Atome und Licht 001

Atome, Licht und ihre Wechselwirkung Priv. Doz. Dr. Karl-Peter Marzlin WS 2002/2003 2 Inhaltsverzeichnis 1 2 Maxwe...

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Atome, Licht und ihre Wechselwirkung Priv. Doz. Dr. Karl-Peter Marzlin WS 2002/2003

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Inhaltsverzeichnis 1

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Maxwell-Gleichungen und Eichfelder 1.1 Die Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . 1.2 Skalares Potential und Vektorpotential . . 1.3 Eichtransformationen . . . . . . . . . . . 1.4 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . 1.5 Elektrodynamik in dielektrischen Medien 1.6 Makroskopische Maxwell-Gleichungen . 1.7 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . .

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Quantenfeldtheorie des Lichts - QED 2.1 Vielteilchentheorie in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Fock-Raum und Teilchenzahldarstellung . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Erzeuger und Vernichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Der Feldoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Zweite Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Zusammenfassung der Konstruktion einer Vielteilchentheorie 2.1.6 Quantisierung in Coulomb-Eichung . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Koh¨arente Zust¨ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Klassische und quantenmechanische Interferenz . . . . . . . . . . . . 2.4 Bemerkungen zum Problem der Quantisierung in anderen Eichungen .

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1 . 1 . 3 . 4 . 6 . 10 . 12 . 15

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19 19 20 22 23 25 26 27 33 37 39

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¨ Quantenmechanik der Atome: ein kurzer Uberblick 41 3.1 Das Wasserstoffatom, Parit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Feinstruktur und Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3 Hyperfeinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4

Die Wechselwirkung von Atomen und Licht 4.1 Die minimale Kopplung . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Herleitung der minimalen Kopplung . . 4.1.2 Eichinvarianz der minimalen Kopplung 4.2 Die Power-Zienau-Woolley-Transformation . . 4.2.1 Das Grundprinzip der Transformation . 4.2.2 Die vollst¨andige Transformation . . . .

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45 45 45 47 48 48 49

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INHALTSVERZEICHNIS 4.3 4.4

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Dipoln¨aherung und Dipolkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Auswahlregeln f¨ur Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

¨ Atome Das 2-Niveau Modell fur 5.1 Herleitung des 2-Niveau Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Darstellung von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Kopplung eines 2-Niveau-Atoms an ein elektromagnetisches Feld ¨ 5.2 Rabi-Oszillationen und Landau-Zener-Uberg¨ ange . . . . . . . . . . . . . ¨ 5.2.1 Landau-Zener-Uberg¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Dressed States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Dressed States in einer Cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 5.4 Modelle mit wenigen Niveaus, Dunkelzust¨ande, Raman-Uberg¨ ange . . . 5.4.1 Dunkelzust¨ande (Dark States) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 5.4.2 Raman-Uberg¨ ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Adiabatisches Theorem, STIRAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Anwendung des adiabatischen Theorems auf Dunkelzust¨ande . . Atomoptik 6.1 Grundlegendes Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Atom-Interferometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Ramsey-Bord´e-Interferometer (Bord´e 1988, Riehle 1991) 6.2.2 Atomic fountain (Kasevich & Chu 1991) . . . . . . . . . 6.3 Optische Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Laufender Laser mit Gauß-Profil . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Stehender Doughnut-Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Evaneszente Lichtfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Linsen f¨ur einen Atomstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . Inkoh¨arente Wechselwirkung und Dichtematrix 7.1 Dichtematrix-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Liouville-Gleichung, Superoperatoren . . . . . . . . . . . . . 7.3 Reduzierte Dichtematrix, Zwanzigs Master-Gleichung . . . . 7.3.1 Reduzierte Dichtematrix, Projektions-Superoperatoren 7.3.2 Zwanzigs Master-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Spontane Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Vermeidung spontaner Emission durch Interferenz . . . . . . . ¨ Laser-Kuhlen von Atomen 8.1 Allgemeines zur K¨uhlung von Atomen 8.2 Doppler-K¨uhlung . . . . . . . . . . . 8.2.1 Das Prinzip . . . . . . . . . . 8.2.2 Theoretische Beschreibung . . 8.3 VSCPT . . . . . . . . . . . . . . . .

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63 64 65 66 69 73 75 76 79 79 84 86 87

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89 89 91 91 93 94 95 95 96 96

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99 99 102 105 106 107 114 120

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123 123 123 124 124 127

INHALTSVERZEICHNIS 9

5

Elektromagnetisch induzierte Transparenz 129 9.1 Maxwell-Bloch-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.2 Der Brechungsindex von 2-Niveau-Atomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 9.3 Elektromagnetisch induzierte Transparenz und Dunkelzust¨ande . . . . . . . . . . 133

¨ 10 Photonische Bandlucken

137

11 Bose-Einstein-Kondensate 11.1 Vielteilchentheorie bosonischer Atome . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Der Bose-Einstein-Phasen¨ubergang . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Atome mit Wechselwirkung, kollektive Wellenfunktion . . . . . 11.4 Einfache Anwendungen der Gross-Pitaevskii-Gleichung . . . . 11.4.1 BECs in harmonischen Fallen , Thomas-Fermi-N¨aherung 11.4.2 Solitonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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143 143 145 147 150 150 151

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153 153 153 155 157

¨ 12 Einschube 12.1 Greenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Addition von Drehimpulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Weitere Darstellung der Addition von Drehimpulsen 12.3 Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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INHALTSVERZEICHNIS

Vorwort Das vorliegende Skript ist aus einer Vorlesung hervorgegangen, die ich im Wintersemster 2002/03 an der Universit¨at Konstanz gehalten habe. Die Grundidee der Veranstaltung war, die vielen verschiedenen Aspekte der Quanten- und Atomoptik auf drei grundlegende Modelle zur¨uckzuf¨uhren: Das Zwei- und das Drei-Niveau-Atom sowie den harmonischen Oszillator. Entsprechend ist das Skript angelegt. Nach einem R¨uckblick auf den Stoff aus Kursvorlesungen (Kapitel 1 und 3) werden die theoretischen Grundlagen der Quantenoptik in Kapitel 2 und 4 behandelt. In Kapitel 5 werden das 2-Niveau- und das 3-Niveau-Modell ausf¨uhrlich besprochen und die fundamentalen Effekte vorgestellt, die in solchen Systemen auftreten. In Kapitel 6 werden diese Modelle um die Schwerpunktbewegung erweitert, in Kapitel 7 tritt die Kopplung an ein Reservoir hinzu. Beide Erweiterungen werden in Kapitel 8 zur Beschreibung der Laser-K¨uhlung von Atomen ben¨otigt und bilden auch die Grundlage f¨ur die verschiedenen Anwendungen in Kapitel 9-11. Dieses Skript ist Dank des Engagements der Studierenden entstanden, die diesen Kurs besucht haben. Viele von Ihnen haben beim Tippen des Manuskripts geholfen. Auch haben ihre Fragen und Bemerkungen w¨ahrend der Vorlesung Teile des Stoffes sowie dessen Darstellung beeinflußt. F¨ur ihre Mitarbeit und die herzliche Atmosph¨are w¨ahrend der Vorlesung m¨ochte ich Stefan Bretzel, Wolfgang B¨uhrer, Martin Clausen, Claudia Gnahm, Peter Groß, Roland Haas, Christine Hartung, Corinna Maaß und Thomas Schluck sehr danken. Mein besonderer Dank gilt Wolfgang B¨uhrer f¨ur seine Initiative, die Web-Seite www.atome-licht.de.vu zu erstellen und damit das Texen der Vorlesung zu koordinieren. Last not least ist es mir eine angenehme Pflicht, mich bei Martin Kiffner f¨ur das Korrektur-Lesen und bei Wolfram Quester f¨ur das Texen meines Skriptes zur Elektrodynamik zu bedanken, aus dem Kapitel 1 hervorgegangen ist. M¨oglicherweise w¨are dieses Skript ohne diesen Anfang nicht enstanden.

Konstanz, im Mai 2003 Peter Marzlin

Kapitel 1 Maxwell-Gleichungen und Eichfelder 1.1

Die Maxwell-Gleichungen

Die beschreiben alle Ph¨anomene, die mit (klassischen) elektrischen und magnetischen Feldern zu tun haben. Im Vakuum lauten sie: % ε0 ˙ rot E = −B div E =

div B = 0 ˙ rot B = µ0 j + ε0 E

(1.1)

Darin bezeichnet E das elektrische und B das magnetische Feld; %(x, t) ist die Ladungs- und j(x) die Stromdichte. Die Divergenz und die Rotation einer Funktion R(x) sind dabei definiert als 3 X ∂ div R(x) = Ri (x) = ∂i Ri (x) ∂x i i=1 3 X ∂ rot R(x) i = ijk Rk = ijk ∂j Rk (x) ∂xj j,k=1

F¨ur die jeweils nach dem zweiten Gleichheitszeichen angegebene Kurzschreibweise wurde die Einsteinsche Summenkonvention verwendet, nach der u¨ ber doppelt vorkommende Indizes zu summieren ist (hier von 1 bis 3). ijk ist das antisymmetrische Levi-Civita-Symbol, das definiert ist als   (ijk) = (123), (231), (312) 1 ijk = −1 (ijk) = (132), (321), (213)   0 sonst Aus dieser Definition folgt ijk = jki und ijk = −jik . Aus Konsistenzgr¨unden muss die Kontinuit¨atsgleichung gelten: %˙ + div j = 0

(1.2)

2

Maxwell-Gleichungen und Eichfelder

Beweis: ˙ %˙ = ε0 div E 1 = ε0 div (rot B − µ0 j) µ0 ε 0 1 = div rot B − div j µ0 div rot B = ∂i ijk ∂j Bk = ijk ∂i ∂j Bk = 0 |{z} |{z}

(1.3)

antisym. sym.

Die physikalische Bedeutung der Kontinuit¨atsgleichung liegt in der Ladungserhaltung: Z Q(t) = %(x, t) d3 x V

=⇒ Q˙ =

Z

Z

3

div j d3 x

%˙ d x = − V

V

0

Verwendet man nun den Gaußschen Satz, Z ZZ 3 div R d x = V

R ds

(1.4)

∂V

0

so sieht man, dass die Ladungs¨anderung im Volumen V gleich der Summe des Stroms ist, der aus V abfließt: ZZ ˙ Q=− j ds (1.5) ∂V

Darin ist ∂V die Oberfl¨ache (= der Rand) von V . Aus den Maxwell-Gleichungen sollen nun Differentialgleichungen zweiter Ordnung abgeleitet werden: (rot rot E)i = ijk ∂j (rot E)k = ijk ∂j klm ∂l Em Benutzt man ijk klm = δil δjm − δim δjl , so ergibt sich: (rot rot E)i = δil δjm ∂j ∂l Em − δim δjl ∂j ∂l Em =⇒ (rot rot E)i = ∂i ∂m Em − ∂l ∂l Ei = ∇i div E − ∆Ei rot rot E = ∇div E − ∆E ˙ = −∂t µ0 j + ε0 E ˙ ⇒ ∇div E − ∆E = −rot B ⇒

1 ¨ ∇% − ∆E = −µ0 ∂t j − ε0 µ0 E ε0

1.2 Skalares Potential und Vektorpotential

3

Verwendet man ε 0 µ0 =

1 c2

so folgt ∂ 1 ∂2 1 (1.6) − ∆ E = −µ0 j − ∇% 2 2 c ∂t ∂t ε0 2 ∂ Der darin vorkommende d’Alembert-Operator c12 ∂t − ∆ wird h¨aufig mit abgek¨urzt. 2 Analog ergibt sich:

¨ = −rot E ˙ = −rot 1 (rot B − µ0 j) B ε 0 µ0 1 ¨ ⇒ 2 B = − ∇ div B} −∆B + µ0 rot j | {z c =0

=⇒

1 ∂2 − ∆ B = µ0 rot j c2 ∂t2

(1.7)

Diese Gleichungen sind Wellengleichungen! F¨ur sie kann man verschiedene Spezialf¨alle unterscheiden: 1. j, % = 0 ⇒ Freie Wellenausbreitung, die Differentialgleichungen sind homogen und linear. 2. j, % sind vorgegeben ⇒ Die Theorie der dazugeh¨origen elektromagnetischen Felder behandelt inhomogene Differentialgleichungen und beschreibt die von Ladungen und Str¨omen ausgehenden Felder. 3. j, % h¨angen (n¨aherungsweise) linear von E, B ab. ⇒ Lineare Dielektrika (polarisierbare Medien), f¨uhren zu linearen Differentialgleichungen. 4. j, % h¨angen nichtlinear von E, B ab. ⇒ Nichtlineare Differentialgleichungen, im allgemeinen schwer zu l¨osen. Nichtlineare Optik.

1.2

Skalares Potential und Vektorpotential

Eine der Maxwell-Gleichungen (1.1) lautet: div B = 0 (= ∂i Bi ). Nach Gleichung (1.3) gilt allgemein: div rot A = 0. Daher l¨aßt sich das magnetische Feld auch schreiben als1 B = rot A 1

A = Vektorpotential

Wir sehen hier von Subtilit¨aten ab wie sie in mehrfach zusammenh¨angenden Raumgebieten auf Grund topologischer Ph¨anomene auftreten k¨onnen.

4

Maxwell-Gleichungen und Eichfelder

B ist ein reines Wirbelfeld, d. h. es existieren keine magnetischen Quellen (= magnetische Monopole). Setzt man das weiter in die Maxwell-Gleichungen (1.1) ein, so erh¨alt man ˙ = −rot A ˙ ⇒rot E = −B ˙ =0 ⇒rot (E + A) es gilt allgemein rot grad φ = ijk ∂j ∂k φ = 0 ˙ = −∇φ ⇒E + A

in einfach zusammenh¨angendem Gebiet

˙ ⇒ E = −∇φ − A

φ = skalares Potential

Die Potentiale A und φ sind nicht meßbar. Meßbar sind nur E und B. Allgemeine Bewegungsgleichungen f¨ur sie lauten: % ˙ = −div grad φ − div A ε0 ¨ rot B = rot rot A = µ0 j + ε0 [−∇φ˙ − A] div E =

% ˙ ∆φ = − − div A ε0 =⇒ 1 1 ¨ A − ∆A + ∇div A = µ0 j − 2 ∇φ˙ 2 c c

(1.8)

W¨are div A = 0, so h¨atten wir die Poisson-Gleichung f¨ur φ und eine Wellengleichung f¨ur A. φ spielt dann die Rolle des Coulomb-Potentials. Dies l¨aßt sich tats¨achlich erreichen.

1.3 Eichtransformationen Durch B = rot A wird A nicht eindeutig festgelegt. Wegen rot grad χ = 0 f¨ur beliebiges χ f¨uhrt A0 = A + ∇χ zum selben B-Feld. Ebenso f¨uhren φ und φ0 = φ − ∂t χ zum gleichen E-Feld, denn ˙ 0 = −∇φ + ∇χ˙ − A ˙ − ∇χ˙ E 0 = −∇φ0 − A ˙ =E = −∇φ − A

1.3 Eichtransformationen

5

Dies nennt man Eichtransformationen. Die physikalischen Felder E, B bleiben dabei unver¨andert. Eichtransformationen k¨onnen dazu verwendet werden, bestimmte (bequeme) Bedingungen an die Potentiale zu stellen. Am gebr¨auchlichsten sind die folgenden: div A = 0 1 ∂ div A + 2 φ = 0 c ∂t

Coulomb-Eichung Lorentz-Eichung

(1.9)

Beide sind voneinander unabh¨angig und nicht gleichzeitig zu erf¨ullen. Die erste f¨uhrt zur CoulombEichung, diese ist aber nicht kovariant. Die Lorentz-Eichung ist dagegen Lorentz-invariant und deswegen f¨ur die Relativit¨atstheorie wichtig. Zur Herleitung der Coulomb-Eichung: Seien A0 , φ0 irgendwelche Potentiale. Gesucht ist ein χ, so dass div A = 0: !

A = A0 − ∇χ =⇒ div A = div A0 − ∆χ = 0 Das ist eine Differentialgleichung f¨ur χ: ∆χ = div A0

Poisson-Gleichung f¨ur χ

(1.10)

Mit der L¨osung

Z 1 div A0 (x0 ) 3 0 χ(x, t) = − dx 4π |x − x0 | Beweis: Z 1 1 div A0 (x0 )∆x d3 x0 ∆x χ = − 4π |x − x0 | F¨ur die weitere Umformung benutzen wir folgenden wichtigen Satz: ∆x

1 = −4πδ(x − x0 ) 0 |x − x |

Beweis: =⇒

Z 1 ∆x χ = − div A0 (x0 )(−4π)δ(x − x0 ) 4π = div A0 (x)

qed.

Setzt man die Coulomb-Eichung aus Gleichung (1.9) in Gleichung (1.8) ein, so erh¨alt man die Feldgleichungen f¨ur die Potentiale in Coulomb-Eichung: 1 ∂2 1 − ∆ A = µ0 j − 2 ∇φ˙ 2 2 c ∂t c (1.11) % ∆φ = − ε0 Interpretation: φ = b Coulomb-Potential A= b elektromagnetische Wellen Achtung: Die Interpretation h¨angt von den Eichbedingungen ab!

6

1.4

Maxwell-Gleichungen und Eichfelder

Multipolentwicklung

Multipole sind ein sehr wichtiges Hilfsmittel der Elektrodynamik. Aus ihnen folgen z. B. die Auswahlregeln von Atomen und Molek¨ulen in der Quantenmechanik. In ihrem Kern ist die Multipolentwicklung eine Entwicklung nach Drehimpuls-Eigenzust¨anden wie in der Quantenmechanik.

Skalare Multipole Beispiel: Skalares Potential in Lorentz-Eichung. φ(x, t) =

%(x, t) ε0

Zeitliche Fourier-Transformation: φ˜ω (x) =

Z

e−iωt φ(x, t) dt

%˜(x) ω =⇒ (∆ + k 2 )φ˜ω (x) = − , k= ε0 c Das ist die inhomogene Helmholtz-Gleichung. Die Green-Funktion f¨ur die Helmholtz-Gleichung erf¨ullt (∆ + k 2 )G(x, x0 ) = −δ(x − x0 ) und ist (mit Randbedingung G → 0 f¨ur |x − x0 | → ∞) gegeben durch 0

1 eik|x−x | 4π |x − x0 | ∞ m X X (1) ∗ = ik jl (kr< )hl (kr> ) Ylm (ϑ0 , φ0 ) Ylm (ϑ, φ) | {z }

G(x − x0 ) =

l=0

m=−l

Basisfunktion

Darin sind l 1 sin x jl =(−x) ∂x x x l 1 cos x (1) hl =jl − (−x)l ∂x x x l

sph¨arische Besselfunktionen

(1.12)

sph¨arische Hankelfunktionen

(1.13)

Die L¨osung ist φ˜ω (x) = ik =⇒ φ˜ω (x) = ε0

Z

Z X ∞ X l

G(x, x0 )

%˜(x) ε0 (1)

jl (kr< )hl (kr> )Ylm (ϑ, ϕ) dr0

l=0 m=−l

Z ·

∗ Ylm (ϑ0 , ϕ0 )˜ %ω (r0 , ϑ0 , ϕ0 ) dΩ0

1.4 Multipolentwicklung

7

Von besonderem Interesse f¨ur praktische Anwendungen ist das Feld φ˜ω (x) an einem Ort x außerhalb der Ladungsverteilung. W¨ahlt man den Ursprung des Koordinatensystems im Schwerpunkt der Ladungsverteilung, so gilt dann r = |x| > |x0 | = r0 und damit r< = r0 , r> = r. ∞ l ik X X (1) ˜ Ylm (ϑ, ϕ)hl (kr) =⇒ φω (x) = ε0 l=0 m=−l Z ∗ · jl (kr0 )Ylm (ϑ0 , ϕ0 )˜ %ω (r0 , ϑ0 , ϕ0 ) dΩ0 dr0

(1.14)

In vielen wichtigen Anwendungen ist die Ausdehnung der Ladungsverteilung klein gegen¨uber ˚ λ = 1 µm). Das Argument der Wellenl¨ange λ = 2π = 2πc (z. B. Atome oder Molek¨ule: r0 = 1 A, k ω 0 kr von jl ist also klein. F¨ur x 1 gilt jl (x) ≈ Z =⇒

jl (kr

0

∗ )Ylm %˜ω

xl (2l + 1)!!

kl dΩ dr ≈ (2l + 1)!! 0

0

Z

∗ r0l Ylm %˜ω dΩ0 dr0

Man definiert das sph¨arische Multipolmoment der Ordnung lm als Z ∗ Qlm := r0l Ylm %˜ω dΩ0 dr0 Spezialf¨alle: Q00

Q11 Q10

1 =√ 4π Q =√ 4π r

Z

%˜ω (x0 ) d3 x0

Q = Gesamtladung des Ions/Molek¨uls bei ω r Z 3 3 0 0 0 3 0 =− %˜ω (x )(x − iy ) d x = − (px − ipy ) 8π 8π r Z r 3 3 = %˜ω (x0 )z 0 d3 x = pz 4π 4π

Darin ist p = (px , py , pz ) das (cartesische) elektrische Dipolmoment: Z p = x0 %(x0 ) d3 x0 Das Potential, das durch einen reinen Punktdipol erzeugt wird, ist φDip (x) =

px 4πε0 |x|3

(1.15)

(1.16)

8

Maxwell-Gleichungen und Eichfelder

Anschauliche Bedeutung eines reinen Dipols: Zwei gegens¨atzliche Ladungen mit sehr kleinem Abstand L. Dipolmoment = q(L) · Ln = p L geht gegen 0, aber gleichzeitig geht q(L) → ∞, so dass q(L) · L endlich bleibt. Das elektrische Feld eines Dipols, der sich im Ursprung befindet, ist gegeben durch E Dip (x) =

1 3ˆ x(pˆ x) − p 4πε0 |x|3

ˆ= mit x

x |x

Die allgemeine Entwicklung des Potentials in der Elektrostatik lautet: " # 1 Q px 1 X ¯ xi xj φ(x) = + 3 + Qij 5 + · · · 4πε0 r r 2 ij r Darin ist ¯ ij = Q

Z

%(x)(3xi xj − δij x2 ) d3 x

der (spurlose) Tensor des Quadrupolmoments. Gleichung (1.14) kann aber auch direkt durch Entwicklung nach Kugelfl¨achenfunktionen hergeleitet werden. Diese sind Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators und erf¨ullen die Orthogonalit¨atsrelation Z 2π Z π (1.17) Yl∗0 m0 (ϑ, ϕ)Ylm (ϑ, ϕ) sin ϑ dϑ dϕ = δll0 δmm0 0

0

und die Vollst¨andigkeitsrelation ∞ X l X l=0 m=−l

∗ (ϑ0 , ϕ0 )Ylm (ϑ, ϕ) = δ(ϕ − ϕ0 ) δ(cos ϑ − cos ϑ0 ) Ylm | {z }

(1.18)

=δ(Ω−Ω0 )

Wegen Gleichung (1.18) gilt f¨ur eine beliebige skalare Funktion f (ϑ, ϕ): Z f (ϑ, ϕ) = f (ϑ0 , ϕ0 )δ(Ω − Ω0 ) dΩ0 XZ ∗ = Ylm (Ω0 )Ylm (Ω)f (Ω0 ) dΩ0 l,m

=

X

Z Ylm (ϑ, ϕ) · Flm

mit den Koeffizienten Flm :=

l,m

In unserem Fall gilt: φ˜ω (x) =

X

Ylm (ϑ, ϕ)φ˜ω,lm (r)

l,m

mit φ˜ω,lm (r) =

Z

∗ Ylm (Ω0 )φ˜ω (r0 , ϑ0 , ϕ0 ) dΩ0

∗ Ylm (Ω0 )f (Ω0 ) dΩ0

1.4 Multipolentwicklung

9

Dies setzt man nun in die Helmholtz-Gleichung ein: 1 (∆ + k 2 )φ˜ω (x) = − %˜ω (x) ε0 Laplace-Operator in Kugelkoordinaten: 1 ∂ 2∂ 1 r − 2 L ; L = x × (−i∇) 2 r ∂r ∂r r L2 Ylm = l(l + 1)Ylm l(l + 1) 1 1 ∂ 2∂ 2 r − + k φ˜ω,lm (r) = − %˜ω,lm (r) =⇒ 2 2 r ∂r ∂r r ε0 ∆=

L¨osen dieser radialen Differentialgleichung mit geeigneten Randbedingungen (auslaufende Welle f¨ur r → ∞, d. h. ∼ cos(kr) 1r sin(kr) 1r ) f¨uhrt zu obigem Ausdruck (1.14) f¨ur φ˜ω (x).

¨ Vektorfelder Multipolentwicklung fur Man kann auch eine Multipolentwicklung divergenzfreier Vektorfelder (z. B. div B = 0) durchf¨uhren. Im Wesentlichen werden dabei die Kugelfl¨achenfunktionen Ylm ersetzt durch 1

X lm := p

l(l + 1)

LYlm (ϑ, ϕ)

Vector spherical harmonics“ ”

X lm erf¨ullt Z

X ∗lm X l0 m0 dΩ = δll0 δmm0

Z

X ∗lm · (x × X lm )dΩ = 0

Ein vollst¨andiges System von Vektorfunktionen f¨ur divergenzfreie Felder ist dann gegeben durch Fl (kr)X lm (1) (1)

und

∇ × (gl (kr)X lm

(2) (2)

Fl (kr) = Fl hl (kr) + Fl hl (kr) (1) (1) (2) (2) gl (kr) = gl hl (kr) + gl hl (kr) (i) (2) (1)∗ hl (kr) = sph¨arische Hankelfunktionen hl (kr) = hl (kr) Die elektromagnetischen Felder im freien Raum lassen sich dann entwickeln gem¨aß X B= [aE (l, m)Fl (kr)X lm + am (l, m)∇ × gl (kr)X lm ] wobei

l,m

E=

Xi l,m

k

aE (l, m)∇ × Fl (kr)X lm + am (l, m)gl (kr)X lm

10

Maxwell-Gleichungen und Eichfelder

Felder, die proportional zu am sind heißen sph¨arische TM-Felder ( transverse magnetic“) und ” Felder, die proportional zu aE sind heißen sph¨arische TE-Felder ( transverse electrical“). ” Die Felder lassen sich auf die jeweiligen Multipolmomente zur¨uckf¨uhren, wenn kr 1 innerhalb der Ladungsverteilung gilt. Es gilt dann aE (l, m) ∼ Qlm ; am (l, m) ∼ Mlm Z x + j(x) 1 l Mlm = − r Ylm ∇ d3 x (l + 1) c Mlm heißt magnetisches Multipolmoment. Genaueres zur vektoriellen Multipolentwicklung findet man in [1], insbesondere Kapitel 16.2 und 16.6.

1.5

Elektrodynamik in dielektrischen Medien

Bis jetzt wurden nur Felder im Vakuum in Anwesenheit vorgegebener Ladungen behandelt. Oft m¨ochte man aber elektromagnetische Felder im Inneren von Medien (z. B. Glas oder Kristallen) betrachten. Fast alle Medien sind aus Atomen und Molek¨ulen aufgebaut. In solchen Objekten sind die Ladungen gebunden, d. h. sie k¨onnen durch ein angelegtes a¨ ußeres Feld nicht frei verschoben werden. Sie sind jedoch polarisierbar oder haben gar ein permanentes Dipolmoment. Atome sind z. B. durch Anlegen eines elektrischen Feldes polarisierbar:

_

E=0

E =/ 0

H

_

+ _

_

_ _ _

+

+

_

_

_

8+

_

_ O _

H

+ _

Molek¨ule (z. B. Wasser) k¨onnen auch ein permanentes Dipolmoment haben. Dies tritt oft bei ionischen Bindungen auf. Betrachtet man nicht den Effekt jedes einzelnen Molek¨uls, sondern nur makroskopische Felder, die u¨ ber einen Raumbereich, der viele Molek¨ule enth¨alt, gemittelt sind, kann man die makroskopischen Felder E, D, B und H durch folgende Gleichungen gut beschreiben: div D = % ˙ rot E = −B

div B = 0 ˙ rot H = j + D

makroskopische Maxwell-Gleichungen Es gelten die materialabh¨angigen Beziehungen D = ε0 E + P

;

B = µ0 (H + M )

(1.19)

1.5 Elektrodynamik in dielektrischen Medien

11

Darin sind D die dielektrische Verschiebungsdichte und H die magnetische Feldst¨arke, P ist die Polarisation und M die Magnetisierung des Mediums. Es gibt einige Spezialf¨alle: • Im Vakuum gilt P = 0 und M = 0, so dass wir auf die bisherige Form der MaxwellGleichungen kommen. • Wenn die Molek¨ule ein permanentes Dipolmoment (el. oder magn.) haben, aber im Medium ungeordnet sind, gilt trotzdem im Mittel M = P = 0. Werden die Molek¨ule ausgerichtet, so kann M oder P 6= 0 werden. Ein Beispiel f¨ur ein theoretisches Modell dazu ist das Ising-Modell.

m

m

M=0

M= / 0

• Sind die Atome/Molek¨ule polarisierbar, so gilt P = χE

;

D = εE = ε0 εr E = (ε + χ)E

ε ist die Dielektrizit¨atskonstante des Mediums und χ seine Suszeptibilit¨at. Dieser Effekt kann (vor allem bei Kristallen) richtungsabh¨angig sein (Doppelbrechung): Pi = χij Ej

;

Di = εij Ej

εij : dielektrischer Tensor • F¨ur optisch aktive Medien gilt nach dem Modell von Fedorow2 M =0

;

D = ε(E + β rot E)

Optische Aktivit¨at heißt, dass die Polarisation eines Lichtstrahls beim Durchgang durch das Medium gedreht wird. • In nichtlinearen Medien gilt z. B.: D = ε0 E + κ|E|2 E 2

Es gibt verschiedene Modelle zur Beschreibung der optischen Aktivit¨at. Dieses Modell sei nur als Beispiel herausgegriffen.

12

1.6

Maxwell-Gleichungen und Eichfelder

Herleitung der makroskopischen Maxwell-Gleichungen

Der physikalische Hintergrund der Gr¨oßen E, D, B und H ist, dass sie makroskopische Felder darstellen, die als Mittelung u¨ ber die mikroskopischen“ Felder E mik und B mik auftreten. ” Letztere erf¨ullen die bisher behandelten Gleichungen %mik ε0 ˙ = −B mik

div E mik = rot E mik

div B mik = 0 ˙ mik rot B mik = µ0 j mik + ε0 E

Wir spalten Ladungs- und Stromdichte wie folgt auf: %mik = %frei + %gebunden j mik = j frei + j gebunden Die freien Gr¨oßen entsprechen dabei Teilchen, die nicht an Atome/Molek¨ule gebunden sind. Im Rahmen der klassischen Physik k¨onnen sie geschrieben werden als X %frei (x) = qi δ(x − xi ) i

j frei (x) =

X

qi x˙ i δ(x − xi )

Summen u¨ ber die freien Teilchen.

i

Die gebundenen Gr¨oßen korrespondieren zu den Atomen/Molek¨ulen des Mediums: X %gebunden (x) = %n (x) Summe u¨ ber die Molek¨ule n

%n (x) =

X

qi δ(x − xi ) Summe u¨ ber die Teilchen (e− , Kerne) im Molek¨ul

i

j gebunden (x) =

X

j n (x)

n

;

j n (x) =

X

qi x˙ i δ(x − xi )

i

In den meisten Situationen k¨onnen die Meßger¨ate f¨ur elektromagnetische Felder einzelne Mo˚ nicht aufl¨osen. Bei optischen Experimenten ist die r¨aumliche Aufl¨osung lek¨ule (Gr¨oße ∼ 1 A) ˚ Man kann daher eine r¨aumliche beispielsweise in der Gr¨oßenordnung der Wellenl¨ange (∼ 6000A). Mittelung u¨ ber E mik und B mik durchf¨uhren ohne die Beschreibung der Experimente zu verschlechtern: Z E(x) = hE mik (x)i = f (x0 )E mik (x − x0 ) d3 x0 B(x) = hB mik (x)i Darin soll f (x) eine Funktion sein, die sich auf molekularer Skala langsam a¨ ndert, Raber deren Tr¨ager klein gegen¨uber der Wellenl¨ange ist. Wegen der Mittelung soll nat¨urlich gelten f (x) d3 x = 1.

1.6 Makroskopische Maxwell-Gleichungen

13 f(x)

x 700 nm

F¨ur E und B folgen dann die Gleichungen ∂ Bi (x) ∂xi Z ∂ = f (x0 )Bmik,i (x − x0 ) d3 x0 ∂xi Z ∂ = f (x0 ) Bmik,i (x − x0 ) d3 x0 ∂xi Z = f (x0 ) div B mik (x − x0 ) d3 x0 | {z }

div B(x) =

=0

und analog

= hdiv B mik (x)i = 0 h%mik i div E(x) = ε0 ˙ rot E(x) = −B(x) rot B(x) = µ0 hj mik (x)i +

1 ˙ E(x) c2

Die Mittelwerte k¨onnen wie folgt verarbeitet werden: h%mik i = h%frei i + h%gebunden i =: %(x) + h%gebunden i

%(x) : makroskopische Ladungsdichte X h%gebunden i = h%n (x)i

(1.20)

n(Molek¨ule)

F¨ur jedes Molek¨ul ist die Ausdehnung sehr viel kleiner als der Mittelungsbereich, daher: Z

f (x0 )%n (x − x0 ) d3 x0

Z =

f (x0 )

=

X

%n (x) ≈

X

qi δ(x − x0 − xi ) d3 x0

i(e− , Kerne)

qi f (x − xi ) d3 x0

i(e− , Kerne)

Ist xn der Schwerpunkt das Molek¨uls, so gilt |xi − xn | Tr¨ager von f und man kann f ent-

14

Maxwell-Gleichungen und Eichfelder

wickeln: f (x − xi ) = f (x − xn − (xi − xn )) ≈ f (x − xn ) − (xi − xn )∇f (xi − xn ) + · · · X =⇒ h%n (x)i ≈ qi {f (x − xn ) − (xi − xn )∇f (xi − xn ) + · · · } i(e− , Kerne)

X

=⇒ h%n (x)i ≈ f (x − xn )

qi

{z qn

qi (xi − xn ) + · · ·

i(e− , Kerne)

i(e− , Kerne)

|

X

−∇f (x − xn )

}

|

{z pn

}

qn ist die Ladung des Molek¨uls n. F¨ur nicht ionisierte Molek¨ule ist qn = 0. pn ist sein Dipolmoment. X =⇒ h%gebunden i = (−∇f (x − xn )pn n(Molek¨ule)

Polarisation P (x) =

X

f (x − xn )pn

;

qn = 0

n

=⇒ h%gebunden (x)i = −div P (x) Setzt man dies und Gleichung (1.20) in die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen ein, so erh¨alt man 1 h%mik i ε0 1 1 = % − div P ε0 ε0 D = ε0 E + P =⇒ div D = % div E =

Eine entsprechende Behandlung f¨ur rot B = µ0 hj mik i +

1 ˙ E c2

f¨uhrt auf hj mik i = j + rot M + P˙ X M =h mn δ(x − xn )i n

mn =

X i(e− , Kerne)

qi (xi × mi x˙ i ) = 2mi

X i(e− , Kerne)

qi Li 2mi

Hier ist mn das magnetische Dipolmoment des Molek¨uls n. (Zu Details vgl. [1], Abschnitt 6.7). Daraus folgen dann die makroskopischen Maxwell-Gleichungen Gleichung (1.19).

1.7 Ebene Wellen

1.7

15

Ebene Wellen

Im Vakuum (% = j = 0) gilt: E = B = 0

;

div E = div B = 0

Ansatz zur L¨osung: E = Ek k exp(ikx − iωt) 1 ∂2 E = Ek k 2 2 − ∆ exp(ikx − iωt) c ∂t Darin sind Ek ∈ C k

die Amplitude und der Polarisationsvektor. =⇒ E = Ek k (−

ω2 ! + k2 ) exp(ikx − iωt) = 0 c2

Das ist eine L¨osung von E = 0 falls ω = c|k|. Hierbei ist ωk := c|k| die Frequenz eines Photons3 mit Impuls ~k. Die Energie des Photons ist gegeben durch die Plancksche Formel E = ~ωk . Der Polarisationsvektor k wird festgelegt durch die Bedingung div E = ∂i Ei = 0: div E = Ek (k )i iki exp(ikx − iωk t) = iEk (k k) exp(ikx − iωk t) !

=0 =⇒ k muss senkrecht auf dem Wellenvektor k stehen! Im R3 gibt es zwei linear unabh¨angige Vektoren senkrecht zu k =⇒ es gibt zwei unabh¨angige (σ) Polarisationsrichtungen. Die genauen Richtungen der k sind willk¨urlich. Eine M¨oglichkeit ist       cos ϕ sin ϑ cos ϕ cos ϑ − sin ϕ k (1) (2) (1) k = k  sin ϕ sin ϑ  ; k =  sin ϕ cos ϑ  ; k = × k =  cos ϕ  k cos ϑ − sin ϑ 0 (1)

(2)

Die reellen Vektoren k und k entsprechen linear polarisiertem Licht. Der allgemeine Polarisationsvektor ist eine Superposition beider Vektoren: (1)

(2)

k = αk + βk

;

mit |α|2 + |β|2 = 1 ,

α, β ∈ C

Ein Beispiel ist zirkular polarisiertes Licht: 1 (1) (2) (±) k = √ (k ± ik ) 2 3

Der Begriff des Photons als elementares Quantum des Strahlungfeldes wird eigentlich erst in der Quantenelektrodynamik eingef¨uhrt. Die Eigenschaften eines Photons h¨angen aber so eng mit denen der klassischen Elektrodynamischen Felder zusammen, dass es sich lohnt, den Begriff schon hier zu verwenden

16

Maxwell-Gleichungen und Eichfelder

In der Literatur werden bez¨uglich der Bezeichnungen unterschiedliche Konventionen verwendet. Wir halten uns hier an die von [1, 10]: +“: links zirkular oder positive Helizit¨at, σ + -Licht ” −“: rechts zirkular oder negative Helizit¨at, σ − -Licht + ” σ - und σ − -Licht ist wichtig f¨ur die Auswahlregeln in der Atomphysik: σ ± : ∆m = ±1, wobei (1) (2) m die magnetische Quantenzahl der Atome ist. Allgemeine Superpositionen k = αk + βk heißen elliptisch polarisiert. In der Quantenelektrodynamik beschreibt der Polarisationsvektor gleichzeitig den Spin eines Photons. Photonen haben Gesamtspin 1. Sie haben aber nur die z-Spin-Werte sz = ±1. Das entspricht σ + - und σ − -Licht. Die Auswahlregel ∆m = ±1 folgt dann aus der Erhaltung des Gesamtspins (Atom + Photon). Der Wert sz = 0 ist wegen der verschwindenden Ruhemasse nicht realisiert (vgl. [8], Abschnitt 14.5). Im Allgemeinen geh¨ort zu einem zeitabh¨angigen E˙ Feld auch ein zeitabh¨angiges B-Feld. Dieses kann man aus der Maxwell-Gleichung rot E = −B herleiten: ˙ = −rot {Ek k e(ikx−iωk t) + c.c.} B = −ijk ∂j (k )l Ek e(ikx−iωk t) + c.c. = −ijk (k )l Ek lkj e(ikx−iωk t) + c.c. = −iEk (k × k )i e(ikx−iωk t) + c.c.

Zur L¨osung dieser Differentialgleichung macht man den Ansatz Bi ∼ exp(−iωk t). Daraus ergibt sich: Ek (k × k )e(ikx−iωk t) + c.c. ωk 1 = (k × E) ωk

B=

Die allgemeine L¨osung im freien Raum ist eine Superposition ebener Wellen: Z X (σ) (σ) E(x, t) = d3 k Ek k exp(ikx − iωt) + c.c. σ=1,2

Z B(x, t) =

X E (σ) (σ) k dk (k × k ) exp(ikx − iωt) + c.c. ωk σ=1,2 3

Besonders erw¨ahnenswert sind noch folgende Spezialf¨alle: 1. Der Polarisationsvektor setzt sich aus einem Realteil und einem Imagin¨arteil 00 zusammen: E = Ek k exp(ikx − iωk t) + c.c. = Ek (0 + i00 ) exp(ikx − iωk t) + c.c.

1.7 Ebene Wellen

17

Dabei gelte 02 + 002 = 1, E ∈ R. =⇒ E = Ek 0 2 cos(kx − iωk t) − Ek 00 2 sin(kx − iωk t) Es handelt sich also um eine laufende Welle. ¨ 2. Man betrachtet die Uberlagerung zweier sich gegenl¨aufig ausbreitender Wellen mit Ek = E−k und k = −k : E = E k + E −k = Ek k exp(ikx − iωk t) + E−k −k exp(−ikx − iωk t) + c.c. =⇒ E ∼ cos(kx)cos(ωk t) Es handelt sich also um eine stehende Welle.

18

Maxwell-Gleichungen und Eichfelder

Kapitel 2 Quantenfeldtheorie des Lichts - QED 2.1

Vielteilchentheorie in der Quantenmechanik

Nimmt man 2 freie Teilchen, so ergibt sich der gemeinsame Hamilton-Operator zu H=

p21 p2 + 2 2m 2m

(2.1)

Die zugeh¨orige 2-Teilchen-Wellenfunktion ist ψ (x1 , x2 ) = φn (x1 ) · φm (x2 )

(2.2)

In dieser Wellenfunktion sind die Teilchen unterscheidbar, der experimentelle Befund jedoch zeigt, dass identische Teilchen NICHT unterscheidbar sind. Dies ist gew¨ahrleistet, wenn ψ(x1 , x2 ) dieselben Meßergebnisse wie ψ(x2 , x1 ) liefert. Man f¨uhrt den Vertauschungsoperator Eˆ ein. ˆ Eψ(x 1 , x2 ) = ψ(x2 , x1 )

(2.3)

F¨ur den Austausch-Operator gilt Eˆ 2 = 1. Somit sind die Eigenwerte dieses Operators ±1. Als Eigenfunktionen definiert man: ˆ B (x1 , x2 ) = +ψB (x1 , x2 ) = ψB (x2 , x1 ) Eψ ˆ F (x1 , x2 ) = −ψF (x1 , x2 ) = ψF (x2 , x1 ) Eψ

(2.4) (2.5)

Aus dem experimentellen Befunden schliesst man, das alle Teilchen in der Natur Eigenfunktioˆ nen des E-Operators: • ψB ⇔ Bosonen • ψF ⇔ Fermionen Das Pauli-Verbot ist eine Konsequenz der Antisymmetrie von ψF .

20

Quantenfeldtheorie des Lichts - QED

Spin-Statistik-Theorem • Bosonen ⇔ ganzzahliger Spin • Fermionen ⇔ halbzahliger Spin Der Beweis benutzt im Wesentlichen Kausalit¨at und kann in [4] gefunden werden. Vielteilchen-Wellenfunktion ψ(x1 , . . . , xn ) soll symmetrisch oder antisymmetrisch unter dem Austausch zweier beliebiger Teilchen sein: ψ(x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , xn ) = ±ψ(x1 , . . . , xj , . . . , xi , . . . , xn )

(2.6)

Das erreicht man durch Symmetrisierung: Summiere u¨ ber alle Permutationen der Koordinaten und normiere 1 X ψB (x1 , . . . , xn ) = √ ψ xp(1) , . . . , xp(n) (2.7) N! p 1 X ψF (x1 , . . . , xn ) = √ (−1)p ψ xp(1) , . . . , xp(n) N! p

(2.8)

wobei p die Permutationen signalisiert, also (−1)p ist +1 f¨ur gerade Anzahl von Vertauschungen, −1 f¨ur ungerade Anzahl von Vertauschungen. Als Beispiel wird die Produktwellenfunktion freier Teilchen benutzt: ψ(x1 , x2 , x3 ) = ψl (x1 )ψm (x2 )ψn (x3 )

(2.9)

Also Teilchen 1 im Zustand l, Teilchen 2 im Zustand m, Teilchen 3 in n. Somit w¨aren die Teilchen unterscheidbar. F¨ur Fermionen w¨are die ununterscheidbare Wellenfunktion per Konstruktion also: 1 F ψlmn (x1 , x2 , x3 ) = √ {ψl (x1 )ψm (x2 )ψn (x3 ) − ψl (x2 )ψm (x1 )ψn (x3 ) 6 +ψl (x2 )ψm (x3 )ψn (x1 ) − ψl (x3 )ψm (x2 )ψn (x1 ) +ψl (x3 )ψm (x1 )ψn (x2 ) − ψl (x1 )ψm (x3 )ψn (x2 )} Dies w¨are f¨ur große Teilchenzahlen sehr aufw¨andig.

2.1.1

Fock-Raum und Teilchenzahldarstellung

In der Einteilchenquantenmechanik muss man nicht ψ(x), also die Ortsdarstellung f¨ur die Wellenfunktion kennen. Um den Zustand vollst¨andig festzulegen, reichen Quantenzahlen aus. Zum Beispiel sind das beim H-Atom die Quantenzahlen n,l und m. Der Zustand ist also vollst¨andig durch |n, l, mi statt durch ψnlm (x) = hx|n, l, mi bestimmt.

2.1 Vielteilchentheorie in der Quantenmechanik

21

In der Vielteilchentheorie reicht es analog v¨ollig aus zu wissen, wie viele Teilchen in welchen Zust¨anden sind: der ket |1l , 1m , 1n i wird mit dem Zustand 1 Teilchen in l, 1 Teilchen in m, und 1 F Teilchen in n, also der Wellenfunktion ψlmn (x1 , x2 , x3 ) identifiziert. Bosonisches Beispiel: B ψllm (x1 , x2 , x3 )

1 √ {ψl (x1 )ψl (x2 )ψm (x3 ) 3 +ψl (x1 )ψl (x3 )ψm (x2 ) +ψl (x2 )ψl (x3 )ψm (x1 )} ⇐⇒ |2l , 1m i =

Superposition solcher Zust¨ande sind m¨oglich und werden auch im Experiment pr¨apariert, z.B: |ψi = α |2l , 1m i + β |3l , 0m i + γ |1l , 2m i Aber auch Superpositionen von Zust¨anden mit verschiedener Teilchenzahl wie |ψi = α |1l i + β |2l i + γ |3l , 4m i . . . sind m¨oglich. Formal sind Superpositionen von Zust¨anden mit verschiedener Tielchenzahl Elemente des Fock-Raumes, der wie folgt definiert ist. • Sei H(1) der Hilbert-Raum f¨ur 1-Teilchen-Wellenfunktionen • H(2) der Hilbert-Raum f¨ur 2-Teilchen-Wellenfunktionen . . . Der Fockraum ist die direkte Summe aller N-Teilchen-Hilbertr¨aume: F := H(0) ⊕ H(1) ⊕ H(2) ⊕ · · · ⊕ H(N )

(2.10)

H(0) beschreibt das Vakuum und hat dementsprechend nur einen einzigen Zustand, der als |0i geschrieben wird. (h0|0i = 1). Man braucht den Fockraum, um Prozesse zu beschreiben, die die Teilchenzahl einer Teilchensorte nicht erhalten. Zum Beispiel kann man die Paarerzeugung von e+ und e− aus einem γ-Quant folgendermaßen darstellen 1 |1γ i ⊗ |0e+ i |0e− i −→ |0γ i ⊗ |1e+ i |1e− i Als zweites Beispiel kann man die Anregung eines Atoms vom Grundzustand |1g i in den angeregten Zustand |1e i durch ein Photon so darstellen: |1g i ⊗ |1γ i −→ |1e i ⊗ |0γ i 1

Eigentlich braucht man zur Energie und Impulserhaltung bei diesem Prozeß noch ein weiteres Teilchen, aber es geht uns hier nur um das Prinzip.

22

Quantenfeldtheorie des Lichts - QED

2.1.2 Erzeuger und Vernichter Diese erlauben eine einfache Darstellung von Vielteilchen-Wellenfunktionen. Definiere den Erzeuger eines Teilchens im Zustand (in der Mode) l durch: p (l) . . .i = n(l) + 1 |(n(l) + 1)l , n(m) (2.11) a†l |nl , n(m) m . . .i m (l)

al |nl , n(m) m . . .i =

√

n(l) |(n(l) − 1)l , n(m) m . . .i

(2.12)

wobei beide Formeln f¨ur Bosonen definiert sind. F¨ur diese Operatoren gilt folgende Vertauschungsrelation. Zur Vereinfachung der Schreibweise lassen wir die Indizes weg. † a , a |ni = a† a |ni − aa† |ni √ √ = a† n |n − 1i − a n + 1 |n + 1i = n |ni − (n + 1) |ni = (−1) |ni Daraus folgt a, a† = 1. Die Wirkung der Operatoren sowie die Vertauschungsrelation sind also dieselben wie beim harmonischen Oszillator. Allgemein gilt al , a†m = δlm (2.13) [al , am ] =

h

a†l , a†m

i

=0

(2.14)

Der physikalische Grund dieser Analogie zwischen harmonischem Oszillator und den Vielteilchenzust¨anden liegt darin, dass die Energieniveaus analog zu denen des harmonischen Oszillators gelegen sind: Die Erzeugung von n Teilchen der Energie E0 entspricht einer Energiezunahme von nE0 . Die ist analog zur n-fachen Anregung eines harmonischen Oszillators, bei der ebenfalls die Energie nE0 (f¨ur E0 = ~ω) ben¨otigt wird. Offensichtlich gilt f¨ur Bosonen: a†l H(N ) −→ H(N +1) al H(N ) −→ H(N −1) al |0i = 0 = Zahl! Dabei sind die beiden oberen Gleichungen Abbildungen vom Fockraum in den Fockraum, die untere Abbildung ist die Definitionsgleichung f¨ur die Vernichtung des Vakuums. F¨ur Fermionen muss nat¨urlich wegen des Pauli-Verbots (a†l )2 = 0 gelten. Diese Forderung l¨asst sich durch die Relationen {a†l , a†m } = {al , am } = 0

{al , a†m } = δlm

erf¨ullen, wobei {A, B} = AB + BA den Antikommutator bezeichnet.

(2.15)

2.1 Vielteilchentheorie in der Quantenmechanik

23

2.1.3 Der Feldoperator Wie berechnet man nun Erwartungswerte mit Hilfe von Erzeugern und Vernichtern? Wir betrachˆ x, pˆ). Nun gilt in der Ein-Teilchen-Theorie ten einen 1-Teilchen-Operator O(ˆ Z 3 ˆ ˆ hOi = ψ ∗ (ˆ x)Oψ(x)d x ˆ offensichtlich zu: F¨ur N Teilchen ergibt sich dann der Erwartungswert von O ˆ = hOi

N X

ˆ hOi Einteilchen

i=1

Die legt nahe, den Erwartungswert eines Ein-Teilchen-Operators wie folgt zu definieren: ˆ N i := hO =

N X

ˆ xi , pˆi ) i h O(ˆ

i=1 N Z X

∗ ˆ N ψ(x1 , . . . xn ) d3 x1 . . . d3 xn ψN (x1 , . . . xN )O

(2.16)

i=1

Betrachten wir z.B. die Energie, mit der Eigenwertgleichung H(ˆ x, pˆ)ψa (x) = Ea ψa (x)

(2.17)

Bei einem n-Teilchenzustand |na , . . . , na0 , . . . , na00 i ist die Energie offensichtlich E = Ea na + . . . + Ea na0 + . . . Z Z 3 ∗ = d x ψa (x)H(ˆ x, pˆ)ψa (x)na + d3x ψa∗0 (x)H(ˆ x, pˆ)ψa0 (x)na0 + . . . Die Teilchenzahlen kann man mit Hilfe der Erzeuger/Vernichter berechnen: F¨uhre folgenden Operator ein: ˆa = a†a aa N

(2.18)

(2.19)

Das ist der Anzahloperator f¨ur ein Teilchen im Zustand a. Die Deutung als Anzahloperator wird so motiviert: ˆa | . . . , na , . . .i = h. . . , na , . . . |a† aa | . . . , na , . . .i h. . . , na , . . . |N (2.20) a √ = h. . . , na , . . . |a†a na | . . . , (na − 1)a , . . .i p √ = h. . . , na , . . . | (na − 1) + 1 na | . . . , na , . . .i = na h. . . | . . .i = na Also gilt f¨ur E: Z E= Z + + ... Wichtig:

d3x ψa∗ (x)H(ˆ x, pˆ)ψa (x) h. . . , na , . . . , na0 |a†a aa | . . . , na , . . . , na0 i d3x ψa∗0 (x)H(ˆ x, pˆ)ψa0 (x) h. . . , na , . . . , na0 |a†a0 aa0 | . . . , na , . . . , na0 i

(2.21)

24

Quantenfeldtheorie des Lichts - QED In diesem Ausdruck wirken die Operatoren aa , a†a nur auf die Teilchenzahlzust¨ande, nicht auf ψa (x). Umgekehrt wirkt H(ˆ x, pˆ) nur auf ψa (x), nicht auf |. . . , na , . . .i. Die Teilchenzahlzust¨ande sind eine Art Buchhaltungstrick, um die Kombinatorik zu vereinfachen.

Wir k¨onnen also den Ausdruck f¨ur E umschreiben in: Z E = h. . . , na , na0 , . . . | d3x ψa∗ (x)H(ˆ x, yˆ)ψa (x)a†a aa | . . . , na , na0 , . . .i + . . . F¨uhre den Feldoperator Ψ(x) :=

P

a

(2.22)

aa ψa (x) ein: Z

E = h. . . , na , n , . . . | a0

d3x Ψ† (x)H(ˆ x, yˆ)Ψ(x)| . . . , na , na0 , . . .i

(2.23)

Beweis der Wirkung des Feldoperators: Z h. . . |

Z

d3x

X

d3x ψa∗ Hψb h. . . |a†a ab | . . .i = | R {z }

X

3

†

d x Ψ HΨ| . . .i = h. . . |

ψa∗ (x)a†a H

a

=

XZ a,b

=Eb

X

ψb (x)ab | . . .i

(2.24)

b

Ea h. . . |a†a aa | . . .i =

a

X

Ea na = E

a

ψa∗ ψb =Eb δab

Allgemein kann man jeden Erwartungswert in einem Fock-Zustand |ψi von einem Einteilchenˆ x, pˆ) herleiten gem¨aß: operator O(ˆ Z ˆ ˆ x, pˆ)Ψ(x)|ψi hO(ˆ x, pˆ)i = hψ| d3x Ψ† (x)O(ˆ (2.25) Dies gilt f¨ur beliebige Elemente des Fock-Raumes, z.B. |ψi = |1a i + |2a0 i → hψ|Ψ† Ψ|ψi = h1a |Ψ† Ψ|1a i + h2a0 |Ψ† Ψ|2a0 i

(2.26)

Bemerkungen zum Feldoperator: • Ψ(x) ist in gewisser Weise sowohl ein Operator als auch ein Zustand: X Ψ(x) = aa ψa (x)

(2.27)

a

aa : Operator im Fock-Raum ψa (x): Einteilchenzustand Man k¨onnte ψa (x) als hx|ψa iEinteilchen deuten: X → Ψ(x) = hx| aa |ψa i

Eint.

= hx|ΨiEint.

(2.28)

2.1 Vielteilchentheorie in der Quantenmechanik

25

• Interpretation von Ψ(x): Was ist der Zustand Ψ† (x) |0i? Wie wir im Folgenden sehen werden, ist er ein spezieller Einteilchenzustand im Ein-Teilchen Hilbert-Raum H(1) . Betrachte dazu einen vollst¨andig lokalisierten Zustand im H(1) : φx0 (x) = δ(x − x0 ) =

X

cn φn (x),

{φn }= Basis des H(1)

n

Z

Z

dx = d3x φ∗n (x)δ(x − x0 ) = φ∗n (x0 ) X → φx0 (x) = φ∗n (x0 )φn (x) (Vollst¨andigkeitsrelation) φ∗n (x)φx0 (x)

3

cn =

(2.29)

n

Die Fock-Raum-Darstellung dieses Zustandes lautet X

φ∗n (x0 ) |1n i =

n

X

φ∗n (x0 )a†n |0i = Ψ† (x0 ) |0n i

(2.30)

n

Also: Ψ† (x0 ) erzeugt ein Teilchen am Ort x0 . Ψ(x0 ) vernichtet ein Teilchen am Ort x0 . • Kommutatorrelationen f¨ur Bosonen: " # X X X Ψ(x), Ψ† (x) = al ψl (x), a†n ψn∗ (y) = ψl (x)ψn∗ (y) [al , a†m ] | {z } =

l

n

X

ψn (x)ψn∗ (y)

l,n

= δ(x − y)

(f¨ur Bosonen)

δln

(2.31)

n

Ψ(x), Ψ† (y) = δ(x − y) † Ψ (x), Ψ† (y) = [Ψ(x), Ψ(y)] = 0

(2.32) (2.33)

F¨ur Fermionen gilt analog: {al , a†m } = δlm = al a†m + am a†l → Ψ(x), Ψ† (y) = δ(x − y) † Ψ (x), Ψ† (y) = {Ψ(x), Ψ(y)} = 0

2.1.4

(2.34) (2.35)

Zweite Quantisierung

Die Konstruktion der Feldoperatoren wie oben ist mathematisch a¨ quivalent zur nochmaligen Quantisierung der Schr¨odinger-Wellenfunktion.

26

Quantenfeldtheorie des Lichts - QED

Kanonische Quantisierung eines klassischen Teilchens: Mit der Lagrange-Funktion L(x, x) ˙ l¨aßt sich der kanonisch konjugierte Impuls definieren: p=

∂L ∂ x˙

(2.36)

Quantisiert wird, indem x und p zu Operatoren xˆ und pˆ gemacht werden und man folgende Kommutatorrelation fordert: [ˆ x, pˆ] = i~ (2.37) Genauso kann man bei einem Feld vorgehen: F¨ur ein Schr¨odinger-Teilchen entspricht der Lagrange-Funktion die Lagrange-Dichte 2 2 ˙ ψ˙ ∗ ) = i~(ψ ∗ ψ˙ − ψ˙ ∗ ψ) − ~ ∇ψ ∗ ∇ψ − ψ ∗ V ψ L(ψ, ψ ∗ , ψ, 2m

(2.38)

Die Feldgleichung f¨uhrt auf die komplex konjugierte Schr¨odinger-Gleichung: ∂L ∂L ∂L = −∂i + ˙ ∂(∂i ψ) ∂ψ ∂ψ ~2 ∗ → ∂t i~ψ ∗ = ∂i2 ψ − V ψ∗ 2m

∂t

(2.39) (2.40)

Man definiert die kanonisch konjugierte Impulsdichte π(x) =

∂L = i~ψ ∗ (x) ˙ ∂ ψ(x)

(2.41)

und quantisiert nach dem folgenden Schema: ψ(x), π(x) → Ψ(x), Π(x) [Ψ(x), Π(y)] = i~δ(x − y) → Ψ(x), Ψ† (y) = δ(x − y)

(2.42)

Man erh¨alt also dieselben Kommutatorrelationen wie bei der Konstruktion des Feldoperators mit Hilfe von Erzeugern und Vernichtern. Die Methode der zweiten Quantisierung wird am h¨aufigsten angewendet bei der Erstellung einer Vielteilchentheorie f¨ur Felder. Sie hat allerdings den Nachteil, dass die explizite Konstruktion des Fock-Raums und die Bedeutung der Feldoperatoren nicht so offensichtlich sind wie bei der vorher beschriebenen Methode.

2.1.5

Zusammenfassung der Konstruktion einer Vielteilchentheorie

“Kochrezept” zur Konstruktion einer Vielteilchentheorie am Beispiel des Schr¨odingerfeldes: 2

Es gibt auch andere Formen f¨ur die Lagrange-Dichte eines Schr¨odingerTeilchens. Die hier verwendete ist f¨ur unsere Zwecke geeignet.

2.1 Vielteilchentheorie in der Quantenmechanik

27

(i) W¨ahle station¨are L¨osungen ϕn (x) einer Einteilchentheorie mit hϕn |ϕm i = δnm . Das Skalarprodukt soll zeitunabh¨angig sein, da sonst die Bedeutung der Moden und damit der Vernichter und des Feldoperators zeitabh¨angig w¨are. Die Interpretation der Operatoren im Schr¨odinger-Bild w¨are dann schwieriger.

Z

i~∂t ψ = Hψ, hψ|ψ i = d3x ψ ∗ ψ 0 Z Z i 0 ∗ 0 ∗ ˙0 3 ∗ 0 ∗ −i 0 ˙ ∂t hψ|ψ i = ψ ψ +ψ ψ dx = (Hψ )ψ + ψ Hψ ) d3x ~ ~ Z i = {ψ ∗ (Hψ 0 ) − ψ ∗ (Hψ 0 )} = 0 (2.43) ~ 0

Dabei wurden die hermitesch konjugierte Schr¨odingergleichung und die Hermitezit¨at von H bez¨uglich des Skalarproduktes benutzt. (ii) Ersetze die allgemeine L¨osung ψ(x) =

X

cn ϕn (x)

(2.44)

n

der Einteilchen-Bewegungsgleichungen durch den Feldoperator Ψ(x) =

X

mit an , a†m = δnm

an ϕn (x)

(2.45)

n

(bzw. {an , a†m } = δnm f¨ur Fermionen). Ψ† (x) erzeugt ein Teilchen am Ort x.

2.1.6 Quantisierung in Coulomb-Eichung Die Lagrange-Dichte L f¨ur das elektromagnetische Feld lautet ˙ 2 − c2 (rot A)2 L ∝ E 2 − c2 B 2 = (−∇φ − A)

(2.46)

L enth¨alt keine Ableitungen der Felder E und B und f¨uhrt deshalb nur zu den MaxwellGleichungen, wenn man es als Funktion der Potentiale betrachtet. Die Feldgleichungen in CoulombEichung (div A = 0) lauten A = µ0 j −

1 ˙ ∇φ, c2

∆φ = −

% 0

Die Gleichung f¨ur φ ist nicht dynamisch!

(2.47)

28

Quantenfeldtheorie des Lichts - QED Die entsprechenden Gleichungen im Vakuum lauten: A = −

Randbedingungen: L¨osung:

r→∞

φ −→ 0

=⇒

1 ˙ ∇φ, c2

φ=0

∆φ = 0

=⇒

(2.48)

A = 0

A(x, t) = A(+) (x, t) + A(−) (x, t) M odenf unktion Z z }| { X = d3 k Akσ εσk Nσk exp (−iωk t) exp (ikx) + σ=1,2

|

{z A (x, t)

}

(+)

(2.49) c.c. |{z} A(−) (x, t)

(2.50)

dabei sind: • Akσ die Entwicklungskoeffizienten • εσk der Polarisationsvektor • Nσk ein Normierungskoeffizient • A(+) (x, t) der sog. positive Frequenzanteil“ ”

(∝ exp (−iωk t))

Wir wissen, daß eikx eine vollst¨andige Basis ist (wegen der Fouriertransformation). Da eikx schon in A(+) (x, t) alleine vorkommt, reicht es, nur A(+) (x, t) zu betrachten. Da außerdem b nur ein hermitescher Operator sein, aber A(x, t) reell ist, kann der entsprechende Operator A † b nicht [a, a ] = 1 bedeutet, daß a nicht hermitesch sein kann. Deshalb kann der volle Operator A (+) alleine aus Vernichtern aufgebaut werden. Auch das ist ein Grund, A (x, t) statt A(x, t) zu quantisieren. Seien nun A(+) (x, t), A0 (+) (x, t) L¨osungen von A = 0. Ein erhaltendes Skalarprodukt ist dann gegeben durch D

A

(+)

Z E 0 0(+) ˙ (+)∗ A0 (+) − A(+)∗ A˙ 0 (+) } (x, t) A (x, t) = −i d3 x { A | {z } | {z } } (−) ˙ A(−) A

¨ Der Vorfaktor stammt aus dimensionalen Uberlegungen: [A] =

Js Cm

=⇒

[hA |A0 i] = 1

2.1 Vielteilchentheorie in der Quantenmechanik

29

Behauptung: Z

0 ∂t hA|Ai = −i }

n ∗ o ∗ ˙0 ∗ ˙0 ! ∗ ¨0 0 ¨ ˙ ˙ d x A A +A A −A A −A A =0 3

1 ¨ verwende hierzu A − ∆A = 0 c2 Z 0 =⇒ ∂t hA|Ai = −i c2 d3 x {(∆A∗ ) A0 − A∗ (∆A0 )} } Z 0 2 = −i c d3 x {A∗ (∆A0 ) − (∆A∗ ) A0 } } =0 Z Z Z 0 ∗ ∗ 0 wobei benutzt wurde, dass ∇i ∇i Aj A j = − ∇i Aj ∇i A j = A∗j ∇i ∇i A0 j Normierung der ebenen Wellen Nkσ εkσ exp (ikx − iωk t) = ϕkσ (x, t) !

hϕkσ |ϕk0 σ0 i = δσσ0 δ(k − k0 ) Z 0 d3 xNkσ Nk0 σ0 ε∗kσ εk0 σ0 = −i } −ikx iω t 0 e e k (iωk ) eik x e−iωk0 t 0

−e−ikx eiωk t (−iωk0 ) eik x e−iωk0 t Z mit

0

d3 x ei(k−k )x = (2π)3 δ(k − k0 ) folgt: 0 (2π)3 ε∗kσ εkσ0 δ(k − k0 ) Nkσ Nkσ0 2ωk | {z } } δσ,σ0 0 2 = (2π)3 2ωk Nkσ δσ,σ0 δ(k − k0 ) } ! = δσ,σ0 δ(k − k0 )

hϕkσ |ϕk0 σ0 i =

s =⇒

Nkσ =

} 2(2π)3 0 ωk

f¨ur t = 0 folgt 3 also f¨ur A(x): Z A(x) =

s d3 k

X σ

3

Akσ

} εkσ exp (ikx) + c.c. 2(2π)3 0 ωk

(2.51)

Wir setzen hier t = 0 um den zeitunabh¨angigen Operator f¨ur das Vektorpotential (in Coulomb-Eichung) im Schr¨odinger-Bild herzuleiten. Man kann auch t 6= 0 betrachten und erh¨alt einen zeitabh¨angigen Operator, der das Vektorpotential im Wechselwirkungs-Bild beschreibt.

30

Quantenfeldtheorie des Lichts - QED Quantisierung: Ersetze die Amplitude Akσ durch Vernichter akσ mit h

akσ , a†k0 σ0

i

= δσ,σ0 δ(k − k0 )

a†kσ erzeugt ein Photon ( = Lichtquant ) mit Impuls }k und Polarisationsvektor εkσ . Im Gegensatz zur klassischen Maxwell-Theorie sind in der QED Intensit¨at und Energie eines Lichtstrahls gequantelt. Photonen sind Bosonen und haben Spin 1, jedoch nur zwei m¨ogliche Werte f¨ur die magnetische Quantenzahl m = +1, −1. Diese Werte entsprechen den links - bzw. rechtszirkular polarisierten ebenen Wellen: die Polarisation ist also spinfreiheitsgradabh¨angig. m = 0 ( ⇒ longitudinal polarisierte Photonen ⇔ εkσ k k ) ist verboten, wegen des Verschwindens der Masse der Photonen. Mehr dazu in Abschnitt 14.5 von Ref. [8]. Den elektrischen und magnetischen Feldoperator kann man leicht aus dem Vektorpotential herleiten:

b E(x)

t=0

˙ b = − A(x)

Z =i

s d3 k

X

t=0

σ

Z b b B(x) = rotA(x) =i

akσ

}ωk εkσ eikx + H.c. 3 2(2π) 0

(2.52)

s d3 k

X σ

akσ

} (k × εkσ )eikx + H.c. 2(2π)3 0 ωk

(2.53)

Der Hamiltonian kann aus der klassischen Energiedichte gewonnen werden:

Z 2 0 b (x) + c2 B b 2 (x) = . . . b = H d3 x E 2 Z o X }ωk n † = d3 k akσ akσ + akσ a†kσ 2 σ Z X 1 † 3 = dk }ωk akσ akσ + 2 σ

(2.54)

(⇔ Summe harmonischen Oszillatoren) Die Bewegungsgleichung der Operatoren im Heisenberg-Bild lautet allgemein: h i b b b = O(t), i}∂t O(t) H

(2.55)

2.1 Vielteilchentheorie in der Quantenmechanik

31

hieraus folgt " i}E˙ i (x, t) =

Z Ei (x, t),

d3 k

Z

s

X σ

}ωk0 2(2π)3 0

X

d3 k 0

= i

# 1 }ωk a†kσ akσ + 2

σ0

" 0

0

ak0 σ0 eik x (εεk0 σ0 )i − a†k0 σ0 e−ik x (ε ε∗k0 σ0 )i ,

Z

d3 k

X

}ωk a†kσ akσ +

σ

Z = i

XZ

d3 k 0

1 2

#

s X

d3 k

0

σ

}ωk0 }ωk 2(2π)3 0

n 0 σ o 0 eik x (εεk0 σ0 )i δ(k − k0 )δσσ0 akσ − e−ik x (εε∗kσ0 )i a†k0 σ0 (−δσσ0 δ(k − k0 )) s

Z

˙ = =⇒ E

d3 k

X

} † −ikx ∗ ikx a e ε + a e ε kσ kσ kσ kσ 2(2π)3 0 ωk

ωk2

σ

(2.56)

Berechne nun (rot B)i : Z

d3 k

(rot B)i = i

X σ

∂ εijl akσ (k × εkσ )l eikx ∂xj

Z −i

d3 k

X

εijl

σ

Z rot B = −

s ~ 2(2π)3 ε0 ωk s

∂ † a (k × ε∗kσ )l e−ikx ∂xj kσ

~ 2(2π)3 ε0 ωk

s d3 k

X σ

~ † −ikx ikx ∗ k × (k × ε )a e + k × (k × ε )a e kσ kσ kσ kσ 2(2π)3 ε0 ωk (2.57)

Mit k · εkσ = 0 erh¨alt man außerdem: k × (k × εkσ ) = k(k · εkσ ) − εkσ k2 = −εεkσ k2

(2.58)

Woraus dann folgt: Z rot B =

s d3 k

X σ

~ k 2 {akσ eikx εkσ + a†kσ e−ikx ε∗kσ } 3 2(2π) ε0 ωk

(2.59)

1 ˙ ˙ E = µ0 ε 0 E (2.60) c2 Dies ist eine der inhomogenen Maxwell-Gleichungen f¨ur j = 0 (andernfalls gilt ja rot B = 1 ˙ ˙ E = µ0 {j + ε0 E}). Analog findet man c2 ⇒ rot B =

˙ = [B, H] = . . . i~B

32

Quantenfeldtheorie des Lichts - QED

˙ = −rot E ⇒B

(2.61)

Außerdem gilt wegen k · εkσ = k · (k × εkσ ) = 0 div B = 0

(2.62)

und div E = 0

% = ε0

(2.63)

⇒ Die Feldoperatoren erf¨ullen die Maxwell-Gleichungen im Vakuum Die Bewegungsgleichungen lassen sich leicht l¨osen, wenn man die einzelnen Moden betrachtet: i~a˙ kσ = [akσ , H]   Z X 1  0 0 = akσ , d3 k ~ωk a†k0 σ0 ak0 σ0 + 2 σ0 Z X 0 0 = d3 k ~ωk0 δσσ0 δ(k − k )ak0 σ0 σ0

= ~ωk akσ

(2.64)

Die L¨osung dieser Differentialgleichung lautet akσ = e−iωk t akσ (0) akσ (0) ist dabei der Schr¨odinger-Operator f¨ur die entsprechende Mode. Die L¨osung hat dieselbe Struktur wie die entsprechende klassische Welle. Bemerkungen zum Faktor 21 im Hamiltonian: Dieser Term ist eine Konstante und hat daher keinen Einfluß auf die Dynamik. Er repr¨asentiert die Vakuumenergie und ist divergent. Er h¨angt jedoch von den Randbedingungen an die Moden ab. Beispiel: Zwei Spiegel im Abstand L (siehe Abbildung 2.1). Die Spiegel implizieren Randbedingungen f¨ur das Maxwell-Feld. Die Folge davon ist, dass nur diskrete Wellenzahlen mit kn = 2π n, L n ∈ N statt |k| ∈ R zugelassen sind. Entsprechend wird im Hamiltonian nur u¨ ber die diskreten Wellenvektoren summiert, so dass sich die Vakuumenergie a¨ ndert. Subtrahiert man die freie Vakuumenergie von der zwischen den beiden Spiegeln, so erh¨alt man eine endliche Energie-Differenz, die vom Abstand L abh¨angt. Dies f¨uhrt zu einer anziehenden Kraft (Casimir-Kraft) zwischen den Spiegeln. Casimir-Kr¨afte werden ausf¨uhrlich in Ref. [7] behandelt.

2.2 Koh¨arente Zust¨ande

33

Abbildung 2.1: Skizze zu Casimir-Effekt

2.2

Koh¨arente Zust¨ande

Koh¨arente Zust¨ande sind die bei weitem wichtigsten in der Quantenoptik. Sie bilden eine quantenmechanische Beschreibung Felder. klassischer † Betrachte eine Mode a, a, a = 1 des elektromagnetischen Feldes. Verschiedene Definitionen des koh¨aherenten Zustands |αi: • Eigenzustand von a: a |αi = α |αi, α ∈ C ¨ • Zustand minimaler Unsch¨arfe (siehe Ubungen) • “Verschiebung des Vakuums” Was ist a |αi? Entwickle |αi nach Fock-Zust¨anden: ∞ X

∞ X n α √ n a† |0i |αi = αn |ni = n! n=0 n=0

34

Quantenfeldtheorie des Lichts - QED

⇒ a |αi =

∞ X

αn a |ni =

n=0

∞ X

√ αn n |n − 1i

n=1

0

Mit n = n − 1 ergibt sich damit: a |αi =

∞ X

αn0 +1

√

n0

0

!

+ 1 |n i = α |αi = α

∞ X

αn0 |n0 i

n0 =0

n0 =0

n Daraus folgt die Relation αn+1 = α √αn+1 , wobei α0 noch durch die Normierung festgelegt wird. Aus

α1 = αα0 α2 α2 = √ α0 2! α3 α3 = √ α0 usw. 3! folgt

αn αn = √ α0 n!

(2.65)

Damit ergibt sich nun: ∞ ∞ X X αn α n † n √ |ni = α0 |αi = α0 a |0i = α0 exp αa† |0i n! n! n=0 n=0

Unter Verwendung von hn|mi = δnm und Gleichung (2.65) erh¨alt man dann ∞ ∞ ∞ X X X (α∗ )n αm |α|2n ! 2 √ hn| √ |mi = |α0 | hα|αi = 1 = |α0 | = |α0 |2 exp |α|2 = 1 n! n! m! n=0 m=0 n=0 2

woraus sich dann

|α|2 α0 = exp − 2

(2.66)

ergibt. Insgesamt k¨onnen wir nun |αi darstellen als |αi = exp

−|α|2 2

X ∞ n=0

|α|2 αn √ |ni = exp − exp(αa† ) |0i 2 n!

(2.67)

|αi kann auch mit dem Verschiebe-Operator D(α) = exp (αa† − α∗ a)

(2.68)

konstruiert werden. Die Baker-Campbell-Hausdorf-Gleichung lautet: 1

1

e(A+B) = eA eB e− 2 [A,B] e− 6 [A,[A,B]] . . .

(2.69)

2.2 Koh¨arente Zust¨ande

35

Mit A = αa† und B = −α∗ a folgt nun |α|2 1 1 − [A, B] = − (−|α|2 )[a† , a] = − ∈R 2 2 2 ⇒ [A, [A, B]] = 0 Damit ergibt sich mit Gleichung (2.69) folgende Darstellung des Verschiebe-Operators: †

∗

D(α) = eαa e−α a e−

|α|2 2

(2.70)

Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften des Verschiebe-Operators: • D(α) ist unit¨ar: D† (α) = eα

∗ a−αa†

= e−(αa

† −α∗ a)

= D−1 (α) = D(−α)

• Es gilt die Beziehung |αi = D(α) |0i

(2.71)

Aus Gleichung (2.71) wird ersichtlich, dass man das Vakuum als speziellen koh¨arenten Zustand mit α = 0 auffassen kann. ¨ In den Ubungen wurde gezeigt, dass 4 E ∼ a + a† B ∼ i(a† − a)

(2.72) (2.73)

E¯ = hα| E |αi = hα| a + a† |αi = α + α∗ = 2Re α ¯ = hα| B |αi = hα| i(a† − a) |αi = i(α∗ − α) = 2Im α B

(2.74) (2.75)

Damit ergibt sich:

(∆E)2 = = = =

hE 2 i − E¯ 2 hα| a2 + aa† + a† a + (a† )2 |αi − (α − α∗ )2 α2 + (α∗ )2 + α∗ α + hα| aa† |αi − (α − α∗ )2 α2 + (α∗ )2 + α∗ α + hα| a† a + a, a† |αi − (α − α∗ )2

= α2 + (α∗ )2 + α∗ α + hα| a† a + 1 |αi − (α − α∗ )2 = α2 + (α∗ )2 + 2αα∗ + 1 − α2 − (α∗ )2 − 2αα∗ = 1 4

(2.76)

Genaugenommen kommt es dabei auf die Wahl der Polarisation und der Phase an. F¨ur eine einzelne Mode ˙ ∝ iωa exp(ikx)ε gilt A ∝ a exp(ikx)ε ε + a† exp(−ikx)ε ε∗ und somit E = −A ε + (−iω)a† exp(−ikx)ε ε∗ sowie † ∗ B = rot A ∝ ia exp(ikx)k × ε + (−i)a exp(−ikx)k × ε . W¨ahlt man nun z.B. zirkular polarisiertes Licht (ε ε ∝ ex + iey ) und den Ort x = 0, so ergeben sich nachfolgenden Beziehungen f¨ur die y-Komponenten der Felder.

36

Quantenfeldtheorie des Lichts - QED

⇒ ∆E ist unabh¨angig von α. Analoge Rechnung f¨ur ∆B: (∆B)2 = · · · = 1

(2.77)

⇒ ∆E∆B = 1

(2.78)

Die allgemeine Heisenberg’sche Unsch¨arferelation f¨ur zwei (beliebige) hermitesche Operatoren lautet ∆E∆B ≥ |h[E, B]i|/2. Hieraus kann man ersehen, dass koh¨arente Zust¨ande minimale Unsch¨arfe haben. ⇒ Man kann koh¨arente Zust¨ande durch eine Amplitude α ∈ C und eine Unsch¨arfe 1 charakterisieren. Graphisch:

Abbildung 2.2: Veranschaulichung eines koh¨arenten Zustandes durch eine komplexe Amplitude mit Unsch¨arfe 1 (kleiner Kreis). Der gestrichelte Kreis beschreibt die (freie) Zeitentwicklung der Amplitude.

Freie Zeitentwicklung koh¨arenter Zust¨ande: †

†

|α(t)i = U (t) |α(0)i ∝ U eαa |0i = U eαa U † U |0i †

U |0i = |0i ⇒ |α(t)i = U eαa U † |0i A2 + . . . )U † 2 1 = U U † + U AU † + U A(U † U )AU † + . . . 2 1 = 1 + U AU † + (U AU † )2 + . . . 2 + = exp(U AU )

U eA U † = U (1 + A +

(2.79)

2.3 Klassische und quantenmechanische Interferenz

†

⇒ U eαa U † = eαU a

†U †

37

= exp(αe−iωt a† )

⇒ |α(t)i = |αe−iωt i

(2.80) (2.81)

Koh¨arente Zust¨ande bleiben also koh¨arent, ihre Zeitentwicklung beschreibt einen Kreis um den Ursprung der komplexen Ebene. • Koh¨arente Zust¨ande sind nicht diagonal: hα|βi = e

−|α|2 2

e

−|β|2 2

eα

∗β

(2.82)

¨ Herleitung: Uber Entwicklung nach Fock-Zust¨anden oder u¨ ber Verschiebeoperator und Baker-Hausdorfformel (Gleichung (2.69) auf Seite 34). • Koh¨arente Zust¨ande sind u¨ bervollst¨andig: Z d2 α |αi hα| = π1

(2.83)

Beweis: Entwicklung nach Fock-Zust¨anden, Integration u¨ ber Winkel.

2.3 Klassische und quantenmechanische Interferenz Der Unterschied zwischen klassischer und quantenmechanischer Interferenz ist auf den ersten Blick subtil, l¨aßt sich aber mit koh¨arenten Zust¨anden gut verstehen. Sei also |ψi = |αi = D(α) |0i; D† (α) = D−1 (α) D(α) kann verwendet werden, um zu einem unit¨ar a¨ quivalenten Bild“ u¨ berzugehen, bei ˜ = D−1 (α) |ψi durch das Vakuum gegeben ist. ” dem der Zustand |ψi Operatoren-Trafo: ˆ˜ = D† (α)OD(α) ˆ O ˆ˜ ψi ˜ O| ˜ = hψ|O|ψi) ˆ (⇐⇒ hψ| ˜ E(x) = D† (α)E(x)D(α) s X = (akσ . . . eikx + H.c.) + i a

Zkσ =

6=a

dk

X σ

~ωa a eikx D† (α)aD(α) + H.c. 2(2π)3 0

√ akσ . . . + H.c. + i . . .a eikx D† aD + H.c.

(2.84)

38

Quantenfeldtheorie des Lichts - QED

Was ist D† (α)aD(α)? Benutze das Theorem: eA Be−A =

∞ X 1 kn n! n=0

k0 = B;

kn+1 = [A, kn ]

(2.85)

=⇒ A = α∗ a − αa† ; B = a =⇒ k0 = a; k1 = α∗ a − αa† , a = α =⇒ k2 = k3 = . . . = 0 =⇒

D† (α)aD(α) = a + α

√ √ ˜ E(x) = E Alle anderen Moden + (i . . .a eikx a − i . . .∗a e−ikx a† ) √ √ +(iα . . .a eikx − i . . .∗a α∗ e−ikx ) ˜ =⇒ E(x) = E(x) + E klassisch (x) a

(2.86)

Der Zustand |αi in Abwesenheit a¨ ußerer Felder ist unit¨ar a¨ quivalent zum Vakuum mit dem a¨ ußeren Feld E klass. (x) (und B klass. (x)). a a Damit l¨aßt sich der Unterschied zwischen der Interferenz von Photonen und klassischer MaxwellFelder verstehen: • Klassische Interferenz: z.B. E i ∝ eiki x

E = E 1 + E 2,

I ∝ EE ∗ = |E 1 |2 + |E 2 |2 + 2Re(E 1 E ∗2 ) 2Re(E 1 E ∗2 ) ∝ cos(x(k1 − k2 )) • Quantenmechanische Beschreibung klassischer Interferenz: |ψi = |α1 , α2 i = D1 (α1 )D2 (α2 ) |0i †

∗

D1 (α1 ) = eα1 a1 −α1 a1 D2 (a2 ) analog Das Produkt D1 D2 erzeugt die Summe klassischer Felder: ˆ 1 D2 = D† (E ˆ + E 1 )D2 = E ˆ + E1 + E2 D2† D1† ED 2

2.4 Bemerkungen zum Problem der Quantisierung in anderen Eichungen

39

Transformiere mittels D2† D1† von |ψi auf den Vakuumzustand: I ∝ hψ|E (−) E (+) |ψi

ˆ (−) + E ∗ + E ∗ )(E ˆ (+) + E 1 + E 2 )|0i = h0|(E 1 2 = |E 1 + E 2 |2 ⇐⇒ klassisches Interferenzbild

Im Gegensatz zu klassischen Feldern kann man in der Quantenmechanik auch koh¨arente Zust¨ande u¨ berlagern: |ψi = |α1 i + |α2 i = (D1 (α1 ) + D2 (α2 )) |0i Interferenzmuster dieses Zustandes: ˆ I ∝ hψ|E = = = =

(−)

ˆ (+) |ψi E

ˆ (−) E ˆ (+) (D1 + D2 )|0i h0|(D1† + D2† )E h0|(D1† E (−) E (+) D1 + D1† E (−) E (+) D2 + D2† E (−) E (+) D1 + D2† E (−) E (+) D2 )|0i |E 1 |2 + |E 2 |2 + h0|(D1† E (−) E (+) D2 + D2† E (−) E (+) D1 )|0i |E 1 |2 + |E 2 |2 + hα1 |E (−) E (+) |α2 i + hα2 |E (−) E (+) |α1 i

=⇒ I ∝ |E 1 |2 + |E 2 |2 + E1∗ E2 hα1 |α2 i + E2∗ E1 hα2 |α1 i hα1 |α2 i = e−

|α1 |2 2

e−

|α2 |2 2

∗

eα1 α2

=⇒ | hα1 |α2 i |2 = . . . = e−|α1 −α2 |

2

=⇒ F¨ur |α1 − α2 | 1 ist die Quanteninterferenz stark unterdr¨uckt. F¨ur ein klassisches Feld mit großer Anzahl von Photonen |α|2 1 spielt sie daher keine Rolle. Der Zustand |α1 i + |α2 i wird auch Schr¨odinger cat state genannt, da er einer Superposition makroskopischer Zust¨ande entspricht (f¨ur |αi |2 1).

2.4 Bemerkungen zum Problem der Quantisierung in anderen Eichungen ˆ und nicht φ quantisiert wurde, h¨angt mit der Coulomb-Eichung zusamDie Tatsache, daß nur A men. Grund: A = 0 ∆φ = 0 =⇒ φ ist nicht dynamisch, sein konjugierter Impuls verschwindet.

40

Quantenfeldtheorie des Lichts - QED

Das sieht man gut an der Lagrange-Funktion: Z 1 L = (E 2 − c2 B 2 )d3 x 2 Z 1 ˙ 2 − c2 (rotA)2 ]d3 x = [(−∇φ − A) 2 Z 1 ˙ +A ˙ 2 − c2 (rotA2 )]d3 x = [(∇φ)2 + 2φdivA 2 Z = Ld3 x Coulomb-Eichung: divA = 0 =⇒

∂L =0 ∂ φ˙

Lorentz-Eichung: Z 1 ˙ 1 1 ˙ 2 − c2 (rotA2 )]d3 x divA + 2 φ = 0 =⇒ L = [(∇φ)2 − 2φφ¨ 2 + A c 2 c R Betrachtet man jetzt die Wirkung S = Ldt, so kann man den Term ∝ φ¨ partiell integrieren und erh¨alt damit eine neue Lagrange-Dichte L0 ∝ φ˙ 2 . Damit wird ∂L0 /∂ φ˙ 6= 0 und der skalare kanonische Impuls verschwindet nicht. =⇒ In der Lorentz-Eichung erh¨alt man daher nicht nur zwei zirkular polarisierte Photonen, sondern auch ein skalares (⇐⇒ φ) und ein longitudinal polarisiertes (⇐⇒ divA 6= 0). Die beiden letzteren sind unphysikalisch und m¨ussen durch geeignete Nebenbedingungen an die ˆ˙ 2 ) |ψi =! 0) f¨ur die physikalischen Zust¨ande |ψi. ˆ + φ/c Zust¨ande entfernt werden: (divA Eine einheitliche Vorschrift zur Quantisierung von Systemen mit Nebenbedingungen wurde von Dirac entwickelt, ist aber schwierig (Siehe z.B. Kapitel 1 in Ref. [9])

Kapitel 3 Quantenmechanik der Atome: ein kurzer ¨ Uberblick 3.1

Das Wasserstoffatom, Parit¨at

Hamilton-Operator f¨ur ein Proton, ein Elektron (V Coulombpotential): p2p p2 H= + e + V (|xp − xe |) 2Mp 2me

(3.1)

1 Mit R = Mp +m (Mp xp + me xe ) Schwerpunktkoordinate, r = xe − xp Relativkoordinate, e 1 M = Mp + me , µ = M1p + m1e ergibt sich:

P2 p2 + + V (|r|) (3.2) 2M 2µ In der Atomphysik spielt die Relativbewegung die zentrale Rolle, in der Atomoptik die Schwerpunktbewegung. F¨uhre sph¨arische Koordinaten f¨ur die Relativbewegung ein: ! 2 2 2 ˆ p ~ 1 L =⇒ =− · ∂r r∂r − 2 (3.3) 2µ 2µ r r H=

ˆ der Bahndrehimpulsoperator. Es gilt [L, ˆ |r|] = 0. Eigenfunktionen Dabei ist p = −i~∇ und L von H sind auch Eigenfunktionen von L: ψ = Ylm (θ, φ)fl (r) ˆ2

L Ylm = ~2 l(l + 1)Ylm Der Radialanteil fl (r) der Wellenfunktion erf¨ullt dann 2 ~ 1 ~2 l(l + 1) Efl = − ∂r r∂r + + V (r) fl 2µ r 2µ r2

(3.4)

(3.5)

¨ Quantenmechanik der Atome: ein kurzer Uberblick

42 l

L¨osung: fnl ∼ r exp

− nar 0

˚ · Laguerre-Polynome, a0 = Bohr-Radius ≈ 0, 5 A.

=⇒ Ψnlm = fnl Ylm (θ, φ) ⇐⇒ |nlmi (elektronischerZustand)

(3.6)

Hierbei bezeichnet n die Hauptquantenzahl, l die Drehimpulsquantenzahl und m die magnetische Quantenzahl. Zus¨atzlich: Spin s des Elektrons, s = ± 21 , |ψi = |nlmsi . Parit¨at: r −→ −r |r| −→ |r|

(3.7) l

Ylm (θ, φ) −→ Ylm (π − θ, φ + π) = (−1) Ylm (θ, φ) =⇒ Parit¨at von |nlmsi ist (−1)l . Die Parit¨at ist wichtig f¨ur die Auswahlregeln der Dipolstrahlung.

3.2 Feinstruktur und Spin Allgemein von großer praktischer Relevanz ist die Wechselwirkung mit einem Magnetfeld: H = −µ · B

(3.8)

Dabei ist µ das magnetische Dipolmoment des Atoms. Ein klassisches Teilchen mit Drehimpuls L (z.B. auf Kreisbahn) und Ladung q hat das magn. Moment µ=

q L. 2M

(3.9)

Das Elektron liefert den Bahnbeitrag: e ˆ L 2me

(3.10)

e ˆ L µe 2Mp

(3.11)

µe = − F¨ur das Proton ergibt sich wegen Mp me : µp = + Spin des Elektrons: 1

e ~e 2S = − σ. (3.12) 2me 2me Die Feinstruktur entsteht dadurch, dass im Ruhesystem des Elektrons der Kern um das Elektron rotiert und dabei ein Magnetfeld erzeugt. −

1

Der Faktor 2, der im Unterschied zum Bahndrehimpuls auftritt, wird gyromagnetischer Faktor g genannt. Aus der Dirac-Gleichung, die ein relativistisches Elektron beschreibt, folgt g = 2. Auf Grund der Vakuumfluktuationen des elektromagnetischen Feldes ergeben sich aber kleine Abweichungen von diesem Wert (g ≈ 2, 002).

3.3 Hyperfeinstruktur

43

Kernsystem: elektrisches Feld E = −∇VCoul , B = 0 (der Kern erzeugt kein Magnetfeld, da er ruht). Lorentztransformation ins Ruhesystem des Elektrons 2 : B0 = v × E = −v × ∇VCoul 1 = − p × ∇VCoul M

(3.13)

1 VCoul = VCoul (|r|) =⇒ ∇VCoul = er ∂r Vcoul = r ∂r VCoul r 1 1 1 1 − =⇒ B 0 = − ∂r VCoul p × r = ∂r VCoul L(e ) M r M r

(3.14)

Dabei ist v die Geschwindigkeit.

Es existiert also eine Kopplung zwischen Spin und Bahndrehimpuls des Elektrons: HSB = −µe σB 0 1 = µe σ · L ∂r VCoul r

(3.15)

Eine exakte Berechnung der Matrixelemente hn0 l0 m0 s0 |HSB |nlmsi inklusive relativistischer Korrekturen ergibt:

∆EF S

1 1 = − me c2 (αZ)4 3 2 h

1 j+

1 2

3 − 4n

(3.16)

∆EF S /~ ≈ 100GHz Hierbei bezeichnet j = l ± 21 den Gesamtdrehimpuls des Elektrons. Ohne relativistische Korrekturen w¨urde ∆EF S von l und s statt von j = l + s abh¨angen.

3.3

Hyperfeinstruktur

Die Hyperfeinstruktur hat zwei Ursachen: 1. Wechselwirkung zwischen dem Drehimpuls des Elektrons und dem Kernspin 2. QED Korrekturen (Vakuumfluktuationen) 2

Eigentlich bewegt sich das Elektron auf einer nicht-inertialen Kreisbahn und man muß anders vorgehen. Das Ergebnis stimmt aber bis auf einen Faktor 1/2 (Thomas-Faktor) mit dem korrekten Resultat u¨ berein und der hier beschriebene Weg enth¨alt die wesentliche Physik.

44

¨ Quantenmechanik der Atome: ein kurzer Uberblick

Zu 1.: Ein magnetisches Dipolmoment erzeugt ein Magnetfeld, mit dem andere magnetische Dipole wechselwirken. Beim H-Atom erzeugt der Gesamtdrehimpuls j = s + l des Elektrons ein Magnetfeld am Kern, mit dem der Kernspin wechselwirkt. Hyperfeinspin: F = Sk + j (3.17) Es muß hierbei angemerkt werden, dass die Addition von S k und j zum Hyperfeinspin nicht a¨ quivalent zu der Addition von Gesamtspin S G = S k + S e und elektronischem Bahndrehimpuls L zu F ist. Dies geschieht, obwohl die Operatoren eigentlich exakt die gleichen sind. Der Grund liegt darin, dass man bei der Addition von Drehimpulsen immer eine bestimmte Basis assoziiert, die den Gesamtdrehimpuls diagonalisiert. Diese Basis ist verschieden je nachdem, welche der beiden Zerlegungen F = S k + j beziehungsweise F = S G + L man verwendet. Siehe dazu Anhang 12.2

Kapitel 4 Die Wechselwirkung von Atomen und Licht 4.1

Die minimale Kopplung

Die klassischen Maxwell-Gleichungen sind eichinvariant, A → A0 = A + ∇χ

,

φ → φ0 = φ − ∂t χ .

(4.1)

Die Invarianz gilt auch in Anwesenheit von Ladungen % und Str¨omen j. Diese Eigenschaft sollte auch in der Quantenmechanik erhalten bleiben.

4.1.1 Herleitung der minimalen Kopplung Die Bewegungsgleichung klassischer geladener Teilchen m¨ x = qE + q x˙ × B

Elektrische + Lorentz-Kraft

kann aus der Lagrange-Funktion 1 ˙ L = mx˙ 2 + q xA(x, t) − qφ(x, t) 2

(4.2)

wie folgt abgeleitet werden: Der kanonisch konjugierte Impuls p ist definiert als pi :=

∂L ⇒ pi = mx˙ i + qAi (x, t) ∂ x˙ i

(4.3)

In Anwesenheit eines elektromagnetischen Feldes ist der kanonisch konjugierte Impuls also ver˙ Die Euler-Lagrange-Gleichungen lauten: schieden vom kinetischen Impuls Π = mx. d ∂L pi = dt ∂xi

(4.4)

46

Die Wechselwirkung von Atomen und Licht

Gleichungen (4.2) und (4.3) einsetzen: ∂L = −q∂i φ + q x˙ k ∂i Ak ∂xi d ∂ ∂ pi = m¨ xi + q Ai (x(t), t) + q Ai (x(t), t) x˙ k dt ∂t ∂xk =⇒ m¨ xi = −q∂i φ − q∂t Ai + q x˙ k (∂i Ak − ∂k Ai )

(4.5)

verwenden −∂i φ − ∂t Ai = Ei (gilt per definitionem) =⇒ m¨ xi = qEi + q x˙ k (∂i Ak − ∂k Ai )

(4.6)

nun ist aber Bj = (rot A)j = jmn ∂m An =⇒ ikj Bj = ikj jmn ∂m An = jik jmn ∂m An = (δim δkn − δin δkm )∂m An = ∂i Ak − ∂k Ai =⇒ m¨ xi = qEi + q x˙ k ikj Bj = qEi + q(x˙ × B)i

(4.7) qed.

Mit Hilfe der Lagrange-Funktion kann man den Hamilton-Operator und die Form der Schr¨odinger-Gleichung herleiten: In der klassischen Mechanik lautet die Hamilton-Funktion H = pi x˙ i − L Sie soll mit Hilfe von x˙ =

1 (p m

− qA) als Funktion von p und x ausgedr¨uckt werden =⇒

1 1 1 1 (pi − qAi ) − m 2 (p − qA)2 − q (p − qA)A + qφ m 2 m m 1 H= (p − qA)2 + qφ 2m

H = pi

Um zur Quantenmechanik u¨ berzugehen verwendet man die kanonische Quantisierung: ˆ x→x

;

ˆ p→p

;

[ˆ xi , pˆj ] = δij

In der Ortsdarstellung gilt: ˆ x→x

;

p → −i~∇

und somit ˆ = 1 (−i~∇ − qA(ˆ H x, t))2 + qφ(ˆ x, t) , 2m

ˆ i~∂t ψ(x, t) = Hψ(x, t)

(4.8)

Dies ist die Schr¨odinger-Gleichung f¨ur nichtrelativistische Teilchen in einem elektromagnetischen Feld. Die Form (p − qA) wird minimale Kopplung genannt.

4.1 Die minimale Kopplung

47

4.1.2 Eichinvarianz der minimalen Kopplung Wendet man die Transformation (4.1) auf den Hamiltonian (4.8) an so stellt man fest, dass die Schr¨odinger-Gleichung nicht invariant ist: ∂χ 1 (−i~∇ − qA(ˆ x, t) − q∇χ)2 + qφ(ˆ x, t) − q ψ 2m ∂t ˆ i~∂t ψ(x, t) = 6 Hψ(x, t) ˆ0 = H

Um die Invarianz wiederherzustellen, muß auch die Wellenfunktion unit¨ar transformiert werden: ψ 0 = ψ exp(iqχ/~)

(4.9)

Daraus folgt i~∂t ψ

0

= = = = =

∂ψ ∂χ e i~ −q ψ ∂t ∂t ∂χ iqχ/~ ˆ −q ψ e Hψ ∂t 1 ∂χ 2 iqχ/~ e (−i~∇ − qA) + qφ ψ − q ψ 0 2m ∂t 1 ∂χ (−i~∇ − qA − q∇χ)2 + qφ eiqχ/~ ψ − q ψ 0 2m ∂t 0 0 ˆψ H iqχ/~

(4.10)

Die minimale Kopplung spielt in der Hochenergiephysik eine zentrale Rolle. Von der Grundstruktur her haben alle Fundamentalkr¨afte außer der Gravitation (also elektromagnetische, starke und schwache Wechselwirkung) diese Form. Beim elektromagnetischen Feld ist die Eichinvarianz auf die einfachste Art realisiert. Man nennt Sie auch U(1) Eichtheorie, da die Transformation des Zustands (4.9) einer Multiplikation mit einer Unit¨aren 1×1 Matrix (= komplexe Zahl mit Betrag eins) entspricht. Bei anderen Wechselwirkungen treten mehrere Felder auf. Beispiel: bei der sogenannten Speziell unit¨aren SU(2) Eichtheorie der (elektro-) schwachen Wechselwirkung werden die Zust¨ande gem¨aß 0 ψe ψe = exp(iσ · χ) (4.11) ψν0 e ψνe transformiert. Hierbei ist ψe die Wellenfunktion des Elektrons, ψνe die des Elektron-Neutrinos und σ die Pauli-Matrizen. Das Wort speziell bedeutet, dass die Matrix exp(iσ · χ) die Determinante 1 hat. Das Eichpotential in dieser Theorie wird als A = A(i) σi geschrieben und besteht daher aus drei Vektorfeldern A(i) . Die entsprechen grob gesagt den W± -Bosonen und dem ZBoson, die die schwache Wechselwirkung vermitteln. 1 1

Eigentlich sind die schwache und die elektromagnetische Theorie ineinander verwoben und werden zusammen durch eine U(1)×SU(2) Eichtheorie beschrieben. Die U(1) ist dabei die der Hyperladung und nicht die, die die elektromagnetischen Felder allein beschreibt.

48

Die Wechselwirkung von Atomen und Licht

4.2

Die Power-Zienau-Woolley-Transformation

Obwohl sie f¨ur die Beschreibung der Fundamentalkr¨afte wichtig ist, hat die minimale Kopplung einige Nachteile, wenn man die Wechselwirkung von Atomen und Licht beschreiben will: • Bei elektrisch neutralen, aus Elektronen, Neutronen und Protonen zusammengesetzten Atomen ist eine Kopplung an die Ladung der Teilchen etwas umst¨andlich. Bequemer w¨are es, die Kopplung u¨ ber die Multipolmomente der Atome zu beschreiben. • In der minimalen Kopplung treten die Eichpotentiale statt der physikalischen Felder auf. Das ist zwar kein prinzipielles Problem, aber eine Kopplung an das elektrische und das magnetische Feld w¨are — unabh¨angig von der gew¨ahlten Eichbedingung — manifest eichinvariant. • In der Coulomb-Eichung kann das skalare Potential φ durch das unretardierte CoulombPotential ersetzt werden, da letzteres eine L¨osung der Poisson-Gleichung ist, die φ erf¨ullt. Das Coulomb-Potential ist aber unretardiert und gaukelt uns eine instantane langreichweitige Wechselwirkung zwischen den Atomen vor. Die Power-Zienau-Woolley-Transformation (Refs. [27] und [28], siehe auch [29] und [30]) ist eine unit¨are Transformation, die die minimale Kopplung in eine a¨ quivalente Form u¨ berf¨uhrt, die die obigen Probleme beseitigt.

4.2.1

Das Grundprinzip der Transformation

Zur Herleitung der Dipolkopplung 2 kann man von der Feststellung ausgehen, dass sich die EulerLagrange-Gleichungen nicht a¨ ndern, wenn man zur Lagrange-Funktion eine totale Zeitableitung addiert: L0 (x, x, ˙ t) = L(x, x, ˙ t) +

d ∂L0 ∂L0 d d ∂L ∂L F (x, t) =⇒ − = − dt dt ∂ x˙ ∂x dt ∂ x˙ ∂x

Der Einfachkeit halber betrachten wir konstante Felder E und B (der Beweis geht auch allgemein). E = E 0 ; B = B 0 ⇐⇒ φ = −xE 0 1 A = − (x × B 0 ) 2 2

Besser w¨are der Ausdruck multipolare Kopplung, da die Power-Zienau-Woolley-Transformation die minimale eigentlich in eine Kopplung u¨ berf¨uhrt, die an alle Multipolmomente angreift. In der Praxis wird jedoch meist nur das Dipolmoment ber¨ucksichtigt. Bei dem einfachen Beispiel in diesem Unterabschnitt tritt ebenfalls nur das Dipolmoment auf.

4.2 Die Power-Zienau-Woolley-Transformation

49

W¨ahlt man F = −qxA so folgt d q ˙ + (x × x)B ˙ 0 F = −q xA dt 2 q 1 ˙ + qxE 0 −q xA ˙ + (x × x)B ˙ 0 L0 = mx˙ 2 + q xA 2 |2 {z }

(4.12) (4.13)

L

1 q = mx˙ 2 + qxE 0 + LB 0 2 2m

˙ mit L = (x × mx)

(4.14)

Setzt man d := qx elektrisches Dipolmoment des Teilchens so findet man f¨ur die neue q µ := 2m L magnetisches Moment des Teilchens Lagrange-Funktion 1 L0 = mx˙ 2 + dE 0 + µB 0 2 ˙ Ausserdem ist die Kopplung Vorteil: Jetzt gilt f¨ur den kanonisch konjugierten Impuls p = mx. manifest eichinvariant und besser geeignet f¨ur elektrisch neutrale Teilchen.

4.2.2

Die vollst¨andige Transformation

Wir betrachten eine Verteilung von Punktteilchen mit Ladung qα am Ort xα , deren Ladungsdichte durch X %(x) = qα δ(x − xα ) (4.15) α

gegeben ist. Da wir insbesondere am Verhalten eines aus nicht ionisierten P Atomen bestehenden Gases interessiert sind nehmen wir an, dass die Gesamtladung Null ist, α qα = 0. Die Polarisation der makroskopischen Elektrodynamik erf¨ullt die Gleichung divP = −h%geb i (Siehe Abschnitt 1.5). F¨ur den vorliegenden Fall ist eine L¨osung dieser Gleichung gegeben durch XZ 1 P (x) = du qα (xα − R)δ(x − R − u(xα − R)) (4.16) α

0

Beweis: ∂i P i (x) =

XZ α

=

du qα (xα − R)i ∂i δ(x − R − u(xα − R))

0

XZ α

1

1

du qα (xα − R)i δ 0 (xi − Ri − u(xα − R)i ) ×

0

δ(xj − Rj − u(xα − R)j )δ(xk − Rk − u(xα − R)k ) , (4.17) wobei u¨ ber i summiert wird und (i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2). δ 0 ist die Ableitung der δ-Distribution. Nun gilt (xα − R)i δ 0 (xi − Ri − u(xα − R)i ) = −∂u δ(xi − Ri − u(xα − R)i )

(4.18)

50

Die Wechselwirkung von Atomen und Licht

und somit ∂i P i (x) = −

XZ X

du qα ∂u δ(x − R − u(xα − R))

0

α

= −

1

qα {δ(x − xα ) − δ(x − R)}

α

= Qδ(x − R) −

X

qα δ(x − xα )

(4.19)

α

Die Gesamtladung Q verschwindet f¨ur neutrale Atome und der zweite Term entspricht gerade der Ladungsverteilung q.e.d. Um alle Konsequenzen der Power-Zienau-Woolley-Transformation verstehen zu k¨onnen, muß man mehrere Atome/Molek¨ule im Gas ber¨ucksichtigen. Wir stellen uns also eine Ladungsverteilung vor, bei der die Ladungstr¨ager zu elektrisch neutralen Atomen gruppiert sind. Das mte Atom hat die Kern-Koordinate Rm und die Teilchen-Koordinaten (Elektronen + Kern) xαm .

Der vollst¨andige Hamiltonian dieses Systems in der minimalen Kopplung ist gegeben durch H =

2 ε0 1 pαm − qαm A(xαm ) + 2Mαm 2 m αm X X VCoul (m, m0 ) + VCoul (m)

XX

m<m0

Z

d3 x (E ⊥ )2 + c2 B 2 + (4.20)

m

E ⊥ ist dabei der Operator des transversalen elektrischen Feldes, den wir bisher (in Abwesenheit von Ladungen) einfach als E bezeichnet haben. Das gesamte elektrische Feld in Anwesenheit von Ladungen nimmt die Form E = E ⊥ − ∇VCoul (x) an. Die Coulomb-Wechselwirkung der Teilchen innerhalb eines Atoms ist gegeben durch VCoul (m) =

X αm <βm

q α m qβm 4πε0 |xαm − xβm |

(4.21)

4.2 Die Power-Zienau-Woolley-Transformation

51

w¨ahrend die inter-atomare Coulomb-Wechselwirkung die Form VCoul (m, m0 ) =

X αm ,βm0

qαm qβm0 4πε0 |xαm − xβm0 |

(4.22)

annimmt. Um die unit¨are Transformation zwischen minimaler und multipolarer Kopplung zu konstruieren, setzen wir die Gesamtpolarisation aus derjenigen der einzelnen Atome zusammen, X P (x) = P m (x) (4.23) m

P m (x) =

XZ αm

1

du qαm (xαm − Rm ) δ(x − Rm − u(xαm − Rm )) .

(4.24)

0

Die Power-Zienau-Woolley-Transformation ist dann gegeben durch Z i 3 U = exp d x P (x) · A(x) ~

(4.25)

Berechnung der Transformation Unsere Aufgabe besteht nun darin, das Verhalten des Hamiltonians und der anderen Operatoren unter dieser Transformation zu untersuchen. Da U eine Funktion von xαm und A(x) ist, ist es offensichtlich, dass wegen [Ai (x), Aj (x0 )] = [Ai (x), B j (x0 )] = 0 das Vektorpotential, das magnetische Feld sowie die Teilchen-Koordinaten und die Polarisation sich trivial transformieren: ˜ = U † AU = A A ˜ = B B ˜ α m = xα m x ˜ = P P

(4.26) (4.27) (4.28) (4.29)

Alle anderen Felder lassen sich mit Hilfe des Theorems exp(−iS)E exp(iS) = E −i[S, E]+· · · leicht berechnen. F¨ur das elektrische Feld folgt Z i ⊥ ⊥ ˜ E i (x) = E i (x) − d3 x0 P j (x0 )[Aj (x0 ), E ⊥ (4.30) i (x)] ~ Z i −i~ ⊥ ⊥ = E i (x) − d3 x0 P j (x0 ) δ (x − x0 ) . (4.31) ~ ε0 ij Erinnert man Rsich daran, dass der transversale (quellenfreie) Anteil eines Vektorfeldes P durch (T P )i (x) = d3 x0 P j (x0 )δij⊥ (x − x0 ) gewonnen werden kann, so folgt ˜ ⊥ (x) = E ⊥ (x) − 1 P ⊥ (x) . E ε0

(4.32)

52

Die Wechselwirkung von Atomen und Licht Diese Gleichung hat u¨ berraschende Konsequenzen. Schreibt man sie n¨amlich in der Form ⊥

⊥

˜ (x) + P ˜ (x) = D ˜ ε0 E ⊥ (x) = ε0 E

⊥

(4.33)

so sieht man, dass der alte Operator ε0 E ⊥ des elektrischen Feldes im neuen Bild die Rolle der ˜ ⊥ u¨ bernimmt. Oder anders ausgedr¨uckt: benutzt man die dielektrischen Verschiebungsdichte D minimale Kopplung, so wird das elektrische Feld durch E ⊥ und die dielektrische Verschiebungsdichte durch ε0 E ⊥ +P ⊥ beschrieben. Benutzt man die Dipolkopplung, so ist das elektrische Feld ˜ ⊥ und die dielektrische Verschiebungsdichte durch ε0 E ˜ ⊥ = ε0 E ⊥ gegeben. We˜⊥ +P durch E gen der einfachen Form des Operators E ⊥ verwendet man auch bei der multipolaren Kopplung diesen Operator an Stelle des eigentlichen Feldes. Man beschreibt die Wechselwirkung also u¨ ber die dielektrische Verschiebungsdichte. Es bleibt, die Transformation der Teilchenimpulse zu berechnen. In derselben Weise wie beim elektrischen Feld findet man ˜ αm = pαm − i[S, pαm ] + · · · p = pαm + ~∇αm S .

(4.34)

Die Berechnung des Gradienten werden wir weiter unten behandeln. Insgesamt ergibt sich damit f¨ur den transformierten Hamiltonian XX 1 2 ˜ = pαm + ~∇αm S − qαm A(xαm ) H 2Mαm m αm Z ε0 1 ˜⊥ ⊥ 2 3 2 2 + dx (D − P ) + c B + 2 ε20 X X VCoul (m, m0 ) + VCoul (m) (4.35) m<m0

m

Berechnung der Polarisations-Integrale Dieser Ausdruck l¨aßt sich noch erheblich vereinfachen. Formen wir zun¨achst die zweite Zeile um: Z Z ⊥ 1 1 ⊥ ⊥ ⊥ 2 ⊥ ⊥ 2 3 3 2 ˜ ˜ ˜ d x (D − P ) = d x (D ) − 2D · P + (P ) (4.36) 2ε0 2ε0 Z ⊥ 1 ˜ )2 − 2D ˜ ⊥ · P ⊥ + (P − P k )2 = d3 x (D 2ε0 wobei P k der longitudinale Anteil des Vektorfeldes ist (d.h. die Fourier-Transformierte des Feldes ist parallel zum Wellenvektor und nicht transversal dazu). Man kann nun die folgendene Relation verwenden, Z Z ⊥ 3 d x R (x) · S(x) = d3 x R⊥ (x) · S ⊥ (x) . (4.37)

4.2 Die Power-Zienau-Woolley-Transformation

53

Zum Beweis zeigt man zuerst, dass der Transversalisierungs-Operator idempotent ist. Per Definition gilt Z Z (T 2 R)i (x) =

d3 x0 δij⊥ (x − x0 )

⊥ d3 x00 δjk (x0 − x00 )Rk (x00 )

(4.38)

Mit Z

d3 x0 δij⊥ (x

−x

0

⊥ )δjk (x0

00

d3 k d3 k 0 ik·(x−x0 ) ik0 ·(x0 −x00 ) e e × (2π)3 (2π)3 k0j k0k ki kj δij − 2 δjk − 0 2 (k ) k Z 3 d k ik·(x−x00 ) ki kj kj kk = e δij − 2 δjk − 2 (2π)3 k k ⊥ 00 = δik (x − x ) (4.39) Z

−x ) =

3 0

Z

dx

ergibt sich 2

Z

(T R)i (x) =

⊥ d3 x00 δik (x − x00 )Rk (x00 )

= (T R)i (x)

(4.40)

Ausserdem ist T hermitesch bez¨uglich des Standard-Skalarprodukts: Z Z Z 3 3 d x R(x) · (T S)(x) = d x Ri (x) d3 x0 δij⊥ (x − x0 )S j (x0 ) Z = d3 x0 (T R)(x0 ) · S(x0 )

(4.41)

Die Behauptung (4.37) folgt dann aus Z Z ⊥ 3 d x R (x) · S(x) = d3 x (T R)(x) · S(x) Z = d3 x (T 2 R)(x) · S(x) Z = d3 x (T R)(x) · (T S)(x) Z = d3 x R⊥ (x) · S ⊥ (x) .

(4.42)

Die Relation (4.37) hilft uns dabei, das Integral u¨ ber die Polarisation umzuformen: Z Z 1 1 2 k k 2 3 d x P − 2P · P + (P ) = d3 x P 2 − 2(P k )2 + (P k )2 2ε0 2ε0 Z 1 2 k 2 3 = d x P − (P ) (4.43) 2ε0

54

Die Wechselwirkung von Atomen und Licht

Das Integral u¨ ber den longitudinalen Anteil kann exakt berechnet werden. Da die Quelle f¨ur diesen Term die Ladungsverteilung ist, divP = divP k = −%, kann man erwarten, dass er etwas mit dem Coulomb-Potential zu tun hat. Formen wir dieses zun¨achst um: Z 1 %(x0 ) VCoul (x) = d3 x0 4πε0 |x − x0 | Z divP k (x0 ) −1 d3 x0 = 4πε0 |x − x0 | Z 1 1 k = d3 x0 P i (x0 )∂i0 (4.44) 4πε0 |x − x0 | F¨ur den Gradienten des Coulomb-Potentials, der ja das negative longitudinale elektrische Feld ist, ergibt sich Z 1 1 k d3 x0 P i (x0 )∂j ∂i0 ∂j VCoul (x) = 4πε0 |x − x0 | Z −1 1 k = d3 x0 P i (x0 )∂j ∂i 4πε0 |x − x0 |

(4.45)

Um die doppelte Ableitung im Integranden zu berechnen, verwendet man am besten die Fourier-Transformation: Z e−ik·x 4π d3 x = 2 (4.46) |x| k Zum Beweis geht man zu Kugelkoordinaten u¨ ber und w¨ahlt die z-Achse in Richtung von k. Man findet dann 3 Z Z ∞ −ik·x e−ikr cos ϑ 3 e dx = r2 dr d cos ϑ dϕ |x| r 0 Z ∞ 1 = 2π rdr (e−ikr − eikr ) −ikr 0 2πi P P = πδ(k) − i − πδ(k) + i k k k 4π (4.47) = k2 3

Die Unterdr¨uckung des Hauptwertes P in der letzten Zeile hat folgenden Hintergrund: Wie jede Distribution ist auch P/k nur als Integrand zusammen mit einer Testfunktion (unendlich oft differenzierbar, endliche Norm, keine Pole) definiert. Nun taucht in der vorletzten Zeile aber noch ein zus¨atzlicher Faktor 1/k auf, der keine Testfunktion ist. Das Ergebnis ist also h¨ochstens dann noch sauber definiert, wenn man es mit einer Testfunktion multipliziert, die linear mit k gegen Null geht. Es ist in der theoretischen Physik jedoch u¨ blich, diese Gleichung einfach unsauber (ohne Angabe von Testfunktionen) weiter zu verwenden. Der Hauptwert macht dann keinen Sinn mehr, da er bei einer Singularit¨at der Form 1/k 2 nicht mehr zur Aufhebung der divergierenden Terme f¨uhrt. Man l¨asst ihn daher einfach weg.

4.2 Die Power-Zienau-Woolley-Transformation

55

Damit folgt f¨ur die doppelte Ableitung 0

d3 k 4πeik·(x−x ) (2π)3 k2 Z d3 k ik·(x−x0 ) ki kj = −4π e (2π)3 k2 = −4π δij δ(x − x0 ) − δij⊥ (x − x0 )

1 ∂j ∂i = ∂j ∂i |x − x0 |

Z

(4.48)

und somit Z −1 k ∂j VCoul (x) = d3 x0 P i (x0 )(−4π) δij δ(x − x0 ) − δij⊥ (x − x0 ) 4πε0 1 k = P (x) ε0 j

(4.49)

Das longitudinale elektrische Feld ist also vollst¨andig durch den Polarisationsanteil gegeben. Dieser Zusammenhang f¨uhrt zu Z Z ε0 1 k 2 3 − d x (P ) = − d3 x (∇VCoul )2 2ε0 2 Z ε0 = d3 x VCoul ∆VCoul 2 Z 1 d3 x VCoul % , (4.50) = − 2 wobei die letzte Zeile daraus folgt, dass das Coulomb-Potential die Poisson-Gleichung erf¨ullt. Setzt man Gleichung (4.15) f¨ur die Ladungsdichte ein, so findet man Z qαm qα0m0 1 1 X X − d3 x (P k )2 = − (4.51) 2ε0 2 m,α 0 0 4πε0 |xαm − xα0m0 | m

m ,αm0

In diesem Ausdruck muß man die Terme f¨ur gleiche Teilchen weglassen, da sie divergieren. Der Rest ist symmetrisch unter Vertauschen der ungestrichenen und der gestrichenen Indizes, so dass Z X X qαm qα0m0 1 − d3 x (P k )2 = − 2ε0 4πε0 |xαm − xα0m0 | m<m0 αm ,α0 0 m X X qαm qα0m − 4πε0 |xαm − xα0m | m αm <α0m X X = − V (m, m0 ) − V (m) (4.52) m<m0

m

Das Integral u¨ ber den longitudinalen Anteil der Polarisation hebt also genau die CoulombWechselwirkung zwischen den Atomen auf. Dies ist der Grund, warum es in Gl. (4.36) sinnvoll

56

Die Wechselwirkung von Atomen und Licht

war, die transversale Polarisation in die vollst¨andige und die longitudinale Polarisation zu zerlegen. Das verbleibende Integral u¨ ber die volle Polarisation zerlegen wir in die Einzelbeitr¨age der Atome: Z XZ 2 3 d xP = d3 x P m P m0 (4.53) m,m0

Aus Gl. (4.24) kann man ersehen, dass die Polarisation des mten Atoms stark auf den Bereich des Atoms lokalisiert ist. Da im Gaszustand der Abstand zwischen den Atomen sehr viel gr¨oßer als ihre Ausdehnung ist, kann man die Terme mit m 6= m0 vernachl¨assigen und erh¨alt Z Z 1 1 X 2 3 d xP ≈ d3 x P 2m 2ε0 2ε0 m Z 1 X k 2 2 d3 x (P ⊥ ) + (P ) = m m 2ε0 m Z X 1 X 2 = d3 x (P ⊥ ) + V (m) (4.54) m 2ε0 m m Hamiltonian und multipolare Entwicklung Setzt man alle Umformungen in den transformierten Hamiltonian (4.35) ein, so gelangt man zu ˜ = H

X

Hm + Hrad + Hint

(4.55)

m

Hm Hrad Hint

Z X p2α 1 2 m + V (m) + d3 x (P ⊥ = m) 2Mαm 2ε0 αm Z Z 1 1 ⊥ 2 3 = d x (D ) + d3 x B 2 2ε0 2µ0 Z 1 = − d3 x D ⊥ · P ε0 X 1 + nαm · pαm + pαm · nαm + (nαm )2 2Mαm m,α

(4.56) (4.57)

(4.58)

m

mit (nαm )i := ~(∇αm )i S − qαm Ai (xαm ) (4.59) Z 1 = ~(∇αm )i du qαm (xαm − Rm ) · A(Rm + u(xαm − Rm )) − qαm Ai (xαm ) 0 Z 1 = du qαm Ai (Rm + u(xαm − Rm )) 0 +(xαm − Rm )j u∂i Aj (Rm + u(xαm − Rm )) − qαm Ai (xαm )

4.3 Dipoln¨aherung und Dipolkopplung

57

Der Vektor nαm kann in eine explizit potential-unabh¨angige Form gebracht werden, wenn man die mittels partieller Integration beweisbare Gleichung 1

Z

Z du u∂u A(Rm + u(xαm − Rm )) = A(xαm ) −

0

1

du A(Rm + u(xαm − Rm ))

(4.60)

0

verwendet. Mit der Abk¨urzung r αm := xαm − Rm folgt Z

1

du qαm (Ai (Rm + ur αm ) + (r αm )j u∂i Aj (Rm + ur αm ))

(nαm )i := 0

Z

1

− du qαm (u∂u Ai (Rm + ur αm ) + Ai (Rm + ur αm )) 0 Z 1 = du qαm ((r αm )j u∂i Aj (Rm + ur αm ) − u(r αm )j ∂j Ai (Rm + ur αm )) 0 Z 1 (4.61) = du qαm u(r αm )j (∂i Aj (Rm + ur αm ) − ∂j Ai (Rm + ur αm )) 0

und somit wegen ∂i Aj − ∂j Ai = εijk B k Z

1

u du (xαm − Rm ) × B(Rm + u(xαm − Rm ))

nα m = q α m

(4.62)

0

Damit sind wir bei der endg¨ultigen Form des multipolaren Hamiltonians angelangt. Es sollte noch einmal betont werden, dass abgesehen von der Annahme, dass die vollen Polarisationen ¨ zweier Molek¨ule einen geringen Uberlapp haben, keine N¨aherungen in die Herleitung eingegangen sind. Man kann also genauso gut diesen Hamiltonian wie auch die minimale Kopplung verwenden. Die wichtigsten Eigenschaften des Hamiltonians (4.55) sind • explizite Eichinvarianz, da nur noch das elektrische und das magnetische Feld auftreten, • das Coulomb-Potential zwischen verschiedenen Atomen ist verschwunden. Die Wechselwirkung zwischen den Atomen wird nun ausschließlich u¨ ber die retardierten dynamischen ˜ ⊥ und B vermittelt. Felder D

4.3

Dipoln¨aherung und Dipolkopplung

Da die typische L¨angenskala r von Atomen der Bohrsche Radius (≈ 0.5 × 10−10 m) ist, die Wellenl¨ange λ = 2π/k des Lichts aber im Bereich von einigen 100 nm liegt, kann man den multipolaren Wechselwirkungs-Hamiltonian schon nach wenigen Gliedern abbrechen. Die Begr¨undung baut darauf auf, dass in diesem Fall die Multipolmomente lter Ordnung proportional zu (kr)l sind und kr 1 gilt, siehe Gl. (1.15). Man kann sich daher auf die niedrigsten Terme

58

Die Wechselwirkung von Atomen und Licht

beschr¨anken und erh¨alt f¨ur die Polarisation X P (x) = P m (x) m

=

XX m

≈ =

X

=

X

1

qαm (xαm − Rm )

du δ(x − Rm − u(xαm − Rm )) 0

αm

XX m

Z

Z qαm (xαm − Rm )

1

du δ(x − Rm ) + O(|xαm − Rm )|2 )

0

αm

δ(x − Rm )

X

m

qαm (xαm − Rm )

αm

δ(x − Rm )dm ,

(4.63)

m

wobei dm das Dipolmoment des mten Molek¨uls ist. Analog findet man f¨ur den zweiten Kopplungsterm Z 1 nα m ≈ q α m u du (xαm − Rm ) × B(Rm ) + O(|xαm − Rm )|2 ) (4.64) 0

und somit 2

nαm · pαm + pαm · nαm + (nαm )

Z

1

≈ 2qαm pαm ·

u du (xαm − Rm ) × B(Rm ) 0

= −qαm Lαm · B(Rm )

(4.65)

In dieser Dipol-N¨aherung erhalten wir als Hamiltonian die sogenannte Dipolkopplung ˜ int = − 1 H ε0

X

˜ ⊥ (Rm ) − dm · D

m

X

µm · B(Rm )

(4.66)

m

P wobei µm = αm qαm Lαm /(2Mαm ) das mit dem Bahndrehimpuls verbundene magnetische Dipolmoment ist. Dass der Spin-Anteil hier nicht auftritt liegt allein daran, dass wir ihn bei der Behandlung nicht mit einbezogen haben. Es muß betont werden, dass nur die vollst¨andige multipolare Wechselwirkung und die minimale Kopplung unit¨ar a¨ quivalent sind. Sobald man N¨aherungen einf¨uhrt, f¨uhren die unterschiedlichen Kopplungen zu leicht unterschiedlichen Ergebnissen. Wir werden ein Beispiel daf¨ur im n¨achsten Kapitel sehen. In der Quantenoptik f¨uhrt dabei in der Regel die Dipolkopplung zu den etwas besseren Resultaten.

¨ Atome 4.4 Auswahlregeln fur Eine der wichtigsten Fragen in der Atomphysik und Quantenoptik ist, welche Niveaus durch das elektromagnetische Feld gekoppelt werden. Um dies zu untersuchen, betrachten wir ein einzelnes

4.4 Auswahlregeln f¨ur Atome

59

Atom, dessen Kern am Ursprung des Koordinatensystems ruht (Rm = 0, die Schwerpunktbewegung ist f¨ur die Auswahlregeln in sehr guter N¨aherung unerheblich). Da alle anderen Teilchen Elektronen sind, reduziert sich das elektrische Dipolmoment auf dm

=

X

qαm (xαm − Rm )

αm

= −e

X

xα m

αm

=: −er

(4.67)

r ist die Summe der Elektronenkoordinaten relativ zum Kern. Im Folgenden werden wir den Index m unterdr¨ucken, da wir nur noch ein einzelnes Molek¨ul betrachten, dm → d, αm → α usw., wobei die Summe nur noch u¨ ber die Elektronen laufen soll und eventuelle Kernbeitr¨age explizit addiert werden. In Kapitel 3 haben wir gesehen, dass die atomaren Zust¨ande in guter N¨aherung Eigenzust¨ande des Gesamtdrehimpulses X F = sK + (Lα + sα ) (4.68) α

sind, |ψi = |F, mF , · · · i. Da die Wechselwirkung u¨ ber das Dipolmoment vermittelt wird, sind ¨ die Ubergangsamplituden zwischen |F, mF i und |F 0 , m0F i proportional zu dF,mF ;F 0 ,m0F := hF, mF | − er|F 0 , m0F i .

(4.69)

Die Berechnung dieser Matrixelemente l¨aßt sich erstaunlich elegant und einfach bewerkstelligen, wenn man das Konzept der Vektor-Operatoren (i.a. Tensor-Operatoren) verwendet. Ein Vektor-Operator R bez¨uglich eines Drehimpulses L ist definiert als ein Operator, der die folgenden Kommutator-Relationen erf¨ullt: [L+ , R+ ] [L− , R− ] [L+ , R− ] [L− , R+ ] [Lz , R± ] [L± , Rz ]

= = = = = =

0 0 2~Rz −2~Rz ±~R± ∓~R±

(4.70)

¨ Hierbei ist L± = Lx ± iLy und R± = Rx ± iRy . Aquivalent dazu sind die Relationen [La , Rb ] = i~εabc Rc .

(4.71)

Ein Beispiel f¨ur einen Vektoroperator ist der Ortsoperator eines Schr¨odinger-Teilchens, wenn L der Bahndrehimpuls ist. Es ist jedoch auch einfach zu zeigen, dass das Dipolmoment d ein

60

Die Wechselwirkung von Atomen und Licht

Vektor-Operator ist: [F a , db ] = [(sK )a +

X

(Lα + sα )a , −e

α

= −e

X

= −e

X

X

(xβ )b ]

β

[(Lα )a , (xβ )b ]

α,β

δαβ i~εabc (xβ )c

α,β

= −ie~εabc

X

(xα )c

α

= i~εabc dc

(4.72)

Die Matrixelemente eines Vektoroperators bez¨uglich der Drehimpuls-Eigenzust¨ande lassen sich weitgehend algebraisch berechnen. ± ~hF, mF |d± |F 0 , m0F i = hF, mF |[F z , d± ]|F 0 , m0F i = hF, mF |F z d± − d± F z |F 0 , m0F i = ~(mF − m0F )hF, mF |d± |F 0 , m0F i

(4.73)

woraus folgt, dass hF, mF |d± |F 0 , m0F i nur dann ungleich null ist, wenn ∆m := mF − m0F = ±1 ist. Da dz mit F z kommutiert zeigt man analog 0 = hF, mF |[F z , dz ]|F 0 , m0F i = ~(mF − m0F )hF, mF |dz |F 0 , m0F i

(4.74)

Insgesamt erhalten wir die Auswahlregeln f¨ur die magnetische Quantenzahl hF, mF |dz |F 0 , m0F i = 6 0 ist nur m¨oglich f¨ur mF = m0F hF, mF |d+ |F 0 , m0F i = 6 0 ist nur m¨oglich f¨ur mF = m0F + 1 hF, mF |d− |F 0 , m0F i = 6 0 ist nur m¨oglich f¨ur mF = m0F − 1

(4.75) (4.76) (4.77)

Weitergehende Aussagen u¨ ber die Matrixelemente von d erlaubt das Wigner-Eckart-Theorem (hier Vektoroperatoren): Die sph¨arischen“ Matrixelemente √ nur f¨ur √ ” {d1 , d0 , d−1 } := {−d+ / 2, dz , d− / 2} eines Vektoroperators sind gegeben durch D(F, F 0 ) . hF, mF |dq |F 0 , m0F i = hF 0 , m0F ; 1, q|F, mF , (1, F 0 )i √ 2F + 1

(4.78)

Hierbei wird D(F, F 0 ) als reduzierte Matrixelement bezeichnet. Dieses ausgesprochen wichtige Theorem besagt, dass die Matrixelemente von Vektoroperatoren (und Tensoroperatoren im Allgemeinen) proportional zu Clebsch-Gordan-Koeffizienten sind (Siehe Einschub 12.2).

4.4 Auswahlregeln f¨ur Atome

61

Zum Beweis des Theorems schreiben wir die Kommutator-Relationen (4.70) in der Form p [F z , dq ] = q~dq , [F ± , dq ] = ~ 2 − q(q ± 1)dq±1 . (4.79) Hieraus folgt p hF, mF |[F ± , d−q ]|F 0 , m0F i = ~ 2 + q(−q ± 1)hF, mF |d−q±1 |F 0 , m0F i (4.80) 0 0 = hF, mF |F ± |F, mF ∓ 1i hF, mF ∓ 1|d−q |F , mF i − hF, mF |d−q |F 0 , m0F ± 1i hF 0 , m0F ± 1|F ± |F 0 , m0F i . Setzt man Dm0F ,mF ,q := hF, mF |d−(q+1) |F 0 , m0F i und verwendet man die Werte (12.6) f¨ur die Matrixelemente der Drehimpulsoperatoren, so folgt q Dm0F ±1,mF ,q F 0 (F 0 + 1) − (m0F + 1)(m0F + 1 ± 1) = (4.81) p Dm0F ,mF ∓1,q F (F + 1) − (mF + 1)(mF + 1 ∓ 1) + p Dm0F ,mF ,q∓1 2 − (q + 1)(q + 1 ∓ 1) Dieses homogene lineare Gleichungssystem hat dieselben Koeffizienten wie das entsprechende Gleichungssystem Gl. (12.12) f¨ur die Clebsch-Gordan-Koeffizienten, wenn man die Ersetzungen (j, mj ) → (F 0 , m0F ), (l, ml ) → (F, mF ) und (s, ms ) → (1, q) macht. Die Koeffizienten √ D und C m¨ussen daher proportional zueinander sein, was das Theorem beweist (der Faktor 1/ 2F + 1 ist Konvention). Das Wigner-Eckart-Theorem erlaubt eine anschauliche Interpretation. Die Dipolkopplung vermittelt die Absorbtion oder Emission eines Photons, dessen Spin Eins ist. Bei der Absorbtion oder Emission muß der Gesamtdrehimpuls erhalten bleiben, daher m¨ussen bei dem Prozess die Drehimpulse wie im Abschnitt 12.2 besprochen addiert werden. Das Wigner-Eckart-Theorem l¨aßt nur noch die Frage offen, wie der m-unabh¨angige Vorfak¨ tor D(F, F 0 ) aussieht. Prinzipiell erh¨alt man ihn, wenn man einen bestimmten Ubergang m, m0 betrachtet und ihn f¨ur diese Zust¨ande berechnet. Das ist jedoch sehr schwierig und erfordert erheblichen numerischen Aufwand, so dass man zumeist entweder die experimentell gemessenen Werte einsetzt oder sich mit der folgenden Absch¨atzung behilft. Der Operator des Dipolmoments ist definiert als Elektronen-Ladung mal Elektronen-Relativkoordinate im Atom. Man kann daher davon ausgehen, dass die Dipolmatrixelemente von der Gr¨oßenordnung ea0 sind, wobei a0 der Bohrsche Radius ist und grob den mittleren Abstand der Elektronen vom Kern beschreibt. Diese Daumenregel erlaubt f¨ur viele F¨alle eine vern¨unftige Absch¨atzung. Eine weitere wichtige Frage ist die physikalische Bedeutung der sph¨arischen Komponenten dq des Dipolmoments. Betrachten wir dazu eine laufende klassische Laserwelle entlang ¨ der Quantisierungsachse (= z-Achse), E (+) (x) = exp(ikz)εε exp(−iωt), die einen Ubergang zwischen dem Grundzustand |Jg , mg i und dem angeregten Zustand |Je , me i treiben soll. Das ¨ Ubergangsmatrixelement ist dann gegeben durch I = − exp(ikz) exp(−iωt)hJe , me |d · ε|Jg , mg i

(4.82)

62

Die Wechselwirkung von Atomen und Licht

√ Ist der Laserstrahl links/rechtszirkular polarisiert, so gilt ε± = (ex ± iey )/ 2 und somit 1 d · ε± = √ (dx ± idy ) 2 = ∓d±1 .

(4.83)

Linkszirkular polarisiertes Licht eines entlang der Quantisierungsachse laufenden Laserstrahls koppelt also an d1 und erfordert daher me = mg + 1. Genauso kann man zeigen, dass ε = ez eine Kopplung an d0 und damit me = mg nach sich zieht. Ein entsprechender Laserstrahl muß senkrecht zur Quantisierungsachse propagieren, da sein Wellenvektor senkrecht auf ez stehen muß. 4

Es muß noch einmal betont werden, dass zirkular polarisiertes Licht nur dann me = mg ± 1 erfordert, wenn der Laserstrahl entlang der Quantisierungsachse propagiert. In alle anderen Richtungen kann ein solcher Strahl an alle Komponenten dq koppeln. Zum Beispiel hat √ ein linkszirkular polarisierter Strahl √ entlang der x-Achse die Polarisation ε = (−ez + iey )/ 2 und koppelt wegen d · ε = −d0 / 2 − (d1 + d−1 )/2 an alle drei Komponenten. Entsprechend gilt dann me = mg + i, i = −1, 0, 1. Zum Abschluß dieses Abschnittes sollen noch einmal die allgemeinen Auswahlregeln zusammengefasst werden, die man aus den Eigenschaften der Clebsch-Gordan-Koeffizienten ableiten kann: ∆m = 0, ±1 ∆J = 0, ±1 ¨ F¨ur J 0 = J ist der Ubergang m = 0 → m0 = 0 verboten.

4

Diese Aussage ist eigentlich zu stark. Da echte Laserstrahlen immer fokussiert sind, tragen zu ihnen auch Wellenvektoren bei, die nicht exakt parallel zur Ausbreitungsachse liegen. Ein echter Laser hat daher immer auch einen kleinen longitudinal polarisierten Anteil, der aber meistens vernachl¨assigt werden kann.

Kapitel 5 ¨ Atome Das 2-Niveau Modell fur Beleuchtet man Atome im Grundzustand mit der Energie Eg mit einem Laserstrahl, dessen Photonen die Energie ~ω haben, so k¨onnen diese die Energie des Photons absorbieren und in einen angeregten Zustand mit E 0 = Eg + ~ω u¨ bergehen. Wegen der Energieerhaltung muß f¨ur den angeregten Zustand |ei E 0 ≈ Ee gelten. In dieser Situation k¨onnen alle anderen Niveaus vernachl¨assigt werden. Das Atom erscheint dann als neutrales Teilchen mit nur 2 inneren Freiheits|e0 i |ei ~ω |gi Abbildung 5.1: Absorbtion eines Photons durch ein Atom graden |gi und |ei; es a¨ hnelt damit z. B. einem einzelnen Neutron mit Spin 12 . Modelle mit 2Niveaus tauchen in der Quantenmechanik h¨aufig auf, z. B. • Spin

1 2

Teilchen

• Photonen mit Polarisation • die Bandkanten von Valenz- und Leitungsband • Atome und Molek¨ule • Ionen • Josephson-Effekt in Supraleitern • 2 Interferrometer

L V

64

Das 2-Niveau Modell f¨ur Atome • Qbits

Der Inhalt dieses Kapitels kann mathematisch auch auf diese anderen Modelle angewendet werden. Zwei-Niveau-Modelle erlauben eine bessere Veranschaulichung komplizierter Vorg¨ange. Trotz ihrer einfachen Form liefern sie oft auch quantitativ gute Ergebnisse.

5.1

Herleitung des 2-Niveau Systems

Beispiel: H-Atom Die Eigenzust¨ande (ohne Spin) haben die Form |nlmi. In Abwesenheit eines Magnetfeldes sind diese bez¨uglich m entartet. Benutzt man nun Laserlicht der Frequenz 2P 2S 1S

Abbildung 5.2: Skizze der Wasserstoff-Energieniveaus

ω ≈ (E2P − E1S )/~ so k¨onnen alle Multipletts außer 1S und 2P vernachl¨assigt werden. Wir erhalten ein System mit vier Zust¨anden. Systeme aus zwei Multipletts werden manchmal bereits als 2-Niveau Systeme bezeichnet (wegen der 2 Energieniveaus). Bei Hyperfeinspin-Entartung k¨onnen dabei recht viele Zust¨ande beteiligt sein. Um ein echtes 2-Niveau System (mit zwei

}

|e, F 0 , mF 0 i; F 0 = 0, 1, 2, 3

F =2 F =1

}

|g, F, mf i

Abbildung 5.3: Feinstrukturaufspaltung im Rb87 . Auch wenn man Licht verwendet, dass resonant mit zwei Energieniveaus (z.B. F = 1 → F 0 = 2) ist, sind im Allgemeinen sehr viele ¨ Zust¨ande an dem Ubergang beteiligt.

Zust¨anden statt zwei Energieniveaus) zu realisieren, muß man Laser mit geeigneter Polarisation benutzen und auf die spontane Emission (die auch den Auswahlregeln folgt) achten.

5.1 Herleitung des 2-Niveau Systems

65

¨ Zwei-Niveau Systeme Beispiele fur 1. Beispiel: Je = 1 σ+

Absorbtion und Emission Jg = 0

Pumpt man mit zirkular polarisiertem Licht, so kommen nur die beiden Niveaus rechts f¨ur ¨ Uberg¨ ange in Frage. Man erh¨alt so ein effektives 2-Niveau System. 2. Beispiel: π

σ+

Je =

3 2

Jg =

1 2

Absorbtion und Emission

Mechanismus: • |mg = 21 i ist nur an |me = 32 i gekoppelt und bildet ein 2-Niveau System • |mg = − 12 i ist an |me = 12 i gekoppelt. Dieser zerf¨allt spontan in |mg = − 12 i und |mg = 12 i. Bei jeder spontanen Emission wird daher Population auf das echte 2-Niveau System |mg = 12 i, |me = 32 i u¨ bertragen. • Nach vielen spontanen Emissionen sind praktisch alle Atome in diesem 2-Niveau System.

5.1.1

Darstellung von Operatoren

Ab jetzt betrachten wir nur noch ein 2-Niveau System mit den Zust¨anden |gi, |ei. Die Operatoren in diesem System werden gewonnen durch: b= O

∞ X n=0

b |ni hn| O

∞ X m=0

|mi hm| ≈

X

|ni Onm hm|

n,m=e,g

b mit: Onm = hn|O|mi =

Oee Oeg Oge Ogg

Die wichtigsten Operatoren sind: 1 Einsoperator 1 = 1 Ee Hamiltonian H0 = da |ei, |gi Eigenzust¨ande von H0 sind Eg Orts-/Dipoloperator der Elektronen x ∝ d = −ex mit den Matrixelementen he|d|gi := deg = d∗ge he|d|ei = hg|d|gi = 0

66

Das 2-Niveau Modell f¨ur Atome Das Verschwinden der Diagonalelemente folgt dabei daraus, dass |ei und |gi Eigenzust¨ande des Parit¨atsoperators sind und d die Parit¨at −1 hat. Es gilt also 0 deg 0 xeg 0 1 0 0 ∗ d = deg · + deg · = = −e (5.1) d∗eg 0 x∗eg 0 0 0 1 0 wobei xeg das Matrixelement der Relativkoordinate der Elektronen ist.

Impulsoperator der Elektronen Zun¨achst wie beim Ortsoperator hg|p|gi = 0 und he|p|ei = 0. Es sind also nur noch die Außerdiagonalelemente zu bestimmen. Dazu verwendet man einen Trick, n¨amlich: [x, H0 ] = Dies folgt aus H0 = gilt

1 2 α 2me pα

P

+

i~ p me

P

α,β V (α, β) und p =

[xα , H0 ] = =

(5.2) P

α pα , x =

P

α

xα . Denn es

X 1 [xα , p2α0 ] 2m e α0 i~ p me α

Also gilt me he|[x, H0 ]|gi i~ ime = (Ee − Eg ) he|x|gi ~

he|p|gi =

Womit also die Matrixdarstellung des elektronischen Impulses me ω0 0 −ideg p= id∗eg 0 e Ee − Eg ω0 = ~

(5.3) (5.4)

lautet.

5.1.2

Kopplung eines 2-Niveau-Atoms an ein elektromagnetisches Feld

Betrachten wir eine elektromagnetische Welle mit dem positiven Frequenzanteil des Vektorpotentials in der Form A(+) (t, R = 0) = A0 e−iωL t

R: Schwerpunkt des Atoms

(5.5)

5.1 Herleitung des 2-Niveau Systems

67

˙ Der Wechselwirkungs-Hamiltonian lautet in Dipol-Kopplung (E = −A) Hint = −d · E = −d(E (+) + E (−) ) = −iωL (deg |ei hg| + d∗eg |gi he|) (A0 e−iωL t − A∗0 eiωL t ) Zum Vergleich die minimale Kopplung: e 0 Hint = p · A = −iω0 (deg |ei hg| − d∗eg |gi he|)(A0 e−iωL t + A∗0 eiωL t ) me

(5.6)

(5.7)

Abgesehen von Vorzeichen, die sich durch Phasenfaktoren an den Basiszust¨anden und durch Verschieben der Schwerpunktskoordinate wegtransformieren lassen, liegt der Hauptunterschied in den Vorfaktoren ωL bzw. ω0 . Der Grund f¨ur diesen Unterschied ist, daß man nur einen Teil des in seiner G¨anze unit¨ar invarianten Hamiltonian betrachtet. In Abbildung 5.4 ist die unit¨are Transformation als Drehung im Hilbertraum dargestellt. Anschaulich bedeutet das: Die unit¨are Power-

|ei

|e0 i

|ei |Rest0 i

|Resti

|g 0 i

|gi

|gi

Abbildung 5.4: Unit¨are Transformation |ψ 0 i = U |ψi Zieman-Woolley-Transformation “dreht” die Zust¨ande im Hilbertraum. Die 2-Niveau-N¨aherung ist aber eine Projektion auf einen zweidimensionalen Unterraum. Je nachdem, ob man diese Projektion vor (|ei und |gi) oder nach (|e0 i und |g 0 i) der Power-Zieman-Woolley-Transformation durchf¨uhrt, erh¨alt man ein unterschiedliches Ergebnis, da man ja unterschiedliche zweidimensionale Unterr¨aume betrachtet. In der Praxis ist dieser Unterschied aber unwichtig, da lediglich der Fall ω0 ≈ ωL interessant ist. 1 Im Folgenden verwenden wir die −d · E-Kopplung. Definiere die Rabi-Frequenz Ω :=

1 1 deg · E 0 = deg · A0 ωL ~ ~

(5.8)

mit E 0 := A0 ωL , und als Abk¨urzung f¨ur eine weniger wichtige Gr¨oße: e = 1 deg E ∗ Ω 0 ~ 1

ω0 ≈ ωL ist eine Voraussetzung f¨ur das Zwei-Niveau-Modell.

(5.9)

68

Das 2-Niveau Modell f¨ur Atome

Damit ist e iωL t ) + i~ |gi he| (Ω∗ eiωL t − Ω e ∗ e−iωL t ) Hint = −i~ |ei hg| (Ωe−iωL t − Ωe Der ungest¨orte Hamiltonian ist: 1 1 Ee 0 H0 = = (Ee + Eg )1 + (Ee − Eg )σz 0 Eg 2 2

(5.10)

(5.11)

Durch Wahl von Eg (der Energienullpunkt kann beliebig gew¨ahlt werden) kann man H0 in verschiedener Weise darstellen: ~ω0 Ee − Eg Ee + Eg = 0 ⇒ H0 = σz , ω0 = (5.12) 2 ~ 1 0 1 0 Eg = 0 ⇒ H0 = (Ee − Eg ) = ~ω0 (5.13) 0 0 0 0 Im Folgenden wird von der Rotating-Wave-Approximation Gebrauch gemacht. Diese wird h¨aufig benutzt, sie funktioniert sehr gut und vereinfacht die Rechnungen erheblich. Dazu geht man zun¨achst ins Wechselwirkungsbild. Dabei wird die zeitliche Entwicklung aufgrund von H0 auf die Wellenfunktion u¨ bertragen: e = U |ψi e |ψi = e−iH0 t/~ |ψi (5.14) e˙ = H e und der Hamiltonian wird ume |ψi Die transformierte Schr¨odinger-Gleichung lautet i~ |ψi geformt gem¨aß e = −i~U † U˙ + U † (H0 + Hint )U = U † Hint U H (5.15) e i(ωL +ω0 )t ) + H.c. = −i~ |ei hg| (Ωe−i(ωL −ω0 )t − Ωe Der ei(ωL +ω0 )t -Term oszilliert sehr schnell und ist im zeitlichen Mittel daher ungef¨ahr Null. Man erh¨alt damit folgende einfache Form f¨ur den Hamiltonian im Wechselwirkungs-Bild e W W (t) = −i~e−i∆ t Ω |ei hg| + i~Ω∗ ei∆ t |gi he| H Es wurde dabei noch der Ausdruck f¨ur die Laser-Verstimmung ∆ = ωL − ω0 benutzt. Wenn man ins Schr¨odingerbild zur¨uckkehrt, ergibt sich: ~ω0 0 −iΩe−iωL t H= σz + ~ iΩ∗ eiωL t 0 2

(5.16)

(5.17)

Durch eine unit¨are Transformation l¨aßt sich erreichen, daß H nur noch vom Betrag von Ω abh¨angt. Diese verziert |ei mit einer Phase eiϕ , wobei −iΩ = |Ω|eiϕ . U : |ei → eiϕ |ei iϕ e 0 U= 0 1 Damit wird der Hamiltonian maximal vereinfacht: ~ω0 0 |Ω|e−iωL t † U HU = σz + ~ |Ω|eiωL t 0 2

(5.18)

(5.19)

¨ 5.2 Rabi-Oszillationen und Landau-Zener-Uberg¨ ange

5.2

69

¨ Rabi-Oszillationen und Landau-Zener-Uberg¨ ange

Als n¨achstes Problem sei die Zeitentwicklung eines Zustandes mit Hamiltonian H wie im vorhergehenden Abschnitt betrachtet. ω0 ψe ψe −iΩe−iωL t 2 (5.20) i~∂t =~ ω0 ∗ iωL t ψg iΩ e −2 ψg Ohne den zeitabh¨angigen Faktor eiωL t w¨are diese Gleichung recht einfach l¨osbar. Man kann ihn durch eine unit¨are Transformation entfernen: ! −i ωL t e ωL 2 0 e ψe ψ ωL = U ee (5.21) U = e−i 2 σz t = ψg 0 ei 2 t ψg Die transformierte Bewegungsgleichung ist: ! ! ψe ψee e i~∂t e = −i~U † U˙ + U † HU ψg ψeg ! n ~ω ~ω0 0 −iΩ o ψee L = − σz + σz + ~ iΩ∗ 0 2 2 ψeg

(5.22)

e Also ergibt sich f¨ur H: ∆ e = ~ − 2∗ −iΩ H ∆ iΩ 2

(5.23)

Ein solcher zeitunabh¨angiger Hamiltonian ist nur in der Rotating-Wave-Approximation m¨oglich. Die gegenrotierenden Terme w¨aren auch nach der Transformation Gleichung (5.21) noch zeitabh¨angig. Die Schr¨odinger-Gleichung l¨aßt sich nun einfach l¨osen: ! ψee (t) e −itH/~ = e ψeg (t)

ψee (0) ψeg (0)

! (5.24)

e um. Es treten nur drei Komponenten auf, da der Hamiltonian spurfrei und Schreibe nun H hermitisch ist.   ImΩ e = ~n · σ, (5.25) H n = ReΩ − ∆2 Der Ausdruck e−itn·σ l¨aßt sich in eine Potenzreihe entwickeln: −itn·σ

e

∞ X 1 = (−it)l (n · σ)l l! l=0

(5.26)

70

Das 2-Niveau Modell f¨ur Atome

F¨ur das Produkt zweier σ-Matrizen gilt: σi σj = iεijk σk + δij 1 ⇒ (n · σ)2 = ni σi nj σj = ni nj (iεijk σk + δij 1) = |n|2 1 (n · σ)2l = |n|2l 1

(5.27) (5.28) (5.29)

Damit l¨aßt sich e−itn·σ schreiben: ∞ ∞ X X (−it)2l (−it)2l+1 −itn·σ 2l e = (n · σ) + (n · σ)2l+1 (2l)! (2l + 1)! l=0 l=0 e−itn·σ = cos(|n|t)1 − i

n·σ sin(|n|t) |n|

(5.30) (5.31)

Als weitere Abk¨urzung verwenden wir: s w := |n| =

∆ 2

2 + |Ω|2

(5.32)

Dieser Ausdruck ist nur vom Betrag von Ω abh¨angig. Wenn das Atom anfangs im Grundzustand ist, lautet die L¨osung ! ! Ω ψee (t) −w ψee (0) 0 sin(wt) = ⇒ = ∆ 1 cos(wt) − i 2w sin(wt) ψeg (t) ψeg (0)

(5.33)

Die Wahrscheinlichkeitsamplitude ψee (t) f¨ur die Anregung oszilliert mit der Frequenz w, man nennt dies die Rabi-Oszillationen. Es gilt: |Ω|2 2 e Pe (t) = |ψe (t)| = 2 sin2 (wt) w

(5.34)

Der maximale Wert von Pe wird erreicht f¨ur wt = π/2 + nπ und ist gegeben durch |Ω|2 Pe ∝ ∆ 2 ( 2 ) + |Ω|2

(5.35)

Wenn der Laser nicht gegen¨uber der Resonanzfrequenz verstimmt ist, ∆ = 0, ist vollst¨andige Anregung (Pe = 1) m¨oglich. Pe h¨angt stark von der Verstimmung ab: |Ω|2 1 (5.36) ∆2 Die Anregungswahrscheinlichkeit h¨angt also vom Verh¨altnis der Rabi-Frequenz zur Verstimmung ab. 2 Diese Ergebnisse sind sehr relevant f¨ur Atomoptik, Quantenoptik, Elektronen-Spinresonanz, Kernspinresonanz, Interferometrie und in vielen weiteren Bereichen. ∆ |Ω|

2

⇒

Pe ≈

Es wird oft behauptet, dass die Anregungswahrscheinlichkeit vom Verh¨altnis der Rabi-Frequenz zur Lebensdauer des angeregten Zustands abh¨angt. Wie wir sp¨ater sehen werden ist dieses Verh¨altnis f¨ur kleine LaserVerstimmungen auch wichtig. Das Verh¨altnis Ω/∆ spielt jedoch allgemein die gr¨oßere Rolle.

¨ 5.2 Rabi-Oszillationen und Landau-Zener-Uberg¨ ange

71

Durch Laserpulse mit bestimmter Zeitdauer kann man wohldefinierte Zust¨ande erzeugen. Der sogenannte ideale π2 -Puls 3 erzeugt eine 50-50 Superposition von Anregung und Grundzustand: π t= ⇒ 4Ω

∆=0

−itn·σ

U =e

1 =√ 2

1 −1 1 1

Der ideale π-Puls bringt alle Elektronen in den angeregten oder abgeregten Zustand: π 0 −1 ∆=0 t= ⇒ U= 1 0 2Ω

(5.37)

(5.38)

Zur Veranschaulichung der Zust¨ande in einem Zwei-Niveau-System dient der Bloch-Vektor, der die Komponenten hσi = (v, w, u) hat. Es gilt u = hσz i = |ψe |2 − |ψg |2 v = hσx i = ψe∗ ψg + ψg∗ ψe

(5.39)

w = hσy i = −i(ψe∗ ψg − ψg∗ ψe ) Der Bloch-Vektor eines reinen Zustandes hat die L¨ange 1, er bewegt sich auf der Blochkugel mit Radius 1 um den Koordinatenursprung.

z 1 |ψe | = 1 π-Puls y x

-1

u2 + v 2 + w 2 = 1

|ψg | = 1

Abbildung 5.5: Die Bloch-Kugel Bei einem nicht verstimmten Laser lassen sich die Rabi-Oszillationen so beschreiben: ψe − sin(Ωt) = ψg cos(Ωt) 3

(5.40)

In der Praxis h¨angt die Verstimmung eines Atoms wegen des Doppler-Effekts auch von seinem SchwerpunktsImpuls ab. Bei Zimmertemperatur macht dies einen idealen π/2 Puls in der oben dargestellten Form unm¨oglich. F¨ur kalte Atome oder mit bestimmten Tricks lassen sich jedoch solche Pulse mit sehr guter Effizienz herstellen.

72

Das 2-Niveau Modell f¨ur Atome

Der Bloch-Vektor ist dann:

F¨ur einen π-Puls, t =

π 2Ω

    v − sin(2Ωt) w  =   0 (5.41) u − cos(2Ωt) beschreibt der Bloch-Vektor einen Halbkreis, siehe Abbildung 5.5.

Interferometrie mit zwei internen Zust¨anden: ein Beispiel zur Anwendung von π und π/2 Pulsen 2-Niveau-Systeme und Rabi-Oszillationen lassen sich zur Herstellung eines Interferometers verwenden. Die beiden Zust¨ande spielen dabei die Rolle der Interferometer-Arme, die Rabi-Oszillationen k¨onnen Strahlteiler und Spiegel realisieren. Anschauliche Darstellung der Anordnung:

Phasenschieber

|gi |gi |ψ0 i

|ei π 2

|ψ1 i

|ψ2 i

− π2

|ψ3 i

|ψ0 i = |gi =

0 1

|ψ1 i = Uπ/2 |ψ0 i 1 1 −1 0 =√ 1 1 1 2 1 −1 =√ 1 2 1 ⇔ √ (|gi − |ei) 2 iϕ e 0 |ψ2 i = |ψ1 i 0 1 1 = √ |gi − eiϕ |ei 2 |ψ3 i = U−π/2 |ψ2 i 1 1 1 1 −eiϕ √ =√ 1 2 −1 1 2 −iϕ 1 1−e = 1 + eiϕ 2

¨ 5.2 Rabi-Oszillationen und Landau-Zener-Uberg¨ ange

73

1 |gi 1 + eiϕ + |ei 1 − eiϕ 2 Messe die Anzahl der Atome in |ei: ⇔

Pe = |hψ3 |ei|2 1 2 1 iϕ = 1 − e = (1 − cos ϕ) 2 2

5.2.1

¨ Landau-Zener-Uberg¨ ange

¨ Landau-Zener-Uberg¨ ange sind nicht so wichtig wie Rabi-Oszillationen, spielen aber eine große Rolle zur Erkl¨arung vieler Ph¨anomene. Wesentlicher Unterschied zu Rabi-Oszillationen: Das ˙ 0t Detuning ist zeitabh¨angig ∆ = ∆(t) = ∆ ! ˙ − ∆20 t Ω H=~ ˙0 ∆ Ω t 2 wobei wir in der Rotating Wave Approximation arbeiten und Ω ∈ R annehmen. Bewegungsgleichung: 1˙ iψ˙ e = − ∆ 0 tψe + Ωψg 2 1˙ iψ˙ g = ∆ 0 tψg + Ωψe 2

(5.42)

Leite die Gleichung f¨ur ψ˙ g nach der Zeit ab und erhalte 1˙ 1˙ ˙ ˙ iψ¨g = ∆ 0 ψg + ∆0 tψg + Ωψe 2 2 Einsetzen von (5.42) liefert ˙2 t2 ∆ i ˙ 0 ψ¨g = − Ω2 + + ∆ 0 4 2

! ψg

p ˙0 F¨uhre neue Variable y ≡ t ∆ ⇒

ψg00

=−

y2 Ω2 i + + ˙0 2 4 ∆

ψg

Das ist die Standard-Form der DGL f¨ur parabolische Zylinderfunktionen (siehe [16]). Die L¨osungen lassen sich durch konfluente hypergeometrische Funktionen darstellen und haben typischer weise folgendes Aussehen f¨ur ψg (−∞) = 1 :

74

Das 2-Niveau Modell f¨ur Atome

Die asymptotische Anregungewahrscheinlichkeit P0 (+∞) kann analytisch berechnet werden und lautet: 2 −π Ω P0 (+∞) = 1 − |ψg (+∞)|2 = 1 − e 2∆˙ 0 ¨ Landau-Zener-Uberg¨ ange sind in verschiedenen Bereichen wichtig. Die urspr¨ungliche Anwendung liegt in der Molek¨ulphysik:

• Das Licht mit der Frequenz ωL ist nur f¨ur einen bestimmten Kernabstand R0 resonant. • Die Zeitentwicklung der Elektronenzust¨ande wird mit den Zust¨anden |e(R)i, |g(R)i beschrieben und ist viel schneller als die Kernbewegung (wegen Mp Me ) • Der Kernabstand geht dann als (langsam zeitlich variierender) Parameter in die Bewegungsgleichungen der Elektronen ein: ψ˙ e −∆E(R(t))/2 Ω ψe i~ = Ω ∆E(R(t))/2 ψg ψ˙ g

5.3 Dressed States

75

• In der N¨ahe von R0 gilt ∆E(R(t)) = Ee − Eg ≈ ∆E(R0 ) +E 0 (R − R0 ) | {z } | {z } ≈v0 t

~ωL

⇒ ∆(t) = ωL − ∆E(R(t))/~ = −E 0 v0 t/~ ¨ Landau-Zener-Uberg¨ ange sind auch wichtig f¨ur STIRAP und Bloch-Oszillatoren.

5.3 Dressed States Dressed States heißen allgemein Zust¨ande, die Eigenzust¨ande von H einschließlich der Wechselwirkung mit einer oder wenigen Lichtmoden sind. Einfachster Fall: Wechselwirkung mit einem Laserstrahl wie oben Hψ = Eψ ∆ −2 Ω H=~ Ω∗ ∆2 Die Eigenwerte dazu sind s E± = ±~w = ±~

ψ (±)

1 =√ 2w

∆ 2

2

+ |Ω|2

√ Ω p w±∆/2 ± w ± ∆/2

!

Asymptotischer Fall, das heißt ∆ |Ω|. Verwende s ! |∆| |Ω|2 |∆| 1 |Ω|2 w= 1+ 2 ≈ 1+ + ... 2 ∆ /4 2 2 ∆2 /4

76

Das 2-Niveau Modell f¨ur Atome ψe(+) ψe(−)

0 ∆→∞ 1 ∆ → −∞

1 ∆→∞ 0 ∆ → −∞

→ →

Man nennt dieses Ph¨anomen “avoided crossing”: F¨ur Ω = 0 sind die Eigenzust¨ande ψe und ψg . Ihre Eigenwerte kreuzen sich dann bei ∆ = 0. Die Kopplung durch den Laserstrahl f¨ur Ω 6= 0 macht daraus zwei sich nicht schneidende Hyperbeln mit Energieabstand 2~ |Ω|. Bemerkenswert: Folgt man einer Hyperbel, so geht man auf E− von ψg nach ψe und auf E+ ¨ von ψe nach ψg . Man kann f¨ur zeitabh¨angige ∆(t) einen Ubergang von ψg nach ψe machen, ohne je einen Eigenvektor von H(t) verlassen zu m¨ussen. ¨ Dies h¨angt eng mit Landau-Zener-Uberg¨ angen zusammen: Tunneln zwischen E− und E+ ¨ entspricht den nicht angeregten Atomen. Bei einem (Landau-Zener-) Ubergang versucht der Zustand jedoch auf einer Hyperbel zu bleiben. ¨ Man kann die asymptotische Ubergangswahrscheinlichkeit auch mit Hilfe des Tunnelns zwischen den zwei Hyperbeln verstehen. Nach der WKB-N¨aherung (siehe z.B. [17]) kann die Tunnelwahrscheinlichkeit zur anderen Hyperbel durch P = e−∆Et/~ mit ∆E = 2 |Ω| ausgedr¨uckt ~ werden. Die typische Zeitskala t f¨ur das Tunneln ist in etwa dadurch gegeben, dass der Abstand zwischen den Hyperbeln auf 4 |Ω| angestiegen ist 2 ∆(t) 2 ⇔ 4 |Ω| = + |Ω|2 2 ˙ 0 t ≈ 4 |Ω| ⇒∆=∆ ⇒t= −

⇒P =e

5.3.1

4 |Ω| ˙0 ∆

2|Ω|4|Ω| ˙ ∆ 0

−

=e

8|Ω|2 ˙ ∆ 0

Dressed States in einer Cavity

Weitaus h¨aufiger verwendet man den Begriff dressed states f¨ur ein quantisiertes Strahlungsfeld. Die Form des Zwei-Niveau-Hamiltonians kann genauso wie vorher hergeleitet werden. Einziger Unterschied: die Rabi-Frequenz wird operator-wertig: b (+) (x) b = 1 deg · E Ω ~ Daraus folgt der Hamilton-Operator zu: h i ~ω0 b b H= σz − deg · E(x) |ei hg| + d∗eg · E(x) |gi he| + Hrad 2 Dieses transformieren wir u¨ ber U = e−i

ω0 σ t 2 z

e−i

Hrad t ~

(5.43)

(5.44)

(5.45)

5.3 Dressed States

77

wieder in das Wechselwirkungsbild: h i b Hint = − deg |ei hg| eiω0 t + d∗eg |gi he| e−iω0 t · E(x, t)

(5.46)

Dabei gilt: Z b E(x, t) = i

s d3 k

~ωk eikx e−iωk t εkσ akσ + h. c. 2(2π)3 ε0

X σ

(5.47)

Veranschaulichen wir uns die Terme |ei hg| akσ und |ei hg| a†kσ :

Abbildung 5.6: Der Term auf der rechten Seite ist in gewisser Weise unphysikalisch und wird in der RWA vernachl¨assigt Die RWA vernachl¨assigt also die Prozesse Absorption & Abregung sowie Emission & Anregung. Gehen wir (in RWA) wieder in das Schr¨odinger-Bild:

HSchroed

~ω0 σz + = 2

Z

3

dk

X

~ωk a†kσ akσ

Z +~

d3 k

σ

Xh

|ei hg| akσ gkσ + H. c.

i

(5.48)

σ

wobei gkσ gegeben ist durch: gkσ = −ideg · εkσ

r

ωk eikx 2~(2π)3 ε0

(5.49)

Besonders oft studiert wurde das Modell mit nur einer Photon-Mode, das sog. Jaynes-CummingsModell. F¨ur dieses ergibt sich aus Gleichung (5.48) ω 0 † + ∗ − † H=~ σz + ωL a a + gσ a + g σ a . (5.50) 2 Hierbei ist σ ± definiert durch: +

σ =

0 1 0 0

Dieses Modell ist sinnvoll f¨ur den Fall, dass

−

σ =

0 0 1 0

(5.51)

78

Das 2-Niveau Modell f¨ur Atome • nur eine Mode besetzt ist (na nkσ ), also im wesentlichen f¨ur einen klassischen Laserstrahl • nur eine Mode in einer Cavity resonant ist.

In der Cavity-Quantenelektrodynamik sind in den letzten 15 Jahren große Fortschritte gemacht worden. Die grundlegende Idee kann an einer idealen Cavity erl¨autert werden, die aus einem Hohlraum besteht, dessen W¨ande ideale Spiegel sind. Diese W¨ande sorgen f¨ur Randbedingungen an das elektrodynamische (Quanten-)Feld, wodurch im wesentlichen nur Moden mit der Wellenl¨ange λn = 2L/n zugelassen sind. Deren Frequenzen ωn = 2πc/λn ∝ n sind diskret ¨ und sind nur f¨ur ωn ≈ (Ee − Eg )/~ mit dem atomaren Ubergang resonant, so dass nur Moden f¨ur ein bestimmtes n ber¨ucksichtigt werden m¨ussen. Um die Gr¨oßenordnungen zu nennen: bei Mikrowellen benutzt man Resonatoren der L¨ange L ≈ 1 cm mit n ≈ 1, bei Licht dagegen Resonatoren der L¨ange L ≈ 1 − 10 cm und n ≈ 106 1. Reale Cavities sind nie ideal. Ein Maß f¨ur die G¨ute ist der Qualit¨atsfaktor Q, der die Anzahl der Durchl¨aufe eines Photons angibt, bis dieses statistisch verloren ist. F¨ur sehr gute Cavities erreicht man Q ≈ 106 . Dabei ist nur eine Polarisationsrichtung resonant, da die Spiegel immer aus doppelbrechendem Material sind. In einer 3d-Cavity wird auch die spontane Emission modifiziert, da das Atom nur in bestimmte Moden emittieren und die emittierten Photonen wieder absorbieren kann. Dressed States in einer Cavity sind allgemein darstellbar durch X |ψi = ψe (n) |e, ni + ψg (n) |g, ni (5.52) n

Wir suchen die Eigenwerte von H |ψi = E |ψi. Dies f¨uhrt uns zu dem Gleichungssystem: √ ~ω0 (E + − n~ωL )ψg (n) = ~g ∗ nψe (n − 1) (5.53) 2 √ ~ω0 − (n − 1)~ωL )ψe (n − 1) = ~g ∗ nψg (n) (E − (5.54) 2 wobei wir f¨ur die untere Gleichung ψe (n − 1) w¨ahlen, da dieses an ψg (n) √koppelt. (Anregung geschieht durch Absorption eines Photons!). Mit den Ersetzungen Ωn := g n und ∆ = ωL − ω0 k¨onnen wir dieses Gleichungssystem auch schreiben als: ψ (n − 1) − ∆ Ω ψ (n − 1) 1 1 e n e 2 E − n − ~ωL = (5.55) ∆ ∗ ψ (n) ψg (n) Ω ~ 2 g n 2 Diese Gleichung ist dieselbe wie beim klassischen EM-Feld. Daher k¨onnen wir die Eigenwerte sofort ablesen zu: s 2 1 ∆ En,± = n − ~ωL ± ~ + |Ωn |2 (5.56) 2 2 Die Energien h¨angen h¨angen also von n ab, das bedeutet, dass bei einer Superposition von Zust¨anden mit verschiedenen n die einzelnen Phasenfaktoren (e−iEn,± t/~ ) auseinanderlaufen. Dies f¨uhrt wegen destruktiver Interferenz zu Collapse and Revival der Anregungswahrscheinlichkeit. Literatur: [5], [6]

¨ 5.4 Modelle mit wenigen Niveaus, Dunkelzust¨ande, Raman-Uberg¨ ange

5.4

79

Modelle mit wenigen Niveaus, Dunkelzust¨ande, Raman¨ Uberg¨ ange

Am Gebr¨auchlichsten ist das Drei-Niveau-Modell. Um zu solch einem System zu gelangen, muss ¨ man Laser geeignet einstrahlen. Das schematische Beispiel zeigt Uberg¨ ange von J = 1 nach 0 0 0 ¨ J = 1. Hierbei ist der Ubergang von J nach J mit m = m = 0 verboten. Durch Einstrahlen von σ+ und σ− -Licht kann man daher das Niveau m = 0, J = 1 entv¨olkern und erh¨alt ein sog. Λ-System aus den Zust¨anden |J = 1, m = ±1i und |J 0 = 1, m0 = 0i.

¨ Abbildung 5.7: Die Vektoren bezeichnen die Uberg¨ ange, die durch σ± -Licht angeregt werden. Die gewellten Linien zeigen zus¨atzliche m¨ogliche Abregungen durch spontane Emission auf. Der Hamilton-Operator dieses Systems in RWA ist:   Ee ~Ω+ e−iω+ t ~Ω− e−iω− t  E+ 0 H =  ~Ω∗+ eiω+ t ∗ iω− t ~Ω− e 0 E−   −iω+ t 0 ~Ω+ e ~Ω− e−iω− t  E+ − Ee 0 = Ee 1 +  ~Ω∗+ eiω+ t ~Ω∗− e−iω− t 0 E− − Ee

(5.57)

Wir f¨uhren wieder eine Transformation durch, um die Zeitabh¨angigkeit zu entfernen: ψe± = e−iω± t ψ± (5.58) Dies f¨uhrt zu dem zeitunabh¨angigen Hamiltonian   0 Ω + Ω− H = ~  Ω∗+ ∆+ 0  + Ee 1 Ω∗− 0 ∆− wobei wir ∆± = ω± −

5.4.1

Ee −E± ~

(5.59)

gesetzt haben.

Dunkelzust¨ande (Dark States)

Betrachte den Fall der Zwei-Photonen-Resonanz: ∆+ = ∆− , dabei bedeutet ∆± 6= 0, dass ¨ einzelne Photonen nicht resonant mit den Uberg¨ angen |±i → |ei sind. Bei der Zwei-PhotonenResonanz hat man aber ~(ω+ − ω− ) = E− − E+ . Das folgt direkt aus ∆+ = ∆− wegen ~ω+ − Ee + E+ = ~ω− − Ee + E−

80

Das 2-Niveau Modell f¨ur Atome

Ist die Bedingung der Zwei-Photonen-Resonanz gegeben, so existiert ein Eigenzustand des Hamiltonians, der Dunkelzustand genannt wird: |ψD i =

Ω− Ω+ |+i − |−i Ω Ω

(5.60)

q mit Ω := |Ω− |2 + |Ω+ |2 . Die Wirkung des Hamiltonians auf diesen Zustand ist 

  0 Ω + Ω− 0 H |ψD i = ~  Ω∗+ ∆+ 0   Ω− /Ω  Ω∗− 0 ∆− −Ω+ /Ω   Ω+ Ω− Ω− Ω+   0 − Ω2 Ω2 ∆+ Ω−  = ~∆  Ω−  = ~ Ω Ω Ω+ −∆− Ω+ − Ω Ω falls ∆+ = ∆− = ∆. Also ist im Fall der Zwei-Photonen-Resonanz |ψD i ein Eigenzustand von H, der keine angeregte Komponente hat. Die Anregungswahrscheinlichkeit ist null, die Atome ¨ sind f¨ur dieses (!) Lichtfeld transparent. 4 Die Ubergangsamplituden interferieren destruktiv. Einfacher Spezialfall: Ω+ = 0 ⇒ |ψD i = |+i

¨ Andert man die Rabi-Frequenzen, so kann |ψD i angeregt werden. Zu |ψD i gibt es auch einen entsprechenden gekoppelten Zustand, den Bright State: Ω∗+ Ω∗− |ψB i = |+i + |−i Ω Ω

(5.61)

F¨ur diesen gilt H |ψB i = Ω |ei + ∆ |ψB i |ψD i und |ψB i bilden eine alternative Basis zu |+i, |−i. Spontane Emission transferiert im Allgemeinen |ei sowohl in |ψD i als auch |ψB i, da der Dunkelzustand nur f¨ur die Photonen der beiden Laserstrahlen dunkel ist und an andere Lichtmoden koppeln kann: |ei Ω |ψD i |ψB i 4

Dies gilt auch, wenn keine Zwei-Photonen-Resonanz vorliegt.

¨ 5.4 Modelle mit wenigen Niveaus, Dunkelzust¨ande, Raman-Uberg¨ ange

81

Das kann zum Pumpen in |ψD i verwendet werden (siehe Kapitel u¨ ber Laserk¨uhlung). F¨ur ∆+ 6= ∆− ist |ψD i kein Eigenzustand des Hamiltonians mehr und entwickelt sich mit der Zeit zu |ψB i, von dem aus das Atom angeregt werden kann. Der Pumpzyklus funktioniert dann nicht mehr. ¨ Die anschauliche Bedeutung der Dunkelzust¨ande kann man am Beispiel eines Uberganges mit Jg = Lg = 1 nach Je = Le = 0 verstehen. Dieses Beispiel ist zwar nicht besonders realistisch, da f¨ur die meisten Grundzust¨ande der Bahndrehimpuls Lg verschwindet, es erlaubt aber, den Mechanismus hinter Dunkelzust¨anden im Kern zu verstehen. 5 Betrachten wir dazu die Form der elektronischen Zust¨ande |ei = |Le = me = 0i und |mi = |Lg = 1, mg = mi im Ortsraum. Schreibt man die Relativkoordinate des Elektrons in sph¨arischen Koordinaten,   r sin ϑ cos ϕ x =  r sin ϑ sin ϕ  r cos ϑ so ergibt sich f¨ur die Zust¨ande hx| − 1i = Y1,−1 (ϑ, ϕ)rfg (r) = re−iϕ sin ϑfg (r) = (x − iy)fg (r) hx|0i = r cos ϑfg (r) = zfg (r) hx|1i = (x + iy)fg (r) hx|ei = Y0,0 fe (r) = fe (r) Damit lassen sich die Matrixelemente des Dipolmoments −ex wie folgt berechnen: de,−1 = he| − ex |−1i   Z x = −e d3x fe∗ f−1 (r)(x − iy)  y  z  2  Z x − ixy = −e d3x fe∗ f−1 (r)  xy − iy 2  xz − iyz aus Symmetriegr¨unden x → −x0 oder y → −y 0 folgt  x2 d3x fe∗ (r)f−1  −iy 2  0 

Z de,−1 = −e 5

In realistischen Atomen hat man z.B. Lg = 0, S = 1, Le = 1 so dass Jg = 1 und Je = 0 f¨ur eine ΛKonfiguration. Obwohl hierbei die Bahndrehimpulse genau umgekehrte Werte als in unserem Beispiel haben, sorgen die Auswahlregeln daf¨ur, dass die folgenden Argumente auch auf diesen Fall u¨ bertragen werden k¨onnen.

82

Das 2-Niveau Modell f¨ur Atome

R R Da wiederum aus Symmetriegr¨unden f (r)x2 = f (r)y 2 gilt, findet man de,−1 ∼ (1, −i, 0). Analog kann man zeigen, dass de,1 ∼ (1, i, 0) und de,0 ∼ (0, 0, 1) gilt. Betrachten wir nun als Beispiel den Fall, dass linear in x-Richtung polarisiertes Licht eingestrahlt wird. Wir haben also E ∼ ex . Wegen √ 1 1 ε+ + ε− = √ (ex + iey ) + √ (ex − iey ) = 2ex 2 2 ist dies a¨ quivalent dazu, dass wir links- und rechtszirkular polarisiertes Licht mit gleicher Intensit¨at einstrahlen. F¨ur die zugeh¨origen Rabi-Frequenzen ergibt sich 

   1 1 1    i 0 =1 ⇒ Ω+ = de,+1 · E ∼ · ~ 0 0     1 1 1    −i 0 =1 Ω− = de,−1 · E ∼ · ~ 0 0 ⇒ Ω+ = Ω − Die Rabi-Frequenzen sind also gleich, so dass sich der Dunkelzustand (5.60) zu 1 |ψD i = √ (|+1i − |−1i) 2 ergibt. Die Ortsdarstellung dieses Zustandes ist 1 ψD (x) = √ (ψ+1 (x) − ψ−1 (x)) 2 1 = √ {(x + iy) fg (r) − (x − iy) fg (r)} 2 √ = 2iyfg (r)

(5.62)

⇒ψD ist antisymmetrisch in y-Richtung, es entspricht einer Hantel entlang y (da es ein p-Zustand ist): x P-Hantel -

+ y

Jetzt wo wir wissen, wie der Dunkelzustand r¨aumlich aussieht, k¨onnen wir uns die Wechselwirkung des Atoms mit dem Lichtfeld n¨aher anschauen. Die klassische Wechselwirkung eines elektrischen Feldes mit einem Atom besteht darin, dass positive und negative Ladungen gegeneinander verschoben werden, und zwar entlang der Richtung von E:

¨ 5.4 Modelle mit wenigen Niveaus, Dunkelzust¨ande, Raman-Uberg¨ ange +

E=0

83

+ E 6= 0

Die anf¨anglich symmetrische Ladungsdichte des Atoms wird dabei asymmetrisch. In der Quantenmechanik ergibt sich ein a¨ hnliches Bild. E erzeugt dann eine Superposition von |ei und |gi. In unserem Beispiel ist |ei symmetrisch im Ortsraum und alle drei Grundzust¨ande antisymmetrisch. 6 Die Superposition ist im Allgemeinen asymmetrisch.

Die Ladungsdichte der Elektronen ist gegeben durch %(x) = −e|ψ(x)|2 . Sie ist symmetrisch sowohl f¨ur den reinen angeregten Zustand |ei als auch f¨ur die drei Grundzust¨ande. Erst die Superposition erzeugt eine asymmetrische Ladungsverteilung:

Die Superposition der Zust¨ande ist also die quantenmechanische Beschreibung der Tatsache, dass die Ladungen im elektrischen Feld gegeneinander verschoben werden. F¨ur normale Atome findet man f¨ur jeden Laserstrahl und sein zugeh¨origes elektrisches Feld einen p-Zustand, mit dessen Hantel man durch Superposition eine entlang der elektrischen Feldrichtung verschobene Ladungsverteilung erzeugen kann. Bei einem Dunkelzustand geht das nicht: in unserem Beispiel zeigt das elektrische Feld entlang der x-Achse, der Dunkelzustand (5.62) ist aber antisymmetrisch in y-Richtung. Sind die Atome also im Dunkelzustand pr¨apariert, so kann das elektrische Feld ihre Ladungsdichte nicht in x-Richtung verschieben.

6

Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass dies genau umgekehrt ist, wie es bei Atomen normalerweise der Fall ist.

84

Das 2-Niveau Modell f¨ur Atome

¨ 5.4.2 Raman-Uberg¨ ange Betrachte die Zeitentwicklung der Zust¨ande mit   0 Ω + Ω− H = ~  Ω∗+ ∆+ 0  Ω∗− 0 ∆−

(5.63)

⇒ iψ˙ e = Ω+ ψ+ + Ω− ψ− iψ˙ ± = ∆± ψ± + Ω∗± ψe Ansatz: ψ± = e−i∆± t ψ˜± ⇒ iψ˙ e = Ω+ e−i∆+ t ψ˜+ + Ω− e−i∆− t ψ˜− iψ˜˙ ± = Ω∗± ei∆± t ψe

(5.64) (5.65)

Wegen |ψe | ≤ 1 ergibt sich daraus, dass |ψ˜˙ ± | ≤ |Ω± | gilt. Die formale L¨osung f¨ur ψe lautet Z t n o 0 −i∆+ t0 ˜ 0 −i∆− t0 ˜ 0 ψe (t) = ψe (0) −i dt Ω+ e ψ+ (t ) + Ω− e ψ− (t ) (5.66) | {z } 0 ≡0

˜ Betrachte den Fall großer Verstimmungen: |∆± | |Ω± |. In diesem Fall variiert ψ± (t) langsam gegen¨uber e−i∆± t , da ψ˜˙ ± ≤ |Ω± | |∆± |. Man kann daher unter dem Integral ψ˜± (t0 ) ≈ ψ˜± (t) setzen und nur u¨ ber die schnell variierenden Terme integrieren. Damit folgt Ω+ −i∆+ t Ω− −i∆− t ψe (t) ≈ e − 1 ψ˜+ (t) + e − 1 ψ˜− (t) ∆+ ∆− Einsetzen in Gl. (5.65) ergibt Ω+ −i∆+ t Ω− −i∆− t ˙ ∗ i∆± t ˜ ˜ ˜ iψ± = Ω± e e − 1 ψ+ (t) + e − 1 ψ− (t) ∆+ ∆− oder ausmultipliziert f¨ur eine Komponente iψ˜˙ + =

Ω∗ Ω− i(∆+ −∆− )t |Ω+ |2 1 − ei∆+ t ψ˜+ (t) + + e − ei∆+ t ψ˜− (t) ∆+ | {z } ∆− | {z } ≈1

≈ei(∆+ −∆− )t

wobei schnell variierende Terme sich wegmitteln und deshalb gegen¨uber langsamen Termen vernachl¨assigt werden k¨onnen. 7 Zusammengefasst kann man daher eine effektive Zwei-NiveauGleichung f¨ur die beiden Grundzust¨ande formulieren: ∂ ψ˜+ ψ˜+ i~ = Heff (5.67) ψ˜− ∂t ψ˜− 7

Im Gegensatz dazu hatten wir in Gl. (5.65) ausschließlich schnell variierende Terme, so dass wir sie dort nicht vernachl¨assigen durften.

¨ 5.4 Modelle mit wenigen Niveaus, Dunkelzust¨ande, Raman-Uberg¨ ange mit Heff = ~

|Ω+ |2 ∆+ −i(∆+ −∆− )t

Ω∗− Ω+ e ∆+

Ω∗+ Ω− i(∆+ −∆− )t e ∆− |Ω− |2 ∆−

85

! (5.68)

Der stets nur schwach besetzte angeregte Zustand tritt hier nicht mehr auf. Man nennt dies adiabatische Eliminierung des angeregten Zustandes. Die Matrixelemente von Heff sind proportional zu Ω2 /∆. Dieser Ausdruck kann auch f¨ur kleine Anregungswahrscheinlichkeiten Pe = Ω2 /∆2 groß sein. Aus dieser Tatsache folgt die große ¨ praktische Bedeutung von Raman-Uberg¨ angen, denn eine geringe Anregungswahrscheinlichkeit bedeutet, dass spontane Emission und der damit verbundene Koh¨arenzverlust der Wellenfunkti¨ on stark unterdr¨uckt ist. Man kann daher Atome mit Raman-Uberg¨ angen koh¨arent manipulieren. Die Zeitskala des Koh¨arenzverlustes (Dekoh¨arenz) ist die Anregungwahrscheinlichkeit multipliziert mit der spontanen Emissionsrate, γPe . Typisches Zahlenbeispiel: Ω = 109 Hz, γ = 107 Hz, ∆ = 1010 Hz. Damit folgt Ω2 /∆ = 108 Hz und γPe = 105 Hz. Die effektive Rabi-Frequenz Ω∗ Ω− Ωeff := + (5.69) ∆ bestimmt die Kopplung zwischen den beiden Grundzust¨anden. Hierbei ist der Index ± an der Verstimmung bewusst weggelassen worden, denn es ergibt sich folgendes Problem. Heff ist nicht mehr hermitesch, da im Allgemeinen ∆− 6= ∆+ ist. Warum kann man diesen Operator dennoch verwenden? Der Grund liegt darin, dass die adiabatische Entwicklung des angeregten Zustands ψe =

Ω− Ω+ ˜ ψ+ e−i∆+ t − 1 + ψ˜− e−i∆− t − 1 ∆+ ∆−

(5.70)

als Entwicklung von ψe nach Potenzen von ∆1± angesehen werden kann. ψe ist korrekt bis zur ersten Ordnung in ∆1± , sofern alle Frequenzen Ω± , ∆+ − ∆− ∆± sind. Daher muss man folgende Entwicklung machen: 1 1 = ∆− (∆− − ∆+ ) + ∆+ 1 1 ≈ − 2 (∆− − ∆+ ) + . . . ∆+ ∆+ 1 1 = + O(( 2 )) ∆+ ∆+

(5.71) (5.72)

Heff ist also hermitesch bis zur ersten Ordnung in ∆1± . F¨uhrt man nun die effektive Rabi-Frequenz nach (5.69) ein, so kann man Heff durch ∗ Ωeff ei(∆+ −∆− )t Heff = ~ (5.73) Ω∗eff e−i(∆+ −∆− )t ∗ darstellen. Dieser Hamiltonian ist analog dem des Zwei-Niveau-Systems.

86

Das 2-Niveau Modell f¨ur Atome

5.5

Adiabatisches Theorem, STIRAP

¨ Die STImulated Rapid Adiabatic Passage ist eine Methode, Dunkelzust¨ande und Raman-Uberg¨ ange hocheffizient miteinander zu kombinieren. Sie benutzt das Adiabatische Theorem: Gegeben sei ein zeitabh¨angiger Hamiltonian H(t) mit Eigenzust¨anden |n(t)i, H(t) |n(t)i = En (t) |n(t)i. Ein Zustand |ψ(t)i folgt adiabatisch dem Zustand |n(t)i, falls ˙ H(t) (unendlich) langsam variiert (H/H −→ 0). Dann gilt: |ψ(t)i = eiφ(t) |n(t)i

(5.74)

Den exakten Beweis f¨uhren wir an dieser Stelle nicht, aber der Satz soll im Folgenden motiviert werden: Zu l¨osen ist i~∂t |ψ(t)i = H(t) |ψ(t)i mit |ψ(0)i = |n(0)i. Dazu macht man den Ansatz X |ψ(t)i = cn (t) |n(t)i (5.75) n

Dies in die Schr¨odinger-Gleichung eingesetzt ergibt: X i~∂t |ψi = i~ {c˙n |ni + cn |ni} ˙ n

= H |ψi X En (t)cn (t) |n(t)i =

(5.76)

n

Multipliziert man diese Gleichung von links mit hm(t)|, so ergibt sich unter der Voraussetzung hm(t)|n(t)i = δnm : ic˙m + i

X

cn hm|ni ˙ =

n

Em cm ~

(5.77)

Ansatz f¨ur die Koeffizienten cm (t) : Z t 0 0 cm (t) = exp −i dt Em (t )/~ · c˜m (t)

(5.78)

0

Es ergibt sich f¨ur c˜˙m : c˜˙m = −

X n

Z

c˜n hm|ni ˙ exp −i

t 0

0

0

dt (En (t ) − Em (t ))/~

(5.79)

0

R Variiert H langsam, so wird hm|ni ˙ klein gegen den Phasenfaktor (Em − En ), falls m 6= n. Man kann dann diese Terme vernachl¨assigen und erh¨alt: c˜˙m ≈ − hm|mi ˙ c˜m

(5.80)

5.5 Adiabatisches Theorem, STIRAP

87

Wegen hm|mi ˙ = − hm|mi ˙ = −(hm|mi) ˙ ∗ folgt, dass hm|mi ˙ = iα(t) eine rein komplexe Zahl sein muss. Somit gilt: Z t 0 0 c˜m (t) = exp −i α(t )dt

(5.81)

(5.82)

0

R Anmerkung: die Phase α(t)dt wird Berry-Phase genannt und hat eine geometrische Bedeutung: im Hilbertraum bekommt man, wenn man einen geschlossenen Weg langsam oder schnell durchl¨auft, immer dieselbe Phasendifferenz, da die Berry-Phase invariant unter einer Reparametrisierung der Zeit ist.

5.5.1 Anwendung des adiabatischen Theorems auf Dunkelzust¨ande |ψD i =

Ω− Ω+ |+i − |−i Ω Ω

(5.83)

mit Ω=

p

|Ω+ |2 + |Ω− |2

(5.84)

Mache die Rabi-Frequenzen zeitabh¨angig und ver¨andere sie adiabatisch, Ω± = Ω± (t). Dies f¨uhrt dann zu: |ψD i = |ψD (T )i

(5.85)

Falls der Anfangszustand der Atome durch |ψ(0)i = |ψD (0)i gegeben ist, dann folgt |ψ(t)i adiabatisch dem Dunkelzustand, |ψ(t)i = |ψD (T )i. Genau dies ist das Prinzip von STIRAP. Man kann dadurch Atome mit hoher Effizienz zwischen den beiden Grundzust¨anden transferieren. Im Einzelnen macht man das wie folgt:

Abbildung 5.8: Links Anfangsszustand, rechts Endzustand. Der Kreis markiert den Dunkelzustand

• |ψ(0)i = |−i = |ψD i mit Ω− (0) = 0 • Ver¨andere Ω+ und Ω− so, dass Ω+ (t1 ) = 0

88

Das 2-Niveau Modell f¨ur Atome • Dann ist |ψ(t1 )i = |+i = |ψD (t1 )i mit Ω+ (t1 ) = 0.

Diese Abfolge entspricht einer kontraintuitiven Abfolge von Laserpulsen, bei der zuerst der nicht koppelnde Laserstrahl angeschaltet wird.

Abbildung 5.9: Der erste Puls entspricht Ω+ , der zweite Ω− . Die STIRAP hat eine maximale Effizienz von 99% und dar¨uber. Dabei bleiben die Atome immer in einer Superposition von |−i und |+i (|ψD i), obwohl die Zust¨ande |+i und |−i nur u¨ ber |ei gekoppelt sind. Im Idealfall findet ein Transfer von |−i nach |+i statt, ohne dass die Atome jemals angeregt sind.

Kapitel 6 Atomoptik Die Atomoptik behandelt allgemein die koh¨arente Propagation atomarer Materiewellen. Hauptaugenmerk wird also auf Schwerpunktbewegung der Atome gelegt. In dieser Vorlesung wird der Einfluß von Licht auf die Schwerpunktbewegung behandelt.

6.1

Grundlegendes Prinzip

In Kap. 3 behandelten wir, dass der vollst¨andige atomare Hamiltonian aus Relativ- und Schwerpunktbewegungsbeitr¨agen besteht: H=

X p2 + En |ni hn| 2M n {z } |

(6.1)

=H0

wobei H0 die Relativbewegung der Elektronen berschreibt (|ni = 1s, 2p . . .), p der Schwerpunktimpulsoperator und M die Gesamtmasse des Atoms ist. Die Kopplung an ein elektromagnetisches Feld ist in der Dipoln¨aherung nach Abschnitt 4.3 gegeben durch: 1 Hint = − d · D(x) − µ · B(x) (6.2) ε0 Dabei sind d, µ Operatoren, die auf die Relativbewegung wirken, x ist der Schwerpunkt des Atoms. Die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen liefern: i 1 x˙ = − [x, H + Hint ] = P ~ M

(6.3)

i 1 P˙ = − [P , Hint ] = ∇{− d · D(x) − µ · B(x)} ~ ε0

(6.4)

¨ Inhomogene Felder a¨ ndern also die Schwerpunktbewegung. Dabei h¨angt die Anderung vom inneren Zustand ab (z.B. Stern-Gerlach)

90

Atomoptik

Besonders intuitiv zu verstehen ist die Absorption/Emission einzelner Photonen mit Polarisation ε und Wellenvektor k. Der Photonenimpuls ergibt sich zu: pγ = ~k

(6.5)

|p, gi ⊗ |1k i −→ |p + ~k, ei ⊗ |0i

(6.6)

Aus der Impulserhaltung folgt:

Beispiel:

laufende Laser-Welle mit Wellenvektor kL E = E 0 eikL x

Hint = −d · E(x)

(6.7)

Hieraus ergibt sich deg · E = Ω0 eikL x ~ F¨ur ein Zwei-Niveau-System gilt dann: p2 −~∆ 0 Ω0 eikL x H= 1+ +~ 0 Ω0 e−ikL x 0 2M Ω=−

(6.8)

(6.9)

Man verwendet folgende Zusammenh¨ange Z |ψe i = d3 p |pi ψe (p) , analog |ψg i

(6.10)

mit eikL x |pi = |p + ~kL i

(6.11)

Die letzte Gleichung erh¨alt man am einfachsten, wenn man die Orstdarstellung der Impulseigenzust¨ande verwendet: hx|pi ∝ exp(ip · x/~). Man setzt dies in die Schr¨odinger-Gleichung ein |ψe i |ψe i i~∂t =H (6.12) |ψg i |ψg i und erh¨alt: i~∂t

ψe (p + ~kL ) = ψg (p)

h

i

(p+~kL )2 − ~∆ 2M 2 p ψ (p) 2M g

ψe (p + ~kL ) + ~Ω0 ψg (p)

+ ~Ω∗0 ψe (p + ~kL ) ψe (p + ~kL ) Das ist nun wieder ein 2-Niveau-System der Form . ψg (p) Wichtig: der Impuls¨ubertrag a¨ ndert die Verstimmung: (p + ~kL )2 p2 ˜ ˜ Ee − Eg = − ~∆ − 2M 2M 2 2 ~ ~ kL = −~∆ + p · kL + M 2M

! (6.13)

(6.14)

6.2 Atom-Interferometrie

91

Hieraus erkennt man, wenn man v =

1 p M

anwendet und einmal durch −~ dividiert:

~k2L (6.15) 2M Hierbei ist −v · kL die Doppler-Verschiebung der Laserfrequenz im Ruhesystem des Atoms, ~k2L stellt den recoil-shift (R¨uckstoßverschiebung) dar. 2M ∆(v) = ∆ − v · kL −

6.2

Atom-Interferometrie

Atom-Interferometrie wird seit 1991 (Carnal & Mlynek [38]) betrieben. Wir besch¨aftigen uns hier nur mit Interferometern, die Lichtstrahlen als Atomstrahlteiler verwenden. Das Grundprinzip ist allen Licht-Atom-Interferometern gleich: Licht wird verwendet, um Atome zu kicken“. ”

6.2.1

Ramsey-Bord´e-Interferometer (Bord´e 1988, Riehle 1991)

|e, p + ~ki

|g, pi

|e, p − ~ki

t |g, pi

T k π 2

0

T

T

0

−k

k − π2

π 2

−k − π2

Abbildung 6.1: Das Atom-Interferometer von Ramsey und Bord´e

Die Atome a¨ ndern also nicht nur ihren internen Zustand sondern auch ihren Impuls. Sie durchlaufen in diesem Interferometer (siehe Abbildung 6.1) also r¨aumlich unterschiedliche Bahnen [36, ?]. Tats¨achlich wurde ein solcher Aufbau auch schon vor 1991 verwendet, allerdings nicht zur Interferometrie, sondern als Spektrometer. Funktionsweise: 1. Der erste Laserstrahl bewirkt einen idealen

π 2

Puls mit Impuls¨ubertrag ~k,

1 |g, pi → √ (|g, pi + |e, p + ~ki) = |ψ1 i 2

92

Atomoptik 2. Freie Propagation f¨ur die Zeit T 0 , 1 |ψ1 i → √ (|g, pi + |e, p + ~ki exp(i∆E(p, k)T 0 /~)) = |ψ2 i 2 mit ∆E(p, k) = Ee − Eg +

~2 k 2 2M

+

~ p M

·k

3. Der zweite Laserstrahl bewirkt einen idealen π2 Puls mit Impuls¨ubertrag ~k, 1 i∆E(p,k)T 0 /~ i∆E(p,k)T 0 /~ |ψ2 i → |g, pi (1 − e ) + |e, p + ~ki (1 + e ) = |ψ3 i 2 Die Abh¨angigkeit ∆E(p, k) vom atomaren Impuls verhindert, dass bereits das Signal nach dem zweiten Laserpuls sinnvoll f¨ur die Interferometrie verwendet werden kann. Der Grund ist, dass Atome mit unterschiedlichem Impuls verschiedene Phasenverschiebungen erfahren und somit das Gesamtsignal verwaschen wird. Um dieses Problem zu l¨osen, verwendet man das zweite Pulspaar in Abbildung 6.1. Nehmen wir an, dass die Zeit T zwischen den Pulspaaren lang gegen¨uber der Zerfallszeit der angeregten Atome ist. In diesem Fall k¨onnen wir in |ψ3 i den angeregten Anteil vernachl¨assigen. Außerdem soll w¨ahrend der Flugzeit T irgendein a¨ ußeres Potential 1 eine Phasenverschiebung exp(iα) zwischen den beiden Armen des Atominterferometers erzeugen, so dass der Zustand zum Zeitpunkt T + T 0 proportional zu |ψ4 i = |g, pi (eiα − ei∆E(p,k)T

0 /~

)

ist. Die Anwendung des zweiten Laserpuls-Paares kann v¨ollig analog zum ersten Paar berechnet werden. Man findet dann f¨ur den Zustand nach dem zweiten Laserpaar hg |ψ(2T 0 + T )i ∝ (eiα − ei∆E(p,k)T

0 /~

)(1 − ei∆E(p,−k)T

0 /~

).

Man kann am Ausgang des Interferometers beispielsweise die Wahrscheinlichkeit daf¨ur messen, Atome im Grundzustand zu finden. Diese ist durch |hg |ψ(2T 0 + T )i |2 gegeben und lautet explizit eiα (−e−i∆E(p,k)T

0 /~

e−i∆E(p,−k)T

0 /~

+ e−i(∆E(p,k)+∆E(p,−k))T

0 /~

) + c.c. + Rest.

Mittelt man u¨ ber verschiedene Impulse, so fallen alle Terme, die noch von p abh¨angen, heraus. Es u¨ berlebt nur der letzte Term. In diesem wird f¨ur jedes Atom genau die entgegengesetzte impulsabh¨angige Phasenverschiebung akkumuliert, so dass insgesamt jedes Atom dieselbe totale Phasenverschiebung erf¨ahrt und man diese messen kann. Man bezeichnet dieses Interferometer daher als Doppler-frei. Es bleibt dann nur noch die R¨uckstoßverschiebung, die jedoch f¨ur jedes Atom dieselbe ist und einfach herausgerechnet werden kann. Offensichtlich schließen die Interferometerarme eine Fl¨ache ein. Das Ramsey-Interferometer ist Doppler-frei, d. h. die Phase, die durch die Doppler-Verschiebung verursacht wird, f¨allt heraus ¨ (siehe Ubung). 1

Z.B. die Schwerkraft. Da Atome, die den Impuls¨ubertrag erfahren haben, etwas h¨oher weiterfliegen als die, die im Grundzustand bleiben, durchlaufen sie ein anderes Gravitationspotential.

6.2 Atom-Interferometrie

93

Ein großer Nachteil besteht darin, dass u¨ ber die Zeit T 0 Atome im angeregten Zustand existieren. Hier kann durch spontane Emission die Interferenzf¨ahigkeit zerst¨ort werden. F¨ur nor” ¨ male“ Atome und optische Uberg¨ ange liegt die Zerfallszeit bei ≈ 107 s−1 . Die Teilchen erhalten durch den urspr¨ungliche Puls (Wellenzahl von k ≈ 107 m−1 (Licht)) eine Geschwindigkeit von v = ~k ≈ 1 cm/s. Sie kommen so innerhalb der Zerfallszeit rund 1 nm weit. Eine solch kleine M Aufspaltung ist kaum meßbar. Um spontane Emission zu vermeiden, muß T 0 1/γ (γ: Zerfallswahrscheinlichkeit) sein. Man w¨ahlt daher langlebige (metastabile) Zust¨ande mit γ ≈ 103 s−1 . F¨ur diese Niveaus sind elektrische Dipol¨uberg¨ange verboten, sie werden z.B. mittels Quadrupol¨uberg¨angen angeregt.

6.2.2 Atomic fountain (Kasevich & Chu 1991) 2. R. Puls 20cm 3. R. Puls

1. RamanPuls

Abbildung 6.2: Grundprinzip des Interferometers Der Vorteil gegen¨uber dem Ramsey-Bord´e-Interferometer besteht darin, dass durch die Verwendung von Raman-Pulsen die Atome praktisch die ganze Zeit u¨ ber im Grundzustand bleiben [37]: dadurch sind sehr lange Laufzeiten (bis zu 0.25 s) erreichbar. 1. P.

2. P.

3. P.

¨ Abbildung 6.3: Durch die Raman-Pulse induzierte Uberg¨ ange Mit dieser Apparatur wurde die Erdbeschleunigung auf 10−8 genau gemessen, sie ist so empfindlich, dass H¨ohenunterschiede des Aufbaus im cm Bereich (und die dadurch verursachte ¨ Anderung der Erdbeschleunigung) gemessen werden k¨onnen. ¨ mit der effekFunktionsweise: Unter einem Raman π2 -Puls versteht man einen Raman-Ubergang tiven Rabi-Frequenz Ωef f =

Ω∗+ (x)Ω− (x) , ∆

der f¨ur eine Zeit t angeschaltet bleibt, die t · |Ωef f | ≈

π 4

(6.16)

94

Atomoptik

erf¨ullt. Ein solcher Puls u¨ berf¨uhrt das System in eine Superposition von |+i und |−i. W¨ahlt man nun f¨ur Ω2 Ω± (x) = Ω0 eik± ·x dann gilt: Ωef f = 0 ei(k− −k+ )·x (6.17) ∆ Was gerade einem effektiven Zwei-Niveau-System entspricht. Der Impuls¨ubertrag ist damit gegeben durch: ∆p = ~(k− − k+ )

analog zum Zwei-Niveau-System

(6.18)

Anschaulich entspricht dies der Absorption eines Photons aus Ω− und der stimulierten Emission in Ω+ . Es gibt nun verschiedene realisierbare Systeme: parallele Laser: k+ = k− ⇒ ∆p = 0 gegenl¨aufige Laser: k+ = −k− ⇒ ∆p = 2~k− also doppelt so viel wie im Ramsey-Bord´eInterferometer. Keine Doppler Sensitivit¨at f¨ur T = T0

|+, p + 2~ki

t |−, pi

T

T

RP1

RP2

π 2

π

0

RP3 π 2

Abbildung 6.4: Das Atom-Interferometer von Kasevich und Chu

6.3

Optische Potentiale

Idee der optischen Potentiale: Nutze die Ortsabh¨angigkeit von Ω(x) aus. Zur Vermeidung der spontanen Emission wird eine große Verstimmung gew¨ahlt (dies entspricht der adiabatischen Eliminierung des angeregten Zustandes, siehe Gl. 5.68). ∆ Ω |−i Z. B. . Das optische Potential ist dabei durch |Ω(x)|2 ∆ gegeben. Die Form des Potentials wird also durch den Laser bestimmt. Vopt (x) = ~

(6.19)

6.3 Optische Potentiale

95

6.3.1 Laufender Laser mit Gauß-Profil %2

E (+) (x) = eikz e− w2 εE0

mit: % =

p

x2 + y 2

(6.20)

Die Rabi-Frequenz ergibt sich dann als %2 1 d · E (+) = Ω0 eikz e− w2 ~ %2 Ω2 = 0 e−2 w2 ∆

Ω(x) = Also Vopt

(6.21) (6.22)

F¨ur ∆ > 0 streben die Atome zu den Orten geringster Lichtintensit¨at ( low-field-seekers“), f¨ur ” V(x) ∆>0

ρ

∆<0

Abbildung 6.5: Optisches Potential eines Lasers mit gaußf¨ormiger Intensit¨atsverteilung ∆ < 0 zum den Intensit¨atsmaximum ( high-field-seekers“). F¨ur ∆ < 0 stellt das System also ” eine Atomfalle dar. Typische Parameter f¨ur BEC-Fallen sind Ω ≈ 7 · 1010 s−1 ∆ ≈ 1015 s−1 PLaser = 2 W

auf 30 µm fokussiert

Dies ergibt ein optisches Potential von etwa V0 = 5 · 10−28 J. Damit gelingt es, Teilchen, die eine Temperatur von kVB0 ≈ 40 µK besitzen, einzufangen. Typischerweise ist die Kondensattemperatur 2

kleiner als 1 µK. Die Dekoh¨arenzrate eines solchen Systems liegt bei γ· |Ω| ≈ 5·10−2 s−1 , ist also ∆2 2 sehr langsam. Sie ist das Produkt der Anregungswahrscheinlichkeit |Ω| /∆2 und der spontanen Emissionsrate und gibt an, in welcher Zeitskala eine den Zustand zerst¨orende spontane Emission stattfindet.

6.3.2

Stehender Doughnut-Laser %2

E (+) (x) = cos(kz)e− w2 (x + iy)E 0

(6.23)

96

Atomoptik Phase

Wobei x + iy = %eiφ gilt; ein solcher Laser sieht in etwa wie folgt aus: Es gilt also %2

Ω = Ω0 cos(kz)(x + iy)e− w2 %2 Ω2 V = 0 cos2 (kz)%2 e−2 w2 ∆

.

und

(6.24) (6.25)

V(x) ∆>0

%

ρ

z

∆<0

d. h. der Laser bildet eine R¨ohre“ f¨ur Atome, die sich am Minimum ansammeln (f¨ur blau ver” stimmtes Licht).

6.3.3 Evaneszente Lichtfelder ¨ (Ubung)

¨ einen Atomstrahl 6.3.4 Linsen fur Ein realer Laserstrahl h¨alt seinen Fokus nur u¨ ber einen gewissen Bereich hinweg 2 : E (+) (x) = eikz

E 0 ik%2 /(2q(z)) e q(z)

q(z) = z − iz0

Wobei z0 die Rayleigh-L¨ange bezeichnet, die die Breite u¨ ber w0 := Potential ist in diesem Fall Vopt ∝ |d · E 2

(+) 2

| = V0

w0 w(z)

2

%2

e− w2

q

mit: w(z) = w0

2z0 π

p

(6.26)

bestimmt. Das optische

1 + (z/z0 )2

(6.27)

Das i im Exponenten ist kein Druckfehler. Diese Form f¨ur das elektrische Feld ergibt sich in der sogenannten Paraxial-N¨aherung, die in B¨uchern u¨ ber Optik oder in meinem Skript zur Elektrodynamik behandelt wird.

6.3 Optische Potentiale

97

V0 ∆>0

z

∆<0

Laser

Abbildung 6.6: Rayleigh-L¨ange und Breite

Die Berechnung einer solchen Linse gelingt mittels der RamanNath-N¨aherung: Wenn die Wechselwirkungszeit T zwischen Licht und Atomen so kurz ist, dass sich die Dichteverteilung der Atome P2 kaum a¨ ndert, kann man 2M im Hamilton Operator vernachl¨assigen. Atome

ψ(x, t) = U (t)ψ0 (x) = e−iHt/~ ψ0 (x) ≈ e−iV (x)t/~ ψ0 (x)

(6.28)

Es a¨ ndert sich also nur die Phase der Wellenfunktion. Danach propagiert der Zustand frei, d. h. p2 t

ψ(x, t) = e−i 2M ~ ψ0 (x, T )

(6.29)

1-dimensionales Beispiel: Der Lichtstrahl l¨auft in z-Richtung und hat eine gewisse Breite, der Atomstrahl passiert den Lichtstrahl in x-Richtung. Die Atome haben dadurch nur eine kurze Wechselwirkungszeit mit dem Laser, so dass die Raman-Nath-N¨aherung angewendet werden ges.: Impuls¨anderung in z-Richtung x 2 2 − z2 − z 2 −iT Rz 2 w w 1 ψ0 (z) = e ⇒ ψ(z, T ) ≈ e 1 e (6.30) kann. z 1 2 −( 2 +iT R)z e w1 (6.31) wobei wir das Potential durch V (x) ≈ Rz 2 angen¨ahert haben (wegen der n¨aherungsweise quadratischen Abh¨angigkeit des optischen Potentials um z = 0). Die Zeitentwicklung dieser Wellenfunktion laßt sich am einfachsten mittels einer Fourier-Transformation angeben: p2

ψ(z, t) = F −1 (e− 2M F(ψ(z, T ))) z2 − 4β

⇒ ψ(z, t) ∝ e

(6.32) mit: β =

1 t~ 1 +i und α = 2 + iT Rz 4α 2M w1

98

Atomoptik

Also w4 (t) = |4β|2 = (at − (w12 + T 2 R2 z))2 + const.

mit: a =

D. h. w(t) besitzt ein Minimum f¨ur t > 0, was einer Fokussierung entspricht.

2~ m

Kapitel 7 Inkoh¨arente Wechselwirkung und Dichtematrix 7.1

Dichtematrix-Formalismus

Die Dichtematrix %b erlaubt es, die Zeitentwicklung inkoh¨arenter Systeme (an Stelle reiner Zust¨ande) zu beschreiben. Insbesondere erm¨oglicht sie auch die Beschreibung offener Quantensysteme. Ein Beispiel: Ein (klassischer) Apparat im Labor produziert einen Quantenzustand nur mit einer gewissen klassischen Wahrscheinlichkeit bei jeder Durchf¨uhrung des Experiments. Dies kann beispielsweise ein Ofen sein, bei dem Atome mal mit Geschwindigkeit v1 , mal mit v2 ausgestoßen werden. Man weiß daher nur mit einer Wahrscheinlichkeit pi , ob der Zustand |ψi i realisiert wurde. Die P |ψi i m¨ussen dabei nicht orthogonal sein. Die Wahrscheinlichkeiten m¨ussen nat¨urlich i pi = 1 erf¨ullen, da irgendein Zustand mit Sicherheit vorliegt. Jedes |ψi i entwickelt sich danach (gei schlossenes System, kein Reservoir) unit¨ar gem¨aß |ψi (t)i = e− ~ Ht |ψi (0)i. Falls bei einer Realisierung des Experiments der Zustand |ψi i vorliegt, so ist der Mittelwert einer Observable f¨ur diesen Zustand gegeben durch b = hψi (t)|b hAi a|ψi (t)i (7.1) i

|ψi i liegt bei jeder Realisierung mit Wahrscheinlichkeit pi vor. Man gewinnt den vollst¨andigen Erwartungswert durch die Mittelung u¨ ber alle Realisierungen, b = hAi

X

b = pi hAi i

i

X

pi hψi (t)|b a|ψi (t)i

(7.2)

i

Ist {|ni} eine Orthonormalbasis des Hilbertraumes, dann l¨aßt sich die 1 als Damit gilt f¨ur den Erwartungswert: b = hAi

X i

pi hψi |

X n

b ii = |ni hn|A|ψ

X n

b hn|A

X i

pi |ψi i hψi |ni =

P

X n

n

|nihn| darstellen.

b%|ni hn|Ab

(7.3)

100

Inkoh¨arente Wechselwirkung und Dichtematrix

Die Dichtematrix %b definiert man u¨ ber %b =

X

pi |ψi ihψi |

(7.4)

i

Der Erwartungswert eines Operators ist die Spur u¨ ber diesen und die Dichtematrix: b = Tr (b b hAi %A)

(7.5)

Eigenschaften der Spur (i) Die Spur h¨angt nicht von der Basis ab. bB) b = Tr (B b A) b (ii) Tr (A Beweis: zu (i) Sei {|n0 i} eine andere Basis des Hilbertraumes. Dann ist b = Tr (A)

X

=

X

b = hn|A|ni

X

n

hn|

b hn0 | A

n0

|nihn| n0 i =

| n {z 1

b |n0 i hn0 |A|ni

n0

n

X

X

X

b 0i hn0 |A|n

n0

}

zu (ii) bB) b = Tr (A

X

=

X

bB|ni b hn|A =

b hn|A|n b 0i = hn0 |B|ni

n,n0

Eigenschaften der Dichtematrix (i) %b ist hermitesch. (ii) Tr %b = 1 (iii) Tr (b %2 ) ≤ 1 (= 1 f¨ur reine Zust¨ande)

zu (i) trivial wegen pi ∈ [0, 1]

b 0 i hn0 |B|ni b hn|A|n

n,n0

n

Beweis:

X

X n0

b A|n b 0i hn0 |B

7.1 Dichtematrix-Formalismus

101

zu (ii) Tr %b =

X

hn|pi |ψi i hψi |ni =

n,i

=

X i

X

X

pi hψi |

pi hψi |ψi i = | {z } 1

X

|ni hn|ψi i

n

i

pi = 1

i

zu (iii) Tr (b %2 ) =

X

=

X

hn|

X

n

i,j

pi |ψi i hψi |pj |ψj i hψj |ni =

ij

X

pi pj hψi |ψj i hψj |ψi i

i,j

pi pj | hψi |ψj i |2 ≤ | {z } ≤1

X i

pi

X

pj = 1

j

Bei einem reinen Zustand gilt: %ˆ = |ψi hψ| , %ˆ2 = %ˆ Ein Gemisch hat mindestens zwei verschiedene Zust¨ande: %ˆ = p1 |ψ1 ihψ1 | + p2 |ψ2 ihψ2 | + . . . , pi 6= 0 Der Unterschied zwischen Gemisch und Superposition wird an folgendem Beispiel deutlich: %bG beschreibt ein Gemisch: 1 %ˆG = (|eihe| + |gihg|) 2 Die H¨alfte der Atome ist angeregt, die andere H¨alfte ist im Grundzustand. In diesem Zustand soll der Erwartungswert des Dipol-Operators, d ∝ |eihg| + |gihe|, gebildet werden. 1 hdi ∝ Tr (b %G (|eihg| + |gihe|)) = Tr (|gihe| + |eihg|) 2 1 1 = he| . . . |ei + hg| . . . |gi = 0 2 2 %bS beschreibt eine Superposition: 1 |ψi = √ (|ei + |gi) 2 1 %bS = |ψihψ| = (|ei + |gi)(hg| + |ei) 2 1 1 = (|gihg| + |eihe|) + (|eihg| + |gihe|) |2 {z } 2 %bG

102

Inkoh¨arente Wechselwirkung und Dichtematrix

%ˆs hat nichtdiagonale Elemente, sogenannte Koh¨arenzen. Der Erwartungswert des Dipol-Operators ist: 1 hdi ∝ Tr (b %S (|eihg| + |gihe|)) = Tr ((ˆ %G + (|eihg| + |gihe|))(|eihg| + |gihe|)) 2 1 = 0 + Tr (|eihe| + |gihg|) = 1 | {z } 2 1

Die nichtdiagonalen Elemente der Dichtematrix beschreiben den Grad an quantenmechanischer Koh¨arenz, also die F¨ahigkeit des Systems, Interferenzeffekte zu zeigen. Sie werden deshalb oft Koh¨arenzen genannt. Die Diagonalelemente enthalten die Population der Zust¨ande.

7.2 Liouville-Gleichung, Superoperatoren Man betrachte die Zeitentwicklung von %ˆ im abgeschlossenen System. Ein einzelner Zustand erf¨ullt bekanntlich die Schr¨odinger-Gleichung: i~∂t |ψi i = H |ψi i Dies kann man auf die Dichtematrix u¨ bertragen: X X i~∂t %ˆ = i~ pi ∂t (|ψi ihψi |) = i~ pi (∂t |ψi i hψi | + |ψi i ∂t hψi |) i

=

X

i

pi (H |ψi ihψi | − |ψi ihψi | H)

i

i~∂t %ˆ = [H, %ˆ]

(7.6)

Dies ist die Liouville-Gleichung f¨ur geschlossene Systeme. Die Spur der Dichtematrix ist zeitlich konstant: i~∂t Tr %ˆ = Tr ([H, %ˆ]) = Tr (H %ˆ − %ˆH) = 0 [H, ·] ist ein Spezialfall sogenannter Superoperatoren, die ihrerseits auf Operatoren wirken. Lˆ % := [H, %ˆ] nennt man Liouville-Superoperator. Nun muß die Liouville-Gleichung i~∂t %b = Lb % gel¨ost werden. Dies geschieht zun¨achst formal: i i t2 %b(t) = e− ~ tL %b(0) = (1 − tL − LL + · · · )b %(0) ~ 2!~2 i i it t2 = %b(0) − [H, %b(0)] − [H, [H, %b(0)]] + . . . = e− ~ Ht %b(0)e ~ Ht 2 ~ 2!~

7.2 Liouville-Gleichung, Superoperatoren

103

Beweis: it

f (t) := e− ~ L %b(0) → i~∂t f = Lf = [H, f ] i

i

g(t) := e− ~ Ht %b(0)e ~ Ht zu zeigen: f (t) = g(t) i i i~∂t g = i~(− Hg + gH) = [H, g] ~ ~ f (t) und g(t) erf¨ullen die gleiche Differentialgleichung. f (0) = %b(0) = g(0) f (t) und g(t) erf¨ullen die gleichen Anfangsbedingungen. →f (t) = g(t) Entropie, Gleichgewichts-Dichtematrix (Exkurs stat. Mechanik) Die Entropie eines Quantensystems ist wie folgt definiert: S = −kB Tr (b % ln %b) = −kB hln %bi

(7.7)

S beschreibt den Grad an Unordnung, der in einem System herrscht. b eines In (7.7) wird der Logarithmus der Dichtematrix gebildet. Allgemein ist eine Funktion f (A) Operators in seiner Diagonaldarstellung am besten definiert. X b |an i = an |an i → A b= A an |an ihan | n

F¨ur hermitesche Operatoren gilt: han |am i = δnm f sollte Taylor-entwickelbar sein: X fl b = bl f (A) A l! l X X X 2 b = A an |an ihan | am |am iham | = a2n |an ihan | n

m

n

Dies l¨aßt sich auf beliebige Potenzen erweitern: X bl = A aln |an ihan | n

b = ⇒ f (A)

X fl X l

l!

aln |an ihan | =

n

X

f (an ) |an ihan |

n

Als Beispiel folgt die Entropie des reinen Zustandes: %b = 1 · |ψihψ| S = −kB Tr (b % ln %b) = −kB Tr (1 · |ψihψ| · ln(1) |ψihψ|) | {z } =0

(7.8)

104

Inkoh¨arente Wechselwirkung und Dichtematrix

Die Entropie des reinen Zustandes ist 0. F¨ur Gleichgewichtszust¨ande gilt: h i ˆ %ˆ = 0 %ˆ˙ = 0 ⇔ H, ˆ ⇒ %ˆ hat gemeinsamen Satz von Eigenwerten mit H H |En i = En |En i ⇒ %ˆ =

X

%n |En ihEn |

n

Thermischer Gleichgewichtszustand: maximiere Entropie S mit den Nebenbedingungen: • Tr (ˆ %) = 1 (Erhaltung der Wahrscheinlichkeit) D E ˆ = E (Kanonische oder großkanonische Gesamtheit) • H F¨uhre dazu zwei Larange-Parameter λ1 , λ2 ein. Maximierung: D E ∂ ˆ −E =0 S − λ1 (Tr (ˆ %) − 1) − λ2 ( H ∂%n Da %ˆ in dieser Basis diagonal ist, gilt somit: ( ! X X ∂ −kB %n0 ln %n0 − λ1 %n0 − 1 − λ2 ∂%n n0 n0

!) X n0

⇒ 0 = −kB (ln %n + 1) − λ1 − λ2 En 1 ⇒ %n = exp − (λ1 + λ2 En ) kB λ

− k 2 En

∼e λ1 wird fixiert durch

P

n

B

%n = 1 ⇒ %ˆ ∼

X

λ

− k 2 En

e

B

|En ihEn |

n

fasse dies als Funktion von H auf −

λ2

H

%ˆ ∼ e kB ˆ ˆ Setze λ2 = T1 ⇒ˆ % = Z1 e−β H , β = kB1T , Z = Tr e−β H

%n0 En0 − E

=0

7.3 Reduzierte Dichtematrix, Zwanzigs Master-Gleichung

105

Liouville-Theorem Die Entropie eines Systems a¨ ndert sich nicht, wenn man eine unit¨are Transformation auf die Dichtematrix anwendet. %ˆ0 = U %ˆU † S 0 = −kB Tr (ˆ %0 ln %ˆ0 ) = S(ˆ %0 ) = S U %ˆU †

Taylor-Entwicklung des Operators innerhalb der Spur: X X n ˆ %0 ) := %ˆ0 ln %ˆ0 = K(ˆ Kn %ˆ0n = Kn U %ˆU † n

n

Werte den Term in der Klammer aus U %ˆU †

n

= U %ˆ |{z} U † U %ˆU † U %ˆU † . . . n

1 †

= U %ˆ U X ˆ %0 ) = U ⇒ K(ˆ Kn %ˆn U † ⇒ S 0 = −kB Tr U %ˆ ln %ˆU †

= −kB Tr U † U %ˆ ln %ˆ = S ⇒ Die Entropie kann durch keine Zeitentwicklung U = exp(−iHt/~) in einem geschlossenen System ver¨andert werden. Will man also die Entropie eines Systems a¨ ndern, so darf es sich nicht um ein geschlossenes System handeln. Durch die Wechselwirkung mit der Umgebung kann das System Energie, Impuls oder Teilchen austauschen und so z.B. gek¨uhlt werden.

7.3 Reduzierte Dichtematrix, Zwanzigs Master-Gleichung Direkte Produkte von Hilbert-R¨aumen Betrachte zwei Hilbert-R¨aume HS , HR mit den Basen {|Sn i}, {|Rα i}. Das direkte Produkt dieser R¨aume ist gegeben durch ) ( X ψnα |Sn i ⊗ |Rα i HS ⊗ HR = |ψi |ψi = n,α

Dieser Raum enth¨alt nicht nur Zust¨ande, die in Produktform |Sn i ⊗ |Rα i geschrieben werden k¨onnen, sondern auch so genannte verschr¨ankte Zust¨ande, z.B. |S1 i ⊗ |R1 i + |S2 i ⊗ |R2 i Verschr¨ankte Zust¨ande spielen eine zentrale Rolle bei vielen modernen Forschungsgebieten (BellUngleichungen, Quanten-Kryptographie, Quanten-Teleportation, Quantum-Computing usw.). Ihre besondere Eigenschaft besteht darin, dass Korrelationen zwischen den beiden Systemen R und

106

Inkoh¨arente Wechselwirkung und Dichtematrix

S bestehen, die praktisch nicht mit klassischen Modellen verstanden werden k¨onnen. Mehr dazu kann man in Referenz [18] erfahren. Sei %ˆ die HR . Der Erwartungswert einer Observablen, die nur auf HS E auf HS ⊗ D Dichtematrix wirkt, ist AˆS = Tr %ˆ AˆS ⊗ 1R . Hier ist unter AˆS ein Operator zu verstehen, der nur auf dem Hilbert-Raum HS wirkt: AˆS : HS → HS : |Sn i 7→ AˆS |Sn i AˆS ⊗ 1R ist die Darstellung dieses Operators auf dem Produkt-Hilbert-Raum mit der Wirkung AˆS ⊗ 1R : HS ⊗ HR → HS ⊗ HR |Sn i ⊗ |Rα i 7→ AˆS |Sn i ⊗ 1R |Rα i

7.3.1

Reduzierte Dichtematrix, Projektions-Superoperatoren

Die Spur eines Operators im Produkt-Raum kann damit zerlegt werden gem¨aß: X ˆ H ⊗H = ˆ (|Sn i ⊗ |Rα i) Tr (O) (hSn | ⊗ hRα |) O S R n,α

⇒ D

E X AˆS = hSn | ⊗ hRα | %ˆ(AˆS ⊗ 1R ) |Sn i ⊗ |Rα i n,α

=

X

=

X

n

hSn |

X

hRα | %ˆ |Rα i AˆS |Sn i

α

hSn | TrR (ˆ %)AˆS |Sn i

n

Im letzten Schritt wurde verwendet, dass ein Operator der auf dem einen Teilraum wirkt, im anderen Teilraum keine Wirkung hat. X TrR (ˆ %) ≡ hRα | %ˆ |Rα i α

Nenne %ˆS = TrR (ˆ %) reduzierte Dichtematrix. %ˆS wirkt auf HS , insbesondere gilt: D E AˆS = TrS (ˆ %S AˆS ) = TrS (TrR (ˆ %)AˆS )) Die reduzierte Dichtematrix enth¨alt also die volle Information u¨ ber das Verhalten einer Observablen im Subsystem HS . Ziel: Finde eine Gleichung, die %ˆS alleine beschreibt.

7.3 Reduzierte Dichtematrix, Zwanzigs Master-Gleichung

107

Projektions-Superoperatoren Normale Projektionsoperatoren Pˆ in der Quantenmechanik, wie zum Beispiel P = |eihe| mit P |ψi = |ei he|ψi, erf¨ullen P 2 = P , P † = P F¨ur den Projektions-Superoperator gilt analog f¨ur die Wirkung auf Operatoren: P 2 Aˆ = P Aˆ Beispiele: 1. Reduzierte Dichtematrix P %ˆ ≡ %ˆR (0)TrR (ˆ %) ,

(7.9)

wobei %ˆR (0) derDichtematrix des Reservoirs zur Zeit t = 0 entspricht P 2 %ˆ = %ˆR (0)TrR (P %ˆ) = %ˆR (0)TrR (ˆ %R (0) TrR (ˆ %) ) | {z } %ˆS :HS 7→HS

⇒ P 2 %ˆ = %ˆR (0)TrR (ˆ %R (0)) %ˆS = P %ˆ 2. Projektion auf die Populationen P %ˆ ≡

X

|ni hn| %ˆ |ni hn|

n

P projiziert %ˆ auf seine Diagonalelemente, damit werden also alle Koh¨arenzen zerst¨ort.

7.3.2 Zwanzigs Master-Gleichung Zwanzigs Master-Gleichung ist eine Gleichung f¨ur P %ˆ alleine, die aus der Liouville-Gleichung i~%˙ = L% f¨ur %ˆ abgeleitet wird. Zur Herleitung f¨uhren wir zun¨achst den zu P komplement¨aren ProjektionsSuperoperator Q := 1 − P ein, wobei Q2 = Q erf¨ullt ist.1 Der Projektions-Superoperator ist zeitunabh¨angig, P˙ = 0, ∂ ⇒ i~ P% = PL% = PL(P + Q)% ∂t ∂ ⇒ i~ P% = PLP% + PLQ% ∂t analog mit Q% ∂ i~ Q% = QLP% + QLQ% (7.10) ∂t 1

Hier ist die Unterscheidung zwischen Projektions-Operatoren und Projektions-Superoperatoren wichtig: f¨ur ˆ ˆ P |ψi P AP P AQ Projektionsoperatoren gilt: |ψi = , dagegen gilt f¨ur Super-Operatoren: Aˆ = ˆ ˆ Q |ψi QAP QAQ

108

Inkoh¨arente Wechselwirkung und Dichtematrix

L¨ose zun¨achst i~Q%˙ = QLQ%. Sind die Super-Operatoren zeitunabh¨angig, so kann man die formale L¨osung leicht hinschreiben: Q%(t) = exp(−iQLQt/~)Q%(0) . Der allgemeine Fall ist bedeutend komplizierter und f¨uhrt auf ein sogenanntes zeitgeordnetes Exponential. Da dieses sehr h¨aufig in der Quantenfeldtheorie und anderen Bereichen der theoretischen Physik auftritt, soll es hier kurz vorgestellt werden. Das zeitgeordnete Exponential Formale L¨osung: Z

t

Z Q%dt ˙ =

i~ 0

t

QL(t0 )Q%(t0 )dt0

(7.11)

0

Z i t ⇒ Q%(t) = Q%(0) − QL(t0 )QQ%(t0 )dt0 (7.12) ~ 0 wobei im letzten Schritt Q2 = Q verwendet wurde. Diese L¨osung ist nur formal, da sie sich praktisch selbst wieder enth¨alt: Q%(t) h¨angt von Q%(t0 ) mit t0 < t ab. Dr¨uckt man Q%(t0 ) wieder mit Hilfe von Gleichung (7.12) aus, so ergibt sich Z Z 0 i t 00 i t 0 0 Q%(t) = Q%(0) − dt (QL(t )Q){Q%(0) − dt QL(t00 )QQ%(t00 )} (7.13) ~ 0 ~ 0 Iteriere dieses Verfahren: i ⇒ Q%(t) = Q%(0) − ~

Z

t

dt0 (QL(t0 )Q)Q%(0) 0 2 Z t Z t0 i + − dt0 dt00 (QLQ(t0 ))(QLQ(t00 ))Q%(0) + . . . (7.14) ~ 0 0

F¨uhre das zeitgeordnete Produkt ein: 0

T (A(t)B(t )) :=

A(t)B(t0 ) f¨ ur t > t0 0 B(t )A(t) f¨ ur t0 > t

Damit k¨onnen wir die mehrfachen Integrale der Reihe umschreiben: Z t Z t1 Z t Z t dt1 QLQ(t1 ) dt2 QLQ(t2 ) = dt2 dt1 T (QLQ(t1 ) QLQ(t2 )) 0

0

0

(7.15)

(7.16)

t2

T (QLQ(t1 ) QLQ(t2 )) hat auch die richtige Ordnung der Operatoren (der sp¨atere steht links vom fr¨uheren), wenn t1 < t2 ist. Betrachte deshalb das Integral mit modifizierten Grenzen f¨ur t2 : Z t Z t ⇒ dt1 dt2 T (QLQ(t1 ) QLQ(t2 )) 0 0 Z t Z t1 Z t Z t = dt1 dt2 QLQ(t1 ) QLQ(t2 ) + dt1 dt2 QLQ(t2 ) QLQ(t1 ) (7.17) 0

0

0

t1

7.3 Reduzierte Dichtematrix, Zwanzigs Master-Gleichung

109

Der erste Term auf der rechten Seite von Gleichung (7.17) kommt in der Reihe (Gleichung (7.14)) vor. F¨ur den zweiten Term auf der rechten Seite von Gleichung (7.17) l¨aßt sich schreiben: Z

t

Z

t

t2

Z

dt2 QLQ(t2 ) QLQ(t1 ) =

dt1 0

t

Z

dt1 QLQ(t2 ) QLQ(t1 )

dt2

t1

0

(7.18)

0

Mit t01 = t2 und t02 = t1 folgt: Z ⇒ 2.Term in Gleichung (7.17) =

t

dt01

0

Z

t01

dt02 QLQ(t01 ) QLQ(t02 )

(7.19)

0

Gleichung (7.19) ist wieder ein Term, der in unserer Reihe (Gleichung (7.14)) vorkommt. Z ⇒

t

Z

0

t1

dt2 QLQ(t1 ) QLQ(t2 )

dt1 0

1 = 2!

Z

t

Z

dt2 T (QLQ(t1 ) QLQ(t2 )) (7.20)

dt1 0

t

0

Wir haben es also erreicht, dass der erste Term der Reihe mit Hilfe von Integralen mit unabh¨angigen Grenzen geschrieben werden kann. Man kann zeigen, dass eine entsprechende allgemeine Relation gilt: Z 0

=

1 n!

t

Z

dt1 Z t 0

t1

Z

tn−1

dt2 . . . dtn QLQ(t1 ) . . . QLQ(tn ) 0 Z t dt1 . . . dtn T (QLQ(t1 ) . . . QLQ(tn )) 0

(7.21)

0

Z i t ⇒ Q%(t) = {1 − dt1 QLQ . . . ~ 0 n Z t Z t 1 −i + dt1 . . . dtn T (QLQ(t1 ) . . . QLQ(tn )}Q%(0) n! ~ 0 0 Z t −i 0 0 = T exp dt QLQ(t ) Q%(0) (7.22) ~ 0 = : UQQ (t)Q%(0) (7.23) Dies ist die L¨osung der homogenen Gleichung i~Q%˙ = QLQ(Q%)

(7.24)

Das zeitgeordnete Exponential T exp ist dabei definiert u¨ ber seine Taylor-Reihe, in der Integrale u¨ ber verschiedene Variablen t1 , t2 , . . . auftreten. Der Zeitordnungsoperator T sorgt daf¨ur, dass die Zeiten genau entsprechend ihrem Auftreten in Reihe (7.14) erscheinen.

110

Inkoh¨arente Wechselwirkung und Dichtematrix

Herleitung der Master-Gleichung: Fortsetzung Zur Herleitung der Master-Gleichung ist nun der Ansatz Q%(t) = UQQ (t)%˜Q (t) zweckm¨aßig. ⇒ i~∂t Q% = i~U˙ QQ %˜Q + i~UQQ %˜˙ Q

(7.25)

Mit U˙ QQ = − ~i QLQ(t)UQQ (t) folgt unter Verwendung der Gleichung (7.10): −1 i~%˜˙ Q = UQQ (t)QLP%(t) Z i t 0 −1 0 ⇒ %˜Q (t) = %˜Q (0) − dt UQQ (t )QLP%(t0 ) ~ 0 Z t i −1 0 dt0 UQQ (t )QLQP%(t0 ) ⇒ Q%(t) = Q%(0) − UQQ (t) ~ 0

(7.26) (7.27) (7.28)

Setze Gleichung (7.28) in die Gleichung f¨ur P% ein: Z t i 0 −1 0 0 dt UQQ (t )QLP%(t ) i~P %˙ = PLP% + PL(t)Q Q%(0) − UQQ (t) ~ 0

(7.29)

Gleichung (7.29) ist Zwanzigs Master-Gleichung. Dies ist eine exakte Differentialgleichung f¨ur P% alleine, die in der Praxis ohne N¨aherungen nicht gel¨ost werden kann. Um sie zu vereinfachen, spezialisieren wir uns nun auf einen SuperProjektor von der Form 7.9 und betrachten folgenden Spezialfall: 1. %(0) = %R (0) ⊗ %S (0), d.h. keine Korrelationen zwischen System und Reservoir zur Zeit t=0 2. [%R (0), HR ] = 0, d.h. das Reservoir ist in einem station¨aren Zustand von HR (es gilt H = HR + HS + Hint ). 3. Tr R (%R (0)Hint ) = 0 z.B. Hint = −d · E, das Reservoir entspricht der Strahlung ⇒ TrR (%R (0)Hint ) = −d hEi (t = 0) = 0. 2 Unter diesen Voraussetzungen gilt Q%(0) = = = = 2

%(0) − P%(0) %R (0) ⊗ %S (0) − %R (0) ⊗ TrR (%R (0) ⊗ %S (0)) %R (0) ⊗ %S (0) − %R (0) ⊗ %S (0) 0

(7.30)

In einem station¨aren Zustand ist im freien Raum hEi = 0, da ein solcher Zustand einem Gemisch (kei+ + ner Superposition) √von Teilchenzahl-Zust¨anden entspricht. Wegen E ∼ a + a gilt daher hn| a + a |ni = √ hn| ( n |n − 1i + n + 1 |n + 1i) = 0

7.3 Reduzierte Dichtematrix, Zwanzigs Master-Gleichung

111

¨ Aus den Ubungen sind f¨ur einen beliebigen Operator X die folgenden Relationen bekannt: PLPX = %R (0)[HS , TrR (X)] = PLS X PLQX = %R (0)TrR ([Hint , X]) = PLint X QLPX = [Hint , %R (0)TrR (X)] = Lint PX

(7.31) (7.32) (7.33)

Desweiteren findet man QLQX = = = = =

(1 − P)LQX LQX − PLQX L(1 − P)X − PLint X LX − LPX − PLint X [HS + HR + Hint , X] − [HS + HR + Hint , %R (0)TrR (X)] −%R (0)TrR ([Hint , X]) = [HS + HR + Hint , X] − [HS , %R (0)TrR (X)] −[HR , %R (0)]TrR (X) − [Hint , %R (0)TrR (X)] −%R (0)TrR ([Hint , X])

Mit [HR , %R (0)] = 0 folgt daraus: QLQX = [HS , X − PX] + [HR , X] + [Hint , X − PX] − P[Hint , X] = [HS , QX] + LR X + [Hint , QX] − PLint X = (LS Q + LR + Lint Q − PLint )X

(7.34)

Weitere Eigenschaften: LS Q = QLS PLS = LS P Einsetzen in die Master-Gleichung (Gleichung (7.29)) liefert: Z t i −1 0 i~P %˙ = PLS P% − PLint dt0 UQQ (t)UQQ (t )Lint P%(t0 ) ~ 0 Z t −i 00 00 UQQ (t) = T exp dt QL(t )Q ~ 0 L(t)X = [H(t), X] = [HS + HR + Hint , X] N¨aherung: Ber¨ucksichtige Hint nur bis zur 2. Ordnung. (Annahme: Hint HR , HS ) i ⇒ UQQ ≈ exp − Q(Ls + LR )Qt ~

(7.35) (7.36)

112

Inkoh¨arente Wechselwirkung und Dichtematrix

Falls HS und HR zeitunabh¨angig sind. QLs = Ls Q QLR = LR Q = LR

⇒ QLs Q = Ls Q = QLs

⇒ UQQ = e−iQLs t/~ e−iLR t/~ Im letzten Schritt haben wir dabei Ls LR = LR Ls verwendet, was in der folgenden Weise bewiesen werden kann: (LR Ls − Ls LR )X = HR , [HS , X] − HS , [HR , X] = HR , [HS , X] + HS , [X, HR ] = − X, [HR , HS ] = 0 | {z } =0

wobei die Jakobi-Identit¨at verwendet wurde. Es folgt n ∞ X n − it/~ −iQLs t/~ e = QLs (QLs )n = Lns Qn = Lns Q n > 0 n! n=0 ⇒ e−iQLs t/~ QLP = e−iLs t/~ QLP Damit erh¨alt man f¨ur die Master-Gleichung: i i~P %˙ = PLS P% − PLint ~

t

Z

−i dt0 exp { (t − t0 )(Ls + LR )} Lint P%(t0 ) ~ | {z }

0

freie Zeitentwicklung

P% = %R (0)TrR (%) = %R (0)%s (t) ⇒ i~%R (0)%˙ s = %R (0) TrR [HS , %R (0)%s ] − | {z } [HS ,%s ]

i − %R (0)TrR Hint , ~

i i~%˙ s (t) = [HS , %s (t)] − ~

Z

Z

t

dt e

[Hint , %R (0)%s (t )] 0

0

t 0

0 −i(t−t0 )(Ls +LR )/~

dt TrR

−i(t−t0 )(Ls +LR )/~ 0 Hint , e [Hint , %R (0)%s (t )]

0

Dies ist die allgemeine Master-Gleichung unter der Bedingung Hint HR , HS und H˙ s = H˙ R = 0.

7.3 Reduzierte Dichtematrix, Zwanzigs Master-Gleichung

113

Annahme u¨ ber die Form der Wechselwirkung: Hint = −di Ei , i = 1, . . . , N wobei di Operatoren auf Hs und Ei Operatoren auf HR sind. −i(t−t0 )(Ls +LR )/~ 0 [dl El , %R (0)%s (t )] ⇒ TrR [Hint , . . .] = TrR di Ei , e mit

e−iLt/~ X = e−iHt/~ XeiHt/~ (siehe Anfang des Kapitels) 0 ⇒ e−i(t−t )(Ls +LR )/~ dl El , %R (0)%s (t0 ) = 0 0 dl (t − t0 )El (t − t0 ), %R (0)e−iHS (t−t )/~ %s (t0 )eiHS (t−t )/~

mit 0 0 dˆl (t − t0 ) = e−i(t−t )HS /~ dˆl ei(t−t )HS /~ 0 0 Eˆl (t − t0 ) = e−i(t−t )HR /~ Eˆl ei(t−t )HR /~ %R (t) = %R (0) wegen HR , %R (0) = 0

Bemerkung: dˆl (−t) ist der Operator dˆl im Wechselwirkungsbild 0 0 0 0 † 0 TrR [Hint , . . . = TrR di Ei , dl (t − t )El (t − t ), %R (0) Us (t − t )%s (t )Us (t − t ) | {z } =:¯ %s

Us (t) := e−iHS t/~ ⇒TrR . . . = TrR di Ei dl (t − t0 )El (t − t0 )%R (0)¯ %s − di Ei %R (0)¯ %s dl (t − t0 )El (t − t0 )− − dl (t − t0 )El (t − t0 )%R (0)¯ %s di Ei + %R (0)¯ %s dl (t − t0 )El (t − t0 )di Ei = di dl (t − t0 )¯ %s TrR Ei El (t − t0 )%R (0) − di %¯s dl (t − t0 )TrR Ei %R (0)El (t − t0 ) − − dl (t − t0 )¯ %s di TrR El (t − t0 )%R (0)Ei + %¯s dl (t − t0 )di TrR %R (0)El (t − t0 )Ei Setze Fm1 m2 (t1 , t2 ) := TrR Em1 (t1 )Em2 (t2 )%R (0) = hEm1 (t1 )Em2 (t2 )i ⇒ TrR . . . = di dl (t − t0 )¯ %s Fil (0, t − t0 ) − di %¯s dl (t − t0 )Fli (t − t0 , 0)− − dl (t − t0 )¯ %s di Fil (0, t − t0 ) + %¯s dl (t − t0 )di Fli (t − t0 , 0)

mit

i ⇒ i~∂t %s (t) = HS , %s (t) − ~

Z 0

t 0

dt Fil (0, t − t0 ) di , dl (t − t0 )¯ %s + 0 0 Fli (t − t , 0) %¯s dl (t − t ), di

Wir f¨uhren nun die sehr verbreitete Markov-N¨aherung durch. Idee: Die Reservoir-Funktion Fil (0, t− t0 ) f¨allt oft sehr schnell mit t − t0 ab. (Das Reservoir ”vergisst” sehr schnell, wie sein Zustand war). F¨ur kleine t − t0 kann %s (t0 ) dann angen¨ahert werden durch: %s (t0 ) ≈ Us (t0 − t)%s (t)Us† (t0 − t)

114

Inkoh¨arente Wechselwirkung und Dichtematrix

Us beschreibt die freie Zeitentwicklung. Man nimmt also an, dass sich das System f¨ur kurze Zeiten im wesentlichen frei entwickelt. ⇒

%¯s = Us (t − t0 )%s (t0 )Us† (t − t0 ) = %s (t)

i i~∂t %s (t) = HS , %s (t) − ~

Setze τ = t − t0

Z

t

0

0

dt Fil (0, t − t0 ) di , dl (t − t0 )%s (t) + 0 0 Fli (t − t , 0) dl (t − t )%s (t), di

dτ = −dt0

i ⇒ i~∂t %s (t) = HS , %s (t) − ~

Z

t

dτ Fil (0, τ ) di , dl (τ )%s (t) + Fli (τ, 0) %s (t)dl (τ ), di

0

Da Fil (0, τ ) schnell abf¨allt, kann man die Integrationsgrenze t durch ∞ ersetzen. ⇒ Endg¨ultige Form der Master-Gleichung in der Markov-N¨aherung: Z i ∞ i~∂t %s (t) = HS , %s (t) − dτ Fil (0, τ ) di , dl (τ )%s (t) + Fli (τ, 0) %s (t)dl (τ ), di ~ 0 Die Master-Gleichung in Markov-N¨aherung • ist eine lineare Differentialgleichung und im Gegensatz zur allgemeinen Master-Gleichung keine Integro-Differentialgleichung mehr, • hat konstante Koeffizienten (gegeben durch das Integral u¨ ber τ ).

7.4

Spontane Emission

Bei der spontanen Emission im freien Raum spielt das Atom die Rolle des Systems, an dem wir interessiert sind. Die Strahlung bildet das Reservoir, dessen Zustand im wesentlichen konstant ist, da im freien Raum spontan emittierte Photonen nicht zum Atom zur¨uckkehren. X HS = En |ni hn| , |ni = atomare Energieniveaus Zn HR

=

d3 k

X

~ωk a†k,σ ak,σ

σ

Hint = −dE(x) = −d(+) E (+) − d(−) E (−) wobei x der Ort des Atoms ist und in der letzten Gleichung die rotating wave approximation gemacht wurde. E (+) = positiver Frequenzanteil (∝ ak,σ ) d(+) = Aufsteigeoperator

7.4 Spontane Emission

115

• Beim 2-Niveau-System: d(+) = deg |ei hg| P • Bei zwei Multipletts: d(+) = me ,mg |Je , me i hJg , mg | dme ,mg Der anf¨angliche Zustand der Strahlung soll das Vakuum sein: %R (0) = |0i h0|. Die MasterGleichung lautet allgemein in der Markov-N¨aherung Z n i ∞ i~%˙ S =[HS , %S ] − dτ [di , dj (τ )%S ] hEi Ej (τ )i (7.37) ~ 0 o + [%S dj (τ ), di ] hEj (τ )Ei i In unserem Fall setzen wir 3 d1 = d(+) ; E 1 = E (+) d2 = d(−) ; E 2 = E (−) Man kann leicht nachrechnen, dass wegen des Vakuumzustandes der Strahlung (+)

(−)

(+)

h0|Ea(+) Eb |0i = h0|Ea(−) Eb |0i = h0|Ea(−) Eb |0i = 0 gilt. F¨ur die Master-Gleichung folgt damit n o n (−) (−) [di , . . . ] h. . .i . . . = hEa(+) Eb (τ )i [d(+) a , db (τ )%S ] o (+) (+) (−) (−) + hEb (τ )Ea i [%S db (τ ), da ] ¨ Die Korrelationsfunktion hat den folgenden Wert (siehe Ubungen): Z ∞ ~ (−) (+) h0|Ea (x, 0)Eb (x, τ )|0i = 2 3 δab dωk ωk3 e−iωk τ 6π 0 c 0

(7.38)

Die zweite Korrelationsfunktion, bei der τ im ersten Operator vorkommt, kann man mittels des freien Zeitentwicklungsoperators U (τ ) mit diesem Ergebnis verbinden: (−)

(−)

h0|Ea(+) (τ )Eb (0)|0i = h0|U (τ )Ea(+) (0)U † (τ )Eb (0)|0i Verwende U |0i = |0i : (−)

(−)

=⇒ h0|Ea(+) (τ )Eb (0)|0i = h0|Ea(+) (0)U † (τ )Eb (0)U (τ )|0i (−)

= h0|Ea(+) (0)Eb (−τ )|0i Die Zeitabh¨angigkeit der atomaren Operatoren ist bei freier Zeitentwicklung gegeben durch X d(+) (τ ) = |Je me ihJg mg | dme ,mg eiτ (Emg −Eme )/~ me ,mg 3

Genau genommen steht in der allgemeinen Summe oben jedes di f¨ur eine Vektor-Komponente von entweder oder d(−) . Um die Notation u¨ bersichtlich zu halten, unterdr¨ucken wir aber diesen Punkt.

(+)

d

116

Inkoh¨arente Wechselwirkung und Dichtematrix

Z =⇒

∞

(−)

(+) dτ d(+) a (τ ) hEa (τ )Eb (0)i

0

Z ∞ Z ∞ X ~ 3 = 2 3 (dme ,mg )b |Je , me ihJg , mg | ω dω dτ eiτ (ω−ωme ,mg ) 6π 0 c m ,m 0 0 e g R∞ mit ωme ,mg := (Eme − Emg )/~. Unter Verwendung 0 dτ e−iωτ = πδ(ω) − iP/ω folgt daraus Z ∞ X ~ (−) (+) (τ ) hE (τ )E (0)i = |Je , me ihJg , mg | (dme ,mg )b dτ d(+) a a b 6π 2 0 c3 m ,m 0 e g Z ∞ Pω 3 3 × πωme ,mg + i dω (ω − ωme mg ) 0 X 0 =: |Je , me ihJg , mg | (dme ,mg )b (Kme mg + iKm ) e mg me ,mg

ˆ (+) ˆ 0(+) =:K + iK b b ˆ (+) und K ˆ 0(+) wirken dabei nur noch auf die atomaren Freiheitsgrade und sind Die Operatoren K zeitunabh¨angig. Als Ergebnis erhalten wir die Master-Gleichung f¨ur atomare Multipletts o i n (+) ˆ (−) ˆ 0(−) )%S ] + [%S (K ˆ (+) + iK ˆ 0(+) ), d(−) ] i~%˙ S = [HS , %S ] − [da , (Ka − iK (7.39) a a a a ~ (+) † 0(+) † (−) 0(−) ˆ ˆ ˆ ˆ wobei wir K := K und K := K eingef¨uhrt haben. Wenden wir dieses Ergebnis auf das Zwei-Niveau-System an, so haben diese Operatoren die einfache Gestalt Z ∞ ~ω03 0(+) (+) ˆ ˆ K = |eihg| deg ; K = |eihg| deg ... (7.40) 6π0 c3 0 ˆ 0(+) ist dabei irrelevant, da er nicht nur divergiert (und renorDer Zahlenwert des Integrals in K miert werden muß) sondern im Rahmen des Zwei-Niveau-Modells und der rotating wave approximation auch nach der Renormierung inkorrekt ist. Setzen wir diese Operatoren in Gl. (7.39) ein, so erhalten wir die Master-Gleichung f¨ur Zwei-Niveau-Atome i i %˙ = − [~ω0 |eihe| , %] − [~∆Lamb |eihe| , %] (7.41) ~ ~ γ − (σ+ σ− % + %σ+ σ− − 2σ− %σ+ ) 2 mit |deg |2 ω03 γ := (7.42) 3π~0 c3 und Z ∞ |deg |2 Pω 3 ∆Lamb := − 2 dω 6π ~0 c3 0 (ω − ω0 )

7.4 Spontane Emission

117

Konsequenzen Realteil K (+) und Imagin¨arteil K 0(+) haben offensichtlich v¨ollig unterschiedliche Konsequenzen. ˆ 0(+) enth¨alt das Hauptwert-Integral u¨ ber ω und ist daher mit dem Kommutator ∝ ∆L • K verbunden. Es bewirkt eine Verschiebung der Resonanzfrequenz: ω00 = ω0 + ∆L . Die Verschiebung ∆L heißt Lamb-Shift. • ∆L ist divergent und m¨usste renormiert werden. Eine Behandlung, die u¨ ber das 2-NiveauModell hinausgeht, findet man in Ref. [7]. ∆L ver¨andert nicht die Unitarit¨at der Zeitentwicklung. (+)

ˆ • Der Realteil K ist die Ursache f¨ur den Term proportional zu γ und beschreibt eine nicht unit¨are Zeitentwicklung (s.u.); γ ist die spontane Emissionsrate . • Die Struktur − γ2 (R† R% + %R† R − 2R%R† ) ist die allgemeinste Form eines Terms zur Beschreibung inkoh¨arenter Prozesse und wird Lindblad-Form genannt. R ist dabei ein verallgemeinerter Auf- oder Absteigeoperator. Beispiel: Strahlung bei Temperatur T statt |0i =⇒ Thermische Anregung der Atome: −η(T )(σ− σ+ % + %σ− σ+ − 2σ+ %σ− ) Mehr dazu kann man z.B. in Ref. [5] finden. Im Folgenden wird die Lamb-Shift in die Laserfrequenz integriert: ω ≡ ω0 + ∆L . γ i %˙ = − [~ω |eihe| , %] − {σ+ σ− % + %σ+ σ− − 2σ− %σ+ } ~ 2 Damit l¨aßt sich die Zeitentwickung von % einfach berechnen: %ee %eg %= %ge %gg Zun¨achst wird der Kommutator mit dem Systemhamiltonian berechnet: 1 0 0 %eg [|eihe| , %] = ,% = 0 0 −%ge 0 F¨ur die Lindblad-Form gilt: σ+ σ− = |eihg|gihe| = |eihe| und damit |eihe| % + % |eihe| − 2 |gihe| % |eihg| = | {z } | {z } σ−

σ+

2%ee %eg %ge −2%ee

(7.43)

118

Inkoh¨arente Wechselwirkung und Dichtematrix

Damit lautet die komplette Master-Gleichung: γ 2%ee %eg %˙ ee %˙ eg 0 %eg = −iω − %˙ ge %˙ gg −%ge 0 2 %ge −2%ee

(7.44)

F¨ur die linear unabh¨angigen Komponenten gilt: %˙ ee = −γ%ee γ %˙ eg = −iω − %eg 2 %˙ gg = γ%ee

⇒

%ee (t) = %ee (0)e−γt

⇒

%eg (t) = e−iωt e− 2 t %eg (0)

⇒

%gg (t) = %gg (0) + (1 − e−γt )%ee (0)

(7.45)

γ

Diese L¨osung charakterisiert die spontane Emission: ¨ • Der angeregte Zustand wird inkoh¨arent entv¨olkert, da bei dem Ubergang von e nach g keine Koh¨arenzen %eg , %ge entstehen. Bei Rabi-Oszillationen w¨urden auch %eg , %ge zun¨achst wachsen. • Anf¨anglich vorhandene Koh¨arenzen %eg , %ge zerfallen mit γ2 . Dies liegt daran, daß |gihe| eine angeregte Komponente enth¨alt, die zerfallen kann, |eihe| dagegen zwei. • Was oben an Population verloren geht, wird in %gg wieder aufgesammelt, das sichert die Wahrscheinlichkeitserhaltung. Tr % = 1

→

Tr %˙ = 0 = %˙ ee + %˙ gg

Dies gilt allgemein f¨ur die Lindblad-Form: γ Tr %˙ = − Tr {R† R% + %R† R − 2R%R† } 2 γ = − Tr {R† R% + R† R% − 2R† R%} = 0 2 • Im Vergleich zur Master-Gleichung f¨ur die Dichtematrix kann die ph¨anomenologische Beschreibung der spontanen Emission verschiedene Aspekte nicht korrekt beschreiben. Mit γ ψe (t) = e− 2 t ψe (0) folgt f¨ur die Spur von %: |ψe |2 + |ψg |2 = e−γt |ψe (0)|2 + |ψg (0)|2 6= const. Es gilt keine Wahrscheinlichkeitserhaltung. Versucht man, dies zu reparieren, f¨uhrt das zum zwischenzeitlichen Auftreten von Koh¨arenzen, die es bei einem spontanen Prozeß nicht geben sollte. q ψg (t) ∝ |ψg (0)|2 + (1 − e−γt )|ψe (0)|2 ⇒ %eg = ψe ψg∗ 6= 0 %eg ist f¨ur t = 0 und t → ∞ gleich 0, dazwischen aber nicht.

7.4 Spontane Emission

119

Abbildung 7.1: π-Puls (links) und spontane Emission (rechts) auf der Bloch-Kugel Veranschaulichung auf der Bloch-Kugel: Sowohl bei einer Rabi-Oszillation um den Winkel π als auch bei der spontanen Emission handelt es sich um die gleichen Ausgangs- und Endzust¨ande. Am Beispiel der Bloch-Kugel wird der Unterschied deutlich: Bei der Rabi-Oszillation beschreibt der Bloch-Vektor einen Halbkreis und a¨ ndert seine L¨ange nicht: Das System befindet sich immer in einem reinen Zustand. Bei der spontanen Emission “schrumpft” der Bloch-Vektor und entwickelt sich durch den Koordinatenursprung nach unten, zwischenzeitlich entsteht dabei ein maximal unbestimmtes Gemisch. Was geschieht, wenn man als Ausgangszustand eine beliebige Superposition zul¨aßt? Ohne spon-

Abbildung 7.2: Verhalten einer beliebigen Superposition auf der Bloch-Kugel bei einer RabiOszillation (links) und unter spontaner Emission (rechts). tane Emission wird sich nur die Phase der Superposition entwickeln, der Bloch-Vektor beh¨alt seine L¨ange und bewegt sich auf einem Kreis mit konstantem Winkel zur z-Achse (Abbildung 7.2, links). Ber¨ucksichtigt man die spontane Emission, dann bewegt sich der Vektor auf einer Spiralbahn abw¨arts, wobei er zwischendurch k¨urzer wird und schließlich im Grundzustand landet ¨ (Abbildung 7.2, rechts). Zur Veranschaulichung des Ubergangs vom reinen Zustand zum Ge-

120

Inkoh¨arente Wechselwirkung und Dichtematrix

misch zum reinen Zustand sei hier noch die Spur von %2 berechnet. Tr %2 = %2ee + 2%eg %ge + %2gg Unter der Annahme von %ee (0) = 1 folgt mit (7.45): Tr %2 (t) = 1 − 2e−γt + 2e−2γt

(7.46)

Diese Zeitentwicklung ist in Abbildung 7.3 abgebildet. Der Betrag der Spur f¨allt von 1 rasch auf ab (vollst¨andiges Gemisch) und n¨ahert sich dann asymptotisch wieder der 1. Dieses Resultat gilt allerdings nicht, wenn man die Schwerpunktbewegung der Atome mitber¨ucksichtigt. Durch den Impuls¨ubertrag der Photonen entsteht ein Gemisch im p-Raum. Schematisch gilt Z ω0 % = |e, pihe, p| → |e, pihe, p| + d3k |g, p + ~kihg, p + ~k| δ(|k| − ) c Z (7.47) ω0 3 → d k |g, p + ~kihg, p + ~k| δ(|k| − ) c 1 2

7.5 Vermeidung spontaner Emission durch Interferenz Betrachte ein 3-Niveau-Atom in V-Konfiguration: |+i

|−i

|gi Ee = E+ = E− In der allgemeinen Master-Gleichung (7.39) f¨ur Atome findet man einen Term Z ∞ (+) 0(+) (+) (+) (−) K i + iK i = dτ dj (τ ) h0|Ej (τ )Ei (τ )|0i 0 X 0 = |me ihg| (dme g )i (Kme g +i Km ) | {z } | {ze}g me =± ∈R

∈R

0 ¨ nur von Ee − Eg abh¨angen, sind sie f¨ur beide Uberg¨ ange, + → g und − → g, Da Kme g , Km eg gleich. K (+) + iK 0(+) = (K + iK 0 ){|+ihg| d+g + |−ihg| d−g }

Einsetzen in die Master-Gleichung ergibt: i~%˙ s = [HS , %s ] i i nh − d+g |+ihg| + d−g |−ihg| , (K − iK 0 )](|gih+| d∗+g + |gih−| d∗−g )%s ~ h io +(K + iK 0 ) %s (|+ihg| d+g + |−ihg| d−g ) , d∗+g |gih+| + d∗−g |gih−|

7.5 Vermeidung spontaner Emission durch Interferenz

Abbildung 7.3: Plot von Tr %2 bei spontaner Emission

121

122

Inkoh¨arente Wechselwirkung und Dichtematrix

Unter der Annahme 4 d+ = d− = d vereinfacht sich dies zu h i i 2n 0 i~%˙ s = [HS , %s ] − |d| (K − iK ) (|+i + |−i) hg| , |gi (h+| + h−|) %s h~ io 0 +(K + iK ) %s (|+i + |−i) hg| , |gi (h+| + h−|) Die Atome seien in angeregtem Zustand |ψi =

√1 (|+i 2

(7.48)

− |−i) pr¨apariert:

%s (0) = |ψihψ| , HS |ψi = Ee |ψi → [HS , %s (0)] = 0 Außerdem gilt: (h+| + h−|) |ψi = 0. Wegen des Terms %s (|+i + |−i) = 0 in den Kommutatoren in Gleichung (7.48) gilt damit %˙ s = 0 ⇒ |ψi kann nicht in den Grundzustand zerfallen! • Die destruktive Interferenz zwischen den Amplituden von |+i und |−i sorgt daf¨ur, daß dieser Zustand stabil ist [13]. • Der Effekt ist a¨ hnlich wie beim Dunkelzustand, nur daß |ψi ein angeregter Zustand ist und f¨ur alle Photonen dunkel ist. • Die Realisierung ist schwierig, da bei Atomen d+ = eiα d− nicht erf¨ullbar ist, denn die Zust¨ande sind Eigenzust¨ande von Jz Beispiel: Drei-Niveau-System V-Konfiguration:

in

Q k Q Q Q

3 Q

Jg = 0

Je = 1

Es gilt: √ d+ = D(ex − iey )/ 2 √ d− = D(ex + iey )/ 2

koppelt an σ+ -Licht koppelt an σ− -Licht

Damit ist d+ · d∗− = 0, Interferenzterme treten nicht auf. Beispielsweise gilt (|+i d+ + |−i d− ) hg| · |gi (h+| d∗+ + h−| d∗− ) = D2 (|+ih+| + |−ih−|) statt wie im oben angenommenen Fall d+ = d− D2 (|+i + |−i)(h+| + h−| . • Bei Molek¨ulen ist die destruktive Interferenz im Prinzip m¨oglich. Ein experimenteller Nachweis wurde erbracht [14], aber sp¨ater angezweifelt [15]. 4

M¨oglich ist auch d+ = eiα d−

Kapitel 8 ¨ Laser-Kuhlen von Atomen 8.1

¨ Allgemeines zur Kuhlung von Atomen

Nach dem Satz von Liouville kann man die Entropie eines abgeschlossenen (Quanten)-Systems nicht a¨ ndern, da es sich unit¨ar entwickelt. Adiabatisches K¨uhlen zur Verringerung der Temperatur ¨ ist zwar m¨oglich (siehe Ubungen), die Entropie ( Unordnung “) bleibt dabei aber erhalten. ” Um die Unordnung zu verringern bzw. das von den Atomen besetzte Phasenraumvolumen zu verkleinern muss das System offen sein. Die Beschreibung des Systems kann dann durch eine Master-Gleichung erfolgen. ¨ Verschiedene Konzepte der Kuhlung • Austausch von Atomen mit der Umgebung. z.B. Verdampfungsk¨uhlen wie bei der Kaffeetasse (bzw. bei Corinnas Teetasse). Hierbei befinden sich die Atome in einem Potentialtopf endlicher Tiefe. Nur die heißesten Atome haben genug Energie, um den Topf zu verlassen. Die verbliebenen Atome sind dann im Mittel k¨alter. Durch St¨oße zwischen den Atomen werden die Atome rethermalisiert, so dass die Energieverteilung wieder thermisch wird. • Spontan emittierte Photonen dissipieren Energie und Impuls. (Induzierte Emission tut dies nicht, da dies ein unit¨arer Prozess ist). ⇐⇒ Laser-K¨uhlen. Nobelpreis 1997 an Claude Cohen-Tannoudji, Steve Chu und Bill Phillips Eine ausgezeichnete Einf¨uhrung in die Konzepte der Laserk¨uhlung kann man in Ref. [11] finden.

¨ 8.2 Doppler-Kuhlung Die Doppler-K¨uhlung ist die grundlegendste Form der Laser-K¨uhlung (Lethokov, H¨ansch und Schawlow 1975).

124

Laser-K¨uhlen von Atomen

8.2.1 Das Prinzip ¨ Die Anregungswahrscheinlichkeit der Atome h¨angt von der Laser-Frequenz ab (siehe Ubungen). %ee =

|Ω|2 ∆2 +

γ2 4

+ 2|Ω|2

(8.1)

wobei ∆ = ωL −ω0 und Ω die Rabi-Frequenz ist. Der mittlere absorbierte Impuls ist ~kL %ee (ωL ). Bewegt sich das Atom mit der Geschwindigkeit v, so nimmt es eine durch den DopplerEffekt verschobene Laser-Frequenz ωL0 = ωL − kL · v wahr: • f¨ur v parallel zu kL ist ωL0 rotverschoben (ωL0 < ωL ) • f¨ur v antiparallel zu kL ist ωL0 blauverschoben (ωL0 > ωL ) Nun w¨ahlt man ∆L = ωL − ω0 < 0, also einen rotverstimmten Laser. F¨ur Atome, die auf den Laser zufliegen, ist die Verstimmung gegeben durch ∆0 = ωL0 − ω0 = ωL − kL · v − ω0 = ∆L − kL · v

(8.2)

so dass |∆0 | < |∆L | (solange v nicht zu groß ist). Ein rotverstimmter Laser regt deshalb vornehmlich Atome an, die auf ihn zufliegen. Bei zwei gegenl¨aufigen rotverstimmten Laserstrahlen werden die Atome vornehmlich Photonen von dem Laserstrahl absorbieren, auf den sie zufliegen. Dadurch werden die Atome gek¨uhlt.

8.2.2 Theoretische Beschreibung Man beschreibt das Problem durch: p2 − ~∆ |eihe| − ~Ω(x) |eihg| − ~Ω∗ (x) |gihe| (8.3) 2M (Zwei-Niveau-Atom mit Schwerpunktbewegung im Laserfeld). Zu l¨osen ist die DGL: H=

i γ %˙ = − [H, %] − {σ+ σ− % + %σ+ σ− − 2σ− %σ+ } ~ 2

(8.4)

Der letzte Term σ− %σ+ ist dabei anders als im vorigen Kapitel, da der Impuls¨ubertrag der spontan emittierten Photonen ber¨ucksichtigt werden muss: σ− %σ+ = |gihg| %ee (8.5) Z 2 dΩ ˆ 2 eikx %ˆee e−ikx |gihg| σ− %σ+ = 1 − |dˆeg · k| (8.6) 8π/3 ˆ 2 die Dipol-Charakteristik beschreibt, eikx den Impuls¨ubertrag von ~k, Wobei 1 − |dˆeg · k| %ˆee ist he|ˆ %|ei. Herleitung: Siehe Ref. [12]. Dieser Term heizt “ die Atome, da er ∆p um etwa ”

8.2 Doppler-K¨uhlung

125

~k vergr¨oßert. ¨ die Mastergleichung L¨osungsidee fur Verwende die Born-Oppenheimer N¨aherung (oder adiabatische N¨aherung): Die Schwerpunktbewegung ist viel langsamer als die elektronische Relativbewegung, daher l¨ost man das elektronische Problem f¨ur fixiertes x und setzt dies in die Schwerpunkt-DGL ein. Die interne Zeitentwicklung ist sogar so schnell, dass man einfach die station¨are elektromagnetische L¨osung nehmen kann. i γ ! %˙ = 0 = − [H, %] − {σ+ σ− % + %σ+ σ− − 2σ− %σ+ } ~ 2

(8.7)

mit H=~

−∆ −Ω(x) −Ω∗ (x) 0

(8.8)

Die L¨osung dieses Problems ist: |Ω|2 %ee = L

%eg

Ω ∆ − i γ2 =− = %∗ge L

(8.9)

2

wobei L := ∆2L + γ4 + 2|Ω|2 . Dies setzt man in die Schwerpunktbewegung ein und l¨asst R d2 Ω hier der Einfachheit halber den dissipativen Term 8π/3 . . . weg (weiter unten werden wir ihn ph¨anomenologisch wieder einf¨uhren). So ergibt sich: p2 H= − d · E(x) + innere Zust¨ande 2M

(8.10)

Daraus folgen: p M p˙ = ∇(d · E(x))

x˙ =

(8.11) (8.12)

Dies sind die Heisenberg-Bewegungsgleichungen f¨ur x und p. Wir benutzen wieder die RWA: RWA

d · E(x) = deg · E (+) (x) |eihg| + d∗eg · E (−) (x) |gihe| = ~Ω(x) |eihg| + ~Ω∗ (x) |gihe|

(8.13)

Der Mittelwert u¨ ber die inneren Freiheitsgrade ergibt p¯˙ = Tr 2×2 (%p) ˙ = ~ Tr 2×2 (%{|eihg| ∇Ω(x) + |gihe| ∇Ω∗ (x)}) = ~(∇Ω(x))%ge + ~(∇Ω∗ (x))%eg

(8.14)

126

Laser-K¨uhlen von Atomen

Einsetzen von %eg und %ge = %∗eg = −

Ω∗ (∆+i γ2 ) . L

∇(|Ω|2 ) γ Ω∗ (∇Ω) − Ω(∇Ω∗ ) p¯˙ = F¯ = −~∆L − i~ L 2 L 2 γ ~γ Ω∗ (∇Ω) − Ω(∇Ω∗ ) ~∆L =− ∇ ln ∆2L + + 2|Ω|2 − i 2 4 2 ∆2L + γ 2 + 2|Ω|2

(8.15)

4

Der erste Term ist eine konservative Kraft (da = ∇...), der zweite Term stellt eine dissipative Kraft dar. γ2 γ Ω∗ ∇Ω − Ω∇Ω∗ 1 2 2 + 2|Ω| − i~ F = −~∆L ∇ ln ∆L + (8.16) 2 4 2 ∆2L + γ 2 + 2|Ω|2 4 Beispiel 1: laufende Laserwelle: Ω = Ω0 · eikx , |Ω|2 = Ω20 ∈ R =⇒ F = ~k

γΩ20 ∆2L +

γ2 4

= ~kγ%ee

+ 2Ω20

(8.17)

Doppler-Effekt: ∆L −→ ∆L − kv = ∆L − =⇒ F = ~k

γΩ20 kp 2 ∆L − M +

γ2 4

pk M

(8.18)

+ 2Ω20

Beispiel 2: Zwei gegenl¨aufige Laser. Wir behandeln das Problem vereinfacht, indem wir die Kr¨afte von Ω1 = Ω0 eikx und Ω2 = Ω0 e−ikx addieren 1 . F = F→ + F← = ~ k γ Ω20

4∆L · [(∆L −

kp 2 ) M

+

kp M

(8.19)

γ2 ][(∆L 4

+

kp 2 ) M

+

γ2 ] 4

(f¨ur Ω0 γ). Dabei ist F ← = F → (−k). F¨ur kleines p gilt F ≈

4~k γ Ω20 k p M

∆L ∆2L

+

γ2 4

2 ∼ p

In Richtung von k haben wir F p < 0 f¨ur ∆L < 0, so dass aus der Bewegungsgleichung p˙ = F die Zeitentwicklung p(t) ∼ e−αt abgeleitet werden kann. Der mittlere Impuls wird somit abgebremst. Wegen F ∼ γ ist daf¨ur die spontane Emission notwendig. Die maximale Kraft Fˆ 2 Ω2 wird erreicht f¨ur ∆L = − γ2 und ist gegeben durch Fˆ = −8 ~Mk γ 20 p. 1

Eigentlich muss man Ω = Ω0 cos(kx) setzen und v¨ollig anders weiterrechnen. Dies f¨uhrt zu komplizierten Berechnungen. Qualitativ richtig und viel einfacher ist der Zugang, den wir hier verwenden.

8.3 VSCPT

127

Diese Kraft muss verglichen werden mit der (noch nicht ber¨ucksichtigten) Heizrate, die sich durch den Impuls¨ubertrag der spontan emittierten Photonen ergibt. (=⇒ Impulsverteilung wird verbreitert). Heizrate intuitiv: die Breite der Impulsverteilung ist definiert als σ 2 = hp2 i − hpi2 . Ihre durch ¨ das Heizen verursachte zeitliche Anderung gen¨ugt d 2 σ = Anregungswahrscheinlichkeit · Emissionsrate · Impuls¨ubertrag 2 dt Heiz

= %ee · γ · ~2 k 2 ¨ Somit erhalten wir f¨ur die gesamte (K¨uhlen und Heizen) Anderung den Ausdruck d 2 d 2 d 2 σ = p + σ dt dt |{z} |dt{z } 2 2 2pp˙ γ%ee ~ k

Heiz

Betrachten wir die Situation f¨ur die maximale K¨uhlungskraft, also ∆L = −γ/2, so ist die Anregungswahrscheinlichkeit durch %ee = 2Ω20 /γ 2 gegeben. Im Gleichgewicht muß −2pF = γ~2 k 2 · 2Ω20 /γ 2 gelten, so dass man auf p2 ~γ 1 = = kB T 2M 16 2 schließen kann. Das stimmt bis auf einen numerischen Faktor. Das richtige Ergebnis ist das sog. Doppler-Limit: kB T = ~γ γ ≈ 107 s−1 =⇒ T ≈ 10−4 K (8.20)

8.3 VSCPT Velocity-selective coherent population trapping [19] verwendet Dunkelzust¨ande zum K¨uhlen und kann erst bei tiefen Temperaturen eingesetzt werden (< 10 µK). Die Methode liefert daf¨ur sehr tiefe Endtemperaturen (3 nK). Betrachte ein Λ-System mit Schwerpunktbewegung: |e, pi

Ee

k − , ω L , Ω−

Ω+ , ω L , k +

|−, p − ~k− i

|+, p − ~k+ i

Eg

Dabei gilt: E+ = E− = Eg , ∆ = ωL − (Ee − Eg )/~, |k+ | = |k− | = k pˆ2 H= 1 − ~∆ |ei he| 2M + ~Ω− eik− x |ei h−| + e−ik− x |−i he| + ~Ω+ eik+ x |ei h+| + e−ik+ x |+i he| = H0 + Hint

(8.21)

128

Laser-K¨uhlen von Atomen ˙ = H |ψi , entwickle |ψi gem¨aß i~ |ψi Z |ψi = d3 p {ψe (p) |e, pi + ψ+ (p − ~k+ ) |+, p − ~k+ i + ψ− (p − ~k− ) |−, p − ~k− i}

Einsetzen =⇒   p2 −~∆ + 2M ψe (p)  i~∂t ψ+ (p − ~k+ ) =  ~Ω+ ψ− (p − ~k− ) ~Ω− 

~Ω+

(p−~k+ )2 2M

0

  ~Ω− ψe (p)  0  ψ+ (p − ~k+ ) (p−~k− )2 ψ− (p − ~k− )

(8.22)

2M

=⇒ Im allgemeinen ist die Entartung von |+i, |−i durch die Schwerpunktbewegung aufgehoben. Setze Ω+ = Ω− = Ω =⇒ 1 |ψD (p)i = √ {|−, p − ~k− i − |+, p − ~k+ i} 2

(8.23)

ist ein Dunkelzustand im Sinne von Hint |ψD (p)i = 0. Aber: 2 p ~2 k 2 H0 |ψD (p)i = + |ψD (p)i 2M 2M 1 ~k− p ~k+ p − |−, p − ~k− i + |+, p − ~k+ i +√ M M 2 (p − ~k)2 |ψD (p)i : Eigenzustand 2M (p2 + ~2 k2 ) ~kp k := k+ = −k− =⇒ H0 |ψD (p)i = |ψD (p)i − |ψB (p)i 2M M k := k+ = k− =⇒ H0 |ψD (p)i =

=⇒ Bei gegenl¨aufigen Lasern (k+ = −k− ) ist nur |ψD (0)i ein Eigenzustand von H0 + Hint . Dies f¨uhrt uns zur Idee von VSCPT: • Atome werden von den Lasern nach |ei angeregt und fallen via spontaner Emission zur¨uck. • Atome, die nach |ψB (p)i fallen, werden wieder hochgepumpt • Atome, die nach |ψD (p 6= 0)i fallen, entwickeln sich erst zu |ψB (p)i und werden dann gepumpt • Atome in |ψD (p = 0)i bleiben dort: K¨uhlung.

Kapitel 9 Elektromagnetisch induzierte Transparenz EIT ist einer von vielen Effekten in der Quanten-Optik, bei denen Licht den Zustand der Atome und somit seinen Brechungsindex a¨ ndert. Grundlage sind dabei die

9.1

Maxwell-Bloch-Gleichungen

Gleichung f¨ur Atome: %˙ = L% wie in Kapitel 7 f¨ur die Kopplung zwischen Licht und Atomen: Z 1 P (x) · D(x)d3 x H = HA + HRad − 0 (9.1) P (x) = Polarisation, z.B. f¨ur ein Atom Ort x0 : ˆ P (x) = dδ(x − x0 ) Heisenbergsche Bewegungsgleichungen (wie in Kapitel 2): ˙ i~D(x) = [D(x), H] mit 0 [Di (x), Bj (x )] = −i~ijk ∂k δ(x − x0 )

(9.2)

Daraus ergibt sich: 1 rot B µ0 ˙ = − 1 rot (D − P ) B ε0

˙ = D

(9.3) (9.4)

Das entspricht den Maxwell-Gleichungen 1 in einem Dielektrikum mit Polarisation P . Daraus lassen sich nach dem aus den ersten Kapiteln bekannten Schema Wellengleichungen herleiten: 1 2 ∂ + rot rot D = rot rot P (9.5) c2 t 1

Wir nehmen an, dass die makroskopische freie Ladungsdichte verschwindet, so dass ÷D = 0. Man kann dan die Unterscheidung zwischen dem senkrechtem Anteil der Verschiebungsdichte und der Verschiebungsdichte selbst fallenlassen.

130

Elektromagnetisch induzierte Transparenz

Bzw. unter der Verwendung D = ε0 E + P 1 2 ¨ ∂ + rot rot E = −µ0 P c2 t

(9.6)

Mit %˙ = L% zusammen bilden diese Gleichungen die Maxwell-Bloch-Gleichungen. Diese Gleichungen sind im Allgemeinen schwer zu l¨osen, weshalb N¨aherungen durchgef¨uhrt werden. Oft gemachte Annahmen sind: • Homogen verteilte Atome ⇒ P (x, t) = P (t)

(9.7)

• Das atomare Gas hat eine so geringe Dichte, dass sich die Atome nicht gegenseitig beeinflussen und einzeln mit dem Licht wechselwirken. ⇒ P (t) = %¯d

(9.8)

Dabei ist %¯ die Dichte der Atome und d der Dipoloperator f¨ur ein einzelnes Atom. Mitteln u¨ ber die atomaren Freiheitsgrade ergibt: 1 2 ¨ ∂ + rot rot E = −µ0 %¯ hdi c2 t 1 ¨ = − 2 %¯Tr (%d) c 0

(9.9) (9.10)

Die Maxwell-Bloch-Gleichungen erlauben die Berechnung der optischen Eigenschaften eines Mediums von Atomen. Bei Gasen kann man zu einem gewissen Grad die St¨oße und Wechselwirkung zwischen den Atomen vernachl¨assigen.

9.2

Der Brechungsindex von 2-Niveau-Atomen

Betrachte wie in Kapitel 8 ein 2-Niveau-Atom in einer laufenden Laserwelle: E = E 0 eikx e−iωL t + c.c.

(9.11)

Die Laserwelle soll kontinuierlich eingeschaltet sein, so daß die Atome durch ihren station¨aren Zustand beschrieben werden k¨onnen: %st ee =

|Ω|2 γ2 4 st %ee

∆2 +

+ 2|Ω|2

%st gg = 1 − −Ω(∆ − i γ2 ) %st = 2 eg ∆2 + γ4 + 2|Ω|2 ∆ = ωL − ω0

(9.12)

9.2 Der Brechungsindex von 2-Niveau-Atomen

131

Diese L¨osunge gilt f¨ur das “mitrotierende” Bezugssystem, in dem HA = ~∆ |ei he| ist. Um zum “Laborsystem” zu wechseln, m¨ussen wir die entsprechende unit¨are Transformation U = exp (−iωL t |ei he|)

(9.13)

r¨uckg¨angig machen: %(t) = U (t)%st U + (t) X + = %st ij U |ii hj| U i,j st st −iωL t iωL t = %st |ei hg| + %st |gi he| ee |ei he| + %gg |gi hg| + %eg e ge e

⇒ Tr (%(t)d) = deg %ge (t) + d∗eg %eg (t)

(9.14) (9.15)

Der Zusammenhang zwischen der Amplitude des elektrischen Feldes und der in der station¨aren Dichtematrix (9.12) auftretenden Rabi-Frequenz ist gegeben durch 1 deg · E (+) (t) ~ 1 = deg · E 0 eikx e−iωL t ~

Ω(x, t) =

(9.16)

Einsetzen in die Maxwell-Gleichungen ergibt 1 2 ∗ −ikx iωL t ikx −iωL t ∂ + rot rot E e e + E e e 0 0 c2 t ∆ + i γ2 ωL2 %¯ 1 = 2 deg (−1) eiωL t e−ikx d∗eg E ∗0 2 γ c 0 ~ ∆2 + + 2|Ω0 |2 4

+d∗eg (−1)

∆ − i γ2 ∆2 +

γ2 4

1 e−iωL t eikx deg E 0 ~ + 2|Ω0 |2

! (9.17)

mit Ω0 = deg ·E 0 /~. Machen wir nun die Annahme, daß E 0 = const. gilt. Koeffizientenvergleich von e±iωL t liefert: ∆ − i γ2 −ωL2 −¯ %ωL2 ∗ E 0 − k × (k × E 0 ) = d (deg E 0 ) 2 c2 ~0 c2 eg ∆2 + γ + 2|Ω0 |2

(9.18)

4

Setze deg = D∗ , E 0 = E0 mit ⊥ k: ∆ − i γ2 ωL2 %¯ωL2 2 2 ⇒ − 2 E0 + k E0 = − D E0 2 c ~0 c2 ∆2 + γ + 2|Ω0 |2 ⇒−

4 γ i2

∆− ωL2 −¯ %ωL2 2 2 + k = D 2 2 2 2 c ~0 c ∆ + γ + 2|Ω0 |2 4

(9.19) (9.20)

132

Elektromagnetisch induzierte Transparenz

Dies ist eine Gleichung, die k mit ωL verkn¨upft. ωL ist vom Laser vorgegeben und muß auch innerhalb des Mediums denselben Wert annehmen, da sonst die Randbedingungen an der Grenze zwischen Medium und freiem Raum verletzt w¨urden. k kann jedoch innerhalb des Mediums einen anderen Wert annehmen als ωcL . L¨osung: s ∆ − i γ2 ωL2 ωL2 %¯D2 k(ωL ) = − (9.21) c2 c2 ~0 ∆2 + γ 2 + 2|Ω0 |2 4

wobei ∆ = ωL − ω0 Vergleiche dies mit der Definition des Brechungsindex: k(ωL ) = s ⇒ n(ωL ) = F¨ur kleine Dichten: N¨aherung

√

1−

ωL n(ωL ) c

(9.22)

∆ − i γ2 %¯D2 ~0 ∆2 + γ 2 + 2|Ω0 |2

(9.23)

4

1−x=1−

n(ωL ) = 1 −

1 x 2

⇒

∆ − i γ2 1 %¯D2 2 ~0 ∆2 + γ 2 + 2|Ω0 |2

(9.24)

4

0

Der Brechungsindex ist im Allgemeinen komplex, n = n + in ⇒ E (+) = E 0 e−iωL t eikx 0

0 00 ωL (n +in ) c

= E 0 e−iωL t eik x e−k 0

00

00

x

• Der Realteil n bestimmt die Phasengeschwindigkeit vph = den des Detunings wird daraus v(∆ = 0) = c.

(9.25) ω Re k

des Lichts. Bei Verschwin-

• Gruppengeschwindigkeit: Betrachte das Wellenpaket Z E(x, t) = dωeik(ω)x e−iωt E(ω) Schmale Frequenzbreite, d.h. ω ≈ ω0 , erlaubt die Entwicklung ∂k k(ω) ≈ k(ω0 ) + (ω − ω0 ) + . . . ∂ω ω0

(9.26)

(9.27)

Z

i ∂k | (ω−ω0 )x dωE(ω)e−iωt eik(ω0 )x e ∂ω ω0 Z ∂k ∂k −iω(t− ∂ω |ω0 x) ik(ω0 )x −i ∂ω |ω0 ω0 x = e e dωE(ω)e

⇒ E(x, t) =

(9.28)

9.3 Elektromagnetisch induzierte Transparenz und Dunkelzust¨ande Daraus folgt: Das Paket l¨auft mit der Geschwindigkeit −1 ∂k ∂ω x = const. = = t ∂ω ∂k ω0

133

(9.29)

ω0

∂k −1 was der Gruppengeschwindigkeit vgr = ( ∂ω ) entspricht. Diese a¨ ndert sich besonders 00 stark um ∆ = 0 herum. Allerdings: n beschreibt die Absorption und wird ebenfalls f¨ur ∆ = 0 maximal, so dass man nicht mehr von einer wirklichen Propagation des Lichts sprechen kann. Der Begriff der Gruppengeschwindigkeit wird dann unsinnig.

• “Spectral hole burning”: |Ω0 |2 ∼ Lichtintensit¨at; daraus folgt, daß hohe Intensit¨aten selbst bei ∆ = 0 die Absorption stark unterdr¨ucken. Grund: Wenn alle Atome angeregt sind k¨onnen die verbleibenden Photonen nicht mehr absorbiert werden.

9.3 Elektromagnetisch induzierte Transparenz und Dunkelzust¨ande Der Brechungsindex f¨ur Atome mit mehr als zwei Niveaus kann sehr von dem 2-Niveau-Ergebnis abweichen. Ein Beispiel daf¨ur ist das Ph¨anomen der elektromagnetisch induzierten Transparenz in einem Λ-System. Um den Brechungsindex herzuleiten, m¨ussen wir wieder die MaxwellBloch-Gleichungen f¨ur ein Λ-Sytem l¨osen.     0 −Ω− −Ω+ −γ%ee − γ2 %e− − γ2 %e+ b = ~ −Ω∗− ∆− 0  0  (9.30) H Lsp. Em. %b = − γ2 %−e γ2 %ee γ γ ∗ − 2 %+e 0 % −Ω+ 0 ∆+ 2 ee Also: i ! station¨are L¨osung (9.31) %˙ = − [H, %] + Lsp. Em. % = 0 ~ Die L¨osung dieses linearen Gleichungssystems zu finden ist im Prinzip einfach, das Ergebnis ist aber so umfangreich, daß es nicht mehr interpretierbar ist. Wir machen daher die Annahme, daß Ω+ klein ist, und entwickeln um Ω+ = 0. Die L¨osung f¨ur Ω+ = 0 ist einfach der Dunkelzustand, also %0 = |+ih+|

(9.32)

Da |+i der Dunkelzustand f¨ur diese Situation (Ω+ = 0, Ω− 6= 0) ist, wird so die gesamte Population nach |+i gepumpt. Wird nun der zweite Laser eingeschaltet (Ω+ 6= 0) so f¨uhrt man eine st¨orungstheoretische b =H b0 + H b 1 mit Rechnung durch: H     0 −Ω− 0 0 0 −Ω+ b 0 = ~ −Ω∗− ∆− b1 = ~  0 0  0 0  H H (9.33) ∗ 0 0 ∆+ −Ω+ 0 0

134

Elektromagnetisch induzierte Transparenz

Setzt man nun den Ansatz %b = %b0 + %b1 + O(Ω2+ ) in (9.31) ein, so findet man i 0 = − [H0 + H1 , %0 + %1 ] + Lsp.Em. %b0 + Lsp.Em. %b1 ~

(9.34)

und da %0 die ungest¨orte Gleichung l¨ost, verbleibt zur ersten Ordnung nur noch: i i − [H0 , %1 ] + Lsp.Em. %b1 = [H1 , %0 ] ~ ~

(9.35)

Also ein inhomogenes lineares Gleichungssystem f¨ur %b1 . L¨ost man dieses Gleichungssystem, dann findet man: % = |+ih+| + {%e+ |eih+| + %−+ |−ih+| + H.c.} | {z }

(9.36)

%0

mit (∆− − ∆+ )Ω+ (∆− − ∆+ )(∆+ + i γ2 ) + |Ω− |2 −Ω+ Ω∗− = (∆− − ∆+ )(∆+ + i γ2 ) + |Ω− |2

%e+ = − %−+

Berechne nun den Brechungsindex f¨ur den Ω+ Laser mit Hilfe von Gleichung (9.9). Von der Herleitung des Brechungsindex f¨ur das Zwei-Niveau-System in Abschnitt 9.2 her wissen wir, daß gilt 2 n+ ≈ 1 +

%¯D b(−) · ε∗ %) 1 Tr (d Ω+ 2~ε0 Ω+

(9.37)

b(−) · ε∗ ∝ |+ihe| gilt, folgt Da f¨ur den Ω+ Strahl d Ω+ n+ ≈ 1 −

%¯D2 ∆− − ∆+ 2~ε0 (∆− − ∆+ )(∆+ + i γ2 ) + |Ω− |2

(9.38)

Der dabei auftretende Vorfaktor ist charakteristisch f¨ur optisch d¨unne Gase und derselbe wie beim Zwei-Niveau-System. Der Bruch enth¨alt den Effekt der elektromagnetisch induzierten Transparenz. F¨ur ∆− = ∆+ gilt n = 1, d. h. derselbe Brechungsindex wie im Vakuum; insbesondere findet keine Absorption statt. Das System verh¨alt sich jedoch nicht vollst¨andig wie das Vakuum, denn die rechte Seite der Gleichung ist nur bei Resonanz exakt Null. Außerhalb der Resonanz treten neue Effekte auf. Die Gruppengeschwindigkeit die mit ∂ω zusammenh¨angt weicht auch f¨ur den ∂k Resonanzfall vom Vakuumwert ab. 2

Die Herleitung dieser Gleichung verl¨auft v¨ollig analog zur Herleitung von Gleichung (9.24).

9.3 Elektromagnetisch induzierte Transparenz und Dunkelzust¨ande

135

F¨ur ∆− = ∆+ gilt also n = 1 es tritt keine Absorption auf, denn die Atome sind fast alle im Dunkelzustand. Die Phasengeschwindigkeit entspricht der des Vakuums, nicht aber die Gruppengeschwindigkeit. Betrachten wir den Fall ∆− = 0 (Pumplaser in Resonanz): n+ = 1 −

%¯D2 (ω0 − ω+ ) 2~ε0 (ω0 − ω+ )(ω+ − ω0 + i γ2 ) + |Ω− |2

(9.39)

ω+ n+ (ω+ ) c

(9.40)

F¨ur den Wellenvektor gilt nun: k+ (ω+ ) =

Die Gruppengeschwindigkeit l¨aßt sich damit leicht berechnen: ∂k+ n+ ω+ ∂n+ 1 ω0 %¯D2 1 = − = . . . = + ∂ω+ ω+ =ω0 c c ∂ω+ c c 2~ε0 |Ω− |2 c ⇒ vgr = %¯D2 ω0 1 + 2~ε0 |Ω− |2

(9.41) (9.42)

Theoretisch ist damit vgr = 0 erreichbar (f¨ur Ω− → 0), dann ist jedoch die obige Entwicklung eigentlich nicht mehr erlaubt. Obwohl dieser Grenzfall nicht mehr von unserer Theorie beschreibbar ist (denn wir hatten Ω+ Ω− vorausgesetzt) ist er dennoch im Experiment erreicht worden. Beispiel ω0 = 1015 s−1 , D = ea0 , %¯ ≈ 1021 m−3 , Ω− ≈ 108 s−1 dann findet man f¨ur die Gruppengeschwindigkeit 1 m vgr = 10−6 c ≈ 100 3 s

(9.43)

In einem ersten Experiment erreichte die Gruppe von Lene Hau 1999 [20] vgr = 17 m/s. Ein Jahr sp¨ater gelang es der Gruppe von Bill Philipps sogar, Licht zu stoppen [?]. Man kann mit dieser Methode einen Puls f¨ur eine Zeitdauer im Millisekundenbereich anhalten, ohne die Information durch inkoh¨arente Prozesse zu verlieren. Dies k¨onnte z. B. interessant sein f¨ur optische Computer. Zudem kann man das gestoppte Licht auf vielf¨altige Weise manipulieren, z. B. quetschen. Das Stoppen kann dabei als Transfer der Atome von |+i nach |−i und anschließendem Abschalten des Pumplasers verstanden werden. Das Licht ist dann reversibel und koh¨arent gespeichert. Der Ω+ -Puls kann nach bis zu einer Millisekunde wiederhergestellt werden [34].

136

Elektromagnetisch induzierte Transparenz

Kapitel 10 ¨ Photonische Bandlucken Photonic band gaps (PBG) treten in v¨olliger Analogie zu den Bandl¨ucken von Elektronen in periodischen Potentialen auf. Ihre Bedeutung ist, dass Photonen mit bestimmten Frequenzen in einem periodischen dielektrischen Medium nicht propagieren k¨onnen. Sie entstehen bei periodischer Modulation des Brechungsindexes. Zur Vereinfachung der Schreibweise f¨uhren wir die relative Dielektrizit¨atskonstante εr ein εr (x) =

ε(x) = n2 (x) ε0

n: Brechungsindex

(10.1)

von der wir annehmen, daß sie zeitlich konstant ist (ε˙r ∝ ε(x) ˙ = 0), was einen von der Frequenz unabh¨angigen Brechungsindex impliziert. Es gilt dann D = ε0 E + P = ε(x)E = ε0 εr (x)E(x)

(10.2)

und die Maxwell-Gleichungen lauten: ˙ = −rot E B

˙ = ε0 c2 rot B D

was auf eine symmetrische“ Wellengleichung f¨ur B f¨uhrt: ” 1 2 2 ∂t + c rot rot B(x, t) = 0 εr (x)

(10.3)

(10.4)

Betrachte nun einen periodischen Brechungsindex εr (x) = εr (x + L), der der Einfachkeit halber nur von x abh¨angen soll 1 . Um die Analogie zwischen photonischen und elektronischen Bandl¨ucken m¨oglichst klar herauszuarbeiten, soll die Wellengleichung f¨ur das Magnetfeld mit den bekannten Konzepten aus der Quantenmechanik behandelt werden 1

Im Folgenden schreiben wir trotzdem die volle Abh¨angigkeit εr (x), wenn die entsprechende Gleichung auch im allgemeinen Fall gilt.

138

Photonische Bandl¨ucken • Zun¨achst definieren wir ein erhaltendes Skalarprodukt (siehe auch Abschnitt 2.1.6), mit dessen Hilfe wir hermitesche Operatoren einf¨uhren k¨onnen: Z ε0 0 ˙ ∗B0 − B∗B ˙ 0) hB|B i := −i d3x (B (10.5) ~ Z ¨ ∗B0 − B∗B ¨ 0) ⇒ ∂t hB|B 0 i ∝ d3x (B (10.6) eingesetzt in die Wellengeichung (10.4) 1 1 ∗ 0 ∗ 0 2 2 = d x (−c rot rot B )B − B (−c rot rot B ) (10.7) εr (x) εr (x) Z 1 1 0 ∗ 0 ∗ 2 3 2 rot B ) − B (−c rot rot B ) = 0 = d x B (−c rot εr (x) εr (x) (10.8) Z

3

Dabei wurde im letzten Schritt zwei mal partiell integriert, um die Rotation auf den gestrichenen Term zu schaufeln. In diese Rechnung ging insbesondere auch ein, dass εr (x) unabh¨angig von der Zeit ist und dass es symmetrisch zwischen den beiden RotationsOperatoren auftritt. • Der “Hamilton”-Operator H := −c2 rot εr (x)−1 rot ist hermitisch, d. h. hB 0 |HBi = hHB 0 |Bi. Zudem ist H periodisch, d. h. H(x + L) = H(x). Um nun die Eigenmoden der Wellengleichung (10.4) zu finden, betrachten wir analog zur Festk¨orperphysik zun¨achst den Translationsoperator Tx0 = eibp·x0 /~ = ex0 ·∇x Wirkung des Operators: Bew.:

(Tx0 f )(x) = f (x + x0 )

(10.9) (10.10)

x0 ·∇x

Tx0 f (x) = e f (x) ∞ X (x0 · ∇x )n = f (x) ≡ Taylor-Reihe um x n! n=0 = f (x + x0 )

(10.11)

H vertauscht mit TL , denn (HTL − TL H)f (x) = Hf (x + L) − H(x + L)f (x + L) = 0 , da H periodisch ist. Also hat H ein gemeinsames System von Eigenfunktionen mit TL . Die Eigenzust¨ande von TL sind die Impulseigenzust¨ande eikx mit zugeh¨origen Eigenwerten TL eikx = eik(x+L) = eikL eikx . Das heißt, es liegt eine ∞-fache Entartung der Eigenwerte vor. F¨ur alle k = q + 2nπ , n ∈ Z ergibt sich derselbe Eigenwert exp(iqL). L

139 Die Eigenzust¨ande von H k¨onnen nach einem Satz entarteter Eigenwerte von TL entwickelt werden und haben daher die Form ψq (x) = eiqx

∞ X

ψq,n ei

2nπ x L

(10.12)

n=−∞

Die Quantenzahl q kann aus [− π2 , π2 ] gew¨ahlt werden 2 . q heißt Quasi-Impuls (= Impuls modulo 2π/L). 2

∂ Zu l¨osendes Eigenwert-Problem: ∂t ψ = 0, Ansatz ψ(x, t) = e±iωt ψ(x) ⇒ −ω 2 ψ(x) = 2 − H Hψ(x) Ein m¨oglichst einfaches Beispiel dazu: 2π r = 1 + δ cos x L

mit δ 1 ⇒ 1 rot 1 + δ cos 2π x L 2π 2 ≈ −c rot 1 − δ cos x rot L = H0 + δH1

H = −c2 rot

mit H0 = −c2 rot rot 2π 2 x rot H1 = c rot cos L Betrachte Lichtwelle entlang der x-Achse: B(x) = B(x)ey Dieser Ansatz erf¨ullt die Maxwell-Gleichung div B = 0. F¨ur die Wirkung des Hamilton-Operators folgt 1 ∂ 1 ∂ −rot rot B = B ey r (x) ∂x r (x) ∂x Verwende nun St¨orungstheorie: B(x) = hx|Bi, |Bi = |B0 i + δ |B1 i, dabei ist |B0 i ein Impulseigenzustand p0 . (H0 + δH1 ) (|B0 i + δ |B1 i) = −ω 2 (|B0 i + δ |B1 i) mit ω 2 = ω02 + δω12 ¨ Eine andere Wahl kann durch Andern des Summationsindexes auf diese Wahl zur¨uckgef¨uhrt werden. Falls z.B. q = q + 2π/L so erh¨alt man dieselbe Entwicklung mit ψq,n ersetzt durch ψq0 ,n−1 . 2

0

140

Photonische Bandl¨ucken

Gleichung 0. Ordnung: H0 |p0 i = −ω02 |p0 i p2 = −c2 02 |p0 i ~ ⇒ ω0 = cp~0 Gleichung 1. Ordnung: H0 |B1 i + H1 |B0 i = −ω12 |B0 i − ω02 |B1 i ¨ Dies zu l¨osen ist un¨ubersichtlich. Von der Struktur sieht die L¨osung wie folgt aus: Die Anderung 2 des Eigenwertes kann aus −ω1 = hB0 |H1 |B0 i bestimmt werden. Der Zustand hat die Struktur |B1 i ∼ H1 |B0 i 2π ∼ rot cos x rot |p0 i L 2π iLx −i 2π x L ∼ e +e |p0 i ∼ |p0 +

2π 2π ~i + |p0 − ~i L L |{z} k

c2 p2 |pi ~2 = ω02 (p) |pi

H0 |pi = −

F¨ur p0 ≈ ~k ist c|p0 − ~k| nahezu resonant zu c|p0 |, w¨ahrend p0 + ~k eine viel h¨ohere 2 3 . Man erh¨alt ungest¨orte Energie hat ⇒ H1 koppelt vornehmlich p0 und p0 − ~k f¨ur p0 ≈ ~k 2 ~k also effektiv ein Zwei-Niveau-System. Ist |p0 | sehr verschieden von 2 , so ist die Kopplung vernachl¨assigbar. Ein Schema der daraus folgenden Energieniveaus ist in Abb. 10.2 dargestellt. . Bezeichnen wir das Matrixelement Betrachten wir das Zwei-Niveau-System f¨ur p0 ≈ ~k 2 hp0 | H1 |p0 − ~ki mit h1 , so erh¨alt man die Gleichungen |Bi ≈ α |p0 i + β |p0 − ~ki δH1 |p0 i ≈ δh1 |p0 − ~ki δH1 |p0 − ~ki ≈ δh1 |p0 i und das Eigenwert-Problem H |Bi = −ω 2 |Bi 3

bzw. p0 und p0 + ~k f¨ur p0 ≈ − ~k 2

141

Abbildung 10.1: Energie-(Quasi-)-Impulsrelation f¨ur elektromagnetische Wellen im freien Raum. Die gestrichelte Linie beschreibt die Energie E(p) = c|p| in Abh¨angigkeit vom Impuls p, die durchgezogene in Abh¨angigkeit vom Quasi-Impuls q. Der Unterschied ist lediglich eine andere Benennung der Quantenzahlen: statt einer kontinuierlichen Variable p benutzt man eine kontinuierliche q und den diskreten Bandindex n.

Abbildung 10.2: Energie-Quasiimpulsrelation f¨ur elektromagnetische Wellen im periodischen Dielektrikum. An den Stellen, an denen die freien Zust¨ande resonant sind, enstehen Bandl¨ucken.

142

Photonische Bandl¨ucken H |Bi =

−ω02 (p0 ) δh1 † 2 δh1 −ω0 (p0 − ~k)

α β

mit den Eigenwerten: ω 2 (p0 ) + ω02 (p0 − ~k) 1 − 0 ± 2 2

q

2

(ω02 (p0 ) − ω02 (p0 − ~k)) + 4δ2 2

wobei die ”Verstimmung” gegeben ist durch ω02 (p0 ) − ω02 (p0 − ~k) ∼ 2 ~c 2 k∆p worin der Anfangsimpuls gem¨aß p0 = ~k + ∆p relativ zu ~k/2 angegeben ist. ∆p spielt daher eine a¨ hnliche 2 Rolle wie die echte Verstimmung beim Zwei-Niveau-System aus Abschnitt 5.3. Variiert man ∆p, ¨ so erh¨alt man in v¨olliger Analogie zum Landau-Zener-Ubergang ein avoided crossing, welches dazu f¨uhrt, dass Bandl¨ucken entstehen. Bedeutung der Photonic Band Gaps: • Licht mit Frequenzen innerhalb einer Bandl¨ucke kann nicht durch das Medium propagieren. Das kann benutzt werden f¨ur Spiegel, Glasfasern, Filter, . . . • Theoretische Vorhersage: Spontane Emission von Atomen, die in das Medium eingebettet sind, wird stark modifiziert [21]. Jedoch sind photonische Kristalle mit Bandl¨ucken, die sich u¨ ber den kompletten Winkelbreich des Photonenimpulses erstrecken, erst seit recht kurzer Zeit vorhanden [22].

Kapitel 11 Bose-Einstein-Kondensate 11.1

Vielteilchentheorie bosonischer Atome

In Kapitel 2 wurde die allgemeine Struktur von Vielteilchentheorien in der Quantenmechanik behandelt. Diese soll nun auf bosonische Atome angewendet werden: Sei H0 (x, p) ein Ein-Teilchen-Operator, z.B. p2 H0 (x, p) = + V (r) 2M mit Eigenzust¨ H0 ψn (x) = En ψn (x). Die Eigenzust¨ande sollen normiert sein, hψn |ψm i = R 3 anden ∗ δn,m = d x ψn (x)ψm (x). Mit Hilfe dieser Basis kann man den Feldoperator X b Ψ(x) = b an ψn (x) n

einf¨uhren, der ein Atom am Ort x vernichtet. Der Feldoperator und die Erzeuger/Vernichter erf¨ullen die Kommutator-Relationen b b † (y)] = δ(x − y) , [b [Ψ(x), Ψ an , b a†m ] = δn,m Freier Hamilton Operator mittels Feldoperatoren ausgedr¨uckt: Z b 0 = d3x Ψ b † (x)H0 (x, p)Ψ(x) b H

(11.1)

wobei: p → i~∇ Die Wechselwirkung wird u¨ ber einen Mehrteilchenoperator vermittelt. Der eine Kollision vermittelnde Operator lautet Z 1 b † (x)Ψ b † (y)V (x − y)Ψ(y) b Ψ(x) b b Coll = d3x d3y Ψ (11.2) H 2 Diese Darstellung des Operators im Fock-Raum ist eine Art Matrixelement“ des Operators f¨ur ” zwei Teilchen. V kann zum Beispiel das Coulomb Potential darstellen. Allgemein tritt pro an der Wechselwirkung beteiligtem Teichen ein Feldoperator und der entsprechende adjungierte Operator (am selben Ort genommen) im Wechselwirkungs-Hamiltonian auf. Diese Darstellung der Wechselwirkung h¨angt eng mit den Feynman Diagrammen zusammen.

144

Bose-Einstein-Kondensate

Beispiel: Anwendung auf einen 2-Teilchen-Zustand |ψi = b a†1b a†2 |0i d.h. 1 Teilchen in Mode 1 1 Teilchen in Mode 2

(11.3)

Der Effekt der Wechselwirkung kann nun berechnet werden. In |ψi sind die beiden Atome unkorreliert, die Wechselwirkung wird im allgemeinen ein Korrelation erzeugen. Also: b Coll |ψi = 1 H 2

Z

b † (x)Ψ b † (y)V (x − y)[Ψ(y) b Ψ(x), b d3x d3y Ψ b a†1b a†2 ] |0i

(11.4)

dies gilt wegen b Ψ(x) |0i = 0 und

† † † † † †b b b b b b [Ψ(y)Ψ(x), b a1 b a2 ] |0i = Ψ(y)Ψ(x)b a1 b a2 − b a1 b a2 Ψ(y)Ψ(x) |0i (11.5)

Es muß also noch der Kommutator in (11.5) berechnet werden. Man findet so unter Ausnutzung der Relation [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B nach l¨angerer Rechnung: 1 b Ψ(x), b [Ψ(y) b a†1b a†2 ] |0i = √ (ψ1 (y)ψ2 (x) + ψ2 (y)ψ1 (x)) |0i 2

(11.6)

wobei noch folgende n¨utzliche Relation verwendet wurde: X b [Ψ(x), b a†1 ] = [ b am ψm (x), b a†1 ] m

=

X m

ψm (x) [b a ,b a† ] = ψ1 (x) | m{z 1}

(11.7)

δ1m

Mit diesem Ergebnis erh¨alt man f¨ur den Wechselwirkungshamiltonian: Z b Coll |Ψi = d3x d3y Ψ b † (x)Ψ b † (y)V (x − y)(ψ1 (y)ψ2 (x) + ψ1 (x)ψ2 (y)) |0i H

(11.8)

d. h. die Wirkung des Operators auf einen Zweiteilchenzustand erzeugt einen neuen Zweiteilchenzustand, der mit dem Wechselwirkungspotential gewichtet wird und so Korrelationen zwischen Teilchen am Ort x und y enth¨alt. Wechselwirkung mit Licht

In diesem Fall hat der Wechselwirkungs-Hamiltonian die Form Z b b b (+) (x) + h.c. b † (x)Ψ b g (x)deg · E −d · E(x) → − d3x Ψ (11.9) e

b g und Ψ b e jeweils Atome in Grund- und angeregtem Zustand vernichten. Insgesamt wird Wobei Ψ also ein Photon vernichtet und ein Grundzustandsatom durch ein angeregtes ersetzt. Auch dieser Operator hat die Struktur einer Art Matrixelement“. ”

11.2 Der Bose-Einstein-Phasen¨ubergang Bewegungsgleichungen Systems:

145

Im Heisenbergbild lauten die Bewegungsgleichungen eines solchen b˙ = [Ψ(x), b b i~Ψ H]

(11.10)

F¨ur den freien Anteil des Hamiltonians lauten sie insbesondere: Z b b b † (x0 )H0 (x0 , p0 )Ψ(x b 0 )] [Ψ(x), H0 ] = d3x0 [Ψ(x), Ψ Z b 0) = d3x0 δ(x − x0 )H0 (x0 , p0 )Ψ(x b = H0 (x, p)Ψ(x) ≡ Schr¨odingergleichung W¨ahle als ψn (x) die Eigenfunktionen von H0 (x, p): H0 (x, p)ψn (x) = En ψn (x): X X b H0 (x, p)Ψ(x) = H0 (x, p)b an ψn (x) = b an En ψn (x) n

⇒b an (t) = e

b an (0) da die ψn orthogonal sind.

n

=

n,n0

=

X

b a†nb an0

(11.13)

n

(11.14)

Insbesondere gilt auch: Z Z X X 3 † b0 = d x Ψ b (x)H0 (x, p)Ψ(x) b H = d3x b a†n ψn∗ (x)H0 (x, p) b an0 ψn0 (x) X

(11.12)

n

da H0 nur auf ψn (x) wirkt. Damit findet man die Bewegungsgleichung X X b˙ b i~Ψ(x) = i~ b a˙ n ψn (x) = H0 (x, p)Ψ(x) = b an En ψn (x) n −iEn t/~

(11.11)

hψn |H0 (x, p)|ψn0 i1-Teilchen {z } |

(11.15)

n0

(11.16)

=En0 δnn

b a†nb an En

(11.17)

n

Also die bereits von den Photonen bekannte Form der Gesamtenergie.

¨ 11.2 Der Bose-Einstein-Phasenubergang Anwendung des eben Gelernten auf den Bose-Einstein-Phasen¨ubergang. Betrachte den Gleichgewichtszustand eines nicht wechselwirkenden Bose-Gases mit N Teilchen. Aus der statistischen Mechanik u¨ bernehmen wir die Form der Dichtematrix P b 1 1 b bn := a† an % = e−β H0 = e−β n Nn En N n Z Z N 1 Y −β Nbn En 1 Y X −βNn En = e = e |Nn ihNn | ⇔ Spektralzerlegung (11.18) Z n Z n N =0 n

146

Bose-Einstein-Kondensate

P b mit: Z := Tr e−β H0 und der Nebenbedingung n Nn = N . In Lehrb¨uchern wird die folgende Rechnung im allgemeinen f¨ur die großkanonische Gesamtheit P durchgef¨uhrt, da dort die kombinatorischen Schwierigkeiten, die aus der Nebenbedingung Nn = N entstehen, wegfallen. Wir verwenden die kanonische Gesamtheit, da wir einen sehr einfachen Fall betrachten: Nur 2 Moden ψ0 (x), ψ1 (x) sind vorhanden. N 1 X −iβN1 E1 −β(N −N1 )E0 e e ⇒%= {z } |(N − N1 )0 , N1 ih(N − N1 )0 , N1 | Z N =0 | {z } | 1. M ode

1

(11.19)

N ebenbdg.

Setze E0 = 0, E1 = ∆E. N 1 X −βN1 ∆E ⇒%= e |(N − N1 )0 , N1 ih(N − N1 )0 , N1 | Z N =0

(11.20)

1

Damit kann die Zustandssumme sehr einfach berechnet werden: b0 −β H

Z = Tr e

=

N X

e−βN1 ∆E

(11.21)

N1 =0

Setze q := e−β∆E < 1 ⇒ Z=

N X N1 =0

q N1 =

1 − q N +1 1−q

(11.22)

Berechne die mittlere Teilchenzahl in Mode 1 (angeregte Mode): ¯1 = Tr (%N b1 ) N N 1 X = N1 q N 1 Z N =0 1

1−q q N N +1 = 1 − (N + 1)q + N q 1 − q N +1 (1 − q)2 Im Fall einer großen Anzahl von Atomen findet man N 1 1 lim N q = lim −N = lim = lim − qN = 0 N →∞ N →∞ q N →∞ − ln qq −N N →∞ ln q q ¯1 = ⇒ lim N < ∞ (q < 1) N →∞ (1 − q) N

(11.23) (11.24)

D. h. es tritt ein S¨attigungseffekt auf. Ab einer gewissen Anzahl von Atomen gehen alle weiteren Atome, die man hinzuf¨ugt, in den Grundzustand. F¨ur ein freies Gas befinden sich f¨ur T → 0 alle

11.3 Atome mit Wechselwirkung, kollektive Wellenfunktion

147

Atome im Grundzustand. In einem wechselwirkenden (realen) Gas verbleibt ein Rest angeregter Atome. Addiert man also bei festgehaltener Temperatur Teilchen zu einem bosonischen Gas, so gehen ab einer gewissen Anzahl alle neuen Teilchen in den Grundzustand. Die Anzahl der angeregten Atome wird ges¨attigt. Dieses Ergebnis ist unabh¨angig von der Anzahl der Moden (gilt auch f¨ur kontinuierliche Moden) und von der zu Grunde gelegten Gesamtheit (kanonisch, großkanonisch). Es existiert eine kritische Temperatur f¨ur die gilt: ¯0 ¯1 N N −N q = =1− .1 N N N (1 − q)3

(11.25)

F¨ur kleines β∆E gilt nun 1 − q ≈ β∆E (wegen q = e−β∆E ) also: ¯0 1 N ≈ ≈1 N N (β∆E)

(11.26)

Dies ist eine Bedingung an β, die angibt, wann sich eine makroskopische Anzahl von Atomen im Grundzustand befindet. Bis auf numerische Vorfaktoren stimmt dies mit dem Ergebnis f¨ur harmonische Fallen u¨ berein [24]. Im freien Raum erh¨alt man andere Bedingungen, die meist mit Hilfe der thermischen deBroglie-Wellenl¨ange ausgedr¨uckt werden: 3 3 %λdB = ζ ≈ 2.612 (11.27) 2 p mit λdB := 2π~2 /(M kB T ). Dies l¨aßt sich folgendermaßen deuten: In einem thermischen Gas kann man sich vorstellen, daß die Teilchen Wellenpakete mit Ausdehnung λdB bilden. Die Bedingung (11.27) f¨ur die Bose-Einstein-Kondensation bedeutet, daß man in etwa ein Teilchen pro Volumen λ3dB hat. Hat man weniger Teilchen, so u¨ berlappen die Wellenpakete sich nicht und ¨ merken nichts von ihrer bosonischen Natur. Uberlappen sie, so kommt es zu Beeinflussungen und die Atome kondensieren.

11.3 Atome mit Wechselwirkung, kollektive Wellenfunktion Wechselwirkung ist f¨ur ein BEC zwar nicht notwendig, muss aber in der Regel ber¨ucksichtigt werden. Dies kann man durch den Hamilton-Operator Z ZZ 1 3 b† b b b † (x)Ψ b † (y) V (x − y) Ψ(y) b Ψ(x) b H = d x Ψ (x) H0 (x, p) Ψ(x) + d3x d3y Ψ (11.28) 2 ausdr¨ucken. Atomare BECs (87 Ru, 23 Na, . . . ) sind verd¨unnte Gase in dem Sinn, dass der mittlere Abstand der Atome weit gr¨oßer ist als die Streul¨ange a ihrer Wechselwirkung 1 %a3 1

(% =Dichte) b

(11.29)

Die Streul¨ange a ist definiert u¨ ber den Streuquerschnitt, σ ∝ a2 . F¨ur die u¨ blichen atomaren BECs ist sie einige Nanometer groß. 1

148

Bose-Einstein-Kondensate

Abbildung 11.1: Anschauliche Interpretation der Bose-Einstein-Kondensation: f¨ur T < Tc oder zu geringe Dichten % = d−3 sind die Wellenpakete zu weit auseinander und beeinflussen sich gegenseitig nicht. Ist die BEC-Bedingung erf¨ullt, so sind die Wellenpakete nahe genug beieinander, damit ihre bosonische Statistik wirken kann. Da Bosonen eine Tendenz haben, in denselben Zustand zu gehen, ist dann Kondensation m¨oglich.

11.3 Atome mit Wechselwirkung, kollektive Wellenfunktion

149

Die Potentiale sind kurzreichweitig (∝ 1/r6 , Van-der-Waals-Wechselwirkung), in diesem Fall kann man das Potential als punktf¨ormig auf der Skala des mittleren Abstandes betrachten und V (x − y) durch ein Kontaktpotential mit derselben Streul¨ange ersetzen V (x − y) −→

4π~2 a δ(x − y). M

(11.30)

Der Vorfaktor ist hierbei gerade so gew¨ahlt, dass sich die richtige Streul¨ange f¨ur das Kontaktpotential ergibt. Dies ist ein so genanntes Pseudopotential 2 . Der Hamiltonoperator lautet dann: Z b= H

κ b† 2 b 2 b † (x) H0 (x, p) Ψ(x) b d x {Ψ + Ψ (x) Ψ(x) } 2 3

,

4π~2 a κ := M

(11.31)

b findet man mit Hilfe eines Variationsansatzes. Dabei geht man von Den Grundzustand von H (a†0 )N |ψi = √ |0i N!

(11.32)

(also N Atomen in der Mode ψ0 ) als Zustand R 3 aus.2 Die Variationsvariable ist dabei die Mode ψ0 (x), als Nebenbedingung muss gelten: d x |ψ0 | = 1. Diese Nebenbedingung anders ausgedr¨uckt bedeutet: Z b |ψi = hψ| d3x Ψ b † (x)Ψ(x)|ψi b hψ|N =N (11.33) ¨ Uber die Kommutatorrelation h

i b Ψ(x), (a†0 )n = N ψ0 (x)(a†0 )N −1

(11.34)

kommt man durch l¨angere Rechnung zu Z κ b hψ|H|ψi = N {ψ0∗ H0 ψ0 + (N − 1)|ψ0 |4 }d3x 2 Z b |ψi = N |ψ0 |2 d3x hψ|N

(11.35) (11.36)

b b |ψi − N ) (Variation unter Nebenbedingung (11.33) nach Nun minimiert man hψ|H|ψi − µ(hψ|N ψ0 (x)). Man kann dies entweder durch normale Variationsrechnung ( virtuelle Verr¨uckung“) ” oder durch Funktionalableitung [23] erledigen. δ δψ0∗ (x) 2

Z h

N ψ0∗ H0 ψ0

i κ + N (N − 1)(ψ0∗ )2 ψ02 − µN |ψ0 |2 d3x + µN 2

=0

(11.37)

Genau genommen m¨usste man in 3D f¨ur das Pseudopotential ∂r (rδ(r)) benutzen (siehe z.B. [24]). F¨ur sehr viele Situationen ist dies aber unerheblich.

150

Bose-Einstein-Kondensate

Anwendung der Funktionalableitung f¨ur Physiker “ 3 ” δ 1 F [g(x)] := lim {F [g(y) + εδ(x − y)] − F [g(y)]} ε→0 ε δg(x)

(11.38)

f¨uhrt zu µψ0 (x) = H0 ψ0 (x) + κ(N − 1)|ψ0 |2 ψ0 (x)

(11.39)

Dies ist die Gross-Pitevskii-Gleichung (GPE) oder nichtlineare Schr¨odinger-Gleichung (NLSE). ψ0 heisst kollektive Wellenfunktion. Zwei L¨osungen ψ0 , ψ00 k¨onnen nicht mehr zu einer dritten superponiert werden, da die GPE nichtlinear ist. Die Dichte eines Kondensates ist N |ψ0 |2 , die kollektive Phase ist arg ψ0 . Die GPE kann auch aus der Heisenberg-Gleichung f¨ur den Feldoperator gewonnen werden: h i ˙ b b b i~Ψ(x, t) = Ψ(x, t), H b t) + κΨ b † (x, t)Ψ b 2 (x, t) = H0 (x, p)Ψ(x,

(11.40)

b durch Annahme: Das Kondensat ist im koh¨arenten Zustand |αi der Mode ψ0 . Dann kann Ψ 2 αψ0 (x) ersetzt werden (|α| = N ). Man erh¨alt also die GPE (11.39) zur¨uck. In diesem Fall ist ψ0 (x) v¨ollig analog zu einer Lasermode des Lichtfeldes. (a† )N

Es l¨asst sich bisher nicht entscheiden, ob ein BEC durch |αi oder √0N ! besser beschrieben wird. Wahrscheinlichste L¨osung: ein BEC entspricht einem Gemsich von Fock-Zust¨anden. Ein ¨ solches kann auch einem Gemisch koh¨arenter Zust¨ande entsprechen, siehe Ubungen.

11.4 Einfache Anwendungen der Gross-Pitaevskii-Gleichung 11.4.1

BECs in harmonischen Fallen , Thomas-Fermi-N¨aherung

L¨ose

p2 ψ + V ψ + N κ|ψ|2 ψ (11.41) 2M Annahme: nichtlinearer Term N κ|ψ|2 ψ ist viel gr¨oßer als die kinetische Energie (klappt ab etwa p2 10 000 Atomen), also vernachl¨assige 2M . Dies ist die Thomas-Fermi-N¨aherung. Es ergibt sich durch einfaches Aufl¨osen: µ−V N |ψ|2 = % = (% > 0) (11.42) κ R Das chemische Potential µ wird durch die Normierung |ψ0 |2 d3x = 1 festgelegt. In einem harmonischen Potential ergibt sich ein qualitativer Verlauf von % wie in Abb. 11.2 gezeigt. Diese Dichteverteilung wurde auch bei den ersten Experimenten zu atomaren Kondensaten als Signatur f¨ur deren Entstehung verwendet [25, 26]. µψ =

3

In der Mathematik wird fie Funktionalableitung etwas anders definiert. Im wesentlichen besteht der Unterschied darin, dass die Physiker-Funktionalableitung in etwa dem Integralkern der Mathematiker-Funktionalableitung entspricht und wie u¨ blich etwas unsauberer definiert ist. Das einzige Buch, das sich meines Wissens mit dem Zusammenhang besch¨aftigt, ist das von Grossmann (Funktionalanalysis 1+2).

11.4 Einfache Anwendungen der Gross-Pitaevskii-Gleichung

151

Abbildung 11.2: Plot von % in harmonische Falle, beliebige Einheiten Die N¨aherung bricht nur im Bereich niedriger Dichten, also hier am Rand des Kondensats, zusammen.

11.4.2

Solitonen

Solitonen sind Wellenpakete, die sich durch nichtlineare Effekte selbst stabilisieren und ihre Form nicht ver¨andern. Die normale Dispersion eines Schr¨odinger-Wellenpaketes wird durch die Wechselwirkung zwischen den Atomen aufgehoben. • Bright-Solitons , 1D: V (x) = 0, κ < 0, also attraktive Wechselwirkung. Es ergibt sich als DGL und als (eine) Soliton-L¨osung ~2 00 i~ψ˙ = − ψ − N |κ||ψ|2 ψ 2M 1 1 √ ψ = e−iµt x cosh w 2w

(11.43) (11.44)

mit w = 2~2 /(|M ||κ|) und µ = ~/(2|M |w2 ). Bei dieser L¨osung heben sich die kinetische Energie und Wechselwirkungs-Energie gerade auf, so dass das Wellenpaket auch ohne Fallen-Potential seine Form beibeh¨alt. • Dark-Solitons , 1D: V (x) = 0, κ > 0, also repulsive Wechselwirkung. Die L¨osung der DGL ist dann: x 1 ψ = √ e−iµt tanh (11.45) w 2w Betrachtet man die Dichte |ψ|2 so entspricht dies einem ”Loch” in der ansonsten konstanten Dichte, sozusagen die Umkehrung der Bright-Solitons.

152

Bose-Einstein-Kondensate • Gap-Solitons sind Bright-Solitons f¨ur sich abstoßende (κ > 0) Atome. In diesem Fall ist die nichtlineare Energie positiv. Die Idee ist, dass man zur Kompensation die kinetische Energie mit Hilfe von Bandl¨ucken negativ macht. Im periodischen Potential hat die freie Energie freier Teilchen eine Bandstruktur. An der oberen Bandkante gilt: E0 (q) ≈ E0 − 2|M~ ∗ | (q − k2 )2 . M ∗ < 0 heißt effektive Masse (= inverse der Kr¨ummung von E0 (q)) Entwickelt man ψ nach Bloch-Funktionen um die obere Bandkante herum, so kann man p2 + V (x) durch E0 (q) ersetzen und erh¨alt eine effektive negative kinetische Energie, die 2M sich gegen die positive nichtlineare Energie aufheben kann.

Kapitel 12 ¨ Einschube 12.1

Greenfunktion

Gegeben sei eine lineare inhomogene DGL der Form: (Lˆx F )(x) = h(x) Eine Greenfunktion ist eine spezielle L¨osung mit der Inhomogenit¨at δ (x − x0 ). (Lˆx G)(x, x0 ) = δ (x − x0 ) Kennt man G (x, x0 ), so ist die L¨osung des inhomogenen DGL’s gegeben durch: Z F (x) = G(x, x0 ) · h(x0 ) dx0

(12.1)

Beweis: Z ˆ ˆ (Lx F )(x) = Lx dx0 G(x, x0 ) · h(x) Z = dx0 Lˆx G(x, x0 ) · h(x) Z = dx0 δ (x − x0 ) h(x) = h(x)

12.2

Addition von Drehimpulsen

Ein Drehimpuls ist definiert als ein Vektor L dessen drei Komponenten Operatoren mit den Kommutator-Relationen [La , Lb ] = i~εabc Lc . (12.2) Es l¨aßt sich leicht zeigen, dass [L2 , Li ] = 0 ist, so dass man Eigenfunktionen von L2 und einer Komponente, meist wird Lz gew¨ahlt, findet: L2 |l, mi = ~2 l(l + 1)|l, mi ,

Lz |l, mi = ~m|l, mi

(12.3)

154

Einsch¨ube

Es ist ausserdem von Vorteil, die Operatoren L± := Lx ± iLy einzuf¨uhren, die [L± , Lz ] = ∓~L± und [L+ , L− ] = 2~Lz erf¨ullen. Es folgt ∓ ~L± |l, mi = [L± , Lz ]|l, mi = m~L± |l, mi − Lz L± |l, mi so dass L± |l, mi proportional zu |l, m ± 1i ist. Da finden wir

L†+

(12.4)

= L− und L2 = L2z + L+ L− − ~Lz gilt,

hl, m|L2 |l, mi = ~2 l(l + 1) = hl, m|L2z + L+ L− − ~Lz |l, mi = ~2 m2 − ~2 m + |hl, m|L+ |l, m − 1i|2

(12.5)

und somit hl, m|L+ |l, m − 1i = hl, m − 1|L− |l, mi = ~

p

l(l + 1) − m(m + 1)

(12.6)

(Die Phasen der Zust¨ande |l, mi lassen sich so w¨ahlen, dass diese Matrixelemente reell sind.) Will man zwei (miteinander kommutierende) Drehimpulse L und S zu J = L + S addieren, so stellt sich die Frage, welche Eigenfunktionen geeignet sind. Eine m¨ogliche Wahl ist das Tensorprodukt der Einzelbasen, |l, ml ; s, ms i := |l, ml i ⊗ |s, ms i .

(12.7)

Oft ist es jedoch bequemer, in der Eigenbasis von J 2 und J z zu arbeiten. Wegen [L2 , J i ] = [S 2 , J i ] = 0 ist diese durch vier Quantenzahlen |j, mj , (l, s)i

(12.8)

charakterisiert. Die Matrixelemente hl, ml ; s, ms |j, mj , (l, s)i werden Clebsch-Gordan-Koeffizienten genannt und erlauben den Basiswechsel gem¨aß X |j, mj , (l, s)i = hl, ml ; s, ms |j, mj , (l, s)i|l, ml ; s, ms i (12.9) ml ,ms

Wir k¨urzen sie im Folgenden mit Cmj ,ml ,ms ab. Durch Anwenden von J z sieht man leicht, dass ms + ml = mj gelten muß. Die numerischen Werte f¨ur die Clebsch-Gordan-Koeffizienten lassen sich aus dem linearen Gleichungssystem hl, ml ; s, ms |J ± |j, mj , (l, s)i = Cmj ±1,ml ,ms hj, mj ± 1, (l, s)|J ± |j, mj , (l, s)i (12.10) X = hl, ml ; s, ms |(L± + S ± ) Cmj ,m0l ,m0s |l, m0l ; s, m0s i m0l ,m0s

=

X

Cmj ,m0l ,m0s hl, ml ; s, ms |L± + S ± |l, m0l ; s, m0s i

m0l ,m0s

=

X

Cmj ,m0l ,m0s (hl, ml |L± |l, m0l iδms ,m0s +

m0l ,m0s

= hs, ms |S ± |s, m0s iδml ,m0l ) = Cmj ,ml ∓1,ms hl, ml |L± |l, ml ∓ 1i + Cmj ,ml ,ms ∓1 hs, ms |S ± |s, ms ∓ 1i

12.2 Addition von Drehimpulsen

155

und der Normierungsbedingung 1 = hj, mj , (l, s)|j, mj , (l, s)i X = |hl, ml ; s, ms |j, mj , (l, s)i|2

(12.11)

ml ,ms

ableiten. Setzt man die Matrixelemente der Drehimpulsoperatoren ein, so kann man das Gleichungssystem (12.11) in die Form Cmj ±1,ml ,ms

q

j(j + 1) − (mj + 1)(mj + 1 ± 1) = (12.12) p Cmj ,ml ∓1,ms l(l + 1) − (ml + 1)(ml + 1 ∓ 1) + p Cmj ,ml ,ms ∓1 s(s + 1) − (ms + 1)(ms + 1 ∓ 1)

bringen. Allgemein sind die Clebsch-Gordan-Koeffizienten nur von Null verschieden, wenn l + s ≥ j ≥ |l − s| erf¨ullt ist. Bei der Addition von drei oder mehr Drehimpulsen muß man bei der Wahl der Basis vorsichtig sein. Betrachte den Fall F = I + L + S. Addieren wir zun¨achst J = L + S und dann F = I + J , so w¨urde die obige Prozedur uns die Basis {|f, mf , (i, j)i} liefern, also Eigenzust¨ande von F 2 , F z , I 2 und J 2 . Addieren wir aber zun¨achst Σ = I + S und dann F = L + Σ, so benutzen wir die Basis {|f, mf , (l, σ)i}. Die beiden Basen sind verschieden, in diesem Sinne ist die Addition von Drehimpulsen sozusagen nicht assoziativ. Welche der Basen besser geeignet ist, h¨angt von der physikalischen Situation ab. Gute Abhandlungen u¨ ber Drehimpulse in der Quantenmechanik finden sich in [2] und [3].

12.2.1

Weitere Darstellung der Addition von Drehimpulsen [Li , Lj ] = i~ijk Lk [L2 , Li ] = 0 Lz |lmi = ~m |lmi

(12.13)

L2 |lmi = ~2 l(l + 1) |lmi Der Gesamtdrehimpuls ist j = L + S. |ψi =

XX

ψlmsms |l, mi ⊗ |s, ms i

(12.14)

l,m s,ms

Dabei ist |ψi ∈ Produktraum, die |l, mi ⊗ |s, ms i sind Eigenfunktionen von Lz , L2 , Sz , S 2 . Die Problemstellung ist nun, eine Basis des Produktraumes zu finden, die j 2 und jz diagonalisiert. j 2 |ψi = ~2 j(j + 1) |ψi jz |ψi = ~mj |ψi

(12.15)

156

Einsch¨ube

|ψi = |j, mj , l, si jz |ψi = (Lz + Sz ) |ψi X = ψlmsms (~m + ~ms ) |lmi ⊗ |smi

(12.16)

lmsms !

= ~mj

X

ψl,m,s,ms |lmi ⊗ |smi

lmsms

=⇒ |ψi kann nur gebildet werden durch Zust¨ande, bei denen gilt: mj = m + ms . j 2 = (L + S)2 = L2 + S 2 + 2LS LS = Lx Sx + Ly Sy + Lz Sz

(12.17)

F¨uhre ein: L± = Lx ± iLy S± = Sx ± iSy L− S+ + L+ S− = (Lx + iLy )(Sx − iSy ) + (Lx − iLy )(Sx + iSy ) = 2Lx Sx + 2Ly Sy + i(Ly Sx − Lx Sy ) + i(Lx Sy − Ly Sx ) = 2(Lx Sx + Ly Sy )

(12.18)

1 =⇒ LS = Lz Sz + (L− S+ + L+ S− ) 2

(12.19)

[L± , Lz ] = [Lx ± iLy , Lz ] = (−iLy ± iiLx ) = ∓L± ~ =⇒ Lz L± |l, mi = (L± Lz + [Lz , L± ]) |l, mi = m~L± |l, mi + ±L± |l, mi = ~(m ± 1)L± |l, mi =⇒ L± |l, mi ∼ |l, m ± 1i

(12.20)

[L2 , L± ] = 0 X

=⇒ |j, mj , l, si =

ψm,l,mj −m,s |l, mi |s, mj − mi

(12.21)

m,ms :m+ms =mj

=⇒ Basis: |j, mj , l, si F = S0 + j ∼

=⇒ |F, mF , j, s0 i

F = (S 0 + S) + L

∼

=⇒ |F , m ∼ , SG , Li F

(12.22)

12.3 Distributionen

12.3

157

Distributionen

Distributionen sind Objekte, die eigentlich nur unter einem Integral definiert sind. So ist z.B. δ(x − x0 ) nur durch seine Wirkung unter dem Integral definiert: Z dx f (x)δ(x − x0 ) := f (x0 ) wobei f(x) eine sog. Test-Funktion sein soll. Grob gesagt sind Testfunktionen Funktionen, die sich immer gutartig verhalten. Etwas formaler sind es C ∞ -Funktionen mit begrenztem Tr¨ager, oder sie fallen zumindest hinreichend schnell ab f¨ur |x| −→ ∞). Distributionen sind keine Funktionen. δ(x − x0 ) ist z.B. nicht am Ort x0 definiert. R∞ Das Integral D(ω) := 0 dτ e−iωτ ist auch im Distributions-Sinn zu verstehen: Z ∞ Z ∞ Z ∞ dω D(ω)f (ω) = dω f (ω) dτ e−iωτ −∞ 0 Z−∞ ∞ Pc = dω f (ω)(πδ(ω) − i ) ω −∞ Z − Z ∞ dω dω = πf (0) − i lim+ ( f (ω) + f (ω)) →0 ω −∞ ω Der Schritt von der ersten zur zweiten Zeile kann mathematisch bewiesen werden. Der darin auftretende Hauptwert bedeutet, dass auf beiden Seiten der Singularit¨at dasselbe verwendet wird. Im Unterschied dazu muß man beim normalen Grenzwert f¨ur beide Seiten der Singularit¨at verschiedene Grenzwerte verwenden.

158

Einsch¨ube

Literaturverzeichnis [1] J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, Wiley 1999. [2] J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Addison Wesley, 1994. [3] D.M. Brink and G.R. Satchler, Angular Momentum, Oxford Library of Physical Sciences 1968. [4] R. F. Streater and A. S. Wightman, PCT, spin and statistics, and all that (1964) Beautiful text on the axiomatic formulation of QFT, i.e., the derivation of the properties of any QFT from a few basic axioms (such as Einstein locality). Mathematically superb, although some conclusions of this theory are discouraging. It nevertheless provides rigorous proofs of the spin-statistics theorem (i.e, that Bosons must have integer spin) and the PCT theorem (any QFT must be invariant under a space inversion followed by charge conjugation and time reversal). [5] D.F. Walls und G. Milburn, Quantum Optics, Springer, Berlin (1995). [6] P. Meystre und M. Sargent, Elements of Quantum Optics, 3. Auflage, Springer, Berlin (1999). [7] P.W. Milonni, The quantum vacuum : an introduction to quantum electrodynamics (1994). A very interesting book which mostly deals with the effect of boundaries (Casimir effect) and some particular quantum field theoretical effects in (mostly non-relativistic) QED. [8] J.D.Bjorken und S.D.Drell Relativistische Hochschultaschenb¨ucher 101, Mannheim (1967).

Quantenfeldtheorie,

BI-

[9] E.R. Pike und S. Sarkar, The quantum theory of radiation, Clarendon Press, Oxford (1995). [10] C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc und G. Grynberg, Atom-photon interactions : basic processes and applications (1992). A very good book dealing with the fundamental techniques to describe the interaction of atoms with light. Includes dressed states, resolvent method, master equations. [11] C. Cohen-Tannoudji, Atomic motion in laser light, in Fundamental systems in quantum optics, edited by J. Dalibard, J.M. Raimond and J. Zinn-Justin, Les Houches Session LIII, Elsevier Sience Publishers 1992.

160

LITERATURVERZEICHNIS

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[29] Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc, and Gilbert Grynberg, Photons and atoms : introduction to quantum electrodynamics (1989). In this book the fundamental equations of non-relativistic QED are thoroughly explained. [30] D.P. Craig and T. Thirunamachandran, Molecular quantum electrodynamics : an introduction to radiation-molecule interactions (1997). Despite its title it is also very useful for atoms. A cheap (15 Euro) alternative to the first book. [31] M.O. Scully and M.S. Zubairy, Quantum Optics (1997). A very nice introduction which also covers electromagnetically induced transparency. [32] Leonard Mandel and Emil Wolf, Optical coherence and quantum optics (1995). One of the most comprehensive and complete texts on quantum optics. Gives a good survey of most techniques and topics. [33] D.F. Phillips, A. Fleischhauer, A. Mair, R. L. Walsworth, M. D. Lukin, Storage of Light in Atomic Vapor, Phys. Rev. Lett. 86, 783 (2001). [34] C. Liu, Z. Dutton, C.H. Behrozzi, and L.V. Hau, Observation of coherent optical information storage in an atomic medium using halted light pulses, Nature 409, 490 (2001). [35] F. Riehle, T. Kisters, A. Witte, J. Helmcke und C.J. Bord´e, Optical Ramsey spectroscopy in a rotating frame: Sagnac effect in a matter-wave interferometer, Phys. Rev. Lett. 67,177 (1991). [36] C.J. Bord´e, Atomic interferometry with internal state labeling, Phys. Lett. A 140, 10 (1989). [37] M. Kasevich und S. Chu, Atomic Interferometry using stimulated Raman Transitions, Phys. Rev. Lett. 67, 181 (1991). [38] O. Carnal und J. Mlynek, Young’s Double Slit Experiment with Atoms: A Simple Atom Interferometer, Phys. Rev. Lett. 66, 2689 (1991).

Index adiabatische N¨aherung, 125 Anzahloperator, 23 Atom-Interferometrie, 91 avoided crossing, 76, 142 Bahndrehimpulsoperator, 41 Baker-Campbell-Hausdorf-Gleichung, 34 Berry-Phase, 87 Besselfunktionen sph¨arische, 6 Bewegungsgleichung Vielteilchensystem, 145 Bloch -Kugel, 71 -Vektor, 71 Born-Oppenheimer N¨aherung, 125 Bose-Einstein ¨ -Ubergang, 145 Kondensat, 143 Bose-Gas, 145 Brechungsindex, 134 Definition, 132 Casimir-Effekt, 32 Coulomb-Eichung, 5 d’Alembert-Operator, 3 Dark States, 79 deBroglie-Wellenl¨ange, 147 Dichtematrix, 100 Eigenschaften, 100 Koh¨arenzen, 102 dielektrische Verschiebungsdichte, 11 Dielektrizit¨atskonstante relative, 137 Differentialgleichungen

nichtlineare, 3 Dipol, 7 Dipolmoment, 7 Direktes Produkt von Hilbert-R¨aumen, 105 Distributionen, 157 Divergenz, 1 Doppler -Effekt, 124 -K¨uhlung, 123 -Verschiebung, 91 Dressed States, 75 in einer Cavity, 76 Dunkelzustand, 79, 87, 133 Eichtransformationen, 5 Einsteinsche Summenkonvention, 1 EIT, 129, 133 Elektromagnetisch induzierte Transparenz, 133 Eliminierung adiabatische, 94 Entropie, 103 reiner Zustand, 104 Erzeuger, 22 Falle harmonische, 150 Feinstruktur, 42, 64 Feldoperator, 23, 24 Feynman-Diagramm, 143 Fockraum, 21 Fundamentalkr¨afte, 47 G¨ute Cavity-, 78 Gaußscher Satz, 2 Gesamtheit

INDEX großkanonische, 146 kanonische, 146 Green-Funktion, 6 Gross-Pitevskii-Gleichung (GPE), 150 Gruppengeschwindigkeit, 132, 134 gyromagnetischer Faktor, 42 Hamiltonian Zwei-Niveau-System, 65 Hankelfunktionen sph¨arische, 6 Heisenberg’sche Unsch¨arferelation, 36 Helmholtz-Gleichung inhomogene, 6 Hyperfeinstruktur, 43 Impuls kanonisch konjugierter, 45 kinetischer, 45 Impulsoperator Zwei-Niveau-System, 66 Interferometer Atomic fountain, 93 Ramsey-Bord´e, 91 Doppler-Verschiebung, 92 Interferometrie, 72 Jaynes-Cummings-Modell, 77 Josephson-Effekt, 63 kanonische Quantisierung, 46 koh¨arente Zust¨ande, 33 Eigenschaften, 37 Zeitentwicklung von, 36 Kommutatorrelation Erzeuger und Vernichter, 22 Kontinuit¨atsgleichung, 1, 2 Korrelation, 105 Ladungserhaltung, 2 Lagrange-Dichte, 26 Lamb-Shift, 117 ¨ Landau-Zener-Uberg¨ ange, 73 Laser

163 -K¨uhlen, 123 Doughnut-, 95 Levi-Civita-Symbol, 1 Lindblad-Form, 117 Linse Atom, 96 Liouville -Gleichung, 102 -Superoperator, 102 -Theorem, 105 Lorentz -Eichung, 5 -Kraft, 45 magnetische Monopole, 4 magnetisches Moment, 42, 44 makroskopische Felder, 10 Maxwell-Gleichungen, 10 Markov-N¨aherung, 113 Master-Gleichung Zwanzigs, 110, 111 f¨ur atomare Multipletts, 116 f¨ur Zwei-Niveau-Atome, 116 in Markov-N¨aherung, 114 Zwanzigs, 105, 107 Maxwell-Bloch-Gleichungen, 129, 130, 133 Maxwell-Gleichungen, 1 im Vakuum, 1 in Dielektrikum, 129 inhomogene, 31 minimale Kopplung, 46 Multiplett, 64 Multipolentwicklung, 6 f¨ur Vektorfelder, 9 Multipolmoment sph¨arisches, 7 N¨aherung Thomas-Fermi-, 150 Nichtlineare Optik, 3 Operator Zwei-Teilchen-System, 65

164 Operatorfunktion, 103 Ortsoperator Zwei-Niveau-System, 65 Pauli-Verbot, 19 Phasengeschwindigkeit, 132 Photonische Bandl¨ucken, 137 Potential optisches, 94 periodisches, 137 skalares, 4 Vektor-, 3 Produkt zeitgeordnetes, 108 Produktzustand, 105 Projektions-Superoperatoren, 107 Pseudopotential, 149 Punktdipol, 7 Qbit, 64 Quadrupol¨uberg¨ange, 93 Quasi-Impuls, 139 R¨uckstoßverschiebung, 91, 92 Rabi -Frequenz, 67 -Oszillationen, 70 ¨ Raman-Uberg¨ ange, 84 Raman-Nath-N¨aherung, 97 recoil-shift, 91 Reduzierte Dichtematrix, 105 reduzierte Matrixelement, 60 Reservoir, 110 Rotating-Wave-Approximation, 68 Rotation, 1 Schr¨odinger-Gleichung nichtlineare (NLSE), 150 Schr¨odinger-Operator f¨ur bestimmte Mode, 32 Schwerpunktbewegung, 89 Skalare Multipole, 6 Skalarprodukt erhaltendes, 138

INDEX Solitonen, 151 Solitons Bright-, 151 Dark-, 151 Gap-, 152 Spectral hole burnig, 133 Spin-Bahn-Kopplung, 43 Spin-Statistik-Theorem, 20 spontane Emission, 114 Emissionsrate, 117 Spur, 100 station¨arer Zustand, 130 STIRAP, 86 Stoppen von Licht, 135 Streul¨ange, 147 Superoperator, 102 TE-Felder, 10 Teilchenzahldarstellung, 20 Test-Funktion, 157 Theorem Adiabatisches, 86 TM-Felder, 10 Translationsoperator, 138 Vakuum Verschiebung des, 35 Variation unter Nebenbedingung, 149 Vector spherical harmonics, 9 Vektorpotential, 3 Verdampfungsk¨uhlen, 123 Vernichter, 22 Verschiebe-Operator, 34, 35 Vertauschungsoperator, 19 Vielteilchentheorie, 26 bosonischer Atome, 143 VSCPT, 127 Wasserstoffatom, 41 Parit¨at, 42 Quantenzahlen, 42 Wechselwirkungsbild, 68

INDEX Wellenfunktion kollektive, 150 Vielteilchen-, 20 Wellengleichungen, 3 Wirbelfeld, 4 zeitgeordnetes Exponential, 109 Produkt, 108 Zustandsumme, 146 Zwanzigs Master-Gleichung, 105, 107, 110, 111 N¨aherungen, 110 Zwei-Niveau Atom, 130 effektives System, 94 System, 63 Zwei-Photonen-Resonanz, 79 Zweite Quantisierung, 25

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