4-dimensionale Quasikompositionsalgebren

Arch. Math., VoI. 40, 516--525 ( 1 9 8 3 )

0003-889X/83/4006-0516 $ 3.50/0 9 1983 Birkh~user Verlag, Basel

4-dimensionale Quasikompositionsalgebren Von CHRISTIANE ST~%I~L I-ROLLIER

1. Einleitung. Sei D: ein KSrper der Charakteristik ungleieh 2. 1.1. Definition. Eine Algebra A fiber F m i t einer quadratischen Form n, die multiplikativ und deren zugehSrige Bilinearform / nicht degeneriert ist (d. h. n(xy) ----n ( x ) n ( y ) , / ( x , ~ ) = 0 :~ x = O, ffir alle x, y e A), heiBt Quasikompositionsalgebra. Die quadratische Form n wird auch ,,Norm yon ~ " genannt. Eine Quasikompositionsalgebra mit 1 heil~t Kompositionsalgebra (vgl. [6]). Jeder endliehdimensionalen Quasikompositionsalgebra (A, o) kann eine isotope Kompositionsalgebra (E, ") mit gleicher Norm zugeordnet werden: Es gibt in A ein Element e m i t n (e) --~ 1 (z. B. e :---- (d o d) n (d) -1, w o n (d) ~ 0). Definiere Re bzw. Le als Rechts- bzw. Linksmultiplikation in f~ m i t e . Sei nun x y := x R ~ -~ o y L ~ - l ; dann ist e o e Einselement yon K, und E hat dieselbe Norm wie A (vgl. [1]). 1.2. Satz. Jede Kompo6'itionsalgebra ~ ist endlichdimensional, und zwar gilt K gleich I: (dim • ---- 1), 0( gleich ~:(t) m i t t 2 ~ ~: (dim E = 2), K gleich ~ , eine verallgemeinerte Quaternionenalgebra, (dim K -----4) oder ~4 gleich (), eine veraUgemeinerte Oktavenalgebra, (dim E-----8) (vgl. [4]). 1.3. Hilfssatz. Die N o r m einer Quasikompo~itionsalgebra ist eindeutig bestimmt (vgl. [6]). Sei x y die Multiplikation und n die Norm ehaer Kompositionsalgebra •. :Die Transformationen A und B sollen orthogonal bezfiglich n sein. Darm ist dureh x A y B die Multiplikation einer Quasikompositionsalgebra gegeben. Umgekehrt l~I~t sich die Multiplikation einer Quasikompositionsalgebra (beziiglieh einer geeigneten Basis) immer in der Form x o y ~ x A y B , wo A und B orthogonale Transformationen sind, darstellen: Sei x y : = xRe-1 o yLe- t (n(e) = 1) und ~quivalent dazu x o y ~ x R e y L e . Aus n (x o y) = n (x) n (y) folgt n (x o 1) = n (x Re e) ~ n (x Re) n (e) = n (x Re) = n (x) n (e) ----n (x) ; also isr Re (und analog L~) eine orthogonale Transformation (vgl. [1]).

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1.4. Hilfssatz. Seien (A, o) u n d (B, • ) zwei Quasikompositionsalgebren, deren Multiplikationen beziiglich derselben Kompositionsalgebra (mit Hil]e orthogonaler Trans/ormationen) dargestellt sind. Falls A und B isomorph sind, ist ~eder Isomorphismus S eine orthogonale Transformation. Beweis. Es gilt (x o y) S = xS • y S f/ir alle x, y e / ~ , also n((x o y) S) = n(xS) n(yS). Definiere ns(z) : = n(zS), dann gilt ns(x o y) = nz(x) ns(y) und nz ist Norm yon /~. Nach Hilfssatz 1.3 ist daher nz = n und S orthogonal. I m folgenden w e r d e n die 4 - d i m e n s i o n a l e n Q u a s i k o m p o s i t i o n s a l g e b r e n u n t e r s u e h t . Es zeigt sieh, d a b Algebren, i s o t o p zu einer Q u a t e r n i o n e n a l g e b r a *nit Nullteilern, a n d e r s b e h a n d e l t w e r d e n mfissen, als solche, die i s o t o p zu einer nullteilerfreien Q u a t e r n i o n e n a l g e b r a sind. Alle zu einer b e s t i m m t e n Q u a t e r n i o n e n a l g e b r a H i s o t o p e n A l g e b r e n lassen sieh in vier verschiedene T y p e n einteilen. F f i r A l g e b r e n y o r e selben T y p w/rd ein I s o m o r p h i e k r i t e r i u m angegeben. F e r n e r w i r d bewiesen, d a b die Mgchtigk e i t d e r Menge aller n i e h t i s o m o r p h e r A l g e b r e n v o m selben T y p gleich d e r Ms k e i t y o n n: ist, v o r a u s g e s e t z t ~= sei unendlieh. 2. B e m e r k u n g e n zu Quaternionenalgebren und 4-dimensionalen Quasikompositionsalgebren. F o r t a n sollen a, x, s ... E l e m e n t e aus einer v e r a l l g e m e i n e r t e n Q u a t e r n i o n e n a l g e b r a H, x y die M u l t i p l i k a t i o n y o n H u n d R x , L z die R e e h t s - bzw. L i n k s m u l t i p l i k a t i o n m i t x in H bezeichnen. Definiere: t(x) : = 89 + ~), n(x) : = x~, I m ( x ) : = 89 - - ~), H* : = H \ { 0 } ,

~* : = ~\{0}. 2.1. Satz. Jede Quasikompositionsalgebra ist zu genau einer verallgemeinerten Quaternionenalgebra isotop. Beweis. Isotope assoziative Algebren mit 1 sind isomorph (vgl. [2]). E i n e v e r a l l g e m e i n e r t e Q u a t e r n i o n e n a l g e b r a H ist d u r e h zwei P a r a m e t e r ~,/3 E D=*/n=*2 b e s t i m m t . E n t w e d e r ist H D i v i s i o n s a l g e b r a - - d a n n gilt n {x) = 0 n u r fiir x = 0 - o d e r i s o m o r p h z u r A l g e b r a d e r 2 • 2 - M a t r i z e n fiber D=. I n diesem zweiten F a l l k a n n H d u r c h die beiden P a r a m e t e r (1,1) c h a r a k t e r i s i e r t w e r d e n (vgl. z . B . [5]). 3. Die zu einer Divisionsalgebra H (~, ~) isotopen Quasikompositionsalgebren. 3.1. Hflfssatz. Die Gleichung a~ = xb (a, b =~ O) hat genau dann nichttriviale L6sungen, wenn n ( a ) ---- n(b) gilt. Sei L der L6sungsraum, dann ist d i m L = 3 (/alls a - - - - b), d i m L = 1 (sonst). Beweis. Die Notwendigkeit der Bedingung ist trivial. Sei a = -- b; dann ist a~ = xb ~quivalent zu --x-~ = xb. Daher ist xb ein reines Quaternion (d.h. t{xb) = 0) und d i m L = 3. Sel a -~ -- b. Definlere ]: ~ -> H, ](x) = a~ -- xb, g: ~ -> ~ , g(x) = -- ~ -- xb. Es gilt dim Kern / + dim Kern g ~ 4: Derm K e r n f n K e r n g = {0} wegen a 4 - b. Weiter ist dim Kern f ~ 1 : Denn a + ~ e K e r n ] , a ~ b ~ 0 . Zusammen mit dim Kern g = 3 folgt daher dim Kern ] = dim 15 = 1.

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3.2. H i l f s s a t z . D i e G l e i c h u n g a x = x b (a, b =4: O) h a t g e n a u d a n n n i c h t t r i v i a l e L 6 s u n g e n , w e n n n (a) ~- n (b), t (a) ~ t (b) er/iAllt ist. Fi~r d e n L 6 s u n g s r a u m L gilt d a n n d i m L = 4 (falls a = b e []=), d i m L = 2 (sonst).

B e w e i s . Die Notwendigkeit der Bedingung folgt aus ,,ax = xb ~iquivalent a = x b x -z'' u n d ,,t(rs) = t ( a r ) fiir alle r, s 9 Falls a 9 ~= u n d daher wegen der L6sbarkeitsbedingung a = b, gilt L = H, dim L-----4. Sei a , b r Definiere / : H - ~ H , /(x) ---- a x -- xb, g: H - ~ H , g(x)=Sx--xb. Es gilt dim K e r n / + dim K e r n g ~ 4: D e n n K e r n / (~ K e r n g ---- {0} wegen a ~ 0=. Welter ist dim K e r n ] + dim Kern g ~ 4: D e n n Bild g c Kern / u n d daher dim Bild g -----4 -- dim K e r n g ~ dim Kern ]. SchlieBlich gilt dim Kern / = dim Kern g: Definiere r H -* H, 9(x) = x ( b r -- rb) (r so gewiihlt, d a b br -- rb ~ 0; es ist ja b ~ U=[) ist eine Bijektion, u n d es gilt 9 ( K e r n / ) c K e r n g, 9 (Kern g) c K e r n / . Z u s a m m e n folgt dim K e r n / ---- dim L = 2. 3.3. K o r o l l a r z u m B e w e i s y o n H i l f s s a t z 3.2. E s gilt L ----- K e r n / ---- B i l d g. 3.4. t t i l f s s a t z . D a s G l e i c h u n g s s y s t e m a x = x b , c x = x d (a, b, c, d ~ O) h a t g e n a u d a n n n i c h t t r i v i a l e I A s u n g e n , w e n n n (a) ---- n (b), t (a) ---- t (b), n (c) ---- n (d), t {c) ---- t (d}, t ( a c ) ----- t (bd) er/~llt ist. _FiAt d e n L 6 s u n g s r a u m L gilt d a n n d i m L ----- 4 (falls a = b e g:, c----cleF), dimZ=2 (/alls a c = c a , bd----db und {a,b,c,d} ~-F), dimL-1

(sonst). B e w e is. Die Notwendigkeit der LSsbarkeitsbedingung folgt wie bei Hilfssatz 3.2. Insbesondere muB t ( a c ) = t ( x b x - Z x d x -1) = t(bd) gelten. Nach Hilfssatz 3.2 sind die Behauptungen fiber die Dimension yon L, falls a = b e D= oder c • d e ~=, sicher richtig. Sei n u n a, b, c, d ~ ~= u n d dim L = 2. Nach Hilfssatz 3.2 effiillt jede LSsung yon a x -= x b aueh c x = x d ; es gilt daher mit Korollar 3.3 c(hb - - 5h) = (hb -- 5h) d, das heil]t vhb -- c S h -- h b d + 5 h d = 0 ffir all 9 h 9 H. Linksmultiplikation m i t a ergibt a c h b - - a c S h - - a h b d + a g h d = 0, u n d Ersetzen yon h durch a h bringt c a h b - - cSah - - a h b d + 5 a h d = O. Aus der Differenz der beiden letzten Gleichungen folgt (ac -- ca) (hb - - 5h) -~ 0 ffir all 9 h 9 H. Man fiberlegt sich leicht, dab hb -- d h -----0 nicht ffir all 9 h ~ H gelten k a n n (a, b ~ ~=!). Also gilt ac = ca u n d analog bd -~ db. U m g e k e h r t folgt aus ac------ca u n d bd = db, dal] c - ,~a + ~ (2,/~ e D=) gilt, u n d wegen t(c) ~ - t ( d ) , t(ac)-----t(bd) aueh d = 2b + / z ; jede LSsung yon a x = xb 15st daher cx = x d u n d es gilt dim L----2. Sei weiter ac =~ ca u n d daher -- wegen der LSsbarkeitsbedingungen -- bd ~ db. Fiir alie g 9 H gilt (cg ~ gd) b -- d(cg - - gd) = ( - - ag + gb) d -- ~(-- ag + gb); daher ist x = (cg -- g d ) b -- 5(cg -- gd)

nach Korollar 3.3 L6sung des Gleichungssystems. W~re x = 0 f/Jr alle g e H, zeigt man -- wie vorher im Beweis -- ac = ca u n d bd = db. Es gilt daher dim/5 = 1. 3.5. H i l f s s a t z . S e i A eine orthogonale T r a n s / o r m a t i o n . D a n n gibt es a, b ~ H m i t n ( a b ) = 1 so, daft ]i~r alle x ~ H gilt: x A = a x b (/alls d e t A ---- 1) bzw. x A = a s (/alls d e t A ~ - - 1 ) . D i e E l s m e n t e a, b s i n d bis a u / e i n e n F a k t o r ~ ~ U=* e i n d e u t i g bestimmt. B e w e i s . Jede orthogonale Transformation A l/~Bt sich n a c h dem Satz yon Cartan-Dieudonn6 (vgl. z.B. [3]) als P r o d u k t yon h6chstens vier Spiegelungen Sa~ schreiben (dabei bezeiehne Sat

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diejenige Spiegelung, welehe den Vektor a~ in -- a4 iiberfiihrt) : A = Sa~... Sa,, (n ~ 4). Es gilt

xSa, = x -- 2 t(~a~) n(a~)-la~, insbesondere xS~ = -- ~ und xS1Sa, = -- & + 2 t (xa/)n(ai)-la~ = a/xa/n(a~) -1 . Folglich ist

= J axb, falls n gerade und daher det A = 1 (a~b, falls u ungerade und daher det A ------ 1 fiir je ein a, b m i t n{ab) = 1. Die Eindeutigkeit yon a und b bis auf einen Faktor q 9 ~=* folgt aus der Tatsache, dal~ n u t Elemente aus ~ mit allen h 9 ~ kommutieren. 3.6. Hillssatz. Seien A und B zwei Quasikompositionsalgebren mit den Multiplikationen x A y B und x C y D (vgl. Bemerkung vor Hil/ssatz 1.4). Sei welter d e t A = d e t C, d e t B : d e t D und A isomorph B. Dann gilt/i~r ]ede~ Isomorphismus S : d e t S ---- 1. Beweis. :Nach Hilfssatz 1.4 ist S orthogonal beziiglich der Norm n. Sei n u n det S ---- -- 1. Aus Hilfssatz 3.5 folgt xS -~ s&t fiir zwei feste s, t m i t n(st) = 1 und atle x ~ H. Die Gleichung ,,(xAyB)S = xSCySD fiir alle x, y e H " ist ~quivalent zu ,,(xy)S = xA-1SCyB-1SD fiir alle x, y e H". Setze U :---- A-1SC, V := B-1SD, darm gilt det U ~ de?, V ~- -- 1 trod x U ---ulxu2, yV ~- vlyv2 fiir alle x, y e ~ und feste ul, u2, vl, v2. Es gilt sx'yt = ulxu2vlyv2 und iiquivalent dazu u ~ l s ~ = x u2v~v~t-~, also u~-~s~ e ~: fiir a l l e y e ~ , was sieher unmSglich ist. 3.7. F o l g e r u n g a u s Hillssatz 3.5. Die M u l t i p l i k a t i o n e i n e r Q u a s i k o m p o s i t i o n s a l g e b r a li~Bt sich f o l g e n d e r m a S e n s c h r e i b e n : x A y B -~ axcyb (1), axb~c (2), c~ayb (3) oder a~c~b (4) fiir je ein T r i p e l (a, b, c) m i t n(abc) ---- 1, je n a c h d e t A u n d d e t B. E i n e A l g e b r a m i t M u l t i p l i k a t i o n d e r F o r m (1) ist i s o m o r p h z u r A l g e b r a m i t M u l t i p l i k a t i o n a x c - ~ b - l c a - Z y c - l b c : S - ~ LaRbc ist e i n I s o m o r p h i s m u s . A n a l o g s i n d A l g e b r e n m i t 1 K u l t i p l i k a t i o n e n d e r F o r m (2), (3), (4) i s o m o r p h zu A/gebren mit Multiplikationen

a x c b c - l f j a - l c b - l c -1 ,

c-la-lcb-l~c-lacyb,

cb~cb~ -1 5~c5,

u n d S = L~ R~c, L~ZR~, L ~ R~ s i n d I s o m o r p h i s m e n . 3.8. Satz. Die Multiplikation einer QuasikompositionsaIgebra A isotop zu H kann (evtl. durch Baziswechsel) au/ einen der vier /olgenden Typen gebracht werden:

a x ( a b ) - l y b (1),

axb~(ba) -1 (2),

(ba)-l~ayb (3),

5~(ba)-l~b (4).

Die Elemente a und b k6nnen dabei ~e so gewghlt werden, daft gilt: 1.

n ( a ) , n(b) sind Elemente eines vorgegebenen Vertretersystems yon n ( H * ) / ~ =.2,

2.

t ( a ) , t(b) sind Elemente eines vorgegebenen Vertretersystems yon ~=/(~: 1},

3.

t(ab)

ist Element eines vorgegebenen Vertretersyetems yon ~ / ( • 1}. /alls t (a) t (b) = 0 gilt.

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3.9. Satz. Z w e i Algebren yon verschiedenen T y p e n sind nicht isomorph. B e w e i s . Bestimme die Dimensionen der Fixrgume R : = {x] x R e = x} und L : = {x I xL e = x} unter Verwendung der Hilfss~tze 3.1 und 3.2. (R e ~md L e sollen dabei die Rechts- bzw. Linksmultiplikation in der Quasikompositionsalgebra mit einem Element e der Norm 1 bezeichnen.): Algebra yore Typ (I): x R e ~ ~ a x = xb-~e-~ab dim R gerade, x L e -~ x, abe-Xa-lx = xb dim L gerade, Algebra vom Typ (2): x R e -~- X, ax = xba$-Zb -~ dim R gerade, x L e -~- x, aeb~ = xba d i m Z tmgerade, Algebra vom Typ (3): z R e ~ 33, (ba)-l~ = x(aeb)-~ dim R ungerade, a-X ~-Xbax = xb d i m Z gerade, Algebra yore Typ (4): X l ~ e ~ x , 5~2 = x b - ~ - t b a dim R ungerade, x L e = x, 5r ~ = xb-~ d i m / , ungerade. 3.10. I s o m o r p h i e k r i t e r i a m . A u n d f~' seien zwei Algebren vom selben T y p u n d ihre M u l t i p l i k a t i o n e n m i t H i l / e tier Elemente a, b bzw. a', b' nach Satz 3.8 geschrieben. D a n n gilt: ist genau d a n n isomorph zu A ' , w e n n n ( a ) = n ( a ' ) , t ( a ) ---- t ( a ' ) , n ( b ) = n ( b ' ) , t(b) ----t ( b ' ) , t ( a b ) = t ( a ' b ' ) er]iillt ist. Beweis. A und ]~" seien yore Typ (1). A und fi~' sind genau claim isomorph, wenn es einen Isomorphismus ~q = LsRt (n(st) = 1) gibt, so dab fiir alle x, y e H die Gleichung asxt(ab)-l sytb = sa" x(a'b')-lyb't effiillt ist. Mit y = 1 folgt a ' - l s - l a s x ..~ x(a'b')-Xb'tb-lt-ls-l(ab)t-1 fiir alle x, also a'-Xs-las6 ~:* bzw. as = 2sa" fiir ein )~e ~=*. Analog gilt tb = qb't fiir ein .o ~ F* und sehliel]lieh folgt noeh (ab)-Xs----- (2~)-xt-X(a'b')-L und fl~" sind daher genau dann isomorph, wean s, t e ~ * mit n ( s t ) = 1 und 2, ~e~=* existieren, welche das Gleichtmgssystem as = 2sa', tb ---- ~b't, t(ab)-ts = (2~)-~(a'b') -~ 16sen. Wird t aus der dritten Gleichung in die zweite eingesetzt, b]eibt noch das System as = 2sa', aba-~s = ~sa'b'a'-~ in s, ~ und ~. Nach Hilfssatz 3.4 und den Bedingungen an a, a', b, b' aus Satz 3.8 ist dieses System genau dann 15sbar, wean n(a) = n(a'), t(a) = t(a'), n(b) = n(b'), t(b) t(b'), t(ab) t(a'b') gilt. I n ~hnlicher Weise verliiuft der Beweis, wenn ~ und ~ " Algebren vom Typ (2), (3) oder (4) sind. =

=

3.11. Satz. S e i Q die Klasse aller (paarwe~e nichtisomorpher) Quasikompositionsalgebren isotop zu H (~, fl) vom selben T y p . D a n n gilt: Q hat dieselbe K a r d i n a l i t S t wie F. Beweis. Weil H(~, fl) I)ivisionsalgebra ist, hat G: sicher unendlieh viele Elemente. Jede Algebra in Q ist charakterisiert durch einen yon vier Algebrentypen und die fiinf Parameter aus ~:: n(a), $(a), n(b), t(5), t(ab) (ab =t= 0), welche je aus einem vorgegebenen Vertretersystem nach Satz 3.8 ausgewiihlt sind. Es wird gezeigt: Es gibt S c H mit card S = card ~: und a, b ~ S, a ~ b impliziert n(a) ~ ~(b) (~*s) oder n(a) = ~2n(b) (e~ ~=*), t~(a) ~ ~o~t2(b). ~V~hle S := (x e H ] x = (~, 1, O, 0), ~ aus einem vorgegebenen Vertretersystem yon ~/ { ~ 1)}. Es gilt card S = card D:/{~ 1} = card Dr. Ffir a, b e S mit n ( a ) = ~2n(b), t 2 ( a ) = ~oStS(b) (~e ~:*) folgt: iS(a) -- u = Qs(t~(b) -- a), tS(a) = ~2tS(b), also Q2 = 1, t2(a) = tS(b), t(a) t(b) und d~,her a ~ - b. =

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4. Die z u H (1, 1) i s o t o p e n Q u a s i k o m p o s i t i o n s a l g e b r e n . A u f B e w e i s e , w e l c h e gleich l a u t e n wie i m K a p i t e l 3, w i r d v e r z i c h t e t . 4.1. Hilfssatz. E s seien a, b e H*, n ( a ) = n(b), t ( a ) = t(b).

D a n n gilt n ( a h -

hb):4=0 /is

ein h e ~ m i t n ( h ) = # 0

genau dann, w e n n a, b ~ ~=.

Falls a oder b in ~=, gilt n ( a h - - hb) = 0 liar aUe h e H. B e w e i s . Unter Beriicksichtigung der Bedingungen an a und b gilt a oder b in ]= nur, falls entweder a = b e ~= oder a e ~=, b ~ ~=, n(Im(b)) = 0 oder a r ~:, b e Dr, n(Im(a)) = 0. In jedem der drei F~lle folgt n ( a h - h b ) = 0 ffir alle h e ~ . Sei nun a, b6~: und n ( a h - - h b ) = 0 fiir alle h e ~ . Betraehte insbesondere alle h mit t(h) = 0, n(h) ~ 0. Es gilt ah -- hb = (a -- 6) h -- 2 t(hb). n(ah -- hb) = n(a -- b)n(h) + 4t2(hb) -- 4t(hb)t(h(a -- b)). WRhle h so, dal~ zusRtzlich t ( h b ) = 0 erfiillt ist; es folgt n ( a - 6 ) = 0. Fiir alle h m i t t (h) = 0, n (h) =~ 0 mu6 daher 4 t 2 (hb) -- 4 t (hb) t (h (a -- b)) = 4 t (hb) t (h S) = 0 gelten. Wegen a, b ~ ~: ist es jedoch mSglich h e H zu finden mit t(h) ----0, n(h) ~ 0, t(hb) ~ 0, t(hS) ~ 0. 4.2. HilIssatz. E s sei p e r t * ,

n ( p ) = 0; d a n n gibt es h e H m i t ~ h p ~ - 0 .

B e w e i s . Es gilt p 6 ~=. Nach Hilfssatz 4.1 gibt es h so, dab n(ph -- hp) 4- 0; es folgt

$ ( p h - - hp) = -- ~ h p # O. 4.3. Itilfssatz. E s sei p e H * , n ( p ) = 0. De]iniere /v: H -> H, ]p(x) = p x . D a n n gilt d i m K e r n / ~ = 2 u n d K e r n / v = B i l d / ~ . B e w e i s . Es gilt B i l d / ~ r AuBerdem ist d i m B i l d / q ~ 2 ffir alle q e H * mit n(q) = 0: Andernfalls giibe es qo mit dim Bild/qo = 1, also qoh = )+hqo fiir alle h e H und je ein zugehSriges 2~ e ~=; somit wRre aber auch qoh~o = ).hn(qo) = 0 fiir alle h e H, was ttilfssatz 4.2 widersprechen wfirde. Die Behauptungen folgen jetzt mit 2 _--_dim Bild/~ ~ dim K e r n / p = 4 -

dim Bild ]p _~ 2.

4.4. H i l f s s a t z . E s seien p, r e H * , n ( p ) - - 0, n ( r ) = 0 u n d p r ~ O. D a n n gibt es s mit n(s)~ 0 und ps = pr. B e w e i s . Setze s : = r + ~ h .

Dann gilt n ( s ) = - 2 t ( ~ p r ) # 0

fiir ein h e l l .

4.5. H i l I s s a t z . Seien a, b E H, n (a) = n (b) ~ O.

D a n n besitzt die Gleichung a ~ -----x b nichttriviale Lgsungen. Fis den L6sttngsraum L gilt d i m L = 3 (/alls a ---- - - b), d i m L = 1 (sonst). B e w e i s . Falls a = - 6 oder n(a ~ b ) ~ 0 gilt, verl~uft der Beweis vSllig g|eich wie der Beweis yon Hilfssatz 3.1. Sei daher a .=# -- 6, n(a -~ 6) ----0. Es gilt a~ = 2t(as~) -- xS. Die Gleichung a~ = xb ist also ~quivalent zu x(5 -~ b) =- 2t(a~) und -- wegen 2t(a~) e I=, n(5 + b) = 0 -- ~quivalent zu den beiden Gleiehungen x(5 -~ b) = 0, t(a~) = 0. Nach Hilfssatz 4.3 kommt nur x = h(a + 6) (h e H beliebig) ats LSsung in Frage; es folgt dim Z ~ 2. Weil a ~- 6 LSsung ist, gilt auch dim L ~ 1. Sei dim L -----2. Dann mul~

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wiederum naeh Hilfssatz 4.3 -- h(a + b) LSsung fiir jedes h e ~ sein. Aueh gilt dann t(a~) = t ( a ( 5 + b ) ~ ) = 0 bzw. n ( a ) t ( h ) = - - t ( a b h ) fiir alle h. Aber t(abh)-----0 fiir alle h mit t(h) ----0 ist nur mSglich, wenn abe ~= gilt. Wegen n(a) = n(b) =4=.0 wiirde jedoch a ~ ~ s was den Voraussetzungen a ~ -- g und n (a + b) = 0 widerspr~che. -

-

4.6. Itilfssatz. Seien a, b e H, n (a), n (b) =~ O.

Die Gleichung a x == xb hat genau dann LSsungen mit nichtverschwindender Norm, wenn n (a) = n (b), t (a) = t (b) u n d a, b e ~ oder a, b ~ ~ gilt. Fi~r den L6sungsraum L gilt d i m L = 4 (]alls a = b ~ D=), d i m L ---- 2 (sonst). B e w e i s . Wie in Hilfssatz 3.2 kann ax ~ xb nur dann eine LSsung x mit n(x) @- 0 haben, wenn n ( a ) = n(b), t ( a ) = t(b) gilt. W~re z.B. ae0=, b ~ = , so mfil3te daher n ( I m ( b ) ) = 0 gelten, und ax = xb w~re ~quivalent zu x Jim(b) ~ 0. Diese letzte Gleichung hat aber nur LSsungen x mit n(x) = 0. Falls a, b e ~= und daher a - ~ b, gilt sieher dim L - 4. Sei nun a, b ~ ~=. Definiere [: H --~ H, /(x) = a z -- xb, gt: H -> H, gt(x) = t-ZStx -- xb fiir ein t m i t n(t) -~ 0. Es gilt BildgzcKern]; wegen Hilfssatz 4.1 besitzt daher ax-----xb LSsungen x mit nichtverschwindender Norm. Es gilt dim Kern ] + dim Kern gto ~ 4 fiir mindestens ein to: Denn K e r n ] ~ K e r n g t @ (0} impliziert ( 5 t - - t a ) x = O ffir ein x @ 0 ; daher muB n(gt -- ta) = 0 gelten. Hilfssatz 4.1 besagt jedoch, daI] n(5t -- ta) nicht fiir alle t gleieh 0 sein kann. Weiter ist dim Kern ] + dim Kern gz ~ 4: Denn Bild gt c Kern / und daher dim Bild gt = 4 -- dim Kern gz ~ dim Kern ]. SehlieBlieh gilt dim Kern [ ----dim Kern gz : Definiere W: H - ~ ~ , 9 ( x ) = x ( b r - rb) (r so gew~hlt, dab n ( b r - rb)-~ O, was nach Hilfssatz 4.1 mSglich ist). ist Bijektion, und es gilt W(Kern [) c Kern g~, ~ (Kern gz) c Kern/. Zusammen folgt dim Kern / ~ 2. Dieselben ~berlegungen fiir gto wie for ] liefern dim Kern gto ~ 2. Aus der ersten Ungleichung kann daher dim Kern / = dim Kern gto = dim L = 2 abgeleitet werden. 4.7. K o r o l l a r z u m B e w e i s y o n H i l f s s a t z 4.6. Es gilt L = K e r n / =

B i l d gz.

4.8. Hflfssatz. Seien a, b, c, d e H, n ( a ) , n(b), n(c), n ( d ) ~ 0, a, b e U=oder a, b ~ ~=;

c, d e $

oder c , d ~ = .

Eine notwendige Bedingung da/iir, daft alas Gteichung~system a x xb, cx xd L6sungen mit nichtvemchwindender N o r m besitzt, i~t dumb n ( a ) ---- n(b), t ( a ) == t(b), n ( c ) - - - - n ( d ) , t ( c ) = t ( ~ ) , t ( a c ) ~ t ( b d ) gegeben. Sind diese /i~n] _Forderungen an a, b, c, d er]i~llt, so gilt/fir den L6sungsraum JL aller L6sungen des Systems d i m L = 4 (]alls a, b, c, d e U=), d i m L = 2 (/all8 a, b e ~:, c, d ~ D= oder a, b ~ ~=, c, d e ~= oder a, b, c, d ~ D=, c = ). a + /~, d ---- ). b -4-/~ mit 2 , / z ~ i:), d i m L = 1 (sonst). =

=

Eine hinreichende Bedingung da]iir, daft das Gleichungssystem LSsungen mit nichtverschwindender N o r m besitzt, ist durch die .Forderungen an a, b, c, d/i~r d i m L ---- 4 oder 2 gegeben oder durch n(ac - ca) =4=0 (und daher n ( b d - db) =4=0).

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4-dimensionale Q u a s i k o m p o s i t i o n s a l g e b r e n

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Zws.atz: D i e n o t w e n d i g e L 6 s u n g s b e d i n g u n g [iir a, b, c, d u n d a, b', c, d' 8ei er/is die hinreichende L 6 s u n g s b e d i n g u n g

1)

ac--ca=#=O,

bd--db

und

verletzt, also i n s b e s o n d e r e s e i n ( a c - - c a ) =- O.

~=O, b ' d ' - - d ' b ' = ~ O .

M i n d e s t e n s e i n e s d e r d r e i 16sbaren G l e i c h u n g s s y s t e m e a x = x b , c x -~ x d ; a y -~ y b ', c y == y d ' ;

b z ~ z b ' , d z ~ z d ' hat L S s u n g e n m i t n i c h t v e r s c h w i n d e n d e r N o r m . F i i r

all 9 L 6 s u n g e n x des S y s t e m s a x ---- x S , c x = x ~ gilt n ( x ) =- 0.

2)

ac--ca=-O

(bd--db--O

oder b d - - d b ~ = O ) .

D a s G l e i c h u n g s s y s t e m a x ~ x b , c x -~ x d besitzt n u r L S s u n g e n x m i t n ( x ) ---- 0.

B e w e i s . Die notwendige LSsbarkeitsbedingung folgt wie in Hilfssatz 3.4. Nach Hilfssatz 4.6 ist die Dimension des LSsungsraumes 4, 2 oder 1, wenn das System iiberhaupt nichttrivia115sbar ist. dim L -----4 gilt genau dann, wenn a = b 9 D=, c = d 9 ~=. dim L = 2 gilt nach tIilfssatz 4.6 genau darm, wenn jede Lbsung v o n a x = xb (a, b ~ 6=) auch LSsung yon cx -----x d ist (oder umgekehrt). Das ist sicher erfiillt, wenn a = b 9 D=, c, d ~ ~: oder a , b ~ F , c = d e D = . Sei a, b, c, d ~ ~=, dim L ----2. Wie im Beweis von ttilfssatz 3.4 folgt (ac - - ca) (hb -- 5h) ~ 0 fiir alle h 9 H u n d mit ttilfssatz 4.1 auch ac ~-- ca. Analog gilt bd -~ db. Zusammen m i t der notwendigen LSsbarkeitsbedingung f o l ~ n u n entweder I

II

(2, y 9

c:2a+#,

d=,~b~-p

c=)~a+t~,

d=vb+t(a)()~--v)~/z,

oder n(Im(a))=0.

).,~u,~, 9

).~-~'.

Nur im Fall I gilt, dab jede LSsung yon a x = xb auch c x = x d erfiillt, weil im Fall I I ( v - 2 ) I m ( a ) x = 0 ( I r a ( a ) ~ 0!) folgen wiirde u n d daher n ( x ) = 0; die Gleichung a x = xb h a t aber naeh Hilfssatz 4.6 auch LSsungen x mit n ( x ) # 0. Seien n u n die Forderungen a n a, b, c, d fiir dim L = 4 oder 2 verletzt. Gilt ac -~ ca, so ist wie in Hilfssatz 3.4 -- die notwendige LSsbarkeitsbedingung auch hinreichend ffir niehttrivial 9 L f s u n g e n des Systems. T r i t t Fall I I ein, so ist x = Ira(a) r (r nach Hilfssatz 4.6 so gew t h l t , dal3 a r = rb u n d n(r) - t 0) eine nichttriviale LSsung. Daher gilt dim L ---- 1. Sicher sind die Forderungen a n a, b, c, d ffir dim L ---- 4 oder 2 nach Hilfssatz 4.6 auch hinreichend dafiir, dab das System LSsungen m i t nichtverschwindender Norm besitzt. Es bleibt zu zeigen, dal3 auch n ( a c - - ca) =~ 0 eine hinreichende Bedingung fiir LSsungen mit nichtverschwindender N o r m ist. Das Gleichungssystem a x = xb, cx = x d habe n u r LSsungen x m i t n ( x ) = 0. Welter sei {1, a , c ) linear unabh~ngig. Es gilt 2 1 x = ~ a x - - - - ~ c x = 0 und wegen a c x = a x d = x b d , c a x = cxb = x d b auch ~ a c x = ~ c a x = 0. Hilfssatz 4.2 liefert ac, ca linear abh~ngig yon {1, a, c). Weil t((ac ~ ca)a) ~- t((ac -- ca) c) = t ( ( a c - - ca) 1) -- 0 gilt, folgt t ( ( a c - - ca) ( a c - - ca)) = O. Welter impliziert t ( a v -- ca) ----0, dab (ac - - ca)~ 9 U= sein muB. SchlieBlich folgt -

-

n ( a c -- ca) = - - (ac - - ca) 2 :

-- t ( ( a c -- ca) 2) = 0.

Falls {1, a, c} linear abhi4ngig ist, gilt ac = ca u n d somit sicher n ( a c -

c a ) = O.

B e w e i s d e s Z u s a t z e s . Die Forderungen an a, b, c, d u n d a, b', c, d' des Zusatzes seien erfiillt, u n d e s gelte insbesondere n ( a c - c a ) = O. 1) a c - - c a - ~ O , b d - - d b ~ O , b'd'--d'b'#O: Die drei Gleiehungssysteme a x ~ xb, cx = x d ; a y = yb', cy = y d ' ; bz = zb', dz = zd~ sollen all 9 n u r LSsungen m i t versehwindender Norm haben. Wie 9 gezeigt, folgt fiir das erste Gleichungssystem 5 : ( a c - c a ) x - ~ O. Nach den Hilfss~tzen 4.3 und 4.4 gibt es r 9 H mit n ( r ) @ 0 u n d (ac -- ca) x = xr. Aus (ac - - ca) 2 = 0 folgt (ac -- ca) x r = (ac -- ca) 2 " x = O, u n d wegen n ( r ) ~ 0 gilt ( a c - c a ) x - ~ O. Wiederum n a c h den I-Iilfss/~tzen 4.3 u n d 4.4 ist daher jede LSsung x des ersten Gleichungssystems yon der F o r m x = (ac -- ca) tz, n ( t x ) # 0 . Analog gilt y = ( a c - - c a ) ty, n ( t y ) @ 0. Es folgt y = x t fiir ein t 9 H mit

524

C. STAMPFLI-ROLLIER

ARCH. MATH.

n(t) =f:0 und analog z = 8y fiir ein s e H mit n ( 6 ' ) , 0, folglich z = 8xt. Es gilt nun bsxt = bz = zb" = s y b ' = say----saxt = sxbt und analog dsxt ---- sxdt. Mit n ( t ) : # 0 folgt, dal3 sx das Gleichungssystem bu = ub, du = ud in u erfiillt. Wegen bd -~ db besitzt dieses 15sbare System aber nur einen 1-dimensionalen L6sungsraum M, n~mlich M - - - - F , und daher s x e ~ z. Der Widerspruch ergibt sich mit n ( s x ) @ 0 wegen sx-+-0 und andrerseits n(x) = 0. Das Gleiehungssystem ax = xS, cx = x5 ist 15sbar und besitzt wegen ac :# ca nur einen 1-dimensionalen L6sungsraum; x = a c - ca ist L6sung und daher bis auf skalare Vielfache die einzige. Nach Voraussetzung gilt n ( a c - ca)= O. 2) a c - - c a = O ( b d - - d b = O oder b d - - d b ~ O ) : Well die hinreichende Bedingung fiir dim L = 2 verletzt sein soil, gilt c = 7 a ~ - / ~ , d ~ ),b + / ~ (2, g e ~:). Das Gleichungssystem ax = xb, cx = xd ist daher ~quivalent zum System ax -~ xb, (Ta + g) x = xd. Es folgt x(d -- 7b -- g) = 0 und, wegen d -- ).b -- Ft ,# 0. da$ n(x) = 0 fiir alle L6sungen x gilt. 4.9. Hilfssatz. Sei A eine orthogonale Trans/ormation.

Dann gibt es a, b e ~ mit n{ab) ---- 1 so, daft /iir alIe x e H gilt: xA =axb

(/alls d e t A - - - - 1 ) bzw. x A = a ~ b

(/alls d e t A = - - 1 ) .

Die Elemente a, b sind bis au/ einen Paktor ~ e D=* eindeutig bestimmt. (Vgl. Beweis yon tIilfssatz 3.5. Dabei ist zu beachten, dab der Vektor a~ einer Spiegelung Sa, nichtverschwindende Norm hat.) 4.10. ttilfssatz. Seien A und B zwei Quasikompositionsalgebren mit den Multiplikationen x A y B und x C y D . Sei weiter d e t A = d e t C, d e t B = d e t D und A isomorph B. D a n n gilt/iir ]eden Isomorphismus S: d e t S = 1. (Vgl. ]3eweis yon I-Iilfssatz 3.6.) 4.11. Satz. Die MultipIikation einer Quasikompositionsalgebra A isotop zu H kann (evtl. dutch Baziswechsel) au/ einen der vier /olgenden T y p e n gebracht werden:

a x ( a b ) - l y b (1),

a x b ~ ( b a ) -1 (2),

( b a ) - l ~ a y b (3),

5~(ba)-l~[~ (4).

Die Elemente a u n d b k6nnen dabei ]e so gewShlt werden, daft gilt: 1.

n ( a ) , n(b) Bind Elemente eines vorgegebenen Vertretersystem~ von n ( H ) \ { 0 } / U : . 2 ,

2.

t (a), t (b) sinc~ Elemente eines vorgegebenen Vertretersystems yon ~=/{• 1 },

3.

t(ab)

ist Element eines vorgegebenen Vertretersystems yon ~=/{4-1}, ]all~ t (a) t (b) = 0 gilt.

(Die leolgerung 3.7 aus ttilfssatz 3.5 kann wSrtlich iibernommen werden.) 4.12. Satz. Zwei Algebren von verschiedenen T y p e n sind nicht isomorph. (Vgl. Beweis yon Satz 3.9, und verwende die Hilfsg4tze 4.5 und 4.6.)

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4-dimensionale Quasikompositionsalgebren

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4.13. I s o m o r p h i e k r i t e r i u m . A und f~' seien zwei Algebren vom selben Typ und ihre Multiplikationen mit Hil/e der Elemente a, b bzw. a', b' nach Satz 4.11 geschrieben. Dann gilt :

Notwendige Bedingung /i~r die Isomorphic vo~ f~ und f~' sind /olgende /i~n/_~orderungen: n ( a ) : n ( a ' ) , t ( a ) = t ( a ' ) , n(b) ~-- n(b'), t(b) ---- t ( b ' ) , t ( a b ) ---- t(a'b'). Diese ~otwendige Bedingung ist auch hinreichend /i~r die Isomorphic yon & und A', wenn zusdtzlich n ( a b - ba) ~ 0 oder &luivalent dazu (n(a) - - t 2 ( a ) ) ( n ( b ) - - t2(b)) ~ ( t ( a ) t ( b ) - - t (ab)) 2

er/is

ist.

Zusatz: Fiir die Algebra & gelte n ( a b - ba)-~ O. Es gibt genau eine zu ]~ nichtisomorphe Algebra A ' so, daft die notwendige Isomorphiebedingung er/i~lIt ist, und ab ~ ba, a'b' ~ b'a' gilt. Ferner ist A bis au] Isomorphic dutch die/fin/Parameter n (a), t (a), n (b), t (b), t (ab), die Bedingung ab ---- ba und, /all~q t2(a) = n(a), t2(b) = n(b) gilt, eine der ]olgenden Angaben bestimmt : a, b e ~: oder a e $:, b ~ ~=oder a ~ ~:, b e ~=oder a, b ~ D=und die slzalare Gr6fle 2(a, b) (wo ~(a, b) e ~:* dutch (b -- t(b)) ~-- ).(a, b) (a -- t ( a ) ) eindeutig bestimmt ist). B e w e i s . Die Algebren A und A ' vom Typ (1) sind genau darm isomorph -- nach dem Beweis des Isomorphiekriteriums 3.10 --, wenn das Gleichungssystem ax ~- ~xa', aba-l x = ~xa'b" a "-I eine LSsung x mit nichtverschwindender Norm besitzt. Wende nun ttilfssatz 4.8 an. Analog verl~uft der Beweis ffir Algebren vom Typ (2), (3) oder (4). 4.14. Satz. Der KSrper ~=sei unendlich; /erner bezeichne Q die Klasse aUer (paarweise nichtisomorpher) Quasikompositionsalgebren isotop zu H (1,1) vom selben Typ. ])ann gilt: Q hat dieselbe Kardinalitdt wie ~:. B e w e i s . Nach Satz 4.11 gilt card ]: _~ card Q. Sei a :-~ (1, 1, 0, 1), be :-----(1, Q, 0, ~) (~ e ~:*). Dann gilt abe ----b~a, t2(a) -----1 ~- n(a), t~(be) ----1--~ n(bQ) und a, be 6 ~:. Algebren yore selben Typ, deren Multiplikationen mit a und be (nach Satz 4.11) gebildet werden, sind nach dem Isomorphiekriterium 4.13 (2(a, b~) = ~) paarweise nichtisomorph. Daher gilt card ~: g card Q. Literaturverzeiehnis

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