ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ
Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî...
334 downloads
281 Views
324KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ
Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ¾ÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿ Ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê Êàôåäðà òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà
Â.Å.ÊÎÂÀËÜ×ÓÊ, Ï.À.×ÀËÎÂ
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ ÀÍÀËÈÇÓ Èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
Ðîñòîâ-íà-Äîíó
Îãëàâëåíèå 1
Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1
Ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë è åãî îñíîâíûå ñâîéñòâà .
5
1.3
Òàáëèöà îñíîâíûõ íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ . . .
8
1.4
Îñíîâíûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ . . . . . . . . . . . 10
1.5
Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé . . . . . . . . 15
1.6
Ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ . . . . . . 25
1.7
Èíòåãðèðîâàíèå â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ íåêîòîðûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé . . . . . . . . . 26
1.8
Èíòåãðèðîâàíèå äðîáíî-ëèíåéíûõ èððàöèîíàëüíîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.9
Èíòåãðèðîâàíèå áèíîìèàëüíûõ äèôôåðåíöèàëîâ . . 31
1.10
Èíòåãðèðîâàíèå êâàäðàòè÷íûõ èððàöèîíàëüíîñòåé ïîñðåäñòâîì ïîäñòàíîâîê Ýéëåðà . . . . . . . . . . . 33
1.11
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû, çàäà÷è, óïðàæíåíèÿ . . . . . 35
Ñïèñîê èñïîëüçîâàííîé ëèòåðàòóðû
1
. . . . . . . . . . . . . . . . 42
2
Îãëàâëåíèå
1 Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë  êóðñå äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ áûëè ââåäåíû ôóíäàìåíòàëüíûå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ïðîèçâîäíàÿ è äèôôåðåíöèàë; áûëè óñòàíîâëåíû îñíîâíûå ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (íàõîæäåíèÿ ïðîèçâîäíûõ) âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé.  ýòîì ðàçäåëå áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó, "îáðàòíóþ"ïî îòíîøåíèþ ê îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, à èìåííî, ïî èçâåñòíîé ïðîèçâîäíîé îòûñêèâàòü ñàìó ôóíêöèþ. Ýòî îäíà èç çàäà÷, ê êîòîðîé ñâîäÿòñÿ ìíîãèå çàäà÷è ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè, ôèçèêè è ò.ä. Ïðåäïîëîæèì, íàïðèìåð, ÷òî â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè x íàì èçâåñòíà ìãíîâåííàÿ ñêîðîñòü f (x) äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè âäîëü îñè Oy. Òðåáóåòñÿ íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ýòîé òî÷êè. Ìû çíàåì, ÷òî ìãíîâåííàÿ ñêîðîñòü f ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè F , çàäàþùåé çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè. Òàêèì îáðàçîì, îòâëåêàÿñü îò ìåõàíè÷åñêîãî ñìûñëà çàäà÷è, ìû ïðèõîäèì ê ïîíÿòèþ ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèè, à çàòåì è íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Èñòîêè èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ óâîäÿò íàñ â àíòè÷íûé ïåðèîä è ñâÿçàíû ñ ìåòîäîì èñ÷åðïûâàíèÿ Åâäîêñà è Àðõèìåäà. Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå ïîëó÷èëî â ðàáîòàõ È.Íüþòîíà è Ã.Ëåéáíèöà. Èìåííî îíè óñòàíîâèëè ñâÿçü ìåæäó äèôôåðåíöèðîâàíèåì è èíòåãðèðîâàíèåì. Ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ óäàëîñü ðåøèòü ìíîãèå çàäà÷è òåîðåòè÷åñêîãî è ïðèêëàäíîãî õàðàêòåðà, ñòîÿâøèå ïåðåä íàóêîé òîãî âðåìåíè. Îäíàêî çàäà÷à èíòåãðèðîâàíèÿ îêàçàëàñü òðóäíåå çàäà÷è äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Îïåðàöèÿ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, êàê èçâåñòíî, íå âûâîäèò èç êëàññà ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, à îïåðàöèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèè íå âñåãäà ïðèâîäèò ê ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèè. Íà-
1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
3
Z
Z Z ex sin x cos x ïðèìåð, èíòåãðàëû dx , dx , dx, n ∈ N, íå âûðàæàxn xn xn þòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè. Ïîýòîìó ÷ðåçâû÷àéíî âàæíî óìåòü âûïîëíÿòü èíòåãðèðîâàíèå òàì, ãäå îíî âîçìîæíî â ¾êîíå÷íîì âèäå¿, òî åñòü íå âûâîäèò èç êëàññà ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, è ïðèîáðåñòè èçâåñòíûå òåõíè÷åñêèå íàâûêè â èíòåãðèðîâàíèè çàäàííûõ ôóíêöèé.
1.1 Ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèÿ Ïîíÿòèå ïåðâîîáðàçíîé (èëè ïðèìèòèâíîé ) ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç âàæíåéøèõ â ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå.
Îïðåäåëåíèå 1.1 Ïóñòü f : (a, b) −→ R. Ôóíêöèÿ F íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèåé (èëè ïðîñòî ïåðâîîáðàçíîé) äëÿ ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a, b), åñëè â ëþáîé òî÷êå ýòîãî èíòåðâàëà ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà è èìååò ïðîèçâîäíóþ F 0 , ðàâíóþ f . Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè f íà ïîëóïðÿìîé èëè íà âñåé âåùåñòâåííîé ïðÿìîé. Ïðè îïðåäåëåíèè ïåðâîîáðàçíîé íà ñåãìåíòå èñïîëüçóþò ïîíÿòèÿ îäíîñòîðîííèõ ïðîèçâîäíûõ.
Çàìå÷àíèå 1.1 Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ F äëÿ ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a, b) íåïðåðûâíà íà ýòîì èíòåðâàëå.
√
Ïðèìåð 1.1 Ôóíêöèÿ F (x) = 1 − x2 ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ
x íà èíòåðâàëå (−1, 1), ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ F 1 − x2 äèôôåðåíöèðóåìà â èíòåðâàëå (−1, 1) è F 0 (x) = f (x) â êàæäîé òî÷êå
ôóíêöèè f (x) = −
x ∈ (−1, 1).
Ïðèìåð 1.2 Ôóíêöèÿ F (x) = ln x ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè
1 íà ïîëóïðÿìîé (0, +∞), òàê êàê íà ýòîé ïîëóïðÿìîé ôóíêöèÿ x F äèôôåðåíöèðóåìà è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî F 0 (x) = f (x). f (x) =
4
Îãëàâëåíèå
1 ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêx íà êàæäîé ïîëóïðÿìîé (0, +∞) è (−∞, 0), ïîñêîëü-
Ïðèìåð 1.3 Ôóíêöèÿ F (x) = arctg
1 1 + x2 êó ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà íà ïîëóïðÿìîé (0, +∞) è íà ïîëóïðÿ-
öèè f (x) = −
ìîé (−∞, 0) è F 0 (x) = f (x) â êàæäîé òî÷êå x ∈ (0, +∞) x ∈ (−∞, 0). Íî F íå ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè f íà âñåé âåùåñòâåííîé ïðÿìîé, òàê êàê F ðàçðûâíà â òî÷êå x = 0. Ïóñòü F ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a, b). Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ôóíêöèÿ Φ, çàäàííàÿ ðàâåíñòâîì Φ(x) = F (x)+C , ãäå C ëþáàÿ ïîñòîÿííàÿ, ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå
(a, b). Ïîýòîìó âñÿêàÿ ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ ïåðâîîáðàçíóþ íà èíòåðâàëå (a, b), èìååò íà ýòîì èíòåðâàëå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïåðâîîáðàçíûõ. Ñâÿçü ìåæäó ïåðâîîáðàçíûìè äëÿ îäíîé è òîé æå ôóíêöèè óñòàíîâëåíà â ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè.
Òåîðåìà 1.1 Åñëè F è Φ ëþáûå ïåðâîîáðàçíûå äëÿ ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a, b), òî ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà C òàêàÿ, ÷òî âñþäó íà èíòåðâàëå (a, b) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî Φ(x) − F (x) = C . Äðóãèìè ñëîâàìè, äâå ïåðâîîáðàçíûå äëÿ îäíîé è òîé æå ôóíêöèè ìîãóò îòëè÷àòüñÿ ëèøü íà ïîñòîÿííóþ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì ôóíêöèþ G íà (a, b) ïî ïðàâèëó: G(x) = Φ(x) − F (x). Ôóíêöèÿ G äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a, b) êàê ñóììà äâóõ äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé, ïðè÷åì âñþäó íà ýòîì èíòåðâàëå
G0 (x) = Φ0 (x) − F 0 (x) = f (x) − f (x) = 0. Ïî òåîðåìå î ïîñòîÿíñòâå ôóíêöèè, èìåþùåé íà èíòåðâàëå ðàâíóþ íóëþ ïðîèçâîäíóþ (ñëåäñòâèå èç òåîðåìû Ëàãðàíæà), ôóíêöèÿ G ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé íà èíòåðâàëå (a, b). Ñëåäîâàòåëüíî, G(x) = Φ(x)−F (x) =
C.
Ñëåäñòâèå 1.1 Åñëè F îäíà èç ïåðâîîáðàçíûõ ôóíêöèé äëÿ ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a, b), òî ëþáàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ Φ äëÿ ôóíêöèè f íà èí-
1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
5
òåðâàëå (a, b) çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì Φ(x) = F (x)+C , ãäå C íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.
1.2 Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë è åãî îñíîâíûå ñâîéñòâà Îïðåäåëåíèå 1.2 Ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïåðâîîáðàçíûõ ôóíêöèé äëÿ äàííîé ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a, b) íàçûâàåòñÿ íåîïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè f (íà ýòîì èíòåðâàëå) è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì Z f (x) dx.
Z  îáîçíà÷åíèè
Z f (x) dx çíàê
íàçûâàåòñÿ çíàêîì íåîïðåäåëåííîãî
èíòåãðàëà , âûðàæåíèå f (x) dx ïîäûíòåãðàëüíûì âûðàæåíèåì , à ñàìà ôóíêöèÿ Zf ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé . Çíàê
íàçûâàåòñÿ çíàêîì íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ïîòîìó, ÷òî
äåéñòâèå îáðàòíîå äèôôåðåíöèðîâàíèþ ìíîãîçíà÷íî, òî åñòü ñîïðîâîæäàåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòüþ. Ïóñòü F îäíà èç ïåðâîîáðàçíûõ ôóíêöèé äëÿ äàííîé ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a, b). Òîãäà, â ñèëó ñëåäñòâèÿ 1.1, ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Z f (x) dx = F (x) + C, (1.1) ãäå C ëþáàÿ êîíñòàíòà. Òåïåðü ðàññìîòðèì ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, ñðàçó ñëåäóþùèå èç îïðåäåëåíèÿ 1.2.
Ñâîéñòâî 1 Åñëè ôóíêöèÿ f èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà èíòåðâàëå (a, b), òî íà ýòîì èíòåðâàëå ïðîèçâîäíàÿ íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà îò ôóíêöèè f ðàâíà ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè, òî åñòü µZ ¶0 f (x) dx = f (x).
(1.2)
Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèé ïåðâîîáðàçíîé è íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà (îïðåäåëåíèÿ 1.1 è 1.2).
6
Îãëàâëåíèå
Ñâîéñòâî 2 Åñëè ôóíêöèÿ f èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà èíòåðâàëå (a, b), òî äèôôåðåíöèàë íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà îò ôóíêöèè f ðàâåí ïîäûíòåãðàëüíîìó âûðàæåíèþ, òî åñòü Z d f (x) dx = f (x) dx.
(1.3)
Ýòî ñâîéñòâî ñëåäóåò èç ñâîéñòâà 1.
Z Ðàâåíñòâî (1.3) ïîêàçûâàåò, ÷òî çíàêè äèôôåðåíöèàëà d è èíòåãðàëà âçàèìíî ñîêðàùàþòñÿ, åñëè çíàê äèôôåðåíöèàëà ñòîèò ïåðåä çíàêîì èíòåãðàëà.
Ñâîéñòâî 3 Åñëè ôóíêöèÿ F : (a, b) −→ R äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a, b), òî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Z dF (x) = F (x) + C.
(1.4)
×òîáû óñòàíîâèòü ýòî ñâîéñòâî äîñòàòî÷íî â ëåâîé ÷àñòè ôîðìóëû (1.1) âîñïîëüçîâàòüñÿ ðàâåíñòâîì dF (x) = f (x) dx. Z Èç ôîðìóëû (1.4) ñëåäóåò, ÷òî çíàêè èíòåãðàëà è äèôôåðåíöèàëà
d âçàèìíî ñîêðàùàþòñÿ è â ñëó÷àå, êîãäà çíàê èíòåãðàëà ñòîèò ïåðåä çíàêîì äèôôåðåíöèàëà, íî ïðè ýòîì ê ôóíêöèè F äîáàâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ C . Ñëåäóþùèå òðè ñâîéñòâà ÿâëÿþòñÿ ïðîñòåéøèìè ïðàâèëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïåðâûå äâà èç íèõ îáû÷íî íàçûâàþò ëèíåéíûìè ñâîéñòâàìè èíòåãðàëà.
Ñâîéñòâî 4 Åñëè ôóíêöèè f è g èìåþò ïåðâîîáðàçíûå íà èíòåðâàëå (a, b), òî è ôóíêöèÿ f + g èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà ýòîì èíòåðâàëå è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî Z Z Z Z (f + g) (x) dx := (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx.
(1.5)
Ñâîéñòâî 5 Åñëè ôóíêöèè f èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà èíòåðâàëå (a, b), òî è ôóíêöèÿ kf , ãäå k ëþáàÿ êîíñòàíòà, èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà ýòîì èíòåðâàëå è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî Z Z kf (x) dx := k f (x) dx.
(1.6)
1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
7
Êàæäîå èç ðàâåíñòâ (1.5) è (1.6) ñëåäóåò ïîíèìàòü êàê ðàâåíñòâî ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòåé ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîãî ïîñòîÿííîãî ñëàãàåìîãî.
Äîêàçàòåëüñòâî ñâîéñòâ 4 è 5. Ïóñòü F è G ïåðâîîáðàçíûå íà èíòåðâàëå (a, b) äëÿ ôóíêöèé f è g ñîîòâåòñòâåííî, è C ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ïî òåîðåìå îá àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèÿõ íàä äèôôåðåíöèðóåìûìè ôóíêöèÿìè ôóíêöèè F + G è C F ÿâëÿþòñÿ ïåðâîîáðàçíûìè ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ôóíêöèé f + g è C f íà èíòåðâàëå (a, b). À ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ÷àñòî áûâàåò ïîëåçíûì ïðè íàõîæäåíèè íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ.
Ñâîéñòâî 6 Ïóñòü ôóíêöèÿ F îäíà èç ïåðâîîáðàçíûõ äëÿ ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (c, d), òî åñòü Z f (t) dt = F (t) + C.
È ïóñòü a è b ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, ïðè÷åì a 6= 0. Òîãäà
Z
1 f (ax + b) dx = F (ax + b) + C. a
(1.7)
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî íà èíòåðâàëå (c, d) ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî F 0 (x) = f (x). Ó÷èòûâàÿ ýòî è ïðèìåíÿÿ òåîðåìó î ïðîèçâîäíîé ñëîæíîé ôóíêöèè, íàõîäèì
µ
¶0 1 1 F (ax + b) = · F 0 (ax + b) · a = f (ax + b). a a
1 F (ax + b) ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêa öèè f (ax + b) íà èíòåðâàëå (c, d). Ñëåäîâàòåëüíî ôóíêöèÿ
8
Îãëàâëåíèå
1.3 Òàáëèöà îñíîâíûõ íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ Èñïîëüçóÿ òàáëèöó ïðîèçâîäíûõ ïðîñòåéøèõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, ñîñòàâèì òàáëèöó îñíîâíûõ íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ.
Z 1)
0 dx = C; Z
2)
1 dx = x + C; Z
3)
Z
xα dx =
xα+1 +C α+1
(α 6= −1);
dx = ln |x| + C (x 6= 0); x Z Z ax x + C (0 < a 6= 1), ex dx = ex + C; 5) a dx = ln a Z 6) sin x dx = − cos x + C; Z 7) cos x dx = sin x + C; Z ³ ´ π dx = tg x + C x = 6 + πk, k ∈ Z ; 8) cos2 x 2 Z dx = − ctg x + C (x 6= πk, k ∈ Z) ; 9) sin2 x Z arcsin x + C, dx 10) √ = (−1 < x < 1); 1 − x2 − arccos x + C, Z arctg x + C, dx = 11) 1 + x2 − arcctg x + C; Z ³ ´ √ dx 12) √ = ln x + x2 + 1 + C; x2 + 1 Z ¯ ¯ √ dx ¯ ¯ = ln ¯x + x2 − 1¯ + C (|x| > 1); 13) √ x2 − 1 ¯ ¯ Z dx 1 ¯¯ 1 + x ¯¯ 14) = ln ¯ + C (|x| 6= 1) . 1 − x2 2 1 − x¯ 4)
1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
9
Ê ýòèì ôîðìóëàì ïðèñîåäèíèì íåñêîëüêî ôîðìóë äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ ôóíêöèé:
Z 15)
sh x dx = ch x + C; Z
16)
ch x dx = sh x + C; Z
dx = th x + C; 2 Z ch x dx = − cth +C (x 6= 0). 18) sh2 x Z Ïðèìåð 1.4 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë (5x − 13)75 dx. 17)
Ðåøåíèå. Ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâî 6 è ôîðìóëó 3), ïîëó÷àåì Z
1 (5x − 13)76 (5x − 13)76 (5x − 13) dx = +C = + C. 5 76 380 75
Èçó÷àÿ äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå, ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ëþáîé ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèåé, òî åñòü, îïåðàöèÿ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íå âûâîäèò èç êëàññà ýëåìåíòàð-
íûõ ôóíêöèé. Ñ îïåðàöèåé èíòåãðèðîâàíèÿ äåëî îáñòîèò èíà÷å. Èçâåñòíî, ÷òî èíòåãðàëû îò íåêîòîðûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé íå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè. Ïðèìåðàìè òàêèõ èíòåãðàëîâ ñëóæàò Z Z Z ¡ 2¢ ¡ ¢ ◦ −x2 ◦ ◦ 1. e dx, 2 . cos x dx, 3 . sin x2 dx, Z Z Z cos x sin x dx ◦ ◦ ◦ (0 < x 6= 1), 5 . (x 6= 0), 6 . (x 6= 0). 4. ln x x x Ïåðâûé èç ýòèõ èíòåãðàëîâ íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ïóàññîíà èëè
èíòåãðàëîì îøèáîê (øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå, â òåîðèè òåïëîïðîâîäíîñòè); âòîðîé è òðåòèé èíòåãðàëû íàçûâàþòñÿ èí-
òåãðàëàìè Ôðåíåëÿ (ïðèìåíÿþòñÿ â îïòèêå); ÷åòâåðòûé, ïÿòûé è øåñòîé íîñèò íàçâàíèÿ, ñîîòâåòñòâåííî, èíòåãðàëüíûé ëîãàðèôì, èíòåãðàëüíûé
êîñèíóñ è èíòåãðàëüíûé ñèíóñ. Ââèäó âàæíîñòè äëÿ ïðèëîæåíèé, ýòè ôóíêöèè èçó÷åíû ñ òàêîé æå ïîëíîòîé, êàê è ïðîñòåéøèå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè. Äëÿ íèõ ñîñòàâëåíû òàáëèöû è ïîñòðîåíû èõ ãðàôèêè.
10
Îãëàâëåíèå
1.4 Îñíîâíûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ Ìåòîä ðàçëîæåíèÿ Ýòîò ìåòîä ïðèìåíÿåòñÿ â ñëó÷àÿõ, êîãäà ôóíêöèþ f : X −→ R ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ôóíêöèé fj : X −→ R,
j = 1, 2, . . . , n, òàêèõ, ïåðâîîáðàçíûå êîòîðûõ ëåãêî ïîñòðîèòü, òî åñòü f = α1 f1 + α2 f2 + . . . + αn fn . Òîãäà ïî ñâîéñòâàì 5 è 4, ïîëó÷èì
Z f (x) dx =
n X
Z αj
fj (x) dx.
j=1
Ïðèìåð 1.5 Âû÷èñëèòü Z
x3 + 1 dx, (x + 2)50
x 6= −2.
Ðåøåíèå. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà, ðàçëîæèì ôóíêöèþ x3 + 1 ïî ñòåïåíÿì ñóììû x + 2, ïîëó÷èì ¡ ¢3 x3 + 1 = (x + 2) − 2 + 1 = (x + 2)3 − 6(x + 2)2 + 12 (x + 2) − 7. (1.8) Áëàãîäàðÿ (1.8), ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâèìà â âèäå
x3 + 1 1 1 1 1 . 50 = 47 − 6 48 + 12 49 − 7 (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x + 2)50 À òîãäà, ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâî 6, ïîëó÷àåì
Z
Z 1 1 dx+ 47 dx − 6 (x + 2) (x + 2)48 Z Z 1 1 +12 dx = 49 dx − 7 (x + 2) (x + 2)50 1 6 1 1 =− + C. 46 + 47 − 48 + 46(x + 2) 47(x + 2) 4(x + 2) 7(x + 2)49 x3 + 1 dx = (x + 2)50
Z
1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
11
Èíòåãðèðîâàíèå çàìåíîé ïåðåìåííûõ Èçëîæèì îäèí èç ñèëüíåéøèõ ïðèåìîâ èíòåãðèðîâàíèÿ ìåòîä
çàìåíû ïåðåìåííîé èëè ïîäñòàíîâêè . Îí îñíîâàí íà ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè.
Òåîðåìà 1.2 Ïóñòü ôóíêöèÿ ϕ : (α, β) −→ (a, b) äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (α, β), à ôóíêöèÿ g èìååò ïåðâîîáðàçíóþ G íà èíòåðâàëå
(a, b), òî åñòü
Z g(t) dt = G(t) + C.
(1.9)
¡ ¢ Òîãäà íà èíòåðâàëå (α, β) ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé g ϕ(x) ϕ0 (x), ¡ ¢ èìååò ïåðâîîáðàçíóþ ðàâíóþ G ϕ(x) , òî åñòü Z ¡ ¢ ¡ ¢ g ϕ(x) ϕ0 (x) dx = G ϕ(x) + C. (1.10)
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óñëîâèÿ òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ
¡ ¢ G ϕ(x) äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (α, β). Ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî äèô-
ôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè è ó÷èòûâàÿ, ÷òî G0 (t) = g(t) íà èíòåðâàëå (a, b), ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî
¡ ¡ ¢¢0 ¡ ¢ ¡ ¢ G ϕ(x) = G0 ϕ(x) ϕ0 (x) = g ϕ(x) ϕ0 (x). ¡ ¢ Ñëåäîâàòåëüíî ôóíêöèÿ G ϕ(x) äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé ¡ ¢ äëÿ ôóíêöèè g ϕ(x) ϕ0 (x) íà èíòåðâàëå (α, β). Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü èíòåãðàë Z f (x) dx.
(1.11)
Êàê áóäåò ïîêàçàíî äàëåå, â ðÿäå ñëó÷àåâ óäàåòñÿ íàéòè òàêóþ ôóíêöèþ ¡ ¢ ϕ, ÷òî ôóíêöèÿ f ïðåäñòàâèìà â âèäå f (x) = g ϕ(x) ϕ0 (x), ãäå ôóíêöèè
g è ϕ óäîâëåòâîðÿþò âñåì óñëîâèÿì òåîðåìû 1.2, ïðè÷åì ïåðâîîáðàçíàÿ G äëÿ ôóíêöèè g ëåãêî íàõîäèòñÿ. Òîãäà, íà îñíîâàíèè òåîðåìû 1.2, ïîëó÷àåì
Z
Z f (x) dx =
¡ ¢ ¡ ¢ g ϕ(x) ϕ0 (x) dx = G ϕ(x) + C.
(1.12)
12
Îãëàâëåíèå Ýòîò ïðèåì íàõîæäåíèÿ èíòåãðàëà (1.11) è íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì çà-
ìåíû ïåðåìåííîé èëè ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè .
Z
Ïðèìåð 1.6 Âû÷èñëèòü
dx (1 +
x2 ) cos2
(arctg x)
.
Ðåøåíèå. Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé. Ïîëîæèì t = arctg x. Òîãäà dt = dx è ïî ôîðìóëå (1.12) ïîëó÷àåì 1 + x2 Z Z dx dt = = tg t + C = tg (arctg x) + C = x + C. 2 2 (1 + x ) cos (arctg x) cos2 t
Z
Ïðèìåð 1.7 Âû÷èñëèòü
x dx . 16x4 − 1
Ðåøåíèå. Ñäåëàåì çàìåíó t = 4x2 . Òîãäà dt = 8x dx. Ïîýòîìó, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó 14), ïîëó÷àåì
Z
x dx 1 = 16x4 − 1 8
Z
¯ ¯ ¯ ¯ dt 1 ¯¯ 1 − t ¯¯ 1 ¯¯ 1 − 4x2 ¯¯ = ln ln +C = + C. t2 − 1 16 ¯ 1 + t ¯ 16 ¯ 1 + 4x2 ¯
Z
Ïðèìåð 1.8 Âû÷èñëèòü
dx . (x2 + 1)2
Ðåøåíèå. Ïîëàãàÿ t = arctg x, íàõîäèì x = tg t, dx = x2 + 1 = tg2 t + 1 =
dt . Òàê êàê cos2 t
1 , cos2 t
ïîëó÷àåì
Z
Z ¢ 1 ¡ 1 + cos(2t) dt = cos t dt = 2 ¶ µ µ ¶ 1 1 1 tg t = t + sin(2t) + C = t+ 2 +C = 2 2 2 tg t + 1 µ ¶ x 1 arctg x + 2 + C. = 2 x +1
dx = 2 (x + 1)2
Z
2
1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
13
Èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì Ê ÷èñëó âåñüìà ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ èíòåãðèðîâàíèÿ îòíîñèòñÿ
ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì .
Òåîðåìà 1.3 Ïóñòü êàæäàÿ èç ôóíêöèé u è v äèôôåðåíöèðóåìà íà ìíîæåñòâå X è, êðîìå òîãî, íà ýòîì ìíîæåñòâå ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè v · u0 . Òîãäà íà ìíîæåñòâå X ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíàÿ è äëÿ ôóíêöèè u · v 0 , ïðè÷åì ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Z Z 0 u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − v(x)u0 (x) dx.
(1.13)
Ôîðìóëà (1.13) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì . Òàê êàê v 0 (x) dx = dv è u0 (x) dx = du, ôîðìóëó (1.13) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå Z Z u dv = uv − v du. (1.14)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèÿ u · v â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà X èìååò ïðîèçâîäíóþ
(u(x)v(x))0 = u(x)v 0 (x) + v(x)u0 (x)
(1.15)
è ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè uv 0 + vu0 íà ìíîæåñòâå X . Èç ðàâåíñòâà (1.15) íàõîäèì
u(x)v 0 (x) = (u(x)v(x))0 − v(x)u0 (x)
(1.16)
Ïîñêîëüêó ïåðâîîáðàçíàÿ ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (1.16) ñóùåñòâóåò, ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíàÿ è ëåâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà. Ïðîèíòåãðèðîâàâ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (1.16) ïî ïåðåìåííîé x ïîëó÷àåì (1.13) (èëè ÷òî òîæå ñàìîå (1.14)).
Z
Ïðèìåð 1.9 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
x sin x dx.
Ðåøåíèå. Ïîëîæèì u = x, dv = sin x dx. Íàõîäèì du = dx, v = − cos x. Òåïåðü ïî ôîðìóëå (1.13) ïîëó÷àåì Z Z x sin x dx = −x cos x + cos x dx = −x cos x + sin x + C.
14
Îãëàâëåíèå
Ïðàâèëî èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì ìîæíî ïðèìåíÿòü ïîâòîðíî. Ðàññìîòðèì ïðèìåð.
Z
Ïðèìåð 1.10 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
(arccos x)2 dx.
Ðåøåíèå. Ïîëàãàÿ u = (arccos x)2 , dv = dx, íàõîäèì
dx , v = x. Òîãäà ïîëó÷àåì 1 − x2 Z Z x arccos x 2 2 √ (arccos x) dx = x (arccos x) + 2 dx. 1 − x2
u = −2 arccos x √
(1.17)
Ê ïîñëåäíåìó èíòåãðàëó â (1.17) ñíîâà ïðèìåíèì ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ x dx è íàõîäèì du = ïî ÷àñòÿì. Òåïåðü ïîëàãàåì u = arccos x, dv = √ 1 − x2 √ dx −√ , v = − 1 − x2 . Ïðîäîëæàÿ ðàâåíñòâî (1.17), ïî ôîðìóëå (1.13) 1 − x2 ïîëó÷àåì
Z
µ
Z √ 2 dx (arccos x) dx =x (arccos x) + 2 − 1 − x arccos x − 2
2
¶ =
√ =x (arccos x)2 − 2 1 − x2 arccos x − 2x + C.
Ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, ïî ñðàâíåíèþ ñ èíòåãðèðîâàíèåì ïóòåì çàìåíû ïåðåìåííîé, èìååò áîëåå îãðàíè÷åííóþ îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ, íî ïðè óìåëîì èñïîëüçîâàíèè ýòîò ñïîñîá ïîçâîëÿåò íàõîäèòü ïåðâîîáðàçíûå äëÿ ìíîãèõ ôóíêöèé. Îñîáåííî ýôôåêòèâíî èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì ïðèìåíÿåòñÿ ê èíòåãðàëàì âèäà
Z (1.18)
P (x) ϕ(x) dx,
ãäå P (x) àëãåáðàè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí, à ϕ(x) îòíîñèòñÿ ê îäíîìó èç ñëåäóþùèõ äâóõ êëàññîâ ôóíêöèé:
1)
ln x,
2) ex ,
arccos x, cos x,
arcsin x,
sin x.
arctg x,
arcctg x;
1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
15
Åñëè ôóíêöèÿ ϕ(x) ïðèíàäëåæèò ïåðâîìó êëàññó, ïîëàãàþò u = ϕ(x),
dv = P (x) dx, à åñëè æå îíà ïðèíàäëåæèò âòîðîìó êëàññó, òî ïîëàãàþò u = P (x), dv = ϕ(x) dx. Îòìåòèì, ÷òî èíòåãðàëàìè âèäà (1.18) íå èñ÷åðïûâàþòñÿ âîçìîæíîñòè ìåòîäà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð.
Ïðèìåð 1.11 Âû÷èñëèòü èíòåãðàëû Z
I1 =
ax
e cos(bx) dx
è
I2 =
Z eax sin(bx) dx.
(1.19)
Ðåøåíèå. Ïðîèíòåãðèðóåì èíòåãðàë I1 ïî ÷àñòÿì. Ïîëîæèì u = eax , dv = cos(bx) dx. Òîãäà du = a eax dx, v = ïîëó÷àåì
1 a I1 = eax sin(bx) − b b
Z
1 sin(bx) è ïî ôîðìóëå (1.13) b
1 a eax sin(bx) dx = eax sin(bx) − I2 . b b
(1.20)
Àíàëîãè÷íî ïîñòóïèì ñ èíòåãðàëîì I2 . Ïîëîæèì u = eax , dv = sin(bx) dx. 1 Çàòåì íàéäåì du = a eax dx, v = − cos(bx) è, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó èíòåb ãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èì Z a 1 a 1 ax eax cos(bx) dx = − eax cos(bx) + I1 . (1.21) I2 = − e cos(bx) + b b b b Ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé, ñîñòàâëåííóþ èç óðàâíåíèé (1.20) è (1.21), îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ I1 è I2 , íàõîäèì ¢ eax ¡ I1 = 2 a cos(bx) + b sin(bx) + C, a + b2 ¢ eax ¡ I2 = 2 a sin(bx) − b cos(bx) + C. a + b2
(1.22)
1.5 Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé Ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè çàíèìàþò îñîáîå ìåñòî â àíàëèçå, ïîñêîëüêó ïåðâîîáðàçíàÿ ëþáîé òàêîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèåé è èíòåãðèðîâàíèå ìíîãèõ ôóíêöèé, îòëè÷íûõ îò ðàöèîíàëüíûõ, ñâîäèòñÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé. Íî äëÿ èçëîæåíèÿ òåîðèè èíòåãðèðîâàíèÿ ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé íàì ïîòðåáóþòñÿ íåêîòîðûå ýëåìåíòàðíûå ñâåäåíèÿ î êîðíÿõ àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ.
16
Îãëàâëåíèå
Àëãåáðàè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû è èõ êîðíè Ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåí P ñòåïåíè n
P (z) = c0 z n + c1 z n−1 + . . . + cn−1 z + cn , ãäå c0 ,c1 ,. . .,cn íåêîòîðûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà, ïåðâîå èç êîòîðûõ îòëè÷íî îò íóëÿ (â äàëüíåéøåì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî c0 = 1).
Îïðåäåëåíèå 1.3 Êîìïëåêñíîå ÷èñëî a íàçûâàåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà P , åñëè ìíîãî÷ëåíà P â òî÷êå z = a îáðàùàåòñÿ â íóëü, òî åñòü
P (a) = 0. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî åñëè ÷èñëî a ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà n-é ñòåïåíè P , òî ýòîò ìíîãî÷ëåí ïðåäñòàâèì â âèäå
P (z) = (z − a)ψ(z),
(1.23)
ãäå ψ íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíü n − 1.
Îïðåäåëåíèå 1.4 Êîðåíü a ìíîãî÷ëåíà P íàçûâàåòñÿ êîðíåì êðàòíîñòè α, åñëè íàéäóòñÿ ÷èñëî α ∈ N è ìíîãî÷ëåí ψ òàêèå, ÷òî ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå
P (z) = (z − a)α ψ(z),
(1.24)
ïðè÷åì ψ(a) 6= 0. Îòìåòèì, ÷òî åñëè êîðåíü a ∈ R ìíîãî÷ëåíà P ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè, òî è ìíîãî÷ëåí ψ ìíîãî÷ëåí ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Ïðåäëîæåíèå 1.1 Åñëè a = u + iv êîìïëåêñíûé êîðåíü êðàòíîñòè α ìíîãî÷ëåíà P ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè, òî è ñîïðÿæåííîå åìó ÷èñëî a = u − iv ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà P êðàòíîñòè α. Ïðè÷åì ìíîãî÷ëåí P (ñòåïåíè n) ïðåäñòàâèì â âèäå α
P (z) = (z 2 + pz + q) ψ(z),
(1.25)
1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
17
ãäå p = −2u, q = u2 + v 2 , à ìíîãî÷ëåí ψ ìíîãî÷ëåí ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè ñòåïåíè n−2α, íå îáðàùàþùèéñÿ â íóëü íè ïðè z = a, íè ïðè z = a. Èç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî âñÿêèé àëãåáðàè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí P n-é ñòåïåíè ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ñëåäóþùåãî ïðîèçâåäåíèÿ
P (z) = (z − a1 )α1 (z − a2 )α2 . . . (z − ar )αr × β
β
× (z 2 + p1 z + q1 ) 1 (z 2 + p2 z + q2 ) 2 . . . (z s + ps z + qs )βs ,
(1.26)
ãäå âñå ÷èñëà a1 , . . . , ar , p1 ,q1 , . . . , ps ,qs ∈ R, α1 , . . . , αr , β1 , . . . , βs ∈ N, ïðè÷åì
α1 + . . . + αr + β1 + . . . + βs = n.  äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìíîãî÷ëåíû òîëüêî ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè è îïðåäåëåííûå íà R.
Ðàçëîæåíèå ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè íà ïðîñòåéøèå Îïðåäåëåíèå 1.5 Ðàöèîíàëüíîé äðîáüþ íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ
R(x) :=
P (x) . Q(x)
(1.27)
Ïðè ýòîì äðîáü (1.27) íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà P , ñòîÿùåãî â ÷èñëèòåëå, ìåíüøå ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíà Q, ñòîÿùåãî â çíàìåíàòåëå.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü íàçûâàåòñÿ íåïðàâèëüíîé. Îòìåòèì, ÷òî âñÿêàÿ íåïðàâèëüíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü âñåãäà îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâèìà â âèäå ñóììû ìíîãî÷ëåíà è ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî, íàïðèìåð, ïîäåëèòü ñòîëáèêîì ÷èñëèòåëü èñõîäíîé äðîáè íà åå çíàìåíàòåëü.
Ïðèìåð 1.12 Ïðåäñòàâèòü íåïðàâèëüíóþ ðàöèîíàëüíóþ äðîáü x3 + 3x2 + 4x + 1 x2 + x + 1
18
Îãëàâëåíèå
x3 + 3x2 + 4x + 1 x2 + x + 1 x+2 x3 + x2 + x 2 2x + 3x + 1 2x2 + 2x + 2 x−1 Ðèñ. 1: Äåëåíèå ñòîëáèêîì
â âèäå ñóììû ìíîãî÷ëåíà è ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè.
Ðåøåíèå. Ðàçäåëèì ñòîëáèêîì ÷èñëèòåëü äðîáè íà çíàìåíàòåëü (ñì. ðèñ. 1). Ñëåäîâàòåëüíî,
x3 + 3x2 + 4x + 1 x−1 =x+2+ 2 . 2 x +x+1 x +x+1
Ëåììà 1.1 Ïóñòü ÷èñëî a ∈ R ÿâëÿåòñÿ êîðíåì êðàòíîñòè α çíàìåíàòåëÿ ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè (1.27), òî åñòü
Q(x) = (x − a)α ϕ(x),
(1.28)
ãäå ϕ(a) 6= 0. Òîãäà äëÿ ýòîé äðîáè ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå:
R(x) =
ψ(x) A . α + (x − a) (x − a)α−k ϕ(x)
(1.29)
P (a) ∈ R, k ∈ N, à ψ íåêîòîðûé ìíîϕ(a) ãî÷ëåí (ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè), ïðè÷åì ïîñëåäíÿÿ äðîáü â  ýòîì ïðåäñòàâëåíèè A =
ïðàâîé ÷àñòè (1.29) ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü A P (x) − . Q(x) (x − a)α Ïðèâîäÿ åå ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, ïîëó÷àåì
A Φ(x) P (x) − Aϕ(x) P (x) − = , α = α Q(x) (x − a) (x − a) ϕ(x) (x − a)α ϕ(x)
(1.30)
1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
19
ãäå Φ îáîçíà÷àåò ìíîãî÷ëåí, çàäàííûé ðàâåíñòâîì Φ(x) = P (x) − Aϕ(x). Ïîñêîëüêó Φ(a) = P (a)−Aϕ(a) = 0, ÷èñëî a ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà
Φ íåêîòîðîé êðàòíîñòè k ≥ 1, òî åñòü Φ(x) = (x − a)k ψ(x),
(1.31)
ãäå ψ(a) 6= 0. Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå ìíîãî÷ëåíà Φ â âèäå (1.31) è (1.30), ïîëó÷àåì
P (x) A ψ(x) − . α = Q(x) (x − a) (x − a)α−k ϕ(x)
(1.32)
Òåì ñàìûì ðàâåíñòâî (1.29) äîêàçàíî. À òàê êàê äðîáü, ñòîÿùàÿ â ïðàâîé ÷àñòè (1.32) ÿâëÿåòñÿ ðàçíîñòüþ äâóõ ïðàâèëüíûõ äðîáåé, òî îíà ñàìà ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé.
Ëåììà 1.2 Ïóñòü çíàìåíàòåëü ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè (1.27) èìååò êîìïëåêñíûå êîðíè a = u + iv è a = u − iv êðàòíîñòè α, òî åñòü α
Q(x) = (x2 + px + q) ϕ(x),
(1.33)
ãäå ϕ(a) 6= 0, ϕ(a) 6= 0, p = −2u, q = u2 + v 2 . Òîãäà äëÿ ýòîé äðîáè ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå:
R(x) =
P (x) Mx + N ψ(x) = 2 . α + Q(x) (x + px + q) (x2 + px + q)α−k ϕ(x)
(1.34)
 ýòîì ïðåäñòàâëåíèè M è N íåêîòîðûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà, k ∈ N, à ψ íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè, ïðè÷åì ïîñëåäíÿÿ äðîáü â ïðàâîé ÷àñòè (1.34) ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü, êàê îáû÷íî, Re (A) è Im (A) îáîçíà÷àþò âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ÷àñòè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà A. Ïîëîæèì µ µ ¶ µ ¶ ¶ 1 P (a) P (a) P (a) u M = Im , N = Re − Im . v ϕ(a) ϕ(a) v ϕ(a) Òåïåðü ðàññìîòðèì ðàçíîñòü
Mx + N P (x) − 2 . Q(x) (x + px + q)α
20
Îãëàâëåíèå
Ïðèâåäåì ýòó ðàçíîñòü ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ.
P (x) Mx + N P (x) − (M x + N )ϕ(x) − 2 . α = Q(x) (x + px + q) (x2 + px + q)α ϕ(x) Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ Φ(x) = P (x) − (M x + N )ϕ(x) ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èëè ïðåäñòàâëåíèå
P (x) Mx + N Φ(x) − 2 . α = 2 Q(x) (x + px + q) (x + px + q)α ϕ(x)
(1.35)
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî Φ(a) = 0. Ïîýòîìó ÷èñëî a ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà Φ íåêîòîðîé êðàòíîñòè k , à ïî ïðåäëîæåíèþ 1.1 è ÷èñëî a òàêæå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ýòîãî ìíîãî÷ëåíà êðàòíîñòè k . Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîãî÷ëåí Φ ðàçëàãàåòñÿ â ïðîèçâåäåíèå k
Φ(x) = (x2 + px + q) ψ(x), ãäå ψ íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè, íå îáðàùàþùèéñÿ â íóëü ïðè x = a è x = a. Âñòàâëÿÿ ýòî ïðåäñòàâëåíèå â ôîðìóëó (1.35), ïîëó÷èì ïðåäñòàâëåíèå (1.34). È ïîñêîëüêó ðàçíîñòü äâóõ ïðàâèëüíûõ äðîáåé, â ñâîþ î÷åðåäü, ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé äðîáüþ, ψ(x) äðîáü ïðàâèëüíàÿ. (x2 + px + q)α−k ϕ(x) Ïîñëåäîâàòåëüíîå ïðèìåíåíèå ëåìì 1.1 è 1.2 ê ïðàâèëüíîé äðîáè (1.27) ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó óòâåðæäåíèþ.
P (x) ïðàâèëüíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü ñ âåùåQ(x) ñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè, çíàìåíàòåëü êîòîðîé èìååò âèä
Òåîðåìà 1.4 Ïóñòü
Q(x) =(x − a1 )α1 (x − a2 )α2 . . . (x − ar )αr × β
β
×(x2 + p1 x + q1 ) 1 (x2 + p2 x + q2 ) 2 . . . (xs + ps x + qs )βs .
1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
21
Òîãäà äëÿ ýòîé äðîáè ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå íà ñóììó äðîáåé: (1)
(1)
(1)
P (x) A2 Aα1 A1 + + = 2 + ... + Q(x) x − a1 (x − a1 ) (x − a1 )α1 (2) (2) (2) A1 A2 Aα2 = + + ... + + x − a2 (x − a2 )2 (x − a2 )α2 (r) (r) (r) A1 A2 Aαr + = + + ... + x − ar (x − ar )2 (x − ar )αr (1) (1) (1) (1) M x + N1 M2 x + N2 + 21 + + ...+ x + p1 x + q1 (x2 + p1 x + q1 )2 (1) (1) (s) (s) Mβ1 x + Nβ1 M1 x + N1 + + + ... + 2 x + ps x + qs (x2 + p1 x + q1 )β1 (s) (s) (s) (s) Mβs x + Nβs M2 x + N2 + + ... + , (x2 + ps x + qs )2 (x2 + ps x + qs )βs (1)
(1)
(r)
(1)
(1)
(s)
(1.36)
(s)
ãäå A1 , A2 , . . . , Aαr , M1 , N1 , . . . , Mβs , Nβs ∈ R. Äëÿ êîíêðåòíîãî îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ïîñòîÿííûõ, íàçûâàåìûõ íåîïðåäåëåííûìè êîýôôèöèåíòàìè, íóæíî ïðèâåñòè âñå äðîáè â (1.36) ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, à çàòåì ïðèðàâíÿòü êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ x â ÷èñëèòåëÿõ. Ïîëó÷èì ñèñòåìó
α1 + α2 + . . . + αr + 2 (β1 + β2 + . . . + βs ) ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òàêèì æå ÷èñëîì íåèçâåñòíûõ, êîòîðûìè ÿâëÿþòñÿ ïåðå÷èñëåííûå íåîïðåäåëåííûå êîýôôèöèåíòû. Äðîáè, ñòîÿùèå â ïðàâîé ÷àñòè (1.36) íàçûâàþò ïðîñòåéøèìè ðàöè-
îíàëüíûìè äðîáÿìè .
Ïðèìåð 1.13 Ðàçëîæèòü äðîáü
x+3 íà ïðîñòåéøèå. (x − 1)(x2 + 1)2
Ðåøåíèå. Ñîãëàñíî òåîðåìå 1.4, ðàçëîæåíèå èìååò âèä Bx + C Dx + E x+3 A + 2 + = . 2 x−1 x +1 (x − 1)(x2 + 1) (x2 + 1)2 Ïðèâîäÿ ðàâåíñòâî (1.37) ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, ïîëó÷àåì
x+3 = (x − 1)(x2 + 1)2 2 A(x2 + 1) + (Bx + C) (x − 1)(x2 + 1) + (Dx + E) (x − 1) = . (x − 1)(x2 + 1)2
(1.37)
22
Îãëàâëåíèå
Ñðàâíèâàÿ â ÷èñëèòåëÿõ êîýôôèöèåíòû ïðè x4 , x3 , x2 , x1 è x0 , ïðèõîäèì ê ñèñòåìå óðàâíåíèé
x
4
x3 x2 x1 x0
¯ ¯ ¯ A ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2A ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ A
+B
= 0,
−B +C
= 0,
+B −C +D
= 0,
−B +C −D +E = 1, −C
−E = 3.
Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó, íàõîäèì A = 1, B = −1, C = −1, D = −2, E = −1. Ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
x+3 1 x+1 2x + 1 − 2 − . 2 = 2 x − 1 x + 1 (x2 + 1)2 (x − 1)(x + 1)
Èíòåãðèðîâàíèå ïðîñòåéøèõ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé Ïîñêîëüêó âñÿêàÿ íåïðàâèëüíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü ïðåäñòàâèìà â âèäå ñóììû ìíîãî÷ëåíà è ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè, à èíòåãðèðîâàíèå ìíîãî÷ëåíà íå ñîñòàâëÿåò òðóäà, íóæíî íàó÷èòüñÿ èíòåãðèðîâàòü ëèøü ïðàâèëüíûå ðàöèîíàëüíûå äðîáè. Íî ââèäó òåîðåìû 1.4 äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî óìåòü èíòåãðèðîâàòü ïðîñòåéøèå ðàöèîíàëüíûå äðîáè. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèÿ, ïðîñòåéøèå ðàöèîíàëüíûå äðîáè áûâàþò ñëåäóþùèõ ÷åòûðåõ òèïîâ:
I. II.
A , x−a A , α > 1, (x − a)α
III. IV.
Mx + N , 2 x + px + q Mx + N (x2 + px + q)β
p2 > 0, 4 p2 q− > 0, β > 1. 4
q− ,
Äîêàæåì, ÷òî êàæäàÿ èç ÷åòûðåõ óêàçàííûõ äðîáåé èíòåãðèðóåìà â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâî 6 è ôîðìóëû 4 è 3, ñðàçó íàõîäèì èíòåãðàëû îò äðîáåé ïåðâîãî è âòîðîãî òèïîâ:
Z
A dx = A ln |x − a| + C; x−a
Z
A A + C. α dx = − (x − a) (α − 1) (x − a)α−1
1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
23
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà îò äðîáè òðåòüåãî è ÷åòâåðòîãî òèïîâ, p2 ó÷èòûâàÿ, ÷òî q − > 0, ïðåîáðàçóåì êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí x2 + px + q : 4 !2 µ ¶ µ ¶ à ³ ´ 2 2 2 p p p 2x + p p x2 + px + q = x + + q− = q− + 1 . 2 4 4 4q − p2 Òåïåðü, äåëàÿ â èíòåãðàëå Z
Mx + N (x2
+ px + q)β
dx,
2x + p ãäå β ∈ N, çàìåíó ïåðåìåííîé, ïîëàãàÿ t = p , ïðåîáðàçóåì åãî â 4q − p2 èíòåãðàë âèäà: Z Et + F dt. (1.38) (t2 + 1)β Ïîýòîìó ïðè β = 1, òî åñòü â ñëó÷àå äðîáè òðåòüåãî òèïà, èìååì Z Z Z ¢ Et + F E 2t dt E ¡2 dt = dt + F = ln t + 1 + F arctg t + C. t2 + 1 2 t2 + 1 t2 + 1 2 Îñòàëîñü âû÷èñëèòü èíòåãðàë îò äðîáè ÷åòâåðòîãî òèïà, êîòîðûé ìû ïðåîáðàçîâàëè â èíòåãðàë âèäà (1.38). Ïðåäñòàâèì ýòîò èíòåãðàë â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè äâóõ èíòåãðàëîâ:
Z
E dt = β 2 (t2 + 1) Et + F
Z
Z
2t dt (t2 + 1)
β
+F
dt (t2 + 1)β
.
(1.39)
Î÷åâèäíî, ÷òî
Z
2t dt (t2
+ 1)
β
=−
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:
1 (β − 1) (t2 + 1)β−1 Z
Kβ =
+ C.
dt
. + 1)β Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýòîãî èíòåãðàëà âûâåäåì ðåêóððåíòíóþ ôîðìóëó, ñâî(t2
äÿùóþ âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà Kβ ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëà Kβ−1 , è òåì ñàìûì, ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëà K1 . Äåéñòâèòåëüíî, Z Z 2 dt (t + 1) − t2 Kβ = = dt = (t2 + 1)β (t2 + 1)β Z Z Z dt t2 t dt = − dt = Kβ−1 − t · . β−1 β 2 2 2 (t + 1) (t + 1) (t + 1)β
24
Îãëàâëåíèå
Ê ïîñëåäíåìó èíòåãðàëó ïðèìåíèì ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì. Ïît dt 1 ëîæèì u = t, dv = . Òîãäà du = dt, v = − . β 2 (t + 1) (β − 1) (t2 + 1)β−1 Ñëåäîâàòåëüíî, Z t 1 dt Kβ = Kβ−1 + − = β−1 2 (β − 1) 2 (β − 1) (t2 + 1) (t2 + 1)β−1 t 2β − 3 = + Kβ−1 . β−1 2 (β − 1) 2 (β − 1) (t2 + 1) Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà íóæíî âîçâðàòèòüñÿ ê ïåðåìåííîé x. Ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëÿì ïðîäåëàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî. Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà îá èíòåãðèðîâàíèè ðàöèîíàëüíîé äðîáè.
Òåîðåìà 1.5 Âñÿêàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü èíòåãðèðóåìà â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ.
Z
Ïðèìåð 1.14 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
x+3 dx . (x − 1)(x2 + 1)2
Ðåøåíèå. Ïîëüçóÿñü ðåçóëüòàòîì ïðèìåðà 1.13 è ïðèìåíÿÿ èçëîæåííóþ òåîðèþ, ïîëó÷àåì Z x+3
Z
Z Z dx x+1 2x + 1 dx = − dx − dx = 2 2 x−1 x +1 (x − 1)(x2 + 1) (x2 + 1)2 Z Z Z Z 2x dx dx 2x dx 1 dx − − = ln |x − 1| − = 2 − 2 2 2 2 2 x +1 x +1 (x + 1) (x + 1)2 Z 1 x 1 dx 1 2 = ln |x − 1| − ln(x + 1) − arctg x + 2 − − = 2 2 2 x + 1 2(x + 1) 2 x +1 1 3 1 x = ln |x − 1| − ln(x2 + 1) − arctg x + 2 − + C. 2 2 2 x + 1 2(x + 1)
Ïðèìåð 1.15 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë Z
3x4 + 7x3 + x2 − x − 2 dx . x4 − 1
Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó ïîäûíòåãðàëüíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü íåïðàâèëüíàÿ, ñíà÷àëà âûäåëèì åå öåëóþ ÷àñòü è ïîëó÷èì ¶ Z Z µ 3x4 + 7x3 + x2 − x − 2 7x3 + x2 − x + 1 dx = 3+ dx. x4 − 1 x4 − 1
(1.40)
1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
25
Îñòàâøóþñÿ ïðàâèëüíóþ äðîáü ðàçëîæèì íà ïðîñòåéøèå ðàöèîíàëüíûå äðîáè, ïðèìåíÿÿ ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ. Òàê êàê x4 −1 =
(x − 1)(x + 1)(x2 + 1), òî ðàçëîæåíèå èìååò âèä 7x3 + x2 − x + 1 A B Cx + D = + + 2 . 4 x −1 x−1 x+1 x +1 Ïðèâîäÿ ïîëó÷åííûå äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, ïîëó÷àåì
7x3 + x2 − x + 1 = x4 − 1 A(x + 1)(x2 + 1) + B(x − 1)(x2 + 1) + (Cx + D) (x − 1)(x + 1) = . x4 − 1 Òåïåðü ñðàâíèì êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ x â ìíîãî÷ëåíàõ, ñòîÿùèõ â ÷èñëèòåëÿõ. ¯ ¯ 3 ¯ A x ¯ ¯ x2 ¯ A ¯ ¯ 1 ¯ A x ¯ ¯ 0 ¯ A x
+B +C −B +B −C −B
=
7,
+D =
1,
= −1, −D =
1.
Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé, íàõîäèì A = 2, B = 1, C = 4, D = 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
Z Z Z dx dx 3x4 + 7x3 + x2 − x − 2 dx = 3 dx + 2 + + 4 x −1 x−1 x+1 Z ¡ 2 ¢ x +4 dx = 3x + 2 ln |x − 1| + ln |x + 1| + 2 ln x + 1 + const . x2 + 1 Z
1.6 Ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ Äàëåå ìû ðàññìîòðèì íåêîòîðûå êëàññû ôóíêöèé, îòëè÷íûõ îò ðàöèîíàëüíûõ, íî èíòåãðèðóåìûõ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ. Äëÿ èçëîæåíèÿ ýòîãî ìàòåðèàëà íàì ïîòðåáóåòñÿ ïîíÿòèå ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ.
26
Îãëàâëåíèå
Îïðåäåëåíèå 1.6 Ìíîãî÷ëåíîì n-ñòåïåíè îò äâóõ ïåðåìåííûõ x è y íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå âèäà
Pn (x, y) = a0,0 + a1,0 x + a0,1 y + a2,0 x2 + a1,1 xy + a0,2 y 2 + . . . + a0,n y n , ãäå a0,0 ,a1,0 ,a0,1 ,. . .,a0,n íåêîòîðûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà.
Îïðåäåëåíèå 1.7 Ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèåé äâóõ ïåðåìåííûõ íàçûâàåòPn (x, y) , ãäå Pn (x, y) è Qm (x, y) ïðîèçâîëüíûå Qm (x, y) ìíîãî÷ëåíû îò äâóõ ïåðåìåííûõ x è y ñòåïåíè n è m ñîîòâåòñòâåííî.
ñÿ îòíîøåíèå âèäà
Ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ äâóõ ïåðåìåííûõ x è y áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì R(x, y). Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè R(x, y) ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ x è y , à R1 (t), R2 (t) è R3 (t) ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé t, òî âûðàæåíèå R (R1 (t), R2 (t)) R3 (t) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ îäíîé ïåðåìåííîé t. Îòìåòèì äâà ýëåìåíòàðíûõ ñâîéñòâà ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ: (I) Åñëè ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ R(u, v) íå ìåíÿåò ñâîåãî çíà÷åíèÿ ïðè èçìåíåíèè çíàêà îäíîãî èç àðãóìåíòîâ, íàïðèìåð, u, òî åñòü, åñëè
R(−u, v) = R(u, v), òî ýòà ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê âèäó R(u, v) = R1 (u2 , v), ãäå R1 íåêîòîðàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ ñâîèõ äâóõ àðãóìåíòîâ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ R(u, v) ñîäåðæèò ëèøü ÷åòíûå ñòåïåíè ïåðåìåííîé u. (II) Åñëè æå ïðè èçìåíåíèè çíàêà îäíîãî èç àðãóìåíòîâ, íàïðèìåð,
u, ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ R(u, v) òàêæå ìåíÿåò çíàê, òî åñòü R(−u, v) = −R(u, v), òî îíà ïðèâîäèòñÿ ê âèäó R(u, v) = R2 (u2 , v)u.
1.7 Èíòåãðèðîâàíèå â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ íåêîòîðûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé Ðàññìîòðèì èíòåãðàë
Z R (sin x, cos x) dx.
(1.41)
1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
27
Ýòîò èíòåãðàë âñåãäà ìîæåò áûòü ðàöèîíàëèçèðîâàí ñ ïîìîùüþ òàê íàx çûâàåìîé óíèâåðñàëüíîé ïîäñòàíîâêè t = tg . Äåéñòâèòåëüíî, ïðè òàêîé 2 çàìåíå èìååì
sin x =
2t = R1 (t), 1 + t2
cos x =
1 − t2 = R2 (t), 1 + t2
dx =
2 dt = R3 (t)dt. 1 + t2
Ïîýòîìó èíòåãðàë (1.41) ïðåîáðàçóåòñÿ â èíòåãðàë
Z R (R1 (t), R2 (t)) R3 (t)(t) dt, òî åñòü â èíòåãðàë îò ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé t. x Ïîñêîëó ïîäñòàíîâêà t = tg ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíîé, îíà ÷àñòî 2 ïðèâîäèò ê ãðîìîçäêèì âûêëàäêàì. Ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî ðàññìîòðåòü íåñêîëüêî ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ, â êîòîðûõ èíòåãðàë (1.41) ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ ñ ïîìîùüþ äðóãèõ ïîäñòàíîâîê, ïðèâîäÿùèõ ê áîëåå ïðîñòûì âûêëàäêàì. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå òðè ñëó÷àÿ. 1) Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â èíòåãðàëå (1.41) ïðè çàìåíå cos x íà
− cos x ìåíÿåò çíàê íà ïðîòèâîïîëîæíûé. Òîãäà, ñîãëàñíî ñâîéñòâà (II), ýòà ôóíêöèÿ ïðåäñòàâèìà â âèäå
¡ ¢ e sin x, cos2 x cos x. R (sin x, cos x) = R Òåïåðü ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî ïîäñòàíîâêà t = sin x ïðèâîäèò ê èíòåãðàëó îò ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé t. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ýòîé çàìåíå ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ïðåîáðàçóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì
¡ ¢ e sin x, cos2 x cos x dx = R (sin x, cos x) dx = R ¢ ¡ ¢ ¡ e sin x, 1 − sin2 x d(sin x) = R e t, 1 − t2 dt = R1 (t) dt. =R 2) Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â èíòåãðàëå (1.41) ïðè çàìåíå sin x íà
− sin x ìåíÿåò çíàê íà ïðîòèâîïîëîæíûé.  ýòîì ñëó÷àå ïîäñòàíîâêà t = cos x ðàöèîíàëèçèðóåò ðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàëå (1.41). Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ïðèâåäåííîìó â ñëó÷àå 1).
28
Îãëàâëåíèå
3) Ïóñòü òåïåðü ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â èíòåãðàëå (1.41) ïðè îäíîâðåìåííîé çàìåíå sin x íà − sin x è cos x íà − cos x íå ìåíÿåò ñâîåãî çíàêà, òî åñòü (1.42)
R(−u, −v) = R(u, v).
Äîêàæåì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå èíòåãðàë (1.41) ìîæåò áûòü ðàöèîíàëèçèðîâàí ïîäñòàíîâêîé t = tg x. Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ³u ´ ³u ´ R(u, v) = R v, v = R1 ,v , v v ³u ´ ³u ´ R(−u, −v) = R (−v), −v = R1 , −v . v v
(1.43) (1.44)
Êîìáèíèðóÿ (1.42) (1.44), ïîëó÷àåì ³u ´ ³u ´ R1 , −v = R1 ,v . v v Íî òîãäà, ñîãëàñíî ñâîéñòâó (I), ³u ´ ³u ´ R1 , v = R2 , v2 . v v Îòñþäà è (1.43) ïîëó÷àåì
R(u, v) = R2 Ïîýòîìó
Z
Z R (sin x, cos x) dx =
³u v
´ , v2 .
¡ ¢ R2 tg x, cos2 x dx.
Ïîëàãàÿ t = tg x, íàõîäèì x = arctg t è dx =
dt . 1+t2
(1.45)
Òîãäà, ïðîäîëæàÿ
(1.45), îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
Z
µ
Z R (sin x, cos x) dx =
R2
1 t, 1 + t2
¶
dt . 1 + t2
Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëÿì ñàìîñòîÿòåëüíî äîêàçàòü, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå èíòåãðàë (1.41) ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ è ïîäñòàíîâêîé t = ctg x.
Ïðèìåð 1.16 Ñëåäóþùèå èíòåãðàëû ðàöèîíàëèçèðîâàòü äâóìÿ ñïîñîáàìè ïðèìåíÿÿ óíèâåðñàëüíóþ ïîäñòàíîâêó è îäíó èç ÷àñòíûõ ïîäñòàíîâîê: Z a)
dx ; sin x (cos x + 3)
Z b)
dx . sin x + 2 sin x cos x + 3 cos2 x 2
1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
29
Ðåøåíèå. a) Ïðèìåíèì óíèâåðñàëüíóþ ïîäñòàíîâêó. Z
dx = sin x (cos x + 3)
Z 2t 1+t2
2 dt ¡ 1−t2 ¢ = + 3 (1 + t2 ) 1+t2
Z
1 + t2 dt . 2t (2 + t2 )
Òåïåðü ïðèìåíèì ïîäñòàíîâêó, ðåêîìåíäóåìóþ òåîðèåé. Ïðè sin x = u è cos x = v ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò âèä R(u, v) =
1 . u(v+3)
Ïîñêîëüêó R(−u, v) = −R(u, v) ìîæíî ñäåëàòü çàìåíó t = cos x. Òîãäà èìååì
Z
dx =− sin x (cos x + 3)
Z
− sin x dx =− 2 sin x (cos x + 3)
Z
dt (1 −
t2 ) (t
+ 3)
.
1 + t2 è (1−t21)(t+3) ïðåä2t (2 + t2 ) ñòàâëÿþò ñîáîé ñóììó äâóõ ïðîñòåéøèõ äðîáåé ïåðâîãî è òðåòüåãî Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî êàæäàÿ èç ôóíêöèé
âèäà. Ñëåäîâàòåëüíî óíèâåðñàëüíàÿ ïîäñòàíîâêà è ïîäñòàíîâêà t = cos x ïðåîáðàçóþò ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ ê ¾îäíîòèïíûì ¿ ðàöèîíàëüíûì ôóíêöèÿì.
b) Ïîëàãàÿ t = tg x2 , ïîëó÷àåì Z
dx = 2x sin x + 2 sin x cos x + 3 cos Z 2 dt ³¡ = = ¢ ¡ 1−t2 ¢2 ´ 2 2t 1−t2 2t 2) + · + 3 (1 + t 1+t2 1+t2 1+t2 1+t2 Z 2 2 (1 + t ) dt = . 3t4 − 4t3 − 2t2 + 4t + 3 2
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàê êàê ïðè sin x = u è cos x = v ïîäûíòåãðàëü1 íàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä R(u, v) = 2 , ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî u + 2uv + 3v 2 R(−u, −v) = R(u, v). Ñîãëàñíî òåîðèè, öåëåñîîáðàçíî ñäåëàòü çàìåíó
t = tg x, áëàãîäàðÿ êîòîðîé, ïîëó÷àåì Z
dx = 2 sin x + 2 sin x cos x + 3 cos2 x
Z t2
dt . + 2t + 3
Î÷åâèäíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå âòîðîé çàìåíû ïîëó÷åíà áîëåå ïðîñòàÿ ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ, ÷åì â ñëó÷àå óíèâåðñàëüíîé ïîäñòàíîâêè.
30
Îãëàâëåíèå
1.8 Èíòåãðèðîâàíèå äðîáíî-ëèíåéíûõ èððàöèîíàëüíîñòåé Äðîáíî-ëèíåéíîé èððàöèîíàëüíîñòüþ íàçûâàþò ôóíêöèþ âèäà
Ã
r
R x,
n
ax + b cx + d
! (1.46)
,
ãäå a, b, c, d íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå ÷èñëà,ïðè÷åì ad − bc 6= 0, à n ∈ N. Äîêàæåì, r÷òî èíòåãðàë îò ôóíêöèè (1.46) ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ ïîäñòàax + b íîâêîé t = n . Äåéñòâèòåëüíî òîãäà íàõîäèì cx + d
tn =
ax + b , cx + d
x=
dtn − b = R1 (t), a − ctn
dx =
n(ad − bc)tn dt = R2 (t)dt. (a − ctn )2
Ïîýòîìó
Ã
r
R x,
n
Z
ax + b cx + d
!
Z
Z
dx =
R (R1 (t), t) R2 (t)dt =
e dt. R(t)
Ïðèìåð 1.17 Ðàöèîíàëèçèðîâàòü èíòåãðàë Z
q 3
q 4
q
5x+1 x−3
+
5x+1 x−3
+
q 3
5x+1 x−3 5x+1 x−3
dx.
Ðåøåíèå. Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â ýòîì èíòåãðàëå èìååò âèä (1.46) ñ a = 5, b = 1, c = 1, d = −3 è n = 12 (n ðàâíî íàèìåíüøåìó îáùåìó q 12 5x+1 , íàêðàòíîìó ÷èñåë 2, 3, 4). Äåëàÿ ðåêîìåíäîâàííóþ çàìåíó t = x−3 õîäèì
x=
3t12 + 1 , t12 − 5
dx = −
192dt (5 − t12 )2
è ïîëó÷àåì
Z
q 3
q 4
q
5x+1 x−3
+
5x+1 x−3
+
q 3
5x+1 x−3 5x+1 x−3
Z dx = −192
t4 + t6 dt = −192 t3 + t4
Z
t (1 + t2 ) dt. 1+t
1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
31
1.9 Èíòåãðèðîâàíèå áèíîìèàëüíûõ äèôôåðåíöèàëîâ Áèíîìèàëüíûì äèôôåðåíöèàëîì íàçûâàþò âûðàæåíèå âèäà
xm (a + bxn )p dx, ãäå a è b ëþáûå ïîñòîÿííûå, à m, n, p íåêîòîðûå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà. Âîïðîñ î ðàöèîíàëèçàöèè èíòåãðàëîâ îò áèíîìèàëüíûõ äèôôåðåíöèàëîâ áûë ïîëíîñòüþ ðåøåí â ñåðåäèíå 19-ãî âåêà Ïàôíóòèåì Ëüâîâè÷åì ×åáûø¼âûì. Ìû ïðèâåäåì çäåñü äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íîñòè åãî òåîðåìû.
Òåîðåìà 1.6 (Ï.Ë.×åáûø¼â) Áèíîìèàëüíûé äèôôåðåíöèàë èíòåãðèðóåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ÷èñåë
m, n è p âûïîëíÿåòñÿ õîòÿ áû îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé: 1◦ . p ∈ Z,
2◦ .
m+1 ∈ Z, n
3◦ .
m+1 + p ∈ Z. n
Äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íîñòè.  ñëó÷àå 1◦ áèíîìèàëüíûé äèôôåðåíöèàë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äðîáíî-ëèíåéíóþ èððàöèîíàëüíîñòü âèäà √ R (x, r x) dx, ãäå r íàèìåíüøåå Z îáùåå êðàòíîå çíàìåíàòåëåé ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë m è n. Ïîýòîìó √ ñòàíîâêîé t = r x.
xm (a + bxn )p dx ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ ïî-
 ñëó÷àå 2◦ , äåëàÿ çàìåíó z = xn è ââîäÿ îáîçíà÷åíèå q = ïîëó÷àåì
Z
1 x (a + bx ) dx = n
− 1,
Z
n p
m
m+1 n
z q (a + bz)p dz.
(1.47)
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðåîáðàçîâàëè èñõîäíûé èíòåãðàë â èíòåãðàë îò ¡ √ ¢ äðîáíî-ëèíåéíîé èððàöèîíàëüíîñòè âèäà R z, s a + bz dz , ãäå s çíàìåíàòåëü ÷èñëà p. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èíòåãðàë îò áèíîìèàëüíîãî äèôôåðåíöèàëà ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ ïîñòàíîâêîé
t=
√ s
a + bz =
√ s
a + bxn .
32
Îãëàâëåíèå
Z xm (a + bxn )p dx ïîëîæèì q =
 ñëó÷àå 3 ïîñëå çàìåíû z = x â ◦
m+1 n
n
+ p − 1 è áóäåì èìåòü Z
µ
Z
1 x (a + bx ) dx = n n p
m
z
q
a + bz z
¶p dz.
Ñëåäîâàòåëüíî è â ýòîì ñëó÷àå èñõîäíûé èíòåãðàë ïðåîáðàçîâàí â èíòåãðàë îò äðîáíî-ëèíåéíîé èððàöèîíàëüíîñòè. Ïîýòîìó îí ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ ïîñòàíîâêîé
r
a + bz = z
s
t=
r s
a + b, xn
ãäå s çíàìåíàòåëü ÷èñëà p.
Ïðèìåð 1.18 Ðàöèîíàëèçèðîâàòü èíòåãðàë Z
³ 1 ´ 35 3 x 4x − 3 dx. 7 15
Ðåøåíèå. Â äàííîì ïðèìåðå m = p 6∈ Z,
m+1 n
=
22 5
6∈ Z, à
m+1 n
+p =
22 5
7 , 15
n = 13 , p = 35 . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
3 5
= 5 ∈ Z. Ñëåäîâàòåëüíî ìû èìå-
+
åì ñëó÷àé 3◦ . Ñîãëàñíî òåîðèè, íóæíî äåëàòü çàìåíó (s çíàìåíàòåëü ÷èñëà p)
r t=
s
a +b= xn
r 5
−3 1
x3
+ 4.
Îòñþäà íàõîäèì
µ x=
3 4 − t5
¶3 =
27 , (4 − t5 )3
dx =
405t4 dt. (4 − t5 )4
Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ x è dx â èñõîäíûé èíòåãðàë, ïîëó÷àåì
Z x
7 15
³
Z µ ´ 35 4x − 3 dx = 1 3
=3645
3 4 − t5 Z
¶ 75 µ
¶ 35 3 405t4 − 3 dt = 4 4 − t5 (4 − t5 )4
t7 dt. (4 − t5 )6
1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
33
1.10 Èíòåãðèðîâàíèå êâàäðàòè÷íûõ èððàöèîíàëüíîñòåé ïîñðåäñòâîì ïîäñòàíîâîê Ýéëåðà Êâàäðàòè÷íîé èððàöèîíàëüíîñòüþ íàçûâàþò ôóíêöèþ âèäà
³ √ ´ R x, ax2 + bx + c ,
(1.48)
ãäå a, b è c íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå. Êîíå÷íî, ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí ax2 + bx + c íå èìååò ðàâíûõ êîðíåé. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ, â êîòîðûõ èíòåãðàë îò êâàäðàòè÷íîé èððàöèîíàëüíîñòè
Z
³ √ ´ 2 R x, ax + bx + c dx
(1.49)
ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ.
1∗ . Ïóñòü a > 0. Â èíòåãðàëå (1.49) ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé, ïîëàãàÿ √
√ ax2 + bx + c = t ± x a.
Òåïåðü âîçâûñèâ îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà â êâàäðàò, ïîëó÷àåì
√ bx + c = t2 ± 2 atx. Îòñþäà íàõîäèì
x=
√ √ t2 − c √ = R1 (t), ax2 + bx + c = t ± aR1 (t) = R2 (t), b ∓ 2 at dx = R10 (t)dt = R3 (t)dt.
Ïîýòîìó Z
Z ³ √ ´ 2 R x, ax + bx + c dx = R (R1 (t), R2 (t)) R3 (t)dt.
2∗ . Ïóñòü c > 0.  ýòîì ñëó÷àå ïîëîæèì √
ax2 + bx + c = xt ±
√
c.
Ïîñëå âîçâûøåíèÿ ýòîãî ðàâåíñòâà â êâàäðàò, ïîëó÷èì
√ ax2 + bx = x2 t2 ± 2 cxt.
(1.50)
34
Îãëàâëåíèå
Òåïåðü ðàçäåëèì îáå ÷àñòè ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà íà x, êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, íàõîäèì √ b ∓ 2 ct x= 2 = R1 (t), t −a
√
ax2 + bx + c = tR1 (t) ±
√
c = R2 (t),
dx = R10 (t)dt = R3 (t)dt. Ñëåäîâàòåëüíî ìû ñíîâà ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó (1.50).
3∗ . Ïóñòü êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí ax2 + bx + c èìååò âåùåñòâåííûå êîðíè x1 è x2 . Ïî ïðåäïîëîæåíèþ x1 6= x2 . Òîãäà èìååì √ Ïîëîæèì
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ).
√
(1.51)
ax2 + bx + c = t(x − x1 ).
Êàê è â ïðåäûäóùèõ ñëó÷àÿõ, âîçâûøàÿ îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà â êâàäðàò è ó÷èòûâàÿ (1.51), íàõîäèì
x=
√ t2 x1 − ax2 = R (t), ax2 + bx + c = t (R1 (t) − x1 ) = R2 (t), 1 t2 − a dx = R10 (t)dt = R3 (t)dt.
È îïÿòü ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî (1.50). Äîêàæåì, ÷òî èíòåãðàë (1.49) âñåãäà ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ (ñëåäîâàòåëüíî âñåãäà áåðåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ), ïî êðàéíåé ìåðå, îäíîé èç ïîäñòàíîâîê Ýéëåðà. Äåéñòâèòåëüíî, âîçìîæíû âñåãî äâà âàðèàíòà:
(i). Êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí ax2 + bx + c íå èìååò âåùåñòâåííûõ êîðíåé; (ii). Êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí ax2 + bx + c èìååò âåùåñòâåííûå êîðíè. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî åñëè êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí ax2 +bx+ c íå èìååò âåùåñòâåííûõ êîðíåé, òî åãî çíàê ñîâïàäàåò ñî çíàêîì a. Íî ïî ñìûñëó ýòîò êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí ïîëîæèòåëåí (èç íåãî èçâëåêàåòñÿ êâàäðàòíûé êîðåíü). Ïîýòîìó a > 0. Ñëåäîâàòåëüíî â ñëó÷àå (i) èíòåãðàë (1.49) ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ ïåðâîé ïîäñòàíîâêîé Ýéëåðà. À ñëó÷àé (ii) î÷åâèäåí (ðàáîòàåò òðåòüÿ ïîäñòàíîâêîé Ýéëåðà).
1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
35
Z
Ïðèìåð 1.19 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
x
√
x2
dx . +x+1
Ðåøåíèå. Êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí x2 + x + 1 âåùåñòâåííûõ êîðíåé íå èìååò, íî îáà è êîýôôèöèåíò ïðè x2 , è ñâîáîäíûé ÷ëåí ïîëîæèòåëüíû. Ïîýòîìó ãîäÿòñÿ äâå ïåðâûõ ïîäñòàíîâîê Ýéëåðà. Ïðèìåíèì, íàïðèìåð, ïåðâóþ ïîäñòàíîâêó, òî÷íåå ïîëîæèì
√
x2 + x + 1 = t − x.
Ñîãëàñíî èçëîæåííîé òåîðèè, èìååì
t2 − 1 x= , 2t + 1
√
x2
t2 + t + 1 +x+1= , 2t + 1
2 (t2 + t + 1) dx = dt. (2t + 1)2
Òîãäà ïîëó÷àåì Z Z dx 2t + 1 2t + 1 2 (t2 + t + 1) √ = · · dt = t2 − 1 t2 + t + 1 x x2 + x + 1 (2t + 1)2 ¯ ¯ √ ¯ ¯ Z ¯ ¯ 2 ¯ ¯ dt t − 1¯ ¯x + x + x + 1 − 1¯ ¯ √ =2 = ln ¯ + C = ln ¯ ¯ + C. ¯ x + x2 + x + 1 + 1 ¯ t2 − 1 t + 1¯
1.11 Êîíòðîëüíûå âîïðîñû, çàäà÷è, óïðàæíåíèÿ 1. Ñóùåñòâóåò ëè ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ, íå èíòåãðèðóåìàÿ â êëàññå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé? 2. Âåðíî ëè, ÷òî âñå ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè èíòåãðèðóåìû â êëàññå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé? 3. Âåðíî ëè, ÷òî âñå ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè èíòåãðèðóåìû â êëàññå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé? 4. Âåðíî ëè, ÷òî ñóùåñòâóþò ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè, íå èíòåãðèðóåìûå â êëàññå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé? 5. Âåðíî ëè, ÷òî âñÿêàÿ ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà â êëàññå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé?
36
Îãëàâëåíèå 6. Âåðíî ëè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå? Ôóíêöèÿ F : (a; b) → R íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè
f : (a; b) → R íà èíòåðâàëå (a; b), åñëè F çàäàíà ôîðìóëîé F (x) = C f (x), ãäå C - ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà. 7. Âåðíî ëè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå? Ôóíêöèÿ F : (a; b) → R íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè
f : (a; b) → R íà èíòåðâàëå (a; b), åñëè â ëþáîé òî÷êå x ∈ (a; b) 0
ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà è å¼ ïðîèçâîäíàÿ F íåïðåðûâíà â èíòåðâàëå (a; b). 8. Âåðíî ëè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå? Ôóíêöèÿ F : (a; b) → R íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè
f : (a; b) → R íà èíòåðâàëå (a; b), åñëè â ëþáîé òî÷êå x ∈ (a; b) 0
ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà è èìååò ïðîèçâîäíóþ F (x) ðàâíóþ
f (x). 9. Âåðíî ëè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå? Ôóíêöèÿ F : (a; b) → R íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè
f : (a; b) → R íà èíòåðâàëå (a; b), åñëè íàéä¼òñÿ òî÷êà x ∈ (a; b) â 0
êîòîðîé ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà è èìååò ïðîèçâîäíóþ F (x) ðàâíóþ f (x). 10. Âåðíî ëè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå? Ôóíêöèÿ F : (a; b) → R íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè
f : (a; b) → R íà èíòåðâàëå (a; b), åñëè â ëþáîé òî÷êå x ∈ (a; b) 0
ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà è èìååò ïðîèçâîäíóþ F (x) ðàâíóþ
f (x) + C, ãäå C 6= 0. 11. Âåðíî ëè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå? Íåîïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a; b) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé F, äëÿ êîòîðûõ 0
ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî F (x) = f (x) + C, äëÿ ëþáîãî x ∈ (a; b), ãäå
C - ïîñòîÿííîå ÷èñëî, çàâèñÿùåå îò F (x).
1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
37
12. Âåðíî ëè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå? Íåîïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a; b) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé F, äèôôåðåíöèðóåìûõ â èíòåðâàëå 0
(a; b) è èìåþùèõ ïðîèçâîäíóþ F (x), ðàâíóþ f (x). 13. Âåðíî ëè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå? Íåîïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a; b) íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ ôóíêöèÿ g(x) = f (x) + C. 14. Âåðíî ëè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå? Íåîïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a; b) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé g(x) = f (x) + C. 15. Âåðíî ëè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå? Íåîïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a; b) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ â èíòåðâàëå (a; b) ôóíêöèé
F (x) = f (x) + C. Z 16. Âåðíî ëè, ÷òî d
f (x)dx = f (x)?
17. Ïóñòü ôóíêöèÿ f èìååò ¶ ïåðâîîáðàçíóþ F íà èíòåðâàëå (a; b). Âåðíî µZ f (x)dx = ëè, ÷òî d 0
a) F (x)? b) F (x)? c) F (x)dx? d) d F (x)? e) F (x) + C?
18. Ïóñòü ôóíêöèè F è Φ ïåðâîîáðàçíûå ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a; b). Ñïðàâåäëèâî ëè ðàâåíñòâî
a) F (x) = Φ(x)?
b) F (x) + Φ(x) = C?
19. Ïóñòü ôóíêöèè f è g èìåþò ïåðâîîáðàçíûå F è G íà èíòåðâàëå
(a; b). Âåðíî ëè, ÷òî ôóíêöèÿ f + g òàêæå èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà èíòåðâàëå (a; b) è
38
Îãëàâëåíèå
Z (f (x) + g(x))dx = 0
a) F (x) + G(x)?
0
b) F (x) + G (x)? c) (f (x) + g(x))dx? Z 0 0 d) dF (x) + G(x)? e) (F (x) + G (x))dx? 20. Ïóñòü ôóíêöèè f è g èìåþò ïåðâîîáðàçíûå F è G íà èíòåðâàëå
(a; b). Âåðíî ëè, ÷òî Z ôóíêöèÿ f · g òàêæå èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà èíòåðâàëå (a; b) è f (x)g(x)dx = Z f (x)g(x)dx =
a) F (x)G(x) + C? µZ ¶ Z b) C F (x)G(x)? c) F (x)dx G(x) + F (x) G(x)dx? µZ ¶ Z d) f (x)dx G(x) + F (x) g(x)dx? 21. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ ϕ èìååò ðàöèîíàëüíóþ ïåðâîîáðàçíóþ, à ôóíêöèÿ ψ ðàöèîíàëüíóþ ïðîèçâîäíóþ, òî ôóíêöèÿ f (x) =
ϕ(x)ψ(x) èíòåãðèðóåìà â êëàññå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. 22. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ ϕ èìååò ðàöèîíàëüíóþ ïåðâîîáðàçíóþ, òî ôóíêöèÿ f (x) = ϕ(x) arcsin x èíòåãðèðóåìà â êëàññå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. 23. Äîêàçàòü, ÷òî îäíà èç ïåðâîîáðàçíûõ ÷¼òíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ íå÷¼òíîé ôóíêöèåé. 24. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ íå÷¼òíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ÷¼òíîé ôóíêöèåé. 25. Ïðè êàêèõ a, b, c, d
Z
ax + b dx = cx + d
a) R1 (x) + A ln R2 (x) + B,
b) A ln R(x) + B,
c) R(x) + C,
ãäå R1 , R2 è R ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè, A, B, C ∈ R?
Z
P (x) dx, Q(x) ãäå P è Q ìíîãî÷ëåíû è ìíîãî÷ëåí Q èìååò òîëüêî äåéñòâèòåëü-
26. ×åðåç êàêèå ôóíêöèè ìîæåò áûòü âûðàæåí èíòåãðàë íûå êîðíè?
1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
39
Z
P (x) dx, Q(x) ãäå P è Q ìíîãî÷ëåíû è ìíîãî÷ëåí Q èìååò òîëüêî êîìïëåêñíûå
27. ×åðåç êàêèå ôóíêöèè ìîæåò áûòü âûðàæåí èíòåãðàë êîðíè? 28. Äîêàçàòü, ÷òî
Z
√ √ P ( n x)dx = Q( n x),
ãäå P è Q ìíîãî÷ëåíû. Z dx 29. Ìîæåò ëè èíòåãðàë ïðè a 6= 0 áûòü ðàöèîíàëüíîé 2 ax + bx + c ôóíêöèåé? Z dx 30. Ìîæåò ëè èíòåãðàë ïðè a 6= 0 èìåòü âèä: ax2 + bx + c
a) α ln |R(x)|,
b) α arctg R(x),
c)α ln |R(x)| + R1 (x),
ãäå α 6= 0, à R(x) è R1 (x) ðàöèîíàëüíûå (îòëè÷íûå îò êîíñòàíòû) ôóíêöèè? 31. Z Êàêèì äîëæíî áûòü ÷èñëî b2 − 4ac (a 6= 0) ÷òîáû èíòåãðàë dx èìåë âèä: α ln |R(x)|, ãäå R(x) ðàöèîíàëüíàÿ 2 ax + bx + c ôóíêöèÿ? Z Ax + B dx ïðè A 6= 0 è a 6= 0 èìåòü âèä: 32. Ìîæåò ëè èíòåãðàë ax2 + bx + c
a)
ln(ax2 + bx + c) + C? b) α ln(ax2 + bx + c) + R(x),
c) α ln |R(x)|,
d) α ln(ax2 + bx + c) + β arcsin R(x),
ãäå R(x) ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ (îòëè÷íàÿ îò êîíñòàíòû) è α 6=
0, β 6= 0? Z 33. Ïðè êàêîì óñëîâèè èíòåãðàë îíàëüíóþ ôóíêöèþ?
Z 34. Ïðè êàêîì óñëîâèè èíòåãðàë öèîíàëüíóþ ôóíêöèþ?
ax2 + bx + c dx ïðåäñòàâëÿåò ðàöèx3 (x − 1)2 αx2 + 2βx + γ dx ïðåäñòàâëÿåò ðà(ax2 + 2bx + c)2
40
Îãëàâëåíèå
Z
α sin x + β cos x dx = Ax + B ln |a sin x + b cos x| + C, a sin x + b cos x b ãäå A, B, C ïîñòîÿííûå, x 6= kπ − arctg . a
35. Äîêàçàòü, ÷òî
36. Äîêàçàòü, ÷òî Z α sin x + β cos x + γ dx = a sin x + b cos x + c
Z
=Ax + B ln |a sin x + b cos x + c| + C
dx , a sin x + b cos x + c
ãäå A, B, C íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû. 37. Äîêàçàòü, ÷òî
Z
αsin2 x + 2β sin x cos x + γcos2 x dx = a sin x + b cos x Z dx =A sin x + B cos x + C , a sin x + b cos x ãäå A, B, C íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû, x 6= kπ − b arctg . a Z 38. Íàéòè èíòåãðàë f (x)dx, ãäå
1 − x2 , åñëè |x| ≤ 1, a) f (x) = 1 − |x|, åñëè |x| > 1; 1, åñëè − ∞ < x < 0, b) f (x) = x + 1, åñëè 0 ≤ x ≤ 1, 2x, åñëè 1 < x < +∞. Z 39. Íàéòè èíòåãðàë a)
Z 00
xf (x)dx; b)
40. Íàéòè f (x), åñëè f 0 (x2 ) =
f 0 (2x)dx.
1 (x > 0). x
41. Íàéòè f (x), åñëè f (0) = 0, à 1, ïðè 0 < x ≤ 1, f 0 (ln x) = x, ïðè 1 < x < +∞.
1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
41
42. Äîêàæèòå óòâåðæäåíèå. Åñëè ïåðâîîáðàçíàÿ ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèè f íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèåé, à ϕ - ýëåìåíòàðíàÿ äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíê0
öèÿ, òî ôóíêöèÿ f (ϕ(x))ϕ (x) ýëåìåíòàðíàÿ, íî íå èíòåãðèðóåìàÿ â êëàññå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé.
Z 43. Ïðè êàêèõ ðàöèîíàëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà q èíòåãðàë ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèåé?
√
1 + xq dx
42
Îãëàâëåíèå
Ëèòåðàòóðà [1] Á.Ì.Áóäàê, Ñ.Â.Ôîìèí, Êðàòíûå èíòåãðàëû è ðÿäû, Ì.:Íàóêà, 1967. [2] Ë.È. Âîëêîâûñêèé, Ã.Ë. Ëóíö, È.Ã. Àðàìàíîâè÷, Ñáîðíèê çàäà÷ ïî
òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, Ì.:Íàóêà, 1970. [3] Â.Ãðýíâèëü è Í.Ëóçèí, Êóðñ äèôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ-
÷èñëåíèÿ. ×àñòü II. Èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå, Ì.-Ë.: ÎÍÒÈ, 1934. [4] Á.Ï. Äåìèäîâè÷, Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêî-
ìó àíàëèçó (äëÿ óíèâåðñèòåòîâ è ïåäàãîãè÷åñêèõ èíñòèòóòîâ), Ì.:Íàóêà, 1961. [5] Â.À. Çîðè÷, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×àñòè I,II, Ì.:Íàóêà, 1981, 1984. [6] Â.À. Èëüèí, Ý.Ã. Ïîçíÿê, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×àñòè
I,II, Ì.:Íàóêà, 1971, 1973. [7] Â.À. Èëüèí, Â.À. Ñàäîâíè÷èé, Áë.Õ. Ñåíäîâ, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíà-
ëèç, Ì.:Íàóêà, 1979. [8] À.Í. Êîëìîãîðîâ, Ñ.Â.Ôîìèí, Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíê-
öèîíàëüíîãî àíàëèçà, Ì.:Íàóêà, 1968. [9] Ì.Ë. Êðàñíîâ, À.È. Êèñåë¼â, Ã.È. Ìàêàðåíêî, Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ.
Ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. ... Ì.:Íàóêà, 1971. [10] Í.Í.Ëóçèí, Èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå, Ë.: Ñîâåòñêàÿ Íàóêà, 1949. 43
44
Ëèòåðàòóðà
[11] È.È. Ëÿøêî, À.Ê. Áîÿð÷óê, ß.Ã. Ãàé, À.Ô. Êàëàéäà, Ìàòåìàòè÷å-
ñêèé àíàëèç. ×àñòè I,II, Êèåâ:Âèùà øêîëà, 1983, 1985. [12] È.È.Ëÿøêî, À.Ê.Áîÿð÷óê, ß.Ã.Ãàé, Ã.Ï.Ãîëîâà÷, Ñïðàâî÷íîå ïîñîáèå
ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó, Êèåâ:Âèùà øêîëà, 1984, 1986. [13] È.À.Ìàðîí, Äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå â ïðè-
ìåðàõ è çàäà÷àõ, Ì.: Íàóêà, 1973. [14] Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ (â ïÿòè òîìàõ), Ì.: Ñîâåòñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ, 1977-1985. [15] È.Ï. Íàòàíñîí,
Òåîðèÿ
ôóíêöèé
âåùåñòâåííîé
ïåðåìåííîé.
Ì.:Íàóêà, 1974. [16] È.Í.Ïåñèí, Ðàçâèòèå ïîíÿòèÿ èíòåãðàëà, Ì.: Íàóêà, 1966. [17] Ä.À. Ðàéêîâ, Îäíîìåðíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ì.:Âûñøàÿ øêîëà, 1982. [18] ß.È.Ðèâêèíä, Äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå â çà-
äà÷àõ, Ìèíñê: Âûøýéøàÿ øêîëà, 1971. [19] Ó. Ðóäèí, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, Ì.:Ìèð, 1966. [20] À.Ã.Ñâåøíèêîâ, À.Í.Òèõîíîâ, Òåîðèÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîé ïåðå-
ìåííîé, Ì.:Íàóêà, 1974. [21] Â.È.Ñîáîëåâ, Ëåêöèè ïî äîïîëíèòåëüíûì ãëàâàì ìàòåìàòè÷åñêî-
ãî àíàëèçà, Ì.:Íàóêà, 1968. [22] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñ-
ëåíèÿ. Òîìà I,II,III, Ì.:Íàóêà, 1969, 1962, 1969. [23] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Òîìà I,II, Ì.:Íàóêà, 1968.
Ëèòåðàòóðà
45
[24] Ì.Ã.Õàïëàíîâ, Òåîðèÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1965. [25] Ã.Å. Øèëîâ, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ôóíêöèè îäíîãî ïåðåìåííî-
ãî. ×àñòè 1-2, Ì.:Íàóêà, 1969.
Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü äðîáü ðàöèîíàëüíàÿ, 17 íåïðàâèëüíàÿ, 17 ïðàâèëüíàÿ, 17 ïðîñòåéøàÿ, 21 ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, 13 ôóíêöèÿ ïîäûíòåãðàëüíàÿ, 5 èíòåãðàë íåîïðåäåëåííûé, 5 ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, 13 ïîäñòàíîâêè, 11, 12 ðàçëîæåíèÿ, 10 çàìåíû ïåðåìåííîé, 11, 12 îáîçíà÷åíèÿ Z f (x) dx, 5 Z ,5 ïåðâîîáðàçíàÿ, 3 ïîäñòàíîâêà óíèâåðñàëüíàÿ, 27 âûðàæåíèå ïîäûíòåãðàëüíîå, 5 çíàê íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, 5
46