Finanz und Versicherungsmathematik 001

Bergische Universit¨at Wuppertal Fachbereich C, Abteilung Mathematik

Vorlesung Finanz- und Versicherungsmathematik

gehalten im

Sommersemester 2004 von Prof. Dr. Ernst-Peter Beisel

Skript angefertigt in LATEX April 2004

1

Inhaltsverzeichnis I

Finanzmathematik

10

1 Einfu ¨ hrung

11

1.1

Zur Geschichte des Zinserhebung . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2

Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3

1.2.1

Elementare Absch¨atzungen . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.2

Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.3

Nullstellen von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.4

Positive Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.2.5 Intensit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.3.1

Abschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.3.2

Praktische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.3.3

Theoretische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.3.4

Programmierpraxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2 Zinsbegriff 2.1

40

Einmalige Zinszahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.1

Der kontinuierliche Jahreszinssatz . . . . . . . . . . . . 41

2.1.2

Der konforme Jahreszinssatz . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1.3

Der linear proportionale Jahreszinssatz . . . . . . . . . 46

2

2.2

2.3

Periodisch wiederkehrende Zinszahlungen . . . . . . . . . . . . 49 2.2.1

Verzinsungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2.2

Unterj¨ahrige Zinsverechnungs-Perioden . . . . . . . . . 51

2.2.3 Banken¨ ubliche Praxis der Zinsberechnung . . . . . . . 57 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3.1

Theoretische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.3.2

Praktische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.3.3

Programmierpraxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3 Renten 3.1

3.2

3.3

Zinsperiodische konstante Raten . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.1

Nachsch¨ ussige Ratenzahlung . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.1.2

Vorsch¨ ussige Renten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1.3

Aufgeschobene und unterbrochene Renten . . . . . . . 75

Unterzinsperiodische konstante Raten . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2.1

Vollj¨ahrige Zinsperioden . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2.2

Unterj¨ahrige Zinsperioden . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.2.3

Asyncrone konstante Raten . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.2.4

Effektive Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Vollj¨ahrige ver¨anderliche Raten bei voll-j¨ahriger Verzinsung . . 85 3.3.1

3.4

66

Arithmetisch fortschreitende Raten . . . . . . . . . . . 85

3.3.2 Geometrisch fortschreitende Renten . . . . . . . . . . . 88 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4.1

Theoretische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.4.2

Praktische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.4.3

Progammierpraxis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3

4 Tilgung 4.1

4.2

4.3 4.4

94

Einfache Annuit¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.1.1

Einfache konstante Annuit¨aten . . . . . . . . . . . . . 95

4.1.2

Tilgungsplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.1.3

Unterj¨ahrige Perioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Varianten der einfachen Tilgung . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2.1

Prozentannuit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.2.2

Annuit¨aten mit Agio oder Disagio . . . . . . . . . . . . 104

4.2.3

Aufgeschobene Tilgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2.4

Ver¨anderliche Raten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Unterj¨ahrige allgemeine Tilgung . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.4.1

Theoretische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.4.2

Praktische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.4.3

Programmierpraxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5 Rentabilit¨ at 120 ¨ 5.1 Das Aquivalenz-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.2

5.3

Interner Zinsfuß eines Zahlungsstroms . . . . . . . . . . . . . . 122 5.2.1

Interner Jahreszinssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.2.2

Berechnung des internen Zinssatzes . . . . . . . . . . . 125

Sparkonten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.3.1

5.4

Das Sparkontenprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Vergleich von Investitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.4.1

Rentabilit¨at einer Investition . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.4.2

Vergleichende Bewertung mehrerer Investitionsprojekte 135

5.4.3

Kritik der klassischen Methoden . . . . . . . . . . . . . 139

5.4.4

Methode der realen Rendite . . . . . . . . . . . . . . . 141

4

5.5

II

¨ Ubungsaufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.5.1

Theoretische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.5.2

Programmierpraxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.5.3

Praktische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Versicherungsmathematik

6 Grundlagen 6.1

6.2

6.3

150

Rechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.1.1

Der Zins als Rechnungsgrundlage . . . . . . . . . . . . 151

6.1.2

Die Sterblichkeit als Rechnungsgrundlage . . . . . . . . 156

6.1.3

Die Kosten als Rechnungsgrundlage . . . . . . . . . . . 159

Sterbewahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.2.1

Historische Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.2.2

Modellbildung zur Sterbewahrscheinlichkeit . . . . . . 162

6.2.3 Sterbetafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 6.3.1

Theoretische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.3.2

Praktische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.3.3

Programmierpraxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7 Versicherungsformen 7.1

149

172

Kapitalversicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.1.1

Todesfallversicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.1.2

Erlebensfallversicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.1.3

Gemischte Versicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.1.4

Direkte Auszahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7.1.5

Ver¨anderliches Kapital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5

7.2

7.3

Leibrenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.2.1

Einfache j¨ahrliche Leibrenten . . . . . . . . . . . . . . 185

7.2.2

Unterj¨ahrige Zahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

7.2.3 Allgemeine Leibrenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 7.3.1

Theoretische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

7.3.2

Praktische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

7.3.3

Programmierpraxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

8 Pr¨ amien

196

8.1

8.2

8.3

Nettopr¨amien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8.1.1

Todesfallversicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

8.1.2

Erlebensfallversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

8.1.3

Besondere Versicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . 200

8.1.4

Unterj¨ahrige Pr¨amienzahlung . . . . . . . . . . . . . . 202

Bruttopr¨amien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.2.1

Ausreichende Einmalpr¨amien . . . . . . . . . . . . . . 203

8.2.2

Ausreichende Jahrespr¨amien . . . . . . . . . . . . . . . 204

8.2.3 Brutto-Jahrespr¨amien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 8.3.1

Theoretische Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

8.3.2

Praktische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

9 Deckungskapital 9.1

209

Deckungskapital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 9.1.1

Nettoreserven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

9.1.2

Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

9.1.3

Ausreichende Reserven . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 ¨ Anderung von Vertr¨agen . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

9.1.4

6

7

Vorwort Die Vorlesung ”Finanz- und Versicherungsmathematik” ist eine Pflichtvorlesung f¨ ur Studierende des Bachelor-Studiengangs ”Wirtschaftsmathematik”. Sie ist im vierten Semester angesiedelt und setzt elementare Kenntnisse in Linearer Algebra, Analysis und Statistik voraus. Zusammen mit der parallel angebotenen Vorlesung ”Einf¨ uhrung in Operations Research” stellt sie ein Kernangebot im Bereich der Wirtschaftsmathematik dar. In diesen beiden Vorlesungen werden die Grundlagen gelegt f¨ ur Veranstaltungen zur Modellbildung und der L¨osung praktischer Probleme der Wirtschaftsmathematik in den folgenden Semestern, insbesondere f¨ ur das Projektseminar, das in gewisser Weise den H¨ohepunkt des Bachelorstudiums ”Wirtschaftsmathematik” darstellt. Einf¨ uhrende B¨ ucher zur Finanzmathematik oder zur Versicherungsmathematik richten sich h¨aufig an Studierende der Wirtschaftswissenschaften oder an Studierende (der Mathematik) an Fachhochschulen. Diese B¨ ucher zeichnen sich aus durch geringe mathematische Anforderungen und sehr praxisorientierte Aufgabenstellungen. Dies bedeutet, daß in der Finanzmathematik lediglich die Kenntnis der arithmetischen und geometrischen Folgen und Reihen vorausgesetzt wird und die Versicherungsmathematik nur in Form des deterministischen Modells besprochen wird, das keinerlei wahrscheinlichkeitstheoretischen Ansatz ber¨ ucksichtigt. Das vorliegende Skript versucht, die beschriebene Praxisorientierung im Sinne eines angestrebten Praxisbezugs des Bachelorstudiums beizubehalten und die mathematischen Anforderungen f¨ ur Mathematikstudierende interessanter zu gestalten. Letzteres geschieht durch Einbeziehung von Aspekten der Analysis und Numerik in der Finanzmathematik und durch konsequente Verfolgung eines wahrscheinlichkeitstheoretischen Modells in der Versicherungsmathematik. Der Praxisbezug wird durch viele anwendungsorientierte Beispiele ¨ und entsprechende Ubungsaufgaben hergestellt. W¨ahrend fr¨ uher ausgiebige Tabellen die Grundlage f¨ ur den rechnerischen Umgang mit den Formeln der Finanz- und Versicherungsmathematik waren, ist heute die Verwendung von Computerprogrammen in beiden Disziplinen nicht mehr wegzudenken. Erst durch diese ”Befreiung” von langwierigen Rechnungen kann nun auch in einf¨ uhrenden Vorlesungen das Strukturelle mehr in den Vordergrund r¨ ucken, ohne daß dabei der Praxisbezug verloren

8 geht. Diese Vorlesung versucht, dem Aspekt der programmgest¨ utzten Mathematik durch die einbezogene Entwicklung von ”Excel-VBA-Programmen” (oder ¨aquivalenten Werkzeugen) Rechnung zu tragen. ¨ Die Ubungen zur Vorlesung werden abgeschlossen durch eine zweist¨ undige Klausur, bei deren Bestehen ein Leistungsnachweis ausgestellt wird. M¨ undliche ¨ und schriftliche Leistungen im Rahmen der Ubungen werden bei der Notenfindung entsprechend ber¨ ucksichtigt werden.

im Sommersemester 2004

Peter Beisel

9

Literaturliste Von den im folgenden angegebenen Werken m¨ochte ich besonders die B¨ ucher von Herzberger und Gerber hervorheben. Sie haben die Erstellung dieses Skripts stark beeinflußt. Aber auch die anderen B¨ ucher haben zu der Ausarbeitung dieser Vorlesung in Details hilfreich beigetragen. Insbesondere habe ich viele Beispiele aus diesen Werken u ¨bernommen, was im Skript nicht jedesmal ausdr¨ ucklich vermerkt ist. Dem Leser sei angeraten, alle B¨ ucher ein¨ zusehen und sich damit weitere Ubungsaufgaben (zum Teil mit L¨osungen) zu beschaffen. Altrogge, G.: Finanzmathematik, R. OldenburgVerlag M¨ unchen Wien, 1999 Bosch, K.: Finanzmathematik, R. Oldenbourg Verlag M¨ unchen Wien, 5. Auflage 1998 Bosch, K.: Finanzmathematik f¨ ur Banker, R. Oldenbourg Verlag M¨ unchen Wien, 2001 Caprano,E./Wimmer,K.: Finanzmathematik, Verlag Vahlen M¨ unchen, WiSo Kurzlehrb¨ ucher,6. Auflage, 1999 Gerber, H. U.: Lebensversicherungsmathematik, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1986 Herzberger, J.: Einf¨ uhrung in die Finanzmathematik, R. Oldenbourg Verlag M¨ unchen Wien, 1999 Isenbart,Fritz/ Mu ur Pra¨ nzner, Hans: Lebensversicherungsmathematik f¨ xis und Studium, Gabler, 3. Auflage 1994 Ihrig, H./ Pflaumer, P.: Finanzmathematik, R. Oldenbourg Verlag M¨ unchen Wien, 6. Auflage 1998 Ko unchen Wien, 4. Auf¨hler, H.: Finanzmathematik, Carl Hanser Verlag M¨ lage 1997 Locarek, H.: Finanzmathematik, R. R. Oldenbourg Verlag M¨ unchen Wien, 3. Auflage 1997 Wolfsdorf, K.: Versicherungsmathematik,Teil 1 Personenversicherung, B. G. Teubner Stuttgart 1986

Teil I Finanzmathematik

10

Kapitel 1 Einfu ¨ hrung 1.1

Zur Geschichte des Zinserhebung

Die Problematik der Erhebung von Zinsen besch¨aftigt die Menschen seit langer Zeit. Es finden sich viele Textstellen in den heiligen Schriften der großen Religionen, die sich auf die Zinserhebung beziehen. Diese gilt als von Gott verboten. So steht z.B. im 2. Buch Mose 22,24 als Teil der g¨ottlichen Gesetze, die Moses am Berg Sinai verk¨ undete: Wenn du Geld verleihst an einen aus meinem Volke, an einen Armen neben dir, so sollst du an ihm nicht wie ein Wucherer handeln; du sollst keinerlei Zins von ihm nehmen. W¨ahrend diese Weisung noch die Freiheit l¨aßt, Zinsen von Angeh¨origen anderer V¨olker zu erheben, wird an anderer Stelle im Alten Testament die Zinserhebung rigoros verdammt, etwa bei Hesekiel 18,13: Wer ... auf Zinsen gibt und einen Aufschlag nimmt - sollte der am Leben bleiben? Er soll nicht leben, sondern weil er alle diese Greuel getan hat, soll er den Tod sterben,... Auch im Koran finden sich Stellen, die die Zinserhebung als von Gott verboten erkl¨aren, z.B. in Sure 3, 130 11

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

12

Ihr Gl¨aubigen! Nehmet nicht Zins, indem ihr in mehrfachen Betr¨agen wieder nehmt, was ihr ausgeliehen habt. Oder in Sure 2, 275 Diejenigen, die Zins nehmen, werden dereinst nicht anders dastehen als wie einer, der vom Satan erfaßt und geschlagen ist. Dies wird ihre Strafe daf¨ ur sein, daß sie sagen: ’Kaufgesch¨aft und Zinsgesch¨aft sind ein und dasselbe.’ Aber Gott hat einmal das Kaufgesch¨aft erlaubt und die Zinsleihe verboten. Dennoch ist anzunehmen, daß im Alltag der Menschen, zumindest im j¨ udischchristlichen Bereich, Zinsen erhoben wurden. So steht in Matth¨aus 25, 27: Dann h¨attest du mein Geld zu den Wechslern bringen sollen, und wenn ich gekommen w¨are, h¨atte ich das meine wiederbekommen mit Zinsen. Bei den R¨omern galt ab 51 v. Chr. ein H¨ochstzinssatz von 1% pro Monat. Dagegen soll ein Zinssatz von 6% pro Jahr als regul¨ar angesehen worden sein. Die Christliche Kirche stellte sich allerdings bis weit ins Mittelalter gegen jeglichen Zins. Die P¨apste Alexander (1179) und Klemens (1311) postulierten: Jede Gesetzgebung, die Zins erlaubt, ist null und nichtig. Erst 1983 (!) wurde der Zinskanon ersatzlos aus dem Kirchengesetzbuch gestrichen. Die strenge Haltung der (katholischen) Kirche zur Zinserhebung beeinflusste nat¨ urlich auch die weltliche Gesetzgebung. So verf¨ ugte Kaiser Lothar um 825: Wer Zins nimmt, wird mit dem K¨onigsbann belegt, wer wiederholt Zins nimmt, wird aus der Kirche ausgeschlossen und soll vom Grafen gefangen gesetzt werden.

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

13

Im ausgehenden Mittelalter setzte sich die r¨omische Rechtsempfindung wieder mehr durch, die Kirche nahm eine liberalere Haltung zur Zinserhebung ein und es entwickelte sich eine Geldwirtschaft. In Deutschland wird heute die Zinserhebung prinzipiell durch das B¨ urgerliche Gesetzbuch geregelt. Dort findet sich immerhin im §248 (Zinseszins) (1) noch ein Verbot der Erhebung von Zinseszinsen Eine im voraus getroffene Vereinbarung, daß Zinsen wieder Zinsen tragen sollen, ist nichtig. Dies allerdings gilt nur unter Privatpersonen, denn Absatz (2) sagt: Sparkassen, Kreditanstalten und Inhaber von Bankgesch¨aften k¨onnen im voraus vereinbaren, daß nicht erhobene Zinsen von Einlagen als neue Einlagen gelten sollen. ... Auch eine Art Richtzinssatz wird im BGB angegeben. Im § 246 (gesetzlicher Zinssatz) heißt es: Ist eine Schuld nach Gesetz oder Rechtsgesch¨aft zu verzinsen, so sind vier vom Hundert f¨ ur das Jahr zu entrichten, sofern nicht anders bestimmt ist. Im § 608 (F¨alligkeit der Zinsen) wird festgelegt, daß Darlehen in der Regel j¨ahrlich verzinst werden: Sind f¨ ur ein Darlehen Zinsen bedungen, so sind sie, sofern nicht anderes bestimmt ist, nach Ablauf je eines Jahres und, wenn das Darlehen vor dem Ablauf eines Jahres zur¨ uckzuerstatten ist, bei der R¨ uckerstattung zu entrichten. Die Allt¨aglichkeit der Zinserhebung gilt heute in der westlichen Welt allgemein als anerkannt. Gleichwohl bleibt das Nebeneinander von ”realer Arbeit” und der ”Arbeit von Kapital” ein ethisch/philosophisches Problem.

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

1.2

14

Mathematische Grundlagen

Zentrale Werkzeuge f¨ ur einf¨ uhrende Kapitel zur Finanzmathematik sind voll– st¨andige Induktion, der Ableitungs- und Integralbegriff sowie Reihen und Verfahren zur Berechnung von Nullstellen von Polynomen. Ferner sind Kenntnisse zu einfachen gew¨ohnlichen Differentialgleichungen von Vorteil. Wir wiederholen (zur Einstimmung) die wichtigsten Ergebnisse.

1.2.1

Elementare Absch¨ atzungen

Zun¨achst betrachten wir einige Techniken zur Absch¨atzung von reellen Ausdr¨ ucken. Bernoulli-Ungleichung Eine grundlegende Absch¨atzung ist die Bernoulli-Ungleichung (1 + h)n ≥ 1 + nh

f¨ ur h > −1, n ∈ N0

(1.1)

Diese begr¨ undet man leicht durch vollst¨andige Induktion: Der Induktionsanfang f¨ ur n = 0 ist klar. Sei also n ∈ N0 vorgegeben. Dann gilt wegen 1+h ≥ 0 und der Induktionsannahme (1 + h)n+1 = (1 + h)n (1 + h) ≥ (1 + nh) (1 + h) = 1 + (n + 1) h + nh2 ≥ 1 + (n + 1) h Offensichtlich ist die Ungleichung sogar echt , wenn h 6= 0 und n > 1 gelten. (1 + h)n > 1 + nh

f¨ ur h > −1, h 6= 0, n ∈ N, n > 1

(1.2)

Die folgende Absch¨atzung ist eine unmittelbare Anwendung der BernoulliUngleichung. Lemma 1.1 Es gilt f¨ ur alle x > 0 und m > 1  m+1  x m x x  x m < 1+ < lim 1 + = ex 1+ < 1+ m→∞ 1 m m+1 m

(1.3)

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

15


x m Beweis: Wir zeigen die strenge Monotonie der Folge 1 + m , m ∈ N. Die
x m x Identit¨at limm→∞ 1 + m = e setzen wir als bekannt voraus. Zun¨achst einmal gilt wegen (1.2) f¨ ur x > 0, m > 1   x m x 1+ >1+m =1+x m m Also brauchen wir die Monotonie nur noch f¨ ur m > 2 nachzuweisen. Wir zeigen sie direkt unter Ausnutzung von −1 < x 0 0 0

< < < <

−x ⇐⇒ m (m + x − 1) m (m + x − 1) ⇐⇒ m2 + mx − m − x ⇐⇒ m (m − 1) + x (m − 1) ⇐⇒ (m + x) (m − 1)

(beachte x > 0) und der Bernoulli-Ungleichung (1.1)
x m 1+ m (m + x)m (m − 1)m−1
m−1 = x mm ((m − 1) + x)m−1 1 + m−1  m−1 m + x (m + x) (m − 1) = m m (m + x − 1)  m−1 m + x m (m + x) − m − x = m m (m + x) − m  m−1 m+x −x = 1+ m m (m + x − 1)   m+x −x (m − 1) ≥ 1+ m m (m + x − 1) 2 m + x m + mx − m − mx + x = m m (m + x − 1) 2 (m + x) (m − m + x) = m2 (m + x − 1) 3 m − m2 + mx + m2 x − mx + x2 = m3 + m2 x − m2 x2 = 1+ 2 >1 m (m − 1 + x)

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG Also gilt 1 +


x m m

> 1+

16


m−1 x m−1

2

auch f¨ ur m > 2

Eine Absch¨ atzung fu ¨ r ln Durch Differenzieren und Integrieren erh¨alt man viele Informationen u ¨ber eine betrachtete Funktion, insbesondere, wenn man an Absch¨atzungen interessiert ist. Wir demonstrieren dies am Beispiel der folgenden Ungleichungskette Lemma 1.2 Es gilt f¨ ur alle x > 0 x−

x2 x2 x3 ≤ ln (1 + x) ≤ x − + 2 2 3

(1.4)

Beweis: Wir beweisen die rechte Absch¨atzung, die linke beweist man ¨ahnlich. ¨ (Ubungsaufgabe) Dazu betrachten wir die Hilfsfunktion h (x) := x −

x2 x3 + − ln (1 + x) 2 3

f¨ ur x ≥ 0

F¨ ur diese haben wir zu zeigen, daß sie nicht negativ ist. Beachtet man aber h (0) = 0, so gen¨ ugt es sogar, h0 als nicht negativ nachzuweisen, da dann h monoton ansteigt. Es gilt h0 (x)

1 ≥0 1+x 1 ⇐⇒ 1 − x + x2 ≥ 1+x ⇐⇒ 1 − x2 + x2 (1 + x) ≥ 1 ⇐⇒ x3 ≥ 0 =

1 − x + x2 −

Da x > 0 vorausgesetzt wurde, ist der Beweis gef¨ uhrt.

2

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

17

Konvexe Funktionen Desweiteren kann bei Absch¨atzungen oft die (lokale) Konvexit¨at einer Funktion ausgenutzt werden. F¨ ur unsere Zwecke reicht dabei eine sehr eng gefaßte Begriffsfestlegung. Definition 1.3 Eine dreimal stetig differenzierbare Funktion f : (a, b) −→ R heißt konvex, wenn f¨ ur sie f 00 (x) ≥ 0 gilt f¨ ur alle x ∈ (a, b) . Sie heißt konkav, wenn stattdessen f 00 (x) ≤ 0 gilt. Anschaulich bedeutet diese Festlegung, daß bei konvexen Funktionen die erste Ableitung an jedem Punkt x ∈ (a, b) h¨ochstens ansteigt, daß also die Funktion f durchgehend linksgekr¨ ummt ist. Man beachte, daß f genau dann konvex ist, wenn (−f ) konkav ist. F¨ ur die konvexen Funktionen gilt der sie geometrisch charakterisierende Satz 1.4 Sei f : (a, b) −→ R dreimal stetig differenzierbar. f ist genau dann konvex, wenn f¨ ur beliebig vorgegebenes x0 ∈ (a, b) gilt: f (x) ≥ f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 )

f¨ ur alle x ∈ (a, b)

(1.5)

Beweis: a) Sei zun¨achst f als konvex vorausgesetzt und seien x, x0 ∈ (a, b) beliebig vorgegeben. Dann lautet die Taylorformel f¨ ur f um die Entwicklungsstelle x0 1 f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 ) + f 00 (ξ) (x − x0 )2 2 mit einer Zwischenstelle ξ zwischen x und x0 . Da nach Voraussetzung f 00 (ξ) ≥ 0 gilt, gilt die Ungleichung (1.5). b) Sei nun x0 ∈ (a, b) beliebig vorgegeben und die G¨ ultigkeit der Ungleichung (1.5) vorausgesetzt. F¨ ur hinreichend kleines λ ∈ R gilt x1 := x0 + λ ∈ (a, b) Dann folgt wegen (1.5) f (x1 ) ≥ f (x0 ) + f 0 (x0 ) λ

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

18

Da f dreimal stetig differenzierbar ist, gilt f¨ ur die Taylorformel 2. Ordnung f¨ ur f um den Entwicklungspunkt x0 1 f (x1 ) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) λ + f 00 (x0 ) λ2 + λ2 ε (x0 , λ) 2 mit ε (x0 , λ) → 0 f¨ ur λ → 0. Daher folgt 1 00 f (x0 ) λ2 + λ2 ε (x0 , λ) ≥ 0 =⇒ 2 1 00 f (x0 ) + ε (x0 , λ) ≥ 0 =⇒ 2 f 00 (x0 ) ≥ 0. Da x0 ∈ (a, b) beliebig vorgegeben war, ist f als konvex nachgewiesen.

2

Anschaulich besagt der Satz, daß der Graph der Tangente an der Stelle x0 stets unterhalb vom Graph der konvexen Funktion verl¨auft. Definition 1.5 Gilt in Ungleichung (1.5) immer das > − Zeichen bei x 6= x0 , so nennt man die konvexe Funktion f streng konvex. Beachte: Gem¨aß dem obigen Beweis ist f streng konvex, wenn durchgehend f 00 (x) > 0 gilt f¨ ur alle x ∈ (a, b) . Die umgekehrte Aussage gilt nicht! Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : R −→ R, f (x) = x4 . Diese Funktion ist streng konvex, aber es gilt f 00 (0) = 0. Analog zur Aussage von Satz 1.4 kann Konvexit¨at auch mit Hilfe von Sekanten charakterisiert werden. Satz 1.6 Sei f : (a, b) −→ R eine dreimal stetig differenzierbare Funktion. Genau dann ist f konvex, wenn f¨ ur alle x1 , x2 ∈ (a, b) und jedes λ ∈ [0, 1] gilt f (λx1 + (1 − λ) x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ) (1.6) Beweis:

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

19

a) Es gelte die Ungleichung (1.6) f¨ ur alle x1 , x2 ∈ (a, b) und jedes λ ∈ [0, 1] . Wir wollen zeigen, daß Ungleichung (1.5) f¨ ur alle x0 ∈ (a, b) . Seien dazu x0 , x ∈ (a, b) und λ ∈ (0, 1] vorgegeben. Dann gilt f (x0 + λ (x − x0 )) = f (λx + (1 − λ) x0 ) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (x0 ) = f (x0 ) + λ (f (x) − f (x0 )) daher

f (x0 + λ (x − x0 )) − f (x0 ) (x − x0 ) ≤ f (x) − f (x0 ) λ (x − x0 ) Im Grenzprozeß λ → 0 folgt daraus f 0 (x0 ) (x − x0 ) ≤ f (x) − f (x0 ) b) Sei nun die G¨ ultigkeit von (1.5) f¨ ur alle x0 ∈ (a, b) vorausgesetzt. Seien x1 , x2 ∈ (a, b) und λ ∈ [0, 1] vorgegeben. Dann setzte z := λx1 + (1 − λ) x2 . Es ist z ∈ (a, b) und es gilt f (x1 ) − f (z) ≥ f 0 (z) (x1 − z) f (x2 ) − f (z) ≥ f 0 (z) (x2 − z)

und

Damit gilt auch λ (f (x1 ) − f (z))+(1 − λ) (f (x2 ) − f (z)) ≥ f 0 (z) (λ (x1 − z) + (1 − λ) (x2 − z)) also λf (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ) − f (z) ≥ f 0 (z) (λx1 + (1 − λ) x2 − z) = 0 Damit ist die G¨ ultigkeit von (1.6) bewiesen.

2

Bemerkung: Im allgemeinen wird die Eigenschaft (1.6) zur Definition der Konvexit¨at herangezogen, da hierbei keinerlei Differenzierbarkeits-Voraussetzungen ben¨otigt werden. Als Anwendung der genannten Theorie erweitern wir die Bernoulli-Ungleichung: Lemma 1.7 Es gilt f¨ ur alle x, α ∈ R, α > 1, x > −1, x 6= 0 (1 + x)α > 1 + αx und f¨ ur alle x, α ∈ R, 0 <α < 1, x > −1, x 6= 0 (1 + x)α < 1 + αx

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

20

Beweis: Die G¨ ultigkeit der Ungleichung kann wie folgt eingesehen werden: die Funktion f (x) := (1 + x)α hat als zweite Ableitung 00

f (x) = α (α − 1) (1 + x)α−2 . Diese ist strikt positiv f¨ ur x > −1, α > 1. Daher ist f auf dem angegebenen Bereich streng konvex und die lineare Approximation t1 (x) = 1 + α · x von f an der Stelle x0 = 0 verl¨auft (bis auf die Stelle x = 0) strikt unterhalb von f. Auf der anderen Seite ist f streng konkav f¨ ur 0 < α < 1, x > −1, daher gilt auch der zweite Teil der Behauptung. 2

1.2.2

Reihen

Elementar ist zun¨achst einmal die Potenzreihenentwicklung f¨ ur die e−Funktion um die Stelle x0 = 0 ∞ X 1 k 1 1 e = x = 1 + x + x2 + x3 + ... k! 2 6 k=0 x

f¨ ur alle x ∈ R

Man beachte, daß die e−Funktion auf ganz R streng konvex ist und daher (f¨ ur x 6= 0) strikt oberhalb ihrer linearen Approximation t1 (x) = 1 + x um die Stelle x0 = 0 verl¨auft. Man vergleiche hierzu die Ungleichung (1.3). Desweiteren grundlegend ist die Potenzreihenentwicklung f¨ ur die Logarithmusfunktion um die Stelle x0 = 1 ln x =

∞ X 1 k=1

k

(−1)k−1 (x − 1)k = (x − 1) −

1 1 (x − 1)2 + (x − 1)3 − ... 2 3

f¨ ur |x| < 1, die wegen ihrer strengen Konkavit¨at strikt (f¨ ur x 6= 1) unterhalb ihrer linearen Approximation t1 (x) = x − 1 um die Stelle x = 1 verl¨auft. Man beachte hierzu die Ungleichungskette (1.4). Wichtige Reihen sind außerdem die arithmetischen, die geometrischen und die Binomial-Reihen.

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

21

Arithmetische Reihen Arithmetische Folgen sind von der rekursiven Form an+1 = an + d f¨ ur alle n ∈ N0 , a0 , d ∈ R vorgegeben Das allgemeine Glied der Folge lautet an = a0 + nd f¨ ur n ∈ N0

(1.7)

Werden die ersten n + 1 Glieder der Folge aufsummiert, so entsteht das allgemeine Glied sn der arithmetischen Reihe sn =

n X

(a0 + kd) = a0

n X

1+d

= a0 (n + 1) + d

k

k=0

k=0

k=0

n X

 (n + 1) n n  = (n + 1) a0 + d 2 2

(1.8)

f¨ ur n ∈ N. Man erkennt, daß die Reihe f¨ ur vorgegebene a0 , d ∈ R gegen ∞ strebt, sofern nicht gerade a0 = d = 0 gilt. Geometrische Reihen Diese entstehen durch Aufsummierung aus der geometrischen Folge an+1 = an q f¨ ur alle n ∈ N0 , a0 , q ∈ R vorgegeben (in rekursiver Form). Das allgemeine Glied der Folge lautet an = a0 q n f¨ ur n ∈ N0

(1.9)

Summiert man die ersten n + 1 Glieder der Folge auf, so ergibt sich n X

n X

1 − q n+1 sn := a0 q = a0 q = a0 1−q k=0 k=0 k

k

(1.10)

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

22

Setzen wir oBdA a0 = 1 voraus. Offensichtlich konvergiert die Reihe genau dann, wenn |q| < 1 gilt. s := lim

n X

n→∞

qk =

k=0

∞ X

qk =

k=0

1 1−q

(1.11)

Die Reihe konvergiert in diesem Fall sogar absolut und gleichm¨aßig, so daß sie elementweise abgeleitet werden kann. ∞ X

kq k−1 =

k=1

1 = 1 + 2q + 3q 2 + ... (1 − q)2

(1.12)

Dieser Ableitungsprozeß kann auch direkt mit der Summenformel (1.10) durchgef¨ uhrt werden n X

kq k−1 =

k=1

=

− (n + 1) q n (1 − q) + (1 − q n+1 ) (1 − q)2 nq n+1 − (n + 1) q n + 1 (1 − q)2

(1.13)

wobei sich f¨ ur n → ∞ das gleiche Ergebnis ergibt, da lim nq n = 0 gilt f¨ ur |q| < 1

n→∞

(1.14)

Aus (1.12) ergibt sich durch Multiplikation mit q auch ∞ X k=0

1.2.3

kq k =

q (1 − q)2

(1.15)

Nullstellen von Polynomen

Ausgangspunkt f¨ ur das Verst¨andnis und den Umgang mit einem Polynom p : R −→ R vom Grad n der Form p (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

23

mit Koeffizienten a0 , ..., an ∈ R, an 6= 0, ist das Hornerschema. Darunter versteht man das folgende lineare Gleichungssystem an = c n an−1 = cn−1 − cn b an−2 = cn−2 − cn−1 b ... a0 = c0 − c1 b,

(1.16)

das bei beliebig vorgegebenen b ∈ R bequem rekursiv nach den n + 1 Unbekannten c0 , ..., cn aufgel¨ost werden kann. Ersetzt man die Koeffizienten a0 , ..., an im Polynom durch die genannten Gleichungen, so erh¨alt man durch Umsortierung die folgende Form des Polynoms p (x) = = = =

a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn (c0 − c1 b) + ... + (cn−1 − cn b) xn−1 + cn xn
c0 + c1 x + ... + cn−1 xn−1 + cn xn − b c1 + c2 x + ... + cn xn−1
c0 + (x − b) c1 + c2 x + ... + cn xn−1 (1.17)

Diese Form des Polynoms hat mehrere Konsequenzen 1. Man kann den Wert p (b) des Polynoms p an der Stelle x = b f¨ ur beliebiges b ∈ R berechnen, indem man das GLS (1.16) l¨ost und die Identit¨at p (b) = c0 verwendet. Offensichtlich brauchen bei dieser Berechnung keinerlei Potenzen berechnet zu werden. Das macht die Auswertung des Polynoms an der Stelle x = b numerisch sehr stabil und rechnerisch einfach. Im u ¨brigen kann die Bedeutung der c0 s auch durch folgende Umsortierung des Polynoms p verstanden werden: L¨ost man das Gleichungssystem (1.16) teilweise nach den c0 s auf c n = an cn−1 = cn b + an−1 cn−2 = cn−1 b + an−2 ... c 0 = c 1 b + a0

(1.18)

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

24

und schreibt p in der folgenden Form auf p (x) = (... ((an x + an−1 ) x + an−2 ) x + ... + a1 ) x + a0

(1.19)

so sieht man aus dieser Darstellung: setzt man f¨ ur x den Wert b ein, so nehmen die inneren Klammern sukzessive die Werte cn−1 , cn−2 , ..., c1 an. 2. Ist x = b eine Nullstelle von p, so gilt c0 = p (b) = 0 und damit besitzt p die Faktor-Darstellung
p (x) = (x − b) c1 + c2 x + ... + cn xn−1 (1.20) 3. Per Induktionsbeweis u ¨ber den Grad n des Polynoms ist damit unmittelbar klar, daß p h¨ochstens n verschiedene (reelle) Nullstellen haben kann. 4. Dies wiederum hat nun zur Folge, daß wenn zwei Polynome p1 und p2 auf einem (noch so kleinen) Intervall (a, b) identisch sind, sie u ¨berhaupt u ussen. Damit ergibt ¨bereinstimmen und gleiche Koeffizienten haben m¨ sich die M¨oglichkeit des Koeffizientenvergleichs. 5. Wendet man die Faktordarstellung aus (1.20), die u ¨ber das Horner– schema berechnet wird, iterativ an, so ergibt sich schließlich die voll– st¨andige reelle Faktorzerlegung des Polynoms p zu p (x) = (x − x1 )l1 · (x − x2 )l2 · ... · (x − xs )l2 · p1 (x) ,

(1.21)

in der x1 , ..., xs , s ∈ N, die verschiedenen reellen Nullstellen von p sind, die mit den algebraischen Vielfachheiten l1 , ..., ls auftreten und in der p1 ein nullstellenfreies Polynom darstellt, dessen Grad gerade l = n − l1 − ... − ls ≥ 0 ist. Bisektionsverfahren Reelle Nullstellen von Polynomen k¨onnen also prinzipiell wie folgt ermittelt werden: kennt man eine Nullstelle des zu untersuchenden Polynoms p, so kann man mit den Hornerschema zu einem im Grad um eins niedrigeren

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

25

Polynom u ¨bergehen und dessen Nullstellen zu bestimmen versuchen. Nullstellen k¨onnen also rekursiv bestimmt werden, wenn man weiß, wie eine erste Nullstelle bestimmt wird. Ein Verfahren zur Bestimmung einer ersten Nullstelle ist das Bisektionverfahren. Dieses basiert auf dem Zwischenwertsatz. Voraussetzung f¨ ur seine Anwendung ist, daß man zwei Stellen x1 und x2 kennt, f¨ ur die das Polynom p unterschiedliche Vorzeichen annimmt, d.h. f¨ ur die p (x1 ) · p (x2 ) < 0 gilt. In dieser Situation gilt f¨ ur das arithmetische Mittel der beiden Stellen, 1 x3 = 2 (x1 + x2 ) , entweder

p (x3 ) = 0 oder p (x3 ) > 0 oder p (x3 ) < 0.

Im ersten Fall hat man bereits eine Nullstelle gefunden, im zweiten oder dritten Fall ein um die H¨alfte kleineres Intervall, an dessen Eckpunkten das Polynom unterschiedliche Vorzeichen annimmt. Somit hat man erneut die ¨ Ausgangssituation und kann die Uberlegung von vorne beginnen. Es entsteht also eine Folge sich jeweils einschließender Intervalle mit sich halbierendem Durchmesser, von denen jedes nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle enth¨alt. So kann man mit endlich vielen Operationen eine Nullstelle des Polynoms beliebig genau einschachteln. Bleibt die Frage zu kl¨aren, wie man an zwei Polynomstellen mit unterschiedlichem Vorzeichen kommt. Garantiert ist deren Existenz nat¨ urlich nicht. Z.B. 2 nimmt das Polynom f (x) = x an allen Stellen x nur nichtnegative Werte an. Dagegen garantiert der Zwischenwertsatz f¨ ur jedes Polynom ungeraden Grades die Existenz einer Nullstelle, da diese Polynome f¨ ur x → ∞ und x → −∞ jeweils unterschiedliches Vorzeichen annehmen. Hilfe bei der Suche nach nicht zu weit auseinanderliegenden Stellen mit unterschiedlichem Vorzeichen leisten die beiden folgenden Absch¨atzungen, die jeweils ein Intervall angeben, in dem alle Nullstellen eines Polynoms liegen. Satz 1.8 F¨ ur ein Polynom der Form p (x) = xn + an−1 xn−1 + ... + a0

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

26

gilt: Alle Nullstellen x0 des Polynoms erf¨ ullen die Ungleichungen ( n−1 ) X |x0 | ≤ max 1, |ai | und |x0 | ≤ 1 + max {|ai |} 0≤i≤n−1

i=0

Beweis: a) Es gilt xn0 = −an−1 x0n−1 − ... − a1 x0 − a0 also nach der Dreiecksungleichung |x0 |n ≤ |an−1 | |x0 |n−1 + ... + |a0 | . Nun gilt f¨ ur x0 entweder |x0 | ≤ 1 oder |x0 | > 1. Im zweiten Fall hat man n

n−1

|x0 | ≤ |x0 |

n−1 X

|ai | =⇒ |x0 | ≤

i=0

n−1 X

|ai |

i=0

Somit gilt die erste Absch¨atzung. b) Gilt |x0 | ≤ 1, so ist die zu zeigende zweite Ungleichung sicher erf¨ ullt. Setzen wir also insbesondere x0 = 6 0 voraus. Dann gilt 1 = −an−1

1 1 1 − an−2 2 − ... − a0 n x0 x0 x0

sodaß unter Anwendung der Dreiecksungleichung und der Teilsummenformel der geometrischen Reihe gilt 1 1 1 1 ≤ |an−1 | + |an−2 | 2 + ... + |a0 | n x0 x0 x0 1 1 − |x01|n 1 1 − |x0 |n ≤ max {|ai |} = max {|a |} i 0≤i≤n−1 0≤i≤n−1 |x0 | 1 − |x10 | |x0 | − 1 F¨ ur |x0 | > 1 folgt also 

1 |x0 | − 1 ≤ max {|ai |} · 1 − 0≤i≤n−1 |x0 |n



Damit ist auch die zweite Ungleichung bewiesen.

≤ max {|ai |} 0≤i≤n−1

2

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

27

Newtonverfahren Das oben angegebene Bisektionsverfahren konvergiert sehr langsam. Im Prinzip verbessert man nur in jedem vierten Schritt eine Dezimale der Ann¨aherung an die Nullstelle. Hat man ein gen¨ ugend kleines Intervall gefunden, in dem eine Nullstelle liegt, so wendet man besser das Newtonverfahren an. Dieses konvergiert wesentlich schneller und ben¨otigt meist nur sehr wenige Schritte, um die Nullstelle mit hoher Pr¨azision zu bestimmen. Sei p ein gegebenes Polynom und x0 eine Stelle, in deren N¨ahe eine Nullstelle des Polynoms liegt. Dann wendet man bekanntermaßen iteriert die Formel xk+1 = xk −

p (xk ) p0 (xk )

f¨ ur k = 0, 1, 2, ...

(1.22)

an. Ohne Beweis sei angegeben: Satz 1.9 Ist x0 nahe genug bei einer Nullstelle x∗ des Polynoms p und gilt p0 (x∗ ) 6= 0, so konvergiert das Newtonverfahren gegen x∗ und es gibt ein γ > 0, so daß f¨ ur alle k ∈ N gilt |xk+1 − x∗ | ≤ γ |xk − x∗ |2 2 Der Satz bescheinigt dem Verfahren also quadratische Konvergenz, wenn der Startpunkt des Verfahrens bereits nahe genug an der zu berechnenden Nullstelle liegt. In der Praxis versucht man, ein kleines Intervall zu finden, in dem eine Nullstelle liegt (etwa mit dem Bisektionsverfahren) und wendet dann das Newtonverfahren an, wobei man z.B vom Intervallmittelpunkt startet. Zuweilen kann allerdings das Newtonverfahren auch von einer Stelle gestartet werden, die nicht notwendig nahe bei der zu berechnenden Nullstelle liegt. Dies zeigt das folgende Lemma 1.10 Die zweimal differenzierbare Funktion p : R −→ R habe im Intervall (a, b) eine Nullstelle x∗ . Es gelte p0 (x) > 0 und p00 (x) > 0 f¨ ur ∗ ∗ alle x ∈ (x , b) . Startet dann das Newtonverfahren bei x0 ∈ (x , b) , so konvergiert das Verfahren streng monoton abfallend gegen x∗ .

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

28

Beweis: Nach Voraussetzung ist p streng montoton ansteigend auf [x∗ , b]. Daher gilt p (x0 ) > p (x∗ ) = 0 und p0 (x0 ) > 0. Also folgt x1 = x0 −

p (x0 ) < x0 p0 (x0 )

Ferner gilt p (x0 ) p (x∗ ) ∗ − x + p0 (x0 ) p0 (x0 ) 1 (p (x0 ) − p (x∗ )) = x0 − x∗ − 0 p (x )  0 0  p (ξ) ∗ = (x0 − x ) 1 − 0 f¨ ur ein ξ ∈ (x∗ , x0 ) p (x0 )

x1 − x∗ = x0 −

letzteres nach dem Mittelwertsatz. Da aber p0 nach Voraussetzung auf [x∗ , b] streng monoton ansteigend ist, folgt 0 ≤ p0 (x∗ ) < p0 (ξ) < p0 (x0 ) , also 0<1−

p0 (ξ) <1 p0 (x0 )

und damit 0 < (x1 − x∗ ) < (x0 − x∗ ) , mithin x1 > x∗ . Dies zeigt, daß das Verfahren eine monoton abfallende, nach unten durch x∗ beschr¨ankte Folge erzeugt. Damit konvergiert das Verfahren gegen einen Punkt x¯ ≥ x∗ . Es bleibt zu zeigen, daß x¯ = x∗ gilt. Nehmen wir an, daß dem nicht so ist. Dann gilt p (¯ x) > 0 wegen der strengen Monotonie von p und p (xi ) ≥ p (¯ x) f¨ ur jeden Iterationspunkt xi des Verfahrens, i ∈ N. Gleichzeitig ist p0 auf [x∗ , x0 ] nach oben durch ein δ > 0 beschr¨ankt. Daher gilt xi − xi+1 =

p (¯ x) p (xi ) ≥ >0 0 p (xi ) δ

f¨ ur jedes i ∈ N. Dies widerspricht der Konvergenz des Verfahrens.

2

Bemerkung: Gilt in Lemma 1.10 sogar p0 (x) > 0, p00 (x) > 0 f¨ ur alle x ∈ (a, b) und startet das Newtonverfahren bei x0 ∈ (a, x∗ ) , so gilt f¨ ur den ∗ ersten Iterationspunkt x1 des Newtonverfahrens x1 ≥ x , so daß im Falle x1 ∈ (x∗ , b) die Vorausetzungen des Lemmas auf x1 zutreffen und die weiteren Iterationspunkte eine streng monoton abfallende Folge bilden. (Beweis: ¨ Ubungsaufgabe)

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

29

Newton-Fourier-Verfahren Interessanterweise kann unter den gleichen Vorausssetzungen wie in Bemerkung 1.2.3 auch eine monotone Ann¨aherung von links an die Nullstelle erreicht werden, und zwar simultan zur Ann¨aherung von rechts. So entsteht das Newton-Fourier-Verfahren. Dieses verwendet bei vorgegebenen y0 < x∗ < x0 die Rekursionsformeln p (xk ) f¨ ur k = 0, 1, 2, ... p0 (xk ) p (yk ) = yk − 0 f¨ ur k = 0, 1, 2, ... p (xk )

xk+1 = xk − yk+1

(1.23)

Es gilt der Satz 1.11 Die zweimal stetig differenzierbare Funktion p habe im Intervall (a, b) eine Nullstelle x∗ . Es gelte p0 (x) > 0 und p00 (x) > 0 f¨ ur alle x ∈ (a, b) . Startet dann das Newton-Fourier-Verfahren bei x0 ∈ (x∗ , b) , und y0 ∈ (a, x∗ ) , so konvergiert das Verfahren quadratisch, streng monoton abfallend von x0 und ansteigend von y0 gegen x∗ . Beweis: Die streng monotone Konvergenz der Folge xi , i ∈ N0 , wurde bereits im Lemma bewiesen. Analog zeigen wir die strenge Monotonie der Folge der yi , i ∈ N0 . Es gilt y0 < x∗ und deshalb p (y0 ) < p (x∗ ) = 0. Wegen p0 (x0 ) > 0 folgt daher y1 = y0 −

p (y0 ) > y0 p0 (x0 )

Ferner gilt p (y0 ) p (x∗ ) ∗ − x + p0 (x0 ) p0 (x0 ) 1 = y0 − x∗ − 0 (p (y0 ) − p (x∗ )) p (x0 )   p0 (ξ) ∗ = (y0 − x ) 1 − 0 f¨ ur ein ξ ∈ (y0 , x∗ ) p (x0 )

y1 − x∗ = y0 −

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG Wiederum gilt 0<1−

30

p0 (ξ) < 1, p0 (x0 )

da p0 streng monoton wachsend und positiv ist. Also gilt y0 < y1 ≤ x∗ . Damit bildet die Folge der yi , i ≥ 0, eine streng monoton ansteigende beschr¨ankte Folge, die gegen x∗ konvergiert, wie man analog zum Beweis des Lemmas einsieht. F¨ ur den Beweis der quadratischen Konvergenz stellen wir folgende Betrachtung an. Zun¨achst gilt

p (xk ) p (yk ) − yk + 0 0 p (xk ) p (xk ) 1 (p (xk ) − p (yk )) = (xk − yk ) − 0 p (xk )   p0 (ξ) = (xk − yk ) 1 − 0 f¨ ur ein ξ ∈ (yk , xk ) p (xk )

xk+1 − yk+1 = xk −

wobei zuletzt der Mittelwertsatz angewendet wurde. Erneute Anwendung des Mittelwertsatzes liefert  0  p (xk ) − p0 (ξ) xk+1 − yk+1 = (xk − yk ) p0 (xk ) p00 (η) (xk − ξ) (xk − yk ) f¨ ur ein η ∈ (ξ, xk ) = 0 p (xk ) ≤ γ (xk − yk )2 f¨ ur ein nur von [y0 , x0 ] abh¨angiges γ > 0 2 Einbeziehung des Horner-Schemas Eine Implementierung des Newtonverfahrens f¨ ur Polynome nach der Formel (1.22) verwendet nat¨ urlich das Hornerschema zur Berechnung der Werte p (xk ) , k ∈ N0 . Erfreulicherweise k¨onnen dabei die Werte p0 (xk ) , k ∈ N0 , simultan gleich mitberechnet werden. Dies kann wie folgt eingesehen werden:

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

31

Es sei wie in Formel (1.16) die Stelle x = b ∈ R betrachtet, zu der das Hornerschema den Wert p (b) berechnet. Leitet man die Darstellung (1.17) des Polynoms p ab, so ergibt sich
p0 (x) = c1 + c2 x + ... + cn xn−1 + (x − b) c2 + 2c3 x + ... + (n − 1) cn xn−2 Daher gilt p0 (b) = c1 + c2 b + ... + cn bn−1

(1.24)

p0 (b) kann also prinzipiell mit dem Hornerschema berechnet werden, wenn anstelle der Koeffizienten ak , k = 0, ..., n, des Polynoms p die Hornerkoeffi– zienten c1 , ..., cn verwendet werden. Nennen wir die Koeffizienten dieser erneuten Anwendung des Hornerschemas c01 , ..., c0n , so ergibt sich folgendes nun leicht einzusehendes Rechenschema f¨ ur die simultane Berechnung von p (b) und p0 (b) c n = an , cn−1 = cn b + an−1 , cn−2 = cn−1 b + an−2 , ... c1 = c2 b + a1, c 0 = c 1 b + a0 ,

c0n = 0 c0n−1 = c0n b + cn c0n−2 = c0n−1 b + cn−1 ... c01 = c02 b + c2 c00 = c01 b + c1

(1.25)

Es gilt dann p (b) = c0 und p0 (b) = c00 . Diese simultane Berechnung der beiden Werte ist nat¨ urlich numerisch vorteilhafter als deren Einzelberechnung.

1.2.4

Positive Nullstellen

Von den Nullstellen eines Polynoms werden uns vorwiegend die positiven interessieren. Es stellt sich daher die Frage, ob man der Form des Polynoms ansehen kann, wieviele positive Nullstellen es hat. Erfreulicherweise gibt es solche Resultate. Wir beginnen mit einem anschaulich wohlbegr¨ undeten Satz 1.12 Es sei p ein reelles Polynom der Form p (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a0 mit an 6= 0. Wir betrachten ein Intervall [a, b] mit p (a) · p (b) 6= 0.

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

32

Hat p an den Eckpunkten des Intervalls gleiches Vorzeichen, so kann es im offenen Intervall (a, b) nur eine gerade Anzahl von Nullstellen haben. Sind die entsprechenden Vorzeichen jedoch verschieden, so hat p eine ungerade Anzahl von Nullstellen in (a, b) . Beweis: Wir bezeichnen mit α1 , α2 , ..., αm die reellen Nullstellen von p innnerhalb (a, b) β1 , β2 , ..., βk die reellen Nullstellen von p außerhalb von [a, b] und mit γj ± iδj (j = 1, ..., h) die echt komplexen Nullstellen von p, wobei alle Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheiten aufgez¨ahlt seien. Man beachte, daß dabei die konplexen Nullstellen in Paaren komplex konjugierter Nullstellen auftreten. Dann besitzt p die Faktorisierung p (x) = φ (x)

m Y

(x − αj )

mit

j=1

φ (x) = an

k Y

(x − βj )

j=1

h Y

(x − γj )2 + δj2




j=1

wobei jeweils ein Paar zueinander komplex konjugierter Nullstellen zusammengefaßt wurde. Nun betrachten wir den Quotienten p (a) φ (a) a − α1 a − α2 a − αm = · ... · p (b) φ (b) b − α1 b − α2 b − αm Hierbei gilt zun¨achst einmal wegen der relativen Lage der Nullstellen a − βj > 0 f¨ ur alle j = 1, ..., k, b − βj so daß φ (a) /φ (b) > 0 gelten muß. Auf der anderen Seite ist mit dem gleichen Argument a − αj < 0 f¨ ur alle j = 1, ..., m, b − αj

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG so daß

33

 sign

p (a) p (b)



= (−1)m 2

gelten muß. Also gilt die Behauptung. Der Satz l¨aßt folgende Folgerung zu: Korollar 1.13 Es sei das Polynom p von der Form p (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a0 mit an 6= 0. Dann gilt: 1. Ist an · a0 > 0, so besitzt p eine gerade Anzahl positiver Nullstellen

2. Ist an · a0 < 0, so besitzt p eine ungerade Anzahl positiver Nullstellen. Beweis: Es ist p (0) = a0 und limx→∞ p (x) = ±∞ je nach Vorzeichen von an . Der Satz macht somit eine Aussage u ¨ber die Nullstellen von p im Intervall (0, ∞) . 2 Im folgenden sagen wir, daß die Koeffizientenfolge a0 , a1 , ..., an von p beim Index k > 0 einen Vorzeichenwechsel hat, wenn ak 6= 0 gilt und der n¨achst kleinere Index i, f¨ ur den ai 6= 0 gilt, umgekehrtes Vorzeichen hat wie ak . Man beachte, daß bei a0 kein Vorzeichenwechsel vorliegen kann und daß damit insgesamt h¨ochstens n Vorzeichenwechsel vorliegen k¨onnen. Gilt dabei a0 · an > 0, so liegt eine gerade Anzahl von Vorzeichenwechseln vor, bei a0 · an < 0 eine ungerade. Lemma 1.14 Ist p von der Form p (x) = (x − c) q (x)

mit c > 0,

so ist die Anzahl der Vorzeichenwechsel von p um eine ungerade nat¨ urliche Zahl h¨oher als die von q. Beweis: Es sei q (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a0 mit an > 0 vorausgesetzt. Wir betrachten drei F¨alle:

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

34

1. Es sei a0 < 0. Dann ist also die Anzahl v der Vorzeichenwechsel von q ungerade und gr¨oßer null. q sei von der Form q (x) = an xn +...+bxm+1 −rxm −...−dxl+1 +kxl +...+gxp+1 −hxp −...+a0 Hierin seien b > 0, d > 0, g > 0 und r ≥ 0, k ≥ 0, h ≥ 0 vorausgesetzt. Es liegen also Vorzeichenwechsel bei (m + 1) , (l + 1) , (p + 1) vor und dieses seien der erste, ein beliebiger mittlerer und der letzte Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge von q. Wird nun das Polynom p betrachtet, also q mit (x − c) multipliziert, so l¨aßt sich p in folgender Form schreiben p (x) = an xn+1 ± ... − (r + bc) xm+1 ± ... + (k + dc) xl+1 ± ... − (h + gc) xp+1 ± ... − a0 c Da an > 0, (r + bc) > 0, (k + dc) > 0, (h + gc) > 0, −a0 c > 0 gilt, liegt jeweils bei Indizes gr¨oßer (m + 1) , (l + 1) , (p + 1) , 0 ein Vorzeichenwechsel vor, insgesamt also nach Konstruktion mindestens ein Wechsel mehr als bei q. Außerdem ist die Anzahl vˆ wegen −a0 c > 0 gerade. Damit ist vˆ − v ungerade und positiv und es gilt die Behauptung. 2. Es sei a0 > 0 vorausgesetzt. Dann zeigt man die Behauptung genau entsprechend dem ersten Fall. 3. Ist a0 = 0, so kann eine gewisse Potenz von x ausgeklammert werden, d.h. p ist von der Form p (x) = xs (x − c) qˆ (x) Die Anzahl der Vorzeichenwechsel von p wird aber von dem Faktor xs nicht beeinflußt. Daher folgt auch hier die Behauptung wie im ersten oder zweiten Fall. 2 Mit Hilfe der beiden vorherigen Lemmata kann nun ein klassisches Resultat bewiesen werden. Satz 1.15 (Vorzeichenregel von Descartes) Die Anzahl aller positiven Nullstellen eines reellen Polynoms ist gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel seiner Koeffizientenfolge oder um eine gerade nat¨ urliche Zahl kleiner als diese.

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

35

Beweis: Das Polynom sei von der Form p (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a0 mit an 6= 0 und besitze genau die positiven Nullstellen c1 , c2 , ..., cs > 0, wobei mehrfache Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit aufgez¨ahlt seien. Dann l¨aßt sich p faktorisieren in p (x) = (x − c1 ) (x − c2 ) · ... · (x − cs ) g (x) wobei g ein Polynom (n − s)-ten Grades ohne positive Nullstellen ist. Somit besitzt die Koeffizientenfolge von p nach dem letzten Lemma mindestens s Vorzeichenwechsel mehr als die von g und die Anzahl v der Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge von p ist gr¨oßer oder gleich der Anzahl s positiver Nullstellen von p. Sei nun zun¨achst a0 6= 0 vorausgesetzt. Nach Korollar 1.13 ist s genau dann gerade, wenn an · a0 > 0 gilt. Auf der anderen Seite ist, wie schon betont, v auch genau dann gerade, wenn an · a0 > 0 gilt. Also ist v − s immer gerade. Ist dagegen a0 = 0, so kann wieder eine gewisse Potenz von x in p ausgeklammert werden. Da dieser Vorgang weder die Zahl der positiven Nullstellen noch die der Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge beeinflußt, ist alles bewiesen. 2

1.2.5

Intensit¨ at

Es sei f : R+ −→ R++ eine st¨ uckweise stetige, rechtsseitig differenzierbare Funktion. Dann nennt man f¨ ur jedes t ∈ R+ f r (t) f (t + 4t) − f (t) 1 = = (ln f (t))r 4t→0+ 4t f (t) f (t)

ϕ (t) := lim

die Intensit¨ at der Funktion f an der Stelle t. f r benennt dabei die rechtsseitige Ableitung von f an der Stelle t. Ist die Intensit¨at ϕ einer Funktion f vorgegeben, so kann f aus ϕ berechnet werden: Lemma 1.16 Es sei ϕ := R+ −→ R eine st¨ uckweise stetige, rechtsseitig stetige Funktion. Dann ist ϕ Intensit¨at der (st¨ uckweise stetigen, rechtsseitig differenzierbaren) Funktion Z t  f (t) = f (0) exp ϕ (τ ) dτ 0

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

36

wobei der Wert f (0) beliebig vorgegeben werden kann. Beweis: Es gilt nach der Kettenregel  Z t r Z t  r f (t) = f (0) exp ϕ (τ ) dτ = f (0) exp ϕ (τ ) dτ ϕ (t) = f (t)·ϕ (t) 0

0

2 Insbesondere gilt: die konstante Funktion ϕ (t) =: δ ist Intensit¨at der Funktion f (t) = f (0) eδt Man beachte, daß sich f aus ϕ (im Falle von Differenzierbarkeit) durch L¨osen einer homogenen linearen DGL erster Ordnung ergibt f 0 = ϕ (t) · f

¨ Ubungsaufgaben

1.3 1.3.1

Abschreibung

Eine sch¨one Anwendung f¨ ur arithmetische und geometrische Folgen ist die Abschreibung. Bei dieser wird der Wert eines Gutes, das einer Abnutzung oder Alterung unterliegt, zum Zwecke der steuertechnischen oder bilanztechnischen Bewertung rechnerisch vom Anschaffungswert A auf den Restwert RN nach N (Bilanz-) Jahren herabgesetzt. Bei der Beschreibung, wie sich der Wert des Gutes innerhalb der N (Bilanz-) Jahre darstellt, unterscheidet man mehrere Modelle, die unterschiedliche steuerliche Auswirkungen haben. • die lineare Abschreibung, bei der der Wert des Gutes linear abnimmt. Der Restwert Rn nach n Jahren betr¨agt also Rn = A − n

A − RN N

Die Restwerte R1 , R2 , ... bilden somit eine arithmetische Folge mit den N Parametern a0 = A und d = − A−R . N

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

37

• die arithmetisch-degressive Abschreibung. Bei dieser sinkt der anf¨angliche Abschreibungsbetrag a1 =: a von Jahr zu Jahr um den gleichen Betrag d, dem Abschreibungsgef¨alle, ab. Der Abschreibungsbetrag an im n−ten Jahr betr¨agt also an = a − (n − 1) d • die digitale Abschreibung als der Spezialfall der arithmetisch-degressiven Abschreibung, bei dem aN = d, gilt. • die geometrisch-degressive Abschreibung, bei der sich jedes Jahr der Restwert um einen festen Prozentsatz p % verringert. Es gilt also R n = A · in wobei i := 1 −

p 100

zur Abk¨ urzung gesetzt wurde.

Zu beachten ist, dass sich bei linearer Abschreibung der rechnerische Wert des Gutes gleichm¨aßig verringert, w¨ahrend er bei degressiver Abschreibung anf¨anglich st¨arker und sp¨ater schw¨acher f¨allt. Im letzteren Fall kann fr¨ uhzeitig ein h¨oherer Betrag steuerlich geltend gemacht werden. Aufgabe 1.17 Zeigen Sie, daß bei der arithmetisch-degressiven Abschreibung 2 [N a − (A − RN )] d= (N − 1) N und A − RN A − RN
ln (RN ) − ln (A) ln i

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

38

und f¨ ur die digitale Abschreibung d=

2 (A − RN ) N (N + 1)

und (f¨ ur 1 ≤ n ≤ N ) an = (N − n + 1) d =

1.3.2

N −n+1 a N

Praktische Aufgaben

Aufgabe 1.19 Eine Maschine mit dem Anschaffungswert von 50000 EU R soll in 10 Jahren auf den Restwert 20000 EU R abgeschrieben werden. Berechnen Sie den Restwert nach 5 Jahren bei 1. linearer 2. arithmetisch-degressiver 3. geometrisch-degressiver Abschreibung, wenn im zweiten Fall die anf¨angliche Abschreibungsrate 4000 EU R betr¨agt. Tragen Sie den Verlauf der Abschreibungen in eine gemeinsame Skizze ein. Aufgabe 1.20 Eine Maschine mit dem Anschaffungswert von 200000 EU R werde 10 Jahre lang geometrisch-degressiv mit dem prozentualen Abschreibungssatz von 10% abgeschieben. In den anschließenden 6 Jahren erfolge eine digitale Abschreibung auf die H¨alfte des Restwertes nach 10 Jahren. In weiteren 20 Jahren soll eine lineare Abschreibung auf 0 vorgenommen werden. Man erstelle einen Abschreibungsplan, der den Jahren zugeordnet den jeweiligen Restwert und die Abschreibungsbetr¨age enth¨alt.

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

1.3.3

39

Theoretische Aufgaben

Aufgabe 1.21 Zeigen Sie f¨ ur alle x > 0 die Ungleichung x−

x2 ≤ ln (1 + x) 2

Aufgabe 1.22 Beweisen Sie die Identit¨at       α α+1 α = + k k k−1 f¨ ur α ∈ R und k ∈ N. Aufgabe 1.23 Es sei α ∈ R beliebigvorgegeben. Zeigen Sie, daß die Ablei P∞ α tung der Potenzreihe g (x) := k=0 xk mit dem Konvergenzradius 1 k die Gleichung (1 + x) g 0 (x) − αg (x) = 0

f¨ ur alle |x| < 1

erf¨ ullt (nat¨ urlich ohne Benutzung der Identit¨at (??)). Aufgabe 1.24 Beweisen Sie Bemerkung 1.2.3: Gilt in Lemma 1.10 sogar p0 (x) > 0, p00 (x) > 0 f¨ ur alle x ∈ (a, b) und startet das Newtonverfahren bei ∗ x0 ∈ (a, x ) , so gilt f¨ ur den ersten Iterationspunkt x1 des Newtonverfahrens ∗ x1 ≥ x , so daß im Falle x1 ∈ (x∗ , b) die Voraussetzungen des Lemmas auf x1 zutreffen und die weiteren Iterationspunkte eine streng monoton abfallende Folge bilden.

1.3.4

Programmierpraxis

Aufgabe 1.25 Schreiben Sie ein (Excel-) VBA-Programm, das zu vorgegebenem Polynom p und zu vorgegebener Stelle x0 ∈ R den Funktionswert p (x0 ) und den Wert der Ableitung p0 (x0 ) mit dem Hornerschema berechnet. Aufgabe 1.26 Schreiben Sie ein (Excel-) VBA-Programm, das zu vorgegebenem Polynom p, dessen erste und zweite Ableitung f¨ ur alle positiven Argumente positiv sind und f¨ ur das p (0) < 0 gilt, die (eindeutig bestimmte) positive reelle Nullstelle bestimmt.

Kapitel 2 Einmaliger Kapitaleinsatz - der Zinsbegriff Objekt unserer Betrachtung sind Zinsen. Zinsen sind der Preis, den ein Investor erh¨alt daf¨ ur, daß er u ugungs– ¨ber einen begrenzten Zeitraum auf die Verf¨ gewalt u ber sein Kapital verzichtet. Sie vermehren das vom Kapitalgeber ¨ eingesetzte Kapital, es ist gerade der Zweck der Investition, das eingesetzte Kapital zu vermehren. Die Kapitalbindung bei einer Investition kann darin bestehen, Wirtschaftsg¨ u– ter zu kaufen und sie im Wirtschaftsprozeß arbeiten zu lassen. Genausogut kann das Kapital an einen Kapitalnehmer u ¨bergeben werden, der seinerseits das Kapital dem Wirtschaftsprozeß zufließen lassen kann. Es kann z.B. auf ein Bankkonto eingezahlt und so einer Bank zur Verf¨ ugung gestellt werden. Die Bank zahlt dem Kapitalgeber daf¨ ur Zinsen. Der Einfachheit halber wollen wir den Ort der Kapitalbindung, unabh¨angig von der realen Situation, Konto nennen. Einem Konto k¨onnen im Betrachtungszeitraum Zahlungen von außen zufließen, ebenso k¨onnen Zahlungen nach außen abfließen. Auf dem Konto befindliches Kapital verzinst sich zu dem dem Konto zugeordneten Zinskonditionen. Werden mehrere Konten gleichzeitig betrachtet (ggf. mit unterschiedlichen Zinss¨atzen und Betrachtungszeitr¨aumen), so sprechen wir von einem Kontensystem.

40

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

2.1

41

Einmalige Zinszahlung

Oft trifft man die Situation an, daß ein Kapitalbetrag auf ein Konto eingezahlt wird mit der Vereinbarung, es dort f¨ ur einen fest vereinbarten Zeitraum zu belassen. Am Ende dieses Zeitraum wird das Kapital einschließlich vereinbarter Zinsen wieder ausbezahlt (Beispiel: Festgeld ). Zinsvereinbarungen und Laufzeiten werden dabei sehr unterschiedlich sein und es stellt sich die Frage, wie man unterschiedliche Investitionsvorhaben vergleichen und die vorteilhaftigste ausw¨ahlen kann. Eine wichtiger Aspekt dabei ist, die Zinszahlungen vergleichbar zu machen. Dies kann dadurch geschehen, daß die Zinsen auf eine Zeiteinheit und eine Geldeinheit bezogen werden. Die international u ¨bliche Zeiteinheit bei der Zinsrechnung ist ein Jahr. Vergleichbarkeit entsteht, wenn angegeben wird, wieviel Zinsen das eingesetzte Kapitals pro Zeiteinheit, d.h. pro Jahr erbringt, bezogen auf das eingesetzte Kapital (z.B. als Prozentangabe) Im folgenden besprechen wir, wie der Begriff ”Jahreszinssatz”, der dies als Gr¨oße bemessen soll, sinnvoll festgelegt werden kann. Wir suchen also z.B. eine Antwort auf folgende Problemstellung Beispiel 2.1 Es werden 1000 EU R f¨ ur ein viertel Jahr ausgeliehen. Am Ende der Zeit erh¨alt der Kreditgeber 1050 EU R zur¨ uck. Welchen Jahreszinssatz hat dieser Kredit? Zu beachten ist, daß der Begriff eines Jahreszinssatzes eine fiktive, rein rechnerische Gr¨oße sein wird, da seine Festlegung eine Modellvorstellung dar¨ uber voraussetzt, wie sich das investierte Kapital mit der Zeit entwickelt.

2.1.1

Der kontinuierliche Jahreszinssatz

Gehen wir zun¨achst davon aus, dass ein Anleger ein Kapital K f¨ ur einen Zeitraum T angelegt hat und daf¨ ur nach Ablauf der Zeit T einen Betrag KT zur¨ uckerh¨alt, der h¨oher ist als der angelegte Betrag: er erh¨alt sein Kapital plus Zinsen zur¨ uck.

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

42

Wenn auch h¨aufig die Zinsen einer Kapitalanlage erst am Ende der Laufzeit zusammen mit dem eingesetzten Kapital ausgezahlt werden, so ist die u ¨bliche Vorstellung doch die, das das investierte Kapital ”arbeitet” und die Zinsen erwirtschaftet. Dies geschieht nicht am Ende der Investition, sondern permanent. Modellm¨aßig wird die ”Arbeitskraft” einer Kapitaleinheit als u ¨ber die gesamte Laufzeit gleich angenommen. Auf der anderen Seite k¨onnen laufend erarbeitete Zinsen, da sie in unserem Modell nicht zwischenzeitlich ausbezahlt werden, dem investierten Kapital zugeschlagen (kapitalisiert) werden und damit die Arbeitskraft des investierten Kapitals erh¨ohen. Zwischenzeitlich erarbeitete Zinsen bringen dann wieder Zinsen, man spricht vom Zinseszinseffekt. Wir gehen daher aus von der folgenden Grundannahme (bzgl. der zeitlichen Kapitalentwicklung): Zu jedem Zeitpunkt t ≥ 0 ist das Ver¨anderung des Kapitals pro Zeiteinheit, K 0 , proportional zur H¨ohe des investierten Kapitals K. K 0 = i∞ K (2.1) i∞ wird Zinsintensit¨ at genannt (vgl. dazu den Begriff der Intensit¨at aus dem letzten Kapitel). Interpretieren wir K 0 als Ableitung der von der Zeit differenzierbar abh¨angigen Gr¨oße K, dK K0 = dt so stellt dK/dt i∞ = , K ¨ wie oben f¨ ur den Begriff des Jahreszinssatzes gefordert, die Anderung des Kapitals pro Zeiteinheit, bezogen auf das eingesetzte Kapital dar. Wir nennen i∞ daher auch kontinuierlichen Jahreszinssatz. (2.1) ist eine lineare Differentialgleichung. L¨osung dieser Differentialgleichung ist bekanntlich K (t) = K0 ei∞ t (2.2) oder mit q := ei∞ Kt = K0 q t ,

(2.3)

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

43

wobei wir Kt f¨ ur K (t) geschrieben haben. Wir nennen q den Aufzinsungsfaktor. K0 gibt das Anfangskapital zum Zeitpunkt t = 0 an, Kt das zum Zeitpunkt t verzinste Kapital. F¨ ur das zur¨ uckbezahlte Endkapital KT gilt also KT = K0 q T T heißt dabei die Laufzeit der Investition (in Jahren). Hierbei lassen wir f¨ ur T theoretisch beliebige nichtnegative reelle Zahlen zu, da Laufzeiten von ¨ Investitionen oftmals Bruchteile von Jahren einbeziehen. Ublich sind dabei vor allem Monate und Tage, wobei kleinere Zeiteinheiten als Tage nicht i.a. nicht betrachtet werden. In verschiedenen L¨anderen und Finanzm¨arkten wird dabei rechnerisch mit einer unterschiedlichen Anzahl von Tagen pro Jahr gerechnet. Deutsche Banken rechnen in der Regel mit 1 Jahr = 12 Monate `a 30 Tagen = 360 Tage

(2.4)

Diese Festlegung gilt generell so auf dem Obligationenmarkt im deutschsprachigen Raum und in den USA. In Großbritannien dagegen wird das Jahr mit 365 Tagen angesetzt. Auf dem Geldmarkt erfolgt die Z¨ahlung der Tage zumeist exakt. Bei der Berechnung des Effektivzinses (siehe unten) wird in Europa mit 365 Tagen pro Jahr gerechnet. Sofern nicht anders gesagt, legen wir (2.4) als Rechnungsgrundlage zugrunde. Wir berechnen den kontinuierlichen Jahreszinssatz f¨ ur unser Eingangsbeispiel. Beispiel 2.2 Es werden 1000 EU R f¨ ur ein viertel Jahr ausgeliehen. Am Ende der Zeit erh¨alt der Kreditgeber 1050 EU R zur¨ uck. Wie hoch ist der kontinuierliche Jahreszinssatz? L¨ osung: Formel (2.2) muß nach i∞ aufgel¨ost werden. Offensichtlich gilt 1 (ln Kt − ln K0 ) t Mit den konkreten Zahlenwerten ergibt sich mit t = T = 0.25 i∞ =

i∞ =

(2.5)

1 (ln 1050 − ln 1000) = 0.19516... 0.25 2

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

2.1.2

44

Der konforme Jahreszinssatz

Der kontinuierliche Jahreszinssatz hat den Nachteil, daß er zun¨achst keine direkte anschauliche Interpretation zul¨asst, die etwa die Zinsen bei einem auf genau ein Jahr festgelegten Kapital prozentual zum eingesetzten Kapital angibt. Dies zeigt folgendes Beispiel 2.3 Es werden 1000 EU R f¨ ur ein Jahr ausgeliehen. Am Ende der Zeit erh¨alt der Kreditgeber 1100 EU R zur¨ uck. Wie hoch ist der kontinuierliche Jahreszinssatz? L¨ osung: Mit Formel (2.5) ergibt sich i∞ =

1 (ln 1100 − ln 1000) = 0.09531... 1

Anschaulich erwartet h¨atte man einen Zinssatz in H¨ohe von i = 0.1.

2

Abhilfe schafft man durch einen anderen Begriff des Jahreszinssatzes. Wir setzen q =: 1 + i1 (2.6) und nennen i1 den konformen Jahreszinssatz. Diese Festlegung nutzt das bisherige Modell, unterst¨ utzt aber mehr die anschauliche Erwartung an einen Jahreszinssatz, was wie folgt eingesehen werden kann. Es gilt f¨ ur die H¨ohe des Kapitals am Ende der Laufzeit von t Jahren Kt = K0 q t = K0 (1 + i1 )t

(2.7)

speziell bei t = 1 K1 = K0 (1 + i1 ) = K0 + K0 i1 =⇒ i1 =

K1 − K0 K0

i1 gibt also die bruchteilige Vermehrung des eingesetzten Kapitals an. Man bezeichnet den prozentualen Anstieg mit p1 := 100 · i1 und nennt ihn den konformen Jahreszinsfuß. Dieser wird in der Regel auf zwei Dezimalen (kaufm¨annisch) gerundet angegeben. Bemerkung: Formel (2.7) ist auch bei negativen Zinss¨atzen anwendbar. In diesem Fall verliert das Kapital an Wert. Anwendungsfall hierf¨ ur ist die

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

45

Kaufkraftentwertung. Herrscht z.B. eine j¨ahrliche Kaufkraftentwertung von 2.5%, so sind 100 EU R nach 10 Jahren nur noch 100 · (1 − 0.025)10 = 77.63 EU R wert. Diese Entwertung von investiertem Kapital betrachtet man auch bei der degressiven Abschreibung, die aus steuerlichen oder bilanztechnischen Gr¨ unden ¨ durchgef¨ uhrt wird, vgl. die Ubungen zum letzten Kapitel. 2 Man beachte die Umrechnungsformel 1 + i1 = ei∞ ,

(2.8)

u ¨ber die der kontinuierliche Jahreszinssatz in den konformen Jahreszinssatz umgerechnet werden kann und umgekehrt. Da die lineare Approximation an die Funktion f (x) = ex an der Stelle x0 = 0 durch t1 (x) = 1 + x gegeben und ex streng konvex ansteigend ist, ist ex > 1 + x f¨ ur alle x ∈ R− {0} . Also ist 1 + i1 = ei∞ > 1 + i∞ , d.h. i1 > i ∞ , Beispiel 2.4 Es werden 1000 EU R f¨ ur ein viertel Jahr ausgeliehen. Am Ende der Zeit erh¨alt der Kreditgeber 1050 EU R zur¨ uck. Wie hoch ist der konforme Jahreszinssatz? L¨ osung: Formel (2.7) muß nach i1 aufgel¨ost werden. Offensichlich gilt  i1 =

K1 K0

 1t −1

(2.9)

Mit den konkreten Zahlenwerten ergibt sich wegen t = T = 0.25  4 1050 i1 = − 1 = 0.21551... 1000 Der konforme Jahreszinsfuß betr¨agt also 21, 55 %.

2

Beispiel 2.5 F¨ ur einen Sparbrief mit einer Laufzeit von 4 Jahren m¨ ussen heute 870 EU R eingezahlt werden, um nach Ablauf der 4 Jahre 1000 EU R ausgezahlt zu bekommen. Wie groß ist der verwendete konforme Jahreszinssatz?

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

46

L¨ osung: r

1000 − 1 = 0.0354... 870 Damit liegt ein konformer Jahreszinsfuß von p1 = 3, 54% zugrunde. i1 = q − 1 =

4

2

Nat¨ urlich k¨onnen Formel (2.3) bzw. Formel (2.7) auch nach dem Anfangskapital aufgel¨ost werden
t (2.10) K0 = Kt q −t = Kt q −1 Man nennt diesen Vorgang, ein Kapital in seiner Zinsentwicklung zeitlich 1 zur¨ uckzurechnen, Abzinsung oder Diskontierung. v := q −1 = 1+i heißt 1 Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor. Beispiel 2.6 Ein junger Mann ben¨otigt in 8 Jahren einen Betrag von genau 10000 EU R. Er kann heute einen beliebig großen Betrag zum konformen Jahreszins von 5, 5% auf 8 Jahre fest anlegen. Wieviel muß er heute investieren, um am Ende der Laufzeit 10000 EU R zu erhalten? L¨ osung:

K0 = 10000 (1 + 0.055)−8 = 6515.98...

Er sollte 6515, 98 EU R anlegen.

2.1.3

2

Der linear proportionale Jahreszinssatz

Eine dritte M¨oglichkeit, einen Jahreszinssatz festzusetzen entsteht, wenn man die (vereinfachende) Modellvorstellung hat, daß die am Ende der Laufzeit T zu zahlenden Zinsen in ihrer Entstehung gleichm¨aßig (linear) u ¨ber die Laufzeit zu verteilen sind, d.h. man setzt f¨ ur 0 ≤ t ≤ T Kt = K0 q t =: K0 (1 + t · i) Wir nennen i den linear proportionalen Jahreszinssatz und p := 100 · i den linear proportionalen Jahreszinsfuß. Anwendung findet dieses vereinfachende Modell nur zur approximativen Berechnung des Jahreszinssatzes bei unterj¨ahrigen Laufzeiten, weil es dort

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

47

n¨aherungsweise mit dem zuerst betrachteten ”wirklichen” Modell u ¨bereinstimmt. Leider ist die Vereinfachung nur scheinbar und verursacht stattdessen viel Konfusion. Ihre Einf¨ uhrung hat traditionelle Gr¨ unde. Bei unterj¨ahriger Laufzeit gilt in der Regel t = m1 mit z.B. m = 12, m = 4 oder m = 2, was einer Zinszahlung nach einem Monat, viertel Jahr oder halben Jahr entspricht. Liegt m fest, so schreiben wir im := i. Bezeichnung: Man nennt den auf t = auch relativen Zinssatz.

1 m

Jahr bezogenen Zinssatz t · i =

im m

Beachte: Der relative Zinssatz ist kein Jahreszinssatz, sondern ein unterj¨ahriger Zinssatz ! Man beachte ferner, dass der linear proportionale Jahreszinssatz im im Gegensatz zum konformen Jahreszinssatz i1 vom Jahresbruchteil 1 abh¨angig ist. m Wegen

 m 1 1 1 1 + im = (1 + i1 ) m =⇒ 1 + im = 1 + i1 m m gilt nach Lemma 1.7 f¨ ur alle im > 0, m ∈ N, m > 1  m 1 1 1 + i1 = 1 + i m > 1 + m i m = 1 + im m m

(2.11)

also i1 > i m

(2.12)

Gleichzeitig gilt die Absch¨atzung 1 + tim = ei∞ t > 1 + i∞ t =⇒ im > i∞ Damit hat man insgesamt i∞ < i m < i 1

(2.13)

Beispiel 2.7 Es werden 1000 EU R f¨ ur ein viertel Jahr ausgeliehen. Am Ende der Zeit erh¨alt der Kreditgeber 1050 EU R zur¨ uck. Wie hoch ist der linear proportionale Jahreszinssatz? L¨ osung: Es ergibt sich 1 i4 = 0.25



 1050 − 1 = 0.20 1000

Der linear proportionale Zinsfuß Jahreszinsfuß betr¨agt also 20, 0%

2

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

48

Vergleich der Jahreszinss¨ atze Man beachte, daß damit bei diesem Beispiel die Ungleichungskette (2.13) durch die Werte 0.19516 < 0.20 < 0.21551 best¨atigt wird. Alle drei Werte geben unter einer gewissen Modellvorstellung einen Jahreszinssatz f¨ ur die Aufgabenstellung an. Im folgenden soll die Spanne zwischen den Jahreszinss¨atzen, d.h. der Unterschied zwischen dem konformen Zinssatz i1 und dem kontinuierlichen Zinssatz i∞ allgemein abgesch¨atzt werden, um die Schere zwischen diesen besser einsch¨atzen zu k¨onnen. Es gilt: 1 + i1 = ei∞ = 1 + i∞ + i 1 − i∞ =

1 2 i + ... =⇒ 2! ∞

1 2 1 i∞ + i3∞ + ... 2! 3!

Damit hat man einerseits bei i∞ > 0 1 i1 − i∞ ≥ i2∞ ; 2 andererseits gilt bei i∞ < 3 i1 − i ∞

  1 2 1 2 1 = i i + ... 1 + i∞ + 2 ∞ 3 3·4 ∞ !  2 i∞ 1 2 i∞ ≤ i 1+ + + ... 2 ∞ 3 3 =

1 2 1 3 i2∞ i∞ = , 2 1 − i∞ 2 3 − i∞ 3

insgesamt also 1 2 3 i2∞ i∞ ≤ i 1 − i∞ ≤ 2 2 3 − i∞ also z.B. bei i∞ < 2

(2.14)

1 2 3 i∞ ≤ i1 − i∞ ≤ i2∞ 2 2 so daß der Unterschied im Bereich i∞ ∈ (0, 2) mit i∞ quadratisch w¨achst.

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

49

Grenzbetrachtung Im u ur alle m ∈ N. ¨brigen kann man leicht beweisen, daß im+1 < im gilt f¨ ¨ (Ubungsaufgabe) Damit konvergiert die Folge (im )m∈N gegen ein ˆı ≥ i∞. Wir wollen zeigen, daß hier sogar das Gleichheitszeichen gilt, daß also lim im = i∞

m→∞

(2.15)

gilt. Nun, es gilt nach (2.11) 

im 1+ m

m

= 1 + i1 = ei∞

mithin gilt h

im = m (1 + i1 )

1 m

i (1 + i ) m1 − (1 + i )0 1 1 −1 = 1/m

Daher ist ˆı die Ableitung der Funktion f (x) = (1 + i1 )x an der Stelle x = 0. Also gilt ˆı = ln (1 + i1 ) =⇒ eˆı = 1 + i1 = ei∞ und damit ˆı = i∞ . Dies zeigt im Nachhinein, daß die Zinsintensit¨at i∞ als ein Jahreszinssatz aufgefaßt werden kann!

2.2

Periodisch wiederkehrende Zinszahlungen

In vielen F¨allen der Praxis erbringt investiertes Kapital mehrfach Ertr¨age, etwa wenn die Investition den Kauf von Maschinen beinhaltet, die beim Einsatz in der Produktion immer wieder Erl¨ose erbringen, welche zum Investor zur¨ uckfließen. Ebenso bringt auf ein Sparkonto eingezahltes Geld in periodischen Abst¨anden Zinsen, die dem Konto gutgeschrieben werden und somit das angesparte Kapital vermehren. Da wir unterstellt haben, daß investiertes Kapital permanent Zinsen erbringt, handelt es sich bei periodischen Zinszahlungen eher um periodische Zinsverrechnungen: aufgelaufene Zinsen werden also in periodischen Abst¨anden festgestellt und verrechnet.

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

2.2.1

50

Verzinsungsarten

Gehen wir also davon aus, daß bei einem investiertem Kapital K in n regelm¨aßigen Zeitabst¨anden der L¨ange t > 0 Zinsen erfaßt werden. Dann gibt es zwei M¨oglichkeiten, was mit den Zinsen passiert: 1. die Zinsen werden ausgezahlt und somit der Investition entzogen. Das verzinste Kapital betr¨agt dann am Ende der Laufzeit T = n · t   T  KT = K0 1 + n q n − 1 wobei die ausgezahlten Zinsen ohne weitere Zinseszinsen dem eingesetzten Kapital hinzugerechnet werden. Man spricht von einfacher Verzinsung oder arithmetischer Verzinsung. Viele Sparvertr¨age oder Beteiligungen z.B. sehen eine j¨ahrliche Zinsverrechnung mit Auszahlung der Zinsen auf ein separates Konto vor, das zumeist sogar ohne Zinsertrag ist (Girokonto). Die angefallenen Zinsen werden also nicht reinvestiert, sondern ausgezahlt. In dieser Situation werden die ausgezahlten Zinsen nicht weiter mitverzinst. 2. die Zinsen werden dem investierten Kapital zugeschlagen (in Kapital konvertiert bzw. kapitalisiert), sie werden ebenfalls investiert. Dann lautet das Endkapital bei mehrfacher Anwendung von Formel (2.3) bei dieser Verzinsung mit Zinseszinsen KT = K0 q t · q t · ... · q t = K0 q nt = K0 q T Hier spricht man von geometrischer Verzinsung oder Verzinsung mit Zinseszinseffekt. Zum Vergleich dieser beiden Verzinsungsarten betrachten wir ein Kontensystem, bei dem ein Kapital K0 zum Jahreszinssatz i = i1 u ¨ber n Jahre, n ∈ N, fest angelegt und j¨ahrlich verzinst wird. Legt man einfache Verzinsung zugrunde, so ergibt sich nach n Jahren, n ∈ N, f¨ ur das Gesamtkapital: Kn = K0 (1 + ni) .

(2.16)

Die Folge der Kn , n ∈ N, bildet in diesem Fall eine arithmetische Folge.

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

51

Legt man Verzinsung mit Zinseszins zugrunde, so ergibt sich nach den n Jahren ein Endkapital von Kn = K0 (1 + i)n

(2.17)

Die Folge der Kn , n ∈ N, bildet in diesem Fall eine geometrische Folge. Wie man der Bernoullischen Ungleichung (1 + i)n ≥ 1 + ni,

n ∈ N ,i > 0

(2.18)

entnimmt, ist die Verzinsung mit Zinseszinsen f¨ ur n ∈ N0 stets eintr¨aglicher als einfache Verzinsung (ohne Zinseszinsen). Die Differenz di,n zwischen beiden Verzinsungsarten kann leicht angegeben und nach unten abgesch¨atzt werden. Es gilt     n n n 2 (1 + i) = 1 + ni + i + ... + in−1 + in 2 n−1 Damit gilt n



di,n = (1 + i) − (1 + ni) =   (n + 1) n 2 n i ≥ i2 = 2 2

n 2



2

i + ... +



n n−1



in−1 + in

Die Differenz di,n w¨achst also (mindestens) quadratisch mit der Anzahl n der Jahre genauso wie mit dem Zinssatz i.

2.2.2

Unterj¨ ahrige Zinsverechnungs-Perioden

Oftmals betr¨agt die Laufzeit einer Kapitalanlage nicht ein Vielfaches ganzer Jahre, sondern umfaßt Bruchteile davon. Um beliebige solcher Jahresbruchteile zu erfassen, kann vorgesehen werden, daß t¨agliche Zinsverrechnung ¨ erfolgt. Ublich sind aber auch w¨ochentliche, monatliche bzw. viertel- oder halbj¨ahrige Zinsverrechnungen. Die Laufzeit betrage dann ein ganzzahliges Vielfaches der Zinsverrechnungsperiode. Die Zinsverrechnung des investierten Kapitals K0 erfolge nach jeweils Jahr, wobei der Parameter m die Werte m = 365, 360, 180, 52, 26, 24, 12, 6, 4, 2, 1

1 -tel m

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

52

annehmen kann. Dabei wird je nach Land oder Verzinsungsart das Jahr zu 360 oder zu 365 Tagen angesetzt. Unterstellt sei nun, daß das Kapital f¨ ur n Zinsverrechnungs-Perioden, n ∈ N, angelegt sei und geometrisch verzinst wird. International gebr¨auchlich sind zwei Arten von Zinsangaben, um die Verzinsung zu beschreiben: einmal durch Angabe eines konformen Jahreszinssatzes, zum anderen u ¨ber einen linear proportionalen Jahreszinssatz: Das Endkapital KT ergibt sich bei einer Laufzeit von T = n ·

1 m

Jahren 1

1. bei geometrischer Verzinsung mit dem Aufzinsungsfaktor (1 + i) m zu i h n 1 n (2.19) KT = K0 (1 + i) m = K0 (1 + i) m = K0 (1 + i)T . Wir nennen diesen Typ der Verzinsung konforme Verzinsung zum Jahreszinssatz i.
2. bei geometrischer Verzinsung mit dem Aufzinsungsfaktor 1 + mi zu n  m T  i i . (2.20) KT = K0 1 + = K0 1 + m m Wir nennen diesen Typ der Verzinsung linear proportionale ge Verzinsung zum Jahreszinssatz i = im .

1 −j¨ ahrim

Zu beachten ist, dass die konforme Verzinsung im doppelten Sinne teilungsunabh¨ angig ist! 1. Teilungseigenschaft Beide Verzinsungsarten haben die Eigenschaft: Das Anfangskapital kann beliebig aufgeteilt werden, etwa zu K0 = K1 + K2 und beide Kapitalanteile k¨onnen getrennt zu gleichen Konditionen verzinst werden. Als Summe der beiden Endkapitalwerte ergibt sich dann das gleiche Endkapital wie bei der Verzinsung des Gesamt-Anfangskapitals. (K1 + K2 ) q T = K1 q T + K2 q T bzw.  m T  m T  m T i i i = K1 1 + + K2 1 + (K1 + K2 ) 1 + m m m

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

53

2. Teilungseigenschaft Die konforme Verzinsung hat zus¨atzlich die Eigenschaft: Das erreichte Endkapital KT h¨angt nicht von der Periodenl¨ange t = m1 , sondern nur von der Laufzeit T ab. Es ist v¨ollig gleichg¨ ultig, wie groß m ist. Solange die Laufzeit der Kapitalanlage ein festes T mit T = n · t ist, ergibt sich das gleiche Endkapital K0 q T . Dies gilt sogar, wenn T = t1 + t2 + ... + tn eine beliebige Zerlegung der Laufzeit ist. Diese Eigenschaft hat die linear proportionale Verzinsung nicht. Folgerung: •

Bei einer konformen Verzinsung kann jederzeit das Konto nach Zinsverrechnung geleert und sofort wieder mit dem abgezogenen Kapital als Neuanlage aufgef¨ ullt werden, ohne dass sich dabei die Verzinsung u ¨ber die Gesamtlaufzeit ¨andert. Bei einer konformen Verzinsung kann jederzeit ein Teil des Kapitals von Konto abgezogen, auf eine Ersatzkonto mit gleichen Konditionen f¨ ur eine Zeit zwischengelagert und anschließend dem Originalkonto wieder zugef¨ ugt werden, ohne dass sich dabei die Verzinsung u ¨ber die Gesamtlaufzeit ¨andert.

Aus diesen Grunde braucht bei der konformen Verzinsung auch die Periodenl¨ange von m1 −tel Jahr nicht mitbenannt werden. Nomineller und effektiver Zinssatz Wird zu einer Kapitalanlage ein Rechnungs-Jahreszinssatz benannt (ein Jahreszinssatz, mit dem die Zinsen berechnet werden, z.B. von der Bank) und wird unterj¨ahrig verzinst, so muß klar festgelegt werden, um welchen Jahreszinssatz es sich beim Rechnungs-Zinssatz handelt. Unterschiedliche Interpretationen f¨ uhren zu unterschiedlichem Endkapital! Beispiel 2.8 Es werde ein Betrag von K0 = 1000 EU R auf 1 Jahr zu einem Jahreszinsfuß von p = 4% angelegt. Die Zinsaussch¨ uttung erfolge monatlich.

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

54

1. wird der Jahreszinssatz als konformer Zinssatz interpretiert, so berechnet sich das Endkapital zu "  1 #12 4 12 = 1040.00 [EU R] K1 = 1000 1 + 100 2. wird der Jahreszinssatz als linear proportionaler Zinssatz interpretiert, so lautet die Rechnung  12 4 K1 = 1000 1 + = 1040. 74 [EU R] 12 · 100 Wie man sieht, ist das Endkapital bei Benutzung des linear proportionalen Jahreszinssatzes als Rechnungszinssatz leicht h¨oher (und damit f¨ ur den Anleger g¨ unstiger) als bei Verwendung des konformen Jahreszinssatzes. 2 Zu beachten ist: • W¨are in dem Beispiel eine ”wirkliche” Verzinsung zum Jahreszinsfuß von p = 4% beabsichtigt gewesen und h¨atte als linear proportiona1 le 12 −j¨ahrige Verzinsung angegeben werden sollen, so h¨atte als zugeh¨origer linear proportionaler Zinssatz i = i12 ein kleinerer Wert angegeben werden m¨ ussen als i1 = 0.04. Aus Formel (2.11) entnehmen wir √ 
√ 12 1.04 − 1 = 0.039285 i12 = m m 1 + i1 − 1 = 12 Das bedeutet: wird als linear proprotionaler Jahreszins i12 = 0.039285 angesetzt, so f¨ uhrt die Verzinsung zu  12 0.039285 K1 = 1000 · 1.04 = 1000 1 + = 1040.00 12 • Auf der anderen Seite: gibt der Jahreszinssatz von 0.04 den linear proportionalen Zinssatz i12 an, so ist die ”wirkliche” Verzinsung des Kapitals h¨oher als 4% pro Jahr. Dieser Jahreszins i1 berechnet sich ebenfalls aus Formel (2.11)  m  12 im 0.04 i1 = 1 + −1= 1+ − 1 = 0.040742 m 12

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

55

Das bedeutet: ist der konforme Jahreszinssatz i1 = 0.040742, so betr¨agt die Verzinsung  12 4 K6 = 1000 · 1.040742 = 1000 1 + = 1040.74 12 · 100 Beachte: In Deutschland ist es u ¨blich, den Rechnungs-Jahreszinssatz als linear proportionalen Zinssatz zu interpretieren. Dabei wird ein Jahr als aus 12 Monaten zu je 30 Tagen bestehend angesetzt, besteht also rechnungsm¨aßig aus 360 Tagen. ¨ F¨ ur unsere weiteren Uberlegungen wollen wir daher, sofern nicht anders betont, die deutsche Situation unterstellen und den angegebenen RechnungsZinssatz i als linear proportionalen Zinssatz im interpretieren. Der Rechnungs-Jahreszinssatz i wird auch nomineller Jahreszinssatz genannt. Als Jahreszinssatz i = ief f der ”wirklichen” Verzinsung des Kapitaleinsatzes betrachten wir den Zinssatz, der mit konformer Verzinsung ein vorgegebenes Endkapital Ke liefert. ief f heißt effektiver Jahreszinssatz. PreisangabenVerordnung Zu beachten ist, dass bei der Berechnung des Effektivzinses laut PreisangabenVerordnung (PAngV) vom 1.9.2000 das Jahr mit 365 Tagen, 52 Wochen, 12 Monate angesetzt ist. Den kleinsten in praktischen Beispielen auftretenden dieser Jahresbruchteile nennen wir Rechen-Zeiteinheit. In diesem Zusammenhang ist noch einmal auf die Teilungsunabh¨angigkeit der konformen Verzinsung hinzuweisen: Es ist egal, ob die Verzinsung auf uhrt wird. Denn sei etwa der Basis von m1 Jahren oder m1¯ Jahren durchgef¨ T =m ¯ · g¯ = m · g mit g, g¯ ∈ R++ so ist i¯ h i h 1 mT 1 mT (1 + i1 )T = (1 + i1 ) m¯ = (1 + i1 ) m

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

56

In diesem Sinne kann z.B. bei halbj¨ahriger Verzinsung auch mit 6 Monaten gerechnet werden. Bei Verwendung von Tagen, wie dies oft der Fall der Praxis ist, tritt die Schwierigkeit auf, dass die Monate verschieden lang sind. Die PAngV gleicht = 30. 416 Tagen an. Die erl¨auternden Beispiele dieser alle Monate an zu 365 12 Verordnung machen klar, wie damit in der Praxis umzugehen ist. Man ziehe aus der zu beschreibenden Zeitspanne die maximale Anzahl voller Monate heraus und z¨ahle die restlichen Tage exakt. Der Deutlichkeit halber sei die Vorgehensweise noch einmal notiert: Berechnung von Jahresbruchteilen nach der PAngV: 1. Ist die Rechen-Zeiteinheit das Jahr, so sind Zeitangaben f¨ ur Zinstermine nat¨ urliche Zahlen 2. Ist die Rechen-Zeiteinheit der Monat, so sind Zeitangaben f¨ ur Zinster1 mine nat¨ urliche Vielfache von 12 . 3. Ist die Rechen-Zeiteinheit die Woche, so sind Zeitangaben f¨ ur Zinster1 mine nat¨ urliche Vielfache von 52 . 4. Ist die Rechen-Zeiteinheit der Tag, weil Kalendertage angegeben sind, so wird wie folgt vorgegangen: Zun¨achst zieht man von der gegebenen Zeitspanne zwischen dem betrachteten Zeitpunkt t und dem Beginn der Anlage eine maximale Anzahl m1 von Monaten ab. Anschließend z¨ahlt man die restliche Anzahl m2 an Tagen. Dann setzt man t=

m2 m1 + 12 365

Mit unserem obigen Beispiel wird also wie folgt umgegangen: Beispiel 2.9 Es werde ein Betrag von K0 = 1000 EU R auf 1 Jahr zu einem Jahreszinsfuß von p = 4% angelegt. Die Zinsaussch¨ uttung erfolge monatlich. Man berechne den Kapitalendwert und den effektiven Jahreszinsfuß.

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

57

Lo ¨sung: p wird als nomineller Jahreszinsfuß angesehen. Damit ergibt sich als Endkapital  12 4 K1 = 1000 1 + = 1040.74 [EU R] 12 · 100 Der effektive Jahreszinssatz berechnet sich aus 1040.74 = 1000 (1 + ief f ) zu ief f = 1.04074 − 1 = 0.04074. Der effektive Jahreszinsfuß betr¨agt also 4.07%. 2 Bemerkung: Ist ein Konto mit (fester ) nomineller Verzinsung von p% gegeben und wird linear proportional m1 −jahrig verzinst
zum Jahreszinssatz m p , so f¨allt der Aufzinsungsfaktor qm = 1 + mi in Abh¨angigkeit von i = 100 von m unterschiedlich aus. Gem¨aß Lemma 1.1 steigt er mit anwachsendem m an und n¨ahert sich bei m → ∞ dem kontinuierlichen Aufzinsungsfaktor q = ei an. Im u ¨brigen gibt qm gleichzeitig den effektiven Aufzinsungsfaktor an: "

(m) qef f

(m)

KT := K0

# T1

" = (m)

i 1+ m

mT # T1

 =

i 1+ m

m .

(m)

Der effektive Jahreszinssatz ief f := qef f − 1 steigt also mit anwachsendem m an und im Grenzfall m → ∞ ergibt sich eine effektive Verzinsung von ief f = qef f − 1 = ei − 1. (Vergleiche hierzu auch (2.15))

2.2.3

Bankenu ¨ bliche Praxis der Zinsberechnung

In vielen F¨allen ist die Laufzeit einer Anlage nicht ganzzahliges Vielfaches der Zinsverrechnungsperiode. Z.B. kann die Zinsverrechnungsperiode ein volles Jahr (vollj¨ahrige Verzinsung), die Laufzeit der Investition aber nicht volle Jahre betragen. In Deutschland wird dann in einer Gemischten Zinsrechnung wie folgt verfahren:

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

58

Es liege eine einmalige Kapitalanlage vor, die m1 −j¨ahrig mit dem nominellen Jahreszinssatz i verzinst wird. Liegen bruchteilige Anteile einer Zinsverrechnungsperiode vor dem ersten Zinstermin, so wird bis zu diesem Zeitpunkt t¨aglich zum Jahreszinssatz i linear proportional und einfach verzinst. Danach erfolgt u ¨ber eine maximale ganze Anzahl von Zinsverrechnungsperioden eine linear proportionale m1 −j¨ahrige Verzinsung zum Jahreszinssatz i. Schließlich wird der Rest der Laufzeit (ein Bruchteil einer Zinsverrechnungsperiode) wieder t¨aglich zum Jahreszinssatz i linear proportional und einfach verzinst. Diese Art der Verzinsung tritt z.B. bei Sparb¨ uchern auf. Dort erfolgt eine Zinsverrechnung grunds¨atzlich zum Ende eines Kalender jahres. Bei Sparvertr¨agen oder Sparbriefen dagegen beginnt in der Regel die erste Zinsperiode mit dem Beginn des Sparvertrages, so daß bruchteilige Zinsperioden nur am Ende der Laufzeit auftreten k¨onnen, etwa wenn der Vertrag durch den Sparer vorzeitig gek¨ undigt wird. Um die angesprochene Situation formelm¨aßig zu erfassen, unterstellen wir, daß der investierte Betrag K0 • t1 Tage vor dem n¨achsten Zinsverrechnungstermin angelegt wurde • insgesamt w¨ahrend n bleibt und

1 −j¨ahrige m

Zinsverrechnungsperioden angelegt

• danach noch t2 Tage bis zum Ende der Laufzeit verbleiben. Der nominelle Zinssatz sei i. Dann lautet die Formel f¨ ur das Endkapital Ke am Ende der Laufzeit  n    i i i Ke = K0 1 + t1 · 1+ 1 + t2 · (2.21) 360 m 360 wobei unterstellt ist, daß die Zinsverrechnungsperiode

1 m

Jahr betr¨agt.

Beispiel 2.10 Auf welchen Betrag w¨achst ein Kapital von K0 = 5000 DM mit gemischter Verzinsung an, das bei einem nominellen Zinsfuß von p = 4% am 20.5.1989 bis zum 29.9.1993 (einschließlich) fest angelegt wurde, wenn Zinsverrechnung jeweils zum Kalender-Jahresende stattfindet? Man berechne ferner den effektiven Jahreszinssatz ief f der Anlage nach der PAngV.

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

59

L¨ osung: Die folgende Zeitspannen sind zu ber¨ ucksichtigen: • 220 Tage vom 21.5.89 bis 31.12.89 • 3 Jahre vom 1.1.90 bis 31.12.1992 • 269 Tage vom 1.1.1993 bis zum 29.9.1993 Mit diesen Daten ergibt sich gem¨aß Formel (2.21) der folgende Wert f¨ ur das Endkapital KT     220 269 3 KT = 5000 1 + 0.04 · (1 + 0.04) 1 + 0.04 · = 5934.02 [DM ] 360 360 Das verzinste Kapital hatte also am 29.9.1993 den Wert von 5934, 02 DM. Um den effektiven Jahreszinsatz ief f zu berechnen, berechnen wir die Laufzeit T der Anlage in Bruchteilen von Jahren: T =4+

9 4 + = 4. 35799 09 12 365

wobei 4 Jahre (21.5.1989 bis 20.5.1993), 4 Monate (21.5.1993 bis 20.9.1993) und 9 Tage (21.9.1993 bis 29.9.1993) gez¨ahlt wurden. Damit berechnet sich der effektive Jahreszins aus der Gleichung 5934.02 = 5000 (1 + ief f )4. 35799 09 Eine L¨osung dieser Gleichung erh¨alt man zu r 4. 35799 09 5934.02 ief f = − 1 = 0.0400812 53 5000 Der effektive Jahreszinsfuß ist mit pef f = 4.01% also trotz der teilweise verwendeten einfachen Verzinsung leicht h¨oher als der Nominalzinsfuß von p = 4%. (Wie ist das zu erkl¨aren?) 2

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

60

Staffelzinsen Bei vielen Sparbriefen und Bundesschatzbriefen steigen die Jahreszinss¨atze mit der L¨ange der Laufzeit an. Ferner kann z.B. der gesetzliche Jahreszinssatz f¨ ur die Verzinsung von Sparguthaben zu irgend einem Zeitpunkt im Kalenderjahr ver¨andert werden. In diesen F¨allen wird gem¨aß der RestartEigenschaft der Verzinsung wie folgt verfahren: Zinsen werden nach der Methode der gemischten Verzinsung f¨ ur die Perioden getrennt berechnet, in denen verschiedene Zinss¨atze gelten. Modellm¨aßig wird ein bestehendes Guthaben zum Zins¨anderungstermin kostenfrei vom Konto abgehoben und sofort (zu den neuen Konditionen) wieder eingezahlt. Bei der Berechnung des Effektivzinses wird allerdings weiter von einem durchgehenden Jahreszinssatz ief f ausgegangen. Beispiel 2.11 Auf welche Betrag w¨achst ein Kapital von K0 = 5000 DM an, das bei einem nominellen Zinsfuß von p = 2% am 20.5.1989 auf ein Sparbuch eingezahlt wurde und am 29.9.1993 wieder abgehoben wurde, wenn zum 31.3.1991 der gesetzliche Sparzins auf p = 1.5% gesenkt wurde? Man berechne ferner den effektiven Jahreszinssatz ief f der Anlage (nach der PAngV). L¨ osung: Zun¨achst wird die Entwicklung der Anlage bis zum 31.3.1991 u ¨ber gemischte Verzinsung bei einem nominellen Jahreszinsfuß von 2% ausgerechnet: • 220 Tage vom 21.5.89 bis 31.12.89 • 1 Jahr vom 1.1.90 bis 31.12.90 • 90 Tage vom 1.1.1991 bis zum 31.3.91 Dies f¨ uhrt zu einer Verzinsung auf     90 220 1 (1 + 0.02) 1 + 0.02 · = 5188. 15 [DM ] KT1 = 5000 1 + 0.02 · 360 360 Nun erfolgt die Neuanlage des erzielten Endkapitals KT1 zu den neuen Konditionen bis zum 29.9.1993:

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

61

• 270 Tage vom 1.4.91 bis 31.12.91 • 1 Jahr vom 1.1.90 bis 31.12.1992 • 269 Tage vom 1.1.1993 bis zum 29.9.1993 Dies f¨ uhrt zu einer weiteren Verzinsung auf     269 270 1 KT2 = 5188.15 1 + 0.015 · (1 + 0.015) 1 + 0.015 · 360 360 = 5384. 90 [DM ] Als Endkapital ergibt sich also KT2 = 5384. 90 DM. Zur Berechnung der Effektivverzinsung gehen wir aus von einer Gesamtlaufzeit von 4 9 T =4+ + = 4. 35799 09 Jahren 12 365 und setzen dementsprechend an 5384. 90 = 5000 (1 + ief f )4.3579909 L¨osung dieser Gleichung ist ief f = 0.0171628 2. Der effektive (durchschnittliche) Jahreszinsfuß liegt also bei pef f = 1.72%. 2

2.3 2.3.1

¨ Ubungsaufgaben Theoretische Aufgaben

Aufgabe 2.12 Angelegtes Kapital verdoppelt sich bei vollj¨ahriger Verzinsung zum Jahreszinsfuß p gem¨aß Formel (2.3) nach t2 = Jahren (mit q = 1 +

p ). 100

ln 2 ln q

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

62

1. In Bankenkreisen ist daf¨ ur die N¨aherungsformel t2 ≈

70 p

u unden Sie diese Formel! ¨blich. Begr¨ 2. Herzberger gibt eine weitere Formel an: t2 ≈

69 + 0.35 p

Begr¨ unden Sie diese Formel, indem Sie ausgehend von (1.4) den Term ln 2 nach oben und unten absch¨atzen und vergleichen Sie diese N¨aherungsln q formel anhand konkreter Werte von p mit der Formel aus 1. Aufgabe 2.13 Finden Sie Absch¨atzungen (nach oben und nach unten) f¨ ur 1. den Unterschied der Jahreszinss¨atze i 1 − im ausgedr¨ uckt durch im und 2. den Unterschied der Kapitalendwerte K0 eni − K0 (1 + ni) ausgedr¨ uckt durch i. Aufgabe 2.14 Zeigen Sie f¨ ur den linear proportionalen Zinssatz im , dass er mit steigendem m abbf¨allt, dass also im+1 < im

gilt f¨ ur alle m ∈ N

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

2.3.2

63

Praktische Aufgaben

Aufgabe 2.15 Ein Kapital von 100000 EU R werde zum Jahreszinsfuß von p = 4, 5% auf 5 Jahre fest angelegt. Man berechne das Endkapital nach 5 Jahren 1. bei arithmetischer j¨ahrlicher Verzinsung 2. bei geometrischer j¨ahrlicher Verzinsung 3. bei monatlicher linear proportionaler Verzinsung 4. bei monatlicher konformer Verzinsung und berechne in allen F¨allen die effektive Verzinsung. Aufgabe 2.16 15000 EU R werden auf einen Zeitraum von 8 Jahren angelegt. Der Anleger hat am Ende 25123 EU R auf seinem Konto. Man berechne den nominellen und den effektiven Jahreszinssatz der Anlage, wenn die Zinsen halbj¨ahrlich verrechnet wurden. Aufgabe 2.17 Eine Firma m¨ochte Zerobonds zum Nominalwert (Endwert) von 100 EU R mit einer Laufzeit von 25 Jahren ausgeben. 1. der aktuelle Marktzins f¨ ur Langzeitanleihen betrage 8%. Man berechne den Ausgabekurs des Zerobonds, d.h. den Wert eines Anteils der Anlage zum Ausgabezeitpunkt, wenn sich dieser u ¨ber Zinseszinseffekt in 25 Jahren bei einem Jahreszinsfuß von 8% auf 100 EU R steigert. 2. Nach drei Jahren ist der langfristige Marktzins auf 6% gefallen. Der aktuelle Kurs(wert) eines Anteils stellt sich so ein, dass eine geometrische Verzinsung in 22 Jahren mit dem aktuellen Marktzins gerade den Nominalwert liefert. Man berechne den aktuellen Kurs des Zerobonds. 3. Ein Investor hat sich 1000 St¨ uck des Zerobonds zum Ausgabepreis zugelegt. Nach drei Jahren verkauft er die Bonds wieder. Mit welchem effektiven Jahreszinssatz hat sich seine Investition verzinst?

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

64

Aufgabe 2.18 Nach welcher Zeit verdoppelt sich Kapital, das monatlich nominell zum Jahreszinsfuß von p = 6% verzinst wird. Wie genau sind die  70 69 Sch¨atzungen nach der p bzw. nach der p + 0.35 Formel? Aufgabe 2.19 Herr K. legte am 3.4.1999 1000 DM auf ein Sparbuch an und wird dieses Sparbuch am 18.7.2003 wieder aufl¨osen. Der Sparzins betrug bis zum 31.3.2000 p = 2%, und danach p = 1.5%. Wieviel EU R wird Herr K. abheben k¨onnen? Aufgabe 2.20 Frau S. kauft f¨ ur 25000 EU R den Sparbrief einer Bank. Dieser hat die folgenden Konditionen. • 4% Nominalzins im ersten Jahr • 4.25% Nominalzins im zweiten Jahr • 4.75% Nominalzins im dritten Jahr • 5.5% Nominalzins im vierten Jahr • 5.5% Nominalzins im f¨ unften Jahr Zus¨atzlich erh¨alt ein Sparer, der den Brief bis zur Endf¨alligkeit beh¨alt, bei R¨ uckgabe einen Bonus von 5% auf die Endsumme. 1. Wieviel hat Frau S. nach 5 Jahren gespart? Welchen nominellen Jahreszins h¨atte eine vergleichbare Festgeldanlage f¨ ur 5 Jahre bieten m¨ ussen? 2. Der Sparbrief kann nach fr¨ uhestens einem Jahr wieder eingel¨ost werden. Welche effektive Verzinsung erzielt Frau S., wenn sie den Sparbrief nach 3 Jahren und 4 Monaten zur¨ uckgibt.

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF

2.3.3

65

Programmierpraxis

Aufgabe 2.21 Man schreibe ein (Excel-) VBA-Programm zur unterj¨ahrigen Verzinsung, das folgendes leistet: Es soll bei einmaliger Einzahlung eines Kapitals K0 auf ein Konto mit bekanntem nominellen Jahreszinsfuß p bei festgelegteter unterj¨ahriger Verzinsung nach jeder Periode von m1 tel Jahr den Kapitalendwert Kn nach n Zinsverrechnungsperioden berechnen. Das Programm soll bei bekanntem m gleichzeitig in der Lage sein, jeden der vier Werte K0 , Kn , n, p zu berechnen, wenn die anderen drei Werte bekannt sind. Aufgabe 2.22 Man schreibe ein (Excel-) VBA-Programm, das zu gegebenen Kapitaleinsatz K0 , Kapitalendwert Ke und Laufzeit in vollen Jahren (Anzahl n) und Tagen (Anzahl t) die Effektivverzinsung berechnet. Aufgabe 2.23 Man schreibe ein (Excel-) VBA-Programm zur gemischten Verzinsung. Dabei soll eingegeben werden k¨onnen, wieviele Tage t1 vor der ersten Zinsverrechnung liegen, wieviele Perioden n der Zinsverrechnung folgen und wieviele Tage t2 nach der letzten Zinsverrechnung das Konto geleert wird. Der relative Zinsfuß pro Zinsperiode soll eingegeben werden k¨onnen. Ansonsten soll das Programm das gleiche leisten wie das der letzten Aufgabe.

Kapitel 3 Periodische Ein- und Auszahlungen - Renten W¨ahrend wir bislang eine einmalige Kapitalanlage in ihrer Wertentwicklung beobachtet haben, sollen nun regelm¨aßige Einzahlungen auf ein Konto oder regelm¨aßige Auszahlungen von einem Konto Gegenstand der Betrachtung sein. Bezeichnung: Wir wollen eine Zahlungsfolge reiner Einzahlungen, die in regelm¨aßigen Zeitabst¨anden erfolgt, eine Rente nennen. Die regelm¨aßigen Zahlungen nennen wir Raten. Wir werden Renten nach verschiedenen Gesichtspunkten unterscheiden: • nach Ihrer Dauer (zeitlich begrenzte oder ewige Renten) • nach der L¨ange der Zahlungsperioden(vollj¨ahrig oder unterj¨ahrig) • nach dem F¨alligkeitstermin der Raten (nachsch¨ ussige oder vorsch¨ ussige Renten) • nach dem Zeitpunkt der Zinsverrechnung (vollj¨ahrig oder unterj¨ahrig) Folgende Bezeichnungen sollen vorab festgelegt werden: r die Ratenho ¨he, 66

KAPITEL 3. RENTEN

67

Rn der Rentenendwert, d.h. der Wert aller Zahlungen nach Ablauf der Rentendauer R0 der Rentenbarwert, d.h. der Wert von Rn diskontiert auf den Zeitpunkt t = 0. n die Anzahl der Zinsverrechnungen i der Kalkulationszinssatz der Rente. Im folgenden sollen diese Gr¨oßen in eine formelm¨aßige Beziehung gebracht werden.

3.1

Zinsperiodische konstante Raten

Zun¨achst wollen wir Renten betrachten, bei denen die Zahlung der Raten jeweils gleichzeitig mit einer Zinsverrechnung erfolgt. Wir wollen sogar oBdA annehmen, dass genau zu jeder Zinsverechnung eine Ratenzahlung erfolgt. Der Fall, daß nicht zu jeder Zinsverrechnung eine Rate fließt, l¨aßt sich dann leicht auf den zu besprechenden Fall zur¨ uckf¨ uhren (siehe periodisch unterbrochene Ratenzahlung). Das Konto, bzgl. dessen wir die Ratenzahlungen betrachten, werde mit einem Jahreszinssatz i betrachtet. Dies kann der nominelle Zinssatz sein (bei linear proportionaler Verzinsung) oder der effektive Zinssatz (bei konformer Verzinsung). Die Zinsverrechnungen m¨ogen m1 −j¨ahrig stattfinden mit m ∈ N. q bezeichne den relevanten Aufzinsungsfaktor pro Zinsperiode, d.h. im Falle linear proportionaler Verzinsung gilt q = 1+ mi mit dem relativen Zinssatz mi , 1

im Falle konformer Verzinsung q = (1 + i) m . Die Anzahl der betrachteten Zinsperioden sei n.

3.1.1

Nachschu ¨ ssige Ratenzahlung

Zun¨achst werden wir nachschu ¨ ssige Renten behandeln, d.h. Renten, bei denen die Raten jeweils am Ende der Zahlungsperiode im Nachhinein gezahlt werden.

KAPITEL 3. RENTEN

68

Regelm¨ aßige Einzahlungen Die folgenden Gleichungen verkn¨ upfen Rentenendwert, Rentenbarwert, Rate und Laufzeit. Rentenendwert Offensichtlich gilt f¨ ur den Endwert Rn der Rente die folgende Beziehung Rn = rq n−1 + ... + rq + r = r Man nennt den Faktor sn = faktor.

q n −1 q−1

qn − 1 =: rsn . q−1

(3.1)

den nachschu ¨ ssigen Rentenendwert-

Rentenbarwert Entsprechend gilt f¨ ur den Rentenbarwert R0 = Rn q −n = r Hierin bezeichnet man an = wertfaktor.

1−q −n q−1

1 − q −n =: ran q−1

(3.2)

als den nachschu ¨ ssigen Rentenbar-

Rate und Laufzeit Die Gleichungen k¨onnen auch nach r bzw n aufgel¨ost werden, damit diese Werte berechnet werden k¨onnen, wenn die u ¨brigen gegeben sind: Rn R0 q−1 q−1 = = r = Rn n = R0 (3.3) q −1 sn 1 − q −n an und ln n=



Rn (q−1) r

ln q

 +1



− ln 1 − =

R0 (q−1) r

ln q

 (3.4)

Man beachte hierbei, daß in der letzten Formel 1−

R0 (q − 1) >0 r

also r > R0 (q − 1) = R0 · i

(3.5)

KAPITEL 3. RENTEN

69

gelten muß. Dies kann so interpretiert werden: Ein vorgegebener Rentenbarwert kann durch die Zahlung der Raten nur erreicht werden, wenn die Raten groß genug sind, mindestens so groß wie die Zinsen, die man aus dem Barwert zahlen m¨ usste. Beispiel 3.1 Es werden bei vereinbarten 6% Zinsen pro Jahr am Ende eines jeden Jahres 1000 EU R auf ein Ansparkonto eingezahlt. Zinsen werden jeweils am Ende des Jahres verrechnet und dem Konto gutgeschrieben. Welcher Betrag hat sich nach 10 Jahren auf dem Konto angesammelt? Welchen Barwert hat dieser Betrag? L¨ osung: Wir setzen in die Rentenformel (3.1) ein 1.0610 − 1 = 13180.80 [EU R] 0.06 Der Barwert der Rente ergibt sich zu R10 = 1000

R0 = 13180.8 · 1.06−10 = 7360.10 [EU R] 2 Als zweites Beispiel betrachten wir dieselbe Situation noch einmal mit dem Unterschied, daß nun die Zinsperiode ein viertel Jahr betrage und daf¨ ur viertelj¨ahrlich nur 250 EU R einbezahlt werden. Beispiel 3.2 Es werden bei vereinbarten nominellen 6% Zinsen pro Jahr am Ende eines jeden viertel Jahres 250 EU R auf ein Ansparkonto eingezahlt. Zinsen werden jeweils am Ende des viertel Jahres verrechnet und dem Konto gutgeschrieben. Welcher Betrag hat sich nach 10 Jahren auf dem Konto angesammelt? Welchen Barwert hat dieser Betrag? L¨ osung: Es ist mit m = 4, r = 250, i = 0.06, n = 10, q = 1 + R10 = 250

i m

= 1.015

1.01540 − 1 = 13566. 97 [EU R] 0.015

und damit nat¨ urlich ein h¨oherer Wert als zuvor. Genauso ergibt sich mit R0 = 13566. 97 · 1.015−40 = 7478. 96 [EU R] ein h¨oherer Barwert als bei vollj¨ahriger Zahlung und Verzinsung (warum?). 2

KAPITEL 3. RENTEN

70

Regelm¨ aßige Auszahlungen Bisher haben wir eine einzahlende Rente mit regelm¨aßigen Einzahlungen auf ein Konto betrachtet. Betrachten wir als n¨achstes die Situation, dass auf einem Konto mit dem Aufzinsungsfaktor q anf¨anglich ein Betrag Ka liegt, von dem regelm¨aßig zum Ende einer Zinsperiode eine Rate r abgehoben werden soll. Die Bewegungen auf dem Konto entwickeln sich bei einer Laufzeit T von n Zinsperioden nach der folgenden Klammerfolge

(... (((Ka q − r) q − r) q − r) q... − r) q − r = KT ⇐⇒ Ka q n − rq n−1 − rq n−2 − ... − rq − r = KT ⇐⇒
Ka q n − r + rq + ...rq n−1 = KT wobei KT der Kontostand am Ende der n − ten Zinsperiode sei. Damit ergibt sich Ka q n − r

qn − 1 = KT q−1

(3.6)

In diesem Fall kann man zur Interpretation der Formel also von folgendem Modell ausgehen: Bei auszahlenden Renten werden die Raten zun¨achst nicht aus dem Originalkonto ausgezahlt, sondern ersatzweise von einem separaten (vituellen) Schuld-Konto abgehoben, das derselben Verzinsung unterliegt. Am Ende der n Zinsperioden wird das separate Ratenkonto u ¨ber das inzwischen voll geometrisch verzinste Originalkkonto ausgeglichen. In diesem Sinne k¨onnen wir mit einer auszahlenden Rente genauso umgehen wie mit einer einzahlenden Rente! Beispiel 3.3 Frau T. legt einen Betrag von 10000 EU R auf ein Anlagekonto mit 4% j¨ahrlicher Verzinsung an. Wie lang kann sie von diesem Konto jeweils zum Jahresende 1000 EU R abheben, bis das Konto abger¨aumt ist?

KAPITEL 3. RENTEN

71

Lo ¨sung: In der obigen Formel (3.6) setzen wir KT = 0. Somit entsprechen die anf¨anglichen Ka = 10000 EU R gem¨aß Formel (3.2) dem Barwert einer nachsch¨ ussigen Rente mit Rate r = 1000 EU R und Formel (3.4) kann angewendet werden:
− ln 1 − 10000·0.04 1000 n= = 13.024 ln 1.04 Die Tatsache, daß sich n hier als nichtganzzahlig ergibt, kann folgendermaßen ausgewertet werden: Die von Ka abh¨angige Funktion n mit   − ln 1 − Ka (q−1) r n (Ka ) = ln q ist f¨ ur festes q > 1 und r > Ka (q − 1) streng monoton ansteigend wegen   1 1 q−1 dn 0 =− · · − > 0. n (Ka ) = dKa lnq 1 − Ka (q−1) r r Deshalb entspricht eine Laufzeit von n = 13 Jahren einem geringeren Anfangskapital als Ka und eine Laufzeit von n = 14 Jahren einer h¨oheren Anfangskapital als Ka . Bei einer Laufzeit von 13 Jahren wird also das Anfangskapital Ka durch die ausgezahlten Raten nicht v¨ollig aufgebraucht. Die M¨oglichkeit, 1000 EU R abzuheben, ergibt sich demnach f¨ ur 13 Jahre, nicht aber f¨ ur 14 Jahre. 2 Zinsberechnung Gleichung (3.1) oder (3.2) k¨onnen (bei n > 2) nicht direkt nach dem Aufzinsungsfaktor q aufgel¨ost werden, sondern es muß ein N¨aherungsverfahren angewendet werden. Zu beobachten ist, daß beide Gleichungen nach der Vorzeichenregel von Descartes eine eindeutige positive L¨osung besitzen, denn es gilt (r − Rn ) + rq + ... + rq n−1 = 0 mit (r − Rn ) < 0 (3.7) bzw. r + rq + ... + rq n−1 − R0 q n = 0

KAPITEL 3. RENTEN

72

zu l¨osen. Beide Gleichungen haben genau einen Vorzeichenwechsel. Betrachten wir Gleichung (3.7) genauer. Zu bestimmen ist eine positive Nullstelle des Polynoms g (q) = (r − Rn ) + rq + ... + rq n−1 Es gilt g 0 (q) = r + 2rq + ... + (n − 1) rq n−2 und g 00 (q) = 2r + ... + (n − 1) (n − 2) rq n−3 Beide Ableitungen sind positiv f¨ ur positive q. Nach der Bemerkung zu Lemma 1.10 kann daher das Newton-Verfahren erfolgreich eingesetzt werden, wenn es von einem beliebigen q0 > 0 startet, z.B. bei q0 = 1. Ausgehend von der ¨aquvalenten Umformung von (3.7) q n − 1 Rn − =0 q−1 r kann das N¨aherungsverfahren aber auch auf ein Polynom mit weniger Koeffizienten angewendet werden. Dazu wird diese Gleichung mit (q − 1) multipliziert   Rn Rn n q+ −1 =0 (3.8) g (q) := q − r r Es entsteht ein Polynom mit genau zwei positiven Nullstellen: einmal q = 1 und zum anderen die bereits angesprochene Nullstelle von (3.7). Die erste und die zweite Ableitung von g berechnen sich zu g 0 (q) = nq n−1 − 0

Rn , r

g 00 (q) = n (n − 1) q n−2 00

q

Rn Damit gilt (bei n ≥ 2) g (q) > 0 und g (q) > 0 f¨ ur alle q > . Hierbei nr ist haupts¨achlich der Fall Rn > nr interesssant, da genau dann eine positive Verzinsung erfolgt.

F¨ ur das Polynom liegt also folgende Situation vor: g hat eine positive Nullstelle bei q = 1. q g hat ein lokales Minimum bei q = n−1 Rnrn

n−1

KAPITEL 3. RENTEN

73

g hat eine weitere positive Nullstelle bei q > Nullstelle.

q

n−1

Rn . nr

Diese ist die gesuchte

Nach der Bemerkung zu Lemma 1.10 kann daher das Newton-Verfahren bei q einem beliebigen q0 >

n−1

Rn erfolgreich nr

gestartet werden, z.B. bei q0 =

Rn . nr

Ausgehend von Formel (3.2) ergibt sich eine ¨ahnliche Argumentation ¨ (Ubungsaufgabe!) Ewige Renten Ist bei einer Rente das Zahlungsende ungewiss, ist also dar¨ uber keine Vereinbarung getroffen, so wird n als sehr groß angenommen. In diesem Fall betrachtet man gerne den Grenzwert f¨ ur n → ∞ und spricht von einer ewigen Rente. Bei einer ewigen (nachsch¨ ussigen) Rente ist der Rentenbarwert interessant. Bei unbestimmtem Zahlungsende n¨ahert sich der Rentenbarwert dem Wert 1 − q −n r R0 = lim r = . (3.9) n→∞ q−1 q−1 Beachte: Es gilt also r = R0 · (q − 1) . Damit gibt die Rate r gerade die fiktiven Zinsen auf den Barwert an (vgl. dazu (3.5)).

3.1.2

Vorschu ¨ ssige Renten

Es seien nun ohne Beweise die entsprechenden Formeln f¨ ur die vorschu ¨ ssige Rente angegeben. F¨ ur den Rentenendwert ergibt sich Rn = rq n + ... + rq 2 + rq = rq

qn − 1 = rqsn =: rs0n , q−1

(3.10)

und daraus die u ¨brigen Formeln R0 = Rn q −n = rq

r = Rn

1−

1 − q −n = rqan =: ra0n q−1 1 q

qn − 1

= R0

1 q −n q

1− 1−

(3.11)

(3.12)

KAPITEL 3. RENTEN ln n=



74 Rn (q−1) rq

 +1

 − ln 1 −

R0 (q−1) rq



= ln q ln q wobei wieder rq > R0 (q − 1) vorausgesetzt werden muß.

(3.13)

n

−1 = qsn den vorschu Hierbei nennt man s0n = q qq−1 ¨ ssigen Rentenendwert−n

faktor und a0n = q 1−q = qan den vorschu ¨ ssigen Rentenbarwertfaktor. q−1 F¨ ur die Berechnung von q aus den Formeln (3.10) oder (3.11) gelten ¨ahnliche ¨ Argumente wie im nachsch¨ ussigen Fall (Ubungsaufgabe!). Bei den obigen Aufgaben ergeben sich leicht ver¨anderte Ergebnisse, wenn wir vorsch¨ ussige Ratenzahlungen vorsehen. Beispiel 3.4 Gegeben sei die Aufgabenstellung von Beispiel 3.1. Diesmal m¨ogen allerdings die Raten vorsch¨ ussig gezahlt werden. L¨ osung: Es ergibt sich R10 = 1000 · 1.06

1.0610 − 1 = 13971.63 [EU R] 0.06

R0 = 13971.63 · 1.06−10 = 7801.69 [EU R] , wobei offensichtlich jeweils ein h¨oherer Wert herauskommen muß als bei der nachsch¨ ussigen Rechnung, da die Raten jeweils ein Jahr l¨anger verzinst werden. 2 Beispiel 3.5 Gegeben sei die Aufgabenstellung von Beispiel 3.3. Diesmal m¨ogen allerdings die Raten vorsch¨ ussig gezahlt werden. L¨ osung: Man findet
− ln 1 − 10000·0.04 1000·1.04 n= = 12.379 [Jahre] ln 1.04 Hier wiederum muß eine k¨ urzere Laufzeit herauskommen, weil die Raten fr¨ uher entnommen werden. 2 Man beachte, daß Probleme mit vorsch¨ ussiger Zahlweise in der Regel auch nachsch¨ ussig gerechnet werden k¨onnen. Bei der letzten Aufgabe z.B. k¨onnte man nach Zahlung der ersten Rate von einem anf¨anglichen Kontostand von nur 9000 EU R ausgehen und nachsch¨ ussig rechnen.

KAPITEL 3. RENTEN

75

Ewige Renten Bei der ewigen (vorsch¨ ussigen) Rente n¨ahert sich der Rentenbarwert dem Wert 1 − q −n rq = (3.14) R0 = lim rq n→∞ q−1 q−1

3.1.3

Aufgeschobene und unterbrochene Renten

Kurz angesprochen werden sollen die Situationen der aufgeschobenen oder unterbrochenen Renten. Hier setzen Ratenzahlungen erst sp¨ater ein oder werden zwischenzeitlich f¨ ur eine Weile unterbrochen. Zur Erl¨auterung dieser F¨alle seien zwei Beispiele angegeben. Beispiel 3.6 Eine Rente von j¨ahrlich 2000 EU R soll erst nach Ablauf von 6 Jahren beginnen und dann 8 mal hintereinander ausgezahlt werden. Wie hoch ist der Barwert der Rente bei einem angenommenen Jahreszinsfuß von 5%? Lo ussig oder vorsch¨ ussig rechnen. Wir rechnen ¨sung: Man kann nachsch¨ nachsch¨ ussig. Die Rente hat zu Beginn des 6. Jahres einen Wert von 2000

1 1.058 − 1 = 12926.43 [EU R] 1.058 1.05 − 1

Dieser Wert muß noch weitere 5 Jahre abgezinst werden, um den gesuchten Barwert zu erhalten R0 = 1.05−5 · 12926.43 = 10128.20 [EU R] 2 Beispiel 3.7 Der Holzbestand einer Gemeinde wirft am Ende des 14. bis zum Ende des 17. Jahres einen Ertrag von jeweils 6000 EU R ab; desgleichen nach Wiederaufforstung am Ende des 28. bis zum Ende des 31. Jahres und am Ende des 42. Jahres bis zum Ende des 45. Jahres. Wie hoch ist der Barwert aller Betr¨age bei angenommener j¨ahrlicher Verzinsung von 5%?

KAPITEL 3. RENTEN

76

Lo ussige Renten auf ¨sung: Man faßt die drei Ertragsperioden als nachsch¨ und zinst sie anschließend auf den Barwert ab. Es ergibt sich als Wert der Rente f¨ ur 4 Jahre ab dem 14. Jahr zu Beginn des 14. Jahres: 6000 1.054 − 1 R14 = = 21275.70 [EU R] 1.054 1.05 − 1 Da die Ertragsperioden jeweils 4 Jahre betragen, ergibt sich der gleiche Betrag auch als Wert R28 der Rente zu Beginn des 28. Jahres und als Wert R42 zu Beginn des 42. Jahres. Dadurch ergibt sich insgesamt als Barwert des gesamten Ertrages
R0 = 21275.70 1.05−13 + 1.05−27 + 1.05−41 = 19859.83 [EU R] Der Barwert des gesamten Ertrages bel¨auft sich also auf 19859, 83 EU R. 2 Periodisch unterbrochene Ratenzahlungen Ist die Unterbrechung der Ratenzahlungen nach jeweils einer Zahlung regelm¨aßig, d.h. unterbleibt nach einer laufenden Ratenzahlung die weitere Ratenzahlung f¨ ur s Perioden, wird also erst nach s Perioden die n¨achste Rate gezahlt, so k¨onnen die jeweils s Perioden ohne Ratenzahlung zu einer Ersatz-Periode zusammengefasst werden, f¨ ur die dann der Aufzinsungsfaktor s q gilt, denn genau dieser beschreibt das Anwachsen durch den Zinseszinseffekt w¨ahrend der Zeit ohne Ratenzahlung. In den obigen Formeln ist also nur q durch q s zu ersetzen. Bei dem folgenden Beispiel wird Beispiel 3.1 leicht ver¨andert und so ein Vergleich erm¨oglicht. Beispiel 3.8 Es werden bei vereinbarten 6% Zinsen pro Jahr am Ende eines jeden Jahres 1000 EU R auf ein Ansparkonto eingezahlt. Zinsen werden jeweils am Ende jedes halben Jahres verrechnet und dem Konto gutgeschrieben. Welcher Betrag hat sich nach 10 Jahren auf dem Konto angesammelt? Welchen Barwert hat dieser Betrag?
2 Lo ¨sung: Wir setzen in die Rentenformel (3.1) mit q = 1 + 21 0.06 = 1. 0609 ein 1.060910 − 1 R10 = 1000 = 13236. 64 [EU R] 0.0609

KAPITEL 3. RENTEN

77

Der Barwert der Rente ergibt sich zu R0 = 13236. 64 · 1.0609−10 = 7328. 81 [EU R] 2

3.2

Unterzinsperiodische konstante Raten

Wir besprechen nun den Fall, dass die Ratenzahlungen einer Rente nicht nur zu den Zinsterminen, sondern unterzinsperiodisch erfolgen. Unabh¨angig davon kann die Zinsverrechnung vollj¨ahrig oder unterj¨ahrig erfolgen, wobei die Ratenzahlungen teilweise mit Zinsterminen u ¨bereinstimmen k¨onnen oder nicht.

3.2.1

Vollj¨ ahrige Zinsperioden

Der h¨aufigste Fall ist der, daß die Ratenzahlung unterj¨ahrig und die Verzinsung vollj¨ahrig erfolgt, also die Periode der Verzinsung nicht mit der Periode der Ratenzahlung u ¨bereinstimmt. Betrachten wir m feste Zahlungen pro Jahr, die in gleichlangen Zeitabst¨anden erfolgen m¨ogen, eine davon zum Zinstermin. Die Zahlungsperiode betr¨agt also m1 -tel Jahr, der nominelle Jahreszinssatz sei i. In Deutschland verwendet man zur Bearbeitung dieser Situation das folgende Prinzip der Ersatzrate : Alle im Laufe einer Zinsperiode gezahlten Raten werden auf ein (virtuelles) Ersatzkonto mit gleichem nominellen Jahreszinssatz i eingezahlt und dort der einfachen Verzinsung unterworfen. Das sich am Ende der Zinsperiode aus den eingezahlten Raten ergebene Kapital wird dem Ersatzkonto entnommen und nachsch¨ ussig als Ersatzrate rE zum Zinstermin in die Rente eingebracht.

KAPITEL 3. RENTEN

78

Nachschu ¨ ssige Renten Bei nachsch¨ ussigen Renten erfolgen die Zahlungen jeweils am Ende einer Zahlungsperiode. F¨ ur die Ermittlung der Ersatzrate ergibt sich daher die folgende Formel       2 (q − 1) (m − 1) (q − 1) q−1 +r 1+ + ... + r 1 + rE = r + r 1 + m m m q−1 = rm + r (1 + 2 + ... + (m − 1)) m Nach Anwendung der arithmetischen Summenformel ergibt sich daraus   q−1 rE = r m + (m − 1) (3.15) 2 Diese festen j¨ahrlichen Ersatzraten k¨onnen wir in die Formeln der nachsch¨ ussigen vollj¨ahrigen Rente des letzten Abschnitt einsetzen. Dadurch erhalten wir  n  q −1 (q − 1) (m − 1) (3.16) Rn = r m + 2 q−1 bzw.

 (q − 1) 1 − q −n R0 = r m + (m − 1) 2 q−1 

(3.17)

sowie −1 q−1 (q − 1) r = Rn m + (m − 1) 2 qn − 1 −1  q−1 (q − 1) (m − 1) = R0 m + 2 1 − q −n 

(3.18)

und  ln n=

Rn (q−1) (q−1) r (m+ 2 (m−1))

ln q

 +1

 − ln 1 − =

R0 (q−1) (q−1) r(m+ 2 (m−1))

ln q

 (3.19)

Zum Vergleich mit der j¨ahrlichen Ratenzahlung rechnen wir noch einmal Beispiel 3.1 bei entsprechender unterj¨ahriger Ratenzahlung.

KAPITEL 3. RENTEN

79

Beispiel 3.9 Es werden bei vereinbarten 6% Zinsen pro Jahr am Ende eines jeden viertel Jahres 250 EU R auf ein Ansparkonto eingezahlt. Zinsen werden jeweils am Ende des Jahres verrechnet und dem Konto gutgeschrieben. Welcher Betrag hat sich nach 10 Jahren auf dem Konto angesammelt? Welchen Barwert hat dieser Betrag? L¨ osung: Es ist mit m = 4, r = 250, i = 0.06, n = 10   0.06 1.0610 − 1 R10 = 250 4 + 3 = 13477.40 [EU R] 2 0.06 und R0 = 13477.40 · 1.06−10 = 7525.70 [EU R] mithin h¨ohere Werte als bei der j¨ahrlichen Zahlungsweise, was verst¨andlich ist, da zwischenzeitliche, wenn auch einfache unterj¨ahrige Verzinsung der Raten erfolgt. 2 Bemerkung: Bei der ewigen (nachsch¨ ussigen) Rente ergibt sich als Rentenbarwert   (q − 1) 1 − q −n R0 = lim r m + (m − 1) n→∞ 2 q−1   1 r m + (m − 1) (q − 1) (3.20) = q−1 2 Vorschu ¨ ssige Renten Bei vorsch¨ ussigen Renten erfolgen die Zahlungen f¨ ur die Zahlungsperiode bereits am Anfang der Zahlungsperiode. Entsprechend dem Prinzip der Ersatzrate werden die einzelnen vorsch¨ ussigen Raten, die innerhalb eines Jahres gezahlt werden, zu einer j¨ahrlich nachsch¨ ussig zu zahlenden Ersatzrate rE zusammengefasst, wobei diese Raten einfach verzinst werden. Es ergibt sich       q−1 2 (q − 1) m (q − 1) +r 1+ + ... + r 1 + rE = r 1 + m m m q−1 = rm + r (1 + 2 + ... + m) m   q−1 = r m+ (m + 1) 2

KAPITEL 3. RENTEN

80

Diese Ersatzrate wird am Ende der Zinsperiode in die Rente eingebracht. Daraus leiten sich f¨ ur Rentenendwert und Rentenbarwert die folgenden Beziehungen her:   n (q − 1) q −1 Rn = r m + (m + 1) (3.21) 2 q−1 bzw.



(q − 1) R0 = r m + (m + 1) 2



1 − q −n q−1

(3.22)

sowie −1 q−1 (q − 1) r = Rn m + (m + 1) 2 qn − 1 −1  q−1 (q − 1) = R0 m + (m + 1) 2 1 − q −n 

(3.23)

und  ln n=

Rn (q−1) (q−1) r (m+ 2 (m+1))

ln q

 +1

 − ln 1 − =

R0 (q−1) (q−1) r(m+ 2 (m+1))



ln q

(3.24)

F¨ ur die ewige (vorsch¨ ussige) Rente ermitteln wir diesmal   r (q − 1) R0 = m+ (m + 1) q−1 2

3.2.2

Unterj¨ ahrige Zinsperioden

Sind pro Jahr s Zinsverrechnungsperioden vereinbart und pro Zins-periode noch einmal m Zahlungsperioden, so sind alle obigen Formeln unver¨andert zu i benutzen, wenn anstelle des
Jahreszinses i der relative Zinssatz s verwendet i wird. F¨ ur q ist also 1 + s einzusetzen. Die Laufzeit wird dabei weiterhin u ¨ber die Zinsperioden abgez¨ahlt, d.h. n gibt die Anzahl der Zinsperioden u ¨ber die gesamte Laufzeit an. Zur Illustration greifen wir noch einmal unser letztes Beispiel auf:

KAPITEL 3. RENTEN

81

Beispiel 3.10 Es werden bei vereinbarten 6% Zinsen pro Jahr am Ende eines jeden viertel Jahres 250 EU R auf ein Ansparkonto eingezahlt. Zinsen werden jeweils halbj¨ahrlich verrechnet und dem Konto gutgeschrieben. Welcher Betrag hat sich nach 10 Jahren auf dem Konto angesammelt? Welchen Barwert hat dieser Betrag? Lo ¨sung: Es ist mit s = 2, m = 2, r = 250, i = 0.06, si = 0.03, n = 20   0.03 1.0320 − 1 R20 = 250 2 + 1 = 13535.95 [EU R] 2 0.03 und R0 = 13535.95/ (1.03)20 = 7494.50 [EU R] Man beachte, daß sich hierbei f¨ ur den Rentenendwert ein h¨oherer und f¨ ur den Rentenbarwert ein niedrigerer Wert ergibt. 2

3.2.3

Asyncrone konstante Raten

In manchen F¨allen der Praxis erfolgen Ratenzahlungen zwar periodisch, aber nicht syncron mit den Zinsverrechnungsterminen. In diesen F¨allen muß wie oben beschrieben f¨ ur jede Zinsperiode eine Ersatzrate berechnet werden. Sinnvollerweise erfolgt dies unter Verwendung von Tageszinsen auf dem Ersatzkonto. Beispiel 3.11 Es werden bei vereinbarten 6% Zinsen pro Jahr einmal pro viertel Jahres 250 EU R auf ein Ansparkonto eingezahlt. Die Einzahlung erfolge 10 Tage nach Beginn des viertel Jahres, Zinsen werden jeweils halbj¨ahrlich verrechnet und dem Konto gutgeschrieben. (Z.B. erfolge die Ratenzahlung jeweils zum 10.Januar, 10.April, 10. Juli, 10. Oktober, w¨ahrend die Zinsverechnung zum 31. Juni und zum 31. Dezember erfolgt.) Welcher Betrag hat sich nach 10 Jahren auf dem Konto angesammelt? Welchen Barwert hat dieser Betrag? Lo ¨sung: Es ist eine halbj¨ahrige Ersatzrate rE zu berechnen. Dies geschieht wie folgt:     0.06 0.06 +250 1 + [20 + 2 · 30] = 510. 41667 rE = 250 1 + [20 + 5 · 30] 360 360

KAPITEL 3. RENTEN

82

Damit ergibt sich als Rentenendwert R20 = 510. 41667

1.0320 − 1 = 13715. 09 [EU R] 0.03

Dieser liegt nat¨ urlich h¨oher als der entsprechende Wert bei nachsch¨ ussiger viertelj¨ahrlicher Ratenzahlung wie sie im letzen Beispiel erfolgte. Ferner ergibt sich als Rentenbarwert R0 = 13715. 09/ (1.03)20 = 7593. 71 [EU R] ein h¨oherer Wert als bei der nachsch¨ ussigen viertelj¨ahrlichen Ratenzahlung. 2

3.2.4

Effektive Verzinsung

Die bisherigen Formeln zur Rentenberechnung kranken aus Sicht der wirklichen Verzinsung im Sinne des exponentiellen Modells wieder an der zwischenzeitlichen Verwendung von relativen Zinss¨atzen und einfacher Verzinsung. Die wirkliche Verzinsung der eingezahlten Raten r erhielte man, wenn man jede Rate mit dem Faktor q t multiplizierte, wobei t die Restlaufzeit der Rate (in Jahren) sei, also die Zeitspanne, die von der Einzahlung der Rate bis zum Ende der Laufzeit der Rente vergeht. Dies entspricht der konformen (tagesgenauen) Verzinsung einer jeden Rate mit anschließlicher Aufsummierung der Endwerte. Ist der Rentenendwert Ke einer gegebenen Rente u ¨ber gewisse Zins- oder Sonderzahlungen ermittelt worden, so bezeichnet man den Jahreszinssatz ief f als effektiven Jahreszinssatz, f¨ ur den die konforme Verzinsung aller Raten in der Aussummierung genau den berechneten Rentenendwert ergibt. Einzahlende Rente Dies bedeutet laut PAngV bei einer einzahlenden Rente, bei der s Raten r1 , ..., rs zu den Zeitpunkten t1 , ..., ts (Tage nach Rentenbeginn) gezahlt werden und die eine Laufzeit von T Jahren hat: Zu l¨osen ist mit qef f = 1 + ief f

KAPITEL 3. RENTEN

83

die Gleichung Ke =

s X

T −Tk rk qef f

(3.25)

k=1

wobei Tk ∈ Q die Bruchteile eines Jahres angeben, die vom Beginn der Rentenzahlung bis zum Zeitpunkt tk verstrichen sind. Alle Exponenten dieser Gleichung haben als rationale Zahlen einen gemeinsamen Hauptnenner, sagen wir m ∈ N. m1 gibt den gr¨oßten Bruchteil eines Jahres, die Elementar-Zinsperiode an, bzgl. derer die Zahlungen eine Rente darstellen, bei der alle Zahlungen zu einem (fiktiven) Zinstermin erfolgen. 1 m Mit der Abk¨ urzung x := qef f ergibt sich daraus die Aufgabe, eine positive Nullstelle des Polynoms

f (x) =

s X

rk xnk − Ke

k=1

mit gewissen nat¨ urlichen Exponenten nk zu berechnen. x gibt den Aufzinsungsfaktor der Elementarperiode an. Im Gegensatz zur bisherigen Berechnung von effektiven Jahreszinss¨atzen kann die polynomiale Gleichung s X

rk xnk − Ke = 0

(3.26)

k=1

in der Regel nicht analytisch nach x aufgel¨ost werden. Nach der Vorzeichenregel von Descartes besitzt die Gleichung aber genau eine positive L¨osung x∗ , da nat¨ urlich Ke , r1 , ..., rs > 0 vorausgesetzt werden k¨onnen. P Wegen f (0) = −Ke < 0 und f (1) = −Ke + sk=1 rk < 0 muß sogar x∗ > 1 gelten. Damit gilt auch qef f > 1, also ief f > 0. Zu beachten ist, dass f 0 (x) > 0 und f 00 (x) > 0 gelten f¨ ur alle x ∈ R++ , so dass das Newton- Verfahren zur L¨osung von (3.26) von jeder beliebigen Stelle x0 ∈ R++ mit Erfolg gestartet werden kann! Ist die Elementar-Zinsperiode sehr klein, so empfliehlt es sich allerdings, mit dem Newton-Verfahren die (3.26) entsprechende Gleichung in der Variablen q zu l¨osen. Diese besitzt ebenso genau eine positive Nullstelle und kann von jedem beliebigen positiven q0 gestartet werden.

KAPITEL 3. RENTEN

84

Die bisherige Betrachtung ber¨ ucksichtigt noch in keiner Weise die Periodizit¨at der Ratenzahlungen. Alle Aussagen gelten f¨ ur eine beliebige Folge von positiven Zahlungen aus einem anf¨anglich leeren Konto. Verwendet man die doppelte Teilbarkeitseigenschaft der konformen Verzinsung, so kann auf die Konstruktion einer Ersatzrate rE zur¨ uckgegriffen werden, um mit der normalen Rentenendwertformel (3.1) zu arbeiten. Zur Berechnung der Ersatzreate werden alle Ratenzahlungen innerhalb eines Jahres auf ein Ersatzkonto eingezahlt, das mit dem effektiven Jahreszinssatz konform verzinst wird. Zum Ende des Jahres wird der Kapitalendwert des Ersatzkontos als Ersatzrate rE auf das Originalkonto eingezahlt. Wir pr¨ ufen diese zweite Vorgehensweise am Beispiel 3.11. Beispiel 3.12 Es werden bei vereinbarten 6% Zinsen pro Jahr einmal pro viertel Jahres 250 EU R auf ein Ansparkonto eingezahlt. Die Einzahlung erfolge 10 Tage nach Beginn des viertel Jahres, Zinsen werden jeweils halbj¨ahrlich verrechnet und dem Konto gutgeschrieben. (Z.B. erfolge die Ratenzahlung jeweils zm 10.Januar, 10.April, 10. Juli, 10. Oktober, w¨ahrend die Zinsverechnung zum 30. Juni und zum 31. Dezember erfolgt.) Welchen effektiven Jahreszinsfuß hat die Anlage? L¨osung: Der berechnete Rentenendwert lautete: Ke = 13715. 09. Die Ersatzrate rE berechnet sich u ¨ber den effektiven Aufzinsungsfaktor qef f = (1 + ief f ) zu   1− 3 − 10 1− 6 − 10 1− 9 − 10 1− 10 rE = 250 qef f365 + qef f12 365 + qef f12 365 + qef f12 365 so dass die zu l¨osende Gleichung lautet   q 10 − 1 1− 10 1− 3 − 10 1− 6 − 10 1− 9 − 10 ef f 13715. 09 = 250 qef f365 + qef f12 365 + qef f12 365 + qef f12 365 qef f − 1 1 Die Elementar-Zinsperiode ist hier 4380 Jahre. Dies entspricht zwei Stunden. Daher l¨ost man am besten die Gleichung  10 3 10 6 10 9 10 
1− 365 1− 12 − 365 1− 12 − 365 1− 12 − 365 10 13715. 09 (qef f − 1) = 250 qef f + qef f + qef f + qef f qef f −1

mit dem Newton-Verfahren, da die entsprechende polynomiale Gleichung 1 4380 f¨ ur x := qef atte. f eine Ordnung von 43800 · 4255 h¨

KAPITEL 3. RENTEN

85

Wir wissen bereits, dass diese Gleichung außer x = 1 noch genau eine positive L¨osung besitzt. Als eindeutige L¨osung q > 1 ergibt sich schließlich qef f = 1. 06090 81. Der effektive Jahreszinsfuß liegt also bei pef f = 6.09%. 2 Auszahlende Rente Bei einer auszahlenden Rente, bei der aus einem Anfangskapital Ka fortlaufende Zahlungen r1 , ..., rs zu den Zeitpunkten t1 , ..., ts nach Rentenbeginn u ¨ber eine Laufzeit T erfolgen, berechnet sich der effektive Jahreszinssatz ief f nach analog nach folgender Formel (vgl. (3.6)) T Ka qef f

=

s X

T −Tk rk qef + KT f

k=1

wobei wieder Tk ∈ Q die Bruchteile eines Jahres angeben, die vom Beginn der Rentenzahlung bis zum Zeitpunkt tk verstrichen sind und qef f = 1 + ief f ¨ gesetzt wurde. Alle obigen Uberlegungen sind weiterhin g¨ ultig, solange dabei T Ke = Ka qef f Verwendung finden kann.

3.3

Vollj¨ ahrige ver¨ anderliche Raten bei vollj¨ ahriger Verzinsung

Zuweilen wird bei Renten eine additive oder prozentuale Ver¨anderung der laufenden Raten vereinbart. So kann z.B. vereinbart sein, zur schnelleren Tilgung eines Kredits die Zahlungen laufend um 2% zu erh¨ohen. Wir wollen solche F¨alle exemplarisch f¨ ur vollj¨ahrige Raten mit vollj¨ahriger Verzinsung besprechen. Bei unterj¨ahriger Verzinsung ist mit den entsprechenden Ersatzraten zu arbeiten.

3.3.1

Arithmetisch fortschreitende Raten

Zun¨achst betrachten wir den Fall, daß die Ratenzahlungen laufend um einen festen Betrag d steigen. rs = r + (s − 1) d,

s∈N

KAPITEL 3. RENTEN

86

F¨ ur den Endwert der nachsch¨ ussigen Rente ergibt sich dann (vgl. 3.1) Rn = rq n−1 + (r + d) q n−2 + ... + (r + (n − 1) d) n n−1 X X n−j = r q +d jq n−j−1 j=1

(3.27)

j=0

Aus der folgenden Zwischen¨ uberlegung ergibt sich eine Zusammenfassung d bezeichnet die Ableitung nach q) dieser Formel ( dq ! n−1 n−1 n−1 X X d −j d X −j −j−1 (−j) q = q q = dq dq j=0 j=1 j=1   d q −n − 1 −n q −n − 1 = = − dq q −1 − 1 (q −1 − 1) q n+1 (q − 1)2 also n−1 X j=0

jq

n−j−1

 −n q −n − 1 = −q − (q −1 − 1) q n+1 (q − 1)2   n 1 1 q −1 −n = [sn − n] = q−1 q−1 q−1 n



(3.28)

schließlich also qn − 1 d Rn = r + q−1 q−1



qn − 1 −n q−1

 = rsn +

d (sn − n) q−1

(3.29)

Daher gilt f¨ ur den Barwert: 1 − q −n d Rn R0 = n = r + q q−1 q−1



n 1 − q −n − n q−1 q

 (3.30)

Die entsprechenden Formeln f¨ ur die vorsch¨ ussige Rente lauten  n  qn − 1 dq q −1 d Rn = rq + − n = rs0n + (s0 − nq) q−1 q−1 q−1 q−1 n

(3.31)

und 1 − q −n dq R0 = rq + q−1 q−1



1 − q −n n − n q−1 q

 =

ra0n

d + q−1



a0n

−

n



q n−1 (3.32)

KAPITEL 3. RENTEN

87

Beispiel 3.13 Ein Betrag von 10000 EU R wird auf ein Konto eingezahlt und zu 6% verzinst. Mit welchem Auszahlungs-Betrag kann eine jeweils zum Jahresende auszuzahlende Rente aus diesem Konto beginnen, wenn die Zahlungen u ¨ber 10 Jahre laufen und j¨ahrlich um 50 EU R steigen sollen und das Konto am Ende leerger¨aumt sein soll? Wie groß ist die letzte Rate? Lo ¨sung: Mit R0 = 10000, q = 1.06, d = 50 und n = 10 wird in die Formel f¨ ur die nachsch¨ ussige Rente eingesetzt und nach r aufgel¨ost   q−1 R0 (q − 1) d 1−n n r = − 1 − q −n q−1 q −1   10000 · 0.06 50 0.06 = − 1 − 10 = 1157.60 1 − 1.06−10 0.06 1.0610 − 1 Die anf¨angliche Rate betr¨agt also 1157.60 EU R und die letzte 1157.60 + 9 · 50.00 = 1607.60 EU R. 2 F¨ ur die ewige Rente gilt im nachsch¨ ussigen Fall   1 − q −n d 1 − q −n n d r + − n = + R0 = lim r n→∞ q−1 q−1 q−1 q q − 1 (q − 1)2

(3.33)

und im vorsch¨ ussigen Fall dq 1 − q −n + R0 = lim rq n→∞ q−1 q−1



n 1 − q −n − n q−1 q

 =r

q q +d (3.34) q−1 (q − 1)2

Allgemeine arithmetisch fortschreitende Rente Nun seien ohne Beweis noch Formeln f¨ ur die folgende allgemeine arithmetisch fortschreitende Rente genannt. Bei dieser wird nicht bei jedem Zinsverrechnungstermin die laufende Rate um den Betrag d erh¨oht, sondern nach jeweils w Zinsperioden. Dabei d¨ urfen wir n > w > 1 annehmen, da sich sonst die Situation nicht von den bisherigen unterscheidet. Zu beachten ist, daß n kein ganzzahliges Vielfache von w sein muß. Gilt (k − 1) w < n ≤ kw f¨ ur ein k ∈ N, so erh¨alt man f¨ ur den nachsch¨ ussigen Fall die folgende Identit¨at   n  1 q − q n−(k−1)w n Rn = r (q − 1) + d − (k − 1) (3.35) q−1 qw − 1

KAPITEL 3. RENTEN

88

und f¨ ur den vorsch¨ ussigen Fall   n  q q − q n−(k−1)w n Rn = r (q − 1) + d − (k − 1) q−1 qw − 1

(3.36)

Man beachte, daß sich f¨ ur w = 1 und k − 1 = n gerade die alten Formeln ergeben.

3.3.2

Geometrisch fortschreitende Renten

Wir vergr¨oßern nun die zu zahlende Rate nach jeder Zahlungsperiode u ¨ber einen Vergr¨oßerungsfaktor c > 1 rs = rcs−1 ,

s∈N

Dadurch ergibt sich f¨ ur den Rentenendwert f¨ ur die nachsch¨ ussige Rente Rn = rq n−1 + crq n−2 + ... + cn−1 r "  n−1 #  2 c c c n−1 = rq 1+ + + ... + q q q   n−1 j X c n−1 = rq q j=0

(3.37)

Bei Anwendung der geometrischen Teilsummenformel m¨ ussen wir die F¨alle q = c und q 6= c unterscheiden  cn −qn r c−q , f¨ ur c 6= q Rn = (3.38) n−1 rnq , f¨ ur c = q Daraus ergibt sich dann eine Formel f¨ ur den Rentenbarwert ( n ( qc ) −1 r , f¨ ur c 6= q c−q R0 = n rq, f¨ ur c = q

(3.39)

Entsprechende Formeln k¨onnen auch f¨ ur die vorsch¨ ussige Rente ermittelt werden  cn −qn rq c−q , f¨ ur c 6= q Rn = (3.40) n rnq , f¨ ur c = q

KAPITEL 3. RENTEN

89

und

( R0 =

n

( c ) −1 ur c 6= q rq qc−q , f¨ rn, f¨ ur c = q

(3.41)

Beispiel 3.14 Wir rechnen noch einmal das letzte Beispiel, diesmal aber mit einer 5% tigen Steigerung der Rate. L¨ osung: Es gilt nun mit R0 = 10000, c = 1.05, q = 1.06, n = 10 r =

=

R0 (c − q)  n c −1 q 10000 · (1.05 − 1.06) = 1105.80
1.05 10 − 1 1.06

Die anf¨angliche Rate betr¨agt also 1105.80 EU R und die letzte 1105.80 ∗ 1.059 = 1715. 5 EU R. 2 Im Falle einer ewigen Rente ergibt sich ein endlicher Rentenbarwert nur, wenn c < q gilt, wenn also die Steigerung der Zahlungen unterhalb der Verzinsung liegt. Es gilt dann im nachsch¨ ussigen Fall  n c −1 q r = (3.42) R0 = lim r n→∞ c−q q−c und im vorsch¨ ussigen Fall  n R0 = lim rq n→∞

c q

−1

c−q

=

rq q−c

(3.43)

Allgemeine geometrisch fortschreitende Rente Ohne Beweis seien wieder die Formeln f¨ ur die allgemeine geometrisch fortschreitende Rente angegeben. Bei dieser wird nicht bei jedem Zinsverrechnungstermin die laufende Rate um den Faktor c erh¨oht, sondern nach jeweils w Zinsperioden. Dabei d¨ urfen wir n > w > 1 annehmen, da sich sonst die Situation nicht von den bisherigen unterscheidet. Zu beachten ist, daß n kein ganzzahliges Vielfache von w sein muß.

KAPITEL 3. RENTEN

90

Gilt (k − 1) w < n ≤ kw f¨ ur ein k ∈ N, so erh¨alt man f¨ ur den nachsch¨ ussigen Fall die folgende Identit¨at ( r(qw −1) kq (k−1)w f¨ ur c = q w q−1 Rkw = und (3.44) w kw k r(q −1) q −c f¨ ur c 6= q w q−1 q w −c
r k−1 n−(k−1)w q −1 (3.45) c Rn = R(k−1)w q n−(k−1)w + q−1 und f¨ ur den vorsch¨ ussigen Fall ( rq(qw −1)

f¨ ur c = q w und f¨ ur c 6= q w
rq k−1 n−(k−1)w c q −1 = R(k−1)w q n−(k−1)w + q−1

Rkw = Rn

kq (k−1)w q−1 w rq(q −1) q kw −ck q−1 q w −c

(3.46) (3.47)

Man beachte, daß sich f¨ ur w = 1 und k − 1 = n die alten Formeln ergeben.

3.4 3.4.1

¨ Ubungsaufgaben Theoretische Aufgaben

Aufgabe 3.15 Diskutieren Sie die (numerische) Aufl¨osung der Formeln (3.2), (3.10) und (3.11) nach q u ur Polynome ¨ber das Newtonverfahren f¨ Aufgabe 3.16 Beweisen Sie die Formeln f¨ ur die allgemeine arithmetisch fortschreitende und die allgemeine geometrisch fortschreitende Rente.

3.4.2

Praktische Aufgaben

Aufgabe 3.17 Frau Z. zahlte am 1.1.1988 80000 DM auf einer Bank ein. Zu Beginn eines jeden weiteren Jahres wurden j¨ahrlich 4000 DM angespart, und zwar letzmalig am 1.1.1997. Ab 1.1.1998 wurden j¨ahrlich am Jahresanfang 6000 DM abgehoben. Welchen Kontostand weist das Konto am 31.12. 2001 auf, wenn durchgehend ein Jahreszinsfuß von 5.5% g¨ ultig ist? Welche ewige nachsch¨ ussige j¨ahrliche Rente (in EU R) k¨onnte dem Konto ab dem 31.12.2002 entnommen werden, wenn der Jahreszinsfuß unver¨andert bleibt?

KAPITEL 3. RENTEN

91

Aufgabe 3.18 Ein Unternehmer m¨ochte drei Maschinen zum Preis von jeweils 30000 EU R anschaffen. die erste Maschine soll Anfang 2006, die zweite Anfang 2008 und die dritte Anfang 2011 installiert werden. Wie hoch ist bei einem Zinsfuß von 5% die j¨ahrliche R¨ ucklage des Unternehmers, wenn die erste j¨ahrliche R¨ ucklage Anfang 1999 erfolgte und die letzte Anfang 2003 erfolgen soll? Aufgabe 3.19 Herr P. zahlt jeweils zum 1. und zum 15. eines jeden Monats 200 EU R auf ein Konto ein. Die Verzinsung erfolgt viertelj¨ahrlich mit 1.25%. 1. Berechnen Sie den Kontostand nach 10 Jahren. 2. Welcher Betrag m¨ usste jeweils zu Jahresbeginn alternativ eingezahlt werden, damit nach 10 Jahren der gleiche Kontostand erreicht w¨ urde? 3. Wie lange k¨onnten dem Konto (nach 10 Jahren) bei gleicher Verzinsung monatlich vorsch¨ ussig 500 EU R entnommen werden? Aufgabe 3.20 Jemand zahlt 15 Jahre lang jeweils j¨ahrlich vorsch¨ ussig 6000 EU R auf ein Konto ein und erh¨alt am Ende 150000 EU R ausbezahlt. a) Berechnen Sie den effektiven Jahreszinssatz. Wie hoch ist der effektive Jahreszinssatz, falls bei gleicher Auszahlung monatlich b) vorsch¨ ussig c) nachsch¨ ussig jeweils 500 EU R eingezahlt werden? Aufgabe 3.21 Herr K. verkauft sein Haus um 300000 EU R. Der K¨aufer zahlt jedoch nicht sofort, sondern in Form einer zwanzigj¨ahrigen monatlich vorsch¨ ussig zu zahlenden Rente. Gesucht wird bei einem vereinbarten Jahreszinsfuß von 7% der monatliche Rentenbetrag?

KAPITEL 3. RENTEN

92

Aufgabe 3.22 Ein Bausparer schließt einen Bausparvertrag u ¨ber 180000 EU R ab. Bis zur Zuteilung in 8 Jahren sollen einschließlich anfallender Zinsen 40% der Bausparsumme eingezahlt sein. 1. Welcher konstante Betrag muß viertelj¨ahrlich vorsch¨ ussig 8 Jahre lang eingezahlt werden bei einem (j¨ahrlichen) Guthabenzins von 2.5%? 2. Nach der Zuteilung wird ein Bauspardarlehen von 108000 EU R ausgezahlt. Die Verzinsung erfolgt viertelj¨ahrlich zu einem nominellen Jahreszins von 4.5%. Welcher nachsch¨ ussige monatliche Betrag muß gezahlt werden, damit das Darlehen nach genau 10 Jahren zur¨ uckgezahlt ist? Aufgabe 3.23 Ein Handwerker m¨ochte von seinem 60. Geburtstag an 20 Jahre lang eine monatliche vorsch¨ ussige Rente von 1500 EU R ausgezahlt bekommen, die j¨ahrlich um 2% steigen soll. Welchen Betrag muß er daf¨ ur 30 Jahre lang bis zu seinem 60. Geburtstag viertelj¨ahrlich nachsch¨ ussig ansparen, wenn der Jahreszinssatz sowohl w¨ahrend der Anspar- als auch w¨ahrend der Auszahlungszeit 5.5% betr¨agt? Aufgabe 3.24 Eine vorsch¨ ussige Jahresrente von 15000 EU R soll jedes Jahr um 300 EU R (bzw. 2%) erh¨oht werden. Welcher Betrag muß bei einem Jahreszinsfuß von 6.5% daf¨ ur angelegt werden, damit die Rente vorsch¨ ussig 15 Jahre lang gezahlt werden kann? Welcher Betrag muß angelegt werden, damit die Rente bei gleichen Konditionen sogar ewig gezahlt werden kann? Aufgabe 3.25 Eine Firma macht einem Angestellten bzw. dessen Hinterbliebenen folgende Pensionszusage f¨ ur 20 Jahre. Monatlich werden vorsch¨ ussig 1200 EU R gezahlt. Die Rente wird alle zwei Jahre um 3% erh¨oht. 1. Gesucht ist der Rentenendwert nach 20 Jahren bei einem Jahreszinssatz von 5%. 2. Welchen Betrag muß die Firma bei gleichem Kapitalzinssatz zu Beginn der Laufzeit f¨ ur die Pensionsr¨ uckstellungen einsetzen?

KAPITEL 3. RENTEN

3.4.3

93

Progammierpraxis

Aufgabe 3.26 Schreiben Sie ein (Excel-) VBA-Programm, das auf der Basis der Formeln (3.16) und (3.17) fehlende Daten zu einer Rente mit unterj¨ahrigen Raten und vollj¨ahriger Verzinsung berechnet. Verwenden Sie dabei die Berechnung von q auch zur Effektivzinsberechnung. Aufgabe 3.27 Schreiben Sie ein (Excel-) VBA-Programm zur Rentenrechnung, das folgendes leistet: Zu allgemeiner geometrisch fortschreitender oder allgemeiner arithmetisch fortschreitender vorsch¨ ussiger oder nachsch¨ ussiger Rentenzahlung werden Rentenendwert, Rentenbarwert und Laufzeit berechnet, je nachdem welche Daten gegeben sind. Außerdem sollen bei gegebener Anfangsrate, dem Barwert und der Laufzeit die jeweils (maximale) arithmetische oder geometrische Steigerungsrate der Rente berechnet werden k¨onnen.

Kapitel 4 Ausgleich negativer Kontost¨ ande - Tilgung In diesem Abschnitt betrachten wir regelm¨aßige Einzahlungen auf ein Kreditkonto, die dazu dienen sollen, einen bestehenden negativen Kontostand sowie die darauf anfallenden Schuldzinsen in einem vorgesehenen Zeitrahmen, der Laufzeit, auszugleichen. Die in der Regel in gleichen Zeitabst¨anden in gleicher H¨ohe fließenden Zahlungen nennt man Annuit¨ aten. Die Annuit¨aten m¨ ussen so bemessen sein, daß das Schuldkonto am Ende der Laufzeit ausgeglichen ist. Sie enthalten also einen Tilgungsanteil, der einen Teil der verbleibenden Restschuld zur¨ uckzahlt und einen Zinsanteil, der die auf die Restschuld f¨alligen Zinsen beinhaltet. Sind die Annuit¨aten konstant, so nimmt der Tilgungsanteil im Laufe der Zeit immer weiter zu, da der Zinsanteil wegen fallender Restschuld immer weiter abnimmt. Ein Darlehen, das u uckgezahlt wird, ¨ber (zumeist konstante) Annuit¨aten zur¨ nennen wir Annuit¨ atendarlehen. Des weiteren sind Tilgungen gebr¨auchlich, bei denen die Annuit¨aten im Laufe der Zeit in vorher festgelegtem Maße zuoder abnehmen. Annuit¨atendarlehen, bei denen die Zahlungsintervalle und die Zinsverrechnungsintervalle u ¨bereinstimmen, wollen wir einfach nennen. Daneben sind auch Ratenkredite u ¨blich, bei denen die Schuld in festen Tilgungsraten getilgt wird. Da wiederum die Zinsen im Laufe der Zeit abnehmen und diese den Raten zugeschlagen werden, sind bei Ratenkrediten die An¨ nuit¨aten nicht konstant. Ratenkredite werden wir in den Ubungsaufgaben betrachten. 94

KAPITEL 4. TILGUNG

95

Annuit¨atenzahlungen sind von ihrer Struktur her Renten. Wir k¨onnen daher weitgehend die Formeln und Bezeichnungen des letzten Kapitel verwenden. Dabei betrachten wir nur den f¨ ur die Praxis relevanten Fall der nachsch¨ ussigen Annuit¨aten. F¨ ur die Raten der Rente, die Annuit¨aten, wollen wir die einpr¨agsame Abk¨ urzung As verwenden und f¨ ur die (positiv angesetzte) Restschuld Ss (hierbei z¨ahlt s ∈ N,1 ≤ s ≤ n, die Zahlungsperioden ab). Den Zinsanteil in As bezeichnen wir mit Zs und mit Ts den Tilgungsanteil. Es gilt also immer As = Zs + Ts

4.1

(4.1)

Einfache Annuit¨ aten

Zun¨achst besprechen wir den klassischen Fall des Annuit¨atendarlehens, bei dem periodisch konstante Zahlungen erfolgen und bei dem die Restschuld jeweils zum Zeitpunkt der Ratenzahlung verzinst wird.

4.1.1

Einfache konstante Annuit¨ aten

Zur Berechnung der Raten eines Annuit¨atendarlehens verwenden wir die Formeln aus Abschnitt 3.1.1. Ist (−S) der Kontostand des betrachteten Kontos zum Zeitpunkt s = 0, so betr¨agt dieser bei periodischen Ratenzahlungen der H¨ohe r und einem Aufzinsungsfaktor von q nach n Perioden gem¨aß (3.6) n

−Sn = Rn = −Sq +

n−1 X j=0

rq j = −Sq n + r

qn − 1 q−1

(4.2)

Wir betrachten jetzt den Fall, daß die periodischen Zahlungen der H¨ohe r = A nach n Jahren zu einem ausgeglichenen Kontostand f¨ uhren. Es gilt dann Rn = 0 und damit qn − 1 S = Aq −n (4.3) q−1 Aus dieser Formel kann die Annuit¨at bei gegebenen Daten S, q, n berechnet werden: q−1 q−1 A = Sq n n =S (4.4) q −1 1 − q −n

KAPITEL 4. TILGUNG Man nennt κ :=

q−1 1−q −n

96

den Annuit¨ atenfaktor.

Bemerkung: 1. Formel (4.3) schreibt sich auch als S = Aq

n

n−1

n

− 1 X j−n X −l = Aq = Aq = Aq −1 + ... + Aq −n (4.5) q−1 j=0 l=1

−n q

die so interpretiert wird, daß die Schuld S0 = S durch die Summe aller diskontierten Annuit¨aten getilgt wird. 2. Im Falle des zeitlich unbegrenzten (ewigen) Annuit¨atendarlehens gilt A = lim S n→∞

q−1 = S (q − 1) = S · i 1 − q −n

(4.6)

d.h. die Annuit¨at hat in diesem Fall genau die H¨ohe der zu zahlenden Zinsen. 2 Aus (4.4) folgt f¨ ur die Laufzeit des Annuit¨atendarlehens (vgl. (3.4))   − ln 1 − S(q−1) A ln A − ln (A − S · i) = n= ln q ln q

(4.7)

Man beachte, daß hierin A > S · i angenommen werden muß, die Annuit¨at muß also echt gr¨oßer als der Jahreszinsbetrag sein, damit das Darlehen eine endliche Laufzeit hat (vgl. (4.6)). Beispiel 4.1 F¨ ur eine Schuld von 50000 EU R wird bei einem nominellen Zinsfuß von 4% eine j¨ahrliche Annuit¨at von 5704, 45 EU R gezahlt. Nach wieviel Jahren ist die Schuld getilgt? L¨ osung: ln 5704.45 − ln (5704.45 − 2000) = 11 ln 1.04 Die Schuld ist nach 11 Jahren vollst¨andig getilgt. n=

2

KAPITEL 4. TILGUNG

97

Restschuld Zu der Annuit¨at (4.4) wollen wir den Zinsanteil Zs und den Tilgungsanteil Ts sowie die Restschuld Ss , s ∈ N, berechnen. Die Restschuld ergibt sich als Kontostand zum Beginn der Periode s, nach Zahlung der Anniuit¨at A = As , also (als positive Gr¨oße) nach Formel (4.2) aus der verzinsten Anfangsschuld Sq s abz¨ uglich der auf diesen Zeitpunkt aufgezinsten bereits gezahlten Annuit¨aten: qs − 1 (4.8) Ss = Sq s − A q−1 Setzt man (4.4) in (4.8) ein, so ergibt sich q − 1 qs − 1 Ss = Sq s − Sq n n q −1 q−1   n q (q s − 1) s = S q − qn − 1 qn − qs q n−s − 1 = S n = Sq s n q −1 q −1

(4.9)

Auf der anderen Seite wird die Restschuld Ss durch die noch ausstehenden (n − s) Annuit¨aten getilgt. Daher gilt analog (4.5) Ss = Aq

−(n−s) q

n−s X −1 =A q −j = Aq −(n−s) + ... + Aq −2 + Aq −1 (4.10) q−1 j=1

n−s

Bemerkung: • Durch Verkn¨ upfung von (4.6) und (4.8) zeigt sich, daß bei einem ewigen Annuit¨atendarlehen die Restschuld unver¨andert gleich der Anfangsschuld bleibt. • L¨ost man Formel (4.10) nach A auf, A = Ss

q−1 1 − q −(n−s)

(4.11)

und vergleicht diese Gleichung mit Formel (4.4), so sieht man, daß man die Annuit¨at auch auf der Basis der Restschuld zu Beginn einer jeden Periode berechnen kann, wenn dabei nur die Restlaufzeit ber¨ ucksichtigt wird.

KAPITEL 4. TILGUNG

98

Zins- und Tilgungsanteil Mit Hilfe der Formeln f¨ ur die Restschuld lassen sich nun bequem der Zinsanteil und der Tilgungsanteil der Annuit¨at berechnen. Offensichtlich gilt mit (4.9) und (4.3) (Ss−1 ist die Restschuld am Ende der Periode s) Zs = Ss−1 · i = S



q n − q s−1 −n n s−1 −(n+1−s) (q − 1) = Aq q − q = A 1 − q qn − 1 (4.12)

und damit Ts = A − Zs = Aq −(n+1−s) = Aq −(n+1) q s = Ts−1 q = T1 q s−1

(4.13)

Daher bilden die Tilgungen eine geometrische Folge, der Tilgungsanteil nimmt progressiv zu. Mit (4.4) gilt auch Ts = S

q s − q s−1 q − 1 s−1 q = S qn − 1 qn − 1

(4.14)

Man kann Ts auch u ¨ber die Restschuld Ss−1 zu Beginn der Periode s berechnen. Mit (4.14) und (4.9) ergibt sich Ts = Ss−1

q s − q s−1 q−1 q n − 1 q s − q s−1 = S = Ss−1 n+1−s s−1 n s−1 n n s−1 q −q q −1 q −q q −1

(4.15)

Insbesondere ergibt sich f¨ ur T1 T1 = A − Z1 = A − S (q − 1) = Aq −n = S

q−1 qn − 1

(4.16)

Bemerkungen: 1. Nat¨ urlich unterscheidet sich die Restschuld zu Beginn der Periode s von der zum Ende der Periode s gerade um die Tilgungsrate in der Periode s: Ss−1 − Ss = S

q n − q s−1 qn − qs q s − q s−1 − S = S = Ts qn − 1 qn − 1 qn − 1

(4.17)

Da die Tilgungsrate geometrisch anw¨achst, f¨allt die Restschuld entsprechend progressiv ab.

KAPITEL 4. TILGUNG

99

2. Nach 1. ist die Schuld S gerade die Summe aller Tilgungsraten. Mit (4.13) gilt S = T1 + ... + Tn = T1 1 + q + ... + q

n−1




qn − 1 = T1 q−1

(4.18)

was Formel (4.16) best¨atigt. Entsprechend gilt f¨ ur die Restschuld Ss = S − (T1 + ... + Ts ) qs − 1 = S − T1 q−1

(4.19)

und Ss = Ts+1 + ... + Tn
= T1 q s + ... + q n−1
= T1 q s 1 + q + ... + q n−s−1 n−s qn − qs −1 sq = T1 = T1 q q−1 q−1 3. Zu beobachten ist aber, daß der Barwert T aller Tilgungraten zum Zeitpunkt s = 0 konstant gleich T = Ts q −s = Aq −(n+1−s) q −s = Aq −(n+1) = T1 q −1

(4.20)

ist. Es gilt also A = T q n+1 = T1 q n . Beachte: Im Sinne von Formel (4.5) wird die Schuld aber nicht alleine durch die diskontierten Tilgungsraten getilgt, es gilt nicht T = Sn . Beispiel 4.2 Ein Darlehen von 100000 EU R soll in 15 j¨ahrlich gleichen Annuit¨aten getilgt werden. Der vereinbarte Zinsfuß betrage 6%. Man bestimme: 1. die Annuit¨at 2. die erste Tilgungsrate 3. die 8. Tilgungsrate

KAPITEL 4. TILGUNG

100

4. die Restschuld nach 10 Jahren 5. die 12. Zinsrate Lo ¨sung: Es gilt S = 100000, n = 15, q = 1.06. Damit ergibt sich nach den obigen Formeln 1. A = 100000

1.06 − 1 1.0615 = 10296.28 1.0615 − 1

2. T1 = A − Z1 = 10296.28 − 6000 = 4296.28 3. T8 = 4296.28 · 1.067 = 6460.02 4. S10 = 100000 − 4296.28

1.0610 − 1 = 43371.66 1.06 − 1

Z12 = A − T12 = 10296.28 − 4296.28 · 1.0611 = 2140.66 Ergebnis: Die Annuit¨at betr¨agt 10296, 28 EU R, die erste Tilgungsrate 4296, 28 EU R, die achte Tilgungsrate 6460, 02 EU R, die Restschuld nach zehn Jahren 43371, 61 EU R und die Zinsen am Ende des zw¨olften Jahres 2140, 66 EU R. 2

4.1.2

Tilgungsplan

In dem Beispiel wurden willk¨ urlich einige interessante Gr¨oßen zur Tilgung ¨ konkret ausgerechnet. M¨ochte man einen vollst¨andigen Uberblick u ¨ber den Verlauf der Tilgung erhalten, so empfiehlt sich die Erstellung eines Tilgungsplanes. Bei diesem werden zu jeder Zahlungs- und Zinsverrechnungsperiode die Zinszahlung, die Tilgungsleistung und die Restschuld tabellarisch aufgeschrieben. Dies kann fortlaufend mit Hilfe der Formeln (4.12) bis (4.17) geschehen.

KAPITEL 4. TILGUNG

101

Beispiel 4.3 Eine Schuld von 500000 EU R soll durch einfache Annuit¨atentilgung in 6 Jahren bei einem Zinsfuß von 8% getilgt werden. Man stelle einen Tilgungsplan auf. Lo ¨sung: Es ist S = 500000, n = 6, q = 1.08. Daraus berechnet sich zun¨achst eine Annuit¨at von A = 500000 · 1.086

1.08 − 1 = 108157.69 1.086 − 1

Die ersten Zinsen betragen Z1 = 500000 · 1.08 = 40000 und die erste Tilgungsrate T1 = 108157.69 − 40000 = 68157.69 woraus sich eine Restschuld am Ende des ersten Jahres von S1 = 500000 − 68157.69 = 431842.31 ergibt. F¨ uhrt man diese Rechnung fort, so ergibt sich der folgende Tilgungsplan: Jahr s Restschuld Ss−1 Zinsen Zs Tilgung Ts Restschuld Ss 1 500000 40000 68157.69 431842.31 2 431842.31 34547.38 73610.31 358232.87 358232.00 28658.56 79499.13 278732.87 3 278732.87 22298.63 85859.06 192873.81 4 5 192873.81 15429.90 92727.79 100146.02 6 100146.02 8011.68 100146.01 0.01 Aus dieser Tabelle l¨aßt sich der Verlauf der Tilgung verfolgen.

4.1.3

2

Unterj¨ ahrige Perioden

Alle bislang hergeleiteten Formeln gelten f¨ ur einfache Annuit¨atendarlehen, auch etwa f¨ ur solche mit unterj¨ahrigen Zahlungen und unterj¨ahriger Verzinsung. Findet beides mit der Periode m1 −tel Jahr statt, so ist nur i durch i und q durch 1 + mi zu ersetzen. (n bezeichnet weiterhin die Anzahl der m Zahlungsperioden).

KAPITEL 4. TILGUNG

102

Beispiel 4.4 Ein Darlehen von 50000 EU R soll bei einem nominellen Zinsfuß von 5% durch viertelj¨ahrliche gleiche Raten in zwei Jahren getilgt werden. Es findet viertelj¨ahrliche Zinsverrechnung statt. Lo ¨sung: Zu rechnen ist mit S = 50000, n = 8, p = 5/4 = 1.25, q = 1.0125. Mit diesen Daten ergibt sich eine viertelj¨ahrliche Annuit¨at von A=S

i 0.0125 = 50000 = 6606.66 −n 1−q 1 − 1.0125−8

Es ergibt sich folgender Tilgungsplan: Periode s Restschuld Ss−1 Zinsen Zs Tilgung Ts Restschuld Ss 1 50000, 00 625, 00 5981, 66 44018, 34 2 44018, 34 550, 23 6056, 43 37961, 92 37961, 92 474, 52 6132, 13 31829, 78 3 31829, 78 397, 87 6208, 78 25621, 00 4 5 25621, 00 320, 26 6286, 39 19334, 60 6 19334, 60 241, 68 6364, 97 12969, 09 12969, 63 162, 12 6444, 54 6525, 09 7 8 6525, 09 81, 56 6525, 09 0, 00 2

4.2

Varianten der einfachen Tilgung

Im folgenden besprechen wir einige Abarten der einfachen Annuit¨aten-Tilgung.

4.2.1

Prozentannuit¨ at

Tilgungen im Bausparwesen oder bei Hypothekendarlehen werden h¨aufig durch eine Prozentangabe festgelegt. Heißt es etwa: ”Das Darlehen wird zu 6% verzinst und mit 2% getilgt”, so ist folgende Regelung gemeint: Der Tilgungsanteil der Annuit¨at betr¨agt im ersten Jahr 2% der geschuldeten Summe. In diesem Fall hat das Darlehen keine feste Laufzeit, aus der eine Annuit¨at berechnet werden k¨onnte. Stattdessen wird die Annuit¨at dadurch festgelegt, daß sie die Summe aus der Zinsrate und der Tilgungsrate des ersten Jahres

KAPITEL 4. TILGUNG

103

darstellt. Diese Zahlungsrate gilt dann durchgehend f¨ ur alle Zahlungsperioden, bis die Schuld getilgt ist. Nachtr¨aglich l¨aßt sich damit aus Formel (4.7) die Laufzeit des Darlehens ermitteln. Beispiel 4.5 Ein Darlehen von 50000 EU R wird mit 6% verzinst und mit 2% getilgt. Wann ist die Schuld zur H¨alfte getilgt, wann vollst¨andig? Wie hoch ist die letzte Rate? Lo ¨sung: Es ist S = 50000 und q = 1.06. Die Zinsen des ersten Jahres betragen Z1 = 50000 · 0.06 = 3000 Die Tilgung des ersten Jahres betr¨agt T1 = 50000 · 0.02 = 1000 Damit bel¨auft sich die Annuit¨at auf A = 4000 EU R. Die Antwort auf die erste Frage kann nun am einfachsten mit Formel (4.8) gegeben werden 1.06s − 1 qs − 1 s = 50000 · 1.06 − 4000 25000 = Ss = Sq − A q−1 0.06 s

Dies wird nach 1.06s aufgel¨ost: 25000 · 0.06 = (50000 · 0.06 − 4000) 1.06s + 4000 =⇒ 25000 · 0.06 − 4000 1.06s = =⇒ 50000 · 0.06 − 4000 ln (4000 − 25000 · 0.06) − ln (4000 − 50000 · 0.06) = 15.725 s = ln 1.06 Das Darlehen ist also nach 16 Jahren zu mehr als der H¨alfte getilgt. Zur Berechnung der (gesamten) Tilgungsdauer verwenden wir Formel (4.7) n=

ln A − ln (A − S · i) ln 4000 − ln (4000 − 50000 · 0.06) = = 23.791 ln q ln 1.06

Das Darlehen ist also nach 23, 791 Jahren vollst¨andig getilgt. Es stellt sich die Frage, wie mit dieser gebrochenen Zahl umzugehen ist. Vereinbart sind vollj¨ahrige Tilgung und Verzinsung. Daher ist die Laufzeit

KAPITEL 4. TILGUNG

104

des Darlehens volle 24 Jahre. Die letzte Rate muß dann aber nur so hoch sein, daß das Darlehen gerade getilgt und die letzten Zinsen gezahlt werden. Zur praktischen Abwicklung berechnet man die Restschuld nach 23 Jahren wiederum nach Formel (4.8) Ss = Sq s − A

qs − 1 1.0623 − 1 = 50000 · 1.0623 − 4000 = 3004.20 q−1 1.06 − 1

Auf diese Schuld muß im letzten Jahr Zinsen gezahlt werden und zwar: Z24 = 3004.20 · 0.06 = 180.25 Die letzte Rate betr¨agt daher 3004, 20 EU R+180, 25 EU R = 3184, 45 EU R. 2

4.2.2

Annuit¨ aten mit Agio oder Disagio

Je nach Marktlage werden Annuit¨atendarlehen mit einem Aufgeld (Agio) ¨ versehen, um die Ubernahme des Darlehens f¨ ur den Gl¨aubiger attraktiver zu machen oder mit einem Abschlag (Disagio), um die Zinsen nominell attraktiver zu gestalten und so den Schuldner f¨ ur das Darlehen zu gewinnen. Ein Aufgeld kann periodisch als Zuschlag zu den Zinszahlungen oder einmalig zu Beginn der Laufzeit gezahlt werden. Ein Abschlag wird in der Regel nur zu Beginn der Laufzeit erhoben. Aufgelder entstehen f¨ ur den Schuldner auch, wenn zus¨atzliche Geb¨ uhren erhoben werden. Wir betrachten zun¨achst den Fall, daß ein periodisches Aufgeld erhoben wird, das sich in seiner H¨ohe aus der Tilgung berechnet (Tilgungsaufgeld ). Ein ¨ entsprechendes Restschuldaufgeld wird in den Ubungen angesprochen. Ferner betrachten wir den Fall des einmalig zu Beginn der Laufzeit erhobenen Agio oder Disagio. Periodisches Tilgungs-Aufgeld Wird ein Aufgeld vereinbart, so wird dieses in jeder Zahlungsperiode zus¨atzlich zu Tilgung und Zinsen gezahlt und (in der Regel) als Prozentanteil α der Tilgungsrate angegeben. Ist Ts die Tilgungsrate der s -ten Periode, so ist as =

Ts · α 100

(4.21)

KAPITEL 4. TILGUNG

105

das zu zahlende Aufgeld. Die s -te Annuit¨at As betr¨agt daher As = Ts + Zs + as

(4.22)

Zu beachten ist, daß das Tilgungsaufgeld eine periodische Sonderzahlung ist, die zus¨atzlich zur normalen Annuit¨at zu zahlen ist. Die periodisch zu leistenden Zahlungen sind also nicht mehr konstant, sondern erh¨ohen sich wegen der steigenden Tilgungsraten in jeder Periode. Da die Tilgungsraten unver¨andert sind gegen¨ uber einem entsprechenden Darlehen ohne Aufgeld, kann das Aufgeld als nicht ausgewiesene,zus¨atzliche, steigende Zinszahlung interpretiert werden. Beispiel 4.6 Eine Schuld von 500000 EU R soll in 6 Jahren bei einem Zinsfuß von 8% durch Annuit¨atentilgung zur¨ uckgezahlt werden. Dabei soll noch ein zus¨atzliches Aufgeld von 10% gezahlt werden. Man erstelle einen Tilgungsplan. Lo ¨sung: Es ist S = 500000, q = 1.08, n = 6, α = 10. Damit berechnet sich die Annuit¨at ohne Aufgeld zu A=S

0.08 q−1 = 500000 = 108157.69 1 − q −n 1 − 1.08−6

Der Tilgungsanteil im ersten Jahr betr¨agt T1 = A − Z1 = 108157.69 − 40000 = 68157.69 Tats¨achlich zu zahlen sind am Ende des ersten Jahres α A1 = A + T1 = 108157.69 + 0.1 · 68157.69 = 114973.46 100 Analog berechnet sich der vollst¨andige Tilgungsplan: Jahr s Restschuld Ss−1 Zinsen Zs Tilgung Ts Aufgeld as Annuit¨at As 1 500000.00 40000.00 68157.69 6815.77 114973.46 431842.31 34547.38 73610.31 7361.03 115518.72 2 3 358232.00 28658.56 79499.13 7949.91 116107.60 4 278732.87 22298.63 85859.06 8585.91 116743.60 5 192873.81 15429.90 92727.79 9272.78 117430.49 6 100146.02 8011.68 100146.01 10014.60 118172.29 2

KAPITEL 4. TILGUNG

106

Periodisches eingeschlossenes Tilgungs-Aufgeld Man kann auch das periodische Aufgeld so in die Annuit¨at einbeziehen, dass pro Periode ein konstanter Betrag zu zahlen ist. In diesem Fall erh¨alt das Aufgeld noch deutlicher den Charakter einer zus¨atzlichen Zinszahlung (siehe Beispiel). Wir berechnen diese konstante Annuit¨at durch folgenden ”Trick ”: Wir gehen aus von einer fiktiven Anfangsschuld von  α  S¯ = S 1 + 100 Zu zahlen sind am Ende des ersten Jahres die Zinsen Z1 = S · i. Wir dr¨ ucken ¯ diesen Betrag durch S aus S·i=

S¯ i ¯ ¯ ı α i = α S =: S · ¯ 1 + 100 1 + 100

und nennen ¯ı = 1+i α den fiktiven Zinssatz. Berechnet man zu diesem Zins100 satz und der fiktiven Schuld die Annuit¨at, so ergibt sich mit q¯ := 1 + ¯ı A = S¯

q¯ − 1 1 − q¯−n

(4.23)

Benutzt man diese Gr¨oße als am Ende der ersten Periode zu zahlenden Betrag und zieht die Zinsen S¯ ·¯ı davon ab, so bleibt eine fiktive Tilgungsrate T¯1 u ¨brig, die das zu zahlende Aufgeld und die wirkliche Tilgungsrate T1 enth¨alt. Nun muß gelten  α α  T1 =⇒ T¯1 − T1 = T1 (4.24) T¯1 = 1 + 100 100 Die fiktive Restschuld zu Beginn des n¨achsten Jahres ist dann   α   α  α  S¯1 = S¯ − T¯1 = S 1 + − 1+ T1 = (S − T1 ) 1 + 100 100 100 wobei S1 = (S − T1 ) die wirkliche Restschuld angibt. Es gilt also wieder  α  ¯ S1 = S1 1 + . (4.25) 100 Faßt man im Sinne von (4.11) die wirkliche Restschuld S1 als geschuldete Summe eines Darlehens mit um eine Periode reduzierter Laufzeit auf und

KAPITEL 4. TILGUNG

107

berechnet die fiktive Annuit¨at auf dieser Basis, so erh¨alt man genau die gleiche filtive Annuit¨at wie eine Periode zuvor. Folgerung: die fiktiven Tilgungsraten summieren sich u ¨ber die gesamte ¯ Laufzeit zu S, die wirklichen Tilgungsraten damit genau zu S. Die fiktiven und die wirkliche Tilgungsraten unterscheiden sich dabei genau um das vereinbarte Aufgeld. Beispiel 4.7 Eine Schuld von 500000 EU R, die mit 8% verzinst werden soll, soll einschließlich eines Aufgeldes von 10% durch gleiche Annuit¨aten in 6 Jahren getilgt werden. Man berechne einen Tilgungsplan. Lo ¨sung: Es ist S = 500000, q = 1.08, n = 6, α = 10. Man berechnet einen filtiven Zinssatz zu 8 0.08 ¯ı = 10 = 110 1 + 100 und eine fiktive Schuld von   10 S¯ = 1 + · 500000 = 550000 100 Somit erh¨alt man als Annuit¨at A = 550000

8 110

1− 1+


8 −6 110

= 116360.95

Da die Zinsen im ersten Jahr 40000 EU R betragen, ergibt sich als fiktive Tilgungsrate T¯1 des ersten Jahres T¯1 = 116360.95 − 40000 = 76360.95 und als wirkliche Tilgungsrate T1 =

T¯1 = 69419.05. 1.1

Die wirkliche Restschuld zu Beginn des zweiten Jahres betr¨agt also S1 = 500000 − 69419.05 = 430580.95. Aus diesem Wert berechnet man erneut Zinsen, berechnet mit der Annuit¨at die fiktive und die wirkliche Tilgungsrate usw.

KAPITEL 4. TILGUNG

108

Schließlich ergibt sich folgender Tilgungsplan Jahr s Restschuld Ss−1 Zinsen Zs fikt. Tilgung T¯s wirk. Tilgung Ts 1 500000.00 40000.00 76360.95 69419.05 2 430580.95 34446.48 81914.47 74467.70 356113.25 28489.06 87871.89 79883.54 3 4 276229.71 22098.92 94262.57 85693.25 5 190536.46 15242.92 101118.03 91925.48 98610.98 7888.88 108472.07 98610.97 6 Zu beachten ist, daß sich die Zinsen und die fiktiven Tilgungsraten in jeder Periode zur konstanten Annuit¨at A = 116360.95 summieren. Man kann diesen Tilgungsplan mit dem eines einfachen Annuit¨atendarlehens vergleichen, bei dem der nominelle Zinssatz so gesetzt ist, dass sich bei einer Laufzeit von 6 Jahren eine j¨ahrliche Annuit¨at von A = 116360.95 ergibt. Der Zinssatz berechnet sich aus (4.3) 500000 = 116360.95q −6

q6 − 1 q−1

d.h.
500000q 6 (q − 1) = 116360.95 q 6 − 1 Dieses Polynom hat als eindeutige positive L¨osung gr¨oßer 1, q = 1. 10461 59. Damit entspricht dem o.a. Darlehen ein einfaches Annuit¨atendarlehen (ohne Aufgeld) zu nominellen Jahreszinsfuß von p = 10.46%. Der zugeh¨orige Tilgungsplan sieht wie folgt aus (gerechnet mit i = 0. 10461 59) Jahr s Restschuld Ss−1 Zinsen Zs Tilgung Ts 1 500000.00 52307.95 64053.00 2 435947.00 45606.99 70753.96 3 365193.04 38205.00 78155.95 4 287037.09 30028.64 86332.31 5 200704.78 20996.91 95364.04 6 105340.74 11020.82 105340.63 Auffallender Unterschied ist, dass im zweiten Fall die Restschuld weniger schnell abf¨allt. 2

KAPITEL 4. TILGUNG

109

Einmaliges Agio/Disagio Ist bei einem Darlehen ein einmaliges Agio von α% vorgesehen, so wird bei Auszahlung des Darlehens die volle
Darlehenssumme S ausbezahlt, aber als α fache der Darlehenssumme festgesetzt, zu tilgende Summe S¯ das 1 + 100
α ¯ S = 1 + 100 S. Wird bei einem Darlehen ein (einmaliges) Disagio von α% vorgesehen, so
α wird nur das 1 − 100
fache der Darlehenssumme S ausbezahlt, n¨amlich der α Betrag S¯ = 1 − 100 S. In beiden F¨allen handelt es sich um Vorabzinsen, die es dem Gl¨aubiger gestatten, die nominell zu zahlenden Zinsen optisch attraktiver zu gestalten. Zu beachten ist, daß der Schuldner im Falle des Disagios die Darlehenssumme von vorneherein h¨oher ansetzen muß, wenn er auf die Auszahlung eines bestimmten Betrages angewiesen ist. Bei der Finanzierung im Mietwohnungsbau wird von dieser M¨oglichkeit der Vorabzinsen gerne Gebrauch gemacht, da u.U. diese Finanzierungskosten fr¨ uhzeitig steuerlich ber¨ ucksichtigt werden k¨onnen. Beispiel 4.8 Ein Kreditnehmer ben¨otigt 100000 EU R. Er kann zur Finanzierung j¨ahrlich 12000 EU R aufbringen. Ihm werden drei Darlehensangebote unterbreitet: 1. Ein Darlehen mit Disagio von 5% und einem nominellen Zinssatz von 6%. 2. Ein Darlehen mit 100% Auszahlung und einem nominellen Zinssatz von 6.8%. 3. Ein Darlehen mit einem Agio von 5% und einem nominellen Zinssatz von 6%. Man berechne die Laufzeiten der Darlehen, wenn die Annuit¨at in allen F¨allen A = 12000 EU R betr¨agt. L¨ osung:

KAPITEL 4. TILGUNG

110

1. Das Darlehen muß nominell u = 105263.16 EU R abge¨ber S = 100000 0.95 schlossen werden, damit 100000 EU R ausbezahlt werden. Die Laufzeit betr¨agt dann gem¨aß Formel (4.7) n=

ln A − ln (A − S · i) ln 12000 − ln (12000 − 105263.16 · 0.06) = = 12.824 ln q ln 1.06

2. Die Laufzeit des zweiten Darlehens kann unmittelbar nach Formel (4.7) berechnet werden n=

ln A − ln (A − S · i) ln 12000 − ln (12000 − 100000 · 0.068) = = 12.711 ln q ln 1.068

3. Im dritten Fall wird der geschuldeten Summe einmalig ein Aufgeld von 5% der Darlehenssumme, also 5000 EU R zugeschlagen, das mit getilgt werden muß. Die anf¨angliche Restschuld betr¨agt also S = 105000 EU R. Dementsprechend ergibt sich f¨ ur die Laufzeit n=

ln 12000 − ln (12000 − 105000 · 0.06) ln A − ln (A − S · i) = = 12.776 ln q ln 1.06

Die Laufzeit betr¨agt also in allen drei F¨allen 13 Jahre, wobei die letzte Rate allerdings leicht unterschiedlich ausf¨allt. Hat man die M¨oglichkeit, ein Agio oder Disagio steuerlich geltend zu machen, so empfiehlt sich dies bei diesem Beispiel. 2

4.2.3

Aufgeschobene Tilgung

Oft wird eine Aussetzung der ersten Tilgungsraten vereinbart, um dem Schuldner (etwa dem Bauherrn) u ¨ber die ersten finanziellen Engp¨asse hinwegzuhelfen. In diesem Fall zahlt der Kreditnehmer entweder u ¨ber die ersten t < n Perioden nur die Zinsen auf seine Schuld. Die Restschuld Ss bleibt dann f¨ ur die ersten t Perioden unver¨andert gleich der Anfangsschuld S. Es gilt also St = S. oder die ersten t < n Perioden bleiben zahlungsfrei. Dann w¨achst die Restschuld an und bel¨auft sich nach t Perioden auf St = Sq t .

KAPITEL 4. TILGUNG

111

Es k¨onnen alle hergeleiteten Formel f¨ ur das einfache Annuit¨atendarlehen verwendet werden, wenn anstelle von S die Restschuld St und anstelle der Laufzeit von n Perioden nur n − t Perioden verwendet werden. Beispiel 4.9 Ein Kreditnehmer leiht 1000 EU R zu einem Zinsfuß von 7% und verpflichtet sich, die geliehene Summe in 4 konstanten j¨ahrlichen Annuit¨aten zur¨ uckzuzahlen. Dabei wird vereinbart, daß das erste Jahr zahlungsfrei bleibt. Lo ¨sung: Es ist S = 1000, n = 5, t = 1, i = 0.07. Die Annuit¨at berechnet sich nach der Formel Sq n = A

q−1 q n−t − 1 =⇒ A = Sq n n−t q−1 q −1

also A = 1000 · 1.075

0.07 = 315.89 1.074 − 1

(4.26)

Nach dem ersten Jahr betr¨agt die geschuldete Summe S1 = 1000·1.07 = 1070 EU R. Diese Summe wird in 4 gleichen Raten zu 315, 89 EU R abbezahlt. 2

4.2.4

Ver¨ anderliche Raten.

Zuweilen w¨ unscht der Schuldner eine schrittweise Erh¨ohung der pro Periode zu zahlenden Rate, weil er mit steigenden Eink¨ unften rechnet oder um seine Schuld m¨oglichst schnell zu tilgen. Wir besprechen die beiden F¨alle, daß die Annuit¨at jeweils um einen festen Betrag steigt oder daß sie pro Periode prozentual ansteigt. Arithmetisch steigende Annuit¨ aten Wir betrachten zun¨achst den Fall der arithmetisch um einen festen Betrag d ansteigenden Annuit¨aten As = A + (s − 1) d,

s∈N

(4.27)

KAPITEL 4. TILGUNG

112

Dann lautet der Ansatz f¨ ur die Berechnung der Annuit¨at Sq n = Aq n−1 + (A + d) q n−2 + ... + (A + (n − 1) d) n X = [A + (s − 1) d] q n−s s=1

Vergleichen wir dies mit Formel (3.29), so ergibt sich  n  qn − 1 d q −1 n Sq = A + −n q−1 q−1 q−1 oder

q−1 A= n q −1





d Sq − q−1 n

qn − 1 −n q−1

 (4.28)

Beispiel 4.10 Mit S = 1000, i = 0.07, d = 10 und n = 5 ergibt sich als anf¨angliche Annuit¨at    0.07 10 1.075 − 1 5 A= 1000 · 1.07 − −5 = 225.24 1.075 − 1 0.07 0.07 Die weiteren Annuit¨aten sind: 235.24, 245.24, 255, 24, 265, 24 .

2

F¨ ur die Restschuld am Ende der s−ten Periode findet man Ss q n−s =

n−s X

As+j q n−s−j =⇒

j=1

Ss =

n−s X

As+j q

−j

=

n−s X

j=1

=

n−s X

(A + (s + j − 1) d) q −j

j=1

Aq

−j

j=1

+

n−s X

(s − 1) dq

−j

+

n−s X

j=1

= (A + (s − 1) d)

jdq −j

j=1 n−s X

q −j + d

j=1

n−s X

jq −j

j=1

Benutzt man hierin die Identit¨aten (f¨ ur m ∈ N) m X j=1

q

−j

=q

−m

m X j=1

q

m−j

=q

−m

m−1 X j=0

q j = q −m

qm − 1 q−1

(4.29)

KAPITEL 4. TILGUNG

113

und die aus (3.28) hergeleitete Beziehung  m  m−1 m−1 X X 1 q −1 jq −j −m = jq m−j−1 = q m−1 q−1 q−1 j=1 j=0

(4.30)

so ergibt sich nach einiger Umformung   n−s n−s − (n − 1) q n−s − 1 −1 −(n−s) q −(n−s−1) (s − 1) q Ss = Aq + dq + q−1 q (q − 1) (q − 1)2 (4.31) Daraus ergibt sich f¨ ur Zinsrate und Tilgungsrate in der s ten Periode Ts = As − Zs

Zs = Ss−1 i und Geometrisch steigende Annuit¨ aten

Nun nehmen wir an, daß die zu zahlende Rate sich nach jeder Zahlungsperiode u ¨ber einen Faktor c > 1 vergr¨oßert As = Acs−1 ,

s∈N

Dadurch ergibt sich gem¨aß der Formel (3.37) aus der nachsch¨ ussigen Rentenrechnung n−1  j X c n n−1 Sq = Aq q j=0 Betrachten wir hier nur den Fall c 6= q, so ergibt sich (vgl. (3.40)) Sq n = A

cn − q n c−q

A = Sq n

c−q cn − q n

also

(4.32)

In ¨ahnlicher Weise wie oben erh¨alt man f¨ ur die Restschuld am Ende der Periode s q n−s − cn−s Ss = S (cq)s , (4.33) q n − cn

KAPITEL 4. TILGUNG

114

f¨ ur die Tilgungsrate der Periode s Ts = S

 (cq)s−1  n−s+1 q (1 − c) + cn−s+1 (q − 1) n n q −c

(4.34)

und f¨ ur die Zinsrate der Periode s Zs = S (cq)s−1

q n−s+1 − cn−s+1 (q − 1) q n − cn

(4.35)

¨ Beweise: Ubungsaufgabe! Diese Formeln sollen an einem Zahlenbeispiel erl¨autert werden. Beispiel 4.11 Als Daten seien vorgegeben: S = 1000, n = 5, q = 1.07, c = 1.05. (vgl. oben) L¨ osung: Damit ergibt sich als anf¨angliche Annuit¨at A = 1000 · 1.075

1.05 − 1.07 = 222.15 1.055 − 1.075

und als Tilgungsplan u ¨ber die 5 Perioden Jahr s Restschuld Ss−1 Annuit¨at As Tilgung Ts Restschuld Ss 1 1000 222.15 152.15 847.85 2 847.85 233.26 173.91 673.94 3 673.94 244.92 197.75 476.19 476.19 257.17 223.83 252.36 4 252.36 270.03 252.83 0 5 2

4.3

Unterj¨ ahrige allgemeine Tilgung

In der Praxis erfolgen oft unterj¨ahrige Zahlungen zur Tilgung einer Schuld bei vollj¨ahriger Verzinsung. Wir betrachten wieder die in Deutschland u ¨bliche Praxis. Danach werden die unterj¨ahrig gezahlten Annuit¨aten nicht unmittelbar tilgungswirksam. Stattdessen werden die innerhalb eines Jahres gezahlten Raten A nur zum relativen Zinssatz gemischt verzinst akkumuliert und

KAPITEL 4. TILGUNG

115

bilden eine vollj¨ahrige Ersatzannuit¨at AE , die am Jahresende die anstehenden Schuldzinsen begleicht und den Ratenrest zur Tilgung verwendet. Wir k¨onnen daher die Formeln der nachsch¨ ussigen Rentenrechnung verwenden. Dies werde am Beispiel eines n j¨ahrigen Darlehens mit m1 j¨ahrigen nachsch¨ ussigen Annuit¨aten gezeigt. Der nominelle Jahreszinssatz betrage i. Mit Hilfe der nachsch¨ ussigen Ersatzrate k¨onnen die unterj¨ahrige Annuit¨at aus Formel (3.16) berechnen (q = 1 + i)   n (q − 1) q −1 n Sq = A m + (m − 1) 2 q−1 mithin −1  (q − 1) q−1 (m − 1) m+ A = Sq n q −1 2 q−1 2 = S −n 1 − q (m + 1) + (m − 1) q n

Daraus ergibt sich f¨ ur die Laufzeit des Annuit¨atendarlehens   2 ln A − ln A − S 2m+i(m−1) i n= ln (1 + i)

(4.36)

(4.37)

Bei anderer unterj¨ahriger Annuit¨atenzahlung (vorsch¨ ussig oder asyncron) ist hier lediglich eine andere Ersatzrate zu verwenden. Effektive Verzinsung Von ihrer Struktur her sind Annuit¨atendarlehen Renten. Ein Effektivzins kann also grunds¨atzlich mit den Formeln des letzten Kapitels ermittelt werden. Darauf soll an dieser Stelle nicht n¨aher eingegangen werden, zumal wir uns im n¨achsten Kapitel ausf¨ uhrlich mit der Effektivzinsberechnung besch¨aftigen wollen.

KAPITEL 4. TILGUNG

116

¨ Ubungsaufgaben

4.4 4.4.1

Theoretische Aufgaben

Aufgabe 4.12 Begr¨ unden Sie die folgenden Formeln f¨ ur Ratenkredite. uckgezahlt. Bei diesen wird die Schuld S in n gleichen Tilgungsraten Ts = Sn zur¨ Dabei m¨ ussen auf die jeweilige Restschuld Ss Zinsen in H¨ohe von Zs = S · i gezahlt werden, wenn i den vereinbarten nominellen Zinssatz darstellt. Tilgungsrate und Zinsen addieren sich zu einer zu zahlenden Annuit¨at As (s = 1, ..., n). 1. F¨ ur den Fall, daß die Zahlungen genau zu den Zinsterminen erfolgen gilt   1 Zs = 1 − (s − 1) S · i n und S As = [1 + (n − s + 1) i] n 2. Erfolgen die Zinsverrechnung vollj¨ahrig und die Zahlungen unterj¨ahrig in Zahlungspreioden zu jeweils m1 Jahr, so gilt    1 m+1 Zt = 1 − t− S·i n1 2m wobei n = m · n1 gilt, also n1 die Anzahl der Jahre angibt, die hier mit t = 1, ..., n1 abgez¨ahlt werden. Hinweis: Die Restschuld ist zu den einzelnen Zahlungsterminen innerhalb der Zinsperiode jeweils einfach zu verzinsen und diese Zinsen sind zu akkumulieren. Aufgabe 4.13 Bei der Annuit¨atentilgung mit Restschuldaufgeld unterscheidet man wieder die F¨alle des zus¨atzlichen oder des eingeschlossenen Aufgelds. Zu zahlen seien beim s−ten Zahlungstermin β% der Restschuld Ss−1 als Agio. Begr¨ unden Sie die folgenden Formeln (bei vereinbartem Zinsfuß von p%) 1. Beim zus¨atzlichen Aufgeld betr¨agt die zu zahlende Annuit¨at A¯s    s−1 q β 1− n , A¯s = A 1 + p q wenn A die ohne Aufgeld zu zahlende Annuit¨at w¨are.

KAPITEL 4. TILGUNG

117

2. Beim eingeschlossenen Aufgeld berechnet sich die zu zahlende Annuit¨at u ¨ber q¯ − 1 A¯s = S , 1 − q¯−n wobei der Aufzinsungsfaktor q¯ = 1 +

p+β 100

Verwendung findet.

Aufgabe 4.14 Man beweise die Formeln (4.33) bis (4.35).

4.4.2

Praktische Aufgaben

Aufgabe 4.15 F¨ ur einen Ratenkredit u ¨ber 60000 EU R muß monatlich nachsch¨ ussig 500 EU R f¨ ur die reine Tilgung aufgebracht werden. Zus¨atzlich zu der monatlichen Tilgungsrate m¨ ussen nachsch¨ ussig 0, 6% Zinsen f¨ ur die zu Monatsbeginn vorhandene Restschuld gezahlt werden. 1. Wieviel Zinsen m¨ ussen insgesamt im ersten Jahr, wieviel im letzten Jahr gezahlt werden, wenn Zinsen monatlich verrechnet werden? 2. Wie lautet die Antwort auf diese Fragen, wenn Zinsen nur j¨ahrlich verrechnet werden? Aufgabe 4.16 Eine Schuld von 20000 EU R wird j¨ahrlich mit 5% verzinst. 1. Der Schuldner w¨ urde die Schuld gerne mit gleichbleibenden, j¨ahrlich nachsch¨ ussigen Annuit¨aten in 10 Jahren zur¨ uckzahlen. Wie hoch w¨are die Annuit¨at? 2. Auf der anderen Seite wird er nicht mehr als j¨ahrlich 2100 EU R aufbringen k¨onnen. Wie lange dauert dann die R¨ uckzahlung? Berechnen Sie konstante Annuit¨aten, die diese Bedingung erf¨ ullen und berechnen Sie gleichfalls eine R¨ uckzahlung mit Annuit¨aten von genau 2100 EU R und einer letzten kleineren Rate. Aufgabe 4.17 Zur R¨ uckzahlung eines Kredits mit einem Jahreszins von 5, 5% kann jemand j¨ahrlich nachsch¨ ussig h¨ochstens 8000 EU R auf 20 Jahre aufbringen. Wie hoch kann der Kreditbetrag h¨ochstens sein?

KAPITEL 4. TILGUNG

118

Aufgabe 4.18 Ein Kredit u ¨ber 350000 EU R mit einer Laufzeit von 10 Jahren ist jeweils viertelj¨ahrlich mit 1, 75% zu verzinsen. Bestimmen sie die konstante Annuit¨at, falls die nachsch¨ ussige Annuit¨atenzahlung 1. j¨ahrlich 2. halbj¨ahrlich 3. viertelj¨ahrlich 4. monatlich erfolgt. Aufgabe 4.19 Ein Annuit¨atendarlehen u ¨ber 50000 EU R ist j¨ahrlich mit 5, 5% zu verzinsen und einschließlich eines Tilgungsaufschlags von 8% in 6 gleichen nachsch¨ ussigen Jahresraten zur¨ uckzuzahlen. Die konstante Jahresrate enthalte also Tilgung, Zinsen und Aufgeld. Stellen Sie einen Tilgungsplan auf. Aufgabe 4.20 Ein Darlehen der H¨ohe 55000 EU R soll in 5 Jahren getilgt sein. Berechnen Sie den effektiven Jahreszins f¨ ur folgende Annuit¨atenzahlungen 1. j¨ahrlich nachsch¨ ussig jeweils 13200 EU R 2. viertelj¨ahrlich nachsch¨ ussig 3300 EU R 3. viertelj¨ahrlich vorsch¨ ussig 3300 EU R 4. monatlich nachsch¨ ussig 1100 EU R Aufgabe 4.21 Ein Hypothekendarlehen u ¨ber 120000 EU R werde auf 12 Jahre mit folgenden Konditionen festgeschrieben: Auszahlung: 95% nomineller Jahreszins: 6, 2% (anf¨angliche) Tilgung j¨ahrlich: 2% Berechnen sie die Annuit¨at und die Restschuld nach 12 Jahren bei monatlich konstanten Annuit¨atenzahlungen und bestimmen Sie die Effektivverzinsung. Wie ¨andert sich die Situation, wenn dem Schuldner zwei Jahre Tilgungsaufschub gew¨ahrt werden?

KAPITEL 4. TILGUNG

119

Aufgabe 4.22 F¨ ur eine Annuit¨atenschuld von 80000 EU R werden 10 Jahre lang nachsch¨ ussig jeweils 8000 EU R zur¨ uckbezahlt. F¨ ur diese 10 Jahre ist ein Jahreszins von 7% vereinbart. Nach 10 Jahren betr¨agt der neue Zinssatz 8%. Wie hoch muß die neue Annuit¨at sein, damit die Schuld nach weiteren 10 Jahren getilgt ist?

4.4.3

Programmierpraxis

Aufgabe 4.23 Man schreibe ein (Excel-) VBA-Programm, das zu vorgegebener Restschuld S und zu vorgegebenem Zinsfuß p bei gegebener Laufzeit n in Perioden sowie gegebenem periodeschem in die Annuit¨at einzubeziehenden Tilgungsaufgeld von α% die Annuit¨at A berechnet bzw. bei gegebener Annuit¨at die Laufzeit. Das Programm soll dabei auch in der Lage sein, die Annuit¨at und die Laufzeit aus einer prozentual angegebenen Tilgung zu berechnen. Ferner soll ein anf¨angliches Disagio mitber¨ ucksichtigt werden. Anschließend soll das Programm einen Tilgungsplan generieren, der f¨ ur jede Periode s die Restschuld Ss , den Zinsanteil Zs und den Tilgungsanteil Ts auswirft, wobei zus¨atzlich zu zahlende periodische Geb¨ uhren in H¨ohe von β% der (wirklichen) Tilgungsrate zu ber¨ ucksichtigen sind. Aufgabe 4.24 Man schreibe ein (Excel-) VBA-Programm, das unterj¨ahrige Tilgungsraten bei ganzj¨ahriger Verzinsung zum Jahreszinsfuß p und dabei arithmetisch oder geometrisch fortschreitenden Annuit¨aten vorsieht. Ansonsten soll das Programm wie das vorherige zun¨achst fehlende Daten aus gegebenen Daten berechnen. Aufgabe 4.25 Schreiben Sie ein m¨oglichst anwenderfreundliches (Excel-) VBA-Programm zur Erfassung eines Hypothekendarlehens mit Tilgungsaussetzung und einer Zinsanpassung nach der festgeschriebenen Laufzeit.

Kapitel 5 Bewertung von Investitionen Rentabilit¨ at Thema dieses Kapitels ist die Bewertung und der Vergleich von Kapitalanlagen, von Krediten oder ganz allgemein von Investitionen und Finanzierungen. Wir haben bereits gesehen, dass Kredite in ganz unterschiedlichen Raten und unterschiedlichen Laufzeiten zur¨ uckgezahlt werden k¨onnen. Annuit¨aten k¨onnen z.B. vollj¨ahrig oder unterj¨ahrig gezahlt werden, eine anf¨angliche Tilgung kann niedrig oder hoch angesetzt sein, Zahlungen k¨onnen ausgesetzt werden, etc. Außerdem erscheint die Berechnung anfallender Zinsen zuweilen recht willk¨ urlich. In dieser Situation stellt sich f¨ ur den Kreditnehmer, aber auch f¨ ur den Kreditgeber die Frage, welche von mehreren in Betracht gezogenen DarlehensM¨oglichkeiten f¨ ur ihn pers¨onlich die vorteilhafteste ist, - wobei gekl¨art werden muss, was sich hinter dem Begriff ”vorteilhaft” verbirgt: eine in der H¨ohe begrenzte Annuit¨at, eine kurze Laufzeit, ein geringer Jahreszinssatz, oder... H¨aufig treten bei Krediten auch Sonderzahlungen auf, die mit einem vereinbarten Nominalzinssatz in keiner direkten Beziehung stehen. So k¨onnen Bearbeitungsgeb¨ uhren, Darlehensgeb¨ uhren, Kontof¨ uhrungsgeb¨ uhren, Aufgelder etc., wenn sie als zus¨atzliche Zahlungen auftreten, die letztliche Bewertung eines Kredits erschweren.

120

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

5.1

121

¨ Das Aquivalenz-Prinzip

Kapitalanlagen in einfacher Form ebenso wie Kredite werden beschrieben durch Zahlungsfolgen auf einem (fiktiven) Konto: einem Anlagekonto oder einem Kreditkonto. Beiden gemeinsam ist, dass zu verschiedenen Zeitpunkten Zahlungen auf oder Zahlungen von dem Konto vorgenommen werden. Wie wir aus den bisherigen Betrachtungen zur Finanzmathematik entnehmen k¨onnen, ist die Wirkung von Zahlungen immer fest mit dem Zeitpunkt ihrer Ausf¨ uhrung verbunden: Ein und derselbe Betrag, zu unterschiedliche Zeitpunkten auf ein Konto eingezahlt, hat unterschiedliche Auswirkung auf den Konto-Endstand, unterschiedliche Einzahlungen zu verschiedenen Zeiten k¨onnen den gleichen Beitrag zum Kontoendstand bewirken. Legt man das Modell der Verzinsung mit Zinseszins (konforme Verzinsung) mit dem Aufzinsungsfaktor q zugrunde, so kann leicht bestimmt werden, wann zwei Einzahlungen K1 zum Zeitpunkt T1 und K2 zum Zeitpunkt T2 (nach Beginn der Anlage) am Ende der Laufzeit T der Anlage den gleichen Betrag ergeben: K1 q T −T1 = K2 q T −T2 (5.1) Nennen wir f¨ ur die Zahlung K zum Zeitpunkt t ≥ 0 nach Beginn der Anlage die Gr¨oße Ke := Kq T −t den Kapitalendwert der Zahlung, so legt diese Gleichung die Gleichheit der Kapitalendwerte K1 q T −T1 und K2 q T −T2 fest. K¨ urzen wir in (5.1) durch q T , so ergibt sich auch die Gleichheit der Kapitalbarwerte K1 K2 = T2 T 1 q q Nach Multiplikation mit q t ergibt sich sogar die Gleichheit der Kapitalzeitwerte zu einem (beliebigen) Zeitpunkt t nach Beginn der Anlage K1 q t−T1 = K2 q t−T2 Diese Betrachtung beschreibt das ¨ Aquivalenzprinzip der Finanzmathematik: Wir nennen zwei Zahlungen K1 zum Zeitpunkt T1 > 0 und K2 zum Zeitpunkt T2 > 0 (nach Beginn der Anlage) ¨ aquivalent,

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

122

wenn ihre Barwerte u ¨bereinatimmen K1 K2 = q T1 q T2

5.2

(5.2)

Interner Zinsfuß eines Zahlungsstroms

Als ein erstes Hilfsmittel zur Bewertung einer Kapitalanlage betrachten wir die Berechnung des (unbekannten) Aufzinsungsfaktor eines Kontos, auf dem das Kapital konform verzinst wird.

5.2.1

Interner Jahreszinssatz

Wir betrachten ein Konto u ¨ber ein Zeitintervall [0, T ] , auf dem zu gewissen Zeiten T0 , ..., Tn ∈ [0, T ] gewisse Zahlungen C0 , ..., Cn ∈ R, n ∈ N, erfolgen. Wir nennen die Zahlungfolge zusammen mit der Folge der Zahlungszeiten einen Zahlungsstrom. Die Zeitangaben seien in Jahren gegeben. F¨ ur die Berechnung der Zeiten T0 , ..., Tn aus Kalenderdaten m¨ogen die Vorschriften der PAngV gelten. Einzahlungen sollen dabei mit positivem Vorzeichen und Auszahlungen mit negativem Vorzeichen notiert sein. Ferner sei festgelegt, dass T0 = 0 gilt, dass also C0 eine Zahlung sei, die unmittelbar zu Beginn der Anlage erfolge. Entsprechend vereinbaren wir, dass die letzte Zahlung Cn zum Zeitpunkt T stattfindet, dass also Tn = T gilt. Der dem Zahlungsstrom zugeordnete Kontoendstand, d.h. der Kapitalendwert VT aller Zahlungen zum Zeitpunkt T bei konformer Verzinsung mit dem (Jahres-) Aufzinsungsfaktor q ist dann VT =

n X

Ck q T −Tk

(5.3)

k=0

Bezeichnungen: Betrachtet werde ein nichttrivialer Zahlungsstrom, wie oben beschrieben, mit zugeordnetem konform verzinsten Konto. Ist die erste nichttriviale Zahlung eine Einzahlung ist, so sprechen wir von einer Finanzierung, das zugeh¨orige Konto heißt Kreditkonto. Ist dagegen die erste

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

123

nicht triviale Zahlung eine Auszahlung, so sprechen wir von einer Investition, das zugeh¨orige Konto heißt Anlagekonto. Soll nicht zwischen einer Investition und einer Finanzierung unterschieden werden, sprechen wir von einem Investitionsprojekt. Ein Investitionsprojekt, bei dem der Kontoendstand null ist, nennen wir geschlossen, andernfalls heißt es offen. Ein Zahlungsstrom, bei dem die erste Zahlung nichttrivial und alle weiteren nichttrivialen Zahlungen gegenteiliges Vorzeichen haben, nennen wir normal. Einen nichttrivialen Zahlungsstrom, bei dem nur ein Vorzeichenwechsel stattfindet, nennen wir quasinormal. Ein Investitionsprojekt mit quasinormalem (normalen) Zahlungsstrom nennen wir quasinormal (normal). Ein offenes Investitionsprojekt, zu dem der Kontoendstand bekannt ist, kann leicht geschlossen werden, indem die letzte Zahlung des Zahlungsstroms u ¨ber den Kontoendstand korrigiert wird. Diesen Vorgang nennen wir Abschließen. Man beachte: Ein normaler Zahlungsstrom ist quasinormal. Beim Abschließen eines offenen Investitionsprojekts kann ein quasinormaler Zahlungsstrom diese Eigenschaft verlieren. Wir betrachten nun ein geschlossenes Investitionsprojekt, d.h. wir unterstellen, dass die letzte Zahlung Cn darin bestand, den Kontostand abzuschließen. Sind alle Zahlungen C0 , ..., Cn bekannt, nicht aber der Aufzinsungsfaktor q des Anlagekontos, so kann dieser aus der Gleichung n X Ck q T −Tk (5.4) 0= k=0

bestimmt werden. Diese Situation tritt z.B. ein, wenn auf ein Anlagekonto Zinszahlungen fließen, die sich an einem nominellen Zinssatz richten, die aber nicht unbedingt die wirkliche Verzinsung der erfolgten Auszahlung wiedergeben (vgl. linear proportionale Verzinsung). Da oBdA angenommen werden kann, dass T − T0 , ..., T − Tn nichtnegative rationale Zahlen sind, kann q wie folgt bestimmt werden: Sei oBdA m ∈ N 1 der Hauptnenner all dieser rationalen Zahlen, dann setze x := q m . x ist der Aufzinsungsfaktor bezogen auf m1 − Jahr. Dann bestimmt sich x als eine positive Nullstelle des Polynoms n X g (x) = Ck xnk k=0

(5.5)

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

124

wobei nk ∈ N die Z¨ahler dieser rationalen Zahlen in der Hauptnennerdarstellung sind. Nach Konstruktion gibt g den Kontoendstand des Kontos in Abh¨angigkeit von x und damit vom Aufzinsungsfaktor q an. Wir nennen g Kontoendstandfunktion. Definition 5.1 Wir nennen einen Jahreszinssatz i, der sich als i = xm − 1 aus einer positiven Nullstelle des Polynoms g berechnet, interen Jahreszinssatz oder effektiven Jahreszinssatz des geschlossenen Investitionsprojekts. Merke: Bzgl. eines effektiven Jahreszinssatzes sind die Summe aller Auszahlungen und die Summe aller Einzahlungen a¨quivalent, denn eine ¨aquivalente Formulierung von (5.4) lautet 0=

n X

Ck q −Tk

k=0

¨ Interpretiert wird dies auch als Aquivalenz der Gl¨ aubiger und Schuldnerleistungen. Beispiele Beispiele f¨ ur die betrachtete Situation ergeben sich wie folgt: • Betrachten wir ein Sparkonto vom Zeitpunkt der ersten Einzahlung an bis zur Aufl¨osung des Kontos. Auf dieses Konto werden innerhalb der Laufzeit verschiedene positive oder negative Zahlungen vorgenommen. Dies kann einerseits durch den Kontobesitzer geschehen, der Einzahlungen und Abhebungen vornimmt, andererseits werden dem Konto durch die Bank Zinsen (berechnet nach der gemischten Verzinsung) gutgeschrieben oder Geb¨ uhren abgebucht. Ein interer Jahreszinsfuß gibt an, welche Rendite die Anlage auf dem Sparkonto dem Sparer letztlich gebracht hat. • Betrachten wir einen Kredit aus der Sicht des Kreditnehmers. Interpretieren wir die Kreditzahlungen als Einzahlungen auf ein Kreditkonto

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

125

und die Tilgungs-, Zins-, und Geb¨ uhrenzahlungen (oder sonstige Sonderzahlungen wie Aufgeld) als Auszahlungen aus den Kreditkonto, so stellt sich die Frage nach dem effektiven Jahreszinssatz. Wir haben ihn in einfachen F¨allen in den letzten Kapiteln schon berechnet. • Ein weiteres Beispiel der Praxis ist die Verrentung von Kapital. Hierbei wird zuerst in einer Ansparphase u ¨ber einen gewissen Zeitraum Kapital angespart. Dieses soll in der Auszahlungsphase als Rente wieder ausbezahlt werden. Auch hier gibt der effektiver Jahreszinsfuß die wirkliche Verzinsung des gesamten Zahlungsstroms auf einem fiktiven Anlagekonto an.

5.2.2

Berechnung des internen Zinssatzes

Im folgende betrachten wir zun¨achst eine geschlossene quasinormale Investition. Nach der Vorzeichenregel von Descartes besitzt das Polynom f aus (5.5) dann genau eine positive Nullstelle x∗ . Ist das Deckungskriterium fu ¨ r Investitionen g (1) =

n X

Ck > 0

(5.6)

k=0

erf¨ ullt, ist also die Summe aller Einzahlungen gr¨oßer als die Summe der Auszahlungen, so muß sogar x∗ > 1 gelten. Denn nach Konstruktion gilt immer lim g (x) = −∞ (5.7) x→∞

da die erste nichttriviale Zahlung als negativ vorausgesetzt wurde. Beachte: Bei Finanzierungen ist genau umgekehrt zu argumentieren. Nach diesen Voraussetzungen kann der interne Zinssatz nun leicht mit einer Kombination aus Bisektionsverfahren und Newton-Verfahren (f¨ ur Polynome) berechnet werden. Beispiel 5.2 Ein Mann zahlt ab seinem 36. Lebensjahr bis zu seinem 65. Geburtstag vorsch¨ ussig j¨ahrlich 1200 EU R in eine Rentenversicherung ein. Diese verspricht, ab dem 66. Lebensjahr vorsch¨ ussig eine j¨ahrliche Rente von 6000 EU R zu zahlen. Man berechne den internen Zinsfuß

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

126

1. wenn der Mann 75 Jahre alt wird 2. wenn der Mann erst mit 85 Jahren ablebt 3. wenn der Mann sogar die 100 Jahre erreicht. Bei der L¨osung werde die Geldentwertung nicht mit ber¨ ucksichtigt. Lo ¨sung: Die relevante Rechenzeit-Einheit ist das Jahr. 1. Bei 75 Jahre alten Mann ist die Gleichung −

30 X

1.2q

40−k

+

40 X

6q 40−k = 0

k=31

k=1

zu l¨osen. Hier berechnet sich der interne Zinsfuß zu 2, 48%. 2. Wird der Mann 85 Jahre, so ist die Gleichung −

30 X

1.2q

50−k

+

k=1

50 X

6q 50−k = 0

k=31

zu l¨osen. Nun betr¨agt der interne Zinsfuß 4, 75%. 3. F¨ ur den 100 j¨ahrigen Mann ist die Gleichung −

30 X k=1

1.2q

65−k

+

65 X

6q 65−k = 0

k=31

zu l¨osen. Damit betr¨agt der interne Zinsfuß 5, 71%.

2

Beispiel 5.3 Ein Kredit u ¨ber 3000 DM habe eine Laufzeit von 20 Monaten. Die R¨ uckflußrate betr¨agt monatlich nachsch¨ ussig 180 EU R. Zu Beginn ist eine Bearbeitungsgeb¨ uhr von 60 EU R zu entrichten, die von der Auszahlungssumme abgezogen wird. Wie groß ist der effektive Jahreszinssatz?

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

127

L¨osung: Die relevante Zeit-Recheneinheit ist der Monat. Die zu l¨osende Gleichung lautet 20

(3000 − 60) q 12 −

20 X

180q

20−k 12

=0

k=1 1

Setzen wir darin x = q 12 , so ergibt sich 20

2940x − 180

20 X

x20−k = 0 ⇐⇒

k=1 20

x −1 = 0 ⇐⇒ x−1 2940x21 − (2940 + 180) x20 + 180 = 0 2940x20 − 180

Eindeutige positive L¨osung gr¨oßer 1 der Gleichung ist x = 1. 02011 48. Dies bedeutet q = x12 = 1. 02011 4812 = 1. 26995 57. Der effektive Jahreszinssatz betr¨agt also ief f = 0. 26995 57. 2 Bemerkung: Die Berechnung des effektiven Zinssatzes verlangt die Verwendung der genauen Verzinsungszeiten f¨ ur alle Zahlungen. Dies ist durch die Vorschriften der PAngV nicht wirklich gegeben, da z.B. Schaltjahre nicht ber¨ ucksichtigt werde, die Monate in ihrer L¨ange angeglichen werden, etc.. In diesem Sinne ergeben die genannten Berechnungsmethoden nur eine Sch¨atzung f¨ ur den wirklichen Zinssatz. Die PAngV setzt die international u ¨bliche Methode zur Effektivzinsberechnung der International Security Market Association (ISMA) f¨ ur Deutschland um. In den USA, wo generell die R¨ uckzahlungszeitpunkte mit den Zinsverechnungszeitpunkten u ¨bereinstimmen, verwendet man den relativen Zinssatz f¨ ur die Effektivzinsberechnung. Darauf wird hier nicht n¨aher eingegangen.

5.3

Sparkonten

Wir betrachten nun eine geschlossene Finanzierung, die u ¨ber ein (fiktives) Kreditkonto (mit unbekanntem Zinsfuß) abgewickelt wird, auf dem jeweils

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

128

zum Ende einer Zinsperiode eine Kapitalbewegung der H¨ohe Ck ∈ R, k = 0, 1, ..., n stattfindet. Dabei beschreibt C0 den Kontostand zu Beginn der Finanzierung, die Zinsperiode sei m1 Jahr und die Laufzeit dementsprechend n . T =m Die Bestimmungsgleichung f¨ ur den aus dem internen Zinssatz ief f festzule1 genden Aufzinsungsfaktor q = (1 + ief f ) m (vgl. Formeln (5.4),(5.5)) lautet n X

Ck q n−k = 0

(5.8)

k=0

F¨ ur die L¨osbarkeit der Gleichung (5.8) kann etwa wieder das Deckungskriterium f¨ ur Finanzierungen oder eine ¨ahnliche Bedingung vorausgesetzt werden. Nicht notwendig ist dann allerdings die Eindeutigkeit des internen Zinssatzes u ¨ber die Vorzeichenregel von Descartes sichergestellt. Im allgemeinen ist die Eindeutigkeit sogar gar nicht gegeben, wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel 5.4 Auf einem Konto mit unbekanntem Zinssatz erfolgen an aufeinander folgenden Jahren jeweils am Jahresende die folgenden Kontobewegungen (in EU R): C0 = 1000, C1 = −3020, C2 = 2040 Der Kontostand nach der letzten Kontobewegung sei null. Gesucht ist der interne Zinsfuß. Lo ¨sung: Wir l¨osen die interne Zinsfußgleichung 1000q 2 − 3020q + 2040 = 0 Diese Gleichung hat zwei L¨osungen, die beide positiv sind: q1 = 1.02 und q = 2.0 Dies entspricht einem internen Zinsfuß von entweder p = 2% oder p = 100%. (Man beachte dazu, dass das Polynom zwei Vorzeichenwechsel hat.) 2 Interpretieren wir das Konto des Beispiels als Sparkonto (aus der Sicht der Bank, der der Sparer einen Kredit gibt), so liegt die Besonderheit des Beispiels darin, daß das Konto zwischenzeitlich u ¨berzogen wurde. Die Zahlung ¨ am Ende des letzten Jahres wurde so bemessen, daß die Uberziehung ausgeglichen wurde. In der Tat w¨are ohne diesen Umstand die Doppeldeutigkeit des internen Zinsfusses nicht eingetreten. Dies soll im Folgenden gezeigt werden.

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

5.3.1

129

Das Sparkontenprinzip

Dazu betrachten wir die j−te Verm¨ogenswertfunktion gj der Finanzierung zum Ende der Zinsperiode j im Betrachtungszeitraum: gj (q) :=

j X

Ck q j−k ,

f¨ ur j = 0, 1, ..., n

(5.9)

k=0

(Beachte: gn ist die Kontoendstandfunktion mit q = x). Diese gibt, abh¨angig vom verwendeten (variablen) Aufzinsungsfaktor q, den Kontostand zum Ende der j−ten Periode an. An die Finanzierung stellen wir nun folgende Forderung: (Sparkontenprinzip) Bzgl. eines internen Zinssatzes i∗ := ief f gelte mit q ∗ = 1 + i∗ gj (q ∗ ) ≥ 0 f¨ ur j = 0, 1, ..., n

(5.10)

Unsere Forderung ist also, daß das Konto bzgl. eines internen Zinssatzes zu keinem Zeitpunkt einen negativen Kontostand aufweist . Wir nennen die Finanzierung halbnormal. (Entsprechend ist eine halbnormale Investition definiert.) Es gilt dann insbesondere C0 ≥ 0 und Cn ≤ 0, da das Konto zum Ende des Betrachtungszeitraums ausgeglichen sein soll. Wir setzen oBdA voraus, daß Ck > 0 f¨ ur mindestens ein k und Cn < 0 sowie n ≥ 2 gilt, so daß gn , gn0 , gn00 keine Nullpolynome sind.. Die folgende Beweisf¨ uhrung beruht nun wesentlich auf der Beobachtung, daß die Werte gj (q) , j = 0, ..., n bei der Berechnung des Funktionswertes gn (q) u ugen die Funktio¨ber das Hornerschema auftreten. Nach Konstruktion gen¨ nen gj f¨ ur jedes q dem Rekursionsschema g0 (q) = C0 gj (q) = Cj + q · gj−1 (q) ,

(5.11) f¨ ur j = 1, ..., n,

so daß sich die Funktion gn auch folgendermaßen schreibt: gn (q) = ((... (g0 (q) q + C1 ) q + C2 ) q + ... + Cn−1 ) q + Cn

(5.12)

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

130

Also stimmen die Werte gj (q) mit den Hornerkoeffizienten bei der Berechnung von gn (q) u ¨berein. Damit beweisen wir Lemma 5.5 (moore) Das Polynom gn besitzt f¨ ur den Fall, daß eine positive Nullstelle q ∗ existiert, keine weitere positive Nullstelle mehr. Beweis: gn besitze die positive Nullstelle q ∗ . Dann schreibt sich gn als gn (q) = (q − q ∗ ) h (q)

(5.13)

wobei sich h u ¨ber das Hornerschema zu einem Polynom (n − 1) − ten Grades berechnet, dessen Koeffizienten gem¨aß (5.11) die Zahlen cn := g0 (q ∗ ) , cn−1 := g1 (q ∗ ) , ..., c1 := gn−1 (q ∗ ) sind. Da diese nach Voraussetzung alle nicht negativ sind, besitzt h keine positive Nullstelle. Damit besitzt auch gn keine weitere positive Nullstelle. 2 Zu beachten ist, daß unter der Forderung des Sparkontenprinzips auch die Voraussetzung f¨ ur Lemma 1.10 gegeben ist, das die Monotonie des NewtonVerfahrens regelt, wenn dieses rechts von der zu bestimmenden Nullstelle gestartet wird. Dies kann wie folgt eingesehen werden: Zu zeigen ist: gn0 (q) > 0, gn00 (q) > 0 f¨ ur alle q > q ∗ , wobei q ∗ wieder die einzige positive Nullstelle des Polynoms gn sei. Zun¨achst einmal sind nach Voraussetzung die Funktion h aus (5.13 ) und s¨amtliche ihrer Ableitungen Funktionen mit nichtnegativen Koeffizienten. Diese Funktionen nehmen also f¨ ur positive q nur positive Werte an, sofern mindestens ein Koeffizient positiv ist. Auf der anderen Seite folgt durch Ableiten von gn in der Form (5.13) gn0 (q) = h (q) + (q − q ∗ ) h0 (q) und gn00 (q) = 2h0 (q) + (q − q ∗ ) h00 (q) Damit gilt auch gn0 (q) ≥ 0 und gn00 (q) ≥ 0 f¨ ur alle q ≥ q ∗ und es sind die Voraussetzungen von Lemma 1.10 bei Anwendung auf die Funktion gn erf¨ ullt. Das Newton-Verfahren konvergiert gegen die Nullstelle q ∗ , sobald es von einem beliebigen q rechts von q ∗ gestartet wird. Bzgl. der Existenz des internen Zinssatzes k¨onnen (bei unterstelltem Spar¨ kontenprinzip) folgende Uberlegungen angestellt werden:

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

131

• Gilt gn (1) = C0 + ... + Cn > 0, u ¨bersteigt also die Summe der (unverzinsten) Einzahlungen die der (unverzinsten) Entnahmen, so muß wegen Cn < 0 die Ungleichung gn (0) < 0 gelten. In diesem Fall besitzt gn nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle q ∗ mit 0 < q ∗ < 1. Da q ∗ = 1+i∗ gilt, hat die Finanzierung demnach eine negative Verzinsung. • Gilt dagegen gn (1) = C0 + ... + Cn < 0, u ¨bersteigen also die (unverzinsten) Entnahmen die (unverzinsten) Einzahlungen, so besitzt gn nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle q ∗ mit 1 < q ∗ , also mit positivem i∗ , denn es gilt nach Voraussetzung limq→∞ gn (q) = ∞. Dazu gen¨ ugt es zu wissen, daß das erste nichtverschwindende Ck positiv ist, was wegen des Sparkontenprinzips automatisch gegeben ist. Dann ist dieses Ck der h¨ochste Koeffizient in gn und bestimmt dessen Verhalten f¨ ur q → ∞. • Wir zeigen nun, daß die Bedingung gn (1) = C0 + ... + Cn < 0 auch notwendig ist f¨ ur die Existenz einer Nullstelle q ∗ > 1. Sei dazu vorausgesetzt, daß q ∗ > 1 eine Nullstelle von gn ist. Dann gilt 0 = gn (q ∗ ) = Cn + q ∗ gn−1 (q ∗ ) Damit gilt auch 0 ≤ gn−1 (q ∗ ) ≤ q ∗ gn−1 (q ∗ ) = −Cn Ebenso folgt aus 0 ≤ gn−1 (q ∗ ) = Cn−1 + q ∗ gn−2 (q ∗ ) ≤ −Cn sofort 0 ≤ gn−2 (q ∗ ) ≤ q ∗ gn−2 (q ∗ ) ≤ −Cn−1 − Cn ¨ F¨ uhrt man diese Uberlegungen weiter fort, so ergibt sich schließlich 0 ≤ g0 (q ∗ ) ≤ −C1 − ... − Cn Wegen g0 (q ∗ ) = C0 folgt daraus C0 + C1 + ... + Cn ≤ 0

(5.14)

Zu beachten ist, daß bei den obigen Absch¨atzungen ein < - Zeichen gesetzt werden darf, sobald irgendwann gj (q ∗ ) 6= 0 gilt, j = n, ..., 1. Damit gilt nach unseren generellen Voraussetzungen in (5.14) sogar das < −Zeichen

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

5.4

132

Vergleich von Investitionen

In diesem Abschnitt soll gekl¨art werden, wann eine Investition als lohnenswert angesehen wird. Die Frage, wann eine Finanzierung lohnenswert ist , kl¨art man analog. Beispiel 5.6 Eine typische Investition. Ein Investor besorgt sich zu Beginn des Projektes einen Kapitalbetrag Ka , indem er diesen von einem Investitionskonto abhebt. Auf dem Konto entsteht ein negativer Kontostand, der u ¨ber die Laufzeit der Investition Schuldzinsen erzeugt. Er investiert den geliehenen Betrag (Kapitalbindung), um Erl¨ose zu erwirtschaften. Die Ertr¨age des Kapitals zahlt er jeweils zum Ende einer Periode auf das Konto ein. Am Ende der ersten Perioden m¨oge ggf. der Kapitalbedarf noch den Erl¨os u ¨berwiegen, so daß anf¨anglich weitere Auszahlungen vom Konto notwendig (Phase der Anschaffung und Ingangsetzung). Schließlich m¨ogen die Erl¨ose die laufenden Kosten u ¨berwiegen, es kommt nur noch zu Einzahlungen auf dem Anlagekonto (Phase der produktiven Nutzung). Am Ende der letzten Periode kommt es zur Kapitalfreisetzung durch Liqudation. Dieser Liquidationserl¨os wird ebenfalls dem Anlagekonto gutgeschieben. Skizze:

2

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

5.4.1

133

Rentabilit¨ at einer Investition

Was immer wir unter dem Begriff ”lohnenswert” verstehen wollen, eines ist klar: Eine Investition kann nur lohnenswert sein, wenn ihre (unverzinsten) Einnahmen die (unverzinsten) Ausgaben u ¨bersteigen, wenn also das Deckungskriterium f¨ ur Inverstitionen erf¨ ullt ist. Dies setzen wir im folgenden voraus. Wir betrachten wieder einen Zahlungsstrom aus Zahlungen Ck , k = 0, ..., n, k die zu den Zeitpunkten Tk = m auf einem Konto erfolgen m¨ogen. Der 1 j¨ahrliche Aufzinsungsfaktor sei q. Setzen wir x := q m , so ergibt sich der Kontoendstand nach der letzten Zahlung zu Vn =

n X

Ck xn−k

(5.15)

k=0

wenn vereinbarungsgem¨aß der Kontostand vor der ersten Zahlung null war. Vn heißt der Verm¨ ogenswert der Investition. (vgl. (5.3)) Wir nennen eine Investition rentabel, wenn der Verm¨ogenswert Vn positiv ist. Man beachte: Ist die Investition geschlossen, so ist sie nicht rentabel. Kapitalwertmethode Der Verm¨ogenswert gibt eine M¨oglichkeit, die Rentabilit¨at einer Investition zu bewerten. Auf der anderen Seite kann die Bewertung von der Laufzeit unabh¨angiger gemacht werden, wenn man den Kapitalwert (Kapitalbarwert) der Investition n X V0 = Ck x−k k=0

betrachtet, der den Barwert aller Zahlungen zum Zeitpunkt T = 0 zusammenfaßt. Der Kapitalwert ist genau dann positiv, wenn der Verm¨ogenswert positiv ist. Ist der Kapitalwert positiv und damit die Investition rentabel, so wird sie als lohnenswert angesehen.

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

134

Ist der den Zahlungen zugeordneten Aufzinsungsfaktor bekannt, so kann der Kapitalwert einer Investition u ¨ber (5.15) leicht berechnet und somit die Rentabilit¨at der Investition bewertet und ggf. mit der von anderen Projekten verglichen werden. Die Rentabilit¨at der Investition wird um so h¨oher eingesch¨atzt, je h¨oher der Kapitalwert liegt. Ist der Aufzinsungsfaktor nicht bekannt, so wird er durch einen fiktiven Kalkulationszinssatz ersetzt, der die durchschnittliche Wiederanlageverzinsung bzw. die durchschnittliche Schuldzinsenbelastung des Investors beschreibt. Methode des internen Zinssatzes Eine alternative M¨oglichkeit der vergleichenden Bewertung von Investitionsmaßnahmen ergibt sich aus der Effektivverzinsung. Bei dieser Methode wird das Investitionsprojekt als geschlossen unterstellt und sein kleinster interner Zinssatz i∗ berechnet. Da das Deckungskriterium erf¨ ullt ist, gilt i∗ > 1 und da dann ferner f¨ ur die Kontoendsstandfunktion g gilt: g (1) > 0, ist g (x) > 0 1 ur die Kapitalwertfunktion f¨ ur alle 1 ≤ x < x∗ := (1 + i∗ ) m . Damit ist auch f¨ V0 (x) =

n X

Ck x−k

k=0

positiv f¨ ur 1 ≤ x < x∗ , die Investition also rentabel f¨ ur alle (positiven) Jahreszinss¨atze, die kleiner als der berechnete interne Zinssatz sind. Eine offene Investition wird als lohnenswert angesehen, wenn sein interner Zinssatz i∗ h¨oher als ein vom Investor benannter Kalkulationszinssatz ist. Die Investition wird als umso lohnender angesehen, je h¨oher ihre Rendite, d.h. der interne Zinssatz ist. Dabei ist der Kalkulationszinssatz als Jahreszinssatz anzusehen, zu dem der Investor sein Kapital alternativ (mit der gleichen Zahlungsfolge) anlegen k¨onnte.

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

5.4.2

135

Vergleichende Bewertung mehrerer Investitionsprojekte

Oft stellt sich nicht nur die Frage, ob eine Investition oder eine Finanzierung lohnenswert ist, sondern es stehen mehrere M¨oglichkeiten zur Auswahl und der Investor m¨ochte herausfinden, welche f¨ ur ihn die vorteilhaftigste ist. Beispiel 5.7 Herr A. braucht ein neues Auto. Um an sein Traumauto zu kommen hat er mehrere M¨oglichkeiten, z.B. 1. er handelt beim Neuwagenh¨andler einen Rabatt f¨ ur Barzahlung aus, leiht sich das am vorhandenen Eigenkapital fehlende Restkapital bei seiner Bank und kauft den Neuwagen. 2. er verzichtet auf einen Rabatt und nimmt ein g¨ unstiges Ratenfinanzierungsangebot des Neuwagenh¨andlers in Anspruch, wobei er sein Eigenkapital als Anzahlung verwendet. 3. er entscheidet sich, den Wagen zu leasen. Sein Eigenkapital verwendet er dabei als einmalige Barzahlung. Ein Vergleich der obigen Finanzierungsmaßnahmen ist problematisch. Klar, ist, was auch immer Herr A. w¨ahlt, • er hat ab sofort sein Traumauto zur Verf¨ ugung • er ist sein Eigenkapital los • er zahlt mehr oder weniger lange monatliche Raten unterschiedlicher H¨ohe. Von daher hat ein Vergleich der Finanzierungsmaßnahmen gleiche Ausgangsbasis. Verglichen werden k¨onnten die obigen Maßnahmen aber nur dann sinnvoll, wenn s¨amtliche Ein- und Auszahlungen vollst¨andig bekannt sind. So spielen sicher auch steuerliche Aspekte eine Rolle, die bei der bisherigen Problemformulierung noch gar nicht einbezogen wurden. Auch k¨onnen unterschiedliche, geldwerte Sonderleistungen ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen, wie sie z.B. bei Leasing-Vertr¨agen auftreten k¨onnen.

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

136

Im folgenden beschreiben wir zun¨achst die o.g. zwei ”klassischen” Methoden zum Vergleich von Investitionen. Anschließend wollen wir die angesprochenen Methoden diskutieren.. Beispiel 5.8 Ein Anleger habe die M¨oglichkeit, auf verschiedene Weisen 6000 EU R zu investieren. Investiert er, so erh¨alt j¨ahrlich nachsch¨ ussig R¨ uckflußraten. Folgende m¨ogliche R¨ uckzahlungsfl¨ usse werden ihm geboten: 1. 6 gleichgroße j¨ahrliche Raten zu je 1600 EU R 2. 3 gleiche Raten zu 2850 EU R in den ersten drei Jahren 3. 6 Raten in folgenden H¨ohen: 3000 EU R, 2200 EU R, 1000 EU R, 1000 EU R, 1000 EU R, 1000 EU R 4. Hier werden 6 Jahre lang Zinsen in H¨ohe von je 750 EU R (nomineller Zinssatz 12, 5%) gezahlt. Zum Schluß erh¨alt er das investierte Kapital von 6000 EU R zur¨ uck. Der Investor hat nun grunds¨atzlich die M¨oglichkeit, die erforderlichen 6000 EU R von seinem Tagesgeldkonto, das ihm eine Effektivverzinsung von 5% bringt, abzuziehen und diese zu investieren. Zum anderen hat er die M¨oglichkeit, sich das erforderliche Kapital selbst zu effektiven 8% zu leihen. Es stellt sich die Frage, ob eine der Anlageformen lohnenswert und welche f¨ ur ihn ggf. an g¨ unstigsten ist. Anwendung der Kapitalwertmethode Bei dieser Methode gilt diejenige Anlagen-Variante als g¨ unstigste, die den h¨ochsten Kapitalwert hat. Beispiel 5.9 Wir berechnen den Kapitalwert der im letzten Beispiel genannten Investitionen, zun¨achst mit dem Wiederanlage-Zinsfuß von 5% bei Verwendung von Eigenkapital. Vom Anlagekonto werden zun¨achst die erforderlichen 6000 EU R abgehoben und investiert. Die R¨ uckfl¨ usse werden wieder auf das Konto eingezahlt.

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT 1. −6000 +

137

6 X

1600 · 1.05−k = 2121.1

k=1

2. −6000 + 2850 · 1.05−1 + 2850 · 1.05−2 + 2850 · 1.05−3 = 1761.3 3. −6000 + 3000 · 1.05−1 + 2200 · 1.05−2 +

6 X

1000 · 1.05−k = 2068.9

k=3

4. −6000 +

5 X

750 · 1.05−k + 6750 · 1.056 = 2284.1

k=1

Man erkennt, daß alle vier Investitionen rentabel und die vierte Investitionsvariante die lohnendste ist. Es folgen die erste, die dritte und die zweite Variante auf den Pl¨atzen. Das Willk¨ urliche an der Kapitalwertmethode ist der vorgegebene Kalkulationszinssatz. Dass dieser im obigen Beispiel die Reihenfolge der Bewertung verschiedener Investitionen erheblich beeinflussen kann, zeigt sich, wenn nun mit einem Kalkulationszinsfuß von 8% gerechnet wird. Dies entspricht dem Zinssatz einer Kreditaufnahme u ¨ber das Fremdfinanzierungskonto, es wird also unterstellt, dass die Investition nun fremdfinanziert wird. Die Kapitalwerte berechnen sich entsprechend zu 1396.60, 1344.70, 1503.50, 1248.20. Auch mit Kreditaufnahme sind alle Investitionen rentabel. Die dritte Investition ist nun die lohnendste, gefolgt von der ersten, der zweiten und der vierten. 2

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

138

Anwendung der Methode des internen Zinssatzes Die Variante mit der h¨ochsten Rendite wird als g¨ unstigste Variante angesehen. Beispiel 5.10 Mit den obigen Daten ergibt sich als interner Zinssatz f¨ ur die einzelnen Varianten: 1. 6

−6000 · q +

6 X

1600 · q 6−k = 0

k=1

Als L¨osung ergibt sich q = 1. 1534, also ist 15, 34 der interne Zinsfuß. 2. −6000 · q 6 + 2850 · q 5 + 2850 · q 4 + 2850 · q 3 = 0 L¨osung ist q = 1. 2004, also lautet der interne Zinsfuß 20, 04%. 3. 6

5

4

−6000 · q + 3000 · q + 2200 · q +

6 X

1000 · q 6−k = 0

k=3

Es ergibt sich q = 1. 1846, also 18, 46% als interner Zinsfuß. 4. −6000 · q 6 +

5 X

750 · q 6−k + 6750 = 0

k=1

Hier gilt q = 1. 125, damit liegt der interne Zinsfuß bei 12, 50%. Bei dieser Berechnungsmethode zeigt sich also die zweite Anlagevariante als Sieger, gefolgt von der dritten, der ersten und der vierten Variante. Die Reihenfolge ist also verschieden von dem Ergebnis der Kapitalwertmethode. Da in allen vier Investitionen der interne Zinssatz u ¨ber den angegebenen Kalkulationszinss¨atzen liegt, werden alle als lohnenswert eingestuft. 2

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

5.4.3

139

Kritik der klassischen Methoden

Wie wir gesehen haben, h¨angt die Bewertung einer Investition von angenommenen (fiktiven) oder berechneten Kalkulationszinssatz ab, mit dem r¨ uckfließendes Kapital wieder angelegt wird. W¨ahrend der Kalkulationszinssatz bei der ersten Methode individuell nach Erfahrungswerten der Wiederanlage festgelegt werden kann, wird er bei der zweiten Methode quasi als interner Zinssatz berechnet. Fisher Rate Interessante Einsichten zum Kalkulationszinssatz ergeben sich, wenn der Kapitalwert zweier zu vergleichender Investitionen im funktionalen Zusammenhang mit dem Kalkulationszinssatz betrachtet wird: Betrachten wir die erste und die vierte Investitionsvariante und bei diesen den Kapitalwert in Abh¨angigkeit von q, so sind die zwei Funktionen f1 (q) = −6000 + f4 (q) = −6000 +

6 X k=1 5 X

1600 · q −k

und

750 · q −k + 6750q −6

k=1

zu vergleichen. In der Tat zeigen beide insofern einen unterschiedlichen Verlauf, als die zweite f¨ ur q = 1 einen h¨oheren Wert annimmt und dann viel steiler abf¨allt. Dadurch schneiden sich beide Kurven bei q = 1.0647. Diesen Zinsfuß von 6, 47% nennt man Fisher rate. Die Beobachtung ist wie folgt zu interpretieren: F¨ ur Kalkulationszinsf¨ usse unter 6, 47% ist der Kapitalwert der vierten Anlage g¨ unstiger, ab 6, 47% ist dies genau umgekehrt. Dies spiegelt die oben berechneten Ergebnisse der Kapitalwertmethode mit den Kalkulationszinss¨atzen 5% und 8% richtig wider. Problematik des Kalkulationszinssatzes Bei der Anwendung der Kapitalwertmethode auf das Beispiel sind wir von zwei verschiedenen Kalkulationszinss¨atzen ausgegangen. W¨ahrend der erste

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

140

Zinssatz von 5% die Wiederanlage von Einzahlungen zum Zinssatz des Tagesgeldkontos realistisch bewertet, denn diese M¨oglichkeit steht dem Investor bei ihm zufließendem Kapital zu Verf¨ ugung, bewertet der zweite Kalkulationszinssatz zur¨ uckfließendes Kapital zum Fremdfinanzierungszins von 8%. Dies unterstellt implizit, dass zufließende Gelder unmittelbar und in voller H¨ohe zur Reduzierung der Fremdfinanzierungsschuld herangezogen werden k¨onnen. Das ist unrealistisch, da in der Regel derartige Sondertilgungen ausgeschlossen oder zumindest in der H¨ohe begrenzt sind. Selbst wenn diese Sondertilgungen m¨oglich w¨aren, so w¨are doch bei allen angesprochenen Investitionen eine Tilgung des Fremdfinanzierungschuld vor dem Ende der Investition erreicht. Weitere Kapitalr¨ uckfl¨ usse k¨onnten dann kaum noch mit dem Fremdfinazierungszinssatz bewertet werden. Personenbezogenheit des Kalkulationszinssatzes Welcher Kalkulationszinssatz sinnvoll ist, h¨angt sicher auch von der Frage ab, ob die Betrachtung von Gl¨aubigerseite oder von Schuldnerseite her angestellt wird . F¨ ur einen Kreditnehmer macht es wenig Sinn, einen Kalkulationszinssatz anzusetzen, der geringer ist als der effektive Zinssatz, weil sein Schuldkonto eben mit dem (hohen) effektiven Zinssatz verzinst wird. F¨ ur ihn ist die Bewertung der Finanzierungen mit der Methode des internen Zinssatzes sinnvoll. F¨ ur den Kreditgeber hingegen ist es v¨ollig offen, ob er zur¨ uckbezahlte Gelder zu einem ¨ahnlich guten Zinssatz wie dem Effektivzinssatz anlegen kann. Er wird also den Kalkulationszinsfuß der Investition eher niedriger ansetzen und so m¨oglicherweise beim Vergleich zweier R¨ uckzahlungsvarianten zu einem anderen Ergebnis kommen als der Kreditnehmer. Der Kreditgeber wird also die Kapitalwertmethode bei relativ geringem Kalkulationszinssatz wegen des Risikos der Wiederanlage bevorzugen. Bemerkung: Generell bleiben bei den bisherigen Betrachtungen Aspekte des Risikos (der zuk¨ unftigen Zinsentwicklung oder der Bonit¨at) unber¨ ucksichtigt. Auch wurden Fragen der Liquidit¨at bzw. der Unsicherheit von prognostizierten Zahlungen nicht angesprochen.

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

5.4.4

141

Methode der realen Rendite

Die Schwierigkeiten bei den klassischen Vergleichsmethoden f¨ ur Investitionsprojekte entstehen, weil Ungleiches verglichen wird. Wirklich vergleichbar sind Investitionen nur, wenn sie von folgender einfacher Gestalt: Betrachtet wird ein Referenzkonto mit verschiedenen zugeordneten Anlagekonten zu m¨oglicherweise unterschiedlichen Zinss¨atzen, in die Kapital aus dem Referenzkonto w¨ahrend der betrachteten Laufzeit investiert wird. • Aus dem Referenzkonto steht anf¨anglich ein fester Eigenkapitalbetrag S zur Verf¨ ugung. • Das Referenzkonto wird u ¨ber einen festen Zeitraum T, der die Laufzeit der Investition darstellt, betrachtet. Aus ihm fließen (jeweils zum Ende einer Periode) Gelder als interne Auszahlungen zu zugeordneten Anlagekonten ab. Genauso fließen Erl¨ose der Anlagekonten als interne Einzahlungen dem Referenzkonto zu. • Der Kontostand des Referenzkontos am Ende der Laufzeit T gibt den Verm¨ogenswert VT der Investition an. Dabei wird unterstellt, das alle zugeordneten Anlagekonten auf null gestellt sind. Im Falle einer solchen einfachen Investition ist das Vergleichskriterium klar: je h¨oher der Verm¨ogenswert, desto lohnender die Investition! Dabei nennen wir die Investition einfach, weil Kapitalfl¨ usse aus oder zum Referenzkonto, seien es Teilauszahlungen des Anlegebetrags oder R¨ uckfl¨ usse, als interne Angelegenheit der Investition angesehen werden. Aus dem Verm¨ogenswert kann abschließend die reale Rendite der Investitionen berechnet werden. Im Sinne des Begriffs der geschlossenen Investition berechnet man dazu einfach den internen Zinsfuß p des Zahlungsstroms, bei dem zum Zeitpunkt t = 0 die Einzahlung S und am Ende der Laufzeit T die Auszahlung VT erfolgt. Beispiel 5.11 Wir betrachten noch einmal das obige Beispiel. 1. Fall: Der Investor verwendet das Eigenkapital. Referenzkonto ist das Tagesgeldkonto mit seiner Verzinsung von 5%. Aus ihm fließen zum Zeitunkt T = 0 die 6000 EU R ab und werden investiert.

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

142

Es ergeben sich f¨ ur die einzelnen Varianten die folgenden Verm¨ogenswerte VT und realen Renditen p bei S = 6000 EU R und einem Kalkulationszinsfuß von 5% (Achtung: wir verwenden der einfachheit halber die Rechenergebnisse der Kapitalwertmethode) 1. VT =

6 X

1600 · 1.056−k = (6000 + 2121.10) · 1.056 = 10883.05

k=1

q=

p 6

10883.05/6000 = 1.10433

Die Anlage rentiert sich also real zu 10, 43% 2. VT = (6000 + 1761.3) · 1.056 = 10400.88 p q = 6 10400.88/6000 = 1.0960 Die Anlage rentiert sich real zu 9, 60%. 3. VT = (6000 + 2068.9) · 1.056 = 10813.1 p q = 6 10813.1/6000 = 1.10315 Damit ergibt sich eine reale Rendite von p = 10, 13% 4. VT = (6000 + 2284.1) · 1.056 = 11101.49 p q = 6 11101.49/6000 = 1.1080 Als reale Rendite ergibt sich p = 10, 80%. Der Vergleich mit der Kapitalwertmethode zeigt, dass die Rangreihenfolge der Investitionen die gleiche ist wie bei der Kapitalwertmethode bei einem Kalkulationzins von 5% (warum?) 2. Fall: Die Investition wird fremdfinanziert. In diesem Fall verbleiben die vorhandenen 6000 EU R aus dem Tageskonto als Referenzkonto und werden dort u ¨ber die gesamte Laufzeit mit 5% verzinst.

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

143

Zus¨atzlich nimmt der Investor einen Kredit von 6000 EU R zu einem Effektivzins von 8% auf. Diesen zahlt er in 6 nachsch¨ ussigen Annuit¨aten A von je 1.08 − 1 A = 6000 · 1.086 = 1297. 89 1.086 − 1 aus dem Referenzkonto zur¨ uck. Gleichzeitig fließen die R¨ uckfl¨ usse aus der Investition aus das Referenzkonto. 1. 6

VT = 6000 · 1.05 +

6 X

(1600 − 1297. 89) 1.056−k = 10095. 50

k=1

p q = 6 10095. 50/6000 = 1. 09059 31 Die reale Rendite ergibt sich zu p = 9, 06%. 2. 6

VT = 6000 · 1.05 +

3 X

6−k

2850 · 1.05

−

k=1

q=

p 6

6 X

1297. 89 · 1.056−k = 9613. 27

k=1

9613. 27/6000 = 1. 08173 28

Es ergibt sich eine reale Rendite von p = 8.17%. 3. VT = 6000 · 1.056 + 5

4

3000 · 1.05 + 2200 · 1.05 +

6 X

6−k

1000 · 1.05

k=3

−

6 X

1297. 89 · 1.056−k

k=1

= 10025. 52 q=

p 6 10025. 52/6000 = 1. 08932 95

Hier stellt sich die Rendite real zu p = 8.93%. 4. 6 6 X X 6−k VT = 6000·1.05 + 750·1.05 − 1297. 89·1.056−k +6000 = 10313. 88 6

k=1

k=1

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT q=

144

p 6

10313. 88/6000 = 1. 09449

Die Investition rentiert sich real zu p = 9.45%. Insgesamt zeigt sich in unserem Beispiel die vierte Investition bei Einbringung des Eigenkapitals als diejenige mit der h¨ochsten realen Rendite. Sie ist unter diesem Aspekt die lohnenste Investition! 2

5.5 5.5.1

¨ Ubungsaufgaben Theoretische Aufgaben

Festverzinsliche Wertpapiere Festverzinsliche Wertpapiere (Zinsanleihen) sind Kapitalanlagen, bei denen am Anfang die Investition einer bestimmten Summe steht, mit der das Recht auf Einnahme periodischer Zinsen (Kupons) erworben wird und bei denen nach einer festen Laufzeit ein Betrag, der nicht notwendig mit dem investierten Betrag u uckzahlung des investierten Kapitals ¨bereinstimmen muß, zur R¨ auf ein Investitionskonto eingezahlt wird. In Deutschland ist es u ¨blich, daß die Zinsen vollj¨ahrig bezahlt werden. Das macht die zinstechnische Bearbeitung einfach, da in diesem Fall die US-Methode mit der Berechnungsmethode nach PAngV u ¨bereinstimmt. Wir gehen im folgenden von dem praxisnahen Fall aus, daß die St¨ uckelung des betrachteten festverzinslichen Papiers 100 EU R betr¨agt und betrachten auch nur den Erwerb eines Papiers im Nominalwert dieses Betrages. Dadurch gibt der investierte Betrag den Kurs des Wertpapieres an. Dieser Kurs kann erheblich vom Nominalwert abweichen, n¨amlich dann, wenn die mit dem Papier verbundenen Nominalzinsen von den Marktzinsen abweichen. Es ist klar, daß ein ver¨anderter Auszahlungsbetrag bei gleichen Zinsertr¨agen und gleicher R¨ uckzahlung die Rendite der Investition ver¨andert: je niedriger der Kurs des Wertpapiers, desto h¨oher seine Rendite. Im Einzelnen vereinbaren wir folgende Bezeichnungen n = Laufzeit des Papiers in vollen Jahren (n ≥ 2)

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

145

A = (Ausgabe-)Kurs in EU R B = j¨ahrlicher konstanter Zinsertrag C = R¨ uckzahlung, bestehend aus den letzten Zinsen plus dem Einl¨osekurs Die Rendite des Wertpapiers berechnet sich dann als interner Zinsfuß aus der Gleichung gn (q) = −Aq n + Bq n−1 + ... + Bq + C = 0 (5.16) Dabei wollen wir praxisnah A > 0,

B > 0,

C>0

(5.17)

voraussetzen. Hinweis: Der Kurs eines Wertpapiers mit gebrochener Laufzeit von zun¨achst t(> 0) Tagen und dann n Jahren wird festgesetzt zu   360 − t 0 0 K =K 1+ (q − 1) 360 wobei K den (fiktiven) Kurs bei einer Laufzeit von (n + 1) Jahren und q 0 den Aufzinsungsfaktor des Marktzinses bezeichne. Da dieser Kurs zu den Zinszahlungstagen ”springt”, bezeichnet man mit 360 − t (q − 1) · 100 360 ¨ den b¨orsennotierten Kurs. Beachte: Ublicherweise werden die Kurse als Prozentangaben notiert! K 00 = K 0 −

Aufgabe 5.12 Zeigen Sie , daß im Falle C = A + B die Gleichung (5.16) die eindeutige positive L¨osung q = 1 + B hat. A Aufgabe 5.13 Substituieren Sie in Gleichung (5.16) q durch x := 1q . Zeigen Sie, daß die so entstehende Gleichung h (x) = q −n gn (q) = −A + B

n−1 X

xj + Cxn = 0

j=1

mit dem Newtonverfahren f¨ ur Polynome sicher gel¨ost werden kann, wenn bei beliebigen x0 > 0 gestartet wird.

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

146

Aufgabe 5.14 Betrachtet werde die Funktion h aus der letzten Aufgabe. Zeigen Sie: 1. Gilt h (1) = −A + (n − 1) B + C > 0, so gilt f¨ ur die Rendite i∗ > 0. 2. Gilt h (1) = −A + (n − 1) B + C < 0, so gilt f¨ ur die Rendite i∗ < 0. 3. Gilt A < C − B, so gilt f¨ ur die Rendite i∗ <

B A

4. Gilt A > C − B, so gilt f¨ ur die Rendite i∗ >

B A

Wie interpretieren Sie diese Bedingungen und Ergebnisse?

5.5.2

Programmierpraxis

Aufgabe 5.15 Schreiben Sie ein (Excel-) VBA-Programm, das f¨ ur eine geschlossene halbnormale Finanzierung den Effektivzins berechnet. Gehen sie dabei von m1 −j¨ahrlichen, in der H¨ohe unregelm¨aßigen Zahlungen aus. Das Programm soll zuvor testen, ob die Finanzierung halbnormal ist. Aufgabe 5.16 Schreiben Sie ein (Excel-) VBA-Programm, das f¨ ur eine offene quasinormale Investition mit bekanntem (Jahres-) Kalkulationszinssatz den Effektivzins berechnet. Gehen sie dabei von m1 −j¨ahrlichen, in der H¨ohe unregelm¨aßigen Zahlungen aus. Das Programm soll zuvor testen, ob die Finanzierung quasinormal ist. Aufgabe 5.17 Schreiben sie ein (Excel-) VBA-Programm, das mehrere Investitionen mit unterschiedlichen Zahlungsstr¨omen nach der Methode der realen Rendite vergleicht. Unterscheiden Sie dabei zwischen Eigen- und Fremdfinanzierung.

5.5.3

Praktische Aufgaben

Aufgabe 5.18 Berechnen sie die Rendite eines festverzinslichen Wertpapiers, das zu einem Kurs von 93, 24 bei einer Restlaufzeit von 3 Jahren und 211 Tagen und einer Nominalverzinsung von 4, 75% erstanden wurde. (Es wurde zu 100% zur¨ uckbezahlt)

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

147

Aufgabe 5.19 Welches ist der Kurs und der b¨orsennotierte Kurs eines festverzinslichen Wertpapiers, das mit nominellen Zinsen von 7% ausgestattet ist und eine Laufzeit von 5 Jahren und 2 Monaten hat, wenn der aktuelle Marktzins f¨ ur 3-j¨ahrige Papiere bei 6% liegt? (R¨ uckzahlung zu 100%). Aufgabe 5.20 Berechnen Sie den internen Zinsfuß des Fondskontos, bei dem folgende Bewegungen stattfinden: Zu Beginn des ersten Jahres werden 10000 EU R investiert und nach einem halben Jahr noch einmal f¨ ur 5000 EU R nachgekauft. Genau f¨ unf Jahre nach Beginn der Investition werden im monatlichen Rhythmus jeweils Anteile f¨ ur 5000 EU R verkauft. Dies geschieht vier mal so. Schließlich wird letztmalig einen Monat sp¨ater das Konto leerger¨aumt. Dabei werden noch einmal 6781, 23 EU R erzielt. Aufgabe 5.21 Berechnen Sie den effektiven Jahreszins f¨ ur folgenden Kredit: Geliehen werden 50000 EU R f¨ ur 8 Jahre. Vereinbart ist eine anf¨anglich zu zahlende Darlehensgeb¨ uhr von 3%, die der Darlehensumme zugeschlagen wird, ein Zahlungsaufschub von einem halben Jahr, anschließende nachsch¨ ussige monatliche Zahlungen von 750 EU R und eine abschließende Restzahlung von 8000 EU R (einschließlich der letzten Annuit¨at). Aufgabe 5.22 Vergleichen Sie die folgenden Kapitalanlagen nach der Methode der realen Rendite bei jeweils gleichem Kalkulationszinsfuß von 7%, wenn das Kapital fremdfinanziert wird und von 4%, wenn Eigenkapital genutzt wird. Investiert werden sollen 10000 EU R. Es stehen drei Anlagen zur Auswahl: 1. Investiert werden sofort 6000 EU R und ein halbes Jahr sp¨ater die restlichen 4000 EU R. R¨ uckfl¨ usse ergeben sich wie folgt: • nach viereinhalb Jahren 3000 EU R • nach f¨ unf Jahren 5000 EU R • und nach sechs Jahren 10000 EU R 2. Investiert werden sofort 10000 EU R. Zur¨ uckgezahlt werden 20000 EU R nach sieben Jahren.

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

148

3. Investiert werden sofort beginnend jeweils 2000 EU R in Abst¨anden von einem viertel Jahr. Zur¨ uckgezahlt werden jeweils 2000 EU R beginnend genau drei Jahre nach der ersten Auszahlung 8 mal viertel j¨ahrlich nachsch¨ ussig.

Teil II Versicherungsmathematik

149

Kapitel 6 Grundlagen der Lebensversicherung Zu Beginn des 20. Jahrhunderts hat man unter Versicherungsmathematik nur die Lebensversicherungsmathematik verstanden. Sachversicherungen wurden im wesentlichen ohne Verwendung von Mathematik abgewickelt, Pr¨amien alleine aus der Schadenserfahrung festgesetzt. Heute haben die Erfahrung und die Modelle, die man mit der Lebensversicherungsmathematik gesammelt hat, Einzug auch in andere Versicherungsarten genommen, wie etwa der Krankenversicherung, der Pensionsversicherung und nat¨ urlich der Sachversicherungen wie der KFZ-Versicherung, der Feuerversicherung und der Geb¨audeversicherung. Dieser grundlegenden Bedeutung der Lebensversicherungsmathematik tragen wir Rechnung, wenn wir diese als alleinigen Gegenstand unserer Betrachtungen ausw¨ahlen. Lebensversicherungsmathematik fr¨ uher war haupts¨achlich Lebensversicherungstechnik, d.h. die routinem¨aßige Handhabung von Formelapparaten und Tabellen, bei der die Mathematik zwar das Verst¨andnis des Werkzeugs lieferte, aber soweit in den Hintergrund ger¨ uckt war, daß sie f¨ ur die Praxis nicht mehr n¨otig war. Grund daf¨ ur war die Notwendigkeit intensiver, langwieriger Rechnungen mit Tabellendaten, so daß f¨ ur individuelle Probleml¨osungen wenig Zeit blieb. Im Zeitalter der Computer ist das Rechnen derart einfach geworden, daß das ”Wie” der Rechnung gegen¨ uber dem ”Weshalb” in den Hintergrund tritt. Außerdem sind die Grundkenntnisse in Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung heute weiter verbreitet, was eine anspruchsvol-

150

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

151

lere, u ¨ber die reinen Erwartungswerte hinausgehende Versicherungsmathematik auch f¨ ur die Praxis erlaubt. Dies schl¨agt sich nieder in einer alle Versicherungsprobleme umfassenden Risikotheorie, in der anhand der Verteilung des Gesamtrisikos Zusammenh¨ange zwischen Sicherheitszuschl¨agen, Sicherheitsreserven und Ruinwahrscheinlichkeit untersucht werden. Im folgenden betrachten wir zun¨achst die Rechnungsgrundlagen der Lebens¨ versicherungsmathematik. Anschließend wird das Aquivalenzprinzip, das Prinzip der Gleichheit zwischen Leistung und Gegenleistung in der Versicherung erl¨autert und erste grundlegende Versicherungsmodelle besprochen

6.1

Rechnungsgrundlagen

Als Rechnungsgrundlagen der Lebensversicherungsmathematik faßt man heute die drei folgenden Bereiche auf: • die Zinsrechnung, hier insbesondere die Rentenrechnung • die Sterbewahrscheinlichkeit, d.h. die statistisch und wahrscheinlichkeitstheoretisch erfaßte Sterblichkeit bestimmter Bev¨olkerungsgruppen • die Kosten, also die Kalkulation ausreichender Pr¨amien, die unter ¨ Ber¨ ucksichtigung des Aquivalenzprinzips die Entl¨ohnung f¨ ur die von den Versicherungsgesellschaften geleistete Arbeit sicherstellen. Wir wollen alle drei Rechnungsgrundlagen n¨aher betrachten.

6.1.1

Der Zins als Rechnungsgrundlage

Lebensversicherungsvertr¨age haben in der Regel eine Laufzeit von vielen Jahren. Deshalb spielt die zinsm¨aßige Erfassung des gebundenen Kapitals eine große Rolle. Da fortw¨ahrende Pr¨amienzahlungen oder Leibrenten periodische Zahlungen darstellen, spielen insbesondere Renten und Annuit¨aten eine wichtige Rolle. Grunds¨atzlich k¨onnen wir dabei die von uns aufgestellten Formeln verwenden, allerdings ist z.B. die Dauer der Zahlungen meist eine rein zuf¨allige Gr¨oße.

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

152

Rechnungsgrundlage bei Lebensversicherungen ist kein zuvor zwischen dem Versicherungsnehmer und der Gesellschaft ausgehandelter individueller Zins, sondern ein allgemeiner Kalkulationszinssatz, der den berechneten Tarifen zugrunde liegt, der im Versicherungsvertragsgesetz vorgeschrieben wird und der gem¨aß dem Versicherungsaufsichtsgesetz vom Bundesaufsichtsamt f¨ ur das Versicherungswesen (BAV) beaufsichtigt wird. Der Kalkulationszinssatz (der Rechnungszins) darf nicht zu optimistisch angesetzt sein, da Lebensversicherungsvert¨age oft Laufzeiten von Jahrzehnten haben und w¨ahrend all dieser Zeit die Erf¨ ullbarkeit der Vertr¨age sichergestellt sein muß. Zum Ausgleich eines niedrig angesetzten Rechnungszinses ¨ kann im Nachhinein durch Uberschußbeteiligung ein gewisser Ausgleich f¨ ur den Versicherungsnehmer geschaffen werden. Im Gebrauch war in der Vergangenheit ein Rechnungszins von 3%; bei Pensionskassen und Sterbekassen von 3, 5%. Im Rahmen der betrieblichen Altersversorgung bilden die Unternehmen R¨ uckstellungen, von denen allgemein angenommen wird, daß sie sich mit 6% verzinsen. Seit 1994 betr¨agt der Rechnungszins durch die innereurop¨aische Angleichung mindestens 4%. Bezeichnungen In der Versicherungsmathematik sind gewisse feste Symbole als Bezeichnungen international u ¨blich und anerkannt, die teilweise von den von uns verwendeten Bezeichnungen abweichen. Deswegen sei an dieser Stelle eine Liste dieser Bezeichnungen aufgef¨ uhrt. • p bezeichnet den Zinsfuß • i=

p 100

bezeichnet den Zinssatz

• B gibt den Barwert eines Kapitals an • S gibt den Endwert eines Kapitals wieder • r = 1 + i bezeichnet den Aufzinsungsfaktor (zuvor q) • v=

1 1+i

= r−1 benennt den Abzinsungsfaktor

• d = 1 − v = iv bezeichnet die Diskontrate

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

153

• n gibt die Anzahl der Jahre an •

1 m

mit m = 2, 4, 12, 360 bezeichnet den Jahresteil

• h nennt die Anzahl der Jahresteile der L¨ange

1 m

Man beachte die Analogie der Gleichungen r = 1 + i und v = 1 − d. Die folgenden Formeln vereinfachen das Rechnen mit Renten. n

n

= 1−v gibt den Barwert der • a ¨n¯ = 1 + v + v 2 + ... + v n−1 = 1−v 1−v d vorsch¨ ussigen vollj¨ahrigen Rente der H¨ohe 1 an n

n

• an¯ = v+v 2 +...+v n = v 1−v = 1−v gibt den Barwert der nachsch¨ ussigen 1−v i vollj¨ahrigen Rente der H¨ohe 1 an n

n

−1 = r d−1 gibt den Endwert der • s¨n¯ = rn a ¨n¯ = rn + rn−1 + ... + r = r rr−1 vorsch¨ ussigen vollj¨ahrigen Rente der H¨ohe 1 an n

n

−1 = r i−1 gibt den Endwert der • sn¯ = rn an¯ = rn−1 + rn−2 + ... + 1 = rr−1 nachsch¨ ussigen vollj¨ahrigen Rente der H¨ohe 1 an

¨ Im Ubrigen gelten die folgenden Identit¨aten a ¨n¯ = 1 + an−1 sn¯ = 1 + s¨n−1

(6.1) (6.2)

Zur Berechnung der Barwerte bzw. der Endwerte einer vollj¨ahrigen Rente der H¨ohe R benutzt man einfach die Formeln B = R¨ an¯ , B = Ran¯

und

S = R¨ sn¯ , S = Rsn¯

(6.3)

Unterj¨ ahrige Renten Bei unterj¨ahrigen Renten wird in der Versicherungsmathematik i.a. unterstellt, daß die Zinsverrechnungsintervalle mit den Zahlungsintervallen u ¨ber(m) 1 einstimmen. Daher ergibt sich f¨ ur den Barwert an¯ einer auf m tel des Jahres

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

154

bezogenen nachsch¨ ussigen Rente u ¨ber n Jahre mit der Rate (m) an¯

1 m

n·m n·m−1 1 X k 1 1 X k m m = v = v vm m k=1 m k=0 n·m

1 1 1−v m 1 1 − vn = vm = 1 m m r m1 − 1 1 − vm i i 1 1 − vn m = 1 = an¯ m r m1 − 1 i rm − 1 (m)

Es ist u ¨blich, an¯

auch mit Hilfe der unterj¨ ahrigen Zinsrate i h 1 (m) m i := m r − 1

(6.4) (6.5)

(6.6)

auszudr¨ ucken. Es gilt n¨amlich (m)

an¯

1 − vn i(m)

=

(6.7)

(m)

damit ist an¯ durch einen analogen Term beschrieben wie an¯ . Man beachte, daß aus der Beziehung  m i(m) r =1+i= 1+ (6.8) m folgt, daß i(m) den linear proportionalen Jahreszins darstellt, der bei m1 −tel j¨ahriger Verzinsung die gleiche Jahresverzinsung liefert wie i und den wir fr¨ uher mit im bezeichnet haben. Es gilt also i(m) < i. Formel (6.7) kann daher als Barwert einer Jahresrente mit dem geringeren Zinssatz i(m) interpretiert werden. Beachte: es ist limm→∞ i(m) = i(∞) die Zinsintensit¨at. Entsprechend ergibt sich f¨ ur die vorsch¨ ussige unterj¨ahrige Rente mit der unterj¨ ahrigen Diskontrate i h 1 i h 1 1 (m) m m m =v m r −1 (6.9) d = m 1−v =

i(m) 1

rm

der Barwert (m)

a ¨n¯

=

=

i(m) 1+ d m 1

1 − vm

(6.10)

i(m) m

a ¨n¯ =

1 − vn d(m)

(6.11)

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

155

und f¨ ur die Endwerte von vorsch¨ ussiger bzw. nachsch¨ ussiger unterj¨ahriger Rente d rn − 1 (m) m s¨n¯ = ¨n¯ = (m) (6.12) 1 s d 1 − vm bzw. (m)

sn¯

=

i m 1

rm − 1

sn¯ =

rn − 1 i(m)

(6.13)

Bemerkung: In der Praxis verwendet man oft eine lineare N¨aherung f¨ ur diese Formeln. Betrachten wir z.B. den Barwert der vorsch¨ ussigen unterj¨ahrigen Rente. Dann gilt zun¨achst mit v = 1 − d  1 m d 1 − vm 1 (m) m ¨n¯ = a ¨n¯ a ¨n¯ = 1 a 1 m 1 − vm 1 − vm m−1 1 X  1 k = a ¨n¯ vm m k=0 m−1

k 1 X ¨n¯ (1 − d) m = a m k=0

(m)

Bilden wir zu dieser von d abh¨angigen Funktion a ¨n¯ die lineare Approximation um die Stelle d = 0, so ergibt sich die N¨aherungsformel  m−1  1 X k ≈ a ¨n¯ 1− d m k=0 m     1 m−1 m−1 = a ¨n¯ m − d =a ¨n¯ 1 − d m 2 2m (m) a ¨n¯

(6.14)

Man kann nachweisen, daß die rechte Seite genau der Formel f¨ ur den Bar1 wert der vorsch¨ ussigen unterj¨ahrigen Rente mit Rate m entspricht, wenn eine vollj¨ahrige Zinsverrechnung unterstellt wird und unterj¨ahrig einfach verzinst wird (vgl. (3.17)). Entsprechende N¨aherungsformeln und Interpretationen (m) (m) (m) ¨ k¨onnen f¨ ur an¯ , s¨n¯ , sn¯ hergeleitet werden.(Ubungsaufgabe) 2

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

6.1.2

156

Die Sterblichkeit als Rechnungsgrundlage

Leibrenten sind Rentenzahlungen an eine Person, die solange gezahlt werden, wie die Person lebt. Mit dem Tod erlicht der Anspruch auf die Zahlungen. Die Dauer der Rentenzahlung ist also von der Lebensdauer der Person abh¨angig und diese ist eine zuf¨allige Gr¨oße. Von daher spielt die Zufallsvariable T, die die zuk¨ unftige Lebensdauer der Person vom Alter x angibt, in der Versicherungsmathematik eine wesentliche Rolle. Im folgenden wird die Zufallsvariable T zun¨achst als stetig und bekannt vorausgesetzt. Mit ihrer Ermittlung bzw. Sch¨atzung werden wir uns im n¨achsten Abschnitt auseinandersetzen. Ihre Verteilung sei G (t) := P (T < t) ,

t ≥ 0,

sie gibt f¨ ur festes t die Wahrscheinlichkeit an, daß die x-j¨ahrige Person innerhalb von t Jahren sterben wird. Man beachte: Es gilt G (0) = 0 und G (t) = 1 f¨ ur gen¨ ugend großes t > 0. Die Dichtefunktion zu T schreiben wir g (t) := G0 (t) . Bezeichnungen In der Versicherungsmathematik hat sich nun eine international respektierte feste Symbolik eingeb¨ urgert, an die wir uns im wesentlichen auch halten wollen. So schreibt man f¨ ur die t−j¨ahrige Sterbewahrscheinlichkeit des x−J¨ahrigen (6.15) t qx := P (T < t) = G (t) und analog t px

:= P (T ≥ t) = 1 − G (t) = 1 − t qx

(6.16)

¨ f¨ ur die t−j¨ahrige Uberlebenswahrscheinlichkeit des x−J¨ahrigen. Man beachte: 0 qx = 0, 0 px = 1. Ferner beschreibt s|t qx

: = P (s ≤ T < s + t) = G (s + t) − G (s) = s+t qx − s qx

(6.17)

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

157

die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, daß der x−J¨ahrige die n¨achsten s Jahre u ¨berlebt und dann innerhalb von t Jahren sterben wird. Es ist nat¨ urlich = P (s ≤ T < s + 0) = P (s ≤ T < s) = P (∅) = 0

s|0 qx

und f¨ ur t ≥ 0 0|t qx

= P (0 ≤ T < 0 + t) = P (T < t) = t qx

Des weiteren schreiben wir f¨ ur den x-J¨ahrigen die bedingte Wahrscheinlichkeit, daß er weitere t Jahre u unftig) bereits s Jahre ¨berlebt, wenn er (zuk¨ u ¨berlebt hat, mit :

= P (T ≥ s + t |T ≥ s ) =

=

1 − G (s + t) = 1 − G (s)

t px,s

P (T ≥ s ∧ T ≥ s + t) P (T ≥ s)

s+t px

(6.18)

s px

Es gilt 0 px,s = 1. Entsprechend ist t qx,s

:

= P (T < s + t |T ≥ s ) =

=

G (s + t) − G (s) s|t qx = 1 − G (s) s px

P (s ≤ T < s + t) P (T ≥ s) (6.19)

die bedingte Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, daß der x-J¨ahrige innerhalb der n¨achsten t Jahre stirbt, wenn er bereits s weitere Jahre u ¨berlebt hat. Es gilt q = 0. Man beachte, daß hierbei wieder 0 x,s t qx,s

= 1 − t px,s

(6.20)

gilt. Produktformeln Weitere n¨ utzliche Identit¨aten in diesem Zusammenhang sind die folgenden Produktformeln, die sich unmittelbar aus (6.18) und (6.19) ergeben s+t px s|t qx

= =

· t px,s s px · t qx,s s px

(6.21) (6.22)

wobei wir auf 0 px,s = 1 und 0 qx,s = 0 hinweisen, so daß diese Formeln f¨ ur s, t ≥ 0 gelten.

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

158

Lebenserwartung und Sterbeintensit¨ at Schließlich nennen wir den Erwartungswert E (T ) der Zufallsvariablen T die Lebenserwartung des x-J¨ahrigen und bezeichnen sie mit e◦x . Es gilt also Z ∞ ◦ tg (t) dt. (6.23) ex = 0

¨ uckt werden. Uber e◦x kann auch durch die Verteilungsfunktion von T ausgedr¨ partielle Interation erh¨alt man leicht Z ∞ Z ∞ ◦ ex = (1 − G (t)) dt = (6.24) t px dt 0

0

(Beachte dazu, daß G (t) = 1 f¨ ur gen¨ ugend großes t > 0.) Wir vereinbaren noch, daß der Pr¨afix t in den Symbolen t px , t qx , s|t qx etc. nicht geschrieben wird, wenn er den Wert t = 1 hat. Man schreibt also z.B. s| qx anstelle von s|1 qx f¨ ur die Wahrscheinlichkeit, daß der x-J¨ahrige die n¨achsten s Jahre u ¨berleben wird, um dann innerhalb eines Jahres zu sterben. Ein weiterer wichtiger Begriff ist der der Sterbeintensit¨at. Unter der Sterbeintensit¨ at eines x-J¨ahrigen im Alter von x + t verstehen wir den Quotienten   g (t) d d 1 µx+t := = − ln (1 − G (t)) = ln (6.25) 1 − G (t) dt dt 1 − G (t) Es gilt also g (t) = t px · µx+t

(6.26)

µx+t verwendet man z.B. um die Wahrscheinlichkeit auszudr¨ ucken, daß der x-J¨ahrige zwischen den Zeitpunkten t und t + 4t sterben wird P (t ≤ T < t + 4t) = G (t + 4t) − G (t) ≈ g (t) 4t = t px · µx+t 4t (6.27) F¨ ur kleine Werte von 4t =: s > 0 hat man damit die N¨aherungsformel (vgl. (6.22)) t px · s qx,t = G (t + s) − G (t) ≈ t px · µx+t · s so daß auch s qx,t

≈ µx+t · s

(6.28)

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

159

f¨ ur kleine s > 0 erf¨ ullt ist. Die Lebenserwartung des x-J¨ahrigen kann nun in der Form Z ∞ ◦ t · t px · µx+t dt ex =

(6.29)

0

geschrieben werden. Da wir nach Definition µx+t auch in der Form µx+t = −

d ln (t px ) dt

(6.30)

schreiben k¨onnen, erhalten wir durch Integration einen alternativen Ausdruck f¨ ur t px R − 0t µx+s ds (6.31) t px = e

6.1.3

Die Kosten als Rechnungsgrundlage

Bei der Pr¨amienkalkulation m¨ ussen die Kosten des Versicherers gesondert ber¨ ucksichtigt werden. Man unterscheidet in der Regel drei Kostenarten. a) Die einmaligen Kosten Diese Kosten enthalten Ausgaben f¨ ur Werbung, zu zahlende Provisionen, Kosten f¨ ur ¨arztliche Untersuchungen, die Ausstellung der Policen, etc. Man nennt sie die α−Kosten. Sie werden einmalig erhoben und zwar als Bruchteil (etwa α = 0, 035) der Versicherungssumme oder des Kapitalwertes einer Rente oder eines Vielfachen der Jahresrente etc., zuweilen auch abh¨angig vom Eintrittsalter oder der Beitragszahlungsdauer. b) Die Inkassokosten Zu diesen geh¨oren alle Kosten, die durch die Erhebung der Pr¨amien entstehen. Sie werden β−Kosten genannt und w¨ahrend der gesamten Pr¨amienzahlungsdauer erhoben. Zumeist werden sie als Bruchteil (etwa β = 0, 03) der Bruttojahrespr¨amie angesetzt. c) Die laufenden Verwaltungskosten Diese beinhalten alle inneren Verwaltungskosten des Versicherers, soweit sie nicht zu den bereits genannten Kosten geh¨oren. Eingezogen werden sie wieder als Bruchteil (etwa

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

160

γ = 0, 0031) der Versicherungssumme, des Rentenbarwertes oder des Rentenjahresbetrags und werden j¨ahrlich w¨ahrend der gesamten Versicherungsdauer in Rechnung gestellt. Sie werden γ−Kosten genannt. Einige Versicherer erheben die laufenden Kosten auch als ”St¨ uckkosten”, unabh¨angig von der Versicherungssumme, dem Eintrittsalter und der Versicherungsdauer f¨ ur jeden Vertrag j¨ahrlich in gleicher H¨ohe (etwa 12 EU R pro Vertrag). Zuweilen werden auf Grund von Erfahrungen begr¨ undete Voraussagen u ¨ber das zu erwartende Storno als vierte Rechnungsgrundlage bezeichnet.

6.2

Sterbewahrscheinlichkeit

Im letzten Abschnitt haben wir die Sterbewahrscheinlichkeit eines x-J¨ahrigen als bekannt vorausgesetzt. Dies ist nat¨ urlich in der Praxis nicht der Fall und man muß sich Gedanken machen, wie man an die Verteilung der Zufallsvariablen T eines beliebigen x-J¨ahrigen kommt. Hilfsmittel dazu liefert die Statistik. Beobachtet man gen¨ ugend viele x-J¨ahrige in ihrem weiteren Lebensverlauf, so kann T empirisch bestimmt werden. Generell setzt diese Vorgehensweise nat¨ urlich gen¨ ugend viel Beobachtungszeit voraus, ist also unpraktikabel und verliert aus sich heraus ihre Aktualit¨at. Einfacher ist es, die Sterblichkeit einer Gesamtheit von Lebenden u ¨ber einen festen kurzen Zeitraum zu beobachten (etwa im Zusammenhang mit Volksz¨ahlungen) und diese Daten mit statistischen Methoden gegenzurechnen.

6.2.1

Historische Bemerkungen

¨ Systematische Datenerhebungen u und ”Gestorbene” fin¨ber ”Uberlebende” den wir bereits in der fr¨ uhen Neuzeit. Schon zu Beginn des siebzehnten Jahrhunderts wurden regelm¨aßig w¨ochentlich die in London und Umgebung Verstorbenen registriert. Allerdings waren diese Zahlen f¨ ur die Ermittlung einer Sterbewahrscheinlichkeit nur begrenzt brauchbar, da sie die Zu- und Abwanderung der Bev¨olkerung nicht ber¨ ucksichtigten und auch keine Bezugszahlen f¨ ur den Bev¨olkerungsstand boten.

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

161

Seit dem letzten Drittel des vorvorigen Jahrhunderts wurden dann aber systematisch Daten u ¨ber Lebende und Verstorbene in geschlossenen Gemeinschaften erhoben und daraus allgemeine Sterbetafeln entwickelt. Schon fr¨ uhzeitig versuchte man auch, Sterblichkeit analytisch zu erfassen und mittels Sterbegesetzen zu beschreiben. Das erste uns bekannte Sterbegesetz stammt von de Moivre (1724). Dieser postulierte ein oberstes Alter ω (etwa ω = 86) f¨ ur das menschliche Leben und daß T gleichverteilt sei zwischen 0 und ω − x. Dadurch ergab sich g (t) =

1 ω−x

f¨ ur 0 < t < ω − x

als Dichtefunktion f¨ ur T, woraus sich eine Sterblichkeitsintensit¨at von µx+t =

g (t) 1/ (ω − x) 1 = = t 1 − G (t) ω−x−t 1 − ω−x

ableitet. Gompertz (1824) postulierte ein exponentielles Wachstum der Sterblichkeitsintensit¨at µx+t = Bcx+t f¨ ur t > 0 mit Parametern B > 0, c > 1, ein Ansatz, der von Makeham (1860) noch zu µx+t = A + Bcx+t f¨ ur t > 0 mit A > 0 verbessert wurde. Dieser Ansatz kommt ohne das Postulat eines obersten Alters ω aus und gibt das menschliche Altern (zumindest im Bereich zwischen 25 und 80) besser wieder. Aus ihm berechnet man (vgl. (6.31)) t px

x t = e−At−mc (c −1)

mit der Abk¨ urzung m = B/ ln c. Weibull (1939) postulierte, daß die Sterblichkeitsintensit¨at nicht exponentiell, sondern mit fester Potenz anwachse µx+t = k (x + t)n (n > 0, k > 0 Parameter), woraus sich (vgl. (6.31)) t px

k

= e− n+1 ((x+t)

n+1

−xn+1 )

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

162

ergibt. Heute verwendet man solche analytischen Ans¨atze h¨ochstens zum ”Gl¨atten von Rohdaten” bei der Erstellung von Sterbetafeln. Der Erstellung dieser Sterbetafeln liegt eine wahrscheinlichkeitstheoretische Modellbildung zugrunde, die wir im folgenden er¨ortern wollen.

6.2.2

Modellbildung zur Sterbewahrscheinlichkeit

Zun¨achst einmal zerlegen wir die Zufallsvariable T , damit diese praktisch leichter zu handhaben ist. Indem wir T := [T ] + (T − [T ]) =: K + S bilden, wird T zun¨achst u ¨ber die diskrete Zufallsvariable K ”ganzzahlig gestutzt” in dem Sinne, daß bei der Lebensdauer eines x-J¨ahrigen nur ganze Jahre gez¨ahlt werden. Die stetige Zufallsvariable S nimmt dann Werte zwischen 0 und 1 an. Es gilt f¨ ur t = k + u, k = [t] P (T < t) = P (T < k) + P (k ≤ T < k + u) = P (T < k) + P (K = k ∧ S < u)

(6.32)

Dabei gilt P (K = k) = P (k ≤ T < k + 1) = k px · qx,k =

k| qx

(6.33)

f¨ ur k = 0, 1, .... Modellannahmen Um das Modell einfach zu halten, nehmen wir an, daß S von K unabh¨angig verteilt ist. Wegen der Unabh¨angigkeit gilt dann P (K = k ∧ S < u) P (K = k) P (k ≤ T < k + u) k px · u qx,k u qx,k = = = P (k ≤ T < k + 1) qx,k k px · qx,k

P (S < u) = P (S < u |K = k ) =

(6.34)

Ferner nehmen wir an, daß die Zufallsvariable S gleichverteilt ist zwischen 0 und 1.

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

163

Linearisierung In diesem Fall ist H (u) := P (S < u) = u f¨ ur 0 ≤ u ≤ 1

(6.35)

die Verteilungsfunktion f¨ ur S, sodaß u qx,k

= u · qx,k

(6.36)

gilt f¨ ur alle k ∈ N0 , insbesondere also u qx

= u · qx .

(6.37)

Es gilt dann wegen P (T < k + u) = P (T < k) + P (k ≤ T < k + u) G (t) = t qx =

k+u qx

= k qx + k px · u qx,k = k qx + u · k px · qx,k

(6.38)

insbesondere wegen (6.19) k+1 qx

= k qx + k px · qx,k = k qx +

k| qx

(6.39)

Wir interpretieren dies so, daß die Verteilungsfunktion G (t) zwischen t = k und t = k + 1 durch unsere Forderungen linearisiert wurde! Ferner berechnet man f¨ ur die Sterblichkeitsintensit¨at wegen u px = 1 − u qx = 1 − u · qx zu µx+u = −

d 1 qx ln (u px ) = − (−qx ) = du 1 − u · qx 1 − u · qx

(6.40)

Der Erwartungswert E (K) von K heißt die gestutzte Lebenserwartung ex des x-J¨ahrigen. Es gilt ex =

∞ X

kP (K = k) =

k=1

∞ X

k · k px · qx,k

(6.41)

k=1

bzw. ex =

∞ X

kP (K = k) =

k=1

=

∞ X k=1

∞ X ∞ X

P (K = j)

k=1 j=k

P (K ≥ k) =

∞ X k=1

[1 − P (T < k)] =

∞ X k=1

k px

(6.42)

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

164

Der Erwartungswert von S ist E (S) = 21 , es gilt also e◦x = E (T ) = E (K) + E (S) = ex +

1 2

(6.43)

F¨ ur die Varianzen gilt entsprechend wegen der vorausgesetzten stochastischen Unabh¨angigkeit von K und S V ar (T ) = V ar (K) + V ar (S) = V ar (K) +

1 12

(6.44)

Reduktion der Daten Wegen unserer vereinfachenden Modellbildung gen¨ ugt es nun, die Wahrscheinlichkeiten qx,k zu kennen f¨ ur alle k ∈ N0 , um einen vollst¨andigen ¨ Uberblick u ¨ber t qx = G (t) zu haben, was wie folgt eingesehen werden kann: Zun¨achst gen¨ ugt es auf Grund der Produktformel (6.21), die einj¨ahrigen ¨ Uberlebenswahrscheinlichkeiten px,k zu kennen, um die k px und die k qx zur Verf¨ ugung zu haben, denn es gilt k qx = 1 − k px und k px

= px · px,1 · ... · px,k−1

(6.45)

Schließlich gen¨ ugt es, anstelle der px,k die qx,k zu kennen, da gem¨aß (6.20) px,k = 1 − qx,k gilt. Damit kann man gem¨aß Formel (6.38) alle t qx berechnen.

6.2.3

Sterbetafeln

Wie k¨onnen nun die einj¨ahrigen bedingten Sterbewahrscheinlichkeiten qx,k f¨ ur x ≥ 0, k ∈ N0 gesch¨atzt werden? Nun, man unterstellt, daß die einj¨ahrige Sterbewahrscheinlichkeit eines beliebigen x-J¨ahrigen, qx , und die bedingte einj¨ahrige Sterbewahrscheinlichkeit qx−k,k eines beliebigen (x − k) −j¨ahrigen unter der Bedingung, daß er zun¨achst k weitere Jahre u ¨berlebt, sich nur unwesentlich unterscheiden.

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

165

Periodentafeln F¨ ur den praktischen Normalfall werden beide Gr¨oßen durch dieselben Wert q¯x gesch¨atzt. Das Ergebnis sind Sterbetafeln, die bezogen auf die Gesamtbev¨olkerung oder eine interessierende Teilgruppe (etwa ”M¨anner” oder ”Frauen”) f¨ ur jedes Alter x den Wert q¯x angeben. Zu ihrer Ermittlung geht man im Prinzip wie folgt vor: Man beobachtet einen Zeitraum weniger Jahre (etwa 1 bis 3), f¨ ur den man die Fluktation kennt (etwa ”gleich viel Abwanderung wie Zuwanderung”), die Gesamtheit aller Personen der Teilgruppe oder eine Stichprobe und stellt die Anzahl der Lebenden ˆlx im Alter von x Jahren und die Anzahl der dann innerhalb eines Jahres Gestorbenen, dˆx , fest. Eine erste rohe Sch¨atzung f¨ ur die einj¨ahrige Sterbewahrscheinlichkeit eines x-J¨ahrigen ist dann qˆx =

dˆx ˆlx

(6.46)

Diese Rohdaten, die zumeist noch einen sehr ”gezackten” Graphen ergeben, unterwirft man allerlei ”Gl¨attungsprozessen” (etwa ”Ausgleichung im Sinne des mittleren quadratischen Fehlers, Vergleich mit theoretischen Ans¨atzen wie dem Sterbegesetz von Gompertz-Makeham, Ausgleichung durch Splines, etc.), bevor man diese gegl¨atteten Werte q¯x in Tabellen, den so genannten Periodentafeln auflistet. Gleichzeitig listet man Lebende lx und Tote dx der Sterbetafel auf, indem man diese aus mit einem fiktiven Anfangsbestand l0 = 100000 von Lebenden u ¨ber die Rekursionsformeln dx = lx · q¯x lx+1 = lx − dx

(6.47)

f¨ ur x = 0, 1, 2, ... berechnet. Zu beachten ist, daß mit den Sch¨atzwerten q¯x weitere wichtige Gr¨oßen der Verteilung G gesch¨atzt werden k¨onnen. Z.B. sch¨atzt man zun¨achst px zu p¯x = 1 − q¯x = 1 −

lx+1 dx = . lx lx

(6.48)

Nach unserer Voraussetzung und (6.20) ist dann auch p¯x,k = p¯x+k =

lx+k+1 lx+k

(6.49)

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

166

eine Sch¨atzung f¨ ur px,k . Ferner ergibt sich nach der Produktformel (6.21) eine Sch¨atzung f¨ ur k px durch ¯x kp

= p¯x · p¯x,1 · ... · p¯x,k−1 =

lx+1 lx+2 lx+k lx+k · · ... · = . lx lx+1 lx+k−1 lx

(6.50)

Daraus ergibt sich auch eine Sch¨atzung f¨ ur k qx zu ¯x kq

= 1 − k p¯x =

lx − lx+k lx

(6.51)

und schließlich als Sch¨atzung f¨ ur k| qx nach (6.22) ¯x k| q

= k p¯x · q¯x,k = k p¯x · q¯x+k =

lx+k dx+k dx+k · = . lx lx+k lx

(6.52)

Ferner erh¨alt man eine Sch¨atzung f¨ ur die Lebenserwartung e◦x eines x-J¨ahrigen u ¨ber (6.42) und (6.43) zu e◦x

∞ ∞ ∞ 1 X 1 X lx+k 1X 1 ¯x = + lx+k . = + = + kp 2 k=1 2 k=1 lx 2 lx k=1

(6.53)

Selektionstafeln Unter Umst¨anden steht es den Interessen eines Versicherungsunternehmens entgegen, die Gr¨oßen qx , qx−1,1 , qx−2,2 , ... alle durch ein und denselben Wert q¯x zu sch¨atzen. Da die Versicherer in der Regel Versicherungsvertr¨age erst nach einer Gesundheits¨ uberpr¨ ufung abschließen, ist die einj¨ahrige Sterbewahrscheinlichkeit eines frisch u uften geringer als die eines bereits vor ¨berpr¨ Jahren Versicherten. Daher gilt f¨ ur die Klientel der Versicherer in der Regel qx < qx−1,1 < qx−2,2 < ... F¨ uhrt man Sch¨atzungen f¨ ur diese Gr¨oßen differenzierter aus und sch¨atzt sie durch Werte q¯x , q¯x−1,1 , q¯x−2,2 , ... (international auch q[x] , q[x−1]+1 , q[x−2]+2 , ... geschrieben), so entstehen so genannte Selektionstafeln, die allerdings auf Grund der Differenzierung wesentlich umfangreicher sind als Periodentafeln. Man beobachtet, daß die Differenzierung nach einer gewissen Anzahl r von Jahren (etwa r = 10) vernachl¨assigbar wird und dann q¯x−r,r = q¯x−r−1,r+1 = ...

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

167

gilt. In diesem Fall spricht man von einer Schlußtafel. In der Praxis verwenden die Versicherer nur die einfacheren Periodentafeln, die auch Aggregattafeln heißen. Diese entstehen u.U. auch als gewichtetes Mittel aus Selektionstafeln und Schlußtafeln. Kommutationswerte ¨ Ublicherweise enthalten Sterbetafeln neben den Sch¨atzwerten q¯x f¨ ur die einj¨ahrigen Sterbewahrscheinlichkeiten und den (fiktiven) Lebendenanzahlen lx und Totenanzahlen dx noch weitere Werte, die f¨ ur die Arbeit mit den genannten Daten rechentechnische Hilfe bieten. Es handelt sich um die so genannten Kommutationswerte Dx , Nx , Cx und Mx . Diese entstehen aus den zuerst genannten Werten durch formale Einbeziehung des Abzinsungsfaktors v. Zu betonen ist, daß es sich um Hilfsgr¨oßen handelt, die keine direkte Interpretation erlauben. Man legt folgendes fest: • Dx := lx · v x als ”diskontierte Lebende des Alters x” P • Nx := ∞ k=0 Dx+k als ”aufsummierte diskontierte Lebende” • Cx := dx · v x+1 als ”diskontierte Tote des Alters x” P • Mx := ∞ k=0 Cx+k als ”aufsummierte diskontierte Tote” Gelegentlich betrachtet man auch P∞ P • Sx := ∞ k=0 Nx+k = k=0 (k + 1) Dx+k als doppelt aufsummierte diskontierte Lebende P P∞ • Rx := ∞ M = x+k k=0 k=0 (k + 1) Cx+k als doppelt aufsummierte diskontierte Tote Es gelten dann die folgenden leicht zu beweisenden Beziehungen zwischen den Kommutationswerten: Cx = vDx − Dx+1 Mx = vNx − Nx+1 = Dx − dNx Rx = Nx − dSx

(6.54)

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

168

Die Kommutationswerte haben ihren Ursprung in der deterministischen Auffassung der Versicherungsmathematik und sind in einem stochastischen Modell entbehrlich. Sie haben auch deswegen heute an Bedeutung verloren, weil Rechnungen nicht mehr von Hand u uhrt werden ¨ber die Sterbetafeln durchgef¨ m¨ ussen. Wir haben sie trotzdem eingef¨ uhrt, weil sie immer noch in der Literatur der Versicherungsmathematik auftauchen. Außerdem sind sie durchaus brauchbar bei der programmtechnischen Abwicklung der Rechnungen und bei kleineren Rechnungen per Hand.

6.3 6.3.1

¨ Ubungsaufgaben Theoretische Aufgaben

Aufgabe 6.1 Zeigen Sie, daß Formel (6.14) ¨aquivalent ist zur Formel (3.22), daß sich also die Berechnung des Barwertes einer vorsch¨ ussigen unterj¨ahrigen Rente nach PAngV interpretieren l¨aßt als Ergebnis einer linearen Approximation bei der Berechnung nach der Internationalen Methode. Aufgabe 6.2 Berechnen Sie eine zu (6.14) analoge Formel f¨ ur den Barwert (m) der nachsch¨ ussigen unterj¨ahrigen Rente an und zeigen Sie, daß sich diese entsprechend der vorigen Aufgabe interpretieren l¨aßt. Aufgabe 6.3 Best¨atigen Sie f¨ ur die ewigen Renten die folgenden Formeln (m ∈ N) 1. vorsch¨ ussige vollj¨ahrige ewige Rente mit Rate 1 : a ¨∞ ¯ =

1 d

2. nachsch¨ ussige vollj¨ahrige ewige Rente mit Rate 1 : a∞ ¯ = 3. vorsch¨ ussige unterj¨ahrige ewige Rente mit Rate

1 m

4. nachsch¨ ussige unterj¨ahrige ewige Rente mit Rate

1 i

(m)

:a ¨∞ ¯ = 1 m

(m)

1 d(m)

: a∞ ¯ =

1 i(m)

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

169

Zeigen sie ferner die Identit¨aten 1 d(m) und

=

1 i(m)

1 1 + (m) m i 1

= vm

1 d(m)

und interpretieren sie diese im Zusammenhang mit den o.a. ewigen unterj¨ahrigen Renten. Aufgabe 6.4 Man betrachtet auch ewige unterj¨ahrige Renten mit steigenden Raten in folgender standardisierter Form mit zwei Parametern m, q ∈ N: Gezahlt wird in Perioden von m1 −tel Jahr, q mal im Jahr wird die Zahlung erh¨oht, q ein Teiler von m. Begonnen wird die Zahlung mit einer Rate in 1 1 , bei jeder Erh¨ohung kommt mq hinzu. (Die letze Zahlung im H¨ohe von mq k k−ten Jahr betr¨agt also m ).
(m) Der Barwert einer solchen vorsch¨ ussigen Rente wird mit I (q) a ¨ ∞ und der ¯
(m) der nachsch¨ ussigen Rente mit I (q) a ∞ bezeichnet. ¯
(m) Man stelle I (q) a ¨ ∞ als (unendliche) Summe ewiger unterj¨ahriger Renten ¯ dar und zeige
(m) 1 1 I (q) a ¨ ∞ = (m) (q) ¯ d d und zeige anschließend
(m) 1 1 I (q) a ∞ = (m) (q) ¯ i d Aufgabe 6.5 Werden die ewigen steigenden Renten der letzten Aufgabe nach n Jahren abgebrochen (n ganzzahliges Vielfaches von 1q ), so entstehen gew¨ohnliche Renten, die ”standard increasing annuities”. Ihre Barwerte werden im vorsch¨ ussigen
(m)
(m) (q) (q) Fall mit I a ¨ n¯ bzw. im nachsch¨ ussigen Fall mit I a n¯ bezeichnet. Diese Renten k¨onnen u ber Differenzen entsprechender ewiger Renten berech¨ net werden. Man zeige: I

(q)

I

(q)

a ¨


(m)

a


(m)

n ¯

∞ ¯

(q)

a ¨ − nv n = n¯ (m) d (q)

a ¨n¯ − nv n = i(m)

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

6.3.2

170

Praktische Aufgaben

Bei den folgenden Aufgaben zur Rentenrechnung soll die Zinsbehandlung unterstellt werden, die in der Versicherungsmathematik u ¨blich ist. Es sollen die (auch in den obigen theoretischen Aufgaben) erarbeiteten Rentenbarwerte und Rentenendwerte verwendet werden. Aufgabe 6.6 In welche monatlichen vorsch¨ ussigen Ratenzahlungen kann eine vorsch¨ ussige j¨ahrliche Rente von 3000 EU R aufgel¨ost werden, wenn 5% Verzinsung unterstellt wird? Aufgabe 6.7 Mit welcher nachsch¨ ussigen viertelj¨ahrlichen Rate soll eine Schuld von 25000 EU R zur¨ uckgezahlt werden, wenn die Schuld nach 5 Jahren getilgt sein soll und ein Jahreszins von 8% zugrunde gelegt wird? Aufgabe 6.8 Welchen Endwert hat eine vorsch¨ ussige j¨ahrliche Rente, welche mit 6000 EU R beginnt, j¨ahrlich um 300 EU R steigt und u ¨ber 12 Jahre l¨auft? Als Zinsfuß soll bei der Rechnung 6, 5% verwendet werden. Aufgabe 6.9 Wie muß man eine nachsch¨ ussige monatliche Ersparnis von anf¨anglich 150 EU R j¨ahrlich steigern, um nach 8 Jahren 20000 EU R gespart zu haben, wenn die Bank eine Jahreszins von 6% gew¨ahrt? Aufgabe 6.10 Ein Vater w¨ unscht sich f¨ ur das nach 15 Jahren beginnende Studium seiner Tochter eine 7 Jahren laufende vorsch¨ ussige j¨ahrliche Rente von 6000 EU R. Dazu m¨ochte er 15 Jahre lang nachsch¨ ussig monatlich einen festen Betrag sparen, der mit 5% verzinst wird. Wieviel muß er monatlich sparen, wenn der Zins von 5% auch f¨ ur die Auszahlungsphase unterstellt wird?

6.3.3

Programmierpraxis

Aufgabe 6.11 Geben Sie die Ihnen vorliegenden Daten qx der Sterbetafeln ”1981/83” f¨ ur M¨anner und Frauen in eine Excel-Tabelle ein und erg¨anzen Sie diese um die Spalten lx , dx , eox , Dx , Nx , Sx , Cx , Mx , Rx . Stellen Sie dabei die Rubriken qx und eox f¨ ur M¨anner und Frauen als Diagramme einander gegen¨ uber.

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

171

Aufgabe 6.12 Schreiben Sie ein (Excel-) Programm, das f¨ ur eine ”Durchschnittsperson” mit vorgew¨ahltem Alter x die Verteilungsfunktion G und die Dichtefunktion g der Zufallsvariablen T (zuk¨ unftige Lebensdauer) f¨ ur t ≥ 0 tabelliert und in einem Diagramm plottet. Sehen Sie dabei auch vor, daß jeweils zwei verschiedene Verteilungs- oder Dichtefunktionen gegeneinander geplottet werden (z.B. Mann/Frau oder zwei verschiedene Alter)

Kapitel 7 Die gebr¨ auchlichen Versicherungsformen Grundlegendes Prinzip bei der Erstellung von Tarifen einer Versicherung ist ¨ das Prinzip der Gleichheit von Leistung und Gegenleistung (Aquivalenzprinzip). Dieses Prinzip bedeutet nicht, daß im Einzelfall die Leistungen des Versicherten (die gezahlten Pr¨amien) mit der Leistung des Versicherten (der ausgezahlten Versicherungssumme) u ¨bereinstimmen muß. Es bedeutet lediglich, daß der Barwert der zu erwartenden Leistungen mit dem Barwert der zu erwartenden Gegenleistungen u ¨bereinstimmt. Die Leistung des Versicherers besteht in der Regel aus der Auszahlung der Versicherungssumme, dem Kapital. Wir bezeichnen den Barwert des Kapitals (zum Zeitpunkt des Vertragsabschlusses) mit Z. Z ist eine Zufallsvariable, da sein Wert von der Lebensdauer des Versicherten abh¨angt. Der zu erwartende Barwert der Leistung, E (Z) , wird auch als Nettoeinmalpr¨ amie (NEP) ¨ bezeichnet. Diese stellt nach dem Aquivalenzprinzip den Barbetrag dar, den der Versicherte zum Zeitpunkt des Versicherungsabschlusses als Leistung zu erbringen hat. Zun¨achst geht es uns darum, die NEP f¨ ur verschiedene Versicherungsformen auszurechnen. Auf ihrer Basis kann der Tarif einer Versicherung (die Staffelung der zu zahlenden Pr¨amien) berechnet werden. Die NEP spiegelt 172

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

173

allerdings in keiner Weise das vom Versicherer getragene Risiko wieder. Man interssiert sich daher auch f¨ ur die Verteilung der Zufallsvariablen Z, zumindest f¨ ur ihre Varianz.

7.1

Kapitalversicherungen

Wir besprechen drei verschiedene grundlegende Versicherungsformen: die Todesfallversicherungen, die Erlebensfallversicherungen und die gemischten Versicherungen. Bei diesen legen wir immer ein Kapital von 1 (EU R) zugrunde. Dies kann deswegen geschehen, weil die berechneten NEP jeweils nur mit S multipliziert werden m¨ ussen, wenn ein Kapital von S (EU R) zugrundegelegt wird. Dies ist in allen F¨allen leicht einzusehen. Dort, wo wir die Berechnung der entsprechenden Varianz ansprechen, ist diese dann immer mit S 2 zu multiplizieren.

7.1.1

Todesfallversicherungen

Bei einer Todesfallversicherung (life insurance) versichtert der x−j¨ahrige Versicherungsnehmer sein Leben zugunsten anderer Personen f¨ ur den Fall seines Ablebens innerhalb der Versicherungsdauer. Wir betrachten Versicherungen mit dem Kapital 1 (EU R), welches zum Ende des Jahres zahlbar sei, in dem ¨ der Versicherte stirbt. Uberlebt der Versicherte eine vereinbarte feste Laufzeit der Versicherung, so ist keine Leistung von Seiten des Versicherers f¨allig. Lebensl¨ angliche Deckung Betrachten wir zun¨achst eine Todesfallversicherung, deren Laufzeit das gesamte restliche Leben des Versicherten ist (whole life). Der Zeitpunkt der Auszahlung der Versicherungssumme wird durch die Zufallsvariable K beschrieben, er lautet K + 1. Der Barwert der Leistung betr¨agt also Z = v K+1

(7.1)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

174

Z ist eine diskret verteilte Zufallsvariable mit dem Wertebereich Bild (Z) = {v, v 2 , v 3 , ...} . Diese Werte werden mit folgenden Wahrscheinlichkeiten angenommen (vgl. (6.33)):
(7.2) P Z = v k+1 = P (K = k) = k px · qx,k = k| qx f¨ ur k ∈ N0 . Die NEP berechnet sich daher zu Ax := EZ = Ev

K+1

=

∞ X

v

k+1

· k px · qx,k =

k=0

∞ X

v k+1 ·

k| qx

(7.3)

k=0

wobei Ax die international u ur diese NEP ist. ¨bliche Bezeichnung f¨ Gesch¨atzt aus der Sterbetafel ergibt sich A¯x =

∞ X

v

k+1 dx+k

k=0

lx

∞ ∞ v −x X 1 1 X k+1 Mx v dx+k = Cx+k = x Mx = = lx k=0 lx k=0 v lx Dx (7.4)

Die Varianz von Z wird an einfachsten u ¨ber die Formel V ar (Z) = EZ 2 − (EZ)2 berechnet. Da EZ 2 = E

(7.5)

   K+1 v2

(7.6)

gilt, l¨aßt sich EZ 2 nach der Formel f¨ ur EZ, wobei man v durch v 2 substituiert, berechnen. Tempor¨ are Deckung Bei dieser ”kurzen” Variante der Todesfallversicherung (term insurance) wird das Kapital genau dann ausbezahlt, wenn der Versicherte w¨ahrend der vereinbarten Laufzeit von n Jahren stirbt und zwar zum Ende des Jahres, in dem der Tod eintritt. Jetzt lautet die Zufallvariable Z  K+1 v , f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 Z= (7.7) 0, f¨ ur K = n, n + 1, ... Die NEP wird nun mit |n Ax bezeichnet. Sie ergibt sich zu |n Ax

= E (Z) =

n−1 X k=0

v

k+1

· k px · qx,k =

n−1 X k=0

v k+1 ·

k| qx

(7.8)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN und wird u ¨ber

175

n−1 v −x X Mx − Mx+n ¯ Cx+k = |n Ax = lx k=0 Dx

(7.9)

gesch¨atzt. Zu beachten ist, daß ¯ = v · 0| qx = v · qx

|1 Ax

die NEP der einj¨ahrigen Todesfallversicherung darstellt. Die Varianz dieser Zufallsvariablen kann wieder berechnet werden u ¨ber Formel (7.5), wobei der Erwartungswert der Variablen  K+1 [v 2 ] , f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 2 Z = 0, f¨ ur K = n, n + 1, n + 2, ... berechnet werden muß, was keine neuen Probleme aufwirft. Aufgeschobene lebenslange Deckung Diese Todesfallversicherung gilt wie die erste lebenslang, die Deckung beginnt aber erst nach einer Karenzzeit von m Jahren. Die diese Variante beschreibende Zufallvariable lautet  0, f¨ ur K = 0, 1, ..., m − 1 Z= K+1 v , f¨ ur K = m, m + 1, m + 2, ... sodaß der Erwartungwert m| Ax =

m| Ax

∞ X

von Z sich zu

v k+1 · k px · qx,k =

k=m

berechnet und zu

∞ X

v k+1 ·

k| qx

(7.10)

k=m

¯ = Mx+m Dx

m| Ax

gesch¨atzt wird. Beachte dazu u ¨ber (7.8) m| Ax

= Ax −|m Ax

Die Varianz berechnet sich wieder u ¨ber Formel (7.5).

(7.11)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

176

Aufgeschobene tempor¨ are Deckung Bei diesem Typ beginnt die u ¨ber n Jahren dauernde Deckung erst m Jahre nach Vertragsabschluß. Die NEP wird in diesem Fall mit m|n Ax bezeichnet und es gilt m+n−1 X v k+1 · k| qx . (7.12) m|n Ax = k=m

Der Sch¨atzwert hierzu lautet ¯ = Mx+m − Mx+m+n Dx

(7.13)

m|n Ax

Die Varianz von Z l¨aßt sich genauso einfach berechnen wie in den u ¨brigen F¨allen. Man beachte: Offensichtlich gilt Ax =

7.1.2

|m Ax

+

m|n Ax

+

m+n| Ax

(7.14)

Erlebensfallversicherungen

Die Erlebensfallvesicherung (pure endowment) besteht darin, daß der Versicherungsnehmer im Alter von x Jahren die Versicherung f¨ ur eine feste Dauer von n Jahren abschließt. Die Gegenleistung des Versicherers besteht darin, daß der Versicherte nach Ablauf der n Jahren die vereinbarte Summe von 1 (EU R) ausgezahlt erh¨alt, sofern er die vereinbarte Laufzeit u ¨berlebt. Stirbt er vor dem vereinbarten Ende der Versicherung, so hat der Versicherer keine Leistung zu erbringen. Diese Form der Versicherung wird durch die Zufallsvariable  0, f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 Z= n v , f¨ ur K = n, n + 1, n + 2, ... beschrieben. Die NEP wird mit |n Ex bezeichnet. Sie berechnet sich zu |n Ex

=

∞ X

n

v · k px · qx,k = v

k=n

= v

n

∞ X k=n

n

∞ X k=n

k px

· qx,k = v

n

∞ X

k| qx

k=n

[G (k + 1) − G (k)] = v n [1 − G (n)] = v n n px (7.15)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

177

Mit dieser einfachen Formel f¨ ur den Erwartungswert von Z l¨aßt sich dieser auch leicht mit Kommutationswerten sch¨atzen lx+n v x+n Dx+n n lx+n ¯ = = |n Ex = v x lx lx v Dx

(7.16)

Ohne Beweis sei angegeben: V ar (Z) = v 2n · n px · n qx

7.1.3

(7.17)

Gemischte Versicherungen

Die gebr¨auchlichste Form der Lebensversicherung ist die gemischte Versicherung (endowment), die aus einer tempor¨aren Todesfallversicherung und einer gleichzeitigen Erlebensfallversicherung mit jeweils einer Laufzeit von n Jahren besteht. F¨ ur den Versicherten hat dies den Vorteil, daß er innnerhalb von n Jahren sein Todesrisiko abdeckt und trotzdem, sofern er die vereinbarten n Jahre u ¨berlebt, anschließend die volle Versicherungssumme ausgezahlt bekommt. Das Kapital wird zum Ende des Todesjahres ausbezahlt oder aber nach Ablauf von n Jahren. Die Zufallsvariable, die den Barwert dieser Versicherung beschreibt, ist also offensichtlich  K+1 v , f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 Z= v n , f¨ ur K = n, n + 1, n + 2, ... Die NEP wird mit Ax,¯n bezeichnet. Sie ist einfach zu berechnen, wenn man beachtet, daß Z = Z1 + Z 2 gilt, wobei wir mit Z1 den Barwert der tempor¨aren Todesfallversicherung und mit Z2 den Barwert der Erlebensfallversicherung bezeichnen. Damit ergibt sich sofort Ax,¯n = |n Ax + |n Ex (7.18) und V ar (Z) = V ar (Z1 ) + V ar (Z2 ) + 2Cov (Z1 , Z2 ) Da das Produkt aus Z1 und Z2 immer null ist, gilt Cov (Z1 , Z2 ) = E (Z1 Z2 ) − E (Z1 ) E (Z2 ) = − |n Ax ·

|n Ex

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

178

woraus sich V ar (Z) = V ar (Z1 ) + V ar (Z2 ) − 2 · |n Ax ·

|n Ex

(7.19)

ergibt. Dieses Ergebnis hat eine interessante Interpretation. Sieht man die Varianz der Zufallsvariablen Z als Maß f¨ ur das Risiko der Versicherungsgesellschaft an, so ist das Risiko des Versicherers bei der gemischten Versicherung kleiner als bei entsprechenden getrennten Versicherungen (mit verschiedenen Personen). Der Sch¨atzwert f¨ ur die NEP ergibt sich f¨ ur die gemischte Versicherung zu A¯x,¯n =

7.1.4

¯ +

|n Ax

¯ = Mx − Mx+n + Dx+n Dx Dx

|n Ex

(7.20)

Direkte Auszahlung

Bei den bisherigen Formen der Todesfallversicherung haben wir der Einfachheit halber angenommen, daß die Auszahlung des Kapitals am Ende des Jahres erfolgt, in dem der Versicherte gestorben ist. Diese Annahme entspricht nicht der Praxis, deshalb wollen wir nun den Fall diskutieren, daß das Kapital unmittelbar zum Zeitpunkt des Todes ausgezahlt wird. Der Todeszeitpunkt des im Alter von x Jahren Versicherten ist x+T, wobei T wieder die (zuf¨allige) Lebensdauer des Versicherten bezeichnet. Lebenslange Deckung Betr¨agt die H¨ohe der Kapitals wieder 1 (EU R), so lautet der Barwert des Kapitals zum Zeitpunkt des Vertragsabschlusses Z = vT Da es sich bei T nun um eine stetige Variable handelt, berechnet sich die NEP allgemein nach der Formel Z ∞ Z ∞ t ˜ Ax = v · g (t) dt = v t · t px · µx+t dt (7.21) 0

9

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

179

wobei wir (6.27) verwendet haben. Diese Gr¨oße k¨onnen wir wegen der Annahme der st¨ uckweisen Linearit¨at der Verteilungsfunktion G konkret ausrechnen. Dazu schreiben wir T = (K + 1) − (1 − S) Wegen der Unabh¨angigkeit von K und S, und damit auch von (K + 1) und (1 − S) gilt



A˜x = E v K+1 · E v −(1−S) = E v K+1 · E r(1−S) Nun gilt E r

(1−S)




Z

1

r

=

1−s

u

· 1ds = −

Z

r du =

1

ru du =

0

1

0

so daß sich

0

Z

1 (r − 1) Ax A˜x = ln r (∞)

ergibt. Beachtet man r = 1 + i = ei

A˜x =

1 (r − 1) , ln r (7.22)

, so ergibt sich auch i

i(∞)

Ax

(7.23)

Wegen i(∞) < i liegt damit Ax leicht unter A˜x , was sehr wohl der Anschauung entspricht, da der Zeitpnkt der Auszahlung des Kapitals bei direkter Auszahlung potentiell fr¨ uher liegt als bei Auszahlung am Jahresende. √ i Bemerkung: Der Term i(∞) wird in der Praxis oft durch 1 + i angen¨ahert. ¨ (mit welcher Berechtigung? Ubungsaufgabe!)

Unterj¨ ahrige Auszahlung Alternativ zu der stetigen Zufallsvariable S kann man approximativ auch die diskrete Zufallsvariable S (m) betrachten mit S (m) = [mS + 1] /m

(7.24)

(f¨ ur vorgegebenes m ∈ N, vorzugsweise m = 2, 4, 12), deren Werte durch Aufrunden der Werte von S auf das n¨achsth¨ohere nat¨ urliche Vielfache von

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

180

1 m

erhalten werden. Die Zufallsvariable T (m) = K + S (m) gibt dann den Zeitpunkt an, der durch Aufrundung des durch x + T angegebenen Todestages auf den n¨achsten m−ten Teil des Todesjahres entsteht. Da S eine von K unabh¨angige Gleichverteilung hat, ist auch S (m) von K unabh¨angige (diskrete) Verteilung. Soll nun also das Kapital einer Todesfallversicherung am Ende des m−ten Teils des Todesjahres ausbezahlt werden, in dem der Tod eingetreten ist (z.B. des Todesmonats), wird also der Barwert Z = v K+S

(m)

betrachtet, so zerlegt man zur Berechnung des Erwartungswertes E (Z) =: (m) Ax wieder
K + S (m) = (K + 1) − 1 − S (m) so daß A(m) x

=E v

K+1






·E r

1−S (m)



Man findet analog zum obigen stetigen Fall (ohne Beweis) A(m) = x

i i(m)

Ax

(7.25)

wodurch sich f¨ ur m → ∞ Formel (7.23) best¨atigt. Gemischte Versicherung Wir k¨onnen das Ergebnis der Ber¨ ucksichtigung direkter Auszahlung bei der lebenslangen Todesfallversicherung unmittelbar auf die tempor¨are Todesfallversicherung u ¨bertragen. Wiederum k¨onnen wir Z als Produkt zweier voneinander unabh¨angigen Variablen darstellen  T v , f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 Z= = Z1 · Z2 0, f¨ ur K = n, n + 1, n + 2, ... mit

 Z1 =

v K+1 , f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 0, f¨ ur K = n, n + 1, n + 2, ...

und Z2 = r1−S

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

181

Damit ergibt sich wieder f¨ ur die NEP |n A˜x der tempor¨aren Todesfallversicherung bei direkter Auszahlung (vgl. (7.23)) ˜ = E (Z) = E (Z1 ) · E (Z2 ) =

|n Ax

|n Ax

·

i i∞

(7.26)

Da die gemischte Versicherung sich additiv aus der tempor¨are Todesfallversicherung und der Erlebensfallversicherung zusammensetzt und eine direkte Auszahlung nur die erste Komponente betrifft, ist die NEP hier schnell ermittelt: (vgl. (7.20))   i i ˜ · |n Ax + |n Ex = Ax,¯n + − 1 · |n Ax (7.27) Ax,¯n = i∞ i∞

7.1.5

Ver¨ anderliches Kapital

Bei einigen Versicherungen wird vereinbart, daß das auszuzahlende Kapital in seiner H¨ohe vom Todeszeitunkt abh¨angt. So kann z.B. eine Todesfallversicherung abgeschlossen werden, die f¨ ur den Versicherten das Risiko der R¨ uckzahlung eines Darlehens abdecken soll. Wird das Darlehen durch regelm¨aßige Zahlungen getilgt, so verringert sich die Restschuld von Jahr zu Jahr. Dementsprechend kann die vom Versicherer im Todesfall zu zahlende Versicherungssumme von Jahr zu Jahr abnehmen. Allgemeine Todesfallversicherung Wir betrachten eine lebenslange Todesfallversicherung, bei der zum Ende des j−ten Jahres das Kapital cj , j = 1, 2, ... , ausbezahlt wird, falls der Versicherte in diesem Jahr stirbt. Der Barwert der Versicherungssumme betr¨agt also Z = cK+1 v K+1 Offensichtlich gilt dann f¨ ur alle h ∈ N E Z

h




=

∞ X k=0

chk+1 · v h(k+1) · k px · qx,k

(7.28)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

182

so daß die Berechnung der NEP und der Varianz keine Schwierigkeiten bereitet. Insbesondere gilt also E (Z) =

∞ X

ck+1 · v k+1 · k px · qx,k

(7.29)

k=0

Zu beachten ist, daß die Einzelwahrscheinlichkeiten k px · qx,k nur f¨ ur endlich viele k ∈ N von null verschieden sind. Also k¨onnen Reihen mit diesen Einzelwahrscheinlichkeiten beliebig umsortiert und linearkombiniert werden. Dadurch kann man E (Z) als Linearkombination von Erwartungswerten von aufgeschobenen lebenslangen Todesfallversicherungen mit jeweils konstantem Kapital darstellen: E (Z) = c1 Ax + (c2 − c1 ) 1| Ax + (c3 − c2 ) 2| Ax + ...

(7.30)

Man beachte, daß der Fall der tempor¨aren, auf n Jahre begrenzten Todesfallversicherung aus der lebenslangen hervorgeht, wenn cn+1 = cn+2 = ... = 0 gesetzt wird. In diesem Fall kann man E (Z) = c1 Ax +(c2 − c1 ) 1| Ax +(c3 − c2 ) 2| Ax +...+(cn − cn−1 )

n−1| Ax −cn n| Ax

(7.31) schreiben. In der Praxis kann nat¨ urlich diese Darstellung immer angewendet werden, da n nur gen¨ ugend groß angesetzt werden muß. Genauso gut kann man E (Z) auch als Linearkombination von tempor¨aren Todesfallversicherung mit jeweils konstantem Kapital darstellen E (Z) = cn |n Ax + (cn−1 − cn )

|n−1 Ax

+ ... + (c1 − c2 ) |1 Ax

(7.32)

Standardformen Bel¨auft sich das Kapital im j−ten Jahr auf cj = j, so spricht man vom ”standard increasing” Typ der lebenslangen Todesfallversicherung. Es gilt also, die Variable Z = (K + 1) v K+1 zu betrachten. Die NEP wird in diesem Fall mit (IA)x bezeichnet und hat den Wert ∞ X (IA)x = (k + 1) · v k+1 · k px · qx,k (7.33) k=0

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

183

Gesch¨atzt werden kann (IA)x u ¨ber die aus (7.30) abgeleitete Beziehung
I A¯ x = A¯x + 1| A¯x + 2| A¯x + ... (7.34) Dabei gilt f¨ ur eine entsprechende, auf n Jahre befristete Versicherung  (K + 1) v K+1 , f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 Z= 0, f¨ ur K = n, n + 1, n + 2, ... Deren NEP

|n

(IA)x |n (IA)x =

n−1 X

(k + 1) · v k+1 · k px · qx,k

k=0

wird nach (7.31) zu
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ |n I A x = Ax + 1| Ax + 2| Ax + ... + n−1| Ax − n n| Ax

(7.35)

gesch¨atzt. Im u ¨brigen erh¨alt man aus (7.32) auch die Sch¨atzung
¯ ¯ ¯ ¯ |n I A x = n |n Ax − |n−1 Ax − ... − |1 Ax

(7.36)

Analog spricht man bei einer tempor¨aren Todesfallversicherung, bei der das Kapital pro Jahr um eine Einheit abnimmt, von einer Versicherung von ”standard decreasing” Typ. Hier gelten mit  (n − K) v K+1 , f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 Z= 0, f¨ ur K = n, n + 1, n + 2, ... die Beziehungen

|n

(DA)x =

n−1 X

(n − k) · v k+1 · k px · qx,k ,

(7.37)

k=0

wobei

|n

(DA)x die NEP bezeichne und f¨ ur deren Sch¨atzung
¯ ¯ ¯ ¯ |n D A x = |n Ax + |n−1 Ax + ... + |1 Ax

(7.38)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

184

Direkte Auszahlung Wir besprechen nun eine Versicherung, bei der das versicherte Kapital eine st¨ uckweise stetige Funktion c (t) , t ≥ 0, der Zeit ist. Dabei soll das Kapital unmittelbar zum Todeszeitpunkt T ausgezahlt werden. Der betrachtete Barwert des Kapitals ist Z = c (T ) v T und die NEP bel¨auft sich in diesem allgemeinen Fall auf Z ∞ EZ = c (t) · v t · t px · µx+t dt

(7.39)

0

Nutzen wir den st¨ uckweise linearen Verlauf der Verteilung G von T , so ergibt sich folgende Betrachtung EZ = =

∞ X k=0 ∞ X

E (Z |K = k ) P (K = k)
E c (k + S) v k+S |K = k P (K = k)

k=0

=

∞ X


E c (k + S) r1−S |K = k v k+1 P (K = k)

k=0

=

∞ X

ck+1 · v k+1 · k px · qx+k

(7.40)

k=0

wobei wir zur Abk¨ urzung ck+1 := E c (k + S) r1−S |K = k




(7.41)

gesetzt haben. Wegen der Unabh¨angigkeit von K und S k¨onnen die ck+1 dabei u ¨ber Z 1 ck+1 = c (k + u) r1−u du (7.42) 0

berechnet werden. Konkret betrachten wir den Fall, wo c (t) = [t + 1] , wo also das auszuzahlende Kapital j¨ahrlich um eine Einheit anw¨achst. Bei der lebenslangen Todesfallversicherung gilt dann f¨ ur den Barwert Z = (K + 1) v T = (K + 1) v K+1 r1−S

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

185

In diesem Fall gilt wieder 

 i ˜ IA = (IA)x i∞ x

(7.43)

wobei Z ck+1 =

1

[k + 1 + u] r 0

1−u

Z du =

1

(k + 1) r1−u du = (k + 1)

0

und daher 

∞  i X ˜ (k + 1) · v k+1 · k px · qx+k IA = i∞ k=0 x

i i∞

(7.44)

gilt.

7.2

Leibrenten

Unter einer Leibrente f¨ ur eine bestimmte Person verstehen wir periodische Zahlungen an die Person, beginnend zu einem vereinbarten Zeitpunkt und endend mit dem Tode der Person oder sp¨atestens nach einer vereinbarten Laufzeit. Der Barwert der Leibrente ist daher eine Zufallsvariable, die wir im folgenden mit Y bezeichnen wollen. Wir interessieren uns f¨ ur das zuf¨allige Verhalten dieser Variablen, insbesondere f¨ ur ihren Erwartungswert E (Y ) , den wir wieder Nettoeinmalpr¨amie (NEP) nennen wollen.

7.2.1

Einfache j¨ ahrliche Leibrenten

Wir besprechen verschiedene Typen einer j¨ahrlich gezahlten Leibrente. Vorschu ¨ ssige lebenslange Leibrente Die H¨ohe der Leibrente betrage j¨ahrlich 1 (EU R), die Zahlungen finden vorsch¨ ussig zu den Zeitpunkten 0, 1, ..., K statt. Der Barwert der Rente ist also (7.45) Y = 1 + v + v 2 + ... + v K = a ¨K+1

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

186

Diese diskrete Zufallvariable hat die Einzelwahrscheinlichkeiten
P Y =a ¨k+1 = P (K = k) = k px · qx,k Bezeichnet man die NEP dieser Rente mit a ¨x , so gilt also a ¨x =

∞ X

a ¨k+1 · k px · qx,k

(7.46)

k=0

Auf der anderen Seite k¨onnen wir Y auch als Linearkombination anderer Zufallsvariablen beschreiben Y =

∞ X

v k · Ik (K)

(7.47)

k=0

wobei wir unter Ik die von K abh¨angige Zufallsvariable  0, falls K < k Ik (K) = 1, falls K ≥ k

(7.48)

verstehen. Man beachte, daß die Summe in (7.47) in Wirklichkeit endlich ist, da P (K ≥ k) = 0 f¨ ur gen¨ ugend großes k. Der Erwartungswert von Ik ist EIk (K) = 0·P (Ik (K) = 0)+1·P (Ik (K) = 1) = P (Ik (K) = 1) = P (K ≥ k) (7.49) ¨ Uber (7.47) berechnet sich die NEP von Y nun alternativ zu a ¨x =

∞ X

k

v · E (Ik (K)) =

k=0

∞ X

k

v · P (K ≥ k) =

∞ X

k=0

v k · k px

(7.50)

k=0

Vergleicht man (7.50) mit (7.15), so sieht man, daß sich die NEP der betrachteten Leibrente als NEP einer Summe von Erlebensfallversicherungen darstellt! Auf der andereren Seite besteht auch ein Zusammenhang der Leibrente mit der lebenslangen Todesfallversicherung. Ist Z deren Barwert, so gilt Y =a ¨K+1

1 − v K+1 1−Z = = d d

(7.51)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

187

¨ Uber diese Darstellung ergibt sich die NEP zu a ¨x =

1 − E (Z) 1 − Ax = d d

(7.52)

Mit dieser Formel l¨aßt sich a ¨x leicht sch¨atzen: (vgl. (7.4)) (¨ a)x =

1−

Mx Dx

d

=

Dx − Mx dNx Nx = = dDx dDx Dx

(7.53)

Im u ¨brigen gilt auch nach (7.50) (vgl. (7.16)) (¨ a)x =

∞ X Dx+k k=0

Dx

∞ Nx 1 X Dx+k = = Dx k=1 Dx

Mit Hilfe von (7.51) l¨aßt sich auch die Varianz von Y bestimmen V ar (Y ) =

V ar (Z) d2

(7.54)

Nachschu ¨ ssige lebenslange Leibrente Erfolgen die Zahlungen bei einer lebenslangen Leibrente nachsch¨ ussig, so erfolgen sie zu den Zeitpunkten 1, 2, ..., K und der Barwert der Rente wird durch die Zufallsvariable Y = v + v 2 + ... + v K = aK¯

(7.55)

Die Zufallsvariablen der vorsch¨ ussigen und der nachsch¨ ussigen Rente unterscheiden sich also nur um die additive Konstante 1. Dementsprechend gilt f¨ ur die NEP ax im vorliegenden Fall ax = a ¨x − 1 woraus sich a ¯x =

Nx − Dx Nx+1 Nx −1= = Dx Dx Dx

(7.56)

(7.57)

als Sch¨atzung ergibt. Ferner gilt wegen Y = aK¯ =

1 − (1 + i) v K+1 1 − vK = i i

(7.58)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

188

¨ beim Ubergang zum Erwartungswert ax =

1 − (1 + i) Ax i

(7.59)

woraus wegen Ynachsch¨ussig = Yvorsch¨ussig − 1unmittelbar folgt, dass auch hier Formel (7.54) gilt in der Form (1 + i)2 V ar (Y ) = V ar (Z) i2

(7.60)

Tempor¨ are Leibrenten Wird nun eine Leibrente betrachtet, die auf eine Dauer von n Jahren begrenzt ist, so ¨andert sich Y gegen¨ uber der bisherigen Version wie folgt  ur K = 0, 1, ..., n − 1 a ¨K+1 , f¨ (7.61) Y = a ¨n¯ , f¨ ur K = n, n + 1, n + 2, ... Aus (7.46) bzw.(7.47) erh¨alt man sofort f¨ ur den Erwartungswert ¨x |n a

=

n−1 X

a ¨k+1 · k px · qx,k + a ¨n¯

=

k px

von Y

· qx,k

k=n

k=0 n−1 X

∞ X

¨x |n a

a ¨k+1 · k px · qx,k + a ¨n¯ · n px

(7.62)

k=0

(vgl. (7.15)) sowie ¨x |n a

=

n−1 X

v k · k px

k=0

Ferner ergibt sich analog zu (7.51) Y =

1−Z d

wobei Z diesmal allerdings u ¨ber  K+1 v , f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 Z= v n , f¨ ur K = n, n + 1, n + 2, ...

(7.63)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

189

wie bei der gemischten Versicherung definiert ist. Dadurch folgt ¨x |n a

=

1 − Ax,¯n d

(7.64)

Daraus ergibt sich wieder elegant die Sch¨atzung f¨ ur |n a ¨x   Mx −Mx+n Dx+n 1− + Dx Dx Dx − Mx + Mx+n − Dx+n a)x = = |n (¨ d dDx dNx − dNx+n Nx − Nx+n = = (7.65) dDx Dx Bei nachsch¨ ussiger Zahlweise f¨allt die erste Zahlung weg, daf¨ ur kommt im Falle des Erlebens im Alter von x + n eine weitere Rentenzahlung hinzu. Dementsprechend ergibt sich die NEP in diesem Falle zu |n ax =

n X

v k · k px

k=1

Sch¨atzen k¨onnen wir diesen Wert durch n X

n

n

lx+k X v x+k lx+k X Dx+k Nx+1 − Nx+n+1 v · = = = (7.66) |n (a)x = x lx v lx Dx Dx k=1 k=1 k=1 k

Aufgeschobene Leibrenten Der Barwert einer um m Jahre aufgeschobenen vorsch¨ ussigen Leibrente ist  0, f¨ ur K = 0, 1, ..., m − 1 Y = (7.67) m m+1 K v +v + ... + v , f¨ ur K = m, m + 1, ... Die NEP

¨x m| a

berechnet sich daraus offensichtlich zu ¨x m| a

=a ¨x −

¨x |m a

(7.68)

Dementsprechend lautet die Sch¨atzung f¨ ur diesen Wert a)x m| (¨

=

Nx Nx − Nx+m Nx+m − = Dx Dx Dx

(7.69)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

190

Im nachsch¨ ussigen Fall erfolgt die erste Zahlung ein Jahr sp¨ater und die letzte im Erlebensfall ebenfalls. dementsprechend lautet die NEP m| ax

= ax −

|m ax

(7.70)

und ihre Sch¨atzung ¯x m| a

7.2.2

Nx+m+1 Dx

=

(7.71)

Unterj¨ ahrige Zahlung

Betrachten wir nun den Fall der vorsch¨ ussigen unterj¨ahrigen Zahlungen. Dabei fassen wir zun¨achst die jeweils zum m−ten Teil eines Jahres ausbezahlte Rente zum Zinssatz i auf als j¨ahrlich ausbezahlte Rente zum Zinssatz i(m) . (m) F¨ ur die NEP a ¨x dieser Rente gilt dann nach (7.52) a ¨(m) = x (m)

Nun gilt Ax

=

i A i(m) x

1 d(m)

−

1 d(m)

A(m) x

(7.72)

wegen (7.25) und Ax = 1 − d¨ ax nach (7.52), so daß

a ¨(m) = x

1

−

1

i

(1 − d¨ ax ) d(m) d(m) i(m) i − i(m) d·i ¨x − (m) (m) = (m) (m) a d ·i d ·i = : α (m) a ¨x − β (m)

(7.73)

Bemerkung: In der Praxis rechnet man oft mit N¨aherungswerten f¨ ur α (m) und β (m) , n¨amlich α (m) ≈ 1 und β (m) ≈

m−1 2m

(7.74)

(mit welche Berechtigung?)

F¨ ur die vorsch¨ ussige tempor¨are, auf n Jahre begrenzte unterj¨ahrige Leibrente findet man (ohne Beweis) die NEP ¨(m) |n a x

= α (m)

¨x |n a

− β (m) [1 − n px · v n ]

(7.75)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

191

und f¨ ur die vorsch¨ ussige um n Jahre aufgeschobene lebenslange unterj¨ahrige Leibrente ¨(m) n| a x

7.2.3

= α (m) = α (m)

− β (m) · n px · v n ¨x − β (m) · n Ex n| a ¨x n| a

(7.76)

Allgemeine Leibrenten

Zum Schluß dieses Abschnitts betrachten wir noch allgemeine j¨ahrliche Leibrenten, bei denen zu den Zeitpunkten 0, 1, ..., K die Zahlungen R0 , R1 , ..., RK erfolgen. Der Barwert dieser Zahlungen ist Y =

∞ X

v k · Rk · Ik (K)

(7.77)

k=0

(vgl. (7.48)) mit dem Erwartungswert E (Y ) =

∞ X

v k · Rk · k px

(7.78)

k=0

welcher u ¨ber ∞ X

∞

∞

lx+k X v x+k lx+k X Dx+k E (Y ) = v · Rk · = Rk · = Rk · x lx v lx Dx k=0 k=0 k=0 k

(7.79)

(vgl. (7.16)) gesch¨atzt werden kann. In dieser Formel sind alle bisher behandelten vollj¨ahrigen Leibrenten als Spezialf¨alle enthalten. Aber auch weitere Falle k¨onnen behandelt werden: Betrachten wir z.B. eine vollj¨ahrige vorsch¨ ussige Leibrente mit steigenden Zahlungen R0 = 1, R1 = 2, R2 = 3, ..., so lautet die NEP (I¨ a)x =

∞ X

(k + 1) · v k · k px

(7.80)

k=0

mit der Sch¨atzung (I¨ a)x =

∞ X k=0

(k + 1) ·

Dx+k Sx = Dx Dx

(7.81)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

192

Eine entsprechende tempor¨are Leibrente u ¨ber n Jahre hat die NEP |n

(I¨ a)x =

n−1 X

(k + 1) · v k · k px

(7.82)

k=0

mit der Sch¨atzung a)x = |n (I¨

n−1 X k=0

(k + 1) ·

Sx − Sx+n − nNx+n Dx+k = . Dx Dx

(7.83)

¨ Ubungsaufgaben

7.3 7.3.1

Theoretische Aufgaben

Aufgabe 7.1 Beweisen Sie die folgenden Behauptungen aus der Vorlesung: 1. Der Quotient

i i(∞)

l¨aßt sich u ¨ber

√

1 + i gut ann¨ahern.

2. Die Varianz der Erlebensfallversicherung lautet V ar (Z) = v 2n · n px · n qx . 3. Die bei unterj¨ahrigen Leibrenten u urzungen lassen sich u ¨blichen Abk¨ ¨ber α (m) ≈ 1 und

β (m) ≈

m−1 2m

gut ann¨ahern. Aufgabe 7.2 Berechnen Sie die NEP f¨ ur eine vorsch¨ ussige oder nachsch¨ ussige j¨ahrliche Rente mit n-j¨ahriger Rentengarantie. Darunter versteht man eine lebenslange Leibrente, bei der u ¨ber n Jahre die Rentenzahlungen (ggf. an eine andere beg¨ unstigte Person) garantiert werden, auch wenn der Versicherte innerhalb dieser n Jahre stirbt. Nach Ablauf der n Jahre erlicht die Rentenzahlung beim Tode des Versicherten. Geben Sie auch eine Sch¨atzung dieser NEP u ¨ber Sterbetafeln an.

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

7.3.2

193

Praktische Aufgaben

Bei den folgenden Aufgaben aus der Versicherungspraxis legen Sie bitte die Ihnen bekannten Sterbetafeln ”81/83” zugrunde sowie einen Rechnungszins von 4%. Sofern nicht anders gesagt, berechnen Sie Versicherungen, deren Kapital am Ende des Todesjahres ausgezahlt wird. Ferner werden in der Regel noch keine Kosten ber¨ ucksichtigt. Aufgabe 7.3 Ermitteln Sie die Nettoeinmalpr¨amie der folgenden Nachfragen: 1. Herr A. (40 Jahre) w¨ unscht eine 30-j¨ahrige Risikolebensversicherung (tempor¨are Todesfallversicherung) u ¨ber 1000000 EU R. 2. Frau B. (32 Jahre) m¨ochte eine Kapitallebensversicherung (gemischte Versicherung) auf das Endalter 85 u ¨ber 500000 EU R. 3. Herr C. (48 Jahre) fragt nach einer lebenslangen Todesfallversicherung u ¨ber 200000 EU R mit direkter Auszahlung Aufgabe 7.4 Beantworten Sie die folgenden Fragen: 1. Frau D. (52 Jahre) hat 16000 EU R. Welche Summe einer Risikolebensversicherung u ¨ber 23 Jahre kann sie damit erzielen? 2. Herr E. (35 Jahre) m¨ochte f¨ ur ihm zur Verf¨ ugung stehende 40000 EU R eine Kapitallebensversicherung auf das Endalter 65 Jahre abschließen. Welche Versicherungssumme kann er damit erhalten? 3. Frau F. (46 Jahre) m¨ochte 5000 EU R f¨ ur den Todesfall anlegen, um ihren Erben die Begr¨abniskosten zu ersparen. Welche Versicherungssumme ist m¨oglich? (lebenslange Todesfallversicherung mit direkter Auszahlung). Aufgabe 7.5 Herr G. (51 Jahre) trifft mit seiner Bank, die auch Versicherungsgesch¨afte betreibt, folgende Vereinbarung. Er spart monatlich 200 EU R u ¨ber einen auf 20 Jahre abgeschlossenen Sparvertrag mit 6% Verzinsung. Die Sparverpflichtung erlicht, wenn der Sparer stirbt.

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

194

Gleichzeitig schließt er eine Risikolebensversicherung ab, die im Falle seines Ablebens sicherstellt, daß das Sparziel f¨ ur seine Erben erreicht wird. Dies soll wie folgt geschehen: das Kapital der Risikoversicherung soll j¨ahrlich fallen so, daß die bisher gesparte Summe und die Versicherungssumme zusammen zum Zeitpunkt der Auszahlung der Versicherungssumme das Sparziel (Verm¨ogenswert des Sparvertrages nach 20 Jahren) abdecken. Berechnen Sie die Nettoeinmalpr¨amie der Versicherung und die Rendite der Kombination aus Sparvertrag und Versicherung, wenn der Versicherte 1. nach 10 Jahren stirbt 2. die 20 Jahre u ¨berlebt. Unterstellen Sie dabei, daß die Nettoeinmalpr¨amie sofort mit einem Kostenaufschlag von 4% der anf¨anglichen Versicherungssumme gezahlt wird. Aufgabe 7.6 Manche Bausparkassen verpflichten den Bausparer zum Abschluß einer Risikolebensversicherung, sobald sie ein Darlehen gew¨ahren. Frau H. (38 Jahre) hat von ihrer Bausparkasse ein Darlehen von 150000 EU R erhalten, das mit einer Risikolebensversicherung abgesichert werden soll. Dies soll folgendermaßen geschehen: Die Versicherungssumme soll j¨ahrlich fallen und zwar auf die H¨ohe der auf volle EURO gerundeten Restschuld aus dem Darlehen zum Anfang des jeweiligen Jahres. Das Darlehen werde mit monatliche Annuit¨aten von 1400 EU R getilgt bei j¨ahrlichen Schuldzinsen von 4, 5%. Berechnen Sie die H¨ohe der Nettoeinmalpr¨amie der Risikoversicherung. Berechnen Sie auch den Kapitalwert der zu zahlenden Nettoeinmalpr¨amie f¨ ur den Fall, daß die Risikoversicherung als (konstante) Deckungssumme die geschuldeten 150000 EU R und eine Laufzeit hat, die der auf volle Jahre abgerundeten Tilgungszeit des Darlehens entspricht. Aufgabe 7.7 Erstellen Sie ein Angebot zu folgenden Anfragen, indem Sie jeweils die Nettoeinmalpr¨amien berechnen: 1. Herr I. (62 Jahre) w¨ unscht eine j¨ahrliche Leibrente von 30000 EU R, die sofort beginnt und j¨ahrlich um 3% der Anfangsrente steigt.

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

195

2. Herr J. (64 Jahre) w¨ unscht die gleiche Rente wie Herr K., allerdings mit mit 5-j¨ahriger Rentengarantie. 3. Frau K. (73 Jahre) w¨ unscht eine sofort beginnende monatliche Leibrente u ¨ber 2000 EU R. Diese Rente soll in jedem Jahr um 100 EU R steigen. Aufgabe 7.8 Frau L. (53 Jahre) hat 600000 EU R geerbt. Sie ist alleinstehend und m¨ochte diese Erbschaft in eine zu Ihrem 60. Geburtstag beginnende j¨ahrliche Leibrente umwandeln. Welche Rente kann sie erwarten? Vergleichen Sie diese Leibrente mit einem Auszahlungsplan aus einem Rentenfonds, der sich j¨ahrlich zu 5, 8% verzinst, wenn die 600000 EU R sofort in den Fonds eingezahlt und die gleichen Rentenleistungen wie bei der Leibrente erbracht werden, solange noch Geld zur Verf¨ ugung steht. Aufgabe 7.9 Welche Rente erh¨alt Frau M. (36 Jahre) , wenn sie heute 250000 EU R in eine Rentenversicherung einbezahlt und mit dem 61-ten Lebensjahr eine j¨ahrliche Leibrente mit Rentengarantie u ¨ber 10 Jahre und gleichzeitig eine Todesfallversicherung u ¨ber 250000 EU R bis zu ihrem 60. Geburtstag w¨ unscht.?

7.3.3

Programmierpraxis

Aufgabe 7.10 Schreiben Sie ein (Excel-) Programm, das zu vorgegebener Laufzeit (n = 100 bei lebenslang) f¨ ur jedes Startalter x (spaltenweise) die ¯ ¯ ¯ a)x , |n (a)x auswirft und in einem Diagramm darWerte |n Ax , |n Ex , Ax,n , |n (¨ stellt. Aufgabe 7.11 Schreiben Sie ein (Excel-) Programm, das Todesfallversicherungen mit prozentualer j¨ahrlicher Steigerung der Versicherungssumme bzw. Leibrenten mit j¨ahrlich prozentual steigenden Raten rechnet.

Kapitel 8 Periodisch zu zahlende Pr¨ amien In der Praxis besteht die Leistung des Versicherten in der Regel nicht in der Zahlung einer Einmalpr¨amie, sondern in der Zahlung von mehreren gleichbleibenden Pr¨amien, ggf. bis zu seinem Tode oder begrenzt auf h¨ochstens t Pr¨amien, t ∈ N. Dabei soll der Erwartungswert des Barwertes der insgesamt gezahlten Pr¨amien mit dem Erwartungswert der berechneten Einmalpr¨amie u ¨bereinstimmen. Wir definieren den totalen Verlust L des Versicherers als die Differenz zwischen dem Barwert der Leistungen des Versicherers und dem Barwert der gezahlten Pr¨amien. L ist eine Zufallsvariable, deren Erwartungswert null sein sollte, wenn die Leistung des Versicherers und die des Versicherten ¨aquivalent sein sollen. Wir sprechen also von Nettopr¨amien, wenn E (L) = 0

(8.1)

gilt. Diese werden grunds¨atzlich als vorsch¨ ussige Zahlungen angenommen. Nat¨ urlich erwartet niemand vom Versicherer, Versicherungen zu Nettopr¨amien und damit ohne Ber¨ ucksichtigung von Erstellungs- und Bearbeitungskosten abzuschließen. Daher werden Nettopr¨amien mit einem Aufschlag versehen, der die beim Versicherer entstehenden Kosten abdecken soll. Die so entehenden Pr¨amien nennt man ausreichende Pr¨amien. Ggf. kommen zu diesen Pr¨amien noch Risikoaufschl¨age hinzu, wobei wir dann von Bruttopr¨amien sprechen.

196

¨ KAPITEL 8. PRAMIEN

8.1

197

Nettopr¨ amien

Im folgenden betrachten wir wieder verschiedene Versicherungen und berechnen vollj¨ahrige oder unterj¨ahrige Nettopr¨amien. Dabei k¨onnen wir bei der Erfassung der Zufallsvariablen, die die Pr¨amienzahlungen beschreiben, welche in Ihrer Dauer durch die Lebensdauer des Versicherten bestimmt sind, auf die ¨ Uberlegungen zu Leibrenten zur¨ uckgreifen, denn die Pr¨amienzahlungen sind in ihrer Struktur Rentenzahlungen an den Versicherer. Durch Kombination der verschiedenen Versicherungsarten mit den verschiedenen Rentenarten entstehen nat¨ urlich sehr viele Versicherungstypen, die wir hier nur exemplarisch behandeln k¨onnen.

8.1.1

Todesfallversicherungen

Lebenslange Deckung Wir betrachten zun¨achst wieder die die Todesfallversicherung des x−J¨ahrigen mit lebenslanger Deckung, bei der das versicherte Kapital von 1 (EU R) am Ende des Todesjahres auszuzahlen ist. Die Finanzierung dieser Auszahlung geschehe u ¨ber vollj¨ahrige lebenslange Nettopr¨amien (P T )x . Der Verlust des Versicherers betr¨agt daher L = v K+1 − (P T )x · a ¨K+1

(8.2)

Setzen wir E (L) = 0, so ergibt sich f¨ ur die vom Versicherten j¨ahrlich vorsch¨ ussig zu zahlende Nettopr¨amie Ax (P T )x = (8.3) a ¨x Diese Pr¨amie wird gesch¨atzt zu (P T )x =

Mx Nx

(8.4)

Im u ¨x die Identit¨at ¨brigen ergibt sich aus (7.52) bei Teilung durch a (P T )x =

1 −d a ¨x

(8.5)

¨ KAPITEL 8. PRAMIEN

198

Zur Berechnung der Varianz von L stellen wir a ¨K+1 dar u ¨ber die geometrische Summenformel   1 − v K+1 P Tx P Tx K+1 = 1+ v K+1 − L=v − (P T )x d d d Gehen wir jetzt zur Varianz u ¨ber, so ergibt sich wegen der Konstanz von (P T )x d

 V ar (L) =

P Tx 1+ d

2


V ar v K+1 .

(8.6)

Dagegen betr¨agt der Verlust des Versicherers bei einer Nettoeinmalpr¨amie von Ax L = v K+1 − Ax so daß sich die Varianz zu V ar (L) = V ar v K+1




Interpretieren wir wieder die Varianz des Verlustes als Verlustrisiko f¨ ur den Versicherer, so liegt also das Risiko bei j¨ahrlicher Pr¨amienzahlung deutlich h¨oher als bei einer Einmalpr¨amie, was nat¨ urlich unmittelbar einsichtig ist. Begrenzte Pr¨ amienzahlung Wird bei unver¨andert lebenslanger Deckung die Zahlungsdauer der Pr¨amien auf n Jahre begrenzt, so sieht die Berechnung der Nettopr¨amie (P T )x|n wie folgt aus:  K+1 − (P T )x|n · a ¨K+1 v f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 L= (8.7) K+1 v − (P T )x|n · a ¨n f¨ ur K = n, n + 1, ... so daß

Ax ¨x |n a

(8.8)

Mx Nx − Nx+n

(8.9)

(P T )x|n = welches zu (P T )x|n = gesch¨atzt wird.

¨ KAPITEL 8. PRAMIEN

199

Tempor¨ are Deckung Alternativ zur lebenslangen Deckung betrachten wir die tempor¨are Deckung, bei der die Todesfallversicherung und auch die Pr¨amienzahlung |n (P T )x auf n Jahre begrenzt ist. In diesem Fall ist der Verlust des Versicherers  K+1 v − |n (P T )x · a ¨K+1 f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 L= (8.10) f¨ ur K = n, n + 1, ... 0 − |n (P T )x · a ¨n (vgl. (7.7) und (7.61)). Offensichtlich ergibt sich dann |n

(P T )x =

welches zu |n (P T )x

=

|n Ax

¨x |n a

Mx − Mx+n Nx − Nx+n

(8.11)

(8.12)

gesch¨atzt werden kann.

8.1.2

Erlebensfallversicherung

Wir betrachten die reine Erlebensfallversicherung und die gemischte Versicherung. Reiner Erlebensfall Eine Erlebensfallversicherung mit Kapital 1 (EU R) und einer Deckungs- und Pr¨amienzahldauer von n Jahren verursacht dem Versicherer einen Verlust von  0 − |n (P E)x · a ¨K+1 f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 . (8.13) L= f¨ ur K = n, n + 1, ... v n − |n (P E)x · a ¨n wobei |n (P E)x die zu zahlende Pr¨amie bezeichne. Daraus berechnet sich die Pr¨amie zu |n Ex . (8.14) |n (P E)x = ¨x |n a Gesch¨atzt werden kann sie aus der Sterbetafel zu |n (P E)x

=

Dx+n Nx − Nx+n

(8.15)

¨ KAPITEL 8. PRAMIEN

200

Gemischte Versicherung Wird diese Versicherung mit einer Todesfallversicherung verbunden, liegt also eine gemischte Versicherung vor, bei der die Zahlungsdauer auf n Jahre begrenzt ist, so ergibt sich eine Nettopr¨amie von |n

Ax,n ¨x |n a

(8.16)

Mx − Mx+n + Dx+n Nx − Nx+n

(8.17)

(P G)x =

mit der Sch¨atzung |n (P G)x

=

Im u ¨brigen gelten hier die Formeln 1 =d+ ¨x |n a

|n

(P G)x

(8.18)

die sich ergibt, wenn (7.64) durch |n a ¨x geteilt wird und |n

(P G)x =

|n

(P T )x +

|n

(P E)x

(8.19)

wie u ¨ber (7.18) eingesehen werden kann.

8.1.3

Besondere Versicherungen

Es seien nun noch drei (willk¨ urlich ausgew¨ahlte) spezielle Versicherungen genannt, um die Spannbreite der M¨oglichkeiten zu illustrieren. Altersrente Eine um n Jahre aufgeschobene Leibrente mit auf n Jahre zu zahlender Pr¨amie n| (P L)x und j¨ahrlicher Rate 1 (EU R) wird auch als Altersrente bezeichnet. F¨ ur sie berechnet man nach dem bekannten Muster die j¨ahrliche Nettopr¨amie (vgl. (7.68)) ¨x n| a (8.20) n| (P L)x = ¨x |n a gesch¨atzt zu n| (P L)x

=

Nx+n Nx − Nx+n

(8.21)

¨ KAPITEL 8. PRAMIEN

201

Ausbildungsversicherung Wird ein Vertrag abgeschlossen, der eine Auszahlung der Summe nach n Jahren vorsieht, unabh¨angig davon ob der Versicherungsnehmer innerhalb der n Jahre stirbt oder nicht, so liegt in der Regel eine Ausbildungs- oder Aussteuerversicherung vor. Erst durch die Pr¨amienzahlung wird allerdings der Vertrag zu einem Versicherungsvertrag, da die Pr¨amienleistungen des Versicherten aufh¨oren, falls er vorzeitig stirbt (und dennoch das Kapital nach n Jahren ausbezahlt werden muß). Der Verlust der Versicherung bei einem Kapital von 1 bel¨auft sich auf  n f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 v − |n (P A)x · a ¨K+1 (8.22) L= n f¨ ur K = n, n + 1, ... v − |n (P A)x · a ¨n woraus sich eine j¨ahrliche Pr¨amie |n

|n

(P A)x von vn ¨x |n a

(8.23)

v n Dx Nx − Nx+n

(8.24)

(P A)x =

berechnet. Diese wird gesch¨atzt durch |n (P A)x

=

Pr¨ amienru ahr ¨ ckgew¨ Eine n j¨ahrige Erlebensfallversicherung auf das Kapital 1 sehe vor, daß die bezahlten Pr¨amien unverzinst zur¨ uckerstattet werden, wenn der Versicherte vor Ablauf der Versicherung stirbt. Dabei m¨ogen sich die effektiv zu zahlenden Brutto-Pr¨amien (siehe n¨achster Abschnitt) auf das 1.4-fache der Nettopr¨amien belaufen. Der Verlust des Versicherers betr¨agt, wenn wir die Jahresnettopr¨amie diesmal einfach mit P bezeichnen  1.4 (K + 1) P v K+1 − P a ¨K+1 f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 (8.25) L= n v − Pa ¨n f¨ ur K = n, n + 1, ... Daraus berechnet man den Erwartungswert E (L) zu E (L) = 1.4P ·

|n

(IA)x +

|n Ex

−P ·

¨x |n a

¨ KAPITEL 8. PRAMIEN

202

Setzt man diesen gleich null, so kann die Nettopr¨amie P ermittelt werden: P =

8.1.4

|n Ex

¨x |n a

− 1.4 ·

|n

(IA)x

(8.26)

Unterj¨ ahrige Pr¨ amienzahlung

Falls die Nettopr¨amien nicht vollj¨ahrig, sondern unterj¨ahrig in m gleichen Raten gezahlt werden sollen, so bezeichnet man die insgesamt pro Jahr zu zahlenden Pr¨amien zum Kapital 1 mit den gleichen Bezeichnern wie die vollj¨ahrigen, nur mit einem Superskript (m) versehen. Man erh¨alt dann v¨ollig analoge Formeln f¨ ur die Pr¨amien. Ohne Beweis seien einige davon angegeben. • Todesfallversicherung 1. lebenslange Deckung = (P T )(m) x

Ax (m)

(8.27)

a ¨x

2. tempor¨are Deckung |n

= (P T )(m) x

|n Ax (m) ¨x |n a

(8.28)

|n

(P E)(m) = x

|n Ex (m) ¨x |n a

(8.29)

• Erlebensfall 1. reiner Erlebensfall

2. gemischte Versicherung |n

(P G)(m) = x

Ax,n (m) ¨x |n a

(8.30)

Beachte: Die pro Periode ” m1 Jahr” zu zahlende Pr¨amie (z.B. die Monatspr¨amie bei m = 12) ist der m−te Teil der oben angegebenen Pr¨amien mit dem oberen Indes (m) .

¨ KAPITEL 8. PRAMIEN

8.2

203

Bruttopr¨ amien

Die vom Versicherten praktisch zu zahlenden Pr¨amien setzen sich zusammen aus den Nettopr¨amien, Kostenzuschl¨agen und Risikozuschl¨agen. Kommen zu den Nettopr¨amien nur die Kostenaufschl¨age zum Ausgleich der dem Versicherer entstehenden Vertriebs- und Verwaltungskosten hinzu, so spricht man von ausreichenden Pr¨amien. Werden noch besondere Risikozuschl¨age ber¨ ucksichtigt, so spricht man von Bruttopr¨amien. Wir besprechen diese Zuschl¨age f¨ ur einige ausgesuchte Versicherungstypen.

8.2.1

Ausreichende Einmalpr¨ amien

Zun¨achst betrachten wir Zuschl¨age zu den Nettoeinmalpr¨amien. Die Kostenaufschl¨age werden hier je nach Kostenart bzw. Versicherungstyp unterschiedlich angesetzt. Altersrente Bei der um n Jahre aufgeschobenen Leibrente mit Jahresrate 1 setzt man f¨ ur die ausreichende NEP n| a ¨ax an: ¨ax n| a

=

¨x n| a

+α·

¨ax n| a

+β·

¨ax n| a

+γ·a ¨x

(8.31)

d.h. man setzt die α− und β−Kosten proportional zur ausreichenden NEP und die γ−Kosten proportional zu Kosten 1 w¨ahrend der gesamten Laufzeit, so daß diese den Barwert der gesamt anfallenden Verwaltungskosten darstellen. Daraus ermittelt man ¨ax n| a

=

+γ·a ¨x 1−α−β

¨x n| a

(8.32)

Gemischte Versicherung F¨ ur diesen Versicherungstyp (Kapital 1, Dauer n Jahre) berechnet man eine ausreichende NEP Aax,n aus dem Ansatz Aax,n = Ax,n + α + β · Aax,n + γ ·

¨x |n a

(8.33)

¨ KAPITEL 8. PRAMIEN

204

wobei die α−Kosten jetzt proportional der Versicherungssumme 1 angesetzt werden und die γ−Kosten nur f¨ ur n Jahre ber¨ ucksichtigt werden. Damit gilt Ax,n + α + γ · |n a ¨x Aax,n = (8.34) 1−β Ersetzt man im u ¨brigen hierin (nach (7.64)) 1 − Ax,n ¨x = (8.35) |n a d so erh¨alt man d−γ αd + γ Aax,n = Ax,n + (8.36) d (1 − β) d (1 − β) als vereinfachende Formel f¨ ur die Berechnung der ausreichenden Einmalpr¨amie. Tempor¨ are Todesfallversicherung Bei der n Jahre dauernden Todesfallversicherung mit Kapital 1 ermittelt man die ausreichende NEP n| Aax aus dem Ansatz
a a ¨x (8.37) n| Ax = n| Ax + α · 1 − |n Ex + β · n| Ax + γ · |n a Hier werden also die α−Kosten proportional zu der um die NEP der n−j¨ahrigen Erlebensfallversicherung reduzierten Versicherungssumme 1 angesetzt. Dies liefert
A + α · 1 − E + γ · |n a ¨x x x n| |n a (8.38) n| Ax = 1−β

8.2.2

Ausreichende Jahrespr¨ amien

So wie die Nettojahrespr¨amien aus den NEP einfach hervorgehen, indem man diese durch |n a ¨x dividiert (bei n j¨ahriger Pr¨amienzahlung), so erh¨alt man auch die auseichenden Jahrespr¨amien aus den ausreichenden Einmalpr¨amien durch Division durch |n a ¨x . Dem liegt im Prinzip der Ansatz zugrunde, daß so zu den Nettojahrespr¨amien Aufschl¨age aus allen drei Kostenarten hinzukommen Pa = P + P α + P β + P γ

(8.39)

Dies ergibt sich einfach, wenn man die obigen Ans¨atze f¨ ur die ausreichenden Einmalpr¨amien durch |n a ¨x teilt. Im einzelnen erh¨alt man:

¨ KAPITEL 8. PRAMIEN

205

Altersrente Die ausreichende Jahrespr¨amie P a bei der oben besprochenen Altersrente erhalten wir aus Formel (8.32) n|

(P L)ax =

+γ·a ¨x (1 − α − β) · |n a ¨x ¨x n| a

(8.40)

Gemischte Versicherung Zur Berechnung einer ausreichenden Jahrespr¨amie bei der gemischten Versicherung orientieren wir uns an Formel (8.34) |n

(P G)ax =

Ax,n + α + γ · |n a ¨x (1 − β) · |n a ¨x

(8.41)

Eine einfachere Berechnungsformel direkt aus der Nettojahrespr¨amie erhalten wir unter Ausnutzung von (7.64) in der Form 1 = Ax,n + d ·

¨x . |n a

Dies multiplizieren wir an den Summenden α a |n P Gx


Ax,n + α Ax,n + d · |n a ¨x + γ · |n a ¨x = (1 − β) · |n a ¨x (1 + α) Ax,n + αd · |n a ¨x + γ · |n a ¨x = (1 − β) · |n a ¨x dα + γ 1+α = |n (P G)x + 1−β 1−β

(8.42)

Tempor¨ are Todesfallversicherung Grundlage zur Berechnung der ausreichenden Jahrespr¨amie bei der tempor¨aren Todesfallversicherung ist (8.38)
¨x n| Ax + α · 1 − |n Ex + γ · |n a a (8.43) |n (P T )x = (1 − β) · |n a ¨x

¨ KAPITEL 8. PRAMIEN

8.2.3

206

Brutto-Jahrespr¨ amien

M¨ogliche Zuschl¨age zu den ausreichenden Jahrespr¨amien ergeben sich durch besondere Risiken, z.B. wenn eine Todesfallversicherung abgeschlossen werden soll und durch ein chronisches Leiden die Lebensaussichten negativ beeinflußt werden. Weitere Zuschl¨age werden erhoben, wenn der Tarif einer Versicherung auf Jahrespr¨amien ausgelegt ist, der Kunde aber eine monatliche Zahlung w¨ unscht. Dazu wird nicht etwa der ganze Tarif neu berechnet, sondern es werden pauschale Zuschl¨age zu den sich durch Division ergebenden Raten erhoben, etwa 2% bei halbj¨ahriger Zahlweise, 3% bei viertelj¨ahriger und 5% bei monatlicher Zahlweise. Umgekehrt werden Rabatte gew¨ahrt, wenn der Tarif auf Monatsbasis berechnet wurde, der Kunde aber halbj¨ahrige oder vollj¨ahrige Zahlweise w¨ unscht. Schließlich werden bei kleinen Versicherungssummen Zuschl¨age auf die Pr¨amien erhoben (Kleinsummenzuschl¨age) bzw. Rabatte bei gr¨oßeren Versicherungssummen gew¨ahrt (Summenrabatte), um die pauschal berechneten Kosten der Versicherung gerechter zu verteilen.

8.3 8.3.1

¨ Ubungsaufgaben Theoretische Aufgabe

Aufgabe 8.1 1. Berechnen Sie eine Formel f¨ ur die Nettojahrespr¨amie einer um m Jahre aufgeschobenen tempor¨aren Leibrente u ¨ber n Jahre. 2. Berechnen Sie die Nettojahrespr¨amie einer sofort beginnenden Leibrente mit n Jahren Zahlungsgarantie.

8.3.2

Praktische Aufgaben

Aufgabe 8.2 Berechnen Sie zu der Aufgabe 7.3 j¨ahrliche Nettopr¨amien.

¨ KAPITEL 8. PRAMIEN

207

Aufgabe 8.3 Stellen Sie bei der Aufgabe 7.4 den Nettoeinmalpr¨amien jeweils j¨ahrliche Nettopr¨amienzahlungen u ¨ber die gesamte Laufzeit der angesprochenen Versicherungen gegen¨ uber (bei gleichen Versicherungssummen) und berechnen Sie den (theoretischen) Gewinn f¨ ur den Versicherungsnehmer, wenn er die zur Verf¨ ugung stehenden Gelder zu 5, 5% anlegt und die vorsch¨ ussigen Jahrespr¨amien u ¨ber einen Auszahlungsplan aus dem angelegten Geld finanziert.Beim dritten Teil der Aufgabe 7.4 lassen Sie den Auszahlungsplan u ¨ber 10, 20 oder 30 Jahre laufen. Aufgabe 8.4 Berechnen Sie zu den Aufgaben 7.8 und 7.9 monatliche Nettopr¨amien u ¨ber die jeweilige Aufschubzeit der angesprochenen Leibrenten, die die Nettoeinmalpr¨amien ersetzen k¨onnten. Aufgabe 8.5 Ein 35 j¨ahriger Mann plant f¨ ur seine private Altersvorsorge eine Altersrente bei einer Versicherungsgesellschaft u ¨ber j¨ahrlich 9000 EU R ein. Diese soll ab seinem 65. Geburtstag gezahlt werden. Mit welchen Bruttomonatspr¨amien muß er rechnen, wenn Kostenfaktoren von α = 0.035, β = 0.01 und γ = 0.015 und ein Aufschlag von 5% f¨ ur monatliche Zahlweise einkalkuliert werden m¨ ussen. Aufgabe 8.6 Eine 43 j¨ahrige Frau m¨ochte eine Erlebensfallversicherung u uckgew¨ahr f¨ ur 12 Jahre abschließen. Berech¨ber 25000 EU R mit Pr¨amienr¨ nen Sie die Jahresbruttopr¨amie P, wenn diese das 1, 3 fache der Jahresnettopr¨amie betr¨agt. Aufgabe 8.7 In Aufgabe 6.10 sparte ein Vater (30 Jahre alt) f¨ ur das in 15 Jahren beginnende Studium seiner Tochter, das auf 7 Jahre angesetzt war, allerdings ohne Risikoabsicherung u ¨ber einen Versicherungsvertrag. Rechnen Sie nun die u ber 15 Jahre zu zahlende Nettomonatspr¨amie f¨ ur eine Ausbil¨ dungsversicherung aus, die das n¨otige Kapital f¨ ur eine 7 j¨ahrige Jahresrente von 6000 EU R f¨ ur die Tochter bereitstellt, wenn w¨ahrend der 7 Jahre ein Rechnungszins von 5% unterstellt wird. Aufgabe 8.8 Berechnen Sie ausreichende Vierteljahrespr¨amien f¨ ur folgende Risikolebensversicherung: Versicherungsnehmer ist eine 51 j¨ahrige Frau, die Versicherungssumme betrage 100000 EU R und die Dauer der Versicherung 10 Jahre. Die Kostenfaktoren seien α = 0.035, β = 0.01 und γ = 0.00125.

¨ KAPITEL 8. PRAMIEN

208

Aufgabe 8.9 Berechnen Sie Nettojahrespr¨amien und Bruttojahrespr¨amien f¨ ur einen 49 j¨ahrigen Mann, der eine gemischte Versicherung u ¨ber 15 Jahre und einen Betrag von 50000 EU R abschließt, wenn dessen Gesundheitspr¨ ufung einen Risikoaufschlag von 10% ergeben hat. Rechnen Sie mit den Kostenfaktoren α = 0.035, β = 0.03 und γ = 0.0031.

Kapitel 9 Das Deckungskapital des Versicherers ¨ Nach dem Aquivalenzprinzip besteht zum Zeitpunkt des Abschlusses einer ¨ pr¨amienfinanzierten Versicherung eine Aquivalenz zwischen der zu erwartenden Versicherungsleistung und den zu erwartenden Pr¨amien. Zu einem ¨ sp¨ateren Zeitpunkt besteht diese Aquivalenz in der Regel nicht mehr. Wurde z.B. eine Einmalpr¨amie vereinbart, so hat der Versicherte unmittelbar nach Beginn der Versicherung seine Leistungen bereits erbracht, w¨ahrend die des Versicherers noch aussteht. In diesem Fall hat der Versicherer durch die Einnahme der Einmalpr¨amie eine Reserve gebildet, u ¨ber die er sp¨ater seine Leistung abdecken will. Wurden j¨ahrliche Pr¨amien vereinbart und eine Versicherung f¨ ur n Jahre abgeschlossen, so hat der Versicherte nach 0 < t < n Jahren bereits einen Teil seiner Leistungen erbracht, ein anderer Teil steht noch aus. Auch f¨ ur den Versicherer hat sich nach t Jahren die Situation ge¨andert. Vorausgesetzt, der Versicherte lebt noch, so hat sich die Sterbewahrscheinlichkeit des Versicherten und damit der Erwartungswert des Barwertes der vom Versicherer zu erbringenden Leistung ge¨andert. Auf der anderen Seite hat der Versicherer durch Einnahme der bisher gezahlten Pr¨amien bereits eine gewisse Teilreserve gebildet.

209

KAPITEL 9. DECKUNGSKAPITAL

9.1

210

Deckungskapital

Zur Analyse der beschriebenen Situationen definieren wir als Zufallsvariable den Verlust t L des Versicherers zum Zeitpunkt x + t. Er wird zum Zeitpunkt t nach Abschluß des Versicherungsvertrages - unter der Voraussetzung, daß der Versicherte noch lebt - als die Differenz zwischen dem Barwert der zuk¨ unftigen Leistungen des Versicherers und dem Barwert der zuk¨ unftigen Pr¨amien festgelegt. Diese Gr¨oße wird in der Regel positive Werte annehmen und stellt den Barwert des Finanzbedarfs des Versicherers aus dem laufenden Vertrag dar. Lassen wir zun¨achst wieder die Vertriebs- und Verwaltungskosten des Versicherers außer acht, so nennen wir den Erwartungswert t V = E (t L) das Nettodeckungskapital. Diese Gr¨oße wird auch Nettoreserve genannt, da sie zum Zeitpunkt t in gewisser Weise zu der aus den bereits gezahlten Pr¨amien gebildeten Reserve ¨aquivalent ist.

9.1.1

Nettoreserven

Wir ermitteln die Nettoreserven f¨ ur einige spezielle Versicherungsarten. Erlebensfallversicherung Betrachten wir zun¨achst eine Erlebensfallversicherung auf n Jahre mit Versicherungssumme 1. Nach unserem Sterblichkeits-Modell sind die Sterbewahrscheinlichkeiten des nun x + t−J¨ahrigen durch s qx+t gegeben. Der aktuelle Barwert der zum Zeitpunkt x vereinbarten Versicherungsleistungen f¨ ur den Versicherten ergibt sich demnach zu n−t Ex+t . Damit berechnet sich das Nettodeckungskapital |n−t V Ex+t am Ende des Jahres t nach Versicherungsbeginn nach der Formel |n−t V

Ex+t =

n−t Ex+t

−

|n

(P E)x ·

¨x+t |n−t a

f¨ ur t = 0, 1, ..., n − 1 (9.1)

Diese Gr¨oße wird gesch¨atzt zu |n−t (V

Dx+n Dx+n Nx+t − Nx+n − Dx+t Nx − Nx+n Dx+t Dx+n (Nx − Nx+t ) = Dx+t (Nx − Nx+n )

E)x+t =

(9.2)

KAPITEL 9. DECKUNGSKAPITAL

211

Man beachte, daß sich f¨ ur t = 0 hieraus Wert |n−t (V E)x+t = 1 ergibt.

|n−t (V

E)x+t = 0 und f¨ ur t = n der

Tempor¨ are Todesfallversicherung Bei der tempor¨aren Todesfallversicherung ergibt sich f¨ ur das Nettodeckungskapital |n−t V Tx+t zum Zeitpunkt x + t |n−t V

Tx+t =

|n−t Ax+t

−

|n P Tx

·

¨x+t |n−t a

(9.3)

mit der Sch¨atzung |n−t (V

T )x+t Mx+t − Mx+n Mx − Mx+n Nx+t − Nx+n − = Dx+t Nx − Nx+n Dx+t (Mx+t − Mx+n ) (Nx − Nx+n ) − (Mx − Mx+n ) (Nx+t − Nx+n ) (9.4) = Dx+t (Nx − Nx+n ) Daraus ergibt sich insbesondere f¨ ur t = 0 die Sch¨atzung |n−t (V T )x+t = 0 und f¨ ur t = n der Wert |n−t (V T )x+t = 0. Dazwischen verl¨auft |n−t (V T )x+t ¨ zun¨achst leicht ansteigend und dann wieder abfallend (siehe Ubungsaufgabe) Gemischte Versicherung Entsprechend ergibt sich f¨ ur das Nettodeckungskapital |n−t V Gx+t zum Zeitpunkt x + t bei der gemischten Versicherung auf n Jahre |n−t V

Gx+t = Ax+t,n−t −

|n P Gx

·

¨x+t |n−t a

(9.5)

Diese kann man sch¨atzen zu |n−t (V

G)x+t (9.6) Mx+t − Mx+n Dx+n Mx − Mx+n + Dx+n Nx+t − Nx+n = + − Dx+t Dx+t Nx − Nx+n Dx+t (Mx+t − Mx+n + Dx+n ) (Nx − Nx+n ) − (Mx − Mx+n + Dx+n ) (Nx+t − Nx+n ) = Dx+t (Nx − Nx+n )

KAPITEL 9. DECKUNGSKAPITAL

212

Die Berechnungsformel f¨ ur |n−t V Gx+t l¨aßt sich umschreiben, wenn man (7.64) und (8.18) ber¨ ucksichtigt. Danach gilt
1 − d |n−t a ¨x+t − |n P Gx · |n−t a ¨x+t |n−t V Gx+t =
= 1 − |n P Gx + d |n−t a ¨x+t (9.7) ¨x+t |n−t a = 1− (9.8) ¨x |n a woraus sich die einfachere Sch¨atzung |n−t (V

G)x+t = 1 −

Dx (Nx+t − Nx+n ) Dx+t (Nx − Nx+n )

(9.9)

ergibt. Ber¨ ucksichtigt man ferner (8.16), um Ax+t,n−t auszudr¨ ucken, so findet man die so genannte Pr¨ amiendifferenzformel
¨x+t (9.10) |n−t V Gx+t = |n−t P Gx+t − |n P Gx · |n−t a ur t = n Im u ur t = 0 die Sch¨atzung |n−t (V G)x+t = 0 und f¨ ¨brigen ergibt sich f¨ die Sch¨atzung |n−t (V G)x+t = 1. Lebenslange Todesfallversicherung Am einfachsten leiten sich die Formeln f¨ ur das Nettodeckungskapital V Tx+t der lebenslangen Todesfallversicherung aus denen der gemischten Versicherung her, wenn hierin n → ∞ betrachtet wird. Es gilt V Tx+t = Ax+t − P Tx · a ¨x+t = 1 − (P Tx + d) a ¨x+t a ¨x+t = 1− a ¨x = ( P Tx+t − P Tx ) · a ¨x+t mit der Sch¨atzung (V T )x+t = 1 −

Dx Nx+t Dx+t Nx

F¨ ur t = 0 ergibt sich die Sch¨atzung (V T )x+t = 0.

(9.11) (9.12)

KAPITEL 9. DECKUNGSKAPITAL

9.1.2

213

Strukturen

Im folgenden versuchen wir, nat¨ urliche Strukturen im Deckungskapital und in den Pr¨amien zu entdecken. Rekursionsformeln Wir betrachten eine allgemeine Todesfallversicherung, bei der cj das im j−ten Jahr versicherte Kapital ist und Pk die zu Beginn des j−ten Jahres zu zahlende Jahresnettopr¨amie. Der totale Verlust des Versicherers betr¨agt L = cK+1 v

K+1

−

K X

Pj v j

j=0

Daraus findet man die die Nettopr¨amien charakterisierende Gleichung (vgl. Kapitel 7) 0 = E (L) =

∞ X

cj+1· v

j+1

· j px · qx+j −

j=0

∞ X

Pj · v j · j p x

(9.13)

j=0

Zu beachten ist, daß das Modell allgemeiner ist, als dies auf den ersten Blick den Anschein hat. L¨aßt man negative Pr¨amien zu, so werden auch Erlebensfallversicherungen und Leibrenten beschrieben. Eine gew¨ohnliche gemischte Versicherung erh¨alt man beispielsweise, wenn man c1 = c2 = ... = cn = 1, cn+1 = cn+2 = ... = 0 und P0 = P1 = ... = Pn−1 = |n (P G)x , Pn = −1, Pn+1 = Pn+2 = ... = 0 setzt. Das Nettodeckungskapital zum Ende des Jahres k ∈ N ist kV

=

∞ X j=0

ck+j+1· v

j+1

· j px+k · qx+k+j −

∞ X

Pk+j · v j · j px+k

(9.14)

j=0

Zur Ermittlung einer Rekursionsformel ziehen wir nun jeweils den ersten Term aus den beiden Summen und substituieren u ¨ber die Produktformel (6.21) j px+k = px+k · j−1 px+k+1

KAPITEL 9. DECKUNGSKAPITAL

214

Dies ergibt kV

+ Pk = ck+1 · v · qx+k + px+k

∞ X

ck+j+1· v j+1 ·

j−1 px+k+1

· qx+k+j (9.15)

j=1

−px+k

∞ X

Pk+j · v j ·

j−1 px+k+1

(9.16)

j=1

Fassen wir nun noch j − 1 als neuen Summationsindex zusammen, so gilt die Rekursionsformel kV

+ Pk = v (ck+1 · qx+k +

k+1 V

· px+k )

(9.17)

Diese Formel hat die Interpretation, daß das Nettodeckungskapital zum Zeitpunkt k zusammen mit der zu diesem Zeitpunkt f¨alligen Pr¨amie gerade der auf diesen Zeitpunkt abgezinste Barwert des zum Zeitpunkt k + 1 ben¨otigten Kapitals, n¨amlich ck+1 im Todesfall, bzw. k+1 V im Erlebensfall, ist. Formel (9.17) kann nach

k+1 V

k+1 V

=

aufgel¨ost werden

(k V + Pk ) r − ck+1 · qx+k . px+k

(9.18)

Beachte: Mit dieser Formel kann dann leicht, beginnend mit 0 V = 0, das Nettodeckungskapital rekursiv berechnet werden. Pr¨ amienstruktur Eine leichte Umschreibung der Rekursionsformel u ¨ber px+k = 1 − qx+k ergibt kV

+ Pk =

k+1 V

· v + (ck+1 −

k+1 V

) · v · qx+k

(9.19)

In der rechten Seite ist nur der Betrag (ck+1 − k+1 V ) explizit vom potentiellen Tod des Versicherten im laufenden Jahr abh¨angig, dieser Beitrag zum Deckungskapital ist mit explizitem Risiko f¨ ur den Versicherer behaftet und wird deshalb Risikosumme genannt. Aus (9.19) folgt auch eine Zerlegung der Pr¨amie Pk in zwei Komponenten, Pk = Pks + Pkr = ( k+1 V · v − k V ) + (ck+1 −

k+1 V

) · v · qx+k .

(9.20)

KAPITEL 9. DECKUNGSKAPITAL

215

Dabei nennt man Pks = ( k+1 V · v − k V ) die Sparpr¨amie, weil sie zusammen mit dem alten Deckungskapital das (abgezinsten) neue Deckungskapital ergibt und Pkr = (ck+1 − k+1 V ) · v · qx+k die Risikopr¨amie. Somit setzt sich die Pr¨amie zusammen aus einer Sparquote und einer Pr¨amie f¨ ur eine einj¨ahrige Todesfallversicherung. Eine weitere interessante Beobachtung ist die: Summiert man die auf das Ende des Jahres j aufgezinsten Sparpr¨amien der Jahre 1 bis j Jahre auf, so erh¨alt man jV

=

j−1 X

(1 + i)j−k Pjs .

(9.21)

k=0

Damit erweist sich das Nettodeckungskapital zum Ende des Jahres j als der aufgezinste Wert der Sparpr¨amien der vorangegangenen Versicherungsjahre. Bemerkung: Die Sparpr¨amie kann durchaus auch negative Werte annehmen.

9.1.3

Ausreichende Reserven

(Noch nicht ausgearbeitet)

9.1.4

¨ Anderung von Vertr¨ agen

(Noch nicht ausgearbeitet)