Вещественный и комплексный анализ: в 6 частях

Э.И.Зверович

´ ВЕЩЕСТВЕННЫЙ И КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ

Учебник в пяти частях

Часть 1.

Введение в анализ и дифференциальное исчисление

Минск БГУ 2002

2

3 ПРЕДИСЛОВИЕ Вниманию читателя предлагается первая часть учебника по вещественному и комплексному анализу, написанного на основе многолетнего опыта преподавания этих курсов студентам механикоматематического факультета БГУ и непрерывного эксперимента. Все основные разделы1 учебника были фактически и многократно прочитаны студентам и, как показал опыт, хорошо ими усваивались. Всего предполагается выпустить пять частей, каждая из которых содержит лекционный материал объемом примерно 70 часов. К каждой части предполагается выпустить соответствующий ей сборник задач, рассчитанный на такое же число часов практических занятий. В целом учебник и задачник охватят весь материал, предусмотренный действующими программами учебных дисциплин „Математический анализ“ и „Теория функций комплексного переменного“. А пока к каждой главе учебника добавлены небольшие подборки задач, дополняющие основной текст. Эти подборки задач составлены доцентом О.Б.Долгополовой. Основная методическая проблема, над которой работал автор, может быть кратко охарактеризована как попытка модернизации, необходимость которой диктуется постоянным возрастанием объема научной (а значит, и учебной) информации. В этих условиях объемы часов, отводимых учебными планами на преподавание традиционно изучаемых дисциплин, имеют устойчивую тенденцию к сокращению. В связи с этим методическая проблема, о которой идет речь, заключается в том, чтобы учебные дисциплины, еще не потерявшие своей актуальности, преподавать на современном научном уровне, полноценно и кратко. Предлагаемый учебник представлят собой одну из попыток решения этой проблемы. В нем постоянно используется теоретико-множественный подход и принимаются меры к сближению дисциплин вещественного, комплексного и (в меньшей степени) функционального анализа. В связи с этим в начале курса анализа излагаются не только вещественные, но и комплексные числа, а также элементы общей топологии. Это дает возможность не повторять на лекциях все те факты, которые над полями вещественных и комплексных чисел формулируются (и доказываются) одинаково. Учитывая, далее, что теория числовых рядов не сложнее 1

К основным разделам относится материал, набранный крупным шрифтом.

4 теории числовых последовательностей, предлагается изучать ряды сразу же после последовательностей (а не в начале 3-го семестра, как это традиционно делается). Предел функции f : X −→ Y излагается как предел „по Коши“ при x → a; x ∈ X , где a — точка прикосновения множества X , а теория непрерывности дополняется общей теоремой о непрерывности всех элементарных функций. Понятия дифференциала и производной вводятся одновременно. Заканчивается первая часть учебника изложением наиболее популярных приложений дифференциального исчисления. Остальные части этого учебника будут снабжены своими предисловиями, поэтому на их особенностях остановлюсь кратко. Теорию определенного интеграла планируется излагать по Риману, а теорию кратных интегралов — по Лебегу, предварительно включив в курс элементы теории меры. Факты типа формулы Грина планируется изложить на современном уровне строгости. Закончить курс вещественного анализа планируется изложением элементов анализа на многообразиях, исчисления внешних форм и общей теоремы Стокса. Комплексный анализ (т.е. теорию аналитических функций) планируется излагать в тесной связи с вещественным анализом. Все эти меры призваны обогатить лекционный курс анализа, сделать его более строгим (без потери доступности) и привести к экономии учебного времени студентов. Выражаю благодарность покойному доценту И.И.Комяку и профессору Ф.В.Чумакову, вместе с которыми я в 1975 г. начинал работу по модернизации курса анализа на механико-математическом факультете БГУ, доценту Л.П.Примачуку за полезные обсуждения различных разделов курса, другим сотрудникам кафедры теории функций за участие в апробации моих лекций в аудитории. Особую признательность я выражаю профессору В.Г.Кротову и студенту А.С.Автаеву за помощь при наборе рукописи учебника в издательской системе LATEX 2ε .

Глава 0 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ § 1. Множества: отношения и операции Понятие множества является одним из основных понятий математики. Оно не определяется, поэтому дадим его описание. Множество — это совокупность, собрание, коллекция, набор, семейство, класс каких-нибудь предметов, называемых его элементами. Например, можно говорить о множестве всех студентов данного вуза, факультета, курса и т.п., а также о множестве всех домов данного города, квартала, района и т.п. Условимся в этом параграфе обозначать множества заглавными латинскими буквами. Множества могут состоять из элементов. Запись „x ∈ A“ означает, что x принадлежит множеству A (т.е. является элементом множества A ). Запись „x 6∈ A“ или „x∈A“ означает, что x не принадлежит A (т.е. не является элементом множества A ). Задать множество — это значит указать правило или признак, позволяющие отличать элементы, которые ему принадлежат, от всех прочих элементов (т.е. от тех, которые ему не принадлежат). Множества можно задавать разнообразными способами, из которых выделим три наиболее часто встречающихся. Первый способ — перечисление всех элементов данного множества (если такое перечисление возможно). Например, запись A := {a , b , . . . , p} означает, что A определяется как множество с элементами a , b , . . . , p (многоточие1 заменяет пропущенные элементы). Второй способ применяется тогда, когда есть свойство, которыми обладают все элементы данного множества, и только эти элементы. Например запись B := {x | x обладает свойством P} означает, что B определяется как множество всех тех и только тех элементов x , которые обладают свойством P . Третий способ применяется тогда, когда элементы данного множества помечены элементами другого множества (индексами), например, занумерованы: C := {ai | i ∈ I} .

(1)

Эта запись означает, что элементами множества C являются те и только те элементы ai , для которых i ∈ I . Здесь I — множество индексов. В (1) возможна такая ситуация, что ai = aj при i 6= j . Если множество задается в виде (1), то оно называется иногда семейством. 1

Символ „ . . . “ читается: „и так далее“.

5

6

Глава 0. Предварительные сведения

Два множества A и B считаются равными (A = B), если каждый элемент одного из этих множеств принадлежит другому. Между некоторыми парами множеств устанавливается отношение включения2 . Говорят, что множество A включается в множество B (или содержится в B), если каждый элемент множества A является элементом множества B. Записывается это в виде A ⊂ B (или, что равносильно, в виде B ⊃ A ). То же самое выражают словами: „A есть подмножество множества B “. Очевидно, что отношение включения обладает следующим свойством транзитивности: A ⊂ B ⊂ C =⇒ A ⊂ C , т.е. если A содержится в B , а B содержится в C , то A содержится в C . Имеет место следующее утверждение: ½ A⊂B, A = B ⇐⇒ (2) A⊃B, т.е. равенство двух множеств равносильно тому, что каждое из них содержится в другом. В тех случаях, когда A ⊂ B и A 6= B , принято говорить, что A является собственным подмножеством множества B (обозначается это так: A $ B). Кроме множеств, содержащих элементы, вводится в рассмотрение так называемое пустое множество, т.е. множество, в котором вообще нет элементов. Оно обозначается символом ∅ . Естественно считать, что включение ∅⊂A

(3)

выполняется для любого множества A . Из (2) и (3) вытекает единственность пустого множества. J Предполагая существование двух пустых множеств ∅1 и ∅2 , используя (2) и (3), имеем: ¾ ∅1 ⊂ ∅2 =⇒ ∅1 = ∅2 . ∅1 ⊃ ∅2 Иначе говоря, любые два пустых множества совпадают I Понятие пустого множества удобно использовать в тех случаях, когда заранее ничего не известно о существовании хотя бы одного элемента данного множества, или в тех случаях, когда известно, что таких элементов нет вовсе. над множествами являются операции объединения S Важнейшими операциями T ( ) , пересечения ( ) и разности (). S Объединением семейства множеств {Uα | α ∈ I} называется множество Uα , состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлеα∈I

жат хотя бы одному из множеств Uα . 2

Сразу же отметим, что здесь и всюду в дальнейшем принимается соглашение, по которому включение не исключает равенства.

§ 1. Множества: отношения и операции

7

В частности, объединение U ∪ V двух множеств U и V можно задать так: U ∪ V := {x | либо x ∈ U , либо x ∈ V , либо (x ∈ U и x ∈ V )} . T Пересечением семейства множеств {Uα | α ∈ I} называется множество Uα , состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлеα∈I

жат всем множествам данного семейства. В частности, пересечение двух множеств можно задать так: U ∩ V := {x | x ∈ U и x ∈ V } . S T Очевидно, что обе операции и коммутативны и ассоциативны, т.е. обладают переместительным и сочетательным свойствами. Если известно, что множества U и V не пересекаются, т.е. U ∩V = ∅ , то их объединение обозначают иногда символом U t V и называют дизъюнктным объединением. Разностью U V множеств U и V называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству U и не принадлежат множеству V , т.е. U V := {x | x ∈ U и x ∈ / V }. Для наглядного изображения различных соотношений между множествами иногда используются так называемые диаграммы Эйлера-Венна3 . Так B называются рисунки, на котоA A∩B рых различные множества изображаются в виде различных множеств точек плоскости (чаще всего — в виде областей, например, кругов), по-разному Рис.1. Пример диаграммы Эйлера-Венна заштрихованных или раскрашенных в различные цвета. На таких рисунках становятся наглядными различные соотношения между множествами. Например, на диаграмме Эйлера-Венна, изображенной на рис.1, множество A заштриховано горизонтальными линиями, множество B — вертикальными. Заштрихованная часть плоскости изображает A ∪ B ; часть плоскости, заштрихованная и горизонтальными, и вертикальными линиями — множество A ∩ B , а часть плоскости, заштрихованная только горизонтальными (только вертикальными) линиями, — множество AB (BA ) . Из рис.1 очевидны, например, следующие включения: A∩B ⊂A⊂A∪B

и A∩B ⊂B ⊂A∪B.

Из других операций над множествами в анализе часто используется декартово произведение. Определим его в простейшем случае двух множеств. Декартовым (или прямым) произведением множества A на множество B называется множество A × B , состоящее из всех упорядоченных пар (a , b) , где a ∈ A , b ∈ B , т.е. A × B := {(a , b) | a ∈ A , b ∈ B} . 3

Эйлер Леонард (1707 – 1783) — швейцарский математик, механик и физик, академик Петербургской Академии. Венн Джон (1834 – 1923) — английский логик.

8

Глава 0. Предварительные сведения

Если, например, в качестве множеств A и B взять две взаимно перпендикулярные числовые оси с общим началом, то их декартовым произведением A × B будет содержащая их координатная плоскость (рис. 3).

§ 2. Некоторые сведения из математической логики 1. Высказывания и операции над ними. Всякая научная теория есть некоторая система понятий и утверждений. Истинность каждого утверждения нуждается, вообще говоря, в обосновании. Часть утверждений обосновывается опытным путем или эмпирически. Другая, обычно б´ольшая, часть утверждений обосновывается с помощью логических средств. Эти логические средства изучаются в разделе математики, называемом математической логикой. Исходным понятием математической логики является понятие высказывания. Определение 1. Высказыванием называется утверждение, т.е. любое повествовательное предложение, про которое имеет смысл говорить о том, истинное оно или ложное. Например, высказывание „2 + 2 = 4“ является истинным, а высказывание „0 = 1“ — ложным. Восклицательные, вопросительные, повелительные и назывные предложения не являются высказываниями. Условимся в этом пункте высказывания обозначать заглавными латинскими буквами, например: P ,Q,R,... . Определение 2. Значением истинности высказывания P называется число α(P ) , которое находится по следующему правилу: ½ 1 , если P — истинное, α(P ) := 0 , если P — ложное. Находя с помощью некоторого исчисления значения истинности различных сложных высказываний, можно узнавать, истинные эти высказывания или ложные. Сложные высказывания образуются из более простых с помощью логических операций, важнейшими из которых являются: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция. Определим их. Определение 3. Отрицанием высказывания P называется высказывание, которое является ложным, если P — истинное, и истинным, если P — ложное. Отрицание высказывания P обозначается символом | P или символом P . Читается это так: „не P “ или „неверно, что имеет место P “. Используя определения 2 и 3, имеем: α(P ) = 1 − α(P ) .

§ 2. Сведения из математической логики

9

Определение 4. Конъюнкцией высказываний P и Q называется высказывание, которое считается истинным, если истинны оба высказывания P , Q , и ложным во всех остальных случаях. Конъюнкция высказываний P и Q читается „P и Q“ и обозначается одним из следующих символов: P ∧ Q или P &Q . Для нее справедливо равенство: α(P ∧ Q) = α(P ) · α(Q) . Определение 5. Дизъюнкцией высказываний P и Q называется высказывание, которое считается ложным, если ложны оба высказывания P , Q , и истинным во всех остальных случаях. Дизъюнкция высказываний P , Q читается „P или Q“ и обозначается символом: P ∨ Q . Для нее справедливо такое равенство: α(P ∨ Q) = 1 − α(P ∧ Q) . Определение 6. Импликацией высказываний P и Q называется высказывание, которое ложно лишь в том случае, если P — истинное, а Q — ложное. Импликация высказываний P и Q обозначается символом „P ⇒ Q“ и читается так: „если P , то Q“ или „из P следует Q“ и т.п. В импликации P ⇒ Q высказывание P называется условием, а Q — ее заключением или следствием. Из определения 6 вытекает такое равенство α(P ⇒ Q) = 1 − α(P ∧ Q) . Определение 7. Эквивалентностью (или эквиваленцией) высказываний P и Q называется высказывание, которое ложно лишь в том случае, когда одно из высказываний P , Q — истинное, а другое — ложное. Эквиваленция высказываний P и Q обозначается символом „P ⇔ Q“ и читается так: „P равносильно Q“, „P эквивалентно Q“, „P если и только если Q“ и т.п. Для нее справедливо такое равенство: α(P ⇔ Q) = α(P ⇒ Q) · α(Q ⇒ P ) .

10

Глава 0. Предварительные сведения 2. Формулы алгебры высказываний и их применения. С

помощью логических операций, рассмотренных в предыдущем пункте, можно, исходя из простейших высказываний, строить новые, более сложные высказывания, называемые формулами. Например, (P ∨ Q) ⇒ R ,

(4)

где P , Q , R — „простейшие“ высказывания. Отвлекаясь от конкретного содержания высказываний P , Q , R , будем называть их высказывательными переменными. Вместо них можно подставлять в (4) любые истинные или ложные высказывания, и в результате выполнения операций, входящих в (4), будем получать новые высказывания, которые могут оказаться как истинными, так и ложными. Чтобы сформулировать общее понятие формулы алгебры высказываний, зададим сначала некоторое множество высказывательных переменных X , Y , Z , . . . . В это множество включим две специфические высказывательные переменные И и Л . Специфика их заключается в том, что вместо И разрешается подставлять любые истинные высказывания, и только их, а вместо Л разрешено подставлять любые ложные высказывания, и только их. Общее понятие формулы алгебры высказываний дается следующим определением, в котором используется так называемая рекурсия4 . Определение 8. (a) Каждая отдельно взятая высказывательная переменная считается формулой. (b) Если F1 и F2 — формулы, то выражения F1 ,

F2 ,

(F1 ∨ F2 ) ,

(F1 ∧ F2 ) ,

(F1 ⇒ F2 )

(F1 ⇔ F2 )

(5)

также считаются формулами. (c) Не существует никаких других формул, кроме тех, которые можно получить в результате применения конечное число раз (в любом порядке) п.(a) и п.(b) . Принимается также соглашение, состоящее в том, что иногда признаются формулами выражения вида (5), но без внешних скобок. По этому соглашению является формулой, например, выражение (4) (разумеется, при условии, что P , Q , R — формулы). Подставляя в данную формулу вместо всех входящих в нее переменных значения И или Л , будем в результате получать высказывания. Значения истинности таких высказываний можно свести в таблицу, которая называется таблицей истинности данной формулы. Например, таблицу истинности формулы P ∧ Q ⇔ R можно задать в следующем виде (доказательство оставляем читателю в качестве упражнения): 4

Рекурсия, рекурсивность, рекуррентность — близкие между собой понятия, которые иногда используются в анализе. Эти слова происходят от латинского recurrere — возвращаться.

§ 2. Сведения из математической логики α(P ) 0 1 0 0 0 1 1 1

11

α(Q) α(R) α((P ∧ Q) ⇔ R) 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1

Особую роль играют определяемые ниже формулы специального вида, называемые тавтологиями. Определение 9. Формула алгебры высказываний F (X1 , ... , Xn ) называется тождественно истинной (или тавтологией), если ее значение истинности α(F ) равно 1 при любых значениях истинности переменных X1 , . . . , Xn . Роль тавтологий заключается прежде всего в том, что они дают схемы построения истинных высказываний, не зависящие от содержания и истинности составляющих их высказываний. Например, тавтологией является формула X ∨ X („икс или не икс“). Действительно, какое бы конкретное высказывание вместо X в нее ни подставить, получим истинное высказывание. Этим, однако, не исчерпывается роль тавтологий. Не меньшее значение имеет то, что тавтологии дают правильные способы умозаключений. Проиллюстрируем это на примере следующей тавтологии ((X ⇒ Y ) ∧ (X ⇒ Y )) =⇒ X .

(6)

Схема логического умозаключения, выражаемая этой тавтологией, часто используется в математике как метод доказательства „от противного“, суть которого заключается в следующем. Желая доказать истинность утверждения X , предполагают, что оно ложно (т.е. что истинно X ). Затем с помощью некоторых рассуждений устанавливают истинность утверждений X ⇒ Y и X ⇒ Y . Таким образом, получается, что должно быть истинным утверждение Y ∧ Y , которое на самом деле является тождественно ложным. Из полученного противоречия делается заключение об истинности утверждения X . Ниже перечисляются некоторые наиболее важные тавтологии. 10

Законы коммутативности конъюнкции и дизъюнкции: (X ∧ Y ) ⇐⇒ (Y ∧ X) ;

20

(X ∨ Y ) ⇐⇒ (Y ∨ X) .

Законы ассоциативности конъюнкции и дизъюнкции: (X ∧ (Y ∧ Z)) ⇐⇒ ((X ∧ Y ) ∧ Z) ; (X ∨ (Y ∨ Z)) ⇐⇒ ((X ∨ Y ) ∨ Z) .

12

Глава 0. Предварительные сведения 30

Законы дистрибутивности: (X ∧ (Y ∨ Z)) ⇐⇒ ((X ∧ Y ) ∨ (X ∧ Z)) ; (X ∨ (Y ∧ Z)) ⇐⇒ ((X ∨ Y ) ∧ (X ∨ Z) .

40

Законы дэ М´органа: (X ∧ Y ) ⇐⇒ (X ∨ Y ) ;

X ∨ Y ) ⇐⇒ (X ∧ Y ) .

50

Закон исключенного третьего: X ∨ X .

60

Закон контрапозиции: (X ⇒ Y ) ⇐⇒ (Y ⇒ X) .

70

Правило „цепного заключения“ (или закон силлогизма, или транзитивность операции ⇒): (X ⇒ Y ⇒ Z) =⇒ (X ⇒ Z) .

80

(7)

Правило „модус п´оненс“: (X ∧ (X ⇒ Y )) =⇒ Y .

90

Схема (6) доказательства „от противного“.

A5PX

vvv vvvvv v v v vvvvv

)))) )))) )))) ))))

?7 A1 HHHHH HHHH HHHH HHH Â'

Математические теоремы обычно имеют структуру, выражаемую формулой: X =⇒ Y .

(8)

A2

При этом высказывание X называется условием теоремы, а высказывание Y — ee заключением. В теореме (8) истинность высказываs k ния Y называют необходимым условием для A4 A3 истинности высказывания5 X , а истинность Рис.2. Пример круговой схемы высказывания X — достаточным условием для истинности высказывания Y . Не всякое необходимое условие является достаточным и не всякое достаточное условие является необходимым. В том частном случае, когда необходимое условие является и достаточным, теорема приобретает такую форму: ¸¸¸¸ ¸¸¸¸¸ ¸ ¸¸ ¸§± ¸¸¸

X ⇐⇒ Y

(9)

и называется иногда критерием. С каждой теоремой вида (8) можно связать еще три теоремы Y =⇒ X , 5

X =⇒ Y ,

Иногда это выражают еще так: „без Y нет X“.

Y =⇒ X ,

(10)

§ 2. Сведения из математической логики

13

называемые соответствено обратной, противоположной и обратной к противоположной. Из закона контрапозиции 60 вытекает равносильность теоремы (8) и последней из теорем (10). Иногда критерии имеют следующую структуру, более сложную, чем (9): „Равносильны следующие утверждения: A1 , . . . , An “ где n > 2 . Доказательства таких критериев экономнее всего проводить по так называемой круговой схеме, которая при n = 5 имеет вид, показанный на рис.2. Проверив истинность пяти импликаций, показанных на рис.2, мы на основании свойства транзитивности (7) заключаем о равносильности всех утверждений Aν .

3. Предикаты и кванторные операции над ними. Начнем с понятия предиката. Определение 10. Повествовательное предложение, в которое входят переменные и которое при замене всех входящих в него переменных возможными их значениями становится высказыванием, называется высказывательной функцией или предикатом. Например, всякая формула алгебры высказываний является предикатом. Однако понятие предиката — более общее, так как входящие в предикат переменные не обязательно являются высказывательными переменными (они могут быть, например, числовыми). Более конкретными примерами предикатов являются уравнения, а также неравенства, содержащие переменные. Предикат называется одноместным, двуместным и т.д., если в него входят соответственно одна, две и т.д. переменные. При задании предиката должно указываться множество X всех тех значений, которые могут принимать входящие в него переменные. Оно называется областью определения предиката. Его подмножество X ∗ ⊂ X, состоящее из всех тех и только тех значений переменных, при которых данный предикат становится истинным высказыванием, называется областью истинности предиката. Например, областью определения предиката ax2 + bx + c = 0

(11)

является множество всех чисел, а область его истинности совпадает с множеством всех корней уравнения (11). Над предикатами можно производить те же операции, что и над высказываниями: отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквиваленцию. Не останавливаясь на соответствующих определениях, ограничимся лишь примерами. Отрицанием предиката (11) является предикат: ax2 + bx + c 6= 0 . Пусть предикатами являются уравнения P (x, y) = 0 и Q(x, y) = 0

(12)

от двух переменных x , y . Их конъюнкцией является система уравнений: ½ P (x, y) = 0 , (13) Q(x, y) = 0 .

14

Глава 0. Предварительные сведения

Область истинности предиката (13) есть пересечение областей истинности предикатов (12). Дизъюнкцией предикатов (12) является совокупность уравнений · P (x, y) = 0 , Q(x, y) = 0 . Область истинности этого предиката есть объединение областей истинности предикатов (12). На подобных примерах можно истолковать импликацию и эквиваленцию предикатов как импликацию и эквивалентность уравнений. Кроме перечисленных, над предикатами можно производить так называемые кванторные операции, не имеющие аналогов среди операций над высказываниями. Каждая из таких операций, примененная к одноместному предикату, превращает его в высказывание. Определение 11. Операцией „квантор общности“ называется правило, которое каждому одноместному предикату P (x) , определенному на множестве X , сопоставляет высказывание: „для всех x ∈ X истинным является P (x)“, которое считается истинным только в том случае, когда предикат P (x) является тождественно истинным. Условимся обозначать высказывание, о котором идет речь в определении 11, так: ∀x ∈ X : P (x) . (14) Здесь символ ∀ читается для всех или для любого и называется квантором общности6 . Определение 12. Операцией „квантор существования“ называется правило, которое каждому одноместному предикату P (x) , определенному на множестве X , сопоставляет высказывание: „существует значение x ∈ X , такое, что истинным является P (x)“, которое считается ложным только в том случае, когда предикат P (x) является тождественно ложным. Условимся обозначать высказывание, о котором идет речь в определении 12, так: ∃x ∈ X : P (x) . (15) 7 Здесь символ ∃ читается существует и называется квантором существования. Из определений 11 и 12 вытекают следующие утверждения: ∀x ∈ X : P (x) ⇐⇒ (∃x ∈ X : P (x)) ; ∃x ∈ X : P (x) ⇐⇒ (∀x ∈ X : P (x)) . Эти эквивалентности означают следующее. Чтобы образовать отрицание высказывания типа (14) либо типа (15), надо в них заменить ∀ на ∃ , а ∃ на ∀ , а соответствующий предикат заменить его отрицанием. Отметим, что кванторные операции можно применять и к многоместным предикатам. Сформулированное правило образования отрицаний обобщается и на них (с соответствующими изменениями). 6 7

Отметим, что слова „∀“ нельзя склонять (т.е. изменять по падежам). Отметим, что глагол „∃“ нельзя спрягать (т.е. изменять по лицам).

§ 3. Первоначальные сведения об отображениях...

15

§ 3. Первоначальные сведения об отображениях и числовых функциях 1. Отображение, его график, сужение и продолжение. Кроме понятия множества другим основным понятием математики является понятие отображения множеств. Определим его, задавая произвольные непустые множества X и Y . Определение 13. Отображением множества X в множество Y называется правило, по которому каждому элементу x ∈ X сопоставляется единственный элемент y ∈ Y , причем различным элементам множества X могут сопоставляться различные элементы множества Y . Итак, задавая различные правила, будем получать различные отображения из X в Y . При этом множество X называется областью определения (или множеством задания), а множество Y — областью значений данного отображения. Обозначая через f правило, о котором идет речь в определении 13, условимся считать, что запись y = f (x) означает, что правило f сопоставляет элементу x ∈ X элемент y ∈ Y . Таким образом, f (x) — это значение отображения f на элементе x . Кроме записи y = f (x) , для отображений применяются и многие другие обозначения. Приведем здесь так называемые диаграммы f : X −→ Y ;

f

X −→ Y ;

f : x 7−→ y .

(16)

Первые две диаграммы символизируют то, что f есть отображение из X в Y . Стрелку −→ условимся называть символом отображения. Третья диаграмма из (16) указывает на то, что при отображении f элементу x ∈ X сопоставляется элемент y ∈ Y . Стрелка 7−→ называется символом поэлементного отображения. Элемент y = f (x) называется образом элемента x при отображении f , а элемент x — прообразом элемента y = f (x) при этом отображении. Два отображения f1 : X1 −→ Y и f2 : X2 −→ Y считаются равными, если X1 = X2 , и ∀x : f1 (x) = f2 (x) . Различные частные виды отображений называются также функциями, функционалами, преобразованиями, операторами и т.п. В некоторых случаях отображения допускают наглядное геометрическое изображение. В связи с этим каждому отображению сопоставляется его график. Определение 14. Графиком отображения f : X −→ Y называется множество Γf ⊂ X × Y , состоящее из всех упорядоченных пар (x, y) , где x ∈ X , y = f (x) , т.е. Γf := {(x, y) ∈ X × Y | x ∈ X ; y = f (x)} . Иногда приходится рассматривать отображения, которые различаются только своими множествами задания. В связи с этим полезно ввести понятия сужения и продолжения отображений.

16

Глава 0. Предварительные сведения

Определение 15. Сужением отображения f : X −→ Y на множество A ⊂ X называется отображение g : A −→ Y , такое, что ∀x ∈ A : f (x) = g(x). Для сужения примем такое обозначение8 : g = f |A . Если g — сужение отображения f , то f называется продолжением отображения g (с множества A на множество X ). Очевидно, что график сужения есть подмножество графика исходного отображения (т.е. Γg ⊂ Γf ).

2. Образы и прообразы множеств при отображениях. Пусть f : X −→ Y — отображение, и ∅ ⊂ A ⊂ X . Определение 16. Образом множества A при отображении f называется множество f (A) , состоящее из образов всех элементов множества A , т.е. f (A) := {f (x) | x ∈ A} . Отметим некоторые свойства образов, предполагая, что f : X −→ Y — отображение, ∅ ⊂ A ⊂ X , ∅ ⊂ B ⊂ X : 10 .

f (∅) = ∅ ;

20 .

A⊂B

30 .

f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) ;

40 .

f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B).

=⇒

f (A) ⊂ f (B) ;

Докажем, например, свойство 4◦ . J Действительно, если A ∩ B = ∅ , то, используя 1◦ , имеем: f (A ∩ B) = f (∅) = ∅ ⊂ f (A) ∩ f (B) . Если же A ∩ B 6= ∅ , то ∃x ∈ A ∩ B и, значит, f (x) ∈ f (A ∩ B) . Но x ∈ A ∩ B =⇒ (x ∈ A и x ∈ B) , откуда f (x) ∈ f (A) и f (x) ∈ f (B) , т.е. f (x) ∈ f (A) ∩ f (B) . Итак, f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)

I

Отметим, что включение в 4◦ может быть строгим, т.е. возможно, что f (A ∩ B) $ f (A) ∩ f (B) . J Пусть, например, множество X содержит более одного элемента, а отображение f : X −→ Y — постоянное, т.е.9 ∃c ∈ Y ∀x ∈ X : f (x) = c .

(17)

Так как X содержит более одного элемента, то существуют непустые подмножества A ⊂ X и B ⊂ X , такие, что A ∩ B = ∅ . Для них имеем: f (A ∩ B) = f (∅) = ∅ & {c} = f (A) ∩ f (B) 8

I

В литературе встречается также обозначение f |A . Иногда вместо записи типа (17) будем использовать более короткую запись: f (x) ≡ c (читается это так: „f (x) тождественно равно c“). 9

§ 3. Первоначальные сведения об отображениях...

17

Определение 17. Полным прообразом множества B ⊂ Y при отображении f : X −→ Y называется множество f −1 (B) , состоящее из всех прообразов всех элементов множества B , т.е. f −1 (B) := {x ∈ X | f (x) ∈ B} . Перечислим некоторые свойства полных прообразов. 10 . f −1 (∅) = ∅ ; 20 . B1 ⊂ B2 =⇒ f −1 (B1 ) ⊂ f −1 (B2 ) ; 30 . f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ) ; 40 . f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ) ; 50 . f −1 (Y B) = Xf −1 (B) . Доказательства оставляем читателю.

3. Композиция отображений. Обратное отображение. Пусть заданы два отображения f : X −→ Y

и

g : Y −→ Z ,

(18)

где область значений первого отображения совпадает с областью определения второго. Для таких10 отображений определяется так называемая композиция (называемая также суперпозицией или сложным отображением). Определение 18. Композицией отображений (18) называется отображение g ◦ f : X −→ Z , такое, что ∀x ∈ X : (g ◦ f )(x) := g(f (x)) . Аналогично можно определить композицию трех и б´ольшего числа отображений, например, (h ◦ g ◦ f )(x) := h(g(f (x))) . Операция образования композиции, вообще говоря, не коммутативна (т.е. g ◦ f 6= f ◦ g , даже если обе композиции имеют смысл). Очевидно, однако, что она ассоциативна, т.е. h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f . Используя понятие композиции, можно ввести понятие обратного отображения. 10

Композиция имеет смысл и не только для таких отображений. Но эту более общую ситуацию рассматривать пока не будем.

18

Глава 0. Предварительные сведения

Определение 19. Отображение g : Y −→ X называется обратным к отображению f : X −→ Y , если g ◦ f = IdX

и

f ◦ g = IdY ,

где через Id обозначено тождественное отображение (например, IdX (x) = x для всех x ∈ X ). Для отображения g : Y −→ X , обратного к f : X −→ Y, принято такое обозначение: g = f −1 . Очевидно, что (f −1 )−1 = f . Определение 20. Отображение f : X −→ Y называется: (a) сюръективным, если f (X) = Y ; (b) инъективным11 , если x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) ; (c) биективным12 , если оно является сюръективным и инъективным. Отметим, что для произвольного отображения f : X −→ Y выполняется лишь включение f (X) ⊂ Y , и в связи с этим произвольные отображения назыв вают отображениями в и обозначают иногда символом −→ . Теорема 1. Если отображение f : X −→ Y является биективным, то для него существует единственное обратное отображение f −1 : Y −→ X . J Зададим произвольно y ∈ Y . Так как отображение f — сюръективное, то ∃x ∈ X : f (x) = y . Так как отображение f — инъективное, то элемент x определяется однозначно. Таким образом, мы получили единственное отображение g : x 7−→ y , обратное к отображению f : x 7−→ y I

4. Числовые функции и способы их задания. Основным понятием математического анализа является понятие функции. Функция — это весьма частный случай отображения, поэтому все факты, справедливые для произвольных отображений, остаются справедливыми и для функций. Здесь и всюду в дальнейшем через R будем обозначать множество всех вещественных (действительных) чисел. Определение 21. Вещественной функцией одного вещественного переменного называется всякое отображение вида f : X −→ R , X ⊂ R . Ради краткости такие отображения будем называть просто функциями. Математический анализ в своей основной части — это теория функций. Существует много различных способов задания функций. Среди них выделим четыре наиболее важных: аналитический, табличный, компьютерный и графический. 11 12

Инъективные отображения называют также инъекциями. Биективные отбражения называют также взаимно-однозначными или биекциями.

§ 3. Первоначальные сведения об отображениях...

19

Аналитический способ задания функций — это задание ее уравнением, например: y = 2x ,

u = lg | sin z| ,

s=v·t ,

F =m·a ,

4 V = πR3 3

и т.п.

В этих примерах функции заданы явными13 аналитическими выражениями. В тех случаях, когда некоторую функцию f : X −→ Y задают в виде уравнения y = f (x) , символы x и y называют переменными. При этом x называют независимой переменной (или аргументом), а y — зависимой переменной (или функцией). Табличный способ задания функции состоит в задании некоторого множества конкретных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Компьютерный способ задания функции представляет собой соответствующую программу, записанную в компьютере или встроенную в него. Задавая конкретные числовые значения аргумента и обращаясь к этой программе, можно с помощью компьютера получать соответствующие значения функции. Графический способ задания функции f : X −→ R , X ⊂ R , заключается в построении ее графика Γf = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ X ; y = f (x)} в виде некоторого множества точек координатной плоскости XOY . Именно, изображая каждую пару чисел (x, y) ∈ Γf в виде точки M (x, y) на плоскости XOY , получим множество точек, которое и принимается за графическое изображение данной функции (рис.3). Основным преимущестY вом графического способа задания функции является его наглядность, и благодаря этому многие факты анализа становятся геометрически f (x) очевидными. Отметим, что каждая прямая, параллельная оси OY , пересекает график не более чем в одной точке. Этот факт является x 0 X следствием однозначности функции (т.е. того, что каждому x ∈ X соответствует только одно значение Рис.3. Пример графика функции переменной y). 13

Существуют также неявные, параметрические и другие разновидности аналитического способа задания функций.

20

Глава 0. Предварительные сведения

Y

Y

a

0 Y

X

0

0 Y

c

X

b

X d

0

X

Рис. 4. Графики монотонных функций

5. Монотонные функции. Обратные функции. Определение 22. Функция f : X −→ R , X ⊂ R , называется монотонной на множестве X , если ∀ x1 , x2 ∈ X выполняется одно из следующих условий: (a) x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 ) (возрастание); (b) x1 < x2 =⇒ f (x1 ) > f (x2 ) (убывание); (c) x1 < x2 =⇒ f (x1 ) 6 f (x2 (неубывание); (d) x1 < x2 =⇒ f (x1 ) > f (x2 (невозрастание). Функции, возрастающие и убывающие, называются строго монотонными, а остальные — монотонными (в широком смысле). На рис.4 (a) — (d) показаны графики монотонных функций, для которых выполнены соответствующие условия из определения 22. Монотонные функции выделяются среди других классов функций своими хорошими свойствами, одно из которых рассмотрим здесь. Теорема 2. Если функция f : X −→ R , X ⊂ R , — строго монотонная, то для функции f : X −→ Y , где Y = f (X) , существует единственная обратная функция f −1 : Y −→ X , которая является строго монотонной в том же смысле, что и f .

§ 3. Первоначальные сведения об отображениях...

21

J Из условий (a) и (b) строгой монотонности вытекает, что x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) , т.е. что отображение f : X −→ Y — инъективное. Так как Y = f (X) , то это отображение — сюръективное. Значит, оно биективное, и на основании теоремы 1 заключаем, что для него существует единственное обратное отображение f −1 : Y −→ X , которое тоже биективное. Таким образом, имеем: x1 6= x2 ⇐⇒ y1 6= y2 ,

Y

(19)

6

y=x

f −1 f

O

-X

Рис.5. Графики взаимно обратных функций

где обозначено y1 := f (x1 ) , y2 := f (x2 ) . Установим строгую монотонность обратной функции x = f −1 (y) . Предположим, что f возрастает, т.е. что x1 > x2 =⇒ y1 > y2 , и пусть y1 > y2 . Отсюда, учитывая (19), заключаем, что x1 6= x2 , т.е. что x1 > x2 , либо что x1 < x2 . Последнее неравенство влечет y1 < y2 , что противоречит сделанному предположению. Остается единственная возможность x1 > x2 , которая означает, что функция f −1 возрастает. Аналогично можно рассмотреть случай, когда f убывает, но его оставляем читателю и качестве упражнения I Введем в рассмотрение графики взаимно обратных функций: Γf = {(x, y) | x ∈ X , y ∈ Y ; y = f (x)} , (20) Γ

f −1

= {(y, x) | x ∈ X , y ∈ Y ; x = f

−1

(y)} .

Так как уравнения y = f (x) и x = f −1 (y) равносильны, то графики функций f и f −1 можно получить один из другого с помощью следующего биективного

22

Глава 0. Предварительные сведения

отображения: (x, y) 7−→ (y, x) . Если оба графика (20) изобразить на одной и той же координатной плоскости в обозначениях y = f (x) , y = f −1 (x) , то отображение (x, y) 7−→ (y, x) представится в виде преобразования симметрии относительно прямой y = x (см.рис.5). Отметим еще мнемоническое правило: чтобы увидеть график функции f −1 , достаточно посмотреть на график функции f с обратной стороны того листа, на котором он нарисован, причем ось OX надо направить вверх.

6. Четные, нечетные и периодические функции. Изучение функции f : X −→ R , вообще говоря, упрощается, если обнаруживается, что ее график Γf обладает симметриями того или иного типа. Известно, что всякая симметрия так или иначе связана с алгебраическим понятием группы, которое является одним из основных понятий математики. Определим его. Определение 23. Непустое множество G называется группой, если в нем определена бинарная операция, т.е. задано отображение (a, b) 7−→ a ∗ b из G × G в G , и ∀a, b, c ∈ G выполнены следующие условия (аксиомы): (a) a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c (ассоциативность); (b) ∃e ∈ G : a ∗ e = e ∗ a = a (существование нейтрального элемента); −1 −1 −1 (c) ∃a ∈ G : a ∗ a = a ∗ a = e (существование обратного элемента). Например, множество Z всех целых чисел, в котором в качестве бинарной операции взято сложение, является группой. Нейтральным элементом этой группы является число 0 , а элементом, обратным к n , является (−n) . Существуют группы, состоящие из конечного числа элементов. Например, возьмем две функции

Y

Id : R −→ R и ϕ : R −→ R , 0

X

где Id : x 7−→ x (тождественное отображение), а ϕ : x 7−→ −x (отображение симметрии). Тогда множество {Id ; ϕ} вместе с бинарной операцией „◦“ (композиция отображений) является группой. Нейтральным элеменРис.6. График четной функции том этой группы служит Id , и каждый элемент сам себе обратен. С этой группой связаны понятия четной и нечетной функций. Определение 24. Функция f : X −→ R , X ⊂ R , называется четной, если множество X расположено симметрично относительно начала координат, и ∀x ∈ X : f (−x) = f (x) .

§ 3. Первоначальные сведения об отображениях...

23

Примеры четных функций: y ≡ c , y = x2 , y = 2x4 , y = |x| , y =

1 , y = cos x . 1 + x2

Пусть Γf — график четной функции f . Тогда свойство четности можно выразить так:

Y

(x, y) ∈ Γf

0 X

⇐⇒

(−x, y) ∈ Γf ,

т.е. (x, y) 7−→ (−x, y) есть биективное отображение Γf на себя. Таким образом, график любой четной функции расположен в плоскости XOY симметрично относительно оси OY (рис.6).

Рис.7. График нечетной функции

Определение 25. Функция f : X −→ R , X ⊂ R , называется нечетной, если множество X расположено симметрично относительно начала координат, и ∀x ∈ X : f (−x) = −f (x) . Примеры нечетных функций: y = x , y = x5 ,

y = sin x , y =

x , y = sign x . 1 + x2

Пусть Γf — график нечетной функции f . Тогда свойство нечетности можно выразить так: (x, y) ∈ Γf ⇐⇒ (−x, −y) ∈ Γf , т.е. (x, y) 7−→ (−x, −y) есть биективное отображение Γf на себя. Таким образом, график любой нечетной функции расположен в плоскости XOY симметрично относительно начала координат (рис.7). Определение 26. Функция f : X −→ R , X ⊂ R , называется периодической с периодом T 6= 0 , если ∀x ∈ X выполняются условия: (a) ∀k ∈ Z : x ∈ X ⇐⇒ x + k · T ∈ X ; (b) f (x + T ) = f (x) .

24

Глава 0. Предварительные сведения Y

−2T

−T

0

T

2T X

Рис.8. График периодической функции

Теорема 3. Множество всех периодов любой функции является группой относительно операции сложения. J Пусть f : X −→ R , X ⊂ R — произвольная функция, и пусть x ∈ X . Так как f (x + 0) = f (x) , то число нуль можно считать периодом любой функции (даже не обязательно периодической). Поэтому, если функция f не является периодической, то множество всех ее периодов состоит только из нуля ({0} — группа относительно операции сложения). Предположим, что функция f — периодическая, и пусть T , T1 , T2 — ее периоды. Тогда f (x + (T1 + T2 )) = f ((x + T1 ) + T2 ) = f (x + T1 ) = f (x) , т.е. (T1 + T2 ) — период. Далее, так как f (x + T ) = f (x) , то, обозначая t = x + T , получим: f (t) = f (t − T ) , т.е. (−T ) — период I Среди периодических функций наиболее интересными считаются такие, группа периодов которых порождается одним числом T 6= 0 , т.е. имеет вид {k · T | k ∈ Z} , где Z — группа всех целых чисел. Число T называется основным периодом данной периодической функции. Обычно в качестве основного периода берется наименьший положительный период. Для построения графика периодической функции достаточно построить график сужения данной функции на любой промежуток вида [a , a + T ) , где T — основной период, а затем сдвинуть построенный график влево и вправо на величины, целократные T (рис.8).

§ 3. Первоначальные сведения об отображениях...

25

Задачи к главе 0 0.1. Доказать справедливость следующих утверждений (заглавными буквами обозначены множества): (a) A ⊂ B ⊂ C =⇒ A ⊂ C ; (b) X(A ∪ B) = (XA) ∩ (XB), где A ⊂ X, B ⊂ X ; (c) A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B ; (d) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ; (e) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ; (f) A × B ⊂ X × Y ⇐⇒ A ⊂ X , B ⊂ Y . 0.2. Составить таблицы истинности следующих формул (заглавными буквами обозначены высказывания): (a) (X ∨ Y ) ⇐⇒ (X ⇒ Y ) ; (b) (X ∧ Y ) =⇒ (Y ∧ X) ; (c) X ⇒ (Y ⇒ Z) . 0.3. Доказать, что все утверждения 1◦ − 9◦ из § 2, п. 2 являются тавтологиями. 0.4. Используя операции „квантор общности“ и „квантор существования“ по отношению к переменной x, записать следующие высказывания: (a) pавенство f (x) = 0 является тождеством; (b) pавенство f (x) = 0 не является тождеством. 0.5. Доказать утверждения 1◦ − 9◦ из § 3, п. 2. 0.6. Пусть f : X −→ Y — отображение. Используя кванторные операции, записать следующие высказывания, а также их отрицания: (a) oтображение f — инъективное; (b) oтображение f — сюръективное; (c) oтображение f — биективное. 0.7. Составить композиции f ◦ g и g ◦ f следующих функций: f (x) = sin x ,

g(x) = x2 .

0.8. Составить композиции ϕ ◦ ϕ , ϕ ◦ ψ , ψ ◦ ϕ , ψ ◦ ψ , где (a) ϕ(x) = x2 ,

ψ(x) = 2x ;

(b) ϕ(x) = sign x ,

ψ(x) = 1x ;

26

Глава 0. Предварительные сведения (c)

( ϕ(x) =

0 при x > 0 , x2 при x < 0 ;

( ψ=

x при x > 0 , 0 при x < 0 .

0.9. Исследовать на четность и на нечетность следующие функции: (a) y = sin x − 3 · sign x ; (b) y = (x2 − 1)(x2 + 1) + 7 · cos x − 2 ; (c) y = x + cos x ; ¯ ¯ (d) y = ¯ln |x2 − 1| − ln |x2 + 1|¯ ; √ (e) y = ln(x + 1 + x2 ) ; (f) y = 2 · sin 3x − 2 · cos x . 0.10. Доказать следующие утверждения: (a) Любую функцию с симметричной областью определения можно однозначно представить в виде суммы четной и нечетной функций. (b) Если в выражении (x2 + x + 1)1000 + (x2 − x + 1)1000 раскрыть скобки и привести подобные члены, то все слагаемые, содержащие нечетные степени переменного x , взаимно уничтожатся. (c) Если в выражении (x2 + x + 1)1000 − (x2 − x + 1)1000 раскрыть скобки и привести подобные члены, то все слагаемые, содержащие четные степени переменного x , взаимно уничтожатся. 0.11. Исследовать на периодичность следующие функции и найти группы их периодов: (a) f1 (x) = sin x + tg x ; (b) f2 (x) = 3

√ lg sin 5x

;

(c) f3 (x) = sin x + 12 · sin 2x + 2117 · sin 3x ; (d) f4 (x) = cos x + cos πx ; ½ 1, если число x — рациональное, (e) D(x) = 0, если число x — иррациональное. (f) ∀x ∈ R : f (x) = c ; (g) sin |R+ (т.е. сужение синуса на положительный луч).

Глава 1 ФОРМИРОВАНИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ § 1. Натуральные, целые, рациональные числа 1. Отношение эквивалентности, классы эквивалентности. Иногда бывает целесообразным различные элементы данного множества рассматривать как одинаковые (или, как говорят, отождествлять). Например, интересуясь длинной прямолинейного отрезка, можно не различать конгруэнтные1 между собой отрезки. Если речь идет о направлении в пространстве, то нет необходимости различать параллельные прямые. С точки зрения измерения величин естественно считать равными, например, такие обыкновенные дроби: 35 и 915 . Определение 27. Бинарным отношением на множестве M называется любое подмножество R декартова произведения M × M . Если (a; b) ∈ R , то говорят, что элементы a и b находятся между собой в отношении R (записывается это иногда так: aRb ). Задавая различные подмножества множества M × M , будем получать, таким образом, различные бинарные отношения (или соответствия) на M . Примером бинарного отношения на M является график любого отображения f : M −→ M . Здесь остановимся на так называемых отношениях эквивалентности. Определение 28. Отношением эквивалентности на множестве M называется такое бинарное отношение на M (обозначим его здесь символом ∼ ) , которое ∀ a, b, c ∈ M удовлетворяет следующим условиям: (a)

a ∼ a

(b)

a ∼ b ¾⇐⇒ b ∼ a (симметричность); a ∼ b =⇒ a ∼ c (транзитивность) . b ∼ c

(c)

(рефлексивность);

Определение 29. Пусть ∼ — отношение эквивалентности на множестве M . Класс эквивалентности Ka элемента a ∈ M определяется так: Ka := {b ∈ M | b ∼ a} . 1

Конгруэнтные — это такие, которые можно совместить один с другим с помощью перемещения в пространстве.

27

28

Глава 1. Формирование понятия числа N C

A

P

D B

O

Q

M

Рис.9. Биекция между отрезками прямых

Теорема 4. Любые два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают. J Считается, что M и ∼ заданы. Пусть Ka и Kb — классы эквивалентности. Если Ka ∩ Kb 6= ∅ , то ∃c ∈ Ka ∩ Kb . По определению 29 имеем: c ∼ a и c ∼ b , откуда по транзитивности заключаем, что a ∼ b . Поэтому Ka = Kb I Определение 30. Фактор-множеством множества M по отношению эквивалентности ∼ называется множество M ∼ , элементами которого являются всевозможные классы эквивалентности, т.е. M ∼ := {Ka | a ∈ M } . Построение фактор-множеств является одним из средств, с помощью которых можно формировать новые понятия, исходя из тех, которые уже сформированы. Этот метод будет использован ниже при формировании понятия числа.

2. Мощность множества. Целые положительные числа. Определение 31. Два непустых множества называются равномощными, если существует биективное отображение одного из них на другое. Например, множества всех точек любых двух прямолинейных отрезков равномощны. Чтобы в этом убедиться, возьмем два отрезка AB и CD , затем с помощью вспомогательных биекций (перемещений) добьемся того, чтобы данные отрезки заняли положение отрезков OM и ON , показанных на рис.9. Требуемая биекция между отрезками OM на отрезок ON может быть взята в виде2 : P ←→ Q , где P и Q — точки пересечения этих отрезков с прямыми, параллельными прямой N M . Теорема 5. Равномощность есть отношение эквивалентности на любой непустой совокупности множеств. 2

Условимся использовать стрелку ←→ в качестве символа биективного отображения.

§ 1. Натуральные, целые, рациональные числа

29

J Обозначим символом ≈ отношение равномощности. Покажем, что оно обладает всеми свойствами, указанными в определении 28. Пусть M , M1 , M2 , , M3 — множества из данной совокупности. Так как тождественное отображение Id : M −→ M есть биекция, то M ≈ M , т.е. выполнено условие рефлексивности. Пусть, далее, M1 ≈ M2 . Тогда существует биекция f : M1 −→ M2 . Но для всякой биекции существует обратная биекция f −1 : M2 −→ M1 (в силу теоремы 1 из гл. 0). Таким образом, M2 ≈ M1 , т.е. выполнено условие симметричности. Предположим теперь, что M1 ≈ M2 и M2 ≈ M3 . Тогда существуют биекции f1 : M1 −→ M2 и f2 : M2 −→ M3 . Их композиция f2 ◦ f1 : M1 −→ M3 также является биекцией, поэтому M1 ≈ M3 , т.е. выполнено и условие транзитивности I Используя теоремы 4 и 5, можно любую совокупность множеств разбить на попарно непересекающиеся классы эквивалентности. Тем самым вводится понятие мощности множеств. Определение 32. Мощностью множества M будем называть класс множеств, равномощных с множеством M . Для обозначения мощности используются различные символы, например, такие: card , # . Условимся, однако, в этом пункте мощность множества M обозначать символом |M | . Чтобы ввести понятие натурального числа, станем подразделять множества на конечные и бесконечные. Основным свойством, отличающим бесконечные множества от конечных, является то, что всякое бесконечное множество равномощно некоторому его собственному подмножеству. Например, множество всех точек отрезка OM равномощно множеству всех точек отрезка OQ (рис.9). Но очевидно, что OQ $ OM . Определение 33. Непустое множество M называется конечным, если оно не равномощно никакому его собственному подмножеству. Мощности |M | непустых конечных множеств условимся называть натуральными числами. Символом N будем обозначать множество всех натуральных чисел. Желая ввести для них обозначения, возьмем непустое конечное множество M . Так как M 6= ∅ , то ∃a ∈ M . Если M {a} = ∅ , то полагаем 1 := |M | , вводя тем самым натуральное число 1. Если, M {a} 6= ∅ , то ∃b ∈ M {a} . Если M {a, b} = ∅ , то полагаем 2 := |M | , вводя тем самым натуральное число 2 . Если M {a, b} 6= ∅ , то ∃c ∈ M {a, b} . Если M {a, b, c} = ∅ , то полагаем 3 := |M | , вводя тем самым натуральное число 3 . Продолжая этот процесс до тех пор, пока не окажется, что M { a, b, c, . . . , p } = ∅ , вводим тем самым натуральное число n := |M | = |{ a, b, c, . . . , p }| . Таким образом, вводя обозначения для мощностей всех попарно не равномощных конечных множеств, можно представить множество N в следующем виде: N := {1 , 2 , 3 , . . . , n , . . .} ,

30

Глава 1. Формирование понятия числа

где многоточия заменяют не выписанные натуральные числа. Множество N , очевидно, бесконечное. Введем арифметические операции над натуральными числами. Определение 34. Сумму двух натуральных чисел определим равенством: a + b := |A t B| , где A и B — непересекающиеся конечные множества, для которых a = |A| , b = |B| . Очевидно, что сумма a + b не зависит от выбора конкретных множеств A и B, а из коммутативности и ассоциативности операции t вытекают соответствующие свойства суммы чисел a + b = b + a , a + (b + c) = (a + b) + c . Определение 35. Пусть A , B — непустые конечные множества, причем A ⊃ B , A 6= B . Пусть a = |A| и b = |B| . Разность d = a − b определяется так: a − b := |AB| . Поскольку A ⊃ B =⇒ A = (AB)tB , причем (AB)∩B = ∅ , то a = d+b , т.е. d = a − b ⇐⇒ a = b + d . Определение 36. Произведение a · b натуральных чисел a и b определим так: a · b := |A × B| , где A и B — конечные множества, для которых a = |A| , b = |B| . Так как отображение (a ; b) ←→ (b ; a) есть биекция множества A × B на множество B × A , то произведение обладает свойством коммутативности, т.е. a · b = b · a . Далее, нетрудно показать, что (A × B) × C ≈ A × (B × C) , откуда вытекает ассоциативность умножения: (a · b) · c = a · (b · c) . Далее, если B ∩C = ∅ , то (A×B)∩(A×C) = ∅ , так как у пар (x, y) ∈ A×B и (u, v) ∈ A × C вторые компоненты заведомо различны (т.е. y 6= v). Поэтому a · (b + c) = |A × (B t C)| = |(A × B) t (A × C)| = a · b + a · c , т.е. имеет место распределительный закон. И, наконец, a · 1 = a , так как A × {x} ≈ A в силу биекции (a; x) ←→ a множеств A × {x} и A .

§ 1. Натуральные, целые, рациональные числа

31

3. Отношение порядка на множестве N . Пусть a , b , c ∈ N . Определение 37. Будем говорить, что a < b , если ∃d ∈ N : a + d = b . Теорема 6 (свойство линейной упорядоченности). Для любых двух натуральных чисел выполняется только одно из следующих соотношений: a = b, a < b, b < a . J Пусть A , B — такие множества, что |A| = a , |B| = b . Если A ≈ B , то a = b . Если же A 6= B , то множества A и B не равномощны. В этом случае либо существует инъекция A −→ B , и тогда a < b , либо существует инъекция B −→ A , и тогда b < a I Справедливы также следующие свойства, на обосновании которых не останавливаемся: ( a < b ⇐⇒ a + c < b + c ; ∀a, b, c ∈ N : a < b ⇐⇒ a · c < b · c . Теорема 7 (свойство транзитивности). Пусть a , b , c ∈ N . Если a < b < c , то a < c . J Существуют числа d1 , d2 ∈ N , такие, что a + d1 = b , b + d2 = c . Отсюда a + (d1 + d2 ) = b + d2 = c , т.е. a < c I Кроме того, справедливы такие неравенства 1 < 2 < 3 < ... < n < ...

.

Отсюда очевидно, в частности, что 1 есть наименьшее натуральное число. Более того, справедливо следующее свойство полной упорядоченности множества N . Теорема 8. В любом непустом подмножестве множества N содержится наименьшее число. J Пусть M — такое множество натуральных чисел, что ∅ $ M $ N . Если 1 ∈ M , то 1 и будет наименьшим числом. Если 1 ∈ / M , но 2 ∈ M , то 2 будет наименьшим числом. Продолжая этот процесс, мы найдем в M наименьшее число. Действительно, в противном случае окажется, что M ∩ N = ∅ . С другой стороны, M ⊂ N . Пересекая это с M , находим: M = M ∩ M ⊂ N ∩ M = ∅ . Значит, M = ∅ — противоречие I Теорема 9 (принцип полной индукции). Пусть A(n) — высказывательная функция (предикат), зависящяя от натурального аргумента n . Если высказывание A(1) — истинное, и высказывание ∀k ∈ N : A(k) ⇒ A(k + 1) — также истинное, то и высказывание ∀n ∈ N : A(n) — истинное.

32

Глава 1. Формирование понятия числа J Введем два множества: U := {n ∈ N | высказывание A(n) — истинное} V := {n ∈ N | высказывание A(n) — ложное} .

Очевидно, что U ∩ V = ∅ , U t V = N . Если предположить, что V 6= ∅ , то по теореме 8 в нем есть наименьшее число p . Так как p ∈ V то высказывание A(p) — ложное. Так как p — наименьшее число с таким свойством, то p > 1 , а высказывание A(p − 1) — истинное. Но по условию имеем: A(p − 1) ⇒ A(p) , т.е. высказывание A(p) — истинное. Получено противоречие. Из него заключаем, что V = ∅ , и, значит, U = N I Приведем здесь два примера на применение принципа полной индукции. В качестве первого примера докажем, что ∀n ∈ N ∀α > −1 имеет место так называемое неравенство Бернулли3 (1 + α)n > 1 + n · α .

(1.1)

J При n = 1 оно очевидно. Предполагая, далее, что неравенство (1.1) выполняется, имеем: (1+α)n+1 = (1+α)n ·(1+α) > (1+n·α)(1+α) = 1+n·α+α+n·α2 > 1+(n+1)·α . Таким образом, из неравенства (1.1) вытекает неравенство (1 + α)n+1 > 1 + (n + 1) · α

I

В качестве второго примера покажем, что ∀n ∈ N справедлива формула бинома Ньютона4 : n µ ¶ X n k n−k n (a + b) = a b , (1.2) k k=0 где

µ ¶ n n! := k k! · (n − k)!

— числа, называемые биномиальными коэффициентами5 . J При n = 1 равенство (1.2) очевидно, а при n = 2 и n = 3 оно переходит в соответствующие формулы сокращенного умножения (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 3

и (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ,

Берн´ улли — швейцарская семья, представителями которой являются 8 известных математиков. Неравенство (1.1) принадлежит Якобу Бернулли (1659 – 1705). 4 Ньютон ´ Исаак (1643 – 1727) — знаменитый английский математик и физик, один из создателей математического анализа. 5 Символ n! читается „эн факториал“ и определяется при натуральных n > 1 равенством: n! := 1 · 2 · . . . · n . Кроме того, по определению полагают: 1! := 1 и, более того, 0! := 1 .

§ 1. Натуральные, целые, рациональные числа

33

известные из школьного курса математики. Предполагая, далее, что равенство (1.2) выполняется, имеем: n+1

(a + b)

n µ ¶ X n

n µ ¶ X n

(ak bn−k+1 + ak+1 v n−k ) = k k=0 k=0 µ ¶ n n−1 µ ¶ X n X n k+1 n−k 0 n+1 k n−k+1 =a b + a b + a b + an+1 b0 = k k k=1 k=0 ¶¶ µ n µµ ¶ X n n n+1 ak bn−k + an+1 = =b + + k k + 1 k=1 ¶ ¶ n µ n+1 µ X X n + 1 k n+1−k n + 1 k n+1−k n+1 n+1 =b + a b +a = a v k k k=1 k=0 =

k

k n−k

a b

· (a + b) =

I

В этих преобразованиях было использовано тождество: µ ¶ µ ¶ µ ¶ n n n+1 + = , k k+1 k+1 которое легко доказывается: ¶ µ ¶ µ n n! n n! = + J + = k+1 k k!(n − k)! (k + 1)!(n − k − 1)! µ ¶ n! 1 1 n! (n + 1) = + = · = k!(n − k − 1)! n − k k + 1 k!(n − k − 1)! (k + 1)(n − k) ¶ µ n+1 (n + 1)! I = = k+1 (k + 1)!(n − k)! Теорема 10 (свойство Архимеда). Пусть a , b ∈ N , и a > b . Существует единственное p ∈ N , такое, что b · p 6 a < b · (p + 1) . J Покажем сначала, что любое a ∈ N обладает свойством быть превзойденным некоторым целократным числа b ∈ N . С этой целью применяем индукцию по числу a ∈ N . Так как 1 < b + 1 6 2b , то число a = 1 таким свойством обладает. Далее, если a < b · n , то a + 1 < b · n + 1 6 b · n + b = b · (n + 1) . Этим вспомогательное утверждение доказано. По теореме 8 среди чисел n , для которых a < b · (n + 1) , есть наименьшее. Обозначая его через p , имеем: b · p 6 a < b · (p + 1)

I

34

Глава 1. Формирование понятия числа 4. Построение кольца всех целых чисел. Это построение про-

водится методом симметризации. Суть его заключается в том, что к множеству N добавляют новые элементы (нуль и отрицательные целые числа), распространяют на них арифметические операции сложения, вычитания и умножения, а также отношение неравенства. Мотивом расширения множества N служит проблема обеспечения неограниченной возможности вычитания. На множестве N эта возможность ограничена, так как в силу определения 35 вычитать можно только от б´ольшего числа м´еньшее. Целое число 0 (нуль) вводим как мощность пустого множества ∅ , т.е. полагаем 0 := |∅| . Так как для любого непустого конечного множества M выполняются соотношения ∅&M,

M ∪ ∅ = M ∅ = M ,

M × ∅ = ∅,

M M = ∅ ,

то естественно считать, что ∀n ∈ N выполнено неравенство 0 < n , а также равенства: n ± 0 = n, n · 0 = 0, n − n = 0 . (1.3) Введем теперь два биективных образа множества N . Первый из них назовем множеством всех положительных целых чисел: +N := {+1, +2, . . . , +n, . . .} , а второй — множеством всех отрицательных целых чисел −N := {−1, −2, . . . , −n, . . .} . Объединяя эти множества и множество { 0 } , получим множество Z всех целых чисел: Z := (−N) t {0} t (+N) = {. . . , −2 , −1 , 0 , +1 , +2 , . . .} . Подчиняя введенные числа неравенствам . . . < −2 < −1 < 0 < +1 < +2 < . . . с сохранением свойства транзитивности, превращаем Z в линейно упорядоченное множество (т.е. на Z имеет место теорема 6). Чтобы ввести на Z арифметические операции, сначала отождествим целые положительные числа с соответствующими натуральными числами, т.е. положим: ∀n ∈ N : n := +n := −(−n) . При таком соглашении имеет место включение N ⊂ Z . Тем самым и арифметические операции над натуральными числами переносятся на целые числа (но не на все!). Переходя к распространению арифметических операций на любые пары целых чисел, прежде всего считаем равенства (1.3) выполненными для любого целого n . Кроме того, полагаем: 0 = +0 = −0 .

§ 1. Натуральные, целые, рациональные числа

35

Определение 38. Модуль (или абсолютную величину) целого числа a определим как целое неотрицательное число |a| , равное6 max{a , −a} , т.е. полагаем: |a| := max{a , −a} . Определение 39. Сумма двух целых чисел одинаковых знаков считается равной числу того же знака, что и слагаемые, а модуль их суммы равен сумме модулей слагаемых. Сумма двух чисел разных знаков считается числом того же знака, что и б´ольшее по модулю слагаемое, а модуль ее считается равным разности модулей слагаемых. Теорема 11. Для любых a , b , c ∈ Z имеем: (a) (b) (c) (d)

a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c a+0=0+a=a a + (−a) = 0

(коммутативность); (ассоциативность); (существование нуля); (существование противоположного элемента).

Не останавливаясь на доказательстве этой теоремы (оно простое), отметим только, что множество Z всех целых чисел образует коммутативную или a´белеву7 группу8 относительно операции сложения. Определив сумму любых двух чисел, легко определить и их разность, сводя ее к сумме: a − b := a + (−b) . Теорема 12 (неравенство треугольника). ∀a, b ∈ Z :

|a| − |b| 6 |a + b| 6 |a| + |b| .

(1.4)

J Докажем сначала правое неравенство (1.4). Если a = 0 либо b = 0 , то оно выполняется, так как обращается в равенство в силу первого из равенств (1.3). Если знаки чисел a и b — одинаковые, то оно также обращается в равенство в силу определения 39. Если же знаки чисел a и b — противоположные, то в силу того же определения 39 выполняется строгое неравенство |a + b| < |a| + |b| . Используя, далее, правое неревенство (1.4), имеем: |a| = |(a + b) − b| 6 |a + b| + | − b| = |a + b| + |b| . Отсюда получаем: |a + b| > |a| − |b| I Операция умножения целых чисел определяется с использованием операции умножения натуральных чисел и известного правила знаков следующим образом. 6

Символами max M и min M обозначаются соответственно наибольший и наименьший элементы числового множества M . 7 Aбелева группа названа в честь норвежского математика Н.Г.Абеля (1802 – 1829). 8 По поводу понятия группы см. гл. 0, § 3, п. 6.

36

Глава 1. Формирование понятия числа

Определение 40. Произведение a · b целых чисел a , b ∈ Z определяется следующим образом:  если a > 0 , b > 0 ,  a · b, |a| · |b|, если a 6 0 , b 6 0 , a · b :=  −|a| · |b| в остальных случаях. Теорема 13. Для любых a , b , c ∈ Z имеем: (a) (b) (c) (d)

a·b=b·a a · (b · c) = (a · b) · c 1·a=a·1=a a · (b + c) = a · ·b + a · c a = 0, (e) a · b = 0 ⇐⇒ b = 0.

(коммутативность); (ассоциативность); (существование единицы); (дистрибутивность); (отсутствие делителей нуля).

Не останавливаясь на доказательстве этой теоремы, отметим, что множество Z всех целых чисел вместе с операциями сложения и умножения является кольцом (в алгебраическом смысле). Кольцом называется всякое множество, в котором введены две операции (называемые обычно сложением и умножением). По отношению к операции сложения должны выполнятся все утверждения теоремы 11. По отношению к операции умножения должны выполнятся условия ассоциативности и дистрибутивности. Если выполнена коммутативность умножения, то кольцо называется коммутативным; если в нем есть элемент 1, то оно называется кольцом с единицей. Если же выполнено и условие (e) из теоремы 13, то оно называется кольцом без делителей нуля.

5. Построение множества всех рациональных чисел. Пусть a 6= 0 и b — заданные целые числа, и пусть требуется разделить b на a , т.е. найти такое число x , для которого выполнялось бы равенство a · x = b . Легко видеть, что это уравнение имеет целое решение не для любых a 6= 0 и b . Например, уравнение 3 · x = 5 целых решений не имеет, а уравнение 7 · x = 14 — имеет. Эти факты выражают иногда такими словами: „возможность деления в кольце Z ограничена“. Желая обеспечить неограниченную возможность деления, приходят к необходимости введения новых (рациональных) чисел. Предварительно вводятся так называемые обыкновенные дроби. Определение 41. Обыкновенными дробями условимся называть элементы декартова произведения Z × (Z{0}) .

§ 1. Натуральные, целые, рациональные числа

37

Пусть (m, n) ∈ Z × (Z{0}) . Условимся обыкновенную дробь m (m, n) записывать в виде m : n или в виде mn , или в виде . Таn ким образом, множество всех обыкновенных дробей можно записать в такой форме: o nm ¯ ¯ Z × (Z{0}) = ¯ m ∈ Z , n ∈ Z{0} . n

(1.5)

Введем на этом множестве отношение эквивалентности (т.е. отношение равенства дробей). Определение 42. Равенство обыкновенных дробей определяется следующим образом: m1 m2 = n1 n2

def

⇐⇒

m1 · n2 = m2 · n1 .

(1.6)

Таким образом, равенство обыкновенных дробей сводится к равенству целых чисел. А так как равенство целых чисел обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, то этими же свойствами обладает и отношение равенства обыкновенных дробей. Используя затем теорему 4, можно разбить множество всех обыкновенных дробей на попарно не пересекающиеся классы, каждый из которых состоит из всех равных между собой дробей. Эти классы и называются рациональными числами. Определение 43. Рациональными числами условимся называть классы эквивалентности множества (1.5) всех обыкновенных дробей по отношению (1.6) равенства дробей. Через Q будем обозначать множество всех рациональных чисел, т.е. следующее фактор-множество Q := (Z × Z{0})= . Условимся также отождествлять целые числа k ∈ Z с классами эквивалентности обыкновенных дробей вида k1 . Учитывая это, имеем: Z ⊂ Q , и, таким образом, множество Q есть расширение множества Z .

38

Глава 1. Формирование понятия числа

6. Арифметические операции над рациональными числами. Сначала введем понятие поля (в алгебраическом смысле). Определение 44. Множество P называется полем, если в нем введены две операции (сложение и умножение), которые ∀ a , b , c ∈ P обладают следующими свойствами: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c ∃0 ∈ P : a + 0 = a ∃!(−a) ∈ P : a + (−a) = 0 a·b=b·a a · (b · c) = (a · b) · c ∃1 ∈ P : a · 1 = a a · (b + c) = a · b + a · c ∀a 6= 0 ∃a−1 ∈ P : a · a−1 = 1

(коммутативность сложения); (ассоциативность сложения); (существование нуля); (существ.противопол.элем.); (коммутативность умножен.); (ассоциативность умножения); (существование единицы); (дистрибутивность); (существ.обратного элемента).

Если выполнены все условия, кроме последнего (т.е. кроме условия (i)), то P есть кольцо, каковым является, например, множество Z всех целых чисел. Таким образом, поле — это кольцо с единицей, в котором выполнено условие (i). Это условие и обеспечивает неограниченную возможность деления. Вводя надлежащим образом арифметические операции над рациональными числами, покажем, что множество Q является полем. Определение 45. Арифметические операции над обыкновенными дробями определяются следующими равенствами: m1 · n2 − m2 · n1 m1 m2 ± := ; n1 n2 n1 · n2 m1 m2 m1 · m2 · := ; (1.7) n1 n2 n1 · n2 Á m1 m2 m1 · n2 := . n1 n2 n1 · m2 Пусть теперь r1 , r2 — рациональные числа, а m1 n1 , m2 n2 — представляющие их дроби. Рациональные числа r1 ± r2 , r1 · r2 , r1 r2

§ 1. Натуральные, целые, рациональные числа

39

определяются как классы дробей, равных правым частям соответствующих равенств (1.7). Это определение является корректным, так как при замене дробей m1 n1 и m2 n2 равными им дробями числители и знаменатели правых частей равенств (1.7) всегда умножаются на одни и те же числа, т.е. правые части тоже заменяются эквивалентными им дробями. Теорема 14. Множество Q всех рациональных чисел вместе с операциями, введенными в определении 45, являются полем. J Для доказательства надо проверить, что выполняются условия (a) — (i), перечисленные в определении 44. Сначала эти условия проверяются для операций (1.7) над обыкновенными дробями. Но для дробей свойства (a) — (h) вытекают из соответствующих свойств операций над целыми числами, а эти последние свойства мы считаем установленными. И, наконец, пусть r ∈ Q , r 6= 0 , и пусть mn — дробь, представляющая число r , причем ясно, что m 6= 0, n 6= 0 . m m n Тогда дробь обладает таким свойством: · = 1 , т.е. дробь n n m n представляет некоторое рациональное число, которое естественно m обозначить через r−1 или через 1r , или через 1 : r I Замечание. В поле Q , как и во всяком поле, отсутствуют делители нуля, т.е. · r1 = 0 , r1 · r2 = 0 ⇐⇒ r2 = 0 . J Предположим, что r1 · r2 = 0 , и r1 6= 0 . Тогда ∃r1−1 ∈ Q , и мы имеем: r2 = 1 · r2 = (r1−1 · r1 ) · r2 = r1−1 · (r1 · r2 ) = r1−1 · 0 = 0 , т.е. r2 = 0

I

7. Отношение порядка на множестве Q . Распространим теперь отношение неравенства с множества Z на множество Q . Определение 46. Пусть r ∈ Q , а mn — дробь, представляющая число r . Будем считать, что r > 0 , если целые числа m и n — одного знака. Пусть r1 , r2 — любые рациональные числа. Будем считать, что r1 > r2 , если r1 − r2 > 0 .

40

Глава 1. Формирование понятия числа

Это определение является корректным, так как при переходе от дроби mn к равной ей дроби свойство числителя и знаменателя быть числами одного знака не нарушается. Далее считаем, что def

r1 > r 2

⇐⇒

r1 > r2

⇐⇒

r1 6 r2

⇐⇒

def

def

r2 < r 1 ; h r1 > r 2 ; r1 = r2 ; h r1 < r 2 ; r1 = r2 .

Теорема 15 (свойство линейной упорядоченности). Для любых r1 , r2 ∈ Q имеет место только одно из следующих соотношений: r1 < r 2 ; r1 = r2 ; r1 > r 2 . J Возьмем обыкновенные дроби m1 n1 и m2 n2 , представляющие числа r1 и r2 соответственно, и составим разность m1 · n2 − m2 · n1 m1 m2 − := . n1 n2 n1 · n2 Для дроби, находящейся в правой части последнего равенства, реализуется только одна из следующих возможностей: либо m1 · n2 − m2 · n1 = 0 , и тогда r1 = r2 , либо числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, (и тогда r1 > r2 ), либо они имеют разные знаки (и тогда r1 < r2 ) I Определение 47. Модуль (или абсолютная величина) числа r ∈ Q определяется следующим равенством: |r| := max{r , −r} . Очевидно, что |r| > 0 , причем |r| = 0 ⇔ r = 0 . Теорема 16 (неравенство треугольника). ∀r1 , r2 ∈ Q :

|r1 | − |r2 | 6 |r1 + r2 | 6 |r1 + r2 | .

(1.8)

§ 1. Натуральные, целые, рациональные числа

41

J Желая установить правое неравенство (1.8), представим рациональные числа r1 и r2 в виде обыкновенных дробей с общим положительным знаменателем n: r1 ∼

m1 m2 , r2 ∼ , где n ∈ N . n n

Для таких дробей, используя теорему 12, имеем: ¯m ¯ |m1 | + |m2 | ¯¯ m1 ¯¯ ¯¯ m2 ¯¯ ¯ 1 m2 ¯ |m1 + m2 | + 6 =¯ ¯+¯ ¯ , ¯ ¯= n n n n n n т.е. |r1 + r2 | 6 |r1 | + |r2 | . Левое неравенство (1.8) легко получить как следствие правого I Следующая теорема не имеет аналога в Z . Теорема 17 (свойство плотности). Для любых двух не равных между собой чисел r1 , r2 ∈ Q существует число, заключенное между ними (существует даже бесконечное множество таких чисел). J Пусть r1 < r2 . Полагаем: r := (r1 + r2 )2 . Легко проверить, что r1 < r < r2 . В самом деле, имеем: r − r1 = (r1 + r2 )2 − r1 = (r2 − r1 )2 > 0 , так как r2 > r1 . Аналогично проверяется и второе неравенство. „Вставляя“ между r1 и r , между r2 и r новые числа и продолжая этот процесс, получим последнее утверждение теоремы I Теорема 18 (свойство транзитивности). Имеем: ¾ r1 < r 2 =⇒ r1 < r3 . r2 < r 3 J Имеем: r2 − r1 > 0 и r3 − r2 > 0 . Складывая эти неравенства, получим: r3 − r1 > 0 I

42

Глава 1. Формирование понятия числа

8. Представление рациональных чисел в виде бесконечных десятичных дробей. Сначала введем понятие бесконечной десятичной дроби. Определение 48. Десятичной мантиссой условимся называть всякое отображение вида N −→ { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 } .

(1.9)

Условимся записывать мантиссу в виде n1 n2 . . . nk . . . , где k 7−→ nk — поэлементная запись отображения (1.9). Определение 49. Бесконечной десятичной дробью условимся называть всякое выражение вида ±n0 , n1 n2 . . . nk . . . , где n0 — целое неотрицательное число, а после запятой записана десятичная мантисса. Условимся каждую конечную десятичную дробь рассматривать как бесконечную, дописывая к ней (мысленно) последовательность, состоящую из одних нулей. Бесконечные десятичные дроби подразделяются на периодические и непериодические в зависимости от свойств их мантисс. Определение 50. Мантисса n1 n2 . . . nk . . . называется периодической, если ее можно представить в виде: n1 n2 . . . nk . . . = . . . (nk . . . nk+p ) , где символ (nk . . . nk+p ) означает, что последовательность цифр nk . . . nk+p считается записанной вправо бесконечно много раз подряд. Теорема 19. Каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической дроби. Обратно, каждая такая дробь представляет некоторое рациональное число. Это соответствие будет биективным, если исключить из рассмотрения все периодические дроби, периодом которых является цифра 9 .

§ 1. Натуральные, целые, рациональные числа

43

J Проиллюстрируем эту теорему на примере. Получить из обыкновенной дроби, представляющей данное рациональное число, бесконечную десятичную дробь можно, деля ее числитель на знаменатель „столбиком“. Например, 5,000000 | 7 50 | 0,714285 1 °0 3 °0 2 °0 6 °0 4 °0 5 ° Последовательные остатки от этого деления записаны в кружочках, их всего шесть, и все они различны. Последний из выписанных остатков равен 5 , поэтому при дальнейшем делении последовательность частных и остатков начнет повторяться. Отсюда легко заключить, что 57 = 0, (714285) , т.е. обыкновенная дробь представлена в виде десятичной периодической. Обратно, каждую периодическую дробь можно представить в виде суммы конечной десятичной дроби и бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Суммируя прогрессию по известной формуле9 , получим обыкновенную дробь. Например, 1, (37) = 1 + 0, (37) = 1 +

37 37 37100 + + . . . = 1 + = 100 1002 1 − 1100 37 136 = . =1+ 99 99

Последнее утверждение теоремы связано с тем, что некоторые рациональные числа (а именно, те, которые представимы в виде конечных десятичных дробей) можно представить в виде двух различных бесконечных десятичных дробей. Например, 1 = 1, (0) = 0, (9) I 9

Имеется в виду равенство: 1 + q + q 2 + . . . =

1 , где |q| < 1 . 1−q

44

Глава 1. Формирование понятия числа

9. Изображение рациональных чисел точками числовой оси. Напомним, что числовой осью (рис.10) называется прямая линия, на которой зафиксирована точка O (начало отсчета), положительное направление (например, слева направо) и масштаб (т.е. отрезок OA , длина которого принимается равной 1). Положительное направление на числовой оси указывается на рисунках стрелкой. Противоположное направление называется отрицательным. Теорема 20. Существует инъективное и сохраняющее линейный порядок отображение множества Q всех рациональных чисел в множество всех точек числовой оси. J Построим это отображение. Сначала сопоставим числу 0 (нуль) точку O (начало отсчета). Далее, откладывая от точки O в положительном направлении10 1, 2, 3, . . . раз отрезок OA (единицу масштаба), получим точки, соответствующие натуральным числам. Откладывая затем отрезок OA от точки O влево 1, 2, 3, ... раз, получим изображения целых отрицательных чисел. Пусть теперь n > 1 — натуральное число. Откладывая отрезок длины 1n вправо и влево m раз, получим изображения рациональных чисел, представленных обыкновенными дробями. Поскольку число n — произвольное, то таким способом можно изобразить на оси все рациональные числа. Так как различные рациональные числа можно представить в виде различных обыкновенных дробей, имеющих один и тот же знаменатель, то различные рациональные числа изобразятся различными точками числовой оси I Замечание. Отметим в заключение, что указанное в теореме 20 отображение не является биективным. Это означает, что на числовой оси остались точки, которые не являются образами рациональных чисел при указанном выше отображении. J Возьмем, например, на рис.10 точку C , такую, что отрезок OC конгруентен диагонали квадрата со стороной, равной 1. Тогда в силу теоремы Пифагора должно быть11 : |OC|2 = |OB|2 = 1 + 1 = 2 , т.е. квадрат длины отрезка OC должен быть равен 2. Предполагая, что |OC| = pq , где дробь pq — несократимая, получим p2 = 2q 2 , откуда видно, 10 11

т.е. вправо Здесь символом |OC| обозначена длина отрезка OC .

§ 2. Вещественные числа

45 B

O

A

C

X

Рис.10. Числовая ось OX что число p — четное, т.е. p = 2p1 . Но тогда q 2 = 2p21 откуда видно, что и число q — четное. Таким образом, дробь pq оказалась сократимой. Полученное противоречие показывает, что точке C не соответствует никакое рациональное число I

Желание добиться того, чтобы любая точка числовой оси была бы изображением некоторого числа, является одним из оснований для введения новых (вещественных) чисел. Это будет сделано в следующем параграфе.

§ 2. Вещественные числа 1. Сечения Дедекинда. Напомним, что символом Q мы условились обозначать множество (поле) всех рациональных чисел. Желая его расширить, введем понятие сечения. Определение 51. Множество α ⊂ Q называется сечением, если выполнены следующие условия: (I)

∅&α&Q; o p∈α =⇒ q ∈ α ; (II) q

Условимся в этом пункте употреблять буквы p , q , r , . . . только для обозначения рациональных чисел. Сечения условимся обозначать, как правило, буквами α , β , γ , . . . . Исключения будут составлять те случаи, когда сечение будет явным образом связано с некоторым рациональным числом.

46

Глава 1. Формирование понятия числа Теорема 21. Если p ∈ α , а q ∈ / α , то q > p .

J Предположим противное: q 6 p . Если q = p , то получим: p∈αиp∈ / α — противоречие. Если же q < p , то в силу свойства (II) имеем: q ∈ α — опять противоречие I Принимая во внимание эту теорему, будем называть элементы множества α нижними числами сечения α , а элементы, не принадлежащие α , — верхними числами сечения α . В силу свойства (III) среди нижних чисел сечения α нет наибольшего. Однако наименьшее верхнее число может как существовать, так и не существовать. Покажем последнее на примерах. Лемма. Пусть α — множество, включающее в себя все отрицательные числа, нуль и все положительные рациональные числа, квадрат которых меньше двух. Множество α — сечение, притом такое, что среди его верхних чисел нет наименьшего. J Выполнение условий (I) и (II) для введенного множества α очевидно. Введем, далее, множества A := {r ∈ Q+ | r2 < 2} ⊂ α , B := {r ∈ Q+ | r2 > 2} ,

(1.10)

где символом Q+ условимся обозначать множество всех положительных рациональных чисел. Пусть p ∈ A . В силу свойства плотности существует h ∈ Q , такое, что ½ ¾ 2 − p2 0 < h < min 1 ; . 2p + 1 Для него имеем: 2 − p2 (p+h) = p +2ph+h = p +(2p+h)·h < p +(2p+1)· =2, (2p + 1) 2

2

2

2

2

откуда (p + h)2 < 2 , т.е. p + h ∈ α . Итак, множество α не содержит наибольшего числа, т.е. выполнено (III), и, значит, α — сечение. Покажем, что среди верхних чисел, составляющих множество B из (1.10), нет наименьшего. Пусть p ∈ B , тогда p > 0 и p2 > 2 . Положим q := p − (p2 − 2)2p = p2 + 1p . Отсюда видно, что

§ 2. Вещественные числа

47

0 < q < p . Далее, µ 2 ¶2 ¶2 µ 2 p − 2 p − 2 q2 = p − = p2 −(p2 −2)+ > 2, 2p 2p

откуда q 2 > 2 ,

т.е. q ∈ B и q < p , и, значит, число p ∈ B — не наименьшее I Однако для некоторых сечений наименьшее верхнее число существует. Это вытекает из следующей теоремы. Теорема 22. Пусть r ∈ Q . Определим множество α следующим образом: α := {p ∈ Q | p < r} . (1.11) Тогда α — сечение, а r — наименьшее его верхнее число. J Для множества (1.11) условия (I) и (II) выполняются очевидным образом. Покажем, что выполняется (III). Если p ∈ α , то p < r , и по свойству плотности (теорема 17) имеем: p < (p + r)2 < r , откуда (p + r)2 ∈ α . Значит, число p ∈ α — не наибольшее, т.е. выполнено (III). Пусть теперь q — верхнее число. Тогда q > r , а так как r ∈ / α , то r — тоже верхнее число, притом наименьшее I Определение 52. Сечение, построенное в теореме 22, будем называть рациональным сечением, а r — его пограничным числом. Желая подчеркнуть, что сечение α — рациональное, а r — его пограничное число, условимся обозначать его так: α = r∗ . В теореме 22 установлена биекция между рациональными числами и рациональными сечениями. Определение 53. Сечения α и β считаются равными (α = β) , если они равны как множества. В случае α 6= β считаем, что α < β , если α ⊂ β . Очевидным образом можно определить и следующие отношения между сечениями: 6 , > , > . Изучим теперь свойства отношения порядка на множестве сечений.

48

Глава 1. Формирование понятия числа

Теорема 23 (линейная упорядоченность сечений). Пусть α , β — сечения. Выполняется только одно из следующих трех соотношений: α=β , α>β , α<β . (1.12) J Из определения 53 очевидно, что если α = β , то ни одно из неравенств (1.12) не выполняется. Так как ( α⊂β, α = β ⇐⇒ α⊃β, то в случае α 6= β может выполняться не более чем одно из неравенств (1.12). Осталось только показать, что одно из них обязательно выполняется. Итак, пусть α 6= β . Тогда ∃ p ∈ Q , такое, что выполнено в точности одно из следующих соотношений: p ∈ βα либо p ∈ αβ .

(1.13)

Предположим, что выполняется первое, т.е. ( p∈ / α; p∈β, и потому ∀q ∈ α : q < p , и, значит, q ∈ β . Итак, имеем: q ∈ α =⇒ q ∈ β , т.е. α & β или, что равносильно, α < β . Аналогично можно рассмотреть случай, когда выполнено второе из соотношений (1.13) I Теорема 24 (плотность множества сечений). Для любых двух не равных между собой сечений существует сечение, заключенное между ними (существует даже бесконечное множество таких сечений). J Пусть α < β . Тогда α ⊂ β и α 6= β. Поэтому существует рациональное число r , такое, что r ∈ β и r ∈ / α. Для соответствующего ему рационального сечения имеем: α ⊂ r∗ ⊂ β , т.е. α < r∗ < β , Вставляя между α и r∗ , а также между r∗ и β новые сечения и продолжая процесс, получим как угодно много сечений, заключенных между α и β I

§ 2. Вещественные числа

49

Теорема 25 (свойство транзитивности). Пусть α , β , γ — сечения. Тогда α < β < γ =⇒ α < γ . J По условию имеем: α ⊂ β ⊂ γ , причем все включения — строгие. По свойству транзитивности отношения ⊂ имеем строгое включение α $ γ , т.е. α < γ I Последние две теоремы показывают, что отношение „<“ между сечениями обладает теми основными свойствами, которые обычно связывают с отношениями строгого неравенства. Перейдем теперь к введению арифметических операций над сечениями. Теорема 26. Пусть α , β — сечения, и пусть γ := {r ∈ Q | ∃p ∈ α ∃q ∈ β : r = p + q} .

(1.14)

Тогда γ — сечение. J Покажем, что множество γ удовлетворяет всем условиям, перечисленным в определении 51. (I) Так как α 6= ∅ , и β 6= ∅ , то ∃p ∈ α и ∃q ∈ β . Значит, ∃ (p + q) ∈ γ , т.е. γ 6= ∅ . Далее, так как α 6= Q , то ∃p0 ∈ / α , а так 0 0 как β 6= Q , то ∃q ∈ / β . Тогда ∀p ∈ α : p < p и ∀q ∈ β : q < q 0 . Отсюда находим: ∀p ∈ α ∀q ∈ β : p + q < p0 + q 0 , т.е. p0 + q 0 ∈ /γ, поэтому γ 6= Q . (II) Пусть r ∈ γ и s < r . Надо показать, что s ∈ γ . Выберем p ∈ α , q ∈ β так, чтобы было: p+q = r . Уменьшая первое слагаемое, найдем p0 < p так, чтобы было p0 + q = s . Значит, s ∈ γ . (III) Пусть r ∈ γ . Тогда r = p + q для некоторых p ∈ α , q ∈ β . Поскольку существует p0 > p и p0 ∈ α , то p0 + q > r и p0 + q ∈ γ . значит, число r — не наибольшее в γ I Определение 54. Сечение, задаваемое равенством (1.14), обозначается символом α + β и называется суммой сечений α и β . В следующей теореме (и всюду в дальнейшем) символ ∃! читается так: существует единственное.

50

Глава 1. Формирование понятия числа Теорема 27. Пусть α , β , γ — сечения. Тогда имеем: (a) α + β = β + α ; (b) (α + β) + γ = α + (β + γ) ; (c) α + 0∗ = α ; (d) ∀α ∃! β : α + β = 0∗ ; (e) ∀α, β ∃! γ : α + γ = β .

Доказательство всех этих фактов — не сложное и на нем не останавливаемся. Отметим только, что символом 0∗ обозначено рациональное сечение с пограничным числом 0 (нуль). Сечение β , для которого выполнено (d), называется сечением, противоположным к α , и обозначается символом (−α) . Сечение γ , для которого выполняется (d), называется разностью сечений β и α и обозначается β −α. Теорема 28. Для любых сечений α , β , γ , таких, что β < γ , имеем: α + β < α + γ . В частности, полагая β = 0∗ , имеем: если α > 0∗ , γ > 0∗ , то α + γ > 0∗ . J В силу определения 53 имеем: β < γ ⇐⇒ β $ γ . Используя, далее, (1.14), получаем:

α + β = {r ∈ Q | ∃p ∈ α , ∃q ∈ β : r = p + q} ⊂ ⊂ {r ∈ Q | ∃p ∈ α ∃q ∈ γ : r = p + q} = α + γ . Отсюда видно, что α +β 6 α +γ . Посмотрим, когда здесь возможно равенство. Предполагая, что α + β = α + γ и используя теорему 27(c), находим: β = 0∗ +β = (−α+α)+β = −α+(α+β) = −α+α+γ = γ , т.е. β = γ . И, наконец, если α > 0∗ , γ > 0∗ , то α + γ > γ > 0∗ , и, значит, α + γ > 0∗ I Еще более кратко, чем сложение и вычитание, рассмотрим умножение и деление сечений. Обозначая через Q+ (Q− ) множество всех положительных (отрицательных) рациональных чисел, установим следующую теорему.

§ 2. Вещественные числа

51

Теорема 29. Пусть α , β — положительные сечения, и пусть γ := Q− t {0} t {r ∈ Q+ | ∃p ∈ α ∩ Q+ ∃q ∈ β ∩ Q+ : r = p · q} . (1.15) Тогда γ — сечение. J Проверим для γ свойства (I – III) из определения 51. (I) Так как 0 ∈ γ , то γ 6= ∅ . Пусть, далее, p0 ∈ / α , q0 ∈ / β . Тогда ¾ ∀p ∈ α ∩ Q+ : p < p0 =⇒ p · q < p0 · q 0 , 0 ∀q ∈ β ∩ Q+ : q < q т.е. p0 · q 0 6∈ γ , и, значит, γ 6= Q . (II) Пусть r ∈ γ и s < r , где s ∈ Q . Надо показать, что s ∈ γ . Это очевидно в случае s 6 0 , поэтому считаем, что s > 0 . Выберем положительные числа p ∈ α , q ∈ β так, чтобы было: r = p · q . Так как s < r , то существует p0 ∈ α , такое, что s = p0 · q . Значит, s ∈ γ . (III) Чтобы показать, что γ не содержит наибольшего числа, возьмем r ∈ γ ∩ Q+ . Тогда r = p · q для некоторых положительных p ∈ α , q ∈ β . Так как α не содержит наибольшего числа, то ∃ p0 ∈ α : p0 > p . Тогда p0 · q ∈ γ и p0 · q > p · q , т.е. число r = p · q ∈ γ — не наибольшее в γ I Определение 55. Сечение γ , задаваемое равенством (1.15), называется произведением неотрицательных сечений α и β и обозначается символом α · β (или короче: αβ ). Чтобы распространить понятие произведения на любые сечения (не обязательно неотрицательные), используем известное правило знаков. Определение 56. Модулем (или абсолютной величиной) сечения α называется неотрицательное сечение | α| , задаваемое следующим образом: ( α при α > 0∗ , | α| := −α при α 6 0∗ . Ясно, что |α| > 0∗ , причем | α| = 0∗ ⇔ α = 0∗ .

52

Глава 1. Формирование понятия числа Теорема 30. Для любых сечений α , β имеем: |α| − |β| 6 |α + β| 6 |α| + |β| .

(1.16)

J Установим правое неравенство (1.16). Пусть p ∈ |α + β| . Тогда p = max{p1 +q1 ; −p1 −q1 } при некоторых p1 ∈ α , q1 ∈ β . Используя неравенство треугольника для рациональных чисел, имеем: p1 + q1 6 |p1 | + |q1 | , и, значит, p = max{p1 + q1 ; −p1 − q1 } 6 max{|p1 | + |q1 | , −|p1 | − |q1 |} . Но |p1 | ∈ |α| , |q1 | ∈ |β| , и потому max{|p1 | + |q1 | , −|p1 | − |q1 |} ∈ |α| + |β| , т.е. p ∈ |α| + |β| . Таким образом, |α + β| ⊂ |α| + |β| или |α + β| 6 |α| + |β| . Левое неравенство (1.16) является следствием правого I Используя определение 56, мы дополним определение 55, сняв ограничение положительности сомножителей. Определение 57. Для любых   −|α| · |β| , α · β := −|α| · |β| ,   |α| · |β| ,

сечений α и β полагаем: если α < 0∗ , β > 0∗ , если α > 0∗ , β < 0∗ , если α < 0∗ , β < 0∗ .

Кроме того, произведение сечений считается равным нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Теорема 31. Пусть α , β , γ — сечения. Тогда: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

α ·β = β ·α; (α · β) · γ = α · (β · γ) ; α · (β + γ) = α · β + α · γ ; α · 0∗ = 0∗ ; · α = 0∗ ; ∗ α · β = 0 ⇐⇒ β = 0∗ , α · 1∗ = ¾ α, α>β =⇒ α · γ > β · γ ; γ > 0∗ ∀α 6= 0∗ ∀β ∃!γ : α · γ = β .

§ 2. Вещественные числа

53

На доказательстве этой теоремы здесь не останавливаемся. Сечение γ, для которого выполняется (h), обозначается через β : α или β βα или , реже через β ÷ α , и называется частным от деления α β на α . В заключение этого пункта приведем две теоремы, касающиеся рациональных сечений. Теорема 32. Для любых p , q ∈ Q имеем: (a) p∗ + q ∗ = (p + q)∗ ; (b) p∗ · q ∗ = (p · q)∗ ; (c) p∗ < q ∗ ⇐⇒ p < q . J (а) Если r ∈ p∗ + q ∗ , то r = s + t для некоторых рациональных s < p и t < q . Складывая эти неравенства, получим: r = s+t < p+q , откуда r < p + q и, значит, r ∈ (p + q)∗ . Этим установлено, что p∗ + q ∗ ⊂ (p + q)∗ . Установим противоположное включение. Пусть r = (p+q)∗ , тогда r < p + q . Положим h := p + q − r , s := p − h2 , t := q − h2 . Так как h > 0 , то s ∈ p∗ , t ∈ q ∗ , откуда r = s + t ∈ p∗ + q ∗ . Итак, (p + q)∗ ⊂ p∗ + q ∗ . (b) Будем предполагать, что p > 0 , q > 0 . Если 0 < r ∈ p∗ · q ∗ , то r = s · t для некоторых положительных рациональных s < p и t < q . Перемножая эти неравенства, получим: r = s · t < p · q . Отсюда находим: r = (p · q)∗ , и, значит, p∗ · q ∗ ⊂ (p · q)∗ . Обратно, пусть r ∈ (p · q)∗ и r > 0 . Тогда r < p · q , и существует p0 < p такое, что r = p0 · q < p · q . Полагая s := (p + p0 )/2 , t := r/s , имеем: 0

s < p,

2p q t= < q, p + p0

r = s · t , где s ∈ p∗ , t ∈ q ∗ .

Таким образом, r ∈ p∗ · q ∗ и, значит, (p · q)∗ ⊂ p∗ · q ∗ . Если условие p > 0 , q > 0 , не выполнено, то надо применить правило знаков, но мы на этом не останавливаемся. (c; ⇐) Если p < q , то p ∈ / p∗ и p ∈ q ∗ . Отсюда следует, что p∗ $ q ∗ , т.е. p∗ < q ∗ .

54

Глава 1. Формирование понятия числа

(c; ⇒) Если p∗ < q ∗ , то p∗ $ q ∗ . Следовательно, существует рациональное число r , такое, что r ∈ q ∗ и r ∈ / p∗ . Для него выполняются неравенства p 6 r < q , откуда по свойству транзитивности находим: p
Это означает, что при такой биекции б´ольшим числам соответствуют б´ольшие сечения, сумма переходит в сумму и т.д.

§ 2. Вещественные числа

55

Таким образом, все свойства сечений Дедекинда13 , установленные в предыдущем пункте — это свойства вещественных чисел. Напомним, что множество всех вещественных чисел принято обозначать символом R . Прилагательные вещественные или действительные применяются для того, чтобы отличить эти числа от чисел других типов (комплексных, гиперкомплексных, p-адических и прочих). Важнейшим для анализа свойством множества R является свойство непрерывности, которое называют также свойством сплошности или полноты. Одной из эквивалентных формулировок, в которой устанавливается это свойство, является следующая Теорема 34 (Дедекинд). Пусть A и B — такие множества вещественных чисел, что: (a) A 6= ∅ , B 6= ∅ , (b) A ∩ B = ∅ , A t B = R , (c) ∀α ∈ A ∀β ∈ B : α < β . Тогда ∃!γ ∈ R ∀α ∈ A ∀β ∈ B : α 6 γ 6 β .

(1.17)

J Докажем сначала единственность числа γ . Пусть γ 0 6= γ 00 — различные числа, для которых выполнены неравенства (1.17). Предположим для определенности, что γ 0 < γ 00 . По свойству плотности (теорема 24) существует число γ , такое, что γ 0 < γ < γ 00 . Но тогда должно быть ∀α ∈ A ∀β ∈ B : α 6 γ 0 < γ < γ 00 6 β . Так как ∀α ∈ A : α < γ , то γ ∈ / A . Аналогично, так как ∀β ∈ B : γ < β , то γ ∈ / B. Таким образом, γ ∈ / A t B = R , а это противоречит тому, что R — множество всех вещественных чисел. Итак, единственность числа γ установлена. 13

Дедекинд Рихард (1831 – 1916) — немецкий математик, построивший строгую теорию вещественных чисел.

56

Глава 1. Формирование понятия числа

Чтобы доказать существование этого числа, введем в рассмотрение такое множество рациональных чисел: γ := {p ∈ Q | ∃ α ∈ A : p < α} .

(1.18)

Покажем, что это множество — сечение. (I) Так как A 6= ∅ , то ∃α ∈ A . Рассматривая α как сечение, заключаем, что ∃p ∈ Q : p ∈ α , т.е. p < α . Таким образом, p ∈ γ , и, значит, γ 6= ∅ . Так как A 6= R , то ∃β 6∈ A ,значит, β ∈ B . Поскольку β как сечение не совпадает с Q , то ∃q ∈ Q : q 6= β , т.е. q > β . Отсюда и из условия (c) вытекает, что q 6∈ γ . Действительно, ∀α ∈ A : α < β < p , т.е. ∀α ∈ A : p > α . Итак, γ 6= Q . (II) Пусть p ∈ γ и q < p . Тогда ∃α ∈ A : q < p < α , т.е. q < α . Значит, q ∈ γ . (III) Если p ∈ γ , то ∃α ∈ A : p < α . По свойству плотности ∃q : p < q < α . Поэтому q ∈ γ , и, значит, p — не наибольшее в γ . Итак, γ — сечение. Рассматривая его как вещественное число, покажем, что для него выполняются неравенства (1.17). Пусть α ∈ A , и p ∈ Q , p < α . В силу (1.18) имеем: p ∈ γ , т.е. p∈α

=⇒

p∈γ.

Значит, α ⊂ γ , т.е. α 6 γ . Пусть теперь β ∈ B . В силу условия (c) имеем: ∀α ∈ A : α < β . Если p ∈ γ , то p ∈ α для некоторого α . Значит, для этого α имеем: p < α < β , откуда p ∈ β . Значит, γ ⊂ β , т.е. γ 6 β I Замечания. 1. Иррациональные числа — это те сечения, для каждого из которых не существует наименьшего верхнего числа. Поскольку было установлено, что такие сечения существуют (см. лемму в п.1), то тем самым установлено существование иррациональных чисел. 2. Так как A t B = R и A ∩ B = ∅ , то для числа γ , входящего в (1.17), выполняется только одно из соотношений: γ ∈ A либо γ ∈ B . В первом случае γ является наибольшим числом множества A , а во втором — наименьшим числом множества B . 3. Если попытаться расширить множество R подобно тому, как расширялось множество Q , то придется строить сечения, элементами которых будут вещественные числа. Однако в силу теоремы Дедекинда для всякого такого сечения будет существовать наименьшее верхнее число. Поэтому введение сечений

§ 2. Вещественные числа

57

не может привести к расширению множества R . В этом проявляется полнота множества R .

Рассмотрим теперь вопрос о представлении вещественных чисел в виде бесконечных десятичных дробей. Понятие бесконечной десятичной дроби было дано в определении 49. В дополнение к нему отметим, что на множестве всех бесконечных десятичных дробей можно естественным образом ввести арифметические операции и порядок. Не останавливаясь на соответствующих определениях, отметим, что таким способом множество всех десятичных дробей можно превратить в линейно упорядоченное поле. Теорема 35. Если исключить из рассмотрения все периодические дроби, периодом которых является цифра 9, то оказывается, что упорядоченное поле всех остальных бесконечных десятичных дробей изоморфно упорядоченному полю R всех вещественных чисел. J Ограничимся здесь только установлением биекции между числами и дробями. Пусть α > 0 — число. Пользуясь свойством Архимеда (теорема 10, которая остается справедливой при любом α > 0 ), найдем целое число n0 > 0 , такое, что n0 6 α < n0 + 1 . Затем найдем целое число n1 так, чтобы было: n0 +

n1 n1 + 1 6 α < n0 + . 10 10

Затем найдем целое число n2 так, чтобы было: n0 +

n2 n1 + 1 n2 + 1 n1 + 2 6 α < n0 + + . 10 10 10 102

Продолжая этот процесс неограниченно, можно сопоставить числу α бесконечную десятичную дробь n0 , n1 n2 . . . nk . . . , притом единственную. Обратно, пусть дана бесконечная десятичная дробь (положительная) n0 , n1 n2 . . . nk . . . . Сопоставим ей множество α := {p ∈ Q | ∃ k ∈ N : p 6 n0 , n1 n2 . . . nk } . Можно показать, что множество α — сечение, а, значит α ∈ R . Его и сопоставим данной дроби I

58

Глава 1. Формирование понятия числа

Замечания. 1. В силу теоремы 19 рациональные числа (и только они) изображаются бесконечными периодическими десятичными дробями. Исключая их из рассмотрения, заключаем, что иррациональные числа (и только они) изображаются бесконечными непериодическими десятичными дробями. 2. Теорема 35 дает основание определять14 вещественные числа как бесконечные десятичные дроби, что и делают авторы многих учебников.

Теорема 36. Существует биективное и сохраняющее порядок соответствие между множеством R всех вещественных чисел и множеством всех точек числовой оси. J Условимся на числовой оси сопоставлять: началу отсчета — число 0 (нуль); точкам, лежащим в положительном (отрицательном) направлении — положительные (отрицательные) числа. Требуемое в теореме 36 соответствие устанавливается с использованием известного процесса измерения отрезков. Чтобы упростить рассуждения, будем считать, что соответствие между рациональными числами и точками числовой оси уже установлено (см. теорему 20). Пусть α — произвольная точка числовой оси, лежащая в положительном направлении от начала. Откладывая единицу масштаба в положительном направлении от начала необходимое число раз и пользуясь аксиомой Архимеда, найдем целое неотрицательное число n0 так, чтобы было: n0 6 α < n0 + 1 (здесь знак неравенства означает лежать левее). Далее, откладывая 110 единицы масштаба вправо от точки n0 , найдем n1 так, чтобы было: n0 + n1 10 6 α < n0 + (n1 + 1)10 . Откладывая затем 1100 единицы масштаба вправо от точки n0 + n1 10 , найдем n2 так, чтобы было: n0 +

n2 n1 n2 + 1 n1 + 2 6 α < n0 + + . 10 10 10 102

Продолжая этот процесс неограниченно, можно сопоставить точке α единственную бесконечную десятичную дробь n0 , n1 n2 . . . nk . . . , а значит, и вещественное число. 14

Определять — т.е. давать определение, или, что то же самое, отвечать на вопрос: что это такое?

§ 2. Вещественные числа

59

Обратно, пусть α — положительное (иррациональное) число. Представляя его в виде бесконечной десятичной дроби α = n0 , n1 n2 . . . nk . . . , рассмотрим на числовой оси бесконечную последовательность отрезков [n0 ; n0 + 1] ⊃ [n0 , n1 ; n0 , n1 + 110 ] ⊃ ⊃ [n0 , n1 n2 ; n0 , n1 n2 + 1102 ] ⊃ . . . , где каждый следующий отрезок „вложен“ в предыдущие. Длина k-го отрезка равна 110k−1 , и ее можно сделать меньше любого числа за счет выбора достаточно большого k . Например, будет: 0 < 110k−1 < ε при k > 1 + lg(1ε) . При этих условиях в курсах геометрии постулируется15 существование на числовой оси единственной точки, лежащей на всех отрезках. Эту точку и сопоставляем данному числу I Замечание. Вещественное число x , которое в силу теоремы 36 соответствует данной точке M , лежащей на числовой оси, называется координатой точки M . Обозначается этот факт иногда так: M (x) . Теорема 36 показывает, что вещественных чисел достаточно для того, чтобы каждой точке числовой оси приписать координату. В связи с этим иногда вообще не различают вещественные числа и точки числовой оси, а множество R всех вещественных чисел отождествляют с множеством всех точек числовой оси.

3. Числовые множества и их границы. Определение 59. Числовым множеством называется любое подмножество множества R всех вещественных чисел. Примерами числовых множеств являются: ∅ , {0} , N , Z , Q , R , а также любое непустое конечное множество чисел. 15

т.е. принимается за аксиому. Эта аксиома является геометрическим аналогом свойства полноты множества R .

60

Глава 1. Формирование понятия числа

Примерами числовых множеств, наиболее часто встречающихся в классическом анализе, являются так называемые числовые промежутки. Чтобы их определить, зададим два числа a , b ∈ R , и пусть a < b . Множество16 (a , b) = (a ; b) := {x ∈ R | a < x < b} называется открытым промежутком или интервалом. Множество [a , b] = [a ; b] := {x ∈ R | a 6 x 6 b} называется з´амкнутым промежутком или отрезком. Множества (a , b] = (a ; b] := {x ∈ R | a < x 6 b} , [a , b) = [a ; b) := {x ∈ R | a 6 x < b} называются полуоткрытыми промежутками или полуинтервалами. Множества (a , +∞) = (a ; +∞) := {x ∈ R | x > a} , (−∞ , b) = (−∞ ; b) := {x ∈ R | x < b} называются открытыми лучами или полубесконечными интервалами. Частным случаями такого рода множеств являются: R+ := (0 , +∞) (положительный луч) и R− := (−∞ , 0) (отрицательный луч). Множества [a, +∞) = [a; +∞) := {x ∈ R | x > a} , (−∞, b] = (−∞; b] := {x ∈ R | x 6 b} называются полубесконечными отрезками. Встретившиеся выше символы минус бесконечность (−∞) и плюс бесконечность (+∞) обозначают некоторые элементы, которые не являются числами. Однако их иногда присоединяют к множеству R и постулируют, что ∀x ∈ R : −∞ < x < +∞ . Тогда множество R можно записать в виде интервала (открытого промежутка): R = (−∞, +∞) . Присоединив элементы (−∞) и (+∞) к множеству R , получают так называемое упорядоченное расширение множества R : e := {−∞} t R t {+∞} , R 16

Здесь возникает досадная „накладка“ в обозначениях, поскольку символом (a, b) ранее обозначалась упорядоченная пара. Что понимать под символом (a , b) , в каждом случае будет ясно из контекста.

§ 2. Вещественные числа

61

которое можно записать в виде отрезка (замкнутого интервала) слеe = [−∞, +∞] . При такой интерпретации эледующим образом: R менты (−∞) и (+∞) играют роль самого маленького числа и самого большого числа соответственно (хотя числами они, напомним, не являются). Другими примерами встречающихся в анализе числовых множеств являются счётные множества. Так называется всякое бесконечное множество X , такое, что существует биекция f : X ←→ N . Нумеруя с помощью этой биекции элементы множества X , можно записать его в виде: X = {x1 , x2 , . . . , xn , . . .} . Известно, например, что множества N , Z , Q являются счетными, а множество R таковым не является.

Определение 60. Числовое множество X называется ограниченным сверху, если ∃M ∈ R ∀x ∈ X : x 6 M .

(1.19)

Входящие сюда число M называется верхней границей множества X . Наименьшая из всех верхних границ называется точной верхней границей (или верхней гранью) множества X и обозначается символом sup X (читается: „супр´емум икс“). Числовое множество X называется ограниченным снизу, если ∃m ∈ R ∀x ∈ X : x > m .

(1.20)

Входящие сюда число m называется нижней границей множества X . Наибольшая из всех нижних границ называется точной нижней границей (или нижней гранью) множества X и обозначается символом inf X (читается: „´ инфимум икс“). И, наконец, числовое множество X называется ограниченным, если оно ограничено как сверху, так и снизу (т.е. если выполняются оба условия (1.19) и (1.20). Фундаментальное значение в анализе имеет проблема существования у числовых множеств точных границ. Решение этой проблемы дает

62

Глава 1. Формирование понятия числа

Теорема 37. Пусть X 6= ∅ — числовое множество. (a) Если X ограничено сверху, то существует единственное число sup X ; (b) Если X ограничено снизу, то существует единственное число inf X . J(a) Предположим сначала, что среди элементов множества X есть наибольший, т.е. ∃x0 ∈ X ∀x ∈ X : x 6 x0 . Тогда очевидно, что x0 = sup X , поскольку в силу (1.19) x0 есть верхняя граница, притом наименьшая. Предположим теперь, что среди элементов множества X нет наибольшего. Введем в рассмотрение два множества: B — совокупность всех верхних границ множества X , и множество A := R r B . Тогда A 6= ∅ , поскольку A ⊃ X 6= ∅ ; B 6= ∅ , так как множество X ограничено сверху, и, значит, множеству B принадлежат все верхние границы. Далее, A ∩ B = ∅, A t B = R по построению. И, наконец, имеем: ∀α ∈ A ∀β ∈ B ∃x ∈ X : α < x 6 β .

(1.21)

так как β — верхняя граница, а α — не верхняя граница множества X . Из (1.21) находим: ∀α ∈ A ∀β ∈ B : α < β . Применяя теорему 34 (Дедекинда), заключаем, что ∃! γ ∈ R ∀ α ∈ A ∀ β ∈ B : α 6 γ 6 β . Отсюда, учитывая, что X ⊂ A , заключаем: γ = sup X . Утверждение (b) можно доказать аналогично I Иногда целесообразно рассматривать также точные границы неограниченных множеств. Тогда по определению полагают: sup X := +∞ , если множество X не пусто и не ограничено сверху, inf X := −∞ , если множество X не пусто и не ограничено снизу.

§ 3. Комплексные числа

63

Если эти определения принять, то для любого не пустого числового множества X существуют точные границы, причем ∀x ∈ X будет: −∞ 6 inf X 6 x 6 sup X 6 +∞ . И, наконец, для пустого множества естественно принять такое определение: sup ∅ := −∞ ; inf ∅ := +∞ . Читателю рекомендуется подумать, почему должно быть именно так, а не иначе.

§ 3. Комплексные числа Основанием для введения новых чисел обычно является наличие таких задач, для решения которых недостаточно введенных ранее чисел. Классической задачей, для полного решения которой недостаточно одних только вещественных чисел, является алгебраическое уравнение, т.е. уравнение вида: xn + p · xn−1 + ... + q = 0 , где x — неизвестное, n ∈ N , а все коэффициенты p, ..., q — вещественные числа. Например, при n = 2 имеем квадратное уравнение x2 + px + q = 0 , корни которого содержатся в известной формуле: r p p2 x1,2 = − ± −q . (1.22) 2 4 p Если p2 4 − q > 0 , то существует вещественное число p2 4 − q (его существование можно доказать, например, методом сечений Дедекинда). Если же p2 4 − q < 0 , то вещественного числа, квадрат которого был бы равен p2 4 − q , не существует. Желая придать смысл правой части равенства (1.22), необходимо ввести такие новые числа, среди которых были бы, в частности, корни квадратные из отрицательных вещественных чисел. Так появляются компл´ексные числа. Определение 61. Комплексными числами назовем упорядоченные пары (x ; y) вещественных чисел x и y . Равенство комплексных чисел определим естественным образом: ½ def x1 = x2 , (x1 ; y1 ) = (x2 ; y2 ) ⇐⇒ y1 = y2 . Чтобы эти пары можно было бы назвать числами, необходимо на множестве R × R всех таких пар разумно ввести арифметические операции.

64

Глава 1. Формирование понятия числа

Определение 62. Арифметические операции над комплексными числами определим с помощью следующих равенств: (x1 ; y1 ) ± (x2 ; y2 ) := (x1 ± x2 ; y1 ± y2 ) ; (x1 ; y1 ) · (x2 ; y2 ) := (x1 x2 − y1 y2 ; x1 y2 + x2 y1 ) ; µ ¶ (x1 ; y1 ) x1 x2 + y1 y2 x2 y1 − x1 y2 := ; . (x2 ; y2 ) x22 + y22 x22 + y22

(1.23)

Разумеется, последнее равенство имеет смысл, если и только если выполнено следующее условие: x22 + y22 6= 0 , равносильное такому: (x2 ; y2 ) 6= (0 , 0) . Теорема 38. Множество всех комплексных чисел вместе с арифметическими операциями, введенными в определении 62, является полем. J Нам необходимо проверить выполнение условий (a) — (i), перечисленных в определении 44. Коммутативность и ассоциативность операции сложения очевидна из (1.23) и из того, что эти свойства выполняются для сложения вещественных чисел. Роль нулевого элемента играет пара (0 ; 0) . Роль элемента, противоположного к (x ; y) , играет элемент (−x ; −y) , так как (x ; y) + (−x; −y) = (0 ; 0) . Далее, коммутативность операции умножения комплексных чисел очевидна из (1.23). Проверку ассоциативности оставляем читателю. Роль единичного элемента играет пара (1 ; 0) , так как (x ; y) · (1 ; 0) = (x · 1 − y · 0 ; x · 0 + y · 1) = (x ; y) . Выполнение распределительного закона (дистрибутивности) очевидно. И, наконец, элементом, обратным к элементу (x ; y) 6= (0 ; 0) , является элемент ¶ µ −y x ; , x2 + y 2 x2 + y 2 поскольку µ (x; y) ·

x −y ; x2 + y 2 x2 + y 2

¶

µ =

x2 + y 2 −xy + yx ; x2 + y 2 x2 + y 2

¶ = (1; 0)

I

Условимся символом C обозначять поле всех комплексных чисел. Теорема 39. Множество R×{0} всех комплексных чисел вида (x ; 0) является подполем17 поля C , которое изоморфно полю R всех вещественных чисел. 17

Подполем называется подмножество поля, которое в свою очередь является полем.

§ 3. Комплексные числа

65

J Полагая в равенствах (1.23) y1 = y2 = 0 , получим соответственно: (x1 ; 0) ± (x2 ; 0) = (x1 ± x2 ; 0) ; (x1 ; 0) · (x2 ; 0) = (x1 x2 ; 0) ; ¶ µ (x1 ; 0) x1 ; 0 при x2 6= 0 . = (x2 ; 0) x2

(1.24)

Эти равенства показывают, что арифметические операции (1.23) над числами из R×{0} дают в результате снова числа из R×{0} . Следовательно, R×{0} есть подполе поля C . Зададим теперь биективное отображение R×{0} на R , полагая (x, 0) ←→ x . Из равенств (1.24) очевидно, что при этом отображении сумма, произведение и частное пар переходят соответственно в сумму, произведение и частное первых компонент этих пар. Поэтому отображение (x ; 0) ←→ x есть изоморфизм полей I Замечания. 1. Используя теорему 39, условимся отождествлять каждое комплексное число вида (x ; 0) с вещественным числом x . Иначе говоря, полагаем по определению x := (x ; 0) . В частности, (1 ; 0) = 1 , (0 ; 0) = 0 . При таком соглашении имеем: R ⊂ C . 2. Возводя в квадрат комплексное число (0 ; 1) и используя сделанное только что отождествление, получим: (0 ; 1)2 = (0 ; 1) · (0 ; 1) = (0 · 0 − 1 · 1 ; 0 · 1 + 1 · 0) = (−1 ; 0) = −1 . Число i := (0 ; 1) принято называть мнимой единицей. Она обладает таким свойством: i2 = −1 . Напомним, что вещественного числа, квадрат которого был бы отрицательным, не существует. 3. На основании предыдущего замечания любое комплексное число можно преобразовать следующим образом: (x ; y) = (x ; 0) + (0 ; y) = (x ; 0) + (0 ; 1) · (y ; 0) = x + iy . Представление комплексного числа в виде x + iy называется алгебраической формой записи комплексного числа. Представляя комплексные числа в алгебраической форме, мы можем больше не употреблять представление комплексных чисел в виде упорядоченных пар. 4. Используя алгебраическую форму, перепишем равенства (1.23) в следующем виде: (x1 + iy1 ) ± (x2 + iy2 ) = (x1 ± x2 ) + i · (y1 ± iy2 ) ; (x1 + iy1 ) · (x2 + iy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + i · (x1 y2 + x2 y1 ) ; (x1 + iy1 ) · (x2 − iy2 ) x1 · x2 + y1 · y2 x2 y 1 − y 2 x1 x1 + iy1 = = + i · . x2 + iy2 (x2 + iy2 ) · (x2 − iy2 ) x22 + y22 x22 + y22

66

Глава 1. Формирование понятия числа Im

M (z = x + iy)

y r

ϕ x

0

Re

Рис.11. Комплексная плоскость

Отсюда вытекает такое мнемоническое правило, облегчающее преобразование выражений, содержащих комплексные числа. При тождественных преобразованиях выражений, содержащих комплексные числа, представленные в алгебраической форме, с комплексными числами можно обращаться как с многочленами, учитывая только, что i2 = −1 . 5. Комплексные числа вида x + i · 0 = x принято называть чисто вещественными, а комплексные числа вида 0 + iy = iy , — чисто мнимыми. Пусть z = x + iy — комплексное число. Комплексное число z := x − iy называется (комплексно) сопряжённым к z . Вещественные числа Re z := x =

z+z 2

и

Im z := y =

z−z 2i

называются соответственно вещественной (Re) и мнимой (Im) частями комплексного числа z . 6. Изображая пару (x ; y) в виде точки M координатной плоскости xOy , получим геометрическую интерпретацию комплексного числа z = x + iy . При этом комплексное число изображается не только точкой M , но и радиусом−−→ вектором18 OM этой точки (рис.11). Чисто вещественные числа (и только они) изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые (и только они) — точками оси ординат. В связи с этим ось абсцисс называется вещественной осью, а ось ординат — мнимой осью. Координатная плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Определение 63. Модуль |z| комплексного числа z = x + iy определяется как неотрицательное число, равное p (1.25) |z| := x2 + y 2 . −−→ Из рис.11 на основании теоремы Пифагора заключаем, что |z| = |OM | (т.е. расстоянию от начала координат до точки M , изображающей данное число). Кроме того, очевидно, что |z|2 = z · z . 18

Радиус-вектор точки M — это вектор, начало которого совпадает с началом координат O , а конец — с точкой M .

§ 3. Комплексные числа

67

Определение 64. Аргументом arg z комплексного числа z = x + iy называется величина угла19 , на который надо против часовой стрелки повернуть положительный вещественный луч до совмещения его с направлением радиуса-вектора точки z . Обозначая r = |z| , ϕ = arg z и обращаясь к рис.11, имеем: x y cos ϕ = , sin ϕ = . (1.26) r r Используя эти равенства, можно преобразовать данное комплексное число следующим образом: x + iy = r · cos ϕ + ir · sin ϕ = r · (cos ϕ + i sin ϕ) . Правая часть этого равенства называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Для преобразования комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую надо найти его модуль по формуле (1.25), а аргумент — из системы (1.26). Поскольку функции sin и cos — периодические с основным периодом 2π , то ϕ находится из системы (1.26) с точностью до слагаемого, целократного числу 2π . Теорема 40. Для любых комплексных чисел z = x + iy , w = u + iv имеем: (a)

|z| > 0 ; |z| = 0 ⇐⇒ z = 0 ;

(b)

|z · w| = |z| · |w| ;

(c)

|z| − |w| 6 |z + w| 6 |z| + |w| (неравенства треугольника) .

J Утверждение (a) вытекает прямо из определения 63. (b) Имеем: |z · w|2 = |(x + iy)(u + iv)|2 = |(xu − yv) + i(xv + yu)|2 = = (xu − yv)2 + (xv + yu)2 = x2 u2 + y 2 v 2 + x2 v 2 + y 2 u2 = = (x2 + y 2 )(u2 + v 2 ) = |z|2 · |w|2 . Отсюда, извлекая корень, получим требуемое. (c) Если z + w = 0 , то доказывать нечего. В случае z + w 6= 0 положим |z + w| λ := . Умножая это равенство на (z + w) и используя (b), находим: z+w |z + w| = λz + λw = |λ(z + w)| = |λ| · |z + w| . Отсюда видно, что |λ| = 1 , а число λz + λw — вещественное. Используя, далее, неравенство треугольника |x + y| 6 |x| + |y| для вещественных чисел x и y , получим: |z + w| = |λz + λw| = Re(λz) + Re(λw) 6 | Re(λz)| + | Re(λw)| 6 6 |λz| + |λw| = |λ| · |z| + |λ| · |w| = |z| + |w| . Левое неравенство (c) является следствием правого I 19

В классическом анализе „по умолчанию“ принято углы измерять в радианах.

68

Глава 1. Формирование понятия числа Теорема 41. Для любых комплексных чисел z1 , ..., zn и w1 , ...., wn имеем20 : n n n X ¯X ¯2 X 2 ¯ ¯ zk · wk 6 |zk | · |wk |2 . k=1

k=1

(1.27)

k=1

J Введем следующие обозначения: X X X A := |zk |2 , B := |wk |2 , C := zk w k

,

опуская ради краткости пределы изменения индекса суммирования. Если B = 0 , то w1 = ... = wn = 0 , и в этом случае неравенство (1.27) приобретает вид: 0 6 0 , и, значит, справедливо. Пусть теперь B > 0 . Тогда имеем: X X 06 |Bzk − Cwk |2 = (Bzk − Cwk )(Bz k − Cwk ) = = B2

X

|zk |2 − CB

X

wk z k − BC

X

wk zk + |C|2 B =

= B 2 A − |C|2 B + |C|2 B + |C|2 B = (AB − |C|2 )B . Так как B > 0 , то имеем неравенство A·B −|C|2 > 0 , равносильное неравенству (1.27) I В заключении этого параграфа запишем цепочку включений N ⊂ Z ⊂Q ⊂ R ⊂ C, отражающую отдельные этапы расширения понятия числа. И, наконец, отметим, что поле C не является линейно упорядоченным, т.е. на комплексные числа невозможно распространить отношение неравенства с сохранением всех свойств неравенств, связывающих вещественные числа. Поэтому всюду в дальнейшем всякое неравенство понимается как неравенство, связывающее вещественные числа.

§ 4. Элементы общей топологии 1. Метрические пространства. Это понятие является далеко идущим обобщением понятия числового множества. Определение 65. Метрическим пространством называется произвольное непустое множество X , на котором определена функция расстояния 20

В неравенстве (1.27), называемом неравенством Коши-Буняковского-Шварца, использоn P вано общепринятое обозначение: ak := a1 + a2 + . . . + an . Буняковский Виктор Яковлевич k=1

(1804 – 1889) — русский математик. Шварц Карл Герман Амандус (1843 – 1921) — немецкий математик.

§ 4. Элементы общей топологии

69

(метрика), т.е. отображение d : X × X −→ R , такое, что ∀x , y , z ∈ X выполнены следующие условия: M1 d(x, y) > 0 ; d(x, y) = 0 ⇔ x = y (неотрицательность); M2 d(x, y) = d(y, x)

(симметричность);

M3 d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y)

(неравенство треугольника).

Элементы метрического пространства обычно называют точками. Условия M1 — M3 принято называть аксиомами метрического пространства. Они в абстрактной форме выражают наиболее существенные свойства, которыми должно обладать обычное расстояние между точками. А именно, свойство M1 выражает неотрицательность расстояния, свойство M2 — его симметричность, а M3 — неравенство треугольника. В качестве примера метрического пространства возьмем множество C всех комплексных чисел, на котором функция расстояния определена формулой: d(z, w) := |z − w| . С геометрической точки зрения это есть обычное евклидово расстояние между точками плоскости. Отсюда, а также из свойств модуля комплексного числа, вытекает, что для этого расстояния выполняются условия M1 — M3 . Проверим, например, условие M3 . J В силу теоремы 40(c) ∀z, w, ζ ∈ C имеем: |z − w| = |(z − ζ) + (ζ − w)| 6 |z − ζ| + |ζ − w| , т.е. d(z, w) 6 d(z, ζ) + d(ζ, w) I На одном и том же множестве X можно задавать различные функции расстояния, например, такую: ½ 0 при x = y , ρ(x, y) = 1 при x 6= y . Очевидным образом проверяется, что так определенная функция ρ тоже удовлетворяет всем условиям M1 — M3 . Поэтому, чтобы уточнить, о какой функции расстояния идет речь, часто метрическое пространство задают в виде пары (X ; d) , где X — основное множество, а d — заданная на нем метрика. Определение 66. Подпространством метрического пространства (X , d) называется пара (Y , ρ) , где ∅ 6= Y ⊂ X , а ρ = d|Y ×Y . Попросту говоря, подпространство метрического пространства X — это его любое непустое подмножество Y с той же самой функцией расстояния, что и в X . Ясно, что условия M1 — M3 выполняются в любом подпространстве данного метрического пространства. В частности, любое непустое числовое множество (например, Q или R) вместе с евклидовым расстоянием является метрическим пространством. Пусть опять (X ; d) — метрическое пространство, x0 ∈ X — его точка, ε — положительное число.

70

Глава 1. Формирование понятия числа

Определение 67. Открытым шаром радиуса ε с центром в точке x0 называется множество {x ∈ X | d(x, x0 ) < ε} . З´амкнутым шаром радиуса ε с центром в точке x0 называется множество {x ∈ X | d(x, x0 ) 6 ε} . Сферой радиуса ε с центром в точке x0 называется множество {x ∈ X | d(x, x0 ) = ε} . Шары с центром x0 радиуса ε называют часто шаровыми ε-окрестностями точки x0 (открытыми или замкнутыми соответственно). Не имея возможности здесь углубляться в теорию метрических пространств, установим только одно свойство, которое широко используется уже в начальных главах анализа. Теорема 42. Всякое метрическое пространство отделимо, т.е. у любых двух различных точек существуют непересекающиеся окрестности. J Пусть (X , d) — метрическое пространство, x0 ∈ X , y0 ∈ X, x0 6= y0 . Пусть d(x0 , y0 ) = r . Так как x0 6= y0 , то r > 0 . Открытые шары K1 := {x ∈ X | d(x, x0 ) < r2} и K2 := {x ∈ X | d(x, y0 ) < r2} не пересекаются. Действительно, в противном случае существовала бы точка z ∈ K1 ∩ K2 . Для нее имеем: d(x0 , z) < r2 и d(y0 , z) < r2 . С другой стороны, в силу неравенства треугольника имеем: r = d(x0 , y0 ) 6 d(x0 , z) + d(z, y0 ) <

r r + =r 2 2

.

Отсюда получаем: r < r — противоречие I

2. Топологические пространства. В анализе иногда приходится иметь дело с пространствами, более общими, чем метрические, а именно, с топологическими пространствами. Поэтому познакомимся и с ними. Определение 68. Топологией, заданной на не пустом множестве X , называется совокупность его подмножеств (называемых открытыми множествами), обладающая следующими свойствами: О1. Множество ∅ и X открыты. О2. Объединение любого семейства открытых множеств открыто. О3. Пересечение любого конечного семейства открытых множеств открыто.

§ 4. Элементы общей топологии

71

Утверждения О1 — О3 называются аксиомами открытых множеств. На любом множестве X можно задать топологию. Считая, например, открытыми множествами только ∅ и X , легко проверить, что совокупность {∅ ; X} — топология. Эту топологию условимся называть тривиальной. Другими примерами топологии на X является совокупность всех подмножеств множества X (так называемый булеан). Проверка свойств О1 — О3 для булеана также очевидна. Эту топологию условимся называть дискретной. Если множество X содержит более одного элемента, то на нем тривиальная топология не совпадает с дискретной. Таким образом, на одном и том же множестве, вообще говоря, можно задавать различные топологии. Определение 69. Топологическим пространством называется пара (X ; T ) , где X — не пустое множество, а T — заданная на нем топология. Важнейшими примерами топологических пространств являются метрические пространства. Чтобы в этом убедиться, надо показать, что (в некотором смысле) метрика порождает топологию. Определение 70. Пусть (X ; T ) — топологическое пространство. Семейство C открытых множеств называется базой топологии T , если любое множество из T можно представить в виде объединения некоторого семейства множеств из C . Теорема 43. Пусть (X ; d) — метрическое пространство. Всевозможные открытые шары образуют базу некоторой топологии на X . J Назовем открытыми в X множествами всевозможные объединения открытых шаров. Покажем, что для определенных так открытых множеств выполняются условия О1 — О3. Пустое множество открыто как объединение пустого семейства шаров. Множество X открыто как объединение всех шаров. Тем самым показано, что выполнено условие О1. Далее, объединяя объединения открытых шаров, снова получим некоторое объединение открытых шаров. Значит, выполнено условие О2. Для проверки условия О3 зададим конечное семейство {V1 , ..., Vn } открытых n T множеств, и пусть V := Vk . Надо показать, что множество V открыто. С k=1

этой целью будем обозначать через Ur (x) открытый шар радиуса r с центром в точке x . Если V 6= ∅ , то, задавая произвольно x ∈ V , найдем открытые шары Ur1 (x), ..., Urn (x) так, чтобы было: Ur1 (x) ⊂ V1 , . . . , Urn (x) ⊂ Vn . Обозначая rx = min{r1 , . . . , rn } , имеем: \ \ Urx (x) ⊂ V1 ... Vn ⊂ V .

72

Глава 1. Формирование понятия числа

Отсюда находим: V =

[ x∈V

{x} ⊂

[

Urx (x) ⊂

x∈V

[

V =V .

x∈V

Так как левая и правая части последнего равенства совпадают с V , то все включения на самом деле являются равенствами, и мы имеем: [ V = Urx (x) , x∈V

т.е. множество V открыто как объединение некоторого семейства открытых шаров I Другие примеры топологических пространств. 1. На множестве R всех вещественных чисел с метрикой d(x, y) := |x − y| открытыми шарами служат открытые интервалы (a , b) . Применяя к этой ситуации теорему 43, заключаем, что множество {(a , b) | a, b ∈ R} есть база топологии на R . Эту топологию принято называть естественной. 2. На множестве C всех комплексных чисел с евклидовой метрикой d(z, w) := |z − w| открытыми шарами являются обычные евклидовы круги {z ∈ C | |z − z0 | < r} . Семейство всех этих кругов есть база топологии на C . Эту топологию на C также называют естественной. 3. Рассмотрим упорядоченное расширение поля R : e := {−∞} t R t {+∞} = [−∞, +∞] . R e является семейство интервалов Можно показать, что базой топологии на R {(a, b) | a, b ∈ R} , к которому надо присоединить еще два семейства: {[−∞, a) | a ∈ R} и {(a, +∞] | a ∈ R} . 4. Добавляя к множеству R единственную бесконечно удаленную точку ∞ (т.е. какой-нибудь элемент со свойством ∞ ∈ / R ), получим неупорядоченное b := R t {∞} . На нем базу расширение множества R . Обозначим его так: R топологии образуют семейство интервалов {(a, b) | a, b ∈ R} , к которому надо b присоединить такое семейство: {R[a, b] | a, b ∈ R} . 5. Добавляя к множеству C единственную бесконечно удаленную точку ∞ (т.е. элемент ∞ ∈ / C ), получим так называемую расширенную комплексную b b образуют открытые круги и плоскость: C := C t {∞} . Базу топологии на C всевозможные дополнения замкнутых кругов. Определение 71. Пусть X — топологическое пространство, A — его непустое подмножество. Точка x ∈ A называется внутренней точкой множества A , если существует открытое множество U (x) , такое, что x ∈ U (x) ⊂ X . Совокупность всех внутренних точек множества A называется его внутренностью и обозначается символом A0 .

§ 4. Элементы общей топологии

73

Теорема 44. Внутренность A0 любого множества A ⊂ X — открытое множество, притом наибольшее (по включению) открытое подмножество множества A . J Пусть x ∈ A0 . В силу определения 71 существует открытое множество U (x) со свойством: { x} ⊂ U (x) ⊂ A . Так как все точки, лежащие в U (x) , — внутренние, то должно быть: {x} ⊂ U (x) ⊂ A0 . Беря объединение этих множеств по всем x ∈ A0 , получим: [ [ [ A0 = {x} ⊂ U (x) ⊂ A0 = A0 . x∈A0

Отсюда видно, что A0 =

S

x∈A0

x∈A0

U (x) и, значит, открыто как объединение откры-

x∈A0

тых множеств. Пусть теперь U ⊂ X — любое другое непустое открытое множество. Если x ∈ U , то имеем: {x} ⊂ U ⊂ X , и, значит, точка x ∈ A — внутренняя, т.е. x ∈ A0 . Таким образом, U ⊂ A0 , т.е. множество A0 — максимальное I Следствие. Равносильны следующие утверждения: (a) Множество A ⊂ X — открытое; (b) Все точки, принадлежащие A , — его внутренние точки, т.е. A0 = A . Доказательство оставляем читателю в качестве упражнения. Определение 72. Подмножество V топологического пространства X называется з´амкнутым, если его дополнение XV открыто. Теорема 45. Справедливы следующие утверждения: З.1. Множества ∅ и X замкнуты. З.2. Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто. З.3. Объединение любого конечного семейства замкнутых множеств замкнуто. J Для доказательства этих утверждений надо воспользоваться определением 72, формулами де Моргана [ \ \ [ X Uν = (XUν ), X Uν = (XUν ) ν

ν

ν

ν

и основными свойствами О1 — О3 открытых множеств I Примерами замкнутых множеств на числовой оси являются: ∅ , R , отрезки [a ; b] , конечные множества точек, замкнутые лучи [a ; +∞) , (−∞ ; b] , а также любые конечные объединения таких множеств. В п.1 было дано понятие шаровой окрестности точки метрического пространства. Ввиду важности этого понятия дадим общее определение окрестности и изучим некоторые их свойства.

74

Глава 1. Формирование понятия числа

Определение 73. Окрестностью точки x топологического пространства X называется произвольное множество, содержащее открытое множество, содержащее точку x . Обращаем внимание читателя на то, что окрестность не обязана быть открытым множеством (как ее иногда трактуют). Напротив, окрестность может быть произвольным множеством (в частности, открытым, замкнутым, открытозамкнутым21 , а также ни открытым, ни замкнутым). Теорема 46. Пусть X — топологическое просранство. Равносильны следующие утверждения: (a) Множество A ⊂ X — открытое; (b) Множество A есть окрестность каждой точки x ∈ A . J (a) ⇒ (b) Если A открыто, то из соотношения x ∈ A ⊂ A заключаем, что A — окрестность точки x (согласно определению 73.) (b) ⇒ (a) Обратно, предположим, что A — окрестность любой точки x ∈ A . Применяя определение 73, заключаем, что существует открытое множество U (x) , такое, что x ∈ U (x) ⊂ A или {x} ⊂ U (x) ⊂ A . Объединяя это по всем x ∈ A , получим: [ [ [ [ A= {x} ⊂ U (x) ⊂ A = A , откуда A = U (x) . x∈A

x∈A

x∈A

x∈A

Таким образом, множество A открыто как объединение открытых множеств I Отметим также, что объединение любого семейства окрестностей точки x является окрестностью точки x , и что пересечение любого конечного семейства окрестностей точки x также является окрестностью точки x . Определение 74. Замыканием A подмножества A топологического пространства X называется наименьшее (по включению) замкнутое множество, содержащее A . Все точки, принадлежащие замыканию A , называются точками прикосновения множества A . Замечание. Из очевидных включений A0 ⊂ A ⊂ A ⊂ X вытекает, что точками прикосновения множества A являются все точки, принадлежащие этому множеству, и, в частности, все его внутренние точки. Кроме того, точками прикосновения множества A являются все точки его границы Fr A := AA0 . Точку прикосновения x множества A можно охарактеризовать еще тем, что A ∩ U 6= ∅ , где U — любая окрестность точки x . Точка прикосновения x множества A называется изолированной, если существует такая её окрестность U , что A ∩ U = { x} . В противном случае она называется предельной точкой множества A . 21

т.е. таким, которое является и открытым, и замкнутым.

§ 4. Элементы общей топологии

75 O1

X1

O2

X2

Рис.12. Пример неотделимого пространства

Определение 75. Топологическое пространство называется отделимым, если у любых двух различных его точек существуют непересекающиеся22 окрестности. В теореме 42 установлена отделимость любого метрического пространства. Покажем на примере, что существуют неотделимые топологические пространства. Возьмем две числовые оси O1 X1 и O2 X2 , пересечение которых пусто. Склеим их отрицательные лучи, отождествляя между собой точки, имеющие одинаковые (отрицательные) координаты. В результате возникает топологическое пространство, напоминающее „вилку“ (рис.12). Оно не является отделимым, поскольку любые окрестности точек O1 и O2 имеют непустое пересечение, состоящее из точек с достаточно малыми по модулю отрицательными координатами. Из неотделимости вытекает, что на этом топологическом пространстве невозможно ввести метрику, которая бы порождала его топологию. Таким образом, понятие топологического пространства является существенно более общим, чем понятие метрического пространства.

22

или дизъюнктные, т.е.такие, пересечение которых пусто.

76

Глава 1. Формирование понятия числа Задачи к главе 1 1.1 Применяя метод полной индукции, доказать следующие тождества (n ∈ N) : n · (n + 1) (a) 1 + 2 + . . . + n = ; 2 (b) 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 ; n(n + 1)(2n + 1) ; 6 (d) 13 + 23 + . . . + n3 = (1 + 2 + . . . + n)2 ;

(c) 12 + 22 + . . . + n2 =

(e) (cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ . 1.2 Доказать следующие неравенства (n ∈ N) : µ ¶n n+1 (a) n! < при n > 1 ; 2 (b) 2! · 4! · . . . (2n)! > [(n + 1)!]n при n > 1 ; (c)

1 3 2n − 1 1 ; · · ... · <√ 2 4 2n 2n + 1

(d) nn+1 > (n + 1)n при n > 3 ; (e) (2n)! < 22n · (n!)2 ; ¯ µ n ¶¯ n ¯ ¯ P P ¯ (f) ¯sin xk ¯¯ 6 sin xk , k=1

k=1

где 0 6 xk 6 π ; k = 1 , 2 , . . . , n . 1.3 Доказать, что ∀n ∈ N следующие выражения делятся на k : (a) n · (2n2 − 3n + 1) , k = 6 ; (b) 62n−2 + 3n+1 + 3n−1 , k = 11 ; (c) 11n+1 + 122n−1 , k = 133 ; (d) n2 − n , k = 5 . 1.4 Построив соответствующие сечения, доказать следующие равенства: (a)

√

2+

√

8=

√

18 ;

(b)

√

2·

√

3=

√

6.

1.5 Используя метод сечений Дедекинда, доказать существование следующих вещественных чисел: (a) корня степени n ∈ N из положительного числа α ; (b) числа αp , где α > 0 , p ∈ Q ; (c) числа αβ , где α , β ∈ R , причем α > 0 ; (d) числа logα β , где α , β > 0 , причем α 6= 1 .

§ 4. Элементы общей топологии

77

1.6 Представить следующие комплексные числа в алгебраической форме: √ 1 1−i 2 (a) ; (b) ; (c) ; (d) (1 + i 3)3 ; (e) (1 + i)5 . i 1+i 1 − 3i 1.7 Найти модули и аргументы следующих комплексных чисел: (a) 7 ; (b) -2 ; (c) 3i ; (d) 1+i ; (e) -1-i ; (f) 2+5i ; 1+i (g) 2-5i ; (h) -2+5i ; (i) -2-5i ; (j) ; (k) -3+4i . 1−i 1.7 Что можно сказать о числах a и b , если известно, что a < b? 1.8 Доказать, счётность следующих множеств: (a) множества всех чётных чисел; (b) множества всех нечётных чисел; (c) множества Q . 1.9 Доказать, несчётность следующих множеств: (a) R ; (b) множества R+ всех положительных чисел; (c) [0 , 1] . 1.10 Вычислить суммы : 1 3 2n − 1 + 2 + ... + ; 2 2 2n 2 n (c) 1 + 2x + 3x + . . . + (n + 1)x ; n P 1 (d) xn + 2xn−1 + . . . + (n − 1)x2 + nx ; (e) ; k=1 (3k − 2)(3k + 1) n n P P 1 1 (f) ; (g) ; k=1 (2k − 1)(2k + 1)(2k + 3) k=1 k(k + 1)(k + 2)(k + 3) n n n P P P k2 ; (i) sin2 kx ; (j) sin(2k − 1)x ; (h) k=1 k=1 k=1 (2k − 1)(2k + 1) n n P P (k) cos3 2x ; (l) cos(2k − 1)x . (a) 1 + 11 + . . . + 11 . . . 1 ; (b)

k=1

k=1

1.11 Пусть E ⊂ R . Символом E 0 обозначим совокупность всех предельных точек множества E , а через E — замыкание множества E . Привести примеры множества E , для которого выполнялись бы следующие соотношения: ( (а) E = E 0 ; (b)

E0 $ E , EE 0 6= ∅ ;

( (c)

E $ E0 , E 0 E 6= ∅ ;

( E 0 E = 6 ∅, (d) 0 EE = 6 ∅;

(e) E ∩ E 0 = ∅ ; (f) sup E ∈ E ; (g) sup E ∈ / E ; (h) sup E ∈ EE 0 . 1.12 Пусть E ⊂ R . Символом Fr E обозначим границу множества E . Доказать, что если A ⊂ R , B ⊂ R , то: (a) Fr (A ∪ B) ⊂ (Fr A) ∪ (Fr B) ; (b) Fr (A ∩ B) ⊂ (Fr A) ∪ (Fr B) .

Глава 2 ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ПРЕДЕЛЫ § 1. Последовательности и их пределы 1. Определения и примеры. Пусть X — произвольное непустое множество, а N — множество всех натуральных чисел. Определение 76. Последовательностью элементов множества X называется отображение f : N −→ X . Значение f (n) называется n-ым членом последовательности. Обозначая xn = f (n) , часто записывают последовательность в следующих формах: (x1 , x2 , . . . , xn , . . . ) ,

(xn )∞ n=1 ,

(xn ) ,

xn ,

или так: x1 , x 2 , . . . x n , . . . , где, как обычно, многоточия символизируют члены, которые явно не выписаны. В отличие от записи (x1 , x2 , . . . xn , . . . ) запись {x1 , x2 , . . . xn , . . . } будет означать множество всех членов последовательности (xn ) . Например, (1, 1, . . . , 1, . . . ) — постоянная последовательность, т.е. xn = 1 для всех n ∈ N , а {1, 1, . . . , 1, . . . } — множество {1} , состоящее из одного элемента, равного 1 . Последовательности подразделяются в зависимости от природы элементов множества X . Так, если элементами множества X являются числа, функции и т.п., то соответствующие последовательности называются числовыми, функциональными и т.п. В этой главе будем изучать только числовые последовательности, т.е. считать, что X — непустое числовое множество. Числовые последовательности подразделяются на вещественные и комплексные в зависимости от того, какое из следующих включений X ⊂ R или X ⊂ C имеет место. 78

§ 1. Последовательности и их пределы

79

Предполагая, что X — произвольное топологическое пространство, дадим общее определение понятия предела последовательности. Определение 77. Говорят, что последовательность (xn )∞ n=1 элементов xn ∈ X имеет пределом точку a ∈ X (или сходится к точке a ∈ X ), если для любой окрестности V (a) точки a ∈ X существует номер nV ∈ N , такой, что ∀n > nV : xn ∈ V (a) . Коротко это записывается в виде1 : lim xn = a или в виде: xn → a n→∞ при n → ∞ . Перепишем определение 77 в другой, более обозримой форме: lim xn = a

n→∞

def

⇐⇒

∀V (a) ∃nV ∈ N ∀n > nV : xn ∈ V (a) . (2.1)

Такая запись не только более обозрима, но и позволяет, например, просто сформулировать утверждение: „Последовательность (xn ) не сходится к точке a“: lim xn 6= a ⇐⇒ ∃V (a) ∀nV ∈ N ∃n > nV : xn ∈ / V (a) .

n→∞

Конкретизируя в определении 77 топологическое пространство X , будем получать определения предела соответствующей последовательности (например, числовой, функциональной и т.п.). Рассматривая числовые последовательности, удобно наряду с произвольными окрестностями точек рассматривать так называемые εокрестности (замкнутые либо открытые). Определение 78. Пусть ε ∈ R+ . Замкнутой ε-окрестностью точки a ∈ C называется замкнутой круг |z − a| 6 ε с центром в точке a радиуса ε . Открытой ε-окрестностью точки a ∈ C называется открытый круг |z − a| < ε . Определение 79. Пусть снова ε ∈ R+ . Замкнутой ε-окрестностью точки a ∈ R называется отрезок [a−ε ; a+ε] , а открытой — интервал (a − ε ; a + ε) с центром в точке a радиуса ε . 1

В тех случаях, когда заранее не известно, выполняется ли для последовательности (xn )∞ n=1 условие, указанное в приведенном определении, запись lim xn рассматривается как задача. n→∞

80

Глава 2. Числовые последовательности и их пределы

Конкретизируем теперь определение 77 применительно к числовым последовательностям, беря в качестве окрестностей соответствующие ε-окрестности. Определение 80. Числовая последовательность называется сходящейся к числу c , если для любого ε > 0 существует номер nε ∈ N , начиная с которого, выполняется неравенство: |zn − a| 6 6 ε. Перепишем его в форме, аналогичной (2.1). lim zn = c

n→∞

def

⇐⇒

∀ε > 0 ∃nε ∈ N ∀n > nε : |zn − a| 6 ε . (2.2)

Это определение годится как для вещественных, так и для комплексных числовых последовательностей. Разница начинает проявляться лишь тогда, когда требуется конкретизировать окрестность |zn − a| 6 ε (т.е. уточнить, что это: круг или отрезок?). Числовую последовательность, которая не сходится ни к какому числу, принято называть расходящейся. Этот термин будет означать, что предел lim zn либо не существует, либо он существует, но n→∞ не является числом. Рассмотрим примеры на применение определения предела последовательности. 1 1 1) Пусть xn = . Покажем, что lim = 0 . n→∞ n n J Задавая число ε > 0 , станем искать какое-нибудь nε ∈ N , для которого ¯ ¯ ¯1 ¯ ¯ − 0¯ 6 ε . Последнее неравенство равносильно такому: nε > 1 . Учитывая, ¯ nε ¯ ε что nε должно быть целым, полагаем nε := [1ε] + 1 , где [· · · ] означает целую часть. Так как [1ε] + 1 > 1ε , то ∀n > nε будет: n > 1ε или 1n 6 ε I 2) Покажем, что lim q n = 0 , если |q| < 1 . n→∞

J Задавая число ε ∈ (0 ; 1) , будем искать какое-нибудь nε ∈ N , для которого |q nε − 0| 6 ε . Последнее неравенство равносильно такому: |q|nε 6 ε , или ln ε . Поэтому, учитывая, что nε ∈ N , достаточно nε · ln |q| 6 ln ε , или nε > ln |q| · ¸ ln ε ln ε положить nε = , что равносильно + 1 . Тогда при n > nε будет: n > ln |q| ln |q| такому неравенству: |q|n 6 ε I 3) Последовательность 1, −1, 1, −1, 1, −1, . . . расходится.

§ 1. Последовательности и их пределы

81

J Запишем общий член данной последовательности в виде: xn = (−1)n+1 . Предполагая, что lim xn = a , имеем: n→∞

¯ ¯ ∀ε > 0 ∃nε ∈ N ∀n > nε : ¯(−1)n+1 − a¯ 6 ε . Полагая здесь ε = 12 , получим соответственно для четных и нечетных значений n следующую систему неравенств:  1  |1 + a| 6 , 2  |1 − a| 6 1 . 2 Эта система несовместна, так как 2 = |1 + 1| = |(1 + a) + (1 − a)| 6 |1 + a| + |1 − a| 6

1 1 + = 1, 2 2

т.е. 2 6 1 — противоречие I

2. Общие свойства пределов. Предел и арифметические операции. Определение 81. Последовательность вещественных чисел (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) называется ограниченной, ограниченной сверху, ограниченной снизу, если соответствующим свойством обладает множество {x1 , x2 , . . . , xn , . . .} всех ее членов. Отметим, что для последовательностей комплексных чисел имеет смысл только понятие ограниченности. Теорема 47. (a) Любая окрестность предела сходящейся последовательности содержит все члены последовательности, кроме конечного их числа; (b) Последовательность не может иметь двух различных пределов; (c) Сходящаяся последовательность ограничена; (d) Предел постоянной последовательности равен этой постоянной. J(a) Пусть lim zn = c . По определению 77 имеем: n→∞

∀V (c) ∃nV ∀n > nV : xn ∈ V (c) .

82

Глава 2. Числовые последовательности и их пределы

Отсюда видно, что не принадлежащие окрестнасти V (c) члены последовательности (zn ) могут находится только среди первых (nV −1) членов: z1 , z2 , . . . , znV −1 , которых конечное число. (b) Предположим противное lim zn = c1 ,

n→∞

lim zn = c2 , c1 6= c2 .

n→∞

Применяя свойство отделимости (теорему 42), заключаем, что существуют окрестности V (c1 ) и V (c2 ) , такие, что V (c1 ) ∩ V (c1 ) = ∅ . Далее, по определению предела имеем: ( ∃n1 ∈ N ∀n > n1 : zn ∈ V (c1 ) , ∃n2 ∈ N ∀n > n2 : zn ∈ V (c2 ) . Отсюда при n > max{n1 , n2 } будет: zn ∈ V (c1 ) ∩ V (c2 ) = ∅ , т.е. zn ∈ ∅ — противоречие. (c) Пусть lim zn = c . Беря ε = 1 и применяя определение 80, n→∞ имеем: ∃n1 ∈ N ∀n > n1 : |zn − c| 6 1 , но так как |zn − c| > |zn | − |c| , то |zn | 6 1 + |c| при n > nε . Таким образом, ∀n ∈ N : |zn | 6 M , где M := max{|z1 | , . . . , |zn1 −1 | , 1+|c|} . (d) Если zn = c для всех n , то ∀ε ∈ R+ ∀n ∈ N будет: |zn − c| = |c − c| = 0 < ε

I

Арифметические операции над числовыми последовательностями определяются естественным образом. Пределы получающихся таким образом последовательностей можно вычислять, пользуясь следующей теоремой. ∞ Теорема 48. Пусть (zn )∞ n=1 и (wn )n=1 — сходящиеся числовые последовательности, и пусть lim zn = z и lim wn = w . Тогда:

(a) lim (zn + wn ) = z + w ;

n→∞

n→∞

n→∞

(b) lim (c · zn ) = c · z ; lim (c + zn ) = c + z для любого числа c ; n→∞

n→∞

(c) lim zn · wn = z · w ; n→∞ µ ¶ 1 1 = , если z 6= 0 и zn 6= 0 для всех n ∈ N . (d) lim n→∞ zn z

§ 1. Последовательности и их пределы

83

J (a) Зададим число ε > 0 . По числу ε2 найдем номера n1 , n2 ∈ N , такие, что  ε  ∀n > n1 : |zn − z| 6 , 2 ε  ∀n > n2 : |wn − w| 6 . 2 Полагая nε := max{n1 ; n2 } , получим при n > nε : |(zn + wn ) − (z + w)| = |(zn − z) + (wn − w)| 6 6 |zn − z| + |wn − w| 6

ε ε + = ε. 2 2

(b) Если c = 0 , то утверждение очевидно. Пусть c 6= 0 . Задавая ε ∈ R+ , по числу c найдем номер nε ∈ N так, чтобы было: ε ∀n > nε : |zn − z| 6 . При тех же значениях n имеем: |c| |c · zn − c · z| = |c(zn − z)| = |c| · |zn − z| 6 |c| ·

ε =ε. |c|

Второе утверждение из (b) доказывается совсем просто: если |zn − z| 6 ε , то |(c + zn ) − (c + z)| = |zn − z| 6 ε . (c) Воспользуемся тождеством: zn · wn − z · w = (zn − z)(wn − w) + z(wn − w) + w(zn − z) . (2.3) Задавая ε ∈ R+ , найдем n1 , n2 ∈ N так, чтобы было ( √ ∀n > n1 : |zn − z| 6 ε ; √ ∀n > n2 : |wn − w| 6 ε . Беря nε = max{n1 ; n2 } , будем иметь при n > nε : √ √ |(zn − z)(wn − w)| = |zn − z| · |wn − w| 6 ε · ε = ε . Применяя теперь (a) и (b) к тождеству (2.3), найдем: lim (zn · wn ) = lim [z ·w+(zn −z)(wn −w)+z ·(wn −w)+w·(zn −z)] =

n→∞

n→∞

= z ·w + lim (zn −z)(wn −w)+z · lim (wn −w)+w · lim (zn −z) = z ·w . n→∞

n→∞

n→∞

84

Глава 2. Числовые последовательности и их пределы

|z| . 2 |z| При тех же значениях n будет: > |z − zn | > |z| − |zn | , откуда 2 |z| 1 2 |zn | > , т.е. 6 . Задавая ε ∈ R+ , найдем nε ∈ N так, 2 |zn | |z| чтобы было: nε > n0 и (d) Выберем n0 ∈ N так, чтобы было: ∀n > n0 : |z − zn | 6

|z|2 ∀n > nε : |zn − z| 6 ε. 2 При тех же значениях n будем иметь: ¯ ¯ 2 ¯1 ¯ |zn − z| 1 |z| 1 2 ¯ − ¯= 6 ε · · =ε ¯ zn z ¯ |zn | · |z| 2 |z| |z|

I

Теорема 49. Сходимость последовательности (zn )∞ n=1 комплексных чисел zn = xn + iyn равносильна сходимости последова∞ тельностей (xn )∞ n=1 и (yn )n=1 , причем: lim zn = lim xn + i lim yn .

n→∞

n→∞

n→∞

3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. ¡ ¢∞ Определение 82. Числовая последовательность αn n=1 называется бесконечно малой, если lim αn = 0 . n→∞

Очевидно следующее утверждение: lim zn = z ∈ C ⇐⇒ αn — бесконечно малая, где αn := zn − z ,

n→∞

широко используемое при вычислении пределов. ¡ ¢∞ Определение 83. Числовая последоватльность zn n=1 называется бесконечно большой, если ∀E ∈ R+ ∃nE ∈ N ∀n > nE : |zn | > E .

(2.4)

§ 1. Последовательности и их пределы

85

Обозначается это так: lim zn = ∞ . Например, последовательn→∞

ность с общим членом xn = (−n)n является бесконечно большой, поскольку, полагая nE := [E] + 1 , при n > nE имеем: |xn | = n > nE = [E] + 1 > E . Обращаясь к определению 77, мы видим, ¡ что ¢∞ бесконечно большую последовательность комплексных чисел zn n=1 можно рассматривать как сходящуюся к точке ∞ в некотором топологическм пространстве (каковым в данном случае является расширенная комb = C t {∞} ). В частности, бесконечно больплексная плоскость C ¡ ¢∞ шую последовательность вещественных чисел xn n=1 можно рассматривать как сходящуюся к точке ∞ в неупорядоченном расшиb множества R всех вещественных чисел. рении R Частными случаями бесконечно больших последовательностей являются последовательности вещественных чисел, сходящиеся к (+∞) и к (−∞) соответственно. Такого рода бесконечно большие последовательности можно определить следующим образом: def

lim xn = −∞ ⇐⇒ ∀E ∈ R+ ∃nE ∈ N ∀n > nE : xn 6 −E .

n→∞

def

lim xn = +∞ ⇐⇒ ∀E ∈ R+ ∃nE ∈ N ∀n > nE : xn > E .

n→∞

Их можно рассматривать как последовательности, сходящиеся в упорядочнном расширении e = {−∞} t R t {+∞} R множества R всех вещественных чисел. ¡ ¢∞ Теорема 50. Пусть zn n=1 — последовательность чисел, отличных от нуля. Равносильны утверждения: ¡ следующие ¢∞ (a) Последовательность zn n=1 — бесконечно большая. µ ¶∞ 1 — бесконечно малая. (b) Последовательность zn n=1 J (a) ⇒ (b) Пусть выполнено (2.4). Задавая ε ∈ R+ , положим E := 1ε . Очевидно, что из неравенства (2.4) вытекает неравенство: |1zn | 6 ε .

86

Глава 2. Числовые последовательности и их пределы (b) ⇒ (a) Пусть lim 1zn = 0 , т.е. n→∞

∀ε ∈ R+ ∃nε ∈ N ∀n > nε : |1zn | 6 ε . Полагая E := 1ε , из последнего неравенства получим неравенство (2.4) I Замечание. Используя теоремы о пределах, в некоторых случаях арифметические операции над числами можно распространить и на элементы +∞ , −∞ и ∞ , рассмтривая их как бесконечно большие числа2 . Так, послед1 1 няя теорема дает основание считать, что := 0 , := ∞ . Кроме того, для ∞ 0 любого числа a естественно дать такие определения: ( a+∞=∞ ; (2.5) a · ∞ = ∞ при a 6= 0 , а также следующие: +∞ + ∞ := +∞ ;

−∞ − ∞ := −∞ .

(2.6)

Однако выражениям типа: 0 , 0

∞ , ∞

0·∞ ,

+∞ − ∞

(и некоторым выражениям других типов) заранее невозможно приписать определенные значения. Это так называемые неопределенные выражения. Их раскрытие (т.е. приписывание им конкретных значений) — одна из основных задач теории пределов.

Числовые последовательности иногда можно сравнивать между собой в зависимости от их асимптотики (т.е. от их свойств при n → ∞). Определим здесь соответствующие понятия. ∞ Определение 84. Пусть (an )∞ n=1 и (bn )n=1 — числовые последовательности. (a) Говорят, что последовательность (an ) имеет порядок не выше, чем (bn ) при n → ∞ , если выполняется условие:

∃M ∈ R+ ∃n0 ∈ N ∀n > n0 : |an | 6 M · |bn | . Обозначается это так3 : an = O(bn ) при n → ∞ . 2 3

Напомним, что на самом деле они не являются числами. Символы O и o происходят от немецкого слова Ordnung — порядок.

§ 2. Предел и неравенства. Нижний и верхний пределы...

87

(b) Говорят, что последовательности (an ) и (bn ) имеют одинаковый порядок при n → ∞ , если выполняются оба условия an = O(bn ) и bn = O(an ) . Обозначается это так: an ³ bn при n → ∞ . (c) Говорят, что последовательности (an ) и (bn ) эквивалентны an = 1 . Обозначается это так: an ∼ bn при при n → ∞ , если lim n→∞ bn n → ∞. (d) Говорят, что последовательность (an ) является бесконечно малой по сравнению с последовательностью (bn ) при n → ∞ . если выполняется условие: ∀ε ∈ R+ ∃nε ∈ N ∀n > nε : |an | 6 ε · |bn | . Обозначается это так: an = o(bn ) при n → ∞ В этих обозначениях запись an = O(1) при n → ∞ означает, что последовательность (an ) ограничена, а запись an = o(1) при n → ∞ означает, что последовательность (an ) бесконечно мала (в смысле определения 82).

§ 2. Предел и неравенства. Нижний и верхний пределы. Критерий Коши. Полнота 1. Предел и неравенства. Поскольку в этом параграфе речь будет идти о неравенствах, то будем рассматривать здесь только последовательности вещественных чисел. ¡ ¢∞ ¡ ¢∞ Теорема 51. (a) Пусть xn n=1 и yn n=1 — две последовательe , причем: ности, имеющие пределы в R lim xn = a ,

n→∞

lim yn = b , a < b .

n→∞

Тогда ∃n0 ∈ N ∀n > n0 : xn < yn . ¡ ¢∞ ¡ ¢∞ ¡ ¢∞ (b) Пусть последовательности xn n=1 , yn n=1 , zn n=1 таковы, что ∀n ∈ N : xn 6 yn 6 zn , и пусть lim xn = lim zn = a . n→∞ n→∞ Тогда lim yn = a . n→∞

88

Глава 2. Числовые последовательности и их пределы

e существуют J (а) Так как a < b , то по свойству отделимости в R окрестности V (a) и V (b) , такие, что V (a) ∩ V (b) = ∅ . Более того, так как a < b , то эти окрестности можно выбрать так, чтобы V (a) e левее окрестности V (b) , т.е. лежала на R ∀x ∈ V (a) ∀y ∈ V (b) : x < y . Далее, имеем:   lim xn = a ⇐⇒ ∃n1 ∈ N ∀n > n1 : xn ∈ V (a) , n→∞

 lim yn = b ⇐⇒ ∃n2 ∈ N ∀n > n2 : yn ∈ V (b) . n→∞

Полoжим n0 := max{n1 , n2 } . Тогда ∀n > n0 будет: xn ∈ V (a) , yn ∈ V (b) и, значит, xn < yn . (b) Зададим окрестность V (a) в виде промежутка. Найдем номера n1 , n2 ∈ N так, чтобы было: ( ∀n > n1 : xn ∈ V (a) , ∀n > n2 : zn ∈ V (a) . Затем полагаем: nV := max{n1 , n2 } . Тогда ∀n > nV будет: yn ∈ [xn , zn ] ⊂ V (a) , т.е. ∀n > nV : yn ∈ V (a) . Таким образом, lim yn = a I

n→∞

Следствие. Пусть lim xn = a , lim yn = b , и ∀n ∈ N : xn 6 yn .

n→∞

n→∞

Тогда a 6 b . J Предполагая противное: a > b и применяя теорему 51(a), приходим к противоречию: xn > yn , начиная с некоторого номера I Замечание. Строгое неравенство между последовательностями может в пределе переходить в равенство. Например, 1n > 0 , но lim 1n = 0 . n→∞

Теорема 52. У любой монотонной последовательности суe . Если, кроме того, она ограниществует предел, лежащий в R чена, то этот предел — число. Если же она не ограничена, то этот предел равен (+∞) в случае неубывания и (−∞) в случае невозрастания.

§ 2. Предел и неравенства. Нижний и верхний пределы...

89

¡ ¢∞ J Предположим, что последовательность xn n=1 не убывает, т.е. x1 6 x2 6 . . . x n 6 . . . . Положим a := sup{x1 , x2 , . . . , xn , . . .} и покажем, что lim xn = a . n→∞

Возьмем окрестность V (a) точки a в виде промежутка, открытого слева. Так как a ∈ V (a) , то точка a не является левым концом промежутка V (a) . Следовательно, ∃e x ∈ V (a) : x e < a . Так как V (a) — промежуток, то [e x , a] ⊂ V (a) . Поскольку x e < a = sup{x1 , x2 , . . . xn , . . .} , то x e не является верхней границей множества {x1 , x2 , . . . xn , . . .} . Поэтому ∃e n ∈ N : xne ∈ (e x , a) ⊂ V (a) . ¡ ¢∞ Так как последовательность xn n=1 не убывает, то ∀n > n e : xn > xne > x e , т.е. xn ∈ V (a) . Значит, a = lim xn . n→∞ И, наконец, a ∈ R или a =¡ +∞ ¢∞ в зависимости от того, ограничена сверху последовательность xn n=1 или не ограничена. ¡ ¢∞ Случай, когда последовательность xn n=1 не возрастает, можно рассмотреть аналогично. Читателю предлагается это сделать в качестве самостоятельного упражнения I Теорема 53. Последовательность с общим членом xn = (1+ n1 )n сходится в R . J Положим x0n := (1 + 1n)n+1 = (1 + 1n) · xn . Так как lim (1 + 1n) = 1 , то lim x0n = lim xn , если хотя бы один из этих n→∞ n→∞ n→∞ пределов существует. Поэтому достаточно доказать существование конечного предела lim x0n . С этой целью, используя предыдущую n→∞ ¡ ¢∞ теорему, достаточно установить, что последовательность x0n n=1 монотонно убывает и ограничена снизу. Последнее выполняется и силу очевидного неравенства: x0n = (1 + 1n)n+1 > 1 . Чтобы доказать ее неубывание, используем известное неравенство Бернулли:

90

Глава 2. Числовые последовательности и их пределы

(1 + α)n > 1 + n · α при α > −1 . Имеем: µ ¶n µ ¶n+1 x0n−1 n n (1 + 1(n − 1))n = = · = x0n (1 + 1n)n+1 n−1 n+1 µ ¶n n2n+1 n2 n = · = = (n − 1)n (n + 1)n+1 n+1 n2 − 1 µ ¶n µ ¶ n 1 n n = · 1+ 2 > · 1+ 2 > n+1 n −1 n+1 n −1 µ ¶ ³ n n´ n 1 > · 1+ 2 = 1+ = 1 . (2.7) n+1 n n+1 n Итак, x0n−1 xn > 1 , откуда x0n−1 > x0n µ I ¶ n

1 Замечание 1. Принято обозначение lim 1 + = e . Известно, что чисn→∞ n ло e — иррациональное, и первые его десятичные знаки таковы: e = 2, 718281828459045 . . . . Это число имеет исключительно большое значение в анализе, так как его использование ведет к упрощению многих формул. Показательная функция y = ex называется экспонентой и в связи с этим обозначается иногда символом y = exp(x) . Логарифмы при основании e называются натуральными, а для соответствующей логарифмической функции принято обозначение x. µ y =¶ln n 1 Замечание 2. Непосредственная подстановка в выражение 1 + вмесn то n символа ∞ приводит к выражению вида 1∞ , которое, таким образом, является неопределенным. Для раскрытия неопределенностей такого типа можно, вообще говоря, использовать факты типа теоремы 53.

1 Теорема 54. (a) Если p ∈ R+ , то lim p = 0 . n→∞ n √ n (b) Если p ∈ R+ , то lim p = 1 . n→∞ √ n (c) lim n = 1 . n→∞

nα (d) Если p ∈ R+ , α ∈ R , то lim = 0. n→∞ (1 + p)n £ ¤ J (a) Задавая ε ∈ R+ , положим: nε := (1ε)1p + 1 . Тогда при n > nε будем иметь: 0<

1 1 1 1 ¤ ¢p 6 ¡ ¢p = ε . 6 p = ¡£ p n nε (1ε)1p + 1 (1ε)1p

§ 2. Предел и неравенства. Нижний и верхний пределы...

91

√ (b) При p > 1 полагаем xn := n p − 1 > 0 . Отсюда, используя неравенство Бернулли, находим: 1 + nxn 6 (1 + xn )n = p , и, знаp−1 чит, 0 < xn < . Переходя здесь к пределу и используя теорему n 51(b), получим: lim xn = 0 . Случай p = 1 тривиален4 . В случае n→∞ 0 < p < 1 требуемый результат можно получить, переходя к обратным величинам. √ (с) Положим xn := n n − 1 > 0 . Отсюда, используя формулу бинома Ньютона, находим: n = (1 + xn )n = 1 + n · xn +

n(n − 1) 2 n(n − 1) 2 · xn + . . . > 1 + · xn . 2 2

Беря здесь начало и конец, получим неравенство n(n − 1) 2 · xn , 2 √ из которого следует, что 0 < xn < 2n . Переходя здесь к пределу при n → ∞ , получим lim xn = 0 . n>1+

n→∞

(d) Выберем k ∈ N так, чтобы было: k > α . При n > 2k , используя формулу бинома Ньютона, имеем: n

(1 + p) =

n µ ¶ X n k=0

µ ¶ n k n(n − 1) · . . . · (n − k + 1) k p > p = ·p > k k k! ³ n ´k pk > · . 2 k! k

³ n ´ k pk Отсюда находим: (1 + p) > · . Используя это неравенство, 2 k! получим: n

0<

nα 2k · k! · nα 2k · k! 1 < = · . (1 + p)n n k · pk pk nk−α

Так как k > α , то в силу теоремы 50 правая часть последнего неравенства стремится к нулю при n → ∞ I 4

т.е. очевиден.

92

Глава 2. Числовые последовательности и их пределы

2. Нижний и верхний пределы ¡ ¢∞ последовательности. Не для всякой последовательности xn n=1 вещественных чисел xn существует предел lim xn . Определяемые здесь нижний и верхний n→∞ пределы отличаются прежде всего тем, что они существуют для любой последовательности вещественных чисел. ¡ ¢∞ Определение 85. Пусть xn n=1 — последовательность вещественных чисел. Каждому n ∈ N сопоставим множество Xn := {xn , xn+1 , xn+2 , . . .} , и с его помощью образуем две последовательности, ¡ ¢∞ vn n=1 , полагая: un := inf Xn ;

vn := sup Xn .

¡ ¢∞ un n=1 и (2.8)

¡ ¢∞ Нижний и верхний пределы последовательности xn n=1 определим соответственно равенствами: lim xn := lim un ; n→∞

n→∞

lim xn := lim vn .

n→∞

n→∞

(2.9)

¡ ¢∞ Теорема 55. Для любой последовательности xn n=1 вещественных чисел xn оба предела (2.8) существуют и связаны неравенствами: −∞ 6 lim xn 6 lim xn 6 +∞ . (2.10) n→∞

n→∞

J Очевидно, что Xn = {xn , xn+1 , . . .} 6= ∅ , и Xn ⊃ Xn+1 . Поэтому справедливы такие неравенства: −∞ 6 un 6 un+1 6 vn+1 6 vn 6 +∞ . (2.11) ¡ ¢∞ Из этих неравенств видно, что последовательность un n=1 не убы¡ ¢∞ вает, а последовательность vn n=1 не возрастает. Отсюда на основании теоремы 52 заключаем, что оба предела в правых частях равенств (2.9) существуют. Переходя к пределу в неравенствах (2.11), получим неравенства (2.10) I Пример. Предел lim (−1)n не существует. Но так как для последовательn→∞

ности xn := (−1)n имеем: Xn = {−1 , +1} , то un ≡ −1 , vn ≡ +1 . Значит, lim (−1)n = lim un = −1 ,

n→∞

n→∞

lim (−1)n = lim vn = +1 .

n→∞

n→∞

§ 2. Предел и неравенства. Нижний и верхний пределы...

93

Теорема 56. Существование предела lim xn последовательноn→∞ сти xn равносильно совпадению ее нижнего и верхнего пределов. В этом случае (2.12) lim xn = lim xn = lim xn . n→∞

n→∞

n→∞

J Предположим, что lim xn = lim xn = a . В силу равенств n→∞

n→∞

(2.8) для любого n ∈ N имеем: un 6 xn 6 vn . Переходя здесь к пределу и используя теорему 51(b), получим равенство (2.12). e. Обратно, предположим, что существует предел lim xn = a ∈ R n→∞ Если a — число, то ∀ε > 0 ∃nε ∈ N ∀n > nε : a − ε 6 xn 6 a + ε . Отсюда заключаем, что Xn = {xn , xn+1 , . . .} ⊂ [a − ε ; a + ε] . Беря здесь inf и sup по всем n > nε , получим: a − ε 6 un 6 vn 6 a + ε . Переходя здесь к пределу при n → ∞ . найдем: a − ε 6 lim xn 6 lim xn 6 a + ε , n→∞

n→∞

т.е. 0 6 lim xn − lim xn 6 2ε . Отсюда в пределе при5 ε → +0 n→∞

n→∞

получаем: lim xn = lim xn . n→∞

n→∞

Если a = +∞ , то ∀E ∈ R+ ∃nE ∈ N ∀n > nE : xn > E , или, что равносильно, Xn ⊂ [E , +∞] , и, значит, E 6 un 6 vn 6 +∞ . Отсюда в пределе при n → ∞ получим: E 6 lim xn 6 lim xn 6 +∞ . n→∞

5

n→∞

Символы ε → ±0 , означают, что ε → 0 , сохраняя соответствующий знак.

94

Глава 2. Числовые последовательности и их пределы

Переходя здесь к пределу при E → +∞ , имеем: lim xn = lim xn = +∞ .

n→∞

n→∞

Аналогично можно рассмотреть случай lim xn = −∞ I n→∞

3. Критерий Коши. Полнота. ¡ ¢∞ Определение 86. Последовательность xn n=1 называется фундаментальной (или последовательностью Коши6 ), если ∀ε ∈ R+ ∃nε ∈ N ∀m, n > nε : |xn − xm | 6 ε .

(2.13) ¡ ¢∞ Теорема 57 (критерий Коши). Последовательность xn n=1 сходится в R , если и только если она фундаментальна. ¡ ¢∞ J Предположим сначала, что последовательность xn n=1 сходится в R , т.е. lim xn = a ∈ R . По определению это означает, что n→∞

∀ε ∈ R+ ∃nε ∈ N ∀n > nε : |xn − a| 6

ε . 2

Заменяя здесь n на m , получим: ∀ε ∈ R+ ∃nε ∈ N ∀m > nε : |xm − a| 6

ε . 2

Используя последние неравенства и неравенство треугольника, ∀m, n > nε имеем: |xn − xm | = |(xn − a) + (a − xn )| 6 |xn − a| + |a − xn | 6

ε ε + =ε, 2 2

т.е. выполнено условие (2.13). Обратно, пусть выполнено условие (2.13). Полагая в нем m = nε , будем иметь: |xn − xnε | 6 ε , что равносильно такому условию: ∀n > nε : xnε − ε 6 xn 6 xnε + ε или Xn := {xn , xn+1 , . . .} ⊂ [xnε − ε ; xnε + ε] , 6

Кош´ и Огюст´эн Луи (1789 – 1857) — французский математик.

§ 2. Предел и неравенства. Нижний и верхний пределы...

95

и, значит, xnε − ε 6 inf Xn 6 sup Xn 6 xnε + ε . Переходя здесь к пределу при n → ∞ , получим: xnε − ε 6 lim xn 6 lim xn 6 xnε + ε . n→∞

n→∞

(2.14)

Из этих неравенств легко следует, что 0 6 lim xn − lim xn 6 2ε . n→∞

n→∞

Переходя здесь к пределу при ε → +0 , обнаруживаем, что lim xn = n→∞

= lim xn . Поэтому на основании теоремы 56 заключаем, что предел n→∞

lim xn существует, а из неравенств (2.14) следует, что этот предел — число I

n→∞

Замечание. Критерий Коши выражает так называемое свойство полноты множества R всех вещественных чисел (т.е. то самое свойство, которое в другой форме выражает и теорема Дедекинда). Оно имеет смысл и для произвольных метрических пространств. Однако понятие полноты не имеет смысла для произвольных топологических пространств, поскольку в таких пространствах нет метрики.

¡ ¢∞ Определение 87. Последовательность xn n=1 элементов метрического пространства (X ; d) называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если выполнено условие: ∀ε ∈ R+ ∃nε ∈ N ∀m, n > nε : d(xm ; xn ) 6 ε . Метрическое пространство (X ; d) называется полным, если любая фундаментальная последовательность элементов из X сходится7 в X . Теорема 58. Множество C всех комплексных чисел является полным метрическим пространством. 7

т.е. имеет предел, лежащий в X .

96

Глава 2. Числовые последовательности и их пределы J Пусть lim zn = c ∈ C . Задавая ε ∈ R+ , имеем: n→∞

 ε  |zn − c| 6 , 2 ∃nε ∈ N ∀m, n > nε : ε  |zn − c| 6 . 2 Отсюда

ε ε + = ε. 2 2 ¡ ¢∞ Обратно, предположим, что последовательность zn n=1 комплексных чисел zn ∈ C фундаментальна, т.е. что |zn − zm | 6 |zn − c| + |zm − c| 6

∀ε ∈ R+ ∃nε ∈ N ∀m, n > nε : |zm − zn | 6 ε . Обозначая zn = xn + iyn , где xn , yn ∈ R , учитывая, что |xn | 6 |zn | и |yn | 6 |zn | , ¡ ¢∞ ¡ ¢∞ заключаем, что обе последовательности xn n=1 и yn n=1 — фундаментальные в R . Отсюда в силу теоремы 57 следует, что lim xn = a ∈ R ,

n→∞

lim yn = b ∈ R ,

n→∞

и, значит, lim zn = a + bi ∈ C

n→∞

I

§ 3. Компактность числовых множеств Теорема 59 (лемма о вложенных отрезках). Пусть задана бесконечная, убывающая по включению последовательность отрезков [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ . . . ⊃ [an , bn ] ⊃ . . . . (2.15) Если lim (bn −an ) = 0 , то существует единственная точка c ∈ R , n→∞ ∞ T такая, что {c} = [an , bn ] . n=1

§ 3. Компактность числовых множеств a1

am

an

97

bn

bm b1

X

Рис.13. Вложенные отрезки

J Если n > m , то по условию (2.15) имеем: [an , bn ] ⊂ [am , bm ] , т.е. am 6 an < bn 6 bm (см.рис.13). Отсюда видно, что последовательность (an )∞ не ¢убывает и ограничена сверху числом bm , а n=1 ¡ ∞ последовательность bn n=1 не возрастает и ограничена снизу числом am . Применяя, теорему 52, заключаем, что обе последо¡ ¢∞ далее, ¡ ¢∞ вательности an n=1 и bn n=1 сходятся, т.е. ∃c0 , c00 ∈ R :

  lim an = c0 , n→∞

 lim bn = c00 . n→∞

Так как an < bn , то в пределе получим: c0 6 c00 . Таким образом, ∀n ∈ N имеем: an 6 c0 6 c00 6 bn , откуда 0 6 c00 − c0 6 bn − an . Переходя здесь к пределу при n → ∞ , получим: c0 = c00 . Обозначая c := c0 = c00 , имеем: ∃! c ∈ R ∀n ∈ N : c ∈ [an , bn ] или, что равносильно, {c} =

T∞

n=1 [an ,

bn ]

I

Определение 88. Пусть X — непустое подмножество топологического пространства. Семейство множествS{Aα | α ∈ I} называется покрытием множества X , если X ⊂ Aα . Покрытие α∈I

называется открытым, если все множества Aα — открытые. Семейство множеств {Bβ | β ∈ J} называется подпокрытием данного покрытия, если [ {Bβ | β ∈ J} ⊂ {Aα | α ∈ I} и Bβ ⊃ X . β∈J

Теорема 60 (лемма Гейне-Бореля о покрытиях). Любое покрытие замкнутого отрезка [a , b] ⊂ R открытыми интервалами содержит конечное подпокрытие.

98

Глава 2. Числовые последовательности и их пределы

J Предположим противное, а именно: пусть существует покрытие {Uα | α ∈ I} отрезка [a , b] интервалами Uα , которое не содержит конечного подпокрытия. Разделим отрезок [a , b] пополам. Семейство {Uα | α ∈ I} является покрытием каждого из двух образовавшихся отрезков. По меньшей мере для одного из них (обозначим его [a1 , b1 ]) данное покрытие не содержит конечного подпокрытия. Разделим теперь отрезок [a1 , b1 ] пополам. По меньшей мере для одного из двух образовавшихся новых отрезков (обозначим его [a2 , b2 ] )данное покрытие не содержит конечного подпокрытия. Продолжая этот процесс неограниченно, приходим к бесконечной последовательности вложенных отрезков: [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ . . . ⊃ [an , bn ] ⊃ . . . ,

(2.16)

для каждого из которых данное покрытие не содержит конечного подпокрытия. Так как bn − an = (b − a)2n → 0 при n → ∞ , то для последовательности (2.16) выполняются все условия теоремы 59. Применяя ее, заключаем, что ∃!c ∈ [a , b] : lim an = lim bn = c . n→∞

n→∞

Так как c ∈ [a , b] , то среди интервалов данного покрытия существует интервал Uα0 , содержащий точку c , т.е. c ∈ Uα0 . Далее, по определению предела имеем: ( an ∈ Uα0 ∃n0 ∈ N ∀n > n0 : bn ∈ Uα0 . Так как Uα0 — интервал, то [an , bn ] ⊂ Uα0 , т.е. при достаточно большом n отрезок [an , bn ] покрывается единственным интервалом данного семейства. Получено противоречие I Определение 89. Подмножество топологического пространства называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие. Простейшим примером компактного множества является любое конечное множество точек данного топологического пространства. Конечное подпокрытие такого множества можно построить, беря

§ 3. Компактность числовых множеств

99

для каждой точки данного множества содержащее ее открытое множество из данного покрытия. Примерами компактных подмножеств числовой оси являются замкнутые отрезки [a , b] ⊂ R . Действительно, каждое открытое подмножество числовой оси можно представить в виде дизъюнктного объединения открытых интервалов. Тем самым любое открытое покрытие представляется в виде покрытия интервалами. По лемме Гейне-Бореля8 каждое такое покрытие содержит конечное подпокрытие. Следующая теорема содержит простое описание всех компапктных подмножеств числовой оси. Теорема 61 (критерий компактности в R). Равносильны следующие утверждения: (a) Множество X ⊂ R — компактное; (b) Множество X ⊂ R — ограниченное и замкнутое. J (b)⇒(a) Пусть X — ограниченное и замкнутое множество, {Uα | α ∈ I} — его открытое покрытие. Так как множество X — ограниченное, то существует отрезок [a , b] ⊂ R , такой, что X ⊂ [a , b] . Семейство открытых множеств {Uα | α ∈ I} и открытое множество RX образуют вместе открытое покрытие множества R , а значит, и отрезка [a , b] . В силу леммы Гейне-Бореля это покрытие содержит конечное подпокрытие: U1 , U2 , . . . Un , RX , т.е. U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Un ∪ (RX) ⊃ [a , b] ⊃ X . Далее, так как X ∩(RX) = ∅ , то U1 ∪. . .∪Un ⊃ X , т.е. множества U1 , . . . , Un образуют конечное подпокрытие множества X . Значит, множество X — компактное. (a)⇒(b) Доказательство этого утверждения проведем методом от противного. Предположим, что множество X не является ограниченным. Тогда, например, бесконечное семейство интервалов {(−n ; n) | n ∈ N} является его покрытием, не содержащим конечного подпокрытия. Значит, в этом случае множество X — не компактное. Предположим, что множество X не является замкнутым, т.е. не все его граничные точки ему принадлежат. Пусть x0 ∈ / X 8

Гейне Генрих Эдуард (1821 – 1881) — немецкий математик. Борель Эмиль (1871 – 1956) — французский математик.

100

Глава 2. Числовые последовательности и их пределы

— одна из таких граничных точек. Любая ее окрестность содержит точки множества £ ¤ X . Поэтому, например, семейство множеств 1 1 {R x0 − n ; x0 + n | n ∈ N} является открытым покрытием множества X , не содержащим конечного подпокрытия. Значит, и в этом случае множество X — не компактное I Определение 90. Пусть X — топологическое пространство, а M — его бесконечное подмножество. Точка x0 называется предельной точкой множества M , если в любой окрестности точки x0 содержатся точки, отличные от x0 и принадлежащие множеству M . При этом сама предельная точка множества M может как принадлежать, так и не принадлежать ему. Например, предельными точками интервала (a , b) являются все точки отрезка [a , b] , и только они. Теорема 62. Если множество X ⊂ R — ограниченное и бесконечное, то в R существует предельная точка множества X . J Так как множество X — ограниченное, то существует отрезок [a , b] ⊂ R , такой, что X ⊂ [a , b] . Разделив его пополам, заключаем, что по меньшей мере в одном из новых отрезков содержится бесконечно много точек из X . Обозначая этот отрезок через [a1 , b1 ] , разделим его пополам. По меньшей мере в одном из новых отрезков (обозначим его [a2 , b2 ]) содержится бесконечно много точек из X . Продолжая этот процесс неограниченно, приходим к бесконечной последовательности вложенных отрезков: [a , b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ . . . ⊃ . . . [an , bn ] ⊃ . . . , для которых bn − an = (b − a)2n → 0 при n → ∞ , а все множества X ∩ [an , bn ] — бесконечные. Применяя теорему 59, заключаем, что ∃!c ∈ R : lim an = lim an = c . n→∞

n→∞

Последнее можно переписать в таком виде: ∀ε > 0 ∃nε ∈ N ∀n > nε : [an , bn ] ⊂ (c − ε , c + ε) .

§ 3. Компактность числовых множеств

101

Таким образом, при всех достаточно больших значениях n имеем: [an , bn ] ∩ X ⊂ (c − ε , c + ε) , а так как множество [an , bn ] ∩ X — бесконечное, то в нем имеются точки, отличные от c . Значит, точка c — предельная для X I Определение 91. Пусть f : N −→ X , xn = f (n) , — последовательность элементов множества X , а g : N −→ N , nk = g(k) , — возрастающая последовательность натуральных чисел. Композиция f ◦ g : N −→ X , xnk = f (g(k)) , называется (xn )∞ n=1 .

подпоследовательностью

последовательности

Теорема 63. Если последовательность (xn )∞ n=1 ограничена, то у нее существует подпоследовательность, сходящаяся к некоторому числу. J Ограниченность последовательности (xn )∞ n=1 определялась как ограниченность множества {xn | n ∈ N} всех ее членов. Если это множество — конечное, то при пересчёте x1 , x 2 . . . x n , . . . хотя бы одно из чисел должно встретиться бесконечно много раз. Обозначим это число через a , и пусть 1 6 n1 < n2 < . . . < nk < . . . — возрастающая последовательность номеров, таких, что xnk = a для всех номеров k ∈ N . По теореме о пределе постоянной имеем: lim xnk = a , при k → ∞ т.е. подпоследовательность (xnk )∞ k=1 сходится к числу a . Если множество {xn | n ∈ N} — бесконечное, то по предыдущей теореме существует его предельная точка a ∈ R . Поэтому для каждого k ∈ N существует номер nk ∈ N , такой, что последовательность (nk )∞ k=1 возрастает, и выполнены неравенства: 0 < |xnk − a| 6 1k . Переходя в них к пределу при k → ∞ , получим: lim xnk = a I k→∞

Замечание. Доказанная теорема называется теоремой БольцаноВейерштрасса (по именам ее авторов9 ). Она допускает обобщение на случаи, 9

Больцано Бернард (1781 – 1848) — чешский математик. Вейерштрасс Карл (1815 – 1897) — немецкий математик.

102

Глава 2. Числовые последовательности и их пределы

когда данная последовательность не является ограниченной. В таких случаях гарантируется существование подпоследовательностей, имеющих пределы в e, R b, C b. соответствующей расширенной системе чисел: R

Теорема 64. У любой последовательности вещественных чисел b , и сущесуществует подпоследовательность, имеющая предел в R e. ствует подпоследовательность, имеющая предел в R J Если последовательность (xn )∞ n=1 не ограничена,то для каждого k ∈ N существует номер nk ∈ N , такой, что последовательность (nk )∞ k=1 возрастает, и |xnk | > k . Переходя в этом неравенстве к преb . Если последовательделу при k → ∞ , получим: lim xnk = ∞ ∈ R k→∞

ность (xn )∞ n=1 не ограничена сверху или снизу, то можно получить соответственно неравенства: xnk > k или xnk 6 −k . Переходя в них e к пределу при k → ∞ , получим соответственно: lim xnk = +∞ ∈ R e или lim xnk = −∞ ∈ R k→∞

k→∞

I

§ 3. Компактность числовых множеств

103

Задачи к главе 2 2.1 Используя логическую символику, подробно сформулировать следующие утверждения: (a)

lim xn 6= a ;

n→∞

(b)

lim xn не существует .

n→∞

∞ 2.2 Доказать расходимость последовательностей (sin n)∞ n=1 и (cos n)n=1 .

2.3 Вычислить следующие пределы: ¯ ¯ n ¯ ¯1 2 3 (−1) n n ¯ ; (b) lim n( √ (a) lim ¯¯ − + − . . . + n − 1) ; n→∞ n n→∞ n n n ¯ ³√ √ ´ n a+ n b n (c) lim , a, b > 0 ; (d) lim sin2 (π(n2 + n)) ; n→∞ √ 2 n→∞ 3 √ √ n2 sin n! (e) lim ; (f) lim ( n + 1 − n) ; n→∞ n→∞ n+1 √ √ √ (−2)n + 3n 4 2n (g) lim ; (h) lim ( 2 2 . . . 2) ; n→∞ (−2)n+1 + 3n+1 n→∞ r q ³ √ πn ´ ; (j) lim 2 + 2 + . . . + 2 . (i) lim n + 3 sin n→∞ | n→∞ 2 {z } n радикалов

2.4 Вычислить пределы: ¶ µ 2 n−1 1 + + ... + ; (a) lim n→∞ n2 n2 n2 1 + a + a2 + . . . + an (|a| < 1 , |b| < 1) ; n→∞ 1 + b + b2 + . . . + bn · 2 ¸ 1 22 (n − 1)2 (c) lim + 2 + ... + ; n→∞ n2 n n2 ¸ · 3 1 23 (n − 1)3 + 3 + ... + (d) lim . n→∞ n3 n n3 (b)

lim

2.5 Найти числовые значения непрерывных дробей: 1 1 1 (a) 1 + ; (b) 2 + ; (c) 3 + . 1 1 1 1+ 2+ 3+ 1 1 1 1+ 2+ 3+ 1 + ··· 2 + ··· 3 + ··· 2.6 Доказать сходимость последовательности (xn )∞ n=1 , где: 10 11 n+9 (a) xn = · · ... · ; 1 3 2n − 1 ¶ µ ¶µ ¶ µ 1 1 1 (b) xn = 1 − 1− ... 1 − n ; 2 4 2 µ ¶ ¶µ ¶ µ 1 1 1 (c) xn = 1 + 1+ ... 1 + n . 2 4 2

104

Глава 2. Числовые последовательности и их пределы

2.7 Сформулировать и доказать критерий компактности в C . e, R b, C b являются компакт2.8 Доказать, что расширенные системы чисел R ными топологическими пространствами. 2.9 Привести пример последовательности (xn )∞ n=1 , удовлетворяющей условию: ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N : xn 6 ε , и такой, что: (a) она не имеет предела; (b) она имеет предел. Может ли этот предел быть положительным? 2.10 Предположим, что последовательность (yn )∞ n=1 получена перестановкой членов последовательности (xn )∞ . Доказать, что: n=1 (a) lim xn = a n→∞

(b) ∃ lim xn

⇐⇒ ⇐⇒

n→∞

lim yn = a ;

n→∞

∃ lim yn . n→∞

∞ 2.11 Привести примеры последовательностей (xn )∞ n=1 и (yn )n=1 , таких, что lim xn = lim yn = 0 , причем: n→∞

n→∞

xn xn xn xn = 0 ; (b) lim = 1 ; (c) lim = ∞ ; (d) ∃ lim . (a) lim n→∞ yn n→∞ yn n→∞ yn n→∞ yn 2.12 Известно, что lim xn · yn = 0 . Верно ли, что: n→∞

(a) lim xn = lim yn = 0 ; n→∞

n→∞

(b) хотя бы одна из последовательностей (xn )∞ n=1

или (yn )∞ n=1

стремится к нулю? 2.13 Привести примеры таких расходящихся последовательностей (xn )∞ n=1 и (yn )∞ , что сходятся следующие последовательности: n=1 µ ¶∞ xn ∞ ∞ . (a) (xn + yn )n=1 ; (b) (xn · yn )n=1 ; (c) yn n=1 2.14 Предположим, что последовательнсть (xn )∞ n=1 не обращается в нуль и сходится к некоторому числу. При этих условиях: xn+1 (a) исследовать существование предела lim ; n→∞ xn (b) предполагая, что этот предел — число, оценить его сверху по модулю; µ ¶∞ xn на ограниченность. (с) исследовать последовательность yn n=1 2.15 Всякая ли неограниченная последовательность является бесконечно большой? Привести примеры.

§ 3. Компактность числовых множеств

105

2.16 Предположим, что последовательнсть (xn )∞ n=1 — бесконечно большая. Верно ли, что: (a) если последовательность (yn )∞ n=1 — ограниченная, то lim xn yn = ∞ ; n→∞

(b) если ∀n ∈ N : yn > xn , то lim yn = ∞ ; n→∞

(c) если lim yn = ∞ , то lim (xn + yn ) = ∞ ? n→∞

n→∞

∞ 2.17 Привести примеры последовательностей (xn )∞ n=1 и (yn )n=1 , таких, что lim xn = lim yn = +∞ , причем: n→∞

n→∞

(a) lim (xn − yn ) = +∞ ; n→∞

(b) lim (xn − yn ) = 1 ; n→∞

(c) lim (xn − yn ) = −∞ ; n→∞

(d) последовательность (xn − yn )∞ n=1 расходится; xn = 0; (e) lim n→∞ yn xn (f) lim = 1; n→∞ yn xn (g) lim = +∞ ; n→∞ yn µ ¶∞ xn (h) последовательность расходится. yn n=1 ∞ 2.18 Привести примеры последовательностей (xn )∞ n=1 и (yn )n=1 , таких, что lim xn = 0 , lim yn = +∞ , причем: n→∞

n→∞

(a) lim xn yn = 0 ; n→∞

(b) lim xn yn = 1 ; n→∞

(c) lim xn yn = ∞ ; n→∞

(d) последовательность (xn yn )∞ n=1 расходится. 2.19 Доказать, что lim xn = +∞

n→∞

=⇒

lim

n→∞

x1 + . . . + xn = +∞ . n

2.20 Пусть (pn )∞ n=1 — положительная последовательность, и lim pn = p . Доn→∞ √ казать, что lim n p1 · . . . · pn = p . n→∞

2.21 Пусть ³ x ´∞0 6 xm+n 6 xm + xn . Доказать сходимость последовательности n . n n=1 2.22 Предположим, что lim an = +∞ . Доказать, что существует min an . n→∞

n∈N

106

Глава 2. Числовые последовательности и их пределы

2.23 Найти lim xn и lim xn , если: n→∞

µ ¶ (−1) 1 + (−1)n 3 n−1 (a) xn = + ; (b) xn = (−1) 2+ ; n 2 n n(n−1) n nπ (c) xn = 1 + cos ; (d) xn = 1 + 2(−1)n+1 + 3 · (−1) 2 ; n−1 2 n−1 2nπ n (e) xn = cos ; (f) xn = n(−1) ; (g) xn = (−1)n n ; n+1 3 nπ 2nπ (h) xn = 1 + n sin ; (i) xn = −n · (2 + (−1)n ) ; (j) xn = cosn ; 3 ¶n2 µ 1 nπ 2nπ (k) xn = 1 + · (−1)n + sin ; (l) xn = cosn ; n 4 3 n nπ (m) xn = sin2 ; (n) xn = ((−1)n + 1) · 2n ; n+1 4 µ ¶ (−1)n n+1 (o) xn = n · ln 1 + ; (p) xn = ; n n + 1 + (−1) ³ πn ´ πn ´ ³ 1 − cos . (q) xn = 1 + sin 4 6 2.24 Построить последовательность, содержащую подпоследовательность, сходящуюся к любому наперёд заданному неотрицательному числу. Найти ее верхний и нижний пределы. n→∞

n

2.25 Исследовать на сходимость последовательность (an )∞ n=1 и вычислить ее предел, если: (a) an+1 = sin an , a1 = sin x ; (b) an = xn+1 − xn , где 0 < x1 < x2 < . . . < xn < . . . , и xn = tg xn . an + A (c) an+1 = , a1 = 0 ; (d) an+1 = arctg an , a1 = 25 ; 4 µ ¶ 1 M (e) an+1 = 2an + 2 , a1 = M ∈ R+ . 3 an 2.26 Вычислить следующие пределы: ¡√ ¢ √ √ [2 + (−1)n ]n 3 3 3 (a) lim ; (b) lim n + 2 − 2 n + 1 + n ; n→∞ µ 3n ln n n→∞ ¶ 1 1 1 (c) lim + + ... + ; n→∞ 4 · 7 7 · 10 (3n + 1)(3n + 4) √ √ n2 n2 + 3n + 1 − n2 + 3n − 1 ; (e) lim n arccos 2 ; (d) lim n→∞ n→∞ n +1 µ ln(1 + n) − ln(2 + n) ¶ 1 1 1 (f) lim + + ... + ; n→∞ 1 · 2 · 3 2 · 3 · 4 n(n + 1)(n + 2) µ ¶ 1 3 √ (g) lim √ . √ −√ n→∞ n+3− n n+2− n+1

Глава 3 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ И ИХ СУММЫ § 1. Числовые ряды, их сходимость и расходимость. Некоторые операции над рядами 1. Определения и примеры. Если говорить коротко, то ряд — это обобщение понятия суммы на случай бесконечного (счётного) множества слагаемых, расположенных в определенном порядке. Определение 92. Пусть (cn )∞ n=1 — числовая последовательность. Соединяя все ее последовательные члены знаком плюс, получим выражение вида: c1 + c2 + . . . + cn + . . .

или короче

∞ X

cn ,

(3.1)

n=1

которое называется числовым рядом с членами c1 , c2 , . . . , cn , . . . . Таким образом, понятие ряда впервые появляется как формальная сумма, т.е. как задача суммирования бесконечного множества слагаемых (членов). Определение 93. Частичной суммой ряда (3.1) называется конечная сумма sn := c1 + c2 + . . . + cn . Отрезком ряда ряда (3.1) наn P зывается всякая сумма ck . Остатком ряда (3.1) называется всякий ряд вида:

k=m ∞ X

ck = cn + cn+1 + . . . .

k=n

Очевидно, что отрезком ряда можно считать каждый его член, а также любую его частичную сумму. Желая приписать сумму данному ряду, станем рассматривать последовательность его частичных сумм. 107

108

Глава 3. Числовые ряды и их суммы

Определение 94. Будем говорить, что ряд (3.1) имеет сумму, если существует предел последовательности (sn )∞ n=1 его частичных сумм sn = c1 + c2 + . . . + cn . Этот предел s = lim sn называется суммой ряда (3.1). Если сумn→∞ ма ряда является числом, то ряд называется сходящимся, а во всех остальных случаях — расходящимся. В случае, когда ряд (3.1) имеет сумму s , принято приписывать ему значение, равное этой сумме, т.е. писать s :=

∞ X

cn = c1 + c2 + . . . + cn + . . . .

n=1

Основным вопросом теории рядов является вопрос о сходимости: дан ряд, и требуется установить, сходится он или расходится. Если установлена его сходимость, то возникает задача вычисления его суммы s . Так как s = lim sn , то для числа s всегда есть приn→∞ ближенное равенство s ≈ s1 + s2 + . . . + sn , которое тем точнее, чем больше число n . Как видим, нахождение суммы данного ряда сводится к нахождению предела последовательности его частичных сумм. Обратно, каждой числовой последовательности (sn )∞ n=1 можно сопоставить ряд s1 + (s2 − s1 ) + . . . + (sn − sn−1 ) + . . . , последовательность частичных сумм которого совпадает, очевидно, с (sn )∞ n=1 . Таким образом, проблема суммирования рядов равносильна проблеме вычисления пределов последовательностей. Рассмотрим несколько примеров исследования рядов на сходимость. 1. Пусть дан так называемый геометрический ряд 1 + q + q 2 + . . . + q n−1 + . . . ,

(3.2)

т.е. формальная сумма всех членов бесконечной геометрической прогрессии (q n )∞ n=0 . Желая исследовать ряд (3.2) на сходимость, преобразуем его n-ю частичную сумму: sn = 1 + q + q 2 + . . . + q n−1 =

1 − qn 1 qn = − , 1−q 1−q 1−q

§ 1. Числовые ряды, сходимость, расходимость, операции

109

q 6= 1 . Предполагая , что |q| < 1 , имеем: lim q n = 0 , и, значит, n→∞ 1 . Таким образом, при |q| < 1 геометрический ряд (3.2) сходится, lim sn = n→∞ 1−q причем 1 = 1 + q + q 2 + . . . + q n−1 + . . . . 1−q если

Пусть теперь |q| > 1 . Предполагая, что геометрический ряд (3.2) сходится к сумме s , имеем: lim sn = lim sn+1 = s , где s — число. Отсюда находим: n→∞

n→∞

lim (sn+1 − sn ) = 0 , С другой стороны, sn+1 − sn = q n , откуда

n→∞

|sn+1 − sn | = |q n | = |q|n > 1 , и, значит, lim |sn+1 − sn | > 1 . Получено противоречие, поэтому при |q| > 1 ряд n→∞

(3.2) расходится. 2. Рассмотрим такой ряд n0 +

n1 n2 nk + 2 + ... + k + ... , 10 10 10

(3.3)

где n0 ∈ N t {0} , а n1 , . . . , nk , . . . — последовательность целых неотрицательных чисел, таких, что 0 6 nk 6 9 . Сопоставим ряду (3.3) бесконечную десятичную дробь n0 , n1 n2 . . . nk . . . , представляющую вещественное число s , и покажем, что ряд (3.3) сходится к сумме s . При каждом k ∈ N имеем: |s − n0 , n1 n2 . . . nk | = 0, 00 . . . 0} nk+1 . . . 6 | {z k нулей

1 . 10k

Переходя здесь к пределу при k → ∞ , получим требуемое. 3. Пусть дан такой ряд: ∞ X k=1

1 1 1 1 = + + ... + + ... . k · (k = 1) 1·2 2·3 n · (n + 1)

Желая исследовать этот ряд на сходимость, преобразуем его общий член так: 1 1 1 = − . n · (n + 1) n n+1 Используя это равенство, находим: sn =

1 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + = 1 − + − + ... + − = 1·2 2·3 n · (n + 1) 2 2 3 n n+1 1 =1− → 1 при n → ∞ . (3.4) n+1

Таким образом, данный ряд сходится к сумме 1.

110

Глава 3. Числовые ряды и их суммы

4. Исследуем на сходимость ряд ∞ X 1 1 1 1 √ = 1 + √ + √ + ... + √ + ... . n n 2 3 n=1

Имеем:

√ 1 1 1 1 1 sn = 1 + √ + √ + . . . + √ > √ + . . . + √ = n , n n n 2 3 {z } | n слагаемых

√

т.е. sn > n . Переходя здесь к пределу при n → ∞ , получим lim sn = +∞ , n→∞ т.е. данный ряд имеет сумму, равную +∞ , и, значит, расходится.

2. Некоторые операции над рядами. Теорема 65. (a) Если ряд число, то ряд

∞ P

ak сходится к сумме s , а λ —

k=1

∞ P

λ · ak сходится к сумме λ · s .

k=1

(b) Если ряды

∞ P

ak и

k=1

ственно, то ряд

∞ P

∞ P

bk сходятся к суммам s и σ соответ-

k=1

(ak + bk ) сходится к сумме s + σ .

k=1

J (a) Очевидно, что частичные суммы двух данных рядов связаn n P P ны равенством λ · ak = λ · ak . Переходя здесь к пределу при k=1

k=1

n → ∞ , получим требуемое. n n P P (b) Пусть sn = ak и σn = bk — частичные суммы данных k=1

рядов. Тогда sn + σn =

n P

k=1

(ak + bk ) . Переходя в этом равенстве к

k=1

пределу при n → ∞ , получим s + σ =

∞ P

(ak + bk )

I

k=1

Для дальнейшего нам необходимо вспомнить понятие подпоследовательности. Определение 95. Пусть (zn )∞ n=1 — последовательность, и пусть 1 6 n1 < n 2 < . . . < n k < . . .

§ 1. Числовые ряды, сходимость, расходимость, операции

111

— бесконечная возрастающая последовательность натуральных чисел. Последовательность (xk )∞ k=1 с общим членом xk := znk называется подпоследовательностью последовательности (zn )∞ n=1 . Лемма 1. Если последовательность имеет предел, то любая ее подпоследовательность имеет тот же предел. J Предположим, что lim zn = c , и пусть (znk )∞ k=1 — подпослеn→∞

довательность последовательности (zn )∞ n=1 . Имеем: ∀V (c) ∃nV ∈ N ∀n > nV : zn ∈ V (c) ,

(3.5)

где V (c) — окрестность точки c . Так как последовательность натуральных чисел (nk )∞ lim nk = +∞ , и, k=1 строго монотонна, то n→∞ значит, ∀nV ∃kV ∈ N ∀k > kV : nk > nV . (3.6) Из (3.5) и (3.6) следует, что ∀V (c) ∃kV ∈ N ∀k > kV : znk ∈ V (c) , т.е. lim znk = c n→∞

I

Теорема 66. Если, не изменяя порядка следования членов сходящегося ряда a1 + a2 + . . . + an + . . . , произвольным образом сгруппировать его члены, образовав новый ряд b1 + b2 + . . . + bnk + . . . , в котором b1 = a1 + . . . + an1 , b2 = an1 +1 + . . . + an2 , . . . , то новый ряд будет сходиться к той же сумме, что и исходный. J Пусть (sn )∞ n=1 — последовательность частичных сумм исходного ряда, и пусть lim sn = s — его сумма. Последовательность n→∞

частичных сумм сгруппированного ряда имеет вид: (snk )∞ k=1 . Применяя к ней лемму 1, имеем: lim snk = s I n→∞

Замечание. Условие сходимости в теореме 66 существенно. Возьмем, например, расходящийся ряд 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . . Сгруппируем его члены следующим образом: (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . . . В результате получаем сходящийся ряд: 0 = 0 + 0 + . . . + 0 + . . . . Группируя его члены иначе: 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + . . . , снова получаем сходящийся ряд, но уже к другой сумме: 1 = 1 + 0 + 0 + . . . + 0 + . . . . Если же сгруппировать его члены по три (1 − 1 + 1) + (−1 + 1 − 1) + . . . , то получим расходящийся ряд: 1 − 1 + 1 − 1 + . . . .

112

Глава 3. Числовые ряды и их суммы

3. Критерий Коши и его следствия. Теорема 67 (критерий Коши). Сходимость ряда носильна выполнению следующего условия: ¯ n+p ¯ ¯X ¯ ¯ ¯ ∀ε > 0 ∃nε ∈ N ∀n > nε ∀p ∈ N : ¯ ak ¯ 6 ε . ¯ ¯

∞ P

ak рав-

k=1

(3.7)

k=n+1

J Пусть (sn )∞ n=1 — последовательность частичных сумм данного ряда. В силу критерия Коши сходимости числовых последовательностей она сходится, если и только если выполнено условие: ∀ε > 0 ∃nε ∈ N ∀m, n > nε : |sm − sn | 6 ε .

(3.8)

Полагая здесь m = n + p , получим: ¯ n+p ¯ ¯ n+p ¯ n ¯X ¯ ¯X ¯ X ¯ ¯ ¯ ¯ |sn+p − sn | = ¯ ak − ak ¯ = ¯ ak ¯ , ¯ ¯ ¯ ¯ k=1

k=1

k=n+1

и, значит, условие критерия Коши для последовательностей переходит в условие (3.7) I Следствие 1 (необходимый признак сходимости ряда). ЕсP∞ ли ряд k=1 ak сходится, то lim an = 0 . n→∞

J Предполагая данный ряд сходящимся и полагая в (3.7) p = 1 , получим: ∀ε > 0 ∃nε ∈ N ∀n > nε : |an+1 | 6 ε , т.е. lim an+1 = 0 , или, что равносильно, lim an = 0 n→∞

n→∞

I

Замечание. Необходимый признак сходимости ряда не является достаточным. Рассмотрим, например, так называемый гармонический ряд ∞ X 1 1 1 1 = 1 + + + ... + + ... . n 2 3 n n=1

1 = 0 , но он расходится. n→∞ n

Для него имеем: lim

(3.9)

§ 2. Сходимость и расходимость положительных рядов

113

J Предполагая ряд (3.9) сходящимся, сгруппируем его члены следующим образом: µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + ...+ 2 3 4 5 6 7 8 µ ¶ 1 1 + + ... + k + . . . . (3.10) 2k + 1 2 + 2k Общий член этого ряда содержит 2k слагаемых. Оценим его снизу: 1 1 1 2k 1 1 1 1 > + . . . + = = . + + . . . + k k k k k+1 k+1 k+1 k+1 2 +1 2 +2 2 +2 2 {z 2 } 2 2 |2

(3.11)

2k слагаемых

По теореме 66 сгруппированный ряд (3.10) должен сходиться. Однако в силу неравенства (3.11) все его члены ограничены снизу числом 12 . Отсюда в силу необходимого признака заключаем, что ряд (3.10) расходится. Значит, расходится и ряд (3.9) I

Следствие 2. Сходимость ряда равносильна сходимости любого его остатка. J В самом деле, для достаточно больших значений nε ∈ N условие критерия Коши сходимости данного ряда и его остатка имеет один и тот же вид (57) I

§ 2. Признаки сходимости и расходимости положительных рядов 1. Критерий сходимости и признаки сравнения. Определение 96. Числовой ряд называется: (a) положительным, если все его члены неотрицательны; (b) строго положительным, если все его члены положительны. Теорема 68. Любой положительный ряд имеет сумму. Сходимость положительного ряда равносильна ограниченности сверху последовательности его частичных сумм. ∞ P J Пусть ak — положительный ряд, т.е. ∀k ∈ N : ak > 0 . k=1

Пусть (sn )∞ n=1 — последовательность его частичных сумм. Так как sn+1 = a1 + . . . + an + an+1 > a1 + . . . + an = sn ,

114

Глава 3. Числовые ряды и их суммы

то sn+1 > sn , т.е. последовательность (sn )∞ n=1 не убывает. Отсюда (в силу теоремы о пределе монотонной последовательности) следует существование предела lim sn = s 6 +∞ , причем этот предел явn→∞

ляется числом, если и только если последовательность (sn )∞ n=1 ограничена сверху I Рассмотрим, например, ряд: ∞ X 1 1 1 1 1 = 1 + + + + ... + + ... . k! 1! 2! 3! n! k=0

Имеем: 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + < 1 + 1 + + 2 + . . . + n−1 < 3 . 1! 2! 3! n! 2 2 2 Таким образом, в силу теоремы 68 данный ряд сходится. Можно показать, что его сумма равна числу e . 1+

Теорема 69 (признак сравнения). Пусть

∞ P n=1

an и

∞ P n=1

bn —

положительные ряды, и ∀k ∈ N : 0 6 ak 6 bk . Тогда: ∞ ∞ P P (a) Если ряд bk сходится, то и ряд ak сходится. (b) Если ряд

k=1 ∞ P

k=1

ak расходится, то и ряд

k=1

J Пусть sn =

n P

∞ P

bk расходится.

k=1

ak и σn =

k=1

n P

bk — частичные суммы, а s и σ —

k=1

суммы данных рядов. Так как 0 6 ak 6 bk , то 0 6 sn 6 σn 6 σ . Предполагая, что ряд

∞ P n=1

(3.12)

bn сходится к числу σ , из (3.12) заклю-

чаем, что последовательность (sn )∞ n=1 ограничена сверху числом σ . ∞ P Отсюда в силу теоремы 68 следует, что ряд an сходится. Предполагая, что ряд

∞ P n=1

n=1

an расходится, т.е. lim sn = +∞ и переходя к n→∞

пределу в неравенстве sn 6 σn , заключаем, что σ = +∞ , т.е. что ∞ P ряд bn расходится I n=1

§ 2. Сходимость и расходимость положительных рядов

115

Теорема 70 (признак сравнения, предельная форма). ∞ ∞ P P Пусть an и bn — положительные ряды, и пусть существуn=1 n=1 an = K ∈ [0 , +∞] . Тогда: ет предел lim n→∞ bn ∞ ∞ P P (a) Если 0 6 K < +∞ , и ряд bn сходится, то ряд an n=1

n=1

сходится. ∞ ∞ P P (b) Если 0 < K 6 +∞ , и ряд bn расходится, то ряд an n=1

n=1

расходится. (c) Если 0 < K < +∞ , то данные ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся. J (a) Задавая число ε > 0 , найдем номер nε ∈ N так, чтобы an 6 K + ε , т.е. an 6 (K + ε) · bn . Применяя теорему ∀n > nε было: bn ∞ P 69(a), заключаем, что ряд an сходится. n=1

(b) Задавая ε ∈ (0, K) , найдем номер nε ∈ N так, чтобы ∀n > nε выполнялось неравенство: an > ε , т.е. an > ε · bn . bn Отсюда и из расходимости ряда ∞ P n=1

∞ P n=1

bn следует расходимость ряда

an .

(c) Задавая произвольно ε ∈ (0, K) , найдем номер nε ∈ N , начиная с которого, выполняются следующие неравенства: K −ε6

an 6 K + ε, bn

равносильные таким: (K − ε) · bn 6 an 6 (K + ε) · bn . Из этих неравенств в силу теоремы 68 следует, что данные ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся I

116

Глава 3. Числовые ряды и их суммы

Теорема 71 (признак сравнения отношений). Пусть ∞ ∞ P P an и bn — строго положительные ряды, такие, что ∀n ∈ N

n=1

n=1

bn+1 an+1 6 . Тогда: an bn ∞ ∞ P P (a) Если ряд bn сходится, то и ряд an сходится.

выполнены неравенства

(b) Если ряд

n=1 ∞ P

n=1

n=1

an расходится, то и ряд

∞ P

n=1

bn расходится.

J Имеем: b2 a 3 b3 an bn a2 6 , 6 , ... , 6 . a1 b1 a 2 b2 an−1 bn−1 Перемножая эти неравенства, получим: a2 a3 . . . an b2 b3 . . . b n 6 , a1 a2 . . . an−1 b1 b2 . . . bn−1 an bn a1 6 . Таким образом, ∀n ∈ N : an 6 · bn . Отсюда в a1 b1 b1 силу теоремы 69, получаем требуемое I

откуда

2. Обобщенный гармонический ряд. Так называется ряд вида ∞ X 1 1 1 1 = 1 + α + α + ... + α + ... , (3.13) α n 2 3 n n=1 где α — параметр. Исследуем его на сходимость в зависимости от величины параметра α ∈ R . Теорема 72. Обобщенный гармонтческий ряд (3.13) сходится при α > 1 и расходится при α 6 1 . 1 1 |α| = n > 1 . Отсюда видно, что lim > α nα n→∞ n > 1 , т.е. не выполняется необходимый признак сходимости ряда (3.13). Поэтому он расходится. J При α 6 0 имеем:

§ 2. Сходимость и расходимость положительных рядов

117

Расходимость ряда (3.13) в случае α = 1 была установлена выше. 1 1 Если 0 < α < 1 , то nα < n и, значит, α > . Отсюда в силу n n признака сравнения 69(б) следует, что при 0 < α < 1 ряд (3.13) расходится. Пусть теперь α > 1 , и пусть sn (α) = 1 +

1 1 1 + + . . . + 2α 3α nα

— n-я частичная сумма ряда (3.13). Так как последовательность (sn (α))∞ n=1 возрастает, то µ

¶ µ ¶ 1 1 1 1 sn (α) < s2n+1 (α) = 1 + + +...+ + < 2α 3α (2n)α (2n + 1)α µ ¶ 1 1 1 < 1 + 2 α + α + ... + = 2 4 (2n)α µ ¶ 1 1 1 1 = 1 + α−1 · 1 + α + α + . . . + α = 2 2 3 n sn (α) = 1 + α−1 . 2 Отсюда находим: sn (α) . 2α−1 Решая это неравенство относительно sn (α) , имеем: sn (α) < 1 +

2α−1 sn (α) < α−1 , 2 −1 т.е. частичные суммы ряда (3.13) ограничены сверху. Отсюда на основании теоремы 68 заключаем, что при α > 1 ряд (3.13) сходится1 I Замечание. Иногда можно исследовать на сходимость положительные ряды, сравнивая их с обобщенным гармоническим рядом (3.13), т.е. принимая его за эталонный ряд. 1

Сумму ряда (3.13) принято обозначать ζ(α) . Функция α 7−→ ζ(α) называется дзетафункцией Римана и широко используется в теории чисел.

118

Глава 3. Числовые ряды и их суммы

Теорема 73 (степенной признак сравнения). Пусть ∞ P an — положительный ряд. Если существуют положительные

n=1

числа α и M , такие, что an ∼

M nα

при

n → ∞,

то в случае α > 1 данный ряд сходится, а в случае α 6 1 — расходится. J Утверждение теоремы вытекает, например, из теоремы 70(c), ∞ P где в качестве ряда bn надо взять ряд (3.13) I n=1

Из теоремы 73 следует, например, что ряд

∞ √ P n

nnα сходится при α > 1 и

n=1

расходится при α 6 1 .

3. Признаки Коши и Даламбера. Теорема 74 (признак Коши). Пусть √ ный ряд, и пусть α = lim n an . Тогда: n→∞ ∞ P

(a) при 0 6 α < 1 ряд

n=1

(b) при α > 1 ряд

∞ P n=1

∞ P n=1

an — положитель-

an сходится;

an расходится;

(c) существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых α = 1 . J (a) Пусть 0 6 α < 1 . Зададим такое ε > 0 , чтобы было: √ √ α + ε < 1 . Так как α = lim sup{ n an , n+1 an+1 , . . . } , то n→∞

√ ∃nε ∈ N ∀n > nε : sup{ n an ,

√

n+1

an+1 , . . .} 6 α + ε .

Отсюда следует, что ∀n > nε : an 6 (α + ε)n ,

(3.14)

§ 2. Сходимость и расходимость положительных рядов ∞ P

а так как α+ε < 1 , то ряд

119

(α+ε)n сходится. Отсюда и из (3.14) на

n=1

основании признака сравнения заключаем, что ряд

∞ P n=1

an сходится.

(b) Пусть теперь α > 1 . Выберем ε > 0 так, чтобы было: √ √ α − ε > 1 . Так как α = lim sup{ n an , n+1 an+1 , . . . } , то n→∞

√ ∃nε ∈ N ∀n > nε : sup{ n an ,

√

n+1

an+1 , . . . } > α − ε .

Последнее означает, что существуют сколь угодно большие номера √ n ∈ N , такие, что n an > α − ε > 1 или an > 1 . Отсюда видно, что невозможно равенство lim an = 0 , т.е. что не выполнен необходиn→∞ ∞ P мый признак сходимости ряда an . Значит, он расходится. n=1

∞ 1 ∞ 1 P P (c) Ряд сходится, а ряд расходится. Но в обоих слу2 n=1 n n=1 n чаях имеем: p p lim n 1n = lim n 1n2 = 1 I n→∞

n→∞

Теорема 75 (признак Даламбера). Строго положительный ∞ P ряд an : n=1

an+1 < 1; n→∞ an an+1 (b) расходится, если ∃n0 ∈ N ∀n > n0 : > 1; an (c) существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых an+1 an+1 lim 6 1 6 lim . (3.15) n→∞ an n→∞ an (a) сходится, если lim

an+1 < 1 . Зададим ε > 0 так, чтобы было: n→∞ an α + ε < 1 . Тогда J (a) Пусть lim

an+1 (α + ε)n+1 ∃nε ∈ N ∀n > nε : <α+ε= . an (α + ε)n

120

Глава 3. Числовые ряды и их суммы

Отсюда, учитывая сходимость ряда

∞ P

(α + ε)n , в силу признака

n=1

сравнения отношений заключаем, что ряд

∞ P

an сходится. an+1 > 1 , то (b) Если, начиная с некоторого номера, будет an an+1 > an , и равенство lim an = 0 становится невозможным. Поn→∞ ∞ P этому ряд an расходится. n=1

n=1

∞ 1 ∞ 1 P P (c) Ряд сходится, а ряд расходится. Однако для обоих 2 n=1 n n=1 n этих рядов имеем: an+1 =1 I lim n→∞ an

Замечание. Признаки Коши и Даламбера2 оба основаны на сравнении с ∞ P q n−1 . Признак Коши более универсален, так как пригеометрическим рядом n=1

мен´ им к произвольным положительным рядам, а признак Даламбера — только к строго положительным рядам. Однако и в этом последнем случае они не равносильны. Заключить, какой из этих двух признаков сильнее, можно на основании следующей теоремы.

Теорема 76. Для любой последовательности (an )∞ n=1 положительных чисел an справедливы неравенства: √ √ an+1 an+1 6 lim n an 6 lim n an 6 lim . n→∞ n→∞ an n→∞ an n→∞ lim

(3.16)

J Среднее из этих неравенств очевидно, поскольку нижний предел не превосходит верхнего для любой последовательности. Левое и правое наравенства (3.16) можно доказать аналогично, поэтому an+1 докажем только правое. Если lim = +∞ , то оно очевидно. n→∞ an an+1 Поэтому считаем, что lim = α < +∞ . n→∞ an Возьмем произвольное число p ∈ (α, +∞) . По нему найдем номер an+1 < p. N ∈ N , начиная с которого, выполняются наравенства: an 2

Даламбер Жан Лерон (1717 – 1783) — французский математик.

§ 2. Сходимость и расходимость положительных рядов

121

Отсюда при любом n > N имеем такие неравенства: aN +1 aN +2 an < p, < p, ... , < p. aN aN +1 an−1 Перемножая их, найдем: an aN < pn−N , откуда an < N · pn . aN p Извлекая корень степени n , получим: r √ aN n an < n N · p . p Переходя здесь к пределу при n → ∞ , имеем: r √ aN lim n an 6 p , так как lim n N = 1 . n→∞ n→∞ p Так как p > α выбрано произвольно, то можно перейти к пределу √ при p → α , и мы получим: limn→∞ n an 6 α I Замечание. Теорема 76 показывает, что признак Коши сильнее признака Даламбера. Правое неравенство (3.16) означает, что если признак Даламбера указывает на сходимость, то и признак Коши указывает на сходимость. Левое же неравенство (3.16) показывает, что если признак Коши не дает ответа на √ вопрос о сходимости (т.е. если lim n an = 1 ), то и признак Даламбера его не n→∞

дает (так как в этом случае выполняются неравенства (3.15). И, наконец, есть примеры, когда признак Коши указывает на сходимость, а признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости. Рассмотрим, например, ряд 1 1 1 1 1 1 + + 2 + 2 + ... + n + n + ... . 2 3 2 3 2 3 с общим членом:

µ ¶n 1    2 a k = µ ¶n  1   3

при k = 2n − 1 ; при k = 2n .

Для него имеем: µ ¶ n  1 2n−1   при k = 2n − 1 ;  √ 2 k ak = µ ¶ 1  1 2    при k = 2n . 3

(3.17)

122

Глава 3. Числовые ряды и их суммы

Отсюда видно, что

√ n

1 an = √ < 1 , 2 и, значит, признак Коши указывает на сходимость. Однако признак Даламбера ответа на вопрос о сходимости этого ряда на дает, поскольку µ ¶n ak+1 a2n 2 lim = lim = lim =0; n→∞ a2n−1 n→∞ 3 k→∞ ak µ ¶n Á µ ¶n−1 µ ¶n 1 3 1 ak+1 = lim = 3 · lim = +∞ , lim n→∞ n→∞ k→∞ ak 2 3 2 lim

n→∞

и, значит, выполняются неравенства (3.15).

4. Другие признаки. Рассмотрим сначала один весьма общий признак, принадлежащий Куммеру3 , затем в качестве его следствий получим другие признаки. Теорема 77 (признак Куммера). Пусть (cn )∞ n=1 — заданная ∞ 1 P последовательность положительных чисел, такая, что ряд n=1 cn ∞ P расходится, и пусть an — строго положительный ряд, котоn=1

рый хотят исследовать на сходимость. Образуем последовательность (Kn )∞ n=1 с общим членом Kn := cn ·

an − cn+1 an+1

и предположим, что существует предел lim Kn = K . Тогда в слуn→∞ чае K > 0 данный ряд сходится, а в случае K < 0 — расходится. J Предположим сначала, что K > 0 . Возьмем произвольное δ ∈ (0 , K) и найдем n0 ∈ N так, чтобы ∀n > n0 было: Kn = cn ·

an − cn+1 > δ . an+1

Последнее неравенство равносильно такому: cn · an − cn+1 · an+1 > δ · an+1 > 0 . 3

Куммер Эрнст Эдуард (1810 – 1893) — немецкий математик.

(3.18)

§ 2. Сходимость и расходимость положительных рядов

123

Отсюда, в частности, следует, что последовательность (cn · an )∞ n=1 убывает, и, значит, имеет неотрицательный предел. Ряд ∞ X

(ck ak − ck+1 ak+1 )

k=n0

сходится, так как его частичная сумма при n > n0 равна: n X

(ck ak − ck+1 ak+1 ) = cn0 · an0 − cn+1 · an+1

(3.19)

k=n0

и, как установлено, имеет конечный предел. Но тогда из неравенства (3.18) в силу признака сравнения следует сходимость ряда ∞ X

δ · an+1 ,

а, значит, и ряда

n=n0

∞ X

an .

n=1

Если же K < 0 , то ∃n0 ∈ N ∀n > n0 : cn · т.е.

an cn+1 < an+1 cn

или

an − cn+1 < 0 , an+1

an+1 1cn+1 > . an 1cn

Отсюда по признаку сравнения отношений и из расходимости ряда ∞ ∞ P P 1cn следует расходимость ряда an I n=1

n=1

Замечание. Последовательность (Kn )∞ n=1 , введенная в теореме 77, называ4 ется вариантой Куммера. Полагая, в частности, cn ≡ 1 , получаем, что ряд ∞ P 1cn расходится, и варианта Куммера в данном случае принимает вид: n=1 an an − 1 = Dn − 1 , где Dn = — варианта Даламбера. Отсюда Kn = an+1 an+1 видно, что признак Даламбера (в том частном случае, когда существует предел D = lim Dn ) является частным случаем признака Куммера. n→∞

4

Вари´ анта — это малоупотребительный синоним термина последовательность.

124

Глава 3. Числовые ряды и их суммы

Теорема 78 (признак Раабе). Пусть

∞ P n=1

an — строго поло-

жительный ряд. Образуем последовательность (Rn )∞ n=1 с общим членом µ ¶ an Rn = n · −1 , an+1 называемую вариантой Раабе5 , и предположим, что существует предел lim Rn = R . Если R > 1 , то данный ряд сходится, если n→∞ R < 1 , то он расходится. ∞ 1 P J Учитывая расходимость гармонического ряда , положим n=1 n в признаке Куммера cn ≡ n . Тогда варианту Куммера можно преобразовать следующим образом:

an − (n + 1) = n · Kn = n · an+1

µ

¶ an − 1 − 1 = Rn − 1 . an+1

Таким образом, варианты Раабе и Куммера связаны равенством: Kn ≡ Rn −1 . Поэтому признак Раабе вытекает из признака Куммера I Теорема 79 (признак Бертрана). Пусть

∞ P n=1

an — строго по-

∞ ложительный ряд. Образуем последовательность · µ(Bn )n=1 (вариан¶ ¸ a n ту Бертрана6 ) с общим членом Bn = ln n · n · −1 −1 an+1 и предположим, что существует предел B = lim Bn . Тогда при n→∞ B > 1 данный ряд сходится, а при B < 1 — расходится. ∞ P

1 расходится, поэтому в n=2 n · ln n признаке Куммера имеем право положить cn := n · ln n . Найдем J Можно показать, что ряд

5 6

Раабе Йозеф Людвиг (1801 – 1859) — швейцарский математик. Бертран Жозеф Луи Франсуа (1822 – 1900) — французский математик.

§ 2. Сходимость и расходимость положительных рядов

125

зависимость между вариантами Куммера и Бертрана: an − (n + 1) · ln(n + 1) = an+1 an n = n · ln n · − (n + 1) · ln n + (n + 1) · ln = an+1 n+1 "µ · µ ¶ ¸ ¶n+1 # an 1 = ln n · n · − 1 − 1 − ln 1 + = Bn − 1 + αn , an+1 n

Kn = n · ln n ·

где (αn ) — бесконечно малая последовательность. Таким образом, в пределе получим: K = B − 1 , поэтому признак Бертрана вытекает из признака Куммера I Теорема 80 (признак Гаусса). Пусть

∞ P n=1

an — строго поло-

жительный ряд. Предположим, что существуют постоянные an допускает предλ , µ ∈ R , ν ∈ R+ , такие, что отношение an+1 ставление вида: µ ¶ an µ 1 =λ+ +O при n → ∞ . (3.20) an+1 n n1+ν Тогда при λ > 1 данный ряд сходится, а при λ < 1 — расходится. Если же λ = 1 , то данный ряд сходится при µ > 1 и расходится при µ 6 1 . J Переходя в (3.20) к пределу при n → ∞ , получим : an = λ , поэтому при λ 6= 1 признак Гаусса7 является следlim n→∞ an+1 ствием признака Даламбера. В случае λ = 1 из равенства (3.20) можно выразить варианту Раабе: µ ¶ µ ¶ an 1 Rn = n · −1 =µ+O при n → ∞ . (3.21) an+1 nν Переходя здесь к пределу при n → ∞ , получим: R = µ , поэтому при µ 6= 1 признак Гаусса является следствием признака Раабе. И, 7

Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855) — выдающийся немецкий математик.

126

Глава 3. Числовые ряды и их суммы

наконец, в случае λ = µ = 1 из равенства (3.21) можно выразить варианту Бертрана: · µ ¶ ¸ µ ¶ an ln n Bn = ln n · n · при n → ∞ . −1 −1 =O an+1 nν Переходя здесь к пределу при n → ∞ , получим: B = 0 < 1 , и, значит, данный ряд расходится в силу признака Бертрана I

§ 3. Исследование на сходимость произвольных числовых рядов 1. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Здесь будем рассматривать произвольные ряды с вещественными или комплексными членами. Как мы увидим, существуют две основные причины, от которых зависит ответ на вопрос о сходимости числовых рядов. Первая причина — „скорость“ стремления к нулю последовательности членов данного ряда. Вторая причина — частичное взаимное уничтожение членов данного ряда, имеющих противоположные знаки. В зависимости от этих причин различаются типы сходимости числовых рядов: абсолютная и условная. Некоторые свойства сходящихся рядов различны в зависимости от того, какой тип сходимости имеет место для этих рядов. Определение 97. Числовой ряд сходящимся, если сходится ряд

∞ P n=1

членов исходного ряда.

∞ P n=1

cn называется абсолютно

|cn | , составленный из модулей

Так как |cn | = cn ⇐⇒ cn > 0 , то для положительных рядов понятие абсолютной сходимости совпадает с понятием сходимости. Для других типов рядов эти понятия, вообще говоря, различны. Однако справедлива Теорема 81. Если ряд дится.

∞ P n=1

cn сходится абсолютно, то он схо-

§ 3. Исследование на сходимость произвольных рядов J Надо показать, что из сходимости ряда димость ряда

n=1

∞ P n=1

∞ P n=1

∞ P

127

|cn | вытекает схо-

cn . Применяя критерий Коши сходимости ряда

|cn | , заключаем, что должно выполняться условие: n+p X

∀ε > 0 ∃nε ∈ N ∀n > nε ∀p ∈ N :

|ck | 6 ε .

k=n+1

Отсюда, используя неравенство треугольника, заключаем, что при тех же значениях n и p будет: ¯ n+p ¯ n+p ¯X ¯ X ¯ ¯ ck ¯ 6 |ck | 6 ε , ¯ ¯ ¯ k=n+1

k=n+1

т.е. условие критерия Коши выполнено и для ряда

∞ P n=1

он сходится I

cn . Значит, и

Замечание8 . Доказанная теорема означает, что абсолютная сходимость P числовых рядов есть частный случай сходимости. Для исследования ряда zn P на абсолютную сходимость надо взять ряд |zn | и применить к нему какойнибудь признак сходимости положительных рядов (например, из тех, которые изложены в предыдущем параграфе). Если установлена абсолютная сходимость P ряда zn , то тем самым установлена и его сходимость (в силу теоремы 81). ЕсP ли установлено, что ряд |zn | расходится, то для исследования на сходимость P ряда zn требуется дополнительное исследование.

PТеорема 82. Абсолютная сходимость вещественного ряда an равносильна сходимости двух положительных рядов X |an | + an 2

и

X |an | − an 2

.

(3.22)

J Если ряды (3.22) оба 65(b) должен µ сходятся, то в силу теоремы ¶ P |an | + an |an | − an P сходиться такой ряд: + = |an | , т.е. ряд 2 2 P an должен сходиться абсолютно. 8

Здесь и ниже (до конца пункта) ради краткости у рядов опущены индексы суммирования.

128

Глава 3. Числовые ряды и их суммы

P Обратно, если сходится ряд |an | , то по теореме 81 сходится P P |an | + an и и ряд an , а в силу теоремы 65(b) сходятся ряды: 2 P |an | − an I 2 P Теорема 83. Абсолютная сходимость комплексного ряда cn равносильна P P абсолютной сходимости двух вещественных рядов Re cn и Im cn . J ОбозначимP cn = an + ibn , где an = Re cn , bn = Im cn . Предположим, что ряд |cn | сходится. Из неравенств 0 6 |an | 6 |cn | и 0 6 |bn | 6 |cn |

P вPсилу признака сравнения заключаем, что сходятся ряды |an | и |bn | . P P Обратно, пусть ряды |an | и |bn | сходятся . Так как cn = an + ibn , то отсюда в силу неравенства треугольника находим: |cn | 6 |aP n | + |bn | . Опять применяя признак сравнения, заключаем, что ряд |cn | сходится I P Определение 98. РядP cn называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд |cn | расходится. P Теорема 84. Если вещественный ряд an условно сходится, P |an | + an P |an | − an то ряды и оба расходятся. 2 2 P P J Нам дано, что ряд an сходится, а ряд |an | расходится. ЕсP |an | + an P |an | − an и оба сходятся, ли предположить, что ряды 2 2 P то их сумма, т.е. ряд |an | тоже будет сходиться, что противоречит P |an | + an P |an | − an условию. Если ряд сходится, а ряд расхо2 2 ¶ µ P |an | − an P |an | + an − an = должен сходиться. дится, то ряд 2 2 Получено противоречие. Аналогично можно получить противореP |an | − an P |an | + an чие, предполагая, что ряд сходится, а ряд 2 2 расходится. Таким образом, остается единственная возможность, именно та, которая указана в формулировке теоремы I

§ 3. Исследование на сходимость произвольных рядов

129

2. Признак Лейбница. Определение 99. Вещественный ряд называется знакопеременным, если не все его ненулевые члены имеют одинаковые знаки. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если его можно представить в виде: ∞ X

(−1)n−1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + . . . + (−1)n−1 an + . . . ,

(3.23)

n=1

где все an имеют одинаковые знаки. ¡ ¢∞ Теорема 85 (признак Лейбница). Если an n=1 — невозрастающая последовательность положительных чисел, для которой ∞ P lim an = 0 , то знакочередующийся ряд (−1)n−1 an сходится, а n→∞

n=1

сумма любого его остатка удовлетворяет неравенству: ¯ ¯ ∞ ¯X ¯ ¯ k−1 ¯ ¯ (−1) ak ¯ 6 an . ¯ ¯ k=n

J Пусть sn :=

n P

ak — n-я частичная сумма ряда (3.23). Полагая

k=1

n = 2k + 2 , имеем:

s2k+2 = (a1 −a2 )+(a3 −a4 )+. . .+(a2k−1 −a2k )+(a2k+1 −a2k+2 ) > s2k , так как a2k+1 ¡− ¢a2k+2 > 0 в силу невозрастания после∞ довательности an n=1 . Таким образом, имеем: (s2n ) ↑ , т.е. ¡ ¢∞ последовательность s2n n=1 не убывает. Записывая s2k+2 в другой форме, находим: s2n+2 = a1 − (a2 − a3 ) − . . . − (a2n − a2n+1 ) − a2n+2 6 a1 , так как все¡ вычитаемые числа неотрицательны. Итак, последова¢∞ тельность s2n n=1 не убывает и ограничена сверху. Поэтому она сходится, т.е. lim s2n = s 6 a1 . Далее, имеем: s2n+1 = s2n + a2n+1 , n→∞ а так как lim a2n+1 = 0 , то lim s2n+1 = lim s2n = s . Для любого n→∞ n→∞ n→∞ n ∈ N справедливы такие неравенства: s2[n2] 6 sn 6 s2[n2]+1 ,

(3.24)

130

Глава 3. Числовые ряды и их суммы

где [x] — целая часть числа x . Переходя в (3.24) к пределу при n → ∞ , получим: lim sn = s , т.е.ряд (3.23) сходится к сумме s . n→∞ Кроме того, установлено, что s 6 a1 . Применяя это неравенство к (n − 1)-му остатку данного ряда, т.е. к знакочередующемуся ряду ∞ P (−1)k−1 ak , заключаем, что и он сходится, причем k=n

¯∞ ¯ ¯X ¯ ¯ k−1 ¯ ¯ (−1) ak ¯ 6 an ¯ ¯

I

k=n

Замечание 1. Сумму s сходящегося ряда можно вычислить приближенно, полагая s ≈ sn−1 . Чтобы оценить погрешность этого приближенного равенства, запишем сначала точное равенство s = sn−1 + rn−1 , где rn−1 — сумма (n − 1)го остатка. Для знакочередующихся рядов в силу признака Лейбница9 имеем: |rn−1 | 6 an , что и дает искомую оценку погрешности. Замечание 2. Признак Лейбница позволяет, исходя из известных расходящихся положительных рядов, строить знакочередующиеся ряды, сходящиеся условно. Рассмотрим, например, обобщенный гармонический ряд ∞ X 1 1 1 1 = 1 + α + α + α + ... . α n 2 3 4 n=1

(3.25)

µ

¶∞ 1 , монотонно убывая, стремится к нулю. При α > 0 последовательность nα n=1 Поэтому для знакочередующегося ряда ∞ X n=1

(−1)n−1

1 1 1 1 = 1 − α + α − α + ... α n 2 3 4

(3.26)

при α > 0 выполнены все условия признака Лейбница. Значит, этот ряд сходится. Учитывая, что ряд (3.25) при α > 1 сходится, а при 0 < α 6 1 — расходится, заключаем, что ряд (3.26) при α > 1 сходится абсолютно, а при 0 < α 6 1 — условно. В дальнейшем будет показано, что в частном случае α = 1 справедливо такое равенство: 1 1 1 ln 2 = 1 − + − + . . . . 2 3 4

3. Преобразование Абеля. Неравенства Абеля. Здесь рассмотрим одно весьма полезное преобразование конечных сумм. 9

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646 – 1716) — немецкий математик, один из создателей математического анализа.

§ 3. Исследование на сходимость произвольных рядов

131

Теорема 86 (преобразование Абеля). Для любых конечных последовательностей (ak )nk=1 и (bk )nk=1 имеем: n X

ak bk = an bn +

k=1

n−1 X

(ak − ak−1 )Bk ,

(3.27)

k=1

где обозначено: Bk := b1 + b2 + . . . + bk . J Полагая B0 := 0 , имеем: b1 = B1 − B0 , b2 = B2 − B1 , . . . , bn = Bn − Bn−1 . Учитывая эти равенства, преобразуем левую часть (3.27): n X

ak bk =

k=1

= a n Bn +

n X

ak (Bk − Bk−1 ) =

k=1 n−1 X

n X

k=1

k=2

ak Bk −

n X

ak Bk −

k=1

ak Bk−1 = an Bn +

n X

ak Bk−1 =

k=1 n−1 X

ak Bk −

k=1

= a n bn +

n−1 X

ak+1 Bk =

k=1 n−1 X

(ak − ak+1 )Bk .

k=1

Таким образом, мы получили правую часть (3.27) I Отметим, что равенство (3.27) называется иногда формулой суммирования по частям.

Теорема 87 (неравенство Абеля). Предположим, что a1 > a2 > . . . > an > 0

и

|Bk | = |b1 + . . . + bk | 6 B ∈ R+

для всех k = 1 , . . . , n . Тогда ¯ n ¯ ¯X ¯ ¯ ¯ ak · bk ¯ 6 B · a1 . ¯ ¯ ¯ k=1

(3.28)

132

Глава 3. Числовые ряды и их суммы

J Используя преобразование Абеля10 (т.е. равенство (3.27)), имеем: n n−1 n−1 X X ¯X ¯ ¯ ¯ ¯ ak ·bk ¯ = ¯an ·bn + (ak −ak+1 )Bk ¯ 6 |an ·bn |+ |(ak −ak+1 )Bk | = k=1

k=1

= an |Bn | +

n−1 X

k=1

(ak − ak+1 )|Bk | 6 an B +

k=1

n−1 X

(ak − ak+1 )B =

k=1

= (an + a1 − a2 + a2 − a3 + . . . + an−1 − an )B = B · a1 . Отсюда непосредственно вытекает неравенство (3.28) I Замечание. Если предположить, что выполняются такие неравенства: 0 < a1 6 a2 6 . . . 6 an , то с помощью аналогичных оценок можно получить неравенство Абеля такого вида: n ¯X ¯ ¯ ak · bk ¯ 6 B · (a1 + 2an ) . k=1

4. Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов. Приведем здесь еще два признака, с помощью которых можно исследовать ряды не только на абсолютную, но и на условную сходимость. Теорема 88 (признак Дирихле). Пусть (an )∞ n=1 — монотонная и стремящаяся к нулю последовательность вещественных чисел. Предположим, что последовательность частичных сумм ря∞ ∞ P P да bn ограничена. Тогда ряд an bn сходится. n=1

n=1

J По условию ∃B ∈ R+

¯ n ¯ ¯X ¯ ¯ ¯ ∀n ∈ N : ¯ bk ¯ 6 B . ¯ ¯ k=1

10

Абель Нильс Хенрик (1802 – 1829) — норвежский математик.

§ 3. Исследование на сходимость произвольных рядов ∞ P

Отсюда для любого отрезка ряда

133

bk имеем:

k=1

¯ n+p ¯ ¯ n+p ¯ ¯ n+p ¯ ¯ n ¯ n ¯ X ¯ ¯X ¯ ¯X ¯ ¯ X ¯ X ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ bk ¯ = ¯ bk − bk ¯ 6 ¯ bk ¯ + ¯ bk ¯ 6 B + B = 2B . ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ k=n+1

k=1

k=1

k=1

k=1

(3.29) Предполагая для определенности, что последовательность (an ) не возрастает, имеем: ∀ε > 0 ∃nε ∈ N ∀n > nε : 0 < an 6

ε . 2B

При тех же значениях n , используя неравенства (3.28) и (3.29), находим: ¯ n+p ¯ ¯ n+p ¯ ¯X ¯ ¯X ¯ ε ¯ ¯ ¯ ¯ · 2B = ε . ak bk ¯ 6 an+1 · sup ¯ bk ¯ 6 an+1 · 2B 6 ¯ ¯ ¯ ¯ 2B p ¯ k=n+1

k=n+1

Таким образом, для ряда

∞ P

ak bk выполнено условие критерия Ко-

k=1

ши. Значит, этот ряд сходится I Пример. Рассмотрим ряд

∞ P

(−1)n−1 an , где (an ) & 0 . Полагая

n=1

bn := (−1)n−1 ,

имеем: |b1 + . . . + bn | = |1 − 1 + . . . + (−1)n−1 | 6 1 .

Таким образом, для данного ряда выполнены все условия признака Дирихле11 , поэтому он сходится. Иначе говоря, признак Лейбница является следствием признака Дирихле. А так как признак Лейбница может быть использован для исследования рядов на условную сходимость, то и признак Дирихле может быть использован для этой же цели.

Теорема 89 (признак Абеля). (an )∞ n=1 ∞ P n=1 11

Если последовательность ∞ P монотонна и ограничена, а ряд bn сходится, то и ряд n=1

an bn сходится.

Дирихле Петер Густав Лежён (1805 – 1859) — немецкий математик.

134

Глава 3. Числовые ряды и их суммы

J Так как последовательность (an )∞ n=1 монотонна и ограниче∞ P на, то она сходится: lim an = a ∈ R . Так как ряд bn сходитn→∞ n=1 ся, то последовательность его частичных сумм сходится, а значит, она ограничена. Отсюда на основании признака Дирихле заключа∞ P ем, что ряд (an −a)bn сходится. Следовательно, должен сходиться n=1

и такой ряд:

∞ X

(an − a)bn + a

n=1

∞ X n=1

bn =

∞ X

an bn ,

n=1

что и требовалось I 1 − 2−n √ сходится, так как последовательность с обn n=1 ∞ (−1)n P √ щим членом an = 1 − 2−n монотонна и ограничена, а ряд сходится n n=1 ∞ P 1 1 − 2−n 1 √ (по признаку Лейбница). Так как √ ∼ √ при n → ∞ , а ряд n n n n=1 расходится, то сходимость данного ряда — условная. Пример. Ряд

∞ P

(−1)n

§ 4. Перестановки членов ряда. Умножение рядов 1. Понятие о перестановке членов ряда. Переставляя между собой некоторые члены данного числового ряда, мы получим, вообще говоря, новый ряд. Если перестановка касается только конечного числа членов данного ряда, то с точки зрения свойств сходимости и суммы новый ряд не отличается от исходного. Это следует из свойства коммутативности операции сложения12 , благодаря которому все члены последовательностей частичных сумм обоих рядов, имеющие достаточно большие номера, равны между собой. Если же перестановка касается бесконечного числа членов данного ряда, то ситуация усложняется и потому требует более детального изучения. Начнем с определения понятия перестановки членов ряда. 12

Обращаю внимание читателя на то, что свойство коммутативности применимо только к суммам, состоящим из конечного числа слагаемых.

§ 4. Перестановки членов ряда. Умножение рядов Определение 100. Говорят, что ряд из ряда

∞ P

135

bk можно получить

k=1

∞ P n=1

ak перестановкой членов, если существует биективное

отображение ϕ : N → N , такое, что ∀k ∈ N : bk = an , где n = ϕ(k) . Так как для биективного отображения ϕ существует обратное ϕ = ψ : N → N , то ∀n ∈ N будет: k = ψ(n) , и, значит, в обозна∞ P чениях из определения 100 ряд ak тоже можно получить из ряда −1

∞ P

n=1

bk перестановкой членов.

k=1

2. Перестановки членов абсолютно сходящихся рядов. ∞ P Теорема 90. Если ряд ak сходится абсолютно к сумме s, то ряд

∞ P

n=1

bk , полученный из исходного ряда перестановкой членов,

k=1

сходится абсолютно к той же самой сумме s . ∞ P J Предположим сначала, что ряд ak — положительный. Тогда ряд

∞ P

n=1

bk — тоже положительный, и пусть σ — его сумма. Далее,

k=1

для любого n ∈ N имеем: n X

bk =

k=1

n X k=1

aϕ(k) 6

N X

aj 6 s ,

(3.30)

j=1

где обозначено N = max{ϕ(1), ϕ(2), . . . , ϕ(n)} . Таким образом, час∞ P тичные суммы ряда bk ограничены сверху числом s . Значит, этот k=1

ряд сходится. Переходя в (3.30) к пределу при n → ∞ , получим: σ 6 s. ∞ ∞ P P Так как ряд an тоже можно получить из ряда bk перестаn=1

k=1

новкой его членов, то, рассуждая аналогично предыдущему, можно заключить, что s 6 σ . Таким образом, σ = s .

136

Глава 3. Числовые ряды и их суммы

Предположим теперь, что ряды ∞ P

знакопеременные. Так как ряд

n=1 ∞ P

∞ P n=1

∞ P

an и

bk — вещественные и

k=1

an сходится абсолютно, то по тео-

∞ |a | − a P |an | + an n n и оба схо2 2 n=1 n=1 дятся. Введем обозначения для их сумм:

реме 82 положительные ряды

s+ =

∞ X |an | + an

2

n=1

, s− =

∞ X |an | − an

2

n=1

.

В этих обозначениях имеем: s = s+ − s− . Если ряд ∞ P

∞ P

bk полу-

k=1 ∞ P

|bk | ± bk 2 n=1 k=1 ∞ |a | ± a P n n получаются той же перестановкой из рядов и соответ2 n=1 ственно. Применяя доказанную часть теоремы, заключаем, что ря∞ |b | ± b P k k ды оба сходятся, причем 2 k=1 чен из ряда

an перестановкой его членов, то ряды

s+ =

∞ X |bn | + bk

2

k=1

Отсюда следует, что ряд

∞ P

,

s− =

∞ X |bn | + bk k=1

bk сходится абсолютно, а его сумма рав-

Если абсолютно сходящийся ряд s = вещественные ряды Re s = ся абсолютно. Если ряд ∞ P

его членов, то ряды рядов

n=1

k=1

Re an и

.

k=1

на s+ − s− = s .

∞ P

2

∞ P

n=1

∞ P

∞ P n=1

∞ P n=1

an — комплексный, то

Re an и Im s =

bk получен из ряда

k=1

Re bk и

∞ P

∞ P n=1 ∞ P n=1

Im an оба сходятan перестановкой

Im bk получены соответственно из

k=1

Im an с помощью той же перестановки членов.

Применяя доказанную часть теоремы, заключаем, что оба эти новые

§ 4. Перестановки членов ряда. Умножение рядов ряда сходятся абсолютно, причем Re s = Отсюда следует, что ряд

∞ P k=1

bk =

∞ P

∞ P

Re bk , Im s =

k=1

Re bk + ı

k=1

солютно к сумме Re s + i Im s = s I

∞ P

137 ∞ P

Im bk .

k=1

Im bk сходится аб-

k=1

Замечание. Доказанная теорема означает, что с точки зрения перестановок членов абсолютно сходящиеся ряды ведут себя совершенно аналогично конечным суммам. Именно, от перестановки членов абсолютная сходимость ряда не нарушается, а его сумма не изменяется.

3. Перестановки членов условно сходящихся рядов. Поведение условно сходящихся рядов при перестановках их членов резко отличается от поведения абсолютно сходящихся рядов при перестановках их членов и описывается следующей теоремой, восходящей к Б.Риману13 . Теорема P 91 (Римана об условно сходящихся рядах). Пусть an — условно сходящийся ряд с вещественными члеe , такие, что нами, и пусть произвольно заданы α , β ∈ R α 6 β . Существует перестановка данного ряда, такая, что ¡ ¢∞ для последовательности σn n=1 частичных сумм ряда, полученного в результате этой перестановки, справедливы следующие равенства: (3.31) lim σn = α , lim σn = β . n→∞

n→∞

J Так как добавление или отбрасывание нулевых членов не влияет ни на сходимость ряда, P ни на его сумму, то будем считать, P что все члены данного ряда an отличны от нуля. Так как ряд an схоP |an | + an P |an | − an дится условно, то в силу теоремы 84 ряды и 2 2 оба расходятся. Так как эти ряды — положительные, то их расходимость означает, что суммы обоих этих рядов равны (+∞) . Обозначим теперь через (p1 , p2 , p3 , . . .) подпоследовательность последовательностиP(a1 , a2 , a3 , . . .) , состоящую из всех положительных членов ряда an , а через (q1 , q2 , q3 , . . .) — последовательность 13

Риман Бернгард (1826 – 1866) — знаменитый немецкий математик.

138

Глава 3. Числовые ряды и их суммы

P модулей отрицательных членов ряда an , взятых в том же порядке, что и в данном ряде. Так как данный ряд сходится, то в силу необходимого признака сходимости должно быть: an → 0 , и, значит, pn → 0 и qn → 0 . P |an | + an P |an | − an и отличаются соответственно от Ряды 2 2 P P рядов pn и qn только наличием нулевых и эти P членов, поэтому P последние ряды оба расходятся, причем: pn = +∞ и qn = +∞ . Мы построим такие возрастающие последовательности натураль∞ ных чисел (mn )∞ n=1 и (kn )n=1 , что ряд p1 + . . . + pm1 − q1 − . . . − qk1 + pm1 +1 + . . . + pm2 − qk1 +1 − . . . − qk2 + . . . , (3.32) P полученный, очевидно, из ряда an перестановкой его членов, будет удовлетворять условию (3.31). С этой целью, учитывая неравенство α 6 β , возьмем две по∞ следовательности (αn )∞ n=1 и (βn )n=1 вещественных чисел так, чтобы ∀n ∈ N было:   lim αn = α ; n→∞ αn 6 βn и  lim βn = β . n→∞

Пусть m1 , k1 — наименьшие натуральные числа, такие, что p1 + . . . + pm1 > β1 , p1 + . . . + pm1 − q1 − . . . − qk1 < α1 .

(3.33)

Пусть m2 , k2 — наименьшие натуральные числа, такие, что p1 + . . . + pm1 − q1 − . . . − qk1 + pm1 +1 + . . . + pm2 > β2 , p1 +. . .+pm1 −q1 −. . .−qk1 +pm1 +1 +. . .+pm2 −qk1 +1 −. . .−qk2 < α2 , (3.34) и Pт.д. Этот процесс P допускает неограниченное продолжение, так как pn = +∞ и P qn = +∞ . Так строится ряд (3.32), и ясно, что он получен из ряда an перестановкой его членов. ∞ Пусть (σn )n=1 — последовательность частичных сумм ряда (3.32). ∞ Обозначим через (xn )∞ n=1 и (yn )n=1 — ее подпоследовательности, выделенные по следующему принципу. Последним слагаемым суммы xn пусть является pmn , а последним слагаемым суммы yn пусть является (−qkn ) . Из (3.33) и (3.34) видно, что |xn − βn | 6 pmn

|yn − αn | 6 qkn .

(3.35)

§ 4. Перестановки членов ряда. Умножение рядов

139

Переходя здесь к пределу при n → ∞ учитывая, что при этом pmn → 0 , qnm → 0, заключаем, что lim xn = β ,

n→∞

lim yn = α .

n→∞

И, наконец, lim σn = lim sup{xn , xn+1 , . . .} = lim sup {xν , xν+1 , . . .} =

n→∞

n→∞

n→∞ mν >n

= lim xν = β ; ν→∞

lim σn = lim inf{yn , yn+1 , . . .} = lim inf {yµ , yµ+1 , . . .} =

n→∞

n→∞

n→∞ kµ >n

= lim yµ = α . µ→∞

Таким образом, равенства (3.31) выполняются I Замечание 1. В частном случае α = β ∈ R приведенное выше доказательство можно значительно упростить, полагая αn ≡ βn ≡ α = β . Замечание 2. Из доказанной теоремы следует, в частности, что если напеe , то существует перестановка любого условно сходящегося ред задать α = β ∈ R ряда, такая, что ряд, полученный в результате этой перестановки, будет иметь сумму α .

4. Умножение рядов. Прежде всего необходимо ответить на P P вопрос: что понимать под произведением рядов an и bn ? Пытаясь перемножать ряды аналогично тому, как перемножаются конечные суммы, мы приходим к такому равенству: X X X am · bn = am · bn , (3.36) m∈N

n∈N

m,n∈N

где в правой части находится сумма бесконечного множества слагаемых вида am · bn . В связи с этим возникают такие вопросы: как упорядочивать слагаемые в правой части (3.36) и не следует ли их как-то сгруппировать, поскольку всё это может влиять на сходимость суммы и на ee величину? Опуская рассмотрение этого вопроса в общем виде, рассмотрим здесь один наиболее часто встречающийся способ упорядочивания и группировки, восходящий к О.Коши.

140

Глава 3. Числовые ряды и их суммы

Определение 101. Произведением (в смысле Коши) рядов14 ∞ ∞ ∞ P P P ak и bk называется ряд ck с общим членом k=0

k=0

k=0

ck := a0 bk + a1 bk−1 + . . . + ak b0 . В развернутом виде это определение выглядит так:

(a0 + a1 + a2 + . . .) · (b0 + b1 + b2 + . . .) = = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 ) + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 ) + . . . . (3.37) Введем следующие обозначения для частичных сумм рядов из (3.37): sn :=

n X k=0

ak ,

σn :=

n X

bk ,

k=0

ζn :=

n X

ck .

(3.38)

k=0

Обозначим через s , σ , ζ суммы соответствующих рядов, если эти ряды сходятся. Поскольку равенство sn · σn = ζn , вообще говоря, не выполняется, то вовсе не ясно, будет ли справедливым равенство s · σ = ζ . Утвердительный ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме. Теорема 92 (Мертенс). Предположим, что ряды ∞ P

∞ P

ak и

k=0

bk сходятся к суммам s и σ соответственно, причем хотя бы

k=0

один из этих рядов сходится абсолютно. Тогда произведение (в ∞ P смысле Коши) этих рядов, т.е.ряд ck из определения 101 сходится к сумме s · σ .

k=0

J Будем использовать обозначения (3.38), и тогда нам предстоит доказать равенство ζ = s·σ . Для определенности предположим, что 14

В этом контексте удобно начинать нумерацию членов ряда с нуля, что в принципе не существенно.

§ 4. Перестановки членов ряда. Умножение рядов ряд

∞ P

141

ak сходится абсолютно (к сумме s ). Полагая βn := σn − σ ,

k=0

преобразуем частичную сумму ряда-произведения: ζn =

n X

ck = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 ) + . . . + (a0 bn + a1 bn1 + . . . + an b0 ) =

k=0

= a0 σn + a1 σn−1 + . . . + an σ0 = = a0 (σ + βn ) + a1 (σ + βn−1 ) + . . . + an (σ + β0 ) = = sn σ + (a0 βn + a1 βn−1 + . . . + an β0 ) = sn σ + γn , где обозначено γn := a0 βn + a1 βn−1 + . . . + an β0 . Таким образом, имеем: ζn = sn ·σ+γn , и достаточно убедиться в том, что lim γn = 0 . n→∞ ∞ P Обозначим α := | ak | . Имеем: α ∈ R+ , так как ряд s = =

∞ P

k=0

ak сходится абсолютно. Так как

k=0

lim βn = lim (σn − σ) = 0 ,

n→∞

n→∞

то ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N : |βn | 6 ε . При тех же значениях n имеем: |γn | = |(β0 an + . . . + βN an−N ) + (βN +1 an−N −1 + . . . + βn a0 )| 6 6 |β0 an + . . . + βN an−N | + |βN +1 an−N −1 + . . . + βn a0 )| 6 6 |β0 an + . . . + βN an−N | + ε · α . Переходя здесь к пределу при n → ∞ , получим: 0 6 lim |γn | 6 ε · α , n→∞

откуда при ε → +0 находим: lim |γn | = 0 , и, значит, n→∞ lim γn = 0 I

n→∞

Замечание. Покажем на примере, что условие абсолютной сходимости в теореме 92 существенно. С этой целью возьмем условно сходящийся ряд: ∞ X 1 1 1 (−1)n √ = 1 − √ + √ − √ + ... n+1 2 3 4 n=0

142

Глава 3. Числовые ряды и их суммы

и возведем его в квадрат Ã∞ !2 µ ¶ µ ¶ X (−1)n 1 1 1 1 1 1 √ =1− √ + √ + √ +√ ·√ +√ − n + 1 2 2 3 2 2 3 n=0 µ ¶ 1 1 1 1 1 1 − √ +√ ·√ +√ ·√ +√ + ... . 4 3 2 2 3 4 Общий член этого ряда-произведения таков: cn = (−1)n

n X

1

p

k=0

(n − k + 1)(k + 1)

.

Так как среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического, то имеем такое неравенство: ³n ´2 (n − k + 1)(k + 1) 6 +1 , 2 используя которое, находим: |cn | =

n X k=0

1

p > (n − k + 1)(k + 1)

Таким образом, для ряда

∞ P n=0

n X k=0

n

2 X = 1= n n + 2 k=0 +1 2 2(n + 1) = → 2 при n → ∞ . n+2 1

cn не выполнен необходимый признак сходимости,

значит, он расходится. Иначе говоря, не выполнено заключение теоремы 92.

§ 4. Перестановки членов ряда. Умножение рядов

143

Задачи к главе 3 3.1 Вычислить суммы следующих рядов, предварительно исследовав их на сходимость: 1 1 1 (−1)n−2 (a) 1 − + − + . . . + + ... ; 2 4 8 2n−1 ¶ µ ¶ µ ¶ µ 1 1 1 1 1 1 + + + ... + + + ... ; (b) + 2 3 22 32 2n 3n 1 3 5 2n − 1 + 2 + 3 + ... + + ... ; 2 2 2 2n 1 4 1 (d) + + . . . + + ... ; 4 7 (3n − 2)(3n + 1) (c)

(e) q cos α + q 2 cos 2α + . . . + q n cos nα + . . . , |q| < 1 ; (f) q sin α + q 2 sin 2α + . . . + q n sin nα + . . . , |q| < 1 ; (g)

∞ √ √ P √ ( n + 2 − 2 n + 1 + n) . n=1

3.2 Исследовать на сходимость ряды: ∞ X n=1

sin nx и

∞ X

cos nx .

n=1

3.3 Используя критерий Коши, исследовать на сходимость следующие ряды: a1 an (a) a0 + + . . . + n + . . . где |an | < 10 ; 10 10 sin x sin 2x sin nx (b) + + ... + + ... ; 2 2 2 2n ∞ cos nx − cos(n + 1)x P ; (c) n n=1 cos x cos x2 cos xn + + . . . + + ... ; 12 22 n2 1 1 1 (e) 1 + + + . . . + + . . . ; 2 3 n 1 1 1 1 1 (f) 1 + − + + − + . . . ; 2 3 4 5 6 1 1 1 (g) √ +√ + ... + p + ... . 1·2 2·3 n · (n + 1) (d)

144

Глава 3. Числовые ряды и их суммы

3.4 Исследовать на сходимость следующие положительные ряды: ∞ 1000n P ; n! n=1 ∞ 2n n! P (d) ; n n=1 n ∞ P (999 + n)! (g) ; n=1 999!(2n − 1)!!

∞ (n!)2 ∞ n! P P ; (c) ; n n=1 (2n)! n=1 n ∞ 3n n! ∞ (n!)2 P P (e) ; (f) ; n n2 n=1 n n=1 2 ∞ ∞ P P n2 n5 ; (h) ; (i) 1 n n n n=1 (2 + n ) n=1 2 + 3 µ ¶n2 +n ∞ ∞ ∞ P P P nn−1 1 n−1 √ (j) (k) ; (l) ; n+1 ; n n+1 ln n n=1 (2n2 + n + 1) 2 n=2 n=2 ¶n2 −n µ 1 ∞ ∞ ∞ P P P nn+ n n5 n−1 (m) (n) ; (o) ; 1 n ; n n n+1 n=1 (n + n ) n=1 2 + 3 n=1 ∞ ∞ P P P∞ Qn 4 + 3k 1 π √ sin n ; (p) ; (q) (r) ; n=1 k=0 n 2 2 + 4k ln n n=2 n=1 ∞ Q ∞ ∞ P P P 1 1 1 n 2 − 2 2k+1 ) ; tg an , (s) (2 (t) ; (u) k=1 n2 n=1 n=1 n=1

(a)

где

(b)

 1   , если n = m2 , an = n   1 если n 6= m2 . n2

3.5 Исследовать на сходимость следующие ряды: √ ∞ n3 [ 2 + (−1)n ]n ∞ a cos2 nπ ∞ 2 + (−1)n P P P 3 ; (b) ; (c) ; (a) n n n 2 3 2 n=1 n=1 n=1 µ ¶2n−ln n ∞ ∞ P P 1 + cos n n!n−p (d) ; (e) , (q > 0) ; 2 + cos n n= n=1 q(q + 1) . . . (q + n) √ ∞ ∞ n!en P P n! √ √ ; (g) (f) √ ; n+p 1)(2 + 2) . . . (2 + n n=1 (2 + n=1 n a a(a + d) a(a + d)(a + 2d) + + + . . . a, b, d ∈ R+ ; b b(b + d) b(b + d)(b + 2d) µ · ¶p ¸α ∞ ∞ P P (2n − 1)!! p(p + 1) . . . (p + n − 1) (i) ; (j) , p, q ∈ R+ . (2n)!! n=1 n=1 q(q + 1) . . . (q + n − 1) · ¸p ∞ ∞ p(p + 1) . . . (p + n − 1) P P (2n − 1)!! 1 (k) · q ; (l) . (2n)!! n nq n! n=1 n=1 (h)

3.6 Пусть

∞ P n=1

an — сходящийся строго положительный ряд. Доказать, что

lim nan = 0 .

n→∞

§ 4. Перестановки членов ряда. Умножение рядов 3.7 Пусть

∞ P

145

an — сходящийся строго положительный ряд, а

n=1

sn := a1 + . . . + an . Доказать, что ряд 3.8 Исследовать на сходимость ряд

∞ s P n расходится. n=1 n

∞ P

an , если √ √ √ √ n+1− n n (a) an = n + 1 − n ; (b) an = ; (c) an = ( n n − 1) ; n 1 (d) an = для комплексных значений z . 1 + zn ∞ P 3.9 Доказать, что из сходимости положительного ряда an следует схоn=1 √ ∞ P an димость ряда . n=1 n n=1 √

3.10 Исследовать на сходимость произведение следующих двух сходящихся рядов: ∞ ∞ X X (−1)n−1 (−1)n−1 и . nα nβ n=1 n=1 3.11 Следующие ряды исследовать на абсолютную и условную сходимость: ∞ (−1)n ∞ (−1)n ∞ (−1)n+1 ln2 (n + 1) P P P √ √ (a) ; (b) ; (c) ; n 2n + 3n n n+2 n=1 n=1 n=1 ³π ´ ∞ ∞ ∞ ¡ √ ¢ P P P n(n−1) 1 1 sin cos π n2 + n ; (f) (−1) 2 · √ ; (d) + πn sin ; (e) 4 n n n=1 n=1 n=1 ¶ µ p ∞ ∞ P P (−1)n (2n − 1)!! (g) (−1)n−1 ; (h) n ; 2 (2n)!! n=1 n=1 n + sin ∞ ∞ (−1)n−1 · n √ ¡√ ¢ P P (i) (−1)n n2 + 3n + 1 − n2 − 3n + 1 ; (j) ; (k) n 2 − n2 n=1 n=1 5 µ ¶ ∞ ∞ P P (−1)n−1 1 ; (l) (−1)n+1 ln 1 + ;. 2n n n=1 (n + 1)a n=1

Глава 4 ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ § 1. Пределы функций 1. Определения и примеры. Под функциями будем понимать отображения числовых множеств. Точнее, функцией вещественного переменного будем называть всякое отображение вида: f : X −→ R , где X ⊂ R .

(4.1)

Функцией комплексного переменного будем называть всякое отображение вида: f : X −→ C , где X ⊂ C . (4.2) Чтобы ввести понятие предела функции (4.1) или (4.2) при x → a , необходимо предположить, что a — точка прикосновения множества X . Напомним, что a называется точкой прикосновения множества X , если для любой окрестности U (a) точки a выполняется условие: X ∩ U (a) 6= ∅ . Здесь a — либо число, либо один из трех элементов: ∞ , +∞ , −∞ . Если a не является числом, то под окрестностью точки a понимается окрестность в топологии соответствующей расширенной системы чисел. Определение 102. Пусть f : X −→ Y — функция, a и A — точки прикосновения множеств X и Y соответственно. Говорят, что предел функции f при x → a; x ∈ X равен A , если для любой окрестности V (a) точки A существует окрестность U (a) точки a , такая, что f (U (a) ∩ X) ⊂ V (A) . Обозначается этот факт так: x→a; lim f (x) = A . Если не возникает x∈X

опасность путаницы, то применяется более короткие обозначения: lim f (x) = A либо lim f (x) = A . Используя эти обозначения, переx→a пишем определение 102 в сокращенном виде: lim f (x) = A x→a;

def

⇐⇒

∀V (A) ∃U (a) : f (U (a) ∩ X) ⊂ V (A) . (4.3)

x∈X

146

§ 1. Пределы функций

147

Определение 102 будем называть определением „на языке окрестностей“. Оно является наиболее общим, так как имеет смысл для произвольных топологических пространств X и Y . В случае, когда a и A — числа, в качестве окрестностей можно брать (открытые или замкнутые) круги (интервалы), например, множества |y − A| 6 ε и |x − a| 6 δ , где ε и δ — положительные числа. В таких случаях получаем так называемое „определение на языке ε-δ“, равносильное определению 102. Определение 103. Говорят, что предел функции f : X −→ Y при x → a равен A , если для любого ε ∈ R+ существует такое δ ∈ R+ , что ∀x ∈ X из неравенства |x − a| 6 δ вытекает неравенство |f (x) − A| 6 ε . Перепишем это в сокращенном виде: def

lim f (x) = A ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ X : x→a; x∈X

|x − a| 6 δ ⇒ |f (x) − A| 6 ε , (4.4) где a, A, ε > 0, δ > 0

6

A−ε A A+ε

........................................ ......... ........ ........................ ..... ...... ........ . . . . . . . . . . . .. ... . ..... ..... ............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... . . .. ... ..

— числа. Если f — функция вещественного переменного, то определение (4.4) можно геометрически истолковать a−δ a a+δ следующим образом (см.рис.14). Для любого ε > 0 суРис.14. К определению (4.4) ществует δ > 0 , такое, что если x ∈ [a − δ , a + δ] , то лежащая над этим отрезком часть графика функции f должна лежать в горизонтальной полосе A − ε 6 y 6 A + ε.

148

Глава 4. Пределы и непрерывность

Числовая последовательность есть частный случай функции (X = N) . Данное в главе 2 понятие предела последовательности есть частный случай понятия предела функции (при x → +∞; x ∈ N) . Рассмотрим несколько примеров на применение определения понятия предела функции. µ ¶ 1 1) Доказать, что lim x · sin = 0. x→0; x x6=0

J Задавая ε > 0 и полагая δ = ε , при 0 < |x| 6 δ имеем: 0 6 |x · sin

1 1 1 − 0| = |x| · | sin | 6 |x| 6 δ = ε , т.е. |x · sin − 0| 6 ε x x x

I

2) Доказать, что lim f (x) = 0 , где x→0

 1  x · sin , f (x) = x 0 ,

x 6= 0 , x = 0.

J В отличие от предыдущего примера здесь переменной x разрешено принимать значение 0, и решение предыдущего примера проходит при |x| 6 δ I 3) Пусть  1  x · sin , x 6= 0 , g(x) = x 1 , x = 0. Тогда lim g(x) не существует. x→0

J Предположим, что lim g(x) = A ∈ R . Тогда по определению должно x→0 быть: ∀ε ∈ (0 ; 1) ∃δ > 0 : |x| 6 δ =⇒ |g(x) − A| 6 ε . (4.5) Полагая в последнем неравенстве x = 0 , получим: |1 − A| 6 ε , откуда ввиду произвольной малости ε заключаем, что должно быть: A = 1 . Но это невозможно, так как из неравенства (4.5) в пределе при x → 0; x 6= 0 получаем: A6ε<1 I 4) Покажем, что lim cos x = 1 . x→0

J Задавая произвольно ε ∈ (0 , 2] , решим неравенство ¯ x¯ √ ³ x ´2 ¯ ¯ 6 ε , откуда ¯sin ¯ 6 ε2 или | cos x − 1| 6 ε , равносильное такому: 2 sin 2 2 p p −2 arcsin ε2 6 x 6 2 arcsin ε2 . Итак, достаточно положить δ := 2 arcsin x не существует. 5) Предел lim x→0 |x|

√

ε2

I

§ 1. Пределы функций

149 x = A ∈ R , т.е. x→0 |x|

J Предположим противное: lim

¯ ¯ ¯x ¯ ∀ε ∈ (0 , 1) ∃δ > 0 ∀x 6= 0 : |x| 6 δ =⇒ ¯¯ − A¯¯ 6 ε . |x| Из последнего неравенства при x > 0 и при x < 0 соответственно вытекают следующие неравенства: |1 − A| 6 ε и |1 + A| 6 ε . Используя их, находим: 2 = 1 + 1 = (1 − A) + (1 + A) 6 |1 − A| + |1 + A| 6 ε + ε = 2ε . Отсюда получаем: ε > 1 — противоречие I

2. Общие свойства пределов функций. Теорема 93. (a) Если функция f : X −→ Y — постоянная в некоторой окрестности точки a , то предел lim f (x) существует x→a и равен этой постоянной. (b) Если предел lim f (x) существует, то он — единственный. x→a

(c) Если предел lim f (x) = A — число, то функция f ограничена x→a

в некоторой окрестности1 точки a . J (a) Пусть f (x) ≡ A для всех x ∈ U0 ∩ X , где U0 — некоторая окрестность точки a . Беря любую окрестность V (A) точки A и полагая U (a) := U0 , получим: f (U0 ) = {A} ⊂ V (A) , т.е. выполнено условие определения 102. (b) Предположим, что lim f (x) = A1 и lim f (x) = A2 , причем x→a

x→a

A1 6= A2 . По свойству отделимости существуют окрестности V (A1 ) и V (A2 ) , такие, что V (A1 ) ∩ V (A2 ) = ∅ . По определению 102 существует окрестность U (a) точки a , такая, что ∀x ∈ U (a)∩X будет: f (x) ∈ V (A1 ) и f (x) ∈ V (A2 ) . Отсюда получаем противоречие: f (x) ∈ V (A1 ) ∩ V (A2 ) = ∅ . (c) Функция f называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу) на множестве X , если соответствующим свойством ограниченности обладает множество ее значений f (X) . Задавая ε = 1 , найдем окрестность U1 (a) точки a , такую, что ∀x ∈ U1 (a) ∩ X : |f (x) − A| 6 1 , что равносильно такому: A − 1 6 f (x) 6 A + 1 . Таким образом, множество {f (x) | x ∈ U1 (a)} — ограниченное I 1

или, как говорят, финально ограничена при x → a .

150

Глава 4. Пределы и непрерывность

3. Предел и неравенства. В этом пункте будем предполагать, что f : X −→ R , X ⊂ R , т.е. рассматривать только вещественные функции вещественного переменного. Теорема 94. (a) Если lim f (x) = A , и A > B (A < B) , то x→a

существует окрестность U (a) точки a , такая, что: ∀x ∈ U (a) ∩ X : f (x) > B (f (x) < B) . (b) Если lim f (x) = A и lim g(x) = B , и f (x) 6 g(x) в некоторой x→a x→a окрестности U0 точки a , то A 6 B . (c) Если в некоторой окрестности U0 точки a выполнены неравенства f (x) 6 g(x) 6 h(x) , и если lim f (x) = lim h(x) = A , то lim g(x) = A .

x→a

x→a

x→a

J (a) Пусть A > B . Выберем окрестность V (A) точки A в виде промежутка, не содержащего B . Тогда ∀y ∈ V (A) : y > B . Так как lim f (x) = A , то x→a

∃U (a) ∀x ∈ U (a) ∩ X : f (x) ∈ V (A) , и, значит, f (x) > B . Аналогично можно рассмотреть случай A B . По свойству отделимости существуют непересекающиеся окрестности V (A) и V (B) точек A и B соответственно. Беря эти окрестности в виде промежутков и учитывая, что V (A) ∩ V (B) = ∅ , заключаем, что ∀y1 ∈ V (A) ∀y2 ∈ V (B) : y1 > y2 . Найдем теперь окрестность U (a) ⊂ U0 точки a , такую, что ( f (x) ∈ V (A) , ∀x ∈ U (a) ∩ X : g(x) ∈ V (B) . Отсюда вытекает неравенство f (x) > g(x) , противоречащее условию.

§ 1. Пределы функций

151

(c) Зададим окрестность V (A) точки A в виде промежутка. По определению предела имеем: ( ∃U1 (a) ∀x ∈ U1 (a) ∩ X : f (x) ∈ V (A) ; ∃U2 (a) ∀x ∈ U2 (a) ∩ X : h(x) ∈ V (A) . Построим окрестность U (a) точки a , полагая: U (a) := U0 ∩ U1 (a) ∩ U2 (a) . Тогда получим: ( ∀x ∈ U (a) ∩ X :

f (x) ∈ V (A) ; h(x) ∈ V (A) .

Так как V (A) — промежуток, то [f (x) , h(x)] ⊂ V (A) , а так как g(x) ∈ [f (x) , h(x)] , то ∀x ∈ U (a) ∩ X : g(x) ∈ V (A) . Таким образом, предел lim g(x) существует и равен A x→a

I

sin x = 1. x→0 x

Теорема 95. lim

π . На координатной плос2 кости (см.рис.15) возьмем окружность с центром в точке 0 радиуса 1, и пусть x — величина центрального угла ∠AOB (в радианах). Плоские фигуры, показанные на рис.15, связаны очевидными соотношениями: M OAB ⊂ сектор OAB ⊂M OAC . J Сначала предположим, что 0 < x <

Отсюда в силу свойства монотонности площади вытекают следующие неравенства для площадей этих фигур: SMOAB < SсектораOAB < SMOAC . Вычисляя эти площади и удваивая их, получим такие неравенства: sin x < x < tg x .

152

Глава 4. Пределы и непрерывность C B

x O

A Рис.15. К теореме 95

Из этих неравенств находим: sin x < 1. (4.6) x Так как все три входящие в эти неравенства функции — четные, π то неравенства (4.6) справедливы и при 0 < |x| < . Учитывая, 2 что lim cos x = 1 и lim 1 = 1 , из (4.6) на основании теоремы 94(c) x→0 x→0 sin x заключаем, что lim =1 I x→0 x cos x <

4. Предел и арифметические операции. Определение 104. Функция f : X −→ Y называется бесконечно малой (б.м.) при x → a; x ∈ X , если x→a; lim f (x) = 0 . x∈X

Например, функция f (x) ≡ x — бесконечно малая при x → 0 . Так как 0 6 | sin x| 6 |x| , то отсюда в силу теоремы 94(c) следует, что функция sin — бесконечно малая при x → 0 .

Теорема 96. (a) Если функции f и g — бесконечно малые при x → a , то и функция f + g —бесконечно малая при x → a . (b) Если функция f — бесконечно малая при x → a , а функция ϕ — финально ограниченная при x → a , то функция ϕ · f — бесконечно малая при x → a . (c) Существование конечного предела lim f (x) = A равносильx→a

но тому, что разность α(x) := f (x) − A есть бесконечно малая функция при x → a .

§ 1. Пределы функций

153

J (a) Задавая ε ∈ R+ , найдем окрестность U (a) точки a , такую, что ε ε ∀x ∈ X ∩ U (a) : |f (x)| 6 и |g(x)| 6 . 2 2 При тех же значениях переменного x имеем: |f (x) + g(x)| 6 |f (x) + |g(x)| 6

ε ε + = ε. 2 2

Таким образом, lim [f (x) + g(x)] = 0 . x→a

(b) В силу финальной ограниченности функции ϕ имеем: ∃U0 (a) ∃M ∈ R+ ∀x ∈ U0 (a) ∩ X : |ϕ(x)| 6 M . Задавая ε ∈ R+ , найдем такую окрестность U (a) , что ∀x ∈ U (a) ∩ X : |f (x)| 6

ε . M

Положим, далее, Uε (a) := U0 (a) ∩ X . Тогда ∀x ∈ Uε (a) будем иметь: |ϕ(x) · f (x)| = |ϕ(x)| · |f (x)| 6 M ·

ε = ε. M

Таким образом, lim [ϕ(x) · f (x)] = 0 . x→a

(c) Запишем oпределение того, что lim f (x) = A : x→a

∀ε ∈ R+ ∃U (a) ∀x ∈ U (a) ∩ X : |f (x) − A| 6 ε . Но такой же вид можно придать и определению того, что lim α(x) = 0 , где α(x) = f (x) − A I x→a

Теорема 97. Пусть lim f (x) = A , lim g(x) = B , где A и B — x→a x→a числа. Тогда: (a) lim [f (x) + g(x)] = A + B ; x→a

(b) lim [f (x) · g(x)] = A · B ; x→a

A f (x) = , если B 6= 0 . x→a g(x) B

(c) lim

154

Глава 4. Пределы и непрерывность

J (a) Так как lim f (x) = A , то α(x) := f (x) − A — б.м. при x→a

x → a . Так как lim g(x) = B , то β(x) := g(x) − B — б.м. при x→a x → a . Далее, f (x) + g(x) − A − B = [f (x) − A] + [g(x) − B] = α(x) + β(x) — б.м. в силу теоремы 96(a). Применяя теорему 96(c), заключаем, что lim [f (x) + g(x)] = A + B . x→a

(b) Имеем: f (x) = A + α(x) , g(x) = B + β(x) , где α(x) и β(x) — б.м. при x → a . Далее, имеем: f (x)·g(x) = [A+α(x)][B+β(x)] = A·B+[A·β(x)+B·α(x)+α(x)·β(x)] . Функция в квадратных скобках — б.м. как сумма трех б.м. при x → a. (c) Зададим ε ∈ R+ . Найдем окрестность Uε (a) , такую, что ½ ¾ |B| |B|2 ∀x ∈ Uε (a) ∩ X : |g(x) − B| 6 min , ε . 2 2 При тех же значениях переменного x имеем: |B| > |B − g(x)| > |B| − |g(x)| , 2 |B| . Используя полученные неравенства, находим: 2 ¯ ¯ ¯ 1 ¯ |B − g(x)| 1 ∀x ∈ Uε (a) ∩ X : ¯¯ − ¯¯ = 6 g(x) B |B · g(x)| |B|2 1 |B|2 2 6 ε· 6 ·ε· = ε. 2 |B| · |g(x)| 2 |B|2

откуда |g(x)| >

1 1 = . И, наконец, используя докаОтсюда заключаем, что lim x→a g(x) B занную часть теоремы, имеем: f (x) 1 1 A = lim f (x) · =A· = x→a g(x) x→a g(x) B B lim

I

§ 1. Пределы функций

155

Определение 105. Функция f : X −→ Y называется бесконечно большой (б.б.) при x → a ; x ∈ X , если lim f (x) = ∞ , т.е. x→a

∀E ∈ R+ ∃U (a) ∀x ∈ U (a) ∩ X : |f (x)| > E .

(4.7)

Частными случаями бесконечно больших функций при x → a являются такие, для которых lim f (x) = +∞ и

x→a

lim f (x) = −∞ .

x→a

Формулирование соответствующих определений, в форме, аналогичной (4.7), оставляем читателю. Отметим, что, вообще говоря, пределы одной и той же функции f при x → a — различные при различных значениях a . Одна и та же функция f в зависимости от выбора a может иметь конечный предел, быть бесконечно малой, бесконечно большой и вовсе не иметь предела. Поэтому, говоря о пределе функции, необходимо каждый раз указывать, к какой точке стремится ее аргумент. Дополним теорему 97(c) следующим фактом. Теорема 98. Если функция f не обращается в нуль, то равносильны следующие утверждения: (a) Функция f — бесконечно большая при x → a ; 1 (b) Функция — бесконечно малая при x → a . f 1 найдем окрестность ε UE (a) , такую, что ∀x ∈ UE (a) ∩ X : |f (x)| > E . Отсюда находим: ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ = 1 6 1 = ε , т.е. lim 1 = 0 . ¯ f (x) ¯ |f (x)| x→a f (x) E J(a)⇒(b) Зададим ε ∈ R+ . По числу E :=

1 (b)⇒(a) Зададим E ∈ R+ . По числу ε := найдем окрестность ¯E ¯ ¯ 1 ¯ ¯ 6 ε . При тех же знаUε (a) , такую, что ∀x ∈ Uε (a) ∩ X : ¯¯ f (x) ¯ 1 чениях x будет: |f (x)| > = E , т.е. f – бесконечно большая при ε x→a I

156

Глава 4. Пределы и непрерывность

Замечание. Используя теорему 98, можно придать смысл, например, таким 1 1 равенствам: := 0 и := ∞ . В аналогичных ситуациях выражения ∞ 0 0 , 0

∞ , ∞

00 ,

∞0 ,

1∞ ,

+∞ − ∞

остаются неопределенными. Вычисление их конкретных числовых значений (так называемое раскрытие неопределенностей) — одна из основных задач теории пределов.

5. Пределы монотонных функций. Для монотонных функций имеют место факты, аналогичные теореме существования предела монотонной последовательности. Теорема 99. Пусть f : X −→ R , X ⊂ R — монотонная функция, и пусть a := inf X , b := sup X — предельные точки множества X . Тогда существуют пределы x→a, lim f (x) и lim f (x) . x>a

x→b; x
J Рассмотрим случай неубывающей функции f и докажем существование предела lim f (x) . Обозначим x→b, x
B := sup{f (x) | x ∈ X , x < b} . Если функция f ограничена сверху, то B — число, в противном случае B = +∞ . Покажем, что lim f (x) = B . С этой целью возьмем x→b; x
окрестность V (B) точки B в виде промежутка. Существует точка x0 ∈ X , x0 < b , такая, что f (x0 ) ∈ V (B) . В силу неубывания функции f имеем: x0 < x =⇒ f (x0 ) < f (x) , а так как V (B) — промежуток, то [f (x0 ) , f (x)] ⊂ V (B) . Беря теперь окрестность точки b в виде: U (b) := [x0 , +∞) , получим: f (U (b) ∩ X) ⊂ V (B) , т.е. lim f (x) = B . Аналогично можно рассмотреть все остальные x→b; x
случаи I

§ 1. Пределы функций

157

6. Предел композиции функций. Теорема 100. Пусть заданы функции f : X −→ Y

и

g : Y −→ Z ,

для которых существуют пределы lim f (x) = A

x→a; x∈X

и

lim g(y) = B .

y→A; y∈Y

Тогда x→a; lim g(f (x)) = B . x∈X

J Из условия теоремы вытекает, что a является точкой прикосновения множества X , а точка A — точкой прикосновения множества Y . Зададим произвольную окрестность V (B) точки B . Так как lim g(y) = B при y → A, y ∈ Y , то существует окрестность W (A) точки A , такая, что g(W (A) ∩ Y ) ⊂ V (B) . Далее, так как lim f (x) = A при x → a; x ∈ X , то существует окрестность U (a) точки a , такая, что f (U (a) ∩ X) ⊂ W (A) . Учитывая, что f (U (a) ∩ X) ⊂ f (X) ⊂ Y , имеем: f (U (a)∩X) ⊂ W (a)∩Y. Действуя на последнее соотношение отбражением g , получим: g(f (U (a) ∩ X)) ⊂ g(W (A) ∩ Y ) ⊂ V (B) , т.е. x→a; lim g(f (x)) = B

I

x∈X

Следствие 1. Предположим, что: (a) lim g(x) = A при x → a; x ∈ X ; (b) E ⊂ X , и a — точка прикосновения множества E . Тогда lim g(y) = A при y → a; y ∈ E . J Рассмотрим функцию f : E −→ X , определяемую равенством: f (x) ≡ x для всех x ∈ E . Для нее имеем: x→a; lim f (x) = lim x = a. Применяя теорему 100, получим: lim g(y) = x→a; lim g(f (x)) = A

y→a; y∈E

x∈E

x∈E

I

x→a

158

Глава 4. Пределы и непрерывность

Следствие 2. Пусть lim g(x) = A при x → a; x ∈ X , и a — предельная точка множества X . Если (xn )∞ n=1 — любая последовательность точек xn ∈ X , такая, что lim xn = a , то n→∞

lim g(xn ) = A . J Достаточно применить теорему 100 к композиции отображения f : N −→ X , где f : n 7−→ xn , и отображения g : X −→ R I

n→∞

µ ¶x 1 Примеры. 1) Покажем, что lim 1 + = e. n→+∞ x J Используя монотонность степенн´ой и показательной функций, имеем: µ

1 1+ [x] + 1

¶[x]

µ 6

1 1+ x

¶x

µ 6

1 1+ [x]

¶[x]+1 ,

(4.8)

где [x] — целая часть числа x . Правая часть (4.8) есть композиция функций µ ¶n+1 ¶n µ 1 1 g(n) := 1 + и f (x) := [x] . Так как lim 1 + = e и lim [x] = +∞ , n→∞ x→+∞ n n то µ ¶[x]+1 1 1+ = lim g(f (x)) = e . x→+∞ [x] Аналогично можно показать, что и левая часть неравенств (4.8) стремится к e . Переходя в неравенствах (4.8) к пределу, получим требуемое I ¶x µ 1 2) Покажем, что lim 1 + = e. x→−∞ x J Имеем: µ lim

x→−∞

1 1+ x

¶x

µ ¶−t µ ¶t 1 1 = lim 1 − = lim 1 + = t→+∞ t→+∞ t t−1 µ ¶y+1 1 = lim 1 + =e y→+∞ y µ

3) Покажем, что lim

x→∞

1 1+ x

I

¶x = e.

J Имеем: µ

1 1+ |x|

µ

¶|x| 6

1 1+ x

¶x

µ 6 1+

1 −|x|

¶−|x| . µ

1 Так как крайние члены этих неравенств стремятся к e , то и 1 + x кe I 4) Покажем, что lim (1 + t)1 t = e . t→0

¶x стремится

§ 1. Пределы функций

159

J Используя пример 3), имеем: µ 1 t

lim (1 + t) t→0

= lim

x→∞

1 1+ x

¶x =e

I

sin ax = a. 5) Покажем, что lim x→0 x J При a = 0 утверждение очевидно. Если же a 6= 0 , то имеем: sin t sin ax sin t = lim µ ¶ = a · lim =a t→0 t x→0 t→0 t x a lim

I

7. Критерий Коши существования предела функции. Теорема 101 (критерий Коши). Существование конечного предела функции f : X −→ Y при x → a, x ∈ X равносильно выполнению следующего условия: ∀ε ∈ R ∃U (a) ∀x0 , x00 ∈ U (a) ∩ X : |f (x0 ) − f (x00 )| 6 ε .

(4.9)

J Предположим, что предел x→a; lim f (x) = A — число. Задавая x∈E

ε ∈ R+ , найдем окрестность U (a) точки a , такую, что ∀x ∈ U (a) ∩ X : |f (x) − A| 6

ε . 2

Отсюда, используя неравенство треугольника, ∀x0 , x00 ∈ U (a) ∩ X имеем: ε ε |f (x0 ) − f (x00 )| 6 |f (x0 ) − A| + |A − f (x00 )| 6 + = ε . 2 2 Таким образом, условие (4.9) выполнено. Обратно, предположим, что условие (4.9) выполнено. Найдем убывающую последовательность окрестностей U1 (a) ⊃ U2 (a) ⊃ . . . ⊃ Un (a) ⊃ . . . , такую, что ∀n ∈ N ∀x0 , x00 ∈ Un (a) ∩ X : |f (x0 ) − f (x00 )| 6

1 . n

160

Глава 4. Пределы и непрерывность

Так как все Un (a) ∩ X — не пустые, то ∃xn ∈ Un (a) ∩ X . Значит, имеем последовательность (xn )∞ n=1 . Поскольку ∀n, p ∈ N : xn , xn+p ∈ Un (a) ∩ X , 1 , и, значит, последовательность (f (xn ))∞ n=1 n — фундаментальная. По критерию Коши для последовательностей существует конечный предел lim f (xn ) = A. Чтобы показать, то |f (xn ) − f (xn+p )| 6

что

lim f (x) = A

n→∞

при x → a; x ∈ X , зададим ε ∈ R+ . Найдем 1 ε nε ∈ N так, чтобы ∀n > nε было: 6 . При тех же значениях n и n 2 ∀x ∈ Unε (a) имеем: 1 ε ε 1 + 6 + =ε I nε nε 2 2 Определение 106. Колебанием функции f : X −→ Y на множестве A ⊂ X называется величина |f (x) − A| 6 |f (x) − f (xn )| + |f (xn ) − A| 6

ω(f ; A) := sup |f (x0 ) − f (x00 )| . x0 ,x00 ∈A

Если в условии (4.9) взять супремум по всем x0 , x00 ∈ U (a) ∩ X , то оно перепишется в виде: ∀ε ∈ R+ ∃U (a) : ω(f ; U (a) ∩ X) 6 ε .

(4.10)

Из этого условия в свою очередь вытекает условие (4.9). Таким образом, они равносильны, и потому теорема допускает следующую равносильную формулировку. Теорема 102 (критерий Коши). Существование конечного предела функции f : X −→ Y при x → a; x ∈ X равносильно выполнению условия (4.10). Замечание. Критерий Коши удобно применять, например, в тех случаях, когда надо доказать отсутствие конечного предела. В качестве конкретного при1 мера рассмотрим функцию f (x) := sin , график которой показан на рис.16. x 1 Чтобы доказать, что предел lim sin не существует, достаточно убедиться в x→0 x 1 том, что колебание функции sin в любой окрестности U0 нуля ограничено сниx зу положительным числом. Но это последнее условие выполняется, поскольку, ¡ ¢ как легко видеть, ω sin x1 ; U0 = 2 .

§ 1. Пределы функций

161 Y 1

X − π2

− π1

2 − 3π

2 3π

1 π

2 π

−1 Рис.16. График функции y = sin

1 x

8. Сравнение асимптотического поведения функций и вычисление некоторых пределов. Пусть f и g — две функции с одной и той же областью определения X , и a — точка прикосновения множества X. Определение 107. (a) Говорят, что функция f имеет порядок не выше порядка функции g на X , если ∃M ∈ R+ ∀x ∈ X : |f (x)| 6 M · |g(x)| . (b) Говорят, что функция f имеет порядок не выше порядка функции g при x → a; x ∈ X , если ∃U (a) ∃M ∈ R+ ∀x ∈ X ∩ U (a) : |f (x)| 6 M · |g(x)| . Обозначения: „f (x) = O(g(x))“ в случае (a), и „f (x) = O (g(x)) при x → a; x ∈ X“ в случае (b). Например, ограниченность функции sin можно выразить условием: sin x = O(1) . Верно и такое: e : sin x = O(1) при x → a . ∀a ∈ R Определение 108. Функция f называется бесконечно малой по сравнению с функцией g при x → a; x ∈ X , если ∀ε ∈ R+ ∃U (a) ∀x ∈ U (a) ∩ X : |f (x)| 6 ε · |g(x)| .

162

Глава 4. Пределы и непрерывность

Обозначение: „f (x) = o(g(x)) при x → a; x ∈ X .“ В частности, символ „f (x) = o(1) при x → a“ означает, что функция f — бесконечно малая при x → a в смысле определения 104. Очевидно также, что если f (x) = o(g(x)) при x → a , то f (x) = O(g(x)) при x → a . В теории числовых последовательностей было установлено, что ∀α ∈ R+ ∀a ∈ (1, +∞) : nα = o(an ) при n → ∞ . Покажем, что при тех же значениях a и α выполняется следующее: xα = o(ax ) при x → +∞ . (В этом последнем равенстве x ∈ R , в отличие от предыдущего, где n ∈ N .) J Чтобы в этом убедиться, оценим сверху и снизу отношение α x ax : xα (n + 1)α nα 6 6 , an+1 ax an где n = [x] — целая часть числа x . Очевидно, что n → ∞ ⇐⇒ x → +∞ . Переходя в последних неравенствах к пределу при x → +∞ , поxα лучим lim x = 0 , что равносильно доказываемому соотношению x→+∞ a I Покажем, что при любых α , β ∈ R+ выполняется следующее: (ln x)α = o(xβ ) при x → +∞ , т.е. т.е. любая положительная степень логарифмической функции бесконечно мал´а по сравнению со степенн´ой функцией xβ , β > 0 при x → +∞ . J Имеем: (ln x)α tα tα lim = lim t β = lim t = 0 , x→+∞ t→+∞ (e ) t→+∞ a xβ где обозначено a := eβ > 1 , так как β > 0

I

§ 1. Пределы функций

163

Определение 109. Говорят, что функции f и g имеют одинаковый порядок при x → a, x ∈ X , если выполняются оба соотношения: f = O(g) и g = O(f ) . Обозначается это так: f (x) ³ g(x) при x → a, x ∈ X . Например, Mx + N 1 если a 6= 0 и M 6= 0 , то 2 ³ при x → ∞ . ax + bx + c x Определение 110. Функции f и g называются эквивалентныf (x) ми при x → a; x ∈ X , если x→a; lim = 1. g(x) x∈X Обозначается это так: f (x) ∼ g(x) при x → a; x ∈ X . Приведем примеры эквивалентных функций: sin x = 1; при x → 0; x 6= 0 , так как lim x→0 x ¶x µ 1 при x → ∞ , так как lim 1 + = e; x→∞ x

sin x ∼ x µ ¶x 1 1+ ∼e x (1 + t)1 t ∼ e ( M 6= 0, Если a 6= 0,

при t → 0; t 6= 0 , так как lim(1 + t)1

t

t→0

то

= e.

Mx + N M 1 ∼ · при x → ∞ . 2 ax + bx + c a x

Теорема 103. Справедливы следующие соотношения: (a)

ln(1 + x) ∼ x

при x → 0 ;

(b)

ex − 1 ∼ x

при x → 0 ;

(c)

(1 + x)α − 1 ∼ αx

при x → 0 , если α 6= 0 .

J (a) Производя замену (1 + x)1x = t , получим: ¡ ¢ ln(1 + x) = lim ln (1 + x)1x = lim ln t = 1 . t→e x→0 x→0 x lim

Последнее равенство можно доказать следующим образом. Так как функция ln — возрастающая, то существуют пределы: lim ln t = λ 6 1 6 µ = lim ln t .

t→e; t<e

t→e; t>e

164

Глава 4. Пределы и непрерывность

Если предположить, что λ < µ , то функция ln нигде не будет принимать значений, принадлежащих интервалу (λ , µ) . Значит, обратная к ней функция exp не будет определена в точках этого интервала. Последнее противоречит тому факту, что функция exp определена всюду на R . Значит, λ = µ = 1 . (b) Производя замену ex − 1 = t ⇐⇒ x = ln(1 + t) , получим: t ex − 1 = lim =1 x→0 t→0 ln(1 + t) x lim

в силу пункта (a). (c) Производя очевидные замены, имеем: (1 + x)α − 1 eα·ln(1+x) − 1 α · ln(1 + x) lim = lim · = x→0 x→0 α · ln(1 + x) x x et − 1 α · ln(1 + x) = lim · lim = α, t→0 x→0 t x (1 + x)α − 1 т.е. lim = α , что равносильно доказываемому равенстx→0 x ву I

§ 2. Непрерывные и разрывные функции. Локальные свойства непрерывных функций 1. Понятие непрерывной и разрывной функции в точке. Понятие непрерывной функции можно получить из интуитивного представления об её графике как о сплошной (непрерывной) линии. Рассмотрим графики функций f1 и f2 , изображенные на рис.17. Отметим различие между этими графиками: график функции f1 представляет собой одну сплошную линию, а график функции f2 состоит из двух отдельно лежащих сплошных линий и точки с координатами (a , f2 (a)) . Ввиду такого различия функцию f1 естественно считать всюду непрерывной, а функцию f2 — разрывной в точке a . Чтобы перейти к точным определениям понятия непрерывности функции

§ 2. Непрерывные и разрывные функции. Локальные свойства 165

f2 f2 (a)

f1

a Рис.17. Графики непрерывной и разрывной функций

в точке, обратим внимание читателя на то, что колебание функции f1 в окрестности точки a можно сделать сколь угодно малым за счёт выбора достаточно малой окрестности точки a , а колебание функции f2 в любой окрестности точки a ограничено снизу положительным числом ¯ ¯ ¯ lim f2 (x) − lim f2 (x)¯ . x→a; x→a; x>a

x
Вспоминая критерий Коши существования предела функции, заключаем, что предел lim f1 (x) существует, а предел lim f2 (x) не x→a

x→a

существует. Таким образом, понятие непрерывности (и разрывности) функции в точке может быть выражено через понятие предела функции в точке. Определение 111. Функция f : X −→ Y называется непрерывной в точке a ∈ X , если существует предел lim f (x) при x → a; x ∈ X ; она называется разрывной в точке a ∈ X , если этот предел не существует. Теорема 104. Если функция f : X −→ Y непрерывна в точке a ∈ X , то x→a; lim f (x) = f (a) или, что равносильно, x∈X

¡ ¢ lim f (x) = f lim x . x→a; x→a; x∈X

x∈X

J Предположим противное: x→a; lim f (x) = A 6= f (a) . В силу свойстx∈X

ва отделимости существует окрестность V (A) точки A , такая, что

166

Глава 4. Пределы и непрерывность

f (a) ∈ / V (A) . Далее, так как x→a; lim f (x) = A , то x∈X

∃U (a) : f (U (a) ∩ X) ⊂ V (A) . Так как a ∈ U (a) ∩ X , то f (a) ∈ f (U (a) ∩ X) ⊂ V (A) , откуда f (a) ∈ V (A) — противоречие. И, наконец, так как a = x→a; lim x , то равенство x→a; lim f (x) = f (a) равносильно равенству:

x∈X

x∈X

¡ ¢ lim f (x) = f lim x x→a; x→a; x∈X

I

x∈X

Теорема 105. Если a ∈ X — изолированная точка множества X , то любая функция f : X −→ Y непрерывна в точке a . J Так как a ∈ X — изолированная точка, то существует окрестность U (a) точки a , такая, что U (a)∩X = {a} . Беря любую окрестность V (f (a)) точки f (a) , имеем: f (U (a) ∩ X) = f ({a}) = {f (a)} ⊂ V (f (a)) , т.е. существует предел lim f (x) = f (a) при x → a; x ∈ X

I

Замечания. 1) На основании теоремы 105 можно утверждать, например, что любая последовательность f : N −→ R непрерывна в каждой точке n ∈ N , поскольку все точки множества N — изолированные. 2) Теорема 105 показывает, что случай, когда точка a ∈ X — изолированная, не представляет интереса с точки зрения непрерывности, так как в достаточно малой окрестности изолированной точки непрерывные функции ничем не отличаются от произвольных функций. Если же ограничиваться случаем, когда точка a — предельная точка множества X , то определение непрерывности можно переписать в следующем равносильном виде.

Определение 112. Функция f : X −→ Y называется непрерывной в предельной точке a ∈ X , если lim f (x) = f (a) .

x→a; x6=a

(4.11)

§ 2. Непрерывные и разрывные функции. Локальные свойства 167 Простое обоснование равносильности определений 111 и 112 опускаем. Часто используется равносильное 112 определение непрерывности, использующее понятие приращения. Определение 113. Приращением аргумента x в точке a называется разность x − a . Приведем часто используемые обозначения для приращения аргумента: h = ∆x := x − a . Определение 114. Приращением функции f в точке a , соответствующим приращению аргумента, равному h , называют разность f (a + h) − f (a) . Обозначения: ∆h f (a) := f (a + h) − f (a)

или

∆f (a) = f (x) − f (a) ,

где x = a+∆x . Очевидно, что равенство (4.11) равносильно такому: lim [f (x) − f (a)] = 0 ,

x→a; x6=a

и в соответствии с этим определение 112 равносильно следующему определению. Определение 115. Функция f : X −→ Y считается непрерывной в точке a ∈ X , если бесконечно малому приращению аргумента x в точке a соответствует бесконечно малое приращение функции f . 2. Точки разрыва и их классификация. Согласно определению 111 функция f : X −→ Y разрывна в точке a ∈ X , если не существует предел lim f (x) при x → a; x ∈ X . Это, однако, не исключает возможности существования предела lim f (x) при x → a; x ∈ E , для некоторых подмножеств E ⊂ X . Например, разрывная функция может быть непрерывной слева или непрерывной справа в зависимости от выполнения одного из следующих равенств: lim f (x) = f (a) или

x→a; x
lim f (x) = f (a) .

x→a; x>a

(4.12)

168

Глава 4. Пределы и непрерывность Y 1 X −π

0

sin x Рис.18. Фрагмент графика функции y = x

π

Возможность выделения таких подмножеств E ⊂ X , для которых существует предел lim f (x) при x → a; x ∈ E , может служить основой для классификации точек разрыва. Ниже приводится первоначальная, самая грубая классификация точек разрыва вещественных функций вещественного переменного. 1) Точкой устранимого разрыва функции f : X −→ R называется такая точка a ∈ X , что существует конечный предел lim f (x) = A , но A 6= f (a) . x→a; x6=a

Вводя новую функцию ( f1 (x) =

f (x) , если x 6= a , A, если x = a ,

получим: x→a; lim f1 (x) = A = f1 (a) , т.е. функция f1 непрерывна в точке x6=a

a . Таким образом, произведено устранение разрыва путём надлежащего изменения значения функции f в точке a . Например, точка x = 0 является точкой устранимого разрыва функции:   sin x , если x 6= 0 , f (x) = x 0 , если x = 0 , sin x = 1 6= 0 . x→0; x

так как lim x6=0

В приведенном примере для устранения разрыва достаточно положить (см.рис.18):   sin x , если x 6= 0 , f1 (x) = x 1 , если x = 0 .

§ 2. Непрерывные и разрывные функции. Локальные свойства 169 Y

Y f (a) f (a)

0

a

X

0

a

X

Рис.19. Разрывные функции, непрерывные в точке a с одной стороны

2) Точкой разрыва 1-го рода функции f : X −→ R называется точка a ∈ X , такая, что существуют конечные пределы: f (a − 0) := x→a; lim f (x) (предел слева) x
и f (a + 0) := x→a; lim f (x) (предел справа) , x>a

причем f (a − 0) 6= f (a + 0) . Если, в частности, f (a − 0) = f (a) , то функция f называется непрерывной слева; если же f (a + 0) = f (a) , то функция f называется непрерывной справа. На рис.19 показаны графики функций, имеющих точки разрыва 1-го рода. 3) Точкой разрыва 2-го рода функции f : X −→ R называются любая ее точка разрыва a ∈ X , которая не является ни точкой устранимого разрыва, ни точкой разрыва 1-го рода. Для таких точек разрыва по меньшей мере один из следующих двух пределов lim f (x) , x→a; lim f (x)

x→a; x
x>a

не существует или равен бесконечности. В качестве примера рассмотрим функцию  1  sin , x 6= 0 , f (x) = x A , x = 0.

(4.13)

170

Глава 4. Пределы и непрерывность

с точкой разрыва x = 0 . Для нее оба предела (4.13) lim sin x→−0

существуют (см.рис.16). Для функции

1 1 и lim sin не x x→+0 x

  1 , x 6= 0 , f (x) = x  0, x = 0.

имеем (см.рис.20): lim f (x) = −∞ ,

x→−0

lim f (x) = +∞ .

x→+0

Для функции ( e1 x , x 6= 0 , f (x) = 0, x = 0.

Y

имеем (см.рис.21): lim e1

x→−0

lim e1

x→+0

x

x

= lim et = 0 , t→−∞

X

0

= lim et = +∞ . t→+∞

Рис.20. График функции y =

1 x

3. Функция Дирихле и функция Римана. 1) Функция Дирихле D : R −→ R определяется равенством: ( 1 , если x — рациональное число, D(x) := 0 , если x — иррациональное число. В силу свойства плотности множеств Q и R в любой окрестности любого числа a ∈ R имеются как рациональные, так и иррациональные точки. Поэтому колебание функции Дирихле в любой окрестности U (a) любой точки a ∈ R равно 1, т.е. ω(D; U (a)) = 1 .

§ 2. Непрерывные и разрывные функции. Локальные свойства 171 Отсюда, применяя критерий Коши, заключаем, что предел lim D(x) x→a не существует ни при каком a ∈ R . Таким, образом, функция Дирихле разрывна во всех точках числовой оси. 2) Функция Римана R : R+ −→ R определяется при x > 0 равенством:  0 , если x — иррациональное число, R(x) := 1 p  , если x = (несократимая дробь). q q Y

6

Применяя свойство плотности, заключаем, что p ω(R; U ( q )) > 1q , и, значит, в силу критерия Коши предел lim R(x) не

1

-

0

-X

x→pq

µ ¶ существует. Таким 1 Рис.21. График функции y = exp образом, функция x Римана разрывна во всех рациональных точках. Пусть теперь точка a — иррациональная. Задавая ε ∈ (0 , 1) , 1 найдем такое qε ∈ N , что qε > . Затем введем в рассмотрение ε множество:

½ R

¯ ¾ [µ ¶ n ¯¯ n n+1 ; n∈Z = . qε ! ¯ qε ! qε ! n∈Z

µ

¶ n n+1 ; Обозначим через Uε (a) тот из интервалов , котороqε ! qε ! му принадлежит точка a , и пусть x ∈ Uε (a) . Покажем, что тогда R(x) < ε . Действительно, если число x — иррациональное, то

172

Глава 4. Пределы и непрерывность

R(x) = 0 < ε . Если же число x > 0 — рациональное, то, предp ставляя его в виде несократимой дроби x = , имеем: q > qε . Дейq ствительно, предполагая противное: q 6 qε , заключаем, что при n p , из некотором n ∈ N должно иметь место равенство: x = = q qε ! которого следует, что x ∈ / Uε (a) , и мы пришли к противоречию. И, наконец, имеем: µ ¶ 1 1 p R(x) = R = < 6 ε. q q qε Последнее означает, что функция Римана непрерывна во всех иррациональных точках. 4. Локальные свойства непрерывных функций. Определение 116. Локальными (местными) свойствами функции f : X −→ Y называются такие свойства, которые зависят только от значений функции f в сколь угодно малой окрестности данной точки a ∈ X . Глобальными свойствами функции f : X −→ Y называются такие ее свойства, которые зависят от значений этой функции во всей области ее определения X . Например, свойство функции быть непрерывной в одной точке — локальное, а свойство функции быть непрерывной во всех точках — глобальное. Свойство функции f быть ограниченной — глобальное, а финально ограниченной (т.е, ограниченной при x → a) — локальное. Теорема 106. Если функция f : X −→ R непрерывна в точке a ∈ X , то (a) она финально ограничена при x → a ; (b) если f (a) 6= 0 , то существует окрестность U (a) точки a , такая, что ∀x ∈ U (a) ∩ X значения f (x) имеют тот же знак, что и f (a) . J (a) Записывая условие непрерывности в виде lim f (x) = f (a) при x → a; x ∈ X , используем теорему о финальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.

§ 3. Глобальные свойства непрерывных функций

173

Y f (b) > 0 a f (a) < 0

a3 0 a1 = a2

X b2 = b3 b = b1

Рис.22. К теореме Больцано-Коши

(b) Беря окрестность V (f (a)) в виде интервала, не содержащего точку 0, достаточно найти такую окрестность U (a) , для которой выполняется включение: f (U (a) ∩ X) ⊂ V (f (A)) I Теорема 107. Если функции f и g непрерывны в точке a , то: (a) f + g непрерывна в точке a ; (b) f · g непрерывна в точке a ; f (c) непрерывна в точке a , если g(a) 6= 0 . g J Доказательство заключается в простом применении теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций I Теорема 108. Если функция f : X −→ Y непрерывна в точке a ∈ X , а функция g : Y −→ Z непрерывна в точке f (a) ∈ Y , то композиция g ◦ f : X −→ Z непрерывна в точке a . J Для доказательства достаточно применить теорему о пределе композиции функций I

§ 3. Глобальные свойства непрерывных функций 1. Теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса. Напомним, что глобальными называются такие свойства функции, которые зависят от значений данной функции во всей ее области определения.

174

Глава 4. Пределы и непрерывность

Определение 117. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Теорема 109 (Больцано-Коши). Если функция f непрерывна на отрезке [a , b] , а на его концах принимает значения разных знаков, то существует точка c ∈ (a , b) , такая, что f (c) = 0 . Замечания. 1) Если обозначить символом C[a , b] множество всех функций, непрерывных на отрезке [a , b] , то теорему Больцано-Коши можно сформулировать так: ¾ f ∈ C[a , b] =⇒ ∃c ∈ (a, b) : f (c) = 0 . (4.14) f (a) · f (b) < 0 2) Очевиден геометрический смысл теоремы Больцано-Коши (см.рис.22). Если на графике непрерывной на [a , b] функции f существуют точки, лежащие по разные стороны от оси абсцисс, то на нём должна существовать и точка, лежащая также и на оси абсцисс. Эта геометрическая интерпретация теоремы Больцано-Коши не может, однако, служить ее строгим доказательством.

a+b J Разделим отрезок [a , b] пополам точкой . Если 2 ¶ µ a+b a+b , то полагаем: c := f , указывая тем самым точку, 2 2 µ ¶ a+b в которой f (c) = 0 . Если же f 6= 0 , то на концах одного 2 из двух образовавшихся отрезков (обозначим его [a1 , b1 ]) функция f принимает значения разных знаков, т.е. f (a1 ) · f (b1 ) < 0 . Разa1 + b1 делим отрезок [a1 , b1 ] пополам точкой и повторим предыду2 щее рассуждение. В результате мы получим либо точку c , в которой f (c) = 0 , либо новый отрезок [a2 , b2 ] со свойством f (a2 ) · f (b2 ) < 0 . Продолжая этот процесс, мы в результате либо найдем точку c , в которой f (c) = 0 , либо получим бесконечную последовательность вложенных отрезков [a , b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ . . . ⊃ [an , bn ] ⊃ . . . , такую, что ∀n ∈ N будет: f (an ) · f (bn ) < 0 . Так как b−a bn − an = n → 0 при n → ∞ , 2 2

(4.15)

§ 3. Глобальные свойства непрерывных функций

175

то по лемме о вложенных отрезках существует единственная точка c , лежащая на всех отрезках (4.15) и такая, что lim an = lim bn = c. n→∞

n→∞

Переходя к пределу при n → ∞ в неравенстве f (an ) · f (bn ) < 0 и используя непрерывность функции f , получим: [f (c)]2 6 0 , откуда f (c) = 0 I Теорема 110 (о промежуточных значениях). Если функция f : [a , b] −→ R непрерывна на отрезке [a , b] , и f (a) 6= f (b) , то для любого C ∈ (f (a) , f (b)) существует точка c ∈ (a , b) , такая, что f (c) = C . J Предполагая для определенности, что f (a) < f (b) , введем в рассмотрение функцию ϕ(x) := f (x) − C , непрерывную на отрезке [a , b] Так как f (a) < C < f (b) , то ϕ(a) = f (a) − C < 0 , ϕ(b) = f (b) − C > 0 . Применяя к функции ϕ теорему Больцано-Коши, заключаем, что ∃c ∈ (a, b) : ϕ(c) = 0 , т.е. f (c) = C I Определение 118. Говорят, что функция f : X −→ R принимает в точке x∗ ∈ X наибольшее значение, если ∀x ∈ X : f (x) 6 f (x∗ ) . Говорят, что функция f : X −→ R принимает в точке x∗ ∈ X наименьшее значение, если ∀x ∈ X : f (x) > f (x∗ ) . Теорема 111 (Вейерштрасс). Если функция f : [a, b] −→ R непрерывна на отрезке [a , b] , то она ограничена, и на этом отрезке существуют точки, в которых функция f принимает свои наибольшее и наименьшее значения. J Установим сначала ограниченность функции f . Так как f непрерывна в каждой точке c ∈ [a , b] , то по локальному свойству 106(a) она финально ограничена при x → c , т.е. ∀c ∈ [a , b] ∃U (c) ∃Mc ∈ R+ ∀x ∈ U (c) ∩ [a , b] : |f (x)| 6 Mc . (4.16)

176

Глава 4. Пределы и непрерывность

Условимся окрестности U (c) брать в виде открытых интервалов. Семейство {U (c) | c ∈ [a , b]} всех интервалов из (4.16) является, очевидно, открытым покрытием отрезка [a , b] . По лемме Гейне-Бореля это покрытие содержит конечное подпокрытие: n [ {U (C1 ) , U (c2 ) , . . . , U (cn )} , U (ck ) ⊃ [a , b] . k=1

Полагая K := max{Mc1 , . . . , Mcn } , имеем: K ∈ R+ и ( x ∈ U (xk ) ; ∀x ∈ [a , b] ∃k ∈ N : |f (x)| 6 Mck 6 K , т.е. ∃K ∈ R+ ∀x ∈ [a , b] : |f (x)| 6 K . Таким образом, ограниченность функции f установлена. Введем в рассмотрение точные границы: m := inf f (x) , M := sup f (x) . a6x6b

(4.17)

a6x6b

Так как функция f ограничена, то m и M — числа. Предполагая противное, а именно, что не существует точек x , в которых 1 f (x) = M , заключаем, что функция ϕ(x) := непрерывна M − f (x) на [a , b] как частное непрерывных фуцнкций с не обращающимся в нуль знаменателем. По доказанной части теоремы из непрерывности функции ϕ следует ее ограниченность, т.е. выполняется следующее: 1 ∃C ∈ R+ ∀x ∈ [a, b] : 0 < 6C. (4.18) M − f (x) Решая последнее неравенство относительно f (x) , получим: 1 ∀x ∈ [a , b] : f (x) 6 M − . C 1 Беря здесь sup по всем x ∈ [ a , b] , получим: M 6 M − , откуда C видно, что M < M — противоречие. Аналогично можно показать, что существует точка x∗ , в которой f (x∗ ) = m I Замечание. Можно показать, что теорема Вейерштрасса остается справедливой и для функций, непрерывных на произвольных компактных множествах.

§ 3. Глобальные свойства непрерывных функций

177

2. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. Определение 119. Функция f : X −→ R называется равномерно непрерывной на множестве X , если ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x0 , x00 ∈ X : |x0 − x00 | 6 δ =⇒ |f (x0 ) − f (x00 )| 6 ε . (4.19) Отметим, что из равномерной непрерывности функции f вытекает ее непрерывность. J В самом деле, зафиксируем в (4.19) точку x00 = c положим x0 = x . Тогда получим: ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ X : |x − c| 6 δ =⇒ |f (x) − f (c)| 6 ε , (4.20) что равносильно непрерывности функции f в точке c , а значит, и на множестве X I Обратное, однако, неверно, т.е. из непрерывности функции на множестве не вытекает ее равномерная непрерывность на этом множестве. J Например, функция f (x) := x2 непрерывна на R , но не является равномерно непрерывной на R . Предполагая противное, получим: ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, c ∈ R : |x − c| 6 δ =⇒ |x2 − c2 | 6 ε . В частности, |x − c| = δ =⇒ |x2 − c2 | 6 ε . Из последнего неравенства имеем: δ ·|2c+δ| 6 ε . Отсюда в пределе при c → +∞ получим: +∞ 6 ε — противоречие

I Теорема 112 (Кантор). Если функция f непрерывна на отрезке [a , b] , то она и равномерно непрерывна на нем. J Зададим ε ∈ R+ . В силу непрерывности функции f на отрезке [a , b] имеем: ∀c ∈ [a, b] ∃η = η(c) > 0 ∀x ∈ [a, b] : |x − c| 6 η(c) =⇒ |f (x) − f (c)| 6

ε (4.21) 2

178

Глава 4. Пределы и непрерывность

¶ µ η(c) η(c) Обозначим U (c) := c − ; c+ . Множество всех интер2 2 валов {U (c) | c ∈ [a , b]} есть открытое покрытие отрезка [a , b] . По лемме Гейне-Бореля это покрытие содержит конечное подпокрытие {U (c1 ) , . . . , U (cn )} ⊂ {U (c) | c ∈ [a, b]} , ½ ¾ n S η(c1 ) η(cn ) т.е. [a , b] ⊂ U (ck ) . Положим δ := min , ... , — 2 2 k=1 наименьшему из радиусов интервалов U (ck ) . Пусть x0 , x00 ∈ [a , b] — любые две точки, для которых |x0 − x00 | 6 δ . Существует j , такое, η(cj ) что x00 ∈ U (cj ) и, значит, |x00 − cj | 6 . Далее, 2 |x0 − cj | 6 |x0 − x00 | + |x00 − cj | 6 δ +

η(cj ) 6 2 η(cj ) η(cj ) + = η(cj ) . 6 2 2

Отсюда в силу (4.21) имеем: |f (x0 ) − f (x00 )| 6 |f (x0 ) − f (cj )| + |f (cj ) − f (x00 )| 6

ε ε + =ε 2 2

I

Замечание. Теорема Кантора2 остается справедливой и для функций, непрерывных на произвольных компактных множествах.

3. Критерий непрерывности функции на множестве. Теорема о непрерывности обратной функции. Определение 120. Пусть T — топологическое пространство, и X ⊂ T . Подмножество A ⊂ X называется открытым относительно X , если его можно представить в виде: A = U ∩ X , где U — открытое подмножество пространства T . Понятия „открытое множество“ и „множество, открытое относительно X“ совпадают тогда и только тогда, когда X — открытое подмножество пространства T . 2

Кантор Георг (1845 – 1918) — немецкий математик, создатель теории множеств.

§ 3. Глобальные свойства непрерывных функций

179

Теорема 113. Равносильны следующие утверждения: (a) Функция f : X −→ R , X ⊂ R непрерывна на множестве X; (b) Полный прообраз любого открытого множества открыт относительно X . J (a)⇒(b) Пусть V ⊂ R — произвольное открытое множество, а f −1 (V ) — его полный прообраз, f −1 (V ) ⊂ X . Если f −1 (V ) = ∅ , то справедливо и такое: f −1 (V ) = ∅ ∩ X . Так как множество ∅ — открытое, то множество ∅ ∩ X открыто относительно X . Предположим теперь, что f −1 (V ) 6= ∅ , и пусть x ∈ f −1 (V ) . Тогда f (x) ∈ V , а так как V открыто, то V — окрестность точки f (x) . Пользуясь непрерывностью функции f , заключаем, что существует открытая окрестность U (x) точки x ∈ X , такая, что f (U (x) ∩ X) ⊂ V , или, что равносильно, U (x) ∩ X ⊂ f −1 (V ) . Беря объединение этих множеств по всем x ∈ f −1 (V ) , получим: f −1 (V ) =

[ x∈f −1 (V )

{x} ⊂

[

(U (x)

\

x∈f −1 (V )

⊂

X) ⊂ [

f −1 (V ) = f −1 (V ) .

x∈f −1 (V )

Отсюда находим: f −1 (V ) = U ∩ X , где через U обозначено множество U := ∪x∈f −1 (V ) U (x) , которое открыто как объединение семейства открытых множеств U (x) . (b)⇒(a) Пусть a ∈ X — произвольная точка, b = f (a) — ее образ. Возьмем произвольную открытую окрестность V (b) точки b . По условию имеем: f −1 (V ) = U (a) ∩ X , где U (a) — некоторое открытое множество, содержащее точку a . Значит, x→a; lim f (x) = b = f (a) , т.е. f непрерывна в любой точке a ∈ X

I

x∈X

Теорема 114. Если функция f : [a , b] −→ Y , где Y = f ([a , b]) , — строго монотонна и непрерывна на отрезке [a , b] , то обратная функция f −1 : Y −→ [a , b] непрерывна на Y . J В главе 0 было показано, что в условиях теоремы существует единственная обратная функция f −1 , которая притом строго моно-

180

Глава 4. Пределы и непрерывность

тонна в том же смысле, что и f . Остается только установить непрерывность этой обратной функции. Предположим для определенности, что функция f возрастает, и пусть a < b . Обозначим: c := f (a) , d := f (b) . Учитывая строгое возрастание функции f и теорему о промежуточных значениях, заключаем, что f ([a , b]) = [c , d] . На основании тех же соображений имеем: если a 6 x1 < x2 6 b , то f ((x1 , x2 )) = (y1 , y2 ) , где y1 := f (x1 ) , y2 := f (x2 ) . Отсюда легко найти полный прообраз любого интервала (x1 , x2 ) ⊂ R при отображении f −1 , т.е. образ любого интервала при отображении f . Имеем:   ∅, если (x1 , x2 ) ∩ [a, b] = ∅ ;      (y1 , y2 ) , если (x1 , x2 ) ⊂ [a, b] ; f ((x1 , x2 )) = (y1 , d] , если x1 ∈ [a, b] , x2 ∈ / [a, b] ;    [c, y2 ) , если x1 ∈ / [a, b] , x2 ∈ [a, b] ;    [c, d] , если (x1 , x2 ) ⊃ [a, b] . Из этих равенств видно, что при отображении f −1 полный прообраз любого интервала (x1 , x2 ) открыт относительно отрезка [c , d] . А так как открытые множества — это объединения интервалов, то при отображении f −1 полный прообраз любого открытого множества открыт относительно отрезка [c , d] . Отсюда на основании теоремы 113 заключаем, что функция f −1 непрерывна на отрезке [c , d] . Если функция f убывает, то функция g := −f возрастает. По доказанному обратная к ней функция g −1 непрерывна, а отсюда легко заключить, что и f −1 = −g −1 непрерывна I

§ 4. Элементарные функции и их непрерывность 1. Понятие элементарной функции. В анализе и его приложениях (особенно при рассмотрении различных примеров) часто рассматриваются функции, называемые элементарными. Чтобы их определить, вводят сначала так называемые основные элементарные функции. К ним относят функции следующих семи типов.

Y

Y

y=

k

x+

b

0 X

181 y=a 2 x +b x+c

§ 4. Элементарные функции и их непрерывность

0

X

Рис.23. Графики линейной и квадратичной функций

1) Целые рациональные функции. Так называется всякая функция, представимая в виде многочлена от независимого переменного x следующим образом: y = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an , где a0 , a1 , . . . , an ∈ R , n ∈ N — параметры3 . Областью определения любой такой функции является множество R . Примерами целых рациональных функций являются: постоянная y = a0 , линейная y = a0 x+a1 и квадратичная y = a0 x2 +a1 x+a2 , графики которых (при некоторых значениях параметров) представлены на рис.23. 2) Дробные рациональные функции. Так называется любая функция от x , представимая в виде отношения двух многочленов: y=

a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an , b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm

(4.22)

где a0 , a1 , . . . , an , b0 , b1 , . . . , bn ∈ R — параметры. Областью определения дробной рациональной функции, представленной в виде (4.22), считается множество всех x ∈ R , кроме тех значений переменного x , в которых знаменатель в (4.22) обращается в нуль. Примером дробной рациональной функции является дробноa0 x + a1 линейная функция y = , график которой при b0 6= 0 b0 x + b1 3

Параметром называется величина, которая считается постоянной в данной конкретной задаче, но может изменяться при переходе к другим аналогичным задачам.

182

Глава 4. Пределы и непрерывность Y

¡ 1 ¢x

Y 0, 1x 8

3

10x

3

2

x

2x

4

2

x

lg 3 x lg 10 x

1

6

¡ 1 ¢x

lg 2

0

6 8 X lg0,1 x

4

−1 −2 −1

0

1

2

X

−2

lg1

lg

1/

2

x

/3

x

Рис.24. Графики показательных и логарифмических функций

— гипербола с асимптотами, параллельными координатным осям (рис.20). 3) Показательная функция — это функция y = ax , где x — аргумент, a — параметр, a > 0 , a 6= 1 . Областью ее определения является множество R , а областью значений — множество R+ . Графики показательных функций (при некоторых конкретных значениях параметра a) показаны на левом рисунке 24. При a = e , где e — основание натуральных логарифмов, показательная функция называется экспонентой и обозначается символом exp . 4) Логарифмическая функция — это функция, обратная к показательной. Обозначение: y = loga x , где a — параметр, называемый основанием логарифмов (a > 0 , a 6= 1) . Логарифмы с основанием a = e называются натуральными, а соответствующая логарифмическая функция обозначается символом ln . Логарифмы с основанием a = 10 называются десятичными, а соответствующая логарифмическая функция обозначается символом lg . Областью определения логарифмической функции является множество R+ , а областью значений — множество R . Графики логарифмических функций (при некоторых конкретных значениях параметра a) показаны на правом рисунке 24. 5) Степенн´ ая функция задается уравнением: y = xµ , где µ ∈ R — параметр. Если число µ — целое, то степенная функция явля1 ется рациональной. Если µ = , где m ∈ N , то областью опреm деления степенной функции является множество R при нечетном

§ 4. Элементарные функции и их непрерывность y = xµ , µ < 0 y = xµ , µ > 0 Y

10 3

183

Y

3 2 2 3 1 3

0, 1 −1/3 −1 0

X

−5 X

0

Рис.25. Графики степенных функций

Y

y = sin x

0

π 2

y = cos x π

3π 2

2π

X

−1 Рис.26. Графики функций sin и cos

m , и множество4 R+ при четном m . На рисунке 25 представлены графики степенных функций при различных значениях показателя степени. Если µ ∈ Q , то область определения и область значений степенной функции могут зависеть от представления рационального числа µ в виде отношения двух целых чисел µ = m n и µ m 1n от того, какое из двух следующих представлений: x := (x ) или xµ := (x1n )m следует взять в качестве определения степенной функции. Читателю предлагается самостоятельно исследовать возникающие здесь различные случаи. В общем же случае (например, когда µ ∈ RQ) степенную функцию естественно определить в виде композиции xµ := exp{µ · ln x} , и тогда областью ее определения будет множество R+ . 4

Напомним, что под R+ понимается множество всех положительных чисел, а R+ = [0 ; +∞) — замыкание множества R+ .

Глава 4. Пределы и непрерывность

y = tg x

184 Y

1 π 2

0

π

3π 2

2π

X

−1

y = ctg x

Рис.27. Графики функций tg и ctg

6) Тригонометрические функции — это известные из школьного курса функции sin , cos , tg , ctg , определяемые для аргумента x , выраженного в радианах. Они реализуют следующие сюръективные отображения: sin : R −→ [−1 , +1] ; cos : R −→ [−1 , +1] ; ¢ F ¡ π tg : − 2 + kπ , π2 + kπ −→ R ; k∈Z F ctg : (kπ , π + kπ) −→ R . k∈Z

Функция cos — четная, функции sin , tg , ctg — нечетные. Тригонометрические функции — периодические. Основной период функций sin и cos равен 2π , а основной период функций tg и ctg равен π . Графики тригонометрических функций показаны на рисунках 26 и 27. 7) Обратные тригонометрические функции. Из свойства периодичности тригонометрических функций следует, что для них не существует (однозначных) обратных функций. В связи с этим обратные тригонометрические функции arcsin , arccos , arctg , arcctg определяются как функции, обратные соответственно к сужениям

§ 4. Элементарные функции и их непрерывность

π 2

185

π

−1 0

π 2

1

− π2 Рис.28. График функции arcsin

−1

0

1

Рис.29. График функции arccos

функций sin , cos , tg , ctg на определенные промежутки, где эти функции непрерывны и строго монотонны. Именно: arcsin — функция, обратная к сужению

sin¯¯

arccos — функция, обратная к сужению

cos¯¯

arctg — функция, обратная к сужению arcctg — функция, обратная к сужению

tg¯¯

[−π2 , π2] [0 , π]

;

(−π2 , π2)

ctg¯¯

(0 ,π)

;

;

.

Таким образом, имеем следующие биективные отображения: arcsin : [−1 , +1] −→ [−π2 , +π2] ; arccos : [−1 , +1] −→ [0 , π] ; arctg : (−π2 , π2) −→ R ; arcctg : (0 , π) −→ R . Графики этих функций показаны на рисунках 28 – 31. Общее понятие элементарной функции дается с помощью следующего рекурсивного определения.

186

Глава 4. Пределы и непрерывность

Определение 121. (a) Все основные элементарные функции считаются элементарными функциями. (b) Если f и g — элементарные функции, то f +g , f −g , f ·g ,

f , f ◦g g

также считаются элементарными функциями. (c) Не существует никаких других элементарных функций, кроме тех, которые можно получить в результате применения конечное число раз (в любом порядке) пунктов (a) и (b). Следует отметить, что в пункте (b) под операциями над функциями понимаются соответствующие операции над сужениями этих функций на максимальные множества, где эти операции определены и дают в результате вещественные числа. Таким образом, каждую элементарную функцию можно задать явно уравнением: y = F (x) , где под F понимается формула, позволяющая по некоторым значениям переменного x ∈ R вычислять соответствующие им значения переменного y ∈ R . В связи с этим вводится понятие естественной области определения элементарной функции. Определение 122. Естественной областью определения элементарной функции F называется множество X ⊂ R , состоящее из всех значений x ∈ R , для которых имеет смысл выражение F (x) , причем должно быть: F (x) ∈ R . В этом определении слова имеет смысл означают, что не только F (x) , но и результаты всех промежуточных вычислений по формуле F в точке x должны быть вещественными числами. Важными примерами элементарных функций являются так называемые гиперболические функции5 ch , sh , th , cth и обратные к ним функции6 arch , arsh , arth , arcth . Гиперболические функции определяются следующими 5 6

Приводимые здесь символы читаются так: к´осинус гиперболический и т.д. Приводимые здесь символы читаются так: ´ ареакосинус гиперболический и т.д.

§ 4. Элементарные функции и их непрерывность равенствами:

ex + e−x , 2 ex − e−x sh x := , 2 sh x th x := , ch x ch x , cth x := sh x ch x :=

π 2

0 − π2

Рис.30. График функции arctg

187

x∈R; x∈R; x∈R; x ∈ R{0} . Функция ch — четная, а функции sh , th , cth — нечетные. Свойства гиперболических функций во многом аналогичны известным свойствам круговых (т.е. тригонометрических) функций cos , sin , tg , ctg . Например, известное тождество cos2 x + sin2 x ≡ 1 показывает, что система уравнений ( u = cos x , v = sin x

представляет собой параметрические уравнения окружности u2 + v 2 = 1 . Аналогично, легко проверяемое тождество ch2 x − sh2 x ≡ 1 показывает, что система уравнений ( u = ch x , v = sh x представляет собой параметрические уравнения гиперболы u2 − v 2 = 1 . Графики гиперболических функций показаны на рисунках 32 и 33. Обратные гиперболические функции определяются следующим образом: arch

— функция, обратная к сужению ch |[0,+∞) ;

arsh

— функция, обратная к функции sh ;

arth

— функция, обратная к функции th ;

arcth — функция, обратная к функции cth . Графики обратных гиперболических функций можно увидеть на тех же рисунках 32 и 33, посмотрев на них с обратной стороны того листа, на котором они нарисованы, причем ось OX надо направить вверх.

188

Глава 4. Пределы и непрерывность

Вообще говоря, функция, обратная к элементарной, может не быть элементарной. Известно, например, что функция, обратная к целой рациональной функции: y = x5 + x + 1 , не является элементарной. Однако oбратные гиперболические функции являются элементарными функциями. J Для доказательства решим уравнения ch y = x , sh y = x , th y = x , cth y = x относительно y . Имеем: ch y = x ⇐⇒

ey + e−y = x ⇐⇒ e2y − 2x · ey + 1 = 0 . 2

Из последнего уравнения, учитывая неотрицательность функции arch , находим: √ y = arch x = ln(x + x2 − 1) , x > 1 , и, значит, функция arch — элементарная. Далее, имеем: sh y = x ⇐⇒

ey − e−y = x ⇐⇒ e2y − 2x · ey − 1 = 0 . 2

Из последнего уравнения, учитывая неотрицательность экспоненты, находим: √ y = arsh x = ln(x + x2 + 1) , x ∈ R , и, значит, функция arsh — элементарная. Далее, имеем: th y = x ⇐⇒

ey − e−y = x ⇐⇒ ey + e−y

e2y − 1 = x ⇐⇒ (1 − x)e2y = 1 + x . e2y + 1

Из последнего уравнения находим: y = arth x =

1 1+x ln , |x| < 1 , 2 1−x

и, значит, функция arth — элементарная. И, наконец, имеем: сth y = x ⇐⇒

ey + e−y = x ⇐⇒ ey − e−y

e2y + 1 = x ⇐⇒ (x − 1)e2y = x + 1 . 2y e −1

Из последнего уравнения находим: y = arcth x =

1 x+1 ln , |x| > 1 , 2 x−1

и, значит, функция arcth — элементарная I

§ 4. Элементарные функции и их непрерывность

189

2. Непрерывность элементарных функций. Теорема 115. Каждая элементарная функция непрерывна во всех точках своей естественной области определения. J Прежде всего следует отметить, что естественная область определения элементарной функции может содержать изолированные точки, а в изолированных точках, как мы знаем, все функции непрерывны. Например, p естественная область определения элементарной функции y = − sin2 πx представляет собой множество Z всех целых чисел, которое состоит только из изолированных точек. Значит, исследование на непрерывность достаточно провести только в предельных точках, лежащих в естественной области определения. Установим сначала непрерывность основных элементарных функций. Постоянная функция y = c0 и функция y = x непрерывны, так как lim c0 = c0 и lim x = a . Целая и дробная рациональные функx→a x→a ции непрерывны, так как они могут быть получены из постоянных функций и из функции y = x с помощью конечного числа арифметических операций. Экспонента непрерывна, так как ex+h − ex = ex · (eh − 1) ∼ ex · h → 0 при h → 0 , т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение экспоненты. Показательная функция y = ax представима в виде: y = ex·ln a , и значит, непрерывна как композиция непрерывных функций t = x · ln a и y = et . Логарифмическая функция y = loga x непрерывна в силу теоремы 114 (как обратная к показательной функции, которая строго монотонна и непрерывна). Функция y = x1m , где m = 2 , 3 , . . . непрерывна как обратная к целой рациональной функции x = y m , которая строго монотонна на [0, +∞) при m ¡четном, ¢ и всюду на R при m нечетном. Функnm 1m n ция y = x = x непрерывна как композиция непрерывных функций. При произвольном µ > 0 степенная функция y = xµ непрерывна на [0, +∞) . Ее непрерывность в точке x = 0 следует из неравенств 0 6 xµ 6 x[µ]+1 → 0 при x → 0 , а непрерывность при x > 0 — из следующего представления ее в виде композиции непрерывных функций xµ = exp (µ · ln x) .

190

Глава 4. Пределы и непрерывность

Функции sin и cos непрерывны, так как ¯ ¯ µ ¶ ¯ ¯ h h 0 6 | sin(x+h)−sin x| = ¯¯2 cos x + sin ¯¯ 6 |h| → 0 при h → 0 , 2 2 ¯ ¯ µ ¶ ¯ ¯ h h 0 6 | cos(x+h)−cos x| = ¯¯2 sin x + sin ¯¯ 6 |h| → 0 при h → 0 . 2 2 Из непрерывности функций sin и cos следует непрерывность функций tg и ctg , так как tg x =

sin x cos x , ctg x = . cos x sin x

И, наконец, обратные тригонометрические функции arcsin , arccos , arctg , arcctg непрерывны как обратные к строго монотонным и непрерывным сужениям соответствующих тригонометрических функций. Итак, все основные элементарные функции π непрерывны. По определению 121 любую π 2 элементарную функцию можно получить из основных элементарных функций по формуле, 0 включающей в себя конечное число арифметических операций и Рис.31. График функции arcctg операций образования композиции. Так как все эти операции, будучи проведенными над непрерывными функциями, могут привести только к непрерывным функциям, то любая элементарная функция непрерывна в своей естественной области определения I

§ 5. Некоторые свойства непрерывных отображений...

191

Y

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. ... .. .. .. ... .. ..... .. . . . ... ....... ... ... ...... ... ..... ... ........ ... .... ... ...... ... .... ...... ... . . ... . ..... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... . . ... ... .. ... .. .. ... ... ... .... .... .... .... . . . .... .. . .... .... .... ...... .... . ........ ...... ... ................................... ... .. . ... ... .... ... . . . .... ..... ..... ....... ....... . . . . . . ...... .... ... .... ... . ... ... ... .. . ... ... ... .. . ... ... ... .... .. ... ... .... .. ... .. .. ... . .. .. .. .. ... . .. .. .. .. ... .. ..

6

ch

1

O

-

X

sh

Рис.32. Графики функций ch и sh

§ 5. Некоторые свойства непрерывных отображений топологических пространств 1. Св´ язные множества. Важным для анализа свойством множеств является их св´ язность. Образно говоря, связность точечного множества — это его свойство заполнять один сплошной кусок пространства. Перейдем теперь к точным определениям. Определение 123. Топологическое пространство называется связным, если не существует представления его в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых множеств. Исходя из этого определения, сформулируем условие, означающее, что топологическое пространство X не является связным: существуют открытые множества U ⊂ X и V ⊂ X , обладающие следующими свойствами: U= 6 ∅ , V 6= ∅ , U ∩ V = ∅ , U t V = X.

192

Глава 4. Пределы и непрерывность

Отсюда вытекает, что U = XV , V = XU , а так как дополнение к открытому множеству является замкнутым, то оба множества U и V — замкнутые, а значит, и открыто-замкнутые. Введем теперь понятие связности подмножества топологического пространства. Определение 124. Множество E , лежащее в топологическом пространстве X , называется связным, если оно является связным как топологическое пространство с индуцированной топологией. Примерами связных множеств являются: пустое множество ∅ , а также множество {x} , состоящее их одной точки x ∈ X , так как объединение двух непустых непересекающихся множеств содержит не менее двух точек. Оказывается, что все связные подмножества числовой оси допускают весьма простое описание, содержащееся в следующей теореме. Теорема 116. Числовое множество E ⊂ R , содержащее более одной точки, является связным, если и только если оно является числовым промежутком7 E = hα , βi , где −∞ 6 α < β 6 +∞ . J Покажем сначала, что числовой промежуток E = hα , βi связен. Предполагая противное, заключаем, что должны существовать открытые множества U и V , такие, что U ∩ E 6= ∅ , V ∩ E 6= ∅ , U ∩ V ∩ E = ∅ , (U ∪ V ) ∩ E = E . Построим функцию f : E −→ R следующим образом: ( −1 , если x ∈ U ∩ E , f (x) := +1 , если x ∈ V ∩ E .

(4.23)

(4.24)

Из этого определения видно, что полный прообраз f −1 (W ) любого открытого множества W ⊂ R может быть только одним из следующих четырех множеств: ∅,

U ∩E,

V ∩E,

E

(4.25)

в зависимости от того, какое из следующих соотношений выполняется: W ∩ {−1, +1} = ∅ , W ∩ {−1, +1} = {−1} , W ∩ {−1, +1} = {+1} , W ⊃ {−1, +1} . Но все множества (4.25) открыты относительно E . Применяя критерий непрерывности 113, заключаем, что функция (4.24) непрерывна на E . Из неравенств (4.23) следует, что ∃a ∈ U ∩ E , ∃b ∈ V ∩ E . Предполагая для определенности, 7

Условимся символом hα , βi обозначать здесь промежуток, начальная α и концевая β точки которого могут как принадлежать, так и не принадлежать ему.

§ 5. Некоторые свойства непрерывных отображений...

193

что a < b , из того, что E — промежуток, заключаем, что [a , b] ⊂ E . Функция f |[a , b] непрерывна на отрезке [a , b] , а на его концах принимает значения разных знаков, а именно: f (a) = −1 , f (b) = +1 . Отсюда в силу теоремы БольцаноКоши вытекает существование точки c ∈ [a , b] ⊂ E , в которой f (c) = 0 , что противоречит определению (4.24) функции f . Докажем теперь обратное, т.е. что любое непустое связное подмножество E числовой оси — промежуток, т.е. что ∀x, y ∈ E ∀z ∈ R : x < z < y =⇒ z ∈ E . Предположим противное: ( ∃x, y ∈ E ∃z ∈ R :

x < z < y; z∈ / E.

Тогда для открытых множеств U := (−∞, z) и V := (z, +∞) будем иметь: x ∈ U ∩ E , y ∈ V ∩ E , U ∩ V = ∅ , U ∪ V = R{z} ⊃ E . Из этих соотношений имеем: U ∩ E 6= ∅ V ∩ E 6= ∅ , U ∩ V ∩ E = ∅ , (U ∪ V ) ∩ E = E , т.е. множество E не является связным, что противоречит условию I

2. Непрерывные отображения топологических пространств. Пусть X и Y — топологические пространства, а f : X −→ Y — отображение, непрерывное на X . Для таких отображений также справедлив критерий непрерывности, т.е. что непрерывность отображения f : X −→ Y на X равносильна тому, что полный прообраз любого открытого в Y множества открыт в X . Принимая этот факт без доказательства, установим некоторые его следствия. Прежде всего, переходя к дополнениям, получаем следующий критерий. Непрерывность отображения f : X −→ Y на X равносильна тому, что полный прообраз любого замкнутого в Y множества замкнут в X . Для таких отображений имеют место следующие факты, обобщающие теорему Вейерштрасса о максимуме и минимуме и теорему о промежуточных значениях. Теорема 117. Если отображение топологических пространств f : X −→ Y непрерывно на X , то при этом отображении: (a) Образы компактных множеств компактны: (b) Образы связных множеств связны. J (a) Пусть A ⊂ X — компактное множество, а f (A) ⊂ Y — его образ. Пусть {Vα | α ∈ I} — открытое покрытие множества f (A) . Надо показать, что оно содержит конечное подпокрытие. Так как f непрерывно, то все прообразы Uα := f −1 (Vα ) открыты. Так как [ f (A) ⊂ Vα , α∈I

194

Глава 4. Пределы и непрерывность Y

... .

6 ........

... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... ...... ...... ....... ....... ........ ......... ........... ............ ................ .......................... ........ ........................... ....................... . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .............. ............ ........... .......... .......... . . . . . . . . ......... ........ ........ ........ ....... . . . . . . ...... ....... ....... ....... ........ . . . . . . . ........ ......... ........ .......... ......... . . . . . . . . . . ..... ............ .............. ................. ..................... ............................... .............................. ................. ............. ........... ......... ......... ....... ....... ...... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .

cth

1

-

O

th

X

-1

cth

Рис.33. Графики функций th и cth то

A ⊂ f −1 (

[

α∈I

Vα ) =

[ α∈I

f −1 (Vα ) =

[

Uα ,

α∈I

и, значит, семейство {Uα |α ∈ I} — открытое покрытие множества A . Так как множество A — компактное, то это покрытие содержит конечное подпокрытие {Uα1 , . . . Uαn } , т.е.A ⊂ ∪nk=1 Uαk . Отсюда f (A) ⊂ ∪nk=1 Vαk , т.е. {Vα1 , . . . Vαn } — конечное подпокрытие исходного покрытия. (b) Не ограничивая общности, будем считать, что само пространство X связно, а f (X) = Y . Предполагая противное, т.е. что множество Y — не связное, заключаем, что существуют открытые множества V1 и V2 , такие, что V1 6= ∅ , V2 6= ∅ , V1 ∩ V2 = ∅ , V1 t V2 = Y .

(4.26)

Так как отображение f непрерывно, то множества U1 := f −1 (V1 ) и U2 := f −1 (V2 ) открыты. Переходя в соотношениях (4.26) к прообразам при отображении f , получим: U1 6= ∅ , U2 6= ∅ , U1 ∩ U2 = ∅ , U1 t U2 = X . Эти соотношения означают, что X — не связное, что противоречит условию I Определение 125. Отображение топологических пространств f : X −→ Y называется гомеоморфным (или гомеоморфизмом), если оно непрерывно на X , биективно, а обратное к нему отображение f −1 : Y −→ X непрерывно на Y .

§ 5. Некоторые свойства непрерывных отображений...

195

Здесь требование непрерывности обратного отображения существенно, так как имеются биективные и всюду непрерывные отображения, обратные к которым не являются всюду непрерывными. Например, комплекснозначная функция z = cos ϕ + i sin ϕ непрерывна ∀ϕ ∈ R как линейная комбинация непрерывных функций. Так как cos2 ϕ + sin2 ϕ ≡ 1 , то образом числовой оси при данном отображении является единичная окружность |z| = 1 . Сужение данного отображения на полуинтервал [0 ; 2π) — биективное. Для отображения ϕ = ϕ(z) , обратного к этому сужению, имеем: lim ϕ(z) = 0 ; lim ϕ(z) = 2π .

z→1; Im z>0

z→1; Im z<0

Поэтому отображение ϕ , обратное к сужению данного, разрывно в точке z = 1 . Теорема 118. Образами открытых, замкнутых, компактных и связных множеств при любых гомеоморфизмах являются открытые, замкнутые, компактные и связные множества соответственно. Эта теорема является простым следствием теорем 113 и 117. Отметим в заключение, что топологическими свойствами множеств называются такие их свойства, которые сохраняются при любых гомеоморфизмах. Последняя теорема, таким образом, утверждает, что открытость, замкнутость, компактность и связность — топологические свойства.

196

Глава 4. Пределы и непрерывность Задачи к главе 4

4.1 Вычислить следующие пределы: x−2 x2 − 9 tg x ; (b) lim ; (c) lim ; x→2 x2 − 3x + 2 x→3 x2 − 2x + 3 x→π sin 2x √ sin x − cos x ax − x x (d) limπ ; (f) lim ; (e) lim √ ; x→a x − a x→0 x→ 4 cos 2x 1 + 3x − 1 √ √ √ √ 3 3 x−1 1 + mx − 1 1+x− 1−x ; (h) lim (g) lim √ ; (i) lim ; x→1 x→0 x→0 x x x−1 √ √ 5x2 − 3x + 2 1 − tg x − 1 + tg x (j) lim ; (k) lim ; x→∞ 2x2 + 4x + 1 x→π sin 2x √ ¶ µ 5x2 2 − x−3 (l) lim + 21 x ; (m) lim ; 2 2 x→∞ x→7 1−x x − 49 ¶ µ 3 1 x101 − 101x + 100 ; (o) lim + ; (n) lim x→1 x→1 x2 − 2x + 1 1 − x2 x − 1 (a) lim

(2x3 + 7x − 1)6 xn − 1 ; (q) lim , m, n ∈ N ; x→∞ (2x6 − 13x2 + x)3 x→1 xm − 1 √ x−2−2 x (r) lim ; (s) lim √ ; 3 x→6 x→0 x−6 1+x−1 √ ¡√ ¢ (t) lim x4 + 2x2 − 1 − x4 − 2x2 − 1 ; x→∞ µq ¶ √ p n √ √ x−1 (u) lim x2 + x2 + x2 − x2 ; (v) lim √ m, n ∈ N . x→∞ x→1 m x − 1 √ ¡√ ¢ ¡√ ¢ (w) lim x2 + 3x − x ; (x) lim x2 + 1 − x2 − 4x ; x→+∞ x→−∞ µ ¶ 1 2 sin 4x (y) lim − 2 ; (z) lim √ . x→1 x→0 x−2 x −1 x+1−1 (p) lim

4.2 Вычислить следующие пределы: sin 3x sin(x + h) − sin(x − h) √ ; (b) lim ; (a) lim √ x→0 h→0 h x+2− 2 µ ¶ tg x − sin x sin x (c) lim ; (d) lim − tg2 x ; x→0 x→π 2 x2 cos2 x (e) lim x→1

arcsin(1 − 2x) 1 − cos mx ; (f) lim ; x→0 2 4x2 − 1 x2

cos 3x3 − 1 sin 7πx ; (h) lim ; 6 x→0 x→1 sin 2πx sin 2x √ ¡ √ ¢ arcsin 2x (i) lim sin x2 + 1 − sin x2 − 1 ; (j) lim . x→∞ x→0 x (g) lim

§ 5. Некоторые свойства непрерывных отображений...

197

4.3 Вычислить следующие пределы: x µ ¶x µ ¶ 2x+1 x 1 ln cos 5x (a) lim ; ; (b) lim ; (c) lim 2 x→∞ x→∞ x→0 ln cos 4x x+1 x 1

(d) lim (cos x)− x2 ; (e) limπ (sin x)tg x→0

x→ 2

2

x

ln (4 + 5e6x ) . x→+∞ ln (1 + 2e3x )

; (f) lim

4.4 Доказать, что если функция f : [a , b] −→ R инъективна и непрерывна, то она и строго монотонна. 4.5 Доказать, что множество всех точек разрыва любой монотонной функции f : R −→ R — конечное или счётное.

Глава 5 ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ Содержание предыдущих глав было лишь введением в анализ. Сам анализ начинается только с дифференциального исчисления, т.е. с этой главы. В основе дифференциального исчисления и его практических приложений лежит идея приближённого представления функции y = f (x + h) от приращения h линейной функцией y = k · h + b или, более общё, многочленом от h . Для широкого класса функций оказывается возможным разумно определить такие приближения и на этой основе получить результаты, имеющие исключительно большое теоретическое и прикладное значение.

§ 1. Дифференцируемые функции. Понятия дифференциала и производной 1. Основные понятия и простейшие факты. Пусть f : X −→ R , X ⊂ R , — функция, и x ∈ X . Всюду в этом параграфе мы будем считать, что x — внутренняя точка множества X , т.е. x ∈ X0 . Определение 126. Функция f называется дифференцируемой в точке x , если существует такое k ∈ R , что приращение функции f в точке x можно представить в следующем виде: f (x + h) − f (x) = k · h + o(h) при h → 0 ,

(5.1)

или, что равносильно, в виде: f (x + h) − f (x) = k · h + α(h) · h , где α(h) → 0 при h → 0 . (5.2) В (5.1) и (5.2) x считается постоянным, поэтому зависимость правых частей этих равенств от x не показывается. Приращение аргумента, обозначаемое в равенствах (5.1) и (5.2) через h , обозначают 198

§ 1. Дифференцируемые функции, ....

199

также через ∆x или dx , т.е. ∆x = dx := h . Для соответствующего приращения функции f также используются различные обозначения: ∆y = ∆f (x) = f (x + h) − f (x) = f (x + ∆x) − f (x) . Таким образом, условие дифференцируемости (5.1) можно записать, например, в следующем виде: ∆y = k · ∆x + o(∆x) при ∆x → 0 . Определение 127. Пусть y = f (x) — функция, дифференцируемая в точке x . Дифференциалом функции f в точке x называется входящая в равенство (5.1) линейная однородная функция h 7−→ k·h от переменного приращения h . На рис.40 показан график дифференциала. Запишем различные, используемые в учебной литературе, обозначения для дифференциала1 : dy = df = df (x) = df (x)(h) = Df (x)(h) := k · h . Если k 6= 0 , то в правой части равенства (5.1) слагаемое k · h является главной частью, а слагаемое o(h) — бесконечно малое по сравнению с ним при h → 0 . На этом основании дифференциал функции f в точке x на векторе h определяют как главную часть приращения функции f в точке x , линейную относительно h . Это определение корректно и равносильно определению 127 при k 6= 0 . Определение 128. Производной от функции y = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции f в точке x к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, т.е. f (x + h) − f (x) . h→0 h

f 0 (x) := lim 1

(5.3)

Обозначение Df (x)(h) является наиболее точным и читается так: дифференциал функции f в точке x на векторе h .

200

Глава 5. Производные и дифференциалы

Приведем другие, встречающиеся в литературе, обозначения для производной: f 0 (x) = y 0 (x) = y 0 =

df (x) df dy = = . dx dx dx

Если предел (5.3) существует и является числом, то говорят, что функция f имеет в точке x конечную производную. Предел (5.3) может существовать и быть равным ∞ , +∞ , −∞ (в таких случаях принято говорить о бесконечных производных), может и не существовать (в таких случаях считается, что в точке x функция f не имеет производной). Теорема 119. Дифференцируемость функции f в точке x равносильна существованию конечной производной f 0 (x) . J Предположим, что функция f дифференцируема в точке x , т.е. f (x + h) − f (x) = k · h + α(h) · h , где α(h) → 0 при h → 0 . Деля это равенство на h , получим: f (x + h) − f (x) = k + α(h) . h Переходя здесь к пределу при h → 0 , находим: f (x + h) − f (x) = k, h→0 h

f 0 (x) = lim

т.е. производная существует и равна k . Обратно, пусть f 0 (x) = k ∈ R . Тогда имеем: f (x + h) − f (x) = f 0 (x) + o(1) = k + o(1) при h → 0 , h откуда f (x + h) − f (x) = k · h + h · o(1) = k · h + o(h) при h → 0 . Значит, f дифференцируема в точке x I

§ 1. Дифференцируемые функции, ....

201

1

0 −1

0 Рис.34. График функции | · |

Рис.35. График функции sign

Очевидно, что если f дифференцируема в точке x , то значение ее дифференциала в точке x на векторе h равно: Df (x)(h) = f 0 (x) · h , т.е. число f 0 (x) равно угловому коэффициенту дифференциала функции f в точке x . Теорема 120. Если функция f дифференцируема в точке x , то она и непрерывна в этой точке. J Записывая условие дифференцируемости функции f точке x , имеем: f (x + h) − f (x) = k · h + o(h) при h → 0 . Переходя здесь к пределу при h → 0 , получим: lim f (x + h) = f (x) , т.е. функция f непрерывна в точке x I

h→0

Доказанная теорема означает, что непрерывность функции в точке является необходимым условием ее дифференцируемости в этой точке. Однако непрерывность функции в точке не является достаточным условием для дифференцируемости ее в этой точке. Покажем это на примерах. 1) Функция f (x) := |x| , график которой показан на рис.34, непрерывна всюду на R (как элементарная функция с областью определения R), однако она не дифференцируема в точке x = 0 . J В самом деле, применяя критерий Коши существования предела функции, заключаем, что предел |h| f (0 + h) − f (0) = lim = lim sign h h→0 h h→0 h→0 h lim

202

Глава 5. Производные и дифференциалы

не существует, так как колебание функции sign в любой окрестности нуля равно 2, и потому его невозможно сделать сколь угодно малым (см.рис.35) I 1 2) Функция f (x) := x · sin при x 6= 0 , и f (0) := 0 , график которой показан x на рис.36, непрерывна на R , но не дифференцируема в точке x = 0 . 6

-

Рис.36. График функции x 7−→ x · sin

1 x

J В самом деле, предел f (0 + h) − f (0) 1 = lim sin h→0 h→0 h h 1 не существует, так как колебание функции sin в любой окрестности точки h h = 0 равно 2, и его невозможно сделать сколь угодно малым (см.рис.16) I S 3) Определим функцию ϕ на R = k∈Z [2k − 1, 2k + 1] , полагая lim

∀k ∈ Z : ϕ(x) := |x − 2k| при 2k − 1 6 x 6 2k + 1 . График функции ϕ показан на рис.37. Очевидно, что эта функция непрерывна на R . Однако ни в одной целой точке x = k ∈ Z она не является дифференцируемой. Это проверяется так же, как и для функции f (x) = |x| . 4) Возникает вопрос: насколько мощным может быть множество точек, в которых некоторая непрерывная функция не будет дифференцируемой? Оказывается, что существуют функции, непрерывные всюду на R , но не дифференцируемые ни в одной точке. Таким свойством обладает, например, известная функция Б.Л.Ван-дер-Вардена2 f0 (x) , определяемая равенством: f0 (x) :=

∞ X ϕ(4k · x) k=0

4k

,

(5.4)

где ϕ — функция из предыдущего примера. Доказательство этого последнего утверждения будет дано в части 3 этого учебника. 2

Ван-дер-Варден (1903 – ?) — голландский математик.

§ 1. Дифференцируемые функции, ....

−3

−2

0

−1

203

1

2

3

Рис.37. График функции ϕ

2. Дифференцируемость вектор-функций. Пусть r : T −→ R3 , T ⊂ R , — вектор-функция, и пусть t — внутренняя точка множества T . Векторфункция3 r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k называется дифференцируемой в точке t , если существует вектор k ∈ R3 , такой, что приращение функции r можно представить в виде: r(t + h) − r(t) = k · h + α(h) ,

(5.5)

где |α(h)| = o(h) при h → 0 . Производной от вектор-функции r в точке t называется предел: r(t + h) − r(t) . h→0 h

r0 (t) := lim

(5.6)

Считается, что производная существует, если предел (5.6) существует и лежит в R3 . Равенства (5.5) , (5.6) и вообще равенства векторов понимаются в том смысле, что должны быть равными соответствующие координаты векторов. Учитывая это, легко установить следующий факт. Теорема 121. Существование производной вектор-функции r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k равносильно существованию конечных производных всех ее координатных функций x(t) , y(t) , z(t) , причем справедливо следующее равенство: r0 (t) = x0 (t)i + y 0 (t)j + z 0 (t)k . Из этой теоремы, в частности, следует, что для вектор-функций справедливы теоремы 119 и 120. 3

Символами i , j , k принято обозначать единичные векторы, направленные соответственно вдоль координатных осей OX , OY , OZ прямоугольной декартовой системы координат в пространстве R3 .

204

Глава 5. Производные и дифференциалы

3. C-дифференцируемость и аналитичность функций комплексного переменного. Пусть f : A −→ C , A ⊂ C , — комплекснозначная функция комплексного переменного, а z — внутренняя точка множества A , т.е. такая точка, которая содержится в A вместе с некоторым кругом. Функция f называется C-дифференцируемой в точке z ∈ A , если существует число k ∈ C , такое, что f (x + h) − f (x) = k · h + o(h) при h → 0 ,

(5.7)

Производной от функции f в точке z ∈ A называется предел f (z + h) − f (z) . (5.8) h Здесь и в равенстве (5.7) приращение h — комплексная переменная. Считается, что производная от функции комплексного переменного существует, если предел (5.8) существует и является числом. Понятия C-дифференцируемости и производной для функций комплексного переменного по форме не отличаются от соответствующих понятий для функций вещественного переменного. Теоремы 119 и 120 остаются справедливыми и для функций комплексного переменного. Для функций комплексного переменного с помощью понятия C-дифференцируемости весьма просто вводится новое понятие аналитичности. f 0 (z) := lim

h→0

Определение 129. Функция комплексного переменного f : A −→ C, A ⊂ C, называется аналитической в точке z ∈ A , если она C-дифференцируема во всех точках некоторой окрестности точки z .

§ 2. Геометрический и физический смысл производной. Односторонние и бесконечные производные 1. Касательная к графику функции. Пусть функция f : (a , b) −→ R непрерывна в точке x0 ∈ (a , b) . Обозначим y0 := f (x0 ) , и пусть Γf := {(x , y) | x ∈ (a , b) , y = f (x)} — график функции f . Введем в рассмотрение пучок прямых4 , проходящих через точку M0 (x0 , y0 ) ∈ Γf . Поставим такую задачу: среди прямых пучка найти ту, которая финально при x → x0 наиболее тесно прилегает к графику Γf . Эта прямая и будет называться 4

Так иногда называют множество всех прямых, лежащих в плоскости и проходящих через данную точку.

§ 2. Геометрический и физический смысл производной

205

касательной к графику Γf в точке M0 . Дадим теперь более точное определение. Определение 130. Прямая γ называется касательной к графику Γf в точке M0 ∈ Γf , если: (a) точка M0 лежит на прямой γ ; (b) расстояние от точки M (x , f (x)) до прямой γ является бесконечно малым по сравнению с расстоянием между точками M и M0 при x → x0 . Теорема 122. Существование касательной к графику Γf функции y = f (x) в точке M0 (x0 , y0 ) ∈ Γf равносильно существованию производной f 0 (x0 ) , причем эта производная равна угловому коэффициенту касательной. J Предположим сначала, что существует касательная γ к графику функции f в точке (x0 , y0 ) ∈ Γf . Пусть (y − y0 ) cos α − (x − x0 ) sin α = 0 (5.9) — уравнение касательной, где α — угол ее наклона к оси абсцисс, и можно считать, что −

π π <α6 . 2 2

ϕ0

M0 x0

Рис.38. Вертикальная касательная

Из аналитической геометрии известно, что число |(f (x) − f (x0 )) · cos α − (x − x0 ) · sin α|

(5.10)

равно расстоянию от точки (x , f (x)) до прямой γ . Так как касательная по предположению существует, то согласно определению 130 должно быть: |(f (x) − f (x0 )) · cos α − (x − x0 ) · sin α| p = 0. 2 + (f (x) − f (x ))2 0 (x − x ) 0 0 x6=x0

lim x→x

(5.11)

206

Глава 5. Производные и дифференциалы

При α =

π последнее равенство равносильно такому: 2 1 s lim µ ¶2 = 0 . x→x0 x6=x0 f (x) − f (x0 ) 1+ x − x0

(5.12)

Отсюда видно, что f (x) − f (x0 ) = ∞. 0 x − x 0 x6=x

f 0 (x0 ) = x→x lim

0

Таким образом, в этом случае производная f 0 (x0 ) существует и равна ∞ , т.е. угловому коэффициенту касательной x = x0 (рис.38, а также рис.42 – 45). π равенство (5.11) равносильно тому, что В случае |α| < 2 lim ε(x) = 0 , где обозначено x→x 0

x6=x0

¯ ¯ ¯ ¯ f (x) − f (x0 ) ¯ ¯ − tg α ¯ ¯ x − x0 ε(x) := s µ ¶2 . f (x) − f (x0 ) 1+ x − x0

Обозначая, далее, T (x) :=

(5.13)

f (x) − f (x0 ) , равенство (5.13) переписыx − x0

ваем в следующем равносильном виде: p |T (x) − tg α| = ε(x) · 1 + (T (x))2 . Решая это уравнение относительно T (x) , найдем: r n on o 2 2 2 2 tg α ± tg α − 1 − [ε(x)] tg α − [ε(x)] T (x) = . 1 − [ε(x)]2 Переходя здесь к пределу при x → x0 , x 6= x0 и учитывая, что при этом ε(x) → 0 , получим: lim T (x) = tg α , т.е. f 0 (x0 ) = tg α .

x→x0 x6=x0

§ 2. Геометрический и физический смысл производной

207

Таким образом, и в этом случае существует производная f 0 (x0 ) , которая притом равна угловому коэффициенту касательной (5.9). Обратно, предположим, что существует предел f (x) − f (x0 ) . 0 x − x 0 x6=x

f 0 (x0 ) = x→x lim

0

Если f 0 (x0 ) = ∞ , то выполняется равенство (5.12), которое равноπ сильно равенству (5.11) при α = . Таким образом, в этом случае 2 прямая x = x0 — касательная. Если f 0 (x0 ) — число, то, полагая f 0 (x0 ) = tg α , заключаем, что ε(x) → 0 при x → x0 , что равносильно равенству (5.11). Таким образом, касательная существует, а ее уравнение можно найти из (5.11) в виде: y − f (x0 ) = f 0 (x0 ) · (x − x0 ) (см.рис.39) I Доказанная теорема выражает геометрический смысл производной f 0 (x0 ) (конечной или бесконечной) как углового коэффициента касательной к графику функции f в точке (x0 , f (x0 )) . Предполагая, что f 0 (x0 ) — число, выясним геометричеM0 ский смысл дифференциала. ϕ0 Используя классические обозначения ( dx := x − x0 , dy := f 0 (x0 ) · (x − x0 ) , x0 запишем уравнение касательной в таком виде:

Рис.39. Наклонная касательная

dy = f 0 (x0 ) · dx . Отсюда очевидно, что касательная к графику Γf функции f в точке (x0 , y0 ) ∈ Γf — это график дифференциала функции f в системе координат, за начало которой выбрана точка M0 (x0 , y0 ) , а координатные оси параллельны исходным координатным осям и одинаково с ними направлены (см.рис.40).

208

Глава 5. Производные и дифференциалы dy

Y

· = y0 0

dy y = f (x)

dx

M0

0

dx X

Рис.40. Касательная — график дифференциала

2. Физический смысл производной. Движение материальной точки M в трёхмерном пространстве R3 можно задать с помощью вектор-функции r = r(t) , выражающей зависимость −−→ радиуса-вектора OM = r(t) движущейся точки M от времени t . В каждый момент времени t конец радиуса-вектора указывает место, где в этот момент находится материальная точка. Задавая приращение ∆t времени, рассмотрим соответствующее приращение радиусавектора: −−−→ ∆r = r(t + ∆t) − r(t) = M M 0 . Это приращение можно приближенно считать вектором пути, который прошла материальная точка за промежуток времени [t, t + ∆t] . Чтобы вычислить среднюю скорость движения материальной точки на указанном промежутке времени, надо разделить ∆r на ∆t : vсредняя ([t, t + ∆t]) =

∆r r(t + ∆t) − r(t) = . ∆t ∆t

Устремляя здесь ∆t к нулю, получим в пределе (предполагая, что он существует) мгновенную скорость движения материальной точки в момент времени t : r(t + ∆t) − r(t) = r0 (t) . ∆t→0 ∆t

v(t) = lim

Таким образом, мгновенная скорость движения материальной точки в момент времени t равна производной в точке t радиусавектора движущейся точки по времени t . Беря производную по t

§ 2. Геометрический и физический смысл производной

y0

209

M0

0

x0 Рис.41. Односторонние касательные в точке M0

от обеих частей равенства r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k , получим: v(t) = r0 (t) = x0 (t)i + y 0 (t)j + z 0 (t)k . Таким образом, проекции вектора скорости на координатные оси равны производным соответствующих проекций радиуса-вектора движущейся точки. 3. Односторонние и бесконечные производные. Односторонними прозводными от функции f : X −→ R , X ⊂ R , называются следующие пределы: f (x) − f (x0 ) x − x0

при x → x0 ; x < x0 ;

f (x) − f (x0 ) f+0 (x0 ) := lim x − x0

при x → x0 ; x > x0 .

f−0 (x0 ) := lim

(5.14)

Они называются соответственно производными слева и справа и применяются в тех случаях, когда в точке x0 не существует производной, либо когда функция f определена только в левой, либо только в правой окрестности точки x0 . В соответствии с понятиями левой и правой производных можно рассматривать левую и правую касательные к графику функции f в

210

Глава 5. Производные и дифференциалы

f (x0 ) 0

f (x0 ) x0

0

Рис.42. f 0 (x0 ) = +∞

x0

Рис.43. f 0 (x0 ) = −∞

точке M0 (x0 , f (x0 )) . Так, если обе производные (5.14) существуют и конечны, то левая и правая касательные представляют собой лучи, имеющие соответственно уравнения: y = y0 + f−0 (x0 ) · (x − x0 ) ,

y = y0 + f+0 (x0 ) · (x − x0 ) ,

приближённо представляющие функцию f в левой и правой окрестностях точки x0 соответственно (см.рис.41). С понятием бесконечной производной мы уже встречались. Односторонние бесконечные производные могут возникать в тех случаях, когда один или оба предела (5.14) равны бесконечности. На рисунках 42 – 45 показаны эскизы графика функции f в окрестности точки (x0 , y0 ) , когда обе производные (5.14) бесконечны: (a) f 0 (x0 ) = +∞ ; (b) f 0 (x0 ) = −∞ ; ( f−0 (x0 ) = −∞ , (c) f+0 (x0 ) = +∞ ; ( f−0 (x0 ) = +∞ , (d) f+0 (x0 ) = −∞ ; . Читателю предлагается самостоятельно построить эскизы графиков функций в окрестности точки (x0 , y0 ) в тех случаях, когда один из пределов (5.14) конечен, а другой бесконечен.

§ 3. Основные правила и формулы дифференцирования

f (x0 )

f (x0 ) 0

(

Рис.44.

x0

0

x0

( f−0 (x0 ) = −∞; Рис.45. f+0 (x0 ) = +∞

f−0 (x0 ) = +∞; f+0 (x0 ) = −∞

§ 3. Основные правила вычисления производных. Производные элементарных функций 1. Основные правила вычисления производных. Теорема 123. (a) Если f (x) ≡ c , то f 0 (x) ≡ 0 . (b) Если f (x) ≡ x , то f 0 (x) ≡ 1 . (c) Если f (x) ≡ |x| , то f 0 (x) ≡ sign x при x 6= 0 . J (a) Если f (x) ≡ c , то f (x + h) − f (x) c−c = lim = lim 0 = 0 . h→0 h→0 h h→0 h

f 0 (x) = lim

(b) Если f (x) ≡ x , то f (x + h) − f (x) (x + h) − x = lim = lim 1 = 1 . h→0 h→0 h→0 h h

f 0 (x) = lim

(c) Если f (x) = |x| , то |x + h| − |x| . h→0 h

f 0 (x) = lim = lim h→0

Отсюда при x > 0 имеем: d (x + h) − x |x| = lim = lim 1 = 1 . h→0 h→0 dx h

211

212

Глава 5. Производные и дифференциалы

Аналогично при x < 0 получаем: d −(x + h) − (−x) |x| = lim = lim (−1) = −1 . h→0 h→0 dx h d Таким образом, |x| = sign x при x 6= 0 I dx Теорема 124. Предполжим, что функции u = u(x) , v = v(x) дифференцируемы в точке x , а c — постоянная. Тогда: (a) Cумма u + v дифференцируема в точке x , причем (u + v)0 (x) = u0 (x) + v 0 (x) ; (b) Произведение u · v дифференцируемо в точке x , причем (u · v)0 (x) = u0 (x) · v(x) + u(x) · v 0 (x) ; (c) (c · u)0 (x) = c · u0 (x) где c — постоянная; u (d) Если v(x) 6= 0 , то частное дифференцируемо в точке x , v причем ³ u ´0 u0 (x) · v(x) − v 0 (x) · u(x) (x) = . v (v(x))2 J (a) Имеем: (u(x + h) + v(x + h)) − (u(x) + v(x)) (u + v)0 (x) = lim = h→0 h µ ¶ u(x + h) − u(x) v(x + h) − v(x) = lim + = h→0 h h u(x + h) − u(x) v(x + h) − v(x) + lim = u0 (x) + v 0 (x) . = lim h→0 h→0 h h (b) Имеем: u(x + h) · v(x + h) − u(x) · v(x) = h→0 h [u(x + h) − u(x)]v(x + h) + u(x)[v(x + h) − v(x)] = lim = h→0 h µ ¶ µ ¶ u(x + h) − u(x) v(x + h) − v(x) = lim v(x + h) + lim u(x) = h→0 h→0 h h = u0 (x)v(x) + v 0 (x)u(x) . (u · v)0 (x) = lim

§ 3. Основные правила и формулы дифференцирования (c) Полагая в (b) v(x) ≡ c и учитывая, что

213

d c ≡ 0 , получим: dx

d d d (c · u(x)) = u(x) · c + c · u(x) = c · u0 (x) . dx dx dx (d) Имеем: ³ u ´0

(x) = µ ¶ 1 u(x + h) u(x) u(x + h)v(x) − v(x + h)u(x) = lim − = lim = h→0 h h→0 v(x + h) v(x) h · v(x + h) · v(x) [u(x + h) − u(x)]v(x) − [v(x + h) − v(x)]u(x) = lim = h→0 h · v(x + h) · v(x) µ ¶ u(x + h) − u(x) 1 v(x + h) − v(x) lim v(x) = = − lim u(x) h→0 (v(x))2 h→0 h h u0 (x) · v(x) − v 0 (x) · u(x) = I (v(x))2 v

Отметим, что теорема о производной произведения допускает обобщение на случай трёх и б´ольшего числа сомножителей. Например: (u · v · w)0 = u0 vw + uv 0 w + uvw0 . В случае n сомножителей формула для производной произведения приобретает следующий вид: (u1 u2 . . . un )0 = u01 u2 . . . un + u1 u02 . . . un + . . . + u1 u2 . . . u0n . Читателю предлагается самостоятельно доказать эти формулы. Теоремы 123 и 124 позволяют вычислять производные от любых рациональных функций. Например: d d 2 x = x · x = 1 · x + x · 1 = 2x ; dx dx d 1 · (x2 − x + 1) − (2x − 1)(x − 1) 2x − x2 x−1 = = . dx x2 − x + 1 (x2 − x + 1)2 (x2 − x + 1)2

Теорема 125. Если функция f : X −→ Y дифференцируема в точке x ∈ X , а функция g : Y −→ R дифференцируема в точке f (x) = y ∈ Y , то композиция g ◦ f : X −→ R дифференцируема в точке x , причем: (g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x) .

(5.15)

214

Глава 5. Производные и дифференциалы

J В силу дифференцируемости функции g имеем при h → 0: g[f (x + h)] − g[f (x)] = g 0 (f (x)) · [f (x + h) − f (x)] + o[f (x + h) − f (x)] . Деля это равенство на h 6= 0 и переходя к пределу при h → 0 , получим: g[f (x + h)] − g[f (x)] = h→0 h f (x + h) − f (x) o(f (x + h) − f (x)) = g 0 (f (x)) lim + lim = h→0 h h h→) o(f (x + h) − f (x)) = g 0 (f (x)) · f 0 (x) + lim = h h→) o(O(h)) = g 0 (f (x)) · f 0 (x) + lim = g 0 (f (x)) · f 0 (x) I h→0 h

(g ◦ f )0 (x) = lim

В качестве простого примера на применение формулы (5.15) продифференµ ¶2 x−1 цируем функцию y = , представляя ее в виде композиции функций x+1 x−1 y = t2 , t = . Имеем: x+1 µ ¶2 µ ¶ x−1 d x−1 d x−1 x−1 x+1−x+1 4(x − 1) 0 y = =2 · =2 · = . 2 dx x + 1 x+1 dx x + 1 x+1 (x + 1) (x + 1)3 Формула, аналогичная (5.15), справедлива для производной композиции трёх и б´ольшего числа функций. Например, (h ◦ g ◦ f )0 (x) = h0 (g(f (x))) · g 0 (f (x)) · f 0 (x) .

(5.16)

Формулу для производной композиции функций называют иногда цепным правилом. Читателю рекомендуется самостоятельно сформулировать и доказать цепное правило для вычисления производной от композиции n функций.

Теорема 126 (об инвариантности формы дифференциала). Дифференциал композиции y = f (x(t)) можно записать в такой форме: dy = f 0 (x) · dx , т.е. так, как если бы переменная x была независимой. J Используя формулу (5.15), имеем: dy = (f ◦x)0 (t)·dt = f 0 (x(t))·x0 (t)·dt = f 0 (x(t))·dx(t) = f 0 (x)·dx

I

§ 3. Основные правила и формулы дифференцирования

215

Теорема 127. Пусть функция f : [a , b] −→ R строго монотонна, непрерывна и имеет производную в точке x ∈ [a , b] . Тогда обратная функция f −1 имеет производную в точке y = f (x) , причем: 1 . (5.17) (f −1 )0 (y) = 0 f (x) J Пусть ∆x — приращение аргумента в точке x . Символом ∆y := f (x + ∆x) − f (x) обозначим соответствующее ему приращение функции f . Так как обе функции f и f −1 строго монотонны и непрерывны, то имеет место такая равносильность: ∆x → 0, ∆x 6= 0

⇐⇒

∆y → 0, ∆y 6= 0 .

Учитывая это, имеем: (f

f −1 (y + ∆y) − f −1 (y) (x + ∆x) − x ) (y) = lim = lim = ∆y→0 ∆y→0 ∆y ∆y ∆x 1 1 ¶= 0 = lim = lim µ I ∆y→0 ∆y ∆x→0 ∆y f (x) ∆x

−1 0

Замечание. В теореме 127 не исключаются такие возможности: f 0 (x) = 0 и 1 1 f 0 (x) = ∞ . В этих случаях формула (5.17) приобретает вид: ∞ = и 0= 0 ∞ соответственно.

2. Вычисление табличных производных. 1) Непосредственно применяя определение 128, вычислим производную функции y = ln x . Имеем: µ ¶ ln(x + h) − ln x 1 x + h 1 h y 0 = lim = lim ln = lim ln 1 + = h→0 h→0 h h→0 h h x x   õ ¶xh !1x h = 1+ = ln  lim h→0 x à µ µ ¶xh !1x ¶ h 1 1 = ln lim 1 + = ln exp = . h→0 x x x

216

Глава 5. Производные и дифференциалы

d 1 Таким образом, ln x = . dx x Если y = loga x , то · ¸ d d ln x 1 d 1 y0 = loga x = = ln x = . dx dx ln a ln a dx x ln a Если же y = loga |x| , то на основании теоремы о производной композиции при x 6= 0 имеем: y0 =

1 d 1 1 · |x| = · sign x = . |x| ln a dx |x| ln a x ln a

2) Производную от функции y = ax найдем с помощью теоремы о производной обратной функции: d x 1 1 ¶ = y ln a = ax ln a . a = =µ d 1 dx loga y dy y ln a Отсюда при a = e получаем формулу для производной от экспоненты: d x e = ex , так как ln e = 1 . dx 3) Найдем производную от стпенной функции y = xα . При x > 0 имеем: d α d α·ln x d x = e = eα·ln x · α · ln x = α · xα−1 . dx dx dx Если степенная функция определена и при x < 0 , то для ее производной справедлива та же формула, что и при x > 0 (доказать). 4) Вычислим производные от тригонометрических функций. Имеем: µ ¶ h h 2 cos x + sin d sin(x + h) − sin x 2 2 sin x = lim = lim = h→0 h→0 dx h h h µ ¶ sin h 2 = cos x . = lim cos x + · lim h h→0 h→0 2 2

§ 3. Основные правила и формулы дифференцирования

217

d sin x = cos x . Далее, dx ³π ´ ³π ´ d ³π ´ d d cos x = sin − x = cos −x · − x = − sin x , dx dx 2 2 dx 2

Таким образом,

т.е.

d cos x = − sin x . dx

Далее, d d sin x cos x · cos x + sin x · sin x 1 tg x = = = . dx dx cos x cos2 x cos2 x И, наконец, d 1 d cos x − sin x · sin x − cos x · cos x = − . ctg x = = dx dx sin x sin2 x sin2 x 5) Производные от обратных тригонометрических функций y = arcsin x , y = arccos x , y = arctg x , y = arcctg x можно вычислить на основании теоремы о производной обратной функции. Имеем: d 1 1 1 1 ; arcsin x = = =p =√ 2 2 d dx cos y 1 − x 1 − sin y sin y dy 1 d 1 1 1 =− arccos x = = −p ; = −√ 2 2y d dx sin y 1 − x 1 − cos cos y dy 1 1 1 d 1 arctg x = = = ; = 1 d dx 1 + tg2 y 1 + x2 tg y cos2 y dy d 1 1 1 1 arcctg x = = =− = − . 1 d dx 1 + ctg2 y 1 + x2 − 2 ctg y sin y dy

218

Глава 5. Производные и дифференциалы

Полученные результаты вычислений сведем в следующую таблицу производных: f (x) c x xα |x| ax ex loga |x| ln |x| sin x cos x tg x ctg x arcsin x arccos x arctg x arcctg x

f 0 (x) 0 1 α · xα−1 sign x ax · ln a ex 1(x ln a) 1x cos x − sin x 1 cos2 x 2 −1 √ sin x 1 √1 − x2 −1 1 − x2 1(1 + x2 ) −1(1 + x2 )

Ограничения

x>0 x 6= 0 a>0 a > 0 , a 6= 1 , x 6= 0 x 6= 0 x 6= π2 + k · π , k ∈ Z x 6= k · π , k ∈ Z |x| < 1 |x| < 1

В дополнение к табличным производным вычислим производные от гиперболических функций. Имеем: d ex + e−x ex − e−x = = sh x ; dx 2 2 d ex − e−x ex + e−x = = ch x ; dx 2 2 d d ch x · sh x − sh x · ch x d d sh x ch2 x − sh2 x 1 dx dx th x = = = = 2 ; x 2 dx dx ch x ch ch x ch x d d sh x · ch x − ch x · sh x d d ch x sh2 x − ch2 x 1 dx dx cth x = = = =− 2 . x 2 dx dx sh x sh sh x sh x d ch x = dx d sh x = dx

Итак, получены следующие формулы дифференцирования: d d 1 d 1 d ch x = sh x , sh x = ch x , th x = 2 , cth x = − 2 . (5.18) dx dx dx dx ch x sh x

§ 3. Основные правила и формулы дифференцирования

219

Используя их и теорему о производной обратной функции, можно вычислить производные от обратных гиперболических функций (читателю рекомендуется сделать это самостоятельно). Здесь же воспользуемся явными формулами, полученными в § 4 главы 4. Имеем: µ √ ¡ ¢ d d arch x = ln x + x2 − 1 = dx dx

x 1+ √ x2 − 1 √ x + x2 − 1

¶ =√

1 x2 − 1

, |x| > 1 ;

√ 1 d ln(x + x2 + 1) = √ ; dx x2 + 1 µ ¶ 1 d 1 1+x 1 1 1 = ln = + , |x| < 1 ; dx 2 1 − x 2 1+x 1−x 1 − x2 µ ¶ d 1 d 1 x+1 1 1 1 arcth x = ln = − = 2 , |x| > 1 . dx dx 2 x − 1 2 x+1 x−1 x −1 d arsh x = dx d arth x = dx

3. Некоторые другие правила вычисления производных. 1) Логарифмическое дифференцирование. Если функция f дифференцируема в точке x , и f (x) 6= 0 , то на основании теоремы о производной композиции имеем: 1 d d ln |f (x)| = · f (x) , dx f (x) dx откуда

d d f (x) = f (x) · ln |f (x)| . (5.19) dx dx Эта последняя формула лежит в основе приёма вычисления производных, известного под названием логарифмического дифференцирования. Эффект применения формулы (5.19) основан на том, что для d некоторых функций f производная ln |f (x)| вычисляется проще, dx чем f 0 (x) . Например, для функции f (x) = xx , x > 0 имеем: ln(xx ) = x · ln x

=⇒

d ln(xx ) = 1 + ln x . dx

Применяя теперь формулу (5.19), имеем:

d x (x ) = xx · (1 + ln x) . dx

220

Глава 5. Производные и дифференциалы

2) Вычисление производных от функций, заданных параметрически. Пусть задана система уравнений ( x = ϕ(t) , t ∈ [t0 , T ] , (5.20) y = ψ(t) , где ϕ и ψ — некоторые функции. Предполагая, что для функции ϕ существует обратная ϕ−1 , исключим из равенств (5.20) переменную t . В результате получится следующая функция переменного x : y = ψ[ϕ−1 (x)] .

(5.21)

Принято считать, что эта функция задана параметрически уравнениями (5.20). Теорема 128. Если функции ϕ и ψ дифференцируемы в точке t ∈ [t0 , T ] , и ϕ0 (t) 6= 0 , то функция (5.21) , заданная параметрически уравнениями (5.20), дифференцируема в точке x = ϕ(t) , причем: ψ 0 (t) 0 (5.22) y (x) = 0 . ϕ (t) J Дифференцируемость функции (5.21) вытекает из теорем о производных сложной и обратной функций. Используя их, имеем: 1 ψ 0 (t) y (x) = ψ (ϕ (x)) · (ϕ ) (x) = ψ (t) · 0 = ϕ (t) ϕ0 (t) 0

0

−1

−1 0

0

I

В качестве примера найдем производную y 0 (x) от функции, заданной параметрически уравнениями: ( x = a · (t − sin t) , 0 < t < 2π . y = a · (1 − cos t) , Имеем:

t t 2 sin cos 0 a · sin t y (t) 2 2 = ctg t . = = y 0 (x) = 0 t x (t) a · (1 − cos t) 2 2 sin2 2

§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков.

221

3) Вычисление производных от функций, заданных неявно. Говорят, что функция y = y(x) , x ∈ (a , b) , задана неявно уравнением F (x , y) = 0 , (5.23) если при всех x ∈ (a , b) выполняется равенство: F [x , y(x)] = 0 . Дифференцирование заданных так функций основано на следующем утверждении. Если существуют частные производные Fx0 и Fy0 , (т.е. производные по одной переменной при фиксированной другой), и Fy0 (x , y(x)) 6= 0 , то функция y = y(x) , заданная неявно уравнением (5.23), дифференцируема в точке x , причем Fx0 (x , y) . y (x) = − 0 Fy (x , y) 0

(5.24)

Это утверждение будет доказано в дальнейшем, а здесь используем его только для вычисления производных. Вычислим, например, производную от функции y = y(x) , заданную неявно уравнением: F (x , y) ≡ x3 + y 3 − 3axy = 0 . Сначала вычисляем частные производные: Fx0 (x , y) = 3x2 − 3ay ;

Fy0 (x , y) = 3y 2 − 3ax .

Применяя, далее, формулу (5.24), имеем: y 0 (x) = −

x2 − ay . y 2 − ax

§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков. 1. Производные высших порядков. Предположим, что множество X ⊂ R — открытое, а функция f : X −→ R дифференцируема в каждой точке множества X . Сопоставляя каждому значению x ∈ X значение производной f 0 (x) , получим5 производную функцию f 0 : x 7−→ f 0 (x) . Постановка вопроса о дифференцируемости 5

Обращаю внимание читателя на различие между понятиями: производная (т.е. число f (x)) и производная функция (т.е. отображение f 0 : x 7−→ f 0 (x) ). 0

222

Глава 5. Производные и дифференциалы

функции f 0 приводит к понятию производной второго порядка от функции f . Определение 131. Производная второго порядка f 00 (x) от функции f в точке x определяется равенством: f 00 (x) := (f 0 )0 (x) . Производная n-го порядка f (n) определяется по индукции равенством: f (n) (x) := (f (n−1) )0 (x) , где f (n−1) : x 7−→ f (n−1) (x) — производная функция порядка (n − 1) . С точки зрения этого определения исходную функцию иногда удобно рассматривать как производную нулевого порядка, т.е. f (0) (x) := f (x) . В отличие от f (0) и f 0 , производные f 00 , f 000 , . . . , f (n) , . . . называются производными высших порядков. Если для функции f при любом x ∈ X существуют конечные производные до порядка n включительно, то эта функция называется n-кратно дифференцируемой на множестве X . Если для функции f при любом x ∈ X существуют производные любого порядка n , то эта функция называется бесконечно дифференцируемой на множестве X . В главе 4 мы ввели множество C[X] всех функций, непрерывных на множестве X . Аналогично, символом C n [X] принято обозначать множество всех функций f : X −→ R , имеющих непрерывные на множестве X производные до порядка n включительно. Символом C ∞ [X] принято обозначать множество всех функций f : X −→ R , имеющих непрерывные на множестве X производные любого порядка n ∈ N . Рассмотрим примеры на вычисление производных высших порядков от некоторых часто встречающихся элементарных функций.

§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков.

223

1) Пусть P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn — многочлен степени n от x . Его последовательные производные равны: P 0 (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + . . . + nan xn−1 , P 00 (x) = 2!a2 + 3 · 2a3 x + . . . + n(n − 1)an xn−2 , P 000 (x) = 3!a3 + . . . + n(n − 1)(n − 2)an xn−3 , ............................................... P (n) (x) = n!an . Поскольку производная порядка n — постоянная, то все производные более высоких порядков равны нулю тождественно, т.е. P (n+1) (x) ≡ P (n+2) (x) ≡ . . . ≡ 0 .

2). Найдем последовательные производные f (x) := ax . Имеем: f 0 (x) = ax ln a ;

показательной

функции

f 00 (x) = ax (ln a)2 ; ........................ f (n) (x) = ax (ln a)n ; ............................ Полагая здесь a = e и учитывая, что ln e = 1 , получим: d x d2 x dn x e = e = 2e = ... = ne = ... , dx dx dx x

т.е.производная любого порядка от экспоненты exp равна сам´ой экспоненте. 3) Для функции f (x) = sin x имеем: ³ π´ dn sin x = sin x + n . dxn 2

(5.25)

J Сначала находим: ³ π´ d sin x = cos x = sin x + ; dx 2 ³ ³ d2 d π´ π´ sin x = sin x + = sin x + 2 ; dx2 dx 2 2 ³ ³ d3 d π´ π´ sin x = sin x + 2 = sin x + 3 . dx3 dx 2 2 Для обоснования общей формулы (5.25) следует применить метод полной индукции I

224

Глава 5. Производные и дифференциалы

4) Для функции f (x) = cos x имеем: ³ π´ dn cos x = cos x + n . dxn 2 Это равенство доказывается аналогично равенству (5.25). 5) Для функции f (x) = ln(1 + x) имеем: (n − 1)! dn ln(1 + x) = (−1)(n−1) . n dx (1 + x)n

(5.26)

J Последовательно дифференцируя данную функцию, находим: d 1 ln(1 + x) = ; dx 1+x 1! d2 ln(1 + x) = − ; 2 dx (1 + x)2 d3 2! ln(1 + x) = . 3 dx (1 + x)3 Для обоснования общей формулы (5.26) следует применить метод индукции I 6) Для функции f (x) = (1 + x)µ имеем: dn (1 + x)µ = µ(µ + 1) . . . (µ − n + 1)(1 + x)µ−n . dxn J Дифференцируя последовательно данную функцию, получим:

(5.27)

d (1 + x)µ = µ(1 + x)µ−1 ; dx d2 (1 + x)µ = µ(µ − 1)(1 + x)µ−2 ; dx2 d3 (1 + x)µ = µ(µ − 1)(µ − 2)(1 + x)µ−3 . dx3 Для обоснования общей формулы (5.27) следует применить метод полной индукции I 7) Для функций ch и sh , учитывая ( dn ch x ch x = n dx sh x ( dn sh x sh x = n dx ch x

формулы (5.18), имеем: при n четном, при n нечетном; при n четном, при n нечетном.

Приведем один результат общего характера, касающийся вычисления производных высших порядков от произведения двух функций.

§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков.

225

Теорема 129 (формула Лeйбница). Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют конечные производные до n-го порядка включительно, то (u · v)(n) = =u·v где

(n)

µ ¶ µ ¶ n 0 (n−1) n 00 (n−2) + u ·v + u ·v + . . . + u(n) · v , (5.28) 1 2 µ ¶ n n! := k k! · (n − k)!

— биномиальные коэффициенты. Замечание. Учитывая, что u(x) = u(0) (x) , можно записать формулу Лейбница (5.28) в следующем виде, аналогичном формуле бинома Ньютона: (n)

(u · v)

=

n µ ¶ X n k=0

k

u(k) v (n−k) .

(5.29)

J При n = 1 по теореме о производной произведения имеем: (u · v)0 = uv 0 + u0 v . Дифференцируя это равенство, получим при n = 2 : (u · v)00 = uv 00 + 2u0 v 0 + u00 v . Дифференцируя это равенство, получим при n = 3 : (u · v)000 = uv 000 + 3u0 v 00 + 3u00 v 0 + u000 v . Таким образом, для значений n = 1 , 2 , 3 формула Лейбница (5.29) установлена. Желая применить метод полной индукции, предположим, что тождество (5.29) справедливо для некоторого n ∈ N и покажем, что оно остается справедливым после замены n 7−→ (n + 1) . С этой целью продифференцируем тождество (5.29) по переменной

226

Глава 5. Производные и дифференциалы

x и преобразуем полученный результат: n µ ¶ n µ ¶ d X n (k) (n−k) X n d (k) (n−k) (u · v) = u v = (u v = dx k k dx k=0 k=0 µ ¶ n X n (u(k) v (n−k+1) + u(k+1) v (n−k) ) = = k k=0 n−1 µ ¶ n µ ¶ X n (k) (n−k+1) X n (k+1) (n−k) (n+1) (0) (0) (n+1) =u v + u v + u v +u v = k k k=1 k=0 µµ ¶ µ ¶¶ n X n n = u(0) v (n+1) + + u(k) v (n−k) + u(n+1) v (0) = k k+1 k=1 ¶ n µ X n + 1 (k) (n+1−k) (0) (n+1) =u v + u v + u(n+1) v (0) = k k=1 ¶ n+1 µ X n + 1 (k) (n+1−k) = u v . k (n+1)

k=0

В этих преобразованиях было использовано тождество: µ ¶ µ ¶ µ ¶ n n n+1 + = , k k+1 k+1 которое было доказано в главе 1, § 1, п.3 I В качестве примера вычислим ¢ dn ¡ λx P (x) · e , dxn где P (x) — многочлен степени m 6 n . Так как

dk P (x) ≡ 0 при k > m , то dxk

формула Лейбница дает (n > m) : µ ¶ m µ ¶ k m X X m d dn−k λx dn λx λx n−k n P (x)e = P (x) · n−k e = e λ P (k) (x) . n k k dx dx dx k k=0 k=0

Возьмем более конкретный пример: µ ¶ d 3 d2 3 d3 3 x d3 3 x 3 (x e ) = x + 3 x + 3 2 x + 3 x e = (x3 + 9x2 + 18x + 6)ex . 3 dx dx dx dx

§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков.

227

2. Дифференциалы высших порядков. Предположим, что у функции y = f (x) в точке x существует конечная производная n-го порядка, где n ∈ N . Определение 132. Дифференциалом n-го порядка функции f в точке x называется однородная функция степени n от приращения h , определяемая следующим равенством: Dn f (x)(h)n := f (n) (x) · hn .

(5.30)

Кроме того, удобно считать это равенство пригодным и для определения дифференциала порядка нуль, т.е. полагать: D0 f (x)(h)0 := f (x) = f (0) (x) . Обозначая левую часть равенства (5.30) символом dn f (x) , и полагая в правой части h = dx , получим другую (классическую) форму записи дифференциала n-го порядка: dn f (x) := f (n) (x) · dxn , которая часто встречается в литературе. Деля последнее равенство на dxn , получим другое (в виде дроби) выражение для производной n-го порядка в точке x: f

(n)

dn dn f (x) (x) = n f (x) = , dx dxn

которое было неоднократно использовано выше. В заключение этого пункта отметим, что, вообще говоря, дифференциалы высших порядков не обладают свойством инвариантности (в отличие от дифференциалов 1-го порядка). J В самом деле, если y = f (x(t)) , то d2 y = (f ◦ x)00 (t) · dt2 , где (f ◦ x)00 (t) =

d d (f ◦ x)0 (t) = [f 0 (x(t)) · x0 (t)] = dt dt = f 00 (x(t)) · (x0 (t))2 + f 0 (x(t)) · x00 (t) .

Используя этот результат, имеем: d2 y = f 00 (x(t))(x0 (t))2 + f 0 (x(t))x00 (t)dt2 = f 00 (x) · dx2 + f 0 (x) · d2 x .

228

Глава 5. Производные и дифференциалы

Если же переменная x — независимая, то d2 y = f 00 (x) · dx2 . Сравнивая правые части последних двух равенств, видим, что они отличаются слагаемым f 0 (x) · d2 x , которое в общем случае не равно нулю. Таким образом, даже дифференциал второго порядка не инвариантен (не говоря уже о дифференциалах более высоких порядков) I

§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков.

229

Задачи к главе 5 5.1 Продифференцировать следующие функции: √ √ x+ x+ 3x ax + b ; (b) y = ; (a) y = cx + d x+1 q p √ (c) y = x + x + x ; (d) y = (2 − x2 ) cos x + 2x sin x ; (e) y = sin(cos2 x) + cos(sin2 x) ; (f) y = sin [sin(sin x)] ; 1 1 (g) y = tg x − tg3 x + tg5 x ; (h) y = (x2 − 2x + 2)ex ; 3 5 p p 3 3 2 (i) y = 4 ctg x + ctg8 x ; (j) y = ln(ln(ln x)) ; 1 1 1 (k) y = ln(1 + x) − ln(1 + x2 ) − ; 2 4 2(1 + x) (l) y = arctg(tg2 x) ; (m) y = arccos(sin x2 − cos x2 ) ; r e2x (n) y = arctg ex − ln ; (o) y = |(x − 1)2 (x + 1)3 | . 1 + e2x 5.2 Используя логарифмическое дифференцирование, найти производные следующих функций: r 1−x (a) y = x · ; (b) y = (x − a1 )α1 (x − a2 )α2 . . . (x − an )αn ; 1+x r √ 3−x x2 · 3 ; (d) y = (x + 1 + x2 )n ; (c) y = 2 1−x (3 + x) (e) y =

(2 − x2 )(3 − x3 ) ; (1 − x)2

(f) y = (5 + 2x)10 (3 − 4x)20

(g) y = (1 − x)(1 − x2 )2 (1 − x3 )3 ; (h) y = (sin x)cos x ; · ¸arctg2 x (ln x)x arcsin(sin2 x) ; (j) y = . (i) y = arccos(cos2 x) xln x dy функций y = y(x) , заданных параметрически dx следующими уравнениями (параметр t считается положительным): p p √ √ 3 (a) x = 1 − t , y = 1 − 3 t ; (b) x = sin2 t , y = cos2 t ; (c) x = a cos t , y = b sin t ; (d) x = a ch t , y = b sh t ; (e) x = e2t cost , y = e2t sin2 t ; 1 t . , y = arccos (f) x = arcsin √ 1 + t2 1 + t2

5.3 Найти производные

230

Глава 5. Производные и дифференциалы

dy 5.4 Найти производные функций y = y(x) , заданных неявно следующиdx ми уравнениями: (a) x2 + 2xy − y 2 = 2x ; (b) y 2 = 2px ; x2 y 2 (c) 2 + 2 = 1 ; a b√ √ (d) x + y = a ; p y (e) arctg = ln x2 + y 2 ; x p y (f) r = a · ϕ , где r = x2 + y 2 , ϕ = arctg ; x p y mϕ 2 2 (g) r = a · e , где r = x + y , ϕ = arctg . x 5.5 Найти y 00 , если: √ x 2 (a) y = x 1 + x2 ; (b) y = √ ; (c) y = e−x ; (d) y = tg x ; 2 1−x (e) y = x · [sin(ln x) + cos(ln x)] ; (f) y = x ln x ; (g) y = xx . arcsin x (j) y = ln f (x) . (h) y = (1 + x2 ) arctg x ; (i) y = √ 1 − x2 5.6 Найти производные n-го порядка от следующих функций: 1 1 ax + b ; (b) y = ; (c) y = 2 ; (a) y = cx + d x(1 − x) x − 3x + 2 1 x (d) y = √ ; (e) y = √ ; (f) y = sin2 x ; (g) y = cos2 x ; 3 1 − 2x 1+x (h) y = sin3 x ; (i) y = cos3 x ; (j) y = sin ax sin bx ; (k) y = cos ax cos bx ; (l) y = sin ax cos bx ; (m) y = sin2 ax cos bx ; (n) y = sin4 x + cos4 x ; (o) y = x cos ax ; (r) y =

ex ; x

(p) y = x2 sin ax ; (q) y = (x2 + 2x + 2) · e−x ;

(s) y = ex cos x ; (t) y = ex sin x ; (u) y = ln

a + bx . c + dx

Глава 6 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ § 1. Теоремы „о средних значениях“. Правило Лопиталя. 1. Теоремы „о средних значениях“. Сначала напомним определение понятия локального экстремума. Определение 133. Точка x0 ∈ X называется точкой локального экстремума функции f : X −→ R , если существует такая окрестность U (x0 ) точки x0 , что ∀x ∈ U (x0 ) ∩ X , x 6= x0 , выполняется хотя бы одно из следующих неравенств: (a) f (x) < f (x0 ) (строгий локальный максимум); (b) f (x) 6 f (x0 ) (локальный максимум); (c) f (x) > f (x0 ) (строгий локальный минимум); (d) f (x) > f (x0 ) (локальный минимум). Функция, график которой показан на рис.46, имеет экстремумы в точках, x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , причем в точках x1 , x3 , x5 — минимумы, а в точках x1 , x2 , x3 , x4 — максимумы. Теорема 130 (Ферм´ а). Если внутренняя точка x0 множества X является точкой локального экстремума функции e , то f : X −→ R , и если существует производная f 0 (x0 ) ∈ R f 0 (x0 ) = 0 . J Предположим для определенности, что в точке x0 функция f имеет локальный максимум (случай локального минимума можно рассмотреть аналогично). Так как x0 — внутренняя точка множества X , то существует интервал (x0 − δ , x0 + δ) ⊂ X , такой, что x0 − δ < x < x0 + δ =⇒ f (x) 6 f (x0 ) . 231

232

Глава 6. Основные теоремы дифференциального исчисления Y

x1

x2

x3 x4

x5 X

Рис.46. График функции, имеющей экстремумы

Y

Y M A

0 a

c

b

X

0 a

Рис.47. К теореме Ферма

B c

b

X

Рис.48. К теореме Ролля

f (x) − f (x0 ) > 0 . Переходя x − x0 здесь к пределу при x → x0 , x < x0 , получим: f 0 (x0 ) > 0 . Если f (x) − f (x0 ) же x0 < x < x0 + δ , то 6 0 , откуда в пределе при x − x0 x → x0 , x > xo получим: f 0 (x0 ) 6 0 . Оба неравенства, полученные для f 0 (x0 ) , выполняются только при f 0 (x0 ) = 0 I

Отсюда при x0 − δ < x < x0 имеем:

Отметим геометрический смысл теоремы Ферма1 . Если функция f : X −→ R дифференцируема во внутренней точке x0 ∈ X , которая является точкой ее локального экстремума, то касательная к графику функции f в точке (x0 , f (x0 )) параллельна оси абсцисс (см.рис.47). Теорема 131 (Дарб´ у). Если функция f : [a , b] −→ R дифференцируема на отрезке [a , b] , то в некоторых точках интервала 1

Ферм´ а Пьер (1601 – 1665) — французский математик.

§ 1. Теоремы „о средних значениях“. Правило Лопиталя

233

(a , b) производная функция f 0 : [a , b] −→ R принимает любое значение, заключенное между f 0 (a) и f 0 (b) . J Предположим сначала2 , что f 0 (a) и f 0 (b) имеют разные знаки, например, f 0 (b) < 0 < f 0 (a) . Покажем, что в этом случае существует точка ξ ∈ (a , b) , в которой производная равна нулю. Так как функция f непрерывна на отрезке [a , b] , то по теоремам Вейерштрасса она ограничена, и существует точка ξ ∈ [a , b] , в которой она достигает своего максимального значения. Так как f дифференцируема, и f 0 (b) < 0 < f 0 (a) , то п ри всех достаточно малых h > 0 справедливы следующие неравенства: f (a + h) = f (a) + f 0 (a) · h + o(h) > f (a) , f (b − h) = f (b) + f 0 (b) · (−h) + o(h) > f (b) . Эти неравенства означают, что наибольшее значение функции f не может достигаться ни в точке a , ни в точке b . Значит, ξ ∈ (a , b) , но тогда по теореме Ферма должно быть f 0 (ξ) = 0 . Снимем теперь сделанное выше предположение о знаках производных, и пусть, например, f 0 (a) < f 0 (b) . Возьмем произвольное c ∈ (f 0 (a) , f 0 (b)) и введем вспомогательную функцию F (x) := f (x) − c · x . Она дифференцируема, причем: F 0 (x) ≡ f 0 (x) − c , F 0 (a) = f 0 (a) − c < 0 , F 0 (b) = f 0 (b) − c > 0 . По доказанному выше ∃ξ ∈ (a , b) : F 0 (ξ) = 0 , т.е. f 0 (ξ) = c . Предположим теперь, что f 0 (a) = f 0 (b) =: A . Введем вспомогательную функцию F (x) := f (x) − A · x , для которой F 0 (a) = F 0 (b) = 0 . Если функция F — постоянная, то f 0 (x) ≡ A , и в качестве точки ξ можно взять любую точку интервала (a , b) . Если же F отлична от постоянной, то в качестве точки ξ следует взять одну из точек ее экстремума, а именно, ту, которая лежит на интервале (a , b) I Теорема 132 (Ролль). Если функция f : [a , b] −→ R непрерывна на отрезке [a , b] , дифференцируема на интервале (a , b) , и f (a) = f (b) , то существует точка ξ ∈ (a , b) , такая, что f 0 (ξ) = 0 . 2

Дарбу Жан Гастон (1842 – 1917) – французский математик.

234

Глава 6. Основные теоремы дифференциального исчисления

J Предположим сначала, что функция f — постоянная, т.е. f (x) ≡ c . В этом случае f 0 (x) ≡ 0 , и поэтому в качестве точки ξ можно взять любую точку интервала (a , b) . Предположим теперь, что функция f отлична от тождественной постоянной. Отсюда заключаем, что m < M , где обозначено m := inf f (x) , a6x6b

M := sup f (x) , a6x6b

а из теоремы Вейерштрасса об ограничености вытекает, что m и M — числа. Поскольку они различные, то по меньшей мере одно из них не совпадает с f (a) = f (b) . Предположим для определенности, что M 6= f (a) = f (b) . По теореме Вейерштрасса о максимуме существует точка ξ ∈ [a , b] , в которой f (ξ) = M . В силу последнего неравенства точка ξ не может совпадать с концами отрезка, значит, ξ ∈ (a , b) . Итак, ξ — внутренняя точка локального максимума функции f , и в силу теоремы Ферма должно быть: f 0 (ξ) = 0 . Аналогично можно рассмотреть случай m 6= f (a) = f (b) I Отметим геометрический смысл теоремы Ролля. При выполнении условий теоремы Ролля существует точка ξ ∈ (a , b) , такая, что касательная к графику функции f в точке (ξ , f (ξ)) параллельна оси абсцисс (см.рис.48). Отметим существенность всех трех условий теоремы Ролля3 : если хотя бы одно из условий теоремы Роляя нарушено, то легко строятся примеры функций, на графиках которых нет точек, в которых касательная параллельна оси абсцисс. Теорема 133 (Лагр´ анж). Если функция f : [a , b] −→ R непрерывна на отрезке [a , b] , дифференцируема на интервале (a , b) , то существует точка ξ ∈ (a , b) , такая, что f (b) − f (a) = f 0 (ξ) · (b − a) .

(6.1)

J Введем вспомогательную функцию F (x) := f (x) − λ · x , где λ ∈ R — параметр. Очевидно, что функция F непрерывна на [a , b] и дифференцируема на (a , b) . Подберем значение параметра 3

Ролль Мишель (1652 – 1719) — французский математик.

§ 1. Теоремы „о средних значениях“. Правило Лопиталя

235

λ так, чтобы выполнялось равенство: F (a) = F (b) . Имеем: f (a) − λ · a = f (b) − λ · b , откуда λ =

f (b) − f (a) . b−a

f (b) − f (a) · x выb−a полнены все условия теоремы Ролля. Применяя ее, заключаем, что ∃c ∈ (a , b) : F 0 (c) = 0 , а это равенство равносильно следующему: Таким образом, для функции F (x) := f (x) −

f 0 (c) =

f (b) − f (a) , b−a

(6.2)

которое в свою очередь равносильно равенству (6.1) I Y M A 0 a

Выясним геометрический смысл теоремы Лагранжа4 . С этой целью построим график функции f и будем использовать обозначения, указанные на рис.49. Обозначим также

B C

c

b

X

A(a, f (a)) , B(b, f (b)) , M (c, f (c)) .

Рис.49. К теореме Лагранжа

Прямолинейный отрезок AB назовем хордой. Из 4ABC видно, что

f (b) − f (a) = tg ∠BAC , т.е. правая часть равенства (6.2) равна b−a угловому коэффициенту хорды [A , B] . Производная f 0 (c) равна угловому коэффициенту касательной к графику в точке M . Равенство (6.2) угловых коэффициентов двух прямых означает, что эти прямые параллельны. Итак, при выполнении условий теоремы Лагранжа на графике функции f : [a , b] −→ R существует точка M (c, f (c)) , касательная в которой параллельна хорде [A , B] . Замечание. Теорему 133 часто называют теоремой о конечных приращениях. Это название связано с тем, что равенство (6.1) дает выражение для конечного приращения функции f , в отличие от равенства (5.1), дающего выражение для бесконечно малого приращения функции f . 4

Лагр´ анж Жоз´эф Лу´ и (1736 – 1813) — французский математик.

236

Глава 6. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема 134 (Кош´ и). Если функции f и g непрерывны на отрезке [a , b] , дифференцируемы на интервале (a , b) , и ∀x ∈ [a , b] : g 0 (x) 6= 0 , то существует точка ξ ∈ (a , b) , такая, что f (b) − f (a) f 0 (ξ) = 0 . g(b) − g(a) g (ξ) Y f (ξ)

J Введем вспомогательную функцию

C

f (b) f (a) 0

B A g(a)

(6.3)

g(ξ)

Рис.50. К теореме Коши

g(b) X

F (x) := f (x) − λ · g(x) , где λ ∈ R — параметр. Очевидно, что функция F непрерывна на [a , b] и дифференцируема на (a , b) . Подберем значение параметра λ так, чтобы выполнялось равенст-

во: F (a) = F (b) . Имеем: f (a) − λ · g(a) = f (b) − λ · g(b) , откуда λ =

f (b) − f (a) . g(b) − g(a)

f (b) − f (a) · x выg(b) − g(a) полнены все условия теоремы Ролля. Применяя ее, заключаем, что ∃ξ ∈ (a , b) : F 0 (ξ) = 0 , а это равенство равносильно следующему: Таким образом, для функции F (x) := f (x) −

f 0 (ξ) =

f (b) − f (a) 0 · g (ξ) . g(b) − g(a)

(6.4)

Деля последнее равенство на g 0 (ξ) , получим (6.3) I Геометрический смысл теоремы Коши — такой же, как и теоремы Лагранжа. Чтобы это показать, рассмотрим систему уравнений ( x = g(t) , t ∈ [a , b] , (6.5) y = f (t) ,

§ 1. Теоремы „о средних значениях“. Правило Лопиталя

237

При условиях, перечисленных в теореме Коши, уравнения (6.5) задают параметрически некоторую функцию5 y = y(x) . В обозначениях, показанных на ее графике (см.рис.50), имеем: A(g(a), f (a)) ,

B(g(b), f (b)) ,

C(g(ξ), f (ξ)) .

f (b) − f (a) . Угловой коg(b) − g(a) эффициент касательной в точке C(g(ξ), f (ξ)) в силу теоремы 10 из f 0 (ξ) 0 главы 5 равен: y (ξ) = 0 . Таким образом, равенство (6.3) выраg (ξ) жает параллельность касательной в точке C и хорды AB (рис.50). Угловой коэффициент хорды [A, B] равен:

Замечание. По аналогии с теоремой Лагранжа теорему Коши называют теоремой об отношении конечных приращений.

2. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Теорема 135 (правило Лопиталя). Предположим, функции

что

f , g : [a , b] −→ R , −∞ 6 a < b 6 +∞ , дифференцируемы на (a , b) , g 0 (x) 6= 0 для всех x ∈ (a , b) , и пусть f 0 (x) e . Если, кроме того, выполняется одно из следуlim =A∈R x→a g 0 (x) ющих условий: (a) lim f (x) = lim g(x) = 0 ; x→a

x→a

(b) lim g(x) = +∞ ; x→a

(c) lim g(x) = −∞ , x→a

f (x) существует и равен A . x→a g(x)

то предел lim

J Предположим сначала, что выполнено условие (а). В случае, когда a — число, доопределим функции f и g в точку a по непрерывности, полагая f (a) = g(a) := 0 . Тогда на отрезке [a , x] ⊂ [a , b] 5

Именно, из условия g 0 (x) 6= 0 , как будет показано в главе 7, вытекает строгая монотонность функции g . Из строгой монотонности в силу теоремы 2 из главы 0 вытекает существование обратной функции g −1 . Таким образом, y(x) = f (g −1 (x)) .

238

Глава 6. Основные теоремы дифференциального исчисления

выполнены все условия теоремы Коши. Применяя ее, заключаем, что существует точка ξ(x) ∈ (a , x) , такая, что f (x) f (x) − f (a) f 0 (ξ(x)) = = 0 . g(x) g(x) − g(a) g (ξ(x)) f 0 (x) Так как lim ξ(x) = a , и lim 0 = A , то по теореме о пределе x→a x→a g (x) композиции функций имеем: f (x) f 0 (ξ(x)) f 0 (ξ) lim = lim 0 = lim 0 = A. x→a g(x) x→a g (ξ(x)) ξ→a g (ξ) µ

1 − t

¶

В случае, когда a = −∞ , рассматриваем функции f и µ ¶ 1 g − в правой окрестности точки t = 0 . Тогда получим: t µ ¶ µ ¶ 1 1 1 f − f0 − f (x) f 0 (x) t t t2 lim = lim µ ¶ = lim µ ¶ = lim 0 = A. x→−∞ g(x) x→−∞ g (x) t→+0 t→+0 1 1 1 g − g0 − t t t2 Предположим теперь, что выполнено условие (b). Применяя теорему Коши, заключаем, что существует точка ξ , такая, что a < x < ξ < y < b, и f 0 (ξ) f (x) − f (y) f 0 (ξ) = 0 , откуда f (x) = f (y) + [g(x) − g(y)] · 0 . g(x) − g(y) g (ξ) g (ξ) Деля последнее равенство на g(x) , получим: f (x) f (y) f 0 (ξ) g(y) f 0 (ξ) = + − · . g(x) g(x) g 0 (ξ) g(x) g 0 (ξ)

(6.6)

Предполагая, что A ∈ R , зададим ¯ 0 ε ∈ R¯ + и найдем ¯ 0 ¯ такое ¯ f (ξ) ¯ ε ¯ f (ξ) ¯ c ∈ (a , b) , чтобы ∀ξ ∈ (a , c] было: ¯¯ 0 − A¯¯ 6 и ¯¯ 0 ¯¯ 6 M g (ξ) 3 g (ξ) при некотором M ∈ R+ . Фиксируя, далее, y ∈ (a , c] , найдем

§ 1. Теоремы „о средних значениях“. Правило Лопиталя

239

x0 ∈ (a , y) так, чтобы ∀x ∈ (a , x0 ) выполнялись неравенства: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ g(y) ¯ ¯ f (y) ¯ ε ¯ ¯6 ¯ ¯6 ε . и ¯ g(x) ¯ 3M ¯ g(x) ¯ 3 При тех же значениях переменного x , используя тождество (6.6), получим: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ f (x) ¯ ¯ f (y) ¯ ¯ f 0 (ξ) ¯ ¯ f (ξ) g(y) ¯ ε ε ¯ ¯6¯ ¯+ ¯ ¯+ ¯ ¯ 6 + +M · ε = ε , − A − A · ¯ g(x) ¯ ¯ g(x) ¯ ¯ g 0 (ξ) ¯ ¯ g 0 (ξ) g(x) ¯ 3 3 3M f (x) = A. x→a g(x) Предполагая,что A = +∞ , зададим E ∈ R+ . Найдем сначала f 0 (t) c ∈ (a , b) так, чтобы ∀t ∈ (a , c] было: 0 > 3E . Фиксируя, далее, g (t) y ∈ (a , c) , найдем x0 ∈ (a , y) так, чтобы ∀x ∈ (a , x0 ) выполнялись неравенства: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ f (y) ¯ E g(y) ¯6 ¯1 − ¯> . ¯ и ¯ ¯ g(x) ¯ 2 g(x) ¯ 2 При тех же значениях переменного x имеем: ¯ ¯ µ ¶¯ ¯ g(y) ¯¯ ¯¯ f (y) ¯¯ f (x) ¯¯ f 0 (ξ) 1 E 1− >¯ 0 − =E. − > 3E · g(x) g (ξ) g(x) ¯ ¯ g(x) ¯ 2 2 т.е. lim

f (x) = +∞ . x→a g(x) Случай A = −∞ можно рассмотреть аналогично. Доказательство в случае, когда выполнено условие (c), можно провести аналогично случаю (b), можно даже свести его к случаю (b). Соответствующие рассуждения опускаем I

Итак, lim

Замечания. 1) Теорема 135 доказана для предела при x → a, x > a. Утверждение, аналогичное этой теореме, справедливо и для предела при x → b, x < b . 2) Содержащееся в теореме 135 утверждение (правило Лопиталя6 ) часто выражают, опуская ограничения, следующим образом: предел отношения функций равен пределу отношения их производных, если этот последний предел существует. 6

Лопит´ аль Гийом Франсуа Антуан дэ (1661 – 1704) — маркиз, французский математик, автор первого учебника по дифференциальному исчислению (1696), написанного по лекциям И.Бернулли (1667 – 1748), которому принадлежит и правило Лопиталя.

240

Глава 6. Основные теоремы дифференциального исчисления

3) В качестве примера на применение правила Лопиталя установим следующий факт. Если функция f определена в окрестности, а дифференцируема в проколотой окрестности7 точки a , и если существует предел x→a; lim f 0 (x) = A , x6=a

0

0

то существует и производная f (a) , причем f (a) = A . J Применяя определение производной и правило Лопиталя, имеем: f 0 (a) = x→a; lim x6=a

f (x) − f (a) = x→a; lim f 0 (x) = A x−a x6=a

I

§ 2. Формула Тэйлора 1. Формула Тэйлора для многочлена. Лемма 1. Если в некоторой точке x0 значения многочлена и всех его производных равны нулю, то этот многочлен тождественно равен нулю. J Пусть Q(x) = c0 xn + c1 xn−1 + . . . + cn−1 x + cn — многочлен степени не выше n , и пусть Q(x0 ) = Q0 (x0 ) = . . . = Q(n−1) (x0 ) = Q(n) (x0 ) = 0 . Отсюда следует, что коэффициенты многочлена Q удовлетворяют следующей треугольной однородной системе линейных уравнений:  0 = c0 xn0 + c1 xn−1 + . . . + cn−1 x0 + cn ;  0   n−1   0 = nc0 c0 + . . . + 1!cn−1 ; .......................................   0 = n!c0 x0 + (n − 1)!c1 ;    0 = n!c0 . Решая эту систему, находим: c0 = c1 = . . . = cn−1 = cn = 0 , и, значит, Q(x) ≡ 0 I

7

Проколотой окрестностью точки a называется любая ее окрестность, из которой удалена сама точка a .

§ 2. Формула Тэйлора

241

Теорема 136 (формула Тэйлора для многочлена). Если f — многочлен степени не выше n от x , а x0 ∈ R — произвольная точка, то справедливо тождество: f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) 2 (x−x0 )+ (x−x0 ) +. . .+ (x−x0 )n . f (x) = f (x0 )+ 1! 2! n! (6.7) J Для многочлена Тэйлора (т.е. правой части равенства (6.7)) f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) (x−x0 )+ (x−x0 )2 +. . .+ (x−x0 )n 1! 2! n! справедливы следующие очевидные равенства: Pn (x) := f (x0 )+

Pn (x0 ) = f (x0 ) , Pn0 (x0 ) = f 0 (x0 ) , . . . , Pn(n) (x0 ) = f (n) (x0 ) . Таким образом, для многочлена Q(x) := f (x) − Pn (x) выполнены все условия леммы 1, и, значит, Q(x) ≡ 0 . Отсюда получаем f (x) = Pn (x) , что равносильно равенству (6.7) I 2. Формула Тэйлора для произвольной функции. Очевидно, что если у функции f существует конечная производная f (n) (x0 ) , то сущеcтвует и функция rn , такая, что в некоторой окрестности точки x0 имеет место тождество: f (x) = f (x0 )+

f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) (x−x0 )+ (x−x0 )2 +. . .+ (x−x0 )n + 1! 2! n! + rn (x) , (6.8)

называемое формулой Тэйлора степени n для функции f в окрестности точки x0 . Сумма Pn (x) = = f (x0 ) +

f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + . . . + (x − x0 )n = 1! 2! n! n (k) X f (x0 ) (x − x0 )k (6.9) = k! k=0

242

Глава 6. Основные теоремы дифференциального исчисления

называется многочленом Тэйлора функции f с центром в точке x0 , а последнее слагаемое rn (x) в (6.8) — остаточным членом формулы Тэйлора. Замечания. 1. Учитывая введенное в конце предыдущей главы понятие дифференциала любого порядка, можем переписать формулу Тэйлора в следующем равносильном виде: f (x) =

n X Dk f (x0 )(x − x0 )k

k!

k=0

+ rn (x) .

(6.10)

2. Очевидным свойством многочлена Тэйлора8 является то, что при x → x0 каждый следующий его член бесконечно мал по сравнению со всеми предыдущими9 , что удобно с точки зрения приближенных вычислений. В связи с этим представляют интерес различные оценки для остаточного члена rn (x) в окрестности точки x0 .

Теорема 137 (локальная форма остаточного члена). Если сущетвует конечная производная f (n) (x0 ) , то для остаточного члена формулы Тэйлора (6.8) справедлива следующая асимтотическая оценка: rn (x) = o((x − a)n ) при x → x0 . (6.11) rn (x) J Достаточно показать, что lim = 0 . С этой целью x→a (x − a)n заметим, что f (n−1) (x) = f (n−1) (a) + f (n) (a) · (x − a) + o(x − a) при x → a , так как f (n−1) дифференцируема в точке a по условию, а Pn(n−1) (x) = f (n−1) (a) + f (n) (a) · (x − a) , что непосредственно вытекает из (6.9). Учитывая это и применяя (n − 1) раз правило Лопиталя, имеем: rn (x) f (x) − Pn (x)) f 0 (x) − Pn0 (x)) = lim = lim = ... = x→a (x − a)n x→a x→a n · (x − a)n−1 (x − a)n lim

(n−1)

1 f (n−1) (x) − Pn = · lim n! x→a x−a 8 9

(x))

=

1 o(x − a) · lim =0 n! x→a x − a

Т´эйлор Брук (1685 – 1731) — английский математик. точнее говоря, только с теми из них, которые отличны от тождественного нуля.

I

§ 2. Формула Тэйлора

243

Замечания. 1. Соотношение (6.11) называется представлением остаточного члена в форме Пеано10 . Отметим частные случаи формулы Тэйлора с остаточным членом в форме Пеано. При n = 0 она приобретает такой вид: f (x) = f (x0 ) + o(1) при x → x0 и равносильна непрерывности функции f в точке x0 . При n = 1 она имеет следующий вид: f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 ) + o(x − x0 ) при x → x0 и равносильна дифференцируемости функции f в точке x0 . При n > 1 ей можно придать такой вид: f (x) =

n X Dk f (x0 )(x − x0 )k k=0

k!

+ o ((x − x0 )n )

при x → x0 ,

(6.12)

что равносильно n-кратной дифференцируемости функции f в точке a . 2. Из предыдущего замечания и из оценки (6.11) вытекает, что в формуле Тэйлора (6.12) остаточный член бесконечно мал по сравнению с многочленом Тэйлора11 при x → x0 . Отбрасывая остаточный член в (6.12), получаем приближенную формулу: f (x) ≈ f (x0 ) +

f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + . . . + (x − x0 )n , (6.13) 1! 2! n!

которая тем точнее, чем меньше число |x − x0 | . Формула (6.13) широко применяется в приближенных вычислениях.

Теорема 138 (следствие). Если существует конечная производная f (n+1) (x0 ) , то для остаточного члена формулы Тейлора (6.8) справедлива следующая асимптотическая оценка: rn (x) = O((x − x0 )n+1 ) при x → x0 .

(6.14)

J Так как существует число f (n+1) (x0 ) , то для функции f в окрестности точки x0 имеет смысл формула Тейлора с многочленом степени (n + 1) :

f (x) = f (x0 )+ 10 11

f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) (x−x0 )+ (x−x0 )2 +. . .+ (x−x0 )n + 1! 2! n! (6.15)

Пеано Джузеппе (1858 – 1932) — итальянский математик. если, конечно, многочлен Тэйлора отличен от тождественного нуля.

244

Глава 6. Основные теоремы дифференциального исчисления

f (n+1) (x0 ) (x − x0 )n+1 + rn+1 (x) . (n + 1)! Сравнивая эту формулу с формулой (6.8), находим зависимость между их остаточными членами: +

f (n+1) (x0 ) rn (x) = (x − x0 )n+1 + rn+1 (x) . (n + 1)! Деля это равенство на (x−x0 )n+1 , и переходя к пределу при x → x0 , получим с использованием теоремы 137: f (n+1) (x0 ) rn+1 (x) f (n+1) (x0 ) rn (x) = + lim = , lim x→x0 (x − x0 )n+1 x→x0 (x − x0 )n+1 (n + 1)! (n + 1)! что равносильно соотношению (6.14) I Замечание. Очевидно, что из оценки (6.14) вытекает оценка (6.11), поэтому (6.14) несет больше информации, чем (6.11). Обе эти оценки дают локальные (т.е. при x → x0 ) представления для остаточного члена. При некоторых дополнительных ограничениях на функцию f остаточный член может быть представлен в других (глобальных) формах, несущих больше информации, чем локальные.

Теорема 139. Если конечная производная f (n+1) (x) существует для всех x из некоторого интервала (x0 − δ , x0 + δ) , то для любого x ∈ (x0 − δ , x0 + δ) и для любого p ∈ N существует точка ξ ∈ (x0 , x) , такая, что f (n+1) (ξ) · (x − ξ)n+1−p · (x − x0 )p . rn (x) = n! · p

(6.16)

J Фиксируя x ∈ (x0 − δ , x0 + δ) , станем искать остаточный член формулы Тейлора (6.8) в виде: rn (x) = (x − x0 )p · H ,

(6.17)

где H — некоторое число. Желая его вычислить, введем вспомогательную функцию Φ(t) :=

n X f (k) (t) k=0

k!

(x − t)k + (x − t)p · H при t ∈ [x0 , x] .

(6.18)

§ 2. Формула Тэйлора

245

Очевидно, что она дифференцируема при t ∈ [x0 , x] . Вычисляя ее значения в точках t = x0 и t = x , имеем: Φ(x0 ) =

n X f (k) (x0 ) k=0

Φ(x) =

k!

n X f (k) (x) k=0

k!

(x − x0 )k + rn (x) = f (x) ,

(x − x)k + (x − x)p · H = f (x) .

Таким образом, для функции Φ(t) выполнены все условия теоремы Ролля. Применяя ее, заключаем, что ∃ξ ∈ (x0 , x) : Φ0 (ξ) = 0 . Исходя из определения (6.18), вычислим Φ0 (t) : Φ0 (t) =

¶ n µ (k+1) (k) X f (t) f (t) = f 0 (t)+ (x − t)k − (x − t)k−1 −p·(x−t)p−1 H = k! (k − 1)! k=1

f (n+1) (t) = (x − t)n − p · (x − t)p−1 H . n! Полагая здесь t = ξ , получим: f (n+1) (ξ) · (x − ξ)n − p · (x − ξ)p−1 · H , 0 = Φ (ξ) = n! 0

откуда находим: f (n+1) (ξ) · (x − ξ)n−p+1 . H= n! · p Подставляя это значение для H в (6.17), получим (6.16) I Замечание. При конкретных значениях параметра p получаются частные случаи формулы (6.16), важные с точки зрения тех или иных приложений. Полагая p = n + 1 , получаем остаточный член в форме Лагранжа: rn (x) =

f (n+1) (ξ) · (x − x0 )n+1 . (n + 1)!

(6.19)

246

Глава 6. Основные теоремы дифференциального исчисления

Полагая p = 1 , получаем остаточный член в форме Коши: f (n+1) (ξ) rn (x) = · (x − ξ)n · (x − x0 ) . n!

(6.20)

Преобразуем его, полагая ξ −x0 = θ·(x−x0 ) , где 0 < θ < 1 . В этих обозначениях имеем: x − ξ = (x − x0 ) − (ξ − x0 ) = (1 − θ)(x − x0 ) . Тогда формула (6.20) приобретает следующий вид: rn (x) =

f (n+1) (x0 + θ · (x − x0 )) · (1 − θ)n · (x − x0 )n+1 . n!

(6.21)

3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена. Полагая в формуле Тэйлора (6.8) x0 = 0 , получим ее частный случай, называемый иногда формулой Маклорена. Здесь выпишем формулы Маклорена12 для некоторых часто встречающихся элементарных функций. Для функции f (x) = ex при любом n ∈ N имеем: dn x e |x=0 = ex |x=0 = e0 = 1 . n dx Используя эти равенства и полагая в (6.8) f (x) = ex , получим: x2 x3 xn e =1+x+ + + ... + + rn (x) . 2! 3! n! x

(6.22)

Для функции f (x) = sin x при любом k ∈ N находим: ( ³ π ´ ¯¯ dk π 0 при k = 2n , sin x| = sin x + k = sin k = x=0 dxk 2 x=0 2 (−1)n при k = 2n + 1 . Таким образом, имеем: 2n+1 x3 x5 n x sin x = x − + − . . . + (−1) + r2n+1 (x) . 3! 5! (2n + 1)!

(6.23)

Для функции f (x) = cos x при любом k ∈ N находим: ( ³ ´ k π ¯¯ d π 0 при k = 2n + 1 , cos x| = cos x + k = = cos k x=0 dxk 2 x=0 2 (−1)n при k = 2n . 12

Макл´орен К´олин (1698 – 1746) — шотландский математик.

§ 2. Формула Тэйлора

247

Таким образом, имеем: 2n x2 x4 n x cos x = 1 − + − . . . + (−1) + r2n (x) . 2! 4! (2n)!

Полагая, далее, f (x) = ln(1 + x) , находим: а при n > 1 будем иметь:

(6.24)

d 1 ln(1 + x) = , dx 1+x

dn dn−1 (n − 1)! ln(1 + x) = n−1 (1 + x)−1 = (−1)n . n dx dx (1 + x)n Итак, n x2 x3 x4 n−1 x ln(1 + x) = x − + − + . . . + (−1) + rn (x) . 2 3 4 n

(6.25)

Полагая, наконец, f (x) = (1 + x)µ , при любом n ∈ N имеем: dn (1 + x)µ = µ(µ − 1) . . . (µ − n + 1)(1 + x)µ−n |x=0 = n dx = µ(µ − 1) . . . (µ − n + 1) . Обозначая

µ ¶ µ µ(µ − 1) . . . (µ − n + 1) := , n n!

получим: µ ¶ µ ¶ µ 2 µ n (1 + x) = 1 + µx + x + ... + x + rn (x) . 2 n µ

(6.26)

Замечание. В случае µ = n ∈ N левая часть тождества (6.26) есть многочлен степени n . Отсюда и из оценки rn (x) = o(xn ) при x → 0 следует, что в правой части (6.26) должно быть: rn (x) ≡ 0 , и, значит, при n ∈ N равенство (6.26) переходит в формулу бинома Ньютона.

248

Глава 6. Основные теоремы дифференциального исчисления

§ 3. Степенные ряды. Ряды Тэйлора. Формулы Эйлера. 1. Степенные ряды. Начнем с общего понятия функционального ряда. 134. Функциональным рядом называется ряд PОпределение ∞ n=1 ϕn , все члены которого — функции. Областью сходимости (расходимости) функционального ряда называется множество P∞ всех тех значений аргумента x , для которых числовой ряд n=1 ϕn (x) сходится (расходится). Мы будем подразделять функциональные ряды на вещественные и комплексные в зависимости от того, являются ли члены данного ряда вещественнозначными функциями вещественного переменного или комплекснозначными функциями комплексного переменного. Вещественные переменные условимся обозначать буквами x , y , . . . (возможно, с индексами), а комплексные переменные — буквами z , w , . . . (возможно, с индексами). Весьма частными случаями функциональных рядов являются так называемые степенн´ ые ряды. Их рассмотрим здесь несколько подробнее. Определение 135. Степенным рядом с центром в точке z0 называется функциональный ряд следующего вида: ∞ X

cn ·(z −z0 )n = c0 +c1 ·(z −z0 )+c2 ·(z −z0 )2 +. . .+cn ·(z −z0 )n +. . . ,

n=0

(6.27) где числа c0 , c1 , . . . , cn , . . . называются его коэффициентами. Определение 136. Радиусом сходимости степенного ряда (6.27) называется величина R ∈ [0 , +∞] , вычисляемая по следующей формуле Коши-Адамара13 : R :=

1 p , lim n |cn |

n→∞ 13

Адамар Жак Соломон (1865 – 1963) — французский математик.

(6.28)

§ 3. Степенные ряды. Ряды Тэйлора. Формулы Эйлера. где приняты соглашения:

249

1 1 := 0 , := +∞ . +∞ 0

Теорема 140. Пусть R — радиус сходимости степенного ряда (6.27). Тогда этот ряд сходится абсолютно при |z − z0 | < R , и расходится при |z − z0 | > R . J Желая исследовать ряд (6.27) на абсолютную сходимость, применим признак сходимости Коши: p p K := lim n |cn · (z − z0 )n | = |z − z0 | · lim n |cn | . n→∞ n→∞ p Если lim n |cn | = 0 , то K = 0 < 1 , и ряд сходится абсолютно при n→∞ p всех z . Если lim n |cn | = +∞ , то при z 6= z0 будет: K = +∞ > 1 , n→∞ и ряд расходится. Во всех остальных случаях имеем: p |z − z0 | K := lim n |cn · (z − z0 )n | = ∈ R+ . n→∞ R Таким образом, K < 1 при |z − z0 | < R , и K > 1 при |z − z0 | > R I Определение 137. (a) Интервалом сходимости вещественно∞ P го степенного ряда an · (x − x0 )n называется интервал n=0

(x0 − R , x0 + R) , где R — радиус сходимости этого ряда. ∞ P

(b) Кругом

n=0

сходимости

комплексного

степенного

ряда

cn · (z − z0 )n называется круг |z − z0 | < R , где R — радиус

сходимости этого ряда. Замечание. Теорема 140, таким образом, утверждает, что степенной ряд сходится абсолютно во всех внутренних точках его круга (интервала) сходимости, и расходится во всех точках, внешних по отношению к этому кругу (интервалу). Что касается граничных точек, то здесь возможны самые разные ситуации. Рассмотрим, например, три степенных ряда: ∞ X xn

В силу равенства lim

n→∞

√ n

k=0

n2

,

∞ X xn k=0

n

,

∞ X

xn .

k=0

n = 1 интервалом сходимости всех трех рядов является

интервал (−1 , +1) . Однако первый из этих рядов сходится абсолютно в обеих точках x = ±1 , второй сходится условно при x = −1 , и расходится при x = 1 , а третий расходится в обеих точках x = ±1 .

250

Глава 6. Основные теоремы дифференциального исчисления

2. Ряды Тэйлора. Важнейшими частными случаями степенных рядов являются определяемые ниже ряды Тэйлора бесконечно дифференцируемых функций. Определение 138. Пусть функция f : X −→ R бесконечно дифференцируема в точке x0 ∈ X . Рядом Тэйлора функции f c центром в точке x0 называется степенной ряд следующего вида: ∞ X f (n) (x0 ) n=0

n!

(x − x0 )n =

f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) 2 = f (x0 )+ (x−x0 )+ (x−x0 ) +. . .+ (x−x0 )n +. . . . 1! 2! n! (6.29) Очевидно, что частичными суммами ряда Тэйлора (6.29) являются многочлены Тэйлора функции f в окрестности точки x0 , и возникает вопрос об условиях его сходимости, а в случае сходимости — о том, чему равна его сумма. Ответ содержится в следующей теореме. Теорема 141. Ряд Тэйлора (6.29) сходится к сумме f (x) , если и только если выполняется следующее условие: lim rn (x) = 0 ,

n→∞

(6.30)

где rn (x) — остаточный член формулы Тэйлора функции f в окрестности точки x0 . J Фиксируя x , запишем представление значения f (x) по формуле Тэйлора: f (x) =

n X f (k) (x0 ) k=0

k!

(x − x0 )k + rn (x) .

(6.31)

Предполагая,что условие (6.30) выполняется и переходя к пределу в равенстве (6.31) при n → ∞ , заключаем,что ряд Тэйлора сходится к сумме f (x) , т.е. f (x) =

∞ X f (k) (x0 ) k=0

k!

(x − x0 )k .

(6.32)

§ 3. Степенные ряды. Ряды Тэйлора. Формулы Эйлера.

251

Обратно, предположим, что ряд Тэйлора сходится к сумме f (x) , т.е. что выполняется равенство (6.32). Сравнивая (6.31) с (6.32), заключаем, что остаточный член равен сумме n-го остатка, т.е. ∞ X f (k) (x0 ) · (x − x0 )k . (6.33) rn (x) = k! k=n+1

Из сходимости ряда (6.32) следует сходимость любого его остатка и стремление к нулю при n → ∞ последовательности его остатков, т.е. выполнение условия (6.30) I Теорема 142. Справдлипы следующие разложения: ∞ X xn x e = , x ∈ R; n! n=0 ∞ X x2n cos x = (−1)n , (2n)! n=0

x ∈ R;

∞ 2n+1 X n x sin x = (−1) , (2n + 1)! n=0

x ∈ R;

∞ n X n−1 x ln(1 + x) = (−1) , |x| < 1 ; n n=1 ∞ µ ¶ X µ n µ x , |x| < 1 . (1 + x) = n n=0

(6.34) (6.35) (6.36) (6.37) (6.38)

J В силу теоремы 141 достаточно показать, что при указанных значениях переменного x остаточные члены соответствующих формул Тэйлора стремятся к нулю при n → ∞ . Начнем с функции ex . Фиксируя произвольное значение x ∈ R , исследуем на абсолютную сходимость ряд (6.34). Применяя признак Даламбера, имеем: ¯ n+1 ¯ n¯ ¯ x x |x| lim ¯¯ : ¯¯ = lim = 0 < 1. n→∞ (n + 1)! n→∞ (n + 1) n! Отсюда следует, что ряд (6.34) сходится, а из сходимости вытекает следующее равенство: xn+1 lim = 0. n→∞ (n + 1)!

(6.39)

252

Глава 6. Основные теоремы дифференциального исчисления

Представляя остаточный член rn (x) формулы Тэйлора функции ex в форме Лагранжа, получим: eξ rn (x) = , где 0 < |ξ| < |x| . (n + 1)! Отсюда находим: 0 < |rn (x)| < e

|x|

|x|n+1 . · (n + 1)!

Переходя здесь к пределу при n → ∞ и используя (6.39), получим lim rn (x) = 0 . Тем самым равенство (6.34) установлено.

n→∞

Из равенства (6.39) следует, что x2n+2 = 0, n→∞ (2n + 2)! lim

x2n+1 = 0. n→∞ (2n + 1)! lim

(6.40)

Представляя остаточные члены формул Тэйлора функций cos и sin в форме Лагранжа, имеем: ¯ ¯ ³ π´ ¯ ¯ ¯ cos ξ + (2n + 1) ¯ |x|2n+1 ¯ 2n+1 ¯ 2 |r2n (x)| = ¯ x ; ¯6 ¯ ¯ (2n + 1)! (2n + 1)! ¯ ¯ ¯ ³ ¯ π´ ¯ ¯ ¯ sin ξ + (2n + 2) ¯ |x|2n+2 ¯ 2n+2 ¯ 2 |r2n+1 (x)| = ¯ x . 6 ¯ ¯ ¯ (2n + 2)! (2n + 2)! ¯ ¯ Отсюда и из равенств (6.40) следует, что остаточные члены формул Тэйлора функций cos и sin стремятся к нулю. Тем самым установлены равенства (6.35) и (6.36). Применяя признак Даламбера, легко заключить, что ряды (6.37) и (6.38) сходятся абсолютно при |x| < 1 . Значит, последовательности их общих членов стремятся к нулю при n → ∞ : µ ¶ n µ n n−1 x lim (−1) = 0 и lim x = 0. (6.41) n→∞ n→∞ n n

§ 3. Степенные ряды. Ряды Тэйлора. Формулы Эйлера.

253

Желая установить равенство (6.37), представим остаточный член формулы Маклорена (6.25) в форме Коши (6.21): 1 d · ln(1 + x)|θx = n! dx µ ¶n (−1)n n! (−1)n x 1−θ 1 n n+1 · · (1 − θ) · x = · · xn . = n+1 n! (1 + θx) (1 + θx) 1 + θx

rn (x) =

Учитывая, что −1 < x < 1 , 0 < θ < 1 , имеем: |1 + θx| > 1 − θ|x| > 1 − θ , и, значит,

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 − θ ¯n ¯ 1 − θ ¯ n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + θx ¯ < ¯ 1 − θ|x| ¯ < 1 .

|x| ·|x|n → 0 при n → ∞ . Отсюда на основании 1−θ теоремы 141 заключаем, что равенство (6.37) справедливо. Чтобы установить равенство (6.38), представим остаточный член формулы Тэйлора для функции (1 + x)µ в форме Коши:

Поэтому |rn (x)| 6

µ ¶ µ rn (x) = (1 + θx)µ−n+1 (1 − θ)n xn+1 = n µ ¶n µ ¶ 1 − θ µ − 1 = µx(1+θx)µ−1 · · xn , где |x| < 1 , 0 < θ < 1 . 1 + θx n (6.42) ¯µ ¶ ¯ ¯ 1 − θ n¯ ¯ 6 1 . Поэтому Так как |1 + θx| > 1 − |θx| > 1 − θ , то ¯¯ 1 + θx ¯ из (6.42) имеем: ¯µ ¶ ¯ ¯ ¯ µ − 1 0 6 |rn (x)| 6 |µx(1 + θx)µ−1 | · ¯¯ xn ¯¯ → 0 n при n → ∞ в силу равенства (6.41). Тем самым разложение (6.38) обосновано I

254

Глава 6. Основные теоремы дифференциального исчисления

3. Формулы Эйлера. Степенные ряды (6.34), (6.35) и (6.36) сходятся абсолютно ∀x ∈ R , поэтому радиус сходимости всех этих рядов равен +∞ . Отсюда следует, что если в этих рядах заменить вещественную переменную x на комплексную переменную z , то они будут сходиться абсолютно ∀z ∈ C , а потому их суммы можно принять в качестве определений экспоненты, синуса и косинуса комплексного аргумента. Определение 139. Для любого z ∈ C полагаем: zn z2 z3 e := 1 + z + + + . . . + + ... ; 2! 3! n! 2n z2 z4 n z cos z := 1 − + − . . . + (−1) + ... ; 2! 4! (2n)! z 2n+1 z3 z5 + ... . sin z := z − + − . . . + (−1)n 3! 5! (2n + 1)! z

(6.43) (6.44) (6.45)

Теорема 143 (формула Эйлера). Справедливо тождество: cos ϕ + i · sin ϕ = eiϕ ,

(6.46)

где ϕ ∈ R , a i ∈ C — мнимая единица. J Используя определение 139, имеем: eiϕ = (iϕ)2 (iϕ)3 (iϕ)4 (iϕ)5 (iϕ)6 + + + + + ... = 2! 3! 4! 5! 6! ϕ2 ϕ3 ϕ4 ϕ5 ϕ6 = 1 + iϕ − −i + +i − − ... = 2! 3! 4! 5! 6! ¶ µ ¶ µ ϕ3 ϕ5 ϕ2 ϕ4 + − ... + i · ϕ − + − ... = = 1− 2! 4! 3! 5! = cos ϕ + i sin ϕ I

= 1 + iϕ +

Замечания. 1. Мы знаем две формы представления комплексных чисел — алгебраическую z = x + iy и тригонометрическую z = r · (cos ϕ + i sin ϕ) . Используя формулу Эйлера, получаем еще одну форму — показательную z = r · eiϕ . Таким образом, z = x + iy = r · (cos ϕ + i sin ϕ) = r · eiϕ ,

§ 3. Степенные ряды. Ряды Тэйлора. Формулы Эйлера.

255

где x = Re z , y = Im z , r = |z| , ϕ = arg z . 2. С помощью формул Эйлера можно выразить функции cos и sin через экспоненту с чисто мнимым показателем. С этой целью, заменяя в (6.46) ϕ на (−ϕ) , получим такое тождество: cos ϕ − i sin ϕ = e−iϕ . Из этого равенства и из (6.46) находим: cos ϕ =

eiϕ + e−iϕ eiϕ − e−iϕ , sin ϕ = . 2 2i

Эти тождества позволяют из свойств показательной функции получать свойства тригонометрических функций, и наоборот. 3. Заменяя в равенстве (6.43) z на (−z) , получим следующее равенство: e−z = 1 − z +

z2 z3 zn − + . . . + (−1)n · + ... , z ∈ C. 2! 3! n!

(6.47)

Образуя полусумму и полуразность равенств (6.43) и (6.47), получим разложения гиперболических функций ch и sh комплексного переменного в степенные ряды: z2 z4 z 2n + + ... + + ... , z ∈ C; 2! 4! (2n)! z 2n+1 z3 z5 + + ... + + . . . z ∈ C. sh z = z + 3! 5! (2n + 1)!

ch z = 1 +

(6.48) (6.49)

Из этих равенств и из равенств (6.44) и (6.45) вытекают следующие тождества, связывающие тригонометрические функции с гиперболическими: cos(iz) = ch z ; ch(iz) = cos z ; sin(iz) = i sh z ; sh(iz) = i sin z . Пользуясь этими тождествами, можно из свойств тригонометрических функций получить свойства гиперболических функций, и наоборот.

256

Глава 6. Основные теоремы дифференциального исчисления Задачи к главе 6

6.1 Доказать, что между двумя вещественными корнями многочлена с вещественными коэффициентами имеется корень его производной. 6.2 Доказать, что если функция f дифференцируема n раз на отрезке [a , b] и обращается на нем в нуль в (n+1) точках, то ∃ξ ∈ (a , b) : f (n) (ξ) = 0 . 6.3 Доказать, что корни производной многочлена P (x) = x(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) вещественные, простые и лежат соответственно на интервалах (0 ; 1) , (1 ; 2) , (2 ; 3) , (3 ; 4) . 6.4 Доказать, что ∀n ∈ N ∀α ∈ R+ :

1 1 < α n α

µ

1 1 − α α (n − 1) n

¶ .

6.5 Доказать, что если дифференцируемая на конечном интервале (a ; b) функция f неограничена, то производная функция f 0 : (a ; b) −→ R тоже неограничена. 6.6 Доказать, что если функция f : [0 , +∞) −→ R дифференцируема n раз, и f (0) = f 0 (0) = . . . = f (n−1) (0) = 0 , а f (n) > 0 , то и f (x) > 0 при x > 0. 6.7 Вычислить следующие пределы: ln cos ax ln(1 + x) − x ln x (a) lim ; (b) lim ; (c) lim ; 2 2 x→0 x→0 x→+0 ln sin x x tg x ln(1 − cos x) 2 arctg x (d) lim ; (e) lim sin x · ln ctg x ; (f) lim x ln ; x→+0 x→0 x→+∞ ln tg x π 1 1 ln x − x + 1 ln tg x (g) lim ; (h) lim x x−1 ; (i) lim (cos x) x2 ; (j) lim ; x x→1 x→1 x→0 x→π 4 ctg 2x x−x 1 (k) lim (3x2 + 3x ) x ; (l) lim (tg x)cos x . x→+∞

x→π 2, x<π 2

6.8 Пусть f ∈ C 2 [0 ; 1] , f (0) = f (1) = 0 , и ∃M ∈ R+ ∀x ∈ (0 ; 1) : |f 00 (x)| 6 M . Доказать, что ∀x ∈ (0 ; 1) : |f 0 (x)| 6

M . 2

6.9 Следующие функции разложить по формуле Маклорена с остаточным членом порядка o(xn ) при x → 0 : √ (a) sin(2x + 3) ; (b) ln(ex + 2) ; (c) (2x + 1) 1 − x ; (d) (2x − 3) ln(5x + 6) ; √ 2x + 5 (e) ln(2 + x − x2 ) ; (f) 2 ; (g) ln(x + x2 + 1) . x + 5x + 4

§ 3. Степенные ряды. Ряды Тэйлора. Формулы Эйлера.

257

6.10 Следующие функции разложить по формуле Маклорена с остаточным членом порядка o(x5 ) при x → 0 : 1 (a) (1 − 2x + 3x2 + 4x3 )3 ; (b) ln(1 + x + x2 + x3 ) ; (c) ; cos x ¡ ¢−1 √x sin x (d) e 1+x2 ; (e) ln ; (f) 1 − ln2 (1 − x) ; (g) (1 + x)sin x . x 6.11 Вычислить следующие √ пределы: √ 1 + x cos x − 1 + 2x ex − 1 + 2x (a) lim ; (b) lim ; x→0 x→0 ln(1 − x2 ) ln cos x √ √ esin x − 1 + x2 − x cos x arcsin x + 3 cos x − 3 3 1 + x ; (d) lim (c) lim ; x→0 x→0 1 + ln(1 + x) − ex ln3 (1 − x) (1 + x)x − 1 tg sin x − x cos x (e) lim ; (f) lim x . 2 x→0 x→0 e + ln(1 − x) − 1 x

Глава 7 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Приложения дифференциального исчисления необъятны, и здесь нет возможности останавливаться на них сколько-нибудь подробно. В этой главе будут рассмотрены, в основном, такие вопросы, которые помогают, используя методы дифференциального исчисления, строить графики некоторых функций, заданных своими уравнениями.

§ 1. Условия монотонности и внутреннего локального экстремума функции. 1. Условия монотонности функции. Теорема 144. Предположим, что для функции f : (a , b) −→ e , не меR существует производная функция f 0 : (a , b) −→ R няющая знака на (a , b) Тогда функция f монотонна (в широком смысле) на (a , b) . Более того, справедливы следующие утверждения1 : (a) (b) (c) (d) (e)

f0 > 0 f0 6 0 f 0 (x) ≡ 0 f0 > 0 f0 < 0

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ =⇒ =⇒

f f f f f

не убывает ; не возрастает ; — постоянная ; возрастает ; убывает .

J Зададим произвольно точки x0 , x00 ∈ (a , b) , x0 < x00 . Применяя теорему Лагранжа о конечных приращениях, заключаем, что существует точка ξ ∈ (x0 , x00 ) , такая, что f (x00 ) − f (x0 ) = f 0 (ξ) · (x00 − x0 ) . 1

Неравенства типа f 0 > 0 понимаются в следующем смысле: ∀x ∈ [a , b] : f 0 (x) > 0 .

258

(7.1)

§ 1. Условия монотонности и экстремума

259

Так как x00 − x0 > 0 , то разность f (x00 ) − f (x0 ) либо равна нулю, либо имеет тот же знак, что и f 0 (ξ) . Значит, f 0 (ξ) > 0 ⇐⇒ f (x00 ) > f (x0 ) , т.е. в этом случае функция f не убывает. Аналогично, f 0 (ξ) 6 0 ⇐⇒ f (x00 ) 6 f (x0 ) , т.е. в этом случае функция f не возрастает. Далее, если f 0 (x) ≡ 0 , то из (7.1) видно, что ∀x00 : f (x00 ) = f (x0 ) , т.е. функция f — постоянная. С другой стороны, из определения производной вытекает, что производная постоянной функции равна нулю. И, наконец, из (7.1) очевидно, что если f 0 строго положительна (строго отрицательна), то f строго возрастает (строго убывает) I Примеры. 1. Найти число вещественных корней уравнения x5 + 2ex − 7 = 0 . J Функция y = x5 + 2ex − 7 = 0 дифференцируема на R . Так как y 0 = 5x4 + 2ex > 0 для всех x ∈ R , то данная функция строго возрастает на R . Поэтому уравнение x5 + 2ex − 7 = 0 может иметь не более одного корня. Поскольку   lim (x5 + 2ex − 7) = −∞ ; x→−∞

 lim (x5 + 2ex − 7) = +∞ , x→+∞

то в силу теоремы Больцано-Коши ∃x0 ∈ R : x50 + 2ex0 − 7 = 0 . Таким образом, данное уравнение имеет единственный вещественный корень. I 2. Найти интервалы монотонности функции y = x3 − 3x + 2 . J Имеем: y 0 = 3x2 − 3 = 3(x2 − 1) < 0 при x ∈ (−1 , +1) , и y 0 > 0 при x ∈ (−∞ , −1) t (1 , +∞) . Применяя теорему 144, заключаем, что данная функция возрастает на (−∞ , −1) и на (1 , +∞) и убывает на (−1 , +1) I

2. Необходимое условие локального экстремума. В главе 6 введено понятие локального экстремума функции f : X −→ R . Теорема Ферма дает необходимое условие того, что внутренняя точe , является точкой лока x0 ∈ X , в которой существует f 0 (x0 ) ∈ R кального экстремума функции f . Для приложений полезно сформулировать необходимое условие в предположениях, несколько отличных от предположений теоремы Ферма.

260

Глава 7. Некоторые приложения...

X

Рис.51. График функции, имеющей локальные экстремумы

Теорема 145 (необходимое условие экстремума). Если точка x0 ∈ (a , b) является точкой локального экстремума функции f : (a , b) −→ R , то производная f 0 (x0 ) либо не существует, b. либо f 0 (x0 ) = 0 , либо f 0 (x0 ) = ∞ ∈ R

Доказательство этой теоремы простое, и мы его опускаем. На рис.51 показаны возможные особенности графика функции в окрестности точек, где она имеет локальные экстремумы. Критическими точками функции f будем называть все те точки, в которых эта функция, возможно, имеет локальные экстремумы. Кроме точек, о которых сказано в теореме 145, к критическим точкам функции f следует отнести все граничные точки ee области определения. Стационарными точками функции f будем называть все те ее критические точки, которые лежат внутри ее области определения, и в которых производная равна нулю. Если ставится задача исследовать данную функцию на экстремум, то следует сначала найти ее критические точки. Затем, обращаясь к определению 133 из главы 6, следует проверить, является ли та или иная критическая точка точкой экстремума, и если да, то какой именно. В следующем пункте будут установлены теоремы, содержащие достаточные условия наличия или отсутствия локальных экстремумов данной функции в ее в стационарных точках.

§ 1. Условия монотонности и экстремума

261

3. Достаточные условия локального экстремума. Теорема 146 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция f дифференцируема на некотором интервале, содержащем стационарную точку x0 , и пусть существует такое δ > 0 , что её производная функция f 0 имеет постоянный знак на каждом из интервалов (x0 − δ , x0 ) и (x0 , x0 + δ) . Если знаки производной на этих интервалах — противоположные, то функция f имеет в точке x0 строгий локальный экстремум, если же эти знаки одинаковые, то функция f не имеет экстремума в точке x0 . J В силу теоремы 144 функция f строго монотонна на каждом из интервалов (x0 − δ , x0 ) и (x0 , x0 + δ) . Если знаки ее производной на этих интервалах — одинаковые, то функция f строго монотонна на интервале (x0 − δ , x0 + δ) , и потому в точке x0 экстремума иметь не может. Если знак производной меняется c + на - , то слева от x0 функция f возрастает, а справа — убывает. Значит, в точке x0 она имеет строгий локальный максимум. Если же знак производной меняется с - на + , то слева от x0 функция f убывает, а справа — возрастает. Значит, в точке x0 она имеет строгий локальный минимум I Теорема 147 (второе достаточное условие экстремума). Если f 0 (x0 ) = 0 , а f 00 (x0 ) 6= 0 , то функция f имеет в стационарной точке x0 строгий локальный экстремум (максимум при f 00 (x0 ) < 0 , минимум при f 00 (x0 ) > 0 ). J Разложим функцию f по формуле Тейлора в окрестности точки x0 : f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ) + (x − x0 )2 + r2 (x) . 1! 2! Так как f 0 (x0 ) = 0 , то имеем: f 00 (x0 ) f (x) − f (x0 ) = (x − x0 )2 + r2 (x) . 2 ¡ ¢ Так как r2 (x) = o (x − x0 )2 при x → x0 , а f 00 (x0 ) 6= 0 , то

(7.2)

|f 00 (x0 )| ∃δ > 0 ∀x ∈ (x0 − δ , x0 + δ) , x 6= x0 : |r2 (x)| < · |x − x0 |2 . 2

262

Глава 7. Некоторые приложения...

Таким образом, при x ∈ (x0 − δ , x0 + δ) , x 6= x0 , знак приращения f (x) − f (x0 ) совпадает со знаком числа f 00 (x0 ) . Значит, при f 00 (x0 ) < 0 будет: f (x) < f (x0 ) , и мы имеем максимум. Если же f 00 (x0 ) > 0 , то будет: f (x) > f (x0 ) , и мы имеем минимум I Теорема 148 (третье достаточное условие экстремума). Пусть f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = . . . = f (k−1) (x0 ) = 0 , а f (k) (x0 ) 6= 0 .

(7.3)

Если число k — нечетное, то в точке x0 функция f не имеет экстремума. Если же число k — четное, то функция f имеет в точке x0 строгий локальный экстремум. Именно, максимум при f (k) (x0 ) < 0 , и минимум при f (k) (x0 ) > 0 . J Доказательство аналогично доказательству теоремы 147. Разложим функцию f по формуле Тейлора в окрестности точки x0 : f (x) = f (x0 ) +

f 0 (x0 ) f (k−1) (x0 ) (x − x0 ) + . . . + (x − x0 )k−1 + k! (k − 1)! f (k) (x0 ) (x − x0 )k + rk (x) . + k!

В силу (7.3) мы имеем следующее тождество, аналогичное (7.2): f (x) − f (x0 ) =

f (k) (x0 ) (x − x0 )k + rk (x) . k!

(7.4)

¡ ¢ Так как rk (x) = o (x − x0 )k при x → x0 , и f (k) (x0 ) 6= 0 , то |f (k) (x0 )| · |x − x0 |k . ∃δ > 0 ∀x ∈ (x0 − δ , x0 + δ) , x 6= x0 : |rk (x)| < k! Таким образом, при x ∈ (x0 − δ , x0 + δ) , x 6= x0 , знак приращения f (x) − f (x0 ) совпадает со знаком первого слагаемого правой чисти (7.4). Если в (7.4) число k — нечетное, то при переходе через точку x0 функция (x − x0 )k меняет знак, значит, и приращение меняет знак. Поэтому при нечетном k в точке x0 экстремума нет. Если же

§ 1. Условия монотонности и экстремума

263

число k — четное, то функция (x − x0 )k положительна при x 6= x0 , и потому приращение f (x) − f (x0 ) сохраняет знак при x ∈ (x0 − δ , x0 + δ) , x 6= x0 . Это означает, что в точке x0 функция f имеет строгий локальный экстремум. Именно, максимум при f (k) (x0 ) < 0 , и минимум при f (k) (x0 ) > 0 I Примеры. 1. Исследовать на экстремум функцию y = 2x3 − 9x2 + 12x + 6 . J Сначала вычисляем производную данной функции: y 0 = 6x2 − 18x + 12 . Приравнивая ее к нулю: 6x2 −18x+12 = 0 , находим ее корни (т.е. стационарные точки): x1 = 1 , x2 = 2 . Для дальнейшего исследования вычислим производную второго порядка: y 00 = 12x − 18 . Далее, при x = 1 имеем: y 00 = −6 < 0 — максимум, ymax = 11 ; при x = 2 имеем: y 00 = 6 > 0 — минимум, ymin = 10 I 2. В равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 2R единиц, вписан прямоугольник так, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Подобрать размеры прямоугольника так, чтобы его площадь стала максимальной. J Пусть 2x — длина основания прямоугольника, а y — его высота. Тогда его площадь S равна S = 2xy (кв.ед.). Легко показать, что y = R − x . Таким образом, площадь прямоугольника вычисляется по формуле: S = 2x(R − x) , 0 6 x 6 R . Исследуем эту функцию на экстремум: S 0 = 2R − 4x

=⇒

И, наконец, S 00 = −4 < 0 , значит, в точке x =

x=

R . 2

R функция S имеет максимум, 2

R2 I 2 3. Исследовать на экстремум функцию y = cos3 x + sin3 x . J Так как данная функция — периодическая, с основным периодом 2π , то достаточно найти ее экстремумы на любом промежутке длины 2π . Будем искать их на полуинтервале [0 , 2π) . Приравнивая к нулю производную данной функции

равный Smax =

y 0 = 3 cos2 x · (− sin x) + 3 sin2 x · cos x = 3 sin x · cos x · (sin x − cos x) , находим стационарные точки, лежащие на промежутке [0 , 2π) : sin x = 0 =⇒ x1 = 0 , x2 = π ;

264

Глава 7. Некоторые приложения... 1

0

π 4

π 2

3π 4

π

5π 4

3π 2

2π

−1 Рис.52. График функции y = sin3 x + cos3 x

cos x = 0 =⇒ x3 =

π 3π , x4 = ; 2 2

cos x − sin x = 0 ⇐⇒ tg x = 1 =⇒ x5 =

5π π , x6 = . 4 4

Итак, стационарные точки — следующие: 0,

π π 5π 3π , , π, , . 4 2 4 2

Исследуем эти точки на экстремум, следя за изменением знака первой производной при возрастании переменного x . При переходе через точку x = 0 производная функция меняет знак с + на -, значит, в этой точке максимум. π При переходе через точку x = производная функция меняет знак 4 с - на +, значит, в этой точке минимум. π При переходе через точку x = производная функция меняет знак 2 с + на -, значит, в этой точке максимум. При переходе через точку x = π производная функция меняет знак с - на +, значит, в этой точке минимум. 5π производная функция меняет знак При переходе через точку x = 4 с + на -, значит, в этой точке максимум. 3π При переходе через точку x = производная функция меняет знак 2 с - на +, значит, в этой точке минимум. Эскиз графика функции y = cos3 x + sin3 x показан на рис.52 I

§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты...

265

§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты графика функции. 1. Свойство выпуклости. Важным свойством функции y = f (x) является свойство ее графика быть не извилистым (или, как принято говорить, выпуклым. Желая описать это свойство в точных терминах, рассмотрим сначала выпуклые графики функций, изображенные на рисунках 51 и 52. Возьмем на каждом из этих графиков по две точки A(x1 , f (x1 )) ,

B(x2 , f (x2 )) ,

x1 < x 2 ,

и соединим эти точки отрезком прямой (хордой). Мы видим, что над интервалом (x1 , x2 ) график функции f лежит либо ниже (рис.51), либо выше (рис.52) хорды AB . В приводимом ниже определении нам потребуется уравнение хорды AB : y = l(x) ≡

x1 − x x2 − x f (x1 ) + f (x2 ) , x2 − x1 x1 − x2

x 1 6 x 6 x2 .

(7.5)

Определение 140. Функция f : X −→ R называется выпуклой вниз (вверх) на интервале (a , b) ⊂ X , если для любых x1 , x , x2 ∈ (a , b) , для которых x1 < x < x2 , выполняется неравенство f (x) 6 l(x) (соответственно f (x) > l(x) ) , где l(x) задается равенством (7.5). Функция f называется строго выпуклой вниз (вверх), если в определении 140 выполняется строгое неравенство: f (x) < l(x) (соответственно: f (x) > l(x)). Функции, выпуклые вниз, часто называются просто выпуклыми, а выпуклые вверх — в´огнутыми. Ввиду того, что методы изучения выпуклых и вогнутых функций — одинаковые, мы будем подробно изучать только выпуклые функции, а соответствующие утверждения для вогнутых функций можно будет формулировать по аналогии. Перепишем неравенство f (x) 6 l(x) из определения 140 в различных формах. Подставляя в него вместо l(x) правую часть равенства (7.5), получим: f (x) 6

x2 − x x − x1 f (x1 ) + f (x2 ) , x2 − x1 x2 − x1

x 1 < x < x2 .

(7.6)

266

Глава 7. Некоторые приложения... .... .... .... 6 .... .... .... .... .... .. .... .. .... ... ..... . . ..... .. ..... .. ..... . . ....... .. ....... .. ........ ... . . ......... . ... .......... ................. ................... ...........

A

B

C

x1

x

-

x2

Рис.53. Выпуклая функция

B A x1

x2

Рис.54. Вогнутая функция

Умножая это неравенство на (x2 − x1 ) , перепишем его в следующем равносильном виде: (x2 − x)f (x1 ) + (x − x1 )f (x2 ) + (x1 − x2 )f (x) > 0 .

(7.7)

Отсюда, учитывая, что (x2 − x1 ) = (x2 − x) + (x − x1 ) , получаем такое неравенство: (x2 − x)[f (x1 ) − f (x)] + (x − x1 )[f (x2 ) − f (x)] > 0 ,

(7.8)

равносильное следующему: f (x) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x) 6 . x − x1 x2 − x

(7.9)

Геометрический смысл этого последнего неравенства легко усмотреть из рис.51. Обозначая C(x , f (x)) , x1 < x < x2 , видим, что неравенство (7.9) выражает тот факт, что угловой коэффициент хорды AC не превосходит углового коэффициента хорды CB . Теорема 149. Пусть функция f дифференцируема на интервале (a , b) . Выпуклость функции f вниз (вверх) равносильна неубыванию (невозрастанию) её производной функции f 0 . Если f 0 строго возрастает (строго убывает), то функция f строго выпукла вниз (вверх). J Предположим для определенности, что функция f выпукла вниз. Тогда для любых x1 , x , x2 ∈ (a , b) , x1 < x < x2 , справедливо неравенство (7.9). Переходя в нем к пределу при x → x1 , x > x1 , получим: f (x2 ) − f (x1 ) f 0 (x1 ) 6 . (7.10) x2 − x1

§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты...

267

Аналогично, из (7.9) в пределе при x → x2 , x < x2 находим: f (x2 ) − f (x1 ) 6 f 0 (x2 ) . x2 − x1

(7.11)

Из неравенств (7.10) и (7.11) следует, что f 0 (x1 ) 6 f 0 (x2 ) , т.е. производная функция f 0 не убывает. Обратно, предположим, что производная функция f 0 не убывает. Задавая произвольно точки x1 , x , x2 ∈ (a , b) , x1 < x < x2 и применяя теорему Лагранжа о конечных приращениях, заключаем, что существуют точки ξ ∈ (x1 , x) и η ∈ (x , x2 ) , такие, что f (x) − f (x1 ) = f 0 (ξ) , x − x1

f (x2 ) − f (x) = f 0 (η) . x2 − x

(7.12)

Так как ξ < η , то в силу неубывания производной будет: f 0 (ξ) 6 f 0 (η) , и потому из (7.12) вытекает (7.9). Таким образом, функция f выпукла. Если же f 0 строго возрастает , то будет: f 0 (ξ) < f 0 (η) , поэтому и неравенство (7.9) будет строгим I Теорема 150. Предположим, что на интервале (a , b) существует вторая производная f 00 функции f . Выпуклость вниз (вверх) функции f на (a , b) равносильна тому, что ∀x ∈ (a , b) выполнено неравенство f 00 (x) > 0 (соответственно f 00 (x) 6 0 .) Если неравенство — строгое, то и выпуклость — строгая. J Согласно теореме 149 выпуклость функции f равносильна монотонности ее производной f 0 . В силу теоремы 144 монотонность производной функции f 0 равносильна выполнению одного из неравенств: f 00 > 0 или f 00 6 0 . Если соответствующее неравенство для f 00 — строгое, то и монотонность функции f 0 будет строгой, а значит, и выпуклость функции f будет строгой I Примеры. 1. Исследовать на выпуклость показательную y = ax и логарифмическую y = loga x функции. d2 J Так как 2 ax = ax (ln a)2 > 0 , то показательная функция строго выпукла dx вниз. d2 1 Так как вторая производная log x = − отрицательна при a > 1 a dx2 x2 ln a и положительна при 0 < a < 1 , то логарифмическая функция строго выпукла вверх при a > 1 и строго выпукла вниз при 0 < a < 1 I

268

Глава 7. Некоторые приложения...

Рис.55. К теореме 8

2. Исследовать на выпуклость функцию y = sin x на интервале (0 , 2π) . d2 J Так как вторая производная sin x = − sin x отрицательна при dx2 0 < x < π и положительна при π < x < 2π , то функция sin строго выпукла вверх на интервале (0 , π) и строго выпукла вниз на интервале (π , 2π) I

Теорема 151. Для любой дифференцируемой функции f : (a , b) −→ R равносильны следующие утверждения: (a) Функция f строго выпукла вниз (вверх); (b) График функции f лежит выше (ниже) любой касательной к нему, исключая точку касания. J Предположим, что f строго выпукла вниз. Символами ykr и ykas обозначим соответственно ординату кривой y = f (x) и ординату касательной y = f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 ) к этой кривой в точке (x0 , f (x0 )) . Применяя теорему Лагранжа о конечных приращениях, преобразуем разность между этими ординатами: ykr − ykas = f (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 ) · (x − x0 ) = [f 0 (ξ) − f 0 (x0 )](x − x0 ) , причем ξ лежит между x и x0 . Если x > x0 , то x > ξ > x0 , и f 0 (ξ) − f 0 (x0 ) > 0 в силу теоремы 149. Таким образом, ykr − ykas > 0 , т.е. ykr > ykas . Это же неравенство сохраняется и при x < x0 . Предположим теперь, что график функции f лежит выше любой касательной к нему, исключая точку касания. Возьмем на графике две точки: A(x1 , f (x1 )) и B(x2 , f (x2 )) , где x1 < x2 . По условию точка B лежит выше касательной, проведенной в точке A , а точка A лежит выше касательной, проведеной в точке B . В результате оказывается, что касательные расположены так, как показано на рис.56. Поэтому их угловые коэффициенты связаны неравенством:

§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты... 6

B

y2

y1

269

A x1

x2

-

Рис.56. К теореме 8

−1 − 1 0 2

1 2

1

Рис.57. График функции y = x4

f 0 (x1 ) < f 0 (x2 ) . Таким образом, f 0 строго возрастает, и в силу теоремы 149 функция f строго выпукла вниз I 2. Неравенство Иенсена и его применения. Теорема 152 (неравенство Иенсена). Если на интервале (a , b) функция f выпукла вниз, то для любых точек x1 , . . . , xn ∈ (a, b) и любых чисел α1 , . . . , αn ∈ [0 , 1] , таких, что α1 + . . . + αn = 1 , выполняется неравенство: f (α1 x1 + . . . + αn xn ) 6 α1 f (x1 ) + . . . + αn f (xn ) .

(7.13)

J Покажем сначала, что в условиях теоремы будет: α1 x1 + . . . + αn xn ∈ (a , b) .

(7.14)

С этой целью запишем неравенства: a < x1 < b , ............ , a < xn < b . Умножая первое из них на α1 ∈ [0 , 1] , . . . , последнее — на αn ∈ [0 , 1] и складывая с учетом того, что α1 + . . . + αn = 1 , получим: a < α1 x1 + . . . + αn xn < b , что равносильно включению (7.14).

270

Глава 7. Некоторые приложения...

Теперь применим индукцию по числу n ∈ N . При n = 1 неравенство (7.13) тривиально: f (x1 ) = f (x1 ) . В случае n = 2 оно вытекает из неравенства (7.6). В самом деле, полагая в (7.6) α1 =

x − x1 x2 − x ; α2 := x2 − x1 x2 − x1

гле x1 6 x 6 x2 ,

имеем: 0 6 α1 6 1 ; 0 6 α2 6 1 ; α1 + α2 = 1 ; α1 x1 + α2 x2 =

x2 − x x − x1 x2 x1 − xx1 + x2 x − x2 x1 x1 + x2 = =x. x 2 − x1 x2 − x1 x2 − x1

Таким образом, неравенство (7.6) равносильно такому: f (α1 x1 + α2 x2 ) 6 α1 f (x1 ) + α2 f (x2 ) . Предположим теперь, что n > 2 , и пусть выполняется такое неравенство: f (α1 x1 + . . . + αn−1 xn−1 ) 6 α1 f (x1 ) + . . . + αn−1 f (xn−1 ) ,

(7.15)

которое получается из (7.13) при αn = 0 . Введем следующее обозначение: β := α1 + . . . + αn−1 . Если β = 0 , то α1 = . . . = αn−1 = 0 , αn = 1 , и в этом случае неравенство (7.13) очевидно. Если же β 6= 0 , то, используя уже доказанную часть теоремы, имееем: f (α1 x1 + . . . + αn−1 xn−1 + αn xn ) = ¶ µ α1 x1 + . . . + αn−1 xn−1 + αn xn 6 =f β· β µ ¶ α1 x1 + . . . + αn−1 xn−1 6β·f + αn xn 6 β ¶ µ αn−1 α1 f (x1 ) + . . . + f (xn−1 ) + αn f (xn ) = 6β· β β = α1 f (x1 ) + . . . + αn−1 f (xn−1 ) + αn f (xn )

I

§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты...

271

Замечания. 1) Заметим, что строгой выпуклости соответствует строгое неравенство Иенсена2 , т.е. если среди чисел по меньшей мере два отличны от нуля, то знак равенства в неравенстве (7.13) имеет место только при x1 = . . . = xn . 2) Для функции, выпуклой вверх, неравенство Иенсена имеет следующий вид: f (α1 x1 + . . . + αn xn ) > α1 f (x1 ) + . . . + αn f (xn ) . (7.16) Рассмотрим примеры на применение неравенства Иенсена. 1) Функция ln : R+ −→ R строго выпукла вверх, поэтому в силу (7.16) должно выполняться следующее неравенство: α1 ln x1 + . . . + αn ln xn 6 ln(α1 x1 + . . . + αn xn ) . равносильное следующему: xα1 1 · . . . · xαnn 6 α1 x1 + . . . + αn xn ,

(7.17)

где x1 , . . . , xn ∈ R+ , α1 , . . . , . . . , αn ∈ [0 ; 1] , α1 + . . . + αn = 1 . Отсюда при α1 = . . . = αn = √ n

1 получаем классическое неравенство n

x1 · . . . · xn 6

x1 + . . . + xn , n

связывающее среднее геометрическое со средним арифметическим. Знак равенства в этом неравенстве возможен только при x1 = . . . = xn . Полагая в (7.17) n = 2 , α1 :=

1 1 1 1 , α2 := , p > 1 , + = 1 , x1 = a , x2 = b , p q p q

получаем неравенство Юнга: a1

p

· b1

q

6

a b + . p q

2) Пусть f (x) = xp , x ∈ R+ , p ∈ (1 : +∞) . Поскольку f 00 (x) = p · (p − 1) · xp−2 > 0 , то функция f строго выпукла вниз. Поэтому имеем неравенство: Ã n !p n X X 6 αk · xpk . αk xk k=1 2

k=1

Иенсен Иоган Людвиг (1859 – 1925) — датский математик.

272

Глава 7. Некоторые приложения...

равносильное следующему: n X

α k xk 6

à n X

k=1

!1 αk ·

xpk

p

.

k=1

Полагая здесь ak 1 1 bqk p P , + = 1 , αk := q := q , xk := 1 p−1 p q bk k bk

P

q k bk (p−1)

,

получим классическое неравенство Гёльдера3 : n X k=1

ak · bk 6

à n X k=1

!1 apk

p

·

à n X

!1

q

bqk

k=1

3. Точки перегиба. Будем рассматривать непрерывные функции f : (a , b) −→ R , накладывая на них те или иные дополнительные ограничения. Определение 141. Точка (x0 , f (x0 )) называется точкой перегиба (графика) функции f , если существует окрестность (x0 − δ, x0 +δ) , такая, что сужения функции f на интервалы (x0 −δ , x0 ) и (x0 , x0 + δ) — выпуклые функции с противоположными направлениями выпуклости. Теорема 153 (необходимое условие перегиба). Если (x0 , f (x0 )) — точка перегиба графика функции f , то либо f 0 (x0 ) e , либо конечного значения не существует,либо f 0 (x0 ) = ±∞ ∈ R f 00 (x0 ) не существует, либо f 00 (x0 ) = 0 . J В силу определения 141 существует окрестность (x0 −δ , x0 +δ) , такая, что направления выпуклости функции f на интервалах (x0 − δ , x0 ) и (x0 , x0 + δ) — противоположные. По теореме 149 производная функция f 0 монотонна на каждом из этих интервалов, причем характер монотонности — противоположный. Значит, если в точке x0 производная функция f 0 определена, то она там имеет экстремум. Экстремальное значение производной может быть бесконечным, т.е. возможно, что f 0 (x0 ) = +∞ , либо f 0 (x0 ) = −∞ . Если

§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты...

273

Рис.58. Графики, на которых имеются точки перегиба

экстремальное значение функции f 0 является числом, то в силу необходимого условия внутреннего локального экстремума должно быть: либо конечного значения f 00 (x0 ) не существует, либо f 00 (x0 ) = 0 I Замечание. Необходимое условие перегиба не является достаточным. Например, функция y = x4 , график которой показан на рис.55, строго выпукла всюду на R , однако d2 4 x = 4 · 3 · x2 |x=0 = 0 . dx2

Теорема 154 (первое достаточное условие перегиба). Если в окрестности точки x0 функция f дважды дифференцируема, f 00 (x0 ) = 0 , а справа и слева от точки x0 функция f 00 имеет постоянные, притом противоположные знаки, то (x0 , f (x0 ) — точка перегиба. J Выберем δ > 0 настолько малым, чтобы сужения функции f 00 на интервалы (x0 − δ , x0 ) и (x0 , x0 + δ) сохраняли знак. По теореме 150 сужения функции f на эти интервалы — выпуклые функции. Так как знаки функции f 00 на этих интервалах — противоположные, то и направления выпуклости — противоположные. Значит, (x0 , f (x0 )) — точка перегиба I Теорема 155 (второе достаточное условие перегиба). Пусть f 00 (x0 ) = . . . = f (k) (x0 ) = 0 , а f (k+1) (x0 ) 6= 0 . Точка (x0 , f (x0 ) является точкой перегиба при k четном, и не является точкой перегиба при k нечетном. 3

Гёльдер Людвиг Отто (1859 – 1937) — немецкий математик.

274

Глава 7. Некоторые приложения...

0

Рис.59. Графики, имеющие наклонные и вертикальные асимптоты

J Разложим функцию f 00 по формуле Тейлора в окрестности точки x0 : f 00 (x) = (k+1) f (k) (x0 ) (x0 ) k−2 f = f (x0 )+. . .+ (x−x0 ) + (x−x0 )k−1 +rk−1 (x) . (k − 2)! (k − 1)! 00

Отбрасывая здесь равные нулю слагаемые, получим: f (k+1) (x0 ) f (x) = (x − x0 )k−1 + rk−1 (x) . (k − 1)! 00

(7.18)

¡ ¢ Так как rk−1 (x) = o (x − x0 )k−1 при x → x0 , то ∃δ > 0 ∀x ∈ (x0 − δ , x0 + δ) , x 6= x0 : ¯ ¯ ¯ ¯ f (k + 1)(x0 ) (x − x0 )k−1 ¯¯ . |rk−1 (x)| < ¯¯ (k − 1)! Таким образом, f 00 в окрестности точки x0 имеет тот же знак, что и первое слагаемое правой части равенства (7.18). Но очевидно, что это первое слагаемое меняет знак при k четном, и не меняет знака при k нечетном. Поэтому при k четном перегиб есть, а при k нечетном его нет I

§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты...

275

4. Асимптоты. Об асимптотах графика функции f : X −→ R, X ⊂ R имеет смысл говорить только тогда, когда этот график не является ограниченным подмножеством плоскости. Последнее в свою очередь имеет место только тогда, когда по меньшей мере одно из множеств X , f (X) не является ограниченным подмножеством числовой оси. Самая грубая классификация асимптот — это подразделение их на наклонные и вертикальные, и мы их рассмотрим отдельно. Определение 142. (a) Прямая с уравнением y = kx + b называется правой наклонной асимптотой графика функции f : X −→ R , если множество X не ограничено сверху, и выполняется следующее равенство: lim[f (x) − (kx + b)] = 0 при x → +∞ , x ∈ X .

(7.19)

(b) Прямая с уравнением y = kx+b называется левой наклонной асимптотой графика функции f : X −→ R , если множество X не ограничено снизу, и выполняется следующее равенство: lim[f (x) − (kx + b)] = 0 при x → −∞ , x ∈ X .

(7.20)

Задача нахождения правой наклонной асимптоты решается следующей теоремой (аналогичное утверждение справедливо и для левой наклонной асимптоты). Теорема 156. Существование у графика функции f : X −→ R правой наклонной асимптоты равносильно неограниченности сверху множества X и существованию следующих двух конечных пределов: k := lim

f (x) , b := lim[f (x) − k · x] при x → +∞ , x ∈ X . (7.21) x

J Теорема вытекает из того, что равенство (7.19) равносильно равенствам (7.21) I Возможны случаи, когда график функции f : X −→ R имеет асимптоты с уравнением x = x0 (вертикальные). Поиск вертикальных асимптот сводится к поиску предельных точек x0 множества

276

Глава 7. Некоторые приложения...

X , таких, что при x → x0 ; x ∈ X , x 6= x0 выполняется одно из следующих трёх равенств: lim f (x) = ∞ ; lim f (x) = +∞ ; lim f (x) = −∞ . x2 +

√

x4 + 1 Пример. Найти асимптоты графика функции y = + 1. x J Имеем: à ! √ 2 4 x + x +1 1 k = lim + = 2; x→∞ x2 x à ! √ 2 4 x + x +1 + 1 − 2x = b = lim (y − 2x) = lim x→∞ x→∞ x √ x4 + 1 − x2 = lim + 1 = 1. x→∞ x Отсюда находим уравнение наклонной асимптоты: y = 2x + 1 . à ! √ x2 + x4 + 1 Так как lim + 1 = ∞ , то существует и вертикальная асимпx→0 x тота с уравнением: x = 0 I

§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты...

277

Задачи к главе 7 7.1 Доказать следующие неравенства: (a) 1 + ln(1 + x) 6 ex ; (b) ln(1 + x) 6 x ; (c) ln(1 + x) >

x при x > 0 ; x+1

x2 2 π 6 cos x ; (e) sin x > · x при 0 6 x 6 ; 2 2 √ √π √ (f) arctg |x| 6 |x| ; (g) n x − n y 6 n x − y при x > y > 0 ; x−y x x−y (h) < ln < при x > y > 0 . x y y (d) 1 −

7.2 Используя методы дифференциального исчисления, построить графики следующих алгебраических функций: x2 − 2x + 1 1 1 1 2x ; (b) y = + + ; (c) y = ; x2 + 1 x x−1 x−2 (3 − x2 )(5 − x2 ) p 10 3 (x − 1)2 1 1 2x ; (e) y = 2 − ; (f) y = ; (d) y = x + 2 x −1 x (x − 1)2 x2 + 9 x3 − 9x x(x − 1)(x − 2)(x − 3) 4x − 5x3 + x5 (g) y = ; (h) y = ; (i) y = ; 10 24 10 1 1 1 2 x ; (k) y = − + ; (l) y = ; (j) y = 3 − x2 x x−1 x−2 (3 − x2 )(5 − x2 ) r √ 4 2 x 1−x 3x − 2 3 x − 2x (m) y = ; (n) y = ; (o) y = ; x−1 1+x 5x2 p √ √ 10 3 (x − 1)2 2 (p) y = ; (q) y = x x + 1 ; (r) y = x4 − x6 ; x2 + 9 r √ √ x5 + 5x4 (s) y = x3 − 2x2 + x ; (t) y = . (u) y = 3 3x2 − x3 ; 16 r r r 4 2 x3 x4 + 3 3 x − 2x ; (w) y = 1 − x + ; (x) y = ; (v) y = x+1 x+1 x2 + 1 √ 2 2 − x2 (y) y = 3 x3 − x2 − x + 1 ; (z) y = x − 4 + ; (z0 ) y = x + ; x+1 1 + x4 µ ¶4 1+x 00 2 . (z ) y = x + 1−x (a) y =

7.3 Используя методы дифференциального исчисления, построить графики следующих трансцендентных функций: cos 2x 2 2 ; (b) y = e−x ; (c) y = e−1 x ; (d) y = sin x2 ; cos x 1 1 1 1 (e) y = cos x + cos 2x + cos 3x ; (f) y = sin x + sin 2x + sin 3x ; 2 3 2 3 (a) y =

278

Глава 7. Некоторые приложения... tg 3x (g) y = ; (h) y = tg x (i) y = e1

x2

(p x − ln(1 + x) при x > 0 , p − x − ln(1 + x) при x 6 0 ;

; (j) y = sin x + cos2 x ; (k) y = (7 + 2 cos x) sin x ; 1 (l) y = sin x + sin 3x ; (m) y = sin4 x + cos4 x ; (n) y = sin x · sin 3x ; 3 √ √ sin x (o) y = x2 + 1 · ln(x + x2 + 1) ; (q) y = x arctg x ; π ; (p) y = sin(x + 4 ) √ 1−x 2x ; (s) y = arcsin x − 1 − x2 ; (t) y = arccos ; (r) y = arcsin 2 1+x 1 − 2x sin x 2 (u) y = ; (v) y = 2x − tg x ; (w) y = e2x−x ; 2 + cos x 2 (x) y = (1 + x2 ) · e−x ; (y) y = x2 3 e−x ; (z) y = e−2x sin2 x ; x x ln x (z0 ) y = ; (z00 ) y = 2 . 1 x 1+e x −1

§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты...

279

Список обозначений (числа означают номера соответствующих страниц)

∈ , 3 — символы принадлежности элемента множеству, 5 ∈ / , ∈ — символы непринадлежности элемента множеству, 5 := — символ равенства „по определению“, 5 . . . — „и так далее“ (символ для обзначения того, что должно быть записано, но не записано), 5 {. . .} — символ множества, описание которого указывается в фигурных скобках, 5 ⊂ , ⊃ — символы включения одного множества в другое, 6 $ , % — символы строгого включения одного множества в другое, 6, 16 ⇒ , =⇒ , ⇐ , ⇐= — символы импликации, 6, 9 def ⇔ , ⇐⇒ , ⇐⇒ — символы равносильности, 6 , 9 ∅ — пустое множество, 6 J — начало цепи рассуждений, 6, 16, . . . I — конец цепи рассуждений, 6, 16, . . . ∪ — символ объединения множеств, 6 t — символ объединения непересекающихся множеств, 7 ∩ — символ пересечения множеств, 7  — символ разности множеств, 7 × — символ декартова произведения множеств, 8 P , | P — отрицание высказывания P , 8 ∧ , & , { — символы конъюнкции, 9, 13 ∨ , [ — символы дизъюнкции, 9, 13 ∀ — квантор общности, 14 ∃ — квантор существования, 14 −→ , ←− — символы отображения, 15 7−→ — символ поэлементного отображения, 15 Γf — обозначение для графика отображения f , 15 f |A — сужение отображения f на множество A , 16 f (A) — образ множества A при отображении f , 16 ≡ — символ тождественного равенства, 16 6= символ неравенства, 6 f −1 (A) полный прообраз множества A при отображении f , 17 ◦ — символ композиции, 17 Id — символ тождественного отображения, 18

280

Глава 7. Некоторые приложения...

f −1 — отображение, обратное к отображению f , 18 R — множество всех вещественных чисел, 18 (x , y) — упорядоченная пара, 7, 19, 37, 63 R2 := R × R — координатная плоскость (декартово произведение двух числовых осей), 19 ∗ — символ бинарной операции, 22 Z — множество всех целых чисел, 24, 34 ∼ — символ отношения эквивалентности, 27 ←→ — символ биективного отображения, 28, 30 N — множество всех натуральных чисел, 29, 30 ≈ символ отношения эквивалентности (равномощности), 29 # ¡ n,¢ card , | . | — символы для обозначения мощности множества, 29 m — биномиальные коэффициенты, 32 n! — „эн факториал“, 32 Q — множество всех рациональных чисел, 37 max A — наибольший элемент множества A ⊂ R , 35 min A — наименьший элемент множества A ⊂ R , 35 Q+ , (Q− ) — множество всех положительных (всех отрицательных) рациональных чисел, 46, 50 (a , b) , (a ; b) — обозначения для интервала (открытого промежутка), 60 [a , b] , [a ; b] — обозначения для отрезка (з´амкнутого промежутка), 60 (a , b] , [a ; b) — обозначения для полуинтервалов, 60 R+ (R− ) — множество всех положительных (всех отрицательных) чисел, 60 ha , bi — общее обозначение для промежутков, 192 +∞ — положительная бесконечно удаленная точка, 60 −∞ — отрицательная бесконечно удаленная точка, 60 e — упорядоченное расширение множества R , 60 R sup X — точная верхняя граница множества X , 61 inf X — точная нижняя граница множества X , 61 ∞ — бесконечно удаленная точка, 72 C — множество всех комплексных чисел, 64 b — неупорядоченное расширение множества R , 72 R b — расширенная комплексная плоскость, 72 C i — мнимая единица, 65

§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты...

281

Re — вещественная часть, 66 Im — мнимая часть, 66 |z| — модуль числа z , 66 arg — аргумент комплексного числа, 67 lim — символ предела, 79 ∃ ! — „существует единственное“, 38, 49, 52, 55 O , o , ³ , ∼ — символы сравнения асимптотического поведения последовательностей или функций, 86, 87, 161, 162, 163 lim — символ верхнего предела, 92 lim — символ нижнего предела, 92 | . | — функция „модуль“, 201 sign — функция „сигнум“, 201 D — функция Дирихле, 170 R — функция Римана, 171 exp — экспонента, 182 log , lg , ln — обозначения для логарифмических функций, 182 sin , cos , tg , ctg — тригонометрические функции, 184 arcsin , arccos , arctg , arcctg — обратные тригонометрические функции, 183 – 184 sh , ch , th , cth — гиперболические функции, 185 – 186 arsh , arch , arth , arcth — обратные гиперболические функции, 184 – 185 ∆ — символ для обозначения приращения, 167, 199 d , D — символы для обозначения дифференциала, 199 Df (x)(h) — значение дифференциала функции f в точке x на векторе h , 199 d — оператор вычисления производной по переменной x , 200 dx f 0 (x) — значение производной от функции f в точке x , 200 f 0 : x 7−→ f 0 (x) производная функция от f , 221 dn , Dn — символы для обозначения дифференциалов высших порядков, 227 Dn f (x)(h)n — значение дифференциала n-го порядка в точке x на векторе h в степени n , 227 dn — оператор вычисления производной n-го порядка по переменdxn ной x , 227 f (n) (x) — значение производной n-го порядка от функции f в точке

282

Глава 7. Некоторые приложения...

x , 227 f (n) : x 7−→ f (n) (x) — производная функция n-го порядка от f , 222 C[X] — множество, состоящее из всех функций, непрерывных на X , 174 C n [X] — множество, состоящее их всех функций f , таких, что функция f (n) непрерывна на X 222 C ∞ [X] — множество, состоящее их всех функций f , таких, что ∀n ∈ N функция f (n) непрерывна на X , 222

§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты...

283

Предметный указатель (числа означают номера соответствующих страниц)

Абсолютная сходимость ряда 126 Алгебраическая форма 65 Аналитический способ задания функции 19 Аналитичность 204 Аргумент 67 Архимеда свойство 33 Асимптоты 275 Ассоциативность 7, 30 Бернулли неравенство 32 Бесконечная десятичная дробь 42 Бесконечно большая последовательность 84 Бесконечно большая функция 155 Бесконечно малая последовательность 84 Бесконечно малая функция 152 Бесконечно удаленные элементы 60, 72 Бесконечные множества 29 Бесконечные производные 206, 210, 211 Биективное отображение 18 Бинарная операция 22 Бинарное отношение 27 Биномиальные коэффициенты 32 Бином Ньютона 32 Варианта 123 Вектор-функция 203

Верхний предел последовательности 92 Верхняя граница 61 Вещественная часть 66 Вещественное число 54 Внутренность 72 Внутренняя точка 72 Вогнутость 265 Возрастание 20 Выпуклость 265 Высказывание 8 Гармонический ряд 112 Геометрический ряд 108 Гиперболические функции 186 Глобальные свойства 172 Гомеоморфизм 194 Граница 74 Граничная точка 74 График отображения 15, Графический способ задания функции 19 Группа 22 Декартово произведение 7 Делители нуля 39 Десятичная мантисса 42 Диаграмма Эйлера-Венна 7 Дизъюнкция 9 Дизъюнктное объединение 7 Дифференциал 199 Дифференциалы высших порядков 227 Дифференцируемость 198 Дробная рациональная функция

284 178 Дробно-линейная функция 178

Глава 7. Некоторые приложения...

Критерий 12 Критерий Коши 94, 112, 159, 160 Естественная область определе- Круговая схема 13 ния 186 Линейная упорядоченность 31, 40, 48 З´амкнутое множество 73 Логарифмическая функция 182 З´амкнутый шар 70 Логарифмическое дифференциЗамыкание 74 Значение истинности высказыва- рование 219 Локальные свойства 172 ния 8 Луч 60 Изоморфизм 51 Мгновенная скорость 208 Импликация 8 Инвариантность формы диффе- Метрика 69 Метрическое пространство 68 ренциала 214 Мнемоническое правило 22, 66 Индукция 31 Мнимая часть 66 Интервал 60 Множество 5 Инфимум 61 Модуль 35, 40, 51, 66 Инъективное отображение 18 Монотонные последовательности Иррациональное число 54 20 Касательная 205 Монотонные функции 20 Квантор общности 14 Мощность множества 29 Квантор существования 14 Натуральное число 29 Класс эквивалентности 27 Невозрастание 20 Колебание функции 160 Непериодическая дробь 42 Кольцо 36 Непрерывная функция 165 Коммутативность 7 Необходимый признак сходимоКомпактность 98 сти рядов 112 Комплексное число 63 Неопределенные выражения 86, Композиция отображений 17 Компьютерный способ задания 90, 156 Неравенства Абеля 131, 132 функции 19 Неравенство Бернулли 32 Конгруентность 27 Критерий компактности в R 99 Неравенство Гёльдера 272 Неравенство Иенсена 269 Конечные множества 29 Неравенство КошиКонъюнкция 9 Буняковского-Шварца 68 Координата точки 59 Неравенство треугольника 35, Компл´ексное число 63 40, 52, 67, 69

§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты... Неравенство Юнга 271 Неубывание 20 Нечётные функции 23 Неявно заданная функция 19, 221 Нижний предел последовательности 92 Нижняя граница 61 Нуль 34, 38 Образ 16 Обратные гипеболические функции 187 Обратные тригонометрические функции 184, 185 Обобщенный гармонический ряд 116 Обратное отображение 18 Обыкновенная дробь 36 Объединение множеств 6 Ограниченная последовательность 81 Ограниченное множество 61 Односторонние производные 209 Окрестность 74 Основной период 24 Остаток ряда 107 Остаточный член формулы Тэйлора 242 Отделимость 70, 75 Открытое множество 70 Открытый шар 70 Отношение порядка 31, 34, 40, 47 Отношение эквивалентности 27 Отрезок числовой оси 60 Отрезок ряда 107 Отображение 15 Отрицание 8

285

Параметр 181 Параметрически заданная функция 19, 220 Переменные 19 Пересечение множеств 7 Перестановки членов ряда 135 Периодическая дробь 42 Периодические функции 23 Плотность 41, 48 Подмножество 6 Подпоследовательность 101, 110, 111 Подпространство 69 Показательная форма 254 Показательная функция 182 Поле 38 Полная упорядоченность 31 Полнота 55, 95 Полнота метрических пространств 95 Полный прообраз 17 Положительный ряд 113 Полуинтервал 60 Последовательность 78 Последовательность Коши 94 Правило Лопиталя 237 Предел последовательности 79, 80 Предел функции 146 Предикат 13 Преобразование Абеля 131 Признак Абеля 133 Признак Бертрана 124 Признак Гаусса 125 Признак Даламбера 119 Признак Дирихле 132 Признак Коши 118 Признак Лейбница 129

286

Глава 7. Некоторые приложения...

Признак Куммера 122 Признак Раабе 124 Признаки сравнения 114, 115, 116, 118 Принцип полной индукции 31 Приращение 167 Продолжение отображения 16 Произведение 27, 47 Произведение рядов 140 Производная 199 Производная композиции 213 Производная обратной функции 215 Производная функция 221 Производные высших порядков 222 Проколотая окрестность 240 Прообраз 14 Пустое множество 5

Свойство Архимеда 33 Свойство плотности 38, 45 Св´язные множества 191 Семейство 5 Сечение 45 Симметризация 34 Система уравнений 12 Собственное подмножество 5 Совокупность уравнений 12 Степенн´ая функция 182 Степенн´ой ряд 248 Строго положительный ряд 113 Сужение отображения 16 Сумма 27, 46 Сумма ряда 108 Супремум 61 Сфера 66 Сходящаяся последовательность 79, 80 Равномерная непрерывность 177 Счётное множество 61 Сюръективное отображение Равномощные множества 25 (сюръекция) 18 Равенство 6 Радиус-вектор точки 66 Разность 27, 47 Разность множеств 6 Разрывная функция 167 Разрыв второго рода 169 Разрыв первого рода 169 Разрыв устранимый 168 Расходящаяся последовательность 80 Расширение 68 Рациональное число 37, 54 Рекуррентность 10 Рекурсивность 10 Рекурсия 10 Ряд 107

Таблица истинности 9 Таблица производных 218 Табличный способ задания функции 19 Тавтология 11 Теорема Больцано-Вейерштрасса 101 Теорема Больцано-Коши 174 Теорема Вейерштрасса 175 Теорема Дарбу 232 Теорема Дедекинда 55 Теорема Кантора 177 Теорема Коши 236 Теорема Лагранжа 234 Теорема Мертенса

§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты... Теорема о промежуточных значениях 175 Теорема Римана об условно сходящихся рядах 137 Теорема Ролля 233 Теорема Ферма 231 Тождественное отображение 17 Топологическое пространство 71 Топология 70 Точка перегиба 272 Точка прикосновения 74 Точная верхняя граница 61 Точная нижняя граница 61 Транзитивность 6, 41, 49 Тригонометрическая форма 63 Тригонометрические функции 184 Убывание 20 Угловой коэффициент 207 Условная сходимость ряда 128 Устранимый разрыв 168 Факториал 32 Фактор-множество 28 Формула алгебры высказываний 10 Формула Коши-Адамара 248 Формула Лейбница 225 Формула Маклорена 246 Формула бинома Ньютона 29 Формула Тэйлора 241 Формула Эйлера 254 Фундаментальная последовательность 94 Функциональный ряд 248 Функция 18 Целая рациональная функция 181

Целое число 31 Цепное правило 214 Частичная сумма 107 Частное 35 Чётные функции 22 Число e 90 Числовая ось 44 Числовое множество 59 Числовой ряд 107 Числовой промежуток 57 Член ряда 107 Эквивалениция 8 Экспонента 182 Экстремумы 231 Элементарная функция 186 Явное задание функции 19

287

288

Глава 7. Некоторые приложения... Именной указатель (числа означают номера соответствующих страниц)

Абель 35, 132 Адамар 248 Архимед 33 Бернулли 32, 239 Бертран 124 Больцано 101 Борель 99 Буняковский 68 Ван-дер-Варден 202 Вейерштрасс 101 Венн 7 Гаусс 125 Гейне 99 Гёльдер 272 Даламбер 120 Дарб´у 233 Дедек´ инд 55 Дирихл´е 133 Иенсен 271 Кантор178

Кош´ и 94 Куммер 122 Лагранж 235 Лейбниц 130 Лопиталь 239 Макл´орен 246 Мертенс 140 М´орган дэ 12 Ньютон ´ 32 Пеано 243 Ра´абе 124 Риман 137 Ролль 234 Т´эйлор 242 Ферм´а 232 Шварц 68 Эйлер 7 Юнг 271

§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты...

289

Перечень иллюстраций Рис. 1. Пример диаграммы Эйлера-Венна, с.7 Рис. 2. Пример круговой схемы, с.12 Рис. 3. Пример графика функции, с.19 Рис. 4. Графики монотонных функций, с.20 Рис. 5. Графики взаимно обратных функций, с.21 Рис. 6. График четной функции, с.22 Рис. 7. График нечетной функции, с.23 Рис. 8. График периодической функции, с.24 Рис. 9. Биекция между отрезками прямых, с.28 Рис.10. Числовая ось OX , c.45 Рис.11. Комплексная плоскость, с.66 Рис.12. Пример неотделимого пространства, с.75 Рис.13. Вложенные отрезки, с.97 Рис.14. К определению (4.4), с.147 Рис.15. К теореме 95, с.152 1 Рис.16. График функции y = sin , с.161 x Рис.17. Графики непрерывной и разрывной функций, с.165 sin x Рис.18. Фрагмент графика функции y = , с.168 x Рис.19. Разрывные функции, непрерывные в точке a с одной стороны, с.169 1 Рис.20. График функции y = , с.170 x µ ¶ 1 Рис.21. График функции y = exp , с.171 x Рис.22. К теореме Больцано-Коши, с.173 Рис.23. Графики линейной и квадратичной функций, с.181 Рис.24. Графики показательных и логарифмических функций, с.182 Рис.25. Графики степенных функций, с.183 Рис.26. Графики функций sin и cos , с.183 Рис.27. Графики функций tg и ctg , с.184 Рис.28. График функции arcsin , с.185 Рис.29. График функции arccos , с.185 Рис.30. График функции arctg , с.187 Рис.31. График функции arcctg , с.190 Рис.32. Графики функций ch и sh , с.191

290

Глава 7. Некоторые приложения...

Рис.33. Графики функций th и cth , с.194 Рис.34. График функции |.| , с.201 Рис.35. График функции sign , с.201 µ ¶ 1 Рис.36. График функции x 7−→ x · sin , с.202 x Рис.37. График функции ϕ , с.203 Рис.38. Вертикальная касательная, с.205 Рис.39. Наклонная касательная, с.207 Рис.40. Касательная — график дифференциала, с.208 Рис.41. Односторонние касательные в точке M0 , с.209 Рис.42. f 0 (x0 ) = +∞ , с.210 Рис.43. ( f 0 (x0 ) = −∞ , с.210 f−0 (x0 ) = +∞; Рис.44. с.211 f+0 (x0 ) = −∞ , ( f−0 (x0 ) = −∞; Рис.45. с.211 f+0 (x0 ) = +∞ , Рис.46. График функции, имеющей экстремумы, с.232 Рис.47. К теореме Ферма, с.232 Рис.48. К теореме Ролля, с.232 Рис.49. К теореме Лагранжа, с.235 Рис.50. К теореме Коши, с.236 Рис.51. График функции, имеющей локальные экстремумы, с.260 Рис.52. График функции y = sin3 x + cos3 x , с.264 Рис.53. Выпуклая функция, с.266 Рис.54. Вогнутая функция, с.266 Рис.55. К теореме 151, с.268 Рис.56. К теореме 151, с.269 Рис.57. График функции y = x4 , с.269 Рис.58. Графики, на которых имеются точки перегиба, с.273 Рис.59. Графики, имеющие наклонные и вертикальные асимптоты, с.274

§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты...

291

Список рекомендуемой учебной литературы по курсу „Математический анализ“ 1. В.А.Зорич. Математический анализ. Части I, II. 2. Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Тома I – III. 3. Г.М.Фихтенгольц. Основы математического анализа. Тома I, II. 4. У.Рудин. Основы математического анализа. 5. Г.П.Толстов. Элементы математического анализа. Тома I, II. 6. В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов. Математический анализ. 7. С.М.Никольский. Курс математического анализа. Тома I, II. 8. Л.Д.Кудрявцев. Курс математического анализа. Тома 1 – 3. 9. Б.П.Демидович. Сборник задач по курсу математического анализа. Примечание. Все перечисленные источники были изданы в г.Москве (конкретные издательства не указаны). Б´ольшая их часть была издана много раз, и в качестве учебных пособий могут быть использованы любые издания (поэтому не указаны и годы издания). Существует огромное количество другой учебной литературы по математическому анализу, и значительная ее часть также может быть использована в качестве учебных пособий.

292

Глава 7. Некоторые приложения... ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Глава 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ . . . . . . . . . . . . 5 § 1. Множества: отношения и операции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 § 2. Некоторые сведения из математической логики . . . . . . 8 1. Высказывания и операции над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. Формулы алгебры высказываний и их применения . . . . . . . . . 10 3. Предикаты и кванторные операции над ними . . . . . . . . . . . . . . 13 § 3. Первоначальные сведения об отображениях и числовых функциях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1. Отображение, его график, сужение и продолжение . . . . . . . . .15 2. Образы и прообразы множеств при отображениях . . . . . . . . . 16 3. Композиция отображений. Обратное отображение . . . . . . . . . 17 4. Числовые функции и способы их задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5. Монотонные функции. Обратные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6. Чётные, нечётные и периодические функции . . . . . . . . . . . . . . . 22 Задачи к главе 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Глава 1. ФОРМИРОВАНИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 § 1. Натуральные, целые, рациональные числа . . . . . . . . . . . 27 1. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности . . . . . 27 2. Мощность множества. Целые положительные числа . . . . . . . 28 3. Отношение порядка на множестве N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4. Построение кольца всех целых чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5. Построение множества всех рациональных чисел . . . . . . . . . . . 36 6. Арифметические операции над рациональными числами . . .38 7. Отношение порядка на множестве Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 8. Представление рациональных чисел в виде бесконечных десятичных дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 9. Изображение рациональных чисел точками числовой оси . . 44 § 2. Вещественные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1. Сечения Дедекинда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2. Вещественные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3. Числовые множества и их границы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 § 3. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 § 4. Элементы общей топологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты...

293

1. Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2. Топологические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Задачи к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Глава 2. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ПРЕДЕЛЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 § 1. Последовательности и их пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 1. Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2. Общие свойства пределов. Предел и арифметические операции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 § 2. Предел и неравенства. Нижний и верхний пределы. Критерий Коши. Полнота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1. Предел и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2. Нижний и верхний пределы последовательности . . . . . . . . . . . 92 3. Критерий Коши. Полнота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 § 3. Компактность числовых множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Задачи к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Глава 3. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ И ИХ СУММЫ . . . . . . . . . . 107 § 1. Числовые ряды, их сходимость и расходимость. Некоторые операции над рядами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 1. Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2. Некоторые операции над рядами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3. Критерий Коши и его следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 § 2. Признаки сходимости и расходимости положительных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 1. Критерий сходимости и признаки сравнения . . . . . . . . . . . . . . 113 2. Обобщенный гармонический ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3. Признаки Коши и Даламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4. Другие признаки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 § 3. Исследование на сходимость произвольных числовых рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 1. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов . . . . . . 126 2. Признак Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3. Преобразование Абеля. Неравенство Абеля . . . . . . . . . . . . . . . 130 4. Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов . . . . . . . . . . . . 132 § 4. Перестановки членов ряда. Умножение рядов . . . . . . 134

294

Глава 7. Некоторые приложения...

1. Понятие о перестановке членов ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 2. Перестановки членов абсолютно сходящихся рядов . . . . . . . 135 3. Перестановки членов условно сходящихся рядов . . . . . . . . . . 137 4. Умножение рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Задачи к главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Глава 4. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 § 1. Пределы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 1. Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 2. Общие свойства пределов функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3. Предел и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4. Предел и арифметические операции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5. Пределы монотонных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6. Предел композиции функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7. Критерий Коши существования предела функции . . . . . . . . .159 8. Сравнение асимптотического поведения функций и вычисление некоторых пределов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 § 2. Непрерывные и разрывные функции. Локальные свойства непрерывных функций . . . . . . . . . . 164 1. Понятие непрерывной и разрывной функции в точке . . . . . 164 2. Точки разрыва и их клиссификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 3. Функция Дирихле и функция Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 4. Локальные свойства непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . 172 . § 3. Глобальные свойства непрерывных функций . . . . . . 173 1. Теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 2. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора . . . . . . . . . . . 177 3. Критерий непрерывности функции на множестве. Теорема о непрерывности обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . 178 § 4. Элементарные функции и их непрерывность . . . . . . . 180 1. Понятие элементарной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 2. Непрерывность элементарных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 § 5. Некоторые свойства непрерывных отображений топологических пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 1. Св´язные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 2. Непрерывные отображения топологических пространств . .193 Задачи к главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты...

295

Глава 5. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ . . . .198 § 1. Дифференцируемые функции. Понятия дифференциала и производной . . . . . . . . . . . . . . 198 1. Основные понятия и простейшие факты . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198 2. Дифференцируемость вектор-функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 3. C-дифференцируемость и аналитичность функций комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 § 2. Геометрический и физический смысл производной. Односторонние и бесконечные производные . . . . . . . . . . 204 1. Касательная к графику функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 2. Физический смысл производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 3. Односторонние и бесконечные производные . . . . . . . . . . . . . . . 209 § 3. Основные правила вычисления производных. Производные элементарных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 1. Основные правила вычисления производных . . . . . . . . . . . . . . 211 2. Вычисление табличных производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 3. Некоторые другие правила вычисления производных . . . . . 219 § 4. Производные и дифференциалы высших порядков 221 1. Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 2. Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Задачи к главе 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Глава 6. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ . . . . . . . . . 231 § 1. Теоремы „о средних значениях“. Правило Лопиталя 231 1. Теоремы „о средних значениях“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 2. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей . . . . . . . . .237 § 2. Формула Тэйлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240 1. Формула Тэйлора для многочлена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 2. Формула Тэйлора для произвольной функции . . . . . . . . . . . . 241 2. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Степенные ряды. Ряды Тэйлора. Формулы Эйлера 248 1. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 2. Ряды Тэйлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .250 3. Формулы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Задачи к главе 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

296

Глава 7. Некоторые приложения...

Глава 7. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ . . . . . . . . . 258 § 1. Условия монотонности и внутреннего локального экстремума функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 1. Условия монотонности функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 2. Необходимые условия локального экстремума . . . . . . . . . . . . . 259 3. Достаточные условия локального экстремума . . . . . . . . . . . . . 261 § 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 1. Свойство выпуклости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 2. Неравенство Иенсена и его применения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 3. Точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272 4. Асимптоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Задачи к главе 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Список обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Именной указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Перечень иллюстраций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Список рекомендуемой учебной литературы по курсу „Математический анализ“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291