М И Н И СТ Е РСТ В О О Б РА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н ЫЙ У...
10 downloads
462 Views
314KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М И Н И СТ Е РСТ В О О Б РА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н ЫЙ У Н И В Е РСИ Т Е Т
Численны е м етоды обработки данны х всистем е MathCad
П р акт и ку м п о с п еци ально с т и «Рад и о ф и зи ка и элект р о ни ка» 071500
Во р о неж 2004
2
Ут вер жд ено нау чно -мет о д и чес ки м с о вет о м ф и зи чес ко го ф аку льт ет а (14.01.2004 г. п р о т о ко л № 1 )
Со с т ави т ели : Рад ченко Ю .С., Захар о в А.В
П р акт и ку м п о д го т о влен на каф ед р е р ад и о ф и зи ки ф и зи чес ко го ф аку льт ет а Во р о нежс ко го го с у д ар с т венно го у ни вер с и т ет а Реко менд у ет с я д ля д ля с т у д ент о в2 ку р с а д невно го о т д елени я (071500)
3
Содержание Час т ь I. Mathcad..................................................................... Общи е с вед ени я ................................................................. Час т ь II. Лабо р ат о р ные р або т ы № 1. Фу нкци о нальный мас ш т аб. И нт ер п о ляци я.......... № 2. Чи с ленно е и нт егр и р о вани е..................................... № 3. П р и менени е и нт егр ала вер о ят но с т и д ля анали за д анных № 4.М о д ели р о вани е с лу чайных вели чи н. М ет о д М о нт е-К ар ло № 5 П ер ви чная о бр або т ка д анных. ................................ Час т ь 1. Выбо р о чные мо мент ы. Рас чет п о гр еш но с т ей Час т ь 2. Выбо р о чные р ас п р ед елени я. К р и т ер и и с о глас и я № 6 М ет о д наи меньш и х квад р ат о в.................................. П р и ло жени е............................................................................ Н еко т о р ые вс т р о енные ф у нкци и Mathcad..................... Ли т ер ат у р а..............................................................................
3 9 11 13 16 18 20 24 27 30
Часть I. Mathcad М ат емат и чес ки й п акет Mathcad п о зво ляет с п еци али с т ам, не вд аваяс ь в т о нко с т и п р о гр амми р о вани я, р еали зо ват ь мат емат и чес ки е мо д ели . От мет и м ко нкр ет ные п р еи му щес т ва п акет а Mathcad: • мат емат и чес ки е выр ажени я в с р ед е Mathcad зап и с ываю т с я в и х о бщеп р и нят о м ви д е. Текс т о вый п р о цес с о р п акет а п о зво ляет о ф о р ми т ь, нап р и мер , нау чну ю с т ат ью . Mathcad — эт о п о лно ценно е Windowsп р и ло жени е, п о эт о му ClipBoard (Б у ф ер Обмено в) п о зво ляет п ер енес т и ф р агмент ыMathcad-д о ку мент а вр азли чные п р и ло жени я ; • в с р ед е Mathcad п р о цес с с о зд ани я п р о гр аммы и д ет п ар аллельно с ее о т лад ко й; • в п акет Mathcad и нт егр и р о ван д о во льно мо щный мат емат и чес ки й ап п ар ат . Во т неп о лный п ер ечень вычи с ли т ельных и нс т р у мент о в, д о с т у п ных в с р ед е Mathcad: 1) р еш ени е алгебр аи чес ки х у р авнени й и с и с т ем (ли нейных и нели нейных); 2) р еш ени е с и с т ем о быкно венных д и ф ф ер енци альных у р авнени й ; 3) р еш ени е д и ф ф ер енци альных у р авнени й вчас т ных п р о и зво д ных; 4) р або т а с вект о р ами и мат р и цами (ли нейная алгебр а и д р .); 5) п о и с кмакс и му мо ви м и ни м у мо вф у нкци о нальных зави с и мо с т ей; 6) с т ат и с т и чес кая о бр або т ка д анных; • п акет Mathcad д о п о лнен с п р аво чни ко м п о о с но вным мат емат и чес ки м и ф и зи ко -хи ми чес ки м ф о р му лам и ко нс т ант ам : • вп акет Mathcad и нт егр и р о ваныс р ед с т ва с и м во льно й мат емат и ки .
4
Ри с . 1. Окно д о ку мент а Mathcad 8.0 1 — п анель и нс т р у мент о в; 2 — кно п ки ф о р мат и р о вани я т екс т а; 3 — мат емат и чес ко е меню ; 4 — выбр анные п анели мат емат и чес ко го меню . А рифм етич еские вы ч исления Д л я вы чис л ен ия зн а чен ий а риф м ет ичес ких вы ра ж ен ий в р або чем п о ле Mathcad с лед у ет с п о мо щью клави ат у р ы и ли нажав на п и кт о гр амму кальку лят о р а вмат емат и чес ко м меню Mathcad (с м. р и с . 1) набр ат ь выр ажени е, завер ш аю щеес я знако м “ =”. П р и м е р.
1−
3 + 0.2 ⋅ 4 = 1.2 5
И сп ользование форм ул вMathcad Д л я н а б ора ф орм ул в Mathcad мо жно и с п о льзо ват ь чи с ла, п ер еменные, ф у нкци и как с т анд ар т ные (вс т р о енные), т ак и о п р ед еляемые п о льзо ват елем, а т акже р азли чные мат емат и чес ки е о п ер ат о р ы (с ло жени я, вычи т ани я, у м но жени я, д елени я, во звед ени я в с т еп ень, и нт егр и р о вани я, д и ф ф ер енци р о вани я и т .д .). Н або р ф о р му л мо жно о с у щес т влят ь т акже с п о мо щью п анели мат емат и чес ко го меню Mathcad (с м. р и с . 1). Зам еч ание. Им ен а вс т роен н ы х ф ун кций н ечувс т вит ел ьн ы к шриф т у, н о чувс т вит ел ьн ы к регис т ру (верхн ем у, н иж н ем у) — их с л едует печа т а т ь в т очн ос т и, ка к он и приведен ы в н а с т оящ ем пос об ии или докум ен т а ции по Mathcad. Д л я определ ен ия перем ен н ой с лед у ет п о с ле у казани я ее и мени ввес т и знак п р и с во ени я “ :=” (нажав клави ш у “ :”), п о с ле ко т о р о го вво д и т с я алгебр аи чес ко е (и ли ло ги чес ко е) выр ажени е, вс е о п ер анд ыко т о р о го д о лжныбыт ь о п р ед елены. Замет и м, чт о знак“ :=” д ейс т ву ет п о п о лю Mathcad п р авее и ни же у казанно го выр ажени я. Е с ли вмес т о знака “ :=” вво д и т ь “ ≡ ” (клави ш а “ ~”, а т акже с м. меню
5
на р и с . 1), т о его д ейс т ви е р ас п р о с т р аняет с я п о вс ему п о лю д о ку мент а незави с и мо о т мес т о п о ло жени я р ас с мат р и ваемо го выр ажени я. То ес т ь знак “ ≡ ” о п р ед еляет , во т ли чи е о т “ :=”, п ер еменну ю гло бально . П р и м е р. z=0.2 v=0.9 x:=1 y:=4 z:= x + y v := x + 2 ⋅ y 10
10
Д л я определ ен ия ф ун кции о д но го и ли нес ко льки х п ер еменных т р ебу ет с я зад ат ь и мя ф у нкци и , у казав в кр у глых с ко бках чер ез зап ят у ю и мена ее ар гу мент о в, и п р авее знака “ :=” (и ли “ ≡ ”) ввес т и с о о т вет с т ву ю щее ф у нкци и ар и ф мет и чес ко е (и ли ло ги чес ко е) выр ажени е. П о с ле о п р ед елени я ф у нкци и ее мо жно и с п о льзо ват ь в выр ажени и как с т анд ар т ну ю (вс т р о енну ю ) ф у нкци ю Mathcad. Ос о бо о т мет и м, чт о к мо мент у вычи с лени я п о ф о р му ле вс е п ер еменные вэт о й ф о р му ле д о лжныбыт ь о п р ед елены. П р и м е р. f(x, y):= sin(x) + x2 − 2 ⋅ y ⋅ cos(x + y) о п р ед елени е ф у нкци и f(x,y) 2 g(x) := cos(x + 1) − f(4, x) и с п о льзо вани е ф у нкци и f(x,y) ввычи с лени ях Работасвекторам и и м атрицам и Д ля вво д а мат р и цы (и ли вект о р а) т р ебу ет с я п р о д елат ь с лед у ю щу ю п о с лед о ват ельно с т ь о п ер аци й: 1. Зад аем и мя мат р и цыи вво д и м знакп р и с ваи вани я. Н ап р и мер , д ля зад ани я мат р и цы“ A” п и ш ем “ A:”. П о лу чаем “ A:=”. 2. В п анели мат емат и чес ко го меню Mathcad нажи маем на кно п ку с и зо бр ажени ем мат р и цы. П о с ле эт о го на экр ане д и с п лея во зни кает о кно р або т ыс мат р и цами . Вэт о м о кне д ва п о ля и т р и кно п ки . 3. Вп ер во м п о ле с лед у ет у казат ь чи с ло с т о лбцо вс о зд аваемо й мат р и цы, а во вт о р о м — чи с ло с т р о к(п о у мо лчани ю вэт и х п о лях зап и с аныт р о йки ) Д ля с о зд ани я мат р и цы щелкаем п о кно п ке Create (Со зд ат ь). Д ве о с т альные кно п ки Insert (Вс т ави т ь) и Delete (Уд али т ь) п р ед назначеныд ля и зменени я р азмер о в р анее с о зд анных мат р и ц: зад анно е в п о лях чи с ло с т о лбцо в и ли (и ) с т р о к вс т авляет с я (у д аляет с я) п р авее и ни же о т меченно го ку р с о р о м элемент а у же с о зд анно й мат р и цы. 4. П о с ле щелчка п о кно п ке Create с п р ава о т выр ажени я п о являет с я ш абло н д ля вво д а и нф о р маци и . Зап о лнени ем ваканс и й завер ш ает с я ф о р ми р о вани е мат р и цы. Вт о р о й вар и ант ф о р ми р о вани я мат р и ц и вект о р о в о с у щес т вляет с я чер ез п ер еменные с и нд екс ами , нап р и мер , Ai,j , Bi . И нд екс к и мени п ер еменно й п р и п ечат ывает с я нажат и ем ли бо на кно п ку Xi на п анели мат емат и чес ки х и нс т р у мент о в, ли бо на клави ш у “ [”. Зам еч ание. Н о мер п ер во го элемент а вект о р о в и мат р и ц хр ани т п ер еменная ORIGIN. Э т а п р ед о п р ед еленная (с и с т емная) п ер еменная, п о у мо лчани ю ORIGIN=0. И змени т ь значени е с и с т емно й п ер еменно й ORIGIN мо жно ли бо в п у нкт е меню Math (п о д п у нкт (Вс т р о енные п ер еменные)), ли бо чер ез ко манд у п р и с ваи вани я вп о ле д о ку мент а Mathcad.
6
Оп ер аци и с мат р и цам и и вект о р ами о с у щес т вляю т с я п о т ем же п р ави лам, чт о и д ля ар и ф мет и чес ки х выр ажени й (с м . П р и ло жени е). П р и м е р 1. ORIGIN:=1 о п р ед еляем но мер п ер во го элемент а 1 1 A:= ф о р ми р у ем мат р и цу A 5 3
138 B:= 540
ф о р ми р у ем мат р и цу B
X:= A −1B
р еш аем мат р и чно е у р авнени е AX=B
63 X = 75
выво д р еш ени я
0 AX − B = 0
п р о вер ка
П р и м е р 2. ORIGIN:=0 A 0,0:= 1
A 0,1:= 1
A 1,0:= 5
A 1,1:= 3
о п р ед еляем но мер п ер во го элемент а ф о р ми р у ем мат р и цу A ф о р ми р у ем мат р и цу B р еш аем мат р и чно е у р авнени е AX=B выво д р еш ени я п р о вер ка
B0 := 138 B0:= 540
X := lsole(A,B) X 0 := 63
X1:= 75
A 0,0X 0 + A 0,1X1 − B 0 = 0 A 1,0X 0 + A 1,1X1 − B 1 = 0
П остроение графиковвсреде Mathcad 60 50
x( α ) y(α)
0
z( α )
50 60 0 0
1
2
3 α
4
5
6 6
Ри с . 2. Д екар т о вгр аф и к Д вум ерн ы й дека рт ов гра ф ик с т ро и т с я вт р и эт ап а: 1. Зад ает с я ви д ф у нкци й о д но й п ер еменно й. 2. Фо р ми р у ет с я вект о р значени й ар гу мент а. 3. Н еп о с р ед с т венно е п о с т р о ени е гр аф и ка: a) р и с о вани е на экр ане д и с п лея заго т о вки гр аф и ка п р и нажат и и на о д ну и з кно п о кмат емат и чес ко го меню «Гр аф и ки »;
7
b) зап о лнени е заго т о вки гр аф и ка и менем ф у нкци и и и менем ар гу мент а. В с лу чае, ес ли ф у нкци й бо льш е о д но й, т о и х и мена вво д ят с я чер ез зап ят у ю . Гр аф и к п о являет с я на д и с п лее п о с ле выво д а ку р с о р а и з зо ны гр аф и ка (авт о мат и чес ки й р ежи м р ас чет о в) и ли п о с ле нажат и я клави ш и F9 (р у чно йр ежи м р ас чет о в); c) ес ли п ар амет р ы гр аф и ка, у с т ано вленные п о у мо лчани ю , п о льзо ват ель хо чет и змени т ь, т о д во йным щелчко м лево й клави ш и мыш и , ко гд а у казат ель мыш и нахо д и т с я в п о ле гр аф и ка, вызват ь с о о т вет с т ву ю щее меню . Д л я за да н ия диа па з он а изм ен ен ия перем ен н ой с лед у ет р у ко во д с т во ват ьс я с лед у ю щи м п р ави ло м : x: = x1 ,x 2 .. x n . Зд ес ь x1 — п ер во е значени е, x 2 — вт о р о е значени е и x n — п о с лед нее значени е. Таки м о бр азо м, ш аг и зменени я о т x1 д о x n бу д ет x 2 -x1 . Е с ли же и с п о льзу ет с я зап и с ь x: = x1 .. x n , т о ш аг и зменени я п ер еменно й x бу д ет п о у мо лчани ю р авен 1. Д ля вво д а “ ..” с лед у ет нажат ь клави ш у “ ;” и ли во с п о льзо ват ьс я мат емат и чес ко й п анелью меню . П р и м е р 1. i :=0 .. 10 i п р и ни мает значени я о т 0 д о 10 с ш аго м 1 j :=-15,-14 .. 12 j п р и ни мает значени я о т -15 д о 12 с ш аго м 1 П р и м е р 2. a :=1 b :=2 c :=20 −c ⋅ (a + b) ⋅ sin(2 ⋅ α ) c ⋅ [a-cos(α)2 ⋅ (a + b)] c ⋅ cos(α ) z(α): = (a + b) ⋅ y(α ): = −a −2 ⋅ a a α: = 0,5 ⋅ deg .. 360 ⋅ deg (deg — п о у мо лчани ю о д и н у гло во й гр ад у с ). x(α ): =
Чтение и зап ись данны х В п акет е Mathcad и мею т с я с т анд ар т ные ф у нкци и д ля чт ени я д анных и з ф айла, а т акже зап и с и и ли д о бавлени я д анных в ф айл. Ст р у кт у р и р о ванные ф айлыи мею т р ас ш и р ени е prn. Ч т ен ие да н н ы х п р о и зво д и т с я с п о мо щью ко манд ыREADPRN(file). П р о цед у р а READPRN(file) о с у щес т вляет п р и с ваи вани е мат р и це значени й и з с т р у кт у р и р о ванно го ф айла с и менем file (ф айл и меет р ас ш и р ени е prn). П р и эт о м р азмер мат р и цы у с т анавли вает с я в с о о т вет с т ви и с о бъемо м ф айла. К о п и р о вани е д анных и з ф айла п р о и зво д и т с я п о с т р о чно . К ажд о й с т р о ке мат р и цыс о о т вет с т ву ет с т р о ка ф айла. П р и м е р. A :=READPRN(“ D:\TSR\Paper1.prn”)
8
Д л я з а писи да н н ы х в ф а йл с лед у ет во с п о льзо ват ьс я ф у нкци ей WRITEPRN(file). Фу нкци я WRITEPRN(file) выво д и т мат р и цу в с т р у кт у р и р о ванный ф айл file (с р ас ш и р ени ем prn). П р и м ер ORIGIN :=0 i :=0, 2 .. 10
j :=0 .. 8
Yi,j := sin(i − j)
WRITEPRN(“ d:\ user \ file2.prn“ ) := Yi,j Д л я доб а вл ен ия да н н ы х к с ущ ес т вующ ем у ф а йл у и с п о льзу ет с я ф у нкци я APPENDPRN. Фу нкци я APPENDPRN(file) д о бавляет мат р и цу к с у щес т ву ю щему на д и с ке с т р у кт у р и р о ванно м у ф айлу file. П р и м ер .
APPENDPRN(“d:\ user \ file.prn”) := A
Знаком ство сMathcad Ц ель работы . И зу чи т ь во змо жно с т и р або т ы в с р ед е Mathcad п о п р ед ло женно му ни же п лану , п о д кр еп ляя и зу чени е вып о лнени ем с о о т вет с т ву ю щи х зад ани й. 1. П р о и звес т и р азли чные ар и ф мет и чес ки е и алгебр аи чес ки е д ейс т ви я. 2. Вып о лни т ь р ас чет ып о ф о р му лам. 3. Вект о р ыи мат р и цы. Зад ат ь нес ко лько вект о р о в и мат р и ц п р о и зво льно й р азмер но с т и (д ву м я с п о с о бами ) и п р о и звес т и с ни ми р азли чные о п ер аци и . 4. П о с т р о ени е гр аф и ко в. П о с т р о и т ь гр аф и клю бо й ф у нкци и , и змени т ь п ар амет р ыгр аф и ка, нанес т и на о д и н гр аф и кд ве-т р и кр и вые. 5. Чт ени е д анных и з ф айла и зап и с ь вф айл. П р о чи т ат ь ф айл д анных, с о о т вет с т ву ю щи х Ваш ем у вар и ант у , п р ео бр азо ват ь вект о р д анных вмат р и цу , п р ед с т ави т ь д анные вви д е гр аф и ка. Зап и с ат ь ф айл.
9
Часть II. Л абораторны е работы Л А Б О РА Т О РН А Я РА Б О Т А № 1 Ф У Н К Ц И О Н А Л Ь Н ЫЙ М А СШ Т А Б . И Н Т Е РП О Л Я Ц И Я ОБ Щ И Е СООТ Н ОШ Е Н И Я . Д ля у д о бно го гр аф и чес ко го п р ед с т авлени я ф у нкци о нально й зави с и мо с т и y=f(х) мо гу т п р и менят ьс я: a) ло гар и ф ми чес ки й мас ш т аб; b) о бр ат ный ф у нкци о нальный мас ш т аб; c)п р ямо й ф у нкци о нальный мас ш т аб. ОБ РАТ Н Ы Й ФУН К Ц И ОН АЛЬН Ы Й М АСШ Т АБ . П у с т ь y=f(х)=f(kx). П р ео бр азу ем гр аф и к в п р ям у ю ли ни ю у*=kx. Э т о мо жно с д елат ь п р ео бр азо вани ем y* = f −1 ( y ) . Е с ли и с хо д ная ф у нкци я и меет бо лее о бщу ю зави с и мо с т ь y = f (x ) = f ((x − c ) / s ) , т о д анно е п р ео бр азо вани е ко о р д и нат ы у д ает у р авнени е вс и с т еме ко о р д и нат (x,y*) y* = ( x − c ) / s П рим ер: у = 1-ехр (- k(x-с )), х > с . П р ео бр азо вани е у* = — ln(1-у) п р и во д и т ку р авнени ю п р ямо йли ни и у* = k(x-c). Обр ат ный ф у нкци о нальный мас ш т аб у д о бно п р и менят ь к "S" -о бр азным кр и вым. П РЯ М ОЙ ФУН К Ц И ОН АЛЬН Ы Й М АСШ Т АБ . П у с т ь y=f{x)=kf1(x)+c. То гд а п р ео бр азо вани е х* = f1 (x) п р и во д и т гр аф и к к п р ямо й ли ни и у = kx* + с . Тако й ф у нкци о нальный мас ш т аб целес о о бр азно и с п о льзо ват ь д ля "U" и "J"о бр азных кр и вых. П рим ер: y = 5tg ( x ) − 2.5, − π / 2 < x < π / 2, x* = tg ( x ) . То гд а у = 5х* 2.5. Обр ат и т е вни мани е, чт о о бр ат ный ф у нкци о нальный мас ш т аб в эт о м п р и мер е менее у д о бен, т ак как бес ко нечну ю кр и ву ю о н п р ео бр азу ет в ко нечный о т р езо к п р ямо й (− π / 2 < x < π / 2; − π / 2 < x < π / 2;) , а эт о п р и вед ет к с гу щени ю т о чекна ко нцах о т р езка. ВЕ РОЯ Т Н ОСТ Н АЯ Б УМ АГ А. Вер о ят но с т но й бу маго й называет с я ф у нкци о нальный мас ш т аб, в ко т о р о м ф у нкци я р ас п р ед елени я F(x) с лу чайно й вели чи ны х п р ео бр азу ет с я в п р яму ю ли ни ю . Д ля эт о го с лу чая нео бхо д и мо п р и мени т ь о бр ат но е ф у нкци о нально е п р ео бр азо вани е у* = F-1 (y) . Е с ли на вер о ят но с т но й бу маге п о с т р о и т ь п о ли го н нако п ленных час т о т Рq (хq ), хq ∈[a;a+q∆], гд е1 ≤ q ≤ r , ∆ = ( b − a ) / r , т о :
( )
1) нели нейная зави с и мо с т ь Ρ*q = F −1 Ρ q о т хq у казывает на нес о о т вет с т ви е эмп и р и чес ко й и т ео р ет и чес ко й ф у нкци й р ас п р ед елени я; ли нейная зави с и мо с т ь, нап р о т и в, го во р и т о с о о т вет с т ви и эмп и р и чес ко й и т ео р ет и чес ко й ф у нкци й р ас п р ед елени я; 2) п о ли нейно й зави с и мо с т и Ρ*q = ( x − c ) / s легко найт и п ар амет р ы с и s в ф у нкци и р ас п р ед елени я F(x) с лу чайно й вели чи ных. И Н ТЕ РП ОЛЯ Ц И Я ЛАГРАН Ж А, Н ЬЮ ТОН А. Е с ли зад аны n+1 у зло в ( xk , yk ) , k = 0..n , т о мо жно чер ез у казанные т о чки п о с т р о и т ь и нт ер п о ляци о нный п о ли но м с т еп ени «n» ви д а
10 n
∑
1. Pn ( x ) =
k =0
L( x,k ) =
гд е
yk L( x,k ) ,
n
( x − xi ) ( x − xi ) i = 0 ,i ≠ k k
∏
вс п о мо гат ельные
п о ли но м ыЛагр анжа. 2. Pn ( x ) =
n
∑
k =0
ak N( x,k ) , гд е N( x,k ) =
k −1
∏ ( x − xi ) , i =0
(
ak = ∆ k y0 / k ! hk
)
Д ля у меньш ени я неу с т о йчи во с т и и нт ер п о ляци о нных п о ли но мо в п р и меняю т р ас п о ло жени е т о чекп о зако ну ну лей Чебыш ева xk =
(a + b) (b − a) +
2
2
( 2k − 1 ) cos π , a = x0 , b = xn 2( n + 1 )
Н аи бо лее т о чно е п р и бли жени е ф у нкци и д ает и нт ер п о ляци я с плай н ам и. В п акет е Mathcad и мею т с я с лед у ю щи е с т анд ар т ные ф у нкци и д ля и нт ер п о ляци и : linterp(VY,VY,x)- ф у нкци я д ля ку с о чно -ли нейно й и нт ер п о ляци и . VX, XYмас с и выу зло вых т о чек- { xk } ,{ yk } с о о т вет с т венно , x- значени е ар гу мент ; cspline(VX,VY)-вс п о мо гат ельная ф у нкци я д ля вычи с лени я мас с и ва VS вт о р ых п р о и зво д ных п р и и нт ер п о ляци и ку би чес ки м и с п лайнами ; interp(VS,VX,VY,x)- и нт ер п о ляци о нный п о ли но м п р и с п лайн-ап п р о кс и маци и . К онтрольны е задания 1. П о с т р о и т ь в ло гар и ф ми чес ко м мас ш т абе гр аф и ки ф у нкци й
(
)
x ∈ [1..5] ;
f ( x ) = exp − x 2 / 2 / x,
(
)
x ∈ [1..5] ; a = 0.5,1, 2;
f ( x ) = x exp − ax 2 / 2 ,
(
))
(
f ( x ) = 1 − exp − m ⋅ exp − x 2 / 2 , x ∈ [1..5] ; m = 10,50,80; Ρ ( k ) = λ k exp ( − λ ) / k!, k ∈ [1..6] ; λ = 0.5,1, 2; f (z, m) = 1 −
z+ 4
∫
exp( −m ⋅ exp(−
0 h
x2 f (h,n) = 1 − 2k ∫ 1 + n 0
2. Оп р ед ели т ь,
x2 (x − z) 2 )− )dx / 2 π z ∈ [1..6] , m = 10,40 2 2
− (n +1) / 2
dx, h ∈ [0..8], n = 2,8, 20
како й о д но й и з д ву х во змо жных ф у нкци о нальных
(
)
зави с и мо с т ей y = 1 − exp ( −lx ) , y = 1 − exp −l 2 x 2 , п р и над лежат д анные и з ф айло в El.prn,..., E10.prn. Н айт и значени е l. (Д анные в ф айлах зап и с анып о п ар но (x,y) д ля кажд о й т о чки гр аф и ка). 3. П о с т р о и т ь и нт ер п о ляци о нные п о ли но м ы Лагр анжа д ля зави с и мо с т ей и з ф айло в Lag1.prn..Lag10.prn. 4. Рас с мо т р ет ь п р и мер Ру нге. П о с т р о и т ь и нт ер п о ляци о нные п о ли но мы Лагр анжа с р авно мер но й с ет ко й, с у злам и Чебыш ева. И с п о льзо ват ь и нт ер п о ляци ю с п лайнами . 5. Н айт и о бр ат ные ф у нкци и д ля д анных, и мею щи х ф у нкци о нальные зави с и мо с т и
11
a) F(x)=1-exp(-xc ) b) F(x)=arctg((x-a)/c)
c) F(x)=Φ((x-m)/σ)
d)
x
F(x)=1-1/(1+x2k ) e) F( x ) = (Γ (c) )−1 ∫ x c −1 exp( − x )dx
f) F(x)=arcsin(x/c)
g)
0 k
F(x)=1-1/(x/c) 6. П р и п о мо щи вер о ят но с т но й бу маги о п р ед ели т ь, к како му т и п у р ас п р ед елени я – но р мально му и ли р елеевс ко м у п р и над лежат ф у нкци и р ас п р ед елени я, зап и с анные вф айлах Paper1.prn,… Paper 10.prn. Л А Б О РА Т О РН А Я РА Б О Т А № 2 ЧИ СЛ Е Н Н О Е И Н Т Е ГРИ РО В А Н И Е Рас с мо т р и м зад ачу вычи с лени я о п р ед еленно го и нт егр ала I = ф у нкци и y = f(x) на и нт ер вале x ∈ [ a; b ] . И нт егр ал I п р и бли женно п р ед с т авляет с я вви д е квад р ат у р но й ф о р му лы I ≈ IN =
b
∫
f ( x ) dx
a
N
∑
i =0
Ai f ( x i ) ,
(1)
гд е ко эф ф и ци ент ы Ai и т о чки о т с чет а (у злы) xi о п р ед еляю т с я вс о о т вет с т ви и с выбр анным с п о с о бо м ап п р о кс и маци и п о д и нт егр ально й ф у нкци и f(x). П о гр еш но с т ь квад р ат у р но й ф о р му лы (1) зави с и т о т ви д а ап п р о кс и м и р у ю щи х ф у нкци й f ai (x) , а т акже о т р ас п о ло жени я и ко ли чес т ва у зло в xi . То чно с т ь ф о р му лы(1) у вели чи вает с я с р о с т о м чи с ла у зло вN. П р и п р акт и чес ки х р ас чет ах значени е N о бычно выби р аю т и з с о о т но ш ени я ( I2 N − I N ) / I2 N < ε , (7) П ер ечи с ли м наи бо лее у п о т р еби т ельные квад р ат у р ные ф о р м у лы чи с ленно го и нт егр и р о вани я д ля р авно о т с т о ящи х у зло в xi = a + ih , гд е h = (b − a ) / N - ш аг и нт егр и р о вани я. Укажем т акже о ценки п о гр еш но с т ейR кажд о й ф о р му лы. 1.Фо р му лып р ямо у го льни ко в: М о д и ф и ци р о ванная ф о р му ла п р ямо у го льни ко в. Фу нкци я f(x) на кажд о м и з и нт ер вало в[ x i ; x i+1 ] заменяет с я на п о с т о янну ю f ai = f ( x i + h / 2) . То гд а
I ≈h
N −1
∑
i =0
f ( xi + h / 2) = h
N
∑
i =1
f ( xi − h / 2) .
П о гр еш но с т ь ф о р му л п р ямо у го льни ко вр авна R = ( Nh3 / 24) f ( 2)' (ξ ) . Зд ес ь и
( x) п о ни мает с я m-я п р о и зво д ная ф у нкци и f(x), а ξ ∈ [ a; b] т о чка макс и м у ма ф у нкци и f ( m)' ( x ) . 2. Фо р му ла т р ап еци й. Зд ес ь ф у нкци я f(x) на кажд о м и нт ер вале [ x i ; x i +1 ] заменяет с я на ку с о чно -ли нейну ю ф у нкци ю , с о вп ад аю щу ю с о значени ями ф у нкци и f(x) п р и x = xi и x = xi+1 . Фо р му ла и меет ви д д алее п о д f
(m)'
N −1 f (a ) + f (b) I ≈ h ∑ f ( xi ) + , 2 i =1
R = ( Nh 3 / 12) f (3)' (ξ ) .
12
3. Фо р му ла Си м п с о на (ф о р му ла п ар або л). Фу нкци я f(x) на кажд о м и нт ер вале [ xi −1 ; xi +1 ] заменяет с я на п ар або лу . То гд а N / 2 −1 N/2 4 f ( x ) 2 + ∑ ∑ f ( x2i ) + f (a ) + f (b) , 2i −1 i =1 i =1 6 ( 4 )' R = ( Nh / 180) f (ξ ) . Зд ес ь с лед у ет выби р ат ь чет но е значени е N . 4. Фо р му лыН ью т о на-К о т ес а замкну т о го т и п а. Вкачес т ве ап п р о кс и ми р у ю щей ф у нкци и зд ес ь и с п о льзу ю т с я п о ли но мыЛагр анжа п о р яд ка n.
I ≈
h 3
I≈
n
∑ Ai f ( xi ),
i =0
b
Ai = ∫ Lk ( x )dx . a
П р и n > 8 ко эф ф и ци ент ыAi вф о р му лах Н ью т о на-К о т ес а и мею т гр о мо зд ки й ви д . П р и n ≥ 10 мет о д с т ано ви т с я чи с ленно неу с т о йчи вым и з-за п р ед с т авлени я ко эф ф и ци ент о в Ai вви д е д р о бей с бо льш и м чи с ло м значащи х ци ф р и с р азными знаками . 5. Э кс т р ап о ляци я п о Ри чар д с о ну . П о д хо д квычи с лени ю и нт егр ала с о с т о и т в т о м, чт о и нт егр ал вычи с ляет с я д важд ы: с чи с ло м п о д и нт ер вало вN и 2N и п о с лед у ю щи м о бъед и нени ем р езу льт ат о в. Так, п р и и с п о льзо вани и ф о р му лы т р ап еци й вкачес т ве базо во го алго р и т ма квад р ат у р но й ф о р му лып о лу чаем I ≈ ( 4I 2N − I N ) / 3 П р и и с п о льзо вани и ф о р му лыСи м п с о на I ≈ ( 16 I 2 N − I N ) / 15 6. Фо р му ла Гау с с а. То чно с т ь и нт егр и р о вани я п о квад р ат у р но йф о р м у ле (1) мо жно п о выс и т ь, ес ли о п т и м и зи р о ват ь значени я у зло в xi и вес о в Ai . Фо р му ла Гау с с а, гд е значени я x i выби р аю т с я вс о о т вет с т ви и с р ас п о ло жени ем ну лей п о ли но мо вЛежанд р а п о р яд ка n , а Ai с вязаныс эт и ми п о ли но мам и I ≈
n
∑
i =1
A j f ( xi ) ,
xi =
a + b ( b − a) + tj, 2 2
гд е n - п о р яд о к и с п о льзу емо го п о ли но ма Лежанд р а, ti -нер авно о т с т о ящи е значени я у зло в на с т анд ар т но м и нт ер вале [−1;1] , с о вп ад аю щи е с п о ло жени ем ну лей с о о т вет с т ву ю щего п о ли но ма Лежанд р а. Значени я у зло в ti и ко эф ф и ци ент о в Ai д ля р азли чных n р авны: п р и n = 1 : t1 = 1, A1 = 2 ; п р и n = 2 : t2 = −t1 = 0.577350269, A1 = A2 = 1 ; п р и n = 3 : t 3 = −t1 = 0.774596669 , t 2 = 0 , A1 = A3 = 0.555555555, A2 = 0.888888 ; п р и n = 4 : t4 = −t1 = 0.861136311, t3 = −t2 = 0.339981043, A1 = A4 = 0.347854845 , A2 = A3 = 0.652145155 ; п р и n = 5 : t5 = −t1 = 0.906179846 , t4 = −t2 = 0.538468310, t 3 = 0 , A1 = A5 = 0.236926885, A2 = A4 = 0.478628670; A3 = 0.568888888 . 6. Фо р му лыа) Гау с с а-Э р м и т а, б) Гау с с а-Лагер р а
13
а) I =
∞
∫
exp( − x 2 ) f ( x )dx ≈
n
∑ Ai f ( xi ) ;
i =0
−∞ ∞
n
∑ Ai f ( xi ) ,
б) I = ∫ exp( − x ) f ( x )dx ≈
i =0
0
гд е Ai ,xi с вязаныс п о ли но мам и Э р м и т а и Лагер р а п о р яд ка n. ЗАД АН И Я . И с п о льзу я о д ну и з ф о р му л чи с ленно го и нт егр и р о вани я, вычи с ли т ь и нт егр ал и з т абли цы f(x) a=0, b=3
2
1. x ,
f(x) a=-2.5,b=2.5
4
16. 1+x
2. sin(x+x2), a=0, b=0.8 3. cos(x) a=-1.5, b=1.5 4. (1+x2) -1 a=-4, b=4 5. x(1+exp(-x2))-1 a=0, b=1.5 6.ln(2+cos(x)) a=0, b=1.5 7. 1/(1+2x4) a=-2, b=2 8. cos(sin(x)) a=-1, b-1 9. cos(x3 ) a=-0.5, b=1.2 10. sin(x)/(2+sin(x)) a=0,b=1.5 11. exp(cos(x)) a=0, b=1 12. arctg(x-1) a=0.5 ,b=4 13. arctg(exp(-x)) a=-2, b=2 14. (x2 +1)/(x4 +1) a=0, b=4 15. sin(x)/(1+x4) a= 0,b=3
17 sin(x2) 18. cos(x2) 19. 1/(1+exp(-x)) 20 1/(2+cos(x2)) 21. sh(-x2) 22. sin(cos(x)) 23. x2/(1+ch(x2 )) 24. ln(1+x+x2 ) 25. exp(sin(x)) 26. sh(cos(x)) 27. cos (sh(x)) 28. sin(x)/x 29. sin(x2)/x2 30. sin(exp(-x2))
a=0,b=1.5 a=-1.5, b=1.5 a=-1,b=2 a=-2.5, b=2.5 a=0, b=3 a=0, b=1.5 a=0, b=2.5 a=0, b= 5 a=-1, b=1 a=0. b=1.5 a=-2, b=2 a=-3, b=3 a=-3,b=3 a=0, b=2
Л А Б О РА Т О РН А Я РА Б О Т А № 3 П РИ М Е Н Е Н И Е И Н Т Е ГРА Л А В Е РО Я Т Н О СТ И Д Л Я А Н А Л И ЗА Д А Н Н ЫХ ОБ Щ И Е СООТ Н ОШ Е Н И Я . Ст анд ар т ная гау с с о вс кая с лу чайная вели чи на η → N (0,1) и меет п ло т но с т ь вер о ят но с т и
(
W ( x ) = exp − x 2 2
)
2π
и ф у нкци ю р ас п р ед елени я Φ (x ) =
(1) x
∫
−∞
(
exp − t 2 / 2 2π
)dt
(2)
Д ля п р о и зво льно й гау с с о вс ко й с лу чайно й вели чи ны x → N (m,σ 2 ) п ло т но с т ь вер о ят но с т и W(x) и ф у нкци я р ас п р ед елени я F(x) и мею т ви д : W (x) =
(
exp − ( x − m )2 / 2σ 2 2πσ 2
),
(
exp − (t − m ) / 2σ x−m F (x ) = Φ = ∫ σ −∞ 2πσ 2 x
2
2
) dt
(3)
Фу нкци я Φ (− x) = 1 − Φ (x ), − ∞ < x < ∞ , Φ (0) = 0.5 . К р о ме ф у нкци и Φ (x ) , в вер о ят но с т ных р ас чет ах и с п о льзу ю т с я ф у нкци и
14 erf (x ) =
2
∫ exp (− t x
2
π 0
) dt,
erfc (x ) = 1 − erf ( x ) =
2
∫ exp (− t
∞
2
π x
) dt ,
(4)
.Д ля эт и х ф у нкци й и мею т мес т о с о о т но ш ени я erf (− x) = − erf (x); 0 < erf (x) < 1; erf (0) = 0; erf ( ∞ ) = 1;
С и нт егр ало м вер о ят но с т и эт и ф у нкци и с вязаныс о о т но ш ени ям и
(
(
Φ ( x ) = 1 + erf x
2
)) 2;
( )
erf ( x ) = 2Φ x 2 − 1;
Ц ент р альные мо мент ы µ k р авны:
1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (k − 1)σ k , k − чет н ое µ k =< ( x − m ) k >= 0, k − н ечет н ое
(5)
РАСЧЕ Т Н Ы Е СООТ Н ОШ Е Н И Я . Так как и нт егр ал вер о ят но с т и Φ (x ) являет с я с п еци ально й ф у нкци ей, т о п р о с т о го анали т и чес ко го с о о т но ш ени я д ля Φ (x ) нет . Д ля р ас чет а Φ ( x ) мо жно и с п о льзо ват ь с лед у ю щи е ап п р о кс и маци и
(
)(
Φ(x ) = 1 − exp − x 2 2 a1t + a2t 2 + a3t 3 t = 1 (1 + p x );
)
2π + ε ; x > 0; ε < 10−5 ;
(6)
p = 0.33267; a1 = 0.4361836; a2 = −0.1201676; a3 = 0.937298;
(
)(
Φ (x ) = 1− exp − x 2 2 b1t + b2t 2 + b3t 3 + b4t 4 + b5t 5 t = 1 (1 + p x );
)
2π + ε ; ε < 7.5 ⋅ 10 −8 ;
(7)
p = 0.2316419 ; b1 = 0.31938153 ; b2 = −0.356563782 ;
b3 = 1.781477937 ; b4 = −1.821255978 ; b5 = 1.330274429 ;
Д ля у т о чнени я значени й Ф(x) п р и бо льш и х ар гу мент ах х мо жет п р и менят ьс я ас и м п т о т и чес ки й р яд ( x > 2 ) Φ (x ) = 1 −
(
)1 − 1 + 3 + ... + (− 1) n1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2n − 1)
exp − x2 2 2π ⋅ x
(8)
Д ля р ас чет о вцелес о о бр азно бр ат ь n = 3 − 5 и x > 2.5 ...5 . x2
1 2π
x
∫
−∞
x 2n
Стандартны е функции систем ы MCAD вычи с ляет и нт егр ал вер о ят но с т ей
cnorm(x) – Φ(x) =
x4
exp( −
t2 )dt 2 x−µ σ
pnorm(x,µ,σ) вычи с ляет ф у нкци ю р ас п р ед елени я F( x ) = Φ x
erf(x)
вычи с ляет ф у нкци ю о ш и бо к (2 / π ) ∫ exp( − t 2 )dt 0
( x − µ) 2 / 2πσ 2 dnorm(x,µ,σ) – вычи с ляет w( x ) = exp − 2 2σ
qnorm(p,µ,σ)-вычи с ляет квант и ль но р мально го зако на с п ар амет р ами (µ,σ) д ля вер о ят но с т и р . К вант и ль р ас п р ед елени я п о р яд ка р являет с я р еш ени ем у р авнени я F(xq)=Φ((xq -µ)/σ)=p. Вычи с ляет о бр ат ну ю ф у нкци ю кΦ (( x − m ) / σ )
15
К онтрольны е задания 1. Зап р о гр амми р о ват ь вычи с лени е п о ф о р му ле (6), (7). 2. Зап р о гр амми р о ват ь вычи с лени е п о ф о р му ле (8). 3. Ср авни т ь вычи с лени е и нт егр ала вер о ят но с т и п р и п о мо щи ф у нкци и cnorm(x), ап п р о кс и маци и (6) и ас и мп т о т и чес ко й ф о р му лы (8). П о с т р о и т ь гр аф и ки р азли чных п р ед с т авлени й 1-Φ(х) в д и ап азо не 1<x<8 вло гар и ф ми чес ко м мас ш т абе. 4. Сф о р ми р о ват ь р еали заци ю и з 100 гау с с о вс ки х чи с ел, и с п о льзу я ф у нкци ю rnorm(n,µ,σ), п о с т р о и т ь гр аф и кэт о й р еали заци и . Задач и 1. Д ля с т анд ар т но й гау с с о вс ко й с лу чайно й вели чи ны x → N (0,1) вер о ят но с т ь како го и з нер авенс т вбо льш е P( x < 0.7) и ли P( x > 0.7 ) . 2. Генер ат о р ш у ма выр абат ывает гау с с о вс ки й с лу чайный п р о цес с с п ар амет р ами m=0 и σ = 1.5 во льт а. Чем у р авна вер о ят но с т ь т о го , чт о мгно венные значени я ш у ма нахо д ят с я в и нт ер вале [-1.5 в; +1.5 в], [-3 в; +3 в], [-4.5 в; +4.5 в]. 3. Н а п о р о го во е у с т р о йс т во с нап р яжени ем с р абат ывани я h во льт п о д ает с я гау с с о вс ки й ш у м с п ар амет р ами т =0.2 в и σ = 0.25 в. Рас с чи т ат ь вер о ят но с т ь п р евыш ени я мгно венным и о т с чет ами ш у ма п о р о го во го у р о вня 0.2
1
∞
∫
2π −∞
exp(− u 2 / 2)Φ M −1 (u + z)du . Заменяя ∞ чи с ло вым значени ем 5,
и с с лед у йт е Pe(z) вд и ап азо не 0< z<6 п р и р азных M ( М =2,3,5,10) 8. Н айт и квант и ль гау с с о вс ко го р ас п р ед елени я, с о о т вет с т ву ю щи й вер о ят но с т и Ρ = 0.4, 0.9, 0.95, 0.99 п р и m=1, σ=1, 1.5 9. П о с т р о и т ь и п р о анали зи р о ват ь д ву мер ну ю гау с с о вс ку ю п ло т но с т ь
(
)
вер о ят но с т и w(x , y) = exp − ( x 2 − 2rxy + y 2 ) / 2(1 − r 2 ) / 2 π (1 − r 2 ) вд и ап азо не {–2<x,y<2}
16
Л А Б О РА Т О РН А Я РА Б О Т А № 4 М О Д Е Л И РО В А Н И Е СЛ У ЧА Й Н Ы Х В Е Л И ЧИ Н . М Е Т О Д М О Н Т Е К А РЛ О Ф орм ирование неп реры вны хслуч ай ны х велич ин И меет с я нес ко лько мет о д о вф о р ми р о вани я неп р ер ывных с лу чайных вели чи н и з р авно мер ных и гау с с о вс ки х чи с ел. 1. М ет о д о бр ат ных ф у нкци й. Е с ли нео бхо д и мо с ф о р ми р о ват ь с лу чайну ю вели чи ну ξ с ф у нкци ей р ас п р ед елени я Fξ(x), т о и с п о льзу ет с я п р ео бр азо вани е базо во го р авно мер но р ас п р ед еленно го чи с ла α∈[0,1] ви д а ξ = Fξ−1 ( α ) , гд е Fξ−1 ( z ) -ф у нкци я, о бр ат ная кф у нкци и р ас п р ед елени я. П р и мер : Сф о р ми р о ват ь р елеевс ку ю вер о ят но с т и
wξ ( x ) =
с лу чайну ю x σ2
exp( −
x
вели чи ну ξ с п ло т но с т ью
2
2σ 2
).
Реш ени е: Fξ ( x ) = 1 − exp( − x 2 / 2σ2 ) . Ур авнени е д ля нахо жд ени я ξ и меет ви д α = 1 − exp( −ξ 2 / 2σ 2 ) .
Е го
р еш ени е
ξ = σ − 2 ln(α ) .
с т ат и с т и чес кая экви валент но с т ь вели чи н α и 1-α. 2. М ет о д Н еймана (мет о д и с клю чени я). П у с т ь
Зд ес ь
у чт ена
g( x ) = c ⋅ wξ ( x ) , гд е С-
неко т о р ая ко нс т ант а, a<x
γ 2 < cos(2πγ1 ) , т о
3. Фо р ми р о вани е с лу чайных вели чи н с χ 2n ,χ n зако нам и р ас п р ед елени я. П у с т ь η1 ,...η n незави с и м ые но р мально р ас п р ед еленные с лу чайные вели чи ны с п ар амет р ами m=0,σ=1. То гд а ξ = χ 2n = ( η12 + ...η2n ) , ξ = χ n = ( η12 + ..η2n ) . 4. Фо р ми р о вани е с т анд ар т ных гау с с о вс ки х с лу чайных вели чи н на о с но ве цент р ально й п р ед ельно й т ео р емы. Алго р и т м n
ξ = 12 / n ∑ ( αi − 0.5 ) i =1
ф о р ми р у ет
с лу чайно е чи с ло с р ас п р ед елени ем, бли зки м к но р мально м у .
Час т ным с лу чаем его являет с я алго р и т м
12
ξ = ∑ α i − 6 . Х о р о ш и м качес т во м i =1
17
с лу чайных чи с ел о блад ает η = ξ + 0.01( ξ3 − ξ) .
мет о д
с у мми р о вани я 5 чи с ел с
п о п р авко й
В ы ч исление интеграловм етодом М онте-К арло b
М ето д 1.0 I = ∫ f ( x )dx ≈ ( b − a ) a
1 n ∑ f ( γi ) , гд е γ i = a + (b − a ) ⋅ α i n i =0
Зд ес ь n- чи с ло и с п ыт ани й, α i -незави с и мые с т анд ар т ные р ас п р ед еленные на и нт ер вале [0,1] с лу чайные чи с ла.
р авно мер но
b
М ето д 2.0 I = ∫ f ( x )dx ≈ k / n , a
гд е k- ко ли чес т во с о быт и й a < ξ < b в n и с п ыт ани ях, ξ и меет п ло т но с т ь вер о ят но с т и w ξ (x ) = f (x ) . ξ ф о р ми р у ет с я и з α п у т ем с о о т вет с т ву ю щего нели нейно го п р ео бразо вани я на о с но ве мет о д а о бр ат ных ф у нкци й и ли мет о д а Н еймана. М ето д 3.0. П у с т ь ф у нкци я f(x) вп и с ана в п р ямо у го льни к: a<x
18
6. Сф о р ми р о ват ь п р о цес с с гамма-р ас п р ед елени ем п р и р азли чных значени ях п ар амет р а “ с”. 7. Сф о р ми р о ват ь 100 значени й п у ас с о но вс ко й с лу чайно й вели чи ны с п ар амет р о м λ=0.4, 1, 8 8. Сф о р ми р о ват ь 100 значени й би но ми ально й с лу чайно й вели чи ны с п ар амет р ами p=0.4, k=4, 20, 100. Вычи с лени е и нт егр ало вмет о д о м М о нт е-К ар ло . 22
1010
1. ∫ ∫ exp( − x − y )dxdy ;
2. ∫
00 b
y exp( − x − y )dxdy, n = 3,m = 2 ;
n m
0 0
b
∫ sh( x )dx, b = 1, 2 ;
3.
∫x
b
4. ∫ ch( x ) dx, b = 0.5, 1.2 ;
5. ∫ th( x )dx, b = 1, 1.5 ;
2
0
0
0
π
1
6. ∫ x m 1 − x 2 dx, m = 1,2,3 ;
7. ∫ sin( x )m cos( mx )dx, m = 2,3,4 ;
0 b
b
0
0
0
8. ∫ exp( − x 2 / 2 )dx / 2 π , b = 1, 1.5, 2 ; 9. ∫ x ⋅ exp( − x 2 / 2 )dx, b = 1, 2 . Л А Б О РА Т О РН А Я РА Б О Т А № 5 П Е РВ И ЧН А Я О Б РА Б О Т К А Д А Н Н Ы Х ЧА СТ Ь 1. В ЫБ О РО ЧН Ы Е М О М Е Н Т Ы. РА СЧЕ Т П О ГРЕ Ш Н О СТ Е Й r ОБ Щ И Е СООТ Н ОШ Е Н И Я . Н або р значени й x = (x1 , x 2 ,..., x n ) и змер яемо й вели чи ны ξ , п о лу ченный п р и п -кр ат но м п о вт о р ени и экс п ер и мент а, называет с я р еали заци ей выбо р ки . М о жно с чи т ат ь, чт о вс е во змо жные р еали заци и r r с о с т авляю т с лу чайну ю выбо р ку X = (X1, X 2 ,..., Xn ) .: Оценко й Θ m = Θ m (x ) r п ар амет р а Θ называет с я неко т о р ая с т ат и с т и ка (ф у нкци я выбо р ки ) Θ m (x ) , п р и бли женно с о о т вет с т ву ю щая Θ, и п р и о бъеме выбо р ки n → ∞ с хо д ящаяс я (в вер о ят но с т но м с м ыс ле) к и с т и нно му значени ю п ар амет р а. Слу чайная о ценка Θ m мо жет быт ь о хар акт ер и зо вана с лед у ю щи ми чи с ло выми значени ями : 1) с р ед ни м значени ем о ценки : mΘ =< Θ m >= 2) с мещени ем о ценки : b ( Θ ) = mΘ − Θ; 3) д и с п ер с и ей о ценки : DΘ =< ( Θ m − mΘ ) >= 2
4) д о вер и т ельно й вер о ят но с т ью P Θ m − Θ < ∆ = P0 , вер о ят но с т и о ценки .
Θ+ ∆
∫
Θ− ∆
Р0
+∞
∫ uWΘ ( u ) du;
−∞
+∞
∫ ( u − mΘ )
−∞
и
WΘ ( u ) du = P0 .
2
WΘ ( u ) du;
д о вер и т ельным Зд ес ь
и нт ер вало м
WΘ (u ) -
∆,
п ло т но с т ь
19
ОСН ОВН Ы Е П АРАМ Е ТРЫ И Х АРАК ТЕ РИ СТИ К И ОЦ Е Н ОК 1. П ар амет р Θ ≡ mξ - мат емат и чес ко е о жи д ани е: 1 n (1) ∑ xi ; n i =1 с мещени е о ценки : b(Θ ) = 0; д и с п ер с и я о ценки : DΘ = σ ξ2 / n; р ас п р ед елени е о ценки – но р мально е, т .е. Θ m → N (Θ, σ 2 n ); д о вер и т ельный и нт ер вал: ∆ = σ z p n , гд е z p = Φ −1 ((1 + P0 ) 2). 2. П ар амет р Θ ≡ σ ξ2 - д и с п ер с и я: a. мат емат и чес ко е о жи д ани е и звес т но Оценка: Θ m = x =
2
1 n (2) Оценка: s = ∑ xi − mξ ; n i =1 с мещени е: b(Θ ) = 0; д и с п ер с и я: DΘ = 2 σ s4 n ≈ 2s 4 n ; р ас п р ед елени е: χ n2 - хи квад р ат (п р и n>100 – ас и м п т о т и чес ки но р мально е); ас и мп т о т и чес ки д о вер и т ельный и нт ер вал ∆ = σ 2ξz p 2 n ≈ s 2z p 2 n гд е z p = Φ −1 ((1 + P0 ) 2). . b. мат емат и чес ко е о жи д ани е неи звес т но
(
2
)
2
1 n Оценка s = (3) ∑ ( xi − x ) ; n − 1 i =1 с мещени е: b(Θ ) = 0; д и с п ер с и я: DΘ = 2 σ 4 (n − 1) ≈ 2s 4 (n − 1); р ас п р ед елени е: χ n2−1 (п р и n>100 – ас и мп т о т и чес ки но р мально е) 2
3. П ар амет р mk - начальный мо мент k-о го п о р яд ка: 1 n Оценка: m% k = ∑ xik n i =1 с мещени е: b(Θ ) = 0; д и с п ер с и я: DΘ = (m2 k − mk2 ) n . 4. П ар амет р µ k - выбо р о чный цент р альный мо мент k-о го п о р яд ка k 1 n 1 n ) k xi − mξ , µ k = ∑ ( xi − x ) ; ∑ n i =1 n i =1 ) с мещени е: µ~k - нес мещенная, µ k - ас и м п т о т и чес ки нес мещенная. ~ и µ) k п р и k=2,3,4 5. Связь m k
Оценка:
µ% k =
(
)
) ) ) 2 3 % 4 − 4m% 3 x + 6 m% 2 ( x ) 2 − 3 ( x ) 4 . µ 2 = m% 2 − ( x ) ; µ 3 = m% 3 − 3m% 2 x + 2 ( x ) ; µ 4 = m 6.П ар амет р - выбо р о чные ко эф ф и ци ент ыас и ммет р и и γ~1 и экс цес с а γ~2 ) ) γ%1 = µ 3 s 3 , γ% 2 = µ 4 s 4 − 3.
(4)
(5)
(6) (7)
Задание “ А ” (М оделирование вы борки) 1. Обр ат и т ьс я к д ат чи ку -генер ат о р у с лу чайных вели чи н и з би бли о т еки с т анд ар т ных ф у нкци й Matcad a) rnorm(n,µ,σ) ; b)rexp(n,λ); c) rchisq(N, nn); d)rpois(n, λ); e) rbinom(n,k,p); f)rgamma(n,c) ; g) runif(n,a,b); h) ξ = σ − 2 ln( rnd(1)) σ=1, 0.5,2.
20
–д ат чи кр елеевс ко й с лу чайно й вели чи ны. 2. Сф о р ми р о ват ь выбо р ку о бъемо м п = 103 . П ар амет р ы п р о цед у р ы зад аю т с я п о льзо ват елем. 3. Вычи с ли т ь выбо р о чные мо мент ы: x, s 2 , m) 2 , m) 3 , m) 4 . 4. Оп р ед ели т ь выбо р о чные ко эф ф и ци ент ыас и ммет р и и γ~1 и экс цес с а γ~2 . 5. Вычи с ли т ь т ео р ет и чес ки е мо мент ы р ас п р ед елени й и с р авни т ь с экс п ер и мент альными . 6. Оп р ед ели т ь д о вер и т ельные гр ани цы о цено к п ар амет р о в д ля значени й д о вер и т ельных вер о ят но с т ей Р 0 =0.9; 0.95; Задание “ В ” (В ы борка из фай ловданны х) 1. Счи т ат ь д анные и з ф айло в V1.prn … .V12.prn 2. Оп р ед ели т ь т и п с лу чайно й вели чи ны ) ) ) 3. Вычи с ли т ь мо мент ыx, s 2 , m2 , m3 , m4 . 4. Оп р ед ели т ь выбо р о чные ко эф ф и ци ент ыас и ммет р и и γ~1 и экс цес с а γ~2 . ЧА СТ Ь 2. В ЫБ О РО ЧН Ы Е РА СП РЕ Д Е Л Е Н И Я ОБ Щ И Е СООТ Н ОШ Е Н И Я . Тео р ет и чес ки ми вер о ят но с т ным и хар акт ер и с т и ками д ля неп р ер ывно й с лу чайно й вели чи ны ξ являю т с я: п ло т но с т ь вер о ят но с т и Wξ ( x) ; ф у нкци я р ас п р ед елени я Fξ ( x ) = P [ ξ < x ] =
x
∫ Wξ ( t ) dt .
−∞
Д ля д и с кр ет но й с лу чайно й вели чи ны ξ : р ас п р ед елени е вер о ят но с т ей Ρk = Ρ[ξ = x k ]; ф у нкци я Fξ ( x ) =
∑
k :xk < x
р ас п р ед елени я
xk Pk ;
П р и п р о вед ени и экс п ер и мент а т ео р ет и чес ко е р ас п р ед елени е Fξ(x) мо жет
быт ь: a) ли бо и звес т но час т и чно , с т о чно с т ью д о неко т о р ых неи звес т ных п ар амет р о в; b) ли бо п о лно с т ью неи звес т ным. Вп ер во м с лу чае экс п ер и мент ально е о п р ед елени е Wξ (x ), Fξ ( x), Ρk с во д и т с я к о ценке п ар амет р о вр ас п р ед елени я, ко т о р ые нахо д ят с я и з выбо р о чных мо мент о в ) x , s 2 , m2 . , р ас с мо т р енных вчас т и I р або т ы. Во вт о р о м с лу чае п р о и зво д и т с я неп ар амет р и чес кая о ценка р ас п р ед елени я на о с но ве 1) эмп и р и чес ко й ф у нкци и р ас п р ед елени я, 2) ги с т о гр амм ы, 3) п о ли го на нако п ленных час т о т . Эм пиричес кой ф ун кции ра с предел ен ия называет с я о ценка Fξ(x) п о нес гр у п п и р о ванно й выбо р ке. Гис т огра м м ой называет с я о ценка п ло т но с т и вер о ят но с т и Wξ ( x) п о с гр у п п и р о ванным д анным. Пол игон ом н а копл ен н ы х ча с т от называет с я о ценка ф у нкци и р ас п р ед елени я Fξ (x ) п о с гр у п п и р о ванным д анным . I.П р ави ло п о с т р о ени я эмп и р и чес ко йф у нкци и р ас п р ед елени я.
r 1. Б ер ет с я выбо р ка x = ( x1 ,x2 ,...,xn ) о бъемо м n>100, п р о и зво д и т с я ее у п о р яд о чи вани е x( 1 ) < x( 2 ) .... < x( n ) .
21
2.
r 1 n Ст р о и т с я ф у нкци я Fn ( t,x ) = ∑U ( t − x( i ) ) , гд е U(t)- ф у нкци я Х еви с айд а n i= 1 II. П р ави ло п о с т р о ени я ги с т о гр амм :
1. Б ер ет с я выбо р ка xr = (x1 , x 2 ,..., x n ) о бъемо м n>100, какп р ави ло , n ≈ (2 ÷ 20)10 2 . 2. Оп р ед еляет с я чи с ло и нт ер вало вгр у п п и р о вки r: a) r = (0.55 ÷ 1.25)n 0.4 ; b) r = (4 ÷ 5) lg n . (8) Обычно чи с ло и нт ер вало в гр у п п и р о вки 9
(9) Гр ани цыj-о го и нт ер вала ∆j : ∆j = (a + ( j − 1)∆x; a + j∆x ), j = 1, r Д ля о д но с т о р о нни х р ас п р ед елени й (экс п о ненци ально го , р елеевс ко го , хи квад р ат и д р .) а =0. 4. П о д с чи т ывает с я ко ли чес т во kj элемент о в выбо р ки x , п о п авш и х в и нт ер вал гр у п п и р о вки ∆j = ( a + ( j − 1) ∆x;a + j ∆x ) Чи с ло k j > 5 ÷ 10 . 5. Оп р ед еляю т с я час т о т ы ν j : ν j = k j n (10) ли бо о т но с и т ельные час т о т ы ω j : ω j = ν j ∆x = k j n∆x и с т р о и т с я д и агр амма и з с т о лбцо ввыс о т о й ν j и ли ω j , j = 1, r . Гис т огра м м а м ен ьше вс его от л ича ет с я от ин т ерва ла группировки ( a + ( j − 0.5 )∆ x )
т еорет ической в цен т ре
III. П р ави ло п о с т р о ени я п о ли го на нако п ленных час т о т : Б ер ет с я выбо р ка и о п р ед еляет с я чи с ло и нт ер вало в гр у п п и р о вки т ак же, как и п р и п о с т р о ени и ги с т о гр аммы(п у нкт ы1,2,3). 4. П о д с чи т ывает с я ко ли чес т во Кq элемент о в выбо р ки x , п о п авш и х в и нт ер вал (a; a + q∆x ) , Kq =
q
∑ kj,
q = 1,r
(11)
j =1
5. Оп р ед еляю т с я выбо р о чные вер о ят но с т и q
Fq = K q n =
∑ νj
(12)
j =1
и с т р о и т с я с т у п енчат ая д и агр амма, выс о т а ко т о ро й р авна Fq на и нт ер вале ∆q = a + ( q − 1) ∆x;a + q∆x .
П о ли го н меньш е вс его о т ли чает с я о т т ео р ет и чес ко й ф у нкци и р ас п р ед елени я вко нце и нт ер вала гр у п п и р о вки . III. Ср авнени е т ео р ет и чес ко го и эмп и р и чес ко го р ас п р ед елени й
22
Вер о ят но с т ная бу мага. Вер о ят но с т ная бу мага п р и над лежи т к п о лу качес т венно му кр и т ер и ю , на о с но ве ко т о р о го мо жно с у д и т ь о с о о т вет с т ви и эм п и р и чес ко го р ас п р ед елени я и п р ед п о лагаемо го т ео р ет и чес ко го р ас п р ед елени я. Э т ап ып р о вер ки : 1. П о с т р о ени е о бр ат но й ф у нкци о нально й зави с и мо с т и д ля ф у нкци и р ас п р ед елени я y = Fξ ( x ) : y* = Fξ−1 ( y ) (13) 2. П о с т р о ени е п о ли го на нако п ленных час т о т Fq ,q = 1,r
( )
3. П ер ес чет п о ли го на нако п ленных час т о т Fq * = Fξ−1 Fq ,q = 1,r.
(14)
4. П о с т р о ени е в с и с т еме ко о р д и нат ( x, y *) гр аф и ко в п о т о чкам ( xq ,Fq * ) , гд е xq = a + q∆x .
5. Е с ли гр аф и к п ер ес чи т анно го п о ли го на нако п ленных час т о т Fq * - п р ямая ли ни я, т о эмп и р и чес ко е р ас п р ед елени е Fq с о о т вет с т ву ет y = Fξ ( x) , и наче с о о т вет с т ви я нет . К р и т ер и й с о глас и я χ 2 (хи -квад р ат ) П и р с о на. К р и т ер и й с о глас и я χ 2 П и р с о на п р и над лежи т к у ни вер с альным ко ли чес т венным кр и т ер и ям. С п о мо щью эт о го кр и т ер и я мо жно п р о вер и т ь с о о т вет с т ви е т ео р ет и чес ко го и эмп и р и чес ко го р ас п р ед елени й д ля лю бо го т и п а с лу чайных вели чи н: неп р ер ывных, д и с кр ет ных. Он и меет ви д :
( k j − np j )
2
(ν j − p j )
2
r ν 2j (15) χ =∑ = n∑ = n ∑ − 1 < χ 2êð ( α ,l ) np p p j j j j =1 j =1 j =1 Зд ес ь п - о бъем выбо р ки , r- чи с ло и нт ер вало в гр у п п и р о вки , ν i = k j n - час т о т а 2
r
r
r
п о п ад ани я выбо р ки x в и нт ер вал ∆j = (a + ( j − 1)∆x; a + j∆x ), j = 1, r, p j т ео р ет и чес кая вер о ят но с т ь п о п ад ани я с лу чайно й вели чи ны ξ ви нт ер вал ∆j , a + j ∆x
pj = χ
2 кр
∫
a + ( j − 1) ∆x
-
Wξ ( x ) dx = Fξ ( a + j ∆x ) − Fξ ( a + ( j − 1) ∆x )
(α , l ) - кр и т и чес ко е значени е, зави с ящее о т п ар амет р о в α и l, α - у р о вень
значи мо с т и (вер о ят но с т ь о т бр о с и т ь п р ави льну ю ги п о т езу о с о о т вет с т ви и р ас п р ед елени й), l = r − 1 − v - чи с ло с т еп еней с во бо д ы, гд е v - ко ли чес т во неи звес т ных п ар амет р о в в т ео р ет и чес ко м р ас п р ед елени и , ко т о р ые r д о о п р ед еляю т с я п о т о йже выбо р ке x . Н ап р и мер : a) Fξ (x ) = Φ(( x − m) σ ) , гд е т и σ и звес т ны(и ли зад аны). То гд а v=0. b) Fξ (x ) = Φ(( x − m) σ ) , гд е т неи звес т но , а σ зад ано . То гд а m ≈ x = (∑ xi ) n и v=1. c) Fξ (x ) = Φ(( x − m ) σ ) , гд е т и σ неи звес т ны. То гд а m ≈ x = (∑ xi ) n , σ 2 ≈ s2 =
(∑ (x − x ) ) (n − 1) и v=2. 2
i
Ти п и чные значени я у р о вня значи мо с т и α=0.1, 0.05, 0.01. Чаще вс его α=0.1.
23
К р и т и чес ки е значени я χ кр2 (α , l ) , являю т с я квант и лям и вер о ят но с т ей 1 - α д ля хи -квад р ат р ас п р ед елени я с l -с т еп енями с во бо д ы - χ l2 , ко т о р ые вычи с ляю т с я п р и п о мо щи ф у нкци и Mcad qchisq(1-α,l). П остроение гистограм м всистем е Mcad Д ля п о с т р о ени я ги с т о гр амм в с и с т еме Mcad и меет с я ф у нкци я hist(int,X). Зд ес ь Х -выбо р ка и з n элемент о в, int – мас с и вгр ани ц и нт ер вало вгр у п п и р о вки , с о д ер жащи й r+1 элемент , r - чи с ло и нт ер вало в гр у п п и р о вки . Резу льт ат о м вычи с лени й эт о й ф у нкци и являет с я мас с и в и з г элемент о в kj,о п р ед еляю щи х чи с ло элемент о ввыбо р ки и з и нт ер вала [int j, intj+1 ], j=0..r-1. Задание “ A” (М оделирование вы борки) 1. Обр ат и т ьс я к д ат чи ку -генер ат о р у с лу чайных вели чи н и з би бли о т еки с т анд ар т ных ф у нкци й Matcad a) rnorm(n,µ,σ) ; b)rexp(n,λ); c) rchisq(N, nn); d) rpois(n, λ); e) rbinom(n,k,p); f)rgamma(n,c) ; g) runif(n,a,b); h) ξ = σ − 2 ln( α) σ=1, 0.5,2. р елеевс кая с лу чайная вели чи на. 2. Сф о р ми р о ват ь выбо р ку о бъемо м n=50÷400. П о с т р о и т ь эмп и р и чес ку ю ф у нкци ю р ас п р ед елени я Fn (t,xn ). И с с лед о ват ь ее эво лю ци ю о т о бъема n. Со п о с т ави т ь с т ео р ет и чес ко й ф у нкци ей р ас п р ед елени я. 3. Сф о р ми р о ват ь выбо р ку ( x1 ,x2 ,...,xn ) о бъемо м n = 10 3 ÷ 2 ⋅ 10 3 . П ар амет р ы п р о цед у р зад аю т с я п р еп о д ават елем. 4. Д ля неп р ер ывных с лу чайных вели чи н с т р о и т с я ги с т о гр амма ν j и п о ли го н нако п ленных час т о т Fq . Д ля д и с кр ет ных - р ас п р ед елени е вер о ят но с т ей Ρ j и п о ли го н Fq . 5. П о кр и т ер и ю с о глас и я хи -квад р ат П и р с о на п р о вер яет с я ги п о т еза о с о о т вет с т ви и т ео р ет и чес ко го и эмп и р и чес ко го р ас п р ед елени й. 6. Д ля неп р ер ывных с лу чайных вели чи н с т р о и т с я вер о ят но с т ная бу мага и нано с ят с я п ер ес чи т анные значени я п о ли го на Fq * xq , xq = a + q∆x, q = 1,r .
( )
Л А Б О РА Т О РН А Я РА Б О Т А № 6 М Е Т О Д Н А И М Е Н Ь Ш И Х К В А Д РА Т О В ОБ Щ И Е СООТ Н ОШ Е Н И Я . М ет о д наи меньш и х квад р ат о в и с п о льзу ет с я д ля ап п р о кс и маци и ф у нкци о нальных зави с и мо с т ей, п о лу ченных r y = f (t , Θ ) зад анно й ф о р мы, но экс п ер и мент альным п у т ем , кр и вым и с о д ер жащи ми вект о р неи звес т ных п ар амет р о в r Θ = (Θ 1 ,..., Θ k ) . П р о цед у р а М Н К п о зво ляет на о с но ве р еали заци и r x = ( x1 ,..., x L ) о п р ед ели т ь ко эф ф и ци ент ы (Θ1 ,..., Θ k ) . П у с т ь р езу льт ат ы и змер ени й xi , i = 1, L являю т с я выбо р ко й в мо мент ы вр емени ti п р о цес с а
24
r x ( t ) = f t,Θ + ε ( t ) .
( )
(1)
Е с ли ε (t i ) → N (0, σ 2 ) , т .е. и мею т но р мальный зако н р ас п р ед елени я, т о ф у нкци я п р авд о п о д о би я и меет ви д
∑ [(x
( )
rr 1 W x Θ = exp− 2 2σ
L
i =1
i
( )) (2πσ )
r − f ti , Θ
2
2 L2
].
В качес т ве о ценки п ар амет р а Θ мо жно взят ь ОМ П . М акс и му му ф у нкци и п р авд о п о д о би я с о о т вет с т ву ет ми ни му м выр ажени я L r r 2 M Θ = ∑ xi − f ti ,Θ . (2)
( )
i =1
(
Реш ая с и с т ем у у р авнени й r dM Θ d Θ j = 0,
( )
(
))
j = 1,k ,
(3)
п о лу чаем вект о р о цено к Θ = (Θ 1 ,..., Θ k ) п ар амет р а Θ . В М Н К целес о о бр азно и с п о льзо ват ь ли нейно -п ар амет р и чес ки е мо д ели ф у нкци й r f t ,Θ = Θ0 g0 ( t ) + Θ1 g1 ( t ) + ... + Θ k g k ( t ) , (4) )
)
r
)
( )
гд е g j (t ), j = 1, k - набо р неко т о р ых ф у нкци й. Н аи бо лее у п о т р еби т ельныи з т аки х мо д елей ап п р о кс и маци я п о ли но мо м r f t ,Θ = Θ0 + Θ1t + Θ 2 t 2 + ... + Θ k t k = A + Bt + Ct 2 + Dt 3 + ... (5)
( )
То гд а п о лу чаем с и с т ем у k ли нейных у р авнени й о т но с и т ельно А , В , С ,... , р еш аему ю о д ни м и з чи с ленных мет о д о в д ля с и с т ем алгебр аи чес ки х выр ажени й. Н ап р и мер , д ля ку би чес ко го п о ли но ма с и с т ема и меет ви д AL + B ∑ t i + C ∑ t i2 + D ∑ ti3 = ∑ x i
A ∑ t i + B ∑ t i2 + C ∑ t i3 + D ∑ t i4 = ∑ xi t i
A ∑ t i2 + B ∑ t i3 + C ∑ ti4 + D ∑ t i5 = ∑ xi t i2 A ∑ t i3 + B ∑ t i4 + C ∑ ti5 + D ∑ t i6 = ∑ x i ti3
Э т а с и с т ема у п р о щает с я, ес ли п ер ейт и к цент р и р о ванно му ар гу мент у •
L
t = t − t , y = ∑ ti L , т о ес т ь п ер енес т и о с ь ко о р д и нат вт о чку t . То гд а с у м мывс ех i =1
•
нечет ных с т еп еней ∑ t i = 0,
•3
∑ t i = 0,
•5
∑ t i = 0, и т .д . k
Ап п р о кс и маци я п о ли но мам и f (t ) = ∑ Θ jt j и меет с лед у ю щи е о с о бенно с т и : j
a) k ≤ L ; т .е. чи с ло неи звес т ных ко эф ф и ци ент о в k не д о лжно п р евыш ат ь чи с ло т о чек; b) k ≤ 5 , т ак как чи с ленные мет о д ы п р и k > 5 с т ано вят с я неу с т о йчи выми и п ло хо о бу с ло вленным и . Е с ли ф у нкци я f (t, Θ) п о у с ло ви ям зад ачи нели нейно -п ар амет р и чес кая, т о мо жно с д елат ь о бр ат но е ф у нкци о нально е п р ео бр азо вани е z = f −1 ( y ) и п р и вес т и зави с и мо с т ь кли нейно й. Н ап р и мер , r
25
r f t,Θ = Θ0 exp ( Θ1t ) , z ( t ) = ln ( Θ0 ) + Θ1t = A + Bt.
( )
(6)
Од нако т ако й п о д хо д являет с я п р и бли женным, т ак как п р и нели нейно м п р ео бр азо вани и п о гр еш но с т и ε (t ) д и с п ер с и я σ 2 = σ i2 , т .е. и зменяет с я о т т о чки к т о чке. Вэт о м с лу чае мо жно у с о вер ш енс т во ват ь М Н К на с лу чай нер авно т о чных и змер ени й и ли и с п о льзо ват ь чи с ленные мет о д ы р еш ени я с и с т ем нели нейных у р авнени й. РАСЧЕ Т Н Ы Е СООТ Н ОШ Е Н И Я : 1) Ли нейная р егр ес с и я, ли нейная ф у нкци о нальная зави с и мо с т ь • • r f t,Θ = Θ0 + Θ1t = A + B t , t = t − t ; (7)
( )
Си с т ема у р авнени й п р авд о п о д о би я и меет ви д L
L
1
1
Θ0 L + Θ1 ∑ ti = ∑ xi L
L
L
1
1
1
L
AL = ∑ x
⇒
Θ0 ∑ ti + Θ1 ∑ ti2 = ∑ xi ti
1 L •2
L
1
1
B∑ t i = ∑
⇒
(8)
• xi t i
Реш ени е с и с т емыу р авнени й (8)и меет ви д Θ0
( ∑ t ) ( ∑ x ) − ( ∑ t )( ∑ x t ) =
Θ1 =
2 i
i
i
i i
∆L
L ( ∑ xi ti ) − ( ∑ ti )( ∑ xi )
⇒
∆L
( Очеви д но , чт о B = Θ1
⇒
1 L A = ∑ xi = x L 1 L
B∑
• xi t i
1
A = Θ0 + Θ1 t ) гд е ∆ L = L
(9)
L •2 ti 1
∑
(∑ t ) − (∑ t ) 2 i
i
2) Н ели нейная р егр ес с и я (экс п о ненци альная мо д ель) r f t,Θ = Θ0 exp ( Θ1t ) ,
( )
П р ео бр азо вани е r ln f t,Θ = ln ( Θ0 ) + Θ1t = A + Bt. п р и во д и т зави с и мо с т ь кли нейно й. Обо значая zi = ln (xi ) , п о лу чаем
( )
) ) A = lnΘ 0 =
( ∑ t ) ( ∑ z ) − ( ∑ t )( ∑ z t ) 2 i
i
i
∆L
i i
2
, i = 1,L (10) (11)
(12)
L ( ∑ zi ti ) − ( ∑ ti )( ∑ zi ) ) ) B = Θ1 = , ∆L зд ес ь ∆ L = L
( ∑t ) − ( ∑t ) 2 i
i
2
, i = 1,L
Ф ункции систем ы Matcad для регрессионного анализа П у с т ь вект о р ар гу мент о в t i о бо значен как vt, а вект о р выбо р о чных значени й ф у нкци и x i как vx. То гд а ф у нкци и Matcad п р и зад ани и зави с и мо с т и f(t)=A+Bt о п р ед еляю т А и В: intercept(vt,vx) – во звр ащает значени е А
26
slope(vt,vx)- во звр ащает значени е ко эф ф и ци ент а накло на В. Е с ли зад ана ли нейно п ар амет р и чес кая зави с и мо с т ь X(t)= a0 f0 (t)+a1 f1 (t)+..an fn (t), т о ф у нкци я linfit(vt,vx,F) во звр ащает вект о р (a0,a1 ,..a n). Зд ес ь F –и м я вект о р но й ф у нкци и F(t), элемент ами ко т о р о й являю т с я ф у нкци и f1(t), f2(t)… fn (t) Д ля ко нт р о ля М Н К п о лезна ф у нкци я corr(vt,vx), о п р ед еляю щая ко эф ф и ци ент ко р р еляци и вект о р о в vt, vx. Е с ли о н меньш е 0.9÷0.95, т о М Н К нельзя п р и менят ь Задания 1) Ли нейная р егр ес с и я: П р ед п о лагаемая зави с и мо с т ь с о п р о т и влени я мат ер и ала о т т емп ер ат у р ы и меет ви д R(T)= А +В Т. Выбр ат ь д анные и з ф айло в MNK_G1.prn, … MNK_G10.prn. И с п о льзу я р еш ени я (9), найт и о ценки А и В . Объем выбо р ки L=20. 2) Н ели нейная р егр ес с и я (экс п о ненци альная мо д ель): И зменени е акт и вно с т и р ад и о акт и вно го и с т о чни ка о п р ед еляет с я F (t ) = Q exp (− bt ) . Выбр ат ь д анные и з ф айло в MNK_E1.prn, … MNK_E10.prn. И с п о льзу я р еш ени я (9), найт и о ценки Q и b. Объем выбо р ки L=20. 3) Во льт -амп ер ная хар акт ер и с т и ка мо щно го п о лево го т р анзи с т о р а 2 3 ап п р о кс и ми р у ет с я ф у нкци ей I c = I 0 + SU З + cU З + d ⋅U . В ф айлах MNK_T1.prn MNK_T5.prn п р и вед ены п о 20 значени й зави с и мо с т и I c (U 3 ) . Н айт и о ценки I 0 , S ,c ,d . 4) П ер ед ат о чная хар акт ер и с т и ка час т о т но го д ет ект о р а о п и с ывает с я ф у нкци ей U вы х = k ⋅ F + d ⋅ F 3 . В ф айлах MNK_det1.prn,… MNK det5.prn п р и вед ены п о 20 значени й зави с и мо с т и Uвы х ( F ) .Н айт и о ценки ко эф ф и ци ент о вk, d .
27
П РИ Л О Ж Е Н И Е Н екоторы е встроенны е функции Mathcad О бознач ения : x и y — вещес т венные чи с ла; z — вещес т венно е ли бо ко мп лекс но е чи с ло ; m, n, i, j, k — целые чи с ла; v и вс е и мена, начи наю щи ес я с v — вект о р ы; A и B — мат р и цыли бо вект о р ы; M — квад р ат ная мат р и ца. Элем ентарны е функции sin(z) — с и ну с asin(z) — ар кс и ну с cos(z) — ко с и ну с acos(z) — ар кко с и ну с tan(z) — т ангенс atan(z) — ар кт ангенс cot(z) — ко т ангенс ln(z) — нат у р альный ло гар и ф м exp(z) — экс п о нент а log(z) — д ес ят и чный ло гар и ф м Д ругие функции Re(z) — д ейс т ви т ельная час т ь ко м п лекс но го чи с ла z. Im(z) — м ни мая час т ь ко мп лекс но го чи с ла z. arg(z) — ар гу мент ко мп лекс но го чи с ла z (вр ад и анах). δ ( x, y) — с и мво л К р о некер а (1, ес ли x=y, и 0, ес ли x ≠ y; x и y — цело чи с ленные вели чи ны. Φ( x) — ф у нкци я Х еви с айд а (1, ес ли x ≥ 0, и 0 вп р о т и вно м с лу чае). ceil(x) — наи меньш ее цело е, не п р евыш аю щее x. floor(x) — наи бо льш ее цело е чи с ло , меньш ее и ли р авно е x. mod(x, modulus) — о с т ат о к о т д елени я x п о мо д у лю . Ар гу мент ы д о лжны быт ь д ейс т ви т ельными . Резу льт ат и меет т ако й же знак, каки x. if(cond, x, y) — x, ес ли cond бо льш е 0, и наче y. until(выр ажени е1, выр ажени е2) — выр ажени е1, п о ка выр ажени е2 о т р и цат ельно е. Ф ункции для м атриц и векторов augment(A, B) — п р и с о ед и нени е мат р и цы B к мат р и це A с п р ава; о бе мат р и цы д о лжныи мет ь о д и нако во е чи с ло с т р о к. cols(A) — чи с ло с т о лбцо ввмат р и це A. csort(A, n) — с о р т и р о вка мат р и цы A п о с т о лбцу n (п ер ес т ано вка с т р о к п о во зр ас т ани ю значени й элемент о ввс т о лбце n). submatrix(A, ir, jr, ic, jc) — выд елени е и з мат р и цыA с у бмат р и цы, с о с т о ящей и з элемент о в, с о д ер жащи хс я в с т р о ках с ir п о jr и в с т о лбцах с ic п о jc. Д ля с о хр анени я п о р яд ка с т р о ки с т о лбцо внео бхо д и мо , чт о быir ≤ jr, ic ≤ jc. diag(v) — д и аго нальная мат р и ца, элемент ы главно й д и аго нали ко т о р о й — вект о р v. identity(n) — ед и ни чная квад р ат ная мат р и ца р азмер о м n.
28
last(v) — и нд екс п о с лед него элемент а вект о р а v. lenght(v) — чи с ло элемент о вввект о р е v. matrix(m, n, f) — мат р и ца, вко т о р о й (i, j)-й элемент с о д ер жи т f(i, j), гд е i=0, 1, ... , m и j=0, 1, ... , n. max(A) — наи бо льш и йэлемент мат р и цыA. mean(v) — с р ед нее значени е вект о р а v. median(v) — мед и ана. min(A) — наи меньш и й элемент мат р и цыA. norme(M) — евкли д о ва но р ма мат р и цыM. rank(A) — р анг мат р и цыA. reverse(v) — п ер евер ну т ый вект о р v. rows(A) — чи с ло с т р о квмат р и це A. rsort(A, n) — с о р т и ро вка мат р и цы A п о с т р о ке n (п ер ес т ано вка с т о лбцо в п о во зр ас т ани ю значени й элемент о ввс т р о ке n). sort(v) — с о р т и р о вка вект о р а v п о у бывани ю . stack(A, B) — ф о р ми р о вани е мат р и цы п у т ем р ас п о ло жени я A над B. М ат р и цы A и B д о лжныи мет ь о д и нако во е чи с ло с т о лбцо в. stdev(v) — с р ед неквад р ат и чес ко е о т кло нени е элемент о ввект о р а v. tr(M) — с лед мат р и цы M (с у мма элемент о в, р ас п о ло женных на главно й д и аго нали квад р ат но й мат р и цыM). var(v) — д и с п ер с и я (вар и аци я) элемент о ввект о р а v. hist(intervals, data) — ги с т о гр амма. Вект о р intervals зад ает гр ани цы и нт ер вало в вп о р яд ке во зр ас т ани я; data — мас с и вд анных. Во звр ащает вект о р , с о д ер жащи й чи с ло т о чеки з data, п о п авш и х вс о о т вет с т ву ю щи й и нт ер вал. Л иней ная регрессия и п рогноз corr(vx, vy) — ко эф ф и ци ент ко р р еляци и д ву х вект о р о в— vx и vy. cvar(X, Y) — ко вар и аци я X и Y. intercept(vx, vy) — ко эф ф и ци ент ли нейно й р егр ес с и и y=a+b ⋅ x вект о р о вvx и vy. predict(v, m, n) — п р о гно з. Вект о р , с о д ер жащи й р авно о т с т о ящи е п р ед с казанные значени я n п ер еменных, вычи с ленных п о m зад анным вмас с и ве v д анным. slope(vx, vy) — ко эф ф и ци ент ли нейно й р егр ес с и и y=a+b ⋅ x вект о р о вvx и vy. Реш ение уравнений и систем lsolve(M, v) — р еш ени е с и с т емы ли нейных алгебр аи чес ки х у р авнени й ви д а M ⋅ x=v. Minerr( x1 ,x2 ,K ,xn ) — вект о р значени й д ля x1 ,x2 ,K ,xn , ко т о р ые п р и во д ят к ми ни мально й о ш и бке вс и с т еме у р авнени й. root(expr, var) — значени е п ер еменно й var, п р и ко т о р о й выр ажени е expr р авно ну лю (вп р ед елах т о чно с т и TOL). polyroots(v) — ко р ни м но го члена с т еп ени n, ко эф ф и ци ент ыко т о р о го нахо д ят с я ввект о р е v д ли ныn+1. О сновны е законы расп ределения Фу нкци и , и мена ко т о р ых начи наю т с я с “ d”, вычи с ляю т п ло т но с т ь вер о ят но с т и (и ли вер о ят но с т ь д ля д и с кр ет ных вели чи н), с “ p” — ф у нкци и
29
р ас п р ед елени я, с “ q” — квант и ли и с “ r” — генер и р у ю т вект о р n с лу чайных чи с ел с с о о т вет с т ву ю щи м зако но м р ас п р ед елени я. dbeta(x, f(x) =
s1 , s2 ),
pbeta(x,
s1 , s 2 ),
qbeta(p,
s1 , s 2 ),
rbeta(n,
s1 , s 2 )
—
β
-р ас п р ед елени е
Γ(s1 + s 2 ) s1 −1 x (1 − x)s2 −1 , 0 < x < 1, s1 ,s 2 > 0. Γ (s1 )Γ(s 2 )
dbinom(k, m, p), pbinom(k, m, p), qbinom(p, m, q), rbinom(n, m, p) — би но маи льно е р ас п р ед елени е P(k) = Ckm pk (1 − p)m − k , 0 ≤ k ≤ m, 0 ≤ p ≤ 1.
dcauchy(x, l, s), pcauchy(x, l, s), qcauchy(p, l, s), rcauchy(n, l, s) — р ас п р ед елени е Коши f(x) =
1 πs(1 + ( (x − l) s )2 )
, −∞ < x < ∞ , s > 0.
dchisq(x, k), pchisq(x, k), qchisq(p, k), rchisq(n, k) — x f(x) = 2
k/2 −1
χ 2 -р ас п
р ед елени е
exp( − x/2) , x > 0, k > 0. 2Γ(k/2)
dexp(x, r), pexp(x, r), qexp(p, r), rexp(n, r) — экс п о ненци ально е р ас п р ед елени е f(x) = re −rx , x > 0, r > 0.
dF(x,
n1 , n2 ),
pF(x,
n1 , n2 ),
qF(p,
Γ ( (n1 + n 2 ) 2 ) n1 1 n 2 2 n 2 n
f(x) =
n1 , n2 ),
rF(n,
2 (n1 − 2) 2 x
(n n ) 2 Γ (n1 2)Γ (n 2 2)(n 2 + n1x) 1 + 2
n1 , n 2 )
— р ас п р ед елени е Фи ш ер а
, x > 0, n1 ,n 2 > 0.
dgamma(x, s), pgamma(x, s), qgamma(p, s), rgamma(n, s) — γ -р ас п р ед елени е f(x) =
x s−1e −x , x ≥ 0, s > 0. Γ(s)
dgeom(k, p), pgeom(k, p), qgeom(p, q), rgeom(n, p) — р ас п р ед елени е
гео мет р и чес ко е
P(k) = p(1 − p)k , 0 < p < 1.
dlnorm(x, µ , σ ), plnorm(x, µ , σ ), qlnorm(p, µ , σ ), rlnorm(n, ло гно р мально е (ло гар и ф м и чес ки но р мально е) р ас п р ед елени е f(x) =
2 2 1 e−(ln(x) − µ) (2σ ) , x > 0, σ > 0. 2πσx
dlogis(x, l, s), plogis(x, l, s), qlogis(p, l, s), rlogis(n, l, s) — р ас п р ед елени е f(x) =
e − (x − l) s s(1 + e − (x − l) s )2
µ ,σ
) —
ло ги с т и чес ко е
, −∞ < x < ∞ , s > 0.
dnbinom(k, m, p), pnbinom(k, m, p), qnbinom(p, m, q), rnbinom(n, m, q) — о т р и цат ельно е би но м и ально е р ас п р ед елени е + k −1 m P(k) = C m p (1 − p)k , 0 < p ≤ 1, m > 0, k ≥ 0. k dnorm(x, µ , σ ), pnorm(x, µ , σ ), qnorm(p, µ , σ
р ас п р ед елени е
), rnorm(n,
µ, σ)
— но р мально е
30
1
f(x) =
2πσ
−
e
(x − µ )2 2σ 2
, −∞ < x < ∞ , σ > 0.
dpois(k, λ), ppois(k, λ), qpois(p, λ), rpois(n, λ) — р ас п р ед елени е П у ас с о на P(k) =
λ
k −λ
e k!
, λ > 0, k ≥ 0.
dt(x, k), pt(x, k), qt(p, k), rt(n, k) — р ас п р ед елени е Ст ью д ент а Γ ( (k + 1) 2 )
x2 f(x) = 1 + k Γ( k 2) πk
−(k +1) 2
, −∞ < x < ∞, k > 0.
dunif(x, a, b), punif(x, a, b), qunif(p, a, b), runif(n, a, b) — р ас п р ед елени е f(x) =
1 , a ≤ x ≤ b, a < b. b−a
dweibull(x, s), pweibull(x, s), qweibull(p, s), rweibull(n, s) — Вейбу лла f(x) = sx s −1e − x
s
р авно мер но е
р ас п р ед елени е
, x > 0, s > 0.
Д ругие функции cnorm(x) — и нт егр ал вер о ят но с т и Φ (x) = erf(x) — ф у нкци я о ш и бо к
erf(x) =
1
x
∫
2π −∞
2 e − t 2 dt .
2 x − t2 ∫ e dt . π0
— гамма-ф у нкци я. rnd(x) — р авно мер но р ас п р ед еленно е чи с ло вд и ап азо не о т ну ля д о x. Γ(z)
Л И Т Е РА Т У РА 1. Вер жби цки й В.М . Ос но вычи с ленных мет о д о в/ В.М . Вер жби цки й. – М .:Выс . ш к., 2002.-840 с . 2. Б ахвало вН .С. Чи с ленные мет о д ы/ Н .С.Б ахвало в. М .:Н ау ка, 2000.- 630 с . 3. Т ю р и н Ю .Н . Ст ат и с т и чес ки й анали з д анных на ко м п ью т ер е/Ю .Н .Тю р и н, А.А. М акар о в. М .:И нф а-М , 1998. -528 с . 4. П ли с А. И . Mathcad 2000: мат емат и чес ки й п р акт и ку м д ля эко но м и с т о в и и нженер о в. Учеб. п о с о би е/А.И . П ли с , Н .А. Сли ви на. — М .: Фи нанс ы и с т ат и с т и ка, 1999. — 600 с . 5. Гу р с ки й Д .А. Вычи с лени я в Mathcad/Д .А. Гу р с ки й. — М и нс к.:ООО «Н о во е знани е», 2003. — 814 с . 6. Рад ченко Т. А. Тео р и я вер о ят но с т ей и мат емат и чес кая с т ат и с т и ка / Рад ченко Т. А., Рад ченко Ю . С. – Во р о неж: И зд -во Во р о неж. у н-т а, 1998. — 240 с .
31
Со с т ави т ели : Рад ченко Ю р и й Ст еп ано ви ч Захар о вАлекс анд р Ви кт о р о ви ч Ред акт о р
Ти хо м и р о ва Ольга Алекс анд р о вна