Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3: Учебно-методическое пособие для менеджеров и экономистов

УДК 330.4(075.8)

Казанцев Э.Ф. Математика. Раздел 2. Математический анализ (тетрадь 3): Учебно-методическое пособие для менеджеров и экономистов. — М.: Международный университет в Москве, 2005. — 54 с. Тетрадь 3 учебно-методического пособия посвящена рядам, решению дифференциальных уравнений и комплексным числам. Приводятся основные сведения из теории рядов, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории функций комплексного переменного. Может быть использовано как рабочая тетрадь при самостоятельной работе с домашними заданиями и как справочник для менеджера и экономиста по прикладной математике. Для студентов Международного университета в Москве, обучающихся по экономическим и управленческим специальностям.

© Международный университет в Москве, 2005 © Э.Ф.Казанцев, 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ 2.4 Теория рядов 2.4.1 Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.4.2 Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.4.3 Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4.4 Ряды Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Обыкновенные дифференциальные уравнения 2.5.1 Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5.2 Некоторые интегрируемые дифференциальные уравнения 1-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5.3 Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.4 Особые решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . 36

2.6 Элементы теории функций комплексной переменной 2.6.1 Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . 42 2.6.2 Интеграл от комплексной функции . . . . . . . . . . . . . 42 2.6.3 Операционное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . 52 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4 ТЕОРИЯ РЯДОВ 2.4.1 Числовые ряды 1) Если члены бесконечной числовой последовательности u1, u2,... un... соединить знаком «+», то получится выражение: u1 + u 2 +K+u n +K ¥

или сокращенно: åu n , называемое числовым рядом. n =1

Числа u1,u2,... называются членами ряда, un — общим членом ряда. n

Конечные суммы S n = u1 + u 2 +K+ u n = åu k называют частичными k =1

суммами ряда: S1 = u1; S2 = u1 + u2; Sn = u1+ u2 + ... + un Если существует конечный предел последовательности частичных сумм: S = lim S n , то ряд называется сходящимся, а число S — суммой ряn ®¥ да. Существует сумма только сходящегося ряда. Необходимый признак сходимости: lim u n = 0 n ®¥ ¥ 1 1 Пример: S = å ; представим дробь в виде: n(n +1) n =1 n(n + 1) 1 1 1 , = n(n +1) n (n +1) тогда: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . S n = 1 - + - + - +K+ - + =12 2 3 3 4 n -1 n n n +1 n +1 1 ö æ Следовательно: lim S n = limç 1 ÷ = 1, то есть заданный ряд схоn ®¥ n ®¥ n +1 ø è дится и его сумма равна 1. 2) Свойства рядов а) Сходимость или расходимость ряда не изменится, если отбросить или добавить конечное число членов ряда. б) Если ряд åu n сходится и его сумма равна S, то и ряд åcu n тоже сходится и его сумма равна сS. в) Если ряды åu n и å v n сходятся и их суммы равны соответственно S 1 и S 2 , то и ряд å(u n + v n ) сходится и его сумма равна S 1 + S 2 . г) Разность двух сходящихся рядов åu n и å v n есть ряд сходящийся. 4

д) Сумма сходящегося и расходящегося ряда — расходящийся ряд. е) Сумма двух расходящихся рядов может быть разная и сходящаяся и расходящаяся. 3) Признаки сходимости рядов а) Критерий Коши: ¥

Для того, чтобы ряд

åu

n

был сходящимся, необходимо и доста-

n =1

точно, чтобы для любого числа e существовал такой номер N, что при n > N и любом целом p > 0 выполнилось бы неравенство: u n + 1 + u n + 2 +K+u n + p < e, или S n + p - S n < e то есть, чтобы все достаточно далеко лежащие отрезки этого ряда были по модулю как угодно малы. б) Признак Даламбера: Если для ряда åu n существует такое число q, что для всех достаu точно больших n выполняется неравенство n + 1 £ q < 1, то ряд åu n схоun u n +1 дится, если же ³ 1, то ряд åu n расходится. un 4) Знакопеременные или знакочередующиеся ряды: u1 - u 2 + u 3 - u 4 +L+(-1) n + 1 u n +L а) Признак Лейбница: Если у знакочередующегося ряда абсолютные величины членов ряда убывают u1 > u 2 > u 3 >K и общий член стремится к нулю u n ® 0, то ряд сходится. 2.4.2 Функциональные ряды 1) Функциональная последовательность Рассмотрим бесконечную последовательность функций f1(x), f2(x), f3(x) ... fn(x), непрерывных на некотором отрезке [a,b]. Если в этой последовательности положить x=x0, тогда мы получим числовую последовательность: f1(x0), f2(x0) ... fn(x0). Если эта числовая последовательность сходится, то говорят, что и функциональная последовательность сходится в точке x0. Совокупность 5

всех значений x, для которых функциональная последовательность сходится, называется областью сходимости этой последовательности. Так как для каждого значения x из [a,b] пределом числовой последовательности будет число, то на отрезке [a,b] для последовательности fn(x), будет существовать функция f(x), называемая пределом функциональной последовательности. В этом случае говорят: функциональная последовательность {fn(x)} сходится к функции f(x). f ( x ) = lim f n ( x ) или f n ( x ) ® f ( x ). n ®¥

Примеры: а) Рассмотрим последовательность: 1, x, x 2 , ... , x n -1 , ... ì 0, x > 0 . lim x n -1 = í n ®¥ î 1, x = 1 При x = -1 и x >1 последовательность расходится. Значит областью сходимости является интервал (–1;1). б) Рассмотрим последовательность: e - x , e -2 x , e -3 x ... e - nx , ... ì 0, x > 0 . lim e - nx = í n ®¥ î 1, x = 0 Областью сходимости является совокупность неотрицательных значений x: x > 0 Определение 1: Функциональная последовательность сходится к f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа e и любой точки x из [a,b] существует номер N = N (e, x ) такой, что неравенство f ( x ) - f n ( x ) < e выполняется при n > N . 2) Функциональным рядом называется ряд: ¥

u1 ( x ) + u 2 ( x )+K+u n ( x ) = åu n ( x ). n =1

Функции u(x) определены на некотором множестве M. un(x) называется общим членом ряда.

n

Частичными суммами ряда называются функции S n ( x ) = åu k ( x ). k =1

6

¥

Функциональный ряд åu n ( x ) называется сходящимся при x = x 0 , n =1

если в этой точке сходится последовательность его частичных сумм: S1(x0), S2(x0), ... , Sn(x0). Другими словами, функциональный ряд сходится при x = x 0 , если ¥

сходится числовой ряд åu n ( x 0 ). n =1

Предел последовательности частичных сумм называется суммой функционального ряда в точке x0. Совокупность всех значений x для которых сходится функциональный ряд, называется областью сходимости этого ряда. 3) Критерий Коши сходимости ряда: ¥

Для сходимости ряда åu n ( x ) на отрезке [a,b] необходимо и достаn =1

точно, чтобы для любого e > 0 существовал номер N (e), такой, что при n > N и любом целом p > 0 неравенство u n + 1 ( x ) + u n + 2 ( x ) + L + u n + p ( x ) < e выполнялось бы для всех x отрезка [a,b]. Для практической работы используют не критерий Коши, а признак Вейерштрасса. Предварительно дадим определение можорируемости ряда : ¥

Определение 2: Говорят, что функциональный ряд åu n ( x ) мажориn =1

руется на отрезке [a,b] числовым рядом åan , если неравенство n =1 u n ( x ) << an выполняется при любом n и для всех значений x отрезка [a,b]. 4) Признак сходимости Вейерштрасса ¥

Если ряд åu n ( x ) на отрезке [a,b] мажорируется числовым сходяn =1

щимся рядом, то он сходится на этом отрезке. 5) Признак сходимости Даламбера Если существует предел: lim

u n +1 un

= q, 7

то функциональный ряд сходится при q < 1 и расходится при q >1. Теорема 1: Сходящийся ряд на отрезке [a,b] можно почленно интегрировать, то есть сумма интегралов сходится к интегралу сумм. ¥

Доказательство: Пусть f(x) = u1(x)+u2(x)+...+un(x) = åu n ( x ) n =1

b

b

b ¥

S n ( x ) ® f ( x ); lim ò S n ( x )dx = ò f ( x )dx = ò åu n ( x )dx n ®¥

n ®¥

a

(1)

a n =1

a

Но интеграл от суммы функций равен сумме интегралов слагаемых: b

ò S n ( x)dx =

ò [u ( x) + u

2

b

b

1

( x ) + L + u n ( x )] dx =

a

b

= ò u1 ( x )dx + ò u 2 ( x )dx + L + ò u n ( x )dx a

a

a

При этом равенство (1) запишется так: b b éb ù b lim êò u1 ( x )dx + ò u 2 ( x )dx +K+ò u n ( x )dx ú = ò f ( x )dx x ®¥ a a ëa û a

или так: b

b

b

b

ò u1 ( x)dx + ò u 2 ( x)dx +K+ò u n ( x)dx = ò f ( x)dx. a

a

a

¥ b

b ¥

n =1 a

a n =1

a

То есть å ò u n ( x )dx = ò åu n ( x )dx . Теорема 2: Если члены функционального ряда непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b], а ряд u1¢ ( x ) + u 2¢ ( x ) + L + u n¢ ( x ) + K сходится на этом отрезке, то его сумма равна f ¢( x ): ¢ ¥ ¥ æ ¥ ö f ¢( x ) = åu n¢ ( x ) или ç åu n ( x ) ÷ = åu n¢ ( x ) n =1 è n =1 ø n =1 то есть функциональный ряд можно почленно дифференцировать. 8

2.4.3 Степенные ряды 1) Степенным рядом называется ряд: ¥

a0 + a1 ( x - b) + a2 ( x - b) 2 +K+an ( x - b) n +K = åan ( x - b)

n

(1)

n =0

¥

Если b = 0, то степенной ряд имеет вид: åan x n .

(2)

n =0

Ряд (1) сводится к (2) подстановкой x - b = x ¢. Теорема 3. Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку [a, b], принадлежащему интервалу сходимости ряда. Пример: Рассмотрим функцию f ( x ) = ln(1 + x ). Известно, что x 1 dx ,а ln(1 + x ) = ò = 1 - x + x 2 - x 3 +K + (-1) n x n +K; | x| < 1. 1 + x 1 + x 0 x

x

dx = ò 1 - x + x 2 - x 3 + K dx 1 + x 0 0

Тогда: ò

(

)

или ln(1 + x ) = x -

x2 x3 x4 xn + +K+(-1) n + 1 +K 2 3 4 n

Теорема 4. Степенной ряд в интервале сходимости можно почленно дифференцировать. Пример: Если f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 +K+an x n +K , то f ¢ ( x ) = a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 +K+nan x n -1 +K . Следствие: Степенной ряд в интервале сходимости можно почленнно дифференцировать любое число раз. 2) Ряд Тейлора Пусть f ( x ) является суммой степенного ряда: f ( x ) = a0 + a1 ( x - b) + a2 ( x - b) 2 +K+an ( x - b) n +K Почленно дифференцируем его несколько раз: f ¢ ( x ) = 1a1 + 2a2 ( x - b) + 3a3 ( x - b) 2 + 4a4 ( x - b) 3 +K+nan ( x - b) n -1 +K f ¢¢( x ) = 1× 2a2 + 2 × 3a3 ( x - b) + 3 × 4a4 ( x - b) 2 +K+(n -1)nan ( x - b) n - 2 +K f ¢¢¢( x ) = 1× 2 × 3a3 + 2 × 3 × 4a4 ( x - b)+K+(n - 2)(n -1)nan ( x - b) n - 3 +K 9

.............................................. f ( n ) ( x ) = 1× 2 × 3 ×K× nan + 2 × 3 × 4 ×K× (n +1)an + 1 ( x - b)+K Откуда находим, положив x = b: f ¢(b) f ¢¢(b) f ¢¢¢(b) f ( n ) (b) ; a2 = ; a3 = ; ... an = ; ... Таким a0 = f (b); a1 = 1! 2! 3! n! образом: f ( x ) = f (b) +

f ¢(b) f ¢¢(b) f ¢¢¢(b) ( x - b) + ( x - b) 2 + ( x - b) 3 +L 1! 2! 3!

Данный ряд называется рядом Тейлора. При b = 0 ряд называется рядом Маклорена функции f ( x ): f ( x ) = f (0) +

f ¢ (0) f ¢¢(0) 2 f ¢¢¢(0) 3 x+ x + x +K 1! 2! 3!

Теорема 5. Если функция f ( x ) в некоторой окрестности точки b является суммой степенного ряда по степеням ( x - b), то этот ряд является рядом Тейлора функции f ( x ). Теорема 6. Если функция f ( x ) в некоторой окрестности точки b разлагается в степенной ряд по степеням ( x - b), то такое разложение единственно. Разность между функцией f ( x ) и частичной суммой S n ( x ) ряда Тейлора функции f ( x ) называется остаточным членом ряда Тейлора и обозначается Rn ( x ): Rn ( x ) = f ( x ) - S n ( x ); Rn ( x ) =

f ( n + 1 ) (b) ( x - b) n + 1 . (n +1)!

То есть для того, чтобы ряд Тейлора функции f ( x ) сходился в некотором интервале, необходимо и достаточно, чтобы в рассмотренном интервале стремился к нулю остаточный член этого ряда. Таким образом задача разложения функции f ( x ) в степенной ряд сведена по существу к определению значения x, при котором Rn ( x ) ® 0. 3) Формула Тейлора для функции двух переменных: Пусть функция z = f ( x , y ) имеет в окрестности точки (х0,у0) непрерывные частные производные до (n+1). Дадим х0 и у0 приращение Dх и Dу и рассмотрим вспомогательную функцию: (3) F (t ) = f ( x 0 + tDx , y 0 + tDy ) 10

Разложим эту функцию в ряд Маклорена по переменной t: F ¢¢(0) 2 F ( n ) (0) n F (t ) = F (0) + F ¢ (0)t + t +K+ t 2! n! Используя (3) получим:

(4)

F ¢ (t ) = f ¢ x ( x 0 + tDx , y 0 + tDy )Dx + f ¢ y ( x 0 + tDx , y 0 + tDy )Dy = æ ¶ ö ¶ = çç Dx + Dy ÷÷ f ( x 0 + tDx , y 0 + tDy ) ¶y è ¶x ø 2

æ ¶ ö ¶ F ¢¢(t ) = çç Dx + Dy ÷÷ f ( x 0 + tDx , y 0 + tDy ) ¶ x ¶ y è ø n

æ ¶ ö ¶ F (t ) = çç Dx + Dy ÷÷ f ( x 0 + tDx , y 0 + tDy ) ¶y è ¶x ø Отсюда находим: F (0) = f ( x 0 , y 0 ) æ ¶ ö ¶ F ¢ (0) = çç Dx + Dy ÷÷ f ( x 0 , y 0 ) ¶y è ¶x ø (n)

2

æ ¶ ö ¶ F ¢¢( 0) = çç Dx + Dy ÷÷ f ( x 0 , y 0 ) и т. д. ¶y è ¶x ø Подставив эти значения в формулу (4), положив t =1, получим: æ ¶ ö ¶ f ( x 0 + Dx , y 0 + Dy ) = f ( x 0 , y 0 ) + çç Dx + Dy ÷÷ f ( x 0 , y 0 ) + ¶y è ¶x ø 2

n

ö ö 1æ ¶ ¶ 1æ ¶ ¶ + çç Dx + Dy ÷÷ f ( x 0 , y 0 ) +K+ çç Dx + Dy ÷÷ f ( x 0 , y 0 ) 2 ! è ¶x ¶y n ! è ¶x ¶y ø ø Это формула Тейлора для функции двух переменных. 4) Основные разложения функций в ряд Маклорена: а) f ( x ) = e x ; f ¢ ( x ) = f ¢¢ ( x ) =K = f ( n ) ( x ) =K = e x При x = 0 f (0) = f ¢ (0) = f ¢¢ (0) =K = f ( n ) (0) =K = 1. ¥ x x2 xn xn + +K+ +K = å . 1! 2 ! n! n =0 n ! x e Теперь надо доказать, что Rn ( x ) = x n + 1 ® 0. (n +1)!

Следовательно: e x = 1 +

11

xn = 0. n ®¥ n ! Доказательство: применим признак Даламбера к ряду Лемма: lim

1+ x

Так как lim n ®¥

n +1

n!

(n +1)! x

n

x x2 xn + +K+ +K . 1! 2 ! n! = x lim n ®¥

1 = x × 0 = 0 < 1, то рассматривае(n +1)

мый ряд сходится и следовательно общий член ряда

xn ® 0, что и требоn!

валось доказать. Отсюда: Rn ( x ) =

ex x n + 1 ® 0. (n +1)!

б) f ( x ) = sin x ;

f ¢ ( x ) = cos x ; f ¢¢( x ) = - sin x ; f ¢¢¢( x ) = -cos x ; p æ ö f ( 4 ) ( x ) = sin x ; f ( n ) ( x ) = sinç x + n ÷ ; ... 2ø è При x = 0 f (0) = 0; f ¢(0) = 1; f ¢¢(0) = 0; f ¢¢¢(0) = -1; f ( 4 ) (0) = 0. ¥ x 3 x5 x 2 n +1 То есть sin x = x . + -K = å(-1) n 3! 5! (2 n +1)! n =0 в) f ( x ) = cos x ; cos x = 1 -

¥ x2 x4 x6 x 2n . + +K = å(-1) n 2 ! 4! 6! (2 n)! n =0

г) гиперболический синус: sh x =

e x - e -x ; 2

x x2 xn + +K+ +K 1! 2 ! n! x x2 xn e -x = 1 - + +K+(-1) n +K 1! 2 ! n! ¥ x 3 x5 x 2 n +1 . sh x = x + + +K = å 3! 5! n = 0 (2 n + 1)! e x =1+

д) гиперболический косинус: ch x = 12

e x + e -x ; 2

ch x = 1 +

¥ x2 x4 x 2n . + +K = å 2 ! 4! n = 0 (2 n)!

5) Применение степенных рядов в вычислении интегралов: 1 2

2

Вычислить интеграл: ò e - x dx ; 0

t t2 tn e t = 1 + + +K+ +K, где t = - x 2 ; 1! 2 ! n! x2 t4 x 2n -x 2 e =1+ -...(-1) n +K ; 1! 2 ! n! 1 2 1 2 é ù x 3 1 x5 1 x 7 1 1 1 1 1 1 1 -x 2 e dx = x + + K +K»0,46 ê ú = - 3 + ò0 5 3 2 ! 5 3! 7 2 32 2 ! 2 5 3! 2 7 7 ë û0 2.4.4 Ряды Фурье 1) Если в природе многие процессы обнаруживают характер экспоненциального роста (или спада), то в технике преимущественно наблюдаются процессы типа гармонических колебаний. Пример: Рассмотрим колебания маятника.

По закону Ньютона: F = ma; a=

d2 z d2 z ; m 2 = -kz; dt 2 dt

С другой стороны F = -kz; таким образом: 13

k d2 z + w2 z = 0; w2 = . 2 m dt Общее решение: z = C1 cos wt + C 2 sin wt ; C1 , C 2 — const. z(0) = 0; C1 = 0; m pö æ z¢ (0) = m; m = C 2 w; z = sin wt = A cosç wt - ÷; w 2ø è m p A = ; А — амплитуда колебаний; w — частота колебаний; — наw 2 чальная фаза. Таким образом, гармонические колебания — периодические. Их можно описать тригонометрическими функциями. Как правило тригонометрические функции имеют период 2p. Отметим, что функция acos wt + b sin wt также определяет гармоническое колебание: æ a b acos wt + b sin wt = a 2 b 2 ç cos wt + sin wt ç 2 2 2 a + b2 è a +b где A = a 2 + b 2 ;

a

b

= cos j;

ö ÷ = A cos( wt + j), ÷ ø

= sin j. a2 + b 2 a2 + b 2 Конечная сумма гармонических колебаний представляет собой сложное колебание: Пример: ¥

sin( 2 n -1)

n =1

2 n -1

Sn = å

.

n =1, s1 = sin x ;

14

n = 2 , s 2 = sin x +

n = 3 , s 3 = sin x +

sin 3 x ; 3

sin 3 x sin 5 x + 3 5

и т. д. ì1, при 0 < x < p ï Видно, что lim S n ( x ) = y ( x ), где y ( x ) = í0, при x = 0, x = p . n ®¥ ï -1, при - p< x < 0 î Функцию y( x ) можно продолжить на всю ось, то есть любую периодическую функцию можно разложить в тригонометрический ряд: f (t ) =

a0 ¥ + å( ak cos nwt + bk sin nwt ). 2 n =1

ak и bk называются коэффициентами тригонометрического ряда, а отдельные слагаемые называются членами ряда или гармониками. Физики выделяют гармоники с помощью резонаторов. 15

2) Пусть дан тригонометрический ряд (положим wt = x ): ¥ a (1) f ( x ) = 0 + å( an cos nx + bn sin nx ) 2 n =1 Надо определить коэффициенты этого ряда: ak и bk . Предположим, что ряд (1) равномерно сходится на отрезке [-p; p.] f ( x) =

a0 + ( a1 cos x + b1 sin x ) + ( a2 cos 2 x + b2 sin 2 x ) +K+ 2 + ( an cos nx + bn sin nx ) +K

Почленно интегрируем этот ряд на данном отрезке: p p æ p ö a0 p ç a1 cos xdx + b1 sin xdx ÷ + f ( x ) dx = dx + ò- p ò ò ò ç ÷ 2 -p -p è -p ø p p æ ö + ç a2 ò cos 2 xdx + b2 ò sin 2 xdx ÷+K+ ç ÷ -p è -p ø p æ p ö + ç an ò cos nxdx + bn ò sin nxdx ÷ = pa0 ç ÷ -p è -p ø p 1 То есть a0 = ò f ( x )dx . p -p Здесь мы воспользовались следующими значениями интегралов: p

ì2 p, при k = 0

ò cos kxdx = íî0, при k ¹ 0

-p p

ì0, при k = 0

ò sin kxdx = íî0, при k ¹ 0

-p

Умножим (1) на cos nx и проинтегрируем: p p æ p ö a0 p ç a1 cos x cos nxdx + b1 sin x cos nxdx ÷ + f ( x )cos nxdx = cos xdx + ò- p ò ò ò ç ÷ 2 -p -p è -p ø p p æ ö +ç a2 ò cos 2 x cos nxdx + b2 ò sin 2 x cos nxdx ÷ + ç ÷ -p è -p ø p æ p ö +ç an ò cos 2 nxdx + bn ò sin nx cos nxdx ÷+K = pan . ç ÷ -p è -p ø 16

p

1 f ( x )cos nxdx , n = 12 , ,... p -òp Здесь мы использовали следующие значения интегралов: То есть an =

p

ì0, m ¹ n

ò cos mx cos nxdx = íî p, m = n

-p p

ì0, m ¹ n

ò sin mx sin nxdx = íî p, m = n

-p p

ò cos mx sin nxdx = 0

-p

p

Аналогично можно показать, что

ò f ( x)sin nxdx = pb , то есть n

-p p

bn =

1 f ( x )sin nxdx , n = 12 , ,... p -òp

Заметим, что a0 и an можно объединить для n = 0, 1, ... Также, заметим, что пределы можно брать от 0 до 2p или даже от a до a +2p, где a — произвольное число. a0 , an , bn называются коэффициентами Фурье при разложении функции f ( x ) в ряд Фурье. 3) Свойства ряда Фурье а) если f ( x ) является суммой сходящегося на отрезке [-p, p] тригонометрического ряда, то этот ряд является рядом Фурье функции f ( x ). б) не существует двух тригонометрических рядов, сходящихся на отрезке [-p, p] к одной и той же функции (т.е. разложение единственно). в) ряды Фурье для четных и нечетных функций: ì0, если f ( x )— нечетная функция ï ò- a f ( x)dx = í2 a f ( x)dx, если f ( x)— четная функция ï ò î 0 a

a

Действительно,

ò

-a

0

f ( x )dx =

ò

-a

a

f ( x )dx + ò f ( x )dx 0

сделаем подстановку: x = -t : 17

0

ò

-a a

Т.е.

ò

-a

0

a

a

f ( x )dx = -ò f (-t )dt = ò f (-t )dt = ò f (- x )dx a

0

0

a

f ( x )dx = ò [ f ( x ) + f (- x )]dx 0

Если f ( x ) нечетная функция, то f (- x ) = - f ( x ), тогда a

ò f ( x)dx = 0.

-a

Если f ( x ) четная функция, то f (- x ) = f ( x ), тогда a

ò

-a

a

f ( x )dx = 2 ò f ( x )dx . 0

Таким образом, для четной функции: p

p

an =

1 2 f ( x )cos nxdx = ò f ( x )cos nxdx p -òp p0

bn =

1 f ( x )sin nxdx = 0 p -òp

p

(произведение двух четных и двух нечетных — четная функция; а произведение четной на нечетную — нечетная функция). Т.е. ряд Фурье для четной функции: f ( x) =

p a0 ¥ 2 + åan cos nx ; an = ò f ( x )cos nxdx p0 2 n =1

Для нечетной функции: ¥

f ( x ) = å bn sin(nx ); bn = n =1

ì -1 (-p,0) Пример: f ( x ) = í î 1 (0, p) 18

p

2 f ( x )sin(nx )dx p ò0

Функция f ( x ) нечетная. ¥

f ( x ) = å bn sin(nx ) n -1

p p 2 2 2 ½p 2 bn = ò f ( x )sin(nx )dx = ò sin(nx )dx = - cos(nx )½ = (1 - cos(np)); p0 p0 np ½0 np

или ì0, n —четное 2 ï . 1 - (-1) n = í 4 np ïî np, n — нечетное 4 æ sin x sin 3 x sin 5 x ö Таким образом f ( x ) = ç + + +.... ÷ . pè 1 3 5 ø

[

bn =

]

Пример 2: f ( x ) = x 2 — четная функция. a0 ¥ + åan cos nx 2 n =1 a0 1 p 2 p2 = ò x dx = ; 2 p0 3 f ( x) =

p

an =

p

p 2 2 sin nx½ ½ - 4 x 2 sin nxdx = x 2 cos nxdx = x 2 ò p0 p n ½0 np ò0

p p 4 x cos nx½ ½ - 4 cos kxdx = (-1) k 4 pn n ½0 pn 2 ò0 k2 ¥ p2 cos kx Таким образом x 2 = . + 4å(-1) k 3 k2 k =1

=

19

4) Ортогональность функций Определение: Функции j( x ) и f( x ), определенные на отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если: b

(2)

ò j( x)f ( x)dx = 0 a

Из формулы (2) видно, что тригонометрические функции ряда Фурье ортогональны. Более того, они еще и нормированы: b

ò [j( x)]

2

(3)

=1

a

В общем случае система функций j1 j 2 j 3 называется ортонормированной, если b ì0, i ¹ j òa ji ( x)j j ( x)dx = íî1, i = j Функцию f ( x ) можно разложить в ряд по ортогональной системе функций: ¥

f ( x ) = åan j n ( x )

(4)

n =1

Определим коэффициенты этого ряда an : умножим (4) на j n ( x ) и проинтегрируем почленно: b

ò a

b

b

f ( x )j n ( x )dx = a1 ò j1 ( x )j n ( x )dx + a2 ò j 2 ( x )j n ( x )dx +K+ a a , b

2

b

2

+ an ò [ j n ( x )] dx +K = an ò [ j n ( x )] dx a

a

b

откуда: an =

ò f ( x)j( x)dx a b

ò [j

; n = 1, 2, 3... 2

n

( x )] dx

a

b

Если система (4) ортонормирована, то an = ò f ( x )j n ( x )dx . a

5) Интеграл Фурье Пусть функция f ( x ) задана на отрезке [–l,l]. Тогда её можно разложить на этом отрезке в ряд Фурье: 20

f ( x) =

a0 ¥ + å(an cos nx + bn sin nx ) 2 n =1

где: l

an =

1 f (t )cos ntdt n = 0, 1, 2 ... l -òl

bn =

1 f (t )sin ntdt n = 0, 1, 2 ... l -òl

l

Переходя к пределу при l ® ¥ можно показать (примем без доказательства), что существует интеграл, называемый интегралом Фурье: ¥

f ( x ) = ò [a(n)cos nx + b(n)sin nx ]dn 0

где: ¥

an =

¥

1 1 ò f (t )cos ntdt bn = p -¥ò f (t )sin ntdt . p -¥

Двойным интегралом Фурье называется выражение: ¥

f ( x) =

¥

1 dn ò f (t )cos n(t - x )dt . p ò0 -¥

Задания для самостоятельной работы: Разложить функцию в ряд Маклорена: а) y = ln(1 - x ) б) y = ln(1 + x ) в) y = x exp( x ) г) y = exp(- x 2 ) д) y = 1 (1 + x ) е) y = exp( x ) - exp(- x ) ж) y = ln[(1 + x ) (1 - x )] з) y = exp( x 2 ) и) y = 1 + x к) y = 1 (1 - x 3 ) л) y = (1 + x ) n 21

2.5 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2.5.1 Основные понятия Определение 1: Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида: F ( x , y , y ¢ ,...y ( n ) ) = 0, где F — функция; x — независимая переменная; y — искомая функция; y ¢ , y ¢¢,..., y ( n ) — ее производные. Если функция зависит от нескольких переменных, то уравнение называется уравнением в частных производных. Порядок старшей производной называется порядком дифференциального уравнения. Решением дифференциального уравнения называется такая функция y = j( x ), подстановка которой в уравнение, преобразует его в тождество. Ре ше ние диф фе рен ци аль ного урав не ния за дан ное не яв но j( x , y ) = 0 называется интегралом этого уравнения. График решения дифференциального уравнения называется его интегральной кривой. 1) Дифференциальные уравнения первого порядка F ( x , y , y ¢ ) = 0. Если дифференциальное уравнение можно записать в виде: y ¢ = f ( x , y ), то оно называется дифференциальным уравнением 1-го порядка разрешенным относительно производной. Его можно записать в дифференциальной форме: P ( x , y )dx + Q( x , y )dy = 0, или обратно — разрешить относительно производной: dy P( x, y ) , то есть y ¢ = f ( x , y ). =dx Q( x , y ) 2) Геометрический смысл дифференциального уравнения Пусть y = j( x ) — решение дифференциального уравнения. Графиком данного решения является кривая, в каждой точке которой есть ка22

сательная, угловой коэффициент которой равен y ¢, то есть f(x,y). Таким образом, уравнение y ¢ = f ( x , y ) дает связь между координатами точки и угловым коэффициентом касательной в этой точке. Построив в каждой точке эти касательные, мы получим, так называемое «поле направлений». Значит, задать уравнение y ¢ = f ( x , y ) — это задать поле направлений. Решить это уравнение — значит найти кривую, касательная к которой в каждой точке совпала бы с направлением поля в этой точке. Таких кривых будет много. Пример: y ¢ = x + y . Построим изоклины поля. Изоклиной поля называется геометрическое место точек, в которых направление касательных одинаково. Пусть a — угол наклона касательной к оси ОХ: tga = y ¢. Изоклина в точках, где a = 0, то есть y¢ = tg0 = 0, имеет уравнение x + y = 0. Это прямая проходящая через начало координат. Изоклине в точках, где 3 3 , соответствует уравнение x + y = и так далее. a =p6= 3 3 Чтобы выделить определенные решения необходимо задать начальные условия — значения y0 при некотором значении x0, то есть пару чисел (x0,y0). Определение 2: Решение уравнения y ¢ = f ( x , y ) удовлетворяет начальным условиям (x0,y0), если , то есть график этого решения проходит через точку (x0,y0). Задача отыскания решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего его начальным условиям (x0,y0), называется задачей Коши. Существует ли решение задачи Коши и единственное ли это решение? На этот вопрос дает ответ теорема Коши. Теорема Коши: Если функция f(x,y) непрерывна в некоторой области D и имеет в этой области непрерывную частную производную по , то какова бы ни была точка (x0,y0) области D, существует и притом единственное решение уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку x0, и принимающие при x = x 0 значение j( x 0 ) = y 0 . Геометрически это означает, что через каждую внутреннюю точку (x0,y0) области D проходит единственная интегральная кривая уравнения . Всего решений — бесчисленное множество. 23

Определение 3: Функция , зависящая от произвольной постоянной с, называется общим решением уравнения в области D, если она является решением этого уравнения для любого значения с. Равенство j( x , y ,c) = 0 неявно задающее общее решение, называется общим интегралом уравнения . Определение 4: Если функция f(x,y) удовлетворяет условиям теоремы Коши, то через каждую точку (x,y) проходит одна кривая . Подставив значения точки (x0,y0) в это уравнение мы найдем соответствующие значения с0. Если y = f ( x 0 ,c 0 ), то интегральная кривая будет соответствовать уравнению. Эта кривая изображает частное решение уравнения y ¢ = f ( x , y ) соответствующее значению с0. 3) Основной задачей теории дифференциальных уравнений является отыскание всех решений данного уравнения. Нахождение решений дифференциальных уравнений называется интегрированием этих уравнений. Пример: y ¢ = 2 y дифференциальное уравнение, разрешающееся относительно производной. Функции f ( x , y ) = 2 y и f y¢ ( x , y ) = 1

y —

определены и непрерывны для y > 0. То есть условия теоремы Коши выполнены в верхней полуплоскости — y > 0. Проверим, что в этой области функция y = ( x - c) 2 является общим решением уравнения. Действительно: y ¢ = 2( x - c); 2 y = 2( x - c), то есть y ¢ = 2 y . Задавая любые начальные условия x0, y0 0 можно подобрать такое значение C0, что y 0 = ( x 0 - c 0 ) 2 ;c 0 = x 0 - y 0 . Из всей совокупности реше ний y = ( x - c) 2 можно выделить решения y = ( x - x 0 + y 0 ) 2 . Геометрически общее решение в верхней полуплоскости — это семейство кривых ветвей парабол y = ( x - c) 2 или y = x - c. Каждая из этих ветвей изображает частное решение, для начальных условий (x0,y0). Если мы к области D добавим ее границу y ³ 0, то к общему решению добавляется решение y = 0, которое ни при каких значениях C не получается из соотношения y = ( x - c) 2 , то есть в области y ³ 0 функция y = ( x - c) 2 не является общим решением ее надо «склеить» с решением y = 0. Общее решение: 0 ì y =í ( x C0 )2 î 24

, x < C0 , x ³ C0

2.5.2 Некоторые интегрируемые дифференциальные уравнения 1-го порядка 1) Уравнения вида y ¢ = f ( x ). Эти уравнения легко интегрируются dy = f ( x )dx ; y = ò f ( x )dx + C, то есть все кривые получаются из одной y = ò f ( x )dx сдвигом параллельно оси OY. Пример: y ¢ = 3 x 2 ; y = f ( x , y ) = 3 x 2 — непрерывна в промежутке -¥ < x < +¥. Общее решение: y = x 3 + C. Частное решение при x 0 = 1; y 0 = 3. Найдем C0: 3 = 1 +C 0 ; C 0 = 2, то есть y = x 3 + 2. 2) Уравнение с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение y ¢ = f ( x , y ) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде: (1)

y ¢ = j( x ), j(y )

Пусть j( x ) и j(y ) — непрерывны на интервале a < x < b; c < y < d и j(y ) ¹ 0. Умножая обе части (1) на dx, и деля на j(y ), получим: dy = j( x )dx j(y ) То есть переменные разделяются. dy Пусть Y(y ) = ò ; F( x ) = ò j( x )dx . j(y ) Если y есть решение уравнения (1), то dY(y ) = 2dF(2 x ); а значит Y(y ) = F( x ) + C. Таким образом dy (2) ò j(y ) = ò j( x)dx + C Формула (2) — это общий интеграл уравнения (1). Пример: y ¢ = x (y 2 +1); j( x ) = x ; j(y) = y 2 +1; y 2 +1 ¹ 0 25

Разделяем переменные: arctg y =

dy = xdx , интегрируем: y 2 +1

x2 + C — общий интеграл. 2 y = tg

x x2 + C; -p 2 < + C < p 2. 2 2

Можно задать начальные условия x0, y0. Определим C0: arctg y 0 =

x2 x2 + C 0 ; C 0 = arctg y 0 - 0 2 2

Частное решение: arctg y =

x2 x2 + arctg y 0 - 0 2 2

или æ x2 x2 ö y = tg ç + arctg y 0 - 0 ÷ ç 2 2 ÷ø è 3) Однородные уравнения Функция f(x,y) называется однородной n-го измерения, если для любого t имеет место тождество: f (tx ,ty ) = t n f ( x , y ) Пример: f ( x , y ) = x 3 + 3 x 2 y — однородная функция 3-го измерения: f (tx ,ty ) = (tx ) 3 + 3(tx ) 2 (ty ) = t 3 ( x 3 + 3 x 2 y ) = t 3 f ( x , y ). Свойства однородных функций: а) Сумма однородных функций одинакового измерения есть однородная функция того же измерения. б) Произведение однородных функций есть однородная функция, измерение которой равно сумме измерений сомножителей. в) Частное однородных функций есть однородная функция. Ее измерение равно разности измерений делимого и делителя. Определение 5: Дифференциальное уравнение называется однородным, если его правая часть f(x,y) есть однородная функция нулевого измерения. 26

Однородным будет уравнение P ( x , y )dx + Q( x , y )dy = 0, если P(x,y) и Q(x,y) — однородные функции одинакового измерения. Для однородной функции нулевого измерения, для любого t: f (tx ,ty ) = f ( x , y ). æyö В частности, при t =1 x f ( x , y ) = f (1, y x ), то есть f ( x , y ) = jç ÷и èxø æyö y ¢ = jç ÷, x ¹ 0. èxø Вводя подстановку y = ux, получим уравнение: u¢ x + u = j(u) или u¢ =

j(u) - u . x

Это уравнение с разделяющимися переменными, относительно неизвестной функции u: du

ò j(u) - u = ò

dx + C. x

Пример: yæ y ö y ¢ = ç ln +1 ÷ — однородное уравнение. xè x ø y Полагаем: = u; y = ux ; y ¢ = u¢ x + u — подставляем в уравнение. x u¢ x + u = u(ln u +1); u¢ x = u ln u — это уравнение с разделяющимися переменными: du dx — интегрируем. = u ln u x du

ò u ln u = ò

dx + C; ln ln(u) = ln x + ln C , C ¹ 0. x

lnu = cx ; u = e cx , u = y x ; y x = e cx ; y = xe cx При разделении переменных мы потеряли одно решение: u =1, то есть y = x . Его можно получить из общего решения при C = 0, то есть C — любое число. Иногда выгодно воспользоваться подстановкой x = uy , которая также приводит к разделению переменных. Если j(u) = u, то уравнение 27

y имеет вид y ¢ = , то есть является уравнением с разделяющимися переx менными. 4) Линейные уравнения Дифференциальное уравнение y ¢ = f ( x , y ) называется линейным, если оно линейно относительно функции y и y': (3)

y ¢+P ( x )y = Q( x ) 2

5

x

Примеры: y ¢+ x y = x ; y ¢+ x + e y = 0; y ¢ = y . Определение 6: а) Если Q( x ) ¹ 0, то дифференциальное уравнение называется линейным неоднородным уравнением или линейным уравнением с правой частью. б) Если Q( x ) = 0, то уравнение называется линейным однородным или уравнением без правой части. Итак, рассмотрим уравнение: y ¢+P ( x )y = Q( x ) а) однородное уравнение, соответствующее заданному неоднородному: y ¢+P ( x )y = 0

(4)

Это уравнение с разделяющимися переменными: dy = -P ( x )dx ; ln| y | = -ò P ( x )dx + ln| C | y - P ( x ) dx y = Ce ò ; C ¹ 0.

(5)

Поэтому утеряно решение y = 0. Его можно получить считая что C = 0. То есть (5) — общее решение уравнения (4) при любом C. Для нахождения решения неоднородного уравнения (3) применим метод вариации произвольной постоянной, то есть будем искать решение уравнения (3) в том же виде , что и решение однородного уравнения. Но C считаем не постоянной, а функцией от x: C = C ( x ). Эта функция должна - P ( x ) dx быть такой, чтобы при подстановке решения y = C ( x )e ò и функции - P ( x ) dx - P ( x ) dx в уравнение (3) оно обращалось в тоy ¢ = C ¢ ( x )e ò - C ( x )P ( x )e ò ждество. Подставляем и получаем для C(x) уравнение: - P ( x ) dx C ¢ ( x )e ò = Q( x ) — интегрируем и находим:

28

C ( x ) = ò Q( x )e ò

P ( x ) dx

dx + C

Таким образом: - P ( x ) dx P ( x ) dx y =e ò (ò Q( x )e ò dx + C ).

Это общее решение неоднородного уравнения (3). Не трудно видеть, что общее решение линейного неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородно- P ( x ) dx го уравнения (Ce ò ) и частного решения данного неоднородного - P ( x ) dx P ( x ) dx уравнения ( e ò (ò Q( x )e ò dx )). 2

Пример: y ¢-2 xy = ( x +1)e x — линейное неоднородное уравнение. 2

P ( x ) = -2 x ; Q( x ) = ( x +1)e x . Решаем однородное уравнение: y ¢-2 xy = 0 2 dy = 2 xdx ; ln| y | = x 2 + ln| C |; y = Ce x . y

Общее решение ищем в виде: y = C ( x )e x 2

2

2

y ¢ = C ¢ ( x )e x + C ( x )2 xe x — подставляем в неоднородное уравне2

2

ние. Сокращаем подобные члены: C ¢ ( x )e x = ( x +1)e x , откуда: C ¢ ( x ) = x +1; C ( x ) =

( x +1) 2 +C 2

é( x +1) 2 ù 2 Общее решение: y = ê +Cú×e x . ë 2 û 5) Уравнения, приводимые к линейным Если функция y = j( x ,C ) является общим решением уравнения y ¢ = f ( x , y ), то выражение V (y ) = j( x ,C ) является общим решением уравнения: V ¢ (y )y ¢ = f [ x ,V (y )]. Таким образом, решение любого уравнения V ¢ (y )y ¢+P ( x )V (y ) = Q( x ) с помощью подстановки V (y ) = z приводится к решению линейного уравнения. 29

Пример 1: Уравнение Бернулли: y ¢+P ( x )y = Q( x )y Подстановка z = y 1 - a ; z¢ = (1 - a )y - a y ¢ — подставляем в уравнение: y - a y ¢+P ( x )y 1 - a = Q( x ): 1 z¢+P ( x ) z = Q( x ) или z¢+(1 - a )P ( x ) z = (1 - a )Q( x ) 1- a — это линейное уравнение. Пример 2: Уравнение Бернулли: y ¢+ xy = x 3 y 3 (a = 3) Подстановка: y -2 = z; z¢-2 xz = -2 x 3 . Решение: z = x 2 +1 + Ce x ; потеряно решение y = 0 при делении на y. ì y -2 = x 2 +1 + Ce x Значит общее решение: í y =0 î 6) Уравнения в полных дифференциалах Рассмотрим уравнение: M ( x , y )dx + N ( x , y )dy = 0 Если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал M ( x , y )dx + N ( x , y )dy = du( x , y ), то это уравнение называется уравнением в полных дифференциалах. ¶M ( x , y ) ¶N ( x , y ) Пусть M(x,y), N(x,y) и их частные производные и ¶y ¶x непрерывны в некоторой области D. Тогда необходимым и достаточным условием существования уравнения в полных дифференциалах является: ¶M ( x , y ) ¶N ( x , y ) = ¶y ¶x Итак, если du(x,y) = 0, то u(x,y) = c является общим интегралом. Пример 1: [cos( x + y ) + 2]dx + [cos( x + y ) - 5]dy = 0. Это уравнение в полных дифференциалах, так как оно равно d[sin( x + y ) + 2 x - 5y ] = 0 Общий интеграл этого уравнения: sin( x + y ) + 2 x - 5y = 0. Пример 2: (3 x 2 +10 xy )dx + (5 x 2 -1)dy = 0 Обозначим: (3 x 2 +10 xy ) = M ; (5 x 2 -1) = N . 30

¶M ¶N ¶M ¶N = 10 x ; = 10 x ; = ¶y ¶x ¶y ¶x d( x 3 + 5 x 2 y - y ) = 0 — уравнение в полных дифференциалах. Общий интеграл: ( x 3 + 5 x 2 y - y ) = C Пример 3: x 2 ydx - (5 xy +1)dy = 0 ¶M = x2; ¶y то есть

¶N = - 5y ¶x

¶M ¶N — это уравнение не в полных дифференциалах. ¹ ¶y ¶x

2.5.3 Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной Пусть в некоторой области D задано уравнение F ( x , y , y ¢) = 0, которое неявно задает множество значений y ¢: y ¢ = f1 ( x , y ); y ¢ = f 2 ( x , y ); ... ; y ¢ = f n ( x , y ). Их можно рассматривать как поле направлений уравнения F ( x , y , y ¢) = 0. Если j1 ( x , y ,C ) = 0; j 2 ( x , y ,C ) = 0; j n ( x , y ,C ) = 0 — общие интегралы в области D, то они называются общим интегралом уравнения F ( x , y , y ¢) = 0 в области D. Пример 1: y ¢ 2 -2 xy ¢ = 0 — уравнение не разрешается относительно y'. Пусть: y ¢ = 0; тогда: y ¢ = 2 x . Общее решение: y = C; y = x 2 + C Поле направлений: y ¢ = 0; y ¢ = 2 x . Разрешать уравнения относительно y ¢ удается лишь в простейших случаях. 1) Уравнения, не содержащие явно искомой функции F ( x , y ¢) = 0. Будем рассматривать y ¢ как параметр: y ¢ = t. Пусть y = j( x ) — решение уравнения: x = f (y ¢ ), то есть x = f (t ). 31

dy , то dy = y ¢dx и y ¢ = t; dx = f ¢(t )dt , значит dy = t f ¢(t )dt , dx откуда y = ò t f ¢ (t )dt + C. Так как y ¢ =

x = f (t ) ïì Итак: í — параметрическая форма уравнения y = ïî ò t f ¢(t )dt + C x = f (y ¢). Исключив из этой системы t, мы получим явное решение y = j( x ). Пример: x = y ¢+e y ¢ , то есть x = f (y ¢). Примем y ¢ = t , тогда x = t + e t ; dx = (1 + e t )dt ; dy = y ¢dx , то есть dy = t (1 + e t )dt . Интегрируем: y = ò t (1 + e t )dt + C =

t2 + te t - e t + C. 2

ì x =t +et Таким образом: í 2 t î y = t 2 + e (t -1) + C 2) Уравнения, не содержащие явно независимой переменной F (y , y ¢) = 0. Разрешаем уравнение относительно y: y = f (y ¢). Пусть y = j( x ) — решение. Выберем параметр t = y ¢, тогда: y = f (t ); dy = f ¢(t )dt ; dx =

dy f ¢(t ) f ¢ (t ) = dt , то есть x = ò dt + C. t t t

Таким образом, решение в параметрическом виде: f ¢ (t ) ì ïx = ò dt + C í t ïî y = f (t ) Пример: y = y ¢+ ln y ¢. Обозначим: y ¢ = t , тогда: dy æ 1 1 ö æ 1ö y = t + ln t ; dy = ç 1 + ÷dt ; dx = = ç + ÷dt t èt t2 ø è tø 32

1 ì ï x = ln t - + C Таким образом: í . t ïî y = t + ln t 2.5.4 Особые решения Определение: Будем называть внутреннюю точку (x0,y0) области D обыкновенной точкой уравнения y ¢ = f ( x , y ), если существует окрестность этой точки, в которой выполняются условие теоремы Коши. Граничные точки области D, а также те внутренние точки, которые не являются обыкновенными, будем называть особыми точками данного уравнения. Будем называть решение уравнения y ¢ = f ( x , y ) особым, если в каждой его точке нарушено условие естественности, то есть если через каждую его точку проходит более одной интегральной кривой. Пример: y ¢ = 3 y 2 ; f ( x , y ) = 3 y 2 — непрерывна в плоскости XOY; 2 — непрерывна всюду, кроме точек y = 0 — особые точки. f y¢ = y ния.

В каждой особой точке (x0,0) — нарушение единственности реше-

Через эти точки проходит кубическая парабола: y = ( x + C ) 3 и прямая y = 0. Для нахождения особых решений надо ввести понятие семейства кривых. 1) Огибающая семейства кривых Пусть даны уравнения F( x , y ,C ) = 0, где C — параметр, изменяющийся в некоторых пределах. Каждому параметру C = C 0 соответствует кривая F( x , y ,C 0 ) = 0. Множество всех таких кривых называется однопараметрическим семейством кривых, заданных уравнением F( x , y ,C ) = 0. Пример 1: y - x + C = 0 — семейство прямых с угловым коэффициентом, равным 1. Пример 2: x + y = C — семейство концентрических окружностей. Определение 1: Огибающей семейства кривых F( x , y ,C ) = 0 называется кривая, которая в каждой своей точке касается каждой кривой семейства. 33

Пример 3: семейство синусоид: y = sin( x + C ). Огибающая: y = ±1. Не всякое семейство кривых имеет огибающую: y - x + C = 0, x 2 + y 2 = C — здесь нет огибающей. Определение 2: Если семейство кривых F( x , y ,C ) = 0 имеет огибающую, то она входит в состав дискриминантной кривой семейства, то есть кривой, уравнение которой получается после исключения параметра С ì F( x , y ,C ) = 0 из двух уравнений: í î F¢c ( x , y ,C ) = 0 Кроме огибающей в состав дискриминантной кривой могут входить и особые точки кривых семейства, то есть точки где F¢x ( x , y ,C ) = 0, F¢y ( x , y ,C ) = 0. Пример: Семейство полукубических парабол: (y - C ) 2 - ( x - C ) 3 = 0 Продифференцируем по C и решим систему уравнений: ì(y - C ) 2 - ( x - C ) 3 = 0 í 2 î -2(y - C ) + 3( x - C ) = 0 а) x - C = 0; y - C = 0; то есть y = x б) x - C = 4 9; y - C = 8 27; то есть y = x - 4 27 Это уравнения двух дискриминантных прямых. 2) Особые решения дифференциальных уравнений, как огибающие интегральных кривых Определение 3: Если однопараметрическое семейство интегральных кривых F( x , y ,C ) = 0 дифференциального уравнения y ¢ = f ( x , y ) имеет огибающую, то эта огибающая является особым решением данного уравнения. Действительно, в каждой своей точке огибающая касается каждой интегральной кривой. Это значит, что в каждой точке огибающей существует решение дифференциального уравнения y ¢ = f ( x , y ). И так как через эту точку, кроме самой огибающей, проходит и интегральная кривая, то в этой точке нарушается единственность решения, значит, огибающая семейства интегральных кривых изображает особое решение. 3) Составление дифференциального уравнения по однопараметричес-кому семейству кривых Обратная задача: дано однопараметрическое семейство кривых. F( x , y ,C ) = 0 34

(6)

Требуется составить дифференциальное уравнение, для которого кривые этого семейства будут интегральными кривыми. Продифференцируем уравнение (6) по x: F¢x ( x , y ,C ) + F¢y ( x , y ,C )y ¢ = 0

(7)

Исключим из (6) и (7) параметр C. Получим соотношение: F ( x , y , y ¢ ) = 0 — это уравнение называется дифференциальным уравнением данного семейства кривых. Пример: Уравнение семейства: y - C = Ce x . Дифференцируем по x: y ¢ = Ce x . ì y - C = Ce x Исключаем C: í x î y ¢ = Ce Откуда: y - C = y ¢; C = y - y ¢; y ¢ = (y - y ¢ )e x — это дифференциальное уравнение данного семейства кривых. 4) Задача об изогональных траекториях Рассмотрим однопараметрическое семейство кривых. Причем, через каждую точку области D проходит только одна кривая. Определение 4: Изогональной траекторией такого семейства кривых называется кривая, пересекающая каждую кривую семейства под одним и тем же углом w. В частности, если w = p 2, траектория называется ортогональной. Пусть M(x,y) — точка изогональной траектории. Обозначим через a и j углы наклона касательных a = j + w; tga = tg (j + w), то есть если tgj + tgw 1 . Если w = p 2, то tga = -ctgj = , так как w ¹ p 2, то tga = 1 - tgj tgw tgj ¢ +k y кр. ¢ ¢ ¢ , где k = tgw; если w = p 2, то y изог.траект. = tga; y кривой = tgj то y из.тр.. = ¢ 1 - ky кр. ¢ y из.тр. =-

1 . ¢ y кр.

Пусть y ¢ = f ( x , y ) — дифференциальное уравнение данного семейства кривых. F( x , y ,C ) = 0, так как точка M принадлежит семейству f ( x,y) + k ¢ ¢ кривых, то y кривой ; если w = p 2, то = f ( x , y ), значит y из.тр. = 1 - kf ( x , y ) 35

¢ y из.тр. =-

1 — это дифференциальное уравнение ортогональной траf ( x,y)

ектории. Пример: Дано семейство кривых: y = Ce x . Найти ортогональную траекторию. Дифференциальное уравнение семейства кривых: y ¢ = Ce x . То есть y = y ¢, отсюда составляем дифференциальное уравнение y2 1 ортогональной траектории y ¢ = - . Интегрируя получим: = -x +C — y 2 это семейство парабол. Задания для самостоятельной работы: 1) Решить дифференциальные уравнения первого порядка: а) x 2 y ¢ - y 2 = x 2 y y ¢ б) y ¢x = y n в) y ¢ = ky г) y ¢ = k(a - by )y 2) Решить дифференциальные уравнения второго порядка: а) y ¢¢ = -2 y (y ¢) 3 б) y ¢¢ = (y ¢) 2 +1 3yy ¢ в) y ¢¢y - (y ¢) 2 = (6 x - 3 x 2 )y 2 x г) y ¢¢ - 4y = 0 д) y ¢¢ - 2 + y ¢ = 0

2.6 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 2.6.1 Комплексные числа 1) Комплексными числом называется выражение z = x + iy где x и y — действительные числа, а i — мнимая единица, i = -1. Комплексные числа z1 = x 1 + y 1 i, z2 = x 2 + y 2 i называются равными, если x 1 = x 2 ; y 1 = y 2 . Число z * = x - iy называется комплексно-сопряженным числу z = x + iy . Суммой комплексных чисел z1 и z2 на зы ва ет ся чис ло z1 + z2 = ( x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 )i. Разностью комплексных чисел z1 и z2 на зы ва ет ся чис ло z1 - z2 = ( x 1 - x 2 ) + (y 1 - y 2 )i. Умножение комплексных чисел: z1 × z2 = ( x 1 x 2 - y 1 y 2 ) + ( x 1 y 2 + x 2 y 1 )i То есть i 2 = (0 +1i)(0 +1i) = -1 + 0i = -1. Де ле ни ем комплексных чи сел z1 и z2 на зы ва ет ся чис ло z3 = x 3 + y 3 i, та кое, что z3 z2 = z1 ; x 1 + iy 1 = ( x 3 + y 3 i)( x 2 + iy 2 ) т.е. x1 = x 2 x 3 - y 2 y 3 ; y1 = x 2 y 3 + x 3 y 2 . Отсюда находим x3 и y3: x3 =

Таким образом:

x1 x 2 + y1 y 2 2 2

x +y

x1 - y1 i

2 2

; y3 =

x 2 y1 - x1 y 2

x1 x 2 + y1 y 2

x 22 + y 22 x 2 y1 - x1 y 2

. x +y x 22 + y 22 Возведём в степень: z n = z × z × z×... z При этом: i 2 = -1; i 3 = i 2 × i; i 4 = i 2 × i 2 = 1 и т.д. Если мы умножаем, делим, складываем комплексные числа и получаем A + Bi, то тоже делая с сопряженными числами, получим A - Bi. x 2 - y 2i

=

2 2

2 2

+i

2) Тригонометрическая форма комплексного числа. Выберем полярную систему координат: x = rcos j; y = r sin j 37

Полярный радиус r называется модулем комплексного числа и обозначается через | z| = r; j называется аргументом комплексного числа и обозначается Argz Ес ли мы пи шем Argz, то бе рёт ся глав ное зна че ние уг ла (0 £ Argz < 2 p) Argz = j + 2 pk. Так как x = rcos j; y = r sin j, то z = x + iy = rcos j + ir sin j = r(cos j + i sin j) — это тригонометрическая форма комплексного числа; y r =| z| = x 2 + y 2 ; tgj = x p pö æ Пример: z = 2 + 2 3i = 4ç cos + i sin ÷ 3 3 è ø 3) Геометрическая интерпретация сложения комплексных чисел Если даны два комплексных числа z1 и z2 то мы можем изобразить их векторами oz1 и oz2. Их сумма есть вектор z3 = oz3 = z1 + z2 по правилу сложения векторов. 4) Действия над комплексными числами Пусть: z1 = r1 (cos j1 + i sin j1 ); z2 = r 2 (cos j 2 + i sin j 2 ). а) Умножение: z1 z2 = r1 r 2 (cos j1 + i sin j1 )(cos j 2 + i sin j 2 ) = = r1 r 2 (cos j1 cos j 2 + i sin j1 cos j 2 + i cos j1 sin j 2 - sin j1 sin j 2 ) = = r1 r 2 [(cos j1 cos j 2 - sin j1 sin j 2 ) + i(sin j1 cos j 2 + cos j 2 sin j 2 )] = = r1 r 2 [cos(j1 + j 2 ) + i sin(j1 + j 2 )] То есть при умножении комплексных чисел их модули перемножаются: | z1 z2 | = r1 r 2 =| z1 |×| z2 |, а аргументы складываются: Arg ( z1 z2 ) = Argz1 + Argz2 . Геометрический смысл умножения: вектор oz1 поворачивается против часовой стрелки на угол j 2 и его величина увеличивается в r 2 p раз, т. е. умножение на i — это поворот на угол : 2 p p pö æ × i = 1ç cos + i sin ÷. 2 2 2ø è 38

б) Деление рассматриваем как действие обратное умножению: z1 z2

=

r1 r2

[cos(j1 - j2 ) + i sin(j1 - j2 )].

То есть модули чисел делятся: z r |z | ½ ½ 1½ ½= 1 = 1 , ½z2½ r 2 | z2 | а аргументы вычитаются: Arg

z1 z2

= Argz1 - Argz2 .

Геометрический смысл деления — это поворот по часовой стрелке и уменьшение длины вектора в r 2 раз. в) Возведение в степень z n = z × zK z = é ù = r × r × rKrêcos(j + j +L + j) + i sin(j + j +L + j)ú 14 4244 3 14 4244 3ú êë n n û То есть z n = r n ( cos(nj) + i sin(nj)) или

[r(cos j + i sin j)]

n

= r n ( cos(jn) + i sin(nj)).

Если r =1, то (cos j + i sin j) n = cos(nj) + i sin(nj) — формула Муавра. Пример: (cos j + i sin j) 3 = cos(3j) + i sin(3j) cos 3 j + 3i cos 2 j sin j - 3cos j sin 2 j - i sin 3 j = cos 3j + i sin 3j. Выпишем отдельно действительные и мнимые части: cos 3j = cos 3 j - 3cos j sin 2 j sin 3j = 3cos 2 j sin j - sin 3 j г) Извлечение корня из комплексного числа Корнем n-ой степени из комплексного числа w = r (cos q + i sin q) называется комплексное число z = r(cos j + i sin j), для которого z n = w, то есть z = n w . 39

По определению: r n = r и nj = q +2 pk, откуда r = r ; j =

q +2 pk , n

следовательно: q + 2 pk q + 2 pk ö æ r ( cos q + i sin q ) = r ç cos + i sin ÷. n n ø è д) Формула Эйлера x x2 x3 + + +K . 1! 2 ! 3! Для комплексного числа положим Известно, что e x = 1 +

e yi = 1 +

yi (yi) 2 (yi) 3 + + +K 1! 2! 3!

или æ y2 y4 y6 ö æ y y 3 y5 ö e yi = çç 1 + +K ÷÷ + çç + -K ÷÷ , 2 ! 4! 6! è ø è 1! 3! 5! ø то есть e yi = cos y + i sin y .

(1)

Заменим у на (–у): e - yi = cos y - i sin y . Решим эти уравнения относительно cos y и sin y: cos y =

e yi + e - yi e yi - e - yi ; sin y = 2 2i

(2)

(1) и (2) — это формулы Эйлера. Используя формулу e yi = cos y + i sin y , мы можем написать показательную форму комплексного числа: r(cos j + i sin j) = re i . Для комплексного показателя степени: e x + iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y ), то есть e x — модуль, а у — аргумент. 40

В общем случае комплексного числа: cos z =

e z + e-z e z - e-z ; sin z = 2 2

Легко показать, что: sin 2 z + cos 2 z = 1; sin( z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 ; cos( z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 + sin z1 sin z2 ; sin z 1 e z - e - z 1 e 2 z -1 ; tgz = = × = × cos z i e z + e - z i e 2 z +1 cos z e z + e - z 1 e 2 z +1 . ctgz = =i× z = × sin z e - e - z i e 2 z -1 е) Гиперболические функции sin iz e z - e - z = i 2 z e + e-z chz = cos iz = 2 shz e z - e - z e 2 z -1 thz = = = chz e z + e - z e 2 z +1 shz =

cthz =

chz e z + e - z e 2 z +1 = = shz e z - e - z e 2 z -1

Легко показать, что: ch 2 z - sh 2 z = 1; sh( z1 ± z2 ) = shz1 chz2 ± chz1 shz2 ; ch( z1 ± z2 ) = chz1 chz2 ± shz1 shz2 ; sh2 z = 2 shz chz; ch2 z = ch 2 z + sh 2 z; 2 thz ; th2 z = 1 + th 2 z 1 + cth 2 z . cth2 z = 2cthz При вещественных показателях: shx =

e x - e -x e x + e -x e 2 x -1 e 2 x +1 ; chx = ; thx = 2 x ; cthx = 2 x . 2 2 e +1 e -1 41

Задания для самостоятельной работы: 1) Найти сумму комплексных чисел : а) z1 = 1 + i, z2 = 1 - i б) z1 = 2 + 3i, z2 = 1 - 4i в) z1 = 1 - 4i, z2 = 2 + 5i, z3 = -4 - 8i 2) Найти произведение комплексных чисел: а) z1 = 1 + i, z2 = 1 - i, z3 = 2 + 3i б) z1 = i, z2 = 2 - 3i, z3 = 1 - i в) z1 = 2 - i, z2 = -3 - 2i 3) Найти тригонометрическую форму комплексного числа : а) z = 1 + i 3 б) z = 3 + i 3 в) z = 1 + i 4) Найти произведение комплексных чисел через показательную форму: а) z1 = 3 + i 3, z2 = 1 + i 3 б) z1 = 1 + i 3, z2 = 1 + i в) z1 = 1 + i, z2 = 1 - i 2.6.2 Интеграл от комплексной функции 1) Рассмотрим путь zAB из точки А в точку В в комплексной плоскости (рис. 2.6.1). Разобьем путь zAB на отрезки. Состаn

вим сумму: S = å f ( z1 )( zi - zi -1 ). Предел этой i =1

суммы при неограниченном уменьшении отрезков называются интегралом комплексной zB

функции: I =

ò f ( z)dz.

При изменении на-

zA

Рис. 2.6.1

42

правления интегрирования знак меняется на противоположный. Если функция f ( z) — аналитическая (без особенностей), то инте-

грал не зависит от выбора пути, то есть интеграл, взятый по замкнутому контуру, равен нулю (теорема Коши): ò f ( z)dz = 0. L

2) Рассмотрим случай, когда подынтегральная функция имеет особенности (обращается в бесконечность). dz 1 Пусть I = ò ; f ( z) = ; то есть при z = 0; f ( z) = ¥. z z Будем называть такую особенность полюсом. Вычислим интеграл по контуру (L) с центром в т. O в положительном направлении (рис. 2.6.2): z = re ij ; 0 < j < 2 p; dz = re ij idj re ij idj dz = ò z ò re ij = 2 pi, то есть интеграл по замкнутому контуру оказывается не равным нулю. Изменим контур интегрирования, то Рис. 2.6.2 есть возьмем такой контур, который не содержит особую точку (рис. 2.6.3): I0 = ò

Рис. 2.6.3

dz z

Этот путь состоит из пути ABA, двух близких прямых AC и CA и окружности OC. Очевидно, что I 0 = 0, так как это интеграл по замкнутому контуру без особенностей. Интегралы по AC и CA взаимно уничтожаются. Таким образом, I 0 = 0 = I ABA - 2 pi — знак «–» берется, так как обход происходит в обратном направлении. То есть I ABA = 2pi.

Таким образом, интеграл можно брать по окружности любого радиуса.

3) Полюс может быть любого порядка: второго:

1 1 ; третьего: 3 ... 2 z z 43

Если функция f(z) имеет в некоторой точке z = a полюс порядка n, то вокруг этой точки она разлагается в ряд Лорана: f ( z) = C - n ( z - a) - n + C - n + 1 +K + C -1 ( z - a) -1 + C 0 ( z - a)+K Интеграл, взятый от этого ряда, не равен нулю, только для слагаемого C -1 ( z - a) -1 ; интегралы от остальных слагаемых равны нулю. Таким образом: C -1

ò f ( z)dz = ò z - a dz = 2piC

-1

.

Коэффициент C -1 называют вычетом функции f(z) в точке a. Вычет обозначается Res(a). Таким образом:

ò f ( z)dz = 2piRes(a). 4) Пусть функция f(z) является аналитической всюду на контуре (L) и внутри, за исключением нескольких точек, например, a1, a2, a3 (2.6.4). Разобьем область на три вспомогательные, так, чтобы в каждой была одна особая точка. Тогда:

ò f ( z)dz = ò f ( z)dz + ò f ( z)dz + ò f ( z)dz.

(L)

( L1 )

( L2 )

( L3 )

Так как внутренние интегралы взаимно уничтожаются, значит:

ò 2 piRes(a ) + 2 piRes(a ) + 2 piRes(a ) = 2 pi[Res(a ) + Res(a ) + Res(a )]. 1

2

3

1

2

3

(L)

5) Вычисление вычетов Пусть есть полюс первого порядка. Такой полюс обычно получается, если подынтегральная функция f(z) представима в виде: f ( z) =

g( z) , h( z)

причем g(z) не имеет особенностей, а h(z) имеет особенность в точке z = a. 44

Разложим числитель и знаменатель в ряд Тейлора: g ¢¢a ( z - a) 2 +K 2 . h¢¢ a 2 h¢(a)( z - a) + ( z - a) +K 2

g(a) + g ¢(a)( z - a) + f ( z) =

g(a) . h¢(a)( z - a) Поэтому, вычет, равный коэффициенту при ( z - a) -1 , равен: Вблизи точки z = a правую часть можно заменить на

Res(a) =

g(a) . h¢(a)

z +1 dz. ( z 1)sin z L L — окружность радиуса r с центром в z = 0. Особенности при z =1 и z = kp. Внутрь контура (L) попадают только две особенности: z = 0 и z =1 . Пример1: Вычислим интеграл I = ò

I = 2 pi[Res(0) + Res(1)] g( z) = z +1; h( z) = ( z -1)sin z; h¢( z) = sin z + ( z -1)cos z. Res(0) =

g(0) 1 g(1) 2 ; = = -1; Res(1) = = h¢(0) -1 h¢(1) sin1 2 ù é I = 2 pi ê-1 + = 8,65i. sin1úû ë

2.6.3 Операционное исчисление 1) Любую функцию можно разложить в ряд Фурье: f ( x) =

a0 ¥ + å(an cos nx + bn sin nx ); 2 n =1 l

an =

1 f (t )cos ntdt ; l -òl 45

l

bn =

1 f (t )sin ntdt . l -òl

Перейдя к пределу l ® ¥, получим: ¥

f ( x ) = ò[a(n)cos nx + b(n)sin nx ]dx , 0

где ¥

a(n) =

¥

1 1 f (t )cos ntdt , b(n) = ò f (t )sin ntdt . ò p -¥ n -¥

Подставляя a(n) и b(n) в ряд Фурье получим выражение: ¥

f ( x) =

¥

1 ò dn -¥ò f (t )cos n( x - t )dt , 2p -¥

которое называется двойным интегралом Фурье. Так как sinx является нечетной функцией, то ¥

¥

1 ò dn -¥ò f (t )sin n( x - t )dt = 0, 2 p -¥ поэтому: ¥

f ( x) =

¥

1 ò dn -¥ò f (t )cos n( x - t ) + i sin n( x - t )dt . 2p -¥

Используя формулу Эйлера, получим: ¥

f ( x) =

¥

¥

¥

1 1 dn ò e + in ( x - t ) f (t )dt = ò e + inx dn ò e - int f (t )dt . ò 2 p -¥ -¥ 2 p -¥ -¥

2) В операционном исчислении рассматривается класс функций, которые удовлетворяют следующим условиям: а) при x < 0, f ( x ) = 0, то есть f ( x ) ×q( x ), б) при x > 0 рост функции не должен превосходить порядка роста показательной функции: | f ( x )| £ Me x . Поэтому введем вспомогательную функцию j( x ) = e - x f ( x ). 46

Таким образом, будем рассматривать интеграл Фурье в виде: ¥

f ( x) =

¥

1 ( + in ) x - ( + in ) t dt f (t )dt . ò e dn ò0 e 2 p -¥

Положим d + in = s, тогда пределы изменения n будут равны: от (d - i¥) до (d + i¥); ds=idn d+ i ¥ ¥ 1 Окончательно: f ( x ) = e sx ds ò e - st dt f (t )dt . ò 2 pi d- i¥ 0 Теперь интеграл по комплексному аргументу s берется вдоль прямой s = d + in Выделим в интеграле Фурье два интеграла: ¥

f ( s) = ò e - st f (t )dt ;

(1)

0

d+ i ¥

f ( x) =

1 e sx f ( s)ds. 2pi d-òi¥

(2)

Формула (1) осуществляет так называемое интегральное преобразование Лапласа функции f(x); сопоставляя оригиналу функцию f(s), называемую изображением данного оригинала. В операционном исчислении для преобразования Лапласа используется символ: f ( s) Ì f ( x ). Формула (2) позволяет восстановить оригинал по известному изображению и называется формулой обращения или интегралом РиманаМеллина. Формулы (1) и (2) устанавливает прямую и обратную связь между двумя функциями: функцией вещественного переменного f(x) (оригинал) и функцией комплексного переменного f ( s) (изображение). 3) Свойства преобразования Лапласа а) если c = const, то cf ( x ) Ì c f ( s), при уменьшении на постоянный множитель оригинала, изображение также умножается на этот множитель. 47

б) сумме оригиналов соответствует сумма их изображений: f1 ( x ) + f 2 ( x ) Ì f1 ( s) + f 2 ( s). в) Любой линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация их изображений:

åc

i

i

f i ( x ) Ì åc i f i ( s). i

4) Дифференцирование оригинала Пусть f(x) — оригинал, и f ¢( x ) — тоже оригинал. Пусть f ( x ) Ì f ( s) и f ¢( x ) Ì f1 ( x ) — изображение. Найдем связь между f ( s) и f1 ( s): По определению: ¥ - sx f1 ( s) = ò e{ f ¢( x )dx = 12 4 4 3 u 0

dn

выполним интегрирование: = f ( x )e - sx

|

¥ 0

¥

u = e - sx ; dn = f ¢( x )dx du = - se - sx dx ; n = f ( x ) ¥

+ s ò e - sx f ( x )dx = - f (0) + s ò e - sx f ( x )dx = - f (0) + s × f ( s). 0

0

Таким образом: f1 ( s) Ì f '( x ) = s × f ( s) - f (0). Для n-ой производной: f ( n ) ( x ) Ì s n f ( s) - s n -1 f (0) + s n - 2 f ¢(0)+K+ f ( n -1 ) (0). 5) Интегрирование оригинала x

Пусть f(x) — оригинал, и j( x ) = ò f (t)dt — тоже оригинал. 0

Найдем изображение функции j( x ). Очевидно, что f ( x ) = j¢( x ), поэтому, полагая j( x ) Ì j( s), находим: 1 f ( s) Ì s j( s) — j(0) = s × j( s) — так как j(0) = 0. Отсюда j( s) = f ( s). s x 1 Таким образом: ò f (t)dt Ì f ( s). s 0 48

Перевод вещественной функции в комплексное пространство позволяет упростить ряд операций, которые в действительном пространстве наталкиваются на серьезные трудности. Для большого количества функций такой переход может быть осуществлен с помощью специальных справочников по операционному исчислению. Примером применения операционного исчисления может служить решение дифференциальных уравнений. 6) Решение линейных дифференциальных уравнений Рассмотрим уравнение: A0 f ( n ) ( x ) + A1 f ( n -1 ) ( x )+K+ An -1 f ¢ ( x ) + An f ( x ) = g( x ) Применим преобразование Лапласа к функциям f(x) и g(x): F ( s) = f ( x ); F( s) = g( x ). Применим формулу дифференцирования оригинала: f ( n ) ( x ) = s n F ( s) - ( s n -1 f (0) + s n - 2 f ¢ (0)+K+ f ( n -1 ) (0)). Тогда исходное дифференциальное уравнение преобразуется в алгебраическое уравнение: F ( s) × D( s) = F( s) + Y( s), где D( s) = A0 s n + A1 s n -1 +K+ An , Y( s) = f (0)[ A0 s n -1 + A1 s n - 2 +K+ An -1 ] +

.

+ f ¢ (0)[ A0 s n - 2 + A1 s n - 3 +K+ An ]+K+ f ( n -1 ) (0) A0 F( s) + Y( s) . D( s ) Чтобы найти само решение f(x), остаётся перейти от изображения к оригиналу по известным формулам или по табличным данным. Таким образом: F ( s) =

Пример 1: Уравнение

d2y dy + 5 + 6y = 12 с начальными значения2 dt dt

ми y(0) = 2; y ¢(0) = 0. 49

Находим: D( s) = s 2 + 5 s + 6; 12 F( s) = ; s Y( s) = 2( s + 5). 2 s 2 +10 s +12 2 = . s( s 2 + 5 s + 6) s Следовательно, оригинал y = 2. Таким образом: F ( s) =

dx + 3 xe -2 t , начальные условия x(0)=0. dt 1 Находим: D( s) = p +3; F( s) = ; Y( s) = 0. s +2 1 1 1 Следовательно: F ( s) = . = ( s + 2)( s + 3) s + 2 s + 3 Таким образом x (t ) = e -2 t - e -3 t . Пример 2:

7) Интеграл Дюамеля (передаточная функция) Если у нас все начальные условия уравнения (1) нулевые: f (0) = f ¢(0) = f ¢¢(0) =K = f ( n -1 ) (0) = 0, то изображение записывается в виде: F ( s) = Функция P ( s) =

1

F( s) . D( s )

называется передаточной функцией. D( s ) Понятие передаточной функции широко используется в теории автоматического регулирования. Функция g(x) называется входным сигналом, а функция f(x) — выходным сигналом. Таким образом, передаточная функция определяется, как отношение изображений выходного и входного сигналов: P ( s) =

50

F ( s) F( s)

Пусть передаточная функция P ( x ) имеет оригинал P(x): P ( s) = P ( x ). Тогда по теореме свёртывания оригиналов: x

ò f (t) f 1

2

( x - t)dt = f1 ( s) × f 2 ( s)

0

получаем: x

f ( x ) = ò P (t) g( x - t)dt 0

Данный интеграл называется интегралом Дюамеля. Его можно представить в другой форме: Найдём решение дифференциального уравнения (1), когда в правой части стоит q-функция, т.е. «единичный» входной сигнал: g( x ) = q( x ). x

x

f1 ( x ) = ò P (t)q( x - t)dt = ò P (t)dt. 0

0

Продифференцируем это равенство получим: P ( x ) = f1¢( x ). Таким образом, оригинал передаточной функции равен производной от f1(x) , отвечающей единому входному сигналу.

x

Таким образом: f ( x ) = ò f1¢(t) g( x - t)dt =[проведём интегрирование 0

x

x

x

по частям] = f1 (t) g ( x - t)| 0 + ò f1 (t) g ¢( x - t)dt = f1 ( x ) g(0) + ò g ¢(t) f1 ( x - t)dt. 0

0

Это общепринятая форма записи интеграла Дюамеля. 51

Задания для самостоятельной работы: Вычислить интегралы от комплексной функции: sin z а) ò dz z( z -1) exp z б) ò 2 dz z + a2 z3 в) ò dz 1+ z 2 cos z г) ò 2 dz z - z -2 z д) ò dz sin z z2 е) ò 2 dz z + iz +1

ЛИТЕРАТУРА 1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высш. шк., 1999. 2. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике. Ч. 2. М.: «Финансы и статистика», 2003. 3. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М.: Физматгиз, 1960. 4. Берс Л. Математический анализ. М.: Высш. шк. 1994. 5. Щипачев В.С. Основы высшей математики. М.: Высш.шк., 1994. 6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука, 1998.

Эдуард Федорович Казанцев МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (Тетрадь 3)

Учебно-методическое пособие Печатается по решению Редакционно-издательского совета Международного университета в Москве Компьютерная верстка и дизайн: Д.А.Глазков Печатается в авторской редакции Подписано в печать 01.03.05 Гарнитура Times New Roman Формат 60´90 1/16 Бумага офсетная. Печать ризографическая Усл. печ. л. 3,0. Тираж 150 экз. Изд. № 14 Издательский дом Международного университета в Москве Москва, Ленинградский проспект, 17 Международный университет в Москве Тел. (095) 250-45-42