回路理論の計算法 (電気計算法シリーズ)

電気 計算 法 シリーズ

本 書 の 全 部 ま た は一 部 を無 断 で 複 写複 製(コ ピー)す る こ とは,著 作 権 法上 で の例 外 を除 き,禁 じられ て い ます 。 小 局 は,著 者 か ら複 写 に係 る 権 利 の 管理 につ き委 託 を受 けて い ます の で,本 書 か らの複 写 を希 望 さ れ る場 合 は,必 ず 小 局(03-5280-3422)宛 ご連絡 くだ さい。

序   電 気 ・電 子 の 学 習 を進 め る 上 で,計

文 算 力 の 養 成 は 必 要 不 可 欠 な もの で あ る.多

くの例 題 や 問 題 を解 くこ とに よ り,計 算 力 を上 げ る こ とが 電 気 ・電 子 に 関す る 知 識 習得 の 早 道 で あ る と考 え る.   本 電 気 計 算 法 シ リー ズ は,初 め て 電 気 系 科 目を学 ぶ 読 者 を対 象 と し,特 別 な 知 識 が な くと も読 み 進 め られ る よ う に,平 易 か つ て い ね い な解 説 に努 め,企 画 ・編 集 した もの で あ る.「 電 気 理 論 」,「電 気 回 路 」,「デ ィ ジ タル 回 路 」 の 各 分 野 よ り 基 本 重 要 事 項 を厳 選 し,例 題 ・問 題 を解 きな が ら理 解 を深 め られ る よ う に構 成 し た.具 体 的 に は,各 項 目を4ペ ー ジ単 位 と し,解 説(1ペ 練 習 問 題(1ペ

ー ジ)の 構 成 と して,各

題 を用 意 した.ま

た,本

ー ジ),例 題(2ペ

ー ジ),

章 末 に は 理 解 度 を確 認 す る た め の 章 末 問

シ リー ズ の ね らい よ り,略 解 は用 い ず に解 を 導 く手 順 を

明 らか に す る詳 しい解 説 を全 問 に付 した の で,計 算 手 順 の 理解 にお い て も役 立 つ で あ ろ う.   著 者 陣 は,教 育 現 場 や 企 業 に お け る実 践 指 導 に 尽 力 を注 い で き た実 績 と ノ ウハ ウ を有 す る ベ テ ラ ン達 で あ り,「 か ゆ い と こ ろ に手 が届 く本 」 を 目指 して 執 筆 し て 頂 い た.電 気,電

子,情

報 系 の 学 生 の み な らず,電 気 の入 門 書 と して,他 学 科

の 学 生,電 験 な どの 資 格 取 得 を 目指 す 方 な どに 幅 広 く活 用 され る こ と を待 望 す る しだ い で あ る.   最 後 に,本 企 画 を実 現 す る に あ た り,度 重 な る打 ち 合 わせ と多 大 な る ご 尽 力 を 頂 い た 東 京 電機 大 学 出版 局 植 村八 潮 氏,石 沢 岳 彦 氏 に深 く感 謝 申 し上 げ る. 2003年1月 浅 川毅

は じめ に   電 気 ・電 子 系 の 学 習 を進 め る上 で 電 気 回 路 の 計 算 は,そ の 基礎 ・基 本 とな る も の です.本

書 は,電 気 回路 につ い て,こ れ か ら学 ぼ う とす る 学 生,初 級 技 術 者 の

テ キ ス トと して,ま

た,教 科 書 な ど で学 習 した事 項 を さ らに確 実 な もの とす るサ

ブ テ キ ス トと して,よ

り効 果 的 に実 力 が 付 け られ る よ う に執 筆 ・編 集 した もの で

す.   電 気 回 路 の学 習 は,理 論 式 と具 体 的 な 現 象 と の 関 係,理 論 式 の 表 す 意 味,理

論

式 の取 り扱 い,理 論 式 を用 い た 計 算 の仕 方 な ど,そ れ ぞ れ の 電気 回路 に応 じた 解 法 を理 解 す る必 要 が あ り ます.   本 書 の 構 成 は,「 第1章

直 流 回路 の 基 礎 」,「第2章

交 流 回路 の 基 礎 」,「第4章

交 流 回路 の計 算 」,「第5章 記 号 法 に よ る交 流 回路 の 計

算 」,「第6章

直 流 回 路 の計 算 」,「第3章

三 相 交 流 と非 正 弦 波 交 流 」 の6つ の 章 か ら な り ます.電 気 回路 を学

ぶ 上 で の 基 礎 知 識 か ら直 流 回 路,交 流 回路 の 解 法 まで,広 範 囲 に わ た り詳 し く取 り上 げ て い ます.   章 を構 成 す る各 節 は4ペ ー ジ で ま とめ て あ りま す.各 節 の 初 め の ペ ー ジ で,そ の 節 で 学 習 す る 内 容 を解 説 し,2∼3ペ

ー ジ で は 多 くの例 題 を設 け て理 論 式 の 取

り扱 い と計 算 法 な ど を理 解 で き る よ う に し ま した.最 後 のペ ー ジで は練 習 問 題 を 設 け て 実 力 が は か れ る よ う に し ま した.ま

た,各 章 の 最 後 に は章 末 問 題 も設 け,

さ ら に学 習 の 習 得 が はか れ る よ う に配 慮 し ま し た.   そ れ ぞ れ の 節 の独 立 性 に 配慮 して 構 成 し ま し た の で,必 要 に応 じた 項 目か ら読 み 進 め る こ と もで き ます.本 書 を 活用 して 繰 り返 した く さん の 問題 を解 くこ とで, 電 気 回路 の 基 礎 ・基 本 をマ ス ター され る こ と を期 待 し ます.   終 わ りに,本 書 を 出版 す る に あ た り多 大 な ご尽 力 をい た だ い た 監 修 者 浅 川毅 氏 お よ び東 京 電 機 大 学 出 版 局 の植 村 八 潮 氏,石

沢 岳 彦 氏 に 深 く感 謝 申 し上 げ ます.

2003年9月 著 者 しる す

目

次

第1章  直流回路の基礎

 1

1.1  記 号 と 単 位

 2

1.2  オ ー ム の 法 則

 6

1.3  抵 抗 の接 続

  10

1.4  分 流 器 ・倍 率 器

  14

1.5  導 体 の抵 抗

  18

1.6  電 池 の接 続

  22

章 末問題

第2章  直流回路の計算

  26

  27

2.1  キ ル ヒ ホ ッ フ の 法 則

  28

2.2  重 ね合 せ の 定 理

  32

2.3  ブ リ ッ ジ 回 路

  36

2.4  電 力 と電 力 量

  40

章末 問題

第3章  交流回路の基礎

  44

  45

3.1  正 弦 波交 流 の 表 示

  46

3.2  交 流 とベ ク トル

  50

3.3  リ ア ク タ ン ス と コ ン デ ンサ の 接 続

  54

3.4  イ ン ピ ー ダ ン ス

  58

章末 問題

  62

第4章  交流回路の計算 4.1  RLC直

列 回路

  64

4.2  RLC並

列 回路

  68

4.3  共 振 回路

  72

4.4  交 流 電 力

  76

章末 問題

  80

第5章  記号法による交流回路の計算 5.1  極 座 標 表 示 と複 素 数 表 示 5.2

 記号法

  81   82   86

5.3  交 流 ブ リ ッ ジ

  90

5.4  キ ル フ ホ ッ フ の 法 則 の 適 用

  94

5.5  重 ね 合 せ の定 理 の 適 用

  98

章末問題

第6章  三相交流 と非 正弦波 交流 

 102

103

6.1  三 相 交 流 の 基 礎

 104

6.2 Υ

 108

結 線 と △(デ ル タ)結 線

6.3  非 正 弦 波 交 流

 112

6.4  過 渡現 象

 116

章 末問題

 120

練習問題 ・章末問題の解答 索引 

  63

 121

152

キー ワー ド

記 号,単 位,電

流,電 圧,抵

抗,指

数,オ

ームの法

則,抵 抗 の 接 続,内 部 抵 抗,分 流 器,倍 率 器,抵 率,導 電 率,温 度 係数， 電 池 の 接 続， 電 池 の容 量

抗

(a) 基本的 な電気 回路 用図記号   電 気 回路 は,さ

ま ざ まな 素 子 や 部 品 に よ り構 成 さ れ,こ れ らを 表 す 図記 号 を組

み 合 わせ て 回 路 が 表 さ れ る.図1・1に

基 本 的 な 電 気 回路 用 図 記 号 を 示 す.

図1・1 (b) 電 流 ・電 圧 ・抵 抗

 電気 回 路 内 の 電 流,電 圧,抵

抗 に 関す る役 割 と表 記 法 を表1・1に 示 す. 表1・1

(c) 指 数  電 気 回路 で は,非 常 に 小 さ な値 か ら大 きな 値 ま で を扱 う.表1・2に さ れ る指 数 を示 す. 表1・2

単 位 に付 加

(d) 電 流 の 向 き   電 流 は,電

源(電

池)の+側

か ら流 れ 出 て,

回 路 内 を流 れ 電 池 の− 側 に流 れ 込 む(電 圧 の 高 い 方 か ら低 い 方 へ と流 れ る).

図1・2

例題

1.1

 図 は,電 気 回 路 に お け る 電 圧,電

流,抵

抗 の そ れ ぞ れ を 水 圧,

水 流,抵 抗(配 管 に よ る抵 抗)に 例 えた もの で あ る.次 の文 の(①)∼(④) には 「 増 加 」 ま た は 「減 少 」 の どち らが あ て は ま るか.

(a)

 (b)

  図(b)に お い て,水 は,(①)す

圧 を上 げ る と水 流(単

る.同 様 に,図(a)に

る 電 流Iは(②)す

お い て,電

る.ま た,図(b)に

抗 を下 げ る と,水 流 は(③)す

位 時 間 当 た りに 流 れ る水 の 量) 圧Vを 上 げ る と,回 路 を流 れ

お い て,配 管 を太 く し,配 管 内 の抵

る.同 様 に,図(a)に

下 げ る と,回 路 を 流 れ る電 流Iは(④)す

お い て,抵 抗Rの 値 を

る. 答

例題

1.2

せ.ま

 次 の電気 配線 図 を図記号 を用い て表 た,図

矢 印 で 示 せ.た

中 のA点

を 流 れ る 電 流Iの 向 き を

だ し,ス イ ッ チ はONの

状態 と

す る. 電 流 は 電 圧 の 高 い 方 か ら低 い 方 へ 流 れ る.

答

① ∼ ④:増 加

題 例 1.3

 次 の 問 に 答 え よ. (1) 7.5kVは

何 〔V〕か.

(2) 0.05Vは

何 〔mV〕 か.

(3) 300mAは

何 〔A〕か.

(4) 0.45mAは

何 〔μA〕か.

(5) 200000Ω

は 何 〔MΩ 〕か.

(6) 0.33MΩ

は 何 〔kΩ〕か.

解   基 本 の 単 位(〔A〕,〔V〕,〔

Ω〕)に 直 し て 考 え る.

(1) 7.5kV=7.5×103V=7500V (2) 0.05V=50×10-3V=50mV (3) 300mA=300×10-3A=300÷1000A=0.3A (4) 0.45mA=0.45×10-3A=450×10-6A=450μA (5)  200000Ω=0.2×106Ω=0.2MΩ

(6) 0.33MΩ=0.33×106Ω=330×103Ω=330kΩ

別解  変換前後 の単位 の関係 を考 える.   例 え ば,(3)で

は,単

位 を103倍

に(mAをAに)す

る か わ り に,数

に す る.し

た が っ て,300×10-3=0.3Aと

な る.(6)で

(MΩ

に)す

に す る.し

330kΩ

をkΩ

 答 

る か わ り に,数

値 を103倍

は,単

値 を10-3倍

位 を10-3倍

た が っ て,0.33×103=

と な る. (1)7500V 

(2)50mV 

(3)0.3A 

(4)450μA 

(5)0.2MΩ 

(6)330kΩ

に

題

1.1  次 の 文 の(①)∼(⑥)に

習

練

適 当 な 語 句 ま た は 記 号 を記 入 せ よ.

 電 流 は 単 位(①)で

表 され,電

 電圧 は単 位(④)で

表 され,電 気 的圧力 を意 味す る.

 抵 抗Rは

単 位(⑤)で

圧 の(②)い

表 さ れ,電

方 か ら(③)い

流 の 流 れ を 妨 げ る 働 き を す る.し

が 流れ る経 路 にあ る抵抗 の値 が大 きけれ ば,電 流 は流 れ(⑥)な

1.2  次 の 文 の(①),(②)に

な る.ま

た が っ て,電

流

る.

適 当 な 語 句 を記 入 せ よ.

 単 位 を 変 換 す る と き に,250mA→0.25Aの (①)く

方 へ と流 れ る.

た,0.5kΩ

よ う に 単 位 部 が 大 き くな れ ば,数

値部は

→500Ω の よ う に 単 位 部 が 小 さ く な れ ば,数 値 部 は(②)

く な る.

1.3  次 に 示 す 式 の(①)∼(⑫)に

  0.04V=(②)〔mV〕

856mV=(①)〔V〕 1402V=(③)〔kV〕

  432mA=(④)〔A〕  125μA=(⑥)〔mA〕

1.25A=(⑤)〔mA〕 0.03mA=(⑦)〔

適 当 な 数 字 を入 れ よ.

μA〕

1256kΩ=(⑨)〔MΩ

〕

33000Ω=(⑪)〔MΩ

〕

 1263Ω=(⑧)〔kΩ

〕

 1.2MΩ=(⑩)〔kΩ

〕

  0.01kΩ=(⑫)〔Ω

1.4  図 の 電 気 結 線 図 を 図 記 号 を 用 い て 表 せ.ま そ れI1,I2,I3と

し,流

れ る方 向 を 矢 印 で 示 せ.

〕

た,点A1,A2,A3を

流 れ る電流 をそ れ

問

(a)電 圧 計 の 接 続  電 圧 計 は,電 圧 を測 る 箇 所 に並 列 に接 続 す る.

(a)結 線 図

(b)回 路 図 図1・3

(b)電

流計の接続

 電 流 計 は,電 流 を測 る 箇 所 に直 列 に接 続 す る.

(a)結 線 図

(b)回 路 図 図1・4

(c)オ

ームの法則

  抵 抗 を流 れ る 電 流I〔A〕 は,抵 抗 の 両 端 の 電 圧V〔V〕 に 比 例 し,抵 抗 値R〔 Ω〕に 反 比 例 す る． こ れ を オ ー ム の 法 則 と い い, 次 式 で表 され る. (電圧 に注 目) (電 流 に注 目) (抵抗 に注 目)

図1・5

例題

1.4

 次 の 表 は,図

電 圧,電

流,抵

に示 す 回 路 に お け る

抗 の 関 係 を示 した もの で あ る.

オ ー ム の法 則 を用 い て,空 欄 ① ∼⑥ に適 切 な値 回路 図

を記 入 せ よ.

解  電源 電圧 は抵抗Rに 加 わ る電圧V,回 路 を流 れる電流Iは 抵抗Rを 流れ る電 流 な の で,抵 抗Rに 対 し て オ ー ム の 法 則 を適 用 し,解

く.

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 答  ①2Ω  ②50Ω  ③500V 

例題

④200V 

1.5

 図の 回路 を流 れる電流Iとa‐b間

Vを 測 定 す る場 合,電 て,そ 流I,電

の電圧

流 計,電 圧 計 の 接 続 方 法 に つ い

れ ぞ れ を 回 路 図 に 示 せ.ま

た,そ

の ときの電

圧Vの 大 き さ を 求 め よ.た だ し電 源E=20V,

抵 抗R=4Ω

とす る.

⑤25Ω  ⑥1.2kΩ

ー 法 解 解

1. 2 オ

ムの 則

 測 定 部 に 対 し て,電

流 計 は 直 列 に,

電 圧 計 は 並 列 に接 続 す る.  抵 抗Rに

対 して オ ー ム の 法 則 を適 用 し,

I =V/R=20/4=5Aを

求 め る.

(a) 電流 計 を接 続

(b) 電圧 計 を接 続

答  V=20V,I=5A

例題

1.6

 図 の 回 路 で,電 源 電 圧Eを0∼20Vに 電 流Iの 関 係 を表 お よび グ ラ フ に示 せ.た

変 化 させ た と き の 電 圧Eと

だ し,抵 抗Rの 値 は200Ω とす る.

(a)

(c)

(b)

 オ ー ム の 法 則I=V/R=V/200〔A〕 め,表

に電 圧 値0∼20Vを

代 入 して 電 流 値 を 求

と グ ラ フ を完 成 させ る.

答

(a)

(b)

練 習問 題 1.5  10Ω の 抵 抗 線 に 電 圧2Vを

1.6  あ る 電 球 に100Vの

加 え た と き に 流 れ る電 流 は い く らか.

電 圧 を 加 え た と こ ろ0.4Aの

電 流 が 流 れ た.そ

の ときの電 球 の

抵 抗 は何 オ ー ム か.

1.7  20Ω の 抵 抗 に3Aの

1.8  図(a)に

電 流 を 流 す に は 何 〔V〕の 電 圧 を加 え た ら よ い か.

示 す 測 定 回 路 の 電 圧Eを0∼10Vに

電 圧 と電 流 の 関 係 を 調 べ,同

図(b)の

変 化 させ,抵

グ ラ フ を求 め た.次

抗R1,R2,R3に

の(①)∼(④)の

おける 空欄 に適

当 な 語 句 また は 数 値 を記 入 せ よ.   抵 抗R1,R2,R3の

値 は そ れ ぞ れ(①)〔

Ω〕,(②)〔

Ω〕,(③)〔

値 が 大 き い ほ ど電 圧 の 変 化 量 に 対 す る 電 流 の 変 化 量 が(④)こ

Ω〕 で あ り,抵 抗

とが こ とグ ラフ よ りわ

か る.

(a)

(b)

1.9  オ ー ムの法則 で は電流 と抵抗 は反比 例 の 関係 にあ る.こ の こ とを確 か め るた め, 図(a)の

回 路 で 電 圧Eを10V

に 固 定 し,抵

抗 を1,2,5,

10Ω と変 化 させ た と き の 電 流 Iを測 定 し た.予 果 を 図(b)の

想 され る結

グ ラ フ に 示 せ.

(a)

(b)

  電 気 回 路 に お い て 複 数 の 抵 抗 成 分 を 合 成 して 扱 う こ と が 多 い.抵 抗 の合 成 は, 表1・3に 示 す よ う に直 列 接 続 と並 列 接 続 に 分 け て計 算 す る. 表1・3

解

例題

1.7   図 の 回 路 で,E=10V,R1=

10Ω,R2=6Ω,R3=4Ω

の と き,次

の問 に

答 え よ. (1) a‐b間

の 合 成 抵 抗 を 求 め よ.

(2) 回 路 を流 れ る 電 流Iを 求 め よ. (3) R1,R2,R3に

か か る 電 圧V1,V2,V3を

 (1)R1,R2,R3の

そ れ ぞ れ 求 め よ.

直 列 合 成 抵 抗R=R1+R2+R3を

(2) 合 成 抵 抗Rを,電

求 め る.

流 に 注 目 した オ ー ム の 法則I=V/Rに

(3) 各 抵 抗 につ い て オ ー ム の 法 則V=IRを

適 用 す る.

適 用 す る(抵 抗 を流 れ る 電 流 は い ず

れ もIで あ る).

別解  各 抵 抗 にか か る電 圧 は 以 下 の 式 で 表 さ れ る(式 のVは 電 源Eと 等 し い).

答

 (1)

 (2)

 (3)

例題

1.8  図 の 回 路 で,E=6V,R1=2Ω.

R2=2Ω,R3=1Ω (1)a-b間 (2)回

の と き,次

の 間 に 答 え よ.

の 抵 抗 を 求 め よ.

路 を 流 れ る 電 流Iを 求 め よ.

(3)R1，R2,R3を

流 れ る 電 流I1,I2,I3を

そ れ

ぞ れ 求 め よ.

解  1/

(1)R1,R2,R3の

R3)で

並 列 合 成 抵 抗 と な る.合

成 抵 抗 はR=1/(1/R1+1/R2＋

求 ま る.

(分子分 母 にR1R2R3を か け る)

別解 

R1とR2の

合 成 抵 抗 を 和 分 の 積R1R2/(R1+R2)で

求 め た 後,さ

の 合 成 抵 抗 を 和 分 の積 で 求 め る.   (2)R1,R2,R3の

合 成 抵 抗Rを オ ー ム の 法則I=E/Rに

 (3)そ れ ぞ れ の 抵 抗 につ い て オ ー ム の 法 則I=E/Rを

答 

(1)0.5Ω 

(2)12A 

適 用 す る.

適 用 す る.

(3)I1=3A,I2=3A, I3=6A

ら にR3と

練習問題 1.10 

図 の よ う にR=6Ω

の 抵 抗 を結 ぶ と,合 成 抵 抗 は そ れ ぞ れ 何 〔 Ω〕に な る か.

(a)

(b)

(c)

(d)

1.11 

24Ω と36Ω の 抵 抗 を 直 列 お よ び 並 列 に接 続 す る と合 成 抵 抗 は そ れ ぞ れ何 〔 Ω〕か.

1.12 

25Ω の 抵 抗 に200Vの

電 源 を用 い て2Aの

電 流 を流 す に は何 〔 Ω〕の 抵 抗 を直 列 に

接 続 し た ら よ い か.

1.13 

図 の 回 路 に1Aの

電 流 を流 し た と き,次 の問 に答 え よ.

(1) 各 抵 抗 を流 れ る 電 流I1,I2を (2) a‐c間

の 合 成 抵 抗 を求 め よ.

(3) 電 圧Vab,Vbc,Vacを

1.14 

求 め よ.

求 め よ.

図 の 回 路 に つ い て 次 の 問 に答 え よ.

(1) b‐c間

の 合 成 抵 抗 を 求 め よ.

(2) a‐c間

の 合 成 抵 抗 を 求 め よ.

(3) 電 流Iを 求 め よ. (4) a‐b間

の 電 圧 を 求 め よ.

(5) b‐c間

の 電 圧 を 求 め よ.

(6)  抵 抗R1,R2,R3を 求 め よ.

流 れ る 電 流I1,I2,I3を

  電 流 計 や 電圧 計 の 測 定 範 囲 の上 限 は,あ

らか じめ 最 大 定 格 値 と して定 め られ て

い る.こ の 測 定 範 囲 を拡 大 す る た め に,電 流 計 で は分 流 器,電 用 い る. 表1・4

圧 計 で は倍 率 器 を

例

題  図 の 回路 にお け る電 流 計 の読 み は

10mAで

あ っ た.こ の と きの 分 流 器 の倍率mお

よ

び 回路 全 体 を流 れ る 電 流Iを 求 め よ.た だ し電 流 計 の 内 部 抵 抗raは5Ω,分

流 器Rsは0.5Ω とす る.

 電 流 計 の 内 部 抵 抗ra,分 流 器Rsよ り,分 流 器 の 倍 率 はm=1+ra/Rs,回 を 流 れ る 電 流 はI=mIaで

求 ま る.

分流 器の倍率 回路 を流れ る電流

答  m=11,I=110mA

例

解

解 題

1.9

1.10

 図 の 回路 にお け る電 圧 計 の読 み は,10Vで

あ っ た.こ の と き の倍 率 器 の

倍 率nお よ び 電 源 電 圧Eの 値 を 求 め よ.た だ し電 圧 計 の 内 部 抵 抗rυ=10kΩ,倍 Rm=50kΩ

率器

を用 い る.

 倍 率 器 の倍 率nは 電圧 計 の 内部抵 抗rυ と倍 率 器 の 値Rmよ れ る.測

り,n=1+Rm/rυ

定 電 圧 は,倍 率 器 の 倍 率n×

で表 さ 電圧計

の 読 みVυで 求 ま る.

倍 率器の倍率 電源電圧 答  n=6,E=60V

路

流

4 1

・

 分 器 倍率器

題

例

1.11

 最 大 目盛 が100mAの に は,何

電 流 計 を 用 い て 最 大1Aの

〔Ω〕 の 分 流 器 が 必 要 か.た

電 流 を測 定 す る

だ し,こ の 電 流 計 の 内 部 抵 抗 は5Ω とす

る.

解  分 流 器 の 倍 率m=最 10,分

大 測 定 電 流 値/電

流 器 の 倍 率m=1+ra/Rsよ

流 計 の 最 大 目盛=1/1(100×10-3)=

り

例

答   0.56Ω

題 1.12

 最 大 目盛 が10Vの

電 圧 計 を 用 い て,最 大150Vの

に は何 〔Ω〕の 倍 率 器 が 必 要 か.た

電 圧 を測 定 す る

だ し,こ の 電 圧 計 の 内 部 抵 抗 は10kΩ とす

る.

解  倍 率 器 の倍 率n=最

大 測 定 電 圧 値/電 圧 計 の最 大 目盛=150/10=15

倍 率器の倍率

題 例

答   140kΩ

1.13

 内 部 抵 抗2Ω の 電 流 計 に 対 して0.1Ω の 分 流 器 を用 い た と き,最 大 測 定 電 流 は何 倍 に な る か.

答  21倍

. 解

1.15 

次 の 文 の(①)∼(④)に

問

練

題

習

適 当 な 語 句 を記 入 せ よ.

 電 流計 の 測定 範 囲 の拡大 を 目的 と して,(①)に

対 して(②)に

接 続 す る抵抗 を分

対 して(④)に

接続 す る抵抗 を倍

流 器 と い う.

 電圧 計 の 測定 範 囲 の拡 大 を 目的 と して,(③)に 率 器 と い う.

1.16 

内 部 抵 抗 が15kΩ

で 定 格150Vの

電 圧 計 が あ る.こ

の 電 圧 計 を 用 い て 最 大600V

までの電 圧 を測 る ため の倍率 器の抵 抗 はい くらか.

1.17 

内 部 抵 抗0.21Ω,最

大 目盛2.5Aの

電 流 計 が あ る.分

流 器 を用 い10Aを

測 定す る

た めの分 流器 の抵 抗 値 はい くらか.

1.18 

5Ω の 抵 抗 に100Aが

流 れ て い る.こ

の 電 流 を10Aに

す る た め に付 け る 分 流 器 の

抵 抗 は い く らか.

1.19 

図 は,あ

し,R1,R2,R3は

る 電 圧 計 の 内 部 回 路 を 示 し た も の で あ る.rυ は電 圧 計 の 内 部 抵 抗 を 示 倍 率 器 で あ る.次

の 説 明 の(①)∼(⑥)に

適 当 な語句 や数 値 を入れ

よ.

  +端 子 とA端 子 を用 い て 電 圧 を測 定 す る場 合,倍 あ る.し

た が っ て,倍

す る 場 合,倍 倍 率 は(⑤)と る.

率 器 の 倍 率 は(②)と

率 器 と して 働 くの は,抵

率 器 の 働 き をす る の は 抵 抗(①)で

な る.+端

抗(③)と(④)で

な る.同 様 に考 え,+端

子 とB端 子 を 用 い て 電 圧 を 測 定 あ る.し

たが って倍率 器 の

子 とC端 子 を 用 い た場 合 の 倍 率 は(⑥)と

な

(a) 抵 抗 率   断 面 積 が1m2の で 表 す.し

導 体 の1m当

た りの 抵 抗 値 の こ とを 抵 抗 率 と い い,ρ

た が っ て,導 体 の抵 抗 をR〔 Ω〕,断 面 積 をA〔m2〕,長

〔Ω・m〕

さ をl〔m〕

と

す る と次 式 が 成 り立 つ.

図1・6

(b) 導 電 率   電 流 の 伝 わ りや す さ を表 す もの に導 電 率 が あ り,σ

〔S/m〕 で 表 す.導

電率 は

抵 抗 率 ρの 逆 数 とな り,次 式 の よ う に な る.

  こ こ で,Sは

シ ー メ ン ス と い い,単 位 〔1/(Ω・m)〕で あ る.

(c) 抵 抗 の 温 度 係 数   導体 の温 度 が 変 わ る とそ の 導 体 の 抵 抗 値 が 変 化 す る.温 度 が1℃ 上 昇 す るご と に 変 化 す る 抵 抗 値 の割 合 を温 度 係 数 と い い αで 表 す.あ 抗 がRt〔 Ω〕 で,1℃

る温 度t〔℃ 〕の と きの 抵

上 昇 した と き抵 抗 がr〔 Ω〕 増 加 した とす る と,温 度 係 数 は

次 式 で 表 さ れ る. (一 定)

  一 般 に 金 属 は温 度 上 昇 と と も に低 抗 値 が 増 加 す る が,半 導 体 ・炭 素 ・電 解 液 な ど は抵 抗 値 が 減 少 す る.し

た が っ て こ の よ うな もの は 温 度 係 数 が 負 の 値 と な る.

t〔℃ 〕にお け る 温 度 係 数 を αt,抵 抗Rt〔 Ω〕の 導 体 がT〔 ℃ 〕に な っ た とす れ ば, 温 度 の 上 昇 は(T−t)〔 ℃ 〕で あ る か ら,抵 抗 の 増 加 は αtRt(T−t)〔 ℃ 〕と な り,T 〔℃ 〕に お け る全 体 の抵 抗RTは,

と な る.

例

題 1.14

 図 の導 線 のa‐b間 の抵抗

を 求 め よ.た ×10-8Ω

だ し 導 線 の 抵 抗 率 を2.35

・mと す る.

解  単 位 を 〔m〕に そ ろ え る.

断面積 抵 抗率 長さ そ して 式〓

 の値 を代 入 す る.

題

答  0.094Ω

例

1.15

 直径2mm,長

の 抵 抗 率 を1.72×10-8Ω

さ300mの

銅 線 の 抵 抗 は何 オ ー ム か.た

だ し銅 線

・mと し て 計 算 せ よ.

解   長 さl=300m

断面積

抵抗

〓の値 を代 入 す る.

答  1.64Ω

1.16

 温 度 が25℃ の と き に,抵 抗 が20Ω の 導 線 が あ る.100℃

にお け

る導 線 の 抵 抗 値 を求 め よ.た だ し25℃ に お け る導 線 の 温 度 係 数 を0.005と す

 式

る.

解   25℃

の と き の 抵 抗 値R25=20Ω

求 め る.し

と25℃

の と き の 温 度 係 数 α25=0.005Ω

を代 入 し

たが って

答  27.5Ω

例

題 1.17

 あ る銅 線 の 抵 抗 を20℃ で測 っ た ら50Ω で あ り,温 度 を 上 げ て 測 っ た ら60Ω に な っ た.温 度 上 昇 は い く ら か.た 温 度 係 数 は3.93×10-3と

だ し,20℃

にお ける銅線 の

す る.

 よ り温 度 上 昇T−tを 導 く.

例

答  51℃

題 1.18

っ た.25℃

 あ る 導 線 の 抵 抗 値 は,25℃

の と き10Ω,200℃

の と き80Ω で あ

に お け る導 線 の温 度 係 数 を 求 め よ.

解 

解

例題

1.5 導 体 の 抵 抗

答   0.04

練習 問 題 1.20 

次 の(①)∼(③)に

適 当 な 語 句 を 記 入 せ よ.

 導電 率 は(①)の 逆 数で表 され,電 流 の伝 わ りや す さを示す.し た が って導電 率が(②) い導体 は電 流が流 れ やす く,導 電率 が(③)い

121 

抵 抗 率 が1.724×10-8Ω

1.22 

抵 抗 率 が9.8×10-8Ω

1.23 

次 の(①)∼(④)に

・mの 銅 の 導 電 率 を求 め よ.

・mの 鉄 の 導 電 率 を求 め よ.

適 当 な 語 句 また は 数 値 を記 入 せ よ.

  導 体 の 断 面 積 をA〔m2〕,長 R =ρ(l/A)〔

導体 は電 流が流 れ に くい.

さ をl〔m〕,抵

Ω〕で 表 さ れ る.こ

抗 率 をρ 〔 Ω ・m〕 と し た と き,そ の 抵 抗Rは

の こ と よ り,導 線 の 抵 抗 は 長 さ に(①)し,断

②)す

る こ と が わ か る.こ

の こ と よ り,長

(③)倍

に な り,断 面 積 の み を2倍 に した と きの 抵 抗 値 は(④)倍

1.24 

長 さ2km,直

径3mmの

さ の み を2倍

面 積 に(

に した と きの抵抗 値 は と な る.

銅 線 の 抵 抗 を 求 め よ.た だ し銅 線 の 抵 抗 率 は1.77×10-8

Ω ・mと す る.

1.25 

次 の(①)∼(④)に

適 当 な 語 句 ま た は 数 値 を 記 入 せ よ.

 抵 抗 の温度 係数 とは温度 が(①)〔 ℃ 〕上 昇す るご とに変 化 す る抵 抗値 の 割合 を示す. 温 度係 数 が(②)ほ

ど,温 度変 化 に対 す る抵 抗値 の 変化 が小 さい.ま た.温 度係 数 が

正 の値 の 物質 は,温 度 が上 昇 す る と抵 抗 値 は(③)が 度 が上 昇す る と抵 抗値 は(④)が

1.26 

温 度 が20℃

り,温 度 係 数が 負 の物 質 は,温

る.

の と きに 抵 抗 が5.0Ω,温

度 係 数 が0.0084と

導 体 の 温 度 を60℃ に し た と き抵 抗 は い く ら に な る か.ま

な る 導 体 が あ る.こ

た,100℃

の

に した ときはい くら

に な る か.

1.27 

直 径1mm,長

ロ ム 線 の 抵 抗 率 は,20℃

1.28 

直 径2.6mmの

率 を 求 め よ.

さ1000mの

ニ ク ロ ム 線 の 抵 抗 は20℃

で110×10-8Ω

電 線1㎞

で い く ら か.た

だ し,ニ

ク

・mと す る.

の 抵 抗 が20℃

で3.348Ω で あ る.こ

の と きの 電 線 の 抵 抗

(a) 電池 の端子電圧  内部 抵抗(電 池 自身 の もつ 抵抗)を 考慮 した電池 の端子電圧V

E:電

池 の起 電 力,I：

電 池 か ら流 れ 出 る電 流,r:電

池 の 内部 抵 抗

図1・7

(b) 電 池 の 直 列 接 続  n個 の 電 池 を直 列 に接 続 した 場 合,電

池 の 総 起 電 力 ΣVと 総 内 部 抵 抗 Σr

図1・8

(c) 電 池 の 並 列 接 続  n個 の 電 池 を並 列 に接 続 した 場 合,電

池 の 総 起 電 力 ΣVと 総 内 部 抵 抗 Σr

図1・9

(d) 電 池 の 容 量   I〔A〕 の 電 流 をH〔h(時

間)〕 流 す こ とが で き る電 池 の 容 量W

題 例 1.19

 起 電 力5.0V,内

部 抵 抗0.2Ω の 電 池 で10.0Ω の 負 荷 を駆 動 す る場

合 に,回 路 を 流 れ る電 流Iと 電 池 の端 子 電 圧Vを 求 め よ.解  図 の 回路 を考 え,オ 流Iを 求 め る.電

ー ム の 法 則 よ り電

池 の 端 子 電 圧 は 電 池 の起 電

力 か ら 抵 抗 に よ る 電 圧 降 下 を 減 じた も の と な る の で,V=E−Irに

よ り求 ま る.

  回 路 の 総 抵 抗ΣR=r+RL=0.2+10.0= 10.2Ω,電

池 の 起 電 力E=5.0Vよ

り,回

路 を

流 れ る 電 流I=E/ΣR=5.0/10.2≒0.49A, 電 池 の 端 子 電 圧V=E−Ir=5.0−0.49×0.2 ≒4.9V

題

例

答 

I=0.49A, 

V=4.9V

1.20

 起 電 力5.0V,内

部抵抗

0.2Ω の 電 池4個

を図 の よ う に 直 列 に

接 続 し,10.0Ω

の 負 荷 抵 抗 を接 続 し

た.次

の 問 に答 え よ.

(1) 回 路 を流 れ る電 流Iは 何 〔A〕か. (2) 図 のV1は (3) 図 のVRLは

何 〔V〕か. 何 〔V〕か.

 (1) 4個 の 電 池 の直 列 接 続 で あ る.起 電 力 の 総 和 ΣV=nE,回 ΣR=nr+RLを

路 の合成抵抗

オ ー ム の 法 則 に 当 て は め,I=nE/(nr+RL)=4E/(4r+RL)で

求

め る.

(2) 起 電 力E=5.0V,内

池 の 端 子 電 圧V=E−Irに

部 抵 抗r=0.2Ω,電

代 入 す る.

池 か ら 流 れ 出 る 電 流I〔A〕

を,電

解

(3)オ

ー ム の 法 則 よ り,VRL=IRL

答(1)1.85A(2)4.63V(3)18.5V

例題

1.21   起 電 力5.0V,内

抗0.8Ω

の 電 池4個

を 図 の よ う に並

列 に 接 続 し,10.0Ω 接 続 し た.次

部 抵

の負 荷抵 抗 を

の 問 に 答 え よ.

(1)回 路 を 流 れ る 電 流Iは い く ら か. (2)図

のVRLは

(3)図

のI1は い く ら か.

解 

い く ら か.

(1) 4個 の 電 池 の並 列 接 続 で あ る.起 電 力 の 総 和 ΣV=E,回

ΣR=r/n+RLを

オ ー ム の 法 則 に 当 て は め,I=E/(r/n+RL)で

 (2) オ ー ム の 法 則V=IRよ

 (3)内

路 の合 成 抵 抗 求 め る.

り,VRL=IRL

部 抵 抗rに よ る 電 池 の 電 圧 降 下 はE-VRLな

の で オ ー ム の法 則 よ りI1=(

E-VRL)/r

答 

例題

(1)0.49A 

(2)4.9V 

(3)0.13A

1.22

 容 量 が20Ahの

電 池 か ら,5Aの

電 流 を何 時 間 連 続 して 取 り出 す

こ と が で き る か.

解  電 池 の 容 量W=取

り出す 電 流I× 時 間Hの 式 よ りH=W/I (時 間)

答4h

練習問題 1.29 

次 の 説 明 文 の(①)∼(③)に

適 当 な語 句 や 式 を 記 入 せ よ.

 電 池 自 身 の もつ 抵 抗 を 電 池 の(①)と 電 流 をI〔A〕 と し た と き,(②)〔V〕 の 電 池 の 端 子 電 圧 は(③)〔V〕

1.30 

〔Ah〕 で 示 され る.電 ま た,充

の 電 圧 降 下 を 生 ず る.し

た が っ て,起

電 力E〔V〕

適 当 な 語 句 や 式 を 記 入 せ よ.

間)〕 連 続 して 流 す こ とが で き る 電 池 の 容 量WはW=(①)

池 を 使 い 切 っ て し ま っ た 状 態 で は,容

電 が 可 能 な蓄 電 池(二

充 電 量(増

の 値 をr〔Ω〕と し,電 池 か ら流 れ 出 る

と な る.

次 の 説 明 文 の(①)∼(③)に

  I〔A〕 の 電 流 をH〔h(時

い い,こ

次 電 池)の 場 合,I〔A〕

加 す る蓄 電 池 の 容 量)はW=(③)〔Ah〕

量Wは(②)〔Ah〕

と な る.

の 電 流 でH時

間 充 電 した と きの

で 示 さ れ る(た

だ し,最 大 充 電 量

に 達 す る ま で とす る).

1.31 

起 電 力9.0Vの

電 池 に2.0Ω の 負 荷 抵 抗 を 接 続 し た と き,次 の 問 に 答 え よ.

(1) こ の 電 池 の 内 部 抵 抗 を1.0Ω と し た場 合,流 (2) 電 池 の 内 部 抵 抗 を 無 視 し た 場 合 は,上

1.32 

起 電 力1.5V,内

れ る電 流Iと 電 池 の 端 子 電 圧Vを 求 め よ.

記I,Vは

い く ら に な る か.

部 抵 抗0.2Ω の8個 の 電 池 を用 い て4.0Ω の 負 荷 を 駆 動 す る.回

路 を流 れる電 流Iお よび負 荷 にか か る電圧VRLは い くらにな るか. (1) 電 池 をすべ て直 列 に接続 した場 合 につ い て答 え よ. (2) 電 池 をすべ て並 列 に接続 した場 合 につ い て答 え よ.

1.33 

起 電 力2.5V,内

部 抵 抗0.1Ω の 電 池 を何 個 か 直 列 に つ な ぎ,端 子 に0.9Ω の 外 部

抵 抗 をつ な い だ と こ ろ10A流

1.34 

起 電 力1.5Vの

定 した ら1.45Vで

1.35 

列 に し た 電 池 の 数 を 求 め よ.

電 池 に8.0Ω の 豆 電 球 を接 続 した.こ

あ っ た.こ

容 量 が120Ahの

れ た と い う.直

の と き 電 池 の 端 子 電 圧 を測

の 電 池 の 内 部 抵 抗 を求 め よ.

電 池 か ら5Aの

電 流 を何 時 間連 続 して 取 り出 す こ とが で き る か.

第1章  章末問題 1.次 に示 す 式 の(①)∼(⑤)に

2.40Ω

の抵 抗 に50mAの

3.図 R2=5Ω

適 当 な 数 字 を入 れ よ.

電 流 を 流 す に は何 〔V〕の 電 圧 を 加 え た ら よい か.

の 回 路 で,E=12V,R1=10Ω, の と き,次

の 問 に 答 え よ.

(1) a‐b間 の 合 成 抵 抗 を求 め よ (2) 回路 を 流 れ る 電 流Iを 求 め よ. (3) V1,V2を

そ れ ぞ れ 求 め よ. 図1・10

4.図

の 回 路 でE=5V,R1=4kΩ,R2=

2kΩ の と き,次

の問 に 答 え よ.

(1) a‐b間 の 合 成 抵 抗 を求 め よ. (2) 電 流Iを 求 め よ. (3) 各 抵 抗 を 流 れ る 電 流I1,I2を

求 め よ. 図1・11

5.最 大 目盛 が20Vの の 倍 率 器 が 必 要 か.た

6.直

径4mm,長

1.72×10-8Ω

7.起

・mと

電 圧 計 を用 い て,最 大100Vの

電 圧 を測 定 す る に は何 〔 Ω〕

だ し,こ の 電圧 計 の 内 部 抵 抗 は10kΩ とす る.

さ500mの

鋼 線 の 抵 抗 は何 〔 Ω〕か.た

だ し鋼 線 の 抵 抗 率 を

し て 計 算 せ よ.

電 力1.5V,内

部 抵 抗0.5Ω の 電 池 を 直 列 に 複 数 個 つ な ぎ,端

子 に2.0Ω の

外 部 抵 抗 をつ な い だ と こ ろ1.0A流 れ た と い う.直 列 に した 電 池 の 数 を 求 め よ.

直流回路の計算   直 流回 路 の計 算 は,電 圧(直 流 電 圧),電

流(直 流 電 流),抵

抗(負

荷)の 関係 を明 らか に す る こ とで あ る.こ こで は第1章 で 学 ん だ 「オ ー ム の 法 則 」 に加 え

,「 キ ル ヒホ ッフ の法 則 」,「 重 ね合 せ の 定 理 」,

に つ い て 解 説 す る.ま

た,直

流 回 路 で 消 費 さ れ る 「電 力 」や 一 定 時

間 内 の 消 費 電 力 を表 す 「電 力 量 」の 計 算 法 に つ い て 解 説 す る.こ れ ら は交 流 回 路 の 計 算 に も適 応 で きる 重 要 な事 項 で あ る.

キ ー ワー ド

キ ル ヒホ ッ フの 法 則,重 平 衡 条 件,電 力,電

ね 合 せ の 定 理,ブ

力 量,熱

量

リ ッ ジ回 路,

(a) 第1法 則(電

流 に 関 す る法 則)

  回 路 中(図2・1)の 任 意 の 接 続 点 に お い て,「 流 入 す る 電 流 の和 」 と 「流 出す る 電 流 の 和 」 は等 しい.

図2・1

(b) 第2法 則(電

圧 に 関 す る法 則)

  任 意 の 閉 回 路 に お い て,「 電 源 電圧 の和 」 と 「各 抵 抗 に よ る 電 圧 降 下 の 和 」 は 等 しい.   図2・2の 閉 回路 に つ い て,閉 とI2R2は,①

回路 を流 れ る 電 流 を① の 向 き に仮 定 す る と,E2

に 逆 う方 向 に起 電 力 を 生 ず るた め,付 号 が マ イ ナ ス と な る.

図2・2

解

例題

2.1

 図 の 回 路 につ い て 次 の 問 に答

え よ.た だ し,回 路 中 を流 れ る 電 流I1∼I3 は → の 向 き に 流 れ る と仮 定 す る. (1)接

続 点a,bに

フ の 第1法 則(電

つ い て,キ

ル ヒホ ッ

流 に 関す る 法 則)に よ

  る式 を た て よ. (2)閉

回 路 ①,②

に 流 れ る電 流 の 向 き を 図 の よ う に仮 定 した と き,キ ル ヒ

ホ ッ フ の 第2法 則(電 圧 に関 す る法 則)に よ る式 をた て よ.  (1) a点:「 流I1」

と

流 入 す る電

「流 出 す る 電 流I2,I3

の和 」 は 等 しい.

b点:「

流 入 す る 電 流I2,I3

の 和 」 と 「流 出 す る電 流I1」 は 等 しい.

  (2) 閉 回 路 に つ い て,電 源 電 圧 の和=電

圧 降 下 の 和 で あ る.

  閉 回 路 ①:電

源 電 圧 はE1,

電 圧 降 下 はI1R1(① き),I3R3(①

と 同 じ向

と 同 じ向 き)

 閉 回 路 ②:電

源 電 圧 はE2,電

閉回路①

圧 降 下 はI2R2(②

 閉回路②

と同 じ向 き), I3R3(②

き)

答 

(1)  I1=I2+I3,I2+I3=I1 

(2)E1=I1R1+I3R3,E2=I2R2−I3R3

と逆 向

2.1 キ ル ヒホ ッフ の 法 則

題

例

2.2  図 の 回 路 を 流 れ る 電 流I1,I2,I3,を

キ ル ヒ ホ ッ フの 法 則 を用 い

て 求 め よ.

解

 まず 電 源E1と

回路 ①,②

電 源E2に

注 目 し,閉

の 電 流 の 向 き を仮 定 す る.

 次 に接 続 点a,bに

対 して キ ル ヒ ホ ッ フ

の 第1法 則 を 適用 し,電 流 の 式 を た て る. 接 続 点a:I3=I1+I2 接 続 点b:I1+I2=I3

い ず れ も同 じ式 で あ る こ と よ り,キ ル ヒホ ッ フ の 第1法 則 を用 い て 得 られ る式 は 以 下 と な る. I3=I1+I2

 (式1)

 次 に キ ル ヒホ ッ フ の 第2法 則 を 閉 回路 ①,②

に適 用 し,電 圧 の式 をた て る.

閉 回路 ①: (式2)

閉回路②:   最 後 に(式1)∼(式3)に 1.0Ω,R2=6.0Ω,R3=4.0Ω)を

 (式3) 各 抵 抗,各

電 源 の 値(E1=1.2V,E2=2.0V,R1=

代 入 し,連

立 方 程 式 を 解 き,I1∼I3の

る. 答 

I1=0.12A,I2=0.15A,I3=027A

値 を求 め

練 習 問題 2.1  次 の 文 の(①)∼(⑦)に

適 当 な 語 句 や 数 を 入 れ よ.

 回路 網の 任 意の1点 にお け る電流 の(①)は(②)で (③)と すれ ば,(④)す  回路 網 の任 意 の(⑤)に

る電流 を負 とす る. つ い て各抵 抗 に よる電圧 降下 の(⑥)は,そ

(⑦)の 和 に等 しい.

2.2 

図 の 回 路 を 流 れ る 電 流I1,I2,I3を

そ れ ぞれ 求

め よ.

2.3 

図 の 回 路 でE1=7.6V,E2=11.4V,R1=4Ω,

R2=9Ω,R3=6Ω

の 場 合,回

路 を 流 れ る 電 流I1,I2,

I3を そ れ ぞ れ 求 め よ.

2.4  図 の 回 路 を 流 れ る 電 流I1,I2,I3を

2.5 

図 の 回 路 を 流 れ る 電 流I1,I2,I3を

し,R1=10Ω,  E3=2Vで

R2=2Ω,R3=5Ω,E1=6V,E2=4V, あ る.

あ る.そ の点 に流入 す る電流 を

求 め よ.

求 め よ.た だ

の 閉 回路 中の

(a)重 ね 合 せ の 定 理   複 数 の 電 源 を用 い た 回路 に流 れ る電 流 は,そ れ ぞ れ の 電源 が 単 独 で あ る場 合 に 流 れ る 電 流 の 和 で あ る. A. 複 数 の電 源 を用 いた 回路

B. 単独 の電 源 として考 えた 回路

図2・3

(b)回

路 を解 く手 順

 ① 回 路 網 に含 まれ る電 源 ご と に,回 路 を分 解 す る(注

目す る電 源 以 外 は シ ョ

ー トして い る と考 え る) ．  ② 分解 した 回路 ご との 電 流 を求 め る(図  ③ ② で 求 め た 電 流 を重 ね合 せ て(和

  ポ イ ン ト ：図 の よ う に,求

のI1',I1"な ど).

を求 め),回 路 に流 れ る 電 流 を求 め る.

め る 電 流(I1,I2,I3)を

とI2",I3とI3'とI3"の

基 準 と し,I1とI1'とI1",I2とI2'

電 流 の 向 き を 統 一 す る.

題

例

2.3

 図 の 回路 を流 れ る電 流I1,I2, I3を 重 ね合 せ の 定 理 を用 い て 求 め よ.

解  (1) 電 源E1の

み に 注 目 し た 回 路 に お け るI1',I2',I3'を

I1'よ り 分 流 し たI2',I3'を

求 め る.

求 め る.

I2'は ,電 流 の向 きが仮 定 した方 向 と逆 に な る ので 符 号 は− とな る

  (2)  (1)と め る.

同 様 に し て,電

源E2の

み に 注 目 し た 回 路 に お け るI1",I2",I3"を

求

2.2 重 ね合 せ の 定 理

 (3)  (1),(2)で

求 め た 電 流 を 重 ね 合 せ,I1,I2,I3を

求 め る.

注 意) この 例 題 は,例 題2.2と 同 じ問 題 で あ る. 答  I1=0.12A,I2=0.15A,I3=0.27A

例題

2.4   重 ね 合 せ の 定 理 を 用 い て 図(a)のI1,I2,I3を

求 め る た め,各

源 が 単 独 に な っ た場 合 の 回路 に か き直 した(同 図(b)∼(d)). I1',I2",I3'"を

(a)

式 で 表 せ.

(b)

答

(c)

(d)

電

練習問 題 2.6  次 の 説 明 の(①)∼(④)に   図(a)の

適 切 な 数 値 お よ び 式 を 記 入 せ よ.

回路 を 流 れ る電 流Iを,重

の 重 ね 合 わ せI=(①)と Aで あ り,電 源E2の

して 求 め る.電 源E1の

と した 場 合,回

(a)

流I1,I2,I3を

2.8 

2.9 

の 回 路 を流 れ る 電

そ れ ぞ れ 求 め よ.

重ね 合せ の 定理 を用 い て 図の 回路 を流 れ る

電 流I1,I2,I3を

求 め よ.

重 ね 合 せ の 定 理 を 用 い て 図 の 回 路 を 流 れ る 電 流I1,

I2,I3を

求 め よ.

(1)  E1=3V,E2=6.2V,E3=3V,R1=4Ω,R2=2Ω, R3=4Ω

の 場 合 に つ い て 求 め よ.

(2)  E1=E2=E3=4V,R1=R2=R3=2Ω 求 め よ.

あ る.い

路 を 流 れ る電 流Iは(④)Aと

(b)

電 流 の 方 向 に 注 意 し,図

図(c)のI2

み に注 目 した 場 合 の 電 流 値I1は,(②)

み に 注 目 し た場 合 の 電 流 値I2は(③)Aで

E2=3V,R1=2Ω,R2=3Ω

2.7 

ね 合 せ の 定 理 を用 い て,図(b)のI1と

の場合 につ いて

ま,E1=5V, な る.

(c)

題

(a) ブ リ ッ ジ の 平 衡 状 態   図2.4に 示 す よ うに,R1とR4の ＠ か らR2とR3の

直 列 回 路 の接 続 点

直 列 回 路 の 接 続 点bま

しす る よ う に 検 流 計(図

のG)や

回 路 を ブ リ ッジ 回 路 と呼 ぶ(検 を検 出す る計 器 で あ る).ブ

で を,橋 渡

抵抗 が接続 され る 流 計 とは 微 弱 な電 流

リ ッジ 回路 で 向 か い合 う

辺 の 抵 抗 の 積R1R3とR2R4が

等 しい場 合,こ

のブリ

ッジ は平 衡 状 態 に あ る とい い,以 下 の 特性 を示 す.   ① 点 ＠ と点bの

電 位 は 等 し くな る.

  ② す な わ ち検 流 計Gに  "R1R3=R2R4"を (b)ブ

図2・4

電 流 が 流 れ な い.

ブ リ ッ ジの 平 衡 条 件 と い う.

リ ッ ジ を 用 い た抵 抗 の 測定

  ブ リ ッ ジ の 平 衡 条 件 を利 用 して,未 知 抵 抗 を測 定 す る.   ①Is=0(検

流 計Gの

針 が0)に

な る よ うに 可 変 抵

抗Rsを 調 整 し,ブ リ ッジ を平 衡 状 態 とす る. ② ブ リ ッ ジ の 平 衡 条 件R1Rx=R2Rsよ 抗 はRx=R2Rs/R1と

り,未 知 抵

して求 ま る. 図2・5

例

2.5

 図 の ブ リ ッ ジ回 路 につ い て,次

の 問 に答 え よ.

(1)  ブ リ ッ ジ が 平 衡 状 態 で あ る と き,R1,R2,R3, R4の

間 に 成 立 す る 関 係 を 示 せ.

(2) R1=4kΩ,R2=8kΩ,R3=200Ω ッ ジ を 平 衡 状 態 に す る に はR4を

の と き,ブ

リ

何 Ω に した ら よ

い か. (3) R1=4kΩ,R2=8kΩ,R3=300Ω,R4=200Ω の と き,検

流 計Gに

流 れ る 電 流Isの 向 き を 示 せ.

解  (1) ブ リ ッ ジが 平 衡 状 態 な の で,ブ

リ ッジ の 向 か い 合 う辺 の 抵 抗 の積 は 等

し い.

 (2)  ブ リ ッ ジ の 平 衡 条 件R1R3=R2R4よ

 (3) 図 の よ う に し て,a点

り,R4=R1R3/R2で

の 電 位 とb点

求 ま る.

の 電 位 を求 め る.

電 位 の 高 い 方 か ら低 い 方 に 向 か っ て 電 流 は流 れ る.

 a点の電流:  a点 の 電位:  b点 の 電流:

 b点 の電位:   (3)図

題 例

答  (1)R1R3=R2R4(2)R4=100Ω

のaか

らbの

2.6   図 の ブ リ ッ ジ 回 路 で,R1=40Ω,R2=20Ω, R3=30Ω,R4=60Ω,E=12Vの  (1) ス イ ッチSWを

と き,次

開 い て い る と き,a‐c間

と 回 路 を 流 れ る 電 流I1,I2,I3,I4お  (2) SWを

の 問 に 答 え よ.

閉 じ て い る と き,a‐c間

I1,I2,I3,I4,Iを

の合 成 抵 抗

よ びIを 求 め よ. の 合 成 抵 抗,電

流

求 め よ.

解  (1)ス

 a‐c間

イ ッ チSWを

開い てい ると き

の 合 成 抵 抗 は,「R1+R4」

合 成 抵 抗 と な る.電 流Iは

と 「R2+R3」

の並 列

「a‐c間 の 合 成 抵 抗 と電 源 電

圧E」,I1は

「R1とR4の 直 列 合 成 抵 抗 と電 源 電圧E」,「I2

はR2とR3の

直 列 合 成 抵 抗 と電 源 電 圧E」

オ ー ム の 法 則 に よ っ て 求 ま る.ま

よ りそ れ ぞ れ

た,I4はI1に,I3はI2に

等 し い.

方 向 に 流 れ る.

2.3 ブ リ ッジ 回 路

 (2) ス イ ッチSWを

閉 じて い る と き

 a‐c 間 の 合 成 抵 抗 は,「R1とR2の 抗 」+「R3とR4の 「a‐c間

並 列 合 成 抵 抗 」,電

の 合 成 抵 抗 と 電 源 電 圧E」

の 法 則 で 求 ま る.I1とI2は で 分 流,I3,I4は

並列合 成抵

電 流Iを

電 流IをR3,R4で

流Iは,

よ りオ ー ム 抵 抗R1,R2 分 流 す る.す

なわち

と な る.  ※  平 衡 状 態 の と き は,ス イ ッチ の 開/閉 にか か わ らず 合 成抵 抗 値,各 電流 値 は 同 じにな る. 答  (1) 合 成 抵 抗=33.3Ω,I=0.36A,I1=I4=0.12A,I2=I3=0.24A  (2)  合 成 抵 抗=33.3Ω,I=0.36A,I1=0.12A,I2=0.24A,I3=0.24A, 

I4=0.12A

練習 問題 2.10 

次 の 文 は,ブ

た も の で あ る.図

リ ッジ の 平 衡 状 態 に つ い て 説 明 し

を 参 照 に して(①)∼(③)の

中に適

す る 式 を 記 入 せ よ.   平 衡 条 件R1R3=R2R4が

成 立 す る 場 合,a‐b間

差 が0と

な り電 流Isは 流 れ な い.こ

(0V)と

し,a点

の 電 位 とb点

で 証 明 す る.R1∼R4,Eを V,b点 のR1に

代 入 し,a点

を基 準

の電位 が 等 し くなる こ と

用 い る と,a点

の 電 位 は(②)Vと

の電 位

の こ と をd点

の 電 位 は(①)

な る.R1=R2R4/R3と

変 形 し た平 衡 条 件 式 を(①)の

の 電 位 を 求 め る と(③)Vと

な る.す

は 等 し い こ とが 証 明 され る.

2.11 

図 の 回 路 に つ い て 次 の 問 に 答 え よ.た

だ し,ブ

リ

ッ ジ は平 衡 状 態 とす る.  (1) a‐b間

の 電 位 差 は何 〔V〕か.

 (2) c‐a間 の 電 位 差 が5V,a‐d間

の 電 位 差 が8Vの

と き,

c‐b間お よ びb‐d間 の 電位差 は何 〔V〕 に なるか.

2.12 

図 の 回路 につ い て 答 え よ.

 (1)  R1=4kΩ,R2=3kΩ,R3=200Ω,Rx=150Ω,E=

10Vの

と き,検

流 計Gに

流 れる電 流 の大 き さと向 き を

答 え よ.  (2) R1=100Ω,R2=10Ω,R3=25Ω

針 は振 れ な か っ た.こ

2.13 

図 のa‐b間

の と き,検

の と きのRxは

何 〔Ω〕か.

の 合 成 抵 抗 値 を 求 め よ.

流計 の

な わ ち 点aと

点bの

式 電位

  電 気 回 路 に お い て,抵 抗 成 分 に 電 流 が流 れ る と き,電 力 が 消 費 され る.1秒 た りの 消 費 電 気 エ ネ ル ギ ー を電 力P〔W〕,電 力 量Pt〔J〕,ま

力Pに

当

よ っ て な さ れ る 仕 事 量 を電

た はPt〔W・s〕 と呼 ぶ.

  電 力 量Ptと 熱 量H〔cal〕 との 間 に は,H=0.24Ptの

関 係 が あ る.

(a) 電 力P   1秒 間 あ た りの 電 気 的 エ ネ ル ギ ー で あ り,R〔 Ω〕の抵 抗 にV〔V〕 の 電 圧 を加 え てI〔A〕の電 流 を流 した と き の電 力P〔W〕

(b) 電 力 量Pt   あ る時 間 内 の 電 気 エ ネ ル ギ ー で あ り,P〔W〕 の 電 力 でt〔s〕間に な さ れ る仕事 量 Pt〔J〕 Pt=Pt〔J〕(ま

たは

〔W・s〕)

(c) 熱 量H  1gの 水 の 温 度 を1℃ 上 げ るの に必 要 な 熱 量H〔cal〕

例

題 2.7

 図 の 回 路 は,電 力 を使 用 し て水 温 を上 昇

させ る もの で あ る.表 の 空 欄(①)∼(⑮)に な値 と単 位 を記 入 せ よ.

解 ① ② ③

 (1) ① ∼⑤ に つ い て

⑤

④

 (2) ⑥ ∼ ⑩ に つ い て

⑥ ⑩

⑧

⑨ ⑦ ⑪ ⑫ ⑬

 (3) ⑪ ∼ ⑮ に つ い て

適当

⑭ ⑮  答  ①100V    ⑦21.6時 ⑫28.8W 

題 例

②200W 

③100W・h 

④86.4kcal 

間  ⑧150W⑨3.24kW・h  ⑬9.6W・h 

⑤86.4℃ 

⑩2800kca1 

⑭8.29kca1 

⑥30V

⑪2.4 A

⑮0.17l

2.8

 図 の 回 路 の 負 荷 に5Vの ら2Aの

電 流 が 流 れ た.こ

電 圧 を加 え た

の 負 荷 の 消 費 電 力 は何

〔W〕 か.

解   P=VI=5×2=10W

答   10W

例

題

解

2.4 電力と電力量

2.9

 図 の 回 路 の ス イ ッ チ を20分 状 態 と し た と きの 電 力 量 は何 〔J〕か,ま 〔W・h〕

間ON た何

か.

 電力 量Pt〔J〕は電力P〔W〕 と時 間t〔s〕の積 で あ るの で,ま ず 電 力Pを 求 め る. 回 路 を 流 れ る 電 流Iは,I=V/R=10/2=5A,時   こ れ ら の 値 をPt=Pt=VItに で あ り,3600で

割 り,単

間t=20×60=1200s,V=10V.

代 入 し て 求 め る.単

位 〔J〕は 単 位 〔W・s〕 と 同 じ

位 を 〔W・s〕 か ら 〔W・h〕 に 直 す.

  よ っ て 電 力 量Pt=Pt=VIt=10×5×1200=60000J

答   16.7W・h

練習 問 題 2.14 

次 の 文 の(①)∼(⑥)に

適 す る語 句 ま た は 式 を 記 入 せ よ.

  単 位 時 間 当 た りの(①)を

電 力Pと

呼 び,単

位 は(②)を

〔A〕の 電 流 が 流 れ た と きの 電 力 は,P=(③)〔(②)〕

用 い る.R〔

Ω〕の 抵 抗 にI

で 表 され る.

  P〔(②)〕 の 電 力 をt〔s〕の 間 使 用 した と きの 電 力 量PtはPt=(④)〔W・s〕 ま た,実

用 的 な単 位 と して,1Wの

電 力 を1時 間 使 用 し た と き の 電 力 量

で 表 さ れ る. 〔W・h〕 が 用 い

ら れ る.   電 力 量 と熱 量 の 関 係 は,1W・s=(⑤)J=(⑥)calで

2.15 

100Vを

加 え た と き,50Wの

示 さ れ る.

電 力 を消 費 す る ハ ン ダ ご て が あ る.こ

の ハ ンタご

ての 抵抗 は何 〔 Ω〕か.   ま た,こ

2.16  か.ま

の ハ ン ダ ご て を50Vで

使 用 した 場 合 の 消 費 電 力 は 何 〔W〕か.

50Ω の 抵 抗 を もつ 電 熱 器 に,100Vを10時 た,こ

の 電 力 量 に よ り水100eの

間 加 え た と きの 電 力 量 は何 〔kW・h〕

水 温 を何 度 上 昇 で き るか.

2.17  抵 抗器 に流 す こ とので きる最 大 電流 をその抵 抗 器 の許 容電 流 とい い,許 容 電力 P〔W〕

を消 費 し て い る と き の 電 流 値 に 等 しい.こ

(1) 許 容 電 流10mAで200Ω (2) 許 容 電 力2Wで50Ω

2.18 

の こ と を考 慮 して 次 の問 に 答 え よ.

の 抵 抗 器 の 許 容 電 力 は い く らか. の 抵 抗 器 の 許 容 電 流 は い く らか.

図 の 回 路 に お い て,ス

ぞれ の 電 力 量 を 〔W・h〕で,発

イ ッチ を10分

間ON状

熱 量 を 〔cal〕で 示 せ.

態 と し た.抵

抗R1,R2,R3そ

れ

第2章  章末問題 1.図

の 回 路 でE1=10V,E2=5V,R1=2Ω,R2I1

=4Ω,R3=6Ω

の 場 合,回

路 を 流 れ る 電 流I1,I2,

I3を そ れ ぞ れ 求 め よ.

図2・6

2.重

ね合 せ の 定 理 を用 い て 図 の 回路 を流 れ る電

流I1,I2,I3を

求 め よ.た

だ し,E1=30V,E2=

10V,R1=6Ω,R2=4Ω,R3=2Ω

と す る.

図2・7

3.図

の ブ リ ッ ジ 回 路 に つ い て,R1=10kΩ,

R2=6kΩ,R3=300Ω

の と き,ブ

リ ッ ジ を平 衡

状 態 にす る に はR4を 何 〔 Ω〕に した ら よ い か.

図2・8

4.20Ω

の 抵 抗 を も つ 電 熱 器 に,12Vを3時

発 熱 量 〔cal〕を 求 め よ.ま か.

た,こ

間 加 え た と き の 電 力 量 〔W・h〕 と

の 電 力 量 に よ り水2eの

水 温 を何 度 上 昇 で き る

交流回路の基礎   家 庭 な ど に配 電 され,家 電 製 品 の 電 源 と して用 い られ る 交 流 は, 時 間 と と も に大 き さ と向 きが 変 化 す る性 質 を もつ.そ

のため交流 回

路 を解 くに は,直 流 回 路 の 知 識 に加 え て,周 波 数,位

相 角 な どの 交

流 波 形 の性 質 や,交

流 にお け る抵 抗R,イ

ンダ ク タ ンスL,コ

ンデ

ン サCの 性 質 を 理 解 す る必 要 が あ る.   本 章 で は,こ れ ら交 流 回路 の 基 本 性 質 を理 解 す る.

キー ワー ド

 正 弦 波 交 流,瞬

時 値,最 大 値,実

ー ク ツ ー ピ ー ク値 ,周 波 数,周 数,ベ ダンス

ク トル,リ

効 値,平

均 値,ピ

期,位 相 角,角 周 波

ア ク タ ン ス,合 成 容 量,イ

ンピー

(a) 瞬 時 値  交 流 は,大

き さ と向 きが 時 間 と と も に 変 化 す る た め,時

間t(S〕 の 関 数 で 表 し

た 瞬 時 値 を用 い る.

図3・1

 v:瞬 時 値 〔V〕(時 刻t〔s〕に お け る電 圧)   Vm:最   f:周

大 電圧 〔V〕 波数

〔Hz(ヘ

ル ツ)〕(1秒

あ た りの

サ イ ク ル 数)  T:周

期 〔s〕(1サ イ ク ル に要 す る 時 間)

  θ:位 相 角

〔rad(ラ

 ω(オ メ ガ)角

ジ ア ン)〕

周 波 数 〔rad/s〕

  角 度 の 単 位 は,180〔°

〕を1π 〔rad〕 と す る

図3・2

弧 度 法 が 用 い られ る. (b) 位 相 角   原 点(時刻t=0s,U=OV)を  図 のUに

対 し て,v1は

通 る 交 流 か ら の 角 度 の ず れ を 表 す. 位 相 が θ進 み,v2は

図3・3

位 相 が θ遅 れ て い る.

 半 サ イ ク ルの 平 均 の 電 圧(電

流)の 値 を平 均 値 とい う.

平均値 (d)  ピ ー ク ツ ー ピ ー ク 値

 電 圧 の 最 低 値 か ら最 高 値 まで を ピ ー ク ツ ー ピー ク値Vp-pと い う.  ピ ー ク ツ ー ピ ー ク 値Vp-p=2Vm〔V〕

図3・4

(e) 実 効 値  1サ イ ク ル に お け る瞬 時 値 の2乗 の 平 均 値 を実 効 値 と い う.特 き は,交 流 の 大 き さ を 実 効 値 を用 い て,家 庭 用 電 源"100V"な

に指 定 が な い と ど と表 す.

実効 値   瞬 時 値 は 実 効 値Vを

用 い て,υ=√2Vsin(ωt+θ)〔V〕

例

題

(c) 平 均 値

で 表 さ れ る.

3.1

 瞬 時 値 がυ=100sin(50πt)〔V〕

の正弦波交 流 につい て次の値 を

示 せ.

(1) 最 大 電 圧Vm〔V〕

 (2) 角 周 波 数 ω 〔rad/s〕

 (4) 周 波 数f〔Hz〕

解

 (5) 周 期T〔s〕

  瞬 時 値υ=Vmsin(ωt+θ)=100sin(50πt)〔V〕

波 数 と周 期 は,ω=2πfよ

答  (1)100V

 (3) 位 相 角 θ 〔rad〕

りf=ω/(2π),周

 (2)50π

〔rad/s〕

よ り,Vm,ω,θ

期T=1/fよ

 (3)Orad

を 導 く.周

り求 め る.

 (4)25Hz

 (5)40ms

3.1 正弦 波交流 の表 示

例 題 3.2

 図 に示す正 弦波交流波形 につい て次 の値 を示せ.

(1) 最 大 電圧Vm〔V〕

 (2) 平 均 値Vaυ 〔V〕

(3)  ピ ー ク ツ ー ピ ー ク値Vp-p〔V〕  (5) 周 期T〔ms〕

(4) 実 効 値V〔V〕

 (6) 周 波 数f〔Hz〕

 (7) 角 周 波 数 ω 〔rad/s〕

 (9) 瞬 時 値υ 〔V〕

(8) 位 相 角 θ 〔rad〕

解  (1) 波 形 の 最 大 値 を読 取 る.Vm=4V  (2) 平 均 値Vaυ=2Vm/π=2×4/π=8/π

〔V〕

 (3)  ピ ー ク ツ ー ピ ー ク 値Vp-p=2Vm=2×4=8V

 (4) 実 効 値V=Vm/√2=4×√2/2=2√2V  (5) 1サ イ ク ル に要 す る時 間 を 求 め る.T=80ms  (6) 周 波 数f=1/T=1/(80×10-3)=12.5Hz  (7)  角 周 波 数 ω=2πf=2×

π ×12.5=25π

〔rad/s〕

 (8) 原 点 か らの ず れ(こ の 場 合 は 進 み 角)を 読 取 る.1周

期(360°)=2π

〔rad〕

と して 読 取 る.

 (9)  瞬 時 値υ=Vmsin(ωt+θ)に

答 

(1)4V   (5)80ms

(2)8/π

各 値 を 代 入 す る.

〔V〕 

 (6)12.5Hz

 (9)4sin(25πt+0.5π)〔V〕

(3)8V   (7)25π

(4)2√2V 〔rad/s〕

 (8)0.5π

〔rad〕

練 習 問題 3.1  次 の文の(①)∼(⑦)の   交流 の平均 値 は,(①)サ

中に適 当 な語 句 や記号 を記入 せ よ. イ クルの 平均 の値 をい う.

 正 弦 波交流 波形 の場合 の平均 値 は,最 大値 の(②)倍   交流波 形 の(③)値

か ら(④)値

 交流 の実効 値 は(⑤)サ

まで を交 流 の ピー ク ツー ピー ク値 とい う.

イ クル にお ける(⑥)の2乗

  正弦波 交流 の場 合 の実効 値 は,最 大値 の(⑦)倍

3.2 

であ る.

の平 均値 で表 される.

であ る.

次 の 単 位 〔rad〕 と 〔° 〕の 対 応 表 を

完 成 させ よ.

3.3  瞬 時 値υ=80sin  40t(V〕 で 表 され る 交 流 電 圧 につ い て   (1)最

大 値Vm 

(2)平 均 値Vaυ 

(3)ピ

  (4)実

効 値V 

(5)角 周 波 数 ω  (6)周

ー ク ツ ー ピ ー ク 値Vp-p 波 数f 

を 求 め よ.

3.4 

図 に 示 す 位 相 角 の み が 異 な る 正 弦 波 交 流υ1

,υ2,υ3に つ い て,次   (1)υ1,υ2,υ3の

の 問 に 答 え よ.

う ち,い

ち ば ん位 相 が 進 ん で

い る の は どの 波 形 か.   (2)最

大 電 圧Vm=50V,角

〔rad/s〕,位

周 波 数 ω=20π

相 角 θ1=θ2=π/8〔rad〕

の と き,υ1

,υ2,υ3を 瞬 時 値 で 表 せ.

3.5 

図 に 示 さ れ る 正 弦 波 交 流 の 電 圧υ を

瞬 時 値 を 用 い て 表 せ.た 200kHzと

す る.

だ し,周

波 数f=

(7)周 期T

(a) ベ ク トル

 絶 対 値(大 き さ)と 位 相 角(偏 角) を 用 い て 表 す ベ ク トル を 極 形 式 (極座 標 表 示)と い う. ベ ク トルV=V∠

V:極

形 式 の ベ ク トル 

θ

V:絶

図3・5

対 値 

θ:位 相 角

(b) ベ ク トル の合 成  2つ の ベ ク トル の 合 成(和 お よび 差)は,平

行 四 辺 形 を描 き求 め る.

図3・6

(c) ベ ク トル に よ る正 弦 波 交流 の 表 示  実 効 値V,角

周 波 数 ω,位 相 角 が そ れ ぞ れ+θ,0,−

θで あ る正 弦 波 交 流υ1,υ,

υ2を 瞬 時 値 とベ ク トル で示 す.

(a) 瞬 時値 図3・7 表3・1

(b) ベ ク トル

題 例  図 の ベ ク トルA,B,C,Dを ベ ク トル 表 示 せ よ.た

だ し,偏

極形 式で

角 の単位 は

〔rad〕

を 用 い る.

解  そ れ ぞ れ の ベ ク トルの 絶 対 値 と位 相 角 を 図 か ら読 み 取 る.ベ ク トルCお よ びDに

つ い て は位 相 角 が マ イ ナ ス に な る点 に 注 意 す る.ベ ク トルB,Dの

は,三

平 方 の定 理 を用 い て 求 め る.

 ベ ク トルAに つ い て 絶 対 値 は5,位

相 角 は45°=(1/4)π

よっ て

 ベ ク トルBに つ い て 絶 対 値 は5√2,位

相 角 は135°=(3/4)π

 ベ ク トルCに つ い て 絶 対 値 は4,位

相 角 は −(3/4)π

よって

 ベ ク トルDに つ い て

絶 対 値 は〓

 位相 角 は

答

題

例

3.3

3.4   図 の ベ ク ト ルA,Bに

対 し

て 次 の 問 に 答 え よ.  (1) A+Bを

図 中 に 示 し,式

で 示 せ.

 (2) A−Bを

図 中 に 示 し,式

で 示 せ.

よっ て

絶対値

解 

3. 2 交流と べ ク トル

A+Bを

図(a),A−Bを

図(b)に

示 す.合 成 され たベ ク トル の 絶 対 値 と位

相 角 を求 め 式 に す る. 合成 図 よ り

(1) (2) 答  (1)

(a) A+B

例題

 図 に 示 す 電 圧 の ベ ク トル 瞬 時 値 で 表 せ.た

角 周 波 数 ω は20rad/sと

す る,

解 ベ ク トル と瞬 時 値 の 関 係 は, ベ ク トル

位 相角 は よ って

答

(b) A−B

3.5

V1,V2,V3を

 (2)

だ し,

練 習問 題 3.6 

次 の 文 の(①)∼(⑤)の

中 に 適 当 な語 句 や 記 号 を記 入 せ よ.

  絶 対 値 と偏 角 を用 い て 表 す ベ ク トル を(①)の た 場 合,偏

角 は(②)座

標 軸 を基 準 と し,矢

ベ ク トル と い う.ベ 印 の 向 き は,(③)の

正 弦 波 交 流 波 形 を この ベ ク トル を用 い て 表 した 場 合,ベ に,ベ

ク トル の 偏 角 は交 流 の(⑤)に

3.8 求 め よ.

(2) B−Aを

求 め よ.

働 く 向 き を 示 す.

ク トル の 絶 対 値 は 交 流 の(④)

そ れ ぞ れ 対 応 す る.

3.7  次 の ベ ク トル を 図 に示 せ.

(1) A+Bを

ク トル を 図 示 し

3.9  次 の瞬 時値 と極 形式 ベ ク トル との対応 表 を完 成せ よ.

  交 流 回路 で は,イ ン ダ ク タ ンス(コ イ ル)や コ ンデ ンサ も抵 抗 要 素 と して働 く. イ ン ダ ク タ ン ス に つ い て は 誘 導 リ ア ク タ ンスXL〔 Ω〕,コ ンデ ンサ に つ い て は 容 量 リ ア ク タ ンスXC〔 Ω〕を用 い,そ の 大 き さ を表 す. (a) 誘 導 リア ク タ ンスXL 誘 導 リ ア ク タ ン スXL=ωL〔 (ω 〔rad/s〕:角

f:周

周 波 数,L〔H〕:イ

Ω〕=2πfL〔 Ω〕 ン ダ ク タ ン ス,

波 数)

図3・8

(b) 容 量 リア ク タ ンスXC 容 量 リア ク タ ンス 〓(ω 〔rad/s〕:角 量,f:周

周 波 数,C〔F〕:コ

ンデ ンサ の 容

波 数)

図3・9

(c) コ ン デ ンサ の 接 続

●直列合成容 量 (並列合成抵抗 の計算法 と同様)

図3・10

● 並 列合成容量 (直列 合成抵抗 の計算法 と同様)

図3・11

題3.6

例

 図 に 示 す 回路 の イ ンダ ク

タ ンス の 誘 導 リ ア ク タ ン スXLと

コン

デ ンサ の 容 量 リ ア ク タ ンスXCを

それ

ぞ れ 求 め よ.

解  交 流 電 源 の 瞬 時 式υ=100√2sin20πtよ タ ン スXL=ωL〔

り角 周 波 数 ω を求 め,誘

Ω〕,容 量 リ ア ク タ ン スXC=1/(ωC)〔

導 リアク

Ω 〕に 代 入 す る.

答

題 例

3.7

 図 に示 す 回路 の交流 電 源

を 瞬 時 値 で 示 せ.た タ ン ス の 値L=40mH,誘

だ し,イ

ンダ ク

電 リア ク タ

ン スXL=20π

〔 Ω 〕,交 流 電 源 の 最 大

値Vm=100V,位

相 角 θ=0° と す る.

解

 誘 導 リ ア ク タ ンスXL=ωLよ

り角 周 波 数 ω を求 め,最 大 値Vm,位

と も に 交 流 電 源 の 瞬 時 式υ=Vmsin(ωt+θ)に

代 入 し,求

答

め る.

相 角 θと

3.3 リ ア ク タ ン ス と コ ンデンサの接続

例 題

3.8

 図 に示 す コ ン デ ンサ の 合 成 容 量Ca-bを 求 め よ.

 並 列 合 成 容 量 は,コ

ン デ ンサ の 容 量 の 和 で求 め る.

題

例

答   60μF

3.9

 図 に示 す コ ンデ ンサ の合 成 容 量Ca-bを 求 め よ.

解   直 列 合 成 容 量 の 式C=1/{(1/C1)+(1/C2)+(1/C3)+…+(1/Cn)}〔F〕

よ

り求 め る.

答  3.33μF

解

次 の 文 中 の(①)∼(④)に

  交 流 回 路 に お い て,イ ン ス と 呼 び,単

題

習

練

3.10 

適 当 な語 句 ま た は 記 号 を記 入 せ よ.

ン ダ ク タ ン ス や コ ンデ ン サ に よ る抵 抗 要 素 の 大 き さ を リ ア ク タ

位 に(①)を

用 い る.リ

ア ク タ ンス は,交

ン ダ ク タ ン ス お よ び コ ンデ ンサ の 容 量 か ら求 ま り,イ 導 リア ク タ ンス)はXL=(③),コ =(④)で

3.11 

流 回 路 の(②)の

値 と,イ

ン ダ ク タ ン ス の リ ア ク タ ン ス(誘

ン デ ンサ の リ ァ ク タ ン ス(容

量 リ ア ク タ ンス)ばXC

求 ま る.

図 の 回 路 の 誘 導 リ ァ ク タ ン ス と 容 量 リ ア ク タ ン ス を 求 め よ.た

40mH,C=500μF,i=10√2sin60πt〔A〕

と す る.

3.12 

図 に 示 す 回 路 の 誘 導 リ ア ク タ ンス お よ び 容 量 リ ア ク タ ン ス を求 め よ.

3.13 

図 の 回 路 に つ い て 次 の問 に答 え よ

(1)a-b間

の 合 成 容 量Ca-bを 求 め よ.

(2)b-c間

の 合 成 容 量Cb-cを 求 め よ.

(3)a-c間

の 合 成 容 量Ca-cを 求 め よ.

だ し,L=

問

  交 流 回 路 に お け る 電 流 を 妨 げ る 要 素 を イ ン ピ ー ダ ン ス と い い,記 は Ω を 用 い る.R〔

Ω〕の 抵 抗 はZ=R〔

Ω 〕,L〔H〕

ωL〔 Ω 〕(誘 導 リ ア ク タ ン ス の 値),C〔F〕 (容 量 リ ア ク タ ン ス の 値)で

表 さ れ る.

図3・12

号 はZ,単

位

の イ ン ダ ク タ ン ス はZ=XL=

の コ ン デ ン サ はZ=XC=1/(ωC)〔

Ω〕

題

解

例

3.10

 図 の 回 路 に つ い て

次 の 問 に 答 え よ. (1) R,L,Cの

イ ン ピー ダ ン

スZR,ZL,ZCを

求 め よ.

(2) R,L,Cを iL,iCを

流 れ る 電 流iR,

瞬 時 値 で 示 せ.

 (1) 各 素 子 の イ ン ピ ー ダ ン ス に は抵 抗 値,誘 ア ク タ ン ス1/(ωC)を

ω=50π

〔rad/s〕

よ り,

周 波 数 ω と,位 相 角 θを 求 め る.オ ー ム の 法 則 よ りIm

流 の 角 周 波 数=電 圧 の 角 周 波 数.

  電 流 の位 相 角 は,電 圧 の 位 相 角 に対 して,抵 抗 の 場 合 は 同 相,イ の 場 合 は π/2遅 れ(− π/2),コ iRの場 合:オ

ン ダ ク タ ンス

ンデ ンサ の場 合 は π/2進 む(+π/2).

ー ムの法則 よ り

位 相 角 は 電 圧 と 同 相 で あ る,θR=0radし

た が って

iLの 場 合: 位 相 角 は 電 圧 に 対 し て π/2遅

iCの場合:

量リ

用 い る.

 (2) 電 流 の 最 大 値Im,角 =Vm/Z,電

導 リア ク タ ンス ωL,容

れ る の で θL=− π/2〔rad〕.し

たが って

3.4 インピーダンス

  位 相 角 は 電 圧 に 対 し て π/2進

む の で θC=+π/2〔rad〕.し

たがって

答(1)

(2)

題 例

3.11

 図 は,同

じ正 弦 波 交 流

電 圧 を抵 抗R,イ

ンダ ク タ ンスL,

コ ンデ ンサCに

そ れぞれ加 えた と

き の 電 流 波 形 を示 す.図 て,次

を参 照 し

の 問 に答 え よ.

(1) 電 流 波 形a,b,cは (2) R,L,Cの

そ れ ぞ れ どの 素 子 に流 れ る電 流 か.

イ ン ピ ー ダ ン スZR,ZL,ZC間

に成 立 す る 関 係 を式 で 答 え

よ.

 (1) R,L,Cに 角 に 対 し て,Rに

同 じ交 流 電 圧 を加 え た 場 合 の 電 流 の 位 相 角 は,電 圧 の 位 相

つ い て は 同 相,Lに

電 流 の 位 相 角 は,コ

aは コ ンデ ンサCを

つ い て は π/2遅

ン デ ン サC,抵

流 れ る 電 流,bは

抗R,イ

れ,Cに

つ い て は π/2進

ン ダ ク タ ン スLの

抵 抗Rを

流 れ る 電 流,cは

む.

順 に 進 む の で,

イ ンダ クタ ン

スLを 流 れ る電 流 で あ る.  (2) a,b,cの

電 流 波 形 の 最 大 電 流 は い ず れ も同 じ大 き さで あ る こ と か ら,

各 イ ン ピ ー ダ ン ス も 等 し い こ と が わ か る.   加 え た 電 圧 の 最 大 値 をVm,そ す る と,Vm/ZR=Vm/ZL=Vm/ZCの =ZCの

れ ぞ れ の 素 子 の イ ン ピ ー ダ ン ス をZR,ZL,ZCと 関 係 が 図 よ り読 取 れ る.す

な わ ち, ZR=ZL

関 係 が 成 立 す る.

 答  (1) a:コ

ン デ ン サ,b:抵

抗,c:イ

ン ダ ク タ ン ス(2)ZR=ZL=ZC

解

練 習 問題 3.14 

次 の 文 中 の(①)∼(⑨)に

  角 周 波 数 ω 〔rad/s〕,最

適 当 な 語 句 や 記 号 を 記 入 せ よ.

大 電 圧Vm〔V〕

の 交 流 電 圧 をR〔 Ω〕の 抵 抗,L〔H〕

の イ ンダ

ク タ ン ス,C〔F〕 の コ ン デ ンサ に 加 え た場 合 の そ れ ぞ れ の イ ン ピ ー ダ ンス は,ZR=(①) 〔 Ω〕,ZL=(②)〔

Ω〕,  ZC=(③)〔

Ω〕 と な る.そ

れ ぞ れ の 素 子 を 流 れ る 最 大 電 流 は,

オ ー ム の 法 則 よ りImR=(④)〔A〕,ImL=(⑤)〔A〕,ImC=(⑥)〔A〕 れ る 電 流 の 位 相 は,加 合 は(⑧),コ

3.15 

え た 電 圧 に 対 し て,抵

る.こ

ンダク タ ンスの 場

と ベ ク トル 図 を 完 成 せ よ.た

だ し,ベ

ク トル 図 は,極

形

示 せ.

3.16 υ=200√2sin50πtの れ た.コ

抗 の 場 合 は(⑦),イ

素 子 を流

ンデ ン サ の 場 合 は(⑨).

図 の 回 路 を参 照 し,表

式 でVとIを

と な る.各

ン デ ンサCの

容 量 を求 め よ(特

の 場 合 の500mAも

3.17 υ=50√2sin10πt〔V〕 時 値 を求 め よ.

交 流 電 圧 を コ ン デ ン サCに

加 え た ら,500mAの

に 指 定 の な い と き の 電 圧,電

電流 が流

流 は 実 効 値 を用 い

実 効 値 で あ る).

を200μFの

コ ンデ ンサ に 加 え た と き に流 れ る 電 流iの 瞬

第3章  章末問題 1

.瞬

時 値 がυ=200√2sin{60πt+(2/3)π}〔V〕

の 正 弦 波 交流 に つ い て 次 の値

を 示 せ.   最 大 電 圧Vm〔V〕,角

周 波 数 ω 〔rad/s〕,位

相 角 θ 〔rad〕,周 波 数f〔Hz〕,周

期T〔s〕

2.瞬

時 値υ1=50sin{60πt+(1/4)π}〔V〕,υ2=10√2sin60πt〔V〕,υ3=

80√2sin{60πt−(3/4)π}〔V〕

3.図

を 極 座 標 表 示 の ベ ク トルV1,V2,V3で

表 せ.

に 示 す 回 路 の 誘 導 リア ク タ ン ス お よ び容 量 リ

ア ク タ ン ス を 求 め よ.た

だ し,L=300mH,C=

50μF,υ=100√2sin60πt〔V〕

と す る.

図3.13

4.図 600μFと

の 回 路 の 合 成 容 量Cを

求 め よ.た

だ し,C1=200μF,C2=800μF, 

す る.

図3.14

5.あ

る 交 流 電 圧υ を200mHの

(1/2)π}〔A〕

の 電 流 が 流 れ た.υ

イ ン ダ ク タ ン ス に 加 え た ら,i=10sin{60πt− の 瞬 時 値 を 求 め よ.

C3=

 交流回路の計算   交 流 回路 の 計 算 は,抵 抗R,イ

ン ダ ク タ ンスL,コ

ン デ ンサCに

よ る抵 抗 要 素(イ ンピー ダ ンス)を 求 め,電 圧(交 流 電圧)と 電 流(交 流 電 流)の 関 係 を 明 らか にす る こ と で あ る.ま た,電 圧 と電 流 の位 相 差 で あ る イ ン ピー ダ ン ス 角 の 計 算 も必 要 とな る.本 章 で はRLC 直 列 回 路 とRLC並

列 回 路 につ い て解 説 す る.ま

た,交 流 回路 で 消

費 され る"電 力"や 一 定 時 間内 の消 費 電 力 を 表 す"電 力 量"の 計 算 法 に つ い て解 説 す る.

キー ワ ー ド

R LC直 列 回 路,RLC並

列 回 路,合 成 イ ン ピー ダ ン ス,

イ ン ピ ー ダ ン ス 角,共 振,電 有 効 電力,皮

相 電力,無

圧 拡 大 率,電 流 拡 大 率,

効 電力,力

率

図4・1

(a) RLC直 列 回 路 の合 成 イ ン ピ ー ダ ン ス

(b)  イ ン ピ ー ダ ン ス 角 θ

  イ ン ピー ダ ンス 角 θは,電 圧Vと 電 流I(抵 抗Rに

加 わ る電 圧VRと 同相)と の位 相

差 を示 す.電 圧 に対 す る電 流 の 位 相 の 遅 れ角(電 流 に対 す る電 圧 の 進 み 角)を 示 す.

図4・2

図4・3

(c) 電 流 と各 素 子 に加 わ る電 圧  R

LC直

列 回 路 で は,実

〔A〕の 電 流 がR,L,Cに

効 値I=V/Z〔A〕,瞬 共 通 に 流 れ る.各 表4・1

時 値i=√2(V/Z)sin(ωt− 素 子 に 加 わ る 電 圧 を 表4・1に

θ) 示 す.

例題

4.1

  RLC直

列 回路 の イ ン ピ ー ダ ンスZお

イ ン ピ ー ダ ン ス 角 θを 求 め よ.ま 流i,各

素 子 に 加 わ る 電 圧υR,υL,υCを

た だ し,υ=100√2sin50πt〔V〕

解 

た,回

RLC直

列 回 路 に 関 して,イ

ピ ー ダ ンス 角 は

よび

路 を流 れ る電 瞬 時 値 で 示 せ.

と す る.

イ ン

ン ピ ー ダ ンス は 〓で求 め る.電 流 の 瞬 時 値 は

〓で 求 め る.各 素 子 に加 わ る電 圧 は,オ

ー ム の 法 則 にiを 代 入 して 求 め る.

υRはiと 同 相 υL はiよ り 〓進む

υC はiよ り〓遅 れ る

4.1 RLC直

列 回路

答 題 4.2

 図 のRLC直

列 回 路 に お い て,I=

5∠0〔A〕,R=5Ω,XL=4Ω,XC=2Ω

の と き,

そ れ ぞ れ の 素 子 に 加 わ る 電 圧VR,VL,VCお び こ れ らの 合 成 ベ ク トルVを

解

 R ,L,Cに

よ

図 示 せ よ.

交 流 電 流 を 流 した 場 合,電

圧 の 大 き さ は,オ

ームの法 則 よ り

〔素 子 の イ ン ピー ダ ンス × 電 流 値 〕で 求 め る こ とが で き る.各 素 子 に加 わ る電 圧 (起 電 力)の 位 相 は,電 C:π/2遅

流 の 位 相 に対 し てR:同

れ る(− π/2).

答

相,L:π/2進

み(+π/2),

例

練 習問 題 4.1 

図 を参 照 し,次

の 文 の(①)∼(⑧)に

適 当 な語句 や

記 号 を記 入 せ よ.   こ の 回 路 はRLC(①)回 ー ダ ン ス は ,R〔 い,Z=(②)〔

路 と 呼 ば れ,こ

Ω〕,L〔H〕,C〔F〕,角 Ω〕で 表 さ れ る.ま

る 電 流iの 位 相 の(③)を Vmsinωt〔V〕 る.回

周 波 数 ωの値 を用

た,電

圧υ の 位 相 に 対 す

イ ン ピ ー ダ ン ス 角 θと呼 び,θ=(④)で

の 場 合,回

路 を流 れ る 電 流iは,Zと

路 をi=Imsinωt〔A〕

4.2  次 の 回 路 に100V,50Hzの

4.3 

求 ま る.ま

θを 用 い てi=(⑤)〔A〕

の 電 流 が 流 れ る と き,R,L,Cに

(⑥)〔V〕,υL=(⑦)〔V〕,υC=(⑧)〔V〕

(1) R=5kΩ,C=5μFの

の 回路 の イ ンピ

た,υ= で 示 され

発 生 す る 起 電 力 はυR=

と な る.

電 圧 を加 え た と きに 流 れ る 電 流Iを 実 効 値 で 答 え よ.  (2) R=5kΩ,L=20Hの

直列 回路

R=5kΩ,XL=4kΩ,XC=2kΩのRLC直

直列 回路

列 回 路 の イ ン ピ ー ダ ン スZと

イ ンピー

ダ ン ス 角 θを 求 め よ.

4.4  R=10Ω,L=5mH,C=100μFのRLC直 イ ン ピ ー ダ ンスZと

のRLC直

発 生 す る起 電 力VR,VL,VCの

体 の 電 圧V(VR,VL,VCの

4.6 

電 圧 を加 え た と き の

イ ン ビー タ ン ス角 θを求 め よ.

4.5 R=1Ω,XL=2Ω,XC=1Ω

L,Cに

列 回 路 に50Hzの

sin10πt〔V〕,R=2kΩ,C=10μFと

の 電 流 を 流 し た と き,R,

ベ ク トル 式 を 求 め 図 示 せ よ.ま

合 成 ベ ク トル)を 求 め よ.

図 の 回 路 の イ ン ピー ダ ン スZと

求 め た 後,i,υR,υCを

列 回 路 に1∠0〔A〕

イ ン ピー ダ ンス 角 θを

瞬 時 値 で 示 せ.た

だ し,υ=100√2

す る.

た,図

よ り 回路 全

図4・4

(a) RLC並

列 回 路 の 合 成 イ ン ピー ダ ン ス

(b)  イ ン ピ ー ダ ン ス 角 θ

  イ ン ピー ダ ンス 角 θは,電 圧V(抵 位 相 差 を示 す.電

抗Rに

流 れ る電 流IRと 同 相)と 電 流I

圧 に対 す る 電 流 の 位 相 の 遅 れ 角(電 流 に対 す る 電 圧 の 進 み 角)

を示 す.

図4・5

図4・6

表4・2

題

例

4.3

 図 のRLC並 ー ダ ン スZお 求 め よ.ま

列 回路 の イ ン ピ

よ び イ ン ピ ー ダ ンス 角 θを

た,回

路 を 流 れ る 電 流i,各

子 に 流 れ る 電 流iR,iL,iCを た だ し,υ=100√2sin50πt〔V〕

素

瞬 時 値 で 示 せ. と す る.

解   RLC並

列 回路 に 関 して,イ ンピーダ ンス は

イ ン ピ ー ダ ンス 角 は

 で 求 ま り,電 流 の 瞬 時 値 は  で 求 め る.各 素 子 に 流 れ る電 流 は,オ

代 入 して 求 め る.

ー ム の 法 則 にυ を

4.2 RLC並

列 回路

答

題 例 4.4

 図 のRLC並

列 回 路 にお い て,

V=20∠0〔A〕,R=5Ω,XL=4Ω,XC= 2Ω の と き,そ

れ ぞ れの 素 子 に加 わ る電

圧IR,IL,ICお ルIを

よ び こ れ らの 合 成 ベ ク ト

図 示 せ よ.

解   R,L,Cに 〔電 圧 値/各

交 流 電 圧 を加 え た 場 合,電

流 の 大 き さ は,オ

ー ムの法則 よ り

素 子 の イ ン ピ ー ダ ンス 〕で 求 め る こ とが で き る.各 素 子 を流 れ る 電

流 の 位 相 は,電 圧 の位 相 に 対 してR:同 進 む(+π/2).

答

相,L:π/2遅

れ(− π/2),C:π/2

練 習問 題 4.7  図 を 参 照 し,次

の 文 の(①)∼(⑧)に

適当

な語句 や記号 を記入 せ よ.   こ の 回 路 はRLC(①)回

路 と呼 ば れ,こ

の イ ン ピ ー ダ ン ス は,R〔

の 回路

Ω〕,L〔H〕,C〔F〕,角

周 波 数 ω の 値 を用 い,Z=(②)〔

Ω〕で 表 さ れ る.

ま た,電

圧υ の 位 相 に 対 す る 電 流iの 位 相 の(③)を

(④)で

求 ま る.ま

てi=(⑤)〔A〕 iC=(⑧)〔A〕

た,υ=Vmsinωt〔V〕

で 示 さ れ る.各

路 を流 れ る 電 流iは,Zと

θを用 い

素 子 を流 れ る 電 流 はiR=(⑥)〔A〕,iL=(⑦)〔A〕,

と な る.

4.8  次 の 回路 に100V,50Hzの (1)R=5kΩ,C=5μFの

4.9 

の 場 合,回

イ ン ピー ダ ン ス 角 θと 呼 び,θ=

電 圧 を加 え た と きに 流 れ る電 流Iを 実 効 値 で 答 え よ.

並列 回路

R=5kΩ,XL=4kΩ,XC=2kΩ

 (2)R=5kΩ,L=20Hの

のRLC並

並 列 回路

列 回 路 の イ ン ピ ー ダ ン スZと

イ ンピー

ダ ンス 角 θを求 め よ.

4.10 

R=10Ω,L=5mH,C=100μFのRLC並

の イ ン ピ− ダ ンスZと

4.11 R=5Ω,XL=5Ω,XC=2.5Ω き,R,L,Cに

列 回 路 に50Hzの

電 圧 を加 え た と き

イ ン ピ ー ダ ン ス 角 θを求 め よ.

のRLC並

流 れ る 電 流IR,IL,ICの

列 回 路 に100∠0〔V〕

ベ ク トル 式 を も と め,図

り 回路 全 体 を流 れ る 電 流I(IR,IL,ICの

合 成 ベ ク トル)を 求 め よ.

4.12 

イ ンピー ダ ン

図 の 回 路 の イ ン ピー ダ ンスZと

ス 角 θ を 求 め た 後,i,iR,iLを υ =100√2sin10πt〔V〕,R=40Ω,L=1Hと

瞬 時 値 で 示 せ.た

だ し, す る.

の 電 圧 を加 え た と

示 せ よ.ま

た,図

よ

  RLC直

列 回路 お よびRLC並

と コ ンデ ンサCの

列 回路 に お い て,コ

イ ルLの 誘 導 リア ク タ ンスXL

容 量 リア ク タ ン スXCが 等 しい と き,回 路 は 共 振 状 態 に な る. 表4・3

例題 4.5

 図 のRLC直

列 回 路 に お い て,次

の問 に答 え よ.

(1) 共 振 周 波 数frを 求 め よ. (2) 共 振 時 の 誘 導 リ ア ク タ ン スXLお リ ア タ タ ン スXCを

求 め よ.

(3) 共 振 時 の 電 流Irを (4) 接 続 をRLC並

よび容量

求 め よ.

列 回 路 に し,fr,XL,Xc,Ir

を 求 め よ.

解  (1) 共 振 周 波 数〓

で あ る の で,

(2) 共 振 周 波 数frよ り共 振 時 の 角 周 波 数 ωを求 め,誘 導 リア ク タ ンスXL=ωL, 容 量 リ ア ク タ ンスXc=1/ω0を

求 め る.

(共振 時 のXLとXCは

(3) 共 振 時 の 電流Ir=V/R(実

(4) RLC直

列 回 路 とRLC並

効 値)で

あ る の で,

列 回 路 のRr,XL,XC,Irは

答  (1) (3)

等 しい)

同 じで あ る.

(2) (4) RLC直 列 回 路 と 同 じ

題

例

解

4.3 共 振 回 路

4.6

 図 のRLC直

列 回路 に お い て 次 の 問 に答 え よ.

(1) 共 振 周 波 数frは い く ら か. (2) 共 振 電 流Irは

い く ら か.

(3) 共 振 時 のVR,VL,VCの VCは

大 き さVR,VL,

い く ら か.

(4) 共 振 時 の(Vab)の 大 き さVabは い く らか.

 (1)

(2)

(3)

(4) VR,VL,VCを ルVabの

ベ ク トル 図 に 示 し,合

成ベ ク ト

大 き さ を 求 め る.

図より

答 (1)563Hz

 (2)1A

 (3)VR=100V,VL=70.7V,VC=70.7V 

(4)0V

練 習問 題 4.13   

次 の 文 の(①)∼(⑥)に

R〔 Ω〕,L〔H〕,C〔F〕

適 当 な 語 句 や 記 号 を 記 入 せ よ.

のRLC直

回 路 を流 れ る 電 流 が(①)に の 周 波 数 はfr(③)〔Hz〕

列 回路 に お い て,電

な る と こ ろ が あ る.こ と な る.ま

た,R〔

源 の 周 波 数 を変 化 さ せ て い く と,

の 状 態 を(②)と

Ω〕,L〔H〕,C〔F〕

い い,こ

のRLC並

い て,電

源 の 周 波 数 を 変 化 さ せ て い く と,回 路 を 流 れ る 電 流 が(④)に

あ る.こ

の 状 態 を(⑤)と

4.14 

図 のRLC直

い い,こ

の と き の 周 波 数 はfr=(⑥)〔Hz〕

列 回 路 に お け る 共 振 時 の 電 圧 値VR,VL,VCを

の とき

列 回路 にお なる ところが

と な る.

求 め よ.ま

た,こ

の

回路 の電圧 拡大 率Qを 求 め よ.

4.15 

図 のRLC並

列 回 路 に お け る 共 振 時 の 電 流 値I,IR,IL,ICを

求 め よ.ま

た,こ

の 回路 の電流 拡大 率Qを 求 め よ.

4.16 

交 流 電 源 が50kHzの

スL=250mH対

して,コ

と き に 共 振 す るRLC直 ンデ ンサCの

列 回 路 を 作 る と き,イ

容 量 をい く ら に す れ ば よ い か.

ン ダク タ ン

  交 流 回 路 に お い て も,直 流 回 路 と同様 に 電気 エ ネ ル ギ ー が消 費 され,電 力 とな る.交 流 の 場 合 は,有 効 電 力,皮

相 電 力,無 効 電 力 と区 別 さ れ扱 わ れ る. 表4・4

題 例 4.7

 回 路(a),(b)の

力 率,皮 相 電 力,有 効 電 力,無 効 電 力 を求 め よ.

解  回 路(a)に

ついて

直 列 回路 の 力 率 は,

皮相 電力 有効 電力

(図(a)参

照)

無効電力 回 路(b)に

ついて

並 列 回 路 の力 率 は,

皮相電力 有効電力 (図(b)参 照)

無効電力

解 

4. 4 交流電力

(b)  並 列 回路

(a) 直列 回 路 答   回 路(a):力

率cosθ

≒89%,皮

相 電 力PS≒358V・A,有

効 電 力P=320W,

無 効 電 力Pq=160var   回 路(b):力

率cosθ ≒89%,皮

相 電 力PS≒5.6kV・A,有

効 電 力P=5kW,

無 効 電 力Pq=2.5kvar

例題

4.8  あ る 回 路 にυ=100√2sinωt〔V〕

sin{ωt−(π/4)}〔A〕 力,無

の 電 圧 を 加 え た と き,i=20√2

の 電 流 が 流 れ た.こ

の 回 路 の 力 率,有

効 電 力,皮

相電

効 電 力 を 求 め よ.

イ ン ピ ー ダ ン ス 角 θ=π/4=45°

よ り,

力率 電圧(実 効値) 電流(実 効値) 有 効電力 皮相電力 無効電力 答 力 率:71%,有

効 電 力:1.41kW,皮

相 電 力2.00kV・A,無

効 電 力1.41kvar

練習 問 題 4.17 

次 の 文 の(①)∼(⑦)に

適 当 な 語 句 また は 記 号 を 記 入 せ よ.

  あ る 回 路 にV〔V〕 の 交 流 電 圧 を 加 え た と き,I〔A〕 電 力 は,電 力P=(①)〔(②)〕,無 で 求 め られ る.ま

た,電

図 の 回 路 の 容 量 リ ア ク タ ン ス とXCと

4.19 

図 の 回 路 に お い て 次 の(1)か

ら(6)の

  (1) イ ン ピ ー ダ ンスZ 

(2) 電 圧Vと

  (3) 力 率cosθ 

(4) 電 流I

4.20 

図(a)の

た だ し,π=3.14で

の と きの 交 流

相 電 力PS=(⑤)〔(⑥)〕

圧 と電 流 の 位 相 差 は 力 率 と呼 ば れ(⑦)で

4.18 

 (5) 皮 相 電 力PS 

の 電 流 が 流 れ た.こ

効 電 力Pq=(③)〔(④)〕,皮

示 さ れ る.

有 効 電 力 を求 め よ.

値 を求 め よ.

電 流Iの 位 相 差 θ

(6) 消 費 電 力P

回 路 に 同 図(b)で

示 さ れ る 電 圧υ を 加 え た と き,次

計 算 せ よ.

(a)

(b)

の 表 を 完 成 せ よ.

第4章  章末問題 1.図

の 回 路 の イ ン ピ ー ダ ン スZと

ス 角 θ を 求 め た 後,i,υR,υCを

イ ン ピー ダ ン

瞬 時 値 で 示 せ.た

だ し,υ=200√2sin50πt〔V〕,R=10kΩ,C= 2μFと

す る.

図4・7

2.図

のRLC直

列 回 路 の イ ン ピ ー ダ ン スZお

び イ ン ピ ー ダ ン ス 角 θを 求 め た 後,回 流i,各 せ.た

路 を流 れ る電

素 子 に 加 わ る 電 圧υR,υL,υCを

瞬時値 で示

だ し,R=10Ω,L=30mH,C=20μF,υ=

100√2sin60πt〔V〕

3.図

のRLC並

と す る.

図4・8

列 回 路 の イ ン ピー ダ ン スZお

イ ン ピ ー ダ ン ス 角 θ を 求 め よ.ま 電 流i,各 せ.た

よ

た,回

よび

路 を流 れ る

素 子 に 流 れ る 電 流iR,iL,iCを

瞬時値 で示

だ し,R=10Ω,L=30mH,C=20μF,υ=

100√2sin60πt〔V〕

図4・9

と す る.

4.R=100Ω,L=20mH,C=1.0μFのRLC直 値VR,VL,VCを

電 圧 拡 大 率Qを

5.あ

求 め よ.た

だ し,電

列 回路 にお け る 共 振 時 の 電 圧 源 電 圧V=100Vと

す る.ま

た,こ

の回路の

求 め よ.

る 回 路 にυ=200√2sin50πt〔V〕

{50πt−(π/6)}〔A〕

無 効 電 力 を 求 め よ.

の 電 流 が 流 れ た.こ

の 電 圧 を 加 え た と き,i=20√2sin の 回 路 の 力 率,有

効 電 力,皮

相 電 力,

 記 号法 による

交流回路の計算   記 号 法 で は,交 流 回路 に お け る電 圧,電

流,抵 抗 成 分 を,複 素 数

を用 い た ベ ク トル 式 で 表 す 手 法 で あ る.   記 号 法 を用 い る と,直 流 回路 で 学 ん だ オ ー ム の法 則,重 定 理,キ

ね合 せ の

ル ヒ ホ ッ フの 法 則 な どの 法 則 を 交 流 回路 に 適 用 す る こ とが

で きる.   本 章 で は,記 号 法 を用 い た 交 流 回路 の 計 算 を学 ぶ.

キー ワ ー ド

極 座 標 表 示,複 素 数 表 示,記 号 法,交 流 ブ リ ッ ジ, キル ヒホ ッ フの 法 則,重

ね合 せの定理

  電 流 や 電 圧 の 大 き さ と方 向 は,ベ

ク トル を 用 い て 示 す こ とが で き る.ベ

は 極 座 標 や 複 素 数 で 表 され る. (a) 極 座 標 表 示 と複 素 数 表 示

図5・1

(b) 極 座標表示 と複 素数表示 の変換

図5・2

和:差:積: 商:

(c) 複 素 数 を 用 い た ベ ク トル の 計 算(例:V1=a1+jb1,V2=a2+jb2)

ク トル

題

例

5.1   図 の ベ ク トルA,B,C,Dを

 

X軸

を実 数,Y軸

を虚 数 と して 読 み 取 り,X+jYで

  ベ ク トルA=2−j2,B=4+j2を

用 い て,次

￨ ￨は ベ ク トル の 大 き さ を示 す.

(1)

 (2)

 (3)

 (4)

(5)

 (6)

 (7)

 (8)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

表 す.

答

題 例 5.2

複 素 数 で 表 示 せ よ.

の 値 を 計 算 せ よ.

解

5.1 極 座標表示 と複素数 表示

(8) 答  (1)6

 (2)6 

 (6)4√10

(3)−2−j4 

(4)2√5 

(5)12−j4

 (8)√10/5

 (7)1/5−j3/5

題 例 5.3

 次 に示 す ベ ク トル に つ い て,極 座 標 表 示 の もの は複 素 数 表 示 に,

複素 数表示の ものは極 座標表示 に変換せ よ. (1) 5√2+j5√2

 (2) 4+j4√3 

(3) −j4

 (4) 4√2∠π/4

 (5) 5√2∠3π/4

解  ベ ク トル 図 を描 い て 解 く.

(1) (2) (3) (4) (5)

(1)

 (2)

(4)

 (5)

答  (1)

 (2)

 (3)

 (3)

 (4)

(5)

題

問 習

練 5.1  次 の 複 素 数 の 計 算 を せ よ. (1)3×j

 (2)j+j

 (4)−j2×j3

 (3)j×j

 (5)3/{(2+j)(2−j)}

5.2  次 の ベ ク トル を 図 示 せ よ. V1=3+j

 V2=−3+j 

V3=2−j2 

5.3  図 の ベ ク トルA,B,C,Dを

5.4 

(5)2A−B 

 (2)￨B￨  (6)A×B

V5=−2−j

極 座 標 表 示 お よ び 複 素 数 表 示 で 示 せ.

次 の ベ ク ト ル の 計 算 を せ よ.た

(1)￨A￨

V4=4+j3 

だ しA=4+j2,B=−1+jと

(3)A+B 

す る.

(4)￨A+B￨ 

 (7)A÷B

5.5 υ=50√2sinωt〔V〕,i=10√2sin{ωt+(2π/3)}〔A〕

の 電 圧 お よ び 電 流 を,極

標 表示 のベ ク トル と複 素数 表示 の ベ ク トル に変換せ よ.

5.6  電 圧V=100V,電

流I=10√3−j10〔A〕

を瞬 時 値 で 示 せ.

座

(a) 記 号 法  記 号 法 で は 複 素 数 で 交 流 回 路 を扱 い,代 数 的 に 交 流 回路 を解 くこ とが で きる. (b) R,L,C回

路

表5・1

(c) RLC直 列 回路,RLC並

(a) RLC直

列 回路

列回路

(b) RLC並 図5・3

列 回路

解

表5・2

例題

5.4  図(a),(b),(c)の

し,電

圧V=100Vと

(a)

回 路 を 流 れ る 電 流Ia,Ib,Icを

求 め よ.た

す る.

(b)

(c)

(電流 の 位 相 は電 圧 と同 じ)

(電流 の位 相 は電 圧 よ り π/2遅 れ る)

(電流 の位 相 は電 圧 よ り π/2進 む)

答

だ

例題

5.5  図 の 回 路 に お い て 電 圧Vg,VL,VC,

VPを 求 め よ.た

だ し,I=1+j2〔A〕

解

答

例題

5.6

IR,IL,IC,Iを

 図 の 回路 に お い て 電 流

V=100-j10〔V〕

解

答

求 め よ.た と す る.

だ し,

と す る.

練 習 問題 5.7 

図 の 回 路(a),(b)の

合 成 イ ン ピ ー ダ ンス を

求 め よ.

(a) 5.8 

図 のRLC直

100Vを

列 回 路 に,周

波 数50Hzの

(b)

交 流 電 圧V=

加 え た と き,次 の 問 に答 え よ.

  (1) 回 路 の イ ン ピ ー ダ ンスZを 求 め よ.   (2) 回 路 を流 れ る 電 流Iお よ び そ の 大 き さIを 求 め よ.

5.9 

図 のRLC並

数60Hzの

列 回 路 に,周

交 流 電 圧V=100Vを

波 加

え た と き の 回路 を 流 れ る電 流Iお

よ

び そ の 大 き さIを 求 め よ.

5.10 

Z=10+j5〔

Ω〕の イ ン ピ ー ダ ン ス を もつ 回 路 に,V=200Vの

電圧 を加 え た とき

に 流 れ る 電 流Iと そ の 大 き さIを 求 め よ.

5.11 

Z1=6Ω,Z2=4+j2〔

Ω〕が 直 列 に接 続 され て い る 回 路 に,電

〔A〕の 電 流 を 流 した と きに 発 生 す る起 電 力Vと

そ の 大 き さVを

流I=100〓

求 め よ.

(a) 交 流 ブ リ ッ ジ   4個 の イ ン ピ ー ダ ン スZ1,Z2,Z3,Z4を

図 の よ う に 接 続 した 回 路 を交 流 ブ リ ッ

ジ と い う.

図5・4

(b) ブ リ ッジ の 平 衡 条 件   向 か い 合 う 辺 の イ ン ピ ー ダ ンス を掛 け 合 わせ た 値Z1Z3お き,b‐c間(検

出 器D)に

電 流 は流 れ な い.こ

よ びZ2Z4が 等 しい と

の 状 態 を ブ リ ッ ジの 平 衡 状 態 と

呼 ぶ.

図5・5

(c) 交 流 ブ リ ッ ジ の利 用   交 流 ブ リ ッ ジ は,コ の 測 定 に用 い られ る.

イ ル の イ ン ダ ク タ ンス,コ

ンデ ンサ の 静 電 容 量,抵 抗 な ど

題

例

5.7

 図 の ブ リ ッ ジ 回路 に お い て,コ

ンデ ンサC2の

値 を 求 め よ.た だ し,ブ リ ッ ジ 回路 は 平 衡 状 態 とす る.

解  ブ リ ッ ジ の 平 衡 条 件(向

か い 合 う辺 の イ ン ピ ー ダ ンス の 積 が 等 しい)よ

り,

よ っ て,

題

例

答   25pF

5.8  図 の ブ リ ッ ジ 回 路 で,R1=5kΩ,R2=1kΩ, L=20mHの

と き,こ

の ブ リ ッ ジ は 平 衡 状 態 と な っ た.

こ の と き の コ ン デ ン サCの

値 を 求 め よ.

解  ブ リ ッ ジ の平 衡 条 件 よ り

よ っ て,

答   4nF

5.3 交 流 ブ リ ッジ

題 例

5.9

 図 の ブ リ ッジが 平 衡 状 態 に あ る と き,

(1) R3,L2を

式 で 示 せ.

(2) R1=10Ω,R4=2Ω,L3=200mHの

と き のL2の

値 を 求 め よ.

解

 (1)各

辺 の イ ン ピ ー ダ ン ス は,Z1=R1〔

jωL3〔 Ω 〕,Z4=R4〔

Ω 〕で あ る.ブ

Ω 〕,Z2=R2+jωL2〔

Ω 〕,Z3=R3+

リ ッジ の 平 衡 条 件 よ り

 この 式 を展 開 し,整 理 す る と

  複 素 数 の等 式 で は,左 辺 の 実 数 部 と右 辺 の 実 数 部,左

辺 の虚 数 部 と右 辺 の 虚 数

部 が そ れ ぞ れ 等 し くな る.こ の こ と よ り,

よっ て

 〓に代 入 す る と,

(2)

答  (1)R3=(R2R4)/R1〔

Ω〕,L2=(R1L3)/R4〔H〕(2)L2=1H

次 の 文 の(①)か

ら(④)の

題 問

習 練

5.12 

中 に 適 当 な 語 句 ま た は 記 号 を記 入 せ よ.

  4個 の イ ン ピ ー ダ ン ス を 図 の よ う に接 続 し た 回 路 を 交 流 ブ リ ッ ジ と呼 ぶ.各 ダ ン ス を 調 整 し て,検

出 器Dに

電流が流れな

く な っ た 状 態 を ブ リ ッ ジ の(①)と の と きb点

とc点

の 電 位 は(②).ま

の と き イ ン ピ ー ダ ンスZ1,Z2,Z3,Z4の (③)の

関 係 式 が 成 り立 つ.こ

リ ッ ジ の(④)式

5.13 

い い,こ た,こ 間 には

の式 の こ とをブ

とい う.

図 の ブ リ ッ ジ 回 路 に,I=10mA(周

波 数f=50kHz)

の 電 流 を流 した と き,こ の ブ リ ッ ジ は 平 衡 状 態 と な っ た.次R1=2・5kΩ の 問 に 答 え よ. (1) b点

か らc点

に流 れ る 電 流Icbを 求 め よ.

(2) Lの 値 を求 め よ.

5.14 

R4=20Ω のR2,L2の

5.15 

図 の ブ リ ッ ジ 回 路 で,R1=10Ω,R3=120Ω,L3=8mH,

の と き,こ

の ブ リ ッ ジ は 平 衡 状 態 と な っ た.こ

値 を 求 め よ.

図 の ブ リ ッ ジ 回 路 に お け るa‐d間

の 合 成 イ ン ピ ー ダ ン スZを

求 め よ.た

ブ リ ッ ジ は 平 衡 状 態 とす る.

だ し,

の とき

、

イ ン ピー

(a) 第1法 則(電

流 に関 す る法 則)

 回路 中 の 任 意 の接 続 点 に お い て,"流 入 す る 電流 の 和"と"流

出す る 電 流 の和"

は 等 し い.

図5・6

(b) 第2法 則(電 圧 に 関 す る 法 則)  任 意 の 閉 回 路 に お い て,"電

源 電 圧 の和"と"各

抵 抗 に よ る 電 圧 降 下 の和"は

等 し い.

図5・7

題

例

5.10

 図 の 回 路 に つ い て 次 の 問 に答 え よ.た し,回 路 中 を 流 れ る電 流I,IR,ILは〓

だ

の 向 き に流

れ る と仮 定 す る. (1) 接 続 点aに

つ い て,キ

ル ヒ ホ ッ フ の 第1法 則

(電 流 に 関す る法 則)に よ る式 を た て よ. (2) 閉 回 路 ①,②   仮 定 した と き,キ

に 流 れ る電 流 の 向 き を 図 の よ う に ル ヒ ホ ッ フ の 第2法 則(電 圧 に 関

  す る法 則)に よ る式 をた て よ. (3) Iを 求 め よ.

解  (1) a点

で は,"流

出 す る 電 流IR,ILの

入 す る 電 流1"と"流

和"は

等 し い の で,次

式が

成 り立 つ.

 (2) 閉 回 路 につ い て,電 源 電 圧 の和=電

圧 降 下 の和 で あ る.

 閉 回 路①:電

源 電 圧 はV,電

圧 降 下 はIRR(①

と同 じ向 き)な の で

  閉 回 路②:電

源 電 圧 は0(な

し),電 圧 降 下 は−RIR(②

と逆 向 き),jXLIL(②

同 じ向 き)な の で

 (3)

答  (1)I=IR+IL 

(2)閉

回 路 ①:V=RIR,閉

例

題

 (3)I=10−j2〔A〕 5.11

 図 の 回 路 を流 れ る 電 流jR,

IL,IC,を

キ ル ヒ ホ ッ フの 法 則 を用 い て

求 め よ.

解  ま ず 電 源V1と

電 源V2に 注 目 し,閉

回 路 ①,

② の 電 流 の 向 き を仮 定 す る.   次 に接 続 点aま

た はbに

対 して キ ル ヒ ホ ッ フの

第1法 則 を適 用 し,電 流 の 式 を た て る.

回 路 ②:0=−RIR+jXLIL

と

5.4 キル ホ ツワ の法 則の適用

 接続 点a(接

続 点bも 同 じ)

 次 に キ ル ヒ ホ ッフ の 第2法 則 を閉 回路 ①,②

に 適 用 し,電 圧 の 式 を た て る.

閉 回路 ①:

閉回路② に関 して:   式 ① ∼ 式 ③ にR=10Ω,XC=20Ω,XL=30Ω,V1=200V,V2=j100Vを

し,連

立 方 程 式 を 解 きIR,IL,ICを

求 め る.

式② よ り

式③ よ り

式 ① のIL=IR+ICを

代 入 して

式 ④ と式 ⑤ に よ る 連 立 方 程 式 を解 く.

答 

IR=5.41+j2.43〔A〕,IC=−6.22−j7.30〔A〕,IL=−0.81−j4.86〔A〕

代 入

練

問題

習

5.16 

図 の 回 路 に 関 す る 次 の 問 に 答 え よ.た

だ し,電 流 の 向 き は 矢 印 の 方 向 に 流 れ る

と仮 定 す る. (1) a点

に 関 し,キ

ル ヒ ホ ッ フ の 第1法 則 に よ

る式 を た て よ. (2) 閉 回路 ① に 関 し て キ ル ヒ ホ ッ フの 第2法 則 に よ る 式 を た て よ. (3) 閉 回路 ② に 関 し て キ ル ヒ ホ ッ フの 第2法 則 に よ る 式 を た て よ.

5.17 

図 の 回 路 に お け るI1,I2,I3を

求 め よ.た

だ し,V=j100〔V〕,R=40Ω,XL=40Ω,XC= 80Ω

と す る.

5.18 

図 の 回 路 を 流 れ る 電 流IR,IL,Iを

求 め よ.

5.19 

図 の 回 路 のILを 求 め よ.た

XL=40Ω,XC=80Ω,  す る.

だ し,R=20Ω,

V1=100V,V2=j100〔V〕

と

(a) 重 ね 合 せ の 定 理   複 数 の 電 源 を用 い た 回 路 に流 れ る 電 流 は,そ れ ぞ れ の 電 源 が 単 独 で あ る 場 合 に 流 れ る 電 流 の 和 で あ る.

図5・8

(b) 回 路 を解 く手 順  ① 回路 網 に 含 ま れ る 電 源 ご と に,回

路 を分 解 す る(注

目す る 電 源 以 外 は シ ョ

ー トして い る と考 え る).  ② 分 解 した 回 路 ご との電 流 を求 め る(図 のI1',I1"な ど).  ③ ② で 求 め た 電 流 を重 ね合 せ て(和 ポ イ ン ト  図 の よ う に,求

を求 め),回

め る電 流(I1,I2,I3)を

I2とI2'とI2",I3とI3'とI3"の

例題

路 に流 れ る 電 流 を求 め る. 基 準 と し,I1とI1'とI1",

電 流 の 向 き を統 一 す る.

5.12

 図 の 回 路 に つ い て 次 の 問 に 答 え よ.た だ し,回 路 中 を流 れ る 電

流IR,IC,ILは〓

の 向 き に 流 れ る と 仮 定 す る.

(a) (1) 図(b)の

(b)

合 成 イ ン ピ ー ダ ン スZ1を

式 で 示 せ.

(c)

(2) 図(b)のIR1,IC1,IL1を (3) 図(c)の

式 で 示 せ.

合 成 イ ン ピ ー ダ ン スZ2を

(4)  図(c)のIR2,IC2,IL2を

式 で 示 せ.

式 で 示 せ.

解

(c)

(b)

(1) 図(b)よ

り合 成 イ ン ピ ー ダ ン スZ1は,

(2)

(3) 図(c)よ

(4)

答 (1) (2)

(3) (4)

り,合

成 イ ン ピ ー ダ ン スZ2は,

5. 5 重ね 合せの定理 の適用

例題

5.13

 重 ね合 せ の 定 理 を用 い て,図

流IRを

求 め よ.た

だ し,V1=200V,V2=j100V,R

=20Ω,XL=40Ω,XC=60Ω

解 

と す る.

V1に 注 目 した 回路 網(図

a)とV2に b)に

を流 れ る電

注 目 し た 回 路 網(図

お い て,a‐b間

ー ダ ン スZ1

,c‐d間

ー ダ ン スZ2を

の イ ンピ のイ ンピ

求 める.

重 ね 合 せ の 定 理 よ り,IR=IR1+IR2な

(a)

の で,IR1とIR2を

(b)

求 め る.

以 上 の 式 に値 を代 入 す る.

答

題 問 習 練

5.20 

図 の 回 路 を流 れ る 電 流IR,IL,IC,を

5.21 

図 の 回 路 を流 れ る 電 流IR,IL,Iを

5.22 

図 の 回 路 のICを

XC=80Ω,V1=100V,V2=j100〔V〕

重 ね 合 せ の 定 理 を 用 い て 求 め よ.

重 ね 合 せ の 定 理 を 用 い て 求 め よ.

重 ね 合 せ の 定 理 を 用 い て 求 め よ.た と す る.

だ し,R=20Ω,XL=40Ω,

5章  章末問題 1.  電 圧υ=100√2sinωt〔V〕,電

流i=20√2sin{ωt−(4π/3)}〔A〕

を,極

座 標

表 示 の ベ ク トル と複 素 数 表 示 の ベ ク トル に変 換 せ よ.

2.  電 圧V=200V,電

流I=10√2−j10〔A〕

を 瞬 時 値 で 示 せ.た

だ し,ω=50π

と す る.

3. R=50Ω,L=0.4H,C=0.5mFのRLC直 電 圧V=200Vを

列 回 路 に,周

加 え た と き,次

(1) 回 路 の イ ン ピ ー ダ ン スZを (2) 回 路 を 流 れ る 電 流Iお

交流

波 数50Hzの

交流

の 問 に 答 え よ. 求 め よ.

よ び そ の 大 き さIを 求 め よ.

4.  R=50Ω,L=0.4H,C=0.5mFのRLC並 電 圧V=200Vを

波 数60Hzの

列 回 路 に,周

加 え た と き の 回 路 を 流 れ る 電 流Iお

よ び そ の 大 き さIを 求 め よ.

5.  図 の ブ リ ッ ジ 回 路 で,R1=50Ω,R3=100Ω, L3=6mH,R4=40Ω 態 と な っ た.こ

の と き,こ の と き のR2,L2の

の ブ リ ッジ は平 衡 状 値 を 求 め よ.

図5・9

6.  図 の 回 路 に お け るI1,I2,I3を

求 め よ.た

だ し,V=200V,R=50Ω,XL=50Ω,XC= 100Ω

と す る.

図5・10

 三相交流 と 非正弦波交流   交 流 に は 家 庭 で使 用 して い る単 相 交 流 の他 に,工 場 の モ ー タ な ど に 使 わ れ る三 相 交 流 が あ る.三 相 交 流 は,位 相 が そ れ ぞ れ120。 ず れ た3種 の 単 相 交 流 を合 わせ た もの で,3本   本 章 で は,三相

交 流 の 電 圧,電

結 線 に つ い て 学 ぶ.ま

の 電 線 を用 い て 送 電 され る.

流,電 力 の取 り扱 いや 三 相交 流 の

た,非 正 弦 波 交 流(ひ

ず み 波 交 流)や

過渡現

象 につ い て も学 ぶ.

キー ワ ー ド

三 相 交 流,Υ 結 線,△ 結 線,三 路,非 正 弦 波 交 流,ひ 微 分 回 路,積

分 回路

相 電 力,平

衡三相 回

ず み 率,過 渡 現 象,時 定 数,

(a) 三 相 交 流 回 路   位 相 が(2/3)π 〔rad〕(120°)ず つ ず れ た3種 の 単 相 交 流 に よ り構 成 され る.三 相 交 流 電 圧 の 各 相 の 瞬 時 値 の 和 は0に な る.

(a)  瞬 時値 表示

(b)  ベ ク トル表 示 図6・1

(b) 三 相 交流 回 路 の 表 し方 表6・1

(c) Υ(星)形

結 線 と△(三 角)形 結 線

(a) Υ 結線

(b) △結 線 図6・2

題 例 6.1

 図 に 示 す 三 相 交 流 の 相 電 圧 の 波 形 を 参 照 し,次 の 問 に 答 え よ. た だ し,各

電 圧 の 角 周 波 数 を50π

〔rad/s〕

(1) 各 相 の 電 圧 を 瞬 時 値υa,υb,υcで

と す る.

示 せ.

(2) 各 相 のVa,Vb,Vcを

極 座 標 ベ ク トル の式 お よ び 図 で示 せ.

(3) 各 相 のVa,Vb,Vcを

複 素 数 の 式 お よ び 図 で 示 せ.

(4) 三 相 交 流 の各 相 電 圧Va,Vb,Vcの

和 が0に な る こ と を複 素 数 を用 い て

示 せ.

解  (1) 基 準 とな るa相 の 電 圧υaを 波 形 図 よ り求 め る.   最 大 値Vm=100√2V,角

周 波 数 ω=50π

〔rad/s〕

な の でυa=Vmsin(ωt+θ)

=100√2sin50πt〔V〕   a相 に 対 し て,b相

は(2/3)π,c相

 (2) a相 の 電 圧υa=100√2sin50πt〔V〕

最 大値 実 効値 し た が っ て,

は(4/3)π

か ら

位相 が遅れ るので

6.1 三相交流 の基礎

  ベ ク トル 図 はVaを てVbとVcを

基 準 に し,(2/3)π

ず つ 遅 らせ

描 く.

  (3) ま ず,ベ

ク トル 図 を 描 き,Va,Vb,Vcの

実数

部 と虚 数 部 を 読 み 取 る.

Vaの 実 数 部 は100V,虚 Vbの 実 数 部 は−50V,虚

数 部 は −j50√3

Vcの 実 数 部 は−50V,虚

数 部 はj50√3

 し た が っ て,

(4) 答  (1)

 (2)

 (3)  (4)

数 部 は0V

練習 問 題 6.1 

図 の(a),(b)は,Υ

結 線 お よ び △ 結 線 の 三 相 交 流 回 路 を 示 し た も の で あ る.図

参 照 し次 の 文 中 の(①)∼(④)を   Va,Vb,Vcは(①)電 IB,ICは(④)電

埋 め よ.

圧,VAB,VBC,VCAは(②)電

圧,Ia,Ib,Icは(③)電

流,IA,

流 と呼 ぶ.

(a) 6.2  図(a),(b)を

参 照 し,次

(b) の 問 に 答 え よ.

(a) (1) (a),(b)の

を

(b)

結 線 は そ れ ぞ れ どの よ う に 呼 ば れ る か.

(2) 相 電 圧 と線 間 電 圧 が 等 しい の は,(a),(b)ど (3) 相 電 流 と線 電 流 が 等 しい の は,(a),(b)ど

6.3  a相 の 相 電 圧 が200√2∠0〔V〕

ち らの 結 線 か. ち ら の 結 線 か.

の 三 相 交 流 電 源 のb,c相

の 相 電 圧 を極 座 標 表 示 せ

よ.

6.4  c相 がVc=100+j100√3〔V〕 複 素 数 表 示 せ よ.

の 相 電 圧 を も つ 三 相 交 流 電 源 のa,b相

の相電 圧 を

(a) Y結 線,△ 結 線 の 性 質

図6・3

(a)  Y結 線

(b)  △結線 図6・4

(b) 三 相 電 力  ① 各 相 ご と に オ ー ム の 法 則 が 適 用 で きる.  ② 各 相 の 電 力 は等 しい.相  ③ 三相 電 力=3×

電 力=相

相 電 力=3×

電 圧 ×相 電 流 ×力 率

相 電 圧 ×相 電 流 ×力 率

=√3× 線 間 電圧 ×線 電 流 ×力 率=√3VIcosθ (各電 圧,電

〔W〕

流 の 値 は 実 効 値 とす る)

(c) 平 衡 三 相 回 路   各 相 の イ ン ピー ダ ン ス が 等 しい と き を平 衡 三 相 回 路 とい い,こ Icを 平 衡 三 相 交 流 と呼 ぶ.

の と きのIa,Ib,

解

例題

6.2

 図 に,a相

の 電 圧 がVa=V〔V〕

のΥ 結 線 三 相 交 流 回 路 を 示 す.図

を参 照 し,

次 の 問 に 答 え よ. (1) b相 の 電 圧 を複 素 数 表 示 せ よ. (2) c相 の 電圧 を複 素 数 表 示 せ よ. (3) 線 間 電 圧VAB,VBC,VCAを (4) 線 間 電圧VABは

求 め よ.

相 電圧Vaに 対 して,ど の く ら い位 相 が ず れ る か.ま

大 き さ は何 倍 に な る か.

(b)

(a) (1) 図(a)か ら, (2) 図(a)か ら,

(3)

(4) VaとVABの

ベ ク トル 図 を描 き,位 相 角 と￨VAB￨を

求 め る.

答 (1) (2) (3)

(4) 位 相 は π/6進

み,大

き さ は√3倍 と な る.

た,

 Υ 解

6. 2

例題

結線と△ (デ ルタ) 結線

6.3

 図 にa相 の 電 流 がIa=I〔A〕

△ 結 線 三 相 交 流 回路 を示 す.図

の

を参 照 し,

次 の 問 に 答 え よ. (1) b相 の 電 流 を複 素 数 表 示 せ よ. (2) c相 の 電 流 を複 素 数 表 示 せ よ. (3) 線 電 流IA,IB,ICを

求 め よ.

(4) 線 電 流IAは 相 電 流Iaに 対 して,ど くらい 位 相 が ず れ るか.ま

た,大

の

き き は何 倍 に な るか.

(b)

(a) (1) 図(a)か ら (2) 図(a)か ら (3) キ ル ヒ ホ ッ フ の 第1法

(4) IAとIaの

答

(1)

則 よ り,

ベ ク トル 図 を 描 き,位

相 角 と￨IA￨を

求 め る.

 (2)

 (3)  (4) 位 相 は π/6遅

れ,大

き さ は√3倍 と な る.

練 習問 題 6.5  次 の 文 の(①)∼(⑩)に

適 当 な語 句 や 記 号 を 記 入 せ よ.

  三 相 交 流 回 路 のΥ 結 線 で は,(①)電 進 み,大

き さ が(④)倍

△ 結 線 で は,(⑥)電 (⑨)倍

圧 は(②)電

と な り,(②)電 流 は(⑦)電

と な り,(⑦)電

圧 に 対 して,位

流 と(⑤)電

流 に 対 し て,位

圧 と(⑩)電

相 が(⑧)〔rad〕

れ の 結 線 に 対 して 次 の 値 を 求 め よ.た

(4) 力 率(cosθ) 

6.7  線 間 電 圧 が200V,線

遅 れ,大

き さが

三 相 交 流 電 圧 を加 え た と き,そ れ ぞ

だ し,R=10Ω,XL=8Ω

と す る.

(b)  △結線

(a) Υ結 線

(2) 相 電 圧  

れ に対 して,

圧 は 等 し い.

6.6  図 のΥ 結 線 お よ び △ 結 線 の 回 路 にV=200Vの

(1) 線 間 電 圧  

相 が(③)〔rad〕

流 は 等 しい.こ

(3) 各 相 の イ ン ピー ダ ン ス の 大 き さ 

(5) 線 電 流  

(6) 相 電 流  

電 流 が2A,cosθ=0.9のΥ

(7) 相 電 力

  (8)三

相電 力

結 線 三相 交流 回路 の三相 電 力 を

求 め よ.

6.8  線 間 電 圧 が200V,線

電 流 が2A,cosθ=0.9の

△ 結線 三相 交 流 回路 の三 相電 力 を

求 め よ.

6.9  線 間 電 圧=200V,cosθ=0.8,三 を求 め よ.

相 電 力=10kWのΥ

結線 三相 交流 回路 の線 電流

(a) 非 正 弦 波 交 流  正 弦 波 で な い交 流 で,最 大 値,周

波 数,位

相 の 異 な る 正 弦 波 交 流 を合 成 した も

の と して扱 う.

図6・5

直流分

  基本波

第3調 波

 上 式 に お い て,第2調

 第2調波

 第n調 波

波 以 降 の 波 を 高 調 波 とい う.

(b) 非正弦 波交流 のひずみ率 ひ ず み 率k=

高調波 分の実効値 /基本波の実効 値

  ひ ず み 率 の値 が 小 さい ほ ど正 弦 波 に 近 い. (c) 非 正 弦 波 交 流 回 路 の 電 流  非 正 弦 波 交 流 回 路 の電 流 は,各 調 波 ご との 電 流 値 の 和 とな る.

題 例  図 の 非 正 弦 波 交 流υ の 瞬 時 値 を 求 め よ.

解  非 正 弦 波 交 流υ を構 成 す る 直 流 分V0,第1調

波(基 本 波)υ1,第3調

波υ3

を 波 形 よ り読 み 取 る.   振 幅 の 中 心 が25Vの は,最

位 置 に あ る の で,直

大 値√2V1=125−25=100V,周

数 ω1=2πf1=2× 関 し て は,最

π×2.5=5π,し

流 分V0=25V,第1調

波 数f1=1/(400×10-3)=2.5Hz,角

周波

た が っ てυ1=100sin5πt〔V〕,第3調

波υ3に

大値√2V3=50−25=25V,周

周 波 数ω3=2πf3=2×

波υ1に 関 し て

波 数f3=3/(400×10-3)=7.5Hz,角

π×7.5=15π,し

た が っ てυ3=25sin15πt〔V〕,以

上 の こ

と か らυ=V0+υ1+υ3=25+100sin5πt+25sin15πt〔V〕 答 υ=25+100sin5πt+25sin15πt〔V〕

例

題 解

6.4

6.5

 υ 1=100√2sin4πt〔V〕

を基 本 波 とす る 非 正 弦 波 交 流 電 圧 の 第5

調 波 の 周 波 数f5を 求 め よ.   非 正 弦 波 交 流 の 第5調 100√2sin4πtな =20π

の で,ω=4π

〔rad/s〕,ω=2πfよ

波 は√2V5sin(5ωt+θ5)で で あ る.す

な わ ち 第5調

表 さ れ る.基

本 波 はυ1=

波 の 角 周 波 数 ω5=5×4π

りf5=ω5/(2π)=20π/2π=10Hz

答   10Hz

6.3 非正弦 波交流

題 例 6.6

 非 正 弦 波 交 流 電 圧υ=20+100√2sinωt−20√2sin2ωt+4√2 sin3ωt〔V〕

の ひ ず み 率 を 求 め よ.

解  ひ ず み 率k= で あ る.基

高調 波分の実効値/ 基本波 の実効値

本 波 の 実 効 値V1=100V,第2調

波 の 実 効 値V2=−20V,第3調

波の実

効 値V3=4V.

 した が っ て,ひ

ずみ率 は

題 例

答  20.4% 6.7   図 の 回 路 にυ=2+3√2sinωt+√2sin2ωt〔V〕

の非 正弦 波交流 電圧 を加 えた と き,回 路 を流 れる電流i を 求 め よ.

  直 流 成 分V0=2V,基 電 流I0,i1,i2の

本 波υ1=3√2sinωt,第2調

波υ2=√2sin2ωtご

和 を 求 め る.

答  i=1+1.5√2sinωt+0.5√2sin2ωt〔A〕

との

解

次 の 文 中 の(①)∼(⑥)に

問

適 当 な 語 句 や 記 号 を記 入 せ よ.

  非 正 弦 波 交 流 は(①),(②),(③)な た 交 流 と し て 表 され る.そ

6.11 

どが 異 な る い くつ か の 正 弦 波 交 流 を 合 成 し

の 一 般 式 は(④)成

分 と(⑤)波

と(⑥)波

に よ る.

次 の 非 正 弦 波 交 流 電 圧υ を図 示 せ よ.

6.12  基 本波 が50Hzで

6.13 

題

6.10 

習

練

第2調

あ る非正 弦波 交流 の第4調 波 の周 波数 を求 め よ.

波 が100sin20πt〔V〕

で あ る 非 正 弦 波 交 流 電 圧 の 第3調 波 の 周 波 数 を 求

め よ.

6.14 

図 の 回 路 にυ=100√2sinωt+80√2sin2ωt+40√2sin3ωt〔V〕

流 電 圧 を加 え た と き,回 路 を 流 れ る 電 流iを 求 め よ.た

だ し,ω=100rad/sと

の非正 弦波 交 す る.

(a) 過 渡 現 象   図 のRC直

列 回路 に お い て,コ

ンデ ンサ が 充 放 電 さ

れ る と きの 振 る舞 い を過 渡 現 象 と呼 ぶ.こ

の と き のR

〔 Ω〕 ×C〔F〕 の 値 を時 定 数 τ(s)と 呼 ぶ.コ

ンデ ンサ

の 充 放 電 速 度 は 時 定 数 τの 値 が 大 きい ほ ど遅 れ る.

図6・6

図6・7

図6・8

(b) 微 分 回 路 と積 分 回 路   パ ル ス 幅tp〔s〕,周 期T〔s〕 の 方 形 パ ル スυiをRC直 パ ル ス 幅tpに 比 べ,時

定 数 τ=RCが

列 回路 に 加 え た場 合,υiの

小 さ い場 合,υRはυiの 変 化 率 を 表 す.こ

よ う な 回路 を微 分 回 路 と呼 ぶ.υiの パ ル ス 幅tpに 対 して,時 定 数 τ=RCが 場 合,υCはυiの 時 間 的 な積 算 値 に比 例 す る.こ

(a) 微 分 回路(υRを 出力)

大 きい

の よ う な 回路 を積 分 回路 と呼 ぶ.

(b) 積 分 回路(υCを 出力) 図6・9

の

題 例

6.8

 図 のRC直

列 回 路 に お い て,ス

間tに 対 す る コ ンデ ンサCの

(E:電

充 電 電 圧VC(t)は

源 電圧,τ:時

イ ッチ を入 れ て か ら経 過 す る 時 次 の 式 で 示 さ れ る.

定 数R×C)

  この 式 を 用 い て 表 の① ∼ ⑥ を求 め,そ

の結 果

よ りグ ラ フ を作 成 せ よ.

解   時 定 数 τ=R×C=10×103×5×10-6=0.05s,電 ン サCの

充 電 電 圧VC(t)=E{1−

源 電 圧E=5Vか

ε-(t/τ)}=5{1−

ら コ ンデ

ε-(t/0.05)}〔V〕

 この 式 にtの 値 を代 入 しVC(t)を 求 め る.

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 答  ①0V 

②0.476V 

③1.65V 

④2.75V 

⑤3.99V 

⑥4.91V

解

過渡現象

6. 4

例題

6.9

 図(a)∼(d)に

つ い て,微

分 回 路 に関 す る もの と積 分 回 路 に 関

す る も の を 選 び,記 号 で 答 え よ.

(a)

(b)

(c)

(d)

 微 分 回 路 は 抵 抗 の 両 端 の電 圧 を出 力 電 圧 と し,積 分 回路 は コ ンデ ンサ の 両

端 の電圧 を出力電圧 とす る.微 分回路の 出力 は入力 電圧の変化 率 に比例 し,積 分 回路の 出力 は入 力電圧 の時 間的 な積算値 に比例す る. 答   微 分 回 路:(b),(d) 

例題

積 分 回 路:(a),(c)

6.10

し,い

 図 の(a)∼(d)回

路 に お い て,そ

れ ぞ れ の 時 定 数 を求 め よ.た だ

ず れ の 回 路 に お い て もR=5kΩ,C=200μFと

(a)

(b)

す る.

(c)

解

答

(d)

題 問

練

習

6.15 

次 の 文 の(①)∼(⑧)に

  RC直

列 回 路 に お い て,コ

を(①)と

呼 ぶ.こ

適 当 な 語 句 や 記 号 を 記 入 せ よ. ン デ ン サ が 充 放 電 さ れ る と きの 時 間 経 過 に 対 す る 振 る 舞 い

の と きのR〔 Ω〕 ×C〔F〕 の 値 を(②)τ

〔s〕と呼 ぶ.コ

ンデ ンサ

の 充 放 電 速 度 は τの 値 が 大 きい ほ ど遅 れ る.   微 分 回路 の 出 力 電 圧 は入 力 電 圧 の(③)に

比 例 し,RC直

を 出力 とす る.積 分 回 路 の 出力 電 圧 は 入 力 電 圧 の(⑤)に の 両 端 電 圧 を 出 力 とす る.微 分 回 路 に お い て は,回 tpとの 間 に は τ(⑦)tpの

6.16 

比 例 し,RC直

両端電圧

列 回路 の(⑥)

路 の τと入 力 す る方 形 波 の パ ル ス 幅

関 係 が あ り,積 分 回 路 で は τ(⑧)tpの

図 の 回 路 に お い て,ス

す る コ ンデ ンサCの

列 回 路 の(④)の

関 係 が あ る.

イ ッチ を ① か ら② の 状 態 に して か らの 経 過 時 間t〔s〕 に 対

電 圧VCはVC=Ee-(t/τ)〔V〕 で 求 め る こ と が で き る(τ は 回路 の 時 定 数,

Eは 電 源 電 圧).こ

の 式 よ り表 の ① ∼ ⑥ を 求 め,グ

6.17 

列 回 路 の 入 力 に 方 形 波 を 与 え た と き,入 力 が 変 化 し て か ら出 力 が 入

図 のRC直

力 の90%に

達 す る まで の 時 間 τは,T=2.3τ

ラ フ に 示 せ.

〔s〕で 求 ま る.図

よ.

(1) R=300Ω,C=5μFの (2) R=10kΩ,C=12pFの (3)  R=6MΩ,C=8pFの

と き,τ お よ びTを と き,τ と き,τ

お よ びTを

お よ びTを

求 め よ. 求 め よ. 求 め よ.

を 参 照 し,次 の 問 に答 え

6章  章末問題  

1.b相

の 相 電 圧 が200√2∠0〔V〕

の 三 相 交 流 電 源 のa,c相

の 相 電 圧 を極 座 標

表 示 せ よ.

  2.線

間 電 圧 が200V,線

電 流 が5A,cosθ=0.8のΥ

結 線 三 相 交 流 回路 の 三 相

電 力 を 求 め よ.

 3.線

間 電 圧 が200V,線

電 流 が5A,cosθ=0.8の

△結線 三相交 流回路 の三相

電 力 を 求 め よ.

  4.線

間 電 圧=200V,cosθ=0.9,三

相 電 力=50kWのΥ

結 線 三 相 交 流 回路 の

線 電 流 を 求 め よ.

 5.非

正 弦 波 交 流 電 圧υ=10+120√2sinωt+10√2sin2ωt−5√2sin3ωt〔V〕

の ひ ず み 率 を 求 め よ.

  6.図

の 回 路 にυ=200√2sinωt+100√2sin2ωt+50√2sin3ωt〔V〕

弦 波 交 流 電 圧 を 加 え た と き,回 路 を 流 れ る 電 流iを R=10Ω,L=80mHと

す る.

図6・10

求 め よ.た

の非正 だ し,ω=50rad/s,

第1章 練習問題 1.1  ①A 

② 高  

1.2  ① 小 さ  

③ 低  

④V 

⑤ Ω 

⑥ に くく

② 大 き

1.3  ①0.856 

②40 

③1.402 

④0.432 

⑤1250 

⑥0.125

⑧1.263 

⑨1.256 

⑩1200 

⑪0.033 

⑫10

  ⑦30  1.4

解図1 1.5 1.6 1.7 1.8

① ② ③ ④  小 さい

1.9  抵 抗 値1Ω

抵抗 値2Ω 抵抗 値5Ω 抵抗 値10Ω

解図2

練習問題・章末問題の解答

1.10 

(a)

 (b)

(c) 1.11 

 (d)

直 列 抵 抗:

 並列 抵抗:

1.12 1.13 

 す な わ ち 直 列 に 接 続 す る抵 抗 は100−25=75Ω (1)

(2) (3) 1.14 

(1)

(2)

 (3)

(4)

 (5)

(6)

1.15  ① 電流 計   ② 並 列   ③ 電圧 計   ④ 直 列 1.16 

倍 率

1.17 

倍 率

 倍率器  分流器

1.18 1.19 

①R1 

②10 

③R1 

④R2 

⑤100 

1.20  ① 抵抗 率   ② 高   ③ 低 1.21 

導 電 率 α=

1

/抵 抗率 ρ

1.22

1.23  ① 比 例   ② 反 比例   ③2 

④1/2

⑥1000

1.24 

抵抗

1.25  ①1 

② 小 さい   ③ 上   ④ 下

1.26  60℃ の ときの抵 抗値

  100℃ の と きの 抵 抗 値

1.27

1.28

1.29 

① 内 部 抵 抗   ②Ir 

1.30 

①IH 

1.31 

②0 

③E−Ir

③IH

(1)

(2) 1.32 

(1)

(2)

1.33 

個 数 をnと

す る と,2.5n=10(0.1n+0.9)よ

り,n=6

1.34 1.35

章末問題 1.①0.765 ②1.53 

③0.072 

④6450 

2.

3.(1)

(3) 4.(1) (2) (3)

 (2)

⑤1.26

練習問題・章末問題の解答

5.倍

率 器 の 倍 率n=最

倍 率 器 の 倍 率n=1+倍 6.長

さl=500m,断

大 測 定 電 圧 値/電 率 器Rm/内

部 抵 抗rυ よ りRm=(n−1)×rυ=(5−1)×10k=40kΩ

面 積A=2×2×

抵 抗R=ρl/A=1.72×10-8×500/(4π 7.個

数 をnと

圧 計 の 最 大 目 盛=100/20=5

π=4π

〔mm2〕=4π

×10-6m2

×10-6)≒0.684Ω

す る とV=IRか

ら,1.5n=1.0(0.5n+2.0)〓n=2

第2章 練習問題 2.1  ① 和   ②0  2.2 

③ 正   ④ 流 出   ⑤ 閉 回路   ⑥ 和   ⑦ 起 電力

図 の 接 続 点a,bお

よ び 閉 回 路 ①,②

につ

い て キ ル ヒ ホ ッ フ の 法 則 を 適 用 す る.

連 立方 程式 を解 い て, 解図3 2.3  図 の よ う に,I3をI1+I2と

して 式 を た て る と,

こ れ を 整 理 し,

こ れ を 解 い て,

2.4

これ らの連立 方程 式 を解 い て,

2.5

整 理 して

連 立 方程 式 を解 いて

解図4

 ④

 ③

 ②

2.6 

①

2.7

2.8  電 源E2,E3そ

れ ぞ れ に注 目 し,図(a),(b)の

回 路 を考 え る.

(a)

 (b)

解 図5

2.9 

(1)

(2)

2.10  2.11 

 ②

①

 ③

(1)0V

(2)c‐b間:5V(c‐a間 2.12  (1)点aの

電位

の 電 圧 と 同 じ),b‐d間:8V(a‐d間

の 電 圧 と同 じ)

a解答

練習問題 ・章末問題の

点bの

電位

点bか

ら点aの 方 向 に電流 が流 れ る. 点a,b間

点a,b間

の電 位差

の 合 成 抵 抗Rabは,(R1+R2)と(Rx+R3)の

,b間

並 列 抵 抗 で あ る.す

な わ ち,

に 流 れ る 電 流 は,

(2) 2.13 (図 の ブ リ ッ ジ 回 路 は 平 衡 し て い る の で,20Ω

の 抵 抗 に は 電 流 が 流 れ な い.す

20Ω を 取 り除 い た も の と して 考 え る.)

2.14  ① 電 気 的エ ネル ギー   ②W  2.15 

P=VI,V=IRよ

したが って V=50Vの

場 合 は,

2.16

2.17 

(1)

(2) 2.18 

R1を 流 れ る 電 流

R2を 流 れ る 電 流

り

③RI2 

④Pt 

⑤1 

⑥0.24

なわち

R3を 流 れ る 電 流

R1にお け る 電 力 量

R1に お け る発 熱量

R2に お け る電 力 量

R2に お ける発 熱量

R3に お け る 電 力 量

R3に お ける発熱 量

章末問題 1.キ

ル ヒ ホ ッ フ の 法 則 よ り,

値 を代 入 し方程 式 を解 くと,

2.E1を

シ ョ ー ト し た 場 合,

E2を シ ョー ト した場 合,

練習 問題 章末問題の解答 ・

3.

4.

第3章 練習問題 3.1  ①1/2 

②2/π   ③ 最 小   ④ 最大   ⑤1 

3.2  ①360 

②180 

3.3 

(1)

③60 

(4)

(3) (5) (7) 3.4 

(1)υ1

(2)

3.5

した が っ て 瞬 時 値 は,

④(2/3)π

(2) (6)

⑥ 瞬 時値   ⑦1/√2

  ⑤(1/4)π

  ⑥(3/2)π

3.6  ① 極形 式(極 座標 表示) 

②X 

③ 力   ④ 実効 値   ⑤ 位 相 角

3.7

解図6 3.8 

図 よ り,

解 図7

3.9 

(1)

 (2)

 (4)

 (3)  (6)

 (5)

3.10  ① Ω   ② 角周 波数   ③ ωL〔Ω〕  ④1/(ωC) 3.11 誘 導 リア ク タンス 容 量 リア ク タンス 3.12 誘 導 リア ク タ ン ス 容 量 リア ク タンス 3.13 3.14①R 

② ωL 

③1/(ωC) 

④Vm/R 

 ⑦ 同相   ⑧ π/2遅 れ る   ⑨ π/2進 む

⑤Vm/ωL 

⑥ ωCVm

練 習問 題 ・章末 問題の解答

3.15 

①100√2  ④

②100 

③0

回路 のイ ンピー ダンス

⑤100√2/π

⑥100/π

 よ り

⑦− π/2

解図8 3.16 

電 圧 の 実 効 値V=200√2/√2=200V,電

流 の 実 効 値I=500mA,し

たが って コ

ン デ ン サ の イ ン ピ ー ダ ン スZC=V/I=200/(500×10-3)=400Ω,ZC=1/(ωC)よ =1/(ωZC)=1/(50π 3.17 

×400)=0.05/π

イ ン ピ ー ダ ン スZC=1/(ωC)=1/(10π

章末問題 1.

2. 3. 誘 導 リアク タ ンス 容 量 リ ア ク タ ンス

4.

りC

〔mF〕 ×200×10-6)=0.5/π

〔kΩ 〕 よ り,

5.

イ ン ダ ク タ ン ス の 場 合 は,電

圧 の 位 相 は 電 流 に 対 し て π/2進

む(+π/2).こ

れ ら の こ と よ り,

第4章  ③遅れ  ④

4.1 ① 直列  ②

4.3

 ⑧

(2)

 ⑦

(1)

 ⑥

 ⑤ 4.2

練習問題 ・章末問 題の解答

4.4

4.5

解 図9 図 よ り,

4.6

(υRはiと 同 相,υCはiよ

り π/2遅 れ る)

4.7 ① 並 列  ②

 ③ 遅れ ④

4.8

(1)

(2)

 ⑦

 ⑥

 ⑤

 ⑧

練習問題 ・章 末問題 の解 答

4.9

4.10

4.11

解 図10 図 よ り,

4.12

(iRはυ と同 相,iLはυ

よ りπ/2遅 れ る)

4.13  ① 最大  ② 直列 共振   ③  4.14

共振 なので

4.15

④ 最小 ⑤ 並列共振 ⑥

練習 問題 ・章末 問題の解答

共振 なので

4.16

4.17 

①VIcosθ

  ②W 

③VIsinθ

 

④var 

⑤VI 

⑥V･A 

⑦cosθ

4.18

有効電力 4.19 

(1)

(2) 直 列 回路 の

(3)

(4) (5) (6) 4.20  ①100 

②ms 

③10(1/(100×10-3)よ

  ⑤62.8(ω=2πfよ

り) 

 ⑨1.88(XL=ωLよ

り) 

⑥rad/s  ⑩ Ω 

⑦40 

⑯V 

 ⑲0.81(I=V/Zよ

 (22)

よ り)  ⑰70.7(V=Vm/√2よ り)

  ⑳A (21)46(直

% (23)57.3(PS=VIよ  (25)

26.3(P=VIcosθ

り) 

り) (24)V・A よ  (26) り)

W

④Hz

⑧ Ω

⑪79.6(XC=1/ωCよ

  ⑫ Ω   ⑬87.4(Z=〓   ⑮100 

り) 

り)

⑭ Ω ⑱V

列 回 路 のcosθ=R/Zよ

り)

章末問題 1.

2.

練習 問題 ・章末 問題の解答

3.

4.

5.力

率

電圧(実 効値)

電 流(実 効値)

有効電力 皮相電力 無効電力 第5章練習問題 5.1  (1)j3

 (2)j2 

(3)−1 

(4)6 

(5)3/5

5.2

解 図11

5.3  極座標 表示

複素数表示

5.4  (1)

(3) (5）

(7) 5.5

 (2)  (4)  (6)

解答

練習問題

・

章末問題の

解 図12

よ っ て,

5.6

Vm=√2×V=100√2,電

圧 の 瞬 時 値υ=Vmsinωt=100√2sinωt〔V〕

位相 角 は図 よ り 電流 の 瞬時値 iはυに対 して

遅れる

解 図13 5.7

5.8 

(1)

RLC直

(2)

列 回 路 の イ ン ピ ー ダ ンスZ=R+jXL−jXC〔

Ω〕 な の で,

5.9 

〓こ れ ら の 値 よ り,

5.10

5.11

5.12 

① 平衡 状 態  

5.13  (1)Icb=0A(ブ

(2) ブ リッジの平 衡条件 式

② 等 しい  

③Z1Z3=Z2Z4 

リ ッ ジ は平 衡 して い る た めb点

④ 平衡 条件 とc点

の 電 位 は 等 し い)

問 解答

練習 題

・

章末問題の

5.14

(虚数 部)

(実 数 部),

5.15 

ブ リ ッ ジ が 平 衡 状 態 な の で,b‐c間

に は 電 流 が 流 れ な い.す

を 除 い た解 図 の よ う に 考 え る こ とが で き る.

解 図14

以 下a‐b間 の合 成抵 抗Zを 求 める.

5.16 

(1)

 (2)

(3) 5.17

(第1法 則) (第2法 則) (第2法 則)

以 上 の 式 に 各 値 を 代 入 す る.j100=−j80I2よ

5.18 

キ ル ヒ ホ ッ フ の 法 則 より,以 (式1)

り,

下 の 式 を た て る.

な わ ち,抵

抗R3

(式2) (式3) 式(2)よ

り,

式(3)よ

り

式(1)よ

り,

5.19

解 図15 解 図 よ り,

各値 を代 入 し,

を代入

よ っ て,

練習問題 章末問題の解答 ・

5.20 

例 題5.11と

同 じで あ る.

(b)

(a) 解 図16 回 路(a): 合成 イ ンピー ダ ンス

回 路(b): 合 成 イ ン ピ ー ダ ンス

重 ね合 せ の定 理 を用 い て

5.21 

練 習 問 題5.18と

同 じで あ る.

(a)

 (b)

解 図17 回 路(a):

回 路(b): 合 成 イ ン ピー ダ ン ス

以 上 の こ と よ り,

5.22

練 習 問 題5・19と 同 じで あ る.

(a)

解 図18

 (b)

練習 問題 ・章末 問題の解答

回 路(a):

回 路(b):

以上 よ り

章末問題 1.極

座標 表示

複素数表示 2.電

圧 の 瞬時値

電流 の瞬時値 3.(1)

RLC直

列 回路 の イ ン ピー ダ ン ス

(2)

 こ

4.

れ らの 値 よ り,

5.

(虚数部)

(実 数 部),

6.

(第2法 則) (第2法 則)

(第1法 則)

第6章 6.1  ① 相   ② 線 間   ③ 相   ④ 線 6.2  (1)(a)Y結

6.3  b相

線

 (b)△結

線  (2)(b)   c相:

6.4

解 図19

(3)(a)

練習 問題 ・章末問題 の解答

6.5 ① 線間   ② 相  

③ π/6  ④√3 

 ⑧ π/6  ⑨√3 

⑤線   ⑥ 線  ⑦ 相

⑩ 線間

6.6  回 路(a)Υ 結 線 の場 合 (1) 線 間 電 圧=V=200V

(2)  Y結 線 三相交 流 回路 の線 間電 圧 は,相 電圧 の√3倍 で あ る.し たが っ て相電 圧

(3) 各 相 の イ ン ピ ー ダ ン ス はRとXLと

の 直 列 接 続 な の で,イ

ンピー ダ ンス の大 き

さ

(4) RL直 列 回路 の力 率 (5),(6)Υ

結 線 三 相 交 流 回路 の 相 電 流 と線 電 流 は 等 しい.相

電 流=線

電 流=相

電

圧/Z=115/12.8≒8.98A

(7) 相 電 力=相

電 圧 ×相 電 流 ×力 率=115×8.98×0.781≒807W

(8) 三 相 電 力=3×

相 電 力=3×807≒2.42kW

回路(b)△結 線 の場 合 (1),(2)  △ 結 線 三 相 交 流 回 路 の 線 間 電 圧 は,相

電 圧 に 等 しい.線

間 電 圧=相

電圧

=V=200V (3) 各 相 の イ ン ピ ー ダ ン ス は,い

ず れ もRとXLと

の 直 列 接 続 で あ る.し

た が っ て,

イ ン ピ ー ダ ンス の 大 き さ は

(4) RL直 列 回路 の力 率 (5),(6)  相 電 流=相

電 圧/Z=200/12.8≒15.6A,△

に対 し て√3倍

とな る.線

(7) 相 電 力=相

電 圧 ×相 電 流 ×力 率=200×15.6×0.781≒2.44kW

(8) 三 相 電 力=3× 6.7 Υ 結 線 で は,相

電 流=相

結 線 で は,線

電 流 は相 電 流

電 流 ×√3=15.6×√3≒27.0A

相 電 力=3×2.44×103=7.32kW 電 圧=線

間 電 圧/√3,相

電 流=線

電 流 な の で,三

相 電 力=3×

相

電 流/√3な の で,三

相 電 力=3×

相

電 圧 ×相 電 流 ×cosθ=3×(200/√3)×2×0.9≒624W 6.8  △ 結 線 で は,相

電 圧=線

間 電 圧,相

電 流=線

電 圧 ×相 電 流 ×cosθ=3×200×2/√3×0.9≒624W 6.9 

線 電 流=三

相 電 力/(3×

線 間 電 圧/√3×cosθ)=10×103/{3×(200/√3)×0

36.1A

6.10  ① 最大値   ② 周波数   ③ 位相   ④ 直流   ⑤ 基本   ⑥ 高調

.8}≒

6.11

解図20 6.12 6.13 

第3調 波 の 角 周 波 数 ω3=ω2/2×3=20π/2×3=30π

な の で,第3調

波 の周 波数

f3 =ω3/(2π)=30π/2π=15Hz 6.14  3ωtご

基 本 波υ1=100√2sinωt,第2調 と の 電 流i1,i2,i3の

  基 本 波,第2調 Z1,Z2,Z3と

波,第3調 す る と,

以 上 の 結 果 よ り,

波υ2=80√2sin2ωt,第3調

波υ3=40√2sin

和 を 求 め る. 波 の 電 圧,電

流,イ

ン ピ ー ダ ン ス をV1,V2,V3,I1,I2,I3,

練習 問題 ・章末 問題 の解答

6.15  ① 過渡現象   ② 時定数   ③ 変化率   ④R 

⑤ 時間的積算値   ⑥C

  ⑦≪   ⑧≫ 6.16 

①5.00 

②3.35 

③2.74 

④1.51 

⑤0.68 

⑥0.09

解 図21 6.17

(1) (2) (3)

章末問題 1.a相:

 c相

2.Υ

結 線 で は,相

電圧=線

間 電 圧/√3,相

電 流=線

電 流 な の で ,三 相 電 力=3×

相

電 圧 ×相 電流 3.△

結 線 で は,相 電 圧=線

間 電 圧,相

電 流=線

電 流/√3な

の で,三

相 電 力=3×

相

電圧 ×相 電流 4.線

電 流=三

相 電 力/(3×

5.ひ

ず み率

6.基

本 波υ1=200√2sinωt,第2調 ご と の 電 流i1,i2,i3の

 基本 波,第2調 Z1,Z2,Z3と

波,第3調 す る と,

線 間電圧

波υ2=100√2sin2ωt,第3調

波υ3=50√2sin3ωt

和 を 求 め る. 波 の 電 圧,電

流,イ

ン ピ ー ダ ン スをV1,V2,V3,I1,I2

,I3,

 

索

引 抵抗の―

あ行

 10

ベ ク トル の― 

RLC直

列 回路

 64

RLC直

列共振

  72

合成抵抗 交流電力

RLC並

列 回路

  68

交 流 ブ リ ッジ

RLC並

列共振

 72

位相角

  46,50

イ ン ダ ク タ ンス イ ン ピー ダ ンス イ ン ピー ダ ンス角

オー ム の 法則

温度係数

  76  90

弧度法

  46

コ ンデ ンサ

  54

コ ンデ ンサの 接 続

  54

  54   58   64,68,76

  6

さ行 最大電圧 三相交流回路 三相電力

  46  104  108

 18 シー メ ン ス

か行 回路 RLC直

50  10

列― 

64

R LC並 列― 68

角周波数 重ね合せの定理 過渡現象 記号法

46   32,96

 116

  86

キ フ ヒホ ッフ の法 則

Q

  28,94

 18

指数 実効値 時定数 周期 周波数 共振― 瞬時値

 2   47  116   46   46  72   46

図記号 Υ結線

 2

 104,108

  72

共振 RLC直

列―

  72

R LC並 列

―  72

共振回路 共振周波数 共振条件 極形式 極座標 82 極座標表示

  72

コイル

合成

  72   72

正弦波交流 積分 回路 接続 直列

 50  116  10 ― 10

並 列― 

10

選択度

 72

  50

50,82

  54  10

た行 直列 RLC― RLC―

直列接続

回路

  64

共振

  72  10

直 列接 続(電 池 の) 

22 複 素 数 

82 82 36

合 成― 

10

複 素 数表 示  ブ リ ッジ 回路 

抵 抗 の合 成 

10

抵 抗 

抵 抗 率  △ 結 線  電 圧  電 圧 拡 大 率  電 圧 計  電 圧 に関 す る法 則  電 気 回路 用 図記 号 

2

ブ リ ッジの 平 衡 条件 

36

18 104,108

分 流 器 

14

2

平 均値 

47

72

平 衡 三相 回路 

6

平 衡 三相 交 流 

28,94 2

平 衡 条件  並列

108 108 36,90

電 池 

22

RLC―

回 路 

68

電池 の接 続 

22

RLC―

回 路 

72

電池 の容 量 

22

電流  電流 拡 大 率  電 流計  電 流 に関 す る法則 

2 72 6 28,94

並 列 接 続 

10

並 列 接 続(電 池 の)  ベ ク トル 

22 50

ベ ク トル の 合成 

50

偏 角 

50

電 力 

40

  交流― 

76

ま行

  皮 相― 

76

無効 電 力 

  無 効― 

76

76

  有 効― 

76

や行

電 力 量 

40

有 効 電力 

76

誘 導 リア ク タ ンス 

54

容 量(電 池 の) 

22

容 量 リア ク タ ンス 

54

導 電 率 

18

な行 内部 抵抗 

22 ら行

熱量 

40

は行 倍 率器  ピー ク ツー ピー ク値 

a14 47

ひず み率 

112

非 正 弦波 交 流 

112

皮 相 電力 

76

微 分 回路 

116

ラ ジア ン 

46

リア ク タ ンス 

54

誘 導― 

54

容 量― 

54

力 率 

76

わ行 和 分 の 積 

10

〈監 修 者 紹介 〉

浅 川 毅 学

歴 

東京都 立大学大学院 工学研 究科博士課程修 了  博 士(工 学)

職

歴 

著

書 

東海大学 電子情報学部 助教授  第一種情報処理技術者 「 図 解 や さ しい論 理 回 路 の設 計 」 オ ー ム社   「PICア セ ンブ ラ入 門 」 東京 電 機 大 学 出版 局   「基礎 コ ン ピュ ー タ工 学 」東 京 電 機 大学 出版 局   ほか

電 気 計 算法 シ リー ズ

回路理 論の計算 法  第2版 2003年11月20日

  第1版1刷

発行

2005年3月30日

  第2版1刷

発行

監修者 浅 川 毅 編 者 東京電機大学 学校法人  東京電機大学

発行所 東 京電 機大 学 出版局 代 表 者 加藤 康太郎 〒101‐8457

東京都千代 田区神 田錦町2‐2 振 替 口座  00160‐5‐71715

印刷 三立工芸(株) 製本 渡辺製本(株) 装丁 高橋壮一

〓

電 話  (03)5280‐3433(営

業)

(03)5280‐3422(編

集)

Asakawa

Takeshi,

Tokyo Denki University Printed in Japan

*無 断 で転 載 す る こ と を禁 じます 。 *落 丁 ・乱 丁 本 はお 取 替 え い た し ます 。 ISBN

4‐501‐11260‐3

C3054

2005