3
М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те т
М ет од и чес к ое п ос оби е п от еори и вероят нос т ей (к п рак т и к у му на ЭВМ ) Сп еци альнос т ь010200 О ПД .Ф .03
В ОРОНЕЖ 2003
4
Утве р ж де но на уч но -м е то ди ч е ски м со ве то м фа культе та пр и кла дно й м а те м а ти ки , и нфо р м а ти ки и м е ха ни ки : пр о то ко л № 2 о т22 о ктяб р я 2002 г.
Со ста ви те ль: Но ви ко ва Н. М .
Программа п од гот овлена на к аф ед ре т ехни чес к ой к и бернет и к и и авт омат и чес к ого регу ли ровани я ф ак у льт ет а п ри к лад ной мат емат и к и , и нф ормат и к и и механи к и Воронеж с к огогос у д арс т венногоу ни верс и т ет а. Рек оменд у ет с я д ля с т у д ент ов 3 к у рс а д невногоот д елени я.
5
§ 1. Ф ункци и и и нс трум е нты MATHCAD П р е ж де ч е м пр и ступа тьк р е ше ни ю за да ч те о р и и ве р о ятно сте й в Mathcad, по зна ко м и м ся с и нстр ум е нта м и , ко то р ые пр е до ста вляе тпа ке тдля и хр е ше ни я. На по м ни м , ч то ди скр е тна я случ а йна я ве ли ч и на ξ, пр и ни м а юща я зна ч е ни я x1 < x2 < … < xi < … с ве р о ятно стям и p1, p2, … , pi, … , м о ж е т б ытьза да на рас п ред елени ем – та б ли це й ви да
ξ x1 x2 … xi … xn p p1 p 2 … p i … pn Т а ки е
та б ли цы в ср е де
Mathcad удо б но
хр а ни ть в ви де
м а тр и цы
р а зм е р но сти 2× n. Ф ункци я р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны, и м е юще й пр и ве дённо е выше р а спр е де ле ни е , и м е е тви д:
0 p 1 p 1 + p 2 F ( x) = .......... .......... ........ p 1 + p 2 + ... + p n −1 1 Ни ж е
пр и ве дён
фр а гм е нт р а б о ч е го
, x < x1 , x1 ≤ x < x 2 , x2 ≤ x < x3 , x n −1 ≤ x < x n , xn ≤ x до кум е нта
с
о пр е де ле ни е м
р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны, е ё функци и р а спр е де ле ни я и гр а фи ко м функци и р а спр е де ле ни я для случ а йно й ве ли ч и ны, и м е юще й сле дующе е р а спр е де ле ни е : ξ
1
0
7
4
-2
P
0.1
0.5
0.1
0.1
0.2
Ра спр е де ле ни е случ а йно й ве ли ч и ны
6 1 4 7 − 2 0 0.2 0.5 0.1 0.1 0.1
A :=
Ф ункци я р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны
0 A 2 ,1 ( A + A 2,2 ) F ( x ) := 2 ,1 ( A 2 ,1 + A 2 , 2 + A 2 , 3 ) ( A + A 2 , 2 + A 2 ,3 + A 2 , 4 ) 2 ,1 1
, −∞ < x < A 1,1 , A 1,1 ≤ x < A 1 , 2 , A 1, 2 ≤ , A 1, 4 ≤ , A 1, 4 ≤ , A 1, 5 ≤
x < A 1, 3 x < A1, 5 x < A 1, 5 x < ∞
Ф ункци я р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны, о пр е де лённа я др уги м спо со б о м :
, −∞ < x < − 2 0 0 .2 ,− 2 ≤ x < 0 ,0 ≤ x < 1 0 . 2 + 0 . 5 G ( x ) := ,1 ≤ x < 4 0 .2 + 0 .5 + 0 .1 0 .2 + 0 .5 + 0 .1 + 0 .1 ,4 ≤ x ≤ 7 1 ,7 ≤ x < ∞ Г р а фи к функци и р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны
У к азание . Ра спр е де ле ни е случ а йно й ве ли ч и ны со хр а не но в м а тр и це А : A1,i – зна ч е ни я случ а йно й ве ли ч и ны; A2,i – со о тве тствующи е ве р о ятно сти ; i = 1,2,3,4,5. Ф ункци ю р а спр е де ле ни я, за да нную р а зным и выр а ж е ни ям и на р а зных и нте р ва ла х и зм е не ни я а р гум е нто в, м о ж но о пр е де ли ть сле дующи м о б р а зо м : р а зве р ни те па не льпр о гр а м м ных эле м е нто в ще лч ко м по кно пке и па не ль зна ко в о тно ше ни й – ще лч ко м по кно пке и не за кр ыва йте и х, по ка не за ко нч и те о пр е де ле ни е функци и . В ве ди те и м я функци и пе р е м е нно й x и зна к
7
пр и сва и ва ни я, ще лкни те в па не ли пр о гр а м м ных эле м е нто в по кно пке , вве ди те в по м е ч е нно й по зи ци и нуль, ще лкни те по кно пке и вве ди те не р а ве нства , о пр е де ляющи е пе р вый и нте р ва л и зм е не ни я а р гум е нта (си м во л ∞ м о ж но вве сти ще лч ко м по со о тве тствующе й кно пке в па не ли ); за те м пе р е йди те во вто р ую стр о ку о пр е де ле ни я функци и , вве ди те A2,1 – и м я пе р е м е нно й, со де р ж а ще й зна ч е ни е p1, и ли ч и сло 0.2 – зна ч е ни е p1 , выде ли те , на ж и м а я кла ви шу <SPACE>, выр а ж е ни е для функци и , ще лкни те по кно пке , вве ди те не р а ве нства , о пр е де ляющи е вто р о й и нте р ва л и зм е не ни я а р гум е нта (зна к м о ж но вве сти ще лч ко м по со о тве тствующе й кно пке в па не ли о тно ше ни й); выде ли те , на ж и м а я кла ви шу <SPACE>, вто р ую стр о ку и вве ди те , де йствуя, ка к о пр е де ле ни я функци и , ще лкни те по кно пке о пи са но выше , о пр е де ле ни е функци и на сле дующе м и нте р ва ле . В р а б о ч е м до кум е нте пр и ве де ны два спо со б а о пр е де ле ни я функци и – с и спо льзо ва ни е м и м е н пе р е м е нных и с и спо льзо ва ни е м ко нкр е тных зна ч е ни й эти х пе р е м е нных. Г р а фи ки функци й р а спр е де ле ни й по стр о е ны ста нда р тным для де ка р то вых гр а фи ко в спо со б о м . Сле дуе тпо м ни ть, ч то MathCad не со все м ко р р е ктно стр о и т гр а фи ки ступе нч а тых функци й, со е ди няя о тр е зка м и пр ям ых зна ч е ни я функци и в то ч ке ска ч ка . Б о ле е то ч ный гр а фи к функци и р а спр е де ле ни я пр е дста вляе т со б о й о тр е зки , па р а лле льные о си а б сци сс, с “ выко ло тым ” пр а вым ко нцо м . Ра спр е де ле ни е ди скр е тно го случ а йно го ве кто р а
y1
y2
…
yn
x1
P1,1
p1,2
…
p1,n
x2
p1,1
p2,2
…
p2,n
…
…
…
…
…
pm,2
…
pm,n
xm pm,1
та кж е удо б но хр а ни тьв м а тр и це р а зм е р но сти (m+1)х(n+1). Пе р во на ч а льно м у эле м е нту пе р во й стр о ки это й м а тр и цы пр и сва и ва е тся нуле во е
зна ч е ни е ,
о ста льные эле м е нты пе р во й стр о ки со де р ж а тзна ч е ни я случ а йно й ко м по не нты η, эле м е нты пе р во го сто лб ца – зна ч е ни я случ а йно й ко м по не нты ξ, а о ста льные эле м е нты – со о тве тствующи е ве р о ятно сти : эле м е нт, р а спо ло ж е нный в (j+1)-м сто лб це (i+1)-й стр о ки со де р ж и тзна ч е ни е ве р о ятно сти pij то го , ч то случ а йный ве кто р (ξ,η) пр и ни м а е тзна ч е ни е (xi, yi).
8
Ни ж е пр и ве де н фр а гм е нт р а б о ч е го до кум е нта MathCad с о пр е де ле ни е м р а спр е де ле ни я
ди скр е тно го
случ а йно го
ве кто р а ,
за да нно го
сле дующе й
та б ли це й:
1
3
5
7
2
0.01 0.01 0.17 0.01
4
0.1
6
0.02 0.05 0.09 0.04
0.2
0.1
0.2
1 3 5 7 0 2 0.01 0.01 0.17 0.01 P := 4 0.1 0.2 0.2 0.2 6 0.02 0.05 0.09 0.04
Д ля
выч и сле ни я
со
случ а йным и
ве ли ч и на м и
(не пр е р ывным и
и
ди скр е тным и ) в MathCad е сть б о га та я б и б ли о те ка встр о е нных функци й на и б о ле е
р а спр о стр а не нных
ста нда р тных
р а спр е де ле ни й.
р а спр е де ле ни е пр е дста вле но в б и б ли о те ке тр е м я функци ям и —
К а ж до е
пло тно стью
ве р о ятно сте й, функци е й р а спр е де ле ни я и функци е й, о б р а тно й к функци и р а спр е де ле ни я. На пр и м е р , для р а б о ты с но р м а льным р а спр е де ле ни е м пр е дна зна ч е ны функци и dnorm(x,η,σ), pnorm(x,η,σ) и qnorm(x,η,σ). З на ч е ни е м
функци и
dnorm(x,η,σ) являе тся зна ч е ни е в то ч ке х пло тно сти ве р о ятно сте й случ а йно й ве ли ч и ны ξ,
и м е юще й
но р м а льно е
р а спр е де ле ни е
с
м а те м а ти ч е ски м
о ж и да ни е м М ξ = η и ди спе р си е й Dξ = σ2; зна ч е ни е функци и pnorm(x,η,σ) — зна ч е ни е функци и р а спр е де ле ни я это й ж е случ а йно й ве ли ч и ны ξ; зна ч е ни е м функци и qnorm(x,η,σ) служ и тр е ше ни е ур а вне ни я F(x) = р , где F(x) — функци я р а спр е де ле ни я,
о пр е де ле нна я
функци е й
pnorm(x,η,σ),
т.е .
зна ч е ни е м
qnorm(x,η,σ) являе тся ква нти льур о вня р но р м а льно р а спр е де ле нно й случ а йно й
9
ве ли ч и ны. Им е на
все х встр о е нных функци й, о пр е де ляющи х пло тно сти
ве р о ятно сте й, на ч и на ются с б уквыd, о пр е де ляющи х функци и р а спр е де ле ни я — с б уквыр , о пр е де ляющи х ква нти ли — с б уквыq. Ни ж е
пр и ве де ны спи со к все х р а спр е де ле ни й, пр е дста вле нных в
б и б ли о те ке MathCad, и и м е на со о тве тствующи х функци й: б е та -р а спр е де ле ни е — dbeta(x,s1,s2), pbeta(x,s1,s2), qbeta(p,s1,s2); б и но м и а льно е р а спр е де ле ни е — dbinom(k,n,p), pbinom(k,n,p), qbinom(p,n,r); р а спр е де ле ни е К о ши — dcauchy(x,l,s), pcauchy(x,l,s), dcauchy(p,l,s); χ2 – р а спр е де ле ни е — dchisq(x,d), pchisq(x,d), qchisq(p,d); экспо не нци а льно е р а спр е де ле ни е — dexp(x,r), pexp(x,r), qexp(p,r); р а спр е де ле ни е Ф и ше р а (F-р а спр е де ле ни е ) — dF(x,d1,d2), pF(x,d1,d2), qF(x,d1,d2); га м м а -р а спр е де ле ни е — dgamma(x,s), pgamma(x,s), qgamma(p,s); ге о м е тр и ч е ско е р а спр е де ле ни е — dgeom(x,p), pgeom(x,p), qgeom(p,r); ло гно р м а льно е р а спр е де ле ни е — dlnorm(x,η,σ), plnorm(x,η,σ), qlnorm(p,η,σ); ло ги сти ч е ско е р а спр е де ле ни е — dlogis(x,l,s), plogis(x,l,s), qlogis(p,l,s); о тр и ца те льно е б и но м и а льно е р а спр е де ле ни е — dnbinom(k,n,p), pnbinom(k,n,p), qnbinom(p,n,r); но р м а льно е р а спр е де ле ни е — dnorm(x,η,σ), р по гт(x,η,σ), qnorm(p,η,σ); р а спр е де ле ни е П уа ссо на — dpois(x,λ), ppois(x, λ), qpois(p, λ); р а спр е де ле ни е Стьюде нта — dt(x,d), pt(x,d), qt(p,d); р а вно м е р но е р а спр е де ле ни е — dunif(x,a,b), punif(x,a,b), qunif(p,a,b); р а спр е де ле ни е В е йб улла — dweibull(x,s), pweibull(x,s), qweibull(p,s). Ни ж е пр и ве де ны гр а фи ки и выч и сле ни я, де м о нстр и р ующи е не ко то р ые сво йства функци й, связа нных со ста нда р тным но р м а льным р а спр е де ле ни е м N(0,1).
10
p(x) := dnormx ( , 0 , 1)
a := qnorm0.1 ( , 0 , 1)
F(x) := pnormx ( , 0 , 1)
a = −1.282
q(x) := qnormx ( , 0 , 1)
pnorma ( , 0 , 1) = 0.1
1
1
0.5
p(x )
5
0.5
F(x )
0
5
5
x
0
5
x
К р о м е то го , в б и б ли о те ке встр о е нных функци й Mathcad, е сте стве нно , е сть
функци я Л а пла са
erf x =
2 π
x
−t ∫ e dt 2
0
. Д ля выч и сле ни я ч и сло вых
ха р а кте р и сти к ди скр е тных и не пр е р ывных случ а йных ве ли ч и н пр и м е няются о пе р а то р ы и нте гр и р о ва ни я и ди ффе р е нци р о ва ни я, выч и сле ни я ко не ч ных сум м и сум м и р о ва ни я р ядо в, ко то р ые вызыва ются ще лч ко м м ыши по кно пке в па не ли
и за по лне ни е м со о тве тствующи х по м е ч е нных по ле й. П р и м е р ы
и спо льзо ва ни я эти х о пе р а ци й пр и р е ше ни и за да ч
те о р и и ве р о ятно сте й
пр и ве де ныв по сле дующи х р а зде ла х.
§ 2. С лучайны е ве ли чи ны . Ф ункци и рас пре д е ле ни я Т е о р и я ве р о ятно сте й и зуч а е тм а те м а ти ч е ски е м о де ли случ а йных явле ни й о кр уж а юще го на с м и р а . Одно и з це нтр а льных по няти й те о р и и ве р о ятно сте й – по няти е
случ а йно й ве ли ч и ны. Слу чайной вели чи ной на зыва е тся ч и сло ва я
функци я, за да нна я на м но ж е стве случ а йныхсо б ыти й. На пр и м е р , случ а йно й ве ли ч и но й являе тся ч и сло о ч ко в, выпа вши х пр и б р о са ни и и гр а льно й ко сти , и ли р о стслуч а йно выб р а нно го и з уч е б но й гр уппы студе нта . В пе р во м случ а е м ы и м е е м де ло с д и с к рет ной случ а йно й ве ли ч и но й
11
(о на пр и ни м а е тзна ч е ни я и з ди скр е тно го ч и сло во го м но ж е ства ) M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; во вто р о м случ а е – с неп реры вной случ а йно й ве ли ч и но й (о на пр и ни м а е т зна ч е ни я и з не пр е р ывно го ч и сло во го м но ж е ства – и з пр о м е ж утка ч и сло во й пр ям о й I = [100, 230]). В да льне йше м случ а йные ве ли ч и ны б уде м о б о зна ч а ть гр е ч е ски м и б уква м и . Ф ункци я рас пре д е ле ни я с лучайной ве ли чи ны К а ж да я случ а йна я ве ли ч и на по лно стью о пр е де ляе тся сво е й функци е й р а спр е де ле ни я. Если ξ - случ а йна я ве ли ч и на , то функци я F(x) = Fξ(x) = P(ξ < x) на зыва е тся ф у нк ци ей рас п ред елени я случ а йно й ве ли ч и ны ξ. З де сь P(ξ < x) – ве р о ятно стьто го , ч то случ а йна я ве ли ч и на ξ пр и ни м а е тзна ч е ни е , м е ньше е x. Ф ункци я
р а спр е де ле ни я
люб о й
случ а йно й
ве ли ч и ны
о б ла да е т
сле дующи м и сво йства м и : • F(x) о пр е де ле на на все й ч и сло во й пр ям о й R; • F(x) не уб ыва е т, т.е . е сли x1 ≤ x2, то F(x1) ≤ F(x2);
F ( x ) = 0 и lim F ( x ) = 1 • F(-∞ ) = 0 и F(+∞ ) = 1, т.е . xlim → −∞ x → +∞ • F(x) не пр е р ывна сле ва , т.е . В а ж но
lim
x → x0 − 0
F ( x ) = F ( x0 )
по ни м а ть, ч то функци я р а спр е де ле ни я являе тся «па спо р то м »
случ а йно й ве ли ч и ны: о на со де р ж и т всю и нфо р м а ци ю о б это й случ а йно й ве ли ч и не ,
и
по это м у
и зуч е ни е
случ а йно й
ве ли ч и ны за ключ а е тся
в
и ссле до ва ни и е е ф у нк ци и рас п ред елени я, ко то р ую ч а сто на зыва ют пр о сто рас п ред елени ем. Т а ки м о б р а зо м , ко гда го во р ято нормальном рас п ред елени и , то по др а зум е ва ют случ а йную ве ли ч и ну,
и м е ющую нормальну ю
ф у нк ци ю
рас п ред елени я. Д и скр е тна я
случ а йна я
ве ли ч и на
им е е т
ступе нч а тую
функци ю
р а спр е де ле ни я. На пр и м е р , в пр и ве де нно м ни ж е фр а гм е нте р а б о ч е го до кум е нта
12
Mathcad о пр е де ле на функци я р а спр е де ле ни я ч и сла о ч ко в, выпа вши х пр и о дно м б р о са ни и и гр а льно й ко сти .
У к азание . Сле дуе т о тм е ти ть, ч то Mathcad, и зо б р а ж а я ступе нч а тые функци и , со е ди няе т о тр е зко м пр ям о й зна ч е ни я функци й в то ч ка х р а зр ыва . Ра зр ывные функци и пр и нято и зо б р а ж а ть и на ч е – по м е ч а я стр е лко й на пр а вле ни е р а зр ыва (стр е лка впр а во – функци я не пр е р ывна в то ч ке спр а ва , стр е лка вле во – для то ч е к, где функци я не пр е р ывна сле ва ). На р и с.1 пр и ве де н гр а фи к функци и р а спр е де ле ни я в о б ще пр и нято м ви де .
Ри с 1. Если функци я р а спр е де ле ни я Fξ(x) не пр е р ывна , то случ а йна я ве ли ч и на ξ на зыва е тся неп реры вной с лу чайной вели чи ной. Если функци я р а спр е де ле ни я Fξ(x) не пр е р ывно ди ффе р е нци р уе м а , то б о ле е на глядно е пр е дста вле ни е о случ а йно й ве ли ч и не да е т п лот нос т ь вероят нос т и с лу чайной вели чи ны pξ(x), ко то р а я связа на с функци е й р а спр е де ле ни я Fξ(x) фо р м ула м и :
13
⌠ ⌡
:=
F ξ
p ξ ( x )
x −
p ξ ( t )
∞
d
:=
dx
dt
F ξ ( x )
Отсюда , в ч а стно сти , сле дуе т, ч то для люб о й случ а йно й ве ли ч и ны и нте гр а л ∞
∫
p
ξ
( x ) dx = 1
− ∞
Если ξ - ди скр е тна я случ а йна я ве ли ч и на , пр и ни м а юща я зна ч е ни я x1, x2,… , xi,… с ве р о ятно стям и p1, p2,… , pi,… , то та б ли ца ви да ξ
x1
x2
…
xi
…
p
p1
P2
…
pi
…
На зыва е тся ряд ом рас п ред елени я д и с к рет ной с лу чайной вели чи ны и ли пр о сто рас п ред елени ем д и с к рет ной с лу чайной вели чи ны . В
пр а кти ч е ски х
за да ч а хи м е нно та ка я фо р м а пр е дста вле ни я р а спр е де ле ни я на и б о ле е удо б на . В е р о ятно стьто го , ч то зна ч е ни е случ а йно й ве ли ч и ны ξ по па де тв и нте р ва л (a,b), выч и сляе тся для не пр е р ывно й случ а йно й ве ли ч и ныпо фо р м уле
b
P(a < ξ < b) = Fξ (b) − Fξ (a) = ∫ pξ (t )dt a
а для ди скр е тно й случ а йно й ве ли ч и ны– по фо р м уле
P (a < ξ < b) =
∑
pi
x i ∈ ( a ,b )
,
14
Н аи боле е рас прос тране нны е рас пре д е ле ни я д и с кре тны хс лучайны х ве ли чи н П о зна ко м и м ся с ди скр е тным и случ а йным и ве ли ч и на м и , ко то р ые ч а ще все го
и спо льзуются пр и
р е ше ни и
пр а кти ч е ски х за да ч
ве ли ч и на м и , и м е ющи м и б и но м и а льно е , ге о м е тр и ч е ско е
со
случ а йным и
и пуа ссо но вско е
р а спр е де ле ни я. Би ном и альное рас пре д е ле ни е (с хе м а Бе рнулли ). П усть пр о во ди тся се р и я и з n не за ви си м ых и спыта ни й, ка ж до е и з ко то р ых за ка нч и ва е тся ли б о «успе хо м », ли б о «не успе хо м ». П устьв ка ж до м и спыта ни и (о пыте ) ве р о ятно сть успе ха p, а ве р о ятно стьне уда ч и – q = 1 - p. С та ки м и спыта ни е м м о ж но связа ть случ а йную ве ли ч и ну ξ, р а вную ч и слу успе хо в в се р и и и з n и спыта ни й. Э та ве ли ч и на пр и ни м а е т це лые зна ч е ни я о т 0 до n. Ее р а спр е де ле ни е на зыва е тся би номи альны м и о пр е де ляе тся фо р м уло й Б е р нулли
где 0
q=1-p,
k=0,1,… ,n, n
Не тр удно уб е ди ться, ч то В
Mathcad
для
∑
k =0
pk = 1
выч и сле ни я
pk = P(ξ=k)=Cnkpkqn-k,
C nk =
n! k ! ( n − k )!
.
пло тно сти
ве р о ятно сти
и
функци и
р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны, и м е юще й б и но м и а льно е р а спр е де ле ни е , пр е дна зна ч е ны функци и dbinom(k, n, p) и pbinom(k, n, p), зна ч е ни я ко то р ых – со о тве тстве нно pk и F(k). Ге ом е три че с кое рас пре д е ле ни е . Со схе м о й и спыта ни й Б е р нулли м о ж но связа тье ще о дну случ а йную ве ли ч и ну: η - ч и сло и спыта ни й до пе р во го успе ха . Э та ве ли ч и на пр и ни м а е т б е ско не ч но е м но ж е ство зна ч е ни й о т 0 до +∞ , и е е р а спр е де ле ни е о пр е де ляе тся фо р м уло й pk = P(η = k) = qkp,
k = 0, 1,… ,
0 < p < 1,
q = 1 – p.
15
Испо льзуя фо р м улу сум м ы б е ско не ч но ∞
пр о гр е сси и , ле гко по ка за ть, ч то В
Mathcad
для
∑
k =0
выч и сле ни я
pk = 1
уб ыва юще й ге о м е тр и ч е ско й
.
пло тно сти
ве р о ятно сти
и
функци и
р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны, и м е юще й ге о м е тр и ч е ско е р а спр е де ле ни е , пр е дна зна ч е ны функци и dgeom(k, p) и pgeom(k, p), зна ч е ни я ко то р ых – со о тве тстве нно pk и F(k). Пуас с оновс кое
рас пре д е ле ни е . П уа ссо но вско е
р а спр е де ле ни е
им е е т
случ а йна я ве ли ч и на µ, пр и ни м а юща я зна ч е ни я k = 0, 1, 2,… с ве р о ятно стям и
pk = P (µ = k ) =
λ k −λ e , k = 0 ,1 , 2 ,..., k!
где λ > 0 - па р а м е тр пуа ссо но вско го р а спр е де ле ни я. ∞
П р и люб ых λ > 0 В
∑
k =0
pk = 1 .
Mathcad для выч и сле ни я ве р о ятно сти и функци и р а спр е де ле ни я
случ а йно й ве ли ч и ны, и м е юще й пуа ссо но вско е р а спр е де ле ни е , пр е дна зна ч е ны функци и dpois(k, λ) и ppois(k, λ), зна ч е ни я ко то р ых– со о тве тстве нно pk и F(k). Зад ани е 2.1 Д ля ука за нных зна ч е ни й па р а м е тр о в выч и сли те и по стр о йте гр а фи ч е ски б и но м и а льно е , ге о м е тр и ч е ско е и пуа ссо но вско е р а спр е де ле ни я. П р о ве р ьте для ∞
ни х р а ве нство
∑
k =0
pk = 1 .
П о стр о йте гр а фи ки функци й р а спр е де ле ни я. В ыч и сли те ве р о ятно сть по па да ни я зна ч е ни й случ а йно й ве ли ч и ны в ука за нный и нте р ва л. Д ля ка ж до го р а спр е де ле ни я на йди те зна ч е ни е k, для ко то р о го ве ли ч и на P(ξ=k) м а кси м а льна . Иссле дуйте за ви си м о стьэто й ве р о ятно сти о тпа р а м е тр о в р а спр е де ле ни я.
16
Поря д оквы полне ни я зад ани я 1. В ве ди те па р а м е тр ыр а спр е де ле ни я. 2. Опр е де ли те и нте р ва л и зм е не ни я зна ч е ни й случ а йно й ве ли ч и ны. 3. Опр е де ли те ве кто р , но м е р а ко м по не нт ко то р о го р а вны зна ч е ни ям случ а йно й ве ли ч и ны, и пр и сво йте ко м по не нта м ве кто р а зна ч е ни я ве р о ятно сти со о тве тствующи х зна ч е ни й. 4. Опр е де ли те функци ю р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны. 5. П о стр о йте гр а фи ки р а спр е де ле ни я и функци и р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны. 6. На йди те по гр а фи ку на и б о ле е ве р о ятно е зна ч е ни е случ а йно й ве ли ч и ны. 7. В ве ди те в р а б о ч и й до кум е нт на и б о льше е
зна ч е ни е
ве р о ятно сти
(зна ч е ни е ве р о ятно сти в то ч ке , выч и сле нно й в пр е дыдуще м пункте ). 8. В ыч и сли те сум м у все х зна ч е ни й ве р о ятно сте й. 9. В ыч и сли те ве р о ятно сть по па да ни я зна ч е ни я случ а йно й ве ли ч и ны в ука за нный и нте р ва л ка к р а зно стьсо о тве тствующи х зна ч е ни й функци и р а спр е де ле ни я. 10. Изм е ни те зна ч е ни я па р а м е тр о в р а спр е де ле ни я и по вто р и те выч и сле ни я. Ср а вни те по луч е нные р е зульта ты. 11. В ыпо лни те выч и сле ни я пп. 1-10 для все х пр и ве де нных в за да ни и р а спр е де ле ни й. При м е р вы полне ни я зад ани я П о стр о йте б и но м и а льно е р а спр е де ле ни е для се р и и и з 20 не за ви си м ых и спыта ни й с ве р о ятно стью успе ха р = 0.4, 0.6, 0.8. П о стр о йте гр а фи ки р а спр е де ле ни я и функци й р а спр е де ле ни я. Д ля р = 0.4 на йди те зна ч е ни е k, для ∞
ко то р о го ве ли ч и на Р(ξ = k) м а кси м а льна . П р о ве р ьте р а ве нство
∑
k =0
pk = 1 .
В ыч и сли те ве р о ятно стьпо па да ни я зна ч е ни й случ а йно й ве ли ч и ны в и нте р ва л (1, 5).
17
П о стр о йте пуа ссо но вско е р а спр е де ле ни е с па р а м е тр о м λ = 0.2, 0.4, ге о м е тр и ч е ско е р а спр е де ле ни е с та ки м и ж е па р а м е тр а м и , ч то и б и но м и а льно е ∞
(р
=
П р о ве р ьте
0.4).
∑
р а ве нство
pk = 1 .
k =0
П о стр о йте
гр а фи ки
р а спр е де ле ни я и функци й р а спр е де ле ни я. В ыч и сли те ве р о ятно стьпо па да ни я зна ч е ни й случ а йно й ве ли ч и ны в и нте р ва л (1,5) для все х р а спр е де ле ни й. Д ля ка ж до го р а спр е де ле ни я на йди те зна ч е ни е k, для ко то р о го ве ли ч и на Р(ξ = k) м а кси м а льна . Ф р а гм е нт
р а б о ч е го
до кум е нта ,
со де р ж а щи й
выч и сле ни я
для
б и но м и а льно го р а спр е де ле ни я, пр и ве дён ни ж е .
k := 0 .. 20 p4k := dbinom( k , 20 , 0.4 ) F4( k) := pbinom( k , 20 , 0.4 ) p6k := dbinom( k , 20 , 0.6 ) F6( k) := pbinom( k , 20 , 0.6 ) p8k := dbinom( k , 20 , 0.8 ) F8( k) := pbinom( k , 20 , 0.8 ) 0.3
p4k
1
F4( k )
0.2
p6k p8k
F6( k )
0.5
F8( k )
0.1
0
10
20
0
k
10
20
k
20
∑ k
p4k = 1 F4( 5) − F4( 1) = 0.125
=0
У к азание : Д ля то го ч то б ы о пр е де ли тьпо гр а фи ку р а спр е де ле ни я на и б о ле е ве р о ятно е зна ч е ни е случ а йно й ве ли ч и ны, щёлкни те в м е ню Format (Ф о р м а т) в пункте Graph (Г р а фи к) по стр о ке Trace (Сле до ва ни е ), уста но ви те пе р е кр е стье м а р ке р а на то ч ке м а кси м ум а р а спр е де ле ни я и выве ди те в р а б о ч и й до кум е нт ве р о ятно сть зна ч е ни я, ука за нно го
в о кне
X-Value (В е ли ч и на X) . Д ля
18
и ссле дуе м о й случ а йно й ве ли ч и ны на и б о ле е ве р о ятно е зна ч е ни е р а вно 8, ве р о ятно стьэто го со б ыти я р а вна 0.18. Ф р а гм е нт
р а б о ч е го
до кум е нта ,
со де р ж а щи й
выч и сле ни я
для
пуа ссо но вско го р а спр е де ле ни я, пр и ве дён ни ж е .
k := 0 .. 20
p2k := dpois( k , 0.2) F2( k) := ppois( k , 0.2) p4k := dpois( k , 0.4) F4( k) := ppois( k , 0.4)
1 p2 k
F2 ( k ) 0.5
p4 k
20
∑ k
F4 ( k )
0
2
p2k = 1
=0
0.8
0.6
4
0
k
2
4 k
F2( 5) − F2( 1) = 0.018
К а к ви дно и з р и сунка , на и б о ле е ве р о ятно е зна ч е ни е случ а йно й ве ли ч и ны нуле во е ; ве р о ятно стьто го , ч то случ а йна я ве ли ч и на пр и λ = 0.2 пр и м е тнуле во е зна ч е ни е , р а вна 0.0819. Ф р а гм е нт
р а б о ч е го
до кум е нта ,
со де р ж а щи й
ге о м е тр и ч е ско го р а спр е де ле ни я, пр и ве дён ни ж е .
выч и сле ни я
для
19
k := 0 .. 20 pk := dgeom ( k , 0.4 ) F ( k) := pgeom ( k , 0.4 ) 1
0.4
pk
F( k )
0.2
0
p0 = 0.4
10 k
20
∑ k
pk = 1
0.5
0
20
10 k
F( 5) − F ( 1) = 0.313
=0
На и б о ле е ве р о ятно е зна ч е ни е случ а йно й ве ли ч и нынуле во е ; ве р о ятно стьэто го зна ч е ни я р а вна 0.4.
§ 3. Н е пре ры вны е с лучайны е ве ли чи ны Н аи боле е рас прос транённы е рас пре д е ле ни я не пре ры вны х с лучайны х ве ли чи н Равном е рное
рас пре д е ле ни е .
Не пр е р ывна я
случ а йна я
ве ли ч и на
ξ, пр и ни м а юща я зна ч е ни е на о тр е зке [a,b], р а спр е де ле на р а вно м е р но на [a,b], е сли пло тно сть р а спр е де ле ни я pξ(x) и функци я р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ныξ и м е ютсо о тве тстве нно ви д
0, pξ ( x ) = 1 b − a ,
x ∉ [ a, b], x ∈ [ a, b],
x ≤ a, 0, x − a Fξ ( x ) = , a < x ≤ b, b − a x > b. 1,
20
20
Ни ж е пр и ве де ны по стр о е нные в Mathcad гр а фи ки пло тно сти ве р о ятно сте й и функци и р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны ξ, пр и ни м а юще й зна ч е ни я на о тр е зке [0,1] и и м е юще й р а вно м е р но е р а спр е де ле ни е . 1
dunif ( x , 0 , 1 )
0.5
1
0
1
2
x 1
punif ( x , 0 , 1)
0.5
1
0
1
2
x
В
Mathcad зна ч е ни я в то ч ке x пло тно сти р а спр е де ле ни я и функци и
р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны, и м е юще й р а вно м е р но е р а спр е де ле ни е на о тр е зке [a,b], выч и сляются встр о е нным и функци ям и со о тве тстве нно dunif(x,a,b) и punif(x,a,b). Экспоне нци альное случ а йна я
(показате льное )
рас пре д е ле ни е .
Не пр е р ывна я
ве ли ч и на ξ и м е е т по ка за те льно е р а спр е де ле ни е с па р а м е тр о м
λ>0, е сли пло тно стьр а спр е де ле ни я и м е е тви д
0, x < 0 pξ ( x ) = − λx ,x ≥ 0 λe
Отсюда ви дно , ч то по ка за те льно р а спр е де лённа я случ а йна я ве ли ч и на пр и ни м а е т то лько
не о тр и ца те льные зна ч е ни я. Ф ункци я р а спр е де ле ни я та ко й
случ а йно й ве ли ч и ныи м е е тви д
21
0, x ≤ 0 Fξ ( x ) = − λx ,x > 0 1 − λ e Ни ж е
пр и ве де ны гр а фи ки
пло тно сти
ве р о ятно сте й
и
функци й
р а спр е де ле ни я случ а йных ве ли ч и н, и м е ющи х по ка за те льно е р а спр е де ле ни е с па р а м е тр а м и λ=1 и λ=2, по стр о е нные в Mathcad.
1
dexp ( x , 1 )
0.5
0
2
4
x 1
pexp ( x , 1 )
0.5
0
2
x
4
22 1
dexp ( x , 2 )
0.5
0
2
4
x 1
pexp ( x , 2 )
0.5
0
2
4
x
В
Mathcad зна ч е ни я в то ч ке x пло тно сти р а спр е де ле ни я и функци и
р а спр е де ле ни я
случ а йно й
р а спр е де ле ни е
с па р а м е тр о м
ве ли ч и ны,
и м е юще й
экспо не нци а льно е
λ, выч и сляются встр о е нным и
функци ям и
со о тве тстве нно dexp(x, λ) и pexp(x, λ). Н орм альное рас пре д е ле ни е . Э то р а спр е де ле ни е и гр а е т и сключ и те льно ва ж ную р о льв те о р и и ве р о ятно сте й и м а те м а ти ч е ско й ста ти сти ке . Случ а йна я ве ли ч и на ξ но р м а льно р а спр е де ле на с па р а м е тр а м и a и σ, σ>0, е сли е ё пло тно стьр а спр е де ле ни я и м е е тви д
pξ ( x ) =
( x − a) 2 exp − 2σ 2 2π σ 1
.
Если случ а йна я ве ли ч и на ξ и м е е тно р м а льно е р а спр е де ле ни е с па р а м е тр а м и a и σ, то б уде м за пи сыва тьэто в ви де ξ~N(a,σ).
23
Случ а йна я ве ли ч и на ξ и м е е тста нда р тно е но р м а льно е р а спр е де ле ни е , е сли a=0 и σ=1, ξ~N(0,1). П ло тно стьста нда р тно го но р м а льно го р а спр е де ле ни я и м е е тви д
x2 exp − , 2π 2 1
pξ ( x) =
а е го функци я р а спр е де ле ни я – Fξ ( x ) = Φ ( x ), гд е Φ ( x ) – функци я Л а пла са :
z2 exp − dz. ∫ 2π −∞ 2 x
1
Φ ξ (ч) =
Ф ункци я р а спр е де ле ни я но р м а льно й ве ли ч и ныη~ N(a,σ) та кж е
x−a . выр а ж а е тся ч е р е з функци ю Л а пла са : Fη ( x ) = Φ σ Ни ж е
пр и ве де ны по стр о е нные
в
гр а фи ки
MathCAD
пло тно сти
ве р о ятно сте й и функци й р а спр е де ле ни я для ξ~N(0,1) и η~ N(1,2). 1
1
dnorm(x , 0 , 1)
pnorm( x , 0 , 1)
0.5
2
0
0.5
2
2
0
x
x
1
1
dnormx ( , 1 , 2)
pnormx ( , 1 , 2)
0.5
0
5 x
0.5
0 x
2
24
В
MathCad зна ч е ни я в то ч ке x пло тно сти р а спр е де ле ни я и функци и
р а спр е де ле ни я но р м а льно й
случ а йно й
выч и сляются
функци ям и
встр о е нным и
ве ли ч и ны с па р а м е тр а м и со о тве тстве нно
a, σ
dnorm(x,a,σ)
и
pnorm(x,a,σ). Рас пре д е ле ни е хи -квад рат ( χ 2 – рас пре д е ле ни е ) П устьξ1, ξ2,… ξn – не за ви си м ые случ а йные ве ли ч и ны, ка ж да я и з ко то р ых и м е е т ста нда р тно е но р м а льно е р а спр е де ле ни е N(0,1). Со ста ви м случ а йную ве ли ч и ну χ 2n =ξ21 + ξ22 + … + ξ2n. Её р а спр е де ле ни е на зыва е тся χ 2 – р а спр е де ле ни е м с n сте пе ням и сво б о ды. Д ля спр а во ч ных це ле й пр и ве дём
зде сь выр а ж е ни е
пло тно сти р а спр е де ле ни я это й случ а йно й ве ли ч и ны:
0, n−2 z − 1 Pn ( z ) = z 2 e 2, π π 2 Γ( 2 )2
z<0 z≥0
где Г (x) – га м м а –функци я Э йле р а .
∞
Γ( x) = ∫ x z −1e − z dz 0
Ни ж е
пр и ве де ны гр а фи ки
пло тно сти
ве р о ятно сте й
и
функци й
р а спр е де ле ни я для χ 2 – р а спр е де ле ни я с двум я, ч е тыр ьм я и во се м ью сте пе ням и сво б о ды, по стр о е нные в Mathcad. Д ля ср а вне ни я пр и ве де ны гр а фи ки для ξ ~ N(0,1).
25 1
pchisq( x , 2) pchisq( x , 4) 0.5
pchisq( x , 8) pnorm( x , 0 , 1)
5
0
5
10
x
0.4
dchisq( x , 2) dchisq( x , 4) dchisq( x , 8)
0.2
dnorm( x , 0 , 1)
5
0
5
10
x
В Mathcad зна ч е ни я в то ч ке x пло тно сти р а спр е де ле ни я и функци и χ 2 – р а спр е де ле ни я с n сте пе ням и сво б о ды выч и сляе тся встр о е нным и функци ям и со о тве тстве нно dchisq(x,n) и pchisq(x,n).
26
Зад ани е 3.2 П о стр о йте гр а фи ки пло тно сти р а спр е де ле ни я и функци и р а спр е де ле ни я χ 2 с ука за нным ч и сло м сте пе не й сво б о ды. Поря д оквы полне ни я зад ани я 1. П о стр о йте гр а фи ки пло тно сти р а спр е де ле ни я χ 2 с ука за нным ч и сло м сте пе не й сво б о ды. 2. П о стр о йте гр а фи ки функци и р а спр е де ле ни я χ 2 с ука за нным ч и сло м сте пе не й сво б о ды. При м е р вы полне ни я зад ани я П о стр о йте гр а фи ки пло тно сти р а спр е де ле ни я и функци и р а спр е де ле ни я χ 2 с n=2,4,8 сте пе не й сво б о ды. Пр и м е р ный ва р и а нтвыпо лне ни я за да ни я пр и ве дён выше . Рас пре д е ле ни е
С тьюд е нта.
П усть случ а йна я
ве ли ч и на
ξ
им е е т
ста нда р тно е но р м а льно е р а спр е де ле ни е , а случ а йна я ве ли ч и на χn2 χ2 р а спр е де ле ни е с n сте пе ням и сво б о ды. Если ξ и χn2 не за ви си м ы, то пр о
случ а йную ве ли ч и ну
τn =
ξ χ n2 / n
го во р ят, ч то о на и м е е тр а спр е де ле ни е
Стьюде нта с ч и сло м сте пе не й сво б о ды n. Д о ка за но , ч то пло тно стьве р о ятно сти это й ве ли ч и нывыч и сляе тся по фо р м уле
p n ( x) = τ
1 nπ
n +1 ) 2 − n +1 2 (1 + x ) 2 , x ∈ R n n Γ( ) 2
Γ(
П р и б о льши х n р а спр е де ле ни е Стьюде нта пр а кти ч е ски не о тли ч а е тся о т N(0,1).
27
Ни ж е
пр и ве де ны гр а фи ки
пло тно сти
ве р о ятно сте й
и
функци й
р а спр е де ле ни я для n=2, 5, 10, по стр о е нные в MathCad. Д ля ср а вне ни я пр и ве де ныгр а фи ки для ξ ~ N(0,1).
0.4
dt(x , 2) dt(x , 3) dt(x , 10)
0.2
dnormx ( , 0 , 1)
2
1
0
1
2
x 1
pt( x , 2) pt( x , 3) 0.5
pt( x , 10) pnorm( x , 0 , 1)
3
2
1
0
x
1
2
3
28
В
MathCad зна ч е ни я в то ч ке x пло тно сти р а спр е де ле ни я и функци и
Стьюде нта с n сте пе ням и сво б о ды выч и сляются встр о е нным и функци ям и со о тве тстве нно dt(x,n) и pt(x,n). Зад ани е 3.3 П о стр о йте гр а фи ки пло тно сти р а спр е де ле ни я и функци и р а спр е де ле ни я Стьюде нта с ука за нным ч и сло м сте пе не й сво б о ды. Поря д оквы полне ни я зад ани я 1.
П о стр о йте
гр а фи ки
пло тно сти
р а спр е де ле ни я
Стьюде нта
с
р а спр е де ле ни я
Стьюде нта
с
ука за нным ч и сло м сте пе не й сво б о ды. 2.
П о стр о йте
гр а фи ки
функци и
ука за нным ч и сло м сте пе не й сво б о ды. При м е р вы полне ни я зад ани я П о стр о йте гр а фи ки пло тно сти р а спр е де ле ни я и функци и р а спр е де ле ни я Стьюде нта с n=2,5,10 сте пе ням и сво б о ды. П р и м е р ный ва р и а нт выпо лне ни я за да ни я пр и ве дён выше . F-рас пре д е ле ни е Ф и ш е ра. П устьслуч а йные ве ли ч и ныχn2 и χm2 не за ви си м ыи и м е ютр а спр е де ле ни е χ2 с n и m сте пе ням и сво б о ды
со о тве тстве нно . Т о гда случ а йна я ве ли ч и на
Fn ,m
x n2 n = 2 xm m
и м е е тF-
р а спр е де ле ни е с пло тно стью ве р о ятно сти
n+m n−2 ) n n2 x 2 2 p F ( x) = ( ) , x>0 n+m n m m nx Γ( )Γ( ) (1 + ) 2 2 2 m Γ(
29 1
1
pF(x , 2 , 5)
dF( x , 2 , 5) dF( x , 5 , 2)
0.5
pF(x , 5 , 2)
0
1
2
0.5
0
x
1
2
x
Зад ани е 3.4 П о стр о йте гр а фи ки пло тно сти р а спр е де ле ни я и функци и р а спр е де ле ни я Ф и ше р а для ука за нных зна ч е ни й n и m. Поря д оквы полне ни я зад ани я 1.
П о стр о йте гр а фи ки пло тно сти р а спр е де ле ни я Ф и ше р а для ука за нныхзна ч е ни й n и m.
2.
П о стр о йте гр а фи ки функци и р а спр е де ле ни я Ф и ше р а для ука за нных зна ч е ни й n и m.
При м е р вы полне ни я зад ани я П р и м е р выпо лне ни я за да ни я для р а спр е де ле ни я Ф и ше р а со зна ч е ни ям и n=2,5 и m=5,2 пр и ве дён выше . 4. К ванти ли П р и р е ше ни и пр а кти ч е ски х за да ч ч а сто тр е б уе тся на йти зна ч е ни е x, пр и ко то р о м функци я р а спр е де ле ни я пр и ни м а е т за да нно е зна ч е ни е , т.е . тр е б уе тся р е ши тьур а вне ни е Fξ(x) = p. Ре ше ни я та ко го ур а вне ни я в те о р и и ве р о ятно сте й на зыва ются ква нти лям и . Квант и лью xp (p-ква нти лью, ква нти лью ур о вня p) случ а йно й ве ли ч и ны ξ, и м е юще й функци ю р а спр е де ле ни я Fξ( (x), на зыва ют р е ше ни е xp ур а вне ни я Fξ((x) = p, p∈ (0,1).
30
Д ля не ко то р ых p ур а вне ни е Fξ( (x) = p м о ж е ти м е тьне ско лько р е ше ни й, для не ко то р ых – ни о дно го . Э то о зна ч а е т, ч то для со о тве тствующе й случ а йно й ве ли ч и ны не ко то р ые
ква нти ли
о пр е де ле ны не о дно зна ч но , а
не ко то р ые
ква нти ли не суще ствуют. К ва нти ли , на и б о ле е ч а сто встр е ч а ющи е ся в пр а кти ч е ски х за да ч а х, и м е ют сво и на зва ни я: мед и ана –ква нти льур о вня 0.5; ни ж няя ква р ти ль– ква нти льур о вня 0.25; верхняя ква р ти ль– ква нти льур о вня 0.75; д еци ли – ква нти ли ур о вне й 0.1, 0.2, … , 0.9; п роцент и ли – ква нти ли ур о вне й 0.01, 0.02, … , 0.99. Д ля те х р а спр е де ле ни й, для ко то р ых в Mathcad пр е дста вле ны встр о е нные функци и пло тно сти р а спр е де ле ни я и функци и р а спр е де ле ни я, о пр е де ле ны и встр о е нные функци и выч и сле ни я ква нти ле й. На пр и м е р , е сли пло тно сти р а спр е де ле ни я и функци и р а спр е де ле ни я в то ч ке x для ло ги сти ч е ско го р а спр е де ле ни я с па р а м е тр а м и α и β выч и сляются встр о е нным и функци ям и со о тве тстве нно dlogis(x, α, β) и plogis(x, α, β), то pква нти ль для ло ги сти ч е ско го р а спр е де ле ни я являе тся зна ч е ни е м функци и qlogis(p, α, β). Ни ж е пр и ве де ны выч и сле нные в Mathcad м е ди а на , ве р хняя и ни ж няя ква р ти ли и 0.95-ква нти льдля ста нда р тно го но р м а льно го р а спр е де ле ни я N(0,1). qnorm(0.5, 0, 1)=0
м е ди а на
qnorm(0.25, 0, 1)=-0.67
ни ж няя ква р ти ль
qnorm(0.75, 0, 1)=0.674
ве р хняя ква р ти ль
qnorm(0.95, 0, 1)=1.645 0.95-ква нти ль Зад ани е 4.5 На йди те м е ди а ну, ве р хнюю и ни ж нюю ква р ти ли и p ква р ти ль для за да нно го ур о вня p и для за да нно го р а спр е де ле ни я.
31
Поря д оквы полне ни я зад ани я 1.
П о стр о йте
гр а фи ки
пло тно сти
р а спр е де ле ни я
для
за да нно го
для
за да нно го
р а спр е де ле ни я с ука за нным и зна ч е ни ям и па р а м е тр о в. 2.
П о стр о йте
гр а фи ки
функци и
р а спр е де ле ни я
р а спр е де ле ни я с ука за нным и зна ч е ни ям и па р а м е тр о в. При м е р вы полне ни я зад ани я . В ыч и сле ни е м е ди а ны, ве р хне й и ни ж не й ква р ти ли и 0.95 ква р ти ли ста нда р тно го но р м а льно го р а спр е де ле ни я N(0,1) пр и ве де но выше .
§ 5. Чи с ловы е характе ри с ти ки с лучайны х ве ли чи н К а ж да я случ а йна я ве ли ч и на по лно стью о пр е де ляе тся сво е й функци е й р а спр е де ле ни я. В то ж е вр е м я пр и р е ше ни и пр а кти ч е ски х за да ч до ста то ч но зна ть не ско лько
ч и сло вых па р а м е тр о в, ко то р ые
по зво ляют пр е дста ви ть
о сно вные о со б е нно сти случ а йно й ве ли ч и ны в сж а то й фо р м е . К ве ли ч и на м
о тно сятся, в пе р вую о ч е р е дь, м а те м а ти ч е ско е
та ки м
о ж и да ни е
и
ди спе р си я. М ате м ати че с кое ожи д ани е с лучайной ве ли чи ны М ат емат и чес к ое ож и д ани е – ч и сло , во кр уг ко то р о го со ср е до то ч е ны зна ч е ни я случ а йно й ве ли ч и ны. Если ξ – ди скр е тна я случ а йна я ве ли ч и на с р а спр е де ле ни е м , ξ
x1
x2
…
xn
р
p1
p2
…
pn
то е е м а те м а ти ч е ски м о ж и да ни е м – о но о б о зна ч а е тся М ξ – на зыва е тся ве ли ч и на
32
n
∑
Μξ =
i
p i xi
=1
е сли ч и сло зна ч е ни й случ а йно й ве ли ч и ны ко не ч но . Если ч и сло зна ч е ни й случ а йно й ве ли ч и нысч е тно , то ∞
Μξ =
∑ i
p i xi
=1
П р и это м е сли р яд в пр а во й ч а сти р а ве нства р а схо ди тся и ли схо ди тся усло вно , то го во р ят, ч то случ а йна я ве ли ч и на ξ не и м е е тм а те м а ти ч е ско го о ж и да ни я. М а те м а ти ч е ско е
о ж и да ни е
пло тно стью ве р о ятно сте й
не пр е р ывно й
случ а йно й
ве ли ч и ны с
pξ (x) выч и сляе тся по фо р м уле ∞
⌠ Mξ = x p ξ ( x) dx ⌡− ∞ П р и это м е сли и нте гр а л в пр а во й ч а сти р а ве нства р а схо ди тся, то го во р ят, ч то случ а йна я ве ли ч и на ξ не и м е е тм а те м а ти ч е ско го о ж и да ни я. Если случ а йна я ве ли ч и на η являе тся функци е й случ а йно й ве ли ч и ныξ,
η = f(ξ), то ∞
⌠ f x p ξ ( x ) dx Mη = ⌡− ∞ А на ло ги ч ные
()
фо р м улы спр а ве дли вы для ди скр е тно й
ве ли ч и ны: n
Mξ =
∑ i
=1
p i f ( x i)
∞
Mξ =
∑ i
=1
p i f ( xi )
случ а йно й
33
П р и выч и сле ни и м а те м а ти ч е ско го о ж и да ни я случ а йно й ве ли ч и ны по ле зны сле дующи е е го сво йства : • м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е ко нста нтыр а вно это й ко нста нте , т.е . М с = с ; • м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е – ли не йный функци о на л случ а йно й ве ли ч и ны, т.е . пр и пр о и зво льных по сто янных a и b ве р но р а ве нство М (aξ + bη) = aMξ + bMη; • м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е пр о и зве де ни я двух незави с и мы х случ а йных ве ли ч и н р а вно пр о и зве де ни ю и х м а те м а ти ч е ски х о ж и да ни й, т.е . М (ξ·η) = М ξ·М η. П р и ве де м
фо р м улы м а те м а ти ч е ски х о ж и да ни й для на и б о ле е и зве стных
р а спр е де ле ни й: • б и но м и на льно е р а спр е де ле ни е : (P(ξ = k) = Cnkpkqn-k): Mξ = np;
(
)
k • ге о м е тр и ч е ско е р а спр е де ле ни е : P (ξ = k ) = q p : Mξ =
q ; p
λ k −λ e : Mξ = λ ; • пуа ссо но вско е р а спр е де ле ни е : P(ξ = k ) = k!
(
)
• р а вно м е р но е р а спр е де ле ни е : pξ ( x ) = 1 (b − a ), x ∈ [a , b ] : Mξ = • экспо не нци а льно е (по ка за те льно е ) р а спр е де ле ни е :
( p (x ) = λ e ξ
− λx
, x ≥ 1) : Mξ =
• но р м а льно е р а спр е де ле ни е : N ( a , σ ) pξ (x ) =
a+b ; 2
1 ; λ
1 x − a 2 exp − : M ξ = a; 2 σ 2π σ 1
• р а спр е де ле ни е хи -ква др а т(χ 2-р а спр е де ле ни е ) с n сте пе ням и сво б о ды: n −1 n − 2 z p ( z ) = Γ n 2 2 z n e − 2 , z > 0 : Mχ 2 = n; χ 2 • р а спр е де ле ни е Стьюде нта (t-р а спр е де ле ни е ) с n сте пе ням и сво б о ды: 2
•
ptn (x ) =
1 n + 1 n Γ Γ nπ 2 2
−1
x2 1 + n
−
n +1 2
: Mt n = 0;
F-р а спр е де ле ни е Ф и ше р а с n и m сте пе ням и сво б о ды:
34 n n+m − n Γ (( n + m ) / 2 ) n 2 2 −1 nx 2 m , x > 0 : MF = , m > 2; p F (x ) = Γ (n / 2 )Γ (m / 2 ) m x 1 + m m−2
Ди с пе рс и я с лучайной ве ли чи ны Д и спе р си я случ а йно й ве ли ч и ны ха р а кте р и зуе т м е р у р а зб р о са зна ч е ни й случ а йно й ве ли ч и ныо ко ло е е м а те м а ти ч е ско го о ж и да ни я. Если случ а йна я ве ли ч и на ξ и м е е т м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е М ξ, то д и с п ерс и ей случ а йно й ве ли ч и ны ξ на зыва е тся ве ли ч и на Л е гко по ка за ть, ч то
Dξ = M(ξ-Mξ)2.
Dξ = Mξ2-(Mξ)2. Э та уни ве р са льна я фо р м ула
о ди на ко во
хо р о шо пр и м е ни м а ка к для ди скр е тных случ а йных ве ли ч и н, та к и для не пр е р ывных. В е ли ч и на Mξ2 выч и сляе тся по фо р м ула м : n
Mξ = ∑ p i x , 2
i =1
2 i
Mξ = 2
∞
2 x ∫ pξ (x )dx
−∞
для ди скр е тных и не пр е р ывных случ а йных ве ли ч и н со о тве тстве нно . Еще о дни м па р а м е тр о м для о пр е де ле ни я м е р ы р а зб р о са зна ч е ни й случ а йно й ве ли ч и ныявляе тся с ред нек вад рат и чес к ое от к лонени е σ ξ, связа нно е с ди спе р си е й со о тно ше ни е м σ ξ =
Dξ .
П е р е ч и сли м о сно вные сво йства ди спе р си и : •
ди спе р си я люб о й случ а йно й ве ли ч и ныне о тр и ца те льна : Dξ ≥ 0;
•
ди спе р си я ко нста нтыр а вна нулю: Dc = 0;
•
для пр о и зво льно й ко нста нтыс : D(cξ ) = c 2 Dξ ;
•
ди спе р си я сум м ы (р а зно сти ) двух незави с и мы хслуч а йных ве ли ч и н
р а вна сум м е и х ди спе р си й: D(ξ ± η ) = Dξ + Dη. П р и ве де м фо р м улы для ди спе р си й на и б о ле е и зве стных ста нда р тных р а спр е де ле ни й: •
б и но м и на льно е р а спр е де ле ни е : Dξ = npq;
•
ге о м е тр и ч е ско е р а спр е де ле ни е : Dξ =
q ; p2
35
•
пуа ссо но вско е р а спр е де ле ни е : Dξ = λ ; ;
•
(b − a ) 2 ; р а вно м е р но е р а спр е де ле ни е : Dξ = 12
•
экспо не нци а льно е (по ка за те льно е ) р а спр е де ле ни е : Dξ = λ -2;
•
но р м а льно е р а спр е де ле ни е : N(a,σ ): Dξ = σ 2;
•
р а спр е де ле ни е хи -ква др а т (χ 2-р а спр е де ле ни е ) с n сте пе ням и сво б о ды: Dξ2 = 2n;
•
р а спр е де ле ни е Стьюде нта с n сте пе ням и сво б о ды: Dξ =
•
F-р а спр е де ле ни е Ф и ше р а с n и m сте пе ням и сво б о ды:
n , n > 2; n−2
2m 2 (n + m − 2) DF = , m > 4; n(m − 2) 2 (m − 4) Зад ани е 5.6 В ыч и сли те м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е и ди спе р си ю случ а йно й ве ли ч и ны ξ =
S(η),
ко то р а я
пр е дста вляе т со б о й
пло ща дь ука за нно й
в за да ни и
ге о м е тр и ч е ско й фи гур ы, для случ а йно й ве ли ч и ны η, и м е юще й за да нно е р а спр е де ле ни е . Поря д оквы полне ни я зад ани я 1. З а пи ши те выр а ж е ни е для функци и ξ = S(η) о т случ а йно й ве ли ч и ны η, о пр е де ляюще й пло ща дьфи гур ы. 2. В ыч и сли те м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е случ а йно й ве ли ч и ныξ. 3. В ыч и сли те м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е случ а йно й ве ли ч и ныξ2 . 4. В ыч и сли те ди спе р си ю случ а йно й ве ли ч и ны ξ = S(η) по фо р м уле Dξ = Mξ2-(Mξ)2. При м е р вы полне ни я зад ани я Случ а йна я ве ли ч и на η р а спр е де ле на р а вно м е р но на пр о м е ж утке [0,1]. На йде м м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е и ди спе р си ю пло ща ди ква др а та со сто р о но й η, т.е . ха р а кте р и сти ки случ а йно й ве ли ч и ныξ = S(η) = η2.
36
М а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е пло ща ди ква др а та ξ 2
⌠ 2 1 M ( ξ) := x ⋅ dx 2−1 ⌡1
M ( ξ) →
7 3
М а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е 1ква др а та случ а йно й ве ли ч и ныξ 2
⌠ 4 1 M2( ξ) := x ⋅ dx 2−1 ⌡1
M2( ξ) →
31
D( ξ) →
34
5
Д и спе р си я пло ща ди ква др а та ξ
D( ξ) := M2( ξ) − M( ξ)
2
45
У к азание . М а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е и ди спе р си ю пло ща ди ква др а та со сто р о но й η выч и сли те си м во льно по фо р м ула м
Mξ = Mη 2 , Dξ = Mη 4 − (Mξ ) 2 . Опр е де ли те и ско м ые м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е и ди спе р си ю ка к функци и пе р е м е нно й ξ. М ом е нты В
те о р и и
ве р о ятно сте й
и
м а те м а ти ч е ско й
ста ти сти ке ,
по м и м о
м а те м а ти ч е ско го о ж и да ни я и ди спе р си и , и спо льзуются и др уги е ч и сло вые ха р а кте р и сти ки случ а йных ве ли ч и н. В
пе р вую о ч е р е дь это начальны е и
цент ральны е м о м е нты. Н ачальны м момент ом k-го п оряд к а случ а йно й ве ли ч и ны ξ на зыва е тся м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е k-о й сте пе ни случ а йно й ве ли ч и ныξ , т.е . αk = Μ ξk. Ц ент ральны м момент ом k-гоп оряд к а случ а йно й ве ли ч и ны ξ на зыва е тся ве ли ч и на µκ , о пр е де ляе м а я фо р м уло й µk = M(ξ – Mξ)k. З а м е ти м , ч то м а те м а ти ч е ско е о ж и да ни е случ а йно й ве ли ч и ны- на ч а льный м о м е нтпе р во го по р ядка , α1 = Mξ, а ди спе р си я - це нтр а льный м о м е нтвто р о го по р ядка : µ1 = Μ(ξ – Mξ)k = Dξ. Суще ствуют фо р м улы, по зво ляющи е выр а зи ть це нтр а льные м о м е нты случ а йно й ве ли ч и ны ч е р е з е е на ч а льные м о м е нты. Одна и з та ки х фо р м ул
37
пр и ве де на выше : Dξ = M(ξ – Mξ) = µ2 – α12. 2
3
В да льне йше м б уде ти спо льзо ва на фо р м ула µ3 = α3– 3α2α1+2α1 . Не тр удно
по нять, ч то е сли пло тно сть р а спр е де ле ни я ве р о ятно сте й
случ а йно й ве ли ч и ны си м м е тр и ч на о тно си те льно пр ям о й x = Mξ, то все е е це нтр а льные м о м е нтыне ч е тно го по р ядка р а внынулю. В те о р и и ве р о ятно сте й и м а те м а ти ч е ско й ста ти сти ке в ка ч е стве м е р ы а си м м е тр и и
р а спр е де ле ни я служ и т ко эффи ци е нт а си м м е тр и и ,
ко то р ый
о пр е де ляе тся фо р м уло й:
β
ξ
=
µ σ
3 3 ξ
,
где µ3 – це нтр а льный м о м е нт тр е тьего по р ядка ; σ ξ = Dξ = µ 2
–
ср е дне ква др а ти ч но е о ткло не ни е . К о эффи ци е нт а си м м е тр и и – м о ж но
суди ть о
ха р а кте р е
б е зр а зм е р на я ве ли ч и на , а по е го зна ку
а си м м е тр и и . Ни ж е
ко эффи ци е нта а си м м е тр и и р а спр е де ле ни я Ре ле я
пр и ве де но
выч и сле ни е
38
−x2 p1 ( x) := x ⋅ exp 2
⌠ M1 (ξ ) :=
∞
⌡0
x ⋅ p1 ( x) dx
∞
⌠ 2 µ21 ( ξ ) := ( x − M1 (ξ )) ⋅ p1 ( x) dx ⌡0
∞
⌠ µ31 ( ξ ) := ⌡0
(x − M1 (ξ ))3 ⋅ p1 (x) dx
σ1 ( ξ ) := µ21 (ξ )
β1 ( ξ ) :=
1
p1( x)
µ31 (ξ ) σ1 (ξ )
3
1 ⋅ 2 β1 ( ξ ) → 8 ⋅
0.5
3 1 3 2 2 2⋅π − ⋅ 2⋅ π
2
) 2
( −2 ⋅ π + 8 0
2
3
4
x
p2 ( x) := 12 ⋅ x2 ⋅ ( 1 − x)
⌠ M2 (ξ ) := x ⋅ p2 ( x) dx ⌡0 1
⌠ 2 µ22 ( ξ ) := (x − M2 ( ξ ) ) ⋅ p2 ( x) dx ⌡0 1
⌠ 3 µ32 ( ξ ) := (x − M2 ( ξ ) ) ⋅ p2 ( x) dx ⌡0 1
µ32 (ξ ) σ2 ( ξ ) := µ22 (ξ ) β2 ( ξ ) := 3 σ2 (ξ )
β2 ( ξ ) →
−2 7
2
p2( x)
1
0
1
2
У к азание . Д ля то го ч то б ы выч и сли тьзна ч е ни е ко эффи ци е нта а си м м е тр и и , выде ли те выр а ж е ни е для не го , ще лкни те в стр о ке Floating Point в м е ню Symbolics и ука ж и те в о кне ди а ло га ч и сло де сяти ч ныхзна ко в в выво де .
39
К а к ви дно , ко эффи ци е нта си м м е тр и и пе р во го р а спр е де ле ни я по ло ж и те ле н и у гр а фи ка пло тно сти ве р о ятно сте й «кр уч е
ле вый скло н». У вто р о го
р а спр е де ле ни я, на о б о р о т, ко эффи ци е нт а си м м е тр и и о тр и ца те ле н и у гр а фи ка пло тно сти ве р о ятно сти «кр уч е пр а вый скло н». Зад ани е 5.7 В ыч и сли те ко эффи ци е нт а си м м е тр и и случ а йно й ве ли ч и ны ξ с за да нным р а спр е де ле ни е . Поря д оквы полне ни я зад ани я 1. Опр е де ли те зна ч е ни я па р а м е тр о в р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны. 2. Опр е де ли те це нтр а льный м о м е нттр е тьего по р ядка ка к функци ю па р а м е тр о в р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны. 3. Опр е де ли те це нтр а льный м о м е нтвто р о го по р ядка ка к функци ю па р а м е тр о в р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны. 4. В ыч и сли те ко эффи ци е нта си м м е тр и и . 5. По стр о йте гр а фи к пло тно сти ве р о ятно сти . При м е р вы полне ни я зад ачи Случ а йна я ве ли ч и на ξ и м е е тно р м а льно е р а спр е де ле ни е N(1,3). На йде м ко эффи ци е нта си м м е тр и и . Ни ж е пр и ве де но р е ше ни е за да ч и в ср е де Mathcad.
40
a := 1 σ := 3 ∞
⌠ −1 x − a 2 1 3 ( x − a) ⋅ µ3 ( a , σ ) := ⋅ exp ⋅ dx 2 σ 2⋅π ⋅σ ⌡− ∞ µ3 (a , σ ) → 0 ∞ ⌠ −1 x − a 2 1 ( x − a) 2 ⋅ µ2 ( a , σ ) := ⋅ exp ⋅ dx 2 σ 2⋅π ⋅σ ⌡− ∞ β (ξ ) :=
µ2 (a , σ )
µ2 (a , σ ) → 3
β (ξ ) → β (ξ )
µ3 (a , σ ) 3 2
dnorm ( x, 1 , 3)
0.12
2
0.1
0
2
4
x
Из пр и ве де нных выч и сле ни й ви дно , ч то ко эффи ци е нта си м м е тр и и но р м а льно го р а спр е де ле ни я р а ве н нулю. Эксце с с Но р м а льно е
р а спр е де ле ни е
на и б о ле е
ч а сто
и спо льзуе тся в те о р и и
ве р о ятно сте й и м а те м а ти ч е ско й ста ти сти ке , и по это м у гр а фи к пло тно сти ве р о ятно сте й но р м а льно го ко то р ым
р а спр е де ле ни я ста л сво е го
ср а вни ва ют др уги е
р а спр е де ле ни я.
Одни м
р о да эта ло но м , с из
па р а м е тр о в,
о пр е де ляющи х о тли ч и е ср а вни ва е м о го р а спр е дле ни я о тно р м а льно го , являе тся эксце сс. Эк с цес с γ случ а йно й ве ли ч и ныξ о пр е де ляе тся р а ве нство м γ =
µ4 ( Dξ ) 2
− 3.
У но р м а льно го р а спр е де ле ни я, е сте стве нно , γ = 0. Если γ >0, то это о зна ч а е т, ч то гр а фи к пло тно сти ве р о ятно сте й ρξ(x) си льне е "за о стр е н", ч е м у
41
но р м а льно го р а спр е де ле ни я, е сли ж е γ < 0, то "за о стр е нно сть" гр а фи ка ρξ(x) м е ньше , ч е м у но р м а льно го р а спр е де ле ни я. Зад ани е 5.8 В ыч и сли те эксце сс случ а йно й ве ли ч и ныξ с за да нным р а спр е де ле ни е м . Поря д оквы полне ни я зад ани я 1. Опр е де ли те зна ч е ни я па р а м е тр о в р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны. 2. Опр е де ли те це нтр а льный м о м е нтч е тве р то го по р ядка ка к функци ю па р а м е тр о в р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны. 3. Опр е де ли те це нтр а льный м о м е нтвто р о го по р ядка ка к функци ю па р а м е тр о в р а спр е де ле ни я случ а йно й ве ли ч и ны. 4. В ыч и сли те ко эффи ци е нта си м м е тр и и . 5. По стр о йте гр а фи к пло тно сти ве р о ятно сти . При м е р вы полне ни я зад ани я Ни ж е
пр и ве де ны выч и сле ни я эксце сса и гр а фи ки со о тве тствующи х
пло тно сте й ве р о ятно сте й для двух случ а йных ве ли ч и н, пе р ва я и м е е т р а спр е де ле ни е Л а пла са , пло тно сть ве р о ятно сте й ко то р о го
p( x) =
1 −x e , а 2
вто р а я р а спр е де ле на р а вно м е р но на о тр е зке [-1,1]. Д ля ср а вне ни я вм е сте с гр а фи ка м и пло тно сти ве р о ятно сте й и ссле дуе м ых случ а йных ве ли ч и н пр и ве де н гр а фи к пло тно сти ве р о ятно сте й но р м а льно го р а спр е де ле ни я N(0,1).
42
p ( x) :=
1 2
⋅ exp( −x) p2 ( x) :=
1 2
∞
⌠ 2 µ21 ( ξ ) := 2 ⋅ x ⋅ p ( x) dx ⌡0 ∞ ⌠ 4 µ41 ( ξ ) := 2 ⋅ x ⋅ p ( x) dx ⌡0 γ1 ( ξ ) :=
µ41 (ξ )
(µ21 (ξ ))2
γ1 ( ξ ) → 3
p1 ( x) :=
1 2
⌠ µ22 (η ) := x2 ⋅ p2 ( x) dx ⌡− 1 1 ⌠ µ42 (η ) := x4 ⋅ p2 ( x) dx ⌡− 1 µ42 ( η ) γ2 (η ) := −3 (µ22 (η ))2 1
−3
γ2 (η ) →
−6
p2 ( x) :=
1
⋅ ( exp ( − x ) )
5
if
2
0 if
p1 ( x)
x ≤ 1 x > 1
0.5
p2 ( x) dnorm ( x, 0 , 0.5)
3
2
1
0
1
2
3
x
У к азание . Mathcad не спр а вляе тся с выч и сле ни е м и нте гр а ло в функци й, за да нных р а зным и выр а ж е ни ям и на р а зных пр о м е ж утка х. П о это м у пр и выч и сле ни и м о м е нто в и спо льзуйте сво йство и нте гр а ла по си м м е тр и ч но м у пр о м е ж утку о т ч ётно й функци и . Д ля то го ч то б ы о пр е де ли ть пло тно сть ве р о ятно сте й р а вно м е р но го р а спр е де ле ни я, щёлкни те по кно пке в па не ли , вве ди те в пе р во й стр о ке выр а ж е ни е для функци и , щёлкни те по кно пке и вве ди те усло ви е ; а на ло ги ч но о пр е де ли те во вто р о й стр о ке функци ю на вто р о м пр о м е ж утке .
43
Ли те ратура 1. Т юр и н Ю .Н. Ста ти сти ч е ски й а на ли з да нных на ко м пьюте р е ⁄ Ю .Н. Т юр и н, А .А . М а ка р о в. — М .: ИНФ РА -М , 1998.— 528с. 2. Пли с А .И. MathСad: м а те м а ти ч е ски й пр а кти кум для эко но м и сто в и и нж е не р о в / А .И.Пли с, Н.А .Сли ви на .— М .: Ф и на нсы и ста ти сти ка , 2000.— 656с. 3. Б о р о ви ко в В . STATISTICA: и скусство а на ли за да нных на ко м пьюте р е / В . Б о р о ви ко в. — СП б .: П и те р , 2001.— 656с.
С О ДЕ РЖ А Н И Е 1. Ф ункци и и и нстр ум е нтыМ athCad … … … … … … … … … … … … … … … … … ..3 2. Случ а йные ве ли ч и ны. Ф ункци и р а спр е де ле ни я… … … … .… … … … … … … … 8 На и б о ле е р а спр о стр а не нные р а спр е де ле ни я ди скр е тных случ а йных ве ли ч и н… … … … … … … … … … … … … … … ..… … … … … … … … … … … … … .… 12 З а да ни е 2.1… … … … … … … .… … … … … … … … … … … … … … … .… … … .13 3. Не пр е р ывные случ а йные ве ли ч и ны… … … ..… … ..… … … … … … … … … … … 17 На и б о ле е р а спр о стр а нённые р а спр е де ле ни я не пр е р ывных случ а йных ве ли ч и н… ..… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .17 З а да ни е 3.2… … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… … … … … ..… 24 З а да ни е 3.3… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… ..26 З а да ни е 3.4… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… ..27 4. К ва нти ли … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… 27 З а да ни е 4.5… .… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..… 28 5. Ч и сло вые ха р а кте р и сти ки случ а йныхве ли ч и н… … … … … … … … … … … … ..29 З а да ни е 5.6 … … .… … … … … … … … … … … .… … … … … ..… … … … … … ..33 З а да ни е 5.7… … … … … … … … … … .… … … … … … … … … … … … ..… … … 37 З а да ни е 5.8… … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… … … .… … … .39
44
Cо ста ви те льНо ви ко ва Не лля М и ха йло вна Ре да кто р Т и хо м и р о ва О. А .
