Einfuhrung in die Analysis dynamischer Systeme (Springer-Lehrbuch)

Springer-Lehrbuch

Manfred Denker

Einführung in die Analysis dynamischer Systeme Mit 48 Abbildungen

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Manfred Denker Universität Göttingen Institut für Mathematische Stochastik Maschmühlenweg 8–10 37073 Göttingen Deutschland e-mail: [email protected]

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Mathematics Subject Classification (2000): 37-01

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Vorwort

Dynamische Systeme sind faszinierend. Sie verbinden angewandte Themen mit anspruchsvollen mathematischen Theorien verschiedenster Ausrichtung und erlauben dem interessierten Studenten, Lehrer und Forscher, Einblicke in viele Teilgebiete der Mathematik zu gewinnen (etwa in die Zahlentheorie oder die Stochastik). Es gibt kaum ein Gebiet der Mathematik, das nicht seine speziellen, dynamisch ausgerichteten Spezialthemen besitzt. Die Natur kennt auf der anderen Seite Gesetzm¨ aßigkeiten, die zeitlich als unver¨anderbar gelten und eine zeitlich ver¨ anderbare Bewegung (Entwicklung) steuern. Dies kann etwa in Form physikalischer Gesetze formuliert werden, jedoch werden in zunehmendem Maße auch andere Wissensgebiete mit einbezogen. Letztlich ist es dieser Beweggrund, aus dem man sich mit Dynamik besch¨aftigt; der Leser wird aber nur recht sp¨ arliche Hinweise hierauf im Text vorfinden. In diesem Band soll vielmehr das Interesse u ¨ber eine anspruchsvollere analytische Einf¨ uhrung in die Theorie das Interesse geweckt und eine Wissensgrundlage geschaffen werden, sich weiterhin mit diesem Thema besch¨ aftigen zu k¨ onnen. Dabei unterstreicht die Vielzahl der verwendeten Methoden aus der Analysis die (mathematische) Faszination. Die mathematische Theorie dynamischer Systeme hat ihren Ursprung zweifelsohne in der Himmelsmechanik. Jules Henri Poincar´e hat in seiner Monographie Les m´ethodes nouvelles de la m´ecanique c´eleste“ wesentliche Grund” lagen der Theorie gelegt. In ihr und weiteren Arbeiten finden sich fundamentale Begriffe wie Rekurrenz und sensitive Abh¨ angigkeit vom Anfangszustand wieder, aber auch S¨ atze zu Fuchsschen Gruppen und zur Konjugation dynamischer Systeme. Sicherlich haben auch Entwicklungen in der Theorie der Differentialgleichungen ihre Spuren hinterlassen. Das Buch Dynamical Systems“ von Birkhoff ” ¨ gibt einen ersten Uberblick. Zentrales Interessengebiet aus mathematischer Sicht bilden geod¨ atische Fl¨ usse, und nicht nur wegen ihrer Bedeutung in der Theorie Hamiltonscher Systeme. Sie haben letztlich durch die Arbeiten von E. Hopf und der russischen Schule um Anosov die hyperbolische Theorie gepr¨ agt. Topologische Dynamik besch¨ aftigt sich mit abstrakten topologischen Eigenschaften, etwa Rekurrenz, Minimalit¨ at u.¨ a. Sie hat sich heute zu einem eigenen Teilgebiet der Dynamik entwickelt. Von speziellem Interesse ist hier

VI

Vorwort

die symbolische Dynamik, die sich mit total unzusammenh¨angenden Folgenr¨ aumen und Schiebungsdynamiken besch¨ aftigt. In der Informatik gewinnt dieser Aspekt der Dynamik besondere Bedeutung. Das Buch Topological Dy” namics“ von Gottschalk und Hedlund kann als ein fr¨ uher Versuch betrachtet werden, diese Theorie darzustellen. Mit der Formulierung der Ergodenhypothese durch Boltzmann entstand das Problem, Zeit- und Raummittel zu verbinden. Dies gelang erst relativ sp¨at durch Birkhoff und von Neumann. Ihre Arbeiten begr¨ undeten den Zweig der Dynamik, der sich mit messbaren Strukturen und nichtsingul¨aren Abbildungen (Maßen) besch¨ aftigt. Hopf’s Buch Ergodentheorie“ ist ein Klassiker zu ” diesem Thema. Die modernen Anforderungen an die Theorie dynamischer Systeme beschr¨ anken sich seit langem nicht mehr auf physikalische Ph¨anomene. Anwendungen in der Mathematik sind vielleicht noch bestens bekannt (etwa das Newton-Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen von Polynomen), dagegen solche aus der Biologie (etwa Populationsdynamiken) oder Wirtschaftswissenschaften (Zeitreihen) weniger. Dynamik als mathematische Theorie ist sicherlich ein Zweig der theoretisch orientierten Mathematik; man sollte jedoch nicht verkennen, dass dieses Gebiet gleichermaßen anwendungsbezogen ist. Typisch hierf¨ ur ist das Bestreben, geeignete Modelle zur Beschreibung der Realit¨ at zu finden, somit also eine Vielfalt an Modellen zu beschreiben und zu klassifizieren. Diesem Buch liegt das Bestreben zugrunde, eine Einf¨ uhrung in die drei genannten Gebiete der Dynamik zu geben, wie sie in einer zweisemestrigen vierst¨ undigen Vorlesung (28 Wochen) dargestellt werden kann. Dabei stehen die analytischen Methoden im Vordergrund. Es sei ausdr¨ ucklich darauf hingewiesen, dass eine geometrisch gepr¨ agte Einf¨ uhrung in die Theorie dynamischer Systeme andere Schwerpunkte setzen muss, auch weitgehend andere Methoden und Beispiele benutzen wird. Zahlreiche Vorlesungen zu diesem Thema w¨ ahrend der letzten drei Jahrzehnte standen Pate zu diesem Buch. Im ersten Teil der Literaturliste (Nr. 1–27) sind diejenigen B¨ ucher aufgef¨ uhrt, die im vorliegenden Text benutzt werden. Diese Liste mag auch als Anhalt daf¨ ur dienen, was der Leser an Voraussetzung mitbringen sollte, n¨amlich diese Literatur als Nebenlekt¨ ure zu benutzen. Dies wird etwa durch eine viersemestrige Analysisvorlesung erreicht. Das Buch ist nach den oben beschriebenen Gebieten gegliedert. Kapitel Drei bis F¨ unf enthalten topologische und differenzierbare Dynamik sowie Ergodentheorie. Ich habe versucht, zu jedem Thema die wesentlichsten Grundlagen darzustellen, aber auch herausragende S¨ atze mit Beweisen zu formulieren. Das gelang jedoch nicht in allen w¨ unschenswerten F¨allen. Einige wichtige S¨ atze werden deshalb am Ende einzelner Abschnitte lediglich zitiert und kommentiert; im weiteren Verlauf der Darstellung werden sie nicht unbedingt ben¨ otigt. Die Beweise sind bewusst knapp gehalten, um in der Darstellung uhren. Aus demselben Grund wurde an moderne Forschungsgebiete heranzuf¨

Vorwort

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auch darauf verzichtet, die grundlegende Theorie in ihrer vollen Breite zu entwickeln. Einer eher knappen, aber hoffentlich ausreichenden Darstellung der Grundlagen stehen etwa neunzig Beispiele und f¨ unfzig Graphiken gegen¨ uber, die helfen sollen, Begriffe und Fakten zu verdeutlichen. In dieser Hinsicht unterscheidet sich wohl das Buch von g¨ angigen Vorstellungen eines Textbuches zu einer Vorlesung. Jedes Kapitel beginnt mit einer Orientierung u ¨ber seinen Inhalt, die auch Urspr¨ unge der Theorie ein wenig beschreibt. Transformationen auf niedrig-dimensionalen R¨aumen sind zum Verst¨andnis dynamischer Verhaltensweisen unabdingbar, insbesondere auch bei Simula¨ tionen mittels Computern. Kapitel Zwei enth¨alt deshalb einen Uberblick u ¨ber grundlegende Klassen solcher Systeme (ausgenommen Diffeomorphismen auf Fl¨ achen). Sie bilden ein Grundger¨ ust zum Verst¨andnis dynamischer Ph¨ anomene und dienen als Motivation und Veranschaulichung der allgemeinen Theorie in den folgenden Kapiteln. Eine generelle Einf¨ uhrung in die Problemstellungen der Dynamik anhand ausgesuchter Themen findet der Leser in Kapitel Eins. Die sechs Abschnitte dieses Kapitels sind gleichwohl geeignet, in je einer Vorlesungsstunde ein interessantes Resultat der Dynamik zu besprechen. Nun noch eine Bemerkung zu Kapitel Sechs, das sicherlich auch die Vorliebe des Autors wiederspiegelt. Der Begriff des thermodynamischen Formalismus ist durch die statistische Physik gepr¨ agt. Hier handelt es sich jedoch um ein Thema, das rein dynamisch verstanden werden sollte, vielerlei mathematische Anwendungen besitzt und in manch anderen Disziplinen zu bemerkenswerten Ergebnissen gef¨ uhrt hat. Im Wesentlichen sind die ersten f¨ unf Kapitel unabh¨angig voneinander lesbar. An einigen Stellen werden Resultate aus anderen Theorien zitiert (z.B. Funktionentheorie oder Differentialgeometrie), und es wird erwartet, dass der Le¨ ser diese bei Bedarf nachliest. Ubungsaufgaben zu den sechs Kapiteln finden sich im Anhang. Viele dieser Aufgaben sollte der Leser durch Literaturstudium l¨ osen; sie sind in der angegebenen Literatur u ¨ber Dynamik zu finden. Der Leser wird auch bemerken, dass die Graphiken nicht professionell erstellt worden sind. Der Grund hierf¨ ur liegt darin, dass der Leser aufgefordert ist, jede der im Buch abgebildeten Graphiken selbst zu zeichnen oder zu programmieren. Nat¨ urlich sind etwa bei der Darstellung der Julia-Mengen in Abschnitt 2.4 Bilder bekannt, die eine gr¨ oßere Aufl¨osung besitzen. Jedoch kann man dies nur mit großem Rechenaufwand und gr¨oßerem Speicherplatz durchf¨ uhren. Ich habe dagegen versucht mit m¨oglichst wenig Aufwand aussagekr¨ aftige Bilder zu erhalten, die im Allgemeinen jedoch nicht ohne ein gewisses Verst¨ andnis der Materie reproduziert werden k¨onnen. Die Literaturliste verzichtet auf die Angabe von Originalarbeiten, daf¨ ur werucher angegeben, die als Erg¨ anzung studiert werden k¨onnen, wie auch den B¨ solche, die einzelne Themen dieses Buches in gr¨oßerem Detail darstellen. Sie enth¨ alt ebenfalls im ersten Teil eine Auswahl von B¨ uchern zu den Gebieten der Mathematik, aus denen Resultate in den Beweisen benutzt werden.

VIII

Vorwort

Die Literaturliste belegt eindrucksvoll, dass ich mich bei der Konzeption und der Ausgestaltung dieses Buches auf etliche ausgezeichnete Darstellungen von Kollegen st¨ utzen konnte. Ich hoffe aber trotzdem, Eigenst¨andigkeit und Originalit¨ at in der Darstellung gewahrt zu haben. Ich m¨ochte mich an dieser Stelle f¨ ur vielf¨ altige Unterst¨ utzung durch Kollegen und Studenten bedanken, die bewusst oder unbewusst durch ihre Kommentare wertvolle Hinweise gaben. Besonders nennen m¨ ochte ich Robert Kaufmann, Aimo Hinkkanen, Alica Miller, Feliks Przytycki, Shigehiro Ushiki, Yakov Pesin, Henk Bruin, Susanne Koch, Manuel Stadlbauer, Gerhard Keller, Ziggy Nitecki, Bernd O. Stratmann, Doris Fiebig, Gudrun Freitag, Michael Denker, Stefan-M. Heinemann und Hajo Holzmann. Auch haben vier ungenannte Referenten wertvolle Hinweise zur Verbesserung der Darstellung und der Konzeption des Bandes gegeben. ¨ Schließlich gilt mein Dank auch Ludwig Arnold, dessen Uberzeugungsk¨ unste mich zu diesem Buch verleiteten. Zum Schluss m¨ ochte ich die Institutionen erw¨ahnen, bei denen ich als Gast auch an diesem Buch arbeiten konnte: das Mathematics Department“ der ” Universit¨ at von Illinois in Urbana-Champaign, dem Banach Zentrum und der Akademie der Wissenschaften in Warschau, der polnischen HumboldtStiftung Fundacja na Rzecz NAUKI Polskiej“ und der Universit¨at Kyoto. ” Vor allem aber habe ich dem Springer-Verlag f¨ ur die Unterst¨ utzung bei diesem Projekt zu danken.

G¨ottingen im April 2004

Manfred Denker

Inhaltsverzeichnis

1

Mathematische Variationen u ¨ ber dynamische Systeme . . . . 1.1 Dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Selbst¨ ahnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Bifurkation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Diophantische Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3 12 17 25 30 36

2

Null- und eindimensionale dynamische Systeme . . . . . . . . . . . 2.1 Intervallabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Topologische Markoff-Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Hom¨ oomorphismen der Kreislinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Rationale Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 45 55 62 67

3

Topologische Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Topologische Transformationsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Rekurrenz und Attraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Expansivit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Symbolische Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Topologische Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75 76 83 95 104 110

4

Differenzierbare Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Diffeomorphismen und Fl¨ usse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Der Satz von Oseledets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Stabile und unstabile Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Strukturstabilit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Transversalit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Hyperbolische Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Geod¨ atische Fl¨ usse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117 118 128 135 145 152 159 168

5

Ergodentheorie und Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Maßtheoretische dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Ergodens¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Ergodizit¨ at und Mischung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Information und Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

179 181 184 193 201

X

Inhaltsverzeichnis

5.5 Isomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5.6 Unendliche invariante Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6

Thermodynamischer Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Topologischer Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Gibbs-Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Entropie und Liapunoff-Exponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Zeta-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Multifraktaler Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

225 226 231 237 242 247

7

Epilog u ¨ ber Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Dynamische Betrachtungsweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Biographisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Kleine Aufgabensammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

253 253 257 259

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

1 Mathematische Variationen u ¨ ber dynamische Systeme

Ein Buch u ¨ber dynamische Systeme beginnt oft mit einer Reihe motivierender Beispiele, die der Physik entnommen oder historisch begr¨ undet sind. Die allgemeine Wertsch¨ atzung dieses Konzeptes r¨ uhrt sicherlich von seiner breiten Anwendbarkeit in wissenschaftlichen Disziplinen her, und nicht nur in der Physik. Einige wenige ausgew¨ ahlte Beispiele im Anhang sollen einen Eindruck vermitteln. Auf diese Weise soll die Theorie in diesem einf¨ uhrenden Kapitel jedoch nicht motiviert werden; die hier vorgestellten Beispiele sind mathematischer Natur und ber¨ uhren einige Teilgebiete und Methoden der Mathematik. Konkrete Anwendungen und historische Bemerkungen sind in den zitierten Werken des Literaturverzeichnisses ausf¨ uhrlich enthalten. An dieser Stelle erscheint es daher sinnvoll, kurz in die Fragestellungen des ersten Kapitels einzuf¨ uhren, ihren historischen Hintergrund aufzuzeigen und ihre Fortf¨ uhrung in den weiteren Abschnitten anzudeuten. Die Wirkung einer Gruppe auf einer Menge bildet das Grundkonzept dynamischer Systeme, das am besten durch eine Z-Operation erkl¨art wird, denn diese kann als iterativ angwendeter Algorithmus verstanden werden. In dieser Form stellen die Rotationen auf der S 1 eine wichtige Beispielklasse dar. Sie werden in den Abschnitten 2.3 und 4.4 bzgl. ihrer Konjugationseigenschaften n¨ aher betrachtet. Der Satz von Borel (1871–1956) als einer der ersten Ergodens¨ atze (Gleichverteilungss¨ atze) greift f¨ ur diese Transformationen. Er kann als Korollar zum Birkhoffschen Ergodensatz aufgefasst werden, der im ersten Abschnitt im ergodischen Fall wegen seiner grundlegenden Bedeutung bewiesen wird. Weitere Ergodens¨ atze werden in Abschnitt 5.2 besprochen. Probleme der (analytischen) Zahlentheorie sind oftmals mit Dynamiken verbunden. Solche Probleme haben schon fr¨ uh das Interesse der Mathematiker erweckt. F¨ ur die Kettenbruchentwicklung wurde bereits von Carl Friedrich Gauß um 1800 die Existenz eines invarianten Maßes nachgwiesen, und G. Boole (1815–1864) untersuchte die nach ihm benannte Abbildung um 1830. Der Abschnitt 1.6 beschreibt ein typisches Resultat der messbaren Dynamik anhand der Kettenbruchentwicklung, und und es wird der Zusammenhang mit hyperbolischer Geometrie und Fuchsschen Gruppen aufgezeigt. Beide Konzepte werden in den Abschnitten 4.7 und 5.6 fortgef¨ uhrt, ohne dass auf dieses Beispiel oder auf seine Verallgemeinerungen Bezug genommen wird.

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1 Mathematische Variationen u ¨ber dynamische Systeme

Neben Ergodens¨ atzen ist der Nachweis absolut stetiger invarianter Maße ein Hauptproblem der Dynamik. Die in Abschnitt 1.6 vorgestellte Methode zur Konstruktion eines invarianten Maßes ist klassisch, modernere Methoden werden in Kapitel 5 vorgestellt. Ein großer Teil der Theorie wird durch den Begriff der (dynamischen) Hyperbolizit¨ at gepr¨ agt. Am einpr¨ agsamsten wird er durch Torusautomorphismen dargestellt. Im Kapitel 4 spielt er die zentrale Rolle. Aber auch schon im ersten Kapitel wird seine Bedeutung durch den Satz von Grobman und Hartman (1962/3) unterstrichen. Obwohl dieser recht einfach aussehende Satz nur recht sp¨ at bewiesen werden konnte, gibt es f¨ ur rationale Dynamiken beispielsweise Ergebnisse seit dem Ende des 19.Jahrhunderts in den S¨atzen von Kœnigs (1858–1931) und anderen Autoren (s. Abschnit 2.4). Dieser letztgenannte Satz ist eine typische Aussage u ¨ber das lokale Verhalten dynamischer Systeme. Das Konzept der lokalen Konjugation ist von fundamentaler Bedeutung in der Dynamik, insbesondere auch f¨ ur Fl¨ usse in einer Umgebung eines kritischen Punktes. Das Verst¨andnis der dynamischen Bedeutung der Eigenwerte der Ableitung ist ein grundlegendes Problem der differenzierbaren Dynamik. Verdeutlicht wird dies beispielsweise durch den Satz von Oseledets (1968) in Abschnitt 4.2. Die Benutzung eines Fixpunktsatzes f¨ ur Kontraktionen in vollst¨andigen metrischen R¨ aumen erweist sich f¨ ur viele Resultate als wesentliches Hilfsmittel. Dieser elementare Satz bildet auch die Grundlage der fraktalen Geometrie selbst¨ anlicher Mengen. Der nach Felix Hausdorff (1868–1942) benannte Dimensionsbegriff spielt eine zentrale Rolle, wie auch die fundamentalen Beispiele der nach Cantor (1845–1918) und nach Sierpi´ nski (1882-1969) benannten Mengen. Sie sind auch Prototypen von sogenannten iterierten Funktionensystemen, die man als Halbgruppendyamiken verstehen kann. Die Theorie entstand eigentlich erst, nachdem durch Benoit Mandelbrot das Interesse um 1980 durch Computergraphiken geweckt worden war. In Abschnitt 1.2 wird eine Einf¨ uhrung in die Anfangsgr¨ unde dieser jungen Theorie gegeben. Zwei weitere Typen von Dynamiken spielen eine bedeutsame Rolle: die symbolische Dynamik und die durch Vektorfelder erzeugte. Erstere gewinnt zunehmend an Bedeutung wegen ihrer formalen Struktur als Sprache (s. Abschnitt 2.2). Die Additionsmaschine mag hierf¨ ur als Beleg dienen. In der Dynamik hat die Kodierung mittels symbolischer Folgen schon seit Hadamard, G. Hedlund (∼ 1905-1993) und M. Morse ihre Anwendungen. Mit der Konstruktion von Markoff-Zerlegungen und Erzeugers¨atzen um 1970 gewannen solche Kodierungen mittels Teilschifts besondere Bedeutung. Ihre dynamische Struktur ist kombinatorischer Natur und deshalb besonders f¨ ur Beispiele und Gegenbeispiele geeignet. Daher spielen sie auch die zentrale Rolle in der topologischen Dynamik, die in Kaitel 3 entwickelt wird. Außer den Begriffen von Gruppenoperationen, der Expansion und der anziehenden und abstoßenden periodischen Punkte (Bahnen) findet man hierzu wenig im ersten Kapitel.

1.1 Dynamische Systeme

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Differentialgleichungen stehen am Anfang der Entwicklung dynamischer Systeme, da diese Theorie aus der Astronomie entstand. Der Existenzsatz f¨ ur L¨ osungen von einfachen Differentialgleichungen von Picard (1856–1941) ist ebenfalls im Wesentlichen eine Anwendung eines Kontraktionsprinzips. Das Normalformenproblem und das Bifurkationsverhalten ihrer L¨osungen sind zentrale Probleme, die jedoch in diesem Band nicht u ¨ber den Rahmen der Abschnitte 1.4 und 1.5 hinaus entwickelt werden k¨onnen. Anhand des Feigenbaum Diagramms wird die Periodenverdoppelung erkl¨art. Eine kurze Diskussion der nach E. Hopf benannten Bifurkation schließt sich an. Allerdings werden Ideen u ¨ber stabiles und unstabiles Verhalten periodischer Bahnen in Form von St¨ orungstheorie in den Abschnitten 4.4 und 4.5 bedeutsam. Im weiteren Verlauf der Darstellung werden Fl¨ usse in Kapitel 4 behandelt, und dies meist in Analogie zur Iterationstheorie von Diffeomorphismen. Die Konjugation dynamischer Systeme ist der wichtigste Begriff und f¨ uhrt zum Klassifikationsproblem der Dynamik. Die Entwicklung dieses Konzeptes bleibt sp¨ ateren Kapiteln vorbehalten, ebenso wie etwa das der Entropie, der Expansivit¨ at, der Attraktion, Rekurrenz und anderer mehr. Trotzdem dient dieses Kapitel der grundlegende Orientierung und bildet ein Fundament f¨ ur das Verst¨ andnis der folgenden Kapitel.

1.1 Dynamische Systeme Das einfachste dynamische System wird durch eine Selbstabbildung T einer Menge (Zustandsraum) Ω erkl¨ art; jedoch beschreibt eine solch elementare Begriffsbildung nicht den Kern der Sache. Erst durch die Hinzunahme einer Zeitkoordinate erreicht man dynamisches Verhalten. So denkt man sich ω1 = T (ω) als denjenigen Zustand in Ω, der nach einer Zeiteinheit ausgehend von ω erreicht wird. Wiederholte Anwendung dieses Algorithmus erlaubt es vom Zustand ωn zu sprechen, der den Zustand nach n Zeiteinheiten bezeichnet. Eine reelle Funktion alleine besitzt also keinen dynamischen Charakter; vielmehr erzeugt man erst eine Dynamik durch wiederholte Anwendung dieser Funktion. Es kommt daher sehr darauf an, unter welchem Blickwinkel eine Selbstabbildung betrachtet wird. Aus Sicht der Dynamik interessiert man sich u ur eine Abbildung T : Ω → Ω zusammen mit allen Iterierten1 ¨blicherweise f¨ n T : Ω → Ω. Dabei werden die Iterationsstufen als (zuk¨ unftige) zeitliche Entwicklung interpretiert. Ist T invertierbar, so bezeichnet T −1 die inverse Abbildung, und T −n = (T −1 )n , n ≥ 0, beschreibt die Vergangenheit. Eigenschaften der Gesamtheit aller Iterierten bilden den zentralen Untersuchungsgegenstand. Das umfasst beispielsweise Langzeitverhalten und Isomorphietheorie, schließt aber auch lokales Verhalten und andere Strukturaussagen 1

Es bezeichnet stets T n = T ◦ T n−1 , T n (ω) = T (T n−1 (ω)), die induktiv definierte n-te Iterierte von T (n ≥ 1) mit der Identit¨ at T 0 = I.

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1 Mathematische Variationen u ¨ber dynamische Systeme

ein. Es beschreibt also das Wesen der Theorie dynamischer Systeme besser, wenn in die Definition eines dynamischen Systems sogleich die von der Abbildung T erzeugte Halbgruppe (bzw. Gruppe) aufgenommen wird. Nat¨ urlich ist man dann nicht auf eine einzige Abbildung beschr¨ankt. Betrachtet man die Funktion T : S 1 → S 1 der Einheitskreislinie S 1 in sich, die als Rotation z ∈ S1 T (z) = e2πiα z

mit festem Winkel 0 ≤ α < 1 definiert ist, so errechnen sich die Iterierten T n sofort zu T n (z) = e2πinα z (n ∈ Z). Fixiert man z ∈ S 1 , so bilden die Punkte ochstens abz¨ ahlbare Teilmenge, die, je nachdem ob zn = T n (z) (n ∈ Z) eine h¨ α ∈ Q rational oder α ∈ Q irrational ist, eine endliche oder dichte Teilmenge von S 1 darstellt (s. Beispiel 1 weiter unten). Dabei kann zn auch als Bild von zm unter der Abbildung T n−m erhalten werden. Diese Beobachtung l¨asst sich anders ausdr¨ ucken: Die Gruppe Z der ganzen Zahlen operiert (wirkt) auf S 1 verm¨ oge dieser Abbildungen T n , (z, n) → T n (z). Man interessiert sich f¨ ur die Eigenschaften dieser Gruppenwirkung S 1 × Z → S 1 . Im dem Fall, wenn α rational ist und eine Darstellung α = m n mit teilerfremden m ∈ Z, n ∈ N ur 1 ≤ j < n und T n = I. In diesem Fall operiert die besitzt, ist T j = I f¨ Gruppe Zn = Zmod n auf der Kreislinie. Ein dynamisches System ist also eine Halbgruppenwirkung, genauer: Definition 1. Seien G eine Halbgruppe mit Eins und Ω eine nichtleere Menge. Das Paar (Ω, G) heißt ein dynamisches System, wenn es eine assoziative Abbildung Ω×G → Ω (ω, g) → gω gibt, und die Einheit e ∈ G als Identit¨ at operiert; also gelten die beiden Eigenschaften (gω, h) → h(gω) = (hg)ω

und

eω = ω.

Insbesondere schließt diese Definition auch den Fall einer Gruppenwirkung (Gruppenoperation) ein, wenn G also eine Gruppe ist. G operiert hier von links. Eine analoge Definition f¨ ur Rechtsoperationen wird in Abschnitt 3.1 angegeben. Man beachte, dass dann g von rechts mit h multipliziert wird. Wird die Halbgruppe (bzw. Gruppe) von einer einzigen Abbildung (Transformation) T :Ω→Ω erzeugt, so schreibt man in einfacher Weise (Ω, T ). Man sollte jedoch stets beachten, dass damit die (Halb-) Gruppenwirkung gemeint ist, je nachdem ob T nicht invertierbar oder invertierbar ist. Aus der Definition folgt ferner unmittelbar, dass die einzelnen Abbildungen genau dann invertierbar sind,

1.1 Dynamische Systeme

5

wenn G eine Gruppe bildet. Man spricht dann von einem invertierbaren dynamischen System. Das Verhalten der Halbgruppenwirkung wird wesentlich durch die Bahnstrukturen des dynamischen Systems ausgedr¨ uckt.2 Definition 2. Ist (Ω, G) ein dynamisches System, so bezeichnet O(ω) = Gω die Bahn von ω ∈ Ω. Ist G = Z (bzw. G = R), so heißt O+ (ω) = N0 ω (bzw. = R+ ω) die Vorw¨ artsbahn, und O− (ω) = {η ∈ Ω : ω ∈ O+ (η)} die R¨ uckw¨ artsbahn von ω ∈ Ω. F¨ ur praktische Zwecke erweist es sich als ratsam, zus¨atzliche Strukturen f¨ ur die Wirkung zu fordern. Ist Ω ein topologischer Raum und G eine topologische Gruppe (bzw. Halbgruppe), so spricht man von einem stetigen dynamischen System, falls die Wirkung Ω×G → Ω stetig ist (hier wird Ω×G mit der Produkttopologie versehen). Ist ferner Ω eine Mannigfaltigkeit, und operiert G durch differenzierbare Abbildungen, so spricht man von einem differenzierbaren dynamischen System. Eine zweite grundlegende Klasse dynamischer Systeme wird durch messbare Strukturen erkl¨art. Sind Ω und G mit einer solchen Struktur versehen, gegeben durch σ-Algebren (auf G und Ω) und ein Maß auf Ω, so heißt die Wirkung ein maßtheoretisches dynamisches System, falls die Wirkung Ω × G → Ω messbar ist (bzgl. der Produkt-σ-Algebra). Ist G durch eine einzige Abbildung gegeben, so schreibt man (Ω, B, T, m), wobei B die σ-Algebra auf Ω und m das Maß auf dem messbaren Raum (Ω, B) bezeichnen. In sp¨ ateren Kapiteln werden weitere Spezialisierungen der Beugt diese Unterscheidung griffsbildung eingef¨ uhrt. F¨ ur den Augenblick gen¨ vollkommen. Dynamische Systeme bilden eines der wichtigsten mathematischen Hilfsmittel zur Modellierung von zeitlichen Abl¨ aufen in allen Bereichen des t¨aglichen Le” bens“. Vom mathematischen Standpunkt aus ist es aber wesentlich wichtiger, grundlegende Typen dynamischen Verhaltens exemplarisch und in einfacher Form darzustellen. Die soeben eingef¨ uhrte Begriffsbildung und die in diesem Band dargebotene Theorie werden am besten durch eine Reihe fundamentaler Beispiele illustriert. Beispiel 1. Irrationale Rotation. Es sei Ω = S 1 = {z ∈ C : |z| = 1} die Einheitskreislinie, und α ∈ R. Durch T (z) = e2πiα z wird ein C ∞ Diffeomorphismus3 definiert, also ein differenzierbares dynamisches System erkl¨ art. Geometrisch bedeutet dies, dass der Punkt z um den Winkel 2πα, α ∈ [0, 1), gedreht wird; insbesondere bleibt die Bogenl¨ange zwischen zwei Punkten erhalten. Man spricht in diesem Fall von einer Isometrie. n-malige Iteration liefert eine Drehung um den Winkel 2πnα. Man u ¨berlegt sich leicht, dass T n (z) = z nur dann gelten kann, wenn nα = 0 mod1 gilt, also α rational ist. Ist α irrational, so besitzt jeder Punkt eine dichte Bahn; denn ist 2 3

Es bezeichne N die Menge der nat¨ urlichen Zahlen und N0 = {0} ∪ N d.h. T und T −1 sind unendlich oft differenzierbar

6

1 Mathematische Variationen u ¨ber dynamische Systeme

dies nicht der Fall, so zerf¨ allt das Komplement des Bahnabschlusses O(ω) in eine endliche oder abz¨ ahlbare Vereinigung disjunkter Kreisb¨ogen, die eine unter T invariante Familie bilden. Da die Abbildung l¨angentreu ist, gibt es nur endlich viele Kreisb¨ ogen einer festen L¨ ange, die ineinander u uhrt ¨berf¨ werden. Eine Iterierte von T l¨ asst dann aber einen Kreisbogen invariant, der einen Fixpunkt enthalten muss. Nach dem zuvor Gesagtem ist das aber nur m¨ oglich, wenn α rational ist. Alternativ kann man so argumentieren: Ist n so gew¨ ahlt, dass z im kleineren Intervall zwischen T n (z) und T n+1 (z) liegt, so ist eine dieser beiden Abbildungen eine Rotation mit kleinerem Drehwinkel als α/2. Die Iterierten dieser Abbildung n¨ahern sich also jedem Punkt der S 1 bis auf α/2. Wiederholt man dieses Argument, so liegt folglich die Bahn O(z) = {T n (z) : n ∈ Z} dicht in S 1 . In der Tat zeigt dieses Argument (vgl. Definition 19, Abschnitt 2.3), dass Z gleichgradig stetig und minimal operiert.

z α

T (z) = ze2πiα 0

1

T 2 (z) T 3 (z)

Abb. 1.1. Rotation der S 1

Beispiel 2. Endomorphismen der S 1 . Es sei wiederum Ω = S 1 und T : S 1 → S 1 eine (nicht invertierbare) stetige und surjektive Abbildung. Beispielsweise kann T in der Form T (e2πit ) = e2πif (t) geschrieben werden, wobei f eine stetige, surjektive Abbildung des Einheitsintervalls in sich darstellt. Da T nicht invertierbar zu sein braucht, ist auch f selbst im Allgemeinen keine Bijektion. Nach dem Zwischenwertsatz besitzt f einen Fixpunkt p, also besitzt T den Fixpunkt exp[2πip]. Rotationen sind nicht in dieser Art darstellbar, sondern ¨ nur mittels einer Uberlagerungsabbildung f : R → R. Definition 3. Ein Punkt ω ∈ Ω heißt periodisch, falls seine Bahn endlich ist. Die M¨ achtigkeit seiner Bahn wird als Periode bezeichnet. Er wird Fixpunkt genannt, falls er die Periode 1 besitzt. Die Abbildung T (z) = z m (m ≥ 2) ist nicht invertierbar und auch keine Isometrie. Es gilt T (e2πit ) = e2πimt , und man folgert direkt, dass T die Bogenl¨ ange um den Faktor m streckt (lokal betrachtet). Abbildungen dieses Typs heißen expandierend.

1.1 Dynamische Systeme

7

Beispiel 3. St¨ uckweise monotone Abbildungen. (vgl. Abschnitt 2.1) Es sei nun Ω = I = [0, 1] das Einheitsintervall und T : I → I eine st¨ uckweise stetige und monotone Funktion. Das bedeutet: Es gibt endlich viele Punkte 0 = p1 < p2 < ... < ps+1 = 1, so dass T|(pi ,pi+1 ) (i = 1, ..., s) stetig und monoton ist. Besonders interessante Beispiele sind a. β-Transformation: T (x) = βx mod1, β > 0, mit pj = (j − 1)β −1 . b. Intervallvertauschung: (s. Abbildung 2.1) Sei 0 = p1 < p2 < ... < ps+1 = 1 eine Zerlegung des (rechts offenen) Einheitsintervalls. Sei π eine fest gew¨ahlte Permutation von {1, 2, ..., s}. Die zugeh¨ orige Intervallvertauschung Tπ bildet das Intervall [pπ(1) , pπ(1)+1 ) linear und ordnungstreu auf das Intervall [0, pπ(1)+1 − pπ(1) ) ab, und sukzessiv das Intervall [pπ(2) , pπ(2)+1 ) linear und ordnungstreu auf das Intervall [pπ(1)+1 −pπ(1) , pπ(1)+1 −pπ(1) +pπ(2)+1 −pπ(2) ) usw. Die Intervalle werden also gem¨ aß der Permutation π vertauscht angeordnet. Formal definiert man die Punkte 0 = q1 < q2 < ... < qs+1 = 1 durch
i−1 qi = j=1 pπ(j)+1 − pπ(j) (i = 2, ..., s) und definiert Tπ (x) =

s  i=1

1[pπ(i) ,pπ(i)+1 ) (x)[x + qi − pπ(i) ]

x ∈ I.

Tπ ist invertierbar, da die Intervalle mit Endpunkten Tπ (pi ) und Tπ (pi+1 ) paarweise disjunkt sind und das Intervall [0, 1) u ¨berdecken. In die Kategorie der Intervallabbildungen kann man auch die Kettenbruchentwicklung einordnen (vgl. Abschnitt 1.6). Hier werden abz¨ahlbar viele Intervalle ben¨ otigt: Es ist   1 T (x) = (x ∈ I) T (0) = 0. x Dabei bezeichnet {t} den gebrochenen Teil der Zahl t. T bildet die Inter1 , n1 ) monoton auf (0, 1) ab. Diese Eigenschaft bezeichnet man als valle ( n+1 Markoffsch. Intervallvertauschungen besitzen diese Eigenschaft im Allgemeinen nicht. Die β-Transformation ist nur Markoffsch, wenn β eine ganze Zahl ist. In diesem Fall ist die Zerlegung in Intervalle endlich, auf denen T monoton und Markoffsch ist. Die β-Transformation ist st¨ uckweise expandierend, ur ein Λ > 1 und f¨ ur alle x ∈ (pi , pi+1 ). Das gilt nicht f¨ ur d.h. T ′ (x) ≥ Λ f¨ die Kettenbruchentwicklung, jedoch besitzt eine Iterierte diese Eigenschaft. W¨ ahrend f¨ ur die β-Transformation mit ganzzahligem β das Lebesguemaß invariant ist, hat die Kettenbruchentwicklung eine invariante Dichte, n¨amlich 1 . Hierunter versteht man, dass f (x) = 1+x 

1T −1 [a,b] (x)f (x)dx =



a

b

f (x)dx

(0 ≤ a < b ≤ 1).

8

1 Mathematische Variationen u ¨ber dynamische Systeme

1

0

0.2

0.5

1

Abb. 1.2. Kettenbruchentwicklung

Beispiel 4. Rationale Abbildung der S 2 (s. Abschnitt 2.4). Eine rationale Abbildung T ist ein analytischer Endomorphismus der Sph¨are S 2 und ist holomorph. (Man identifiziert S 2 mit der komplexen Ebene C zusammen mit dem unendlich fernen Punkt ∞. Die holomorphen Karten werden wie u ¨blich durch C, bzw. die Kartenabbildung z → z −1 definiert.) Beispielsweise ist T (z) = z 2 schon als Endomorphismus der S 1 diskutiert worden. Die Ableitung T ′ (z) = 2z verschwindet im Nullpunkt, der auch ein Fixpunkt neben 1 und ∞ ist. F¨ ur |z| < 1 konvergiert die Bahn von z gegen 0 und f¨ ur |z| > 1 gegen ∞. Es gibt also zwei Attraktoren (anziehende Mengen), n¨amlich {0} und {∞}, und einen Repeller (abstoßende Menge), die S 1 . Im allgemeinen Fall einer expandierenden rationalen Funktion ist die Situation ¨ahnlich. Beispiel 5. Torusautomorphismen. Es sei Ω = Td der d-dimensionale Torus, uberliegende Seiten identifiziert der durch Rd /Zd definiert wird, wobei gegen¨ werden. Eine lineare Abbildung A : Rd → Rd , die Zd invariant l¨asst, definiert durch T (z) = A(z) mod Zd eine Transformation auf Td . Sie ist genau dann invertierbar, wenn die Determinate von A vom Betrag Eins ist. Die Ableitung von T ist nat¨ urlich durch A gegeben, also diktiert A das lokale Verhalten von T . Betrachtet man z.B. die Matrix   12 , A= 11 √ √ so errechnen sich die √ Eigenwerte zu λ1 √= 1 + 2 und λ2 = 1 − 2 mit Eigenvektoren x1 = ( 2, 1) und x2 = ( 2, −1). In Richtung von x1 wirkt i die Dynamik abstoßend und in Richtung x2 anziehend, d.h. A(−1) n xi → 0 mit n → ∞, i = 1, 2. Dieses Verhalten bezeichnet man allgemein als hyperbolisch. Die Untermannigfaltigkeiten W u (0) = {tx1 mod Z2 : t ∈ R} und W s (0) = {tx2 mod Z2 : t ∈ R} heißen die unstabile und stabile Mannig-

1.1 Dynamische Systeme

9

faltigkeit im Fixpunkt 0. Der Punkt x in der Abbildung 1.3 liegt im Durchschnitt der stabilen und unstabilen Mannigfaltigkeiten des Fixpunktes 0. Solche Punkte heißen homoklinisch. Die beiden Mannigfaltigkeiten sind lokal Untermannigfaltigkeiten und schneiden sich transversal (nicht tangential). Man spricht daher von einem transversalen homoklinischen Punkt.

x1

(0, 1)

x T (x)

0 0

x2

(1, 0)

Abb. 1.3. Torusabbildung

Beispiel 6. Sind G eine Gruppe und H eine Untergruppe, so operiert H auf G verm¨ oge (g, h) → gh (g ∈ G, h ∈ H). Beispielsweise operieren die orthogonalen d × d-Matrizen auf dem Raum aller d × d-Matrizen durch Matrixmultiplikation. Sind speziell G eine lokalkompakte Gruppe und a ∈ G ein fest gew¨ahltes Gruppenelement (also H = {an : n ∈ Z}), so definiert T (x) = xa eine invertierbare Abbildung T : G → G, die das (rechte) Haar-Maß invariant l¨asst. Eine affine Abbildung T : Rd → Rd , T (x) = A(x) + b, ist invertierbar, sofern die lineare Abbildung invertierbar ist, und ihre Inverse ist wiederum affin. Ferner ist die Hintereinanderschaltung zweier affiner Abbildungen ebenfalls von diesem Typ. Daher bilden die invertierbaren affinen Abbildungen eine Gruppe, die auf Rd operiert. Beispiel 7. Symbolische dynamische Systeme. Eine endliche Menge X erzeugt eine Vielzahl von dynamischen Systemen in der folgenden Weise. Die Menge ΩX = X Z = {x = (xn )n∈Z : xn ∈ X ∀n ∈ Z} wird ein topologischer Raum mit der Produkttopologie (diskrete Topologie
auf X), und d(x, y) := k∈Z 2−|k| 1X\{xk } (yk ) (x = (xn )n∈Z , y = (yn )n∈Z ∈ ΩX ) definiert eine die Topologie erzeugende Metrik. Die Schiebung TX ((xn )n∈Z ) = (yn )n∈Z ,

10

1 Mathematische Variationen u ¨ber dynamische Systeme

definiert durch yn = xn+1 (n ∈ Z), ist ein Hom¨oomorphismus, und jede unter TX invariante Teilmenge Ω ⊂ X Z definiert ein stetiges dynamisches System (Ω, T ). Dabei ist T die Einschr¨ ankung von TX auf Ω. Die stabile Mannigfaltigkeit in x ∈ Ω ist durch W s (x) = {y ∈ Ω : lim d(T n (x), T n (y)) = 0} n→∞

definiert. Die Punkte y dieser Menge werden dadurch charakterisiert, dass die Koordinaten von y schließlich, f¨ ur n → ∞, mit denen von x u ¨bereinstimmen alt man die unstabile Mannigfalm¨ ussen. Vertauscht man T mit T −1 , so erh¨ tigkeit. + = {0, 1}N . Als Additionsmaschine wird die TransBeispiel 8. Sei Ω = Ω{0,1} formation T : Ω → Ω bezeichnet, die durch

T ((1, 1, 1, ..., 1, 0, xn+1 , ...)) = (0, 0, 0, ..., 0, 1, xn+1 , ...) definiert wird. F¨ ur n ≥ 1 gilt die Identit¨ at ∞ 

2k−1 (T n (0))k = n.

k=1


∞ In der Tat ist f¨ ur n = 1 T (0) = (1, 0, 0, ...) und daher k=1 2k−1 (T (0))k = 1. Ist dann die Behauptung f¨ ur n erf¨ ullt, und T n (0) = (1, ..., 1, 0, xm+1 , ...), so
m−2 n+1 (0) = (0, ..., 0, 1, xm+1 , ...) und k=0 2k = 2m−1 − 1. Es folgt gelten T ∞ 

2k−1 (T n+1 (0))k = 2m−1 +

∞ 

2k−1 (T n+1 (0))k

k=m

k=1

=

∞ 

2k−1 (T n (0))k + 1 = n + 1.

k=1

Ω wird durch die Verkn¨ upfung x + y, definiert durch seine Koordinaten (x + y)n = xn + yn + un mit u1 = 0 und un+1 = 1[2,∞) (xn + yn + un ), zu einer kompakten topologischen Gruppe, der sog. Gruppe der dyadischen nat¨ urlichen Zahlen. Ein fundamentales Resultat der Dynamik ist der Birkhoffsche Ergodensatz, der an dieser Stelle in einer einfachen Form bewiesen werden soll. Definition 4. Sei (Ω, F, T, m) ein maßtheoretisches dynamisches System. u. gilt. Das Eine Teilmenge A ∈ B heißt T -invariant, falls T −1 (A) = A f.¨ Maß m heißt invariant, falls m(A) = m(T −1 (A)) f¨ ur jedes A ∈ B gilt, und es wird ergodisch genannt, falls jede invariante Menge das Maß Null oder Eins besitzt.

1.1 Dynamische Systeme

11

Satz 1. [Ergodensatz] Sei (Ω, B, T, m) ein maßtheoretisches dynamisches System mit invariantem, ergodischem Wahrscheinlichkeitsmaß m. Dann existiert f¨ ur jede integrierbare Funktion f der Grenzwert  n−1 1 f (T k (x)) = f dm n→∞ n

(1.1)

lim

k=0

f¨ ur fast alle x ∈ Ω.


n−1 Beweis. Sei Sn f = k=0 f ◦T k . Man kann o.E. annehmen, dass f dm = 0 gilt (sonst betrachte man f − f dm). Seien ǫ > 0 und F = lim supn→∞ n1 Sn f . Dann ist D := {F > ǫ} T -invariant, also vom Maß Null oder Eins. Mit g = (f − ǫ)1D gilt auch D = {supk∈N Sk g > 0}. Sei Mn = max{0, S1 g, ..., Sn g}. Hopfs Maximalungleichung ist leicht zu verifizieren:   gdm ≥ Mn − Mn ◦ T dm Mn >0  Mn >0 Mn ◦ T dm ≥ 0. = Mn dm − Mn >0

Mit dem Satz von der dominierten Konvergenz erh¨alt man  ǫm(D) ≤ f dm = 0,



D

gdm ≥ 0 oder

D

 denn D hat Maß Null oder Eins, und daher gilt D f dm = 0. Es folgt m(D) = 0, also F ≤ ǫ f.s. L¨ asst man nun ǫ → 0 streben, erh¨alt man F ≤ 0. Die Anwendung dieser Ungleichung auf −f liefert die Behauptung. Satz 2. [Borel] Seien (Ω, T ) ein stetiges dynamisches System, Ω metrisch aßig stetig. Es sei ferner m und die Familie (T n )n≥1 gleichgradig gleichm¨ ein endliches ergodisches Maß auf der Borelschen σ-Algebra B, das positiv auf nicht leeren offenen Mengen ist. Dann gilt f¨ ur jede stetige, beschr¨ ankte Funktion f ∈ C(Ω) und jedes x ∈ Ω  n−1 1 k f (T (x)) = f dm. lim n→∞ n k=0

Beweis. Da m ergodisch ist, gilt (1.1) f¨ ur fast alle x ∈ Ω, und da m positiv auf offenen Mengen = ∅ ist, gibt es eine in Ω dichte Menge Ω0 vom vollen Maß, so dass (1.1) gilt. Sei nun x ∈ Ω beliebig und ǫ > 0. Dann existiert δ > 0, so dass supk≥0 |f (T k (x)) − f (T k (y))| < ǫ gilt, sofern d(x, y) < δ. Daher folgt f¨ ur n ≥ 1   1 n−1 1 n−1   k k f (T (x)) − f dm ≤ f (T (y)) − f dm + ǫ, n n k=0

k=0

12

1 Mathematische Variationen u ¨ber dynamische Systeme

und die Behauptung folgt, wenn y ∈ Ω0 gew¨ahlt wird und n → ∞ sowie ǫ → 0 streben. Beispiel 9. Der Borelsche Satz kann f¨ ur eine irrationale Rotation angewendet werden, denn sie definiert gleichgradig gleichm¨ aßig stetige Iterierte.

1.2 Selbst¨ ahnlichkeit In einem metrischen Raum Ω mit Metrik d(· , · ) : Ω 2 → R+ bezeichnet K(ω, η) = {ω ′ ∈ Ω : d(ω, ω ′ ) < η} die offene Kugel mit Zentrum ω ∈ Ω und Radius η.4 Eine Abbildung T : Ω → Ω heißt eine Kontraktion, wenn q := (ω),T (ω ′ )) supω=ω′ ∈Ω d(Td(ω,ω < 1 gilt, also T Lipschitz-stetig mit einer Konstanten ′) < 1 ist. Satz 3. [Kontraktionsprinzip] Eine Kontraktion T des vollst¨ andigen metrischen Raumes Ω besitzt einen eindeutig bestimmten Fixpunkt. Beweis. Sei ω ∈ Ω. Da f¨ ur m ≤ n n

m

d(T (ω), T (ω)) ≤

n−m  k=1

d(T m+k (ω), T m+k−1 (ω)) ≤

qm d(T (ω), ω), (1.2) 1−q

n

ist T (x) eine Cauchyfolge. Ihr Grenzwert ist ein Fixpunkt, der wegen der Kontraktionseigenschaft von T eindeutig ist. Eine einfache Erweiterung dieser Idee f¨ uhrt zu Hutchinsons Existenzsatz f¨ ur selbst¨ ahnliche Mengen. Satz 4. [Hutchinson] Seien Ti ( i = 1, ..., s) Kontraktionen des vollst¨ andigen, metrischen Raumes Ω. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte, nicht leere und kompakte Teilmenge K ⊂ Ω mit der Eigenschaft K=

s

Ti (K).

(1.3)

i=1

Beweis. Sei ω ∈ Ω und O(ω) die Bahn von x unter der Halbgruppe G, erzeugt von T1 , ..., Ts . Mit derselben Absch¨ atzung wie in (1.2) zeigt man, dass sie totalbeschr¨ ankt ist, also relativ kompakt ist. Das System aller nicht leeren, kompakten Teilmengen A von Ω mit Ti (A) ⊂ A (i = 1, ..., s) ist daher nicht leer, jede durch Inklusion absteigend gerichtete Kette besitzt ein minimales Element, das nat¨ urlich ebenfalls invariant, nicht leer und kompakt ist. Nach Zorns Lemma ([18], S.14) gibt es ein minimales Element, das dann auch die Behauptung erf¨ ullt. 4

Wenn nichts anderes vereinbart ist, bezeichnet d oder dist stets eine Metrik.

1.2 Selbst¨ ahnlichkeit

13

Dieser Satz motiviert den Begriff einer selbst¨ahnlichen Menge. Man nennt eine Menge K α-selbst¨ ahnlich, wenn es endlich viele Abbildungen Ti : K → K (i = 1, ..., s) gibt, so dass (1.3) gilt, und Ti (K) ∩ Tj (K) verschwindendes α-dimensionales Hausdorff-Maß besitzt. K heißt selbst¨ahnlich, wenn sie αselbst¨ ahnlich f¨ ur ein α ≥ 0 ist. K erf¨ ullt die OSC-Bedingung5 , wenn es eine nicht leere, offene Menge U mit Ti (U ) ⊂ U (1 ≤ i ≤ s) und Ti (U )∩Tj (U ) = ∅ f¨ ur jedes i = j ∈ {1, ..., s} gibt. Gilt sogar Ti (U ) ∩ Tj (U ) = ∅, so ist die strikte OSC-Bedingung erf¨ ullt. In diesem Fall ist K stets α-selbst¨ahnlich f¨ ur jedes α > 0. Die Beispiele am Ende des Abschnitts erl¨autern auch diese Begriffsbildung. + die Ist X eine endliche Menge, so bezeichnen, analog zum Beispiel 7, ΩX N Menge X , versehen mit der Produkttopologie, und TX (l1 , l2 , ...) = (l2 , l3 , ...) die zugeh¨ orige Schiebung. Die Abbildung TX besitzt lokale inverse Zweige (i) (i) + TX : ΩX → {(jk )k∈N : j1 = i}, definiert durch TX (l1 , l2 , ...) = (i, l1 , l2 , ...). Satz 5. Sei K eine selbst¨ ahnliche Menge, die durch Kontraktionen Ti , i ∈ X = {1, ..., s}, erzeugt wird, und die strikte OSC-Bedingung erf¨ ullt. Die Abbildung + Π : K → ΩX sei durch Φ(x) = (l1 (x), l2 (x), ...) mit x∈

∞ 

k=1

Tl1 (x) ◦ ... ◦ Tlk (x) (K)

(1.4)

definiert. Dann ist Π ein Hom¨ oomorphismus, und die Diagramme T

i → K −−−− ⏐ ⏐ Π

T

(i)

K ⏐ ⏐

Π

X + + ΩX −−− −→ ΩX

f¨ ur i = 1, 2, ..., s kommutieren. Beweis. Man u achst einmal, dass durch (1.4) die Abbildung ¨berzeugt sich zun¨ Π wohldefiniert ist. Wegen der Kontraktionseigenschaft konvergieren die Durchmesser der Mengen Tl1 ◦...◦Tlk (K) exponentiell schnell gegen Null, wegen Ti (K) ⊂ K sind sie absteigend, und wegen der strikten OSC-Bedingung sind diese Mengen auch paarweise disjunkt. Das bedeutet, dass die Abbildung Π bijektiv ist. Die offene Umgebung {(lk )k∈N : l1 = a1 , ..., ln = an } (aj ∈ X fest gew¨ ahlt) wird auf die offene (in K) Umgebung Ta1 ◦ ... ◦ Tan (K) bijektiv abgebildet. Beide offenen Umgebungen haben mit n exponentiell schnell fallende Durchmesser. Das bedeutet, dass Π ein Hom¨oomorphismus ist. Die Kommutativit¨ at der Diagramme folgt unmittelbar aus der Definition von Π. 5

OSC steht hier f¨ ur open set condition.

14

1 Mathematische Variationen u ¨ber dynamische Systeme

Ist lediglich die OSC-Bedingung erf¨ ullt, so ist die Abbildung Π −1 immer noch wohldefiniert, aber nicht injektiv. Π −1 ist deshalb eine surjektive Abbildung, (i) die mit allen Ti und TX kommutiert. Beispiel 10. Es seien Ω = I das Einheitsintervall, T1 (x) = x3 und T2 (x) = x+2 ur x ∈ I. Die durch diese beiden Kontraktionen definierte selbst¨ahnliche 3 f¨ Menge C wird als Cantor-Menge bezeichnet. Sie erf¨ ullt die strikte OSCBedingung, wie man leicht sieht, und ist hom¨ oomorph zum Schiebungsraum u aß Satz 5. ¨ber zwei Symbolen gem¨ Die Hausdorff-Dimension einer Teilmenge A ⊂ Ω wird mittels optimaler“ ” ¨ ¨ Uberdeckungen erhalten. Sei U(η) die Familie aller Uberdeckungen Z von A mit Mengen Z vom Durchmesser |Z| := sup{d(x, y) : x, y ∈ Z} < η. Man definiert dann f¨ ur a > 0  Hηa (A) = inf{ |Z|a : Z ∈ U(η)}. Z∈Z

Als Funktion von η ist die Folge wachsend, f¨ ur η → 0 erh¨alt man die Gr¨oße H a (A), das sog. a-dimensionale Hausdorff-Maß von A. (Es ist ein ¨außeres Maß und Borelsche Mengen sind H a -messbar.) Als Funktion‘ von a ist diese ’ letzte Gr¨ oße unbeschr¨ ankt‘ und f¨ allt in einem Punkt h auf Null: ’ h = inf{a > 0 : H a (A) = 0} = sup{a > 0 : H a (A) = ∞}.

HD(A) = h nennt man die Hausdorff-Dimension von A. Eine endliche Familie von Kontraktionen Ti : Rd → Rd ahnlich, falls jedes Ti in der Form Ti = qi Si f¨ ur geeignete ¨ und Isometrien Si : Rd → Rd dargestellt werden kann. Kontraktionen der Form Ti (x) = qi x + ai , so ist diese verst¨ andlich erf¨ ullt.

(i = 1, ..., s) heißt Konstanten qi < 1 Sind alle Ti affine Bedingung selbst-

Satz 6. [Moran] Sei K ⊂ Rd eine selbst¨ ahnliche Menge, definiert durch eine ¨ ahnliche Familie von Kontraktionen Ti : Ω → Ω, i ∈ X = {1, ..., s}, die der OSC-Bedingung gen¨ ugt. Die Hausdorff-Dimension HD(K) von K wird dann durch die L¨ osung der Gleichung s 

qih = 1

(1.5)

i=1

bestimmt.

Beweis. Sei h0 eine L¨ osung der Gleichung (1.5). Die Familie {Tl1 ◦...◦Tln (Ω) : l = (l1 , ..., ln ) ∈ X n } u ¨berdeckt K mit Mengen vom Durchmesser ηn → 0. Somit ist f¨ ur eine Konstante C > 0  |Tl1 ◦ ... ◦ Tln (Ω)|a H a (K) ≤ lim inf n→∞

l∈X n

≤ C lim inf n→∞



l∈X n

a

(qln ...ql1 ) = C lim inf n→∞



s  i=1

qia

n

,

1.2 Selbst¨ ahnlichkeit

15

und es folgt f¨ ur a > h0 , dass das a-dimensionale Hausdorff-Maß von K verschwindet. Daher ist HD(K) ≤ h0 . Seien U die durch die OSC-Bedingung gegebene offene Menge und U (i1 , ..., ur die umgekehrte Ungleichung betrachtet man die in ) = Ti1 ◦ ... ◦ Tin (U ). F¨ Mengenfunktion µ(U (i1 , ..., in )) = (qin ...qi1 )h0 , und setzt sie auf endliche disjunkte Vereinigungen solcher Mengen additiv fort. ullt  Nach (1.5) ist dann µ additiv (damit auch wohldefiniert) und erf¨ µ ur jedes n ≥ 0. i1 ,...,in ∈X U (i1 , ..., in ) = 1 f¨ ¨ Sei Z eine beliebige Uberdeckung von K mit offenen Mengen vom Durchmesser η. Man kann annehmen, dass sie aus Kugeln vom Radius < η/2 besteht. Man u ahlte Kugel B := K(x, r) ∈ Z vom Radius ¨berdeckt nun eine fest gew¨ r(< η/2) fast sicher mit Mengen der Form Tln ◦ ... ◦ Tl1 (U ) in der Weise, dass ¨ Um den Beweis ql1 · ... · qln ≤ r < ql1 · ... · qln−1 gilt. Sei ZB diese Uberdeckung. durchzuf¨ uhren, ben¨ otigt man zwei Aussagen: 1. ZB besteht aus paarweise disjunkten Mengen. Die Bilder von U unter den Abbildungen Ti1 ◦ ... ◦ Tin (1 ≤ ij ≤ s; n fest) sind paarweise disjunkt. Eine Menge Ti1 ◦ ... ◦ Tin (U ) ∈ ZB kann aber auch nicht in einer Menge Ti1 ◦ ... ◦ Tip (U ) ∈ ZB mit p < n enthalten sein, denn sonst ist qi1 · ... · qin ≤ r < qi1 · ... · qip . d  | 2. Sei q = min{qi : 1 ≤ i ≤ s}. Dann besitzt ZB h¨ochstens 1+|U Elemenr0 q te, wobei r0 der Radius einer fest gew¨ ahlten Kugel in U bezeichnet. Sei z die Anzahl der Elemente von ZB , v ∈ U und r0 > 0 mit K(v, r0 ) ⊂ U . Eine Menge V in ZB besitzt nach Definition der Kontraktionen einen inneren Radius qrr0 und ist in einer um B konzentrischen Kugel vom Radius (1 + |U |)r enthalten. Es folgt durch eine Volumenabsch¨atzung in Rd , dass z(qrr0 )d ≤ (1 + |U |)d rd . Aus diesen beiden Tatsachen erh¨ alt man 

Tl1 ◦...◦Tln (U )∈ZB

µ(Tl1 ◦ ... ◦ Tln (U )) ≤



1 + |U | r0 q

d

rh0

und 1≤





B∈Z Tl1 ◦...◦Tln (U )∈ZB

µ(Tl1 ◦ ... ◦ Tln (U )) ≤

  1 + |U | d 2−h0 |B|h0 . r0 q

B∈Z

¨ Bildet man das Infimum u Z vom Durchmesser η, ¨ber alle Uberdeckungen und nimmt den Limes f¨ ur η → 0, folgt die Positivit¨at des h0 -dimensionalen Hausdorff-Maßes von K. Daher gilt h0 ≤ HD(K).

16

1 Mathematische Variationen u ¨ber dynamische Systeme

Beispiel 11. (Sierpi´ nski-Dreieck) Durch die Punkte p1 = (− 12 , 0), p2 = ( 21 , 0) √ und p3 = (0, 23 ) wird ein gleichseitiges Dreieck in R2 definiert. Die affinen Abbildungen Ti (x) = 21 (x + pi ) verkleinern die Seiten des Dreiecks um die orige selbst¨ahnliche Menge K heißt H¨ alfte und lassen pi invariant. Die zugeh¨ das Sierpi´ nski-Netz und besitzt die Dimension, die sich aus 3 · 2−h = 1 zu log 3 h = log asst. Man beachte, dass die OSC-Bedingung 2 nach (1.5) berechnen l¨ gilt, jedoch nicht die strikte. Das Innere des Dreiecks definiert die dazu erforderliche offene Menge U .

Abb. 1.4. Sierpi´ nski-Dreieck

Beispiel 12. (Cantor-Menge) Die Hausdorff-Dimension der Cantor-Menge 2 berechnet sich aus 2 · 3−h = 1 und hat den Wert h = log log 3 . Diese fraktale Menge besitzt die strikte OSC-Bedingung, wie bereits bemerkt wurde. Beispiel 13. (von-Koch-Kurve) Seien Ti (i = 1, 2, 3, 4) die folgenden affinen Abbildungen des R2 : √     √ 1 1 1 1 3 1 √ T2 (x) = T1 (x) = x + (−1; 0) x + (−1; 3) 3 1 3 3 2 4 √     √ 1 1 1 1 1 − 3 √ T4 (x) = x + (1; 0). T3 (x) = x + (1; 3) 3 2 − 3 1 4 3 Sei L die Vereinigung der vier √ Strecken zwischen den Punkten p1 = (−1, 5; 0), p2 = (−0, 5; 0), p3 = (0; 3/2), p4 = (0, 5; 0) und p5 = (1, 5; 0). Jedes Ti bildet L in eine um den Faktor 3 verkleinerte Figur L ab, und zwar bildet T1 die Punkte p1 und p5 auf p1 und p2 ab, T2 dieselben Punkte auf p2 und p3 usw. Die zugeh¨ orige selbst¨ ahnliche Menge K entsteht damit aus L, indem die

1.3 Differentialgleichungen

17

vier Strecken durch nach außen gerichtete verkleinerte Kopien von L ersetzt werden. Iterative Anwendung dieses Konstruktionsschritts approximiert K. K heißt von-Koch-Kurve. Auch diese selbst¨ ahnliche Menge erf¨ ullt die OSClog 4 Bedingung und besitzt deshalb nach (1.5) die Hausdorffdimension h = log 3.

Abb. 1.5. von-Koch-Kurve

1.3 Differentialgleichungen Aus den L¨ osungen gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen dx = x˙ = Φ(x) dt mit einer stetigen Funktion Φ : Rd → Rd erh¨ alt man die wichtigste Klasse differenzierbarer dynamischer Systeme mit stetiger Zeit. Ist Φ global Lipschitzstetig, so existiert zu jeder Anfangsbedingung x(0) = x eine f¨ ur alle Zeiten t definierte L¨ osung x(t) = φt (x) (siehe [26], S.53). Die Familie φt (t ∈ R) definiert ein stetiges dynamisches System (Definition 1) oder einen Fluss; das ur Φ kann wird sogleich gezeigt werden. Anstelle des Definitionsbereiches Rd f¨ man nat¨ urlich auch beliebige Gebiete betrachten. Beispiel 14. Man betrachte die Differentialgleichung dr = r˙ = ar(b − r) dt dθ = θ˙ = 1 dt

a, b > 0

auf R2 ≡ R+ × [0, 2π) ≡ C, die in Polarkoordinaten vorgegeben ist. Die L¨ osungskurven sind x(t) = 0 f¨ ur die Anfangsbedingung x(0) = 0, und r(t) = b und θ(t) = θ + t f¨ ur die Anfangsbedingung x(0) = beiθ ; im allgemeinen Fall schließlich, wenn x(0) = reiθ die Anfangsbedingung ist, sind die L¨ osungskurven durch

18

1 Mathematische Variationen u ¨ber dynamische Systeme

r(t) =

br r + (b − r)e−abt

θ(t) = θ + t

parametrisiert. Dabei ist jedoch nicht jedes t ∈ R zul¨assig. F¨ u r tr = r 1 log r−b , r > b, explodiert die L¨ osung. Die L¨osungen sind aber eindeutig, − ab und sie k¨ onnen leicht durch Differentiation verifiziert werden. Das Beispiel 18 benutzt diese L¨ osung ebenfalls. Es gibt also eine station¨are Bahn 0 und eine periodische Bahn {z ∈ C : |z| = b}. F¨ ur r < b gilt limt→∞ r(t) = b und limt→−∞ r(t) = 0. Ist r > b, so folgt limt→∞ r(t) = b und limt↓tr r(t) = ∞. Die zweite Koordinate θ(t) bewirkt lediglich eine Rotation mit konstanter Geschwindigkeit. Daher sieht die Graphik der Bahnen des Flusses wie in Figur 1.6 aus. Im Falle der Differentialgleichung

0 1

Abb. 1.6. L¨ osungskurven der DGL r˙ = ar(1 − r), θ˙ = 1

r˙ = r(1 − rm )

θ˙ = 1

(1.6)

erh¨ alt man ein analoges Verhalten der L¨ osungen. Man beachte, dass nur ein Fluss auf der abgeschlossenen Kugel um 0 mit Radius b definiert ist, obwohl die graphische Darstellung das Gegenteil suggeriert. Auf R2 hat man lediglich einen partiellen Fluss gegeben. Durch eine Reparametrisierung der Zeit kann man jedoch einen Fluss erzeugen. Sei u : R × R2 → R eine Funktion mit den folgenden drei Eigenschaften: (i) u(0, x) = 0, (ii) u(R × {x}) = (t x , ∞) (x ∈ R2 ), und (iii) u(s + t, x) = u(t, φu(s,x) (x)) + u(s, x) (x ∈ R2 , s, t ∈ R); hier bezeichnet φτ (z) die Position des Punktes z unter dem Fluss zur Zeit τ . Dann ist die Abbildung x ∈ R2 , t ∈ R ψ(t, x) = φu(t,x) (x) offenbar ein vollst¨ andiger Fluss, denn ψ(t + s, x) = φu(t+s,x) (x) = φu(t,φu(s,x) (x))+u(s,x) (x) = φu(t,φu(s,x) (x)) (φu(s,x) (x)) = ψt (ψs (x)).

1.3 Differentialgleichungen

19

Diese Reparametrisierung besitzt die Eigenschaft, dass station¨are Punkte (s. Definition 6) erhalten bleiben, und die Bahnen u ¨ber jeweils die positive oder negative Zeitachse erhalten werden. Ist u nach der Zeit differenzierbar, erf¨ ullt ψ die Differentialgleichung x˙ = Φ(x)u(x). ˙ Das bedeutet, dass das Vektorfeld durch Multiplikation mit einer skalaren Funktion ge¨ andert wird. Eine solche Funktion ist im obigen Fall etwa durch u(x) ˙ = (1 + Φ(x))−1 gegeben. Das allgemeine Konzept, Fl¨ usse durch Differentialgleichungen zu erhalten, wird durch die Betrachtung von Vektorfeldern auf Mannigfaltigkeiten gewonnen. Sei Ω = M eine d-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. undel u Der Tangentialraum in x ∈ M wird mit Tx M und das Tangentialb¨ ¨ber  M mit T M = x∈M Tx M bezeichnet (s. [22], [1], Kap. I,II). Ein Vektorfeld Φ : M → T M assoziiert zu x ∈ M einen Tangentenvektor Φ(x) ∈ Tx M im Punkt x und definiert durch x˙ = Φ(x) eine Differentialgleichung, die eine d Kurve t → x(t) sucht, die dt x(t) = Φ(x(t)) erf¨ ullt. Es sei F r (M ) das B¨ undel r aller C -Vektorfelder. Satz 7. Es sei M eine d-dimensionale Mannigfaltigkeit und Φ ∈ F 1 (M ) ein differenzierbares Vektorfeld. Die Differentialgleichung x˙ = Φ(x)

(1.7)

mit Anfangsbedingung x(0) = p besitzt eine eindeutige L¨ osung in einem Intervall mit Mittelpunkt 0. Ist M kompakt, so existiert eine eindeutige globale L¨ osung. Beweis. Der Beweis dieses Satzes ist nat¨ urlich wohlbekannt. Als Anwendung des Kontraktionsprinzips (Satz 3) zeigt er den dynamischen Charakter eines Fixpunktsatzes. Seien U ⊂ Rd eine Kugelumgebung mit Zentrum p und Radius r > 0, a > 0 und Ω = {f : [−a, a] → U : f stetig} versehen mit der Norm f [−a,a] = sup−a≤t≤a f (t). Sei T durch das Picardsche Iterationsverfahren  t T (f )(t) = p + Φ(f (s))ds −a≤t≤a 0

definiert. Da Φ Lipschitz-stetig und beschr¨ ankt auf U ist, gibt es eine Konstante K > 0, so dass f¨ ur f, g ∈ Ω T (f ) − T (g)[−a,a] ≤ Kaf − g[−a,a] T f (t) − p ≤ Ka (−a ≤ t ≤ a). Also ist T : Ω → Ω als Abbildung wohldefiniert, wenn Ka < r, und eine Kontraktion, wenn Ka < 1. Daher existiert eine eindeutige L¨osung x(t) = limn→∞ T n (x)(t) in [−a, a] nach Satz 3.

20

1 Mathematische Variationen u ¨ber dynamische Systeme

Die L¨ osung der Differentialgleichung (1.7) mit Anfangsbedingung x(0) = x wird mit t → φt (x) bezeichnet. Ist f¨ ur festes t ∈ R und jedes x ∈ M die L¨osung φt (x) erkl¨ art, so definiert x → φt (x) eine differenzierbare Abbildung φt : M → M . Die Ableitung in x ∈ M wird mit Dx φt : Tx M → Tφt (x) M bezeichnet. In der Tat ist φt genauso oft differenzierbar wie das Vektorfeld. Korollar 1. Sei φt (x) die L¨ osung einer Differentialgleichung der Form (1.7) mit Anfangsbedingung x(0) = x. Dann gilt f¨ ur alle s, t ∈ R und x ∈ M φs+t (x) = φt (φs (x)), sofern die entsprechenden L¨ osungen bis zu den Zeiten s, t bzw. s+t existieren. Beweis. x(r) = φr+s (x) (−s ≤ r ≤ t) ist sofort als L¨osung der gew¨ohnlichen Differentialgleichung x˙ = Φ(x) mit Anfangsbedingung x(0) = φs (x) erkennbar. Wegen der Eindeutigkeit der L¨ osungen folgt die behauptete Gleichung. Definition 5. Ein partieller Fluss ist eine stetige Abbildung φ : M × (ǫ, ǫ) → M, die dem Assoziativgesetz φs+t = φt ◦ φs

f¨ ur alle s, t, s + t ∈ (−ǫ, ǫ) gen¨ ugt. Ist ǫ = ∞, so spricht man von einem Fluss. Ein ihn erzeugendes Vektorfeld nennt man in diesem Fall vollst¨ andig. Ist die Abbildung (x, t) → φt (x) differenzierbar, so heißt auch der Fluss differenzierbar. Beispiel 15. Es sei an dieser Stelle angemerkt, dass nicht jeder Fluss durch Differentialgleichungen erzeugt werden kann. Dazu betrachte man den Raum C(M, N ) aller stetigen Funktionen f : M → N zwischen zwei topologischen R¨ aumen. Sind M = R und N = Rd euklidische R¨aume, versieht man ihn mit der Topologie der gleichm¨ aßigen Konvergenz auf kompakten Mengen, die etwa durch d(f, g) =

∞ 

2−n dn (f, g)

n=1

f, g ∈ C(R, Rd )

metrisiert wird, wobei dn (f, g) =

sup0≤|t|≤n f (t) − g(t) 1 + sup0≤|t|≤n f (t) − g(t)

gesetzt wird. Man u ¨berzeugt sich leicht, dass die Abbildung φ : C(R, Rd ) × R → C(R, Rd ),

φt (f )(s) = f (t + s)

einen stetigen Fluss erzeugt, der unter dem Namen Bebutovs dynamisches System bekannt ist.

1.3 Differentialgleichungen

21

Beispiel 16. Eine Differentialgleichung x˙ = Φ(x, t) heißt nichtautonom. Sie kann durch die Hinzunahme der Gleichung t˙ = 1 in ein autonomes System auf M × R u uhrt werden. ¨berf¨ Alternativ kann diese Dynamik‘ u ¨ber einen zweiparametrigen Fluss unter’ sucht werden: Eine Abbildung φ : Ω × R2 → Ω heißt ein zweiparametriger Fluss zum Vektorfeld Φ ∈ F 1 (Rd × R), falls φs,t (x) := φ(x, s, t) = x +



t

Φ(φs,u (x), u)du

s

f¨ ur alle t in einem offenen Intervall I(x, s) gilt, das s enth¨alt. Ist die L¨osung differenzierbar in t, so erh¨ alt man eine L¨ osung der Differentialgleichung x˙ = Φ(x, t). Es gilt zudem  t Φ(φu,v (φs,u (x), v))dv (1.8) φu,t ◦ φs,u (x) = φs,u (x) + u  u  t Φ(φs,v (x), v)dv. Φ(φu,v (φs,u (x), v))dv + = x+ s

u

Eindeutige lokale L¨ osungen dieser Differentialgleichung existieren unter der Annahme, dass x → Φ(x, t) lokal Lipschitz-stetig f¨ ur jedes t ∈ R ist, und dass f¨ ur beliebige kompakte Mengen K ⊂ Rd und a < b 

a

b

Φ(·, t)Lip,K dt < ∞

gilt ([37], S.555). Hier bezeichnet f Lip,K = supx∈K f (x) + supx=y∈K

f (x)−f (y)

die Lipschitz-Norm auf K. Aus der Eindeutigkeit der L¨osung und

x−y

unter Beachtung von (1.8) folgt φu,t ◦ φs,u (x) = φs,t (x). Gilt f¨ ur die L¨ osung φs,t = φ0,t−s , so wird durch φt (x) = φ0,t (x) ein lokaler Fluss definiert. In der Tat ist (sofern die L¨osungen f¨ ur die betrachteten Zeiten wohldefiniert sind) φs+t (x) = φ0,s+t (x) = φs,s+t ◦ φ0,s (x) = φt (φs (x)). Definition 6. Sei φt (t ∈ R) ein Fluss. Eine Bahn Γ = O(x) heißt periodisch, wenn ihre L¨ ange γ(Γ ) = inf{t > 0 : φt (x) = x} endlich ist. Ein Punkt x ∈ M heißt Ruhepunkt (kritischer Punkt oder station¨ arer Punkt, Singulaur alle t ∈ R. rit¨ at), falls φt (x) = x f¨

22

1 Mathematische Variationen u ¨ber dynamische Systeme

Es ist klar, dass ein station¨ arer Punkt durch das Verschwinden des Vektort feldes Φ bestimmt ist (sofern der Fluss die Differentialgleichung dφ dt = Φ erf¨ ullt). In den n¨ achsten drei Beispielen ist die betrachtete Mannigfaltigkeit der euklidische Raum Rd , und man kann deshalb das Vektorfeld mit einer Funktion Φ : Rd → Rd identifizieren. Beispiel 17. Unbeschr¨ anktes Wachstum mit einer konstanten Rate wird durch die Differentialgleichung x˙ = Kx (1.9) modelliert. Die L¨ osungen x(t) = x exp[Kt] existieren f¨ ur alle t, x ∈ R, definieren also einen Fluss auf M = R durch φt (x) = x exp[Kt]. Mit Modellen dieses Typs kann etwa der unkontrollierte Zerfall von Uranatomen oder das ungehemmte Ausbreiten von Populationen erkl¨art werden. Sei zun¨ achst K > 0. Jede Bahn O(x) = {φt (x) : t ∈ R} besitzt 0 als H¨ aufungspunkt, wenn t die negative Zeitrichtung durchl¨auft (man sagt in diesem Fall, dass 0 ein abstoßender station¨ arer Punkt ist). Durchl¨auft t die positive Zeitrichtung, so sind die Bahnen unbeschr¨ankt, sie streben entweder gegen ∞ oder −∞, je nach den Werten von x. Ist K < 0, so vertauschen sich positive und negative Zeitachsen, und man spricht von 0 als dem anziehenden station¨ aren Punkt. Beispiel 18. Ungehemmtes Wachstum wie im letzten Beipiel tritt nur in sehr speziellen F¨ allen in der Realit¨ at auf. Ein variableres Modell wird durch allgemeinere Funktionen in der Differentialgleichung (1.9) erhalten. Nimmt man gehemmtes Wachstum an, das in ein Schrumpfen bei zu großem Bestand u ¨bergeht, erscheint die logistische Differentialgleichung x˙ = wx(S0 − x) als Modell vern¨ unftig, wobei w > 0 die Wachstumsrate und S0 > 0 den S¨ attigungspunkt darstellt, in dem Wachstum in Schrumpfen u ¨bergeht. Die

3

0

1

Abb. 1.7. L¨ osungskurven der logistischen Differentialgleichung

1.3 Differentialgleichungen

23

L¨ osung dieser Differentialgleichung kann durch Trennung der Variablen erfolgen (vgl. Beispiel 14). Man erh¨ alt x(t) =

S0 x(0) . x(0) + (S0 − x(0)) exp[−S0 wt]

Bei Anfangsbedingung x(0) = x ergibt sich der zugeh¨origen Fluss zu φt (x) =

S0 x . x + (S0 − x) exp[−S0 wt]

F¨ ur x = S0 ist die L¨ osung konstant = S0 , f¨ ur x < 0 oder x > S0 , gibt es eine Singularit¨ at bei t = log(1 − S0 /x)/S0 w. Das Intervall [0, S0 ] ist damit Flussinvariant. Betrachtet man als Mannigfaltigkeit das Intervall [0, S0 ], so ist die L¨ osung f¨ ur alle Zeiten wohldefiniert, 0 ist abstoßender und S0 anziehender Fixpunkt. Definition 7. Eine periodische Bahn Γ heißt anziehend, wenn es eine Umgebung U von Γ gibt, so dass f¨ ur jedes x ∈ U limt→∞ d(φt (x), Γ ) = 0, und abstoßend, wenn sie f¨ ur die Zeitumkehrung φ− t = φ−t (t ∈ R) anziehend ist. Die entsprechenden Begriffe werden analog f¨ ur station¨ are Punkte erkl¨ art. Proposition 1. Sei Γ eine periodische Bahn positiver L¨ ange γ = γ(Γ ) des differenzierbaren Flusses (φt )t∈R . Dann besitzt Dx φγ (x ∈ Γ ) den Eigenwert 1. Γ ist außerdem anziehend, wenn alle anderen Eigenwerte einen Betrag < 1 besitzen. Beweis. Sei x ∈ Γ beliebig. Da der Fluss φt der Differentialgleichung u˙ = Φ(u) gen¨ ugt, erh¨alt man Φ(x) = Φ(φγ (x)) =

d d φt (x)|t=γ = φγ+t (x)|t=0 = Dx φγ Φ(x), dt dt

also ist Φ(x) ein Eigenvektor der Ableitung Dx φγ zum Eigenwert 1. Es muss noch gezeigt werden, dass Γ anziehend ist. In lokalen Koordinaten erh¨ alt man mit Taylors Formel φγ (y) − x = Dx φγ (y − x) + o(1). Da alle anderen Eigenwerte der Matrix Dx φγ vom Betrag < 1 sind, gibt es eine Norm auf dem orthogonalen Komplement E ⊂ Rd , die Dx φγ E  < 1 erf¨ ullt. Ist dann die Umgebung U von x klein genug gew¨ahlt, so gilt f¨ ur y ∈ U ur ein q < 1 gilt. In und alle 0 ≤ t ≤ γ, dass φt (y) − φt (x) ≤ qy − x f¨ Anbetracht des Argumentes f¨ ur Satz 3 ist damit der Beweis leicht zu beenden. Beispiel 19. Einfachste Beispiele mehrdimensionaler Differentialgleichungen erh¨ alt man durch Verallgemeinerung des Modells f¨ ur unbeschr¨anktes Wachstum. Betrachtet man die Differentialgleichung

24

1 Mathematische Variationen u ¨ber dynamische Systeme

x˙ = Ax

x ∈ Rn

(1.10)

mit einer festen n × n Matrix A, so erh¨ alt man die L¨osung zu x(t) = x(0) exp[tA],
∞ −1 k wobei bekanntlich exp[A] die Norm-konvergente Reihe A bek=0 (k!) zeichnet. Der dazugeh¨ orige Fluss besitzt 0 als kritischen Punkt. Betrachtet man dagegen die Differentialgleichung x˙ = A, so ist der dazu gegebene Fluss φt (x) = tAx. Besitzt A nur ganzzahlige Eintr¨age und eine Determinante vom Betrag eins, so kann die Differentialgleichung auf dem Torus Td (Beispiel 5) betrachtet werden, und die L¨osung ist durch φt (x) = tAx mod1 gegeben. Beispiel 20. Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung im Rd schreibt sich als d2 x x ¨ = 2 = f (x). dt F¨ uhrt man y = x˙ als neue unabh¨ angige Variable ein, transformiert sich diese Differentialgleichung in eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung erster Ordnung im R2d = T Rd (Newtonsche Gleichungen): x˙ = y

x ¨ = y˙ = f (x)

mit der Anfangsbedingung x(0) = x und x(0) ˙ = q. Die L¨osung dieser Differentialgleichung definiert also einen partiellen oder globalen Fluss auf T Rd , sofern die L¨ osungen entsprechend wohldefiniert sind. Beispiel 21. [Duffing] x ¨ + ax˙ − bx + x3 = γ cos(ωt) heißt Duffings Differentialgleichung, die einen nichtlinearen Oszillator mit kubischem Steifheitsterm beschreibt. Ohne ¨ außere Kraft (γ = 0) kann die L¨ osung wie in Beispiel 20 erhalten werden. Man reduziert in die Differentialgleichungen erster Ordnung x˙ = v v˙ = bx − av − x3 . Ist b < 0, so gibt es nur aren Punkt x = 0. Ist b > 0, so gibt es √ einen station¨ drei: x = 0 oder = ± b. Das Phasenportrait ist in Abbildung 1.8 dargestellt.

1.4 Normalformen

25

Abb. 1.8. Duffings Oszillator im autonomen Fall. Von oben links nach unten rechts: a = 0, b = 0; a = 0, b = 1; a = 0.1, b = 0; a = 0.1, b = 1

1.4 Normalformen Normalformen dienen zur Beschreibung des Verhaltens dynamischer Systeme in Umgebungen periodischer und station¨ arer Punkte. F¨ ur differenzierbare ¨ Abbildungen T kann das Problem durch Ubergang zu einer geeigneten Iterierten auf Fixpunkte reduziert werden. Das Verhalten in der N¨ahe dieser Punkte wird durch topologische Eigenschaften wie Abstoßung, Rotation oder Attraktion beschrieben; Eigenschaften, die unter Hom¨oomorphie invariant bleiben. Es gen¨ ugt also offenbar, dieses Problem unter lokaler Konjugiertheit zu betrachten, die wie folgt definiert ist. Definition 8. Seien (Ω, T ) ein stetiges dynamisches System und ω ∈ Ω ein Fixpunkt. Es heißt lokal konjugiert zum System (X, S) im Punkt p ∈ X, falls oomorphismus Umgebungen Ui von ω und Vi von p (i = 1, 2) und ein Hom¨ π : U1 ∪ U2 → V1 ∪ V2 existieren, so dass die folgenden Eigenschaften gelten: 1. π(ω) = p, π(U1 ) ⊂ V1 , π(U2 ) ⊂ V2 . 2. S(π(x)) = π(T (x)) ∀x ∈ U1 . 3. T : U1 → U2 und S : V1 → V2 . Konjugiertheit zweier stetiger dynamischer Systeme (Ω1 , G) und (Ω2 , G) (s. Definition 1) ist in ¨ ahnlicher Weise durch die Existenz eines Hom¨oomorphismus π : Ω1 → Ω2 definiert, so dass 2. entsprechend gilt. Beide Definitionen werden durch das nachfolgende Diagramm dargestellt:

26

1 Mathematische Variationen u ¨ber dynamische Systeme T

U1 −−−−→ ⏐ ⏐ π S

U2 ⏐ ⏐π

V1 −−−−→ V2 lokale Konjugation

g

Ω1 −−−−→ ⏐ ⏐ π g

Ω1 ⏐ ⏐π

Ω2 −−−−→ Ω2 Konjugation

Unter einer C r -St¨ orung einer r-mal differenzierbaren Abbildung T0 verur die die Normen Dxj T − Dxj T0  (j = steht man eine C r -Abbildung T , f¨ 0, 1, ..., r, x ∈ M ) klein sind. Satz 8. Eine hinreichend kleine C 1 -St¨ orung T einer invertierbaren, linearen Kontraktion T0 : Rd → Rd ist zu T0 im Punkt 0 lokal konjugiert. Beweis. Da T0 invertierbar ist, und da T eine hinreichend kleine St¨orung ist, muss auch T invertierbar sein. are in Rd vom Radius a und mit Zentrum 0, also Es bezeichne S d (a) die Sph¨ d S (a) = K(0, a) \ K(0, a). Da T : Rd → Rd eine hinreichend kleine St¨orung einer Kontraktion ist, gilt T (K(0, a)) ⊂ K(0, a) f¨ ur ein hinreichend kleines a > 0. Seien A0 := K(0, a) \ T (K(0, a)) und sukzessiv An := T n (A0 ) gesetzt. Dann sind die Mengen An paarweise disjunkt, und ein Hom¨ oomorphismus6 h : A0 → K(0, a) \ (T0 (K(0, a)))◦ kann durch die Festlegung H(v) = T0n (h(T −n (v))) f¨ ur v ∈ An , n ≥ 0, zu einer st¨ uckweise hom¨ oomorphen Abbildung H erweitert werden, die H(T (v)) = T0n+1 (h(T −n−1 (T (v)))) = T0 (H(v))

∀v ∈ An

erf¨ ullt. Es muss also nur gezeigt werden, dass es einen Hom¨oomorphismus h gibt, der auf T S d (a) gerade T0 ◦T −1 und auf S d (a) die Identit¨at ist. Da T eine Perturbation von T0 ist, sind die Normen T −1 (tv) (v ∈ A0 ) strikt monoton wachsend in t > 0, und es gibt daher nur einen Schnittpunkt u ∈ S d (a) von T −1 ({tv : 0 ≤ t ≤ 1}) mit S d (a). Daher gibt es einen Hom¨oomorphismus der gesuchten Art, n¨ amlich h(v) = T0 (u). Definition 9. Sei T : M → M eine differenzierbare Abbildung der Mannigfaltigkeit M . Ein Fixpunkt p ∈ M heißt hyperbolisch, falls Dp T : Tp M → Tp M keinen Eigenwert vom Betrag Eins besitzt. Ist p ein Fixpunkt des Diffeomorphismus T : U ⊂ Rd → T (U ), so bezeichnen W s = {q ∈ U : limn→∞ d(T n (q), p) → 0} und W u = {q ∈ U : 6

E ◦ bezeichnet das Innere der Menge E.

1.4 Normalformen

27

limn→−∞ d(T n (q), p) → 0} die stabile und unstabile lokale Mannigfaltigkeiten im Punkt p. Entsprechende stabile und unstabile Unterr¨aume f¨ ur Dp T werden mit E s und E u bezeichnet. Diese beiden Unterr¨aume sind Dp T invariant und spannen Rd = Tp U auf, wenn p hyperbolisch ist. Man kann x = (xs , xu ) ∈ Rd mit xs ∈ E s und xu ∈ E u schreiben. Die beiden linearen −1 Abbildungen Dp T|E s und Dp T|E u sind Kontraktionen. Satz 9. [Grobman, Hartman] Seien U ⊂ Rd offen und T : U → Rd ein Diffeomorphismus auf sein Bild. Sei p ∈ U ein hyperbolischer Fixpunkt mit unstabiler (stabiler) Mannigfaltigkeit W u (W s ). Es gebe einen orungen T ι : E ι → E ι Hom¨ oomorphismus h : U → h(U ) ⊂ Rd = Tp U und St¨ (ι = u, s) von Dp T|E ι mit h(p) = 0 und h(T (ω)) = (T s (h(ω)s ), T u (h(ω)u )). Dann ist T in p lokal konjugiert zur linearen Abbildung Dp T in 0. ankte St¨ orung von Dp T ist, gibt es nach Beweis. Da T ι eine auf E ι eingeschr¨ Satz 8 lokale Hom¨ oomorphismen hι mit hι ◦T ι = Dp T|E ι ◦hι . Sei H : V → Rn ein lokaler Hom¨ oomorphismus, der durch H(ω) = (hs (h(ω)s ), hu (h(ω)u )) definiert ist. Es folgt H(T (ω)) = (hs (h(T (ω))s ), hu (h(T (ω))u )) = (hs (T s (h(ω)s )), hu (T u (h(ω)u ))) = (Dp T|E s hs (h(ω)s ), Dp T|E u hu (h(ω)u )) = Dp T (H(ω)).

Der Satz u ¨ber die Existenz lokaler stabiler und unstabiler Mannigfaltigkeiten in Kapitel 4, Satz 63, zeigt die Existenz der Hom¨oomorphismen und der St¨ orungen, so dass sich diese Voraussetzungen des Satzes 9 schließlich als nicht notwendig erweisen. Man hat es in dem Satz von Grobman und Hartman mit der lokalen Struktur einer Matrixabbildung zu tun, die nur Eigenwerte vom Betrag = 1 besitzt. Das Phasenbild gibt die Abbildung 1.9 wieder. Im Allgemeinen ist es m¨oglich, das lokale Phasenportrait in einem station¨ aren Punkt im zweidimensionalen Raum vollst¨ andig anzugeben. Bis auf Konjugation von Matrizen gibt es in diesem Fall nur die M¨ oglichkeiten       λ ρ λ 1 λ 0 . C= B= A= −ρ λ 0 λ 0 µ Um die vorkommenden Typen darzustellen, betrachte man die L¨osung der Differentialgleichungen (1.10), die durch     cos ρt sin ρt 1t etλ etλ , x(t) = x0 x(t) = x0 etA , x(t) = x0 − sin ρt cos ρt 01

28

1 Mathematische Variationen u ¨ber dynamische Systeme

y

0

x

Abb. 1.9. Phasenportrait eines hyperbolischen Fixpunktes (Sattel)

gegeben sind. Die Bahn eines Punktes x ∈ R2 ist eine unter dem Fluss invariante Kurve, die den Punkt x enth¨ alt. F¨ ur die Matrix A sind dies offenbar alle Kurven {(u, v) : u > 0, v = c|u|µ/λ }, {(u, v) : x < 0, v = c|u|µ/λ }, {(u, v) : u = 0, v > 0} und {(u, v) : u = 0, v < 0}, die mit 0 = c ∈ R+ parametrisiert sind. Man unterscheidet nun nach den Werten der Eigenwerte der linearen Abbildung. Ist λ/µ positiv, so spricht man von einem Knoten, sonst von einem Sattel. F¨ ur die Matrix B erh¨ alt man die invarianten Kurven (Bahnen) {(u, v) : v > 0; u = cv + λ−1 v log v}, {(u, v) : v < 0; u = cv + λ−1 v log |v|} und {v = 0}. In diesem Fall spricht man von einem entarteten Knoten.

Abb. 1.10. Phasenportrait eines Knotens (links) und entarteten Knotens (rechts)

Schließlich bestimmen sich die Bahnen f¨ ur den Fluss, der durch die Matrix C definiert wird, aus der Parametrisierung eines Kreises vom Radius 1, multipliziert mit exp[tλ]. In diesem Fall spricht man von einem Fokus. Ist λ > 0, entfernt sich ein Punkt vom Fokus, ist λ < 0, wird er angezogen, und im Fall λ = 0 erh¨ alt man eine Rotation (Zentrum). Der Parameter ρ bestimmt die Orientierung der Rotation.

1.4 Normalformen

29

Abb. 1.11. Phasenportrait eines Fokus und eines Zentrums 1 Beispiel 22. Sei das Vektorfeld Φ((x, y)) = (x4 − y 2 − 16 , 2y) (x, y ∈ R) ge1 geben. Die kritischen Punkte sind offenbar ( 2 , 0) und (− 12 , 0). Die Ableitung des Vektorfeldes ergibt  1  ±2 0 1 . D(± 2 ,0) Φ = 0 2

Daraus errechnen sich die Eigenwerte zu λ1 = 2 und λ2 = ± 21 . Es folgt daher, dass der kritische Punkt ( 21 , 0) eine Quelle (abstoßender Knoten) ist, w¨ahrend (− 12 , 2) ein Sattel sein muss (vgl. Abbildung 1.12).

Abb. 1.12. Vektorfeld Φ((x, y)) = (x4 − y 2 −

1 , 2y) 16

Der n¨ achste Satz beschreibt das lokale Verhalten analytischer Abbildungen in der N¨ ahe eines anziehenden Fixpunktes in der komplexen Ebene. Er zeigt insbesondere, dass diese Abbildungen lokal konjugiert zu einer Multiplikationsabbildung sind. Der Satz von Kœnigs ist ein Spezialfall. ´, Siegel] Es seien U ⊂ C und T : U → C eine anaSatz 10. [Poincare lytische Abbildung mit Fixpunkt p und 0 < |T ′ (p)| < 1. Dann gibt es eine Umgebung V von p, eine analytische Abbildung H : V → W = H(V ), so dass

30

1 Mathematische Variationen u ¨ber dynamische Systeme

H(T (z)) = T ′ (p)H(z) gilt. Beweis. O.E. kann man annehmen, dass der Fixpunkt p = 0 ist. Die Abbildung T besitzt dann nach Voraussetzung eine Potenzreihe T (z) = az +
∞ n ′ n=2 an z = az + t(z) in einer Umgebung von 0. Dabei ist a = T (0). Durch Konjugation kann man stets erreichen,
∞ dass jedes an vom Betrag < 1 ist. Die formale Potenzreihe H(z) = z + k=2 bk z k = z + h(z) kommutiert mit T und der Multiplikationsabbildung z → az, falls T (H(z)) = az + ah(z) + t(H(z)) = az + h(az) oder



k≥2

bk (ak − a)z k =



ak (z + h(z))k .

k≥2

Daraus lassen sich durch Koeffizientenvergleich die bk iterativ berechnen, und zwar gibt es Polynome Pk , so dass b1 = 1 und bk (ak − a) = Pk (a2 , ..., ak , b2 , ..., bk−1 )

k ≥ 2.

Man bemerkt, dass das Polynom Pk selbst positive Koeffizienten besitzt, und also eine Absch¨ atzung der Koeffizienten bk in der Form |a||bk |(1 − |a|) ≤ |Pk (a2 , ..., ak , b2 , ..., bk−1 )| ≤ Pk (1, ..., 1, |b2 |, ..., |bk−1 |) gefunden werden kann.
Es ist wohlbekannt, dass die Potenzreihe z − q l≥2 z l in einer Umgebung
von 0 analytisch ist und daher eine Inverse der Form u(z) = z + l≥2 βk z k
besitzt. F¨ ur kleines |z| folgt also die Identit¨ at z = u(z) − q l≥2 u(z)l , und das f¨ uhrt durch Koeffizientenvergleich zu q −1 βk = Pk (1, ..., 1, β2 , ..., βk−1 ). Man setzt nun q −1 = |a|(1 − |a|). Durch Induktion folgt dann, dass jedes βk positiv ist und |bk | majorisiert. Das bedeutet aber, dass die formale Potenzreihe H in einer Umgebung von 0 konvergent ist, also eine analytische Konjugation von T und der Multiplikationsabbildung z → az definiert.

1.5 Bifurkation Die Familie eindimensionaler Funktionen Tc : [0, 1] → [0, 1], Tc (x) = cx(1 − x)

0≤c≤4

wird als logistische Familie bezeichnet. Sie kann als Musterbeispiel betrachtet werden, bei dem eine Bifurkation (Periodenverdoppelung) auftritt und die Feigenbaum-Universalit¨ at veranschaulicht wird.

1.5 Bifurkation

31

Proposition 2. F¨ ur 0 ≤ c ≤ 1 besitzt Tc den Ursprung als einzigen periodischen Punkt. Die Bahn eines beliebigen Startwertes konvergiert gegen diesen Fixpunkt. Beweis. Im Falle c < 1 ist die Abbildung eine Kontraktion. In der Tat gilt c|x(1 − x) − y(1 − y)| = c|(x − y)(1 − x − y)| ≤ c|x − y|. Damit folgt die Proposition aus Satz 3. Da f¨ ur c = 1 stets Tc (x) ≤ x und T1 eine Kontraktion auf (a, 1] (a > 0) ist, folgt die Proposition mit einem Argument wie in Satz 3. Bei c = 1 findet die erste Bifurkation statt. Der attraktive Fixpunkt 0 wird zu einem neutralen Fixpunkt (d.h. T1′ (0) = 1) und bei weiterem Ansteigen des Wertes von c ein abstoßender Fixpunkt. Daf¨ ur entsteht ein neuer Fixpunkt p > 0. Dies ist der Inhalt der zweiten Proposition. Proposition 3. F¨ ur 1 < c ≤ 3 besitzt Tc einen einzigen periodischen Punkt p im offenen Intervall (0, 1), n¨ amlich p = 1 − c−1 . p ist ein Fixpunkt, und die Bahn eines beliebigen Startwertes in (0, 1) konvergiert gegen diesen Fixpunkt. Beweis. Man rechnet sofort nach, dass Tc (1−c−1 ) = 1−c−1 einziger Fixpunkt in (0, 1) ist, und im Intervall 1 < c < 3 der Betrag der Ableitung in diesem Punkt den Wert |c − 2c(1 − c−1 )| = | − c + 2| < 1 annimmt. Somit gibt es eine maximale Umgebung U = (a, b) von p, in der Tc kontrahierend ist (ist c = 3, argumentiert man wie im letzten Beweis f¨ ur c = 1). Die inversen Zweige von Tc bilden das Intervall [0, Tc (1/2)] auf die Intervalle [0, 1/2] und [1/2, 1] ab. Ein inverser Zweig l¨ asst also den einzigen Fixpunkt in (0, 1) invariant, folglich auch das Intervall U . Sei etwa f dieser inverse Zweig. Es gilt dann f n (U ) ⊃ f n−1 (U ). Die Vereinigung W dieser Mengen ist dann ein Intervall und unter Tc invariant. Ist dieser Zweig derjenige, der nach [0, 1/2] abbildet (das geschieht genau dann, wenn c ≤ 2), so ist er orientierungstreu, und die Intervallgrenzen von W sind Fixpunkte oder Endpunkte des Bildbereiches des inversen Zweiges. Es muss also W = [0, Tc (1/2)] gelten. Ist der inverse Zweig dagegen jener, der auf [1/2, 1] abbildet (also f¨ ur 2 < c ≤ 3), so kehrt die Abbildung die Orientierung um, und die Intervallgrenzen k¨ onnen periodische Punkte der Periode 2 sein. Es gilt dann f¨ ur ein 1/2 < a < p, dass Tc2 (a) = a; ein Widerspruch wegen Tc2 (a) = c2 a(1 − a)(1 − ca(1 − a)) < a, und man erh¨ alt W = [0, Tc (1/2)] wie zuvor. F¨ ur c = 3 erh¨ alt man die n¨ achste Bifurkation. Der anziehende Fixpunkt p im Inneren des Einheitsintervalles wird abstoßend. Es entstehen aber keine neuen anziehenden Fixpunkte, sondern anziehende periodische Punkte. Man verdeutlicht das am besten anhand des Graphen der Abbildung Tc2 . (Abb.

32

1 Mathematische Variationen u ¨ber dynamische Systeme

oßert, entstehen in der N¨ahe von 1.13 stellt T32 dar. Wird der Wert 3 vergr¨ 0.667...7 zwei neue Schnittpunkte des Graphen mit der Diagonale, die durch uhrt werden.) Erh¨ oht man den Wert von c, so ensteTc ineinander u ¨berf¨ 1

0

0.667...

1

Abb. 1.13. Graph der Abbildung T32

hen nacheinander periodische Punkte, die Perioden der L¨ange 2, 4, 8, ..., 2n , ... besitzen. Beim Wert c = 3.67... entstehen periodische Punkte der L¨ange 3 · 2, 3 · 4, ....3 · 2n , ... und so weiter, bis schließlich auch die periodischen Punkte ungerader Perioden auftreten. Die Abbildung 1.14 veranschaulicht die Situation. F¨ ur c = 4 ist dieses letzte Stadium erreicht, wie der n¨achste Satz zeigt. 1

0.8

0.6

0.4

0.2

2.5

3

3.5

4

Abb. 1.14. Feigenbaum-Diagramm

7

Es wird stets die angels¨ achsische Schreibweise von Dezimalzahlen benutzt.

1.5 Bifurkation

33

Satz 11. Die Abbildung T4 besitzt mindestens 2n periodische Punkte der Periode n. Beweis. Sei n ∈ N. W¨ ahlt man die Zerlegung in die zwei Mengen A0 = [0, 1/2] und A1 = [1/2, 1], so bildet T4 jedes Intervall Ai eineindeutig auf [0, 1] ab. Daher ist f¨ ur jede Folge i0 , ..., in−1 von Nullen und Einsen das Intervall Ai0 ,i1 ,...,in−1 =

n−1 

T4−l Ail

l=0

nicht leer und wird unter T4n auf [0, 1] eineindeutig abgebildet. Folglich gibt es mindestens einen Fixpunkt dieser Abbildung. Da die Anzahl der W¨orter i0 , i1 , ..., in−1 gerade 2n ist, hat man alles gezeigt. Das soeben beschriebene Szenario ist recht allgemein. Sei {Tλ : λ ∈ J} eine Familie glatter Funktionen, die ein Intervall I in sich abbilden. Angenommen, Tµ besitzt einen anziehenden Fixpunkt p. Dann besitzen alle Abbildungen Tλ einen anziehenden Fixpunkt pλ , sofern λ nahe genug bei µ liegt (vgl. Satz 8). Sei µ1 die obere Grenze der Zusammenhangskomponente von {λ > µ : Tλ besitzt einen stabilen Fixpunkt}, in der µ liegt. Dann wird der stabile Fixpunkt f¨ ur λ > µ1 unstabil, und ein stabiler Punkt der Periode zwei erscheint neu. F¨ ur die quadratische Familie ist dies im Wesentlichen in den Propositionen 2 und 3 gemacht worden. Sei also µk−1 derjenige Parameterwert, bei dem eine Periodenverdoppelung auftritt, und zwar zum ersten Mal eine stabile periodische Bahn der (nicht reduzierbaren) Periode k auftritt. Sei atsaussage beinhaltet, dass µ∞ = limk→∞ µk . Feigenbaums Universalit¨ lim

n→∞

und

µn+1 − µn = Θ−1 µn − µn−1

µ∞ − µk ∼ CΘ−k

k≥1

gelten, wobei C eine nur von der Familie Tλ abh¨angige Konstante, und Θ eine universelle Konstante ist, die sog. Feigenbaum-Konstante. Numerische Approximation liefert Θ = 4.669... . Eine Erkl¨ arung dieses Ph¨ anomens kann durch Renormalisierung gegeben werk den. Im Intervall (µk−1 , µk ) ist die Ableitung von Tλ2 im stabilen periodischen Punkt pλ der Periode 2k monoton fallend von 1 nach −1 gem¨aß der Annahme. Es gibt also einen Wert λk ∈ (µk−1 , µk ), an dem diese Ableitung verschwindet. Diese Abbildungen sind bis auf eine feste lineare Koordinatentransformation im Wesentlichen von gleicher Gestalt (Feigenbaums Hypothese), und ihre Renormalisierung Ψ muss die Funktionalgleichung Ψ (x) =

Ψ 2 (−x/Ψ (1)) Ψ (1)

34

1 Mathematische Variationen u ¨ber dynamische Systeme

erf¨ ullen. F¨ ur die quadratische Familie Tλ (x) = λx(1 − x) des Einheitsintervalls beur den der kritische Punkt trachtet man also denjenigen Parameterwert λn , f¨ n c unter Tλn die Periode 2n besitzt. Sei J dasjenige Intervall, das unter Tλ2n invariant ist und c als kritischen Fixpunkt unter dieser Abbildung enth¨alt (siehe Abbildung 1.15). Die auf dieses Intervall eingeschr¨ankte Abbildung 1

0

0.5

0.691.. 0.809..

1

Abb. 1.15. Renormalisierung bei λ1 = 1 +

√

5

n

Tλ2n ist zur Abbildung Tλn konjugiert, aber im Allgemeinen nicht verm¨oge einer affinen Abbildung. Die eindeutig bestimmte affine Abbildung f , die das n Intervall J ordnungstreu nach I = [0, 1] abbildet, konjugiert Tλ2n zu n

R(Tλn ) := f ◦ Tλ2n ◦ f −1 . R nennt man den Renormalisierungsoperator. Die Ableitung dieses Operators besitzt den Eigenwert Θ und s¨ amtliche anderen Eigenwerte liegen innerhalb ¨ des Einheitskreises. Der Ubergang zu nicht-deterministischem Verhalten geschieht am Fixpunkt dieses Operators, also einer Abbildung g : I → I mit der Eigenschaft, dass es a, b ∈ R mit g(x) = a−1 (g 2 (ax + b) − b) (x ∈ I) gibt. ¨ F¨ ur die logistische Familie findet dieser Ubergang bei µ∞ ≡ 3.80231... statt. Es sei noch angemerkt, dass die Abbildungen Tµn die topologische Entropie Null besitzen, also als deterministisch interpretierbar sind. Der bisher besprochene Typ einer Bifurkation ist eine Periodenverdoppelung. Aus der Reihe weiterer Typen von Bifurkationen sei noch kurz die HopfBifurkation erw¨ ahnt, bei der ein Paar komplexer Eigenwerte der Ableitung den Einheitskreis u ¨berschreiten. Beispiel 23. Das Differentialgleichungssystem x˙ = −y + x(µ − x2 − y 2 ) y˙ = x + y(µ − x2 − y 2 )

1.5 Bifurkation

35

Abb. 1.16. Hopf-Bifurkation: Bifurkationspunkt rechts

besitzt globale L¨ osungen f¨ ur jedes µ ∈ R, und 0 ist ein kritischer Punkt des Vektorfeldes Φµ mit Ableitung   µ −1 D0 Φµ = . 1 µ F¨ ur µ = 0 reduziert sich das System auf die Differentialgleichung in Beispiel 14 (1.6). Es gibt also f¨ ur µ > 0 eine geschlossene Bahn, die den Nullpunkt einschließen und gegen 0 konvergieren, wenn µ ↓ 0. F¨ ur µ ≤ 0 ist der Nullpunkt in einer festen Umgebung der 0 stets anziehend. Es liegt also eine HopfBifurkation vor (s. Abbildung 1.16, bei der links µ < 0 und rechts µ > 0 dargestellt sind). Ein wichtiges Beispiel f¨ ur das Verhalten von St¨orungen dynamischer Systeme, wenn Eigenwerte auf der S 1 liegen, wird durch Familien rationaler Abbildungen beschrieben. Betrachtet man das mit λ parametrisierte quadratische Polynom Pλ (z) = z 2 + λ, √

definiert auf S 2 = S 2 (1), so bestimmen sich die Fixpunkte zu p± = 1± 21−4λ mit Ableitungen 2p. F¨ ur λ = 0 ist p− = 0 ein superanziehender Fixpunkt (d.h. Pλ′ (0) = 0) und p+ = 1 ein abstoßender Fixpunkt. Der Fixpunkt p− bleibt f¨ ur relles λ < 1/2 anziehend und p+ abstoßend. Setzt man λ = 1/4, besitzt p+ = p− = 1/2 die Ableitung 1. Die beiden Fixpunkte fallen zusammen. Wenn λ nur die reelle Achse durchl¨ auft, hat man zwei reelle Fixpunkte nur f¨ ur λ < 1/4. Die Mandelbrot-Menge M ist die Menge aller Parameter λ, ankt bleibt. Ist λ ∈ M, so ist p− stets ein anziehender so dass Pλn (0) beschr¨ Fixpunkt, bzw. ein Punkt im Rand eines Anziehungsbereiches. Außerhalb der Mandelbrot-Menge sind die Fixpunkte abstoßend. Es liegt bei λ = 1/4 also eine Bifurkation vor.

36

1 Mathematische Variationen u ¨ber dynamische Systeme

Anmerkung 1. F¨ ur λ im Inneren der Hauptkomponente von M ist die Julia-Menge ein konformer Repeller und eine Jordan-Kurve. Die HausdorffDimension der Julia-Menge h¨ angt reell analytisch von λ ab. F¨ ur λ = 1/4 ist die Julia-Menge eine Jordan-Kurve mit einer stetig fortgesetzten HausdorffDimension, aber kein konformer Repeller. Die Hausdorff-Dimension ist als Funktion von λ ∈ C nicht stetig im Parameterwert 1/4. Die Julia-Menge f¨ ur Werte außerhalb der Mandelbrot-Menge ist unzusammenh¨angend, f¨ ur Werte auf dem Rand erh¨ alt man topologisch unterschiedliche Typen von JuliaMengen (dargestellt in Abschnitt 2.4).

1.6 Diophantische Approximation Die Frage der besten rationalen Approximation von α ∈ [0, 1) l¨ost die Kettenbruchdarstellung, die bereits in Beispiel 3 angesprochen wurde. Es sei T : [0, 1) → [0, 1) durch T (x) = x1 , (x = 0), dem gebrochenen Anteil von x−1 , und T (0) = 0 definiert (man kann den Punkt 1 hinzunehmen). Diese Abbildung heißt Gauß-Abbildung (vgl. Beispiel 3). Satz 12. 1. α ist genau dann rational, wenn T n (α) schließlich verschwindet.   1 der ganzzahlige Anteil von 2. Seien α irrational und κn = T n−1 (α) 1 T n−1 (α) .

Schreibt man die endlichen Kettenbruchentwicklungen in der

Form

1

κ0 + κ1 +

=

1 κ2 + ... +

mit teilerfremden pn und qn > 0, so gilt  α − pn = min α − qn und

1 κn

pn qn

 p : |q| ≤ q n q

(1.11)

pn . n→∞ qn

α = lim

  Beweis. 1. Wegen T (α) = α1 − α1 = α1 − κ1 ist mit rationalem α auch T (α) rational und umgekehrt. Daraus folgt die Behauptung unmittelbar. 2. Es seien rekursiv p0 = 0, q0 = p1 = 1, q1 = κ1 und pn+1 = pn−1 + pn κn+1 qn+1 = qn−1 + qn κn+1 definiert. Man bemerkt, dass

1.6 Diophantische Approximation

α=

pn+1 + T n+1 (α)pn qn+1 + T n+1 (α)qn

gilt. In der Tat ist f¨ ur n = 0 man

1 α

n≥0

37

(1.12)

= κ1 + T (α), und durch Induktion erh¨alt

pn+1 + T n+1 (α)pn pn−1 + (κn+1 + T n+1 (α))pn = qn+1 + T n+1 (α)qn qn−1 + (κn+1 + T n+1 (α))qn 1 pn−1 + T n (α) pn pn + T n (α)pn−1 = = . qn + T n (α)qn−1 qn−1 + T n1(α) qn Es folgt ebenso durch Induktion, dass α − pn = |qn pn+1 − pn qn+1 | qn qn (qn+1 + T n+1 (α)qn ) 1 1 |qn−1 pn − pn−1 qn | = ≤ = . qn (qn+1 + T n+1 (α)qn ) qn (qn+1 + T n+1 (α)qn ) qn qn+1 Da qn exponentiell schnell gegen ∞ strebt, konvergieren die partiellen Kettenbruchentwicklungen gegen α ∈ Q. Setzt man nun f¨ ur α die partielle Kettenbruchentwicklung α=

1 κ1 + ... +

1 κn+1

,

¨ so gilt T n (α) = κ−1 n+1 , und man sieht aus der folgenden Uberlegung, dass die Quotienten pn /qn gerade diese partielle Kettenbruchentwicklung darstellen: Aus (1.12) folgert man α=

pn + κ−1 n+1 pn−1 qn + κ−1 n+1 qn−1

=

pn+1 . qn+1

Aus der Konstruktion folgt sofort, dass die Approximation mittels der partiellen Kettenbruchentwicklung die beste rationale Approximation im Sinne von (1.11) ist. Korollar 2. F¨ ur irrationales α und f¨ ur jede partielle Kettenbruchentwicklung pqnn mit teilerfremden pn und qn gilt α − pn ≤ 1 . qn qn2

Definition 10. Eine Zahl α heißt Diophantisch, falls ein a ≥ 0 und K > 0 existieren, so dass p 2+a inf q α − q ≥ K. p,q∈Z;q =0 α heißt Liouville, falls sie nicht Diophantisch ist.

38

1 Mathematische Variationen u ¨ber dynamische Systeme

Definition 11. Sei (Ω, B, m, T ) ein maßtheoretisches dynamisches System. Eine Familie α von endlich oder abz¨ ahlbar vielen Mengen positiven Maßes heißt eine Markoff-Zerlegung, falls die folgenden Eigenschaften gelten:
1. A∈α m(A) = 1. ur alle A = A′ ∈ α. 2. m(A ∩ A′ ) = 0 f¨ 3. Sind A, A′ ∈ α und gilt m(T (A) ∩ A′ ) > 0, so folgt A′ ⊂ T (A) f.s. 1 , k1 ] : k ≥ 1} ist Markoffsch f¨ ur die GaußSatz 13. Die Zerlegung α = {( k+1 2 Transformation T . T ist auf jedem Intervall der Zerlegung α ∨ T −1 α expandx ist eine T -invariante Wahrscheinlichkeitsdierend. Das Gauß-Maß log1 2 1+x verteilung auf Ω = [0, 1). 1 , k1 ] gilt k ≤ x1 < k + 1, und daher ist T auf diesem Beweis. F¨ ur x ∈ ( k+1 1 Intervall injektiv mit Bild [0, 1). Ein beliebiger Punkt x ∈ ( k+1 , k1 ] besitzt die d (x−1 − k) = −x−2 ≤ −k 2 . Es gilt also |T ′ (x)| ≥ 1 und Ableitung T ′ (x) = dx ur x ≥ 3/4 der Punkt T (x) ≤ 1/3 ist, muss T 2 |T ′ (x)| ≥ 16/9 (x ≤ 3/4). Da f¨ expandierend im Sinne der Definition in Beispiel 3 sein. Die Invarianz des Gauß-Maßes im Sinne von Definition 1 ist nicht allzu schwer zu beweisen.

Die Gauß-Abbildung ist eine typische Vertreterin aus der Familie der st¨ uckweise expandierenden Markoff-Abbildungen des Einheitsintervalles. Seien L das Lebesgue-Maß auf [0, 1] und T : [0, 1) → [0, 1) eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften: 1. Es gibt eine Zerlegung α = {A1 , A2 , ...} des Einheitsintervalles in halboffene Intervalle Ai , so dass T|Ai eine Bijektion auf [0, 1) ist (L f.s.). 2. T ist auf jedem Intervall A ∈ α zweimal stetig differenzierbar. d ur ein N ∈ N. 3. Es gilt Λ := inf A∈α inf x∈A dx T N (x) > 1 f¨ 4. T ′′ (x) < ∞. M := sup sup ′ ′ A∈α x,y,z∈A T (y)T (z)

Bedingung 1. ist die Markoff-Eigenschaft der Zerlegung α und Eigenschaft 4. nennt man die Adler-Bedingung. Definition 12. Sei (Ω, B, T, m) ein maßtheoretisches dynamisches System.  Es heißt exakt, wenn die terminale σ-Algebra n≥0 T −n B trivial ist, d.h. nur aus Mengen vom vollen oder verschwindenden Maß besteht. Satz 14. Eine Intervallabbildung T mit den Eigenschaften 1.-4. besitzt ein eindeutig bestimmtes invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß m, das ¨ aquivalent zum Lesbesgue-Maß ist. Das dynamische System ([0, 1), B, T, m) ist exakt und α ist ein Erzeuger der σ-Algebra B.

1.6 Diophantische Approximation

39

Beweis. Sei α0n = α ∨ T −1 α ∨ ... ∨ T −n+1 α die gemeinsame Verfeinerung der Zerlegungen α, ..., T n−1 α. Die Elemente von α0n sind ebenfalls Intervalle und d die l¨ angsten Intervalle A(l) in α0l (l ≥ 1) erf¨ ullen inf x∈A(n+N )  dx T N (x) L(A(n + N )) ≤ L(An ). Es folgt L(A(n)) ≤ Λ−[n/N ] L(A(1))

n ≥ 1.

Die L¨ angen der Intervalle in α0n streben also exponentiell schnell gegen 0. Daher ist α ein Erzeuger. Sei n ′ (T ) (x) Dn := sup sup n ′ . (T ) (y) A∈αn 0 x,y∈A Lemma 1. F¨ ur Mengen positiven Maßes C, f¨ ur A ∈ α0p und n ≥ p gilt Dn−1 ≤

L(T −n C ∩ A) ≤ Dn . L(C)L(A)

Beweis. Wegen minn L(T −n (C)|B) ≤

B∈α0



L(T −n (C)|D)

A⊃D∈αn 0

L(D) L(A)

= L(T −n (C)|A) ≤ maxn L(T −n (C)|B) B∈α0

erh¨ alt man aus dem Mittelwertsatz Dn−1 ≤

L(T −n (C) ∩ A) ≤ Dn L(C)L(A)

(1.13)

f¨ ur jedes A ∈ α0n , also auch jedes A ∈ α0p . In a ur x, y ∈ B ein ξ ∈ B ¨hnlicher Weise folgt aus dem Mittelwertsatz, dass f¨ mit ′′ ′ T (x) ≤ 1 + T (ξ) L(B) T ′ (y) T ′ (y) existiert. Iteration zeigt daher

Dn+1 ≤ Dn (1 + M L(A(n))) ≤ L(A(1))

∞  (1 + M L(A(l))) ≤ M1 < ∞, l=1

(1.14) da die Summe der L(A(l)) konvergiert. Nach diesen Vorbereitungen kann der Beweis des Satzes gef¨ uhrt werden. Exaktheit des Lebesgue-Maßes folgt aus (1.13), denn f¨ u r ein terminales Ereignis  C ∈ n≥0 T −n B gilt L(C ∩ A) ≥ M1−1 . L(C)L(A)

40

1 Mathematische Variationen u ¨ber dynamische Systeme

Da α ein Erzeuger ist, kann das Komplement C c durch endliche Vereinigungen von Intervallen A ∈ α0p approximiert werden. Ist also p hinreichend groß, folgt 0 = M1 L(C ∩ C c ) ≥ L(C)L(C c ) − o(1). Daher muss schon L(C) = 1 oder L(C) = 0 gelten. p Summiert man in (1.13) u ¨ber A ∈ α0 und benutzt (1.14), so folgt zun¨achst M1−1 ≤

L(T −n (C)) ≤ M1 . L(C)

(1.15)

Man definiert nun das Maß m als schwachen H¨aufungspunkt der Folge von
n−1 Wahrscheinlichkeitsmaßen n1 k=0 L ◦ T −k auf [0, 1] ([5], S.59, Satz von Prohorov). Aus (1.15) folgt sofort, dass M1−1 ≤ m(C)/L(C) ≤ M1 , also die ¨ Aquivalenz der Maße m und L. Aus der Definition folgt auch sofort, dass m ein invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß ist. Mit dem Martingalkonvergenzsatz ([8], S. 92) folgt nun     dL −n dL −n dm = T B dm → m(C), E L(T (C)) = dm T −n (C) dm T −n (C) ¨ d.h. m ist eindeutig. Wegen der Aquivalenz zum Lebesgue-Maß ist m auch exakt.

Es gibt einen wichtigen Zusammenhang der Gauß-Abbildung zur hyperbolischen Geometrie (s. [4], Kapitel 3) und zum geod¨atischen Fluss, der nun dargestellt werden soll. Die obere Halbebene H := {z ∈ C : ℑz > 0} der d|z|2 komplexen Ebene besitzt die hyperbolische Metrik ds2 = (ℑz) 2 . Sie wird die Poincar´esche Halbebene genannt (auch gebr¨auchlich ist die Bezeichnung Lobaschewski-Ebene). Man kann die Riemannsche Metrik direkt durch u, vz =

ℜuv (ℑz)2

u, v ∈ Tz H ≡ C

angeben. Eine Matrix A ∈ GL(2, R) mit positiver Determinante definiert eine M¨ obius-Transformation g = gA durch   az + b ab g(z) = z ∈ H, A = . cd cz + d Man rechnet sofort nach, dass g wohldefiniert und eine Isometrie ist. Der Kern der Abbildung A → gA ist R, und deshalb ist die Gruppe der M¨obiusTransformationen gerade PSL(2, R) = SL(2, R)/{±I}, die Gruppe der Matrizen mit Determinante 1. Geod¨atische γ auf H werden durch Halbkreise mit Zentrum in R und zu R vertikale Halbgeraden beschrieben. Sie sind zweideutig durch einen ihrer Punkte z ∈ γ und jeweils einen

1.6 Diophantische Approximation

41

der beiden Tangentenvektoren v und −v, tangential an γ in z, bestimmt. Der geod¨ atische Fluss auf dem Einheitstangentialb¨ undel SH = {(z, u) ∈ Tz H : u = 1} bildet unter der Zeit t-Abbildung φt einen Tangentenvektor v in z ∈ H auf einen Tangentenvektor w gleicher Orientierung im Punkt y ab, wobei y auf der durch z und v bestimmten Geod¨atischen im geod¨atischen Abstand t von z in Richtung von v liegt, und w tangential an diese Geod¨atische ist. Die Gruppe der M¨ obius-Transformationen operiert auf SH durch

z(−∞)

z(∞) (z(t), v(t)) (z(t + s), v(t + s))

(z(t + s), v(t + s)) i

(z(t), v(t))

z(−∞)

z(∞) 1

Poincar´e-Modell

Lobaschewski-Ebene

Abb. 1.17. Geod¨ atischer Fluss

(g, (z, v)) → (g(z), v + arg(g ′ (z)))

z ∈ H, v ∈ Sz H,

wobei y = |y|e2πiarg(y) gesetzt wird. Man rechnet leicht nach, dass hierdurch eine Gruppenoperation im Sinne von Definition 1 definiert ist. Proposition 4. Der geod¨ atische Fluss kommutiert mit der Operation der M¨ obius-Transformationen auf SH. atische Fluss, φt (z, v) = (z(t), v(t)). Eine M¨obiusBeweis. Sei φt der geod¨ Transformation g bildet geod¨ atische Linien wieder in solche ab. Also geh¨ort atischen, die durch g((z, v)) definiert ist. Sei τ ∈ R so g(φt (z, v)) zur Geod¨ bestimmt, dass g(φt (z, v)) = φτ (g((z, v))). Da g ebenfalls eine Isometrie in der hyperbolischen Metrik ist, besitzt g(φt (z, v)) den hyperbolischen Abstand t von g((z, v)). Es folgt, dass |τ | = |t|. t und τ k¨ onnen aber auch nicht verschiedene Vorzeichen besitzen, da sonst ur t → ∞ gegen verschiedene Endpunkte der g(φt (z, v)) und φτ (g((z, v))) f¨ Geod¨ atischen durch g(z, v) streben. Eine Fuchssche Gruppe Γ ist eine diskrete Untergruppe der Gruppe PSL(2, R) der M¨ obius-Transformationen. Sie definiert eine Fl¨ache durch Γ \H = {Γ x : x ∈ H}.

42

1 Mathematische Variationen u ¨ber dynamische Systeme

Der geod¨ atische Fluss φΓ auf Γ \H wird dann kanonisch durch φΓt (Γ x, v) = (Γ x(t), v(t))

definiert, denn f¨ ur g ∈ Γ gilt (Γ (gx(t)), v(t)) = (gΓ x(t), v(t)).

Beispiel 24. Die Gruppe Γ (1) = PSL(2, Z) nennt man die volle modulare Gruppe, eine Untergruppe Γ ⊂ Γ (1) heißt eine modulare Gruppe, wenn sie endlichen Index besitzt. Γ (1) wird durch die beiden M¨obiusTransformationen g1 (z) = z + 1 und g2 (z) = − z1 erzeugt. Man rechnet leicht nach, dass g22 = (g1 g2 )3 = I. Γ (1)\H heißt die modulare Fl¨ache. Ihr Fundamentalbereich F ist in der Abbildung 1.18 dargestellt. Betrachtet man einen

A

F

(z, v)

φt (z, v) Π(z, v)

i

0

1/2

1

Abb. 1.18. Modulare Gruppe

Punkt (z, v) einer Geod¨ atischen, so dass z auf dem Bogen A liegt und v in das Innere von F weist, so wird er unter der Poincar´e-Abbildung (s. Satz 57) Π : A → A,

Γ (1)

Π((z, v)) = φt

(z, v)

undel SA mit t = inf{s > 0 : φs (z, v) ∈ A} in einen Punkt in dem Sph¨arenb¨ abgebildet, der durch Anwendung der Transformationen g1 , g1−1 oder g2 nach Durchlaufen des Fundamentalbereiches F entsteht. Dabei werden die ersten Transformationen mehrmals durchlaufen, w¨ ahrend die letztere h¨ochstens einmal benutzt wird. Das bedeutet aber, dass der rechteFußpunkt κ(z, v) auf 1 [0, 1] von (z, v) gerade der Punkt κ(Π(z, v)) = κ(z,v) wird. Man kann also die Gauß-Abbildung u ¨ber die modulare Gruppe studieren.

2 Null- und eindimensionale dynamische Systeme

Dynamische Systeme (Ω, T ) niedriger Dimension besitzen einen Zustandsraum Ω, der entweder total unzusammenh¨ angend (z.B. Cantor-Menge), einoder zweidimensional ist. Das Besondere an diesen Dynamiken ist einerseits die spezielle topologische Struktur des Raumes, wie etwa eine totale Ordnungsstruktur oder eine komplexe Struktur. Das f¨ uhrt zu besonders eleganten und vollst¨ andigen Resultaten. Andererseits sollte man sie als Modell ansehen, das zum Verst¨ andnis h¨ oher-dimensionaler Dynamiken beitr¨agt. Jeder der vier Typen von Dynamiken in diesem Kapitel besitzt seine eigene charakteristische Vorgehensweise zur Beschreibung seines Verhaltens. W¨ ahrend es f¨ ur die Abbildungen des Einheitsintervalls die totale Ordnungsstruktur ist, benutzten Hom¨ oomorphismen der S 1 die Methode der Rotationszahl, topologische Markoff-Ketten Matrixalgebra und rationale Abbildungen die konforme Struktur der Riemannschen Sph¨are S 2 . Dieses Kapitel beschr¨ ankt sich auf einige wesentliche Aspekte der Theorie, die Literaturliste enth¨ alt spezielle B¨ ucher zu jedem Themenbereich. Obwohl Resultate u ¨ber Abbildungen des Einheitsintervalls seit jeher in der Literatur zu finden sind (s. Kapitel 1), kann man von einer Theorie erst in neuerer Zeit sprechen. Nach vereinzelten Arbeiten u.a. von Ulam, Renyi und anderen ver¨ offentlichte Alexander N. Scharkowski im Jahre 1964 sein nach ihm benanntes Theorem. Etwa 1978 wurde es allgemein bekannt, nachdem zuvor eine schw¨ achere Form und die Entdeckung eines recht allgemeinen Satzes u ¨ber die Existenz invarianter Dichten (im Sinne von Renyi) das Interesse an einer allgemeinen Theorie geweckt hatte, und wesentlich zur Entwicklung der sogenannten Chaostheorie beitrug, unter der man allgemein sensitive Abh¨ angigkeit von Anfangszust¨ anden verstehen kann. Besonderes Interesse in der Literatur findet die logistische Familie, oder allgemeiner eingipflige Abbildungen. Hierf¨ ur ist die Milnor-Thurston Theorie fundamental, die auf der Beobachtung basiert, dass die Knetsequenz diese dynamischen Systeme beschreibt. Sie entstand um 1980. Die Entdeckung von HufeisenStrukturen in dynamischen Systemen durch Smale (s. Abschnitt 3.2) hat auch zur Entdeckung solcher Dynamiken unter Intervallabbildungen durch Misiurewicz gef¨ uhrt. Gleichermaßen k¨ onnen viele, in sp¨ateren Kapiteln beschriebene Theorien auch f¨ ur Intervallabbildungen formuliert werden. Struk-

44

2 Null- und eindimensionale dynamische Systeme

turstabilit¨ at (s. Abschnitt 4.4) und die Doeblin-Fortet Theorie (s. Abschnitt 5.2) seien beispielsweise genannt. Die dyadische Entwicklung reeller Zahlen kann man als Kodierung durch Folgen von zwei Symbolen ansehen, die direkte Anwendungen als formale Sprache erm¨ oglicht. Spezielle Folgen von Nullen und Einsen wurden bereits von Friedrich Sturm (1841–1919) oder Otto Toeplitz (1881–1940) untersucht. Auch die Entwicklung des ersten Computers durch Konrad Zuse (1910–1995) mag von solchen Ideen beeinflusst sein, jedenfalls ist es die Arbeit von Lempel und Ziv 1978, die zu den heute benutzten Kompressionsalgorithmen f¨ ur Datens¨ atze gef¨ uhrt hat. Der Begriff der topologischen Markoff-Kette (benannt nach Andrei A. Markoff (1856–1922)) ist der Wahrscheinlichkeitstheorie entnommen, und bezeichnet eine topologische Struktur von Symbolfolgen, die durch eine Ausschlußregel f¨ ur Paare von Symbolen erkl¨art ist. Sie tauchen in der differenzierbaren Dynamik erstmals in Zusammenhang mit der Konstruktion von Markoff-Zerlegungen auf, die von Adler und Weiss im Jahre 1967 zun¨ achst f¨ ur Torusautomorphismen konstruiert wurden, sodann von Sinai und Bowen f¨ ur hyperbolische Systeme (s. Kapitel 4). In der Ergodentheorie und topologischen Dynamik werden Teilschifts seit langem untersucht (s. Abschnitte 3.4 und 5.5). Die Charakterisierung der Hom¨ oomorphismen der Kreislinie ist zun¨achst einmal mit Henri Poincar´e verbunden. Er gilt als der Begr¨ under der modernen Theorie dynamischer Systeme, insbesondere sind seine Gedanken zu sensitiver Abh¨ angigkeit, Unvorhersagbarkeit und Zufall stets aktuell. Im Zusammenhang mit Hom¨ oomorphismen der Kreislinie erfand er den Begriff der Rotationszahl und bewies die Klassifizierung aller topologisch transitiver, orientierungstreuer Hom¨ oomorphismen. Im Jahr 1932 ver¨offentlichte Arnaud Denjoy seine Arbeit, die den nach ihm benannten Satz enth¨alt. Der Begriff der beschr¨ ankten Verzerrung wurde in seiner Arbeit erstmals gepr¨agt. Es muss in diesem Zusammenhang erw¨ ahnt werden, dass Wladimir I. Arnold die Konjugation zu einer analytischen Konjugation im Jahr 1961 versch¨arfte. Hierzu sind Diophantische Bedingungen notwendig, die zu neuen Problemen und zur Arnold Vermutung f¨ uhrten. Um 1920 legten Pierre Fatou und Gaston Julia die Grundlagen zur Iterations¨ theorie rationaler Funktionen. Uber Jahrzehnte wurden kaum Fortschritte in der Entwicklung der Theorie gemacht. Ein Meilenstein ist die Bestimmung der nach ihm benannten Komponenten der Fatou-Menge durch Carl Ludwig Siegel im Jahre 1942 (man vergleiche auch das Poincar´e-Siegel Theorem in Abschnitt 1.4, das dort allerdings nur im Poincar´e-Fall (|λ| =  1) bewiesen wird). Die Arbeiten von Dennis Sullivan um 1985 l¨osten das alte Problem positiv, dass die Komponenten der Fatou-Menge schließlich periodisch sind. Das er¨ offnete seitdem eine Neuorientierung der Theorie. Einige Jahre fr¨ uher gelang es Hubbard zum ersten Mal graphische Darstellungen von Julia-Mengen auf dem Computer zu berechnen (die ersten visuellen Darstellungen stammen offenbar von Cremer in den 20er Jahren). Die Mandelbrot-Menge erschien

2.1 Intervallabbildungen

45

etwas fr¨ uher, ist aber keine Julia-Menge. Eine interessante Anwendung der Iterationstheorie rationaler Funktionen findet man in Abschnitt 3.3. Auch dient sie als Motivation zur Theorie der Markoff-Systeme in Abschnitt 5.6.

2.1 Intervallabbildungen Selbstabbildungen eines nicht notwendigerweise beschr¨ankten, abgeschlossenen Intervalles I ⊂ R stellen ein klassisches Thema der Dynamik dar. Booles Transformation x → x − x1 (x ∈ R \ {0}) oder die Gauß-Abbildung (s. Abschnitt 1.6) x → { x1 } (0 < x ≤ 1) sind Funktionen, deren Iterationsverhalten schon im 19. Jahrhundert untersucht wurde. Die Gauß-Abbildung wurde bereits im Abschnitt 1.6 behandelt, die erstgenannte Transformation ist besonders deswegen interessant, weil sie ein unendliches invariantes Maß besitzt (s. Abschnitt 5.6). Die Abbildungen sind zwar in 0 nicht definiert, jedoch spielt dies keine wesentliche Rolle. Die quadratische Familie (logistische Familie, s. Abschnitt 1.5) {Ta : 0 ≤ a ≤ 4} wird durch Abbildungen Ta (x) = ax(1 − x) 0 ≤ x ≤ 1 definiert. Jede einzelne Abbildung ist eine Parabel mit Fixpunkt 0. 1 ist das zweite Urbild der 0 und 1/2 der kritische Punkt. Jede quadratische Abbildung ist stetig und st¨ uckweise monoton. Eine Variante dieser Familie wird durch die folgenden Familien {Ta } (die mehrfache Benutzung der Symbolik Ta und des Begriffes Zeltabbildung sollte nicht zu Verwirrung f¨ uhren) von Zeltabbildungen definiert. Hier kann man 1 Ta (x) = 1 − a x − 1 + 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ a ≤ 2, a oder

a (1 − |1 − 2x|) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ a ≤ 2 2 setzen. Auch diese Abbildungen sind stetig und st¨ uckweise monoton, allerdings im Inneren des Einheitsintervalles nicht mehr differenzierbar. Dies ist andererseits ein Vorteil, denn alle Punkte besitzen eine Ableitung vom Betrag > 1, ausgenommen der kritische“ Punkt. Die β-Transformationen wurden ” bereits erw¨ ahnt (s. Beispiel 3). Sie sind f¨ ur β ≥ 1 durch Tβ (x) = βx mod 1 definiert (0 ≤ x ≤ 1). Einen Fixpunkt einer Transformation T des Einheitsintervalles kann man aus der Gleichung T (x) − x = 0 berechnen, periodische Punkte der Periode n aus alt man sie als Schnittpunkte des Graphen von T n (x) − x = 0. Graphisch erh¨ T n mit der Diagonalen. Da eine stetige monotone Abbildung Intervalle orientierungstreu oder unter Umkehrung der Orientierung jeweils auf Intervalle abbildet, hat man durch die Dimension 1 des Raumes Ω = I eine starke Ta (x) =

46

2 Null- und eindimensionale dynamische Systeme

1

0

1

Zeltabbildung

1

0

1

quadratische Abb.

1

0

1 Intervallvertauschung

Abb. 2.1. Beispiele von Intervallabbildungen

Eigenschaft zur Verf¨ ugung, um die Struktur periodischer Punkte zu untersuchen. Besitzt z.B. eine periodische Bahn die Periode drei, {x1 < x2 < x3 }, so kann x1 entweder nach x2 oder nach x3 abgebildet werden. Im ersten Fall erh¨ alt T die Orientierung der Bahn, im zweiten wird sie umgekehrt. Neben dieser einfachen Beobachtung ergeben sich aber auch Konsequenzen f¨ ur die Existenz von weiteren periodischen Bahnen. Das ist der Inhalt des Satzes von Scharkowski. Definition 13. Die Scharkowski-Ordnung der nat¨ urlichen Zahlen ist durch folgende Reihung definiert: 1 ≺ 2 ≺ 4 ≺ 8 ≺ ... ≺ 2m ≺ 2m+1 ≺ ... ≺ ...

≺ ... ≺ (2k + 1)2n ≺ (2k − 1)2n ≺ ... ≺ 5 · 2n ≺ 3 · 2n ≺ ...

≺ ... ≺ (2k + 1)2 ≺ (2k − 1)2 ≺ ... ≺ 10 ≺ 6 ≺ ... ≺ 2k + 1 ≺ 2k − 1 ≺ ... ≺ 5 ≺ 3.

Satz 15. [Scharkowski] Ist T : I → I eine stetige Abbildung des Einheitsintervalles I = [0, 1] mit einer periodischer Bahn der Periode p, so besitzt T auch periodische Punkte jeder kleineren Primperiode q ≺ p. Beweis. Die Beweisidee ist relativ einfach. Man benutzt die elementare Beobachtung, dass ein Intervall J einen periodischen Punkt x der Periode n enth¨ alt, falls T n (J) ⊃ J. Dieser periodische ur jedes Punkt besitzt die Primperiode n (d.h. T n (x) = x und T j (x) = x f¨ 0 < j < n), wenn folgendes gilt: Es gibt eine Zerlegung von J = L ∪ (J \ L) und paarweise disjunkten Mengen L = L0 , Lj ⊂ T j (L) (0 ≤ j < p), so dass T j (x) ∈ J (1 ≤ j ≤ n−p) und T j (x) ∈ Lj−n+p (n−p ≤ j ≤ n−1). Um einen primperiodischen Punkt zu konstruieren, gen¨ ugt es daher zu zeigen, dass es Intervalle L0 = L ⊂ J und Lj ⊂ T (Lj−1 ) mit T (J) ⊃ J, mit paarweise disjunkten Mengen L, L1 ,...,Lp−1 und mit T (Lp−1 ) ⊃ J gibt. Dies wird in der Abbildung 2.2 durch ein Inklusionsschema dargestellt. Mit ihm kann man

2.1 Intervallabbildungen

47

zun¨ achst periodische Punkte jeder Periode q + p (q ∈ N0 ) konstruieren: Man ur j = 0, ..., q −1 und T q (Jq ) = L. w¨ ahlt ein Intervall Jq ⊂ J mit T j (Jq ) ⊂ J f¨ q+p Dann ist T (Jq ) ⊃ Jq erf¨ ullt, und es gibt einen periodischen Punkt der Periode p+q. Dieser besitzt nach der voran gestellten Bemerkung keine kleinere Periode. Gilt nun noch zus¨ atzlich, dass Lp−2k ⊂ T (Lp−1 ), so gibt es auch periodische Punkte mit jeder geraden Periode, insbesondere auch mit gerader Periode < p. Ist p ungerade, so k¨ onnen J und L konstruiert werden. Der T (L4 ) L4 ⊂ T (L3 ) L3 ⊂ T (L2 ) L2 ⊂ T (L1 ) T (J) J

T L1 ⊂ T (L0 )

L = L0

Abb. 2.2. Inklusionsdiagramm

allgemeine Fall wird hierauf zur¨ uckgef¨ uhrt. Nun zum Beweis im Detail. Sei x ein periodischer Punkt der ungeraden Primperiode p, und es gebe keinen periodischen Punkt kleinerer ungerader Periode (in der Scharkowski-Ordnung keinen periodischen Punkt mit gr¨oßerer Periode). Seien x1 < x2 < ... < xp die Vorw¨artsbahn O+ (x) von x und f die Einschr¨ ankung von T auf diese Bahn. f ist dann minimal in dem Sinne, dass die Bahn von x unter f , Of (x), nicht in invariante Teilmengen zerlegbar ist. Seien nun m = max{1 ≤ k ≤ p : f (xk ) > xk } < p und J = [xm , xm+1 ]. Dann u ¨berdeckt T (J) das Intervall J nach Definition von m, und es gibt einen Fixpunkt von T . Da p ungerade ist, kann nicht f (xm ) = xm+1 und f (xm+1 ) = xm gleichzeitig gelten. Daher ist f (xm ) > xm+1 oder f (xm+1 ) < xm . Beide F¨ alle werden in derselben Weise behandelt, so dass o.E. f (xm ) > xm+1 vorausgesetzt werden kann. Man definiert induktiv die Mengen M0 = {xm , xm+1 }, M1 = Of (x) ∩ [f (xm+1 ), xm+1 ] und Mj+1 = Of (x) ∩ konv (f (Mj )), j = 1, 2, ..., wobei konv(A) die konvexe H¨ ulle von A bezeichnet. Es gilt offenbar f (Mj ) ⊃ Mj und Mj ↑ Of (x). Sei konv (Mj ) = [aj , bj ]. Es gilt [a0 , b0 ] = [xm , xm+1 ] = J und [a1 , b1 ] = [f (xm+1 ), xm+1 ]. Sei j ≥ 2 der kleinste Index mit der Eigenschaft aj < aj−1 < bj−1 < bj . Dann ist entweder aj−1 = aj−2 oder bj−2 = bj−1 . O.E. gelte der erste Fall. Es folgt T ([aj−2 , bj−2 ]) ⊂ (aj , bj ) nach Konstruktion von Mj , also u ¨berdeckt das Bild von [bj−2 , bj−1 ] das Intervall [aj , bj ] ⊃ J. Da J ⊂ T (J) gilt, gibt es also periodische Punkte y, z ∈ J ⊂ [a1 , b1 ] mit T j−2 (y) ∈ [bj−2 , bj−1 ], T j−1 (y) = y und T j−1 (z) ∈ [bj−2 , bj−1 ], T j (z) = z. Ist j ungerade, so muss schon j ≥ p gelten, und ist j gerade, so folgt j ≥ p+1. Jedes Intervall [al , bl ] (2 ≤ l ≤ j−1)

48

2 Null- und eindimensionale dynamische Systeme

enth¨ alt mindestens einen Punkt von Of (x) mehr als [al−1 , bl−1 ], somit folgt 2 + j − 2 ≤ p und j = p. Das kann nur gelten, wenn a1 = xm ist und nur ¨außere‘ Punkte von Of (x) ’ wechselseitig auf beiden Seiten hinzugef¨ ugt werden. Folglich ist |Mj+1 | = |Mj | + 1, f (xm+k ) = xm−k+1 (k = 1, ..., p − m − 1) und f (xm−k ) = xm+k+2 (k = 0, ..., m − 1). Da m = p−1 gilt, bildet diese Vorschrift {x1 , ..., xp−1 } 2 bijektiv auf {x1 , ..., xm , xm+2 , ..., xp } ab. Es muss dann auch f (xp ) = xm+1 gelten, also u ¨berdeckt T ([xp−1 , xp ]) das Intervall [x1 = f (xp−1 ), xm+1 ]. Daraus schließt man nun, dass zu q ≺ p ein periodischer Punkt der Primperiode q existieren muss. Dazu ben¨ otigt man eine nichtperiodische Folge von Intervallen der Form Jk = [zk , zk+1 ] (k = 1, ..., q − 1) derart, dass T (Jk ) ⊂ Jk+1 und T Jq−1 ⊃ J1 . Eine solche Folge kann man nun direkt angeben, so wie es in der Vorbemerkung zu diesem Beweis angegeben wurde. Nun sei T eine Transformation mit periodischem Punkt der maximalen Primperiode p2n in der Scharkowski-Ordnung mit ungeradem p ≥ 3. Dann hat n T 2 eine maximale Primperiode p, also periodische Punkte beliebiger kleinerer Primperiode q. Es folgt, dass T selbst alle periodischen Punkte der Primperiode q2n besitzt. Schließlich sei T eine Transformation, die eine Primperiode der Form 2n (n ≥ 1) besitzt, aber keine gr¨ oßere in der Scharkowski-Ordnung. Jede solche Abbildung hat einen periodischen Punkt der Periode zwei, denn f¨ ur n ≥ 3 hat J = [xm , xm+1 ], wie oben definiert, einen Fixpunkt, und die dadurch deullen T Ki ⊃ Ki+1mod 2 . finierten beiden Komponenten K1 und K2 von J erf¨ l−1 Sei nun 1 < l < n. T 2 besitzt dann einen periodischen Punkt der Periode 2, also hat T einen periodischen Punkt der Periode 2l . Definition 14. Eine stetige Abbildung T : [0, 1] → [0, 1] wird eingipflig (unimodal) genannt, wenn T (0) = T (1) = 0 gilt, und wenn f¨ ur ein c ∈ (0, 1) T|[0,c] wachsend und T|[c,1] fallend ist. c nennt man den Umkehrpunkt. Eine eingipflige Transformation T besitzt also die kanonische Zerlegung in die drei Mengen L = [0, c), C = {c} und R = (c, 1]. Der Pfad von x ∈ [0, 1] ist eine einseitige Folge i(x) = (i0 (x), i1 (x), ...) von Buchstaben L, R und C (interpretiert als Mengen), die durch die Vorschrift T j (x) ∈ ij (x) eindeutig festgelegt wird. Der Pfad von c heißt die Kneading-Sequenz (Knetfolge) zu T . Die wichtigste Klassifizierungsrelation der topologischen und differenzierbaren Dynamik wurde schon in Definition 8 in Abschnitt 1.4 eingef¨ uhrt. Die Formulierung dieses Begriffes wiederholt Definition 15. Zwei stetige dynamische Systeme (Ωi , Ti ), (i = 1, 2) heißen konjugiert, falls es eine stetige Bijektion1 h : Ω1 → Ω2 gibt, so dass das Diagramm 1

h−1 ist damit ebenfalls als stetig vorausgesetzt.

2.1 Intervallabbildungen T

Ω1 −−−1−→ ⏐ ⏐ h T

kommutiert.

49

Ω1 ⏐ ⏐

h

Ω2 −−−2−→ Ω2

¨ Konjugiertheit ist also eine Aquivalenzrelation, und das Klassifizierungspro¨ blem besteht darin, ihre Aquivalenzklassen zu bestimmen. W¨ unschenswert ist es, dies mittels vollst¨ andiger Invarianter zu tun, also einer Eigenschaft, die ¨ unter Konjugation invariant bleibt und die Aquivalenzklassen unterscheidet. Es ist sofort klar, dass die Anzahl periodischer Punkte einer festen Periode eine Invariante unter Konjugation ist. Daher sind beispielsweise die Transformationen der logistischen Familie i.a. nicht paarweise konjugiert. Satz 16. 1. Ist h ein orientierungstreuer Hom¨ oomorphismus des Einheitsintervalles, so ist mit T auch h ◦ T ◦ h−1 eingipflig. 2. Die Kneading-Sequenz ist eine Invariante der Konjugation in der Klasse aller eingipfligen Transformationen. 3. Die Kneading-Sequenz ist eine vollst¨ andige Konjugationsinvariante in der Klasse aller eingipfligen Transformationen T mit dichter R¨ uckw¨ artsbahn des Umkehrpunktes. Beweis. Ein Hom¨ oomorphismus des Einheitsintervalles ist strikt monoton und bildet die Menge {0, 1} auf sich ab. Er ist genau dann orientierungstreu, wenn jeder dieser beiden Punkte in sich abgebildet wird. Eine konjugierende Abbildung zweier eingipfliger Abbildungen ist stets orientierungstreu. Daraus leitet man 1. und 2. unmittelbar ab. 3. Das wesentliche Argument basiert auf Ordnungsstrukturen auf I und auf Symbolfolgen. Man kodiert L mit −1, C mit 0 und R mit 1, und f¨ uhrt eine + = {−1, 0, 1}N ein durch ω <s η ⇐⇒ Ordnungstruktur auf Ω = Ω{0,±1} ∃n ≥ 0, so dass ωj = ηj (0 ≤ j < n), und

n−1  j=0

ωj (ωn + 2) <

n−1 

ηj (ηn + 2).

j=0

n−1 n−1 Da j=0 ωj = j=0 ηj , bedeutet diese Ordnungsstruktur, dass die ersten n Koordinaten gleich sein m¨ ussen, und die n + 1-ten Koordinaten verschieden sind. Die Ordnungsrelation der n + 1-ten Koordinaten von zwei Pfaden (der Punkte x und y) wird durch den Zweig von T −n bestimmt, der die beiden Punkte im Definitionsbereich enth¨ alt: je nachdem, ob er ordnungstreu ist oder die Orientierung umkehrt. Die folgenden beiden technischen Lemmata u ¨ber Kneading-Sequenzen werden f¨ ur den Beweis ben¨ otigt. Lemma 2. Sind x, y ∈ I, so gelten die folgenden Implikationen: i(x) <s i(y) =⇒ x < y =⇒ i(x) <s i(y) oder i(x) = i(y).

50

2 Null- und eindimensionale dynamische Systeme

Beweis. Seien i(x) <s i(y) und n wie in der Definition der Ordnung auf ur ein 0 ≤ j < n ist auch ij (y) = 0, und es kann nicht Ω. Mit ij (x) = 0 f¨ i(x) <s i(y) gelten. Die Abbildung T n ist auf dem Intervall J mit Endpunkten n−1 x und y monoton wachsend oder fallend, je nachdem ob j=0 ij (x) positiv oder negativ ist. In beiden F¨ allen gilt dann aber x < y. Das Argument zeigt ebenfalls, dass x < y und i(y) <s i(x) nicht gleichzeitig richtig sein k¨ onnen. Da die Ordnung auf Ω total ist, folgt die zweite Implikation. Lemma 3. Eine Folge ω ∈ Ω ist als Pfad eines Punktes in I darstellbar (d.h. ω = i(x) f¨ ur ein x ∈ I), wenn 1. k ≥ 0 und ωk = 0 =⇒ (ωk+j )j≥0 = i(c). 2. F¨ ur jedes k ≥ 0 gilt (ωk+j )j≥0 <s i(T (c)). Beweis. Angenommen, die Aussage ist nicht richtig. Dann sind die Mengen G = {x ∈ I : i(x) <s ω} und D = {x ∈ I : ω <s i(x)} gem¨aß Lemma 2 Intervalle, die I u ¨berdecken (da ω nicht als Pfad darstellbar ist). Sei z = sup G = inf D, und es sei zun¨ achst z ∈ G vorausgesetzt. Es folgt ur j < n und mit i(z) <s ω, und es gibt daher ein n ≥ 0 mit ij (z) = ωj f¨ n−1 n−1 i (z)(i (z) + 2) < ω (ω + 2). Es ist i (z) =  0 f¨ ur j < n (denn n n j j=0 j j=0 j j sonst w¨ are ωj = 0, und wegen T (z) = c und der Voraussetzung 1. w¨ urde i(z) = ω folgen; ein Widerspruch zur Annahme, dass ω nicht als i(z) darstellbar ist). Da in−1 (z) = 0, liegt der Punkt T n−1 (z) im Inneren von L oder R, somit ist T in einer Umgebung von T n−1 (z) monoton, und folglich ist dann T n auch auf einer Umgebung U von z monoton. Das bedeutet aber, dass T j (U ) ⊂ L oder R, je nachdem ob ij (z) = −1 oder 1 ist (j = 0, ..., n − 1). Da U Punkte enth¨ alt, deren Pfade kleiner und gr¨ oßer als ω sind, und nach Definition von n muss T n (U ) den Umkehrpunkt c enthalten. Punkte x ∈ U ∩ G werden auf Punkte < c und Punkte x ∈ U ∩ D auf Punkte > c abgebildet (bzw. mit vertauschten Rollen f¨ ur G und D). Daher folgt T n (z) = c, und je nach dem n−1 Vorzeichen von j=0 ωj ist ωn = ±1. Nun ist gem¨ aß Annahme 2. ω (j) := (ωj+1 , ωj+2 , ...) <s i(T n+1 (z)), und daher gibt es ein kleinstes k > j mit ωk = ik−j (T n+1 (z)). Da T n (z) = c gilt, findet man leicht einen Punkt z < y mit il (y) = ωl f¨ ur 1 ≤ l < k und ik (y) > ωk . Daher ist i(z) <s i(y) <s ω, ein Widerspruch. Der Fall z ∈ D wird in analoger Weise behandelt. uckw¨artsbahn des UmkehrNun zum Beweis des Satzes 16. Sei O− (c, T ) die R¨ punktes der Abbildung T . Sei S eine weitere eingipflige Transformation mit derselben Kneading-Sequenz und mit dem Umkehrpunkt c′ . Ist x ∈ O− (c, T ), so erf¨ ullt sein Pfad die Voraussetzungen in Lemma 3, und daher gibt es ein y ∈ O− (c′ , S) mit i(x) = i(y). Mit der Injektivit¨at der inversen Zweige von S ist leicht zu sehen, dass y = h(x) als Urbild von c′ eindeutig bestimmt

2.1 Intervallabbildungen

51

ist. Somit ist die Abbildung h : O− (c, T ) → O− (c′ , S) wohldefiniert und kommutiert mit T und S. Aus Lemma 2 folgt, dass h monoton ist, und da die R¨ uckw¨artsbahnen als dicht vorausgesetzt werden, ist h stetige Surjektion. Gleichermaßen folgt aus Symmetriegr¨ unden, dass h′ als entsprechende Abbildung, wenn die Rollen von T und S vertauscht werden, monoton und stetig ist. h′ ist auch offenbar invers zu h. Im n¨ achsten Resultat werden Zeltabbildungen T des Einheitsintervalles der Form  a ax x ≤ 1/2 Ta (x) = (1 − |1 − 2x|) = a(1 − x) x ≥ 1/2 2 verwendet. Sie sind eingipflig mit Umkehrpunkt c = 1/2 und besitzen konstante Ableitung a bzw. −a auf den beiden Monotoniezweigen. Definition 16. Ein dynamisches System (Ω1 , T1 ) heißt ein Faktor des dynamischen Systems (Ω0 , T0 ) (oder ist semi-konjugiert), falls es eine stetige und surjektive Abbildung h : Ω0 → Ω1 gibt, so dass h ◦ T0 = T1 ◦ h gilt. Seien T : I → I eine eingipflige Abbildung des Einheitsintervalls und ahlung der (maximalen) Intervalle, auf denen T n I1 (n),...,Imn (n) eine Aufz¨ monoton ist. Da T (0) = 0, kann man die Intervalle so durchz¨ahlen, dass T n auf Intervallen mit geradem Index monoton w¨ achst und sonst monoton f¨allt. Das asymptotische Wachstum der Folge mn ist W = lim sup n→∞

1 log mn . n

(Es sei an dieser Stelle angemerkt, dass dieses Wachstum mit der topologischen Entropie von T identifiziert werden kann. Ist die Folge von Intervallen erzeugend (punktetrennend), so folgt dies aus Korollar 17 und Satz 115.) Der Satz von Milnor und Thurston besagt, dass jede eingipflige Abbildung T semi-konjugiert zu einer Zeltabbildung ist. Ein wichtiger Spezialfall ist Satz 17. [Milnor, Thurston] Sei T eine eingipflige Abbildung mit den Eigenschaften 1 (2.1) W = lim sup log mn > 0 n→∞ n und lim lim sup m−1 n |{1 ≤ k ≤ mn : Ik (n) ∩ K(x, ǫ) = ∅} = 0

ǫ→0 n→∞

∀x ∈ I. (2.2)

Dann ist T semi-konjugiert zu einer Zeltabbildung. Beweis. Man w¨ ahlt xj (n) ∈ Ij (n) und definiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß ur s > W durch µs f¨

52

2 Null- und eindimensionale dynamische Systeme

⎛

µs = ⎝



n≥1

⎞−1

bn mn e−sn ⎠

mn 

bn e−sn δxj (n) ,

n≥1 j=1

in z bedeutet und bn eine langsam variierende Funktiwobei δz das Punktmaß
on ([6], S.6) ist, so dass n≥1 bn mn e−sn mit s → W gegen Unendlich strebt.
Da f¨ ur s < W stets n mn e−sn = ∞ gilt, kann man dies unschwer erreichen. Man rechnet sofort nach, dass ein schwacher H¨aufungspunkt µ der Folge µs (wenn s → W ) wegen (2.2) kein Atom besitzt und µ(T (J)) = eW µ(J) f¨ ur jedes Intervall J, auf dem T invertierbar ist, gelten muss (die Existenz von µ folgt aus [5], S.59). Sei F (t) = µ((0, t]). Dann ist F : I → I monoton wachsend, stetig und surjektiv (da F (0) = 0 und F (1) = 1). Es erf¨ ullt auch die Gleichungen F (T (x)) = µ((0, T (x)]) = µ(T ((0, x])) = eW µ((0, x]) = eW F (x) f¨ ur x ≤ c und F (T (x)) = µ((T (1), T (x)]) = µ(T ([x, 1))) = eW (1 − µ((0, x]) = eW (1 − F (x)) f¨ ur x ≥ c. Dies zeigt, dass T zur Abbildung Ta mit a = eW semi-konjugiert ist. Die Kneading-Sequenz ist ein Spezialfall einer Pfaddarstellung durch eine Zerlegung. Ist α eine endliche oder abz¨ ahlbare Zerlegung eines Raumes Ω, so nennt man die Folge α(x) = (α1 (x), α2 (x), ...) von Elementen in α, definiert durch T j (x) ∈ αj (x), den α-Pfad von x. Diese Abbildung semi-konjugiert“ ” zu einer Schift-invarianten Teilmenge in Ωα . Ist sie bijektiv, so nennt man α erzeugend. Man bezeichnet eine Zerlegung als ein Hufeisen (horseshoe), wenn + f¨ ur zwei Mendiese Schift-invariante Teilmenge den Schiebungsraum Ω{A,B} gen A, B ∈ α enth¨ alt (s. Abbildung 3.5, die ein zweiseitiges Hufeisen zeigt). Offenbar ist dies f¨ ur Intervallabbildungen und Zerlegungen in Intervalle der Fall, wenn es Punkte u < v < w mit [u, w] ⊂ T ([u, v]) ∩ T ([v, w]) gibt. Satz 18. [Misiurewicz] Sei pn die Anzahl der periodischen Punkte der Periode n ∈ N einer stetigen Intervallabbildung T mit endlicher, erzeugender Zerlegung α in Intervalle. Ist das asymptotische Wachstum p = lim supn→∞ n1 log pn der Folge (pn )n∈N strikt positiv, so gibt es ein Hufeisen f¨ ur eine Iterierte von T . Beweis. Sei o.E. α eine Zerlegung des Einheitsintervalles I = [0, 1] in Intervalle, so dass T auf jedem Intervall monoton ist. Die gemeinsame Verfeinerung α0n = α ∨ T −1 α ∨ ... ∨ T −n+1 α besteht dann aus Intervallen J, auf denen T n monoton ist. Sei h = lim supn→∞ n1 log |α0n | das asymptotische Wachstum achst sei h > log 2. der Anzahl der Intervalle in α0n . Zun¨

2.1 Intervallabbildungen

53

Man definiert |J ∩β| als die Anzahl der Mengen aus einer Zerlegung β, die man ben¨ otigt, um J zu u ¨berdecken. Sodann setzt man induktiv E1 = E = {J ∈ α : lim supn→∞ n1 log |J ∩ α0n | = h} und En = {En (K, J) := K ∩ T −n+1 (J) : K ∈ En−1 ; J ∈ E; En (K, J) = ∅} fest. Es gilt nun 1 lim sup log |En ∩ J| = h (2.3) n→∞ n f¨ ur jedes J ∈ E. Um dies einzusehen, bemerkt man zun¨achst, dass nach Definition die Abbildung (K, L) → K ∩ T −n+1 (L) ∈ α0n (K ∈ En−1 , L ∈ E) injektiv ist, also gilt ≤ in (2.3). F¨ ur die Umkehrung beachte man " # n−2  n −n+1 −i |α0 ∩ J| = J ∩ (L) = ∅ : Kli ∈ α T (Kli ) ∩ T i=1 # " n−1 n−1 

= T −i (Kli ) = ∅ : Kli ∈ α, Klk ∈ E; Ek (J, K) ∈ Ek E(J, K) ∩ i=k

k=1

≤

n−1  k=1

|Ek ∩ J| ·



K ∈E

|α0n−k ∩ K|.

Es folgt 1 log |α0n ∩ J| n 1 ≤ lim log n|α| max |Ek ∩ J| × |α0n−k ∩ K| n→∞ n 0≤k≤n,K ∈E 1 ≤ lim log |En ∩ J|. n→∞ n

h = lim

n→∞

Hier benutzt man die folgende elementare Absch¨atzung: Sind an und bn positive Zahlen mit lim supn→∞ n1 log bn < h und gilt f¨ ur eine Wahl von k = kn ≤ n h ≤ lim sup n→∞

n−k 1 k1 1 log ak bn−k = lim sup log ak + log bn−k , (2.4) n n n−k n→∞ n k

so kann nur h ≤ lim supn→∞ n1 log an gelten. Als n¨ achstes betrachtet man die Mengen Fn (K, J) := {L ∈ En−1 ∩ K : J ⊂ T n−1 L} (K, J ∈ E), und zeigt, dass zu jedem K ∈ E ein J ∈ E mit lim sup n→∞

1 log |Fn (K, J)| = h n

(2.5)

existiert. Nat¨ urlich gilt wiederum ≤ nach Definition. Betrachtet man ein Intervall L ∈ α0n−1 , so gibt es maximal zwei Intervalle J ∈ α, die sowohl T n−1 (L) wie auch T n−1 (L)c anschneiden k¨ onnen. Es gilt daher

54

En ∩K =

2 Null- und eindimensionale dynamische Systeme



J∈E

Fn (K, J)∪{L ∈ En−1 ∩K : T n−1 (L)∩J = ∅ = (T n−1 (L))c ∩J},

also auch |En ∩ K| ≤ Iteration liefert |En ∩ K| ≤



J∈E

+2k



J∈E

|Fn (K, J)| + 2|En−1 ∩ K|.

|Fn (K, J)| + 2 

J∈E



J∈E

|Fn−1 (K, J)| + ...

|Fn−k (K, J)| + ... + 2n−1 |E1 ∩ K|

und mit (2.3) 1 log |En ∩ K| n→∞ n  1 |Fn−k (K, J)|. ≤ lim sup log n max 2k 0≤k≤n−1 n→∞ n

h = lim sup

J∈E

Daraus folgt mit dem Argument (2.4) h ≤ lim sup n→∞

 1 log |Fn (K, J)|, n J∈E

denn es wurde zun¨ achst h > log 2 vorausgesetzt. Damit ist die Behauptung bewiesen, denn es gibt ein J ∈ E, das bereits h ≤ lim supn→∞ n1 log |Fn (K, J)| erf¨ ullt. Nun kann der Beweis im Fall h > log 2 leicht zu Ende gef¨ uhrt werden. Nach dem Gezeigten gibt es eine Abbildung τ : E → E, die jedem K ∈ E ein in (2.5) definiertes J ∈ E zuordnet. Da E endlich ist, gibt es ein K und ein m ≥ 1 urliche Zahlen ni , Intervalle Ji ∈ E und mit τ m (K) = K. Es muss dann nat¨ Intervalle L1 , L2 ∈ En1 ∩ K so geben, dass J1 = K = Jm Ji+1 ⊂ T ni (Ji ) J2 ⊂ T n1 (Lk )

i = 1, ..., m − 1, k = 1, 2

gilt. Nun zum allgemeinen Fall. Da α eine erzeugende Zerlegung ist, m¨ ussen zwei periodische Punkte der Periode n in verschiedenen Intervallen von α0n liegen. Es gilt also 1 h ≥ lim sup log pn = p > 0. n n→∞ Ist N so groß, dass N h > log 2 gilt, so erf¨ ullt die Zerlegung α0N unter der Transformation T N die Relation

2.2 Topologische Markoff-Ketten

lim sup n→∞

55

1 log α0N ∨ T −N α0N ∨ ... ∨ T −(n−1)N α0N ≥ N h, n

also gibt es ein Hufeisen f¨ ur T N .

2.2 Topologische Markoff-Ketten Schiebungsr¨ aume erm¨ oglichen es, Bahnstrukturen explizit zu untersuchen, vor allem auch eine Vielzahl von Beispielen und Gegenbeispielen zu konstruieren (s. Beispiel 7). Ein weiterer Grund f¨ ur ihre fundamentale Bedeutung liegt in der Isomorphietheorie unter Konjugation, denn sie erlauben nahezu isomorphe‘ Darstellungen unbekannter Dynamiken (z.B. wie in Satz 16). ’ Es seien X = ∅ eine beliebige Menge und I die Menge der ganzen oder nichtnegativen ganzen Zahlen2 . Der Raum ΩX = X I wird als Schiebungsraum bezeichnet. Besitzt X eine Topologie, so wird ΩX mit der Produkttopologie versehen. Eine Basis der Topologie bilden dann die Zylindermengen (auch kurz Zylinder genannt) [Um , ..., Un ]m,n = {x = (xi )i∈I : xi ∈ Ui

∀m ≤ i ≤ n},

wenn man f¨ ur Ui ⊂ X nur offene Mengen zul¨ asst. Ist m = 0, so schreibt man auch [U0 , ..., Un ] zur Vereinfachung, und, wenn auf X die diskrete Topologie betrachtet wird, auch [x0 , ..., xn ] statt [{x0 }, ..., {xn }].
−|i| Besitzt X eine beschr¨ ankte Metrik ρ, so wird durch d(x, y) = i∈I 2 ρ(xi , yi ) eine Metrik auf ΩX erkl¨ art, die die Topologie erzeugt. Die Schiebung (oder der Schift) T = TX auf ΩX wird durch T (x) = y mit yi = xi+1 erkl¨art. Es ist leicht zu sehen, dass T surjektiv ist, und sogar bijektiv, wenn I = Z. Ist zudem X mit der diskreten Topologie versehen, so ist TX eine stetige, offene Abbildung, und per Definition ein Hom¨ oomorphismus, wenn I = Z. Die meisten Anwendungen von Schiebungsdynamiken benutzen endliches oder abz¨ ahlbares X. In diesem Fall heißt X das Alphabet von ΩX . Seien (Ω, T ) ein beliebiges invertierbares dynamisches System und α eine endliche oder abz¨ ahlbare Zerlegung von Ω. Es bezeichne αnm die gemeinsame Verfeinerung der Zerlegungen T i α mit n ≤ i < m und αT die gemeinsame Verfeinerung aller T i α mit i ∈ Z. Man beachte, dass jedes Element von αT nicht leer sein muss. Ωα = αZ definiert den zu α geh¨origen Schiebungsraum. gibt %eine kanonische Abbildung Ψ : αT → Ωα , definiert durch $ Es −k T xk = (xk )k∈Z . Ψ kommutiert mit T und Tα . F¨ ur IntervallabbilΨ k∈Z dungen wurde die analoge Konstruktion eines Pfades im nicht invertierbaren Fall in Abschnitt 2.1 durchgef¨ uhrt. Es bezeichne Π : Ω → αT die kanoni sche Faktorabbildung Π(z) = k∈Z T −k xk mit z ∈ k∈Z T −k xk . Π ist nicht notwendigerweise injektiv, jedoch surjektiv. α definiert in kanonischer Weise 2

eine allgemeine Halbgruppe w¨ are hier auch m¨ oglich, z.B. zur Modellierung von Vielteilchensystemen mit I = Zd .

56

2 Null- und eindimensionale dynamische Systeme

eine Tα -invariante Teilmenge Ω(α) als Abschluss (in der Produkttopologie) der Menge Ω 0 (α) = Ψ ◦ Π(Ω) = Ψ (αT ). Er heißt der zu α geh¨orige Teilschift. Man erh¨ alt so ein kommutatives Diagramm T

Ω −−−−→ ⏐ ⏐

Π

αT ⏐ ⏐

Ψ

T|α

−−−−→ T

Ω ⏐ ⏐ Π

αT ⏐ ⏐ Ψ

Ω 0 (α) −−−α−→ Ω 0 (α) In vielen F¨ allen kann Ψ −1 auf Ω(α) erweitert werden (z.B. unter gleichm¨aßiger Stetigkeit). Besonders interessant sind solche Zerlegungen, in denen jede Menalt, denn dann ist die Abbildung (Ψ ◦ Π)−1 ge in αT nur einen Punkt enth¨ wohldefiniert und bijektiv. Ein solches α nennt man einen Erzeuger. F¨ ur ei∞ ne nicht invertierbare Abbildung T wird ein analoger Faktor α =: α ∨ α− 0 & −i − als gemeinsame Verfeinerung von α und α = i∈N T α definiert. Er ist isomorph zu einer Teilmenge des einseitigen Schiebungsraumes Ωα+ = αN0 . Entsprechend wird auch der Begriff des einseitigen Erzeugers definiert. Der Gedanke einer Schiebungsdynamik findet eine weitere Anwendung in der Rochlin-Erweiterung eines dynamischen Systems (Ω, T ). Sie wird als Teil' ⊂ Ω N0 , menge Ω ' = {(xk )k∈N ∈ Ω N0 : T (xk+1 ) = xk , Ω 0

k ∈ N0 },

definiert. Die Transformation T kann in kanonischer Weise erweitert werden: T'(xk )k∈N0 = (yk )k∈N0 mit yk = T (xk ) = xk−1 (k ≥ 1) und y0 = T (x0 ). T' ist bijektiv, und das Diagramm T' ' −−− ' Ω −→ Ω ⏐ ⏐ ⏐ ⏐Π Π1

1 T

Ω −−−−→ Ω

kommutiert, wobei Π1 die Projektion auf die erste Koordinate (x0 -Koordinate) bezeichnet. Die Rochlin-Erweiterung ist also ein inverser Limes ([24] Bd.I, S. 28). Sie erlaubt es, ein nicht-invertierbares System in ein invertierbares zu verwandeln. T' ist offenbar stetig in der Produkttopologie, sofern T selbst ¨ schon stetig ist. Ahnliches gilt f¨ ur messbare Abbildungen. Wie aus diesen Anwendungen ersichtlich ist, sind abgeschlossene invariante Teilmengen der Schiebungsr¨ aume von besonderem Interesse. Sie heißen Teilschifts.

2.2 Topologische Markoff-Ketten

57

Definition 17. Sei (ΩX , T ) ein Schiebungsraum mit endlichem oder abz¨ ahlbarem Alphabet X. Eine abgeschlossene3 , T -invariante Teilmenge Ω ⊂ ΩX definiert einen Teilschift als dynamisches System (Ω, T|Ω ). Man schreibt kurz T anstelle der Einschr¨ ankung T|Ω . Im Folgenden werden nur endliche Mengen X betrachtet, d.h. Teilschifts in X Z oder X N0 . Jeder Bahnabschluss Ω = O(x) (x ∈ ΩX ) definiert einen Teilschift. Da mit einem Punkt x ∈ ΩX auch dessen Bahn genau bekannt ist, k¨onnen Eigenschaften von Bahnen beispielhaft studiert werden. Zur Veranschaulichung seien X = {0, 1} und x = (xk )k∈Z = (...000111...). Dann konvergiert, f¨ ur k → ∞, T k (x) gegen den Punkt x(1) , dessen Koordinaten nur aus Einsen bestehen, w¨ ahrend f¨ ur k → −∞ Konvergenz gegen den Punkt x(0) vorliegt, der nur aus Nullen besteht. x(1) ist ein anziehender Fixpunkt, x(0) nennt man einen abstoßenden Fixpunkt. Der Teilschift besteht also genau aus der Bahn von x und den beiden genannten Punkten. Nur die beiden Punkte x(i) besitzen die Eigenschaft, dass sie H¨aufungspunkte ihrer Vorw¨ arts- und R¨ uckw¨ artsbahn sind. Die Dynamik hier ist also genauso trivial, wie f¨ ur die Abbildung x → x2 des Einheitsintervalles. Interessantere Beispiele von Bahnstrukturen erh¨alt man durch algorithmische Konstruktionen. Die Substitution ist eine dieser Konstruktionsmethoden, die zu wichtigen Beispielen interessanter kombinatorischer Objekte f¨ uhrt (mit Anwendungen in der Informationstechnologie). Eine Substitution wird durch eine Blockabbildung definiert. 2 zwei endliche Mengen ∞Seien etwa W1 undW ∞ von W¨ ortern (d.h. W1 ⊂ n=1 X n und W2 ⊂ n=1 Y n ). Eine Abbildung ϕ : W1 → W2 nennt man eine Blockabbildung. Einen einfachen Fall einer Substitution erh¨ alt man mit W1 = X und beliebigem W2 . Einem Punkt x = (xk ) wird dann der Punkt y ∈ ΩY , y = ...ϕ(x0 )ϕ(x1 )... zugeordnet, wobei die nullte Koordinate von y der Beginn von ϕ(x0 ) ist. Dieser sogenannte Block-Kode kommutiert mit den Schiebungsdynamiken, wenn ¨ von Y zu dem neuen Alphabet W2 kann man dies W2 = Y . Durch Ubergang jedoch stets annehmen. Eine weitere Verwendung der Substitution besteht in ihrer iterierten Anwendung auf endliche W¨ orter, so dass als Grenzprozess ein Teilschift definiert wird. Beispiel 25. Es sei X = {0, 1} und W1 bestehe aus den beiden W¨ortern der L¨ ange 1, also = X. Definiert man eine Blockabbildung durch ϕ(0) = 01 und ϕ(1) = 11, so kann man beginnend mit der Folge x(0) sukkzessiv die Folgen 01010101..., 011101110111..., usw. erzeugen, die gegen 01111... konvergieren. Alternativ kann man mit 0 beginnen und erh¨alt nacheinander 0, 01, 0111 usw. Eine weitere Konstruktionsmethode erh¨ alt man mit der sog. Dualit¨ at. Sei wiederum X = {0, 1}, und es bezeichne ⊕ die Addition in X = Z2 . Man definiert 3

in der Produkttopologie

58

2 Null- und eindimensionale dynamische Systeme

dann f¨ ur ein Wort w = w0 ...ws das neue Wort w ⊕ i als die koordinatenweise Addition mit i ∈ X, also w0 ⊕ i w1 ⊕ i...ws ⊕ i. Die Operation vertauscht in w gerade nur die Nullen und Einsen, wenn i = 1 gilt; sonst bleibt das Wort unver¨ andert. Ist nun v = v0 v1 ...vt ein weiteres Wort, so wird w⊕v als die Hintereinanderschaltung der W¨ orter w ⊕ v0 ,...,w ⊕ vt festgesetzt. Ist z.B. w = 01 so wird w ⊕ w = 0110 und weiterhin (w ⊕ w) ⊕ w = 01101001. Die Wortl¨ange w¨achst also an, und der Beginn des Wortes bleibt konstant. Diese Prozedur f¨ uhrt zur Definition einer Symbolfolge, die als Morse-Folge bezeichnet wird. In Abschnitt 3.4 wird eine ¨ aquivalente, ebenfalls gebr¨auchliche Notation f¨ ur diesen Algorithmus eingef¨ uhrt. Die Eigenschaften der Morse-Folge sind nicht mehr elementar zu u ¨berblicken. Man sieht aber sofort ein, dass ein Teilwort v, das im n-ten Konstruktionsschritt erhalten wird, auch als duales Wort v ⊕ 1 im n+1ten Konstruktionsschritt vorkommt. Der Algorithmus wiederholt dieses Wort in festen Abst¨ anden, entweder in seiner urspr¨ unglichen oder aber in seiner dualen Form. Damit erscheint das Wort in festen Abst¨anden, die durch die Wiederholungen innerhalb des n-ten Konstruktionsschrittes f¨ ur das Wort selbst oder ihr duales festgeschrieben werden. Diese Eigenschaft bedeutet (s. Abschnitt 3.1), dass der Bahnabschluss der Morse-Folge minimal sein muss (vgl. Satz 48). Im Allgemeinen denke man sich eine unendlich lange Symbolfolge durch Bl¨ ocke dargestellt. Nat¨ urlich ist dies in verschiedener Weise m¨oglich, aber vorzugsweise wird man aussagekr¨ aftige Darstellungen nehmen. Einer solchen Darstellung liegt auch der Lempel-Ziv Algorithmus zugrunde. Viele Kompressionsalgorithmen der Informatik basieren auf dieser Idee. Ihr liegt das Prinzip zugrunde, das n¨ achste Wort als das k¨ urzeste neue Wort zu deklarieren, also das n¨ achste Wort in der Darstellung mit dem k¨ urzesten, noch nicht verwendeten Wort zu kodieren. Formal sei also eine Symbolfolge in der Form x = x1 x2 ..., (xi ∈ X), vorgegeben. Da man x1 kodieren muss, wird man dies durch irgendein Symbol tun, also als erstes Wort in einer gesuchten Darstellung x = w(1) w(2) ... w(1) = x1 setzen. Ist nun x1 ...xjn in sukzessive W¨ orter w(1) ,..., w(n) schon aufgeteilt, so wird das n¨achste Wort w(n+1) zu xjn +1 ...xjn +m+1 bestimmt, wobei m die kleinste nat¨ urliche Zahl ist, so dass xjn +1 ...xjn +m , aber nicht xjn +1 ...xjn +m+1 unter den bereits konstruierten W¨ ortern vorkommt. Diese Zerlegung von x in eine Folge von W¨ortern mit den beschriebenen Eigenschaften nennt man parsing. Sie l¨asst eine Komprimierung nach dem Lempel-Ziv Algorithmus zu. Diese Kodierung, manchmal auch Pr¨ afix-Kode genannt (dieser Begriff wird dann in einer etwas anderer Form als u ¨blich benutzt), basiert auf der Beobachtung, dass jedes neue Wort durch die Stelle markiert wird, an der der bekannte Teil schon einmal vorgekommen ist, und durch die Kodierung des letzten neuen Symbols. Formal sieht der Algorithmus dann so aus: Sei x ∈ X n ein endliches Wort, und es wird ein parsing durch w(j) (j = 1, ..., c) wie oben bestimmt, wobei wegen der Endlichkeit der Folge auch einen Restblock w(c+1) u ¨brig bleiben kann, der nicht mehr durch das

2.2 Topologische Markoff-Ketten

59

parsing aufgespaltet werden kann. Kodiert wird durch Symbolfolgen u ¨ber dem bin¨ aren Alphabet {0, 1}. Es seien τ : {0, 1, ..., n} → {0, 1}[log n]+1 und ρ : X → {0, 1}[log |X|]+1 festeKodierungen (d.h. Bijektionen)4 . x wird dann ∞ durch y = v (1) v (2) ...v (c+1) ∈ m=0 {0, 1}m wie folgt kodiert. 1. w(j) = a ⇒ v (j) = 0ρ(a), j = 1, ..., c. 2. w(j) = w(i) a, i < j ⇒ v (j) = 1τ (i)0ρ(a), j = 1, ..., c. 3. v (c+1) = v (i) , i < j ⇒ v (c+1) = 1τ (i).

Man u ¨berlegt sich leicht, dass es dieser Kode erlaubt, aus der Kenntnis von ungliche Nachricht‘ x zu berechnen. Die L¨ange des Kov (1) , v (2) , ... die urspr¨ ’ des ist nach oben durch die Gr¨ oße |A|(2 + [log |A|]) + c([log n] + [log |A|] + 4) + [log n] ≤ (c + 1) log n + c(4 + log |A|) + |A|(2 + log |A|) beschr¨ ankt. Nat¨ urlich ist c variabel und kann maximal den Wert n annehmen. Die Gr¨ oßenordnung der Kodierungsl¨ ange ist also durch O(n log n) beschr¨ ankt. In der Tat ist diese Schranke noch ein wenig zu groß. Betrachtet man unendliche Symbolfolgen x, und bezeichnet c(x, n) die Anzahl der Worotigt, so gilt der Satz von Lempel te, die man f¨ ur das parsing von x1 ...xn ben¨ und Ziv, dass f¨ ur ein ergodisches Maß (vgl. Definition 4 in Abschnitt 1.1) 1 c(x, n) log n → h, n fast sicher gegen eine Konstante h konvergiert. Die typische Kodierungsl¨ange eines Wortes der L¨ ange n ist gerade durch nh gegeben. h wird als Entropie des Maßes bezeichnet (s. Abschnitt 5.4). Details dieser Aussage findet man in [93], S.132. Bis jetzt wurde die Idee verfolgt, Punkte eines Schiebungsraumes durch Blockkonstruktionen zu gewinnen, um so ihren Bahnabschluss als Beispiel eines Teilschiftes zu erhalten. Stattdessen kann die Blockbildung direkt zur Gewinnung von Teilschifts benutzt werden. Man betrachte einen Schiftraum X I mit endlichem Alphabet X und Indexmenge I = N0 oder = Z. Man definiert das Blocksystem eines Teilschifts (Ω, T ) als die Familie A(Ω) aller W¨ orter w = w0 w1 ...wn , so dass die offenen Mengen (Zylinder) [w] = {x = (xi )i∈I : xi = wi

0 ≤ i ≤ n}

Ω anschneiden. Analog definiert man ihr Komplement als das ausschließende Blocksystem Aa (Ω). Satz 19. Sei (Ω, T ) ein Teilschift. Dann gilt Ω = {x = (xk )k∈I : ∀k ∈ I, n ≥ 0 = {x = (xk )k∈I : ∀k ∈ I, n ≥ 0

4

gilt

xk xk+1 ...xk+n ∈ A(Ω)}

gilt xk xk+1 ...xk+n ∈ Aa (Ω)}.

[z] bedeutet hier die Gaußklammer, also den ganzzahligen Anteil, von z.

60

2 Null- und eindimensionale dynamische Systeme

Umgekehrt, ist A ein Blocksystem, so definiert Ω = {x = (xk )k∈I : ∀k ∈ I, n ≥ 0

gilt xk xk+1 ...xk+n ∈ A}

jeweils einen Teilschift (sofern die rechte Seite nicht leer ist). Beweis. 1. Die Inklusion ⊂ ist offensichtlich richtig, so dass nur die Umkehrung zu zeigen ist. Sei x = (xk ) ∈ X I und [xk , ..., xk+n ] ∩ Ω = ∅ f¨ ur jedes k ∈ I und n ≥ 0. Dann gibt es eine Folge x(m) ∈ Ω (m ≥ 1), die gegen x konvergiert. Da Ω abgeschlossen ist, folgt auch x ∈ Ω. −i [w] (i ∈ I) mit w ∈ A 2. Die Vereinigung aller offenen Mengen der Form TX ist offen und invariant. Ihr Komplement ist daher ein Teilschift, sofern es nicht leer ist. Zwei Blocksysteme k¨ onnen nat¨ urlich den gleichen Teilschift im Sinne der Umkehrung im letzten Satz (also als ausschließendes Blocksystem) definieren. Tun sie dies, definiert ihr Durchschnitt ebenfalls denselben Teilschift. Die einen festen Teilschift definierenden ausschließenden Blocksysteme sind also absteigend gefiltert und besitzen ein minimales System, aus dem man keinen Block entfernen kann, ohne den Teilschift zu vergr¨oßern. Insbesondere ist mit einem Block auch jeder l¨ angere Block ausgeschlossen; anders ausgedr¨ uckt man kann zu einem Block in A jeden l¨ angeren Fortsetzungsblock entfernen. Definition 18. Ein Teilschift (Ω, T ) heißt topologische Markoff-Kette (Teilschift endlichen Typs), falls es ein endliches ausschließendes Blocksystem gibt. Satz 20. Sei X endlich und (Ω, T ) eine topologische Markoff-Kette. Dann gibt es ein endliches Blocksystem A von W¨ ortern (der L¨ ange n), so dass Ω = {(xk )k∈I : ∀k ∈ I; xk ...xk+n−1 ∈ A}. Beweis. Die topologische Markoff-Kette sei durch das endliche ausschließende Blocksystem Aa definiert. Indem man Bl¨ ocke in Unterbl¨ocke hinreichend großer L¨ ange aufteilt, kann man annehmen, dass Aa aus W¨ortern der L¨ange n besteht. Sei A ihr Komplement. Es ist nicht schwer zu sehen, dass A den Teilschift wie verlangt beschreibt. Ist in Satz 20 n = 1, so erh¨ alt man den vollen Schiebungsraum X I , und im Falle n = 2 kann man A durch eine Matrix A = (aij )i,j∈X mit Nullen und Einsen darstellen, n¨ amlich aij = 1 genau dann wenn ij ∈ A, und man erh¨alt die Darstellung Ω = {(xk )k∈I : ∀k ∈ I

axk xk+1 = 1}.

¨ Die Matrix A wird als Ubergangsmatrix bezeichnet. In diesem Fall ist es m¨oglich, eine topologische Markoff-Kette durch einen endlichen Graphen zu

2.2 Topologische Markoff-Ketten

61

repr¨ asentieren. Sei (E, K) ein Graph mit Ecken E und gerichteten Kanten K definiert durch E = X und (i, j) ∈ K ⊂ X 2 ⇐⇒ ij ∈ A: Jeder Punkt in der topologischen Markoff-Kette entspricht dabei einem unendlich langem Pfad entlang gerichteter Kanten des Graphen. Die Folge der durchlaufenen Ecken entspricht dabei einem Punkt in der Markoff-Kette. Betrachtet man dagegen die Menge der Kanten des Graphen als neues Alphabet, so kann man ebenso die Folge der durchlaufenen Kanten einem Punkt der Markoff-Kette zuordnen. Diese Zuordnung ist stetig und eineindeutig. Auch die Umkehrung dieses Algorithmus ist stetig, und somit sind beide topologischen MarkoffKetten konjugiert.   01 definiert die topologische Markoff-Kette mit Beispiel 26. Die Matrix 11 Punkten der Form ...0111...1101111...101011..., wobei die Nullen singul¨ar und in variablen Abst¨ anden auftreten. Der zugeh¨orige Graph hat die Ecken E = {0, 1} und die Kanten a = (0, 1), b = (1, 1) und c = (1, 0). Die Bijektion zwischen der topologischen Markoff-Kette und der Kanten-Markoff-Kette f¨ uhrt einen typischen Punkt wie oben in den Punkt abb...bcabbb...cacab.. u ¨ber. Im Allgemeinen definiert ein endlicher Graph eine topologische Markoff-Kette durch die Menge der unendlich langen Pfade, die man im Graphen durchlaufen kann, und die durch eine Folge von Kanten beschrieben wird. MarkoffKetten, die eine solche Darstellung besitzen, nennt man Kanten-MarkoffKetten. Jeder dieser Graphen kann durch eine Matrix A = (aij )i,j∈X mit aij ∈ N0 in der folgenden Weise dargestellt werden: aij ist die Anzahl der gerichteten Kanten von i nach j. Diese Zuordnung zwischen Graphen und Matrizen mit ganzzahligen, positiven Eintr¨ agen ist offenbar bijektiv. Der oben beschriebene Algorithmus einer topologischen Markoff-Kette eine KantenMarkoff-Kette zuzuordnen, liefert das folgende Resultat. Satz 21. Jede topologische Markoff-Kette ist konjugiert zu einer KantenMarkoff-Kette. Es sei an dieser Stelle angemerkt, dass die Konjugation im letzten Satz eine Kanten-Markoff-Kette mit derselben Matrix A liefert. Besondere Bedeutung erhalten damit auch Zerlegungen α eines dynamischen Systems (Ω, T ), deren assoziierter Teilschift eine topologische Markoff-Kette bildet. Die logistische Abbildung T (z) = 4z(1 − z) des Einheitsintervalles in sich besitzt eine Zerlegung α, die durch die Punkte a1 = 0 < a2 < a3 = 12 < a4 < a5 = 1 mit T (a2 ) = T (a4 ) = 21 bestimmt ist. Es gilt dann T [a1 , a2 ] = T [a4 , a5 ] = [0, a3 ] und T [a2 , a3 ] = T [a3 , a4 ] = [a3 , 1]. Werden die vier Intervalle mit 1,...,4 durchnummeriert, so ist der assoziierte Teilschift Ωα eine topologische Markoff¨ Kette mit Ubergangsmatrix ⎛ ⎞ 1100 ⎜0 0 1 1⎟ ⎟ A=⎜ ⎝0 0 1 1⎠. 1100

62

2 Null- und eindimensionale dynamische Systeme

Zerlegungen mit dieser Eigenschaft heißen Markoff-Zerlegungen (s. Definitionen 11 und 35). Sie erlauben, kombinatorische Konstruktionen in einem dynamischen System, etwa die Konstruktion periodischer Punkte. ¨ Es sei (Ω, T ) eine topologische Markoff-Kette mit Ubergangsmatrix A = (aij )i,j∈X . Ist dann aij aji = 1, so gibt es einen periodischen Punkt in Ω, etwa (...ijijij...). Er hat die Primperiode 2, sofern i = j gilt. Allgemein gilt: Es gibt einen periodischen Punkt der Periode n in der Menge [i], falls Buchstaben i1 , ..., in−1 ∈ X mit aii1 ai1 i2 ...ain−1 i = 1 existieren. Sei Pn die Menge aller periodischen Punkte der Periode n in Ω. Da (n) der Eintrag aii der Matrix An gerade aus Summen mit allen Summanden ahlt er die Anzahl der periodischen der Form aii1 ai1 i2 ...ain−1 i = 1 besteht, z¨ Punkte der Periode n in [i]. Es folgt damit pn := |Pn | = Spur(An ). ¨ Satz 22. Sei (Ω, T ) eine topologische Markoff-Kette mit Ubergangsmatrix A. Dann gilt f¨ ur die Anzahl pn der periodischen Punkte der Periode n die Beziehung 1 lim log pn = log λ, n→∞ n wobei λ den gr¨ oßten Eigenwert der Matrix A bezeichnet. Beweis. Die bekannte Tatsache, dass 1 log Spur(An ) = log λ, n→∞ n lim

zusammen mit der vorangestellten Bemerkung liefert die Behauptung.

2.3 Hom¨ oomorphismen der Kreislinie Ein klassisches Resultat von Poincar´e und Denjoy charakterisiert Hom¨oomorphismen T der Kreislinie S 1 = {z ∈ C : |z| = 1}. Um diese Charkterisierung ¨ durchzuf¨ uhren, betrachtet man Uberlagerungsabbildungen ([13], S.18) f : R → R, stetige Funktionen, die T als Faktor unter der Exponentialabbildung besitzen, d.h. das Diagramm f

R −−−−→ ⏐ ⏐ exp T

R ⏐ ⏐exp

S 1 −−−−→ S 1

kommutativ machen. Es gilt also T (exp[2πix]) = exp[2πif (x)]. Da T ein Hom¨ oomorphismus ist, muss f umkehrbar eindeutig auf jedem Intervall der

2.3 Hom¨ oomorphismen der Kreislinie

63

L¨ ange 1 sein. Ferner gilt f (x + 1) = f (x) mod 1, folglich f (x + 1) = f (x) ± 1, je nachdem f die Orientierung erh¨ alt oder umkehrt. Durch Induktion folgert man hieraus f n (x + 1) = f (f n−1 (x + 1)) = f (f n−1 (x) ± 1) = f n (x) ± 1 und f n (x + r) = f n(x + r − 1) ± 1 = f n (x) ± r. ¨ Satz 23. Sei f : R → R eine zu T geh¨ orige Uberlagerungsabbildung.

1 n f (x) existiert f¨ ur beliebige x ∈ R. 1. Der Grenzwert ρf = lim|n|→∞ |n| 2. ρf ist genau dann rational, wenn T einen periodischen Punkt besitzt.

O.E. sei f stets als orientierungstreu angenommen. Beweis. 1. Es seien m, r ∈ Z so gew¨ ahlt, dass r ≤ f m (0) < r + 1 gilt. Aus der Monotonie von f erh¨ alt man unmittelbar f n (0) + f m (0) − 1 ≤ f n (0) + r = f n (r) ≤ f n (f m (0)) = f n+m (0) ≤ f n (r + 1) = f n (0) + r + 1 ≤ f n (0) + f m (0) + 1.

Die Folge an = f n (0) erf¨ ullt also die Bedingung an+m − 1 ≤ an + am ≤ 1 an+m + 1, und damit konvergiert |n| an (s. [6], S.123). F¨ ur beliebiges x ∈ R w¨ ahlt man k ∈ Z mit k ≤ x ≤ k + 1. Die gew¨ unschte Konvergenz erh¨alt man sofort aus f n (0) + k ≤ f n (x) ≤ f n (0) + k + 1. Der Grenzwert ist nat¨ urlich unabh¨ angig von x ∈ R. 2. Sei zun¨ achst z = exp[2πix] ∈ S 1 ein periodischer Punkt von T , etwa der Periode p: T p (z) = exp[2πif p (x)] = z. Da n := f p (x) − x ∈ Z gelten muss, folgt induktiv f kp (x) = f p (f (k−1)p (x)) = f p (x + (k − 1)n) = f p (x) + (k − 1)n = x + kn, 1 kp folglich auch limk→∞ kp f (x) = np . k Schließlich sei ρf = − m ∈ Q, k, m ∈ Z. Man definiert g(x) = f m (x) + k als ¨ eine Uberlagerungsabbildung von T m und rechnet sofort nach, dass g n (x) = f nm (x)+kn f¨ ur beliebige n ∈ Z gilt. Angenommen, g besitzt keinen Fixpunkt. Da f orientierungstreu ist, muss g n (0) monoton wachsen und besitzt keinen H¨ aufungspunkt, denn ein solcher w¨ are ein Fixpunkt von g. Ist nun n0 so gew¨ ahlt, dass g n0 (0) > 1, so gilt auch g rn0 (0) > r (r ∈ N). Es folgt

1 1 rn0 1 ≤ g (0) = [f rmn0 (0) + rkn0 ] → mρf + k = 0. n0 rn0 rn0 Das ist ein Widerspruch. Es gibt also ein x ∈ R mit g(x) = x und somit folgt auch T m (exp[2πix]) = exp[2πig(x)] = exp[2πix].

64

2 Null- und eindimensionale dynamische Systeme

¨ Ist f eine feste Uberlagerungsabbildung f¨ ur T , so erh¨alt man jede andere ¨ Uberlagerungsabbildung durch Addition einer ganzen Zahl. Offenbar ¨andert ¨ ¨ sich der Grenzwert ρf beim Ubergang zu einer anderen Uberlagerungsabbildung nicht. Dieser gemeinsame Grenzwert ρ(T ) = ρf in Satz 23 wird als Rotationszahl von T bezeichnet. ¨ Beispiel 27. Es sei T (z) = z exp[2πiα] eine Rotation. Eine Uberlagerungsabbildung ist x → x + α und deshalb folgt ρ(T ) = α. Definition 19. Ein stetiges dynamisches System (Ω, T ) heißt minimal, falls jede Bahn dicht in Ω liegt (also O(x) = Ω ∀x ∈ Ω). Minimalit¨ at ist ein wesentlicher Begriff der topologischen Dynamik und wird in Abschnitt 3.1 n¨ aher besprochen. Eines der einfachsten Beispiele stellen irrationale Rotationen der S 1 dar. In Beispiel 1 wurde dies bereits gezeigt. Ein weiterer wichtiger Begriff der topologischen Dynamik ist die Konjugation von stetigen dynamischen Systemen, die in Definition 15 eingef¨ uhrt wurde. Sind zwei Systeme konjugiert, besitzen sie dieselben dynamischen Eigenschaften, sofern sie nur durch die Topologie definiert werden. Solche Eigenschaften sind z.B. Existenz periodischer Punkte und Minimalit¨at. ´] Die Rotationszahl ist eine vollst¨ Satz 24. [Poincare andige Invariante der Konjugation in der Klasse aller orientierungstreuer, minimaler Hom¨ oomorphismen der S 1 . Beweis. Es seien zun¨ achst S und T verm¨ oge Π konjugiert. W¨ahlt man ¨ Uberlagerungsabbildungen f von T , g von S und π von Π, so bedeutet die Kojugation, dass π ◦ f = g ◦ π mod 1 gilt. Es folgt ρf f n (x) f n (x) = lim = 1, = lim n n→∞ π(f n (x)) n→∞ g (π(x)) ρg da limz→∞ π(z) = limz→∞ π(z−[z]) + [z] z z z = 1. Also besitzen konjugierte Abbildungen die gleiche Rotationszahl. Zur Vorbereitung des Umkehrschlusses beweist man am besten das folgende Lemma 4. Ist ρf irrational, so sind die Mengen {nρf + m : n, m ∈ Z} und oge der Abbildung h(nρf + m) = f n (0) + m {f n (0) + m : n, m ∈ Z} verm¨ isomorph. Beweis. Es gen¨ ugt offenbar zu zeigen, dass h eine strikt monotone Abbildung ist, denn dann ist h auch eine Bijektion auf sein Bild. Seien n, m, k, l ∈ Z mit

2.3 Hom¨ oomorphismen der Kreislinie

nρf + m < kρf + l gew¨ ahlt. Da stets (N ∈ Z) gilt, folgt

1 N N [f (0)]

≤ ρf ≤

1 N N ([f (0)]

65

+ 1)

f n (0) = f k (f n−k (0)) ≤ f k ((n − k)ρf ) ≤ f k (l − m) = f k (0) + l − m. Im Falle der Gleichheit gibt es einen periodischen Punkt; da jedoch ρf irrational ist, folgt das Lemma mit Satz 23. Der Beweis von Satz 24 wird nun auf folgende Weise beendet. Man definiert einen Hom¨ oomorphismus π : R → R durch π(x) =

lim

f n (0)+m↑x

h−1 (f n (0) + m).

(Da T minimal ist, gibt es zu ǫ > 0 ein n ∈ Z, derart dass |T n (0) − exp[2πix]| so klein ist, dass |f n (0) − x| < ǫ mod 1 gilt. Daher ist x wie behauptet approximierbar.) Der Grenzwert existiert nach Lemma 4 und π kommutiert ¨ mit der Uberlagerungsabbildung x → x + ρf der irrationalen Rotation um den Winkel ρf , denn π(f (x)) = =

lim

h−1 (f n+1 (0) + m)

lim

(n + 1)ρf + m = π(x) + ρf .

f n (0)+m↑x f n (0)+m↑x

Die Abbildung Π(exp[2πix]) = exp[2πiπ(x)] ist dann der gesuchte Hom¨oomorphismus zwischen T und der irrationalen Rotation um den Winkel ρf . Der letzte Satz zeigt unter anderem, dass zwei verschiedene irrationale Rotationen nicht konjugiert sein k¨ onnen. Es gen¨ ugt f¨ ur den letzten Satz die Existenz einer dichten Bahn vorauszusetzen, um die Konjugiertheit zu beweisen. In der Tat zeigt das Argument des Beweises, dass die Konjugation auf jedem Bahnabschluß gilt und global eine Semi-Konjugation definiert. ankter Variation, wenn Eine Funktion f : S 1 → R heißt von beschr¨ V ar(f ) = sup{

n 

k=1

|f (eixk ) − f (eiyk )| : 0 ≤ xk < yk ≤ xk+1 ≤ 2π, n ≥ 1}

endlich ist. Satz 25. [Denjoy] Ein C 1 -Diffeomorphismus der S 1 mit einer Ableitung von beschr¨ ankter Variation und mit irrationaler Rotationszahl ρ ist zur Rotation um den Winkel ρ konjugiert. Beweis. Sei T : S 1 → S 1 wie im Satz und Tρ die irrationale Rotation um den Winkel ρ ∈ R \ Q. Angenommen, T ist nicht zu Tρ konjugiert. Sei x ∈ S 1 ein Punkt mit O(x) = S 1 (vgl. das Theorem von Poincar´e). Dann ist O(x) eine abgeschlossene Menge in S 1 , deren Komplement in abz¨ahlbar viele Intervalle zerf¨ allt (da ρ ∈ Q, kann es keine periodischen Punkte geben, und

66

2 Null- und eindimensionale dynamische Systeme

somit ist die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von S 1 \ O(x) nicht endlich). Aus demselben Grund ist jeder Endpunkt einer Komponente auch H¨ aufungspunkt anderer Komponenten. Es folgt daraus, dass T diese Komponenten vertauscht, und zwar so, dass f¨ ur eine feste Komponente I = (x, y) s¨ amtliche Mengen T k (I) (k ∈ Z) paarweise disjunkt sind. Sei u ∈ I und eine Folge nk → ∞ durch d(T nk (u), u) <

min

−|nk |
d(T l (u), u)}

erkl¨ art. Dann sind die Bilder des Intervalls Jk mit Endpunkten u und T nk (u) unter Iteration mittels T l f¨ ur 0 ≤ |l| ≤ |nk |/2 paarweise disjunkt. Ebenso sind die Mengen T l (Jk ) f¨ ur jeweils |nk |/2 ≤ l ≤ 3|nk |/2 und −3|nk |/2 ≤ l ≤ −|nk |/2 paarweise disjunkt. Bezeichnet nun V = 3V ar(log |T ′ |) das Dreifache der Variation von log |T ′ |, so folgt f¨ ur v, w ∈ I oder v, w ∈ Jk und −nk ≤ K < L ≤ nk durch Aufspalten in bis zu drei Teilsummen V ≥

L  log |T ′ (T k (v))| − log |T ′ (T k (w))|

k=K

L ′  T (T k (v)) (T L−K )′ (T K (v)) ≥ log T ′ (T k (w)) = log (T L−K )′ (T K (w)) . k=K

Sei I0 = I ∩ Jk . Es folgt einerseits f¨ ur n = L und K = 0  |(T ±n )′ (v)|dv ≥ e−V |I0 ||(T ±n )′ (u)|, |T ±n (I0 )| = I0

aber auch andererseits |(T nk )′ (u)||(T −nk )′ (u)| ≥ e−V . Zusammenfassend bedeutet dies, dass |T nk (I)| + |T −nk (I)| ≥ |T nk (I0 )| + |T −nk (I0 )|  |(T nk )′ (v)| + |(T −nk )′ (v)|du = I0 $ % ≥ exp[−V ]|I0 | |(T nk )′ (u)| + |(T −nk )′ (u)| * ≥ exp[−V ]|I0 | |(T nk )′ (u)(T −nk )′ (u)| ≥ |I0 | exp[−3V /2]. Das ist ein Widerspruch zur Wahl von I, denn die Intervalle T k (I) besitzen keine untere Schranke f¨ ur ihre L¨ ange, da sie paarweise disjunkt sind. Im Falle einer rationalen Rotationszahl gilt der folgende Satz. Sei T : S 1 → S 1 ein Diffeomorphismus mit einer endlichen Anzahl m von periodischen Punkten. Man u ussen, etwa ¨berlegt sich leicht, dass alle Primperioden gleich sein m¨

2.4 Rationale Abbildungen

67

gleich p sind. Es bezeichne I1 , ..., Im die Intervalle, die durch diese periodischen Punkte als Randpunkte definiert werden, paarweise disjunkt sind, und ur ein ι > 0, dass T Ij = Ij+ι f¨ ur die Ij ∩ Ij+1mod 1 einpunktig ist. Es folgt f¨ f¨ ur alle 1 ≤ j ≤ m gelten muss. ι = ιT heißt der Sprungindex von T . Satz 26. Seien S und T zwei Diffeomorphismen der S 1 mit m periodischen Punkten der Primperiode p, die s¨ amtlich Senken oder Quellen sind. Es sei ferner ιS = ιT . Dann sind S und T konjugiert. Beweis. Seien I1 , ..., Im und J1 , ..., Jm die zu den Diffeomorphismen S und T geh¨ origen Intervalle, so wie es gerade beschrieben wurde. Man kann annehmen, dass entsprechende Endpunkte von J1 von demselben Typ wie von I1 sind (also z.B. ein Endpunkt eine Quelle, und die Intervalle besitzen dann die gleiche Orientierung). Es kann keine periodischen Punkte in I1 und J1 geben, und daher gibt es einen Hom¨ oomorphismus h0 : I1 → J1 der S p und p T konjugiert. Man setzt nun h(x) = T i ◦ h0 ◦ S −i (x)

x ∈ S i (I1 ) = IiιS +1 .

Dann bildet h die Menge IiιS +1 auf die Menge JiιT +1 , und da beide Sprungindizes gleich sind, erh¨ alt man, dass h Ik auf Jk orientierungstreu abbildet. Man u oomorphismus ist, der S und T ¨berlegt sich leicht, dass h ein Hom¨ konjugiert.

2.4 Rationale Abbildungen Die Iterationstheorie rationaler Funktionen gestaltet sich besonders elegant. Der Grund daf¨ ur ist die Ausnutzung konformer Strukturen. Es wird hier ein kurzer Einblick in die Grundlagen der Theorie vorgestellt, und ein Ausblick auf die Sullivansche Theorie der Fatou Komponenten angef¨ ugt. Eine wichtige Motivation der Theorie ist das bekannte Newton Verfahren. Es sei P : C → C ein Polynom, also P (z) = a0 z n + ...an−1 z + an . Die L¨osung des Nullstellenproblems P (z) = 0 mittels des Newton-Verfahrens f¨ uhrt auf die Iteration der rationalen Funktion (der Newton-Abbildung) P (z) R(z) = z − ′ . P (z) Ein Wert z0 ist n¨amlich genau dann eine Nullstelle von P , wenn er ein superanziehender Fixpunkt von R ist. In der Tat ist R′ (z0 ) = 0, wie man sofort nachrechnet. Startet der Iterationsprozess zn = R(zn−1 ) mit z1 in der N¨ahe des Fixpunktes z0 , so konvergieren die Punkte zn gegen z0 . Man weiss jedoch, dass nicht alle Startwerte zu einer L¨ osung f¨ uhren.

68

2 Null- und eindimensionale dynamische Systeme

Beispiel 28. Das Polynom P (z) = z 3 − 2z + 2 vom Grad 3 besitzt die Newton-Abbildung R(z) = (2z 3 − 2)/(3z 2 − 2). Es gilt R(1) = 0 und R(0) = 1, also ist {0, 1} ein periodischer Orbit der Periode zwei. Ferner 3 2 −2) ′ gilt R′ (z) = 3z6z2 −2 − 6z(2z (3z 2 −2)2 , es ist also R (0) = 0 und daher die Bahn des periodischen Orbits superanziehend. Nat¨ urlich ist weder 0 noch 1 eine L¨ osung des Nullstellenproblems. Eine rationale Funktion R(z) =

P (z) Q(z)

(z ∈ C)

mit Polynomen P (z) und Q(z) l¨ asst sich holomorph auf die Riemannsche Fl¨ ache S 2 fortsetzen. Diese Fortsetzung sei wiederum mit R(z) bezeichnet. Nat¨ urlich kann man stets annehmen, dass die Polynome teilerfremd sind. Umgekehrt entsteht auch jeder analytische Endomorphismus auf diese Art und Weise. Der Grad von R ist deg(R) = max{deg(P ), deg(Q)} (vgl. die Definition des Grades vor Korollar 8 in Abschnitt 3.5, die hiermit u ¨bereinstimmt), wobei der Grad eines Polynoms wie u ¨blich definiert ist. Ist deg(R) = 1, so ist R eine M¨ obius-Transformation R(z) =

az + b cz + d

ad − bc = 0

(2.6)

oder konstant. Satz 27. Eine M¨ obius-Transformation ist eine biholomorphe Abbildung der S2. Beweis. Die Inverse zu R, das wie in (2.6) gegeben sei, ist

dz−b a−cz

(z ∈ C).

Im Folgenden sei R stets vom Grad ≥ 2. Jede M¨obius-Transformation ϕ konjugiert rationale Abbildungen zu einer weiteren rationalen Abbildung. Ein kritischer Punkt z ist dadurch definiert, dass die Ableitung in z verschwindet. Satz 28. Eine rationale Abbildung vom Grad d besitzt h¨ ochstens 2d − 2 kritische Punkte in S 2 . Ein Polynom besitzt h¨ ochstens d − 1 kritische Punkte in C. 0) Beweis. F¨ ur z0 ∈ S 2 sei k = k(z0 ) durch limz→z0 R(z)−R(z ∈ (0, ∞) defi(z−z0 )k
niert. Der Satz von Riemann-Hurwitz ([41], S.43) besagt, dass k(z) − 1 = 2d − 2. Da k(z) > 1 f¨ ur kritische Punkte und k(∞) = d f¨ ur ein Polynom gelten, folgt der Satz unmittelbar.

Einen Punkt z ∈ S 2 nennt man bekanntlich normal bzgl. R, falls es eine Umgebung von z gibt, auf der die Familie {Rn : n ≥ 1} gleichgradig stetig ist. Nach dem Satz von Montel ([97], S.3) ist ein Punkt z ∈ S 2 genau dann normal, wenn die Bilder von R und seiner Iterierten, eingeschr¨ankt auf beliebig kleine Umgebungen, drei Werte auslassen. Auf Grund dieser Eigenschaft l¨ asst sich die Sph¨ are in zwei komplement¨ are Mengen zerlegen:

2.4 Rationale Abbildungen

69

Definition 20. Die Fatou-Menge F (R) besteht aus allen bzgl. der Familie {Rn : n ≥ 0} normalen, und die Julia-Menge J(R) aus allen bzgl. der Familie {Rn : n ≥ 0} nicht normalen Punkten. Eine Teilmenge A eines dynamischen Systems (Ω, T ) heißt vollst¨ andig invariant, wenn T (A) = A = T −1 (A) gilt. Proposition 5. Sei E eine abgeschlossene, vollst¨ andig R-invariante Teilachtigkeit ≤ 2 oder J(R) ⊂ E. menge in S 2 . Dann besitzt E entweder die M¨ Beweis. Es sei |E| ≥ 3 und X = S 2 \E. X ist offen und vollst¨andig invariant. Daher lassen die Iterierten Rn , n ≥ 0, die Werte in E aus, d.h. Rn (z) ∈ E f¨ ur jedes n ≥ 1 und z ∈ X. Nach dem Satz von Montel ist daher jedes z ∈ X normal, also X ⊂ F (R), oder J(R) ⊂ E. Proposition 6. 1. J(R) ist vollst¨ andig invariant. 2. J(R) ist nicht leer, kompakt und besitzt keine isolierten Punkte. 3. F¨ ur jedes m ≥ 1 ist J(R) = J(Rm ). Beweis. 1. Es gen¨ ugt, die Invarianz der Fatou-Menge zu zeigen. Unmittelbar aus der Definition der Normalit¨ at folgt, dass mit einem Punkt auch sein Bild und jedes Urbild normal ist. Daher folgt R−1 (F ) = F = R(F ). Da R surjektiv ist, ist alles gezeigt. 2. Da F = F (R) offen ist, muss J(R) kompakt sein. Ist J(R) die leere Menge, so ist Rn (z) in jedem Punkt z ∈ S 2 normal. Daher ist jeder H¨ aufungspunkt R von {Rn : n ≥ 0} analytisch auf S 2 , also auch rational. Man kann also annehmen, dass Rn gegen R gleichm¨aßig konvergiert, und ∞ keine Nullstelle von R ist (nach einem eventuellen Koordinatenwechsel). Aus dem Satz von Rouche ([2], S.152) folgt f¨ ur hinreichend großes n, dass Rn und R die gleiche Anzahl von Nullstellen besitzen. (Das ist zun¨achst auf kleinen Kugeln richtig, deren Zentrum eine Nullstelle von R ist. Ferner ist Rn auf dem Komplement der Vereinigung dieser Kugeln von Null weg beschr¨ ankt.) Es folgt, dass R und Rn den gleichen Grad besitzen, sofern n hinreichend groß ist. Da jedoch deg(Rn ) = [deg(R)]n f¨ ur jedes n ≥ 1 gelten muss, folgt ein Widerspruch, da deg(R) ≥ 2 vorausgesetzt wurde. Somit ist J(R) nicht leer. Ein Punkt z heißt bekanntlich isoliert, wenn er nicht als H¨aufungspunkt einer Folge zn = z (n ≥ 1) erhalten werden kann. Sei X die Menge aller H¨ aufungspunkte von J(R). X ist abgeschlossen und vollst¨andig invariant nach 1., und daher gilt J(R) = X nach Proposition 5. ur {Rmn : n ≥ 0}. 3. Ist x normal f¨ ur die Familie {Rn : n ≥ 0}, so auch f¨ nm Umgekehrt, ist x normal f¨ ur {R : n ≥ 1}, so auch f¨ ur jede Familie {Rnm+l : n ≥ 1} mit l = 0, 1, ..., m − 1. Daher ist x auch normal f¨ ur {Rn : n ≥ 1}. Beispiel 29. Eine M¨ obius-Transformation, die S 1 invariant l¨asst, hat die Gestalt B(z) = eiφ (z − a)/(az − 1) mit a ∈ D = {z ∈ C : |z| < 1}. Ein endliches Produkt solcher Funktionen nennt man ein Blaschke-Produkt, und falls sein

70

2 Null- und eindimensionale dynamische Systeme

Grad ≥ 2 und einer der Koeffizienten a = 0 sind, folgt schon F (R) = S 2 \ S 1 . Es ist ebenfalls leicht zu sehen, dass die Funktion z → z + z −1 − 1 eine Julia-Menge besitzt, die eine Cantor-Menge ist und ganz in R enthalten ist. Aus Proposition 6 folgt, dass F (R) offen und vollst¨andig invariant ist; R operiert sowohl auf F (R) als auch auf J(R). Definition 21. Sei (Ω, T ) ein stetiges dynamisches System. Es heißt topologisch mischend, wenn f¨ ur alle nicht leeren, offenen Mengen U, V ⊂ Ω und f¨ ur schließlich alle m ∈ N V ∩ T −m (U ) = ∅ gilt. Es heißt topologisch exakt, wenn f¨ ur alle nicht leeren, offenen Mengen U ⊂ Ω ein n ∈ N existiert, so dass T n (U ) = Ω. Satz 29. Das System (J(R), R) ist topologisch mischend und topologisch exakt. Beweis. Es gen¨ ugt zu zeigen, dass (J(R), R) topologisch exakt ist. Da J(R) aus nichtnormalen Punkten besteht, gilt f¨ ur eine offene, nicht leere Menge ∞ W , dass n=0 Rn (W ) ⊃ J(R). Seien nun U = ∅ offen und z ∈ U ∩ J(R) ein abstoßender periodischer Punkt der Periode m. Man findet dann eine offene Menge z ∈ V ⊂ U mit V ⊂ Rm (V ). Es folgt, dass

Rnm (V ) ⊃ J(Rm ) n≥0

nm

achst und J(Rm ) kompakt ist, gibt es und, da die Folge R (V ) monoton w¨ m mn0 (V ) ⊃ J(R ), also auch Rmn0 (U ) ⊃ J(Rm ). Mit Propoein n0 , so dass R sition 6, 3., ist die Behauptung gezeigt, wenn die abstoßenden periodischen Punkte dicht in J(R) liegen. Diese Aussage ist aber Bestandteil des n¨achsten Resultates. In der Tat ist diese Dichtheitsaussage eine weitere Beschreibung der JuliaMenge. F¨ ur einen periodischen Punkt z mit Primperiode n ≥ 1 setzt man den Multiplikator als λ = λ(z) = (Rn )′ (z) = R′ (z) · R′ (R(z)) · ... · R′ (Rn−1 (z))

fest5 . z ist ein abstoßender periodischer Punkt, falls |λ| > 1 gilt. Gilt λ(z) = 0, so heißt z superanziehend (kritisch), f¨ ur 0 < |λ(z)| < 1 bezeichnet man z als anziehend. Schließlich, im Falle λ(z) = exp[2πiα] (α ∈ R), heißt z indifferent; insbesondere heißt er rational indifferent oder parabolisch, wenn α rational ist. Satz 30. Die Julia-Menge einer rationalen Funktion enth¨ alt die Menge X aller abstoßender periodischer Punkte. Abstoßende periodische Punkte liegen dicht in J(R). 5

Die Definition ist invariant gegen¨ uber Konjugation mit beliebigen M¨ obiusTransformationen und kann so auf z = ∞ ausgedehnt werden.

2.4 Rationale Abbildungen

71

Beweis. Ein abstoßender periodischer Punkt z kann nicht normal sein, da sonst die gleichgradige Stetigkeit von {Rn : n ≥ 0} im periodischen Punkt verletzt ist. Somit gilt z ∈ J(R) und X ⊂ J(R). In einem n¨ achsten Schritt wird gezeigt, dass periodische Punkte dicht in J(R) liegen. Hierzu wird in jeder Umgebung U eines Punktes z ∈ J(R) ein periodischer Punkt konstruiert. Da J(R) perfekt ist (Proposition 6), und da es nur endlich viele kritische Punkte geben kann (Satz 28), existiert ein Punkt w ∈ U ∩ J(R), der kein kritischer Wert f¨ ur die rationale Abbildung R2 ist. Da −2 alt, k¨onnen drei davon ausw¨ahlt dann R {w} mindestens vier Punkte enth¨ werden, etwa w1 , w2 und w3 . Seien Wi offene Umgebungen von wi (1 ≤ i ≤ 3), die alle auf das gleiche Bild W unter R2 abbilden. Sei Rj2 derjenige inverse Zweig der Umkehrabbildung R−2 , der W auf Wj abbildet. Angenommen, f¨ ur jedes j = 1, 2, 3, jedes n ≥ 1 und jedes w ∈ W ist Rn (w) = 2 Rj (w) = wj . Dann ist nach dem Satz von Montel {Rn : n ≥ 1} normal in W , im Widerspruch zu w ∈ W ∩ J(R). Es gibt also p ∈ W , n ≥ 1 und j ∈ {1, 2, 3} mit Rn (p) = Rj2 (p), d.h. Rn+2 (p) = p. Da U beliebig war, folgt zun¨ achst z ∈ X, und da z ∈ J(R) ebenfalls beliebig war, auch J(R) ⊂ X. Ein periodischer Punkt mit Multiplikator vom Betrag < 1 ist sicherlich normal, geh¨ ort also nicht zu J(R). Nach einem Satz von Fatou (s. die Diskussion am Schluss dieses Abschnitts) kann es nur endlich viele indifferente periodische Punkte in J(R) geben. Hieraus folgt, dass J(R) der Abschluss der abstoßenden periodischen Punkte ist. Da eine Julia-Menge nicht leer und kompakt ist, zerf¨allt F (R) in Zusammenhangskomponenten. Satz 31. Die Zusammenhangskomponente F∞ von ∞ eines Polynoms P ist vollst¨ andig invariant. Beweis. Da ∞ ein anziehender Fixpunkt eines Polynoms ist, gilt P −1 (F∞ ) ⊃ F∞ . Ist F irgendeine Komponente von F (P ) mit P (F ) ⊂ F∞ , so muss P (F ) = F∞ gelten, denn ein Punkt im Rand von F geh¨ort zu J(P ) und wird somit in J(P ) abgebildet. Da ∞ vollst¨ andig invariant ist, kann es keine Komponente außer F∞ geben, die auf F∞ abgebildet wird. Aus den bis jetzt diskutierten Eigenschaften lassen sich Algorithmen zur Berechnung – und damit graphischen Darstellung – von Julia-Mengen ableiten. Man sucht sich beispielsweise einen passenden periodischen Punkt und iteriert r¨ uckw¨ arts. Die folgenden Bilder zeigen eine Auswahl von Julia-Mengen quadratischer Polynome. Die Struktur der Komponenten der Fatou-Menge ist bekannt. Als Ausblick sei an dieser Stelle ein kurzer Abriss dieser Fakten ohne Beweise angef¨ ugt. Die entsprechende Spezialliteratur findet man etwa in [41], [48], [87], oder [97]. Insbesondere folgt aus der Diskussion, dass es nur endlich viele indifferente Punkte in der Julia-Menge geben kann (vgl. den Beweis zu Satz 30).

72

2 Null- und eindimensionale dynamische Systeme

Abb, 2.3. R{z) ^ z^ - 1.54369... Dendrit; kritisch

^t^

^^^

^^J

Abb. 2.4. i?(2;) = 2;^ + 0.49 + (0.49)^i Cantor-Menge; hyperbolisch Der Satz von Sullivan besagt, dass jede Zusammenhangskomponente der Fatou-Menge schließlich periodisch ist, es nur endlich viele periodische Komponenten geben kann, und die periodischen Komponenten klassifiziert werden können. Sei also U eine Komponente der Fatou-Menge einer rationalen Abbildung R. Dann gibt es n und m, so dass R'^iK'iJJ)) = R'^{U), Die Bahnen von Punkten der Fatou-Menge verlaufen schließlich ganz in periodischen Komponenten; es genügt also, die Dynamik innerhalb solcher Komponenten zu beschreiben. Sei U eine periodische Komponente (mit Periode m und somit gilt J^^ \U -^ U). Gemäß der Klassifikation der holomorphen Abbildungen auf hyperbolischen Riemannschen Flächen ([3] und [41], S.157) können nur die folgenden Fälle auftreten: 1. [Unmittelbarer Anziehungsbereich] U ist der unmittelbare Anziehungshereich eines (super)anziehenden periodischen Punktes. Es gibt einen periodischen Punkt ZQ GU mit Periode m und R^'^{z) —> ZQ für jedes z eU. Falls der Multiplikator A von R'^{zo) vom Betrag 0 < |A| < 1 ist, so ist die Aussage von Koenigs Satz die lokale Konjugation der rationalen Funktion R zur Abbildung w —^Xw in einer Umgebung von 0 (s. Satz 10). Zum Beispiel ist z —> z^:+z/2 von diesem Typus. Im kritischen (superanziehenden) Fall A = 0 ergibt Bötkers Satz die Konjugation zu w ^ tt;"^ für ein n > 1. (Beispielhaft sei hierfür die rationale Funktion z -^ z^ erwähnt). 2. [Anziehungsbereich eines parabohschen Punktes] U ist der Anziehungsbereich eines Blattes für einen rational indifferenten periodischen Punkt.

2.4 Rationale Abbildungen

73

Abb. 2.5. R{z) = z^ + 0.15 + 0.2i Jordan-Kurve; hyperbolisch Dies bedeutet, dass es einen periodischen Punkt ZQ im Rand von U gibt, etwa R^{zo) = ZQ und der Multiplikator von R'^{zo) ist von der Form A = exp[27ri^] mit p^q e Z. In diesem Fall gilt R^^{z) -^ ZQ für jedes z eU. U wird ein Blatt (petal) des parabolischen periodischen Punktes ZQ G dU

Abb. 2.6. R{z) = z^

I parabolisch mit 2 Blättern

genannt. Fatous Flower Theorem besagt, dass W^ in einer Umbebung von zo zur Abbildung w -^ \VÖ(\ + i(;^) für ein n > 1 konjugiert ist. Es gibt n abstoßende Richtungen Li,...,Ln und ebenso viele anziehende Richtungen, und J(Ä) ist tangential in z^ zu den abstoßenden Richtungen Lj. Hierbei ist n so bestimmt, dass der analytische inverse Zweig von Ä^, der ZQ = 0 fest lässt, die Form z —^ z-\- az^'^^ + ... besitzt. 3. [Siegel Scheibe] U ist eine Siegel-Kreisscheibe^ und Rl^ ist zu einer irrationalen Rotation auf D = {z : \z\ < 1} konjugiert. Dies bedeutet, dass es einen periodischen Punkt zo der Periode m mit Multiplikator A = X{zo) = exp[27ria], a irrational, gibt, und R^ zu w -^ Xw konjugiert ist. Beispielsweise besitzt die Abbildung RK{Z)

=

Z'^

-{- KZ

74

2 Null- und eindimensionale dynamische Systeme

für fast alle K, e S^ eine Komponente dieses Typus, genauer, falls das zu K gehörige a Diophantisch ist (s. Definition 12). Allerdings besitzt die Familie R^ generisch keine Siegel-Kreisscheibe.

Abb. 2.7. R{z) — z^ + 2;exp[27riV2] Siegel-Kreisscheibe 4. [Herman-Ring] U ist ein Herman-Ring, d.h. RV^ ist zu einer irrationalen Rotation auf einem Kreisring { ^ : a < | 2 : | < l } konjugiert.

3 Topologische Dynamik

Topologische Dynamik besch¨ aftigt sich mit stetigen dynamischen Systemen (Ω, G), ihren dynamischen Eigenschaften und ihrem strukturellen Aufbau. Sie besitzt daher grundlegende Bedeutung. Man legt das allgemeine Modell zu Grunde, wie es in Abschnitt 1.1 beschrieben wurde, und studiert zun¨ achst einmal Rekurrenzeigenschaften. Im ersten Abschnitt wird dieses Ziel anhand der Begriffe Minimalit¨at, Fastperiodizit¨at, Proximalit¨ at und Distalit¨ at verfolgt. Insbesondere besitzen distale Fl¨ usse eine besonders sch¨ one Struktur u ¨ber fastperiodische Erweiterungen. Dies besagt der Furstenbergsche Struktursatz von 1967. Der Poincar´esche Rekurrenzsatz ist das klassische Resultat der topologischen Dynamik. Es erfuhr eine entscheidende Verallgemeinerung in dem Satz von Furstenberg und Weiss 1978, der eine multiple Rekurrenz beinhaltet. Der Satz von van der Waerden (1905– 1996) u ¨ber arithmetische Progressionen von 1924 ist nur eine von vielen Anwendungen der sich darauf aufbauenden Theorie. Neben dem Furstenbergschen Struktursatz ist der Satz von Williams u ¨ber die Struktur hom¨ oomorpher topologischer Markoff-Ketten ein herausragendes Resultat der Konjugationstheorie. Er wurde 1973 ver¨offentlicht, geh¨ort zum Kernbereich der symbolischen Dynamik und wird in Abschnitt 3.4 vorgestellt. Die weitergehende Vermutung, dass die Konjugation durch Schiebungs¨ Aquivalenz ausgedr¨ uckt werden kann, hat sich als nicht richtig erwiesen. Eigentlich ist symbolische Dynamik zur Zeit Poincar´es entstanden. Folgen von Buchstaben“ erscheinen u.a. in den Arbeiten von Sturm und Toeplitz um ” 1900. Die Benutzung solcher symbolischen Beschreibungen in der differenzierbaren Dynamik geht auf Hadamard zur¨ uck, gefolgt von Hedlund und Morse in den 30er Jahren (Morse-Theorie), vgl. Kapitel 4. In der Ergodentheorie und messbaren Dynamik spielen symbolische Systeme eine zentrale Rolle, denn sie sind stets als kanonisches Modell anzusehen (s. Abschnitt 1.2 und 5.5). Zentrale Bereiche der toplogischen Dynamik, die f¨ ur eindimensionale Gruppenwirkungen wesentlich sind, werden in den restlichen Abschnitten dargestellt. Der Begriff des Attraktors spielt eine dominierende Rolle, und das Auffinden verschiedener Attraktoren hat die Theorie nachhaltig beeinflusst, wie etwa der Lorenz-Attraktor, H´enon-Attraktor, Solenoid und Smale’s Hufeisen. Dies findet man zusammen mit einer klassischen Darstellung von Li-

76

3 Topologische Dynamik

mesmengen und Attraktoren in Abschnitt 3.2. Die in Sektion 2.4 eingef¨ uhrten Julia-Mengen sind Repeller (Attraktoren des durch inverse Zweige definierten konformen iterierten Funktionensystems (vgl. Abschnitt 1.2)). Die Benutzung von Verzerrungseigenschaften erscheint zum ersten Mal in der Arbeit von Denjoy 1932. Sie ist mittlerweile ein fester Bestandteil der Theorie, und es wird in Abschnitt 3.3 darauf eingegangen, fortgef¨ uhrt in den Abschnitten 5.2 und 5.6. Kern der Theorie ist die Eigenschaft einer (nicht invertierbaren) Transformation, offen und expandierend zu sein. Einseitige topologische Markoff-Ketten und hyperbolische rationale Abbildungen auf ihrer Julia-Menge fallen beispielsweise in diese Kategorie. Der eigentliche Begriff der topologischen Dynamik, unter den Expansion f¨allt, ist jedoch Expansivit¨ at, denn nur er ist eine Konjugationsinvariante. Die Unterscheidung beider Begriffe ist wesentlich. Schließlich enth¨ alt der letzte Abschnitt den Begriff der topologischen Entropie, der in wichtigen F¨ allen das asymptotische Wachstum der Anzahlen periodischer Punkte einer festen Periode beschreibt (s. Abschnitte 2.1 oder 4.6). Er wurde von Adler, Kohnheim und McAndrew eingef¨ uhrt, die hier gew¨ahlte Darstellung stammt von Bowen (modifiziert nach Nitecki). In Abschnitt 6.1 erf¨ahrt diese Begriffsbildung eine wichtige Erweiterung im Sinne des thermodynamischen Formalismus. Dort wird auch bewiesen, dass die topologische Entropie die maßtheoretische des Abschnitts 5.4 dominiert.

3.1 Topologische Transformationsgruppen Der allgemeine Rahmen, in dem die generelle Theorie angesiedelt ist, wurde bereits mit den Definitionen des Abschnittes 1.1 beschrieben. Sei Ω ein topologischer Raum und G eine topologische Gruppe, beide verkn¨ upft durch eine stetige Abbildung ρ:Ω×G→Ω

die ρ(ρ(x, g), h) = ρ(x, hg) und ρ(x, e) = x erf¨ ullt1 (vgl. Definition 1). In diesem Fall spricht man von einer linken Transformationsgruppe oder Gruppenwirkung. Gilt ρ(ρ(x, g), h) = ρ(x, gh), so handelt es sich um eine rechte Transformationsgruppe oder Gruppenwirkung. Um die Notation zu vereinfachen, wird die Abbildung kurz mit gx, beziehungsweise xg, bezeichnet. Das einfachste Beispiel ist die Gruppe G = S 1 die verm¨oge Rotationen auf S 1 operiert, also ρ : S 1 × S 1 → S 1 wird durch ρ(z, y) = zy erkl¨art. Wegen der Kommutativit¨ at der Gruppe S 1 ist sie sowohl rechte wie auch linke Transformationsgruppe. Offenbar ist f¨ ur jede topologische Gruppe durch die Vorschrift (h, g) → hg eine rechte Transformationsgruppe definiert (hier ist mit hg zun¨ achst die Verkn¨ upfung der Gruppenelemente h und g gemeint, die dann jedoch mit der Gruppenoperation identifiziert wird). 1

e bezeichnet die Einheit in G; hg wird f¨ ur die Verkn¨ upfung von h und g in G geschrieben.

3.1 Topologische Transformationsgruppen

77

Komplizierter werden Beispiele, in denen die Gruppe nicht auf sich selbst operiert. Beispiel 30. Betrachtet man die obere Halbebene der komplexen Ebene, so operiert auf ihr die Gruppe PSL(2, R) der M¨ obius-Transformationen T (z) = az+b cz+d (vgl. Abschnitt 1.6). Beispiel 31. Die Gruppe O(d) aller orthogonaler d × d-Matrizen operiert isometrisch sowohl auf dem Rd wie auch auf der d − 1-dimensionalen Sph¨are S d−1 ⊂ Rd in kanonischer Weise. Dies ist eine direkte Verallgemeinerung irrationaler Rotationen. Man beachte, dass O(d) eine kompakte Gruppe ist. Beispiel 32. Die Gruppe R der reellen Zahlen operiert auf SL(2, R) verm¨oge Matrizenmultiplikation   t 0 e2 , (A, t) → A t 0 e− 2 denn die Bildmatrix besitzt ebenfalls die Determinante Eins. Diese Operation definiert den geod¨ atischer Fluss auf SL(2, R). Beispiel 33. Die Gruppe Zd operiert als Gruppe von Schiftabbildungen auf d dem verallgemeinerten Schiftraum Ω = X Z , und zwar ist f¨ ur x = (xk )k∈Zd ∈ Ω und a ∈ Zd ρ(x, a) = (yk )k∈Zd mit yk = xk+a , k ∈ Zd . Ω wird als ddimensionaler Konfigurationsraum und die Gruppenoperation als Schift bezeichnet. Eine Gruppe G wirkt frei auf einem Raum Ω, falls xg = x f¨ ur jedes x ∈ Ω und e = g ∈ G gilt. Der Isomorphiebegriff wird kanonisch definiert. Eine rechte Transformationsgruppe (Ω, G) ist ein Faktor der rechten Transforma˜ G), falls es eine stetige und surjektive Abbildung Π : Ω ˜→Ω tionsgruppe (Ω, ˜ gibt, die Π(xg) = Π(x)g (x ∈ Ω, g ∈ G) erf¨ ullt. Π heißt dann ein Homomorphismus. Ist Π ein Hom¨ oomorphisus, so ist auch die Bezeichnung Monomorphismus gebr¨ auchlich. Diese Begriffe werden analog f¨ ur linke Transformationsgruppen erkl¨ art. Im Folgenden sei (Ω, G) stets eine rechte Transformationsgruppe. Die Bahn eines Punktes x ∈ Ω ist xG, somit bedeutet xG ihren Bahnabschluss. Die ¨ Menge R = {(x, y) ∈ Ω × Ω : y ∈ xG} ist eine Aquivalenzrelation (ersetzt man xG durch den Bahnabschluss, so definieren die entsprechenden Men¨ gen i.a. keine Aquivalenzrelation). Ein Fixpunkt des dynamischen Systems (Ω, G) ist ein Punkt, der unter der Wirkung von G fest bleibt. Ist x ∈ Ω, so bezeichnet Stab(x) = {g ∈ G : xg = x} den Stabilisator von x. Es ist sofort ersichtlich, dass Stab(x) eine Untergruppe bildet. Der Stabilisator eines periodischen Punktes (hier ist G = Z) ist von der Form nZ, wobei n die Primperiode des periodischen Punktes ist. Zur weiteren Vereinfachung der Darstellung sei im Folgenden Ω ein separabler metrischer Raum. Die Metrik wird wie gewohnt mit d bezeichnet.

78

3 Topologische Dynamik

Die Struktur periodischer Bahnen ist in dem Sinne trivial, dass jeder ihrer Punkte nach endlicher Zeit in sich u uhrt wird. Die gebr¨auchlichste Ab¨berf¨ schw¨ achung dieser Eigenschaft ist Fastperiodizit¨at. Definition 22. 1. Eine Teilmenge A ⊂ G heißt syndetisch, falls eine kompakte Teilmenge K ⊂ G existiert, so dass G = AK gilt. 2. Ein Punkt x ∈ Ω heißt fastperiodisch, wenn die Menge {g ∈ G : xg ∈ U } f¨ ur jede Umgebung U von x syndetisch ist. 3. Eine Teilmenge A ⊂ Ω ist minimal, wenn sie abgeschlossen, G-invariant und nicht leer ist, und minimal (bzgl. der Mengeninklusion) mit allen diesen drei Eigenschaften ist. Es ist evident, dass Fastperiodizit¨ at und Minimalit¨at Invarianten unter Monomorphismen (Konjugation) sind. Proposition 7. Ist Ω kompakt, so enth¨ alt sie eine minimale Menge. Beweis. Man benutzt Zorns Lemma ([18], S.14) f¨ ur die Familie aller Ginvarianter, kompakter und nicht leerer Teilmengen, geordnet verm¨oge Inklusion. Ω selbst geh¨ ort zu dieser Familie. Ist Σ eine totalgeordnete Teilfamilie, so ist ihr Durchschnitt kompakt, invariant und nicht leer, also maximal‘ f¨ ur ’ die Kette. Somit gibt es ein maximales Element, d.i. eine kompakte invariante und nicht leere Teilmenge, die nat¨ urlich die gesuchte minimale Teilmenge ist. Proposition 8. Sei Ω lokalkompakt. Ein Punkt x ∈ Ω ist genau dann fastperiodisch, wenn sein Bahnabschluss kompakt und minimal ist. Beweis. Seien x fastperiodisch und U eine kompakte Umgebung von x. Die Menge A = {g ∈ G : xg ∈ U } ist syndetisch, also gibt es eine kompakte Menge K ⊂ G mit xG = xAK ⊂ U K, d.h. xG ist kompakt. Sei nun y ∈ xG beliebiger Punkt. Wegen y ∈ U K ist yG ∩ U = ∅, also auch x ∈ yG. Es folgt xG = yG, und xG ist minimal. Sei nun xG minimal und U eine offene Umgebung von x. Dann ist xG \ U G eine abgeschlossene invariante Teilmenge, die wegen der Minimalit¨ atsannahme leer sein muss. Daher gilt xG ⊂ U G, und wegen der Kompaktheit von xG gibt es eine endliche Teilmenge H ⊂ G mit xG ⊂ U H, d.h. x ist fastperiodisch. Damit ist der folgende Satz ebenfalls bewiesen. Satz 32. Jede G-invariante kompakte Teilmenge ∅ = Ω0 ⊂ Ω besitzt einen fastperiodischen Punkt. Satz 33. Sei Ω lokalkompakt. Genau dann ist jeder Punkt fastperiodisch, wenn {xG : x ∈ Ω} eine Zerlegung von Ω in kompakte Teilmengen ist. Beweis. Nach Proposition 8 ist xG kompakt und minimal. Das bedeutet, dass ussen. Der zwei Mengen xi G (i = 1, 2) entweder gleich oder disjunkt sein m¨ umgekehrte Schluss folgt a hnlich unter Benutzung derselben Proposition. ¨

3.1 Topologische Transformationsgruppen

79

Im Folgenden sei Ω stets kompakt (und metrisch wie bisher). Definition 23. Eine Transformationsgruppe (Ω, G) heißt gleichm¨ aßig fastperiodisch, falls f¨ ur jedes ǫ > 0 eine syndetische Menge A ⊂ G mit xA ⊂ K(x, ǫ) f¨ ur jedes x ∈ Ω existiert. Man sollte beachten, dass in einer gleichm¨ aßig fastperiodischen Transformationsgruppe jeder Punkt fastperiodisch ist. (Die Transformationsgruppe heißt in diesem Fall punktweise fastperiodisch.) Die Umkehrung ist nicht richtig. Man nehme etwa die abgeschlossene Einheitskreisscheibe D = {z ∈ C : |z| ≤ 1} und definiere T als Rotation um den Winkel α(r) auf der Kreislinie {z : |z| = r}. Strebt α(r) gegen Null f¨ ur r → 0, so ist (D, Z) punktweise fastperiodisch, aber nicht gleichm¨ aßig fastperiodisch. Definition 24. Ein dynamisches System (Ω, G) heißt distal, falls f¨ ur beliebige, aber verschiedene x, y ∈ Ω die Abst¨ ande d(xg, yg) (g ∈ G) von Null weg beschr¨ ankt sind. Zwei Punkte x, y ∈ Ω heißen proximal, wenn inf g∈G d(xg, yg) = 0 gilt. Die einh¨ ullende Halbgruppe E(G) einer Transformationsgruppe G ist der Abschluss aller Abbildungen der Form πg : Ω → Ω, x → πg (x) = xg, (g ∈ G) in der Produkttopologie auf Ω Ω , der Menge aller Selbstabbildungen von Ω. Lemma 5. 1. E(G) ist eine Halbgruppe. 2. Die Multiplikation von links ist eine stetige Operation auf E(G). 3. Die Multiplikation von rechts durch stetige Elemente in E(G) ist eine stetige Operation auf E(G). 4. x, y ∈ Ω sind genau dann proximal, wenn es ein g ∈ E(G) mit xg = yg gibt. 5. F¨ ur x ∈ Ω gilt xG = xE(G). Beweis. 1. Seien u, v ∈ E(G), πgs → u und πht → v (s, t → ∞, gs , ht ∈ G). Dann gilt πgs ◦ πht (x) = x(ht gs ) = πht gs (x) → u(v(x)) und u ◦ v ∈ E(G). 2. Ist x ∈ Ω und u ∈ Ω Ω , so gilt f¨ ur πgs → v, dass (xu)πgs = x(uπgs ) → (xu)v = x(uv). Daher ist die Abbildung v → uv eine stetige Abbildung ΩΩ → ΩΩ . ur festes x ∈ Ω gilt dann x(us v) = 3. Sei v ∈ Ω Ω stetig, und us → u. F¨ (xus )v → (xu)v = x(uv), also ist u → uv stetig. 4. Seien gt ∈ G mit d(xgt , ygt ) → 0. Sei u ∈ E(G) ein H¨aufungspunkt der Familie {πgt }. Dann folgt schon d(xu, yu) = 0. Die Umkehrung wird analog gezeigt. 5. Der Schluss ist ¨ ahnlich wie der in 4. Beispiel 34. Sei G = S 1 , die auf sich selbst durch Multiplikation operiert. Sie ist gleichm¨ aßig fastperiodisch, gleichm¨ aßig stetig und distal. Die einh¨ ullende Halbgruppe ist G selbst und ist daher eine Gruppe. Alle diese Eigenschaften sind ¨ aquivalent.

80

3 Topologische Dynamik

Satz 34. Die folgenden Aussagen sind ¨aquivalent: 1. (Ω, G) ist gleichm¨ aßig fastperiodisch. 2. (Ω, G) ist gleichm¨ aßig stetig. Beweis. Sei (Ω, G) gleichm¨ aßig fastperiodisch und ǫ > 0. Dann gibt es eine syndetische Menge A, so dass f¨ ur jedes x ∈ Ω xA ⊂ K(x, ǫ). Sei d(x, y) < ǫ. Es folgt f¨ ur g ∈ A, dass d(xg, yg) ≤ d(xg, x) + d(yg, y) + d(x, y) ≤ 3ǫ. Da die Abbildung (x, g) → xg stetig ist, ist auch f¨ ur kompaktes K ⊂ G die Abbildung Ω × K → Ω, (x, g) → xg, gleichm¨aßig stetig (Ω ist als kompakt vorausgesetzt). Seien nun K kompakt mit G = AK und δ > 0 so klein gew¨ ahlt, dass d(xg, yg) < ǫ sofern d(x, y) < δ (g ∈ K). Also folgt f¨ ur beliebiges g = g1 g2 ∈ G, g1 ∈ A und g2 ∈ K, dass d(xg, yg) < 3ǫ gilt, sofern d(x, y) < min{δ, ǫ} ist. Es sei nun (Ω, G) gleichm¨ aßig stetig. Da Ω kompakt ist, existiert nach Propositionen 7 und 8 ein fastperiodischer Punkt z in jedem Bahnabschluss xG. Da G eine Gruppe ist und gleichm¨ aßig stetig operiert, ist dann x selbst auch fastperiodisch (denn d(xg, z) < η impliziert d(x, zg −1 ) < ǫ(η)). (Ω, G) ist also punktweise fastperiodisch. Als n¨ achstes bemerkt man, dass (Ω n , G) f¨ ur jedes n ≥ 1 ebenfalls gleichm¨aßig stetig ist, wenn G koordinatenweise operiert. Nach dem soeben Bewiesenen ist dann jeder Punkt fastperiodisch. Sind also xi ∈ Ω (i = 1, 2, ..., n) und ǫ > 0, so gibt es eine syndetische Menge A ⊂ G mit der Eigenschaft xi A ⊂ K(xi , ǫ)

i = 1, 2, ..., n.

(3.1)

Schließlich seien ǫ > 0 beliebig und η > 0 so klein, dass mit d(x, y) < η auch ¨ ahlt eine Uberdeckung von Ω mit endlich supg∈G d(xg, yg) < ǫ gilt. Man w¨ vielen Kugeln K(xi , η) (i = 1, 2, ..., n) und eine syndetische Menge A mit (3.1). Dann folgt f¨ ur g ∈ A und beliebiges x ∈ K(xi , η) d(xg, x) ≤ d(xi g, xg) + d(xi g, xi ) + d(xi , x) < 2ǫ + η. Dann gilt aber auch, dass die Menge {g ∈ G : xg ⊂ K(x, 2ǫ + η)} die Menge A umschließt und damit selbst syndetisch ist. Satz 35. Ein dynamisches System ist genau dann gleichm¨ aßig stetig, wenn E(G) eine Gruppe von Hom¨ oomorphismen ist. Beweis. Da G gleichgradig stetig ist, muss jeder H¨aufungspunkt der Abbildungen πg : Ω → Ω, πg (x) = xg, in Ω Ω eine stetige Abbildung sein. Nach dem Satz von Arzela-Ascoli ([11], S.268) ist aber auch E(G) im Raum C(Ω, Ω) aller stetigen Abbildungen von Ω in sich, versehen mit der Topologie der gleichm¨ aßigen Konvergenz, kompakt. Es ist auch leicht zu zeigen, dass E(G) eine topologische Gruppe ist und auf Ω operiert, denn mit πgn → φ aßigen Topologie gilt auch πgn πhn → φψ (und und πhn → ψ in der gleichm¨ entsprechende Argumente f¨ ur (φ, ψ) → φψ −1 und (x, φ) → xφ). Somit ist in der Tat (Ω, E(G)) ein stetiges dynamisches System im Sinne der Definition 1.

3.1 Topologische Transformationsgruppen

81

Um die Umkehrung zu beweisen, beachte man, dass Ω Ω in der Produkttopougt logie Tp kompakt ist, also auch E(G) eine kompakte Gruppe ist. Es gen¨ zu zeigen, dass E(G) in der Topologie Tu der gleichm¨aßigen Konvergenz von C(Ω, Ω) kompakt ist, denn dann operiert E(G) verm¨oge gleichgradig stetiger Abbildungen nach dem Satz von Arzela-Ascoli. Sei φ : E(G) → C(Ω, Ω) die kanonische Einbettung. Es muss gezeigt werden, dass φ stetig ist, wobei E(G) die Topologie Tp und C(Ω, Ω) die Topologie Tu besitzt. Diese Topologie wird von ihren Kugeln K(x, ǫ) erzeugt. Sei ǫ > 0. Es soll zun¨ achst bewiesen werden, dass es eine Tp -offene und dichte Menge U ⊂ E(G) gibt, so dass f¨ ur g ∈ U die Menge φ−1 (K(g, ǫ)) Tp -offen ist. $ %◦  ur das Innere in Tp steht. Als Sei U = g∈E(G) φ−1 (K(g, ǫ)) , wobei ◦ f¨ Vereinigung offener Mengen ist U offen in Tp . Um zu zeigen, dass U dicht liegt, nimmt man an, dass dies nicht der Fall ist. Dann gibt es eine nicht ur jedes leere, Tp -offene Menge V , die U nicht anschneidet. Es gilt also f¨ g ∈ V , dass g ∈ V \ K(g, ǫ). Sei B eine abz¨ ahlbare Teilmenge solcher g’s, und B ihr Abschluss in Tp . Sei D ⊂ B eine in der Tu Topologie abz¨ahlbare  dichte Teilmenge. Es gilt dann B ⊂ d∈D K(d, ǫ). Da B ein Bairescher Raum ist, gibt es eine in Tu -offene Menge W , die ∅ =  W ∩ B ⊂ B ∩ K(g0 , ǫ) f¨ ur ein ullt. Ist dann g ∈ W ∩ B, so ist auch g ∈ B \ K(g, ǫ). Das ist ein g0 ∈ D erf¨ Widerspruch, da g ∈ V \ K(g, ǫ) gelten muss. Abschließend wird gezeigt, dass φ stetig ist. Seien g ∈ G fest und h ∈ G mit gh ∈ U . Folglich ist dann φ−1 (K(gh, ǫ)) offen in Tp ; somit ist φ−1 (K(gh, ǫ))h−1 offene Umgebung von g. φ ist damit stetig. Satz 36. 1. Ein distales dynamisches System ist punktweise fastperiodisch. 2. Ein dynamisches System (Ω, G) ist genau dann distal, wenn (Ω × Ω, G × G) punktweise fastperiodisch ist. Beweis. 1. Sei (Ω, G) distal und x ∈ Ω. Es ist zu zeigen, dass x punktweise fastperiodisch ist. Die Gruppe G operiert auf jedem Produktraum Ω D koordinatenweise, wenn Ω D die Produkttopologie erh¨alt. Man betrachtet nun Teilmengen A ⊂ Ω mit der Eigenschaft, dass der Punkt zA ∈ Ω A definiert ur a ∈ A fastperiodisch f¨ ur das System (Ω A , G) ist. Mengen durch zA (a) = a f¨ mit dieser Eigenschaft nennt man fastperiodisch. Eine solche Menge kann nach Zorns Lemma in eine maximale einbettet werden. In der Tat ist das System aller fastperiodischen Mengen B ⊃ A verm¨oge Inklusion geordnet, und die Vereinigung von Mengen einer aufsteigenden Kette besitzt die Fastperiodizit¨ atseigenschaft ebenso, da man die Produkttopologie betrachtet, und damit eine Basis offener Mengen existiert, die durch endlich viele Koordinaten bestimmt sind. Da (Ω, G) mindestens einen fastperiodischen Punkt z enth¨alt, gibt es eine maximale fastperiodische Menge A ⊂ Ω, die z enth¨alt. Angenommen x ∈ A. Dann enth¨ alt der Bahnabschluss (zA , x)G ⊂ Ω A × Ω einen fastperiodischen

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3 Topologische Dynamik

Punkt (zA , x∗ ). Da A maximal ist, gilt x∗ ∈ A, d.h. x∗ ist eine der Koordinaten von zA . Sei gn ∈ G so bestimmt, dass (zA , x)gn → (zA , x∗ ) strebt. Es folgt, dass d(xgn , x∗ gn ) ≤ d(xgn , x∗ ) + d(x∗ , x∗ gn ) → 0, d.h. x und x∗ sind proximal. Da (Ω, G) als distal vorausgesetzt war, folgt also x = x∗ und somit ist x fastperiodisch. 2. Es muss nur die Aussage gezeigt werden, dass ein fastperiodischer Punkt (x, y) ∈ Ω 2 entweder die Gleicheit von x und y oder ihre Distalit¨at impliziert. Dazu nimmt man am besten an, dass x und y proximal sind. Das bedeutet, dass es eine Folge gn ∈ G und ein z ∈ Ω mit (xgn , ygn ) → (z, z) (n → ∞) gibt. Aus der Fastperiodizit¨ at folgt die Minimalit¨at von (x, y)G, und somit ist (x, y)G = (z, z)G. Letztere Menge ist aber in der Diagonalen ∆ ⊂ Ω 2 enthalten, und daher muss schon x = y gelten. Beispiel 35. Ein Beispiel einer distalen, aber nicht gleichm¨aßig fastperiodischen Transformationsgruppe ist durch die Rotation um einen variablen Winkel gegeben (s. die Diskussion nach Definition 23). Man kennt auch Beispiele, die dar¨ uber hinaus minimal sind (s. [40], S.79). Der Struktursatz f¨ ur distaler Fl¨ usse ist eines der wichtigsten Resultate. Man findet ihn z.B. in [40], S.96ff, oder in [54], S.150ff. Seien (Ωi , G) zwei dynamische Systeme mit kompakten Hausdorff-R¨aumen Ωi , i = 1, 2. Sie besitzen eindeutig bestimmte uniforme Strukturen UΩi (s. [21] S.197). Eine Faktorabbildung π : Ω1 → Ω2 heißt gleichm¨aßig stetig, falls f¨ ur jede Nachbarschaft α ∈ UΩ1 eine weitere Nachbarschaft β ∈ UΩ1 existiert, so dass (xg, yg) ∈ α f¨ ur jedes g ∈ G gilt, sofern (x, y) ∈ β und π(x) = π(y) aßig stetige gew¨ ahlt sind. Man sagt in diesem Fall, dass (Ω1 , T ) eine gleichm¨ Erweiterung (oder fastperiodische Erweiterung) von (Ω2 , G) ist. Man kann sich durch eine einfache Nachpr¨ ufung davon u ¨berzeugen, dass eine fastperiodische Erweiterung eines distalen Flusses wiederum distal ist. Die Klasse der distalen Fl¨ usse ist also invariant unter diesen Erweiterungen. Ein projektives System von minimalen Fl¨ ussen {(Ωι , G) : ι ≤ κ}, indiziert mit allen Ordinalzahlen ι ≤ κ, besitzt die folgenden definierenden Eigenschaften: ′

ur 1. F¨ ur ι < ι′ ≤ κ gibt es Faktorabbildungen πιι : Ωι′ → Ωι , so dass f¨ ι < ι′ < κ′ ′ ′ ′ πικ = πικ′ ◦ πιι .

2. Ist ι ≤ κ eine Limes-Ordinalzahl, so ist  ′ Ωι = {(xι′ )ι′ <ι ∈ Ωι′ : xι′ = πικ′ (xκ′ ) (ι′ < κ′ < ι)} ι′ <ι

und πιι′ : Xι → Xι′ ist die Projektion. ' G), (Ω, G) nennt man schließlich eine quasi-isometrische Erweiterung von (Ω, ur jede Ordinalfalls es ein projektives System (Ωι , G)ι≤κ existiert, so dass f¨ zahl ι + 1 ≤ κ πιι+1 : (Ωι+1 , G) → (Ωι , G) eine fastperiodische Erweiterung

3.2 Rekurrenz und Attraktion

83

ist. Ein Fluss nennt man quasi-isometrisch, falls er quasi-isometrische Erweiterung eines Ein-Punkt-Flusses ist. Nun l¨ asst sich das Resultat einfach formulieren. Satz 37. [Furstenberg] Jeder minimale und distale Fluss ist quasi-isometrisch.

3.2 Rekurrenz und Attraktion Der Rekurrenzbegriff besitzt zentrale Bedeutung in der topologischen Dynamik. Er beschreibt intuitiv die R¨ uckkehr in einen bereits einmal erreichten Zustand. Man kann Rekurrenz in verschiedener Weise pr¨azisieren. Tritt derselbe Zustand exakt in derselben Weise zu einem sp¨ateren Zeitpunkt wieder ein, so heißt er periodisch. Er kann aber auch wiederholt in die N¨ahe seines urspr¨ unglichen Zustandes gelangen und sich dabei diesem immer mehr ann¨ ahern. Je nachdem wie man diese Ann¨ aherung misst, erh¨alt man unterschiedliche Begriffe. Mehr noch, diese Eigenschaften k¨onnen punktweise oder aber gleichm¨ aßig f¨ ur alle Punkte auftreten. Ein Beispiel hierf¨ ur ist Fastperiodizit¨ at (siehe Abschnitt 3.1). Eine hierzu kontr¨are Eigenschaft wird durch wandernde Mengen beschrieben, die Rekurrenz sicherlich ausschließt. Obwohl viele der in diesem Abschnitt eingef¨ uhrten Begriffe in allgemeineren Systemen m¨ oglich sind, sollen hier nur die F¨ alle G = N0 , Z, oder R betrachtet werden. Definition 25. Es sei (Ω, T ) ein dynamisches System. Eine Menge W nennt man wandernd, falls die Familie {T −n (W ) : n ∈ N0 } aus paarweise disjunkten Mengen besteht. Ausgehend von diesem Begriff heißt ein Punkt x in einem topologischen Raum Ω wandernd, wenn es eine wandernde offene Umgebung dieses Punktes gibt. Damit ist auch jeder andere Punkt in dieser Umgebung wandernd, und die Menge Ωw aller wandernder Punkte ist offen. Ihr Komplement heißt die nichtwandernde Menge. Dagegen heißt ein Punkt x ∈ Ω regional rekursiv , wenn zu jeder Umgebung U von x ein n ≥ 1 mit U ∩ T −n (U ) = ∅ existiert (eine ausf¨ uhrliche Darstellung findet man in [59]). Rekurrenz ist st¨arker als regional rekursiv: Definition 26. Sei Ω ein topologischer Raum. Ein Punkt x ∈ Ω heißt rekurrent, wenn f¨ ur jede Umgebung U von x die Menge U ∩ O+ (T (x)) nicht leer ist. In der Kategorie der maßtheoretischen dynamischen Systeme (Ω, B, m, T ) definiert man den dissipativen Teil D(T ) des Systems als messbare Vereinigung der wandernden Mengen2 . Ihr Komplement C(T ) nennt man den konservativen Teil des Systems. Die Zerlegung eines Systems in ihren dissipativen 2

also eine messbare Menge D mit der Eigenschaft, dass jede wandernde Menge positiven Maßes f.s. in D enthalten ist.

84

3 Topologische Dynamik

und konservativen Teil nennt man die Hopf-Zerlegung. Die Transformation T selbst heißt dissipativ (konservativ), wenn der dissipative (konservative) Teil volles Maß besitzt. Beispiel 36. Sei T (x) =



4x(1 − x) 2x − 2

0≤x≤1 1≤x≤2

Der dissipative Teil ist hier das Intervall (1, 2). (1, 32 ) ist eine wandernde Menge. Man beachte zudem, dass das System ergodisch bzgl. des LebesgueMaßes ist (s. Abschnitt 1.1, Definition 4). Ist f : Ω → R messbar, so bezeichnet Sn f = f + f ◦ T + ... + f ◦ T n−1 (n ≥ 1, unendlich eingeschlossen) die n-te Partialsumme der Folge {f ◦ T k : k ≥ 0} . Satz 38. [Halmos] Sei (Ω, B, T, m) ein maßtheoretisches dynamisches System, so dass T −1 Nullmengen erh¨ alt. Besitzt A ∈ B positives Maß, so gilt: A ⊂ C(T )

f.s. ⇐⇒ S∞ 1B = ∞

f.s. auf B f¨ ur jedes B ⊂ A ∩ B. ∞ Beweis. ⇒“ Seien A, B wie im Satz und W = B ∩ k=1 T −k (B c ). Dann gibt ” es zu jedem x ∈ Ω h¨ ochstens ein n ∈ N mit T n (x) ∈ W , also ist W wandernd und besitzt verschwindendes Maß nach Voraussetzung. Es folgt also, dass B ⊂  ∞ −k (B) f.s., und dies gilt auch f¨ ur die n-ten k=1 T ∞ Urbilder beider Mengen, da −1 T Nullmengen erh¨ alt. Es folgt T −n (B) ⊂ k=n+1 T −k (B) f¨ ur jedes n ∈ N. Es gibt also zu f.a. x ∈ B eine aufsteigende Folge n ↑ ∞ mit T nk (x) ∈ B, k
k d.h. k∈N 1B (T (x)) = ∞. ⇐“ Hat B = A ∩ W positives Maß f¨ ur eine wandernde Menge W , so folgt ” trivialerweise S∞ 1B = 1 auf B. ´] Sei (Ω, B, T, m) ein konservatives dynamisches SySatz 39. [Poincare alt. Ist f : Ω → R messbar, stem, f¨ ur das die Abbildung T −1 Nullmengen erh¨ so folgt f.s. lim inf |f (x) − f (T n (x))| = 0 n→∞

Insbesondere ist die Menge der rekurrenten Punkte vom vollen Maß. Beweis. Sei B ⊂ R eine messbare Menge mit m(f −1 (B)) > 0 und vom Durchmesser < ǫ. Der Satz von Halmos impliziert, dass S∞ 1f −1 (B) = ∞, also (3.2) lim inf |f (z) − f (T n (z))| < ǫ f.s. auf f −1 (B). n→∞

¨ Uberdeckt man Ω mit Mengen der Form f −1 (B) vom Durchmesser < ǫ, so gilt (3.2) f.s., und der Satz folgt f¨ ur ǫ → 0. Zwei fundamentale topologisch-dynamische Begriffe sind durch topologische Transitivit¨ at und Minimalit¨ at gegeben. Letzterer wird durch Fastperiodizit¨at beschrieben, wie aus Proposition 8 bekannt ist.

3.2 Rekurrenz und Attraktion

85

Definition 27. Sei (Ω, T ) ein stetiges dynamisches System. Ein Punkt x ∈ Ω ist transitiv, wenn seine Bahn O(x) dicht in Ω liegt. Das System heißt topologisch transitiv, wenn es einen transitiven Punkt gibt. Die Spezialisierung der Definition 22 f¨ ur ein stetiges dynamisches System (Ω, T ) bedeutet, dass ein Punkt x ∈ Ω fastperiodisch ist, falls zu jeder Umgebung U von x ein L ∈ N existiert, so dass f¨ ur jedes N ∈ N U ∩ {T N (x), T N +1 (x), ..., T N +L (x)} = ∅. Satz 40. Seien Ω kompakt, metrisch und T : Ω → Ω ein Hom¨ oomorphismus. Ist (Ω, T ) topologisch transitiv, so ist die Menge aller transitiven Punkte eine dichte Gδ -Menge. ∞ Beweis. Sei U eine nicht leere offene Menge. Die Menge n=−∞ T −n U ist offen und dicht, denn es gibt einen Punkt mit dichter Bahn. Folglich ist der Durchschnitt abz¨ ahlbar vieler solcher Mengen eine Gδ -Menge. Man muss zum Beweis des Satzes nur U in einer abz¨ ahlbaren Familie w¨ahlen, die die Topologie erzeugt. Es folgt sofort aus dem letzten Beweis, dass T genau dann topologisch transitiv ist, wenn f¨ ur je zwei nicht leere offene Mengen U und V der Schnitt ur ein n ∈ Z nicht leer ist. Im Falle, dass T nicht invertierbar U ∩ T n (V ) f¨ ist, gilt die entsprechende Aussage f¨ ur n ≤ 0. Offensichtlich ist in einem topologisch transitiven dynamischen System jeder Punkt regional rekursiv. Die folgenden beiden Aussagen sind Korollare zu den Propositionen 7 und 8. Korollar 3. Ist x ein fastperiodischer Punkt, so ist sein Bahnabschluss minimal. Umgekehrt, ist das dynamische System minimal und kompakt, so ist jeder Punkt fastperiodisch. Korollar 4. Jedes kompakte dynamische System besitzt eine minimale Teilmenge. Besitzt ein dynamisches System also einen transitiven und fastperiodischen Punkt, so ist es bereits minimal. Multiple Rekurrenz ist eine nat¨ urliche Erweiterung der Wiederkehreigenschaft f¨ ur mehrere Transformationen. Man beginnt am besten mit der folgenden Bemerkung: Korollar 5. [Birkoff] Ist (Ω, T ) ein stetiges dynamisches System mit kompaktem Raum Ω, so gibt es einen rekurrenten Punkt x ∈ Ω. Beweis. Nach Korollar 4 besitzt (Ω, T ) eine nicht leere, minimale Teilmenge, und nach Korollar 3 ist jeder Punkt dieser minimalen Teilmenge fastperiodisch, also auch rekurrent.

86

3 Topologische Dynamik

Satz 41. [Multipler Rekurrenzsatz] Sei (Ω, G) eine stetiges dynamisches System mit kompaktem metrischem Raum Ω und durch Ti (1 ≤ i ≤ l) endlich erzeugter, abelscher Halbgruppe G. Dann gibt es einen Punkt x ∈ Ω und eine Folge (nk )k∈N → ∞ mit lim max d(Tink (x), x) = 0.

k→∞ 1≤i≤l

Der Satz sagt aus, dass es einen Punkt gibt, der f¨ ur jedes System (Ω, Ti ) rekurrent ist, sogar zu denselben Zeiten die R¨ uckkehr gestattet. Beweis. Das Resultat soll an dieser Stelle nur f¨ ur Hom¨oomorphismen Ti gezeigt werden; es ist also G eine abelsche Gruppe. Die Ausweitung auf den nicht invertierbaren Fall erfolgt durch eine Rochlin-Erweiterung. Nach Proposition 7 existiert eine minimale Teilmenge, so dass man o.E. die Minimalit¨ at von (Ω, G) annehmen kann. F¨ ur l = 1 ist die Aussage Birkhoffs Rekurrenzsatz (Korollar 5). Ist die Aussage f¨ ur l − 1 ≥ 1 schon bewiesen, definiert man Ω ′ = Ω {1,...,l} und T : Ω ′ → Ω ′ durch T ((x1 , ..., xl )) = (T1 (x1 ), ..., Tl (xl )). Außer T wirkt noch die Gruppe G auf Ω ′ koordinatenweise. Die Diagonale ∆ ⊂ Ω ′ ist dann unter G invariant und minimal. G kommutiert mit T . Nach Induktionsannahme gibt es einen rekurrenten Punkt y ∈ Ω bzgl. der kommutierenden Transformationen Tj ◦ Tl−1 , j = 1, ..., l − 1, also gilt n (Tl−n (y)), y), (y, ..., y)) = 0. lim inf dΩ ′ ((T1n (Tl−n (y)), ..., Tl−1 n→∞

(3.3)

Es muss gezeigt werden, dass ∆ einen unter T rekurrenten Punkt enth¨alt. Da G minimal auf ∆ operiert und mit Tl kommutiert, gilt die Eigenschaft (3.3) auf dem Bahnabschluß von y unter Tl . Seien η > 0 beliebig, y0 = (y, ..., y) ∈ ∆ ur y1 = (Tl−k1 (y), ..., Tl−k1 (y)) und 0 < η1 < η. Nach (3.3) gibt es k1 , so dass f¨ der Abstand von T k1 (y1 ) ∈ Ω ′ zu y0 kleiner als η1 ist. y1 geh¨ort zur Bahn von ur Tl−k1 (y) anstelle von y selbst. y0 unter (Tl , ..., Tl ). Daher gilt (3.3) auch f¨ Sei nun η2 so klein gew¨ ahlt, dass aus d(y1 , z) < η2 bereits d(y0 , T k1 (z)) < η1 folgt. Iterative Anwendung dieser Konstruktion liefert eine Folge von Punkten yn ∈ urliche Zahlen kn , so dass ∆, η > ηn > 0 und nat¨ d(T kn (yn ), yn−1 ) < ηn d(yn , z) < ηn+1 ⇒ d(yn−1 , T kn (z)) < ηn .

(3.4)

Wiederholtes Anwenden dieser Ungleichungen ergibt dann f¨ ur i < j d(T ki+1 +...+kj (yj ), yi ) ≤ ηi . In der Tat ist d(T kj (yj ), yj−1 ) < ηj und, wenn d(T kl+2 +...+kj (yj ), yl+1 ) ≤ alt man d(T kl+1 +...+kj (yj ), yl ) ≤ ηl aus (3.4) mit z = T kl+2 (yj ) und ηl+1 , erh¨ yn = yl+1 . Da ∆ kompakt ist, gibt es ein Paar i < j mit d(yi , yj ) < η. Es folgt nun d(T ki+1 +...+kj (yj ), yj ) ≤ 2η.

3.2 Rekurrenz und Attraktion

87

Angenommen, T besitzt keinen rekurrenten Punkt in ∆. Dann verschwindet die Funktion U (x) = inf d(T n (x), x) n∈N

in keinem Punkt x ∈ ∆. Da diese Funktion nach oben halbstetig ist (d.h. wenn U (x) ≤ a und η > 0 sind, muss U ≤ a + η auf einer Umgebung von x gelten), ist dann U ≥ a f¨ ur ein passendes a > 0 auf einer passenden offenen Menge V . Da G minimal auf ∆ operiert, gibt es endlich viele g ∈ G, unter denen die Urbilder von V die Diagonale ∆ u ¨berdecken. Sei nun δ > 0 so klein, dass ur diese endlich vielen g’s impliziert. Ist d(x, x′ ) < δ schon d(xg, x′ g) < a f¨ ur den U (x) < δ dann x einer der Punkte yj , so wie oben konstruiert, und f¨ gilt, so ist U (xg) < a. Insbesondere gilt dies f¨ ur dasjenige g mit x ∈ V g −1 . Widerspruch! Satz 42. [v. der Waerden] Sei α eine Zerlegung von Z in endlich viele Teilmengen. Dann besitzt mindestens eine dieser Mengen arithmetische Progressionen beliebiger L¨ ange. Die Aussage des Satzes bedeutet in formaler Sprache: Es gibt ein A ∈ α, so dass ∀l = 1, 2, 3, ...∃a ∈ Z, b ∈ N mit {a, a + b, a + 2b, ..., a + lb} ⊂ A. F¨ ur festes l heißen die Zahlen a, a + b, ..., a + lb eine arithmetische Progression der L¨ ange l + 1. ugt zu zeigen, dass zu jedem l = 2, 3, ... Beweis. Sei α = {A1 , ..., AL }. Es gen¨ ein Aj existiert, das eine arithmetische Progression der L¨ange l + 1 enth¨alt. In diesem Fall gibt es dann auch ein Aj , das arithmetische Progressionen beliebig großer L¨ ange enth¨ alt. Mit einer arithmetischen Progression der L¨ange l enth¨ alt eine Menge aber auch arithmetische Progressionen jeder kleineren L¨ ange. Seien X = {1, 2, ..., l} und ΩX = X Z versehen mit der Schiebungsabbildung. Jede Folge x = (xk )k∈Z definiert eine Zerlegung von Z in l Mengen durch Aj = {k ∈ Z : xk = j} (j ∈ X) in eindeutiger Weise, und jede Zerlegung kann auch auf diese Weise erhalten werden. Somit enth¨alt eine Menge der durch x repr¨ asentierten Zerlegung eine arithmetische Progression der L¨ange ur ein a ∈ Z und b ∈ N gilt. l + 1, falls xa = xa+b = xa+2b = ... = xa+lb f¨ Formuliert man diese Aussage dynamisch, ist das folgende zu zeigen: Sei Ω kompakt metrisch, T ein Hom¨ oomorphismus und x ∈ Ω. Zu jedem η > 0 und l ≥ 1 gibt es ein y ∈ O(x) und n ≥ 1, so dass der Durchmesser der ankt ist. Menge {y, T n (y), ..., T ln (y)} durch η beschr¨ Um diese Aussage zu beweisen, w¨ ahlt man Tj = T j in Satz 41 und schr¨ankt sie auf den Bahnabschluß O(x) ein. Es gibt also ein z ∈ O(x) und eine Folge nk → ∞ mit limk→∞ d(Tjnk (z), z) = 0 (j = 0, ..., l). Fixiert man n mit d(Tjn (z), z) < η, und approximiert z durch ein y = T m (x) hinreichend

88

3 Topologische Dynamik

gut, so folgt aus der Stetigkeit der Tjn , dass auch d(Tjn (y), y) < η f¨ ur jedes j = 1, ..., l. In den ersten beiden Kapiteln tauchten verschiedentlich anziehende und abstoßende periodische Bahnen auf, die als spezielle anziehende und abstoßende Mengen angesehen werden k¨ onnen. Die daf¨ ur notwendigen Begriffsbildungen werden nun eingef¨ uhrt und durch Beispiele verdeutlicht. Im Folgenden sei G stets N0 , Z oder R, und Ω ein lokalkompakter, metrischer Raum. Es ist zweckm¨ aßig, an dieser Stelle die Notation xt (x ∈ Ω, t ∈ G) f¨ ur die (rechte) Wirkung von G zu benutzen (vgl. Abschnitt 3.1). Definition 28. Es sei (Ω, G) ein stetiges dynamisches System. Die ω-Limesmenge ω(x) eines Punktes x ∈ Ω ist die Menge aller H¨ aufungspunkte der Vorw¨ artsbahn O+ (x). Die α-Limesmenge ist die ω-Limesmenge der Zeitumkehr (sofern sie wohldefiniert ist) . Es ist sofort klar, dass ein Punkt genau dann rekurrent ist, wenn er zu seiner Limesmenge geh¨ort. Es ist auch evident, dass eine Limesmenge G-invariant (d.h. ω(x)G = ω(x)) und abgeschlossen ist, also (ω(x), G) als dynamisches System betrachtet werden kann. Ein Punkt y ∈ Ω geh¨ ort offenbar genau dann zu ω(x), wenn es eine Folge tn → ∞ mit xtn → y gibt. Allgemeiner definiert man Ω(x) als die Menge aller Punkte y ∈ Ω, f¨ ur die es Folgen tn → ∞ und xn → x mit xn tn → y gibt. Hieraus erh¨ alt man die verschiedenen Konzepte f¨ ur Anziehungsbereiche. Definition 29. Seien (Ω, G) ein stetiges dynamisches System und Y ⊂ Ω. 1. Die Menge A∗ (Y ) = {x ∈ Ω : ω(x) ∩ Y = ∅} heißt der schwache Anziehungsbereich von Y . 2. Die Menge A(Y ) = {x ∈ Ω : ∅ = ω(x) ⊂ Y } heißt der Anziehungsbereich von Y . ormige 3. Die Menge A∗ (Y ) = {x ∈ Ω : ∅ = Ω(x) ⊂ Y } heißt der gleichf¨ Anziehungsbereich von Y . Liegt ein Punkt x im (schwachen, gleichf¨ ormigen) Anziehungsbereich der Menge Y , so sagt man auch, dass x von Y (schwach, gleichf¨ormig) angezogen wird. Lemma 6. Sei Y eine kompakte Teilmenge eines stetigen dynamischen Systems (Ω, G). Ein Punkt x ∈ Ω wird genau dann gleichf¨ ormig von Y angezogen, wenn es zu jeder Umgebung V von Y eine Umgebung U von x und ur jedes t ≥ t0 gilt. t0 > 0 gibt, so dass U t ⊂ V f¨ Beweis. Sei zun¨ achst ∅ = Ω(x) ⊂ Y , und es werde angenommen, die behauptete Schlussfolgerung sei nicht richtig. Dann gibt es eine offene Umgebung V von Y , so dass f¨ ur jede Umgebung U von x eine Folge tn → ∞ mit U tn ⊂ V existiert. Es gibt also eine Folge xn → x und tn → ∞, so dass xn tn → y ∈ V . Aus y ∈ Ω(x) ⊂ Y folgt ein Widerspruch.

3.2 Rekurrenz und Attraktion

89

Sei V eine relativ kompakte Umgebung von Y . Nach Voraussetzung gilt U t ⊂ V f¨ ur eine passende Umgebung U von x undalle hinreichend großen t. Es  folgt Ω(x) ⊂ s≥t U s ⊂ V , also auch Ω(x) ⊂ Y ⊂V V = Y .

Definition 30. Eine kompakte, nicht leere Teilmenge A ⊂ Ω heißt ein Attraktor (bzw. schwacher Attraktor, gleichf¨ ormiger Attraktor) des dynamischen Systems (Ω, G), wenn A(A) (bzw. A∗ (A), A∗ (A)) eine Umgebung von A ist.

Im Falle, dass A aus der endlichen Bahn eines Punktes besteht, spricht man von einem anziehenden oder abstoßenden periodischen Punkt (Fixpunkt). Ein Attraktor ist stets unter G vorw¨ arts invariant, denn jedes ω(x) ist vow¨arts invariant. Die Menge Ω ist stets ein gleichf¨ ormiger Attraktor, wenn sie kompakt ist. Elementar, aber n¨ utzlich ist das folgende Resultat. Proposition 9. Sei (Ω, G) ein stetiges dynamisches System mit kompaktem ur t ≥ 0, so besitzt Ω. Gibt es eine nicht leere offene Menge U mit U t ⊂ U f¨ das System einen eindeutig bestimmten gleichf¨ ormigen Attraktor A ⊂ U mit der Eigenschaft U ⊂ A(A). Es gilt  U t. A= t≥0

 Beweis. Man kann annehmen, dass U kompakt ist. Sei A = t≥0 U t = ∅. Es wird zun¨ achst gezeigt, dass A ein gleichf¨ ormiger Attraktor ist. Dazu muss nachgewiesen werden, dass U im gleichf¨ ormigen Anziehungsbereich von A liegt. Sind xn , x ∈ U , xn → x und tn → ∞ beliebig gew¨ahlt, sogilt xn tn ∈ ∞ ort jeder H¨ aufungspunkt der Folge xn tn zu n=1 U tn = U tn (n ≥ 1), also geh¨ t≥0 U t = A, also Ω(x) ⊂ A. Nun zur Eindeutigkeit: Zu jedem y ∈ A gibt es Folgen tn → ∞ und xn ∈ U mit xn tn → y. Man kann also auch annehmen, dass xn → x ∈ U konvergiert. Damit folgt aber per Definiton, dass x ∈ A∗ (A) und y ∈ Ω(x); also kann es keinen kleineren Attraktor mit gleichf¨ ormigem Anziehungsbereich geben, der U enth¨ alt. Da jeder gleichf¨ ormige Attraktor Teilmenge von U t (t ≥ 0) sein muss, ist damit A eindeutig wie behauptet.

Analog zur Darstellung eines Attraktors in Proposition 9 wird ein Repeller wie folgt definiert: Definition 31. Eine kompakte, nicht leere Teilmenge A ⊂ Ω heißt ein Reur t > 0 peller, wenn es eine offene Umgebung U von A gibt, so dass U ⊂ U t f¨ gilt. Eine Liapunoff-Funktion einer kompakten Teilmenge A ist eine reellwertige positive Funktion g, die auf einer Umgebung U von A definiert ist und die folgenden Eigenschaften besitzt: (1) g(x) = 0 genau dann, wenn x ∈ A gilt. (2) Ist x ∈ A und xs ∈ U (f¨ ur jedes 0 ≤ s ≤ t), so folgt g(xt) < g(x). Eine Teilmenge A von (Ω, G) heißt stabil, wenn es in jeder Umgebung von A eine weitere, vorw¨ arts invariante Umgebung von A gibt.

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3 Topologische Dynamik

Satz 43. Sei A eine kompakte Teilmenge A des stetigen dynamischen Systems (Ω, G) mit lokalkompaktem Ω. Dann sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: 1.) A ist ein stabiler Attraktor. 2.) Es gibt eine Liapunoff-Funktion f¨ ur A. Beweis. Sei A ein stabiler Attraktor. Man definiert h(x) = supt≥0 dist(xt, A) auf A(A). Es ist nicht schwer zu sehen, dass h wohldefiniert ist, und dass die Aussagen h(xt) ≤ h(x), h(x) = 0 (x ∈ A; A ist G-invariant!) und h(x) > 0 (x ∈ A) gelten. Die Stetigkeit von h zeigt man so: Ist η > 0, so gibt es eine Umgebung V ⊂ K(A, η), die vorw¨ arts invariant ist (da A stabil ist). F¨ ur y ∈ V gilt also h(y) = supt≥0 dist(yt, A) ≤ η, und h ist damit stetig in jedem x ∈ A. Ist x ∈ A, w¨ ahlt man ǫ < η und t0 , so dass K(x, ǫ)t0 ⊂ V . Da V invariant ist, folgt K(x, ǫ)t ⊂ V f¨ ur t ≥ t0 . Somit ist |h(x) − h(y)| ≤ | sup dist(xt, A) − sup dist(yt, A)| + 2η 0≤t≤t0

0≤t≤t0

≤ | sup dist(xt, A) − dist(yt, A)| + 2η 0≤t≤t0

≤ 3η, sofern ǫ klein genug gew¨ ahlt wird. Die Funktion  g(x) =

∞

h(tx)e−t dt

0

erf¨ ullt dann die Eigenschaften einer Liapunoff-Funktion. Sei nun g eine Liapunoff-Funktion f¨ ur die kompakte Menge A, definiert auf der Umgebung U von A. Seien ǫ > 0, K(A, ǫ) ⊂ U und V = {x ∈ K(A, ǫ) : g(x) ≤ m}. Ist m = inf{g(y) : y ∈ U \K(A, ǫ)} > 0, so folgt g(xt) < g(x) ≤ m f¨ ur x ∈ V . V ist also eine vorw¨ arts invariante Umgebung in K(A, ǫ), und da ǫ beliebig angenommen war, folgt die Stabilit¨ at von A. Um zu zeigen, dass die Menge A in ihrem Anziehungsbereich liegt, gen¨ ugt es nachzuweisen, dass ihr Anziehungsbereich eine Umgebung von A enth¨alt. Die Menge V ist gleichermaßen eine kompakte Umgebung von A. Da f¨ ur x ∈ V die Funktion t → g(xt) strikt monoton f¨ allt, kann auf ω(x) die Funktion g nur konstant sein. Jedes y ∈ ω(x) muss dann aber schon in A liegen, denn sonst w¨ are g(y) > g(yt) ein Widerspruch. Die Liste der Beispiele f¨ ur Attraktoren und Repeller umfasst eine Reihe sehr bekannt gewordener Dynamiken. Beispiel 37. Die Julia-Menge J = J(R) einer hyperbolischen rationalen Abbildung R ist ein Repeller. Da in diesem Fall die Julia-Menge keinen H¨aufungspunkt der Bahnen kritischer Punkte und keinen parabolischen Punkt enth¨ alt (vgl. Abschnitt 2.4), liegt jeder Punkt der Fatou-Menge im

3.2 Rekurrenz und Attraktion

91

Anziehungsbereich periodischer Punkte. Es gibt also eine hinreichend kleine Umgebung U von J, die R(U ) ⊃ U erf¨ ullt. Kein Punkt der Fatou-Menge kann auf Dauer in U verweilen, also ist J ein Repeller. Beispiel 38. Das Solenoid, manchmal auch Smale-Attraktor genannt, erh¨alt man durch eine Abbildung des vollen Torus T2 = S 1 × D, die in der S 1 Koordinate verdoppelt und in der D-Koordinate kontrahiert. Dabei ist D = {z ∈ C : |z| < 1}. Parametrisiert man T2 durch (z, u, v) mit 0 ≤ z < 1 und u2 + v 2 ≤ 1, so ist die Abbildung durch T (z, u, v) = (2z mod1, au + b cos(2πz), av + b sin(2πz))

√ definiert, wobei 0 < a, b < 1 feste Faktoren sind, die a2 + b2 + 2 2ab < 1 erf¨ ullen. Man kann leicht ausrechnen, dass T invertierbar ist, wenn b2 < 2a2 gilt. Nach Proposition 9 besitzt T einen Attraktor, den man das Solenoid

3 1

2 4

1 2

3 4

z = 0.25

z=0

1

1

3

3 2

2

4

4 z = 0.5

z = 0.75

Abb. 3.1. Bilder des Torus T2 unter den Abbildungen T und T 2 f¨ ur a = 0.4 und b = 0.45, geschnitten mit der D-Koordinate des Solenoids in z = 0, 41 , 12 , 34 . Die auft. Numerierung 1-4 gibt die Reihenfolge an, in der T 2 (T2 ) diese Schnitte durchl¨

 nennt, und der in der Form A = n≥1 T n (T2 ) darstellbar ist. Es ist sofort zu sehen, dass T (T2 ) einen gestreckten vollen Torus darstellt, der zweimal in den vollen Torus T2 hineingelegt wurde. T 2 (T2 ) legt den vollen Torus viermal in T2 hinein (vgl. Abb. 3.2). Iteration dieses Algorithmus zeigt, dass das Solenoid in jedem Schnitt vertikal zur S 1 eine Cantormenge C ist und mit S 1 × C parametrisiert werden kann. T : A → A ist hyperbolisch. Die unstabilen Mannigfaltigkeiten (vgl. Abschnitt 1.4) besitzen die Form W u ((z, u, v)) = S 1 × {(u, v)} und die stabilen die Form W s ((z, u, v)) = {z} × C ((z, u, v) ∈ A).

92

3 Topologische Dynamik

Abb. 3.2. Bild des Torus T2 unter der Abbildung T 2 f¨ ur a = 0.4 und b = 0.45. Der Schnitt z = 0 liegt rechts!

Beispiel 39. Der Lorenz-Attraktor wird durch eine dreidimensionale gew¨ohnliche Differentialgleichung bestimmt, die eine vertikale Konvektion beschreibt. Die Gleichungen sind x˙ = σ(y − z) y˙ = rx − y − xy z˙ = xy − bz

σ>0 r>0 b > 0.

F¨ ur die Werte σ = 10, 3b = 8 und r = 28 erh¨ alt man einen Attraktor, der in

Abb. 3.3. Lorenz-Attraktor

Abbildung 3.3 dargestellt ist. Beispiel 40. Der H´enon-Attraktor wird durch eine zweidimensionale Abbildung gewonnen, und zwar durch die Vorschrift

3.2 Rekurrenz und Attraktion

T ((x, y)) = (y + 1 − ax2 , bx)

93

(x, y) ∈ R2 .

Die Werte a = 1.4 und b = 0.3 sind in Darstellungen gebr¨auchlich.

Abb. 3.4. H´enon-Attraktor f¨ ur a = 1.41 und b = 0.31

Beispiel 41. Smales Hufeisen. Ein weiterer, sehr oft dargestellter Attraktor stammt von Smale und wird u ¨blicherweise als Hufeisen bezeichnet (vgl. Satz 18). Man fixiert ein Rechteck in R ⊂ R2 mit Seiten parallel zu den Koordinatenachsen, streckt es um einen Faktor λ > 1 in der x-Richtung und staucht es um einen Faktor µ < 1 in y-Richtung. Daraus bildet man ein Hufeisen, und bettet es so in den R2 wieder ein, dass es das Originalrechteck R so wie in der Abbildung 3.5 u ¨berdeckt. Dies kann mit einer Abbildung T ∈ Diff1 (R2 ) −1 streckt die Seite des Rechtecks R in der y-Richtung um erreicht werden. T den Faktor µ−1 und kontrahiert die Seite in x-Richtung um den Faktor λ−1 . Dann ist es nicht schwer zu sehen, dass   A+ = T −n (R) T n (R) bzw. A− = n∈N0

n∈N0

ein Attraktor (bzw. Repeller) ist: das sog. Hufeisen ist dann gerade A = A+ ∩ A− . Die Existenz von schwachen Attraktoren f¨ ur Fl¨ usse kann unter recht allgemeinen Bedingungen nachgewiesen werden. Bekanntlich heißt eine Funktion h : U → R unterhalb stetig, wenn f¨ ur jedes x ∈ U ⊂ Rd lim inf h(y) ≥ h(x) y→x

gilt. Satz 44. Es sei (Rd , (φt )t∈R ) ein differenzierbares dynamisches System, das durch das Vektorfeld Φ : Rd → Rd definiert wird. Seien A eine kompakte Teilmenge des Rd und h : Ac → R eine unterhalb stetige Funktion. Es gelten die folgenden Annahmen

94

3 Topologische Dynamik

T 2 (R)

T (R) R T −1 (R)

Abb. 3.5. Smales Hufeisen

1. h∗ (x) = lim inf t→0+ ;z→Φ(x) t−1 [h(x + tz) − h(x)] ist durch eine stetige, strikt negative Funktion g dominiert, 2. f¨ ur alle m ∈ R ist A ∪ {x : h(x) ≤ m} kompakt oder gleich Rd .

Dann gilt f¨ ur jedes x ∈ Rd entweder φtn (x) ∈ A f¨ ur eine Folge tn → ∞ oder ω(x) ⊂ A. Insbesondere ist A ein schwacher Attraktor.

Beweis. Angenommen, es gibt keine Teilfolge tn → ∞, so dass φtn (x) ∈ A. Dann existiert ein t0 , so dass φt (x) ∈ Ac f¨ ur t > t0 . Die Bedingung 1. bedeutet allt, daher ist f¨ ur m = h(φt1 (x)) < insbesondere, dass h ◦ φt strikt monoton f¨ h(φt0 (x)) die Menge A∪{x : h(x) ≤ m} kompakt und enth¨alt {φt (x) : t ≥ t1 }. Es folgt, dass ω(x) = ∅. Es muss also gezeigt werden, dass ω(x) ⊂ A. Sei y ein H¨ aufungspunkt von O+ (x), der nicht zu A geh¨ort. Auf einer kleinen Kugel K(y, 2r), die A nicht schneidet, ist dann die Funktion g in 1. strikt negativ, etwa durch −δ beschr¨ ankt. Besitzt der Punkt φt (x) einen Abstand r von y, so hat φs (x) einen Abstand 2r von y, solange |s − t| ≤ r/a, wobei a = Φ1K(y,2r) ∞ gesetzt wird. Man w¨ ahlt nun eine Teilfolge tn ≥ t1 (n ≥ 2) mit Abst¨ anden tn − tn−1 ≥ r/a, so dass y = limn→∞ φtn (x) gilt. Es folgt nun einerseits h(y) ≤ h(φtn (x)), da h unterhalb stetig und monoton fallend ist, andererseits aber auch h(φtn+1 (x)) − h(φt1 (x)) ≤ ein Widerspruch.

n   i=1

ti+1

ti

g(φs (x))ds ≤ −δnr/a → −∞,

3.3 Expansivit¨ at

95

3.3 Expansivit¨ at Im Gegensatz zu Attraktion beschreibt Expansivit¨at das Auseinanderstreben von Bahnen. Man betrachtet ausschließlich stetige dynamische Systeme mit kompaktem metrischem Zustandsraum Ω. Definition 32. Ein stetiges dynamisches System (Ω, G) heißt expansiv, falls ur alle es eine Konstante a > 0 mit der Eigenschaft supg∈G d(xg, yg) > a f¨ x = y ∈ Ω gibt. Die Konstante a nennt man eine Expansionskonstante. Im Folgenden sei G stets Z oder N0 . Im letzteren Fall sagt man auch, dass (Ω, T ) vorw¨ arts expansiv ist. Ist (Ω, G) expansiv, so heißt T selbst (vorw¨arts) expansiv. Da hier nur kompakte R¨ aume betrachtet werden, ist diese Definition von der Metrik unabh¨ angig (in beliebigen metrischen R¨aumen ist das offenbar nicht richtig). Daraus folgt sofort, dass Expansivit¨at eine Konjugationsinvariante ist. Beispiel 42. Schiftabbildungen (Abschnitte 1.1 und 2.2) auf Teilschifts sind expansiv. Um das einzusehen, betrachte man die Metrik d(x, y) = inf{n−1 : n > 0, xj = yj ∀|j| < n}. Es gilt n¨ amlich f¨ ur zwei verschiedene Punkte mit d(x, y) = n−1 , dass ±n ±n ur die unterschiedlichen F¨alle steht, je d(T (x), T (y)) > 1/2, wobei ± f¨ nachdem ob xn = yn oder x−n = y−n . ¨ Nat¨ urlich gelten die analogen Uberlegungen in einseitigen Schiebungsdynamiken. Beispiel 43. Die Abbildung T : S 1 → S 1 definiert durch T (z) = z n (n ≥ 2) ist expansiv. Beispiel 44. Sei T : M → M eine differenzierbare Abbildung, so dass f¨ ur ein n ≥ 1 und f¨ ur jedes p ∈ M die Ableitung Dp T n nur Eigenwerte vom Betrag > 1 besitzt. Dann ist T expansiv. Dies ist beispielsweise f¨ ur eine hyperbolische rationale Abbildung (vgl. Abschnitt 2.4) auf ihrer Julia-Menge der Fall. Alle diese Beispiele sind ebenfalls expandierend (s. Definition 33 weiter unten). Um ein nicht triviales Beispiel eines expansiven, aber nicht expandierenden Systems zu erhalten, werden im n¨ achsten Satz rationale Abbildungen uhrt wurden. In auf S 2 betrachtet, wie sie in Abschnitt Abschnitt 2.4 eingef¨ dieser Klasse findet man Beispiele, die die verschiedenen Expansionskonzepte verdeutlichen. F¨ ur den Beweis werden Sullivans Satz und das Flower Theorem benutzt. Sie werden ben¨ otigt, um die Eigenschaften (i)-(iii) zu beweisen, die weiter unten formuliert sind. Man kann (i)-(iii) bei manchen explizit gegebenen Transformationen direkt zeigen (wie etwa in Beispiel 45), und so den folgenden Satz unter den Voraussetzungen (i)-(iii) benutzen.

96

3 Topologische Dynamik

Satz 45. Eine rationale Funktion R : S 2 → S 2 ist genau dann vorw¨ arts expansiv auf ihrer Julia-Menge J(R), wenn J(R) keinen kritischen Punkt von R enth¨ alt. Beweis. Es sei R expansiv auf J(R). Angenommen J(R) enth¨alt den kritischen Punkt z. Da J(R) perfekt ist (Proposition 6), findet man eine Folge untereinander verschiedener Punkte {zn : n ≥ 1} in J(R), die gegen z konvergieren. Da z ein kritischer Punkt ist, gibt es zu jedem R(zn ) ein von zn verschiedenes Urbild yn , so dass die Folge der yn ebenfalls gegen z konvergiert. Da J(R) nach Proposition 6 vollst¨ andig invariant ist, geh¨oren die Punkte yn zur JuliaMenge. Folglich ist R auf J(R) nicht vorw¨ arts expansiv, ein Widerspruch. Der Beweis der Umkehrung erfordert einige Vorbereitungen. Es bezeichne Ppar die Menge der parabolischen periodischen Punkte von R. (i) Nach Fatou’s Satz (s. Sullivan’s Satz in Abschnitt 2.4) ist sie endlich, und es gibt daher L ≥ 1, so dass RL (p) = p f¨ ur jedes p ∈ Ppar gilt. Sullivans Resultat besagt ferner, dass jede Zusammenhangskomponente der Fatou-Menge F (R) schließlich periodisch ist. Benutzt man zudem die Klassifizierung periodischer Komponenten, wie sie in Abschnitt 2.4 beschrieben ist, erh¨ alt man die Aussage, dass nur Punkte in parabolischen Gebieten unter Iteration von R gegen einen Randpunkt konvergieren k¨onnen, und die Grenzpunktmenge nur aus einer einzigen parabolischen Bahn bestehen kann. Daraus folgt: (ii) Zu jeder Konstanten Θ > 0 gibt es ein δ = δ(Θ) > 0, so dass f¨ ur jedes z ∈ J(R) \ K(Ppar , Θ), die Kugel K(z, δ) nicht von der Vorw¨artsbahn kritischer Punkte getroffen wird. Insbesondere existieren auf dieser Kugel alle analytischen inversen Zweige von Rn ( n = 1, 2, . . .). Das Verhalten von R in hinreichend kleinen Umgebungen rational indifferenter Fixpunkte zeigt, dass es ǫ > 0 gibt, so dass folgendes gilt: (iii) Ist z ∈ J(R) und ist f¨ ur ein p ∈ Ppar , RLn (z) ∈ K(p, ǫ)∩J(R) f¨ ur jedes n = 0, 1, . . ., dann ist schon z = p. Beispiel 45. Man betrachte die rationale Funktion R(z) =

1 √ 1 z − + 2. 2 z

Nach Proposition 5 gilt J(R) ⊂ R,√denn R ist vollst¨andig invariant. Die √ kritischen Punkte√sind ± 2i, und 2 ist ein parabolischer Fixpunkt √ mit 2. Man rechnet ebenfalls leicht nach, dass ℜR(± 2i) = zweitem Urbild − √ 2 und   √ 1 1 − 2 ℜz + 2. ℜR(z) = 2 |z|

3.3 Expansivit¨ at

Abb. 3.6. Lokales Verhalten der Abbildung R(z) = 0.5z − z −1 + gehobenen Bahnen der beiden kritischen Punkte.

√

97

2 mit hervor-

√ Daher k¨ onnen kritische Punkte nur den parabolischen Punkt 2 approximieren. Es ist daher nicht schwer zu sehen, dass die Eigenschaften (ii) und (iii) gelten. Im Beweis des Satzes wird lediglich ben¨otigt, dass die Anzahl der parabolischen Punkte, die in der ω-Limesmenge eines kritischen Punktes liegen, endlich ist. Es soll nun die Umkehrung mittels (i)-(iii) gezeigt werden. Man beginnt am besten damit, ein paar Fakten vorauszuschicken. Mit der Stetigkeit von R : S 2 → S 2 findet man 0 < Θ ≤ η, so dass RL (K(p, Θ)) ∩ K(q, Θ) = ∅ ∀p = q ∈ Ppar .

(3.5)

Angenommen, z ∈ J(R) und RLn (z) ∈ K(Ppar , Θ) f¨ ur jedes hinreichend große ur alle n. Wegen (3.5) gibt es dann p(z) ∈ Ppar mit RLn (z) ∈ K(p(z), Θ) f¨ Lm (z) = p(z) ∈ P u r ein m ≥ 1 und hinreichend großen n. Es folgt, dass R par f¨  z ∈ n≥0 R−n Ppar . ∞ F¨ ur z ∈ J(R) \ n=0 R−n (Ppar ) ist also RLn (z) ∈ J(R) \ K(Ppar , Θ) f¨ ur unendlich viele n. Da J(R) kompakt ist und keinen der endlich vielen kritischen Punkte enth¨alt (s. Theorem 28), gibt es β > 0, so dass f¨ ur jedes z ∈ J(R) die Abbildung R auf der Kugel K(z, β) injektiv ist. F¨ ur jedes y ∈ J(R) \ K(Ppar , Θ) ist nach (ii) die Familie der inversen Zweige {Rν−n : n ≥ 1; 1 ≤ ν ≤ dn } auf K(y, δ(Θ)) normal, und daher konvergiert jede konvergente Teilfolge gegen eine Konstante.

98

3 Topologische Dynamik

¨ Uberdeckt man J(R) \ K(Ppar , Θ) mit endlich vielen Kugeln vom Radius δ = δ(Θ) > 0, etwa K(y1 , δ), . . . , K(ys , δ), so gibt es m0 mit diam Rν−n (K(yi , δ)) < β

∀1 ≤ i ≤ s; n ≥ m0 ; 1 ≤ ν ≤ dn .

¨ Sei 2η < δ eine Lebesgue-Zahl3 f¨ ur die Uberdeckung {K(y1 , δ), . . . , K(ys , δ)} und so klein gew¨ ahlt, dass zu y ∈ J(R) \ K(Ppar , Θ), 0 ≤ n < m0 und 1 ≤ ν ≤ dn diam Rν−n (K(y, 2η)) < β. Es soll nun gezeigt werden, dass a = min(Θ, η, β)

(3.6)

eine Expansionskonstante ist. Es seien z1 , z2 ∈ J(R) zwei Punkte, die ρ(Rn (z1 ), Rn (z2 )) < a

f¨ ur jedes n = 0, 1, 2, . . .

(3.7)

erf¨ ullen. Hierbei bezeichnet ρ den Abstand auf C, der durch die oben benutzte Riemannsche Metrik induziert wird. Es ist zu zeigen, dass stets z1 = z2 gilt, und dies wird durch Unterscheidung zweier F¨ alle geschehen: 1. Fall: RLm (z1 ) = p f¨ ur ein p ∈ Ppar und ein m ∈ {0, 1, 2, . . .} ur jedes n ≥ 0. 2. Fall RLn (z1 ) ∈ Ppar f¨

Im ersten Fall ist RLn (z2 ) ∈ K(p, a) f¨ ur jedes n ≥ m. Da a ≤ Θ ≤ Θ1 folgt, wie bereits bemerkt, dass RLm (z2 ) = p = RLm (z1 ). Sei 1 ≤ ℓ ≤ mL eine nat¨ urliche Zahl mit Rℓ (z2 ) = Rℓ (z1 ). Dann ist Rℓ−1 (z2 ) = Rℓ−1 (z1 ), weil nach (3.6) ihr Abstand < a ≤ β, und weil R auf Kugeln vom Radius a injektiv ist. Es folgt also z1 = z2 . Im zweiten Fall ist Rn (z1 ) ∈ Ppar f¨ ur n ≥ 0. Deshalb gibt es eine wachsende positiver ganzer Zahlen, so dass Folge {nj }∞ j=1 / K(Ppar , Θ) RLnj (z1 ) ∈ lim RLnj (z1 ) = y

j→∞

∀ j = 1, 2, . . . ,

f¨ ur ein y ∈ J(R)

(3.8) (3.9)

und

1 RLnj (z1 ) ∈ K(y, η) ∀ j = 1, 2, . . . . (3.10) 2 Aus (3.8)–(3.10) folgt nun y ∈ J(R) \ K(Ppar , Θ). Es gibt daher f¨ ur jedes −Ln j ≥ 1 einen eindeutigen analytischen inversen Zweig Rν j : K(y, 2η) → C −Ln von RLnj , der Rν j (RLnj (z1 )) = z1 erf¨ ullt. Mit (3.7) und (3.10) erh¨alt man nun RLnj (z1 ), RLnj (z2 ) ∈ K(y, 32 η) f¨ ur jedes j = 1, 2, . . . Seien nun noch 3

¨ d.h. Kugeln vom Radius 2η sind vollst¨ andig in einem Element der Uberdeckung enthalten

3.3 Expansivit¨ at

99

−Ln

yj = Rν j (RLnj (z2 )) und 0 ≤ ℓ ≤ Lnj − 1 so bestimmt, dass Rℓ+1 (yj ) = −Ln Rℓ+1 (z2 ). Da Rℓ ◦ Rν j : K(y, 2η) → C ein analytischer inverser Zweig von −Ln ullt, folgt nach Wahl von RLnj −ℓ ist, der Rℓ (Rν j (RLnj (z1 ))) = Rℓ (z1 ) erf¨ η und δ, dass diam Rℓ ◦ Rν−Lnj (K(y, 2η)) < β.

Da sowohl ρ(Rℓ (z1 ), Rℓ (yj )) < β wie auch ρ(Rℓ (z1 ), Rℓ (z2 )) < a ≤ β, erh¨alt man aus der Wahl von ℓ und der Injektivit¨ at von R auf Kugeln vom Radius β, dass Rℓ (yj ) = Rℓ (z2 ). Es folgt yj = z2 und, da lim diam Rν−Lnj (K(y, 2η)) = 0,

j→∞

ist folglich z1 = z2 . Definition 33. Ein dynamisches System (Ω, T ) heißt expandierend, falls es eine ¨ aquivalente Metrik d gibt, und Konstanten Λ > 1 und a > 0 existieren, so dass d(T (x), T (y)) ≥ Λd(x, y)

∀x, y ∈ Ω mit d(x, y) < a.

Dieser Begriff ist keine Invariante unter Konjugation, wie man sich anhand der weiterhin dargestellten Resultate u ¨berlegt. Korollar 6. Ein expansiver holomorpher Endomorphismus R : S 2 → S 2 ist genau dann nicht expandierend, wenn Ppar = ∅. Beweis. Ist Ppar = ∅, so ist sofort klar dass R : J(R) → J(R) nicht expandierend sein kann. Ist Ppar = ∅, so folgt aus Sullivans Satz (Abschnitt 2.4), dass der Abschluß der Vorw¨ artsbahnen kritischer Punkte von R : C → C die Julia-Menge nicht schneidet. Gleichbedeutend damit ist jedoch, dass R selbst expandierend sein muss (nach Wahl einer passenden Metrik). Korollar 7. Es gibt eine expansive, aber nicht expandierende rationale Abbildung R : J(R) → J(R). √ Beweis. Die rationale Funktion R(z) = 12 z − z1 + 2 ist nach dem letzten √ Satz expansiv. Da 2 ein parabolischer Fixpunkt mit Multiplikator Eins ist, kann die Abbildung nicht expandierend sein. Beispiel 46. Die rationale Funktion R(z) = z 2 + 14 besitzt den indifferenten Fixpunkt 1/2 und die einzigen kritischen Punkte z = 0 und z = ∞. z = ∞ ist ein anziehender Fixpunkt, w¨ ahrend die Bl¨ atter von p = 1/2 einen weiteren kritischen Punkt im Inneren enthalten m¨ ussen, also z = 0. z = 0 und z = ∞ liegen also nicht in der Julia-Menge. Da es keinen weiteren kritischen Punkt gibt, und die Bahn von 0 in R liegt und gegen 1/2 strebt, ist dies ein weiteres Beispiel f¨ ur die Anwendung von Satz 45.

100

3 Topologische Dynamik

Abb. 3.7. Julia-Menge der Abbildung R(z) = z 2 + kritischen Punktes.

1 4

mit der Vorw¨ artsbahn des

Proposition 10. Ein expandierendes dynamisches System ist (vorw¨ arts) expansiv. Beweis. Ist der Abstand zweier Punkte durch a beschr¨ankt, so wird ihr Abstand bei jeder Iteration von T auf ihre Bilder um den festen Faktor Λ gestreckt, und zwar solange bis ihre Bilder einen Abstand ≥ a besitzen. Es folgt, dass jede positive Zahl < a eine Expansionskonstante ist. Definition 34. Ein dynamisches System (Ω, T ) heißt R-expandierend, falls es expandierend ist, und die Transformation T eine offene Abbildung ist. Beispiel 47. Ein Teilschift endlichen Typs (Ω, T ) (oder auch topologische Markoff-Kette genannt) ist R-expandierend. Nach Beispiel 42 ist T expandierend. T ist auch eine offene Abbildung, wie man leicht verfiziert (s. Abschnitt 2.2). Lemma 7. Ein dynamisches System (Ω, T ) ist genau dann R-expandierend, wenn es die folgende Eigenschaft besitzt: Es gibt Konstanten a > 0 und Λ > 1, so dass f¨ ur x, y ′ ∈ Ω, d(T (x), y ′ ) < a ein eindeutig bestimmter Punkt y ∈ Ω mit d(x, y) < a und T (y) = y ′ existiert; ferner gilt d(T (x), T (y)) ≥ Λd(x, y). Beweis. Sei (Ω, T ) R-expandierend. Dann ist T auf jeder Kugel K(x, a/2) injektiv, denn 0 = d(T (z), T (y)) ≥ Λ−1 d(z, y). Da T eine offene Abbildung ist, kann man a/2 > a′ > 0 so klein w¨ ahlen, dass T (K(x, a/2)) ⊃ K(T (x), a′ ). Hieraus folgt aber sofort die behauptete Eigenschaft. F¨ ur die Umkehrung ist nur zu zeigen, dass T offen ist. Angenommen, y ∈ T (K(x, a/2)) kann durch eine Folge yn ∈ T (K(x, a/2)) approximiert werden. Dann gibt es Urbilder zn ∈ K(x, a) von yn , die gegen das Urbild z von y in K(x, a/2) konvergieren, ein Widerspruch. Zu n ≥ 1, r > 0 und x ∈ Ω sei

Kn (x, r) = {y ∈ Ω : d(T j (y), T j (x)) < r

f¨ ur jedes 0 ≤ j < n}

die Kugel mit Radius r und Zentrum x in der Bowen-Metrik.

3.3 Expansivit¨ at

101

Lemma 8. Sei (Ω, T ) vorw¨ arts expansiv mit Expansionskonstanter θ∗ . Dann gibt es eine Konstante 0 < θ ≤ θ∗ mit lim sup {diam(Kn (x, θ))} = 0.

n→∞ x∈Ω

Im Folgenden sei unter einer Expansionskonstanten stets eine solche mit der zus¨ atzlichen Eigenschaft des Lemma 8 verstanden. ¨ Beweis. Seien {K(xi , θ∗ ) : 1 = 1, ..., s} eine endliche offene Uberdeckung von Ω und θ eine Lebesgue-Zahl. Angenommen, die Aussage des Lemmas gilt nicht. Dann gibt es a > 0 und zu jedem n ≥ 1 Punkte xn , yn mit d(xn , yn ) ≥ a und yn ∈ Kn (xn , θ). Da Ω kompakt ist, kann man annehmen, dass x = limn→∞ xn und y = limn→∞ yn existieren. ur jedes n ≥ j, und es gibt ein Ist j ≥ 0 fest, so ist d(T j (xn ), T j (yn )) < θ f¨ i = i(j), so dass f¨ ur unendlich viele n T j (xn ), T j (yn ) ∈ K(xi , θ∗ ). Es folgt d(T j (x), T j (y)) < θ∗ . Da T vorw¨ arts expansiv ist, folgt x = y. Satz 46. [Coven, Reddy] Ein expansives dynamisches System (Ω, T ) besitzt eine Metrik, die es expandierend macht. Beweis. Sei 3θ > 0 eine Expansionskonstante f¨ ur (Ω, T ). Man wendet das Metrisierungslemma von Frink an (s. [21], S.185): Sei Un (n ≥ 0) eine Folge offener Umgebungen der Diagonalen ∆ ⊂ Ω × Ω mit folgenden Eigenschaften: 1.  U0 = Ω × Ω. ∞ 2. n=1 Un = ∆. (n ≥ 1), 3. Un ◦ Un ◦ Un ⊂ Un−1 d.h. (u, v), (v, w), (w, x) ∈ Un =⇒ (u, x) ∈ Un−1 . Dann gibt es eine Metrik ρ, die mit der Topologie auf Ω vertr¨aglich ist, so dass f¨ ur beliebiges n ≥ 1 Un ⊂ {(x, y) : ρ(x, y) < 2−n } ⊂ Un−1 .

(3.11)

F¨ ur jedes n ≥ 1 und γ > 0 sei Vn (γ) = {(x, y) ∈ Ω × Ω : d(T j (x), T j (y)) < γ

f¨ ur alle j = 0, . . . , n}.

Mit Lemma 8 findet man M ≥ 1, so dass VM (3θ) ⊂ {(x, y) : d(x, y) < θ}. Mit den Festsetzungen U0 = Ω × Ω und Un = VM n (θ) (n ≥ 1), folgen die Eigenschaften 1. unmittelbar, und 2. aus der Expansivit¨at. Die Eigenschaft 3. zeigt man durch Induktion.

102

3 Topologische Dynamik

Der Fall n = 1 ist klar. Seien also 3. f¨ ur n erf¨ ullt und (x, u), (u, v), (v, y) ∈ ur alle j = 0, . . . , (n + 1)M , folglich Un+1 . Es gilt dann d(T j (y), T j (x)) < 3θ f¨ ur alle j = 0, . . . , M n, oder (x, y) ∈ VM n (θ) = ist auch d(T j (y), T j (x)) < θ f¨ Un . Frink’s Metrisierungslemma zeigt die Existenz einer Metrik ρ auf Ω mit (3.11). Es gen¨ ugt zu zeigen, dass T 3M expandierend bzgl. ρ ist. Angenommen, x, y ∈ 1 . Dann gibt es ein n ≥ 0 mit (x, y) ∈ Un \ Un+1 . Ω erf¨ ullen 0 < ρ(x, y) < 16 1 und (3.11) sein. Weiterhin erh¨alt Es muss n ≥ 3 wegen 0 < ρ(x, y) < 16 man mit der Wahl von n und der Definition von Un und VM n (θ), dass es ein M n < j ≤ (n + 1)M mit d(T j (y), T j (x)) ≥ θ gibt. Wegen 3 ≤ n schließt man nun, dass d(T i (T 3M (x)), T i (T 3M (y))) ≥ θ f¨ ur ein 0 ≤ i ≤ (n − 2)M ist, und deshalb gilt auch (T 3M (x), T 3M (y)) ∈ / Un−2 . Benutzt man nun nochmals (3.11), folgt das Resultat aus ρ(T 3M (x), T 3M (y)) ≥ 2−(n−1) = 2 · 2−n > 2ρ(x, y). Das folgende Lemma ist Grundlage f¨ ur den thermodynamischen Formalismus. Lemma 9. Ein R-expandierendes dynamisches System (Ω, T ) besitzt die folgenden Eigenschaften: 1. Die Anzahl der Urbilder von T ist gleichm¨ aßig beschr¨ ankt und lokal konstant. 2. Der Frobenius-Perron Operator (Transfer-Operator) f¨ ur φ ∈ C(Ω),  Fφ : C(Ω) → C(Ω), f (y) exp[−φ(y)] Fφ f (x) = T (y)=x

ist wohldefiniert, stetig und positiv. Beweis. R-expandierende Systeme sind in Lemma 7 charakterisiert. Ist d(x, y) < a/2, so hat jedes Urbild von x ein Urbild von y im Abstand < a/2Λ. Ist ein Urbild von y zwei Urbildern von x zugeordnet, so haben diese Urbilder von x einen Abstand kleiner als a, m¨ ussen also gleich sein. Daher ist die Zuordnung der Urbilder injektiv. Aus Symmetriegr¨ unden folgt, dass die Anzahl der Urbilder lokal konstant ist. Da Ω kompakt ist, ist der Nachweis von 1. erbracht. Der Beweis von 2. ist nun einfach. Definition 35. Eine (topologische) Zerlegung Z von Ω ist eine Familie von Teilmengen A ⊂ Ω, die Ω u ¨berdeckt, so dass jede Menge A der Abschluß ihres Inneren A◦ ist, und die Familie {A◦ : A ∈ Z} aus paarweise disjunkten Mengen besteht. Sie heißt Markoffsch, wenn jedes Bild T (A) Vereinigung von Elementen aus Z ist, und die Durchmesser der Mengen in Z ∨ T −1 Z ∨ ... ∨ T −n Z exponentiell schnell gegen 0 streben. Das abschließende Resultat zeigt, dass jedes R-expandierende System im wesentlichen eine topologische Markoff-Kette ist. Dies folgt aus Beispiel 47, Lemma 7 und dem folgenden Satz.

3.3 Expansivit¨ at

103

Satz 47. Ein R-expandierendes dynamisches System besitzt eine endliche Markoff-Zerlegung. Beweis. Seien a und Λ durch die R-Expansion gegeben, und λ = 1/Λ gesetzt. δ ¨ < a, und U0 eine endliche offene Uberdeckung von Seien δ so klein, dass 1−λ Ω, die aus Mengen vom Durchmesser ≤ δ besteht. F¨ ur jedes U ∈ U0 wird U(U ) = {V ∈ U0 : V ∩ T (U ) = ∅} und rekursiv Ψ0 (U ) = U Ψn (U ) = {y ∈ Ω : T (y) ∈ Ψn−1 (V ) f¨ ur ein V ∈ U(U ) und d(y, U ) < a} gesetzt. Es ist dann unmittelbar klar, dass 1. U ⊂ Ψn−1 (U )⊂ Ψn (U ) ⊂ K(U, (λ + ... + λn )δ) 2. T (Ψn (U )) = V ∈U(U ) Ψn−1 (V ).

Der Satz folgt nun kanonisch. Mit Ψ (U ) = limn→∞ Ψn (U ) erh¨alt man λ δ) 1−λ T (Ψ (U )) = lim T (Ψn (U )) n→∞

= lim Ψn−1 (V ) = U ⊂ Ψ (U ) ⊂ K(U,

n→∞

V ∈U(U )



Ψ (V ).

V ∈U(U )

Die Markoff-Zerlegung Z wird nun wie folgt definiert: Ist U0 = {U1 , ..., Us } (s ≥ 1), so werden die Elemente G von Z durch I(G) ⊂ {1, ..., s} und   Ψ (Uj ) ∩ Ψ (Uj )c G= j∈I(G)



j ∈I(G)

ur ein ∅ = I ⊂ {1, ..., s}, so folgt aus der bestimmt. Ist H = j∈I Ψ (Uj ) f¨ Invertierbarkeit von T auf Mengen vom Durchmesser < a 

  T (Ψ (Uj )) = Ψ (V ) = Ψ (Vj ), T (H) = j∈I

j∈I V ∈U(Uj )

Vj ∈U(Uj ) j∈I

also ist T (H) Vereinigung von Elementen in Z. Daraus erh¨alt man durch Differenzenbildung die gew¨ unschte Markoff-Eigenschaft. Es muss also nur noch gezeigt werden, dass die Durchmesser der Mengen der Verfeinerung von Z exponentiell schnell gegen 0 streben. Da jedes G ∈ Z einen Durchmesser kleiner als a besitzt, folgt aus Lemma 7    n−1  −n+1 −j (Gin−1 ) ≤ λn−1 a. T (Gij ) = diam T diam j=0

104

3 Topologische Dynamik

3.4 Symbolische Dynamik Ein symbolisches dynamisches System ist ein dynamisches System (Ω, T ), das durch die Restriktion T der Schiebungsabbildung auf eine abgeschlos+ = X N0 oder Ω ⊂ ΩX = X Z definiert sene, invariante Teilmenge Ω ⊂ ΩX ist. Man spricht dann von einem einseitigen bzw. zweiseitigen Teilschift. Eine topologische Markoff-Kette ist durch eine 0-1-wertige Matrix A und den dazugeh¨ origen Teilschift ΣA definiert (vgl. Abschnitt 2.2). Beispielsweise ist die Morse-Folge (auch Morse-Thue-Folge genannt) als Bahnabschluss des folgenden Punktes in {0, 1}N0 definiert: ω = 0110100110010110... Der Algorithmus zur Erzeugung der Morse-Folge wurde in Abschnitt 2.2 beschrieben. In anderer Notation liest sich das wie folgt: Seien 00 = 11 = 0 und 01 = 10 = 1. Sind w = w1 w2 ...ws und v = v1 v2 ...vt zwei W¨orter u ¨ber dem Alphabet {0, 1}, so wird wv durch die Hintereinanderschaltung aller W¨ orter w1v1 ...wsv1 w1v2 ...w1vt ...wsvt definiert. Man startet nun die Konstruktion mit w = 01 und bildet ww . Ist das Wort w schon gebildet, so setzt man ww als n¨ achstes Wort fest. Man beachte, dass das Wort ww stets mit w beginnt! Es sei Ω der Bahnabschluß von ω. Satz 48. (Ω, T ) ist minimal. Beweis. Sei ω die Morse-Folge. Man zeigt am besten, dass ω fastperiodisch ist, denn dann folgt die Aussage aus Korollar 3. Sei w ein Anfangsblock von ω, so dass die Konstruktion von ω u ¨ber w, ww usw. stattfindet. Da w den w Buchstaben 1 enth¨ alt, kommt in w der Block w1 vor, also kommt w sowohl w 0 in (w ) wie auch in (ww )1 vor. Da ω eine unendlich lange Hintereinanderkettung von (ww )0 und (ww )1 ist, gibt es in jedem Teilblock von ω eine Kopie von w, sofern der Teilblock eine L¨ ange besitzt, die das zweifache der L¨ange agt. Es folgt daraus, dass {j : T j (ω) ∈ [w]} syndetisch ist. Da w von ww betr¨ beliebig große L¨ ange haben kann, folgt hieraus die Fastperiodizit¨at. Dieser Satz ist ein Beispiel daf¨ ur, in welcher Weise Teilschifts benutzt werden k¨ onnen, um Beispiele mit spezifischen dynamischen Eigenschaften zu konstruieren. Die Anzahlen periodischer Punkte mit einer festen Periode sind unter Konjugation offensichtlich invariant. Konjugation zwischen Teilschifts unterliegen weiteren Restriktionen, weil sie total unzusammenh¨angend sind. Beispielsweise kann eine nicht-invertierbare topologische Markoff-Kette nicht zu einem Teilschift konjugiert sein, der nicht Markoffsch ist. In der Tat ist eine solche topologische Markoff-Kette R-expandierend, also insbesondere ist der Schift selbst auf dieser Menge eine offene Abbildung. Umgekehrt ist ein einseitiger Teilschift, auf dem der Schift als offene Abbildung operiert, selbst eine topologische Markoffkette: Da ein Zylinder der L¨ ange 1 offen und abgeschlossen

3.4 Symbolische Dynamik

105

ist, muss sein Bild ebenfalls diese Eigenschaft besitzen. Damit ist das Bild eine endliche Vereinigung von Zylindermengen. Die Konjugationsprobleme im invertierbaren und nicht-invertierbaren Fall sind sehr verschieden. Eine einfache Konsequenz der Definitionen ist der folgende Satz. Satz 49. 1. Sind zwei Teilschifts konjugiert, so ist entweder jeder von beiden oder keiner von beiden eine topologische Markoff-Kette. 2. Ein einseitiger Teilschift ist genau dann eine topologische
∞ Markoff-Kette, wenn das System R-expandierend in der Metrik d(x, y) = k=0 2−k 1{xk }c (yk ) ist. Beweis. 1. Eine offen-abgeschlossene Menge wird unter einem Hom¨oomorphismus in eine solche Menge abgebildet. Somit ist das ausschließende Blocksystem in beiden Teilschifts nur zusammen endlich. 2. Sei der Teilschift (Ω, T ) R-expandierend. Ist n so groß gew¨ahlt, dass Zylindermengen der L¨ ange n einen Durchmesser < a besitzen, wobei a gem¨aß Lemma 7 gew¨ ahlt ist, so gilt: Erf¨ ullen zwei n-Zylinder C und D die Bedingung C ∩ T −1 (D) = ∅, so gibt es zu jedem y ′ ∈ D ein Urbild y ∈ K(C, diamD/Λ) mit T (y) = y ′ . Somit ist (Ω, T ) hom¨oomorph zu der topologischen Markoff-Kette mit Alphabet X = {C : C ist n-Zylinder; C ∩ Ω = ∅} ¨ und Ubergangsmatrix aC,D = 1 =⇒ C ∩ T −1 (D) = ∅. Die Umkehrung folgt aus Beispiel 47, bzw. der Vorbemerkung. Die Konjugation von invertierbaren topologischen Markoff-Ketten kann aus der Struktur der zugeh¨ origen Matrizen abgeleitet werden. Allerdings ben¨otigt man hier die Darstellung als Kanten-Markoff-Kette (s. Satz 21 in Abschnitt 2.2). Definition 36. Zwei irreduzible, nicht negative, quadratische Matrizen A und B mit ganzzahligen Eintr¨ agen heißen stark Schiebungs-¨ aquivalent, wenn agen es nicht negative Matrizen R1 , ..., Rl und S1 , ..., Sl mit ganzzahligen Eintr¨ gibt, so dass die folgenden Relationen erf¨ ullt sind: A = R1 S1 , S1 R1 = R2 S2 , ..., Sl Rl = B. ¨ ¨ Es ist unmittelbar klar, dass starke Schiebungs-Aquivalenz eine Aquivalenzrelation auf der Menge aller quadratischen, nicht negativen Matrizen mit ganzzahligen Eintr¨ agen ist. Satz 50. [Williams] Seien A und B zwei irreduzible, nicht negative, quadratische Matrizen mit ganzzahligen Eintr¨ agen. Die zweiseitigen KantenMarkoff-Ketten ΣA und ΣB sind genau dann konjugiert, wenn A und B stark Schiebungs-¨ aquivalent sind. Beweis. Es seien A = (aii′ )i,i′ ∈I und B = (bjj ′ )j,j ′ ∈J stark Schiebungsaquivalent. Es gen¨ ugt offenbar die Konjugation von ΣA und ΣB zu be¨ weisen, wenn A = RS und B = SR gelten. Seien R = (rij )i∈I,j∈J und S = (sji )j∈J,i∈I .

106

3 Topologische Dynamik

Seien I die Ecken des durch A gegebenen Graphen GA und J diejenigen, die durch B bestimmt sind (also die Indexmengen der Matrizen A und B). Man definiert einen Graphen G durch die Ecken I ∪ J mit rij Kanten
von i ∈ I nach j ∈ J und sji Kanten von j ∈ J nach i ∈ I. Da aii′ = j∈J rij sji′ gilt, gibt es eine eineindeutige Zuordnung von Kanten a des Graphen GA zu Pfaden der L¨ ange 2 im Graphen G, etwa a → (r(a), s(a)), die Start- und Endpunkte respektieren. Jeder unendliche Pfad ...a−1 a0 a1 ... im Graphen GA wird bijektiv auf einen unendlichen Pfad ...r(a−1 )s(a−1 )r(a0 )s(a0 )r(a1 )s(a1 )... in G abgebildet, so dass die Schiebung auf ΣA mit T 2 kommutiert, wobei T die Schiebung auf der zu G geh¨ origen Kanten-Markoff-Kette bedeutet. Da a 2 b

d 3

c 1

e

Abb. 3.8. Kanten-Markoff-Kette

s(al )r(al+1 ) die Hintereinanderschaltung einer Kante von einer Ecke in J zu einer in I und von dieser wiederum zu einer in J ist, kann derselbe Schluss wiederholt werden, und eine Bijektion auf die Kanten des Graphen GB , die durch B bestimmt sind, gefunden werden, so dass der dazu geh¨orige 2-Block Kode zu ΣB konjugiert. Die Umkehrung der Aussage des Satzes erfordert ein wenig Vorarbeit. Lemma 10. Sei φ ein Hom¨ oomorphismus zwischen zwei Teilshifts Σi ⊂ ΩXi (i = 1, 2). Dann ist φ ein Block-Kode, d.h. f¨ ur jedes s ∈ X2 gibt es eine Familie von Zylindermengen C ⊂ Σ1 , so dass die nullte Koordinate von φ(x) (x ∈ C) gerade s ist. Beweis. Das Urbild des durch s ∈ Σ2 bestimmten Zylinders unter φ ist offen und abgeschlossen, also eine Vereinigung von Zylindermengen. Jeder Teilschift endlichen Typs ist nach Satz 21 zu einer Kanten-MarkoffKette konjugiert, und nach dem soeben bemerkten Lemma ein Block-Kode. asst sich durch eine Block-Abbildung ϕ darEin Block-Kode φ : Σ1 → Σ2 l¨ stellen. Man w¨ ahlt hierzu m, n ≥ 0, so dass (φ(x))0 auf der Zylindermenge [x−m , ... , xn ]−m,n konstant ist. Dieser Wert wird als ϕ(x−m ...xn ) festgesetzt. Somit l¨ asst sich φ(x) = (ϕ(xk−m ...xk+n ))k∈Z schreiben. Die Abbildung ϕ definiert zugleich eine kanonische Konjugation zwischen Σ1 und Σ = {((ak−m , ..., ak+n ))k∈Z : ∃x ∈ Σ1 : x = (...a−1 a0 a1 , ...)}.

3.4 Symbolische Dynamik

107

Man kann also stets annehmen, dass ein solcher Block-Kode ein 1-Block-Kode ist. Die Inverse eines 1-Block-Kodes ist im Allgemeinen kein 1-Block-Kode. Ist dies jedoch erf¨ ullt, so wird dieser Kode trivial, denn er benennt lediglich die Symbole der Alphabete um. Ein Spalt-Kode φ wird auf die folgende Art definiert; andere Terminologie in diesem Zusammenhang ist splitting code‘ und amalgamation code‘ f¨ ur die ’ ’ inverse Operation. Seien I die Ecken des durch A gegebenen Graphen G und K seine Kanten. Es gebe eine Zerlegung Z der Kantenmenge K, so dass jede Kante in einem beliebigen, festen Z ∈ Z in ein und derselben Ecke beginnt. Diese Ecke sei mit iZ bezeichnet. Es sei ferner t(k) (bzw. b(k)) diejenige Ecke in I, in der die Kante k endet (bzw. beginnt). Der Graph GZ wird nun durch seine Ecken IZ = Z und seine Kanten KZ = {(k, Z) : b(k) = iZ , Z ⊂ {k ′ : b(k ′ ) = t(k)}} definiert. Zwei Ecken Z und Z ′ in GZ sind also genau dann miteinander verbunden, wenn es eine Kante k in Z gibt, die zu iZ ′ verbindet. Diese Kante wird mit (k, Z ′ ) bezeichnet. Die Abbildung 3.9 verdeutlicht diese Definition. Der Spalt-Kode φ : ΣG → ΣGZ ist nun durch die Block Abbildung a

a b

b

1

1

c I

c

II

e

I d

f III

g vorher

2 h

d

1’

II

f

III’ III’’

g’

2 h’’ h’

g’’

e

2’ nachher

Abb. 3.9. Spalt-Kode

ϕ−1 ((k, Z)) = k definiert. Lemma 11. Ein Spalt-Kode ist eine Konjugation zwischen ΣG und ΣGZ . Beweis. Sei (k, Z)(k ′ , Z ′ ) ein Block der L¨ ange zwei in ΣGZ . Dann ist k ′ eine Kante in G, die in t(k) beginnt, und somit ist kk′ ein Block der L¨ange zwei in ΣG . Daher ist auch φ−1 (x) ein Pfad in G sofern x ein Pfad in ΣGZ ist. Sei nun kk′ ein Block der L¨ ange zwei in ΣG . Die Kanten k und k ′ geh¨oren dann zu wohlbestimmten Z, Z ′ ∈ Z mit t(k) = iZ ′ . Somit ist ψ(kk′ ) = (k, Z ′ ) eindeutig festgelegt und definiert eine 2-Block Abbildung Ψ : ΣG → ΣGZ . Es ist nicht schwer zu sehen, dass φ−1 und Ψ zueinander invers sind, also φ = Ψ gilt.

108

3 Topologische Dynamik

Der Beweis des Umkehrschlusses in Satz 50 basiert nun auf der Idee, jeden Kode als Hintereinanderschaltung von Spalt-Kodes zu schreiben. Dann kann n¨amlich das folgende Lemma angewendet werden. Lemma 12. Seien A und B zwei irreduzible, nicht negative, quadratische Matrizen mit ganzzahligen Eintr¨ agen und φ : ΣA → ΣB eine Hintereinanderschaltung von Spalt-Kodes. Dann sind A und B stark Schiebungs-¨ aquivalent. Beweis. Nach Voraussetzung gibt es eine Darstellung φ = φ1 ◦ φ2 ◦ ... ◦ φs von φ als Hintereinanderschaltung von Spalt-Kodes. Offenbar gen¨ ugt es, den Beweis im Falle s = 1 zu f¨ uhren. Seien A = (aij )i,j∈I und B = (bZ,Z ′ )Z∈Z die beschreibenden Matrizen der beiden Kanten-Markoff-Ketten ΣA und ΣB . ur ΣA und IZ diejenigen Dann ist I die Menge der Ecken des Graphen GA f¨ f¨ ur den Graphen GZ . Man definiert die Zerlegungsmatrix D : I × IZ → {0, 1} durch D(i, Z) = 1 falls i = iZ , und D(i, Z) = 0 andernfalls. Die Kantenmatrix E : IZ × I → N wird als E(Z, i) = |Z ∩ {k : t(k) = i}| erkl¨ art. Es gilt dann   D(i, Z)E(Z, j) = E(Z, j) (DE)(i, j) = Z



=

Z:i=iZ

Z:i=iZ

|Z ∩ {k : t(k) = j}|

= |{k : b(k) = i; t(k) = j}| = aij ; andererseits ist (ED)(Z, Z ′ ) =



E(Z, i)D(i, Z ′ ) = E(Z, iZ ′ )D(iZ ′ , Z ′ )

i

= |Z ∩ {k : t(k) = iZ ′ }| = |{(k, Z ′ ) : b(k) = iZ ; t(k) = iZ ′ }| = bZZ ′ , wobei bZZ ′ die Anzahl der Kanten (k, Z ′ ) in GZ bezeichnet, die Z mit Z ′ verbinden. Lemma 13. Sei φ : ΣG → ΣH ein 1-Block-Kode, so dass f¨ ur ein m ≥ 0 und n≥1 (3.12) (φ−1 (x))0 = ϕ−1 (x−m ...xn ) x ∈ ΣH

erf¨ ullt. Dann gibt es Spalt-Kodes φG : ΣG → ΣGZ und φ'H : ΣH → ΣHY und einen 1-Block-Kode φ' : ΣGZ → ΣHY , so dass das folgende Diagramm kommutativ ist: φG ΣG −−−−→ ΣGZ ⏐ ⏐ ⏐' ⏐ φ

φ 'H φ

ΣH −−−−→ ΣHY

3.4 Symbolische Dynamik

Weiterhin ist φ'−1 ein 1-Block-Kode der Form

φ'−1 (x)0 = ϕ '−1 (x−m ...xn−1 )

109

x ∈ ΣHY .

Beweis. Es sei Y die Zerlegung der Kantenmenge von H in die einzelnen Kanten. Der Graph HY besitzt dann die Ecken Y und die Kanten (h, k), wobei k eine Kante ist, die in der Ecke h beginnt. Da φ ein 1-Block-Kode ist, gibt es eine Abbildung ϕ : KG → KH der Kanten KG von G auf die Kanten KH von H. Sei Z die Zerlegung der Kantenmenge KG in die Urbilder der Kanten von H, die in denselben Ecken i ∈ I des Graphen G starten, also besteht Z aus Mengen der Form Z = ϕ−1 (h) ∩ {g ∈ KG : t(g) = i}. Man definiert sodann eine Blockabbildung ϕ ' : {(k, Z) : b(k) = iZ , Z ⊂ {k ′ : t(k ′ ) = t(k)}} → {(j, Y ) : b(j) = iY , Y ⊂ {j ′ : t(j ′ ) = t(j)}} durch ϕ((k, ' Z)) = (ϕ(k), Y ), wenn Z ⊂ ϕ−1 (Y ). Das folgende Diagramm veranschaulicht die Konstruktion Ψ

ΣG ∋ ...k−1 k0 k1 ... −−−G−→ ⏐ ⏐ φ=(..ϕ..)

...(k−2 , Z−2 )(k−1 , Z−1 )(k0 , Z0 )... ∈ ΣGZ ⏐ ⏐'

φ

Ψ

ΣH ∋ ...h−1 h0 h1 ... −−−H−→ ...(h−2 , {h−1 })(h−1 , {h0 })(h0 , {h1 })... ∈ ΣGY mit hi = ϕ(ki ) und ϕ '2 (Zi ) = {hi+1 }. Dies definiert offenbar einen 1-Block' Kode φ. Es muss abschließend gezeigt werden, dass ϕ '−1 die Bedingung (3.12) mit m und n − 1 erf¨ ullt. Sei (hk , Yk )k∈Z ∈ ΣHY , also das Bild von (hk )k∈Z ∈ ΣH unter φ'H . Da (hn−1 , Yn−1 ) auch hn als Kante von t(hn−1 ) und mit dem Endpunkt der (einzigen) Kante in Yn−1 bestimmt, ist h−m ...hn durch ((h−m , Y−m )...(hn−1 , Yn−1 )) festgelegt. Dieser Block bestimmt wiederum g0 im Urbild φ−1 ((...h−2 h−1 h0 h1 h2 ...)), also auch die nullte Koordinate in φG ((...g−2 g−1 g0 g1 g2 ...)), und damit (φ'−1 (x))0 . Nun kann man den Beweis von Satz 50 vollenden. Mit Lemma 13 erh¨alt man eine Folge von Kanten-Markoff-Ketten ΣGi und ΣHi (1 ≤ i ≤ n), und ein kommutatives Diagramm φG

φG

φGn−2

φGn−1

'H φ

'H φ

'H φ n−2

'H φ n−1

1 → ... −−−−→ ΣGn−1 −−−−→ ΣGn ΣG −−−−→ ΣG1 −−−− ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐φ ⏐ ⏐ ⏐ φn−1 φ1 φ

n 1 → ... −−−−→ ΣHn−1 −−−−→ ΣHn . ΣH −−−−→ ΣH1 −−−−

Die Abbildungen in der oberen und unteren Zeile sind Spalt-Kodes, und die Abbildung φn ist ein Block-Kode, der (3.12) mit m und n = 0 erf¨ ullt. Der transponierte Graph besteht aus denselben Ecken und denselben Kanten mit umgedrehter Orientierung. Das entspricht einem Schift, bei dem die Symbolfolge r¨ uckw¨ arts gelesen wird. Wendet man das Lemma 13 auf die transalt man das analoge kommutative ponierten Graphen zu Gn und Hn an, erh¨ Diagramm

110

3 Topologische Dynamik φG

φGn+1

φGn+m−1

'H φ

'H φ n+1

'H φ n+m−1

n → ΣGn+1 −−−−→ ...ΣGn+m−1 −−−−−−→ ΣGn+m ΣGn −−−− ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐φ ⏐ ⏐ ⏐φ φn+1 φn

n+m−1

n+m n → ΣHn+1 −−−−→ ...ΣHn+m−1 −−−−−−→ ΣHn+m . ΣHn −−−−

Die Abbildungen in beiden Zeilen sind wiederum Spalt-Kodes, und die Abullt. Die bildung φn+m ist ein Block-Kode, der (3.12) mit m = n = 0 erf¨ Abbildung ist damit ein 1-Block-Kode, d.h. sie definiert lediglich die Symbole um. Werden beide Diagramme am rechten, bzw. linken Ende zusammengef¨ ugt, entsteht die gew¨ unschte Darstellung von φ als Hintereinanderschaltung von Spalt-Kodes.

3.5 Topologische Entropie Topologische Entropie ist, kurz ausgedr¨ uckt, ein Maß f¨ ur die Unordnung eines dynamischen Systems. Gleichgradig stetige Systeme besitzen eine unkompliziertere Bahnstruktur als z.B. hyperbolische Torusautomorphismen. Im ersten Fall bleiben die Abst¨ ande d(T k (x), T k (y)) im wesentlichen durch den Abstand zwischen x und y beschr¨ ankt. Im zweiten Fall ist dies auf jeden Fall nicht richtig. Topologische Entropie misst das asympototische Wachstum der Anzahlen der Bahnen (bis zur Zeit n), die in diesem Sinne unterschiedlich sind. In diesem Abschnitt seien (Ω, T ) ein stetiges dynamisches System und Ω ein kompakter, metrischer Raum mit Metrik d. Sei a = (an )n≥1 eine positive reelle Zahlenfolge. Man nennt dann W (a) := lim sup n→∞

1 log an n

ihr asymptotisches Wachstum. Ist δ irgendeine Metrik auf Ω, so heißt eine Menge E ⊂ Ω (δ, η)-getrennt, falls inf{δ(x, y) : x, y ∈ E; x = y} > η

(3.13)

gilt, und E nicht durch Hinzuf¨ ugen von weiteren Punkten vergr¨oßert werden kann, ohne die Trennungseigenschaft (3.13) zu verlieren. Da Ω kompakt ist, muss die M¨ achtigkeit dieser Menge stets endlich sein. Ist δ = (δn )n≥1 eine Folge von Metriken, so bezeichnet W ((|En |)n≥1 ) das asymptotische Wachstum der n-ten Wurzel der M¨ achtigkeiten von fest gew¨ahlten (δn , η)-getrennten Mengen En . Lemma 14. Sei δn eine Folge von Metriken und 2ǫ ≤ η. Seien En (bzw. Fn ) (δn , η)- (bzw. (δn , ǫ)-) getrennte Mengen. Dann gilt |En | ≤ |Fn |.

3.5 Topologische Entropie

111

Beweis. Seien En und Fn (n ≥ 1) wie im Lemma. Jeder Punkt von En besitzt onnte Fn vergr¨oßert werden. Die dann einen Abstand ≤ ǫ zu Fn , denn sonst k¨ Abst¨ ande von zwei verschiedenen Punkten in En zu einem beliebigen Punkt in Fn k¨ onnen aber auch beide gleichzeitig nicht kleiner als ǫ sein, da 2ǫ < η vorausgesetzt ist. Also gibt es eine injektive Abbildung En → Fn . Lemma 15. Ist δ = (δn )n≥1 eine Folge von Metriken und Eη = (En (η))n≥1 (η > 0) eine Familie (δn , η)-getrennter Mengen En (η), so existiert das infinitesimale asymptotische Wachstum der Familie W (δ) = lim W (Eη ), η↓0

und dieser Grenzwert ist unabh¨ angig von der gew¨ ahlten Familie E. Beweis. Lemma 14 zeigt, dass f¨ ur eine weitere solche Folge Fn (ǫ) (n ≥ 1, ǫ > 0) 1 1 lim sup log |En (η)| ≤ inf lim sup log |Fn (ǫ)|. 2ǫ<η n n n→∞ n→∞ Betrachtet man die Folge Fn (ǫ) = En (ǫ), so erh¨alt man die Existenz des Limes f¨ ur η → 0. Da diese Ungleichung aber auch f¨ ur beliebige getrennte Mengen Fn (ǫ) gilt, ist der Limes von der speziellen Wahl der getrennten Mengen unabh¨ angig. Ausgehend von der Metrik d auf Ω wird die Bowen-Metrik durch dn (x, y) = max d(T k (x), T k (y)) 0≤k
n≥1

definiert. Eine η-getrennte Menge unter der Metrik dn besteht also aus Punkten, die paarweise η-expansiv‘ bis zur Zeit n sind. Das infinitesimale asymp’ totische Wachstum W (δ) in Lemma 15 ist unabh¨angig von der Wahl der getrennten Mengen und kann daher der Folge δ von Metriken zugeordnet werden. Daher wird die folgende Definiton sinnvoll. Definition 37. Das infinitesimale asymptotische Wachstum W (δ) der Folge δ = (dn )n≥1 der Bowen-Metriken wird als topologische Entropie h(T ) = htop (T ) von T bezeichnet und ist durch htop (T ) = W (δ) definiert. Eine unter der Bowen Metrik dn η-getrennte Menge wird kurz als (n, η)getrennte Menge bezeichnet. Beispiel 48. Die topologische Entropie einer Isometrie verschwindet, denn eine (1, η)-getrennte Menge ist auch (n, η)-getrennt. Sei (Ω, T ) gleichgradig stetig. Sei ǫ > 0 und η so klein, dass die Abst¨ande ur jedes j ≥ 0 sind, wenn d(x, y) < η gilt. Dann T j (x) und T j (y) kleiner als ǫ f¨ ist jede (1, η)-getrennte Menge auch (n, ǫ)-getrennt. Also gilt htop (T ) = 0.

112

3 Topologische Dynamik

Satz 51. Ist (Ω2 , T2 ) ein Faktor von (Ω1 , T1 ), so gilt htop (T2 ) ≤ htop (T1 ). Insbesondere ist topologische Entropie eine Invariante unter Konjugation, und die topologische Entropie h¨ angt nicht von der die Topologie erzeugenden Metrik ab. Beweis. Sei π : Ω1 → Ω2 die Faktorabbildung von Ω1 auf Ω2 . Seien d die Metrik auf Ω1 und d′ die auf Ω2 . Zu η > 0 gibt es ǫ(η) > 0, so dass mit d′ (π(x), π(y)) ≥ η auch d(x, y) ≥ ǫ(η) ist. Das u ¨bertr¨agt sich sofort auf die Metriken d′n und dn mit denselben n, η und ǫ(η). Ferner gilt limη→0 ǫ(η) = 0. Es folgt zun¨ achst, dass das Urbild einer (n, η)-getrennten Menge En (η) ⊂ Ω2 zu einer (n, ǫ(η))-getrennten Menge Fn (ǫ(η)) ⊂ Ω1 erweitert werden kann, und weiterhin, dass 1 log |En (η)| n 1 ≤ lim lim sup log |Fn (ǫ(η))| = htop (T1 ). η→0 n→∞ n

htop (T2 ) = lim lim sup η→0 n→∞

Satz 52. 1. Sind (Ωi , Ti ), i = 1, 2, stetige dynamische Systeme, so gilt htop (T1 × T2 ) = htop (T1 ) + htop (T2 ). 2. Ist (Ω, T ) ein stetiges dynamisches System, so gilt htop (T n ) = nhtop (T ) f¨ ur n ≥ 0. Ist zudem T invertierbar, so gilt ferner htop (T −1 ) = htop (T ). Beweis. 1. Da die topologische Entropie unabh¨ angig von der Metrik ist, w¨ahlt man am besten die Maximumsmetrik auf Ω1 × Ω2 . Seien En und Fn jeweils (n, η)-getrennt in Ω1 und Ω2 . Dann ist Gn = En × Fn ⊂ Ω1 × Ω2 in einer (n, η)-getrennten Menge An enthalten. Daraus folgt unmittelbar htop (T1 ) + htop (T2 ) ≤ htop (T1 × T2 ). alt einen weiteren Punkt (x, y) ∈ Gn . O.E. sei Angenommen, An enth¨ y ∈ Fn . Dann gibt es zu jedem (u, v) ∈ En × Fn ein 0 ≤ j < n mit (i) ur jedes feste u kann (ii) d(T j (x), T j (u)) > η oder (ii) d(T j (y), T j (v)) > η. F¨ nicht f¨ ur jedes v gelten, denn sonst w¨ are Fn ∪{v} eine trennende Erweiterung ur jedes u, und es folgt x ∈ En . Setzt man nun u = x, von Fn . Also gilt (i) f¨ ergibt sich ein Widerspruch. 2. Sei E eine (m, η)-getrennte Menge f¨ ur die Transformation T n und die ′ j j Metrik d (x, y) = max0≤j 0, so wird die topologische Entropie durch das asymptotische Wachstum von (n, ǫ)-getrennten Mengen in der Bowen Metrik d = (dn )n≥1 gegeben.

3.5 Topologische Entropie

113

Beweis. Nach Lemma 14 gilt W ((En (ǫ))n≥1 ) ≤ htop (T ), wenn En (ǫ) eine (n, ǫ)-getrennte Menge bezeichnet. Da T expansiv ist, gibt es nach Lemma 8 zu η > 0 ein m ∈ N, so dass aus d(T j (x), T j (y)) ≤ ǫ (j = 0, 1, ..., m, x, y ∈ Ω) schon d(x, y) ≤ η folgt. Ist Fn (η) eine (m + n, ǫ)-getrennte Menge, so folgt atzung sup0≤j ǫ. Also f¨ ur x = y ∈ Fn (ǫ) die Absch¨ kann Fn (η) zu einer (n + m, ǫ)-getrennten Menge erweitert werden, und es folgt W ((Fn (η))n≥1 ) ≤ W ((En (ǫ))n≥1 ), und daraus die Behauptung. Beispiel 49. Sei T die Schiebung auf dem kompakten Raum ΩX = X Z . Sie
ist expansiv. Nimmt man die Metrik d(x, y) = k∈Z 2−|k| (1 − 1xk (yk )), so ist 1/2 eine Expansionskonstante, und jede Teilmenge E, die mit jedem nZylinder genau eine Punkt gemeinsam hat, ist offenbar eine (n, 1/2)-getrennte Menge. Da es |X|n solcher Zylinder gibt, ist htop (T ) = log |X|. Man bemerkt sofort, dass die topologische Entropie das asymptotische Wachstum der Folge achtigkeiten pn der periodischen Punkte der Periode n ist. p = (pn )n≥1 der M¨ Satz 54. Sei (Ω, T ) ein stetiges dynamisches System. Es gebe ein Wahrscheinlichkeitsmaß m, so dass m und m ◦ T gegenseitig absolut stetig sind (m ◦ T ≪ m ≪ m ◦ T ) und eine stetige beschr¨ ankte Jacobische J = dm◦T dm besitzen ([12], S.277-279). Sei N eine untere Schranke f¨ ur die Anzahl der Urbilder von Punkten in einer Menge vom vollen Maß. Dann gilt htop (T ) ≥ log N. Beweis. Die Menge aller Punkte, in denen T nicht lokal invertierbar ist, ist kompakt. Sei Ω0 ihr Komplement. Sei a ∈ (0, 1) beliebig gew¨ahlt und −

a

X = {x ∈ Ω0 : |J(x)| ≥ ǫ}, wobei ǫ = J∞a−1 gesetzt wird. T ist lokal invertierbar auf X, und da X kompakt ist, gibt es ein δ > 0, so dass zwei verschiedene Punkte im Abstand < δ auch verschiedene Bilder besitzen m¨ ussen. Sei nun An = {x ∈ Ω : |X ∩ {T j (x) : 0 ≤ j < n}| ≤ an}. Sei J(T n ) die n Jacobische dm◦T von T n . F¨ ur x ∈ An gilt dann dm |J(T n )(x)| =

n−1 

und damit n

m(T (An )) ≤

j=0



|J(T j (x))| < ǫ(1−a)n Jan ∞ = 1,

An

J(T n )dm < ǫ(1−a)n Jan ∞ = 1.

Es gibt also einen Punkt x ∈ Ω \ T n (An ), so dass jeder Punkt z ∈ n−1 −j ({x}) mindestens N Urbilder unter T besitzt. (Das sieht man wie j=0 T folgt ein: Sei C die Menge aller Punkte, die weniger als N Urbilder haben. Es ist dann m(T −1 (C)) = 0, denn m(T (T −1 (C))) = m(C) = 0.) Daher hat auch x mindestens N n Urbilder unter T n .

114

3 Topologische Dynamik

Da T −n ({x}) ⊂ Acn , besucht jedes Urbild von x unter T n die Menge X mindestens an-mal. Durch Einschr¨ ankung auf eine Teilmenge kann man immer annehmen, dass T n (x) genau N n Urbilder unter T n besitzt. Man definiert ¨ eine Aquivalenzrelation z ∼ y auf der Menge T −n ({x}) durch T j (z), T j (y) ∈ c j+1 j+1 (z) = T (y) f¨ ur ein j = 0, 1, ..., n − 1. Dann hat jede X und T ¨ Aquivalenzklasse h¨ ochstens N (1−a)n Elemente. Ein Repr¨asentantensystem En enth¨ alt also mindestens N an Elemente, und es gen¨ ugt nun nachzuweisen, dass En zu einer (n, δ)-getrennten Menge erweitert werden kann. Angenommen, z = y ∈ En und sup0≤j
1 log |En | = a log N, n

wenn man a → 1 streben l¨ asst. Sei T : M → N eine differenzierbare Abbildung zwischen zwei orientierbaren, kompakten, glatten Mannigfaltigkeiten M und N . Ein Punkt x ∈ X heißt ur jedes Urbild y von x invertierbar ist. Sei ǫ(y) entweder 1 regul¨ ar, wenn Dy T f¨ alt oder umkehrt. Jeder regul¨are oder -1, je nachdem Dy T die Orientierung erh¨ Punkt x besitzt nur endlich viele Urbilder. Der Grad von T ist durch  ǫ(y) deg(T ) = degx (T ) := T (y)=x

wohldefiniert, da die rechte Seite unabh¨ angig von x ist. Korollar 8. [Misiurewicz, Przytycki] Sei Ω eine kompakte, orientierbare glatte Mannigfaltigkeit und T : Ω → Ω eine differenzierbare Abbildung. Dann gilt htop (T ) ≥ log |deg(T )|. Beweis. Die Volumenform auf Ω ist nichtsingul¨ar und nach Sard’s Satz ([34], S.37) besitzt die Menge der nicht regul¨ aren Punkte das Maß Null. Sei x ein regul¨ arer Punkt von T . Er besitzt wenigstens D = |deg(T )| Urbilder.

Beispiel 50. Sei T eine rationale Abbildung der S 2 vom Grad d. Dann gilt htop (T ) ≥ log d.

Satz 55. Seien (Ω, T ) ein expansives dynamisches System und Pn die Menge der periodischen Punkte mit Periode n. Dann gilt htop (T ) ≥ lim sup n→∞

1 log |Pn |. n

3.5 Topologische Entropie

115

Beweis. Sei ǫ > 0 eine Expansivit¨ atskonstante. Da Pn zu einer (n, ǫ)getrennten Menge erweitert werden kann, folgt die Ungleichung sofort. Anmerkung 2. Gleichheit gilt im letzten Satz in folgenden F¨allen: (i) Rationale Funktionen, denn die topologische Entropie ist log d (das versch¨ arft Beispiel 50) und die Anzahl der periodischen Punkte der Periode n proportional zu dn ist, wenn d der Grad der rationalen Abbildung ist. (ii) Topologisch mischende Markoff-Ketten, denn jede Zylindermenge der L¨ ange n enth¨ alt nur eine beschr¨ ankte Anzahl periodischer Punkte der Peur passend gew¨ ahltes n0 , unabh¨angig von n, gibt es riode n + n0 , n0 fest. F¨ zudem mindestens einen periodischen Punkt der Periode n + n0 . Man vergleiche auch Satz 22. (iii) Allgemeiner kann man ein R-expandierendes System betrachten. Nach Satz 47 besitzt es eine Markoff-Zerlegung. Daher kann dasselbe Argument wie in (ii) angewendet werden. Satz 56. Sei T (g) = a+A(g)mod Zd eine auf dem d-dimensionalen Torus Td durch eine affine Transformation induzierte, invertierbare Abbildung. Dann gilt  htop (T ) = log |λi |, |λi |>1

wobei λ1 , ..., λd die Eigenwerte der Matrix A bezeichnen. Beweis. Zun¨ achst bemerkt man, dass die Projektion Π : Rd → Td eine lokale Isometrie ist: Es gibt δ > 0, so dass Π, eingeschr¨ankt auf eine beliebige Kugel vom Radius δ, eine Isometrie auf ihr Bild ist. Es gilt also lokal f¨ ur x, y ∈ Rd die Beziehung x − y = d(Π(x), Π(y)) < δ. Sei K ⊂ Rd eine kompakte Menge vom Durchmesser < δA−1 . Sei ferner F eine (n, ǫ)-getrennte Menge in K f¨ ur die lineare Abbildung A, wobei ǫ < ur T . Das kann δA−1 . Dann ist Π(F ) eine (n, ǫ)-getrennte Menge in Π(K) f¨ man so beweisen: Ist x = y ∈ F , so gibt es ein minimales 0 ≤ i ≤ n − 1 mit Ai (x)−Ai (y) ≥ ǫ. Dann ist Ai−1 (x)−Ai−1 (y) < ǫ ≤ δA−1 und folglich Ai (x) − Ai (y) < δ, also wegen der lokalen Isometrie von Π erh¨alt man d(T i (x), T i (y)) ≥ ǫ. Sei F ′ ⊃ Π(F ) eine maximale Erweiterung von Π(F ) in Π(K). Ist dann z ∈ F ′ \ Π(F ), so gibt es einen eindeutig bestimmten Punkt y ∈ K mit Π(y) = z. Da F maximal ist, gibt es ein x ∈ F mit ǫ > Ai (x) − Ai (y) = d(T i (Π(x)), T i (z)) f¨ ur jedes 0 ≤ i < n. Man betrachtet nun die Jordansche Normalform von A, deren Untermatrizen auf der Diagonalen mit Aj (j = 1, ..., s) bezeichnet werden. Jede Matrix besitzt nur Eigenwerte λl vom gleichen Betrag, und man kann Aj = κj Ij als Vielfaches einer Isometrie Ij schreiben. Da die Jordansche Normalform durch Konjugation mit einer orthogonalen Matrix erhalten wird (die eine Isometrie ist), kann man annehmen, dass

116

3 Topologische Dynamik

Rd = Rd1 × ... × Rds

A((x1 , ..., xs )) = (Aj (xj ))1≤j≤s

mit d = d1 + ... + ds gilt. Sei nun K eine kompakte Menge wie oben und Fj eine (n, ǫ)-getrennte Menge f¨ ur Kj , die Projektion von K auf Rdj . Ist κj ≤ 1, so ist die M¨ achtigkeit von Fj von n unabh¨angig, also konstant (in n). Ist κj > 1, so ist A−n j B(x, ǫ/2) eine disjunkte Familie von Mengen, die in B(Kj , ǫ) enthalten ist, und A−n j B(x, ǫ) ist eine Familie von Mengen, die Kj u ¨berdeckt. Daher gilt mit gewissen Konstanten C1 und C2 , dass −ndj

C2 ≤ |Fj |κj

−ndj

inf L(B(u, ǫ)) ≤ |Fj |κj

u∈Rdj

sup L(B(u, ǫ)) ≤ C1 .

u∈Rdj

Das asymptotische Wachstum der
Folge |Fj | (wenn n → ∞ und ǫ fest ist) berechnet sich also zu dj log κj = |λl |=κj log |λl |. Schließlich betrachtet man F = F1 × ... × Fs . Dann ist F (n, ǫ)-getrennt f¨ ur K und die Transformation A, denn mit der Maximumsnorm auf Rd gelten: 1. x = (x1 , ..., xs ), y = (y1 , ..., ys ) ∈ F , xj = yj bedeutet, dass ein 0 ≤ l < n mit Al (x) − Al (y) ≥ Alj (xj ) − Alj (yj ) ≥ ǫ existiert. ur jedes 1 ≤ j ≤ s ein xj ∈ Fj mit 2. Ist z = (z1 , ..., zs ) ∈ K, so gibt es f¨ Aij (xj ) − Aij (zj ) < ǫ (0 ≤ i < n), da Fj maximal ist. Es folgt dann auch f¨ ur x = (x1 , ..., xd ), dass Ai (x) − Ai (z) = max Aij (xj ) − Aij (zj ) < ǫ. 1≤j≤s

Das asymptotische
Wachstum der Folge |F | (wenn n gegen unendlich strebt) ist also durch |λj |>1 log |λj | gegeben. Die Folge Π(F ) besitzt das gleiche Wachstumsverhalten und ist eine Folge (n, ǫ)-getrennter Mengen f¨ ur Π(K) ¨ und die Transformation T : Td → Td . Uberdeckt man Td mit endlich vielen kompakten Mengen der Form Π(K), so ist das infinitesimale asymptotische Wachstum einer Folge (n, ǫ)-getrennter Mengen gleich dem infinitesimalen asymptotischen Wachstum von |F ∩ Π(K)|. Dies folgt mit dem Argument im Beweis von Lemma 15.

4 Differenzierbare Dynamik

Differenzierbare dynamische Systeme leben im Allgemeinen auf endlich dimensionalen Mannigfaltigkeiten. Durch die Differenzierbarkeit erh¨alt man eine nat¨ urliche Faserung der Systeme durch eingebettete Mannigfaltigkeiten. Die Dynamik auf diesen Untermannigfaltigkeiten bestimmt weitgehend die globale Dynamik. Das wird besonders im Abschnitt 4.6 deutlich, wenn das System nur kontrahierende und expandierende Faserungen besitzt. Grundlage der modernen differenzierbaren Dynamik ist die lokale Faserung des Systems in invariante Untermannigfaltigkeiten. Der Satz u ¨ber die Existenz stabiler und unstabiler Mannigfaltigkeiten in Abschnitt 4.3 geht auf Jacques Hadamard (1901) zur¨ uck. Eine alternativer Zugang wurde auf Ideen von Oskar Perron 1928 aufgebaut. Er ist Grundlage vieler weiterer Entwicklungen in j¨ ungerer Zeit. Auf seiner Basis kann man das von Hartman 1963 und Grobman 1962 gefundene Resultat verstehen, das bereits in Abschnitt 1.4 formuliert wurde. Eine zentrale Rolle in der Entwicklung spielen geod¨atische Fl¨ usse. Sie sind am besten auf Fl¨ achen konstanter negativer Kr¨ ummung verstanden; Abschnitt 1.6 beschreibt ein Beispiel, im Allgemeinen gibt Abschnitt 4.7 eine erste Einf¨ uhrung in die Grundlagen. Artins Satz von 1924 u ¨ber die topologische Transitivit¨ at wird gezeigt, dagegen sind die Arbeiten von E. Hopf um 1940 nicht erw¨ ahnt, sie f¨ uhrten jedoch zur Entwicklung der Anosov-Systeme in den 60er Jahren; der Begriff des Anosov-Diffeomorphismus entstand im Jahre 1962 durch Dmitrii Anosov. Es gibt einen direkten Zusammenhang zu Hamiltonschen Systemen, der im Anschluß dargestellt wird. Insbesondere wird der Satz von Liouville (1809-1882) angewendet, um invariante Maße zu erhalten. Etwas sp¨ ater entstand in der Forschungsgruppe um Smale eine Verallgemeinerung. Ausgehend von den Morse-Smale Systemen wurde der Begriff des Axiom-A-Diffeomorphismus (-Flusses) gepr¨agt. Dies f¨ uhrte zu weiteren wesentlichen Begriffsbildungen, etwa dem Schließungsbegriff (Anosov 1970), der Spektralzerlegung (Smale 1967) oder der Spezifizierung (Bowen 1971). Verschiedene Schließungslemmata und Spezifizierungseigenschaften werden in den Abschnitten 4.3 und 4.6 behandelt. Symbolische Dynamik als Hilfsmittel zur Untersuchung dynamischer Systeme wurden zuerst von Hadamard und sp¨ ater von Morse benutzt. Besondere

118

4 Differenzierbare Dynamik

Bedeutung erh¨ alt ein solcher Zugang durch Markoff-Zerlegungen. Die ersten Zerlegungen dieser Art stammen von Adler und B. Weiss (1967) f¨ ur Torusautomorphismen, dann von Sinai f¨ ur Anosov Diffeomorphismen 1968 und schließlich von Bowen 1970 f¨ ur Axiom-A-Diffeomorphismen. In den Abschnitten 4.4 und 4.5 werden die wohl wichtigsten Begriffsbildungen beschrieben. Anosovs S¨ atze zur Strukturstabilit¨at aus den 60er Jahren sind klassisch, ebenso das Arnoldsche Resultat im Fall von Diffeomorphismen der S 1 . Wiederum zeitgleich wurde ein anderes Konzept entwickelt, das die Struktur der Diffeomorphismen und Fl¨ usse kl¨aren soll. Man kann es generell u ¨ber generische Eigenschaften beschreiben. Der grundlegende Satz, der dieser Betrachtungsweise zum Durchbruch verhalf stammt von Kupka 1963 (f¨ ur Fl¨ usse) und Smale 1963 (auch f¨ ur Diffeomorphismen). Der finale Satz benutzt Transversalit¨ atstheorie, die auf Thom zur¨ uckgeht. An dieser Stelle wird diese Theorie nicht entwickelt, jedoch wird der Beweis des Satzes von Kupka und Smale in seiner Grundstruktur in Abschnitt 4.5 beschrieben. Neben der Faserung der Mannigfaltigkeit in invariante Untermannigfaltigkeiten erweist sich der Satz von Oseledets aus dem Jahr 1968 als grundlegender Baustein einer Theorie differenzierbarer Systeme. Abschnitt 4.2 enth¨alt dieses Resultat, allerdings nicht in seiner sch¨ arfsten Form. Man kann es als eine Art Ergodensatz verstehen (s. Abschnitt 5.2), wenn man die Additivit¨at des Kozykels durch Subadditivit¨ at ersetzt. Der Kingmannsche subadditive Ergodensatz, hier in Form des Satzes von Furstenberg und Kesten (1960) gebracht, ist Grundlage f¨ ur diesen Satz. In Abschnitt 6.3 wird eine spezielle Anwendung dieses Satzes vorgestellt. Im ersten Abschnitt werden Kozykel behandelt. Sie spielen in der Dynamik eine wesentliche Rolle, allerdings wird an dieser Stelle nur ihre Bedeutung f¨ ur Schiefprodukte und zuf¨ allige Dynamiken angedeutet. Der Satz von Livsic von 1971 u ¨ber die 0-Kohomologie eines Kozykels ist klassisch, aber auch recht einfach.

4.1 Diffeomorphismen und Flu ¨ sse Es sei M eine im Allgemeinen kompakte, glatte Mannigfaltigkeit. Ein Diffeomorphismus T : M → M ist eine invertierbare differenzierbare Abbildung der Mannigfaltigkeit in sich, deren Inverse ebenfalls differenzierbar ist. Wie in Abschnitt 1.3 bereits eingef¨ uhrt (siehe auch [1], Kapitel I und II; oder [22]), bezeichne Dx T : Tx M → TT (x) M die Ableitung im Punkte x ∈ M , die zwischen den Tangentialr¨ aumen von x und T (x) operiert. Der Raum aller C r -Abbildungen T : M → M werde mit C r (M ) und der Unterraum aller C r -Diffeomorphismen mit Diffr (M ) bezeichnet. Schließlich bezeichnet φ = (φt )t∈R stets einen differenzierbaren Fluss mit Vektorfeld Φ. Beispiel 51. Die Rotation T (z) = ze2πiα ist ein Diffeomorphismus der S 1 (vgl. Beispiel 1), und ein Torusautomorphismus T : Td → Td ist ebenfalls

4.1 Diffeomorphismen und Fl¨ usse

119

ein Diffeomorphismus, wenn also die sie erzeugende lineare Abbildung die Determinante ±1 besitzt (vgl. Beispiel 5). Allgemeiner, ist f : [0, 1] → [0, 1] ein Diffeomorphismus mit f ′ (0) = f ′ (1), so ist auch T (e2πix ) = e2πif (x) ein Diffeomorphismus der S 1 . Beispiel 52. Sei M = S 2 = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 = 1} die zweidimensionale Sph¨ are und Φ : S 2 → R3 durch Φ((x, y, z)) = (xz, yz, −x2 − y 2 )

(x, y, z) ∈ S 2 ⊂ R3

definiert. Der hierdurch erzeugte Fluss φ = (φt )t∈R ist in Abbildung 4.1 dargestellt. Ein Meridian auf der S 2 ist durch den Locus {(x, y, z) ∈ S 2 : xy = c} (c ∈ R+ ) festgelegt, wenn (0, 0, ±1) die beiden Pole bezeichnet. Daher liegt Φ((x, y, z)) in der durch den Meridian von x und y festgelegten Ebene. Man sieht auch sofort, dass Φ((x, y, z)) orthogonal zu (x, y, z) ist, also tangential zur S 2 liegt. φ heißt deshalb Gradientenfluss. Die Bahn eines jeden Punktes, ausgenommen des Nordpols, wird vom S¨ udpol angezogen. Das Vektorfeld verschwindet in den beiden Polen. Sie sind daher zeitlich station¨ar (kritisch). Diese Art von Fl¨ ussen kann man auf allgemeineren Mannigfaltigkeiten definieren. Sie werden ebenfalls Gradientenfl¨ usse genannt. N

Äquator

S

Abb. 4.1. Gradientenfluss auf S 2

Beispiel 53. Die H´enon-Abbildung wurde bereits in Beispiel 40 eingef¨ uhrt. Sie ist ein Diffeomorphismus T : R2 → R2 und wird durch die Gleichung T ((x, y)) = (y + 1 − ax2 , bx) mit b = 0 beschrieben. Betrachtet man die Gleichung in C2 , so ist die Abbildung sogar holomorph. Beispiel 54. Das Solenoid wurde ebenfalls schon eingef¨ uhrt (Beispiel 38). Hier ist die differenzierbare Abbildung T : T2 → T2 , T ((z, u, v)) = (2z mod 1, au + b cos[2πz], av + b sin[2πz]), kein Diffeomorphismus, obwohl sie f¨ ur die Parameter 0 < a, b < 1; b2 < 2a2 < 2/7 injektiv ist.

120

4 Differenzierbare Dynamik

Beispiel 55. Die Differentialgleichung x ¨ + ag(x)x˙ + x = bp(t) bezeichnet man als van-der-Pol-Gleichung. Sie beschreibt einen Oszillator mit nichtlinearer D¨ ampfung. Man kann dieses nichtautonome System in ein autonomes u uhren (vgl. Beispiel 16): ¨berf¨ x˙ = y − ag(x)

y˙ = −x + bp(z) z˙ = 1

(x, y, z) ∈ R2 × S 1

F¨ ur b = 0 und kleines a reduziert sich das System auf eine St¨orung des harmonischen Oszillators x˙ = y

y˙ = −x.

Es sei φt : M → M (t ∈ R) ein Fluss auf einer kompakten Mannigfaltigkeit M . Dann ist jede Abbildung φt ein Diffeomorphismus. Jedoch ist ur ein nicht jeder Diffeomorphismus als Zeit-t-Abbildung φt eines Flusses f¨ t ∈ R darstellbar. Sei etwa f : [0, 1] → [0, 1] orientierungstreuer Diffeomorphismus mit f (1/2) = 1/2 und f (x) > x f¨ ur x ∈ {0, 1/2, 1}, der durch T (e2πix ) = e2πi(f (x)+1/2) als Diffeomorphismus der S 1 betrachtet werden kann. Nimmt man an, dass T als eine Abbildung φt eines Flusses der S 1 dargestellt werden kann, so ist jeder Punkt der Bahn von 1 periodisch mit Periode 2t, denn φ2t+s (1) = φs (φ2t (1)) = φs (1). Nach Konstruktion von T ist aber jeder Punkt der S 1 , = ±1, sicherlich nicht periodisch mit der Periode 2. Man kann jedoch Diffeomorphismen in anderer Weise u usse darstellen, ¨ber Fl¨ bzw. Fl¨ usse u ¨ber Diffeomorphismen modellieren. Definition 38. Der Fluss φt sei durch das Vektorfeld Φ definiert, und es sei x ∈ M . Eine Untermannigfaltigkeit N ⊂ M der Kodimension 1 heisst ein lokaler transversaler Schnitt in x, falls x ∈ N und Φ(y) ∈ Ty N gelten. Satz 57. Sei N ein lokaler transversaler Schnitt in dem periodischen Punkt x ∈ M . Dann gibt es eine in N offene Umgebung U ⊂ N von x, so dass die Poincar´e-Abbildung TU : U → N , TU (y) = φtN (y) (y),

tN (y) = inf{s ≥ 0 : φs (y) ∈ N },

wohldefinierte differenzierbare Abbildung ist. Zwei Poincar´e-Abbildungen sind lokal diffeomorph. ange der Bahn von x. Da der Satz eine lokale Beweis. Sei t0 die Periodenl¨ Aussage ist, nimmt man an, dass N in einer Karte enthalten ist. Nach geeigneter Koordinatenwahl ist N = {z ∈ Rd : zd = 0}, x = 0 und Φ(φt0 (x)) = ed ,

4.1 Diffeomorphismen und Fl¨ usse

121

M × [0, 1] N x0 y

T (y) M M =R

x

T (x)

2

Transversaler Schnitt und Poincar´ e-Abbildung

Suspensionsfluss

Abb. 4.2. Poincar´e-Abbildung und Suspension

der d-te Einheitsvektor. Hierbei ist d die Dimension der Mannigfaltigkeit. Sei φt (y) = (φ1t (y), ..., φdt (y)) eine lokale Darstellung des Flusses. Es gilt also φt (y) ∈ N genau dann, wenn φdt (y) = 0 gilt. Da x = 0 ein periodischer Punkt mit einer Primperiode t0 ist, gilt dφt (t0 , 0) = Φ(φt0 (0)) = ed , dt und folglich findet man nach Anwendung des Satzes u ¨ber implizite Funktionen (siehe [15], S.97) eine offene Umgebung U ⊂ N von 0, ein hinreichend ur y ∈ U kleines ǫ > 0 und eine C 1 -Funktion tN (·), so dass f¨ φdtN (y) (y) = 0

und |tN (y) − t0 | < ǫ.

Somit ist TU (y) = φtN (y) (y) wohldefiniert. Angenommen, tN (y) ist nicht die erste R¨ uckkehrzeit nach N . Dann besitzt aber auch t0 diese Eigenschaft nicht, sofern ǫ klein genug ist. Das ist ein Widerspruch, und der erste Teil der Aussage ist bewiesen. Seien (U, TU ) und (V, TV ) zwei Poincar´e-Abbildungen der lokalen transversalen Schnitte NU und NV in x. Der zweite Teil der Aussage folgt durch lokale Konjugation mit y → φs(y) , wenn s(y) die erste Eintrittszeit von y ∈ U0 ⊂ U in V bezeichnet, wobei U0 hinreichend klein gew¨ahlt ist. Jeder Fluss kann also durch die Betrachtung der Zeit t-Diffeomorphismen und durch Poincar´e-Abbildungen untersucht werden. Umgekehrt kann man aber auch zu jedem Diffeomorphismus Fl¨ usse konstruieren, die den Diffeomorphismus als Poincar´e-Abbildung beschreiben. Eine dieser Darstellungsm¨ oglichkeiten ist der Suspensionsfluss eines Diffeomorphismus. Proposition 11. Sei T : M → M ein Diffeomorphismus der Mannigfaltigkeit M der Dimension d. Dann wird M × [0, 1] durch die Identifikation von (x, 1) mit (T (x), 0) zu einer Mannigfaltigkeit der Dimension d + 1. Durch die Vorschriften

122

4 Differenzierbare Dynamik

φt (x, s) = (x, s + t)

s, t ≥ 0, s + t ≤ 1

(4.1)

wird der sog. Suspensionsfluss eindeutig definiert. Beweis. Man muss eigentlich nur zeigen, dass durch (4.1) ein Fluss f¨ ur alle Zeiten eindeutig definiert ist. φ0 ist sicherlich die Identit¨at. Man setzt f¨ ur beliebiges t ∈ R φt (x, s) = (T n (x), s + t − n), wobei n ∈ Z stets eindeutig durch 0 ≤ s + t − n < 1 bestimmt ist. Mit dieser Festsetzung folgt sofort, dass φt+r (x, s) = φt (φr (x, s)) gilt. Die Stetigkeit der Abbildung M × S 1 × R → M × S 1 , (x, s, t) → φt (x, s) ist ebenfalls einfach zu verifizieren. Der Begriff des Kozykels spielt eine wichtige Rolle in der Dynamik. Er wird benutzt, um stochastische Fl¨ usse einzuf¨ uhren, taucht aber auch in nat¨ urlicher Weise im Satz von Oseledets (s. Abschnitt 4.2) und im thermodynamischen Formalismus (s. Kapitel 6) auf. Definition 39. Seien (Ω, G) ein dynamisches System mit G = R, Z oder N0 (als rechte Transformationsgruppe geschrieben) und Γ eine Halbgruppe mit Verkn¨ upfung ◦. Ein Kozykel γ ist eine Abbildung γ :Ω×G→Γ mit der Eigenschaft, dass f¨ ur beliebige g1 , g2 ∈ G und x ∈ Ω die KozykelRelation γ(x, g1 g2 ) = γ(xg2 , g1 ) ◦ γ(x, g2 ) gilt. Beispiel 56. Sei f : Ω → Rd eine Funktion. Dann definiert γ(x, n) = Sn f (x) = f (x) + f (T (x)) + ... + f (T n−1 (x)) einen Kozykel (¨ uber N0 ) mit Werten in Γ = Rd . Umgekehrt, ist γ ein
Kozykel mit Werten in Rd , so n−1 k gilt γ(y, n) = γ(T (y), n − 1) + γ(y, 1) = k=0 γ(T (y), 1). Setzt man also f (y) = γ(y, 1), so erh¨ alt man Sn f (x) = γ(x, n). Besitzt f die Gestalt f (x) = g(T (x)) − g(x), wobei g zu dem Funktionenraum F geh¨ort, so schreibt sich der Kozykel als γ(x, n) = g(T n (x)) − g(x) und man spricht von einem Korand in F. Ein weiteres Beispiel eines Kozykels ist durch die Matrizenmultiplikation gegeben, wenn also A : Ω → GL(Rd ) den Kozykel γ(x, n) = A(T n−1 (x)) · · · A(x) definiert. Definition 40. Es seien (Ω, T ) ein stetiges dynamisches System und γ : Ω → C(M, M ), x → γx , eine stetige Abbildung. Das Schiefprodukt (Ω × M, Tγ ) von (T, γ) (genauer von (Ω, T, M, γ)) wird durch die Abbildung Tγ : Ω × M → Ω × M ; (x ∈ Ω, z ∈ M ) definiert.

Tγ (x, z) = (T (x), γx (z))

4.1 Diffeomorphismen und Fl¨ usse

123

Je nach Eigenschaften von (Ω, T ) und γ spricht man von einem stetigen oder differenzierbarem Schiefprodukt. Die Ausformulierung dieser Begriffe sei dem Leser u ¨berlassen. Die Abbildung γ(x, 1) = γx definiert einen Kozykel mit Werten in C(M, M ) durch γ(x, n) = γT n−1 (x) ◦ ... ◦ γx . Es folgt Tγn (x, z) = (T n (x), γ(x, n)(z)). Beispiel 57. Es seien G eine Gruppe mit Verkn¨ upfung ◦, (Ω, T ) ein dynamisches System und γ : Ω → G eine stetige Abbildung. Das Schiefprodukt (Ω × G, Tγ ) schreibt sich dann als Tγ : Ω × G → Ω × G;

Tγ (x, g) = (T (x), γ(x) ◦ g).

Man identifiziert G mit der Untergruppe aller Automorphismen von G, die als Linksmultiplikationen auf G geschrieben werden k¨onnen. Der Kozykel γ(n, x) = γ(T n−1 (x)) ◦ γ(n − 1, x) erlaubt es, die Iterierten von Tγ als Tγn (x, g) = (T n (x), γ(n, x) ◦ g) zu schreiben. Beispiel 58. Ist γ : Ω → C(M, M ) konstant (etwa S : M → M ), so reduziert sich das Schiefprodukt zu der Produktabbildung Tγ = T × S. Beispiel 59. Seien T (x) = 2x mod 1 und f¨ ur x ∈ [0, 1] Rx : C → C das quadratische Polynom z → z 2 + x5 . Das zugeh¨orige Schiefprodukt ist dann S : [0, 1] × C → [0, 1] × C

S(x, z) = (T (x), Rx (z)) = (2x mod 1, z 2 +

x ). 5

Diese Abbildung besitzt einen Repeller, dessen Schnitt an den periodischen Punkten von T eine Jordan-Kurve darstellt (vgl. Abschnitt 2.4). Man kann sie deshalb auf diesen Repeller einschr¨ anken; dann ist die Abbildung jedoch kein Schiefprodukt mehr, sondern lediglich nach der x-Koordinate gefasert. Der Repeller ist in Abbildung 4.3 dargestellt. Ist man eigentlich nur an der Dynamik auf M interessiert, f¨ uhrt der Begriff des Schiefprodukts zu Definition 41. Seien (Ω, G) ein dynamisches System, M eine Menge und G = N0 , Z oder R. Eine Abbildung ϕ:Ω×M ×G→M heißt ein (durch (Ω, G)) gesteuertes dynamisches System, falls ϕ(ω, x, g + h) = ϕ(ωg, ϕ(ω, x, g), h) gilt (d.h. ein (Ω, G)-Kozykel γ(ω, g) = ϕ(ω, ·, g) definiert wird), und f¨ ur jedes ω ∈ Ω ϕ(ω, ·, 0) die identische Abbildung auf M ist. Das gesteuerte dynamische System heißt

124

4 Differenzierbare Dynamik

Abb. 4.3. Repeller eines Schiefproduktes

1. stetig gesteuert, wenn ϕ stetig ist (Ω ist dann nat¨ urlich ein topologischer Raum). 2. zuf¨ allig gesteuert (zuf¨ alliges dynamisches System), wenn (Ω, G) mit einem G-invariantem Wahrscheinlichkeitsmaß versehen ist, und ϕ messbar ist. Ist G = R, so heißt ϕ ein stochastischer Fluss. oomorphismen des metrischen Beispiel 60. Seien Ti (i ∈ X) endlich viele Hom¨ Raumes M . Definiert man ϕ : XZ × M × Z → M durch ϕ((xk )k∈Z , z, n) = Txn−1 ◦ Txn−2 ◦ ... ◦ Tx0 (z), so wird hierdurch ein stetig gesteuertes dynamisches System erkl¨art. Die Steuerung geschieht durch die Schiebungsdynamik auf ΩX = X Z , (T (x))k = xk+1 (k ∈ Z) f¨ ur x = (xj )j∈Z ∈ ΩX . Die Kozykel-Relation ist dabei f¨ ur festes x = (xj )j∈Z ∈ ΩX durch ϕ(x, z, n + m) = Txn+m−1 ◦ ... ◦ T0 (z) = ϕ(T n (x), ϕ(x, z, n), m) gegeben. Beispiel 61. Es seien Ω = M = S 1 und Tt (z) ein Fluss auf S 1 . Definiert man nun xz it ϕ(z, x, t) = e x, z ∈ S 1 , t ∈ R, Tt (z) so rechnet man leicht nach, dass ϕ(z, x, t + s) =

zx ei(t+s) = ϕ(Tt (z), ϕ(z, x, t), s). Tt+s (z)

Beispiel 62. Seien M eine d-dimensionale Mannigfaltigkeit und φ = (φt )t∈R ein Fluss zum Vektorfeld Φ. Setzt man Ω = M und G = R, so wird durch ϕ : M × Rd × R → Rd ;

ϕ(x, v, t) = Dx φt v

4.1 Diffeomorphismen und Fl¨ usse

125

ein stetig gesteuerter Fluss erzeugt (man identifiziere in stetiger Weise jeden Raum Tx M mit Rd ). In der Tat ist nach der Kettenregel ϕ(x, v, s + t) = Dφt (x) φs ◦ Dx φt v. Einen Existenzsatz f¨ ur stetig gesteuerte Fl¨ usse gewinnt man aus Differentialgleichungen nicht autonomen Typs. Es bezeichne L(R, Diffk (M )) den Raum aller messbarer Funktionen f : R × M → M , so dass f¨ ur jedes t ∈ R ur jede Wahl von a < b ∈ R f (t, · ) ∈ Diffk (M ) und f¨  b f (t, · )Diffk (M ) dt < ∞. a

Satz 58. Seien (Ω, φ = (φt )t∈R ) ein stetiger Fluss und M eine kompakte ur Mannigfaltigkeit. Sei Ψ : Ω → F k (M ) eine stetige Abbildung, so dass f¨ ω ∈ Ω die Abbildung (t, x) → Φφt (ω) (x) = Ψ (φt (ω))(x) zu L(R, Diffk (M )) geh¨ ort. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten, stetig gesteuerten Fluss ϕ auf M , der die Differentialgleichungen x˙ t = Φφt (ω) (xt )

ω∈Ω

(4.2)

l¨ ost. Beweis. Eine lokale L¨ osung der Differentialgleichung (4.2) in x ∈ M bei festem ω ∈ Ω besteht aus einem ǫ > 0, einer offenen Umgebung U von x und einer Abbildung ψω : [−ǫ, ǫ]2 × U → M mit der Eigenschaft, dass die Abbildung t → ψω (s, t, x) eine L¨osung im Carath´eodoryschen Sinn ist, d.h. f¨ ur jedes |t − s| < ǫ gilt  t Φφu (ω) (ψω (s, u, x))du. ψω (s, t, x) = x + s

Zur Existenz der lokalen L¨ osung der Differentialgleichung (4.2) (bei festem ω) ben¨ otigt man nach [9], Kapitel I, gerade die Bedingung, dass die Abbildung ort. Unter dieser Voraussetzung ist (t, x) → Φφt (ω) (x) zu L(R, Diffk (M )) geh¨ die L¨ osung auch eindeutig. Da M kompakt ist, kann die L¨ osung auf (s, t) ∈ R2 erweitert werden. Man definiert ϕ(ω, x, t) = ψω (0, t, x) und muss zeigen, dass die Kozykel-Relation gilt. Zun¨ achst erh¨ alt man f¨ ur s ≤ t ϕ(φs (ω), x, t − s) = ψφs (ω) (0, t − s, x)  t−s Φφu+s (ω) (ψφs (ω) (0, u, x))du = x+ 0  t Φφu (ω) (ψφs (ω) (0, u − s, x))du. = x+ s

126

4 Differenzierbare Dynamik

Die Abbildung ψ'ω (s, t, x) =



ψφs (ω) (0, t − s, x) t ≥ s ψω (s, t, x) t≤s

l¨ ost also die Differentialgleichung (4.2) und ist damit wegen der Eindeutigkeit ur s, t > 0 und der L¨ osungen gleich der L¨ osung ψω (s, t, x). Es folgt daher f¨ wiederum unter Benutzung der Eindeutigkeit der L¨osungen ϕ(ω, x, t + s) = ψω (0, t + s, x)  s+t Φφu (ω) (ψω (0, u, x))du = x+ 0  s+t  s Φφu (ω) (ψω (0, u, x))du Φφu (ω) (ψω (0, u, x))du + = x+ s 0  t Φφu (φs (ω)) (ψω (0, s + u, x))du = ϕ(ω, x, s) + 0  t Φφu (φs (ω)) (ψω (s, s + u, ψω (0, s, x)))du = ϕ(ω, x, s) + 0  t Φφu (φs (ω)) (ψφs (ω) (0, u, ψω (0, s, x)))du = ϕ(ω, x, s) + 0

= ϕ(φs (ω), ϕ(ω, x, t), s)

Die anderen drei F¨ alle, s > 0, t < 0, s < 0, t > 0 und s, t < 0, zeigt man in ahnlicher Weise. ¨ Auf der Menge aller Rd -Kozykel wird durch den Begriff des Korandes ei¨ ne Aquivalenzrelation eingef¨ uhrt. Hinreichende Bedingungen f¨ ur ¨aquivalente Kozykel liefert dann der Satz von Livsic. Definition 42. 1. Zwei Kozykel γ1 , γ2 : Ω × G → Rd heißen kohomolog, wenn ihre Differenz ein Korand ist. aquivalent, falls ein γ ∈ 2. Zwei Kozykel γ1 , γ2 : Ω × N0 → GL(d) heißen ¨ GL(d) mit 1 log γ ±1 ((x, n)) = 0 lim n→∞ n und γ1 ((x, 0)) = γ −1 ((x, 1))γ2 ((x, 0))γ((x, 0)) existiert. γ heißt dann ein temperierter Kozykel. Es ist aus der Definiton sofort klar, dass die Kohomologie-Relation eine ¨ Aquivalenzrelation ist, und dass diese Eigenschaft (im Fall G = N0 ) durch die L¨ osung der Kohomologie-Gleichung γ =g◦T −g

4.1 Diffeomorphismen und Fl¨ usse

127

u uft werden kann. Ist g integrierbar bzgl. des ergodischen Maßes µ auf ¨berpr¨ Ω, so folgt aus dem Ergodensatz 1, dass limn→∞ n1 |g(T n (x))| = 0 gilt. Ebenso kann man zeigen, dass Matrizen temperiert sind, wenn log γ((·, 1)) integrabel ist. Man sagt, ein Kozykel verschwindet auf periodischen Bahnen (in Ω), wenn
ur jedes periodische x ∈ Ω gilt. Ein Kozykel ist H¨oldery∈O + (x) γ(y, 1) = 0 f¨ stetig, falls die Abbildung γ(·, 1) : Ω → Rd H¨ older-stetig ist. Ein dynamisches System (Ω, T ) besitzt die α-schwache Spezifizierungseigenschaft (α > 0), falls ein ǫ0 > 0 mit folgender Eigenschaft existiert: Zu jedem 0 < ǫ < ǫ0 gibt es ein ρ(ǫ) > 0, so dass limǫ→0 ρ(ǫ) = 0 gilt, und f¨ ur jedes x ∈ Ω und n ∈ N mit dist(T n (x), x) < ǫ ein periodischer Punkt y der Periode n existiert, der die folgende Absch¨atzung erf¨ ullt: n−1  k=0

 α dist(T k (x), T k (y)) ≤ ρ(ǫ).

(4.3)

Satz 59. [Livsic] Seien (Ω, T ) ein topologisch transitives dynamisches System mit der α-schwachen Spezifizierungseigenschaft und γ ein Rd -wertiger, H¨ older-stetiger Kozykel mit H¨ older-Exponenten ≤ α und H¨ older-Konstanten Dγ , der auf allen periodischen Bahnen verschwindet. Dann ist γ ein Korand in C(Ω). Beweis. Sei x ∈ Ω ein Punkt mit dichter Bahn unter G (hier ist G = Z oder G = N0 , je nachdem ob T invertierbar ist oder nicht). Es wird f (y) = γ(y, 1) gesetzt (y ∈ Ω). Man definiert g auf der Bahn von x durch g(T n (x)) = γ(x, n)

(n ∈ G)

und muss zeigen, dass diese Funktion stetig fortgesetzt werden kann. Seien ǫ0 und α wie in der Definition der schwachen Spezifizierung, ǫ0 > ǫ > 0 und m, n ∈ G, n ≤ m, mit d(T n (x), T m (x)) < ǫ vorgegeben. Sei y ein periodischer Punkt der Periode m − n, der die Bahn von T n (x) wie in (4.3) approximiert. Dann gilt |g(T n (x)) − g(T m (x))| = |γ(x, n) − γ(x, m)| m−n−1 m−1   k n+k k f (T (x)) + γ(y, m − n) = f (T (x)) − f (T (y)) = k=n

≤

m−n−1  k=0

k=0

 α Dγ dist(T n+k (x), T k (y)) ≤ Dγ ρ(ǫ).

Die Funktion g ist also gleichm¨ aßig stetig auf der Bahn von x und kann daher stetig auf den Bahnabschluss von O(x) fortgesetzt werden. Sei nun z ∈ Ω ein beliebiger Punkt. Es gibt dann eine Teilfolge nk ∈ G mit limk→∞ T nk (x) = z. Daher gilt

128

4 Differenzierbare Dynamik

γ(z, 1) = lim γ(T nk (x), 1) k→∞

= lim γ(x, nk + 1) − γ(x, nk ) = g(T (z)) − g(z). k→∞

4.2 Der Satz von Oseledets Ein erstes, allgemein f¨ ur Diffeomorphismen und Fl¨ usse g¨ ultiges Resultat ist der Satz von Oseledets. Grundlage hierf¨ ur ist der subadditive Ergodensatz, der hier f¨ ur Matrizen als spezielle Form eines Kozykels formuliert wird. Beispiel 63. Betrachtet man die lineare Differentialgleichung x˙ = Ax, so ergibt sich als L¨ osung der Fluss φt (x) = etA x. Die Ableitung bestimmt sich tA asst sich unter Benutzung der Jordanschen Normalform zu Dx φt = e und l¨ A = D−1 BD f¨ ur A als Dx φt = D−1 etB D schreiben. Ist dann µ, µ ein konjugiertes Paar von Eigenwerten von A mit Realteil λ, so folgt f¨ ur einen Vektor v im zugeh¨ origen Eigenraum, dass lim

t→∞

1 log Dx φt D−1 v = λ. t

Diese Eigenschaft ist Hauptbestandteil des Satzes von Oseledets. Im diskreten Fall, wenn also T (x) = Ax gesetzt wird, erh¨ alt man Dx T n = An und lim

n→∞

1 log An D−1 v = log |µ|. n

Ist T ein Torusendomorphismus, so gilt dieses Resultat entsprechend. Satz 60. [Furstenberg, Kesten] Sei (Ω, B, T, µ) ein normiertes, maßtreues und ergodisches dynamisches System. Sei ferner A : Ω × N → GL(Rd ) ein Kozykel mit log A(x, 1) ∈ L1 (µ). Dann existiert der Grenzwert lim

n→∞

1 log A(x, n) n

f.s. in x ∈ Ω

Beweis. Die Kozykel-Relation bedeutet, dass A(x, n + m) = A(T m (x), n) ◦ A(x, m)

n, m ∈ N, x ∈ Ω

gilt. Dann ist hn = log A(·, n), n ≥ 0 eine subadditive Folge, denn hn+m (x) ≤ log A(T m (x), n)A(x, m) = hn (T m (x)) + hm (x) n, m ∈ N, x ∈ Ω. Seien gn (n ≥ 1) eine beliebige subadditive Folge und g0 = 0. Sei Gm =
m−1 at, dass f¨ ur 1 ≤ n < m k=0 gk . Es folgt aus der Subadditivit¨ Gm − Gm ◦ T n ≤ Gn + (m − n)gn −

m−1 

k=m−n

gk ◦ T n

4.2 Der Satz von Oseledets

129

ist und weiterhin, dass n−1  i=0

(gm + Gm − Gm ◦ T ) ◦ T i =

≤ Gn + (m − n)gn + ≤ Gn + (m − n)gn + = mgn +

n−1  i=0

n−1  i=0

n−1  i=0

n−1  i=0

gm ◦ T i + Gm − Gm ◦ T n

(gm − gm−n+i ◦ T n−i ) ◦ T i gn−i ◦ T i

(gi + gn−i ◦ T i − gn ).

(4.4)

1 (gm + Gm − Gm ◦ T ). Die Menge E = {x ∈ Ω : lim inf n→∞ n1 gn (x) Sei fm = m < 0} ist invariant, denn die Funktion u = lim inf n1 gn ist invariant: Aus der 1 Subadditivit¨ at folgt u ◦ T ≥ lim inf n→∞ n+1 (gn+1 − g1 ) = u; es gilt daher die Gleichheit, da µ T -invariant ist. Nun gilt   1 1 gm dµ = (gm + Gm − Gm ◦ T )dµ E m E m    fm dµ = fm dµ + fm dµ, = E

E∩En,m

c E∩En,m


k−1 wobei man En,m = {inf 1≤k≤n i=0 fm ◦ T i < 0} setzt. Da E invariant ist,
k−1 gilt E ∩ En,m = {inf 1≤k≤n i=0 (1E fm ) ◦ T i < 0}, und es folgt mit Hopfs Maximalungleichung (siehe (1.2))  fm dµ ≤ 0. E∩En,m

Die Subadditivit¨ at liefert fm ≤ g1 u ¨ber (4.4). Man u ¨berzeugt sich auch leicht, c dass E ∩ En,m ↓ ∅: Nach (4.4) ist k−1  i=0

k−1

fm ◦ T i ≤ gk +

1  (gi + gk−i ◦ T i − gk ) m i=0

f¨ ur k = 1, ..., m − 1; der letzte Summand strebt gegen Null, wenn k fest ist und m → ∞. Es folgt daraus f¨ ur passende Teilfolgen n = n(m)   g1 dµ = 0. fm dµ ≤ lim lim m→∞

c E∩En,m

Man hat damit gezeigt, dass

m→∞

c E∩En,m

130

4 Differenzierbare Dynamik

lim

m→∞



E

1 gm dµ ≤ 0 m

gilt. 1 hkn+j ≤ Den Beweis wird man nun kanonisch beenden: Mit kn+j ik nk hk ◦ T + hj ◦ T und dem Ergodensatz (Satz 1) folgt  1 1 lim sup hn ≤ a := lim hk dµ f.s. k→∞ k n→∞ n

1 kn+j


n−1 i=0

Sei δ > 0. Setzt man E = {lim inf n→∞ n1 hn −a+δ < 0} und gn = hn −n(a−δ), so ist gn subadditiv, und die vorangestellte Ungleichung zeigt in diesem Fall, dass   1 1 hn dµ − aµ(E) + δµ(E). gn dµ = lim 0 ≥ lim n→∞ n E n→∞ E n Da E invariant und T ergodisch ist, kann nur µ(E) = 0 oder m(E) = 1 gelten. Ist m(E) = 1, so ist der letzte Term dieser Ungleichungskette strikt positiv. Da dies ein Widerspruch w¨ are, muss m(E) = 0 gelten. Also folgt lim inf n→∞ n1 hn ≥ a − δ. Mit δ → 0 ist der Beweis abgeschlossen.

Satz 61. [Oseledets] Seien T : M → M ein Diffeomorphismus der ddimensionalen Mannigfaltigkeit M und µ ein T -invariantes, ergodisches Maß ur x ∈ M und λ ∈ R sei E(x, λ) ⊂ Tx M auf M , so dass log Dx T  ∈ L1 (µ). F¨ als der Unterraum E(x, λ) = {v ∈ Tx M : lim sup n→∞

1 log Dx T n v ≤ λ} n

definiert. Dann gibt es d Konstanten λi ∈ R (1 ≤ i ≤ d) mit λi ≤ λi+1 und ur s ≤ d Konstanten dj ∈ {1, ..., d} mit λdj < λdj +1 , ds = d und λl = λdj f¨ dj−1 < l ≤ dj . F¨ ur fast alle x ∈ M gelten außerdem: a. {0} =: E(x, λ0 ) ⊂ E(x, λ1 ) ⊂ E(x, λ2 ) ⊂ ... ⊂ E(x, λd ) = Tx M . b. dimE(x, λi ) = dl dl−1 < i ≤ dl (l ≥ 2) und i ≤ d1 (l = 1). c. Ist v ∈ E(x, λdi ) ⊖ E(x, λdi−1 ) so gilt 1 log Dx T n v = λdi . n→∞ n lim

Beweis. Man betrachtet Dx T n als Kozykel γ : M × Z → Rd , definiert durch γ(x, n) = Dx T n : Tx M ∼ Rd → TT n (x) M . Aus Satz 60 folgt, dass lim

n→∞

1 log Dx T n  n

f.s.

existiert. Sei ei (x) eine Orthogonalbasis von Tx M , die messbar von x abh¨angt. Im
d Folgenden bezeichnet v = i=1 |vi | stets die 1-Norm des Vektors v =
d v e (x). i=1 i i

4.2 Der Satz von Oseledets

131

An dieser Stelle sind einige Fakten der linearen und multilinearen Algebra notwendig. Da Dx T n invertierbar ist, kann diese Abbildung mittels orthogonaler linearer Abbildungen diagonalisiert werden ([14], S.263). Dabei stehen auf der Diagonalen nur strikt positive Eintr¨age. Dann gibt es zu jedem ˜ n,x und eine Diagonalmatrix n ≥ 1 und x ∈ M orthogonale Matrizen On,x , O ˜ n,x ◦ ∆n,x ◦ On,x ∆n,x = ν(n, x)I = (ν1 (n, x), ..., νd (n, x))I, so dass Dx T n = O gilt. Man u ¨berzeugt sich leicht, etwa anhand der Beschreibung des Verfahrens in [14], dass jeder Konstruktionsschritt in dem Diagonalisierungsverfahren messbar ist, so dass das Matrizenpaar ebenfalls messbar von x ∈ M abh¨angt. ur feste x und n aufsteigend Man kann auch annehmen, dass die νj (n, x) f¨ angeordnet sind. n VekDie nat¨ urlichen +r d Erweiterungen der linearen Abbildung +rDxdT auf +r den n r torrraum R aller ¨ außerer r-Formen, (Dx T ) : R → Rd , wird bekanntlich durch +r d (Dx T n )r (v1 ∧ ... ∧ vr ) = Dx T n v1 ∧ ... ∧ Dx T n vr v1 ∧ ... ∧ vr ∈ R definiert (vgl. [23], S.326). Sie erf¨ ullen ebenfalls die Kozykel-Eigenschaft (Dx T n )r ◦ (DT m (x) T n )r = (Dx T n+m )r . Da (Dx T )r  ≤ (Dx T )r gilt, ist log (Dx T )r  ∈ L1 (µ), und Satz 60 findet Anwendung. Es existiert der Grenzwert lim

n→∞

1 log (Dx T n )r  n

 existiert fast sicher. Die Norm von (Dx T n )r ist gerade d−r
Da µ ergodisch ist, sind die Grenzwerte fast sicher konstant; es gibt also Konstanten λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λd mit 1 log |νi (n)| = λi , n→∞ n lim

f.s. i = 1, ..., d.

(4.5)

Es seien d1 < d2 < ... < ds so gew¨ ahlt, dass {λdj : 1 ≤ i ≤ s} die verschiedenen Werte der λi in aufsteigender Anordnung auflistet, und zwar so, −1 ≪ dass λdj < λdj +1 . Man definiert ferner die Unterr¨aume E(x, j, n) = On,x 1 e1 (x), ..., edj (x) ≫. Es gen¨ ugt nun offenbar, folgendes f¨ ur fast alle x zu zeigen: 1. Die Unter¨ aume E(x, j, n) konvergieren gegen den Unterraum E(x, j) = E(x, λdj ), wenn n gegen unendlich strebt. 1

≪ v1 , ..., vs ≫ bezeichne den von v1 , ..., vs erzeugten Unterraum.

132

4 Differenzierbare Dynamik

2. F¨ ur jedes v ∈ E(x, j) ⊖ E(x, j − 1) gilt lim

n→∞

1 log Dx T n (v) = λdj . n

Seien η > 0 und N ∈ N so gew¨ ahlt, dass κ = min1≤j 0. Ferner sei n = n(x) ≥ N so groß, dass die Folgen in (4.5) sich dem Grenzwert bis auf η gen¨ ahert haben. Da nach dem Ergodensatz (Satz 1) 
n−1 1 ur fast alle u ∈ M gilt, limn→∞ n j=0 log DT j (u) T  = log Dy T µ(dy) f¨ erh¨ alt man unmittelbar auch 1 log DT n (u) T  = 0 f.s. n ur n ≥ n1 (x). Man Es gibt also n1 (x) > n(x) mit n1 log DT n (x) T  < η f¨ betrachtet nun eine Menge vom Maß Eins, auf der die Funktion n1 endlich ist. Sei v ∈ E(x, j, n)
ein Einheitsvektor. Dann besitzt On+1,x v eine Darstellung On+1,x v = w′ + i≥dj +1 bi ei (x) mit w′ ∈≪ e1 (x), ..., edj (x) ≫. Es ist v ′ = −1 On+1,x w′ ∈ E(x, j, n + 1) und lim

n→∞

v − v ′  = On+1,x (v − v ′ ) ≤



i≥dj +1

|bi |.

Ist n ≥ n1 (x), so folgt f¨ ur dl−1 < i ≤ dl , l ≥ j + 1 |bi |e(n+1)(λi −η) ≤ |bi ||νdl (n + 1, x)|

= |bi |∆n+1,x ei (x) = ∆n+1,x bi ei (x) ≤ ∆n+1,x On+1,x v = Dx T n+1 v

≤ DT n (x) T Dx T n v ≤ en(λdj +2η) .

Daraus erh¨ alt man mit 0 < κ ≤ λdl − λdj − 3η − λd /n (η klein genug und n groß genug) 1 (4.6) |bi | ≤ e−n(λdl −λdj −3η− n λd ) ≤ e−nκ , und folglich v − v ′  ≤



i≥dj +1

|bi | ≤ de−nκ .


Seien nun v ∈ E(x, j, n + 1) und On,x (v) = w′ + i≥dj +1 bi ei (x) mit w′ ∈≪ −1 (w′ ) ∈ E(x, j, n) und e1 (x), ..., edj (x) ≫. Dann ist v ′ = On,x v − v ′  = On,x (v − v ′ ) ≤



i≥dj +1

Ist n ≥ n1 (x), so folgt f¨ ur dl−1 < i ≤ dl , l ≥ j + 1

|bi |.

4.2 Der Satz von Oseledets

133

|bi |en(λi −η) ≤ |bi ||νdl (n, x)| = |bi |∆n,x ei  ≤ Dx T n (v) ≤ en(λdj +η) . Daraus erh¨ alt man |bi | ≤ e−n(λdl −λdj −2η) ≤ e−nκ , und folglich ebenfalls v − v ′  ≤



i≥ij +1

|bi | ≤ de−nκ .

Aus der ersten Absch¨ atzung folgt nun, dass es eine Folge {vni : 1 ≤ i ≤ aume E(x, j, n) gibt, die dj+1 − 1} von Basen der Unterr¨ i vni − vn+1  ≤ Ke−nκ

f¨ ur ein K > 0 erf¨ ullen. Sie konvergieren also gegen Vektoren v i , die linear unabh¨ angig sind, wenn bei der Konstruktion mit einer Basis vni 0 bei hinreichend großem n0 begonnen wird. Aus beiden Absch¨atzungen folgt, dass die Unterr¨ aume E(x, j, n) gegen einen Unterraum E(x, j) der Dimension dj konvergieren. Die Identifikation dieses Raumes mit E(x, λdj ) folgt aus der nachfolgenden Rechnung. Damit ist 1. gezeigt Um die verbleibende Aussage der ersten Behauptung und die zweite Behauptung zu zeigen, seien v ∈ E(x, j) und vn ∈ E(x, j, n) Einheitsvektoren, die lim vn = v und vn −vn+1  ≤ e−nκ erf¨ ullen. Es wurde bereits in (4.6) gezeigt, dass f¨ ur dl−1 < i ≤ dl und bi wie oben Dx T n bi ei (x) ≤ en(λdl +η) e−n(λdl −λdj −3η−λd /n) gilt. Dann erh¨ alt man auch f¨ ur n ≥ n1 (x) 1 1 log Dx T n (v) ≤ log (Dx T n (v − vn ) + Dx T n vn ) n n   1 ≤ log en(λdj +η) + en(λdj +4η+λd /n) n = O(λdj + 4η). Mit η → 0 folgt

lim sup n→∞

1 log Dx T n v ≤ λdj . n

Ist zudem v ∈ E(x, j) ⊖ E(x, j − 1), so gilt offenbar lim inf n→∞

1 1 log Dx T n v ≥ lim inf log ∆n,x vn  ≥ λdj , n→∞ n n

wobei vn ein Einheitsvektor ist, der eine nicht verschwindende Projektion auf E(x, j, n) ⊖ E(x, j − 1, n) besitzt.

134

4 Differenzierbare Dynamik

Es bleibt zu erw¨ahnen, dass die Annahme der Ergodizit¨at im Satz von Oseledets nicht notwendig ist. Es gen¨ ugt, die Invarianz des Maßes zu verlangen. Ebenso kann man die Integrabilit¨ atsbedingung zu log+ Dx T  ∈ L1 (µ) abschw¨ achen. In beiden F¨ allen bleibt die Grundidee des Beweises erhalten. In der Aussage des Satzes m¨ ussen in diesen F¨ allen die Konstanten λj und dj durch messbare, T -invariante Funktionen ersetzt werden. Auch k¨onnen die Funktionen λj den Wert −∞ annehmen. Schließlich kann man diesen Satz allgemein f¨ ur maßtreue Transformationen und Kozykel formulieren. Die hier dargestellte Form des Satzes von Oseledets ist auf das Allerwesentlichste beschr¨ ankt. Mit einigem Mehraufwand kann man beispielsweise folgendes zus¨ atzlich zeigen: Der Grenzwert  1/2n Λ(x) = lim (Dx T n )t Dx (T n ) n→∞

existiert fast sicher, und die Werte exp[λj ] = exp[λj (x)] sind gerade die Eigenwerte von Λ(x) in aufsteigender Anordung. Satz 61 besitzt ebenfalls eine Erweiterung f¨ ur Fl¨ usse, die ohne Beweis angegeben wird. Satz 62. Sei (φt )t∈R ein differenzierbarer Fluss mit invariantem Maß µ. Es gelte sup log+ D· φu  ∈ L1 (µ) und

0≤u≤1

sup log+ Dφu (·) φ1−u  ∈ L1 (µ).

0≤u≤1

F¨ ur x ∈ M und λ ∈ R sei E(x, λ) ⊂ Tx M als der Unterraum E(x, λ) = {v ∈ Tx M : lim sup t→∞

1 log Dx φt v ≤ λ} t

definiert. Dann gibt es d messbare Funktionen λi : M → R ∪ {−∞} mit λi ≤ λi+1 und r ≤ d messbare Funktionen di : M → {1, ..., d} mit λdj < λdj +1 und dr = d, so dass die folgenden Eigenschaften f¨ ur fast alle x ∈ M gelten: 1. 0 = E(x, λ1 ) ⊂ E(x, λ2 ) ⊂ ... ⊂ E(x, λd ) = Tx M falls dl−1 < i ≤ dl , d0 = 0. 2. dimE(x, λi ) = dl 3. Ist v ∈ E(x, λdj ) ⊖ E(x, λdj−1 ), so gilt lim

t→∞

1 log Dx φt v = λdj . t

Definition 43. Ist T ein Diffeomorphismus (bzw. φ = (φt )t∈R ein Fluss), so bezeichnen die Gr¨ oßen λj der S¨ atze 61 (bzw. 62) die Liapunoff-Exponenten von T (bzw. φ) und {λdj , dj : 1 ≤ j ≤ s} das Liapunoff-Spektrum von T (bzw. φ).

4.3 Stabile und unstabile Mannigfaltigkeiten

135

Beispiel 64. Der Liapunoff-Exponent der logistischen Abbildung Ta (x) = ax(1 − x) des Einheitsintervalls wird durch λ(x) = lim sup n→∞

1 log |(Tan )′ (x)| n

bestimmt. Obwohl die Ableitung von T gerade a(1 − 2x) ist, sieht man aus der Abbildung 4.4, dass diese einfache Abh¨ angigkeit von a f¨ ur LiapunoffExponenten nicht mehr gilt.

1

2.5

3

3.5

4

-1

-2

-3

Abb. 4.4. Liapunoff-Exponenten der logistischen Familie Ta (x) = ax(1 − x)

4.3 Stabile und unstabile Mannigfaltigkeiten Neben Liapunoff-Exponenten spielen stabile und unstabile Mannigfaltigkeiten eine zentrale Rolle in differenzierbarer Dynamik. Sie tauchten bereits in den Beispielen des Abschnitts 1.1 auf (Beispiele 5, 7). In Definition 9 wurde ein Fixpunkt x eines Diffeomorphismus T : U → T (U ) ⊂ M hyperbolisch genannt, wenn alle Liapunoff-Exponenten ungleich Null sind. Sei x ∈ M ein solcher hyperbolischer Fixpunkt. Die Eigenwerte von Dx T werden mit µi ∈ C (1 ≤ i ≤ d) bezeichnet. Der Eigenraum zum Eigenwert µi ∈ R sei Ei , und zu einem Paar konjugierter Eigenwerte µi , µi ∈ C \ R definiert man Ei als den Schnitt des von beiden Eigenr¨aumen aufgespannten Unterraumes mit Rd , identifiziert als Unterraum in Tx M . Der Tangentialraum Tx M besitzt also eine Darstellung , Tx M = Ej , j∈J

wobei J eine Indizierung der rellen Eigenwerte und der Paare konjugierter komplexer Eigenwerte darstellt. Da alle Eigenwerte vom Betrag ungleich Eins sind, definiert man die Spaltung von Tx M in die unstabilen und stabilen Teilr¨ aume E u und E s durch

136

4 Differenzierbare Dynamik

Tx M = E u ⊕ E s ;

,

Eu =

Es =

Ej ;

j∈J:|µj |>1

,

Ej .

j∈J:|µj |<1

Es folgt aus dem Satz von Oseledets (Satz 61), dass die Liapunoff-Exponenten gerade durch log |µj | gegeben sind. Der Satz von Hadamard und Perron bildet die Grundlage f¨ ur Existenzs¨atze von Untermannigfaltigkeiten mit der Eigenschaft, dass E u und E s als ihre Tangentialr¨ aume interpretiert werden k¨ onnen. Satz 63. [Hadamard, Perron] Es sei x0 ∈ M ein hyperbolischer Fixpunkt des Diffeomorphismus T : M → M auf einer d-dimensionalen Mannigfaltigkeit M . Dann gibt es eine Umgebung U von x0 , so dass die Menge WUs := {x ∈ U : T n (x) ∈ U f¨ ur jedes n ≥ 1} eine C 1 -Untermannigfaltigkeit von M mit den beiden folgenden Eigenschaften ist: 1. Die Menge der Tangentialvektoren an WUs im Punkt x0 , Tx0 WUs , ist E s . 2. WUs = {x ∈ U : limn→∞ T n (x) = x0 } Der Satz besitzt die folgende Versch¨ arfung: Ist T r-fach differenzierbar, so ist WUs eine C r -Mannigfaltigkeit. Der nachstehende Beweis ist bewusst elementar gehalten und basiert lediglich auf dem Kontraktionsprinzip. ≪w≫

Tx M

s Ex

0x

−1

exp

s (WU )

u Ex

u WU

exp

w

U x

s WU

M

Abb. 4.5. Lokale stabile und unstabile Mannigfaltigkeiten

Beweis. Da die Aussage des Satzes lokalen Charakter hat, gen¨ ugt es, den Beweis in einer Umgebung der 0 ∈ Rd zu f¨ uhren und anzunehmen, dass der hyperbolische Fixpunkt x0 = 0 ist und E u , E s kanonisch lokal eingebettet sind und daher Rd aufspannen. Der Beweis besteht nun darin, eine Umgebung

4.3 Stabile und unstabile Mannigfaltigkeiten

137

U von x0 und eine C 1 -Abbildung c : U ∩ E s → E u so zu konstruieren, dass ihr Graph gerade die gesuchte Menge ist. Das bedeutet, dass in der lokalen Darstellung von WUs als Teilmenge von E s × E u = Rd die Punkte in WUs durch (w, c(w)) (w ∈ E s ) beschrieben werden. Linearisierung liefert zun¨ achst eine DarstellungT (x) = D 0 T x + f (x), f (x) = s D 0 (f s (x), f u (x)), f i : Rd → E i (i = u, s), D0 T = , wobei der Rd nach 0 Du den Unterr¨ aumen E s und E u zerlegt wird. Es gilt also D0 T |E i = Di (i = s, u). Da die Eigenwerte von (Du )−1 und Ds einen Betrag < 1 besitzen, kann man annehmen, dass die Normen (Du )−1  und Ds  ebenfalls < 1 sind. Man kann ebenfalls voraussetzen, dass es beliebig kleine α, β > 0 gibt, so dass f (x) = 0 f¨ ur x ≥ α und die partiellen Ableitungen ∂j f i (j = 1, 2, i = u, s) nach den Koordinaten in E u und E s gleichm¨aßig durch β beschr¨ankt sind. Letztere Eigenschaft kann man so einsehen: Es gibt eine C 1 -Funktion ur x ≤ r und γ(x) = 0 f¨ ur x ≥ r′ > r. Dann γ : Rd → R+ mit γ(x) = 1 f¨ ist T'(x) = D0 T x + α(tx)f (x) ein Diffeomorphismus, der mit T auf der Kugel K(0, tr) u ur hinreichend kleines t > 0 die gew¨ unschten ¨bereinstimmt und f¨ Eigenschaften besitzt. Die gesuchte lokale Untermannigfaltigkeiten f¨ ur T und T' stimmen u ¨berein. Es bezeichne C 1 (N, N ′ ) den Raum der C 1 -Abbildungen zwischen zwei Mannigfaltigkeiten N und N ′ . Sei U eine Umgebung von 0, die im Folgenden hinreichend klein gew¨ ahlt wird. Man erkl¨ art eine Abbildung Λ : C(U ) := {c ∈ C 1 (U ∩ E s , E u ) : c(0) = 0} → C 1 (U ∩ E s , E u ) durch die Festsetzung Λ(c)(w) = (Du )−1 [c (Ds w + f s ((w, c(w)))) − f u ((w, c(w)))] .

(4.7)

¨ Es folgt f¨ ur einen Fixpunkt c von Λ (der Ubersichtlichkeit halber wird die Schreibweise f (x, y) anstatt f ((x, y)) benutzt) T (w, c(w)) = (Ds w + f s (w, c(w)), Du c(w) + f u (w, c(w))) = (Ds w + f s (w, c(w)), c(Ds w + f s (w, c(w)))) , und daher gilt T {(w, c(w)) : w ∈ E s } ⊂ {(w, c(w)) : w ∈ E s }. Um die Existenz eines Fixpunktes f¨ ur Λ zu bestimmen, zeigt man das folgende Lemma. Man beachte, dass Λ nicht von T , sondern nur von der Form (4.7) abh¨ angt. Lemma 16. Es gibt eine Umgebung U von x0 = 0 und 0 < δ0 < 1 mit folgenden Eigenschaften: a. Mit DcU = supw∈U ∩E s Dw c ≤ δ0 gilt auch DΛ(c)U ≤ δ0 . b. F¨ ur jedes c mit der Eigenschaft DcU ≤ δ0 und 0 < δ < δ0 gilt

138

4 Differenzierbare Dynamik

sup w,v∈U ∩E s ; w−v ≤δ

≤

Dw Λ(c) − Dv Λ(c)

sup w,v∈U ∩E s ; w−v ≤δ

Dw c − Dv c + 4

max

i=u,s;j=1,2

ω∂j f i (δ).

ωh (·) bezeichnet hier den Stetigkeitsmodul von h bzgl. der Maximumsnorm (x, y) = max(x, y), (x, y) ∈ E s × E u . c. Λ ist eine Kontraktion auf der Menge Cδ0 = {c ∈ C(U ) : Dc ≤ δ0 } in der Norm  · ∞ auf C(U ∩ E s , E u ). Beweis. a. Dies folgt aus einer direkten Absch¨atzung: Ist U klein genug gew¨ ahlt (und damit β hinreichend klein) und ist w ∈ U ∩ E s , so folgt w0 = Ds w + f s (w, c(w)) ∈ U , denn Ds ist eine Kontraktion auf E s . Daher erh¨ alt man unmittelbar Dw Λ(c)

= (Du )−1 [Dw0 c ◦ (Ds + ∂1 f s (w, c(w)) + ∂2 f s (w, c(w))Dw c) −∂1 f u (w, c(w)) − ∂2 f u (w, c(w))Dw c] 

≤ Du −1 (Dw0 c(Ds  + ∂1 f s  + ∂2 f s Dw c) +∂1 f u  + ∂2 f u Dw c) - s . D  + 3β β ≤ δ0 < δ0 . + u D  Du 

Dabei gilt die letzte Absch¨ atzung, wenn δ0 groß genug gew¨ahlt ist. b. Dies folgt in ¨ ahnlicher Weise wie a.: Sei c ∈ C(U ) und DcU < δ0 . Ist U klein genug gew¨ ahlt, verkleinert x → x0 = Ds x + f s (x, c(x)) die Abst¨ande, ur δ > 0 und v, w ∈ U ∩ E s mit v − w < δ da DcU < δ0 gilt. Daher ist f¨ auch w0 , v0 ∈ U mit v0 − w0  < δ, und es folgt Dw0 c − Dv0 c ≤

sup z,z ′ ∈U ∩E s ; z−z ′ ≤δ

Dz c − Dz′ s.

Weiterhin gilt c(v) − c(w) ≤ δ0 v − w ≤ v − w. Eine einfache, aber l¨ angere Rechnung zeigt nun f¨ ur alle w, v ∈ U ∩ E s mit w − v < δ Dw Λ(c) − Dv Λ(c)

= (Du )−1 [Dw0 c(Ds + ∂1 f s (w, c(w)) + ∂2 f s (w, c(w))Dw c) −∂1 f u (w, c(w)) − ∂2 f u (w, c(w))Dw c] −(Du )−1 [Dv0 c(Ds + ∂1 f s (v, c(v)) + ∂2 f s (v, c(v))Dv c)

+∂1 f u (v, c(v)) + ∂2 f u (v, c(v))Dv c]   ≤ sup Dz c − Dz′ c + ω∂j f i (δ).

z−z ′ ≤δ

i=u,s,j=1,2

c. Mit einer weiteren ¨ ahnlich elementaren Rechnung zeigt man f¨ ur c, c′ ∈ Cδ0 :

4.3 Stabile und unstabile Mannigfaltigkeiten

139

Λ(c)(w) − Λ(c′ )(w) = (Du )−1 (c(Ds + f s (w, c(w))) − c′ (Ds + f s (w, c′ (w)))

− (f u (w, c(w)) − f u (w, c′ (w)))) ≤ qc − c′ U ,

sofern die Umgebung U nur klein genug gew¨ahlt ist. Dabei ist q < 1 eine Kontraktionskonstante. Es sei U wie im Lemma gew¨ ahlt. Dann ist Λ eine Kontraktion auf Cδ0 (bzgl. der Metrik cU ). Die Nullfunktion c0 geh¨ ort nun offenbar zu Cδ0 . Man definiert dann cn = aß der Aussage c. des Lemma Λ(cn−1 ) ∈ Cδ0 , und bemerkt, dass cn gem¨ 16 eine Cauchyfolge definiert (vgl. den Beweis von Satz 3), also gegen eine stetige Funktion c konvergiert. Da die Ableitungen Dw c normbeschr¨ankt und gleichm¨ aßig stetig nach Aussage b. sind, gibt es nach dem Satz von ArzelaAscoli eine konvergente Teilfolge der Ableitungen Dcn . Deshalb existiert die Ableitung Dc und ist stetig. Es folgt, dass c ∈ C 1 (U ∩ E s , E u ) und invariant unter Λ ist. Es muss also nur noch gezeigt werden, dass die Eigenschaft 2. gilt. Sei (w, c(w)) ein beliebiger Punkt des Graphen von c, der auch in U liegt. Seien (wn , vn ) = T n (w, c(w)), also wn = Ds vn−1 + f s (wn−1 , vn−1 ) und vn = c(wn ). Da Ds eine Kontraktion ist, konvergiert die Folge wn gegen 0, sofern die Umgebung U klein genug ist. Somit ist gezeigt, dass (w, c(w)) ∈ {x ∈ U : limn→∞ T n (x) = x0 = 0} ⊂ WUs . ur Schließlich betrachtet man (w, v) ∈ WUs , d.h. T n (w, v) = (wn , vn ) ∈ U f¨ alle n ≥ 0. Da Ds eine Kontraktion ist, muss schon wn → 0 gelten. Weiterhin folgt c(wn ) = c(Ds wn−1 + f s (wn−1 , c(vn−1 ))) = Du c(wn−1 ) + f u (wn−1 , c(vn−1 )) und daher (wenn β > 0 hinreichend klein ist) vn − c(wn ) = Du vn−1 + f u (wn−1 , vn−1 ) − Du c(wn−1 ) − f u (wn−1 , c(wn−1 )) ≥ Du (vn−1 − c(wn−1 )) − βvn−1 − c(wn−1 ) 1 (vn−1 − c(wn−1 )) − βvn−1 − c(wn−1 ) ≥ (Du )−1  1 ≥ Kvn−1 − c(wn−1 ). (K = − β > 1) (4.8) u (D )−1  Iteriert man diese Absch¨ atzung, folgt sofort vn −c(wn ) ≥ K n v −c(w) f¨ ur jedes n ≥ 1; also muss v = c(w) gelten, und (w, v) liegt im Graphen von c. Aus dem bisher Bewiesenen folgt bereits, dass der Graph von c eine C 1 Untermannigfaltigkeit ist.

140

4 Differenzierbare Dynamik

Im Satz von Grobman-Hartman (Abschnitt 1.4, Satz 9) war die Existenz eines lokalen Hom¨ oomorphismus gefordert worden, der stabile und unstabile Mannigfaltigkeiten in Unterr¨ aume des Tangentialraumes einbettet. Diese Einbettung wird durch den Satz von Hadamard und Perron geliefert. Man setzt die Abbildung E s → WUs durch w → (w, c(w)) fest und definiert T s (w) = π s (T (w, c(w)) mit π s (v, c(v)) = v und T u entsprechend mittels T −1 . ullen mit orungen von D0 T|E s und D0 T|E u und erf¨ Dann sind T s und T u St¨ der Festsetzung h(x) = (T s (w), T u (v)) (w ∈ E s , v ∈ E u , T −1 (x) = (w, v)) die Gleichung h(T (x)) = (π s (T (w(x), c(w(x)))), π u (T (c′ (v(x)), v(x)))) = (T s w(x), T u (v(x))). Die Abbildung h ist ein lokaler Hom¨ oomorphismus, denn sie ist nach Konstruktion stetig und offen, und die Injektivit¨ at folgt aus einer zu (4.8) analogen Rechnung (sofern β klein genug gew¨ ahlt ist). Man erh¨alt also die folgende Reformulierung. Satz 64. [Grobman, Hartman] Sei T : U → Rd ein Diffeomorphismus, definiert auf einer offenen Umgebung U ⊂ Rd von 0. Es sei 0 ein hyperbolischer Fixpunkt von T . Dann gibt es Umgebungen Ui , Vi (1 = 1, 2) von 0 und einen Hom¨ omorphismus π : U1 ∪ U2 → V1 ∪ V2 , der T|U1 und D0 T|V1 konjugiert. Definition 44. Eine Menge W s , die die Eigenschaften des Satzes 63 erf¨ ullt, nennt man eine lokale stabile Mannigfaltigkeit. Die Untermannigfaltigkeit

T −n (W s ) Wxs = W s (x, T ) = n≥0

ist unabh¨ angig von der gew¨ ahlten lokalen Untermannigfaltigkeit und wird als stabile Mannigfaltigkeit in x bezeichnet. Die stabile Mannigfaltigkeit W s (x, T −1 ) heißt die unstabile Mannigfaltigkeit von x. Man schreibt sie als

W u (x, T ) = W s (x, T −1 ) = T n (W u ). n≥0

Satz 65. Sei T : M → M ein Diffeomorphismus der Mannigfaltigkeit M . Es sei ferner x ∈ M ein hyperbolischer Fixpunkt mit stabiler Mannigfaltigkeit W s (x, T ) = Wxs und stabilem Unterraum E s = {v ∈ Tx M : limn→∞ Dx T n v = 0} der Dimension k. Dann gilt Wxs = {y ∈ M : limn→∞ T n (y) = x}, und es gibt eine injektive Immersion ι : Rk → M mit folgenden Eigenschaften: 1. ι(0) = x 2. ι(Rk ) = Wxs

4.3 Stabile und unstabile Mannigfaltigkeiten

141

3. Tx (ι(Rk )) = E s In gleicher Weise kann man die unstabile Mannigfaltigkeit im Punkt x einbetten: Es gelten W u (x, T ) = {y ∈ M : limn→−∞ T n (y) = x} und E u = {v ∈ Tx M : limn→−∞ Dx T n v = 0}. Man beachte, dass sowohl die stabile wie auch die unstabile Mannigfaltigkeit im Allgemeinen keine Untermannigfaltigkeiten sind. Als Beispiel betrachte man eine hyperbolische Torusabbildung, etwa wie in Beispiel 5, Abb. 1.3, in Abschnitt 1.1. Beweis. Sei WUs eine lokale stabile Mannigfaltigkeit in x. Es gilt also Wxs = ∞ −n WUs . Sei ferner V ⊂ Rk diffeomorph zu WUs , gegeben durch den n=0 T Diffeomorphismus g : V → WUs . Man kann annehmen, dass g(0) = x gilt. Sei G = g −1 ◦ T ◦ g. Dann besitzen D0 G und Dx T|E s dieselben Eigenwerte < 1, also kann angenommen werden, dass auch D0 G < 1 gilt. Es ist nicht / von G auf schwer eine Umgebung V0 ⊂ V , q < 1 und eine C 1 -Erweiterung G k / / ur v ∈ V0 und Dv G ≤ q gelten. G R zu finden, so dass Dv G ≤ q < 1 f¨ k ist also eine Kontraktion auf R (mit Kontraktionsfaktor q). Man definiert nun ι durch / n (u))) / −n V0 . u∈G ι(u) = T −n (g(G /n = Diese Festsetzung ist unabh¨ angig von der Wahl von n, denn auf V0 ist G s −1 n s g ◦ T ◦ g. Nach Definition von g und Wx ist ι eine Surjektion auf Wx mit ι(0) = x und Tx (ι(Rk )) = E s .

Definition 45. Sei x ∈ M ein hyperbolischer periodischer Punkt des Diffeomorphismus T : M → M der Primperiode n. Dann heißen Wxs

s

= W (x, T ) =

n−1

W s (T j (x), T n )

j=0

und Wxu = W u (x, T ) =

n−1

W u (T j (x), T n )

j=0

die stabile und die unstabile Mannigfaltigkeit von x. Die Erweiterung des Begriffes der stabilen Mannigfaltigkeit auf Fl¨ usse ist kanonisch, aber nicht sofort ersichtlich. Ein Fixpunkt x eines Flusses φt : M → M ist durch das Verschwinden des Vektorfeldes Φ charakterisiert, also ein kritischer Punkt des Vektorfeldes (siehe Definition 6). Proposition 12. Es gibt einen eindeutig bestimmten Operator Φ˙ : Tx (M ) → Tx (M ), der ˙ Dx φt = etΦ erf¨ ullt. In lokalen Koordinaten ergibt sich diese Matrix als Jacobische des Vektorfeldes (Hessesche Form).

142

4 Differenzierbare Dynamik

Beweis. Man benutzt die Tatsache, dass die Mannigfaltigkeit M kanonisch diffeomorph zur Untermannigfaltigkeit (T M )0 verm¨oge des 0-Schnittes y → 0y = 0 ∈ Ty M ist. Ty M kann daher mit T0y (T M )0 identifiziert werden (lineare Isomorphie), und der Tangentialraum T0y (T M ) schreibt sich als direkte Summe T0y (T M )0 ⊕ T0y (Ty M ). Der letzte Unterraum ist wiederum linear isomorph zu Ty M , und man definiert die Abbildung τ : T0y (T M ) → Ty M als Projektion von T0y (T M ) auf die zweite Koordinate mit anschließender Identifikation der R¨ aume. Das Vektorfeld Φ : M → T M besitzt dann die ur den kritischen Punkt x bedeutet Ableitung Dy Φ : Ty M → TΦ(y) (T M ). F¨ dies, dass Φ˙ = τ ◦ Dx Φ : Tx M → Tx M wohldefinierte lineare Abbildung ist (die sog. Hessesche Form). d Nun gilt offenbar ds Dx φs |s=0 = Φ˙ und daher d ˙ Dx φs |s=t = Dx φt ◦ Φ. ds Die L¨ osung dieser Differentialgleichung unter der Anfangsbedingung Dx φ0 = I ist eindeutig, und daher folgt die Proposition. Definition 46. Ein kritischer Punkt x ∈ M eines Vektorfeldes Φ heißt hyperbolisch, wenn der Operator Φ˙ keine rein imagin¨ aren Eigenwerte besitzt. Die Eigenwerte µ von Φ˙ heißen charakteristische Exponenten und ihre Exponenten eµ chrakteristische Multiplikatoren. Propostion 12 zeigt, dass ein kritischer Punkt genau dann hyperbolisch ist, wenn er hyperbolischer Fixpunkt f¨ ur jedes φt , t = 0, ist. Der stabile Unterraum E s von x ist der Eigenraum in Tx M , der zu allen Eigenwerten µ von Φ˙ mit ℜµ < 0 geh¨ ort. Satz 66. Sei Φ ein Vektorfeld und φ = (φt )t∈R der von Φ erzeugte Fluss. Sei x ein hyperbolischer kritischer Punkt von Φ. Dann gibt es eine injektive Immersion ι : Rk → M mit folgenden Eigenschaften: 1. ι(0) = x 2. ι(Rk ) = Wxs := {y ∈ M : limt→∞ φt (y) = x} 3. Tx (ι(Rk )) = E s . Beweis. Unter Beachtung von Satz 65 gen¨ ugt es zu zeigen, dass Wxs = s s s W (x, φ1 ). Die Inklusion Wx ⊂ W (x, φ1 ) folgt sofort aus der Definiton und Satz 65. Die umgekehrte Inklusion zeigt man so: Sei V eine beliebige kompakte Umgebung von x. Da φ gleichm¨ aßig stetig auf der Menge V × [0, 1] ist und x ein Ruhepunkt ist, gibt es eine weitere Umgebung V1 ⊂ V mit φ(V1 × [0, 1]) ⊂ V . Nach Definition von W s (x, φ1 ) gibt es ein n0 ≥ 1, so dass f¨ ur n ≥ n0 φn (y) ∈ V1 . Dann folgt aber auch φt (y) ∈ V f¨ ur jedes t ≥ n0 .

4.3 Stabile und unstabile Mannigfaltigkeiten

143

Die stabile Mannigfaltigkeit Wxs = W s (x, φ) des hyperbolischen kritischen Punktes x und des Flusses φ ist Wxs = {y ∈ M : lim φt (y) = x}. t→∞

In analoger Weise wird die unstabile Mannigfaltigkeit definiert: Wxu = W u (x, φ) = {y ∈ M : lim φt (y) = x}. t→−∞

Definition 47. Es sei T : U → M ein C 1 -Diffeomorphismus definiert auf der offenen Menge U ⊂ M . Eine kompakte, T -invariante Teilmenge Λ ⊂ U heißt hyperbolisch, falls es C > 0, λ < 1 und eine Zerlegung TΛ (M ) = u s EΛ ⊕ EΛ mit folgenden Eigenschaften f¨ ur beliebiges x ∈ Λ gibt: 1. Dx T (Exs ) = ETs (x) und (Dx T )−1 (Exu ) = ETu −1 (x) . 2. Dx T −n (v) ≤ Cλn v f¨ ur jedes v ∈ Exu und n ≥ 0. n n ur jedes v ∈ Exs und n ≥ 0. 3. Dx T (v) ≤ Cλ v f¨

Die nachstehenden Aussagen sind einfache Folgerungen aus dieser Definition. Proposition 13. Sei T : U → M ein C 1 -Diffeomorphismus und Λ ⊂ U hyperbolisch. Dann gelten die folgenden Eigenschaften 1. Die Dimensionen der Unterr¨ aume Exs und Exu sind lokal konstant. u 2. Die Abbildungen x → Ex und x → Exs sind stetig. 3. v, u inf inf >0 s ,u∈E u vu x∈Λ v∈Ex x Beweis. 1. und 2. Sei x ∈ Λ und xn → x. Es muss nur gezeigt werden, dass konvergente Folgen vn ∈ Exsn ⊂ T M und wn ∈ Exun ⊂ T M nur gegen Tangentenvektoren in Exs und Exu konvergieren k¨onnen, denn dann gelten lim sup Exi n ⊂ Exi

i = u, s,

n→∞

und es muss Gleichheit gelten, da die Tangentialr¨aume die Dimension d besitzen. Es gilt nun mit v = limn→∞ vn ∈ Tx M Dx T m v = lim Dxn T m vn  ≤ lim Cλm vn  = Cλm v. n→∞

n→∞

ur Die G¨ ultigkeit dieser Relation f¨ ur alle m ≥ 1 zeigt schon v ∈ Exs , denn f¨ u m v ∈ Ex ist Dx T vλ C ≥ v, d.h. Dx T m v → ∞, also ist eine Zerlegung oglich. Das analoge Resultat gilt nat¨ urlich v = v s + v u mit 0 = v u ∈ Exu unm¨ f¨ ur w = limn→∞ wn und Exu . 3. Die Funktion v, w x → inf u s v∈Ex ,w∈Ex vw ist auf Λ stetig nach 2. Da Λ kompakt ist, folgt die Positivit¨at.

144

4 Differenzierbare Dynamik

Im Allgemeinen sind stabile und unstabile Mannigfaltigkeiten in der folgenden Weise definiert. Definition 48. Sei T : Ω → Ω ein Hom¨ oomorphismus, x ∈ Ω und

Wǫ (x, T ) = {y ∈ M : lim d(T n (x), T n (y)) = 0, sup d(T n (x), T n (y)) ≤ ǫ}, n→∞

n≥0

wobei ǫ > 0 beliebig ist und d eine Metrik auf Ω bezeichnet. Dann heißen  1. Wǫs (x, T ) = Wǫ (x, T ) und W s (x, T ) = n≥0 T −n Wǫs (T n (x), T ) die lokale stabile und die stabile Mannigfaltigkeiten imPunkt x. 2. Wǫu (x, T ) = Wǫ (x, T −1 ) und W u (x, T ) = n≥0 T n Wǫu (T −n (x), T ) die lokale unstabile und die unstabile Mannigfaltigkeiten im Punkt x. Satz 67. Sei Λ ⊂ M eine hyperbolische Menge des Diffeomorphismus T : M → M . Dann gibt es ǫ > 0, so dass Wǫs (x, T ) als Untermannigfaltigkeit der Dimension dimExs in M eingebettet werden kann. Ferner ist Tx Wǫs (x, T ) = Exs und y ∈ Wǫs (x, T ), d(T n (x), T n (y)) ≤ λn d(x, y)

wenn Dx T|E s  < λ < 1 und die Metrik passend gew¨ ahlt sind. Es gibt β > 0 und eine Familie offener Mengen Ux , so dass K(x, β) ⊂ Ux

und

Wβs (x, T ) = {y ∈ Λ : T n (y) ∈ Ux ; n ≥ 0}.

Die Mannigfaltigkeit Wβs (x, T ) besitzt den gleichen Grad der Differenzierbarkeit wie T . Der Beweis dieses Satzes erfordert einige Modifikationen im Beweis des Satzes 63, die auch nur skizziert werden sollen. Es bezeichne expx : U ⊂ Tx M → M die Exponentialabbildung, die ein lokaler Diffeomorphismus ist. Die lokalen Abbildungen, induziert durch T , sind nicht mehr konstant. Vielmehr ist T auf einer passenden Kartenumgebung von y ∈ M durch expT (y) ◦ [Dy T + fy ] ◦ exp−1 y

gegeben. Daher wird die Abbildung Λ (und ihre Iterierten) durch die Familie Λ = (Λy ), Λy : C 1 (ETs (y) , ETu (y) ) → C 1 (Eys , Eyu ) ersetzt. Ist c = (cy ) eine Familie von Abbildungen in cy ∈ C 1 (Eys , Eyu ), so wird sie durch Λ in die Familie  −1  Λy (c)T (y) (w) = Dy T|Eyu cT (y) (Dy T|Eys w + fys (w, cy (w)))  −fyu (w, cy (w))

u uhrt. Man wendet diese Abbildung auf die Familie aller Λy mit y ∈ ¨berf¨ O(x) an. Es gilt dann Lemma 16 analog, und man erh¨alt eine Cauchyfolge (Λn (c0 ))n≥0 , wenn c0 die Nullfunktion ist. Sei c der Grenzwert dieser Funktionenfolge, der wiederum unter Λ invariant ist.

4.4 Strukturstabilit¨ at

145

Korollar 9. Die Einschr¨ ankung eines Diffeomorphismus auf eine hyperbolische Menge ist expansiv. Beweis. Die lokalen Mannigfaltigkeiten in x sind durch die Eigenschaft chaur y ∈ Wxs , wenn n ≥ 0, und rakterisiert, dass dist(T n (x), T n (y)) < η gilt (f¨ u f¨ ur y ∈ Wx , wenn n ≤ 0). Dabei ist η unabh¨angig von x und y. Hat man daher ein Paar von Punkten x, y ∈ Λ mit dist(T n (x), T n (y)) < η (n ∈ Z), so liegt y im Schnitt der lokalen stabilen und unstabilen Mannigfaltigkeit von x. In lokalen Koordinaten besitzt y eine Darstellung y = (w, c(w)) mit w ∈ Exs und c : Exs → Exu . Es gibt aber auch eine Funktion cu : Exu → Exs mit y = (v, cu (v)). Die Abbildung cu ◦ c : Exs → Exs ist jedoch eine Kontraktion, besitzt also nur den einen Fixpunkt x.

4.4 Strukturstabilit¨ at Stabilt¨ at eines dynamischen Systems bedeutet stets, dass sich eine oder al¨ le Bahnen bei kleinen Anderungen des Diffeomorphismus oder Flusses nur geringf¨ ugig unterscheiden. Diese intuitive Vorstellung hat zu verschiedenen mathematischen Begriffsbildungen gef¨ uhrt. Eine wichtige Aufgabe der differenzierbaren Dynamik ist die Kl¨ arung Frage, wann ein Fluss bzw. Diffeomorphismus strukturstabil ist. Definition 49. Ein C r -Diffeomorphismus T : M → M heißt C r -struktur¨ stabil, wenn er im Inneren seiner Aquivalenzklasse unter topologischer Konjugation liegt. Definition 50. Zwei Fl¨ usse φ = (φt )t∈R und ψ = (ψt )t∈R heißen Bahna quivalent, wenn es einen Hom¨ oomorphismus h : M → M gibt, der die ¨ Bahnen von φ in Bahnen von ψ u uhrt. ¨berf¨ Ein C r -Vektorfeld Φ heißt C r -strukturstabil, wenn es eine offene Umgebung von Φ gibt, so dass jedes Vektorfeld in dieser Umgebung einen Bahna ¨quivalenten Fluss erzeugt. Beispiel 65. Seien M = [0, 1] und T : M → M ein orientierungstreuer Diffeomorphismus, der nur die Fixpunkte 0, 1/2 und 1 besitzt. Die Ableitung von T in den drei Fixpunkten sei vom Betrag ungleich Eins. Ist S ein weiterer Diffeomorphismus, der in einer kleinen C 1 -Umgebung von T liegt, so besitzt S ebenfalls drei Fixpunkte, etwa 0, z0 und 1. S und T sind dann konjugiert, denn man kann einen kommutierenden Hom¨ oomorphismus h : M → M folgendermaßen konstruieren: Seien x ∈ (1/2, 1) und y ∈ (z0 , 1), xn = T n (x) und yn = S n (y). Sei L : [x0 , x1 ] → [y0 , y1 ] diejenige lineare Abbildung, die die Randpunkte ineinander u uhrt und orientierungstreu ist. Dann definiert man ¨berf¨

146

4 Differenzierbare Dynamik

⎧ z0 w = 1/2 ⎪ ⎪ ⎨ 1 w=1 h(w) = L(w) x0 ≤ w ≤ x1 ⎪ ⎪ ⎩ n S (L(T −n (w))) w ∈ [xn , xn+1 ].

Auf dem Intervall [0, 1/2] wird h in analoger Weise definiert. Man rechnet leicht nach, dass h mit T und S kommutiert und ein Hom¨oomorphismus ist. Es ist damit gezeigt, dass T C 1 -strukturstabil ist. Beispiel 66. Eine irrationale Rotation ist nicht C r -strukturstabil, denn in jeder Umgebung gibt es eine rationale Rotation. Diese ist nicht hom¨oomorph, da unter Konjugation periodische Punkte erhalten bleiben. Man nennt einen periodischen Punkt isoliert, wenn er isolierter Punkt in der Menge aller periodischer Punkte ist. Lemma 17. Sei T ein C r -Diffeomorphismus der S 1 und x ∈ S 1 ein isolierter periodischer Punkt mit Periode p ≥ 1 und Dx T p = 1. Dann gibt es zu jedem ǫ > 0 eine Umgebung U der Bahn von x und einen C r -Diffeomorphismus S : S 1 → S 1 mit folgenden Eigenschaften: dist(S, T ) < ǫ in der C r -Topologie. S = T auf der Menge S 1 \ U . Die periodischen Punkte von S sind auch unter T periodisch. Ist x einseitig anziehend und einseitig abstoßend unter T , so besitzt S keinen periodischen Punkt in U . 5. Ist x abstoßend unter T , so ist x auch unter S periodisch mit Periode p und |Dx S p | > 1 (oder < 1). 6. Ist x anziehend unter T , so ist x auch unter S periodisch mit Periode p und |Dx S p | < 1 (oder > 1).

1. 2. 3. 4.

Beweis. Sei T (e2πix ) = e2πif (x) , f : R → R, eine C r -Abbildung mit ¨ Uberlagerungsabbildung f . Man kann annehmen, dass die isolierte periodische Bahn {x0 , x1 , ..., xp−1 } im Inneren von [0, 1] liegt. Man kann p = 1 annehmen. Man w¨ ahlt ein Intervall a < x0 < b, so dass kein weiterer periodischer Punkt in [a, b] liegt, und f auf den Intervallen [a, x0 ] und [x0 , b] o.E. monoton wachsend ist. Es gen¨ ugt offenbar eine C r -Funktion g mit kleiner Norm zu finden, die außerhalb dieses Intervalls verschwindet und innerhalb die Eigenschaften 4., 5. oder 6. f¨ ur die Abbildung S(e2πix ) = e2πi(f +g)(x) besitzt. Im Fall, dass f in x0 abstoßend ist, w¨ ahlt man eine C r -Abbildung g des Einheitsintervalls, die folgende Eigenschaften besitzt: g(x) = 0 f¨ ur x ∈ [a, b]; gC r < ǫ; g(x0 ) = 0; g(x) < 0 f¨ ur x < x0 ; g(x) > 0 f¨ ur x > x0 ; g ′ (x) > −f ′ (x) (a ≤ x ≤ b) und g ′ (x0 ) > 0. Alle anderen f¨ unf F¨ alle werden ¨ ahnlich behandelt. Satz 68. [Arnold] Ein C r -Diffeomorphismus T : S 1 → S 1 ist genau dann C r -strukturstabil, wenn die folgenden beiden Eigenschaften gelten:

4.4 Strukturstabilit¨ at

147

1. T besitzt besitzt eine nicht verschwindende endliche Anzahl periodischer Punkte. 2. F¨ ur jeden periodischen Punkt x ∈ S 1 der Primperiode p gilt Dx T p = 1. Beweis. Nach Satz 26 in Abschnitt 2.3 sind zwei Diffeomorphismen T und S der S 1 , die beide s periodische Punkte derselben Primperiode besitzen, konjugiert, sofern alle periodischen Punkte Senken oder Quellen sind. Sei x ∈ S 1 ein periodischer Punkt f¨ ur T der Primperiode p. Dann gibt es eine Umgebung U von x, so dass entweder T p (U ) ⊂ U oder T −p (U ) ⊂ U . Diese Eigenschaft bleibt unter kleinen St¨ orungen von T erhalten, und deshalb besitzt auch eine kleine St¨ orung S einen periodischen Punkt der Primperiode p in U . Es folgt nun, dass beide Eigenschaften 1. und 2. (und zwar mit demselben Typ von periodischem Punkt) des Satzes in einer Umgebung von T erhalten werden, somit ist T strukturstabil. Der Beweis der Umkehrung ist ein wenig aufwendiger. Man beginnt am besten damit, ein Schließungslemma zu zeigen. Sei x ∈ S 1 und η > 0, ur ein p ≥ 1 gilt. Sei f : R → R eine so dass dist(T p (x), x) < η f¨ ¨ Uberlagerungsabbildung zu T (s. Abschnitt 2.3), und sei ft (y) = f (y) + t eine kleine (analytische) St¨ orung der Abbildung f . Ohne Einschr¨ankung kann man annehmen, dass T orientierungstreu ist, also f wachsend ist. Daher ist f¨ ur t ≥ 0 und n ≥ 1 ftn+1 (y) − f n+1 (y) = ftn (f (y) + t) − f n (f (y)) ≥ t, wie man leicht durch Induktion folgert. In gleicher Weise schließt man f¨ ur t < 0, dass ftn (y) − f n (y) ≤ t gilt. Setzt man n = p, so bildet die Menge {ftp (y) : −η ≤ t ≤ η} ein Intervall. Nach der soeben durchgef¨ uhrte Absch¨atzung ist sie in der Kugel mit Radius η um f p (y) enthalten. Ist nun y ein zu x geh¨origer ¨ Punkt der Uberlagerung, so liegt der Punkt f p (y) in diesem Intervall (mod 1), also gibt es auch ein t mit ftp (y) = y mod 1. Die Projektion von ft auf S 1 liefert einen Diffeomorphismus, der in einer η-Umgebung von f liegt und einen periodischen Punkt der Periode p in x besitzt. In einem n¨ achsten Schritt wird gezeigt, dass die Diffeomorphismen, die 1. und 2. erf¨ ullen, dicht in C r (M ) liegen. Man benutzt hierzu die Tatsache, dass trigonometrische Polynome dicht liegen und nimmt an, dass die zu beliebigem ¨ orige Uberlagerungsabbildung f die Form f (y) = y + τ (y) S0 ∈ C r (M ) geh¨ besitzt, wobei τ ein passend gew¨ ahltes trigonometrisches Polynom ist. Die Gleichung f p (y) = y + m besitzt mindestens eine L¨osung, also hat S0 mindestens einen periodischen Punkt. Andererseits kann diese Gleichung auch nur endlich viele L¨ osungen in (0, 1] besitzen, da f analytisch ist. Also kann man o.E. annehmen, dass S0 eine nicht leere, endliche Menge von periodischen Punkten besitzt. Da T nur isolierte periodische Bahnen zul¨asst, kann man einen Diffeomorphismus S so finden, dass er nahe bei T in der C r -Topologie liegt, und jede Ableitung Dx S p = 1 ist, wenn x ein periodischer Punkt der Periode p von S ist (man benutzt hier Lemma 17). Dies zeigt die zweite Behauptung.

148

4 Differenzierbare Dynamik

Schließlich betrachtet man einen strukturstabilen Diffeomorphismus. Es gibt dann einen Diffeomorphismus der eben beschriebenen Art, zu dem T konjugiert ist. T besitzt also ebenfalls nur endlich viele periodische Punkte (und auch mindestens einen). Es muss also nur noch gezeigt werden, dass Dx T p = 1 mit Strukturstabilit¨ at unvereinbar ist. Ist x einseitig anziehend (und damit abstoßend auf der anderen Seite), so gibt es nach Lemma 17 beliebig kleine St¨ orungen von T , die weniger periodische Punkte als T besitzen. Eine solche St¨ orung kann aber nicht konjugiert zu T sein. Ist x anziehend, so sind die benachbarten periodischen Punkte abstoßend. Ist S eine beliebig kleine St¨ orung wie in Lemma 17, so dass x ein abstoßender periodischer Punkt der St¨ orung wird, so enth¨ alt jedes der einseitigen Intervalle um x mindestens einen weiteren periodischen Punkt unter der St¨orung. Das ist aber mit der Konjugation der beiden Diffeomorphismen unvereinbar. Im Fall, dass x ein abstoßender periodischer Punkt ist, argumentiert man analog. Definition 51. Ein Diffeomorphismus T : M → M heißt ein AnosovDiffeomorphismus, falls M hyperbolisch ist. Er heißt ein Smale-Diffeomorphismus (oder Axiom-A-Diffeomorphismus), falls die nichtwandernde Menge hyperbolisch ist und die periodischen Punkte dicht in ihr liegen, und MorseSmale-Diffeomorphismus, falls die nichtwandernde Menge aus endlich vielen hyperbolischen periodischen Punkten besteht. Beispiel 67. Jeder algebraische Automorphismus T des Torus Td wird durch eine Matrix A beschrieben, die Zd invariant l¨asst. Besitzt diese Matrix nur Eigenwerte vom Betrag ungleich Eins, so ist T offenbar ein Anosovaume E s und E u auf, die durch die Diffeomorphismus. Tx Td spaltet in die R¨ Eigenr¨ aume der Eigenwerte vom Betrag < 1 und > 1 definiert sind. Satz 69. [Anosov] Ein Anosov-Diffeomorphismus auf einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit ist strukturstabil. Beweis. Es bezeichne expx : Tx M → M die Exponentialabbildung in x ∈ M , die eine C ∞ -Abbildung ist. Es gibt eine Umgebung W ⊂ K(I, δ1 ) ⊂ at, so dass jeder C r -Diffeomorphismen f ∈ W in der C r (M, M ) der Identit¨ Form f (x) = expx Φ(x) (Φ ein C r -Vektorfeld) dargestellt werden kann ([22], S.53). Seien T : M → M ein Anosov-Diffeomorphismus und S : M → M ein Diffeomorphismus mit T −1 ◦ S ∈ W . Es gibt also ein Vektorfeld Φ0 ∈ F 0 (M ) oomorphismus h ∈ W mit S ◦ h = h ◦ T mit expΦ0 = T −1 ◦ S. Ein Hom¨ ist eindeutig durch die Bestimmung von Φ ∈ F 0 M mit expΦ0 ◦ expΦ = art, wobei UT Φ = Φ ◦ T gesetzt wird. T −1 ◦ expUT Φ erkl¨ Man betrachtet die Abbildungen F, DF : F 0 (M ) → F 0 (M ), die durch expF (Φ) = T −1 ◦ expUT Φ definiert sind.

und

DF (Φ) = DT −1 ◦ T UT Φ

(4.9)

4.4 Strukturstabilit¨ at

149

Sei R = F − DF . Wegen DF (0) exp ◦ D0 F = DT (·) T −1 ◦ D0 expT (·) ◦ UT erh¨ alt man unter Benutzung von D0 exp = I und F (0) = 0, dass [D0 F ]Φ(x) = DT (x) T −1 Φ(T (x))

x ∈ M.

Es folgt D0 F = DF und R(0) = 0, D0 R = 0. Es gibt also zu jedem ǫ > 0 ein δ2 (ǫ) > 0 mit R(Φ) < ǫΦ und DΦ R < ǫ, falls Φ < δ2 (ǫ). In ¨ ahnlicher Art und Weise kann man Vektorfelder mit kleiner Norm behandeln. Sei Ψ ∈ F 0 (M ), Ψ  < δ. Eine Abbildung G : F 0 (M ) → F 0 (M ) ist art. Man rechnet leicht nach, dass es durch expG(Ψ ) = expΦ0 ◦ expΨ erkl¨ zu ǫ > 0 ein δ3 (ǫ) > 0 gibt, derart dass (G − I)(Ψ ) ≤ Φ0  + ǫΨ  und Dψ (G − I) ≤ ǫ gelten, wenn Ψ  < δ3 (ǫ) und Φ0 F 1 (M ) < δ3 (ǫ) sind. Nach diesen Vorbereitungen kann der Beweis gef¨ uhrt werden. Ein Vektorfeld Φ erf¨ ullt die Gleichung exp F (Φ) = exp G(Φ) genau dann, wenn expG(Φ) = exp(DF (Φ) + R(Φ)) gilt. Es ist also die Gleichung (I − DF )(Φ) = R(Φ) + (I − G)(Φ) zu l¨ osen. Da DF und (DF )−1 jeweils Kontraktionen auf den durch E u und E s in F 0 (M ) erzeugten Unterr¨ aumen sind, ist I − DF invertierbar und stetig. Sei ǫ > 0 und δ = min{δ1 , δ2 (ǫ), δ3 (ǫ)} > 0. Die Abbildung Λ : F 0 (M ) → F 0 (M ) definiert durch Λ(Φ) = (I − DF )−1 (R(Φ) + (I − G)(Φ)) erf¨ ullt die Absch¨ atzungen Λ(Φ) ≤ (I − DF )−1 (R(Φ) + (I − G)(Φ)) ≤ (I − DF )−1 (Φ0  + 2ǫΦ) ≤ (I − DF )−1 3ǫδ und Λ(Φ) − Λ(Ψ ) ≤ (I − DF )−1  (R(Φ) − R(Ψ ) + (I − G)(Φ − Ψ )) ≤ 2ǫ(I − DF )−1 Φ − Ψ , sofern die Normen Φ und Ψ  kleiner als δ sind. W¨ahlt man 3ǫ < (I − DF )−1 −1 , so bildet Λ die Menge aller Vektorfelder mit Norm < δ in sich

150

4 Differenzierbare Dynamik

ab und ist auf dieser Menge eine Kontraktion. Satz 3 liefert ein Vektorfeld Φ mit Λ(Φ) = Φ und Φ < δ. Die Abbildung h = expΦ erf¨ ullt nun die Gleichung S ◦ h = h ◦ T . Man muss nun zeigen, dass h ein Hom¨ oomorphismus ist. Angenommen, h ist nicht injektiv. Da T nach Korollar 9 in Abschnitt 4.3 expansiv ist, gibt es α > 0 mit ahlt man in obiger Konstruktion inf x,y∈M supn∈Z dist(T n (x), T n (y)) ≥ α. W¨ von Φ δ ebenfalls klein genug, so folgt supx∈M dist(h(x), x) ≤ α/3. Angenommen, es gibt x = y ∈ M mit h(x) = h(y). Dann folgt ein Widerspruch aus α ≤ sup dist(T n (x), T n (y)) n∈Z

≤ sup dist(T n (x), h(T n (x))) + dist(h(T n (x)), T n (y)) n∈Z

= sup dist(T n (x), h(T n (x))) + dist(S n (h(y)), T n (y)) ≤ 2α/3. n∈Z

h ist damit injektiv und stetig, also ein Hom¨oomorphismus auf sein Bild h(M ), weil M kompakt ist. Schließlich muss noch h(M ) = M gezeigt werden. h(M ) ist invariant, offen und abgeschlossen ([25], S. 224). h f¨ uhrt außerdem Komponenten von M in sich u ¨ber, da h eine kleine St¨orung der Identit¨at ist (man verkleinere δ, falls n¨ otig). Daher bildet h Komponenten auf sich ab, und es folgt h(M ) = M , falls δ klein genug gew¨ahlt ist. Proposition 14. Sei Λ ⊂ M eine hyperbolische Menge des C r -Diffeomorphismus T : M → M . Dann gibt es Umgebungen Λ ⊂ U ⊂ M und T ∈ V ⊂ Diffr (M ), so dass jeder Diffeomorphismus in V nur hyperbolische invariante Teilmengen K ⊂ U besitzen kann. Beweis. Sei TΛ M = E s ⊕ E u die stetige Zerlegung des Tangentialb¨ undels u ber Λ in seine stabilen und unstabilen B¨ u ndel. Sei ferner λ < 1 eine obere ¨ Schranke der Normen der Ableitung Dx T , bzw. Dx T −1 , auf Exs , bzw. Exu . Dx T besitzt also die Gestalt   Ax 0 Dx T = . 0 Bx Sei η > 0 beliebig gew¨ ahlt. In einer hinreichend kleinen Umgebung U0 von ur y ∈ Λ kann man die Zerlegung in Exs und Exu stetig fortsetzen, und f¨ U0 ∩ T −1 (U0 ) hat die lineare Abbildung Dy T : Eys ⊕ Eyu → ETs (y) ⊕ ETu (y) die Gestalt   Ay Cy Dy T = ' Cy By

'y  ≤ η. mit Ay , By  ≤ λ + η und Cy , C Sei nun U1 eine weitere Umgebung von Λ mit der Eigenschaft, dass U 1 ∪ ahlt man eine Umgebung V von T hinreichend klein, so kann T U 1 ⊂ U0 . W¨

4.4 Strukturstabilit¨ at

151

man f¨ ur S ∈ V erreichen, dass S(U 1 ) ⊂ U0 , und dass die lineare Abbildung s u ⊕ ES(y) die Gestalt Dy S : Eys ⊕ Eyu → ES(y) Dy S =



A′y Cy′ '′ B ′ C y y



'′  ≤ 2η besitzt. mit A′y , By′  ≤ λ + 2η und Cy′ , C y Man betrachtet nun S ∈ V und eine S-invariante Teilmenge K, die in U1 enthalten ist. Es ist zu zeigen, dass es eine stetige Zerlegung des Tangentialb¨ undels u ¨ber K in kontrahierende (expandierende) Dx S-invariante Unterr¨ aume gibt. Hierzu gen¨ ugt es offenbar zu zeigen, dass eine lineare B¨ undelabbildung F : E s → E u (also F (x) : Exs → Exu linear und x → F (x) 'xs = {(v, F (x)v) : v ∈ Exs } Dx S-invariante Unstetig) existiert, die durch E terr¨ aume erzeugt, und auf denen Dx S kontrahierend operiert. Die Invarianz unter Dx F bedeutet 'x′ v + Bx′ F (x)v) Dx S(v, F (x)v) = (A′x v + Cx′ F (x)v, C

= (A′x v + Cx′ F (x)v, F (S(x))(A′x v + Cx′ F (x)v)),

oder, anders ausgedr¨ uckt, es ist ein Fixpunkt der Abbildung   −1 ' ′ + F ◦ S ◦ A′ + F ◦ S ◦ C ′ ◦ F −C Σ(F ) = B ′

zu suchen. Ist η klein genug gew¨ ahlt, so ist offenbar Σ eine Kontraktion auf der Menge {F : E s → E u : F  = supx∈M F (x) ≤ 1} (Σ l¨asst diese Menge invariant, und es gilt Σ(F ) − Σ(F ′ ) ≤ (λ2 + 4ηλ)F − F ′ ), besitzt also einen Fixpunkt in dieser Menge. Damit ist aber auch die Kontraktion von Dx S auf E s sofort aus der Darstellung von E s ersichtlich. Der entsprechende Schluss f¨ ur die Existenz der unstabilen Unterr¨aume folgt in derselben Weise. Korollar 10. [Anosov] Die Menge der C r -Anosov-Diffeomorphismen ist offen und strukturstabil. Beweis. Der Satz 69 zeigt, dass ein Anosov-Diffeomorphismus strukturstabil ist. Um zu zeigen, dass Anosov-Diffeomorphismen eine offene Menge bilden, sei V die Umgebung von T der Proposition 14 f¨ ur die hyperbolische Menge Λ = M . Dann ist Λ auch f¨ ur jedes S ∈ V invariant, also nach dieser Proposition auch hyperbolisch. Die folgenden zwei Resultate sollen als Ausblick ohne Beweis angef¨ uhrt werden. Das erste ist eine Versch¨ arfung des letzten Satzes (siehe [94], S.101). Satz 70. Sei Λ ⊂ M eine abgeschlossenen hyperbolische Menge des C r Diffeomorphismus T : M → M . Dann gibt es eine offenen Umgebung U ⊂ Diffr (M ) von T und eine stetige Abbildung G : U → C(Λ, M ), so dass die folgenden Eigenschaften gelten:

152

1. 2. 3. 4.

4 Differenzierbare Dynamik

G(T ) ist die Inklusionsabbildung Λ → M . F¨ ur jedes S ∈ U ist G(S)Λ eine invariante hyperbolische Menge von S. G(S) konjugiert die Systeme (Λ, T ) und (G(S)Λ, S). G ist Lipschitz-stetig auf U .

Der Satz von Anosov u at besitzt ebenfalls eine Version ¨ber Strukturstabilit¨ f¨ ur Fl¨ usse. Definition 52. Eine kompakte, invariante Menge Λ ⊂ M eines differenur φ), falls es eine zierbaren Flusses φ = (φt )t∈R auf M heißt hyperbolisch (f¨ Riemannsche Metrik auf einer Umgebung U von Λ, Konstanten λ < 1 < µ ur x ∈ Λ gibt, so dass und eine Zerlegung Tx M = Ex0 ⊕ Exs ⊕ Exu f¨ d φt (x)|t=0 ∈ Ex0 dimEx0 = 1 dt Dφt E i = E i i = s, u Dφt |E s  ≤ λ Dφ−t |E u  ≤ µ−t

0 =

t ∈ R.

Der Fluss φ wird ein Anosov-Fluss genannt, wenn M hyperbolisch ist. Satz 71. Jeder Anosov-Fluss ist strukturstabil. Anmerkung 3. Die Menge aller C 1 -strukturstabilen Diffeomorphismen auf T3 ist nicht dicht in der Menge aller Diffeomorphismen von M . Dies erh¨alt man durch Smales Beispiel, in dem ein Diffeomorphismus T von T3 konstruiert wird, so dass in jeder offenen Menge nahe bei T ein nicht-strukturstabiler Diffeomorphismus liegt. Somit ist kein Diffeomorphismus in der N¨ahe von T strukturstabil.

4.5 Transversalit¨ at Strukturstabilit¨ at beinhaltet, dass Eigenschaften, die unter Konjugation invariant bleiben, in strukturstabilen (offenen) Menge immer oder niemals gelten. Hierunter f¨ allt z.B. die Hyperbolizit¨ atseigenschaft periodischer Punkte. Ist keine Strukturstabilit¨ at vorhanden, versucht man, zumindest einzelne Eigenschaften f¨ ur eine große Klasse von Transformationen nachzuweisen (etwa im Sinne generischer G¨ ultigkeit). Hyperbolizit¨ at s¨amtlicher kritischer und periodischer Elemente ist ein solcher Begriff, der zum Begriff der Transversalit¨at abgeschw¨ acht werden kann. Er wurde bereits in einem Spezialfall in Definition 38 eingef¨ uhrt und benutzt, um die Existenz von Poincar´e-Abbildungen zu beweisen. Er l¨asst sich allgemein so fassen. Definition 53. A. Zwei Untermannigfaltigkeiten X, Y ⊂ M heißen transversal in x ∈ M (X ⋔x Y ), falls x ∈ X ∩ Y oder Tx M = Tx X + Tx Y gelten. Sie heißen transversal (X ⋔ Y ), falls sie in jedem Punkt x ∈ M transversal sind.

4.5 Transversalit¨ at

153

B. Eine differenzierbare Abbildung T : M → N zwischen Mannigfaltigkeiten M und N wird transversal zu der Untermannigfaltigkeit X ⊂ N in x ∈ M genannt, im Zeichen T ⋔x X, falls T (x) ∈ X oder, im Falle y = T (x) ∈ X, die folgenden zwei Eigenschaften gelten: 1. Es gibt einen abgeschlossenen Unterraum E ⊂ Tx M mit Tx M = E ⊕ (Dx T )−1 (Ty X) 2. Es gibt einen abgeschlossenen Unterraum F ⊂ Dx T (Tx M ) mit Ty N = F ⊕ Ty X. Die Abbildung T heißt transversal zu X, wenn sie dies in jedem Punkt x ∈ M ist.

N N

Tx M

Ty N x

x

Tx M = Tx N M

M transversaler Schnitt

nicht-transversaler Schnitt

Abb. 4.6. transversale Mannigfaltigkeiten

Das Konzept der Transversalit¨ at erweist sich zun¨achst n¨ utzlich bei der Formulierung dynamischer Eigenschaften. Definition 54. Sei Φ ein Vektorfeld mit zugeh¨ origem Fluss φ = (φt )t∈R . Seien ∆ := {(x, t, y) ∈ M × R+ × M : x = y} und ' : M × R+ → M × R+ × M, Φ

' t) = (x, t, φt (x)). Φ(x,

φ nennt man einen transversalen Fluss, wenn f¨ ur ein τ ∈ R+ ∪ ∞ die Abbildung Φ˜ transversal zu ∆ in jedem Punkt (x, t) mit x ∈ M und 0 < t ≤ τ ist. Ein τ mit dieser Eigenschaft heißt eine Transversalit¨ atszeit. ' t) ∈ ∆ bedeutet dies, dass x ein kritischer Punkt ist oder eine F¨ ur Φ(x, geschlossenen Bahn besitzt, so dass t ein Vielfaches seiner L¨ange ist. Der Tangentialraum des Bildes l¨ asst sich stets als Summe des Bildes des Tangentialraums von M × R+ und des Tangentialraumes an ∆ schreiben. Es bezeichne Gr∆ (τ ) die Menge aller C r -Vektorfelder, die einen transversalen Fluss mit Transversalit¨ atszeit τ bestimmen.

154

4 Differenzierbare Dynamik

Proposition 15. F¨ ur einen Fluss φ = (φt )t∈R auf M mit Vektorfeld Φ gelten die folgenden Aussagen: ' transversal zu ∆ im 1. Sei x ∈ M ein station¨ arer Punkt. Genau dann ist Φ Punkt (x, τ ), τ > 0, wenn 1 kein Eigenwert von Dx φτ ist. 2. Sei γ eine periodische Bahn des Flusses φ positiver L¨ ange τ . Genau dann ' transversal zu ∆ im Punkt (x, τ ), τ > 0, wenn 1 ein einfacher Eigenwert ist Φ von Dx φτ ist. Beweis. Man schreibt zun¨ achst

' v) = (u, v, Dx φt (u) + Φ(x)v) D(x,τ ) Φ(u,

f¨ ur (x, τ ) ∈ M × R; (u, v) ∈ Tx M × Tτ R+ . Sodann benutzt man, dass die ' folgenden Aussagen f¨ ur einen Punkt (x, τ ) ∈ M × R+ , dessen Bild unter Φ zu ∆ geh¨ ort, aquivalent sind. $ ¨ % ' T(x,τ ) (X × R+ ) + T(x,τ ) ∆ = T(x,τ,x) (M × R+ × M ). a.) D(x,τ ) Φ b.) F¨ ur beliebige u1 , u2 ∈ Tx M und v ∈ Tτ R+ besitzen die Gleichungen u1 = w1 + w2

v = v1 + v 2 u2 = Dx φτ w1 + Φ(x)v1 + w2 eine L¨ osung w1 , w2 ∈ Tx M und v1 , v2 ∈ Tτ R+ . c.) F¨ ur jedes u ∈ Tx M besitzt die Gleichung u = Dx φτ w − w + Φ(x)v eine L¨ osung w ∈ Tx M und v ∈ Tτ R+ . ' transversal zu ∆ in (x, τ ), wobei x ein station¨arer Punkt ist. Nach Sei nun Φ Definiton ist dies aber gerade a.) Die Eigenschaft c.) besagt jedoch, dass Dx φτ − I surjektiv ist, also ist 1 kein Eigenwert von Dx φτ und umgekehrt. Schließlich sei γ ein geschlossene Bahn mit Periode τ und mit x ∈ γ. Dann ist Φ(x) = 0 ein Eigenvektor von Dx φτ (siehe Proposition 1 in Abschnitt 1.3), also 1 ein Eigenwert. Dann schreibt sich c.) nach passender Wahl lokaler Koordinaten in der Matrixform    1 κ...κ − I w + (v, 0, ..., 0)′ . u= 0 A Es gilt also die Transversalit¨ atsbedingung genau dann, wenn I − A nichtsingul¨ ar ist, d.h. es gibt keinen weiteren Eigenvektor zum Eigenwert 1. Periodische Bahnen, bzw. Fixpunkte, mit der Eigenschaft der voranstehenden Proposition werden als transversale Elemente bezeichnet. Es bezeichne Pτ = Pτ (φ) die Menge aller Bahnen des Flusses φ = (φt )t∈R mit Primperiode ≤ τ . Dabei seien alle kritischen Punkte eingeschlossen. Die Vereinigung aller Mengen in Pτ ist abgeschlossen

4.5 Transversalit¨ at

155

Satz 72. Sei Φ ∈ Gr∆ (τ ), τ > 0. Dann gelten 1. Die Bahnen in Pτ sind isoliert. 2. Ist M kompakt, so ist Pτ endlich. 3. Es gibt δ > 0 mit der Eigenschaft, dass es keine geschlossenen Bahnen der Primperiode s ∈ (τ, τ + δ) gibt. Beweis. 1. Angenommen, die Bahn γ ∈ Pτ ist H¨aufungspunkt von Bahnen ahlt Punkte xn ∈ γn , die gegen eine Punkt x ∈ γ konverγ = γn ∈ Pτ . Man w¨ gieren. Man kann auch t, tn ≥ τ /2 so bestimmen, dass tn → t, φtn (xn ) = xn ' t) ∈ ∆. Daher gibt es und φt (x) = x gelten. Es ist φt transversal zu ∆ in Φ(x, ' eine offene Umgebung von (x, t) in M × R+ , die Φ−1 (∆) in einer eindimensionalen Untermannigfaltigkeit Y schneidet (da die Kodimension erhalten wird, rechnet man nur die Dimensionen nach: ∆ besitzt die Kodimension n in M ×R+ ×M , und M ×R+ hat Dimension n+1). Ist I ein hinreichend kleines Intervall um Null, so ist die Menge X, definiert als X = {(x, t+s) : s ∈ I} (falls x kritisch ist), bzw. X = {(φs (x), t) : s ∈ I} (falls x periodisch ist), eine zusammenh¨ angende, eindimensionale Untermannigfaltigkeit in Y , die den '−1 ∆. Da Punkt (x, t) enth¨ alt. Man kann also annehmen, dass X = V ∩ Φ ort, m¨ ussen schon alle Bahnst¨ ucke jeder Punkt (xn , tn , φtn ) aber zu ∆ geh¨ {φtn +s (Xn ) : 2s ∈ I} in X enthalten sein, wenn n hinreichend groß ist; ein Widerspruch zu der Annahme, dass alle Bahnen disjunkt sind. 2. und 3. folgen unmittelbar aus 1., bzw. in derselben Art und Weise. Die Frage, welche Eigenschaften typisch f¨ ur dynamische Systeme sind, soll nun anhand des Satzes von Kupka und Smale diskutiert werden. Solche Theoreme werden am besten in der Form von kategoriellen Aussagen formuliert. ur die alle kritischen Es bezeichne Gr1 (M ) die Menge aller C r -Vektorfelder, f¨ Punkte hyperbolisch sind. Dann gilt der nachstehende Satz, dessen Beweis allerdings auf einigen Fakten der Transversalit¨atstheorie basiert. Satz 73. Gr1 (M ) ist offen und dicht im Raum der C r -Vektorfelder. Beweis. Sei ρΦ (x) der 1-jet des Vektorfeldes Φ im Punkt x ∈ M (die ¨ Aquivalenzklasse aller Vektorfelder Ψ , die lokal als Kartenabbildung dieselbe Ableitung in x besitzen). Sei (U, g) eine Karte von M . Dann kann das 1-jet B¨ undel J 1 (M ) lokal als Produkt g(U ) × Rd × L(Rd , Rd ) dargestellt werden. Man definiert die Menge W ⊂ J 1 (M ) als die Menge aller Tripel w = (x, Φ, Dx Φ), die in dieser Kartenumgebung die Form (g(x), 0, A) besitzen, wobei A mindestens einen Eigenwert mit Realteil Null besitzt. Man weiss, dass W abgeschlossen ist und sich als endliche Vereinigung von Untermannigfaltigkeiten Wi (1 ≤ i ≤ k) der Kodimension ≥ d + 1 schreiben l¨asst ([34], S.98). Mit dieser Darstellung von W und dem Transversalit¨atssatz f¨ ur Mannigfaltigkeiten kann der Beweis leicht erbracht werden. Zun¨achst gilt offenbar, dass Φ genau dann nur hyperbolische kritische Elemente besitzt, wenn ρΦ (M ) ∩ W = ∅ gilt. Dann ist aber ρΦ trivialerweise transversal zu jedem

156

4 Differenzierbare Dynamik

Wj . Umgekehrt, ist ρΦ (x) ∈ Wj f¨ ur ein 1 ≤ j ≤ k und ρΦ transversal zu Wj , so gilt (w = ρΦ (x)). Dx ρΦ (Tx M ) + Tw Wj = Tw J 1 (M ) Da die Kodimension von Tw Wj jedoch ≥ d + 1 ist, kann diese Gleichung ullbar. Nach nicht bestehen, also ist die Voraussetzung ρΦ (x) ∈ Wj nicht erf¨ dem Satz u ber die Offenheit transversaler Schnitte ([34], S.46/47) ist daher ¨ k r r G1 (M ) offen. Schreibt man nun G1 (M ) = j=1 {Φ : ρΦ ⋔ Wj }, so ist im Fall r ≥ 2 (und damit ρΦ eine C r−1 -Abbildung) nach dem Dichtheitssatz der Transversalit¨ atstheorie ([34], S.48) auch Gr1 (M ) residual (und damit dicht) in der Menge aller C r -Vektorfelder. Im Fall r = 1 benutzt man die Tatsache, dass jede offene, nicht leere Menge in F 1 (M ) eine offene Menge im Raum alt. Damit enth¨ alt sie aber auch ein Vektorfeld in aller C 2 -Vektorfelder enth¨ Gr1 (M ). Grundlegend in dieser Theorie ist der folgende, nach Proposition 15 und Satz 72 intuitiv klare Satz, der eine erste Form des Satzes von Kupka und Smale darstellt. Satz 74. F¨ ur eine kompakte Mannigfaltigkeit M ist die Menge Gr2 (τ ) aller r C -Vektorfelder in Gr1 (M ), die nur hyperbolische Elemente der Periode ≤ τ besitzen, offen und dicht im Raum F r (M ) aller C r -Vektorfelder. Beweis. Nach Satz 73 ist Gr1 (M ) dicht in F r (M ), und daher gen¨ ugt es zu zeigen, dass jedes Vektorfeld in Gr1 (M ), das die Bedingungen dieses Satzes erf¨ ullt, eine in Gr2 (τ ) enthaltene Umgebung besitzt. 1. Zun¨ achst soll gezeigt werden, dass die Menge Gr2 (τ ) offen ist. Man bezeichnet mit L(T M, T M ) den Raum aller linearen Abbildungen ur x, y ∈ M . Sei V : F r (M ) × M × R → L(T M, T M ) Tx M → Ty M f¨ definiert durch V (Φ, x, t) = Dx φt , wobei φ den durch das Vektorfeld Φ definierten Fluss bezeichnet. Die Menge L aller Triple (x, y, A) (x, y ∈ M, A ∈ L(Tx M, Ty M )) mit x = y und mit einer Abbildung A : Tx M → Tx M , die mindestens zwei Eigenwerte vom Betrag Eins (Vielfachheit wird hier mitgez¨ahlt) besitzt, ist eine abgeschlossene Teilmenge von L(T M, T M ). Nach Proposition 15 besitzt offenbar Φ genau dann nur hyperbolische periodische Bahnen der L¨ ange ≤ τ , wenn V (Φ, M, (0, τ ]) ∩ L = ∅. Ist Φ ∈ Gr2 (τ ), so gibt es nach Satz 72 eine offene Umgebung U von Φ, so dass sich die L¨angen periodischer Bahnen der zu Vektorfeldern in U geh¨ origen Fl¨ usse nicht bei Null h¨aufen, etwa ≥ η sind. Dann kann man U verkleinern, so dass V (U ×M ×[η, τ ])∩L = ∅ gilt (V ist stetig). Man kann auch annehmen (nach Satz 73), dass U ⊂ Gr1 (τ ). Daher muss Gr2 (τ ) auch offen sein. 2. Man zeigt nun, dass Gr2 (τ ) dicht ist. Sei Φ ∈ Gr1 (M ) beliebig. Dann ist Φ ⋔ (T (M ))0 (letztere Mannigfaltigkeit ist der 0-Schnitt im Tangentialb¨ undel), und nach Satz 72 sind die periodischen Bahnen isoliert. Daher gibt es eine Umgebung V ⊂ Gr1 (M ) von Φ und a > 0,

4.5 Transversalit¨ at

157

so dass jedes Vektorfeld in V nur periodische Bahnen der L¨ange ≥ a besitzen kann, d.h. es gilt Gr2 (a) ∩ V = V . Der wesentliche Beweisschritt besteht darin zu zeigen, dass mit Gr2 (b) ∩ V auch Gr2 (3b/2) ∩ V dicht in V liegt, denn dann kann man induktiv schließen, dass Gr2 (τ ) ∩ V dicht in V ist. Die Abbildung G : F r (M ) × M × R → M × R × M , definiert als G(Ψ, x, t) = Ψ'(x, t), ist transversal zu ∆ (s. Definition 54) in jedem Punkt Ψ ∈ Gr2 (b), x ∈ M und t ≤ 3b/2: Es gilt n¨ amlich D(Ψ,x,t) G(Ψ0 , v, s) = (v, s, ∂(x,t) ψt (x)(v, s) + ∂Ψ ψt (x)(Ψ0 )),

und ist dann G(Ψ, x, t) ∈ ∆, so kann x ein kritischer Punkt sein, eine periodische Bahn der L¨ ange ≤ b, oder es ist t ∈ [b, 3b/2] eine Periode der durch x bestimmten periodischen Bahn. In den ersten beiden F¨allen ist nach Voraussetzung t jeweils eine transversale Periode, und es ist nichts zu zeigen (Proposition 15). Im dritten Fall bemerkt man, dass die Abbildung (Ψ, x, t) → ψt (x) C 1 -Abbildung ist, und f¨ ur jedes t > 0 die partielle Ableitung nach der Ψ Koordinate (im Punkt (Ψ, x, t)) eine Surjektion auf Tψt (x) (M ) ist (s. [98], S.152). Daher folgt ∆ + {0} × {0} × ∂Ψ ψt (x)(F r (M )) = T(x,t,x) (M × R × M ). Nach dem Satz u ¨ber die Offenheit transversaler Schnitte ist die Abbildung G in einer Umgebung von (Gr2 (b) ∩ V ) × (0, 3b/2] transversal. Nach dem Dichtheitssatz transversaler Schnitte ist die Menge Gr3/2 (2b/2) aller Ψ ∈ Gr2 (b) ∩ V mit Ψ' ⋔ ∆ f¨ ur (x, t) ∈ M × (0, 3b/2] dicht in Gr2 (b) ∩ V . Um den Beweis von 2. abzuschließen, ist jetzt zu zeigen, dass Gr2 (3b/2) ∩ V dicht in Gr3/2 (3b/2) ∩ V liegt. Man zeigt dies mit folgender Hilfsaussage: Ist Ψ ∈ Gr3/2 (3b/2) und γ eine geschlossene Bahn unter Ψ mit Periode t < 3b/2, so gibt es eine Umgebung U von γ und ein Vektorfeld Ψ0 ∈ F r (M ), so dass Ψ0 auf γ und M \ U verschwindet, und so dass γ eine hyperbolische periodische Bahn des Flusses ur hinreichend kleine s ∈ R+ ist. Mit dieser Hilfszum Vektorfeld Ψ + sΨ0 f¨ aussage und Satz 72 kann man in kanonischer Weise zu einem Vektorfeld Ψ ∈ Gr3/2 (3b/2) ∩ V Vektorfelder Ψ + sΨ0 ∈ Gr2 (3b/2) ∩ V (0 < s ≤ s0 ) konstruieren. Die Hilfsaussage soll nun abschließend gezeigt werden. Sei U eine tubusf¨ormige ' = {x ∈ Rd : |xi | < 1(1 ≤ ¨ Umgebung von γ, die eine Uberlagerung der Form U i < d)} mit Projektion π(x) = (±x1 , x2 , ..., xd ) (je nachdem M orientierbar ist oder nicht) besitzt. Man kann annehmen, dass die Hochhebung von γ die Menge {x ∈ Rd : x1 = ... = xd−1 = 0} ist, und dass der geliftete Fluss die Differentialgleichung dφs (x) = f (φs (x)) (4.10) ds ' , so gibt es ein mit f (x) = (f1 (x), ..., fd−1 (x), fd (xd )) erf¨ ullt. Ist U1 ⊂ U ǫ > 0, so dass mit x ∈ K(0, ǫ) auch bereits {φs (x) : 0 ≤ s ≤ 2t} ⊂ U1 gilt.

158

4 Differenzierbare Dynamik

d Dx φs = Dφs (x) f Dx φs , speziell f¨ ur Differentiation von (4.10) nach x liefert ds x=0 d D0 φs = D(0,...,0,s) f D0 φs . (4.11) ds

Seien U2 ⊂ U 2 ⊂ U1 eine offene Umgebung von γ ' und g eine C r -Funktion, c die auf U1 verschwindet und auf U2 gleich 1 ist. Dann besitzt das Vektorfeld Ψη = Ψ + ηg · I (η ∈ R) einen Fluss ψ η , der die Differentialgleichung dψsη (x) = f (ψs (x)) + ηg(ψsη (x))ψsη (x) ds D ψη

0 s = erf¨ ullt. Differentiation bzgl. x und Auswertung f¨ ur x = 0 ergibt ds η η ηs (D(0,...,0,s) f + η)ψs (0), und man pr¨ uft nun nach, dass D0 ψs = e D0 ψs eine L¨ osung ist. Daher ist f¨ ur hinreichend kleines η ∈ R auch Ψ + ηg · I ein Vektorfeld mit hyperbolischer Bahn γ.

Definition 55. Eine Eigenschaft E nennt man generisch im topologischen Raum E, wenn E f¨ ur Punkte einer residualen Menge in E gilt. Nach dem Satz von Baire ([21], S.200) sind abz¨ ahlbare Durchschnitte offener und dichter Mengen in Baireschen R¨ aumen residual. Definition 56. Seien ιX : X → M und ιY : Y → M bijektiv eingebettete Mannigfaltigkeiten. ιX (X) und ιY (Y ) heißen transversal, falls die Abbildung ιX × ιY transversal zur Diagonalen ∆ ⊂ M × M ist.  Da Transversalit¨ at eine offene‘ Eigenschaft ist und τ >0 Gr2 (τ ) nach Satz 74 ’ residual ist, erh¨ alt man die beiden folgenden Versionen des Satzes von Kupka und Smale f¨ ur Fl¨ usse und Diffeomorphismen, die ohne Beweis zum Schluss formuliert werden sollen. Satz 75. [Kupka-Smale f¨ ur Fl¨ usse] Ist M eine kompakte Mannigfaltigkeit, so sind die beiden folgenden Eigenschaften generisch im Raum der r-mal differenzierbaren Vektorfelder auf M : 1. Jeder kritische Punkt und jede periodische Bahn ist hyperbolisch. 2. F¨ ur jedes Paar kritischer Punkte p und q schneiden sich die Mannigfaltigkeiten W s (p) und W u (q) transversal. Satz 76. [Kupka-Smale f¨ ur Diffeomorphismen] Ist M eine kompakte Mannigfaltigkeit, so sind die folgenden Eigenschaften generisch im Raum aller r-mal differenzierbaren Diffeomorphismen auf M : 1. Jeder periodische Punkt ist hyperbolisch. 2. F¨ ur jedes Paar periodischer Punkte x und y schneiden sich die Mannigfaltigkeiten Wxs und Wyu transversal.

4.6 Hyperbolische Dynamik

159

4.6 Hyperbolische Dynamik Eine Teilmenge Λ ⊂ U ⊂ M ist nach Definition 47 in Abschnitt 4.3 hyperbolisch f¨ ur den Diffeomorphismus T : U → U , falls sie kompakt und undel zerf¨allt. Aus invariant ist, und TΛ M in ein stabiles und ein unstabiles B¨ dem Satz von der stabilen Mannigfaltigkeit erh¨alt man daher einen lokalen Hom¨ oomorphismus Wxs × Wxu → M , der durch (x, y) → [x, y] definiert ist, wobei [x, y] den eindeutig bestimmte Punkt in Wxs ∩ Wyu bezeichnet (siehe Satz 67). Die Dynamik T : Λ → Λ ist dann expansiv (siehe Korollar 9 und Abschnitt 3.3). Weitere dynamische Eigenschaften werden in diesem Abschnitt abgeleitet. Ein Hom¨ oomorphismus T : Ω → Ω heißt ein AxiomA-Hom¨ oomorphismus und Ω ein Smalescher Raum, wenn Ω stetige lokale Koordinatenabbildungen [· , ·] : Wxs × Wxu → Ω besitzt, und T sowohl expansiv wie auch auf den stabilen, bzw. unstabilen Mannigfaltigkeiten kontrahierend, bzw. expandierend ist. Die folgende Diskussion hyperbolischer Dynamik benutzt eigentlich nur diese Eigenschaften, die in Proposition 16 auf etwas andere Art bewiesen werden (unabh¨ angig von Korollar 9). Neben hyperbolischen Dynamiken, also insbesondere Anosov-Diffeomorphismen geh¨oren dieser Klasse als nicht differenzierbare Beispiele auch Markoff-Ketten an. Definition 57. Eine η-Pseudobahn ist eine endliche oder abz¨ ahlbare Teilmenge xk ∈ M (k ∈ I), so dass supk∈I dist(T (xk ), xk+1 ) < η gilt. Eine Pseudobahn ist eine η-Pseudobahn f¨ ur ein η ≥ 0. Eine Pseudobahn (xk )k∈I wird von einer Bahn O(y) δ-beschattet, falls dist(T k (y), xk ) < δ f¨ ur jedes k ∈ I. Lemma 18. Seien T : U → U ein Diffeomorphismus, U ⊂ M und Λ ⊂ U hyperbolisch. Dann gibt es eine Umgebung U1 von Λ und zu δ > 0 ein ǫ > 0 mit folgenden Eigenschaften: Ist xn (n ∈ I ⊂ Z) eine endliche oder abz¨ ahlbare ǫ-Pseudobahn in U1 , so gibt es einen Punkt x ∈ U1 , dessen Bahn die Pseudobahn δ-beschattet. Ist I = Z, so ist der Punkt x eindeutig, und sind alle xn ∈ Λ, so ist auch x ∈ Λ. Sind I = {1, ..., N + 1} endlich und x1 = xN +1 , so kann x periodisch mit Periode N gew¨ ahlt werden, und x ist dann auch eindeutig bestimmter periodischer Punkt mit dist(T j (x), xj ) < δ. Die zweite Aussage des Lemmas nennt man das Schließungslemma von Anosov. Beweis. Sei o.E. I = Z, denn man kann endliche Folgen xk durch Urbilder des ersten Punktes oder Bilder des letzten Punktes zu einer zweiseitigen unendlichen Folge erweitern. Sei U1 so klein gew¨ahlt, dass in jedem Punkt in U1 der Tangentialraum eine expandierende und kontrahierende Aufspaltung besitzt. Man findet also die folgende lokale Darstellung f¨ u r T : Vk → M , Vk eine Karte von xk , k ∈ I: T ((v, w)) = (Ak v + fk (v, w), Bk w + gk (v, w))

v ∈ Exs , w ∈ Exu .

160

4 Differenzierbare Dynamik

Dabei gilt Ak , Bk −1 ≤ λ mit λ < 1 (vgl. den Beweis zu Satz 63 in Abschnitt 4.3). Man definiert eine Abbildung  Vk → M I Q: k∈I

durch (v, w) = (vk , wk )k∈I → (T ((vk−1 , wk−1 )))k∈I = (Av, Bw) + (f ((v, w)), g((v, w))). Hier sind Av = (Ak−1 vk−1 )k∈I , Bw = (Bk−1 wk−1 )k∈I , f (v, w) = (fk−1 ( (vk−1 , wk−1 )))k∈I und g(v, w) = (gk−1 ((vk−1 , wk−1 )))k∈I . Ein Fixpunkt von Q erf¨ ullt die Gleichungen (vk , wk ) = T ((vk−1 , wk−1 ))

k ∈ I.

Ist Vk vom Durchmesser < ǫ, so folgt die erste Aussage des Lemmas. Da T differenzierbar ist, gibt es eine Konstante C mit fk C 1 (Vk ,Vk+1 ) ≤ Cǫ und gk C 1 (Vk ,Vk+1 ) ≤ Cǫ. Betrachtet man nun Vk = K(xk , δ) und die Menge X aller Folgen (vk , wk )k∈I mit der Eigenschaft T ((vk , wk )) ∈ Vk+1 , so gilt nach Voraussetzung X = ∅, sofern ǫ klein genug ist. X ist außerdem ein vollst¨ andiger metrischer Raum mit der Metrik d((v, w), (v′ , w′ )) = supk∈I dist((vk , wk ), (vk′ , wk′ )). (v, w) ist genau dann ein Fixpunkt von Q, wenn ' w)). (v, w) = −((A, B) − I)−1 (f, g)((v, w))) =: Q((v, Man bemerkt, dass (A, B) − I invertierbar ist, und folglich ist ((A, B)−1 − I)−1 (f, g)((v, w)) − ((A, B)−1 − I)−1 (f, g)((v′ , w′ )) 4 4 ≤ 4(A, B)−1 − I)−1 4 Cǫd((v, w), (v′ , w′ )).

' ist also eine Kontraktion, wenn ǫ klein genug gew¨ahlt ist, und besitzt Q deshalb nach Satz 3 einen eindeutig bestimmten Fixpunkt. Dieser Fixpunkt erf¨ ullt die Aussage des Lemmas. Umgekehrt ist jeder Punkt, der die Aussage ' Daher gilt Eindeutigkeit in des Lemmas erf¨ ullt, auch ein Fixpunkt von Q. der Aussage des Lemmas. Sind alle xn ∈ Λ, so kann das gleiche Argument auf Vk ∩ Λ angewendet werden, und man erh¨ alt dann, dass x schon selbst zu Λ geh¨ort. Ist x1 = xN +1 , erweitert man die endliche Folge zu einer Folge xk , k ∈ Z, indem man beidseitig periodisch fortsetzt. Sei x derjenige Punkt, ullt. Dann folgt aber auch dist(T N +k (x), xk ) < δ der dist(T k (x), xk ) < δ erf¨ und wegen der Eindeutigkeit von x schon T N (x) = x. Als unmittelbare Konsequenz dieses Lemmas erh¨alt man Proposition 16. Es gibt η > 0, so dass die nachstehenden Eigenschaften gelten:

4.6 Hyperbolische Dynamik

161

1. Sind y, z ∈ Λ und d(y, z) < η, so besteht Wηs (y, T ) ∩ Wηu (z, T ) aus genau einem Punkt, der mit [y, z] bezeichnet wird (s. Definition 48). 2. Die Abbildung [· , ·]x,y : Wηu (y, T ) × Wηs (z, T ) → M , definiert durch oomorphismus auf ihr Bild. [z1 , z2 ]x,y = [z1 , z2 ], ist ein Hom¨ 3. T : Λ → Λ ist expansiv mit Expansionskonstanter η. 4. y ∈ Wηs (x, T ) gilt genau dann, wenn x ∈ Wηs (y, T ). Beweis. Sei δ > 0 beliebig und ǫ > 0 wie in Lemma 18. Angenommen, es gilt ur n ≥ 0 und d(y, z) < ǫ. Man wendet das Lemma auf die Folge xn = T n (y) f¨ xn = T n (z) f¨ ur n ≤ −1 an. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Punkt x ∈ Λ mit d(T n (x), T n (y)) < δ

d(T −n (x), T −n (z)) < δ

n ≥ 0.

(4.12)

Man setzt [y, z] := x. Man zeigt als n¨ achstes 3. Angenommen, T ist nicht expansiv. Dann gibt es ur jedes n ∈ Z. Es folgt also, δ > δ1 > 0 und y = z mit d(T n (y), T n (z)) ≤ δ1 f¨ dass y und z (4.12) erf¨ ullen, also wegen der Eindeutigkeit gleich sein m¨ ussen. Sei δ ′ < δ1 eine Expansionskonstante. Eine Anwendung des Lemmas 8 im invertierbaren Fall liefert wegen lim

sup

m→∞ −m≤n≤m

d(T n (T m (x)), T n (T m (y))) ≤ sup d(T n (x), T n (y)) < δ ′ n≥0

auch lim d(T n (x), T n (y)) = 0,

n≥0

also folgt x ∈ Wδs′ (y, T ). Die analoge Aussage ist f¨ ur die unstabile Mannigfaltigkeit richtig. Es ist also 1. gezeigt, wenn η ≤ min{δ ′ , ǫ} gew¨ahlt ist. Die Stetigkeit der Abbildung [· , ·] kann folgendermaßen gezeigt werden. Ist ur −N ≤ k ≤ N ξ > 0, so w¨ ahlt man N so groß, dass d(T k (y), T k (z)) < η/3 f¨ schon d(y, z) < ξ nach sich zieht. Sodann w¨ ahlt man ξ1 , so dass aus d(y, z) < ur d(y, z) < ξ1 folgt. ξ1 die Ungleichung max|k|≤N d(T k (y), T k (z)) < η/3 f¨ Sind dann y, y ′ , z, z ′ ∈ Λ mit d(y, y ′ ) < ξ1 und d(z, z ′ ) < ξ1 beliebige Punkte, ur 0 ≤ k ≤ N setzt man x = [y, z] und x′ = [y ′ , z ′ ]. Man erh¨alt f¨ d(T k (x), T k (x′ )) ≤ d(T k (x), T k (y))+d(T k (y), T k (y ′ ))+d(T k (y ′ ), T k (x′ )) ≤ η und f¨ ur −N ≤ k ≤ 0 d(T k (x), T k (x′ )) ≤ d(T k (x), T k (z))+d(T k (z), T k (z ′ ))+d(T k (z ′ ), T k (x′ )) ≤ η. Daher ist d(x, x′ ) < ξ. Es ist also gezeigt, dass [· , ·] eine stetige Abbildung ist. Da die Exponentialabbildung ein lokaler Hom¨ oomorphismus ist und der Tangentialraum durch E s u und E aufgespannt wird, ist diese Abbildung auch ein Hom¨oomorphismus, sofern η klein genug gew¨ ahlt wurde.

162

4 Differenzierbare Dynamik

F¨ ur Fl¨ usse erh¨ alt man analoge Aussagen, es sei jedoch nur das entsprechende Schließungslemma zitiert. Definition 58. Sei φ = (φt )t∈R ein differenzierbarer Fluss auf der Mannigfaltigkeit M . Eine Kurve c : R → M heißt eine ǫ-Pseudobahn, falls ˙ supt∈R c(t) ˙ − φ(c(t) < ǫ. Eine Pseudobahn wird von φ δ-beschattet, wenn es ein x ∈ M und eine Reskalierung s : R → R mit den Eigenschaften ds − 1 < δ und dist(c(s(t)), φt (x)) < δ gibt. dt Lemma 19. Es gibt zu δ > 0 ein ǫ = ǫ(δ), so dass jede geschlossene ǫPseudobahn von einer geschlossenen Bahn δ-beschattet wird.

Satz 77. Die Restriktion eines Diffeomorphismus T auf eine invariante hyperbolische Teilmenge Λ ist ein Faktor einer topologischen Markoff-Kette. Beweis. Seien δ > 0 und ǫ passend zu δ wie in Lemma 18 gew¨ahlt. Dabei sei ǫ ¨ eine Expansionskonstante. Man betrachte weiterhin eine offene Uberdeckung U von Λ aus so kleinen Mengen U ∈ U bestehend, dass sowohl diamU wie auch diamT (U ) den Wert ǫ nicht u ¨berschreiten. Bezeichnen A = (aU,V )U,V ∈U die durch aU,V = 1 ⇐⇒ f (U ) ∩ V = ∅ definierte 0-1–Matrix und ΣA die zugeh¨ orige topologische Markoff-Kette, so wird die Abbildung π : ΣA → Λ auf die folgende Weise definiert. Es gibt zu (Un )n∈Z ∈ ΣA eine Folge xn ∈ T (Un−1 ) ∩ Un , die eine ǫ-Pseudobahn bildet, also ist nach Lemma 18 einen Punkt x ∈ Λ mit dist(T n (x), xn ) < δ nachgewiesen. Dieser Punkt ist eindeutig und wird als Bild von (Un )n∈Z unter π definiert. Offenbar ist diese Abbildung stetig und surjektiv. Korollar 11. Zu jedem η > 0 gibt es n ∈ N und eine Markoff-Kette mit topologischer Entropie ≤ htop (T n ) + nη, so dass (Λ, T n ) ein Faktor ist. Beweis. Ist η > 0 beliebig vorgegeben, so gibt es nach dem Satz 53 in Abschnitt 3.5 eine (n, ǫ)-getrennte Menge mit log |E| ≤ nhtop (T ) + nη. Man ¨ betrachtet nun die offene Uberdeckung {Kn (x, ǫ) = {y ∈ Λ : d(T j (x), T j (y)) < ǫ; 0 ≤ j < n} : x ∈ E} und wendet den Beweis des letzten Satzes an. Die Entropie der Schiftabbildung ist durch log |E| beschr¨ ankt (Satz 53 und Beispiel 49), und wegen Satz 52 folgt die Behauptung. Korollar 12. Die periodischen Punkte liegen dicht in Λ. Beweis. Da die periodischen Punkte in jeder nichtwandernden topologischen Markoff-Kette dicht liegen, und die Abbildung π des Satzes 77 surjektiv ist, ist die Aussage sofort klar. Definition 59. Sei (Ω, T ) ein stetiges dynamisches System. Es besitzt die Spezifizierungseigenschaft, wenn es zu jedem ǫ > 0 ein Mǫ ∈ N gibt, so dass zu je endlich vielen Intervallen Ik = [ak , bk ] ⊂ Z mit Mǫ + bk < ak+1 und je endlich vielen Punkten xk ∈ Ω, k = 1, ..., n, ein periodischer Punkt x ∈ Ω mit dist(T ak +j (x), T j (xk )) < ǫ (k = 1, ..., n, j = 0, ..., bk − ak ) existiert.

4.6 Hyperbolische Dynamik

163

Satz 78. Seien T : U → M ein Diffeomorphismus und Λ ⊂ U hyperbolisch. Ist T topologisch mischend auf Λ, so besitzt (Λ, T ) die Spezifizierungseigenschaft. Beweis. Sei ǫ > 0 wie im Schattenlemma gew¨ ahlt. Sei U eine endliche offene ¨ Uberdeckung von Λ, die aus Mengen vom Durchmesser < ǫ besteht. Da T topologisch mischend ist, gibt es n ≥ 1 mit U ∩ T −n (V ) = ∅ f¨ ur jedes U, V ∈ U. Sei xU,V ∈ U ∩ T −n (V ). Ist xk , ..., T nk (xk ) (k ∈ {1, 2, ..., m}) eine endliche Folge von Bahnst¨ ucken, und T nk (xk ) ∈ Uk , xk ∈ Vk , so definiert x1 , ..., T n1 −1 (x1 ), xU1 ,V2 , ..., T n−1 (xU1 ,V1 ), x2 , ..., T nm −1 (xm ), xUm ,V1 , ..., T n−1 (xUm ,V1 ) eine ǫ-Pseudobahn. Nach Lemma 18 gibt es also einen periodischen Punkt, der diese Pseudobahn beschattet. Satz 79. Die topologische Entropie eines Diffeomorphismus T auf einer topologisch mischenden hyperbolischen Teilmenge Λ ist das asymptotische Wachstum der Folge der M¨ achtigkeiten der periodischen Punkte der Periode ≤ n. Beweis. Nach Proposition 16 (s. auch Korollar 9) ist T|Λ expansiv, deshalb gilt nach Satz 55 1 htop (T ) ≥ lim sup log |Pn (T )|. n→∞ n Sei 2η eine Expansionskonstante. Seien E = En eine (n, η)-getrennte Menge und x ∈ E. Man betrachtet die Bahnst¨ ucke x, T (x), ..., T n−1 (x) und x. Seien δ > 0 und ǫ > 0 wie in Lemma 18. Nach Satz 78 gibt es eine universelle Konstante Mǫ/2 und einen periodischen Punkt y(x) ∈ Λ mit dist(T k (y(x)), T k (x)) < ǫ/2 (k = 0, ..., n − 1) und dist(T n−1+Mǫ (y(x)), x) < ǫ/2. Es folgt, dass {y, ..., T n−1+Mǫ (y), y} eine ǫ-Pseudobahn ist, und daher gibt es mit Lemma 18 einen periodischen Punkt z(x) der Periode n + Mǫ mit dist(T k (x), T k (z(x))) ≤ δ + ǫ/2 f¨ ur k = 0, ..., n − 1. Ist δ (und damit auch ǫ) klein genug, ist die Abbildung x → z(x) injektiv, denn f¨ ur x = x′ ∈ E und k k ′ dist(T (x), T (x )) ≥ η folgt dist(T k (z(x)), T k (z(x′ ))) ≥ η − ǫ − 2δ > 0. Damit erh¨ alt man abschließend htop (T ) = lim

n→∞

1 1 log |En | ≤ lim inf log |Pn+Mǫ (T )|. n→∞ n n

Definition 60. Seien T : U → M ein Diffeomorphismus und Λ ⊂ U hyperbolisch. Eine Teilmenge R ⊂ Λ heißt ein Rechteck, wenn mit je zwei Punkten

164

4 Differenzierbare Dynamik

x, y ∈ R auch der Punkt [x, y] zu R geh¨ ort, und R im topologischen Abschluss seines Inneren R◦ liegt. ¨ Eine Uberdeckung α = {R1 , ..., Rs } in Rechtecke nennt man eine MarkoffZerlegung, falls die Mengen Ri◦ paarweise disjunkt sind, und f¨ ur x ∈ Ri◦ ∩ −1 ◦ T (Rj ) die Eigenschaften WTu(x) ∩ Rj ⊂ T (Wxu ∩ Ri )

und

T (Wxs ∩ Ri ) ⊂ WTs (x) ∩ Rj

gelten. maxR∈α diamR heißt die Gr¨ oße der Markoff-Zerlegung α. Satz 80. [Bowen, Sinai] Seien T : U → M ein Diffeomorphismus und Λ ⊂ U eine hyperbolische Menge f¨ ur T , so dass T : Λ → Λ topologisch mischend ist. Dann gibt es Markoff-Zerlegungen beliebig kleiner Gr¨ oße. Beweis. Sei π : Σ → Λ die stetige, surjektive Abbildung, die in Satz 77 zusammen mit einer topologischen Markoff-Kette Σ ⊂ X Z konstruiert wurde. Es bezeichne S : Σ → Σ die Schiebungsabbildung. Sei Ri = π([i]0 ) (i ∈ X), wobei wie u ¨blich [i]0 = {(xj ) ∈ Σ : x0 = i} gesetzt wird. Dann ist jedes Ri ein Rechteck, denn f¨ ur x = π(ωx ), y = π(ωy ) ∈ Ri gilt (ωx )0 = (ωy )0 , also geh¨ ort der Punkt ω ′ = (ωk′ )k∈Z mit ωk′ = (ωx )k (k ≥ 0), ωk′ = (ωy )k (k ≤ 0) ¨ zu einer Verfeinerung kann man zu Σ, und π(ω ′ ) ∈ Ri . Durch Ubergang erreichen, dass der Durchmesser der Mengen Ri so klein ist, dass folgende Eigenschaften gelten (siehe Proposition 16) Wxu ∩ Ri = Wyu ∩ Ri

∀y ∈ Wxu ∩ Ri

(4.13)

Wxs ∩ Ri = Wys ∩ Ri

∀y ∈ Wxs ∩ Ri .

(4.14)

und ¨ Es bezeichne α0 = {Ri : i ∈ X} die so erhaltene Uberdeckung von Λ. Seien Ri ∈ α0 und x ∈ Ri mit T (x) ∈ Rj ∈ α0 . Dann gibt es ein ωx ∈ Σ mit (ωx )0 = i und (ωx )1 = j. Ist dann y ∈ Ri ∩ Wxs , so existiert ein ωy ∈ [i]0 mit π(ωy ) = y. Wegen y ∈ Wxs ∩ Wyu besitzt y ebenfalls ein Urbild der Gestalt (..., (ωy )−1 , i, j = (ωx )1 , ...). Es folgt T (y) = T (π(ωy )) = π(S(ωy )) ∈ Rj . Das entsprechende Argument kann f¨ ur die unstabile Mannigfaltigkeit angewendet werden, und man erh¨ alt deshalb T (Ri ∩ Wxs ) ⊂ WTs (x) ∩ Rj T

−1

(Rl ∩

Wxu )

⊂

WTu−1 (x)

∩ Rk

x ∈ Ri ∩ T −1 (Rj )

x ∈ Rl ∩ T (Rk ).

(4.15) (4.16)

Man konstruiert nun eine feinere Zerlegung α1 , indem man zwei Rechtecke ' ∈ α0 fixiert, die sich mit nicht leerem Inneren schneiden. Dann ist R, R ' ein Rechteck, und die Mengen R \ R′ und R ' \ R′ k¨onnen je in R′ = R ∩ R ′ drei Rechtecke zerlegt werden: Man zerlegt R \ R in die drei Mengen R0 = {x ∈ R : Wxs ∩ R′ = ∅, Wxu ∩ R′ = ∅}

R1 = {x ∈ R : Wxs ∩ R′ = ∅, Wxu ∩ R′ = ∅} R−1 = {x ∈ R : Wxs ∩ R′ = ∅, Wxu ∩ R′ = ∅}.

4.6 Hyperbolische Dynamik

165

' \ R′ in die Mengen R '0 , R '1 und R '−1 . Jede dieser Mengen und entsprechend R ′ ist in der Tat ein Rechteck. Das ist klar f¨ ur R und in jedem anderen Fall ist f¨ ur x, y ∈ Rl , l = −1, 0, 1, und {z} = Wxs ∩ Wyu nach (4.13) und (4.14) Wzs ∩ R = Wxs ∩ R und Wzu ∩ R = Wyu ∩ R. Also folgen auch Wzs ∩ Rl = ∅ =⇒ Wxs ∩ Rl = ∅ und Wzu ∩ Rl = ∅ =⇒ Wyu ∩ Rl = ∅. Es sind also nur die Bedingungen (4.15) und (4.16) zu u ufen. Da die ¨berpr¨ zweite Relation in derselben Art bewiesen werden kann wie die erste, gen¨ ugt es (4.15) zu zeigen. F¨ ur zwei Rechtecke A und B in α1 und x ∈ A∩T −1 (B) ist nur der Fall zu betrachten, in dem B eines der neu konstruierten Rechtecke und A beliebig sind. ' Sei also zun¨ achst B = R′ und A ⊂ Ri , x ∈ A ∩ T −1 (R′ ) = A ∩ T −1 (R ∩ R). Dann gilt mit (4.15) ' = W s ∩ R′ . T (Wxs ∩ A) ⊂ WTs (x) ∩ R ∩ R T (x)

Im Fall B = R0 (oder B = R1 ), A ⊂ Ri und x ∈ A ∩ T −1 (B) erh¨alt man T (Wxs ∩ A) ⊂ T (Wxs ∩ Ri ) ⊂ WTs (x) ∩ R und WTs (x) ∩R′ = ∅. Somit folgt auch f¨ ur y ∈ WTs (x) ∩R, dass Wys ∩R′ = ∅ gilt. Daher erh¨ alt man T (Wxs ∩ A) ⊂ WTs (x) ∩ R0 (bzw. T (Wxs ∩ A) ⊂ WTs (x) ∩ R1 falls T (x) ∈ R1 ). Schließlich ist noch B = R−1 , A ⊂ Ri und x ∈ A ∩ T −1 (R−1 ) zu betrachten. In diesem Fall ist T (Wxs ∩ A) ⊂ T (Wxs ∩ Ri ) ⊂ WTs (x) ∩ R und WTs (x) ∩ R′ = ∅. Falls T (Wxs ∩ Ri ) ∩ R′ = ∅ gilt, enth¨ alt diese Menge einen Punkt der Form T (y) mit y ∈ Wxs ∩ Ri . Es folgt dann T (Wxs ∩ Ri ) = T (Wys ∩ Ri ) ⊂ WTs (y) ∩ R′ , also insbesondere T (x) ∈ R′ . Dies ist aber unm¨oglich, und daher folgt T (Wxs ∩ Ri ) ⊂ WTs (x) ∩ R−1 . Sei Nα (x) die Anzahl der Rechtecke der Zerlegung α, die x in ihrem Inneren enthalten. Die bisher durchgef¨ uhrte Konstruktion zeigt, dass es zu jeder Zerur ein x ∈ M ), eine Zerlegung legung α0 mit (4.15), (4.16) und Nα0 (x) ≥ 2 (f¨ α1 mit den Eigenschaften (4.15) und (4.16) existiert, die Nα1 (x) = Nα0 (x)−1 ullt. und Nα1 (y) ≤ Nα0 (y) (y ∈ M ) erf¨ Man kann diese Konstruktion so lange iterieren, bis nach einer endlichen Anzahl von Schritten jeder Punkt y ∈ Λ entweder im Rand eines Elementes der Zerlegung oder im Inneren eines einzigen Rechtecks zu finden ist. Es gilt ur jedes x ∈ R◦ , f¨ ur diese Zerlegung α also (4.15), (4.16) und Nα (x) = 1 f¨ R ∈ α. Daher ist α eine Markoff-Zerlegung der gesuchten Art. Satz 81. Sei α eine Markoff-Zerlegung wie in Satz 80 f¨ ur T : Λ → Λ. Dann ist durch %◦ $ Σ = {x = (xn )n∈Z ∈ αZ : (xn ∩ T −1 xn+1 = ∅; n ∈ Z}

166

4 Differenzierbare Dynamik

eine topologische Markoff-Kette definiert. (Λ, T ) ist ein Faktor von (Σ, S) (S bezeichnet die Schiebung), und die kanonische Faktorabbildung x → π(x) ∈

n  

T k (Rx◦ k )

n≥1 k=−n

ist wohldefinierter Hom¨ oomorphismus zwischen invarianten Gδ -Mengen. Beweis. Die Menge Σ ist eine Schift-invariante topologische Markoff-Kette (vgl. Abschnitt 2.2), da sie durch ein ausschließendes Blocksystem definiert ist. Man muss zeigen, dass π wohldefiniert ist. Man bemerkt, dass eine Menge R ∈ α die Darstellung R = [Wxs ∩ R, Wxu ∩ R] besitzt, wobei x ∈ R beliebig gew¨ ahlt werden kann. Es gen¨ ugt zu zeigen, dass f¨ ur jede Wahl von x0 , ..., xn ∈ α mit (xk ∩ T −1 xk+1 )◦ = ∅ die Menge ◦  n  −k = [Wys ∩ (x0 )◦ , A] = ∅ (4.17) T xk k=0

%◦ $n −k nicht leer ist; dabei ist A ⊂ Wzu und y, z ∈ xk . k=0 T Man beweist diese Behauptung am besten durch Induktion. Ist n = 0, ist ur beliebige y, z ∈ x0 nach nichts zu zeigen, denn x0 = [Wys ∩ x0 , Wzu ∩ x0 ] f¨ Satz 80. Sei also (4.17) f¨ ur n ≥ 0 g¨ ultig und (x−1 ∩ T −1 (x0 ))◦ = ∅. Sind ahlt, so gelten y, z ∈ (x−1 ∩ T −1 (x0 ))◦ beliebig gew¨ T (Wys ∩ x−1 ) ⊃ WTs (y) ∩ x0

T −1 (WTu(z) ∩ x0 ) ⊂ Wzu ∩ x−1 .

Daraus erh¨ alt man T (x−1 ) ∩ [WTs (y) ∩ x0 , A] = [T (Wys ∩ x−1 ), A ∩ WTu(z) ∩ x0 ] und nach Induktionsannahme auch n+1 ◦  ◦   T −k xk−1 = T −1 T (x−1 ) ∩ [WTs (y) ∩ x0 , A] k=0

= [Wys ∩ (x−1 )◦ , A′ ∩ Wzu ∩ x−1 ] = ∅.

Der inverse Limes eines (nicht invertierbaren) dynamischen Systems (Ω, T ) ist das dynamische System (Ω, T ), wobei Ω der inverse Limes (s. [24],Bd. I, S.28) der Mengen Ωn = {(ω, T n (ω)) : ω ∈ Ω} ist. Die Abbildung T ist dabei die kanonische Fortsetzung der Abbildungen T . Korollar 13. Es gibt ein R-expandierendes dynamisches System (Ω, S), so dass (Λ, T ) ein Faktor seines inversen Limes ist. Die Faktorabbildung ist ein Hom¨ oomorphismus zwischen Gδ -Mengen.

4.6 Hyperbolische Dynamik

167

Hyperbolische Torusautomorphismen inspirieren die Theorie der AnosovDiffeomorphismen. Das n¨ achste Beispiel soll andeuten, dass die Klasse der Anosov-Diffeomorphismen die Klasse der hyperbolischen Torusautomorphismen echt enth¨ alt. Einzelheiten k¨ onnen der Spezialliteratur entnommen werden. Beispiel 68. Ein allgemeines Konzept f¨ ur die Konstruktion von AnosovDiffeomorphismen geht von einer Lie Gruppe G aus (s. [22], S.59ff), die als semi-direktes Produkt G = N F geschrieben werden kann. Dabei soll N eine reelle, zusammenh¨ angende, einfach zusammenh¨angende nilpotente Lie Gruppe mit links-invarianter Metrik sein. F ist eine endliche Gruppe von Automorphismen von N . Sei nun Γ eine diskrete Untergruppe von G, so dass N/Γ kompakt ist, und T : N → N ein hyperbolischer Automorphismus (d.h. die Ableitung im Nullpunkt ist hyperbolisch, oder der auf der Lie Algebra induzierte Automorphismus besitzt nur Eigenwerte vom Betrag = 1). Es gelte ferner, dass zu jedem γ ∈ Γ ein γ ′ ∈ Γ existiert, so dass T (γg) = γ ′ T (g) (g ∈ N ) gilt. Die Abbildung S : N/Γ → N/Γ , definiert als S(Γ g) = Γ T (g), ist differenzierbar. Ist sie ein Diffeomorphismus, so ist sie auch Anosov. Die Invertierbarkeit gilt, wenn γ → γ ′ bijektiv ist, und S ist endlich u ¨berdeckt durch die entsprechende Abbildung S' : N/Γ ∩ N → N/Γ ∩ N . S' ist stets ein Anosov-Diffeomorphismus der Nilmannigfaltigkeit N/Γ ∩ N und S ein Anosov-Diffeomorphismus der Infranilmannigfaltigkeit N/Γ . Um dieses Konzept konkreter zu machen, betrachte man zwei Kopien der eindeutige bestimmten, nicht trivialen, 3-dimensionalen reellen, nilpotenten Lie Gruppe. Diese seien G1 und G2 . Ihre Elemente sind als Matrizen der Form ⎞ ⎛ 100 g(a, b, c) = ⎝ a 1 0 ⎠ cb1 darstellbar.Es werde  N = G1 × G2 gesetzt, repr¨asentiert als 6 × 6-Matrizen g1 0 der Form mit gi ∈ Gi , i = 1, 2. Γ ∩ N ⊂ N besteht aus allen 0 g2 √ Matrizen mit Koeffizienten in Z( 3). F ist die Untergruppe, die von der Einheit und dem idempotenten Element     g(−a, −b, c) 0 g(a, b, c) 0 → 0 g(−d, −f, e) 0 g(d, e, f ) √ √ √ √ erzeugt wird. Es sei w ∈ Q( 3) √\ Z( 3), so dass 2w und (1 + 3)w zu Z( 3) geh¨ oren. Dann ist 2w = m + n 3 mit ungeraden m und n. Sei Γ die Gruppe, die von Γ ∩ N und dem durch   g(0, 0, w) 0 √ 0 g(0, 0, w − n 3) erzeugten inneren Automorphismus A aufgespannt wird. Es gilt also Γ = (Γ ∩ N ) ∪ A(Γ ∩ N ). Die Automorphismen S und S' sind nun durch

168

4 Differenzierbare Dynamik

   g(λa, λ2 b, λ3 c) 0 g(a, b, c) 0 = 0 g(λ−1 d, λ−2 e, λ−3 f ) 0 g(d, e, f )     0 g(a, b, c) 0 g(λa, λ−3 b, λ−2 c) T1 = 0 g(λ−1 d, λ3 e, λ2 f ) 0 g(d, e, f )

T0



implizit definiert. Es gilt offenbar Ti ◦ Γ ◦ Ti−1 = Γ (i = 1, 2), also werden hierdurch Anosov-Diffeomorphismen Si auf der Infranilmannigfaltigkeit N/Γ und S'i auf der Nilmannigfaltigkeit N/Γ ∩ N definiert.

4.7 Geod¨ atische Flu ¨ sse Als einfachstes Beispiel eines (nicht trivialen) geod¨atischen Flusses kann man die folgende Operation von R auf     ab : a, b, c, d ∈ R; detA = 1 SL(2, R) = A = cd ansehen. SL(2, R) ist bekanntlich eine lokalkompakte topologische Gruppe unter der Matrizenmultiplikation und mit der von R4 induzierten Topologie. Auf dieser Gruppe operiert R verm¨ oge φt (A) = Agt (A ∈ SL(2, R)) mit  t  e2 0 gt = , t 0 e− 2 denn Agt besitzt nur reelle Eintr¨ age und t

t

t

t

detAgt = ae 2 de− 2 − be− 2 ce 2 = 1. Man u ¨berzeugt sich mittels elementarer Rechnung, dass hierdurch in der Tat ein Fluss auf SL(2, R) definiert wird. Diese Operation kann man auf PSL(2, R) = SL(2, R)/{±I} induzieren, denn {±A}gt = {±Agt } ist wohldefiniert, A ∈ SL(2, R). Eine abz¨ ahlbare, abgeschlossene Untergruppe G von SL(2, R) nennt man eine Fuchssche Gruppe (oder diskrete Untergruppe). Auf dem homogenen Raum G\SL(2, R) operiert dann R ebenfalls durch φG t (Gg) = Gggt

t ∈ R, Gg ∈ G\SL(2, R),

denn ist Gg ′ eine weitere Darstellung desselben Elements, so ist ggt (g ′ gt )−1 = −1 ggt gt−1 g ′ ∈ G. M¨ obius-Transformationen eines Gebietes Ω ⊂ S 2 sind bi-analytische Selbstabbildungen von Ω. Sie bilden eine topologische Gruppe M¨ob(Ω). Man weiß M¨ ob(S 2 ) = PSL(2, C) = SL(2, C)/{±I} und M¨ob(Ω) = PSL(2, R) ([4], S.61 und 64), wenn Ω einfach zusammenh¨ angendes eigentliches Gebiet ist (da dann Ω konform isomorph zu H ist). Da jede Matrix in PSL(2, R) eine M¨obiusTransformation durch

4.7 Geod¨ atische Fl¨ usse

169

az + b ℑz > 0 cz + d definiert, operiert R auch als Fluss auf der Gruppe der M¨obius-Transformationen, die die obere Halbebene H invariant lassen (siehe Abschnitt 1.6). Eine M¨ obius-Transformation auf der Riemannschen Zahlenkugel S 2 wird durch eine Matrix in PSL(2, C) in analoger Weise beschrieben. F¨ ur das Gez−a : λ ∈ S 1 ; a ∈ D}. biet D = {z ∈ C : |z| < 1} ist M¨ ob(D) = {z → λ 1−az µz−aµ mit µ = Eine Abbildung in M¨ ob(D) besitzt die Darstellung z → −µaz+µ √ (1 − |a|2 )−1 λ, wird also durch die eindeutig bestimmte Matrix   µ −µa −aµ µ z →

beschrieben. Letztere Darstellung erf¨ ullt die Eigenschaft |µ|2 − |µa|2 = 1, und daher ist M¨ ob(D) ≡ PSUU(1). Dabei definiert man PSUU(1) = SUU(1)/{± I} mit    ab : a, b ∈ C; |a|2 − |b|2 = 1 . SUU(1) = b a Auf SUU(1) operiert R verm¨ oge des Flusses φt (A) = Aγt , wobei γt =



cosh 2t sinh 2t sinh 2t cosh 2t



.

In der Tat ist f¨ ur A ∈ SUU(1)   a cosh 2t + b sinh 2t a sinh 2t + b cosh 2t Aγt = ∈ SUU(1), b cosh 2t + a sinh 2t b sinh 2t + a cosh 2t denn |a cosh 2t + b sinh 2t |2 − |a sinh 2t + b cosh 2t |2 = (|a|2 − |b|2 )(cosh 2t − sinh 2t )2 = 1. Ebenso wie gt auf PSL(2, R) kann der Fluss γt auf PSUU(1) eingeschr¨ ankt werden. ache H war in Abschnitt 1.6 auf dem TangenDer geod¨ atische Fluss φt der Fl¨ tialb¨ undel der Mannigfaltigkeit H definiert worden. Die Zeit-t-Abbildung φt bildet einen Tangentenvektor v ∈ Tz H mit v = 1 in den Tangentenvektor w ∈ Ty H mit w = 1 ab, der dieselbe Geod¨ atische wie v bestimmt und deren Fußpunkt y den geod¨ atischen Abstand t von z besitzt (s. Abb. 1.17). In derselben Art wird der geod¨ atische Fluss auf D erkl¨art. Geod¨atische Linien sind in diesem Modell Kreisb¨ ogen, die senkrecht auf dem Einheitskreis stehen (s. Abb. 1.17). Alle die soeben definierten Fl¨ usse sind konjugiert zueinander. Satz 82. Die Fl¨ usse auf den Gruppen PSL(2, R) und PSUU(1) und die geod¨ atischen Fl¨ usse auf den Fl¨ achen H und D sind konjugiert.

170

4 Differenzierbare Dynamik

Beweis. Die lineare Abbildung  1+i 2 A := − 1−i 2

1+i 2 1−i 2



∈ SL(2, C)

definiert einen konformen Isomorphismus h : D → H durch die Festlegung (1+i)z+1+i , da ℑh(z) > 0 gilt (das ist ¨ aquivalent zu ℑ((1 + i)z + 1 + h(z) = −(1−i)z+1−i i)(−(1 + i)z + 1 + i) = ℑ(1 + i)2 (1 − |z|2 ) = 2(1 − |z|2 ) > 0). Es folgt, dass die geod¨ atischen Fl¨ usse auf D und H konjugiert sind. Ferner gelten SUU(1) = A−1 SL(2, R)A und A−1 gt A =



1 1 1+i i−1 1 1 1+i 1−i



t

e 2 1+i 2 t

t

e 2 1+i 2 t

− 2 1−i −e− 2 1−i 2 e 2



= γt .

Also sind die Fl¨ usse auf PSL(2, R) und PSUU(1) konjugiert. Es muss also nur noch gezeigt werden, dass die Fl¨ usse auf PSUU(1) ≡ M¨ob(D) und D konjugiert sind. Hierzu definiert man H : M¨ob(D) → D × T ≡ {v ∈ T D : v = 1} =: SD durch H(γ) = argγ ′ (0) ∈ Tγ(0) D, γ ∈ M¨ob(D). H ist ein Hom¨ oomorphismus, wie man sich leicht anhand der Definitionen u ¨berlegt. Weiterhin gilt H(γt ) = γt′ ∈ Tγt D. Alternativ kann man die Abbildung L : PSL(2, R) → H durch  1+i    a 1−i + b ab −1 → , arg(ci + d) 1+i cd c 1−i +d definieren. Die erste Koordinate liegt auf dem Kreis, der orthogonal auf R steht und durch die Punkte ac und db bestimmt ist. Man rechnet ohne Schwierigkeiten nach, dass dieser Halbkreis unter gt invariant bleibt, d.h. L(Agt ) liegt auf dem durch A bestimmten Halbkreis. Der hyperbolische Abstand zwischen den ersten Koordinaten von L(A) und L(Agt ) errechnet sich zu t. Daher ist φt (L(A)) = L(Agt ). Kreise in H, die sich tangential an R anschmiegenund zu R parallele Gerade 1t heißen Horozykel. Die Matrizen der Form ht = bilden eine Gruppe 01 und lassen SL(2, R) invariant. Der Isomorphismus L definiert daher auch einen Fluss auf H durch φt (z, v) = L(ht (L−1 (z, v))). Definition 61. Der horozyklische Fluss auf H wird von dem Fluss   1t PSL(2, R) × R → PSL(2, R), (g, t) → g 01 auf PSL(2, R) durch Konjugation mit L definiert.

4.7 Geod¨ atische Fl¨ usse

171

Proposition 17. Die Bahnen des horozyklischen Flusses sind Einheitsvektoren, die auf einem festen Horozykel senkrecht stehen und entweder nach innen oder nach außen weisen. Beweis.   Die Gruppe (ht )t∈R operiert auf PSL(2, R), und die Bahn von g = ab unter ht ist cd    a at + b :t∈R . O(g) = c ct + d Man sieht aus dieser Darstellung, dass jedes L(g) auf einem Halbkreis mit Fußpunkt ac liegt, und der Einheitsvektor in Richtung dieses Punktes weist. F¨ ur t → ±∞ wird derselbe Punkt a/c approximiert, denn die beiden Fußpunkte der Halbkreise fallen zusammen. Es gilt f¨ ur die Projektion pr1 auf die erste Koordinate pr1 ◦ L(ght ) = a(1+i)+(at+b)(1−i) atische Linie R ⊂ R2 wird also durch eine M¨obiusc(1+i)+(ct+d)(1−i) , die geod¨ Abbildung in einen Kreis abgebildet.

(z, v) Eu Es

Abb. 4.7. Horozykel im Modell D

Proposition 18. Die stabile Mannigfaltigkeit eines Punktes v ∈ Sz H besteht aus allen nach Innen gerichteten normalen Vektoren auf dem Horozykel mit alt (siehe Abb. 4.7). Zentrum limt→∞ φt (v), der z enth¨ Beweis. Ein normierter Vektor v ′ ∈ Tz′ H geh¨ ort nach Satz 67 in Abschnitt 4.3 zur stabilen Mannigfaltigkeit von v, wenn limt→∞ dist(φt (v), φt (v ′ )) = 0. Das bedeutet aber zun¨ achst, dass φ∞ (v) := limt→∞ φt (v) = φ∞ (v ′ ) gelten muss. Horozykel besitzen zudem die Eigenschaft, dass φt Horozykel in eben solche u uhrt. Somit m¨ ussen φt (v) und φt (v ′ ) auf demselben Horozykel ¨berf¨ liegen.

172

4 Differenzierbare Dynamik

Satz 83. Der geod¨ atische Fluss auf einer kompakten Fl¨ ache mit konstanter negativer Kr¨ ummung ist topologisch transitiv und besitzt eine dichte Menge periodischer Punkte. Beweis. Man benutzt hier einige Fakten, die man in [4], S.209 ff., nachlesen kann. Die kompakte Fl¨ ache besitzt eine Darstellung M = Γ \H und einen Dirichlet-Fundamentalbereich F = {y ∈ H : d(y, x0 ) ≤ d(γy, x0 ) ∀γ ∈ Γ }, der ganz im Inneren von H liegt. Die Bilder von F unter Γ bilden dann eine Zerlegung von H, also k¨ onnen γi (F ) (i = 1, 2, γi ∈ Γ ) durch eine M¨obiusTransformation γ ∈ Γ ineinander u uhrt werden. Der Fundamentalbereich ¨berf¨ wird von geod¨ atischen Linien begrenzt. Sei nun G eine geod¨ atische Linie in H mit Endpunkten a+ und a− auf der reellen Achse. Da F im Inneren von H liegt und M¨obius-Transformationen den hyperbolischen Abstand erhalten, gibt es zu jedem ξ ∈ R eine Folge γn ∈ Γ mit γn (F ) → ξ. Man findet also geod¨ atische Linien K+ und K− mit Zentrum a+ bzw. a− und Durchmesser < η und γ + bzw. γ − , so dass Kι eine Seite alt, und γ ι (F ) in derjenigen Komponente von H \ Kι liegt, von γ ι (F ) enth¨ in der auch aι liegt (ι = ±). Dann existiert auch ein γ ∈ Γ , das diejenige Zusammenhangskomponente von H \ K+ , die a+ enth¨alt, in die entsprechende Zusammenhangskomponente von K− abbildet. Entsprechendes gilt nach Vertauschung von + und −. Die zusammengesetzte Abbildung bildet also die beiden Komponenten in sich ab, besitzt also einen Fixpunkt auf R in jeder Komponente. Die Geod¨ atische, die durch diese beiden Punkte bestimmt ist, ist geschlossen, denn K+ und K− enthalten Bilder des Randes von F . Da die Fußpunkte dieser geschlossenen Geod¨ aten in einer beliebig klein w¨ahlbaren Umgebung der Fußpunkte von G liegen, ist auch jeder Tangentenvektor an G durch einen Tangentenvektor an die konstruierten geschlossenen Geod¨aten approximierbar. Man muss zeigen, dass es zu je zwei nicht leeren offenen Mengen U und V ein t ∈ R mit φt (U )∩V = ∅ gibt. Da die geschlossenen Bahnen dicht liegen, kann man je eine in U und V w¨ ahlen, etwa γU und γV . Eine geod¨atische Linie mit Fußpunkten a und b, wobei a = limt→∞ φt (γU ) und b = limt→−∞ φt (γV ), beullt. sitzt dann einen Tangentenvektor v, der limt→∞ d(φt (γU ), φt (v)) = 0 erf¨ Das bedeutet, dass die Projektion auf Γ \H die geschlossene Bahn γU in positiver Zeitrichtung approximiert. Analog gilt nat¨ urlich auch, dass der geschlossenen Orbit γV in negativer Zeit approximiert wird. Es gibt also t, s > 0 mit φt (v) ∈ U und φ−s (v) ∈ V . Daher muss auch φs (V ) ∩ φ−t (U ) = ∅ gelten. Beispiel 69. Auf Seite 272 ist der Fundamentalbereich F = {z ∈ H : |ℜz| ≤ 1; |z ±1/2| ≥ 1/2} im Modell D zusammen mit seinen Bildern f¨ ur die dreifach punktierte Sph¨ are dargestellt. Die zugeh¨ orige Gruppe wird von den Abbilz dungen H → H, z → z + 2 und z → 2z+1 erzeugt.

4.7 Geod¨ atische Fl¨ usse

173

Satz 84. Der geod¨ atische Fluss auf einer kompakten Fl¨ ache konstanter negativer Kr¨ ummung ist ein Anosov-Fluss. Beweis. Man betrachtet zun¨ achst den geod¨ atischen Fluss φ = (φt )t∈R auf H. alt der Tangentialraum Vektoren, Zu jedem normierten Vektor v ∈ Tz H enth¨ die tangential zu dem Horozykel sind, der durch z und φ∞ (v) definiert wird, Vektoren, die tangential zu dem Horozykel sind, der durch z und φ−∞ (v) definiert wird, und Vektoren, die tangential zur Flussrichtung im Punkt z sind. Jeder dieser Unterr¨ aume ist eindimensional und, da der Tangentialraum dreidimensional ist, erh¨ alt man eine flussinvariante Darstellung Tv (SH) = Evs ⊕ Evu ⊕ Ev0 . Eine einfache Rechnung zeigt, dass Dφt auf E s kontrahiert und auf E u expandiert. Ist M eine kompakte Fl¨ ache konstanter negativer Kr¨ ummung, so ist H die ¨ universelle Uberlagerungsfl¨ ache (siehe [10], S.163). Lokal ist das Verhalten daher durch den geod¨ atischen Fluss auf H bestimmt und die Tangentialr¨aume und die linearen Abbildungen Dφt (|t| < η) stimmen u ¨berein. Daraus folgt der Satz. Hamiltonsche Systeme und geod¨ atische Fl¨ usse sind eng miteinander verbunden. Sie k¨ onnen aus Differentialgleichungen gewonnen werden. Insbesondere lassen sich mit ihnen Bewegungen auf Fl¨ achen konstanter Energie modellieren. Beispiel 70. Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung im Rd schreibt sich als d2 x x ¨ = 2 = Φ(x). dt F¨ uhrt man y = x˙ als neue unabh¨ angige Variable ein, transformiert sich diese Differentialgleichung in eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung erster Ordnung im Raum R2d = T Rd (Newtonsche Gleichungen): x˙ = y

y˙ = x ¨ = f (x)

mit der Anfangsbedingung x(0) = p und x(0) ˙ = q. Die L¨osung dieser Differentialgleichung definiert also einen partiellen oder globalen Fluss auf T Rd , sofern die L¨ osungen entsprechend wohldefiniert sind. Lemma 20. Sei L : T M → R eine differenzierbare Funktion, die durch positiv definite quadratische Formen Qx , L(x, y) = Qx (y, y)

y ∈ Tx M,

definiert ist. Erf¨ ullt L in lokalen Koordinaten die Gleichung d ∂L ∂L = , dt ∂y ∂x

(4.18)

so erf¨ ullt L diese Relation in einem beliebigen anderen Koordinatensystem.

174

4 Differenzierbare Dynamik

Beweis. Sei x = θ(u) eine Koordinatentransformation der Koordinaten (u, v) ∂y ∂x in (x, y). Damit wird auch ∂x ∂v = 0 und ∂v = ∂u . Es folgt . d ∂L ∂L d ∂L ∂x ∂L ∂y ∂L ∂x ∂L ∂y − = + − − dt ∂v ∂u dt ∂x ∂v ∂y ∂v ∂x ∂u ∂y ∂u . - . - . d ∂L ∂y ∂L d ∂y ∂L ∂x ∂L d ∂x + − = − dt ∂y ∂v ∂y dt ∂v ∂x ∂u ∂y dt ∂u . d ∂L ∂L ∂x − . = dt ∂y ∂x ∂u Da

∂x ∂u

= 0, ist alles gezeigt.

Die Gleichung (4.18) nennt man eine Lagrangesche Gleichung. Zusammen mit Satz 7 zeigt dieses Lemma, dass es eine eindeutige lokale L¨osung des Problems (4.18) gibt. Definition 62. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Riemannscher Metrik g. Dann heißt der zur quadratischen Form L(x, y) =

1 gx (y, y) 2

y ∈ Tx M

geh¨ orende Fluss φt , t ∈ I ⊂ R, der (partielle) geod¨ atische Fluss auf M . Man beachte, dass ein geod¨ atischer Fluss auf dem Tangentialraum definiert ist. Er l¨ asst die L¨ angen von Tangentialvektoren invariant, denn es gilt zun¨ achst L(x, y) =  ∂L ∂y , y − L(x, y), und daher unter Benutzung von (4.18) d ∂L ∂L ∂L ∂L d L(x, y) =  , y +  , y ˙ − , x ˙ − , y ˙ = 0. dt dt ∂y ∂y ∂x ∂y Beispiel 71. Die Newtonsche Gleichung K(x) = m¨ x beschreibt bekanntlich die Bewegung eines Teilchens der Masse m unter einer 2 außeren Kraft K(x) im Punkt x ∈ Rn , wobei x f¨ ur die Beschleu¨(t) = d dtx(t) ¨ 2 nigung steht. Im Fall, dass die Kraft durch einen Gradienten −∇P gegeben ist, bezeichnet man P als Potential, und die Newtonsche Gleichung wird zu d mx˙ = −∇P (x). dt Die Lagrange-Funktion L(x, v) = 21 mv2 − P (x) transformiert diese Gleichung in die Lagrange-Gleichung (4.18) ∂L d ∂L = . dt ∂v ∂x

4.7 Geod¨ atische Fl¨ usse

175

Satz 85. F¨ ur die Differentialgleichung (4.18) ist die Funktion E :TM →R 1 2 my, yx

E(x, y) = − P (x) invariant unter dem partiellen Fluss. Ist die Untermannigfaltigkeit {(x, y) ∈ T M : E(x, y) = c} kompakt, so definiert (4.18) auf ihr einen (globalen) Fluss. Beweis. Es gen¨ ugt offenbar zu zeigen, dass die zeitliche Ableitung der Funktion E verschwindet. Es gilt, wie bereits nach Definition 62 gezeigt, . d d ∂L E= , v − L  dt dt ∂v d ∂L ∂L ∂L ∂L = , v +  , v ˙ − , x ˙ − , v ˙ = 0. dt ∂v ∂v ∂x ∂v Die Lagrange-Transformation L : T M → T ∗ M basiert auf der kanonischen Identifikation (x, v) → v, ·x des Tangentialraumes und des Kotangentenb¨ undels T ∗ M . Sie ist in lokalen Koordinaten als   m ∂ v, vx L(x, v) = x, 2 ∂v ∂ definiert. pi = m ¨blicherweise als Moment bezeichnet, w¨ahrend 2 ∂vi wird u q = x die Ortskoordinaten sind.

Proposition 19. In den Koordinaten p und q erf¨ ullt die Energiefunktion E die Hamiltonschen Differentialgleichungen p˙ = −

∂E ∂q

q˙ =

Beweis. Die Differentialform dE = ∂E ∂p dp + zung der Lagrangschen Gleichungen als dE = d[pq˙ − L] = qdp ˙ −

∂E . ∂p

∂E ∂q dq

schreibt sich unter Benut-

∂L dq = qdp ˙ − pdq. ˙ ∂q

Durch Koeffizientenvergleich erh¨ alt man die Aussage. Sei M eine kompakte, orientierbare, n-dimensionale C ∞ -Mannigfaltigkeit. Jede C ∞ n-Form ω definiert eine stetige Linearform auf dem Raum der stetigen Funktionen C(M ) in kanonischer Weise. Eine positive n-Form ω wird also nach dem Satz von Riesz ([12], S.333; [1], S.81) durch ein Maß µω beschrieben:  f dµω = ω(f ) f ∈ C(M ). M

Sei φ = (φt )t∈R ein Fluss auf M , gegeben durch die Differentialgleichung x˙ = Φ(x) mit C 1 -Vektorfeld Φ. Jede Abbildung φt induziert die n-Form ωt durch f ∈ C(M ). ωt (f ) = ω(f ◦ φt )

176

4 Differenzierbare Dynamik

Satz 86. [Liouville] Ein endliches oder σ-endliches Maß µ mit Dichte ρ bzgl. des Riemannschen Volumens ist genau dann φ-invariant, wenn div ρΦ = 0 gilt. Beweis. Sei f eine glatte Funktion, die außerhalb einer Kartenumgebung U verschwindet. Da φ stetig ist, gibt es eine positive Zahl t0 , so dass f ◦φt ebenfalls außerhalb dieser Umgebung f¨ ur |t| ≤ t0 verschwindet. Man kann deshalb in lokalen Koordinaten rechnen, und es ist hinreichend und notwendig,  d f (φt (x))ρ(x)dx|t=0 = 0 dt M zu beweisen. Die linke Seite l¨ asst sich aber sofort in der gew¨ unschten Art umrechnen. Es gilt   ∂φt (x) d d dx|t=0 f (φ−t (x))ρ(x)dx|t=0 = f (x)ρ(φt (x)) det dt M dt M ∂x  n  d ∂Φk (x) = f (x)ρ(φt (x))(1 + t )dx|t=0 dt M ∂xk k=1  = f (x)(gradρ(x)Φ(x) + ρ(x)divΦ(x))dx M

=



n  ∂(ρΦk )

M k=1

∂xk

f (x)dx.

Hieraus folgt unmittelbar die Behauptung. Satz 87. Der geod¨ atische Fluss auf dem Einheitstangentialb¨ undel einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M besitzt das Riemannsche Volumen µ als invariantes Maß, und damit besitzt der Lagrange-Fluss das invariante Maß L∗ µ. Beweis. Nach dem Satz von Louiville (Satz 86) gen¨ ugt es zu pr¨ ufen, ob die Divergenz divE verschwindet. Dies folgt jedoch sofort aus divE =

∂E ∂E + = q˙ − p˙ = 0. ∂p ∂q

Insbesondere folgt aus diesem Satz, dass auf jeder invarianten Untermannigfaltigkeit ein invariantes Maß existiert. Ist M selbst kompakt, so ist das Maß endlich, im allgemeinen ist es nur σ-endlich. Der Hamiltonsche Fluss kann abstrakt u ¨ber symplektische Mannigfaltigkeiten definiert werden. Eine symplektische Form auf einer Mannigfaltigkeit ist eine nicht-entartete, geschlossene 2-Form ω ([1], S.87). Das bedeutet, dass ω eine glatte Abbildung in das B¨ undel aller antisymmetrischer, geschlossener Bilinearformen ist, insbesondere ordnet ω jedem x ∈ M eine Bilinearform ωx : (Tx M )2 → R mit den Eigenschaften

4.7 Geod¨ atische Fl¨ usse

177

i) ωx (u, v) = −ωx (v, u) ii) dω = 0. zu. Eine Mannigfaltigkeit mit einer symplektischen Form heißt eine symplektische Mannigfaltigkeit, und ein Diffeomorphismus T : M → M heißt symplektisch, falls DT die symplektische Form invariant l¨asst. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass eine symplektische Mannigfaltigkeit eine gerade Dimension 2d besitzen muss, und ω d eine Volumenform ist. Definition 63. Seien (M, ω) eine symplektische Mannigfaltigkeit und H : M → R eine C r+1 -Funktion. Dann ist dH ein Vektorfeld und durch ω(ΦH (x), v) = dH(v)

v ∈ Tx M

wird das Hamiltonsche Vektorfeld ΦH zur Hamiltonschen Funktion H (oder der symplektische Gradient) definiert. Der durch das Vektorfeld ΦH bestimmte Fluss heißt der durch H bestimmte Hamiltonsche Fluss. Die gebr¨ auchliche Formulierung der Hamiltonschen Differentialgleichungen ∂H und p˙i = − ∂H origen ist q˙i = ∂p ∂qi . Dieses Vektorfeld definiert den zugeh¨ i geod¨ atischen Fluss. Dieser Fluss ist aber auch der Hamiltonsche Fluss. Dazu benutzt man den Satz von Darboux ([1], S.95), dass die symplektische Form ω ∂ ) beschrieben werden in passenden lokalen Koordinaten gerade durch ( ∂q∂ i , ∂p i kann. Daher erh¨ alt man ω(ΦH (·), ·) = =

d  i=1

d  i=1

=

(dqi ∧ dpi )(ΦH (·), ·) dqi (ΦH ) ∧ dpi −

d  ∂H i=1

∂pi

dpi +

d  i=1

dqi ∧ dpi (ΦH )

∂H dqi = dH. ∂qi

Man erh¨ alt daher die folgende Version des Satzes 87. Satz 88. Der Hamiltonsche Fluss ist symplektisch und das durch ω d definierte Maß ist invariant. Abschließend sollen noch verwandte Dynamiken angesprochen werden, die jedoch meistens sehr unterschiedliches Verhalten aufweisen. Beispiel 72. Einen Billiard-System erh¨ alt man durch Reflektion an einem Hindernis, das der Bewegung eines Teilchens im Wege steht. Es sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und C1 ,...,Cs seien s Teilmengen von M , die meist als konvexe K¨ orper angenommen werden. Ein Teilchen bewegt sich dann entlang geod¨ atischer Linien mit konstanter Geschwindigkeit bis es auf eines der Hindernisse trifft. Dort wird es reflektiert und bewegt sich danach

178

4 Differenzierbare Dynamik

Konvexes Hindernis

Konvexer Rand

Abb. 4.8. Billiardsystem

entlang der neuen Geod¨ aten weiter (siehe Abbildung 4.8). Spezielle BilliardSysteme erh¨ alt man, wenn sich die konvexen K¨orper so schneiden, dass ein geschlossenes Inneres entsteht. Auf der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe D ist die Bewegung sehr leicht zu veranschaulichen. Man parametrisiert ein v ∈ T D durch (z, θ), wobei z ∈ D durch v ∈ Tz D und θ durch den Winkel der durch v bestimmten gerichteten Geraden mit der Tangente an den Kreis S 1 (im Uhrzeigersinn, und in negativer Zeitrichtung) bestimmt sind. Satz 89. Das Billiard-System auf der Einheitskreisscheibe D besitzt die geschlossenen Bahnen O((z, θ)) mit z ∈ S 1 und θ/π ∈ Q und die invarianten, topologisch transitiven Mengen, die aus allen Punkten (z, θ) mit cos2 θ ≤ |z|2 ≤ 1 besteht, wenn θ/π ∈ Q. Beweis. Der Rand S 1 von D wird von jedem Startpunkt (r, θ) in endlicher Zeit erreicht. Daher gen¨ ugt es, die Poincar´e-Abbildung T : S 1 × [0, π] → S 1 × [0, π] zu betrachten. Sei T (z, θ) = (τ (z, θ), Θ(z, θ)). Eine leichte Rechnung zeigt, dass τ (z, θ) = z exp[−2iθ] Θ(z, θ) = θ. Ist θ/π rational erh¨ alt man geschlossene Bahnen in der Form von eingeschriebenen gleichseitigen Polygonen, bzw. sternf¨ ormigen Polygonen. Im Fall eines irrationalen θ ist die Poincar´e-Abbildung dicht in S 1 und die Bahnen liegen dicht in der Menge {(z, θ) : cos2 θ ≤ |z|2 ≤ 1}.

5 Ergodentheorie und Dynamik

Ergodentheorie entwickelte sich aus dem Bem¨ uhen, die Boltzmannsche Ergodenhypothese zu kl¨ aren, nach der Zeit- und Raummittel in unzerlegbaren Systemen gleich sind. Im Jahre 1931 fand J. von Neumann den ersten allgemeinen Ergodensatz, und deshalb kann man die Geburtsstunde der Theorie auf dieses Jahr festlegen. Sie hat sich schnell zu einem eigenen Forschungsgebiet entwickelt und besch¨ aftigt sich mit Eigenschaften und Klassifizierungen dynamischer Systeme, die eine messbare Struktur besitzen. Die bisherigen topologischen Begriffsbildungen sind daher nur in abgewandelter Form m¨oglich, insbesondere wird Konjugation durch maßtheoretische Isomorphie ersetzt. An dieser Stelle werden jedoch nur die Teile der Ergodentheorie entwickelt, die besonders wichtig f¨ ur andere Teilgebiete der Dynamik sind, und zwar Ergodens¨ atze, Existenz invarianter Maße und Entropie. Der Ergodensatz von George D. Birkhoff wurde etwas vor dem von Neumannschen Resultat publiziert, entstand aber zweifelsfrei sp¨ater. Der urspr¨ ungliche Beweis wurde mehrfach verbessert und f¨ uhrte zu dem heute u ¨blichen Argument, das auf Garcia zur¨ uckgeht. Der Ergodensatz f¨ ur Transformationen mit einem unendlichem invariantem Maß stammt von E. Hopf und wurde von R. Chacon und D. Ornstein im Jahr 1960 auf den Fall von Operatoren verallgemeinert. Geschwindigkeiten der Konvergenz im Ergodensatz k¨onnen mittels eines zentralen Grenzwertsatzes erhalten werden. Die Theorie von M. Gordin von 1968 liefert besonders elegante Resultate. Der Birkoffsche Ergodensatz kann auch als Verallgemeinerung des Kolmogoroffschen starken Gesetzes der großen Zahlen in der Wahrscheinlichkeitstheorie gesehen werden. Letztere wurde von Andrei N. Kolmogoroff etwa zeitgleich mit dem Entstehen der ersten Ergodens¨ atze axiomatisiert. Funktionalanalytische Aspekte waren zu Anfang der Entwicklung dominant. Das wird neben den Ergodens¨atzen auch durch den Isomorphiesatz f¨ ur Transformationen mit reinem Punktspektrum deutlich. Invariante Maße f¨ ur dynamische Systeme spielen eine wichtige Rolle. Das Gauß-Maß in Abschnitt 1.6 und das Liouville-Maß in Abschnitt 4.7 sind zwei bereits bekannte Beispiele. Der Satz von Bogoliuboff (1909–1992) und Nikolai Kryloff (1879–1955) bezeugt das fr¨ uhe Interesse an dieser Fragestellung, fortgesetzt in Arbeiten u.a. von H. Lebesgue, S. Banach, S. Ulam bis hin zu von Neumann und E. Hopf zwischen 1930 und 1940. In Abschnitt 5.2 wird eine

180

5 Ergodentheorie und Dynamik

Methode vorgestellt, die auf Arbeiten von Wolfgang Doeblin basiert und als Doeblin-Fortet Methode benannt werden sollte. Die Ausarbeitung dieser Idee durch Ionescu-Tulcea und Marinescu erfolgte 1948. In der Dynamik wurde sie 1981 auf Transfer-Operatoren angewendet und zur Konstruktion invarianter Maße f¨ ur Intervallabbildungen durch G. Keller benutzt. Diese Methode ist besonders gut f¨ ur offene, expandierende Abbildungen geeignet. Das f¨ uhrt zu einem thermodynamischen Formalismus, der nicht auf Markoff-Zerlegungen basiert. Eine andere Methode der Konstruktion invarianter Maße wird in 5.6 benutzt, um (auch unendliche) invariante Maße auf Markoff-Systemen zu erhalten. Sie ist zu der in Abschnitt 1.6 benutzten Methode ¨ahnlich. Die Theorie unendlicher invarianter Maße wurde wesentlich von E. Hopf beeinflußt. Davon zeugt nicht nur die nach ihm benannte Zerlegung in konservativen und dissipativen Teil. Sie sind besonders hilfreich beim Studium geod¨ atischer Fl¨ usse auf nicht kompakten Fl¨ achen (die von Hopf um 1940 untersucht wurden) und Gruppenerweiterungen mittels lokalkompakter Gruppen. Die Theorie war lange Zeit unstrukturiert, bis (ca. 1980) J. Aaronson Begriffe wie punktweise dual ergodisch“ pr¨ agte. Eine elegante Methode zur ” Behandlung nicht gleichf¨ ormiger Verzerrung wurde zwischen 1970 und 1980 von F. Schweiger eingef¨ uhrt. Sie ist in einer erweiterten Form Grundlage der Darstellung im letzten Teil des Abschnittes 5.6 und verwandt mit der Methode der induzierten Transformationen. Der mathematische Begriff der Entropie tauchte erstmals in den Arbeiten von Claude Shannon (1916–2001) im Jahr 1948 auf, um Kapazit¨aten bei ¨ Ubertragungskan¨ alen in der Informationstheorie zu beschreiben. A. Kolmogoroff machte hieraus um 1955 eine Isomorphieinvariante maßtreuer dynamischer Systeme. Er konnte damit einen Teil der lange bestehenden Fragestellung kl¨ aren, wann Bernoulli-Schifts isomorph sind. Das f¨ uhrte zu der Vermutung, dass Bernoulli-Schifts genau dann isomorph sind, wenn ihre Entropien gleich sind. Die Richtigkeit dieser Vermutung wurde von D. Ornstein 1970 bewiesen (s. Abschnitt 5.5). Die Grundlagen der Entropietheorie entstanden um 1960 durch Kolmogoroff, Sinai und Rochlin. Der wichtige Satz von Shannon, McMillan und Breimann enstand aus sukzessiven Verbesserungen des origin¨ aren Resultates von Shannon durch McMillan und Breiman. Der Abschnitt 5.4 ist Grundlage f¨ ur die Abschnitte 6.1, 6.2 und 6.3. Der Erzeugersatz von W. Krieger, der in Abschnitt 5.5 erw¨ ahnt wird, entstand 1969. Die Bedeutung ergodentheoretischer Ideen f¨ ur die Entwicklung der Dynamik insgesamt wird am besten durch die Arbeiten von Hopf u ¨ber geod¨atische Fl¨ usse verdeutlicht. Sie f¨ uhrten letztlich zur Entwicklung der Theorie hyperbolischer Diffeomorphismen und Fl¨ usse (s. Abschnitt 4.6). Die Einf¨ uhrung konformer Maße durch Samuel J. Patterson im Jahr 1976 hat die Untersuchungen von Sullivan u ¨ber rationale Funktionen (s. Kapitel 2), aber auch die Theorie unendlicher invarianter Maße, wesentlich beeinflusst.

5.1 Maßtheoretische dynamische Systeme

181

5.1 Maßtheoretische dynamische Systeme Ein maßtheoretisches dynamisches System besteht aus einem messbaren Raum (Ω, B), einer messbaren Abbildung T : Ω → Ω und einem nichtsingul¨ arem Maß m. Man schreibt kurz (Ω, B, T, m). Dabei heißt m (bzw. T ) nichtsingul¨ ar, wenn A ∈ B genau dann eine m-Nullmenge ist, wenn T −1 (A) eine m-Nullmenge ist. Das Maß m kann dabei endlich oder σ-endlich sein. Ist es endlich, so wird es stets zu 1 normiert; man betrachtet also in diesem Fall einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, B, m), auf dem eine messbare nichtsingul¨ are Transformation definiert ist. Ein Maß (bzw. Transformation) ist insbesondere dann nichtsingul¨ ar, wenn es invariant ist, d.h. wenn f¨ ur jedes B∈B m(T −1 (B)) = m(B) gilt. Die Menge aller T -invarianter Wahrscheinlichkeitsmaße wird mit M(T ) bezeichnet. Ein maßtheoretisches dynamisches System heißt endlich invariant, falls das Maß eine invariante Wahrscheinlichkeit ist. Ein unendliches (σ-endliches), invariantes dynamisches System besitzt ein unendliches (σendliches), invariantes Maß. T heißt dann auch maßtreu. Die Primitivit¨ at eines solchen Systems wird durch den Begriff der Ergodizit¨ at beschrieben. Anschaulich bedeutet er, dass das System nicht in kleinere invariante Teilsysteme zerlegt werden kann. Definition 64. (Ω, B, T, m) heißt ergodisch, falls jede invariante Menge B ∈ B das Maß Null oder volles Maß besitzt. (B ∈ B, T −1 (B) = B =⇒ m(B) = 0 oder m(B c ) = 0.) In den meisten Anwendungen ist diese Bedingung schlecht nachpr¨ ufbar. Es gibt jedoch eine Reihe von dazu ¨ aquivalenten Eigenschaften, die einfacher nachzuweisen sind (vgl. Abschnitt 5.3). Es sei jedoch bereits jetzt darauf hingewiesen, dass Ergodizit¨ at gleichbedeutend mit der Eigenschaft ist, dass jede f.s. invariante Menge (i.e. m(T −1 (A)∆A) = 0) volles Maß oder Maß Null besitzt. Beispiel 73. Sei Ω = S 1 die Einheitskreislinie versehen mit der Borelschen σ-Algebra. Das (normierte) Lebesgue-Maß L ist unter einer Rotation T (z) = z exp[2πiα] invariant. Es ist nicht schwer zu sehen, dass L genau dann ergodisch ist, wenn α irrational ist. Allerdings ben¨otigt man dazu andere Charakterisierungen der Ergodizit¨ at, die erst im n¨achsten Abschnitt bewiesen werden. Allgemeiner, sei Ω eine lokalkompakte Hausdorffsche Gruppe mit (linkem bzw. rechtem) Haar-Maß m ([12], S.354). m ist nat¨ urlich invariant f¨ ur jede Abbildung x → gx, bzw. x → xg. Ist Ω kompakt, so kann m zu 1 normiert werden. Im anderen Fall ist m unendlich. Erdodizit¨at im kompakten abelschen Fall liegt genau dann vor, wenn an (n ∈ Z) eine dichte Folge ist. Beispiel 74. Seien Ω das Einheitsintervall und L das Lebesgue-Maß. Dann ist L nichtsingul¨ar bzgl. jeder st¨ uckweise differenzierbaren Abbildung T . In der Tat folgt dies sofort aus L(T (A)) = A |T ′ |dL, sofern T|A injektiv ist.

182

5 Ergodentheorie und Dynamik

Beispiel 75. In Abschnitt 4.7 wurde gezeigt, dass das Liouville-Maß invariant unter dem Hamiltonschen Fluss ist (Satz 87). + = X N mit der Borelschen σ-Algebra B. Ist Beispiel 76. Man betrachte ΩX µ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf X, so ist das Produktmaß m = µN invariant unter der Schiebung T ; es ist sogar ergodisch, wie sp¨ater gezeigt wird. Es wird Bernoulli-Maß genannt. Allgemeiner kann man ein MarkoffMaß auf Ω definieren, indem man eine Startverteilung µ auf X und eine stochastische Matrix P = (pij )i,j∈X vorgibt1 . Das Maß m, definiert auf den Zylindermengen durch

m([a0 , ..., an ]) = µ(a0 )pa0 a1 ...pan−1 an , nennt man ein Markoff-Maß. Es ist stets nichtsingul¨ar, und im Fall, dass µ ein linker Eigenvektor der Matrix P zum Eigenwert 1 ist, ist m auch invariant. Beispiel 77. Das Haar-Maß auf Td ist auch unter jedem Torusautomorphismus invariant. Das folgt aus der Tatsache, dass ein Automorphismus durch eine Matrix definiert wird, die die Determinante Eins besitzt. Der Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit eines invarianten Maßes ist eine der fundamentalen Fragestellungen der Ergodentheorie. Das einfachste Resultat ist der folgende Satz 90. [Kryloff, Boglioboff] Ist (Ω, T ) ein stetiges dynamisches System mit kompaktem, separablem Ω, so gibt es ein endliches invariantes Maß. Beweis.
Sei x ∈ Ω fest gew¨ ahlt. Die Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen n−1 µn = n1 k=0 δT k (x) , wobei δz die Punktmasse in z bezeichnet, ist nach dem Satz von Helly-Bray ([5], S.59, Satz von Prohoroff) schwach kompakt. Sie besitzt also einen H¨ aufungspunkt m, der sicherlich T -invariant sein muss. Satz 91. M(T ) ist konvex und seine Extremalpunkte sind gerade alle ergodischen, invarianten Wahrscheinlichkeitsmaße. Beweis. Die Konvexit¨ at ist klar. f¨ ur B, C ∈ B. Da es eine Seien m nicht ergodisch und mB (C) = m(B∩C) m(B) invariante Menge A mit λ = m(A) ∈ (0, 1) gibt, besitzt m eine nicht triviale Darstellung λmA + (1 − λ)mAc , ist also nicht extremal. Umgekehrt, sei m ergodisch mit nicht trivialer Darstellung λµ + (1 − λ)ν, wobei 0 < λ < 1 und µ, ν invariant und ergodisch  sind. Falls es eine Teilmenge A mit µ(A) = 0 ∞ u. invariant mit 0 < m(A0 ) < 1, und ν(A) > 0 gibt, ist A0 = n=0 T −n A f.¨ ein Widerspruch zur Ergodizit¨ at von m. Es folgt also, dass die Maße µ und ν¨ aquivalent sind. Nachdem Satz  von Radon-Nikodym ([12], S.279) besitzen ur beliebiges r ∈ R sie eine Dichte f , d.h. φdµ = φf dν f¨ ur φ ∈ L1 (µ). F¨ und B ⊂ {x : f (x) > r} erh¨ alt man 1

Es gilt also pij ≥ 0 und




j

pij = 1 ∀i

5.1 Maßtheoretische dynamische Systeme

ν(B) − rµ(B) =



B

183

(f (x) − r)µ(dx) ≥ 0,

und in gleicher Weise ν(C) ≤ rµ(C) f¨ ur jedes C ⊂ Fr = {x : f (x) ≤ r}. Dann ist T −1 (Fr ) \ Fr ⊂ {x : f (x) > r}. Wegen ν(T −1 (Fr ) \ Fr ) = ν(Fr ) − ν(T −1 (Fr )∩Fr ) = ν(Fr \T −1 (Fr )) und der analogen Gleichheit f¨ ur µ anstelle von ν folgt nun entweder ν(T −1 (Fr ) \ Fr ) = 0 oder ν(T −1 (Fr ) \ Fr ) > rµ(T −1 (Fr ) \ Fr ) = rµ(Fr \ T −1 (Fr )) ≥ ν(Fr \ T −1 (Fr )) = ν(T −1 (Fr ) \ Fr ). Letzteres kann nicht gelten, also ist ν(T −1 (Fr ) \ Fr ) = µ(T −1 (Fr ) \ Fr ) = 0, also auch m(T −1 (Fr ) \ Fr ) = 0. Es folgt also, dass Fr invariant ist und entweder Maß Null oder Eins besitzt. Folglich ist f = r f.s. f¨ ur ein r ≥ 0. Wegen µ(Ω) = ν(Ω) = 1 kann die Konstante r nur Eins sein. Definition 65. Zwei endliche invariante maßtheoretische dynamische Systeme (Ωi , Bi , Ti , mi ) (i = 1, 2) heißen isomorph, falls es eine messbare Bijektion2 Π : Ω1 → Ω2 gibt, die m1 ◦ Π −1 = m2 und Π ◦ T1 = T2 ◦ Π erf¨ ullt. Man kann stets annehmen, dass der Definitionsbereich von Π T1 -invariant ist. Der Begriff der Isomorphie f¨ uhrt auf der Menge aller maßtheoretischen ¨ dynamischen Systeme eine Aquivalenzrelation ein. Er stellt eine nat¨ urliche Erweiterung der Konjugation in der topologischen Dynamik dar: Sind (Ωi , Ti ) (i = 1, 2) konjugiert verm¨ oge des Hom¨ oomorphismus h : Ω1 → Ω2 , so definiert dies gleizeitig die Isomorphie der maßtheoretischen dynamischen Systeme (Ωi , Bi , µi , Ti ) (i = 1, 2) mit µ1 ∈ M(T1 ) und µ2 = µ1 ◦ h−1 . In den folgenden Abschnitten werden einige Isomorphieinvarianten definiert. Die Vollst¨ andigkeit dieser Invarianten ist in wenigen (aber wichtigen) Spezialf¨ allen bekannt. Beispiel 78. Man betrachte das Einheitsintervall Ω = [0, 1] zusammen mit dem Lebesgue-Maß und der Abbildung T (x) = sx mod1 (s ∈ N), und den + = X N0 , X = {0, 1, ..., s − 1}, zusammen mit dem ProSchiebungsraum ΩX N duktmaß µ , µ(i) = s−1 , und der Schiebung TX . Beide Systeme sind maßtreu + → Ω, definiert durch nach den Beispielen 76. Die Abbildung Π : ΩX
∞ 74 und −k Π((xk )k∈N0 ) = k=1 xk−1 s , ist ein Isomorphismus.

Definition 66. Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, B, m) heißt ein LebesgueRaum, wenn er isomorph zum Einheitsintervall mit dem Lebesgue-Maß ist (mit den jeweiligen identischen Abbildungen). Er heißt standard, wenn Ω ein polnischer Raum und B die zugeh¨ orige Borelsche σ-Algebra ist. Kuratowskis Isomorphiesatz ([24], Bd. 2, S.448) besagt, dass zwei standard Maßr¨ aume stets isomorph sind. Die hier zugrunde liegende Idee u ¨bertr¨agt sich unmittelbar auf dynamische Systeme. Man erh¨alt so 2

eine umkehrbar eindeutige, bimessbare, f.¨ u. definierte Abbildung

184

5 Ergodentheorie und Dynamik

Satz 92. Zwei Transformationen auf Lebesgue-R¨ aumen sind isomorph, falls eine Bijektion Φ0 : B1 → B2 existiert, die die Maße transportiert und mit den Transformationen kommutiert. Eine nichtsingul¨ are Transformation T definiert eine lineare Abbildung f → f ◦ T auf jedem L∞ (m). Diese wird mit U = UT bezeichnet und ist eine Isometrie auf Lp (m) im Fall, dass das Maß invariant ist. Ist T zudem invertierbar, so ist U unit¨ arer Operator auf dem komplexen Hilbertraum L2 (m), denn  U f, U g = f ◦ T g ◦ T dm = f, g.

5.2 Ergodens¨ atze Die Ergodenhypothese postuliert, dass zeitliche und r¨aumliche Mittelungen u ¨bereinstimmen. Im Zeit-diskreten Fall kann das Zeitmittel als Mittelwert  1 n−1 , und das r¨aumliche Mittel als f dm n Sn f , Sn f = f + f ◦ T + ... + f ◦ T geschrieben werden. Stochastisch gesehen bedeutet die Gleichheit der Mittel, dass relative H¨ aufigkeiten gegen die wahre Wahrscheinlichkeit konvergieren (von Mises Zugang zur Wahrscheinlichkeitstheorie). Nat¨ urlich wird in diesem Fall stets die Unabh¨ angigkeit der Beobachtungen angenommen. Es zeigt sich aber in dem ersten Resultat, dass nur Stationarit¨at und Ergodizit¨at ben¨otigt werden. Das zentrale Resultat ist der Birkhoffsche Ergodensatz. In Satz 1 wurde bereits eine vereinfachte Form formuliert und bewiesen. Das wird nun allgemein dargestellt. Sei I die σ-Algebra der invarianten Mengen. Satz 93. [Birkhoff] Sei (Ω, B, T, m) ein maßtheoretisches dynamisches System mit invariantem Wahrscheinlichkeitsmaß m. Dann existiert f¨ ur jedes integrierbare f ∈ L1 (m) der Grenzwert lim

n→∞

1 Sn f = E(f |I) n

f.s. und in L1 (m). Ist T ergodisch, so gilt E(f |I) =



f dm.

Beweis. Der Beweis ist eine erweiterte Fassung des Beweises zum Satz 1. O.E. sei E(f |I) = 0. Seien ǫ > 0 und F = lim supn→∞ n1 Sn f . Dann ist D := {F > ǫ} ∈ I und mit g = (f − ǫ)1D gilt auch D = {supk∈N Sk g > 0}. Sei Mn = max{0, S1 g, ..., Sn g}. Hopfs Maximalungleichung gilt auch allgemein:   gdm ≥ Mn >0 Mn − Mn >0  Mn ◦ T dm (5.1) = Mn dm − Mn >0 Mn ◦ T dm ≥ 0.  Mit dem Satz von der dominierten Konvergenz erh¨alt man D gdm ≥ 0 oder

5.2 Ergodens¨ atze

ǫm(D) ≤



f dm =

D



D

185

E(f |I)dm = 0.

Es folgt m(D) = 0, also ist F ≤ ǫ f.s. L¨ asst man nun ǫ → 0 streben, bedeutet dies F ≤ 0. Die Anwendung dieser Ungleichung auf −f liefert die Behauptung.  Ist T ergodisch, so ist I trivial und also E(f |(I)) = f dm. Der Beweis der Konvergenz in L1 (m) ist nicht schwer. Die Abbildung 5.1 zeigt die Approximation im Ergodensatz f¨ ur die Transformation T (x) = x + √17 mod 1, die Indikatorfunktion f (x) = 1(0.25,0.5] (x) und den Startwert 0 in Abh¨ angigkeit von der Iterationsstufe n.

0.5

0.5

30

60

250

500

Abb. 5.1. Konvergenz der zeitlichen Mittel im Ergodensatz. Detailansicht links.

Im Birkhoffschen Ergodensatz ist als Spezialfall der Neumannsche Satz f¨ ur Transformationen enthalten. Er besagt u.a., dass die Konvergenz auch im quadratischen Mittel gilt. Dieses Resultat besitzt eine allgemeinere Formulierung der folgenden Form. Satz 94. [v. Neumann] Sei V eine Kontraktion eines Hilbertraumes H (i.e. V  ≤ 1) und P die Projektion auf den Unterraum aller V -invarianter
n−1 ur beVektoren. Dann gilt die Normkonvergenz von n1 k=0 V k f gegen P f f¨ liebige f ∈ H. Beweis. Es bezeichne I die Identit¨ at auf H. Auf (V − I)H gilt offenbar
n−1 k
n−1 1 V f → 0 in Norm, und auf F = {f ∈ H : V f = f } n1 k=0 V k f = k=0 n f . Sei g orthogonal zu (V − I)H. Wegen 0 = g, V h − h = V ∗ g − g, h (∀h ∈ H) gilt V ∗ g = g, also auch V g = g. Es folgt also H = F ⊕ (V − I)H und daraus direkt die Aussage des Satzes. Der Birkhoffsche Ergodensatz ist wiederum eine Konsequenz aus dem Satz von Chacon und Ornstein. An dieser Stelle wird eine einfachere Version formuliert und bewiesen (im Allgemeinen kann die letzte Aussage des folgenden Satzes versch¨ arft werden).

186

5 Ergodentheorie und Dynamik

Satz 95. [Chacon, Ornstein] Seien V eine positive Kontraktion auf L1 (m)
n−1 und f, g ∈ L1 (m) mit g ≥ 0, g = 0. Es bezeichne Sn h = k=0 V k h (1 ≤ n ≤ ∞) f¨ ur h ∈ L1 (m). Dann konvergieren die Quotienten Qn (f, g) := SSnnfg f.s. auf Ω0 = {S∞ g = ∞} gegen einen Grenzwert Q(f, g). Ist g > 0 auf Ω und m ergodisch, so ist der Grenzwert  f dm . Q(f, g) =  gdm

Beweis. Der Beweis folgt dem allgemeinen Prinzip des v. Neumannschen Satzes 94. Man zeigt zun¨ achst die f.s. Konvergenz und identifiziert abschließend den Grenzwert.  gdm = 1. Sei Es sei g ∈L+ 1 (m), g = 0 fest und o.E. L = {φg + (I − V )ψ : ∀h ∈ L+ 1 (m) V φh = φV h; φ ∈ L∞ (m), ψ ∈ L1 (m)}.

Man betrachtet zun¨ achst f ∈ L. Wegen Qn (f, g) =

φSn g + (ψ − V n ψ) Sn g

folgt die fast sichere Konvergenz gegen φ aus dem Chacon-Ornstein Lemma: Rn (ψ, g) :=

V nψ → 0 auf Ω0 . Sn g

Um dies zu zeigen,
seien η > 0 und En = {Rn+1 (ψ, g) > η}. Offenbar gen¨ ugt es zu zeigen, dass n∈N 1En < ∞ auf Ω0 gilt. Da 1En ηg + (V n+1 ψ − ηSn+1 g)+ ≤ V (V n ψ − ηSn g)+ ,

folgt durch Integration   η gdm ≤ (V n ψ − ηSn g)+ − (V n+1 ψ − ηSn+1 g)+ dm. En

Summiert man nun u alt man ¨ber n, erh¨ η



g

∞ 

n=1

1En dm ≤



(V ψ − ηg)+ dm < ∞,

und weiterhin, dass lim supn→∞ Rn (ψ, g) ≤ η auf {g > 0} gilt. Da der Limes Superior V -invariant auf Ω0 ist, ist das Chacon-Ornstein Lemma bewiesen, wenn man η → 0 streben l¨ asst, und das bisher gezeigte auf −ψ anstelle von ψ anwendet. Ohne Einschr¨ ankung der Allgemeinheit kann man Ω0 = Ω annehmen, denn sonst betrachte man m|Ω0 . Es muss nun als n¨achstes gezeigt werden, dass

5.2 Ergodens¨ atze

187

L = L1 (m), und dass sich die Konvergenzaussage auf den Abschluss von L u asst. ¨bertragen l¨ Um die erste Behauptung zu verifizieren, zeigt man, dass aus u ∈ L∞ (m) und  uφdm = 0 f¨ ur alle φ ∈ L, schon u = 0 folgt. Offenbar geh¨ort jede Funktion ∗ ψ − V ψ zu L, daher sind solche  2 u V -invariant. Nach folgendem Hilfssatz geh¨ ort ug ∈ L, und somit ist u gdm = 0, d.h. u = 0. Lemma 21. Ist V ∗ u = u, so folgt V (uh) = uV h auf Ω0 f¨ ur alle h ∈ L+ 1 (m).

Beweis. Sei V ∗ v = v ∈ L∞ (m). Da V ∗ ein positiver Operator ist, gilt V ∗ v + ≥ (V ∗ v)+ , und weiterhin   n n   V k gdm V k gdm = (V ∗ v + − v + ) 0 ≤ (V ∗ v + − max(V ∗ v, 0)) =



k=0

v + (V n+1 g − g)dm ≤ 2vL∞ (m)



k=0

gdm < ∞.

Ω0 unbeschr¨ ankt ist, folgt V ∗ v + = v + . Wegen Da  mit n → ∞ auch Sn g auf + ∗ V φdm ≤ φdm (φ ∈ L1 (m)) ist V 1 ≤ 1, und man zeigt in analoger Weise, dass V ∗ 1 = 1 gilt. F¨ ur jedes a ∈ R ist also die Funktion (u−a)+ V ∗ -invariant. Die Indikatorfunktion 1{u≥a} ist monotoner Limes der V ∗ -invarianten Folge n min{(u−a)+ , n1 } und somit selbst invariant. Ebenso ist 1F mit F = {a ≤ u < b} f¨ ur beliebige a, b ∈ R V ∗ -invariant. Die Behauptung des Lemmas erh¨alt man nun aus V (h) = V (1F h) + V (1F c h)   V (1F h)dm = 0 = V (1F c h) Fc

F

V (1F h) = 1F V (1F h) = 1F (V (h) − V (1F c h)) = 1F V (h)

und durch Approximation mittels Treppenfunktionen u ¨ber Mengen der Form von F . Diese zweite Behauptung erfordert etwas mehr Arbeit. Die folgenden Maximalungleichungen stellen dabei das wesentliche Argument dar. Hopfs Maximalungleichung wurde bereits in Satz 93 benutzt. Lemma 22. 1. [Wienersche Maximalungleichung] Ist mg das Wahrscheinlichkeitsmaß gdm, so gilt f¨ ur alle t > 0 $ % 1 mg {Q∗ (f, g) > tf L1 (m) } ≤ , t

wobei Q∗ (f, g) = maxn∈N Qn (f, g) gesetzt wird. 2. [Hopfs Maximalungleichung] Sei f ∈ L1 (m) und fn (x) = supj≤n Sj f . Dann gilt  f dm ≥ 0. {fn >0}

188

5 Ergodentheorie und Dynamik

Beweis. Man beweist zun¨ achst 2. Es gelten f1 = f ≤ f2 ≤ ... und fn ≤ alt man die Ungleichung aus f + V fn+ . Da V eine Kontraktion ist, erh¨     f dm ≥ fn − V fn+ dm ≥ fn+ dm − V fn+ dm ≥ 0. {fn >0}

{fn >0}

Um 1. zu beweisen, benutzt man 2. in der Form  f − sgdm ≥ 0. {(f −sg)n >0}

Da (f − sg)n > 0 ⇐⇒ max1≤k≤n Qk (f, g) > s, folgt die behauptete Absch¨ atzung mit s = tf L1 (m) und dominierter Konvergenz. Die zweite Behauptung folgt nun aus dem Lemma 23. Die Menge L = {h ∈ L1 (m) : Qn (h, g) konvergiert auf Ω0 } ist abgeschlossen. Beweis. Seien h ∈ L, ǫ > 0 und h1 ∈ L mit h − h1 L1 (m) ≤ ǫ2 gew¨ahlt. Definiert man ρ(x, ψ) = lim supn,m→∞ |Qn (ψ, g)(x) − Qm (ψ, g)(x)|, so gilt ρ(x, h) = ρ(x, h − h1 ), und die Wienersche Ungleichung impliziert $ % 1 mg {x : ρ(x, h) > th − h1 L1 (m) } ≤ . 2t

Mit der Wahl t =

1 ǫ

ergibt sich

mg ({x : ρ(x, h) > ǫ}) ≤

ǫ . 2

Mit ǫ → 0 folgt die mg -fast sichere Konvergenz von Qn (h, g) auf Ω. Es muss nun abschließend der Grenzwert identifiziert werden, wenn Ω = {g > 0} und m ergodisch sind. Es seien I die σ-Algebra, die von den V ∗ invarianten Funktionen erzeugt wird, und E(· |I) die bedingte Erwartung bzgl. des Wahrscheinlichkeitsmaßes gdm. F¨ ur f = φg + (I − V )ψ erh¨alt man einerseits      f J gdm = hE h(I − V )ψdm hφgdm + g Ω Ω Ω = hφgdm h ∈ L∞ (m), V ∗ h = h. Ω

∗

Wegen V 1 = 1 gilt andererseits f¨ ur h ∈ L1 (m)      ∗ φhdm = V 1 · φhdm = V (φh)dm = φV hdm = V ∗ φ · hdm,

5.2 Ergodens¨ atze

189

d.h. die Invarianz V ∗ φ = φ. Beides zusammen zeigt, dass φ die bedingte Erwartung von fg gegeben I ist. Da m ergodisch ist, muss I trivial sein, also folgt   f f E( |I) = gdm = f dm. g g

Daraus folgt die Identifikation des Grenzwertes f¨ ur Funktionen in L. Beliebiges f wird durch Funktionen in L approximiert, und diese Approximation zieht sich auf den Grenzwert hin¨ uber. Der folgende Satz besch¨ aftigt sich mit der Konstruktion invarianter Maße und erlaubt es, diese Maße f¨ ur R-expandierende dynamische Systeme zu gewinnen. Seien E ein Banachraum mit Norm  · E und F ⊂ E ein abgeschlossener Unterraum. F besitze eine weitere Norm  · F , so dass die Identit¨at I : (F,  · F ) → (F,  · E ) eine Kontraktion ist. Ein stetiger linearer Operator V : F → F heißt relativ kompakt, falls V  · F -beschr¨ankte Mengen in  · E relativ kompakte Mengen abbildet. Ein Operator V heißt Potenz-stetig, falls supn∈N V n  < ∞. Satz 96. [Doeblin, Fortet, Ionescu-Tulcea, Marinescu] Sei V : F → F ein in beiden Normen stetiger und relativ kompakter Operator, der zudem Potenz-stetig in der Norm  · E ist. Es gelte die Doeblin-Fortet Ungleichung (5.2) V (x)F ≤ rxF + RxE x ∈ F

f¨ ur Konstanten 0 < r < 1 und R ∈ R. Dann besitzt V n (n ∈ N) eine Darstellung p  n λni Vi + W n V = i=1

mit den folgenden Eigenschaften

1. λ1 , ..., λp ∈ S 1 sind Eigenwerte von V , und Vi : F → F (λi ) Projektionen auf den Eigenraum F (λi ) von λi , der endlich-dimensional ist. 2. Vi ◦Vj = 0 (1 ≤ i = j ≤ p), V ◦Vi = Vi ◦V = λi Vi und Vi ◦W = W ◦Vi = 0 (i = 1, ..., p). ur ein q < 1 und jedes n ∈ N. 3. W n F = O(q n ) f¨ Beweis. 1. Schritt: V ist auch in der  · F -Norm Potenz-stetig. Es gilt durch wiederholte Anwendung der D-F Ungleichung (5.2)
m−1 V m (x)F ≤ rm xF + R j=0 rj V m−1−j (x)E m ≤ (rm + R supn∈N V n E 1−r 1−r )xF < M xF

(5.3)

f¨ ur eine von m unabh¨ angige Konstante M ∈ R. 2. Schritt: V besitzt nur endlich viele Eigenwerte vom Betrag 1, und jeder zugeh¨ orige Eigenraum hat endliche Dimension.

190

5 Ergodentheorie und Dynamik

Sei zun¨ achst λ ∈ S 1 ein Eigenwert von V mit Eigenraum F (λ). Ist dann x ∈ F (λ), xE ≤ 1, so gilt xF = |λ−1 |V (x)F ≤ rxF + R, also auch xF ≤ R(1 − r)−1 . Somit ist die Einheitskugel des abgeschlossenen Unterraumes F (λ)  · F -beschr¨ ankt und damit nach Voraussetzung als Bild unter V auch relativ kompakt. Deshalb muss F (λ) endlich-dimensional sein. Angenommen, es gibt eine abz¨ ahlbare Folge λi von Eigenwerten von V in origen Eigenvektoren xi (i ∈ N). Bezeichnet Fn den von den S 1 mit dazugeh¨ Vektoren x1 , ..., xn aufgespannten Unterraum, so gilt (λ−1 n V − I)Fn ⊂ Fn−1 , denn −1 λ−1 n (cn V (xn ) + V (x)) − cn xn − x = λn V (x) − x ∈ Fn−1

x ∈ Fn−1 , cn ∈ C.

W¨ ahlt man nun zn ∈ Fn mit zn E = 1 und zn − yE ≥ 1/2 f¨ ur jedes ur m ≥ 1 y ∈ Fn−1 ([11], S. 578), so folgt wie in (5.3) f¨ m m m −1 λ−m sup V k E n V (zn )F = V (zn )F ≤ r zn F + R(1 − r) k

m λ−m n V (zn ) − zn ∈ Fn−1 m zn − λ−m n V (zn ) − zn +

t λ−t j V (zj )E ≥ 1/2

j = 1, 2, ..., n − 1, t ∈ N.

Man kann also eine Folge m(n) ∈ N (n ≥ 1) so w¨ahlen, dass die Familie m ankt ist. Damit {λ−m n V (zn ) : n ≥ 1; m ≥ m(n)} in der Norm auf F beschr¨ ist die Familie in E relativ kompakt. Das widerspricht aber der Tatsache, dass die Punkte der Familie einen Abstand ≥ 1/2 besitzen, sofern der Index n verschieden ist. Es kann daher nur endlich viele Eigenwerte geben. 3. Schritt: Sei λ ∈ S 1 ein Eigenwert von V . Dann konvergiert n

1  −1 k (λ V ) (x) = Vλ (x) n→∞ n lim

k=1

x∈F

in beiden Normen. Vλ ist die Projektion auf den Eigenraum von λ. Der Operator λ−1 V ist Potenz-stetig in der Norm  · F . Daher sind die
n−1 ankt, also ist ihr Bild auch relativ Vektoren n1 k=0 (λ−1 V )k (x) norm-beschr¨ kompakt in E. Jeder H¨ aufungspunkt z liegt dann in F und ist invariant unter λ−1 V . Mit der Doeblin-Fortet Ungleichung (5.2) und der Invarianz erh¨alt man auch leicht
ndie Konvergenz in der Norm auf F . Sei η > 0. Es gibt dann ur beliebige m ∈ N n ∈ N mit  n1 k=1 (λ−1 V )k (x) − zF < η, und es ist f¨ 

nm m−1 n 1  −1 k 1  −1 k 1  (λ V ) (x) − zF ≤ (λ−1 V )jn (λ V ) (x) − zF nm m j=0 n k=1

k=1

−1

≤ sup (λ l≥1

l

V ) F η.

Daraus folgt die behauptete Konvergenz. Vλ wird als dieser Limes definiert, der nat¨ urlich eine Projektion ist.

5.2 Ergodens¨ atze

191


p

4. Schritt: Sei W = V − k=1 λk Vk , wobei Vk = Vλk gesetzt wird. Dann gilt ur ein q < 1 und 2. W n F = O (q n ) f¨ Es gilt offenbar V ◦ Vi = Vi ◦ V = λi Vi und Vi ◦ Vj = 0 f¨ ur 1 ≤ i, j ≤ p. Ferner ist W ◦ Vi = V ◦ Vi − λi Vi = 0 = Vi ◦ W f¨ ur i = 1, ..., p. Es folgt, dass p  λ2i Vi (5.4) W2 = WV = V 2 − i=1

und weiterhin per Induktion

n

n

W =V −

p 

λni Vi .

i=1

Hat W einen Eigenwert λ vom Betrag 1 mit einen Eigenvektor x, so muss x = λ−1 W (x) = λ−1 V (x) −

p 

(λ−2 λk )Vk (W (x)) = λ−1 V (x)

k=1

gelten, d.h. x ist Eigenvektor zum Eigenwert λ von V . Das ist aber unm¨oglich. Es muss nun nur noch gezeigt werden, dass der Spektralradius ρ = sup{|s| : s ∈ C, I − sW besitzt kein stetiges Inverses} von W strikt kleiner als 1 ist. 1

Da W Potenz-stetig ist, gilt ρ ≤ W n Fn ≤ 1. Die Resolvente R(t, V ) = ur t > 1 und besitzt keinen Pol auf S 1 , da W keinen (tI − W )−1 existiert f¨ 1 ur λ ∈ S 1 der Operator λI−W injektiv. Er Eigenwert in S besitzt. Daher ist f¨ ¨ ist aber auch mit folgender Uberlegung surjektiv. Man w¨ahlt λn → λ, λn > 1. F¨ ur y ∈ F sei dann zn ∈ F mit (λn I − W )(zn ) = y gew¨ahlt. Die Normen zn  sind gleichm¨ aßig beschr¨ ankt, und es gilt zn = λ−1 n (W (zn )+y). Die Folge {W (zn ) : n ≥ 1} ist somit relativ kompakt, besitzt also eine H¨aufungspunkt in der Norm auf E, und damit besitzt auch die Folge zn einen H¨aufungspunkt z ∈ F , der notwendigerweise (λI − W )(z) = y erf¨ ullt. Mit dem Satz von der offenen Abbildung ([11], S. 55) folgt, dass λ zur Resolventenmenge geh¨ort. Da das Spektrum abgeschlossen ist und im offenen Einheitskreis enthalten ur ein ρ < q < 1. ist, gilt W m  = O(q m ) f¨ Beispiel 79. Invariante Maße f¨ ur R-expandierende dynamische Systeme. Es sei (Ω, T ) R-expandierend, also ein expandierendes System mit offener Abbildung T wie in Abschnitt 3.3 definiert. Nach Lemma 9 ist die Anzahl der Urbilder von T lokal konstant, und somit der Frobenius-Perron Operator zu φ ∈ C(Ω),  f (y) exp[−φ(y)], [Fφ f ](x) = T (y)=x

auf C(Ω) wohldefiniert. Die Iterierten sind durch  Fφn f (x) = f (y) exp[−Sn φ(y)] T n (y)=x

192

5 Ergodentheorie und Dynamik

gegeben. Das n¨ achste Lemma ist nicht allzu schwer zu verifizieren und wird im Folgenden ben¨ otigt. Lemma 24. 1. Fφ ist positiv. 2. Falls supn∈N Fφn 1∞ < ∞, ist Fφ auch Potenz-beschr¨ ankt. 3. Seien µ ein nichtsingul¨ ares Maß und m ein bzgl. µ absolut stetiges T n
n−1 1 ′ −k T -invariant und abinvariantes Maß. Dann ist m = n k=0 m ◦ T solut stetig bzgl. µ. 4. F¨ ur f, h ∈ C(Ω) gilt Fφ (f ◦ T · h) = f · Fφ (h). Es sei Lip(s) der Raum aller H¨ older-stetigen Funktionen auf Ω zum Exponenten s, versehen mit der Norm f  = f Lip(s) := Df + f ∞ ;

Df := sup

x=y∈Ω

|f (x) − f (y)| . d(x, y)s

Lemma 25. Seien f, φ ∈ Lip(s). Dann gilt f¨ ur jedes n ≥ 1   s n Fφ f (x) − Fφn f (y) ≤ Df Λ−ns + f ∞ Dφ Λ Fφn 1∞ d(x, y)s . Λs − 1

(Hier ist Λ wie in Lemma 7 erkl¨ art.)

Beweis. Die Urbilder unter T n stehen in eineindeutiger Zuordnung auf Kugeln vom Radius a/2Λ: Bezeichnen x1 , ..., xs s¨amtliche Urbilder von x und a ), so gibt es einen eindeutig bestimmtes Urbild yi von y mit ist y ∈ B(x, 2Λ −n d(xi , yi ) ≤ Λ d(x, y)). Es folgt unmittelbar s n  Fφ f (x) − Fφn f (y) ≤ |f (xi ) − f (yi )| exp[−Sn φ(xi )] i=1

+|f (yi )| exp[−Sn φ(yi )] (1 − exp[Sn φ(yi ) − Sn φ(xi )])   Λs ≤ Df Λ−ns + f ∞ Dφ s Fφn 1∞ d(x, y)s . Λ −1

(5.5)

Man schließt aus diesem Lemma, dass der Frobenius-Perron Operator auf Lip(s) operiert, sofern φ selbst zu diesem Raum geh¨ort. Bekanntlich ist auch jede norm-beschr¨ ankte Menge in Lip(s) relativ kompakt in C(Ω). Daher ist Satz 96 auf jede Potenz Fφn anwendbar, wenn die DF-Ungleichung (5.2) und supn Fφn 1∞ < ∞ gelten. Satz 97. Sei (Ω, T ) ein R-expandierendes dynamisches System. Dann gibt es ein Wahrscheinlichkeitsmaß µ mit Fφ∗ µ = λµ. Ist µ positiv auf offenen Mengen, so gibt es ein invariantes Maß m, das absolut stetig bzgl. µ ist und Radon-Nikodym Ableitung dm dµ ∈ Lip(s) besitzt.

5.3 Ergodizit¨ at und Mischung

193

Beweis. Die Abbildung µ → [Fφ∗ µ(Ω)]−1 Fφ∗ µ ist stetige Abbildung des (schwach) kompakten und konvexen Raumes aller normierten Maße in C(Ω)∗ . Daher besitzt sie einen Fixpunkt µ (Satz von Schauder und Tychonoff, [11], ¨ S.456). Durch Ubergang zu φ + log λ kann λ = 1 angenommen werden. Sei Ui eine Zerlegung von Ω in Mengen positiven Maßes und mit Durchmesser < a/Λ. Die Ungleichung (5.5), angewendet auf f = 1, liefert dann eine Konstante K mit Fφn f (x) ≤ K, max sup i x,y∈Ui F n f (y) φ somit ist

1=



dFφn∗ µ ≥ K −1



µ(Ui )Fφn 1(yi )

i

f¨ ur beliebige yi ∈ Ui . Daher gilt supn Fφn 1∞ < ∞. Wegen Lemma 25 ist aber auch Satz 96 f¨ ur ein hinreichend großes n anwendbar, und es gibt ein ur beliebige stetige Funktionen f gilt h ∈ Lip(s) zum Eigenwert 1 von Fφn . F¨ daher    n n n∗ f ◦ T · h dµ = f ◦ T · h dFφ µ = Fφn (f ◦ T n · h)dµ   = f · Fφn (h)dµ = f · h dµ, d.h. hdµ ist T n -invariant, und der Satz folgt mit Lemma 24.

5.3 Ergodizit¨ at und Mischung Ein maßtheoretisches dynamisches System ist ergodisch, wenn es keine nicht triviale Zerlegung in invariante Teilmengen zul¨ asst (Definition 64). Beispiel 80. Sei T (z) = e2πiα z eine Rotation der S 1 . Ist α = pq rational (p und q seien teilerfremd), so sind f¨ ur z ∈ S 1 die Punkte T j (z) mit j = 0, 1, 2, ..., q−1 alle verschieden. Das Maß m({T j (z)}) = 1q ist invariant und ergodisch, denn eine Bahn l¨ asst sich nicht weiter in invariante, nicht triviale Bestandteile zerlegen. Ist α irrational, so ist das Lebesgue-Maß L invariant. Nach dem Ergodensatz ur jede stetige Funktion f : S 1 → R. Z 93 gilt n1 Sn f → E(f |I) fast sicher f¨ 1 operiert auf S gleichm¨ aßig fastperiodisch und daher auch gleichm¨aßig stetig (s. auch Definition 23 und Satz 34). Daher ist die Grenzfunktion von n1 Sn f stetig, sofern f selbst stetig ist (vgl. Satz von Borel 2). Da dieser Grenzwert auf Bahnen konstant ist, folgt, dass E(f |I) f¨ ur jede stetige Funktion f konstant ist. Das bedeutet aber, dass I trivial ist, d.h. L ist ergodisch. Im Fall endlicher, invarianter Maße kann Ergodizit¨at in vielf¨altiger Weise aume sind hier stets als Banachr¨aume u charakterisiert werden. Lp -R¨ ¨ber dem K¨ orper C zu verstehen.

194

5 Ergodentheorie und Dynamik

¨ Satz 98. Aquivalent zur Ergodizit¨ at ist jede der folgenden Eigenschaften 1. 2. 3. 4.

F¨ ur alle A, B ∈ B+ := {B ∈ B : m(B) > 0} ist supn∈N m(A∩T −n B) > 0. u. konstant. Ist f messbar und UT f = f , so ist f f.¨ u. konstant. Ist f ∈ L2 (m) und UT f = f , so ist f f.¨ F¨ ur alle f, g ∈ L2 (m) gilt n−1 1 k UT f, g = f, 11, g. n→∞ n

lim

k=0

5. Der Eigenwert 1 von UT besitzt die Vielfachheit 1. Beweis. Die Behauptungen ergeben sich unmittelbar aus folgenden Schl¨ ussen zusammen mit einigen trivialen Implikationen. ∞ ∞ 1. Sei B∞ = n=1 Bn , wobei Bn = k=n T −k (B) = T −n+1 (B1 ) gesetzt wird. Da T maßtreu ist, gilt m(Bn ) = m(B1 ). Wegen Bn ⊂ Bn−1 ist damit B∞ eine invariante Menge von positivem Maß, also vom Maß 1. 2. Ergodizit¨ at ⇒ 2.“ Sei Ωkn = {x ∈ Ω : k2−n ≤ f (x) < (k + 1)2−n }. Diese ” Menge ist f.s. invariant; die paarweise Disjunktheit der Ereignisse f¨ ur k ∈ Z ur ein k = k(n) gilt. L¨asst und die Ergodizit¨at implizieren, dass m(Ωkn ) = 1 f¨ man n → ∞ streben, folgert man die Konstanz von f . 3. 3. ⇒ Ergodizit¨ at“ Es sei E eine invariante Menge. Dann ist 1E eine ” quadrat-integrierbare f.s. invariante Funktion, also konstant gleich 1 oder 0 f.s.  4. Der Ergodensatz liefert n1 Sn f → f dm = f, 1. Multiplikation mit g ∈L∞ (m) und Integration liefert die Behauptung 4. f¨ ur beschr¨ankte g. Beliebige quadrat-integrierbare Funktionen g approximiert man durch beschr¨ ankte. 5. Der Kern der linearen Abbildung UT − I hat Dimension 1, falls T ergodisch ist, denn er besteht nur aus konstanten Funktionen nach 3.. Umgekehrt: Besitzt dieser Kern die Dimension 1, so ist er durch die konstanten Funktionen schon vollst¨ andig erkl¨ art. Definition 67. Ein endliches, maßtreues dynamisches System (Ω, B, T, m) heißt schwach mischend, falls f¨ ur alle f, g ∈ L2 (m) n−1 1  k UT f, g − f, 11, g = 0. n→∞ n

lim

k=0

Es heißt mischend, falls f¨ ur alle f, g ∈ L2 (m)

lim UTn f, g = f, 11, g.

n→∞

Aus Definition 67 und Satz 98 ist unmittelbar klar, dass Ergodizit¨at eine schw¨ achere Eigenschaft als schwache Mischung ist, und letztere wiederum schw¨ acher als Mischung ist. Dies wird in der Abbildung 5.2 verdeutlicht. Die

5.3 Ergodizit¨ at und Mischung

195

Abb. 5.2. Vergleich von Ergodizit¨ at und Mischung

dort benutzten Transformationen sind Abbildungen des (flachen) Torus T2 in sich und stellen (von links nach rechts gesehen) die Abbildungen √ √ T1 ((x, y)) = (x + 2, y + 3) mod Z2 (x, y) ∈ T2 , T2 ((x, y)) = (x + 2y, x + y) mod Z2 T3 ((x, y)) = (3x + 2y, x + 3y) mod Z2

(x, y) ∈ T2 (x, y) ∈ T2

und

dar. Die vierzigmalige Iteration des Quadrats {(x, y) : 0 ≤ x, y ≤ 0.1} unter diesen Transformationen ist in Abbildung 5.2 dargestellt. W¨ahrend die erste Abbildung lediglich ergodisch ist, ist die zweite ein hyperbolischer Torusautomorphismus und damit mischend (sie ist sogar Bernoulli (s. Abschnitt 5.5)). Die dritte Transformation ist ebenfalls mischend als Torusendomorphismus (sie ist sogar exakt). Der Unterschied im Erscheinungsbild liegt an der Approximation der verschiedenen stabilen Mannigfaltigkeiten durch die Vorw¨ artsiteration. Interessant ist der folgende Zusammenhang, der als Analogon zu Satz 36 betrachtet werden kann. Es bezeichne B ⊗ B und m ⊗ m die Produkt-σAlgebra und das Produktmaß auf Ω × Ω. Satz 99. Die folgenden Aussagen sind ¨aquivalent: 1. (Ω, B, T, m) ist schwach mischend. 2. (Ω × Ω, B ⊗ B, T × T, m ⊗ m) ist ergodisch. 3. (Ω × Ω, B ⊗ B, T × T, m ⊗ m) ist schwach mischend. Beweis. Man muss nur 2.⇒1. und 1.⇒3. zeigen. Sind A, B ∈ B, so folgt aus 2., Satz 98(4) und der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung

196

5 Ergodentheorie und Dynamik

 ≤ =

N −1 1  m(B ∩ T −i (A)) − m(A)m(B) N i=0

2

N −1 2 1  m(B ∩ T −i (A)) − m(A)m(B) N i=0

N −1 1  m(B ∩ T −i (A))2 − m(A)2 m(B)2 N i=0

−2[m(B ∩ T −i (A)) − m(A)m(B)]m(A)m(B)

→ 0.

Zum Beweis der zweiten Aussage seien A, B, C, D ∈ B. Zun¨achst gilt N −1 1  m ⊗ m(C × D ∩ (T × T )−n (A × B)) N n=0

≤

1 N

N −1  n=0

+ → 0.

−m ⊗ m(A × B)m ⊗ m(C × D)|

m(C ∩ T −n (A)) − m(A)m(C) m(D ∩ T −n (B))

N −1 1  m(D ∩ T −n (B)) − m(B)m(D) m(A)m(C) N n=0

Die schwache Mischungseigenschaft von T ×T gilt also f¨ ur alle Rechtecke, und Approximation beliebiger integrabler Funktionen durch Elementarfunktionen u ¨ber Rechtecke liefert die schwache Mischung von T × T unter m ⊗ m. Ist H ein separabler komplexer Hilbertraum mit Skalarprodukt · , ·, und U : H → H ein unit¨ arer Operator, so ist f¨ ur jedes f ∈ H die Funktion U n f, f  positiv definit und besitzt nach dem Satz von Herglotz ([8], S.242) eine Darstellung der Form  U n f, f  = z n µf (dz) n ∈ Z. S1

µf ist ein eindeutig bestimmtes Maß auf S 1 , das sog. Spektralmaß von f . Die Spektraltheorie f¨ ur normale Operatoren in einem Hilbertraum (s. [11], Kapitel X) liefert in dem hier interessierenden Fall das folgende Theorem. Satz 100. Es gibt ein eindeutig bestimmtes Maß µ = µU , das die Familie {µf : f ∈ H} dominiert. Ferner ist jedes Maß ν ≪ µ als ein µg mit g ∈ H darstellbar, und es gibt eine Abbildung s : H × H → L1 (µ) mit  U n f, g = zsf,g (z)µ(dz). S1

5.3 Ergodizit¨ at und Mischung

197

Man nennt µU den Spektraltyp von U , und im Fall U = UT den Spektraltyp von T . T besitzt ein stetiges Spektrum, wenn UT , eingeschr¨ankt auf die Funktionen f mit verschwindendem Integral, d.h. f dm = 0, ein stetiges Spektrum besitzt. Da das Punktspektrum einer maßtreuen Transformation in S 1 enthalten ist und Eigenfunktionen f zu Eigenwerten = 1 verschwindendes Integral besitzen, hat T genau dann ein stetiges Spektrum, wenn es keinen Eigenwert = 1 gibt. Satz 101. Der Spektraltyp µ einer Transformation T besitzt genau dann ein Atom in z ∈ S 1 , wenn z ein Eigenwert von UT ist. T besitzt genau dann ein stetiges Spektrum, wenn µ keine Atome außer in z = 1 besitzt. Das ist genau dann der Fall, wenn T schwach mischend ist. Beweis. Ist z ∈ S 1 ein Atom von µ, so gibt es ein f ∈ L2 (m) mit U n f, f  = z n f¨ ur n ∈ Z. Das bedeutet aber, dass U f = zf gilt. Nach der Vorbemerkung muss also nur der zweite Teil gezeigt werden, dass schwache Mischung eine Spektraleigenschaft ist. Seien T schwach mischend und λ ein Eigenwert mit Eigenfunktion f . F¨ ur  λ = 1 ist f dm = 0. Weiterhin erh¨ alt man mit der schwachen Mischung f L2 (m) = =

N −1 N −1 1  i 1  i λ f, f  |λ |f L2 (m) = N i=0 N i=0 N −1 1  i U f, f  → 0. N i=0

Also ist f = 0, und es muss λ = 1 gelten. Da T aber auch ergodisch ist, und der Eigenwert dann die Vielfachheit 1 nach Satz 98 haben muss, besitzt T stetiges Spektrum. Umgekehrt  habe T ein stetiges Spektrum. Sei f orthogonal zu den Konstanten, also f dm = 0. Dann gilt f¨ ur g ∈ L2 (m) 2 N −1 N −1  2 1  1  i i U f, g = z sf,g (z)dµ(z) N i=0 N i=0 S 1 N −1   1  = (zy)i sf,g (z)sf,g (y)µ(dz)µ(dy) → 0 N i=0 S 1 ×S 1

mit dem Satz von der majorisierten Konvergenz, da das Maß sf,g µ keine Atome besitzt. Also ist T schwach mischend. Beispiel 81. 1. Die irrationale Rotation T um den Winkel α ist nicht schwach mischend, denn die Funktion fn (z) = z n ist eine Eigenfunktion zum Eigenwert λn = e2πiαn . Der zu T geh¨ orige Spektraltyp besitzt also Atome in Punkten = 1.

198

5 Ergodentheorie und Dynamik

+ 2. Sei m ein invariantes Markoff-Maß auf ΩX , gegeben durch eine endliche ¨ Menge X, einen Startvektor p = (pi )i∈X und eine aperiodische Ubergangsmatrix P = (pij )i,j∈X . Dann gilt

m([a0 , ..., as ] ∩ T −n−s ([b0 , ..., bt ])) = pa0 pa0 a1 ...pas−1 as pnas b0 pb0 b1 ...pbt−1 bt pn = m([a0 , ..., as ])m([b0 , ..., bt ]) as b0 . p b0 Hier bezeichnet pnij das Element der Matrix P n in der i-ten Zeile und jten Spalte. Nach dem Konve