Решение задач динамики железнодорожных экипажей в пакете Mathcad

РОСЖЕЛДОР Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» (РГУПС) В.Г. Рубан, А.М. Матва

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ ЭКИПАЖЕЙ В ПАКЕТЕ MATHCAD Учебное пособие

Ростов-на-Дону 2009

2 УДК 629.423.1+681.3.068(07) + 06 Рубан, В.Г. Решение задач динамики железнодорожных экипажей в пакете Mathcad: учеб. пособие / В.Г. Рубан, А.М. Матва ; Рост. гос. ун-т путей сообщения. – Ростов н/Д, 2009. – 99 с. : ил. Библиогр. : 9 назв. Рассмотрены вопросы постановки, подготовки и решения задач компьютерного моделирования динамики железнодорожного подвижного состава с использованием пакета Mathcad. Подробно обсуждаются вопросы численного решения систем дифференциальных уравнений и моделирования нелинейных явлений. Приведены примеры решения задач из курса «Динамика электроподвижного состава». Пособие предназначено для студентов специальности «Электрический транспорт железных дорог», аспирантов и преподавателей, применяющих методы математического моделирования при решении задач динамики. Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. А.Н. Хопёрский (РГУПС); канд. техн. наук, доц. В.В. Муханов (РГСУ)

© Рубан В.Г., Матва А.М., 2009 © Ростовский государственный университет путей сообщения, 2009

3 СОДЕРЖАНИЕ Введение ....................................................................................................................... 5 1

Особенности пакета Mathcad ............................................................................... 8 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

2

Математические возможности пакета Mathcad ......................................... 8 Вычисления с матрицами ........................................................................... 10 Параллельные вычисления......................................................................... 12 Комплексные числа и вычисления с ними ............................................... 13 Вычисление производных .......................................................................... 16 Численное решение дифференциальных уравнений............................... 17 1.6.1 Функции Mathcad для решения дифференциальных уравнений ......................................................................................... 17 1.6.2 Решение жестких систем ОДУ....................................................... 19

Инженерные методы исследования динамики подвижного состава железных дорог.................................................................................................... 21 2.1 Основные задачи динамики железнодорожных экипажей ..................... 21 2.2 Критерии оценки динамического взаимодействия экипажа и пути............................................................................................................ 23 2.3 Методы математического моделирования ............................................... 24 2.4 Составление дифференциальных уравнений движения ......................... 27 2.5 Моделирование нелинейных характеристик связей................................ 30 2.6 Сглаженные нелинейные характеристики................................................ 33 2.7 Возмущения, действующие на экипаж со стороны пути........................ 35 2.7.1 Виды возмущающего воздействия ................................................ 35 2.7.2 Модель гармонического возмущения ........................................... 39 2.7.3 Модель составной детерминированной неровности ................... 40 2.7.4 Модель одиночной неровности пути............................................. 42 2.8 Резюме .......................................................................................................... 43

3

Колебания двухмассовой системы .................................................................... 44 3.1 3.2 3.3 3.4

4

Колебания экипажа типа 2о–2о в вертикальной продольной плоскости ...... 51 4.1 4.2 4.3 4.4

5

Расчетная схема колебаний двухмассовой системы ............................... 44 Уравнения колебаний ................................................................................. 45 Компьютерное моделирование.................................................................. 45 Резюме .......................................................................................................... 50 Расчетная схема........................................................................................... 51 Уравнения колебаний ................................................................................. 52 Компьютерное моделирование.................................................................. 54 Резюме .......................................................................................................... 62

Взаимодействие токоприемника и контактной сети ....................................... 63 5.1 Расчетная схема........................................................................................... 63

4 5.2 Уравнения колебаний ................................................................................. 65 5.3 Компьютерное моделирование.................................................................. 67 5.4 Резюме .......................................................................................................... 74 6

Боковые колебания жесткой двухосной тележки в прямом участке пути .... 75 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

7

Извилистое движение колесной пары....................................................... 75 Расчетная схема боковых колебаний тележки ......................................... 76 Уравнения колебаний ................................................................................. 77 Компьютерное моделирование.................................................................. 79 Резюме .......................................................................................................... 81

Прохождение железнодорожным экипажем кривого участка пути .............. 82 7.1 7.2 7.3 7.4

Расчетная схема........................................................................................... 82 Уравнения колебаний экипажа .................................................................. 84 Компьютерное моделирование.................................................................. 86 Резюме .......................................................................................................... 96

Заключение................................................................................................................. 97 Библиографический список......................................................................................98

5 ВВЕДЕНИЕ Взаимодействие подвижного состава и пути представляет собой сложную для исследования задачу. Актуальность решения задач подобного типа определяется изменениями условий эксплуатации, которые выражаются в увеличении силового воздействия на путь, повышении износа гребней колесных пар. Необходимость обеспечения безопасного движения требует более детального анализа причин этих явлений. Многочисленные факторы, влияющие на динамические процессы и нелинейный характер взаимосвязей переменных, усложняют анализ настолько, что неочевидно влияние изменения входных переменных на результат. Для решения подобных задач, имеющих большую размерность и включающих нелинейности, весьма эффективным является математическое моделирование с проведением многовариантных вычислительных экспериментов на компьютере. Овладение основами этого современного метода начинается на третьем курсе университета, а углубленное изучение позволяет студентам самостоятельно решать сложные задачи при дипломном проектировании. Динамика железнодорожных экипажей – приложение методов теоретической механики, аналитических и численных методов решения, а также компьютерного моделирования к исследованию динамических процессов, возникающих при движении подвижного состава. Одним из эффективных методов исследования сложных объектов и систем является компьютерное моделирование. При этом обычно в это понятие включают математическое описание задачи, программирование, проведение вычислительного эксперимента. Такой подход имеет свои особенности, преимущества и недостатки по сравнению с другими методами исследования. Вычислительный эксперимент не отменяет натурный эксперимент, а дополняет его, позволяет получить больше информации об исследуемом процессе. По словам академика В.И. Арнольда, эксперименты на математических моделях обходятся дешевле, чем натурные эксперименты.

6 Современный инженер должен иметь представление о проведении компьютерного моделирования, свободно ориентироваться в современных программных продуктах, в частности в системах компьютерной математики. В настоящее время существуют специализированные пакеты для автоматизированного составления уравнений движения и моделирования сложных систем, например, Adams, UM «Универсальный механизм» и др. Они позволяют детально описать многомерную механическую систему со многими нелинейными связями, а затем провести моделирование, используя модели внешних возмущений приближенных к реальным условиям. Такие системы во многом освобождают исследователя от рутинной работы составления уравнений, программирования и отладки модели, обоснования адекватности и точности модели, сохранения и анализа многовариантных расчетов. В свою очередь, применение таких сложных систем требует подготовки и ясного понимания моделируемых процессов. Наряду с этим для анализа динамической системы и оценки влияния отдельных факторов, особенно на начальном этапе, рационально использовать универсальные математические пакеты. К ним относится достаточно распространенный пакет Mathcad, в котором объединены: редактор, системный интегратор, мощная математическая библиотека численных методов. Применение пакета позволяет решать системы алгебраических и дифференциальных уравнений, выполнять символьные вычисления, операции с векторами и матрицами, писать программы, строить графики и т.д. Mathcad просто незаменим при обучении методам моделирования, построению ряда моделей типа «от простого к сложному». Открытость системы позволяет анализировать не только результаты моделирования, но и математическое описание. Такой подход позволяет глубже вникнуть в суть проблемы. Основы работы в пакете Mathcad подробно изложены в соответствующей литературе, например [1], [2], и в настоящей работе не рассматриваются. Для знакомства с применением Mathcad в инженерных расчетах рекомендуется [3], [8].

7 Основное внимание в настоящем пособии уделено составлению и решению систем дифференциальных уравнений, как основы большинства математических моделей динамических систем. Компьютерное моделирование проводится на основе численных методов решения. В качестве примеров используются задачи из курса динамики электроподвижного состава. Для более подробного изучения вопросов по курсу рекомендуются [4]–[7], [9].

8 1

ОСОБЕННОСТИ ПАКЕТА MATHCAD

1.1 Математические возможности пакета Mathcad Современные программные пакеты, предназначенные для решения различных математических и технических задач, развиваются в направлении создания максимального удобства для пользователя при работе с достаточно сложными по внутреннему содержанию средствами. В математические пакеты включают наряду с большой библиотекой стандартных функций и методов также средства удобного представления исходных данных и результатов. Считается хорошим тоном иметь большой набор средств отображения результатов в графическом виде. Это, в конечном счете, позволяет исследователю значительно больше времени уделить основному объекту исследования, упростить или свести к неким стандартным действиям работу по созданию отчета. Mathcad предоставляет мощные, удобные и наглядные средства описания алгоритмов решения математических задач. Используя Mathcad, преподаватели, научные работники и студенты вузов имеют возможность подготовки наглядных решений как простых, так и довольно сложных задач в различных областях. Его особенность – максимальное приближение записи алгоритма решения к естественной математической форме. Пакет обладает развитыми средствами графического представления и документирования результатов. Разработчики системы стремились обеспечить решение большинства задач без использования программирования. Объектами системы могут быть формульные, текстовые и графические блоки. Их можно выделять пунктирными прямоугольниками и перетаскивать (по одному или сразу несколько блоков) с помощью мыши. При этом формульные блоки могут иметь особые признаки – атрибуты, например, активности, пассивности и оптимизации [2]. Уравнения Mathcad не только хорошо выглядят на экране дисплея, но и удобны для математических преобразований. Работа с текстом не является «коньком» Mathcad, однако есть возможности применения различных шрифтов, оформления документа в виде отчета

9 или технической документации. Следует отметить, что документ Mathcad – активный, работающий документ, и изменения в исходных данных приводят к обновлению всех зависимых результатов и перерисовке графиков, как в электронных таблицах [8]. Содержащиеся в пакете функции позволяют легко читать данные из файлов и подвергать их математической обработке. Имеются возможности символьного преобразования, что позволяет получить аналитическое решение некоторых задач. Mathcad удобно использовать как «инженерный калькулятор». При возникновении необходимости провести расчёт – к услугам пользователя набор возможностей от расчёта по формулам и варьирования многих переменных до проведения исследования математических моделей. Именно возможность исследования моделей от простого представления, в виде формул, – к сложному, в виде систем уравнений, послужило предпосылкой включения Mathcad-14 в САПР Pro-Engeneer (фирма PTC). Многоплановость Mathcad позволяет легко использовать его как непрограммирующему пользователю, как и искушенному в программировании специалисту. Для себя отметим положительные стороны Mathcad для моделирования динамики: - наличие большой библиотеки численных методов; - создание математических моделей в виде работающих документов; - возможность расширения модели путем копирования частей из других документов; - возможность оформления документов для дальнейшего использования; - открытость документов. Ввод данных и формул не представляет особых сложностей. Для этого используются клавиатура и мышь, для некоторых сложных конструкций используются комбинации клавиш или дополнительные панели инструментов. Остановимся на некоторых вычислительных особенностях Mathcad.

10 1.2 Вычисления с матрицами Одиночное число в Mathcad называется скаляром. Столбец чисел называется вектором, а прямоугольная таблица чисел – матрицей. Общий термин для вектора или для матрицы – массив. Для создания вектора или матрицы в Mathcad существует несколько способов. 1) Создать пустой массив с помощью диалогового окна из панели инструментов «Векторные и матричные операции» (быстрый запуск – комбинация клавиш Ctrl-m) и задать необходимое число строк и столбцов. Затем заполнить полученный шаблон необходимыми величинами. Для перемещения используется мышь или клавиша Tab. Число элементов массива, введенное таким способом, не может превышать 100 (Mathcad до 13-й версии) или 600 (Mathcad 13/14). Из-за этого ограничения многие начинающие пользователи Mathcad ошибочно полагают, что 100 (600) – это и есть максимальное число элементов в векторе или матрице, хотя в документации Mathcad отмечено, что оно может достигать 8 млн. Для изменения размеров уже существующей матрицы необходимо заключить элементы того столбца или строки, которые требуется удалить в выделяющий уголок, обратиться к диалоговому окну создания матрицы, указать количество удаляемых или вставляемых строк и столбцов и нажать одну из клавиш Вставить или Удалить. 2) Использование оператора присваивания для задания элементов массива, например, V[0 := 1. V[1 := 1+3i.

*

Совет.

Для набора числового индекса используется клавиша “[”. Для набора текстового индекса используется “.” (точка).

3) Создание диапазона изменения переменных и использование их в ка-

11 честве индексов. Элементы матрицы связываются со значениями индексов, например, i:= 0..9, j := 0..9, X[i,j := i^2+j/2 . 4) Ввод значений вектора как списка, разделенного запятой, при заданном диапазоне изменения индекса, например, i:= 0..3 V[i := 1.2, 2.3, 3.45, 4.56 .

*

Напомним. Диапазон изменения индексов начинается с нуля. 5) Импорт данных при использовании операторов чтения. Для просмот-

ра матрицы используется оператор вывода результата “=”. Для контроля размерности матрицы используются операторы: - rows(M) – возвращает число строк матрицы М; - cols(М) – возвращает число столбцов матрицы М. Для вектора используется функция length(V), возвращающая число элементов вектора V. Mathcad имеет возможность обращаться также к отдельным столбцам матрицы. Для обращения к столбцу необходимо нажать комбинацию клавиш Ctrl-6 и поместить номер столбца в появившееся поле. Для обращения к строке матрицы можно использовать эту же методику, предварительно выполнив транспонирование матрицы (комбинация клавиш Ctrl-1). Некоторые из операторов Mathcad имеют особые значения в применении к векторам и матрицам. Например, символ умножения означает просто умножение, когда применяется к двум числам, но он же означает скалярное произведение, когда применяется к векторам, и умножение матриц – когда применяется к матрицам:

12

⎛1 2 3⎞ A := ⎜ 2 3 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝3 1 2⎠

⎛4 5 6⎞ B := ⎜ 7 8 7 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝6 5 4⎠

⎛ 36 36 32 ⎞ A ⋅ B = ⎜ 35 39 37 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 31 33 33 ⎠

входные матрицы;

результат умножения матриц.

При моделировании сложных систем матричные операции являются важным инструментом, что позволяет упростить запись и ускорить вычисления. 1.3 Параллельные вычисления Любое вычисление, которое может выполнять Mathcad с одиночными значениями, он также может выполнять с векторами или с матрицами. Есть два способа сделать это. 1) Последовательно выполняя вычисления над каждым элементом с использованием дискретного аргумента. Вот как определяется матрица, получаемая поэлементным перемножением двух матриц из предыдущего примера: задание диапазона изменения инi := 0 .. 2

j := 0 .. 2

P i , j := Ai , j ⋅ Bi , j дексов и умножение элементов

массивов;

⎛ 4 10 18 ⎞ P = ⎜ 14 24 7 ⎟ ⎜ ⎟ 18 5 8 ⎠ ⎝

результат поэлементного умножения.

2) Использовать оператор векторизации. Оператор векторизации изменяет смысл выражения. Оператор векторизации предписывает Mathcad применять операторы и функции в их скалярном значении к каждому элементу массива поочередно. Эту же операцию можно выполнить, используя оператор векторизации.

13 Для применения оператора векторизации необходимо заключить требуемое выражение в выделяющий уголок и нажать комбинацию клавиш Ctrl-“–” (минус). Mathcad поместит стрелку сверху выделенного выражения

⎛ 4 10 18 ⎞ ⎯⎯→ ⎜ ⎟ ( A ⋅ B) = 14 24 7 ⎜ ⎝ 18 5

⎟ 8 ⎠

.

Распараллеливать полезно при поэлементной обработке массивов, составленных из векторов разнородных данных. Сравните результаты операций умножения векторов и поэлементного умножения векторов, составленных их первых столбцов матриц А и В: 〈〉 A0 := A 0

〈〉 B0 := B 0

⎛1⎞ A0 = ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝3⎠

⎛4⎞ B0 = ⎜ 7 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝6⎠

A0 ⋅ B0 = 36

4 ⎯⎯⎯→ ⎛ ⎞ ( A0 ⋅ B0) = ⎜ 14 ⎟

⎜ ⎟ ⎝ 18 ⎠ .

При выполнении скалярных вычислений (умножение на скаляр, извлечение корня, возведение в степень и т.п.) над вектором (матрицей-столбцом) оператор векторизации можно не ставить. Вычисления всё равно будут выполнены для каждого элемента вектора. 1.4 Комплексные числа и вычисления с ними Для ввода мнимого числа необходимо вслед за его действительной частью ввести символ мнимой единицы i или j, например 1i или 5.25j. Нельзя использовать i или j сами по себе для обозначения мнимой единицы. Следует обязательно печатать 1i или 1j, в противном случае Mathcad воспримет напечатанное как имя переменной i или j. Когда курсор покидает выражение, содержащее

14 i или j, Mathcad скрывает избыточную единицу. Для того чтобы изменить изображение мнимой единицы с i на j, необходимо выделить мнимую единицу, выбрать вкладку Параметры отображения в меню Форма\Результат и изменить в открывшейся панели тип представления мнимой единицы. Для комплексных чисел в Mathcad предусмотрены специальные операции: - Re(z) – вычисление действительной части комплексного числа z; - Im(z) – вычисление мнимой части комплексного числа z; - |z| – вычисление модуля комплексного числа z, чтобы записать модуль от выражения, нужно заключить его в выделяющий уголок и нажать клавишу с вертикальной чертой “|” ; - arg(z) – вычисление угла между действительной частью комплексного числа z и вещественной осью. Возвращает результат между −π и π радиан; - вычисление числа комплексно-сопряженного к z. Чтобы применить к выражению оператор сопряжения, необходимо выделить выражение и нажать клавишу двойные кавычки (") в латинском регистре. При вычислениях в комплексной области многие функции, о которых привычно думать как о возвращающих одно значение, становятся многозначными. Общее правило состоит в том, что для многозначной функции Mathcad возвращает главное значение, т. е. значение, составляющее минимальный угол на комплексной плоскости между числом и действительной осью. Например, при вычислении (−1)1/3 Mathcad выдаст 0.5 + 0.866j, хотя считается, что кубический корень из −1 есть −1. Дело в том, что извлечение кубического корня из −1 дает три ответа (0.5 + 0.866j; –1; 0.5 − 0.866j), но значение 0.5 + 0.866j составляет с положительным направлением действительной оси угол только в 60°, в то же время как два остальных значения составляют углы в 180° и 300° соответственно. Покажем применение операций с комплексными числами в Mathcad на примере расчета логарифмической амплитудно-частотной характеристики по заданной передаточной функции W(p) [8]:

15 k := 1 .. 1000

дискретный аргумент;

ω k := 0.01 ⋅ k

вектор частот для расчёта;

⎯⎯→ p := ( ω ⋅ j )

вектор значений оператора Лапласа;

W ( p) :=

1 2

p + 0.2 ⋅ p + 1

→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ( L := ( 20 ⋅ log W ( p) ) )

частотная характеристика; расчёт логарифмической амплитудно-частотной характеристики с применением векторизации.

Для построения графика в качестве аргумента и функции использованы векторы ω и L (рисунок 1.1). Для оси абсцисс использована логарифмическая шкала.

*

Совет.

Для вызова шаблона декартового графика нажать Ctrl-@ 20

0 L 20

40 0.01

0.1

1

10

ω

Рис. 1.1. График логарифмической амплитудно-частотной характеристики

16 1.5 Вычисление производных Для выполнения дифференцирования в системе Mathcad можно использовать

команды

меню

Символы\Переменные\Дифференциалы

(Symbolic\

Variable\Differentiate). Для выполнения этой операции предварительно следует выделить мышкой переменную в дифференцируемом выражении и исполнить данную команду. Позиционирование вывода результата вычислений (снизу, горизонтально справа или вместо исходного выражения) и вывод комментария можно задать в окне команды меню Символы\Стиль вычислений (Symbolic\ Evalution Style). Например, выбран стиль вывода – горизонтально, с выводом комментариев (рис. 1.2). sin( x)

by differentiation, yields

cos ( x)

x x− 1

by differentiation, yields

1 x − x − 1 ( x − 1) 2

Рис. 1.2. Символьные вычисления в Mathcad Данный способ имеет существенные ограничения. Одно из них – невозможность вычисления производных для выражений, содержащих функции пользователя. Другой способ – с применением шаблонов вычисления производных из панели «Операторы математического анализа» и оператора символьных вычислений “→”, обычно более удобен и более нагляден. При изменении исходного выражения происходит изменение результата. d sin( x) → cos ( x) dx g( x) :=

d

3 3

dx

1 x d g( x) → − x − 1 ( x − 1) 2 dx

x x− 1

g( x) →

6 ( x − 1)

3

− 6⋅

x ( x − 1)

4

Рис. 1.3. Вычисления производных в Mathcad

17 1.6 Численное решение дифференциальных уравнений 1.6.1 Функции Mathcad для решения дифференциальных уравнений Многие научно-технические задачи, относящиеся к анализу динамических систем, базируются на решении систем дифференциальных уравнений (ДУ). Поэтому составление уравнений движения и численное решение ДУ является основой математического моделирования динамических систем. Некоторые линейные ДУ имеют аналитическое решение, и могут быть получены, что называется, вручную. Mathcad содержит средства символьной математики для аналитических преобразований и решений уравнений. Но всегда следует помнить об ограничениях этого метода и сложностях описания нелинейных элементов. Численное решение ДУ, что часто называется «решением в лоб», сводится к преобразованию исходной системы к форме Коши и выбору подходящего численного метода решения. Форма Коши для системы ДУ представляет собой систему обыкновенных ДУ первого порядка y1′ = f1 ( x, y1 , y 2 ... y n ) ⎫ y 2′ = f1 ( x, y1 , y 2 ... y n ) ⎪⎪ ⎬, ... ⎪ y n′ = f1 ( x, y1 , y 2 ... y n )⎪⎭

с заданием начальных условий y1 ( x0 ) = y01 ⎫ y 2 ( x0 ) = y02 ⎪⎪ ⎬, ... ⎪ y n ( x0 ) = y0 n ⎪⎭ или в векторном виде

Y ′ = F ( x, Y ) ; Y ( x0 ) = Y0 .

Иначе говоря, решение системы ДУ в форме Коши в векторной форме осуществляется аналогично решению одиночного ДУ.

18 Для решения дифференциальных уравнений в пакете Mathcad есть несколько специальных функций: - rkfixed(y,x1,x2,n,D) – возвращает матрицу решений методом РунгеКутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе y, правые части которых записаны в символьном векторе D на интервале от x1 до x2 при фиксированном числе шагов n; - rkadapt(y,x1,x2,acc,n,D,k,s) – возвращает матрицу, содержащую таблицу значений решения задачи Коши на интервале от x1 до x2 для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисленную методом Рунге-Кутта с переменным шагом и начальными условиями в векторе y, правые части системы записаны в векторе D, n – число шагов, k – максимальное число промежуточных точек решения, acc – погрешность решения (рекомендуется порядка 0.001), и s – минимально допустимый интервал между точками; - Rkadapt(y,x1,x2,n,D) – возвращает матрицу решений методом РунгеКутта с переменным шагом для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе y, правые части которых записаны в символьном векторе D на интервале от x1 до x2 при фиксированном числе шагов n. Устойчивость и точность численного решения ДУ определяется шагом интегрирования. Чем меньше шаг, тем выше точность расчёта. В функции rkfixed шаг расчёта зависит от количества точек расчета, чем больше точек расчета, тем меньше шаг. На практике, как правило, требуется провести несколько расчётов, увеличивая или уменьшая шаг расчёта, отслеживая результаты. Окончательно следует выбрать такой шаг расчёта, при увеличении которого в два раза не наблюдаются расхождения в результатах. Применение функции rkadapt, в которой реализованы методы автоматического выбора шага интегрирования, значительно ускоряет процесс решения. В результате формируется матрица решений, в первом столбце которой содержится независимая переменная, а в последующих – решения системы дифференциальных уравнений.

19 1.6.2 Решение жестких систем ОДУ

Система дифференциальных уравнений, записанная в матричной форме Y = A ⋅ X , называется жесткой, если A – почти вырожденная матрица. В зада-

чах, описывающих колебательные системы, это соответствует значительному различию частот колебаний. Решение таких систем характерно резко различной скоростью изменения значений переменных и требует очень малого шага, выбираемого исходя из наивысшей скорости изменения значений переменных. Оно подчас невозможно указанными выше методами, дающими недопустимо большую ошибку при решении таких задач. Матрица-функция Якоби J, фигурирующая в этих функциях, имеет размер n × (n + 1) и представляется в виде ⎡ ∂f1 ( x, y ) ⎢ ∂x ⎢ ⎢ ∂f 2 ( x, y ) J ( x, y ) = ⎢ ∂x ⎢ ... ⎢ ∂f ( x, y ) ⎢ n ⎣⎢ ∂x

∂f1 ( x, y ) ∂y1 ∂f 2 ( x, y ) ∂y1 ... ∂f n ( x, y ) ∂y1

∂f1 ( x, y ) ⎤ ∂y n ⎥ ⎥ ∂f 2 ( x, y ) ⎥ ... ∂y n ⎥ . ... ... ⎥ ∂f n ( x, y ) ⎥ ⎥ ... ∂y n ⎦⎥ ...

Для решения жестких дифференциальных уравнений в Mathcad введен ряд функций: - bulstoer(y,x1,x2,acc,n,F,k,s) – возвращает матрицу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений на интервале от x1 до x2, правая часть которых записана в символьном векторе F с заданными в векторе y начальными условиями (используется метод решения Булирша – Штера с переменным шагом, параметры k и s задают максимальное число промежуточных точек, на которых ищется решение, и минимально допустимый интервал между ними); acc – погрешность решения (рекомендуется порядка 0.001), k – максимальное число промежуточных точек, и s – минимально допустимый интервал между точками, в которых ищется решение; - Stiffb(y,x1,x2,n,F,J) – возвращает матрицу решений жесткого диффе-

20 ренциального уравнения, записанного в векторе F и функции Якобиана J, y – вектор начальных значений на интервале [x1,x2] (для решения используется метод Булирша – Штера); - stiffb(y,x1,x2,acc,n,F,J,k,s) – возвращает матрицу решений только в конечной точке жесткого дифференциального уравнения, записанного в векторе F и функции Якобиана J, y – вектор начальных значений на интервале [x1,x2] (для решения используется метод Булирша – Штера с переменным шагом); - Stiffr(y,x1,x2,n,F,J) – возвращает матрицу решений дифференциального уравнения, записанного в векторе F и функции Якобиана J, y – вектор начальных значений на интервале [x1,x2] (для решения используется метод Розенброка); - stiffr(y,x1,x2,acc,n,F,J,k,s) – матрица решений только в конечной форме жесткого дифференциального уравнения, записанного в векторе F и функции Якобиана J, y – вектор начальных значений на интервале [x1,x2] (для решения используется метод Розенброка с переменным шагом). Функции, начинающиеся с малой буквы, дают решения только для конечной точки. Оставляя изучение всех особенностей и функций пакета Mathcad любознательному пользователю, далее рассмотрим некоторые примеры решения задач динамики средствами Mathcad.

21 2

ИНЖЕНЕРНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА ЖЕЛЕЗНЫХ ДОРОГ

2.1 Основные задачи динамики железнодорожных экипажей

Вопросы прогнозирования поведения проектируемых и существующих конструкций механической части (экипажа) подвижного состава решаются на основе методов динамики. Решение этих вопросов включает в себя ряд этапов, основными из которых являются: - создание расчетной схемы, отображающей основные динамические свойства системы; - выбор возмущающего воздействия, оказывающего решающее влияние на поведение системы в условиях поставленной задачи; - создание математической модели процессов, возникающих при движении; - изучение свойств исходной системы по ее математической модели и практическое использование результатов. При изучении свойств математической модели такой сложной динамической системы, какой является современный подвижной состав, широко применяются средства вычислительной техники, компьютеры. С их помощью определяются собственные частоты, решаются вопросы об условиях устойчивости движения, изучаются вынужденные колебания при различных режимах движения. В динамике железнодорожных экипажей, и в частности динамике электровозов, в зависимости от поставленной задачи в качестве самостоятельной динамической системы могут рассматриваться отдельные элементы или части экипажа. Например, это могут быть: колесная пара; одиночная тележка (жесткая или с упругими связями рамы с колесными парами); секция электровоза; поезд – электровоз и группа вагонов. Для исследования тяговых свойств в рассмотрение вводят электродинамические процессы. Под динамической системой понимается совокупность материальных

22 точек, твердых или упругих тел, взаимодействующих друг с другом и внешней средой. Ограничения, накладываемые на перемещения или скорости элементов системы, реализуемые за счет свойств трения, упругости, неизменяемости линейных размеров и других ограничений, называются связями. Связи могут осуществляться направляющими устройствами (рельсовая колея), шарнирными элементами, упругими и диссипативными элементами (пружины, рессоры, резиновые элементы, гасители колебаний). Динамическая модель должна отражать основные свойства рассматриваемой системы в такой степени, чтобы с ее помощью можно было с требуемой точностью оценить динамические качества реального объекта. Состояние динамической системы описывается уравнениями равновесия сил и моментов, действующих на ее элементы, в каждый момент времени. Для описания движения динамической системы используют дифференциальные уравнения. Возмущающие факторы, действующие на динамическую систему, для решения задачи моделирования должны быть определены количественными характеристиками. В процессе движения экипажа по рельсовому пути возникают свободные и вынужденные колебания [4]. Необходимость изучения свободных колебаний возникает при переходных (неустановившихся) режимах движения. Например, проход одиночной неровности пути, вход в кривую, удар на стыке рельса, соударение экипажей и др. Диссипативные характеристики подвижного состава железных дорог таковы, что свободные колебания быстро затухают. Поэтому при определении показателей динамических качеств рассматривают в основном установившийся режим вынужденных колебаний. Возмущения, вызывающие вынужденные колебания, можно разделить на три вида: кинематические, силовые и параметрические. Применительно к условиям работы тягового подвижного состава в качестве кинематических возмущений выступают геометрические неровности пути в профиле и плане, неровности на поверхности катания колеса; в качестве силовых – тяговый мо-

23 мент, периодические силы от дисбаланса вращающихся частей дизелей, электрических машин, компрессоров. Параметрические возмущения обусловлены изменениями какого-либо параметра системы. Эти возмущения используют при решении различных задач динамики подвижного состава. 2.2 Критерии оценки динамического взаимодействия экипажа и пути

Динамические качества ЭПС характеризуются запасом устойчивости, плавностью хода и рентабельностью. Запас устойчивости, относящийся к системе «экипаж – путь», определяется главным образом как запас устойчивости от схода рельсов [6]. Плавность хода определяет комфорт движения и степень утомляемости пассажиров, что немаловажно при сравнении с другими видами транспорта. Рентабельность ЭПС измеряется с помощью эксплуатационных расходов по текущему содержанию и ремонту. На эти расходы влияют эксплуатационная скорость и силы взаимодействия колеса и рельса. Указанные факторы вызывают износ составных частей экипажа, а также ухудшение конструкции пути. Для оценки экипажа как динамической системы используют показатели динамических качеств механической части. На отечественных железных дорогах приняты следующие показатели [4]. Максимальные ускорения кузова используют для оценки виброзащитных свойств механической части. Максимальные перемещения, в частности концов кузова, определяются габаритами, ограничениями и условиями работы автосцепки. Коэффициенты вертикальной и горизонтальной динамики определяются как отношения динамической и статической составляющих прогибов рессорных комплектов или действующих сил. Плавность хода оценивают по условиям воздействия вибрации на организм человека.

24 Запас устойчивости от схода колеса с рельса оцениваются с помощью отношения боковой силы к вертикальной нагрузке и условиям всползания гребня колеса на головку рельса. При прохождении кривых участков пути ограничивают величину боковых и направляющих сил, влияющих на устойчивость рельсового пути и прочность гребня колеса. Допустимые значения показателей динамических качеств приведены в соответствующей нормативной документации. Как видно из приведенного перечня показателей динамики, в них входят перемещения, скорости и ускорения подвижных частей, а также силы в связях и точках контакта. Внешние воздействия на подвижной состав также имеет свои оценки и нормы. Таким образом, целью моделирования динамического поведения механической части является определение допустимых условий взаимодействия экипажа и пути, поиск решений, обеспечивающих безопасную и рентабельную эксплуатацию подвижного состава. 2.3 Методы математического моделирования

При проведении многовариантных расчётов реальную систему заменяют моделью. Исследование динамики железнодорожных экипажей непосредственно связано с методами математического моделирования и решением задачи на компьютере. В последнее время для этого часто используется термин – компьютерное моделирование. Компьютерное моделирование – один из самых мощных инструментов познания, анализа и проектирования, применяемый при разработке и анализе сложных технических объектов. Сущность методологии компьютерного моделирования состоит в замене исходного технического объекта его «образом» – математической моделью – и в дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. При этом инженер (исследователь) получает возможность экспериментировать с объектами в тех случаях, когда делать это на реальном объекте

25 практически невозможно или нецелесообразно. Этот метод познания, конструирования, проектирования сочетает в себе достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные эксперименты с моделями объектов позволяют подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента). Формализация системы осуществляется с помощью математической модели, отображающей связь между выходными переменными системы, параметрами состояния и входными управляющими и возмущающими воздействиями. Не вдаваясь в особенности построения и анализа математических моделей, которые изложены в соответствующем курсе, в настоящем пособии основное внимание уделим практической реализации методов моделирования, применительно к рассматриваемым задачам. Отметим, при решении задач методами компьютерного моделирования необходимо пройти несколько этапов: - постановка задачи моделирования; - концептуальная формулировка задачи; - построение математической модели; - программная реализация модели на компьютере; - выбор метода решения; - проверка адекватности модели; - анализ результатов моделирования. При составлении математической модели от исследователя требуется: - изучить свойства исследуемого объекта; - умение отделить главные свойства объекта от второстепенных; - оценить принятые допущения. Модель описывает зависимость между исходными данными и искомыми величинами. Последовательность действий, которые надо выполнить, чтобы от исходных данных перейти к искомым величинам, называют алгоритмом. Алго-

26 ритм решения задачи на компьютере связан с выбором численного метода. В зависимости от формы представления математической модели (алгебраическая или дифференциальная форма) используются различные численные методы. Формализация задачи и применение численных методов позволяют использовать хорошо изученные приемы решения и стандартное (универсальное) математическое обеспечение компьютера. Применение компьютера повышает эффективность научных исследований, позволяет проводить моделирование сложных объектов и явлений. В последние годы в развитии программного обеспечения для персональных компьютеров прослеживается тенденция применения интегрированных пакетов, включающих наряду со специализированными программами и программы подготовки отчетов. Другая сторона развития программного обеспечения – ориентация на «непрограммирующего пользователя». В этом случае пользователь такого пакета получает возможность сосредоточиться на сущности самой задачи, а не на способах ее программной реализации. В свою очередь, пользователь должен ясно представлять возможности используемого пакета и заложенных в нем методов, а также уметь выбрать необходимый пакет, соответствующий решаемой задаче. Среди универсальных математических пакетов наиболее простым в освоении и наиболее удобным с точки зрения пользовательского интерфейса представляется математический пакет Mathcad. В дальнейшем мы будем использовать программную среду этого пакета, используя его наименование – Mathcad. Версия данного пакета не имеет решающего значения для приведенных в данном пособии задач, и комментарии об использованной версии будут приводиться в силу необходимости.

27 2.4 Составление дифференциальных уравнений движения

Общие методы динамики подвижного состава базируются на принципах аналитической механики. С точки зрения динамики механическая часть подвижного состава железных дорог, называемая экипажной частью (или экипаж), состоит из физических тел и связей между ними. Для описания поведения экипажа наряду с поступательным движением вдоль пути рассматривают колебания подвижных частей. Конструктивные связи между отдельными элементами конструкции (массами) направляют или ограничивают их движение. Число степеней свободы всей системы равно сумме степеней свободы отдельных составляющих частей за вычетом наложенных жестких связей. Упругие, упруго-вязкие, упруго-фрикционные и другие, им подобные связи, передают силовое воздействие между отдельными массами, не изменяя общего числа степеней свободы. Состояние механической системы в любой момент времени определяется координатами, скоростями и ускорениями. Для составления уравнений динамики такой системы используется принцип Даламбера–Лагранжа. Для этого в направлении каждой из 6-ти возможных координат необходимо записать уравнения равновесия. В уравнения поступательного движения включают силы инерции, проекции внешних сил и реакций связей. В уравнения вращательного движения – моменты сил инерции и моменты внешних сил и реакций связи. Для составления уравнений колебаний применяются методы аналитической механики в обобщенных координатах и обобщенных силах. Положение механической системы при этом определяется набором k независимых параметров различной физической и кинематической природы, к которым относятся декартовы координаты точек; расстояния, отсчитываемые по траектории; углы поворота и т.п. Число k называют числом степеней свободы, а сами параметры – обобщенными координатами q. В аналитической механике каждой обобщенной координате q соответст-

28 вует сила Q, определяемая их равенства возможных элементарных работ или мощностей. На основе вариационного принципа работа внешних, внутренних и инерционных сил, действующих на движущееся тело при вариации координат его траектории, должна равняться нулю. Рассматривая малые колебания экипажа вблизи равновесного положения, применяют уравнения Лагранжа второго рода в виде ∂F d ⎛ ∂L ⎞ ∂L ⎜⎜ ⎟⎟ − + = Qn , dt ⎝ ∂q& n ⎠ ∂qn ∂q& n

где

L

– функция Лагранжа;

F

– диссипативная функция;

(2.1)

Qn – обобщенные внешние силы;

qn – обобщенные координаты; q& n – обобщенные скорости.

Функция Лагранжа, состоящая из кинетической и потенциальной энергии, имеет вид L= где

(

)

1 mn ⋅ q& n2 + J n ⋅ψ& n2 + Cn ⋅ qn2 , ∑ 2 n

(2.2)

m – масса; J

– момент инерции вокруг соответствующей оси;

C – жесткость связи. Диссипативная функция имеет вид F= где

(

)

1 Bn ⋅ q& 2n , ∑ 2 n

(2.3)

B – демпфирование. Если связи линейные, то полученные дифференциальные уравнения

можно представить в матричном виде Mq&& + Bq& + Cq = Q ,

(2.4)

29 где

M – инерционная матрица; B – диссипативная матрица ; C – матрица жесткостей; Q – вектор внешних сил. Часто полученные уравнения называют математической моделью эки-

пажа. Более точно математическая модель включает метод решения, а при численном решении – набор исходных данных и ограничения. В общем случае математическая модель экипажа представляет собой систему большой размерности, включающей нелинейные характеристики. Для решения таких систем используются компьютер и программное обеспечение. В этом случае говорят о компьютерном моделировании. Линейные модели обладают следующими особенностями: - реакция системы пропорциональна возмущению; - применим принцип суперпозиции; - амплитудно-частотные характеристики таких систем могут быть получены исходя из вида системы уравнений, без подробного решения системы; Для линейных систем хорошо развиты методы численного анализа и они служат основой для понимания поведения сложных нелинейных систем. При анализе колебаний экипажа рассматривают собственные колебания как решение системы без возмущения Mq&& + Bq& + Cq = 0 .

(2.5)

Определение собственных частот и собственных форм колебаний позволяет уточнить размерность модели и снизить размерность решаемой задачи. В линейной алгебре разработаны специальные алгоритмы для определения собственных частот и собственных форм колебаний, которые входят в состав математического обеспечения большинства математических пакетов. Важным свойством динамической системы является устойчивость движения. Устойчивость определяют как стремление системы возвратиться в исходное состояние. Исследование устойчивости движения может быть сведено к исследованию нулевого решения системы уравнений так называемого возму-

30 щенного движения. Устойчивость движения, по Ляпунову, может быть исследована по линеаризированным уравнениям движения. В задачах малых колебаний, описываемых системой линейных дифференциальных уравнений, проверка устойчивости решения сводится к проверке ограничений значений обобщенных координат в любой момент времени. В некоторых нелинейных системах могут возникать независимые от начальных условий колебания, амплитуды которых ограничиваются только предельными значениями и зависят только от свойств системы. Такие системы называются автоколебательными. Устойчивость системы является необходимым, но недостаточным условием системы. Дальнейший анализ системы должен проводиться на вынужденные колебания с определением показателей динамических качеств подвижного состава. При численном решении оценка устойчивости может быть проведена непосредственно по характеру изменений переменных при малых отклонениях от положения равновесия. Возвращение всех переменных к устойчивому состоянию с течением времени характеризует устойчивость в малом, а не превышение амплитуды – устойчивость в большом. 2.5 Моделирование нелинейных характеристик связей

В динамической модели экипажа, состоящей из отдельных тел, силы реакций в связях зависят от относительных перемещений и скоростей. В зависимости от физической природы связей их характеристики могут быть представлены линейными и нелинейными зависимостями. Линейная зависимость силы F от перемещения x упругой связи F = C ⋅ x, где

С – жесткость связи. Известная зависимость сухого (кулонова) трения для двухстороннего

действия может быть записана с использование функции знака sign(x)

31 F = sign( x& ) ⋅ f ⋅ N , где

N – нормальная сила; f – коэффициент трения; x& – скорость перемещения. Функция знака (рис. 2.1) и функция Хевисайда (рис. 2.2) – функции ре-

лейного типа, встроенные в Mathcad.

1.2

1

1

0.5 sign( x)

0.8 Φ ( x) 0.6

0

0.4

0.5

0.2

1 6

4

2

0

2

x

Рис. 2.1. Функция знака

4

6

0

6

4

2

0

2

4

6

x

Рис. 2.2. Функция Хевисайда

В механической конструкции наряду с упругой связью часто используются дополнительные упругие упоры. Упругая характеристика связи при этом имеет участки с различным наклоном. Вариант такой билинейной характеристики приведен на рис. 2.3. Величины С1 и С2 определяют наклон линейных участков характеристики, а параметр «а» задает условия подключения упругого упора. Для построения характеристики, имеющей зону нечувствительности (или свободного хода), можно использовать билинейную характеристику задавая С1 = 0. На основе билинейной функции можно построить кусочно-линейную функцию насыщения, приняв С2 = 0 и задавая соответствующие параметры (рис. 2.4).

32 a := 2 F2 ( x) := C2 ⋅ x +

C1 := 2

C2 := 10

F0 := 15

1 ⋅ ( C2 − C1) ⋅ ( x − a − x + a ) 2

F0 a

20

20

10

0

F2 ( x)

20 40

C1 :=

x+ a − x− a 2

F2 ( x) := C1 ⋅

40

F2 ( x)

a := 2

0 10

6

4

2

0

2

4

20

6

x

6

4

2

0

2

4

6

x

Рис. 2.3. Билинейная характеристика

Рис. 2.4. Функция насыщения

При построении более сложных кусочно-линейных функций может быть использован описанный выше подход. Например, симметричная функция, с тремя участками в каждой ветви (рис. 2.5). Величины С1, С2, С3 определяют наклон линейных участков характеристики, а параметры a, b – задают границы участков. a := 2 F3 ( x) :=

b := 4

C1 := 10

C2 := −2

C3 := 0

1 ⋅ [ ( C2 − C1) ⋅ ( x − a − x + a ) + ( C3 − C2) ⋅ ( x − b − x + b ) ] + C3 ⋅ x 2 20 10 F3 ( x)

0 10 20

6

4

2

0

2

4

6

x

Рис. 2.5. Кусочно-линейная функция

33 F0 := 20

C1 := 2

F4 ( x) := F0 ⋅ sign( x) + C1 ⋅ x

6

2

40 20 F4 ( x)

0 20 40

4

0

2

4

6

x

Рис. 2.6. Упругая характеристика с преднатягом Для описания упругой связи с предварительным натяжением (преднатягом) можно воспользоваться функцией знака, добавив упругую характеристику (рис. 2.6). Величина F0 – величина преднатяга, С1 – жесткость упругой характеристики. 2.6 Сглаженные нелинейные характеристики

Нелинейные функции релейного типа (функции знака и Хевисайда) описывают непрерывную функцию, но имеют разрывную производную. При численном решении задачи в этих точках возникают трудности: шаг интегрирования резко уменьшается, что приводит к значительному увеличению времени расчета, или возникают значительные погрешности. Для того, чтобы обойти эти проблемы при решении задач большой размерности, используются сглаженные функции. Этим устраняется разрыв производных. Есть даже физическое объяснение этому подходу: природа не терпит острых углов. Для построения сглаженной функции в нее вводится малый параметр, при стремлении которого к нулю функция будет стремиться к своему оригиналу. Выбор величины малого параметра относится к вопросам настройки модели, ее адекватности реальному объекту.

34 Функция знака представлена сглаженной функцией (рис. 2.7) с малым параметром ε. ε := 0.1

Sgns( x) :=

x

F0 := 15

2

K := 1

x +ε

Sgns( x)

2

( K ⋅ x) + 1

1

20

0.5

10 0

Fns( x)

0

10

0.5 1

K⋅x

Fns ( x) := F0 ⋅

6

4

2

0

2

4

6

20

6

4

2

0

2

4

6

x

x

Рис. 2.7. Сглаженная функция знака

Рис. 2.8. Функция с насыщением

Сглаженная функция с насыщением представлена на рис. 2.8. В отличие от приведенной выше кусочно-линейной функции, в этой функции задается не зона перехода в насыщение, а угол наклона касательной функции в области нуля – коэффициент К. Для сглаживания билинейной функции необходимо заменить выражения, входящие в модули (рис. 2.3) на радикалы с введением малого параметра, например, Fs ( x) := C2 ⋅ x +

1 2 2 ⋅ ( C2 − C1) ⋅ ⎡⎣ ( x − a) + ε − ( x + a) + ε⎤⎦ 2

.

Величина малого параметра в полученной функции определяет степень приближения к кусочно-линейному оригиналу. Приведенные примеры, разумеется, не исчерпывают всех возможностей функций Mathcad. Наличие большой библиотеки функций и решателей является несомненным достоинством Mathcad.

35 2.7 Возмущения, действующие на экипаж со стороны пути 2.7.1 Виды возмущающего воздействия

Наибольшее значение для динамики необрессоренных масс имеют короткие неровности, радиус кривизны которых равен или меньше радиуса колеса. Для современных экипажей длина этих неровностей может быть не более 3 м. однако, если длинные неровности в отдельных своих местах содержат резкие изломы углов, они также могут явиться источниками значительных сил взаимодействия необрессоренных масс экипажа и пути. Основными видами коротких неровностей являются: на поверхности катания колеса – ползун, неравномерный прокат, а также эксцентричность колеса и дисбаланс колесной пары; для рельсового пути – ступенчатые неровности, неравномерный износ рельсов, местное «пробоксование» от колес локомотивов. В динамике необрессоренных масс наибольшее значение имеют зоны стыков. Геометрические неровности в этих зонах имеют сложную форму, включающую ступеньки и изломы углов. Ползун на поверхности катания колеса – плоское место, возникающее при движении по рельсу заклиненного колеса. В первое время после образования ползуна, когда края его имеют четко очерченные ребра, статическая траектория движения центра тяжести колеса имеет резкий перелом в середине неровности x2 η= . 2 Rk Длина проекции на ось х этой ветви определяется формулой l0 = 2 Rk h .

При движении экипажа происходят закатка острых граней и изменение формы ползуна, длина неровности увеличивается, а статическая траектория движения колеса приближается к косинусоидальному виду

36

⎛ 2πx ⎞ ⎟⎟. η = h⎜⎜1 − cos 2 l ⎝ 1 ⎠ В процессе эксплуатации локомотивов и вагонов, особенно в зимнее время, появляется неравномерный износ поверхностей катания колес. Он возникает на колесах с большим общим прокатом и проявляется вследствие закатки небольших ползунов, а также неоднородности структуры и термообработки металла обода колеса. При эксцентрично посаженном колесе его центр тяжести движется по волнообразной кривой, по виду приближающейся к синусоидальной. Амплитуда волны равна эксцентричности колеса. Длина волны равна длине окружности колеса. Ступенчатые неровности пути возникают в рельсовых стыках, в местах сварки рельсов, а также на стрелочных переводах. Статическая траектория движения центра тяжести колеса при проходе встречной неровности представляет собой восходящую ветвь кривой для нового рельса либо для рельса со сбитым концом. Траектория центра тяжести колеса при проходе попутной ступеньки соответствует нисходящим ветвям кривых. В процессе эксплуатации рельсов на их поверхности катания появляются неровности как изолированные, так и непрерывные (неравномерный излом). Изолированные неровности, возникающие от пробоксовки колес локомотивов и других причин, описываются уравнением h 2

η = (1 − cos

2πx ). l

Длина l может колебаться от нескольких сантиметров до одного и более метров. Длина неровностей неравномерного износа колеблется от 0,2–0,3 м до 1 м и более. Глубина неровностей может также изменяться в больших пределах: от долей до 2–3 мм и даже более. Неровности для рельсов длиной l = 25 м относят к шести группам [6]:

37 1) симметричная относительно середины рельсового звена в виде «арки», которая возникает вследствие просадки рельсовых стыков а1=13,07 мм; 2) имеющая, наряду с просадками по концам, также просадку в середине звена а1=8,87 мм,

а2=0,25 мм,

а3=8,1 мм;

3) имеющая три «горба» по длине рельсового звена при наличии просадки по его концам а1=6,87 мм, а2=0,5 мм,

а3=6,51 мм, а4=1,52 мм,

а5=6,38 мм;

4) в виде синусоиды с длиной волны, равной длине рельсового звена а1=7,52 мм,

а2=7,32 мм;

5) аналогичная группе 1, но являющаяся зеркальным отражением ее относительно оси абсцисс а1=–11,4 мм; 6) аналогичная группе 2, но являющаяся зеркальным отражением ее от оси абсцисс а1=–7,58 мм,

а2=6,75 мм,

а3=–8,09 мм.

Для пути с рельсами длиной 25 м наиболее часто встречаются неровности группы 2–30 % всего количества звеньев. Неровности групп 4 и 5 примерно по 10 %, а группы 6 практически не встречаются [6]. Все модели, применяемые для описания колебательных процессов в электровозе, должны обеспечить возможность получения достаточно точных результатов. Другими словами, колебательные процессы, определенные в результате расчета на моделях, должны быть близки к результатам эксперимента на движущемся локомотиве. Некоторое представление о сложности этой задачи можно получить, рассматривая записи реальных динамических процессов. Из экспериментальных данных видно, что все колебательные процессы, возникающие при движении по прямому участку пути, имеют далеко не моногармонический характер и не могут быть описаны на основе простейшей модели с одной степенью свободы при гармоническом возмущении [4].

38 В этих процессах прослеживаются колебания с различными частотами, и отсутствует какая-либо явная периодичность. Амплитуды отдельных гармоник не имеют фиксированных значений, то есть процессы обладают свойствами случайных. Характер колебаний может измениться, происходит перераспределение энергии колебаний на другие частоты, может измениться уровень колебаний. Во второй ступени подвешивания частота колебаний ниже по сравнению с первым (буксовым) ярусом. Вместе с тем высокочастотные составляющие колебаний первичного подвешивания оказывают влияние на ускорения отдельных точек кузова. Более близки к регулярным горизонтальные колебания: здесь преобладают более низкие частоты. Поэтому применяемые для расчетов модели должны давать возможность рассматривать колебания основных тел экипажа – кузова и тележек, причем отдельно вертикальные и боковые. Периодические горизонтальные неровности пути во многом связаны с воздействием (вилянием) подвижного состава. Параметры этих неровностей зависят от типа подвижного состава, обращаемого на участке. Неровность рельсового пути может быть также задана в детерминированной форме. Для динамических моделей, описывающих боковые колебания подвижного состава, правомерность такого подхода подтверждается как экспериментальными, так и теоретическими исследованиями. Бальная система оценки состояния пути также содержит параметры одиночных неровностей – длины и амплитуды. Природу возникновения различных форм кривизны рельсовых нитей в плане можно условно разделить на две группы: - возникшие в результате особенностей конструкции и сборки путевой розетки (как правило, параболические и треугольные неровности); - появившиеся в результате взаимодействия с колесом и рельсом (неровности в виде симметричных, несимметричных и «вытянутых» синусоид). Используемые в теоретических исследованиях детерминированные неровности пути аппроксимируются обычно простыми аналитическими зависи-

39 мостями: непрерывные периодические неровности – синусоидой, а одиночные – полуволной косинусоиды. При решении задач горизонтальной динамики экипажей в кривых большее распространение получило использование в качестве возмущающего воздействия одиночных косинусоидальных неровностей. Из причин такого выбора выделим следующие. Во-первых, ввиду искажения траектории виляния экипажей под действием центробежных сил форма непрерывных горизонтальных неровностей в кривых участках пути отличается от синусоидальной, строго говоря, зависит от радиуса кривой, возвышения наружного рельса, скорости движения подвижного состава, и аппроксимируется сложной зависимостью. Во-вторых, периодическая неровность, являясь следствием извилистого движения подвижного состава, сама, в свою очередь, вызывает колебания виляния. В динамических моделях возбуждение колебаний виляния происходит самопроизвольно как результат силового взаимодействия колеса и рельса. 2.7.2 Модель гармонического возмущения

Наибольшее распространение в задачах динамики получила модель гармонического возмущения, задаваемого в виде синусоиды с периодом, соответствующим длине рельсового звена. На рис. 2.9 показан вариант задания неровности в зависимости от времени при постоянной скорости движения.

L := 25 A := 0.005 V := 20 2 ⋅π ω := ⋅V L

длина неровности, м амплитуда неровности, м скорость движения, м/с частота возмущения, с -1

η ( t) := A⋅sin( ω ⋅t)

перемещение, м

dη ( t) := A⋅ω ⋅cos ( ω ⋅t)

скорость, м/с

s := 0 , 0.1 .. 50

путь, м

40 0.04

5

⎛s⎞ ⎟ 0 ⎝ V⎠

1000 ⋅η ⎜

5

0

0

10

20

30

40

⎛s⎞ ⎟ ⎝ V⎠

dη ⎜

0.04 50

s

Рис. 2.9. Гармоническое возмущение (фрагмент документа Mathcad) При выводе результатов (рис. 2.9) использованы возможности Mathcad для вывода графика с двумя осями: левая (основная) ось соответствует перемещению, имеющему размерность мм (множитель 1000), а правая – скорости перемещения, размерность м/с. 2.7.3 Модель составной детерминированной неровности

Одним из вариантов возмущения, используемого при исследованиях вертикальных колебаний, является так называемая «двугорбая» неровность, предложенная проф. Н. Н. Кудрявцевым. Неровность хорошо описывает изменение прогиба вдоль рельсового звена. Период повторения неровности соответствует длине рельсового звена (рис. 2.10). Ниже рассматривается неровность длиной 25 м. Производная от функции возмущения может быть получена с использованием символьных преобразований. Модель неровности представляет собой сумму полуволны синусоиды частотой ω и трех полуволн синусоиды частотой 3ϖ , уложенные на длине рельсового звена (рис. 2.11). Амплитуды неровностей выбираются в зависимости от типа и состояния пути. Для вывода нескольких переменных в различном масштабе используются множители перед переменной в поле графика. В последних версиях Mathcad на графиках можно использовать вторую ось ординат, что также расширяет возможности представления результатов.

41

*

Замечание. Следует иметь в виду, что оформление графиков в Mathcad может отличаться от принятых стандартов. Для доведения графических результатов до требуемого вида приходится

использовать ухищрения. Например, спрятать аргументы графика и подставить в нужное место необходимые текстовые поля с соответствующим содержанием (обозначениями переменных, размерностью и др.).

L := 25 A := 0.005 A2 := 0.002

длина неровности, м амплитуда неровности, м вторая амплитуда неровности, м

V := 20 π ω1 := ⋅V L

скорость движения, м/с частота возмущения, с -1

перемещение, м η1 ( t) := A⋅sin( ω1 ⋅ t) + A2⋅ sin( 3 ⋅ω1 ⋅t) − 0.0025 скорость, м/с dη1 ( t) := ( sign( A⋅sin( ω1 ⋅t) + A2⋅sin( 3 ⋅ω1 ⋅t) ) ) ⋅( A⋅cos ( ω1 ⋅t) ⋅ω + 3 ⋅A2⋅cos ( 3 ⋅ω1 ⋅ t) ⋅ω1) s := 0 , 0.1 .. 50

путь, м

Рис. 2.10. Составная неровность (фрагмент документа Mathcad) 4

0.05

2

⎛s⎞ ⎟ 0 ⎝ V⎠

1000 ⋅η1 ⎜

0

2 4

0

10

20

30

40

⎛s⎞ ⎟ ⎝ V⎠

dη1 ⎜

0.05 50

s

Рис. 2.11. Составная неровность (фрагмент документа Mathcad)

42 2.7.4 Модель одиночной неровности пути

Взаимодействия подвижного состава с одиночными неровностями пути часто рассматривают как основной фактор, определяющий динамическую нагруженность экипажа при движении подвижного состава в кривых. В зависимости от состояния пути определяют параметры одиночной неровности как отступление, замеренное на хорде 20 м, (см. табл. 2.1). Таблица 2.1 Отступления профиля пути на хорде 20 м Степень отступления

Отступление, мм

I

5

II

10

III

15

IV

20

Построим в Mathcad модель одиночной неровности в функции от проходимого пути. L := 20 S0 := 10 A := 0.020 V := 20

длина неровности, м начало неровности, м амплитуда неровности, м скорость движения, м/с

перемещение, м A⎛ ⎛ S − S0 ⎞ ⎞ ⋅( Φ ( S − S0) − Φ ( S − S0 − L) ) η2 ( S) := ⋅⎜ 1 − cos ⎜ 2π ⋅ ⎟⎟ 2 ⎝ L ⎠⎠ ⎝ скорость, м/с

dη2 ( S) :=

π ⋅ V⋅ A ⎛ S − S0 ⎞ ⋅( Φ ( S − S0) − Φ ( S − S0 − L) ) ⋅sin⎜ 2π ⋅ ⎟ L L ⎠ ⎝

s := 0 , 0.1 .. 50

путь, м

Рис. 2.12. Одиночная неровность (фрагмент документа Mathcad)

43 20

0.1

15 1000 ⋅η2 ( s) 10

0

dη2 ( s)

5 0

0

10

20

30

40

0.1 50

s

Рис. 2.13. Одиночная неровность (фрагмент документа Mathcad)

2.8 Резюме

Для составления дифференциальных уравнений колебаний подвижного состава как механической системы используются принцип Лагранжа– Даламбера. Колебания можно классифицировать по трем категориям: свободные, вынужденные, самовозбуждающиеся. Устойчивость системы является необходимым, но недостаточным условием системы. Дальнейший анализ системы должен проводиться на вынужденные колебания с определением показателей динамических качеств подвижного состава. При численном решении оценка устойчивости может быть проведена непосредственно по характеру изменений переменных. Численные методы решения эффективны для решения нелинейных систем дифференциальных уравнений.

44

3 КОЛЕБАНИЯ ДВУХМАССОВОЙ СИСТЕМЫ 3.1 Расчетная схема колебаний двухмассовой системы

Рассмотрим упрощенную модель вертикальных колебаний рельсовых экипажей с двухъярусным подвешиванием: магистральных локомотивов (электровозов и тепловозов) и пассажирских вагонов. Качение колес по рельсам считаем безотрывным, путь – жестким, а возмущение детерминированным гармоническим или более сложного вида. Две массы связаны упругими и диссипативными связями (рис. 3.1). Модель используется для предварительных исследований влияния основных параметров экипажа на вертикальные колебания. Для такой модели легко получить аналитическое решение, определить собственные частоты и коэффициент динамики. Далее рассматриваются преобразования для численного решения задачи на компьютере.

z2

m2 c2

b2 z1

m1 c1

b1 η

Рис. 3.1. Расчетная схема

45 3.2 Уравнения колебаний

Движение рассматриваемой системы описывается следующими дифференциальными уравнениями m1 ⋅ &z&1 + b1 ⋅ z&1 + b2 ⋅ ( z&1 − z&2 ) + c1 ⋅ z1 + c2 ⋅ ( z1 − z 2 ) = b1 ⋅ η& + c1 ⋅ η ; m2 ⋅ &z&2 + b2 ⋅ ( z&2 − z&1 ) + c2 ⋅ ( z 2 − z1 ) = 0.

(3.1)

В уравнениях (3.1) введены следующие обозначения: m1

– обрессоренная масса тележки;

m2

– масса кузова, приведенная к одной тележке;

с1, b1 – жесткость и демпфирование в первом ярусе подвешивания; с2, b2 – жесткость и демпфирование во втором ярусе подвешивания; η(t) – возмущение со стороны пути; zi , z&i , &z&i – обобщенные координаты и их производные по времени. Решим полученную систему в системе Mathcad. Вариант решения представлен рис. 3.2 – рис. 3.4. Прежде чем садиться за компьютер, подготовим исходные данные и приведем исходную систему к соответствующему виду. 3.3 Компьютерное моделирование

Исходные данные в примере соответствуют экипажу электровоза ВЛ80с (рис. 3.2, блок «исходные данные» в документе Mathcad).

*

Напомним. Константы, использующиеся в вычислениях, должны быть определены до их использования. Заменим обобщенные переменные системы (математические перемен-

ные) переменными Mathcad (часто называемые машинными или компьютерными переменными). Учитывая, что индексы в Mathcad изменяются от нулевого значения, получим

x0 = z1 ; x1 = z&1 ; x2 = z 2 ; x3 = z&2 .

46 Произведем замену переменных и представим систему уравнений (3.1) в форме Коши. Для использования встроенной функции решения системы дифференциальных уравнений правые части уравнений в форме Коши запишем в символьную функцию. В приведенной ниже программе (рис. 3.2) это функция D(t,x), правая часть – вектор, имеющий размерность решаемой системы. Решение задачи о вынужденных колебаниях проведем при нулевых начальных условиях (вектор x) при гармоническом возмущении. Кинематическое возмущение со стороны пути в приведенном примере задано функцией η (t ) . Ее производная обозначена dη (t ) . Далее будут рассмотрены различные виды возмущения, действующие на экипаж со стороны пути.

*

Совет.

Для набора в выражениях греческих символов вводится соответствующая латинская буква и Ctrl-g.

Отметим, что производная функции возмущения может быть вычислена с помощью символьных преобразований Mathcad. Для нашей задачи выбран интервал интегрирования t = 0…4 (переменные t0, t1). Количество точек на интервале N = 200. При этом шаг интегрирования h = 0,02. Метод Рунге-Кутта устойчив для решения многих задач динамики и обычно решение многих проблем начинают с него. В задачах динамики шаг интегрирования выбирают, исходя из наибольшей парциальной частоты в системе. Для контроля точности решения рекомендуют уменьшить шаг интегрирования и сравнить полученные результаты. Решение проведено при нулевых начальных условиях. Для решения использован адаптивный метод – функция Rkadapt (рис. 3.2). Для гладких функций этот метод требует меньше времени для получения решения по сравнению с методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом. Решение формируется в виде матрицы R, содержащей в столбцах: независимую переменную (время), далее – выбранные обобщенные переменные (рис. 3.3).

47 Исходные данные m1 := 8.82 c1 := 7000 b1 := 60 V := 20 L := 25 A := 0.005 ω :=

2 ⋅π ⋅V L

m2 := 25.823 c2 := 2600 b2 := 125

масса, т жесткость, кН/м демпфирование, кН.с/м скорость, м/с длина неровности, м амплитуда неровности, м

ω = 5.027

частота возмущения

Функции возмущения со стороны пути η ( t) := A⋅sin( ω ⋅ t)

dη ( t) := A⋅ ω ⋅cos ( ω ⋅t)

Параметры интегрирования t0 := 0

t1 := 4

Начальные условия

N := 200

h :=

t1 − t0 N

h = 0.02

⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ x := ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠

Система дифференциальных уравнений x1 ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ − 1 ⋅⎡c ⋅( x − η ( t) ) + b ⋅( x − dη ( t) ) + c ⋅( x − x ) + b ⋅( x − x )⎤ ⎥ 1 1 2 0 2 2 1 3⎦ ⎢ m1 ⎣ 1 0 ⎥ D ( t , x) := ⎢ ⎥ x 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 − ⋅ c ⋅ x − x + b ⋅ x − x ( ) ( ) ⎢ ⎡2 2 0 ⎥ 2 3 1⎤ ⎦ m2 ⎣ ⎣ ⎦ Решение системы дифференциальных уравнений

Z := Rkadapt ( x , t0 , t1 , N , D)

Рис. 3.2. Фрагмент 1 документа Mathcad

48 Формирование выходных данных 〈〉 T := Z 0

время

〈〉 Y1 := Z 1

〈〉 V1 := Z 2

перемещение и скорость первого тела

〈〉 Y2 := Z 3

〈〉 V2 := Z 4

перемещение и скорость второго тела

0.01 0.005 Y1 0

Y2

0.005 0.01

0

1

2

3

4

T

0.05 V1 V2

0

0.05 0

1

2

3

4

T

Рис. 3.3. Фрагмент 2 документа Mathcad

Для вывода результатов введены новые переменные (векторы T, Z1, V1, Z2, V2), которым присвоено значение столбцов матрицы результатов решения. Результаты представлены в графическом виде − перемещения в зависимости от времени; − скорости в зависимости от времени; − фазовые диаграммы.

49 Результаты решения удобно представлять в виде фазовой диаграммы, представляющей зависимость скорости массы от ее линейного перемещения (рис. 3.4). Полученное решение показывает, что после переходного процесса устанавливаются колебания постоянной амплитуды с частотой возмущения. Анализ решения показывает, что амплитуда колебаний зависит от частоты возмущения, следовательно, от скорости движения. На полученной модели в пакете Mathcad можно исследовать влияние изменения параметров подвешивания на колебания подвижных частей экипажа.

*

Напомним. При изменении исходных данных Mathcad пересчитывает формулы. Изменяя скорость движения, можно определить критические скорости и

соответствующие им максимальные перемещения в системе подвешивания. Изменяя параметры подвешивания, можно наметить пути уменьшения негативных явлений.

0.04

0.05

0.02 V1

V2

0

0

0.02 0.04

0.05 10

5

0 1000 ⋅Y1

5

10

10

5

0 1000 ⋅Y2

Рис. 3.4. Фрагмент 3 документа Mathcad

5

10

50 3.4 Резюме

Описанный выше подход иногда называют прямым моделированием. Решение задачи методом прямого численного интегрирования дифференциальных уравнений движения позволяет оценить основные процессы, протекающие в системе при различном внешнем воздействии. Преимуществом такого подхода (в первую очередь, перед аналитическим) является то, что в систему легко вводятся нелинейные функции. Структура модели при этом не меняется. Упрощенная модель в дальнейшем развивается и дополняется, а результаты моделирования служат начальной оценкой для более сложных моделей.

51

4 КОЛЕБАНИЯ ЭКИПАЖА ТИПА 2о–2о В ПРОДОЛЬНОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ 4.1 Расчетная схема

Применению тех или иных расчетных предшествует анализ причин возникновения колебаний, связанности колебаний, необходимой детализации системы. На этом этапе рассматриваются результаты предшествующих теоретических и экспериментальных исследований. Для этого применяются методы частного анализа. Необходимо отметить, что проблема адекватности модели – довольно сложная самостоятельная задача. Часто эта задача заменяется применением и развитием ранее апробированных моделей. В большинстве конструкций экипажной части современных локомотивов и вагонов заложены технические решения, определяющие малое влияние вертикальных колебаний на колебания в горизонтальной плоскости. При решении ряда задач анализа динамики основных частей подвижного состава разделяют колебания в вертикальной поперечной плоскости (боковая качка) и колебания в вертикальной продольной плоскости (подпрыгивание и галопирование). Для изучения колебаний секции электровоза в вертикальной продольной плоскости при прохождении неровностей пути рассмотрим расчетную схему колебаний в вертикальной продольной плоскости секции электровоза типа ВЛ80, имеющего осевую формулу 2о–2о (рис. 4.1). Приняты следующие обозначения: mK – масса кузова; JK

– момент инерции кузова;

mТ – масса тележки; JТ

– момент инерции тележки;

aK – половина базы кузова; aT

– половина базы тележки;

52 сТ , bТ – жесткость и демпфирование в первом ярусе подвешивания; с К , bК – жесткость и демпфирование во втором ярусе подвешивания; zi , z&i , &z&i , ϕi , ϕ&i , ϕ&&i – обобщенные координаты и их производные по времени;

η j (t )

– возмущение со стороны пути под j-й колесной парой.

Рис. 4.1. Расчетная схема вертикальных колебаний экипажа типа (2о–2о)

4.2 Уравнения колебаний

Кузов и тележки секции электровоза представляют собой твердые тела, имеющие две степени свободы и связанные упругими и диссипативными связями. Колесные пары перемещаются без отрыва от рельсов. Возмущения от правого и левого рельсов примем одинаковыми, что позволяет рассмотреть плоские колебания. Такая постановка задачи вполне достаточна, чтобы рассмотреть основные динамические процессы в системе. Модель имеет шесть степеней свободы. Для исследования колебаний в вертикальной продольной плоскости составим систему шести дифференциаль-

53 ных уравнений второго порядка, описывающих колебания в вертикальной продольной плоскости. После преобразования получим уравнения (4.1)–(4.3). Уравнения колебаний кузова

mK ⋅ &z&K + bK ⋅ (2 ⋅ z& K − z&1 − z&2 ) + c K ⋅ (2 ⋅ z K − z1 − z 2 ) = 0 ; J K ⋅ ϕ&&K + a K ⋅ bK ⋅ (2 ⋅ a K ⋅ ϕ& K − z&1 + z& 2 ) + + a K ⋅ c K ⋅ (2 ⋅ a K ⋅ ϕ K − z1 + z 2 ) = 0 .

(4.1)

Уравнения колебаний первой тележки

mT ⋅ &z&1 − bK ⋅ ( z& K − z&1 + a K ⋅ ϕ& K ) − c K ⋅ ( z K − z1 + a K ⋅ ϕ K ) + + 2 ⋅ bT ⋅ z&1 + 2 ⋅ cT ⋅ z1 = bT ⋅ (η&1 + η& 2 ) + cT ⋅ (η1 + η 2 ) ; 2

2

J T ⋅ ϕ&&1 + 2 ⋅ bT ⋅ aT ⋅ ϕ&1 + 2 ⋅ cT ⋅ aT ⋅ ϕ1 =

= aT ⋅ [bT ⋅ (η&1 − η& 2 ) + cT ⋅ (η1 − η 2 )] .

(4.2)

Уравнения колебаний второй тележки mT ⋅ &z&2 − bK ⋅ ( z& K − z&2 − a K ⋅ ϕ& K ) − c K ⋅ ( z K − z 2 − a K ⋅ ϕ K ) +

+ 2 ⋅ bT ⋅ z&2 + 2 ⋅ cT ⋅ z 2 = bT ⋅ (η&3 + η& 4 ) + cT ⋅ (η3 + η 4 ) ; 2

2

J T ⋅ ϕ&&2 + 2 ⋅ bT ⋅ aT ⋅ ϕ& 2 + 2 ⋅ cT ⋅ aT ⋅ ϕ 2 = = aT ⋅ [bT ⋅ (η&3 − η& 4 ) + cT ⋅ (η3 − η 4 )].

(4.3)

Уравнения колебаний тележек (4.2) и (4.3) в правой части содержат выражения, описывающие возмущение со стороны пути. Неровность пути – внешнее возмущение нашей системы. На входы модели возмущение подается со смещением – транспортным запаздыванием τ , определяемым геометрическими размерами и скоростью движения

ηi = η (t − τ i ) .

(4.4)

Выбор вида возмущающего воздействия от пути – неровности пути зависит от постановки задачи и точности, предъявляемой к математической модели. Для анализа динамических нагрузок необходимо получить значения ускорений подвижных частей экипажа. Подпрограммы численного интегрирования, используемые в пакете Mathcad, не позволяют напрямую вывести значе-

54 ния вторых производных. Для этого воспользуемся выведенными уравнениями (4.1). Подставляя в них параметры экипажа и полученные значения переменных модели, получим выражения для ускорения в центре кузова и в кабине машиниста &z&K =

ϕ&&K =

1 ⋅ [bK ⋅ (− 2 ⋅ z& K + z&1 + z& 2 ) + c K ⋅ (− 2 ⋅ z K + z1 + z 2 )] ; mK

aK ⋅ [bK ⋅ ( z&1 − z&2 − 2 ⋅ a K ⋅ ϕ& K ) + c K ⋅ ( z1 − z 2 − 2 ⋅ a K ⋅ ϕ K )]; JK

&z&М = &z&K + (a K + aТ ) ⋅ ϕ&&K .

(4.5)

Для определения относительных перемещений в гидравлических гасителях колебаний второго яруса воспользуемся следующими соотношениями z 01 = z K + a K ⋅ ϕ K − z1 ; z 02 = z K − a K ⋅ ϕ K − z 2 .

(4.6)

4.3 Компьютерное моделирование

Для решения полученной системы дифференциальных уравнений численными методами на компьютере необходимо привести полученные уравнения к форме Коши. Для этого разрешим относительно вторых производных, а затем произведем замену переменных. Переход от составленных уравнений к компьютерной программе во многом формальная процедура. Чем тщательнее описана математическая часть модели, тем легче программирование. Не будем забывать, что документ Mathcad – это все-таки программа, подчиненная определенным требованиям. При разработке больших систем рекомендуется тщательно продумать алгоритм решения и систему обозначений. Например, можно составить таблицу соответствия математических обозначений и компьютерных переменных (табл. 4.1). Это характеризует не уровень пользователя, а серьезность его намерений.

55 Таблица 4.1 Соответствие математических и компьютерных переменных № Математические Компьютерные № Математические Компьютерные обозначения переменные обозначения переменные n1 1 x0 13 z1 η1 x1 n11 2 14 z&1 η&1 n2 3 x2 15 z2 η2 x3 n22 4 16 z& 2 η& 2 x4 n3 5 17 zK η3 x5 6 18 n33 z& K η&3 n4 7 x6 19 ϕ1 η4 n44 8 x7 20 ϕ& 2 η& 4 x8 m1 9 21 mT ϕ2 j1 x9 10 22 ϕ& 2 JT m2 x10 11 23 ϕK mK j2 12 24 x11 ϕ& K JK Следует также документировать разрабатываемую модель. Кроме наглядности, это позволит быстрее получить готовый отчет. Для этого в пакете Mathcad существуют текстовые поля. Программа начинается с присвоения переменным исходных значений и описания функций пользователя. Использование функций пользователя для повторяющихся выражений позволяет сократить объем документа и во многом избежать ошибок при неизбежном копировании. Отлаженные функции могут быть использованы в других документах. На рис. 4.2 приведен фрагмент документа Mathcad с блоком присвоения исходных данных и функциями пользователя, описывающих перемещения и скорости неровности пути под каждой из осей. Величина запаздывания неровности определяется из геометрических размеров и скорости движения.

56 Исходные данные m1 := 9

j1 := 12

c1 := 3040

b1 := 30

a1 := 1.5

m2 := 57

j2 := 70

c2 := 2660

b2 := 100

a2 := 3.725

v := 30 Неровность пути l := 25

n0 := 0.005

ω := 2 ⋅π ⋅

v l

n1 ( t) := n0 ⋅sin( ω ⋅t)

n11 ( t) := ω ⋅n0 ⋅ cos ( ω ⋅ t)

⎛ 2a1 ⎞ n2 ( t) := n1 ⎜ t − ⎟ v ⎠ ⎝

⎛ 2a1 ⎞ n22 ( t) := n11 ⎜ t − ⎟ v ⎠ ⎝

a2 ⎞ ⎛ n3 ( t) := n1 ⎜ t − 2 ⋅ ⎟ v⎠ ⎝

a2 ⎞ ⎛ n33 ( t) := n11 ⎜ t − 2 ⋅ ⎟ v⎠ ⎝

⎛

n4 ( t) := n1 ⎜ t − 2 ⋅ ⎝

a2 + a1 ⎞ ⎟ v ⎠

⎛

n44 ( t) := n11 ⎜ t − 2 ⋅ ⎝

a2 + a1 ⎞ ⎟ v ⎠

Рис. 4.2. Фрагмент программы Правые части уравнений в форме Коши для выбранных обозначений занесены в символьный вектор Н (рис. 4.3). При наборе выражений происходит одновременная интерпретация вводимых данных во внутренний код программы.

*

Совет.

Если после ввода выражения Mathcad выдает сообщение об ошибке (подсвечивает переменную красным), то следует провести анализ возникновения ошибки, и лишь затем двигаться далее.

57 Уравнения движения x1 ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⋅⎡b1 ⋅( n11 ( t) + n22 ( t) − 2 ⋅x1) + c1 ⋅( n1 ( t) + n2 ( t) − 2 ⋅x0) ...⎤ ⎥ m1 ⎢ ⎢+ b2 ⋅( x − x + x ⋅a2) + c2 ⋅( x − x + x ⋅a2) ⎥ ⎥ 5 1 11 4 0 10 ⎣ ⎦ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ x3 ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⋅⎡b1 ⋅( n33 ( t) + n44 ( t) − 2 ⋅x3) + c1 ⋅( n3 ( t) + n4 ( t) − 2 ⋅x2) ...⎤ ⎥ ⎢ m1 ⎢ ⎥ ⎥ + ⋅ − x − x ⋅ a2 + c2 ⋅ x − x − x ⋅ a2 b2 x ( ) ( ) 5 3 11 4 2 10 ⎣ ⎦ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ x5 ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ ⋅⎡⎣b2 ⋅( x1 + x3 − 2 ⋅x5) + c2 ⋅( x0 + x2 − 2 ⋅x4)⎤⎦ H ( t , x) := ⎢ ⎥ m2 ⎢ ⎥ x7 ⎢ ⎥ ⎢ a1 ⎥ ⋅ b1 ⋅ n ( t ) − n ( t ) − 2 ⋅ x ⋅ a1 + c1 ⋅ n ( t ) − n ( t ) − 2 ⋅ x ⋅ a1 ⎡ ( ) ( ) ⎤ 7 6 11 22 1 2 ⎢ j1 ⎣ ⎦⎥ ⎢ ⎥ x 9 ⎢ ⎥ ⎢ a1 ⎥ ⋅ b1 ⋅ n ( t ) − n ( t ) − 2 ⋅ x ⋅ a1 + c1 ⋅ n ( t ) − n ( t ) − 2 ⋅ x ⋅ a1 ⎢ ⎡⎣ ( 33 (3 9 ) 8 )⎤ 44 4 ⎦⎥ ⎢ j1 ⎥ ⎢ ⎥ x11 ⎢ ⎥ a2 ⎥ ⎢ ⋅⎣⎡b2 ⋅( x1 − x3 − 2 ⋅x11 ⋅a2) + c2 ⋅( x0 − x2 − 2 ⋅x10 ⋅a2)⎦⎤ j2 ⎦ ⎣

Рис. 4.3. Фрагмент программы Решение системы уравнений Tm := 4

dT := 0.02

N :=

Tm dT

x := ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )

T

G := Rkadapt ( x , 0 , Tm , N , H)

Рис. 4.4. Фрагмент программы

N = 200

58 Для решения системы дифференциальных уравнений используется адаптивный метод с автоматическим выбором шага (рис. 4.4). Этот метод имеет большую скорость по сравнению с классическим методом Рунге-Кутта. В результате в матрице G формируются решения заданной системы в виде столбцов. Столбец с индексом 0 – время, далее – переменные. Для удобства преобразования результатов и построения графиков вводятся новые переменные (рис. 4.5–4.7). При преобразованиях элементов массивов данных следует использовать индексы или векторизацию вычислений (см. раздел «Параллельные вычисления»).

Результаты решения 〈〉 T := G 0 〈〉 Z1 := 1000 ⋅G 1

〈〉 Z2 := ( 1000G) 3

〈〉 ZK := ( 1000G) 5

〈〉 VZ1 := G 2

〈〉 VZ2 := G 4

〈〉 VZK := G 6

〈〉 Fi1 := G 7

〈〉 Fi2 := G 9

〈 〉 FiK := G 11

〈〉 VFi1 := G 8

〈 〉 VFi2 := G 10

〈 〉 VFiK := G 12

Рис. 4.5. Фрагмент программы

n := 0 .. N DZ01n := ZKn + 1000 ⋅a2 ⋅FiKn − Z1n

DZ02n := ZKn − 1000a2 ⋅ FiKn − Z2n

VDZ01n := VZKn + a2 ⋅ VFiKn − VZ1n

VDZ02n := VZKn − a2 ⋅ VFiKn − VZ2n

FG1n := b2 ⋅VDZ01n

FG2n := b2 ⋅VDZ02n

F1n := 0.001c2 ⋅DZ01n + b2 ⋅VDZ01n

F2n := 0.001c2 ⋅DZ02n + b2 ⋅VDZ02n

Рис. 4.6. Фрагмент программы

59 WZKn :=

−1 ⋅⎡b2 ⋅( 2 ⋅Gn , 6 − Gn , 2 − Gn , 4) + c2 ⋅( 2 ⋅ Gn , 5 − Gn , 1 − Gn , 3)⎤⎦ m2 ⎣

WFiKn :=

a2 ⋅⎡b2 ⋅( Gn , 2 − Gn , 4 − 2 ⋅Gn , 12 ⋅a2) + c2 ⋅( Gn , 1 − Gn , 3 − 2 ⋅Gn , 11 ⋅a2)⎤⎦ j2 ⎣

WG n := WZKn + a2 ⋅WFiKn WKn := WZKn + ( a1 + a2) ⋅WFiKn

Рис. 4.7. Фрагмент программы

Перемещения, мм

20

10

0

10

20

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Время, с 1 тележка 2 тележка кузов

Рис. 4.8. Результаты решения Для удобства представления результатов на графиках (рис. 4.8 – 4.12) скрыты аргументы (см. настройки формата графика), добавлены обозначения осей и легенда. Для вывода переменных в необходимом масштабе в выражениях преобразования результатов введены соответствующие множители.

60

0.001

0

0.001

0.002

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Время, с 1 тележка 2 тележка кузов

Рис. 4.9. Результаты решения

0.1

0.05 Скорость, м/с

Угол поворота, рад

0.002

0

0.05

0.1

10

5

0

5

10

Перемещение, мм 1 2

Рис. 4.10. Результаты решения, фазовые диаграммы

4

61 0.1

Скорость, м/с

0.05

0

0.05

0.1

20

10

0

10

20

Перемещение, мм

Рис. 4.11. Результаты решения, фазовые диаграммы

30 20

Сила, кН

10 0 10 20 30

10

5

0

5

10

Скорость, м/с 1 2

Рис. 4.12. Результаты решения, силы в гасителях колебаний

62 4.4 Резюме

Моделирование подвижного состава как динамической системы позволяет определить перемещения, скорости и ускорения подвижных частей, силы в элементах, и сравнить их с показателями динамических качеств. Составленная более сложная модель колебаний экипажа в вертикальной продольной плоскости показывает возможности организации вычислений в Mathcad. Рассмотрен способ вычисления ускорений в системе по результатам решения. В данном разделе мы рассмотрели применение функций пользователя для задания неровностей пути. Рассмотренные особенности формирования вычислительного алгоритма и вывода результатов позволят в дальнейшем более гибко использовать возможности Mathcad.

63 5

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОКОПРИЕМНИКА И КОНТАКТНОЙ СЕТИ

5.1 Расчетная схема

Токоприемник – тяговый электрический аппарат, предназначенный для создания электрического контакта электрооборудования подвижного состава с контактной сетью. На подвижном составе магистральных железных дорог применяется пантографные токоприемники (пантографы) с подъемным механизмом в виде шарнирного многозвенника, обеспечивающие вертикальное перемещение полоза. Поднятый токоприемник соприкасается с контактным проводом и отжимает его вверх. В середине пролета эластичность контактной подвески обычно больше, чем под опорой, поэтому при движении электровоза величина отжатия контактного провода периодически изменяется. Механическое взаимодействие токоприемника и контактной подвески является тем процессом, от условий протекания которого во многом зависит надежность и экономичность электрической тяги на железных дорогах [9]. Процесс механического взаимодействия токоприемников с контактными подвесками представляет собой сложный колебательный процесс, в котором участвуют разнородные колебательные системы – две с распределенными параметрами (путь и контактная подвеска) и несколько других с условно сосредоточенными параметрами. Строго говоря, колебания даже одиночного провода описываются дифференциальными уравнениями в частных производных четвертого порядка со сложными граничными условиями. Колебания каждого из токоприемников должны быть представлены обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями, которые нужно решать совместно с уравнениями колебаний контактной подвески и уравнениями, описывающими колебания крыши локомотива.

64 Более простым для теоретических исследований и достаточным для практического использования являются рассмотрение детерминированных процессов. Наиболее распространена расчетная схема контактной подвески, в которой на небольшом отрезке подвески осуществлены дискретизация параметров и приведение их к точке контакта. В таком виде расчетная схема подвески может быть использована для исследования взаимодействия с одним токоприемником, так как не учитывает распространения продольных колебаний контактного провода. Токоприемник можно представить в виде динамической модели с двумя степенями свободы. В модели основные параметры приводятся к точке контакта и верхним шарнирам подвижных рам (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Расчетная схема колебаний токоприемника Нижняя масса является приведенной массой нижних и верхних рам токоприемника. Верхняя масса включает массу полоза и контактирующую с ним приведенную массу контактного провода.

65 Подвижные части системы имеют упругие и диссипативные связи. Связи также включают силы трения. Связь каретки и полоза токоприемника – упругая с ограничением. Дополнительно вводится нелинейная связь, определяющая отрыв полоза от контактного провода. В модели рассматривается неравноупругое подвешивание контактного провода вдоль пути. Учитываются условия чередования струн и наличие компенсаторов. Жесткость контактной подвески задается в зависимости от натяжения контактного провода и несущего троса. Воздействие от электровоза вводится как внешнее возмущение, имеющее периодический характер заданной частоты и амплитуды. 5.2 Уравнения колебаний

Рассматриваются колебания в подвижной системе координат, движущейся вдоль прямолинейного пути с постоянной скоростью. В качестве обобщенных координат приняты вертикальные перемещения контактного провода и рамы токоприемника. На основании расчетной схемы составлены дифференциальные уравнения колебаний системы «токоприемник – контактная подвеска»

(

)

(

)

mк ⋅ &y&к + Bк ⋅ y& к − y& p + Fк ⋅ sign y& к − y& p + ⎫ ⎪ + C к ⋅ y к − y p − C R ( y c − y к ) = 0; ⎪ ⎪ ⎬, mc ⋅ &y&c + Bк ⋅ ( y& c − y& w ) + Fc ⋅ sign( y& c − y& w ) + ⎪ ⎪ + C R ( y c − y к ) − P0 = 0; ⎪ ⎭

(

где

mк

)

(5.1)

– суммарная масса полоза и приведенной массы контактного провода;

mc

– масса рамы токоприемника;

Вк , Ск – демпфирование и жесткость подвешивания контактного провода;

66 Fк

– сила сухого трения в подвешивании контактного провода;

Вс

– демпфирование рамы токоприемника;

Fс

– сила сухого трения в подвешивании токоприемника;

CR

– нелинейная характеристика связи «каретка токоприемника – полоз»;

Р0

– сила статического нажатия токоприемника;

yc

– вертикальные перемещения контактного провода;

yp

– вертикальные перемещения токоприемника;

yw

– перемещение кузова электровоза под токоприемником.

На основании описанного подхода и приведенных выше уравнений составим программу Mathcad для моделирования колебаний токоприемника. Программа состоит из следующих логических блоков: - исходные данные; - возмущение со стороны подвески; - неравноупругость подвески; - возмущение со стороны электровоза; - нелинейные функции, используемые в модели; - начальные условия решения системы дифференциальных уравнений; - решение системы дифференциальных уравнений; - преобразование выходных данных; - построение графиков результатов. Для более ясного понимания программа снабжена комментариями.

*

Совет.

Хорошо документированную программу легче сопровождать и изменять. Следует использовать комментарии для описания процессов и переменных, а также для указания вносимых изменений.

67 5.3 Компьютерное моделирование

Ниже приводится программа моделирования колебаний токоприемника и контактной подвески в пакете Mathcad (рис. 5.2 – 5.14). В программе использованы следующие размерности переменных: перемещение – м, скорость – м/с, сила – кН, жесткость – кН/м, демпфирование – кН·с/м. mk := 30 Ck := 1000 Kp1 := 0.5 Kp2 := 0.1 Bk := 0 Fk := 10

приведенная масса контактной подвески жесткость контактной подвески снижение жесткости в середине пролета снижение жесткости в между струн демпфирование контактной подвески сухое трение в контакной подвеске

Cr1 := 2000 Cr2 := 50000 xr0 := 0.060 mc := 20 Bc := 10 Fc := 10 Po := 75 Py := 0 Pa := 0

жесткость упругих элементов связи полоз-рама контактная жесткость максимальное упругое перемещение каретки масса токоприемника демпфирование в подвешивании токоприемника сухое трение в подвешивании токоприемника контактное нажатие переменная составляющая контактного нажатия инерционная составляющая контактного нажатия

Vk := 200 Vk V := 3.6

скорость движения, км/ч

Lw := 25 Aw := 0.02

длина неровности пути амплитуда колебаний экипажа

скорость движения, м/с

g := 9.81

V = 55.556

Рис. 5.2. Исходные данные программы моделирования колебаний токоприемника При построении графиков перемещения и скорости возмущения (рис. 5.4) использовалась возможность Mathcad, появившаяся в последних выпусках пакета, а именно, применения двух осей. Это удобно при расположении на графике переменных имеющих различную размерность и порядок величин. При выводе нескольких графиков в одной шкале можно рекомендовать использование масштабирующих множителей. Отметим, что форма графиков в Mathcad может не соответствовать стандартам.

68 Возмущение со стороны подвески Lp := 65 Np := 8

δp := 0.3

длина пролета количество струн + 1

−0.02 Ck V ωp := π ⋅ Lp

Ap1 :=

−5

Ap2 := 0.1 ⋅Ap1

Ap1 = −2 × 10

Lp ⋅ δp = 19.5 −6

Ap2 = −2 × 10

частота возмущения со стороны контактной подвески

перемещение контактной подвески Ap1 ⋅( sin( ωp ⋅ t) − δp + sin( ωp ⋅ t) + δp − 2 ⋅ δp) + Ap2⋅ sin( Np ⋅ωp ⋅t) 2 скорость перемещения контактной подвески yp ( t) :=

dyp ( t) := ⎡Ap1⋅ωp ⋅( sign( sin( ωp ⋅t − δp) ) ⋅cos ( ωp ⋅ t) + sign( sin( ωp ⋅t + δp) ) ⋅ cos ( ωp ⋅t) ) ...⎤ ⎢+ Ap2⋅Np ⋅ωp ⋅sign( sin( Np ⋅ωp ⋅t) ) ⋅cos ( Np ⋅ωp ⋅t) ⎥ ⎣ ⎦

Рис. 5.3. Функции, описывающие возмущение со стороны контактной подвески Si := 0 , 0.01 .. 2Lp 0

⎛ Si ⎞ ⎟ ⎝V⎠

yp⎜

2 .10

4

1 .10

4

5 .10

6

1 .10

5

1.5 .10

5

1 .10

4

2 .10

5

2 .10 140

4

⎛ Si ⎞ ⎟ ⎝V⎠

dyp⎜

0

0

20

40

60

80

100

120

Si

Рис. 5.4. Графики функции перемещения и скорости возмущение со стороны контактной подвески Задание жесткости контактной подвески Ск является существенным фактором для получения приемлемых результатов моделирования. Диапазон изменения расчетного значения Ск определяется максимальным значением жесткости подвесок у опор и минимальным значением в середине пролета. Тип контактной подвески, ее основные параметры в большой степени

69 определяют значение жесткости, которое может быть функционально связано со значением прилагаемой нагрузки. Нелинейность характеристики перемещения контактного провода объясняется разгрузкой струн. Изменение значения Ск по длине пролета показано на рис. 5.5.

Изменение жесткости подвески вдоль пролета

⎡ ⎣

Cp ( t) := Ck ⋅⎢1 −

Kp1 ( sin( ωp ⋅t) − δp + sin( ωp ⋅t) + δp − 2δp) − Kp2 ⋅ sin( Np ⋅ωp ⋅t) ⎥⎤ 2 ⎦

1000

800

⎛ Si ⎞ Cp ⎜ ⎟ ⎝V⎠ 600

400

0

20

40

60

80

100

120

140

Si

Рис. 5.5. Функция изменения жесткости контактной подвески вдоль пролета Возмущение со стороны электровоза описывается гармоническими функциями перемещения и скорости

y w = Aw ⋅ sin(ω ⋅ t ) ; y& w = ω ⋅ Aw ⋅ cos(ω ⋅ t ) , где

Aw

– амплитуда колебаний экипажа;

ω

– частота колебаний.

В упрощенном виде частота колебаний может быть выражена через основную частоту возмущения от рельсового пути

ω = 2π ⋅

V , Lw

70 где

V

– скорость электровоза;

Lw

– длина периодической неровности пути.

Возмущения со стороны электровоза ωw := 2 ⋅π ⋅

V Lw

частота возмущения со стороны электровоза

yw ( t) := Aw⋅sin( ωw ⋅t)

перемещение крыши электровоза

dyw ( t) := Aw⋅ωw ⋅cos ( ωw ⋅ t)

скорость перемещения крыши электровоза

ti := 0 , 0.01 .. 5

yw( ti)

0.02

0.4

0.01

0.2

0

0

0.01 0.02

dyw( ti)

0.2

0

1

2

3

4

5

0.4

ti

Рис. 5.6. Функции, описывающие возмущение со стороны электровоза

Сухое трение в связях токоприемника в данной модели описывается сглаженной функцией знака (см. раздел нелинейных функций). Величина сглаживания задается параметром е (рис. 5.7).

71 Xарактеристика сухого трения e := 0.001 y

Sg( y) :=

2

y +e

2

yi := −0.1 , −0.099 .. 0.1 1 0.5 Sg( yi)

0 0.5 1 0.1

0.05

0

0.05

0.1

yi

Рис. 5.7. Функция характеристики сухого трения Характеристика связи полоз-пантограф R ( x) :=

Cr2 Cr1 ⋅( sign( x) + 1) ⋅( x) + ⋅( sign( x − xr0) + 1) ⋅( x − xr0) 2 2

xi := −0.010 , −0.0099 .. 1.05xr0 500 400 300 R( xi) 200 100 0 0.02

0

0.02 0.04 0.06 0.08

0.1

0.12

xi

Рис. 5.8. Функция нелинейной характеристики связи полоза и рамы с отрывом от контактного провода Полоз токоприемника имеет упругую связь с рамой токоприемника (рис.

72 5.8). Эта характеристика имеет ограничение: при перемещениях больше заданной величины упругого перемещения включается так называемая контактная жесткость, которая в 20–50 раз больше жесткости связи. Отрицательные значения перемещения полоза относительно рамы токоприемника соответствуют отрыву полоза от контактного провода, т.е. сила нажатия равна нулю. Начальные условия y10 :=

Po Ck

y10 = 0.075

y20 := y10 +

Po Cr1

y20 = 0.113

⎛ y10 ⎞ ⎜ ⎟ 0 ⎟ ⎜ y := ⎜ y20 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ Kp := 10

Sm := Kp ⋅ Lp

dT := 0.01

N := floor⎜

⎛ Tm ⎞ ⎟ ⎝ dT ⎠

Sm = 650

Tm :=

Sm V

Tm = 11.7

N = 1170

Рис. 5.9. Параметры интегрирования и начальные условия y1 ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ −1 ⎢ ⎥ ⋅ ⎡Bk ⋅ ( y1 − dyp ( t) ) + Cp ( t) ⋅( y0 − yp ( t) ) ...⎤ mk ⎢ ⎥ ⎢+ Fk ⋅Sg( y − dyp ( t) ) − R ( y − y ) ⎥ 1 2 0 ⎣ ⎦ H ( t , y) := ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ y3 ⎢ ⎥ − 1 ⎢ ⋅⎡Bc ⋅( y3 − dyw ( t) ) + Fc ⋅Sg( y3 − dyw ( t) ) + R ( y2 − y0) − Po⎤ ⎥ ⎦⎦ ⎣ mc ⎣ G := Rkadapt ( y , 0 , Tm , N , H)

Рис. 5.10. Дифференциальные уравнения и функция решения с автоматическим выбором шага В качестве выходных параметров получены значения в зависимости от времени и пути следующих переменных: - перемещения контактного провода и токоприемника; - перемещение полоза относительно каретки токоприемника; - динамическая сила нажатия полоза на контактный провод (рис. 5.11).

73 〈〉 T := G 0

〈〉 Yk := G 1

S := V⋅T

n := 0 .. N

Ypn := yp ( T n)

〈〉 Yk1 := G 2

〈〉 Yc := G 3

Ywn := yw ( T n)

〈〉 Yc1 := G 4

RRn := R ( Ycn − Ykn)

Рис. 5.11. Векторы результатов решения 0.2 0.15 Yk Yc

0.1 0.05 0

0

100

200

300

400

500

600

700

S

Рис. 5.12. Графики перемещений контактной подвески и токоприемника в зависимости от пути 200 150 RR 100 Po 50 0

0

100

200

300

400

500

600

700

S

Рис. 5.13. График силы нажатия токоприемника в зависимости от пути Некоторые результаты моделирования представлены на графиках, построенных средствами Mathcad (рис 5.12–5.14).

74

300 250 200 RR 150 100 50 0 0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Yc

Рис. 5.14. Изменение силы нажатия в зависимости от перемещения токоприемника

5.4 Резюме

Из построения компьютерной модели, проведенного в данном разделе, отметим применение нелинейных функций пользователя. При построении модели, включающей контакт твердых тел, целесообразно введение контактной жесткости. Для отладки элементов сложной модели и проверки составляющих рекомендуется выводить промежуточные результаты и использовать графические средства Mathcad. При построении сложных моделей также целесообразно использовать хорошо изученные фрагменты ранее созданных моделей.

75 6

БОКОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЖЕСТКОЙ ДВУХОСНОЙ ТЕЛЕЖКИ

В ПРЯМОМ УЧАСТКЕ ПУТИ 6.1 Извилистое движение колесной пары

При движении экипаж наряду с поступательным перемещением вдоль пути совершает колебания виляния и бокового относа. Это движение обусловлено изменением радиуса катания колес в зависимости от поперечного перемещения осей колесный пар. В целях упрощения можно рассмотреть движение одиночной колесной пары без проскальзывания (чистое качение). В этом случае данный процесс описывается уравнением [7] d2y dx 2 где

y

+

f ( y) = 0, 2 ⋅ s ⋅ r0

(6.1)

– смещение геометрического центра колесной пары относительно середины рельсовой колеи;

x

– продольное перемещение колесной пары;

2s

– расстояние между кругами катания колес;

r0

– радиус колес при y=0;

f(y)

– функция изменения разности радиусов колес в зависимости от поперечного перемещения, f ( y ) = Δr ( y ) . Для конического профиля Δr = 2 ⋅ i ⋅ y ,

i

– уклон конической образующей колеса.

Для решения дифференциального уравнения в пакете Mathcad применим блок Geven … Odesolve(x, xk, n), включенный в пакет, начиная с версии 9, (рис. 6.1). Параметры, входящие в блок: x – имя переменной, относительно, которой решается уравнение; xk – конец интервала интегрирования (начало интервала указывается в начальных условиях; n – число шагов интегрирования (необязательный параметр).

76

*

Напомним. Для численного решения предварительно должны быть заданы численные значения всех постоянных величин. В блоке Geven … Odesolve записывается уравнение и начальные усло-

вия. Используется знак логического равенства – для набора следует набрать Ctrl “=”. Для ввода символа производной (штрих) следует набрать Ctrl- F7.

i := 0.05

s := 0.8

Given y'' ( x) +

r := 0.625

i ⋅ y ( x) s ⋅r

0

y ( 0)

0.002

30

40

y' ( 0)

0

y := Odesolve( x , 50) 0.002 0.001 y( x)

0 0.001 0.002

0

10

20

50

x

Рис. 6.1. Решение дифференциального уравнения С помощью рассмотренного способа можно решать системы дифференциальных уравнений. Этот способ применим только для линейных дифференциальных уравнений. И, как видно из приведенного примера, в результате не выводятся значения производных. 6.2 Расчетная схема боковых колебаний тележки

При извилистом движении колесной пары возникают действующие в горизонтальной плоскости силы и моменты. На колесную пару действуют также

77 силы от рамы тележки. В результате действия этих сил и несоответствия путей, проходимых колесами, величинам их радиусов, возникает проскальзывание колес по рельсам. По теории крипа касательные силы в зоне контакта колеса и рельса зависят от относительной скорости проскальзывания. Коэффициент крипа зависит от нормальной силы в точке контакта, проскальзывания колеса относительно рельса, упругости контактирующих поверхностей. По линейной теории крипа (теория Картера Ф.) касательная сила определяется в виде F = −K где

u , v

(6.2)

F – касательная сила; K – коэффициент крипа; u – скорость проскальзывания колеса по рельсу; v – скорость движения колесной пары вдоль пути. Коэффициент крипа изменяется в широких пределах. Для упрощенных

расчетов используют формулу Картера K = 800 10 ⋅ P ⋅ r ,

(6.3)

K = 235 ⋅ P − 2,4 ⋅ P 2 + 0,01 ⋅ P 3 ,

(6.4)

или формулу Мюллера

где

К – коэффициент крипа, кН; P – нагрузка от колеса на рельс, кН; r – радиус колеса, м. 6.3 Уравнения колебаний

Движение ЭПС как механической системы со многими степенями свободы с учетом нелинейностей, обусловленных силовым взаимодействием колеса и рельса, представляет собой довольно сложную задачу. Существенного уп-

78 рощения можно добиться, приняв связи букс с рамой тележки бесконечно жесткими. Тогда тележка, движущаяся в прямом участке пути с постоянной скоростью, имеет две степени свободы в горизонтальной плоскости.

Рис. 6.2. Расчетная схема движения жесткой тележки в прямом участке пути Для жесткой тележки с коническими бандажами движение в прямом участке пути описывается системой дифференциальных уравнений

m ⋅ &y& + 4 ⋅

K ⋅ y& − 4 ⋅ K ⋅ ϕ = 0; V

K ⋅ (a 2 + s 2 ) K ⋅ s ⋅i I Z ⋅ ϕ&& + 4 ⋅ ⋅ ϕ& + 4 ⋅ ⋅ y + C ⋅ ϕ = 0; V r где

(6.5)

y

– поперечное перемещение центра масс тележки, м;

ϕ

– угол поворота тележки относительно вертикальной оси, рад;

m

– масса тележки, т;

IZ

– момент инерции тележки относительно вертикальной оси, т·м2;

2a

– база тележки, м;

r

– радиус бандажа по кругу катания при отсутствии поперечного и углового отклонения тележки, м;

C

– угловая жесткость связей тележки с кузовом, кН·м/рад;

79 P

– нагрузка от колеса на рельсы, кН;

i

– угол наклона образующей бандажа, рад;

2s

– расстояние между кругами катания, м;

K

– коэффициент крипа, кН;

V

– скорость движения, м/с;

t

– время, с.

В отличие от уравнений, рассмотренных в предыдущих разделах, движение данной системы зависит от сил взаимодействия колеса и рельса. Угловая упругая связь тележки с кузовом доставляет этой системе устойчивость. 6.4 Компьютерное моделирование

Для численного решения задачи преобразуем систему (6.5) к форме Коши. Далее заменим математические обозначения компьютерными переменными, подготовим исходные данные.

Исходные данные m2 := 24

Iz := 20.4

a := 1.5

i := 0.05

s := 0.8

g := 9.81

Коэффициент крипа

r := 0.6 m := 4 ⋅

K := 800 ⋅ 10 ⋅P ⋅r

P2 := 225 P − m2 g

P :=

P2 2

V := 27

K = 20785

Рис. 6.3. Фрагмент программы

Решение проведем при ненулевых начальных условиях, соответствующих смещению тележки в поперечном направлении на 5 мм. Программа Mathcad показана на рис. 6.3–6.5.

80 Система дифференциальных уравнений y1 ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ − y ⎞ 4 ⋅K ⎛ 1 ⎢ ⎥ ⋅⎜ + y2 ⎟ ⎢ ⎥ m ⎝ V ⎠ H ( t , y) := ⎢ ⎥ y 3 ⎢ ⎥ ⎢ −1 ⎡ y3 y0 ⎤⎥ 2 2) ( ⎢ ⋅⎢4 ⋅ a + s ⋅K ⋅ + 4 ⋅s ⋅K ⋅i⋅ + C ⋅ y2⎥ ⎥ V r ⎣ Iz ⎣ ⎦⎦

Рис. 6.4. Фрагмент программы

Tmax := 3

Решение

N := 1000

⎛ 0.005 ⎞ ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ Вектор начальных условий y := ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠

G := rkfixed( y , 0 , Tmax , N , H)

Рис. 6.5. Фрагмент программы На рис. 6.6 приведены результаты моделирования в виде фазовой диаграммы, которая позволяет оценить устойчивость колебаний системы. Для задания значения переменной С использовано присвоение значения глобальной переменной. Такая переменная может находиться в любом месте программы, например, вблизи блока вывода результатов. Это позволяет оперативно изменять значение переменной без перехода к блоку исходных данных. Моделирование движения рассматриваемого экипажа при малых значениях угловой жесткости с различными скоростями показывает, что при скоростях выше некоторой критической скорости возникают незатухающие колебания. Увеличение значения угловой жесткости позволяет стабилизировать эти колебания и увеличить критическую скорость движения.

81 C ≡ 2500 0.02 0.01

〈2〉 G

0 0.01 0.02 0.03

6

4

2

0

2

4

6

〈1〉 1000 ⋅G

Рис. 6.6. Фрагмент программы Предлагаем провести моделирование при различных скоростях движения для реальной величины угловой жесткости С = 1200 кН·м/рад и других вариантов. 6.5 Резюме

При движении тележки с коническими бандажами в прямом участке пути возникают колебания виляния, зависящие от сил взаимодействия колес и рельсов. Период колебаний зависит от конусности бандажей и не зависит от упругих связей. Устойчивость движения зависит от скорости. Фазовые диаграммы позволяют оценить вид и устойчивость колебаний. Увеличение угловой жесткости связи тележки с кузовом оказывает стабилизирующее действие, но затрудняет движение в кривых участках пути.

82 7

ПРОХОЖДЕНИЕ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫМ ЭКИПАЖЕМ КРИВОГО УЧАСТКА ПУТИ

7.1 Расчетная схема

Динамические процессы, происходящие при прохождении экипажем кривого участка пути, представляют особый интерес, поскольку наряду с ранее рассмотренными процессами добавляются новые. Это следует, прежде всего, из конструкции пути в кривых участках. В кривых участках устраивают возвышение наружного рельса для компенсации центробежных сил поперечной составляющей от веса. Кроме того, по нормам содержания в крутых кривых создают уширения колеи для прохождения колесных пар без заклинивая. Традиционно для анализа качества экипажа рассматривают устойчивость на прямых участках и максимальные боковые силы в круговой кривой, полученные из условия установившегося движения (вписывания в кривые). Для рассмотрения более общего случая динамического поведения экипажа необходимо учитывать изменение траектории пути и условия взаимодействия колес и рельсов в произвольной кривой. Проведем анализ факторов, влияющих на прохождение кривого участка пути. Круговая кривая имеет участки сопряжения с прямыми на входе и выходе с помощью участков переходных кривых. Обычно принимают линейную зависимость изменения кривизны и возвышения наружного рельса в переходной кривой. При прохождении кривой возникают значительные поперечные и угловые перемещения тележек относительно кузова. Возвращающие силы и моменты, а также силы трения в связях влияют на перераспределение сил в системе подвешивания. В кривых участках пути вследствие значительных перемещений колесных пар в колее увеличиваются скорости проскальзывания колес, что изменяет условия взаимодействия колес с рельсами. Касательные силы взаимодействия колеса и рельса в этом случае описываются на основе теории нелинейного крипа.

83 Для крутых кривых характерно движение с набеганием колес на рельсы и возникновением направляющих сил на гребне. В качестве начального приближения процесса взаимодействия экипажа и пути в кривых рассмотрим движение жесткой тележки с коническими бандажами. Расчетная схема показана на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Расчетная схема движения экипажа в кривом участке пути Приняты следующие обозначения: m

– масса тележки;

mK

– половина массы кузова;

J

– момент инерции тележки;

P

– нагрузка от колеса на рельс;

aK

– половина базы кузова;

a

– половина базы тележки;

2b

– расстояние между кругами катания колес;

Сϕ

– угловая жесткость связи кузова и тележки;

g

– ускорение свободного падения.

84 Индекс j определяет номер колесной пары. Индекс k определяет номер колеса: k = 1 – левое колесо, k = 2 – правое колесо. Составим модель, в которой поперечная связь тележки и кузова – жесткая и тележка воспринимает половину поперечных сил, действующих на кузов. 7.2 Уравнения колебаний экипажа

Представленная расчетная схема имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат приняты:

η

– поперечное перемещение центра тележки;

ψ

– угол поворота тележки относительно пути. Будем считать, что возвращающий момент, действующий на тележку,

зависит от кривизны кривой и угла поворота тележки М В = Сϕ ⋅ (a K ⋅ ρ (s ) − ψ ) , где

ρ (s) – кривизна пути под центром тележки. При движении экипажа в произвольной кривой, имеющей мгновенное

значение кривизны ρ (s) , возникает продольное и поперечное проскальзывание. Поперечное скольжение колеса относительно рельса определяется переносной скоростью V и разностью относительных скоростей колеса и рельса. Для малых колебаний, выражая через обобщенные координаты, получим скорость поперечного проскальзывания колес j-й колесной пары uYjk = ψ −

η& V

+ (−1) j +1 ⋅ a ⋅ ρ ( s ) .

(7.1)

Как видно из приведенной формулы, для принятых допущений скорости скольжения наружного и внутреннего колеса одной колесной пары равны между собой. Для первой и второй колесной пары знак одного из слагаемых меняется на противоположный, что учитывается множителем (–1)j+1. Продольное проскальзывание определяется несоответствием путей, проходимых колесами, имеющими жесткую посадку на оси.

85

(

)

u Xjk = Δr jk ⋅ r0−1 + (− 1)k ⋅ bs ρ ( s ) − ψ& j ⋅ V −1 , где

(7.2)

Δr jk – изменение радиуса круга катания при поперечном перемещении колесной пары для конического бандажа

(

)

Δr jk = (−1) k +1 ⋅ η + (−1) j +1 ⋅ aψ ⋅ β ⋅ r0 −1 .

β

(7.3)

– угол наклона образующей круга катания бандажа.

Учитывая направления векторов скоростей, величина полной скорости скольжения колеса относительно рельса равна 2

u jk =

u 2Xjk

⎛ uYjk ⎞ ⎟⎟ . + ⎜⎜ ⎝ cosβ ⎠

(7.4)

Как видно из приведенных выражений скорость скольжения колеса по рельсу зависит от обобщенных координат, от изменения радиуса круга катания и от угла наклона образующей профиля колеса. Касательная сила трения в точке контакта колеса и рельса определяется в рамках нелинейной теории крипа F = N ⋅ fm ⋅ где

N

KS ⋅ u 1 + (K S ⋅ u )

2

,

(7.5)

– нормальная сила в точке контакта;

fm

– максимальный коэффициент трения скольжения;

KS

– удельный коэффициент крипа

K S = K ⋅ ( P ⋅ f m ) −1 , K

– коэффициент крипа, определяемый по формуле Мюллера K = 235 ⋅ P − 2,4 ⋅ P 2 + 0,01 ⋅ P 3 ,

P – нагрузка от колеса на рельс, кН. Проекции силы трения запишем в виде X jk = P ⋅ f m ⋅

KS ⋅ u Xijk

(

1 + K S ⋅ u jk

)2

;

(7.6)

86

Y jk = P ⋅ f m ⋅

K S ⋅ uYijk

(

1 + K S ⋅ u jk

)

2

+ (−1) k ⋅ P ⋅ sinβ .

(7.7)

Условия подключения гребня к направлению экипажа запишем в виде нелинейной функции поперечного перемещения колесной пары в колее (см. раздел нелинейные функции, функция со свободным ходом)

(

(

YН = CR ⋅ η j + 0.5 η j − e − η j + e

где

)) ,

(7.8)

е

– половина свободного зазора в колее;

CR

– контактная жесткость, включающая поперечную жесткость рельса.

Составим уравнения колебаний тележки в кривой произвольного радиуса m ⋅ η&& = 2 ⋅ (Y1 + Y2 ) − YН 1 − YН 2 + (m + mK ) ⋅ a H ; J ⋅ψ&& = Сϕ ⋅ (a K ⋅ ρ ( s ) − ψ ) + a ⋅ (2 ⋅ Y1 − YH 1 − 2 ⋅ Y2 + YH 2 ) +

(7.9)

+ bs ⋅ (− X 11 + X 12 − X 21 + X 22 );

где

аН

– непогашенное центробежное ускорение, зависящее от скорости, кривизны пути и возвышения наружного рельса a H = V 2 ⋅ ρ ( s) −

g ⋅ h( s ) . 2bs

(7.10)

Полученные уравнения являются нелинейными, поскольку содержат коэффициенты, зависящие от самих обобщенных координат. 7.3 Компьютерное моделирование

Структура программы Mathcad имеет стандартный вид. Вначале задаются исходные данные (рис. 7.2), затем вводятся необходимые функции пользователя. В нашем случае это функции, определяющие зависимости: - зазор в колее от радиуса кривой (рис. 7.3); - модель пути – кривизна пути, возвышение рельса, непогашенное ускорение от пройденного пути (рис. 7.4);

87 - скорости скольжения колес и силы трения в точке контакта; - направляющие силы.

m := 20.1

масса тележки, т

Iz := 26

момент инерции тележки относительно вертикальной оси, т .м2

P := 112.5 P mk := 4 ⋅ − m g

нагрузка от колеса на рельсы, кН

g := 9.81

приведенная масса кузова, т

mk = 25.772

a := 1.5 ak := 3.725 bs := 0.8 r0 := 0.625 γ := 0.05

полубаза тележки, м полубаза кузова, м половина расстояние между кругами катания, м номинальный радиус бандажа по кругу катания, м наклон образующей бандажа

C := 2000 B := 0 Cr := 80000

угловая жесткость связей тележки с кузовом, кН .м/рад угловое демпфирование тележки, кН .м.с/рад жесткость рельса, кН/м 2

K := 235 ⋅ P − 2.4 ⋅ P + 0.01 ⋅ P K = 10301 fm := 0.25 Ks :=

K P ⋅ fm

3

коэффициент крипа по Мюллеру, кН

максимальный коэффициент трения скольжения относительный коэффициент крипа

Ks = 366.25

Vk 3.6

V = 22.2 м/с

Vk := 80

скорость движения, км/ч

R := 600

радиус кругой кривой, м

1 R hR := 0.100

ρ1 :=

V :=

кривизна пути в круговой кривой, м -1

ρ1 = 0.0017

возвышение наружного рельса, м

Рис. 7.2. Исходные данные программы

88

⎛ ⎝

σi( ρ ) := 0.007 + 0.005 ⋅ Φ ⎜ 349 −

1⎞

1⎞ ⎛ ⎟ + 0.0025 ⋅ Φ ⎜ 299 − ⎟ ρ⎠ ρ⎠ ⎝

Рис. 7.3. Зазор в колее ρ0 := 0.0000001 ρ1 = 1.667 × 10 sr0 := 1 sr1 := 50 sR := 50 Sm := sr0 + sr1 + sR + sr2 + sr3

−3

h0 := 0.0 sr2 := 50 Sm = 245

h1 := hR sr3 := 94

ρ1 − ρ0 ρ1 − ρ0 ⋅ ( s − sr0) − Φ ( s − sr0 − sr1) ⋅ ⋅ ( s − sr0 − sr1) ... sr1 sr1 ρ1 − ρ0 + −Φ ( s − sr0 − sr1 − sR) ⋅ ⋅ ( s − sr0 − sr1 − sR) ... sr2 ρ1 − ρ0 + Φ ( s − sr0 − sr1 − sR − sr2) ⋅ ⋅ ( s − sr0 − sr1 − sR − sr2) sr2

ρ ( s) := ρ0 + Φ ( s − sr0) ⋅

σ0 := σi( ρ0)

σ1 := σi( ρ1)

σ0 = 0.007

σ1 = 0.007

σ1 − σ0 σ1 − σ0 ⋅ ( s − sr0) − Φ ( s − sr0 − sr1) ⋅ ⋅ ( s − sr0 − sr1) ... sr1 sr1 σ1 − σ0 + −Φ ( s − sr0 − sr1 − sR) ⋅ ⋅ ( s − sr0 − sr1 − sR) ... sr2 σ1 − σ0 + Φ ( s − sr0 − sr1 − sR − sr2) ⋅ ⋅ ( s − sr0 − sr1 − sR − sr2) sr2

σ ( s) := σ0 + Φ ( s − sr0) ⋅

h1 − h0 h1 − h0 ⋅ ( s − sr0) − Φ ( s − sr0 − sr1) ⋅ ⋅ ( s − sr0 − sr1) ... sr1 sr1 h1 − h0 + −Φ ( s − sr0 − sr1 − sR) ⋅ ⋅ ( s − sr0 − sr1 − sR) ... sr2 h1 − h0 + Φ ( s − sr0 − sr1 − sR − sr2) ⋅ ⋅ ( s − sr0 − sr1 − sR − sr2) sr2

h ( s) := h0 + Φ ( s − sr0) ⋅

⎛ ⎝

2

An( s) := ⎜ V ⋅ ρ ( s) −

g ⋅ h ( s) ⎞ ⎟ 2 ⋅ bs ⎠

Рис. 7.4. Модель пути Вывод промежуточных результатов не является обязательным условием, но позволяет проанализировать составляющие модели, их взаимовлияние, определить численные значения переменных. Для заданных выше параметров модель пути имеет вид, представленный на рис. 7.5.

89 si := 0 , 1 .. Sm 2 1.5 ρ ( si)⋅10

3 1

0.5 0

0

50

100

150

200

250

si

0.1

h( si) 0.05

0

0

50

100

150

200

250

150

200

250

si

0.2 An( si) 0.1

0

0

50

100 si

Рис. 7.5. Модель участка пути при заданных параметрах

90 Дифференциальные уравнения (7.9) содержат силы, определяемые выражениями (7.1)–(7.8). Выполняя подстановку, можно привести уравнения к привычной форме, содержащей искомые переменные. При численном решении эту подстановку можно не выполнять, а ввести функции, определяющие зависимости переменных от обобщенных координат. Для общности введем индексы «j, k», указывающие колесную пару и колесо и определяющие изменение знаков в выражениях. Для определения силы трения колеса по рельсу в зависимости от полной скорости проскальзывания используется один из вариантов описания в виде функции насыщения (см. раздел нелинейных функций). Составляющие силы трения определяются как проекции силы трения в зависимости от скоростей проскальзывания колес (рис. 7.6–7.7).

ux( j , η , ψ , dψ , s) :=

1 ⎡ ⎞ j+ 1 ⎛1 ⋅ ⎣η + ( −1) ⋅ ψ ⋅ a⎤⎦ ⋅ γ + bs ⋅ ⎜ ⋅ dψ − ρ ( s) ⎟ r0 ⎝V ⎠

uy ( j , dη , ψ , dψ , s) := ψ −

1 ⎡ j+ 1 j+ 1 ⋅ ⎣dη + ( −1) ⋅ a ⋅ ( dψ + .5 ⋅ ψ )⎤⎦ + ( −1) ⋅ a ⋅ ρ ( s) V

Рис. 7.6. Скорости скольжения колеса по рельсу Fs ( j , η , dη , ψ , dψ , s) :=

(

K

1 + Ks ⋅ ux( j , η , ψ , dψ , s) + uy ( j , dη , ψ , dψ , s) 2

2

)

2

X ( j , η , dη , ψ , dψ , s) := Fs ( j , η , dη , ψ , dψ , s) ⋅ ux( j , η , ψ , dψ , s) Y ( j , η , dη , ψ , dψ , s) := Fs ( j , η , dη , ψ , dψ , s) ⋅ uy ( j , dη , ψ , dψ , s)

Рис. 7.7. Силы трения колеса по рельсу

⎡ ⎣

Yn ( η , s) := Cr ⋅ ⎢η +

1 ⎤ ⋅ ( η − σ ( s) − η + σ ( s) )⎥ 2 ⎦

Рис. 7.8. Направляющая сила Направляющая сила, действующая на гребень колеса, определяется в виде функции со свободным ходом (рис. 7.8).

91 После определения всех переменных, входящих в дифференциальные уравнения, в программе формируется символьный вектор правых частей уравнений в форме Коши.

*

Напомним. Для численного решения системы дифференциальных уравнений необходимо исходную систему преобразовать к форме Коши

*

Совет.

Для переноса выражения на следующую строку в Mathcad используется Ctrl-Enter

y1 ⎡⎢ ⎤⎥ ⎢ ⎥ 1 ... ⋅ ( m + mk ) ⋅ An ( V ⋅ t ) + 2 ⋅ Y 1 , y , y , y , y , V ⋅ t ( ) ⎡ ⎤ 0 1 2 3 ⎢ ⎥ m ⎢ ⎥ ... + ⋅ , , y , y , y , V ⋅ t 2 Y 2 y ( ) ⎢ ⎥ ⎢+ −Yn y +0 a ⋅1 y 2, V ⋅3t − Yn y − a ⋅ y , V ⋅ t ⎥ ⎢ ⎥ ( ( ) ( ) ) 0 2 0 2 ⎣ ⎦ ⎥ H ( t , y) := ⎢ y 3 ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ... ⋅ C ⋅ ak ⋅ ρ ( V ⋅ t ) − y − B ⋅ y ⎤⎥ ⎢ Iz ⎡ ( 2) 3 ⎢ + 2bs ⋅ ( −X ( 1 , y0 , y1 , y2 , y3 , V ⋅ t) − X ( 2 , y0 , y1 , y2 , y3 , V ⋅ t) ) ...⎥ ⎥ ⎢ ⎢+ 2a ⋅ ( Y ( 1 , y , y , y , y , V ⋅ t) − Y ( 2 , y , y , y , y , V ⋅ t) ) ... ⎥ ⎥ ⎢ 0 1 2 3 0 1 2 3 ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎣ ⎣+ a ⋅ ( Yn ( y0 − a ⋅ y2 , V ⋅ t) − Yn ( y0 + a ⋅ y2 , V ⋅ t) ) ⎦⎦

Рис. 7.9. Символьный вектор, определяющий правые части уравнений в форме Коши Решение системы уравнений проводится адаптивным методом с автоматическим выбором шага интегрирования (рис. 7.10).

Tm = 11.025

Nt = 2000

Вектор начальных условий Решение

dt = 0.0055 y := ( 0 0 0 0 )

T

G := Rkadapt ( y , 0 , Tm , Nt , H)

Рис. 7.10. Решение системы

92 Результаты решения формируются в массиве G. Для удобства обработки значения столбцов массива, соответствующие времени и обобщенным координатам системы, присвоим новым переменным (рис. 7.11).

n := 0 .. Nt 〈〉 〈〉 T := G 0 Y0 := G 1

〈〉 Fi := G 3

〈〉 VY0 := G 2

〈〉 VFi := G 4

S := V ⋅ T

Рис. 7.11. Результаты решения Особенностью функций решения дифференциальных уравнений в Mathcad, как отмечалось выше, является то, что не сохраняются промежуточные значения вспомогательных переменных. Для получения интересующих исследователя значений следует использовать полученные значения обобщенных координат и функции пользователя. Результаты моделирования обрабатывают аналогично результатам натурного эксперимента и оценивают по допустимым значениям. Кроме того, в результате моделирования можно получить такие параметры, которые трудно измерить во время натурного эксперимента. В качестве выходных параметров математического моделирования получим перемещения колесных пар в колее, направляющие и боковые, перемещения в функции времени и пройденного пути (рис. 7.12). Скорости скольжения, силы трения и боковую силу от первой колесной пары определим по определенным ранее функциям пользователя (рис. 7.13). Y1n := Y0n + a ⋅ Fin

Yn1n := Yn ( Y1n , Sn)

(

Y2n := Y0n − a ⋅ Fin

Fn1n := Yn1n ⋅ Fin + a ⋅ ρ ( Sn)

)

Yn2n := Yn ( Y2n , Sn)

(

Fn2n := Yn2n ⋅ Fin − a ⋅ ρ ( Sn)

)

Рис. 7.12. Результаты решения На рис. 7.14 представлены фазовые диаграммы колебаний исследуемой системы, полученные в результате моделирования. Диаграммы имеют часть,

93 характерную для нелинейных процессов при прохождения кривой, и спиралевидную часть, соответствующую затухающим колебаниям виляния на прямолинейном участке пути. По фазовым диаграммам оценивают устойчивость колебаний и определяют предельные значения перемещений. Ux1n := ux( 1 , Y0n , Fin , VFin , Sn)

Ux2n := ux( 2 , Y0n , Fin , VFin , Sn)

Uy1n := uy ( 1 , VY0n , Fin , VFin , Sn)

Uy2n := uy ( 2 , VY0n , Fin , VFin , Sn)

Fy1n := Y ( 1 , Y0n , VY0n , Fin , VFin , Sn)

Fy2n := Y ( 2 , Y0n , VY0n , Fin , VFin , Sn)

Fx1n := X ( 1 , Y0n , VY0n , Fin , VFin , Sn)

Fx2n := X ( 2 , Y0n , VY0n , Fin , VFin , Sn)

Yb1 := Yn1 + P ⋅ γ − Fy1

Рис. 7.13. Результаты решения

y', м/с

0.04

ψψ', рад/с

0.005

0.02

0

0

0.005

0.02

10

5

0

5

10

0.01

1

y, мм

0

1

2

3

ψ, мрад

Рис. 7.14. Фазовые диаграммы колебаний тележки при прохождении тестового участка На рис. 7.15–7.19 показаны перемещения и силы в зависимости от проходимого пути, полученные в результате моделирования. Для выделения участка кривой на графике (рис. 7.15) использованы метки по оси абсцисс, входящие в настройку графика. Mathcad предоставляет пользователю возможность настроить цвет, тип и толщину выводимых линий.

94 10

y, мм

sн

sк

50

100

5 0 5 10

0

150

200

250

S, м

Рис. 7.15. Поперечные перемещения колесных пар и центра тележки

Fi, рад

0.006 0.004 0.002 0 0.002

0

50

100

150

200

250

S, м

Рис. 7.16. Поворот тележки и углы набегания колесных пар 80

Yn, кН

60 40 20 0 20

0

50

100

150

200

250

S, м

Рис. 7.17. Направляющие силы

95 0.4

Fn

0.3 0.2 0.1 0 0.1

0

50

100

150

200

250

S, м

Рис. 7.18. Фактор износа гребней 60

Yб, кН 40

20

0

0

50

100

150

200

250

S, м

Рис. 7.19. Боковая сила

Для ввода больших объемов данных и сохранения результатов для последующей обработки в пакете Mathcad предусмотрены функции ввода-вывода. Это позволяет отделить данные от программы обработки и более эффективно использовать вычислительные возможности. При этом массивы могут быть текстового или битового формата. Размер используемых в Mathcad массивов зависит от доступной системной памяти.

96 7.4 Резюме

Результаты компьютерного моделирования показывают, что процесс прохождения кривой состоит из переходных процессов в переходной кривой и начале круговой кривой, установившегося движения в круговой кривой и колебаний на прямом участке пути. Введение в систему условий подключения гребня колеса позволяет использовать модель для изучения колебаний с ограничением на перемещение колесной пары в колее. Исключение из рассмотрения упругих колебаний кузова и рамы тележки значительно упрощает задачу, что можно рассматривать как первое приближение процесса взаимодействия колеса и рельса в кривой. При построении модели целесообразно использовать нелинейные функции, позволяющие сократить запись и унифицировать элементы модели. Недостающие промежуточные данные могут быть получены путем повторного расчета по заданным функциям с использование результатов моделирования.

97 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Внедрение в учебный процесс компьютерной техники существенным образом изменяет методику изучения некоторых вопросов динамики подвижного состава. Численные методы решения являются эффективным методом анализа нелинейных динамических систем. Это нисколько не уменьшает роль аналитических методов, позволяющих оценить основные свойства системы или ее отдельных элементов. Использование пакета Mathcad при моделировании динамических систем позволяет наглядно представить процесс получения результата, провести анализ промежуточных расчетов. Открытость Mathcad дает возможность использовать ранее полученные модели для построения более сложных систем. Большая библиотека математических функций расширяет возможности пользователя, упрощает громоздкие вычисления и позволяет в большей степени сосредоточиться на сущности решаемой задачи. Авторы не сомневаются, что опыт, полученный студентами при моделировании задач динамики железнодорожных экипажей в пакете Mathcad, будет использован в других дисциплинах.

98 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1

Дьяконов, В.П. Mathcad 11/12/13 в математике: справочное пособие / В.П.

Дьяконов. – М.: Горячая Линия – Телеком, 2007. – 958 с. 2

Дьяконов, В.П. Новые информационные технологии: учеб. пособие. Ч. 3.

Основы математики и математическое моделирование / В.П. Дьяконов, И.В. Абраменкова, А.А. Пеньков. – Смоленск: СГПУ, 2003. – 192 с. 3

Применение пакета Mathcad при расчете механической части локомотивов::

учеб. пособие / И.В. Волков, А.М. Матва, В.Г. Рубан, Р.Х. Уразгильдеев. – Ростов н/Д: РГУПС, 2000. – 64 с. 4

Бирюков, И.В. Механическая часть тягового подвижного состава: учебник

для вузов ж.-д. трансп. / И.В. Бирюков, А.Н. Савоськин [и др.]; под ред. И.В. Бирюкова. – М.: Транспорт, 1992. – 440 с. 5

Вериго, М.Ф. Взаимодействие пути и подвижного состава / М.Ф. Вериго,

А.Я. Коган; под ред. М.Ф. Вериго. – М.: Транспорт, 1986. – 559 с. 6

Гарг, В.К. Динамика подвижного состава: пер. с англ. / В.К. Гарг, Р.В. Дук-

кипати; под ред. Н.А. Панькина. – М.: Транспорт, 1988. – 391 с. 7

Вершинский, С.В. Динамика вагонов: учебник для вузов / С.В. Вершин-

ский, В.Н. Данилов, В.Д. Хусидов; под ред. С.В. Вершинского. – М.: Транспорт, 1991. – 360 с. 8

Черных, И.В. Применение пакета MATHCAD 2001i для электротехниче-

ских расчетов / И.В. Черных // ГОУ ВПО УГТУ-УПИ. – 2006. 9

Беляев, И.А. Взаимодействие токоприемников и контактной сети / И.А.

Беляев, В.А. Вологин. – М.: Транспорт, 1983. – 191 с.

99

Учебное издание

Рубан Владимир Григорьевич Матва Александр Михайлович

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ ЭКИПАЖЕЙ В ПАКЕТЕ MATHCAD

Учебное пособие

Редактор М.А. Гончаров Техническое редактирование и корректура М.А. Гончаров Компьютерная правка А.В. Артамонов

Подписано в печать 31.08.2009. Формат 60×84/16. Бумага газетная. Ризография. Усл. печ. л. 5,80. Уч.-изд. л. 5,55. Тираж экз. Изд. № 118. Заказ №

.

Ростовский государственный университет путей сообщения. Ризография РГУПС. __________________________________________________________________ Адрес университета: 344038, г. Ростов н/Д, пл. им. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2.