Физика. Раздел 4. ''Колебания и волны. Волновая оптика'': Основные законы и формулы: Методические указания к решению задач

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ЗАОЧНЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра физики

ФИЗИКА Раздел 4. Колебания и волны. Волновая оптика. Основные законы и формулы. Методические указания к решению задач.

Факультеты все Специальности все

Санкт-Петербург 1997

1

Утверждено редакционно-издательским советом института. УДК 53(07) Физика. Раздел 4. "Колебания и волны. Волновая оптика". Основные законы и формулы. Методические указания к решению задач. - СПб.:СЗПИ, 1997, - 26 с., ил. 7. Данное учебно-методическое пособие содержит основные законы и формулы физики, рекомендации к решению задач, примеры решения задач и рекомендуемую литературу по разделу "Колебания и волны. Волновая оптика", а также справочные таблицы. Пособие составлено в соответствии с программой по физике для инженерных специальностей высших учебных заведений. Рассмотрено на заседании кафедры физики. Одобрено методической комиссией факультета радиоэлектроники. Рецензенты: кафедра физики СЗПИ (и.о.зав.каф. физики В.А.Подхалюзин, канд. техн. наук, доц.); А.Г.Дмитриев, докт. физ.-мат. наук, проф. каф. экспериментальной физики СПбГТУ. Составители: В.А.Воробьев, ст.препод. Ю.А.Карташов, канд. техн. наук, проф. В.А.Подхалюзин, канд. техн. наук, доц. Н.А.Тупицкая, канд. физ.-мат. наук, доц. В.М.Цаплев, канд. физ.-мат.наук, доц. Научные редакторы: Ю.А.Карташов, канд. техн. наук, проф. И.В.Попов, канд. физ.-мат. наук, доц.

3

Предисловие Цель настоящего учебно-методического пособия - оказание помощи студентам СЗПИ всех специальностей в изучении курса физики. Основной учебный материал пособия содержит шесть разделов физики, изданных отдельными брошюрами: 1. Физические основы механики. 2. Электростатика. Постоянный электрический ток. 3. Магнитостатика. Электромагнетизм. 4. Колебания и волны. Волновая оптика. 5. Молекулярная физика. Термодинамика. механики. 6. Квантовая оптика. Физика атома. Элементы квантовой Физика твердого тела. Физика атомного ядра. В каждом из разделов приведены основные формулы и примеры решения задач. Кроме того, в пособии даны общие методические указания, список рекомендуемой учебной литературы и справочные таблицы. Общие методические указания к решению задач, выполнению и оформлению контрольных работ 1. В зависимости от объема изучаемого курса физики студенты выполняют разное число контрольных работ: - односеместровый курс физики - две конрольные работы; - двухсеместровй курс физики - три контрольные работы; - трехсеместровый курс физики - пять контрольных работ. 2. Контрольные работы выполняются в школьной тетради, на обложке которой приводятся сведения о студенте (фамилия, имя, отчество, факультет, шифр, номер специальности), а также номер контрольной работы, номер варианта и номера всех задач контрольной работы. 3. Условие каждой задачи переписывается полностью, без сокращений. 4. Решения сопровождаются подробными пояснениями, с обязательным использованием рисунков, выполненных чертежными инструментами. При этом оставляются поля и промежутки не менее 10 мм между строками для замечаний преподавателя. 5. Последовательность решения задач: а) вводятся буквенные обозначения всех используемых физических величин; б) под рубрикой "Дано" кратко записывается условие задачи с переводом единиц в систему СИ; 4

в) приводится рисунок, поясняющий условие; г) формулируются физические законы и обосновываются возможности их использования при решении данной задачи; д) на основе сформулированных законов составляются уравнения для искомых величин в системе СИ; е) находятся решения этих уравнений и выводятся рабочие формулы в общем виде; ж)по рабочим формулам проверяется размерность искомых величин; и) проводятся вычисления (с точностью не более 2-3 значащих цифр) в системе СИ. Числовые значения величин записываются в виде десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой, умноженной на соответствующую степень десяти. 6. В конце контрольной работы приводится список использованной литературы. Выполненная контрольная работа сдается на рецензию преподавателю по крайней мере за одну-две недели до экзамена (зачета) по физике. После рецензирования вносятся исправления в решения задач в соответствии с замечаниями преподавателя. Исправленные решения помещаются в конце тетради с контрольной работой, которая сдается на повторную рецензию. Зачет по контрольной работе принимается преподавателем в процессе собеседования по правильно решенной и отрецензированной контрольной работе. Литература Основная 1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики М.: Высшая школа, 1989. 2. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. М.: Наука, 1982 и др.издания. 3. Савельев И.В. Курс физики. Т.1. М.: Наука, 1989. 4. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.2. М.: Наука, 1982, 1988. Дополнительная 5. Федорцов А.Б., Чуркин Ю.В. Волновая оптика. Текст лекций. СПб.: СЗПИ. 1993. 6. Иванов В.Г, Федорцов А.Б. Основные единицы измерения оптических излучений. Текст лекций. СПб.: СЗПИ, 1992. 7. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука. 1990. 8. Чертов А.Б., Воробьев А.А. Задачник по физике. М.: Высшая школа. 1988, 1991.

5

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ Основные законы и формулы Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки = А cos (ωt + ϕo ), где - смещение, А - амплитуда колебаний, ω - круговая (циклическая) частота, ϕo - начальная фаза, ωt + ϕo - фаза колебаний. Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания, V = - Аω sin (ωt + ϕo ), a = - Aω2 cos (ωt + ϕo ) . Период колебаний: а) материальной точки, подвешенной на невесомой пружине,

m , к где m - масса точки, к - жесткость пружины; б) математического маятника l T = 2π g , где l - длина маятника, g - ускорение свободного падения; в) физического маятника I L = 2π T = 2π g mgl , где I - момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний, m - масса тела, l - расстояние центра тяжести тела от оси T = 2π

колебаний, L =

I - приведенная длина физического маятника. ml

Кинематическое уравнение плоской монохромной волны распространяющейся вдоль оси Х = А cos (ωt - kx + ϕo ), где k = 2  ,  v длина волны,v - скорость волны, - частота. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты: а) амплитуда результирующего колебания

A=

A12 + A22 + 2A1A2 cos ∆ϕ , 6

где     - разность фаз колебаний, А1, 1, А2, 2 - амплитуды и начальные фазы складываемых колебаний, соответственно. A sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2 ϕ = arctg 1 . A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2 Траектория точки, учавствующей в двух взаимоперпендикулярных колебаниях x1 = A1 cos ( t + 1) , y1 = A2 cos ( t + 2) а) y = (A2/A1)x (если разность фаз ∆ϕ = 0 ); б) y = - (A2/A1)x (если разность фаз ∆ϕ = ±π );

x2 y2 в) 2 + 2 = 1 (если разность фаз ∆ϕ = ±π / 2 ). A1 A2 Разность фаз колебаний в плоской монохроматической волне в точках х1 и х2 2π ∆ϕ = k∆x = ∆x , λ где х = х2 - х1 .

7

Примеры решения задач Пример1. К невесомой пружине, коэффициент упругости которой 200 Н/м, прикреплен груз массой 1 кг. Груз смещен на 10 см от положения равновесия, после чего предоставлен себе. Определить наибольшее и наименьшее ускорения грузов. Трением пренебречь. Дано: к = 200 Н/м m = 1 кг А0 = 10 см = 0,1 м ______________ аmax - ? amin - ? Решение. Под действием силы упругости груз совершает свободные гармонические колебания, уравнение которых запишем в виде (1) = А0 cos ωt, где А0 - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота. Продифференцировав выражение (1) по времени, определим скорость груза dξ = − A 0 ω sin ω t, v= (2) dt а после дифференцирования скорости по времени, ускорение dv a= = − A 0 ω 2 cos ωt = −ω 2 ξ. (3) dt Так как к ω2 = , (4) m то ускорение а можно записать в виде к a = - ω2 = − . (5) m Ускорение имеет максимальное значение при = А0, т.е. при наибольшем отклонении от положения равновесия к (6) |amax| = A 0 . m В положении равновесия, при = 0, ускорение а = 0. Подставляя числовые значения в выражение (6), получим аmax = (200/1).0,1 = 20 м/c2. Пример2. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных грамонических колебаниях, уравнения которых:

8

х = А1 cos ω1t , (1) (2) у = А2 cos ω2t , -1 -1 где А1 = 1 см, ω1 = π с , А2 = 2 см, ω2 = π/2 с . Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки. Дано: х = А1 cosω1t у = А2 cosω2t А1 = 1 см = 0,01 м А2 = 2 см = 0,02 м ω1 = π с-1 ω2 = π/2 с-1 _____________ у = f(х) - ? Решение. Чтобы определить траекторию точки, исключим время из уравнений (1) и (2). Заметив, что у = А2 cos(ω/2)t, применим формулу косинуса половинного угла

cos(α / 2) = ± (1 + cos α ) / 2 . Используя это соотношение, можно написать ωt y = 2 cos 1 , x = cos ω 1t , 2 откуда y = ±2 (1 + x) / 2 или y = ± 2x + 2 . (3) Выражение (3) есть уравнение параболы, ось которой совпадает с осью ОХ. Как показывают уравнения (1) и (2), амплитуда колебаний точки по оси ОХ равна 1, а по оси ОУ - 2 . Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от - 1 до + 1, а ординаты - от - 2 до + 2. Для построения траектории найдем по уравнению (3) значения у, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию |x| ≤ 1: x -1 -0,75 -0,5

y = 2x + 2 0 ±0,71 ±1

x

y = 2x + 2

0 0,5 1

±141 , ±173 , ±2

Начертив координатыне оси и выбрав единицу длины - сантиметр, построим точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию

9

результирующего колебания точки. Она представляет собой часть параболы, заключенной внутри прямоугольника амплитуд. Далее определим направление движения точки. Из уравнений (1) и (2) находим, что период колебаний точки по горизонтальной оси Тх = 2 с, а по вертикальной оси Ту = 4 с. Следовательно, когда точка совершает одно полное колебание по оси ОХ, она совершает только половину полного колебания по оси ОУ. В начальный момент ( t = 0 ) имеем: х = 1, у = 2 (точка находится в положении 1). При t = 1 с получим: х = -1 и у = 0 (точка находится в вершине параболы). При t = 2 с получим: х = 1 и у = -2 (точка находится в положении 2). После этого она будет двигаться в обратном направлении. Пример3. Плоская волна распространяется в упругой среде со скоростью 100 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1 м. Определить период колебаний и частоту. Дано: v = 100 м/с ∆х = 1м ________ Т=?ν=? Решение. Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны, колеблются с разностью фаз, равной 2π. Точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии ∆х, колеблются с разностью фаз равной 2π ∆ϕ = ∆x. (1) λ Решая это равенство относительно λ, получаем λ = 2π∆x / ∆ϕ. (2) По условию задачи ∆ϕ = π. Подставляя значения величин, входящих в выражение (2), получим 2π ⋅ 1 λ= = 2м . π Скорость v распространения волны связана с λ и T соотношением v λ = vT = , (3) ν где ν - частота колебаний. Из выражения (3) имеем ν = v/λ.

10

Подставляя значения величин, получим: ν = ( 100 / 2 ) = 50 с-1, Т = 1 / 50 с = 0,02 с. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Основные законы и формулы Эффективные (действующие) значения напряжения и силы переменного тока U I Uд = m , Iд = m , 2 2 где Um и Im - амплитудные значения напряжения и силы тока. Закон Ома для цепи переменного тока, содержащей последовательно соединенные резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С UД U Im = m или I Д = , Z Z где Z= R 2 + ( X L − X c ) 2 - полное сопротивление цепи, XL=ωL ωиндуктивное сопротивление, Xс=1/ωС - емкостное сопротивление, круговая частота переменного тока. При этом сдвиг фаз между напряжением и силой тока определяется из условия R X − Xc tgϕ = L или cos ϕ = . Z R Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока за период колебаний, Р = IдUд cos ϕ, где ϕ - сдвиг фаз между напряжением и силой тока. Период собственных колебаний в контуре без активного сопротвления (формула Томсона) T = 2π LC , где L - индуктивность контура, С - емкость. Фазовая скорость распространения электромагнитных волн в среде c v= , εµ

11

где с - скорость электромагнитных волн в вакууме, ε и µ диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, соответственно. Связь длины электромагнитной волны с периодом T и частотой ν колебаний

λ=vT

λ =v/ ν. или Связь напряженностей ЭП и МП в плоской электромагнитной волне E εε 0 = H µµ 0 . Плотность потока энергии в плоской электромагнитной волне (модуль вектора Умова-Пойнтинга) r r r | S| =| E × H| . Средняя за период плотность потока энергии в плоской гармонической волне (интенсивность волны) r 1 I =<| S| >= EH. 2 Примеры решения задач Пример1. Разность потенциалов между обкладками конденсатора емкостью 0,5 мкФ в колебательном контуре изменяется со временем по закону: U = 100 sin1000πt [В]. Определить период собственных колебаний, индуктивность, полную энергию колебаний и максимальную силу тока, текущего по катушке индуктивности. Активным сопротивлением контура пренебречь. Дано: С = 0,5 мкФ U = 100 sin1000πt R=0 ___________________ T = ? L = ? W = ? Im = ? Решение. Напряжение на конденсаторе изменяется по гармоническому закону U = Um sinωt, где Um - амплитудное (максимальное) значение напряжения на обкладках конденсатора; ω - собственная круговая частота колебаний, которая связана с периодом соотношением Т = 2π/ω. Отсюда находим Т = 2π/1000π = 2.10-3 с . Период собственных колебаний в контуре определяется по формуле Томсона Т = 2π LC ,

12

откуда 2

L=

(

. −3 210

)

2

T , L= . 2 . −6 = 0,2 Гн . 4π 2С 4 (3,14 ) 0,510

Полная энергия колебаний в контуре складывается из энергии электрического поля Wэ в конденсаторе и энергии магнитного поля Wм в катушке CU2 LI2 + W = WЭ + W М = . 2 2 Полная энергия контура равна максимальной энергии поля конденсатора Wэmax = CU m2 /2 или максимальной энергии поля катушки Wмmax = LI m2 /2 . Таким образом, . −6 1002 CU2m 0,510 = = 2,5.10-3 Дж . W = 2 2 Зная полную энергию, можно определить максимальную силу тока, протекающего по катушке индуктивности

2W = Im= L

2.2,5.10 −3 = 0,16 A . 0,2

Пример2. Цепь переменного тока образована последовательно включенным активным сопротивлением 800 Ом, индуктивностью 1,27 Гн и емкостью 1,59 мкФ. На зажимы цепи подано переменное напряжение частотой 50 Гц с действующим значением 220 В. Найти: а) действующее значение силы тока в цепи; б) сдвиг фаз между током и напряжением; в) действующие значения напряжений на зажимах каждого из элементов цепи; г) среднюю мощность, выделяющуюся в цепи за один период колебаний. Дано: R = 800 Ом L = 1,27 Гн С = 1,59 мкФ = 1,59.10-6Ф ν = 50 Гц UД= 220 B _______________

13

IД - ? ϕ - ? UД - ? UД - ? UД- ? P - ?

Рис.2.

Найдем сначала импеданс цепи 2

2

Z= R + ( X L − X C ) . При этом индуктивное сопротивление цепи равно ХL=ωL, а емкостное 1 XС = , ωC где ω = 2πν - круговая частота. Подставляя данные из условия задачи, получаем: ω = 2πν = 2π.50 = 314 рад/с, ХL = ωL = 314.1,27 = 3,99.102 Ом, 1 1 . 3 ХС = = . . −6 = 2 10 Ом, ωC 314 159 , 10 . ХL - Хc = -1,601 103 Ом и импеданс цепи . 2 2 , . 3 )2 = 1,79.103 Ом. Z = (810 ) + (160110 Зная импеданс цепи, можно найти действующее значение тока Uд 220 = = 123 , ⋅ 10 −1 А. Iд = 3 Z 179 , ⋅ 10 Сдвиг фаз между током и напряжением можно найти из соотношения X − XC tgϕ = L . R Подставляя числовые данные, получим , . 3 −160110 tgϕ = = −2 . . 2 810 Отсюда по таблице значений тангенса получим ϕ = −63 o 30 l Действующие значения напряжений на элементах цепи при этом равны: UДR = IДR = 1,23. 10-1. 8 .102 = 9,85. 10 = 98,5 В , UДL = IДXL = 1,23. 10-1. 3,99 .102 = 4,9 .10 = 49 B , UДC = IДXC = 1,23 .10-1 .2 .103 = 2,46 .102 = 246 B .

14

Так как разность фаз между напряжениями на индуктивности и емкости равна 1800, то эти напряжения вычитаются друг из друга (из выше приведенных расчетов мы видели, что действующее напряжение на емкости больше, чем на индуктивности). При этом векторная сумма напряжений на элементах цепи, как видно из рисунка, должна быть равна напряжению, поданному на контур. Действительно, имеем

Uд = U2Д R + (UдC − UдL )2 = 98,52 + (246 − 49)2 = 0,97 + 3,87 ⋅ 102 = 220B Наконец, средняя за период мощность, выделяющаяся в цепи, равна P = IдUд cos ϕ = 1,23 .10-1.2,2.102 . cos 63o 30l =12,1 Вт . Напомним, что мощность выделяется на сопротивлении цепи. Действительно, средняя за период мощность, выделяемая на сопротивлении, равна Pд = IдUдR = 1,23 .10-1. 98,5 = 12,1 Вт . При этом отсутствует сдвиг фаз между напряжением и током на сопротивлении. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА Основные законы и формулы Скорость света в среде

с , n где c - скорость света в вакууме, n - показатель преломления среды. Оптическая длина пути световой волны L = nl, где l - геометрическая длина пути световой волны в среде с показателем преломления n. Оптическая разность хода двух световых волн ∆ = L1 - L2. Зависимость разности фаз ∆ϕ колебаний от оптической разности хода ∆ϕ = 2π∆/λ, где λ - длина световой волны в вакууме. Условие максимального усиления света при интерференции λ ∆ = ±2к = ±кλ , (к = 0, 1, 2, ...). 2 Условие максимального ослабления света при интерференции V=

15

λ . 2 Оптическая разность хода световых волн, возникающая при отражении монохроматического света от тонкой пленки в вакууме, λ λ ∆ = 2d n 2 − sin 2 i1 − = 2d cos i2 − , 2 2 где d - толщина пленки, n - показатель преломления пленки, i1 - угол λ /2 - добавочная падения, i2 - угол преломления света в пленке, разность хода, возникающая при отражении света от оптически более плотной среды. Радиус светлых колец Ньютона в отраженном свете (2к − 1)Rλ , (к = 1, 2, 3, ...), rк = 2n где к - номер кольца, R - радиус кривизны линзы, n - показатель преломления среды, находящейся между линзой и стеклянной пластинкой. Радиус темных колец Ньютона в отраженном свете ∆ = ±(2к + 1)

rк = kRλ . n Радиус к - ой зоны Френеля для сферической волны rк =

ab kλ , a +b

где а - расстояние между диафрагмой с круглым отверстием и точечным источником света, b - расстояние между диафрагмой и экраном, на котором ведется наблюдение дифракционной картины, к - номер зоны Френеля, λ - длина волны. Для плоской волны rк = bкλ . Угол ϕ отклонения лучей в зоне Фраунгофера, соответствующий минимуму интенсивности при дифракции на щели, определяется из условия λ a sinϕ = ±2к , (к = 1, 2, 3, ...), 2 где а - ширина щели, к - порядковый номер минимума, λ - длина волны. Угол ϕ отклонения лучей в зоне Фраунгофера, соответствующий максимуму интенсивности при дифракции на щели, определяется из условия λ a sin ϕ = ±(2к + 1) . 2

16

Условие главных максимумов интенсивности для дифракционной решетки (к = 0, 1, 2, 3, ...), d sin ϕ = ±кλ , где d - период (постоянная) решетки, к - номер главного дифракционного максимума в случае монохрометического света или порядок спектра в случае белого света, ϕ - угол отклонения лучей, соответствующий максимуму интенсивности. Разрешающая способность дифракционной решетки λ = кN, R= ∆λ где ∆λ - наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий ( λ и λ + ∆λ ), при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решетки, N - полное число щелей решетки. Формула Вульфа-Брэгга 2dsinθ = кλ , где θ - угол скольжения (угол между направлением параллельного пучка рентгеновского излучения, падающего на кристалл, и атомной плоскостью в кристалле), d - расстояние между атомными плоскостями кристалла. Закон Брюстера tg i1 = n21, где i1 - угол падения, при котором отразившийся от диэлектрика луч полностью поляризован; n21 = n2 / n1 - относительный показатель преломления второй среды относительно первой. Закон Малюса I = In cos2 α , где In - интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор; I - интенсивность этого света после анализатора, α - угол между направлением колебаний электрического вектора света, падающего на анализатор, и плоскостью пропускания анализатора (если колебания электрического вектора падающего света совпадают с этой плоскостью, то анализатор пропускает данный свет без ослабления). Угол поворота плоскости поляризации монохроматического света при прохождении через оптически активное вещество: (в твердых телах), а) ϕ = αd где α - постоянная вращения, d - длина пути, пройденного светом в оптически активном веществе; (в растворах), б) ϕ = α о ρd где α о - удельное вращение, ρ - массовая концентрация оптически активного вещества в растворе.

17

Примеры решения задач Пример1. Расстояние между двумя когерентными источниками 0,9 мм. Источники, испускающие монохроматический свет с длиной волны 640 нм, расположены на расстоянии 3,5 м от экрана. Определить число светлых полос, располагающихся на 1 см длины экрана. Дано: d = 0,9 мм = 9.10-4 м λ = 640 нм = 8,4.10-7 м L = 3,5 м х = 1 см = 1.10-2 м _________________ к −? х Решение. В точке О на экране будет максимальная освещенность : точка О равноудалена от обоих источников S 1l и S l2 , поэтому разность хода волн S1l O и Sl2 O равна нулю. В произвольной точке экрана Ок максимум освещенности будет наблюдаться, если оптическая разность хода когерентных волн равна целому числу длин волн ∆ = S2 - S1 = к λ , (1) где S1, S2 - оптические пути интерферирующих волн, λ - длина волны падающего света, к - номер светлой полосы (центральная светлая полоса приинята за нулевую). Оптическая разность хода волн xd ∆= , L где х - расстояние от центральной светлой полосы до к -ой светлой полосы. Учитывая выражение (1), получим xd ∆= = кλ . (2) L Из выражения (2) определяем искомую величину к/x (число светлых интерференционных полос на 1 см длины) к d = . х Lλ Подставим в это выражение числовые значения и получим . −4 к 910 = = 400 м-1 . х 3,5.64.10−8

18

Пример2. Для устранения отражения света от поверхности линзы на нее наносится тонкая пленка вещества с показателем преломления 1,26, меньшим чем у стекла (просветление оптики). При какой наименьшей толщине пленки отражение света с длиной волны 0,55 мкм не будет наблюдаться, если угол падения лучей 30о? Дано: n = 1,26 λ = 0,55 мкм = 5,5.10-7м i1 = 30о _________________

d-? Решение. Оптическая разность хода лучей , отраженных от верхней и нижней поверхности пленки, равна

∆ = 2d n 2 − sin 2 i1 , (1) где d - толщина пленки, n - показатель преломления пленки, i1 - угол падения лучей. В выражении (1) учтено, что отражение лучей на верхней и нижней поверхностях пленки происходит от оптически более плотной среды и поэтому потери полуволны в обоих случаях компенсируют друг друга. Условие интерференционного минимума λ ∆ = (2к + 1) . (2) 2 Из (1) и (2) находим (2к + 1)λ dк = . (3) 4 n 2 − sin 2 i1 Полагая к = 0, 1, 2, ..., получим ряд вoзможных значений толщины пленки. Минимальная толщина пленки будет при к = 0. Подставим в расчетную формулу (3) числовые значения входящих величин: n = 1,26; λ = 0,55 мкм = 5,5 .10-7 м; i1 = 30o; к = 0. Произведя вычисления, получим 5,5.10 −7 , .10 −7 м = 0,12 мкм . d= = 12 4 (126) , 2 − sin 2 30 o Пример3. На дифракционную решетку длиной 10 мм, имеющую 400 штрихов на 1 мм, падает нормально свет от разрядной трубки. Помещенная

19

вблизи решетки линза проецирует спектр на плоский экран Э , удаленный от линзы на расстояние 1 м. Определить: 1) ширину спектра первого порядка, если границы видимого спектра 700 нм ( красный край спектра) и 400 нм (фиолетовый край спектра); 2) число спектральных линий красного цвета, которые теоретически можно наблюдать с помощью данной дифракционной решетки; 3) в спектре какого порядка эта решетка может разрешить две линии с длиной волны 500 нм и 500,1 нм. Дано: l0 = 10 мм = 1.10-2 м n = 400 мм-1 = 4.105 м-1 λкр = 700 нм = 7.10-7 м λф = 400 нм = 4.10-7 м L=1м λ1 = 500 нм = 5.10-7 м λ2 = 500,1 нм = 5,001.10-7 м ______________________ ∆l - ? кобщ(λкр) - ? к ( ∆λ ) - ? Решение. 1.Угол ϕ отклонения лучей, соответствующий главному максимуму интенсивности при дифракции света на решетке, определяется из условия (1) d sinϕ = ±kλ , где k - порядок спектра. Следовательно, фиолетовая линия спектра первого порядка будет наблюдаться под углом ϕ1 ( рис.6), причем, как это следует из условия (1), λф sin ϕ 1 = . (2) d Аналогично для красной линии спектра первого порядка λ кр sin ϕ 2 = . (3) d Зная число штрихов n на 1 мм решетки, найдем период решетки 1 d= . (4) n Подставляя (4) в формулы (2) и (3) , получим: sin ϕ 1 = nλ ϕ , (5)

sin ϕ 2 = nλ кр . (6) -1 . 5 -1 Выразим все величины в единицах СИ: n = 400мм = 4 10 м ; λф = 400 нм = 4.10-7 м; λкр = 700 нм = 7.10-7 м. 20

Вычислим значения углов ϕ1 и ϕ2 из формул (5) и (6): sinϕ1 = 4.105.4.10-7 = 0,16 , ϕ1 = 9010' ; sinϕ2 = 4.105.7.10-7 = 0,28 , ϕ2 = 16015' ; Расстояние от центра дифракционной картины до фиолетовой линии спектра равно (7) l1 = Ltgϕ1, соответственно, для красной линии спектра (8) l2 = Ltgϕ2. Ширина спектра первого порядка будет ∆l = l2 - l1 или с учетом (7) и (8) ∆l = l2 - l1 = L ( tgϕ2 - tgϕ1 ). После подстановки числовых значений получим ∆l = 1.(0,291 - 0,161) = 0,13 м = 13 cм. 2. Для определения числа спектральных линии красного цвета (λкр = 700 нм), которые можно теоретически наблюдать с помощью данной решетки, найдем наибольший порядок дифракционного максимума kmax. Из формулы (1) запишем d sin ϕ . k= λ кр (4)

Так как sinϕ не может быть больше 1 (sinϕ≤1), то kmax≤ d/λкр или с учетом

1 kmax≤ nλ . кр

После вычисления получим 1 = 3,6 . kmax≤ 4 ⋅ 105 ⋅ 7 ⋅ 10 −7 Если учесть, что порядок максимума является целым, то kmax= 3. Влево и вправо от центрального максимума будет наблюдаться одинаковое число спектральных линий, равное 2kmax. Следовательно, общее число спектральных линий красного цвета равно kобщ(λкр) =2kmax + 1 = 7. 3. Так как разрешающая способность дифракционной решетки λ = kN, R= ( 10 ) ∆λ где N - число щелей решетки. Отсюда минимальная разность длин волн двух спектральных линий, разрешаемых решеткой, λ ∆λ = . ( 11 ) kN Две спектральные линии разрешены, если

21

∆λ ≤ λ2 - λ1. ( 12 ) Подставляя (11) в (12), учитывая, что λ = λ1, получаем λ1 ≤ λ 2 − λ 1. ( 13 ) kN Из выражения (13) следует, что спектральные линии разрешены в спектрах с порядком λ1 . k≥ ( 14 ) ( λ 2 − λ 1 )N l Число щелей решетки определяется выражением N = или с учетом (4) d N = ln. ( 15 ) Подставим (15) в (14) λ1 k( ∆λ ) ≥ . ( 16 ) ( λ 2 − λ 1 )nl Выразим все единицы в cистеме СИ: l = 10 мм = 10-2м; n = 400 мм-1 = 4.105 м-1; λ1 = 500 нм = 5.10-7м; λ2 = 500,1 нм = 5,001.10-7 м. Произведя вычисления, получим 5 ⋅ 10 −7 k( ∆λ ) ≥ = 125 , . (5,001 − 5) ⋅ 10 −7 ⋅ 10 −2 ⋅ 4 ⋅ 10 5 Так как k - целое число, то k(∆λ) ≥ 2. Пример4. Во сколько раз уменьшится интенсивность естественного света, прошедшего через две призмы Николя, главные оси которых составляют угол 600. Потери света в каждой призме составляют 10 % . Дано: α = 600 k = 0,1 ______ I0 −? I2 Решение. В результате двойного лучепреломления естесственный луч света, попадая на первую призму Николя (поляризатор), раздваивается на обыкновенный ("0") и необыкновенный ("е") лучи. Оба луча полностью поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. Обыкновенный луч, подчиняясь закону преломления, преломляется, и, подойдя к слою канадского бальзама в призме (граница АВ), испытывает полное отражение

22

и поглощается зачерненной боковой гранью призмы. Необыкновенный луч проходит через призму. Таким образом, на выходе поляризатора получается плоскополяризованный свет, интенсивность которого с учетом потерь на отражение и поглощение света поляризатором равна I0 (1) I1= (1 − k), 2 где I0 - интенсивность естественного света, падающего на поляризатор; k коэффициент, учитывающий потери на отражение и поглощение. Плоскополяризованный луч света, падая на вторую призму Николя (анализатор), также расщепляется на обыкновенный и необыкновенный лучи. Обыкновенный луч полностью поглощается призмой. Необыкновенный луч проходит через призму. После прохождения анализатора интенсивность света уменьшается как за счет отражения и поглощения света анализатором, так и из-за несовпадения плоскости поляризации света с главной плоскостью анализатора. В соответствии с законом Малюса и с учетом потерь на отражение и преломление света интенсивность равна (2) I2 = I1 (1 - k) cos2α, где α - угол между плоскостями поляризации поляризатора и анализатора. Подставляя выражение (1) в (2), имеем 1 (3) I2= I0(1 - k)2cos2α . 2 Относительное уменьшение интенсивности света при прохождении света через 2 призмы Николя равно I0 2 . = (4) I 2 (1 − k)2 cos 2 α Подставив в расчетную формулу (4) значения k = 0,1, α = 600, получим I0 2 = = 9,8 . 2 I 2 (1 − 0,1) cos 2 600 СПРАВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ Основные физические постоянные (округленные значения) Физическая постоянная

Обозначение

Значение

Скорость света в вакууме

c

3,0.108м/с

Некоторые астрономические величины

23

Наименование

Значение

Радиус Земли Масса Земли Радиус Солнца Масса Солнца Радиус Луны Масса Луны Расстояние от центра Земли до центра Солнца Расстояние от центра Земли до центра Луны

6,37.106м 5,98.1024кг 6,95.108м 1,98.1030кг 1,74.106м 7,33.1022кг 1,49.1011м 3,84.108м

Диэлектрическая проницаемость Вещество Парафиновая бумага Стекло Слюда

Проницаем ость 2,0 7,0 7,0

Вещество Вода Масло трансформаторное Эбонит

Проницае мость 81 2,2 3,0

Показатель преломления Вещество

Показатель преломления

Вода Глицерин Стекло Алмаз

1,33 1,47 1,5 2,42

24