Математический анализ: Методические рекомендации для студентов I курса математического факультета (2 семестр)

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра математического анализа

Математический анализ Методические рекомендации

для студентов I курса математического факультета II семестр

Екатеринбург 2007

2

Целью написания методических рекомендаций сориентировать студентов первого курса впервые изучающим математический анализ в педагогическом вузе. Курс математического анализа изучается 5 семестров. Здесь представлена первая часть курса. В конце первого семестра студенты сдают экзамен. В течение семестра вам предстоит выполнить контрольную работу и сдать коллоквиум. Это так называемые контрольные мероприятия, без выполнения которых студент не допускается до экзамена. В методические рекомендации включены: программа курса, тематические планы лекций и практических занятий, материалы для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ, а также вопросы и задачи к экзамену. Составители: Н.Г. Фомина.

Содержание 1. Программа курса …………………………………………………………… 3 2. Лекции ……………………………………………………………………… 4 3. Практические занятия ……………………………………………………… 5 4. Материалы для практических занятий и домашних заданий …………… 6 5. Материалы для контрольной работы ……………………………………... 8 6. Вопросы к экзамену ………………………………………………………... 9 7. Задачи к экзамену ………………………………………………………..... 11 Литература ……………………………………………………………………. 12 Приложение. Методические советы студентам ……………………………. 13

3

1. Программа курса Производная функции и ее приложения. Производная и ее приложения. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Таблица производных. Геометрический, физический смысл производной. Односторонние и бесконечные производные. Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Правила дифференцирования. Арифметика производных. Дифференцирование обратной функции. Дифференцирование сложной функции. Дифференциал функции. Его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала первого порядка. Дифференцирование параметрически заданных функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Локальный экстремум и теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Исследование функций с помощью производной. Исследование функций с помощью производной. Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия монотонности. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба. Необходимое условие выпуклости (вогнутости). Достаточное условие выпуклости. Асимптоты графика функции и методы их нахождения. Схема исследования функции и построение графика функции. Понятие математической модели.

4

2 Лекции 1. Производная и ее приложения. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Таблица производных 2. Геометрический, физический смысл производной. Односторонние и бесконечные производные. 3. Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости 4. Правила дифференцирования. Арифметика производных. Дифференцирование обратной функции. Дифференцирование сложной функции 5. Дифференциал функции. Его геометрический смысл. Инвариантность формы I дифференциала. 6. Дифференцирование параметрически заданных функций. 7. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. 8. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Локальный экстремум и теорема Ферма. 9. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. 10. Теорема Коши. Правило Лопиталя. 11. Формула Тейлора. 12. Исследование функций с помощью производной. Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия монотонности 13. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. 14. Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба. Необходимое условие выпуклости (вогнутости). Достаточное условие. 15. Асимптоты графика функции и методы их нахождения. 16. Схема исследования функции и построение графика функции. 17. Понятие математической модели.

5

3. Практические занятия 1. Вычисление производной по определению. 2. Вычисление производной по определению. 3. Решение задач с использованием геометрического смысла производной. 4. Исследование функций на дифференцируемость. 5. Исследование функций на дифференцируемость. 6. Техника дифференцирования. 7. Техника дифференцирования. 8. Дифференцирование параметрически заданных функций . 9. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. 10. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. 11. Решение задач на использование основных теорем дифференциального исчисления. 12. Формула Тейлора. 13. Правило Лопиталя. 14. Построение графиков функции. 15. Построение графиков функции. 16. Задачи на экстремум. 17. Задачи на экстремум.

6

4. Материалы для практических занятий и домашних заданий Занятие 1. Вычисление производной по определению. [2]: № 440, 442, 444, 446, 448, 450. Д/З: № 441,443, 445, 447, 449. Занятие 2. Вычисление производной по определению. [1]: № 828, 830, 827, 824. Д/З: № 823, 826, 829, 832. Занятие 3. Решение задач с использованием геометрического смысла производной. [2]: № 454-464 четные. Д/З: № 455-465 нечетные. Занятие 4. Исследование функций на дифференцируемость. [1]: № 992,995, 999, 1011, 1016,1023. Д/З: № 994, 998, 1000, 1010, 1014, 1015. Занятие 5. Исследование функций на дифференцируемость. [1]: № 1028, 1018, 1019, 1020. Д/З: № 1027, 1022, 1026, 1032. Занятие 6. Техника дифференцирования. [1]: № 857- 877 нечетные Д/З:[2] № 667-767. Занятие 7. Техника дифференцирования. [1]: № 857- 877 четные Д/З:[2] № 667-767. Занятие 8. Дифференцирование параметрически заданных функций . [1]: № 1039-1046 нечетные Д/З: № 1039-1046 четные Занятие 9. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. [1]: № 1111-1120, 1163-1170. Д/З: № 1156-1162, 1171-1174. Занятие 10. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. [2]: № 1116-1130 четные. Д/З: № 1116-1130 нечетные. Занятие 11. Решение задач на использование основных теорем дифференциального исчисления. [2]: № 1136,1132, 1134, 1137, 1139. Д/З: № 1135, 1133, 1136, 1138, 1140. Занятие 12. Формула Тейлора. [1]: № 1394, 1396. Д/З: № 1395, 1397.

7

Занятие 13. Правило Лопиталя. [2]: № 1324-1363 нечетные Д/З: № 1324-1363 четные Занятие 14. Построение графиков функции. [2]: № 1398-1460. Д/З: № 1398-1460. Занятие 15. Построение графиков функции. [1]: № 1398-1460. Д/З: № 1398-1460. Занятие 16. Задачи на экстремум. [1]: № 1241-1250 нечетные Д/З: № 1241-1250 четные Занятие 17. Задачи на экстремум. [1]: № 1251-1259 нечетные Д/З: № 1251-1259 четные [1] Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу [2] Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа

8

5. Материалы для контрольной работы 1. Доказать, что функция f ( x)  x 2  x  1 дифференцируема в любой точке числовой прямой. 2. Доказать справедливость неравенства ex  1 x

3. Найти предел 1

lim (ctgx  x ) x 0

4. Исследовать функцию, построить ее график f ( x) 

x x 1 2

9

6. Вопросы к экзамену 1. Определение производной. Производная функции y  x n . 2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. 3. Определение производной. Производная функции y  sin x. 0 ). 0  5. Правило Лопиталя (случай ). 

4. Правило Лопиталя (случай

6. Определение производной. Производная функции y  cos x. 7. Критерий возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале. 8. Определение производной. Производная функции y  a x . 9. Первое достаточное условие экстремума. 10. Определение производной. Производная функции y  e x . 11. Второе достаточное условие экстремума. 12. Определение производной. Производная функции y  ln x. 13. Третье достаточное условие экстремума. 14. Геометрический смысл производной. Примеры. 15. Выпуклость функции. Достаточные условия выпуклости. 16. Односторонние производные. Примеры. 17. Точки перегиба функции. Необходимое условие наличия точки перегиба функции. 18. Бесконечные производные, интерпретация. Примеры. 19. Достаточное условие точки перегиба функции. 20. Дифференцируемая функция. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. 21. Асимптоты графика функции. 22. Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости. 23. Построение графиков функции на примере функции y 

x3 . ( x  1) 2

24. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. 25. Критерий возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале. 26. Дифференцирование произведения, суммы и частного двух функций. 27. Дифференцирование обратной функции. Производная функции y  arcsin x.

28. Дифференцирование

обратной

функции.

Производная

функции

29. Дифференцирование

обратной

функции.

Производная

функции

y  arccos x. y  arctgx.

30. Выпуклость функции. Достаточные условия выпуклости. 31. Дифференцирование обратной функции. Производная функции.

10

32. Точки перегиба функции. Необходимое условие наличия точки перегиба функции. 33. Теорема о производной сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. 34. Достаточное условие точки перегиба функции. 35. Производные и дифференциалы высших порядков. 36. Асимптоты графика функции. 37. Локальный экстремум. Теорема Ферма. 38. Теорема Ролля. 39. Критерий возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале. 40. Теорема Лагранжа. 41. Первое достаточное условие экстремума. 42. Следствия из теоремы Лагранжа. 43. Второе достаточное условие экстремума. 44. Теорема Коши. 45. Третье достаточное условие экстремума. 45. Символ о, его свойства. 46. Наибольшее и наименьшее значения функции.

11

7 Задачи к экзамену  Исходя из определения дифференцируемой функции, показать, что функция y  2 x 3  5x  7 дифференцируема в произвольной точке своей области определения. Записать производную и дифференциал данной функции.  Пользуясь определением производной, найти производную функции y  ln 2 (3x  1).

 x



Показать, что функция y | cos x | не дифференцируема в точке  2

. Сделать чертеж.

Найти производные функций y  ln 3

cos x , x

y  (tgx) x 2 .

 Написать уравнение касательной к кривой y  e к которой перпендикулярна к прямой 3 y  2 x  1. 

Найти пределы

lim x 1



sin 2 (x) ; x 3  3x  2

3  x 2

в точке, касательная

x

lim (2  x) x1 . x  1

Исследовать на монотонность и экстремум функцию y 

( x  1) 3 . x2

 Используя многочлены Тейлора первого и второго порядков, вычислить приближенные значения Sin47. Оценить погрешности приближений. x2  Исследовать функцию y = и построить ее график. 2x  3  Какова должна быть высота конуса, вписанного в шар радиуса R, для того, чтобы его боковая поверхность была наибольшей?

12

Литература 1. Г.Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа.  М.: Наука, 2003. 2. В.А. Густомесов. Введение в математический анализ: Контрольная работа для заочного отделения. Индивидуальные задания для очного отделения математического факультета.  Екатеринбург: УрГПУ, 1995. 3. А.Р. Данилин, Т.Ф.Филиппова Введение в математику: учебное пособие.  Екатеринбург: УрГПУ, 1995. 4. Л.Д. Кудрявцев. Краткий курс математического анализа.  М.: Наука,1989. 5. А.Р. Данилин, В.А. Густомесов. Теория предела. Метод. разработка.  Свердловск: СвГПИ, 1985. 6. И.М. Уваренков, М.З Маллер. Курс математического анализа. Т.1.  М.: Просвещение, 1966. 7. М.В. Шабунин, В.А. Тер-Крикоров. Математический анализ.  М.: Наука, 2005.

13 Приложение. Методические советы студентам Лекция. Как ее слушать и записывать 1. Лекция  основной вид обучения в вузе. 2. В лекции излагаются основные положения теории, ее понятия и законы, приводятся факты, показывающие связь теории с практикой. 3. Накануне лекции необходимо повторить содержание предыдущей лекции (а также теорию по изучаемой теме в школьных учебниках геометрии, если эта тема была представлена в них), а затем посмотреть тему очередной лекции по программе (по плану лекций). 4. Полезно вести записи (конспекты) лекций: для непонятных вопросов оставлять место при работе над темой лекции с учебными пособиями. 5. Записи лекций следует вести в отдельной тетради, оставляя место для дополнений во время самостоятельной работы. 6. При конспектировании лекций выделяйте главы и разделы, параграфы, подчеркивайте основное. Практическое занятие. Как к нему готовиться 1. Практическое занятие  наиболее активный вид учебных занятий в вузе. Он предполагает самостоятельную работу над лекциями и учебными пособиями. 2. К каждому практическому занятию нужно готовиться. Подготовку следует начинать с повторения теории (по записям лекций или по учебному пособию). После этого нужно решать задачи из предложенного домашнего задания. Организация самостоятельной работы 1. Бюджет времени студента определяется временем, отведенным на занятия по расписанию и на самостоятельную работу. Задание и материал для самостоятельной работы дается во время учебных занятий, на этих же занятиях преподаватель осуществляет контроль за самостоятельной работой. 2. Для выполнения объема самостоятельной работы необходимо заниматься в среднем 4 часа (академических) ежедневно, т.е. по 24 часа в неделю. На самостоятельную работу по каждой дисциплине по математике следует расходовать по 3-4 часа в неделю. 3. Начинать самостоятельные занятия следует с первых же дней семестра, установив определенный порядок, равномерный ритм на весь семестр. Полезно для этого составить расписание порядка дня. Как пользоваться материалами для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ а) б)

Материалы каждого занятия содержат: вопросы по теории (для самоконтроля); задачи для аудиторного и самостоятельного решения. Задачи могут быть условно разбиты на три уровня:

А  минимальный, В  нормальный, С  более высокий. Любую из задач уровня А должен уметь решать каждый студент, претендующий на удовлетворительную оценку. Задачи уровня В и С должны уметь решать студенты, претендующие на оценки «хорошо» и «отлично», соответственно.

14

Учебно-методическое издание: Математический анализ. Методические рекомендации для студентов I курса математического факультета. Составители: Н.Г. Фомина