На школьную математику должны больше влиять тенденции информатики и приложений

Æóðíàë «Êîìïüþòåðíûå èíñòðóìåíòû â îáðàçîâàíèè» ïðîäîëæàåò ïóáëèêàöèþ èíòåðâüþ, ïîñâÿùåííûõ âëèÿíèþ èíôîðìàòèêè íà ïðåïîäàâàíèå ìàòåìàòèêè, êîòîðûå ðåäàêöèÿ æóðíàëà ïîäãîòîâèëà äëÿ ICME-9 – Ìåæäóíàðîäíîãî Êîíãðåññà ïî Ìàòåìàòè÷åñêîìó Îáðàçîâàíèþ, ïðîâåäåííîãî â àâãóñòå 2000 ãîäà â ßïîíèè. Èíòåðâüþ âûçâàëè áîëüøîé èíòåðåñ ñðåäè ó÷àñòíèêîâ ñåêöèè «Íîâûå òåíäåíöèè â ìàòåìàòèêå è ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêàõ, èõ îòðàæåíèå â îáðàçîâàíèè». Àíàëèç èíòåðâüþ, îïóáëèêîâàííûõ â ïðîøëîì íîìåðå, ïîçâîëÿåò ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû. 1. Çà ïîñëåäíèå ãîäû â ìàòåìàòèêå óòâåðäèëèñü íîâûå íàïðàâëåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ ðàçâèòèåì èíôîðìàòèêè, ê êîòîðûì, â ÷àñòíîñòè, îòíîñÿòñÿ èçó÷åíèå âîïðîñîâ òðóäîåìêîñòè âû÷èñëåíèé è êðèïòîãðàôèÿ. 2.  ìàòåìàòèêå ïîÿâèëèñü è ðàçâèâàþòñÿ íîâûå èäåè, âåäóùèå ïðîèñõîæäåíèå îò èíôîðìàòèêè, íàïðèìåð, êâàíòîâûå âû÷èñëåíèÿ, äîêàçàòåëüñòâî «ñ íóëåâûì çíàíèåì». 3. Åñòü íàïðàâëåíèÿ, ïî êîòîðûì âçàèìîäåéñòâèå ìàòåìàòèêè è èíôîðìàòèêè ìîæåò îêàçàòüñÿ ïëîäîòâîðíûì, – ýòî ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ òåñòèðîâàíèÿ, âåðèôèêàöèÿ êîìïüþòåðíûõ ïðîãðàìì, ïðîãðåññ â ìîëåêóëÿðíîé áèîëîãèè, îñíîâàííûé íà âçàèìîïðîíèêíîâåíèè ìàòåìàòèêè, èíôîðìàòèêè è áèîëîãèè, èçìåíåíèÿ â ÿçûêå äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè, ñâÿçàííûå ñ íåîáõîäèìîñòüþ áîëåå ïðàâèëüíîãî îòðàæåíèÿ ïðîáëåì èíôîðìàòèêè. 4. Ïîÿâèëîñü è ôîðìèðóåòñÿ íîâîå íàïðàâëåíèå ýêñïåðèìåíòàëüíîé ìàòåìàòèêè.

Íàì êàæåòñÿ, ÷òî ïîÿâëåíèå ýêñïåðèìåíòàëüíîé ìàòåìàòèêè ïîâûøàåò àêòóàëüíîñòü îïûòà îáó÷åíèÿ ôèçèêîâ-ýêñïåðèìåíòàòîðîâ. Òàêîé îïûò íàêîïëåí ôèçèêî-òåõíè÷åñêèì èíñòèòóòîì â Ìîñêâå, ñîçäàííûì Ï.Ë. Êàïèöåé è ôèçèêî-òåõíè÷åñêèì ëèöååì â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå, ñîçäàííûì Æ.È. Àëôåðîâûì. Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ, ëþáîïûòíî ìíåíèå èçâåñòíîãî ó÷èòåëÿ ìàòåìàòèêè Â.È. Ðûæèêà, ðàáîòàþùåãî â ýòîì ëèöåå, à äî ýòîãî ìíîãî ëåò ðàáîòàâøåãî â øêîëå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì óêëîíîì, èç êîòîðîé âûøëî ìíîãî èçâåñòíûõ ìàòåìàòèêîâ è ïðîãðàììèñòîâ.  ýòîì íîìåðå ìû ïóáëèêóåì (â õðîíîëîãè÷åñêîì ïîðÿäêå) èíòåðâüþ ñ Èîñèôîì Âëàäèìèðîâè÷åì Ðîìàíîâñêèì, ïðîôåññîðîì êàôåäðû îïåðàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ ìàòåìàòèêî-ìåõàíè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÑÏáÃÓ, íàó÷íûì ðóêîâîäèòåëåì Çàî÷íîé øêîëû ñîâðåìåííîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, Âàëåðèåì Èäåëüåâè÷åì Ðûæèêîì, êàíäèäàòîì ïåäàãîãè÷åñêèõ íàóê, ïðåïîäàâàòåëåì ìàòåìàòèêè ôèçèêî-òåõíè÷åñêîãî ëèöåÿ, ÷ëåíîì àâòîðñêîãî êîëëåêòèâà èçâåñòíîé ñåðèè ó÷åáíèêîâ ïî ãåîìåòðèè, Ãðèãîðèåì Ëàçàðåâè÷åì Ëèòâèíîâûì, ïðîôåññîðîì ìåæäóíàðîäíîãî öåíòðà Ñîôóñà Ëè, ñîòðóäíèêîì íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêîãî èíñòèòóòà ñèñòåìíûõ èññëåäîâàíèé ÐÀÍ, Ìàðêîì Èâàíîâè÷åì Áàøìàêîâûì, àêàäåìèêîì ÐÀÎ, äèðåêòîðîì Èíñòèòóòà ïðîäóêòèâíîãî îáó÷åíèÿ ÐÀÎ, àâòîðîì ìíîãèõ èçâåñòíûõ ó÷åáíèêîâ ïî àëãåáðå è îñíîâàì àíàëèçà.

3

Ðîìàíîâñêèé Èîñèô Âëàäèìèðîâè÷

ÍÀ ØÊÎËÜÍÓÞ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÓ ÄÎËÆÍÛ ÁÎËÜØÅ ÂËÈßÒÜ ÒÅÍÄÅÍÖÈÈ ÈÍÔÎÐÌÀÒÈÊÈ È ÏÐÈËÎÆÅÍÈÉ ×òî Âû ìîæåòå ñêàçàòü î íîâûõ ïîíèìàþò. Êîíå÷íî æå, øêîëüíèêàì äîñòåíäåíöèÿõ â ìàòåìàòèêå, â ÷àñòíîñòè, òóïíà òåîðèÿ ãðàôîâ, îíà äàåò ïðåêðàñî âëèÿíèè èíôîðìàòèêè íà ìàòåìàòèêó? íûé ÿçûê ìîäåëèðîâàíèÿ, îáèëèå çàäà÷ è Âû õîòèòå ðàçãîâàðèâàòü î íîâûõ íà «êðóæêîâîì» óðîâíå âïîëíå ãîäèòñÿ. òåíäåíöèÿõ ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè è ìàòåÄèíàìè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå òîæå äîìàòè÷åñêèõ íàóê è îá èõ âëèÿíèè íà ñòóïíî øêîëüíèêàì. È, äåéñòâèòåëüíî, øêîëüíóþ ïðîãðàììó. Íó ÷òî æ, â ïîñëåøêîëüíèêè èç ìíîãèõ ïåòåðáóðãñêèõ äíåå âðåìÿ ó ìåíÿ êàê ðàç áûëè ïîâîäû, êðóæêîâ èíôîðìàòèêè çíàþò è ïîíèìà÷òîáû äóìàòü íà ýòó òåìó. Òàêîé ïîâîä þò, ÷òî ýòî òàêîå. ìíå äàåò ââîäíûé êóðñ äèñêðåòíîãî àíàÁëèçêàÿ òåìà – êàêèì äîëæåí áûòü ëèçà, êîòîðûé ÿ ÷èòàþ íà ìàòìåõå. ß õîó÷åáíèê ïî èíôîðìàòèêå äëÿ ãóìàíèòàððîøî ïîíèìàþ, ÷òî ìíîãîå èç ìîåãî êóðíûõ ñïåöèàëüíîñòåé. Äëÿ ñåáÿ ÿ ñòàðàþñü ñà ìîãëî áû èçëàãàòüñÿ åùå â øêîëå, à óÿñíèòü ýòî ñëåäóþùèì îáðàçîì. ß âçÿëñÿ ìû ñî ñòóäåíòàìè â ýòîì ñëó÷àå ìîãëè áû ÷èòàòü ëåêöèè íà ôàêóëüòåòå ìåæäóíàðîäïðîõîäèòü áîëåå ñåðüåçíûå âåùè. íûõ îòíîøåíèé, ãäå íà ìàãèñòåðñêîì îòÌíå êàæåòñÿ, ÷òî â øêîëå íàäî äàäåëåíèè åñòü êóðñ «Ýëåìåíòû èíôîðìàâàòü áîëüøå äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè, ñâÿòèêè», è ÷èòàþ ëåêöèè áàêàëàâðàì. Ïî çàííîé ñ êîìïüþòåðîì. Íàïðèìåð, ñïîñîâîçðàñòó ýòî óæå ñòàðøåêóðñíèêè. Êàê áû êîäèðîâàíèÿ äàííûõ – ýòî ïðåêðàñíàæèìàòü íà êíîïêè, èõ óæå ó÷èòü íå íàäî. íàÿ, ÷èñòî øêîëüíàÿ ìàòåìàòèêà. ß ñàì Âûáèðàÿ, ÷òî èì ðàññêàçûâàòü, ÿ ó÷èëñÿ ñèñòåìàì ñ÷èñëåíèÿ â îæèäàë, êîíå÷íî, ïîëíîãî 5 êëàññå ïî çàìå÷àòåëüíûì íåïîíèìàíèÿ ìàòåìàòèêè (è êíèãàì ß. Ïåðåëüìàíà è ïîíå îøèáñÿ â îæèäàíèÿõ). ìíþ, ÷òî ìíå âñå áûëî ïîÏîýòîìó ÿ èì ðàññêàçûâàë íÿòíî è î÷åíü èíòåðåñíî. À òîëüêî îòäåëüíûå òåìû èç äëÿ íûíåøíèõ øêîëüíèêîâ ñâîåãî ìàòìåõîâñêîãî êóðñà: âîïðîñ î ñèñòåìàõ ñ÷èñëåíèÿ ïðåäñòàâëåíèå èíôîðìàöèè, – ýòî íå ïðîñòî ðàçâëå÷åíèå, êîäèðîâêà ASCII, äâóõáàéýòî ïîäãîòîâêà ê ðàáîòå íà òîâàÿ êîäèðîâêà Unicode, çàêîìïüþòåðå. òåì òàêèå çàãàäî÷íûå äëÿ  øêîëå ìîæíî îáúÿñíèõ âåùè, êàê ñæàòèå èííÿòü íà÷àëà òåîðèè ìíîæåñòâ ôîðìàöèè, âïðî÷åì, õîðîøî (ýòî è äåëàåòñÿ), â øêîëå èçâåñòíîå ïî ðàáîòå àðõèâèìîæíî ãîâîðèòü î òåîðåòèðóþùèõ ïðîãðàìì. Êàê ïðîêî-ãðàôîâûõ ìîäåëÿõ, ìîæèñõîäèò ñæàòèå? Ïî÷åìó èííî, âåðíóâøèñü ê ïðåïîäàôîðìàöèÿ ñæèìàåòñÿ? Êàê âàíèþ êîìáèíàòîðèêè, äîäåéñòâóþò àëãîðèòìû ñæàïîëíèòü åå ýëåìåíòàìè òåîòèÿ? Îíè ñïîêîéíî ýòî âîñðèè âåðîÿòíîñòåé. Ïî-ìîåìó, ïðèíèìàþò, ïðàâäà, íå ìîãóò ìåíüøå âñåãî ðå÷ü ìîæåò ïîòîì âîñïðîèçâåñòè íà ýê...òåîðèÿ ãðàôîâ... èäòè î ìîäåëèðîâàíèè, íàçàìåíå. äàåò ïðåêðàñíûé ÿçûê ïðèìåð, ýêîíîìè÷åñêèõ ïðîÂîîáùå, èíîãäà â ýòîì ìîäåëèðîâàíèÿ... öåññîâ, êîòîðûå îíè åùå íå êóðñå ïðîèñõîäÿò èíòåðåñ-

4

íûå âåùè. Íàïðèìåð, ÿ èì îáúÿñíÿþ, ÷òî ñëîâî «peluca» (ïàðèê) ïðåäøåñòâóåò ñëîòàêîå ëåêñèêîãðàôè÷åñêîå óïîðÿäî÷èâàâó «pellejo» (øêóðà).) íèå, ïðåäóïðåæäàþ î âîçìîæíûõ ðàçëèÄàëüøå ðå÷ü øëà î ðàçëè÷íûõ ôîð÷èÿõ ïðàâèë ñðàâíåíèÿ – ñ ó÷åòîì çàãëàâìàõ ïðåäñòàâëåíèÿ èíôîðìàöèè. Íàïðèíûõ áóêâ, áåç ó÷åòà çàãëàâíûõ áóêâ. ×òî ìåð, âî ìíîãèõ òåêñòîâûõ ðåäàêòîðàõ êóðïîëó÷èòñÿ, åñëè â ðóññêîå ñëîâî íå÷àÿíñîð, äîéäÿ äî êîíöà ñòðîêè, àâòîìàòè÷åñíî âñòàâèòü ëàòèíñêóþ áóêâó? Âñåì âñå êè ïåðåõîäèò íà ñëåäóþùóþ ñòðîêó. Íî ïîíÿòíî. Ïîòîì, êîãäà ÿ èõ íà çà÷åòå ñïðàèíîãäà õî÷åòñÿ ïðîòÿíóòü ñòðîêó äàëüøå. øèâàþ, êàê ýòè ñëîâà ñðàâíèâàþòñÿ, ñòóÈ íàäî îáúÿñíèòü ñòóäåíòó, ÷òî íà ñàìîì äåíòû-ãóìàíèòàðèè áåçîøèáî÷íî ñðàâíèäåëå ìû âèäèì íåêîòîðóþ «ôèêöèþ», íàäî âàþò, íî ïî÷òè íèêòî íå ìîæåò ñôîðìóîáúÿñíèòü, êàê èíôîðìàöèÿ õðàíèòñÿ â ëèðîâàòü ïðàâèëî. ìàøèíå è ÷òî ìû âèäèì íà ýêðàíå. ß èì Ýòîò ïðèìåð çàñòàâëÿåò çàäóìàòüñÿ ñêàçàë, ÷òî òåêñò ïðåäñòàâëåí öåïíûì î òîì, ÷òî íàäî ó÷èòü è ãóìàíèòàðèåâ è ñïèñêîì ñòðîê, è, êîãäà ìû âñòàâëÿåì âñåõ øêîëüíèêîâ íå òîëüêî ôîðìóëàì, íî ñòðîêó, îíà íå ðåäàêòèðóåò âåñü òåêñò, à è óìåíèþ ôîðìóëèðîâàòü ïðàâèëà. Çà÷åì ïðîñòî âñòàâëÿåò åå íà ñâîáîäíîå ìåñòî. ðàññêàçûâàòü ãóìàíèòàðèÿì î ÷èñëàõ è È îíè ïîíÿëè äîñòàòî÷íî õîðîøî. ïðîñòðàíñòâàõ? Ìû äîëæíû èì ïîêàçàòü, Åùå ðàññìàòðèâàëèñü íåêîòîðûå ÷òî ìàòåìàòèêà – ýòî íàóêà òî÷íûõ ôîðñòàíäàðòíûå óòèëèòû è îáúÿñíÿëîñü, ïîìóëèðîâîê. Íà ñàìîì äåëå, è â ìåæäóíà÷åìó îíè áûñòðî ðàáîòàþò (íàïðèìåð, ðîäíûõ îòíîøåíèÿõ áåç òî÷íûõ ôîðìóìîæíî ñðàâíèòü íåñêîëüêî ñïîñîáîâ ñîðëèðîâîê íå îáîéòèñü. Ìîæåò áûòü, ïðîòèðîâêè ïî ýôôåêòèâíîñòè: âñòàâêà, ìåáëåìà â òîì, ÷òî îíè ïðèâûêëè ê óñòàíîâòîä ôîí Íåéìàíà è äðóãèå ñïîñîáû). Ðàçêàì, à â ìàòåìàòèêå èñïîëüçóþòñÿ ïðàâèáèðàëñÿ áûñòðûé ïîèñê äàííûõ ñ ïîìîëà? ß äóìàþ, ÷òî ìàòåìàòèêà, íåçàâèñèìî ùüþ õåøèðîâàíèÿ. îò áóäóùåé ñïåöèàëüíîñòè, äîëæíà ó÷èòü Êîíå÷íî, óïîìèíàëîñü (ÿ óæå ãîâîëþäåé ñòðîãèì ïðàâèëàì. È, íàïðèìåð, â ðèë) ñæàòèå äàííûõ, à òàêæå çàùèòà èíäèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå õîðîøî áðàòü ðàçôîðìàöèè îò ïîìåõ è îò íåçàêîííîãî äîäåëû, ãäå áîëüøå ïðàâèë, ÷åòêèõ àëãîðèòñòóïà – èì-òî íàäî çíàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ìîâ.  ýòîì äîëæåí áûòü òðåêðèïòîãðàôèÿ, ÷òî åñòü ðàçíèðóþùèé ìîìåíò. íûå ïðîáëåìû, ñâÿçàííûå ñ Ìîæåò áûòü, ïîëåçíî ýòèì âîïðîñîì. Ðàçóìååòñÿ, õîòÿ áû íàçâàòü åùå íåêîðàññêàçûâàòü ïðî êðèïòîãðàòîðûå òåìû ýòîãî êóðñà. ß ôèþ ñòóäåíòàì-ìåæäóíàðîäèì ãîâîðèë î ìíîãèõ ïîëåçíèêàì è øêîëüíèêàì íóæíî íûõ äåòàëÿõ ñîðòèðîâêè òåêñîâñåì ïî-ðàçíîìó. ñòîâûõ äàííûõ, î ïîðÿäêàõ, Ïîñëå êðèïòîãðàôèè ÿ â êîòîðûõ êèðèëëèöà ïðåäðàññêàçûâàþ ñòóäåíòàì, êàê øåñòâóåò ëàòèíèöå èëè ëàòèõðàíèòü èíôîðìàöèþ â áàíèöà ïðåäøåñòâóåò êèðèëëèçàõ äàííûõ, êàê îñóùåñòâöå. Çíàêè ïðåïèíàíèÿ è ñëóëÿåòñÿ áûñòðûé ïîèñê èíæåáíûå ñèìâîëû ìîãóò áûòü ôîðìàöèè, çàòåì ðàññêàçûãäå-òî â ïðîìåæóòêå. (À åùå âàþ ïðî ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîåñòü èñïàíñêèé ÿçûê, ãäå ãèêó è ïðî çàïðîñû. ïîðÿäîê â ñëîâàðÿõ íå ëåêÂñå ïåðå÷èñëåííûå ñèêîãðàôè÷åñêèé, ïîòîìó òåìû ãîäÿòñÿ, ñ äðóãèìè èí÷òî ñî÷åòàíèå ll ÿâëÿåòñÿ òîíàöèÿìè, è äëÿ øêîëüíîáóêâîé â ñìûñëå ÿçûêà, è ýòà ãî îáðàçîâàíèÿ. Íî îíî äîëáóêâà ñëåäóåò çà îáû÷íîé æíî áûòü ðàçíîîáðàçíûì, â áóêâîé l. Òàê ÷òî, íàïðèìåð, íåì ìû äîëæíû ïîäáèðàòü Êàê ïðîèñõîäèò ñæàòèå?

5

ðàçíûå óðîâíè ìàòåìàòèçèðóåìîñòè – îò áóäóùèõ ïðîôåññèîíàëîâ-ìàòåìàòèêîâ äî ëèö, ãîðäÿùèõñÿ ñâîèì ïîëíûì íåâåæåñòâîì â ýòîé íàóêå. À êîìïüþòåðíûå íàâûêè íóæíû óæå âñåì áåç èñêëþ÷åíèÿ. Êîìïüþòåðíàÿ ìàòåìàòèêà î÷åíü óäîáíà êàê äîáàâëåíèå ê ýòèì íàâûêàì, ïî ïðèíöèïó «â êîãî ñêîëüêî âëåçåò». Èòàê, ÿ äóìàþ, ÷òî â øêîëüíîì îáðàçîâàíèè äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè äîëæíî áûòü ìíîãî, íî âûòåñíèòü ñóùåñòâóþùóþ ïðîãðàììó ìû íå ìîæåì. Ïîýòîìó ÿ ïðåäïî÷èòàþ ïèñàòü äëÿ ñòóäåíòîâ.

òîì, ÷òî íàøè èçìåðåíèÿ ìîãóò áûòü íåòî÷íûìè, è î òîì, ÷òî ìåëêèå îøèáêè ìîãóò âûçûâàòü çíà÷èòåëüíûå íåïðàâèëüíîñòè. Øêîëüíàÿ ïðîãðàììà – ýòî ïðîãðàììà äàëåêîãî ïðîøëîãî, ïðèìåðíî ýéëåðîâñêèõ âðåìåí. Ïðàêòè÷åñêè íè÷åãî èç ìàòåìàòè÷åñêèõ äîñòèæåíèé XIX-XX âåêà â øêîëüíóþ ïðîãðàììó íå âõîäèò. Ïîýòîìó êîëîññàëüíûå èçìåíåíèÿ â íûíåøíåé ìàòåìàòèêå ïî ñâîåìó âëèÿíèþ íà øêîëó è óñòóïàþò èçìåíåíèÿì â èíôîðìàòèêå, òàê êàê íîâîñòè î êîìïüþòåðàõ øêîëüíèêè óçíàþò ñàìûå ñâåæèå. Ìíå êàæåòñÿ, ÷òî íà øêîëüíóþ ìàòåìàòèêó äîëæíû áîëüøå Åñëè áû äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà âëèÿòü íå òåíäåíöèè ìàòåìàòèêè, à òåíâîøëà â øêîëüíóþ ïðîãðàììó, îíà ïîòåñäåíöèè èíôîðìàòèêè è ïðèëîæåíèé. íèëà áû ìàòåìàòèêó è èí êóðñå ìàòåìàòèêè ôîðìàòèêó? îñòàåòñÿ ìíîãî «èñòîðè÷åñÎíà âîøëà áû â ìàòåêîãî» ìàòåðèàëà, è åãî íàäî ìàòèêó è èíôîðìàòèêó, îíà åñëè è ïîòåñíèòü, òî î÷åíü íå äîëæíà áûòü îòäåëüíî. îñòîðîæíî. Êîíå÷íî, êëàñÄîëæíû áûòü ïðîñòî íîâûå ñè÷åñêàÿ àëãåáðà è ãåîìåòãëàâû. Ìàòåìàòèêà è èíôîððèÿ íóæíû, è òðèãîíîìåòðèÿ ìàòèêà íå äîëæíû áûòü ñòðîâ ðàçóìíûõ ïðåäåëàõ òîæå, ãî ðàçäåëåíû, îíè äîëæíû íî õîòåëîñü áû, ÷òîáû òðè«çàêèäûâàòü óäî÷êè» äðóã â ãîíîìåòðèÿ ñîåäèíÿëàñü ñ äðóãà. Ìíå î÷åíü íðàâèòñÿ àíàëèçîì è ÷òîáû íå áûëî íåäàâíî îáíàðóæåííàÿ â ñòàïåðåíàñûùåíèÿ ýòèì ïðåäìåðîì æóðíàëå êàðòèíêà, ïîòîì, ÷òîáû øêîëüíèêè íå êàçûâàþùàÿ, êàê êîäû Ãðåÿ ó÷èëè íàèçóñòü íåïîíÿòíûå èñïîëüçóþòñÿ ïðè ÷òåíèè äëÿ íèõ âåùè. Îíè äîëæíû óãëà ïîâîðîòà îêðóæíîñòè. ïîíèìàòü èäåþ ïðîèçâîäíîé,  ýòîì ïðèìåðå ïîÿâëÿþòñÿ èäåþ èíòåãðàëà è çíàòü, ãäå íå òîëüêî ñâîåîáðàçíûå äâîýòî ïðèìåíÿåòñÿ. Íå íàäî äîè÷íûå êîäû, íî åùå è òåìû, áèâàòüñÿ ó øêîëüíèêîâ âóçîâêîòîðûå ïîáóæäàþò âñïîìèñêèõ íàâûêîâ óìåíèÿ âû÷èñíàòü ïðî ôèçèêó è ïðî ðàç- ×òî ïîëó÷èòñÿ, åñëè â ëÿòü ïðîèçâîäíóþ, à îò íèõ ëè÷íûå òðóäíîñòè, î êîòîðûõ ðóññêîå ñëîâî íå÷àÿííî ÷àñòî òðåáóþò èìåííî ýòîãî. ìû ðàíåå íå çàäóìûâàëèñü: î âñòàâèòü ëàòèíñêóþ áóêâó?

ÍÀØÈ

6

ÀÂÒÎÐÛ

Ðîìàíîâñêèé Èîñèô Âëàäèìèðîâè÷, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð ÑÏáÃÓ.