t + x2 )2 x4y ). c(x,y) (t) = Fl[ξ,η] (t; x, y) = ( 2+tx

F¨ ur t = − x2 ist der Fluß nicht definiert, d.h. [ξ, η] ist nicht vollst¨andig. 29.3 Definition (Verwandtschaft von Vektorfeldern) Es sei f : M → N glatt, ξ ∈ X(M ) und η ∈ X(N ). Das Vektorfeld ξ heißt f verwandt mit η :⇔ T f ◦ ξ = η ◦ f Tf

TM O

/ TN O η

ξ f

M

/N

g

/R

Es gilt dann, daß ξ genau dann f -verwandt mit η ist, wenn ξ(g ◦ f ) = (ηg) ◦ f f¨ ur alle glatten g : N → R. (⇒) ξ(g ◦ f )(p) = ξp (g ◦ f ) = (Tp f · ξp )g = ηf (p) g = η(g)(f (p)) = (η(g) ◦ f )(p) (⇐) (T f ◦ ξ)p g = (T f · ξp )g = ξp (g ◦ f ) = ξ(g ◦ f )(p) = (ηg ◦ f )(p) = ηg(f (p)) = ηf (p) (g) 29.4 Bemerkung (Push-forward von Vektorfeldern) F¨ ur ein allgemeines f l¨ aßt sich zu einem gegebenen Vektorfeld kein f -verwandtes Vektorfeld finden. Ist jedoch f ein Diffeomorphismus, dann ist T f ◦ ξ ◦ f −1 ein Vektorfeld f∗ ξ auf N f¨ ur jedes Vektorfeld ξ auf M . TM O

Tf

ξ

M

/ TN O f∗ ξ

f

/N

Es folgt f¨ ur ξ aus der Konstruktion, daß es f -verwandt mit f∗ ξ ist. Umgekehrt hat man folgende Aussage: c 15. Dezember 2008 [email protected]

249

29.7

29. Lie-Klammer

29.5 Lemma (Pull-back von Vektorfeldern). Es sei f : M → N eine Immersion, η ∈ X(N ) und ηf p ∈ Bild(Tp f ) f¨ ur alle p ∈ M , dann folgt daraus: ∃ ! Vektorfeld ξ(= f ∗ η), sodaß ξ f -verwandt mit η ist. Beweis. Da T f injektiv ist, kann jedem ηf p in Bild(Tp f ) ein eindeutig bestimmtes Element ξp ∈ Tp M zugeordnet werden, es bleibt zu zeigen, ξ : M → T M ist C ∞ . Da f eine Immersion ist, existieren P i ϕ Karten ϕ und ψ um p bzw.i fp , sodaß ugt zu zeigen, daß ξϕ : M → R ψ −1 ◦ f ◦ ϕ = inclRm →Rn . Sei ξ = ξϕ ∂i . Es gen¨ glatt sind. Da (ξϕi )p = ξp (pri ◦ϕ−1 ) = ξp (pri ◦ψ −1 ◦ f ) = (T f ◦ ξp )(pri ◦ψ −1 ) = ηf (p) (pri ◦ψ −1 ) = (ηψi )f (p) = (ηψi ◦ f )p in p glatt ist, folgt, daß ξp lokal um p glatt ist. Die f -Verwandtschaft folgt unmittelbar aus der Konstruktion von ξ.

29.6 Bemerkung Wir haben gezeigt, daß unter gewissen Voraussetzungen Vektorfelder durch geeignete glatte Abbildungen transportiert werden k¨onnen. Dabei bezeichne f ∗ η = T f −1 ◦ η ◦ f (siehe Lemma 29.5 ): TM O

Tf

/ TN O

ξ

M

f∗ ξ f

/N

TM O

Tf

/ TN O

f ∗η

M

η f

/N

Wobei das linke Diagramm existiert, falls f ein Diffeomorphismus ist und das rechte, falls f eine Immersion ist und η Werte im Bild von T f hat. Es gilt dann: f∗ (f ∗ η) = T f ◦ (f ∗ η) ◦ f −1 = T f ◦ T f −1 ◦ η ◦ f ◦ f −1 = η sowie f ∗ (f∗ ξ) = ξ, wobei f , ξ und η die oben genannten Voraussetzungen erf¨ ullen. Insgesamt haben wir gezeigt: f ∗ = (f∗ )−1 : X(N ) → X (M ) und f∗ : X(M ) → X(N ). 29.7 Proposition. Die Vektorfelder ξi seien f -verwandt mit ηi f¨ ur i = 1, 2. Dann gilt: 1. ξ1 + ξ2 ist f -verwandt mit η1 + η2 . 2. [ξ1 , ξ2 ] ist f -verwandt mit [η1 , η2 ]. 3. (g ◦ f ) · ξ ist f -verwandt mit g · η, wobei g : N → R glatt ist. Beweis. (1) folgt aus der Linearit¨ at von Tx f . (2) folgt, da [ξ1 , ξ2 ](g ◦ f ) = ξ1 (ξ2 (g ◦ f )) − ξ2 (ξ1 (g ◦ f )) 29.3

= ==== = ξ1 ((η2 g) ◦ f ) − ξ2 ((η1 g) ◦ f ) 29.3

= ==== = (η1 (η2 g)) ◦ f − (η2 (η1 g)) ◦ f = ([η1 , η2 ]g) ◦ f. (3) folgt, wegen (T f ◦ ((g ◦ f ) · ξ))(p) = T f (g(f (p)) · ξp ) = g(f (p)) · (Tp f )ξp = g(f (p)) · ηf (p) = ((g · η) ◦ f )(p). 250

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29.10

29. Lie-Klammer

29.8 Lemma. Seien ξ und η zwei Vektorfelder, dann ist ξ f -verwandt mit η ⇔ f ◦Flξ = Flη ◦(id ×f ) lokal um {0} × M . Beweis. (⇐) Es gilt ξ d dt |t=0 f (Fl (t, p)) η d dt |t=0 Fl (t, f (p))

= T f (Flξ ( , p)0 (0)) = T f (ξp ) und = η(Flη (0, f (p))) = η(f (p)).

(⇒) Die Kurve Flη ( , f (p)) ist die Integralkurve zu η mit Startwert f (p). Es ist f (Flξ (t, p))|t=0 = f (p) und durch Differenzieren folgt:  0   f ◦ Flξ ( , p) (t) = T f (Flξ ( , p))0 (t) = (T f · ξ)|Flξ (t,p) = η|f (Flξ (t,p)) . Die Gleichheit der beiden Ausdr¨ ucke folgt nun aus der Eindeutigkeit der Integralkurven. 29.9 Definition (Lie-Ableitung) 1. F¨ ur ξ ∈ X(M ) ist die Lie-Ableitung Lξ in Richtung ξ auf Funktionen f ∈ C ∞ (M, R) definiert durch Lξ : C ∞ (M, R) → C ∞ (M, R)  d |t=0 (Flξt )∗ f (p) = f 7→ p 7→ dt

d dt |t=0 (f

 ◦ Flξ )(t, p) .

2. F¨ ur ξ ∈ X(M ) ist die Lie-Ableitung Lξ in Richtung ξ auf Vektorfeldern η ∈ X(M ) definiert durch Lξ : X(M ) → X(M )  d η 7→ p 7→ dt |t=0 (Flξt )∗ η(p) =

d dt |t=0 (T

 Flξ−t ◦η ◦ Flξt )(p) .

Dabei beachte man, daß T Flξ−t ◦η ◦ Flξt : M → T M f¨ ur alle t lokal ein ξ ξ Schnitt ist, und somit t 7→ (T Fl−t ◦η ◦ Flt )(p) eine lokal definierte Kurve im Vektorraum Tp M f¨ ur jedes p ist (wohingegen t 7→ (T Flξ−t ◦η ◦ Flξt ) keine d Kurve R → X(M ) ist), und somit die Ableitung dt |t=0 (T Flξ−t ◦η ◦ Flξt )(p) ebenfalls in Tp M liegt. Der folgende Satz zeigt, daß wir die Lie-Ableitung von Funktionen und Vektorfeldern schon kennen. 29.10 Satz (Beschreibungen der Lie-Ableitung). 1. Sei ξ ∈ X(M ) und f ∈ C ∞ (M, R), dann gilt: Lξ f = ξf. 2. Seien ξ, η ∈ X(M ), dann gilt: Lξ (η) = [ξ, η]. Beweis. (1) Da ξp = c0p (0) ist, wobei bei cp := Flξ ( , p), gilt (Lξ f )p =

ξ ∗ d dt |t=0 (Flt ) f (p)

= (f ◦ Flξ ( , p))0 (0) = (f ◦ cp )0 (0) = ξp (f ) = (ξf )p .

(2) Sei α : R2 → R durch (t, s) 7→ (η|Flξ (t,p) )(f ◦ Flξ (s, .)) = T Flξ (s, )(ηFlξ (t,p) )(f ) = (T Flξs ◦η ◦ Flξt )p (f ) c 15. Dezember 2008 [email protected]

251

29.11

29. Lie-Klammer

lokal definiert. Dann ist α(t, 0) = η|Flξ (t,p) f α(0, s) = ηp (f ◦ Flξ (s, .)) ⇒

∂1 α|(0,0) = ∂2 α|(0,0) =

ξ d d dt |t=0 (η|Flξ (t,p) )f = dt |t=0 (ηf )(Fl (t, p)) = ξp (ηf ) ξ ξ d d dt |t=0 ηp (f ◦ Fl (t, .)) = ηp dt |t=0 (f ◦ Fl (t, .)) = ηp (ξf ),

da ηp linear ist. Es gilt also

sowie

d dt |t=0 α(−t, t) d dt |t=0 α(t, −t)

= ∂2 α(0, 0) − ∂1 α(0, 0) = ξp (ηf ) − ηp (ξf ) = [ξ, η]p f = =

ξ d dt |t=0 (η|Flξ (t,p) )(f ◦ Fl (−t, .)) ξ ξ d dt |t=0 (T Fl−t ◦η ◦ Flt )p f = Lξ (η)p f.

29.11 Satz. Die Lie-Klammer ist eine Obstruktion gegen Kommutativit¨ at der Fl¨ usse. Genauer heißt das: 1. Es ist [ξ, η] = 0 ⇔ Flξt ◦ Flηs = Flηs ◦ Flξt (Diese Abbildungen sind lokal f¨ ur kleine t und s definiert). FlΞt HFlΗs HpLL=FlΗs HFlΞt HpLL

FlΗs HpL

FlΞt HpL

p

2. Sei c : R → M mit c(t) := (Flη−t ◦ Flξ−t ◦ Flηt ◦ Flξt )p lokal definiert. Dann gilt: c(0) = p, c0 (0) = 0, c00 (0) ∈ Tp M ist wohldefiniert und c00 (0) = 2[ξ, η]p .

FltΗ HFltΞ HpLL

FlΞ-t HFlΗt HFlΞt HpLLL FlΞt HpL

cHtL=FlΗ-t HFlΞ-t HFlΗt HFlΞt HpLLLL

252

p

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29.11

29. Lie-Klammer Beweis. (1) (⇐) Es gilt Flξt (Flη (s, p)) = Flξt Flηs (p) = Flηs Flξt (p) = Flη (s, Flξt (p)), d.h. Flξt ◦ Flη = Flη ◦(1 × Flξt ) 29.8

==== ⇒ η ist Flξt -verwandt mit η, d.h. T Flξt ◦η = η ◦ Flξt . ⇒ η = T Flξ−t ◦η ◦ Flξt , da (Flξt )−1 = Flξ−t ein lokaler Diffeomorphismus ⇒ 0=

d dt



t=0

η=



d dt

29.10

t=0

===== = [ξ, η]. T Flξ−t ◦η ◦ Flξt =

(⇒) Aus [ξ, η] = 0 folgt: d dt (T

 ξ ξ ξ ξ T Fl ◦T Fl ◦η ◦ Fl ◦ Fl t (p) s −t −s s=0   d (T Flξ−s ◦η ◦ Flξs ) ◦ Flξt (p) = T Flξ−t ◦ ds s=0

Flξ−t ◦η ◦ Flξt )(p) =

d ds





29.10

= ===== = (T Flξ−t ◦[ξ, η] ◦ Flξt )(p) = 0 Also ist η = T Flξ0 ◦η ◦ Flξ0 = T Flξ−t ◦η ◦ Flξt konstant in t, d.h. η ◦ Flξt = T Flξt ◦η. Somit ist η ist Flξt -verwandt mit η. Nach 29.8 ist schließlich Flηs ◦ Flξt = Flξt ◦ Flηs . (2) Es sei c : R → M lokal definiert und C ∞ und c0 : R → T M der kanonische Lift von c. Die Kurve c00 : R → T (T M ) kann ebenfalls als Lift aufgefaßt werden. R

R

c00

c0

c

 M o

R

πM

c = π M ◦ c0 c0 = πT M ◦ c00

 TM o

πT M

 T (T M )

) ⇒ c = πM ◦ πT M ◦ c00

Falls c0 (0) = 0, l¨ aßt sich c00 (0) als Derivation auffassen: f 7→ c00 (0)f := (f ◦ c)00 (0) ist linear und c00 (0)(f g) = ((f g) ◦ c)00 (0) = ((f ◦ c)(g ◦ c))00 (0) = (f ◦ c)00 (0)(g ◦ c)(0) + 2(f ◦ c)0 (0)(g ◦ c)0 (0) + (f ◦ c)(0)(g ◦ c)00 (0) = (c00 (0)f )g(c(0)) + f (c(0))(c00 (0)g). Also ist c00 (0) eine Derivation u ¨ber c(0) = p, d.h. c00 (0) ∈ Tp M . Es sei α0 (t, s) := (Flηt ◦ Flξs )(p) α1 (t, s) := (Flξ−t ◦ Flηs ◦ Flξs )(p) α2 (t, s) := (Flη−t ◦ Flξ−s ◦ Flηs ◦ Flξs )(p). Dann gilt: c(t) = α2 (t, t) α2 (0, s) = α1 (s, s) α1 (0, s) = α0 (s, s). c 15. Dezember 2008 [email protected]

253

29.12

29. Lie-Klammer

Sei f ∈ C ∞ (M, R), so gilt: ∂1 (f ◦ α0 ) = (ηf ) ◦ α0 ∂1 (f ◦ α1 ) = −(ξf ) ◦ α1 ∂1 (f ◦ α2 ) = −(ηf ) ◦ α2 ∂2 (f ◦ α0 )(0, s) = (ξf )(α0 (0, s)) ∂2 (f ◦ α1 )(0, s) = ∂1 (f ◦ α0 )(s, s) + ∂2 (f ◦ α0 )(s, s) ∂2 (f ◦ α2 )(0, s) = ∂1 (f ◦ α1 )(s, s) + ∂2 (f ◦ α1 )(s, s)

⇒ c0 (0)f = (f ◦ c)0 (0) =

d dt |t=0 (f

◦ α2 )(t, t)

= ∂1 (f ◦ α2 )(0, 0) + ∂2 (f ◦ α2 )(0, 0) = −(ηf )p + ∂1 (f ◦ α1 )(0, 0) + ∂2 (f ◦ α1 )(0, 0) = −(ηf )p − (ξf )p + ∂1 (f ◦ α0 )(0, 0) + ∂2 (f ◦ α0 )(0, 0) = 0 00

d 2 c (0)f = (f ◦ c)00 (0) = ( dt ) |t=0 (f ◦ α2 )(t, t)

= ∂12 (f ◦ α2 )(0, 0) + 2∂2 ∂1 (f ◦ α2 )(0, 0) + ∂22 (f ◦ α2 )(0, 0)

∂12 (f ◦ α2 )(0, 0) = ∂1 (−(ηf ) ◦ α2 )(0, 0) = (−η(−ηf ))α2 (0, 0) = (η(ηf ))p ∂2 ∂1 (f ◦ α2 )(0, 0) = ∂2 ((−ηf ) ◦ α2 )(0, 0) = ∂1 ((−ηf ) ◦ α1 )(0, 0) + ∂2 ((−ηf ) ◦ α1 )(0, 0) = (ξηf )p + ∂1 (−ηf ◦ α0 )(0, 0) + ∂2 (−ηf ◦ α0 )(0, 0) = (ξηf )p − (ηηf )p − (ξηf )p = −(ηηf )p

∂22 (f ◦ α2 )(0, 0) = ∂12 (f ◦ α1 )(0, 0) + 2∂1 ∂2 (f ◦ α1 )(0, 0) + ∂22 (f ◦ α1 )(0, 0) ∂12 (f ◦ α1 )(0, 0) = (ξξf )p ∂2 ∂1 (f ◦ α1 )(0, 0) = ∂2 ((−ξf ) ◦ α1 )(0, 0) = ∂1 (−ξf ◦ α0 )(0, 0) + ∂2 (−ξf ◦ α0 )(0, 0) = −(ηξf )p − (ξξf )p ∂22 (f

◦ α1 )(0, 0) = ∂12 (f ◦ α0 )(0, 0) + 2∂1 ∂2 (f ◦ α0 )(0, 0) + ∂22 (f ◦ α0 )(0, 0) = (ηηf )p + 2(ξηf )p + (ξξf )p

Durch Einsetzen ergibt sich: c00 (0)f = ηηf − 2ηηf + ξξf − 2ηξf − 2ξξf + ηηf + 2ξηf + ξξf = 2(ξηf − ηξf ) = 2[ξ, η]f 29.12 Satz (Kommutierende Fl¨ usse kommen von Karten). Es seien {ξi }ki=1 linear unabh¨ angige Vektorfelder auf M , und [ξi , ξj ] = 0 ∀ i, j. Dann existiert eine Karte ϕ, sodaß lokal gilt: ξi = ∂iϕ f¨ ur i = 1 . . . k. 254

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29.14

29. Lie-Klammer

Beweis. O.B.d.A. sei M ⊆ Rn offen, p = 0 und ξi (0) = ei f¨ ur i = 1, . . . k. Es sei   ϕ(t1 , . . . , tn ) := Flξ1 t1 , Flξ2 (t2 , . . . Flξk (tk ; 0, . . . 0, tk+1 , . . . tn ) . . .)   = Flξt11 ◦ · · · ◦ Flξtkk (0, . . . , 0, tk+1 , . . . tn ). Es gilt ϕ(0) = p und ϕ ist ein lokaler Diffeomorphismus, da die partiellen Ableitungen f¨ ur i ≤ k folgende Gestalt haben:   ∂i ϕ(t1 , . . . , tn ) = ∂t∂ i Flξt11 ◦ · · · ◦ Flξtii ◦ · · · ◦ Flξtkk (0, . . . , 0, tk+1 , . . . tn ) =

∂ ∂ti



 − − − − − − − − −q p− Flξtii ◦ Flξt11 · · · ◦ Flξtii ◦ · · · ◦ Flξtkk (0, . . . , 0, tk+1 , . . . tn )

  − − − − − − − − −q p− Flξtii ◦ Flξt11 · · · ◦ Flξtii ◦ · · · ◦ Flξtkk (0, . . . , 0, tk+1 , . . . tn )    = ξi Flξt11 · · · ◦ Flξtkk (0, . . . , 0, tk+1 , . . . tn )   = ξi ϕ(t1 , . . . , tn ) , = ξi



− − − dabei bedeutet p− .− . q. , daß der entsprechende Term ausgelassen wird. Also ist ξi = ∂iϕ f¨ ur i ≤ k. F¨ ur i > k und t1 = · · · = tk = 0 gilt nach Voraussetzung: ∂i |ti =0 ϕ(0, . . . , 0, ti , 0, . . . , 0) = ( ∂t∂ i )(0, . . . 0, ti , 0, . . . 0) = ei . Somit ist ϕ0 (0) = idRn und ∂iϕ (q) = ∂i (ϕ)(ϕ−1 q) = ξi (q) f¨ ur i ≤ k.

29.13 Bemerkungen 1. Es gilt auch die Umkehrung: Ist ϕ eine Karte, dann verschwinden die LieKlammern der Basisvektorfelder ∂iϕ , also kommutieren ihre Fl¨ usse paarweise. 2. Es sei ξ ∈ X(M ) und ξp 6= 0. Dann existiert nach 29.12 f¨ ur k = 1 eine Karte ϕ mit ξ = ∂1ϕ . Da offensichtlich ∂1 ϕ-verwandt mit ∂1ϕ ist, ist ϕ(Fl∂1 (t, x)) = Flξ (t, ϕ(x)) nach 29.8 und somit ist Flξ (t, p) = ϕ(Fl∂1 (t, ϕ−1 (p))) = ϕ(ϕ−1 (p)+ te1 ). Der Fluß jedes nicht-station¨aren Vektorfelds ist also bis auf Diffeomorphismen ϕ durch die Translation x 7→ x+t e1 mit konstanten GeschwindigkeitVektor e1 gegeben.

3. Es sei ξp = 0 (also p eine Nullstelle des Vektorfelds) und somit Flξ (t, p) = p, d.h. p ist ein Fixpunkt (station¨arer Punkt) des lokalen Flusses. O.B.d.A. ist U ⊆ Rm offen und ξ : U → Rm mit ξ(0) = 0. Dann ist ξ 0 (0) : Rm → Rm linear, und die Eigenwerte von ξ 0 (0) bestimmen generisch das lokale Verhalten des Flusses (Siehe B¨ ucher u ¨ber dynamische Systeme). 29.14 Proposition. Es sei M ⊆ R3 eine Fl¨ ache und X1 , X2 punktweise linear unabh¨ angige Vektorfelder auf M . Dann existiert eine lokale Parametrisierung ϕ von M mit ∂i ϕ(u) parallel zu Xi (ϕ(u)) f¨ ur i ∈ {1, 2}. F¨ ur Hyperfl¨ achen im Rn mit n > 3 ist der analoge Satz falsch! c 15. Dezember 2008 [email protected]

255

30.2

29. Lie-Klammer

Direkter Beweis. Sei ψ eine lokale Parametrisierung von M und Yi die lokalen Vektorfelder auf R2 mit Tv ψ · Yi (v) = Xi (ψ(v)). Wir suchen einen lokalen Diffeomorphismus h : R2 → R2 , (v 1 , v 2 ) 7→ (u1 , u2 ) mit ϕ := ψ ◦ h−1 wie gew¨ unscht, d.h. P2 ∂i ϕ(u) parallel zu Xi (ϕ(u)). Dies bedeutet: 0 = (ui )0 (v) · Yj (v) = k=1 ∂k ui (v) · Yjk (v) f¨ ur i 6= j, denn dann ist (h−1 )0 (u)·ei = h0 (h−1 (u))−1 ·ei parallel zu Yi (h−1 (u)) und somit ∂i ϕ(u) = Th−1 (u) ψ · (h−1 )0 (u) · ei parallel zu Th−1 (u) ψ · Yi (h−1 (u)) = Xi (ψ(h−1 (u))) = Xi (ϕ(u)). Obige partielle Differentialgleichungen von der Form ∂1 u(v) · Y 1 (v) + ∂2 u(v) · Y 2 (v) = 0 sind l¨osbar, denn sei t 7→ v(t) eine Integralkurve d u(v(t)) = ∂1 u(v(t)) · (v 1 )0 (t) + ∂2 u(v) · (v 2 )0 (t) = des Vektorfelds Y , dann ist dt 1 ∂1 u(v(t)) · Y (v(t)) + ∂2 u(v(t)) · Y 2 (v(t)) = 0 f¨ ur jede L¨osung u der partiellen Differentialgleichung, also u ◦ v konstant. Also ist u(FlY (t, v)) = u(v). Wenn wir somit u auf einer Kurve normal zu Y vorgeben, so ist u dadurch lokal definiert und erf¨ ullt die partielle Differentialgleichung. Beweis mittels kommutierender Vektorfelder. Vergleiche dies mit 29.12 . Seien X1 , X2 punktweise linear unabh¨angig. Dann existieren lokal Funktionen  ai > 0 mit 0 = [a1 X1 , a2 X2 ] = a1 a2 [X1 , X2 ]+a1 X1 (a2 )X2 −a2 X2 (a1 )X1 = a1 a2 [X1 , X2 ]+  X2 (a1 ) X1 (a2 ) X − X ur k = 2 eine Karte ϕ mit ∂i ϕ = ai Xi und somit nach 29.12 f¨ 2 1 a2 a1 f¨ ur i = 1, 2, denn [X1 , X2 ] = b1 X1 + b2 X2 mit glatten Koeffizienten Funktionen b1 und b2 und somit m¨ ussen wir nur die partiellen Differentialgleichung erster Ord1) 2) = b und analog X2a(a = −b1 l¨osen, was offensichtlich m¨oglich ist, nung X1a(a 2 2 1 denn dazu k¨ onnen wir die Werte auf einer Kurve transversal zu X1 beliebig vorgeben (nach 29.12 f¨ ur k = 1 k¨ onnen wir zu einem nicht verschwindenden Vektorfeld X eine Karte ϕ mit X = ∂1 ϕ finden).

30. Integralmannigfaltigkeiten 30.1 Bemerkung Wir haben in 28.6 gesehen, daß Integralkurven von Vektorfeldern nicht immer global definiert sind. Anschaulich gesprochen sind sie nicht f¨ ur alle t ∈ R definiert, weil sie bereits in endlicher Zeit nach “unendlich” entweichen. Es sind also die L¨ osungskurven “zu schnell”, d.h. die Geschwindigkeitsvektoren zu groß. Wir k¨onnen aber den Fluß global machen, indem wir seine Geschwindigkeit verkleinern. Abstrakter: i) An Stelle von Vektorfeldern betrachten wir eindimensionale Teilr¨aume Ep ⊆ Tp M ∀ p ∈ M , also Teilvektorb¨ undel. ii) An Stelle von L¨ osungskurven betrachten wir Integralmannigfaltigkeiten, das sind 1-dimensionale Teilmannigfaltigkeiten N von M , f¨ ur die Tp N = Ep gilt. Wir k¨onnen diese Begriffe auch im mehrdimensionalen Fall formulieren:

30.2 Definition (Integralmannigfaltigkeit) Es sei E ein Teilvektorb¨ undel von π: TM → M (in der (¨alteren) Literatur auch als Distribution bezeichnet). Dann versteht man unter einer Integralmannigfaltigkeit N zu E eine zusammenh¨angende Mannigfaltigkeitsstruktur auf einer Teilmenge N ⊆ M , sodaß incl : N → M eine Immersion ist und T incl : Tp N → Ep f¨ ur alle p ∈ N eine Bijektion ist. 256

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30.3

30. Integralmannigfaltigkeiten 30.3 Beispiele

1) F¨ ur eindimensionale Teilvektorb¨ undel, die ja lokal von einem Vektorfeld aufgespannt werden, existieren immer Integralkurven zu diesem Vektorfeld, und damit auch Integralmannigfaltigkeiten des B¨ undels. Z.B.: Hat ein “konstantes” Vektorfeld am Torus irrationalen Anstieg, dann liegt jede ihrer Integralmannigfaltigkeiten dicht.

2) Man bemerke allerdings, daß das Teilvektorb¨ undel E im allgemeinen nicht global durch ein VF aufgespannt wird. Ein Beispiel ist das M¨obiusband, wo E alle Vektoren sind, die von Kurven in der Faser herr¨ uhren.

3) Im mehrdimensionalen Fall gilt im allgemeinen nicht, daß jedes Teilvektorb¨ undel eine Integralmannigfaltigkeit erzeugt. Betrachte das folgende Bei∂ ∂ ∂ spiel: M = R3 mit Exyz = h{ ∂x + y ∂z , ∂y }i ⊆ T(x,y,z) R3 . z

y

x

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257

30.6

30. Integralmannigfaltigkeiten Sei N eine Integralmannigfaltigkeit durch (0, 0, 0). Wir betrachten vorerst den Schnitt N ∩{(0, y, z) : y, z ∈ R}. Wegen T0 N = R2 ×{0} ist dieser Schnitt lokal eine 1-dimensionale Teilmannigfaltigkeit mit Tangentialraum h(0, 1, 0)i in jedem Punkt Punkt, also Teil der y-Achse. F¨ ur ein fixes y0 betrachten wir nun den Schnitt N ∩ {(x, y0 , z) : x, z ∈ R}. Wie zuvor ist dieser Schnitt lokal eine 1-dimensionale Teilmannigfaltigkeit nun mit Tangentialraum h(1, 0, y0 )i in jedem Punkt, also Teil der Geraden (0, y0 , 0)+R·(1, 0, y0 ) = {(x, y0 , xy0 ) : x ∈ R}. Somit ist N lokal durch {(x, y, x y) : x, y ∈ R} gegeben. Betrachtet man aber den Tangentialraum in (1, 0, 0), so enth¨alt dieser Vektoren, deren 2. und 3. Komponente 6= 0 ist: T(x,y,xy) N = h(1, 0, y), (0, 1, x)i. Dies stimmt aber mit E(x,y,z) nur dort u ¨berein, wo x = 0. Eine Integralmannigfaltigkeit durch 0 existiert also nicht.

30.4 Bemerkung Angenommen E ist ein Teilb¨ undel von T M , das durch jeden Punkt eine Integralmannigfaltigkeit besitzt. Sei p ∈ M und N die Integralmannigfaltigkeit durch p und seien ξ, η Vektorfelder auf M mit ξx , ηx ∈ Ex f¨ ur alle x. Wegen Lemma 29.5 existieren Vektorfelder ξ1 , η1 auf N , sodaß ξ1 , η1 bez¨ uglich incl verwandt sind mit ξ, η. Dann ist [ξ1 , η1 ] ein Vektorfeld auf N und [ξ1 , η1 ] ist incl-verwandt mit [ξ, η]. Wir erhalten [ξ, η]p = T incl [ξ1 , η1 ]p ∈ Ep . 30.5 Definition (Integrable Teilb¨ undel) Ein Teilvektorb¨ undel E von T M heißt integrabel :⇔ f¨ ur je zwei glatte Vektorfelder ξ, η auf M mit ξp , ηp ∈ Ep ∀ p folgt: [ξ, η]p ∈ Ep ∀ p. ¨ Ubung: Man zeige, daß das Teilb¨ undel von 30.3.3 nicht integrabel ist. Hinweis betrachte die beiden erzeugenden Vektorfelder. 30.6 Lokales Integrabilit¨ atstheorem von Frobenius. Es sei E ein Teilvektorb¨ undel von π: TM → M . Dann ist E genau dann integrabel, wenn zu jedem p eine Integralmannigfaltigkeit durch p existiert (genauer: es existiert eine Karte ϕ mit ϕ(0) = p, sodaß ϕ(Rk ×{a}) eine Integralmannigfaltigkeit f¨ ur jedes a ist). Die Bilder ϕ(Rk × {a}) heißen auf englisch plaques, also frei u ¨bersetzt Bl¨attchen. Beweis. (⇐) Das haben wir bereits in 30.4 gezeigt. (⇒) O.B.d.A. sei M ⊆ Rm offen, ψ : M × Rm → M × Rm sei eine VB-Karte, die E trivialisiert, d.h. ψz := ψ(z, .) : Rk × {0} → Ez ist ein Isomorphismus f¨ ur jedes z. Sei o.B.d.A. E0 = Rk ⊆ Rm und ψ0 = id, also prk ◦ψ0 ◦ inclk = id ∈ GL(k). Damit ist auch prk ◦ψz ◦ inclk ∈ GL(k) f¨ ur alle z nahe 0. Wir wollen nun jeden der Teilr¨aume Ez als Graph einer linearen Abbildung fz : Rk → Rm−k darstellen. Wegen Graph(fz ) := {(v, f (z)v) : v ∈ Rk } und Ez = {(ψz1 (w, 0), ψz2 (w, 0)) : w ∈ Rk } muß fz (v) = ψz2 (w, 0) mit ψz1 (w, 0) = v f¨ ur ein (eindeutig bestimmtes) v ∈ Rk sein, also fz gegeben sein durch: f : M → L(k, m − k) mit f : z 7→ ψz2 ◦ (ψz1 |Rk )−1 = prm−k ◦ψz ◦ (prk ◦ψz ◦ inclk )−1 258

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30.7

30. Integralmannigfaltigkeiten

Rm-k

Rm-k

Ez =graphHfz L

fz HvL=Ψ2z Hw,0L Ψz w

Rk

v=Ψ1z Hw,0L

Rk

Was sagt nun in diesem Zusammenhang die Integrabilit¨at aus? Es gilt f¨ ur ξ ∈ X(M ): ξp ∈ Ep ⇔ ξp ∈ Graph f (p) ⇔ ξp = (ξ1 |p , ξ2 |p ), mit f (p)(ξ1 |p ) = (ξ2 |p ). Seien ξ, η : Rm → Rm = Rm−k × Rk mit ξp , ηp ∈ Ep . Nach Voraussetzung ist [ξ, η]p ∈ Ep also
[ξ, η](p) = [ξ, η]1 (p), f (p)([ξ, η]1 (p)) und andererseits

[ξ, η](p) = η 0 (p) ξ(p) − ξ 0 (p) η(p) 



 = η10 (p) ξ(p) − ξ10 (p) η(p) , η20 (p) ξ(p) − ξ20 (p) η(p)   



= η10 (p) ξ(p) − ξ10 (p) η(p) , f 0 (p) ξ(p) η1 (p) + f (p) η10 (p)(ξ(p))  

− f 0 (p) η(p) ξ1 (p) − f (p) ξ10 (p)(η(p)) 



 = [ξ, η]1 (p), f (p)([ξ, η]1 (p)) + f 0 (p) ξ(p) η1 (p) − f 0 (p) η(p) ξ1 (p) Daraus folgt f¨ ur v1 := ξ1 (p) und v2 := η1 (p) mit v1 , v2 ∈ Rk : f 0 (p)(v1 , f (p)v1 )v2 = f 0 (p)(v2 , f (p)v2 )v1 . Wir wollen ein ϕ : Rm → Rm finden, sodaß ϕ(Rk × {a}) (f¨ ur alle a) eine Integralmannigfaltigkeit ist. D.h. (∂1 ϕ)(z) : Rk → Eϕ(z) soll ein Isomorphismus sein. O.B.d.A. (wie sich zeigen wird) schr¨anken wir das Aussehen von ϕ durch folgende Bedingung noch weiter ein: ϕ(0, y) = (0, y),

(∂1 ϕ)(z) · v = (v, f (ϕ(z))v).

Ist ϕ(x, y) =: (ϕ1 (x, y), ϕ2 (x, y)) =: (ϕ1 (x, y), gy (x)), so gilt: (∂1 ϕ1 (z) · v, ∂1 ϕ2 (z) · v) = ∂1 ϕ(z) · v = (v, f (ϕ(z)) · v) ⇒ ϕ1 (x, y) = x, also ϕ(x, y) = (x, gy (x)), wobei gy (0) = y und gy0 (x) = f (x, gy (x)) gelten muß. Es folgt nun alles aus dem folgenden Satz 30.7 .

30.7 Satz von Frobenius f¨ ur totale Differentialgleichungen. Es sei f : Rm = Rk × Rn → L(k, n) eine lokale C ∞ -Abbildung. Dann gilt: Es existiert zu (x0 , y0 ) ∈ Rm genau dann eine lokale C ∞ -Abbildung gx0 ,y0 : Rk → Rn mit gx0 0 ,y0 (x)v = f (x, gx0 ,y0 (x))v und gx0 ,y0 (x0 ) = y0 wenn f 0 (z)(v1 , f (z)v1 )v2 symmetrisch in v1 , v2 ist. Weiters ist die Abbildung (x0 , y0 , x) 7→ gx0 ,y0 (x) C ∞ .

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30.7

30. Integralmannigfaltigkeiten

Bemerkung Pk Sei {e1 , . . . , em } eine Basis f¨ ur Rm , fi (z) := f (z)ei . Dann ist f (z)v = i=1 fi (z)v i und ∂i g(x) = fi (x, g(x)) mit 1 ≤ i ≤ k ist ein System von partiellen Differentialuhren. gleichungen. Wir werden den Beweis von 30.7 in basisfreier Darstellung f¨ (Einen Beweis in Koordinatenschreibweise findet man z.B. in [90, Vol.I, S.254].) Beweis von 30.7 . Siehe [59, 6.5.1] (⇒) F¨ ur z0 = (x0 , y0 ) ∈ E × F sei g eine lokale L¨osung obiger Differentialgleichung mit Anfangsbedingung g(x0 ) = y0 . Dann ist g 0 = f ◦(id, g) und nach der Kettenregel ist     g 00 (x0 )(v1 , v2 ) = (g 0 )0 (x0 )(v1 )(v2 ) = evv2 (g 0 )0 (x0 )(v1 ) = evv2 (f ◦ (id, g))0 (x0 )(v1 )      0 0 = evv2 f (x0 , g(x0 )) v1 , g (x0 )(v1 ) = f 0 (z0 ) v1 , f (z0 )(v1 ) (v2 ) Der letzte Ausdruck ist also symmetrisch in v1 und v2 , weil g 00 (x0 ) es nach dem Satz von Schwarz ist. (⇐) Es sei (x0 , y0 ) ∈ E × F fix. Wir versuchen die totale Differentialgleichung auf eine gew¨ ohnliche zur¨ uckzuf¨ uhren indem wir zuerst nur untersuchen was bei x0 in Richtung v ∈ E passiert. Dazu nehmen wir vorerst an, daß eine lokale L¨osung g der totalen Differentialgleichung mit Anfangswert g(x0 ) = y0 existiert und setzen g¯(t, v) := g(x0 + tv). Dann gilt ∂ g¯(t, v) = g 0 (x0 + tv) · v = f (x0 + tv, g(x0 + tv)) · v = f (x0 + tv, g¯(t, v)) · v, ∂t g¯(0, v) = g(x0 ) = y0 . Dies ist eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung f¨ ur g¯ welche somit lokal (d.h. f¨ ur |t| ≤ ε, kvk ≤ ε mit einem gewissen ε > 0) eine eindeutig bestimmte L¨osung g¯ besitzt, welche von (t, v, x0 , y0 ) C ∞ abh¨angt. Daraus sollten wir eine L¨osung g der totalen Differentialgleichung verm¨oge g(x) := g¯(t, v) erhalten, wenn wir tv := x − x0 setzen. Naheliegend w¨ are t = 1 zu w¨ahlen, aber solange existiert wom¨oglich 0 die L¨ osung g¯ nicht, darum w¨ ahlen wir t := ε und somit v := x−x ε , also setzen x−x0 2 0 ur kx − x0 k ≤ ε und m¨ ussen nun g (x)(w) und dazu wir g(x) := g¯(ε, ε ) f¨ insbesonders ∂2 g¯ berechnen. Die Idee dabei ist, daß ∂ ∂ g¯(t, v + sw) = g(x0 + t(v + sw)) ∂s s=0 ∂s s=0 = g 0 (x0 + tv)(tw) = f (x0 + tv, g(x0 + tv))(tw)

∂2 g¯(t, v)(w) =

= f (x0 + tv, g¯(t, v))(tw) gelten sollte. Also definieren wir k : R → F durch k(t) := ∂2 g¯(t, v)(w) − f (x0 + tv, g¯(t, v))(tw). Dann ist k(0) = ∂2 g¯(0, v)(w) − f (x0 + 0v, g¯(0, v))(0w) = 0 und somit ergibt sich – ¨ wobei wir der Ubersichtlichkeit halber nach Anwendung der Kettenregel das Argument (t, v) bei g¯ und bei deren Ableitungen sowie das Argument (x0 + tv, g¯(t, v)) 260

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30.9

30. Integralmannigfaltigkeiten

bei f und bei seinen Ableitungen weglassen –  d ∂ ∂2 g¯(t, v)(w) − f (x0 + tv, g¯(t, v))(tw) k(t) = dt ∂t   ∂ ∂ = ∂2 g¯(t, v)(w) − ∂1 f · v · tw + ∂2 f · g¯ ·tw + f · w ∂t |∂t {z } |{z} f ·v f (x0 + tv, g¯(t, v)) · v     = ∂1 f · tw · v + ∂2 f · (∂2 g¯ · w) · v + f · w − f 0 · (v, f · v) · tw + f · w Int.Bed.

====== ∂1 f · tw · v + ∂2 f · (∂2 g¯ · w) · v − f 0 · (tw, f · tw) · v = ∂2 f · (∂2 g¯ · w − f · tw) · v = ∂2 f · k(t) · v. Da letzteres eine lineare Differentialgleichung (mit nicht konstanten Koeffizienten) 0 und k(0) = 0 ist, folgt k = 0. Folglich ist f¨ ur t := ε und v := x−x ε 1 0 g 0 (x)(w) = ∂2 g¯(ε, x−x ¯(t, v)( 1ε w) = f (x0 + tv, g¯(t, v)) (t 1ε w) ε )( ε w) = ∂2 g   0 = f x, g¯(ε, x−x ε ) (w) = f (x, g(x))(w).

30.8 Spezialf¨ alle Insbesonders erhalten wir (falls f : Rm × Rn → L(m, n) nur von einem Faktor abh¨ angt): 1. F¨ ur f : Rm → L(m, n) gilt: f 0 (x) · v1 · v2 = f 0 (x) · v2 · v1 ⇔ es existiert lokal ein g : Rm → Rn mit g(0) = 0 und g 0 (x)v = f (x)v, d.h. g 0 = f . 2. F¨ ur f : Rn → L(m, n) gilt: f 0 (y)(f (y)v1 )v2 = f 0 (y)(f (y)v2 )v1 ⇔ es existiert lokal ein g : Rm × Rn → Rn mit gy (0) = y und gy0 (x) = f (gy (x)). 30.9 Anwendungen in der Funktionentheorie Eine Funktion f : C k U → C heißt holomorph, wenn (z) f 0 (z) := lim f (z+λ)−f f¨ ur λ → 0, λ ∈ C existiert. λ

Das ist genau dann der Fall, wenn f : R2 ⊇ U → R2 glatt und die reelle Ableitung f 0 (z) : C → C komplexlinear ist. Da die reelle Ableitung f 0 (z) immer R-linear ist, gen¨ ugt es die Homogenit¨at ∀ λ ∈ √ C : f 0 (z)(λv) = λf 0 (z)(v) f¨ ur λ = i := −1 nachzurechnen, d.h.   1   ∂1 f 1 ∂2 f 1 f1 f21 0 =: f¨ ur [f (z)] = ∂1 f 2 ∂2 f 2 f12 f22   1     2 0 −1 f1 −f11 f1 f21 = · = gilt f12 f22 1 0 f22 −f12  2     1  −f1 −f22 0 −1 f1 f21 = = · . f11 f21 1 0 f12 f22 Das sind genau die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen f12 = −f21 ,

f11 = f22 ,

oder wenn wir z =: x + iy und f (z) =: u(z) + iv(z) setzen: ∂u ∂v = , ∂x ∂y

∂u ∂v =− . ∂y ∂x

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261

30.11

30. Integralmannigfaltigkeiten

30.10 Folgerung (Stammfunktion holomorpher Funktionen). Es sei f : Cn → Cn holomorph, d.h. f : R2n → R2n sei glatt und f 0 (z) : Cn → Cn C-linear f¨ ur alle z. Dann existiert eine holomorphe Abbildung g : C → Cn mit g(0) = 0 und g 0 (z) = f (g(z)). ¨ Beweis. Ubersetzt bedeutet obige Aussage, daß g : R2 → R2n glatt, g 0 (z) komplexlinear und g 0 (z) · v = f (g(z)) · v ist, wobei “·” die Skalarmultiplikation in C ist. Zur Integrabilit¨ at:     0 f (z)(f (z)v1 ) v2 = f 0 (z)(f (z) · v1 ) · v2 = f 0 (z) f (z) · v1 · v2 . Dies folgt aus der C-Linearit¨ at von f 0 (z) und aus der Kommutativit¨at von “·” in C. 30.11 Integrabilit¨ atstheorem von Frobenius, globale Version. Es sei E ein integrables Teilb¨ undel von T M , dann gilt 1. Es existiert eine Mannigfaltigkeitsstruktur ME auf M , sodaß die Inklusion incl : ME → M eine Immersion ist und T incl(T ME ) = E gilt, d.h. T incl : T ME → E ⊆ T M ist bijektiv 2. Sei f : N → M glatt und T f (T N ) ⊆ E. Dann ist f : N → ME glatt, d.h. ME ist feiner als M . 3. Jede Zusammenhangskomponente von ME (diese heißen maximale Integralmannigfaltigkeiten) ist eine initiale Teilmannigfaltigkeit von M und ist parakompakt falls M es ist. 4. Ist N eine zusammenh¨ angende Integralmannigfaltigkeit, dann ist N eine offene Teilmannigfaltigkeit einer Zusammenhangskomponente von ME . In dieser Situation spricht man von der von E induzierten Bl¨ atterung (engl.: foliation) ME von M . Die maximalen Integralmannigfaltigkeiten heißen Bl¨ atter (engl.: leaves) der Bl¨ atterung (Achtung: Dies ist etwas anderes als die Bl¨atter einer ¨ Uberlagerung). Beweis. Nach Voraussetzung existieren Karten ϕ, sodaß ϕ (Rk × {a}) eine Integralmannigfaltigkeit f¨ ur jedes a ist.

Π0 HME L

M Π

jE

j Rm-k pr2

Rm-k Rk

262

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30.11

30. Integralmannigfaltigkeiten

Sei f : N → M glatt, Bild(T f ) ⊆ E, f (p) = q und ϕ eine E trivialisierende Karte ur um q wie in 30.6 . Dann liegt f lokal in einer “Schicht” ϕ(Rk × {a}), denn f¨ f¯ := ϕ−1 ◦ f ist ) Bild(Tp f¯) ⊆ Rk × {0} ⇒ Bild f¯ ⊆ Rk × {a}. ∃ a : f¯(p) ∈ Rk × {a} n o (1) Auf der Menge M ist ϕ|(Rk ×{a}) , ϕ trivialisiert E wie in 30.6 , a ∈ Rm−k ein Atlas. Dazu ist zu zeigen, daß der Kartenwechsel auf offenen Mengen definiert ist: Betrachte ϕ1 , ϕ2 ; a1 , a2 und p ∈ ϕ1 (Rk × {a1 }) ∩ ϕ2 (Rk × {a2 }). Da ϕ1 |(Rk ×{a1 }) : Rk × {a1 } → M eine Integralmannigfaltigkeit ist, liegt nach dem eben gezeigten Bild(ϕ1 |(Rk ×{a1 }) ) lokal in ϕ2 (Rk × {a2 }). Es ist also  −1   ϕ2 |(Rk ×{a2 }) ◦ ϕ1 |(Rk ×{a1 }) lokal wohldefiniert und als Einschr¨ankung glatt. Wir bezeichnen die so erhaltene Mannigfaltigkeit mit ME . Die Inklusion ME ,→ M ist eine Immersion, denn T ME = E da T (ϕ(Rk × {a})) = E|ϕ(Rk ×{a}) ist. (2) Sei f : N → M glatt und Bild(T f ) ⊆ E. Dann liegt f lokal in einer Schicht
−1 ϕ(Rk × {a}) und somit ist ϕ|(Rk ×{a}) ◦ f lokal wohldefiniert und glatt, also f : N → ME glatt. (3) Mit M ist auch ME ist parakompakt: o.B.d.A. sei M zusammenh¨angend, C sei eine Zusammenhangskomponente von ME . Dazu gen¨ ugt es z.z., daß C durch abz¨ ahlbar viele Kartenumgebungen ϕ(Rk × {a}) u ¨berdeckt wird. Seien A eine Menge abz¨ ahlbar vieler E trivialisierende Karten, die M u ¨berdecken; p0 ∈ C fix und p ∈ C beliebig: Es existiert also eine Kurve c in C, die p0 und p verbindet. Somit existieren endlich viele Karten ϕ1 , . . . , ϕn ∈ A und a1 , . . . , an , sodaß: p0 ∈ ϕ1 (Rk × {a1 }),

p ∈ ϕn (Rk × {an }) und

ϕi (Rk × {ai }) ∩ ϕi+1 (Rk × {ai+1 }) 6= ∅. Zu vorgegebenen ϕi , ϕi+1 , ai gibt es h¨ochstens abz¨ahlbar viele ai+1 , sodaß ϕi (Rk × {ai }) ∩ ϕi+1 (Rk × {ai+1 }) 6= ∅, ¨ denn andernfalls g¨ abe es eine Uberdeckung von ϕi (Rk × {ai }) ∩ Bild ϕi+1 durch u ahlbar viele disjunkte (in der von (ϕi |Rk ×{a} )−1 (Bild ϕi+1 ) ⊆ Rk indu¨berabz¨ zierten Topologie) offene Mengen ϕi+1 (Rk × {a}), welches ein Widerspruch zur Lindel¨ of-Eigenschaft w¨ are.

BildHΦi+1 L

Φi HRk ´ai L

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263

30.14

30. Integralmannigfaltigkeiten

Also gibt es nur abz¨ ahlbar viele endliche Folgen (ϕi , ai )i , die der Bedingung ϕi (Rk × k {ai }) ∩ ϕi+1 (R × {ai+1 }) 6= ∅ gen¨ ugen. Jedes p ∈ C wird durch eine geeignete Folge erreicht. Also wird C durch abz¨ahlbar viele Mengen der Form ϕ(Rk × {a}) u ¨berdeckt. Die Zusammenhangskomponente C ist eine initiale Teilmannigfaltigkeit: Sei f : N → C ⊆ M glatt. Lokal liegt f in Bild ϕ, außerdem liegt f in C. Da C (als abz¨ ahlbare Vereinigung von Schichten) aber (nach dem eben gezeigten) h¨ochstens abz¨ ahlbar viele Schichten von ϕ trifft, liegt f lokal in einer Schicht (verschiedene Schichten h¨ angen nicht zusammen). Somit ist f : N → ME stetig und damit auch glatt. (4) Sei N → M zusammenh¨ angende Integralmannigfaltigkeit, dann ist incl : N → ME glatt nach (2). Weiters ist incl : N → ME injektiv und immersiv (da incl : N → M es ist) und submersiv (da T incl : Tp N → Ep bijektiv ist), also ein lokaler Diffeomorphismus. Somit ist incl : N ,→ ME ein Diffeomorphismus auf eine offene Teilmenge von ME .

30.12 Proposition (Urbilder von Punkten). Es sei f : M → N glatt und x 7→ Tx f habe konstanten Rang r. Dann ist Ker(T f ) := F undel von T M und die Zusammenhangsx∈M Ker(Tx f ) ein integrables Teilvektorb¨ komponenten der Niveaufl¨ achen f −1 (q) sind die maximalen Integralmannigfaltigkeiten zu Ker(T f ).

uglich Beweis. Nach dem Rangsatz 21.2 existieren Karten ϕ und ψ, sodaß f bez¨ dieser Karten die kanonische Projektion auf einen Teilraum ist. Bez¨ uglich dieser Karten ist Ker(Tx f ) ∼ = {0} × Rm−r . Die Integralmannigfaltigkeiten sind lokal durch m−r {x} × R gegeben. Da f −1 (q) lokal {x} × Rm−r ist f¨ ur ein gewisses x, sind die Zusammenhangskomponenten von f −1 (q) Integralmannigfaltigkeiten.

30.13 Definition (Regul¨ ares Teilb¨ undel) Man nennt ein integrables Teilvektorb¨ undel regul¨ ar (bzw. die zugeh¨orige Bl¨atterung regul¨ ar), wenn trivialisierende Karten existieren, die jede (maximale) Integralmannigfaltigkeit h¨ ochstens einmal treffen. Diese heißen regul¨ are Karten. Die Bl¨atterung des Torus mit irrationalen Anstieg ist klarerweise nicht regul¨ar. Hingegen sind die Bl¨ atterungen aus 30.12 offensichtlich regul¨ar. Wir zeigen nun, daß die regul¨ aren Bl¨atterungen genau jene aus 30.12 sind. 30.14 Satz (Raum der maximalen Integralmannigfaltigkeiten). Es sei E ein regul¨ ares integrables Teilvektorb¨ undel. Dann existiert am Raum aller maximalen Integralmannigfaltigkeiten (also dem Raum π0 (ME ) der Zusammenhangskomponenten von ME ) eine (nicht notwendig Hausdorff ’sche) Mannigfaltigkeitsstruktur, sodaß π : M → π0 (ME ) mit p 7→ (max. Integralmannigfaltigkeit durch p) eine Submersion mit Ker(T π) = E ist. 264

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30.14

30. Integralmannigfaltigkeiten

Beweis. Es sei ϕ : Rk ×Rn−k → M eine regul¨are Karte von M f¨ ur E. Man definiert dann eine Karte ϕE f¨ ur π0 (ME ) wie folgt: π

MO ϕ

/ π0 (ME ) O ϕE

Rk × Rn−k

pr2

/ Rn−k

Offensichtlich ist ϕE : Rn−k → π0 (ME ) wohldefiniert und injektiv, also ϕE bijektiv auf das Bild. Es bleibt z.z., daß der Kartenwechsel glatt ist. Seien ϕ und ψ regul¨are Karten und C ein Punkt (d.h. eine maximale Integralmannigfaltigkeit) im Bild von ϕE und ψE , d.h. C ∩ Bild ϕ 6= ∅ = 6 C ∩ Bild ψ. Wir betrachten zuerst den Spezialfall, wo Bild ϕ ∩ Bild ψ ∩ C nicht leer ist. Sei p ein Punkt in diesem Durchschnitt. Rm-k pr2

Rm Rk Ψ

ΨE

Π0 HME L

M Π

jE

j Rm-k pr2

Rm Rk −1 −1 −1 Wegen ψE ◦ ϕE ◦ pr2 = ψE ◦ π ◦ ϕ = pr2 ◦ψ −1 ◦ ϕ ist ψE ◦ ϕE als Einschr¨ankung −1 eines Diffeomorphismuses lokal um pr2 (ϕ (p)) ein Diffeomorphismus. −1 ¨ Nun zum allgemeinen Kartenwechsel ψE ◦ ϕE : Wir definieren eine Aquivalenzrelation auf der Menge der regul¨ arer Karten ϕ die C treffen: −1 ϕ ∼ ψ ⇔ ψE ◦ ϕE ist Diffeomorphismus offener Umgebungen von ϕ−1 E (C). S ¨ Seien A, B Aquivalenzklassen, dann gilt: R(A) := ϕ∈A Bild ϕ ∩ C ist offen in C. Falls R(A) ∩ R(B) nicht leer ist, so gilt A = B, denn wenn ϕ ∈ A und ψ ∈ B −1 ist mit p ∈ Bild ϕ ∩ Bild ψ ∩ C, dann ist ψE ◦ ϕE ein Diffeomorphismus lokal um −1 −1 pr2 (ϕ (p)) = ϕE (C) nach dem zuvor gezeigten, d.h. ϕ ∼ ψ also A = B. Die VerS ¨ einigung A R(A) ist somit eine disjunkte Uberdeckung von C mit offenen Mengen. ¨ Daraus und weil C zusammenh¨ angend ist, folgt, es gibt genau eine Aquivalenzklasse

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265

30.15

30. Integralmannigfaltigkeiten

−1 A. Somit ist ψE ◦ ϕE f¨ ur je zwei Karten ϕ und ψ mit C ∈ Bild ϕE ∩ Bild ψE lokal −1 um ϕE (C) glatt also π0 (ME ) eine C ∞ -Mannigfaltigkeit.

Die Behauptung Ker(T π) = E folgt daraus, daß die Kartendarstellung von π bzgl. der Karten ϕ und ϕE durch pr2 gegeben ist und somit Ker(T π) via T ϕ faserweise durch Rk × {0}, also gleich E ist. 30.15 Gegenbeispiel ∂ Nicht jede π0 (ME ) ist Hausdorff, wie das Beispiel M = R2 \{0}, ξ(x,y) := (x2 +y 2 ) ∂x und E(x,y) := R · ξ(x,y) zeigt.

pr2

266

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V.

Kotangentialbu ¨ ndel

In diesen Kapitel besprechen wir das duale Konzept zu Tangentialb¨ undel und Vektorfeldern, n¨ amlich das Kotangentialb¨ undel und die 1-Formen. In einem Abschnitt f¨ uhren wir dann Riemann-Mannigfaltigkeiten ein, die nicht nur einen expliziten Isomorphismus zwischen Tangential- und Kotangentialraum erlauben sondern auch bestens geeignet sind um Geometrie zu treiben. So k¨onnen wir L¨angen und Winuhren. kel von Kurven messen. In Kapitel 7 werden wir dies dann genauer ausf¨ Hier besprechen wir ein wenig die konformen Abbildungen insbesonders im Falle Riemannscher Fl¨ achen.

31. Konstruktion und 1-Formen 31.1 Motivation F¨ ur Kurvenintegrale im Rm ist der Begriff der 1-Form wichtig, da dies l¨angs Kurven integrierbare Objekte sind (siehe 3.10 ). Wir wollen diesen Begriff nun auf Mannigfaltigkeiten ausdehnen. Wir erinnern uns daran, daß eine 1-Form auf einer offenen Teilmenge M ⊆ Rm eine Abbildung ω : M → L(Rm , R) ist. Das Kurvenintegral von ω l¨ angs einer Kurve c : R → M ist dann als gew¨ohnliches Riemannintegral von t 7→ ω(c(t))(c0 (t)) definiert. Auf einer allgemeinen Mannigfaltigkeit M ist c0 (t) ∈ Tc(t) M und somit muß ω(x) ∈ L(Tx M, R) = (Tx M )∗ f¨ ur jedes x ∈ M sein. 31.2 Definition (1-Formen) Unter einer 1-Form auf einer Mannigfaltigkeit M verstehen wir eine Abbildung ω, die jedem Punkt x ∈ M ein lineares Funktional ω(x) ∈ (Tx M )∗ zuordnet. Sei f : M → R eine glatte Funktion. Dann erhalten wir eine 1-Form, das totale Differential df von f , durch df (x)(v) := v(f ) ∈ R f¨ ur alle v ∈ Tx M ∼ = Derx (C ∞ (M, R), R). Wir wollen nun 1-Formen in lokalen Koordinaten beschreiben. Dazu ben¨otigen wir Koordinaten in (Tx M )∗ . Ist E ein m-dimensionaler Vektorraum und (gi )m i=1 eine ∗ Basis in E, so erh¨ alt man eine Basis (g i )m i=1 von E , die sogenannte duale Basis i i indem man die Funktionale g i auf der Basis (gj )m j=1 durch g (gj ) := δj festlegt, i i i wobei δj das Kronecker-Deltasymbol ist, d.h. δi := 1 und δj := 0 f¨ ur i 6= j. ∂ m Seien nun (u1 , . . . , um ) lokale Koordinaten auf M . Dann ist ( ∂u i )i=1 eine Basis von i Tx M . Berechnen wir nun das totale Differential du der i-ten Koordinatenfunktionen ui , so erhalten wir:
i i −1 ∂ ∂ dui ∂u = ∂u = ∂j (pri ) ◦ ϕ−1 = δji . j j (u ) = ∂j (u ◦ ϕ) ◦ ϕ ∂ m Also ist (dui )m ur ξ = i=1 gerade die duale Basis zur Basis ( ∂ui )i=1 von Tx M und f¨ P i ∂ i i ur das totale Differential df einer Funktion f : M → R i ξ ∂ui ist du (ξ) = ξ . F¨ c 15. Dezember 2008 [email protected]

267

31.3

31. Konstruktion und 1-Formen

erhalten wir somit X ∂f · dui , i ∂u i P  P P ∂f i ∂ i denn df (x)(ξx ) = ξx (f ) = ξ (f ) = du (ξ ) = x ∂ui i x ∂ui i i df =

∂f ∂ui

 · dui (ξx ).

31.3 Transformationsverhalten von Vektoren (Vgl. mit 1.1 und 20.9 ) Sei im Folgenden E ein Euklidischer Vektorraum, G := (gi )m xi die Komponenten (Koordinaten) eines Punktes x in i=1 eine Basis in E und P m E bez¨ uglich {gi }, also x = i=1 xi gi . Sei G¯ := (¯ gj )j eine weitere Basis und x ¯j die Koordinaten von x bez¨ uglich {¯ gj }. Und sei A jener Isomorphismus von E, welcher gi aufPg¯i abbildet. Stellt man die Vektoren g¯j bez¨ uglich der Basis {gi } dar, d.h. m g¯j = i=1 aij gi , so ist [A] := (aij )i,j die Matrixdarstellung [A]G,G von A bez¨ uglich der Basis {gi } f¨ ur Dom(A) = E und f¨ ur Bild(A) = E, sowie die Matrixdarstellung [id]G,G der Identit¨ at bez¨ uglich der Basis {¯ gi } f¨ ur Dom(id) = E und der Basis {gi } ¯ uglich der Basis {¯ gj } f¨ ur Dom(A) = E und f¨ ur Bild(id) = E, und ebenso [A]G, ¯ G¯ bez¨ f¨ ur Bild(A) = E. Dabei z¨ ahlt der obere Index i die Zeile und der untere die Spalte der Matrix. Die ersten beiden Matrixdarstellungen folgen aus 1.1 wonach die j-te Spalte der Matrixdarstellung einer linearen Abbildung die Koeffizienten des Bildes des j-ten Basisvektors bzgl. der Basis im Bildraum sind. Hingegen ist [A]G,G¯ = 1, denn A(gi ) = g¯i also [A(gi )]G¯ = (δij )j , und somit ist = 1 · [A]G,G = [A]. [A]G, ¯ ¯ G¯ = [A]G,G¯ · [id]G,G und [A]G,G¯ = 1. Zusammengefaßt: [A] = [A]G,G = [A]G, ¯ ¯ G¯ = [id]G,G F¨ ur das Transformationsverhalten der Komponenten erhalten wir somit: [x]G = 1 · [x]G = [A]G,G¯ · [x]G = [A(x)]G¯ = [A] · [x]G¯ Umgekehrt ist A−1 : E → E gegeben durch A−1 : g¯j 7→ gj mit Matrixdarstellung [A−1 ] = [A]−1 =: (bij )i,j . Es bezeichne E ∗ := L(E, R) den zu E dualen Raum, G ∗ := {g i } die duale Basis zu G = {gi } definiert durch g i (gj ) := δji . Jeder Vektor x∗ ∈ E ∗ kann dann in der Form Pm x∗ = i=1 xi g i geschrieben werden, mit xi = x∗ (gi ) ∈ R. Wie transformieren jetzt diese Koordinaten? Die Matrixdarstellung [T ∗ ]G¯∗ ,G ∗ der Adjungierten einer linearen Abbildung T ist die Transponierte der Matrixdarstellung (tik )k,i := [T ]G,G¯ von T , d.h. [T ∗ ]G¯∗ ,G ∗ = [T ]tG,G¯, denn X  X X T ∗ (¯ g i )(gj ) = g¯i (T (gj )) = g¯i bkj g¯k = tkj g¯i (¯ gk ) = tij = tik g k (gj ). k

k

k

Indem wir dies auf die Basiswechselabbildung A : gi 7→ g¯i anwenden erhalten wir [A∗ ]G¯∗ ,G ∗ = [A]tG,G¯ = 1t = 1, also A∗ (¯ gj ) = gj Pm t und weiters g j = A∗ (¯ g j ) = i=1 aji g¯i , denn [A∗ ]G¯∗ ,G¯∗ = [A]tG, ¯ G¯ = [A] , und damit das Transformationsverhalten f¨ ur die Koordinaten von dualen Vektoren: X X X X j i ∗ x ¯i g¯ = x = xj g j = x ¯j aji g i ⇒ x ¯i = ai xj . i

268

j

i,j

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j

31.5

31. Konstruktion und 1-Formen

Vergleicht man nun die Transformationsformeln, so zeigt sich, daß die Komponenten xi der dualen Vektoren wie die Basisvektoren gi des Grundraumes transformieren: X j X j X X xi = bi x ¯j , gi = bi g¯j ; x ¯j = aij xi , g¯j = aij gi . Hingegen transformieren die Komponenten xi eines Vektors wie die Vektoren der dualen Basis g i : X X X j X xi = aij x ¯j , g i = aij g¯j ; x ¯j = bi xi , g¯i = bij g i . Dieser Sachverhalt motiviert auch die Verwendung von “oberen” und “unteren” Indizes: Die Komponentenvektoren dualer Vektoren transformieren wie die Basis im Grundraum (sie transformieren kovariant), die duale Basis und die Komponentenvektoren im Grundraum transformieren kontravariant. Vergleiche das aber mit folgender 31.4 Definition (Funktor) Unter einem Funktor F auf einer Kategorie versteht man eine Zuordnung, die jedem Raum M einen anderen Raum F(M ) zuordnet und jedem Morphismus f : M → N einen entsprechenden Morphismus F(f ) zwischen F(M ) und F(N ) zuordnet, sodaß F(idM ) = idF (M ) und F von der Zusammensetzung je zweier Morphismen die Zusammensetzung der zugeordneten Morphismen ist. Man nennt einen Funktor F kovariant, falls F(f ) in die gleiche Richtung l¨auft wie f , d.h. f¨ ur f : M → N ist F(f ) : F(M ) → F(N ). Er heißt kontravariant, falls F(f ) in die entgegensetzte Richtung l¨auft, d.h. f¨ ur f : M → N ist F(f ) : F(N ) → F(M ). Insbesonders ist der Dualraum-Funktor (f : E → F ) 7→ (f ∗ : F ∗ → E ∗ ) kontravariant. 31.5 Transformationsverhalten von 1-Formen Es sei ϕ−1 = (u1 , . . . , um ) bzw. ψ −1 = (v 1 , . . . , v m ) eine Karte einer Mannigfalψ ∂ ∂ tigkeit M und ∂iϕ = ∂u i bzw. ∂j = ∂v j seien die (lokalen) Basisvektorfelder des Tangentialb¨ undels. Diese h¨ angen nach 20.9 wie folgt zusammen: ∂jψ |x =

m X

m

∂jψ |x (ϕ−1 )i ∂iϕ |x oder intuitiver

X ∂ui ∂ ∂ = j ∂v ∂v j ∂ui i=1

∂jϕ |x (ψ −1 )i ∂iψ |x oder intuitiver

X ∂v i ∂ ∂ = ∂uj ∂uj ∂v i i=1

i=1

∂jϕ |x =

m X

m

i=1 i

j

j ∂u ∂v Seien aij := ∂v j bzw. bi := ∂ui die Koeffizienten der Jakobimatrix des kartenwechP i ∂ P j ∂ sels und das Vektorfeld ξ habe die Darstellungen ξ = ξ ∂ui = η ∂vj , dann gilt auch   X X ∂ui ∂ X X  ∂ui    ∂ ξ= ηj = ηj j i j ∂v ∂u ∂v ∂ui j i i j

⇒ und analog η j =

ξi = P

X X ∂ui j η = aij η j j ∂v j j

i j j bj ξ . c 15. Dezember 2008 [email protected]

269

31.6

31. Konstruktion und 1-Formen

F¨ ur Kotangentialvektoren erhalten wir wegen 31.3 die folgenden Transformationsformeln: X X ∂ui dv j = aij dv j dui = j ∂v j j dv j =

X ∂v j i

dui = ∂ui

X

bji dui .

i

Die Komponenten der Kotangentialvektoren, transformieren also kovariant, daher heißen Schnitte im Kotangentialb¨ undel (d.h. 1-Formen) auch kovariante Vektorfelder. 31.6 Konstruktion des dualen B¨ undels Um u zu k¨onnen, m¨ ussen wir nun die disjunkte ¨ber Glattheit von 1-Formen sprechen F Vereinigung T ∗ M := (T M )∗ := x∈M (Tx M )∗ zu einer glatten Mannigfaltigkeit, oder besser noch einem Vektorb¨ undel machen. Noch allgemeiner wollenFwir f¨ ur ein allgemeines Vektorb¨ undel E −p→ M die disjunkte Vereinigung E ∗ := x∈M (Ex )∗ ∼ wieder zu einem solchen machen. Seien dazu Trivialisierungen ϕ : U × Rk −=→ E|U von E u ¨ber offenen Mengen U ⊂ M gegeben. Wir brauchen eine Trivialisierung G G ∼ (Ex )∗ ϕ∗ : (Rk )∗ = U × (Rk )∗ −=→ E ∗ |U = x∈U

x∈U ∗

∗

∗ −1

−1 ∗

Faserweise k¨ onnen wir ϕ als (ϕ )x := ((ϕx ) ) = ((ϕx ) ) : (Rk )∗ → (Ex )∗ definieren, wobei (ϕx )∗ : (Ex )∗ → (Rk )∗ die adjungierte Abbildung zum Isomorphismus ϕx : Rk → Ex bezeichnet. Sei ψ : U ∩ V → GL(Rk ) die Transitionsfunktion f¨ ur zwei Vektorb¨ undelkarten von E. Die zu den Trivialisierungen ϕ∗ geh¨orenden Transitionsfunktionen ψ ∗ sind dann durch ψ ∗ (x) = (ψ(x)∗ )−1 ∈ GL((Rk )∗ ) ∼ = GL(Rk ) gegeben, wobei ψ(x)∗ die adjungierte Abbildung zum linearen Isomorphismus ψ(x) : Rk → Rk bezeichnet. Da A 7→ A∗ linear ist von L(Rk , Rl ) → L((Rl )∗ , (Rk )∗ ), die Inversion A 7→ A−1 von GL(Rk ) → GL(Rk ) glatt ist und ψ : U ∩ V → GL(Rk ) als Transitionsfunktion des Vektorb¨ undels E ebenfalls glatt ist, gilt gleiches auch f¨ ur die Zusammensetzung ψ ∗

U ∩V

ψ

GL(Rk ) KK 9 s KK inv ( )∗ sss KK s KK s s K% s s k / GL(R ) GL(Rk ) KK 9 s KK inv ( )∗ sss KK s KK ss K% ss GL(Rk )

Also bilden die ψ ∗ einen Kozykel von Transitionsfunktionen f¨ ur ein glattes Vektorb¨ undel E ∗ → M und die ϕ∗ sind die zugeh¨origen Vektorb¨ undelkarten. Diese Vektorb¨ undel E ∗ → M heißt das duale Vektorb¨ undel zu E → M . Im Spezialfall, wo E → M gerade das Tangentialb¨ undel T M → M ist, heißt T ∗ M := (T M )∗ → M Kotangentialb¨ undel von M . Der Raum Γ(T ∗ M → M ) der glatten Schnitte des Kotangentialb¨ undels wird auch mit Ω1 (M ) bezeichnet. 270

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31.9

31. Konstruktion und 1-Formen 31.7 Glatte 1-Formen

Wie erkennt man, ob eine 1-Form ω wirklich glatt ist? Nun, das ist lokal um einen Punkt x ∈ M genau dann der Fall, wenn ihre Darstellung bez¨ uglich einer Trivialisierung T M ∗ |U ∼ = U × Rm mit x ∈ U ⊂ M glatt ist. Nach 31.6 werden die Trivialisierungen von (T M )∗ durch Dualisieren aus jenen von T M gewonnen. Zu einer Karte ϕ : Rm ⊇ U → ϕ(U ) ⊆ M mit zugeh¨origen lokalen Koordinaten (u1 , . . . , um ) = ϕ−1 , war die entsprechende lokale Trivialisierung von T M → M in 25.4 durch ϕ−1 ×Rm T M ⊇ T (ϕ(U )) ←T ϕ− T U ∼ − ϕ(U ) × Rm = U × Rm ← ∂ gegeben. Wobei der standard-Basis (ei ) in {x} × Rm die Basis ( ∂u i ) ∈ Tx M x der Richtungsableitungen entspricht. Die duale Abbildung zu Tϕ−1 (x) ϕ : Rm → Tx M bildet somit die duale Basis (dui ) von (Tx M )∗ auf die duale Basis (ei ) von (Rm )∗ ∼ = Rm . Die lokale Trivialisierung von T ∗ M bildet somit ei auf dui ab, und eine 1-FormPω genau dann glatt, wenn alle ihre lokalen Koordinaten ωi – gegeben durch ω = i ωi dui – glatt sind.

31.8 Lemma (Schnitte des dualen B¨ undels). Sei p : E → M ein Vektorb¨ undel, dann gibt ur die F es folgende Beschreibungen f¨ glatten Schnitte des dualen B¨ undels E ∗ := x (Ex )∗ → M : Γ(E ∗ → M ) := {σ ∈ C ∞ (M, E ∗ ) : ∀ x : σ(x) ∈ Ex∗ } ∼ = {s ∈ C ∞ (E, R) : ∀ x : s|E ∈ L(Ex , R)} x

∼ undelhomomorphismen = dem Raum der Vektorb¨ von E nach M × R u ¨ber idM . Beweis. Wir m¨ ussen nur zeigen, daß die Schnitte σ ∈ Γ(E ∗ → M ) genau den faserweise linearen glatten Abbildungen s : E → R entsprechen. Definiert man σ 7→ s durch s|Ex := σ(x), so ist klar, daß sich diese Abbildungen in eindeutiger Weise entsprechen. Verbleibt zu zeigen, daß σ genau dann glatt ist, wenn s es ist. Dies ist eine lokale Eigenschaft. Lokal ist σ durch ein σ ¯ : U → (Rk )∗ = k k L(R , R) und s durch ein s¯ : U × R → R gegeben. Sei σ (und also auch σ ¯ ) glatt, dann ist (x, v) 7→ s¯(x, v) = eval(¯ σ (x), v) = eval ◦(¯ σ × idRk )(x, v) ebenfalls glatt. Umgekehrt: Ist s glatt, so auch s¯ und damit auch evalv ◦¯ σ = s¯(., v). Somit ist aber σ ¯ : U → L(Rk , R) glatt, und damit auch σ selbst.

31.9 Bemerkung Wir wollen nun wie f¨ ur glatte Vektorfelder in 29.1 auch f¨ ur glatte 1-Formen eine algebraische Beschreibung. Wir k¨onnen eine 1-Form ω auf ein Vektorfeld ξ punktweise anwenden, da ωx ∈ (Tx M )∗ = L(Tx M, R) und ξx ∈ Tx M , und erhalten eine Funktion ω(ξ) : M → R mit x 7→ ωx (ξx ). In lokalen Koordinaten sieht das wie folgt aus: X X ∂ ω= ωi dui ; ξ = ξ i ∂u i i

ω(ξ) =

i

X i

i

ωi du

X j

∂ ξ j ∂u j



=

X

∂ ωi ξ j dui ( ∂u j) =

i,j

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X

ωi ξ i .

i

271

31.11

31. Konstruktion und 1-Formen

Also ist die resultierende Funktion ω(ξ) glatt, falls ω und ξ glatt sind. Und klarerweise ist die Zuordnung (ω, ξ) 7→ ω(ξ) bilinear als Abbildung von Ω1 (M )×X(M ) → C ∞ (M, R). 31.10 Lemma (Raum der 1-Formen als C ∞ (M, R)-lineare Abbildungen). Die bilineare Abbildung Ω1 (M ) × X(M ) → C ∞ (M, R) induziert einen C ∞ (M, R)linearen Isomorphismus Ω1 (M ) ∼ = HomC ∞ (M,R) (X(M ), C ∞ (M, R)), wobei der rechte Raum aus allen C ∞ (M, R)-linearen Abbildungen von X(M ) nach C ∞ (M, R) besteht. Beweis. Klarerweise induziert obige bilineare Abbildung eine lineare Abbildung von Ω1 (M ) in den Raum L(X(M ), C ∞ (M, R)) der linearen Abbildungen. Jedes ω ∈ Ω1 (M ) wirkt aber auch C ∞ (M, R)-linear auf ξ ∈ X(M ), denn ω(f · ξ)|x = ωx ((f · ξ)x ) = ωx (f (x) · ξx ) = f (x) · ωx (ξx ) = (f · ω(ξ))x Sei umgekehrt ein ω ∈ HomC ∞ (M,R) (X(M ), C ∞ (M, R)) gegeben. Dann wirkt ω lokal, d.h. ξ = 0 auf U ⊂ M impliziert ω(ξ) = 0 auf U : Zu p ∈ U w¨ ahlen wir ein f ∈ C ∞ (M, R) mit f (p) = 1 und Trg(f ) ⊂ U . Dann ist f · ξ = 0 und somit 0 = ω(0) = ω(f · ξ) = f · ω(ξ)

0 = f (p) ·ω(ξ)(p) = ω(ξ)(p). |{z}

⇒

=1

Es wirkt ω sogar punktal, d.h. ξ(p) = 0 impliziert ω(ξ)(p) = 0, denn X  X ∂ ∂ ξ i ∂u ω(ξ)(p) = ω (p) = ξ i (p) ·ω( ∂u i i )(p) = 0. | {z } i

i

=0

Folglich k¨ onnen wir eine 1-Form ω durch ω(x)(ξx ) := ω(ξ)(x) definieren, wobei ξ ∈ X(M ) so gew¨ ahlt ist, daß ξ(x) = ξx ist. Die 1-Form ω ist dann glatt, denn lokal gilt: X ∂ ω= ωi dui mit ωi = ω( ∂u i ). i

Daß diese beiden Zuordnungen invers zueinander sind, ist offensichtlich. 31.11 Lemma (Pull-back von Schnitten dualer B¨ undel). Seien p : E → M, q : F → N Vektorb¨ undel und f ein Vektorb¨ undelhomomorphismus. f /F E p

q

  f0 /N M Dann ist f ∗ : Γ(F ∗ → N ) → Γ(E ∗ → M ) durch die Formel f ∗ (s)x · vx := sf0 (x) · f (vx ) f¨ ur s ∈ Γ(F ∗ → N ), x ∈ M, und vx ∈ Ex wohldefiniert. Beweis. Z.z. ist nur, daß f ∗ (s) glatt ist. Via lokaler Trivialisierungen reduziert man das Problem auf triviale B¨ undel. Betrachten wir also die B¨ undel p : U × Rk → U , 272

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31.12

31. Konstruktion und 1-Formen

q : V × Ri → V , und die Abbildungen s : V → (Ri )∗ , f0 : U → V und f : U → L(Rk , Ri ). Dann ist f ∗ (s)x · vx := sf0 (x) · f (vx ) = (s ◦ f0 )(x) · fx (vx ) = komp((s ◦ f0 )(x), fx ) · vx also kommutiert ∗

f (s) / k ∗ U MM 7 (R ) MMM o o o MMM ooo M okomp o o (s◦f0 ,f ) MMM oo & (Ri )∗ × L(Rk , Ri )

und f ∗ (s) ist als Zusammensetzung zweier C ∞ -Funktionen selbst glatt.

31.12 Pull-back von 1-Formen in lokalen Koordinaten Sei f : M → N glatt, (u1 , . . . , ui ) lokale Koordinaten um p ∈ M , (v 1 , . . . , v j ) lokale Koordinaten um q := f (p) ∈ N , und ω ∈ Ω1 (N ). Wir wollen f ∗ ω ∈ Ω1 (M ) in den lokalen Koordinaten bestimmen. F¨ ur Tangentialvektoren ξ ∈ Tp M ist (f ∗ ω)(p) nach 31.11 definiert durch (f ∗ ω)p (ξ) := ωf (p) (Tp f · ξ). ωj dv j die Koordinatendarstellung von ω um q und f ∗ ω = ∂ jene von f ∗ ω um p. Setzen wir nun ξ := ∂u so erhalten wir: i

Es sei ω =

P

j

P

i

ηi dui

p

(f ∗ ω)p (ξ) =

X

ηk duk

k 20.9

ωf (p) (Tp f · ξ) = ==== =

X

 ∂  31.9 ==== = ηi = ∂ui p

ωj dv j



j

X ∂f l ∂  31.9 X ∂f j = = = = = = (ω ◦ f ) j ∂ui ∂v l q ∂ui f (p) j l

Also gilt f∗

X j

 X X ∂f j  i ωj dv j = (ωj ◦ f ) du . ∂ui i j

Man beachte, daß das Kurvenintegral aus 3.10 einer 1-Form ω ∈ Ω1 (U ) auf einer offenen Menge U ⊆ Rm l¨ angs einer Kurve c : I → U gerade durch Z ω= c

Z X c

ωi (x) dxi =

Z

1

X

0

i

ωi (c(t))

i

dci dt = dt

Z

1

c∗ (ω)

0

gegeben ist.RF¨ ur eine abstrakte Mannigfaltigkeit M k¨onnen wir genauso das Kurvenintegral c ω einer 1-Form ω ∈ Ω1 (M ) l¨angs einer Kurve c : I → M durch Z

Z ω :=

c

1

c∗ (ω)

0

definieren. Wir werden diese Definition im Abschnitt 47 weiter verallgemeinern. c 15. Dezember 2008 [email protected]

273

32.1

31. Konstruktion und 1-Formen

32. Riemann-Mannigfaltigkeiten 32.1 Bemerkung zur Dualit¨ at F¨ ur M = U ⊂ Rm k¨ onnen wir das Tangentialb¨ undel und das Kotangentialb¨ undel identifizieren, denn T M = M × Rm und T ∗ M = M × (Rm )∗ . Es sind also sowohl die Vektorfelder als auch die 1-Formen auf M mit Abbildungen M → Rm ident. Im allgemeinen gibt es aber keinen solchen kanonischen Isomorphismus zwischen Tx M und (Tx M )∗ . Wir wollen nun Mannigfaltigkeiten beschreiben, f¨ ur welche es einen solchen dennoch gibt. Inwiefern ist denn ein endlich dimensionaler Vektorraum E und sein Dualraum E ∗ isomorph? Da sie die gleiche Dimension haben sind sie isomorph. Aber um einen solchen Isomorphismus angeben zu k¨onnen, verwendet man u ¨blicherweise eine Basis von E und als Bildvektoren die duale Basis von E ∗ . W¨ahlt man eine andere Basis, so ¨ andert sich auch der Isomorphismus. So k¨onnen wir auf einer Mannigfaltigkeit nicht vorgehen, denn in Tx M haben wir keine ausgezeichnete Basis zur Verf¨ ugung. Eine zweite M¨ oglichkeit so einen Isomorphismus zu erhalten ist die Verwendung eines inneren Produkts h·, ·i auf E. Dann induziert diese bilineare Form eine lineare Abbildung ] : E → L(E, R) = E ∗ durch v 7→ hv, ·i. Diese ist injektiv, denn: ∀ w hv, wi = 0 ⇒ v = 0. Aus Dimensionsgr¨ unden ist sie somit ein Isomorphismus. Ihre Umkehrabbildung bezeichnen wir mit [ := ]−1 : E ∗ → E. Wegen ](ξ)(η) = hξ, ηi ist h[ω, ηi = hξ, ηi = ](ξ)(η) = ω(η), wobei wir ξ := [ω gesetzt haben und somit ω = ]ξ ist. Wie sieht ] in Koordinaten aus? Sei (ei ) eine Orthonormalbasis von E und (ei ) die dazugeh¨ orende duale Basis. Dann ist ](ei )(ej ) := hei , ej i = δi,j = ei (ej ), also bildet ] die Basis (ei ) auf die duale Basis (ei ) ab. Falls (gi ) eine beliebige Basis von E ist und (g i ) die dazugeh¨orende duale Basis von E ∗ , so gilt: X ](gi )(gk ) = hgi , gk i =: gi,k = gi,j g j (gk ) j

⇒ ](gi ) =

X

j

gi,j g und

j

! ](v) = ]

X i

v i gi

! =

X

vi

i

X j

gi,j g j =

X X j

gi,j v i

gj

i

i

Bezeichnen wir mit v die Koordinaten des Vektors v ∈ E bez¨ uglich der Basis (gi ) und mit vj die Koordinaten des dazugeh¨orenden dualen Vektors ](v) ∈ E ∗ bez¨ uglich der dualen Basis (g i ), so gilt also: X vj = gi,j v i . i n

Sei nun M ⊂ R eine Teilmannigfaltigkeit des Rn . Dann ist Tx M ein Teilraum vom Rn und erbt somit das u ¨bliche innere Produkt von Rn . Also ist (Tx M )∗ isomorph zu Tx M verm¨ oge dem Isomorphismus ] : Tx M → (Tx M )∗ . Wir erhalten also auch eine faserlineare Bijektion der B¨ undel T M → M und T ∗ M → M . In Koordinaten ist sie durch X ∂ gi,j duj ∂ui 7→ j ∂ i i gegeben, wobei gi,j := hgi , gj i mit gi := ∂u i und g = du . Da die gi glatte Funkn tionen von M ⊇ U → R sind, sind alle Koeffizienten gi,j : M ⊇ U → R glatt, und somit die B¨ undel T M und T ∗ M isomorph.

274

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32. Riemann-Mannigfaltigkeiten

32.3

Es entsprechen sich also auch die glatten Schnitte eindeutig, d.h. X(M ) ∼ = Ω1 (M ). Das Vektorfeld, welches einer exakten 1-Form df entspricht, heißt Gradientenfeld grad(f ) von f . Nun wollen wir das auf allgemeine Mannigfaltigkeiten M u ¨bertragen. Dazu ben¨otigen wir f¨ ur alle x ∈ M ein inneres Produkt gx im Tangentialraum Tx M . Daß dieses vern¨ unftig von x abh¨ angt, gew¨ahrleisten wir folgendermaßen. 32.2 Definition (Riemann-Mannigfaltigkeit) Eine Riemann-Metrik auf einer Mannigfaltigkeit M ist eine Funktion g die jedem Punkt x ∈ M eine positiv definite symmetrische Bilinearform gx : Tx M × Tx M → R zuordnet, sodaß f¨ ur beliebige Vektorfelder ξ, η ∈ X(M ) die Abbildung x 7→ gx (ξx , ηx ) von M nach R glatt ist. Eine Riemann-Mannigfaltigkeit ist eine Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer ausgezeichneten Riemann-Metrik g. Ersetzt man die Bedingung der positiven Definitheit, durch die des nicht-Degeneriertseins, d.h. v 7→ hv, ·i und v 7→ h·, vi ist injektiv als Abbildungen Rm → (Rm )∗ , so erh¨ alt man eine Pseudo-Riemann-Metrik und als zugeh¨orige Mannigfaltigkeiten Pseudo-Riemann-Mannigfaltigkeiten. 32.3 Definition (L¨ ange und Distanz) Sei (M, g) eine Riemann-Mannigfaltigkeit, dann k¨onnen wir die L¨ ange von Tanp gentialvektoren ξx ∈ Tx M als gx (ξx , ξx ) definieren. Falls c : [0, 1] → M eine glatte Kurve in M ist, so sei die L¨ ange c definiert durch Z 1q L(c) := gc(t) (c0 (t), c0 (t)) dt. 0

F¨ ur jedes glatte immersive f : N → M definiert (v, w) 7→ gf (x) (Tx f · v, Tx f · w) f¨ ur v, w ∈ Tx N eine Riemann-Metrik f ∗ g auf N und f¨ ur diese gilt: Lf ∗ g (c) = Lg (f ◦ c) und somit f ({x : df ∗ g (x, x0 ) < r}) ⊆ {y : dg (y, f (x0 )) < r}. Wie man sich leicht u ur Riemann-Mannigfaltigkeiten (M, g) ¨berzeugt haben wir f¨ auch eine Metrik d : M × M → R+ im Sinne der Topologie: n o d(p, q) := inf L(c) : c ∈ C ∞ (R, M ); c(0) = p, c(1) = q . Wir zeigen nun, daß diese Metrik die Topologie erzeugt: Um zu sehen, daß d stetig ist, verwenden wir, daß g in der Kartendarstellung bzgl. einer Karte u : Rm ⊇ U → u(U ) ⊆ M Ungleichungen der Form M12 · |v|2 ≤ (u∗ g)x (v, v) ≤ M22 · |v|2 mit M1 , M2 > 0 erf¨ ullt (In der Tat: Einerseits ist {u∗ gx (w, w) : |w| ≤ 1, x ∈ Kompaktum} kompakt, also beschr¨ankt durch ein M22 und somit u∗ gx (v, v) = |v|2 u∗ gx (w, w) ≤ M22 |v|2 mit v = |v| w. Andererseits ist {v : u∗ gx (v, v) ≤ 1} beschr¨ankt, denn andernfalls existieren vn mit |vn | = 1 und u∗ gxn (vn , vn ) → 0 und f¨ ur H¨aufingspunkte v∞ von vn ist dann |v∞ | = 1 aber u∗ gx∞ (v∞ , v∞ ) = 0). Damit ist    ε  } ⊆ u {x : du∗ g (x, x0 ) ≤ ε} ⊆ {y : dg (y, u(x0 )) ≤ ε}. u {x : |x − x0 | ≤ M2 Umgekehrt sei u(U ) eine Kartenumgebung zentriert bei y0 und V eine relativ kompakte offene Umgebung von 0 mit V¯ ⊆ U . Da d stetig ist gilt r := d(u(V¯ ), M \ c 15. Dezember 2008 [email protected]

275

33.3

32. Riemann-Mannigfaltigkeiten

u(U )) > 0, und somit ist {y : dg (y, y0 ) < ε} = u({x : du∗ g (x, 0) < ε}) f¨ ur alle ε < 2r . Weiters ist du∗ g (x, 0) ≥ M1 |x| wegen Z 1 Z 1q (u∗ g)c(t) (c0 (t), c0 (t)) dt ≥ M1 |c0 (t)| dt = M1 L(c) Lu∗ g (c) = 0

0 r 2

Sei 0 < ε < mit V ⊇ {x : M1 |x| < ε} ⊇ {x : du∗ g (x, 0) < ε}. Dann ist {y : dg (y, y0 ) < ε} = u({x : du∗ g (x, 0) < ε}) ⊆ u(V¯ ) ⊆ u(U ). Interessant ist es, eine k¨ urzeste Verbindung zwischen zwei Punkten tats¨achlich zu finden. Dies ist ein Variationsproblem, welches wir in Paragraph 57 angehen werden.

33. Isometrische und konforme Diffeomorphismen 33.1 Definition (Isometrie) Seien (M, g) und (N, h) zwei Riemann-Mannigfaltigkeiten und f : M 7→ N glatt, dann heißt f genau dann Isometrie, wenn Tx f : (Tx M, gx ) → (Tf (x) N, hf (x) ) f¨ ur alle x eine lineare Isometrie (siehe 1.2 ) ist. Beachte, daß f genau dann eine Isometrie ist, wenn f ∗ h = g ist. Bemerkung 1. Falls f eine Isometrie ist und c : R → M glatt ist, so gilt: Z bp h((f ◦ c)0 (t), (f ◦ c)0 (t))dt Lba (f ◦ c) = a

Z =

b

p g(c0 (t), c0 (t))dt = Lba (c)

a

Wir erhalten f¨ ur die Distanz d(f (x), f (y)): d(f (x), f (y)) = inf{L10 (c) : c verbindet f (x) mit f (y)} ≤ inf{L10 (f ◦ c) : c verbindet x mit y} = d(x, y), d.h. die Isometrie kann die Distanz nicht vergr¨oßern. Falls f ein Diffeomorphismus und eine Isometrie ist, so gilt: d(x, y) = d(f (x), f (y)). 2. Falls die Menge der Fixpunkte einer Isometrie als glatte Kurve c parametrisiert werden kann, so ist diese Kurve lokal die k¨ urzeste Verbindung je zweier urzesten Verbinihrer Punkte: Wir werden in 58.4 sehen, daß lokal die k¨ dungen existieren und eindeutig sind. Da aber das isometrische Bild einer solchen Kurve gleiche L¨ ange hat, muß es in der Fixpunktmenge enthalten sein. 33.2 Satz von Nash. Jede abstrakte und zusammenh¨ angende Riemann-Mannigfaltigkeit (M, g) l¨ aßt sich isometrisch in einen Rn , f¨ ur n = (2m + 1)(6m + 14) einbetten. Ohne Beweis, siehe [80]. 33.3 Satz (Existenz von Riemann-Metriken).

276

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33. Isometrische und konforme Diffeomorphismen

33.7

Jede parakompakte glatte Mannigfaltigkeit besitzt (viele) vollst¨ andige Riemann-Metriken, d.h. Riemann-Metriken, deren zugeh¨ orige Metriken d auf M vollst¨ andig sind. Beweis. Wir brauchen nur (die Zusammenhangskomponenten von) M in einen Rn einzubetten und dann die von der Standardmetrik induzierte Metrik zu nehmen, um eine Riemann-Metrik auf M zu erhalten. Oder wir verwenden, daß wir mittels Karten lokal Riemann-Metriken finden k¨onnen, die wir mit Hilfe einer Partition der Eins zu einer globalen Riemann-Metrik verkleben d¨ urfen, da “eine Riemann-Metrik zu sein” eine konvexe Bedingung ist. Die Existenz vollst¨ andiger Riemann-Metriken werden wir in 62.12 zeigen. 33.4 Satz (Lie-Gruppe der Isometrien). Sei (M, g) eine zusammenh¨ angende m-dimensionale Riemann-Mannigfaltigkeit, dann ist Isom(M ) := {f ∈ Diff(M ) : f ist Isometrie} eine Lie-Gruppe (zu einer Lie-Gruppe machbar) der Dimension h¨ ochstens 12 m(m + 1). Die Gruppe Isom(M ) ist also im Unterschied zur Gruppe Diff(M ) aller Diffeomorphismen endlichdimensional. Z.B. haben Isom(Rm ) = O(m) n Rm und Isom(S m ) = O(m + 1) Dimension m(m−1) + m = (m+1)(m+1−1) . 2 2 Ohne Beweis. Siehe [56, 2.1.2]. Da man mittels eines inneren Produktes Winkel zwischen Vektoren durch hx, yi p cos ^(x, y) := p hx, xi hy, yi definieren kann, k¨ onnen wir auf jeder Riemann-Mannigfaltigkeit (M, g) Winkel α zwischen Tangentialvektoren und somit zwischen Kurven c1 und c2 in ihren Schnittpunkten auf folgende Weise messen: cos α := p

g(c01 (0), c02 (0)) p . g(c01 (0), c01 (0)) g(c02 (0), c02 (0))

33.5 Definition (Konforme Abbildungen) Eine glatte Abbildung f : (M, g) → (N, h) heißt winkelerhaltend (konform), falls Tx f : Tx M → Tf (x) N f¨ ur alle x ∈ M winkelerhaltend ist. 33.6 Satz (Lie-Gruppe der konformen Diffeomorphismen). Die Gruppe der konformen Isomorphismen einer m-dimensionalen parakompakten zusammenh¨ angenden Riemann-Mannigfaltigkeit bilden eine Lie-Gruppe der Dimension h¨ ochstens 12 (m + 1)(m + 2). Z.B. ist diese Gruppe nach dem Satz 52.11 (bzw. 33.10 ) von Liouville f¨ ur M = ¨ Rm die Gruppe der Ahnlichkeitsabbildungen von Dimension dim(O(m))+dim(Rm )+ 2 1 = m(m−1) + m + 1 = m +m+2 und f¨ ur M = S 2 ist nach 33.10 die Zusammen2 2 hangskomponente SLC (2)/Z2 (der Moebius-Transformationen) dieser Gruppe von Dimension 6 = 12 · 3 · 4. Ohne Beweis. Siehe [56, 4.6.1]. 33.7 Lemma (Lineare konforme Abbildungen). Sei f : Rn → Rm linear und injektiv, dann sind ¨ aquivalent: c 15. Dezember 2008 [email protected]

277

33.7

33. Isometrische und konforme Diffeomorphismen 1. f ist winkelerhaltend, 2. ∃ λ > 0 : hf (x), f (y)i = λhx, yi f¨ ur alle x, y ∈ Rn ; 3. ∃ µ > 0: µ f ist Isometrie.

Siehe Aufgabe 1.5 . Beweis. (2 ⇔ 3) ist offensichtlich mit λ µ2 = 1. (1 ⇐ 2) Sei α der von den Vektoren x und y aufgespannte Winkel und α0 der von den Vektoren f (x) und f (y) aufgespannte Winkel. Dann gilt: cos α0 =

λhx, yi hf (x), f (y)i √ = cos α. =√ |f (x)| · |f (y)| λ|x| λ|y|

Also ist α = α0 , und f winkelerhaltend. (1 ⇒ 2) Wir definieren λ(v) ≥ 0 implizit durch hf (v), f (v)i =: λ(v)hv, vi. F¨ ur Vektoren v und w ist v + w ⊥ v − w ⇔ 0 = hv + w, v − wi = |v|2 − |w|2 ⇔ |v| = |w|. Da f konform ist gilt somit f¨ ur Vektoren mit |v| = 1 = |w|: 0 = hf (v + w), f (v − w)i = hf (v), f (v)i − hf (w), f (w)i = λ(v) − λ(w). Also ist λ konstant auf der Einheits-Sph¨are und damit auch auf Rn \ {0}, denn mit 1 w = |w| v mit v := |w| w ∈ S n−1 ist λ(w)hw, wi = hf (w), f (w)i = hf (|w| v), f (|w| v)i = h|w| f (v), |w| f (v)i = |w|2 hf (v), f (v)i = hw, wi λ(v) 1. Somit ist f¨ ur zwei beliebige Vektoren v und w:  1  1 |f (v) + f (w)|2 − |f (v) − f (w)|2 = |f (v + w)|2 − |f (v − w)|2 hf (v), f (w)i = 4 4  1  2 2 = λ |v + w| − |v − w| = λ hv, wi. 4 Koordinatenbeweis: Insbesonders ist λ konstant auf einer Orthonormalbasis e1 , . . . , en . Wir setzen λ := λ(e1 ) = . . . = λ(en ). F¨ ur jeden beliebigen Vektor v ∈ Rn gilt: v=

n X

v i ei

i=1

⇒

DX E X X (v i )2 = λ(v) v i ei , v i ei = + !  X X f v i ei , f  v j ej 

λ(v) * =

i

=

X i,j

⇒

j

i j

v v hf (ei ), f (ej )i = λ {z } |

λ(v) = λ

X

λδi,j

(v i )2

i

∀ v ∈ Rn .

Die Behauptung des Lemmas folgt nun aus: 2hv, wi = hv + w, v + wi − hv, vi − hw, wi 2hf (v), f (w)i = hf (v) + f (w), f (v) + f (w)i − hf (v), f (v)i − hf (w), f (w)i = λhv + w, v + wi − λhv, vi − λhw, wi = 2λhv, wi.

278

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33.9

33. Isometrische und konforme Diffeomorphismen 33.8 Beispiele konformer Abbildungen

(1) Stereographische Projektion S n → Rn (siehe Aufgabe 72.40 ). (2) Spiegelung f : Rn \ {0} → Rn \ {0}, z 7→ z

z |z|2

an der Einheitssph¨are.

y

x

Die Abbildung f ist konform, da f 0 (z)(v) =

0

0



hf (z)(v), f (z)(w)i = =

vhz,zi−2zhz,vi hz,zi2

und somit

vhz, zi − 2zhz, vi whz, zi − 2zhz, wi , hz, zi2 hz, zi2

 =

 1  hv, wi 2 hv, wi hz, zi − 4hz, zihz, vihz, wi + 4hz, zihz, vihz, wi = . 4 hz, zi hz, zi2

In Analogie zur Definition von holomorph in 30.9 heißt eine Funktion f antiholomorph, falls f : R2 k U → R2 glatt ist und f 0 (z) konjugiert komplex-linear ist, d.h. f 0 (z)(iv) = −if 0 (z)(v) f¨ ur alle v, z.

33.9 Satz (Konforme Abbildungen der Ebene). Sei f : C k U → C ein Diffeomorphismus, dann gilt: f ist konform ⇔ f ist holomorph oder antiholomorph. Dabei heißt f antiholomorph, wenn f¯ holomorph ist. c 15. Dezember 2008 [email protected]

279

33.10

33. Isometrische und konforme Diffeomorphismen

Beweis. f = (f 1 , f 2 ) ist konform ⇔ ⇔ f 0 (z) ist konform ( h∂1 f, ∂2 f i = 0 ⇔ h∂1 f, ∂1 f i = h∂2 f, ∂2 f i ( 1 1 f1 f2 + f12 f22 = 0 ⇔ (f11 )2 + (f12 )2 = (f21 )2 + (f22 )2 ( AB ∗ + BA∗ = 0 wo A := f11 − f22 und B := f21 + f12 ⇔ AA∗ − BB ∗ = 0 wo A∗ := f11 + f22 und B ∗ := f21 − f12 ( A = B = 0 falls (A∗ )2 + (B ∗ )2 6= 0 ⇔ oder (A∗ )2 + (B ∗ )2 = 0  f ist holomorph ⇔ oder A∗ = B ∗ = 0, d.h. f ist antiholomorph .

K¨ urzer kann man das auch so sehen: f 0 (z) ist wegen 33.7 genau dann konform, wenn es ein Vielfaches einer Isometrie ist, also Multiplikation mit einer komplexen Zahl und eventuell noch mit der Spiegelung z 7→ z¯ zusammengesetzt. 33.10 Proposition. Es sei f eine glatte (nicht notwendig regul¨ are) Abbildung und U offen und zusammenh¨ angend. Wir nennen sie in Verallgemeinerung zu 33.7 konform, falls Tz f f¨ ur jedes z (reelles) Vielfaches einer Isometrie ist. Dann gilt: 1. f : C ⊇ U → C ist konform ⇔ f oder f¯ ist holomorph. 2. f : S 2 → C ist konform ⇔ f ist konstant. 3. f : C ⊇ U → S 2 ist konform ⇔ bez¨ uglich stereographischer Parametrisierung C ⊆ S 2 ist f oder f¯ meromorph, d.h. ist holomorph bis auf Pole. 4. f : S 2 → S 2 ist konform ⇔ bez¨ uglich stereographischer Parametrisierung C ⊆ S 2 ist f oder f¯ rational, d.h. Quotient zweier Polynome. 5. f : S 2 → S 2 ist konformer Diffeomorphismus ⇔ bez¨ uglich stereographischer Parametrisierung C ⊆ S 2 ist f oder f¯ eine M¨ obiustransformation, d.h. ist Quotient der Form z 7→ (a z + b)/(c z + d). ¨ 6. f : R2 → R2 ist konformer Diffeomorphismus ⇔ f ist eine Ahnlichkeitsabbildung, d.h. eine Bewegung zusammengesetzt mit einer Streckung. Beweis. Die Implikationen (⇐) sind leicht zu verifizieren. In (5) geht das wie folgt. Es sei f : z 7→ az+b obiustransformation. Dann ist f : C\{−d/c} → C\{a/c} cz+d eine M¨ dw−b ein konformer Diffeomorphismus, mit Inverser w 7→ −cw+a , denn f (z) = w ⇔ az + b = (cz + d)w ⇔ z =

dw − b . −cw + a

Falls c 6= 0 so erweitern wir diesen nun durch f (−d/c) := ∞ und f (∞) := a/c zu einer Bijektion S 2 → S 2 . Diese Erweiterung ist holomorph bei −d/c, denn z 7→ 1/f (z) = (cz + d)(az + b), ist holomorph nahe z = −d/c, da a(−d/c) + b = −(ad − bc)/c und z 7→ f (1/z) = (a/z + b)/(c/z + d) = (bz + a)/(dz + c), 280

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33. Isometrische und konforme Diffeomorphismen

33.10

ist holomorph nahe 0, da d 0 + c = c 6= 0. Falls c = 0, so erweitern wir f durch f (∞) := ∞. Dann ist die Erweiterung holomorph bei ∞, da 1/f (1/z) = (c/z + d)/(a/z + b) = (dz + c)/(bz + a) und a 6= 0 wegen ad = ad − bc 6= 0. Also definiert jede M¨obiustransformation f einen konformen Diffeomorphismus S 2 → S 2 . F¨ ur die umgekehrte Richtungen (⇒) gehen wir wie folgt vor: (1) Jede Isometrie R2 → R2 ist eine Drehung (eventuell mit einer Spiegelung zu0 sammengesetzt. Also ist f 0 (z) oder f 0 (z) = f (z) Multiplikation mit einer kom∂v plexen Zahl und die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ∂u ∂x = ± ∂y und ∂u ∂v ur f =: u + i v erf¨ ullt. Daraus erhalten wir ∂y = ∓ ∂x sind f¨ ∂2u ∂2v ∂2v ∂2v + = ± ± = 0, ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y ∂y∂x d.h. u = Ref ist harmonisch. Wir suchen ein w, s.d. u + i w holomorph ist, d.h. die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erf¨ ullt. Es soll also dw = ∂w ∂x dx + ∂w ∂u ∂u dy = − dx + dy gelten, was wegen der Integrabilit¨ a tsbedingung ∂y ∂y ∂x  ∂u  ∂u ∂u  ∂u  dx + dy = − + 2 dx ∧ dy = 0 d − 2 ∂y ∂x ∂x ∂y durch den Ansatz Z z ∂w ∂w w(z) := dx + dy ∂x ∂y z0 erreichbar ist. Also ist u + iw holomorph und somit sind die Stellen, wo f 0 (z) = 0 ist isoliert, d.h. f = u + i v = u ± i w mit konstanter Wahl von ±. Also ist f oder f¯ holomorph. (2) Es sei f : S 2 → C konform. Dann ist auch die Zusammensetzung C → S 2 → C mit der stereographischen Parametrisierung konform, also holomorph oder antiholomorph nach (1). Da f (S 2 ) kompakt ist, ist diese Zusammensetzung beschr¨ankt, und nach dem Satz von Liouville (siehe [87, S.116]) konstant. (3) Es sei f : C ⊇ U → S 2 konform und z0 ∈ U . Falls f (z0 ) ∈ C ⊆ S 2 liegt, dann ist f : C → C lokal konform und nach (1) also (anti) holomorph. Andernfalls ist f (z0 ) = ∞ und somit z 7→ z1 f (z) holomorph und folglich lokal beschr¨ankt und lokal 6= 0. Also hat f eine isolierte Singularit¨at in z0 und kommt lokal um z0 den Wert 0 nicht nahe und hat folglich nach dem Satz von Casorati-Weierstrass (siehe [87, S. 166]) in z0 keine wesentliche Singularit¨at, sondern einen Pol. Also ist f oder f¯ meromorph. (4) Nach (3) ist f |C : S 2 ⊇ C → S 2 (oder f¯) meromorph und hat nur endlich viele Pole zj , da diese auf S 2 isoliert sind. Dort ist die Laurent-Entwicklung P∞ Pnj j f (z) = k=−nj (z − zj )k fkj f¨ ur ein nj ∈ N. Also ist z 7→ f (z) − k=1 (z − zj )−k f−k holomorph ist, dann ist die Laurent-Entwicklung P∞um zj . Falls auch ∞ ein PnPol ∞ ∞ z k f−k holomorph bei ∞. Also ist f ( z1 ) = k=−n∞ z k fk∞ , also f (z) − k=1 z 7→ f (z) −

nj XX j

j (z − zj )−k f−k −

k=1

n∞ X

∞ z k f−k

k=1

2

holomorph S → C und nach (2) konstant, d.h. f ist rational. (5) Nach (4) ist f = pq f¨ ur relativ prime Polynome p und q. Falls der Grad von p oder von q gr¨ oßer als 1 ist, dann hat h(z) := p(z) − c q(z) f¨ ur geeignete c := f (z) Grad gr¨ oßer als 1. Da f injektiv ist, darf nur eine L¨osung z = z0 von h(z) = 0 c 15. Dezember 2008 [email protected]

281

34.5

33. Isometrische und konforme Diffeomorphismen

existieren, d.h. h(z) = k(z − z0 )n f¨ ur ein n ≥ 2 und k 6= 0. Dann ist p(z0 ) = c q(z0 ) 0 q0 (z0 ) = 0, ein Widerspruch dazu, und p0 (z0 ) = c q 0 (z0 ) und somit f 0 (z0 ) = q p q−p 2 daß f ein Diffeomorphismus ist. (6) Sei f : R2 → R2 ein konformer Diffeomorphismus. O.B.d.A. (ersetze wenn n¨ otig f durch f¯) ist somit f holomorph nach (1) und erf¨ ullt f (0) = 0 (ersetze f druch f − f (0)). Sei i : z 7→ z1 . Dann ist f˜ := i ◦ f ◦ i : C \ {0} → C \ {0} ein holomorpher Diffeomorphismus. Da f ein Diffeomorphismus bei 0 ist, existiert ein δ > 0 mit |f −1 (z)| < δ f¨ ur alle |z| < 1. Somit gilt |z| ≤ 1δ ⇒ |i(z)| ≥ δ ⇒ |f (i(z))| ≥ 1 ⇒ |f˜(z)| = |i(f (i(z)))| ≤ 1, d.h. f˜ ist nahe 0 beschr¨ankt und somit zu einer holomorphen Funktion auf C erweiterbar mit f˜(0) = 0 (siehe z.B. [?, 115]). Gleiches Argument gilt auch f¨ ur die Umkehrfunktion f˜−1 , d.h. f l¨aßt sich zu einen konformen Diffeomorphismus S 2 → S 2 erweitern. Damit ist f nach z+b mit ∞ 7→ ∞, also c = 0, d.h. eine (5) eine M¨ obiustransformation z 7→ ac z+d ¨ Ahnlichkeitsabbildung.

34. Riemann-Fl¨ achen 34.1 Definition (Riemann-Fl¨ ache) Eine Riemann-Fl¨ ache ist eine 2-dimensionale Riemann-Mannigfaltigkeit. 34.2 Satz von Korn-Lichtenstein. Auf jeder Riemann-Fl¨ ache existieren konforme lokale Koordinaten (auch isothermale Koordinaten genannt). Ohne Beweis. Siehe [16] oder [90, Vol.II, Addendum 2] 34.3 Definition (Komplexe Mannigfaltigkeit) Eine komplexe Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit mit einem Atlas, dessen Kartenwechsel komplex differenzierbar (holomorph) sind. Eine orientierte Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit mit einem Atlas, dessen Kartenwechsel orientierungserhaltend sind. F¨ ur ein detailierteres Studium von Orientierbarkeit siehe Abschnitt 46 . 34.4 Folgerung. Jede orientierte Riemann-Fl¨ ache ist eine komplexe Mannigfaltigkeit. Beweis. Man w¨ ahle einen Atlas, dessen Kartenwechsel konform und orientierungserhaltend, also holomorph, sind. 34.5 Beispiele konformer Diffeomorphismen (1) Die S 2 hat als Atlas die stereographische Projektion vom Nord- und S¨ udpol. Der Kartenwechsel ist die Inversion am Einheitskreis, ist also konform aber vertauscht die Orientierungen. Wir ¨andern die Orientierung einer Karte und erhalten so einen holomorphen Atlas. Dies nennt man auch die Riemann’sche Zahlenkugel. Wir betrachten nun die Automorphismengruppe der S 2 . Das ist die Menge aller biholomorphen Abbildungen f : S 2 → S 2 , wobei die biholomorphen Abbildungen, genau die konformen, orientierungserhaltenden Diffeomorphismus 282

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34.5

34. Riemann-Fl¨ achen

sind. Nach 33.10 gilt bez¨ uglich der stereographischen Projektion von S 2 → C folgende Beschreibung:   az + b Aut(S 2 ) = : ad − bc = 1 . cz + d Diese Gruppe der M¨ obiustransformationen kann man auch mit folgender Matrizengruppe bis auf eine Multiplikation mit ±1 identifizieren:    a b SLC (2) := : ad − bc = 1 . c d Die Gruppe Aut(S 2 ) ist also isomorph zu SLC (2)/Z2 , wobei die Untergruppe Z2 gegeben ist durch Z2 := {id, − id}. Dies ist eine Lie-Gruppe. Die Gruppe der M¨ obiustransformationen wird von z 7→ az, z 7→ z + b und z 7→ 1/z erzeugt. Offensichtlich sind die angegebenen Funktionen M¨obiustransformationen. Sei umgekehrt eine M¨ obiustransformation f : z 7→ (az + b)/(cz + d) mit ad − bc 6= 0 gegeben. Falls c = 0 und damit d 6= 0 so ist f die Zusammensetzung z 7→ ad z 7→ ad z + db . Ist c 6= 0 und damit f (∞) = a/c ∈ C, so ist die Zusammensetzung z 7→ f (z) 7→ 1 f (z) − f (∞) 7→ f (z)−f (∞) ein konformer Diffeomorphismus von C (mit ∞ 7→ ∞), also nach dem ersten Teil eine Zusammensetzung einer Drehstreckung und einer Translation. (2) Die Automorphismengruppe von C besteht aus jenen M¨obiustransformationen ∧ von Aut(S 2 ), welche C ⊂ S 2 oder – ¨aquivalent – den Nordpol = ∞ ∈ C invariant lassen: In der Tat sei f so ein Diffeomorphismus, dann ist f∞ : z 7→ 1/f (1/z) holomorph auf der punktierten Ebene. Da f ein Diffeomorphismus ist, ist f∞ durch f∞ (0) = 0 stetig erg¨ anzbar, also ist ∞ eine hebbare Singularit¨at und f durch f (∞) := ∞ zu einen holomorphen Diffeomorphismus S 2 → S 2 erweiterbar. Wegen a + zb z→∞ a az + b = − → . cz + d c c + dz bildet die M¨ obiustransformation z 7→ az+b cz+d den Punkt ∞ auf a/c ab, und somit ist ∞ genau dann invariant, wenn c = 0 und a 6= 0 ist. Die M¨obiustransformation hat dann die Gestalt az + b a b = z+ . d d d Also gilt:    a b Aut(C) = {az + b : a 6= 0 a, b ∈ C} ∼ : a 6= 0 a, b ∈ C . = 0 1 Man nennt dies auch die “az + b-Gruppe”, siehe 14.2 . Sie ist komplex 2-dimensional. (3) F¨ ur die offene Einheitsscheibe D besteht die Automorphismengruppe aus jenen M¨obiustransformationen von S 2 , die D invariant lassen, d.h.   az + b ¯ Aut(D) = ¯ : a¯ a − bb = 1 ∼ = SU (2, 1)/Z2 . bz + a ¯ Es ist leicht zu sehen, daß jede solche M¨obiustransformation D invariant l¨aßt. F¨ ur die Umkehrung ben¨ otigen wir daf¨ ur das Schwarz’sche Lemma. Es sei f : D → D holomorph mit f (0) = 0. Dann ist |f 0 (0)| ≤ 1 und |f (z)| ≤ |z| f¨ ur alle z. Genauer gesagt, es tritt einer der beiden folgenden F¨ alle ein: • |f 0 (0)| < 1 und |f (z)| < |z| f¨ ur z 6= 0; c 15. Dezember 2008 [email protected]

283

35.1

34. Riemann-Fl¨ achen • f (z) = eiθ z f¨ ur ein θ ∈ R und alle z.

z−c Es sei f ein Automorphismus von D mit f (0) = c. Die Abbildung z 7→ 1−¯ c z ist eine M¨obiustransformation der angebenen Gestalt und setzt man f mit ihr zusammen so wird 0 invariant gelassen. O.B.d.A. ist also f (0) = 0. Nach dem Schwarzschen Lemma ist |f 0 (0)| ≤ 1 und da f ein Diffeomorphismus ist, ist f 0 (0) 6= 0 und gleiches gilt f¨ ur die Inverse f −1 . Wegen f −1 ◦ f = id ist also (f −1 )0 (0) ◦ f 0 (0) = 1 und somit 0 |f (0)| = 1, d.h. f (z) = eiθ z f¨ ur ein θ ∈ R nach dem Schwarzschen Lemma. Dies ist ebenfalls eine M¨ obiustransformation der gesuchten Gestalt.

Es ist Aut(D) eine 3-dimensionale Gruppe. Sei dazu a = a1 + ia2 und b = b1 + ib2 . Dann ist a1 2 + a2 2 − b1 2 − b2 2 = 1 und durch die Beziehungen (3)

r1,1 = a1 + b1

r1,2 = a2 + b2

r2,1 = −a2 − b2 r2,2 = a1 − b1
∈ SL(2)/Z2 definiert. Somit erhalten wir einen Isomorwird ein Element ∼ phismus Aut(D) = SL(2)/Z2 , siehe Aufgabe 72.62 . (4)

r1,1 r1,2 r2,1 r2,2

34.6 Die Hyperbolische Scheibe Wir definieren eine neue Riemann-Metrik auf D durch 1 gz (v, w) := hv, wi. (1 − |z|2 )2 Dies ist eine konform ¨ aquivalente Metrik, d.h. id : (D, h·, ·i) → (D, g) ist ein konformer Diffeomorphismus. Es ist also Aut(D, g) = Aut(D, h·, ·i). F¨ ur f (z) :=

az+b , ¯ bz+¯ a

gz (v, v) =

d.h. f ∈ Aut(D), ergibt sich 1 |f 0 (z)(v)|2 2 |v| = = gf (z) (f 0 (z)v, f 0 (z)v), (1 − |z|2 )2 (1 − |f (z)|2 )2

denn es gilt (1 − |z|2 )|f 0 (z)v| = (1 − |f (z)|2 )|v|. Es ist demnach Aut(D, g) = Isom(D, g), man nennt diese Riemann-Fl¨ache (D, g) die hyperbolische Scheibe. F¨ ur sie ist jeder winkelerhaltende Diffeomorphismus also l¨ angenerhalten.

35. Riemann’scher Abbildungssatz 35.1 Riemann’scher Abbildungssatz. Jede 2-dimensionale, komplexe, einfach zusammenh¨ angende Mannigfaltigkeit ist biholomorph zu D, C oder S 2 Dies ist eine Verallgemeinerung von 5.3 . Ohne Beweis. siehe [6, S.158]. ˜ einer komplexen Mannigfal¨ Die in 24.31 konstruierte universelle Uberlagerung M ¨ tigkeit M ist selbst eine komplexe Mannigfaltigkeit und die Uberlagerungsabbildung ist lokal eine biholomorphe Abbildung. Das ist offensichtlich, denn die Kartenwech˜ sind Einschr¨ankungen jener von M . selabbildungen des kanonische Atlasses von M ¨ Wegen 35.1 ist die universelle Uberlagerung einer 2-dimensionalen, komplexen 2 Mannigfaltigkeit S , C oder D. 284

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36.2

35. Riemann’scher Abbildungssatz ¨ 35.2 Die universelle Uberlagerung der punktierten Ebene

p ¨ Die Abbildung p von R+ ×R nach C\{0} mit (r, ϕ) 7→ reiϕ ist eine Uberlagerung. Da + ¨ R × R einfach zusammenh¨ angend ist, ist p zugleich eine universelle Uberlagerung. Wir wollen nun auf R+ × R eine Riemann-Metrik finden, sodaß die Fußpunktabbildung eine Isometrie wird.

p0 (r, ϕ)(s, ψ) =

∂p ∂r s 0

+

∂p ∂ϕ ψ

= eiϕ s + rieiϕ ψ

|(s, ψ)|(r,ϕ) := |p (r, ϕ)(s, ψ)|2 = s2 + r2 ψ 2 . Dies liefert die gew¨ unschte Riemann-Metrik auf R+ × R. Behauptung. Die Abbildung h : R+ × R → C mit (r, ϕ) 7→ ln(r) + iϕ = (ln(r), ϕ) ist ein konformer Diffeomorphismus: Daß h ein Diffeomorphismus ist, ist klar. Bleibt noch zu zeigen, daß h auch konform ist. Es ist h0 (r, ϕ)(s, ψ) = ( 1r s, ψ) |h0 (r, ϕ)(s, ψ)|2 =

s2 r2

+ ψ2 =

2 1 r 2 (s

+ r2 ψ2 ) =

2 1 r 2 |(s, ψ)|(r,ϕ) .

Also ist h konform, und damit ist p ◦ h−1 : C → R+ × R → C \ {0} die universelle ¨ Uberlagerung C → C \ {0}, z = x + iy 7→ (ex , y) 7→ ex · eiy = ex+iy = ez .

36. Uniformisierungssatz ¨ Wir wollen nun Riemannsche Fl¨achen X mittels ihrer universellen Uberlagerungen ∼ ˜ ˜ X beschreiben. Dazu werden wir 24.18 verwenden: X = X/G, wobei G die Gruppe ˜ → X ist. ¨ der Decktransformationen der universellen Uberlagerung X 36.1 Die Decktransformationen von C → C \ {0} ¨ Wir wollen die Decktransformationen der universelle Uberlagerung h von C nach C \ {0} mit h : z 7→ ez bestimmen. Wir wissen bereits, daß Aut(C) = {f : C → C : f ist biholomorph} = Gruppe der M¨ obiustransformationen z 7→ az + b mit a 6= 0. Nun definieren wir f¨ ur z1 , z2 ∈ C: z1 ∼ z2 : ⇔ ez1 = ez2 ⇔ ex1 eiy1 = ex2 eiy2 ⇔ ⇔ (x1 = x2 ) ∧ (y1 − y2 ∈ 2πZ). F¨ ur ein g ∈ {h ∈ Aut(C) : h(z) ∼ z} k¨onnen wir auch az+b schreiben. Sei az+b ∼ z f¨ ur alle z. Wenn z = 0 ist, dann folgt b ∼ 0 und somit b ∈ 2iπZ. Sei az + b ∼ z f¨ ur alle z. Dann folgt aus z = 1, daß a ∼ 1 ist, d.h. der Realteil von a ist gleich 1 und der Imagin¨ arteil von a ist Element von 2iπZ. Wenn z = i ist, schließen wir ¨aquivalent, daß ai = −Im(a) + iRe(a) ∼ i ist, d.h. Im(a) = 0 ⇒ a = 1. Somit haben wir ¨ also die Gruppe G der Decktransformationen zu obiger universeller Uberlagerung gefunden: G = {z + 2iπk : k ∈ Z}. 36.2 Uniformisierungssatz. Sei M eine 2-dimensionale, zusammenh¨ angende, orientierte Riemann-Mannigfaltigkeit. c 15. Dezember 2008 [email protected]

285

36.3

36. Uniformisierungssatz

˜ /G, wobei M ˜ ∈ {S 2 , C, D} und G eine GrupDann ist M konform-isomorph zu M ˜ ) ist. Umgekehrt, ist G eine Gruppe von pe von M¨ obiustransformationen in Aut(M M¨ obiustransformationen auf M1 ∈ {S 2 , C, D}, welche strikt diskontinuierlich wirkt, d.h. g 6= id ⇒ ∀ x ∃ U (x) : U (x) ∩ g(U (x)) = ∅, dann ist 1. M1 /G eine Mannigfaltigkeit, ¨ 2. die Quotientenabbildung M1 → M1 /G eine Uberlagerung, ¨ 3. G ist dir Gruppe der Decktransformationen der Uberlagerung. Beweis. Das entscheidende Hilfsmittel ist der Riemannschen Abbildungssatzes ˜ einer der ¨ 35.1 . Also ist die nach 24.31 existierende universelle Uberlagerung M 2 ˜ drei R¨ aume S , C, D und nach 24.18 ist M isomorph zu M /G, wobei G die Gruppe der Decktransformationen ist, also eine Gruppe von M¨obius-Transformationen ˜ wirkt. Umgekehrt liefert jede solche die nach 24.18 strikt diskontinuierlich auf M ˜ ˜ ¨ Gruppe G eine Uberlagerung M → M /G =: M nach 24.19 .

36.3 Die Automorphismengruppe einer Riemann-Fl¨ ache Wie k¨ onnen wir nun Aut(M ) bestimmen? Dazu verwenden wir Ideen, die wir bereits in 24.15 und 24.16 verwendet haben. Falls f ∈ Aut(M ), dann gibt es ein f˜ ∈ ˜ ), sodaß folgendes Diagramm kommutiert. Aut(M ˜ M

f˜

p

˜ /G M

 M

/M ˜ p

f

 /M

˜ ) stammen aber von einem f ∈ Aut(M )? Dies sind genau jene, Welche f˜ ∈ Aut(M bei denen man aus x1 ∼ x2 auf f˜(x1 ) ∼ f˜(x2 ) schließen kann. Sei nun p ◦ f˜ = f ◦ p, dann folgt f¨ ur alle g ∈ G: ˜ p ◦ f ◦ g = f ◦ p ◦ g = f ◦ p = p ◦ f˜ ⇒ p ◦ f˜ ◦ g ◦ f˜−1 = p ⇒ f˜ ◦ g ◦ f˜−1 ∈ G. Analog folgern wir f¨ ur f˜−1 , daß f˜−1 ◦ g ◦ f˜ ∈ G. Wir definieren den Normalisator von G: ˜ ˜ ˜−1 ⊆ G und f˜−1 Gf˜ ⊆ G} ˜ Norm ˜ (G) := {f ∈ Aut(M ) : f Gf Aut(M )

Sei f˜ ∈ NormAut(M˜ ) (G), dann ist zu zeigen, daß x ˜1 ∼ x ˜2 ⇒ f˜(˜ x1 ) ∼ f˜(˜ x2 ). Die Bedingung bedeutet aber: es existiert ein g ∈ G mit g(˜ x1 ) = x ˜2 . Wir definieren g¯ := f˜ ◦ g ◦ f˜−1 . Dieses g¯ ist aber gewiß Element von G, da ja f˜ ∈ NormAut(M˜ ) (G). Also gilt: f˜(˜ x2 ) = f˜(g(˜ x1 )) = g¯(f˜(˜ x1 )) ⇒ f˜(˜ x2 ) ∼ f˜(˜ x1 ), −1 ˜ ˜ faktorisiert u d.h. f faktorisiert u ¨ber eine Abbildung f : M → M und f ¨ber die Abbildung f −1 : M → M . Somit ist ˜ ) : f˜ sitzt u NormAut(M ) (G) = {f˜ ∈ Aut(M ¨ber einem f ∈ Aut(M )}. Wann liefern zwei f˜1 , f˜2 ∈ N (G) die gleiche Abbildung f ∈ Aut(M )? ⇔ p ◦ f˜1 = f ◦ p = p ◦ f˜2 ⇔ p ◦ f˜1 ◦ f˜2−1 = p ⇔ g := f˜1 ◦ f˜−1 ∈ G ⇔ ∃ g ∈ G : f˜1 = g ◦ f˜2 . 2

Es folgt also folgendes (siehe auch 24.14 - 24.16 ) 286

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36. Uniformisierungssatz

36.5

¨ 36.4 Lemma (Automorphismengruppe via universelle Uberlagerung). ˜ → M die universelle Uberlagerung ¨ Sei M eine Riemann-Fl¨ ache, M und G die Gruppe der Decktransformationen, dann gilt: Aut M = NormAut(M˜ ) (G)/G.

36.5 Beispiel ˜ = C −p=exp→ C \ {0}, mit Wir betrachten M = C \ {0} und M ˜ ) = {az + b : a 6= 0 und a, b ∈ C}, nach 34.5 Aut(M und G = {z + 2kiπ : k ∈ Z}, nach 36.1 . Die Gruppe der Decktransformationen wird durch t : z 7→ z + 2πi erzeugt. Wir wollen den Normalisator von G berechnen. Sei Norm(G) 3 f˜ : z 7→ az + b = w mit der Inversen f˜−1 : w 7→ w−b a . Dann folgt: (f˜ ◦ t ◦ f˜−1 )(z) = a( z−b a + 2πi) + b = z + 2πia ⇒ ⇒a∈Z 2πi (az + b + 2πi) − b =z+t ⇒ (f˜−1 ◦ t ◦ f˜)(z) = a a ⇒ a1 ∈ Z ⇒ a ∈ {1, −1} ⇒ Norm(G) = {±z + b : b ∈ C} Aut(C \ {0}) = {ez 7→ e±z+b : b ∈ C} =

mit eb = c

= {ez 7→ e±z · c : c 6= 0} = {w 7→ w±1 · c : c 6= 0}

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287

VI.

Differentialformen

In diesem Kapitel werden wir 1-Formen, wie wir sie in vorhergehenden Kapitel behandelt haben, zu Differentialformen h¨oheren Grades (kurz: n-Formen) verallgemeinern. Nach einem der Motivation dienenden Abschnitt stellen wir die n¨otige multilineare Algebra zusammen, und verkleben die damit aus den Tangential- und Kotangential-R¨ aumen konstruierten Tensorr¨aume zu Tensorb¨ undel. Als Schnitte der B¨ undel alternierender Tensoren erhalten wir die Differentialformen. Wir behandeln die wichtigsten Operationen auf ihnen: Die ¨außere Ableitung, die Lieableitung und den Einsetzungshomomorphismus. Insbesonders schauen wir uns das f¨ ur Riemann-Mannigfaltigkeiten genauer an. Als Anwendung reißen wir die De Rham Kohomologie an.

37. Motivation 37.1 Die Riemann-Metrik als Tensorfeld In 32.2 hatte wir die Riemann-Metrik als eine Abbildung definiert, die jedem x ∈ M eine Bilinearform gx : Tx M × Tx M → R zuordnet, und zwar so, daß x 7→ gx (ξx , ηx ), M → R glatt ist f¨ ur je zwei glatte Vektorfelder ξ, η ∈ X(M ). Schreiben wir die beiden Vektorfelder mittels lokaler Koordinaten (u1 , . . . , um ) als P i ∂ P i ∂ ξ = i ξ ∂ui und η = i η ∂ui , so erhalten wir gx (ξx , ηx ) =

X i,j

ξxi ηxj

 gx

∂ ∂ , j i ∂u ∂u

 =

X

dui (ξ) duj (η) gi,j (x),

i,j


∂ ∂ gesetzt haben. Die Abbildung (ξx , ηx ) 7→ dui (ξ) · wobei wir gi,j (x) := gx ∂u i , ∂uj j du (η) ist eine bilineare Abbildung Tx M × Tx M → R, die wir mit dui ⊗ duj bezeichnen. Also gilt lokal X g= gi,j dui ⊗ duj i,j

37.2 Hessische Form Sei f : M → R eine Funktion mit lokalem Extremum bei x, dann ist Tx f : Tx M → Tf (x) R = R die Nullabbildung. Um umgekehrt schließen zu k¨onnen ben¨otigen wir die 2.Ableitung: Sei M eine offene Teilmenge des Rm , (oder M eine Teilmannigfaltigkeit die wir durch eine offene Umgebung und f durch eine Erweiterung darauf c 15. Dezember 2008 [email protected]

289

37.3

37. Motivation

ersetzen). M × Rm = T M −T f→ T R = R2 T f (x, v) = (f (x), f 0 (x)(v)) 2

M × Rm × Rm × Rm = T 2 M := T (T M ) −T f→ T 2 R = R4   T 2 f (x, v; y, w) = f (x), f 0 (x)(v), f 0 (x)(y), f 00 (x)(v, y) + f 0 (x)(w) Im Rm ist pr4 (T 2 f (x, v; y, 0)) = f 00 (x)(v, y), falls (x, v; y, 0) im 2. Tangentialraum der Mannigfaltigkeit liegt.

37.3 Beispiel S 1 = {x ∈ R2 : |x| = 1} : T S 1 = {(x, v) ∈ (R2 )2 : |x| = 1, hx, vi = 0} T 2 S 1 = {(x, v; y, w) ∈ (R2 )4 : |x| = 1, hx, vi = hx, yi = 0, hy, vi + hx, wi = 0} Somit ist (x, v; y, 0) ∈ T 2 S 1 genau dann, wenn |x| = 1, v ⊥ x, y ⊥ x und v ⊥ y, also nur dann wenn v = 0 oder y = 0 ist. D.h. auf einer allgemeine Mannigfaltigkeit l¨ aßt sich f 00 (x) : Tx M × Tx M → R nicht sinnvoll definieren. Falls Tx f = 0, so ist dies doch m¨oglich. Sei ξx , ηx ∈ Tx M , dann definieren wir f 00 (x)(ξx , ηx ) := ηx (ξ(f )), wobei ξ ein Vektorfeld mit ξ(x) = ξxP sei. Schreiben wir P ∂ i ∂ ξx und ηx in lokalen Koordinaten, d.h. ξx = i ξ i ∂u i bzw. ηx = i η ∂ui , so ergibt sich: X ∂f ξ(f ) = ξi i ∂u i X

  ∂ ηx (ξ(f )) = ξ (f ) ∂ui j i  X X i X X ∂  ∂  ∂ξ ∂f ∂  j i j i ∂ = η ξ (f ) = η + ξ f ∂uj ∂ui ∂uj ∂ui ∂uj ∂ui j i j i =

X i,j

∂ η ∂uj j

ξi ηj

X

∂2f , ∂uj ∂ui

i

da

∂f = 0. ∂ui

Wir haben also gezeigt, daß obige Definition von der Fortsetzung unabh¨angig ist und in lokalen Koordinaten die u ¨bliche 2. Ableitung liefert, falls f 0 (x) = 0. Es ist also f 00 (x) : Tx M × Tx M → R gegeben durch X ∂2f ∂2f i j = du (ξ)du (η) ∂uj ∂ui ∂uj ∂ui i,j i,j X  ∂2f = dui ⊗ duj (ξ, η). j ∂ui ∂u i,j

f 00 (x)(ξ, η) =

X

ξi ηj

P 2 f i j Demnach ist f 00 (x) = i,j ∂u∂j ∂u i du ⊗ du . Wie transformiert sich dieser Ausdruck beim Wechsel von Koordinaten ui zu neuen Koordinaten v j ? Wir haben dv i = 290

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37.5

37. Motivation ∂v i j ∂uj

P

∂v k ∂ k ∂uj ∂v k .

∂ Also ist ∂u j (f ) =   ∂2 ∂ ∂ (f ) = (f ) ∂ui ∂uj ∂ui ∂uj ! X ∂v k ∂f ∂ = ∂ui ∂uj ∂v k

duj und

∂ ∂uj

=

P

P

∂v k ∂f k ∂uj ∂v k

und

k

=

X k

∂f ∂ 2 vk ∂v k X ∂v l ∂  ∂f + · · ∂v k ∂ui ∂uj ∂uj ∂ui ∂v l ∂v k

!

l

X ∂v l ∂v k X ∂ 2 vk ∂f ∂2f · + · · . = ∂ui ∂uj ∂v k ∂ui ∂uj ∂v l ∂v k k

Somit ist X ∂2f i,j

k,l

X ∂2f X X ∂ 2 vk du ⊗ du = dv l ⊗ dv k + i j l k ∂u ∂u ∂v ∂v ∂ui ∂uj i,j i

!

j

l,k

k

und der zweite Summand verschwindet im Punkt x, da

∂f | ∂v k x

∂f dui ⊗ duj , ∂v k

= 0.

37.4 Exakte 1-Formen F¨ ur eine glatte Funktion f : M → R, wobei M ⊆ Rm offen sei, ist f 0 : M → L(Rm , R) glatt. Nat¨ urlich interessiert man sich daf¨ ur, wann die Umkehrung gilt, also wann zu einer 1-Form ω : M → L(Rm , R) eine Funktion f : M → R existiert, sodaß ω = f 0 , ein solches ω nennt man exakte 1-Form. Der Satz von Frobenius liefert eine Bedingung: Lokal existiert so ein f genau dann wenn dω(x)(v1 , v2 ) = 0 ∀ v1 , v2 ∈ Rm , wobei 2dω(x)(v1 , v2 ) := ω 0 (x)(v1 ) · v2 − ω 0 (x)(v2 ) · v1 . Das so definierte dω : M → L(Rm , Rm ; R) ist f¨ ur festes x ∈ M alternierend (= schiefsymmetrisch) und bilinear. K¨ urzer schreibt man dω : M → L2Alt (Rm , R) und sagt: dω ist eine 2-Form. Allgemein bezeichnet man eine Abbildung ω : M → LkAlt (Rm , R) als k-Form, LkAlt (Rm , R) ist der Raum der alternierenden k-linearen Funktionale. Ist M = Rm , so gen¨ ugt dω = 0 um ein global gegebenes f mit ω = f 0 zu finden. Ist M ⊆ Rm , so gen¨ ugt es i.a. nicht. Dazu ein Beispiel: 37.5 Beispiel Wir betrachten die 1-Form −yv + xw ω(x, y)(v, w) := x2 + y 2

also ω(x, y) := −

∂ ( x2−y auf M := R2 \ {0} aus 3.10 . Wegen ∂y +y 2 ) = 0 men, es gibt ein f mit ω = f , so muß gelten:  0 f (x, y) = (∂1 f (x, y), ∂2 f (x, y)) =

y x dx + 2 dy x2 + y 2 x + y2

∂ x ∂x ( x2 +y 2 )

ist dω = 0. Angenom-

−y x , x2 + y 2 x2 + y 2

 .

Ist (x0 , y0 ) ∈ S 1 ein Punkt, in dem f eingeschr¨ankt auf S 1 ein Minimum annimmt, so gilt 1 1 0 = f 0 (x0 , y0 )(−y0 , x0 ) = −y0 · 2 (−y0 ) + x0 · 2 (x0 ) x0 + y02 x0 + y02 = 1, das ist ein Widerspruch. c 15. Dezember 2008 [email protected]

291

38.2

37. Motivation

F¨ ur die eben betrachtete Form gilt also: dω = 0, aber es gibt keine Stammfunktion zu ω. Diese Diskrepanz zwischen Formen ω mit dω = 0 und solchen der Gestalt ω = f 0 = df kann verwendet werden, um etwas u ¨ber die topologischen Eigenschaften von M auszusagen (In unserem Beispiel war M nicht einfach zusammenh¨angend). Wie sieht das nun f¨ ur beliebige Mannigfaltigkeiten M aus? Sei allgemeiner ω : x 7→ ω(x) eine 1-Form, dann m¨ ußte dω eine, auf M gegebene Abbildung dω : x 7→ dω(x) mit Werten dω(x) : Tx M × Tx M → R sein, die bilinear und alternierend sind (solche dω heißen 2-Form). Also ist (dω)x ∈ L2Alt (Tx M, R). Analog werden wir k-Formen definieren. Dazu wollen wir jetzt die grundlegenden Tatsachen aus der multilinearen Algebra zusammenfassen.

38. Multilineare Algebra, Tensoren 38.1 Definition Wir stellen zuerst die (multi)linear Theorie zusammen, f¨ ur ein vertiefendes Studium vgl. etwa [34] und [90, Vol.I, Cap.7]. Im folgenden bezeichnen E, F , etc. endlichdimensionale Vektorr¨ aume u ¨ber R. Wir bezeichnen mit Lk (E1 , . . . , Ek ; F ) (oder kurz L(E1 , . . . , Ek ; F )) den Raum der k-linearen Abbildungen E1 × . . . × Ek → F . Dieser ist ein Vektorraum der endlicher Dimension dim(E1 ) · · · · · dim(Ek ) · dim(F ). Die Abbildung T : E1 × . . . × Ek → R sei k-linear und S : Ek+1 × . . . × Ek+i → R sei i-linear. Das Tensorprodukt von T mit S ist wie folgt definiert: T ⊗ S : E1 × . . . × Ek+i → R

(k+i)-linear

(T ⊗ S)(v1 , . . . , vk+i ) := T (v1 , . . . , vk ) S(vk+1 , . . . , vk+i ) V¨ollig analog kann man auch das Tensorprodukt T1 ⊗· · ·⊗Tk mehrerer multilinearer Funktionale Ti definieren. 38.2 Das Tensorprodukt von Vektorr¨ aumen. F¨ ur endlichdimensionale Vektorr¨ aume E1 , . . . , Ek ist das Tensorprodukt durch E1 ⊗ · · · ⊗ Ek := Lk (E1∗ , . . . , Ek∗ ; R) definiert. Gemeinsam mit der k-linearen Abbildung ⊗ : E1 × . . . × Ek → E1 ⊗ · · · ⊗ Ek , ⊗ : (x1 , . . . , xk ) 7→ x1 ⊗ · · · ⊗ xk , wobei (x1 ⊗ · · · ⊗ xk )(y1∗ , . . . , yk∗ ) := y1∗ (x1 ) · · · · · yk∗ (xk ), l¨ ost es folgendes universelles Problem: E1 × . . . ×L Ek LLL LLL k-linear LLL L&

/ E1 ⊗ · · · ⊗ Ek

⊗

∃!

F

x

linear

{eji

Ist : 1 ≤ i ≤ dim Ej } eine Basis von Ej , dann ist eine Basis von E1 ⊗ · · · ⊗ Ek gegeben durch: {e1i1 ⊗ · · · ⊗ ekik : 1 ≤ i1 ≤ dim E1 , . . . , 1 ≤ ik ≤ dim Ek }. Beweis. Wir zeigen zuerst die Aussage u ¨ber die Basis. Die Menge {e1i1 ⊗ · · · ⊗ ekik : P i1 , . . . , ik } ist linear unabh¨ angig, denn aus i1 ,...,ik µi1 ,...,ik e1i1 ⊗ · · · ⊗ ekik = 0 folgt 292

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38.3

38. Multilineare Algebra, Tensoren durch Anwenden auf (ej11 , . . . , ejkk ) die Gleichung  X  0= µi1 ,...,ik e1i1 ⊗ · · · ⊗ ekik (ej11 , . . . , ejkk ) i1 ,...,ik

  µi1 ,...,ik e1i1 ⊗ · · · ⊗ ekik (ej11 , . . . , ejkk )

X

=

i1 ,...,ik

X

=

i1 ,...,ik

µi1 ,...,ik ej11 (e1i1 ) · · · · · ejkk (ekik ) = µj1 ,...,jk | {z } | {z } j

j

δi 1

δi k

1

k

Dies ist auch ein Erzeugendensystem f¨ ur E1 ⊗ · · · ⊗ Ek := L(E1∗ , . . . , Ek∗ ; R), denn ∗ ∗ jedes k-lineare µ : E1 × . . . × Ek → R l¨aßt sich auf (x1 , . . . , xk ) ∈ E1∗ × . . . × Ek∗ wie folgt beschreiben X  X µ(x1 , . . . , xk ) = µ x1i1 ei11 , . . . , xkik eikk i1

=

X

=

ik

···

X

i1

ik

X

···

X

i1

=

x1i1 . . . xkik · µ(ei11 , . . . , eikk ) e1i1 (x1 ) . . . ekik (xk ) · µ(ei11 , . . . , eikk )

ik

X

µi1 ,...,ik (e1i1 ⊗ · · · ⊗ ekik )(x1 , . . . , xk )

i1 ,...,ik

wobei µi1 ,...,ik :=

µ(ei11 , . . . , eikk )

∈ R.

Folglich l¨ aßt sich jede multilineare Abbildung µ : E1 × . . . × Ek → F auf eine eindeutige Weise zu einer lineare Abbildung µ ˜ : E1 ⊗ · · · ⊗ Ek → F durch µ ˜(e1i1 ⊗ · · · ⊗ ekik ) := µ(e1i1 , . . . , ekik ) fortsetzen, sodaß das angegebene Dreieck kommutiert.

38.3 Bemerkungen 1. Wir erhalten folgende Identit¨aten (die erste mittels vollst¨andiger Induktion): (. . . (E1 ⊗ E2 ) ⊗ · · · ⊗ Ek ) ∼ = L((E1 ⊗ · · · ⊗ Ek−1 )∗ , Ek∗ ; R) ∼ = L((E1 ⊗ · · · ⊗ Ek−1 )∗ , L(E ∗ , R)) k

∗ ∼ , L(Ek∗ , R)) = L(E1∗ , . . . , Ek−1 ∼ = L(E ∗ , . . . , E ∗ , E ∗ ; R) 1

k−1

k

∼ = E1 ⊗ · · · ⊗ Ek E1 ⊗ E2 = L(E1∗ , E2∗ ; R) ∼ = L(E2∗ , E1∗ ; R) = E2 ⊗ E1 ∼ L(E ∗ , R∗∗ ) = ∼ L(E ∗ , R) = E ∗∗ ∼ E1 ⊗ R = L(E1∗ , R∗ ; R) = 1 1 1 = E1 ∗ ∼ ∗∗ ∗∗ ∼ L(E , . . . , E ; R) = ∼ (E1 ⊗ · · · ⊗ Ek ) = L(E1 , . . . , Ek ; R) = 1 k = E1∗ ⊗ · · · ⊗ Ek∗ L(E, F ) ∼ = L(E, F ∗∗ ) = L(E, L(F ∗ , R)) ∼ = L(E, F ∗ ; R) ∼ = ∼ = L(E ∗∗ , F ∗ ; R) = E ∗ ⊗ F. 2. Zu linearen Abbildungen Ti : Ei → Fi existiert eine durch folgendes Diagramm eindeutig bestimmte lineare Abbildung T1 ⊗· · ·⊗Tk : E1 ⊗· · ·⊗Ek → c 15. Dezember 2008 [email protected]

293

38.4

38. Multilineare Algebra, Tensoren F1 ⊗ · · · ⊗ Fk : E1 × . . . × Ek

⊗

T1 ×...×Tk linear

 F1 × . . . × Fk

/ E1 ⊗ · · · ⊗ Ek

k-linear

linear T1 ⊗···⊗Tk

⊗

 / F1 ⊗ · · · ⊗ Fk .

k-linear

Dabei ist T1 ⊗ · · · ⊗ Tk auf der Basis (e1i1 ⊗ · · · ⊗ ekik ) wie folgt gegeben: (T1 ⊗ · · · ⊗ Tk )(e1i1 ⊗ · · · ⊗ ekik ) = T1 (e1i1 ) ⊗ · · · ⊗ Tk (ekik ) X X (Tk )jikk fjkk = (T1 )ji11 fj11 ⊗ · · · ⊗ jk

j1

X

=

(T1 )ji11

· · · · · (Tk )jikk fj11 ⊗ · · · ⊗ fjkk

j1 ,...,jk

3. Zwischen den verschiedensten soeben definierten Tensorprodukten besteht der folgende Zusammenhang: F¨ ur Ti ∈ Ei∗ stimmen die Tensorprodukte 1 T1 ⊗ · · · ⊗ Tk ∈ (E1 ⊗ · · · ⊗ Ek )∗ von 38.1 ; 2 T1 ⊗ · · · ⊗ Tk ∈ E1∗ ⊗ · · · ⊗ Ek∗ von 38.2 ; 3 T1 ⊗ · · · ⊗ Tk : E1 ⊗ · · · ⊗ Ek → R ⊗ · · · ⊗ R von 38.3.2 verm¨ oge der Isomorphismen (E1 ⊗· · ·⊗Ek )∗ ∼ = E1∗ ⊗· · ·⊗Ek∗ und R⊗· · ·⊗R ∼ = R ¨berein. Naus 38.3.1 L∞ u Nm 4. E := m=0 ( i=1 E) ist eine graduierte, assoziative No Algebra mit 1 und heißt die Tensoralgebra u E mit 1 ∈ R = E. Dabei heißt eine ¨berL k l Algebra graduiert, falls A = k∈N Ak und die Multiplikation A × A k+l in A abbildet.N Die Elemente ω Q ∈ Ak heißen homogen vom Grad k. 0 Dabei setzt man E := R, denn i∈∅ E ∗ = {0} und jedes f : {0} → R ist 0-linear. 5. Die Tensoralgebra hat folgende universelle Eigenschaft: Zu jeder linearen Abbildung f : E → A, wo A eine assoziative ein N Algebra mit 1 ist, existiert N1 eindeutiger Algebrahomomorphismus f˜ : E → A, welcher auf E=E mit f u ¨bereinstimmt. 38.4 Definition Mit LkAlt (E, F ) bezeichnen wir den durch die alternierenden k-linearen Abbildungen gebildeten Teilraum von L(E, . . . , E ; F ) =: Lk (E, F ). Bekanntlich heißt eine | {z } k mal

Abbildung T : E × . . . × E → F alternierend, wenn π ∗∗ ◦ T = sgn(π) · T f¨ ur alle Permutationen π ∈ Sk := {π : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} : π ist bijektiv} gilt, d.h. T (vπ(1) , . . . , vπ(k) ) = T (π ∗ (v)1 , . . . , π ∗ (v)k ) = π ∗∗ (T )(v1 , . . . , vk ) = sgn(π)T (v1 , . . . , vk ) ∀ v1 , . . . , vk ∈ E. Eine Projektion alt : Lk (E, F ) → LkAlt (E, F ), genannt Alternator ist gegeben durch 1 X alt(T )(v1 , . . . , vk ) := sign(π) T (vπ(1) , . . . , vπ(k) ) k! π∈Sk 1 X alt(T ) = sign(π) T ◦ π ∗ . k! π∈Sk

294

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38.4

38. Multilineare Algebra, Tensoren

¨ ußere F¨ ur alternierende multilineare Funktionale T und S definiert man das a oder “Hack”-Produkt (englisch: wedge-product) durch: (k + i)! (T ∧ S)(v1 , . . . , vk+i ) := alt(T ⊗ S)(v1 , . . . , vk+i ) = k! i! X 1 = sgn π · T (vπ(1) , . . . , vπ(k) ) · S(vπ(k+1) , . . . , vπ(k+i) ) k! i! π 1 X X = sgn σ sgn π1 sgn π2 · k! i! π ,π 1

2

σ stkw.%

· T (vσ(π1 (1)) , . . . , vσ(π1 (k)) ) · S(vσ(π2 (k+1)) , . . . , vσ(π2 (k+i)) ) X

=

(−1)

P

j≤k (σ(j)−j)

·

σ(1)<···<σ(k)

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − · T (vσ(1) , . . . , vσ(k) ) · S(v1 , . . . , pvσ(1)q, . . . , pvσ(k)q, . . . , vk+i ). In dieser Rechnung haben wir die Permutation π von {1, . . . , k + i} in eindeutiger Weise als σ ◦ (π1 t π2 ) geschrieben, wobei π1 eine beliebige Permutation von {1, . . . , k}, π2 eine solche von {k + 1, . . . , k + i} ist und σ eine von {1, . . . , k + i} welche auf {1, . . . , k} und {k +1, . . . , k +i} streng monoton wachsend ist. Es ist also σ(1) < · · · < σ(k) die monotone Anordnung von {π(1), . . . , π(k)} und σ(k + 1) < · · · < σ(k + i) jene von {π(k + 1), . . . , π(k + i)}. Damit ist π1 = σ −1 ◦ π|{1,...,k} und P −1 urliche π2 = σ ◦ π|{k+1,...,k+i} . Es ist sgn(σ) = (−1) j≤k (σ(j)−j) , denn um die nat¨ Ordnung von σ(1), . . . , σ(k + i) wiederherzustellen m¨ ussen f¨ ur alle 1 ≤ j ≤ k die σ(j) − j vielen kleineren Zahlen aus {σ(k + 1), . . . } mit σ(j) vertauscht werden. Falls T , S und R linear sind, dann ist (T ∧ S)(w, v) = T (w) S(v) − T (v) S(w) = det

  T (w) S(w) T (v) S(v)

und somit 2((T ∧ S) ∧ R)(w, v, u) = = (T ∧ S)(w, v) R(u) − (T ∧ S)(v, w) R(u) + (T ∧ S)(v, u) R(w) − (T ∧ S)(w, u) R(v) + (T ∧ S)(u, w) R(v) − (T ∧ S)(u, v) R(w) = (T (w) S(v) − T (v) S(w)) R(u) − (T (v) S(w) − T (w) S(v)) R(u) + (T (v) S(u) − T (u) S(v)) R(w) − (T (w) S(u) − T (u) S(w)) R(v) + (T (u) S(w) − T (w) S(u)) R(v) − (T (u) S(v) − T (v) S(u)) R(w) = 2 T (w) S(v) R(u) + 2 T (v) S(u) R(w) + 2 T (u) S(w) R(v) − 2 T (v) S(w) R(u) − 2 T (w) S(u) R(v) − 2 T (u) S(v) R(w)   T (w) S(w) R(w) = 2 det  T (v) S(v) R(v)  T (u) S(u) R(u) und folglich verschwinden auch im 3-fachen Produkt von 1-Formen alle Faktoren. 1 Dies ist der Grund f¨ ur die Wahl des Faktors (k+i)! k!i! bzw. k!i! , siehe auch 38.6.2 . Analog zu obiger Formel f¨ ur T ∧S k¨onnen wir auch direkt ein Hackprodukt mehrerer multilinearer alternierender Funktionale definieren. Beachte noch, daß T ∧ S = (−1)ki S ∧ T, c 15. Dezember 2008 [email protected]

295

38.5

38. Multilineare Algebra, Tensoren

denn (T ∧ S)(v1 , . . . , vk+i ) = 1 X = sgn(π) · T (vπ(1) , . . . , vπ(k) ) · S(vπ(k+1) , . . . , vπ(k+i) ) k!i! π 1 X = sgn(π 0 ◦ σ) · T (vπ0 (σ(1)) , . . . , vπ0 (σ(k)) ) · S(vπ0 (σ(k+1)) , . . . , vπ0 (σ(k+i)) ) k!i! 0 π 1 X = sgn(π 0 ◦ σ) · S(vπ0 (1) , . . . , vπ0 (i) ) · T (vπ0 (i+1) , . . . , vπ0 (i+k) ) k!i! 0 π ki

= (−1) (S ∧ T )(v1 , . . . , vk+i ) wobei π = π 0 ◦ σ und σ jene Permutation ist, welche den Block (1, . . . , k) mit (k + 1, . . . , k + i) vertauscht und Vorzeichen (−1)ik hat. 38.5 Lemma (Das ¨ außere Produkt eines Vektorraums). Vk Es sei das k-fache ¨ außere Produkt der Vektorr¨ aume E definiert durch E := Vk Nk k ∗ k ∗ LAlt (E , R) und E × . . . × E → E ⊆ E = L (E , R) sei die folgende alternierende, k-lineare Abbildung: ∧ : (v1 , . . . , vk ) 7→ v1 ∧ · · · ∧ vk mit X (v1 ∧ · · · ∧ vk )(w1 , . . . , wk ) := sgn(π) wπ(1) (v1 ) · · · · · wπ(k) (vk ) π

= k! alt(v1 ⊗ · · · ⊗ vk )(w1 , . . . , wk ). Das ¨ außere Produkt l¨ ost folgendes universelles Problem: / Vk E

∧

E × ... × JJE JJ JJ J k-linear, alt. JJJ J$

F

}

linear

Ist {ei }m i=1 eine Basis von E (also m = dim E), dann ist {ei1
∧ · · · ∧ eik : 1 ≤ i1 < Vk Vk · · · < ik ≤ m} eine Basis von E (also ist dim E= m k ). Ist k = dim E, so Vk erzeugt e1 ∧ · · · ∧ ek ganz E und X π(1) π(k) (e1 ∧ · · · ∧ ek )(w1 , . . . , wk ) = sgn π w1 · · · · · wk = det(w1 , . . . , wk ). π

Nk Vk Vk E −k! alt→ E Beweis. Es ist ∧ : E × . . . × E → E durch E × . . . × E −⊗→ Vk gegeben, folglich bildet (ei1 ∧ · · · ∧ eik )i1 <···
=

X


µi1 ,...,ik e1i1 ∧ · · · ∧ ekik (ej11 , . . . , ejkk )

i1 <···
= µj1 ,...,jk 296

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39.1

38. Multilineare Algebra, Tensoren

Folglich l¨ aßt sich jede alternierende multilineare Abbildung µ : E × . . . × E → F Vk auf eine eindeutige Weise zu einer lineare Abbildung µ ˜: E → F durch µ ˜(e1i1 ∧ · · · ∧ ekik ) := µ(e1i1 , . . . , ekik ) fortsetzen, sodaß das angegebene Dreieck kommutiert. 38.6 Bemerkungen 1. Es gelten die folgenden Identit¨aten: k k k ^  ^ ∗ ^ LkAlt (E, F ) ∼ E, F ; E ∼ E∗; =L = LkAlt (E, R) ∼ = LkAlt (E ∗∗ , R) = 2. Zu jeder linearen Abbildung T : E → F existiert eine durch folgendes DiaVk Vk Vk gramm eindeutig bestimmte lineare Abbildung T : E→ F: V ∧ / kE E × ... × E Vk

T ×...×T

 F × ... × F

T

 / Vk F

∧

Vk Vk Damit wird zu einen Funktor. In der Tat ist T auf der Basis (ei1 ∧ · · · ∧ eik ) wie folgt gegeben: k ^

T (ei1 ∧ · · · ∧ eik ) = T (ei1 ) ∧ · · · ∧ T (eik ) X j X j = Ti11 fj1 ∧ · · · ∧ Tikk fjk j1

=

X

jk

Tij11

· ··· ·

Tijkk

fj1 ∧ · · · ∧ fjk

j1 ,...,jk

= = =

X

X

j1 <···<jk

π

X

X

j1 <···<jk

π

X

j

j

j

j

Ti1π(1) · · · · · Tikπ(k) fjπ(1) ∧ · · · ∧ fjπ(k) Ti1π(1) · · · · · Tikπ(k) sign π fj1 ∧ · · · ∧ fjk

det(Tijsr )r,s fj1 ∧ · · · ∧ fjk .

j1 <···<jk

V Lm V i 3. F¨ ur m = dim(E) ist der Raum E := i=0 E eine graduiert-kommutative V0 ¨ ußere Algebra assoziative Algebra mit 1 ∈ E := R, die sogenannte La u ) kom¨ber E. Dabei heißt eine graduierte Algebra A = k Ak (k ∈ N0V ki mutativ, falls: a ∈ A , b ∈ A ⇒ a · b = (−1) b · a. Es ist dim( E) = k i Pm m
m = 2 . i=0 i

39. Vektorbu ¨ ndel-Konstruktionen 39.1 Definition (Tensorfelder und Differentialformen) Sei M eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit und x ∈ M . Als Vektorraum E verwenden wir nun den Tangentialraum Tx M von M bei x. Dann ist E ∗ = (Tx M )∗ , und wir bilden das Tensorprodukt Tx M ⊗ · · · ⊗ Tx M ⊗ (Tx M )∗ ⊗ · · · ⊗ (Tx M )∗ = Lp+q (Tx∗ M, . . . , Tx M ; R). {z } | | {z } p-mal

q-mal

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297

39.2

39. Vektorb¨ undel-Konstruktionen

Die Elemente dieses Vektorraums bezeichnet man als p-fach kontravariante, q-fach kovariante Vektoren oder Tensoren. Eine Basis von Tx M ist gegeben ∂ m 1 m ) lokale Koordinaten um x von M sind. Die duale durch ( ∂u i )i=1 , wobei (u , . . . , u ∗ Basis von (Tx M ) haben wir mit (dui )m i=1 bezeichnet. Nach 38.3 erhalten wir als Basis des Tensorprodukts:   jq j1 ∂ ∂ ⊗ · · · ⊗ du ⊗ · · · ⊗ ⊗ du i i ∂u 1 ∂u p i1 ,...,ip ,j1 ,...,jq =1,...,m

Analog bilden wir Λk (Tx M )∗ ∼ = Lkalt (Tx M, R). Die Elemente dieses ¨außeren Produktes nennt man k-Formen und eine Basis bildet (dui1 ∧ · · · ∧ duik )i1 <···
q-mal

betrachten. Diese heißen p-fach kontravariante und q-fach kovariante Tensorfelder. Eine Abbildung ω : M 3 x 7→ ω(x) ∈ Λk (Tx M )∗ heißt Differentialform vom Grad k. Um von der Glattheit eines Tensorfelds (oder einer Differentialform) sprechen zu k¨onnen sollten wir die Familie der Vektorr¨aume   Tx M ⊗ · · · ⊗ Tx M ⊗ (Tx M )∗ ⊗ · · · ⊗ (Tx M )∗ | {z } | {z } x∈M p-mal

q-mal

zu einer Mannigfaltigkeit oder besser gleich zu einem Vektorb¨ undel u ¨ber M machen. Wir gehen dabei wie beim Tangentialb¨ undel und den daraus konstruierten Kotangentialb¨ undel vor:

39.2 Direkte Summe von Vektorb¨ undel Seien E −p→ M und F −q→ M zwei Vektorb¨ undel u ¨ber M sowie ϕE eine TrivialiF sierung von E u ¨ber U ⊂ M und ϕ eine solche von F u ¨ber dem o.B.d.A. gleichen U . Mit ψ E : U ∩ V → GL(Rk ) und ψ F : U ∩ V → GL(Rl ) bezeichnen wir die Transitionsfunktionen zu je zwei solcher Vektorb¨ ¨ber U und V . Wir wollen Fundelkarten u nun die disjunkte Vereinigung E ⊕ F := x∈M (Ex ⊕ Fx ) zu einem Vektorb¨ undel machen. Als Vektorb¨ undelkarten verwenden wir faserweise F k+l ∼ k ϕE⊕F := ϕE = R ⊕ Rl → Ex ⊕ Fx . x x ⊕ ϕx : R

Die Transitionsfunktionen ψ E⊕F : U ∩ V → GL(Rk+l ) sind dann durch ψ E⊕F (x) := ψ E (x) ⊕ ψ F (x) ∈ GL(Rk ) × GL(Rl )  E  ψ (x) 0 E⊕F gegeben. Als Matrix ist ψ (x) gerade . Also hat ψ E⊕F wirklich 0 ψ F (x) Werte in Gl(Rk+l ) und ist glatt. Somit ist E ⊕ F → M ein Vektorb¨ undel, die sogenannte Whitney-Summe von E und F . 298

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39.5

39. Vektorb¨ undel-Konstruktionen 39.3 Tensorprodukt von Vektorb¨ undel

Analog zur direkten Summe machen wir nun die disjunkte Vereinigung E ⊗ F := F undel, dem sogenannten Tensorprodukt von x∈M (Ex ⊗ Fx ) zu einem Vektorb¨ E und F . Als Vektorb¨ undelkarten verwenden wir faserweise ϕE⊗F := ϕE ⊗ ϕF : Rkl ∼ = Rk ⊗ Rl → Ex ⊗ Fx . x

x

x

Die Transitionsfunktionen ψ E⊗F : U ∩ V → GL(Rkl ) sind dann durch ψ E⊗F (x) := ψ E (x) ⊗ ψ F (x) ∈ GL(Rkl ) ⊂ L(Rk ⊗ Rl , Rk ⊗ Rl ) gegeben. Als Matrix ist ψ E⊗F (x) gerade (ari bsj )(i,j),(r,s) , wobei (ari ) die Matrix von ψ E (x) und (bsj ) die Matrix von ψ F (x) sei. Sind n¨amlich (ei )ki=1 und (fj )lj=1 die Standardbasen im Rk und Rl und (ari ) sowie (bsj ) die Matrixdarstellungen von A ∈ L(Rk ) und B ∈ L(Rl ), so ist A ⊗ B : Rk ⊗ Rl → Rk ⊗ Rl gegeben durch (A ⊗ B)(v ⊗ w) = A(v) ⊗ B(w). Auf die Standardbasis (ei ⊗ fj )i,j angewandt erhalten wir also: X  X  X ari bsj er ⊗ fs . A(ei ) ⊗ B(fj ) = ari er ⊗ bsj fs = r

Also hat ψ

E⊗F

r,s

s kl

wirklich Werte in GL(R ) und ist glatt.

¨ 39.4 Außeres Produkt eines Vektorb¨ undels Vp F Vp Schließlich machen wir die disjunkte Vereinigung E := x∈M Ex zu einem ¨ ußeren Produkt von E. Als VekVektorb¨ undel, dem sogenannten p-fachen a torb¨ undelkarten verwenden wir faserweise p p p ^ ^ ^ Vp k (kp) ∼ R → Ex . ϕx E := (ϕE ) : R = x Vp

Die Transitionsfunktionen ψ Vp

ψ

E

(x) :=

E

k

: U ∩ V → GL(R(p) ) sind dann durch

p p p ^ ^ ^ k (ψ E (x)) ∈ GL(R(p) ) ⊂ L( Rk , Rk )

gegeben. Wie zuvor zeigt man wieder, daß die Transitionsfunktionen wirklich Werte k in GL(R(p) ) haben und glatt sind. Allgemeiner hat man folgende Konstruktion: 39.5 Theorem (Funktorielle Vektorb¨ undel Konstruktionen). Es sei F eine Zuordnung, die jeder Familie von (k + i) endlichdimensionalen Vektorr¨ aumen einen endlichdimensionalen Vektorraum zuweist und die funktoriell ist. Funktoriell bedeutet, daß jedem (k+i)-Tupel linearer Abbildungen Tj : Fj → Ej f¨ ur j ≤ k “kontravariant in den vorderen Variablen” Tj : Ej → Fj f¨ ur k < j “kovariant in den hinteren Variablen” eine lineare Abbildung F(T1 , . . . , Tk+i ) : F(E1 , . . . , Ek+i ) → F(F1 , . . . , Fk+i ) zugeordnet wird, die mit Komposition und Identit¨ at vertr¨ aglich ist und glatt von T1 , . . . , Tk+i abh¨ angt. Dann ist f¨ ur (k + i) Vektorb¨ undel urliche Vektorb¨ undelF pj : Ej → M eine nat¨ Struktur auf F(E1 , . . . , Ek+i ) := x F(E1 |x , . . . , Ek+i |x ) gegeben. c 15. Dezember 2008 [email protected]

299

40.1

39. Vektorb¨ undel-Konstruktionen

Ein Beispiel eines solchen Funktors ist die direkte Summe ⊕; der auf Vektorb¨ undel angewandt die Whitney-Summe liefert. Ein weiters ist der Dualraum-Funktor, der auf undel π : T M → M F das Tangentenb¨ angewandt das Kotangentialb¨ undel T ∗ M = x (Tx M )∗ → M liefert. Andere Beispiele sind das Tensorprodukt und das ¨außere Produkt sowie Kombina∗ Vk ∗ Vk k tionen von ihnen, wie T M = LAlt (T M, R) = TM . Beweis. Die Vektorb¨ undelkarten F(ψ1 , . . . , ψk+i ) werden aus jenen f¨ ur Ei durch folgende Formel gewonnen: F(ψ1 , . . . ,ψk+i )|x =   −1 = F (ψ1 )−1 , . . . , (ψ ) , (ψ ) , . . . , (ψ ) k x k+1 x k+i x x = F(ψ1 , . . . , ψk+i )|x : F(RN1 , . . . , RNk+i ) → F(E1 |x , . . . , Ek+i |x ) Die Transitionsfunktionen werden durch Zusammensetzen folgender Abbildungen gegeben: (ψ1 |x , . . . , ψk+i |x ) : U ∩ V → GL(RN1 ) × . . . × GL(RNk+i ) (inv, . . . ; id, . . . ) : GL(RN1 ) × . . . × GL(RNk+i ) → → GL(RN1 ) × . . . × GL(RNk+i ) F : GL(RN1 ) × . . . × GL(RNk+i ) → 
 → GL F RN1 , . . . , RNk+i

40. Differentialformen 40.1 Definition (glatte Tensorfelder und Differentialformen) Der Vektorraum der glatten p-fach kontravariant und q-fach kovarianten Tensorfelder oder kurz p-q-Tensorfelder, d.h. der glatten Schnitte des Vektorb¨ undels T M ⊗ · · · ⊗ T M ⊗ (T M )∗ ⊗ · · · ⊗ (T M )∗ | {z } | {z } p-mal

wird auch mit Tpq (M ) bezeichnet. Lokal l¨ aßt sich jedes Tensorfeld Φ als X i ,...,i Φ= Φj11 ,...,jpq ∂u∂i1 ⊗ · · · ⊗

q-mal

∂ ∂uip

⊗ duj1 ⊗ · · · ⊗ dujq

i1 ,...,ip j1 ,...,jq

schreiben. Und wir wissen, daß Φ genau dann glatt ist, wenn alle Komponenten i ,...,i Φj11 ,...,jpq glatte reell-wertige Funktionen sind. Insbesondere sind die 0-0-Tensorfelder gerade die reell-wertigen Funktionen, die 1-0-Tensorfelder die Vektorfelder und die 0-1-Tensorfelder die 1-Formen. Der Vektorraum der glattenVDifferentialformen vom Grad p, d.h. glatp ten Schnitte des Vektorb¨ undels (T M )∗ wird mit Ωp (M ) bezeichnet. Diesen 300

c 15. Dezember 2008 [email protected]

40.2

40. Differentialformen Raum k¨ onnen wir auch anders beschreiben: p ^ Ω (M ) := Γ( (T M )∗ → M ) p

p ^ ∼ = Γ(( T M )∗ → M ) p p n ^ ^  o ∼ T M → R : ωx ∈ L Tx M, R ∀ x = ω: n o p ∼ = ω : ⊕p T M → R : ωx ∈ LAlt (Tx M, R) ∀ x

V0 Wegen (T M )∗ = M × R stimmt der Raum Ω0 (M ) der 0-Formen mit C ∞ (M, R) u ¨berein. Jede Differentialform ω vom Grad k l¨aßt sich lokal als X ω= ωi1 ,...,ik dui1 ∧ · · · ∧ duik i1 <···
schreiben. Wieder gilt, daß ω glatt ist, wenn alle seine Koordinatenfunktionen ωi1 ,...,ik glatt sind. F¨ ur die Koeffizienten ωi1 ,...,ik ergibt sich aus  ∂ ∂ ,..., j = (du ∧ · · · ∧ du ) ∂uj1 ∂u k     X ∂ ∂ i1 ik = sgn π du · · · · · du ∂ujπ(1) ∂ujπ(k) π ( sgn π falls eine Permutation π existiert mit jπ(k) = ik ∀ k = 0 sonst. i1

ik



folgende Formel f¨ ur j1 < · · · < jk : ω


, . . . , ∂u∂jk =  X  = ωi1 ...ik · dui1 ∧ · · · ∧ duik

∂ ∂uj1

∂ ∂uj1


, . . . , ∂u∂jk = ωj1 ...jk .

i1 <...
40.2 Bemerkung Wegen Tx M ⊗ · · · ⊗ Tx M ⊗ (Tx M )∗ ⊗ · · · ⊗ (Tx M )∗ ∼ = | {z } | {z } p-mal

q-mal

∼ = L((Tx M )∗ , . . . , (Tx M )∗ , Tx M, . . . , Tx M ; R) {z } | {z } | p-mal

q-mal

k¨onnen wir ein p-q-Tensorfeld Φ=

X

i ,...,i

Φj11 ...,jqp ∂u∂i1 ⊗ · · · ⊗

∂ ∂uip

⊗ duj1 ⊗ · · · ⊗ dujq

i1 ,...,ip j1 ,...,jq c 15. Dezember 2008 [email protected]

301

40.3

40. Differentialformen

punktweise auf q Tangentialvektoren ξ1 , . . . , ξq ∈ Tx M und p Kotangentialvektoren ω 1 , . . . , ω p anwenden: Φ(ω 1 , . . . , ω p , ξ1 , . . . , ξq ) = X  X i ,...,i X ξqsq ∂u∂sq ωr11 dur1 , . . . , = Φj11 ,...,jpq · ( ∂u∂i1 ⊗ · · · ⊗ dujq ) r1

i1 ,...,ip j1 ,...,jq

=

sq

i ,...,i

X

Φj11 ,...,jpq · ωr11 δir11 · · · · · ξqsq δsjqq

i1 ,...,ip j1 ,...,jq r1 ,...,rp s1 ,...,sq

=

i ,...,i

X

Φj11 ,...,jpq · ωi11 · · · · · ωipp · ξ1j1 · · · · · ξqjq .

i1 ,...,ip j1 ,...,jq

Satz (Tensorfelder als C ∞ (M, R)-multilineare Abbildungen). Obige Abbildung liefert einen linearen Isomorphismus des Raums Tpq der glatten p-q-Tensorfelder mit dem Raum LkC ∞ (M,R) (Ω1 (M ), . . . , X(M ); C ∞ (M, R)) der C ∞ (M, R)-multilinearen Abbildungen. Beweis. Wir gehen analog zum Beweis von 31.11 vor: Offensichtlich wirkt jedes Tensorfeld Φ auf 1-Formen ω 1 , . . . , ω p ∈ Ω1 (M ) und auf Vektorfelder ξ1 , . . . , ξq ∈ X(M ) als C ∞ (M, R)-lineare Abbildung, durch Φ(ω 1 , . . . , ω p , ξ1 , . . . , ξq )(x) := Φx (ω 1 (x), . . . , ω p (x), ξ1 (x), . . . , ξq (x)) und wegen der obigen lokalen Formel X i ,...,i Φj11 ,...,jpq · ωi11 · · · · · ωipp · ξ1j1 · · · · · ξqjq Φ(ω 1 , . . . , ω p , ξ1 , . . . , ξq ) = i1 ,...,ip j1 ,...,jq

liegt Φ(ω 1 , . . . , ω p , ξ1 , . . . , ξq ) ∈ C ∞ (M, R). Umgekehrt sei Φ : Ω1 (M ) × . . . × X(M ) → C ∞ (M, R) eine C ∞ (M, R)-multilineare Abbildung. Falls eines der Vektorfelder oder 1-Formen σ lokal um x ∈ M verschwindet, so auch Φ(ω 1 , . . . , ω p , ξ1 , . . . , ξq ), denn sei f ∈ C ∞ (M, R) so gew¨ahlt, daß f = 1 auf dem Tr¨ ager jenes Schnittes σ und f (x) = 0 gilt. Dann ist f · σ = σ und wegen der C ∞ (M, R)-Linearit¨ at ist Φ(ω 1 , . . . , ω p , ξ1 , . . . , ξq )(x) = f (x) · Φ(ω 1 , . . . , ω p , ξ1 , . . . , ξq )(x) = 0. Folglich erhalten wir die lokale Formel X i ,...,i Φ(ω 1 , . . . , ω p , ξ1 , . . . , ξq ) = Φj11 ,...,jpq · ωi11 · · · · · ωipp · ξ1j1 · · · · · ξqjq , i1 ,...,ip j1 ,...,jq i ,...,i

mit Φj11 ,...,jpq := Φ( ∂u∂i1 , . . . , dujq ), deren rechte Seite an der Stelle x nur von Wert der 1-Formen und Vektorfelder an dieser Stelle abh¨angt. Also definiert Φx (ω 1 |x , . . . , ξq |x ) := Φ(ω 1 , . . . , ω p , ξ1 , . . . , ξq )(x) ein glattes Tensorfeld, das gesuchte inverse Bild zu Φ. 40.3 Satz (Differentialformen als C ∞ (M, R)-multilineare Abbildungen).

302

c 15. Dezember 2008 [email protected]

41.1

40. Differentialformen

n Es existiert ein linearer Isomorphismus von Ωk (M ) mit ω : X(M ) × . . . × X(M ) → o C ∞ (M, R) : ω ist k-linear alternierend und C ∞ (M, R)-homogen . Beweis. (⇒) Offensichtlich ist ω(ξ1 , . . . , ξk )|p = ωp (ξ1 |p , . . . , ξk |p ) k-linear und alternierend. Die Abbildung ω ist aber auch C ∞ (M, R)-homogen: ω(f ξ1 , . . . , ξk )|p = ωp (fp ξ1 |p , . . . , ξk |p ) = f (p) ωp (ξ1 |p , . . . , ξk |p ) = f · ω(ξ1 , . . . , ξk )|p Weiters ist M − C ∞ (M, R).

(ξ1 ,...,ξk )

→ T M ⊕ · · · ⊕ T M −ω→ R glatt, also ω(ξ1 , . . . , ξk ) ∈

(⇐) Sei ω : X(M ) × . . . × X(M ) → C ∞ (M, R) mit obigen Eigenschaften. Es ist z.z., daß ω(ξ1 , . . . , ξk )|p nur von ξ1 |p , . . . , ξk |p abh¨angt, denn dann k¨onnen wir definieren: ωp (ξ1 |p , . . . , ξk |p ) := ω(ξ1 , . . . , ξk )|p . Sei ξ1 = 0 lokal um p, sei f ∈ C ∞ (M, R) mit f (p) = 0 und f = 1 dort wo ξ1 6= 0. Dann gilt f · ξ1 = ξ1 und somit wie zuvor ω(ξ1 , . . . , ξk )|p = ω(f ξ1 , . . . , ξk )|p = f (p)ω(ξ1 , . . . , ξk )|p = 0. Pm ∂ Sei weiters ξ1 = i=1 ξ1i ( ∂x i ) lokal. Dann gilt X  ∂   X  ∂  ξ1i ω(ξ1 , . . . , ξk ) = ω , . . . , ξk = , . . . , ξk ξ1i ω i i ∂x ∂x i i und da ξ1 |p = 0 gilt ξ1i |p = 0 ∀ i und somit ω(ξ1 , . . . , ξk )|p = 0. P Sei ω = ωI dxI eine lokale Darstellung von ω, dabei ist dxI := dxi1 ∧ · · · ∧ dxik f”ur ist I = {i1 < · · · < ik }. Es ist ωI (p) = ω( ∂x∂i1 , . . . , ∂x∂ik )|p glatt bei p, also ist ω ∈ Ωk (M ).

41. Differentialformen auf Riemann MF 41.1 Tensorfelder auf Riemann-Mannigfaltigkeiten Allgemein wissen wir, daß Ω0 (M ) = C ∞ (M, R) ist und wir wollen nun Ω1 (M ) anders beschreiben. Sei dazu vorerst E ein endlich dimensionaler Vektorraum mit ∼ = innerem Produkt. Wir haben dann nach 32.1 einen Isomorphismus ] : E → E ∗ definiert durch ] : v 7→ hv, ·i. Sein Inverses bezeichnen wir mit [ := ]−1 . Sei (ei ) eine Orthonormalbasis von E und (ei ) die duale Basis von E ∗ , dann ist: X X ]:x= xi ei ∈ E 7→ xi ei ∈ E ∗ . i

i

Sei (M, g) eine Riemann-Mannigfaltigkeit mit dem zugeh¨origen Tangentialraum ∂ ] : Tx M ∼ = (Tx M )∗ . Eine Basis im Tangentialraum ist gegeben durch ∂u i , diese wird P ∂ j nach 32.1 abgebildet auf ]( ∂ui ) = j gj,i du . Und allgemeiner wird ξ ∈ Tx M wie folgt abgebildet: X X ∂ ωi dui ∈ (Tx M )∗ . ]:ξ= ξ i i ∈ Tx M 7→ ω = ∂u i i P i,j P ∂ ∂ i j i,j wobei ξ = j g ωj , ωi = j gi,j ξ und gi,j = h ∂ui , ∂uj i sind, und (g ) = (gi,j )−1 ist. Es folgt, daß auf kanonische Weise T M ∼ = T ∗ M ist, und somit der c 15. Dezember 2008 [email protected]

303

41.2

41. Differentialformen auf Riemann MF

Raum der Vektorfelder X(M ) kanonisch isomorph zum Raum der 1-Formen Ω1 (M ) ist. Allgemeiner gilt: p+q 0 Tpq (M ) ∼ (M ) ∼ = Tp+q = T0 (M )

41.2 Volumsform Sei E ein endlich dimensionaler, orientierter Vektorraum mit innerem Produkt. Falls (e1 , . . . , em ) eine positiv orientierte Orthonormalbasis von E ist, so definieren wir det ∈ Lm Alt (E; R) durch det(e1 , . . . , em ) = 1. Um zu zeigen, daß diese Definition nicht von der gew¨ ahlten Basis abh¨angt w¨ahlen wir beliebige PVektoren gi ∈ E und betrachten die Abbildung A : E → E, welche ej auf gj := i aij ei abbildet. Dann ist  X X ajmm ejm det(g1 , . . . , gm ) = det aj11 ej1 , . . . , jm

j1

=

X

aj11

· . . . · ajmm

j1 ,...,jm

=0, falls j1 ,...,jm keine Permutation von 1,...,m j(1)

X

=

a1

j Permutation

=

det(ej1 , . . . , ejm ) {z } |

· . . . · aj(m) sgn(j) det(e1 , . . . , em ) m | {z } =1

det(aji )i,j .

Falls also (gi )i insbesonders eine andere positiv orientierte Orthonormalbasis ist, so ist [A] ∈ SO(n), also 1 = det[A] = det(g1 , . . . , gm ). Da wir diese Konstruktion auf den Tangentialraum einer orientierten RiemannMannigfaltigkeit anwenden wollen (dort aber nicht eine orthonormal-Basis) sondern ∂ nur eine (positiv orientierte) Basis ( ∂u otigen wir auch f¨ ur j )j gegeben haben, ben¨ so eine Basis (gj ) eine Formel f¨ ur die Determinante: Dazu betrachten wir wieder die inneren Produkte DX E X X X gi,j := hgi , gj i = aki ek , alj el = aki alj hek , el i = aki akj | {z } k

l

k,l

k

δk,l

und erhalten (gi,j )i,j = [A · At ] und weiters det(gi,j )i,j = det([A] · [A]t ) = (det[A])2 und schließlich (wegen det[A] > 0) det(g1 , . . . , gm ) = det[A] =

q

√ det(gi,j )i,j =:

G.

F¨ ur jede orientierte (siehe 34.3 ) Riemann-Mannigfaltigkeit (M, g) ist det ∈ Lm alt (Tx M, R) und wir definieren die Volumsform volM ∈ Ωm (M ) der Mannigfaltigkeit durch volM (x) := det ∈ Lm alt (Tx M ; R). Diese Volumsform wollen wir mittels lokaler Koordinaten (u1 , . . . , um ) berechnen. ∂ urfen, daß sie poEs bilden die gi := ∂u i eine Basis in Tx M , von der wir annehmen d¨ sitiv orientiert ist, wenn wir ein Orientierungs-erhaltende Karte ϕ = (u1 , . . . , um )−1 304

c 15. Dezember 2008 [email protected]

41.3

41. Differentialformen auf Riemann MF verwenden. Es ist vol = vol1,...,m ·du1 ∧ . . . ∧ dum mit

  ∂ ∂ ∂ ∂ vol( ∂u vol1,...,m ·du1 ∧ . . . ∧ dum ( ∂u 1 , . . . , ∂um ) = 1 , . . . , ∂um ) X ∂ = vol1,...,m · sgn(π) du1 ( ∂u∂π(1) ) · . . . · dum ( ∂uπ(m) ) = vol1,...,m , {z } {z } | | π δπ(1),1

δπ(m),m

da π die Identit¨ at sein muß, siehe auch 40.1 . Wegen obiger Rechnung ist ∂ ∂ vol( ∂u 1 , . . . , ∂um ) = det(g1 , . . . , gm ) =

mit G := det(gi,j )i,j und gi,j := hgi , gj i =

√ G

∂ ∂ g( ∂u i , ∂uj ).

Wir erhalten f¨ ur orientierbare Riemann-Mannigfaltigkeiten folgenden Isomorphismus: ∼

C ∞ (M, R) −=→ Ωm (M ),

f 7→ f · volM .

41.3 Skalare Produkt auf Ω(M ) Dazu betrachten wir zuerst einen orientierten, m-dimensionalen Vektorraum E. Seien die (ei ) eine positiv-orientierte Orthonormalbasis von E. Wir definieren ein skalares Produkt auf E ∗ indem wir fordern, daß die duale Basis (ei ) ebenfalls eine Nk Orthonormalbasis sei. Auf E definieren wir ein skalares Produkt indem wir fordern, daß die Basis (ei1 ⊗ . . . ⊗ eik )i,1,...,ik eine Orthonormalbasis sei und analog Vk auf E durch die Orthonormalbasis (ei1 ∧ . . . ∧ eik )i1 <···
1 hx1 ∧ · · · ∧ xk , y1 ∧ · · · ∧ yk i⊗k E . k!

Die Bilinearform der linken Seite ist wohldefiniert, da die rechte Seite in x1 , . . . , yk linear und sowohl in x1 , . . . , xk als auch in y1 , . . . , yk alternierend ist. Auf den Basiselementen liefert sie offensichtlich das richtige. Achtung: Die Einschr¨ankung Nk Vk des skalaren Produkts von E auf den Teilraum E hat noch einen Faktor k!, denn X x1 ∧ · · · ∧ xk = k! alt(x1 ⊗ · · · ⊗ xk ) = sign(σ) xσ(1) ⊗ · · · ⊗ xσ(k) σ c 15. Dezember 2008 [email protected]

305

41.4

41. Differentialformen auf Riemann MF

und somit ist hx1 ∧ · · · ∧ xk , x1 ∧ · · · ∧ xk i⊗k E = X = sign(σ) sign(π) hxσ(1) ⊗ · · · ⊗ xσ(k) , xπ(1) ⊗ · · · ⊗ xπ(k) i⊗k E σ,π

=

X

sign(σ) sign(π) hxσ(1) , xπ(1) i . . . hxσ(k) , xπ(k) i

σ,π

=

X

sign(σ) sign(π ◦ σ) hxσ(1) , xπ(σ(1)) i . . . hxσ(k) , xπ(σ(k)) i

σ,π

= k!

X

sign(π)hx1 , xπ(1) i . . . hxk , xπ(k) i.

π

41.4 Definition (Hodge-Sternoperator) Vk Sei E ein orientierter m-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Dann hat E Di
V k ∼ V m−k m E= E. Wir wollen nun einen Isomorphismus mension k . Und somit ist Vk V m−k ∗: E→ E angeben, der nicht von der Wahl einer Basis abh¨angt. Dieser heißt Hodge-Sternoperator und ist durch folgende implizite Gleichung gegeben: η ∧ (∗ω) = hη, ωi · det f¨ ur η, ω ∈

k ^

E.

Um zu zeigen, daß dadurch wirklich ein linearer Operator eindeutig bestimmt ist w¨ ahlen wir eine positiv orientierte Orthonormalbasis (e1 , ..., em ) in E. Vk Eine Basis von E ist dann durch die Elemente ei1 ∧ · · · ∧ eik mit i1 < · · · < ek V m−k und eine solche von E durch die Elemente − − − − − − − − − − − − e1 ∧ · · · ∧ pei1q ∧ · · · ∧ peikq ∧ · · · ∧ em gegeben. Wir wollen die Koeffizienten αj1 ,...,jk des Bildes von ω = ei1 ∧ · · · ∧ eik unter dem Sternoperator bestimmen: X − − − − − − − − − − − − − ∗ω = αj1 ,...,jk e1 ∧ · · · ∧ pej1q ∧ · · · ∧ pejkq ∧ · · · ∧ em . j1 <···<jk

Dazu verwenden wir die implizite Gleichung mit η := el1 ∧ · · · ∧ elk f¨ ur l1 < · · · < lk und erhalten − − − −q − − − − −q p− p− αl1 ,...,lk el1 ∧ · · · ∧ elk ∧ e1 ∧ · · · ∧ el1 ∧ · · · ∧ elk ∧ · · · ∧ em = = η ∧ (∗ω) = hη, ωi det = hel1 ∧ · · · ∧ elk , ei1 ∧ · · · ∧ eik i e1 ∧ · · · ∧ em . | {z } δ (l1 ,...,lk ),(i1 ,...,ik )

Um das Hackprodukt auf der linken Seite auch in die nat¨ urliche Reihenfolge zu − − − − − − − − − − − lk 1 l1q p bekommen m¨ ussen wir zuerst e mit e ∧ · · · ∧ e ∧ · · · ∧ pelkq vertauschen und − − − − − − − − − − − − − − − − − − − erhalten ein Vorzeichen (−1)lk −k , danach elk−1 mit e1 ∧ · · · ∧ pel1q ∧ · · · ∧ pelk−1q und − − − − − erhalten ein Vorzeichen (−1)lk−1 −k−1 u.s.w. und schließlich el1 mit e1 ∧ · · · ∧ pel1q mit (−1)l1 −1 als resultierenden Vorzeichen. Also verschwinden alle αl1 ,...,lk bis auf αi1 ,...,ik = (−1)ik −k · · · · · (−1)i1 −1 = (−1)( 306

Pk

j=1 ij )−k(k+1)/2

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.

41. Differentialformen auf Riemann MF

41.5

Wir wollen nun zeigen, daß ∗ bis auf ein Vorzeichen zu sich selbst invers ist. Sei Vk ω = e i1 ∧ · · · ∧ e ik ∈ E gegeben. Dann ist ∗ω = (−1)(

Pk

j=1 ij )−k(k+1)/2

− − − − − − − − − − − − e1 ∧ · · · ∧ pei1q ∧ · · · ∧ peikq ∧ · · · ∧ em

und − − − − − ∗∗ω = (−1)1+···+pi1q+···+pikq+···+m−(m−k)(m−k+1)/2 (−1)i1 +···+ik −k(k+1)/2 ei1 ∧· · ·∧eik Die Berechnung des Vorzeichen ergibt: (−1)k(m−k) , d.h. ∗ ◦ ∗ = (−1)k(m−k) : Vk V m−k Vk E → E → E. Dieses Vorzeichen ist genau dann −1 (und sonst +1), wenn m gerade und k ungerade ist. Der Hodge-Stern Operator ist eine Isometrie, wie man entweder durch die Wirkung auf einer orthonormal-Basis sofort sieht, oder wie aus h∗α, ∗βi · volM = ∗α ∧ ∗ ∗ β = (−1)k(m−k) ∗ α ∧ β = β ∧ ∗α = hβ, αi volM folgt. Umgekehrt h¨ atten wir auch die Isometrie-Eigenschaft von ∗ verwenden k¨onnen um mit dieser Rechnung ∗ ◦ ∗ = (−1)k(m−k) zu zeigen. F¨ ur eine orientierte Riemann-Mannigfaltigkeit (M, g) der Dimension m definieren wir den Hodge-Sternoperator ∗ : Ωk (M ) → Ωm−k (M ) durch (∗ω)(x) := ∗(ω(x)).

41.5 Spezialf¨ alle (k = 0) ∗ / Ωm (M ) Ω0 (M )L ∼ = LLLLL r8 r ∼ LLLLLL = rrr LLLLLL rr LL rrr ( )·volM C ∞ (M, R)

Sei f ∈ C ∞ (M, R), dann ist g ∧ ∗f = hg, f iC ∞ (M,R) · volM . W¨ahlen wir g := 1, so gilt: ∗f = 1 ∧ ∗f = f · volM f¨ ur ∗ : C ∞ (M, R) = Ω1 (M ) → Ωm (M ) und wegen ∗ ◦ ∗ = id, ist ∗(f · volM ) = f f¨ ur ∗ : Ωm (M ) → Ω0 (M ) = C ∞ (M, R). (k = 1) ∗ / Ωm−1 (M ) Ω1 (M ) ∼ = dII 9 II ∼ sss s I= s II ss∼ II ] sss = X(M ) P P P i ∂ ωi dui ∈ Ω1 (M ), wobei ωi = j gi,j ξ i und Sei ξ = ξ ∂ui ∈ X(M ) 7→ ω = √ volM = G du1 ∧ · · · ∧ dum , dann gilt f¨ ur ηi := m − − − − − − −q X z }| { 1 p− ∗ω = η1,...,ˆi,...,m du ∧ . . . ∧ dui ∧ . . . ∧ dum i=1

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307

42.1

41. Differentialformen auf Riemann MF − − − − − − −q p− ηi (−1)i−1 du1 ∧ . . . ∧ dum = ηi dui ∧ du1 ∧ . . . ∧ dui ∧ . . . ∧ dum E D X = dui ∧ (∗ω) = dui , ωj duj · volM X = ωj hdui , duj iΩ1 (M ) · volM | {z } j =

X

ωj g

√ i,j

g i,j

G du1 ∧ · · · ∧ dum ,

j

* i

j

i

j

da hdu , du i = h[(du ), [(du )i =

X k

=

X k,l

g

i,k

∂ X j,l ∂ , g ∂uk ∂ul

+

l

 X ∂ ∂ i,k j,l , g g = g i,k δkj = g i,j , ∂uk ∂ul k | {z } 

gk,l

wobei (g i,k ) die inverse Matrix zu (gi,k ) ist. Mit dieser Behauptung folgt: X √ ηi = (−1)i−1 ωj g i,j G und somit j

∗ω =

X

− − − − − − −q p− ηi du1 ∧ . . . ∧ dui ∧ . . . ∧ dum

i

− − − − − − −q X √ X i,j p− = (−1)i−1 G g ωj du1 ∧ . . . ∧ dui ∧ . . . ∧ dum i

j

| =

{z ξi

}

− − − − − − −q √ X p− G (−1)i−1 ξ i du1 ∧ . . . ∧ dui ∧ . . . ∧ dum . i

Also gilt ∗ ◦] : X(M ) 3

∂ 7→ ∂ui − − − − − − −q √ X p− 7→ G (−1)i−1 ξ i du1 ∧ . . . ∧ dui ∧ . . . ∧ dum ∈ Ωm−1 (M ).

X

ξi

i

42. Graduierte Derivationen 42.1 Lemma (Algebra der Differentialformen). L k uglich dem Es ist Ω(M ) := k Ω (M ) eine graduiert kommutative Algebra bez¨ punktweisen Hackprodukt (siehe auch 38.4 ) (α ∧ β)x (ξ1 , . . . , ξk+i ) = 1 X = sgn π · αx (ξπ(1) , . . . , ξπ(k) ) · βx (ξπ(k+1) , . . . , ξπ(k+i) ), k!i! π f¨ ur α ∈ Ωk (M ), β ∈ Ωi (M ) und ξi ∈ Tx M . F¨ ur parakompakte Mannigfaltigkeiten M ist sie als Algebra durch {f, df : f ∈ C ∞ (M, R)} erzeugt. V L Vk ∗ Beweis. Da die Fasern VTx∗ M = Tx M graduiert kommutative Algebren k sind, ist auch Ω(M ) = Γ( T ∗ M ) eine graduiert kommutative Algebra. Lokal wird 308

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42.2

42. Graduierte Derivationen

P Ω(M ) durch {f, df : f ∈ C ∞ (M, R)} erzeugt, denn ω = i1 <...
f

k ^

∗

 /N

eine Abbildung ∗

f :=

k ^

Tf

∗

k

: Ω (N ) := Γ

TN

k  ∗ ^ T M → M =: Ωk (M ) →N →Γ



definieren. Dabei heißt f ∗ (ω) die mit f zur¨ uckgezogene Form zu ω. k ^  (f ∗ ω)p (ξ1 ∧ · · · ∧ ξk ) := ωf (p) ( T f )(ξ1 ∧ · · · ∧ ξk ) ∗ V k ∼ Tx M oder unter Verwendung des Isomorphismuses = LkAlt (Tx M ; R) auch als (f ∗ ω)p (ξ1 , . . . , ξk ) := ωf (p) (Tp f · ξ1 |p , . . . , Tp f · ξk |p ). Insbesonders ist

f ∗ (dg)p (ξp ) = (dg)f (p) (Tp f · ξp ) = pr2 ·Tf (p) g · Tp f · ξp = pr2 ·Tp (g ◦ f ) · ξp = d(g ◦ f )p · ξp Das so definierte f ∗ : Ω(N ) → Ω(M ) ist ein Algebrahomomorphismus, wie man Vk Vk ∗ leicht nachrechnet. Mittels des Ismomorphismuses ( T M )∗ ∼ (T M ) kann = man f ∗ f¨ ur ω1 , . . . , ωk ∈ Ω1 (M ) auch durch f ∗ (ω1 ∧· · ·∧ωk ) := f ∗ (ω1 )∧· · ·∧f ∗ (ωk ) definieren, wobei f ∗ (ωk ) die in 31.12 definierte zur¨ uckgezogene 1-Form ist. Weiters gilt: f ∗ (g) = g ◦ f und f ∗ (dg) = d(g ◦ f ) f¨ ur g ∈ C ∞ (N, R) (f1 ◦ f2 )∗ = f2 ∗ ◦ f1 ∗ f¨ ur zusammensetzbare Abbildungen f1 und f2 c 15. Dezember 2008 [email protected]

309

42.3

42. Graduierte Derivationen

j n Seien (ui )m i=1 lokale Koordinaten auf M und (v )j=1 lokale Koordinaten auf N . k Dann l¨ aßt sich ω ∈ Ω (N ) lokal als X ω= ωj1 ,...,jk dv j1 ∧ . . . ∧ dv jk j1 <...<jk

schreiben. Die zur¨ uckgezogene Form muß eine lokale Darstellung der Form X f ∗ (ω) = ηi1 ,...,ik dui1 ∧ . . . ∧ duik i1 <...
besitzen. Wir berechnen nun die lokalen Koeffizienten ηi1 ,...,ik von f ∗ (ω):
ηi1 ,...,ik (x) = f ∗ (ω)x ∂u∂i1 , . . . , ∂u∂ik k ^

 Tx f ( ∂u∂i1 ∧ · · · ∧ ∂u∂ik )  X   ∂(v js ◦ f )  38.6 ∂ ∂ = ==== = ωf (x) det ∧ · · · ∧ j1 ∂v jk ∂uit t,s ∂v j1 <···<jk    ∂(v js ◦ f )  X ∂ ∂ ωf (x) ∂vj1 , . . . , ∂vjk = det ∂uit t,s j <···<j = ωf (x)

1

=

k

X j1 <···<jk

 ∂(v js ◦ f )  ωj1 ,...,jk (f (x)). det ∂uit t,s

Wir k¨ onnen dies auch durch die Multiplikativit¨at von f ∗ wie folgt erhalten: 1

f ∗ (dv j1 ∧ · · · ∧ dv jk ) = d(v j ◦ f ) ∧ · · · ∧ d(v jk ◦ f )  X  X ∂(v jk ◦ f ) ik ∂(v j1 ◦ f ) i1 du ∧ ··· ∧ du = ∂ui1 ∂uik ik i1  ∂(v js ◦ f )  X · dui1 ∧ · · · ∧ duik . = det it ∂u t,s i <···
k

Also ist f ∗ (ω) =

X

X

,...,jk ω(j1 ,...,jk ) ρji11,...,i dui1 ∧ · · · ∧ duik k

i1 <···
 Wobei

,...,jk ρji11,...,i := det k

mit



j1

jk

∂(v , . . . , v ) ∂(ui1 , . . . , uik )



∂v j1 ∂ui1

 . = det   ..

∂v jk ∂ui1

... .. . ...

∂v j1 ∂uik



..   . 

∂v jk ∂uik

∂v j ∂ := (v j ◦ f ), i ∂u ∂ui

In 29.1 haben wir die kommutative Algebra A := C ∞ (M, R) betrachtet. Den Raum Der(A) ihrer Derivationen konnten wir mit dem Raum X(M ) der Vektorfelder auf M identifizieren. Wir haben auf Der(A) die Struktur einer Lie-Algebra gefunden. Wir wollen ¨ ahnliche Ideen nun auf die graduiert kommutative Algebra A = Ω(M ) der Differentialformen auf M anwenden. 42.3 Definition (graduierte Derivation) Eine Abbildung D : Ω(M ) → Ω(M ) heißt graduierte Derivation vom Grad d, falls D linear ist, f¨ ur alle k den Summanden Ωk (M ) in Ωd+k (M ) abbildet und 310

c 15. Dezember 2008 [email protected]

42.5

42. Graduierte Derivationen

falls f¨ ur alle ω ∈ Ωk (M ) und η ∈ Ω(M ) die Produktregel D(ω ∧ η) = D(ω) ∧ η + dk (−1) ω ∧ Dη gilt. Mit Derd (Ω(M )) bezeichnen wir den Vektorraum aller graduierten Derivationen L von Ω(M ) vom Grad d, und mit Der(Ω(M )) bezeichnen wir die direkte Summe d∈Z Derd (Ω(M )). Allgemeiner heißt f¨ ur eine glatte Abbildung g : N → M eine Abbildung D : ¨ ber g ∗ , falls D linear ist, f¨ Ω(M ) → Ω(N ) graduierte Derivation u ur alle k den k d+k Summanden Ω (M ) in Ω (N ) abbildet und falls die Produktregel D(ω ∧ η) = D(ω) ∧ g ∗ (η) + (−1)d k g ∗ (ω) ∧ Dη f¨ ur alle ω ∈ Ωk (M ) und η ∈ Ω(M ) gilt. 42.4 Lemma (Eindeutigkeit graduierter Derivationen). Es sei g : N → M C ∞ . Jede graduierte Derivation D : Ω(M ) → Ω(N ) u ¨ber dem Algebra-Homomorphismus g ∗ : Ω(M ) → Ω(N ) ist eindeutig durch die Werte D(f ) und D(df ) f¨ ur alle f ∈ C ∞ (M, R) festgelegt. Beweis. Da f und df die Algebra Ω(M ) erzeugen folgt dies sofort aus 42.1 . Wollen wir aber die dort verwendete Dimensionstheorie nicht hineinstecken so k¨onnen wir dies auch wie folgt zeigen: H¨atten wir zwei solche Derivationen, so betrachten wir die Differenz D. Wir m¨ ussen zeigen: ∀ f : D(f ) = 0, D(df ) = 0 ⇒ D = 0. Wir behaupten zuerst, daß die Derivation D ein lokaler Operator ist. Sei n¨amlich ω ∈ Ω(M ) lokal um g(x) gleich 0. Dann w¨ahlen wir ein f ∈ C ∞ (M, R) mit f (g(x)) = 1 und f ω = 0, und erhalten 0 = D(0) = D(f ω) = D(f ) ∧g ∗ (ω) + g ∗ (f ) · D(ω) | {z } =0

Und an der Stelle x ∈ N gilt 0 = f (g(x)) ·D(ω)(x) = D(ω)(x). Da D ein lokaler und | {z } =1

linearer Operator ist, d¨ urfen wir ihn durch eine lokale Darstellung durchtauschen:  X  D(ω) = D ωi1 ,...,ip dui1 ∧ · · · ∧ duip i1 <···
= i1

X  D(ωi1 ,...,ip ) ∧g ∗ (dui1 ∧ · · · ∧ duip ) | {z } <···
+

p X k=1

=0

∗

∗

i1

ik

ip

g (ωi1 ,...,ip ) g (du ) ∧ · · · ∧ D(du ) ∧ · · · ∧ du | {z }

 = 0.

=0

42.5 Bemerkung. Es folgt aus 42.4 , daß Derd (Ω(M )) = {0} f¨ ur d < −1. Denn D(Ωk (M )) ⊆ Ωk+d (M ) = {0} f¨ ur k + d < 0 und insbesonders f¨ ur k ∈ {0, 1} und d < −1. Wir wollen als n¨ achstes Der−1 (Ω(M )) bestimmen. Sei also D : Ω(M ) → Ω(M ) eine graduierte Derivation vom Grad d = −1. Dann ist D(C ∞ (M, R)) = {0} und die lineare Abbildung D ◦ d : C ∞ (M, R) → Ω1 (M ) → Ω0 (M ) = C ∞ (M, R) erf¨ ullt (D ◦ d)(f · g) = D(g · df + f · dg) = D(g) ∧ df + (−1)0·d g · D(df ) + D(f ) ∧ dg + (−1)0·d f · D(dg) = (D ◦ d)f · g + f · (D ◦ d)g, wegen D(g) = 0 = D(f ). Also ist D ◦ d auf C ∞ (M, R) eine Derivation und somit durch ein Vektorfeld ξ gegeben, d.h. D(f ) = 0 und D(df ) = ξ(f ) = df (ξ) f¨ ur alle f ∈ C ∞ (M, R). Wir werden in c 15. Dezember 2008 [email protected]

311

42.5

42. Graduierte Derivationen

42.6 zeigen, daß wir durch (iξ ω)(ξ1 , . . . , ξk ) := ω(ξ, ξ1 , . . . , ξk ) zu jeden Vektorfeld ξ ∈ X(M ) eine graduierte Derivation iξ vom Grad d = −1 definieren k¨onnen. Nun zu Der0 (Ω(M )). Sei also D : Ω(M ) → Ω(M ) eine graduierte Derivation vom Grad d = 0. Dann wirkt D auf Ω0 (M ) = C ∞ (M, R) derivativ, ist also durch ein Vektorfeld ξ gegeben, d.h. d (Flξt )∗ f (siehe 29.10 ). D(f ) = ξ(f ) = Lξ (f ) = dt t=0 d Der letzte Ausdruck dt (Flξt )∗ ω macht aber auch f¨ ur ω ∈ Ω(M ) einen Sinn t=0

und wir werden in 42.6 zeigen, daß dadurch f¨ ur jedes Vektorfeld ξ ∈ X(M ) eine Derivation Lξ vom Grad d = 0 auf Ω(M ) definiert wird. Man kann zeigen, daß dies alle Derivationen vom Grad 0 sind, die zus¨atzlich D(df ) = d(Df ) erf¨ ullen. Um eine globale Formel f¨ ur Lξ zu erhalten, differenzieren wir die Funktion ω(ξ1 , . . . , ξk ) (f¨ ur ω ∈ Ωk (M ) und ξi ∈ X(M )) in Richtung von ξ an der Stelle x ∈ M und erhalten: ∂ (ω(ξ1 , . . . , ξk ) ◦ Flξt )x (ξ · ω(ξ1 , . . . , ξk ))x = ∂t t=0 ∂ = ω ξ (ξ1 , . . . , ξk ) ∂t t=0 Flt (x) ∂ = ω ξ (T Flξt ·T Flξ−t ·ξ1 , . . . , T Flξt ·T Flξ−t ·ξk ) ∂t t=0 Flt (x) 
 ∂ = ((Flξt )∗ ω)x T Flξ−t ·ξ1 |Flξ (x) , . . . , T Flξ−t ·ξk |Flξ (x) t t ∂t t=0  
∂ = ((Flξt )∗ ω)x (Flξt )∗ (ξ1 )(x), . . . , (Flξt )∗ (ξk )(x) ∂t t=0 ∂ 
= ((Flξt )∗ ω)x ξ1 (x), . . . , ξk (x) ∂t t=0 k     X ∂ (Flξt )∗ (ξi )(x) , . . . , ξk (x) + ωx ξ1 (x), . . . , ∂t t=0 j=1 = (Lξ ω)x (ξ1 (x), . . . , ξk (x)) +

k X

  ωx ξ1 (x), . . . , [ξ, ξi ](x), . . . , ξk (x) ,

i=1

und somit Lξ ω(ξ1 , . . . , ξk ) = ξ · ω(ξ1 , . . . , ξk ) −

k   X ω ξ1 , . . . , ξi−1 , [ξ, ξi ], ξi+1 , . . . , ξk . i=1

Insbesonders ist (Lξ df )(η) = ξ(df (η)) − df ([ξ, η]) = ξ(η · f ) − [ξ, η] · f = η(ξ · f ) = d(ξ · f )(η) Schließlich wollen wir noch eine ausgezeichnete Derivation vom Grad d = 1 angeben. Nach 37.4 hoffen wir ja durch die Abweichung der Ableitung einer 1-Form (oder allgemeiner einer k-Form) davon symmetrisch zu sein, zu erkennen ob die Form selbst Ableitung einer Funktion (bzw. k − 1-Form) ist. Betrachten wir dazu zuerst den Fall, wo M = U offen in einen Vektorraum E ist. Dann ist eine k-Form auf U eine Abbildung ω : U → LkAlt (E; R) und ihre Ableitung ist ω 0 : U → L(E, LkAlt (E; R)). 312

c 15. Dezember 2008 [email protected]

42.6

42. Graduierte Derivationen Setzen wir diese mit dem Alternator von L(E, LkAlt (E; R)) ⊆ L(E, Lk (E; R)) ∼ = Lk+1 (E, R) −alt→ Lk+1 Alt (E, R)

zusammen, so erhalten wir die Abweichung dw davon, daß ω 0 (x) symmetrisch ist f¨ ur alle x ∈ U . Es ist also X 1 sgn(σ) ω 0 (x)(ξσ(0) )(ξσ(1) , . . . , ξσ(k) ) dω(x)(ξ0 , . . . , ξk ) = (k + 1)! σ =

k − − 1 X (−1)i ω 0 (x)(ξi )(ξ0 , . . . , pξqi , . . . , ξk ). k + 1 i=0

Um nun eine globale Formel f¨ ur d auf beliebige Mannigfaltigkeiten M zu erhalten ersetzen wir die Vektoren ξi ∈ E durch Vektorfelder ξi ∈ X(M ) und Differenzieren − − ω(ξ0 , . . . , pξqi , . . . , ξk ) an der Stelle x ∈ M in Richtung ξi (x) und erhalten:  0 − − − − − − − − − − − − − − − − ω(ξ0 , . . . , pξqi , . . . , ξk ) (x)(ξi (x)) = ω 0 (x)(ξi (x))(ξ0 (x), . . . , pξi (x)q, . . . , ξk (x)) +

X

+

X

− − − − − − − − − − − − − − ω(x)(. . . , ξj0 (x) · ξi (x), . . . , pξi (x)q, . . . )

j
− − − − − − − − − − − − − − ω(x)(. . . , pξi (x)q, . . . , ξj0 (x) · ξi (x), . . . )

j>i

Und Einsetzen in obige Formel liefert (k + 1)dω(x)(ξ0 , . . . , ξk ) =

k X

− − − − − − − − − − − − − − (−1)i ω 0 (x)(ξi (x))(ξ0 (x), . . . , pξi (x)q, . . . , ξk (x))

i=0

=

k X

− − (−1)i (ξi · ω(ξ0 , . . . , pξqi , . . . , ξk ))(x)

i=0

−

X

−

X

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − (−1)i+j ω(x)(ξj0 (x) · ξi (x), ξ0 (x), . . . , pξj (x)q, . . . , pξi (x)q, . . . )

j
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − (−1)i+j−1 ω(x)(ξj0 (x) · ξi (x), ξ0 (x), . . . , pξi (x)q, . . . , pξj (x)q, . . . )

j>i

=

X k

− − (−1)i ξi · ω(ξ0 , . . . , pξqi , . . . , ξk )

i=0

+

X

(−1)

i+j

 − −q − − −q p p ω([ξi , ξj ], ξ0 , . . . , ξi , . . . , ξj , . . . , ξ(k)) (x).

i<j

Wegen des l¨ astigen Faktors (k + 1) ersetzen wir dw besser durch (k + 1) dω. 42.6 Lemma (Lie-Algebra der graduierten Derivationen). Der Raum Der(Ω(M )) ist eine graduierte Lie-Algebra bez¨ uglich der punktweisen Vektoroperationen und dem graduierten Kommutator als Lie-Klammer: [D1 , D2 ] := D1 ◦ D2 − (−1)d1 d2 D2 ◦ D1 f¨ ur Di ∈ Derdi (Ω(M )) Im Detail bedeutet das: 1. Die Klammer [·, ·] : Derd1 (Ω(M )) × Derd2 (Ω(M )) → Derd1 +d2 (Ω(M )) ist bilinear f¨ ur alle d1 , d2 . 2. Sie ist graduiert antikommutativ: [D1 , D2 ] + (−1)d1 d2 [D2 , D1 ] = 0. c 15. Dezember 2008 [email protected]

313

42.7

42. Graduierte Derivationen 3. [D0 , ·] ist eine graduierte Derivation bez¨ uglich [·, ·], d.h. es gilt die graduierte Jacobi-Identit¨ at [D0 , [D1 , D2 ]] = [[D0 , D1 ], D2 ] + (−1)d0 d1 [D1 , [D0 , D2 ]], oder ¨ aquivalent und zyklisch symmetrisch

(−1)d0 d2 [D0 , [D1 , D2 ]] + (−1)d1 d0 [D1 , [D2 , D0 ]] + (−1)d2 d1 [D2 , [D0 , D1 ]] = 0. Beweis. Wir f¨ uhren den Beweis abstrakt f¨ ur eine beliebige graduiert-kommutative Algebra A anstelle von Ω(M ). Behauptung: [D1 , D2 ] ∈ Derd1 +d2 (A) f¨ ur Di ∈ Derdi (A) f¨ ur i = 1, 2.   [D1 , D2 ](X · Y ) = D1 ◦ D2 − (−1)d1 d2 D2 ◦ D1 (X · Y )   = D1 D2 X · Y + (−1)xd2 X · D2 Y   − (−1)d1 d2 D2 D1 X · Y + (−1)xd1 X · D1 Y = D1 D2 X · Y + (−1)d1 (d2 +x) D2 X · D1 Y + (−1)xd2 D1 X · D2 Y + (−1)xd2 +xd1 X · D1 D2 Y − (−1)d1 d2 D2 D1 X · Y − (−1)d1 d2 +(d1 +x)d2 D1 X · D2 Y − (−1)d1 d2 +xd1 D2 X · D1 Y − (−1)d1 d2 +d1 x+d2 x X · D2 D1 Y = [D1 , D2 ]X · Y + (−1)x(d1 +d2 ) X · [D1 , D2 ]Y. Klarerweise ist [ , ] bilinear und graduiert antikommutativ. Verbleibt die graduierte Jacobi-Identit¨ at zu zeigen: [D0 ,[D1 , D2 ]] − [[D0 , D1 ], D2 ] − (−1)d0 d1 [D1 , [D0 , D2 ]] = = [D0 , D1 D2 − (−1)d1 d2 D2 D1 ] − [D0 D1 − (−1)d0 d1 D1 D0 , D2 ] − (−1)d0 d1 [D1 , D0 D2 − (−1)d0 d2 D2 D0 ] = +D0 D1 D2 − (−1)d1 d2 D0 D2 D1 − (−1)(d1 +d2 )d0 D1 D2 D0 + (−1)d1 d2 +d0 (d1 +d2 ) D2 D1 D0 − D0 D1 D2 + (−1)d0 d1 D1 D0 D2 + (−1)(d0 +d1 )d2 D2 D0 D1 − (−1)d0 d1 +(d0 +d1 )d2 D2 D1 D0 − (−1)d0 d1 D1 D0 D2 + (−1)d0 d1 +d0 d2 D1 D2 D0 + (−1)d0 d1 +(d0 +d2 )d1 D0 D2 D1 − (−1)d0 (d1 +d2 )+(d0 +d2 )d1 D2 D0 D1 = 0. 42.7 Theorem (Die wichtigsten graduierten Derivationen). Sei ξ ∈ X(M ). (iξ ) Durch iξ (f ) := 0, iξ (df ) := ξ · f ist eine graduierte Derivation iξ vom Grad −1, der Einsetzoperator festgelegt. (Lξ ) Durch Lξ (f ) := ξ · f , Lξ (df ) := d(ξ · f ) ist eine graduierte Derivation Lξ vom Grad 0, die Lie-Ableitung festgelegt. (d) Durch d(f ) := df , d(df ) := 0 ist eine graduierte Derivation d vom Grad +1, ¨ ußere Ableitung, festgelegt. die a 314

c 15. Dezember 2008 [email protected]

42.7

42. Graduierte Derivationen

Globale Formeln f¨ ur diese graduierten Derivationen sind mit ω ∈ Ωk (M ) und ξi ∈ X(M ) gegeben durch: (ιξ0 ω)(ξ1 , . . . , ξk−1 ) := ω(ξ0 , ξ1 , . . . , ξk−1 ) (Lξ0 ω)(ξ1 , . . . , ξk ) := ξ0 · ω(ξ1 , . . . , ξk ) −

k   X ω ξ1 , . . . , ξi−1 , [ξ0 , ξi ], ξi+1 , . . . , ξk i=1

(dω)(ξ0 , . . . , ξk ) :=

k X − − (−1)i ξi · ω(ξ0 , . . . , pξqi , . . . , ξk ) i=0

+

X

  − − − − − (−1)i+j ω [ξi , ξj ], ξ0 , . . . , pξqi , . . . , pξjq, . . . , ξk .

i<j

Die graduierten Kommutatoren sind durch folgende Tabelle gegeben: [D1 , D2 ]

iη

iξ Lξ d

0

Lη −ι[ξ,η] L[ξ,η] 0

ι[ξ,η] Lη

d −Lξ 0 0

Falls η ∈ X(N ) verwandt mit ξ ∈ X(M ) bez¨ uglich einem glatten g : M → N ist, d.h. T g ◦ ξ = η ◦ g erf¨ ullt ist, so gilt: g ∗ ◦ iη = iξ ◦ g ∗ ,

g ∗ ◦ L η = Lξ ◦ g ∗ ,

g∗ ◦ d = d ◦ g∗

Weiters gilt: ιf ξ ω = f iξ ω, Lf ξ ω = f Lξ ω +df ∧iξ ω und (Lξ ω)(x) =

ξ ∗ d dt |t=0 (Flt ) ω|x

Beweis. Wir f¨ uhren den Beweis in 15 Schritten: Behauptung. iξ ω ∈ Ωk−1 (M ): Offensichtlich ist iξ ω alternierend und k + 1-linear und es gilt iξ ω(f ξ1 , . . . , ξk−1 ) = ω(ξ, f ξ1 , . . . , ξk−1 ) = f ω(ξ, ξ1 , . . . , ξk−1 ) = f iξ ω(ξ1 , . . . , ξk−1 ).

Behauptung. dω ∈ Ωk+1 (M ): Offensichtlich ist dω ist (k+1)-linear und alternierend. Die C ∞ (M, R)-Homogenit¨at ergibt sich wie folgt: dω(f ξ0 , . . . , ξk ) = (f ξ0 ) · ω(ξ1 , . . . , ξk ) X − − + (−1)i ξi · f ω(ξ0 , . . . , pξqi , . . . , ξk ) i>0

+

X

− − − − − − (−1)j ω([f ξ0 , ξj ], pξ0q, . . . , pξjq, . . . , ξk )

j>i=0

+

X

− − − − − (−1)i+j ω([ξi , ξj ], f ξ0 , . . . , pξqi , . . . , pξjq, . . . , ξk )

j>i>0 c 15. Dezember 2008 [email protected]

315

42.7

42. Graduierte Derivationen = (f ξ0 )ω(ξ1 , . . . , ξk ) X − − + (−1)i ξi (f ) ω(ξ0 , . . . , pξqi , . . . , ξk ) i>0

X − − + (−1)i f (ξi · ω(ξ0 , . . . , pξqi , . . . , ξk )) i>0

X

+

− − − − − − (−1)j ω(f [ξ0 , ξj ] − ξj (f )ξ0 , pξ0q, . . . , pξjq, . . . , ξk )

j>i=0

X

+f

− − − − − (−1)i+j ω([ξi , ξj ], ξ0 , . . . , pξqi , . . . , pξjq, . . . , ξk )

j>i>0

= f dω(ξ0 , . . . , ξk ) X − − + (−1)i ξi (f ) ω(ξ0 , . . . , pξqi , . . . , ξk ) i>0

X

−

− − − − − − (−1)j ξj (f ) ω(ξ0 , pξ0q, . . . , pξjq, . . . , ξk )

j>i=0

= f dω(ξ0 , . . . , ξk ).

Behauptung. iξ ∈ Der−1 (Ω(M )). Sei dazu α ∈ Ωk+1 und β ∈ Ωl , dann ist:

ιξ0 (α ∧ β)(ξ1 , . . . , ξk+l ) = = (α ∧ β)(ξ0 , ξ1 , . . . , ξk+l ) X 1 sgn(π) α(ξπ(0) , . . . , ξπ(k) ) β(ξπ(k+1) , . . . , ξπ(k+l) ) = (k + 1)! l! π X = sgn(π) α(ξπ(0) , . . . , ξπ(k) ) β(ξπ(k+1) , . . . , ξπ(k+l) ) π stkw.%

=

X

sgn(π) α(ξπ(0) , . . . , ξπ(k) ) β(ξπ(k+1) , . . . , ξπ(k+l) )

π(0)=0

+

X

sgn(π) α(ξπ(0) , . . . , ξπ(k) ) β(ξπ(k+1) , . . . , ξπ(k+l) )

π(k+1)=0

  = (ιξ0 α) ∧ β (ξ1 , . . . , ξk+l ) X + (−1)k+1 sgn(π 0 ) α(ξπ0 (1) , . . . , ξπ0 (k+1) ) β(ξ0 , ξπ0 (k+2) , . . . , ξπ0 (k+l) ) π 0 stkw.%



 = (ιξ0 α) ∧ β + (−1)k+1 α ∧ (ιξ0 β) (ξ1 , . . . , ξk+l ).

Dabei ist π 0 := π ◦ (k + 1, k, . . . , 1, 0) jene Permutation, die 0 auf 0 abbildet, auf i + 1 ≤ k + 1 mit π(i) u ¨bereinstimmt, und auf i > k + 1 mit π ident ist. 316

c 15. Dezember 2008 [email protected]

42.7

42. Graduierte Derivationen Behauptung. d(f ω) = df ∧ ω + f · dω d(f ω)(ξ0 , . . . , ξk ) = X − − = (−1)i ξi · (f ω)(ξ0 , . . . , pξqi , . . . ξk ) i

+

X − − − − − (−1)i+j f ω([ξi , ξj ], ξ1 , . . . , pξqi , . . . , pξjq, . . . , ξk ) j>i

=

X

− − (−1)i ξi (f ) ω(ξ0 , . . . , pξqi , . . . , ξk )

i

+

X − − (−1)i f ξi · ω(ξ0 , . . . , pξqi , . . . , ξk ) i

X − − − − − + (−1)i+j f ω([ξi , ξj ], ξ1 , . . . , pξqi , . . . , pξjq, . . . , ξk ) j>i

=

X

− − (−1)i df (ξi ) ω(ξ0 , . . . , pξqi , . . . , ξk ) + f dω(ξ0 , . . . ., ξk )

i

= (df ∧ ω + f ∧ dω)(ξ0 , . . . , ξk ).

Behauptung. d ist ein lokaler Operator Sei dazu ω|U = 0 und x ∈ U . Dann existiert ein f ∈ C ∞ (M, R) mit Trg f ⊆ U , f (x) = 1 und df (x) = 0. Folglich ist f ω = 0 und damit 0 = d(f ω)(x) = df (x) ∧ ω(x) + f (x) · dω(x) = dω(x). Behauptung. d und iξ erf¨ ullen die “Anfangsbedingungen”. Das folgt sofort durch Einsetzen in die globalen Formeln, z.B.:

df (ξ0 ) =

0 X

X − − − ξ0 · f (pξ0q) + = ξ0 (f )

i=0

∅

d(df )(ξ0 , ξ1 ) = ξ0 · df (ξ1 ) − ξ1 · df (ξ0 ) + (−1)0+1 df ([ξ0 , ξ1 ]) = ξ0 · ξ1 · f − ξ1 · ξ0 · f − [ξ0 , ξ1 ] · f = 0

Behauptung. d(duI ) = 0, wobei duI := dui1 ∧ · · · ∧ duik−1 f¨ ur I := (i1 , . . . ik−1 ). d(duI )( ∂u∂j1 , . . ., ∂u∂jk ) = =

k   − − − − − − − − − − −q X p− (−1)i ( ∂u∂ji )duI ∂u∂j1 , . . . , ∂u∂ji , . . . ∂u∂jk i=1

+

X

  − − − − − − − − − −q − − − − − − − − − − −q p− p− (−1)i+l duI [ ∂u∂ji , ∂u∂jl ], . . . , ∂u∂ji , . . . ∂u∂jl , . . .

l>i

⇒

i ∂ ∂ ∂ = 0, da [ ∂u i , ∂ul ] = 0 und du ( ∂uj ) konstant ist. X X X i I I d( ωI duI ) = dωI ∧ duI + ωI ∧ dduI = ( ∂ω ∂ui )du ∧ du I

I

i,I

c 15. Dezember 2008 [email protected]

317

42.7

42. Graduierte Derivationen

|I| Behauptung. d ∈ Der+1 P P(Ω(M )),J i.e. d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1) α ∧ dβ. mit I α = I αI du und β = J βJ du ). X d(α ∧ β) = d(αI βJ duI ∧ duJ ) I,J

=

X

∂(αI βJ ) ∂ui

dui ∧ duI ∧ duJ +

I,J,i

=

X

X

αI βJ d(duI ∧ duJ )

I,J ∂αI ∂ui

i

I

du ∧ du ∧

I,i

X

J

βJ du

J

+ (−1)|I|

X

αI duI ∧

X

∂βJ ∂ui

dui ∧ duJ + 0

J,i |I|

= dα ∧ β + (−1) α ∧ dβ. Behauptung. Es gelten die Formeln f¨ ur die Kommutatoren von Einsetzoperatoren beziehungsweise f¨ ur d. ugt es die “Anfangswerte” zu u ufen: Wegen 42.4 gen¨ ¨berpr¨ [iξ , iη ] = 0, da Derivation vom Grad -2 [d, d](f ) = (d ◦ d − (−1)(−1)·(−1) d ◦ d)(f ) = 2d(df ) = 0 [d, d](df ) = 2(d ◦ d)(df ) = 2d(d(df )) = 2d(0) = 0 Behauptung. Der Kommutator [d, iξ ] ist durch die globale Formel von Lξ gegeben, also ist Lξ ∈ Der0 (Ω(M )). ([d, ιξ0 ]ω)(ξ1 , . . . , ξk ) = = d(ιξ0 ω)(ξ1 , . . . , ξk ) − (−1)1·(−1) ιξ0 (dω)(ξ1 , . . . , ξk ) X − − = (−1)i−1 ξi · ιξ0 ω(ξ1 , . . . , pξqi , . . . , ξk ) i

+

X

− − − − − (−1)i−1+j−1 ιξ0 ω([ξi , ξj ], . . . , pξqi , . . . , pξjq, . . . , ξk )

0
+ dω(ξ0 , ξ1 , . . . , ξk ) X − − =− (−1)i ξi · ω(ξ0 , . . . , pξqi , . . . , ξk ) i>0

+

X

− − − − − (−1)i+j ω(ξ0 , [ξi , ξj ], . . . , pξqi , . . . , pξjq, . . . , ξk )

0
+

X

− − (−1)i ξi · ω(ξ0 , . . . , pξqi , . . . , ξk )

i≥0

+

X

− − − − − (−1)i+j ω([ξi , ξj ], ξ0 , . . . , pξqi , . . . , pξjq, . . . , ξk )

0≤i<j

= ξ0 · ω(ξ1 , . . . , ξk ) +

X

= ξ0 · ω(ξ1 , . . . , ξk ) −

X

− − − (−1)j ω([ξ0 , ξj ], ξ1 , . . . , pξjq, . . . , ξk )

j>0

ω(ξ1 , . . . , [ξ0 , ξj ], . . . , ξk )

j>0

= (Lξ0 ω)(ξ1 , . . . , ξk ). 318

c 15. Dezember 2008 [email protected]

42.7

42. Graduierte Derivationen Behauptung. Es gilt die “Anfangsbedingung” f¨ ur Lξ . Lξ = d ◦ iξ − (−1)(−1)(+1) iξ ◦ d

⇒

Lξ (f ) = d(iξ f ) + iξ (df ) = 0 + ξ · f Lξ (df ) = d(iξ df ) + iξ (d2 f ) = d(ξ · f ) + 0.

Behauptung. Es gelten die Formeln f¨ ur Kommutatoren mit Lξ . Wieder brauchen wir nur die Anfangswerte zu u ufen (oder wir verwenden die ¨berpr¨ Jacobi-Identit¨ at): [Lξ , iη ](f ) = 0 = ι[ξ,η] (f ), da der Grad −1 ist [Lξ , iη ](df ) = Lξ (η · f ) − iη (d(ξ · f )) = ξ · (η · f ) − η · (ξ · f ) = [ξ, η](f ) = ι[ξ,η] (df ) [Lξ , Lη ](f ) = ξ · η · f − η · ξ · f = [ξ, η](f ) = L[ξ,η] (f ) [Lξ , Lη ](df ) = Lξ (d(η · f )) − Lη (d(ξ · f )) = d(ξ · η · f − η · ξ · f ) = d([ξ, η] · f ) = L[ξ,η] (df ) [d, Lξ ](f ) = d(ξ · f ) − Lξ (df ) = 0 [d, Lξ ](df ) = d(d(ξ · f )) − Lξ (ddf ) = 0.

Behauptung. Es gelten die Vertauschbarkeitsrelationen mit g ∗ . (g ∗ ◦ ιη )(df ) = g ∗ (df (η)) = g ∗ (η(f )) = η(f ) ◦ g 29.3

==== = ξ(f ◦ g) = d(f ◦ g)(ξ) = iξ (g ∗ (df )) = (iξ ◦ g ∗ )(df ) = oder direkt (g ∗ ◦ iη )ωp (ξ1 , . . . , ξk ) = g ∗ (iη ω)(ξ1 , . . . , ξk ) = (iη ω)|g(p) (Tp g · ξ1 |p , . . . , Tp g · ξk |p ) = ω|g(p) (η|g(p) , Tp g · ξ1 |p , . . . , Tp g · ξk |p ) = ω|g(p) (Tp g · ξ|p , Tp g · ξ1 |p , . . . , Tp g · ξk |p ) = (g ∗ ω)p (ξ|p , ξ1 |p , . . . , ξk |p ) = (iξ (g ∗ ω))(ξ1 , . . . , ξk )p = (iξ ◦ g ∗ )ωp (ξ1 , . . . , ξk ); F¨ ur d haben wir das folgende bereits in 42.2 gezeigt: (g ∗ ◦ d)(f )(ξ|p ) = g ∗ (df )(ξ|p ) = df |g(p) (T g · ξ|p ) = d(f ◦ g)(ξ|p ) = d(g ∗ (f ))(ξ|p ) = (d ◦ g ∗ )(f )(ξ|p ) (g ∗ ◦ d)(df ) = g ∗ (ddf ) = g ∗ (0) = 0 = d2 (g ∗ f ) = d((d ◦ g ∗ )(f )) = d((g ∗ ◦ d)(f )) = (d ◦ g ∗ )(df ); c 15. Dezember 2008 [email protected]

319

42.8

42. Graduierte Derivationen

F¨ ur L folgt es nun durch Anwenden der Kommutatorformel: g ∗ ◦ Lη = g ∗ ◦ (d ◦ iη + iη ◦ d) = g ∗ ◦ d ◦ iη + g ∗ ◦ iη ◦ d = d ◦ g ∗ ◦ iη + iξ ◦ g ∗ ◦ d = d ◦ iξ ◦ g ∗ + iξ ◦ d ◦ g ∗ = (d ◦ iξ + iξ ◦ d) ◦ g ∗ = Lξ ◦ g ∗ . Behauptung. Es gelten die Homogenit¨atsformeln f¨ ur ιf ξ und Lf ξ . ιf ξ ω(ξ1 , . . . , ξk−1 ) = ω(f ξ, ξ1 , . . . , ξk−1 ) = f · ω(ξ, ξ1 , . . . , ξk−1 ) = f · iξ ω(ξ1 , . . . , ξk−1 ) Lf ξ ω = [d, ιf ξ ]ω = d(ιf ξ ω) + ιf ξ (dω) = d(f · iξ ω) + f · iξ (dω) = df ∧ iξ ω + f · d(iξ ω) + f · iξ (dω) = df ∧ iξ ω + f · Lξ ω. Behauptung. Lξ ist die Lie-Ableitung aus 29.9 . Beide Seiten definieren eine Derivation vom Grad 0, also gen¨ ugt es auf Funktionen und exakten 1-Formen auszutesten: ξ ∗ d dt |t=0 (Flt ) f ξ ∗ d dt |t=0 (F lt ) (dfp )(ηp )

ξ d dt |t=0 f ◦ Flt = ξf = Lξ f, ξ d dt |t=0 df (T Flt ·ηp )|(Flξt (p))

= = = =

ξ d d dt |t=0 (T Flt ·ηp )f = dt |t=0 ηp (f d ηp dt |t=0 (f ◦ Flξt ) = ηp (ξf )

◦ Flξt )

= Lξ (df )(ηp ). Das beendet den Beweis von 42.7 .

42.8 Die Fr¨ olicher-Nijenhuis und Nijenhuis-Richardson Klammer Wir wollen nun allgemeine graduierte Derivationen genauer beschreiben. Dazu nennen wir eine graduierte Derivation D ∈ Derk (Ω(M )) algebraisch, wenn sie auf den 0-Formen Ω0 (M ) = C ∞ (M, R) verschwindet. F¨ ur so eine Derivation gilt D(f ω) = D(f ) ∧ ω + (−1)0·k f · D(ω) = f · D(ω). Folglich ist D tensoriell, d.h. D(ω)x h¨angt nur von ωx ab. Nach 42.4 ist D eindeutig durch D|Ω1 (M ) : Ω1 (M ) → Ωk+1 (M ) bestimmt, und das ist eine faserweise lineare Abbildung in L(Tx∗ M,

k+1 ^

Tx∗ M ) ∼ = Tx M ⊗

k+1 ^

k+1 ^

Tx∗ M ∼ = Tx M ⊗ ( ∼ = L(

320

k+1 ^

Tx M )∗ ∼ =

Tx M, Tx M ) ∼ = Lk+1 alt (Tx M ; Tx M )

c 15. Dezember 2008 [email protected]

42. Graduierte Derivationen

43.1

welche glatt von x ∈ M abh¨ angt. Sei umgekehrt K ∈ Ωk+1 (M ; T M ) so eine vektorwertige k + 1-Form. Dann k¨onnen wir eine algebraische Derivation D := iK ∈ Derk (Ω(M )) durch folgende Formel definieren: (iK ω)(X1 , . . . , Xk+l ) := X 1 sign(σ) ω(K(Xσ(1) , . . . , Xσ(k+1) ), Xσ(k+2) , . . . , Xσ(k+l) ), = (k + 1)!(l − 1)! σ wobei ω ∈ Ωl (M ) und X1 , . . . , Xk+l ∈ X(M ). Die Abbildung i : Ω∗+1 (M, T M ) → Der∗ (Ω(M )) definiert einen linearen Isomorphismus auf eine Teil-Liealgebra, und macht somit Ω∗+1 (M, T M ) selbst zu einer graduierten Liealgebra (deren Klammer auch Nijenhuis-Richardson Klammer heißt). V Beweis. Da Tx∗ M nach 38.6 die freie graduiert kommutative Algebra u ¨ber dem Vk ∗ ∗ k+1 ∗ ∼ Vektorraum T M ist, k¨ o nnen wir K ∈ Ω (M ; T M ) Γ(L(T M, T M )) ⊆ = V x Γ(L(T ∗ M, T ∗ M )) = LC ∞ (M,R) (Ω1 (M ), Ω(M ) zu einer eindeutig bestimmten Derivation D : Ω(M ) → Ω(M ) ausdehnen. Die angegeben Formel ergibt sich durch Anwendung auf Hackprodukte von 1Formen. Und offensichtlich ist der graduierte Kommutator zweier algebraischer graduierter Derivationen selbst algebraisch, und somit gelten auch die u ¨brigen Aussagen. Wir definieren f¨ ur K ∈ Ωk (M ; T M ) eine graduierte Derivation LK := [iK , d]. Die Abbildung L : Ω(M ; T M ) → Der(Ω(M )) ist injektiv, da LK f = [iK , d]f = iK (df )± d(iK f ) = df ◦ K f¨ ur f ∈ C ∞ (M, R). Proposition. Jedes D ∈ Derk (Ω(M )) hat eine eindeutige Darstellung D = iL + LK mit L ∈ Ωk+1 (M ; T M ) und K ∈ Ωk (M ; T M ). Das Bild von L ist die Teil-Liealgebra aller D mit [D, d] = 0. Die Abbildung L induziert somit eine graduierte Liealgebra Struktur (die Fr¨ olicher-Nijenhuis Klammer) auf Ω∗ (M ; T M ). Beweis. F¨ ur Vektorfelder Xi ∈ X(M ) beschreibt f 7→ D(f )(X1 , . . . , Xk ) eine Derivation C ∞ (M, R) → C ∞ (M, R). Folglich gibt es ein eindeutiges Vektorfeld K(X1 , . . . , Xk ) ∈ X(M ) mit D(f )(X1 , . . . , Xk ) = K(X1 , . . . , Xk )(f ). Es ist K ∈ Ωk (M ; T M ). Die definierende Gleichung f¨ ur K ist D(f ) = df ◦ K = iK df = LK f f¨ ur f ∈ C ∞ (M, R). Also ist D−LK algebraisch, d.h. D = LK +iL f¨ ur ein eindeutiges L ∈ Ωk+1 (M ; T M ). Wir haben 0 = [iK , 0] = [iK , [d, d]] = [[iK , d], d] + (−1)k−1 [d, [iK , d]] = 2[LK , d] Somit ist 0 = [d, D] f¨ ur D = LK + iL genau dann, wenn 0 = [iL , d] = LL , i.e. L = 0. Es ist df ◦ [X, Y ] = L[X,Y ] f = [LX , LY ]f f¨ ur die Fr¨olicher-Nijenhuis-Klammer von X, Y ∈ Ω∗ (M, T M ).

43. Divergenz, Rotation und Laplace 43.1 Differentialformen am R3 F¨ ur offenes ⊆ Rm wissen wir, daß X(M ) ∼ = C ∞ (M, Rm ) ist verm¨oge der AbP M i ∂ i m i bildung f ( ∂xi ) ← (f )i=1 , wobei x die Standardkoordinaten sind. Ebenso ist Ωm (M ) ∼ oge ∗ : f · volM ← f , mit volM = dx1 ∧ · · · ∧ dxm . = C ∞ (M, R) verm¨ Schließlich sieht der Isomorphismus ∗ ◦ ] : X(M ) → Ω1 (M ) → Ωm−1 (M ) nach c 15. Dezember 2008 [email protected]

321

43.1

43. Divergenz, Rotation und Laplace

41.5 wie folgt aus: ∗]ξ = liefert das

√ P − − − − − − − − G i (−1)i−1 ξ i dui ∧ · · · ∧ pduqi ∧ · · · ∧ dm . F¨ ur m = 3

∗]ξ = ξ 1 du2 ∧ du3 − ξ 2 du1 ∧ du3 + ξ 3 du1 ∧ du2 = ξ 1 du2 ∧ du3 + ξ 2 du3 ∧ du1 + ξ 3 du1 ∧ du2 Zusammenfassend haben also folgende Isomorphismen: 1. 2. 3. 4.

Ω0 (M ) = C ∞ (M, R) Ω1 (M ) ∼ = C ∞ (M, R3 ) via der Basis dx1 , dx2 , dx3 2 Ω (M ) ∼ = C ∞ (M, R3 ) via der Basis dx2 ∧ dx3 , dx3 ∧ dx1 , dx1 ∧ dx2 3 Ω (M ) ∼ = C ∞ (M, R) via der Basis dx1 ∧ dx2 ∧ dx3

Wie sieht nun d bez¨ uglich dieser Basen aus? C ∞ (M, R)

grad

/ C ∞ (M, R3 )

rot

∼ =

Ω0 (M )

/ C ∞ (M, R)

div

∼ =

∼ =

 / Ω1 (M )

d

/ C ∞ (M, R3 )

d

f_

(f1 , f2 , f3 ) _

 f

P  i i fi dx

 / Ω2 (M )

 / Ω3 (M )

d

(f1 , f2 , f3 ) _

f_





f1 dx2 ∧dx3 +f2 dx3 ∧dx1 +f3 dx1 ∧dx2

f dx1 ∧dx2 ∧dx3

Der Operator d ist somit durch folgende Formeln gegeben: X ∂f i d : Ω0 (M ) 3f 7→ df = ∂xi dx d : Ω1 (M ) 3

X

fi dxi 7→

X

dfi ∧ dxi =

i

=

∂f3 ( ∂x 2

+

X

∂fi ∂xj

dxj ∧ dxi

i,j

∂f2 ∂f1 2 3 − ∂x 3 ) dx ∧ dx + ( ∂x3 ∂f2 ∂f1 1 2 ( ∂x 1 − ∂x2 ) dx ∧ dx

−

∂f3 ∂x1 )

dx3 ∧ dx1

d : Ω2 (M ) 3f1 dx2 ∧ dx3 + f2 dx3 ∧ dx1 + f3 dx1 ∧ dx2 7→  X ∂fi dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 7→ i ∂x Also stimmt er bis auf nat¨ urliche Isomorphismen u ¨berein mit:   ∂f ∂f ∂f grad f = , , ∂x1 ∂x2 ∂x3   ∂f3 ∂f2 ∂f1 ∂f3 ∂f2 ∂f1 rot(f1 , f2 , f3 ) = − , − , − ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂f1 ∂f2 ∂f3 div(f1 , f2 , f3 ) = + + . 1 2 ∂x ∂x ∂x3 Es folgen direkt aus d2 = 0 die bekannten S¨atze aus der Vektoranalysis: (rot ◦ grad)f = 0, 322

(div ◦ rot)(fi ) = 0

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43.2

43. Divergenz, Rotation und Laplace und ebenso folgt direkt aus dem Lemma von Poincar´e (siehe (6) in 44.5 ): rot(fi ) = 0 ⇒ ∃ f , sodaß lokal grad f = (fi ) gilt. div(fi ) = 0 ⇒ ∃ (gi ), sodaß lokal rot(gi ) = (fi ) gilt.

43.2 Divergenz auf orientierten Riemann-Mannigfaltigkeiten

F¨ ur eine orientierte Riemann-Mannigfaltigkeit M erhalten wir nach 41.5 mittels ] * ] und Hodge-Sternoperator ∗ einen Isomorphismus X −∼ → Ω1 −∼ → Ωm−1 . Dieser = = m−1 stimmt mit der Abbildung ξ 7→ iξ volM ∈ Ω u ussen wir ¨berein, denn dazu m¨ ω ∧ iξ volM = hω, ]ξi volM f¨ ur alle ω ∈ Ω1 beweisen, was wegen 0 = iξ (0) = iξ (ω ∧ volM ) = iξ ω · volM +(−1)1 ω ∧ iξ volM und hω, ]ξi = h[ω, ξi = ω(ξ) = iξ (ω) gilt. Lokal kann man das auch wie folgt berechnen:

iξ volM = ι„P

√

j

=

X

=

X

∂ ξ j ∂uj

ξj

√ Gι

j

ξj

j

√ =

G

«

G du1 ∧ · · · ∧ dum 

∂ ∂uj

du1 ∧ · · · ∧ dum





m √ X m ∂ (−1)k−1 du1 ∧ · · · ∧ duk ( ∂u G j ) ∧ · · · ∧ du {z } | k=1 δjk

− − − − − − − −q X p− (−1)j−1 ξ j du1 ∧ . . . ∧ duj ∧ . . . ∧ dum j

= ∗ω,

∧

wobei X(M ) 3 ξ = ω ∈ Ω1 (M ).

Die Divergenz div ξ eines Vektorfelds ξ wird dann durch 
 div ξ := ∗ d iξ volM = (∗ ◦ d ◦ ∗ ◦ ])(ξ) ∈ C ∞ (M, R) definiert. Also gilt:


 41.4 div ξ·volM = ∗(div ξ) = ∗∗ d iξ volM = ==== = d(iξ volM ) = (d◦iξ +iξ ◦d) volM = Lξ volM ,

¨ d.h. div ξ mißt die infinitesimale Anderung Lξ volM =

∂ ∂t



t=0

(Flξt )∗ (volM ) des

infinitesimalen Volumens volM unter dem Fluß Flξ des Vektorfelds ξ. Um auf eine c 15. Dezember 2008 [email protected]

323

43.3

43. Divergenz, Rotation und Laplace

explizite Formel der Divergenz zu kommen, rechnen wir lokal: ξ=

X

ξi

− − − − − − −q X ∂ ∗◦] d s.o. √ p− (−1)i−1 ξ i du1 ∧ . . . ∧ dui ∧ . . . ∧ dum → 7 7 → iξ volM = − == = G i ∂u i d

7→

X

− − − − − − −q √ p− (−1)i−1 d( Gξ i ) ∧ du1 ∧ . . . ∧ dui ∧ . . . ∧ dum + 0

i

√ m − − − − − − −q X X ∂( Gξ i ) k p− du ∧ du1 ∧ . . . ∧ dui ∧ . . . ∧ dum (−1)i−1 k ∂u i k=1 √ i X ∂( Gξ ) = (−1)i−1 (−1)i−1 du1 ∧ . . . ∧ dum i ∂u i ! √ X ∂( Gξ i ) * = du1 ∧ . . . ∧ dum 7→ i ∂u i √ X ∂( Gξ i ) 1 * 7→ √ ∂ui G i =

Damit erhalten wir:

√ 1 X ∂( Gξ i ) div ξ = √ . ∂ui G i

43.3 Laplace-Operator Wir betrachten nun den Laplaceoperator allgemein auf Riemann-Mannigfaltigkeiten. Die Abbildung d∗ definiert durch: Ωp

(−1)p d∗

∗ ∼ =

/ Ωp−1 O

∗ ∼ =

oder



d

d∗

Ωp

∼ = ∗



Ωm−p

/ Ωp−1

∼ = ∗



/ Ωm−p+1

/ Ωm−p+1

Ωm−p

(−1)pm+m+1 d

heißt Kodifferentialoperator. Man sollte beachten, daß sie keine graduierte Derivation ist. Das Vorzeichen ist so gew¨ahlt, daß d∗ formal adjungiert zu d wird, wie wir in 49.1 zeigen werden. Um die Gleichwertigkeit der beiden Diagramme zu zeigen rechnet man wie folgt: 41.4

∗ ◦ (−1)p d∗ = d ◦ ∗ ⇔ ∗ ◦ (−1)pm+m+1 d ◦ ∗ = ∗ ◦ (−1)pm+m+1 ∗ ◦(−1)p d∗ = ==== = = (−1)(pm+m+1)+p+(p−1)(m−p+1) d∗ = d∗ Die Abbildung ∆ := dd∗ + d∗ d : Ωp → Ωp heißt Laplace-Beltrami-Operator. Sei M offen im R3 , dann ist: Ω0

d

∗

 Ω3

C∞ 324

/ Ω1

d

∗

−d∗

grad

 / Ω2 /X

/ Ω2

d

∗

d∗

rot

 / Ω1 /X

/ Ω3 ∗

−d∗

div

 / Ω0 / C∞

c 15. Dezember 2008 [email protected]

44.1

43. Divergenz, Rotation und Laplace

Allgemein gilt f¨ ur Funktionen f ∈ C ∞ (M, R) die Formel ∆f = − div grad f , denn ∆f = d∗ df + 0 = (−1)1m+m+1 ∗ d ∗ df 43.2

43.2

= − ∗ d ∗ ] grad f = ==== = − ∗ d igrad f volM = ==== = − div(grad f ). Der hier definierte Laplace-Operator hat somit ein ungewohntes Vorzeichen, welches dazu dient, ihn zu einen positiven Operator zu machen, siehe 49.1 . 43.4 Satz von Frobenius, 2. Version. Es sei E ein Teilvektorb¨ undel von T M → M . Dann gilt: E ist integrabel ⇔ d(ΩE (M )) ⊆ ΩE (M ), wobei ΩE (M ) = {ω ∈ Ω(M ) : ω(ξ1 , . . . , ξk ) = 0, falls ∀ i : Bild ξi ⊆ E} Beweis. (⇒) Wir m¨ ussen zeigen, daß dω ∈ ΩE (M ) f¨ ur ω ∈ ΩE (M ) ist: dω(ξ0 , . . . , ξk ) =

k X − − (−1)i ξi ω(ξ0 , . . . , pξqi , . . . , ξk )+ i=0

+

X

− − − − − (−1)i+j ω([ξi , ξj ], . . . , pξqi , . . . , pξjq, . . . , ξk ) = 0,

j>i

da E integrabel ist, also f¨ ur Bild ξi ⊆ E auch [ξi , ξj ] ⊆ E ist. (⇐) Seien ξ, η ∈ X(M ) mit Bild ξ, Bild η ⊆ E. Zu zeigen ist: Bild[ξ, η] ⊆ E. Angenommen [ξ, η]p ∈ / Ep ⊆ Tp M . Sei ωp ∈ (Tp M )∗ so gew¨ahlt, daß ω(Ep ) = 0 und ωp ([ξ, η]) 6= 0. Lokal ist E = M ×Ep , dort ist ω lokal definiert. Durch Multiplikation von ω mit einer C ∞ -Funktion, deren Tr¨ager ganz im Definitionsbereich von ω liegt, wird ω zu einer global definierten 1-Form. dω ∈ Ω2E (M ) ⇒ 0 = dω(ξ, η) = ξ ω(η) − η ω(ξ) − ω([ξ, η]) = 0 − ω([ξ, η]) ⇒ ⇒ ω([ξ, η]) = 0, ein Widerspruch

44. Kohomologie 44.1 Definition der Kohomologie Es sei d : Ω(M ) → Ω(M ) die ¨ außere Ableitung. 1. Z k (M ) := {ω ∈ Ωk (M ) : dω = 0}, der Raum der geschlossenen Differentialformen (oder auch Kozykeln); 2. B k (M ) := {dω : ω ∈ Ωk−1 (M )}, der Raum der exakten Differentialformen (oder auch Kor¨ ander); 3. H k (M ) :=L Z k (M )/B k (M ), die k-te De-Rham Kohomologie von M ; 4. H(M ) := k H k (M ), die De-Rham Kohomologie von M ; 5. bk (M ) :=P dim H k (M ), die k-te Bettizahl; ´-Polynom; wohldefiniert, falls alle bk end6. fM (t) := k bk tk , das Poincare lich sind; P 7. χ(M ) := fM (−1) = (−1)k bk , die Euler-Charakteristik von M . c 15. Dezember 2008 [email protected]

325

44.3

44. Kohomologie

44.2 Definition (Kohomologie-Funktor) Sei g : M → N glatt und g ∗ : Ω(N ) → Ω(M ) so gilt g ∗ (dω) = d(g ∗ ω) nach 42.7 , somit existieren die Einschr¨ ankungen g ∗ : Z k (N ) → Z k (M ) und g ∗ : B k (N ) → k B (M ). Daher ist die Definition folgender linearen Abbildung sinnvoll: g ∗ : H(N ) → H(M ), g ∗ : [ω] 7→ [g ∗ ω]. 44.3 Satz (Kohomologie-Axiome). Die Kohomologie hat folgende Eigenschaften: 1. 2. 3. 4.

H 0 ({∗}) = R, H k ({∗}) = 0 f¨ ur k 6= 0 (Dimensionsaxiom). ∗ f, g : M → N glatt, f ∼ g ⇒ fQ = g ∗ (Homotopieaxiom). F k Sei M = α Mα ⇒ H (M ) = α H k (Mα ) (disjunkte Vereinigung). Sei M = U ∪ V mit U, V ⊆ M offen, dann existieren lineare Abbildungen δk , die die folgende lange Sequenz exakt machen: ∗ j ∗ −jV

∗ (i∗ U ,iV )

. . . →H k (M ) −

→ H k (U ) ⊕ H k (V ) − U

→ H k (U ∩ V ) −δk→

−δk→H k+1 (M ) → H k+1 (U ) ⊕ H k+1 (V ) → H k+1 (U ∩ V ) → . . . mit den Inklusionen iU : U ,→ U ∪ V , iV : V ,→ U ∪ V , jU : U ∩ V ,→ U und jV : U ∩ V ,→ V . Diese Sequenz heißt Mayer-Vietoris Sequenz und δ k heißt Einh¨ angungsoperator. f

Ein Folge linearer Abbildungen · · · −fk→ Ek − k+1→ · · · heißt exakt, falls Bild fk = Ker fk+1 f¨ ur alle k ist. Beweis. (1) Klar, da Ωk ({∗}) = {0} for k 6= 0 und Ω0 ({∗}) = C ∞ ({∗}, R) = R. (2) Sei H ∈ C ∞ (M ×R, N ) die (glatte) Homotopie von f nach g, d.h. H(0, x) = f (x) und H(1, x) = g(x) f¨ ur alle x ∈ M . F¨ ur ω ∈ Ωk (N ) ist H ∗ ω ∈ Ωk (M × R). Sei jt : M → M × R definiert durch jt (x) := (x, t). Dann ist H ◦ j0 = f und H ◦ j1 = g und somit g ∗ − f ∗ = (H ◦ j1 )∗ − (H ◦ j0 )∗ = (j1∗ − j0∗ ) ◦ H ∗ . F¨ ur ϕ ∈ Ωk (M × R) ist jt∗ ϕ ∈ Ωk (M ) und t 7→ jt∗ ϕ ist eine glatte Kurve in Ωk (M ) und somit Z 1 Z 1 d ∗ (j1∗ − j0∗ )ϕ = jt ϕdt = jt∗ Lξ ϕdt, dt 0 0 wobei ξ :=

∂ ∂t

∈ X(M × R) das Einheitsvektorfeld in R-Richtung bezeichnet, denn

jt1 +t2 = Flξt2 ◦jt1 f¨ ur t1 , t2 ∈ R ⇒ d ∗ d d ∗ ⇒ jt1 ϕ = (j ) ϕ = (Flξt2 ◦jt1 )∗ ϕ t +t dt1 dt2 t2 =0 1 2 dt2 t2 =0   d d ξ ∗ ∗ ∗ = j ◦ (Flt2 ) ϕ = jt1 (Flξt2 )∗ ϕ = jt∗1 Lξ ϕ. dt2 t2 =0 t1 dt2 t2 =0 Somit definieren wir Faserintegration I01 durch I01 : Ωk (M × R) → Ωk (M ), I01 (ϕ) :=

Z

1

jt∗ ϕdt.

0

326

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44.4

44. Kohomologie Es gilt (d ◦ I01 )(ϕ) = d

1

Z

Z  Z 1 jt∗ ϕdt = (d jt∗ ϕ)dt =

0

0

1

jt∗ dϕdt

0

= I01 dϕ = (I01 ◦ d)(ϕ); Z 1 jt∗ Lξ ϕdt = I01 Lξ ϕ = I01 (d ◦ iξ + iξ ◦ d)ϕ. (j1∗ − j0∗ )ϕ = 0

Wir definieren nun den Homotopie-Operator G : Ωk (N ) → Ωk−1 (M ) mit G := I01 ◦ iξ ◦ H ∗ , d.h.: / Ωk−1 (M ) O

G

Ωk (N )

I01

H∗

 Ωk (M × R)

iξ

/ Ωk−1 (M × R)

Dann ist g ∗ − f ∗ = (j1∗ − j0∗ ) ◦ H ∗ = I01 ◦ (d ◦ ιξ + ιξ ◦ d) ◦ H ∗ = (d ◦ I01 ◦ iξ + I01 ◦ iξ ◦ d) ◦ H ∗ = d ◦ (I01 ◦ iξ ◦ H ∗ ) + (I01 ◦ iξ ◦ H ∗ ) ◦ d = G ◦ d + d ◦ G. und somit ist g ∗ ω − f ∗ ω = Gdω + dGω = dGω exakt, falls dω = 0. Also ist g ∗ − f ∗ = 0 : H(N ) → H(M ). F Q (3) Klar, da Ωk ( α Mα ) = α Ωk (Mα ). (4) Wir zeigen zuerst, daß ∗ (i∗ U ,iV )

0 → Ωk (U ∪ V ) −

∗ j ∗ −jV

→ Ωk (U ) ⊕ Ωk (V ) − U

→ Ωk (U ∩ V ) → 0

exakt ist. Die Abbildung f := (i∗U , i∗V ) ist klarerweise injektiv mit Bild(i∗U , i∗V ) = Ker(jU∗ −jV∗ ). Die Abbildung g := (jU∗ − jV∗ ) ist surjektiv: Sei dazu {hU , hV } eine Zerlegung der ¨ Eins zur Uberdeckung {U, V } und ϕ ∈ Ω(U ∩ V ). Mit ϕU := hV ϕ ∈ Ω(U ) und ϕV := −hU ϕ ∈ Ω(V ) gilt: (jU∗ − jV∗ )(ϕU , ϕV ) = ϕU − ϕV = (hV + hU )ϕ = ϕ. Also ist die Sequenz exakt. Um daraus die lange exakte Sequenz in der Kohomologie zu erhalten k¨onnen wir das nachfolgende allgemeine Resultat verwenden. 44.4 Theorem. Es sei 0 → C 0 −f→ C −g→ C 00 → 0 eine kurze exakte Folge von Ketten-Abbildungen, d.h. C, C 0 und C 00 sind Kettenkomplexe (i.e. Z-graduierte Vektorr¨ aume mit Randoperatoren ∂ vom Grad 1, welche ∂ 2 = 0 erf¨ ullen) und die verbindenden linearen Abbildungen f und g sind vom Grad 0 und vertauschen mit den Randoperatoren. Dann erhalten wie eine lange exakte Folge in Homologie: Hq (f )

. . . −∂∗→ Hq (C 0 ) −

Hq (g)

→ Hq (C) −

Hq+1 (f )

→ Hq (C 00 ) −∂∗→ Hq+1 (C 0 ) −

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→ ... 327

44.4

44. Kohomologie

Beweis. Betrachte 0

/ Cq0 ∂

0

f

/ Cq ∂



0 / Cq+1

f

g

/0

/ Cq00 ∂



/ Cq+1

g

 00 / Cq+1

/0

Es sei ∂∗ [z 00 ] := [(f −1 ◦ ∂ ◦ g −1 )(z 00 )] f¨ ur z 00 ∈ C 00 mit ∂z 00 = 0. Wir zuerst zeigen, daß es m¨ oglich ist Elemente in den entsprechenden inversen Bildern zu w¨ ahlen und dann zeigen wir, daß die resultierende Klasse nicht von irgendeiner der Wahlen abh¨ angt. Sei dazu zq00 ∈ Cq00 ein Zykel, d.h. ∂zq00 = 0. Da g surjektiv ist finden wir ein xq ∈ Cq 0 mit gxq = zq00 . Da g∂xq = ∂gxq = ∂zq00 = 0, finden wir ein x0q+1 ∈ Cq+1 mit 0 0 −1 −1 00 0 0 f xq+1 = ∂xq . Und daher ist xq+1 ∈ f ∂g zq . Weiters ist f ∂xq+1 = ∂f xq+1 = ∂∂xq = 0. Da f injektiv ist erhalten wir ∂x0q+1 = 0 und daher k¨onnen wir die Klasse ∂zq00 := [x0q+1 ] bilden. xq

g

∂

x0q+1 ∂



∂x0q+1

f

/ zq00 ∂



/ xq+1

g

 /0

∂ f

 /0

zq00 ], d.h. ∃ x00q−1 : Nun die Unabh¨ angigkeit von allen Wahlen. Sei dazu [zq00 ] = [¯ 00 00 00 xq = x ¯00q . ahle xq , x ¯q ∈ Cq wie zuvor, so daß gxq = x00q und g¯ ∂xq−1 = zq − z¯q . W¨ 0 0 0 0 0 Ebenso wie zuvor w¨ ahlen wir xq+1 , x ¯q+1 ∈ Cq+1 mit f xq+1 = ∂xq und f x ¯q+1 = ∂ x ¯q . Wir haben zu zeigen, daß [x0q+1 ] = [¯ x0q+1 ]. Dazu w¨ahlen wir xq−1 ∈ Cq−1 mit gxq−1 = x00q−1 . Dann ist g∂xq−1 = ∂gxq−1 = ∂x00q−1 = zq00 − z¯q00 = g(xq − x ¯q ) und daher existiert ein x0q ∈ Cq mit f x0q = xq − x ¯q − ∂xq−1 . Weiters ist f ∂x0q = ∂f x0q = ∂(xq − x ¯q − ∂xq−1 ) = ∂xq − ∂ x ¯q − 0 = f (x0q+1 − x ¯0q+1 ). Da f injektiv ist, haben wir 0 0 0 0 0 xq+1 ]. xq+1 − x ¯q+1 = ∂xq , d.h. [xq+1 ] = [¯ Exaktheit bei Hq (C 0 ): (⊆) f∗ ∂∗ [z 00 ] = [f f −1 ∂g −1 z 00 ] = [∂g −1 z 00 ] = 0. (⊇) Es sei ∂z 0 = 0 und 0 = f∗ [z 0 ] = [f z 0 ], d.h. ∃ x: ∂x = f z 0 . Dann erf¨ ullt x00 := gx 00 0 00 −1 −1 sowohl ∂x = ∂gx = g∂x = gf z = 0 als auch ∂∗ [x ] = [f ∂g gx] = [f −1 ∂x] = [z 0 ]. Exaktheit bei Hq (C): (⊆) da g ◦ f = 0. (⊇) Es sei ∂z = 0 mit 0 = g∗ [z] = [gz], d.h. ∃ x00 : ∂x00 = gz. Dann ∃ x: gx = x00 . Daher ist gz = ∂x00 = ∂gx = g∂x ⇒ ∃ x0 : f x0 = z − ∂x ⇒ f ∂x0 = ∂f x0 = ∂(z − ∂x) = 0 ⇒ ∂x0 = 0 und f∗ [x0 ] = [f x0 ] = [z − ∂x] = [z]. Exaktheit bei Hq (C 00 ): (⊆) Wir haben ∂∗ g∗ [z] = [f −1 ∂g −1 gz] = [f −1 ∂z] = [f −1 0] = 0. (⊇) Es sei ∂z 00 = 0 und 0 = ∂∗ [z 00 ], d.h. ∃ x0 : ∂x0 = z 0 , wobei z 0 ∈ f −1 ∂g −1 z 00 , d.h. ∃ x: gx = z 00 und f z 0 = ∂x. Dann ist ∂(x − f x0 ) = f z 0 − f (∂x0 ) = 0 und g(x − f x0 ) = z 00 − 0, d.h. g∗ [x − f x0 ] = [z 00 ]. 328

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44.5

44. Kohomologie 44.5 Bemerkungen

1. Die De-Rham Kohomologie ist durch die Eigenschaften aus Satz 44.3 schon eindeutig bestimmt, siehe [100, Kap.5]. 2. F¨ ur die 0. Kohomologie gilt: H 0 (M ) = {f ∈ C ∞ (M, R) : df = 0} = {f ∈ C ∞ (M, R) : f ist lokal konstant} = R# , wobei # die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von M ist. 3. Falls k < 0 oder k > dim M so ist Ωk (M ) = 0 und somit H k (M ) = 0. 4. Seien M und N homotopie¨ aquivalent, d.h. es gibt glatte Abbildungen f : M → N und g : N → M mit f ◦ g ∼ idN und g ◦ f ∼ idM . Die Abbildungen H(f ) := f ∗ : H(N ) → H(M ) und H(g) := g ∗ : H(M ) → H(N ) sind dann inverse Isomorphismen. Ein Beispiel homotopie¨aquivalenter R¨aume sind das offene M¨ obiusband und der Zylinder. 5. Ist insbesondere A ⊆ M ein Deformationsretrakt, d.h. eine Homotopie h : M × R → M existiert, sodaß h(·, 1) = idM , h(X × {0}) ⊆ A und h(·, 0)|A = idA , so gilt H(M ) ∼ undels = H(A). Z.B. ist die Basis jedes Vektorb¨ verm¨ oge der Einbettung als Nullschnitt ein Deformationsretrakt des Totalraums. 6. Ist M kontrahierbar, d.h. ein Punkt p in M existiert, welcher ein Deformationsretrakt von M ist, dann gilt: H(M ) ∼ = H({p}), d.h. jede geschlossene ´-Lemma). Falls M = Rm Form ist exakt (dies ist das versprochene Poincare m – oder allgemeiner M ⊂ R sternf¨ormig ist – so ist h : M × R → M mit (x, t) 7→ t · x eine Kontraktion von M zu einen Punkt, also ist M kontrahierbar, Lokal ist also jede Mannigfaltigkeit kontrahierbar. 7. Ist M einfach zusammenh¨angend, dann ist H 1 (M ) = 0. Um dies zu zeigen geht man so vor: Sei ω ∈ Ω1 (M ) mit dω = 0. Wir wollen ein f ∈ Ω0 (M ) = C ∞ (M, R) finden mit df = ω. Dazu w¨ahlen wir einen fixen Punkt x0 ∈ M und suchen f¨ ur jeden anderen Punkt x ∈ M eine Kurve c, welche x0 mit x verbindet, und definieren Z Z 1 f (x) := ω = c∗ (ω). c

0

Diese Definition h¨ angt nicht von der Wahl der Kurve ab, denn die Zusammensetzung mit einer zweiten verkehrt durchlaufenen Kurve liefert eine geschlossene Kurve c. Diese ist nach Voraussetzung homotop zur konstanten Kurve konstx0 , also ist [c∗ (ω)] = [(konstx0 )∗ (ω)]. Die beiden Formen auf [0, 1] unterscheiden sich also nur um eine exakte Form dg, und somit ist: Z Z 1 Z 1 Z 1 ∗ ∗ ω= c (ω) = (konstx0 ) (ω) = 0 = 0. c

0

0

0

Da lokal so ein f mit df = ω immer existiert, folgt daß das oben definierte f auch glatt ist. Und wegen Z 1 d 0 0 c(t·)∗ (ω) df (c (0)) = (f ◦ c) (0) = dt t=0 0 Z 1 Z 1 d d ∗ = c(t·) (ω)(s) ds = ωc(t s) (t c0 (t s)) ds 0 dt t=0 0 dt t=0 Z 1 = ωc(0) (c0 (0)) ds = ωc(0) (c0 (0)) 0

ist es auch die gesuchte Stammfunktion. c 15. Dezember 2008 [email protected]

329

44.5

44. Kohomologie

8. Falls . . . → Ei −Ti→ Ei+1 → . . . eine exakte Sequenz von endlichdimensionalen Vektorr¨ aumen ist, so folgt durch Aufsummieren der Gleichung dim(Ei ) = dim(Ker Ti ) + dim(Bild(Ti )) = dim(Ker Ti ) + dim(Ker Ti+1 ) die Identit¨ at X (−1)i dim Ei = 0 i

Die Mayer-Vietoris Sequenz impliziert also, daß f¨ ur die Euler-Charakteristik folgendes gilt: χ(U ∪ V ) + χ(U ∩ V ) = χ(U ) + χ(V ) 9. Da Rm kontrahierbar ist, ist seine Euler-Charakteristik jene des Punktes also 1 nach Dimensionsaxiom 44.3.1 . Es ist χ(S 0 ) = 2 wegen 44.3.3 . Nach dem vorigen Punkt ist f¨ ur jeden Punkt p ∈ M einer m-dimensionalen Mannigfaltigkeit χ(M ) = χ(M \ {p}) + χ(Rm ) − χ(Rm \ {p}) = χ(M \ {p}) + χ({p}) − χ(S m−1 ) = χ(M \ {p}) + 1 − χ(S m−1 ). F¨ ur die Sph¨ aren erhalten wir somit χ(S m ) = χ(Rm ) + 1 − χ(S m−1 ) = 2 − χ(S m−1 ) und insbesonders χ(S 1 ) = 2 − χ(S 0 ) = 0. Kompakte 2-dimensionale zusammenh¨angende Mannigfaltigkeiten Mg vom Geschlecht g erh¨ alt man aus S 2 durch Ankleben von g Henkeln oder g M¨ obiusb¨ andern, also ergibt sich rekursive im nicht-orientierbaren Fall χ(Mg ) = χ(Mg−1 \ {p} ∪ M¨ob) = χ(Mg−1 ) − 1 + χ(M¨ob) − χ(S 1 ) = χ(Mg−1 ) − 1 = 2 − (g − 1) − 1 = 2 − g, und im orientierbaren Fall χ(Mg ) = χ(Mg−1 \ {p− , p+ } ∪ S 1 × R) = χ(Mg−1 ) − 2 + χ(S 1 × R) − χ(S 1 t S 1 ) = χ(Mg−1 ) − 2 = 2 − 2(g − 1) − 2 = 2 − 2g 10. Die Euler-Charakteristik χ einer Mannigfaltigkeit, l¨aßt sich auch dadurch berechnen, daß man sie trianguliert, d.h. in Simplexe zerlegt. SeiPγi die Anzahl der verwendeten Simplexe der Dimension i, dann gilt: χ = i (−1)i γi . Insbesonders gilt f¨ ur jeden Polyeder, daß die Anzahl der Ecken minus die Anzahl der Kanten plus die Anzahl der Seitenfl¨achen gleich 2 = χ(S 2 ) ist (siehe algebraische Topologie). 11. Eine weitere M¨ oglichkeit die Euler-Charakteristik zu berechnen ist mittels Morse-Funktionen, das sind Funktionen f : M → R, deren kritische Punkte nicht degeneriert sind, d.h. die Hessesche Matrix ist definit. Sei βk (f ) die Anzahl der kritischen Punkte, in denen die Hessesche Matrix genau k negative Eigenwerte hat, so gelten die Morse-Ungleichungen, siehe [45, S.161– 162] βk (M ) ≤ βk (f ) X k (−1) βk (f ) = χ(M ). k

330

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44.5

44. Kohomologie

12. Noch allgemeiner kann man f¨ ur ein Vektorfeld ξ mit isolierten Nullstellen (z.B. das Gradientenfeld einer Morsefunktion) einen Index indx (ξ) in diesen Punkten definieren, siehe [45, S.133]. Und es gilt dann nach einen Satz von P Hopf, siehe [45, S.164] χ(M ) = ξ(x)=0 indx (ξ). Falls es also ein nirgends verschwindendes Vektorfeld gibt, so muß die Eulercharakteristik χ(M ) verschwinden. Dies zeigt den Igelsatz 50.11 . Man kann umgekehrt zeigen, daß auf jeder kompakten, orientierten, zusammenh¨ angenden Mannigfaltigkeit mit χ(M ) = 0 ein Nullstellenfreies Vektorfeld existiert, siehe [45, S.137]. 13. Die Kohomologie der Sph¨aren S n f¨ ur n ≥ 1 ist:

 R k=0    0 0 < k < n H k (S n ) =  R k=n    0 n
also hat das Poincar´e-Polynom die Form: fM (t) = 1 + tn . (i) H 0 (S n ) = R folgt aus (2). (ii) H k (S n ) = 0 f¨ ur k > n gilt immer, vergl. (3). (iii) Bleibt zu zeigen: H k (S n ) ∼ ur 0 < k sowie H 1 (S n ) = 0 = H k+1 (S n+1 ) f¨ f¨ ur n > 2 und H 1 (S 1 ) = R. Es ist S n+1 = U ∪ V mit U := {x ∈ S n+1 : −1 ≤ hx, ai} und V := {x ∈ S n+1 : +1 ≥ hx, ai} f¨ ur fix gew¨ahltes a ∈ S n+1 . Also ist U ∩V ∼ = S n ×]−1, +1[ n ∼ ur und somit H(U ∩ V ) = H(S ) nach 5 . Die Mayer-Vietoris Sequenz (f¨ k ≥ 1) ist

.. . ↓ H (U ) ⊕ H k (V ) ∼ = H k ({∗}) ⊕ H k ({∗}) k

↓ H (U ∩ V ) ∼ = H k (S n ) k

↓δ H

k+1

(U ∪ V ) = H k+1 (S n+1 ) ↓

H

k+1

(U ) ⊕ H k+1 (V ) ∼ = H k+1 ({∗}) ⊕ H k+1 ({∗}) ↓ .. .

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45.1

44. Kohomologie δ → H k+1 (S n+1 ) f¨ ur alle k > 0. Der Anfang der Sequenz Also ist H k (S n ) −∼ = sieht so aus:

0 ↓ H (S n+1 ) ∼ =R 0

↓ H ({∗}) ⊕ H 0 ({∗}) ∼ = R2 0

↓ ( R2 H (S ) ∼ = R 0

f¨ ur n = 0 f¨ ur n > 0

n

↓ 1

H (S n+1 ) ↓ 0 Folglich ist H 1 (S 1 ) = R und H 1 (S n+1 ) = 0 f¨ ur n > 0 wegen 8 .

45. Klassische Mechanik 45.1 Kraftgesetz von Newton F¨ ur die Kraft F , die Masse m, und die Beschleunigung x ¨ gilt folgende Formel: F (x) = m · x ¨. Wir beschr¨ anken uns hier und im Folgendem der Einfachheit halber auf zeitunabh¨ angige Kr¨ afte. Auch setzen wir m = 1, denn ein allgemeines m l¨aßt sich in F absorbieren. Sei vorerst der Raum Q ⊆ Rn der Orte x offen. Die Funktion F : Q → Rn kann dann als Vektorfeld interpretiert werden. Besonders wichtig ist der Fall, wo F ein Gradienten-Feld ist, d.h. ein Potential U : Q → R existiert mit F = − grad U . Dies ist eine lokale (Integrabilit¨ ats-)Bedingung dF = 0 und eine globale (kohomologische) Bedingung H 1 (Q) = 0 an Q, siehe 44.5.6 und 44.5.7 . Die Newton’sche Gleichung ist eine gew¨ohnliche Differentialgleichung 2-ter Ordnung. Eine solche l¨ aßt sich als (System) gew¨ohnliche(r) Differentialgleichung(en) 1-ter Ordnung auf T Q = Q × Rn umschreiben indem man als zus¨atzliche Variable den Geschwindigkeitsvektor v = x˙ verwendet: x˙ =: v v˙ = F (x). Die einfachste Bewegungsinvariante dieser DG ist die Energie E(x, x) ˙ :=

|x| ˙ 2 2

+ U (x),

denn d E(x, x) ˙ = hx, ˙ x ¨i + U 0 (x) · x˙ = 0. dt 2

˙ Dabei heißt m |x| 2 die kinetische und U (x) die potentielle Energie.

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45.2

45. Klassische Mechanik 45.2 Newton’sches Gesetz auf Mannigfaltigkeiten

Wie wir in 25.1 bemerkt haben, wird eine gew¨ohnliche Differentialgleichung 1ter Ordnung auf einer Mannigfaltigkeit Q durch ein Vektorfeld ξ : Q → T Q beschrieben, denn die erste Ableitung einer Kurve x : R → Q ist eine Kurve x˙ : R → T Q mit Werten im Tangentialb¨ undel T Q. Wenn (x1 , . . . , xn ) lokale Ko∂ ∂ ordinaten auf Q sind, dann bilden die Derivationen ( ∂x 1 , . . . , ∂xn ) eine Basis des Tangentialraums Tx Q. Seien (v 1 , . . . , v n ) die Koordinaten bez¨ uglich dieser Basis, so sind (x1 , . . . , xn ; v 1 , . . . , v n ) lokale Koordinaten des Tangentialb¨ undels T Q, die Fußpunkt-Abbildung πQ : T Q → Q ist in lokalen Koordinaten durch die Zuordnung (x1 , . . . , xn ; v 1 , . . . , v n ) 7→ (x1 , . . . , xn ) gegeben und die Ableitung der Kurve t 7→ x(t) ∈ Q ist durch t 7→ (x1 (t), . . . , xn (t); x˙ 1 (t), . . . , x˙ n (t)) gegeben. Was entspricht einer gew¨ ohnlichen Differentialgleichung 2-ter Ordnung, wie sie das Kraftgesetz darstellt? Die zweite Ableitung einer Kurve x : R → Q ist eine Kurve x ¨ : R → T (T Q) =: T 2 Q mit Werten im 2-ten Tangentialb¨ undel von Q. Seien 1 (x , . . . ; v 1 , . . . ) obige lokale Koordinaten auf T Q, dann bilden die Derivationen ∂ ∂ ( ∂x 1 , . . . ; ∂v 1 , . . . ) eine Basis des Tangentialraums T(x,v) (T Q) an die Mannigfaltigkeit T Q im Punkte (x, v) ∈ T Q. Seien (y 1 , . . . , y n ; w1 , . . . , wn ) die Koordinaten bez¨ uglich dieser Basis, so sind (x1 , . . . ; v 1 , . . . ; y 1 , . . . ; w1 , . . . ) lokale Koordinaten des zweiten Tangentialb¨ undels T 2 Q. Bez¨ uglich dieser Koordinaten ist die Fußpunkt2 Abbildung πT Q : T Q → T Q gegeben durch (x1 , . . . ; v 1 , . . . ; y 1 , . . . ; w1 , . . . ) 7→ (x1 , . . . ; v 1 , . . . ), die Ableitung T πQ : T 2 Q → T Q der Fußpunkt-Abbildung πQ : T Q → Q durch (x1 , . . . ; v 1 , . . . ; y 1 , . . . ; w1 , . . . ) 7→ (x1 , . . . ; y 1 , . . . ), und schließlich sieht die zweite Ableitung der Kurve t 7→ x(t) ∈ Q wie folgt aus: x ¨ = (x1 , . . . , xn ; x˙ 1 , . . . , x˙ n ; x˙ 1 , . . . , x˙ n ; x ¨1 , . . . , x ¨n ). Eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung 2-ter Ordnung x ¨ = X(x, x) ˙ ist demnach durch eine Abbildung X : T Q → T (T Q) gegeben, welche in Koordinaten folgendes Aussehen hat: X(x, v) = (x1 , . . . , xn ; v 1 , . . . , v n ; v 1 , . . . , v n ; X 1 (x, v), . . . , X n (x, v)). Oder unter Verwendung der Basis-Vektorfelder X(x, v) =

n X

vi

∂ ∂xi

+

n X

X i (x, v) ∂v∂ i .

i=1

i=1

Die Abbildung X : T Q → T (T Q) ist also ein Vektorfeld auf T Q, welches zus¨atzlich die Eigenschaft hat, daß auch T πQ ◦ X = id ist, also die 2-te und 3-te Komponente gleich ist. Man kann diese zus¨ atzliche Bedingung auch durch κQ ◦ X = X formulieren, wobei κQ : T 2 Q → T 2 Q den kanonischen Flip bezeichnet, welcher gerade die beiden mittleren Komponenten vertauscht (Dieser ist global definiert !). Ein Vektorfeld X auf T Q mit dieser zus¨ atzlichen Eigenschaft nennt man einen Spray. Diese beschreiben also gerade gew¨ ohnliche Differentialgleichungen 2-ter Ordnung auf Q. F¨ ur die L¨ osungskurven c : R → T Q der entsprechenden Differentialgleichung 1-ter Ordnung auf T Q bedeutet dies, daß c=

d dt (π

◦ c)

ist, wobei π : T Q → Q die Fußpunkt-Abbildung ist. c 15. Dezember 2008 [email protected]

333

45.3

45. Klassische Mechanik

45.3 Variationsproblem Mit der Philosophie, daß die Natur minimalistisch vorgeht, wird man versucht sein ein Funktional am Raum der Kurven zu finden, dessen kritische Punkte gerade die L¨ osungskurven der Differentialgleichung sind. Betrachten wir vorerst wieder den Fall, daß Q ⊆ Rn offen ist. Die kritischen Punkte eines Funktionals I der Gestalt Z b

I(x) =

L(x(t), x(t)) ˙ dt a

sind gerade die L¨ osungen der Euler-Lagrange Gleichung d ∂ ∂ L(x, x) ˙ = L(x, x) ˙ f¨ ur i = 1, . . . , n ∂xi dt ∂ x˙ i einer impliziten Differentialgleichung 2-ter Ordnung. Um das einzusehen, beachten wir, daß das Funktional Z b L(x(t), x(t)) ˙ dt x 7→ I(x) := a

d genau x als kritischen Punkt hat, wenn die Richtungsableitung ds I(x + s v) s=0 f¨ ur alle v verschwindet. Diese berechnen wir nun: Z b ∂L ∂L d I(x + s v) = (x(t), x(t)) ˙ · v(t) + (x(t), x(t)) ˙ · v(t) ˙ dt ds s=0 ∂v a ∂x   Z b d ∂L ∂L = (x(t), x(t)) ˙ − (x(t), x(t)) ˙ · v(t) dt ∂x dt ∂v a   Z b d ∂L + (x(t), x(t)) ˙ · v(t) · v(t) dt ∂v a dt   Z b d ∂L ∂L = (x(t), x(t)) ˙ − (x(t), x(t)) ˙ · v(t) dt + 0. ∂x dt ∂v a Da v beliebig war, m¨ ussen folglich alle Komponenten   d ∂L ∂L (x(t), x(t)) ˙ − (x(t), x(t)) ˙ =0 ∂xi dt ∂v i sein. Nehmen wir der Einfachheit halber an, daß die Variablen x und x˙ in L getrennt sind, d.h. L(x, x) ˙ = f (x) + g(x) ˙ ist, dann lautet die Euler-Lagrange Gleichung: n X ∂ d ∂ ∂2 f (x) = g( x) ˙ = g(x) ˙ ·x ¨j f¨ ur i = 1, . . . , n. j ∂x i ∂xi dt ∂ x˙ i ∂ x ˙ ˙ j=1 Durch Vergleich mit der Newton-Gleichung F (x) = x ¨, erhalten wir als einfachste L¨ osung f¨ ur L die Terme g(x) ˙ :=

|x| ˙ 2 2

und f (x) := −U (x)

und somit die sogenannte Lagrange-Funktion L(x, v) =

|v|2 2

− U (x).

Die Zeitentwicklung ist also anstelle des komplizierteren Objekts eines Sprays X : T Q → T (T Q) durch eine reellwertige Funktion L : T Q → R festgelegt. Allerdings ist die sch¨ one gew¨ ohnliche explizite Differentialgleichung 2-ter Ordnung (das Newton’sche Kraftgesetz) durch eine in Koordinaten implizite Differentialgleichung 2-ter Ordnung zu ersetzen, f¨ ur die wir keine Theorie auf Mannigfaltigkeiten entwickelt haben. 334

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45.4

45. Klassische Mechanik 45.4 Lagrange-Formalismus

Versuchen wir nun umgekehrt aus einer allgemeinen Lagrange-Funktion L : T Q → R einer Mannigfaltigkeit Q das Vektorfeld X : T Q → T 2 Q und die Energie E : T Q → R zu erhalten. Die Euler-Lagrange Gleichung sieht in Koordinaten wieder wie folgt aus: X X 2 2 d ∂ ∂ x˙ j ∂x∂j ∂ x˙ i L + x ¨j ∂ x˙ ∂j ∂ x˙ i L ∂xi L = dt ∂ x˙ i L = j

j

Schreiben wir auch das gesuchte Vektorfeld XL in den lokalen Koordinaten als: XL (x, v) = (x1 , . . . ; v 1 , . . . ; v 1 , . . . ; X 1 (x, v), . . . , X n (x, v)). so erhalten wir f¨ ur die Koeffizienten X i durch Einsetzen von x ¨i = X i (x, x) ˙ die implizite Gleichung X X 2 2 ∂ d ∂ x˙ j ∂x∂j ∂ x˙ i L + X j ∂ x˙ ∂j ∂ x˙ i L ∂xi L = dt ∂ x˙ i L = j

j

2

Falls die Matrix ( ∂ x˙∂i ∂Lx˙ j )ni,j=1 invertierbar ist k¨onnen wir durch Multiplikation mit der inversen Matrix Lk,i die X i berechnen:   XX X X 2 2 ∂ Lk,i ∂x x˙ j ∂x∂j ∂ x˙ i L = Lk,i X j ∂ x˙ ∂j ∂ x˙ i L i L − i

j

i

=

j

X

X j δjk = X k

j

Das dadurch definierte Vektorfeld  X X XX ∂ x˙ j XL = v i ∂x Li,k ∂x∂ k L − i + i

i

∂2 ∂xj ∂ x˙ k

 L ∂v∂ i

j

k

heißt dann Lagrange-Vektorfeld zu L. Wir m¨ ußten allerdings noch u ufen ¨berpr¨ ob diese Definition wirklich etwas Koordinaten-unabh¨angiges definiert. Das werden wir sp¨ ater zeigen. Da wir die implizite Gleichung f¨ ur das Lagrange-Vektorfeld nur unter zus¨atzlichen Bedingungen l¨ osen k¨ onnen, wollen wir versuchen die einfachste Bewegungsinvariante, die Energie E, direkt aus L zu bestimmen. 2

Im speziellen Fall wo Q ⊆ Rn offen und L(x, v) = |v|2 − U (x) ist, versuchen wir die kinetische Energie |v|2 /2 aus L zu gewinnen. In Koordinaten k¨onnen wir das durch n X d d v i ∂v∂ i L(x, v) |v|2 = dt L(x, t v) = L(x, v + tv) = dt t=0 t=1 i=1

erreichen. F¨ ur ein allgemeines Vektorb¨ undel V → Q und eine Funktion L : V → R definieren wir folglich die sogenannte Faserableitung df L : V → V ∗ von L durch df L(ξ)(η) := d L(ξ + tη). dt t=0

1

1

Wenn (x , . . . ; v , . . . ) lokale Vektorb¨ undel-Koordinaten von V mit Fußpunkt-Koordinaten (x1 , . . . , xn ) sind, dann ist X ∂L (df L)(x, v)(x, w) = (x, v) · wi . i ∂v i F¨ ur eine Lagrange-Funktion L : T Q → R einer allgemeinen Mannigfaltigkeit Q definieren wir die Wirkung A : T Q → R durch n X A(ξ) := df L(ξ) · ξ, d.h. A(x, v) = v i ∂v∂ i L(x, v) i=1 c 15. Dezember 2008 [email protected]

335

45.5

45. Klassische Mechanik

und die Energie E : T Q → R als E := A − L, d.h. E(x, v) =

n X

vi

∂ ∂v i L(x, v)

− L(x, v).

i=1

Wir k¨ onnen nun leicht nachrechnen, daß die Energie in der Tat eine Bewegungsinvariante ist, denn ! d d X i ∂ E(x(t), v(t)) = v (t) ∂vi L(x(t), v(t)) − L(x(t), v(t)) dt dt i  X ∂L X d ∂L X  ∂L ∂L ˙i i vi − v + v = v˙i i + ∂v dt ∂v i ∂xi ∂v i i i i = 0, wegen der Euler-Lagrange Gleichung. 45.5 Mechanik auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten Auf einer (Pseudo-)Riemannschen Mannigfaltigkeit (Q, g) wird die Lagrange-Funktion bez¨ uglich eines Potentials U : Q → R in Analogie durch L(ξ) = 12 g(ξ, ξ) − U (π(ξ)) definiert, d.h. in lokalen Koordinaten X L(x, v) = 21 gi,j (x) v i v j − U (x). i,j

Die Faserableitung ist dann offensichtlich df L(ξ) · η = g(ξ, η) und somit ist die Wirkung A(ξ) = g(ξ, ξ) und die Energie E(ξ) = 21 g(ξ, ξ) + U (π(ξ)). Im Falle, daß U = 0 ist, heißt das Vektorfeld XL geod¨atischer Spray. Es ist dann P ∂gj,k j k P ∂ 1 ∂ j j,k ∂xi v v und ∂v i L = j gi,j (x)v . Und somit ist die Matrix ∂xi L = 2 2

L i,j ( ∂v∂i ∂v ) j ) gerade die Koeffizienten Matrix (gi,j ) der Metrik und ihre Inverse (L i,j wird u ¨blicherweise mit (g ) bezeichnet, siehe 41.1 . Außerdem ist X X ∂g i,j ∂2 L = ∂x∂ k gi,j (x)v j = vj ∂xk ∂v i ∂xk j

j

Also lautet die Euler-Lagrange Gleichung in expliziter Form (siehe 45.4 )   X X ∂g X X ∂g j r r j,r i,r x ¨k = g k,i  12 x˙ j ∂xi v v − ∂xj v i

=

j,r

X

g

k,i

j

x˙ x˙



r

j 1 ∂gj,r 2 ∂xi

−

∂gi,r ∂xj

r



i,j,r

=−

X

=−

X

=−

X

g k,i

X

i

x˙ j x˙ r

1 2



−

∂gj,r ∂xi

+

∂gi,r ∂xj

+

∂gi,j ∂xr

j,r j

x˙ x˙

r

j

r

j,r

X

g k,i Γj,r,i

i

x˙ x˙ Γkj,r .

j,r

336

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45.6

45. Klassische Mechanik

Dies ist die Differentialgleichung der Geod¨aten, wobei Γj,r,i die Christoffelsymbole der 1-ten Art und Γkj,r jene der 2-ten Art sind, siehe 58.2 . Also sind die IntegralKurven in Q des geod¨ atischen Spray’s XL gerade die Geod¨aten, die wir auch als kritischen Punkten der Bogenl¨ ange erkannt haben. F¨ ur eine allgemeines U und ein e > U (x) f¨ ur alle x ∈ Q definiert man eine neue (die sogenannte Jacobi-Metrik) ge := (e − U ) · g. Die Integralkurven c von XL mit Energie e = g(c(t), ˙ c(t)) ˙ f¨ ur alle t sind bis auf Reparametrisierung genau die Geod¨ aten der Jacobi-Metrik ge mit Energie 1. 45.6 Zusammenhang zwischen Lagrange-Vektorfeld XL und Energie E Sch¨ on w¨ are wenn es so einen ¨ ahnlichen Zusammenhang g¨abe, wie er zwischen Gradient und Potential besteht. Dazu erinnern wir uns daß der Gradient eines Potentials U : Q → R bez¨ uglich einer Riemann-Metrik g auf Q gegeben ist durch: gx (grad U (x), η) = dU (x) · η f¨ ur alle η ∈ Tx Q, wobei dU das totale Differential von U bezeichnet. Wir suchen also eine Bilinearform ω, welche ωx,v (XL , Y ) = dE(x, v) · Y f¨ ur alle Y ∈ T(x,v) (T Q) erf¨ ullt. Sei XL das Vektorfeld auf T Q, welches die Euler-Lagrange Gleichung f¨ ur eine hinreichen regul¨ are Lagrange-Funktion L beschreibt. In Koordinaten hat jedes Vektorfeld XL , welches eine gew¨ohnliche Differentialgleichung 2-ter Ordnung beschreibt, nach dem in 45.2 Gezeigten die folgende Gestalt: XL (x, v) =

n X

∂ v i ∂x i +

n X

X i (x, v) ∂v∂ i .

i=1

i=1

F¨ ur die Energie haben wir die Formel E(x, v) =

n X

v i ∂v∂ i L(x, v) − L(x, v)

i=1

und f¨ ur ihr Differential X X j j ∂ ∂ dE(x, v) = ∂xj E(x, v) dx + ∂v j E(x, v) dv j

=

j

X

n X

j

i=1

X

+

∂ ∂v j L

j

=

! ∂ ∂ v i ∂x j ∂v i L

+

n X

−

dxj

∂ ∂xj L

! v i ∂v∂ j ∂v∂ i L

−

dv j

∂ ∂v j L

i=1

X

n X

j

i=1

! ∂ ∂ v i ∂x j ∂v i L

−

∂ ∂xj L

j

dx +

n X X j

! v i ∂v∂ j ∂v∂ i L

dv j .

i=1

Eine allgemeine Bilinearform ω auf T Q, d.h. ein 2-fach kovariantes Tensorfeld auf T Q ist bez¨ uglich der lokalen Koordinaten (x1 , . . . ; v 1 , . . . ) gegeben durch: X X i j i j ∂ ∂ ∂ ∂ ω= ω( ∂x ω( ∂x i , ∂xj ) dx ⊗ dx + i , ∂v j ) dx ⊗ dv i,j

+

X i,j

i,j ∂ ω( ∂v∂ i , ∂x j)

i

j

dv ⊗ dx +

X

ω( ∂v∂ i , ∂v∂ j ) dv i ⊗ dv j .

i,j

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337

45.6

45. Klassische Mechanik

Folglich w¨ are n X

∂ ∂ v i ω( ∂x i , ∂xj ) +

i=1

n X

∂ ∂ X i ω( ∂v∂ i , ∂x j ) = ω(X, ∂xj ) = dE ·

∂ ∂xj

=

i=1

=

n X

vi

∂ ∂ ∂xj ∂v i L

−

∂ ∂xj L

i=1 n X

∂ ∂ v i ω( ∂x i , ∂v j ) +

i=1

n X

X i ω( ∂v∂ i , ∂v∂ j ) = ω(X, ∂v∂ j ) = dE ·

∂ ∂v j

=

i=1

=

n X

v i ∂v∂ j

∂ ∂v i L.

i=1

Aus der zweiten Gleichung erhalten wir durch Koeffizienten-Vergleich ∂ ∂ ω( ∂x i , ∂v j ) =

∂ ∂ ∂v j ∂v i L

ω( ∂v∂ i , ∂v∂ j ) = 0. Setzen wir die implizite Euler-Lagrange Gleichung X X 2 d ∂ ∂ v j ∂x∂j ∂vi L + Xj ∂xi L = dt ∂v i L = j

∂2 ∂v j ∂v i

L

j

in die erste Gleichung ein, so erhalten wir n X

v

i

∂ ∂ ω( ∂x i , ∂xj )

+

i=1

n X

∂ X i ω( ∂v∂ i , ∂x j) =

i=1

=

n X

vi

∂ ∂ ∂xj ∂v i L

−

i=1

n X

vi

∂2 ∂xi ∂v j

L−

n X

i=1

Xi

∂2 ∂v i ∂v j

L

i=1

2

∂ ∂ und es dr¨ angt sich auf ω( ∂v∂ i , ∂x j ) := − ∂v i ∂v j L und ∂ ∂ ω( ∂x i , ∂xj ) :=

∂2 ∂xj ∂v i

L−

∂2 ∂xi ∂v j

L.

zu setzen. In den lokalen Koordinaten (x1 , . . . ; v 1 , . . . ) ist also ω gegeben durch:  X 2 ∂2L ∂ L ω= − dxi ⊗ dxj ∂xj ∂v i ∂xi ∂v j i,j

+

X

∂2L ∂v j ∂v i

dxi ⊗ dv j −

X

i,j

∂2L ∂v i ∂v j

dv i ⊗ dxj

i,j

Es zeigt sich also, daß die Bilinearform ω schief-symmetrisch ist, und somit eine 2Form ω ∈ Ω2 (T Q) darstellt. Unter Verwendung von dui ∧duj := dui ⊗duj −duj ⊗dui ist sie in lokalen Koordinaten durch X 2 X 2 i j i j ∂ L ∂ L ω= ∂xj ∂v i dx ∧ dx + ∂v j ∂v i dx ∧ dv i,j

i,j

gegeben. Sie ist sogar exakt, denn die 1-Form ϑ :=

n X

∂L ∂v i

dxi

i=1

hat als a ¨ußere Ableitung dϑ = −ω. Allerdings haben wir noch nicht u uft, ob ω und ϑ wirklich Koordinaten¨berpr¨ unabh¨ angig definiert sind. Wir werden das sp¨ater nachholen. 338

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45.7

45. Klassische Mechanik F¨ ur jeden Spray X : T Q → T 2 Q ist X X ∂L ∂  X ∂L i i j ∂ j dx + X = v = A. v (x, v) ϑL X = ∂v i ∂xj ∂v j ∂v i i j i

Global l¨ aßt sich nun die definierende implizite Gleichung f¨ ur das Lagrange Vektorfeld X als iX ω = dE schreiben, wobei ι der Einsetz-Operator (ιX ω)(Y ) := ω(X, Y ) ist. Leider h¨ angen diese Differentialformen aber noch von L ab, und wir schreiben besser ωL := ω, ϑL := ϑ. 45.7 Hamilton-Formalismus Um diese Abh¨ angigkeit der Differentialformen ωL und ϑL von der Lagrange-Funktion L loszuwerden, wollen wir neue Koordinaten einf¨ uhren. Es dr¨angen sich nat¨ urlich ∂L i die partiellen Ableitungen pi := ∂v i auf. Die Koordinaten x in der Basis-Mannigfaltigkeit benennen wir bloß um in q i := xi . Die Form ϑL ist dann in den neuen Koordinaten gegeben durch n X ϑ0 := pi dq i i=1

und ihre ¨ außere Ableitung −ω0 := dϑ0 durch n X ω0 := dq i ∧ dpi . i=1

Wir haben aber das Problem, ob die q i und pi wirklich Koordinaten eines Punkten in T Q sind. Dazu m¨ ussen wir den Koordinatenwechsel bestimmen. Seien dazu (¯ x1 , . . . , x ¯n ) andere Koordinaten auf Q, so gilt f¨ ur die Basen von T Q X j ∂ ∂x ∂ ∂x ¯i = ∂x ¯i ∂xj j j

und f¨ ur die Komponenten v bez¨ uglich dieser Basen X j ∂x i vj = ¯. ∂x ¯i v i

Weiters ist X ∂xj ∂v j ∂ X ∂xj k  X ∂xj ∂¯ vk ∂xj = v¯ = = δik = . i i k k i k ∂¯ v ∂¯ v ∂x ¯ ∂x ¯ ∂¯ v ∂x ¯ ∂x ¯i k

k

k

Somit gilt f¨ ur die neuen Koordinaten: X k ∂v p¯i = ∂∂v¯i L = ∂v ¯i

∂ ∂v k

L=

k

X

∂xk ∂x ¯i

pk

k

Dies ist nicht das richtige Transformationsverhalten f¨ ur Vektoren im Tangentialraum. Vergleichen wir es aber mit den Koordinaten-Wechsel im Kotangentialb¨ undel T ∗ Q der Komponenten (η1 , . . . , ηn ) bez¨ uglich der Basis (dx1 , . . . , dxn ): n X ∂xi dxi = xj ∂x ¯j d¯ j=1

η¯j =

X

∂xi ∂x ¯j

ηi ,

i

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339

45.7

45. Klassische Mechanik

siehe 31.5 , so zeigt sich, daß (q 1 , . . . ; p1 , . . . ) gerade die u ¨blichen Koordinaten eines ¨ Punktes des Kotangentialb¨ undels T ∗ Q sind. Der Ubergang von den Koordinaten (x1 , . . . ; v 1 , . . . ) am Tangentialb¨ undel T Q zu den Koordinaten (q 1 , . . . ; p1 , . . . ) am Kotangentialb¨ undel T ∗ Q ist gerade durch die Faserableitung df L : T Q → T ∗ Q ∂ ∂ 1 n gegeben, welche bez¨ uglich der Basen ( ∂x 1 , . . . , ∂xn ) und (dx , . . . , dx ) folgende Darstellung hat: (df L)i =

∂L ∂v i ,

also (x1 , . . . ; v 1 , . . . ) auf (q 1 , . . . ; p1 , . . . ) abbildet, mit q i (x, v) := xi und pi (x, v) = ∂L ∂v i (x, v). Wir zeigen nun, daß die kanonischen 1-Form ϑ0 wirklich Koordinaten-unabh¨angig ist und damit auch ω0 = −dϑ0 ist. ∗ Die beiden Abbildungen T πQ : T T ∗ Q → T Q und πT ∗ Q : T T ∗ Q → T ∗ Q welche lokal gegeben sind durch (q, p, v, ρ) 7→ (q, v) und (q, p, v, ρ) 7→ (q, p) definieren ∗ eine Abbildung (πT ∗ Q , T πQ ) : T T ∗ Q → T ∗ Q ×Q T Q := {(α, ξ) : π ∗ (α) = π(ξ)}. P Zusammengesetzt mit der Evaluation ev : T ∗ Q ×Q T Q → R, (q, p; q, v) 7→ i pi v i ist dies genau die kanonische 1-Form ϑ0 , denn X X pi v i = pi dq i (v) = ϑ0 (v). i

i

Man sieht nun sofort, daß ϑL =

X  X ∂L i ∗ i dx = (d L) p dq = (df L)∗ ϑ0 f i i ∂v i i

und somit auch ωL = −dϑL = −d(df L)∗ ϑ0 = −(df L)∗ dϑ0 = (df L)∗ ω0 ist, also sind diese Formen auch Koordinaten unabh¨angig. P ∂L Der Energie E = i v i ∂v i − L entspricht dann eine sogenannte Hamilton-Funk∗ tion H : T Q → R, definiert durch H ◦ df L := E und dem Vektorfeld XL entspricht nun das sogenannte Hamiltonsche Vektorfeld XH , welches df L-verwandt zu XL definiert ist durch XH ◦ df L := T (df L) ◦ XL . Die Gleichung iXE ωL = dE geht u ¨ber in iXH ω0 = dH, d.h. ω0 (XH , Y ) = dH · Y f¨ ur alle Y. Dies sieht man wie folgt:   iXH ω0 (Tx (df L)ξ) = ω0 (XH )(df L)x , Tx (df L)ξ   = ω0 Tx (df L)XL , Tx (df L)ξ = ωL (XL , ξx ) = (iXL ωL )(ξ) = dE(ξ) = d(H ◦ df L)(ξ) = dH(df L)x · Tx (df L) · ξ, ∗ wobei Tx (df L)ξ alle Tangentialvektoren in T(d Q durchl¨auft. f L)x

340

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45.9

45. Klassische Mechanik P ∂H ∂ P ∂H ∂ : Bez¨ uglich der Koordinaten (q i , pi ) ist XH = i ∂p i − i i ∂q P P i ∂ P i ∂ i ∂q ∂pi i Denn ω0 = i dq ∧ dpi und sei XH = i a ∂pi + i b ∂qi . Dann ist X ∂H X ∂H dq i = dH = ιXH ω0 dpi + i ∂p ∂q i i i X X = ai ι ∂ (dq j ∧ dpj ) + bi ι ∂j (dq j ∧ dpj ) ∂pi

i,j

=

X

ai dq i −

i

i,j

X

∂q

bi dpi

i

∂H ∂H i und ein Koeffizienten-Vergleich liefert ai = ∂q i und b = − ∂p . i Die Integralkurven t 7→ (q(t), p(t)) von XH sind also die L¨osungen von q˙i = und p˙i = − ∂H ∂q i .

∂H ∂pi

Da die Integral-Kurven die Ableitungen von Kurven in der Basis Q sind, und die Basiskoordinaten einander entsprechen, sind die Basis Kurven f¨ ur XH und XL die selben. Es ist A = ϑ0 (XH ) ◦ df L: ∗ ∗ ϑ0 (XH ) ◦ df L = ev ◦(πT ∗ Q , T πQ ) ◦ XH ◦ df L = ev ◦(id ◦df L, T πQ ◦ T (df L) ◦ XL ) ∗ = ev ◦(df L, T (πQ ◦ df L) ◦ XL ) = ev ◦(df L, T πQ ◦ XL )

= ev ◦(df L, idT Q ) = A oder f¨ ur ξ ∈ T Q (ϑ0 (XH ) ◦ df L)(ξ) = ϑ0 |df L·ξ (XH |df L·ξ ) = ϑ0 |df L·ξ (T (df L)(XL |ξ )) = (df L)∗ (ϑ0 )(XL |ξ ) = ϑL (XL |ξ ) = A(ξ) oder in Koordinaten: P ∂H ∂ P ∂H P P ∂H ∂ Aus ϑ0 = i pi dq i und XH = i ∂p i − i ∂q i ∂pi folgt ϑ0 (XH ) = i pi ∂p . i ∂q P j ∂L P ∂vj i P j ∂H ∂E i Weiters ist E = j v ∂vj −L = j v pj −L und somit ∂pi = ∂pi = v + j ∂pi pj − P ∂L ∂vj P ∂H P ∂L i i j ∂v j · ∂pi = v . Also erhalten wir schließlich ϑ0 (XH ) = i pi ∂pi = i ∂v i · v = A. Wir haben als Vorteile der Hamilton-Mechanik, daß die Zeitentwicklung beschreibende Objekt eine reell-wertige Funktion H : T ∗ Q → R ist die gleichzeitig auch eine Bewegungsinvariante darstellt und außerdem das zugeh¨orige Vektorfeld XH sich auf einfache Weise aus ιXH ω = dH berechnen l¨aßt. Hamilton-Mechanismus auf Riemann-Mannigfaltigkeiten Es sei h , i eine Riemann-Metrik auf Q und L : T Q → R die Lagrange-Funktion, die durch L(v) = 21 hv, vi − U (π(v)) gegeben ist. Dann ist df L : T Q → T ∗ Q die Abbildung ] : w 7→ hw, i und A(v) = hv, vi. Also ist E = A−L = 21 hv, vi+U (π(v)). Ist insbesonders U = 0, so ist A = 2E = 2L. Die Hamilton-Funktion HP : T ∗Q → R 1 [ [ ist dann durch H(η) = 2 hη , η i gegeben, d.h. in Koordinaten durch H( i ηi dxi ) = P 1 i,j i,j g ηi ηj . 2 45.9 Legendre-Transformation Um im Spezialfall der symplektischen Mannigfaltigkeit T ∗ Q mit ihrer kanonischen 2-Form ω0 alles zur¨ uck in den Lagrange Formalismus zu u ¨bersetzen, ben¨otigen wir c 15. Dezember 2008 [email protected]

341

45.8

45. Klassische Mechanik

eine Beschreibung der Inversen der Legendre-Transformation df L : T Q → T ∗ Q ausschließlich durch die Hamilton-Funktion H. Es ist df H ◦ df L = δ : T Q → T ∗∗ Q der kanonische Isomorphismus: Um dies zu sehen sei ξ ∈ Tx Q und η ∈ (Tx Q) ∗ . Sei ξt ∈ Tx Q so, daß df L · ξt = d d (df L · ξ + t η) = dt d L · ξt df L · ξ + t η ∈ (Tx Q)∗ t, also ξ0 = 0 und η = dt t=0 t=0 f Dann ist d H(df L · ξ + t η) (df H ◦ df L)(ξ)(η) = df H(df L · ξ)(η) = dt t=0 d d = H(d L · ξ ) = E(ξt ) f t dt t=0 dt t=0 d = df L(ξt ) · ξt − L(ξt ) dt t=0   ˙ ˙ ˙ = ∂1 (dd f L)(ξ0 ) · ξ0 · ξ0 + df L(ξ0 ) · ξ0 − df L(ξ0 ) · ξ0 ˙ = ∂1 (dd f L)(ξ0 ) · ξ0 · ξ0 und andererseits d δ(ξ)(η) = η(ξ0 ) = (df L · ξt )(ξ0 ) dt t=0 ˙ = ∂1 (dd f L)(ξ0 ) · ξ0 · ξ0 Damit k¨ onnen wir E := (df H −1 )∗ (H), A := (df H −1 )∗ (G) wobei G := ϑ0 (XH ), L := A−E und XL := (df H −1 )∗ (XH ) unter der Voraussetzung der Invertierbarkeit von df H zur¨ uckgewinnen. 45.8 Symplektische Mechanik Allgemeiner betrachtet man anstelle von T ∗ Q nun symplektische Mannigfaltigkeiten M , d.h. Mannigfaltigkeiten zusammen mit einer sogenannten symplektische Form ω, d.h. einer nicht-degenerierten geschlossenen 2-Form ω ∈ Ω2 (M ). Wir haben in 14.9 gezeigt, daß solch eine Mannigfaltigkeit gerade-dimensional sein muß, und wir werden in 50.39 weiters zeigen , daß man lokal immer KoorPn dinaten (q 1 , . . . , p1 , . . . ) w¨ ahlen kann, so daß ω = i=1 dq i ∧ dpi ist. Das n-fache wedge-Produkt von ω definiert eine Volumsform volω := ω ∧ · · · ∧ ω auf M . Insbesondere ist M orientiert. Sei H : M → R eine glatte Funktion (eine sogenannte Hamilton-Funktion), so bezeichnet man mit XH das sogenannte Hamiltonsche Vektorfeld, welches durch die implizite Gleichung iXH ω = dH gegeben ist. In lokalen Koordinaten ist XH durch X X ∂H ∂H ∂ XH = ∂pi ∂q i − ∂q i i

∂ ∂pi

i

gegeben. Die Hamilton-Funktion H ist konstant l¨angs der Integral-Kurven des HamiltonVektorfelds XH : 342

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45.8

45. Klassische Mechanik

Sei t 7→ x(t) eine Integralkurve, d.h. x : R → T ∗ Q mit x(t) ˙ = XH (x(t)). Dann ist (H ◦ x)˙(t) = dHx(t) (x(t)) ˙ = ιXH ωx(t) (x(t)) ˙ = ω(XH (x(t)), x(t)) ˙ = ω(XH (x(t)), XH (x(t))) = 0, also H ◦ x konstant. Der Fluß Flt des Vektorfelds XH ist ein Symplektomorphismus, d.h. l¨aßt die symplektische Form ω invariant und folglich auch die symplektische Volumsform ω m = volω , d.h.   F ltXH

∗

volω = volω .

Denn es ist d d (Fls )∗ ω = (Fl∗t )LXH ω (Flt )∗ ω = (Fl∗t ) dt ds s=0 = (Fl∗t )(ιXH dω + dιXH ω) = (Fl∗t )(ιXH 0 + ddH) = 0, Also ist (Flt )∗ ω konstant gleich (Fl0 )∗ ω = ω. Nicht jedes Vektorfeld X auf M ist ein Hamiltonsches Vektorfeld. Um eines zu sein muß wieder eine lokale (Integrabilit¨atbedingung) LX ω = 0 f¨ ur X erf¨ ullt sein, sowie eine globale (kohomologische) Bedingung H 1 (M ) = 0 an M , siehe 50.40 .

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343

VII.

Integration

In diesem Kapitel entwickeln wir die Integration auf orientierten Mannigfaltigkeiten. Die integrierbaren Objekte sind dabei die Differentialformen maximalen Grades. Wir beweisen den allgemeinen Satz von Stokes und f¨ uhren daf¨ ur auch Mannigfaltigkeiten mit Rand ein. Im Fall einer orientierten Riemann-Mannigfaltigkeit haben wir eine ausgezeichnete Form maximalen Grades, die Volumsform. Damit sind wir in der Lage auch Funktionen zu integrieren und f¨ uhrt zu den Green’schen Formeln. Schließlich folgt noch ein Abschnitt u ¨ber den Laplace-Beltrami Operator, wo wir den Satz von Hodge u ¨ber harmonische Formen beweisen.

46. Orientierbarkeit Um Integrationen auf Mannigfaltigkeiten durchf¨ uhren zu k¨onnen ben¨otigen wir Rb Ra einen Orientierungsbegriff: Man beachte etwa die Formel a f = − b f f¨ ur das gew¨ ohnliche Riemann-Integral u ¨ber ein Intervall [a, b]. 46.1 Definition (Orientierbarkeit) Eine Mannigfaltigkeit M heißt orientierbar :⇔ es existiert ein kompatibler Atlas A, sodaß (M, A) im Sinne von 34.3 orientiert ist. Ein Vektorb¨ undel E → M heißt orientierbar :⇔ es existiert ein Vektorb¨ undelatlas A, dessen Transitionsfunktionen Werte in GL+ (Rn ) := {T ∈ GL(n) : det(T ) > 0} haben. 46.2 Proposition (Orientierbare Vektorb¨ undel). Sei E → M ein Vektorb¨ undel. Folgende Aussagen sind ¨ aquivalent: 1. Das Vektorb¨ undel E → M ist orientierbar. 2. Auf jeder Faser Ex kann eine Orientierung gew¨ ahlt werden und dazu ein Vektorb¨ undelatlas, dessen Vektorb¨ undelkarten faserweise orientierungserhaltend sind. 3. Auf jeder Faser Ex kann eine Orientierung gew¨ ahlt werden, sodaß jede Vektorb¨ undelkarte mit zusammenh¨ angender Dom¨ ane entweder u ¨berall faserweise orientierungserhaltend oder u berall orientierungsvertauschend ist. ¨ Beweis. (1) ⇒ (3): Sei also A ein Vektorb¨ undelatlas, dessen Transitionsfunktionen faserweise orientierungserhaltend sind. Wir definieren eine Orientierung auf Ex , indem wir f¨ ur irgendeine VB-Karte ϕ ∈ A um x die induzierte Orientierung vom Rk nehmen. Das ist wohldefiniert, denn w¨ urden ϕ, ϕ0 auf Ex verschiedene Orientierungen indu−1 0 zieren, so w¨ are ϕ ◦ ϕ bei x orientierungsvertauschend. A ist also ein VB-Atlas, der aus faserweise orientierungserhaltenden Karten besteht. c 15. Dezember 2008 [email protected]

345

46.6

46. Orientierbarkeit

Sei ψ irgendeine beliebige VB-Karte um x mit zusammenh¨angender Dom¨ane, dann ist zu zeigen, daß ψ lokal um x orientierungserhaltenden bzw. vertauschend ist. Sei also ψx orientierungserhaltend bzw. vertauschend. Die Transitionsfunktion ψ zu ϕ hat Werte in GL(Rk ), in x hat sie einen Wert in GL+ bzw. GL− . Also hat sie lokal Werte in der offenen Menge GL+ bzw. GL− , und damit ist ψ lokal orientierungserhaltenden bzw. vertauschend. (3) ⇒ (2) ist klar. (2) ⇒ (1) Der in (2) geforderte Atlas hat faserweise orientierungserhaltende Transitionsfunktionen. (Diese sind faserweise Zusammensetzungen von orientierungserhaltenden Vektorraumisomorphismen.) 46.3 Lemma (Orientierbare Mannigfaltigkeiten). M ist orientierbare Mannigfaltigkeit ⇔ TM → M ist orientierbares Vektorb¨ undel. Beweis. (⇒) Die Transitionsfunktionen des durch M induzierten Vektorb¨ undelatlas auf T M → M sind genau die Ableitungen der Kartenwechsel f¨ ur M . (⇐) Betrachte den von den Karten auf M induzierten VB-Atlas auf T M → M und w¨ ahle auf den Fasern von T M eine Orientierung wie in Punkt (3) der Propositiundelkarte von on 46.2 : Ist ϕ0 eine durch eine Karte ϕ von M induzierte Vektorb¨ T M → M , die orientierungsvertauschend ist, so ersetze ϕ durch eine umparametrisierte Karte ψ := ϕ ◦ j, mit j : Rk → Rk ,   −1 0 . . . 0  ..   0 +1 .  . j :=    . ..  .. . 0 0 . . . 0 +1 Der so erhaltene Atlas auf M hat nur orientierungserhaltende Kartenwechsel, liefert also eine Orientierung auf M . 46.4 Beispiel Sei G eine Lie-Gruppe, also eine Mannigfaltigkeit mit glatter Gruppenstruktur: Dann ist T G → G global ein triviales Vektorb¨ undel (siehe 67.2 ) und da jedes triviale Vektorb¨ undel orientierbar ist, sind T G → G und G selbst orientierbar. 46.5 Bemerkung Q ` Sind alle Mannigfaltigkeiten Mi orientierbar, dann sind es auch Mi und Mi . Z.B. sind alle Tori, T n := (S 1 )n , orientierbar, denn S 1 ist eine Lie-Gruppe. 46.6 Bemerkungen 1. Sind 2 der folgenden 3 Vektorb¨ undel orientierbar, so auch das dritte: E1 → M , E2 → M , E1 ⊕ E2 → M . Aus faserweisen Orientierungen zweier dieser B¨ undel l¨ aßt sich leicht eine Orientierung auf dem dritten konstruieren. undeln, 2. Sei E0 −i→ E1 −p→ E2 eine kurze exakte Sequenz von Vektorb¨ d.h. faserweise ist i injektiv, p surjektiv und Ker(p) = Bild(i). Falls zwei der B¨ undel orientierbar sind, so ist es auch das dritte. (Ben¨ utze, daß jede kurze exakte Sequenz von Vektorb¨ undel nach 26.7 splittet, d.h. E1 ∼ = E0 ⊕ E2 , und dann (1).) 346

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46. Orientierbarkeit

46.8

3. Ist das Vektorb¨ undel E → M orientierbar und f : N → M glatt, so ist auch das induzierte B¨ undel f ∗ (E) → N orientierbar. (W¨ahle auf (f ∗ (E))x ∼ = Ef (x) die Orientierung von Ef (x) ) 4. Sind 2 der folgenden 3 Objekte orientierbar, so auch das dritte: E → M als Vektorb¨ undel, E als Mannigfaltigkeit, M als Mannigfaltigkeit (Ben¨ utze die kurze exakte Sequenz aus 26.8 : p∗ (E) → T E → p∗ (T M ), sowie die Tatsache, daß E → M das von 0 : M → E induzierte B¨ undel zu p∗ (E) → E und T M → M das von 0 : M → E induzierte B¨ undel zu p∗ (T M ) → E ist, ∗ also M genau dann orientierbar ist, wenn p (T M ) → E es ist, und E genau dann, wenn p∗ (E) → E es ist). 46.7 Beispiele 1. Vektorb¨ undel mit eindimensionaler Faser sind genau dann orientierbar, falls sie trivial sind. Alle 1-dimensionalen Mannigfaltigkeiten sind orientierbar. Das Vektorb¨ undel M¨ ob → S 1 ist nicht orientierbar, ebensowenig das M¨obiusband als Mannigfaltigkeit nach Bemerkung 46.6.4 . 2. Jedes komplexe Vektorb¨ undel ist orientierbar, denn GL(Cn ) ⊆ GL+ (R2n ) nach 14.14 oder auch weil GL(Cn ) zusammenh¨angend ist und die orientierungserhaltende Identit¨at enth¨alt. Das Tangentialb¨ undel einer komplexen Mannigfaltigkeit ist ein komplexes Vektorb¨ undel und daher orientierbar. Somit ist also jede komplexe Mannigfaltigkeit selbst orientierbar. 3. Eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit ist genau dann orientierbar, wenn eine komplexe Struktur existiert. [17] 4. Sei E → M ein Vektorb¨ undel mit einfach zusammenh¨angender Basismannigfaltigkeit M , dann ist das Vektorb¨ undel E → M orientierbar, da wir l¨ angs Kurven in der Basis die Orientierung der Fasern fortsetzen k¨onnen und diese nicht von der gew¨ahlten Kurve abh¨angt, da die Basis einfach zusammenh¨ angend ist. Insbesondere ist jede einfach zusammenh¨angende Mannigfaltigkeit orientierbar. 46.8 Lemma (Nullstellenmengen sind orientierbar). Sei U ⊆ Rm offen, f : U → Rk glatt und rang f 0 (x) = k f¨ ur alle x ∈ U . Dann ist f −1 (0) orientierbar. Beweis. Sei M := f −1 (0). Dann ist Tx M = Ker Tx f nach 21.2 bzw. 21.14.2 . Folglich ist T M ,→ T Rm |M → f ∗ (T Rk )|M eine kurze exakte Sequenz von Vektorb¨ undel u undel sind, sind auch die Pullback¨ber M . Da T Rm und T Rk triviale B¨ B¨ undel T Rm |M und f ∗ (T Rk )|M orientierbar und somit auch T M → M , also ist M orientierbar nach 46.6.2 . Wir wollen zeigen, daß T M → M orientierbar ist. Wir verwenden (2) der Proposition 46.2 : Seien vi ∈ Rm mit i = 1, . . . k so gew¨ahlt, daß (Tp f · vi )ki=1 eine positiv orientierte Basis von Rk ist. Wir erg¨anzen dann die m vi zu einer positiv orientierten Basis (vi )m ur i > k. i=1 im R , sodaß die vi ∈ Tp M f¨ Die (vi ) mit i > k bilden dann eine die Orientierung definierende Basis in Tp M , womit wir eine Orientierung auf der Faser erhalten haben. Sei ϕ ein lokaler Diffeomorphismus des Rm , der die Teilmannigfaltigkeit f −1 (0) = M trivialisiert, d.h. ϕ({0} × Rm−k ) = M ∩ Bild ϕ. Die Einschr¨ankung ϕ|Rm−k ist also eine Karte f¨ ur M . Die Ableitung ϕ0 (x) ist die zugeh¨orige VB-Karte: Rm−k → Tp M = Ker(f 0 (ϕ(p))) um ϕ(x) = p. Sie ist die Einschr¨ ankung von ϕ0 (x) : Rm → Rm . Die Ableitung (f ◦ ϕ|Rk )0 (x) = 0 0 f (p) ◦ (ϕ|Rk ) (x), Rk → Rm → Rk ist ein VR-Isomorphismus, denn rang(f ◦ ϕ)0 = c 15. Dezember 2008 [email protected]

347

46.10

46. Orientierbarkeit

rang f 0 = k und (f ◦ ϕ)0 (ei ) = 0 f¨ ur i > k. Die Ableitung ist durch Spiegeln einer Koordinate im “ersten” Rk o.B.d.A. orientierungserhaltend. Weiters ist o.B.d.A. ϕ : Rm → Rm orientierungserhaltend (Vertausche dazu Koordinaten im “ersten” 0 0 Rm−k ⊆ Rm ), d.h. (ϕ0 (x)(ei ))m ur i ≤ k sind positiv orii=1 und f (p)(ϕ (x)(ei )) f¨ 0 entiert, also ist die Erg¨ anzung (ϕ (x)(ei )), i > k, nach Definition eine positiv orientierte Basis von Tp M . Somit ist ϕ0 eine positiv orientierte VB-Karte f¨ ur T M .

46.9 Beispiele 1. Alle S n sind orientierbar. 2. Alle kompakten 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten im R3 sind orientierbar, siehe Klassifikationssatz 9.2 . 3. P1 ∼ = S 1 ist orientierbar. Die projektive Ebene P2 enth¨alt ein M¨obiusband als offenen Teil, also ist sie nicht orientierbar. Allgemein gilt: Pn ist orientierbar ⇔ n ungerade. 4. T M ist als Mannigfaltigkeit immer orientierbar, als Vektorb¨ undel hingegen nur, wenn M als Mannigfaltigkeit orientierbar ist: F¨ ur jedes beliebige Vektorb¨ undel p : E → M haben wir nach 26.8 die kurze exakte Sequenz p∗ (E) → T E → p∗ (T M ). Im Falle E = T M und p = πM reduziert sich das auf π ∗ (T M ) → T (T M ) → π ∗ (T M ), also ist T 2 M → T M als Vektorb¨ undel isomorph zu π ∗ (T M ) ⊕ π ∗ (T M ). Die Summe gleicher B¨ undel ist aber immer orientierbar. W¨ahlt man auf den Fasern der beiden Summanden die gleiche Orientierung, so ergibt das auf der Summe offenbar eine Orientierung, die, unabh¨angig von der jeweiligen Wahl, positiv ist. 46.10 Die Orientierungs¨ uberlagerung Sei M eine Mannigfaltigkeit, M or := {(p, ω) : p ∈ M , ω Orientierung auf Tp M }. Wir definieren einen Atlas A f¨ ur M or mittels Karten ϕ f¨ ur M durch ϕ± : Dom ϕ → or M , x 7→ (ϕ(x), ±ω) wobei ω die Orientierung, die unter T ϕ aus der Standardorientierung des Rn entsteht, ist. Zu zeigen ist, daß A ein C ∞ -Atlas auf M or ist. Seien −1 ϕ und ψ Karten auf M , dann folgt ϕ−1 + ◦ ψ+ (und genauso ϕ+ ◦ ψ− , etc.) ist der m −1 0 offenen Menge {x ∈ R : (ϕ ◦ ψ) (x) ist orientierungserhaltend (vertauschend)} definiert und stimmt dort mit ϕ−1 ◦ ψ u ¨berein: x ∈ Dom(ϕ−1 + ◦ ψ+ ) ⇔x ∈ Dom(ϕ−1 ◦ ψ) s.d. Tx ψ und T(ϕ−1 ◦ψ)(x) ϕ induzieren die gleiche Orientierung ⇔x ∈ Dom(ϕ−1 ◦ ψ) s.d. (ϕ−1 ◦ ψ)0 (x) ist orientierungserhaltend ¨ Es ist pr1 : M or → M eine zweibl¨attrige Uberlagerung von M , sie heißt Orientierungs¨ uberlagerung. Die Mannigfaltigkeit M or ist orientiert: Die Orientierung auf T(p,ω) M or ∼ = Tp M ist ω. ∼ M × {−1, 1}, denn: Es gilt außerdem: M ist orientierbar ⇔ M or = (⇐) Die Einbettung M ,→ M × {−1, 1} ∼ = M or ist offen und M or ist orientiert. Also ist M orientierbar. (⇒) Ist M orientierbar, dann gibt es auf Tp M eine ausgezeichnete Orientierung ω. Somit liefern p 7→ (p, ω) bzw. p 7→ (p, −ω) eine Trivialisierung M × {−1, 1} ∼ = M or . 348

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47.2

46. Orientierbarkeit 46.11 Beispiel

(1) Ein zweifach verdrehtes M¨obiusband ist die Orientierungs¨ uberlagerung des M¨obiusbandes.

(2) S n = (Pn )or f¨ ur n ungerade.

47. Integration und der Satz von Stokes 47.1 Proposition (Pull-back von Volumsformen). Sei f : M → N glatt, dim M = m = dim N und (x1 , . . . , xm ) lokale Koordinaten von M und (y 1 , . . . , y m ) solche von N . Dann gilt:   ∂(y i ◦ f ) f ∗ (g · dy 1 ∧ · · · ∧ dy m ) = (g ◦ f ) det dxi ∧ · · · ∧ dxm . ∂xi Beweis. O.B.d.A. g = 1 und f ∗ (dy 1 ∧ · · · ∧ dy m ) = ω · (dx1 ∧ · · · ∧ dxm ). Wenden ∂ ∂ wir dies auf ( ∂x 1 , . . . , ∂xm ) an, so folgt (siehe auch 42.2 ):   ∂ ∂ ω = f ∗ (dy 1 ∧ · · · ∧ dy m ) , . . . , ∂x1 ∂xm   ∂ ∂ = (dy 1 ∧ · · · ∧ dy m ) T f 1 , . . . , T f m ∂x ∂x ! X ∂f i1 ∂ X ∂f im ∂ 1 m = (dy ∧ · · · ∧ dy ) ,..., ∂x1 ∂y i1 ∂x1 ∂y im i1 im Y  m X ∂ ∂(y π(i) ◦ f ) ∂ , . . . , = (dy 1 ∧ · · · ∧ dy m ) π(1) π(m) ∂xi ∂y ∂y π i=1   ∂(y j ◦ f ) = det ∂xi

47.2 Bemerkung Speziell f¨ ur f = id und g = 1 gilt: dy 1 ∧ · · · ∧ dy m = det



∂y j ∂xi



dx1 ∧ · · · ∧ dxm .

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349

47.5

47. Integration und der Satz von Stokes

47.3 Proposition. M ist orientierbar ⇔ Das Vektorb¨ undel Λm T ∗ M ist trivial. Beweis. (⇒) Wir m¨ ussen zeigen: Es gibt ein ω ∈ Λm T ∗ M , sodaß ωp 6= 0 f¨ ur alle p ∈ M ist (Ein solches ω liefert dann unmittelbar eine VB-Karte des (eindimensionalen!) B¨ undels Λm T ∗ M → M ). Auf den Bild U jeder orientierungserhaltenden Karte ∂ ∂ (u1 , . . . , um )−1 k¨ onnen wir ωU durch ωU ( ∂u 1 , . . . , ∂um ) := 1 definieren. Es ist dann ¨ ωU (v1 , . . . , vm ) > 0 f¨ ur jede positiv orientierte Basis. Wir w¨ahlen eine Uberdeckung von M mit solchen offenen Mengen U und zugeh¨origen ωU , und P sei {fU } eine untergeordnete Partition der Eins. Wir definieren ω durch ω := U fU · ωU ∈ Ωm (M ). Dann ist ωp (v1 , . . . , vm ) > 0 f¨ ur jede positiv orientierte Basis von Tp M , also insbesonders ωp 6= 0. (⇐) Sei f : M × R → Λm T ∗ M ein globaler Vektorb¨ undelisomorphismus, dann ist ω := f ( × {1}) eine nirgends verschwindende m-Form. Wir nennen die Basis (vi )m i=1 auf Tp M positiv orientiert, falls ωp (v1 , . . . vm ) > 0. Sei ϕ eine Karte mit zusammenh¨ angender Dom¨ ane und (x1 , . . . xm ) lokale Koordinaten:   ∂ ∂ , . . . , m 6= 0 ⇒ ω(. . . ) > 0 (bzw. < 0) u ωp ¨berall. ∂x1 ∂x undel orientierbar und somit Nach Proposition 46.2 ist also T M → M als Vektorb¨ ist M als Mannigfaltigkeit orientierbar. 47.4 Motivation Wir k¨ onnen Funktionen f : M → R nicht so ohne weiteres u ¨ber eine Mannigfaltigkeit integrieren. Sehen wir uns dazu den einfachsten Fall der 1-dimensionalen Mannigfaltigkeiten an. Wenn M ein Intervall in R mit Grenzen a und b ist, dann R Rb mißt das u ¨bliche Riemann-Integral M f = a f die orientierte Fl¨ache unterhalb des Graphens von f . Damit wir das Integral f¨ ur eine beliebige 1-dimensionale Mannigfaltigkeit M auch definieren k¨ onnen, brauchen auf jeden Fall eine Orientierung auf M . In diesem Kapitel seien also alle Mannigfaltigkeiten orientiert. Weiters m¨ ussen wir aber auch (infinitesimale) L¨angen (bzw. Volumina) auf M messen k¨onnen. Falls M eine Riemann-Mannigfaltigkeit ist, dann k¨onnen wir das mittels der Volumsform volM tun, im eindimensionalen Fall also mit dem Bogenelement. Auf abstrakten Mannigfaltigkeiten brauchen wir ein Substitut f¨ ur das Volumselement. Im 1-dimensionalen, w¨ are das eine 1-Form ω ∈R Ω1 (M ) (welche in keinem Punkt verschwindet). Dann k¨ onnten wir das Integral M f · ω von ¨ber R f bzgl. ω u M definieren. Da aber f · ω selbst eine 1-Form ist, gen¨ ugt es M ω f¨ ur beliebige 1-Formen ω ∈ Ω1 (M ) zu erkl¨ aren. Sei dazu c : [a, b] → M eine orientierungserhalR Rb tende globale Parametrisierung, dann ist M ω := a ωc(t) (c(t)) ˙ dt das wie u ¨blich definierte Kurvenintegral. Auf allgemeinen orientierten m-dimensionalen Mannigfaltigkeiten M wollen wir R nun das Integral M ω f¨ ur beliebige m-Formen Ωm (M ) mit kompaktem Tr¨ager definieren. 47.5 Definition (Integration von Differentialformen) Sei M eine orientierte m-dimensionale Mannigfaltigkeit und ω ∈ Ωm (M ) mit kompaktem Tr¨ ager. 350

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47.5

47. Integration und der Satz von Stokes 1. Falls M = U ⊆ Rm offen ist, dann l¨aßt sich ω als ω(x1 , . . . , xm ) = f (x1 , . . . , xm ) dx1 ∧ · · · ∧ dxm

mit f ∈ C ∞ (U, R) schreiben. Das Integral definieren wir dann als gew¨ohnliches Riemann-Integral: Z Z ω := f (x1 , . . . , xm ) d(x1 , . . . , xm ). M

U

2. Falls Trg ω ⊆ ϕ(U ) f¨ ur eine orientierungserhaltende Karte ϕ : Rm ⊇ U → ϕ(U ) ⊆ M ist, definieren wir: Z Z ω := ϕ∗ (ω). M

U

¨ 3. Ist Trg ω beliebig kompakt, so w¨ahlen wir eine endliche, offene Uberdeckung mit Kartenumgebungen von Trg ω, sowie eine Partition der Eins {hi }, die ¨ der Uberdeckung untergeordnet ist. Dann hat jedes hi · ω Tr¨ager in einer Karte, und somit k¨ onnen wir nach (2) definieren: ! Z Z X XZ ω= hi ω := hi ω. M

M

i

i

M

Bemerkung Diese Definitionen sind sinnvoll, d.h. die Begriffe h¨angen nicht von den getroffenen Wahlen ab: Im Fall (1) ist nichts zu zeigen. Aber man beachte, daß f¨ ur jeden orientierungserhaltenden Diffeomorphismus g : Rm ⊇ V → U ⊆ Rm gilt: Z Z ω= g ∗ (ω), g(V )

V

denn falls ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxm ist, so ist (g ∗ (ω))(x) = (f ◦ g)(x) det(g 0 (x)) dx1 ∧ · · · ∧ dxm | {z } >0

ur mehrnach 47.1 und somit die Integrale gleich nach der Transformationsformel f¨ dimensionale Integrale, siehe z.B. [60, 7.5.10] Im Fall (2) sei Trg ω ⊆ ϕ(U ) ∩ ψ(V ) =: W f¨ ur zwei Karten ϕ und ψ. Sei der Kartenwechsel g := ϕ−1 ◦ ψ : ψ −1 (W ) → ϕ−1 (W ) ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus. Dann gilt Z Z ∗ ϕ (ω) = U

∗

ϕ−1 (W )

Z

ϕ (ω) = Z =

(1)

ϕ∗ (ω) ==

g(ψ −1 (W ))

ψ −1 (W )

∗

∗

g (ϕ (ω)) = | {z }

Z

∗

Z

ψ (ω) = ψ −1 (W )

ψ ∗ (ω).

V

(ϕ◦g)∗ (ω)

Diese Gleichung folgt aus dem in (1) Gesagten. c 15. Dezember 2008 [email protected]

351

47.7

47. Integration und der Satz von Stokes

¨ Im Fall (3) sei {gj } eine zweite Partition der Eins, die einer endlichen Uberdeckung des Tr¨ agers mit Kartenumgebungen untergeordnet ist. Dann gilt

XZ i

M

hi ω =

X Z X i

M



gj hi ω =

XXZ

j

i

gj hi ω =

M

j

X Z X

=

j

M

 XZ hi gj ω =

i

j

gj ω.

M

47.6 Bemerkung (Dichten)

Falls wir u ¨ber nicht orientierbaren Mannigfaltigkeiten integrieren wollen, brauchen wir etwas anderes als m-Formen. Dazu definieren wir ein eindimensionales Vektorb¨ undel vol (M ) durch Angabe der Transitionsfunktionen x 7→ | det ψ 0 (x)| ∈ GL(1) zu den Kartenwechseln ψ von M . Schnitte von vol(M ) heißen Dichten, solche kann man dann u ¨ber M integrieren. Falls M orientierbar ist, ist vol(M ) ∼ = Λm T ∗ M .

47.7

Wir steuern jetzt auf den Satz von Stokes zu: Nach dem Hauptsatz [59, 5.2.2] der Rb Differential- und Intergalrechnung ist a f 0 (x)dx = f (b) − f (a). Insbesondere gilt: R0 R0 f 0 = a f 0 = f (0), falls Trg f kompakt ist und a unterhalb des Infimums von −∞ Trg f liegt.

Lemma (Satz von Stokes f¨ ur Halbraum). Sei H = H m+1 := {(t, x) : t ≤ 0, x ∈ Rm } ein (m+1)-dimensionaler Halbraum. Die Teilmenge ∂H := {(0, x) : x ∈ Rm } ∼ = Rm heißt der Rand von H, und m+1 f¨ ur eine m-Form ω im R mit kompaktem Tr¨ ager gilt:

Z

Z dω =

H

Z ω :=

∂H

incl∗ ω,

∂H

wo incl : ∂H ,→ H die Inklusion ist. 352

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47.8

47. Integration und der Satz von Stokes Beweis. Es gilt f¨ ur ω ∈ Ωm (Rm+1 ): m − − − − − − −q X p− ω= ωi dx0 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxm ; i=0 m X m − − − − − − −q X ∂ωi p− dxj ∧ dx0 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxm + 0 dω = j ∂x i=0 j=0

=

m X ∂ωi

∂xi

i=0

Z ⇒

m X

(−1)i dx0 ∧ · · · ∧ dxm ⇒ Z

∂ωi Fubini d(x0 , . . . , xm ) ===== i ∂x H i=0  Z Z 0 ∂ω0 0 1 m 0 = (x , x , . . . , x ) dx d(x1 , . . . , xm ) 0 ∂x m −∞ R  Z Z +∞ m − −q X ∂ωi i p− i + (−1) dx d(x0 , . . . , xi , . . . , xm ) −∞ ∂xi Hi Z i=1 = ω0 (0, .) + 0,

dω = H

(−1)i

Rm

− wobei Hi := {(t, x1 , . . . , p− x−qi , . . . , xm ) : t ≤ 0} ist, und der 2te Summand 0 ist, da Trg ω kompakt ist. Andererseits gilt Z Z ω= incl∗ ω ∂H

∂H 42.2

Z

==== = =

m X

∂H i=0

Z

− −q   0 p− i ∂(x ,..., x ,...,xm ) dx1 ∧ · · · ∧ dxm ωi (0, x , . . . , x ) det 1 m ∂(x ,...,x ) 1

m

ω0 (0, x1 , . . . , xm ) d(x1 , . . . , xm ) + 0,

= Rm

denn

( − −  ∂(x0 , . . . , p− 1 xqi , . . . , xm )  det = 1 m ∂(x , . . . , x ) 0

f¨ ur i = 0 sonst

¨ Wir wollen diese Uberlegungen nun auf R¨aume u ¨bertragen, die nur lokal wie H aussehen: 47.8 Definition (Berandete Mannigfaltigkeit) Eine C ∞ -Mannigfaltigkeit mit Rand ist eine Menge M zusammen mit einem Atlas A von injektiven Abbildungen ϕ : U → M , wobei U ⊆ H offen in einem abgeschlossenen Halbraum H, und die Kartenwechsel ψ −1 ◦ϕ : ϕ−1 (ψ(V )) → ψ −1 (ϕ(U )) auf offenen Teilmengen von Halbr¨aumen definiert und glatt sind.

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353

47.12

47. Integration und der Satz von Stokes

Dabei heißt eine Abbildung zwischen solchen Mengen glatt, wenn es eine glatte Fortsetzung auf offene Mengen im Rm gibt. Wie u ¨blich setzen wir voraus, daß die durch den Atlas induzierte finale Topologie Hausdorff und parakompakt ist. Der Rand von M (nicht im topologischen Sinn) ist dann definiert als ∂M := {p ∈ M : ∃ eine Karte ϕ um p mit ϕ−1 (p) ∈ ∂H}. Da der Kartenwechsel ein lokaler (Diffeomorphismus und somit) Hom¨oomorphismus des Rn ist, erh¨ alt er innere Punkte, und folglich ist p ∈ ∂M ⇔ ϕ−1 (p) ∈ ∂H f¨ ur jede Karte ϕ um p. Der Rand ∂M ist dann eine Mannigfaltigkeit (ohne Rand). Ein Atlas auf ∂M ist durch die Einschr¨ankungen ϕ|∂M gegeben. Man kann die Begriffe T M , T ∗ M , C ∞ (M, N ), Λk T ∗ M und Ωk (M ) wie auf Mannigfaltigkeiten ohne Rand definieren. 47.9 Definition (innerer Tangentialvektor) Ein Vektor v ∈ Tp M heißt innerer Tangentialvektor falls p ∈ / ∂M oder T ϕ−1 (p, v) ∈ Tϕ−1 (p) H ⊆ R × Rm−1 0-te Komponente kleiner als 0 hat. 47.10 Lemma (Verl¨ angern berandeter Mannigfaltigkeiten). Jede Mannigfaltigkeit mit Rand l¨ aßt sich zu einer Mannigfaltigkeit ohne Rand “verlangern”, d.h. sie ist Teilmannigfaltigkeit der gleichen Dimension: ¨ Beweisskizze. Mittels Partition der Eins findet man ein VF auf M , das nur aus inneren Tangentialvektoren besteht. Durch “Zusammenstauchen” kann dessen Fluß global gemacht werden: Fl(1, .) : M → M \ ∂M ist dann eine Einbettung von M in die Mannigfaltigkeit ohne Rand M \ ∂M . Beispiele f¨ ur berandete Mannigfaltigkeiten sind: das abgeschlossene M¨obiusband und die abgeschlossene Kugel. 47.11 Lemma (Rand eines Mannigfaltigkeit). Der Rand einer orientierten Mannigfaltigkeit M mit Rand ist in kanonischer Weise orientierbar. Beweis. Eine Basis (ei )m i=1 von Tp (∂M ) heißt positiv orientiert, falls (e0 , . . . , em ) in Tp M positiv orientiert ist f¨ ur einen nach außen weisenden Tangentialvektor e0 . (d.h. −e0 ist innerer Tangentialvektor) 47.12 Satz von Stokes. Sei M eine (n+1)-dimensionale orientierte Mannigfaltigkeit mit Rand ∂M und dieser trage die kanonische Orientierung. Sei ω ∈ Ωn (M ) mit Trg ω kompakt, dann gilt: Z Z Z dω =

incl∗ ω

ω :=

M

∂M

(wobei incl : ∂M ,→ M )

∂M

¨ Beweis. Sei {hi } eine Partition derP Eins, die einer Uberdeckung mit Kartenbildern untergeordnet ist. Dann ist ω = ω mit Formen ω := h · ω mit Tr¨ager in i i i i Kartenbildern. Somit ist X dω = d(ωi ), Trg d(ωi ) ⊆ Trg(ωi ) ⊆ Trg(hi ) ⇒ i

Z ⇒

dω = M

354

XZ i

M

Z d(ωi ),

ω= ∂M

XZ i

∂M

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ωi .

48.2

47. Integration und der Satz von Stokes

Es gen¨ ugt also, den Beweis f¨ ur die Situation, wo Trg ω in R einer Kartenumgebung R liegt, zu f¨ uhren. Also o.B.d.A. ω ∈ Ωn (Rn+1 ) und somit H ∂ω = ∂H ω. F¨ ur diese Situation wurde das in 47.7 bereits gezeigt.

48. Integration auf Riemann-Mannigfaltigkeiten 48.1 Bemerkungen 1. Die Volumsform auf einer m-dimensionalen orientierten Riemann-Mannigfaltigkeit M ist jene eindeutig bestimmte m-Form volM , welche punktweise auf positiv orientierten Orthonormalbasen von T M den Wert 1 hat, siehe 41.2 . In lokalen Koordinaten ist sie gegeben durch: √ volM = G du1 ∧ · · · ∧ dum
∂ ∂ mit G := det((gi,j )i,j ) und gi,j := g ∂u , i , ∂uj wobei g die Riemann-Metrik auf M ist. 2. Sei N eine orientierte Teilmannigfaltigkeit von Kodimension 1 der (n+1)dimensionalen orientierten Riemann-Mannigfaltigkeit M und sei νx f¨ ur x ∈ N der eindeutig bestimmte Vektor in Tx M , sodaß (νx , e1 , . . . , en ) eine positiv orientierte Orthonormalbasis in Tx M ist f¨ ur eine (jede) orientierte Orthonormalbasis (e1 , . . . , en ) von Tx N . Sei ν zu einem Vektorfeld gleichen Namens auf ganz M fortgesetzt, so gilt volN = inkl∗ (iν (volM )) auf N, denn volN (e1 , . . . , en ) = 1 = volM (νN , e1 , . . . , en ) = (iνN volM )(e1 , . . . , en ). Insbesonders gilt das f¨ ur den Rand N = ∂M einer berandeten Mannigfaltigkeit M . Der Vektor ν ist dann der nach außen weisende Einheitsnormalvektor. 3. Sei allgemeiner ξ ∈ X(M ) ein beliebiges Vektorfeld. Dann ist div ξ · volM = Lξ volM nach 43.2 und es gilt auf ∂M : incl∗ (iξ volM ) = hξ, ν∂M i · vol∂M auf ∂M, denn (iξ volM )(e1 , . . . , em ) = volM (ξ, e1 , . . . , em ) =   = volM hξ, νiν + (ξ − hξ, νiν), e1 , . . . , em | {z } | {z } ∈(T (∂M ))⊥

∈T (∂M )

= hξ, νi · volM (ν, e1 , . . . , em ) + 0 = hξ, νi · vol∂M (e1 , . . . , em ). 48.2 Greensche Satz. Sei M eine orientierte Riemann-Mannigfaltigkeit mit Rand und sei ξ ∈ X(M ) mit kompaktem Tr¨ ager. Dann gilt Z Z div ξ · volM = hξ, ν∂M i · vol∂M . M

∂M

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355

48.5

48. Integration auf Riemann-Mannigfaltigkeiten

Beweis. Es gilt: Z Z Z 43.2 42.7 ==== = ==== = div ξ · volM = Lξ volM = (d ◦ iξ + iξ ◦ d) volM M M M Z Z Stokes = d(iξ volM ) + 0 ===== incl∗ (iξ volM ) M ∂M Z = hξ, ν∂M i · vol∂M . ∂M

48.3 Produktregeln grad(f · g) = g · grad(f ) + f · grad(g) div(f · ξ) = f · div(ξ) + df · ξ = f · div(ξ) + hgrad(f ), ξi ∆(f · g) = f · ∆(g) + ∆(f ) · g − 2hgrad(f ), grad(g)i, siehe Aufgabe 72.69 . 48.4 Greensche Formeln. Sei M eine kompakte orientierte Riemann-Mannigfaltigkeit mit Rand und seien f und h in C ∞ (M, R). Dann gilt: Z  Z  hgrad f, grad hi − f · ∆h · vol = f · hgrad h, νi · vol M ∂M Z Z (f · ∆h − h · ∆f ) · vol = − (f dh − h df )(ν) · vol M

∂M

Beweis. (1) Es gilt div(f · grad h) = f · div(grad h) + hgrad f, grad hi = −f · ∆h + hgrad f, grad hi und somit f¨ ur ξ = f · grad h: Z  Z  hgrad f, grad hi − f · ∆h · volM = div(f · grad h) · volM = M

M

Z

48.2

Z

div ξ · volM = ==== =

= ZM =

hξ, ν∂M i · vol∂M Z hf · grad h, ν∂M i · vol∂M = f · hgrad h, ν∂M i · vol∂M ∂M

Z∂M

∂M

f · dh(ν∂M ) · vol∂M .

= ∂M

(2) Vertauscht man f und h in (1) und zieht das Resultat von (1) ab so erh¨alt man die zweite Greensche Formel. 48.5 Folgerung (Subharmonische Funktionen sind konstant). Sei M eine kompakte, orientierte Riemann-Mannigfaltigkeit ohne Rand. Dann ist jede subharmonische Funktion f ∈ C ∞ (M, R) – d.h. ∆f ≤ 0 – konstant. Insbesonders gilt dies f¨ ur harmonische Funktionen, d.h. die station¨ aren Punkte f der W¨ armeleitungsgleichung ∆f = 0. Beweis. W¨ ahlen wir Formel die erste Funktion konstant R in der 1.ten Greenschen R 1, so erhalten wir M −∆f · volM = ∅ df (ν) · vol = 0. Wegen ∆f ≤ 0 ist also ∆f 356

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48. Integration auf Riemann-Mannigfaltigkeiten

49.2

konstant 0, i.e. f harmonisch. Nach der 1.ten Greenschen Formel f¨ ur h = f erhalten wir analog Z   Green 0= ==== = | grad f |2 − f · ∆f · volM |{z} M =0 Z = | grad f |2 · volM , M

also ist grad f = 0 und somit ist f konstant.

49. Der Laplace-Beltrami-Operator 49.1 Der Laplace-Beltrami-Operator ist selbstadjungiert Was l¨ aßt sich allgemein u ¨ber den Laplace-Beltrami-Operator ∆ := dd∗ + d∗ d : Ω(M ) → Ω(M ) einer kompakten orientierten Riemann-Mannigfaltigkeit M aussagen? Auf jedem homogenen Teil Ωk (M ) haben wir nach 41.3 ein inneres Produkt, welches gegeben ist durch Z



 α, β Ωk (M ) := α(.), β(.) Vk T ∗ M volM . M

∗

Es gilt, daß d und d formal adjungierte Operatoren bez¨ uglich diesem inneren Produkt sind, denn nach 41.4 : α ∧ ∗β = hα, βi · vol f¨ ur α, β ∈ Ωk (M ) und f¨ ur α ∈ Ωk und β ∈ Ωk−1 rechnen wir wie folgt   D E 43.3 hα, dβi − hd∗ α, βi vol = ==== = hdβ, αi vol − β, (−1)km+m+1 ∗ d ∗ α vol = dβ ∧ ∗α + (−1)km+m β ∧ ∗ ∗ d ∗ α 41.4

==== = dβ ∧ ∗α + (−1)km+m β ∧ (−1)(m−k+1)(k−1) d ∗ α = = dβ ∧ ∗α + (−1)k−1 β ∧ d ∗ α = d(β ∧ ∗α). Z Z ∗ hα, dβi vol = hd α, βi vol + d(β ∧ ∗α) . M M | M {z }

Z ⇒

∗

=0 ∗

Somit ist der Laplace-Beltrami-Operator ∆ = dd + d d symmetrisch, d.h. h∆α, βi = hα, ∆βi Er ist auch positiv, denn h∆α, αi = h(dd∗ + d∗ d)α, αi = hd∗ α, d∗ αi + hdα, dαi ≥ 0. Wegen dieser Gleichung gilt auch: ∆α = 0 ⇔ dα = 0 = d∗ α, also Ker(∆) = Ker(d) ∩ Ker(d∗ ). Die Formen im Kern von H werden auch als harmonische Formen bezeichnet. Der Operator ∆ ist ein linearer Differentialoperator vom Grad 2. Man kann zeigen, daß er elliptisch ist, siehe [100, 6.35] und damit folgende Lemmas gelten: 49.2 Lemma. Eine Folge von k-Formen αn ∈ Ωk (M ), f¨ ur die sowohl {kαn k2 := hαn , αn i : n ∈ c 15. Dezember 2008 [email protected]

357

49.4

49. Der Laplace-Beltrami-Operator

N} als auch {k∆(αn )k2 : n ∈ N} beschr¨ ankt ist, besitzt eine Cauchy-Teilfolge im normierten Raum Ωk (M ). Ohne Beweis, siehe [100, 6.6]. 49.3 Lemma. Jede schwache L¨ osung α von ∆α = γ ist eine wirkliche L¨ osung, d.h. Aus α ∈ L(Ωk (M ), R) mit hγ, βi = α(∆(β)) f¨ ur alle β ∈ Ωk (M ) folgt, daß ein α ˜ ∈ Ωk (M ) existiert mit α(β) = h˜ α, βi f¨ ur alle β. Ohne Beweis, siehe [100, 6.5]. 49.4 Theorem von Hodge. Sei M eine kompakte orientierte Riemann-Mannigfaltigkeit so gilt: 1. dim(Ker ∆) < ∞. 2. ∆ : (Ker ∆)⊥ → Im ∆ ist eine offene Abbildung. 3. Im ∆ = (Ker ∆)⊥ . Beweis. (1) Angenommen Ker ∆ ist unendlich-dimensional, dann existiert eine orthogonale Folge von ϕn ∈ Ker ∆. Diese nach 49.2 eine Cauchy-Teilfolge, ein Widerspruch zu kϕn − ϕm k2 = kphn k2 + kϕm k2 = 1. (2) Klarerweise ist ∆ : (Ker ∆)⊥ → Im ∆ bijektiv. Behauptung: ∃ c ∀ β ∈ (Ker ∆)⊥ : kβk ≤ ck∆βk (also ist ∆−1 : Bild ∆ → (Ker ∆)⊥ stetig). Wir wollen die Behauptung indirekt beweisen. Angenommen ∃ βn ∈ (Ker ∆)⊥ mit kβn k = 1 und k∆βn k → 0. Nach Lemma 49.2 d¨ urfen wir annehmen, daß βn eine Cauchy-Folge ist. Also existiert `(ψ) := lim hβn , ψi f¨ ur alle ψ ∈ Ωk . n→∞

p

Das lineare Funktional ` : Ω → R ist beschr¨ankt, denn |`(ϕ)| ≤ supn |hβn , ϕi| ≤ 1 · kϕk und es gilt `|Ker ∆ = 0, denn βn ∈ (Ker ∆)⊥

ϕ ∈ Ker ∆ ⇒ `(ϕ) = limhβn , ϕi = =========== = lim 0 = 0 n

n

aber auch `|Im ∆ = 0, denn `(∆ϕ) = lim hβn , ∆ϕi = lim h∆βn , ϕi = 0. n→∞

n→∞

Also ist ` eine schwache L¨ osung von ∆` = 0. Nach Lemma 49.3 ist es eine wirkliche L¨ osung, d.h. ∃ β ∈ Ωk : `(ψ) = hβ, ψi f¨ ur alle ψ ∈ Ωk . Somit ist β ∈ (Ker ∆)⊥ , denn hβ, ψi = `(ψ) = 0 f¨ ur ψ ∈ Ker ∆, und β 6= 0, ja sogar kβk = limn kβn k = 1. Aber es ist 0 = `(∆ϕ) = hβ, ∆ϕi = h∆β, ϕi f¨ ur alle ϕ ∈ Ωk und somit ∆β = 0. Das ist ein Widerspruch. (3) Die Idee zum Beweis von Im ∆ = (Ker ∆)⊥ ist die Gleichung (Ker T )⊥ = Im(T ∗ ) aus der linearen Algebra f¨ ur lineare Abbildungen zwischen endlich dimensionalen Vektorr¨ aumen. Im unendlich-Dimensionalen stimmt diese so nicht mehr, aber mittels der Elliptizit¨ at k¨ onnen wir sie nun f¨ ur T := ∆ zeigen. (⊆) Es gilt Bild ∆ ⊆ (Ker ∆)⊥ , denn f¨ ur β ∈ Ker ∆ ist h∆α, βi = hα, ∆∗ βi = 0 da ∆ symmetrisch ist. (⊇) Sei α ∈ (Ker ∆)⊥ . Wir definieren `(∆ϕ) := hα, ϕi f¨ ur alle ϕ ∈ Ωk . Dann ist ` : Bild ∆ → R wohldefiniert, denn aus ∆ϕ1 = ∆ϕ2 folgt ϕ1 − ϕ2 ∈ Ker ∆ und 358

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49.8

49. Der Laplace-Beltrami-Operator

somit hα, ϕ1 − ϕ2 i = 0. Und ` : Bild ∆ → R ist beschr¨ankt, denn f¨ ur den auf Ker ∆ orthogonal stehenden Anteil ψ von ϕ gilt: ∆ϕ = ∆ψ und somit |`(∆ϕ)| = |`(∆ψ)| = |hα, ψi| ≤ kαk · kψk ≤ c · kαk · k∆ψk = c · kαk · k∆ϕk Also ist ` nach dem Satz von Hahn-Banach (siehe [49, 7.2.1]) erweiterbar zu ankten linearen Funktional auf Ωk . Diese Erweiterung ist aber eine einem k k-beschr¨ schwache L¨ osung von ∆` = α, und somit existiert nach Lemma 49.3 ein ω ∈ Ωk mit hω, ψi = `(ψ) f¨ ur alle ψ. Und somit h∆ω, ψi = hω, ∆∗ ψi = `(∆ψ) = hα, ψi ∀ ψ also ist α = ∆ω ∈ Bild ∆. 49.5 Folgerung (Orthogonale Zerlegung der Formen). F¨ ur kompakte orientierbare Riemann-Mannigfaltigkeiten M haben wir folgende orthogonale Zerlegungen: Ω = Ker ∆ ⊕ Bild ∆

und weiter

Bild ∆ = Bild d ⊕ Bild d∗

Beweis. Die erste direkte Summenzerlegung haben wir in 49.4 gezeigt. Nun zur zweiten: (⊇) Die linearen Unterr¨ aume Bild d und Bild d∗ sind in Bild ∆ = (Ker ∆)⊥ enthal∗ ten, da hdα, βi = hα, d βi = hα, 0i = 0 und hd∗ α, βi = hα, dβi = hα, 0i = 0 f¨ ur alle β ∈ Ker ∆ nach 49.1 . (⊆) Dies ist wegen ∆ = dd∗ + d∗ d offensichtlich. (⊕) Die Summe ist orthogonal, denn wegen hdα, d∗ βi = hd2 α, βi = h0, βi = 0 steht Bild(d) auf Bild(d∗ ) normal. 49.6 Definition (Green-Operator) Wegen 49.4 ist ∆ : (Ker ∆)⊥ → Bild ∆ = (Ker ∆)⊥ eine offene Bijektion und, wenn wir mit H : Ω → Ker ∆ die orthonormale Projektion bezeichnen, so ist der durch G := (∆|Bild ∆ )−1 ◦ H ⊥ : Ω → (Ker ∆)⊥ mit H ⊥ := idΩ −H definierte Green-Operator G der eindeutig bestimmte L¨osungsoperator von ∆(G(α)) = H ⊥ (α) f¨ ur alle α ∈ Ω. Unter dem versteht man den Operator G : Ω → (Ker ∆)⊥ definiert durch ∆(G(α)) = α − H(α), wobei ist, die von jedem α ∈ Ω den harmonischen Teil H(α) ∈ Ker ∆ berechnet. Wegen 49.4 gilt: ∆ = ∆|Bild ∆ ⊕ 0 : Bild ∆ ⊕ Ker ∆ → Bild ∆ ⊕ Ker ∆ und ∆|Bild ∆ : (Ker ∆)⊥ → Bild ∆ ist klarerweise bijektiv und stetig. Nach der ersten Behauptung im Beweis von 49.4 ist ∆|Bild ∆ ein Hom¨oomorphismus. Mit seiner Hilfe l¨ aßt sich der Green-Operator auch als G = schreiben, wobei . Folglich ist G beschr¨ ankt, und als Inverse des symmetrischen elliptischen Differentialoperators ∆ symmetrisch und kompakt. 49.7 Folgerung. Sei T : Ω → Ω ein linearer Operator, welcher mit ∆ kommutiert, d.h. T ◦∆ = ∆◦T , so kommutiert er auch mit G. Insbesondere gilt das f¨ ur d, d∗ und ∆. Beweis. Aus T ◦ ∆ = ∆ ◦ T folgt, daß Ker ∆ und Bild ∆ = (Ker ∆)⊥ T -invariant sind. Somit kommutiert T mit H und H ⊥ (denn T (H(x)) ∈ Bild ∆ und T (H ⊥ (x)) ∈ Ker ∆ und wegen T (H(x))+T (H ⊥ (x)) = T (x) = H(T (x))+H ⊥ (T (x)) ist T (H(x)) = H(T (x)) und T (H ⊥ (x)) = H ⊥ (T (x))) also auch mit G. 49.8 Folgerung (Harmonische Repr¨ asentanten).

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359

49.11

49. Der Laplace-Beltrami-Operator

Die Kohomologie H(M ) von M ist isomorph zum Raum Ker ∆ der harmonischen Formen. Genauer, in jeder Kohomologieklasse gibt es genau einen harmonischen Repr¨ asentanten. Beweis. Nach 49.5 ist Ω = Ker ∆ ⊕ Bild d ⊕ Bild d∗ . Wir behaupten Ker d = Ker ∆ ⊕ Bild d. (⊇) Nach 49.1 ist Ker ∆ = Ker d ∩ Ker d∗ ⊆ Ker d und wegen d2 = 0 ist Im d ⊆ Ker d. (⊆) Sei ω ∈ Ker d. Nach 49.5 ist ω = ω1 +ω2 +ω3 mit ω1 ∈ Ker ∆, ω2 ∈ Im d und ω3 ∈ Im d∗ und somit 0 = dω = dω1 + dω2 + dω3 mit dω1 = 0 = dω2 wegen (⊇). Da ω3 ∈ Im d∗ existiert ein α mit d∗ α = ω3 und somit 0 = dω3 = dd∗ α und weiters kω3 k2 = kd∗ αk2 = hd∗ α, d∗ αi = hdd∗ α, αi = h0, αi = 0. Also ist ω = ω1 + ω2 ∈ Ker ∆ ⊕ Im d. 49.9 Folgerung (Kohomologie ist endlichdimensional). Die Kohomologie jeder kompakten, orientierbaren Mannigfaltigkeit ist endlichdimensional, d.h. alle Betti-Zahlen sind endlich. Beweis. Wir w¨ ahlen eine Riemann-Metrik auf M , dann ist H(M ) ∼ = Ker ∆ nach 49.8 , und ist somit endlichdimensional nach 49.4 .

49.10 Definition (Poincar´ e-Dualit¨ at) F¨ ur jede kompakte orientierte Riemann-Mannigfaltigkeit induziert die Abbildung R Ωm−k (M )×Ωk (M ) → R, welche durch (α, β) 7→ M α∧β gegeben ist, eine bilineare ´-Dualit¨ Abbildung H m−k (M ) × H k (M ) → R, die sogenannte Poincare at. Diese Definition macht Sinn, denn aus α2 −α1 = dα folgt α2 ∧β −α1 ∧β = dα∧β = k d(α ∧ β) ± α ∧ dβ, wo R dβ = 0, daR[β] ∈ H (M ) = Ker d/Bild d ist. Somit ist nach den Satz von Stokes M α2 ∧ β = M α1 ∧ β. 49.11 Lemma. Die Poincar´e-Dualit¨ at induziert einen Isomorphismus H m−k ∼ ur die = (H k )∗ , i.e. f¨ Betti-Zahlen gilt βk = βm−k . Beweis. Wir zeigen zuerst, daß die Poincar´e-Dualit¨at nicht degeneriert ist. Sei dazu [α] ∈ H m−k \ {0}, wegen 49.8 d¨ urfen wir annehmen, daß α harmonisch ∗ und damit auch d α = 0 ist. W¨ a hlen wir β := ∗α, so gilt: dβ = d ∗ α = ± ∗ d∗ α = 0 R R R und M α ∧ β = M α ∧ ∗α = M hα, αi vol > 0, da α 6= 0. Bekanntlich induziert jede bilineare nicht-degenerierte Abbildung b : E × F → R auf endlichdimensionalen Vektorr¨aumen einen Isomorphismus b∨ : E → F ∗ : Die induzierte Abbildung E 3 v 7→ b(v, ·) ∈ F ∗ ist injektiv, denn b(v, w) = 0 f¨ ur alle w ∈ F impliziert v = 0. Also ist dim E ≤ dim(F ∗ ) = dim F , und aus Symmetriegr¨ unden dim E = dim F . Somit ist die induzierte Abbildung ein Isomorphismus. Bemerkung. Da H k nach 49.9 endlich-dimensional ist, liefert jedes innere Produkt auf H k einen Isomorphismus ] : H k → (H k )∗ und somit nach 49.11 einen Isomorphismus H m−k → (H k )∗ ← H k . Verwenden wir insbesonders den Isomorphismus H(M ) ∼ = 360

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49.13

49. Der Laplace-Beltrami-Operator

Ker ∆ ⊆ Ω(M ) und das von Ω(M ) induzierte innere Produkt aus 49.1 so l¨aßt sich obiger Isomorphismus H m−k ↔ H k wie folgt beschreiben: /Ro H k ×O H k O ^>> O >> ∼ >> = >> >> R >Ker M >> ∆ × _ Ker ∆ h , >> >> >  / Ωm k Ω × Ωk

H m−kO × H k O k Z m−k × _ Z

 Ωm−k × Ωk

H m−k

∧

/ (H k )∗ o

∼ =

Hk

∼ =

Z [α] ↔ ([β] 7→

α ∧ β) ↔ γ ∈ Ker ∆, M

R

R

R mit M α ∧ β = hγ, βiΩk (M ) := M hγ, βiΛk (M ) volM = M ∗γ ∧ β f¨ ur alle [β] ∈ k H (M ), also ist [α] = [∗γ], d.h. der Isomorphismus ist durch den Hodge-SternOperator gegeben. Beachte dabei, daß ∆(∗γ) = (dd∗ + d∗ d) ∗ γ = (−1)1+m+m(m−k) d ∗ d ∗ ∗ γ + (−1)1+m+m(m−k+1) ∗ d ∗ d ∗ γ = (−1)1+m+m(m−k)+k(m−k) d ∗ d γ + (−1)1+m+m(m−k+1) ∗ d ∗ d ∗ γ = ∗((−1)m(m−1−2k) (−1)1+m+m(k+1) ∗ d ∗ d + (−1)m(m−1−2k) (−1)2m (−1)1+m+mk d ∗ d ∗)γ = (−1)m(m−1−2k) ∗ (d∗ d + dd∗ )γ = ∗∆γ = ∗0 = 0,

f¨ ur γ ∈ Ker ∆,

d.h. ∆ die harmonischen Formen auf solche abbildet. 49.12 Folgerung. Ist M eine kompakte zusammenh¨ angende orientierbare m-dimensionale Mannigfaltigkeit, so ist H m (M ) ∼ = R, i.e. βM = 1. Vgl. dies mit 50.5 . Beweis. Die Poincar´e-Dualit¨ at liefert den Isomorphismus H m ∼ = (H 0 )∗ , und H 0 R, da M zusammenh¨ angendR ist. Die Zusammensetzung der Isomorphismen H m R 0 ∗ ∼ 0 ∼ (H ) = H = R ist: [ω] 7→ M ω ∧ 1 = M ω.

∼ = ∼ =

49.13 Folgerung. Ist M kompakt, zusammenh¨ angend, orientierbar und von ungerader Dimension so P verschwindet die Euler-Charakteristik χ = k (−1)k βk . Beweis. Sei dim M = 2n + 1 = m so gilt m n m X X X χ= (−1)k βk = (−1)k βk + (−1)k βk =

k=0 n X

k=0 n X

k=0

k=0

(−1)k βk +

k=n+1

(−1)m−k βm−k =

n X

(−1)k (βk − βm−k ) = 0. | {z }

k=0

nach 49.11 =0

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361

49.14

49. Der Laplace-Beltrami-Operator

49.14 Kann man die Form einer Trommel h¨ oren? Um diese sehr anschauliches Problem in eine mathematische Formulierung zu bekommen, denken wir uns eine Trommel als ein berandetes Gebiet im R2 . Lassen wir diese nun mit festgehaltenem Rand schwingen, so besitzt sie gewisse Eigenfrequenzen, die wir – zumindest mit absolut absolutem Geh¨or – h¨oren k¨onnten. Es stellt sich nun die Frage, ob das Gebiet durch dieses Spektrum von Eigenfrequenzen bereits bis auf Isometrien eindeutig festgelegt ist. Allgemeiner k¨ onnen wir das Problem auch f¨ ur beliebig dimensionale, abstrakte orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeiten stellen, [51]. Da wir sie nur ein wenig aus der Ruhelage bringen wollen, ist es egal in welchem umgebenden Raum die Mannigfaltigkeit isometrisch eingebettet ist, am einfachsten in M × R. Sei nun u(x, t) die Entfernung des Punktes x ∈ M von seiner Ruhelage zum Zeitpunkt t. Dann erf¨ ullt u, wie bei der u ¨blichen Gleichung der schwingenden Saite (siehe z.B. [60, 9.3.1]), die partielle Differentialgleichung 2.ter Ordnung ∂2u + ∆u = 0 mit u|∂M = 0, ∂t2 wobei ∆ der Laplace-Beltrami-Operator der Riemann-Mannigfaltigkeit ist. Die u osungsmethode verwendet den Ansatz der getrennten Variablen (vgl. ¨bliche L¨ [60, 9.3.2]), d.h. u(x, t) := ϕ(x) · ψ(t). Die Gleichung u ¨bersetzt sich dann in ∆ϕ ψ 00 ussen beide Seiten konstant – z.B. gleich λ – sein. Insϕ (x) = − ψ (t) und somit m¨ besondere suchen wir also Eigenwerte λ ∈ R und Eigenfunktionen ϕ ∈ C ∞ (M, R) des Operators ∆ : C ∞ (M, R) → C ∞ (M, R). Falls M kompakt ist, so sind nach 49.1 alle Eigenwerte reell und die Eigenfunktionen zu verschieden Eigenwerten stehen orthogonal (da ∆ symmetrisch ist). Die Eigenwerte sind alle nicht negativ (da ∆ positiv ist) und lassen sich zu einer monoton wachsenden Folge (λk ) anordnen, die sich nur im Unendlichen h¨auft, denn andernfalls bes¨ aße eine zugeh¨ orige orthonormale Folge von Eigenfunktionen nach 49.2 einen H¨ aufungswert. Verm¨oge einer orthonormalen Folge von zugeh¨origen Eigenfunktionen ϕk ∈ C ∞ (M, R) l¨aßt sich die Wellengleichung mittels Fourierreihen u(x, t) =

∞  X

ak cos(

 p p λk t) + bk sin( λk t) · ϕk (x)

k=0

l¨ osen, wobei die Konstanten ak und bk durch die Anfangsbedingungen festgelegt sind. Die Klangwelle der Mannigfaltigkeit ist dann ein geeigneter Mittelwert: s(t) =

∞  X

αk cos(

 p p λk t) + βk sin( λk t) .

k=0

Und somit k¨ onnen wir (in einem gewissen Sinn) die λk h¨oren. Diese Folge (λk ) heißt das Spektrum der Riemann-Mannigfaltigkeit. Z.B. kann man zeigen, daß das Spektrum der S n die Folge (k(k + n − 1))∞ k=0 ist, wobei (n+2k−1)!(n+k−2)! jedes k > 0 mit Vielfachheit auftritt. (n−1)!k! Man konnte zeigen, daß folgende Dinge geh¨ort werden k¨onnen, d.h. durch das Spektrum bereits eindeutig bestimmt sind: die Dimension, das Volumen und die Euler-Charakteristik und damit das Geschlecht (einer 2-dimensionalen unberandeten Mannigfaltigkeit) und die totale skalare Kr¨ ummung (siehe 64.13 ). 362

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49.14

49. Der Laplace-Beltrami-Operator

Man konnte zeigen, daß man die folgenden Riemann-Mannigfaltigkeiten mit ihrer kanonischen Metrik durch H¨ oren erkennen kann: die Sph¨aren S n , die reellen pro2n−1 jektiven R¨ aume P f¨ ur n ≤ 3, den flachen Torus S 1 × S 1 , sowie alle kompakten 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten mit konstanten Kr¨ ummung K > 0. Jedoch gibt es isospektrale Riemann-Mannigfaltigkeiten die nicht isometrisch sind. Das erste Beispiel wurde von [74] gefunden und waren zwei 16-dimensionale Tori. [19] gaben 4-dimensionale Tori an. Marie-France Vigneras [98] konstruierte 2-dimensionale Beispiele die als Quotienten der hyperbolischen Halbebene nach diskreten Gruppen von Isometrien erhalten werden. Daß es sogar isospektrale Deformationen von Riemann-Mannigfaltigkeiten gibt, wurde von [31] gezeigt und in [92] systematisiert. Schließlich konstruierten [30] eine berandete Fl¨ache die aus 168 = 7·24 Kreuzen zusammengesetzt ist und auf welcher die Elemente von SLZ2 (3) als fixpunktfreie Isometrien wirken. Die jeweils 24=2*2*6 elementigen Untergruppen

  1 G1 := 0 0

∗ ∗ ∗

   1 ∗  ∗ und G2 := ∗ ∗ ∗

0 ∗ ∗

 0  ∗ ∗

¨ liefern dann zwei 24-bl¨ attrige Uberlagerungen M → M/Gi =: Mi mit M1 und M2 isospektral aber nicht isometrisch.

Faktorisiert man noch die offensichtliche isometrische Involution τi : Mi → Mi heraus, so erh¨ alt man zwei isospektrale aber nicht isometrische Gebiete mit Ecken in R2 . c 15. Dezember 2008 [email protected]

363

50.2

49. Der Laplace-Beltrami-Operator

50. Anwendungen zum Satz von Stokes 50.1 Kurvenintegrale Sei M eine Mannigfaltigkeit, ω ∈ Ω1 (M ) geschlossen, c : [0, 1] → M glatt. Dann ist R R1 ω = 0 c∗ (ω) und lokal sieht c∗ (ω) wie folgt aus: c X ω= ωi dxi ,   X X ∂(xi ◦ c) ∗ dt = ωi (c(t))(xi ◦ c)0 (t)dt. c (ω) = (ωi ◦ c) det ∂t R R ur f ∈ C ∞ (M, R): c df = [0,1] c∗ (df ) = Nach dem Satz von Stokes 47.12 ist f¨ R c∗ (f ) = c∗ (f )(1) − c∗ (f )(0) = f (c(1)) − f (c(0)). Falls M einfach-zusam∂[0,1] menh¨ angend ist, so ist nach 44.5 die erste Kohomologie H 1 (M ) = 0. Somit ist jedes geschlossene ω exakt, d.h. ω = df f¨ ur passendes f ∈ C ∞ (M, R)). Es ist also R R ω = c df = f (c(1)) − f (c(0)), d.h. das Integral ist wegunabh¨angig. c 50.2 Cauchyscher Integralsatz. Sei M ein einfach zusammenh¨ angendes Gebiet in C, f : MR→ C eine holomorphe Abbildung und c eine geschlossene Kurve in M . Dann gilt: c f = 0. Beweis. Es ist Z Z f (z) dz := (f1 (z) + if2 (z))(dx + idy) c Zc Z := (f1 (z)dx − f2 (z)dy) +i (f1 (z)dy + f2 (z)dx) {z } {z } c| c| =:ω1

Z :=

ω1 + c

mit

=:ω2

Z ω2 . c

dω1 = dω2 = 0.

Wegen der Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen ∂f1 ∂f2 =− ∂y ∂x ∂f1 ∂f2 = . ∂x ∂y 364

c 15. Dezember 2008 [email protected]

50.12

50. Anwendungen zum Satz von Stokes R

und dem Poincare-Lemma folgt

c

f (z) dz = 0.

50.3 Cauchysche Integralformel. Sei M ein Gebiet in C und f : M → C holomorph. Sei D ⊆ M eine Kreisscheibe um z0 und c parametrisiere den Rand ∂D von D. Dann gilt: Z f (z) 1 dz. f (z0 ) = 2πi c z − z0 f (z) 1 f (z) Beweis. Sei ω := 2πi z−z0 dz. Dann ist dω = 0 auf M \ {z0 }, weil z 7→ z−z0 dort holomorph ist (verwende die Cauchy-Riemann’schen-Differentialgleichungen). Sei Kε die Scheibe B(z0 , ε) und Rε der Kreisring D \ Kε ⊆ M . Mit dem Satz von Stokes erh¨ alt man: Z Z Z Z 0= dω = ω= ω− ω ⇒ Rε

∂Rε

∂D

∂Kε Z 1

1 f (z0 + εe2πit ) ω= ω= ε2πie2πit dt εe2πit 0 2πi ∂D ∂Kε Z ⇒ f (z0 ) = ω f¨ ur ε → 0. Z

Z

⇒

∂D

50.4 Kohomologie Wir wollen nun f¨ ur allgemeine Mannigfaltigkeiten M die h¨ochste Kohomologie H m (M ) bestimmen. Sei M kompakt, orientierbar und ohne Rand. Wie in 47.3 folgt die Existenz eines ω ∈ Ωm (M ), m =Rdim M , mit ω(v1 , . . . vm ) > 0 f¨ ur alle positiv orientierten Basen (vi )m i=1 . Somit ist M ω > 0 und ω ist geschlossen, weil ω eine m-Form ist. Die Form ω kann aber nicht exakt sein: G¨abe es ein η ∈ Ωm−1 (M ) mit ω = dη, dann w¨ are Z Z Z ω= dη = η = 0, da ∂M = ∅. M

M

∂M

Das ist ein Widerspruch. Also ist H m (M ) 6= 0. 50.12 Lemma. Es ist 1 ιν volRm+1 (x) kxkm+1 m − − − − − − −q X 1 p− = (−1)i xi dx0 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxm m+1 kxk i=0

(r∗ volS m )(x) =

wobei r : Rm+1 \{0} → S m die Retraktion x 7→ ν : x 7→ x sei.

x kxk

und ν ∈ X(Rm+1 ) das Vektorfeld

Beweis. Es wird Tx Rm+1 von Tx (kxk S m ) und νx erzeugt, also gen¨ ugt es beide Seiten auf Vektoren vi aus diesen Teilr¨aumen zu testen. Falls vi = νx f¨ ur mindestens ein i ist, so ist die rechte Seite 1 1 ιν volRm+1 (. . . , v i , . . . ) = volRm+1 (νx , . . . , vi , . . . ) = 0 kxkm+1 kxkm+1 und die linke Seite ebenfalls, denn Tx r · ν =

d dt |t=0 r(x

+ t x) = 0.

c 15. Dezember 2008 [email protected]

365

50.15

50. Anwendungen zum Satz von Stokes

1 vi , denn r : kxk S m → S m Sind alle Vektoren in vi ∈ Tx (kxk S m ), so ist Tx r·vi = kxk 1 ist eine Streckung mit Faktor kxk . Damit sind ebenfalls beide Seiten gleich, denn

nach Aufgabe EX25 ist volS m = incl∗

m X  − − − − − − − − (−1)i xi dx0 ∧ · · · ∧ pdxqi ∧ · · · ∧ dxm i=0

50.13 Lemma. Integration nach Polarkoordinaten. Es sei B := {x ∈ Rm+1 : kxk ≤ 1} und f ∈ C ∞ (B, R). Dann ist Z Z Z Z 1 f= f volRm+1 = g volS m mit g : x 7→ tm f (t x) dt. B

Sm

B

0

x , kxk) mit UmBeweis. Es ist B \ {0} ∼ = S m × (0, 1] verm¨oge ϕ : x 7→ ( kxk m kehrabbildung (y, t) 7→ ty. Sei eine m + 1-Form auf S × [0, 1] gegeben durch dt ∧ volS m := pr∗2 (dt) ∧ pr∗1 (volS m ) und h : S m × [0, 1] → R gegeben durch h(y, t) = tm f (t y). Dann ist Z Z Z Z 1 m h dt ∧ volS m . g volS m = t f (t ) dt volS m = S m ×[0,1] Sm S m 0 | {z } =h( ,t)

Weiters ist mit ρ(x) := kxk ϕ∗ (dt ∧ volS m ) = ϕ∗ (pr∗2 (dt) ∧ pr∗1 (volS m )) = (pr2 ◦ϕ)∗ (dt) ∧ (pr1 ◦ϕ)∗ (volS m ) = ρ∗ (dt) ∧ r∗ (volS m ) 50.12

= ===== =

m m − − − − − − −q X X xj 1 p− dxj ∧ (−1)i xi dx1 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxm m+1 kxk kxk j=0 i=0

m X 1 1 = (xi )2 dx0 ∧ · · · ∧ dxm = dx0 ∧ · · · ∧ dxm kxkm+2 i=0 kxkm

und f¨ ur x 6= 0 somit ϕ∗ (h volS m ∧ dt)(x) = h(ϕ(x)) ϕ∗ (volS m ∧ dt)(x) = kxkm f (x)

1 dx0 ∧ · · · ∧ dxm kxkm

= f (x) dx0 ∧ · · · ∧ dxm . Also ist Z

Z

Z ϕ∗ (h volS m ∧ dt) = lim h volS m ∧ dt ε&0 B\εB ε&0 ϕ(B\εB) Z Z = lim h volS m ∧ dt = h volS m ∧ dt ε&0 S m ×[ε,1] S m ×[0,1] Z = g volS m .

f = lim B

Sm

50.15 Definition. Kohomologie mit kompakten Tr¨ ager. Indem wir die Teilr¨ aume Ωkc (M ) := {ω ∈ Ωk (M ) : Trg ω ist kompakt} anstelle von Ωk (M ) verwenden definieren wir die Kohomologie mit kompakten Tr¨ager durch Zck (M ) := Ker(d : Ωkc (M ) → Ωk+1 (M )) c Bck (M ) := Bild(d : Ωk−1 (M ) → Ωkc (M )) c Hck (M ) := Zck (M )/Bck (M ) 366

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50.6

50. Anwendungen zum Satz von Stokes

Beachte dabei, daß Bck (M ) 6= {dη ∈ Ωkc (M ) : η ∈ Ωk−1 (M )}, denn z.B. ist f¨ ur f ∈ Cc∞ (Rn ) mit 0 6= f ≥ 0 die Differentialform ω := f dx1 ∧ · · · ∧ dxn ∈ Ωnc (Rn ) ur kein η ∈ Ωn−1 (Rn ) ist dη = ω, wegen dem Poincar´e-Lemma 44.5.6 exakt, aber f¨ c R R R denn nach dem Satz 47.12 von Stokes w¨are dann 0 < Rn ω = Rn dη = ∅ η = 0 ein Widerspruch. m Ein R direkte Verallgemeinerungmdieses Arguments zeigt, daß es ein ω0 ∈ Ωc (M ) mit ω = 1 gibt und somit Hc (M ) 6= 0 f¨ ur alle orientierbaren m-dimensionalen M 0 Mannigfaltigkeiten M ist. Wir wollen nun zeigen, daß Hcm (M ) ∼ ur solche M = RR f¨ m−1 ist, also f¨ urRalle ω ∈ Ωm (M ) ein η ∈ Ω (M ) existiert mit ω = ( ω) ω0 + dη, c c M m ∼ und damit : Ωm (M ) → R einen Isomorphismus H (M ) R induziert. = c c

50.6 Theorem. F¨ ur jede zusammenh¨ angende orientierbare m-dimensionale Mannigfaltigkeit M ist Hcm (M ) ∼ = R. R m Beweis. Wir m¨ ussen nur zeigen, daß B (M ) der Kern von : Ωm c c (M ) → R ist, M R m m−1 d.h. f¨ ur jedes ω ∈ Ωc (M ) mit M ω = 0 ein η ∈ Ωc (M ) existiert mit ω = dη. Beh.: Das Theorem Rstimmt f¨ ur M = R. Sei ω ∈ Ω1c (R) mit R ω = 0. Wegen dem Poincar´e Lemma 44.5.6 existiert ein f ∈ C ∞ (R, R) mit ω = df . Da Trg ω = Trg f 0 kompakt ist, existiert ein RN , s.d. f sowol auf (−∞, −N ] als auch auf [N, +∞) konstant ist. Wegen 0 = R ω = R R +∞ R +N df = −∞ f 0 (t)dt = −N f 0 (t)dt = f (N ) − f (−N ) ist f (N ) = f (−N ) und somit R g := f − f (N ) ∈ Cc∞ und ω = dg. Beh.: Falls das Theorem f¨ ur S m gilt, so auch ur Rm+1 . R f¨ m+1 0 m m ) mit Rm+1 ω = 0 und o.B.d.A. sei Trg(ω) ⊆ Sei ω = f dx ∧ · · · ∧ dx ∈ Ωc (R {x : kxk < 1}. Wegen dem Poincar´e Lemma 44.5.6 existiert ein η ∈ Ωm (Rm+1 ) mit ω = dη. Nach Aufgabe EX24 ist Z 1 m − − − − − − −q X p− η(x) := (−1)i xi dx0 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxm tm f (tx) dt · 0

i=0

  Z kxk m − − − − − − −q X 1 x (s = kxkt) p− m ds · (−1)i xi dx0 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxm ======== s f s m+1 kxk kxk 0 i=0   Z kxk 50.12 x = dt · (r∗ volS m )(x). ===== = tm f t kxk 0 R1 Es sei g : S m → R definiert durch g(x) := 0 tm f (tx) dt und B := {x ∈ Rm+1 : kxk ≤ 1}. Da Z Z Z 50.13 0= ω= f= ===== = g volS m Rm+1

B m−1

Sm m

existiert nach Voraussetzung ein λ ∈ Ω (S ) mit g volS m = dλ. Wegen f |Rm+1 \B = 0 ist   Z 1 x m η(x) = t f t dt · (r∗ volS m )(x) f¨ ur x ∈ /B kxk 0 ⇒ η = (g ◦ r) · r∗ volS m = r∗ (g volS m ) = r∗ (d λ) = d(r∗ λ) auf Rm+1 \ B. Sei nun h ∈ C ∞ (Rm+1 , [0, 1]) so, daß h = 0 nahe 0 und h|Rm+1 \B = 1. Dann ist h · r∗ λ ∈ Ωm−1 (Rm+1 ) und ω = dη = d(η − d(h · r∗ λ)) mit (η − d(h · r∗ λ))|Rm+1 \B = (η − d(r∗ λ))|Rm+1 \B = 0. c 15. Dezember 2008 [email protected]

367

50.5

50. Anwendungen zum Satz von Stokes

m Beh.: Falls das Theorem f¨ ur alle m-dimensionalen M . Rur R gilt, so f¨ m m Sei dazu ω0 ∈ Ω (M ) mit ω0 = 1 und Trg ω0 ⊆ Bild ϕ0 f¨ ur eine Karte R ϕ0 : R → m m−1 M . Wir zeigen, daß zu ω ∈ Ωc (M ) ein η ∈ R Ωc (M ) gibt mit ω = ( M ω) · ω0 + dη. Daraus folgt dann ω = dη f¨ ur alle ω mit ω = 0.

Betrachten wir zuerst den Fall Trg ω ⊆ Bild ψ f¨ ur eine Karte ψ : Rm → M : Es m gibt dann endlich viele Karten ψi : R → M mit Bild ψi ∩ Bild ψi+1 6= ∅, ψ0 die obige Karte bei ω0 und weiters ψm =R ψ ist. Dazu gibt es ωi mit kompaktem Tr¨ ager Trg ωi ⊆ Bild ψi−1 ∩ Bild ψi und ωi = 1. Da das Theorem f¨ ur M = Rm m−1 vorausgesetzt ist, existieren ηi ∈ Ω (M R ) mit Trg ηi ⊆ Bild ψi−1 und ωi − ωi−1 = dηi . Schließlich existiert ebenso f¨ ur c := ω ein ηm+1 mit ω −cωm = dηm+1 . Daraus folgt m m   X X ω = cωm + dηm+1 = . . . = cω0 + c dηi + dηm+1 = cω0 + d ηm+1 + c ηi . i=1

i=1

¨ Sei nun ω ∈ Ωm c (M ) beliebig und {fi } eine Partition der Eins, die einer Uberdeckung m mit offenen zu R diffeomorphen Mengen untergeordnet ist, dann ist fP i ω = ci ω0 + P P m−1 (M ) und somit ω = dη f¨ u r ein η ∈ Ω f ω = ( c ) ω + d i i i i 0 c i i i ηi , wobei R R P R P P ω = c ω + d η = c , eine endliche Summe. i 0 i i i i i M M M 50.5 Satz (H¨ ochste Kohomologie). F¨ ur zusammenh¨ angende m-dimensionale Mannigfaltigkeiten M ohne Rand gilt: ( R falls M kompakt und orientierbar ist, m ∼ H (M ) = 0 sonst. ( R falls M orientierbar ist, Hcm (M ) ∼ = 0 sonst. F¨ ur kompaktes orientierbares M haben wir diese Aussage in 49.12 unter Verwendung des Theorems von Hodge bewiesen. Der nachfolgende Beweis benutzt dieses nicht. Beweis. Nach 50.6 ist Hcm (M ) ∼ ur alle orientierbaren M und damit H m (M ) = = R f¨ m ∼ Hc (M ) = R f¨ ur alle orientierbaren kompakten M . Sei als n¨ achstes M orientierbar aber nicht kompakt: ¨ Da M nicht kompakt ist existiert eine Uberdeckung {Bild ψi : i ∈ N} f¨ ur Karten ψi , s.d. jede kompakte Menge nur endlich viele Bild ψi trifft (¨ uberdecke die Differenzen einer kompakten Aussch¨opfung mit Kartenbildern) und (durch eventuelles Vergr¨ oßern d¨ urfen wir o.B.d.A. annehmen, daß) Bild ψi ∩ Bild ψi+1 6= ∅. Sei {fi : i ∈ N} eine untergeordnete Partition der 1. Wir w¨ahlen wieder ωi ∈ Ωm c (M ) R mit Trg ωi ⊆ Bild ψi ∩ Bild ψRi+1 und M ωi = 1. Sei nun ω ∈ Ωm (M ) mit Trg ω ⊆ Bild ψj f¨ ur ein j und c := M ω. F¨ ur i ≥ j existieren dann ηi ∈ Ωm−1 (M ) mit c Trg ηi ⊆ Bild ψi , und ω = c ωj + dηj sowie c ωi−1 = c ωi + dηi f¨ ur i > j. Somit ist ω = c ωj + dηj = · · · = c ωk +

k X

∞ X  dηi = d ηi

i=j

P∞

i=j

m

und µj := i=j ηi lokal endlich. Sei nun ω ∈ Ω (M ) beliebig. Dann ist fj ω wie S zuvor, also existiert ein µj ∈ Ωm−1 (M ) mit fj ω = dµj und Trg µj ⊆ i≥j Bild ψi , P somit ist j µj lokal endlich und X  X X ω= fj ω = dµj = d µj , j

368

j

j

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50.7

50. Anwendungen zum Satz von Stokes also ist H m (M ) = {0}.

Sei nun M nicht orientierbar: Auf dem Totalraum der Orientierungs¨ uberlagerung p : M or → M der Mannigfaltigkeit M definieren wir die Orientierungsvertauschung χ : χ(x, ±ω) := (x, ∓ω) und damit Ωk± (M or ) := {ω ∈ Ωk (M or ) : χ∗ ω = ±ω} k or H± (M or ) := {ω ∈ Ωk± (M or ) : dω = 0}/{dη : η ∈ Ωk−1 ± (M )}

Ωk±,c (M or ) := {ω ∈ Ωkc (M or ) : χ∗ ω = ±ω} k or H±,c (M or ) := {ω ∈ Ωk±,c (M or ) : dω = 0}/{dη : η ∈ Ωk−1 ±,c (M )}.

Wir behaupten: Ωk (M or ) = Ωk+ (M or ) ⊕ Ωk− (M or ) k k H k (M or ) = H+ (M or ) ⊕ H− (M or ) ∼

k (M or ) p∗ : H k (M ) −=→ H+

und analog f¨ ur Formen mit kompakten Tr¨ager. Sei ω ∈ Ωk (M or ), dann gilt:  1 ω= (ω + χ∗ ω) + (ω − χ∗ ω) ∈ Ωk+ ⊕ Ωk− , wobei Ωk− ∩ Ωk+ = {0} 2 ⇒ Ωk (M or ) = Ωk− (M or ) ⊕ Ωk+ (M or ) ∗ ∗ und d(Ωk± ) ⊆ Ωk+1 ur ω ∈ Ωk± ± , weil χ (dω) = d(χ ω) = ±dω f¨ k k ⇒ H k (M or ) = H− (M or ) ⊕ H+ (M or )

und p∗ : Ωk (M ) → Ωk (M or ) ist injektiv, da p eine surjektive Submersion ist. Weiters ist p∗ (Ωk (M )) = Ωk+ (M or ). (⊆) Weil χ∗ p∗ ω = (p ◦ χ)∗ ω = p∗ ω. (⊇) Sei ω ∈ Ωk+ (M or ) und sei U ⊆ M or , sodaß p|U : U → p(U ) ein Diffeomorphismus ist. Sei α|p(U ) := ((p|U )−1 )∗ ω. Dann ist α ∈ Ωk (M ) wohldefiniert, weil χ∗ ω = ω, und p∗ α = ω. ∼ =

Somit gilt p∗ : Ωk (M ) → Ωk+ (M or ) ,→ Ωk (M or ). Wegen p∗ ◦ d = d ◦ p∗ folgt daraus ∼ =

∼ =

k k (M or ) ,→ H k (M or ) und analog p∗ : Hck (M ) → H+,c (M or ) ,→ p∗ : H k (M ) → H+ Hck (M or ), was die letzte Behauptung war. R R R R χ orient.vert. or Sei ω ∈ Ωm ω = 0, denn ω = χ∗ ω ============ − ω. +,c (M ). Dann ist Somit existert nach dem Vorigen ein η ∈ Ωm−1 (M or ) mit ω = dη und somit ist c 1 1 ∗ ∗ or ω = 2 (ω + χ ω) = 2 (dη + χ dη) = d(η+ ) mit η+ := 12 (η + χ∗ η) ∈ Ωm−1 +,c (M ), also m or m m or ∼ [ω] = [dη+ ] = 0 ∈ H+,c (M ). Somit ist Hc (M ) = H+,c (M ) = {0}.

Schließlich sei M weder kompakt noch orientierbar: Dann folgt das Resultat f¨ ur H m aus dem orientierbaren Fall, denn p∗ : H m (M ) ,→ m or H (M ) = {0}.

50.7 Beispiel ¨ F¨ ur die orientierte zweibl¨ attrige Uberlagerung S n → Pn sei χ die Antipodalabbilk n ∼ k n dung x 7→ −x. Dann ist H (P ) = H+ (S ) ⊆ H k (S n ) wie im Beweis von 50.5 c 15. Dezember 2008 [email protected]

369

50.9

50. Anwendungen zum Satz von Stokes

und somit  0    R H k (Pn ) ∼ = 0    R

f¨ ur f¨ ur f¨ ur f¨ ur

k k k k

6= 0, n = 0 (da Pn zush. ist) = n gerade = n ungerade

In der Tat ist χ auf S n genau Rdann orientierungserhaltend, R Rwenn n ungerade ist und somit ist f¨ ur ω ∈ Ω± (S n ) S n ±ω = S n χ∗ ω = (−1)n+1 S n ω, also wie zuvor n H+ (S n ) = 0 falls n gerade ist und f¨ ur n ungerade ist H− (S n ) = 0 und damit n n n n n n H (P ) = H+ (S ) = H (S ) = R. 50.8 Brouwerscher Fixpunktsatz. Sei f : B n := {x ∈ Rn : kxk ≤ 1} → B n glatt, dann gibt es ein x ∈ B n mit f (x) = x. Beweis. Indirekt: Sei f (x) 6= x f¨ ur alle x, dann gibt es eine C ∞ -Abbildung r : n n−1 B →S mit r|S n−1 = idS n−1 , sei n¨amlich r(x) der auf der Seite von x liegende Schnittpunkt der wohldefinierten Geraden durch x und f (x) mit der Sph¨are S n−1 . Wir erweitern r zu einer Abbildung gleichen Namens r : Rn → S n−1 . Nun folgt r∗

H n−1 (S n−1 )

incl∗ /

/ H n−1 (Rn )

H n−1 (S n−1 )

60 /( R

id

R Das ist ein Widerspruch.

50.9 Definition (Abbildungsgrad) Seien M , N zusammenh¨ angende, kompakte und orientierte Mannigfaltigkeiten von gleicher Dimension m und sei f : M → N glatt. Der Abbildungsgrad deg f ∈ R sei durch folgendes Diagramm definiert: H m (f )

H m (M ) o R

H m (N )

∼ =

 Ro

∼ =

R

 R

deg f

deg f · t o

t

wobei Z deg f ·

Z [ω] = deg f ·

Z ω=

m

H (f )[ω] :=

Z

∗

[f ω] =

Z

f ∗ ω.

Falls M und N orientierte aber nicht notwendig kompakte Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension m sind und f : M → N glatt und proper (d.h. die Urbilder kompakter Mengen sind kompakt) ist, so verallgemeinern wir den Abbildungsgrad 370

c 15. Dezember 2008 [email protected]

50.10

50. Anwendungen zum Satz von Stokes deg f ∈ R durch Hcm (f )

Hcm (M ) o R

∼ =

 Ro

Beachte dabei, daß f auch Hck (f ) : Hck (N )

: Ωkc (N ) → → Hck (M ).

∼ =

R deg f

deg f · t o ∗

Hcm (N )

Ωkc (M )

 R

t f¨ ur properes f wohldefiniert ist und somit

50.16 Proposition. Sei f : M → N eine propere glatte Abbildung zwischen zusammenh¨ angenden orientierten m-dimensionalen Mannigfaltigkeiten und y ∈ N ein regul¨ arer Wert von f . Dann ist X deg f = signx f ∈ Z, x∈f −1 (y)

wobei ( signx f :=

+1 −1

falls Tx f : Tx M → Ty N orientierungserhaltend, falls Tx f : Tx M → Ty N orientierungsvertauschend ist.

Beachte, daß nach dem Theorem 21.17 von Sard so ein regul¨arer Wert y immer existiert und weil f proper ist, ist f −1 (y) endlich. Beweis. Sei f −1 (y) = {x1 , . . . , xn }. Wir w¨ahlen paarweise disjunkte offene Koordinatenumgebungen Ui von xi , s.d. f : Ui → f (Ui ) ein DiffeomorphismusSist. Sei T W ⊆ i f (Ui ) eine kompakte Umgebung von y. Dann ist W 0 := f −1 (W ) \ i Ui ⊆ 0 M \ f −1 (y) kompakt T und somit f (W ) ist abgeschlossen und enth¨alt nicht y. Sei 0 V ⊆ W \ f (W ) ⊆ i f (Ui ) eine Umgebung von y. Dann ist [ f −1 (y) ⊆ f −1 (V ) ⊆ f −1 (W \f (W 0 )) ⊆ f −1 (W )\f −1 (f (W 0 )) ⊆ f −1 (W )\W 0 ⊆ Ui , i

und indem wir Ui durch f −1 (V ) ∩ Ui ersetzen d¨ urfen wir o.B.d.A. f −1 (V )T= Ui −1 und f (Ui ) ⊆ f (f (V )) ⊆ V annehmen und wenn wir nun V durch i f (Ui ) ersetzten gilt zus¨ atzlich f (Ui ) = V . R S m Sei nun w ∈ Ωc (N ) mit Trg ω ⊆ V und M ω = 1. Dann ist Trg f ∗ (ω) ⊆ i Ui und Z Z Z XZ X X f ∗ω = f ∗ω = signxi f · ω= signxi f · ω. S

M

i

Ui

i

f (Ui )

i

M

50.10 Folgerung. 1. deg(f ◦ g) = deg(f ) · deg(g). 2. f ∼ g zwischen kompakten Mannigfaltigkeiten ⇒ deg f = deg g. 3. f ist Diffeomorphismus ⇒ deg f = ±1; Weiters ist deg f = 1 ⇔ f orientierungserhaltend ist. 4. deg f 6= 0 ⇒ f ist surjektiv. c 15. Dezember 2008 [email protected]

371

50.18

50. Anwendungen zum Satz von Stokes

Beweis. (1) da (f ◦ g)∗ = g ∗ ◦ f ∗ . (2) da dann H k (f ) = H k (g) nach 44.3.2 . (3) folgt aus (1) unter Verwendung von deg f ∈ Z nach 50.16 . (4) Sei f nicht surjektiv. Dann ist deg(f ) = 0 nach 50.16 , da jedes y ∈ N \ f (M ) m regul¨ arer Wert ist. Direkt sieht ahlt, R man das auch, indem man ω ∈RΩ (N ) Rso w¨ ∗ daß Trg ω ⊆ N \ f (M ) und ω = 1. Also ist deg f = deg f · ω = f ω= N M M R 0 = 0. M 50.11 Igelsatz. Sei ξ ∈ X(S 2n ). Dann gibt es ein x ∈ S 2n mit ξ(x) = 0. Beweis. Indirekt: Sei ξ(x) 6= 0 f¨ ur alle x. Dann gibt es eine Homotopie zwischen Identit¨ at und Antipodalabbildung σ ( dazu verbinden wir x mit −x l¨angs des Großkreises in Richtung ξ(x)) und somit folgt 1 = deg(id) = deg(σ) = −1 (siehe 50.7 ), ein Widerspruch. 50.17 Proposition. F¨ ur alle 0 ≤ k < n ist Hck (Rn ) = {0}. Beweis. (k = 0) ist offensichtlich, denn jedes f ∈ Cc∞ (Rm ) mit df = 0 muß konstant und somit gleich 0 sein. (0 < k < n) Es sei ω ∈ Ωkc (Rn ) mit dω = 0. Nach dem Poincar´e-Lemma existiert ein η ∈ Ωk−1 (Rn ) mit dη = ω. Sei B ein abgeschlossener Ball mit Trg ω ⊆ B. F¨ ur n (R ) k = 1 ist also η außerhalb B konstant, sagen wir c, und somit η − c ∈ Ωn−1 c mit d(η − c) = dη = om. Ist k > 1 so ist jedenfalls η|Rn \B geschlossen und, wegen Rn \ B ∼ = Rn \ {0} und H k−1 (Rn \ {0}) ∼ = H k−1 (S n−1 ) = {0} nach 44.5.13 , k−2 n existiert ein λ ∈ Ω (R \ B) mit Sei f ∈ C ∞ (Rn , R) mit f = 1 auf Rn \ 2B und f = 0 auf einer Umgebung von B. Dann existiert f λ ∈ Ωk−2 (Rn ) und weiters hat η − d(f λ) ∈ Ωk−1 (Rn ) kompakten Tr¨ager in 2B und ω = dη = d(η − d(f λ)). 50.18 Die Mayer-Vietoris Sequenz f¨ ur Kohomologie mit kompakten Tr¨ ager. Sei M = U ∪ V mit U, V ⊆ M offen, dann existieren lineare Abbildungen δk , die die folgende lange Sequenz exakt machen: 0 0 (jU ,−jV )

. . . →Hck (U ∩ V ) −

i0 +i0V

→ Hck (U ) ⊕ Hck (V ) − U

→ Hck (U ∪ V ) −δk→

−δk→Hck+1 (U ∩ V ) → Hck+1 (U ) ⊕ Hck+1 (V ) → Hck+1 (U ∪ V ) → . . . mit den Inklusionen iU : U ,→ U ∪ V , iV : V ,→ U ∪ V , jU : U ∩ V ,→ U und jV : U ∩ V ,→ V wobei die Abbildungen i0U , jU0 , etc. durch Fortsetzen mit 0 gegeben sind. ugt es die Exaktheit von Beweis. Wegen 44.4 gen¨ 0 → Ωkc (U ∩ V ) −→ Ωkc (U ) ⊕ Ωkc (V ) −→ Ωkc (U ∪ V ) → 0 zu zeigen. Offensichtlich ist die erste Abbildung injektiv. Die zweite is surjektiv, denn ω = hU ω + hV ω, wobei {hU , hV } eine Partition der 1 sei, welche {U, V } untergeordnet ist. Die Zusammensetzung ist offensichtlich 0, und falls i0U (ω1 )+i0V (ω2 ) = 0 ist, so ist Trg ω1 = Trg(i0U ω1 ) = Trg(i0V ω2 ) = Trg ω2 , also ω := ω1 |U ∩V ∈ Ωkc (U ∩V ) und jU0 (ω) = ω1 und jV0 (ω) = −ω2 . 372

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50.33

50. Anwendungen zum Satz von Stokes

50.35 Bemerkung. Die Kohomologie Hc∗ mit kompakten Tr¨ager ist viel schwerer auszurechnen als H ∗ , da das Homotopie-Axiom f¨ ur sie nicht gilt. Z.B. ist Rm Homotopie-¨aquivalent zu 0 0 {0} und Hc ({0}) = H ({0}) = R aber Hc0 (Rm ) = {0}. Oder Hc2 (S 1 × R) = R da der Zylinder S 1 × R 2-dimensional orientierbar ist, aber Hc2 (S 1 ) = H 2 (S 1 ) = {0}. 50.19 Theorem. Die exakte Sequenz eines Paares. Sei N ⊆ M eine kompakte Teilmannigfaltigkeit. Dann existiert eine lange exakte Sequenz in der Kohomologie: . . . →Hck (M \ N ) −→ Hck (M ) −→ Hck (N ) −δk→ −δk→Hck+1 (M \ N ) → Hck+1 (M ) → Hck+1 (N ) → . . .

Beweis. Beache, daß ∗

0 → Ωkc (M \ N ) ,→ Ωkc (M ) −incl → Ωkc (N ) → 0 nicht exakt bei Ωkc (M ) ist, denn Ker incl∗ enth¨alt alle ω ∈ Ωkc (M ) welche auf N verschwinden, w¨ ahrend das Bild des Erweiterungsoperators Ωkc (M \ N ) ,→ Ωkc (M ) aus jenen ω ∈ Ωkc (M ) besteht, welche auf einer Umgebung von N verschwinden. Deshalb ersetzen wir Ωkc (N ) = Ωk (N ) durch Ωk (N ⊆ M ), S den Raum der Keime auf N ⊆ M von glatten k-Formen. Also Ωk (N ⊆ M ) := U ⊇N Ωk (U )/ ∼, wobei U die offenen Umgebungen von N in M durchl¨auft und ω1 ∼ ω2 :⇔ ω1 = ω2 auf einer Umgebung von N in M . Dann ist ∗

0 → Ωkc (M \ N ) ,→ Ωkc (M ) −incl → Ωk (N ⊆ M ) → 0 offensichtlich exakt. Aus 44.4 folgt nun die Existenz einer langen exakten Sequenz in der Kohomologie. Es folgt das Resultat, da H(Ω∗ (N ⊆ M )) ∼ = H(N ): In der Tat sei p : M ⊇ U → N eine tubul¨ are Umgebung nach 62.9 . Wenn wir eine Metrik g auf p : U → N w¨ahlen, so sind die Mengen Un := {ξ : g(ξ, ξ) ≤ n12 } eine Umgebungsbasis von N und 0∗ : H k (Ui ) → H k (N ) ein Isomorphismus, da Un Homotopie-¨aquivalent zu N ist. Einschr¨ anken Ωk (N ⊇ M ) → Ωk (N ) induziert eine Abbildung H k (Ω∗ (N ⊆ M )) → k H (N ). Diese ist surjektiv, denn die Zusammensetzung mit H k (Ui ) → H k (Ω∗ (N ⊆ M )) ist ein Isomorphismus. Sie ist auch injektiv, denn sei [ω] ∈ Ωk (N ⊆ M ) geschlossen mit ω ∈ Ωk (Ui ) und ω|N ∈ Ωk (N ) exakt. Dann ist 0 = [ω] ∈ H k (Ui ), da incl∗ ([ω]) = [ω|N ] = 0, also ω exakt und damit auch [ω] ∈ Ωk (N ⊆ M ) exakt, also verschwindet die Kohomologieklasse in H k (Ω∗ (N ⊆ M )). 50.20 Folgerung. Sei M eine Mannigfaltigkeit mit kompakten Rand ∂M . Dannn existiert eine lange exakte Sequenz: . . . →Hck (M \ ∂M ) −→ Hck (M ) −→ Hck (∂M ) −δk→ −δk→Hck+1 (M \ ∂M ) → Hck+1 (M ) → Hck+1 (∂M ) → . . . 50.33 Folgerung. ( Hck (Rm ) =

R 0

f¨ ur k = m . f¨ ur k = 6 m>0

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373

50.36

50. Anwendungen zum Satz von Stokes

Beweis. Wir wenden 50.20 auf den abgeschlossenen Einheitsball M ⊆ Rm an. Dann ist M \ ∂M ∼ ur = Rm , ∂M = S m−1 und Hck (M ) = H k (M ) ∼ = H k ({∗}) = {0} f¨ k > 0 und somit liefert 50.20 f¨ ur k > 0 die exakte Sequenz 0 → H k (S m−1 ) → Hck+1 (Rm ) → 0 mit Anfang 0 → R → H 0 (S m−1 ) → Hc1 (Rm ) → 0 wegen Hc0 (Rm ) = {0}, siehe den Beweis von 50.17 . Daraus folgt ( R f¨ ur k = m > 1 k m k−1 m−1 Hc (R ) = H (S )= {0} f¨ ur 1 < k 6= m und ( Hc1 (Rm )

=

R {0}

f¨ ur m = 1 f¨ ur m > 1.

50.36 Bemerkung. Sei M ⊆ Rm+1 eine kompakte zusammenh¨angende Hyperfl¨ache. Wir wollen zuerst zeigen, daß Rm+1 \ M mindestens 2 Zusammenhangskomponenten besitzt. Sei dazu vorerst M orientiert. F¨ ur p ∈ / M ist die Windungszahl von M bzgl. p definiert durch wM (p) := deg(rp |M ), wobei rp : x 7→

1 (x − p), kx − pk

M → Sm.

Es ist wM konstant auf den Zusammenhangskomponenten von Rm+1 \ M : Sei n¨ amlich t 7→ p(t) eine Kurve in Rm+1 \ M , dann ist (t, x) 7→ rp(t) (x) eine Homotopie und somit t 7→ wM (p(t)) konstant. Bis auf einen Diffeomorphismus (mit kompakten Tr¨ ager) ist 0 ∈ M und M nahe 0 durch eine Hyperebene v ⊥ gegeben. Wir behaupten, daß wp (M ) − wq (M ) = ±1 f¨ ur p, q nahe 0 auf verschiedenen Seiten von v ⊥ . In der Tat ist t 7→ rtv |M \{0} eine Homotopie und f¨ ur x ∈ v ⊥ mit kxk ≤ δ ¨ ist das Bild eine Polkappe um v die f¨ ur t = 0 zum Aquator degeneriert und dann in die andere Polkappe mutiert.

Erweitern wir diese Homotopie indem wir die geographische Breite des Bildes nahe dem Pol v konstant halten (d.h. ϑ durch π/2 + h(ϑ)(π/2 − ϑ) ersetzen) so werden Punkte nahe dem Pol −v nicht mehr getroffen. Sei nun y nahe −v ein regul¨arer Wert f¨ ur r±v . Dann besitzt der Endwert der Homotopie ein Urbild x nahe 0 weniger als rv und somit ist wM (−v) = wM (v) + signx (r−v ) = wM (v) ± 1. Sei nun M und N kompakt zusammenh¨angend aber nicht notwendig Porientierbar. Wir definieren den mod-2 Grad von f : M → N durch deg2 (f ) := x∈f −1 (y) 1 ∈ Z2 := Z/(2Z), wobei y ein regul¨arer Wert von f sei. Wir m¨ ussen zeigen, daß diese Anzahl modulo 2 nicht von der Wahl des regul¨aren Werts abh¨ angt. Sei dazu f0 und f1 glatt homotop verm¨oge H : [0, 1] × M → N . O.B.d.A. ist H(t, x) = fi (x) f¨ ur t nahe i ∈ {0, 1} (Ersetze H durch (t, x) 7→ H(h(t), x) mit h konstant nahe 0 und nahe 1). Nach dem Beweis von 50.16 sind alle Werte nahe regul¨ aren Werten selbst regul¨ar und haben die gleich Anzahl von Urbilder. Somit d¨ urfen wir annehmen, daß y ein regul¨arer Wert von H somit auch f¨ ur f0 und f1 ist. Dann ist H −1 (y) eine 1-dimensionale Teilmannigfaltigkeit von R×M die {0, 1}×M transversal schneidet. Die Spur H −1 (y)∩[0, 1]×M ist somit eine disjunkte Vereinigung von endlich vielen 1-dimensionalen Mannigfaltigkeiten mit 374

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50.25

50. Anwendungen zum Satz von Stokes

Rand und somit liegt eine gerade Anzahl von Randpunkten vor. Die Randpunkte sind aber gerade {(i, x) : i ∈ {0, 1}, fi (x) = y}, also ist X X X 1≡− 1≡ 1 mod 2 x∈f0−1 (y)

x∈f1−1 (y)

x∈f1−1 (y)

Sind nun y0 und y1 beides regul¨are Werte von f , dann existiert eine Diffeotopie ∂ h die y0 auf y1 abbildet (lokal geht das indem wir ein Vektorfeld ξ = f · ∂u 1 mit ξ kompakten Tr¨ ager w¨ ahlen und den Fluß Flt betrachten) und somit ist h1 ◦f ∼ f und y1 regul¨ arer Wert von h1 ◦f und von f , also |f −1 (y1 )| = |(h1 ◦f )−1 (y1 )| = |f −1 (y0 )|. Wenn wir die Windungszahl wM (p) nun wie zuvor aber mit deg2 anstelle von deg definieren, so k¨ onnen wir den Beweis wie oben f¨ uhren und erhalten wp (M ) 6= wq (M ) f¨ ur Punkte lokal auf verschiedenen Seiten von M . 50.22 Proposition. Sei M ⊆ Rn+1 eine kompakte zusammenh¨ angende Hyperfl¨ ache. Dann ist M orientierbar und Rn+1 \ M hat genau 2 Zusammenhangskomponenten und M ist der Rand beider. Beweis. Die Kohomologiesequenz des Paares M ⊆ Rn+1 ist Hcn (Rn+1 ) → H n (M ) −δ→ Hcn+1 (Rn+1 \ M ) → Hcn+1 (Rn+1 ) → H n+1 (M ) | {z } | {z } | {z } ∼ =R

=0

=0

n

Somit ist dim H (M ) + 1 die Anzahl der (mindestens 2) Zusammenhangskomponenten von Rn+1 \ M . Also ist dim H n (M ) ≥ 1 und damit M orientierbar, also dim H n (M ) = 1 und damit hat Rn+1 \ M genau 2 = dim H n (M ) + 1 Zusammenhangskomponenten. Da nach obigen Argumenten nahe x ∈ M Punkte in jeder Komponente sind, ist M der Rand jeder Komponente. 50.23 Folgerung. Verallgemeinerter Jordanscher Kurvensatz. Sei S n ∼ = M ⊆ Rn+1 . Dann hat Rn+1 \M genau zwei Zusammenhangskomponenten und M ist der Rand beider. 50.24 Folgerung. Weder die projektive Ebene noch die Klein’sche Flasche l¨ aßt sich als Teilmannigfaltigkeit von R3 realisieren. Beweis. Andernfalls w¨ aren sie nach 50.22 orientierbar. 50.34 Beispiel. Selbst f¨ ur orientierbare zusammenh¨angende 2-dimensionale Mannigfaltigkeiten M muß H 1 (M ) nicht endlich dimensional sein. Sei z.B. U := C\Z ⊆ R2 und V ⊆SC die Vereinigung der offenen B¨ alle um alle z ∈ Z mit Radius 31 . Dann ist U ∩ V ∼ Z S 1 und somit liefert die Mayer-Vietoris Sequenz 0 → H 1 (U ) ⊕ {0} → H 1 (U ∩ V ) → 0 F Q und somit H 1 (U ) ∼ = H 1 ( Z S 1 ) = Z R = RZ . = H 1 (U ∩ V ) ∼ 50.25 Definition. Analog zur Poincar´e-Dualit¨ at H k (M ) → H m−k (M )∗ f¨ ur kompakte zusammenh¨ angende orientierbare M k¨ onnen wir H k (M ) → Hcm−k (M )∗ f¨ ur allgemeine zusammenh¨ angende orientierbare M definieren. Dazu sie das Cup-Produkt ∪ : H k (M ) × c 15. Dezember 2008 [email protected]

375

50.26

50. Anwendungen zum Satz von Stokes

Hcj (M ) → Hck+j (M ) defiert durch [α] ∪ [β] := [α ∧ β] und die Poincar´e-Dualit¨at H k (M ) → Hcm−k (M )∗ die verm¨oge Hcm (M ) ∼ = R induzierte lineare Abbildung.

50.26 Proposition. Sei M eine zusammenh¨ angende orientierte Mannigfaltigkeit. Dann ist die Poincar´eDualit¨ at ein Isomorphismus H k (M ) → Hcm−k (M )∗ .

Eine Triangulierung ist eine endliche Familie von diffeomorphenP Bildern {σi : i} des standard m-Simplex ∆m := {x ∈ Rm+1 : ∀ i : xi ≥ 0, i xi = 1}, s.d. σi ∩ σj 6= ∅ ⇒ σi ∩ σj ist eine k-Seite von σi und von σj , wobei eine k-Seite das Bild der Teilmenge von ∆m ist, die durch 0-Setzen von m − k vielen Koordinaten entsteht. Man kann mit einigen Aufwand zeigen, daß jede glatte Mannigfaltigkeit eine Triangulierung besitzt, siehe [78] oder [104].

6

7

5 0

1

2

8

4

3

376

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50.26

50. Anwendungen zum Satz von Stokes

2

3

0

4

1

Beweis (f¨ ur triangulierbare Mannigfaltigkeiten). Falls M = U ∪ V ist mit offenen U und V , s.d. der Satz f¨ ur U , V und U ∩ V gilt, so folgt aus der MayerVietoris Sequenz und der dualen der Mayer-Vietoris Sequenz f¨ ur kompakte Tr¨ager

H k−1 (U ) ⊕ H k−1 (V )

/ H k−1 (U ∩ V )

/ H k (M )

/ H k (U ) ⊕ H k (V )

/ H k (U ∩ V )

     Hcl+1 (U )∗ ⊕ Hcl+1 (V )∗ / Hcl+1 (U ∩ V )∗ / Hcl (M )∗ / Hcl (U )∗ ⊕ Hcl (V )∗ / Hcl (U ∩ V )∗

ur M selbst, denn wie Aufgabe mittels nachstehenden 5-er Lemma 5.37 der Satz f¨ EX30 zeigt kommutiert das Diagramm und die duale einer exakten Sequenz ist (wie man leicht zeigt) ebenfalls exakt. Wir w¨ ahlen auf jedem Seitensimplex der Simplexe der Triangulierung einen “inneren” Punkt. Rekursiv definieren wir nun disjunkte Vereinigungen Uk offener kontrahierbarer Teilmengen von M wie folgt: Es sei U0 die disjunkte Vereinigung von kontrahierbaren Umgebungen jeder Ecke, die keinen der anedern inneren Punkte enth¨ alt Die Menge Uk bestehe dann aus der disjunkten Vereinigung von offenen kontrahierbaren Umgebungen der nicht-leeren Menge σ \ Uk−1 . Explizit kann man das erreichen, indem man alle Simplexe betrachtet, die als Ecken die zuvor gew¨ahlten inneren Punkte haben, und zwar von aufsteigend geordneten Seiten eines Simplex der Triangulierung. c 15. Dezember 2008 [email protected]

377

50.26

50. Anwendungen zum Satz von Stokes

Nun w¨ ahlt man U0 als die Vereinigung aller solcher “offener” Simplexe die jeweils eine der urspr¨ unglichen Ecken als Ecke haben.

Und analog nimmt man f¨ ur Uk die Vereinigung aller solcher “offener” Simplexe die jeweils einen der inneren Punkte eines k-Simplexes als Ecke haben. 378

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50. Anwendungen zum Satz von Stokes

50.26

S Offensichtlich ist σ ⊆ j≤k Uj f¨ ur jeden (abgeschlossenen) k-Simplex σ und somit Sm F S F m ∼ und Uk ∩ j
379

50.28

50. Anwendungen zum Satz von Stokes

5.37 5’er Lemma. Sei / A2

ϕ1

A1 f1 ∼ =

/ A3

ϕ2

f2 ∼ =

ϕ3

/ A4

ϕ4

f4 ∼ =

f3

/ A5 f5 ∼ =

     ψ1 / B2 ψ2 / B3 ψ3 / B4 ψ4 / B5 B1 ein kommutatives Diagramm mit exakten horizontalen Zeilen. Falls alle bis auf den mittleren vertikalen Pfeil Isomorphismen sind, so ist es auch dieser. Beweis. (f3 ist injektive) f3 a3 = 0 ⇒ 0 = ψ3 f3 a3 = f4 ϕ3 a3 f4 inj.

⇒ ϕ3 a3 = 0

exakt bei A3

⇒

∃ a2 : a3 = ϕ2 a2

⇒ 0 = f3 a3 = f3 ϕ2 a2 = ψ2 f2 a2 exakt bei B2

⇒

f1 surj.

⇒

∃ b1 : f2 a2 = ψ1 b1

∃ a 1 : b1 = f 1 a 1

⇒ f2 a2 = ψ1 f1 a1 = f2 ϕ1 a1 f2 inj.

⇒ a2 = ϕ1 a1

exakt bei A2

⇒

a1 f1 ∼ =



b1

/ a2

ϕ1

a3 = ϕ2 a2 = ϕ2 ϕ1 a1 = 0 / a3

ϕ2

f2 ∼ =

ψ1

 / f2 (a2 )

ϕ3

ψ2

•

f4 ∼ =

f3

 /0

/0

ψ3

 /0

•

(f3 ist surjektiv) b3

f4 surj.

⇒

∃ a4 : f4 a4 = ψ3 b3

exakt bei B4

⇒

f5 ϕ4 a4 = ψ4 f4 a4 = ψ4 ψ3 b3 = 0

f5 inj.

⇒ ϕ4 a4 = 0

exakt bei A4

⇒

∃ a3 : a4 = ϕ3 a3

⇒ ψ3 f3 a3 = f4 ϕ3 a3 = f4 a4 = ψ3 b3 exakt bei B3

⇒

f2 surj.

⇒

∃ b2 : b3 − f3 a3 = ϕ2 b2

∃ a2 : b2 = f2 a2

⇒ b3 = f3 a3 + ψ2 b2 = f3 a3 + ψ2 f2 a2 = f3 (a3 + ϕ2 a2 ) •

a2

ϕ2

f2 ∼ =

•



b2

/ a3 f3

ψ2



/ b3

ϕ3

/ a4

ϕ4

f4 ∼ = ψ3



/ ψ 3 b3

/ ϕ4 a4 f5 ∼ =

ψ4

 /0

50.28 Proposition. Sei K eine Triangulierung der kompakten Mannigfaltigkeit m und αi die Anzahl der 380

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50.27

50. Anwendungen zum Satz von Stokes i-Simplexe von K. Dann ist χ(M ) =

X (−1)i αi . i

Beweis. Wir verwenden die im Beweis von 50.26 konstruieren offene Mengen Uk ⊆ M , welche disjunkte Vereinigung von αk vielen Mengen diffeomorph zu Rm sind S und f¨ ur die Uk ∩ j
j
=χ

[

j≤k



Uj + (1 + (−1)

k−1

j
)αk .

j≤k

Also χ

[

 [  Uj = χ Uj + (−1)k αk

j≤k

j
und damit [  X X Uj = χ(∅) + χ(M ) = χ (−1)j αj = (−1)j αj . j≤m

j≤m

j≤m

50.27 Definition. Thom- und Euler-Klasse eines Vektorb¨ undels. Sei p : E → M ein orientiertes k-Ebenenb¨ undel u ¨ber einer m-dimensionalen kompakten orientierten zusammenh¨ angenden Mannigfaltigkeit M . Das Cup-Produkt m k ∪ : H (E) × H (E) → H m+k (E) ∼ = R, [α] ∪ [β] := [α ∧ β] c

c

induziert die Poincar´e-Dualit¨ at Hck (E)

∼ =

m

∗

− → H (E) ,

Z [β] 7→ ([α] 7→

α ∧ β). E

Da 0 : M ,→ E ein Deformationsretrakt ist, ist H m (M ) ∼ = H m (E), verm¨oge [α] 7→ ∗ [p (α)] und somit Hck (E) ∼ = H m (E)∗ ∼ = H m (M )∗ verm¨ oge Z Z     [β] 7→ [α] 7→ α ∧ β 7→ [γ] 7→ p∗ (γ) ∧ β . E E  R  R ∗ m ∗ m ∼R ∼ Es ist R = = H (M ) , verm¨oge 1 7→ M : H (M ) → R, [γ] 7→ M γ . Somit existiert eine eindeutige Klasse U = [τ ] ∈ Hck (E) mit Z Z p∗ (γ) ∧ τ = γ f¨ ur alle [γ] ∈ H m (M ), E

M

die sogenannte Thom-Klasse U (p) des k-Ebenenb¨ undels p. Die Euler-Klasse χ(p) ∈ H k (M ) des k-Ebenenb¨ undels p ist dann als χ(p) := 0∗ (U (p)) = s∗ (U (p)) definiert, wobei 0 : M ,→ E der 0-Schnitt bzw. s ein beliebiger (klarerweise dazu homotoper) Schnitt von p ist. Falls p : E → M einen nirgends verschwindenden Schnitt s besitzt, so ist χ(p) = (c · s)∗ (U (p)) = 0, wenn c so groß gew¨ahlt wurde, daß Bild(c · s) ∩ Trg(w) = ∅ f¨ ur [τ ] = U (p). c 15. Dezember 2008 [email protected]

381

50.30

50. Anwendungen zum Satz von Stokes

50.29 Proposition. Sei M eine zusammenh¨ angende R kompakte orientierte m-dimensionale Mannigfaltigkeit und [µ] ∈ H m (M ) mit M µ = 1. Sei p : E → M ein orientiertes k-Ebenenb¨ undel, Ex seine Faser f¨ ur x ∈ M und jx : Ex ,→ E die Inklusion. Dann ist die Thom-Klasse U (p) = [τ ] das eindeutige Element aus Hck (E) mit R ∗ j (τ ) = 1 f¨ ur alle x ∈ M , Ex x k Beweis. Es sei U = [τ ] ∈ von p. Sei weiters µ ∈ Ωm (M ) R R Hc∗ (E) die Thom-Klasse R mit M µ = 1, dann ist E p (µ) ∧ τ = M µ = 1 nach Definition von U . Sei nun W ∼ ur welche E|W trivial ist, also o.B.d.A. = Rm eine offene Teilmenge von M f¨ E|W ∼ = W × Rk und p = pr1 sowie jx : v 7→ (x, v). Dann existiert in K > 0 mit Trg(τ |p−1 (W ) ) ⊆ W × {v : kvk < K} und sei vorerst Trg(µ) ⊆ W . Die Kontraktion von W zu x ∈ W induziert eine glatte Homotopie H : W × Rk × I → W × Rk mit H0 = id und H1 = (constx , pr2 ) = jx ◦ pr2 . Es gilt Trg(H ∗ τ ) ⊆ H −1 (Trg τ ) ⊆ {(y, v, t) : kvk < K}. Damit ist Trg(λ) ⊆ {(y, v) : kvk < K} f¨ ur λ := (I01 ◦ ιξ ◦ H ∗ )(τ ) ∈ Ω(W × Rk ) und damit nach dem Beweis von 44.3.2

(jx ◦ pr2 )∗ τ − τ = (H1 )∗ (τ ) − (H0 )∗ (τ ) = dλ. Somit ist Z Z p∗ (µ) ∧ τ = W ×Rk

W ×Rk

pr∗1 µ ∧ pr∗2 jx∗ τ −

Z W ×Rk

pr∗1 µ ∧ dλ =

Z

Z µ·

W

Rk

jx∗ τ,

R R denn pr∗1 µ ∧ dλ = ±d(pr∗1 µ ∧ λ) und damit W ×Rk pr∗1 µ ∧ dλ = ± W ×Rk d(pr∗1 µ ∧ R λ) = 0. Folglich ist Rk jx∗ τ unabh¨aRngig von x ∈RW und damit konstant R bzgl. x ∈ M . ∗ ∗ j τ . Aus p (µ) ∧ τ = 1 und µ = 1 folgt Wir bezeichnen diesen Wert mit k E M R R ∗ j τ = 1 nun mittels Partition der 1, d.h. U hat die gew¨ u nschte Eigenschaft. k R ∼ R gilt U 0 = c U f¨ ur jedes andere U 0 ∈ Nun zur Eindeutigkeit: Wegen Hck (E) = k so folgt jx∗ U 0 = Hc (E) mit einem c ∈ R. Hat dieses auch die Rgeforderte Eigenschaft R ∗ ∗ 0 ∗ ∗ jx (cU ) = cjx U und somit folgt c = 1 wegen Ex jx U = 1 = Ex jx U . 50.30 Definition. Sei ξ ein Vektorfeld auf einer offenen Menge U ⊆ Rm mit isolierter Nullstelle 0. Dann ist der Index von ξ bei 0 definiert durch ind0 (ξ) = deg(r ◦ ξ ◦ i : S m−1 ,→ U \ {0} → Rm \ {0}  S m−1 ), 1 wobei r(x) := kxk x und i : S m−1 ,→ U \ {0} die Einbettung einer kleinen samt ihrem Inneren in U enthalten Sph¨are ist. Dieser Index ist invariant unter Diffeomorphismen: In der Tat, wenn h ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus mit h(0) = 0 ist, dann ist ( h(tx) f¨ ur t > 0 t H(x, t) := 0 h (0)(x) sonst

eine glatte Homotopie zwischen h und h0 (0), und, da GL+ (Rm ) zusammenh¨angend ist, ist h0 (0) glatt homotop zu id. Somit ist r ◦ ξ ∼ r ◦ h∗ ξ auf Rm \ {0} nahe 0 und damit deg(r ◦ ξ ◦ i) = deg(r ◦ h∗ ξ ◦ i) f¨ ur h∗ ξ := (T h)−1 ◦ ξ ◦ h. Um das auch f¨ ur nicht-orientierungserhaltende h zu bekommen gen¨ ugt es speziell h : (x1 , . . . , xm−1 , xm ) 7→ (x1 , . . . , xm−1 , −xm ) zu betrachten. Dann ist h∗ ξ = h−1 ◦ξ◦h und somit r ◦ h∗ ξ ◦ i = r ◦ h−1 ◦ ξ ◦ h ◦ i = h−1 ◦ r ◦ ξ ◦ i ◦ h also deg(r ◦ h∗ ξ ◦ i) = 50.10.1

deg(h−1 ◦ r ◦ ξ ◦ i ◦ h) ======= deg(r ◦ ξ ◦ i). Das radiale Vektorfeld x 7→ x hat offensichtlich Index 1 bei 0. Allgemeiner hat ein lineares Vektorfeld ξ am Rm , welches diagonalisierbar mit k negativen und m − k 382

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50.32

50. Anwendungen zum Satz von Stokes

positiven Eigenwerten ist, Index (−1)k , denn bis auf lineare orientierungserhaltende Isomorphismen ist es von der Form (x1 , . . . , xm ) 7→ (−x1 , . . . , −xk , xk+1 , . . . , xm ) und hat eingeschr¨ ankt auf S m−1 Abbildungsgrad (−1)k (em ist regul¨arer Wert von ξ ◦ i = r ◦ ξ ◦ i mit einzigen Urbild em und det(Tem ξ|S m−1 ) = (−1)k ). F¨ ur eine Vektorfeld ξ auf einer Mannigfaltigkeit mit isolierter Nullstelle x definieren wir indx ξ als ind0 ξ¯ f¨ ur eine Kartendarstellung ξ¯ von ξ zentriert bei x. 50.31 Proposition. Sei M eine Rkompakte orientierte zusammenh¨ angende Mannigfaltigkeit und µ ∈ Hcm (M ) mit M µ = 1. Sei ξ ∈ X(M ) ein Vektorfeld mit nur isolierten Nullstellen. Dann ist  X  χ(πM : T M → M ) = indx ξ · [µ] ∈ H m (M ). x∈ξ −1 (0)

Beweis. Sei P [τ ] ∈ Hck (E) die Thom-Klasse. Wegen χ(πM ) = ξ ∗ ([τ ]) m¨ ussen wir R ∗ −1 ξ (τ ) = ind ξ zeigen. Sei ξ (0) = {x , . . . , x } und (u −1 x 1 k i , Ui ) bei x∈ξ (0) M xi zentrierte Karten mit Ui := {x : kxk ≤ 1}. O.B.d.A. sei ξx ∈ / Trg τ f¨ ur alle Sk x∈ / i=1 u(Ui ). Dann ist Z

∗

ξ (τ ) =

k Z X

M

R

ξ ∗ (τ )

ui (Ui )

i=1

∗

und es gen¨ ugt ui (Ui ) ξ (τ ) = indxi ξ zu zeigen. Der Einfachheit halber lassen wir den Index i im Rest des Beweises weg. Dann ist T M |W trivial f¨ ur W := ui (Ui ) und wie im Beweis von 50.29 Trg(τ |p−1 (W ) ) ⊆ {(y, v) : kvk ≤ 1}. Wir haben dort / Trg λ f¨ ur pr∗2 jx∗ τ − τ = dλ mit Trg(λ) ⊆ {(y, v) : kvk ≤ 1} gezeigt. Wegen ξ(y) ∈ alle y ∈ ∂W gilt: Z Z Z Z Z Z ξ ∗ (τ ) = ξ ∗ pr∗2 jx∗ τ − ξ ∗ dλ = ξ ∗ pr∗2 jx∗ τ − ξ∗λ = ξ ∗ pr∗2 jx∗ τ. W

W

W

W

∂W

W

Wegen dem Poincar´e-Lemma 44.5.6 ist jx∗ τ = dρ f¨ ur ein ρ ∈ Ωm−1 (Rm ). Mit m D := {v ∈ R : kvk ≤ 1} ist Z Z Z Z Z 50.29 ρ= ρ= dρ = jx∗ τ = jx∗ τ = ===== = 1. S m−1

∂D

D

Rm

D

¯ := ¯ ∂W glatt homotop zu ξ|∂W und F¨ ur y ∈ W \ {x} sei ξ(y) Dann ist ξ| somit Z Z Z Z Z ¯ ∗ρ ξ ∗ pr∗2 jx∗ τ = ξ ∗ pr∗2 dρ = ξ ∗ pr∗2 ρ = ξ¯∗ pr∗2 ρ = (pr2 ◦ξ) W W ∂W ∂W ∂W Z ¯ = deg(pr2 ◦ξ ◦ ι) · ρ = indx ξ · 1. 1 |ξ(y)| ξ(y).

S m−1

50.32 Proposition. Sei M eine kompakte orientierte zusammenh¨ angende Mannigfaltigkeit und ξ ∈ X(M ) ein Vektorfeld mit nur isolierten Nullstellen. Dann ist Z X χ(M ) = indx ξ = χ(πM ). x∈ξ −1 (0)

M

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383

50.32

50. Anwendungen zum Satz von Stokes

Beweis. F¨ ur µ ∈ Ωm (M ) mit

R M

µ = 1 gilt nach 50.31 f¨ ur jedes Vektorfeld ξ

X

indx ξ · [µ] = χ(πM )

x∈ξ −1 (0)

und somit X x∈ξ −1 (0)

Z indx ξ =

X

Z indx ·µ =

M x∈ξ −1 (0)

χ(πM ). M

Es gen¨ ugt also eine Vektorfeld ξ zu finden mit χ(M ) =

X

indx ξ.

x∈ξ −1 (0)

Wir verwenden dazu eine endliche Triangulierung und wie im Beweis von 50.26 auf Pm jedem Seitensimplex einen “inneren” Punkt. Nach 50.28 ist χ(M ) = k=0 (−1)k αk , wenn αk die Anzahl der k-Simplexe bezeichnet. Das Vektorfeld mit genau diesen Punkten als Nullstellen w¨ ahlen wir nun rekursiv auf den k-Simplexen so, daß es die gew¨ ahlten inneren Punkte als Senken hat.

384

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50.37

50. Anwendungen zum Satz von Stokes

Der Index so eines Vektorfelds ξ auf einem dieser inneren Punkt eines k-Simplexes ist (−1)k nach dem in 50.30 Gesagten und somit ist X

indx ξ =

x∈ξ −1 (0)

m X

(−1)k αk = χ(M ).

k=0

50.37 Zeitabh¨ angige Vektorfelder. Sei ξ ein zeitabh¨ angiges Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit M , d.h. eine Abbildung ξ : R × M → T M mit πM ◦ ξ = pr2 . F¨ ur t ∈ M bezeichen wir mit ξt das Vektorfeld x 7→ ξ(t, x) auf M . Durch   ∂ ∼ ˜ , ξ(t, x) ξ : R × M → T (R × M ) = T R × T M, (t, x) 7→ ∂t ist dann ein (zeitunabh¨ angiges) Vektorfeld auf R × M gegeben, welches nach 28.3 ˜

einen lokalen Fluß Flξ besitzt, d.h. ˜

Flξ (t, x; 0) = (t, x) und ˜

∂ ˜ ˜ ξ˜(t, x; s)). Flξ (t, x; s) = ξ(Fl ∂s

Insbesonders ist (pr1 ◦ Flξ )(t, x; 0) = t und

∂ ∂s (pr1

˜

◦ Flξ )(t, x; s) = 1, also

˜

(pr1 ◦ Flξ )(t, x; s) = t + s. c 15. Dezember 2008 [email protected]

385

50.39

50. Anwendungen zum Satz von Stokes ˜

Sei Flξ (x, s) := (pr2 ◦ Flξ )(0, x; s). Dann ist Flξ (x, 0) = x und  ˜    ∂ ∂ ˜ Flξ (x, s) = (pr2 ◦ Flξ )(0, x; s) = ξ Flξ (0, x; s) = ξ 0 + s, Flξ (x, s) , ∂s ∂s also s 7→ Flξ (x, s) die Integralkurve des zeitabh¨angigen Vektorfelds ξ die bei x startet. Wir setzen wieder Flξt (x) := Flξ (x, t). Beachte jedoch, daß Flξ trotz der benutzten Bezeichnung NICHT die Flußeigenschaft Flξt+s = Flξt ◦ Flξs besitzt. Der Einfachheit halber setzen wir nun M als kompakt voraus. Dann ist Flξ global definiert. Sei nun ω ∈ Ωk (M ) dann ist t 7→ (Flξt )∗ ω eine glatte Kurve in (den lokalkonvex Vektorraum) Ωk (M ), oder a¨quivalent f¨ ur jedes x ∈ M ist t 7→ ξ ∗ ((Flt ) ω)(x) eine glatte Kurve in den endlich dimensionalen Vektorraum Λk Tx M ∗ ∼ = Lkalt (Tx M ; R). ∂ (Flξt )∗ (ω) = (Flξt )∗ (Lξt ω) Beh.: ∂t Der K¨ urze halber setzen wir ϕt := Flξt . F¨ ur x ∈ M ist     
 ∂ ∂ ϕt+s ◦ (ϕt )−1 (x) = ϕt+s (ϕt )−1 (x) = ξt+0 ϕt (ϕt )−1 x ∂s s=0 ∂s s=0 ∂ = ξt (x) = Flξt (x) ∂s s=0 s

und somit ist ∂ ∂ ∂ (Flξt )∗ (ω) = (ϕt )∗ (ω) = (ϕt+s )∗ (ω) ∂t ∂t ∂s s=0 
∗  ∂ = (ϕt )∗ ϕt+s ◦ (ϕt )−1 (ω) ∂s s=0   ∂  ∂
−1 ∗ ∗ ϕ ◦ (ϕ ) (ω) = (ϕ ) = (ϕt )∗ t+s t t ∂s ∂s s=0

(Flξst )∗ (ω)



s=0

= (Flξt )∗ (Lξt ω). 50.38 Darboux’s Theorem. Es seien ω0 und ω1 symplektische Formen auf einer Mannigfaltigkeit M und x ∈ M mit ω0 (x) = ω1 (x). Dann existiert ein lokaler Diffeomorphismus f von M bei x mit f ∗ (ω1 ) = ω0 lokal um x. Beweis. Wir betrachten die Gerade t 7→ ωt := ω0 + t(ω1 − ω0 ) ∈ Z 2 (M ). Es gen¨ ugt eine Kurve t 7→ ϕt ∈ Diff(M ) zu finden mit (ϕt )∗ (ωt ) = ω0 . F¨ ur das zugeh¨orige ∂ zeitabh¨ angige Vektorfeld ξt (x) := ξ(t, x) := ∂t ϕt (x) w¨are Flξt = ϕt und somit ∂  ∂  ∂ ∂ 0 = ω0 = (ϕt )∗ (ωt ) = (ϕt )∗ (ωt ) + (ϕt )∗ ωt ∂t ∂t ∂t ∂t   50.37 = ===== = (ϕt )∗ Lξt ωt + ω1 − ω0 . Da ϕt lokale Diffeomorphismen sind, ist dies (wegen dωt = 0) ¨aquivalent zu diξt ωt = Lξt ωt = ω0 − ω1 . Wegen d(ω0 − ω1 ) = 0 existiert lokal ein λ mit dλ = ω0 − ω1 und, da ωt lokal um x (wegen ω0 (x) = ω1 (x)) nicht degeneriert ist, ein eindeutiges lokales zeitabh¨ angiges Vektorfeld t 7→ ξt mit iξt ωt = λ. Wenn wir ϕt := Flξt setzen, ∗ so ist (ϕt ) (ωt ) = ω0 f¨ ur alle t also insbesonders ϕ∗1 (ω1 ) = ω0 . 50.39 Folgerung. Sei (M, ω) eine symplektische Mannigfaltigkeit. Dann existieren lokale Koordinaten Pn (q 1 , . . . , p1 , . . . ) auf M s.d. ω = i=1 dq i ∧ dpi . 386

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50.40

50. Anwendungen zum Satz von Stokes

Beweis. in 14.9 haben wir gesehen, daß lokale Koordinaten ψ −1 = (q 1 , . . . , p1 , . . . ) Pn Pn auf M existieren s.d. ω = i=1 dq i ∧ dpi , i.e. ψ ∗ (ω) = i=1 dxi ∧ dxn+i ∈ Ω2 (R2n ), in einem Punkt gilt. Nach 50.38 existiert weiters ein lokaler Diffeomorphismus ϕ Pn des R2n mit ϕ∗ (ψ ∗ (ω)) = i=1 dxi ∧ dxn+i lokal um Punkt. In den neuen Pdiesen n Koordinaten (q 1 , . . . , p1 , . . . ) := ψ ◦ ϕ ist somit ω = i=1 dq i ∧ dpi lokal. Damit k¨ onnen wir die letzte Aussage u ¨ber die Beschreibung der Hamilton’schen Vektorfelder aus 45.8 pr¨ azise machen: 50.40 Proposition. Es sei (M, ω) eine symplektische Mannigfaltigkeit. Dann existiert folgende exakte Sequenz von Lie-Algebren: 0 → H 0 (M ) → C ∞ (M, R) → Xω (M ) → H 1 (M ) → 0, wobei Xω (M ) := {ξ ∈ X(M ) : Lξ ω = 0} die Unter-Lie-Algebra von X(M ) der lokal Hamilton’schen Vektorfelder ist, C ∞ (M, R) mit der Poisson-Klammer und H 0 (M ) und H 1 (M ) Abel’sche Lie-Algebren sind. Beweis. Die Abbildung H 0 (M ) → C ∞ (M, R) ist die Inklusion der lokal konstanten Funktionen. Die Abbildung C ∞ (M, R) → X(M ) ordnet jeder Funktion f das zugeh¨ orige Hamilton’sche Vektorfeld Xf mit iXf ω = df zu, siehe 45.8 und ist wegen LXf ω = diXf ω + iXf dω = d2 f + iXf 0 = 0 wohldefiniert. Die Abbildung Xω (M ) → H 1 (M ) ist durch ξ 7→ [iξ ω] geben und wegen diξ ω = Lξ ω − iξ dω = 0 wohldefiniert. Wir zeigen zuerst die Exaktheit als lineare Abbildungen zwischen Vektorr¨aumen: Bei H 0 (M ) ist das offensichtlich und auch bei C ∞ (M, R), denn f ∈ C ∞ (M, R) ist genau dann in H 0 (M ), wenn es lokal konstant, also df = 0 ist, und das ist wegen df = iXf ω und der nicht-Degeneriertheit von ω mit Xf = 0 ¨aquivalent. Exaktheit bei Xω (M ) gilt, denn [iξ ω] = 0 ⇔ ∃ f ∈ C ∞ (M, R) : iξ ω = df , i.e. ξ = Xf . Exaktheit bei H 1 (M ) gilt, denn sei [α] ∈ H 1 (M ) (also dα = 0). Dann existiert ein ξ ∈ X(M ) mit iξ ω = α. Es ist ξ ∈ Xω (M ), denn Lξ ω = diξ ω + iξ dω = dα + 0 = 0. Offensichtlich ist jeder Vektorraum (also insbesonders H 0 (M ) und H 1 (M )) mit der Lie-Klammer [ , ] := 0 eine Lie-Algebra. Es ist Xω (M ) eine Teil-Lie-Algebra von X(M ), denn f¨ ur ξ, η ∈ Xω (M ) ist L[ξ,η] ω = 42.7

==== = [Lξ , Lη ]ω = Lξ 0 − Lη 0 = 0. Die Poisson-Klammer auf C ∞ (M, R) ist {f, g} := ω(Xg , Xf ) = iXf iXg ω = iXf dg = LXf g. Es vertauscht f → 7 Xf die Klammern, denn iX{f,g} ω = d({f, g}) = d(LXf g) = LXf dg = LXf iXg ω − iXf LXg ω | {z } =0

42.7

= [LXf , iXg ]ω = ==== = i[Xf ,Xg ] ω also X{f,g} = [Xf , Xg ]. Die Poisson-Klammer macht C ∞ (M, R) zu einer Lie-Algebra, denn {f, g} = ω(Xg , Xf ) = −ω(Xg , Xf ) = −{g, f } {{f, g}, h} = LX{f,g} h = L[Xf ,Xg ] h = [LXf , LXg ]h = (LXf LXg − LXg LXf )h = {f, {g, h}} − {g, {f, h}}. c 15. Dezember 2008 [email protected]

387

50.42

50. Anwendungen zum Satz von Stokes

Die Inklusion H 0 (M ) → C ∞ (M, R) ist ein Lie-Algebra-Homomorphismus, denn {f, g} = iXf dg = 0 falls g ∈ H 0 (M ). Schließlich ist ξ 7→ [iξ ω] auch ein Lie-Algebra-Homomorphismus, denn f¨ ur ξ, η ∈ Xω (M ) ist 42.7

==== = [Lξ , iη ]ω = (Lξ iη − iη Lξ )ω = Lξ iη ω = iξ diη ω +diξ iη ω, i[ξ,η] ω = | {z } =0

also [i[ξ,η] ω] = 0. Bemerkung. In [71] wurde dies zu folgender kurzen exakten Sequenz verallgemeinert: 0 → H ∗ (M ) → Ω∗ (M )/B ∗ (M ) → Ω∗ω (M ; T M ) → H ∗+1 (M ) × Γ(Eω ) → 0, wobei Ω∗ω (M ; T M ) die Lie-Algebra der T M -wertigen Differentialformen K mit LK ωV= 0 bzgl. der Fr¨ olicher-Nijenhuis Klammer ist und Eω das Teilvektorb¨ undel von T ∗ M ⊗ T M jener K mit iK ω = 0 ist. Allerdings tr¨agt Γ(Eω ) keine vertr¨agliche Lie-Algebra Struktur. 50.41 Proposition. Es seien ω0 , ω1 ∈ Ωm (M ) zwei nirgends verschwindende auf R Differentialformen R einer kompakten orientierbaren Mannigfaltigkeit M mit M ω0 = M ω1 . Dann existiert ein (Orientierungs-erhaltender) Diffeomorphismus ϕ : M → M mit ϕ∗ (ω1 ) = ω0 . Dies kann verwendet werden um zu zeigen (siehe [?, 43.7]), daß die unendlich dimensionale Lie-Gruppe der Orientierungs-erhaltenden Diffeomorphismen von M als Mannigfaltigkeit das Produkt der unendlich dimensionale Lie-Gruppe der µ0 erhaltenden Diffeomorphismen kreuz dem lokalkonvexen Vektorraum der Volumsformen mit Masse 1 ist, wobei µ0 so eine fix gew¨ahlte Volumsform sei. ω0 + t(ω1 − ω0 ). Wegen RBeweis. RWie im Beweis von 50.38 betrachten wir ωt := m−1 ω = ω ist [ω − ω ] = 0, also existiert ein λ ∈ Ω (M ) mit dλ = ω0 − ω1 . 0 1 M 0 M 1 Da ωt nirgends verschwindet existiert ein eindeutiges zeitabh¨angiges Vektorfeld t 7→ ξt mit iξt ωt = λ und somit gilt f¨ ur ϕt := Flξt die gew¨ unschte Beziehung (ϕt )∗ (ωt ) = ω0 wie im Beweis von 50.38 . Als Folgerung erhalten wir die nicht-lineare Version von GL+ (m)/SL(m) ∼ = R+ : 50.42 Folgerung. Es sei M eine kompakte orientierte zusammenh¨ angende Mannigfaltigkeit und ω0 ∈ R Vol(M ) := {ω ∈ Ωm (M ) : M ω = 1 und ω verschwindet nirgends}. Weiters sei Diff + (M ) die Gruppe der Orientierungs-erhaltenden Diffeomorphismen von M und Diff ω0 (M ) die Untergruppe der ω0 -erhaltenden Diffeomorphismen. Dann induziert die Abbildung γ : f 7→ f ∗ (ω0 ) eine Bijektion zwischen dem durch die Linkswirkung der Untergruppe gegebene Orbitraum Diff + (M )/ Diff ω0 (M ) mit Vol(M ). Es kann gezeigt werden (siehe [65, 43.7]), daß dies ein Diffeomorphismus ist. Beweis. Wegen 50.41 ist γ surjektiv. Weiters ist γ(f ) = γ(g) ⇔ f ∗ (ω0 ) = g ∗ (ω0 ) ⇔ ω0 = (g◦f −1 )∗ (ω0 ) ⇔ ϕ := g◦f −1 ∈ Diff ω0 (M ), also induziert γ eine Bijektion Diff + (M )/ Diff ω0 (M ) → Vol(M ).

388

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VIII.

Hyperfl¨ achen

In diesen Kapitel kehren wir vorerst zu konkreten 2-dimensionalen Teilmannigfaltigkeiten des R3 -zur¨ uck. Wir besprechen die verschiedenen Kr¨ ummungsbegriffe (wie Normal-, Haupt-, Gauß und mittlere Kr¨ ummung) und stellen die n¨otigen Formeln bereit. Dann untersuchen wir spezielle Klassen solcher Hyperfl¨achen: Drehfl¨ achen, Regelfl¨ achen, Torsen und Minimalfl¨achen. Schließlich behandeln wir noch Geod¨ aten, die Exponentialabbildung die jedem Tangentialvektor die Geod¨ate mit dieser Startgeschwindigkeit zuordnet und Jacobifelder die mit der Variation von Geod¨ aten zusammenh¨ angen. Wir zeigen den Integralsatz von Gauß-Bonnet. Dann besprechen wir den Paralleltransport von Tangentialvektoren l¨angs Kurven und die damit verbundene kovariante Ableitung. Schließlich f¨ uhren wir noch die Riemann, die Ricci- und die Schnittkr¨ ummung ein und behandeln den Zusammenhang zu zuvor definierten Kr¨ ummungen.

51. Normalkru ¨ mmungen 51.1 Definition (Hyperfl¨ ache) Eine Hyperfl¨ ache M im Rn ist eine Teilmannigfaltigkeit der Kodimension 1, d.h. der Dimension m := n − 1. Sie kann lokal z.B. durch eine Gleichung f : Rn → R oder eine Parametrisierung ϕ : Rm → Rn gegeben sein. Beispiele Fl¨achen im R3 , Sph¨ aren S m ⊂ Rn und SL(n) ⊂ L(n, n). 51.2 Gaußabbildung In jedem Punkt p ∈ M haben wir genau zwei normierte Normalvektoren auf Tp M im Rn . Falls M orientiert ist, k¨onnen wir einen dieser Normalvektoren auszeichnen, n¨ amlich so, daß (νp , e1 , . . . , em ) eine positiv orientierte Orthonormalbasis von Rn ist, f¨ ur eine (jede) positiv orientierte Orthonormalbasis (e1 , . . . , em ) von Tp M , cf. 47.11 . Ist M lokal durch eine Gleichung f : Rn → R gegeben, so ist der Gradient grad f ein Normalvektor, den wir nur noch normieren m¨ ussen, cf. 46.8 . Es gibt also lokal und f¨ ur orientierte Hyperfl¨achen sogar global eine glatte Abbildung M 3 p 7→ νp ∈ S m ⊂ Rn mit νp ⊥ Tp M . Ein derart gew¨ahlte Funktion ν wird GaußAbbildung genannt. 51.3 Normalkr¨ ummung Wir wollen nun die “Kr¨ ummung einer Hyperfl¨ache” definieren. Es sei νp ⊥ Tp M ein fix gew¨ ahlter Einheits-Normalvektor und ξ ∈ Tp M ein Einheits-Tangentialvektor. c 15. Dezember 2008 [email protected]

389

51.5

51. Normalkr¨ ummungen

Wir betrachten den Schnitt der Ebene (t, s) 7→ p + tν + sξ durch p mit den Richtungsvektoren ξ und ν, mit M .

Sei f eine lokale regul¨ are Gleichung von M um p. O.B.d.A. sei | gradp f | normiert und gleichorientiert wie νp , also νp = gradp f . Der Schnitt der Ebene mit M ist dann durch die Gleichung f (p + tνp + sξ) = 0 in (t, s) gegeben. Wir wollen in dieser impliziten Gleichung t nach s mittels impliziten Funktionensatz 10.2 aufl¨osen. Dies ist wegen ∂ f (p + tνp + sξ)|s=0 = f 0 (p)(νp ) = hgradp f, νp i = | gradp f |2 = 1 6= 0. ∂t

t=0

m¨oglich. Wir erhalten also als Durchschnitt lokal eine Schnittkurve c : s 7→ p + t(s)νp + sξ in M mit c(0) = p und c0 (0) = ξ + t0 (s)νp = ξ, da c0 (0) ∈ Tp M . Von der Kurve c k¨ onnen wir annehmen, daß sie proportional zur Bogenl¨ange parametrisiert ist. Die in 3.2 definierte signierte Kr¨ ummung der ebenen Kurve c, wobei wir als positiv orientierte Basis (νp , ξ) w¨ahlen, nennt man die Normalkr¨ ummung K(ξ) := KM (ξ) := Kc (0) von M im Punkt p und Richtung ξ. Beachte, daß (ξ, −νp ) das Begleitbein von c im Punkte p = c(0) ist! Eine Formel von K(ξ) erhalten wir wie folgt: Wegen c(t) ∈ M gilt c0 (t) ∈ Tc(t) M = νc(t) ⊥ , also hc0 (t), νc(t) i = 0. Durch Differenzieren an der Stelle 0 erhalten wir: hc00 (0), νp i + hξ, Tp ν · ξi = 0. Folglich gilt: K(ξ) = Kc (0) = −hc00 , νp i = hξ, Tp ν · ξi Diese Formel k¨ onnen wir nun auch f¨ ur |ξ| = 6 1 verwenden.

51.4 Weingarten-Abbildung Man nennt die Tangentialabbildung Lp := Tp ν : Tp M → Tνp S m = νp ⊥ = Tp M der Gauß-Abbildung ν : M → S m die Weingarten-Abbildung, nach Julius ¨ Weingarten, 1836–1910. Der Vektor Lp (ξ) mißt also die infinitesimale Anderung der Normalen, wenn man auf M von p in Richtung ξ ∈ Tp M geht. Nach dem gerade Gezeigten gilt K(ξ) = hξ, L · ξi. 51.5 Lemma. Die Weingarten-Abbildung Lp : Tp M → Tp M ist symmetrisch. 390

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52.1

51. Normalkr¨ ummungen

1. Beweis. Seien ξ1 und ξ2 zwei Vektorfelder auf M . Wir setzen sowohl ξi , als auch ν lokal um p zu Vektorfeldern des Rn fort. Wegen hξ1 , νi|M = 0 gilt D E D E 0 = hξ1 , νi0 (p)(ξ2 (p)) = ξ1 0 (p)(ξ2 (p)), ν(p) + ξ1 (p), ν 0 (p)(ξ2 (p)) D E D E = ξ1 0 (p)(ξ2 (p)), νp + ξ1 (p), Lp (ξ2 (p)) . Somit erhalten wir D E D E ξ1 (p), Lp (ξ2 (p)) − ξ2 (p), Lp (ξ1 (p)) = E D E D = ξ2 0 (p)(ξ1 (p)) − ξ1 0 (p)(ξ2 (p)), νp = [ξ1 , ξ2 ](p), νp = 0. | {z } ∈Tp M

2. Beweis. Sei ϕ : Rm → M ⊂ Rn eine lokale bei p zentrierte Parametrisierung. Mit ϕi bezeichnen wir die i-te partielle Ableitung von ϕ. Die ϕi (0) bilden f¨ ur i = 1, . . . , m eine Basis von Tp M und es gilt: d |t=0 ϕ(t ei ), Tp ν · hϕi (0), Lp · ϕj (0)i = h dt

d ds |s=0 ϕ(s ej )i

d d |t=0 ϕ(t ei ), ds |s=0 ν(ϕ(s ej ))i = h dt

=

d d ds |s=0 h dt |t=0 ϕ(t ei + s ej ), ν(ϕ(s ej ))i d d − h ds |s=0 dt |t=0 ϕ(t ei + s ej ), ν(ϕ(0 ej ))i

= 0 − hϕi,j (0), νp i, und ist somit offensichtlich symmetrisch in (i, j), da die gemischten 2-ten partiellen Ableitungen ϕi,j von ϕ es sind.

51.6 Fundamentalformen Die symmetrische bilinear-Form IIp (ξ1 , ξ2 ) := hξ1 , Lp (ξ2 )i auf Tp M heißt 2-te Fundamentalform von M . Unter der 1-te Fundamentalform versteht man die Riemann-Metrik, d.h. I(ξ, η) := hξ, ηi. Wir haben in 51.3 gezeigt, daß K(ξ) = II(ξ, ξ) gilt.

52. Haupt-, Gauß- und mittlere Kru ¨ mmung 52.1 Jetzt wollen wir die Extremalwerte der Normalkr¨ ummung bestimmen. Wegen der Homogenit¨ at von L macht diese Aufgabe nur Sinn, wenn wir die Abbildung K auf die Einheitssph¨ are S m−1 ⊂ Tp M einschr¨anken. Damit ξ ∈ S m−1 ein kritischer Punkt ist, muß Tξ K : Tξ S m−1 → R konstant 0 sein, d.h. K 0 (ξ)(v) = 0 f¨ ur alle v ∈ Tξ S m−1 = ξ ⊥ . Es gilt: K 0 (ξ)(v) =

d dt |t=0

51.5

II(ξ + tv, ξ + tv) = ==== = 2 II(ξ, v) = 2hLξ, vi.

Es muß also Lξ ∈ Tx M normal stehen auf alle v, welche auf ξ normal stehen, d.h. Lξ muß proportional zu ξ sein. Dies zeigt den Satz von Rodriguez. Die kritischen Punkte ξ der Normalkr¨ ummung sind genau die Eigenvektoren der c 15. Dezember 2008 [email protected]

391

52.3

52. Haupt-, Gauß- und mittlere Kr¨ ummung

symmetrischen linearen Abbildung L, und der zu ξ geh¨ orige Eigenwert λ ist gegeben durch λ = λhξ, ξi = hξ, λξi = hξ, Lξi = II(ξ, ξ) = K(ξ), die Normalkr¨ ummung von M in Richtung von ξ. Im Fall m = 2 sind die kritischen Punkte auch extremal, n¨ amlich das Minimum und das Maximum von K(ξ) f¨ ur |ξ| = 1. F¨ ur m > 2 sind die kritischen Punkte nicht notwendig extremal.

52.2 Haupt- und Gauß-Kr¨ ummung Man nennt die Eigenwerte von L die Hauptkr¨ ummungen und die zugeh¨origen Eigenvektoren Hauptkr¨ ummungsrichtungen. Da L symmetrisch ist, gibt es nur reelle Eigenwerte und dazu eine Orthonormalbasis von Tp M aus Eigenvektoren (Verwende: 0 = hAv, wi−hv, Awi = (λ−µ)hv, wi). Seien Ki die Hauptkr¨ ummungen und ξi eine Orthonormalbasis von zugeh¨origen Hauptkr¨ ummungsrichtungen. Dann gilt nach Euler: X  X K(ξ) = II(ξ, ξ) = II hξ, ξi iξi , hξ, ξj iξj = i

j

=

X

hξ, ξi ihξ, ξj i II(ξi , ξj ) =

i=j

X

hξ, ξi i2 Ki .

i

Unter der Gauß-Kr¨ ummung K ∈ R im Punkt p versteht man das Produkt aller Hauptkr¨ ummungen, also die Determinante von L. Die mittlere Kr¨ ummung H ∈ R ist das arithmetische Mittel der Hauptkr¨ um1 der Spur von L. mungen, also m Eine Kurve c in M heißt Kr¨ ummungslinie, falls ihre Ableitung in jedem Punkt eine Hauptkr¨ ummungsrichtung ist. Ein Vektor ξ 6= 0 heißt Asymptotenrichtung, falls II(ξ, ξ) = K(ξ) = 0 ist. Eine Kurve c in M heißt Asymptotenlinie, falls ihre Ableitung in jedem Punkt eine Asymptotenrichtung ist. Schließlich heißen zwei Vektoren ξ1 6= 0 und ξ2 6= 0 konjugiert, falls II(ξ1 , ξ2 ) = 0 ist. Ein Punkt p heißt Nabelpunkt, falls alle Hauptkr¨ ummungen gleich sind, L also ein Vielfaches der Identit¨ at ist. Dann ist die Normalkr¨ ummung konstant gleich der mittleren Kr¨ ummung. Sind alle Hauptkr¨ ummungen 0, so spricht man von einem Flachpunkt. 52.3 Beispiele n 1. Hyperebene: Rm := e⊥ 0 ⊂ R . Als Normalvektor verwenden wir e0 . Die Gaußabbildung ist somit konstant e0 und die Weingarten-Abbildung L = 0. Also sind die oben definierten Kr¨ ummungen alle gleich 0. Alle Punkte sind Flachpunkte und alle Richtungen Hauptkr¨ ummungsrichtungen und Asymptotenrichtungen. 2. Sph¨ are: S m = {x : |x| = R} ⊂ Rn . Hier k¨onnen wir im Punkte x ∈ S m als Normale νx = R1 x nehmen. D.h. die Gaußabbildung ist die lineare Abbildung 1 R id und somit ist dies auch die Weingarten-Abbildung. Also sind alle Punkte Nabelpunkte und alle Richtungen Hauptkr¨ ummungsvektoren mit Hauptkr¨ ummung R1 . Es gibt keine Asymptotenrichtungen. Die Gauß-Kr¨ ummung 1 1 ist somit Rm und die mittlere Kr¨ ummung ist R . 3. Zylinder: M := {(x, t) ∈ Rm × R : |x| = 1} ⊂ Rn . Als Normale in (x, t) ∈ M k¨ onnen wir νx,t = (x, 0) ∈ Rn × R verwenden. Der Tangentialraum von

392

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52. Haupt-, Gauß- und mittlere Kr¨ ummung

52.4

⊥ M in diesem Punkt ist also T(x,t) M := νx,t = {(y, s) ∈ Rn × R : y ⊥ x} und die Gaußabbildung ist die Einschr¨ankung der linearen Abbildung id ⊕0 auf Tx S m−1 × R. Die Weingarten-Abbildung sieht somit genauso aus. Eine Hauptkr¨ ummung ist also 0 mit Kr¨ ummungsrichtung (0, 1) und alle anderen Hauptkr¨ ummungen sind 1. Die Erzeuger {x} × R sind die Asymptotenlinien. Eine Kurve c : s 7→ (x(s), t(s)) ist genau dann Kr¨ ummungslinie, wenn s 7→ t(s) oder s 7→ x(s) konstant ist.

52.4 Lemma [69]. Ist c eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Kurve auf M mit c(0) = p ∈ M und c0 (0) = ξ ∈ Tp M , |ξ| = 1, so gilt: ¨ 1. (ν ◦ c)0 (0) = Lp · ξ, d.h. Lp · ξ mißt die infinitesimale Anderung von ν l¨ angs c. 2. −hc00 (0), νp i = II(ξ, ξ) = hLp · ξ, ξi = K(ξ), d.h. die Normalkomponente der Beschleunigung h¨ angt nur vom Geschwindigkeitsvektor ab, und ist die Normalkr¨ ummung in dessen Richtung. 3. Es ist −KM (ξ) = Kc (0)hνM (p), νc (0)i = Kc (0) cos θ, wobei θ der Winkel zwischen der Fl¨ achennormale νM (p) und dem Hauptnormalenvektor νc (0) (oder ¨ aquivalent der Schmiegebene) von c in p ist und Kc (0) ≥ 0 die Kr¨ ummung der Raumkurve c ist. 4. Der Schmiegkreis an c in p hat seinen Mittelpunkt auf der Sph¨ are um p − 1 ν (p) durch p. 2KM (ξ) M

ΝM HpL

cH0L=p Νc H0L

1 - €€€€€€€€€€€€€€€€€ Νc H0L Kc H0L

1 - €€€€€€€€€€€€€€€€€ ΝM HpL KM HΞL

Beweis. (1) ist gerade die Definition der Weingarten-Abbildung. (2) Dazu differenzieren wir 0 = hc0 (t), νM (c(t))i wie in 51.3 und erhalten D E D E (1) − c00 (0), νM (c(0)) = c0 (0), (ν ◦ c)0 (0) == hξ, L · ξi = II(ξ, ξ) = K(ξ). c 15. Dezember 2008 [email protected]

393

52.6

52. Haupt-, Gauß- und mittlere Kr¨ ummung

(3) Das Resultat folgt aus (2) wegen E D E D E 7.1 D (2) === = Kc (0)νc (0), νM (p) = Kc (0) νc (0), νM (p) . −K(ξ) == c00 (0), νM (p) = (4) Aus der Theorie der Kurven 2.3 wissen wir, daß der Mittelpunkt des Schmiegkreises durch c(0) + Kc1(0) νc (0) gegeben ist. Nun betrachten wir das Dreieck mit 1 den Ecken p, p − K(ξ) νM (p) und p + Kc1(0) νc (0). Dieses hat einen rechten Winkel bei c(0) + Kc1(0) νc (0), denn nach (3) ist D E II(ξ, ξ) KM (ξ) νM (p), νc (0) = − =− Kc (0) Kc (0) und somit   1 1 1 1 KM (ξ) 1 = 0. νc (0), νM (p) + νc (0) = − + Kc (0) KM (ξ) Kc (0) Kc (0)KM (ξ) Kc (0) Kc (0)2 Also liegt der Schmiegkreismittelpunkt auf dem Thaleskreis (oder in Wirklichkeit auf der Sph¨ are) mit der Strecke von p nach p − KM1(ξ) νM (p) als Durchmesser. 52.5 Lemma (Fl¨ achen mit lauter Nabelpunkten). Eine zusammenh¨ angende Hyperfl¨ ache M besitzt genau dann nur Nabelpunkte, wenn sie Teil einer Ebene oder einer Sph¨ are ist. Beweis. (⇐) Dies haben wir in 52.3 gezeigt. (⇒) Da jeder Punkt Nabelpunkt ist, ist die Weingarten-Abbildung proportional zur Identit¨ at, i.e. Lϕ(x) · ϕi (x) = λ(x)ϕi (x), wobei wir mit dem Index i die partielle Ableitung in die i-te Koordinatenrichtung f¨ ur eine fix gew¨ahlte Karte ϕ bezeichnen. 1 Spur(Lϕ(x) ) ist λ : Rm → R glatt. Also ist νi,j := ∂j ∂i (ν ◦ ϕ) = Wegen λ(x) := m ∂j (L · ϕi ) = ∂j (λ ϕi ) = λj ϕi + λ ϕi,j . Insbesondere gilt λj ϕi = νi,j − λϕi,j = νj,i − λϕj,i = λi ϕj und somit ist λi = 0 = λj f¨ ur i 6= j, d.h. λ ist konstant. Falls λ = 0 ist, so ist 0 = Lp = Tp ν f¨ ur alle p ∈ M , also ν konstant und M eine Ebene. Ist λ 6= 0, dann ist (λ ϕ − ν)i = λ ϕi − L · ϕi = 0 und somit ξ := λ1 (λ ϕ − ν) 1 konstant, d.h. |ϕ − ξ| = |λ| . Somit liegt M lokal auf einer Sph¨are um ξ. Da die Sph¨ are aber durch einen kleinen Teil von M eindeutig bestimmt ist, liegt M ganz auf der Sph¨ are. 52.6 Satz von Dupin. F¨ ur ein m ≥ 3 sei Φ : Rm → Rm ein lokaler Diffeomorphismus dessen partielle Ableitungen Φi orthogonal stehen, d.h. hΦi , Φj i = 0 f¨ ur alle i 6= j. Dann sind die Parameterlinien t 7→ Φ(t · ei ) Kr¨ ummungslinien auf jeder Hyperfl¨ ache Φ(e⊥ ur j ) f¨ i 6= j. Man kann sich Φ vorstellen als m jeweils durch t ∈ R parametrisierte, paarweise orthogonal schneidende Familien von Fl¨achen Φ(tej + e⊥ ur i = 1, . . . , m. Man j ) f¨ nennt deshalb so ein Φ auch ein m-fach orthogonales Fl¨achensystem. Beweis. Es sei j fix gew¨ ahlt. Wir m¨ ussen zeigen, daß f¨ ur i 6= j der Tangentenvektor der Parameterlinie t 7→ Φ(t · ei ), also die partielle Ableitung Φi , ein Eigenvektor der Weingarten-Abbildung L der Hyperfl¨ache M := Φ(e⊥ ur j ) ist. Da hΦk , Φj i = 0 f¨ alle k 6= j ist, ist Φj ein Normalvektor an den Tangentialraum der Hyperfl¨ache M , der ja von den Φk mit k 6= j erzeugt wird. Sei ν der normierte Normalvektor. Da 394

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52.8

52. Haupt-, Gauß- und mittlere Kr¨ ummung

L Φi ∈ T M = Φ⊥ j ist, ist Φi genau dann ein Eigenvektor zu L, wenn hL Φi , Φk i = 0 ist f¨ ur alle k 6= i, j. ∂j

0 = hΦk , Φi i = ⇒

0 = hΦk,j , Φi i + hΦk , Φi,j i

(+)

∂i

0 = hΦk,i , Φj i + hΦk , Φj,i i

(−)

∂k

0 = hΦi,k , Φj i + hΦi , Φj,k i

(−)

⇒ 0 = hΦk , Φj i = 0 = hΦi , Φj i = ⇒

Zieht man von der ersten Gleichung die beiden anderen ab, so erh¨alt man 0 = −2hΦk,i , Φj i und da Φj proportional zu ν ist, auch hL Φi , Φk i = −hν, Φk,i i = 0, da partielles Differenzieren nach i von hν ◦ Φ, Φk i wie im 2.ten Beweis von 51.5 die Gleichung hL · Φi , Φk i + hν, Φk,i i = 0 liefert. 52.7 Beispiel. Die folgenden lokalen Koordinatensysteme erf¨ ullen die Voraussetzungen des Satzes von Dupin 52.6 : 1. Kartesische Koordinaten: Φ = id; 2. Zylinder-Koordinaten: Φ : (ϕ, r, z) ↔ (r · cos ϕ, r · sin ϕ, z); 3. Kugel-Koordinaten: Φ : (ϕ, α, s) ↔ (s cos α cos ϕ, s cos α sin ϕ, s sin α). 52.8 Beispiel (Elliptische Koordinaten) 2

2

2

y z x + b−t + c−t mit 0 < a < b < c. Es ist g(t; x, y, z) = 1 ein Es sei: g(t; x, y, z) := a−t  f¨ ur t < a,  Ellipsoid  einschaligen Hyperboloid f¨ ur a < t < b,  zweischaligen Hyperboloid f¨ ur b < t < c,    die leere Menge f¨ ur c < t.

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395

52.8

52. Haupt-, Gauß- und mittlere Kr¨ ummung

Wir betrachten die Funktion G : R3 × R3 ⊃ U × V → R3   G(u, v, w; x, y, z) := g(u; x, y, z), g(v; x, y, z), g(w, x, y, z) mit U := ]−∞, a[ × ]a, b[ × ]b, c[ und V := {(x, y, z) : x, y, z > 0}, und behaupten, daß die L¨ osung Φ : (u, v, w) 7→ (x, y, z) der impliziten Gleichung G(u, v, w; x, y, z) = (1, 1, 1) ein dreifach orthogonales Fl¨achensystem ist. Es ist Φ : U → V bijektiv, denn durch jeden Punkt (x, y, z) ∈ V ⊂ R3 geht genau 1. ein Ellipsoid mit u(x, y, z) := t ∈ ]−∞, a[; 2. ein einschaliges Hyperboloid mit v(x, y, z) := t ∈ ]a, b[; 3. und ein zweischaliges Hyperboloid mit w(x, y, z) := t ∈ ]b, c[. Um das einzusehen beachte man, daß die Gleichung g(t; x, y, z) − 1 = 0 nach Ausmultiplizieren der Nenner ein kubisches Polynom γ in t wird bei fixen (x, y, z): γ(t) := x2 (b − t)(c − t) + y 2 (a − t)(c − t) + z 2 (a − t)(b − t) − (a − t)(b − t)(c − t). F¨ ur dieses Polynom gilt: γ(a) > 0, γ(b) < 0, γ(c) > 0 und weiters lim

t→−∞

γ(t) = −1. (a − t)(b − t)(c − t)

Also existiert in jedem der Intervalle ]−∞, a[, ]a, b[ und ]b, c[ genau eine Nullstelle. Durch Differenzieren der impliziten Gleichung erhalten wir ∂(G1 , G2 , G3 ) ∂(G1 , G2 , G3 ) ∂(x, y, z) + · = 0. ∂(u, v, w) ∂(x, y, z) ∂(u, v, w) Die Matrix

∂(G1 ,G2 ,G3 ) ∂(u,v,w)

ist von Diagonalgestalt mit Eintragungen

∂g x2 y2 z2 (t, x, y, z) = + + 6= 0 f¨ ur t = u, v, w. ∂t (a − t)2 (b − t)2 (c − t)2 ∂g 2y 2x 2z 1 ,G2 ,G3 ) Die Matrix ∂(G hat als Zeilen ∂(x,y,z) = ( a−t , b−t , c−t ) 6= 0 f¨ ur t = u, v, w. ∂(x,y,z) Diese Zeilen sind paarweise orthogonal, denn z.B.

4x2 4y 2 4z 2 + + = (a − u)(a − v) (b − u)(b − v) (c − u)(c − v)  2   2  4 x y2 z2 x y2 z2 = + + − + + u−v a−u b−u c−u a−v b−v c−v 4 (g(u; x, y, z) − g(v; x, y, z) = u−v 4 = (1 − 1) = 0. u−v Also ist der implizite Funktionensatz anwendbar und somit Φ glatt mit Jacobimatrix  −1 ∂(x, y, z) ∂(G1 , G2 , G3 ) ∂(G1 , G2 , G3 ) 0 Φ (u, v, w) = =− · . ∂(u, v, w) ∂(x, y, z) ∂(u, v, w) Diese hat (als Inverse einer Matrix mit orthogonalen Zeilen) orthogonale Spalten, also erf¨ ullt Φ die Voraussetzungen von 52.6 . Sei B invertierbar mit orthogonalen Zeilen B t ei , also hBB t ei , ej i = hB t ei |B t ej i = 0 f¨ ur i 6= j, d.h. BB t ei = λi ei mit 1 t −1 −1 t −1 λi 6= 0. Dann ist λi ei = (BB ) (ei ) = (B ) B ei und somit hB −1 ei |B −1 ej i = 396

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52.10

52. Haupt-, Gauß- und mittlere Kr¨ ummung

h(B −1 )t B −1 e + i|ej i = 0 f¨ ur i 6= j, also hat B −1 orthogonale Spalten B −1 ei . Der Diffeomorphismus Φ ist u ¨brigens explizit gegeben durch: (a − u)(a − v)(a − w) x(u, v, w)2 = (a − b)(a − c) (b − u)(b − v)(b − w) y(u, v, w)2 = (b − a)(b − c) (c − u)(c − v)(c − w) z(u, v, w)2 = (c − a)(c − b) Die Bilder unter Φ der auf die Koordinatenachsen ei normalstehenenden Ebenen sind nach Konstruktion die Punkte (x, y, z) ∈ V f¨ ur welche (u, v, w) ∈ U mit fixer i-ter Koordinate existieren mit 1 = g(u, x, y, z) = g(v, x, y, z) = g(w, x, y, z), die also auf der entsprechenden Quadrik vom i. Typ liegen. Die Bilder der zu den Achsen parallelen Geraden sind also die Schnittkurven der entsprechenden u ¨brigen beiden Quadriken. Wir wissen also nach 52.6 , daß die Kr¨ ummungslinien obiger Quadriken gerade die Schnittlinien der orthogonalen Familien sind. 52.9 Beispiel (Parabolische Koordinaten) 2

2

y x + b−t − 2z + c + t mit Wir gehen analog zu 52.8 vor. Es sei nun: g(t; x, y, z) := a−t 0 < a < b und c ∈ R. Es ist g(t; x, y, z) = 0 f¨ ur verschiedene t ein elliptisches bzw. ein hyperbolisches Paraboloid. Es seien u < a, a < v < b und b < w die L¨osungen der kubischen Gleichung g(t; x, y, x) = 0 in t, d.h.

(u − t)(v − t)(w − t) = (a − t)(b − t)(2z − c − t) − x2 (b − t) − y 2 (a − t), also ist (u − a)(v − a)(w − a) a−b (u − b)(v − b)(w − b) y2 = b−a c−a−b+u+v+w z= 2 Die durch diese Gleichungen definierte Funktion Φ : (u, v, w) 7→ (x, y, z) erf¨ ullt nun auf {(u, v, w) : u, v, w paarweise verschieden} die Voraussetzungen des Satzes von Dupin 52.6 , denn  x  x x x2 =

2(u−a)

y Φ0 (u, v, w) =  2(u−b) 1 2

2(v−a) y 2(v−b) 1 2

2(w−a) y . 2(w−b) 1 2

Wir wissen also nach 52.6 , daß die Kr¨ ummungslinien obiger Quadriken gerade die Schnittlinien der orthogonalen Familien sind. 52.10 Satz von Liouville. F¨ ur m ≥ 3 bildet jeder konforme Diffeomorphismus offener Mengen des Rm Sph¨ aren auf Sph¨ aren ab. Beweis. Sei S eine Sph¨ are und x ∈ S und v ∈ Tx S. O.B.d.A. sei 0 ihr Mittelpunkt. Wir w¨ ahlen eine lokale orthogonale Parametrisierung ϕ von S um x mit ∂1 ϕ(0) = v (z.B. die stereographische Projektion). Dann ist Φ(t; u) := t ϕ(u) eine Funktion, welche die Voraussetzungen von 52.6 erf¨ ullt. Die Zusammensetzung f ◦ Φ mit einem konformen Diffeomorphismus f muß ebenfalls die Voraussetzungen von 52.6 erf¨ ullen, also ist t 7→ f (ϕ(t e1 )) eine Kr¨ ummungslinie und c 15. Dezember 2008 [email protected]

397

52.11

52. Haupt-, Gauß- und mittlere Kr¨ ummung

d |t=0 f (ϕ(t e1 )) eine Hauptkr¨ ummungsrichtung. Da aber v ∈ Tx S belief 0 (x)(v) = dt big war, sind alle Tangentialvektoren Hauptkr¨ ummungsrichtungen, d.h. f (S) hat nur Nabelpunkte. Wegen 52.5 ist f (S) also Teil einer Sph¨are oder einer Ebene. Da f (S) kompakt ist, ist es eine Sph¨are.

Vergleiche dieses Resultat mit den Ergebnissen u ¨ber konformen Abbildungen im 2-dimensionalen ( 33 und 34 ).

52.11 Satz von Liouville. Sei m ≥ 2. Die Gruppe der konformen Diffeomorphismen des Rm besteht genau ¨ aus den Ahnlichkeitsabbildungen (d.h. (nicht notwendig eigentliche) Bewegungen zusammengesetzt mit Streckungen). Die Gruppe der konformen Diffeomorphismen ¨ der S m wird durch die Ahnlichkeitsabbildungen und die Inversion x 7→ |x|1 2 x in einer stereographischen Karte erzeugt.

Beweis. Den Fall m = 2 haben wir bereits in 33.10 behandelt. Sei also m > 2 und f ein konformer Diffeomorphismus des Rm . Nach 52.10 bildet dieser Sph¨aren auf Sph¨ aren ab. Und ebenso zeigt man, daß er auch Hyperebenen auf solche abbildet. Da sich Geraden als Durchschnitte von m−1 Hyperebenen schreiben lassen, werden auch Geraden auf Geraden abgebildet. Geometrisch kann man das auch mittels des konformen Diffeomorphismuses f −1 sehen: Seien x1 , x2 , x3 verschiedene Punkte einer Geraden. Angenommen die Punkte yi = f (xi ) l¨agen auf keiner Gerade. Dann w¨ urde eine Sph¨ are S existieren mit yi ∈ S. Das Bild f −1 (S) m¨ ußte aber wieder eine Sph¨ are sein, auf welcher die Punkte xi := f −1 (xi ) l¨agen, das ist unm¨oglich. Eine Abbildung des Rm , welche Geraden erh¨alt, ist aber bereits affin: Eine solche erh¨ alt auch antipodale Punkte auf den Sph¨aren, denn die Tangentialebenen in solchen sind parallel, i.e. sie schneiden den Durchmesser orthogonal, und diese Eigenschaft wird durch f erhalten. Damit muß f aber auch die Mittelpunkte erhalten, denn diese sind die Durchschnitte aller Durchmesser, die ja gerade antipodale Punkte verbinden. Durch Anwenden einer Translation k¨onnen wir erreichen, daß f (0) = 0 ist und somit f (r S m−1 ) = ρ(r) S m−1 f¨ ur alle r > 0 mit eine Funktion ρ : R → R. Durch Anwenden einer Streckung k¨onnen wir ρ(1) = 1 erreichen. Bleibt zu zeigen, daß ρ = id und somit f nach 1.2 eine Isometrie ist. Eine andere M¨oglichkeit das zu sehen, ist die folgende. Da die Koordinatenachsen auf orthonormale Geraden abgebildet werden, k¨onnen wir durch Zusammensetzen mit einer Bewegung erreichen, daß sie invariant gelassen werden. Die parallelen Ebenen xi = c werden nun auf zur i-ten Achse orthonormale Ebenen abgebildet, und diese ist durch ihren Abstand ρi (c) vom Nullpunkt eindeutig festgelegt. Ein beliebiger Punkt mit Koordinaten (x1 , . . . , xm ) = (c1 , . . . , cm ) wird also auf den Schnitt der Ebenen xi = ρi (ci ) abgebildet, d.h. er hat Koordinaten (ρ1 (c1 ), . . . , ρm (cm )). Die Abbildung f hat also die Gestalt (x1 , . . . , xm ) 7→ (ρ1 (x1 ), . . . , ρm (xm )). P Da sie Sph¨ aren |x|2 = c auf Sph¨aren abbildet, darf i ρi (xi )2 nur von |x| abh¨angen, und insbesondere muß ρi (t) = ρj (t) =: ρ(t) sein f¨ ur alle i, j. Wir betrachten dazu das rechtwinkelige Dreieck mit Ecken 0, e1 , r · e2 . 398

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52. Haupt-, Gauß- und mittlere Kr¨ ummung

53.2

r e2

e2

e1

Es wird auf das Dreieck mit Ecken f (0) = 0, f (e1 ), ρ(r) f (e2 ) abgebildet. Schneiden wir die Hypothenuse des urspr¨ unglichen Dreiecks mit der Einheits-Sph¨are so erhalten wir ein gleichschenkeliges Dreieck mit diesen beiden Schnittpunkten und 0 als Ecken. Dieses wird durch f auf ein a¨hnliches Dreieck abgebildet, da der Winkel bei 0 erhalten bleibt, und die L¨angen der Schenkel um den Faktor ρ(1) = 1 gestreckt werden. Damit muß aber auch das urspr¨ ungliche Dreieck auf ein a¨hnliches abgebildet werden, denn es ist durch den Schnitt der 0 gegen¨ uberliegenden Seite des 2.ten Dreiecks mit den beiden Koordinatenachsen eindeutig festgelegt. F¨ ur das Verh¨ altnis der Katheten muß also gelten: ρ(r)/ρ(1) = r/1, und somit ist ρ = id. Im Fall eines konformen Diffeomorphismus f der S m gehen wir zur Darstellung bez¨ uglich einer stereographischen Projektion u ¨ber. Diese Darstellung ist dann konform, da die stereographische Projektion Winkel erh¨alt. Falls f den Pol der Projektion nicht invariant l¨ aßt, so verschieben wir sein Bild zuerst nach 0 in der Karte und danach wenden wir die Inversion an. Die Zusammensetzung der Kartendarstellung mit diesen beiden konformen Diffeomorphismen liefert uns somit einen konformen ¨ Diffeomorphismus f˜ des Rn , welcher wegen Teil 1 eine Ahnlichkeitsabbildung sein muß.

53. Formeln fu achen ¨ r Hyperfl¨ 53.1 Formeln f¨ ur parametrisierte Fl¨ achen Sei ϕ : Rm → M ⊂ Rn eine lokale Parametrisierung der Hyperfl¨ache M . F¨ ur einen Punkt p = ϕ(u) ∈ M ist eine Basis des Tangentialraums Tp M = Bild ϕ0 (u) ∂ durch (∂1 ϕ(u), . . . , ∂m ϕ(u)) gegeben, wobei ∂i ϕ(u) = ∂u i ϕ(u) die i-te partielle Ableitung von ϕ in u ist, wir wollen daf¨ ur kurz ϕi (u) schreiben. Analog soll ϕi,j 2 ur die zweite partielle Ableitung ∂u∂i ∂uj ϕ(u) sein. Es gilt h(ν ◦ ϕ)(u), ϕi (u)i = 0 f¨ alle i. Als j-te partielle Ableitung erhalten wir: 0 = hL · ϕj , ϕi i + hν, ϕi,j i, also hL · ϕj , ϕi i = −hν, ϕi,j i. Falls die ϕi orthonormal sind, h¨atten wir damit die Matrix von L bestimmt. Auch im allgemeinen Fall m¨ ußte L durch alle diese inneren Produkte festgelegt sein. Dazu ben¨ otigen wir folgendes Lemma aus der linearen Algebra. 53.2 Lemma. Sei (g1 , . . . , gm ) eine Basis des Vektorraums V und T : V → V eine lineare Abbildung. Sei gi,j := hgi , gj i und G = (gi,j ) die zugeh¨ orige symmetrische positiv definite Matrix, [T ] := (Tji ) die Matrix von T bez¨ uglich der Basis (gi , . . . , gj ), d.h. P i i T gj = i Tj gi , und schließlich A die Matrix mit Eintragungen Aj := hgi , T gj i. −1 Dann gilt [T ] = G · A. c 15. Dezember 2008 [email protected]

399

53.4

53. Formeln f¨ ur Hyperfl¨ achen Tji gi , wobei j die Spalten und i die Zeilen z¨ahlt, und * + X X X k i Aj := hgk , T gj i = gk , Tj gi = hgk , gi iTji = gk,i Tji

Beweis. Es ist also T gj = somit

P

i

i

i

i

Also ist A = G · [T ] und somit [T ] = G−1 · A. 53.3 Folgerung (Matrixdarstellung der Weingarten-Abbildung). Die Weingarten-Abbildung hat bez¨ uglich der Basis (ϕ1 , . . . , ϕm ) folgende Matrixdarstellung [L] = −(hϕi , ϕj i)−1 · (hν, ϕi,j i).

53.4 Formeln f¨ ur 2-Fl¨ achen Sei nun speziell m = 2 (d.h. n = 3) und ϕ : R2 → R3 , (t, s) 7→ ϕ(t, s) eine lokale Parametrisierung. Dann setzt man: E := g11 = hϕt , ϕt i, F := g12 = hϕt , ϕs i, G := g22 = hϕs , ϕs i p p ϕt × ϕs ν := , |ϕt × ϕs | = |ϕt |2 · |ϕs |2 − hϕt , ϕs i2 = E G − F 2 |ϕt × ϕs | e := −hν, ϕt,t i, f := −hν, ϕt,s i, g := −hν, ϕs,s i. Hier haben wir verwendet daß die L¨ange eines Vektors der Form v × w, also die Fl¨ache des von v und w aufgespannten Parallelogramms wie folgt gegeben ist: p |v × w| = |v| · |w| · sin ](v, w) = |v| · |w| · 1 − cos2 ](v, w) s p hv, wi2 = |v| · |w| · 1 − = |v|2 · |w|2 − hv, wi2 . |v| · |w| Bez¨ uglich der Basis (ϕt , ϕs ) sehen die Fundamentalformen wie folgt aus:     E F e f [I] = und [II] = . F G f g Die Weingarten-Abbildung ist:  E [L] = F

−1   F e f · G f g     1 G −F e f = · E f g EG − F 2 −F   1 eG − f F f G − gF = EG − F 2 f E − eF gE − f F

Die Gauß-Kr¨ ummung ist also K = det L =

(eg − f 2 )(EG − F 2 ) eg − f 2 = , 2 2 (EG − F ) EG − F 2

wie man auch aus K = det L = det(I−1 · II) = det I / det II sieht, und die mittlere Kr¨ ummung ist   1 Ge − 2F f + Eg Ge − F f ∗ = . 2H = spur L = ∗ Eg − F f EG − F 2 EG − F 2 400

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53.5

53. Formeln f¨ ur Hyperfl¨ achen

Die Hauptkr¨ ummungen erhalten wir als L¨osung der charakteristischen Gleichung λ2 − spur L · λ + det L = 0, also K1,2 = H ±

p

H 2 − K.

Die Hauptkr¨ ummungsrichtungen sind dann Vektoren ξ = at ϕt + as ϕs mit L(ξ) = Ki ξ, d.h. 

 0 = 0 · (EG − F 2 ) = det aast [L] aast · (EG − F 2 )   at (Ge − F f )at + (Gf − F g)as = det as (Ef − F e)at + (Eg − F f )as = at 2 (Ef − F e) + at as (Eg − Ge) + as 2 (F g − Gf )  2  at −at as as 2 f e  = det  g G F E

53.5 Folgerung. Die Kr¨ ummungslinien c(t) = ϕ(u(t), v(t)) sind durch folgende Differentialgleichung gegeben: (f E − eF )c(t) u0 (t)2 + (gE − eG)c(t) u0 (t)v 0 (t) + (gF − f G)c(t) v 0 (t)2 = 0

Beweis. Dies folgt sofort aus 53.4

Beispiel. Das Heliocoid (oder Wendelfl¨ ache) ist durch ϕ : (u, v) 7→ (av cos u, av sin u, bu) mit a, b > 0 gegeben.

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401

53.5

53. Formeln f¨ ur Hyperfl¨ achen

Es ist ϕu = (−av sin u, av cos u, b)

E = a2 v 2 + b2

ϕv = (a cos u, a sin u, 0)

G = a2 F =0

ϕu,u = (−av cos u, −av sin u, 0)

1 (−b sin u, b cos(u), −av) a2 v 2 + b2 e = 0, da v ϕv = −ϕu,u

ϕu,v = (−a sin u, a cos u, 0)

f =−

ϕu × ϕv = (−ab sin u, ab cos u, −a2 v)

ϕv,v = (0, 0, 0)

ν=

a2 b ab = −√ 2 D a v 2 + b2 g = 0, da ϕv,v = 0

und somit ist  −1   E F e f [L] = · F G f g !  2 2 −1 0 − √a2ab a v + b2 0 2 2 v +b = · 0 a2 − √a2ab 0 v 2 +b2 !  2 −1 0 − √a2ab 1 a 0 2 +b2 v = 2 2 2 · − √a2ab 0 a (a v + b2 ) 0 a2 v 2 + b2 v 2 +b2 ! 0 − √a2ab 1 v 2 +b2 √ = 2 2 a v + b2 − b a2av2 +b2 0 ⇒ ⇒

b2 1 Spur(L) = 0 und K = det(L) = − 2 2 2 (a v + b2 )2 s p b b2 = H ± H2 − K = ± =± 2 2 2 2 2 2 (a v + b ) a v + b2

H= K1,2

Die Kr¨ ummungslinien t 7→ ϕ(u(t), v(t)) sind somit durch 0 = (f E − eF )c(t) u0 (t)2 + (gE − eG)c(t) u0 (t)v 0 (t) + (gF − f G)c(t) v 0 (t)2   = f · (a2 v(t)2 + b2 )u0 (t)2 − a2 v 0 (t)2 beschrieben. Wenn wir die Kr¨ ummungslinie o.B.d.A. nach v parametrisieren, d.h. v(t) = t annehmen, dann erhalten wir: 1 u0 (v) = ± p 2 v + (b/a)2 also

av b und somit v(u) := sinh(c ± u). b a Die beiden Kr¨ ummungslinien durch (u, v) = (0, 0) werden somit durch t 7→ (t, ab sinh(t)) und s 7→ (s, ab sinh(−s)) parametrisiert. Durch die Punkte (t, ab sinh(t)) gehen die orthogonalen Kr¨ ummungslinien die durch (u, ab sinh(2t − u)) parametrisiert werden und durch die Punkte (s, ab sinh(−s)) jene die durch (u, ab sinh(−2s + u)) parametrisiert werden. Um also eine Reparametrisierung ψ von ϕ zu erhalten, deren Koordinatenlinien (diese) Kr¨ ummungslinien sind, betrachten wir die Zusammensetzung (t, s) 7→ (u(t, s), ab sinh(−2s + u(t, s))), wobei u(t, s) so gew¨ahlt wird, daß u(v) := c ± arsinh

(u(t, s), 402

b b sinh(−2s + u(t, s))) = (u(t, s), sinh(2t − u(t, s))), a a c 15. Dezember 2008 [email protected]

53. Formeln f¨ ur Hyperfl¨ achen

53.6

also −2s+u(t, s) = 2t−u(t, s), d.h. u(t, s) = t+s ist. Die gesuchte Parametrisierung nach Kr¨ ummungslinien ist somit   b (t, s) 7→ ϕ t + s, sinh(t − s) . a

53.6 Lemma. Sei ϕ : R2 → M eine lokale Parametrisierung um einen Punkt p von M , der nicht Nabelpunkt ist, so gilt: Die Koordinatenrichtungen ϕt und ϕs sind genau dann Hauptkr¨ ummungsrichtungen, wenn F = I(ϕs , ϕt ) = 0 und ebenso f = II(ϕt , ϕs ) = 0. Es gibt immer eine lokale Parametrisierung mit dieser Eigenschaft. c 15. Dezember 2008 [email protected]

403

53.7

53. Formeln f¨ ur Hyperfl¨ achen

Beweis. (⇒) Da die Kr¨ ummungslinien orthogonal stehen ist F = 0. Setzen wir ur die Hauptdie Koordinatenrichtung ϕt in Determinanten-Formel aus 53.4 f¨ kr¨ ummungsrichtungen ein, so erhalten wir:   1 0 0 0 = det ∗ f e  = f E ∗ 0 E und da E = |ϕt |2 6= 0, gilt ebenso f = 0. (⇐) Die Koordinaten-Richtungen werden durch at = 0 bzw. as = 0 beschrieben. Dann ist aber wegen F = f = 0 die zweite Spalte obiger Matrix 0. Somit ist deren Determinante ebenfalls 0. Nun zur Existenz solch einer Parametrisierung: Wir k¨onnen die (bis auf Vorzeichen) eindeutig bestimmten normierten Hauptkr¨ ummungsrichtungen betrachten. Diese sind punktweise linear unabh¨ angige Vektorfelder und sind glatt, denn die Koeffizienten K und H des charakteristischen Polynoms von L sind glatt und somit auch die zwei (verschiedenen) Hauptkr¨ ummungen und damit auch die zugeh¨origen bis auf Vorzeichen eindeutig bestimmten normierten Eigenvektoren. Somit existiert nach 29.14 eine Parametrisierung ϕ mit ∂i ϕ proportional zu den normierten Hauptkr¨ ummungsrichtungen, also sind deren Parameterlinien Kr¨ ummungslinien. 53.7 Determinatenformeln f¨ ur die Kr¨ ummung Wir wollen nun bestimmen, welche Gr¨oßen intrinsisch sind, d.h. sich nicht ¨andern, wenn wir zu einer isometrischen Fl¨ache u ¨bergehen. Das sind also jene Gr¨oßen, die von einem in der Fl¨ ache lebenden Wesen erkannt werden k¨onnen, ohne das sich diese eines umgebenden Raums bewußt sein m¨ ussen. Klarerweise k¨onnen diese L¨angen und damit auch Winkel messen. D.h. die 1-te Fundamentalform ist intrinsisch. Nicht jedoch die 2-te Fundamentalform, da sie u ¨ber die Ableitung des Normalenvektors definiert ist. Wir wissen also von vornherein von keiner der definierten Kr¨ ummungen, ob sie intrinsisch sind. Wenn wir Zylinder und Ebene vergleichen, so sehen wir, daß sowohl die Hauptkr¨ ummungen als auch die mittlere Kr¨ ummung nicht intrinsisch sind. Wir wollen nun zeigen, daß die Gaußkr¨ ummung es dennoch ist. Dazu ben¨ otigen wir zuerst Formeln f¨ ur e, f und g, in welchen ν nicht vorkommt:   ϕt × ϕs e = −hν, ϕt,t i = − , ϕt,t |ϕt × ϕs | 1 1 = −√ hϕt × ϕs , ϕt,t i = − √ det(ϕt , ϕs , ϕt,t ) 2 EG − F EG − F 2 1 sowie f = − √ det(ϕt , ϕs , ϕt,s ) EG − F 2 1 und g = − √ det(ϕt , ϕs , ϕs,s ). EG − F 2 p Hier haben wir verwendet, daß |ϕt × ϕs | = EG = f 2 nach 53.4 . Wir wollen nun versuchen die Gauß-Kr¨ ummung allein durch die Koeffizienten der 1.ten √ Fundamentalform, sowie deren partiellen Ableitungen darzustellen. Sei dazu D := EG − F 2 . Es gilt: 53.4

KD4 = ==== = (−eD)(−gD) − (−f D)2 = det(ϕt , ϕs , ϕt,t ) · det(ϕt , ϕs , ϕs,s ) − det(ϕt , ϕs , ϕt,s )2 = det((ϕt , ϕs , ϕt,t )∗ · (ϕt , ϕs , ϕs,s )) − det((ϕt , ϕs , ϕt,s )∗ · (ϕt , ϕs , ϕt,s )) 404

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53.7

53. Formeln f¨ ur Hyperfl¨ achen   ∗ ϕ∗t ϕt ϕ∗t ϕs ϕ∗t ϕs,s ϕt ϕt ϕ∗t ϕs ∗ ∗ ∗ ∗    ϕ∗s ϕs = det ϕs ϕt ϕs ϕs ϕs ϕs,s − det ϕs ϕt ∗ ∗ ∗ ∗ ϕt,t ϕt ϕt,t ϕs ϕt,t ϕs,s ϕt,s ϕt ϕ∗t,s ϕs   E F hϕt , ϕs,s i G hϕs , ϕs,s i  = det  F hϕt,t , ϕt i hϕt,t , ϕs i hϕt,t , ϕs,s i   E F hϕt , ϕt,s i F G hϕs , ϕt,s i  − det  hϕt,s , ϕt i hϕt,s , ϕs i hϕt,s , ϕt,s i   E F hϕt , ϕs,s i  G hϕs , ϕs,s i = det  F hϕt,t , ϕt i hϕt,t , ϕs i hϕt,t , ϕs,s i − hϕt,s , ϕt,s i   E F hϕt , ϕt,s i F G hϕs , ϕt,s i − det  hϕt,s , ϕt i hϕt,s , ϕs i 0   E F Fs − 12 Gt 1  G = det  F 2 Gs 1 1 1 E F − E F − (E + G ) t t,s s,s t,t 2 t 2 s 2   1 E F E 2 s 1 , G − det  F 2 Gt 1 1 E G 0 2 s 2 t 

 ϕ∗t ϕt,s ϕ∗s ϕt,s  ϕ∗t,s ϕt,s

wegen des Entwicklungssatzes von Matrizen und weil: E = hϕt , ϕt i, Et = 2hϕt,t , ϕt i,

G = hϕs , ϕs i,

Gt = 2hϕs,t , ϕs i,

F = hϕt , ϕs i

Ft = hϕt,t , ϕs i + hϕt , ϕs,t i

Es = 2hϕt,s , ϕt i, Gs = 2hϕs,s , ϕs i, Fs = hϕt,s , ϕs i + hϕt , ϕs,s i, 1 1 Fs − Gt = hϕt , ϕs,s i, Ft − Es = hϕt,t , ϕs i, 2 2 1 E = hϕ , ϕ i + hϕ s,s t,s,s t t,s , ϕt,s i, 2 Ft,s = hϕt,t,s , ϕs i + hϕt,t , ϕs,s i + hϕt,s , ϕs,t i + hϕt , ϕs,t,s i, Ft,s − 21 Es,s = hϕt,t,s , ϕs i + hϕt,t , ϕs,s i, 1 2 Gt,t

Ft,s −

1 2 (Es,s

= hϕs,t,t , ϕs i + hϕs,t , ϕs,t i, + Gt,t ) = hϕt,t , ϕs,s i − hϕs,t , ϕs,t i.

Durch Ausmultiplizieren der Determinanten obiger Formel f¨ ur K erhalten wir: 4(EG − F 2 )2 K = E(Es Gs − 2Ft Gs + Gt 2 ) + F (Et Gs − Es Gt − 2Es Fs + 4Ft Fs − 2Ft Gt ) + G(Et Gt − 2Et Fs + Es 2 ) − 2(EG − F 2 )(Es,s − 2Ft,s + Gt,t ). Eine symmetrischere Formel f¨ ur K ist die folgende:     E Et Es Es − Ft 1 1 Gt − Fs   ∂s K = − 4 det F Ft Fs − + ∂t 4D 2D D D G Gt Gs √ wobei wieder D := EG − F 2 . Diese kann leicht durch Aufl¨osen der Determinante und durch Differenzieren verifiziert werden. c 15. Dezember 2008 [email protected]

405

53.10

53. Formeln f¨ ur Hyperfl¨ achen

53.8 Theorema Egregium [27]. Sind zwei Fl¨ achen aufeinander abwickelbar, d.h. sie sind (lokal) isometrisch, so haben sie in entsprechenden Punkten die gleiche Gauß-Kr¨ ummung. Die GaußKr¨ ummung K ist also eine intrinsischer Begriff, d.h. sie h¨ angt nur von der Metrik der Fl¨ ache und nicht vom umgebenden Raum ab. F¨ ur eine partielle Umkehrung siehe 60.1 . Beweis. Wegen obiger Formel in 53.7 h¨angt die Gauß-Kr¨ ummung nur von den Koeffizienten der Riemann-Metrik sowie deren 1.ten und 2.ten partiellen Ableitungen ab. Diese sind aber f¨ ur zwei isometrische Fl¨achen gleich, denn f¨ ur eine Parametrisierung ϕ der einen ist ψ = g ◦ ϕ eine Parametrisierung der anderen, wo g die lokale Isometrie ist, also ist hTp g(ξ1 ), Tp g(ξ2 )i = hξ1 , ξ2 i. W¨ahlt man nun f¨ ur ξi = T ϕ ◦ ηi , so folgt das Resultat.

53.9 Lemma (Jacobi-Gleichung). Sind (t, s) geod¨ atische Koordinaten auf M (d.h. f¨ ur die zugeh¨ orige Parametrisierung gilt E = 1, F = 0), so erf¨ ullt die Gauß-Kr¨ ummung die Jacobi-Gleichung: 1 K = −√ G



∂ ∂t

2

√ G

Wir werden in 58.5 und 58.6 zeigen, daß solche Koordinaten immer existieren. Beachte, daß die Bedingung E = 1 besagt, daß die Parameterlinien t 7→ ϕ(t, s) nach Bogenl¨ ange parametrisiert sind und F = 0 besagt, daß die anderen Parametrlinien s 7→ ϕ(t, s) dazu orthogonal stehen. Beweis. Obige Determinanten-Formel f¨ ur K liefert in diesem Fall:     1 0 0 1 0 − 21 Gt 1 1  − det 0 G  = − 1 GGt,t + 1 Gt 2 K · G2 = det 0 G 2 Gt 2 Gs 2 4 1 1 0 2 Gt 0 0 0 − 2 Gt,t  2 √ ∂ 1 ⇒ K = −√ G G ∂t

53.10 Formeln f¨ ur durch eine Gleichung gegebene Hyperfl¨ achen Sei f : Rn → R eine regul¨ are, lokale Gleichung f¨ ur M . Der Normalvektor ν ist dann der normierte Gradient von f , i.e. ν=

grad f (f1 , . . . , fn ) =p . | grad f | f1 2 + · · · + fn 2

Der Tangentialraum ist gegeben durch ( 0

⊥

Tx M = Ker f (x) = (gradx f ) =

1

n

(h , . . . , h ) : 0 =

n X i=1

406

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) i

h fi

.

53.10

53. Formeln f¨ ur Hyperfl¨ achen F¨ ur die zweite Fundamentalform gilt somit: d grad f (x + th) d ν(x + th)i = hk, IIx (k, h) = hk, Lx hi = hk, dt i 0 dt 0 | grad f (x + th)| grad f (x) d d grad f (x + th) + i = hk, dt 0 | grad f (x)| dt 0 | grad f (x + th)| 1 d hk, grad f (x + th)i = dt 0 | {z } | grad f (x)| f 0 (x+th)(k)

1 d + hk, grad f (x)i dt 0 | grad f (x + th)| 1 1 d = f 00 (x)(h, k) + dt f 0 (x)(k) 0 | grad f (x)| | grad f (x + th)| F¨ ur h ∈ Tx M gilt somit K(h) = II(h, h) =

1 f 00 (x)(h, h) + 0. | gradx f |

Wir wollen nun die Hauptkr¨ ummungen, d.h. die kritischen Werte von K auf {h : h ⊥ ν, |h| = 1} = {h ∈ Rn : f 0 (x)h = 0, hh, hi = 1} bestimmen. Anstelle von K k¨onnen wir wegen obiger Formel auch die auf Tx M proportionale Form h 7→ f 00 (x)(h, h) verwenden. Wir verwenden die Methode der Lagrange-Multiplikatoren: Danach ist h mit |h| = 1 und f 0 (x)h = 0 genau dann ein kritischer Punkt, wenn λ und µ existieren mit 2 f 00 (x)(h, ) = λ 2 hh, i + µ f 0 (x)( ), oder ¨ aquivalent 2 f 00 (x)(h, k) = λ 2 hh, ki + µ f 0 (x)(k) f¨ ur alle k ∈ Rn . Wenn wir die Hessesche Matrix Hessx f von f bei x durch D E Hessx f · h, k := f 00 (x)(h, k) definieren, so ist diese Gleichung mit 2 Hessx f · h = λ 2 h + µ gradx f aquivalent. Als Matrizen-Gleichung l¨aßt sich das zusammen mit f 0 (x)h = 0 wie ¨ folgt schreiben:       0 Hessx f − λ id gradx f h = · 0 f 0 (x) 0 − µ2 Eine L¨ osung h 6= 0 existiert genau dann, wenn die Determinante verschwindet, denn wenn h = 0 ist, so muß wegen der Gleichung auch µ = 0 sein. Seien die λi die L¨ osungen dieser polynomialen Gleichung in λ. Dann sind die Hauptkr¨ ummungen durch λi λi =p Ki = 2 | gradx f | f1 + · · · + fn 2 gegeben, da | gradx f | K(h) = f 00 (x)(h, h) = λ|h|2 +

µ 0 f (x)h. 2

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407

53.10

53. Formeln f¨ ur Hyperfl¨ achen

Im Spezialfall, wo die Hessesche Matrix Diagonalgestalt hat, d.h. fi,j = 0 f¨ ur alle i 6= j ist, gilt:   f1,1 − λ . . . 0 f1  .. .. ..  ..  . . . . 0 = det   = (Entwicklung n. 1.Zeile)  0 . . . fn,n − λ fn  f1 ... fn 0   f2,2 − λ . . . 0 f2  .. .. ..  ..  . . . . = (f1,1 − λ) det    0 . . . fn,n − λ fn  f2 ... fn 0   0 f2,2 − λ . . . 0  ..  .. .. ..   . . . + (−1)n f1 det  .  0 0 . . . fn,n − λ f1 f2 ... fn   f2,2 − λ . . . 0 f2  .. .. ..  ..  . . . . = (f1,1 − λ) det    0 . . . fn,n − λ fn  f2 ... fn 0   f2,2 − λ . . . 0   .. .. .. + (−1)2n−1 f1 2 det   . . . 0  f2,2 − λ  ..  . = (f1,1 − λ) det   0 f2

fn,n − λ  0 f2 .. ..  Y . . (fj,j − λ)  − f1 2 fn,n − λ fn  j6=1 fn 0

... ... .. . ... ...

Da die Determinante bei einer Permutation der Koordinaten des Rn unver¨andert bleibt, muß der Koeffizient von fi2 analog zu jenem von f12 sein und andere Potenzen von fi kommen nicht vor. Somit erhalten wir weiter

=−

n X

fi 2

i=1

Y (fj,j − λ) j6=i



= − (−λ)

n−1

X

fi 2 + (−λ)n−2

i

X i

fi 2

X

fj,j + · · · +

X

fi 2

i

j6=i

Y

 fj,j .

j6=i

Somit ist die Gauß-Kr¨ ummung m Y

m Y

X Y λi = fi 2 fj,j K= Ki = | gradx f | i i=1 i=1

!−(1+ m ) 2

X

j6=i

fi

2

i

und die mittlere Kr¨ ummung

mH =

m X i=1

408

Ki =

m X i=1

X X λi = fi 2 fj,j | gradx f | i j6=i

!− 3 2

X i

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fi 2

.

54.1

53. Formeln f¨ ur Hyperfl¨ achen

Speziell im R3 gilt,P daß h = (h1 , h2 , h3 ) genau dann ein Hauptkr¨ ummungsvektor 0 ist, wenn f (x)h = i hi fi = 0 und det(gradx f, h, Hessx f · h) = 0, denn h = (h1 , h2 , h3 )

ist ein Hauptkr¨ ummungsvektor

⇔

⇔ h ∈ Tx M und {Lx h, h} sind linear abh¨angig ⇔ h ∈ Tx M und Lx h × h = 0 ⇔ h ∈ Tx M und hLx h × h, νi = det(Lx h, h, ν) = 0 X ⇔ hi fi = 0 und 0 = det(ν, h, Lh) = i

 = det =

1 grad f , h, Hessx f · h + R · grad f | grad f | | grad f |



1 det (grad f, h, Hessx f · h) . (grad f )2

54. Drehfl¨ achen

54.1 Definition (Drehfl¨ ache)

Unter einer Drehfl¨ ache versteht man jenes Gebilde, das entsteht, wenn eine Kurve in der (x, z)-Ebene um die z-Achse gedreht wird. Sei also c : s 7→ (r(s), z(s)) diese Kurve, von der wir annehmen d¨ urfen, daß sie nach der Bogenl¨ange parametrisiert ist. Dann ist die davon erzeugte Drehfl¨ache M durch {(r(s)x, z(s)) ∈ Rm × R : x ∈ S m−1 } gegeben. Ist also speziell m = 2, so k¨onnen wir S 1 durch θ 7→ (cos θ, sin θ) parametrisieren und erhalten somit eine Parametrisierung ϕ : (s, θ) 7→ (r(s) cos θ, r(s) sin θ, z(s)) von M .

Τc

Νc

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409

54.1

54. Drehfl¨ achen

Wir wollen die Gauß-Kr¨ ummung berechnen. Die partiellen Ableitungen von ϕ sind ) ϕs (s, θ) = (r0 (s) cos θ, r0 (s) sin θ, z 0 (s)) ⇒ ϕθ (s, θ) = (−r(s) sin θ, r(s) cos θ, 0)   0 2 0 2   E = r (s) + z (s) = 1  53.9 F =0 ==== ⇒ ⇒     2 G = r(s)  2  2 √ 1 ∂ 1 r00 (s) ∂ ⇒ K = −√ ( G) = − (r(s)) = − . r(s) ∂s r(s) G ∂s ummungslinien auf Wir wollen nun den Satz von Dupin 52.6 verwenden um die Kr¨ Drehfl¨ achen zu bestimmen. Sei dazu c = (r, z) : R → R2 die nach Bogenl¨ange parametrisierte Kurve, welche durch Rotation die Drehfl¨ache erzeugt. Es sei Ψ(u1 , u2 ) := c(u1 )+u2 ν(u1 ) = (r(u1 )−u2 z 0 (u1 ), z(u1 )+u2 r0 (u1 )), wobei ν die Einheitsnormale an c bezeichnet. Dann ist Ψ1 (u1 , u2 ) = c0 (u1 ) + u2 ν 0 (u1 ) = (1 − u2 K(u1 )) τ (u1 ) ⊥ ν(u1 ) = Ψ2 (u1 , u2 ). Folglich erf¨ ullt Φ : R3 → R3 , gegeben durch Φ(u1 , u2 , u3 ) := = ((r(u1 ) − u2 z 0 (u1 )) cos(u3 ), (r(u1 ) − u2 z 0 (u1 )) sin(u3 ), z(u1 ) + u2 r0 (u1 )), die Voraussetzungen von 52.6 . Damit sind sowohl die Meridiane s 7→ Φ(s, 0, θ) = ϕ(s, θ) als auch die Breitenkreise θ 7→ Φ(s, 0, θ) = ϕ(s, θ) Kr¨ ummungslinien. Ein Meridian ist der Schnitt von M mit einer Ebene durch die z-Achse. Die Schnittkr¨ ummung in Richtung ξ des Meridians ist also gerade die Kr¨ ummung des Meridians bzw. der erzeugenden Kurve c, wenn wir als νM gerade −νc = (z 0 , −r0 ) w¨ahlen. Das dies eine Hauptkr¨ ummung ist, sieht man u ¨brigens auch direkt: Der Normalvektor an die Fl¨ ache in einem Punkt des Meridians liegt in dieser Ebene. Wenn wir ihn also in Richtung ξ des Meridians differenzieren, liegt das Resultat L ξ wieder in der Ebene, muß also proportional zu ξ sein. Da c nach der Bogenl¨ange parametri00 00 siert ist, gilt: (r00 , z 00 ) = Kc (−z 0 , r0 ) und somit ist K1 := K(ξ) = − rz0 = zr0 . Daß die Breitenkreise ebenfalls Kr¨ ummungslinien sind, folgt auch direkt daraus, daß sie normal auf die Meridiane stehen. F¨ ur die zweite Hauptkr¨ ummung ergibt sich somit: K z0 r 00 r 0 K2 = K = = − . Der Satz von Meusnier 52.4 liefert aber auch eine geo00 r z r 1 metrische Methode die zweite Hauptkr¨ ummung und damit die Gauß-Kr¨ ummung zu berechnen: Die Einheitsnormale an die Fl¨ache ist bis auf eine Drehung um die z-Achse um den Winkel θ gerade (z 0 , 0, −r0 ). Die Hauptnormale an den Breitenkreis ist der ebenso gedrehte Vektor (−1, 0, 0). Die Kr¨ ummung des Breitenkreises ist 1r und die Normalkr¨ ummung in Richtung seiner Tangente also 52.4 1 z0 K2 = ==== = −Kc hµM , νc i = − h(z 0 , 0, −r0 ), (−1, 0, 0)i = . r r 00

0

Die Nabelpunkte sind durch die Gleichung K1 = K2 gegeben, also durch − rz0 = zr , oder ¨ aquivalent −r00 r = (z 0 )2 = 1 − (r0 )2 . Geometrisch liegt der Kr¨ ummungsmittelpunkt der Schnittkurve mit der von νM und ϕθ erzeugten Ebene durch den Punkt ϕ(s, 0) auf der Normale νc (s) im Abstand 1/K2 = zr0 also am Schnittpunkt mit der Drehachse. Es ist somit ϕ(s, 0) (und damit ϕ(s, θ) f¨ ur alle θ) ein Nabelpunkt genau dann, wenn diese Schnittpunkt auch der Kr¨ ummungsmittelpunkt von c an der Stelle s ist. 410

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54.2

54. Drehfl¨ achen

c

1 r €€€€€€€ = €€€€€€€€ K2 z ’ 1

r

z’

r’

Z.B. sind die einzigen Nabelpunkte eines Rotationsellipsoids (das keine Sph¨are ist) somit die Pole.

Asymptotenrichtungen ξ = ξ 1 ϕs + ξ 2 ϕθ auf einer Drehfl¨ache sind durch 0 = K(ξ) = hξ, Lξi = hξ 1 ϕs + ξ 2 ϕθ , ξ 1 K1 ϕs + ξ 2 K2 ϕθ i = (ξ 1 )2 K1 E + (ξ 2 )2 K2 G + ξ 1 ξ 2 (K1 + K2 )F = K1 (ξ 1 )2 + G K2 (ξ 2 )2 gegeben. F¨ ur 1 = |ξ|2 = hξ 1 ϕs + ξ 2 ϕθ , ξ 1 ϕs + ξ 2 ϕθ i = E(ξ 1 )2 + G(ξ 2 )2 + 2F ξ 1 ξ 2 = (ξ 1 )2 + G (ξ 2 )2 und K = K1 K2 < 0 bedeutet dies K

(ξ 1 )2 = − (ξ 2 )2 =

2 K2 K2 K1 G (ξ 2 )2 = = 2 K1 K − K1 −1 + K 2 K1

1 1 1 K1 = . 2 G 1− K G K 1 − K2 K1

54.2 Beispiel. Wir betrachten den Torus mir Radius A der Seele und Radius a < A der Meridiane. c 15. Dezember 2008 [email protected]

411

54.2

54. Drehfl¨ achen

Dieser wird durch Rotation der bogenl¨angenparametrisierten Kurve    s  s c(s) := A, 0 + a cos( ), sin( ) a a erzeugt. Folglich ist die eine Hauptkr¨ ummung K1 := K=−

1 a

> 0, die Gaußkr¨ ummung

r00 (s) cos(s/a)/a = , r(s) A + a cos(s/a)

und schließlich die zweite Hauptkr¨ ummung K2 :=

cos(s/a) 1 K = = . K1 A + a cos(s/a) a + A/ cos(s/a)

Somit verschwindet die Gaußkr¨ ummung am Nord- und am S¨ udpolkreis (s/a = ±π/2). Sie ist positiv auf dem ¨außeren Hemi-Torus (gegeben durch |s/a| < π/2) und negativ am inneren. Am ¨ außeren Hemi-Torus existieren keine Asymptotenrichtungen. Die Pol-Kreise sind Asymptotenlinien. In jedem Punkt des inneren HemiTorus existieren genau zwei Asymptotenrichtungen ξ = ξ 1 ϕs + ξ 2 ϕθ mit K2 (ξ ) = = K2 − K1 1 2

1 a+A/ cos(s/a) 1 1 a+A/ cos(s/a) − a

=−

a cos(s/a) A

1 K1 G K1 − K2 1 = A(A + a cos(s/a))

(ξ 2 )2 =

412

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54.3

54. Drehfl¨ achen 54.3 Drehfl¨ achen konstanter Gauß-Kr¨ ummung 00

Um Drehfl¨ achen zu finden, die konstante Gauß-Kr¨ ummung K = − rr (s) haben, m¨ ussen wir also das Differentialgleichungssystem r00 (s) + Kr(s) = 0 r0 (s)2 + z 0 (s)2 = 1 l¨ osen. Die erste Gleichung hat als lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung einen 2-dimensionale linearen L¨osungsraum. Der Fall K = 0 ist√nicht sehr interessant, denn dann ist r00 = 0, d.h. r(s) = as + b ur 0 < a < 1 und in und somit z(s) = 1 − a2 s. Also ist die L¨osung ein Kegel f¨ den degenerierten F¨ allen a = 0 ein Zylinder, bzw. f¨ ur a = 1 eine Ebene. F¨ ur K 6= 0 erh¨ alt man ein Erzeugendensystem durch den Ansatz r(s) := eλ s , 2 woraus sich λ = −K ergibt. √

Betrachten wir zuerst den Fall K > 0, dann ist s 7→ e±i Ks ein Erzeugendensy√ stem √ der L¨ osungen. Die allgemeine reelle L¨osung ist also r : s 7→ a cos( Ks) + b sin( Ks). Wenn wir (a, b) in Polarkoordinaten darstellen, also   √ √ (a, b) =: r0 cos(− Ks0 ), sin(− Ks0 ) mit r0 ≥ 0 setzen, dann ist

√ r(s) = r0 cos( K(s − s0 )).

O.B.d.A. ist s0 = 0 (nach einer Zeitverschiebung) und r0 > 0 (sonst parametrisiert ϕ keine Fl¨ ache). Folglich ist Z sp Z sq √ z(s) = 1 − r0 (σ)2 dσ = 1 − r02 K sin2 ( K σ)dσ, 0

0

ein Legendre-Integral. F¨ ur r02 K = 1 liefert das eine Sph¨are. F¨ ur r02 K > 1 eine soge2 ache. Diese sind alle lokal nannte Wulstfl¨ ache, und f¨ ur r0 K < 1 eine Spindelfl¨ isometrisch (siehe 60.1 ), aber nicht ineinander durch Bewegungen u uhrbar. ¨berf¨

1 $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% r0 2 - €€€€€ K r0

r0

r0

√

Nun betrachten wir den Fall K < 0, dann ist r(s) = ae beliebigem a und b die allgemeine L¨osung.

−Ks

+ be−

√

−Ks

mit

Falls ab = 0, so k¨ onnen wir durch eine Spiegelung√ der Zeitachse erreichen, √ daß a = 0 ist. Durch eine Zeitverschiebung√um − ln(b)/ −K k¨onnen wir b = 1/ −K erreichen und √ durch eine Streckung um −K und gleichzeitige Umparametrisierung mit Faktor 1/ −K ist die L¨ osung dann Z sp r(s) = e−s , und somit z(s) = 1 − e−2σ dσ f¨ ur s ≥ 0. 0 c 15. Dezember 2008 [email protected]

413

54.4

54. Drehfl¨ achen

Das ist die Bogenl¨ angen-Parametrisierung der Traktrix. Die zugeh¨orige Drehfl¨ache heißt Pseudosph¨ are. Man kann z(s) wie folgt ausrechnen: Z p Z p dr 1 − e−2s ds = − 1 − r2 r Z r  2 1 + u2 2(1 − u2 ) 2u = − 1 − 1+u du 2 2u (1 + u2 )2 Z Z 1 4u (1 − u2 )2 du = du = − u(1 + u2 )2 u (1 + u2 )2 ! √ p 2 1 + 1 − r2 = c + ln u + = c + ln + 1 − 1 − r2 2 1+u r p 1 = c + 1 + Arcosh( ) − 1 − r2 , r p 1 also z(s) = Arcosh( ) − 1 − r(s)2 r(s) Im Fall ab 6= 0 kann man erreichen, daß a√= −b √oder a = b√ist, indem wir s durch √ − −Kc −Ks −Kc − −Ks s− c ersetzen: Dann ist r(s − c) = ae e + be e und mit √ √ √ e2 −Kc := | ab | ist |a e− −Kc | = |b e −Kc |. Die entstehenden Fl¨ achen Z sq √ √ r(s) := a sinh( −Ks), und somit z(s) := 1 + a2 K cosh2 ( −Kσ) dσ; Z0 s q √ √ r(s) := a cosh( −Ks), und somit z(s) := 1 + a2 K sinh2 ( −Kσ) dσ 0

nennt man Fl¨ achen vom Kegeltyp bzw. vom Kehltyp.

1

1

54.4 Geod¨ atische Koordinaten der Poincar´ e’schen Halbebene ´’sche Halbebene M ist die oberer Halbebene {(x, y) ∈ R2 : y > 0} Die Poincare versehen mit der Riemann-Metrik g : (ds)2 = y12 ((dx)2 + (dy)2 ). Wir wollen geod¨ atische Koordinaten f¨ ur sie finden. In 58.6 werden wir eine Methode kennenlernen diese mittels Geod¨aten zu konstruieren. Es zeigt sich, daß die 414

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54.5

54. Drehfl¨ achen

Geod¨ aten die Kreise mit Mittelpunkt auf der x-Achse sind, also jene Kreise, die die x-Achse rechtwinklig schneiden. Die Kreise durch ∞ sind dabei die zur y-Achse parallele Geraden. Wir wollen letztere nach Bogenl¨ange parametrisieren. Sei also c(t) := (x, t). Dann ist die Bogenl¨ange Z Z dt s(t) = |c0 (t)|c(t) dt = = ln(t) t mit Umkehrfunktion t(s) = es . Als Parametrisierung von M verwenden wir nun ϕ : (r, θ) 7→ (θ, er ). Die Ableitung von ϕ ist somit ϕ0 (r, θ) =



0 er

 1 0

und f¨ ur die Koeffizienten der Metrik erhalten wir: E = g(∂r ϕ, ∂r ϕ) = 1, Es gilt somit √ G(0, θ) = 1,

F = g(∂r ϕ, ∂θ ϕ) = 0,

∂ √ G(0, θ) = −1, ∂r

G = g(∂θ ϕ, ∂θ ϕ) = e−2r .

1 K = −√ G



∂ ∂r

2

√

G = −1.

54.5 Geod¨ atische Koordinaten der Pseudosph¨ are

Die Pseudosph¨ are ist die Drehfl¨ache M die bei Rotation der Traktrik p p 1 1 + 1 − ρ2 p 2 τ : ρ 7→ z = Arcosh( ) − 1 − ρ = ln − 1 − ρ2 f¨ ur 0 < ρ ≤ 1 ρ ρ um die z-Achse entsteht (siehe 54.3 ). Die Bogenl¨angen-Parametrisierung der Traktrix ist durch ρ = e−s gegeben und beschreibt nach 57.3.4 eine Geod¨ate (einen Meridian) auf der Pseudosph¨ are. Geod¨atische Koordinaten erhalten wir somit durch: ϕ(r, θ) := (e−r cos θ, e−r sin θ, τ (e−r )). Die Ableitung von ϕ ist  −e−r cos θ −e−r sin θ e−r cos θ  ϕ (r, θ) =  −e−r sin θ −e−r τ 0 (e−r ) 0 √ 2 1−ρ und wegen τ 0 (ρ) = − ρ sind die Koeffizienten der Metrik 

0

E = h∂r ϕ, ∂r ϕi = 1,

F = h∂r ϕ, ∂θ ϕi = 0,

G = h∂θ ϕ, ∂θ ϕi = e−2r

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415

54.6

54. Drehfl¨ achen

und somit wie in 54.4 √

∂ √ G(0, θ) = −1, ∂r

G(0, θ) = 1,

1 K = −√ G



2

∂ ∂r

√

G = −1.

Diese Koordinaten stimmen mit den in 54.4 konstruierten f¨ ur die Poincar´e’sche Halbebene u ¨berein, also erhalten wir wie folgt eine Isometrie der Teilmenge {(x, y) : y ≥ 1} der Poincar´e’sche Halbebene auf die Pseudosph¨are: / Pseudosph¨are

Poincar´e’sche Halbebene

(x, y)



/ ( cos x , sin x , τ ( 1 )) y y y

 (θ, er ) hQ QQQ QQQ QQQ QQQ QQ 

/ (e−r cos θ, e−r sin θ, τ (e−r )) t: tt t tt 4ttt (r, θ)

R2 Dies kann auch mit einer direkten Rechnung verifiziert werden. 54.6 Geod¨ atische Koordinaten der hyperbolische Scheibe Die hyperbolische Scheibe ist nach 34.6 die offene Einheitsscheibe D := {z ∈ C : |z| < 1} versehen mit der Riemann-Metrik 1 ((dx)2 + (dy)2 ). g : (ds)2 = 2 (1 − (x + y 2 ))2 Wieder wollen wir die Methode aus 58.6 verwenden um geod¨atische Koordinaten zu bestimmen. Es sind die Geod¨aten jene Kreise (und Geraden), die den Einheitskreis orthogonal treffen. Wir wollen die Geod¨aten durch 0 wieder nach Bogenl¨ange parametrisieren. Sei also c(t) := (t, 0). Dann ist die Bogenl¨ange   Z Z dt 1 1+t 0 s(t) = |c (t)|c(t) dt = = ln 1 − t2 2 1−t mit Umkehrfunktion t(s) = den wir somit

es −e−s es +e−s

= tanh(s). Als Parametrisierung von D verwen-

ϕ : (r, θ) 7→ (θ, tanh r) 7→ (tanh r cos θ, tanh r sin θ). Deren Ableitung ist ϕ0 (r, θ) =



cos θ/ cosh2 r sin θ/ cosh2 r

− tanh r · sin θ tanh r · cos θ



und f¨ ur die Koeffizienten der Metrik erhalten wir: E = g(∂r ϕ, ∂r ϕ) = 1,

F = g(∂r ϕ, ∂θ ϕ) = 0,

G = g(∂θ ϕ, ∂θ ϕ) = cosh2 r.

Es gilt somit √ G(0, θ) = 1, 416

∂ √ G(0, θ) = 0, ∂r

1 K = −√ G



∂ ∂r

2

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√

G = −1.

54.8

54. Drehfl¨ achen Dies sind gerade die Koeffizienten einer Fl¨ache von Kehltyp mit Koordinaten Z sp
1 s −s 1 − r0 (σ)2 dσ r(s) := e +e = cosh s und z(s) := 2 0

aus 54.3 . Also erhalten wir analog zu 54.5 eine Isometrie der hyperbolischen Scheibe mit einer Fl¨ ache von Kehltyp. 54.7 Eine andere Beschreibung der hyperbolischen Scheibe Wir wollen die hyperbolische Scheibe nun durch einen Diffeomorphismus so verzerren, daß die Geod¨ aten genau die Geraden werden. Dieser Diffeomorphismus soll die Scheibe invariant lassen und ihren Mittelpunkt und ihren Rand punktweise fix lassen. Dazwischen m¨ ussen wir also die Kreise die den Rand orthogonal treffen so deformieren, daß sie Geraden durch die gleichen Schnittpunkte mit den Rand ¨ werden. Eine elementar-geometrische Uberlegung zeigt, daß dies in Polarkoordina2r unschten Diffeomorphismus ten durch (r, θ) 7→ ( 1+r2 , θ) erreicht wird. Unseren gew¨ erhalten wir also durch folgende Zusammensetzung: (r, θ) 

/ ( 2r 2 , θ) 1+r _ kart.Koord.

2r ( 1+r 2

p ( x2 + y 2 , arctan xy ) O

 2r cos θ, 1+r 2 sin θ)

Pol.Koord.

_ (x, y)

2y ( 1+x2x 2 +y 2 , 1+x2 +y 2 )

Beachte noch, daß die Ableitung von r 7→ √

2r 1+r 2

durch r 7→

2(1−r 2 ) (1+r 2 )2

und die Umkehr-

1− 1−r 2 r

← r gegeben ist (die Wahl der L¨osung der quadratische funktion durch 2r Gleichung ergibt sich dabei aus r < 1+r 2 ). Beachte aber, daß wir auf diese Weise keine geod¨ atischen Koordinaten erhalten, denn dazu m¨ ußten wir die radialen Geod¨ aten wie in 54.6 zur¨ uckparametrisieren. 54.8 Die Poincar´ e’sche Halbebene ist isomorph zur hyperbolischen Scheibe Wir betrachten die M¨ obius-Transformation µ : z 7→ (az + b)/(cz + d), die folgende speziellen Werte hat: 0 7→ −i,

i 7→ 0,

±1 7→ ±1,

∞ 7→ i.

Aus diesen Gleichungen erhalten wir:√d = ib, b = −ia, c√= −ia und wegen 1 = 2 ad √ − bc = 2a schließlich a = d = 1/ 2 und b = c = −i/ 2, oder (wenn wir mit i 2 erweitern) iz + 1 z 7→ . z+i Sie bildet die obere Halbebene auf die Einheitsscheibe ab. Ihre Umkehrfunktion ist durch w 7→ (w + i)/(iw + 1) gegeben. Wenn wir nun die hyperbolische Metrik auf D mittels µ auf die obere Halbebene zur¨ uckziehen, so erhalten wir die Metrik: |v|z = |µ0 (z)v|µ(z) =

|µ0 (z)| |v| |v| |v| = = . 1 − |µ(z)|2 i(¯ z − z) 2Im(z)

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417

55.1

54. Drehfl¨ achen

Dies ist bis auf den Faktor 1/2 die Metrik der Poincar´e’schen Halbebene aus 54.4 . Also ist die Poincar´e’schen Halbebene isometrisch diffeomorph zur hyperbolischen Scheibe 54.9 Minimale Drehfl¨ achen Wir wollen jene Drehfl¨ achen bestimmen, die H = 0 erf¨ ullen, also lokal minimale ummungen Oberfl¨ ache haben (siehe dazu Abschnitt 56 ). Da die beiden Hauptkr¨ z0 r 00 00 ussen wir das Differentialgleichungssystem r r = (z 0 )2 = 1 − − z0 und r sind, m¨ 0 2 (r ) l¨ osen. Dies ist ¨ aquivalent zu r2 00 ) = rr00 + (r0 )2 = 1 mit der allgemeinen L¨osung r(s)2 = (s + a)2 ± b2 . 2 Nach Zeitverschiebung erhalten wir a = 0 und 2r(s)r0 (s) = 2s. Der Fall −b2 kann s = √s2s−b2 > 1 ein Widerspruch. F¨ ur nicht eintreten, denn dann ist r0 (s) = r(s) b = 0 erhalten wir (nach einer Spiegelung) die L¨osung r(s) = Rs und z(s) = 0, eine sp Ebene. F¨ ur r(s)2 = s2 + b2 mit b > 0 erhalten wir z(s) = 0 1 − r0 (σ)2 dσ = Rsq Rs 2 1 − σ2σ+b2 dσ = 0 √σ2b+b2 dσ = b Arsinh(s/b), d.h. s = b sinh(z/b) und r = 0 q b 1 + sinh2 (z/b) = b cosh(z/b). Dies ist also gerade die Bogenl¨angen-Parametrisierung der Kettenlinie r/b = cosh(z/b). (

55. Regelfl¨ achen und Torsen 55.1 Definition (Regelfl¨ achen und Torsen) Unter einer Regelfl¨ ache versteht man eine 2-Fl¨ache, die sich lokal durch ϕ : (s, θ) 7→ c(θ) + s w(θ) parametrisieren l¨aßt, d.h. durch Transport der Gerade mit (sich ¨ andernden) Richtungsvektor w l¨angs der Kurve c. Damit ϕ regul¨ar ist muß man offensichtlich voraussetzen, daß ϕs (s, θ) = w(θ) und ϕθ (s, θ) = c0 (θ) + s w0 (θ) linear unabh¨ angig sind. Durch jeden Punkt einer Regelfl¨ache geht also ein Geradenst¨ uck s 7→ c(θ)+s w(θ). Diese Gerade heißt Erzeugende. Ist der Normalvektor l¨ angs jeder Erzeugenden konstant, so spricht man von einer Torse. 418

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55.2

55. Regelfl¨ achen und Torsen

55.2 Bemerkung Wir wollen nun die Parametrisierung ϕ : (s, θ) 7→ c(θ) + s w(θ) einer Regelfl¨ache in 3 Schritten noch etwas verbessern. 1) O.B.d.A. |w|=1, denn ϕ(¯ ¯ s, θ) := c(θ) + s¯ w(θ) ¯ = ϕ(s, θ) mit w(θ) ¯ :=

w(θ) , |w(θ)|

s¯(s, θ) := s |w(θ)|

2) O.B.d.A. ist zus¨ atzlich c0 ⊥ w, denn ϕ(¯ ¯ s, θ) := c¯(θ) + s¯ w(θ) = ϕ(s, θ) mit c¯(θ) := c(θ) + g(θ) w(θ),

s¯(s, θ) := s − g(θ),

wobei 0 = h¯ c0 , wi = hc0 + g 0 w + g w0 , wi = hc0 , wi + g 0 , d.h. g(θ) := g(0) − 3) O.B.d.A. ist zus¨ atzlich |c0 | = 1, denn

Rθ 0

hc0 , wi.

¯ := c¯(θ) ¯ + s w( ¯ = ϕ(s, θ) ϕ(s, ¯ θ) ¯ θ) ¯ := c(θ), w( ¯ := w(θ), θ¯0 (θ) := |c0 (θ)| mit c¯(θ) ¯ θ)

Alle diese Annahmen wollen wir im folgenden an die lokale Parametrisierung einer Regelfl¨ ache stellen. c 15. Dezember 2008 [email protected]

419

55.3

55. Regelfl¨ achen und Torsen

55.3 Ein Begleitbein f¨ ur c Wir haben in jedem Punkt θ der Kurve c die Orthonormalbasis (c0 (θ), w(θ), νc(θ) ) des R3 . Dabei sei M so orientiert, daß diese Basis positiv orientiert ist. Wir wollen f¨ ur das Begleitbein (c0 , w, v := ν ◦ c) der Kurve c das Analogon zu den Frenetschen Ableitungsgleichungen herleiten, d.h. die Ableitungen dieser Vektoren in eben dieser Basis ausdr¨ ucken. Dazu beachten wir noch, daß v 0 (θ) = T ν · c0 (θ) = L c0 (θ) ist, und rechnen: 1 = hw, wi = hc0 , c0 i = hv, vi ⇒ 0 = hw0 , wi = hc00 , c0 i = hv 0 , vi  00 0 0  p(θ) := hc , wi(θ) = −hc , w i(θ) 00 0 0 Sei r(θ) := hc , vi(θ) = −hc , v i(θ)   q(θ) := hw0 , vi(θ) = −hw, v 0 i(θ)  00  = hc00 , wiw + hc00 , viv = p w + r v c 0 ⇒ w = hw0 , c0 ic0 + hw0 , viv = −p c0 + q v   0 v = hv 0 , c0 ic0 + hv 0 , wiw = −r c0 − q w  0    0 c 0 p r c d    w = −p 0 q  w . Kurz also: dθ v −r −q 0 v Obige Rechnung l¨ aßt sich auch f¨ ur eine nach der Bogenl¨ange parametrisierte Kurve c auf einer allgemeinen Fl¨ ache durchf¨ uhren. Dann ist w ein tangentiales EinheitsVektorfeld, welches normal auf c0 steht. Die Funktion p heißt dann auch geod¨ atische Kr¨ ummung, r Normalkr¨ ummung und q relative Torsion von c. F¨ ur unsere Parametrisierung bedeutet das: ϕ=c+sw ϕs = w ϕθ = c0 + s w0 = c0 + s(−p c0 + q v) = (1 − s p)c0 + s q v ϕs,s = 0 ϕs,θ = w0 = −p c0 + q v Somit sind dies geod¨ atische Koordinaten mit G = (1 − s p)2 + (s q)2 , D2 = EG − F 2 = G 1 e = − det(ϕs , ϕθ , ϕs,s ) = 0 D   0 1 − sp −p 1 1  q 1 0 0 = f = − det(ϕs , ϕθ , ϕs,θ ) = − D D D 0 sq q

E = 1,

F = 0,

Die Gauß-Kr¨ ummung einer Regelfl¨ache ist somit K=

eg − f 2 q2 q2 = − = − ≤ 0. EG − F 2 G2 ((1 − s p)2 + (s q)2 )2

Die Erzeuger s 7→ s w(θ) sind als Geraden nat¨ urlich Asymptotenlinien. Beispiele. Regelfl¨ achen sind z.B˙: 420

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55.4

55. Regelfl¨ achen und Torsen

1. M¨ obiusband: ϕ(s, θ) := ((2 − s sin θ2 ) cos θ, (2 − s sin θ2 ) sin θ, s cos θ2 ). q y 1 1 2. Pl¨ uckers Kegel: z = x2xy mit Erzeuger z =konstant, d.h. = ± +y 2 x z z 2 − 1. Bzw. parametrisiert durch ϕ : (s, θ) 7→ (0, 0, sin(2θ)/2) + s · (cos θ, sin θ, 0). 3. Helicoid oder Wendelfl¨ ache: tan az = xy mit Erzeuger z = konstant, d.h. y z x = tan a .

2

2

4. hyperbolisches Paraboloid: z = xa2 − yb2 , oder parametrisiert durch ϕ : (t, s) 7→ (a (t + s), ±b s, t2 + 2t s) 2 2 2 5. einschaliges Hyperboloid: xa2 + yb2 − zc2 = 1, oder parametrisiert durch ϕ : (t, s) 7→ (a (cos t ∓ s sin t), b (sin t ± s cos t), ±c s).

Beispiele von Torsen sind: 6. (verallgemeinerter) Kegel; parametrisiert durch ϕ(s, θ) := c0 + s w(θ) f¨ ur s 6= 0 mit w0 (s) × w(s) 6= 0. 7. (verallgemeinerter) Zylinder; parametrisiert durch ϕ(s, θ) := c(θ) + s w0 mit w0 × c0 (s) 6= 0. 8. Tangentialfl¨ ache einer regul¨aren Raum-Kurve c mit nirgends verschwindender Kr¨ ummung Kc ; parametrisiert durch ϕ(s, θ) := c(θ) + sc0 (θ) f¨ ur s 6= 0.

55.4 Satz (Charakterisierung von Torsen). F¨ ur eine Regelfl¨ ache M , parametrisiert durch ϕ(s, θ) = c(θ) + sw(θ) mit w ⊥ c0 und |w| = 1 = |c0 |1, sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: 1. M ist eine Torse; c 15. Dezember 2008 [email protected]

421

55.6

55. Regelfl¨ achen und Torsen 2. 3. 4. 5. 6.

K = 0; Die relative Torsion q(θ) := hw0 (θ), v(θ)i = 0 f¨ ur alle θ; Lϕ(s,θ) w(θ) = 0 f¨ ur alle θ und s(= 0); w(θ) ist Hauptkr¨ ummungsrichtung im Punkt ϕ(s, θ) f¨ ur alle θ und s(= 0); w0 (θ) ∈ Tϕ(s,θ) M f¨ ur alle θ und s(= 0);

Beweis. Es ist ϕs = w, ϕθ = (1 − s p)c0 + s q v und somit νϕ(s,θ) =

(s p(θ) − 1) v(θ) + s q(θ) c0 (θ) ϕθ × ϕs (s, θ) = p |ϕθ × ϕs | s2 q(θ)2 + (s p(θ) − 1)2

(1 ⇔ 3) Es bleibt ν genau dann konstant l¨angs jedes Erzeugers, wenn (ϕθ × ϕs )(s, θ) = (s p(θ) − 1) v(θ) + s q(θ) c0 (θ) konstante Richtung bei variierenden s hat, also wenn (s q(θ)) : (s p(θ) − 1) = q(θ) : (p(θ) − 1s ) konstant in s ist, d.h. q(θ) = 0 ist. 2  (3 ⇔ 2) Klar, da K = − (1−s p)q2 +(s q)2 nach 55.3 .   ∂ (1 ⇒ 4) Lϕ(s,θ) w(θ) = ∂s ν c(θ) + s w(θ) = 0.   (4 ⇒ 3) Klar, da L w ∈ T M und hw, L wi = K s 7→ c(θ) + s w(θ) = 0. Also gilt Lϕ(0,θ) · w(θ) = 0 ⇔ 0 = hLw, c0 i = hw, Lc0 i = hw, v 0 i = −hw0 , vi = q wegen 55.3 . (4 ⇔ 5) Aus L w = λ w folgt λ = hw, L wi = 0, wie in (4 ⇒ 3) (3 ⇔ 6) Es ist w0 (θ) ∈ Tϕ(s,θ) M ⇔ 0 = hw0 (θ), (ϕθ × ϕs )(s, θ)i = hq v − p c0 , (s p − 1) v + s q c0 i = −q(θ) f¨ ur s = 0. 55.5 Folgerung (Verschwindende Gauß-Kr¨ ummung). Eine Fl¨ ache ohne Nabelpunkte ist genau dann eine Torse, wenn die Gauß-Kr¨ ummung u ¨berall verschwindet. Beweis. Da keine Nabelpunkte vorliegen existiert nach 53.6 eine Parametrisierung ϕ nach Kr¨ ummungslinien. Wegen K = 0 sei O.B.d.A. 0 = K2 ϕs = L · ϕs . Wir k¨onnen ϕ noch mit einen Diffeomorphismus der Form h1 × h2 umparametrisieren um f¨ ur die neue Parametrisierung |ϕt (t, 0)| = 1 = |ϕs (0, s)| zu erreichen. Wir behaupten, daß f¨ ur diese nun ϕs,s = 0 gilt, also ϕ(t, s) = ϕ(t, 0) + s ϕs (t, 0) eine Regelfl¨ ache beschreibt und wegen 55.4 ist diese sogar eine Torse. Es ist νs = L · ϕs = 0 und hϕs |νi = 0 also hϕs,s |νi = −hϕs |νs i = 0. Weiters ist hϕt |ϕs i = 0 und νt = L·ϕt = K1 ϕt 6= 0. Somit ist hϕs |νt i = hϕs |K1 ϕt i = 0, also 1 1 hϕs,s |ϕt i = hϕs,s |νt i = − hϕs |νs,t i = 0. K1 K1 Schließlich folgt aus |ϕs (s, 0)| = 1 und hϕs |ϕs it = 2hϕs |ϕs,t i = −2hϕs,s |ϕt i = 0 und somit hϕs |ϕs i = 1, also auch hϕs,s |ϕs i = 0. Bemerkung F¨ ur Fl¨ achen mit Nabelpunkten ist obige Folgerung nicht g¨ ultig. Ein Beispiel einer Fl¨ache mit K = 0, die aber keine Torse ist, findet sich in [54, S.53]. 55.6 Lemma (Schmiegtorse). Sei c eine Kurve in einer Fl¨ ache M , f¨ ur welche es ein Vektorfeld w in T M l¨ angs c 422

c 15. Dezember 2008 [email protected]

55.8

55. Regelfl¨ achen und Torsen

gibt, mit II(c0 (t), w(t)) = 0 und {c0 (t), w(t)} linear unabh¨ angig f¨ ur alle t. Dann ist (s, θ) 7→ c(θ) + sw(θ) eine Torse, die sogenannte Schmiegtorse, da sie die Fl¨ ache l¨ angs c ber¨ uhrt. Die Existenz so eines Vektorfelds w ist unter der Voraussetzung, daß K(c0 (t)) 6= 0 f¨ ur alle t, gew¨ ahrleistet. Beweis. Es sei K(c0 (t)) 6= 0 f¨ ur alle t. Sei w ¯ ein Vektorfeld in T M l¨angs c welches punktweise linear unabh¨ angig von c0 ist (also z.B. w(t) ¯ := c0 (t) × ν(c(t))). 0 Wir machen den Ansatz w(t) := w(t) ¯ + λ(t) c (t). Dann ist auch w punktweise li0 0 near unabh¨ a ngig von c und tangential an     M . Schließlich ist 0 = II(c (t), w(t)) = II c0 (t), w(t) ¯ + λ(t) c0 (t) = II c0 (t), w(t) ¯ + λ(t) K(c0 (t)) (also das gesuchte Vektorfeld w) genau dann, wenn λ(t) =

II(c0 (t),w(t)) ¯ K(c0 (t)) .

Sei nun w so ein Vektorfeld und o.B.d.A. |c0 (t)| = 1 = |w(t)|. Dann parametrisiert ϕ : (s, θ) 7→ c(θ) + sw(θ) f¨ ur s nahe 0 eine Regelfl¨ache, denn ϕs (s, θ) = w(θ) und ϕθ (s, θ) = c0 (θ) + s w0 (θ) ⇒{ϕs (0, θ), ϕθ (0, θ)} ist linear unabh¨angig. Diese Regelfl¨ ache ist sogar eine Torse, d.h. nach 55.4 K = 0, denn mit v(t) := ν(c(t)) erhalten wir 1 1 det(ϕs , ϕθ , ϕs,s ) = − det(w, c0 + s w0 , 0) = 0 D D 1 1 f = − det(ϕs , ϕθ , ϕs,θ ) = − det(w, c0 + s w0 , w0 ) D D 1 hw|v 0 i II(w, c0 ) = − det(w, c0 , hw0 |vi v) = det(w, c0 , v) = det(w, c0 , v) = 0 D D D eg − f 2 ⇒ K= = 0. EG − F 2 Oder k¨ urzer: q = hv, w0 i = −hv 0 , wi = −h(ν ◦ c)0 , wi = −hL c0 , wi = − II(c0 , w) = 0. e=−

55.7 Folgerung. Die tangential an eine Fl¨ ache M liegende Normale an eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Kr¨ ummungslinie c von M erzeugt eine Schmiegtorse. Beweis. F¨ ur ein normales Tangentialvektorfeld w an c gilt II(c0 , w) = hL c0 , wi = 0 0 K(c )hc , wi = 0. 55.8 Proposition. Eine Kurve c auf einer Fl¨ ache M ist genau dann eine Kr¨ ummungslinie, wenn ϕ(s, θ) := c(θ) + sν(c(θ)) eine Torse parametrisiert. Beweis. Offensichtlich parametrisiert ϕ eine Regelfl¨ache mit w(θ) := ν(c(θ)). Die Kurve c ist genau dann Kr¨ ummungslinie von M , wenn zu jedem θ ein λ existiert mit L · c0 (θ) = λc0 (θ). Wegen L · c0 (θ) = (ν ◦ c)0 (θ) = w0 (θ) ist das genau dann der Fall, wenn w0 (θ) ∈ T M , da hw0 , wi = 0, also nach 55.4 genau dann wenn ϕ eine Torse parametrisiert. Beispiel. F¨ ur die Breitenkreise auf Drehfl¨achen sind diese Torsen offensichtlich Kegel und f¨ ur die Meridiane sind sie Ebenen. c 15. Dezember 2008 [email protected]

423

55.9

55. Regelfl¨ achen und Torsen

55.9 Lemma (Generische Torsen). Jede Torse ist in einer offenen und dichten Teilmenge lokal ein Zylinder, ein Kegel oder die Tangentialfl¨ ache an eine Kurve. Beweis. Sei ϕ(s, θ) = c(θ) + s w(θ) eine lokale Parametrisierung einer Torse mit |c0 | = 1 = |w| und c0 ⊥ w. Falls w lokal konstant ist, so ist M lokal ein Zylinder. Falls andernfalls 0 6= w0 (= q v − p c0 ) gilt, so ist f¨ ur Torsen p = −hw0 , c0 i = 6 0 wegen q = 0 nach 55.4 . In diesem Fall versuchen wird die Regelfl¨ache so umzuparametrisieren, daß |c0 | = 1 = |w| und c0 ⊥ w0 gilt. Dazu machen wir den Ansatz ϕ(¯ ¯ s, θ) = c¯(θ) + s¯w(θ) ¯ = ϕ(s, θ) mit c¯(θ) := c(θ) + g(θ) w(θ) und s¯ = s − g(θ), wobei 0 = hw0 (θ), c¯0 (θ)i = hw0 (θ), c0 (θ)i +g(θ) hw0 (θ), w0 (θ)i +g 0 (θ) hw0 (θ), w(θ)i, | {z } | {z } | {z } d.h. g :=

p p2 +q 2 .

0

p(θ)2 +q(θ)2

−p(θ)

Die Kurve c¯ heißt auch Striktionslinie der Regelfl¨ache.

Wir k¨ onnen nun noch wie in 55.2 erreichen, daß |¯ c0 | = 1 gilt. F¨ ur jede Torse gilt q = 0 nach 55.4 . Somit ist c¯(θ) = c(θ) + c¯0 (θ) = c0 (θ) +

1 p(θ)

w(θ) und

1 p0 (θ) p0 (θ) w0 (θ) − w(θ) = − w(θ) p(θ) | {z } p(θ)2 p(θ)2 p(θ) c0 (θ)

Es ist also die Striktionslinie c¯ genau dann konstant und somit M lokal ein (verallgemeinerter) Kegel, wenn p0 = 0 gilt. Falls andererseits p0 lokal nicht verschwindet, dann ist c¯ regul¨ ar und c¯0 proportional zu w, also M lokal die Tangentialfl¨ache zu c¯. Die Menge der θ, wo eine der folgenden drei Bedingungen gilt, ist offensichtlich offen und auch dicht, 1. p = 0 lokal (dann ist M lokal ein verallgemeinerter Zylinder); 2. 0 = 6 p lokal konstant (dann ist M lokal ein verallgemeinerter Kegel); 3. p(θ) p0 (θ) 6= 0 (dann ist M lokal eine Tangentialfl¨ache): Falls n¨ amlich eine Umgebung von θ0 im Komplement dieser Menge liegt, so ist p p0 = 0 lokal und somit, falls p(θ) 6= 0 ist, p0 = 0 lokal um θ, d.h. p lokal konstant w¨ are, ein Widerspruch. Im Fall (1) ist w konstant, also M ein Zylinder. Im Fall (2) ist w(θ) = w(θ0 ) − p(c(θ) − c(θ0 )) und somit  1  w(θ) − w(θ0 ) + c(θ0 ) + s w(θ) −p     1 1 = w(θ) s − + c(θ0 ) + w(θ0 ) , p p

ϕ(s, θ) =

also ist M ein Kegel. Im Fall (3) schließlich, sei c1 (θ) = c(θ) + c01 (θ) = c0 (θ) + c001 (θ) = − 424

0 1 p(θ) w (θ)

−

1 p(θ) w(θ).

Dann sind

p0 (θ) p0 (θ) w(θ) = 0 − 2 w(θ) 2 p (θ) p (θ)

p0 (θ) 0 w (θ) + w(θ)(∗)0 p2 (θ) c 15. Dezember 2008 [email protected]

und

55.10

55. Regelfl¨ achen und Torsen p(θ) p0 (θ)

2

(θ) − s pp0 (θ) . Die Abbildung (s, θ) 7→ ! 2 − pp0 ∗ ist inver(s, θ1 ) ist ein lokaler Diffeomorphismus, denn ihre Ableitung 0 1 tierbar. Nun ist

linear unabh¨ angig. Sei nun s1 = s1 (s, θ) :=

ϕ1 (s1 , θ) : = c1 (θ) + s1 · (c1 )0 (θ)  0     p2 p p 1 −s 0 − 2 w = c + s w = ϕ(s, θ) = c+ w + p p0 p p eine lokale Parametrisierung von M als Tangentialfl¨ache der Kurve c1 .

55.10 Taille, Striktions- oder Kehl-Linie Wir wollen nun noch andere Beschreibungen der Striktionslinie aus 55.9 einer nicht zylindrischen Regelfl¨ ache geben. Wir wollen nun die k¨ urzeste Verbindung auf der Fl¨ ache zwischen zwei Erzeugern mit Parametern θ0 und θ1 finden. Eine solche nennt man Taillenlinie oder Striktionslinie. Die Punkte der Erzeuger, die auf der Taillen-Linie liegen, heißen zentrale Punkte der Erzeuger. Eine solche Linie ist in den Koordinaten (s, θ) durch eine Funktion θ 7→ s(θ) von [θ0 , θ1 ] → R gegeben. Die L¨ ange der zugeh¨origen Kurve θ 7→ ϕ(s, θ) ist dann Z θ1 d L(θ 7→ s(θ)) := ds |ϕ(s(θ), θ)|dθ Z

θ0 θ1

= θ0 θ1

Z =

θ0 Z θ1

=

|ϕθ (s(θ), θ) + ϕs (s(θ), θ) s0 (θ)|dθ |(1 − s(θ)p(θ))c0 (θ) + s(θ)q(θ)v(θ)w(θ)s0 (θ)|dθ p (1 − s(θ)p(θ))2 + (s(θ)q(θ))2 + (s0 (θ))2 dθ.

θ0

Wir bestimmen nun die Extremalpunkte θ 7→ s(θ) der L¨angenfunktion mittels Variationsrechnung. Klarerweise existiert ein Minimum, und somit brauchen wir nur noch eine notwendige Bedingung daf¨ ur zu finden: Die Ableitung von L in Richtung gewisser in der N¨ ahe liegender Kurven θ 7→ s1 (θ) muß Null sein. Insbesondere muß das f¨ ur Kurven mit konstantem Abstand h := s1 (θ) − s(θ) gelten: d L(s(.) + r h(.)) = dr r=0 Z θ1 p d = (1 − (s + rh)p)2 + (s + r h)2 q 2 + (s0 )2 dr r=0 θ0 Z θ1 p ∂ = (1 − (s + rh)p)2 + (s + r h)2 q 2 + (s0 )2 θ0 ∂r r=0
Z θ1 ∂ 2 2 2 0 2 ∂r r=0 (1 − (s + rh)p) + (s + r h) q + (s ) p = (1 − s p)2 + s2 q 2 + (s0 )2 θ0 Z θ1 (1 − s p)(−h)p + s h q 2 p = (1 − s p)2 + s2 q 2 + (s0 )2 θ0 Z θ1 −(1 − s p) p + s q 2 p = · h. (1 − s p)2 + s2 q 2 + (s0 )2 θ0 c 15. Dezember 2008 [email protected]

425

55.10

55. Regelfl¨ achen und Torsen

Damit dieses Integral f¨ ur alle kleinen Variationen h der Kurve s verschwindet, muß gelten −(1 − s p) p + s q 2 p (θ) = 0 ∀ θ ∈ [θ0 , θ1 ] (1 − s p)2 + s2 q 2 p(θ) i.e. s(θ) = p(θ)2 + q(θ)2 Diese Gleichung ist in einem Punkt x ∈ M genau dann erf¨ ullt, wenn hw0 , ϕθ i = 0 0 2 h−p c + q v, (1 − s p)c + s q vi = −(1 − s p)p + s q = 0, d.h. w0 ⊥ Tx M , wegen hw0 , wi = 0. Es seien zwei windschiefe Geraden t 7→ aj + twj f¨ ur j = 0, 1 gegeben, d.h. w1 × w2 6= 0. Der Abstand zweier Punkte mit Parameter t0 und t1 auf ihnen ist d(t0 , t1 ) := |a0 − a1 + t0 w0 − t1 w1 |. Der kritische Wert muß d 0= d(t0 , t1 )2 = ha0 − a1 + t0 w0 − t1 w1 , w0 i und dt0 d 0= d(t0 , t1 )2 = ha0 − a1 + t0 w0 − t1 w1 , w1 i dt1 erf¨ ullen. Wegen   hw0 , w0 i −hw1 , w0 i det = −(hw0 , w0 ihw1 , w1 i − hw0 , w1 i2 ) = −|w0 × w1 |2 6= 0 hw0 , w1 i −hw1 , w1 i existiert eine eindeutige L¨ osung und zwar ist hv0 , a0 − a1 ihv1 , v1 i − hv1 , a0 − a1 ihv0 , v1 i hw0 , w1 i2 − hw0 , w0 ihw1 , w1 i hhv1 , v1 iv0 − hv0 , v1 iv1 , a0 − a1 i = |w0 × w1 |2 hv1 × (v0 × v1 ), a0 − a1 i det(v1 , v0 × v1 , a0 − a1 ) = = . 2 |w0 × w1 | |w0 × w1 |2

t0 =

Sei nun ϕ : (s, θ) 7→ c(θ) + s w(θ) Parametrisierung eine Regelfl¨ache mit |w| = 1 und w0 (θ) 6= 0. Dann ist der Punkt auf dem Erzeuger durch c(θ) der vom Erzeuger c(θ + ε) minimalen Abstand hat, durch c(θ) −

det(w(θ + ε), w(θ) × w(θ + ε), c(θ + ε) − c(θ)) w(θ) |w(θ) × w(θ + ε)|2

gegeben. Es gilt lim

ε→0

det(w(θ + ε), w(θ) × w(θ + ε), c(θ + ε) − c(θ)) = |w(θ) × w(θ + ε)|2 = lim

w(θ+ε)−w(θ) c(θ+ε)−c(θ) , ) ε ε w(θ+ε)−w(θ) 2 | ε 0 0

det(w(θ + ε), w(θ) ×

ε→0

|w(θ) × det(c (θ), w(θ), w(θ) × w (θ)) hc (θ) × w(θ), w(θ) × w0 (θ)i = = |w(θ) × w0 (θ)|2 |w(θ) × w0 (θ)|2 0 0 0 0 hc (θ), w(θ)ihw(θ), w (θ)i − hc (θ), w (θ)ihw(θ), w(θ)i = |w(θ) × w0 (θ)|2 hc0 (θ), w0 (θ)i =− |w(θ) × w0 (θ)|2 0

426

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55.12

55. Regelfl¨ achen und Torsen Dabei haben wir die Identit¨ aten: det(a, b, c) = ha × b, ci a × (b × c) = ha, cib − ha, bic ha × b, c × di = ha, cihb, di − ha, dihb, ci

verwendet. Dabei folgt die erste Gleichung durch Interpretation als Volumen des Parallelipipeds; die zweite, da a × (b × c) normal auf b × c und damit im Erzeugnis h{b, c}i liegt; die dritte durch (1)

(1)

ha × b, c × di = det(a, b, c × d) = det(b, c × d, a) = hb × (c × d), ai (2)

= hhb, dic − hb, cid, ai = ha, cihb, di − ha, dihb, ci.

Der Grenzpunkt c(θ) −

p(θ) hc0 , w0 i (θ) w(θ) = c(θ) + w(θ) 0 2 2 |w × w | p(θ) + q(θ)2

heißt der zentrale Punkt am Erzeuger. Die Verbindungskurve der zentralen Punkte ist genau die Striktionslinie. Wir wollen nun die Punkte der Erzeuger mit minimaler Gauß-Kr¨ ummung K =
2 − q/((1 − s p)2 + (s q)2 ) bestimmen. Dazu m¨ u ssen wir s(θ) so bestimmen, daß
der Nenner 1 − 2s p(θ) + s2 p(θ)2 + q(θ)2 ≥ 0 m¨oglichst klein wird, d.h. s(θ) = p(θ)/p(θ)2 + q(θ)2 . Diese Punkte sind also genau die zentralen Punkte und f¨ ur die Gauß-Kr¨ ummung in diesen Punkten gilt: !2  2 2 q q(p + q 2 )2 K=− =− 2 2 q 4 + p2 q 2 (1 − p2p+q2 )2 + ( p2pq +q 2 ) 2  p(θ)2 + q(θ)2 =− q(θ) Insgesamt haben wir also folgendes Theorem gezeigt: 55.11 Theorem (Kehllinie). Die Gauß-Kr¨ ummung einer Regelfl¨ ache mit w0 (θ) 6= 0 ist auf den Erzeugern genau  2 2 +q(θ)2 in den zentralen Punkten von maximalem Betrag und zwar K = − p(θ)q(θ) . Die zentralen Punkte sind gegeben durch: c(θ) +

p(θ) w(θ), p2 (θ) + q 2 (θ)

und sind genau jene Punkte x, wo w0 ⊥ Tx M , bzw. jene, die infinitesimal von benachbarten Erzeugern minimalen Abstand haben. 55.12 Satz Chasle 1839. Sei M eine Regelfl¨ ache, c(0) der zentrale Punkt, dann gilt tan ^(νc(0) , νc(0)+s w(0) ) = −s q(0). Es ist also der Anstieg der Normalen relativ zur Normalen im zentralen Punkt proportional zur Distanz vom zentralen Punkt. c 15. Dezember 2008 [email protected]

427

56.1

55. Regelfl¨ achen und Torsen

Beweis. Sei also x := c(0) ein zentraler Punkt. w0 (0) ⊥ Tx M

⇒

0 = hw0 , ϕθ i = hw0 , c0 i = −hw, c00 i = −p

⇒

⇒

ϕθ (s, 0) = c0 (0) + s q(0)v(0) ϕs × ϕs νϕ(s,0) = (s, 0) |ϕθ × ϕs | 1 w(0) × (c0 (0) + s q(0) v(0)) = 0 |c (0) + s q(0) v(0)| 1 = (νc(0) − s q(0) c0 (0)) 1 + s2 q 2 (0) p 1 + s2 q 2 (0) νϕ(s,0) = νc(0) − s q(0) c0 (0)

⇒

tan ^(νϕ(0,0) , νϕ(s,0) ) = −s q(0)

⇒

"################################## 1 + Hs q H0LL2#

-s qH0L

c’H0L Νj Hs,0L Νj H0,0L

56. Minimalfl¨ achen 56.1 Definition (Minimalfl¨ ache) Eine Fl¨ ache heißt Minimalfl¨ ache, falls sie (lokal) ein kritischer Punkt f¨ ur die Oberfl¨ ache ist, d.h. wenn wir sie nur lokal (bzw. auf einem kompakten Teil) variieren. Wir brauchen also nicht die gesamte Oberfl¨ache (die unendlich sein kann), sondern nur jenen Teil, der sich ¨ andert, betrachten. Nach [60, 8.1.5] ist die Oberfl¨ache einer durch Parametrisierung ϕ : R2 ⊇ K → M ⊆ R3 mit kompakten J-meßbaren K durch Z vol(M ) := k∂1 ϕ × ∂2 ϕk K

gegeben, also vol(M ) := =

Z p ZK q

k∂1 ϕk2 k∂2 ϕk2

Z p − h∂1 ϕ|∂2 ϕi = E G − F2 K

det((gi,j )i,j∈{1,2} ),

K

428

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56.2

56. Minimalfl¨ achen

wobei gi,j := hgi |gj i die Koeffizienten der ersten Fundamentalform mit gi := ∂i ϕ sind. Allgemeiner gilt f¨ ur parametrisierte Hyperfl¨achen M ⊆ Rn , daß ihr n − 1dimensionales Volumen durch Z q det((gi,j )i,j ) vol(M ) = K

gegeben ist. 56.2 Satz, [69]. Eine Fl¨ ache ist genau dann eine Minimalfl¨ ache, wenn H = 0. Beweis. Das vorliegende Variationsproblem besteht also darin, die lokalen Minima R der Funktion M 7→ vol(M ) := M volM ∈ R zu bestimmen. Sei die Fl¨ache M ein kritischer Punkt dieses Funktionals. Jede in der N¨ahe von M liegende Fl¨ache l¨aßt sich per Definition als {x + f (x)ν(x) : x ∈ M } mit einer reellwertigen glatten Funk∂ vol(M t ) = 0 tion f : M → R mit kompakten Tr¨ager darstellen. Somit muß ∂t t=0 d sein, wobei M t die Fl¨ ache {x+t f (x)ν(x)} ist. Dazu m¨ ussen wir dt volM t bestim0 men. Wir w¨ ahlen eine lokale Parametrisierung ϕ : U → M von M mit zugeh¨origen lokalen Koordinaten (u1 , . . . , um ). Eine lokale Parametrisierung von M t ist dann ϕt (u) = ϕ(u) + t f (ϕ(u))ν(ϕ(u)). Lokal ist q t ) du1 ∧ · · · ∧ dum , volM t = det(gi,j wobei git



t



:= ∂i ϕ = ∂i ϕ + t ∂i (f ◦ ϕ) · (ν ◦ ϕ) + (f ◦ ϕ) · ∂i (ν ◦ ϕ)

und gi,j := hgi , gj i. Also ist     t ∂f d g = ∂ (f ◦ ϕ) · (ν ◦ ϕ) + (f ◦ ϕ) · L(∂ ϕ) = · ν + f · L(g ) i i i dt 0 i dui Somit ist d dt

t gi,j = hgi , d gjt i + h d git , gj i dt dt 0 0  0  = f · hL(∂i ϕ), ∂j ϕi + h∂i ϕ, L(∂j ϕ)i =: 2f hi,j ,

und weiters   q t −1 d d t )= 1p 1 det(g det(g ) spur (g ) ( g ) i,j i,j i,j dt 0 dt 0 i,j 2 det(gi,j )   q −1 = det(gi,j )(f ◦ ϕ) spur (gi,j ) (hi,j ) q = det(gi,j )(f ◦ ϕ) spur L q = m det(gi,j )(f ◦ ϕ) H. Dabei haben wir verwendet, daß det0 (A)(B) = det A · spur(A−1 B). Also: d t dt 0 volM = mf H volM Schlußendlich gilt: d dt

t

t=0

vol(M ) =

d dt



Z t=0

Z volM t =

d dt



t=0

volM t

Z =m

f H volM . M

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429

56.5

56. Minimalfl¨ achen

Soll das f¨ ur alle in der N¨ ahe von M liegenden Fl¨achen gelten, d.h. f¨ ur alle f : M → R, so muß H = 0 sein (w¨ ahle f = H) und umgekehrt.

56.3 Plateausches Problem Sei c : S 1 → R3 eine einfachgeschlossene rektifizierbare Kurve. Gesucht ist eine ¯ → R3 mit ϕ(S 1 ) = c(S 1 ). Rado Douglas 1930 haben gezeigt, Minimal-Fl¨ ache ϕ : D daß es eine L¨ osung mit eventuellen, isolierten Singularit¨aten gibt. [84] zeigte, daß die absoluten Minima keine Singularit¨aten besitzen. Nach [43] ist ϕ auch am Rand differenzierbar, falls c differenzierbar ist. Folgendes Lemma stellt einen, wegen der Schwingungsgleichung erwarteten, Zusammenhang zwischen Minimalfl¨ achen und dem Laplaceoperator her. 56.4 Lemma (Minimalfl¨ ache via isothermale Koordinaten). Eine Fl¨ ache M ist genau dann eine Minimalfl¨ ache, wenn alle Komponenten einer (jeder) isothermalen Parametrisierung ϕ harmonisch sind. Beweis. Eine isothermale Parametrisierung erf¨ ullt E = G, F = 0. Also ist E(e + g) e+g Ge − 2F f + Eg = = . EG − F 2 E2 E hϕ1 , ϕ1 i = E = G = hϕ2 , ϕ2 i ⇒ hϕ1,1 , ϕ1 i = hϕ2,1 , ϕ2 i. 2H =

hϕ1 , ϕ2 i = F = 0

⇒

hϕ1,2 , ϕ2 i = −hϕ1 , ϕ2,2 i.

⇒

hϕ1,1 + ϕ2,2 , ϕ1 i = 0 und analog hϕ1,1 + ϕ2,2 , ϕ2 i = 0.

⇒

ϕ1,1 + ϕ2,2 = λν und e + g = −hϕ1,1 + ϕ2,2 , νi = −hλν, νi = −λ.

⇒

∆ϕ := ϕ1,1 + ϕ2,2 = −(e + g)ν = −2H E ν mit E = |ϕ1 |2 = |ϕ2 |2 > 0.

Daraus folgt nun H = 0 ⇔ ∆ϕ = 0. Das f¨ uhrt nat¨ urlich in die komplexe Analysis, denn eine lokal definierte Funktion R2 → R ist genau dann harmonisch, wenn sie der Realteil (oder ¨aquivalent der Imagin¨ arteil) einer holomorphen Funktion C → C ist. 56.5 Lemma (konforme Gaußabbildung). Die Gauß-Abbildung einer zusammenh¨ angenden Fl¨ ache ist genau dann konform, wenn M eine Sph¨ are oder eine Minimalfl¨ ache ist. Beweis. (⇐) Falls M Teil einer Sph¨are ist, so ist die Gaußabbildung proportional zur Identit¨ at, also konform. Sei M eine Minimal-Fl¨ ache, d.h. H = 0. Dann gilt f¨ ur die Hauptkr¨ ummungen K1 = −K2 , und somit ist K ≤ 0. Nun benutzen wir die charakteristische Gleichung L2 − 2H L + K id = 0 f¨ ur L. Also ist L2 = −K · id, d.h. hLv, Lwi = −Khv, wi, und somit ist die Gaußabbildung konform. (⇒) Sei umgekehrt die Gaußabbildung konform, d.h. hLv, Lwi = λhv, wi, i.e. L2 = λ · id. Also gilt 2 H L = (K + λ) · id wegen der charakteristischen Gleichung von L. Falls in einem Punkt H 6= 0 ist, dann ist L = (K + λ)/H · id, d.h. auf der Menge H 6= 0 sind alle Punkte Nabelpunkte, also muß nach 52.5 M dort Teil einer Sph¨are (oder eine Ebene) sein, und somit H konstant sein. Falls H konstant 0 ist, so liegt eine Minimalfl¨ ache vor. 430

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56.6

56. Minimalfl¨ achen 56.6 Historisches u achen ¨ ber Minimalfl¨

In Lagrange 1760 wurden erstmals Minimalfl¨achen betrachtet, und zwar waren dies solche, die Graph einer Funktion f : R2 → R sind. Die Minimalfl¨achen charakterisierende Differentialgleichung ist dann fx,x (1 + fy2 ) − 2fx fy fx,y + fy,y (1 + fx2 ) = 0. Dann zeigte [69], daß eine Fl¨ ache genau dann minimal ist, wenn ihre mittlere Kr¨ ummung verschwindet. Er fand auch heraus, daß die einzigen Minimalfl¨achen mit Geraden als Niveaulinien die Ebene und die Wendelfl¨ache sind, und daß die einzige minimale Drehfl¨ ache durch die Kettenlinie entsteht, also das Katenoid, gegeben durch ϕ(t, s) = (a cosh s cos t, a cosh s cos t, bs), ist. [89] suchte nach Funktionen z = f (x, y) = g(x) + h(y), deren Graph eine Minimalfl¨ ache ist und fand g(x) = − a1 ln cos ax, h(y) = a1 ln cos ay und somit f (x, y) = cos ay 1 a ln( cos ax ): In der Tat ist fx,x = g 00 ,

fx,y = 0,

fy,y = h00

f¨ ur f (x, y) := g(x) + h(y) und somit ist die obige Differentialgleichung g 00 (x) (1 + h0 (y)2 ) + h00 (y) (1 + g 0 (x)2 ) = 0 Also ist h00 (y) g 00 (x) = a = − , 1 + g 0 (x)2 1 + h0 (y)2 f¨ ur eine Konstante a, also 1 g(x) = − log cos(a x) a 1 h(y) = log cos(a y) a

Ein weiteres Beispiel einer Minimalfl¨ache ist Enneper’s Fl¨ache (u, v) 7→ (u −

u3 v3 + uv 2 , v − + vu2 , u2 − v 2 ). 3 3

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431

56.7

56. Minimalfl¨ achen

[15] gelang es schließlich zu zeigen, daß die Wendelfl¨ache die einzige Minimalfl¨ache ist, die eine Regelfl¨ ache ist. [102] fand die erste allgemeine Konstruktion f¨ ur Minimalfl¨achen. [9] zeigte, daß der Graph einer auf ganz R2 definierten Funktion nur dann eine Minimalfl¨ ache ist, wenn er eine Ebene ist. [106] konnte schließlich zeigen, daß die Gaußabbildung einer Minimalfl¨ache, die nicht eine Ebene ist, h¨ ochstens 6 Punkte auf der S 2 ausl¨aßt. Ennepers Fl¨ache l¨aßt einen aus. Das Katenoid 2, Scherk’s Fl¨ache 4, und es gibt auch Beispiele (Chen’s und Voss’s Fl¨ ache), wo die Gaußabbildung keinen bzw. 3 Punkte ausl¨aßt. Ob es ein Beispiel f¨ ur 5 bzw. 6 ausgelassene Punkte wirklich gibt, ist unbekannt. F¨ ur dies und vieles andere mehr siehe [5]. F¨ ur das folgende siehe auch [7, S.431]: Sei M eine Riemann-Fl¨ache, ν : M → S 2 eine meromorphe Funktion und ω eine meromorphe 1-Form auf M . Wir setzen Z p x(p) := Re (1 − ν 2 (z)) ω(z) p0 p

Z y(p) := Re

i(1 + ν 2 (z)) ω(z)

p Z 0p

z(p) := Re

2ν(z) ω(z) p0

Dann ist p 7→ (x(p), y(p), z(p)) eine Immersion M → R3 , deren Bild eine immersierte Minimalfl¨ ache ist. Jede immersierte Minimalfl¨ache l¨aßt sich so erhalten: Die geometrische Bedeutung von ν ist die der stereographischen Projektion der Gaußabbildung. Die Gauß-Kr¨ ummung ist Z K volM = Fl¨ache(ν(M )) M

[82]. Eine symmetrischere Gestalt obiger Formeln ist: Seien ωj holomorphe 1P3 2 Formen ohne reelle Perioden, mit j=1 ωj = 0, d.h. falls ωj = ϕj (z) dz ist, so R P 2 P3 soll j ϕj = 0 gelten, und j=1 |ωj |2 > 0. Dann ist xj := Re( ωj ) die Parametrisierung einer Minimalfl¨ ache. 56.7 Folgerung. Die Gauß-Kr¨ ummung einer Minimalfl¨ ache ist nirgends positiv. Es gibt keine kompakte Minimalfl¨ ache im R3 . 432

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57.2

56. Minimalfl¨ achen

Beweis. Daß K ≤ 0 gilt, haben wir im Beweis von 56.5 gezeigt. Und, da nach 60.6 jede kompakte Fl¨ ache im R3 Punkte mit positiver Gauß-Kr¨ ummung besitzt, gibt es keine kompakten Minimalfl¨achen.

57. Geod¨ aten Die zugeh¨ orige notwendige Bedingung f¨ ur das geod¨atische Minimalproblem, die Eulersche Gleichung, wird im Rn durch eine Differentialgleichung 2-ter Ordnung beschrieben, d.h. c00 (t) = Γ(c(t), c0 (t)). Wie l¨aßt sich das auf einer Mannigfaltigkeit realisieren? Das Argument (c(t), c0 (t)) von Γ liegt in T M . Vom Wert c00 (t) ist es zun¨achst nicht klar, wo er liegt. Aber da t 7→ (c(t), c0 (t)) eine Kurve in T M ist, ist die Ableitung (c0 (t), c00 (t)) ∈ Tp (T M ), p = (c(t), c0 (t)), d.h. (c(t), c0 (t); c0 (t), c00 (t)) ∈ T 2 M. Erweitert man also Γ zu der Abbildung: Γ0 : (c(t), c0 (t)) 7→ (c(t), c0 (t); c0 (t), Γ(c(t), c0 (t))), so erh¨ alt man ein Vektorfeld auf T M . Seine L¨osungskurven γ : R → T M , t 7→ (c(t), v(t)) erf¨ ullen (c0 (t), v 0 (t)) = (v(t), Γ(c(t), v(t))). 0 Also ist v(t) = c (t) und c00 (t) = v 0 (t) = Γ(c(t), v(t)). (Dies entspricht dem u ¨blichen Trick, aus einer Differentialgleichung h¨oherer Ordnung ein System von Differentialgleichungen 1-ter Ordnung zu machen) D.h.: πM ◦ γ entspricht genau einer L¨osung der urspr¨ unglichen Gleichung. Es l¨aßt sich zeigen, daß sich auf einer Riemannmannigfaltigkeit dieses Γ aus der Riemannmetrik wie folgt gewinnen l¨aßt (Γ heißt dann der geod¨ atische Spray): Betrachte α ∈ Ω1 (T ∗ M ), die sogenannte kanonische 1-Form am Kotangentialb¨ undel: α(v) := v ◦ T π f¨ ur v ∈ T ∗ M . Die “kanonische symplektische Struktur” ist dann: ω := dα ∈ Ω2 (T ∗ M ). Via der Riemannmetrik ist T M ∼ ¯ die = T ∗ M , sei also ω 2 zugeh¨ orige symplektische Form auf Ω (T M ). Die Abbildung E: T M → R mit E(ξ) = g(ξ, ξ)/2 heißt die Energie. Durch iΓ ω ¯ = -dE ist ein Vektorfeld Γ auf T M definiert. Dies ist der gew¨ unschte geod¨atische Spray. Um jeden Punkt existiert eine Umgebung, sodaß sich je zwei Punkte dieser Umgebung durch genau eine Geod¨ate verbinden lassen. Diese ist die k¨ urzeste Verbindung. Wir wollen nun auf allgemeinen Hyperfl¨achen das Problem der k¨ urzesten Verbindungswege l¨ osen. 57.1 Definition (Geod¨ ate) Unter einer Geod¨ ate versteht man eine Kurve in M , welche ein kritischer Punkt f¨ ur die Bogenl¨ ange ist. 57.2 Satz (Charakterisierung der Geod¨ aten). Eine Kurve c ist genau dann eine Geod¨ ate, wenn f¨ ur eine Parametrisierung von c gilt: c00 (t) ∈ Tc(t) M ⊥ f¨ ur alle t, d.h. die Beschleunigung nur dazu dient, daß die Kurve auf der Mannigfaltigkeit bleibt. Diese Parametrisierung ist dann automatisch proportional zur Bogenl¨ ange. c 15. Dezember 2008 [email protected]

433

57.3

57. Geod¨ aten

Beweis. Sei c : [a, b] → M eine Kurve, o.B.d.A. nach der Bogenl¨ange parametrisiert. Diese ist ein kritischer Punkt der Bogenl¨ange, wenn f¨ ur alle 1-Parameterd L(cs ) gleich 0 ist. Familien von Kurven (cs ) mit s ∈ R, die Ableitung ds s=0 Unter 1-Parameter-Familien von Kurven versteht man Abbildungen R2 → M , (t, s) 7→ cs (t), welche cs (a) = c(a), cs (b) = c(b) ∀ s und c0 = c erf¨ ullen. Berechnen wir also diese Ableitung, wobei wir c(t, s) := cs (t) setzen: Z b Z b s ∂ d ∂ ∂ d | ∂t c(t, s)|dt = ds s=0 L(c ) = ds s=0 ∂s s=0 | ∂t c(t, s)|dt a a Z b ∂ ∂ ∂ 1 ∂s s=0 h ∂t c(t, s), ∂t c(t, s)i = dt ∂ c(t, 0)| | ∂t a 2 | {z } =1

b

Z



= a b

Z



= a

 =

∂ ∂s



∂ ∂ c(t, s), ∂t c(t, 0) s=0 ∂t





∂ c(t, s), ∂t c(t, 0)

Z

s=0

b

− a b

=0− a

D

dt



∂ ∂ ∂t ∂s

∂ ∂s

Z



s=0

∂ ∂s

c(t, s),

∂ ∂t c(t, 0)

dt =

(part.Integr.)

b t=a



s=0

∂ ∂t

c(t, s),

hη(t), c00 (t)idt =

Z a


2

E c(t, 0) dt

b


h · hc00 , ν ◦ ci2 − hc00 , c00 i {z } | ≤0 (Cauchy-Schwarz)

Wobei wir

∂ ∂s



c(t, s) =: η(t) so gew¨ahlt haben, daß  

00  00 η(t) = h(t) c (t) − c (t), ν(c(t)) ν(c(t)) ∈ Tc(t) M s=0

gilt, f¨ ur eine glatte Funktion h : [a, b] → R+ mit h(a) = 0 = h(b). Dies ist m¨oglich, da η ein Vektorfeld auf M l¨ angs c ist, welches nur η(a) = 0 = η(b) erf¨ ullen muß. Die Ableitung verschwindet also f¨ ur solche η genau dann, wenn in der CauchySchwarz Ungleichung Gleichheit gilt: hc00 , c00 i = hc00 , ν ◦ ci2 , i.e. c00 (t) k ν(c(t)). Mit anderen Worten, falls c00 (t) ∈ Tc(t) M ⊥ f¨ ur alle t. Umgekehrt sei c eine Parametrisierung, welche c00 (t) ∈ Tc(t) M ⊥ erf¨ ullt. Dann ist insbesonders c00 (t) ⊥ c0 (t) und somit hc0 (t), c0 (t)i konstant, also c proportional zur Bogenl¨ ange parametrisiert. D.h. obige Argumente sind auf c anwendbar. Obige Fragestellung ist nat¨ urlich ein Variationsproblem und die Methode ist jene von Euler-Lagrange, siehe [60, 9.4.16]–[60, 9.4.18]. 57.3 Beispiele 1. In einer Hyperebene sind offensichtlich die Geraden die Geod¨aten. 2. Allgemeiner: Die Erzeugenden einer Regelfl¨ache sind Geod¨aten. 3. Jeder Großkreis auf der Sph¨are S m , d.h. Schnitt einer Ebene durch 0 mit S m , ist eine Geod¨ ate, denn die 2.Ableitung eines Kreises zeigt zum Mittelpunkt, also genau in Richtung des Normalvektors an die Sph¨are. 4. Auf einer Drehfl¨ ache sind die Meridiane Geod¨aten. Auch jene Breitenkreise, welche kritische Punkte f¨ ur den Radius sind, sind Geod¨aten. 434

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57.5

57. Geod¨ aten

5. Auf einem Zylinder k¨ onnen wir auch leicht Geod¨aten in andere Richtungen angeben, n¨ amlich: t 7→ (cos ϕ c(t), a sin ϕ), wobei c eine nach der Bogenl¨ange ¨ parametrisierte Geod¨ ate der Aquatorialsph¨ are ist. 6. Allgemeiner: Man kann die Geod¨aten einer Torse leicht bestimmen, indem man die Torse in der Ebene aufwickelt, denn dort sind sie Geraden. 57.4 Satz von Clairaut. Auf jeder Drehfl¨ ache ist das Produkt aus dem Abstand von der Drehachse mit dem Cosinus des Winkels zwischen einer Geod¨ ate und dem Breitenkreis konstant l¨ angs der Geod¨ ate. cos ^(Geod¨ ate,Breitenkreis) · Radius = konst

0

zHtL

xHtL

Beweis. Sei c : t 7→ (x(t); z(t)) ∈ R2 × R eine nach der Bogenl¨ange parametrisierte Geod¨ ate auf M , d.h. c00 (t) ⊥ Tc(t) M . Es ist (x(t)⊥ , 0) tangential an den Breitenkreis durch c(t) und |c0 (t)| = 1, folglich gilt  0 Radius · cos ^(Geod¨ ate,Breitenkreis) (t) =    x(t)⊥  d 0 |x(t)| · cos ^ c (t), = dt 0 D 0
E ⊥
x (t)      , x(t) 0 z 0 (t) d x(t)⊥ E d D x0 (t) = |x(t)| · = , dt |c0 (t)| |x(t)⊥ | dt z 0 (t) 0        0 ⊥ E D D x00 (t) 0 ⊥ E x (t) x (t) x(t) + , = , 0 z 00 (t) 0 z 0 (t)   D ⊥ E x(t) = c00 (t), + hx0 (t), x0 (t)⊥ i = 0 + 0, 0 da c00 (t) ∈ (Tc(t) M )⊥ und somit c00 (t) ⊥ (x(t)⊥ , 0) gilt. Folglich ist der behauptete Ausdruck konstant. ¨ 57.5 Folgerung (Aquator auf Drehfl¨ achen). ¨ Unter einem Aquator einer Drehfl¨ ache versteht man einen Breitenkreis der (lokal) ¨ maximalen Radius besitzt. Sei c eine Geod¨ ate, welche den Aquator mit Radius ρ0 zum Zeitpunkt 0 im Winkel γ0 6= π/2 schneidet. Dann oszilliert die Geod¨ ate um ¨ den Aquator genau dann, wenn sie einen Breitenkreis mit Radius ρ0 cos γ0 sowohl f¨ ur ein t > 0 als auch ein t < 0 trifft. c 15. Dezember 2008 [email protected]

435

57.5

57. Geod¨ aten

Beweis. Es sei ϕ : (s, θ) 7→ (r(s) cos θ, r(s) sin θ, z(s)) eine Parametrisierung von M wie in 54.1 . Jeder Breitenkreis, dessen Radius ein kritischer Punkt ist (d.h. es gilt r0 = 0), ist nach 57.3.4 offensichtlich eine Geod¨ate. Insbesonders gilt das f¨ ur ¨ einen Aquator. Sei nun c(t) = ϕ(s(t), θ(t)) eine Bogenl¨angen-Parametrisierung einer Geod¨ ate, ρ(t) := r(s(t)) der Abstand des Punktes c(t) von der Rotationsachse und γ(t) := ^(c0 (t), Breitenkreis) der Schnittwinkel mit den Breitenkreis. Nach 57.4 ist ρ(t) cos γ(t) = ρ0 cos γ0 =: k konstant. Die F¨alle cos γ0 = 0 und cos γ0 = 1 ¨ beschreiben Geod¨ aten die den Aquator orthogonal scheiden bzw. ber¨ uhren, und stimmen somit (wie wir 58.4 zeigen werden) mit dem Meridian (der nach 57.3.4 eine Geod¨ ate ist) bzw. mit dem Breitenkreis (der eine nach 57.3.4 ist) u ¨berein. 57.4

==== = ρ(t) cos γ(t) = Sei also im folgenden 1 6= cos γ0 6= 0 und somit hx0 (t), x(t)⊥ i = k = ρ0 cos γ0 6= 0 und o.B.d.A. gr¨oßer als 0. Andererseits ist     Dd cos(θ(t))  − sin(θ(t)) E hx0 (t), x(t)⊥ i = r(s(t)) , r(s(t)) = r(s(t))2 θ0 (t). sin(θ(t)) cos(θ(t)) dt Wenn wir 1 = |c0 |2 = |ϕs |2 (s0 )2 + |ϕθ |2 (θ0 )2 = E (s0 )2 + G (θ0 )2 = (s0 )2 + (r θ0 )2 verwenden, so erhalten wir die Differentialgleichung:  k 2 (s0 (t))2 = 1 − r(s(t)) Unser Ziel ist nun festzustellen, wo t 7→ s(t) nicht monoton ist. Sei also t0 ein kritischer Punkt von s, d.h. s0 (t0 ) = 0. Dann ist auch ρ0 (t0 ) = (r ◦ s)0 (t0 ) = r0 (s(t0 )) s0 (t0 ) = 0 und 0 = (s0 (t0 ))2 = 1−(k/ρ(t0 ))2 , also ρ(t0 ) = k = ρ(t0 ) cos(γ(t0 )), d.h. γ(t0 ) = 0. Es hat dann s ein lokales Minimum bei t0 , denn t 7→ s(t+t0 )−s(t0 ) muß symmetrisch und t 7→ θ(t + t0 ) − θ(t0 ) schiefsymmetrisch sein: O.B.d.A. ist n¨amlich t0 = 0 sowie θ(t0 ) = 0 und mit c : t 7→ ϕ(s(t), θ(t)) ist auch t 7→ ϕ(s(−t), −θ(−t)) die (gespiegelte umgekehrt durchlaufene) Geod¨ate mit gleicher Ableitung bei t0 , da s0 (t0 ) = 0 ist. Nach 58.4 stimmen diese beiden Geod¨aten u ¨berein und, da ϕ lokal injektiv ist, gelten die behaupteten Symmetrien. Die Geod¨ate ber¨ uhrt also diesen Breitenkreis ¨ mit Radius k und bewegt sich dann auf symmetrische Weise zur¨ uck zum Aquator. Beachte, daß dieser Radius kein kritischer Punkt von r sein kann, andernfalls w¨are dieser Breitenkreis nach 57.3.4 eine Geod¨ate und w¨ urde somit mit c u ¨bereinstimmen, d.h. ρ w¨ are konstant und γ = 0, im Widerspruch zu cos γ0 6= 1. So ein Breitenkreis kann also von der Geod¨ate nicht ber¨ uhrt werden sondern nur transversal geschnitten werden oder sie spiralt hin (im Fall limt→∞ ρ(t) = k). Falls die Geod¨ ate zu einem Zeitpunkt t0 einen Breitenkreis ber¨ uhrt, d.h. γ(t0 ) = 0 ist, ρ0 dann folgt 1 = cos(γ(t0 )) = ρ(t cos(γ ), also ρ(t ) = ρ0 cos γ0 = k. Wegen 0 0 0) ρ(t) ≥ ρ(t) cos(γ(t)) = k hat dann ρ bei t0 ein Minimum und somit ist ρ0 (t0 ) = 0. Falls Es ist somit r0 (s(t0 )) 6= 0 und wegen 0 = ρ0 (t0 ) = (r ◦ s)0 (t0 ) = r0 (s(t0 )) s0 (t0 ) somit s0 (t0 ) = 0. Es hat dann s ein lokales Minimum bei t0 , denn t 7→ s(t+t0 )−s(t0 ) muß symmetrisch und t 7→ θ(t + t0 ) − θ(t0 ) schiefsymmetrisch sein: O.B.d.A. ist n¨amlich t0 = 0 sowie θ(t0 ) = 0 und mit c : t 7→ ϕ(s(t), θ(t)) ist auch t 7→ ϕ(s(−t), −θ(−t)) die (gespiegelte umgekehrt durchlaufene) Geod¨ate mit gleicher Ableitung bei t0 , da s0 (t0 ) = 0 ist. Nach 58.4 stimmen diese beiden Geod¨aten u ¨berein und, da ϕ lokal injektiv ist, gelten die behaupteten Symmetrien. Die Geod¨ate ber¨ uhrt also diesen Breitenkreis 436

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58.2

57. Geod¨ aten

¨ mit Radius k und bewegt sich dann auf symmetrische Weise zur¨ uck zum Aquator.

¨ Beispiel. Geod¨ aten des Torus die am Aquator starten.

Beachte, daß es hier abz¨ ahlbar unendlich viele Geod¨aten gibt die zwei fixe Punkte ¨ am Aquator miteinander verbinden.

58. Exponentialabbildung Wir haben gezeigt: c ist Geod¨ ate ⇔ ∀ t : c00 (t) ∈ Tc(t) M ⊥ , also genau dann, wenn folgende Differentialgleichung erf¨ ullt ist: c00 (t) = hc00 (t), νc(t) iνc(t) = −hc0 (t), L c0 (t)iνc(t) . Diese wollen wir nun in lokalen Koordinaten beschreiben. Dazu entwickeln wir die zweiten partiellen Ableitungen der Parametrisierung ϕ in der Basis (ϕ1 , . . . , ϕm ; ν) von Rn : 58.2 Ableitungsgleichungen f¨ ur Fl¨ achen. 2

Die zweiten partiellen Ableitungen ϕi,j : u 7→ ∂u∂i ∂uj ϕ(u) einer lokalen Parametrisierung ϕ besitzen folgende Entwicklung in der Basis (ϕ1 , . . . , ϕm , ν): ϕi,j (u) =

m X

Γki,j (u)ϕk (u) − hi,j (u)νϕ(u) ,

k=1

wobei hi,j := −hϕi,j , νi = hϕi , L ϕj i und Γki,j die entsprechend gew¨ ahlten Koeffizienten sind, diese heißen auch Christoffelsymbole der 2-ten Art. Die Christoffelsymbole Γki,j der 2-ten Art k¨ onnen aus den Christoffelsymbolen der 1-ten Art Γi,j,k := hϕi,j , ϕk i = 12 (∂j gi,k + ∂i gk,j − ∂k gi,j ) wie folgt berechnet werden: Γki,j =

m X

Γi,j,l g l,k

mit (g l,k ) := (gl,k )−1 und gl,k := hϕl , ϕk i.

l=1

Beweis. Um die Koeffizienten der Entwicklung von ϕi,j zu berechnen, bilden wir zuerst das innere Produkt mit ν und erhalten hϕi,j , νi = 0 − hi,j · 1 f¨ ur den Koeffizienten von ν. Indem wir das innere Produkt mit ϕl berechnen erhalten wir: *m + m X X k Γi,j,l := hϕi,j , ϕl i = Γi,j (u)ϕk (u), ϕl (u) + 0 = Γki,j gk,l . k=1

k=1 l,p

Durch Multiplikation mit der inversen Matrix (g ) ergibt sich: m X l=1

Γi,j,l g l,p =

m X m X l=1 k=1

Γki,j gk,l g l,p =

m X

Γki,j δkp = Γpi,j .

k=1

Es gilt: ∂k gi,j = ∂k hϕi , ϕj i = hϕi,k , ϕj i + hϕi , ϕj,k i. c 15. Dezember 2008 [email protected]

437

58.1

58. Exponentialabbildung

Durch zyklisches Vertauschen erhalten wir:

∂i gj,k = hϕj,i , ϕk i + hϕj , ϕk,i i ∂j gk,i = hϕk,j , ϕi i + hϕk , ϕi,j i.

Die alternierende Summe dieser 3 Gleichungen ist

2Γk,j,i = 2hϕk,j , ϕi i = ∂j gk,i − ∂i gj,k + ∂k gi,j .

58.1 Bemerkung. Es sei M ein Fl¨ ache im R3 und E, F, G die Koeffizienten der 1-ten Fundamentalform, d.h.



g1,1 g2,1

wobei D := Gestalt:

√

g1,2 g2,2



 E = F

 F G

und

g 1,1 g 2,1

g 1,2 g 2,2



1 = 2 D



G −F

−F E

 ,

E G − F 2 . Die Christoffelsymbole 1-ter Ordnung haben dann folgende

Γi,j,k : = Γ1,1,1 : = Γ1,2,1 : = Γ2,2,1 : = Γ1,1,2 : = Γ1,2,2 : = Γ2,2,2 : =

438



1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2



 ∂i (gj,k ) + ∂j (gi,k ) − ∂k (gi,j )

E1 E2 (2F2 − G1 ) (2F1 − E2 ) G1 G2

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58.4

58. Exponentialabbildung Und f¨ ur jene zweiter Ordnung gilt: Γki,j : = Γi,j,1 g 1,k + Γi,j,2 g 2,k Γ11,1 : = Γ1,1,1 g 1,1 + Γ1,1,2 g 2,1 E2 −F G E1 − 2 F F1 + F E2 E1 G + (F1 − = ) 2 = 2 2 D 2 D 2 D2 1 1,1 2,1 Γ1,2 : = Γ1,2,1 g + Γ1,2,2 g E2 G G1 −F G E2 − F G1 = + = 2 D2 2 D2 2 D2 1 1,1 2,1 Γ2,2 : = Γ2,2,1 g + Γ2,2,2 g G1 G G2 −F 2 G F2 − G G1 − F G2 = (F2 − + = ) 2 D2 2 D2 2 D2 2 1,2 2,2 Γ1,1 : = Γ1,1,1 g + Γ1,1,2 g E2 E −F E1 + 2 E F1 − E E2 E1 −F + (F1 − = ) 2 = 2 2 D 2 D 2 D2 2 1,2 2,2 Γ1,2 : = Γ1,2,1 g + Γ1,2,2 g E2 −F G1 E −F E2 + E G1 = + = 2 2 2 D 2 D 2 D2 2 1,2 2,2 Γ2,2 : = Γ2,2,1 g + Γ2,2,2 g G1 −F G2 E −2 F F2 + F G1 + E G2 = (F2 − ) + = 2 D2 2 D2 2 D2

58.3 Die Differentialgleichung f¨ ur Geod¨aten c := ϕ ◦ u mit lokaler Darstellung u(t) = (u1 (t), . . . , um (t)) sieht in lokalen Koordinaten nun so aus: c(t) = (ϕ ◦ u)(t)

⇒

⇒

c0 (t) =

X ∂ϕ dui · ∂ui dt i

  i j 2 i X ∂2ϕ du du ∂ϕ d u  c00 (t) = · · + · 2  i ∂uj i ∂u dt dt ∂u dt i j   X X dui duj d2 uk   ∈ Γki,j + ϕk + R · ν. dt dt dt2 i,j X

58.2

k

Also ist c eine Geod¨ ate, d.h. c00 (t) ∈ Tc(t) M ⊥ genau dann, wenn m X d2 uk dui duj k (t) + Γ (u(t)) · (t) · (t) = 0 i,j dt2 dt dt i,j=1

f¨ ur k = 1, . . . , m.

oder kurz: u ¨k +

X

Γki,j u˙ i u˙ j = 0,

i,j k

wobei u˙ die Ableitung t 7→ du dt (t) nach der Zeit t bezeichnet. Dieses System gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen 2.ter Ordnung hat bei vorgegebenen Anfangsk daten uk (0) und du osung. dt (0) lokal eine eindeutig bestimmte L¨ 58.4 Lemma. Die Exponentialabbildung. Zu jedem x ∈ M und ξ ∈ Tx M existiert eine eindeutige Geod¨ ate cξ : I → M c 15. Dezember 2008 [email protected]

439

58.4

58. Exponentialabbildung

mit maximalen Definitionsintervall I ⊆ R, mit konstanter skalarer Geschwindigkeit und Anfangsbedingung cξ (0) = x, c0ξ (0) = ξ. Ordnet man nun ξ ∈ T M den Wert cξ (1) der Geod¨ ate cξ mit Anfangsbedingung ξ zu, so nennt man das Ergebnis exp(ξ). Die Exponentialfunktion exp ist auf einer offenen Umgebung des Nullschnitts M in T M definiert. Sie ist dort glatt, hat Werte in M und expx := exp |Tx M : Tx M → M erf¨ ullt: expx (0x ) = x und T0x (expx ) = idTx M . Die Geod¨ ate cξ mit Anfangswert ξ ist dann durch cξ (t) = exp(t ξ) gegeben.

Der Grund f¨ ur die Bezeichnungsweise exp liegt darin, daß f¨ ur M := S 1 ⊂ C mit ⊥ 1 ∼ T M = {(x, t x ) : |x| = 1, t ∈ R} = S × R die Exponentialabbildung gegeben ist durch exp(x, t x⊥ ) = x ei t . F¨ ur allgemeine Liegruppen anstelle von S 1 siehe auch 67.6 . Beweis. Die lokale Formel aus 58.3 f¨ ur die Geod¨atengleichung zeigt, daß die Existenz und Eindeutigkeit maximal definierter Geod¨aten cξ , sowie deren glatte Abh¨ angigkeit auch vom Anfangswert ξ, d.h˙es gibt eine offenen Umgebung V von 0 in Tx M und ein δ > 0, s.d. cξ (t) f¨ ur ξ ∈ V und |t| < δ existiert und (t, ξ) 7→ cξ (t) glatt ist. Eine andere M¨ oglichkeit dies zu sehen ohne dabei lokale Koordinaten zu verwenden, geht wie folgt: Falls c eine Geod¨ ate ist, so gilt c00 (t) = λ(t) · νc(t) , wobei λ(t) = hc00 (t), ν(c(t))i = hc0 (t), (ν ◦ c)0 (t)i = −hc0 , L ◦ c0 i(t) = −K(c0 (t)), d.h.: c ist Geod¨ ate ⇔ c00 = −hc0 , (ν ◦ c)0 i(ν ◦ c). 1 W¨ ahlen wir eine lokale Gleichung f f¨ ur M , dann ist ν = | grad f | grad f und macht n nicht nur auf M sondern auch lokal im umgebenden R Sinn. Somit ist die obige Geod¨ atengleichung eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung 2.ter Ordnung am Rn , besitzt also bei vorgegebener Anfangsbedingung f¨ ur c(0) und c0 (0) eine eindeutige n L¨ osung c : I → R , welche glatt von den Anfangsdaten abh¨angt. Insbesonders existiert eine offene Umgebung V von 0x in T M und ein δ > 0, s.d. cξ (t) f¨ ur ξ ∈ V und |t| ≤ δ existiert und glatt in (ξ, t) ist. Es ist noch zu zeigen, daß die Kurve c in M bleibt. Da f¨ ur eine L¨osung hc0 , ν ◦ ci0 = hc00 , ν ◦ ci + hc0 , (ν ◦ c)0 i = 0 gilt, ist hc0 , ν ◦ ci konstant und zwar gleich hc0 (0), νc(0) i = hξ, νx i = 0. Somit gilt:

(f ◦ c)0 (t) = hgradc(t) f, c0 (t)i = | gradc(t) f | · hνc(t) , c0 (t)i = 0, Es ist also f ◦ c konstant gleich f (c(0)) = f (x) = 0, d.h. c(t) ∈ f −1 (0) = M . Falls cξ die Geod¨ ate mit Anfangswert c0 (0) = ξ bezeichnet, so ist f¨ ur t ∈ R die d 0 Kurve s 7→ cξ (t s) die Geod¨ ate mit Anfangswert ds cξ (t s) = t cξ (0) = t ξ also s=0 gilt folgende Homogenit¨ atsrelation cξ (t s) = ct ξ (s). 440

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58.5

58. Exponentialabbildung

Sein nun U := δ V , dann existiert exp(ξ) := cξ (1) = cδη (1) = cη (δ) f¨ ur x = δη ∈ U und ist glatt bzgl. ξ. Es ist somit t 7→ exp(t ξ) = ct ξ (1) = cξ (t) die Geod¨ate mit d Anfangswert ξ, weiters exp(0x ) = c0x (1) = x und T0x expx ·ξ = dt expx (t ξ) = 0 d c (t) = ξ. ξ dt 0

58.5 Geod¨ atische Polarkoordinaten Wir k¨ onnen nun die Existenz lokaler Koordinaten ϕ mit E = 1 und F = 0 auf jeder Riemann-Fl¨ ache zeigen. Wegen T0x expx = idTx M , ist expx ein lokaler Diffeomorphismus von Tx M nach M und wir somit eine ausgezeichnete bei x zentrierte Karte expx . Um diese in Koordinaten zu beschreiben w¨ahlen wir einen Einheitsvektor v ∈ Tx M und einen (der beiden) Normalvektoren v ⊥ ∈ Tx M und betrachten Polarkoordinaten (r, ϑ) = r · (cos(ϑ) · v + sin(ϑ) · v ⊥ ) {z } | =:v(ϑ)

und erhalten eine Parametrisierung (f¨ ur r 6= 0) ϕ : (r, θ) 7→ expx (r v(ϑ))

mit ϕ(0, θ) = x.

Somit ist t 7→ ϕ(t, ϑ) = exp(t v(ϑ)) die (wegen |v(θ)| = 1) nach der Bogenl¨ange parametrisierte Geod¨ ate mit Anfangswert v(ϑ) ∈ Tx M , eine sogenannte radiale Geod¨ ate. Also gilt: ) E = |ϕr |2 = |vθ |2 = 1 ⇒ hϕr , ϕr,θ i = 0 ⇒ ϕr,r ⊥ T M ⇒ hϕr,r , ϕθ i = 0 ∂ hϕr , ϕθ i = hϕr,r , ϕθ i + hϕr , ϕθ,r i = 0. ∂r Außerdem ist ϕ(0, θ) = x und somit ϕθ (0, θ) = 0, also F = hϕr (r, θ), ϕθ (r, θ)i = hϕr (0, θ), ϕθ (0, θ)i = 0. Schließlich ist G = hϕθ , ϕθ i ≥ 0. ⇒

Fr =

Die geschlossenen Kurven θ 7→ ϕ(r, θ) nennt man geod¨ atische Kreise mit Radius r. Diese sind nat¨ urlich im allgemeinen keine Geod¨aten! Beispiele von geod¨ atischen Polarkoordinaten.

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441

58.6

58. Exponentialabbildung

• •

Sph¨ are Torus

•

Paraboloid

•

Hyperbolisches Paraboloid

•

Einschaliges Hyperboloid

•

Zweischaliges Hyperboloid

•

Wendel-Fl¨ ache

•

Katenoid

•

Enneper

•

Pseudosph¨ are

•

M¨ obius-Band

•

Pl¨ ucker-Kegel

•

Sherk-Fl¨ ache

58.6 Satz. Geod¨ atische Parallelkoordinaten. Die Koeffizienten einer Riemann-Metrik haben genau dann lokal die Gestalt E = 1, F = 0 und G > 0, wenn t 7→ ϕ(t, s) nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Geod¨ aten sind, welche die Kurven s 7→ ϕ(t, s) orthogonal schneiden. Insbesondere ist also die L¨ ange der Segmente dieser Geod¨ aten von t = t1 bis t = t2 gerade t2 − t1 , und somit unabh¨ angig von s.

Zu jeder Kurve c : R → M existieren l¨ angs c eindeutig bestimmte lokale Koordinaten ϕ mit obigen Eigenschaften und ϕ(0, s) = c(s).

F¨ ur einen geod¨ atischen Kreis c sind das gerade die geod¨atischen Polarkoordinaten aus 58.5 . 442

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58.7

58. Exponentialabbildung

t=t2

t=t1 c

Beweis. Zuerst die Existenz: Daf¨ ur w¨ahlen wir ein Einheitsvektorfeld ξ l¨angs c, welches normal steht auf c0 und definieren eine Abbildung ϕ : R2 → R3 durch ϕ(t, s) := expc(s) (tξ(s)). Dann ist ϕ(0, s) = c(s) und t 7→ ϕ(t, s) ist die bogenl¨ angenparametrisierte Geod¨ ate mit Anfangsvektor ξ(s). Also gilt: ϕs (0, s) = c0 (s) sowie ϕt (0, s) = ξ(s) und somit ist ϕ ein lokaler Diffeomorphismus. Da t 7→ ϕ(t, s) Geod¨ aten sind, ist wie im Beweis von 58.5 E = g1,1 = hϕt , ϕt i = 1 und F1 = 0. Nach 58.1 ist somit Γ11,1 =

G E1 − 2 F F1 + F E2 =0 2 D2

und

Γ21,1 =

−F E1 + 2 E F1 − E E2 . 2 D2

Also wegen g1,1 = 1 auch 0 = Γ11,1 =

2 X

1 2

Γ1,1,i g i,1 =

1 2

X ( dud 1 gi,1 +

−

i,1 d dui g1,1 )g

i=1

= ⇒

dg1,2 2,1 du1 g

=

0=

i dg1,2 1 ( du1 )(−g1,2 det(gi,j ) )

d du1 g1,i

2 1 d = − 12 det(g 1 (g1,2 ) i,j ) du

2 d du1 (g1,2 )

Wegen g1,2 (0, u1 ) = 0 also F = g1,2 = 0. Ist umgekehrt E = 1 und F = 0, so ist nach 58.2 (siehe 59.2 ) Γ11,1 = Γ21,1 = 0. Damit sind die Kurven mit konstantem u2 bogenl¨angenparametrisierte Geod¨aten, welche die Kurven mit konstantem u1 orthogonal schneiden. 58.7 Lemma. Sei ϕ : R2 ⊇ U → M eine Parametrisierung nach geod¨ atischen Koordinaten, dann ist jede Kurve der Form ϕ ◦ u mit einer Kurve u in U welche (t1 , s1 ) mit (t2 , s2 ) verbindet mindestens so lang wie jede Geod¨ ate t 7→ ϕ(t, s) f¨ ur t ∈ [t1 , t2 ]. Dieses Resultat liefert also, daß gewisse Geod¨aten unter allen hinreichend nahen Kurven minimal sind. Global muß das nicht stimmen, wie ein Bogen eines Großkreises auf der Sph¨ are von L¨ ange gr¨oßer als π zeigt. c 15. Dezember 2008 [email protected]

443

59.1

58. Exponentialabbildung

t=t2

t=t1

Beweis. Sei s fix gew¨ ahlt, c0 (t) := ϕ(t, s) und c1 (r) := ϕ(u(r)), dann gilt Z r2 q 1 du2 2 2 L(c1 ) = ( du dr ) + G( dr ) dr ≥ r Z 1r2 Z r2 1 1 1 du1 ≥ | du |dr ≥ dr dr dr = u (r2 ) − u (r1 ) = t2 − t1 = L(c0 ) r1

r1

und Gleichheit gilt genau dann, wenn

du2 dr

= 0, also u2 konstant ist.

59. Integralsatz von Gauß-Bonnet Es gelten folgende geometrische Formeln f¨ ur die Gauß-Kr¨ ummung: 59.1 Satz (Gauß-Kr¨ ummung als St¨ orung der Maße von Kreisen). Seien geod¨ atische Polarkoordinaten ϕ um x ∈ M gew¨ ahlt. Mit L(r) bezeichnen wir die L¨ ange bzw. mit A(r) die Fl¨ ache des Inneren der geod¨ atischen Kreise θ 7→ ϕ(r, θ) so gilt: 1. Kx = 2. Kx =

2rπ−L(r) 3 π limr&0 r3 r 2 π−A(r) 12 lim r&0 π r4

Bertrand Puiseaux 1848 Diquet 1848

Die Gauß-Kr¨ ummung mißt also infinitesimal um wieviel der Umfang, beziehungsweise die Fl¨ ache eines geod¨ atischen Kreises im Vergleich zu einem Euklidischen Kreis zu klein ist. Beweis. Geod¨ atische Polarkoordinaten ϕ sind nach 58.5 gegeben durch ϕ(r, ϑ) = expx (r v(ϑ)) mit v(ϑ) = cos(ϑ) v + sin(ϑ) v ⊥ . Wir wissen bereits folgendes u ¨ber die √ Funktion G := |ϕϑ |:√Die Funktion G = |ϕθ |2 ist glatt und verschwindet nur f¨ ur r = 0. Also ist auch G glatt f¨ ur r 6= 0 aber nicht notwendigerweise f¨ ur t = 0. Wir m¨ ussen √ aber das Verhalten bei 0 studieren. Dazu verwenden wir die Jacobi
√ ∂ 2 Gleichung K G + ∂r G = 0 aus 53.9 . Die Taylorformel der Ordnung 1 mit Integralrestglied (siehe [59, 6.3.11]) Z 1 f (x) = f (0) + f 0 (0)(x) + (1 − t)f 00 (tx)(x, x)dt 0

444

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59.1

59. Integralsatz von Gauß-Bonnet liefert ϕ(r, ϑ) = expx (r v(ϑ)) = expx (0) + exp0x (0)(r v(ϑ)) + | {z } | {z } =x

Z

1

(1 − t) exp00x (t r v(ϑ))(r v(ϑ), r v(ϑ)) dt

0

=id

= x + r v(ϑ) + r2

Z

1

(1 − t) exp00x (t r v(ϑ))(v(ϑ), v(ϑ)) dt, {z } |0 =:g(r,ϑ)

n

wobei g eine glatte R -wertige Funktion ist. Durch partielles Differenzieren nach ϑ ergibt sich:   ∂ ϕϑ (r, ϑ) = r v 0 (ϑ) + r ∂ϑ g(r, ϑ) und somit ist f¨ ur r ≥ 0 q p ∂ ∂ ∂ G(r, ϑ) = |ϕϑ (r, ϑ)| = r |v 0 (ϑ)|2 + 2r hv 0 (ϑ)| ∂ϑ g(r, ϑ)i + r2 h ∂ϑ g(r, ϑ)| ∂ϑ g(r, ϑ)i ur die rechtsseitige Ableitung bei glatt (wegen |v 0 (ϑ)| = 1) und insbesonders gilt f¨ 0: p ∂ ∂r |r=0 G(r, ϑ) = 0 + 1. Aus der Jacobi-Gleichung 53.9 folgt p p
∂ 2 | G(r, ϑ) = −K(x) G(0, ϑ) = 0 und durch Differenzieren r=0 ∂r √ √ 3 √ ∂K ∂ G ∂ G K− G , also (r, ϑ) = − 3 ∂r ∂r ∂r √ ∂3 G (0, ϑ) = −1 K(x) + 0 ∂r3 Aus der Taylorformel der Ordnung 2 mit Integralrestglied (siehe [59, 6.3.11]) ist √ Z 1 √ (1 − t)2 ∂ 3 G G(r, ϑ) = 0 + r + 0 + (t r, ϑ) r3 dt 3 2! ∂r 0 also √ √ Z 1 G(r, ϑ) − r (1 − t)2 ∂ 3 G lim = lim (t r, ϑ) dt r→0+ r→0+ 0 r3 2! ∂r3 √ Z 1 ∂3 G (1 − t)2 1 = (0, ϑ) dt = −K(x) . ∂r3 2! 3! 0 R 2π Somit ist wegen L(r) = 0 |ϕϑ (r, ϑ)| dϑ p Z Z 3 2π K(x) 3 2π r − G(r, ϑ) K(x) = dϑ = lim dϑ r→0+ π 0 π 0 6 r3 3 2rπ − L(r) = lim r→0+ π r3 F¨ ur die Fl¨ ache erhalten wir Z r Z 2π p Z 0 A(r) = G(ρ, ϑ) dϑ dρ ⇒ A (r) = 0

0

2π

p

G(r, ϑ) dϑ = L(r) ⇒

0

r2 π − A(r) 2rπ − L(r) 1 K(x)π π = lim = = K(x) . r→0+ r→0+ r4 4r3 4 3 12 lim

√ Beweis. Wir wissen bereits folgendes u ¨ber die Funktion √G: Die Funktion G = ur r 6= 0 aber |ϕθ |2 ist glatt und verschwindet nur f¨ ur r = 0. Also ist auch G glatt f¨ c 15. Dezember 2008 [email protected]

445

59.1

59. Integralsatz von Gauß-Bonnet

nicht notwendigerweise f¨ ur r = 0. Wir m¨ ussen aber das Verhalten bei 0 studieren. √
√ ∂ 2 G = 0 aus 53.9 . Dazu verwenden wir die Jacobi-Gleichung K G + ∂r √ ∂ Wir behaupten zun¨ achst: limr&0 ∂r G(r, θ) = 1. Sei dazu vθ := cos θ · v + sin θ · v ⊥ . Dann erhalten wir durch partielle Integration der Funktion f : r 7→ expx (rvθ ) = ϕ(r, θ) (bzw. Taylorformel mit Integralrestglied): Z 1 (1 − t)0 f 0 (tx)(x)dt = (part.Int.) f (x) − f (0) = 0

= −[(1 − t)1 f 0 (tx)(x)]1t=0 +

1

Z

(1 − t)f 00 (tx)(x, x)dt

0

= f 0 (0)(x) +

Z

1

(1 − t)f 00 (tx)(x, x)dt

0

ϕ(r, θ) = expx (rvθ )

= expx (0) + exp0x (0)(rvθ ) + | {z } | {z } =x

Z

1

(1 − t) exp00x (trvθ )(rvθ )(rvθ )dt.

0

=rvθ

Durch partielles Differenzieren nach θ ergibt sich: Z 1 ∂ ∂ vθ + r 2 · (1 − t) ∂θ exp00x (trvθ )(vθ , vθ )dt . ϕθ (r, θ) = r ∂θ 0 | {z } lokal beschr¨ ankt

Also gilt f¨ ur die rechtsseitige Ableitung bei 0: √ √ √ G(r, θ) − G(0, θ) ∂ lim ∂r G(0, θ) = r&0 r ∂ |ϕθ (r, θ)| − 0 = lim = | vθ | = 1. r&0 r ∂θ
√ ∂ 2 Aus der Jacobi-Gleichung folgt, daß ∂r G(0, θ) existiert und 0 ist. Machen wir √ nun den Potenzreihen-Ansatz f¨ ur G: √ G = a0 + a1 r + a22 r2 + a63 r3 + o(r3 ), so erhalten wir aus der Jacobi-Differentialgleichung a2 + K a0 = 0, a3 + K a1 = 0, und wegen a0 = 0 und a1 = 1 somit: √ 3 3 G = r − K(x) 6 r + o(r ). Exakter ist die folgende Argumentation: Durch partielles Differenzieren der Jacobi-Gleichung nach r erhalten wir: √ √ √ ∂K ∂3 G ∂ G K− G . (r, θ) = − 3 ∂r ∂r ∂r Bilden wir den Limes f¨ ur r & 0 so erhalten wir: gleichm¨ aßig in θ. Als n¨ achstes behaupten wir √ G(r, θ) − r + r3 446

K(x) 3 6 r

→ 0 f¨ ur r & 0

√ ∂3 G ∂r 3 (0, θ)

= −1 K(x) + 0

gleichm¨aßig in θ

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59.2

59. Integralsatz von Gauß-Bonnet Wegen des allgemeinen Mittelwertsatzes fr (λ(r, θ), θ) f (r, θ) − f (0, θ) = g(r, θ) − g(0, θ) gr (λ(r, θ), θ) gilt die Regel von l’Hospital gleichm¨aßig in θ, die wir nun 3mal anwenden: √ √ K(x) 2 ∂ 3 G(r, θ) − r + K(x) 6 r ∂r G − 1 + 2 r = lim lim r&0 r&0 r3 3r2 2 √ ∂ G + K(x)r 2 = lim ∂r r&0 6r √ ∂3 G + K(x) 3 = lim ∂r r&0 6 =0 gleichm¨aßig in θ Zur Berechnung des Umfangs: Z 2π Z L(r) = |ϕθ | = 0

2π

√ Gdθ

0

Z 2π K(x) 3 = (r − r )dθ + o(r3 )dθ 6 0 0 K(x) 3 = 2π(r − r ) + o(r3 ). 6 Also ist K(x) =

3 2rπ−L(r) π r3

Z

2π

+

o(r 3 ) r3 .

Schließlich gilt f¨ ur die Fl¨ ache: Z Z 2π Z r √ G(ρ, θ)dρ dθ A(r) = vol = rD 0 0  Z 2π Z r  Z 2π Z r K(x) 3 = ρ− ρ dρ dθ + o(ρ3 )dρ dθ 6 0 0 0 0   1 2 K(x) 4 r − r + o(r4 ) = 2π 2 24 Also ist K(x) =

2 12 r π−A(r) π r4

+ o(r4 ).

59.2 Christoffel-Symbole in geod¨ atischen Koordinaten Wir w¨ ahlen eine geod¨ atische Parametrisierung ϕ auf M , d.h. E = 1 und F = 0, mit zugeh¨ origen lokalen Koordinaten (r, θ) = (u1 , u2 ). Dann gilt f¨ ur die Koeffizienten der Riemann-Metrik (siehe auch 58.1 ): g1,1 = E = 1

g 1,1 = 1

g1,2 = g2,1 = F = 0

g 1,2 = g 2,1 = 0 g 2,2 =

g2,2 = G > 0

1 G.

F¨ ur die Christoffelsymbole erster Art 58.2 ergibt sich somit: Γ2,2,2 = Γ1,2,2 = Γ2,1,2 = Γ2,2,1 =

1 2 1 2

∂G ∂θ ∂G ∂r − 12 ∂G ∂r

Γi,j,k = 0

f¨ ur alle anderen i, j, k.

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447

59.3

59. Integralsatz von Gauß-Bonnet

F¨ ur jene zweiter Art: Γ12,2 = − 12 ∂G ∂r Γ21,2 = Γ22,1 = Γ22,2 =

1 2G 1 2G

∂G ∂r ∂G ∂θ

Γki,j = 0

f¨ ur alle anderen i, j, k.

Eine Geod¨ ate muß also folgende Gleichungen erf¨ ullen: d2 u1 dt2 2

2

d u dt2

1

+ 2Γ21,2 du dt

2

du dt

2

du2 dt

2

2

+ Γ12,2 du dt + Γ22,2 du dt

du dt

=0 = 0.

Durch Einsetzen erhalten wir: d2 u1 dt2 d2 u2 dt2

+

1 ∂G du1 du2 G ∂r dt dt

1 ∂G 2 ∂r



1 ∂G 2G ∂θ



−

+

du2 dt

2

2 2

du dt

=0 = 0.

59.3 Geod¨ atische Kr¨ ummung, ein Spezialfall ur eine nach Seien (u1 , u2 ) = (r, θ) lokale geod¨atische Koordinaten wie in 59.2 . F¨ der Bogenl¨ ange parametrisierte Geod¨ate t 7→ u(t) = (u1 (t), u2 (t)) = (r(t), θ(t)) sei der Winkel zwischen ihr und den radialen Geod¨aten u2 =konstant mit Θ(t) bezeichnet, i.e.

dθ(t) ∂ ∂  dr(t) ∂ ∂ d 1 cos Θ(t) = hu0 (t)| ∂r i = dr(t) dt ∂r + dt ∂θ | ∂r = dt = dt u . Somit erhalten wir:  1 ∂G 2 ∂r

du2 dt

2

59.2

==== = =

d2 u1 dt2

=

d dt

cos Θ(t) = − sin Θ(t) dΘ(t) dt .

Andererseits gilt: ∂ sin Θ(t) = vol( ∂r , u0 (t)) √ ∂ dr(t) ∂ = G (dr ∧ dθ)( ∂r , dt ∂r +

Schlußendlich erhalten wir 1 ∂G 2 ∂r

d.h.


dθ 2 dt dΘ dt

dθ(t) ∂ dt ∂θ )

√ =

G dθ dt =

√ dθ dΘ = − sin Θ(t) dΘ dt = − G dt dt , √

= − ∂∂rG dθ dt

c1

448

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√

2

G du dt .

59.4

59. Integralsatz von Gauß-Bonnet 59.4 Theorema elegantissimum von Gauß.

Sei ∆ ein geod¨ atisches Dreieck in M mit Innenwinkeln α, β und γ, d.h. ein Dreieck dessen Seiten Geod¨ aten sind, dann gilt: Z K volM = α + β + γ − π. ∆

Insbesondere liefert das f¨ ur die Ebene den Satz, daß die Winkelsumme im Dreieck 180 Grad (d.h. π) ist.

c1

a

b

Beweis. Wir setzen vorerst voraus, daß das geod¨atische Dreieck ganz im Kartenbereich f¨ ur geod¨ atische Polarkoordinaten ϕ um die Ecke C enthalten ist. Die beiden Seiten a und b entsprechen in Polarkoordinaten zwei Geraden durch 0. Und wir k¨ onnen die 0-Richtung so w¨ahlen, daß sie die Tangente an die Seite b ist. Die Seite c l¨ aßt sich in Polarkoordinaten dann durch eine Gleichung der Form ∂ r = r(θ) mit θ ∈ [0, γ] beschreiben. Sei Θ(θ) der Winkel zwischen ∂r und der Seite c. Klarerweise ist Θ(0) = π − α und Θ(γ) = β. Also gilt: Z Z K volM = ϕ∗ (K volM ) = wegen 53.9 ∆ ϕ−1 (∆) Z √ √ 2 = − √1G ∂∂r2G G dr ∧ dθ θ −1 (∆) γZ r

Z =

Z0 γ =

0

= 0

√

wegen 53.9 , siehe auch 60.1

√

1−

∂

1+

dΘ dθ (θ) dθ

0

Z

2

− ∂∂r2G (r, θ) dr dθ = G ∂r (r(θ), θ) dθ

=

wegen 59.2

γ

= γ + Θ(γ) − Θ(0) = γ + β − (π − α).

F¨ ur ein allgemeines geod¨ atisches Dreieck folgt das Resultat, durch Unterteilen in kleinere geod¨ atische Dreiecke: Denn addiert man die Resultate f¨ ur die Teildreiecke, R so erh¨ alt man auf der linken Seite ∆ K volM . Die Summe aller Winkel ist die Summe der Winkel an den urspr¨ unglichen Ecken plus π mal die Anzahl der u ¨brigen Randecken plus 2π mal die Anzahl der inneren Ecken. Davon muß man noch π mal die Anzahl der Teilungs-Dreiecke abziehen. Da bei jeder Teilung einer inneren Seite die beiden begrenzenden Dreiecke in 4 Dreiecke zerlegt werden und jede Teilung c 15. Dezember 2008 [email protected]

449

59.5

59. Integralsatz von Gauß-Bonnet

einer Randseite das begrenzende Dreieck in zwei zerlegt, gilt: Die Summe der Ecken am Rand (ohne die urspr¨ unglichen 3 Ecken) plus 2 mal Summe der Ecken im Inneren ist die Anzahl der Dreiecke minus 1. Somit ergibt diese Kombination von π’s gerade −π und die Formel gilt auch im allgemeinen Fall.

+2

+1

Seien a, b und c die L¨ angen der Seiten eines geod¨atischen Dreiecks ∆ und seien α ¯, β¯ und γ¯ die Winkel des Euklidischen Dreiecks mit diesen Seitenl¨angen, so gilt:
vol(∆) α−α ¯= K + o a2 + b2 + c2 3 und analog f¨ ur die anderen Winkel, siehe [7, S.387]. 59.5 Folgerung. Globale Version von Gauß-Bonnet. Sei M eine kompakte orientierte Riemann-Fl¨ ache so gilt: Z K volM = 2 π χ(M ) = 4 π (1 − g). M

Beweis. Wir zerlegen die Fl¨ ache in lauter kleine geod¨atische Dreiecke. Dann gilt f¨ ur die Euler-Charakteristik nach 44.5.9 : χ(M ) = ∗Ecken − ∗Kanten + ∗Fl¨achen. Da jede Fl¨ ache durch genau 3 Kanten berandet ist und jede Kante aber zu genau zwei Fl¨ achen geh¨ ort, gilt 3 · ∗Fl¨achen = 2 · ∗Kanten und somit ist χ(M ) = ∗Ecken −

1 · ∗Fl¨achen. 2

Auf der anderen Seite gilt: Z XZ K volM = K volM M

∆

∆

= Summe aller Innen-Winkel − π · Anzahl der ∆ = 2 π · Anzahl der Ecken − π · Anzahl der Fl¨achen = 2 π χ(M ). Falls K konstant und negativ ist, so gilt vol(M ) = 4π K12 (1−g), da χ(M ) = 2 (1−g) f¨ ur das Geschlecht g gilt. 450

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59.7

59. Integralsatz von Gauß-Bonnet 59.6 Folgerung. Sei M eine kompakte Riemann-Fl¨ ache, dann gilt:

1. Es gibt Punkte p ∈ M mit sgn(K(p)) = sgn(χ(M )). 2. Ist K ≥ 0 aber nicht konstant 0, so ist χ(M ) = 2, d.h. M ist diffeomorph zur Sph¨ are S 2 , oder χ(M ) = 1, d.h. diffeomorph zur projektiven Ebene P2 . 3. Ist K = 0, so ist χ(M ) = 0, d.h. M ist diffeomorph zum Torus oder zur Kleinschen Flasche. 4. Ist K ≤ 0 aber nicht konstant 0, so ist χ(M ) < 0, d.h. M ist diffeomorph zu einer Sph¨ are mit mindestens 2 Henkeln oder mindestens 3 M¨ obiusb¨ andern. Beweis. Ist M nicht orientiert, so geht man zur Orientierungs¨ uberlagerung u ¨ber. Die Eulercharakteristik k¨ onnen wir aus 59.5 ablesen. Die zweiten Teile der Aussagen folgen dann aus den Klassifizierungssatz f¨ ur kompakte orientierbare Fl¨achen, als Sph¨ aren mit g ≥ 0 Henkeln (wobei χ(M ) = 2 (1 − g) f¨ ur das Geschlecht g gilt), und aus jenen f¨ ur nicht orientierbare Fl¨achen, als Sph¨aren an denen g > 0 M¨obiusb¨ ander geklebt sind (wobei χ(M ) = 2 − g f¨ ur das Geschlecht g gilt). Wir wollen die Integral-Formel von Gauß-Bonnet nun auf Fl¨achen mit nicht geod¨atischem Rand verallgemeinern. 59.7 Bemerkung Wir w¨ ahlen geod¨ atische Koordinaten ϕ auf M , d.h. E = 1 und F = 0. Somit ist e1 := ϕ1 , e2 := √1G ϕ2 eine Orthonormalbasis. Sei t 7→ u(t) die lokale Darstellung einer nach Bogenl¨ ange parametrisierten Kurve c. Sei τ der Einheits-Tangentialvektor und ξ ein Tangentialvektor von M , welcher normal auf τ steht. Sei schließlich Kg (t) die geod¨ atische Kr¨ ummung Kg (t) := hc00 (t), ξ(t)i, vgl. 55.3 . Beachte, daß Kg = 0 genau dann gilt, wenn c00 (t) ⊥ Tc(t) M ist, d.h. c eine Geod¨ate ist. Lemma. Es existiert eine bis auf 2πZ eindeutige Funktion Θ : R → R mit τ (t) = cos Θ(t) e1 (u(t))+ sin Θ(t) e2 (u(t)) und es gilt: Kg (t) = Θ0 (t) +

√ ∂ G du2 ∂u1 dt .

Dies ist eine Verallgemeinerung der entsprechenden Formel K(s) = Θ0 (s) aus 3.6 f¨ ur Kurven in der Ebene und auch von 59.3 f¨ ur Geod¨aten c. Beweis. Wie in 3.9 ergibt sich die Existenz und Eindeutigkeit der Funktion Θ. Dann gilt ξ(t) = − sin(Θ(t))e1 (u(t)) + cos(Θ(t))e2 (u(t)). d d Aus g(ei , ej ) = δi,j folgt: g( dt ei , ej ) + g(ei , dt ej ) = 0. Setzen wir nun die Darstel0 00 lungen f¨ ur τ = c und f¨ ur ξ in der Formel f¨ ur die geod¨atische Kr¨ ummung ein, so erhalten wir: D E d d e1 (u(t)) + sin Θ(t) dt e2 (u(t)), ξ(t) Kg (t) = Θ0 (t)ξ(t) + cos Θ(t) dt d d = Θ0 hξ, xsi + cos2 Θh dt e1 , e2 i − sin2 Θh dt e2 , ea i+ d d + sin Θ cos Θ(h dt e2 , e2 i − h dt e1 , e1 i) D E d = Θ0 (t) + dt e1 (u(t)), e2 (u(t)) .

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451

59.8

59. Integralsatz von Gauß-Bonnet

und weiters: E

d  D du1 du2 √1 dt e1 , e2 = ϕ1,1 dt + ϕ1,2 dt , G ϕ2   1 du2 + Γ = = √1G Γ1,1,2 du 1,2,2 dt dt und damit Kg (t) = Θ0 (t) +

1 ∂G du2 √ 2 G ∂r dt

=

√ ∂ G du2 ∂r dt

√ ∂ G du2 ∂u1 dt .

59.8 Satz. Gauß-Bonnet f¨ ur Polygone. Sei ϕ : U → M eine Karte von M und sei P ein Polygon in U und αi die Außenwinkel von ϕ(P ). Dann gilt: Z Z X K volM + Kg + αi = 2π. ϕ(P )

ϕ(∂P )

i

Beweis. Wir nehmen zuerst an, daß sich ganz ϕ(P ) durch geod¨atische Polarkoordinaten parametrisieren l¨ aßt. Es gilt dann   √ √ √ 2 ∂ ∂ K = − √1G ∂∂r2G = √1G ∂r ( G · (− √1G ∂∂rG ) + ∂θ 0 = div ξ, √

∂ ∂ + 0 ∂θ . Also gilt nach dem Greenschen Satz: wobei ξ := (− √1G ∂∂rG ) ∂r Z Z K volM = div ξ volM ϕ(P ) ϕ(P ) Z = hξ, νϕ(∂P ) i volϕ(∂P ) ϕ(∂P ) Z √ r √ = G ξ dθ − G ξ θ dr ϕ(∂P ) Z √ ∂ G =− ∂r dθ. ϕ(∂P )

Verwenden wir nun die Formel aus dem Lemma in 59.7 f¨ ur die geod¨atische Kr¨ ummung der Randkurve, so erhalten wir f¨ ur jede Seite I des Polygons: Z Z Z √ 0 ∂ G − dθ = Θ (t)dt − Kg (t)dt. ∂r ϕ(I)

I

I

Wegen des Umlaufsatzes in der Ebene gilt im Falle der Euklidischen Metrik G = 1:  X Z Θ0 (t)dt + αi = 2π. i

Ii

Eine allgemeine Riemann-Metrik k¨onnen wir durch Gs := s + (1 − s)G affin mit der Euklidischen Metrik verbinden, und erhalten analog die Funktion Θs und die Winkel αis , und diese h¨ angen stetig von s ab. Da aber  X  XZ (Θs )0 + αis = Θs (max Ii ) − Θs (min Ii ) + αis ∈ 2πZ i

Ii

gilt, muß dieser Ausdruck konstant in s sein, und stimmt somit u ¨berall mit seinem Wert 2π f¨ ur s = 1 u ¨berein. Liegt das Polygon nicht g¨ anzlich in einer Karte, so unterteilt man es fein genug und wendet das Resultat f¨ ur die einzelnen Teile an. Die Summe der Integrale u ¨ber innere Kanten f¨ allt weg, da diese genau zweimal und zwar mit entgegengesetzter Orientierung durchlaufen werden. Die Außenwinkel schreiben wir als π minus Innenwinkel, 452

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60.3

59. Integralsatz von Gauß-Bonnet

und erhalten f¨ ur die Summe der Außenwinkel: Die Summe der Innenwinkel an den Randecken plus 2π mal die Anzahl E 0 der inneren Ecken, vermindert um 2π mal die Anzahl K 0 der inneren Kanten, plus π mal die Anzahl der Randkanten. Da genauso viele Randecken wie Randkanten existieren, d.h. K − K 0 = E − E 0 ist, und die Summe der 2π auf der rechten Seite gerade 2πF ist, folgt so die allgemeine Formel.

60. Fl¨ achen konstanter Kru ¨ mmung 60.1 Satz von Minding. Zwei Riemann-Fl¨ achen gleicher konstanter Gauß-Kr¨ ummung sind lokal isometrisch. Beweis. Wir w¨ ahlen mittels 58.5 geod¨atische Polarkoordinaten in Punkten p ∈ M und p ∈ M . Dann gilt G = hϕθ , ϕθ i, G(0, θ) = 0, ∂ ∂r

Sowohl

√



√ r=0

G(., θ) als auch

G(r, θ) = 1, √

G = hϕ¯θ , ϕ¯θ i, G(0, θ) = 0, p ∂ G(r, θ) = 1. ∂r r=0

G(., θ) sind L¨osungen γ der Jacobi-Gleichung 53.9 ∂2 ∂r 2 γ(r)

= −K · γ(r).

Eine solche ist durch Vorgabe von γ(0) = 0 und γ 0 (0) = 1 eindeutig bestimmt. Also haben die Riemann-Metriken in geod¨atischen Polarkoordinaten die gleichen Koeffizienten, und somit sind die Fl¨achen lokal isometrisch. Tp M o

{ {{ exp ∼ = {{{ { ϕ  }{{ M

/ Tp M R2 C CC CC ∼ C = exp ϕ CC !  ∼ = /M

Wir versuchen nun eine globale Version obigen Satzes zu geben. Ganz allgemein kann das aber nicht gelten. Z.B. ist die Ebene und die Kreisscheibe lokal aber nicht global isometrisch. 60.2 Definition (geod¨ atisch vollst¨ andig) Eine Riemann-Mannigfaltigkeit M heißt geod¨ atisch vollst¨ andig, falls alle Geod¨aten unendlichlang sind. Da f¨ ur die L¨ange einer nach der Bogenl¨ange parametrisierten Rb Rb Geod¨ ate c : [a, b] → M folgendes gilt: L(c) = a |c0 (t)|dt = a 1dt = b − a, ist die Geod¨ ate genau dann unendlichlang, wenn ihr Parameterintervall ganz R ist. 60.3 Satz. Je zwei abstrakte, einfachzusammenh¨ angende, geod¨ atisch vollst¨ andige RiemannFl¨ achen mit gleicher konstanter Gauß-Kr¨ ummung sind isometrisch isomorph. Beweis. Wegen der Einfachzusammenh¨angendheit folgt dies aus den lokalen Resultat 60.1 . c 15. Dezember 2008 [email protected]

453

60.6

60. Fl¨ achen konstanter Kr¨ ummung

60.4 Folgerung Jede einfachzusammenh¨ angende, geod¨atisch vollst¨andige, abstrakte Riemann-Fl¨ache mit K = 1 ist bis auf Isometrien die Sph¨are. Jede solche mit K = −1 ist bis auf Isometrien die Poincar´esche Halbebene (bzw. hyperbolischen Scheibe) und jede derartige mit K = 0 ist die Ebene. Vergleiche das mit dem Riemannschen Abbildungssatz 35.1 sowie dem Uniformisierungssatz 36.2 . ¨ ¨ Durch Ubergang zur universellen Uberlagerung folgt wegen des Klassifizierungssatzes, daß jede Riemann-Fl¨ ache der Orbitraum einer auf einer einfachzusammenh¨angenden Riemann-Fl¨ ache mit diskret wirkenden Gruppe von konformen Abbildungen ist. Die einzige nicht triviale, auf der Sph¨are diskret wirkende Gruppe, ist die von der Antipodalabbildung erzeugte. Es gibt also nur zwei Fl¨achen mit konstanter GaußKr¨ ummung K > 0, n¨ amlich die Sph¨are und die projektive Ebene. Die Geometrie der projektiven Ebene wird auch elliptisch genannt, in ihr sind alle Geod¨aten geschlossen. Es gibt auf der Ebene nur folgende diskret wirkende Gruppen: 1. 2. 3. 4.

die die die die

von von von von

einer Translation erzeugten, einer Translation und einer Spiegelung erzeugten, zwei Translationen erzeugten, zwei Translationen und einer Spiegelung erzeugten.

Im Falle K = 0 gibt es also nur auf dem Zylinder, dem M¨obiusband, dem Torus und der Kleinschen Flasche eine Metrik mit verschwindender Gauß-Kr¨ ummung. Jede kompakte Fl¨ ache vom Geschlecht g ≥ 2 besitzt eine Metrik mit konstant negativer Kr¨ ummung, siehe [7, S. 408]. Nach Cohn Vossen 1927 und [41] (siehe [54, S.105]) k¨onnen zwei isometrische Fl¨achen im R3 von strikt positiver Gauß-Kr¨ ummung durch eine Bewegung ineinander u uhrt werden. ¨bergef¨ Kann man eine Fl¨ ache deformieren ohne ihre Metrik zu ¨andern? Ein Gegenbeispiel dazu wurde von Efimov gegeben: ϕ(t, s) := t9 + λt7 s2 + s9 kann nicht einmal lokal deformiert werden falls λ transzendent ist, siehe [7, S.428]. 60.5 Theorem (Fl¨ achen konstanter Kr¨ ummung). Sei M eine abgeschlossene, zusammenh¨ angende 2-Fl¨ ache im R3 mit konstanter Gauß-Kr¨ ummung K, dann gilt: 1. Ist K > 0, so ist M eine Sph¨ are [68]. 2. Ist K = 0, so ist M ein verallgemeinerter Zylinder Massey 1962, Hartman Nirenberg 1959. 3. Ist K < 0, so existiert M nicht [42]. Dies wurde durch Efimov verallgemeinert zu: Es gibt keine abgeschlossene Fl¨ ache mit einer, nach oben durch ein Konstante k < 0 beschr¨ ankte Gauß-Kr¨ ummung. Ohne Beweis. 60.6 Lemma. Ist M kompakt, so existiert ein Punkt wo die Gauß-Kr¨ ummung positiv ist. Beweis. Das ist offensichtlich, da die Fl¨ache in jedem Ber¨ uhrpunkt mit der “Umsph¨ are” positive Kr¨ ummung hat. 454

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61.4

60. Fl¨ achen konstanter Kr¨ ummung 60.7 Folgerung. Es gibt keine kompakte Minimalfl¨ ache.

61. Paralleltransport Als n¨ achstes versuchen wir irgendeine Kurve c auf der Fl¨ache entlangzugehen und dabei einen Vektor m¨ oglichst parallel zu bewegen, d.h. seine Richtung so wenig wie m¨oglich zu ver¨ andern. 61.1 Definition (Paralleles Vektorfeld) Ein Vektorfeld l¨ angs einer Kurve c heißt parallel, falls seine skalare Geschwindigkeit punktweise minimal ist. 61.2 Lemma (Charakterisierung von parallelen Vektorfeldern). Ein Vektorfeld w l¨ angs einer Kurve c auf M ist genau dann parallel, wenn w0 (t) ∈ ⊥ Tc(t) M f¨ ur alle t. Beweis. Aus w(t) ∈ Tc(t) M folgt hw(t), v(t)i = 0, mit v(t) := ν(c(t)). Differenzieren wir diese Gleichung nach t, so erhalten wir hw0 (t), v(t)i + hw(t), v 0 (t)i = 0. Damit |w0 (t)| minimal wird muß wegen |w0 (t)|2 = |w0 (t) − hw0 (t), v(t)iv(t)|2 + |hw0 (t), v(t)i|2 bei vorgegebenen Normalanteil hw0 (t), v(t)i = −hw(t), v 0 (t)i der tangentiale Anteil w0 (t) − hw0 (t), v(t)i v(t) m¨ oglichst klein, am besten 0 werden, d.h. es ist w0 (t) = 0 hw (t), v(t)iv(t), oder mit anderen Worten w0 (t) ∈ Tc(t) M ⊥ . Insbesondere gilt: 61.3 Lemma. Eine proportional zur Bogenl¨ ange parametrisierte Kurve c ist genau dann eine Geod¨ ate, wenn das Vektorfeld c0 parallel l¨ angs c ist. 61.4 Parallele Vektorfelder in lokalen Koordinaten Sei ϕ eine lokale Parametrisierung von M und t 7→ u(t) die lokale Darstellung einer Kurve c = ϕ ◦ u. Die Differentialgleichung f¨ ur ein l¨angs c paralleles Vektorfeld t 7→ w(t) bestimmen wir wie folgt: m X w(t) = wi (t) · (∂i ϕ)(u(t)) ⇒ i=1 0

⇒ w =

X

dwi dt

· ϕi +

i 58.2

X

j

wi · ϕi,j du dt

i,j

= ==== =

X

dwi dt

· ϕi +

i

X

duj dt

∈

k

∈

i,j,k

 X

  wi · Γki,j · ϕk + hϕi,j |νi ν 

k

 dw + dt

X

j

k  wi du ϕk + R · ν. dt Γi,j

i,j

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455

61.6

61. Paralleltransport

Also ist w parallel l¨ angs c genau dann, wenn m X j dwk (t) + ur k = 1, . . . , m. Γki,j (u(t)) · wi (t) · du dt dt (t) = 0 f¨ i,j=1

oder kurz: w˙ k +

X

Γki,j wi u˙ j = 0 f¨ ur k = 1, . . . , m.

i,j

Dieses System gew¨ ohnlicher linearer Differentialgleichungen hat bei vorgegebenen Anfangsdaten wk (0) eine eindeutige globale L¨osung. 61.5 Lemma (Existenz paralleler Vektorfelder). Zu jeder glatten Kurve c : R → M und Anfangsvektor w0 ∈ Tc(0) M existiert eine eindeutig bestimmte parallele Kurve w : R → T M mit w(t) ∈ Tc(t) M f¨ ur alle t und w(0) = w0 . Wir bezeichnen mit ptp(c, t)(v0 ) die parallele Kurve v u ¨ber c mit Anfangswert v0 zum Zeitpunkt t. Man nennt das auch den Paralleltransport l¨ angs c. F¨ ur diesen gilt: 1. ptp(c, t) : Tc(0) M → Tc(t) M ist eine Isometrie 2. ptp(c, t)−1 = ptp(c(. + t), −t) 3. ptp(c, g(t)) = ptp(c ◦ g, t) ◦ ptp(c, g(0)) f¨ ur g : R → R. Beweis. Eine zweite M¨ oglichkeit die Existenz und Eindeutigkeit zu zeigen ist die folgende: w ist eine parallele Kurve genau dann, wenn 0 = ∇w := w0 −hw0 , ν ◦ciν ◦c. Das ist eine gew¨ ohnliche lineare Differentialgleichung 1.ter Ordnung, und somit existiert eine, durch den Anfangswert eindeutig bestimmte, globale L¨osung w. Verbleibt zu zeigen, daß w(t) ∈ Tc(t) M : Da hw, ν ◦ci0 = hw0 , ν ◦ci+hw, (ν ◦c)0 i = 0 f¨ ur eine L¨osung ist, ist hw, ν ◦ci konstant gleich hw, ν ◦ ci(0) = hw0 , νc(0) i = 0. D.h. w(t) ∈ νc(t) ⊥ = Tc(t) M . (1) Klarerweise ist die L¨ osung ptp(c, .)(v0 ) einer linearen Differentialgleichung vom Anfangswert v0 linear abh¨ angig. Es gilt hξ, ηi0 = hξ 0 , ηi + hξ, η 0 i = 0 + 0, falls ξ und η parallele Vektorfelder l¨angs c sind, d.h ξ 0 , η 0 ∈ T M ⊥ . Also ist hξ, ηi konstant und ptp(c, t) eine Isometrie. (2) und (3) folgen leicht aus der Eindeutigkeit der L¨osungen von linearen Differentialgleichungen. 61.6 Beispiel 1. In jeder Hyperebene sind genau die konstanten Vektorfelder die parallelen, da die Ableitung eines Vektorfelds wieder in der Ebene liegt. 2. Folglich sind auf Torsen die parallelen Vektorfelder, gerade die konstanten Vektorfelder in einer Abwicklung der Torse in die Ebene.

3. Parallele Vektorfelder l¨ angs geschlossener Kurven k¨onnen sehr wohl verschiedene Anfangs- und Endwerte besitzen: Man starte auf dem Nordpol der Sph¨ are und transportiere einen Vektor in Richtung eines Meridians bis zum ¨ ¨ Aquator. Dann transportiere man diesen auf den Aquator normal stehenden ¨ Vektor entlang des Aquators bis zu einem anderen Meridian, und transportiere ihn schließlich l¨ angs dieses anderen Meridians wieder zum Nordpol. 456

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61. Paralleltransport Dort schließt der transportierte Vektor mit seiner Ausgangslage genau den Winkel der beiden Meridiane ein. z

y

x

Eine allgemeine Konstruktionsm¨oglichkeit f¨ ur parallele Vektorfelder ist die folgende: 61.7 Satz (Parallelit¨ at via Schmiegtorse). Sei c : R → M eine Kurve auf M die eine Schmiegtorse besitzt, dann gilt: Ein Vektorfeld ist parallel l¨ angs c in M genau dann, wenn es parallel l¨ angs c in der Schmiegtorse ist.

Beweis. Die Schmiegtorse ist nach 55.6 lokal durch ϕ(t, s) = c(s) + tξ(s) gegeben, wobei ξ ein (das) Vektorfeld l¨ angs c ist, welches normal auf L c0 steht. Klarerweise ist der Tangentialraum in c(t) von M identisch mit jenem der Schmiegtorse und somit ein Vektorfeld η l¨ angs c tangential an M genau dann, wenn es tangential an die Schmiegtorse ist. Also sieht die Bedingung “parallel zu sein” f¨ ur beide Fl¨achen gleich aus. 61.8 Definition (Holonomie) Die Untergruppe {ptp(c, 2π) : c ist geschlossene Kurve durch x} der Gruppe O(Tx M ) heißt Holonomie-Gruppe von M (bei x). Sie ist eine LieGruppe und f¨ ur verschiedene x in einem zusammenh¨angenden M sind diese Untergruppen isomorph. Z.B. ist die Holonomiegruppe der S 2 gerade die S0(2) ∼ = S1. Wir werden in 64.12 charakterisieren, wann diese Gruppe trivial ist.

62. Kovariante Ableitung Leider steckt in den obigen Beschreibungen f¨ ur die Geod¨aten und die parallelen Vektorfelder noch die Fl¨ achen-Normale und damit der umgebende Vektorraum. Diese Begriffe sollten aber auch f¨ ur abstrakte Riemann-Mannigfaltigkeiten Sinn machen. c 15. Dezember 2008 [email protected]

457

62.4

62. Kovariante Ableitung

Anstatt zu sagen, daß ein Vektor wie w0 normal auf die Fl¨ache steht, k¨onnen wir auch sagen, daß seine tangentiale Komponente, d.h. seine Projektion auf den Tangentialraum verschwindet. 62.1 Definition (Kovariante Ableitung) Sei w ein Vektorfeld l¨ angs einer Kurve c in M , d.h. w(t) ∈ Tc(t) M f¨ ur alle t. Dann wollen wir die Normal-Projektion auf den Tangentialraum der Ableitung des Vektorfelds die kovariante Ableitung ∇ (sprich “Nabla” oder “Del”) nennen und mit ∇w : t 7→ w0 (t) − hw0 (t), νc(t) iνc(t) ∈ Tc(t) M ¨ bezeichnen. Diese mißt also die infinitesimale Anderung von w, wie sie in M gesehen wird, und ignoriert jene Komponente, die auf M normal steht. Die Formel f¨ ur die kovariante Ableitung ∇ eines Vektorfelds w l¨angs einer Kurve c = ϕ ◦ u sieht nach 61.4 in lokalen Koordinaten wie folgt aus:   m m X X j  dwk +  ∂k , ∇w = Γki,j wi du dt dt ∂u k=1

wobei w =

P

k

i,j

wk ∂u∂ k .

Man beachte, daß die Geod¨ aten genau die L¨osungen der Gleichung ∇c0 = 0 sind 0 (wobei c als Vektorfeld l¨ angs c aufzufassen ist), und die Vektorfelder w, die parallel l¨ angs einer Kurve c sind, genau die L¨osungen der Gleichung ∇w = 0 sind. Es gelten folgende Formeln f¨ ur ∇: ∇(ξ + η) = ∇ξ + ∇η ∇(f · ξ) = f · ∇ξ + f 0 · ξ hξ, ηi0 = h∇ξ, ηi + hξ, ∇ηi, denn ∇(f ξ) = (f 0 ξ + f ξ 0 ) − hf 0 ξ + f ξ 0 , νi ν = f 0 ξ − 0 + f ∇ξ, hξ, ηi0 = hξ 0 , ηi + hξ, η 0 i = h∇ξ + hξ 0 , νiν, ηi + hξ, ∇η + hη 0 , νi νi = h∇ξ, ηi + hξ, ∇ηi da hν, ηi = 0 = hξ, νi. 62.2 Gaußgleichung. F¨ ur den Nabla-Operator gilt: ∇w = w0 + hL c0 , wi ν ◦ c. Beweis. Die Behauptung folgt sofort aus hw, ν ◦ ci = 0 durch Differenzieren. 62.3 Definition Seien nun zwei Vektorfelder ξ und η auf M gegeben, dann k¨onnen wir ∇η ξ ∈ X(M ) als (∇η ξ)(x) = ∇(ξ ◦ c)(0) definieren, wobei c eine Integralkurve des Vektorfelds η mit der Anfangsbedingung c(0) = x ist. Das l¨ aßt sich auch wie folgt schreiben: (∇η ξ)x = ξ 0 (x) · ηx − hξ 0 (x) · ηx , νx iνx = ξ 0 (x) · ηx + hξ(x)|Lx · ηx iνx . 62.4 Lemma (Eigenschaften der kovarianten Ableitung). Der Operator ∇ geht von X(M )×X(M ) nach X(M ) und hat folgende Eigenschaften. 458

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62.5

62. Kovariante Ableitung ∇ ist bilinear. ∇η ξ ist C ∞ (M, R)-linear in η. ∇η (f ξ) = f ∇η ξ + η(f ) ξ f¨ ur f ∈ C ∞ (M, R). ∇η ξ − ∇ξ η = [η, ξ]. η hξ1 , ξ2 i = h∇η ξ1 , ξ2 i + hξ1 , ∇η ξ2 i.

1. 2. 3. 4. 5.

Beweis. (1) und (2) sind klar. Zu (3):
∇η (f ξ) (x) =


= ∇ (f ξ) ◦ c (0) = f (c(0) ∇(ξ ◦ c)(0) + (f ◦ c)0 (0) ξ c(0)
= f (x) · (∇η ξ)(x) + Tx f (ηx ) · ξx = f ∇η ξ + η(f ) ξ (x).

(∇η (f ξ))(x) = (f ξ)0 (x) · ηx − h(f ξ)0 (x) · ηx |νx iνx E D = f 0 (x)(ηx ) · ξx + f (x) · ξ 0 (x) · ηx − f 0 (x)(ηx ) · ξx + f (x) · ξ 0 (x) · ηx νx νx = η(f )(x) · ξx + f (x) · ξ 0 (x) · ηx − 0 − f (x)hξ 0 (x) · ηx |νx iνx = (η(f ) · ξ)(x) + f (x) · (∇η ξ)(x)   = η(f ) · ξ + f · ∇η ξ (x) Zu (4): Wegen der Gaußgleichung und der Symmetrie von L gilt:

(∇η ξ − ∇ξ η)(x) = ξ 0 (x) · ηx + hLx ηx , ξx iνx − η 0 (x) · ξx + hLx ξx , ηx iνx = [η, ξ](x) + 0. Zu (5):

0 η hξ1 , ξ2 i (x) = hξ1 , ξ2 i ◦ c (0)



 = ∇(ξ1 ◦ c)(0), (ξ2 ◦ c)(0) + (ξ1 ◦ c)(0), ∇(ξ2 ◦ c)(0)
= h∇η ξ1 , ξ2 i + hξ1 , ∇η ξ2 i (x). 

 D E h∇η ξ1 |ξ2 i + h∇η ξ2 |ξ2 i (x) = ξ10 (x)(ηx ) − hξ10 (x)(ηx )|νx iνx ξ2 (x) E D + ξ20 (x)(ηx ) − hξ20 (x)(ηx )|νx iνx ξ1 (x) = hξ10 (x)(ηx )|ξ2 (x)i + hξ20 (x)(ηx )|ξ1 (x)i = (hξ1 |ξ2 i)0 (x) · ηx = η(hξ1 |ξ2 i)(x).

Wir wollen nun zeigen, daß es so einen Differentialoperator auch auf abstrakten Riemann-Mannigfaltigkeiten gibt, und er durch die obigen Eigenschaften eindeutig bestimmt ist. 62.5 Satz (Levi-Civita Ableitung). Sei M eine (abstrakte) Riemann-Mannigfaltigkeit. Dann gibt es genau eine Abbildung ∇ : X(M ) × X(M ) → X(M ), welche obige Eigenschaften (1)-(5) erf¨ ullt, wobei das innere Produkt in (5) durch die Riemann-Metrik zu ersetzen ist. Diese Abbildung heißt kovariante Ableitung, oder auch Levi-Civita-Zusammenhang. c 15. Dezember 2008 [email protected]

459

62.5

62. Kovariante Ableitung

(Koordinatenfreie) Beweis. Wegen (5) gilt: ξ1 g(ξ2 , ξ3 ) = g(∇ξ1 ξ2 , ξ3 ) + g(ξ2 , ∇ξ1 ξ3 )

(+)

ξ2 g(ξ3 , ξ1 ) = g(∇ξ2 ξ3 , ξ1 ) + g(ξ3 , ∇ξ2 ξ1 )

(+)

ξ3 g(ξ1 , ξ2 ) = g(∇ξ3 ξ1 , ξ2 ) + g(ξ1 , ∇ξ3 ξ2 )

(−).

Daraus folgt durch Addieren der ersten beiden und Subtrahieren der 3.ten Gleichung unter Verwendung von (4): ξ1 g(ξ2 , ξ3 ) + ξ2 g(ξ3 , ξ1 ) − ξ3 g(ξ1 , ξ2 ) = = g(∇ξ1 ξ2 + ∇ξ2 ξ1 , ξ3 ) + g(∇ξ1 ξ3 − ∇ξ3 ξ1 , ξ2 ) + g(∇ξ2 ξ3 − ∇ξ3 ξ2 , ξ1 ) = g(2∇ξ1 ξ2 − [ξ1 , ξ2 ], ξ3 ) − g([ξ3 , ξ1 ], ξ2 ) + g([ξ2 , ξ3 ], ξ1 ). Und somit 2 g(∇ξ1 ξ2 , ξ3 ) = ξ1 g(ξ2 , ξ3 ) + ξ2 g(ξ3 , ξ1 ) − ξ3 g(ξ1 , ξ2 ) + g([ξ1 , ξ2 ], ξ3 ) − g([ξ2 , ξ3 ], ξ1 ) + g([ξ3 , ξ1 ], ξ2 ). Da die rechte Seite linear in ξ3 ist, ist ∇ξ1 ξ2 durch diese implizite Gleichung wohldefiniert. Da die rechte Seite auch bilinear in (ξ1 , ξ2 ) ist, hat ∇ die Eigenschaft (1). Nun zur Eigenschaft (2): 2 g(∇f ξ1 ξ2 , ξ3 ) = f ξ1 g(ξ2 , ξ3 ) + ξ2 g(ξ3 , f ξ1 ) − ξ3 g(f ξ1 , ξ2 ) + g([f ξ1 , ξ2 ], ξ3 ) − g([ξ2 , ξ3 ], f ξ1 ) + g([ξ3 , f ξ1 ], ξ2 ) = f ξ1 g(ξ2 , ξ3 ) + f ξ2 g(ξ3 , ξ1 ) + ξ2 (f )g(ξ3 , ξ1 ) − f ξ3 g(ξ1 , ξ2 ) − ξ3 (f )g(ξ1 , ξ2 ) + g(f [ξ1 , ξ2 ] − ξ2 (f )ξ1 , ξ3 ) − f g([ξ2 , ξ3 ], ξ1 ) + g(f [ξ3 , ξ1 ] + ξ3 (f )ξ1 , ξ2 ) = f ξ1 g(ξ2 , ξ3 ) + f ξ2 g(ξ3 , ξ1 ) + ξ2 (f )g(ξ3 , ξ1 ) − f ξ3 g(ξ1 , ξ2 ) − ξ3 (f )g(ξ1 , ξ2 ) + f g([ξ1 , ξ2 ], ξ3 ) − ξ2 (f )g(ξ1 , ξ3 ) − f g([ξ2 , ξ3 ], ξ1 ) + f g([ξ3 , ξ1 ], ξ2 ) + ξ3 (f )g(ξ1 , ξ2 ) = f ξ1 g(ξ2 , ξ3 ) + ξ2 g(ξ3 , ξ1 ) − ξ3 g(ξ1 , ξ2 ) + g([ξ1 , ξ2 ], ξ3 ) − g([ξ2 , ξ3 ], ξ1 ) + g([ξ3 , ξ1 ], ξ2 ) = 2 f g(∇ξ1 ξ2 , ξ3 ). Eine sehr ¨ ahnliche Rechnung zeigt die Eigenschaft (3). Weiter zu Eigenschaft (4): 2 g(∇ξ1 ξ2 − ∇ξ2 ξ1 , ξ3 ) = = ξ1 g(ξ2 , ξ3 ) + ξ2 g(ξ3 , ξ1 ) − ξ3 g(ξ1 , ξ2 ) + g([ξ1 , ξ2 ], ξ3 ) − g([ξ2 , ξ3 ], ξ1 ) + g([ξ3 , ξ1 ], ξ2 ) − ξ2 g(ξ1 , ξ3 ) − ξ1 g(ξ3 , ξ2 ) + ξ3 g(ξ2 , ξ1 ) − g([ξ2 , ξ1 ], ξ3 ) + g([ξ1 , ξ3 ], ξ2 ) − g([ξ3 , ξ2 ], ξ1 ) = 2 g([ξ1 , ξ2 ], ξ3 ). 460

c 15. Dezember 2008 [email protected]




62. Kovariante Ableitung

62.5

Schlußendlich Eigenschaft (5):

2g(∇ξ1 ξ2 , ξ3 ) + 2g(ξ2 , ∇ξ1 ξ3 ) = = ξ1 g(ξ2 , ξ3 ) + ξ2 g(ξ3 , ξ1 ) − ξ3 g(ξ1 , ξ2 ) + g([ξ1 , ξ2 ], ξ3 ) − g([ξ2 , ξ3 ], ξ1 ) + g([ξ3 , ξ1 ], ξ2 ) + ξ1 g(ξ3 , ξ2 ) + ξ3 g(ξ2 , ξ1 ) − ξ2 g(ξ1 , ξ3 ) + g([ξ1 , ξ3 ], ξ2 ) − g([ξ3 , ξ2 ], ξ1 ) + g([ξ2 , ξ1 ], ξ3 ) = 2 ξ1 g(ξ2 , ξ3 ).

Koordinatenbeweis. Es ist zu zeigen, daß der lokale Ausdruck f¨ ur ∇ unabh¨angig von den gew¨ ahlten Koordinaten ist.

∂ := ϕi ∂ui X ∂ui ∂ ∂ ¯i = ∂u ¯ ∂u ¯¯i ∂ui i D ∂  ∂ ∂ E ∂  gi,j := , := g , ∂ui ∂uj ∂ui ∂uj DX ∂ui ∂ X ∂uj ∂ E X ∂ui ∂uj g¯¯i,¯j = , = gi,j ∂u ¯¯i ∂ui j ∂ u ¯¯j ∂uj ∂u ¯¯i ∂ u ¯¯j i i,j  1 Γi,j,k : = ∂i (gj,k ) + ∂j (gi,k ) − ∂k (gi,j ) 2  ∂¯ g¯j,k¯ ∂ X ∂uj ∂uk = g j,k ∂u ¯¯i ∂u ¯¯i j,k ∂ u ¯¯j ∂ u ¯k¯  X ∂  ∂uj  ∂uk ∂uj ∂  ∂uk  ∂uj ∂uk ∂ = g + g + (g ) j,k j,k j,k ¯i ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂u ¯ ∂u ¯j ∂ u ∂u ¯j ∂ u ¯i ∂ u ∂u ¯j ∂ u ¯i ¯k ¯k ¯k ∂ u j,k X ∂ 2 uj ∂uk ∂uj ∂ 2 uk ∂uj ∂uk X ∂ui ∂gj,k  = g + g + j,k j,k ¯i ¯ ¯ ¯ ¯ ∂u ¯ ∂u ¯j ∂ u ∂u ¯j ∂ u ∂u ¯¯j ∂ u ¯¯i ∂ui ¯k ¯¯i ∂ u ¯k ¯k¯ i ∂ u j,k   ¯¯i,¯j,k¯ = 1 ∂ (g¯j,k¯ ) + ∂ (g¯i,k¯ ) − ∂ (g¯i,¯j ) Γ ¯i ¯ ¯ 2 ∂u ¯ ∂u ¯j ∂u ¯k c 15. Dezember 2008 [email protected]

461

62.5

62. Kovariante Ableitung =

1 X ∂ 2 uj ∂uk ∂uj ∂ 2 uk ∂uj ∂uk X ∂ui ∂gj,k  g + g + j,k j,k ¯i ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ j j i∂u 2 ∂u ¯ ∂u ¯ {z∂ u ¯ ∂u ¯¯j ∂ u ¯¯i ∂ui ¯k ¯{z ¯k ¯k¯ i ∂ u } |∂ u } ∂u j,k | {z } | (1) (2) (3)

X ∂ 2 ui ∂uk ∂ui ∂ 2 uk ∂ui ∂uk X ∂uj ∂gi,k  + + + g g i,k i,k ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ j ∂u ∂u ¯j ∂ u ¯i {z∂ u ¯i ∂ u ¯¯i ∂ u ¯¯j ∂uj ¯k ¯{z ¯k ¯k¯ j ∂ u } |∂ u } ∂u i,k | {z } | (1) (4) (3)

X ∂ 2 uj ∂ui ∂uj ∂ 2 ui ∂uj ∂ui X ∂uk ∂gj,i  g − g + + j,i j,i ¯ k ¯¯i } |∂ u ¯¯j ∂ u ¯¯j ∂ u ¯¯i k ∂ u ∂u ¯k¯ ∂ u ¯¯j{z∂ u ¯{z ∂u ¯¯i } ∂ u ¯k¯ ∂uk j,i | | {z } (4) (2) (3)

X ∂ 2 uj ∂uk X ∂ui ∂uj ∂uk 1  ∂gj,k ∂gi,k ∂gj,i  g = + + − j,k i ∂uj ∂uk } ∂u ¯¯i ∂ u ¯¯j {z∂ u ¯¯i ∂ u ¯¯j ∂ u ¯k¯ ¯k¯ 2 ∂u } i,j,k |∂ u {z j,k | (1)

(3)

X ∂ 2 uj ∂uk X ∂ui ∂uj ∂uk Γi,j,k = ¯i ¯ ¯ gj,k + j k ∂u ¯ ∂u ¯ ∂u ∂u ¯¯i ∂ u ¯¯j ∂ u ¯ ¯k¯ j,k i,j,k ¯ X ∂uj ∂ u ¯i ¯i ∂u ¯ ∂ui ¯i X δki =: g i,j gj,k

δij =

j ¯¯

g¯i,j

¯ ¯ X ∂u ¯j i,j ¯i ∂ u g , denn = ∂ui ∂uj i,j

¯ ¯ X ¯¯ X X ∂u ¯i ∂ u ¯j i,j X ∂ul ∂uk g g¯i,j g¯¯j,k¯ = gl,k ∂ui ∂uj ∂u ¯¯j ∂ u ¯k¯ ¯ ¯ i,j l,k j

j

¯ ¯ X X X ∂u ∂u ¯i ∂uk ¯j ∂ul i,j g g = l,k ¯ ∂uj ∂ u ∂ui ∂ u ¯j ¯k¯ i,k j,l ¯ j | {z } δjl

|

{z

| Γki,j : =

}

i δk

{z ¯

i δk ¯

X

}

Γi,j,l g l,k

l

462

c 15. Dezember 2008 [email protected]

62.5

62. Kovariante Ableitung ¯¯¯l ¯ = Γ i,j

X

¯¯ l ¯¯i,¯j,k¯ g¯k, Γ

¯ k ¯ ¯  X ∂u XX ∂ 2 uj ∂uk X ∂ui ∂uj ∂uk ¯l p,q ¯k ∂ u g + Γ g = j,k i,j,k ¯ ¯ ¯i ¯ ¯ ¯ ∂up ∂uq ∂u ¯ ∂u ¯j ∂ u ∂u ¯i ∂ u ¯j ∂ u ¯k ¯k ¯ p,q i,j,k j,k k

¯ ¯ X ∂ 2 uj ∂ u ¯k ¯l X X ∂uk ∂ u = gj,k g p,q ¯i ¯ ¯ p j ∂uq k ∂u ∂ u ¯ ∂ u ¯ ∂ u ¯ ¯ j,q k,p k | {z } =δpk

| +

{z

}

=δjq

¯ ¯ X ∂ui ∂uj ∂ u ¯l X X ∂uk ∂ u ¯k Γi,j,k g p,q ¯i ¯ ¯ p j ∂uq k ∂u ∂ u ¯ ∂ u ¯ ∂ u ¯ ¯ i,j,q p,k k | {z } =δpk

{z

| = δji =

}

=Γqi,j

¯ ¯ X ∂ui ∂uj ∂ u X ∂ 2 ul ∂ u ¯l l ¯l Γ + i,j ∂u ¯¯i ∂ u ¯¯j ∂ul ∂u ¯¯i ∂ u ¯¯j ∂ul i,j,l l ¯ X ∂ui ∂ u ¯i ∂u ¯¯i ∂uj ¯

⇒

i

∂ i δ ∂uk j ¯ ¯ X ∂  ∂ui  ∂ u ¯i ∂ui ∂ 2 u ¯i  = + ∂uk ∂ u ¯¯i ∂uj ∂u ¯¯i ∂uj ∂uk ¯

0=

i

=

¯ X ∂u ¯k ¯ ¯i,k

∂uk

¯

¯

∂  ∂ui  ∂ u ¯i X ∂ui ∂ 2 u ¯i + ¯ ¯ ¯ j j ¯i ∂u ∂u ¯i ∂u ∂uk ∂u ¯k ∂ u ¯ i

¯ ¯ ¯ X ∂ 2 ui ∂ u ¯i ¯k ∂ u ¯i X ∂ui ∂ 2 u = + ∂u ¯¯i ∂uj ∂uk ∂u ¯¯i ∂ u ¯k¯ ∂uk ∂uj ¯ ¯¯ i,k

¯¯k¯ ¯ Γ i,j

⇒

i

¯ ¯ X ∂ui ∂uj ∂ u X ∂2u ¯k k ¯k ∂ui ∂uj = Γ − ∂ui ∂uj ∂ u ∂u ¯¯i ∂ u ¯¯j ∂uk i,j ¯¯i ∂ u ¯¯j i,j i,j,k

Sei nun eine Kurve c : R → M gegeben in lokalen Koordinaten durch c(t) = ϕ(u1 (t), . . . , um (t)) = ϕ(¯ ¯ u1 (t), . . . , u ¯m (t)) und w : R → T M ein Vektorfeld l¨angs c, d.h. w(t) ∈ Tc(t) M . In lokalen Koordinaten ist X X ¯ X ¯ ∂ ∂ ∂ui ∂ i i = (t) w(t) = wi (t) w ¯ = w ¯ (t) ¯ ∂ui ∂u ¯i ∂u ¯¯i ∂ui ¯ ¯ i i

i,i

und Koeffizientenvergleich liefert wi (t) =

X ¯i

¯

w ¯ i (t)

∂ui . ∂u ¯¯i

Die Normalprojektion der Ableitung von w auf den Tangentialraums ist in den lokalen Koordinaten (u1 , . . . , um ) durch ! X dwi (t) X duk (t) ∂ i j + Γj,k (u(t))w (t) dt dt ∂ui i j,k

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463

62.5

62. Kovariante Ableitung

gegeben. In den Koordinaten (¯ u1 , . . . , u ¯m ) ist ! ¯ ¯ X dw d¯ uk (t) ¯ i (t) X ¯i ∂ ¯ j ¯ (t) Γ¯j,k¯ (u(t))w + = dt dt ∂u ¯¯i ¯ ¯¯ i

j,k

¯

=

X ¯i

d X ∂u ¯i (u(t)) wi (t)+ dt i ∂ui ¯

¯

X ∂2u ¯i ∂uj ∂uk ∂uj ∂uk ∂ u ¯i + Γij,k (u(t)) ¯j − ¯ ∂uj ∂uk ∂ u ∂u ¯ ∂u ¯¯j ∂ u ¯k ∂ui ¯k¯ ¯ j,k,i ¯ j,k j,k ! ¯ ¯ X ∂u uk (t) ¯j l d¯ ∂ w (t) · l ∂u dt ∂u ¯¯i l

!

X X

=

=

·

¯ ¯ X X ∂2u X ∂u ¯i duj (t) i dwi (t) ¯i (u(t)) (u(t)) w + (t) + ∂ui ∂uj dt ∂ui dt ¯i i,j i ! ¯ ¯ X ∂2u X X ¯i ¯i ∂uj ∂uk ∂uj ∂uk ∂ u i − · + Γj,k (u(t)) ¯j ∂uj ∂uk ∂ u ∂u ¯ ∂u ¯¯j ∂ u ¯k¯ ∂ui ¯k¯ ¯ ¯ j,k j,k,i j,k ! ¯ ¯ X ∂u uk (t) ∂ ¯j l d¯ w (t) · ∂ul dt ∂ u ¯¯i l ¯ ¯ X X ∂2u ¯i duj i X ∂ u ¯i dwi (t) w + (u(t)) i j i ∂u ∂u dt ∂u dt ¯ i,j i i

+

XX

Γij,k

k,i l,j

¯ ¯ ¯ X ∂uj ∂ u ¯j l X ∂uk d¯ uk ∂ u ¯i w ∂u ¯¯j ∂ul ∂u ¯k¯ dt ∂ui ¯ ¯ j k {z } | {z } | duk dt

δlj

¯ ¯ ¯ X X ∂uk d¯ uk X ∂ 2 u ¯i X ∂uj ∂ u ¯j l w − ¯ ¯ ¯j ∂ul ∂u ¯k dt j,l ∂uj ∂uk ¯ ∂ u ¯ k j k | {z } | {z } duk dt

!

∂ ∂u ¯¯i

δlj

X dwi (t) X duk (t) = + Γij,k (u(t))wj (t) dt dt i j,k

!

∂ ∂ui

also ist dieser Ausdruck auch f¨ ur eine abstrakte Riemann-Mannigfaltigkeit wohldefiniert. Wir nennen diesen Ausdruck die kovariante Ableitung ∇w eines Vektorfelds w l¨ angs einer Kurve c, d.h.  X dwi (t) X duk (t) ∂ i j + Γj,k (u(t))w (t) ∇w(t) := (u(t)). i dt dt ∂u i j,k

F¨ ur Vektorfelder X und Y auf M k¨onnen wir nun ein Vektorfeld ∇X Y durch (∇X Y )x := ∇(Y ◦ c), wobei c die Integralkurve von X durch x ist. Es ist somit ∇ : X(M )×X(M ) → X(M ) eine wohldefinierte bilineare Abbildung. In Koordinaten haben wir  XX ∂Y i X ∂ k i j k ∇X Y = X + Γj,k Y X . k i ∂u ∂u i k

464

j,k

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62.6

62. Kovariante Ableitung 62.6 Lokale Formeln f¨ ur ∇ ∂ ∂ui ,

W¨ ahlen wir f¨ ur ξ1 , ξ2 und ξ3 Basisvektorfelder gi := so erhalten wir eine lokale Formel f¨ ur ∇: 2g(∇gi gj , gk ) =

∂ ∂ui gj,k

+

∂ ∂uj gk,i

−

∂ g ∂uk i,j

gj :=

∂ ∂uj

und gk :=

∂ , ∂uk

+ 0 =: 2Γi,j,k

Das ist gerade die Formel f¨ ur die Christoffelsymbole der 1.ten Art. Bezeichnen wir die Koeffizienten von ∇gi gj bez¨ uglich der Basis (gl ) mit Γli,j , also ∇gi gj =

m X

Γki,j gk ,

k=1

so erhalten wir: ! Γi,j,k = g(∇gi gj , gk ) = g

X

Γli,j gl , gk

l

=

X

Γli,j gl,k .

l

Γli,j

D.h. die sind die Christoffel-Symbole der 2.ten Art (siehe 58.2 ). Man beachte noch, daß aus der Symmetrie von gi,j folgende Umkehrformel f¨ ur die partiellen Ableitungen der Koeffizienten der Riemann-Metrik folgt: ∂ ∂ui gj,k

= Γi,j,k + Γi,k,j .

Wegen Eigenschaft 62.4.2 ist ∇X Y tensoriell in X, d.h. (∇X Y )(p) h¨angt nur von Xp und Y ab: Sei n¨ amlich vorerst X = 0 lokal um p und f ∈ C ∞ (M, R) mit f (p) = 1 und f · X = 0, dann ist 0 = (∇f X Y )(p) = f (p) · (∇X Y )(p) = (∇X Y )(p) und ist nur Xp = 0 so ist somit (∇X Y )(p) = (∇Pi X(ui )

∂ ∂ui

Y )(p) =

X i

Xp (ui ) · (∇

∂ ∂ui

Y )(p) = 0.

Sei c : R → M eine Kurve mit c0 (0) = Xp . Dann ist also (∇c0 (0) Y )(p) wohldefiniert und in lokalen Koordinaten gegeben durch m X ∂  (p) = (∇c0 (0) Y )(p) = ∇P d(uj ◦c) (0)· ∂ (p) Yi· ∂ui j dt ∂uj i=1  ∂  X d(uj ◦ c) ∂ ∂ i i = (0) · Y · +Y (p) · ∇ (p) ∂ (p) ∂uj dt ∂uj p ∂ui p ∂ui j,i ! j X X ∂ ∂ i d(u ◦ c) = Y · (0) · ∂uj p dt ∂ui p i j X d(uj ◦ c) ∂ + (0) Y i (p) Γkj,i |p dt ∂uk p i,j,k

Dieser Ausdruck macht aber sogar f¨ ur ein Vektorfeld Y l¨angs c Sinn, d.h. Y (t) ∈ Tc(t) M f¨ ur alle t ∈ R, denn dann ist nach der Kettenregel X ∂ d(uj ◦ c) dY i Yi· (t) = (t) j ∂u c(t) dt dt j und somit ist (∇c0 (t) Y )(t) =

X dY i i

dt

(t) +

 ∂ X d(uj ◦ c) (t) Y k (t) Γij,k |c(t) . dt ∂ui c(t) j,k

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465

62.9

62. Kovariante Ableitung

62.7 Bemerkung Wenn wir die entsprechenden Differentialgleichungen 0 = ∇c0 X f¨ ur parallele Vektorfelder X l¨ angs Kurven c und 0 = ∇c0 c0 f¨ ur Geod¨aten c in lokalen Koordinaten aufschreiben, so erhalten wir X d(uj ◦ c) dX i (t) + (t) X k (t) Γij,k |c(t) 0= dt dt j,k

X d(uj ◦ c) d(uk ◦ c) d2 (ui ◦ c) (t) + (t) (t) Γij,k |c(t) . 0= 2 dt dt dt j,k

Das zeigt, daß die Exponentialabbildung exp : T M → M und der Paralleltransport ptp : C ∞ (R, M ) ×M T M → T M auch f¨ ur abstrakte Riemann-Mannigfaltigkeiten existieren und die entsprechenden Eigenschaften besitzen. 62.8 Lemma. Die Abbildung (π, exp) : T M → M × M ist ein Diffeomorphismus einer Umgebung U des Nullschnitts M ⊆ T M auf eine Umgebung der Diagonale {(x, x) : x ∈ M } ⊆ M × M. Beweis. Man beachte zuerst, daß der Tangentialraum von T M in einem Punkt 0x des Nullschnitts gerade Tx M ⊕ Tx M ist: Dabei ist der erste Faktor durch die Tangentialvektoren an Kurven in M ⊆ T M gegeben und der zweite durch Geschwindigkeitsvektoren von Kurven im Vektorraum Tx M ⊆ T M . Diese beiden Teilr¨ aume haben trivialen Durchschnitt, und ergeben zusammen die richtige Dimension dim(T M ) = 2 dim(M ). Nun berechnen wir die partiellen Ableitungen von (π, exp). Auf dem Nullschnitt ist (π, exp) : T M ⊃ M → M × M gerade die Diagonal-Abbildung x 7→ (x, x) und auf der Faser Tx M ist (π, exp) : T M ⊃ Tx M → M × M die Abbildung (konstx , expx ). Also sieht die Tangentialabbildung von (π, exp) in 0x wie folgt aus:   id 0 T0x (π, exp) = : Tx M × Tx M → Tx M × Tx M. id T0 expx Wegen T0 expx = idTx M ist also (π, exp) ein lokaler Diffeomorphismus f¨ ur Punkte nahe dem Nullschnitt. Wir w¨ ahlen f¨ ur jedes x ∈ M eine offene 0-Umgebung Ux in T M , so daß (π, exp) : Ux → (π, exp)(Ux ) ein Diffeomorphismus ist, und die Fasern Ux ∩ Ty M Kugeln S um 0 sind. Die Vereinigung U := x∈M Ux ist dann eine offene Umgebung des Nullschnitts in T M . Und (π, exp) : U → V := (π, exp)(U ) ist ein lokaler Diffeomorphismus. Bleibt nur noch die Injektivit¨ at zu zeigen: Aber falls zwei Tangentialvektoren verschiedene Fußpunkte besitzen, so k¨onnen wir sie durch die erste Komponente π : T M → M trennen, und falls sie den gleichen Fußpunkt x ∈ M haben, so trennt sie die zweite Komponente expx , da sie in einer der Kugeln Uy ∩ Tx M enthalten sind. 62.9 Tubul¨ are Umgebung. Sei M ⊆ N eine Teilmannigfaltigkeit der Riemann-Mannigfaltigkeit N . Mit T M ⊥ bezeichnen wir das Normalb¨ undel von M in N , d.h. jenes Vektorb¨ undel u ¨ber M , welches als Faser u ¨ber x ∈ M das orthogonale Komplement (Tx M )⊥ von Tx M in Tx N bez¨ uglich der Riemann-Metrik von N hat. Dann ist expN ein Diffeomorphismus von einer offenen Umgebung des Nullschnitts M ⊆ T M ⊥ auf eine offene 466

c 15. Dezember 2008 [email protected]

62. Kovariante Ableitung

62.10

Umgebung von M in N . Die Bilder von Schnitten konstanter L¨ ange schneiden die radialen Geod¨ aten orthogonal.

Beweis. Analog zum Beweis von Satz 62.8 k¨onnen wir den Tangentialraum von T M ⊥ in einem Punkt x des Nullschnitts als Tx M ⊕ Tx M ⊥ = Tx N schreiben. Und die Tangential-Abbildung von expN hat die Gestalt T0x expN = idTx N = (idTx M , T0 expx |(Tx M )⊥ ). Also ist expN : T M ⊥ → N ein lokaler Diffeomorphismus, und auch die Injektivit¨at kann wie im Beweis von Satz 62.8 gezeigt werden. Sei nun X : R → T M ⊥ ein Vektorfeld von konstanter L¨ange (o.B.d.A. 1) l¨angs einer Kurve c = π ◦ X : R → M , so betrachten wir die Abbildung ϕ : (t, s) 7→ expc(s) (t X(s)). Der Beweis von 58.6 zeigt, daß sich die Parameterlinien orthogonal schneiden. W¨ ahlt man f¨ ur M einen Punkt und in Tx M eine Orthonormalbasis, dann sind das gerade die Riemannschen-Normalkoordinaten. Ein anderer Spezialfall ist der einer – nach der Bogenl¨ ange parametrisierten – doppelpunktfreien Kurve c : R → M . In 60.2 haben wir eine Riemann-Mannigfaltigkeit (M, g) als geod¨atisch vollst¨andig bezeichnet, wenn jede Geod¨ ate unendliche L¨ange hat, oder ¨aquivalent, auf ganz R definiert ist. Der folgende Satz liefert nun den Zusammenhang mit der Vollst¨andigkeit im Sinne der Metrik, wie wir ihm in 33.2 verwendet haben. 62.10 Satz von Hopf-Rinow. F¨ ur eine Riemann-Mannigfaltigkeit sind folgende Aussagen ¨ aquivalent 1 M ist geod¨ atisch vollst¨ andig. 2 M ist als metrischer Raum vollst¨ andig, d.h. Cauchyfolgen konvergieren. 3 Jede in der Metrik beschr¨ ankte und abgeschlossene Menge ist kompakt. c 15. Dezember 2008 [email protected]

467

62.10

62. Kovariante Ableitung

Weiters folgt aus diesen ¨ aquivalenten Aussagen 4 Je zwei Punkte in der gleichen Zusammenhangskomponente lassen sich durch eine Geod¨ ate minimaler L¨ ange verbinden. Beweis. (3 ⇒ 2) Dies ist ein allgemeiner Satz aus der Topologie, den nach dem Satz von Cantor (siehe [58, 3.1.4] gen¨ ugt es das Prinzip der Intervallschachtelung zu beweisen: Seien also An 6= ∅ abgeschlossen und monoton fallend mit d(An ) := sup{d(x, y) : x, y ∈ AnT } → 0. Nach Voraussetzung ist somit An kompakt (falls d(An ) < ∞) und somit n∈N An 6= ∅. (2 ⇒ 1) Sei c eine nach der Bogenl¨ange parametrisierte Geod¨ate und ]a, b[ ihr maximaler Definitionsbereich. Sei z.B. b < +∞, und betrachten wir eine Folge bn % b, dann ist c(bn ) eine Cauchyfolge, denn d(c(t1 ) − c(t2 )) < L(c|[t1 ,t2 ] ) = |t2 − t1 |. Nach (2) existiert also limn→∞ c(bn ) =: c(b). Aus 62.8 wissen wir, daß eine Umgebung U von c(b) existiert und ein ρ > 0, sodaß expx f¨ ur alle x ∈ U und alle Vektoren der L¨ ange kleiner als ρ definiert ist. W¨ahlen wir nun n so groß, daß b − bn < ρ und c(bn ) ∈ U . Dann ist die Geod¨ ate mit Anfangsrichtung c0 (bn ) f¨ ur |t| < ρ definiert, also u ¨ber b hinaus, Widerspruch.

c’Hbn L expc Hbn L Hb-bn Lc’Hbn L c

cHbL

cHbn L

U

(1 ⇒ 4) Es sei r := d(x, y) > 0. Wir w¨ahlen ein 0 < ρ < r, so daß expx : Bρ (0) → M ein Diffeomorphismus aufs Bild ist. Sei 0 < ρ1 < ρ und S := expx (∂Bρ1 (0)). Da S kompakt ist, existiert ein x1 ∈ S mit d(x1 , y) minimal. Sei v ∈ Tx M mit |v| = 1 und x1 := expx (ρ1 v), Wir behaupten, daß expx (rv) = y, also c(t) := expx (tv) eine Geod¨ ate von x nach y mit minimaler L¨ange r ist. Es gen¨ ugt d(c(t), y) = r − t f¨ ur ρ1 ≤ t ≤ r zu zeigen. Offensichtlich stimmt diese Gleichung f¨ ur t = ρ1 , denn da jede Kurve von x nach y die Menge S trifft, gilt: r = d(x, y) = min(d(x, s) + d(s, y)) = ρ1 + d(x1 , y) = ρ1 + d(c(ρ1 ), y). s∈S

Sei nun t0 das Infimum jener t, f¨ ur welche die Gleichung nicht stimmt. Da die Bedingung abgeschlossen ist, gilt f¨ ur t0 die Gleichung. Inbesondere ist also t0 < r. Sei S0 eine geod¨ atische Sph¨ are um c(t0 ) mit Radius ρ0 < r − t0 , sei weiters x0 ein Punkt auf S0 mit minimalem Abstand von y, und sei c0 eine Geod¨ate minimaler L¨ ange von c(t0 ) nach x0 . Dann gilt: d(c(t0 ), y) = min (d(c(t0 ), s) + d(s, y)) = ρ0 + d(x0 , y) s∈S0

und somit d(x0 , y) = (r − t0 ) − ρ0 . Weiters ist d(x, x0 ) ≥ d(x, y) − d(x0 , y) = r − (r − t0 ) + ρ0 = t0 + ρ0 , 468

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62.12

62. Kovariante Ableitung

und die Kurve c|[0,t0 ] gefolgt von c0 hat die L¨ange t0 + ρ0 somit gilt d(x, x0 ) = t0 + ρ0 , also die gest¨ uckelte Kurve eine Geod¨ate die c|[0,t0 ] verl¨angert also mit c u unschte Gleichung auch noch f¨ ur t0 + ρ0 f¨ ur alle ¨bereinstimmt. Somit gilt die gew¨ kleinen ρ0 . Das ist ein Widerspruch dazu, daß t0 das Infimum jener t ist, f¨ ur die die Gleichung falsch ist. S0 v

S

cHt0 L

x1

x0

x

y

(1 ⇒ 3) Sei A ⊆ M abgeschlossen und beschr¨ankt, i.e. sup{d(x1 , x2 ) : x1 , x2 ∈ A} =: r < ∞. Nach (4) ist A ⊆ expx {Br (0)} =: B f¨ ur x ∈ A, und B ist als stetiges Bild der kompakten Menge Br (0) kompakt, also auch A. 62.11 Satz. Sei (M, g) eine vollst¨ andige Riemann-Mannigfaltigkeit, und sei X ∈ X(M ) ein bez¨ uglich g beschr¨ anktes Vektorfeld. Dann ist X vollst¨ andig, d.h. hat einen globalen Fluß. Beweis. Sei |X(x)|g ≤ R f¨ ur alle x ∈ M und sei c eine L¨osungskurve von X, dann gilt: Z b Z b 0 L(c|[a,b] ) = |c (t)|g dt = |X(c(t))|g dt ≤ |b − a| R a

a

Also bleibt c auf endlichen Intervallen innerhalb einer beschr¨ankten, und wegen der Vollst¨ andigkeit innerhalb einer kompakten Menge. Dies ist ein Widerspruch zu 28.3 . 62.12 Satz von Nomitzu-Ozeki. Zu jeder Riemann-Metrik gibt es immer eine konform ¨ aquivalente, die geod¨ atisch vollst¨ andig ist. Beweis. Sei (M, g) eine Riemann-Mannigfaltigkeit und d die assoziierte Metrik zu g. Sei wieder Br (x) := {y ∈ M : d(x, y) < r}. Dann setzen wir r(x) := sup{ρ > 0 : Bρ (x) ist kompakt } ∈ (0, +∞]. Aus der Dreiecksungleichung f¨ ur d folgt sofort |r(x1 ) − r(x2 )| < d(x1 , x2 ), also ist r stetig. Falls r(x) = +∞ f¨ ur ein x, so auch f¨ ur alle anderen x ∈ M , und damit ist jede abgeschlossene beschr¨ ankte Menge kompakt, also M nach 62.10 vollst¨andig. Wir d¨ urfen folglich annehmen, daß r : M → R. Nun w¨ahlen wir mittels Partition der 1 1 eine glatte Funktion f : M → R mit f (x) > r(x) f¨ ur alle x ∈ M . Und betrachten 2 die konform ¨ aquivalente Metrik gf := f g. g

f Bleibt zu zeigen, daß gf vollst¨ andig ist. Daf¨ ur gen¨ ugt es die Inklusion B1/3 (x) ⊆

g Br(x)/2 (x) zu beweisen, denn dann hat auf Grund des Beweises von 2 ⇒ 1 in 62.10 jede Geod¨ ate mindestens L¨ ange 13 , und somit durch Aneinanderst¨ uckeln unendliche L¨ ange. D.h. gf ist vollst¨ andig. c 15. Dezember 2008 [email protected]

469

62.13

62. Kovariante Ableitung

g (x) und c : [a, b] → M eine glatte Kurve von x nach y dann gilt: Sei also y ∈ / Br(x)/2 R b 0 g L (c) = a |c (t)|g dt ≥ d(x, y) > r(x) 2 und

Lgf (c) =

Z

b

|c0 (t)|gf dt =

a

Z

b

f (c(t)) |c0 (t)|g dt =

(nach dem Zwischenwertsatz)

a

Z = f (c(τ ))

b

|c0 (t)|g dt = f (c(τ )) Lg (c) >

a

Lg (c) . r(c(τ ))

Wegen |r(x) − r(c(τ ))| ≤ d(x, c(τ )) ≤ Lg (c) gilt r(c(τ )) ≤ r(x) + Lg (c) und somit Lgf (c) >

Lg (c) Lg (c) Lg (c) 1 ≥ > = g g r(c(τ )) r(x) + L (c) 2L (c) + Lg (c) 3

62.12a Beispiel. Es sei M := R2 \ {0}. Dann ist M mit der euklidischen Metrik g nicht vollst¨andig (betrachte antipodale Punkte). Die Exponentialabbildung in einem Punkt p (z.B. (1, 0)) in der konform ¨ aquivalenten vollst¨andigen Metrik gf mit f (x, y) := 1/ x2 + y 2 sieht dann wie folgt aus:

62.13 Lemma (Divergenz via kovarianter Ableitung). Sei ξ ein Vektorfeld auf der orientierten Riemannschen Mannigfaltigkeit M so gilt: div ξ = spur(η 7→ ∇η ξ). Beweis. F¨ ur die Divergenz, die wir aus der ¨außeren Ableitung durch Anwendung des Hodge-Stern-Operators gewonnen haben, und die wir auch mittels LieAbleitung der Volumsform beschrieben haben, gilt nach 43.2 folgende lokale Formel:   X  m m  X √ i i 1 ∂ ∂ ∂ i div ξ = √1G Gξ = ξ G + ξ . ∂ui 2G ∂ui ∂ui i=1

470

i=1

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63.1

62. Kovariante Ableitung F¨ ur ∇ξ haben wir die lokale Formel: 62.4.3

∇gi ξ ======

m X

ξ j ∇gi gj +

j ∂ ∂ui (ξ )gj




j=1 62.6

==== = =

m X

ξ

j=1

=

m m X X j=1

j

m X

! Γki,j gk

+

j ∂ ∂ui (ξ )gj

k=1

! ξ k Γji,k

+

∂ j ∂ui ξ

gj .

k=1

F¨ ur die Spur von η 7→ ∇η ξ erhalten wir also spur(η 7→ ∇η ξ) =

m m X X i=1

! ξ k Γii,k

+

∂ i ∂ui ξ

.

k=1

Wegen det0 (A)(B) = det(A) · spur(A−1 B) gilt schließlich: 1 ∂ 2G ∂uk G

i,j 1 ∂ 2G G spur((g )( ∂uk gi,j )) m X m X 62.6 = g j,i (Γk,i,j + Γk,j,i ) ==== = 21 i=1 j=1

=

62.6

= ==== =

m X

Γik,i =

i=1

m X

Γii,k .

i=1

63. Jacobi-Felder 63.1 Bemerkung Sei c : [0, a] → M eine Geod¨ ate in einer Riemannschen Fl¨ache. Diese l¨aßt sich als radiale Geod¨ ate der Form c(t) = expc(0) (t c0 (0)) schreiben. Sei dazu x := c(0) und v := c0 (0). Wir wollen benachbarte radiale Geod¨aten diskutieren. Nach 62.8 gibt es eine Umgebung um [0, a] × {v} ⊂ R × Tx M , auf welcher exp wohldefiniert ist. Damit existieren auf dem Intervall [0, a] die radialen Geod¨aten, welche bei x in eine Richtung nahe v starten. Betrachten wir nun die Variation (t, w) 7→ expx (t(v + w)) mit w ⊥ v. Die Richtungsableitung ξ(t) := (Ttv expx )(tw) an der Stelle (t, 0) in Richtung (0, w) definiert ein Vektorfeld ξ l¨angs c. Wir wollen nun zeigen, daß das Vektorfeld ξ die Jacobi-Gleichung ∇2 ξ(t) + K(c(t)) ξ(t) = 0 mit den Anfangswerten ξ(0) = 0 und ∇ξ(0) = w erf¨ ullt. Da ϕ : (r, θ) 7→ expx (r(cos θv + sin θw)) f¨ ur |w| = 1 = |v| geod¨ atische Parallelkoordinaten sind, also E = 1, F = 0, G > 0 erf¨ ullen, gilt die
√ ∂ 2 Jacobi-Gleichung K = − √1G ∂r G aus 53.9 . ∂ F¨ ur ξ(t) : = ∂s expx (t(v + sw)) s=0 ∂ = expx (t cos θv + t sin θw) = ∂2 ϕ(t, 0) ∂θ

2

θ=0 2

ist |ξ| = |∂2 ϕ| = G. Das Vektorfeld ξ steht normal auf c0 , da die radialen Geod¨aten die geod¨atischen Sph¨ aren (wegen F = 0) orthogonal schneiden, also l¨aßt sich ξ als √λ(t)ν(t) schreiben, 0 wobei ν das Einheitsnormalenfeld zu c in T M und λ = |ξ| = G ist. Folglich gilt √ ∂ 2 λ00 + (K ◦ c)λ = λ00 − √1G ( ∂r ) Gλ = 0. Da c eine Geod¨ate ist, ist c0 ein paralleles c 15. Dezember 2008 [email protected]

471

63.5

63. Jacobi-Felder

Vektorfeld (siehe 61.1 ) l¨ angs c und ebenso ν. Also gilt f¨ ur die kovariante Ableitung von ξ: ∇ξ = ∇(λ ν) = λ ∇ν + λ0 ν = λ0 ν ⇒

∇2 ξ = ∇(λ0 ν) = λ0 ∇ν + λ00 ν = λ00 ν

⇒

∇2 ξ + K ξ = λ00 ν + K λ ν = (λ00 + K λ)ν = 0

63.2 Definition (Jacobi-Felder). Wir nennen ein Vektorfeld ξ l¨ angs einer Geod¨ate c ein Jacobi-Feld falls es die Jacobi-Gleichung ∇2 ξ + (K ◦ c) ξ = 0 erf¨ ullt und orthonormal auf die Geod¨ate steht. 63.3 Lemma. Die Jacobi-Felder ξ l¨ angs einer Geod¨ ate c mit Anfangsbedingung ξ(0) = 0 sind genau jene Vektorfelder, welche sich als ξ(t) := (Ttc0 (0) expc(0) )(tw) mit w ∈ c0 (0)⊥ ⊂ Tc(0) M schreiben lassen. Beweis. Wir haben gerade gezeigt, daß so darstellbare Vektorfelder Jacobi-Felder sind. Berechnen wir nun noch deren Anfangswerte. Klarerweise ist ξ(0) = (T0c0 (0) expc(0) )(0w) = 0. Bez¨ uglich der Koordinaten (u1 , u2 ) 7→ expx (u1 v + u2 w) gilt u1 (t) = t, u2 (t) = 0, ξ 1 (t) = 0 und ξ 2 (t) = t. Nach 62.1 ist   m m X X k j  ∂k  dξ + ∇ξ(0) = Γki,j ξ i du dt dt ∂u i,j

k=1

=

∂ ∂u2

+

2 X

Γk2,1 · t · 1 ·

∂ | ∂uk t=0

=

∂ ∂u2

= w.

k=1

Da die lineare Differentialgleichung 2.ter Ordnung λ00 + (K ◦ c) λ = 0 aber zu jedem Anfangswert eine eindeutige L¨ osung hat, muß diese obige Gestalt besitzen. Sei nun M eine vollst¨ andige Riemann-Mannigfaltigkeit und c eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Geod¨ate in M . Wir haben 58.7 gesehen, daß Kurven die in geod¨ atischen Parallelkoordinaten nahe an c liegen, keine k¨ urzere Bogenl¨ange haben k¨ onnen. Wir untersuchen nun die Frage, wann wir geod¨atische Polarkoordinaten um c(0) finden k¨ onnen, welche bis zu c(t) reichen. Dazu folgende 63.4 Definition (Konjugierte Punkte) Es sei c(t) = expc(0) (tc0 (0)) eine Geod¨ate in M . Ein Punkt c(t) heißt konjugiert zu c(0) falls das Differential Ttc0 (0) (expc(0) ) der Exponentialabbildung bei tc0 (0) ∈ Tc(0) M kein Isomorphismus von Tc(0) M = Ttc0 (0) Tc(0) M nach Tc(t) M ist. 63.5 Satz (Konjugierte Punkte). F¨ ur eine Geod¨ ate c in einer vollst¨ andigen Riemannschen Fl¨ ache sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: 1. c(t) ist konjugiert zu c(0) l¨ angs c. 2. Es existiert ein nicht-verschwindendes Jacobi-Vektorfeld ξ l¨ angs c mit ξ(t) = 0 = ξ(0). 472

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63.7

63. Jacobi-Felder

Beweis. Es sei x := c(0) und v := c0 (0). Nach 63.3 ist das Jacobi-Feld mit Anfangsbedingung ξ(0) = 0 und ∇ξ(0) = ξ0 ⊥ v durch ξ : t 7→ (Ttv expx )(tξ0 ) gegeben. Also ist ξ(t) = 0 genau dann, wenn tξ0 im Kern von Ttv expx liegt. Nun brauchen wir nur noch zu beachten, daß (Ttv expx )(v) = c0 (t) 6= 0 und (Ttv expx )(w) ⊥ c0 (t) f¨ ur alle w ⊥ v gilt. Also ist der Kern von Ttv expx die Menge {t∇ξ(0) : ξ ist ein Jacobi-Feld l¨angs c mit ξ(t) = 0}. Da expx : Tx M → M eine Abbildung zwischen gleichdimensionalen R¨aumen ist, ist die Aussage Ker(Ttv expx ) = 0 damit a ¨quivalent, daß Ttv expx ein Isomorphismus ist. 63.6 Folgerung. Sei c eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Geod¨ ate. Falls c im Inneren eines Parameterintervalls [t1 , t2 ] keine konjugierte Punkte enth¨ alt, so gilt L(c1 ) ≥ L(c) f¨ ur jede nahe c gelegene Kurve c1 . Es gilt auch die Umkehrung, siehe [55]. Beweis. Wie im Beweis von 63.3 betrachten wir eine Abbildung ϕ nach geod¨atischen Polarkoordinaten um c(0). Wegen 63.5 ist diese Abbildung ein lokaler Diffeomorphismus in jedem Punkt von ]t1 , t2 [ × {0}. Also haben wir, abgesehen von den Randpunkten, geod¨ atische Parallelkoordinaten l¨angs c. Nach 58.7 ist dann die L¨ ange jeder nahe c gelegenen Kurve mindestens so groß wie jene von c. 63.7a Lemma. Vergleichssatz von Sturm. Es sei u (resp. v) L¨ osung der Differentialgleichung u00 (t) + a(t) u(t) = 0 (resp. 00 v (t) + b(t) v(t) = 0) mit Anfangswert u(0) = 0 = v(0) und u0 (0) = 1 = v 0 (0). Weiters sei a ≥ b (bzw. ∀ t : a(t) > b(t)). Sei tu := min{t > 0 : u(t) = 0} und tv := min{t > 0 : v(t) = 0}. Dann ist tu ≤ tv und f¨ ur 0 < t0 < t1 < tu ist v(t1 )u(t0 ) ≥ u(t1 )v(t0 ) (bzw. >) und v(t1 ) ≥ u(t1 ) (bzw. >). Beweis. Nach Voraussetzung ist u(t) > 0 f¨ ur alle 0 < t < tu und v(t) > 0 f¨ ur alle 0 < t < tv . Es sei a(t) ≥ b(t) f¨ ur alle t. W¨are tu > tv so w¨are Z tv tv Z tv 00 00 0 0 0= u (v + b · v) − v (u + a · u) = (u · v − v · u ) + (b − a) · v · u, 0 0 | {z } |0 {z } =u(tv )v 0 (tv )<0

≤0

ein Widerspruch. Sein nun 0 < t < tu . Dann ist Z t Z t t t 0= u (v 00 +b·v)−v (u00 +a·u) = (u·v 0 −v·u0 ) 0 + (b − a) · v · u ≤ (u·v 0 −v·u0 ) 0 0 0 | {z } ≤0

0

0

und somit (log ◦v) ≥ (log ◦u) , also v(t1 )u(t0 ) ≥ u(t1 )v(t0 ) f¨ ur alle 0 < t0 ≤ t1 < tu . v 0 (0) v(t0 ) = = 1 folgt v(t ) ≥ u(t ). Wegen limt0 →0 u(t 0 1 1 u (0) 0) Den Fall a(t) > b(t) f¨ ur alle t behandelt man ganz analog. 63.7 Folgerung. Sei c eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Geod¨ ate, so daß K0 ≤ K(c(t)) ≤ K1 . Dann liegt in jedem offenen Intervall der L¨ ange √πK kein konjugierter Punkt. 1 In jedem abgeschlossenen Intervall der L¨ ange √πK hingegen liegt ein konjugierter 0 Punkt. Hierbei und im folgenden sei √πK = +∞ f¨ ur K1 ≤ 0. 1

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473

63.9a

63. Jacobi-Felder

Beweis. Aus b(t) := K(c(t)) ≤ K1 =: a(t) folgt mittels 63.7a f¨ ur die L¨osung 00 ξ(t) = v(t) ν(t) derJacobi-Gleichung (siehe 63.1 ) und jene von u (t) + K1 u(t) = 0 √ 1 (also u(t) = √K sin(t K1 )) die Beziehung u(t1 ) ≤ v(t1 ) und somit v(t) = 0 ⇒ 1 √ t K ≥ π. Die zweite Aussage zeigt man ganz analog. 63.8 Theorem von Bonnet. Ist M eine vollst¨ andige zusammenh¨ angende Riemannsche Fl¨ ache und K ≥ K0 > 0, so ist der geod¨ atischen Abstand je zweier Punkte h¨ ochstens √πK . Insbesondere ist 0 M kompakt. Beweis. Nach 62.10.4 existiert zu je zwei Punkten eine Geod¨ate minimaler L¨ange. Falls diese L¨ ange gr¨ oßer als √πK ist, so enth¨alt sie nach 63.7 konjugierte Punkte, 0

und nach der Umkehrung von 63.6 ist diese Geod¨ate dann nicht die k¨ urzeste Verbindung, ein Widerspruch. Damit sind ihre Endpunkte aber h¨ochstens √πK 0 entfernt. Insbesondere ist der Durchmesser d(M ) := inf{d(x1 , x2 ) : x1 , x2 ∈ M } ≤

√π , K0

und somit ist M nach 62.10 M kompakt. 63.9b Lemma. Es sei K(x) ≤ K1 f¨ ur alle x ∈ M und ρ1 < ρ := √πK . Sei weiters c : [0, ρ1 ] → 1 M eine Bogenl¨ angen-parametrisierte Geod¨ ate von x := c(0) nach y := c(ρ1 ). Sei v : [s0 , s1 ] → Bρ (0) ⊆ Tx M eine Kurve mit expx (v(s0 )) = x und expx (v(s1 )) = y. Dann ist L(expx ◦v) ≥ L(c). Beweis. Wegen K(x) ≤ K1 f¨ ur alle x ∈ M ist expx : Bρ (0) → M ein lokaler Diffeomorphismus nach 63.7 und 63.4 . Somit ist (expx )∗ (g) eine Riemann-Metrik auf Bρ (0) und expx bzgl. dieser eine lokale Isometrie. Die Polarkoordinaten auf Bρ (0) ˙ Meinduzieren somit geod¨ atische Polarkoordinaten (siehe 58.5 ) auf Bρ (0) bzglder ∗ trik (expx )(g) und somit folgt das Resultat aus 58.7 . 63.9a Proposition. Seien (cs )s eine glatte Homotopie relativ {0, 1} zwischen zwei verschiedene Geod¨ aten von x nach y mit L(c0 ) ≤ L(c1 ). Falls K(x) ≤ K1 f¨ ur alle x ∈ M so existiert ein 0 ≤ s0 ≤ 1 mit L(cs0 ) ≥ √2π − L(c0 ) K 1

Beachte, daß dies f¨ ur K1 ≤ 0 besagt, daß verschiedene Geod¨aten von x nach y nicht homotop sein k¨ onnen. √π . K1

Wegen 63.7 und 63.4 ist expx : Bρ (0) → M ein lokaler ¨ Diffeomorphismus und somit auf jedem kleineren offenen Ball eine Uberlagerung √ (denn die Fasern sind endlich). O.B.d.A. ist L(c0 ) < ρ (andernfalls ist 2π −L(c0 ) ≤ K1 L(c0 )). Sei c0 : t 7→ expx (tv). Falls cs (t) ∈ expx (Bρ (0)) f¨ ur alle s und t, so existiert somit ein Lift (t, s) 7→ c˜s (t). Da aber der Lift der Geod¨ate c1 eine Gerade durch 0 sein muß ist das wegen c0 6= c1 unm¨oglich. Somit kommt die Homotopie den Rand von expx (Bρ (0)) beliebig nahe, d.h. f¨ ur jedes ρ1 < ρ existiert ein s ∈ [0, 1] s.d. der Lift c˜s existiert und einem Punkt im Abstand ρ1 von 0 enth¨alt. Nach 63.9b hat dann die Verkettung der beiden Kurven cs und der verkehrt durchlaufenen c0 eine L¨ ange ≥ 2ρ1 , also L(cs ) ≥ 2ρ1 − L(c0 ). Da ρ1 beliebig nahe an ρ war, folgt aus der Stetigkeit von s 7→ L(cs ) das Resultat. Beweis. Es sei ρ :=

474

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64.1

63. Jacobi-Felder

63.9 Theorem [38]. Die Exponential-Abbildung jeder vollst¨ andigen zusammenh¨ angenden Riemann-Fl¨ a¨ che mit K ≤ 0 ist f¨ ur jedes x ∈ M eine Uberlagerung expx : Tx M → M . Ist also M zus¨ atzlich einfachzusammenh¨ angend, so ist expx : Tx M → M ein Diffeomorphismus und zu je zwei Punkten gibt es genau eine minimale verbindende Geod¨ ate. ur K ≤ 0 Beweis f¨ ur einfach zusammenh¨ angendes M . Wegen 63.7 existieren f¨ keine konjugierten Punkte und somit ist expx : Tx M → M u ¨berall ein lokaler Diffeomorphismus. Nach dem Satz 62.10 von Hopf-Rinow ist expx surjektiv. Nun zur Injektivit¨ at. Sei expx (v0 ) = expx (v1 ) = p ∈ M . Dann sind ci (t) := expx (t vi ) Geod¨ aten die x mit p verbinden. Da M einfach zusammenh¨angend ist, sind diese homotop. Wegen 63.9a sind sie somit ident, also v0 = v1 . Nach 58.7 ist die radiale verbindende Geod¨ate von minimaler L¨ange. Auf allgemeinen Riemannschen Mannigfaltigkeiten sieht die Jacobi-Gleichung wie folgt aus: ∇2 ξ + R(ξ, c0 )c0 = 0, wobei R die (in 64.2 ) noch zu definierende Riemann-Kr¨ ummung bezeichnet. Die L¨ osungen der Jacobi-Gleichung heißen wieder Jacobi-Felder, die genau die Richtungsableitung von 1-Parameter-Variationen der Geod¨ate c sind. Die Darstellung f¨ ur Jacobi-Felder ξ mit ξ(0) = 0 via der Ableitung von expc(0) gilt genau wie im 2-Dimensionalen. Der Randwert dieser Jacobi-Felder beschreibt den Kern der Exponentialabbildung, und somit konjugierte Punkte. Ebenso gilt dann 63.6 und 63.8 nach Myres 1935 und 63.9 nach E. Cartan 1928, wobei K durch die Schnittkr¨ ummung (siehe 64.7 ) zu ersetzen ist F¨ ur Beweise dieser Resultate siehe z.B. [70, 6.14, 6.15, 6.16].

64. Riemann-, Ricci- und Schnittkru ¨ mmung Seien 2 Vektorfelder ξ und η im Rn gegeben. Dann gilt f¨ ur die u ¨bliche Ableitung des Vektorfelds ξ in Richtung η, die wir hier auch mit Dη ξ : x 7→ ξ 0 (x)(η(x)) bezeichnen wollen: [Dξ , Dη ] := Dξ ◦ Dη − Dη ◦ Dξ = D[ξ,η] , denn  
m i i (Dξ ◦ Dη − Dη ◦ Dξ ) (ζ i )m i=1 = ξ(η(ζ )) − η(ξ(ζ )) i=1 i m = [ξ, η](ζ i )m i=1 = D[ξ,η] (ζ )i=1




64.1 Satz (Godazzi-Mainardi-Gleichung). Sei M eine Hyperfl¨ ache im Rn und seien ξ, η, ζ Vektorfelder im Rn , welche l¨ angs M tangential an M sind. Dann ist 1. Gauß-Gleichung: ∇ξ ∇η ζ − ∇η ∇ξ ζ − ∇[ξ,η] ζ = hL η, ζiL ξ − hL ξ, ζiL η, 2. Godazzi-Mainardi-Gleichung: ∇ξ L η − ∇η L ξ = L[ξ, η]. c 15. Dezember 2008 [email protected]

475

64.3

64. Riemann-, Ricci- und Schnittkr¨ ummung

Beweis. Es ist 0 = Dξ Dη ζ − Dη Dξ ζ − D[ξ,η] ζ     62.2 = ==== = Dξ ∇η ζ − hL η, ζiν − Dη ∇ξ ζ − hL ξ, ζiν − D[ξ,η] ζ = Dξ ∇η ζ − ξ(hL η, ζi)ν − hLη, ζiDξ ν − Dη ∇ξ ζ + η(hL ξ, ζi)ν + hLξ, ζiDη ν − D[ξ,η] ζ 62.2

==== = ∇ξ ∇η ζ − hL ξ, ∇η ζiν − ξ(hL η, ζi)ν − hL η, ζiL ξ = − ∇η ∇ξ ζ + hL η, ∇ξ ζiν + η(hL ξ, ζi)ν + hL ξ, ζiL η − ∇[ξ,η] ζ + hL [ξ, η], ζiν. Der Tangentialanteil hiervon ist die Gauß-Gleichung: 0 = ∇ξ ∇η ζ − ∇η ∇ξ ζ − ∇[ξ,η] − hL η, ζiL ξ + hL ξ, ζiL η Und der Normalanteil ist die Godazzi-Mainardi-Gleichung: 0 = −h∇η ζ, L ξi − ξhL η, ζi + h∇ξ ζ, L ηi + ηhL ξ, ζi + hL [ξ, η], ζi D E = −∇ξ (L η) + ∇η (L ξ) + L [ξ, η], ζ .

64.2 Definition (Riemann-Kr¨ ummung) Die Riemann-Kr¨ ummung R : X(M ) × X(M ) → L(X(M ), X(M )) einer RiemannMannigfaltigkeit ist definiert durch die linke Seite der Gauß-Gleichung 64.1.1 : R(ξ, η) := [∇ξ , ∇η ] − ∇[ξ,η] . Die Motivation hierf¨ ur ist, daß die rechte Seite auf ζ := η angewandt und ins innere Produkt mit ξ genommen f¨ ur orthonormale Vektoren ξ und η gerade die Gaußkr¨ ummung liefert: hhL η, ηiL ξ − hL ξ, ηiL η, ξi = hL η, ηihL ξ, ξi − hL ξ, ηihL η, ξi = det(L) = K. 64.3 Lemma (Die Riemann-Kr¨ ummung ist ein Tensorfeld). Die Riemann-Kr¨ ummung ist ein 3-fach ko- und 1-fach kontravariantes Tensorfeld auf M , d.h. R ∈ Γ(T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ T M ). (Koordinatenfreier) Beweis. Dazu muß man nur zeigen, daß die Abbildung (ξ, η, ζ) 7→ R(ξ, η)(ζ) in allen Variablen C ∞ (M, R)-homogen ist, vgl. mit dem Beweis von 31.10 . R(f ξ, η) = [∇f ξ , ∇η ] − ∇[f ξ,η] 29.2.3

====== [f ∇ξ , ∇η ] − ∇f [ξ,η]−η(f )ξ = (f ∇ξ )∇η − ∇η (f ∇ξ ) − f ∇[ξ,η] + η(f )∇ξ 62.4.3

====== f ∇ξ ∇η − f ∇η ∇ξ − η(f )∇ξ − f ∇[ξ,η] + η(f )∇ξ
= f [∇ξ , ∇η ] − ∇[ξ,η] + 0 = f R(ξ, η). 476

c 15. Dezember 2008 [email protected]

64.3

64. Riemann-, Ricci- und Schnittkr¨ ummung
R(ξ, η)(f ζ) = [∇ξ , ∇η ] − ∇[ξ,η] (f ζ) 62.4.3

====== ∇ξ (f ∇η ζ + η(f )ζ) − ∇η (f ∇ξ ζ + ξ(f )ζ) − f ∇[ξ,η] ζ − [ξ, η](f )ζ 62.4.3

====== f ∇ξ ∇η ζ + ξ(f )∇η ζ + η(f )∇ξ ζ + ξ(η(f ))ζ − f ∇η ∇ξ ζ − η(f )∇ξ ζ − ξ(f )∇η ζ − η(ξ(f ))ζ − f ∇[ξ,η] ζ − ξ(η(f ))ζ + η(ξ(f ))ζ
= f ∇ξ ∇η − ∇η ∇ξ − ∇[ξ,η] ζ = f R(ξ, η)(ζ).

Koordinatenbeweis.

R(X, Y )Z = ∇X (∇Y Z) − ∇Y (∇X Z) − ∇[X,Y ] Z !  XX ∂Z i X 62.5 ∂ k i j k ==== = ∇X Y + Γj,k Z Y = ∂uk ∂ui i k j,k !  XX ∂Z i X ∂ k i j k − ∇Y X + Γj,k Z X ∂uk ∂ui i k

− ∇P



i,j

62.4.3

======

k

−Y

∂uk

k

X i,j

∂uk

k

Y +

Z

X

Γij,k Z j Y k

 ∇X

j,k

Yk +

X

Γij,k Z j Y k

!

j,k

∂ ∂ui

∂ ∂ui



∂ ∂ui k j,k ! XX ∂Z i X ∂ k i j k X + Γj,k Z X k ∂u ∂ui i ∂uk

k

−

∂ ∂uj

∂u

XX ∂Z i i

j

∂u

XX ∂Z i i

−

j

X i ∂Y i −Y i ∂Xi

XX ∂Z i i

+X

j,k



k

X +

X

Γij,k Z j X k

∇Y

j,k

∂Y j ∂X j  Xi i − Y i ∇ ∂j Z ∂u ∂u ∂ui c 15. Dezember 2008 [email protected]

477

64.3

64. Riemann-, Ricci- und Schnittkr¨ ummung 62.4.2

======

XX ∂Z i i

+

i

+

k

XX

X

∂uk

k

Y +

j,k

+

X

Xk +

X

X(Γij,k )Z j Y k

+

∂uk

k

XX i

Γij,k X(Z j )Y k

X

+

∂ ∂ul

∂ ∂ui

Y(

Γij,k Z j X k

(Γij,k )Z j X k

+

X ∂Z i ∂uk

k

X

j,k

Y l∇

l

∂Z ) Xk + ∂uk

∂ ∂ul

X

Γij,k Y (Z j )X k +

Γij,k Z j Y (X k )

j,k

j

j,k

k

+

XX X i

k

p

∂Z i p ∂ ∂uk X ∂up

+

k



+

X

p

j,k

−

XX ∂Z i i

−

k

∂uk

XX X i

Xp

k

p

k

∂Y ∂up

X +

Y

X ∂Z i X k

+

Γij,k Z j

l

Yk +

XX ∂Γij,k j k Z Y Xp ∂up j,k p X

X

∂uk

Γij,k

X

Xp

∂Y k ∂up

∂Z j k Y ∂up

∂ ∂ui

Γij,k Z j X k

 X

j,k ∂Z i p ∂ ∂uk ∂up

Xp

p

p

j,k

X

Yl

X p

l

Xk +

X ∂Z i X k

∂uk

p

Γpi,l

Yp

∂ ∂up

∂X k ∂up

∂Γij,k j k X i X p ∂Z j k + Yp Z X + Γj,k Y X ∂up ∂up p j,k p j,k  k X X ∂ i j p ∂X + Γj,k Z Y p i ∂u ∂u p XX

j,k

−

X i,j

478

Xi

∂ ∂ui



∂ ∂ui

∂ ∂ui

∂Y ∂X  X l ∂ ∂Z l ∂  Xi i − Y i − Z ∇ + ∂ ∂uj ∂ul ∂u ∂ui ∂uj ∂ul i,j l  X  X X p ∂ 62.6 X X ∂Z i k i j k l Y + Γ Z Y X Γl,i = ==== = j,k ∂uk ∂up p i X



Y (X k )

j,k j

Γij,k Z j X(Y k )

j,k

 X

j,k i

k

Y

X l∇

l

j,k

XX ∂Z i

X

 X

k

k

i

−

Γij,k Z j Y k

X ∂Z i ∂Z i X(Y k ) X( k ) Y k + ∂u ∂uk

j,k

−

X

j  X X p ∂ ∂Y j ∂Z l ∂  i ∂X l − Y Z Γ + j,l ∂ui ∂ui ∂up ∂uj ∂ul p l

c 15. Dezember 2008 [email protected]

64. Riemann-, Ricci- und Schnittkr¨ ummung =

X

Xl Y k

X ∂ ∂Z i p ∂ Γl,i + X l Y k Z j Γij,k Γpl,i k p ∂u ∂u ∂up i,j,k,l,p

i,k,l,p

+

2

X

k X ∂ Z ∂ ∂Z i ∂ p ∂Y + X ∂uk ∂up ∂ui ∂up ∂uk ∂ui

Xp Y k

i,k,p

+

i,k,p

i,j,k,p

k

X

Xp

i,j,k,p

−

X

∂ ∂Y Z j Γij,k ∂up ∂ui X ∂ ∂Z i p ∂ Γi,l − X k Y l Z j Γij,k Γpi,l k p ∂u ∂u ∂up

Xk Y l

i,j,k,l,p

i,k,l,p

−

X ∂X k ∂ ∂ Z ∂Z i ∂ Xk Y p k p − Yp i p ∂u ∂u ∂u ∂u ∂uk ∂ui 2

X i,k,p

−

i

X ∂Γij,k ∂ ∂Z j i ∂ Xp Y k Zj + Xp Y k Γ p i ∂u ∂u ∂up j,k ∂ui

X i,j,k,p

+

64.3

i

i,k,p

X

Xk Y

i,j,k,p

∂Γij,k p j Z ∂up

j X ∂ ∂ k p ∂Z − X Y Γij,k i p ∂u ∂u ∂ui i,j,k,p

X ∂X k ∂ − Y p Z j Γij,k ∂up ∂ui i,j,k,p

−

X

X ∂X j ∂ ∂Y j l p ∂ Z Γ + Y i Z l Γpj,l j,l ∂ui ∂up ∂ui ∂up

Xi

i,j,l,p

i,j,l,p

−

X i,j,l

X ∂X j ∂Y j ∂Z l ∂ ∂Z l ∂ Xi + Yi i j l i ∂u ∂u ∂u ∂u ∂uj ∂ul i,j,l

X

=

Xp Y

i,j,k,p

+

X

∂Γij,k k j Z ∂up

X ∂Γij,k ∂ ∂ k p j − X Y Z ∂ui ∂up ∂ui

X l Y k Z j Γij,k Γpl,i

i,j,k,l,p

i,j,k,l,p

+

X

j X ∂Z i p ∂ ∂ k p ∂Z Γ − X Y Γij,k l,i k p p ∂u ∂u ∂u ∂ui

Xl Y k

i,k,l,p

+

X

i,j,k,p

j

Xp Y k

i,j,k,p

+

X

i,j,k,p

X ∂ ∂ − X k Y l Z j Γij,k Γpi,l ∂up ∂up

X ∂Z ∂ ∂Z i p ∂ Γij,k − Xk Y l Γ p i ∂u ∂u ∂uk i,l ∂up i,k,l,p

k

Xp

i,j,k,p

j X ∂Y ∂ ∂ j i i ∂Y Z Γ − X Z l Γpj,l j,k ∂up ∂ui ∂ui ∂up i,j,l,p

X ∂X j X ∂X k ∂ ∂ − Y p Z j Γij,k + Y i Z l Γpj,l p i i ∂u ∂u ∂u ∂up i,j,k,p

+

X i,k,p

i,j,l,p

k

Xp

i

∂Y ∂Z ∂ − ∂up ∂uk ∂ui

X

Xi

i,j,l

∂Y j ∂Z l ∂ ∂ui ∂uj ∂ul

i l X ∂X k X ∂X j ∂ ∂ p ∂Z i ∂Z − Y + Y p k i i j ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂ul i,k,p

+

X i,k,p

i,j,l

2

Xp Y k

i

X ∂ Z ∂ ∂2Z i ∂ − Xk Y p k p k p i ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂ui i,k,p

c 15. Dezember 2008 [email protected]

479

64.4

64. Riemann-, Ricci- und Schnittkr¨ ummung =

XX

i

j

X Y Z



k

∂Γpk,j ∂ui

p i,j,k

−

∂Γpk,i

X

+

∂uj

XX

−

Γlk,i

Γpl,j



l

| =

Γpi,l

Γlk,j

{z

}

p =:Ri,j,k

∂ ∂up

p X i Y j Z k Ri,j,k

p i,j,k

64.4 Bemerkung In lokalen Koordinaten haben wir X l (1) R= Ri,j,k dui ⊗ duj ⊗ duk ⊗

∂ ∂ul

i,j,k,l

mit

  ∂ ∂ ∂ = dul R( ∂u i , ∂uj ) ∂uk

l Ri,j,k

l ∂ ∂ui Γj,k

=

l ∂ ∂uj Γi,k

−

m X (Γpj,k Γli,p − Γpi,k Γlj,p )

+

p=1

Beziehungsweise f¨ ur R(ξ, η, ζ, χ) := hR(ξ, η)ζ, χi X (2) R= Ri,j,k,l dui ⊗ duj ⊗ duk ⊗ dul i,j,k,l

mit Ri,j,k,l

m  X

p ∂ ∂ ∂ ∂ , ) = Ri,j,k gp,l | = R( ∂u i ∂uj ∂uk ∂ul p=1

=

1 2



2

∂ g ∂ui ∂uk l,j

+

m X m X

2

∂ g ∂ui ∂ul j,k

−

+

∂2 g ∂uj ∂ul i,k

−

∂2 g ∂uj ∂uk l,i



g p,q (Γi,k,q Γj,l,p − Γj,k,q Γi,l,p ).

p=1 q=1

Beweis. Wir rechnen wie folgt: m X

l ∂ ∂ ∂ ∂ Ri,j,k = R( ∂u i , ∂uj ) ∂uk := ∂ul

 ∇

∂ ∂ui

l=1 m X

62.6

= ==== =∇

∂ ∂ui

m  X Γlj,k ∇ ====== 62.4.3

−

∂ ∂ui

Γli,k ∇

62.6

= ==== =

−

Γlj,k

∂ ∂uj

+

m X

∂ ∂uk

–

! +0

l=1

l ∂ ∂ ∂uj (Γi,k ) ∂ul





m X

l ∂ ∂ ∂ui (Γj,k ) ∂ul

! Γpj,l ∂u∂ p

+

l ∂ ∂ ∂uj (Γi,k ) ∂ul

p=1

 Γpj,k Γli,p − Γpi,k Γlj,p +

l ∂ ∂ui Γj,k

−

l=1 p=1

480

∂ ∂ ∂ui , ∂uj

∂ Γli,k ∂u l

l ∂ ∂ ∂ui (Γj,k ) ∂ul

Γpi,l ∂u∂ p +

p=1

Γli,k

+

− ∇»

!

m X l=1

=

m X

l=1

m X m  X

∂ ∂ul

∂ ∂ ∂ul ∂uj

l=1 m X

∂ ∂uj

−∇

l=1

l=1 m  X

,∇

! ∂ Γlj,k ∂u l

!



c 15. Dezember 2008 [email protected]

l ∂ ∂uj Γi,k



∂ . ∂ul

∂ ∂up

64.5

64. Riemann-, Ricci- und Schnittkr¨ ummung Koeffizientenvergleich liefert also: l Ri,j,k =

l ∂ ∂ui (Γj,k )

−

l ∂ ∂uj (Γi,k )

+

m X

(Γpj,k Γli,p − Γpi,k Γlj,p ).

p=1

Nun berechnen wir m m E DX E X D p p ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , = = , ) R , Ri,j,k gp,l Ri,j,k,l := R( ∂u i ∂uj ∂uk ∂ul i,j,k ∂up ∂ul p=1

p=1

Es ist m X

p ∂ ∂ui (Γj,k )gp,l

=

m X

∂ ∂ui

! Γpj,k gp,l

−

p=1

p=1 62.6

= ==== =

m X

∂ Γpj,k ∂u i (gp,l )

p=1

∂ ∂ui (Γj,k,l )

−

m X

Γpj,k (Γi,p,l + Γi,l,p ).

p=1

und somit m X p Ri,j,k,l = Ri,j,k gp,l p=1

=

m X

p ∂ ∂ui (Γj,k )

−

p ∂ ∂uj (Γi,k )

+

p=1

=

∂ ∂ui (Γj,k,l )

−

Γqi,k Γpj,q )

gp,l

−

m X

Γpj,k (Γi,p,l | {z } (1)

+ Γi,l,p ) − | {z }

∂ ∂uj (Γi,k,l )

+

(2)

m X

Γpi,k (Γj,p,l + Γj,l,p ) | {z } | {z } p=1 (3)

(4)

m X

(Γqj,k Γi,q,l − Γqi,k Γj,q,l ) | {z } q=1 | {z }

+

(1)

62.6

(3)

1 ∂ ∂ ∂ ∂ 2 ∂ui ( ∂uj gk,l + ∂uk gl,j − ∂ul gj,k ) m X + (Γpi,k Γj,l,p − Γpj,k Γi,l,p ) | {z } p=1 | {z } (4) (2)

==== = =

1 2

! (Γqj,k Γpi,q

q=1

p=1

=

m X



∂2 g ∂ui ∂uk l,j

+

m m X X

−

∂2 g ∂ui ∂ul j,k

+

−

∂2 g ∂uj ∂ul i,k

1 ∂ ∂ 2 ∂uj ( ∂ui gk,l

−

∂2 g ∂uj ∂uk l,i

+

∂ g ∂uk l,i

−

∂ g ) ∂ul i,k



g p,q (Γi,k,q Γj,l,p − Γj,k,q Γi,l,p ).

p=1 q=1

64.5 Lemma (Symmetrie der Riemann-Kr¨ ummung). Die Riemann-Kr¨ ummung erf¨ ullt folgende Identit¨ aten: 1. 2. 3. 4. 5.

R(X, Y )Z + R(Y, X)Z = 0 hR(X, Y )Z, W i + hR(X, Y )W, Zi = 0 hR(X, Y )Z, W i = hR(Z, W )X, Y i R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0 (∇Z R)(X, Y, W ) + (∇X R)(Y, Z, W ) + (∇Y R)(Z, X, W ) = 0.

at. Die Gleichungen 4 und 5 heißen 1.te und 2.te Bianchi Identit¨ Beweis. c 15. Dezember 2008 [email protected]

481

64.5

64. Riemann-, Ricci- und Schnittkr¨ ummung

1 ist klar wegen der Definition R(X, Y ) := ∇X ∇Y − ∇Y ∇X − ∇[X,Y ] . 2 ist ¨ aquivalent zu hR(X, Y )Z, Zi = 0 f¨ ur alle X,Y ,Z. Es ist: R(X, Y , Z, Z) =

h∇X ∇Y Z, Zi | {z }

−h∇Y ∇X Z, Zi − h∇[X,Y ] Z, Zi

Xh∇Y Z,Zi−h∇Y Z,∇X Zi

=X

=

1

 1  Y (hZ, Zi) − h∇Y Z, ∇X Zi − Y X(hZ, Zi) + h∇X Z, ∇Y Zi 2 2 − h∇[X,Y ] Z, Zi

1 [X, Y ]hZ, Zi − 0 − h∇[X,Y ] Z, Zi = 0 2

und es gen¨ ugt die Aussage f¨ ur [X, Y ] = 0 zu zeigen. Es gilt dann hR(X, Y )Z, Zi = h∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z, Zi. Wir m¨ ussen also zeigen, daß h∇X ∇Y Z, Zi symmetrisch ist in X und Y : Wegen [X, Y ] = 0 ist Y XhZ, Zi symmetrisch in X und Y . Durch Differenzieren in Richtung X erhalten wir XhZ, Zi = 2h∇X Z, Zi und weiteres Differenzieren in Richtung Y ergibt: Y XhZ, Zi = 2h∇Y ∇X Z, Zi + 2h∇X Z, ∇Y Zi.

4 Nach 62.4 gilt ∇Y Z − ∇Z Y = [Y, Z] und durch Anwenden von ∇X erhalten wir: ∇X ∇Y Z − ∇X ∇Z Y − ∇[Y,Z] X = ∇X [Y, Z] − ∇[Y,Z] X = [X, [Y, Z]] Der zyklische Ausdruck l¨ aßt sich nun wie folgt umformen: R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z | {z } | {z } | {z } (1)

(2)

(3)

+ ∇Y ∇Z X − ∇Z ∇Y X − ∇[Y,Z] X | {z } | {z } | {z } (2)

(3)

(1)

+ ∇Z ∇X Y − ∇X ∇Z Y − ∇[Z,X] Y | {z } | {z } | {z } (3)

(1)

(2)

= [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] | {z } | {z } | {z } (1)

=0

(2)

(3)

(wegen der Jacobi-Identit¨at).

3 folgt rein algebraisch aus 1 , 2 und 4 : Man setzt R(X, Y, Z, W ) := hR(X, Y )Z, W i. Nun betrachtet man einen Oktaeder und bezeichne 4 der Seitenfl¨ achen (die sich nur in Ecken schneiden) mit X, Y , Z, W. 482

c 15. Dezember 2008 [email protected]

64.5

64. Riemann-, Ricci- und Schnittkr¨ ummung

RHX,Y,Z,WL Z

RHX,W,Y,ZL

RHW,Y,X,ZL

W Y

X

RHZ,X,Y,WL

RHZ,Y,W,XL

RHZ,W,X,YL

Die Ecken des Oktaeders, welche z.B. der Schnitt der Fl¨achen X und Y ist, wird mit R(Z, W, X, Y ) bezeichnet, da von dieser Ecke aus betrachtet die Fl¨achen X, Z, Y , W aufeinander folgen. Wegen 1 und 2 ist es egal, von welcher der beiden angrenzenden Fl¨ achen X oder Y aus man zu z¨ahlen beginnt.

Nun beachte man, daß die Summen der Ecken der Dreiecke X, Y , Z, W wegen 4 Null sind.

RHX,Y,Z,WL W

RHW,Y,X,ZL

RHZ,Y,W,XL

X Z RHX,W,Y,ZL

Y

RHZ,X,Y,WL

RHZ,W,X,YL

Z¨ ahlt man diese Summen f¨ ur die Dreiecke Z und W zusammen und zieht jene f¨ ur X und Y ab, so erh¨ alt man, daß das Doppelte von der Differenz aus der Ecke W ∩Z und der Ecke X ∩ Y Null ist, d.h. 3 gilt. c 15. Dezember 2008 [email protected]

483

64.5

64. Riemann-, Ricci- und Schnittkr¨ ummung

RHX,Y,Z,WL

Z

W

RHX,W,Y,ZL

RHW,Y,X,ZL RHZ,X,Y,WL

RHZ,Y,W,XL

Y

X

RHZ,W,X,YL

In Detail bedeutet dies: (+)

R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) = 0 | {z } | {z } | {z } (1)

(−)

(2)

R(W, X, Y, Z) + R(X, Y, W, Z) + R(Y, W, X, Z) = 0 {z } | {z } | {z } | (4)

(−)

(1)

(5)

R(Z, W, X, Y ) + R(W, X, Z, Y ) + R(X, Z, W, Y ) = 0 | {z } | {z } | {z } (6)

(+)

(3)

(4)

(3)

R(Y, Z, W, X) + R(Z, W, Y, X) + R(W, Y, Z, X) = 0 {z } | {z } | {z } | (2)

⇒

(6)

(5)

2 R(X, Y, Z, W ) − 2 R(Z, W, X, Y ) = 0 | {z } | {z } (1)

(6)

5 Um diesem Punkt u ¨berhaupt Sinn zu geben, muß man ∇Z auf Tensorfelder ausdehnen. Das geht mittels Produkt-Regel, i.e. (∇Z R)(X, Y, W ) := = ∇Z (R(X, Y )W ) − R(∇Z X, Y )W − R(X, ∇Z Y )W − R(X, Y )∇Z W = ∇Z (R(X, Y )W ) + R(Y, ∇Z X)W − R(X, ∇Y Z + [Z, Y ])W − R(X, Y )∇Z W. P Mit zykl. bezeichnen wir die zyklische Summe bez¨ uglich der Variablen X, Y und Z. Dann gilt X

(∇Z R)(X, Y, W ) =

zykl.

=−

X

∇Z (R(X, Y )W ) −

zykl.

484

X

R(X, −[Y, Z])W −

zykl.

c 15. Dezember 2008 [email protected]

X zykl.

R(X, Y )∇Z W

64.6

64. Riemann-, Ricci- und Schnittkr¨ ummung =

X zykl.

+

  ∇Z [∇X , ∇Y ] − ∇[X,Y ] W | {z } | {z } (1)

X zykl.

−

[∇X , ∇[Y,Z] ] W − ∇[X,[Y,Z]] W | {z } | {z } (4)

X zykl.

=

(4)



(3)

[∇X , ∇Y ]∇Z W − ∇[X,Y ] ∇Z W {z } | | {z } (2)



(4)

− ∇P

W zykl. [X,[Y,Z]] {z }

| +

(3)

X zykl.

 ∇Z [∇X , ∇Y ] W − [∇X , ∇Y ]∇Z W + |{z} 0 | {z } {z } | (1)

(2)

(4)



 X  =0+ [∇X , ∇Y ], ∇Z  W zykl.

=0

wegen der Jacobi-Identit¨at.

64.6 Folgerung (Polarisierungsformel). F¨ ur die Riemannkr¨ ummung gilt: 4! R(X, Y, Z, W ) = = −R(Z+X, Y +W, Y +W, Z+X) + R(Z+X, Y −W, Y −W, Z+X) + R(Z−X, Y +W, Y +W, Z−X) − R(Z−X, Y −W, Y −W, Z−X) + R(Z+Y, X+W, X+W, Z+Y ) − R(Z+Y, X−W, X−W, Z+Y ) − R(Z−Y, X+W, X+W, Z−Y ) + R(Z−Y, X−W, X−W, Z−Y )

Beweis. Es ist (6)

R(X, Y +Z, Y +Z, X) − R(X, Y −Z, Y −Z, X) =   = 2 R(X, Y, Z, X) + R(X, Z, Y, X)   64.5.1 , 64.5.2 = ============ = 2 R(X, Y, Z, X) + R(Z, X, X, Y ) 64.5.3

====== 4 R(X, Y, Z, X) und weiters (7)

R(X+W, Y, Z, X+W ) − R(X−W, Y, Z, X−W ) =   = 2 R(X, Y, Z, W ) + R(W, Y, Z, X)

c 15. Dezember 2008 [email protected]

485

64.6

64. Riemann-, Ricci- und Schnittkr¨ ummung

Also ist (8) R(Y , Z, X, W ) = 64.5.1 , 64.5.2

============ = R(Z, Y, W, X) =  7 1 == −R(X, Y, W, Z) + R(Z+X, Y, W, Z+X) − R(Z−X, Y, W, Z−X) 2 64.5.2 , 6

========= R(X, Y, Z, W ) 1 R(Z+X, Y +W, Y +W, Z+X) − R(Z+X, Y −W, Y −W, Z+X) + 8  − R(Z−X, Y +W, Y +W, Z−X) + R(Z−X, Y −W, Y −W, Z−X)

(9) R(Z, X, Y, W ) = 64.5.2

====== −R(Z, X, W, Y )  7 1 == R(Y, X, W, Z) − R(Z+Y, X, W, Z+Y ) − R(Z−Y, X, W, Z−Y ) 2 64.5.1 , 64.5.2 , 6

=============== = R(X, Y, Z, W ) =  1 R(Z+Y, X+W, X+W, Z+Y ) − R(Z+Y, X−W, X−W, Z+Y ) − 8  − R(Z−Y, X+W, X+W, Z−Y ) + R(Z−Y, X−W, X−W, Z−Y )

und damit 8 9 z }| { z }| { 0 ====== R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) 64.5.4

= R(X, Y, Z, W ) + R(X, Y, Z, W ) 1 + R(Z + X, Y + W, Y + W, Z + X) − R(Z + X, Y − W, Y − W, Z + X) 8  − R(Z − X, Y + W, Y + W, Z − X) + R(Z − X, Y − W, Y − W, Z − X)

+ R(X, Y, Z, W ) 1 R(Z + Y, X + W, X + W, Z + Y ) − R(Z + Y, X − W, X − W, Z + Y ) − 8  − R(Z − Y, X + W, X + W, Z − Y ) + R(Z − Y, X − W, X − W, Z − Y )

und schließlich 4! R(X, Y, Z, W ) = = −R(Z + X, Y + W, Y + W, Z + X) + R(Z + X, Y − W, Y − W, Z + X) + R(Z − X, Y + W, Y + W, Z − X) − R(Z − X, Y − W, Y − W, Z − X) + R(Z + Y, X + W, X + W, Z + Y ) − R(Z + Y, X − W, X − W, Z + Y ) − R(Z − Y, X + W, X + W, Z − Y ) + R(Z − Y, X − W, X − W, Z − Y ) 486

c 15. Dezember 2008 [email protected]

64. Riemann-, Ricci- und Schnittkr¨ ummung

64.8

Dazu gen¨ ugt es zu zeigen, daß R = 0, falls hR(X, Y )Y, Xi = 0 f¨ ur alle X, Y . Wir setzen R(X, Y, Z, W ) := hR(X, Y )Z, W i. 0 = R(X, Y + W, Y + W, X) = R(X, Y, Y, X) + R(X, Y, W, X) + R(X, W, Y, X) + R(X, W, W, X) = 0 + R(X, Y, W, X) + R(X, W, Y, X) + 0 (3)

== R(X, Y, W, X) + R(Y, X, X, W ) (1),(2)

===== 2R(X, Y, W, X). Aus (1) und (2) folgt nun, daß R(X, Y, Z, W ) alternierend ist, und nach (4) ist: 3R(X, Y, Z, W ) = 0. 64.7 Definition. Wir wollen nun die Ausdr¨ ucke der Form R(X, Y, Y, X) in der Polarisierungsformel 64.6 weiter untersuchen. Sei dazu   X0 = a X + b Y a b A = . c d Y 0 = cX + dY Wegen der Schiefsymmetrie 64.5.1 und 64.5.2 ist R(X 0 , Y 0 , Y 0 , X 0 ) = det(A) R(X, Y, Y 0 , X 0 ) = det(A)2 R(X, Y, Y, X). Das gleiche Transformationsverhalten hat auch |X|2 |Y |2 − hX, Y i2 , da dies das Quadrat der Fl¨ ache des von X und Y erzeugten Parallelogramms ist, siehe dazu 53.4 . Folglich ist der Ausdruck K(F ) :=

R(X, Y, Y, X) |X|2 |Y |2 − hX, Y i2

unabh¨ angig von der Wahl eines Erzeugendensystems des von X und Y erzeugten 2-dimensionalen Teilraums F := h{X, Y }i von Tp M . Diese Zahl heißt die Schnittkr¨ ummung von F . Die Polarisierungsformel 64.6 zeigt, daß die Riemannkr¨ ummung sich aus der Schnittkr¨ ummung berechnen l¨aßt. 64.8 Satz (Gauß-Kr¨ ummung versus Schnitt-Kr¨ ummung). F¨ ur jede Riemann-Fl¨ ache M ist die Gaußkr¨ ummung ident mit der Schnittkr¨ ummung (des ganzen 2-dimensionalen Tangentialraums). Beweis f¨ ur Hyperfl¨ achen im R3 . Sei (ξx , ηx ) eine Orthonormalbasis von Tx M . Dann ist K(Tx M ) := hRx (ξx , ηx )ηx , ξx i E 64.1 D = ==== = hLx ηx , ηx iLx ξx − hLx ξx , ηx iLx ηx , ξx = hLx ηx , ηx ihLx ξx , ξx i − hLx ξx , ηx ihLx ηx , ξx i = det(Lx ) = Kx Beweis f¨ ur abstrakte Riemann-Fl¨ achen. Falls X und Y nicht orthonormal sind, dann ist hR(X, Y )Y, Xi noch durch das Quadrat der Fl¨ ache des Parallelogramms, welches von den Vektoren aufgespannt wird zu dividieren. Wir d¨ urfen also ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit annehmen, daß c 15. Dezember 2008 [email protected]

487

64.8

64. Riemann-, Ricci- und Schnittkr¨ ummung

X = ∂1 und Y = ∂2 ist. Das Quadrat der Fl¨ache ist dann hX, XihY, Y i − hX, Y i2 = EG − F 2 . Wir m¨ ussen noch 4hR(X, Y )Y, Xi(EG − F 2 ) = 4(EG − F 2 )2 K ur R1,2,2,1 und die f¨ ur 4(EG − zeigen. Vergleichen wir die lokale Formel 64.4 f¨ F 2 )2 K in 53.8 , so sehen wir, daß der erste Term der linken Seite mit dem letzten der rechten Seite und der zweite Term der linken mit den ersten 3 Termen der G 1,2 rechten u = g 2,1 = ¨bereinstimmt. Dabei beachte man, daß g 1,1 = EG−F 2, g F E 2,2 1 2 − EG−F = EG−F 2 und g 2 ist. Es seien (u , u ) lokale Koordinaten auf M . Dann ist
∂ ∂ R ∂ 1 , ∂ 2 , ∂u 2 , ∂u1 =: R1,2,2,1 D2 · K(Tx M ) := D2 · ∂ 2 ∂u∂ ∂u ∂ ∂ 2 | ∂u1 | | ∂u1 |2 − |h ∂u 1 , ∂u2 i|  64.4 1  ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 ==== = = 1 ∂u2 g1,2 − ∂u1 ∂u1 g2,2 + ∂u2 ∂u1 g1,2 − ∂u2 ∂u2 g1,1 ∂u 2 + g 1,1 (Γ1,2,1 Γ2,1,1 − Γ2,2,1 Γ1,1,1 ) + g 1,2 (Γ1,2,2 Γ2,1,1 − Γ2,2,2 Γ1,1,1 ) + g 2,1 (Γ1,2,1 Γ2,1,2 − Γ2,2,1 Γ1,1,2 ) + g 2,2 (Γ1,2,2 Γ2,1,2 − Γ2,2,2 Γ1,1,2 ) 58.1 , 62.6

========= = =

1 (F1,2 − G1,1 + F2,1 − E2,2 ) 2

G (E2 E2 − (2F2 − G1 )E1 ) D2 F − 2 (G1 E2 − G2 E1 ) D F − 2 (E2 G1 − (2F2 − G1 )(2F1 − E2 )) D E + 2 (G1 G1 − G2 (2F1 − E2 )) D E = (E2 G2 − 2F1 G2 + G1 2 ) 4D2 F + (E1 G2 − E2 G1 − 2E2 F2 + 4F1 F2 − 2F1 G1 ) 4D2 G + (E1 G1 − 2E1 F2 + E2 2 ) 4D2 1 − (E2,2 − 2F1,2 + G1,1 ) 2 +

53.7

==== = D2 K Oder etwas anders gerechnet:  2 64.4 Ri,j,k,l = ==== = 12 ∂u∂i ∂uk gl,j − +

m X

∂2 g ∂ui ∂ul j,k

+

∂2 g ∂uj ∂ul i,k

−

∂2 g ∂uj ∂uk l,i



(Γpi,k Γj,l,p − Γpj,k Γi,l,p )

p=1 64.4

R1,2,2,1 = ==== =

1 2



∂2 ∂u1 ∂u2 g1,2

−

∂2 ∂u1 ∂u1 g2,2

+

∂2 ∂u2 ∂u1 g1,2

+ (Γ11,2 Γ2,1,1 − Γ12,2 Γ1,1,1 ) + (Γ21,2 Γ2,1,2 − Γ22,2 Γ1,1,2 ) 488

c 15. Dezember 2008 [email protected]

−

∂2 ∂u2 ∂u2 g1,1



64.11

64. Riemann-, Ricci- und Schnittkr¨ ummung 58.1 , 62.6

= ========= = 21 (F1,2 − G1,1 + F2,1 − E2,2 ) E2 G − G1 F E2 · + 2D2 2 2 F2 G − G1 G − G2 F E1 · − 2D2 2 −E2 F + G1 E G1 · + 2D2 2 −2 F2 F + G1 F + G2 E 2 F1 − E2 · − 2D2 2 E = (E2 G2 − 2F1 G2 + G1 2 ) 4D2 F + 2 (E1 G2 − E2 G1 − 2E2 F2 + 4F1 F2 − 2F1 G1 ) D G + 2 (E1 G1 − 2E1 F2 + E2 2 ) D 1 − (E2,2 − 2F1,2 + G1,1 ) 2 53.7

= ==== = D2 K.

64.9 Definition (Normalkoordinaten) Unter Riemannschen Normalkoordinaten versteht man die Parametrisierung m X  ϕ : (u1 , . . . , um ) 7→ expp ui Xi i=1

f¨ ur eine Orthonormalbasis (X1 , . . . , Xm ) von Tp M . 64.10 Lemma (Christoffelsymbole in Normalkoordinaten). In Riemannschen Normalkoordinaten verschwinden alle Christoffelsymbole bei p. Beweis. Offensichtlich gilt gi,j (p) :=



∂ ∂ ∂ui , ∂uj



(p) = hXi , Xj i = δi,j .

Die radialen Geod¨ aten t 7→ expp (tX) erf¨ ullen die Geod¨aten-Gleichung d2 uk dt2

+

m X

i

Γki,j du dt

duj dt

= 0.

i,j=1

F¨ ur u(t) := tXj gilt wegen uk (t) = δjk t somit Γkj,j (p) = 0. F¨ ur u(t) := t(Xi + Xj ) folgt analog Γki,i + Γki,j + Γkj,i + Γkj,j = 0 und da Γki,j symmetrisch in (i, j) ist, ist Γki,j (p) = 0 f¨ ur alle i, j, k. 64.11 Lemma. Sei M eine Riemann-Mannigfaltigkeit und F < Tx M ein 2-dimensionaler Teilraum. Dann ist die Schnittkr¨ ummung K(F ) genau die Gauß-Kr¨ ummung der lokal durch exp(F ) gegebenen Fl¨ ache. Beweis. Wegen 64.8 gen¨ ugt es zu zeigen, daß die Riemann-Kr¨ ummung RN der Fl¨ache N := exp(F ) mit der Riemann-Kr¨ ummung RM auf M u ¨bereinstimmt, wobei N durch (t, s) 7→ expp (tXp + sYp ) parametrisiert wird und die von M induzierte Metrik tr¨ agt. c 15. Dezember 2008 [email protected]

489

64.13

64. Riemann-, Ricci- und Schnittkr¨ ummung

Pm Dazu w¨ ahlt man Riemann-Normalkoordinaten ϕ : (u1 , . . . , um ) 7→ expp ( i=1 ui Xi ) f¨ ur eine Orthonormalbasis (X1 , . . . , Xm ) des Tangentialraums Tp M . Bez¨ uglich diesen verschwinden nach 64.10 alle Christoffelsymbole bei p. Da die Koeffizientenfunktionen gi,j f¨ ur M und N u ur ¨bereinstimmen, gilt das auch f¨  2  2 2 2 Ri,j,k,l = 21 ∂∂j ∂ l gi,k + ∂∂i ∂ k gj,l − ∂∂j ∂ k gi,l − ∂∂i ∂ l gj,k + 0.

64.12 Satz (Ungekr¨ ummte R¨ aume). F¨ ur eine Riemann-Mannigfaltigkeit sind ¨ aquivalent: 1. R = 0. 2. M ist lokal isometrisch zum Euklidischen Raum. angig. 3. Der Paralleltransport (siehe 61 ) ist lokal wegunabh¨ Der Punkt (3) ist global nicht allgemein g¨ ultig wie das M¨obiusband mit flacher Metrik zeigt. Beweis. (1 ⇒ 3) Indem wir eine Karte verwenden, k¨onnen wir annehmen, daß M eine offene Umgebung von 0 in Rm ist, allerdings mit einer allgemeinen RiemannMetrik g. Wir m¨ ussen zu gegebenem Anfangswert X0 ein Vektorfeld X finden, welches l¨ angs jeder Kurve parallel ist. Dazu gen¨ ugt es, daß ∇∂i X = 0 f¨ ur alle i = 1, . . . , m ist. Zuerst finden wir ein l¨angs der u1 -Achse paralleles Vektorfeld u1 7→ X(u1 , 0, . . . , 0). Zu jedem u1 finden wir l¨angs der Kurve u2 7→ (u1 , u2 , 0, . . . , 0) ein paralleles Vektorfeld u2 7→ X(u1 , u2 , 0, . . . , 0) mit Anfangswert X(u1 , 0, . . . , 0). Und somit erhalten wir ein Vektorfeld (u1 , u2 ) 7→ X(u1 , u2 , 0, . . . , 0) l¨angs der 2Fl¨ache ψ : (u1 , u2 ) 7→ (u1 , u2 , 0, . . . , 0). Dieses erf¨ ullt: ∇∂2 X = 0 l¨angs ψ und ∇∂1 X = 0 l¨ angs u1 7→ ψ(u1 , 0). Es gilt ∇∂1 ∇∂2 X − ∇∂2 ∇∂1 X = R(∂1 , ∂2 )X = 0, da [∂s , ∂t ] = 0 ist, weil die Fl¨ usse t 7→ (t, s) und s 7→ (t, s) miteinander kommutieren. Somit ist ∇∂2 ∇∂1 X = 0, d.h. ∇∂1 X ist parallel l¨angs u2 7→ ψ(u1 , u2 ). Aus ∇∂1 X = 0 l¨ angs u1 7→ ψ(u1 , 0) folgt ∇∂1 X = 0 l¨angs ψ. Es ist also X parallel l¨angs aller Kurven in der 2-Fl¨ ache ψ. Nun kann man obigen Prozeß fortsetzen, um das gew¨ unschte parallele Vektorfeld X zu erhalten. Dies zeigt, daß der Paralleltransport wegunabh¨angig ist. (3 ⇒ 2) W¨ ahlt man als Anfangswert die Vektoren einer Orthonormal-Basis von T0 Rm , so erh¨ alt man parallele Vektorfelder Xi , welche punktweise eine Basis bilden. F¨ ur diese gilt [Xi , Xj ] = ∇Xi Xj − ∇Xj Xi = 0. Diese k¨onnen integriert werden, um eine Karte ϕ zu erhalten, welche ϕi = Xi erf¨ ullt, siehe 29.12 . In dieser Karte hat die Riemann-Metrik dann aber Koeffizienten δi,j nach 61.5.1 , d.h. ϕ ist eine lokale Isometrie zwischen dem flachen Rm und M . (2 ⇒ 1) Da die kovariante Ableitung und somit die Riemann-Kr¨ ummung eine intrinsische Gr¨ oße ist, also nur von der Riemann-Metrik abh¨angt, gen¨ ugt es R f¨ ur den Euklidischen Raum zu berechnen, dort ist aber R = 0 wegen der Vorbemerkung zu 64.1 .

64.13 Definition (Kr¨ ummungen) Unter der Ricci-Kr¨ ummung einer Riemann-Mannigfaltigkeit versteht man Ricci(X, Y ) = spur(Z 7→ R(Z, X)(Y )) = − spur(Z 7→ R(X, Z)(Y )). 490

c 15. Dezember 2008 [email protected]

64.7a

64. Riemann-, Ricci- und Schnittkr¨ ummung In lokalen Koordinaten gilt: X X ∂ Yj Ricci X i ∂u i,

∂ ∂uj



=

j

i

=

X

=

X

X i Y j Ricci



∂ ∂ ∂ui , ∂uj



i,j

Xi Y j

i,j

X k

    ∂ ∂ duk R ∂u∂ k , ∂u i j ∂u {z } | k Rk,i,j

64.4.1

======

X

Xi Y j

i,j

X

∂ Γi ∂uk i,j

−

i ∂ ∂ui Γk,j

+

X

(Γpi,j Γik,p − Γpk,j Γii,p )



p

k

Beachte, daß Ricci : Tx M × Tx M → R symmetrisch ist, denn   X 64.4.2 X 64.5.3 X k ∂ ∂ Rk,i,j,l g l,k ====== Rj,l,k,i g l,k Ricci ∂u = Rk,i,j ====== i , ∂uj k,l

k 64.5.1 , 64.5.2

= ============ =

X

k,l

Rl,j,i,k g k,l =

l,k

X

  l ∂ ∂ Rl,j,i = Ricci ∂u j , ∂ui

l

Unter der Skalarkr¨ ummung versteht man S := spurg (ξ 7→ (Ricci(ξ, ))[ ), also von der Abbildung ∼ Tx M −Ricci∨→ (Tx M )∗ −=[→ Tx M. x

In Koordinaten ist das somit   X ∂ ∂ S := Ricci ∂u g i,j i , ∂uj i,j

=

X X i,j

k

k ∂ ∂ui Γk,j

−

∂ Γk ∂uk i,j

+

X

 (Γpk,j Γki,p − Γpi,j Γkk,p ) g i,j .

p

Beachte, daß dies wegen der Symmetrieeigenschaften 64.6 alle nicht trivialen Spuren sind, welche man aus der Riemannkr¨ ummung bilden kann. 64.7a Proposition. Eine Riemann-Mannigfaltigkeit hat genau dann konstante Schnittkr¨ ummung auf G(2, Tp M ), wenn f¨ ur alle X, Y, Z ∈ Tp M gilt:
R(X, Y )Z = K · g(Y, Z)X − g(X, Z)Y Beweis. (⇐) Sei R(X, Y )Z = K · g(Y, Z)X − g(X, Z)Y K ∈ R. Dann ist
g(R(X, Y )Y, X) K h{X, Y }i := g(X, X)g(Y, Y ) − g(X, Y )2




mit einer Konstanten



g K · g(Y, Y )X − g(X, Y )Y , X = =K g(X, X)g(Y, Y ) − g(X, Y )2 (⇒) Sei K die konstante Schnittkr¨ ummung. Der Ausdruck


g K · g(Y, Z)X − g(X, Z)Y , W = K · g(Y, Z)g(X, W ) − g(X, Z)g(Y, W ) hat die Eigenschaften 64.5.1 – 64.5.4 und stimmt f¨ ur Z = Y und W = X mit g(R(X, Y )Y, X) u ¨berein. Wegen 64.6 (wo wir nur diese Eigenschaften) verwendet haben stimmt er u ¨berhaupt mit g(R(X, Y )Z, W ) u ¨berein. c 15. Dezember 2008 [email protected]

491

66.2

64. Riemann-, Ricci- und Schnittkr¨ ummung

64.14 Folgerung. Eine m-dimensionale Riemann-Mannigfaltigkeit habe konstante Schnittkr¨ ummung K. Dann gilt f¨ ur die Ricci- und die Skalarkr¨ ummung: Ricci(X, Y ) = K · (m − 1) · g(X, Y ) S = K · (m − 1) · m Beweis.   Ricci(X, Y ) = spur Z 7→ R(Z, X)Y  64.7a
 ===== = spur Z 7→ K · g(X, Y )Z − g(Z, Y )X =
= K · m · g(X, Y ) − g(X, Y ) = K · (m − 1) · g(X, Y )   
[  und S = spur X 7→ (Ricci(X, ))[ = spur X 7→ K · (m − 1) · g(X, )
= spur X 7→ K · (m − 1) · X = K · (m − 1) · m.

66. Die Begleitbeinmethode von Cartan 66.1 Definition. Es sei (M, g) eine m-dimensionale (Pseudo-)Riemann-Manigfaltigkeit, d.h. g ist eine (nicht notwendig positiv) definite Metrik auf der Mannigfaltigkeit M . Ein lokales m-Bein (m-Frame) auf einer offenen Menge U ⊆ M ist ein m-Tupel von Vektorfeldern si auf U die punktweise (d.h. f¨ ur jedes x ∈ U ) eine Basis von Tx M bilden. Es heißt s = (s1 , . . . , sm ) orthonormal-Bein falls {si (x)}i eine orthonormal-Basis von Tx M f¨ ur jedes x ∈ U ist, d.h. g(si , sj ) = ±δi,j . Lokal existieren orthonormal-Beine, denn die symmetrische definite bilinear-Form gx auf Tx M l¨ aßt sich in einer Basis (e1 , . . . , em ) als X  X X X gx v i ei , v j ej = v i wi − v i wi i

j

i≤p

i>p

schreiben, siehe 14.8 . Und indem wir die ei zu lokal linear unabh¨angigen Vektorfeldern erweitern und auf diese Gram-Schmidt anwenden erhalten wir einen orthonormal-Rahmen. Pm Falls s und s0 zwei m-Beine auf U sind, so ist s0i = j=1 sj · hji (kurz: s0 = s · h) f¨ ur ein eindeutig bestimmtes h = (hji )i,j=1,...m ∈ C ∞ (U, GL(m)). Sei s = (s1 , . . . , sm ) ein m-Bein auf U und ∇ die Levi-Civita-Ableitung. Dann existieren eindeutig bestimmte ωij ∈ Ω1 (U ) mit X ∇ξ si = sj · ωij (ξ), kurz: ∇ξ s = s · ω(ξ) bzw. ∇s = s · w j

wobei ω = heißt.

(ωij )i,j=1,...,m

∈ Ω1 (U, L(m)) Zusammenhangsmatrix von ∇ bzgl. s

66.2 Lemma. P Es sei η = j sj η j ein Vektorfeld auf U . Dann ist X  X ∇η = sk · ωjk · η j + dη k = s · ω · η + s · dη. k

492

j

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66.5

66. Die Begleitbeinmethode von Cartan Beweis. ∇ξ η = ∇ξ

X

 X  (∇ξ sj ) · η j + sj · ξ(η j ) sj η j = j

j

=

XX j

sk ·

ωjk (ξ)

 X X  · η j + sj · dη j (ξ) = sk · ωjk · η j + dη k (ξ)

k

j

k

66.3 Lemma. Es seien s und s0 = s · h zwei m-Beine und ω und ω 0 die zugeh¨ origen Zusammenhangsformen, dann gilt: h · ω 0 = dh + ω · h. Beweis. s · h · ω 0 = s0 · ω 0 = ∇s0 = ∇(s · h) = s · dh + ∇s · h = s · dh + s · ω · h ⇒h · ω 0 = dh + ω · h.

66.4 Lemma. Es sei s ein orthonormal-Bein, ω die zugeh¨ orige Zusammenhangsform und εi := g(si , si ) ∈ {±1}, dann gilt: εi ωki + εk ωik = 0. Beweis. εi δi,j = g(si , sj ) ⇒ 0 = dg(si , sj ) = g(∇si , sj ) + g(si , ∇sj ) X   X  sk · ωik , sj + g si , =g sk · ωjk k

=

X

k

ωik

g(sk , sj ) +

k

X

ωjk

g(si , sk ) = εj ωij + εi ωji .

k

66.5 Lemma. Es sei s ein orthonormal-Bein und ω die zugeh¨ orige Zusammenhangsform. Wir setzen R(ξ, η)s := (R(ξ, η)si )i=1,...,m . Dann gilt: R(ξ, η)s = s · (dω + ω ∧ ω)(ξ, η), wobei ω ∧ ω :=

X

ωki ∧ ωjk

k



∈ Ω2 (U, L(m)). i,j

Beweis. R(ξ, η)s = ∇ξ ∇η s − ∇η ∇ξ s − ∇[ξ,η] s = ∇ξ (s · ω(η)) − ∇η (s · ω(ξ)) − s · ω([ξ η]) = s · d(ω(η))(ξ) + ∇ξ s · ω(η) − s · d(ω(ξ))(η) − ∇η s · ω(ξ) − s · ω([ξ, η])     = s · d(ω(η))(ξ) − d(ω(ξ))(η) − ω([ξ, η]) + s · ω(ξ) · ω(η) − ω(η) · ω(ξ) 42.7

= ==== = s · (dω + ω ∧ ω)(ξ, η). c 15. Dezember 2008 [email protected]

493

66.10

66. Die Begleitbeinmethode von Cartan

66.6 Definition. Man bezeichnet mit Ω := dω +ω ∧ω ∈ Ω2 (U, L(m)) die Kr¨ ummungsmatrix bzgl. s. Es gilt somit die 1. Strukturgleichung von Cartan X R(ξ, η)si = sk · Ωki (ξ, η), kurz: R(s) = s · Ω. k

66.7 Lemma. Es seien s und s0 = s · h zwei m-Beine und Ω und Ω0 die zugeh¨ origen Kr¨ ummungsmatrizen, dann gilt: h · Ω0 = Ω · h. Beweis. R ist tensoriell

s · h · Ω0 = s0 · Ω0 = R(s0 ) = R(s · h) = =========== = R(s) · h = s · Ω · h ⇒ h · Ω0 = Ω · h. 66.8 Lemma. Es sei s ein orthonormal-Bein und εi = g(si , si ) ∈ {±1} dann gilt εi Ωij + εj Ωji = 0. Beweis. εi Ωij = εi dωji +

X

εi ωki ∧ ωjk = −εj dωij −

X

k

=

−εj dωij

−

k

X

ωik

∧

εk ωjk



=

−εj dωij

=

−εj Ωji .

−

k

=



−εj dωij

εk ωik ∧ ωjk

+

X

ωik ∧ ωkj



k

X

ωkj

∧

ωik



k

66.9 Definition. Es sei s = (si )i=1,...,m ein m-Bein. Das dazu duale m-Kobein r = (rj )j=1,...,m ∈ Ω1 (U, L(m)) ist gegeben durch rj (x)(si (x)) := δij . 66.10 Lemma. Es sei s ein m-Bein, r das zugeh¨ orige m-Kobein und ω die Zusammenhangsmatrix. Dann gilt die 2. Strukturgleichung von Cartan: X drk + ωjk ∧ rj = 0, kurz: dr + w ∧ r = 0. j

P Beweis. Es sei ξ eine Vektorfeld auf U . Dann ist ξ = i si · ri (ξ). X  X  ∇ξ sj · rj (η) + sj · ξ(rj (η)) ∇ξ η = ∇ξ sj · rj (η) = j

=

X

sk ·

j

ωjk (ξ)

j

· r (η) +

j,k

X

sk · ξ(rk (η)).

k

Folglich ist: 0 = ∇ξ η − ∇η ξ − [ξ, η]   X   X = sk · ωjk (ξ) · rj (η) − ωjk (η) · rj (ξ) + sk · ξ(rk (η)) − η(rk (ξ)) − rk ([ξ, η]) | {z } | {z } j,k k (ωjk ∧r j )(ξ,η)

=

X k

494

sk ·

X



ωjk ∧ rj + drk (ξ, η)

j c 15. Dezember 2008 [email protected]

dr k (ξ,η)

66.6a

66. Die Begleitbeinmethode von Cartan

66.11 Cartan’s Lemma. Es seien vP angig in einem Vektorraum E und w1 , . . . , wn ∈ E. 1 , . . . , vn linear unabh¨ P Dann ist i vi ∧ wi = 0 genau dann, wenn wi = i ai,j vj mit einer symmetrischen Matrix (ai,j )i,j .

Beweis. anzen Pn Wir erg¨ Pm vi zu einer Basis (v1 , . . . , vn , vn+1 , . . . , vm ) und somit ist wi = j=1 ai,j vj + k=n+1 bi,k vk , also

X i

vi ∧ w i =

X

X

(ai,j − aj,i ) vi ∧ vj +

i<j≤n

bi,k vi ∧ vk .

i≤n
Da (vi ∧ vj )i<j eine Basis von Λ2 (E) ist, ist dies genau dann 0, wenn bi,k = 0 und ai,j = aj,i .

Bemerkung. Es sei r der Korahmen eines orthonormal-Rahmens s. Dann ist die Zusammenhangsmatrix ω durch die 2. Strukturgleichung von Cartan bereits eindeutig festgelegt: Aus dr + ω ∧ r = 0 = dr + ω 0 ∧ r folgt somit f¨ ur σ := ω 0 − ω, daß σ ∧ r = 0, P i i j also σk = j aj,k · r nach 66.11 mit symmetrischen ai . Wegen εj ωij = −εi ωji (mit εi := g(si , si ) ∈ {±1}) und analog f¨ ur ω 0 gilt gleiches auch f¨ ur σ. Wenn wir bij,k := εi aij,k setzen, so ist

0 = εj σij + εi σji =

X

(εj ajk,i + εi aik,j )rk =

k

X

(bjk,i + bik,j )rk ,

k

also bjk,i = −bik,j und bij,k = εi aij,k = εi aik,j = bik,j und somit

bij,k = bik,j = −bjk,i = −bji,k = bki,j = bkj,i = −bij,k

also bij,k = 0, d.h. σ = 0, also ω 0 = ω.

66.6a Bemerkung. Es sei (si ) ein orthonormal-Bein und (ri ) das zugeh¨orige Kobein. Dann erhalten c 15. Dezember 2008 [email protected]

495

66.6b

66. Die Begleitbeinmethode von Cartan

wir f¨ ur die Kr¨ ummungen nach 64.13 folgende Darstellungen   66.6 X  l Ri,j,k := rl R(si , sj ) sk = ==== = rl sp Ωpk (si , sj ) p

=

X

δpl

Ωpk (si , sj )

=

Ωlk (si , sj )

p

  66.6 X  Ri,j,k,l := g R(si , sj ) sk , sl = ==== =g sp Ωpk (si , sj ), sl p

=

X

εp δp,l Ωpk (si , sj )

=

εl Ωlk (si , sj )

p

Die Riemann-Kr¨ ummung R =

X

rl (R(si , sj )sk ) ri ⊗ rj ⊗ rk ⊗ sl {z } | i,j,k,l l =:Ri,j,k

=

X

Ωlk (si , sj ) ri ⊗ rj ⊗ rk ⊗ sl

i,j,k,l

Die Ricci-Kr¨ ummung Ricci =

X i,j

spur(Z 7→ R(Z, si )(sj )) ri ⊗ rj | P {z } k

=

X

r k (R(sk ,si )sj )

Ωkj (sk , si ) ri ⊗ rj =

XX i,j

i,j,k

k Rk,i,j ri ⊗ rj

k

|

{z

}

=:Riccii,j

Die Skalarkr¨ ummung S =

X

Riccii,i =

i

X i,k

k Rk,i,i =

X

Ωki (sk , si )

i,k

Eine (Pseudo-)Riemann-Mannigfaltigkeit heißt Ricci-flach falls Ricci = 0. Falls die Schnittkr¨ ummung K konstant auf den 2-dimensionalen Teilr¨aumen von Tp M ist, so ist R(X, Y )Z = (g(Y, Z)X − g(X, Z)Y ) · K Ricci(sj , sj ) = (m − 1) · K S = m(m − 1) · K

Beweis. Es ist

66.6b Proposition. Es sei (si ) eine orthonormal-Bein. Dann ist Ricci(s1 , s1 ) = g(s1 , s1 ) ·

X

  K h{s1 , si }i

i>1

496

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66. Die Begleitbeinmethode von Cartan

66.12

Beweis.    X  Ricci(s1 , s1 ) = spur Z 7→ R(Z, s1 )s1 = ri R(si , s1 )s1 i

=

X



g(si , si ) · g R(si , s1 )s1 , si



i

=0+

X i>1

    g(si , si ) ·K h{si , s1 }i · g(s1 , s1 )g(si , si ) − g(si , s1 )2 | {z } =±1

= g(s1 , s1 ) ·

X

K(h{s1 , si }i)

i>1

66.12 Beispiele. 1. Die 2-Sph¨ are S 2 . Sei f : (0, 2π) × (−π, π) → S 2 die Parametrisierung nach Kugelkoordinaten, d.h. f (ϕ, ϑ) := (cos(ϑ) cos(ϕ), cos(ϑ) sin(ϕ), sin(ϑ)). Die Metrik ist in den Koordinaten (ϕ, ϑ) somit gegeben durch 3 X X dxi ⊗ dxi ) = df i ⊗ df i = cos(ϑ)2 dϕ ⊗ dϕ + dϑ ⊗ dϑ f ∗( i=1

i

Somit ist r1 := dϑ, r2 := cos(ϑ) dϕ eine orthonormales Kobein. mit zu∂ 1 ∂ 1 geh¨ origen orthonormal-Bein s1 := ∂ϑ , s2 := cos(ϑ) ∂ϕ . Damit ist dr = 0 und dr2 = − sin(ϑ) dϑ ∧ dϕ. Mittels 2. Strukturgleichung von Cartan bestimmen wir die Zusammenhangsmatrix ω: ω11 = 0 = ω22 ,

ω12 = −ω21

0 = dr1 + ω11 ∧ r1 + ω21 ∧ r2 = ω21 ∧ r2 ⇒ ω21 = a(ϕ, ϑ) r2 0 = dr2 + ω12 ∧ r1 + ω22 ∧ r2 = − tan(ϑ)r1 ∧ r2 − a(ϕ, ϑ) r2 ∧ r1 ⇒ a(ϕ, ϑ) = tan(ϑ) ⇒ω21 = tan(ϑ)r2 = sin(ϑ) dϕ = −ω12 F¨ ur die Kr¨ ummungsmatrix Ω erhalten wir aus der 1. Strukturgleichung von Cartan somit Ω11 = Ω22 = 0 −Ω21 = Ω12 = dω21 + ω11 ∧ ω21 + ω21 ∧ ω22 = d(sin(ϑ)dϕ) = cos(ϑ) dϑ ∧ dϕ = r1 ∧ r2 . Die Schnittkr¨ ummung ist somit X  K(Tp S 2 ) = g(R(s1 , s2 )s2 , s1 ) = g sk Ωk2 (s1 , s2 ), s1 = Ω12 (s1 , s2 ) = 1. k

2. Die Poincar´ e’sche Halbebene. Die Metrik auf H+ := {(x, y) ∈ R2 : y > 0} ist gegeben durch g = 1 1 1 1 2 y 2 (dx ⊗ dx + dy ⊗ dy) ein orthonormales Kobein ist r := y dy und r := y dx c 15. Dezember 2008 [email protected]

497

66.12

66. Die Begleitbeinmethode von Cartan mit Differential dr1 = 0, dr2 = − y12 dx1 ∧ dx2 = r1 ∧ r2 . Die zweite Strukturgleichung von Cartan liefert ω11 = 0 = ω22 ,

ω21 = −ω12 =

1 1 dx = r2 y

und die erste Strukturgleichung von Cartan Ω11 = 0 = Ω22 ,

Ω12 = −Ω21 =

1 1 dx ∧ dx2 = r2 ∧ r1 y2

Die Schnittkr¨ ummung ist somit K(Tp H + ) = Ω12 (s1 , s2 ) = −1. 3. Die 3-Sph¨ are S 3 . Verallgemeinerte Kugelkoordinaten sind f (ϕ, ϑ, τ ) = (cos τ cos ϑ cos ϕ, cos τ cos ϑ sin ϕ, cos τ sin ϑ, sin τ ). Die Metrik ist g = cos(τ )2 cos(ϑ)2 dϕ ⊗ dϕ + cos(τ )2 dϑ ⊗ dϑ + dτ ⊗ dτ Ein orthonormaler Korahmen ist r1 := dτ,

r2 := cos(τ ) dϑ,

r3 := cos(τ ) cos(ϑ) dϕ

F¨ ur die Zusammenhangsmatrix erhalten wir   0 − sin(τ ) dϑ − sin(τ ) cos(ϑ) dϕ 0 − sin(ϑ) dϕ  ω =  sin(τ ) dϑ sin(τ ) cos(ϑ) dϕ sin(ϑ) dϕ 0   2 3 0 − tan(τ ) r − tan(τ ) r tan(τ ) r2 3 0 − tan(ϑ) = cos(τ ) r  tan(τ ) r3

tan(ϑ) cos(τ )

r3

0

und f¨ ur die Kr¨ ummungsmatrix   0 cos τ dϑ ∧ dτ cos τ cos ϑ dϕ ∧ dτ 0 cos τ 2 cos ϑ dϕ ∧ dϑ Ω =  − cos τ dϑ ∧ dτ 2 − cos τ cos ϑ dϕ ∧ dτ − cos τ cos ϑ dϕ ∧ dϑ 0   2 1 3 1 0 r ∧r r ∧r 0 r3 ∧ r2  = r1 ∧ r2 1 3 2 3 r ∧r r ∧r 0 Mittels 64.7a l¨ aßt sich auch damit zeigen, daß die Schnittkr¨ ummung kon1 2 1 = R1,3,3 = R2,3,3 = stant 1 und damit die Skalarkr¨ ummung 6 ist, denn R1,2,2 1 und alle u brigen die sich nicht aus Symmetrie ergeben sind 0. ¨ 4. Der hyperbolische Raum. Der hyperbolische Raum ist H + := {(x1 , . . . , xn ∈ R3 ) : x1 > 0} mit der Metrik  1  g = 1 2 dx1 ⊗ dx1 + dx2 ⊗ dx2 + dx3 ⊗ dx3 (x ) Ein orthonormaler Korahmen ist 1 1 1 r1 := 1 dx3 , r2 := 1 dx2 , r3 := 1 dx1 x x x 498

c 15. Dezember 2008 [email protected]

66.12

66. Die Begleitbeinmethode von Cartan F¨ ur die Zusammenhangsmatrix erhalten wir    1 3 0 0 0 x1 dx 1 2  0 dx 0 0 ω= = 1 x −r1 − x11 dx3 − x11 dx2 0 und f¨ ur die Kr¨ ummungsmatrix  0 − (x11 )2 dx2 ∧ dx3  0 Ω =  (x11 )2 dx2 ∧ dx3 1 1 1 3 1 dx ∧ dx dx ∧ dx2 1 2 1 2 (x ) (x )   0 r1 ∧ r2 r1 ∧ r3 0 r2 ∧ r3  = r2 ∧ r1 3 1 3 2 r ∧r r ∧r 0

0 0 −r2

 r1 r2  0

 − (x11 )2 dx1 ∧ dx3 − (x11 )2 dx1 ∧ dx2   0

Die bis auf Symmetrie nicht verschwindenden Koeffizienten der Riemannkr¨ ummung sind 1 1 2 R122 = R133 = R233 = −1 Somit ist die Schnittkr¨ ummung nach 64.7a konstant −1 und die RicciKr¨ ummung   −2 0 0 Ricci =  0 −2 0  0 0 −2 5. Raumformen. Raumformen sind Riemann-Mannigfaltigkeiten mit konstanter Schnittkr¨ ummung. Eine gemeinsame Form der Metrik ist   1 g= dρ ⊗ dρ + ρ2 · dϑ ⊗ dϑ + sin2 (ϑ) dϕ ⊗ dϕ 2 1 − κρ wobei 0 < ρ, κρ2 < 1, |ϑ| < π/2 und |ϕ| < π ist. F¨ ur den Korahmen 1 r1 := ρ dϑ, r2 := sin(ϑ)ρ dϕ, r3 := p dρ 1 − κρ2 ist die Zusammenhangsmatrix p   0 cos(ϑ) dϕ − 1p − κρ2 dϑ ω = p − cos(ϑ) dϕ − sin(ϑ) 1 − κρ2 dϕ p0 1 − κρ2 dϑ sin(ϑ) 1 − κρ2 dϕ 0 √   1−κρ2 1 cot(ϑ) 2 0 r − ρ r  ρ  √ 2  cot(ϑ) 2  1−κρ = − r 0 − ρ r2  √ ρ  √ 1−κρ2 1 1−κρ2 2 r r 0 ρ ρ die Kr¨ ummungsmatrix  0 −κ sin(ϑ)ρ2 dϑ ∧ dϕ  2  0 Ω = κ sin(ϑ)ρ dϑ ∧ dϕ  κ sin(ϑ)ρ κρ −√ dρ ∧ dϑ −√ dρ ∧ dϕ 1−κρ2 1−κρ2   0 r2 ∧ r1 r3 ∧ r1 0 r3 ∧ r2  = κ · r1 ∧ r2 r1 ∧ r3 r2 ∧ r3 0

√ κρ

1−κρ2 κ sin(ϑ)ρ

√

dρ ∧ dϑ



  dρ ∧ dϕ  1−κρ2  0

die nicht verschwindenden Koeffizienten des Riemann-Kr¨ ummungstensors 1 1 2 R122 = R133 = R233 =κ c 15. Dezember 2008 [email protected]

499

66.12

66. Die Begleitbeinmethode von Cartan die konstante Schnittkr¨ ummung κ, sowie die Ricci-Kr¨ ummung 

 2κ 0 0 Ricci =  0 2κ 0  0 0 2κ und die Skalarkr¨ ummung S = 6κ. ¨ Ahnlich zu 60.3 kann man zeigen, daß jede einfach zusammenh¨angende vollst¨ andige m-dimensionale Riemann-Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkr¨ ummung K isometrisch isomorph zu Rm mit der flachen Metrik im Fall K = 0, zu S m ⊆ Rm+1 im Fall K = 1 und zum hyperbolischen Raum R+ × Rm−1 im Fall K = −1 ist. 6. Die Schwarzschild-Metrik. Die allgemeine Relativit¨ atstheorie wir durch eine Lorentz-Mannigfaltigkeit (d.h. eine Pseudo-Riemannsche Manigfaltigkeit mit Lorentz-Metrik, i.e. mit Signatur (−, +, +, +) (oder ¨aquivalent (+, −, −, −)) beschrieben f¨ ur welche die Einstein’sche Feldgleichung 1 Ricci − S g = T 2 gilt, wobei g eine Lorentz-Metrik, S die Skalarkr¨ ummung und T der Energie-Impuls-Tensor ist, welcher durch die Masseverteilung beschrieben wird. F¨ ur eine C ∞ -Mannigfaltigkeit mit vorgegeben Energie-ImpulsTensor ist dies eine partielle Differentialgleichung f¨ ur die Metrik. im Spezialfall T = 0 spricht man von der Vakuum-Gleichung Selbst f¨ ur die Vakuumgleichung lokal sind nur wenige L¨osungen bekannt. Eine ist die Schwarzschild-Metrik, die sich im Rotations-symmetrischen Zeit-unabh¨angigen Fall ergibt: g = −h(ρ) dt ⊗ dt +

1 dρ ⊗ dρ + ρ2 dϑ ⊗ dϑ + ρ2 sin(ϑ)2 dϕ ⊗ dϕ h(ρ)

mit h(ρ) := 1 − 2M ur ρ > 2M . Dabei nennt man ρ := 2M den Schwarzρ f¨ schild-Radius. Diese Metrik kann im ¨außeren von langsam rotierenden isolierten Sternen oder bei schwarzen L¨ochern verwendet werden. Ein orthonormaler Korahmen f¨ ur diese Metrik ist somit r1 := ρ dϑ,

r2 := ρ sin(ϑ) dϕ,

r3 := p

1 h(ρ)

dρ,

r4 :=

p

h(ρ) dt

F¨ ur die Zusammenhangsmatrix ergibt sich: 

0 cos(ϑ) dϕ  √ ω=  − h dϑ 0 500

 √ − cos(ϑ) dϕ h dϑ 0 √ h sin(ϑ) dϕ 0   √ 0  M − h sin(ϑ) dϕ 0 − ρ2 dt M 0 0 ρ2 dt

c 15. Dezember 2008 [email protected]

66.12

66. Die Begleitbeinmethode von Cartan und f¨ ur die Kr¨ ummungsmatrix  2 sin ϑ √1 dϑ ∧ dϕ 0 dρ ∧ dϑ ρ hρ2  2 sin ϑ sin ϑ − ρ dϑ ∧ dϕ √ 0 dρ ∧ dϕ hρ2 Ω=M  − √ 1 dρ ∧ dϑ sin ϑ − √hρ2 dρ ∧ dϕ 0  hρ2 √ √ h h sin ϑ 2 − ρ2 dt ∧ dϑ − ρ2 dt ∧ dϕ ρ3 dt ∧ dρ   0 2 r1 ∧ r2 − r1 ∧ r3 − r1 ∧ r4 M  2 r2 ∧ r1 0 − r2 ∧ r3 − r2 ∧ r4   = 3 3 1 3 2  − r ∧ r − r ∧ r 0 2 r3 ∧ r4  ρ − r4 ∧ r1 − r4 ∧ r2 2 r4 ∧ r3 0

√

h 2 dt ∧ dϑ √ ρ  h sin ϑ dt ∧ dϕ ρ2  − ρ23 dt ∧ dρ  



0

Die Koeffizienten der Riemann-Metrik im assoziierten orthonormal-Bein (sk )k sind nach 66.6a i Rk,l,j = Ωij (sk , sl ). i Aus der Gestalt von Ω folgt Rk,l,j = 0 f¨ ur j ∈ / {k, l} oder i ∈ / {k, l} und m somit ist Rm,l,j = 0 f¨ ur j 6= l. Ein Blick auf die Spalten von Ω liefert P m m Rm,j,j = ±(2 − 1 − 1) = 0, also ist die Schwarzschild-Metrik Ricci-flach nach 66.6a , d.h. Ricci = 0. 7. Die Friedmann-Robertson-Walker-Metrik(en). Die Friedmann-Robertson-Walker-Metrik beschreibt ein isotropes (d.h. keine ausgezeichneten Richtungen) homogenes Universum und ist gegeben durch 
 1 2 2 g = dt ⊗ dt − h(t)2 dρ ⊗ dρ + ρ · dϑ ⊗ dϑ + sin (ϑ) dϕ ⊗ dϕ 1 − κρ2

mit orthonormalen Kobein h(t) dρ r1 := dt, r2 := h(t)ρ dϑ, r3 := h(t)ρ sin(ϑ) dϕ, r4 := p 1 − κρ2 Zusammenhangsmatrix   0 √ h 2 dρ 0 h0 ρ dϑ h0 ρ sin ϑ dϕ p 1−κρ    −h0 ρ dϑ 0 cos ϑ dϕ − 1p− κρ2 dϑ   ω= −h0 ρ sin ϑ dϕ − cos ϑ dϕ 0 − sin ϑ 1 − κρ2 dϕ   p p 0 − √ h 2 dρ 1 − κρ2 dϑ sin ϑ 1 − κρ2 dϕ 0 1−κρ   h0 (t) 3 h0 (t) 4 h0 (t) 2 r r r 0 h(t) h(t) √h(t) 2   0 1−κρ  h (t) 2  cot(ϑ) 3 0 − h(t)ρ r2  − h(t) r h(t)ρ r √   =  h0 (t) 1−κρ2 3  3  − h(t) r3 − cot(ϑ) r 0 − r h(t)ρ √ h(t)ρ2 √  0  2 1−κρ 1−κρ (t) 4 2 3 r r r 0 − hh(t) h(t)ρ h(t)ρ und Kr¨ ummungsmatrix  h00 (t) 1 2 0 h(t) r ∧ r 00  h (t) 1 − h(t) r ∧ r2 0 Ω=  h00 (t) r1 ∧ r3 − h0 (t)2 −κ r2 ∧ r3  h(t) h(t)2 00 (t) 1 κ−h0 (t)2 2 4 r ∧ r4 − hh(t) h(t)2 r ∧ r

h00 (t) 1 3 h(t) r ∧ r 0 2 h (t) −κ 2 3 h(t)2 r ∧ r

0 κ−h0 (t)2 h(t)2

r3 ∧ r4

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 h00 (t) 1 4 h(t) r ∧ r 0 (t)2 2 4  − κ−h h(t)2 r ∧ r  0 2 κ−h (t) 3 4 − h(t)2 r ∧ r  0 501

67.1

66. Die Begleitbeinmethode von Cartan Die nicht-verschwindenden Koeffizienten des Riemann’schen Kr¨ ummungsh00 (t) κ−h0 (t)2 1 1 1 2 2 3 tensors R122 = R133 = R144 = − h(t) , R233 = R244 = R344 = h(t)2 und Ricci-Kr¨ ummung  3h00  − h 0 0 0 02 00   2(κ−h )  0  − hh 0 0 h2   Ricci =  2(κ−h02 )  h00 0 − 0  0  2 h h 00 2(κ−h02 ) h 0 0 0 − h h2 und Skalarkr¨ ummung S= • • • • • • • • • • • •

6(κ − h0 (t)2 ) 6h00 (t) − h(t)2 h(t)

DeSitter Raumzeit, siehe Skriptum.pdf, p.87 Raumformen, siehe Skriptum.pdf, p.89 ¨ Riemann Uberlagerungen, Diffgeo2.pdf, p.39 Konstante Schnittkr¨ ummung, Diffgeo2.pdf, pp. 46, insb. p.49 Meyrs und Synge, Diffgeo2.pdf, pp. 54 Herleitung der Schwarzschild Metrik, art.pdf,p.82 Kosmologie, art.pdf,p.113 Schwarze L¨ ocher, art.pdf,p.153 Warped Product, semi-riemannian-geometry,p. 185 Killing Field (=infinitesimal Isometry), semi-riemannian-geometry,p. 211 Robertson-Walker-Metrics, semi-riemannian-geometry,p. 214 Weyl-Tensor, semi-riemannian-geometry,p. 219

67. Nochmals Jacobi-Felder 67.1 Proposition. Variation der Energie. Es sei (cs )s eine glatte Variation mit fixen Endpunkten einer Kurve c0 : [a, b] → M , also (s, t) 7→ cs (t) glatt von R × [a, b] → M mit s 7→ cs (t) konstant f¨ ur t ∈ {a, b}. ∂ Sei Ys (t) := ∂s cs (t) ∈ Tcs (t) M und   Z Z 1 b ∂ ∂ 1 b g(c˙s , c˙s ) = gcs (t) cs (t), cs (t) dt. E(cs ) := 2 a 2 a ∂t ∂t Dann ist Z b d E(cs ) =− g(∇c˙0 c˙0 , Y0 ) ds a s=0

(1)

und, falls c0 eine Geod¨ ate ist, so ist  2 Z b

 d (2) E(cs ) = |∇c˙0 Y0 |2g − K h{c˙0 , Y0 }i · |Y0 |2g − g(c˙0 , Y0 ) ds a s=0

Beweis. 1. Es sei Xs (t) :=

∂ ∂t cs (t).

Dann ist X = T c ·

∂ ∂t

und Y = T c · 62.4.4

∂ ∂s

und somit

∂ ∂ ====== = [X, Y ] = 0. Es [X, Y ] = T c · [ ∂t , ∂s ] = 0 . Somit ist ∇Y X − ∇X Y =

502

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67.1

67. Nochmals Jacobi-Felder folgt somit

Z b Z b ∂ g(∇X Y, X) dt g(∇Y X, X) dt = g(X, X) dt = a a ∂s a Z b b Z b b ∂ g(Y, ∇X X) dt g(Y, X) dt − g(Y, ∇X X) dt = g(Y, X) − a a ∂t a a

d 1 E(cs ) = ds 2 Z =

Z

b

und f¨ ur s = 0: Z b d g(Y, ∇c˙0 c˙0 ) dt. =0− E(cs ) ds a s=0 2. 

d ds

2

1 E(cs ) = 2 Z =

b

Z a b

a

Z

∂ ( )2 g(X, X) dt = ∂s

Z a

b

∂ g(∇Y X, X) dt ∂s

∂ g(∇X Y, X) dt ∂s

b

(g(∇Y ∇X Y, X) + g(∇X Y, ∇Y X)) dt

= a

=

Z b

 g(∇X ∇Y Y, X) + g([∇Y , ∇X ]Y, X) + g(∇X Y, ∇X Y ) dt

a

Z b ∂ g(∇Y Y, X) − g(∇Y Y, ∇X X)+ = ∂t a  − R(X, Y, Y, X) + g(∇X Y, ∇X Y ) dt b = g(∇Y Y, X) + a Z b  + −g(∇Y Y, ∇X X) − R(X, Y, Y, X) + g(∇X Y, ∇X Y ) dt a



und f¨ ur Geod¨ aten c0 und s = 0: 2 Z b  d E(cs ) =0+ −g(∇Y Y, ∇X X ) − R(X, Y, Y, X) + g(∇X Y, ∇X Y ) | {z } | {z } ds a s=0

∇c˙ 0 Y0

=0

=

Z b

|∇c˙0 Y0 |2 − R(c˙0 , Y0 , Y0 , c˙0 )



a

und nach 64.7 ist
R(c˙0 , Y0 , Y0 , c˙0 ) = K h{c˙0 , Y0 }i · (|Y0 |2g − g(c˙0 , Y0 )2 ) Die Hess’ische Form von E (d.h. die symmetrische Bilinearform E 00 (c0 )) ist somit durch die sogenannte Indexform Z b  I(Y, Z) := g(∇c˙0 Y, ∇c˙0 Z) − R(c˙0 , Y0 , Z0 , c˙0 ) a

gegeben. Die Jacobi-Differentialgleichung f¨ ur Vektorfelder Y l¨angs c ist: ∇2 Y + R(Y, c) ˙ c˙ = 0. Diese Differentialgleichung ist linear in Y und somit existiert f¨ ur jede Geod¨ate c : [a, b] → M und Z0 , Z1 ∈ Tc(a) M ein eindeutig bestimmte L¨osung (ein sogenanntes c 15. Dezember 2008 [email protected]

503

67.4

67. Nochmals Jacobi-Felder

Jacobi-Feld) Y l¨ angs c mit Y (a) = Z0 und ∇Y (a) = Z1 . Zwei Parameter a und b heißen konjugierte Punkte auf einer Geod¨ ate c falls eine Jacobi-Vektorfeld Y mit Y (a) = 0 = Y (b) existiert. 67.2 Lemma. Sei c nach Bogenl¨ ange parametrisiert. Dann ist c genau dann von lokal minimaler L¨ ange wenn c von lokal minimaler Energie ist. Beweis. Die Cauchy-Schwartz Ungleichung liefert Z b Z b 1/2 Z · |c(t)| ˙ dt ≤ 12 L(c) = a

b

1/2 |c(t)| ˙ 2 dt

a

a

also ist L(c)2 ≤ 2(b − a)E(c) und Gleichheit gilt genau dann, wenn c proportional zur Bogenl¨ ange parametrisiert ist. Es habe c0 lokal minimale Energie. Nach 67.1 ist ∇c˙0 c˙0 = 0 und nach 57.2 somit c0 proportional zur Bogenl¨ ange parametrisiert also L(c0 )2 = 2(b − a)E(c0 ). Sei cs eine Variation von c0 . O.B.d.A. sei cs proportional zur Bogenl¨ange parametrisiert und somit ist L(c0 )2 = 2(b − a)E(c0 ) ≤ 2(b − a)E(cs ) = L(cs )2 , also c0 auch von lokal minimaler L¨ange. Sei umgekehrt c0 von lokal minimaler L¨ange und o.B.d.A. nach Bogenl¨ange parametrisiert. Sei cs eine Variation von c0 dann gilt: L(cs )2 L(c0 )2 ≤ ≤ E(cs ), 2(b − a) 2(b − a) Also ist c0 auch von lokal minimaler Energie. E(c0 ) =

67.3 Proposition. Es sei c : [a, b] → M eine Geod¨ ate und Y eine Jacobi-Feld l¨ angs c und Z irgendein Vektorfeld l¨ angs c. Dann ist I(Y, Z) = g(∇c˙ Y, Z)|ba Beweis. Wir multiplizieren die Jacobi-Gleichung mit Z und integrieren sie: Z b
 0= g(∇2 Y, Z) + g R(Y, c) ˙ c, ˙ Z) a

Z b
 d g(∇Y, Z) − g(∇Y, ∇Z) + g R(Y, c) ˙ c, ˙ Z) = dt | {z } a R(Y,...c,...c,Y )

b 64.5.1 , 64.5.2 = ============ = g(∇Y, Z) − I(Y, Z) a

Wir beweisen nun die Umkehrung von 63.6 : 67.4 Folgerung. Es sei c : [a, b] → M eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Geod¨ ate. Angenommen es existiert ein konjugierter Punkt t0 im offenen Interval (a, b). Dann existiert ein Vektorfeld Z l¨ angs c mit I(Z, Z) < 0, also ist c nicht von minimaler L¨ ange. Beweis. Sei Y eine Jacobi-Feld l¨angs c mit Y (a) = 0 = Y (t0 ), weiters V := χ[a,t0 ] Y und W ein Vektorfeld l¨ angs c mit W (t0 ) = −∇Y (t0 ) und W (a) = 0. Seien I1 und I2 die Indexformen von c|[a,t0 ] und c|[t0 ,b] . Dann ist 67.3

I(V, W ) = I1 (V, W ) + I2 (V, W ) = I1 (Y, W ) = ==== = −|∇Y (t0 )|2g < 0 504

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67. Nochmals Jacobi-Felder und somit I(V + εW, V + εW ) = I(V, V ) + 2εI(V, W ) + ε2 I(W, W ) 67.2 , 67.1.2

=========== 2εI(V, W ) + ε2 I(W, W ) < 0 f¨ ur alle kleinen ε > 0. F¨ ur δ > 0 approximieren wir das Vektorfeld V + εW durch ein glattes Vektorfeld Zδ mit |Y |2 + |∇Zδ |2 ≤ C welches nur auf (t0 − δ, t0 + δ) von V + εW verschieden ist. Da der Beitrag f¨ ur I(V + εW, V + εW ) und I(Zδ , Zδ ) auf diesem Interval mit δ gegen 0 konvergiert ist auch I(Zδ , Zδ ) < 0 f¨ ur alle kleinen δ > 0 und somit hat c nicht lokal minimale Energie und damit auch nicht lokal minimale Bogenl¨ ange.

65. Ru ¨ ckblick auf Kru ¨ mmungen Bei ebenen Kurven, haben wir die Kr¨ ummung als die Kraft interpretiert, die notwendig ist, um einen Massenpunkt mit konstanter skalarer Geschwindigkeit auf einer Kurve zu halten. Bei Hyperfl¨ achen im R3 haben wir zuerst die Normalkr¨ ummung einer Fl¨ache in Richtung ξ als Kr¨ ummung der Schnittkurve mit der, von der Fl¨achennormale und ξ aufgespannten Ebene kennengelernt. Dies ist gleichzeitig die Kr¨ ummung der ummung Geod¨ ate in Richtung ξ, siehe 52.4 . Die kritische Punkte der Normalkr¨ sind die Hauptkr¨ ummungen, deren Produkt die Gauß-Kr¨ ummung ist. Bei einer allgemeinen Riemann-Mannigfaltigkeit kann die Schnittkr¨ ummung als die Gauß-Kr¨ ummung einer 2-dimensionalen Fl¨ache, welche durch die Exponentialabbildung parametrisiert wird, aufgefaßt werden. Die Riemann-Kr¨ ummung ist schließlich das zur Schnittkr¨ ummung geh¨orige Tensorfeld (i.e. 4-lineare Abbildung).

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505

IX.

Lie-Gruppen

In diesem Kapitel soll abschließend noch eine kurze Einf¨ uhrung in die auf Sophus Lie zur¨ uckgehende Theorie der Lie-Gruppen gegeben werden.

66. Lokale versus globale Struktur 66.1 Definition (Lie-Gruppe) Eine Lie-Gruppe G ist eine Gruppe, die zugleich C ∞ -MF ist und deren Gruppenmultiplikation mult : G × G → G glatt ist. 66.2 Bemerkungen (1) Die durch Lg : h 7→ g · h, Rg : h 7→ h · g und durch mult(g, inv(g)) := e definierten Abbildungen Lg (Linkstranslation), Rg (Rechtstranslation) und inv (Inversenbildung) sind Diffeomorphismen von G: Klarerweise sind sie bijektiv und haben als Umkehrabbildungen Lg−1 , Rg−1 und inv. Bei Baues und Bump: Lg := Lg ; Bei Tits: Lg := Lg , Rg := Rg ; Bei Michor: µg := Lg , µg := Rg ; bei Cap, Hilgert+Neeb: λg := Lg , ρg := Rg ; bie Milicz: γ(g) := Lg , δ(g) := Rg−1 ; Die beiden ersten sowie ihre Umkehrabbildungen sind als Einschr¨ankungen der glatten Multiplikation selbst wieder glatt. Da bei festem h die Identit¨at inv(g) = h−1 · h · inv(g) = h−1 · inv(g · h−1 ) = Lh−1 ◦ inv ◦Rh−1 (g) gilt, gen¨ ugt es, die Differenzierbarkeit von inv beim neutralen Element e nachzuweisen. O.B.d.A. rechnen wir lokal im Rn . Dort ist inv die L¨osung der impliziten Gleichung mult(g, inv ·g) = e. Wegen mult(e, g) = g ist die zweite partielle Ableitung von mult bei e die Identit¨at und nach dem Satz u ¨ber implizite Funktionen ist inv in einer Umgebung von e glatt. (2) Jede Lie-Gruppe G ist automatisch Hausdorff: Sei a 6= b, also mult(a, inv b) 6= e. Dann gibt es Umgebungen U und V von a und b mit e ∈ / mult(U, inv(V )), also ist U ∩ V = ∅ und G Hausdorff. (3) Die Zusammenhangskomponente G0 von e ist ein Normalteiler von G: Die Bilder von G0 unter Lg (bzw. Rg ) sind zusammenh¨angend. Da e ∈ G0 , gilt f¨ ur g ∈ G0 auch g ∈ Lg G0 und also Lg G0 ⊆ G0 . Das gleiche Argument, angewandt auf die inneren Automorphismen g 7→ h · g · h−1 , liefert die Normalteiler-Eigenschaft. (4) Jede Lie-Gruppe G ist auch parakompakt: Sei Gg die Zusammenhangskomponente um g, dann sieht man wegen der Stetigkeit der Linkstranslation leicht ein, daß Gg = G0 ·g. Sei U eine zusammenh¨angende, relativ kompakte Umgebung von e, ohne Beschr¨aSnkung der Allgemeinheit sei U = U −1 (ersetze U durch U ∩ U −1 ). Dann ist H := n U n eine offene zusammenh¨angende Untergruppe von G. Die Teilmenge H ist auch abgeschlossen, denn die offene Vereinigung der Nebenklassen gH mit g ∈ / H ist das Komplement von H. Also muß c 15. Dezember 2008 [email protected]

507

66.5

66. Lokale versus globale Struktur

H die Komponente G0 umfassen, somit ist die Zusammenhangskomponente G0 σkompakt und damit auch parakompakt, siehe 18.4 . Jede andere Komponente ist von der Gestalt g · G0 , also ebenfalls parakompakt und damit auch G. (5) Von MontgomeryZippin und Gleason wurde das 5. Hilbert-Problem 1952 positiv beantwortet: Jede lokalkompakte, lokal zusammenh¨angende, endlich-dimensionale topologische Gruppe l¨ aßt sich auf eindeutige Weise zu einer Lie-Gruppe machen. 66.3 Definition (Lie-Gruppenhomomorphismus) Seien H und G zwei Lie-Gruppen. Eine Abbildung f : H → G heißt Lie(Gruppen)-Homomorphismus, falls f glatter Gruppen-Homomorphismus ist. Ein lokal definiertes f heißt lokaler Lie(Gruppen)-Homomorphismus, falls es im Definitionsbereich Dom(f ) (einer offenen Umgebung von e) multiplikativ ist, d.h. f (x · y) = f (x) · f (y) f¨ ur alle x, y ∈ Dom(f ) mit x · y ∈ Dom(f ). Wegen e2 = e 2 ist dann f (e) = f (e) also f (e) = e und weiters f (x−1 ) = f (x)−1 f¨ ur x ∈ Dom(f ) ∩ (Dom(f ))−1 . 66.4 Lemma. Seien H und G Lie-Gruppen und H zusammenh¨ angend. Stimmen zwei Lie-Homomorphismen von H nach G lokal u ¨berein, so sind sie gleich. Beweis. Durch die Umgebung, auf der die Homomorphismen u ¨bereinstimmen, wird H als Gruppe erzeugt. Da Lie-Homomorphismen insbesonders Gruppen-Homomorphismen sind, stimmen sie u ¨berall u ¨berein. 66.5 Lemma (Fortsetzen von Homomorphismen). Seien H und G wie oben, zus¨ atzlich sei H einfach zusammenh¨ angend. Dann l¨ aßt sich jeder lokale Lie-Homomorphismus f : Dom(f ) → G mit Dom(f ) ⊆ H zu einem Lie-Homomorphismus f˜ auf ganz H fortsetzen. Beweis. Wir werden den lokalen Lie-Homomorphismus f l¨angs Kurven fortsetzen, die von e ausgehen. Sei U = U −1 eine Umgebung, sodaß U 2 ⊆ Dom(f ); zu jeder ¨ Kurve c : [0, 1] → H gibt es nach dem Uberdeckungssatz von Lebesgue (siehe [59, ¨ 5.1.5]) zur Uberdeckung durch die Mengen Us := {t : c(t)−1 ·c(s) ∈ U } mit s ∈ [0, 1] ein δ > 0, s.d. jede Menge A ⊆ [0, 1] mit Durchmesser kleiner als δ in einer dieser Mengen enthalten ist, also wenn eine Folge (0 = t0 < · · · < tn = 1) so gew¨ahlt ist, daß |ti+1 − ti | < δ gilt, dann ist mit c(t)−1 · c(t0 ) = c(t)−1 · c(s) · c(s)−1 · c(t0 ) ∈ U · U −1 ⊆ Dom(f ) f¨ ur alle t, t0 ∈ [ti , ti+1 ]. Wir definieren     f˜(c) := f c(0)−1 · c(t1 ) · . . . · f c(tn−1 )−1 · c(1) . Seien c und d zwei Kurven mit gleichen Endpunkten und mit c(t) ∈ d(t) · U . Sei 0 = r0 < · · · < rk = 1 und 0 = s0 < · · · < sl = 1 so gew¨ahlt, daß c(t)−1 ·c(t0 ) ∈ U f¨ ur ur t, t0 ∈ [si , si+1 ]. Sei 0 = t0 < · · · < tn = 1 t, t0 ∈ [ri , ri+1 ] und d(t)−1 · d(t0 ) ∈ U f¨ die gemeinsame Verfeinerung, dann gilt f˜(c) = f˜(d), denn mit ui := d(ti )−1 · c(ti ) ∈ U gilt:     f˜(c) := f c(0)−1 c(r1 ) · . . . · f c(rk−1 )−1 c(1)     = f c(0)−1 c(t1 ) · . . . · f c(tn−1 )−1 c(1)     = f (d(0)u0 )−1 (d(t1 )u1 ) · . . . · f (d(tn−1 )un−1 )−1 (d(1)un )     −1 −1 −1 = f u−1 d(0) d(t )u · . . . · f u d(t ) d(1)u 1 1 n−1 n 0 n−1 508

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66. Lokale versus globale Struktur

66.6

  −1 = f (u−1 · d(t1 ) f (u1 )f (u1 )−1 · . . . 0 )f d(0)   . . . · f (un−1 )f (un−1 )−1 f d(tn−1 )−1 d(1) f (un )     = f d(0)−1 · d(s1 ) · . . . · f d(sl−1 )−1 · d(1) = f˜(d). Somit nimmt f˜ auf homotopen Kurven mit gleichen Endpunkten gleiche Werte an und da H einfachzusammenh¨ angend ist, h¨angt f˜ somit nur von den Endpunkten der Kurven ab. Setzt man also f˜(g) := f˜(c), wobei c eine e mit g verbindende Kurve ist, dann ist f˜ wohldefiniert und glatt, da f˜ lokal bei g gegeben ist durch f˜(g 0 ) = f˜(c) · f (g −1 · g 0 ) f¨ ur eine Kurve c die e mit g verbindet. Nun m¨ ussen wir noch nachweisen, daß f˜ ein Homomorphismus ist. Ist c eine Kurve von e nach g, d eine von e nach h, so verbindet folgende Kurve cd den Punkt e mit g · h, ( c(2t) f¨ ur t ≤ 1/2 cd(t) := g · d(2t − 1) sonst Es gilt: f˜(g · d) = f˜(d), da      f (g · d(ti ))−1 (g · d(ti+1 )) = f d(ti )−1 g −1 gd(ti+1 ) = f d(ti )−1 d(ti+1 ) 

Und somit ist f˜(g · h) = f˜(cd) = f˜(c)f˜(g · d) = f˜(c)f˜(d) = f˜(g)f˜(h). ¨ 66.6 Lemma (Universelle Uberlagerung einer Gruppe). ¨ Sei G eine zusammenh¨ angende Lie-Gruppe, dann ist die universelle Uberlagerung ˜ G (siehe 24.30 und 24.31 ) der Mannigfaltigkeit G selbst eine Lie-Gruppe. Der ¨ Kern der Uberlagerungsabbildung ist ein diskreter, zentraler Normalteiler. ˜ eine Lie-Gruppe, da die Lifte der Gruppenoperationen glatte Beweis. Es ist G ¨ Abbildungen sind (Uberlagerung, einfacher Zusammenhang) und wegen 24.4 sind ˜ erf¨ die f¨ ur eine Gruppe n¨ otigen Gleichungen auch auf G ullt: In der Tat lassen p×p ˜ ˜ ˜ −p→ G −ν→ sich stetige Abbildungen (wie G × G − → G × G −µ→ G und G G) von einfach zusammenh¨ angenden R¨aumen unter Vorgabe von Anfangswerten ˜ → G liften. Die Gleichungen wie eindeutig l¨ angs der Faserb¨ undelabbildung p : G µ(g, ν(g)) = e oder µ(g1 , µ(g2 , g3 )) = µ(µ(g1 , g2 ), g3 ) lassen sich als Identit¨aten von Zusammensetzungen und Produkten von µ, ν und id schreiben und gelten wegen der Anfangsbedinungen µ(e, e) = e und ν(e) = e somit auch f¨ ur die Lifte dieser Zusammensetzungen die gerade die entsprechenden Zusammensetzungen der Lifte ˜ = id sind. µ ˜, ν˜ und id ˜ ist p : G ˜ → G ein HomomorNach Konstruktion der Gruppenoperationen auf G ˜ ¨ phismus und somit Ker(p) ein Normalteiler. Da p : G → G eine Uberlagerung ist, ist Ker(p) diskret und liegt nach 24.24 im Zentrum. ¨ Beispiele von universellen Gruppen-Uberlagerungen. • • • •

R → S 1 , siehe 3.9 . Allgemeiner: exp : C → C \ {0}, siehe 3.5 . SU (2) ∼ = S 3 → SO(3), siehe 24.40 . SU (2) × SU (2) ∼ = S 3 × S 3 → SO(4), siehe 24.40 . c 15. Dezember 2008 [email protected]

509

67.2

66. Lokale versus globale Struktur • • • • •

Allgemeiner: Spin(n) → SO(n), siehe 24.43 . Pin(n) → O(n), siehe 24.43 . SLC (2) → SOC (3), siehe 24.40 . SLC (2) × SLC (2) → SOC (4), siehe 24.40 . Allgemeiner: SpinC (n) → SU (n).

66.7 Bemerkung Zwei zusammenh¨ angende Lie-Gruppen sind also wegen 66.5 genau dann als Lie¨ Gruppen lokal isomorph, wenn ihre universellen Uberlagerungen isomorph sind. Alle lokal isomorphen zusammenh¨angenden Lie-Gruppen erh¨alt man aus ihren einfachzusammenh¨ angenden Repr¨asentanten durch Herausfaktorisieren diskreter Normalteiler. In vielen F¨ allen (z.B. bei den halbeinfachen Lie-Gruppen) ist das ¨ Zentrum der universellen Uberlagerung diskret, also erh¨alt man alle lokal dazu isomorphen Lie-Gruppen durch Herausfaktorisieren von Untergruppen des Zentrums. Insbesonders k¨ onnen wir danndas ganze Zentrum Herausfaktorisieren und erhalten die sogenannte adjungierte Gruppe.

67. Infinitesimale Struktur Wir wollen nun die Gruppenstruktur der Lie-Gruppe benutzen um eine algebraische Struktur am Tangentialraum zu erhalten. Dazu betrachten wir folgenden wichtigen Teilvektorraum aller Vektorfelder: 67.1 Definition (Lie-Algebra einer Lie-Gruppe) Der Teilvektorraum L(G) (oder kurz LG) von X(G) := Γ(M ← T M ) ist definiert durch n o L(G) := ξ ∈ X(G) : ξ ist Lg -verwandt mit ξ f¨ ur alle g, d.h. T Lg ◦ ξ = ξ ◦ Lg . Es ist ξ ∈ L(G) genau dann, wenn T Lg (ξh ) = ξgh ∀ g, h ∈ G und es gen¨ ugt diese Gleichung f¨ ur h = e zu fordern, denn aus ξg = T Lg (ξe ) folgt: T Lg (ξh ) = T Lg (T Lh (ξe )) = T (Lg ◦ Lh )(ξe ) = T Lgh (ξe ) = ξgh = ξ(Lg (h)). Diese Vektorfelder heißen linksinvariant. 67.2 Lemma. Das Tangentialb¨ undel π : T G → G einer Lie-Gruppe G ist isomorph zu pr1 : G × L(G) → G, also ist jede Lie-Gruppe parallelisierbar. Der Vektorraum Te G ist isomorph zu LG, ist also eine dim(G)-dimensionale TeilLie-Algebra von X(G). Beweis. Dies haben wir bereits in 27.9 skizziert. Die Tangentiabbildung T µ : T (G × G) → G der Multiplikation µ : G × G → G liefert eine glatte Abbildung G × Te G ,→ T G × T G ∼ = T (G × G) → T G, welche bei fixen g ∈ G der lineare Isomorphismus T Lg : Te G ∼ = {g} × Te G → Tg G ist. Also ist (g, ξ) 7→ T Lg · ξ ein Diffeomorphismus G × Te G → T G mit inverser Abbildung ξ 7→ (π(ξ), T Lπ(ξ)−1 · ξ). Der Isomorphismus zwischen Te G und LG ist durch ξ 7→ (g 7→ T Lg · ξ) und ξ 7→ ξe gegeben. Schließlich ist LG eine Teilalgebra, da f¨ ur Lg -verwandte Vektorfelder auch deren Summe bzw. Lie-Klammer Lg -verwandt ist nach 29.7 . 510

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67.5

67. Infinitesimale Struktur 67.3 Folgerung (Lie-Algebra einer Lie-Gruppe).

Es definiert L einen Funktor von der Kategorie der lokalen Lie-Homomorphismen zwischen Lie-Gruppen in die Kategorie der Homomorphismen zwischen endlich dimensionalen Lie-Algebren. Beweis. Sei f : G → H ein lokaler Lie-Homomorphismus, dann wird Lf : LG → LH definiert durch (Lf · ξ)h := T Lh · Te f · ξe , also durch folgendes Diagramm: X(G) ⊇

Lf

LG O

/ LH O

∼ =

Te G

⊆ X(H)

∼ = Te f

/ Te H

Jedes ξ ∈ LG ist f -verwandt mit Lf ·ξ ∈ LH, d.h. folgendes Diagramm kommutiert TG O

Tf

Lf (ξ)

ξ

G

/ TH O

f

/ H,

denn wegen Lf (p) ◦ f = f ◦ Lp ist (Lf · ξ)f (p) = T Lf (p) · Te f · ξe = Tp f · Te Lp · ξe = Tp f · ξp . Offensichtlich ist Lf · ξ ∈ LH eindeutig durch diese f -Verwandtschaft bestimmt und daraus folgt mittels 29.7 die Homomorphie-Eigenschaft von Lf . 67.4 Lemma. Jedes ξ ∈ LG induziert einen eindeutigen Lie-Homomorphismus expξ : R → G mit exp0ξ = ξ ◦ expξ . Beweis. Lokal um 0 existiert eine eindeutige L¨osung expξ dieser Differentialgleichung zum Anfangswert expξ (0) = e und diese ist ein lokaler Lie-Homomorphismus: Sei n¨ amlich c(t) := expξ (s)−1 expξ (s + t), dann ist leicht nachzurechnen, daß c(t) ebenfalls L¨ osung dieser Differentialgleichung ist, also ist expξ (t) = c(t) = expξ (s)−1 expξ (s+ t). Weil R einfachzusammenh¨ angend ist, setzt sich expξ zu einem globalen LieHomomorphismen nach 66.5 fort. Dieser muß die L¨osung auf einer offen und abgeschlossenen Menge – also auf ganz R – sein. 67.5 Folgerung (1-Parameter Untergruppen). LG steht in Bijektion zur Menge der 1-Parameter Untergruppen von G, d.h. der Lie-Homomorphismen von R nach G. Der (globale) Fluß zu ξ ∈ LG ist Flξ (t, g) = g · expξ t, d.h. Flξt = Rexpξ t . Beweis. Die Abbildung ξ 7→ expξ , LG → Hom(R, G) ist injektiv, denn c 7→ c0 (0) ∈ Te G ∼ = LG ist ein Linksinverses. Sie ist auch surjektiv: Sei c : R → G ein LieHomomorphismus, dann ist c L¨ osung der Differentialgleichung: d d c0 (s) = c(t + s) = c(s) · c(t) = T Lc(s) · c0 (0) = ξc(s) , dt t=0 dt t=0 c 15. Dezember 2008 [email protected]

511

67.9

67. Infinitesimale Struktur

wobei ξ das linksinvariante Vektorfeld zu c0 (0) ist. Es gilt auch die behauptete Formel f¨ ur den Fluß zu ξ, denn ∂ (g · c(t)) = T Lg · c0 (t) = T Lg · ξc(t) ∂t = T Lg · T Lc(t) · ξe = T Lg·c(t) · ξe = ξg·c(t) .

67.6 Definition (Exponentialabbildung) Unter der Exponentialabbildung expG einer Liegruppe G versteht man die Abbildung expG : LG → G, ξ 7→ expξ (1) = Flξ (1, e). 67.7 Lemma. Die Exponentialabbildung expG einer Lie-Gruppe G ist glatt und erf¨ ullt T0 expG = idTe G . Es ist also expG : LG → G ein lokaler Diffeomorphismus bei 0. Beweis. Sei ψ(g, ξ) := (ξg , 0), dann ist ψ ∈ X(G × LG) und (t, ξ) 7→ (exp(tξ), ξ) ist die L¨ osung der zu ψ geh¨ origen Differentialgleichung, also glatt. Somit ist auch d 0 exp(tξ) = expξ (0) = ξe . exp glatt, und es gilt: T0 exp ·ξ = dt t=0

67.8 Folgerung. Es sei f : G → H ein Lie-Gruppen-Homomorphismus, dann kommutiert folgendes Diagramm: LG

Lf

expG

 G

/ LH expH

f

 /H

Ist insbesonders G eine Lie-Untergruppe von H, so ist expG die Einschr¨ ankung von expH . Beweis. Es gen¨ ugt zu zeigen, daß t 7→ f (expG (tξe )) die Differentialgleichung f¨ ur t 7→ expH (t · (Lf )(ξe )) l¨ ost. In der Tat gilt: ∂ ∂ f (expG (tξe )) = T f · expG (tξe ) ∂t ∂t = T f · T LexpG (tξe ) · ξe = T Lf (expG (tξ)) · T f · ξe = T Lf (expG (tξ)) · Lf · ξe 67.9 Beispiele. • Es sei G die abelsche Lie-Gruppe Rn , d.h. µ : G × G → G ist die Addition (g, h) 7→ g + h und T0 Lg · v = ∂2 µ(g, 0) · v = v. Also sind die linksinvarianten Vektorfelder gerade die konstanten Vektorfelder, und die Lie-Klammer von solchen ist 0, d.h. die Lie-Algebra LG ist Rn mit der 0-Klammer. ∂ Die Differentialgleichung f¨ ur c : t 7→ expG (t · ξe ) ist ∂t c(t) = ξc(t) = T Lc(t) · ξe = ξe mit Anfangswert c(0) = 0, also ist c(t) = t · ξe und somit expG (ξe ) = ξe die Identit¨ at. 512

c 15. Dezember 2008 [email protected]

67.9

67. Infinitesimale Struktur

• Sei nun G die Lie-Gruppe GL(n). Da G offen in L(n, n) ist, ist Tg G = L(n, n) f¨ ur alle g ∈ G. Die Multiplikation ist µ : G × G → G ist die Komposition (g, h) 7→ g ◦ h und hat als Ableitung µ0 (g, h) · (u, v) = g ◦ v + u ◦ h. Die linksinvarianten Vektorfelder GL(n) → L(n, n) sind also jene der Form g 7→ vg := T Lg · v = ∂2 µ(g, 0) · v = g ◦ v mit v ∈ L(Rn , Rn ). Deren Ableitung auf der offenen Menge GL(n) ⊆ L(n, n) ist d d v = (g + t h) ◦ v = h ◦ v. v 0 (g)(h) := g+t h dt t=0 dt t=0 ∼ LG ist somit Die Lie-Klammer von u, v ∈ Te G = [u, v]g := v 0 (g) · ug − u0 (g) · vg = ug ◦ v − vg ◦ u = g ◦ (u ◦ v − v ◦ u), Also ist die Lie-Algebra von G gerade L(Rn , Rn ) mit dem Kommutator. Die Differentialgleichung f¨ ur c : t 7→ expG (t · ξe ) ist ∂ c(t) = ξc(t) = T Lc(t) · ξe = c(t) ◦ ξe mit Anfangswert c(0) = id, ∂t also ist c(t) = et·ξe und somit expG (ξe ) = eξe . Das rechtfertigt die Bezeichnung Exponentialfunktion f¨ ur allgemeinen Lie-Gruppen. • Die Exponentialabbildung der SLC (2). Die Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe SLC (2) ist slC (2) = {T ∈ LC (2) : SpurC (T ) = 0}, d.h.  T =

 b ∈ slC (2) ⇔ d = −a. d

a c

F¨ ur spurfreie T gilt  2  2 2 a b a + bc 0 T2 = = = − det(T ) · id c −a 0 a2 + bc und somit ist exp(T ) =

∞ X Tk k=0 ∞ X

k!

=

∞ ∞ X X T 2k T 2k+1 + (2k)! (2k + 1)!

k=0

k

(− det T ) + (2k)!

k=0

∞ X (− det T )k

·T (2k + 1)! √ √ sinh( − det T ) √ = cosh( − det T ) + T − det T √ √ sin( det T ) = cos( det T ) + √ T. det T =

k=0

k=0

x

−x

Man beachte, daß keiner der beiden Koeffizienten cosh x := e +e und 2 √ sinh x ex −e−x = 2x von der Auswahl des Vorzeichens von x := − det T abh¨angt. x Ist det T reell (was z.B. f¨ ur die Untergruppe SL(2) ⊆ SLC (2) der Fall ist), dann gilt: Ist det T = 0, so ist t 7→ exp(tT ) = 1 + tT eine Gerade. 1 Ist ∆2 := det T > 0, so parametrisiert t 7→ exp(tT ) = cos(t∆) + sin(t∆) ∆ T 1 eine Ellipse mit Achsen id und ∆ T . Insbesonders ist also exp nicht injektiv. 1 Ist −∆2 := det T < 0, so parametrisiert t 7→ exp(tT ) = cosh(t∆)+sinh(t∆) ∆ T 1 eine Hyperbel mit Achsen id und ∆ T . c 15. Dezember 2008 [email protected]

513

68.2

67. Infinitesimale Struktur

67.10 Folgerung. Sind f und g zwei (lokale) Lie-Homomorphismen mit Lf = Lg, dann ist f = g lokal um e. Beweis. Nach 67.8 ist f ◦ exp = exp ◦Lf = exp ◦Lg = g ◦ exp. Da exp nach 67.7 ein lokaler Diffeomorphismus ist, stimmen also f und g lokal u ¨berein. 67.11 Folgerung. Jeder stetige Gruppenhomomorphismus zwischen Lie-Gruppen ist bereits glatt. Beweis. Sei f : G → H ein stetiger Gruppenhomomorphismus. Zuerst betrachten wir den Fall G = R. Es gibt ein radiales offenes U ⊆ LH um 0, sodaß exp |2U ein Diffeomorphismus ist. Sei t0 > 0 so gew¨ahlt, daß f (t) ∈ exp(U ) f¨ ur |t| ≤ t0 . Es gibt somit ξ0 , ξ 0 ∈ U mit f (t0 ) = exp(ξ0 ) und f (t0 /2) = exp(ξ 0 ). Dann gilt exp(2ξ 0 ) = exp(ξ 0 )2 = f (t0 /2)2 = f (t0 ) = exp(ξ0 ) ⇒ ⇒ 2ξ 0 = ξ0 ⇒ f (t0 /2) = exp(ξ0 /2). Durch Induktion bekommt man: f (rt0 ) = exp(rξ) f¨ ur alle r = k/2m mit |k| < 2m . Da f stetig ist, gilt das f¨ ur alle r mit |r| < 1. Also ist f glatt nahe 0. Sei nun G beliebig, (ξi )m i=1 eine Basis von LG. Wir betrachten die glatte Abbildung ϕ : Rm → G, (t1 , . . . , tm ) 7→ exp(t1 ξ1 ) · . . . · exp(tm ξm ). Ihre i-te partielle Ableitung bei 0 ist ξi , somit ist ϕ ein lokaler Diffeomorphismus. Es ist (f ◦ ϕ)(t1 , . . . , tm ) = f (exp(t1 ξ1 )) · . . . · f (exp(tm ξm )) lokal glatt, also auch f . Wegen f = Lf (g) ◦ f ◦ Lg−1 ist f u ¨berall glatt. 67.12 Folgerung. Sind zwei Lie-Gruppen als topologische Gruppen isomorph, so sind sie sogar als Lie-Gruppen isomorph. D.h. die C ∞ -Mannigfaltigkeitsstruktur einer Lie-Gruppe ist bereits eindeutig durch die Topologie festgelegt.

68. Infinitesimale versus lokale Struktur 68.1 Definition (Unter-Lie-Gruppe) Sei G eine Lie-Gruppe. Eine Teilmenge H heißt Unter-Lie-Gruppe von G falls H Untergruppe von G ist, H eine Lie-Gruppe ist und die Inklusion von H in G glatt ist. Letztere ist dann sogar eine Immersion und damit L(H) eine Unter-Lie-Algebra von L(G): Angenommen Te incl ·ξ = 0, dann ist incl(exp(tξ)) = exp(t · T incl ξ) = e, daher ist incl nicht injektiv (Widerspruch). Bemerkung: Wir verlangen also nicht, daß eine Unter-Lie-Gruppe eine (regul¨are) Untermannigfaltigkeit sondern nur eine immersive Untermannigfaltigkeit ist. Mit dieser Definition wird etwa (R, +) mit der diskreten Topologie zu einer Unter-LieGruppe von (R, +) mit der Standardtopologie. 68.2 Satz (Untergruppe zu einer Unteralgebra). Sei G eine Lie-Gruppe und H Unter-Lie-Algebra von LG. Dann existiert eine eindeutige zusammenh¨ angende Unter-Lie-Gruppe H von G mit LH = H. Beweis. Die Beweisidee ist die folgende: Falls H eine abgeschlossene Unter-LieGruppe von G ist, so werden wir in 70.1 eine Mannigfaltgkeitsstruktur auf G/H 514

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68.4

68. Infinitesimale versus lokale Struktur

so definieren, daß die kanonische Quotientenabbildung π : G → G/H eine Submersion ist. Die (Zusammenhangskomponenten der) Niveaufl¨achen bilden dann eine Bl¨ atterung mit zugeh¨ origen Teilvektorb¨ undel E := Ker(T π) von T G. Es parametrisiert H 3 h 7→ g · h die Niveaufl¨ache durch g ∈ G und somit ist Eg := {ξg = T Lg · ξe : ξ ∈ LH}: ∂ ∂ |t=0 g · exp(tv) : v ∈ Te H} = {T Lg · |t=0 exp(tv) : v ∈ Te H} ∂t ∂t = {T Lg · v : v ∈ Te H} = {Lv (g) : v ∈ Te H} = {ξg : g ∈ LH}.

Eg := Tg (g · H) = {

Sei nun umgekehrt H ein Unter-Lie-Algebra von LG und das Teilb¨ undel E von T G definiert durch Eg := {ξg : ξ ∈ H}. Dann ist E integrabel, denn seien ξ, η ∈ Γ(E) (nicht notwendig links-invariant) und (ei )i eine Basis von H (bestehend aus linksinvarianten Vektorfeldern), so haben wir: X X ξ= ξ i ei , η = η i ei und somit hX i X X X X [ξ, η] = ξ i ei , η j ej = ξ i η j [ei , ej ] + ξ i ei (η j )ej − η j ej (ξ i )ei ∈ Γ(E). i,j

i,j

i,j

Nach dem Satz 30.11 von Frobenius existiert eine eindeutige maximale zusammenh¨ angende Integralmannigfaltigkeit H durch e mit T H = E|H . Bleibt zu zeigen, daß H Untergruppe ist: Sei dazu h ∈ H, dann folgt e ∈ Lh−1 (H) ist zusammenh¨ angende Teilmannigfaltigkeit. Da die Vektorfelder in H linksinvariant sind, ist Lh−1 (H) ebenfalls eine Integralmannigfaltigkeit, also Lh−1 (H) ⊆ H nach 30.11.4 .

68.3 Satz (Lie-Gruppe zu einer Lie-Algebra). Sei G eine endlich dimensionale Lie-Algebra. Dann existiert eine (einfachzusammenh¨ angende) Lie-Gruppe G mit LG ∼ = G. Beweisskizze. Jede endlich dimensionale Lie-Algebra hat nach dem Satz von Ado (siehe [?, §7.2]) eine treue Darstellung auf einem Rn , d.h. G kann als Teilalgebra von L(n) ∼ = L(GL(n)) aufgefaßt werden. Nach obigem Satz existiert eine zusammenh¨ angende Unter-Lie-Gruppe G von GL(n) mit LG = G. Ihe universelle ˜ ist dann die gesuchte einfachzusammenh¨angende Lie-Gruppe mit ¨ Uberlagerung G Lie-Algebra G. 68.4 Folgerung. Seien G und H zwei Lie-Gruppen, f : LG → LH ein Lie-Algebra-Homomorphismus. Dann existiert ein lokaler Lie-Gruppen- Homomorphismus f mit Lf = f. Ist zus¨ atzlich G einfachzusammenh¨ angend, dann kann f global gew¨ ahlt werden. Beweis. Die Beweisidee ist die folgende: Sei f : G → H ein Homomorphismus. Dann ist Graph(f ) ⊆ G × H ein Unterobjekt und f ist die L¨osung der impliziten Bedingung (x, f (x)) ∈ Graph(f ). Wir k¨onnen also f (x) (lokal) aus den Graphen berechnen, falls x ein eindeutiges Urbild unter pr1 : Graph(f ) → G besitzt, und dann ist f = pr2 ◦(pr1 |Graph(f ) )−1 . F¨ ur (lokale) Lie-Gruppen-Homomorphismen f : G → H gilt L(Graph(f )) = Graph L(f ), denn (id, f ) : G → Graph(f ) ⊆ G × H ist ein Lie-Gruppen-Isomorphismus und somit auch L(id, f ) : LG → L(Graph(f )) ⊆ L(G × H) und dies ist (id, Lf ) verm¨oge dem Isomorphismus L(G × H) ∼ = LG × LH Umgekehrt sei also K := Graph(f) ⊆ LG × LH. Nach 68.3 existiert zu dieser Teilalgebra von LG × LH = L(G × H) eine Unter-Lie-Gruppe K von G × H mit LK = K. Sei j := pr1 ◦ incl : K ,→ G × H → G, dann ist j ein Lie-GruppenHomomorphismus mit Lj(ξ, f(ξ)) = T pr1 (T incl(ξ, f(ξ))) = pr1 (ξ, f(ξ)) = ξ. Also c 15. Dezember 2008 [email protected]

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68.5

68. Infinitesimale versus lokale Struktur

ist Lj ein Isomorphismus und j ein lokaler Diffeomorphismus. Sei schließlich f := pr2 ◦ incl ◦j −1 , dann ist f ein lokaler Lie-Gruppen-Homomorphismus und Lf (ξ) = L pr2 (L incl(Lj −1 (ξ))) = pr2 (ξ, f(ξ)) = f(ξ). F¨ ur einfachzusammenh¨ angendes G folgt die Existenz eines globalen Homomorphismuses aus 66.5 . 68.4a Zusammenfassung Somit stellt L eine bis auf lokale (globale) Isomorphien bijektive Zuordnung zwischen (einfachzusammenh¨ angenden) Lie-Gruppen und endlich dimensionalen LieAlgebren dar. ¨ Genauer: Der Funktor L ist eine Aquivalenz (d.h. invertierbar bis auf nat¨ urliche Isomorphisen, siehe [64, 1.22]) von der Kategorie der Keime lokalen Lie-GruppenHomos zwischen endlich dimensionalen Lie-Gruppen in jene der Lie-Algebra-Homos zwischen endlich dimensionalen Lie-Algebren. In der Tat existiert nach 68.3 zu jeder endlich-dimensionalen Lie-Algebra g eine Lie-Gruppe G mit L(G) ∼ = g (d.h. der Funktor ist dicht, siehe [64, 1.22]). Und zu jeden Lie-Algebra-Homomorphismus f ein lokaler Lie-Gruppen-Homo f mit L(f ) = f (d.h. der Funktor ist voll, siehe [64, 1.10]). Ist schließlich L(f ) = L(g) f¨ ur f, g : G → H, so ist f = g lokal um e nach 67.10 (d.h. der Funktor ist treu, siehe [64, 1.10]). Rein kategoriell folgt nun die Existenz eines bis auf Isomorphie inversen Funktors, siehe siehe [64, 1.22], indem wir zu jeder Lie-Algebra g eine Lie-Gruppe G mit LG ∼ = g w¨ahlen und zu jedem Lie-Algebra-Homomorphismus f : g → h den zugeh¨origen lokalen Lie-GruppenHomomorphismus f zuordnen. Schr¨ ankten wir L auf die (volle Teilkategorie) der einfach zusammenh¨angenden LieGruppen ein. So sind die Morphismen nach 66.5 eindeutig zu global definierten Lie-gruppen-Homos erweiterbar und die Teilkategore ist ¨aquivalent zur ganzen Ka¨ tegorie, denn die universelle Uberlagerung definiert einen Funktor welcher bis auf nat¨ urliche Isomorphie invers zur Einbettung der Teilkategorie ist. 68.5 Definition (Gruppen-Wirkung) Wir wollen nun ein Situation diskutieren, die richtig interpretiert eine Verallgemeinerung von 68.4 auf die unendlich dimensionale Diffeomorphismengruppe H := Diff(M ) von endlich dimensionalen Mannigfaltigkeiten M ist. Unter einer glatten (links-)Wirkung einer Lie-Gruppe G auf einer Mannigfaltigkeit M versteht man eine glatte Abbildung ϕ : G × M → M die ϕ(e, x) = x und ϕ(g, ϕ(h, x)) = ϕ(g h, x) f¨ ur alle g, h ∈ G und x ∈ M erf¨ ullt. Nat¨ urlicher w¨ are es statt dessen die Abbildung ϕˇ : G → C ∞ (M, M ) zu betrachen. Obige Gleichungen lauten dann ϕ(e) ˇ = id und ϕ(g) ˇ ◦ ϕ(h) ˇ = ϕ(g ˇ h), besagen also, daß ϕˇ ein Gruppen-Homomorphismus von G in die Gruppe Diff(M ) der Diffeomorphismen von M ist. Um auch die Glattheit von ϕ in jene von ϕˇ ¨ zu Ubersetzen ben¨ otigt man allerdings eine glatte Struktur auf der unendlichdimensionalen Gruppe Diff(M ). Dies l¨aßt sich auch machen, siehe z.B. [65, 43.1]. Was k¨ onnen wir als Lie-Algebra von Diff(M ) erwarten? F¨ ur endlich-dimensionale ∼ Lie-Gruppen G war LG = Hom(R, G) via ξ 7→ (expξ : t 7→ exp(t ξ)) nach 67.5 . Die 1-parameter Untergruppen R → Diff(M ) entsprechen nach oben Gesagten aber 516

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68.5

68. Infinitesimale versus lokale Struktur

gerade den Wirkungen von R auf M , also den Fl¨ ussen auf M . Nach 28.3 und 28.6.1 stehen die Fl¨ usse ϕ auf (kompakten) M in Bijektion zu den Vektorfeldern ξ auf M verm¨ oge ∂ ϕ(t, x) = ξϕ(t,x) . ∂t ∂ d Also ist insbesonders ∂t |t=0 ϕ(t, x) = ξx und naheliegenderweise sollte dt |t=0 ϕ(x) ˇ = ∂ ˇ geh¨orende Tangentialvektor in Te (Diff(M )) und ∂t |t=0 ϕ(t, x) sein, d.h. ξ der zu ϕ L(Diff(M )) = X(M ). Was erwarten wir als Exponentialabbildung exp : X(M ) ∼ = L(Diff(M )) → Diff(M )? F¨ ur endlich-dimensionale Lie-Gruppen G war exp(v) als Wert an der 1-ParameterUntergruppe Stelle 1 die Ableitung v bei 0 hat. F¨ ur ein ξ ∈ X(M ) ist diese 1ur Parameter-Untergruppe gerade der Fluß t 7→ Flξt von ξ und somit exp(ξ) = Flξ1 . F¨ nicht-kompaktes M haben wir hier allerdings ein Problem, denn der Fluß ξ zu einen beliebigen Vektorfeld ξ muß nicht bis zur Zeit 1 existieren. Entweder betrachtet man also nur vollst¨ andige Vektorfelder (z.B. solche mit kompakten Tr¨ager) oder nur lokale Fl¨ usse. Wir wollen nun die Lie-Klammer auf L(Diff(M )) bestimmen. Sei dazu ξ ∈ X(M ) und Lξ das zugeh¨ orige linksinvariante Vektorfeld auf Diff(M ). Der Fluß von Lξ ist nach 67.5 durch ξ

FlL : (t, g) 7→ g ◦ exp(t ξ) = g ◦ Flξt = (Flξt )∗ (g) gegeben. Nach 29.10 ist [Lξ , Lη ] =

Lξ ∗ d η dt |t=0 (Flt ) (L )

und somit

  ξ ξ d d Lξ ∗ η η |t=0 (FlL |t=0 T FlL (id) t ) (L )(id) = −t ◦L ◦ Flt dt dt
ξ ξ d d ξ
Lξ η η |t=0 T FlL = |t=0 T FlL −t L (id ◦ Flt ) = −t L (Flt ) dt dt ξ ξ d d ξ ξ ∗ = |t=0 T FlL |t=0 T ((FlL −t (T Flt ◦η) = −t ) )(T Flt ◦η) dt dt   d d Lξ ∗ = |t=0 (T Fl−t ) (T Flξt ◦η) = |t=0 T (Flξt ) ◦ η ◦ Flξ−t dt dt d ξ ∗ = |t=0 (Fl−t ) Y = −[X, Y ], dt wobei wir die hier unbewiesene Tatsache verwendet haben, daß T (g ∗ ) bis auf nat¨ urliche Isomorphismen (T g)∗ ist, siehe [65, 42.18]. Die Lie-Klammer auf L(Diff(M )) ist somit das negative jener von X(M ). [Lξ , Lη ]id =

Um auch den nicht kompakten Fall behandeln zu k¨onnen definieren wir: Unter einer lokalen Wirkung einer Lie-Gruppe G auf der Mannigfaltigkeit M versteht man eine glatte Abbildung ϕ : G × M ⊇ U → M , definiert auf einer offenen Umgebung U von {e} × M , f¨ ur die obige Gleichungen nur dort wo sie definiert sind gelten. Solch eine Lie-Gruppen-Wirkung definiert genauso einen Lie-Homomorphismus ζ := Lϕ : LG → X(M ) durch v 7→ (x 7→ Te,x ϕ · (v, 0x )). Es ist ζ v ϕ-verwandt zu Rv × 0, wobei Rv (g) := T Rg · v das von v ∈ Te G erzeugte rechts-invariante Vektorfeld ist, denn wegen ϕ ◦ (id ×Lg ) = ϕ ◦ (Rg × id) ist (ζ v ◦ ϕ)(g, x)) = T ϕ(v, 0ϕ(g,x) ) = (T ϕ ◦ (id ×T Lg ))(v, 0x ) = (T ϕ ◦ (T Rg × id))(v, 0x ) = T ϕ(Rgv × 0x ) = (T ϕ ◦ (Rv × 0))(g, x). Es ist [Rv , Rw ] = R[w,v] (siehe Proseminar) und somit −ζ ein Lie-Algebra-Homomorphismus, denn [ζ v , ζ w ] ist ϕ-verwandt mit [(Rv , 0), (Rw , 0)] = ([Rv , Rw ], [0, 0]) = c 15. Dezember 2008 [email protected]

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68.6

68. Infinitesimale versus lokale Struktur

(R[w,v] , 0) und auch ζ [w,v] ist damit verwandt, also [ζ v , ζ w ] = ζ [w,v] oder [−ζ v , −ζ w ] = [ζ v , ζ w ] = ζ [w,v] = ζ −[v,w] = −ζ [v,w] . Und es gilt analog zu 68.4 folgende Umkehrung: 68.6 Satz. (Siehe [96, 2.16.8] oder [1, 6.5]) Sei G eine Lie-Gruppe, M eine glatte Mannigfaltigkeit und −ζ : LG → X(M ) ein Lie-Algebra-Homomorphismus. Dann existiert eine lokale Liegruppen-Wirkung ϕ von G auf M mit Lϕ = ζ. Ist zus¨ atzlich G einfachzusammenh¨ angend und ζ(v) vollst¨ andig f¨ ur alle v ∈ Te G (z.B. wenn M kompakt ist), dann l¨ aßt sich ϕ global w¨ ahlen. Beweis-Skizze. Die Idee dabei ist, daß wir ein ϕ aus ζ := Lϕ zur¨ uckgewinnen k¨onnen, indem wir die Niveaufl¨achen ϕ−1 (y) := {(g, x) : g · x = y} = {(g −1 , g · y) : g ∈ G} betrachten. Da ϕ : G × M → M l¨angs {e} × M die Identit¨at und somit submersiv ist, definiert die Bl¨ atterung durch Niveaufl¨achen eine integrables Teilb¨ undel E von T G × T M . Es ist n∂ o
|t=0 g −1 · (exp tv)−1 , exp(tv) · g · y : v ∈ Te G T(g−1 ,g·y) (ϕ−1 (y)) = ∂t = {(L−v (g −1 ), ζ v (g · y)) : v ∈ Te G} = {(Lv (g −1 ), −ζ v (g · y)) : v ∈ Te G} also E(h,y) = {(Lv (h), −ζ v (y)) : v ∈ Te G}. Sei also umgekehrt E(h,y) := {(Lv (h), −ζ v (y)) : v ∈ Te G}. Dann ist E ein integrables Teilb¨ undel von T (G × M ) → G × M , denn die Lie-Klammern der BasisVektorfelder Lvi × ζ −vi liegt ebenfalls drinnen. Seien N(g,x) die maximalen Integralmannigfaltigkeiten. Es erh¨ alt Lg × id das integrable Teilb¨ undel und somit ist (Lg × id)N(h,v) = N(g·h,v) , da (g · h, v) ∈ (Lg × id)N(h,v) . Wir definieren die Wirkung ϕ durch N(e,g·x) = N(g,x) , also   g · x := ϕ(g, x) := pr2 ◦(pr1 |N(g,x) )−1 (e). Es ist ϕ lokal wohldefiniert und glatt, da pr1 = T pr1 : T N(g,x) → T G invertierbar ist. Weiters ist ϕ eine lokale Gruppenwirkung: (Lg−1 × id)· N(e,g·x) = N(g,x) (Lh × id)· ⇒ N(g−1 e,g·x) = N(g−1 g,x) = N(e,x) ⇒ N(h g−1 ,g·x) = N(h,x) ⇒ N((g h)−1 ,(g h)·x) = N(e,x) = N(h−1 ,h·x) = N(h−1 g−1 ,g·(h·x)) = N((g h)−1 ,g·(h·x)) ⇒ (g h) · x = g · (h · x). Es ist L(ϕ) = ζ: ∂  ∂ |t=0 exp(tv)−1 , |t=0 exp(tv) · x ∈ E(e,x) ∂t ∂t o
n ⇒ −v, L(ϕ)(v)(x) ∈ (w, −ζ w (x)) : w ∈ Te G

(exp(tv)−1 , (tv) · x) ∈ N (e, x) ⇒

⇒ L(ϕ)(v)(x) = ζ v (x). 518

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68.7

68. Infinitesimale versus lokale Struktur

68.7 Integration auf Lie-Gruppen In diesem Abschnitt sei G eine zusammenh¨angende Lie-Gruppe. Sei weiters ∆ eine Determinantenfunktion auf LG ∼ = Te G, dann definiert ∆g (ξ1 , . . . ) := ∆(T Lg−1 · ξ1 , . . . ) eine linksinvariante nirgends verschwindende Differentialform auf G, welche verwendet werden kann, um Funktionen zu integrieren. Es gilt dann: Z Z Z ∗ (f ◦ Lg ) · ∆ = Lg (f ) · ∆ = L∗g (f · (Lg−1 )∗ (∆)) Z Z = f · (Lg−1 )∗ (∆) = f · ∆. Also ist das zugeh¨ orige Integral ebenfalls linksinvariant. Man kann zeigen, das es bis auf ein skalares Vielfaches eindeutig bestimmt ist: Sein Rn¨amlich ν ein weiteres linksinvariantes Maß auf G und f ∈ Cc (G) mit µ(f ) := f · ∆ 6= 0. Dann ist 1 λf : G → R, x 7→ µ(f ) ν(Rx (f )) stetig. Sei g ebenfalls in Cc (G), dann hat auch −1 (x, y) 7→ f (x) g(x y) kompakten Tr¨ager und mit S(g) : x 7→ g(x−1 ) gilt: Z Z µ(f ) · ν(S(g)) = f (x) ν(S(g)) ∆(x) = f (x) ν(Lx−1 (S(g))) ∆(x) G ZG Z = f (x) Lx−1 (S(g))(y) dν(y) ∆(x) ZG ZG = f (x) g(y −1 x) dν(y) ∆(x) ZG ZG = f (x) g(y −1 x) ∆(x) dν(y) G G Z Z = f (y x) g(y −1 y x) ∆(x) dν(y) G G Z Z Z Z = f (y x) g(x) dν(y) ∆(x) = g(x) f (y x) dν(y) ∆(x) G

G

G

G

= µ(g · µ(f ) · λf ) = µ(f ) · µ(g · λf ). Also ist ν(g) = µ(S(g) · λf ) und damit λf unabh¨angig von f ≥ 0. Nach Definition ist λ(1) µ(f ) = ν(f ) und λ(1) > 0. Wann ist es zus¨atzlich rechtsinvariant? Eine ur einfache Rechnung zeigt, daß Rg∗ ∆ linksinvariant ist. Also ist Rg∗ ∆ = λ(g) · ∆ f¨ ein λ : G → R. Es ist λ : G → R∗ ein stetiger Gruppen Homomorphismus, denn ∗ Rg∗ ◦ Rh∗ = Rgh . Wegen λ(g −1 ) = λ(g)−1 gilt Z Z Z Z Z ∗ ∗ ∗ −1 −1 (f ◦Rg )∆ = Rg (f Rg−1 (∆)) = f Rg−1 (∆) = f λ(g ) ∆ = λ(g) · f ∆. Man nennt G unimodular, ur alle R R R falls λ(g) = 1 f¨ R g. Ist G kompakt, so existiert 1∆ und es gilt: 1∆ = (1 ◦ Rg )∆ = λ(g)−1 · 1∆, also ist G unimodular. Falls die Kommutatoruntergruppe G0 := [G, G] := hg h g −1 h−1 : g, h ∈ GiGruppe dicht in G liegt, so ist G unimodular, denn λ(G0 ) ⊆ [R+ , R+ ] = {1} liegt dann dicht in λ(G), also ist λ(G) = {1}. Proposition. R R G ist genau dann unimodular, wenn G S(f ) = G f =: µ(f ) gilt. Beweis. (⇐) Falls µ(f ) = µ(S(f )) so ist µ rechtsinvariant, da µ ◦ S es ist, also ist G unimodular. c 15. Dezember 2008 [email protected]

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69.3a

68. Infinitesimale versus lokale Struktur

(⇒) Sei umgekehrt λ = 1, also auch S(λ) = 1. Dann ist
µ(f ) = µ f · S(λ) = µ(S(f )),

da µ(f ) = µ S(f ) · S(λ) : Sei n¨ amlich ν(f ) := µ S(f ) · S(λ) , dann ist     ν(L∗g f ) = µ S(L∗g f ) · S(λ) = µ Rg∗−1 (S(f )) · S(λ)   = µ Rg∗−1 (S(f )) · Rg∗−1 (S(λ)) · S(λ)(g) 
 = S(λ)(g) · µ Rg∗−1 S(f ) · S(λ)   = λ(g)−1 · λ(g) · µ S(f ) · S(λ)   = µ S(f ) · S(λ) = ν(f ) also ν = c µ mit c > 0. Lokal ist |λ − 1| < ε und f¨ ur symmetrisches g ≥ 0 mit Tr¨ ager in dieser Umgebung ist somit |g(x) − S(g)(x) S(λ)(x)| ≤ ε g(x) f¨ ur alle x,
also |1 − c| · µ(g) = µ(g) − µ S(g) · S(λ) ≤ µ(|g − S(g) S(λ)|) ≤ ε · µ(g), also c = 1.

69. Untergruppen 69.1 Lemma. Sei H eine separable Unter-Lie-Gruppe von G, dann ist H initial (siehe 21.7 ) in G. Die Separabilit¨ at von H ist dabei essentiell, denn R mit der diskreten Topologie ist nicht initial in R. Beweis. Da LH Unter-Lie-Algebra von LG ist, existiert nach 68.2 eine eindeutige zusammenh¨ angende Unter-Lie-Gruppe K von G mit LK = LH. Diese ist als maximale Integralmannigfaltigkeit nach 30.11.3 initial in G. Da die Lie-Algebren gleich sind, muß die Zusammenhangskomponente H0 von H nach 30.11.4 offen in K sein, somit als Untergruppe auch abgeschlossen und daher mit der zusammenh¨angenden Gruppe K u ¨bereinstimmen. Es besitzt H als separable Mannigfaltigkeit aber nur abz¨ahlbar viele Zusammenhangskomponenten, die also maximale Integralmannigfaltigkeiten sind. Glatte Abbildungen f : M → G die (lokal) nur abz¨ahlbar viele Bl¨atter treffen liegen lokal in einem Blatt und sind somit glatt nach H. Also ist H eine initiale Teilmannigfaltigkeit. 69.3a Lemma. Sei M lokalkompakt, G eine σ-kompakte lokalkompakte topologische Gruppe und ϕ : G × M → M eine stetige transitive Gruppenwirkung. Dann ist Gx := {g ∈ G : g · x = x} abgeschlossen in G f¨ ur alle x ∈ M abgeschlossen und die Abbildung G/Gx → M , g · Gx 7→ g · x ist ein Hom¨ omorphismus. Beweis. Da Rx : G → M , g 7→ g · x stetig ist, ist Gx := (Rx )−1 (x) abgeschlossen in G. Somit ist die nach 13.11 induzierte bijektive Abbildung G/Gx → M stetig. Surjektivit¨ at gilt, da die Wirkung transitiv vorausgesetzt ist; Injektivit¨at gilt, da Rx (g1 ) = Rx (g2 ) ⇔ g1 · x = g2 · x ⇔ g2−1 g1 ∈ Gx ⇔ g1 = g2 · Gx . 520

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69.3

69. Untergruppen

Bleibt zu zeigen, daß Rx offen ist, d.h. Rx (U ) = U · x = {g · x : g ∈ U } offen in M ist f¨ ur alle offenen U ⊆ G: Sei dazu g0 ∈ U . Dann ist g0−1 U eine offene Umge−1 2 bung von e. Sei V eine symmetrische kompakte S Umgebung von e mit V ⊆ g0 U . Dann existiert eine Folge gn ∈ G mit G = n∈N Voraussetzung S gn V , denn nach S existieren kompakte Teilmengen Kn ⊆ G mit n∈N Kn = G = g∈G gV o und S somit existieren f¨ ur jedes n endlich viele gn,j ∈ G mit Kn ⊆ j gn,j V o , also S S S G = n Kn ⊆ n,j gn,j V o ⊆ n,j gn,j V . S Somit ist M = n gn V · x und da M lokalkompakt und somit Baire’sch ist nach [58, 3.2.4], existiert nach [58, 3.2.1] ein n so, daß das Innere von gn V · x nicht leer ist. Sei also gn h · x mit h ∈ V ein innerer Punkt. Dann ist x ein innerer Punkt von (gn h)−1 gn V · x = h−1 V · x ⊆ V −1 V · x ⊆ g0−1 U · x, also g0 · x ein innerer Punkt von U · x. 69.3b Satz u ¨ ber offene Abbildungen. Seien G und H zwei lokalkompakte topologische Gruppen und ϕ : G → H ein stetiger surjektiver Gruppen-Homomorphismus. Falls G σ-kompakt ist, so ist ϕ offen. Beweis. Wir betrachten die Wirkung von G auf H welche durch g · h = ϕ(g)h gegeben ist. Offensichtlich ist diese stetig und sie ist transitiv, da ϕ surjektiv vorausgesetzt ist. Der Stabilisator Ge := {g ∈ G : ϕ(g)e = e} = Ker(ϕ) und somit G/ Ker(ϕ) → H, g Ker(ϕ) 7→ ϕ(g) e = ϕ(g) ein Hom¨oomorphismus nach 69.3a , also ϕ : G → H offen, da π : G → G/ Ker ϕ offen ist. 69.3 Satz. Sei H eine separable Unter-Lie-Gruppe von G. Dann ist H genau dann regul¨ are Teilmannigfaltigkeit (siehe 21.12 ) von G, wenn H abgeschlossen in G ist. Beweis. (⇐) Wir wenden 69.3b auf die Identit¨at von H mit der Lie-Gruppen-Topologie nach H mit der Spurtopologie an; letztere ist auch lokalkompakt, wenn H in G abgeschlossen ist. (⇒) Das ist eine direkte Konsequenz eines Satzes u ¨ber abgeschlossene Abbildungen: Jeder stetige Gruppen-Homomorphismus zwischen lokalkompakten Gruppen, der offen (ein Hom¨ oomorphismus) auf sein Bild ist, hat ein abgeschlossenes Bild. Man k¨ onnte auch so vorgehen: Als regul¨are Teilmannigfaltigkeit ist H lokal abgeschlossen in G, demnach ist H offen und somit abgeschlossen im Abschluß H, also H = H abgeschlossen. Sei X ⊆ Y in einen topologischen Raum Y . Dann sind ¨aquivalent: 1. X is lokal abgeschlossen, d.h. ∀ x ∈ X ∃ Ux Umgebung von x in Y mit X ∩ Ux abgeschlossen in Ux ; 2. ∃ A ⊆ Y abgeschlossen und ∃ U ⊆ Y offen mit X = A ∩ U ; 3. ∃ A ⊆ Y abgeschlossen mit X ⊆ A offen; 4. ∃ U ⊆ Y offen mit X ⊆ U abgeschlossen; 5. X ⊆ X offen. S Beweis. (1⇒2) Es ist U := x∈X Ux ⊆ Y offen und X ⊆ U . Weiters ist U \X offen, denn f¨ ur y ∈ U \ X existiert ein x ∈ X mit y ∈ Ux und X ∩ Ux ist abgeschlossen in Ux , also Ux \ X offen in Ux und damit in Y , also U \ X ⊇ Ux \ X 3 y offen. (2⇔3) X ⊆ A offen ⇔ ∃ U ⊆ Y offen mit X = U ∩ A. (2⇔4) geht analog (3⇒5) Es ist X ⊆ A und A abgeschlossen, also X ⊆ X ⊆ A und damit X offen c 15. Dezember 2008 [email protected]

521

69.5

69. Untergruppen

auch in X. (4⇒1) Setze Ux := U , dann ist X = X ∩ Ux abgeschlossen in Ux = U . (5⇒4) Setze A := X. 69.4 Satz (Abgeschlossen Untergruppen). Jede abgeschlossene Untergruppe einer Lie-Gruppe ist selbst eine Lie-Gruppe. Dieser Satz wurde zuerst durch VonNeumann f¨ ur G = GL(n) und dann von Cartan f¨ ur beliebiges G bewiesen. Beweis. Sei H eine abgeschlossene Untergruppe der Lie-Gruppe G. Wir setzten H := {c0 (0) : c ∈ C ∞ (R, H), c(0) = e}. Dann ist H ein Teilvektorraum von LG: Seien c0i (0) ∈ H und ti ∈ R, definiere c(t) := c1 (t1 t) · c2 (t2 t), dann gilt c0 (0) = t1 · c01 (0) + t2 · c02 (0). Behauptung: H = {ξ| exp(t · ξ) ∈ H f¨ ur alle t}. (⊇) ist klar. (⊆) ξ := c0 (0), sei v : R → LG so, daß v(0) = 0 und exp(v(t)) = c(t). Es gilt: d exp(v(t)) = T0 exp(v 0 (0)) = v 0 (0) = lim n · v( n1 ) ξ = c0 (0) = n→∞ dt t=0 Setzen wir tn := 1/n und vn := n · v(tn ), so ist tn vn = v(1/n) und exp(tn vn ) = exp(v(1/n)) = c(1/n) ∈ H. Aus der nachfolgenden Behauptung ergibt sich dann exp(tξ) ∈ H. Behauptung: Seien vk ∈ LG, 0 6= tk → 0, vk → v, exp(tk vk ) ∈ H. Dann ist exp(tv) ∈ H f¨ ur alle t. Da exp(tk vk )−1 = exp(−tk vk ) ist, k¨onnen wir uns auf positive tk beschr¨anken. Sei t ∈ R beliebig und kn ∈ Z maximal mit kn ≤ t/tn . Dann ist t − tn < kn tn ≤ t und somit konvergiert kn tn → t und exp(tv) ← exp(kn tn vn ) = exp(tn vn )kn ∈ H. Behauptung: Es existiert eine offene 0-Umgebung U 0 ⊆ H⊥ mit exp(U 0 ) ∩ H = {0}. Anderenfalls existieren vk ∈ H⊥ , vk → 0, exp(vk ) ∈ H. Setzen tk := 1/|vk |, o.B.d.A. konvergiert tk vk → v ∈ H⊥ . Dann ist exp(tk vk /tk ) = exp(vk ) ∈ H und 1/tk → 0. Mit der vorigen Behauptung folgt exp(tv) ∈ H und somit v ∈ H, ein Widerspruch. Behauptung: Eine offene 0-Umgebung U ⊆ LG existiert mit exp(U ∩H) = exp U ∩ H: (⊆) klar f¨ ur jedes U . (⊇) Sei a ∈ exp(U ) ∩ H. Dann ist a = exp ξ · exp η mit ξ ∈ H und η ∈ H⊥ f¨ ur U gen¨ ugend klein (da (ξ, η) 7→ exp ξ · exp η ein lokaler Diffeomorphismus ist). Es gilt exp η ∈ H (da a, exp ξ ∈ H), und nach der vorigen Behauptung ist η = 0, also a = exp ξ mit ξ ∈ H ∩ U . Somit ist exp : H → H ein lokaler Diffeomorphismus bei 0, also bildet {Lh ◦exp |H : h ∈ H} einen Atlas f¨ ur H. Die Kartenwechsel (Lh ◦ exp)−1 ◦ Lh0 ◦ exp = exp−1 ◦Lh−1 ◦h0 ◦ exp sind dort glatt, wo sie definiert sind, und bilden wegen obiger Eigenschaft einen Teilmannigfaltigkeits-Atlas. 69.5 Proposition. [107] Sei H eine wegzusammenh¨ angende Untergruppe einer Lie-Gruppe G. Dann ist H eine Unter-Lie-Gruppe von G. 522

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70.1

69. Untergruppen F¨ ur einen Beweis siehe z.B˙[][—S6]HigertNeeb91

Beweis f¨ ur C ∞ -wegzusammenh¨ angende H. Wie im Beweis von 69.4 sei H := 0 {c (0) : c ∈ c∞ (R, H), c(0) = e}. Wie dort ist H ein Teilvektorraum von LG. Seien ci f¨ ur i ∈ {1, 2} zwei solche Kurven. Dann ist nach 71.1 bzw. 29.12 ∂ 2 ) t=0 c1 (t) c2 (t) c1 (t)−1 c2 (t)−1 ∈ H, [c01 (0), c02 (0)] = 12 ( ∂t somit ist H ein Unter-Lie-Algebra. Sei H0 die maximale Integralmannigfaltigkeit des integrablen Teilb¨ undels welches durch die links-invarianten Vektorfelder in H erzeugt wird. F¨ ur jede Kurve c wie oben ist c(t)−1 c(t + s) ∈ H, T (Lc(t)−1 ) · c0 (t) = ∂ ∂s s=0

somit ist c tangential an das Teilb¨ undel und liegt nach 30.11 folglich in H0 , d.h. H ⊆ H0 . F¨ ur die Umkehrung w¨ ahlen wir eine Basis (c01 (0), . . . , c0k (0)) von H. Die Abbildung k ϕ : R → H ⊆ H0 , (t1 , . . . , tk ) 7→ c1 (t1 ) · . . . · ck (tk ) hat invertierbare Ableitung T0 ϕ : Rk → H = Te H0 und ist somit ein lokaler Diffeomorphismus um 0, also enth¨ alt H eine 0-Umgebung von H0 und somit ist H = H0 .

70. Homogene R¨ aume Wir wollen nun Orbitr¨ aume X/G von Gruppenwirkungen G × X → X insbesonders im Fall von G eine Untergruppe einer Gruppe X ist und auf dieser durch links-Multiplikation wirkt. Die zwei extrem F¨alle dabei sind einerseits jene diskreter Untergruppen (oder allgemeiner strikt diskontinuierlicher Wirkungen, siehe 24.15 ) und andererseits jener zusammenh¨angender Untergruppen (siehe 4.12 ). Die allgemeine Situation der Wirkung einer Lie-Gruppe G k¨onnen wir darauf zur¨ uckspielen, indem wir die Zusammenhangskomponente G0 von G betrachten. Diese ist ein Normalteiler und G/G0 ist diskret. Allgemein gilt: 70.1a Lemma (Zweiter Isomorphiesatz der Gruppentheorie). Sei G × X → X eine Gruppen-Wirkung und N C G ein Normalteiler. So induziert die Wirkung von G auf X eine solche von G/N auf X/N und eine Bijektion X/G → (X/N )/(G/N ). 70.1 Satz (Homogene R¨ aume). Sei H eine abgeschlossene Unter-Lie-Gruppe von G. Dann existiert auf der Menge der rechten Nebenklassen G/H := {gH : g ∈ G} eine eindeutige C ∞ -Mannigfaltigkeitsstruktur, f¨ ur die G → G/H eine Submersion ist. Es ist dann G → G/H sogar ein H-Hauptfaserb¨ undel. Beweis. Wir beweisen dies in zwei Teilen: Im ersten Schritt bilden wir die Faktorgruppe nach der Zusammenhangskomponente H0 von e, im zweiten faktorisieren wir die diskrete Wirkung von H/H0 heraus. G → G/H0 → (G/H0 )/(H/H0 ) ∼ = G/H Durch Eg := T Lg (Te H) wird ein integrables Teilvektorb¨ undel mit den H0 -Nebenklasse gH0 als maximalen Integralmannigfaltigkeiten (nach dem Beweis von 68.2 ) definiert. Dieses ist regul¨ ares nach 69.3 regul¨ar. In 30.14 haben wir gezeigt, daß in so einer Situation G/H0 eine eindeutige Mannigfaltigkeitsstruktur tr¨agt, sodaß π : G → G/H0 eine Submersion ist. Da H0 ein Normalteiler von H ist, ist H/H0 selbst eine (diskrete) Gruppe, und diese wirkt strikt diskontinuierlich auf c 15. Dezember 2008 [email protected]

523

70.3

70. Homogene R¨ aume

der Mannigfaltigkeit G/H0 durch (hH0 ) · (gH0 ) := gh−1 H0 : Sei n¨amlich U offen in G mit U −1 U ∩ H ⊆ H0 und h ∈ / H0 , dann ist ((hH0 ) · π(U )) ∩ π(U ) = ∅, denn andernfalls w¨ are ∅ 6= uh−1 H0 ∩ u0 H0 f¨ ur gewisse u, u0 ∈ U und somit 0 −1 0 0 (u ) · u = h · h ∈ H mit einem h ∈ H0 , also h0 · h ∈ U −1 U ∩ H ⊆ H0 und somit h ∈ H0 . Aus 24.19 folgt nun, daß G/H = (G/H0 )/(H/H0 ) eine ¨ Mannigfaltigkeit und G/H0 → G/H = (G/H0 )/(H/H0 ) eine Uberlagerung ist. Es bleibt die Faserb¨ undelstruktur zu beweisen: Da p : G → G/H als Zusammensetzung von Submersionen ebenfalls eine ist, finden wir einen lokalen Schnitt s : U → G nach 22.1 . Dann ist U × H → p−1 U , (u, h) 7→ s(u) · h eine Trivialisierung mit inverser Abbildung g 7→ (p(g), s(p(g))−1 g): Es ist p(s(u) · h) = p(s(u)) = u ∈ U und p(g) = p(s(p(g))) also g = s(p(g)) · h f¨ ur ein h ∈ H, d.h. s(p(g))−1 g = h ∈ H. Weiters ist (u, h) 7→ s(h) · h 7→ (u, s(u)−1 (s(u) · h)) = (u, h) und g 7→ (p(g), s(p(g))−1 g) 7→ s(p(g)) · (s(p(g))−1 g) = g. Beachte, daß die Wirkung von H auf G von rechts als Orbits genau die Nebenklassen besitzt und auf diesen transitiv und frei wirkt, also ist G → G/H ein H-Hauptfaserb¨ undel in der Terminologie von b.23 . Beachte, daß G/H Hausdorff ist, denn sei x, x0 ∈ G mit π(x) 6= π(x0 ), i.e. x0 ∈ / xH. W¨ ahle eine e-Umgebung U mit U −1 U x0 ∩ H = ∅. Dann sind U xH und U x0 H offene H-invariante disjunkte Umgebungen von xH und xH 0 .

70.2 Bemerkungen 1. Ist H zus¨ atzlich normal in G, dann ist G/H eine Lie-Gruppe und G → G/H ein Lie-Gruppen-Homomorphismus. 2. Die Gruppe G wirkt transitiv auf M := G/H und die Fixgruppen Gg˙ = {k ∈ G : k · g˙ = g} ˙ f¨ ur g˙ ∈ M sind konjugiert zu H, denn p(g) = g˙ = k · g˙ = k · p(g) = p(k g) ⇔ ∃ h ∈ H : k g = g h ⇔ k ∈ gHg −1 70.3 Satz. Wirkt eine separable Lie-Gruppe G transitiv auf einer Mannigfaltigkeit M und sei Gx := {g ∈ G : g · x = x} f¨ ur ein beliebiges x ∈ M , dann gilt: Gx ist eine abgeschlossene Untergruppe von G und G/Gx ist diffeomorph zu M verm¨ oge gGx 7→ gx. Der Wirkung von G auf M entspricht dabei die Linksmultiplikation auf G/Gx .

Gx

/G

evx / / G·x DD OO DD DD = DD" O ∼ " G/Gx

M

Beweis. Nach 13.11 ist die vertikale Abbildung g Gx 7→ gx eine bijektive glatte Abbildung, die mit der Wirkung von G auf G/Gx und auf M vertauscht. Sie ist auch eine Immersion, denn dazu gen¨ ugt es die Injektivit¨at der Tangentialabbildung d bei e Gx ∈ G/Gx nachzuweisen. Sei dazu 0 = Te evx · v = dt |t=0 (exp(t v) · x) f¨ ur ein v ∈ Te G, dann ist       d d d exp((t + s)v) · x = exp(tv) · exp(sv) · x exp(tv) · x = | | s=0 s=0 dt ds ds    d = T Lexp(tv) ds |s=0 exp(sv) · x = 0 f¨ ur alle t, also exp tv · x = x, i.e. exp tv ∈ Gx , und somit v = 0 in T (G/Gx ). 524

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70. Homogene R¨ aume

70.4

Eine bijektive Immersion ist aber bereits ein Diffeomorphismus: Es gen¨ ugt dazu die Submersivit¨ at nachzuweisen. Angenommen, die Dimension des Zielraums ist gr¨oßer, dann gibt es auf Grund des Rang-Satzes 21.2 zu jedem Punkt eine Umgebung, deren Bild nirgends dicht ist. Abz¨ahlbar viele dieser Bilder u ¨berdecken dann das Bild (da G als Lie-Gruppe parakompakt ist nach 66.2 und wegen der Separabilit¨at nur abz¨ ahlbar viele Zusammenhangskomponenten besitzt und somit Lindel¨of ist nach 19.6 ), was ein Widerspruch zur Baire’schen Eigenschaft (des lokalkompakten Raums M , siehe [58, 3.2.4]) ist. 70.3a Bemerkung. F¨ ur Haupfaserb¨ undel wird durch (y, y · g) 7→ g eine glatte Abbildung τ : P ×M P := {(y 0 , y) : p(y 0 ) = p(y)} → G definiert: Da p : P → M submersiv ist, ist p × p : P × P → M × M transversal zu ∆ := {(x, x) : x ∈ M } und somit P ×M P eine regul¨ are Teilmannigfaltigkeit von P × P nach 21.22 , oder benutze direkt 21.23 . Es ist τ (y, y 0 ) durch die implizite Gleichung y 0 = y · τ (y, y 0 ) gegeben und da G frei wirkt, ist T evy : T G → T (y · G) ⊆ T M injektiv nach 70.3 . Der implizite Funktionensatz liefert somit die Glattheit von τ . Im Allgemeinen k¨ onnen wir nicht erwarten, daß M/G eine Mannigfaltigkeit ist. Probleme machen insbesonders Fixpunkte. Z.B. wirkt SO(n) auf Rn mit Fixpunkt 0 und Rn /S n ∼ = {r ∈ R : r ≥ 0} verm¨oge SO(n) · x 7→ kxk. Betrachten wir aber freie Wirkungen, dann k¨ onnen wir die Konstruktion aus 70.1 verallgemeinern: 70.4 Satz (Mannigfaltigkeit der Orbits). Die separable Lie-Gruppe G wirke frei auf der Mannigfaltigkeit M . Dann sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: 1. M/G besitzt eine (eindeutige) Mannigfaltigkeitsstruktur, sodaß π : M → M/G eine Submersion ist. Dies ist dann sogar ein G-Hauptfaserb¨ undel. 2. Die Abbildung G × M → M × M mit (g, x) 7→ (g · x, x) ist eine topologische Einbettung (oder ¨ aquivalent: die Abbildung M × M ⊇ {(y, x) : ∃ g ∈ G, y = g · x} → G, (g · x, x) 7→ g ist stetig). 3. F¨ ur jede e-Umgebung V in G und x ∈ M existiert eine Umgebung U von x mit {g : GU ∩ U 6= ∅} ⊆ V . ¨ Beweis. Die Aquivalenz der beiden Bedingungen in (2) is klar, denn (g, x) 7→ (g·x, x) ist injektiv (da die Wirkung frei ist) mit Umkehrabbildung (g·x, x) 7→ (g, x) definiert am Bild. (1 ⇒ 2) Wir zeigen zuerst, daß die Submersivit¨at von π : M → M/G bereits die Haupt-Faserb¨ undel-Eigenschaft impliziert: Sei dazu s : M/G ⊇ U → M ein Schnitt auf einer offen Menge U . Dann ist ϕ : U × G → π −1 U , (u, g) 7→ g · s(u) glatt und bijektiv mit inverser Abbildung x 7→ (π(x), g), wobei g definiert durch g·s(π(x)) = x ist. Weiters ist ϕ immersiv, da s(U ) transversal zu den Orbits liegt. Genauer: Es gen¨ ugt die Immersivit¨ at von ϕ : (u, g) 7→ g · s(u) bei (u, e) nachzurechnen: 0 = Tu,e ϕ · (ξ, v) = Tu s · ξ + Te evs(u) ·v ∈ Ts(u) (s(U )) + Tx (G · x) ⇒   0 = T π Tu s · ξ + Te evs(u) ·v = Tu (π ◦ s) · ξ + Te (π ◦ evs(u) ) · v = Tu id ·ξ + Te (s(u)) · v = ξ + 0 ⇒ Bew. von 70.3

0 = Te evs(u) ·v = ============ ⇒ v ∈ Te Gs(u) = {0}. c 15. Dezember 2008 [email protected]

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70.5

70. Homogene R¨ aume

Nach dem Beweis von 70.3 ist ϕ somit eine glatte Trivialisierung. Die rechtsWirkung von G auf M ist durch x · g := g −1 · x gegeben. Diese ist offensichtlich transitiv und frei auf den Fasern G · x. Es konvergiere (gi xi , xi ) → (g∞ x∞ , x∞ ) in M × M . Es gen¨ ugt zu zeigen, daß gi → −1 g∞ . O.B.d.A. sei g∞ = e (ersetze dazu g∞ gi durch gi ). Sei s : M/G ⊇ U → M mit π(x∞ ) ∈ U wie zuvor ein glatter lokaler Schnitt. Dann ist U × G → π −1 (U ) ⊆ M , (x, h) 7→ h s(x) ein lokaler Diffeomorphismus und somit π −1 (U ) 3 xi = hi s(x˙ i ) f¨ ur x˙ i := π(xi ) und eindeutige hi → e. Wegen gi hi s(x˙ i ) = gi xi → g∞ x∞ = e s(π(x∞ )) in π −1 (U ) gilt gi hi → e und somit gi → e. (1 ⇐ 2) Wie im Beweis von 70.1 stellen wir π als Zusammensetzung dar: M → M/G0 → (M/G0 )/(G/G0 ) = M/G. F¨ ur die erste Abbildung definieren wir Ex := T evx (Te G) ⊆ Tx M , wobei evx : G → G · x ⊆ M , g 7→ g · x ein Diffeomorphismus ist nach 70.3 und weil g 7→ g · x eine topologische Einbettung nach Voraussetzung (2) ist. Dies ist ein integrables Teilvektorb¨ undel mit maximaler zusammenh¨angender Integralmannigfaltigkeit G0 · x durch x ∈ M . Es ist E regul¨ ar, da G0 · x nach Voraussetzung (2) regul¨are Teilmannigfaltigkeit von M ist:  / M ×M G ×O M O ?  G0 × {x}

/ / G0 x × {x}  

? / M × {x}

Also k¨ onnen wir wieder 30.14 anwenden und erhalten, daß M → M/G0 eine Submersion ist. F¨ ur die zweite Abbildung beachten wir, daß G/G0 auf M/G0 verm¨oge gG0 · G0 x := G0 gx wirkt. Die Wirkung dieser diskreten Gruppe ist strikt diskontinuierlich: Sei (gG0 ·G0 U )∩G0 U 6= ∅ f¨ ur eine offene Umgebung U von x∞ in M , dann ist gu = g 0 u0 0 0 mit g ∈ G0 und u, u ∈ U . Es folgt u = g −1 g 0 u0 und somit h := g −1 g 0 ∈ G0 f¨ ur hinreichend kleines U (anderfalls existieren ui → x∞ in M und hi ∈ G \ G0 mit hi ui → x∞ und somit hi → e wegen (2), ein Widerspruch zu hi ∈ / G0 ), also ist g ∈ G0 . Direkter: Nach (3) existiert eine Umgebung U mit {g : gU ∩ U 6= ∅} ⊆ G0 . Damit folgt g ∈ G0 falls (gG0 · G0 U ) ∩ G0 U 6= ∅, denn . . . (s.o. ) (2 ⇒ 3) Sei V eine symmetrische Umgebung von e in G und x ∈ M . Dann existieren nach (2) Umgebungen U und W von x und e · x in M mit x ∈ U , gx ∈ W ⇒ g ∈ V , also {g : U ∩ g −1 W 6= ∅} ⊆ V und damit {g : (U ∩ W ) ∩ g(U ∩ W ) 6= ∅} ⊆ V −1 = V . (2 ⇐ 3) Sei x0 ∈ M und g0 ∈ G. Sei g0 V eine typische Umgebung von g0 in G (d.h. V eine Umgebung von e, die o.B.d.A. symmetrisch sei). Nach Voraussetzung existiert eine Umgebung U von x mit {g : gU ∩U 6= ∅} ⊆ V . Dann gilt f¨ ur (gx0 , x0 ) ∈ 0 −1 −1 −1 g0 U × U , daß x ∈ g g0 U ∩ U und somit g g0 ∈ V , d.h. g ∈ g0 V = g0 V . 70.5 Lemma. Es sei M → B ein Faserb¨ undel mit typischer Faser F . Falls B und F zusammenh¨ angend sind, dann ist es auch M . Falls B und F einfach zusammenh¨ angend ist, so auch M . Allgemeiner hat man die lange exakte Homotopiesequenz einer Faserung (siehe [103, p.187, IV.8.6]) . . . −∂→ πk (F ) → πk (M ) → πk (B) −∂→ πk−1 (F ) → . . . . Beweis der 1. Aussage. Ist f¨ ur ein Faserb¨ undel p : M → B sowohl die Basis B als auch die typische Faser F zusammenh¨angend, so auch der Totalraum M . Denn 526

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70.6

70. Homogene R¨ aume

seien U und V nicht leer und offen in M mit U ∪ V = M , dann ist p(U ) und p(V ) nicht leer und offen in B mit p(U ) ∪ p(V ) = B. Weil B zusammenh¨angend ist, gilt p(U ) ∩ p(V ) 6= ∅, also gibt es einen Punkt x ∈ p(U ) ∩ p(V ), und U ∩ F und V ∩ F u ¨berdecken die Faser F u ¨ber x mit nicht-leeren Mengen. Da F zusammenh¨angend ist, haben U und V nicht-leeren Durchschnitt in F . Also ist M zusammenh¨angend. Die Aussage betreffend des einfachen Zusammenhangs sieht man wie folgt ein: Sei c : S 1 → M eine geschlossene Kurve. Da B einfach zusammenh¨angend ist existiert eine Homotopie relativ {1} ⊆ S 1 zwischen p ◦ c und der konstanten Kurve. Nun lifte diese Homotopie zu einer Homotopie relativ {1} mit Startwert c. Der Endwert der Homotopie ist eine geschlossene Kurve in der Faser und l¨aßt sich folglich in der Faser zur konstanten Abbildung homotop verformen. Verklebt man diese beiden Homotopien, so erh¨alt man eine Homotopie relativ {1}, also ist M einfach zusammenh¨ angend. Die Homomorphismen πk (F ) → πk (M ) und πk (M ) → πk (B) sind die von der Inklusion F ,→ M und der Quotientenabbildung M  B induzierten. Der Einh¨angungshomomorphismus ∂ : πk (B) → πk−1 (F ) ist wie folgt konstruiert: Sei [ϕ] ∈ πk (B) mit ϕ : (S k , 1) → (B, b0 ). Zusammensetzen mit S k−1 × I → S k−1 × I/S k−1 × {0} ∼ = Dk → Dk /S k−1 ∼ = S k liefert eine Homotopie S k−1 × I → B die zu einer Homotopie nach M mit vorgegebenen konstanten Anfangswert liftet. Der Endwert des Lifts ist dann eine Abbildung S k−1 → F und repr¨asentiert somit das gesuchte Element in πk−1 (F ). Mit dieser Definition ist es nicht allzu schwer die Exaktheut der Sequenz zu zeigen. Dies kann verwendet werden, um mehrere der folgenden Lie-Gruppen als (einfach-)zusammenh¨ angend zu erkennen bzw. deren Homotopiegruppen zu bestimmen. 70.6 Beispiele 1. O(n) × S n−1 → S n−1 mit (T, v) 7→ T v ist transitive Wirkung mit Fixgruppe O(n)en = O(n − 1). Also ist O(n)/O(n − 1) ∼ = S n−1 und analog n−1 SO(n)/SO(n − 1) ∼ . =S SO(n − 1) ,→ SO(n)  S n−1 ,

SO(1) = {1},

SO(2) = S 1 ,

2. U (n) × S 2n−1 → S 2n−1 mit (T, v) 7→ T v ist transitive Wirkung mit Fixgruppe U (n)en = U (n − 1). Also ist U (n)/U (n − 1) ∼ = S 2n−1 und analog 2n−1 SU (n)/SU (n − 1) ∼ . =S 3. Q(n) × S 4n−1 → S 4n−1 mit (T, v) 7→ T v ist transitive Wirkung mit Fixgruppe Q(n)en = Q(n − 1). Also ist Q(n)/Q(n − 1) ∼ = S 4n−1 . 4. Die Homotopiegruppe der SLC (n) l¨aßt sich rekursiv aus SLC (n − 1) o Cn−1 ,→ SLC (n)  Cn∗ ,

SLC (1) = {1}, . . .

berechnen. 5. V (k, n) bezeichnet die Stiefel-Mannigfaltigkeit der orthonormalen kBeine im Rn , das ist der Raum der k-Tupel orthonormaler Vektoren im Rn . Die O(n) wirkt auf V (k, n) durch Anwenden auf die einzelnen Vektoren. Diese Wirkung ist transitiv: Seien n¨amlich (a1 , . . . , ak ) und (b1 , . . . , bk ) zwei k-Beine, dann erg¨ anzt man diese zu Orthonormalbasen (a1 , . . . , an ) und (b1 , . . . , bn ) und definiert eine orthogonale Transformation A durch A(ai ) := bi . Die Fixgruppe von O(n) beim k-Bein der ersten k Vektoren der Standardbasis sind die orthogonalen Transformationen am orthogonalen Komplement des vom k-Bein aufgespannten Teilraums und somit isomorph zu O(n − k). Also ist V (k, n) ∼ = O(n)/O(n − k) nach 70.3 . O(n − k) ,→ O(n)  V (k, n) c 15. Dezember 2008 [email protected]

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70.6

70. Homogene R¨ aume

6. G(k, n) bezeichnet die Grassmann-Mannigfaltigkeit der k-Ebenen im Rn , das sind die k-dimensionalen Teilr¨aume. Wieder wirkt O(n) auf G(k, n) transitiv (man w¨ ahle passende Basen wie in 4.). Die Fixgruppe eines Teilraums Rk sind jene (orthogonalen) Transformationen, die diesen - also auch sein orthogonales Komplement - invariant lassen; die sind gerade O(k) × O(n − k). Also ist G(k, n) ∼ = O(n)/(O(k) × O(n − k)) nach 70.3 . O(k) × O(n − k) ,→ O(n)  G(k, n) . . . Grassmannmannigfaltigkeit F¨ ur k = 1 erh¨ alt man nat¨ urlich gerade den projektiven Raum P n−1 der Geraden im Rn , vgl. Aufgabe 72.58 . 7. Auf V (k, n) wirkt auch die O(k), indem man ein orthonormales k-Bein (a1 , . . . , ak ) als isometrische Abbildung A : Rk → Rn , ei 7→ ai auffaßt und ein T ∈ O(k) auf A verm¨oge A ◦ T wirken l¨aßt. Diese Wirkung ist klarerweise frei, und zwei k-Beine liegen im selben Orbit, wenn sie den gleichen Teilraum aufspannen, also ist G(k, n) = V (k, n)/O(k) ← V (k, n) ein Hauptfaserb¨ undel mit typischer Faser O(k) nach 70.3 , vgl. Aufgabe 72.59 . O(k) ,→ V (k, n)  G(k, n) . . . Universelles O(k)-Hauptfaserb¨ undel Vergleiche das auch mit k

R ,→ {(F, x) : x ∈ F < Rn , dim F = k}  G(k, n) . . . Universelle Vektorb¨ undel 8. Hauptfaserb¨ undel kann man auch ausgehend von Vektorb¨ undeln E → M konstruieren: dazu bemerke man, daß die Transitionsfunktionen ϕU V des Vektorb¨ undels Werte in der GL(k) haben, wobei k die Faserdimension des Vektorb¨ undels ist. Da die GL(k) aber auch als Teilgruppe der Diffeomorphismen von GL(k) aufgefaßt werden kann (Linksmultiplikation), k¨onnen die Transitionsfunktionen auch als Kartenwechsel eines Faserb¨ undels E ∼ mit typischer Faser GL(k) interpretiert werden. Die GL(k) wirkt nun frei auf diesem Faserb¨ undel durch Linksmultiplikation, und E ∼ → E ∼ /GL(k) = M heißt das zu E assoziierte Hauptfaserb¨ undel. Im Falle des Tangentialb¨ undels E := T M nennt man das assoziierte Hauptfaserb¨ undel Rahmenb¨ undel der Mannigfaltigkeit M .

528

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71.3

70. Homogene R¨ aume

71. Strukturtheorie ¨ Wir wollen hier nur eine kurze Ubersicht u ¨ber einige der wichtigsten Resultate der Strukturtheorie von Lie-Gruppen geben. Die Beweise werden wir fast durchwegs auslassen.

71.1 Algebraischen Struktur von G versus jener von L(G) Im Folgenden sei G eine zusammenh¨angende Lie-Gruppe, G := LG die zugeh¨orige Lie-Algebra und exp : G → G die Exponentialabbildung. Wir wissen bereits, daß die Unter-Lie-Gruppen von G via L den Teil-Lie-Algebren von G entsprechen. Es stellt sich nat¨ urlich die Frage nach dem genauen Zusammenhang zwischen der Multiplikation in G und der algebraischer Struktur von G. Eine direkte Rechnung zeigt: d d exp(tξ) · exp(tη) = ξ + η = exp(tξ + tη). dt t=0 dt t=0 Wenn G Abelsch ist, dann sind exp(t(ξ + η)) und exp(tξ) · exp(tη) 1-Parameter Untergruppen und stimmen also u ¨berein. Das heißt, die Multiplikation in G entspricht vermittels der Exponentialabbildung der Addition in G. Im allgemeinen Fall kann das nat¨ urlich nicht stimmen. Ein weiterer Zusammenhang ergibt sich aus dem in  2 d 29.13 bewiesenen: [ξ, η] = dt |t=0 (F−t ◦ G−t ◦ Ft ◦ Gt ), wobei F und G die Fl¨ usse zu ξ und η sind. Im Falle linksinvarianter Vektorfelder ergibt sich weiter:  2 d [ξ, η] = |t=0 exp(−tξ) exp(−tη) exp(tξ) exp(tη). dt Definiert man den Kommutator in G als [a, b] := a−1 b−1 ab, dann ist    2 d d d |t=0 [exp(tξ), exp(tη)] = [ξ, η] = exp(tξ), exp(tη) . dt dt t=0 dt t=0 Der vollst¨ andige Zusammenhang zwischen Gruppenmultiplikation und Lie-Algebrastruktur wird durch die Campbell-Baker-Hausdorff Formel geliefert, die wir im folgenden Abschnitt herleiten. 71.2 Definition. Adjungierte Darstellungen. Es sei G eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra g. Wir betrachten folgende Abbildungen: konj : G → Aut(G), Ad : G → GL(g), ad : g → L(g, g),

g 7→ (h 7→ g · h · g −1 ) g 7→ L(konjg ) = Te konjg = T Lg ◦ T Rg−1 = T Rg−1 ◦ T Lg X 7→ (Y 7→ [X, Y ])

Man bezeichnet Ad als die adjungierte Darstellung der Lie-Gruppe und ad als die adjungierte Darstellung der Lie-Algebra. 71.3 Proposition. F¨ ur jede Lie-Gruppe G mit Lie-Algebra g sind konj : G → Aut(G) und Ad : G → Aut(g) ⊆ GL(g) Gruppen-Homomorphismen, ad : k → Der(g) ⊆ L(g) ist ein LieAlgebra-Homomorphismus und es gilt L(Ad) = ad und Ad ◦ expG = expGL(g) ◦ ad, c 15. Dezember 2008 [email protected]

529

71.5

71. Strukturtheorie

d.h. g

ad

expGL(g)

expG

 G

/ L(g, g)

Ad

 / GL(g)

Beweis. Offensichtlich ist ad ein Lie-Algebra-Homomorphismus und konj ein Gruppen-Homomorphismus und weil L funktoriell ist auch Ad : G −konj→ Aut(G) −L→ c : Aut(g) ⊆ GL(g) ein Gruppen-Homomorphismus. Letzterer ist glatt, denn Ad G × g → g ist es. Wegen 67.8 bleibt nur noch L(Ad) = ad zu zeigen. F¨ ur X, Y ∈ g ist 29.10 ∂ ∗ ad(X)(Y ) := [X, Y ] = (FlX ===== = LX (Y ) := t ) (Y )e ∂t t=0 ∂ = T FlX −t ·YFlX t (e) ∂t t=0 67.5 ∂ ∂ ==== = T Rexp(−tX) · T Lexp(tX) · Y = Ad(exp(tX))(Y ) = ∂t t=0 ∂t t=0 ∂  = Te Ad exp(tX) (Y ) = Te Ad(X)(Y ). ∂t t=0

71.4 Lemma. Es sei f : E → G eine glatte Funktion auf einen Vektorraum E mit Werten in einer Lie-Gruppe G mit Lie-Algebra g. Dann ist die linkslogarithmische Ableitung δf : E → L(E, g) definiert durch δf (x) := T Lf (x)−1 ◦ Tx f . Falls g : E → G eine zweite solche Funktion ist, dann gilt die Produktregel: δ(f · g)(x) = δg(x) + (g(x)−1 ) ◦ δf (x).

Beweis. Wir rechnen wie folgt: δ(f · g)(x) = T L(f (x)·g(x))−1 ◦ Tx (f · g) = T Lg(x)−1 ◦ T Lf (x)−1 ◦ T(f (x),g(x)) µ ◦ (Tx f, Tx g) = T Lg(x)−1 ◦ T Lf (x)−1 ◦ (T Rg(x) ◦ Tx f + T Lf (x) Tx g) = T Lg(x)−1 ◦ T Lf (x)−1 ◦ T Rg(x) ◦ Tx f + T Lg(x)−1 ◦ T Lf (x)−1 ◦ T Lf (x) Tx g = (g(x)−1 ) · δf (x) + δg(x)

71.5 Proposition. Die linkslogarithmische Ableitung δ exp der Exponentialfunktion exp einer Lie-Gruppe G hat folgende Gestalt: δ exp(X) = T Lexp(−X) · TX exp = g(ad(X)), wobei die analytische Funktion g : L(g) → L(g) durch g(z) = (1 − e−z )/z gegeben ist. 530

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71.6

71. Strukturtheorie

Beweis. F¨ ur X, Y ∈ g definieren wir eine glatte Kurve c : R → g durch c(t) := t δ exp(tX)(Y ). Es gilt c(0) = 0 und c(t + s) = (t + s)δ exp((t + s)X)(Y ) = δ(exp((t + s) ))(X)(Y ) = δ(exp(t ) · exp(s ))(X)(Y )   = δ(exp(s ))(X)(Y ) + Ad(exp(sX)−1 ) ◦ δ(exp(t )(X)) (Y ) = s δ exp(sX)(Y ) + Ad(exp(−sX))(t δ exp(tX)(Y )) = c(s) + Ad(exp(−sX))(c(t)) Es ist c0 (0) =

∂ ∂ t δ exp(tX)(Y ) = δ exp(0X)(Y ) + 0 · δ exp(tX)(Y ) = Y, ∂t t=0 ∂t t=0

und durch Differenzieren obiger Gleichung nach s bei s = 0 erhalten wir ∂ c0 (t) = c0 (0) + Ad(exp(−sX)) · c(t) ∂s s=0 71.3 ∂ = ==== = c0 (0) + es ad(−X) · c(t) ∂s s=0 = c0 (0) + ad(−X) · c(t) = c0 (0) − [X, c(t)]. Dies ist eine inhomogenen linearen Differentialgleichung. Die allgemeine L¨osung der homogenen Differentialgleichung c0 (s) = −[X, c(s)] ist c(s) = Ad(exp(−sX)) · c0 , denn ∂ c0 (s) = (exp(−tX)) (exp(−sX)) c0 = (X)(c(s)) = −[X, c(s)]. ∂t t=0 Mittels einem Ansatz s 7→ Ad(exp(−sX)) · c(s) durch Variation der Konstanten erhalten wir die allgemeine L¨ osung der inhomogenen Gleichung als Z s c(s) = (exp(−sX)) (exp(tX))(Y ) dt. 0

Somit ist Z δ exp(X)(Y ) = c(1) = (exp(−X))

1

(exp(tX))(Y ) dt 0

= e−(X)

Z

1

et(X) dt (Y ) = g((X))(Y ),

0

denn e

−z

Z 0

1

etz = e−z

ez − 1 1 − e−z = . z z

71.6 Theorem, Die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel. Es sei G eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra g. Dann ist   Z 1 X tY exp X · exp Y = exp X + f (e · e ) · Y dt , 0

wobei f : L(g) → L(g) gegeben ist durch f (z) :=

z ln(z) z−1 .

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531

71.6

71. Strukturtheorie

Beweis. F¨ ur fixes X, Y ∈ g sei c(t) := exp−1 (exp(X) · exp(tY )) ∈ g. Dann ist δ(exp ◦c)(t) = δ exp(c(t)) · c0 (t) = g((c(t))) · c0 (t) nach 71.5 . Andererseits ergibt sich wegen exp(−c(t)) = exp(c(t))−1 = exp(tY )−1 · exp(X)−1 folgendes: ∂ (exp(c(t)) ∂t  ∂ exp(X) · exp(tY ) = T Lexp(tY )−1 ·exp(X)−1 · ∂t ∂ = T Lexp(tY )−1 · T Lexp(X)−1 · T Lexp(X) · exp(tY ) ∂t

δ(exp ◦c)(t) = T Lexp(c(t))−1 ·

67.5

==== = T Lexp(tY )−1 · T Lexp(tY ) · Y = Y, = und somit Y = δ(exp ◦c)(t) = g((c(t))) · c0 (t). Es ist e(c(t)) = (exp(c(t))) = (exp(X) · exp(tY )) = = (exp(X)) ◦ (exp(tY )) = e(X) ◦ e(tY ) und somit ist (c(t)) = ln(e(X) ◦ e(tY ) ) und Y = g((c(t))) · c0 (t) = g(ln(e(X) ◦ e(tY ) )) · c0 (t). ln(z) Es sei f : GL(g) → L(g) durch f (z) := zz−1 definiert. Dann ist f (ez ) · g(z) = 1 und somit f (e(c(t)) ) · Y = f (e(c(t)) ) g((c(t))) · c0 (t) = c0 (t), also ist Z 1 −1 exp (exp X · exp Y ) = c(1) = c(0) + c0 (t) dt 0

Z =X+

1

f (eX · et Y )(Y ) dt.

0

Wenn man sukzessive die auftretenden Funktionen in Potenzreihen entwickelt, so erh¨ alt man ∞ X (−z)k 1 − e−z = sowie von g(z) = z (k + 1)! k=0

ln(z) = f (z) =

∞ X (−1)k−1 (z − 1)k k=1 ∞ X k=0

k

und

(−1)k (z − 1)k z k+1

so erh¨ alt man Z 1 f (eX · etY )(Y ) dt = 0

Z =

∞ 1X

0 k=0 ∞ 1X

Z =

0 k=0

=Y +

(−1)k (eX · etY − 1)k X tY e · e Y dt k+1 k (−1)k  X tj (X)i (Y )j eX · Y k+1 i! j!

X (−1)k k≥1

532

i,j≥0 i+j≥1

k+1

X i1 ,...,ik ≥0 j1 ,...,jk ≥0 il +jl ≥1 m≥0

(X)i1 (Y )j1 . . . (X)ik (Y )jk (X)m · Y i1 ! . . . ik !j1 ! . . . jk !(1 + i1 + · · · + ik )

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71. Strukturtheorie

71.10

Sortieren nach der Gesamtzahl von ’s liefert die Baker-Campbell-Hausdorff Reihe  
1 1 exp X · exp Y = exp X + Y + [X, Y ] + [X, [X, Y ]] + [Y, [Y, X]] + . . . 2 12 71.7 Definition F¨ ur das Weitere noch einige gemeinsame Definitionen f¨ ur Lie-Gruppen und LieAlgebren: Sei dazu X eine Lie-Gruppe oder eine Lie-Algebra und sei Yi entsprechend eine Untergruppe oder Teilalgebra. Mit [Y1 , Y2 ] bezeichnen wir die von allen Kommutatoren aus Y1 und Y2 aufgespannte Untergruppe oder Teilalgebra. Mit Z(X):= {y : [x, y] = 0 f¨ ur alle x} bezeichnet man das Zentrum von X. Es ist Z(G) eine Abelsche Untergruppe und L(ZG) = Z(LG). Die absteigende Zentralreihe ist induktiv definiert durch X r+1 := [X, X r ] und X 0 := X, die derivierte Reihe durch X(r + 1) := [X(r), X(r)] und X(0) := X. Klarerweise gilt: X ist Abelsch ⇔ X(1) = X 2 = 0 ⇔ Z(X) = X. 71.8 Abelsche Lie-Gruppen Sei G Abelsch, dann ist klarerweise LG = G Abelsch, also als Lie-Algebra isomorph zum Rn mit der 0-Multiplikation (d.h. [a, b] = 0 f¨ ur alle a, b ∈ G). Diese Lie-Algebra hat als einfachzusammenh¨ angende Lie-Gruppe den Rn mit der Addition. Somit ist G isomorph zu Rn modulo einer diskreten Untergruppe. Jede solche ist von gewissen linear unabh¨ angigen Vektoren (o.B.d.A. durch e1 , . . . , ek ) erzeugt. Der Quotient ist dann G = S 1 × . . . × S 1 × R × . . . × R = Tk × Rn−k . Wie kann man nun auf einfache Weise neue Lie-Gruppen konstruieren? Dazu betrachtet man kurze exakte Sequenzen von Lie-Gruppen oder Lie-Algebren: 0 → X −i→ Z −p→ Y → 0 (d.h. i injektiv, p surjektiv und Bild(i) = Ker(p)). In solch einer Situation sagt man, daß Z eine Erweiterung von X mit Y ist. Man sagt, die Erweiterung spaltet auf, falls p ein rechtsinverses s besitzt. Genau in dieser Situation ist Z semidirektes Produkt von X und Y . Der Raum X heißt aufl¨ osbar, falls es durch endlich viele Erweiterungen aus Abelschen Objekten gewonnen werden kann. Er heißt nilpotent, falls es durch endlich viele zentrale Erweiterungen (d.h. Bild(i) ⊆ Zentrum(Z)) aus den Abelschen Objekten gewonnen werden kann. 71.9 Satz. 1. X ist nilpotent ⇔ X n = 0 f¨ ur ein n. 2. X ist aufl¨ osbar ⇔ X(n) = 0 f¨ ur ein n ⇔ X(1) ist nilpotent. 3. G ist nilpotent bzw. aufl¨ osbar ⇔ LG ist nilpotent bzw. aufl¨ osbar. 71.10 Folgerung (Struktur aufl¨ osbarer Lie-Gruppen). Sei G aufl¨ osbar, dann ist G als Mannigfaltigkeit diffeomorph zu (S 1 )k × Rn−k . Ist G zus¨ atzlich einfachzusammenh¨ angend, dann ist k = 0. Sei G nilpotent, dann ¨ ist LG −exp→ G eine Uberlagerung mit Ker(exp) = Z(LG). Nun zur Struktur allgemeiner endlichdimensionaler Lie-Algebren G. F¨ ur jede solche existiert ein eindeutiges maximales aufl¨osbares Ideal, das Radikal rad(G) von G. Eine Lie-Algebra heißt halbeinfach, falls rad(G) = 0. Allgemein hat G/rad(G) keine nichttrivialen aufl¨ osbaren und damit auch keine nichttrivialen Abelschen Ideale mehr, ist also halbeinfach. Eine Algebra G heißt einfach falls dim G > 1 und die einzigen Ideale 0 und G sind. c 15. Dezember 2008 [email protected]

533

71.13

71. Strukturtheorie

71.11 Satz (Levi-Zerlegung). Die kurze exakte Sequenz rad(G) → G → G/rad(G) spaltet auf. Also ist G ∼ = rad(G) ⊕ G/rad(G), die Summanden heißen Levi-Teilalgebren. 71.12 Satz (Struktur halbeinfacher Lie-Algebren). G ist halbeinfach ⇔ G ist endliches Produkt einfacher Lie-Algebren.

71.13 Die einfachen Lie-Algebren Also beinhaltet die folgende vollst¨andige Klassifikation der einfachen Lie-Algebren schon eine Klassifikation der halbeinfachen. Zuerst die komplexen einfachen Lie-Algebren, das sind Lie-Algebren, die sogar komplexe Vektorr¨ aume mit komplex-bilinearer Lie-Klammer sind und keine nichttrivialen komplexen Ideale besitzen: In der folgenden Tabelle steht in der ersten Spalte die eingeb¨ urgerte Abk¨ urzung f¨ ur die entsprechende einfache komplexe Lie-Algebra, ihre Dimension ist dim, eine zugeh¨ orige Lie-Gruppe ist G und ihre kompakte Form ist K (siehe weiter unten), ˜ ¨ das Zentrum der universellen Uberlagerung ist Z(G).

Typ

dim d

G

K

An (n > 0) n(n + 2) SLC (n + 1) SU (n + 1) Bn (n > 1) n(2n + 1) SOC (2n + 1) SO(2n + 1) Cn (n > 2) n(2n + 1) SpC (2n) Q(n) Dn (n > 3) n(2n − 1) SOC (2n) E6 E7 E8 F4 G2

78 133 248 52 14

Aut(JC ) Aut(OC )

SO(2n)

˜ Z(G) Zn+1 Z2 Z 2 Z4 Z2 × Z2 Z3 Z2 0 0 0

f¨ ur n ≡ 0(2) f¨ ur n ≡ 1(2)

Dabei ist OC die Algebra der Oktaven mit komplexen Koeffizienten, d.h. ein komplex 8-dimensionaler Vektorraum, mit folgender Multiplikation f¨ ur die Basis (1, e1 , . . . , e7 ): 1 · 1 = 1, 1 · ei = ei = ei · 1, e2i = −1, ei · ej = −ej · ei f¨ ur i 6= j, e1 = e2 · e6 = e3 · e4 = e5 · e7 , sowie zyklische Vertauschungen davon. Daraus lassen sich dann alle reellen einfachen Lie-Algebren erhalten: Und zwar ist die Komplexifizierung jeder (halb)einfachen reellen Lie-Algebra eine komplexe halbeinfache Lie-Algebra. Erstere heißt dann reelle Form der letzteren. A. Weil hat gezeigt: wenn von zwei lokal isomorphen, zusammenh¨angenden, reellen, halbeinfachen Lie-Gruppen eine kompakt ist, dann auch die andere. Kompaktheit ist also eine lokale Eigenschaft halbeinfacher Lie-Algebren, und es kann gezeigt werden, daß zu jeder komplexen halbeinfachen Lie-Algebra genau eine kompakte reelle Form existiert. 534

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71.13

71. Strukturtheorie

n>1 n > 1, 2k ≤ n n>0 n>1 n > 1, k ≤ n n>1 n>2 n > 2, 2k ≤ n n>2 n > 3, k ≤ n n>3 n>3 k = 1, . . . , 6 k = 1, . . . , 5 k = 1, . . . , 4 k = 1, . . . , 4 k = 1, . . . , 3

G SL(n) SU (n, k) SLH (n) SLC (n) SO(2n + 1, k) SOC (2n + 1) Sp(2n) Q(n, k) SpC (2n) SO(2n, k) Q− (n) SOC (2n)

Typ An−1 An−1 A2n−1 An−1 × An−1 Bn Bn × Bn Cn Cn Cn × Cn Dn Dn Dn × Dn E6 E7 E8 F4 G2

Dabei wurde wieder folgende Bezeichnungsweise verwendet: SOC (n) : = {A ∈ GLC (n) : At A = 1, At JA = J} Sp(2n) : = {A ∈ GL(2n) : At JA = J} SpC (2n) : = {A ∈ GLC (2n) : At JA = J} SO(n, k) : = {A ∈ SL(n) : At Jk A = Jk } SU (n, k) : = {A ∈ SLC (n) : At Jk A¯ = Jk } Q(n, k) : = {A ∈ GLH (n) : At Jk A¯ = Jk } Q− (n) : = {A ∈ GLH (n) : At αA¯ = α}     0 id idn−k 0 J= ; Jk = ; α = i · id − id 0 0 − idk Zur weiterf¨ uhrenden Literatur u ¨ber Lie-Algebren und Lie-Gruppen seien die folgende B¨ ucher empfohlen: [100], [94], [96] und [40].

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72. Aufgaben 72.1. Kr¨ ummung in Polarkoordinaten Sei r = r(ϕ) die Polarkoordinatendardr stellung einer Kurve und sei r0 := dϕ . Zeige, daß: Rϕ p (a). Die Bogenl¨ ange gegeben ist durch: ϕ01 r2 + (r0 )2 dϕ. (b). Die Kr¨ ummung gegeben ist durch:

r 2 +2(r 0 )2 −rr 00 . (r 2 +(r 0 )2 )3/2

72.2. Kr¨ ummung f¨ ur implizite Funktionen Sei f (x, y) = 0 eine implizite Dar∂2f ummung stellung einer Kurve und sei fx := ∂f ∂x , fxy := ∂y∂x , etc.. Zeige, daß die Kr¨ von c gegeben ist durch fxx fy2 − 2fxy fx fy + fyy fx2 . (fx2 + fy2 )3/2 (Hinweis: Impliziter Funktionensatz 10.3 ) Ad 72.3 - 72.14 : Diskutiere die folgenden klassischen Kurven. Skizziere sie, und berechne insbesondere neben der Kr¨ ummung falls m¨oglich die Bogenl¨ange und bestimme etwaige Scheitel. Falls mehrere Darstellungen angegeben sind, zeige daß sie die gleiche Kurve beschreiben: 72.3. Kegelschnittlinien 2 2 Ellipse xa2 + yb2 = 1, Hyperbel

x2 a2

−

y2 b2

= 1 und Parabel y 2 = 2px.

72.4. Trochoiden (verl¨ angerte und verk¨ urzte Zykloiden): x = a(t − λ sin t), y = a(1 − λ cos t). Insbesondere die Zykloiden (λ = 1), explizit gegeben durch: p x = a arccos a−y y(2a − y). a − 72.5. Zykloiden Die Epi- (a > 0) und Hypo- (a < 0) Zykloiden: x = (A + a) cos ϕ − a cos( A+a a ϕ), y = (A + a) sin ϕ − a sin( A+a a ϕ). Insbesondere die Astroide A = −4a, explizit gegeben durch: 2

2

2

x3 + y3 = a3 . 72.6. Cassinische Kurven (x2 + y 2 )2 −p 2c2 (x2 − y 2 ) = a4 − c4 , 2 2 bzw. in Polardarstellung r = c cos 2ϕ ± c4 cos2 2ϕ + (a4 − c4 ). Insbesondere die Lemniskate (a = c). 72.7. Spiralen Die Archimedische Spirale r = aϕ, die hyperbolische Spirale r = und die logarithmische Spirale r = aekϕ . x

a ϕ

x

72.8. Kettenlinie y = a cosh xa = a2 (e a + e− a ). 72.9. Traktrix oder Schleppkurve x = a Arcosh ay − 3at 72.10. Kartesisches Blatt x = 1+t 3, y = 3a sin ϕ cos ϕ oder in Polarkoordinaten r = sin3 ϕ+cos3 ϕ .

3at2 1+t3 ,

p a2 − y 2 .

oder implizit x3 + y 3 = 3axy,

72.24

72. Aufgaben at2 1+t2 , a sin2 ϕ cos ϕ .

72.11. Zissoide x = koordinaten r =

y=

2

at3 1+t2 ,

oder implizit y 2 (a − x) = x3 , oder in Polar-

2

t −1 72.12. Strophoide x = a tt2 −1 +1 , y = at t2 +1 , oder 2ϕ implizit y 2 (a − x) = x2 (a + x), oder in Polarkoordinaten r = −a cos cos ϕ .

72.13. Konchoide des Nikomedes x = a + l cos ϕ, y = a tan ϕ + l sin ϕ, oder implizit (x − a)2 (x2 + y 2 ) − l2 x2 = 0, oder in Polarkoordinaten r = cosa ϕ ± l Ebenso die Konchoide des Kreises (Pascalsche Schnecke) x = a cos2 ϕ + l cos ϕ, y = a cos ϕ sin ϕ + l sin ϕ, oder implizit (x2 + y 2 − ax)2 = l2 (x2 + y 2 ), oder in Polarkoordinaten r = a cos ϕ + l. Speziell die Kardioide (Herzkurve) (a = l). Sie ist auch eine Epizykloide f¨ ur (A = a). 3

72.14. Die Versiera der Agnesi y = a2a+x2 . Ebenso die Neilsche (semikubische) Parabel: x = t2 , y = at3 , oder implizit y 2 = a2 x3 . 72.15. Frenetsche Ableitungsgleichungen Unter dem Begleitbein an die nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Kurve c versteht man die Kurven τ und ν, gegeben durch Einheitstangentialvektor und Einheitsnormalvektor. Zeige die Frenetschen Ableitungsgleichungen: τ 0 = K · ν, ν 0 = −K · τ . 72.16. Evolute Unter welchen Bedingungen an eine Bogenl¨angen-parametrisierte 1 Kurve c definiert die Evolute ec (s) := c(s) + K(s) ν(s) wieder eine (geometrische) Kurve. Zeige, daß die Kr¨ ummung der Evolute gegeben ist durch

K 3 (s) |K 0 (s)| .

72.17. Involute Unter welchen Bedingungen an eine Bogenl¨angen-parametrisierte Kurve c definiert die Involute ic (s) := c(s) − sτ (s) wieder eine (geometrische) Kurve. Zeige, daß die Kr¨ ummung der Evolute gegeben ist durch sign(sK(s)) 1s . 72.18. ChristianHuygens1673. Zeige, daß f¨ ur eine Bogenl¨angen-parametrisierte Kurve c : I → R2 folgendes gilt: (a). Unter den in Beispiel 72.16 behandelten Bedingungen ist die Evolute der Involute von c wieder c. (b). Unter den in Beispiel 72.17 behandelten Bedingungen existiert eine Bogenl¨ angenparametrisierung der Evolute von c, so daß deren Involute wieder c ist. 72.19. “Dog Walk Theorem” Beweise: Gilt f¨ ur zwei geschlossene Kurven c0 und c1 die Ungleichung |c0 (t) − a| > |c0 (t) − c1 (t)| so ist Wa (c0 ) = Wa (c1 ). (Hinweis: Homotopie) 72.20. Sei c : S 1 → S 1 eine geschlossene Kurve mit W0 (c) 6= 0, so ist c surjektiv. 72.21. Sei c : S 1 → S 1 eine injektive geschlossene Kurve, so ist W0 (c) = ±1. ¨ 72.22. Zeige, daß die in der Vorlesung angegebenen Beschreibungen der Aquivalenz geschlossener Kurven wirklich ¨ aquivalent sind. 72.23. Wie ¨ andern sich die Kr¨ ummungen Ki bei einen Orientierungswechsel des Rn+1 bzw. des Parameterintervalls. 72.24. Zeige, eine Kurve parametrisiert genau dann eine Gerade, wenn ihre Tangenten einen Punkt gemeinsam haben. c 15. Dezember 2008 [email protected]

537

72.37

72. Aufgaben

Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Kurven im R3 , die hinreichend regul¨ar sind: 72.25. Zeige, daß Kr¨ ummung und Torsion einer beliebig parametrisierte Kurve c gegeben sind durch: K = |c0 × c00 |/|c0 |3 und T = det(c0 , c00 , c000 )/|c0 × c00 |2 . 72.26. Sei c nach der Bogenl¨ ange parametrisiert. 1 ,s2 ) → K(s) f¨ ur (a). F¨ ur den Winkel ϕ(s1 , s2 ) von τ (s1 ) nach τ (s2 ) gilt: ϕ(s s2 −s1 ϕ s1 , s2 → s, s2 > s1 . (Hinweis: ϕ ∼ 2 sin 2 = |τ (s1 ) − τ (s2 )|.) 1 ,s2 ) (b). F¨ ur den Winkel ϕ(s1 , s2 ) von β(s1 ) nach β(s2 ) gilt: ϕ(s ur s2 −s1 → |T (s)| f¨ s1 , s2 → s, s2 > s1 . 2 ,s1 ) (c). Wogegen konvergiert ϕ(s ur s1 , s2 → s, s2 > s1 , wenn ϕ(s1 , s2 ) der s1 −s2 f¨ Winkel von ν(s1 ) nach ν(s2 ) ist?

72.27. Darboux Finde eine Vektor v ∈ R3 mit νi0 = v × νi f¨ ur i = 0, 1, 2 (Setze v := T τ + Kβ). 72.28. Zeige, eine Kurve ist genau dann eine Gerade, wenn K = 0. Eine Kurve mit K 6= 0 liegt genau dann in einer Ebene, wenn T = 0. 72.29. Zeige, daß eine Kurve, deren Schmiegebenen einen Punkt gemeinsam haben, eine ebene Kurve ist. 72.30. Zeige, daß eine Kurve, deren Hauptnormalen einen Punkt gemeinsam haben, auf einem Kreis liegt. 72.31. Zeige, daß eine Kurve genau dann auf einer Sph¨are liegt, wenn ihre Normalebenen einen Punkt gemeinsam haben. 72.32. Ber¨ uhrsph¨ are Zeige, daß die Sph¨are welche eine Kurve c von Ordnung 3 1 1 0 1 0 2 bei s ber¨ uhrt (c+ K ν+ T1 ( K ) β)(s) als Mittelpunkt M und R2 = ( K12 +( T1 ( K ) ) )(s) 2 als Radius R hat (Hinweis: man differenziere g(s) := |c(s) − M | ). 72.33. Sph¨ arische Kurven Zeige, daß eine Kurve genau dann auf einer Sph¨are mit 1 0 2 Radius R liegt, falls ( K12 + ( T1 ( K ) ) )(s) = R2 . Sie liegt genau dann auf irgendeiner 
0 T 1 0 1 = 0 ist. Sph¨ are, wenn K + K T 72.34. Helix Zeige, daß folgende Aussagen f¨ ur eine Kurve ¨aquivalent sind: 1. 2. 3. 4. 5.

τ schließt mit einen festen Vektor einen fixen Winkel ein. β schließt mit einen festen Vektor einen fixen Winkel ein. ν liegt immer in einer fixen Ebene. K und T sind proportional. c l¨ aßt sich schreiben als c(t) = c0 (t) + tv, wobei c0 eine nach der Bogenl¨ange parametrisierte Kurve in einer Ebene ist, und v ein fixer Vektor (welcher normal auf diese Ebene gew¨ahlt werden kann).

So eine Kurve c heißt Helix. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Kr¨ ummung und Torsion von c und c0 . (Hinweis: K = T tan α ⇒ τ cos α + β sin α ist konstant). 72.35. Zeige: eine nach der Bogenl¨ange parametrisierte Kurve ist genau dann eine Helix falls det(c00 , c000 , c0000 ) = 0. 72.36. Zeige, daß t 7→ (a cos t, a sin t, bt) eine Helix ist und berechne K und T . 72.37. Zeige, daß die Kurve t 7→ (at, bt2 , t3 ) genau dann eine Helix ist, wenn 4 b4 = 9 a2 ist. 538

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72.48

72. Aufgaben

72.38. Bertrand Kurven Zeige, daß es zu einer Kurve eine zweite gibt, welche die gleiche Hautnormale (als Gerade im R3 ) besitzt, genau dann wenn es a, b ∈ R gibt mit aK + bT = 1. (Hinweis: Sei c eine Bogenl¨ angenparametrisierte Kurve mit Begleitbein τ, ν, β. Daß eine Kurve c¯ die gleiche Hauptnormale besitzt bedeutet c¯(s) = c(s) + a(s)ν(s). Schließe aus c¯0 ⊥ ν, daß a konstant ist. Daß c¯00 im Erzeugnis von τ¯ und ν liegt, liefert eine Differentialgleichung f¨ ur K und T deren L¨osung 1 = aK + bT erf¨ ullt). 72.39. Zeige: falls es mehr als 2 Kurven mit gleicher Hauptnormalen gibt, so gibt es unendlich viele (und diese sind Helixen). 72.40. Konformit¨ at der stereographischen Projektion Zeige, daß die stereographische Projektion S n → Rn Winkel erh¨alt. (Hinweis: zeige, daß die Umkehrabbildung h : Rn → S n konform ist) 72.41. Zeige, daß die stereographische Projektion S n → Rn alle (n − 1)-Sph¨aren auf (n − 1)-Sph¨ aren und Hyperebenen im Rn abbildet. (Hinweis: Die Gleichung einer (n − 1)-Sph¨ are bzw. Hyperebene ist α(x21 + · · · + x2n ) + β1 x1 + · · · + βn xn + γ = 0 mit 4αγ < β12 + · · · + βn2 und die stereographische Projektion bildet (y1 , . . . , yn+1 ) i .) auf (x1 , . . . , xn ) ab mit xi = 1−yyn+1 72.42. Kugelprojektionen Berechne f¨ ur die folgenden Projektionen der Sph¨are auf einen Kegel mit Basiswinkel α den Abstand des Bildpunktes vom Ber¨ uhrkreis: (a). (b). (c). (d).

Die Zentralprojektion vom Kugelmittelpunkt. Die Normalprojektion auf die Kegelerzeugende. Eine Winkelerhaltende Projektion. Eine Fl¨ achenerhaltende Projektion.

Beschreibe soweit existent (c) und (d) in den degenerierten F¨allen des Kegels (Tangential-Ebene und Zylinder). 72.43. Zeige, daß die Hopffaserung S 3 → S 2 glatt ist. 72.44. Zeige, daß f¨ ur die folgenden Lie-Gruppen G die Komposition G × G → G glatt ist (Hinweis: Komp : L(Rn , Rn ) × L(Rn , Rn ) → L(Rn , Rn ) ist bilinear). G = GL(Rn ), SL(Rn ), O(Rn ) und SO(Rn ) 72.45. Zeige, daß f¨ ur die Gruppen in 72.44 die Inversion G → G glatt ist (Hinweis: Impliziter Funktionensatz angewendet auf inv(x) · x = e ). 72.46. Quadrik Sei b : Rn × Rn → R bilinear und symmetrisch und sei a : Rn → R linear. Finde Bedingungen unter welchen die Quadrik M := {x ∈ Rn : b(x, x) + a(x) = 1} eine Mannigfaltigkeit der Dimension n − 1 ist. Identifiziere Ellipsoid, Hyperboloid und Paraboloid als Spezialfall. 72.47. Zeige, daß das Tangentialb¨ undel T (N × M ) eines Produkts zweier Mannigfaltigkeiten isomorph zum Produkt T N × T M der Tangentialb¨ undel ist. (Hinweis: Der Isomorphismus ist (T prN , T prM ) : T (N × M ) → T N × T M ). 72.48. Zeige, daß das Tangentialb¨ undel jeder Lie-Gruppe G trivial ist. T (mult) → T G der (Die partielle Ableitung Te G × G ,→ T G × T G ∼ = T (G × G) − Multiplikation G × G → G liefert eine globale Vektorb¨ undelkarte.) c 15. Dezember 2008 [email protected]

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72.53

72. Aufgaben

72.49. Transformationsverhalten von Vektorfeldern und 1-Formen i m Seinen (ui )m i=1 und (v )i=1 lokale Koordinaten um x auf M . Die Jacobimatrix des ∂v i Kartenwechsels v ◦ u−1 im Punkt v(x) ist dann ( ∂u j ). Pm i ∂ Pm ∂ 1. Sei ξ = i=1 ξ i ∂u i = i=1 η ∂v i ∈ Tx M . Wie lassen sich die Koordinaten ∂ i i ξ von w bez¨ uglich der Basis ( ∂u uglich ( ∂v∂ i ) i ) aus den Koordinaten η bez¨ ausrechnen? Pm Pm 2. Sei w = i=1 ξi dui = i=1 ηi dv i ∈ (Tx M )∗ . Wie lassen sich die Koordinaten ξi von w bez¨ uglich der Basis (dui ) aus den Koordinaten ηi bez¨ uglich i (dv ) ausrechnen. 72.50. Exponentialabbildung F¨ ur fixes A ∈ L(Rn ) := L(Rn , Rn ) betrachte auf n dem Vektorraum L(R ) das Vektorfeld ξA : B 7→ A ◦ B.PZeige: sein Fluß F lξA ist n 1 k A . Berechne den gegeben durch (t, B) 7→ exp(tA) ◦ B, wobei exp(A) := k=0 k! spur(A) Kommutator [ξA1 , ξA2 ]. Zeige, daß det(exp(A)) = e und exp(A1 ) exp(A2 ) = exp(A1 + A2 ) falls A1 und A2 kommutieren. Folgere daraus, daß exp : L(Rn ) → GL(Rn ) ein lokaler Diffeomorphismus um 0 ist und seine Einschr¨ankung lokale Diffeomorphismen von {A ∈ L(Rn ) : spur(A) = 0} nach SL(Rn ) und von {A ∈ L(Rn ) : At + A = 0} nach O(Rn ) liefert. ¨ 72.51. Universelle Uberlagerung Zeige, daß zu jeder zusammenh¨angenden Man˜ , die sogenannte nigfaltigkeit M eine einfachzusammenh¨angende Mannigfaltigkeit M ¨ universelle Uberlagerung, konstruiert werden kann, welche M u ¨berlagert. ˜ als die Menge aller (Hinweis: Man w¨ ahle einen fixen Punkt x0 in M und definiere M Homotopieklassen von Kurven c : [0, 1] → X, mit c(0) = x0 , wobei die Homotopie ¨ die Randpunkte festhalten soll. Die Uberlagerungsabbildung ist dann durch [c] 7→ c(1) gegeben. F¨ ur jede einfach zusammenh¨angende offene Menge U ⊂ M (z.B. Karte ϕ : V → U der Mannigfaltigkeit M mit V einer offenen Kugel um 0 in Rm ) und jede ˜ , x 7→ [cx • c], wobei Kurve c von x nach ϕ(0) erh¨ alt man eine Karte ϕc,U : U → M cx eine Kurve in U ist die c(1) und x verbindet und “•” das Aneinanderh¨angen von Wegen bezeichnet. Es gilt p ◦ ϕc,U = id und der Kartenwechsel ist definiert auf einer offene Teilmenge und dort die Identit¨at. Außerdem zerf¨allt p−1 U in die Bilder der Karten ϕU,c , wobei c alle Homotopieklassen von Kurven, die x0 mit einen fixen Punkt x1 ∈ U verbinden, durchl¨auft.) 72.52. Orbitraum Zeige, wenn eine Gruppe G von Diffeomorphismen auf M diskontinuierlich wirkt, daß der Raum der Orbits M/G zu einer Mannigfaltigkeit ge¨ macht werden kann, so daß M → M/G eine Uberlagerung wird und G die Gruppe der Decktransformationen wird. Dabei sagt man, daß die Gruppe G diskontinuierlich auf M wirkt, falls f¨ ur jedes x ∈ M eine Umgebung Ux ⊂ M existiert mit Ux ∩ g(Ux ) = ∅ f¨ ur alle g 6= e in G. Unter dem Orbit von x ∈ M versteht man die Menge {g(x) : g ∈ G}. (Hinweis: Sei p : M → M/G die Abbildung, welche jedem x ∈ M seinen Orbit zuordnet. Auf Ux ist p injektiv, kann also als Karte von M/G verwendet werden. Zeige der Kartenwechsel ist durch Anwenden eines g ∈ G gegeben.) 72.53. Projektive R¨ aume Verwende 72.52 um zu zeigen, daß der projektive Raum Pn aller Geraden im Rn+1 eine Mannigfaltigkeit ist (Hinweis: Pn = S n /Z2 , ¨ wobei Z2 = {id, Antipodalabbildung}). Was ist die universelle Uberlagerung von n P ? 540

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72.63

72. Aufgaben

72.54. Zeige, daß der Raum Pn der Geraden im Rn+1 in den R2n einbettbar ist. (Sei h : Rn+1 × Rn+1 → R2n+1 gegeben durch (x0 , . . . , xn ; y0 , . . . , yn ) 7→

k  X i+j=0

xi yj

n

=

k=0

n   X = x0 y0 , x0 y1 + x1 y0 , . . . , xi yn−i , . . . , xn−1 yn + xn yn−1 , xn yn i=0 h(x,x) und sei g : S → S gegeben durch g(x) = |h(x,x)| . Dann gilt g(x1 ) = g(x2 ) ⇔ x1 = ±x2 (falls h(x, x) = λh(y, y) so betrachte h(x + λy, x + λy)) und liefert also eine injektive Abbildung Pn → S 2n .) n

2n

72.55. Blow-up=Explosion Zeige, die Menge M := {(x, [y]) ∈ Rn × Pn−1 : ∀ i, j : xi yj = xj yi } ist eine Teilmannigfaltigkeit, pr1 : M → Rn ist glatt und einerseits ist pr1 ein −1 n n n−1 Diffeomorphismus von pr−1 . 1 (R \ {0}) auf R aber andererseits ist pr1 (0) = P 72.56. Sei G die Untergruppe von Aut(C), welche durch die beiden Translationen z 7→ z + 2πi und z 7→ z + 2π erzeugt wird. Welche Mannigfaltigkeit ist M/G ? (Hinweis: Betrachte {(x, y) : 0 ≤ x, y ≤ 2π}) 72.57. Sei G die Untergruppe der Diffeomorphismen von R2 , welche durch die Translationen z 7→ z + 2πi und die Abbildung z 7→ z¯ + 2π erzeugt wird. Welche Mannigfaltigkeit ist M/G ? (Hinweis: Betrachte {(x, y) : |x| ≤ π, 0 ≤ y ≤ 2π}) 72.58. Stiefel-Mannigfaltigkeit Zeige, daß f¨ ur k ≤ n der Raum aller orthonormalen k-Beine im Rn eine Mannigfaltigkeit, die sogenannte Stiefel-Mannigfaltigkeit V (k, n) . (Hinweis: Ein orthonormales k-Bein ist ein k-Tupel orthonormaler Vektoren im Rn , und kann als Abbildung A : Rk → Rn aufgefaßt werden, welche At ◦ A = id : Rk → Rn → Rk erf¨ ullt. Zeige, daß diese Gleichung regul¨ar ist). 72.59. Grassmann-Mannigfaltigkeit Zeige, daß f¨ ur k ≤ n der Raum der kdimensionalen Teilr¨ aume des Rn eine Mannigfaltigkeit ist, die sogenannte Grassmann-Mannigfaltigkeit G(k, n). (Hinweis: F¨ ur einen fixen k-dimensionalen Teilraum E < Rn sei UE die Menge aller solchen Teilr¨aume welche sich als Graph einer Abbildung E → E ⊥ darstellen lassen, und sei eine Karte L(E, E ⊥ ) → UE ⊂ G(k, n) gegeben durch T 7→ Graph(T ). Berechne den Kartenwechsel.) 72.60. Zeige, daß die Abbildung E 7→ E ⊥ von G(k, n) → G(n − k, n) ein Diffeomorphismus ist. Insbesonders ist G(n − 1, n) ∼ = G(1, n) = Pn−1 72.61. Zeige, daß die Abbildung, die jedem k-Bein im Rn den davon erzeugten Teilraum zuordnet, glatt ist von V (k, n) → G(k, n) (siehe 72.58 und 72.59 ). 72.62. Die Poincar´ e’sche Halbebene Zeige, daß die M¨obiustransformation h : z+1 z 7→ z−i ein Diffeomorphismus mit Inversen h−1 : z 7→ 1i z−1 von der oberen Halbz+i + ebene R × R auf D ist. Bestimme eine Riemann-Metrik (die Poincar´e-Metrik) auf der Halbebene, sodaß h eine Isometrie auf die hyperbolische Scheibe wird. Nun bestimme die Gruppe der konformen Diffeomorphismen und die der isometrischen Diffeomorphismen. (Hinweis: Jene der hyperbolischen Scheibe wurden in der Vorlesung angegeben) 72.63. Die Isometrien des Rn In den ersten Vorlesungsstunden haben wir gezeigt, daß jede Isometrie (Bewegung) des Rn gegeben ist durch z 7→ Rz +b mit R ∈ O(Rn ) c 15. Dezember 2008 [email protected]

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72.70

72. Aufgaben

und z ∈ Rn . Zeige, daß die Lie-Gruppe der Isometrien O(Rn ) × Rn ist, wobei die Gruppenmultiplikation durch (R1 , b1 ) · (R2 , b2 ) = (R1 ◦ R2 , R1 (b2 ) + b1 ) gegeben ist. 72.64. Die Isometrien der S n Verwende, daß die Distanz bez¨ uglich der u ¨blichen Riemannschen Metrik auf S n gegeben ist durch den Winkel den die Radiusvektoren der Punkte einschließen, um zu zeigen, daß die Gruppe der Isometrien der S n gerade die O(Rn+1 ) ist. (Hinweis: Sei g : S n → S n eine Isometrie, so ist g˜ : Rn+1 → Rn+1 , x ) eine Isometrie des Rn+1 . Nun verwende 72.63 ) x 7→ |x|g( |x|  a −¯b
72.65. Quaternionen Man zeige: Die Menge : a, b ∈ C ist Teilring der b a ¯ 2 komplexen 2 × 2-Matrizen und sogar ein K¨orper. Identifiziert
man C mit die-2 ¯ a − b sen K¨ orper, verm¨ oge der linearen Abbildung (a, b) 7→ b a¯ , so wird auch C ein Schiefk¨ orper, der K¨ orper H der Quaternionen. Die Norm von (a, b) ist die ¯
Determinante von ab −a¯b . Somit gilt f¨ ur die Multiplikation |(a1 , b1 ) · (a2 , b2 )| = |(a1 , b1 )| · |(a2 , b2 )| und die Menge der Einheitsquaternionen S 3 ist eine Untergruppe von H. Identifiziert man C2 mit R×R3 , so nimmt die Multiplikation die folgende Gestalt an: (t, x) · (s, y) = (ts − hx, yi, ty + sx + x × y) f¨ ur (t, x), (s, y) ∈ R × R3 . Zeige weiters, daß ( ∀ x ∈ {0} × R3 : xy = yx) ⇒ y ∈ R × {0} und ( ∀ x ∈ H : xy = zx) ⇒ y = z ∈ R × {0}. Durch Differenzieren der Gleichung xx−1 = 1 berechne die Ableitung der Abbildung inv : x 7→ x−1 . ¨ 72.66. Universelle Uberlagerung der SO(R3 ) Man fasse S 3 auf als Gruppe 3 der Einheitsquaternion und R als Teilraum {0} × R3 von H. Zeige, die Abbildung p : S 3 3 x 7→ p(x) ∈ SO(R3 ) definiert durch p(x)(y) = xyx−1 ein glatter Gruppenhomomorphismus, und hat als Kern {x : p(x) = idR3 } = {1, −1}. Berechne auch die Tangentialabbildung T1 p, und zeige daß sie bijektiv ist. p ist dann die gew¨ unschte ¨ universelle Uberlagerung. Folgere, daß P3 ∼ utze 72.65 ). = SO(3) (ben¨ ¨ 72.67. Universelle Uberlagerung der SO(R4 ) In Analogie zu 72.66 betrachte man den Gruppenhomomorphismus p : S 3 × S 3 → SO(4) definiert durch p(x, y)(z) := xzy −1 . Zeige, daß der Kern von p gerade {(1, 1), (−1, −1)} ist und daß T(1,1) p bijektiv ist. 72.68. Jacobi-Identit¨ at Beweise f¨ ur die Lieklammer von Vektorfeldern: [ξ1 , [ξ2 , ξ3 ]] + [ξ2 , [ξ3 , ξ1 ]] + [ξ3 , [ξ1 , ξ2 ]] = 0 f¨ ur alle ξ1 , ξ2 , ξ3 ∈ X (M )

72.69. Produktregeln Zeige f¨ ur Riemann-Mannigfaltigkeiten: grad(f · g) = f · grad g + g · grad f div(f · ξ) = f · div ξ + ξ · f = f · div ξ + hgrad f, ξi ∆(f · g) = ∆f · g + f · ∆g + 2hgrad f, grad gi

72.70. Hodge-Stern-Operator Zeige: ∗ ◦ ∗ = (−1)k(m−k) id

auf Ωk (M ).

Vk ∗ (Hinweis: Dies kann punktweise in Tx M nachgerechnet werden, dort verwende man eine Orthonormalbasis (e1 , . . . , em )) 542

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72.80

72. Aufgaben

72.71. Kommutatoren Zeige folgende Formeln f¨ ur Kommutatoren von graduierten Derivationen: [Lξ , Lη ] = L[ξ,η] [Lξ , d] = 0 [Lξ , iη ] = i[ξ,η]

72.72. Divergenz Zeige die Formel f¨ ur die Divergenz in lokalen Koordinaten: √ m 1 X ∂( Gξ i ) . div ξ = √ ∂ui G i=1 72.73. Laplace-Operator Zeige die Formel f¨ ur den Laplace-Operator angewandt auf eine Funktion f in lokalen Koordinaten: m 1 X ∂ √ ∂f i,j ( G jg ) −∆f = √ ∂u G i,j=1 ∂ui   m  X ∂ 2 f i,j ∂g i,j ∂f i,j ∂G 1 √ = + g + g . ∂ui ∂uj ∂uj ∂ui G ∂ui i,j=1 72.74. Euler-Formel Zeige folgende Formel f¨ ur die Normalkr¨ ummung in Termen der Hauptkr¨ ummungen sowie der Hauptkr¨ ummungsrichtungen (Euler). Seien dazu Ki die Hauptkr¨ ummungen und ξi eine Orthonormalbasis von zugeh¨origen Hauptkr¨ ummungsrichtungen. Dann gilt m X K(ξ) = Ki hξi , ξi2 . i=1

72.75. Nabelpunkte Zeige, daß auf einer 2-dimensionalen Fl¨ache ein Nabelpunkt vorliegt genau dann, wenn H 2 = K. 72.76. Bewegungsinvarianz Sei M eine Fl¨ache und B eine Bewegung des R3 . Zeige, daß M die bewegte Fl¨ ache B(M ) in entsprechenden Punkten die gleiche 1.te und 2.te Fundamentalform besitzen. 72.77. Torus Berechne die Kr¨ ummungen des Torus (Drehfl¨ache !) 72.78. Isometrien Zeige, daß jede konforme Fl¨achenerhaltende Abbildung eine Isometrie ist. 72.79. Regefl¨ achen Zeige, daß folgende Fl¨achen Regelfl¨achen sind und berechne wenn m¨ oglich ihre Gauß-Kr¨ ummung. x2 a2 2 + yb2

1. hyperbolisches Paraboloid: z = 2

y2 b2 2 − zc2

−

2. einbl¨ attriges Hyperboloid: xa2 =1 3. Sattelfl¨ ache: z = xy 4. M¨ obiusband: ϕ(t, s) := ((2 − s sin 2t ) sin t, (2 − s sin 2t ) cos t, cos 2t ) 72.80. Torsen Zeige, daß folgende Fl¨achen Torsen sind und berechne wenn m¨oglich ihre Gauß-Kr¨ ummung. 1. allgem. Kegel, parametrisiert durch ϕ(t, s) := c0 + s v(t) 2. allgem. Zylinder, parametrisiert durch ϕ(t, s) := c(t) + s v0 3. Tangentialfl¨ ache, einer Kurve c parametrisiert durch ϕ(t, s) := c(t) + sc0 (t) c 15. Dezember 2008 [email protected]

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72.87

72. Aufgaben

72.81. Ist die Regelfl¨ ache ϕ(t, s) := (t2 + 2ts, t + s, t3 + 3t2 s) eine Torse? 72.82. Schmiegtorse Sei c Kurve auf M , Y tangentiales Vektorfeld l¨angs c, sodaß II(Y, c0 ) = 0 und c0 , Y linear unabh¨angig sind. Dann ist ϕ(t, s) = c(t) + s Y (t) eine Torse. 72.83. Minimalfl¨ achen Zeige, daß folgende Fl¨achen Minimalfl¨achen sind und berechne wenn m¨ oglich ihre Gauß-Kr¨ ummung. 1. 2. 3. 4. 5.

Katenoid: ϕ(t, s) = (a cosh s cos t, a cosh s sin t, bs) cos y Scherk’s Fl¨ ache: ez = cos x 3 3 Enneper’s Fl¨ ache: (u, v) 7→ (u − u3 + uv 2 , v − v3 + vu2 , u2 − v 2 ) Wendelfl¨ ache: ϕ(t, s) = (s cos t, s sin t, at) die Fl¨ ache ϕ(t, s) = (at + sin t cosh s, s + a cos t sinh s, 1 − a2 cos t cosh s)

72.84. Hyperbolische Scheibe Berechne die Gaußkr¨ ummung der hyperbolischen Scheibe (¨ aquivalent der Poincar´e Ebene). 72.85. Geod¨ aten der projektiven Ebene Man verwende, daß die projektive Ebene P2 der Orbitraum der Sph¨are S 2 bez¨ uglich der Antipodalabbildung ist um die Geod¨ aten auf P2 zu bestimmen. Als Karten verwende man entweder die Zentralprojektion vom Mittelpunkt der Sph¨are auf eine Tangentialebene (Geod¨aten sind Geraden), oder die stereographische Projektion auf die Einheitsscheibe in einer Tangentialebene (Geod¨ aten sind Geraden durch 0 sowie Kreise die durch antipodale Punkte am Einheitskreis gehen). Welche L¨ange haben alle diese periodischen Geod¨ aten. 72.86. Geod¨ aten der Poincar´ eschen Halbebene Zeige, daß die Geod¨aten der Poincar´eschen Halbebene die Geraden parallel zur y-Achse sind und die Halbkreise, welche die x-Achse orthogonal treffen, siehe [54, 5.1.7]. 72.87. Geod¨ aten der hyperbolischen Scheibe Zeige, daß die Geod¨aten der Einheitsscheibe mit der hyperbolischen Metrik Geraden durch 0 sind oder Kreise, die den Rand orthogonal schneiden.

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Index (m+1)-dimensionaler Halbraum, 352 C ∞ -Mannigfaltigkeit mit Rand, 353 C ∞ -(Teil-)Mannigfaltigkeit (des Rn ), 80 C ∞ -Atlas einer Mannigfaltigkeit, 138 GLH (E), 125 LC (E), 120 LC (n), 120 LH (E), 125 O(n, k), 115 OC (n), 123 Qq (E), 127 SLH (E), 125 SO(n, k), 115 SpC (n), 124 T1 , 152 T2 , 153 U (n, k), 121 Ub (E), 120 Z(X), 533 Γ(E), 239 Ω1 (M ), 270 P2 , 73 ∇ = kovariante Ableitung, 458 σ-kompakt, 154 div ξ, 323 vol (M ), 352 k-Form am Rm , 291 k-te Bettizahl, 325 k-te De-Rham Kohomologie, 325 k-te Kr¨ ummung einer Kurve, 59 m-Frame, 492 m-Kobein, 494 n-Sph¨ are, 85 (Pseudo-)Riemann-Manigfaltigkeit, 492 (¨ uberall) linear unabh¨ angige Vektorfelder, 241 (regul¨ are) Teilmannigfaltigkeit, 179 ¨ Aquator einer Drehfl¨ ache, 435 ¨ Außere einer einfach geschlossenen Kurve, 45 ¨ Uberdeckungsdimension, 155 ¨ Uberlagerung, 23, 188 aquivalente Karten, 138 ¨ aquivalente Knoten, 64 ¨ aquivalente Kurven, 11 ¨ aquivalente geschlossene Kurven, 36 ¨ aquivalente orientierte Kurven, 12 ¨ außere Algebra, 297 ¨ “Dog Walk Theorem”, 537 “Hack”-Produkt, 295 1-Form am R2 , 25 1-Form auf einer Mannigfaltigkeit, 267

1-Parameter Untergruppe, 511 1-Parameter-Familie von Kurven, 434 1-te Fundamentalform, 391 1. Strukturgleichung von Cartan, 494 2-Form am Rm , 291 2-Form auf einer Mannigfaltigkeit, 292 2-te Fundamentalform, 391 2. Strukturgleichung von Cartan, 494 Pseudosph¨ are, 414 Abbildungsgrad, 370 Abelsche Erweiterungen, 105 Ableitungsgleichungen f¨ ur Fl¨ achen, 437 absteigende Zentralreihe, 533 abstrakte C ∞ -Mannigfaltigkeit, 138 adjungierte Darstellung der Lie-Algebra, 529 adjungierte Darstellung der Lie-Gruppe, 529 Alexanders geh¨ ornte Sph¨ are, 46 allgemeine lineare Gruppe, 109 Alternator, 294 alternierender Knoten, 67 amphicherialer Knoten, 64 antiholomorphe Funktion, 279 Asymptotenlinie, 392 Asymptotenrichtung, 392 Atlas einer topologischen Mannigfaltigkeit, 140 aufl¨ osbare Lie-Gruppe oder Lie-Algebra, 533 Automorphismengruppe einer Riemannschen Fl¨ ache, 282 Begleitbein einer ebenen Kurve, 16 Begleitbein einer Kurve, 59 Begleitbein einer Kurve in einer Regelfl¨ ache, 420 Begleitbein einer Raumkurve, 58 Ber¨ uhrsph¨ are, 538 Bertrand Kurve, 539 Bianchi Identit¨ at, 481 Bild einer geometrischen Kurve, 12 Binormalenvektor einer Raumkurve, 58 Bl¨ atter, 262 ¨ Bl¨ atter einer Uberlagerung, 23 Bl¨ atterung, 262 Blow-up, 541 Bonnesensche Ungleichung, 58 Boy’s Surface, 74 Breitenkreis, 410 Brouwer’s Fixpunktsatz, 184 Brouwerscher Fixpunktsatz, 370

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KAPITEL 0. INDEX Campbell-Baker-Hausdorff Formel, 529 Cassinische Kurve, 536 Charakterisierung initialer Immersionen, 174 Charakterisierung von Diffeomorphismen, 171 Charakterisierung von Einbettungen, 177 Charakterisierung von Immersionen, 172 Charakterisierung von Submersionen, 187 Christoffelsymbole der 2-ten Art, 437 De-Rham Kohomologie, 325 Deformation, 184 Deformationsretrakt, 329 Derivation u ¨ber einem Punkt, 162 derivierte Reihe, 533 Dichte, 352 Diffeomorphismus, 11 diffeotope Knoten, 63 Differentialform vom Grad k, 298 Dimensionsaxiom der Kohomologie, 326 Divergenz, 543 Divergenz eines Vektorfelds, 323 Doppelpunkt einer Kurve, 13 Drehfl¨ ache, 409 Drehfl¨ achen konstanter Gauß-Kr¨ ummung, 413 duale Basis, 267 duale Vektorb¨ undel, 270 eigentlichen Bewegung, 5 Eilinie, 54 Einbettung, 177 einfach geschlossene Kurve, 45 einfache Lie-Algebra, 533 einfacher Punkt einer Kurve, 13 Einh¨ angungsoperator, 326 Einh¨ ullende, 33 Einh¨ ullende der Tangenten einer Kurve, 55 Einheitsnormalvektoran eine Kurve, 16 Einheitstangentialvektor an eine Kurve, 14 Einparametergruppen-Eigenschaft, 243 Einpunktkompaktifizierung, 144 Einstein’sche Feldgleichung, 500 Energie-Impuls-Tensor, 500 Enveloppe, 33 Erweiterung von Lie-Gruppen oder Lie-Algebren, 533 Erzeugende einer Regelfl¨ ache, 418 Euler-Charakteristik, 325 Euler-Formel, 543 Euler-Klasse eines Vektorb¨ undels, 381 Eulerdarstellung einer Kurve, 55 Evolute, 17, 537 exakt, 326 exakte 1-Form, 25, 291 Explosion, 541 Exponentialabbildung, 512 Exponentialabbildung, 439, 540 Faserb¨ undel, 188 finale Abbildung, 174 Fl¨ ache vom Kehltyp, 414 Flachpunkt, 392 Flachpunkt einer Kurve, 27 foliation, 262

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Formeln f¨ ur durch eine Gleichung gegebene Hyperfl¨ achen, 406 Frenet’sche Ableitungsgleichungen einer Raumkurve, 59 Frenetsche Ableitungsgleichungen, 537 Friedmann-Robertson-Walker-Metrik, 501 Fußpunktabbildung des Tangentialb¨ undels, 225 Funktor, 269 funktorielle Konstruktion, 299 Gauß-Abbildung, 389 Gauß-Bonnet f¨ ur Polygone, 452 Gauß-Gleichung, 475 Gauß-Kr¨ ummung einer Hyperfl¨ ache, 392 Gaußgleichung, 458 getwisteter Gruppenhomomorphismus, 102 Geod¨ ate, 433 geod¨ atisch vollst¨ andig, 453 geod¨ atische Kr¨ ummung einer Kurve, 420 geod¨ atische Kreise, 441 geod¨ atische Parallelkoordinaten, 442 geod¨ atische Polarkoordinaten, 441 geometrische geschlossene Kurve, 37 geometrische Kurve, 11 glatte p-q-Tensorfelder, 300 glatte Abbildung, 135, 140 glatte Partition der Eins, 148 global triviales Faserb¨ undel, 188 globale Version von Gauß-Bonnet, 450 Godazzi-Mainardi-Gleichung, 475 Gradientenfeld einer Funktion, 275 graduiert antikommutativ, 313 graduiert kommutative Algebra, 297 graduierte Algebra, 294 graduierte Jacobi-Identit¨ at, 314 Gram-Schmidt’schen Orthogonalisierungsverfahren, 58 Grassmann-Mannigfaltigkeit, 528, 541 Green-Operator, 359 Greensche Satz, 355 Gruppenerweiterung, 99 H¨ ohere Homotopiegruppen, 98 halbeinfache Lie-Algebra, 533 harmonische Form, 357 Hauptkr¨ ummungsrichtungen, 392 Hauptkr¨ ummungen, 392 Hauptnormalenvektor einer Raumkurve, 58 Hausdorff, 139, 153 Helix, 538 hermitesche Form, 119 Hodge-Stern-Operator, 542 Hodge-Sternoperator, 307 holomorphe Funktion, 261 Holonomie-Gruppe, 457 homotope geschlossene Kurven, 37 Homotopie zwischen Kurven, 37 Homotopie-Hochhebungseigenschaft f¨ ur Kurven, 37 homotopie¨ aquivalente R¨ aume, 329 Homotopieaxiom der Kohomologie, 326 Hopffaserung, 88 hyperbolische Raum, 498

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KAPITEL 0. INDEX hyperbolische Scheibe, 284, 544 Hyperfl¨ ache, 389 Igelsatz, 372 immersive Abbildung, 170 immersive Teilmannigfaltigkeit, 174 impliziter Funktionensatz, 77 Indexform, 503 initiale Abbildung, 174 initiale Teilmannigfaltigkeit, 177 Innere einer einfach geschlossenen Kurve, 45 innerer Tangentialvektor, 354 Integrabilit¨ atstheorem von Frobenius, globale Version, 262 Integralkurve eines Vektorfelds, 243 Integralmannigfaltigkeit eines Teilvektorb¨ undels, 256 intrinsische Gr¨ oßen, 404 inverser Funktionensatz, 77 invertierbarer Knoten, 64 Involute, 537 Isometrie, 4 Isometrie Riemannscher Mannigfaltigkeiten, 276 isoperimetrische Ungleichung, 57 isospektrale Riemann-Mannigfaltigkeiten, 363 isothermale Koordinaten, 282 isotope geschlossene Kurven, 41 isotope Knoten, 63 isotrope Teilmenge, 116 Isotropie(unter)gruppe, 108 Jacobi-Differentialgleichung, 503 Jacobi-Feld, 472, 504 Jacobi-Gleichung, 406, 472 Jacobi-Identit¨ at, 542 Jordan-Kurve, 45 Jordanscher Kurvensatz, 45 Karte einer Mannigfaltigkeit, 138 Karten einer topologischen Mannigfaltigkeit, 140 Kartendarstellung einer Abbildung, 140 Kartenwechsel, 138 Kartesische Koordinaten, 167 kartesischen Koordinaten, 22 Kartesisches Blatt, 536 Kategorie, 142 Kegel, 82 Kegelschnittlinie, 536 Kettenlinie, 536 Klein’sche Flasche, 72 Knoten, 63 Knotengruppe, 65 Kodifferentialoperator, 324 Kohomologie einer Gruppe bzgl. Darstellungen auf einer Abelschen Gruppe, 108 Kohomologie einer Gruppe mit Werten in einer Abelschen Gruppe, 105 Kommutator, 543 komplexe Mannigfaltigkeit, 282 Konchoide des Kreises, 537 Konchoide des Nikomedes, 537 konforme Abbildung, 277

konforme glatte Abbildung, 280 konjugierte Punkte, 472 konjugierte Punkte auf einer Geod¨ ate, 504 konjugierte Vektoren, 392 kontrahierbar, 329 kontravarianter Funktor, 269 konvexe Kurve, 52 Kotangentialb¨ undel einer Mannigfaltigkeit, 270 kovariante Ableitung, 458, 459 kovariante Vektorfelder, 270 kovarianter Funktor, 269 Kozykel, 325 Kozykel-Gleichung, 103 Kr¨ ummung einer Kurve, 17 Kr¨ ummung einer Raumkurve, 58, 60 Kr¨ ummungskreis einer Kurve, 17 Kr¨ ummungslinie, 392 Kr¨ ummungsmatrix bzgl. s, 494 Kreuzhaube, 73 kritischer Punkt, 182 kritischer Wert, 182 Kugelkoordinaten, 167 Kugelprojektion, 539 kurze exakte Sequenz von Gruppen, 99 kurze exakte Sequenz von Vektorb¨ undeln, 346 L¨ ange, 1, 2 L¨ ange einer glatten Kurve , 275 L¨ ange einer Kurve, 14 Lagrange Teilr¨ aume, 116 Laplace-Beltrami-Operator, 324 Laplace-Operator, 543 Lebesgue-Null-Menge einer Mannigfaltigkeit, 182 Lebesgue-Null-Menge, 182 Levi-Civita-Zusammenhang, 459 Levi-Teilalgebren, 534 lichtartige Vektoren, 115 Lie-Ableitung, 251 Lie-Algebra, 247 Lie-Gruppe, 507 Lie-Gruppen-(links-)Wirkung, 516 Lie-Klammer, 247 Lie(Gruppen)-Homomorphismus, 508 Lift einer Kurve, 24 Lindel¨ of, 148, 154 Links-Wirkung, 108 linksinvariantes Vektorfeld, 510 lokale Gleichung, 78 lokale Parametrisierung, 77 lokale Parametrisierung einer Mannigfaltigkeit, 138 lokale Trivialisierung, 78 lokaler Graph, 78 lokaler Lie(Gruppen)-Homomorphismus, 508 lokales m-Bein, 492 lokales Integrabilit¨ atstheorem von Frobenius, 258 Lorentz-Mannigfaltigkeit, 500 Lorentz-Metrik, 500 Lorenzgruppe, 115

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KAPITEL 0. INDEX M¨ obiustransformation, 283 maximale Integralmannigfaltigkeit, 262 Mayer-Vietoris Sequenz, 326 Meridian, 410 metrisierbar, 154 minimale Drehfl¨ ache, 418 Minimalfl¨ ache, 428 mittlere Kr¨ ummung einer Hyperfl¨ ache, 392 Morse-Funktionen, 330 Nabelpunkt, 392, 543 Nebenklassen, 108 Nephroide, 36 Nierenkurve, 36 nilpotente Lie-Gruppe oder Lie-Algebra, 533 ¨ normale Uberlagerung, 198 Normalebene an eine Raumkurve, 60 Normalisator einer Untergruppe, 286 normalisierende Untergruppe, 197 Normalkr¨ ummung einer Hyperfl¨ ache, 390 Normalkr¨ ummung einer Kurve, 420 Normalvektor, 6 Orbitraum, 540 ¨ Ordnung n + 1 einer Uberdeckung, 155 orientierbare Mannigfaltigkeit, 345 orientierbares Vektorb¨ undel, 345 orientierte geometrische Kurve, 12 orientierte Mannigfaltigkeit, 282 Orientierung eines Vektorraums, 5 Orientierungs¨ uberlagerung, 348 orientierungserhaltende Abbildung, 5 Orientierungsvertauschung, 369 orthogonale Gruppe, 113 orthogonale Komplement, 115 orthonormal-Bein, 492 parakompakt, 150 paralleles Vektorfeld, 455 parallelisierbare Mannigfaltigkeit, 241 Parallelogramm-Gleichung, 1 Paralleltransport, 456 parametrisierte geschlossene Kurve, 36 parametrisierte Kurve, 11 Parametrisierung einer Kurve, 12 Parametrisierung nach der Bogenl¨ ange, 15 Pascalsche Schnecke, 537 plaques, 258 Plateausches Problem, 430 Poincar´ e’sche Halbebene, 414, 541 Poincar´ e-Dualit¨ at, 360 Poincar´ e-Lemma, 329 Poincar´ e-Polynom, 325 Poisson-Klammer, 387 Polarisierungsformel, 2 Polarkoordinaten, 22 projektive Ebene, 73 Pseudo-Riemann-Mannigfaltigkeiten, 275 Pseudo-Riemann-Metrik, 275 pseudoeuklidisches Produkt, 115 Pull-back von Mannigfaltigkeiten, 186 Punkt einer geometrischen Kurve, 13 Quadrik, 539

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Quaternione, 542 quaternionische Gruppe, 130 quaternionischen Gruppen, 128 radiale Geod¨ ate, 441 Rand des Halbraums, 352 Rand einer Mannigfaltigkeit, 354 Rangsatz, 170 Raum der k-linearen Abbildungen, 292 Raum der exakten Differentialformen, 325 Raum der geschlossenen Differentialformen, 325 Raum der glatten Schnitte eines B¨ undels, 239 Raum der glatten Vektorfelder, 239 raumartige Vektoren, 115 Raumformen, 499 Rechts-Wirkung, 108 reelle symplektische Gruppe, 116 Regelfl¨ ache, 418 regul¨ are Abbildung, 76, 170 regul¨ are Doppeltangente, 44 regul¨ are Karten einer Bl¨ atterung, 264 regul¨ arer Doppelpunkt, 44 regul¨ arer Wendepunkt, 44 regul¨ ares Teilvektorb¨ undel, 264 rektifizierende Ebene an eine Raumkurve, 60 relative Torsion einer Kurve, 420 Retraktion, 184 Retraktionssatz, 184 Ricci-flach, 496 Ricci-Kr¨ ummung einer Riemann-Mannigfaltigkeit, 490 Riemann’sche Zahlenkugel, 282 Riemann’scher Abbildungssatz, 284 Riemann-Fl¨ ache, 282 Riemann-Kr¨ ummung, 476 Riemann-Mannigfaltigkeit, 275 Riemann-Metrik, 275 Riemannschen Normalkoordinaten, 489 Riemannscher Abbildungssatz, 45 Satz von Carath´ eodory, 45 Satz von Dupin, 394 Satz von Frobenius f¨ ur totale Differentialgleichungen, 259 Satz von Hahn-Banach, 359 Satz von Hopf-Rinow, 467 Satz von Korn-Lichtenstein, 282 Satz von Liouville, 397, 398 Satz von Nash, 276 Satz von Nomitzu-Ozeki, 469 Satz von Painlev´ e und Warschawski, 45 Satz von Rodriguez, 391 Satz von Schoenflies, 46 Satz von Stokes, 354 Scheitel einer Kurve, 27 Schmiegebene an eine Raumkurve, 60 Schmiegtorse, 423, 544 Schnittkr¨ ummung einer Riemann-Mannigfaltigkeit, 487 schwache L¨ osung, 358 Schwarzschild-Metrik, 500 Schwarzschild-Radius, 500

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KAPITEL 0. INDEX Seifertfl¨ ache, 67 semi-lokal einfachzusammenh¨ angend, 208 semidirektees Produkt von Gruppen, 101 Skalarkr¨ ummung einer Riemann-Mannigfaltigkeit, 491 spezielle lineare Gruppe, 113 Sph¨ are, 3, 83 Sph¨ arische Kurve, 538 Spiegelungen, 117 Spindelfl¨ ache, 413 Spiralbogen, 27 Spirale, 536 standard hermitesche Form, 121 standard hermitesche Form mit Signatur, 121 standard symplektische Form am R2k , 116 Stiefel-Mannigfaltigkeit, 527, 541 Stiefelmannigfaltigkeit, 113 strikt diskontinuierliche Gruppen-Wirkung, 286 strikt unstetige Wirkung einer Gruppe, 199 Striktionslinie, 425 Strophoide, 537 subharmonische Funktion, 356 submersive Abbildung, 170 symplektische Form, 115 symplektische Gruppe, 130 Taillenlinie, 425 Tangente an eine parametrisierte Kurve, 14 Tangentialabbildung einer Abbildung, 160, 165, 225 Tangentialraum einer abstrakten Mannigfaltigkeit, 164 Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit, 160, 225 Tangentialvektor an eine Mannigfaltigkeit, 160 Teilvektorb¨ undel, 231 Tensoralgebra, 294 Tensorprodukt von Formen, 292 Tensorprodukt von Vektorb¨ undel, 299 Tensorprodukt von Vektorr¨ aumen, 292 Theorem von Bonnet, 474 Theorema Egregium, 406 Theorema elegantissimum von Gauß, 449 Thom-Klasse eines Vektorb¨ undels, 381 Topologie einer Mannigfaltigkeit, 138 topologische Mannigfaltigkeit, 140 Torse, 418 Torsion einer Raumkurve, 60 Torsionselement, 98 Torsionsgruppe, 99 Torus, 86, 543 totale Differential einer Funktion, 267 Traktrix, 536 Transitionsfunktion eines Vektorb¨ undels, 228 transitive Wirkung, 108 transversale Abbildung, 185 Transversalit¨ atssatz, 186 treuer Funktor, 197 Triangulierung, 330 ¨ trivialisierenden Mengen einer Uberlagerung, 23

Trivialisierung, 188 Trochoide, 536 tubul¨ are Umgebung, 466 typische Faser eines Faserb¨ undels, 188 Umlaufsatz von Hopf, 47 Umlaufzahl einer Kurve, 40 Uniformisierungssatz, 285 unimodulare Gruppe, 519 unit¨ are Gruppe, 121, 129 Unter-Lie-Gruppe, 514 Ursprung, 1 Vakuum-Gleichung, 500 VB = Vektorb¨ undel, 227 Vektor, 1 Vektorb¨ undel, 227 Vektorb¨ undelhomomorphismus, 230 Vektorb¨ undelkarte, 227 Vektorfeld, 239 Vektorraum, 1 Vektorraum aller graduierten Derivationen, 311 Vektorraum der glatten p-fach kontravariant und q-fach kovarianten Tensorfelder, 300 Vektorraum der glatten Differentialformen vom Grad p, 300 Versiera der Agnesi, 537 verwandte Vektorfelder, 249 VF, 239 Vielfachheit eines Punktes einer Kurve, 13 Vierscheitelsatz, 50 volle Teilkategorie, 197 voller Funktor, 197 vollst¨ andiges Vektorfeld, 245 Volumsform einer Riemann-Mannigfaltigkeit, 355 Weingarten-Abbildung, 390 Wendepunkt einer Kurve, 27 Whitney-Summe von Vektorb¨ undel, 298 Windungszahl einer Kurve um 0, 37 Windungszahl einer Kurve um einen Punkt, 37 Winkel, 2 winkelerhaltende Abbildung, 277 Wirtinger Darstellung, 66 Wulstfl¨ ache, 413 zeitartige Vektoren, 115 zentrale Erweiterung, 103 zentrale Punkt, 427 Zentrum, 533 Zentrum einer Gruppe, 8 Zissoide, 537 zur¨ uckgezogene Form, 309 Zusammenhangsmatrix von ∇, 492 Zykloide, 536 Zylinder, 81 Zylinderkoordinaten, 167

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