MATLAB-Simulink: Analyse und Simulation dynamischer Systeme, 2.Auflage

Helmut Bode MATLAB-SIMULINK Analyse und Simulation dynamischer Systeme Helmut Bode MATLAB-SIMULINK Analyse und Simul...

Author: Helmut Bode

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Helmut Bode

MATLAB-SIMULINK Analyse und Simulation dynamischer Systeme

Helmut Bode

MATLAB-SIMULINK Analyse und Simulation dynamischer Systeme 2., vollstandig uberarbeitete Auflage Mit 119 Abbildungen, 10 Tabellen und 108 Beispielen

Teubner

Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutscine Bibliotinek verzeicinnet diese Publikation in der Deutscinen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografiscine Daten sind im Internet uber abrufbar. Prof. Dr.-lng. Helmut Bode, geb. 1939, 1957 Berufsabschluss Stahlschiffbauer, 1960 Ingenieur Ingenieurschule Magdeburg, 1967 Dipl.-lng. fur Regelungstechnik TH Magdeburg, 1975 Dr.-lng., 1979/1980 Dozent fur Automatisierungstechnik Universidade „Eduardo Mondlane" Maputo in Mozambique, anschlieBend Lehrverpflichtungen -Facultas docendi- im Fach Regelungstechnik und Prozesssteuerung an derTH Magdeburg, 1989-1992 Projektingenieur in Nurnberg, 1992/1993 Lehrauftrage an der FH Nurnberg, 1993-2003 Professor fur Theoretische Grundlagen automatisierter Systeme an der HTW Dresden.

1. Auflage 1998 2., vollst. uberarbeitete Auflage September 2006

Alle Rechte vorbehalten © B.G.Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006 Der B.G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science-i-Business Media, www.teubner.de Das WerkeinschlieBlichaller seiner Telle ist urheberrechtlichgeschutzt.JedeVerwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fur Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutztwerden durften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, vvvvw.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Morlenbach Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany

ISBN-10 3-8351-0050-5 ISBN-13 978-3-8351-0050-3

Vorwort Die Notwendigkeit der computerunterstutzten Analyse und Synthese dynamischer Systeme und das Vorhandensein leistxingsfahiger Rechner haben zahlreiche Softwareprodukte auf den Markt gebracht. Die in diesem Buch auf die Belange der Analyse und Simulation dynamischer Systeme und der linearen Regelungstechnik angewendete Software M A T L A B ® u n d S i m u 1 i n k ® gehort mit zu den am weitesten verbreiteten Produkten dieser Art. Auf der Grundlage des Prinzips Lehren und Lernen mit dem Computer soil den Studierenden eine Anweisung in die Hand gegeben werden, die es ihnen erlaubt, den in der Vorlesung vorgetragenen Stoff in Form von betreuten und selbstandigen Ubungen am Rechner zu erlemen, zu hinterfragen und zu festigen. Neben den Studierenden richtet sich dieses Buch aber auch an Fachleute aus der Praxis, Forschung und Entwicklung, die entsprechende Aufgabenstellungen zu losen haben. Grundlagen fur die in diesem Buch durchgefuhrten Berechnungen sind: MATLAB Simulink Control System Toolbox Symbolic Math Toolbox

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7.1 6.3 6.2.1 3.1.3

(R14SP3) (R14SP3) (R14SP3) (R14SP3)

Filr das Uberlassen dieser Software bedanke ich mich bei The MathWorks, 3 Apple Hill Drive, Natick, MA 01760-2098 USA und speziell bei Courtney Esposito and Naomi Femandes von The Math Works Book Program. Eine der wesentlichen Voraussetzungen fur die Automatisierung technologischer Prozesse ist die Analyse und Simulation dynamischer Systeme. Die damit im Zusammenhang auftretenden Grundbegriffe werden im ersten Kapitel - Einleitung - behandelt. In die notwendigen Grundoperationen von MATLAB und in die Grundbausteine der SimulinkSignalflussplane wird in dem zweiten und dritten Kapitel eingefuhrt, sie konnen aber nicht die entsprechenden Handbiicher bzw. die M-fiinction help name I doc name ersetzten. Ohne Systemanalyse keine Computersimulation, d.h. die Analyse und Simulation dynamischer Systeme mit einem Softwareprogramm setzt das Vorhandensein mathematischer Modelle voraus. Die Beschreibung des Aufbaus der Modelle konkreter und abstrakter sowie linearer und nichtlinearer Systeme ist Gegenstand des vierten Kapitels. Vertieft werden diese Zusammenhange durch das Aufstellen der mathematischen Beziehimgen zum dynamischen Verhalten an drei physikalisch unterschiedlich konkreten Systemen. Zwei davon liefern das gleiche abstrakte Modell in Form einer linearen Differenzialgleichung 1. Ordnung. Das Zeitverhalten des dritten Systems wird durch eine nichtlineare Differenzialgleichung 1. Ordnung beschrieben. Die dazugehorenden Simulink-Signalflussplane werden angegeben. Fiir eine computergestutzte Simulation ist es notwendig, die mathematischen Modelle der zu simulierenden Systeme in einer geeigneten Form darzustellen. Unter MATLAB/Simulink ist besonders die Darstellung in Form der nichtlinearen bzw. linearen Zustandsraumbeschreibung, d.h. als Vektor-Matrix-Differenzial-Gleichungssystem bzw. als Signalflussplan, geeignet. Die dazu erforderlichen Grundlagen, einschlieBlich der Bildung der nichtlinearen Funktionen und der Linearisierung sind ebenfalls Inhalt des vierten Kapitels.

VI

Vorwort

Gegenstand des fiinften Kapitels ist die Vorgehensweise bei dem Erstellen mathematischer Prozessmodelle an Hand eines mechanischen Systems Stab-Wagen, eines GleichstromScheibenlaufer-Motors, der Vereinigung dieser Systeme zum Inversen Pendel, eines Modellregelkreises, eines spmngfahigen Systems in Form eines elektrischen Netzwerkes sowie eines RLC-Netzwerkes als Bruckenschaltung. Die mathematischen Modelle der im funften Kapitel behandelten Beispiele reprasentieren eine groBe Klasse von nichtlinearen bzw. linearen Systemen, die durch nichtlineare bzw. lineare Differenzialgleichungen im Zustandsraum beschrieben werden. Fiir die linearen Systeme wird auch die Beschreibung durch Ubertragungsflinktionen eingesetzt. Das Bilden der Modelle wird Schritt flir Schritt aufgezeigt, wobei Wert auf das NachvoUziehen moglichst vieler Schritte mit Hilfe der Symbolic Math Toolbox gelegt wurde. Die im funften Kapitel abgeleiteten Modelle werden in der Mehrzahl der spateren Beispiele immer wieder verwendet. Fiir jedes Modell existiert eine in MATLAB geschriehene function, mit der die Daten der Zustandsmodelle bzw. der Ubertragungsflinktionen ausgegeben werden konnen. Die Gliederung der weiteren Kapitel richtet sich im Wesentlichen nach der Vorgehensweise bei der Vermittlung regelungstechnischer Grundlagen. Das sechste Kapitel beinhaltet die Moglichkeiten der Beschreibung linearer, zeitinvarianter Systeme im Zeit- und Frequenzbereich. Das siebente Kapitel hat Testsignale und ihre Zeitantworten zum Inhalt. Die Eigenschaften linearer, zeitinvarianter Systeme und die verschiedenen Arten der Modelltransformation sind Gegenstand des achten Kapitels. Im neunten Kapitel werden die einzelnen Moglichkeiten des Zusammenschaltens zweier Systeme zu einem Gesamtsystem aufgezeigt, wobei die Beschreibung durch tJbertragungsfiinktionen und Zustandsmodelle getrennt behandelt wird. Die MATLAB Codes der vom Verfasser geschriebenen fimctions, Beispiele, Gleichungen sowie einiger Signalflussplane sind unter Funktionm, Beispielm, Gleichungm sowie Signalflussplanmdl auf der Homepage des Verlags unter: http://www.teubner.de/ abgelegt. Mein besonderer Dank gilt unserem Sohn, Dipl.-Ing. Stephan Bode, fur die wertvollen fachlichen Hinweise und fiir die gewahrte Untersttitzung. Herm Dr. Feuchte und Frau McLemore vom B.G. Teubner Verlag danke ich fur die gute Zusammenarbeit und vor allem fiir die aufgebrachte Geduld. Fiir die Untersttitzung zu Fragen von MATLAB und Simulink bedanke ich mich bei Herm Dr.-Ing. N. Nessar von The Math Works GmbH in Ismaning bei Miinchen. Fiir die Hilfe bei dem Auffinden von historischem Material zur Automatisierung mochte ich mich bei Frau Steffi Lange und Frau Corina Schnelle von der Universitatsbibliothek der Ottovon-Guericke-Universitat Magdeburg sowie bei Herm Klaus Wiebelitz von der Bibliothek im DB Museum der Deutschen Bahn AG, Niimberg, bedanken.

Vorwort

VII

Mein Dank richtet sich an Frau Prof. Dr. Elisabeth Flitner vom Institut fur Erziehungswissenschaft der Universitat Potsdam fiir die Hinweise zu dem Begriff der Automatisierimg im Bereich der Soziologie imd Sozialpolitik. Bei meiner Suche nach den Lebensdaten einiger der im Buch aufgefflhrten historischen Personlichkeiten wurde ich durch die Damen der Bibliothek der Hochschule fur Technik und Wirtschaft Dresden, durch Herm Malz von der Abteilung Hochschularchiv an der Universitatsbibhothek der Technischen Universitat Berlin; durch Frau Dagmar Wolff von der Dombauverwaltung Koln; durch Frau Dr. Leonie Becks von der Dombauhutte Koln; durch Frau Carolin Wrede von der Stadt Hagen; durch Frau Iris Putzer von der Landwirtschaftlichen Fakultiit der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universitat Bonn und durch Frau Jutta Schoffel von der Abteilung Historische Drucke der Staatsbibliothek zu Berlin, PreuBischer Kulturbesitz, untersttitzt, dafur sage ich Dank. In diesem Zusammenhang gilt weiterhin mein Dank den Herren Prof. Glaser de Lugo imd Steve Jillson von der California State Polytechnic University Pomona, CA; Herm Dr. Bob Size aus Huntsville, Alabama, ehemals NASA's Marshall Space Flight Center; Talar Kizirian aus dem Archiv der Bibliothek der Harvard University Cambridge, MA und Carol Whittaker vom Benson Ford Research Center Dearborn, MI. Mein Dank ware letztlich unvoUstandig, wenn ich in ihm nicht meine Frau Rosemarie fur das Korrekturlesen sowie fur das sicherlich schwer aufzubringende Verstandnis fur meine zeitraubende Beschaftigung mit den Problemen die dieses Buch entstehen lieBen, einschlieBen wilrde. Fiir Letzteres danke ich auch unseren Kindern Constance mit Daniel und Stephan mit Manja. Postbauer-Heng, im August 2006 Helmut Bode www.bode-heros.de herob(S)bode-heros.de

Inhaltsverzeichnis 1. 2.

Einleitung Einfuhrung in MATLAB 2.1 Eingaben 2.1.1 Direkte Eingabe 2.1.2 Der MATLAB Editor 2.1.3 Indirekte Eingabe uber Skxip-Dateien 2.1.4 IndireJite Eingabe iiber Funktionsdateien 2.2 Kommandos, Operationen, Werte und Funktionen 2.2.1 Niitzliche Kommandos 2.2.2 Gmndoperationen mit den Variablen a und b 2.2.3 Spezielle Werte 2.2.4 Auswahl haufig benotigter Funktionen 2.2.5 Operationen mit komplexen Zahlen 2.3 Matrizen 2.3.1 Matrizen und die Eingabe ihrer Elemente 2.3.2 Information iiber eine Matrix 2.3.2.1 DerTyp einer Matrix 2.3.2.2 Quadratische Matrizen 2.3.2.3 Die mogliche Anzahl quadratischer Untermatrizen einer Matrix 2.3.2.4 Die Determinante einer quadratischen Matrix 2.3.2.5 Singulare und nichtsingulare quadratische Matrizen 2.3.2.6 Der Rang einer Matrix 2.3.2.7 Die Transponierte einer Matrix 2.3.2.8 Die Inverse einer quadratischen Matrix 2.3.2.9 Die Werte der Diagonalelemente einer Matrix 2.3.2.10Die Spur einer Matrix 2.3.3 Spezielle Matrizen 2.3.4 Operationen mit einer Matrix 2.3.5 Operationen mit Matrizen 2.3.5.1 Matrixoperationen 2.3.5.2 Matrixoperationen - Element mit Element 2.3.6 Bilden erweiterter Matrizen 2.3.6.1 Stapeln von Matrizen 2.3.6.2 Aneinanderreihen von Matrizen 2.4 Vektoren 2.4.1 Skalar und Vektor 2.4.2 Vektoren und die Eingabe ihrer Elemente 2.4.3 Operationen mit Vektoren 2.4.3.1 Betrag eines Vektors

1 7 7 7 8 8 8 9 9 10 11 11 12 12 13 14 14 14 15 15 15 16 17 17 18 18 18 19 20 21 21 22 22 23 23 23 24 24 25

X

Inhaltsverzeichnis 2.4.3.2 Abstand zwischen zwei Punkten im dreidimensionalen Raum 2.4.3.3 Skalarprodukt 2.4.3.4 Winkel zwischen zwei Vektoren 2.4.3.5 Vektorprodukt 2.4.4 Operationen mit Vektoren - Element mit Element 2.5 Polynome 2.5.1 Eingabe von Polynomen 2.5.2 Der Grad eines Polynoms 2.5.3 Operationen mit Polynomen 2.5.3.1 Multiplikation von Polynomen 2.5.3.2 Division von Polynomen 2.5.3.3 Addition und Subtraktion von Polynomen 2.5.3.4 Nullstellen bzw. Wurzeln eines Polynoms 2.5.3.5 Berechnung des zu seinen Nullstellen gehorenden Polynoms 2.5.3.6 Wert eines Polynoms an einer vorgegebenen Stelle 2.5.3.7 Ableitung eines Polynoms 2.6 Graphische Darstellungen

25 28 29 29 31 32 32 33 33 33 33 34 35 35 36 36 37

3.

Einfiihrung in Simulink 3.1 Der Funktionsblock 3.2 Eingabe- und Ausgabeblocke 3.2.1 Ubergabe von Daten der Eingangssignale an das Modell 3.2.2 Darstellung der Ergebnisse oder Ausgabe der Daten der Simulation 3.3 Signalverbindungen - Informationsaustausch 3.4 Algebraische Schleifen - Algebraic Loops 3.4.1 Systeme mit proportionalem spnmgfahigem Verhalten 3.4.2 Algebraische Schleifen 3.4.3 Auflosen einer algebraischen Schleife 3.4.4 Einfugen eines ^/geZira/c Constraint-Blockes 3.5 S-Functions 3.6 Maskieren von Systemen 3.7 Embedded MATLAB Functions

41 41 42 42 43 44 47 47 47 47 51 53 53 56

4.

Modellbildung 4.1 Das mathematische Modell 4.1.1 Variable 4.1.1.1 Unabhangige Variable 4.1.1.2 Abhangige Variable 4.1.1.3 Konstruktive und technologische GroBen 4.1.2 Gleichungen 4.1.3 Nebenbedingungen 4.1.4 Artender Simulation mit mathematischen Modellen 4.1.5 Mathematische Modelle und Systeme 4.1.5.1 Auslegungsmodelle 4.1.5.2 Betriebsmodelle 4.1.5.3 Automatisierungsanlage

59 59 59 59 59 59 59 60 60 60 60 60 60

Inhaltsverzeichnis 4.1.5.4 Automatisierungssystem 4.1.5.5 Konkrete und abstrakte Systeme 4.1.6 Mathematisches Modell zweier konkreter linearer Systeme 4.1.6.1 Mathematische Modelle der beiden konkreten linearen Systeme 4.1.6.2 Abstraktes System - mathematisches Modell der linearen Systeme 4.1.6.3 Abstraktes System - Losung der linearen Differenzialgleichung 1. Ord 4.1.6.4 Gesamtbewegung in allgemeiner Form 4.1.6.5 Symbolische Losung mit der M-function t/ra/ve 4.1.7 Signalflussplan eines abstrakten linearen Systems 1. Ord 4.1.8 Mathematisches Modell eines konkreten nichtlinearen Systems 4.1.8.1 Aufgabenstellung 4.1.8.2 Modellbildung 4.1.8.3 Differenzialgleichung des Fiillstandes 4.1.8.4 Signalflussplan des nichtlinearen Systems 4.1.9 Die numerische Losung der Modellgleichungen 4.2 Prozessanalyse 4.2.1 Methoden der Prozessanalyse 4.2.2 Ablauf der Prozessanalyse 4.3 Erhaltungssatz der Masse 4.3.1 Massenbilanz 4.3.2 Energie-Masse-Beziehung 4.4 Erhaltungssatz der Energie - Energiebilanz 4.4.1 Potentielle Energie 4.4.1.1 Masse, in der Hohe h ruhend 4.4.1.2 Kondensator 4.4.1.3 Feder - Schraubenfeder 4.4.1.4 Torsionsstab - Torsionsbeanspruchte Feder 4.4.2 Kinetische Energie 4.4.2.1 Masse, reibungsfrei geradlinig bewegt - Translation 4.4.2.2 Masse, reibungsfrei drehend - Rotation 4.4.2.3 Spule 4.4.3 Dissipation der Energie 4.4.3.1 Kolben, geschwindigkeitsproportional gedampft - Translation 4.4.3.2 Rotierende Scheibe, geschwindigkeitsproportional gedampft 4.4.3.3 Ohmscher Widerstand 4.4.4 Lagrange'sche Bewegungsgleichung 2. Art 4.4.4.1 Die Bewegungsgleichungen 4.4.4.2 Verallgemeinerte Koordinaten 4.4.4.3 Verallgemeinerte Geschwindigkeiten 4.4.5 Warmeenergie 4.4.5.1 Innere Energie - thermodynamisches System 4.4.5.2 Energieanderung durch Warmeubergang 4.4.5.3 Volumenanderungsarbeit 4.4.5.4 Enthalpie 4.4.5.5 Enthalpieanteile 4.4.5.6 Warmeanteile

XI 60 61 61 61 62 62 64 64 65 65 65 66 66 66 67 68 68 69 69 69 70 70 71 71 71 72 72 73 73 73 74 75 75 75 76 76 77 77 77 78 78 78 79 79 79 80

XII

Inhaltsverzeichnis

4.4.5.7 Technische Arbeit 4.5 Erhaltungssatz des Impulses - Impulsbilanz 4.6 Beschreibung im Zustandsraum 4.6.1 Gmndlagen zur Beschreibung konkxeter Systeme 4.6.2 Allgemeine Aussagen zur Beschreibung im Zustandsraum 4.6.3 Geometrische Deutung der Beschreibung im Zustandsraum 4.6.4 Das Zustandsmodell 4.6.5 ZustandsgroBen 4.6.6 Systemgleichungen nichtlinearer dynamischer Systeme 4.6.6.1 Nichtlinear zeitvariables System 4.6.6.2 Nichtlinear zeitinvariantes Systems 4.7 Linearisierung nichtlinearer zeitinvarianter Systeme 4.7.1 Ableitung der Matrizen des linearisierten Systems 4.7.2 Die nichtlineare Vektorfunktion f der Differenzialgleichung 4.7.3 Die nichtlineare Vektorfiinktion g der Ausgangsgleichung 4.7.4 Systemmatrix A 4.7.5 Steuermatrix B 4.7.6 StormatrixB^ 4.7.7 Ausgangsmatrix C 4.7.8 Durchgangsmatrix D der SteuergroBe 4.7.9 Durchgangsmatrix D^ der StorgroBe 4.8 Linear zeitinvariante Systeme in der Standardform 4.8.1 MehrgroBensysteme 4.8.2 Die linearen Systemgleichungen 4.8.3 EingroBensysteme 4.8.4 Lineare Zustandsmodelle mit der M-function s.? 5.

Systeme und ihre mathematischen Modelle 5.1 Das System Stab-Wagen 5.1.1 Verallgemeinerte Koordinaten des Systems Stab-Wagen 5.1.1.1 Schwerpunkt des Stabes 5.1.1.2 Symbohsche Berechnung der Schwerpunktkoordinaten 5.1.1.3 Schwerpunkt des Wagens 5.1.2 System Stab-Wagen - Nichtlineares Modell 5.1.2.1 Verallgemeinerte Koordinaten 5.1.2.2 Kinetische Energien 5.1.2.3 Potentielle Energie 5.1.2.4 Dissipation der Energie 5.1.2.5 Potentiale 5.1.2.6 Nichtlineare Differenzialgleichung des Winkels 5.1.2.7 Nichtlineare Differenzialgleichung des Weges 5.1.3 Die nichtlinearen Differenzialgleichungen des Systems Stab-Wagen 5.1.4 System Stab-Wagen - linearisiertes Modell 5.1.4.1 Linearitatsbereich 5.1.4.2 Vektor-Matrix-Differenzialgleichung fur den Linearitatsbereich 5.1.4.3 Arbeitspunkt

80 81 81 81 82 83 83 84 85 85 85 87 87 88 89 89 90 90 90 91 91 92 92 92 93 94 95 95 96 96 97 97 97 97 97 98 98 98 98 99 100 102 102 103 103

Inhaltsverzeichnis

XIII

5.1.4.4 Vektor-Matrix-Differenzialgleichung des linearisierten Modells 103 5.1.4.5 Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung des linearisierten Modells 104 5.1.4.6 Eigenwerte des Systems Stab-Wagen mit den M-functions eig imd esort.... 104 5.1.5 Signalflussplan des linearisierten Stab-Wagen-Modells 105 5.2 Antrieb - Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor 105 5.2.1 Grundgleichungen - elektrische Seite 105 5.2.1.1 Spannungsbilanz 105 5.2.1.2 Geschwindigkeit eines Seilpunktes 106 5.2.1.3 Im Motor induzierte Spannung 107 5.2.1.4 Differenzialgleichung flir den Ankerstrom 107 5.2.2 Grundgleichungen - mechanische Seite 107 5.2.2.1 Mechanisch-elektrische Kopplimg des Motors 107 5.2.2.2 Beschleunigungsmoment 107 5.2.2.3 Lastmoment 108 5.2.2.4 Gesamtmoment des Motors 108 5.2.2.5 Differenzialgleichung fur die Geschwindigkeit eines Seilpunktes 108 5.2.3 Zustandsbeschreibung des Antriebs 108 5.2.3.1 Vektor-Matrix-Differenzialgleichung 108 5.2.3.2 Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung 108 5.2.3.3 Signalflussplan des Antriebs 109 5.2.3.4 Eigenwerte des Antriebs 109 5.2.4 Vereinfachtes Modell des Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motors 110 5.2.4.1 Mechanische und elektrische Zeitkonstante 110 5.2.4.2 Grundgleichungen - elektrische Seite 110 5.2.4.3 Differenzialgleichung des reduzierten Antriebsmodells Ill 5.2.4.4 Eigenwert des reduzierten Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motors Ill 5.2.4.5 Reduzieren der Modellordnung mit den M-functions modred und ssdelete ..111 5.2.4.6 Signalflussplan des reduzierten Modells 112 5.2.4.7 Funktion zur Berechnung der Modellgleichungen 112 5.3 Inverses Pendel 113 5.3.1 Die Seilkraft als KoppelgroBe zwischen den Teilsystemen 113 5.3.2 Vektor-Matrix-Differenzialgleichung 114 5.3.3 Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung 115 5.3.4 Eigenwerte des Inversen Pendels, die M-functions eigunA esort 115 5.3.5 Funktion zur Berechnung der Modellgleichungen 115 5.3.6 Signalflussplan des Inversen Pendels 116 5.4 Modellregelkreis 116 5.4.1 Die Regelstrecke 117 5.4.1.1 Die SystemgroBen 117 5.4.1.2 Die Zustandsgleichungen 118 5.4.1.3 Die Ausgangsgleichungen 119 5.4.1.4 Das mathematische Modell im Zustandsraum 119 5.4.1.5 Ausgangsgleichung und Matrixubertragungsflinktion 119 5.4.1.6 AusgangsgroBe Kondensatorspannung iiber C2 120 5.4.1.7 AusgangsgroBe Gesamtstrom der Regelstrecke 121 5.4.2 Soll-Istwert-Vergleicher 121

XIV

6.

Inhaltsverzeichnis

5.4.3 PI-Regler 5.4.4 Stellglied 5.4.5 Signalflussplan des Modellregelkreises in der Standardform 5.4.5.1 Ubertragungsflinktionen der offenen Kette 5.4.5.2 Gleichungen des Regelkreises 5.4.5.3 Fiihrungsubertragungsflinktion 5.4.5.4 Storiibertragungsfunktion 5.4.6 Fehlerflinktionen des geschlossenen Systems 5.4.6.1 Allgemeine Beziehung 5.4.6.2 Fehlerfiinktion bei Anderung der FiihrungsgroBe 5.4.6.3 Fehlerfiinktion bei Anderung der StorgroBe 5.4.6.4 Funktion znr Berechnung des Modellregelkreises 5.5 Elektrisches Netzwerk - sprungfahiges System 5.5.1 Das mathematische Modell 5.5.2 Lineare, zeitinvariante Differenzialgleichung 2. Ordnung 5.5.3 Ubertragungsfiinktion des sprungfahigen Netzwerkes 5.5.4 Zustandsraummodell 5.5.5 Funktion zur Berechnung der Matrizen des Netzwerkes 5.6 RLC-Netzwerk als Bruckenschaltung 5.6.1 Mathematisches Modell 5.6.1.1 Maschengleichungen 5.6.1.2 ZustandsgroBen 5.6.1.3 Differenzialgleichungen der ZustandsgroBen 5.6.1.4 Ausgangsgleichung 5.6.2 Vektor-Matrix-GIeichungen des Zustandsmodells 5.6.3 Signalflussplan der Bruckenschaltung 5.6.4 Funktion zur Berechnung der Modellgleichungen 5.6.5 Ubertragungsfiinktion der Bruckenschaltung 5.6.6 Parameterproportionen der Bruckenschaltung

122 123 124 124 125 125 125 126 126 126 127 127 127 128 129 129 129 131 131 132 132 133 133 133 134 134 135 135 135

Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter Systeme 6.1 Lineare Ubertragungsglieder 6.1.1 Eindeutigkeit und Linearitat 6.1.1.1 Eindeutigkeit 6.1.1.2 Linearitat 6.1.2 Aktive und passive Ubertragungsglieder 6.1.2.1 Aktive Ubertragungsglieder 6.1.2.2 Passive UbertragungsgHeder 6.1.3 Speichervermogen von Ubertragungsgliedem 6.1.4 Prinzipien linearer Ubertragungsglieder 6.1.4.1 Prinzip der Zeitinvarianz 6.1.4.2 Prinzip der Homogenitat 6.1.4.3 Prinzip der Superposition 6.1.4.4 Prinzip der Rilckwirkungsfreiheit 6.1.4.5 Prinzip der Linearitat 6.1.4.6 Prinzip der Ortsunabhangigkeit der Systemparameter

137 137 137 138 138 138 138 139 139 139 139 139 139 140 140 140

Inhaltsverzeichnis 6.1.4.7 Grundeigenschaften eines Systems 6.2 Lineare Differenzialgleichungen und ihre Losung 6.2.1 Grundlagen 6.2.2 Numerische Losung von Differenzialgleichungen 6.2.2.1 Zustandsgleichungen ilir sprungfahige EingroBensysteme 6.2.2.2 Losung der Dgl. eines EingroBensystems mit der M-fiinction ode45 6.3 Die Laplacetransformation 6.3.1 Definition der Laplacetransformation 6.3.2 Die M-fLmctions laplace und ilaplace 6.3.3 Regeln fur das Rechnen mit der Laplacetransformation 6.3.3.1 Additionssatz 6.3.3.2 Ahnlichkeitssatz 6.3.3.3 Dampfiingssatz 6.3.3.4 Verschiebungssatz 6.3.3.5 Differenziationssatz 6.3.3.6 Integralsatz 6.3.3.7 Anfangswertsatz 6.3.3.8 Endwertsatz 6.3.4 Losen von linearen, zeitinvarianten Differenzialgleichungen 6.3.4.1 Die Laplacetransformierte einer Differenzialgleichung 6.3.4.2 Partialbruchzerlegung 6.4 Die Ubertragungsfimktion 6.4.1 tjbertragungsfunktion in der Polynomform 6.4.1.1 Polynomform mit der M-fimction tf 6.4.1.2 Systemparameter mit den M-fiinctions tfdata und celldisp 6.4.1.3 Pole und NuUstellen mit der M-functionpzOTop 6.4.2 Ubertragungsflinktion in der Pol-Nullstellen-Form 6.4.2.1 Pol-Nullstellen-Form mit der M-fLmction Z/JA: 6.4.2.2 Systemparameter mit der M-flinction z/iWato 6.4.3 Ubertragungsflinktion in der Zeitkonstantenform 6.5 Der Frequenzgang 6.5.1 Die Antwort auf ein komplexes harmonisches Eingangssignal 6.5.2 Die Ortskurve als graphische Darstellung des Frequenzganges 6.5.3 Berechnung der Ortskurve mit der M-function nyquist 6.5.4 Spezielle Punkte der Ortskurve 6.5.4.1 CO = 0 bei Ubertragungsgliedem mit Ausgleich 6.5.4.2 ft) = 0 bei Ubertragungsgliedem ohne Ausgleich 6.5.4.3 ft) ^ CO bei Ubertragungsgliedem mit oder ohne Ausgleich 6.6 Das Frequenzkennlinien-Diagramm 6.6.1 Systeme minimaler Phase und Allpassglieder 6.6.2 Logarithmischer Amplituden- und Phasengang 6.6.2.1 Zerlegung des Frequenzganges in seinen Real- und Imaginarteil 6.6.2.2 Zerlegung des Frequenzganges in seine Amplitude und Phase 6.6.3 Amplituden- und Phasengange mit der M-function bode 6.6.4 Bode-Diagramme typischer Grundglieder 6.6.4.1 Das Proportionalglied, P-Glied

XV 140 141 141 141 143 143 144 145 146 147 147 148 149 149 150 151 152 152 153 153 156 160 160 161 162 163 164 165 166 167 168 168 169 170 171 171 171 172 174 174 175 175 175 176 177 177

XVI

Inhaltsverzeichnis

6.6.4.2 Verzogenmgsglied 1. Ordnung, Ti-Glied 6.6.4.3 Das Integrierglied, /-Glied 6.6.4.4 Vorhaltglied 1. Ordnung, Toi-Glied 6.6.4.5 Differenzierglied, ideales £>-Glied 6.6.4.6 Schwingungsglied, r2d-Glied 6.6.5 Bode-Diagramme von Systemen nichtminimaler Phase 6.6.5.1 Das Allpassglied 6.6.5.2 Das Totzeitglied - 7;-Glied 6.7 Das Wurzelortverfahren 6.7.1 Einflihrung 6.7.2 Die Methode der Wurzelortskurve nach Evans 6.7.2.1 Die Wurzelortskurve mit den M-fiinctions rlocus imd rlocfind 6.7.2.2 Grundlegende Regeln des Wurzelortsverfahrens 6.7.3 Die Wurzelortskurve mit der M-flinction r/too/ 6.7.4 Das Wurzelortverfahren fur beliebige Parameter

177 180 181 182 182 185 185 186 188 188 191 191 192 198 199

7.

Testsignale und Zeitantworten 7.1 Anfangswertantwort mit der M-fiinction initial 7.2 Sprungantwort - Ubergangsfunktion 7.2.1 Einheitssprung 7.2.2 Sprungantwort 7.2.3 Ubergangsfunktion 7.2.4 Die Ubergangsfunktion mit der M-ftmction step 7.3 Impulsantwort - Gewichtsfunktion 7.3.1 Die Impulsfunktion 7.3.2 Die StoBflmktion 7.3.3 Die Gewichtsfunktion 7.3.4 Die Gewichtsfunktion mit der M-fiinction impulse 7.4 Antwort mit der M-function Isim auf beliebige Signale 7.5 Der LTI Viewer mit der M-flinction Itiview

205 205 207 207 207 207 208 209 209 210 211 212 213 216

8.

Systemeigenschaften 8.1 Das Schwingungsglied 8.1.1 Differenzialgleichung eines Schwingungsgliedes 8.1.2 Ubertragungsfunktion eines Schwingungsgliedes 8.1.3 KenngroBen eines Schwingungsgliedes 8.1.4 Die Gewichtsfunktion eines Schwingungsgliedes 8.1.5 Die Ubergangsfunktion eines Schwingungsgliedes 8.1.6 Die Einhiillenden der Ubergangsfunktion 8.1.7 Eigenschaften eines Ubertragungsghedes mit der M-fiinction damp 8.2 Stationare Verstarkung mit der M-flinction dcgain 8.3 Eigenschaften der Systemmatrix A 8.3.1 Losungsansatz fur die Eigenbewegung des Systems 8.3.2 M-functions/)o(v, roots und eig zur Berechnung von SystemgroBen 8.4 Stabilitat linearer Systeme 8.4.1 Losungen der charakteristischen Gleichung

217 217 217 217 218 219 219 219 220 221 223 224 226 227 228

Inhaltsverzeichnis 8.4.2 Das Hurwitz-Kriterium 8.4.3 Von der offenen Kette zum geschlossenen Kreis 8.4.4 Das Nyquist-Kriterium 8.4.5 Das allgemeine Nyquist-Kriterium 8.4.6 Berechnung von Stabilitatswerten mit der M-function margin 8.4.7 Stabile offene Systeme mit Totzeit .5 Normalformen der Systemmatrix 8.5.1 Transformation der Zustandsgleichungen in die Diagonalform 8.5.1.1 Die Systemmatrix A 8.5.1.2 Transformation der Standardform in die Diagonalform 8.5.1.3 Von der Standard- in die Diagonalform mit der M-function canon 8.5.2 Regelungsnormalform fiir EingroBensysteme 8.5.2.1 Regelungsnormalform aus der Standardform 8.5.2.2 Regelungsnormalform aus der Ubertragungsfunktion 8.5.2.3 Regelungsnormalform mit der fimction rnj'orm.m 8.5.3 Beobachtungsnormalform fur EingroBensysteme 8.5.3.1 Analogien zwischen der Beobachtungs- und Regelungsnormalform 8.5.3.2 Beobachtungsnormalform mit der function bnj'orm 8.5.4 Regelungs- und Beobachtungsnormalform mit der M-function ss2ss .6 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit 8.6.1 Steuerbarkeit 8.6.2 Kriterium der Steuerbarkeit nach Kalman 8.6.2.1 Die Steuerbarkeitsmatrix und ihr Rang 8.6.2.2 Steuerbarkeitstest mit der M-fiinction ctrb und anderen M-flinctions 8.6.3 Beobachtbarkeit 8.6.4 Kriterium der Beobachtbarkeit nach Kalman 8.6.4.1 Die Beobachtbarkeitsmatrix und ihr Rang 8.6.4.2 Beobachtbarkeitstest mit der M-function obsv und anderen M-functions 8.6.5 Kanonische Zerlegung eines Systems 8.6.5.1 Zerlegung nach seiner Steuerbarkeit mit der M-function ctrbf. 8.6.5.2 Zerlegung nach seiner Beobachtbarkeit mit der M-function obsvf. 8.6.6 Minimalkonfiguration eines Systems 8.6.6.1 Die Matrixilbertragungsfiinktion und die Ausgangsgleichungen 8.6.6.2 Die M-flmction minreal zur Bestimmimg der Minimalkonfiguration .7 Transformationen 8.7.1 Zustandsmodelle 8.7.1.1 Transformation in die Polynomform mit der M-function ss2tf. 8.7.1.2 Transformation in die Polynomform mit der M-flinction tf. 8.7.1.3 Transformation in die Pol-Nullstellen-Form mit der M-fiinction ss2zp 8.7.2 Ubertragungsflinktion in Polynomform 8.7.2.1 Transformation in ein Zustandsraummodell mit der M-fiinction tfiss 8.7.2.2 Transformation in die Pol-Nullstellen-Form mit der M-flinction tflzp 8.7.2.3 Transformation in Partialbriiche mit der M-function residue 8.7.3 Ubertragungsflinktion in Pol-Nullstellen-Form 8.7.3.1 Transformation in ein Zustandsmodell mit M-fm\c\ion zp2ss 8.7.3.2 Transformation in die Polynomform mit M-function zp2tf

XVII 230 231 232 233 234 236 239 239 239 240 241 243 243 244 246 248 248 249 250 251 251 253 253 253 254 256 256 256 257 257 259 261 261 262 265 265 266 267 268 269 269 270 270 271 271 271

XVIII

9.

Inhaltsverzeichnis

8.7.4 Signalflussplan 8.7.4.1 Linearisierung mit der M-function linmod SJA.2 Mit der M-function linmod in den Zeit- oder Frequenzbereich 8.7.4.3 Mit den M-flinctions blkbuild, connect in ein Zustandsmodell

272 272 273 274

Zusammenschalten von Systemen 9.1 Beschreibung durch Ubertragungsflinktionen 9.1.1 Reihenschaltung mit der M-function series 9.1.2 Parallelschaltung mit der M-flinction/laraZ/e/ 9.1.3 Riickflihrschaltung mit der M-function feedback 9.2 Beschreibung durch Zustandsgleichungen 9.2.1 Vereinigung nicht gekoppelter Systeme mit der M-function append 9.2.2 Reihenschaltung mit der M-function series 9.2.3 Parallelschaltung mit der M-fiinction/>ara//e/ 9.2.4 Ruckfuhrschaltung mit der M-fanciionfeedback

275 275 275 276 277 279 280 280 283 286

Literaturverzeichnis

291

Verzeichnisse Stichworter Namen M-flmctions Beispiele und Gleichungen Eigene functions und Signalflussplane

295 295 300 301 303 304

1. Einleitung Zielstellung dieses Buches ist die Vermittlung von Wissen iiber die Mogliclikeit das dynamische Verhalten technischer Systeme - Anlagen - mit Hilfe von Reclinem' so zu simulieren, dass daraus Rilckschliisse auf ihre Steuerbarkeit gezogen und Entscheidungskriterien flir die Automatisierung-, d.h. fur den gefahrlosen, wirtschaftliclien und qualitatsgerechten Betrieb der real existierenden Systeme gefimden werden. wesentlich ^\^^ unwesentlich

Xunwesentlich^ /^'^'~iil

^/"^"V^_::fig^

Umwelt

^^^^X_

wesentlich

nH—1./^^~^~^

/

^ N^^^M^J^^^''--... \r System 'j>
wesentlich ^ Bild 1.1 Konkretes System

Das im Bild 1.1 dargestellte "Konkrete System" bestehend aus einem abgeschlossenen Verband untereinander festverkoppelter Elemente mit Kopplungen zu seiner Umwelt. Zum naheren Verstandnis der im weiteren Verlauf immer wieder verwendeten Begriffe werden diese nachfolgend definiert, was bei dem Auftreten neuer Begriffe fortgesetzt wird. Wenn nicht ' Gewohnlich auch als Computer bezeichnet. ^ Der Begriff "Automatisierung" ist im liier verwendeten Sinne zu Beginn des 20. Jli. im deutschen Sprachgebrauch aufgetaucht, so z.B. bei dem Bau und der Ausriistung von Kraftwerl<en [Beel<-1924], der Automatisierung von Wasserlcraftwerlcen [Piche-1931], der Automatisierung in der Mengenfertigung [Dolezalelc-1938] usw., so dass die in meinem Buch "MATLAB in der RT" auf die 19. Auflage, 2. Band (1987), S. 409, des Brockhaus bezogene Aussage "Der Begriff der Automatisierung ... wurde 1936 von dem Ford-Manager D.S. Harder eingefiihrt." nicht zutrifft. Nach [Nevins/Hill u.a.-1962] hat D. S. Harder 1947 bei der Ford Motor Company ein "Automation Department" eingerichtet, so dass er wohl der Erste war, der Ingenieure nur flir Automatisierungsaufgaben eingesetzt hat. Delmar S. Harder - * 19.03.1892 Delhi, NY fSeptember 1973 - war bis Mai 1962 bei der Ford Motor Company tatig. Zu etwa der gleichen Zeit, wie D. S. Harder, fuhrte John Theurer Diebold - *8.6.1926 Weehawken, NJ t26.12.2005 Bedford Hills, NY - an der Harvard Business School ebenfalls das Word "automation" ein. Siehe auch [Diebold1956]. Materialien zur Beurteilung der okonomischen und sozialen Folgen der Automation sind in [Pollock-1964] enthalten. Die neuen Aspekte der Automatisierung in Deutschland/Amerika und Sowjetrussland werden popularwissenschaftlich in [Roeper-1958] behandelt. In der Soziologie und Sozialpolitik taucht dieser Begriff schon wesentlich friiher bei [Weber-1908] dahingehend auf, dass "»Uebung« von Arbeitsleistungen stets wesentlich auch cine »Automatisierung« von urspriinglich im BewuBtsein artikulierten Willensimpulsen ist".

2

1 Einleitung

ausdrilcklich anders angefiihrt, werden die hier gegebenen Defmitionen fiir dieses Buch als verbindlich angenommen. System Unter einem System ist die Gesamtheit von Objekten (Elementen) zu verstehen, die sich in einem ganzheitlichen Zusammenhang befinden. Durch ihre Wechselbeziehungen untereinander grenzen sie sich gegentiber ihrer Umgebung ab. Die Kopplungen der einzelnen Objekte untereinander sind wesentlich starker, als die Kopplungen bzw. Wechselwirkungen zur Umwelt. Anlage Die Gesamtheit der maschinellen und anderen Ausrilstungen eines Betriebes, die zur Produktion oder Fertigung (Produktions- oder Fertigungs-Anlage), zur Energieerzeugung (Kraft-Anlage), zu Forder- oder Transportzwecken (Forder- oder Transport-Anlage), u.a. erforderlich sind, werden als Anlage bezeichnet. Technologischer Prozess Bin technologischer oder auch technischer Prozess ist ein sich iiber eine gewisse Zeit erstreckender strukturverdndernder Vorgang, bei dem Stoffe, Energien oder Informationen transportiert bzw. umgeformt werden. Ein Prozess Iduft in einem konkreten System ab. Die Simulation ermoglicht es, den in einem bereits vorhandenen bzw. noch zu entwerfenden System ablaufenden technologischen Prozess zu untersuchen. Sie kann dabei unabhangig von dem Gefahrenpotential des technologischen Prozesses, seinen materiellen Werten sowie den Geschwindigkeiten des Prozessablaufs durchgefUhrt werden. Die bei der Simulation gewonnenen Kenntnisse, auf den real existierenden Prozess iibertragen, dienen dazu ihn so zu entwerfen, dass er die an ihn gestellten Forderungen erflillt. Simulation Die Simulation eines Systems, gleichgtiltig welcher Art, erfordert sein physikalisches, technisches oder abstraktes bzw. mathematisches Modell. Die Simulation mit Hilfe eines abstrakten bzw. mathematischen Modells setzt die Analyse des Systems voraus! Ohne System-Analyse, kein mathematisches Modell! Ohne mathematisches Modell, keine Computer-Simulation! Die hier behandelten Systeme lassen sich durch nichtlineare und lineare bzw. linearisierte mathematische Modelle beschreiben. Vielfach dient das geschaffene mathematische Modell dem Ziel, das dynamische Verhalten des betrachteten Systems - Regelstrecke - durch eine noch zu schaffende Regeleinrichtung - Regler - im Sinne der Automatisierung gezielt zu beeinflussen. Die Synthese bzw. der Entwurf geeigneter Regler ist Gegenstand der Regelungstechnik. Sie beruht auf dem Prinzip der Riickkopplung. Die einfachste Struktur einer Regelung ist der in Bild 1.2 dargestellte einschleifige Regelkreis.

StorgroSe

u(t)

y(t)

RegelgrbBe

A

z(t)

Regelstrecke

StellgrbSe

u(t)

e(t)l4

o*

Regelfehler.

Fuhrungsgrol^e^

>.

w(t)

Regler

Bild 1.2

Der einschleifige Regelkreis, als einfachste Form einer Regelung

Der einschleifige Regeliireis besteht aus der Regelstrecice mit der zu regelnden GroBe y(t), die standig gemessen und mit der FuhrungsgroBe w(t) - Sollwert - verglichen wird. Der aus dem Vergleich resultierende Regelfehler e(t)=w(t)-y{t) wird im Regler entsprechend dessen Charakteristik zur StellgroBe u{t) verarbeitet. Mit der StellgroBe ist die Regelstrecke so zu beeinflussen, dass die als Folge einer Storgrofle z{t) hervorgerufene Abweichung der RegelgroBe kompensiert wird. Voraussetzung fur eine Kompensation der Stoning ist die Umkehr des Signalvorzeichens im Regelkreis - negative Rtickkopplung. Die Regelungstechnik gehort neben der Steuerungs- und Nachrichtentechnik, der Physiologic, der Mengenlehre und der mathematischen Logik zu den Wurzeln der Automatisierungstechnik, wobei diese die Mittel und Methoden zur Verfligung stellt, die fflr die Automatisierung von Prozessen aller Art notwendig sind. Automatisierung Automatisierung ist das Ersetzen formalisierbarer geistiger Arbeit des Menschen durch technische Mittel zur zielgerichteten Beeinflussung von Prozessen. Die Vorstufe auf dem Weg zur Automatisierung ist die Mechanisierung. Mechanisierung Die Mechanisierung beinhaltet die Ubergabe schwerer korperlicher, gesundheitsschadlicher und zeitraubender Arbeiten des Menschen an Maschinen, welche die Befehleftir die Ausfiihrung ihrer Operationen vom bedienenden Menschen erhalten. Die Mittel und Methoden zur Losung technischer Probleme im Sinne einer Automatisierung gehen im Wesentlichen auf die weitgehend allgemeingultigen Methoden und Betrachtungsweisen der Kybernetik zuriick. Die Kybernetik ist aus der Tatsache entstanden, dass bei den verschiedensten Wissenschaftsdisziplinen, wie z.B. der Mathematik, Technik, Biologic, Psychologic, Soziologie, Okonomie, immer wicder analogc Probleme und GesctzmaBigkeiten auftreten, die cine ilbergeordnetc Wissenschaft vermuten lassen. Fiir diese ilbergeordnetc Wissenschaft pragten Norbert Wiener^ und Vertreter aus seinem wissenschaftlichen Umfeld den Begriff "Cybernetics" bzw. Kybernetik, was in Wieners 1948 erstmalig erschienenem Buch "Cybernetics or Control and Communi3 Wiener, Norbert *26.11.1894 Columbia (USA) f 18.3.1964 Stoclcholm, Mathematiker, Kybernetiker

4

1 Einleitung

cation in the Animal and the Machine", in Deutsch Kybernetik - Regelung und Nachrichtenubertragung in Lebewesen und Maschine [Wiener-1968], anschaulich beschrieben ist. Die Kybernetik hat sich trotz oder wegen ihres integrierenden Charakters zwischen den einzelnen Wissensgebieten nicht als eine selbstandige, ubergeordnete Disziplin durchsetzen konnen, da der notwendige Wissensumfang fur die Kybernetiker viel zu umfangreich sein wiirde. Die in der Bliitezeit der Kybernetik als ihre modemste und leistungsfahigste Errungenschaft postulierten universell programmierbaren Analog- und Digitalrechner [Peschel-1972], die den Menschen von routinemaBiger geistiger Arbeit befreien, sind Gegenstand der Informatik, einer selbstandigen Wissenschafl, ohne die eine Automatisierung heute nicht mehr denkbar ist. Kybernetik Die Kybernetik stellt eine allgemeine Systemtheorie dar. Ihr Anwendungsbereich ist die gesamte objektive Realitdt, in der Begriffe wie System, Information, Signal, wesentliche und unwesentliche Kopplungen sowie Einflussgrofien auftreten. Zur Konkretisierung des oben definierten Systems werden nachfolgend die Kopplungen zwischen den Objekten eines Systems sowie zwischen dem System und der Umwelt beschrieben. Wesentliche und unwesentliche Kopplungen Ftir die Modellbildung wesentliche Kopplungen sind die Informationen, die von Signalen getragen, von einem Objekt oder System zum anderen gelangen undzum Kontrollieren, Lenken und Leiten der Prozesse genutzt werden konnen. Kopplungen, welche den Austausch von Energien und Stoffen realisieren, werden fur die Modellbildung als unwesentlich betrachtet. Fiir die Information als wesentliche Kopplung soil nachfolgende kurze Definition gelten: Information Eine Information ist eine Mitteilung iiber das Eintreten eines Ereignisses. Durch sie wird Ungewissheit iiber dieses Ereignis beim Empfdnger der Information beseitigt. Der Informationsgehalt ist umso hoher, je unbestimmter das Ereignis vorherzusehen war. Jede physikalische Grofie kann in der Form eines Signals als Trdger von Informationen dienen. Der Verlauf eines Parameters bestimmt den Inhalt einer Information. Die fur die Ubertragung einer Information notwendigen Merkmale eines Signals, d.h. seine Werte oder sein Werteverlauf, heiBen Informationsparameter. Bin Signal muss mittels technischer Einrichtungen erfasst, verarbeitet, genutzt und iibertragen sowie gespeichert werden konnen, so dass die in ihm enthaltenen Informationen in eindeutiger Weise reproduzierbar sind. Die Signale lassen sich in Nutz- imd Storsignale unterteilen. Im Sinne der Automatisierung wird ein Nutzsignal entweder am Eingang eines Systems zum Steuern des Prozesses verwendet, oder es verlasst als gesteuertes Signal das System iiber den Ausgang. Storsignale sind von weitreichender Bedeutung, denn sie beeinflussen in negativer Weise den zielgerichteten Ablauf eines Prozesses, so dass in ihrer Beseitigung vielfach der Grund fiir eine Automatisierung liegt. Sie werden im Allgemeinen als Storungen oder StorgroBen bezeichnet.

Grilnde die eine Automatisierung notwendig machen, sind neben der Beseitigimg von Storungen, das Betreiben von Prozessen, die auf Grand der groBen Anderangsgeschwindigkeiten ihrer SystemgroBen vom Menschen alleine nicht beherrscht werden konnen oder von denen eine Gefahr fur Leben und Gesundheit der Bedienenden ausgeht. Das Ziel der Automatisierang von Prozessen ist es, sie mit einem HochstmaB an Wirtschaftlichkeit, Sicherheit und Zuverlassigkeit betreiben zu konnen sowie den Menschen weitgehend von Routinearbeiten zu entlasten. Der Kompliziertheitsgrad und die in den Automatisierangsobjekten, Bild 1.3, gespeicherten Energien sowie Sachwerte steigen bei Weiterentwickiungen iiberproportional an. Dies bedeutet, dass die Prozesse immer komplexer werden und ihr Gefahrenpotential fur Mensch und Umwelt steigt. Damit wird der mit der Bedienung und Betreuimg dieser Systeme beauftragte Personenkreis vor Aufgaben gestellt, die nur mit den Mittein und Methoden der Automatisierangstechnik bewaltigt werden konnen. Die Kategorien Stoff, Energie, Information und Storang entsprechend Bild 1.3 sind die Basis fur die Betrachtungen an einem Prozess, der zu automatisieren ist. Storungen

Ursache Energie

Wirkung Technisches System zur Energie- und/oder Stoffwandlung - ProzessAutomatisierungs-Obj ekt \

Informations-Nutzuns

gewandelte Energie

Informations-Erfassung Informations-System Automatisierungs-Anlage

Informationstibertragung

Informations-Verarbeitung

InformationsUbertragung

Bild 1.3 Wechselwirkungen zwischen einem System zur Energie- und/oder Stoffwandlung und einem System zur Informationswandlung

6

1 Einleitimg Automatisienmgstechnik Aufgabe der Automatisierungstechnik ist es, die vorliegenden allgemeingultigen Methoden und Gesetzmdfiigkeiten so in die Praxis zu tiberfiihren, dass daraus gut handhabbare Verfahren filr die Analyse bereits bestehender Automatisierungsobjekte und die Synthese von Automatisierungssystemen entstehen.

Neben der Unmoglichkeit einer Gesamtoptimierung wird oft die Chance vergeben, einem Automatisierungsobjekt schon wahrend der Phasen des Entwurfs und der Konstruktion ein gunstiges automatisiemngstechnisches Verhalten zu geben. Da vielfach der Automatisierungstechniker oder speziell der Regelungstechniker erst mit dem Entwurf beauftragt wird, wenn der Prozess bereits in seiner Grundkonzeption vorliegt, bleibt ihm nur noch die Moglichkeit vorgegebene Strukturen zu analysieren und daran den Regler bzw. den Regelalgorithmus anzupassen, was keinesfalls optimal sein wird. Die nachfolgenden Kapitel sollen Hinweise imd Anregungen geben, wie iiber die Analyse* dynamischer Systeme zum Zwecke der Modellbildung und der Regelungstheorie^ im Zusammenhang mit der leistungsfahigen Software MATLAB' und Simulink' die Voraussetzungen flir eine fiandierte Synthese des Inft)rmations-Systems bzw. der Automatisierungs-Anlage entsprechend Bild 1.3 geschaffen werden konnen. Dafur erachtet es der Verfasser als notwendig in den nachsten beiden Kapiteln eine kurze Einfflhrung in MATLAB und Simulink zu geben.

Auch als theoretische Prozessanalyse bezeichnet. ^ Schmidt, Hermann *9.12.1894 Hanau t31.5.1968 Berlin, wurde am 25.11.1944 an die TH Berlin-Charlottenburg auf den ersten Lehrstuhl fUr Regelungstechnik in Deutschland berufen, Physiker, Mathematiker, Regelungstechniker [Fasol-2001]. ' IVIATLAB® ist ein eingetragenes Warenzeichen der Firma "The Math Works". ' Simulink® ist ein eingetragenes Warenzeichen der Firma "The Math Works".

2. Einfiihrung in MATLAB MATLAB ist eine leistungsfahige Software ziir numerischen Losung und graphischen Darstellung von wissenschaftlich-technischen Aufgabenstellimgen. Der Name MATLAB steht fiir MATrix LABoratory. Eine Vielzahl mathematischer Funktionen bilden die Grundlage, die mittels leistungsfahiger Bausteine, wie z.B. der Control System Toolbox imd ihrer vielen Erweiterungen sowie den Toolboxen System Identification, Signal Processing, Fuzzy Logic, Neuronal Network und der auf Maple' aufbauenden Symbolic Math Toolbox usw., fachspezifisch erganzt wird. MATLAB ist ein interaktives Programm, mit dem es neben der Vielzahl gelieferter Mfiinctions moglich ist, eigene, mit Hilfe des M-file-Editors geschriebene/wwc/wra, zu nutzen. Die nachfolgenden Ausfuhrungen erheben keinesfalls den Anspruch, alle Kommandos bzw. Mfunctions die MATLAB beinhaltet zu behandeln. Hierflir wird auf die zusammen mit der Software gelieferten Hilfefiinktionen "help name I doc name" verwiesen. Aus der zwischenzeitlich zahlreichen und vorwiegend anwendungsorientierten Literatur seien hier stellvertretend genannt: [Angermannu.a.-2003], [Benker-2003], [Glattfelder/Schaufelberger1997], [Gramhch/Wemer-2000], [L6we-2001], [Paul-2004], [Pietruszka-2005], [Scherf-2003], [Schott-2004], [Schweizer-2005], [Uberhuberu.a.-2004]. Die in diesem Buch verwendete MATLAB-Simulink-Software bezieht sich auf den Grundbaustein der MATLAB-Version 7.1 (R14SP3) sowie die Symbolic Math Toolbox Version 3.1.3 (R14SP3), die Control System Toolbox Version 6.2.1 (R14SP3) und auf die Simulink Control Design Version 1.3 (R14SP3). Direkte Aufzeichnungen von MATLAB-Routinen in Microsoft^ Word 2002 unter Microsoft Windows XP Home Edition kormen mit dem dafur vorgesehenen MATLAB Notebook erfolgen.

2.1

Eingaben

Bei der Verwendung von MATLAB zur Losung numerischer und graphischer Aufgabenstellungen konnen sowohl die Daten als auch die Anweisungen direkt (Iber die Tastatur oder indirekt ilber eine Skript-Datei - script - bzw. Funktions-Datei - functions eingegeben werden.

2.1.1 Direkte Eingabe Jede direkte Eingabe - Anweisung - im MATLAB Command Window beginnt hinter dem Promt " » " und wird durch Betatigen der Return-Taste " J " abgeschlossen, was zu ihrer Verarbeitung fuhrt. Maple ist ein eingetragenes Warenzeiclien der Firma "Waterloo Maple". ' Microsoft® ist ein eingetragenes Warenzeichen der Firma "Microsoft Coporation".

8

2.1.2

2 Einfflhrung in MATLAB

Der MATLAB Editor

Die direkte Eingabe ist fur iiiirzere Kommandofolgen geeignet. Langere oder immer wiederkehrende Folgen werden besser mit Hilfe von M-Dateien iiber einen Editor eingegeben. Der MATLAB Editor wird zum Sciireiben von Skript-Dateien und zum Sciireiben von anwenderspezifischen Funktionen "functions" genutzt. Die "Namen" der "scripts" und "flinctions" sind mit der Extension ".m" versehen. Sic werden folglicli auch als M-Dateien bzw. M-files bezeichnet. Der MATLAB Editor dient neben dem Schreiben von M-files aucli ihrer Editierung und Felilerbeseitigung. Kommentare, Schliisselworter, numerisclie Befehlsfolgen imd "strings" werden in unterschiedlichen Schriftfarben iibersichtlich dargestellt. Die Abarbeitung der Befehlsfolgen erfolgt zeilenweise. Line uber eine Zeile hinausgehende Befehlsfolge kann durch "..." getrennt werden, so dass der in der nachsten Zeile befindliche Teil als zugehorig zum vorhergehenden Teil interpretiert wird. Fur die Speicherung dieser M-files empfiehlt es sich ein eigenes Verzeichnis einzurichten, welches nicht im MATLAB-Verzeichnis angesiedelt sein muss. Unter MATLAB ist nur der entsprechende Path einzutragen.

2.1.3 Indirekte Eingabe iiber Slcrip-Dateien Soil bei verschiedenen MATLAB Sitzungen mit gleichen Beispielen bzw. Werten gerechnet werden, so bietet es sich an, die dazu notwendigen Daten und gegebenenfalls Berechnungen in einer Skript-Datei abzulegen. Wird diese unter Command Window nach dem Prompt durch Eingabe "Name" und Betatigen der Return-Taste gestartet, so stehen die mit einmaligem Aufwand eingegebenen notwendigen Daten und gegebenenfalls Berechnungen zur Verfugung. Die indirekte Eingabe erfolgt iiber eine Skript-Datei in der die Variablenzuweisungen und die durchzufuhrenden Rechenoperationen aufgefuhrt werden. Dies geschieht mit Hilfe des MATLAB Editors. Beispiel 2.1 Es ist ein M-file fur die Berechnimg eines Volumens zur indirekten Eingabe zu erstellen. LQsung: Siehe function Beispiel2_01.m Ergebnis: »Beispiel2_01 Das Volumen eines Zylinders mit dem Durchmesser d = 1 m und der Hohe h = 1 m betragt V = 0.785398 m'!

2.1.4

Indirekte Eingabe iiber Funktionsdateien

Mit einer Funktions-Datei definiert ein Anwender seine Funktion. Dieser Funktion werden in einer Argumentliste Werte zur Berechnung neuer Werte iibergeben, die die Funktion an die aufrufende Prozedur, was auch das Command Window sein kann, zuriickgibt. Die Funktionsdatei hat folgenden festen Aufbau:

2.2 Kommandos, Operationen, Werte und Funktionen

9

function [1. Wert,..., n-ter Wert] = Funktionsname (Argumentliste) % Kommentar Anweisungen Die Funktions-Datei wird aufgerufen mit: [I.Wert, ..., n-ter Wert] = Funktionsname (Argumentliste) Mit dem Aufruf: help Name der Funktion wird der "Kommentar" ausgegeben, so dass es zu empfehlen ist, hier eine Kurzbeschreibimg der Funktion einzutragen. Eine Auswahl weiterer wichtiger Kommandos im Zusammenhang mit einer "function" ist: nargin, nargeout persistent varl var2

isempty('name')

Anzahl der Eingabe- bzw. Ausgabeparameter Defmiert in einer Funktion lokale Variable, die bei ihrem wiederholten Aufruf mit dem vorher festgelegten oder berechneten Wert belegt sind, siehe Beispiel 3.7. Testet, ob eine Variable "empty", also leer ist.

Beispiel 2.2 Es ist die Summe der Zahlen von 1 bis n und die ausgefuhrte Anzahl der Rechenschritte gesucht. Losung: Siehe function summe.m

2.2

Kommandos, Operationen, Werte und Funktionen

Nachfolgend werden in Tabellenform auf den Inhalt dieses Buches zugeschnittene, niltzliche Kommandos, Operationen, Werte und Funktionen aufgefuhrt.

2.2.1 Nutzliche Kommandos cd cd C:\matlab\eig clear clear name delete datei diary datei

gibt das aktuelle MATLAB-Verzeichnis an wahlt das Verzeichnis "eig" in C:\MATLAB loscht alle Variablen aus dem Arbeitsspeicher loscht die Variable name aus dem Arbeitsspeicher loscht den file "datei" aus dem aktuellen Verzeichnis Alle nachfolgenden Ein- und Ausgaben im Command Window werden in die Datei "datei" geschrieben. Der Dateiname kann, aber muss nicht, mit einer Extension, z.B. .txt, .doc oder .m, versehen werden.

2 Einfflhmng in MATLAB

10

diary off

diary on dir / Is disp('Text') eciio on bzw. off format... format compact fprintf('Text %An',Wert) help "function" load Daten2 l.mat save Daten2 l.mat save Daten2 1 .mat a b type name what which name who whos name; %

2.2.2

Beendet das Schreiben und schlieBt die alctuelle Datei. Durch Entfemen der Ergebnisse und Anfligen bzw. Austausch der Extension .txt bzw. doc durch .m entsteht ein lauffahiger M-file. Offnet die zuletzt geschlossene Datei wieder und schreibt welter in sie hinein. Listet den Inhalt des aktuellen Verzeichnisses auf. Gibt den 'Text' aus. Gibt die Ausgabe im Command Window frei bzw. verhindert sie. Legt das ausgegebene Zahlenformat fest. Unterdriickt die Leerzeile bei der Ausgabe. Gibt 'Text' und einen oder mehrere numerische Werte aus. Gibt den zu der "fiinction" gehorenden Text aus, z.B. help format. Ladt die in Daten2_l.mat gespeicherten Variablen in den Arbeitsspeicher. Speichert alle im Arbeitsspeicher hinterlegten Variablen in Daten2 l.mat. Speichert die Variablen "a, b" des Arbeitsspeichers in Daten2 l.mat. Zeigt den Inhalt der Datei name.m an. Gibt die M-, MAT- und MEX-Filies des Verzeichnisses an. Zeigt das Verzeichnis an, in dem sich die Datei name.m befindet. Gibt eine Liste mit den aktuellen Variablen im Arbeitsspeicher aus. Gibt eine erweiterte Variablenliste aus. Das Semikolon verhindert die Ausgabe des Inhaltes von name. Leitet einen Kommentar ein. Am Ende einer Befehlszeile, bedeutet Fortsetzung des Befehls in der nachsten Zeile.

Grundoperationen mit den Variablen a und b Operation Zuweisung Addition

Command Window Eingabe » a = 4;b = 5; » s= a+b

Subtraktion

» d= a-b

Multiplikation

» m=a* b

Division von rechts Division von links

» r=a/b » l = a\b

Ausgabe s= 9 d= -1 m= 20 r= 0.8000 1= 1.2500

2.2 Kommandos, Operationen, Werte und Funktionen

2.2.3

Potenz

» p = a^b

Quadratwurzel

» w2 = sqrt(p)

«-te Wurzel

» w n = nthroot(s,a)

1024 w2 = 32 wn = 1.7321

Spezielle Werte

Beschreibung ans: Fehlt die Ergebnisvariabie, so wird das Resultat "ans" zugewiesen i,j = imaginare Einheit Inf = CO, infiniti

NaN : Not-a-Number . A

pi = n

2.2.4

P=

Command Window Eingabe Ausgabe » a +b ans = 9 » i ans = 0+l.OOOOi Warning: Divide by » do = a/0 zero. dO = Inf » nn = Inf/Inf nn = NaN » format long, fl = fl = pi 3.14159265358979

Auswahl hauflg benotigter Funktionen

Funktion expi^x) = e^: Exponentialfianktion von x fix[x): Umwandlung einer reellen Zahl in die dazugehorende ganze Zahl log{x) = ln{x^: naturlicher Logarithmus von x log\Q{x)^lg{x): dekadischer Logarithmus von x round[x^ : rundet zur nachsten ganzen Zahl factorial{n) = n\: Fakultat

Command Window Eingabe » e l =exp(l)

Ausgabe el = 2.7183

» f i = fix(el)

fi = 2

» l o = log(el)

lo = 1

»lol=loglO(el)

lol = 0.4343

» r = round(el)

r= J

»

factorial(4)

ans = 24

11

2 Einfflhmng in MATLAB

12

» nchoosek(4,2)

•'—-\-^-)

y^j

ans = 6

[n-k)\k\

Binominalkoeffizient

2.2.5 Operationen mit komplexen Zahlen Funktion z : komplexe Zahl

Command Window Eingabe » z = a + b*i

abs [z') = \z\: absoluter Wert von z

» Z = abs(z)

z=

angle(z) = arg{z) : Winkel im BogenmaB Winkel in Grad

» phi = angle(z)

6.4031 phi = 0.8961

»phi_g=... angle(z)*180/pi » zc = conj(z) komplexe

conj[z) = J: konjugiert Zahl zu z imagi^z) = Im[z): imaginarer Teil der » zi = imag(z) komplexen Zahl z real[z) = Rei^z): realer Teil der » zr = real(z) komplexen Zahl z

2.3

Ausgabe z= 4.0000 + S.OOOOi

phig = 51.3402 zc = 4.0000 - 5.00001 zi = 5 zr = 4

Matrizen

Die Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema von m Zeilen und n Spalten". Die Zahlen, aus denen sich die Matrizen zusammensetzen, werden ihre Elemente genannt. Die Elemente konnen reelle oder komplexe Zahlen sein:

(2.1)

Der erste Index / des Elements a,y gibt die Zeile und der zweite Index 7 die Spalte an, in der dieses Element steht. 1st die Anzahl der Zeilen m gleich der Anzahl der Spalten n, so liegt eine quadratische Matrix vom Typ («,K) vor.

' Sylvester, James Joseph *3.9.1814 London "|'15.3.1897 London, Mathematiker. Der Begriff "Matrix" wurde 1850 von ihni eingefulirt. [Dietrich/Stahl-1963]

2.3 Matrizen

13

In MATLAB wird zwischen Klein- und GroBschreibung der Buchstaben unterschieden, so dass es sich anbietet, fur Matrizen groBe und fur Vektoren kleine Buchstaben zu verwenden.

2.3.1 Matrizen und die Eingabe ihrer Elemente Der allgemeinste Datentyp unter MATLAB ist eine Matrix vom Typ (m,n). Sie stellt ein zweidimensionales Feld - Array - dar. Fiir die Eingabe der Elemente der Matrix A im Command Window sind zwei Vorgehensweisen moglich: 1. Die Elemente werden hintereinander aufgefilhrt und durch ein Leerzeichen oder Komma getrennt. Der letzte Koeffizient einer Zeile wird mit einem Semikolon abgeschlossen. Vor dem ersten Element der ersten Zeile offnet eine eckige Klammer, welche nach dem letzten Element der letzten Zeile schlieBt, hier entfallt das Semikolon flir den Zeilenschluss: ...

[«ii

a 1

(2.2)

mn J

2. Die Elemente werden hintereinander aufgefiihrt und durch ein Leerzeichen oder Komma getrennt. Nach dem letzten Koeffizient jeder Zeile wird die Return-Taste J betatigt. Vor dem ersten Element offnet eine eckige Klammer, welche nach dem letzten Element geschlossen wird:

=V

J (2.3)

J

J Beispiel 2.3 Die nachfolgend gegebene Matrix A ist nach den beiden Moglichkeiten von MATLAB fur die Eingabe von Matrizen entsprechend der Gleichungen (2.2) und (2.3) einzugeben. Losung: Die Matrix A ist vom Typ (4,3) = (m = 4 Zeilen, « = 3 Spalten).

"l 2 3 " 4 5 6 A= 7 8 9 0 11 12

Eingabe im Command Window 1. Moglichkeit » A = [ 1 2 3;4 5 6;7 8 9;0 11 12]

2. Moglichkeit »A=[123 456 789 0 11 12]

Ausgabe im Command Window A= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 11 12

Wenn in einer Matrix mindestens ein Element eine Dezimalzahl ist, dann werden alle Elemente in Dezimalform ausgegeben.

14

2 Einfflhrung in MATLAB

Beispiel 2.4 DieMatrix Ad= [11 12 13;14 15 16;17 18 19;10 1,1 -2] ist entsprechend Gleichung (2.2) unter Beachtung des Wechsels zwischen Dezimalkomma und Dezimalpunkt einzugeben. Losimg: » A d = [ l l 12 13;14 15 16;17 18 19;10 1.1 -2] Ad = 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 17.0000 18.0000 19.0000 10.0000 1.1000 -2.0000

2.3.2

Information iiber eine Matrix

2.3.2.1 Der Typ einer Matrix Matrizen sind durch ihren Typ (m,n), d.h. die Anzahl der Zeilen m und die Anzahl der Spalten n, gekennzeichnet. Mit MATLAB bestimmt sich der Typ einer Matrix zu: [m^,n^] = size[A)

(2.4)

Beispiel 2.5 Gesucht sind die Anzahl der Zeilen und Spalten, d.h. der Typ {m,n), der Matrix A. Losung: » [mA,nA] = size(A) mA = 4 nA = 3 Die Matrix A ist vom Typ (4,3), d.h. sie besteht aus 4 Zeilen und 3 Spalten. 2.3.2.2 Quadratische Matrizen Quadratische Matrizen sind vom Typ («,«) bzw. Typ (n). Sie haben bei der Beschreibung von linearen dynamischen Systemen im Zustandsraum, als Systemmatrizen, eine tundamentale Bedeutung. Mit der Systemmatrix A sind die Begriffe charakteristisches Polynom, Eigenwert und Eigenvektor verbunden. Ausfuhrliche Betrachtungen zu diesem Thema werden in dem Kapitel 8.1.7 angestellt. Beispiel 2.6 Aus der Matrix A ist durch Streichen der dritten Zeile sowie der vierten und fiinften Spalte eine quadratische Matrix A^ zu bilden.

2.3 Matrizen

15

Losung: » A q = A([l:2 4],l:3) Aq = 1 2 3 4 5 6 0 11 12 2.3.2.3 Die mogliche Anzahl quadrati$cher Untermatrizeii einer Matrix Die Anzahl u der quadratischen Untermatrizen vom Typ {r,r) einer Matrix vom Typ {m,n) berechnet sich mit Hilfe des Binominalkoeffizienten:

Ji)

n\ {n-k)\k\

(2.5)

aus dem Produkt der Kombinationen ohne Wiederholung der m Zeilen und der n Spalten: ^n^

m\n\

(2.6)

(»;-r)!(«-r)!(r!) Mit MATLAB berechnet sich die Anzahl u der quadratischen Untermatrizen zu: u = nchoosek [m,r^* nchoosek {n,r^

(2.7)

2.3.2.4 Die Determinante einer quadratischen Matrix Einer quadratischen Matrix vom Typ («,«) kann eine Zahl zugeordnet werden, die ihre Determinante D^ heiBt und aus den Elementen der Matrix A wie folgt gebildet wird:

D, = d e t A = A =

= a^jA^j+a^.A^^+---

(2.8)

+ a„^A„.

mit:

^.«=(-ir^.

(2.9)

wobei Dki diejenige Determinante (n - \.)-ter Ordnung ist, die durch Streichen der k-ten Zeile und der l-ten Spalte aus DA hervorgeht. Mit MATLAB berechnet sich der Wert der Determinante einer quadratischen Matrix zu: D^ =det[A)

(2.10)

2.3.2.5 Singulare und nichtsingulare quadratische Matrizen Eine quadratische Matrix heiBt singular, wenn der Wert ihre Determinante gleich null ist:

16

2 Einfflhmng in MATLAB |A| = 0

(2.11)

Fur diesen Fall kann die Inverse der Matrix nicht gebildet werden. 1st dagegen: |A|^0

(2.12)

dann heiBt die quadratische Matrix nichtsinguldr und ihre Inverse existiert. 2.3.2.6 Der Rang einer Matrix Der Rang einer Matrix vom Typ {m,n) ist die Ordnungszahl derjenigen quadratischen Untermatrizen hochster Ordnung, deren Determinante ungleich null ist. Er geniigt folgender Ungleichung: r(A) <min(Aw,K)

(2.13)

und berechnet sich mit Hilfe des folgenden MATLAB-Befehls: r^=rank[A.)

(2.14)

Beispiel 2.7 Gesucht sind der Typ, der Rang und die Anzahl der quadratischen Untermatrizen vom Typ {r,r) der Matrix M = [1 -2 -3 0;2 3 8 7;-l 1 1 -1]^ sowie der Wert der Determinante der Untermatrix M(l:3,l:3)undM(l:2,l:2). Losung: » [mM,nM] = size(M), rM = rank(M),... mM = 3 nM= 4 rM= 2 uM = nclioosek(mM,rM)*nchoosek(nM,rM) uM = 18

» DM3 = det(M(l :3,1:3)), DM2 = det(M( 1:2,1:2)) DM3 = 0 DM2 = 7

Die Matrix M besitzt m = 3 Zeilen und « = 4 Spalten, d.h. sie ist rechteckig vom Typ (3,4). Ihr Rang ist r = 2. Dies bedeutet, dass keine von den 4 moglichen quadratischen Untermatrizen vom Typ (3,3) cine von null verschiedene Determinante besitzt, d.h. alle vier Untermatrizen sind singular. Von den 18 Untermatrizen des Typs (2,2) hat mindestens eine Untermatrix eine von null verschiedene Determinante, d.h. sie ist nichtsingular. Der Wert der Untermatrix M(l:3,l:3) vom Typ (3,3), betragt, wie zu erwarten war, null, d.h., sie ist singular. Der Wert der Untermatrix M( 1:2,1:2) vom Typ (2,2), betragt sieben, d.h., sie ist nichtsingular.

* [Bronstein/Semendjajew-1991]

2.3 Matrizen

17

2.3.2.7 Die Transponierte einer Matrix Durch das Transponieren einer Matrix A ergibt sich eine neue Matrix At deren Zeilen den Spalten und deren Spalten den Zeilen der Matrix A entsprechen. Der MATLAB-Befehl dazu lautet: A, = A '

(2.15)

Folgende Regeln gelten fur transponierte Matrizen: (A^)'^=A;

(A + B f = A ^ + B ^ ;

(ABf=B^A^

(2.16)

Beispiel 2.8 Gesucht ist die transponierte Matrix At der Matrix A. Losung: » At = A' At = 1 4 7 2 5 8 3 6 9

0 11 12

2.3.2.8 Die Inverse einer quadrati$chen Matrix Zu jeder quadratischen Matrix A existiert eine Inverse Matrix A" , wenn die Matrix A eine von null verschiedene Determinante besitzt, d.h. wenn sie nichtsingular ist. Die Inverse A'' einer quadratischen Matrix A hat die Eigenschaft: AA-'=I

(2.17)

mit der unter Kapitel 2.3.3 aufgefuhrten Einheitsmatrix I. Folgende Regeln gelten fur inverse Matrizen: (A->)"=A;

(A->f=(A^)";

( A B ) " ' = B-'A"'

(2.18)

Beispiel 2.9 Gesucht sind die inverse Matrix Ajq der Matrix A,, das Produkt lAq = Aq-Ajq und der Wert ihre Determinante DA„. Losung: » Aiq = inv(Aq) Aiq = -0.2000 0.3000 -0.1000 -1.6000 0.4000 0.2000 1.4667 -0.3667 -0.1000

» lAq = Aq * Aiq, DAq = det(Aq) lAq = 1.0000 0 -0.0000 0 1.0000 -0.0000 0 0 1.0000 DAq = 30

2 Einfflhrung in MATLAB

18

Das negative Vorzeichen der Elemente 1x^(1,3) und lAq(2,3) der Matrix 1^,^ bedeutet, dass diese Werte niclit exakt null sind. Sie ermitteln sich wie folgt: »IAq(l,3) ans = -5.5511e-017

»lAq(2,3) ans = -1.1102e-016

2.3.2.9 Die Werte der Diagonalelemente einer Matrix Der Befehl: (2.19) gibt zum einen die Werte der Diagonalelemente einer Matrix aus und zum Anderen bildet er aus einer vorgegebenen Zahlenfolge eine Diagonalmatrix. 2.3.2.10 Die Spur einer Matrix Unter der Spur einer Matrix wird die Summe ihrer Haupt-Diagonalelemente verstanden: spj =trace[A^

(2.20)

Beispiel 2.10 Gesucht sind die Elemente der Hauptdiagonalen der Matrix A, und ihre Spur. LQsung: » deAq = diag(Aq), spAq = trace(Aq) deAq = 1 5 12 spAq = 18

2.3.3

Spezielle Matrizen

Beschreibung Null-Matrix vom Typ (m,n) Alle ihre Elemente haben den Wert null, z. B. Null-Matrix vom Typ (2,4).

Kommando N = zeros{m,n)

Quadratische Null-Matrix vom Typ(«,«), z. B. Quadratische NullMatrix vom Typ(3,3)

N = zeros{n)

Beispiel » N = zeros(2,4) N= 0 0 0 0 0 0 0 0 » Nq = zeros(3) Nq = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2.3 Matrizen Einser-Matrix vom Typ (m,n) AUe ihre Elemente haben den Wert eins, z. B. Einser-Matrix vom Typ (3,4).

E = ones{m,n)

Quadratische Einser-Matrix vom Typ(«,«) z. B. Quadratische Einser-Matrix vom Typ(2,2). Einheits-Matrix vom Typ(«,H) Sie ist quadratisch. AUe Elemente ihrer Hauptdiagonalen haben den Wert eins, die ilbrigen Elemente sind null, z. B. Einheits-Matrix vom Typ(3,3). Leer-Matrix Sie enthalt kein Element. Sie darf nicht mit der Null-Matrix verwechselt werden.

E^ =ones[n)

2.3.4

\ = eye[n)

L = []

19

» E = ones(3,4) E= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 » Eq = ones(2) Eq = 1 1 1 1 » I = eye(3) 1= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 siehe "Reduzieren einer Matrix durch Einfuhren von Leer-Matrizen oder -Zeilen" im Kapitel 2.3.4

Operationen mit einer Matrix

Funktion

Beispiel im Command Window Eingabe Ausgabe Verandem des Wertes eines Matrix- » Av = A; Av = Av(4,l)=10 1 2 3 Elementes a//': A[i,j^ = a-j 4 5 6 Av wird aus A gebildet, dann wird dem 7 8 9 Element Av(4,l) ein neuer Wert 10 11 12 zugewiesen. Ausgabe eines Matrix-Elements: » a23 = A(2,3) a23 = 8 a//=A(/,7) Wert des Elements a,-, in der /-ten Zeile undy-ten Spalte der Matrix A. Ausgabe einer Unter-Matrix » A u = A(3:4,:) Au = 4 5 6 A„ = A{k: w,:) der Matrix A: 7 8 9 "k :m" = die k-is bis m-ie Zeile und 0 11 12 ":" = alle Spalten der Matrix A werden der Matrix Au zugewiesen. Erweitern einer Matrix: » Ae = A; Ae = Ae(mA+l,nA+l) = 6 1 2 3 A(^m + k,n + l) = a 4 5 6 Zunachst wird Ag aus A gebildet, 7 8 9 anschlieBend wird Ag um k Zeilen und 1 0 11 12 Spalten durch das neue Elemente mit 0 0 0 dem Wert a erweitert.

0 0 0 0 0

0 0 0 0 6

2 Einfflhmng in MATLAB

20

Potenzieren einer quadratischen Matrix » Aq2 = Aq^2

K Aq2 = Aq^ Bilden einer neuen Matrix An: » An = A„ = Af[g -.i k:m^,[h: JI :n])aus der Ae([l:2 4:5], [1:3 5]) Matrix A, indem nur bestimmte Reihen von A iibemommen werden: Die Matrix An wird aus Ae gebildet, indem von dieser die Zeilen 1,2,4 und 5 sowie die Spalten 1 bis 3 und 5 iibernommen werden. Reduzieren einer Matrix durch Ein- » Ar = Ae; fuhren von Leer-Matrizen oder -Zeilen: Ar(3,:) = []; Ar(:,4)= [] A(:,/:n) = [ ];A{k:m,-) = [ ] Zunachst wird aus Ae die Matrix A^ gebildet, danach werden die 3. Zeile und anschlieBend die 4. Spalte gestrichen. Linksdrehung einer Matrix urn 90°: » A190 = rot90(A) A„o=TO/90(A) Vertauschen der Spalten einer Matrix » Asplr = fliplr(A) von links nach rechts:

A,^,=fliplr{A) Vertauschen der Zeilen einer Matrix von » Azou = flipud(A) oben nach unten: A,„„ =flipud{A)

2.3,5

Aq2 = 9 45 51 24 99 114 44 187 210 An = 1 2 3 0 4 5 6 0 0 11 12 0 0 0 0 6

Ar = 1 4 0 0

2 5 11 0

A190 3 6 2 5 1 4 Asplr = 3 2 6 5 9 8 12 11 Azou = 0 11 7 8 4 5 1 2

3 6 12 0

0 0 0 6

9 12 8 11 7 0 1 4 7 0 12 9 6 3

Operationen mit Matrizen

Nachfolgend sollen die Operationen mit zwei Matrizen aufgezeigt werden. Diese Operationen setzen einen bestimmten Typ der Matrizen voraus. So miissen bei der Addition und Subtraktion sowie der Division von rechts und links die Matrizen vom gleichen Typ sein. Bei der Multiplikation dagegen muss die Anzahl der Spalten der ersten Matrix mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix iibereinstimmen.

2.3 Matrizen

21

2.3.5.1 Matrixoperationen Funktion

Bedingung: mA = mB, nA = nB

Command Window Eingabe » B = [1 -1 1;2 5 -1;4 0 2;-12 1]; » A +B

Subtraktion

»A-B

Addition ttitt

tt

tt

Bedingung: mA = mB, nA = nB

Multiplikation' 11 H s "

Bedingung: nA = mB —> Typ {mA,nB) Division rechts

» C = [1 3 0;2 0 i;2ii]; »A*C

»A/B

tt/tt

Bedingung: mA = mB, nA = nB

Division links

»A\B

t t \ tt

Bedingung: mA = mB, nA = nB Multiplikation mit einem Skalar. Jedes Element der Matrix wird mit dem Skalar multipliziert.

» 3 *A

Ausgabe ans = 2 1 4 6 10 5 11 8 11 -1 13 13 ans = 0 3 2 2 0 7 3 8 7 1 9 11 ans = 11 6 5 26 18 11 41 30 17 46 12 23 ans = 0 -0.1739 0.6957 1.4348 0 -0.0435 1.6739 2.6087 0 0.0870 2.6522 3.7826 0 -0.6522 2.1087 7.1304 ans = 0.6333 0.0333 0.0667 -0.6000 -0.4000 0.2000 0.4667 0.5333 -0.1000 ans = 3 6 9 12 15 18 21 24 27 0 33 36

2.3.5.2 Matrixoperationen - Element mit Element Operationen "Element mit Element" zweier Matrizen sind dadurch gekennzeichnet, dass vor dem Operationszeichen noch ein Punkt steht. Lediglich die Addition und die Subtraktion zweier Matrizen gleichen Typs unterscheiden sich nicht von den in Kapitel 2.3.5.1 aufgefuhrten, so dass sie hier nicht nochmals angegeben werden. Bedingung fur die nachfolgenden Operationen sind, dass flir die Zeilenzahlen m^ = ms imd die Spaltenzahlen nA = «s gelten muss.

' Cayley, Arthur *16.8.1821 Richmond, England •|'26.1.1885 Cambridge, Jurist und Mathematilcer; verfasste 1858 die Theorie der Matrizen [Wu6ingu.a.-1992]

2 Einfflhmng in MATLAB

22

Funktion elementeweise Multiplikation 11

^tf

elementeweise Division rechts tt

» A./ B

/tt

elementeweise Division links 11

Command Window Eingabe » A .* B

» AAB

\ti

elementeweises Potenzieren

» A.^2

tl Atl

Ausgabe ans = 1 -2 3 8 25 -6 28 0 18 0 22 12 Warning: Divide by zero. ans = 1.0000 -2.0000 3.0000 2.0000 1.0000 -6.0000 1.7500 Inf 4.5000 0 5.5000 12.0000 Warning: Divide by zero. ans = 1.0000 -0.5000 0.3333 0.5000 1.0000 -0.1667 0.5714 0 0.2222 -Inf 0.1818 0.0833 ans = 1 4 9 16 25 36 49 64 81 0 121 144

2.3.6 Bilden erweiterter Matrizen Neben den ilblichen Operationen mit Matrizen gibt es einige Anweisungen in MATLAB mit denen aus vorhandenen Matrizen neue Matrizen zusammengesetzt werden konnen. 2.3.6.1 Stapeln von Matrizen Haben die Matrizen A - Typ (mA,n) - imd B - Typ (mB,n) - die gleiche Anzahl von Spalten n, dann lassen sie sich zu einer erweiterten Matrix: AB.

-^

A

^

(2.21)

vom Typ (OT^ + mB,n) zusammenfassen. Mit MATLAB geschieht dies wie folgt: AB,=[A;B]

(2.22)

Beispiel 2.11 Line neue Matrix ist durch Stapeln der Matrizen A und B nach Gleichung (2.22) zu bilden.

2.4 Vektoren

23

Losung: >AB s = [A;B] Rs — Jo —

1 2 4 5 7 8 0 11 1 -1 2 5 4 0 -1 2

3 6 9 12 1 -1 2 1

2.3.6.2 Aneinanderreihen von Matrizen Stimmen die Anzahl der Zeilen m der Matrix A vom Typ {m,nA) und der Matrix B vom Typ (m.ng) iiberein, dann wird unter MATLAB mit: AB„=[A

B]

(2.23)

die neue erweiterte Matrix vom Typ (in.riA+nB) gebildet:

"t AB,

r

A B

(2.24)

i i Beispiel 2.12 Es ist durch Aneinanderreihen der beiden Matrizen A und B nach Gleichungen (2.23) und (2.24) eine neue Matrix zu bilden. Losung: » ABr = [AB] ABr = 1 2 3 1 -1 1 4 5 6 2 5 -1 7 8 9 4 0 2 0 11 12 -1 2 1

2.4

Vektoren

2.4.1 Skalar und Vektor Die in der Anwendung der mathematischen Wissenschaften vorkommenden Begriffe, wie z. B. Masse, Temperatur, Volumen, Energie, Potential und Arbeit, die durch einen einzigen

24

2 Einfflhrung in MATLAB

Zahlenwert eindeutig bestimmt sind, werden als Skalare bezeichnet. Daneben treten GroBen auf, wie z. B. Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, Drehmoment, Impuls und Feldstarke, die neben ihrer GroBe erst noch durch die geometrische Angabe einer Richtung eindeutig beschrieben sind, die als Vektoren bezeiclinet werden. Geometriscli stellt ein Vektor eine Strecke im Raum von bestimmter Lange und Richtung sowie einem bestimmten Richtungssinn dar. Ein Vektor verandert sich, wenn seine Lange, seine Richtung oder sein Richtungssinn geandert wird. Er hat einen Anfangspunkt und einen Endpunkf*. In MATLAB ist ein Vektor eine Liste von Zahlen.

2.4.2

Vektoren und die Eingabe ihrer Elemente

Matrizen vom Typ (1,1) sind Skalare, also Zahlen. Matrizen vom Typ (1,«), d. h. mit einer Zeile, oder vom Matrizen Typ (OT,1), d. h. mit einer Spalte, werden in MATLAB als Vektoren bezeichnet. Die nachfolgend angegebene Matrix: a

= [a,

a^ ...

fl„]

(2.25)

ist vom Typ (1,«) und heiBt Zeilenvektor bzw. einfach Zeile. Matrizen, wie in Gleichimg (2.26) angegeben, sind vom Typ (m,l) imd werden als Spaltenvektoren oder einfach Vektoren bezeichnet:

(2.26)

Bei der Eingabe von Vektoren sind die Hinweise fur die Eingabe von Matrizen zu beachten, d.h. bei Zeilen, wie in Gleichung (2.25), sind die einzelnen Elemente durch Leerzeichen oder Kommas getrennt einzugeben. Bei Spaltenvektoren, wie der in der Gleichung (2.27) aufgefuhrte Vektor b, sind die Elemente durch Semikolons zu trennen: b = [b,; b,; •••; b„]

(2.27)

Spaltenvektoren konnen aber auch als transponierte Zeilenvektoren eingegeben werden, dann miissen die Semikolons entfallen, daflir ist nach der schlieBenden Klammer ein Hochkomma als Zeichen fiir das Transponieren zu setzen: b = [b, b,

2.4.3

-

b„\

(2.28)

Operationen mit Velitoren

Fiir die Addition und Subtraktion zweier Vektoren sowie der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar gelten die im Kapitel 2.3.5.1 gemachten Aussagen und Regeln. Gleiches gilt fur die Multiplikation eines Zeilenvektors vom Typ {\,k) mit einem Spaltenvektor vom Typ {k,\). ' Rothe, Rudolf * 15.10.1873 Berlin t26.1.1942 Berlin, Mathematiker, siehe auch [Rothe-1969]

2.4 Vektoren

25

welche als Ergebnis einen Skalar liefert und der Multiplikation in der soeben beschriebenen, aber umgekehrten Reihenfolge, mit dem Ergebnis einer Matrix vom Typ {k,k). Fiir die mathematisch exakte Multiplikation zweier Vektoren existieren dagegen zwei grundsatzlich andere Arten, dies sind das skalare oder innere Produkt - Skalarprodukt - und das vektorielle Oder aufiere Produkt - Vektorprodukt. Bei diesen wesentliche Operationen sind noch der Betrag oder die Lange eines Vektors und der Winkel zwischen zwei Vektoren von Bedeutung. 2.4.3.1 Betrag eines Vektors Der Betrag, die Lange bzw. die Norm eines Vektors a = [ai a2 a3 .. an] berechnet sich wie folgt: |a| = a = ^af +a\^a\^---

(2.29)

+ a\

undmitMATLAB: (2.30)

a = «orw(a) lA.'i.l Abstand zwischen zwei Punkten im dreidimensionalen Raum Fiir den Vektor v zwischen den Punkten Pi(xi,yi,zi) und P2(x2,y2,Z2):

(2.31) berechnet sich der Abstand zu: PxPi = V K - ^ , f+{y2-y>f

+ {^2-^i f

(2.32)

Beispiel 2.13 Eine haufig zu losende Aufgabe ist die Zerlegung eines Vektors in vorgegebene Richtungen. An der im Bild 2.1 dargestellten Tragkonstruktion aus drei an der Wand gelenkig gelagerten Staben S[, S2, s^ hangt eine Masse m = 9,1774 kg mit dem Betrag des Vektors der Gewichtskraft G = 90 N. Es ist der Vektor gv der Gewichtskraft G in die in den Staben auftretenden Reaktionskrafte, beschrieben durch die Vektoren fi, f2, fs, zu zerlegen. Daraus sind anschlieBend die Betrage Fu F2 und F3 der Reaktionskrafte zu ermitteln. Losungshinweise: Die Vektoren f; der Reaktionskrafte wirken parallel zu den Vektoren Si der Stabachsen. Fiir die Losung sind die im Bild 2.2 dargestellten geometrischen Zusammenhange zu verwenden. Bild 2.1 Tragkonstruktion zur Auiiiahme einer Masse Losung: siehe Beispiel2_13.m Fiir die Summe der am Schnittpunkt D (0,0,0) auftretenden Kraftvektoren gilt:

26

2 Einfflhrung in MATLAB f, +f2+f3+g, = 0

(2.33)

Der Vektor der Gewichtskraft wirkt nur in der z-Achse imd dass in negativer Richtung, somit gilt: " 0 " " 0" gv

0 = 0 -G -90

(2.34)

Die Kraft F\ wird als DrucJikraft angenommen, so dass ihr Vektor von A (-3,4,0) nach D (0,0,0) parallel zur Stabachse Si wirkt: 0 s, = Z D = £ ) ( 0 ; 4 ; 0 ) - ^ ( 3 ; 0 ; 0 ) = 4 0

^

-3

J

0 =

4

0

0

(2.35)

Die Proportionalitat zwischen Stab- und Kraftvektor wird durch den Proportionalitatsfaktor/)] ausgedriickt: -3 fi = /'i Si = P\

(2.36)

4 0 ^ ' ^ v ., " "

C,-'' X--"

f 1

A^

1

V

,-" 1

] ^k ' - " " ' ^ 1 ^^v

^v 1 ^^v

'•''

1

^^^

-"^^

^rv

\

V""l >k ""k ""^ ""r. -r"

,-r

'

1

V

- • ^ ' ' '

A^"

\

^

^s,\

-"

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^^

"'^

1

S

1 ^^

^^ 1

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S,

V*

'^^v•-

^i.-'''

s

^^--^C

-'•^

^s

V'<''' ''^N""s -."'' \ "'v \

^v

'

^

^v^ ^ '^-i1 -"''

^^•'^^

v^ j

-1 G = mg

^

Bild 2.2 Geometrischen Veriialtnisse an einer Tragkonstruktion, siehe Beispiel2_13.m

2.4 Vektoren

27

Entsprechende Zusammenhange gelten fur die zwei anderen Krafte. Fj wird ebenfalls als Druckkraft angesetzt:

rroi

"-3" \

4 -

fj = P2S2 - Pi B^ - Pi

0

M

"3" 4

^Pi

0 )

(2.37)

0

Dagegen wird F3, der Erfahrung entsprechend, als Zugkraft angesetzt:

rroi 0 -

fs = ft S3 = ft -DC = p^

m

"0" ^ 4

"0"

= ft - 4

(2.38)

0

0 /

Nun werden die Gleichungen (2.34), (2.36), (2.37) und (2.38) in die Gleichung (2.33) eingesetzt: -3 ft

3

0

0

0

4 + ft 4 + ft - 4 + 0 = 0 0 0 3 -90 0

(2.39)

So ergibt sich nach einigen Umformungen aus Gleichung (2.39) folgendes Vektor-MatrixGleichungssystem:

S-p = [s,

Sj

S3]p = -g„

-3 4 0

» S = S= -3 4 0 » p = P= 15 15 30

3 0" Px ' 0" 4 - 4 Pi = 0 0 3 _ft_ 90

(2.40)

[sl s2s3],gv=[0;0;-90]; 3 0 4-4 0 3 S-(-l)*(-g,)

» p = S\(-gv) P= 15 15 30

Mit den Proportionalitatsfaktoren, welche sowohl mit der Operation invers, als auch mit der Operation Division links berechnet wurden, ergeben sich die drei Kraftvektoren zu:

28

2 Einfflhrung in MATLAB »fl=p(l)*S(:,l) fl = -45 60 0

»f2=p(2)*S(:,2) f2 = 45 60 0

»G=p(3)*S(:,3) G= 0 -120 90

Damit ist der Gewichtsvektor gy in die drei Kraftvektoren fi, {2, {3 zerlegt, welche parallel zu den durch die drei Stabe vorgegeben Richtungen wirken. Mit Hilfe der Operation norm werden nun auch noch die gesuchten Betrage Fu Fj und F3 der Kraftvektoren bestimmt: » Fl = norm(fl) Fl = 75 F^=\i,\ = 15N;

» F2 = norm(f2) F2 = 75 F^=%\ = 15N;

» F3 = norm(G) F3 = 150

F^=\{^\ = \50N;

(2.41)

Kontrolle mit Gleichung (2.33): » n = fl+f2+f3+gv n= 0 0 0 2.4.3.3 Skalarprodukt Das skalare Produkt ab der Vektoren a und b ergibt eine Zahl, welche sich wie folgt berechnet: ab = |a||b|cos(^) mit Q<(p
(2.42)

Hierbei ist (p der von den Vektoren a und b eingeschlossene Winkel. Das Skalarprodukt zweier Vektoren im dreidimensionalen Raum berechnet sich auch wie folgt: ab = a^b^ + 02^2 + '^ih

(2.43)

Unter MATLAB ermittelt sich das skalare Produkt zweier Vektoren mit: ab =
(2.44)

Beispiel fiir das Auftreten eines skalaren Produkts: Das Produkt aus einer langs eines Weges.? aufgebrachten konstanten Kraft F ist als Arbeit A definiert. Die Kraft und der Weg sind Vektoren, deren Richtungen ilbereinstimmen miissen. In den nicht seltenen Fallen, dass diese Richtungen nicht ilbereinstimmen, ist der Kraft-Vektor in eine Komponente mit der Wirkungsrichtung des Weges, der Langskrafl fs, und einer Normalkraft fn, sie ist die Komponente senkrecht zur Wegrichtung, zu zerlegen. Fur den Langskraft-Vektor gilt: i^=icos{(p)

(2.45)

2.4 Vektoren

29

Hierbei ist q) der von dem Kraft-Vektor mit dem Weg-Vektor gebildete Winkel. Nur der Langskraftvektor liefert einen Beitrag zur Arbeit, somit folgt: A = f^s = {scos{(p)

[Nm]

(2.46)

Die Gleichung (2.46) ist das skalare Produkt aus den Vektoren des Weges und der Kraft. 2.4.3.4 Winkel zwischen zwei Vektoren Aus der Gleichung (2.33) folgt durch Umstellen der Winkel zwischen zwei Vektoren: ^

ab•

A

(p = acos

(2.47)

und mit MATLAB im BogenmaB: (p = acos (dot [ab) / norm {^ay norm (pyj

(2.48)

bzw. in Grad: q) = acos (dot (^ab)/norm (^a)/norm {b))*\iO/ pi

(2.49)

Beispiel 2.14 Fiir die Vektoren a = [3 4 0] und b = [-3 4 0] sind die Betrage, der Wert des Skalarproduktes mit den Gleichungen (2.43) und (2.44) sowie der Winkel zwischen den beiden Vektoren in Grad gesucht. Losung: » a = [3 4 0]; b = [-3 4 0]; » a b = dot(a,b) % Gleichung (2.44) » A = norm(a), B = norm(b) ab = A= 7 5 » phi = acos(dot(a,b)/an/bn)* 180/pi B= phi = 5 73.7398 » a_b = a(l)*b(l) + a(2)*b(2) + a(3)*b(3) % Gleichung (2.43) a_b = 7 2.4.3.5 Vektorprodukt Aus dem vektoriellen Produkt axb der beiden Vektoren a und b entsteht ein neuer, senkrecht auf den beiden Vektoren stehender Vektor, dessen Betrag dem Flacheninhalt des von den beiden Vektoren gebildeten Parallelogramms entspricht. Die drei Vektoren bilden ein Rechtssystem. Das Vektorprodukt berechnet sich wie folgt: axb = |a||b|sin(^)

(2.50)

30

2 Einfflhrung in MATLAB

Auch hier ist, wie bei dem Skalarprodukt, cp der von den Vektoren a und b eingeschlossene Winkel. Das Vektorprodnkt zweier Vektoren im dreidimensionalen Raum berechnet sich auch wie folgt: X

y

z

a x b : a.

flj

flj

h

b.

h.

^

a^ b.

flj

h

«[

x+

a.

h h 1

y+

a, a^ b,i b.

(2.51)

Mit MATLAB ergibt sich das Vektorprodukt der Vektoren a und b vom Typ (3,1) aus: a x b = cros^ (a, b)

(2.52)

Beispiel fur das Auftreten eines vektoriellen Produkts: An einem Korper, welcher mittels einer Drehachse gelagert ist, greift iiber einen Hebelarm r cine Kraft F so an, dass der Korper cine Drehimg ausflihrt, Ursache dafur ist das auf den Korper wirkende Moment. Die Vektoren Hebelarm r und Kraft F schlieBen den Winkel cp ein. Von dem Hebelarm r kommt nur der Anteil zur Wirkung, der rechtwinklig von dem KraftVektor zum Drehpunkt zeigt: r„^\r\sm{(p)

(2.53)

so dass die Kraft als Tangential-Kraft wirkt. Daraus ergibt sich fiir den Vektor des Moments: m = |f I |r| sin (^) = F • i? • sin (^)

(2.54)

Beispiel 2.15 Der Vektor r des Hebelarms R beginnt im Drehpunkt Po(0,0,0) und endet im Punkt Pi(-3,4,0). Der Vektor f der Kraft F beginnt am Endpunkt des Hebelarmvektors und endet im Punkt P2(3,4,0). Aus den gegebenen Koordinaten sind die Vektoren des Hebelarms und der Kraft sowie Ihre Betrage zu bestimmen. Mit Hilfe des Vektorprodukts m = f x r ist der Vektor des Moments mit den Gleichungen (2.51) und (2.52) zu berechnen. Das Ergebnis ist grafisch darzustellen. Der Betrag des Moments M in [A^ m\ ist zu bestimmen und mit dem Produkt aus den Betragen der Vektoren des Hebelarms R in [m\ und der Kraft F in [A^ zu vergleichen. Losung: Siehe function Beispiel2_15.m Das Produkt der Betrage der Vektoren des Hebelarms und der Kraft Hefert: F„ = 30 Nm Da aber nur die Normalkomponente des Hebelarms Rf^ einen Beitrag zum Betrag des Moments liefert, ergibt sich: M =

FR„=24Nm

2.4 Vektoren

0

31

-3

Bild 2.3 Das Moment als Kreuzprodukt aus Kraft- und Hebelarm-Vektor

2.4.4

Operationen mit Vektoren - Element mit Element

Operationen Element mit Element zweier Vektoren sind dadurch gekennzeichnet, dass vor dem Operationszeichen noch ein Punkt steht. Lediglich die Addition und die Subtraktion zweier Vektoren gleichen Typs unterscheiden sich nicht von den aus der Mathematik bekannten Operationen. Unter Beachtung des Zusammenhangs Matrix <-> Vektor entsprechen die Operationen Element mit Element denen in Kapitei 2.3.5.2 beschriebenen, so dass sie hier nicht nochmals aufgeilihrt werden. Beispiel 2.16 Fiir das System: lOx, 3x,

x, 2X3

4x^

8x,

19 27 17

Cx

(2.55)

sind die Systemmatrix A sowie der Ergebnisvektor c aufzustellen. Die Unbekannten des Vektors x sind mit Hilfe der Inversion und der Division links zu losen und die Ergebnisse zu vergleichen: x = C ' c und x = C\c

(2.56)

32

2 Einfflhrung in MATLAB

Losimg: » C = [10 6-1;3 92;1 -4 8], c = [19;27;17] A= 10 6 -1 3 9 2 1 -4 8 c= 19 27 17

» x = C^(-l)*c,x == C \ c X =

1.0000 2.0000 3.0000 X =

1.0000 2.0000 3.0000

Wie zu erwarten war, ergeben sich aus beiden Operationen die gleichen Ergebnisse.

2.5

Polynome

2.5.1 Eingabe von Polynomen Polynome, ein wesentliche Grundlage bei der Beschreibung des dynamischen Verhaltens im Frequenzbereich, werden als Zeilenvektoren eingegeben. Das Polynom: a^ s^ + a^ s* + a^ s^ + a^ s = Q

(2.57)

lautet in seiner voUstandigen Darstellung: flj s^ +a^s^ +0s^' +a^s^ +a^s + 0 = 0

(2.58)

und so muss es auch eingegeben werden. Jeder Koeffizient eines Polynoms n-ter Ordnung von a^ bis a„, auch der mit dem Wert null, muss in einem Zeilenvektor, mit dem Koeffizienten der hochsten Potenz a„ beginnend nach rechts bin bis QQ fallend, eingegeben werden. Beispiel 2.17 Das nachfolgende Polynom ist im Command Window einzugeben: p = 5s' -3s' +s^ +2s Losung: » p = [5 -3 0 1 2 0] P= 5 - 3 0 1 2 0

(2.59)

2.5 Polynome

33

MATLAB ermittelt aus der Anzahl der Koeffizienten den Grad des Polynoms und geht davon aus, dass der am weitesten links stehende Koeffizient zu der Variablen mit der hochsten Potenz gehort.

2.5.2

Der Grad eines Polynoms

Der Grad eines Polynoms bestimmt sich unter MATLAB wie folgt: n^=length{p)-l

(2.60)

Beispiel 2.18 Von dem Polynom j? aus dem Beispiel 2.17 ist der Grad zu bestimmen. Losung: » np = length(p)-l np = 5 Das Polynom/7 ist 5. Grades.

2.5.3

Operationen mit Polynomen

2.5.3.1 Multipllkatlon von Polynomen Die Multiplikation von zwei Polynomen unter MATLAB geschieht mit folgender Funktion: /? = <:o«v(/>, ,/>2)

(2-61)

Beispiel 2.19 Das Produkt der beiden Polynome p^ =5s'* -3s^ +S + 6; p2=s^+5s

+6

(2.62)

ist mit der Funktion nach Gleichung (2.61) zu bestimmen. Losung: » pi = [5 0-3 16];p2 = [l 5 6]; » pm = conv(pl,p2) pm = 5 25 27 -14 -7 36 36 Die Losung ergibt ein Polynom 6. Grades und ist in Gleichung (2.63) dargestellt. p„, = 5 / + 2 5 ^ ' + 2 7 / - 1 4 ^ ' - 7 / + 3 6 ^ + 36 2.5.3.2 Division von Polynomen Die Division von zwei Polynomen unter MATLAB ist wie folgt definiert:

(2.63)

34

2 Einfflhmng in MATLAB \q,r\ = deconv{^p^,P2)

(2.64)

Beispiel 2.20 Das mit der Gleichung (2.63) gegebene Polynom/>„ ist mit dem Polynom: p,=s-+5s

+A

(2.65)

mit Hilfe der Funktion nach Gleichung (2.64) zu dividieren. Losung: » p 3 = [15 4]; » [q,r] = deconv(p,p3) q=

5 -28 120 -487 r= 0

0

0

0

1957

1948

Das Ergebnis ist in Gleichung (2.66) dargestellt. Es ist zu sehen, dass die Division neben dem Quotienten q noch einen Rest r liefert: — =^+— ft

^

^= 5/-I-7/-49S-H210

r = -8185-804

(2.66)

Pi

Der Rest "r" wiirde null sein, wennps vollstandig inp„ enthalten ware! 2.5.3.3 Addition und Subtraktion von Polynomen Voraussetzung fur die Addition und Subtraktion zweier Polynome ist ihr gleicher Grad. Ist ein Polynom von kleinerem Grad, so ist dieses Polynom nach links mit so viel Nullen aufzufullen, bis die Grad-Differenz ausgeglichen ist. Eine Funktion existiert unter MATLAB dafiir nicht. Es ist der Additions- bzw. Subtraktionsoperator zu verwenden. Es gilt folglich: P,. = P\+ PT^" ' ' A =P<-P2^-

(2.67)

Beispiel 2.21 Es ist das Polynom 4. Grades/>i mit dem Polynom 2. Grades/12 zu addieren. LQsimg: » pa = pl+[zeros(l,length(pl)-length(p2)) p2] pa = 5 0 -2 6 12 Das Polynom/72 ist nach links mit zwei Nullen aufzufullen: p^,=p,+[0s'+0s'+p,'] was zu folgendem Ergebnis fuhrt:

(2.68)

2.5 Polynome p^=5s'+0s'-2s^+6s

+ l2

35 (2.69)

2.5.3.4 NuUstellen bzw. Wurzeln eines Polynoms Die M-fiinction: Nu = roots (p)

(2.70)

berechnet die NuUstellen bzw. Wurzeln eines Polynoms p. Die NuUstellen sind die Losungen des Polynoms fiir /> = 0, sie werden in der komplexen (GauB'schen) Zahlenebene dargestellt. NuUstellen spielen bei der Beschreibung des dynamischen Verhaltens, im Zusammenhang mit der Beurteilung der Stabilitat eines Systems, ein wesentliche Rolle. Bei den in einem spateren Kapitel behandelten Ubertragungsfunktionen, einer gebrochenrationalen Funktion, ergeben sich die NuUstellen aus dem Zahlerpolynom und die Pole aus dem Nennerpolynom. Bei den Systemmatrizen sind es die Eigenwerte. Beispiel 2.22 Es sind die NuUstellen des Polynoms/)2 mit der Funktion (2.70) zu berechnen. Losung: » Nu2 = roots(p2) Nu2 = -3.0000 -2.0000 2.5.3.5 Berechnung des zu seinen NuUstellen gehorenden Polynoms Die M-fiinction: p = poly[Nu)

(2.71)

berechnet aus den NuUstellen das dazugehorende Polynom. Beispiel 2.23 Gesucht ist mit Hilfe der Funktion (2.71) das zu den NuUstellen Nup = [-l+2i -l-2i -4] gehorende Polynom PAI„. Das Ergebnis ist mit der Funktion (2.70) zu uberprufen. Losimg: » N u p = [-l+2i-l-2i-4] Nup = -1.0000 + 2.00001 -1.0000-2.00001 -4.0000 » pNu = poly(Nup) pNu = 1 6 13 20 Es ergibt sich folgendes Polynom:

' GauB, Carl Friedrich *30.4.1777 Braunschweig t3.2.1855 Gottingen, Mathematiker

36

2 Einfflhrung in MATLAB / 7 „ „ = y + 6 / + 1 3 / 7 + 20

(2.72)

Aus Gleichung (2.72) ergeben sich mit der Funktion (2.70): » Nup = roots(pNu) Nup = -4.0000 -1.0000+ 2.0000i -1.0000-2.00001 die bekannten Nullstellen. 2.5.3.6 Wert eines Polynoms an einer vorgegebenen Stelle Die M-fUnction: P^= polyval[p,x)

(2.73)

berechnet an der Stelle x den Wert des Polynoms p . Beispiel 2.24 Es ist der Wert des Polynoms pi^u nach Gleichung (2.72) mit der Funktion (2.73) fur x = - 4 zu berechnen. Losung: » P_4 = polyval(pNu,-4) P_4 = 0 Da bei x = -4 eine Nullstelle des Polynoms pfju liegt, muss der Funktionswert an dieser Stelle gleich null sein. 2.5.3.7 Ableitung eines Polynoms Die M-ftinction: dp = polyder i^p^

(2.74)

berechnet die Ableitung eines Polynoms p, aber auch mit: dp„r = polyder{p^, p^)

(2.75)

die Ableitung des Produktpolynoms aus/>i undp2Beispiel 2.25 Aus dem Produktpolynom von p\ mit pi ist mit der Funktion (2.75) die Ableitung zu bilden. Das Ergebnis ist zu iiberpriifen, in dem die erste Ableitung des Polynoms p„, siehe Gleichung (2.63), nach/7 in Handrechnung durchzufuhren ist. » dpm = polyder(pl,p2) dpm = 30 125 108 -42 -14

36

2.6 Graphische Darstellungen

37

Ennittlung der ersten Ableitung des Polynoms/>„ nachp in Handrechnung: dp^

d[5s''+25s^+27s'-l4s^-7s^+36s

dp dp

+ 36)

dp

(2.76)

= 3 0 / + 1 2 5 / + 1 0 8 / 7 ^ - 4 2 / - 1 4 j c + 36

Wie zu erwarten, stimmen die Ergebnisse iiberein.

2.6

Graphische Darstellungen

In der Mehrzahl der Falle sollen die gewonnenen Ergebnisse graphisch dargestellt werden, was auch einem Hauptanliegen von MATLAB entspricht. Aus der Vielzahl der Moglichkeiten werden nachfolgend einige Funktionen, die im Zusammenhang mit der graphischen Darstellung von zweidimensionalen Objekten - 2-D Graphiken - und dreidimensionalen Objekten - 3-D Graphiken - stehen, behandelt. Zur Klarstellung des Sprachgebrauchs wird vereinbart, dass die Ergebnisse einer mathematischen Untersuchung oder einer Simulation Graphen sind, die in Figuren - in MATLAB figure - dargestellt werden. Dies bedeutet, dass das Bild in dem sich die Graphik samt alien Beschriftungen befindet, als Figur bezeichnet wird. Funktion annotation ['Typ',' Position')

'^-''•'•^l,L-''-min -''max J^min .J^max -^min -^niax J j

axis equal axis square axis tight

ezpl0t{^f{x,y)\[x^^

figure{i)

^max >'mi„ >'max])

Beschreibung Fugt "Anmerkungen", wie Pfeile 'arrow', TextPfeile 'textarrow' usw. in eine Figur ein. 'Position' entspricht den "normalisierten Koordinaten", urn Positionen innerhalb der Abbildung zu spezifizieren. In den normalisierten Koordinaten sind immer der Punkt (0,0) die linke untere und der Pimkt (1,1) die rechte obere Ecke des Abbildungsfensters, unabhangig von der GroBe der Abbildung. Legt die Bereiche der 3 Achsen bei einer 3-D bzw. der 2 Achsen bei einer 2-D Graphik fest. Erzeugt gleich lange Achseneinheiten. Stellt die Achsenboxflachen quadratisch dar. Die Achsen werden durch Daten der Graphik begrenzt. Weitere Eigenschaften, siehe help axis. Stellt explizite Funktionen als 2-D Graphiken im vorgegebenen Bereich dar. Ohne Angabe der Grenzen wird im Bereich [-2n bis +2n\ dargestellt. Die Funktion erscheint im 'Titel'. Erzeugt die i-te Figur.

38

2 Einfflhmng in MATLAB ^/o?('/(x)',[x„„x_],to/,^)

a = gca

f = gcf get[gca) bzw.

get[a,'Eigenschaft')

get(gcf)hzv/.

get[f,'Eigenschaft'^

linspace{x^^ ,x^,n)

logspace{^a,e,n)

plot[x,y,S)

plot3[x,y,z,S)

plotyy{x„y„x^,y^)

semilogx(^x,y)

semilogy{x,y)

Stellt explizite Funktionen als 2-D Graphiken im vorgegebenen Bereich dar. Der Parameter tol gibt die Toleranzgrenze flir die Auswertung an. Fur S gilt das unitr polt gesagte. An a wird die Nummer (der Achse) des aktuellen Subplots iibergeben. An / wird die Nummer der aktuellen Figur ubergeben. Gibt den Wert der bestimmten Eigenschaft fur den aktuellen Subplot aus. Liefert die Eigenschaften bzw. den Wert der aktuellen Figur. Erzeugt einen Vektor mit n Elementen zwischen Xa = Anfangs- imd x^ = Endpunkt. Wird n nicht angegeben, werden 100 Punkte berechnet. Erzeugt einen Vektor mit logarithmischen Elementen auf der Basis 10. Der Vektor beginnt mit 10" imd endet bei 10*". Die GroBe n legt die Anzahl der Elemente fest. Bei fehlendem n werden 50 Werte berechnet. Erzeugt eine 2-D Graphik, wobei x und y Vektoren vom gleichen Typ sein miissen. Mit S werden die Art und die Farbe der Linie angegeben. Entfallt S, dann wird der Graph als Volllinie farbig dargestellt. Die Funktion ermoglicht es, gleichzeitig mehrere Kurven darzustellen und diese unterschiedlich farbig sowie graphisch zu kennzeichnen. Erzeugt eine 3-D Graphik, wobei x, y imd z Vektoren vom gleichen Typ sein miissen. Ftir 5* gilt das UYAQV poll gesagte. Stellt 2 Graphiken mit unterschiedlicher Einteilung der Ordinaten in einer Figur dar. Die Werte von yi werden links und die voayj rechts angetragen. Erzeugt die halblogarithmische Darstellung der X-Achse auf der Basis 10 einer Funktion, wie z.B. die Darstellung der Amplitude F in dB iiber dem Logarithmus der Frequenz co, wie es im Bode-Diagramm geschieht. Erzeugt die halblogarithmische Darstellung der J'-Achse auf der Basis 10 einer Funktion.

2.6 Graphische Darstellungen set (a,' Eigenschaft', | fFer^j) set(^f,' Eigenschaft', | fFer?}) subplot iym,n,i)

?ex/(x,_v,z,'Text')

?/?/e('Text') x/flZ)e/('Text'),

^/^^^/('Text')

z/aZ)e/('Text')

Legt flir den aktuellen Subplot oder die aktuelle Figur den Wert oder die Werte der benannten Eigenschaft fest. Stellt den i-ten Subplot bzw. die i-te Grafik von {m X K)-Graphiken in einer Figur dar. Die Figur hat m Zeilen und n Graphiken pro Zeile. Bei bereits vorhandener Figur weist sie auf den i-ten Subplot. Fiigt den 'Text' in die Graphik an den entsprechenden Koordinaten x, y und z bei 3-dGraphiken sowie x und y bei 2-D Graphiken ein. Bezeichnung des Graphen oberhalb der Figur. Beschriftet Achsen.

mit

'Text'

die

entsprechenden

v/evf([Azimut Elevation])

Stellt den Azimut = dem horizontalen Winkel

bzw.

und die Elevation = dem vertikalen Winkel fiir die Betrachtungsposition einer Graphik ein. Gibt den horizontalen und den vertikalen Betrachtungswinkel der aktuellen Graphik aus.

[K,v^]^view

39

Mathematische Symbole und griechische Buchstaben zur Verwendung in Figuren, siehe "Text Properties" unter help. Hinweis: Sinnvoll ist es Eigenschaften der Figuren mit: Figure —> Edit —> ... Properties ... z\x bearbeiten, z.B. Axes Properties —> Property Editor-Axes -^ x-Axis —>• Ticks ..., siehe u.a. Beispiel 7.5. Beispiel 2.26 Die Verlaufe der beiden Funktionen: L(o) = -201gV4 + o^ und 0 ( « ) =-arctan(fflr) sind als zwei getrennte Graphiken in einer Figur untereinander iiber dem lg((o) in den Grenzen von 10'^ bis 10^ darzustellen. Die jv-Achse fur die Funktion L{oS) soil den berechneten Werten angepasst werden. Fiir die Funktion <1)((B) soil die>'-Achse die Einteilung [-90 -45 0] besitzen. Die Beschriflungen der j^-Achse mit |L| [dB] und $ [°] sind horizontal und links vom NuUpunkt darzustellen. Die x-Achsen sind mit /g(co) und die Titel mit Amplitudengang L{(a) bzw. Phasengang
40

2 Einfflhrung in MATLAB Amplitudengang L{(t,, |L| [dB] -10

-*0

10

-J.

1 1

- - " - i - J- Li-i-L

10

10 Igm Phasengang 0(111)

Bild 2.4 Graphische Darstellung der Losung nach Beispiel 2.26 Beispiel 2.27 Es sind die Achseneinteilungen 'XTick' und 'YTick' sowie die 'Position' und GroBe - in der Position entlialten - der beiden Grafiken in Bild 2.4 zu ermitteln. Vorher ist die MaBeinheit 'units' in der Figur auf centimeter' zu setzen. Losung: Siehe function Beispiel2_27.m Weitere Beispiele ftlr graphische Darstellungen sind Teil der Beispiele 2.13 und 2.15.

3. Einfiihrung in Simulink Wesentlich erweitert wurde MATLAB durch Simulink, einem Software-Paket fur die Modellbildung, Simulation und Analyse linearer und nichtlinearer sowie zeitkontinuierlicher und zeitdiskreter Systeme. Die Elemente des nachzubildenden Systems werden als Blocke, die mittels Linien als Elemente des Informationsflusses untereinander verkoppelt werden konnen, dargestellt. Damit ist es moglich, wie mit einem Bleistift auf Papier - hier mit der Maus auf dem Bildschirm, die gewiinschten mathematischen Modelle graphisch darzustellen. Aus einer sehr umfangreichen Bibliothek konnen flir die Modeilbildung die erforderlichen Funktionsblocke ausgewahlt und iiber Linien, entsprechend dem Informationsfluss, miteinander verbunden werden. Die bei einer Simulation zwischen den einzelnen Blocken ausgetauschten Daten konnen, flir MATLAB typisch, vom Typ Skalar, Vektor oder Matrix sein, d.h. es wird zwischen eindimensionalen - 1-D - und zweidimensionalen - 2-D - Arrays bzw. Signalen unterschieden. Simulink ist ein interaktives Programm, das es neben der Vielzahl der gelieferten Funktionen erlaubt, eigene vom Anwender mit Hilfe des M-file-Editors geschriebene Funktionen zu nutzen. Die eigenen Funktionen laufen unter der Bezeichmmg "User-Defmed Functions" wie z.B. die S-Functiom. Die Mehrzahl der Simulinkoperationen ist selbsterklarend imd besonders flir Anwender, die mit der Konstruktion von Signalflussplanen vertraut sind, sehr schnell zu erlemen. Nachfolgend werden einige grundsatzliche Eigenschaften von Simulink beschrieben. Fiir eine Vielzahl von Anwendungsgebieten existieren Toolboxen mit aussagefahigen Modellblocken. Die Modelle konnen beschriftet und farbig gestaltet werden.

3.1

Der Funktionsblock

Die Funktionsblocke sind in den meisten Unterbibliotheken von Simulink, bis auf die Bibliotheken Sinks, Sources, Model Verification imd Model- Wide Utilities, enthalten. Der Funktionsblock ist dadurch gekennzeichnet, dass er mit einem Signal oder mehreren Signalen - Eingangsvektor - belegt werden kann und dass ein Signal oder mehrere Signale - Ausgangsvektor - ihn verlassen:

CI>

Funktion

I

•(

1 ) y(t)

u{t)

Bild 3.1 Funktionsblock

42

3 Einfiihmng in Simulink

Fiir das Ausgangssignal gilt: y{t) = f[u{t)\

(3.1)

bzw. fiir lineare Systeme im Frequenzbereich: Y{S) = F[U{S)\

3.2

(3.2)

Eingabe- und Ausgabeblocke

3.2.1 tJbergabe von Daten der Eingangssignale an das Modell Die Blocke mit den Eingangssignalen fiir die Modellierung sind in der Unterbibliothek Sources zu finden. Die Sources-QXocks. sind dadurch gekennzeichnet, dass sie nur (Iber einen Ausgangsvektor verfiigen. Hier konnen die Signale aus daflir vorgesehenen Blocken:

• Bild 3.2 allgemeiner Eingangsblock im Modellfenster erzeugt oder die notwendigen Daten aus einem file *.mat bzw. von der Workspace bezogen werden:

Bild 3.3 Eingabeblock fur Daten aus einem file *.mat oder von der Workspace Zu beachten sind die Anordnung der zu ubergebenden Werte als Zeitvektor und Datenvektor bzw. Datenvektoren. Die Anordnung ist den Beschreibungen in den Fenstem der Source Block Parameters fiir die Blocke From File bzw. From Workspace zu entnehmen. Eine weitere Moglichkeit das Modell im Simulations-Fenster mit den notwendigen Eingangswerten von der Workspace aus zu versorgen, ist der Block In:

cry In1

Bild 3.4 Eingabeblock fur Daten von der Workspace Voraussetzung daflir ist, dass neben dem Vorhandensein der Daten auf der Workspace, im Modellfenster unter Simulation -^ Configuration Parameters -^ Data Import/Export im Fenster Load from Workspace das Feld Input aktiviert ist und dahinter die entsprechenden Bezeichnungen der Datenvektoren - Spaltenvektoren - eingetragen sind. Auch konnen Vektoren mit den Anfangszustanden vorgegeben und damit eingegeben werden.

3.2 Eingabe- und Ausgabeblocke

43

3.2.2 Darstellung der Ergebnisse oder Ausgabe der Daten der Simulation Die Ergebnisse der Simulation lassen sicli direJit im Modellfenster graphisch mit Hilfe des Data Viewers darstellen, z.B. durch: ^ Scope

Bild 3.5 Block zur graphischen Darstellung des Ergebnisses der Simulation oder indirekt als Datensatz einem file *.mat ilbergeben bzw. an die Workspace ausgegeben werden. Die dazu erforderlichen Blocke To File und To Workspace sind in der Unterbibliothek Sinks enthalten. Sie verfugen nur tiber einen Eingangsvektor:

Bild 3.6 Ausgabeblock fur Daten an einen file *.mat oder an die Workspace Auch die Ausgabe von Daten an die Workspace kann iiber einen Block, genannt Out: Outi

Bild 3.7 Ausgabeblock fflr Daten an die Workspace erfolgen. Voraussetzung ist, dass im Modellfenster unter Simulation -^ Configuration Parameters -^ Data Import/Export im Fenster Save to Workspace die Felder Time imd Output aktiviert und dahinter die entsprechenden Bezeichnungen der Datenvektoren, in die die Daten geschrieben werden sollen, eingetragen sind. Neben dem Vektor fur die Zeit / - Time, den Vektoren fur die Ausgangsdaten - Output - yi, ...,yr und den Vektoren fur die Zustande - States - Xi, ...,xn kann auch ein Vektor mit den Endwerten der Zustande - Final states -xa\_ ..., xan mit ausgegeben werden. Die Vektoren ergeben sich aus den fur jeden Rechen- bzw. Zeitschritt ermittelten Werten. Das Datenformat kann eingestellt werden:

als Array mit

bzw.

als Spaltenvektoren

(3.3)

44

3 Einfiihrung in Simulink t =\t ,;•••;? ] \_a\^

a

^ an i

time: [ ] signals : [l x 1 struct] als Strukturmit <{

.

[ "

time: [ ] I signals: [l x w struct]

[

time:[]

(3.4)

[signals: [l x »; struct] time: [ 1 }',.=<.. r 1 signals :[lxl struct]

m :Anzahl der Systeme

Der Eintrag "time: [ ]" bedeutet, dass es sich um einen Leer-Vektor bzw. eine Leer-Matrix Empty-Matrix - handelt. Wird als Format fflr den Ausgang Structure with time gewahlt, so wird in Gleichung (3.4) an Stelle der Empty-Matrix "time: [ ]", "time: [A: x 1 double]" ausgegeben, wenn k die Anzahl der Rechenschritte bedeutet. Bei dem Format Array ergeben sich die Werte durch den Aufruf des Funktionsnamens in der Workspace. Erfolgte dagegen die Ausgabe mit dem Format Structure bzw. Structure with time, so kann wie folgt auf die Daten zugegriffen werden, z.B. beij'i mit signals: [ 1 x 1 struct]: yi.time yi.signals, values und bei x mit signals: [\xm struct] auf das i-te von m Systemen: x.time x.signals(i). values Neben dem Feld values gibt es noch die Felder dimensions, label, blockName und inReferencedModel.

3.3

Signalverbindungen - Informationsaustausch

Die Informationen bzw. Daten werden als Signale iiber die Signalleitungen zwischen den einzelnen Funktionsblocken ausgetauscht. Die Darstellung der Signalleitungen erfolgt in der einfachsten Form durch eine gerichtete Linie. Mit Hilfe des Summiergliedes Sum konnen mehrere Signale - Skalare oder Vektoren - vorzeichengerecht addiert werden:

GD u1

CID u2 (—^-\

•© JT I

KT) y y = u1 - u2 + u3

u3

Bild 3.8 Vorzeichengerechte Summation von Signalen

3.3 Signalverbindungen - Informationsaustausch

45

Signalverzweigungen sind, wie in Signalflussplanen, durch einen Punkt gekennzeichnet, von dem die Signale, welche gleich dem zuflieBenden Signal sind, abfuhren. Einen besonderen Block gibt es daflir nicht.

2

) u = y1 = y2 = y3

y2

Bild 3.9 Signalverzweigung Mit dem Mwx-Block werden mehrere Signale, deren Anzahl unter Number of inputs in den Function Block Parameters eingetragen wird, zu einem virtuellen' Signal zusammengefasst bzw. gebiindelt, was der iibersichtlicheren Darstellung in einem Simulink-Signalflussplan dient. Dieses virtuelle Signal kann dann einem Funktions- oder Ausgabe-Block zur Verarbeitung bzw. dem Demux-Block zwecks Zerlegung in seine Bestandteile iibergeben werden. Die Anzahl der Ausgange muss in Number of outputs in die Function Block Parameters eingetragen werden. Mit Hilfe eines Z)ewMx-Blockes kann ein virtuelles Signal in mehrere virtuelle Signale, die Teil des Gesamtsignals sind, zerlegt werden.

ui, mit i = 1,2

Bild 3.10 Mux zum Bilden eines Signalbusses und Demux zum Zerlegen in die Einzelsignale Steht z.B. an einem Z)e»?Mx-Block ein aus n Einzelsignalen gebildetes virtuelles Signal an, dann wird dieses in seine n Einzelsignale zerlegt, in dem unter Number of outputs in die Function Block Parameters der Wert n eingetragen wird. SoUen dagegen am Ausgang m virtuelle Signale ausgegeben werden, so ist das Eingangssignal entsprechend auf die m Ausgangssignale aufzuteilen und daflir folgendes unter Number of outputs in die Function Block Parameters einzutragen: n„]

(3.5)

Hierbei muss gelten:

Z«, virtuell: scheinbar, nur gedacht

(3.6)

46

3 Einfiihrung in Simulink

Beispiel 3.1 Das einem Demux-Block zugefflhrte virtuelle Signal bestelit aus 9 Signalen. Am Ausgang sollen die Signale 1 bis 3, 4 und 5, 6 sowie 7 bis 9, als 4 virtuelle Teilsignale ausgegeben werden. Was ist unter Number of outputs in die Function Block Parameters einzutragen? Losimg: Number of outputs: [3 2 1 3 ] Zwei weitere Blocke, die ebenso, wie die soeben behandelten, der Vereinfachung und iibersichtlicheren Darstellung in den Simulink-Signalflussplanen dienen, sind der Bus CreatorBlock und der Bus Selector-QXock, die nachfolgend kurz behandelt werden. Mit dem Bus Creator-Block werden mehrere Signale, Einzelsignale oder bereits zu einem Bus zusammengefasste Signale, zu einem Bus, ahnlich wie bei dem Mwx-Block, gebilndelt, d.h. zu einer Gruppe von Signalen zusammengefasst und durch eine einzelne Linie im Signalflussplan dargestellt. Die Anzahl der zu einem Bus zu btindelnden Signale sind unter Number of inputs in die Function Block Parameters einzutragen. Uber den Schalter Find in dem Fenster Signals in bus in den Function Block Parameters wird, nach dem Anklicken des betreffenden Signals, die Quelle dieses Signals im Signalflussplan farbig gekennzeichnet. Um das Bussignal am Ausgang wieder zu zerlegen, ist es an einen Bus Selector-Q\ock anzuschliefien. Der Bus Selector-Block stellt eine vom Anwender festgelegte Teilmenge seiner Eingangssignale an seinem Ausgang bereit. Die ausgewahlten Einzelsignale konnen einzeln oder als ein neues Bussignal - Output as bus - ausgegeben werden. Diese beiden Blocke sind durch ihre Variabilitat sehr leistungsfahig. f^^

\_LJ u1 u2

^

•

i-^l

u4

,,

„•

,

virtuelles Signal

—^1

•

<signal1>

I—I

•KX) y1

Signal-Bus

• <

Bus Bus <signai2> Creator Selector yi = ui, mit i = 1,2

"i-^l f-T-\

-^

• ( ! ! ) y2

virtuelles Signal

r-^l Bus Creatorl

Signal-Bus

H

^y<signal1, signal2>^^—-^

Bus Selectorl (Output as bus) y3 = f(u3,u4)

Bild 3.11 Bus Creator zur Bilndelung und Bus Selector zur Zerlegung von Signalen Zu bemerken ist noch, dass bei dem Anklicken einer Signallinie im Signalflussplan mit der rechten Maustaste ein Fenster geoffhet wird, mit dem es u.a. moglich ist, fiber Highlight To Source den Verlauf zur Quelle bzw. mit Highlight To Destination den Verlauf zum Ziel des Signals farbig darzustellen.

3.4 Algebraische Schleifen - Algebraic Loops

3.4

47

Algebraische Schleifen - Algebraic Loops

3.4.1 Systeme mit proportionalem sprungfahigem Verhalten Es gibt Systeme, deren Einganssignale direkt auf den Ausgang durchgeschaltet werden. Dies sind zum einen Systeme mit einem statischen Ubertragungsverhalten, d.h. deren Ausgangssignal wird ohne Zeitverzogerung vom Eingangssignal bestimmt. Zum Anderen sind es die sprungfahigen Systeme, die dadurch gekennzeichnet sind, dass in Differenzialgleichungen, die ihr dynamisches Verhalten beschreibenden, die Ordnung der hochsten zeitlichen Ableitung des Eingangssignals gleich der Ordnung der hochsten zeitlichen Ableitung des Ausgangssignals ist. Im Zeitbereich, bei der Beschreibung durch Vektor-Matrix-Differenzialgleichungen, ist in diesem Fall die Durchgangsmatrix D ;^ 0. Im Frequenzbereich, bei linearen Systemen, ist der Grad des Zahlerpolynoms gleich dem Grad des Nennerpolynoms. Unter Simulink werden Blocke mit diesem Verhalten, als Blocke mit direct feedthrough Verhalten bezeichnet. Es sind, neben den oben genannten sprungfahigen Systemen, die mathematischen Funktionsblocke, der Gain-, Product- und 5Mw-Block sowie die direkte Verbindung zwischen dem Ausgang eines Integrator-Blocks mit seinen Anfangswert-Eingang.

3.4.2 Algebraische Schleifen Befindet sich in einem Signalflussplan cine Rtickkopplung, deren Vorwarts- und Rilckwartszweig nur aus einem oder mehreren dieser direct feedthrough-B\6cke aufgebaut ist, so erscheint bei der Simulation im Command Window folgende Meldimg - Warning: Block diagram 'Name' contains 1 algebraic loop(s). Durch eine Ruckkopplung wird bekanntlich das Ausgangssignal des Vorwartszweiges uber den Ruckfiihrzweig auf den Eingang des Vorwartszweiges zuruckgefuhrt. Da zwischen dem Eingangssignal und dem Ausgangssignal des Vorwartszweiges und des Riickfuhrzweiges keine Zeitverzogerung auftritt, gilt wahrend eines Rechenschrittes: Eingangssignal gleich Ausgangssignal gleich Eingangssignal oder Ursache gleich Wirkung gleich Ursachel Diese Konstruktion stellt eine algebraische Schleife bzw. einen algebraic loop dar. Die algebraische Schleife ist entweder durch Umgestaltung des Signalflussplanes aufzulosen oder durch Einfligen des Algebraic Constraint-Blockes zu unterbrechen und zu losen.

3.4.3 Auflosen einer algebraischen Schleife Grundsatzlich sind fur das Auflosen von algebraischen Schleifen innerhalb eines Signalflussplanes fiir ein dynamisches System die Regeln zur Vereinfachung bzw. zur Umformung von Signalflussplanen zu verwenden. Es sollen dazu einige Hinweise gegeben werden. Befinden sich im Vorwarts- und Riickfiihrzweig einer Ruckkopplung nur statische Ubertragungsglieder, z.B. je ein Gain-Block, so kann diese algebraische Schleife wie folgt aufgelost

48

3 Einfiihmng in Simulink

werden, wenn K^ der Ubertragungsfaktor im Vorwartszweig und K^ der Ubertragungsfaktor im Rtickfuhrzweig ist: K„, =

K

f +: Gegenkopplung mit { l + K^K^ [-: Mitkopplung

(3.7)

Beispiel 3.2 Simulink gibt bei der Simulation des folgenden Signalflussplans, siehe Beispiel3_02.m:

^*®P

uR2

fiain

Scope

Bild 3.12 System 1. Ordnung mit einer algebraischen Schleife im Command Window folgendes aus: Warning: Block diagram 'Bild3_12' contains 1 algebraic loop(s). ... Found algebraic loop containing: 'Bild3_12/Gain' "Bild3_12/Gain2' 'Bild3_12/Sum' (algebraic variable) Gesucht ist die resultierende Funktion, mit der die algebraische Schleife aufgelost wird. Losung: Die algebraische Schleife ist eine Gegenkopplung mit je einem Gam-Block im Vorwarts- und Rtickfuhrzweig, so dass sich mit Gleichung (3.7) flir den Verstarkungsfaktor des resultierenden Gaw-Blocks ergibt:

K.

1 iJ, +i?2

(3.8)

Mit diesem resultierenden Gain-Block nach Gleichung (3.8) ergibt sich das Systemmodell im Bild 3.13 . Besteht dagegen die algebraische Schleife im Vorwartszweig aus dem sprungfahigen System mit der Ubertragungsflinktion: , , G {s) =

Z(s) V4

niit m =n

(3.9)

und im Rtickfuhrzweig auch aus einem sprungfahigen System mit der Ubertragungsflinktion:

3.4 Algebraische Schleifen - Algebraic Loops , , Zis) G (s] = -^

mit m =n

49

(3.10)

so gilt fur das Ersatzsystem, welches die algebraische Schleife auflost:

ZM^r^

GA&-

N^{s)N^{s)±Z^{s)Z,\s)

mit

+: Gegenkopplung [-: Mitkopplung

1/C1^^^^ Gain1

•

(3.11)

-

I-

Integrator

^j^uR2 = u a ^ O | Gain2 Scope Bild 3.13 System 1. Ordnung nach Bild 3.12 ohne algebraische Schleife In dem Fall, dass eine der Ubertragungsfunktionen eine Konstante ist, warden der entsprechende Zahler gleich der Konstanten und der Nenner eins gesetzt. Das mit Gleichung (3.7) dargestellte Ergebnis ergibt sich aus Gleichung (3.11) flir Ga/«-Bl6cke im Vorwarts- und Riickflihrzweig. Ein nicht selten auftretender Fall ist, dass neben der algebraischen Schleife ein Parallelzweig verlauft, der mindestens ein Ubertragungsglied mit Zeitverhalten enthalt. Hierfiir ergibt sich mit der Ubertragungsfunktion des Ruckfuhrzweiges: G^{s)

=

K^,+G^,{s)

K,,+

Zr2{s) (3.12)

GAs) =

K,NM

+ Zr2{^) _ Zr{s)

die resultierende Ubertragungsfunktion der algebraischen Schleife mit Gleichung (3.11) zu: G„,,(^) =

K,{s) + K,[K^,N^,{s) + Z^,{s)]

(3.13)

Beispiel 3.3 Simulink gibt bei der Simulation des Signalflussplans in Bild 3.14 im Command Window folgendes aus:

3 Einfiihmng in Simulink

50

Warning: Block diagram 'Bild3_14' contains 1 algebraic loop(s). ... Foimd algebraic loop containing: 'Bild3_14/Gain' 'Bild3_14/Gain3' 'Bild3_14/Sum2' 'Bild3_14/Sum' (algebraic variable) ^

step

n=in

Bild 3.14 Signalflussplan eines Systems 2. Ordnung mit einer algebraischen Schleife Gesucht ist die resultierende Funktion, mit der die algebraische Schleife aufgelost wird. Losung: Die einzelnen Blockinhalte des Signalflussplanes nach Bild 3.14 in die Gleichung (3.12) eingesetzt, liefert die Ubertragungsfunktion der algebraischen Schleife und des dazu parallelverlaufenden Zweiges:

G.M =

R.C.s + l

(3.14)

C2S

Die mit der Gleichung (3.14) dargestellte Ubertragungsfunktion des Ruckfuhrzweiges beschreibt ein sprungfahiges System 1. Ordnung ohne Ausgleich. Die resultierende Ubertragungsfunktion der algebraischen Schleife ergibt sich mit der Gleichung (3.13) zu: C2 s

G.A^)- C^{R + R,)s + l

(3.15)

Das mit der Gleichung (3.15) berechnete tJbertragungsglied der resultierenden algebraischen Schleife ist ein _D-Glied mit Verzogerung 1. Ordnung, also ein sprungfahiges System. Es ergibt sich folgender Signalflussplan des mit Bild 3.14 gezeigten Systems, aber ohne algebraische Schleife.

3.4 Algebraische Schleifen - Algebraic Loops

Gain

51

Integra-

Bild 3.15 Auflosen der algebraischen Schleife des Systems nach Bild 3.14

3.4.4 Einfiigen eines Algebraic Constraint-Blockes Fiir Funktionen, die sich nicht explizit nach der abhangigen Veranderlichen darstellen lassen, bietet der Algebraic Constraint-Block ein geeignetes Mittel, den Wert der numerischen Losung zu bestimmen. Der fur die Darstellung einer impliziten Funktion aufzustellende Signalflussplan wird mindestens eine algebraische Schleife enthalten, die durch Einfiigen eines Algebraic Constraint-Blockes aufgelost und damit ihrer Losung zugefuhrt werden kann. Als Voraussetzung fur den Einsatz des Algebraic Constraint-Blocks?, muss die Funktion der gesuchten Veranderlichen so umgestellt werden, dass der Eingang des Blockes mit dem Wert null belegt ist. Uber den Parameter Initial guess - vermuteter Anfangswert - der Function Block Parameters besteht die Moglichkeit, einen geeigneten Startwert ftir die Berechnung festzulegen. Beispiel 3.4 Fiir ein /Ti-Glied mit Totzeit lautet der Frequenzgang: FpT, ( > ) =

K TJa + l

-T, jco

K

cos (7^ fi})-7sin(7^ «) \ + Tjco

(3.16)

Die Aufspaltung des komplexen Frequenzganges liefert fiir den Betrag: \PpT, ( > ) | = FpT, ( « ) •

(3.17)

und die Phase: 0 (ffl) = - T ; IB - arctan ( r ffl)-^

(3.18)

3 Einfiihrung in Simulink

52

Gesucht sind die Verstarkung K und die dazugehorende Frequenz co, fur den Fall, dass die Ortskurve des Frequenzganges den Punkt (Re;Im) = (-1;0/) durchlauft, was einem Betrag von |F| = 1 und einer Phase von

180

1

arctan (^T co)

(3.19)

n und mit Gleichung (3.17) ergibt sich die Berechnungsgleichung fiir die Verstarkung bei der Frequenz nach Gleichung (3.19) mit |F| = 1: K

Vi+M"

(3.20)

Die Darstellung der Gleichung (3.19) zur Berechnung der Frequenz o in Simulink ergibt eine algebraische Schleife, zu deren Auflosung die Moglichkeiten des Algebraic ConstraintBlockes genutzt wird. Dazu ist die Gleichung (3.19), wie folgt umzustellen: 180

1

arctan(r«)

(3.21)

-Q

n Die Gleichung (3.21) bildet das Eingangssignal flir den Algebraic Constraint-Block. Die Gleichung (3.20) liefert die Verstarkung und Gleichung (3.18) zur Kontrolle den Winkel.

omega 180/Tt*(1-atan{T*u)/pi) —p-W

Fen

+

,, . Solve '(^> f(z) = 0

^

,

^

omega

1

A gebraic Constrai nt

o| omega

rl H

1

ol

omega Null-Kontrolle omega

^ W

1

sqrt{1+{T*u)'^2)

K

Fcnl omega

^

W

-Tt*u-atan{T*u)*180/pi

Fcn2

ol

w

1

Ol Phi

Bild 3.16 Losung der Gleichung (3.19) mit tmeva Algebraic Constraint-Block Einstellungen: T, = 1,5s; T= 0,0255'; Initial guess: 0; Solver: discrete; Max step size: 0,2 Die Verstarkung betragt A^ = 2,193 bei einer Frequenz von co = 78,08 s'\

3.6 Maskieren von Systemen

3.5

53

S-Functions

Eine S-Function ist die Beschreibung eines Simulink-Blockes in einer Programmiersprache. Als Programmiersprachen konnen MATLAB, C, C++, Ada oder Fortran zum Einsatz kommen. Der zu einem S-Functions-B\ock gehorende M-file wird bei jedem Simulationsschritt zeilenweise interpretiert. Die in den anderen Programmiersprachen geschriebenen S-Functions werden unter MATLAB als so genannte MEX-files - MATLAB Executable Files - kompiliert. Die MEX-files liegen bei dem Start der Simulation als direkt ausfflhrbarer Code vor, was z.T. zu wesentlich kiirzeren Rechenzeiten gegeniiber M-S-Functions fuhrt. Die in einem S-Functions-QXock eingebettete Routine stellt dem Anwender eine Moglichkeit zur Verfugung, mathematische Modelle in komplexer Form in einem eigenen Block darzustellen. Grundlage aller M-S-Functions ist der M-file sfuntmpl, zu finden unter Command Window: » sfundemos -^ S-Function Examples —> M-files -^ Level-l M-files -^ Level-l M-file SFunction Template. Eine sehr ausflihrliche Beschreibung zum Schreiben von S-Functions findet sich in [SimulinkVS.0-2002]. Nachfolgend dazu ein Beispiel. Beispiel 3.5 Das mathematische Modell eines permanent erregten Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motors, siehe die function antrieb.m im Kapitel 5.2, mit seiner Vektor-Matrix-Differenzialgleichung:

"'•(0" dt y{t)_

a„ _^2\

a,2

"'•(0" + 'K

«22_

_v(0.

0

0" *22_

'«., (0"

(3.22)

_F{t)_

und seiner Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung:

" i{t) v{t) n{t) M{t)_

" 1 0 0

0" 1 'i{t) v{t)_ •-32

(3.23)

c^2_

ist durch einen S-Function-Q\ock aus den User-Defined functions zu beschreiben. Der daftir notwendige S-Function M-file ist nach der M-function sfuntmpl zu erstellen. Losung: siehe gslmotor.m

3.6

Maskieren von Systemen

Das Maskieren von Systemen bietet die Moglichkeit eigene Blocke, z.B. die mit der 5Function nach Beispiel 3.5 gebildeten, zu gestalten. Mit Hilfe des Mask editor sind folgende Operationen durchzufuhren bzw. Eintragungen vorzunehmen: Icon -^ Drawing commands: Gestalten bzw. Beschriften des Blocks; Parameters —> Dialog Parameters -^ Prompt: Angabe der zum Benutzen des Blockes erforderlichen Parame-

3 Einfiihrung in Simulink

54

ter; Parameters —> Dialog Parameters —>• Variable: Variablennamen; Documentation —>• Mask type: Kiirztitel; Documentation —> Mask description: Funktionsbeschreibung; Documentation —>• Mask help: Hinweise ziir Hilfe fiir den maskierten Block. Beispiel 3.6 Der im Beispiel 3.5 durch die S-Function gsl_motor beschriebene Block fur den GleichstromScheibenlaufer-Motor ist zu maskieren. Es sind im Mask editor einzutragen: Icon —>• Drawing Command: Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor mit Seilscheibe; Parameters —> Dialog Parameters —> Prompt: Systemmatrix, Eingangsmatrix und Ausgangsmatrix; -^ Variable: A, B, C; —> Type: edit; Documentation —> Mask type: Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor mit Seilscheibe; —> Mask description: Der Block lost die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung fur die Ankerspannung Ua{t) als SteuergroBe und die Seilzugkraf^ F{t) als StorgroBe und gibt den Ankerstrom i{t), die Seilgeschwindigkeit v{t), die Drehzahl n{t) und das Moment M{t) aus; -^ Mask help: Es sind die Systemmatrix A, die Eingangsmatrix B imd die Ausgangsmatrix C fiir das Motorsystem einzutragen. Losung: Gleichstrom-Scheibenlaufer Motor mit Seilscheibe

CI>

Out1

In1

S-Function Bild 3.17 Der maskierte S-Function-QXock des Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motors Eg Mask editor: S-FuiKtmn Icon I Parameters i Initialization Documentation Dialog parameters

id

I\

Prompit

Variable

Type

Evalu... Tunable

Systemmatrix

A

edit

Eingangsmatrix

B

edit

"

Ausgangsmatrix

C

edit

"

w w F

R W W

-Options for selected parameter— Popups (one per line): ^ •r\

Unmask

In dialog: | ~ Show parame...

| ~ Enable param...

Dialog callback:

OK

Cancel

Help

Apply

Bild 3.18 Das Dialog Parameters Fenster des S-Function-Qlock fiir den GSL-Motor

3.6 Maskieren von Systemen

55

.JnJiSj

Ea Mask editor: S-Function Icon ] Parameters | Initialization [Pll^liiyi^eniartionjl -Mask type Gleichstrom-Scheibenlauf er-Motor mit Seilscheibe -Mask description-

Der Block lost die Vektor-Matrix-Differenzial-Gleichung fur die Ankerspannung uafl) als SteuergroBe und die Seilzugkraft F(t) als StorgroUe und gibt den Ankerstrom iafl), die Seilgeschwindigkeit vft), die Drehzahl nft) und das Moment M(t) aus. -Mask helpEs sind die Systemmatrix A, die Eingangsmatrix B und die Ausgangsmatrix C fLJr das Motorsystem einzutragen.

Unmask

OK

Cancel

Help

t

Apply

Bild 3.19 Das Documentation Mask Fenster des S-Function-Q\ock fur den GSL-Motor

2il

P : Function Block Parameters S-Function -Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motormit Seilscheibe (mask) Der Block lost die Vektor-Matrix-Differenziai-GJeichung fur die Ankerspannung uaft) als SteuergroEe und die Seilzugkraft Fft) als StorgriJEe und gibt den Ankerstrom iaft), die Seilgeschwindigkeit vft), die Drehzahl nft)und das Moment Mft)aus. r-ParametersSystemmatrix

F Bngangsmatrix

f^ Ausgangsmatrix

f^

d OK

Cancel

•JHiip'

Apply

Bild 3.20 Die Function Block Parameters des S-Function-Block fur den GSL-Motor

56

3.7

3 Einfiihrung in Simulink

Embedded MATLAB Functions

Der Embedded MATLAB Function-Block kann fur komplizierte Rechenablaufe, wie z.B. die Berechnung der dynamischen Nichtlinearitaten eines nichtlinearen DifferenzialgleichungsSystems, die bei jedem Simulationsschritt auszufiihren sind, genutzt werden. Beispiel 3.7 Filr das System Stab-Wagen, siehe Kapitel 5.1, wird folgendes nichtlineare Differenzialgleichungs-System angegeben: Die nichtlineare Vektor-Matrix-Differenzialgleichung:
cp{t) "0" co{t) 0 + F{t) s{t) 0 v{t) 0

0 1 0 0" 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

"v,(0" 0

• ••

0

'v21

• ••

Kii

0 0

• •• • ••

0

0 0 0

0

KA

0 0 0

(3.24)

VsW

v.(0

v410_

_v,o {t)_

Die in der Gleichung (3.24) enthaltenen Nichtlinearitaten und die dazugehorenden Koeffizienten haben folgenden Aufbau: v^{t) = sm[2(p)oy {t)N v^{t) = Qos{(p)v{t)N [t] v,{t) = co{t)N[t) v,{t) = sm{(p)N{t) v,{t) = oos{cp)F{t)N{t) v,{t) = im{cp)(o\t)N{t) v.j{t) = Qos.{(p)co[t)N[t) v,{t) = ^\n{2(p)N{t) v,[t) = v[t)N{t) v,,{t) = F{t)N{t)

Kii =dlm2 *v23

=~Sm

K2^=gNlmm2 Kii =-lm2

(3.25)

*v46=^2„^'W2

*v49=-^'^2„ ^v410 ~ ''2„

mit dem Nenner: N{t)-

(3.26) ^2„ "J "[^"^2 C0S(^)1

3.7 Embedded MATLAB Functions

57

Die Velitor-Matrix-Ausgangsgleichung:

"l80/;r 0

0 0 0" (D{t) 0 1 0_ s{t) v[t)

(3.27)

Gesuclit sind der Signalflussplan der Gleicliungen (3.24) imd (3.27), einschlieBlicli des Embedded MATLAB Function-Blocks fur die Nichtlinearitaten nacli Gleichung (3.25) imd die Anzahl der Dnrchlaufe n des Funktionsblockes bei der Simulation mit der dazugehorenden/Mwcftow [vi, n] = «/_/(ul,u2,u3) mit Mi = K = [/20; /; m; nij], U2 = [(p, a>, v] und M3 = [F\. Die zeitlichen Verlaufe des Winkels und des Weges sind graphisch darzustellen, dazu ist ein M-script-file zu schreiben. Fiir die Simulation soil F{t) = 0 und XQ = [TI/IOOO; 0; 0; 0] gelten, d.h. der Winkel des senkrecht auf dem Wagen stehenden Stabes zur Senkrechten betragt 1/1000°. Wenn der Stab senkrecht nach unten hangt, betragt der Winkel 180°. Losung:

Iterationen

Bild 3.21 Signalflussplan des nichtlinearen Systems Stab-Wagen siehe Beispiel3_07.m und den Embedded fiinction-Block nlf.m Graphische Darstellung: siehe Beispiel3_07a.m zur graphischen Darstellung des Winkels und des Weges

58

3 Einfahrung in Simulink Freie Bewegung des Stab-Winkels (j) in [°]

270

_ i — 1 - \ - - •*

225

_,_ 1 — 1 _ 1

1

1

••-

1

'

••

1

1

^

,

,

1

1

1

1

X

1

1

J

1

1

I

1

T

1

1

1

1

4

6

8

10 t in [s]

12

14

L\- _ |

180

_i J

135

90

-I I

Ij. J

45

0

2

16

18

20

Bild 3.22 Verlauf des Stab-Winkels von 10'^° in der freien Bewegung nach 180° Freie Bewegung des Wagen-Weges s in [m] 0.25 0.2

^--j-T-T

0.15

1

^-T--|-T--rr-i

1

T

1

r

1

1

1

T

1

r

r

1

I

i

I

I

L

I

1

I

I

J

I

10

12

14

16

18

0.1 0.05 0 -0.05 -0.1

uJ

i_|

-0.15

Jji

L J

I

I

4

6

8

y.1

-0.2 0

2

20

t in [s]

Bild 3.23 Verlauf des Wagen-Weges von 0 w in der freien Bewegung nach annahemd 0 m

4. Modellbildung

4.1

Das mathematische Modell

Soil zur Simulation ein Computer verwendet werden, wie es Gegenstand dieses Buches ist, so muss das Modell ein mathematisches bzw. ein abstraktes sein, welches nachfolgende Bestandteile und Eigenschaften aufweist.

4.1.1

Variable

Jedes System wird durch cine gewisse Menge unabhangiger und abhangiger Variablen gepragt. 4.1.1.1 Unabhangige Variable Sic sind EingangsgroBen, die unabhangig von dem im System ablaufenden Prozess sind, sic lassen sich untergliedem in: SteuergroBen frei wahlbare GroBen, mit denen das System gesteuert werden kann. StorgroBen nicht frei wahlbare GroBen, die auf das System einen ungewoUten, also storenden Einfluss ausilben. Jede Anlage besitzt eine bestimmte Anzahl von unabhangigen Variablen, oft auch als Freiheitsgrade bezeichnet, die bei beliebiger Wahl ihrer Werte innerhalb bestimmter Grenzen stets eine Anlage ergeben, die die an sie gestellte Leistung erbringt. 4.1.1.2 Abhangige Variable ZustandsgroBen dies sind GroBen, die das innere Verhalten eines Systems, also seinen Zustand, widerspiegeln. AusgangsgroBen sie stehen im fanktionellen Zusammenhang zu den Eingangs- und ZustandsgroBen. 4.1.1.3 Konstruktive und technologische GroBen Sie sind die Grundlage fur die konstruktive und technologische Auslegung einer Anlage und flieBen gewohnlich in die konstanten Koeffizienten der hier betrachteten Modelle ein.

4.1.2

Gleichungen

Das Abbild der Wirkimgsweise des Systems wird durch eine Gesamtheit von Gleichungen bzw. sonstigen funktionellen Zusammenhangen der einzelnen Variablen untereinander beschrieben.

60

4 Modellbildung

Die Gleichungen umfassen den Bereich der gewohnlichen und partiellen Differenzial- und Differenzengleichungen. Sie konnen sowohl lineares als auch nichtlineares Verhalten aufweisen und auch mit Totzeit-Gliedem behaftet sein. Ihre numerische Losung mit MATLAB bzw. unter Simulink wird im Abschnitt 4.1.9 behandelt.

4.1.3

Nebenbedingungen

Nebenbedingungen beschreiben den zulassigen Bereich der fur das einwandfreie Arbeiten des Systems zustandigen Variablen.

4.1.4 Arten der Simulation mit mathematischen Modellen -

-

Deterministische Simulation Alle das Verhalten eines mathematischen Modells bestimmenden GroBen sind bekannt bzw. berechenbar. Stochastische Simulation Neben den bekannten und/oder berechenbaren ModellgroBen werden noch stochastische, also zufallig gewahlte, Werte verwendet.

4.1.5 Mathematische Modelle und Systeme Das Aufstellen mathematischer Modelle ist im Allgemeinen ein recht komplizierter Prozess und sollte durch ein Team von Vertretem verschiedener Ingenieur- und WissenschaftsDisziplinen erfolgen. Mathematische Modelle von technischen Prozessen lassen sich nach dem mit ihrer Aufgabenstellung verfolgten Ziel in Auslegungs- imd Betriebsmodelle einteilen. 4.1.5.1 Auslegungsmodelle Sie beinhalten die konstruktive und technologische Auslegung von Anlagen eines Prozesses. Sie sind nicht Gegenstand dieses Buches. 4.1.5.2 Betriebsmodelle Sie sind zur Erfiillung einer Vielzahl von Aufgaben notwendig, so z.B. zur statischen und/oder dynamischen Optimierung der Fahrweise, zur optimalen Wahl der Struktur und Einstellparameter der Automatisierungsanlage sowie zur Bestimmung des optimalen Steuergesetzes. 4.1.5.3 Automatisierungsanlage Sie ist die technische Realisierung des Automatisierungssystems und stellt im Grunde genommen ein Hilfssystem fur das Automatisierungsobjekt bzw. die technologische Anlage dar. Sie entsteht aus dem entworfenen Automatisierungssystem durch Projektierung und dient der Realisierung bestimmter Automatisierungsfunktionen. 4.1.5.4 Automatisierungssystem Die Gesamtheit der technischen Mittel, die der Informationserfassung, Informationsverarbeitung und Informationsnutzung sowie der Informationsubertragung dienen, bildet das Automatisierungssystem. Siehe Bild 1.3 Wechselwirkungen zwischen einem System zur Energieund/oder Stoffwandlung und einem System zur Informationswandlung.

4.1 Das mathematische Modell

61

4.1.5.5 Konkrete und abstrakte Systeme Eine Anlage in der ein technischer Prozess ablauft wird ganz allgemein als ein konkretes System bezeichnet und das dazugehorende mathematische Modell der o.a. Art ist dann das abstrakte System.

4.1.6 Mathematisches Modell zweier konkreter linearer Systeme

m

R

C

^Uc = y(t)

-UR

-U = Ku{t) Bild 4.1 Konkretes System - Widerstand-Kondensator

^^ v{t)

i

i

CF

-->A/VV-|

I

-FK

F = Ku{t)

Bild 4.2 Konkretes System - Dampfungskolben-Feder Der Anordnung nach Bild 4.1 wird bei spannungslosem Kondensator eine Spannung U, der Anordnung nach Bild 4.2 bei entspannter Feder die Kraft F aufgeschaltet. Gesucht sind die Gleichungen, die die zeitliche Veranderung der AusgangsgroBe - Kondensatorspannimg Uc bzw. Federkraft Fp - in Abhangigkeit von der EingangsgroBe - Spannung U bzw. Kraft F — beschreiben. 4.1.6.1 Mathematische Modelle der beideii konkreten linearen Systeme Die Eingangsspannung bzw. die aufgegebene Kraft entspricht ft)lgenden Teilspannungen bzw. Teilkraften: U = U„+ Uc

(4.1)

F = F^+F,

Der Strom bzw. die Geschwindigkeit berechnen sich aus der Kondensatorspannung bzw. der Federkraft:

U,=^]i{T)dT

c,

F,= —1 'r\v{T)dr ^F

0

(4.2)

i{t) = C

, -.

^

dFp

dt

Mit dem Strom bzw. der Geschwindigkeit ergeben sich die Spannung iiber dem Widerstand

62

4 Modellbildung

bzw. die der Geschwindigkeit proportionale Kraft des Dampfungskolbens: U,=Ri{t)

F,=D,v{t) dt

dt

Die Gleichungen (4.3) in (4.1) eingesetzt und entsprechend umgeformt liefert: RC^^

+ Uc=U

D^C,^

dt

+ F,=F

(4.4)

dt

4.1.6.2 Abstraktes System - mathematisches Modell der linearen Systeme Die in (4.4) dargestellten Gleichungen werden mit nachfolgenden Beziehungen wie folgt umgeschrieben. Mit: U = Ku{t)

F = Ku{t)

Uc=y[t)

F,=y{t)

(4.5) (4.6)

und den Zeitkonstanten: T = RC

[^^

= s]

T = D,C,

[^f

= s]

(4.7)

ergibt sich flir die beiden konkreten Systeme, ein und dasselbe abstrakte System in Form einer gewohnlichen linearen Differenzialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten und einer Storfunktion: T ^

+ y{t) = Ku{t)

(4.8)

4.1.6.3 Abstraktes System - Losung der linearen Differenzialgleichung 1. Ord. Die analytische Losung der in Gleichung (4.8) angefflhrten Differenzialgleichung lautet, aufgeteilt in die Anteile aus der freien Bewegung und aus der erzwungenen Bewegung: y{t) = yf{t) + y,{t) -

(4.9)

Freie Bewegung Die Storfimktion, bzw. hier die Steuerfiinktion, wird zunachst null gesetzt, d.h. u{t) = 0: Tyj\t)

+ y^{t) = (i

(4.10)

Mit dem Ansatz flir die freie Bewegung: yj\t) = Ce'" und damit fur die 1. Ableitung:

(4.11)

4.1 Das mathematische Modell j , ( ? ) = pCe'"

63 (4.12)

ergibt sich fur die Gleichung (4.10): T pCe"' +Ce"' =Q

(4.13)

Nach der Division der Gleichung (4.13) mit C ^' folgt fur den Operator/?: P = -\;

(4.14)

Der Wert des Operators aus Gleichung (4.14) in Gleichung (4.11) eingesetzt, liefert die Losung fflr den Anteil der freien Bewegung bis auf die Konstante C: yf{t) = Ce^ -

(4.15)

Erzwungene Bewegung Da die EingangsgroBe u{t) - Storfunktion - eine Zeitfunktion ist, wird die Konstante C in der Losung der freien Bewegung durch eine Zeitfunktion C{t) ersetzt und die entsprechend erganzte Gleichung (4.15) als Ansatz fur die erzwungene Bewegung gewahlt: y,{t) = C{t)i'^

(4.16)

Woraus fiir die 1. Ableitung folgt: y,{t) = C[t)e~^-^C[t)e~^

(4.17)

Die Gleichungen (4.16) und (4.17) in die zu losende Differenzialgleichung (4.8) eingesetzt: _i_

1^

_t_

TC{t)e~^-C{t)e~^+C{t)e~'^ =Ku{t) =>

(4.18)

ergibt die gesuchte Zeitfunktion C{t) durch Integration der unteren Gleichung von (4.18): C{t) = jr\e'u[t)dt

(4.19)

0

Die Gleichung (4.19) in die Gleichung (4.16) eingesetzt, liefert die allgemeine Losung fur die erzwungene Bewegung:

64

4 Modellbildung

4.1.6.4 Gesamtbewegung in allgemeiner Form Die Gesamtbewegung ergibt sich aus der Summe der mit den Gleichungen (4.15) und (4.20) ermittelten Terme flir die Teilbewegungen: y {t) = Ci^+fje'^^''%{T)dT

(4.21)

In der Gleichung (4.21) ist noch die Konstante C zu bestimmen. Da die Gleichimg zu jeder Zeit stimmen muss, wird die Konstante C flir / = 0 aus der Anfangsbedingimg fur>'(0) bestimmt: y{0) = Ce°

^

C = y{0)

(4.22)

Mit der Gleichung (4.22) ergibt sich die Gesamtbewegung in allgemeiner Form: y{t) = y{0)e'^ +f je"^*'"'M(T)t^r

(4.23)

4.1.6.5 Symbolische Losung mit der M-function dsolve Eigenschaft von dsolve: Lost symbolisch lineare und nichtlineare Differenziaigleichungen. Syntax: y = t/TO/ve('Dgl','AB',V) Beschreibung: Dgl: zu iSsende Differenzialgleichung AB: Anfangsbedingung v: unabhangige Variable, "default" ist es die Zeit t Beispiel 4.1 Die mit Gleichung (4.8) gegebene lineare Differenzialgleichung ist symbolisch mit der Mfimction dsolve ftir den Anfangswert ^^(O) = To und der Storfunktion u{t) zu losen. Losung: » y = dsolve('T*Dy + y = K*u(t)','y(0) = YO','t') » pretty(y) IX _zl \ I / Ku(_zl)exp( ) I II T I 11 d_zl + Y0| exp(- t/T) II T I 1/ I \ 0 / Wird in der Losung _z\ = x gesetzt und exp{-tlT) unter das Integral verschoben, stimmt sie mit der Gleichung (4.23), erwartungsgemaB, iiberein.

4.1 Das mathematische Modell

65

4.1.7 Signalflussplan eines abstrakten linearen Systems 1. Ord. Zur numerischen Losung des abstakten Systems einer gewohnlichen linearen Differenzialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten und einer Storfunktion nach Gleichung (4.8) durch Simulation wird die Gleichung (4.8) wie folgt umgeformt und durch ein Signalflussplan dargestellt: dyjt) dt

1

•-y{t)

K

+ Yu{t)mxiy{Q)

(4.24)

= Y,

u(t) y{t)

Integrator

—<3H

Bild 4.3 Signalflussplan des abstrakten Systems gewohnliche lineare Differenzialgleichungl. Ordnung -

4.1.8 Mathematisches Modell eines konkreten nichtlinearen Systems 4.1.8.1 Aufgabenstellung Gesucht ist die Gleichung, die die zeitliche Veranderung der AusgangsgroBe Flilssigkeitsstand h{t) in [m\ des Behalters, in Abhangigkeit vom zuflieBenden Volumenstrom Vg in [m'ls] beschreibt.

mi^]

Bild 4.4 Fullstand eines Behalters

66

4 Modellbildung

4.1.8.2 Modellbildung Fiir die Volumenstrome von Fliissigkeiten durch Ventile gilt allgemein: V{A= '^L^-J m ^ t^Hl^n ^ ^ 10[f]3600[f]'^ p [ 5 ] L.^J

\nn L^J

(4 25) ^^-^^^

Die Anderung des Volumens im Behalter ergibt sich aus der Differenz zwischen dem Zu- und dem Abfluss unter Berucksichtigung einer konstanten Fliissigkeitsoberflache A in [OT^]: — = A—^-J- = V(t)-Vit) (4.26) dt dt '^ ' "^ ' Der Differenzdruck fur das Ventil am Ablauf des Behalters berechnet sich aus dem Druck vor dem Ventil minus dem Druck nach dem Ventil. Der Druck vor dem Ventil ergibt sich aus dem Druck, welchen die Fliissigkeitssaule im Behalter erzeugt: pghit) \X^m ^ /

\_m

s'

= -^ = Pa\ T

(4.27)

J

Da der Ablauf des Behalters gegen die Atmosphare erfolgt, gilt fiir die Druckdifferenz (Iber dem Auslaufventil: Ap = pgh{t)-0

= pgh{t)

[Pa]

(4.28)

was zu folgender Beziehung fur den ausflieBenden Volumenstrom fuhrt:

^"('^ = ' ^ ^ ^

=' ' " ^

[ 4 ] mit ^„ [^V;;^]

(4.29)

4.1.8.3 Differenzialgleichung des Fiillstandes Der ausfliefiende Volumenstrom ist eine nichtlineare Funktion des Fliissigkeitsstandes h{t) im Behalter. Nach Einsetzen der Gleichung (4.29) in die Gleichung (4.26) folgt: A-^^K^^)=V\t)

(4.30)

Die Gleichung (4.30) flir die zeitliche Anderung des Fiillstandes im Behalter ist eine nichtlineare inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung. 4.1.8.4 Signalflussplan des nichtlinearen Systems Zur Darstellung und Losung der nichtlinearen Differenzialgleichung 1. Ordnung nach Gleichung (4.30), ist diese wieder so umzuformen, dass nur die 1. Ableitung links des Gleichheitszeichens steht: dh[t)

-jW)+Y'i')

^4.31)

4.1 Das mathematische Modell

67

Fen

Bild 4.5 Signalflussplan des abstrakten nichtlinearen Systems 1. Ordnung

4.1,9 Die numerische Losung der Modellgleichungen Neben der Moglichkeit Differenzialgleichungen analytisch bzw. symbolisch zu losen, wie oben geschehen, ist der Hauptgegenstand dieses Buches der Einsatz von MATLAB und Simulink zur numerischen Losung von Differenzialgleichungen. Die numerische Losung einer Differenziaigleichung liefert fur einen Satz von Zeitpunkten [to, ti,..., te] den dazugehorenden Satz von Funktionswerten {yo,yi,...,ye]. Werden die Funktionswerte iiber den Zeitpunkten als Graph aufgetragen, so stellt dieser eine Approximation des analytischen Kurvenverlaufes mit einer mehr oder weniger hohen Genauigkeit dar. Die in Abschnitt 4.1.2 beschriebenen Gleichungen mit ihren Bezeichnungen unter MATLAB: Gewohnliche Differenzialgleichungen (ODEs), Partielle Differenzialgleichungen (PDEs), Differenziaigleichung (DDEs) mit nach rechts, um i verschobenen Zeitflinktionen, wo x die Totzeit (delays resp. lags) darstellt, werden noch um die Gruppe der: Differenzial-Algebraischen-Gleichung (DAEs) erweitert. Bei der Losung fur die ODEs bietet MATLAB noch Verfahren flir nichtsteife {nonstiff} und steife {stiffi) Differenzialgleichungen an. Eine Differenziaigleichung wird als ^fei/charakterisiert, wenn die das System beschreibenden Koeffizienten um mehrere Zehnerpotenzen auseinander liegen. Dies fiihrt bei der numerischen Losung zu dem Umstand, dass bei automatischer Schrittweitenberechnimg, wie z.B. bei dem von Fehlberg' zur verbesserten Fehlerabschatzung erweiterten Runge^-Kutta^-Verfahren, die Schrittweite immer kleiner gewahlt wird, so dass die Berechnimg der Funktionswerte scheinbar zu Stehen kommt, es sich also keine brauchbaren Werten mehr ergeben. Gewohnliche lineare Differenzialgleichungs-Systeme gelten als steif, wenn die Absolutbetrage der Realteile des groBten und kleinsten Eigenwertes um mehrere Zehnerpotenzen auseinander liegen. MATLAB stellt flir Anfangswertprobleme nichtsteifer ODEs die M-functions (solver) odeAS, ode23 und odell3; steifer ODEs die solver odelSs, ode23s und ode23th; von DAEs, wenn sie steif sind den solver odelSs und bei maBig steifen den solver ode23t zur Verfugung. Fiir Differenziaigleichung (DDEs) mit konstanter Totzeit x kommt fur Anfangswertprobleme als solver dde23 zum Einsatz. Zum Beginn einer Simulation wird solver ode45 empfohlen, er beruht auf dem Verfahren nach Runge-Kutta-Fehlberg. Fehlberg, Erwin *8.9.1911 Berlin tNov. 1990 Alabama, Mathematiker, Flugingenieur, Mitarbeiter des NASA ' Runge, Carl David Tolme *30.8.1856 Bremen t3.1.1927 Gijttingen, Mathematiker ' Kutta, Wilhelm *3.11.1867 Pitschen/O.Schl t25.12.1944 Furstenfeldbruck, Mathematiker

68

4 Modellbildung

Neben den Anfangswert-Problemen, bei dem die Anfangswerte vorgegeben sind, konnen mit dem solver bvp4c ODEs Losungen gefunden werden, die an den zwei Grenzpunkten eines Intervalls im Varibilitatsbereich der unabhangigen Variablen gegebene Bedingungen erfullen, so genannte Randwertaufgaben. Mit dem solver pdepe lassen sich, in Abhangigkeit vom Kompliziertheitsgrad, Anfangswertund Randwert-Probleme von Systemen, die als parabolische oder elliptische partielle Differenzialgleicliungen (PDEs) mit einer Zustandsvariablen und der Zeit vorliegen, losen. Der allgemeine Aufruf der M-flinctions solver lautet: Eigenschaft von solver. Liefert die numerische Losung gewohnlicher Differenzialgleichungen bei vorgegebenen Anfangswerten. Syntax: {t,y] = solver(Dgl, Zeitbereich, AW, {Optionen}, {pi, P2,...}) Beschreibung: t: Zeitvektor («,1) y: Ergebnismatrix (n,m), m Anzahl der abhangigen Variablen solver: die ode...-Funktionen Dgl: zu losende Differenzialgleichung Zeitbereich: Anfangswert und Endwert [ta te] AW: Vektor der Anfangswerte Optionen: wahlweise, siehe im Command Window "odeset" Pi,P2,... wahlweise, wenn ja, dann bei fehlenden Optionen eine LeerMatrix [] als Platzhalter Beispiel 4.2 Die nichtlineare Differenzialgleichung (4.31) ist mit dem solver ode45 fur den Zeitbereich 4 = 0 bis ta = 6000 s, der Anfangsbedingung h(0) = 0 m und den Parametem A = 0.4418 [m^], Ka = 8.7003e-004 [m^'^/s] und V^ = 10"^ [mVs] zu losen. Das Ergebnis ist graphisch darzustellen. Losung: siehe Beispiel4_02.m und die fiinction dglfst.m

4.2

Prozessanalyse

4.2.1 Methoden der Prozessanalyse Bei dem Aufstellen mathematischer Modelle ist zwischen theoretischen und experimentellen Methoden zu unterscheiden. Hier sollen nur Aussagen zur theoretischen Prozessanalyse gemacht werden, da sie im weiteren Verlauf fur die Analyse der zu simulierenden Systeme herangezogen wird. Ausgangspunkt der theoretischen Prozessanalyse sind samtliche GesetzmaBigkeiten der Naturwissenschaften und der technischen Disziplinen, die auf die konkreten Systeme angewendet

4.3 Erhaltungssatz der Masse

69

werden. Im AUgemeinen liegen der Prozessanalyse die Erhaltungssatze der Masse, der Energie und des Impiilses zugrunde. Hierzu nachfolgend einige Ausfuhrungen.

4.2.2 -

-

-

-

-

Ablauf der Prozessanalyse

Zerlegung des Gesamtsystems in Teilsysteme bzw. Teilprozesse - Dekomposition Gnmdlage der Zerlegung ist die Dominanz bestimmter Formen der Energie oder des Massentransports. Die Teilsysteme entsprechen dann einem bestimmten Prozesstyp, der durch seine ZustandsgroBen beschreibbar ist. Die Beschreibung erfolgt durch die den Teilprozess charakterisierenden Bilanzgleichungen. Zerlegung der Teilsysteme in Bilanzraume Von der Zerlegung des Prozesses und der Abgrenzung der Bilanzraume hangen die weiteren Ergebnisse der Analyse ab. Die Zerlegung und die Abgrenzung sind deshalb sehr sorgfaltig durchzufiihren. Sie konnen u.U. auBerordentliche Schwierigkeiten bereiten und mussen nach der Uberprufiing des Modells eventuell neu durchdacht werden. Aufstellen der Bilanzgleichungen Unter Zuhilfenahme der Erhaltungssatze der Masse und der Energie, notigenfalls auch des Impulses, siehe welter oben. Es ist darauf zu achten, dass die sich ergebenden ZustandsgroBen nach Moglichkeit gemessen werden kSnnen. Ermittlung von Kopplungs- und Erganzungsgleichungen Darstellen der Modelle der Teilsysteme und daraus das Modell des Gesamtsystems in geeigneter Form, d.h. geeignet fiir die Simulation mit dem Rechner, wie z.B. die Darstellung im Zustandsraum, siehe welter unten. Uberfuhrung des gewohnlich nichtlinearen Modells nach seiner Simulation in ein lineares.

4.3

Erhaltungssatz der Masse

4.3.1

Massenbilanz

In einem abgeschlossenen System, welches als Speicher bezeichnet werden soil, gilt das Gesetz von der Erhaltung der Masse: Masse kann weder geschaffen noch vemichtet werden. Die Gesamtmasse bleibt unverandert. n

m = y]mi = const.

(4.32)

mit m als der gespeicherten Gesamtmasse. Fur ein nicht abgeschlossenes System, wie es gewohnlich vorliegt, ergibt sich fur die zeitliche Anderung der Masse:

70

4 Modellbildung

dt

XMJO-Z^,(0

[T]

(4.33)

Die zeitliche Anderung der gespeicherten Masse eines offenen Systems ist gleich dem zuflieBenden Gesamtmassenstrom vermindert um den abflieBenden Gesamtmassenstrom.

4.3.2

Energie-Masse-Beziehung

Fiir ein physikalisches System gilt nach der Energie-Masse-Relation von Einsteirf: E = mc^

kg{!ff =Nm = j \

(4.34)

dass zu jeder Energie E oder Energieanderung IsE eine proportionale Masse m oder Massenandemng Am und umgekelirt gehort. Der Proportionalitatsfaktor ist das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit c.

4.4

Erhaltungssatz der Energie - Energiebilanz

Energie ist die Fahigkeit eines physikalischen oder technischen Systems Arbeit' zu verrichten. Fur die verschiedenen Formen der Energie, wie z.B. der mechanischen, elektrischen, chemischen, thermischen u.s.w., gilt der Satz der Erhaltung der Energie: Energie karm weder gewonnen werden noch verloren gehen, was bedeutet, dass in einem energetisch abgeschlossenen System die Summe aller Energien konstant ist. Bei der hier betrachteten Analyse von Systemen wird nicht die Umwandlung von Masse in Energie, wie sie bei Kemspaltimgsprozessen auftritt, behandelt. Die gesamte Energie eines offenen Systems kann sich nur durch Energiezu- oder Energieabflihr iiber die Systemgrenzen andem. Innerhalb des Systems konnen sich nur die einzelnen Energieformen ineinander umwandeln. Erscheinungsformen der Energie sind die potentielle Energie, die kinetische Energie, die Warmeenergie und die Dissipation'* der Energie. Die Dissipation der Energie ist der pro Zeiteinheit in Warme umgesetzte und fiir das System verloren gegangene Energieanteil. Nachfolgend werden zu den einzelnen Energieformen Aussagen im Zusammenhang mit der Prozessanalyse gemacht. Im Weiteren interessiert der Zusammenhang zwischen der Energie, als Fahigkeit eines Korpers Arbeit zu verrichten und der Arbeit sowie der Leistung, der pro Zeit ausgefuhrten Arbeit. Es gilt folgender Zusammenhang zwischen der Arbeit W{t) und der Leistung P{t):

' Einstein, Albert *14.3.1879 Ulm tl8.4.1955 Princeton (USA), Physiker ' Coriolis, Gaspard Gustave de *21.5.1792 Paris 119.9.1843 Paris Physii^er und Ingenieur, auf ihn gehen dieBegriffe "Icinetische Energie" und "mechanische Arbeit" zuriiclc. ' Dissipation: Verschwendung, Zerstreuung

4.4 Erhaltungssatz der Energie - Energiebilanz

71

(4.35) 0

Bei mechanischen Systemen gilt fiir die Translation: W{t)= JF{t)v{t)dT= 0

JF{t)cls

(4.36)

0

und die Rotation: W{t)= JM{T)a){T)dT= 0

JM{t)d(p

(4.37)

0

Bei elektrischen Systemen gilt: W{t)= JM(r)/(r)
(4.38)

4.4.1 Potentielle Energie 4.4.1.1 Masse, in der Hohe h ruhend Eine Masse m in [kg] auf die Hohe h in [m] zu heben, erfordert die Gewichtskraft: F{t) = gm [kg^^

m y F = g,m

(4.39)

•N

Die entlang von h zum Anheben von m aufgewendete Arbeit berechnet sich nach (4.36): W{t)= \F{t)ds = gm\ds = gmh{t)

[Nm = j \

(4.40)

Die aufgewendete Arbeit Pi^entspricht der in der Masse m gespeicherten potentiellen Energie: V{t) = gmh{t)

[J]

4.4.1.2 Kondensator Ein MaB fur das Vermogen eines Kondensators, eine elektrische Ladung Q{t) zu speichern, ist seine Kapazitat:

c [^ = F]

(4.41)

C

m

-•-»•Ucit) (4.42)

Urn die Ladung Q{t) eines Kondensators mit der Kapazitat C in der Zeiteinheit dt um dQ zu ' Joule, James Prescott *24.12.1818 Salford/Manchester 11.10.1889 Sale/London Physiker, nach ihm benannte physikalische Einheit der Arbeit, Energie und Warmemenge

72

4 Modellbildung

erhohen, bedarf es einer Erhohung der Spannung Uc(t) um du. Die Ladungserhohung dQ ist gleich dem Produkt aus dem Strom i(t) lond der Zeiteinheit dt, so dass fur den Strom gilt: dQ = Cdu = i{t)dt

du =>/(?) = C dt

(4.43)

Die zum Aufladen des Kondensators aufgewendete Arbeit berechnet sich unter Beachtung von Gleichung (4.43) nach Gleichung (4.38) wie folgt: W {t) = C^u{t)du = ^Cul{t)

(4.44)

Die dem Kondensator zugefuhrte elektrische Arbeit wird in dem elektrischen Feld mit der Kapazitat C als elektrostatische Energie bzw. potentielle Energie gespeichert:

V = \Cul [J]

(4.45)

4.4.1.3 Feder - Schraubenfeder Bin MaB fur das Vermogen einer Feder, potentielle Energie zu speichem, ist die Federkonstante bzw. Federsteifigkeit:

C,

F{t)

F{t)

rV\AAAA-°*I

•-

Sf

(4.46)

[f]

Eine Anderung der auf die Feder wirkenden Kraft F{f) um dF, verandert in Abhangigkeit von der Federkonstante Cf, den Federweg 5 um ds, so dass daraus fur die Federkraft folgt: ds = CpdF

^

(4.47)

P{t)=—s[t) C,

Die zur Langenanderung einer Feder aufzubringende Arbeit berechnet sich nach Gleichung (4.36) mit (4.47) zu: W{t) = — ^sds C J

1

IC

w

(4.48)

und damit die in der Feder gespeicherte potentielle Energie:

V [tr-

1

ie,

(4.49)

-4(0 K'«'=-/]

4.4.1.4 Torsionsstab - Torsionsbeanspruchte Feder Ein MaB fur das Vermogen eines Torsionsstabes y\^( A potentielle Energie zu speichem, ist die ^ Torsionsfederkonstante bzw. Drehsteifigkeit:

c,

Mit) • * *

(4.50)

4.4 Erhaltungssatz der Energie - Energiebilanz

73

Wird das am Torsionsstab angreifenden Moment M,{t) um dM, verandert, so verandert sich in Abhangigkeit von der Torsionsfederkonstante C, der Drehwinkel cp, um d(p„ so dass daraus ilir das Torsionsmoment folgt: dcpi = C, dM,

=> M, (?) = —(Pi

(4.51)

Die zum Verdrelien eines Torsionsstabes aufzubringende Arbeit bereclinet sich nach Gleichung (4.37) mit (4.51) zu: «'. 1 1 W{t) = \M, dcp = —\(pdq> = ^^cpj

(4.52)

{t)

0

Daraus folgt die im Torsionsstab gespeicherte potentielle Energie: V = —
4.4,2

\Nm = j] ^ ^

(4.53)

Kinetische Energie

4.4.2.1 Masse, reibungsfrei geradlinig bewegt - Translation Ein MaB fur das Vermogen eines sich reibungsfrei ^ ^- ff\ bewegenden Korpers kinetische Energie zu speichem, ^ ^ ist seine Masse m in [kg]. Die Kraft Fm[N], die aufgebracht werden muss, eine Masse m reibungsfrei und geradlinig zu bewegen, betragt: dv[t) F(^t) = ms{t^ = m dt

^mr

Fit) ^ ^ ^ ^m

Tm

(4.54)

Die zum Verschieben der Masse aufgewendete Arbeit ergibt sich mit den Gleichungen (4.36) und (4.54) zu: dv W = m \v—dT = m \v dv = -^mvl (/)

(4.55)

Mit Gleichung (4.55) folgt aus der aufgewendeten Arbeit die kinetische Energie der reibungsfrei geradlinig bewegten Masse: T = ^mvl{t)

[J]

4.4.2.2 Masse, reibungsfrei drehend - Rotation Ein MaB fur das Vermogen einer sich reibungsfrei MM) drehenden Scheibe kinetische Energie —t^

(4.56)

74

4 Modellbildung

zu speichem, ist ihr Massentragheitsmoment: J

\kgm^^^

(4.57)

Das Moment Md in [Nm], welches aufgebracht werden muss, um eine Scheibe vom Massentragheitsmoment J mit der Winkelgeschwindigkeit w in [s'^'\ zu drehen, berechnet sich wie folgt: dcoit) M,{t) = J—^ at

(4.58)

Die zum Drehen der Scheibe aufzubringende Arbeit ergibt sich mit den Gleichimgen (4.37) und (4.58) zu: W{t) = jjw — dr = J jwda = ^Jwl (t)

(4.59)

Aus der aufzubringenden Arbeit nach Gleichimg (4.59) folgt die kinetische Energie einer sich reibungsfrei drehenden Masse:

T = \JcoUt)

[j]

(4.60)

4.4.2.3 Spule Die einer Spule mit linearer Kennlinie zugefflhrte elektrische Arbeit wird in einem Magnetfeld mit der Induktivitat L gespeichert:

4(0

^_" ' •«i(0

L [^ = H]

-^

(4.61)

Zwischen der iiber einer Spule anstehenden Spannung und dem sie durchflieBenden Strom besteht folgender Zusammenhang: u,{t) = L

^

[V]

(4.62)

Die durch die Stromanderung an der Spule aufgewendete Arbeit berechnet sich mit den Gleichungen (4.38) und (4.62) wie folgt:

W{t) = L Y—dt = L Y di = ^Lil (?) 0 dT

(4.63)

„

Die der Spule zugefuhrte elektrische Arbeit wird in dem magnetischen Feld mit der Induktivitat L als elektromagnetische Energie gespeichert. Da ein magnetisches Feld nur dann vorhanden ist, wenn in der Wicklung ein elektrischer Strom flieBt, hat die magnetische Energie den Charakter einer kinetischen Energie: T{t) = \Lil{t)

[J]

(4.64)

4.4 Erhaltungssatz der Energie - Energiebilanz

75

4.4.3 Dissipation der Energie Unter Dissipation der Energie wird der in einem System pro Zeiteinheit in Warme umgesetzte Energieanteil bezeiclinet, der dem System verloren geht. 4.4.3.1 Kolben, geschwindigkeitsproportional gedampft - Translation Ein MaB fur die Umwandlung der Bewegungsenergie DK eines Dampfungskolbens in Warme, ist seine p/^\ geschwindigkeitsproportionale Dampflingskonstante: ^ oD.

L •"

Zwischen der am Dampflingskolben angreifenden Kraft F{f) und der daraus resultierenden Kolbengescliwindigkeit v{t) besteht uber die Dampftingskonstante DK ft)lgender Zusammenhang: F{t) = D,v{t)

[N]

(4.66)

Das Produkt aus der Kraft F{t) und der Kolbengeschwindigkeit v(/) entspricht der momentanen mechanischen Leistung: P{t) = F{t)v{t) = D^v\t)

[W]

(4.67)

Gleicliung (4.67) entspricht der gesucliten, pro Zeiteinlieit in Warme umgewandelten Verlustleistung: D{t) = D,v\t)

[W]

(4.68)

4.4.3.2 Rotierende Scheibe, geschwindigkeitsproportional gedampft Ein MaB flir die Umwandlung der RotationsViD, energie einer gedampft rotierenden Scheibe MJj) in Warme, ist ihre geschwindigkeits- —H proportionale Torsions-Damp fimgskonstante: D,

[Nms]

ViD,

Mlt)

(4.69)

Zwischen dem auf die gedampfte rotierende Scheibe wirkenden Moment M^^i) und der daraus resultierenden Winkelgeschwindigkeit asii) besteht uber die Torsions-Dampfimgskonstante folgender Zusammenhang: M^{t) = D,m{t)

\Nm\

(4.70)

Das Produkt aus dem Moment MJ^i) und der Winkelgeschwindigkeit oii) ist die momentane mechanische Leistung: P{t) = M,{t)co,{t)

= D,col{t)

{W\

(4.71)

Gleichung (4.71) entspricht der gesuchten, pro Zeiteinheit in Warme umgewandelten Verlust-

76

4 Modellbildung

leistung: D{t) = D,(ol{t)

[W]

4.4.3.3 Ohmscher Widerstand Ein MaB fur die Umwandlung der elektrischen Energie eines ohmschen Widerstandes in Warme, ist sein Widerstandswert: R

(4.72)

^~]

' ««(0 ^

[^ = Q]

(4.73)

Zwischen der an den Widerstand angelegten Spannung %(?) imd dem daraus resultierenden Strom /(/) besteht iiber den Widerstandswert folgender Zusammenhang: u,{t) = Ri{t)

[V]

(4.74)

Das Produict aus der angelegten Spannung unit) und dem Strom i{t) entspricht der momentanen eleictrischen Leistung: P{t) = u{t)i{t)

[VA = W]

(4.75)

Gleichung (4.75) entspricht der gesuchten, pro Zeiteinheit in Warme umgewandelten Verlustleistimg: D{t) = Ri-(t)

[W]

(4.76)

4.4.4 Lagrange'sche Bewegungsgleichung 2. Art Fiir die gesuchte Beschreibung des dynamischen Verhaltens eines mechanischen Systems stehen das nach d'Alembert* benannte Prinzip oder die Bewegungsgleichungen nach Lagrange' zur Verfugung, so wie es fur elektrische Netzwerke die Kirchhoff'schen Gesetze und fur thermische Systeme die Gesetze der Tliermodynamik sind. Hier soil zunachst auf die Lagrange'schen Bewegungsgleichungen 2. Art mit verallgemeinerten Koordinaten zur matliematischen Besclireibung des dynamischen Verhaltens eingegangen werden. Sie dienen in der Mechanik zur Ermittlung der Bewegungsgleichimgen eines Systems zwischen zwei Punkten. Filr die Herleitung und cine Vielzahl von Anwendungsfallen der nachfolgend angegebenen aUgemeinen Gleichung (4.77) wird auf die umfangreiche Literatur verwiesen, siehe z.B. [Veltmann-1876], [F6ppl-1910], [Weber-1941], [Rudiger/Kneschke_III-1964], [Kneschke1968], [Kulikowski/Wunsch-1973] und [Muschik_ua-1980]. Als vermutlich erste Anwendung zur Losung eines technischen Problems mit Lagrange'schen Bewegungsgleichungen ist die Arbeit von Veltmann" [Veltmann-1876] anzusehen. * d'Alembert, Jean Le Rond * 16.11.1717 Paris t29.10.1783 Paris, Philosoph, Mathematiker ' Lagrange, Joseph Louis de *25.1.1736 Turin 110.4.1813 Paris, Mathematiker und Physiker '° Kirchhoff, Gustav Robert *12.3.1824 Konigsberg(Pr) tl7.10.1887 Berlin, Physiker " Veltmann, Wilhelm *29.12.1832 Bathey bei Hagen, t6.03.1902 ebenda, Mathematiker. Ihm gelang unter Zuhilfenahme der Lagrange'schen Bewegungsgleichungen 2. Art der Nachweis, warum sich der 765 kg schwere Kloppel der 1875 im Dom zu Koln aufgehangten 26.250 kg schweren Kaiserglocke nicht relativ zur Glocke bewegte, son-

4.4 Erhaltungssatz der Energie - Energiebilanz

77

4.4.4.1 Die Bewegungsgleichungen Der allgemeine Gleichungsansatz, welcher auf dem Prinzip der Erhaltung der Energie beruht, geht vom Vermogen der einzelnen Bauglieder eines Systems aus, Energie zu speichem: d_ ^ - ^ . ^ . 1 ^ dt

=^

(4.77)

mit: T [J]: V [J]: D [W=J/s]:

F;-:

qf. a = dqidf

kinetische Energie potentielle Energie Dissipation der Energie. Es ist der pro Zeiteinheit in Warme umgesetzte und flir das System verloren gegangene Energieanteil. Dieser Anteil ist nacli [Weber-1941] auf den Vorschlag von Rayleigh'^ in die Lagrange'schen Bewegungsgleichungen eingefuhrt worden, siehe auch [Kulilfowski/Wunsch-1973]. eine am System auf die verallgemeinerte Koordinate wirkende Kraft oder ein wirkendes Potential, z.B. die Gewichtskraft nach (4.39) verallgemeinerte Koordinate verallgemeinerte Geschwindigkeit

4.4.4.2 Verallgemeinerte Koordinaten Welche GrSBen als verallgemeinerte Koordinaten q{t) zu wahlen sind, ist nicht eindeutig bestimmt: Mechanische Systeme Weg s oder Winkel cp, siehe die Gleichungen (4.49) und (4.53). Elektrische Systeme Die elektrische Ladung Q{t) als verallgemeinerte Koordinate am Kondensator mit der Kapazitat C und der Spannung uc{t), siehe Gleichung (4.45): Q{t) = Cu{t)

[^V = As]

(4.78)

4.4.4.3 Verallgemeinerte Geschwindigkeiten -

Mechanische Systeme Die Ableitung des Weges oder des Winkels nach der Zeit als verallgemeinerte Geschwindigkeit v{t) oder verallgemeinerte Winkelgeschwindigkeit cdj): ds(t) , . dcp(t) ,. — ^ = v ( 0 Oder — - ^ = a[t] dt ^' dt ^'

(4.79)

Siehe die Gleichungen (4.56), (4.60), (4.68) und (4.72). dern stets in der Mittellinie derselben verharrte, so dass die Glocke beim Lauten keinen Ton abgab. '^ Rayleigh, John William Strutt, 3. Baron *12.11.1842 Langford Grove (England) t30.6.1919 Witham, Physiker

78 -

4 Modellbildung Elektrische Systeme Die Ableitung der elektrischen Ladung nach der Zeit, dem Strom, als verallgemeinerte Geschwindigkeit:

^

= c ^ = -W [- = . ]

Siehe die Gleichungen (4.64) und (4.76).

4.4,5

Warmeenergie

Warmeenergie ist die Energie, die in einem Korper in Form von Brown'"'scher Molekularbewegung gespeichert ist. Die Atome bzw. Molekiile in einem Korper bewegen sich ungeordnet mit der der Temperatur des Korpers oder Gases entsprechenden Energie. Damit ist die Warme""' eine spezielle Form der Bewegungsenergie und somit eine kinetische Energie. Die Warmeenergie wird durch unterschiedliche Temperaturen ubertragen. 4.4.5.1 Innere Energie - thermodynamisches System Die einem System durch seine Lage innewohnende potentielie Energie sowie die durch translatorische oder rotatorische Bewegung seines Schwerpunktes hervorgerufene kinetische Energie sind Bestandteile der dufieren Energie. Neben dieser, dem System durch seinen auBeren Zustand hervorgerufenen Energie, weisen thermodynamische Systeme noch eine innere Energie [/auf. Ein thermodynamisches System kann ein fester Korper bzw. eine ruhende inkompressible ideal vermischte Flilssigkeit in festen Grenzen sein. Die Energie eines thermodynamischen Systems ergibt sich somit aus der Summe der kinetischen, potentiellen und inneren Energie: E = T^V + U

(4.81)

So wie die auBere Energie vom auBeren Zustand eines Systems abhangt, ist bei einem thermodynamischen System die innere Energie von den inneren thermodynamischen ZustandsgroBen Druck p, Temperatur T und Volumen V abhangig. Die innere Energie U eines thermodynamischen Systems kann nur durch Energieaustausch mit der Umgebung, d.h. durch Zufuhr bzw. Abfuhr von Warme, als Warmeiibergang bezeichnet, und durch Leistung von Arbeit - Volumenandemngsarbeit - geandert werden: Af/ = Ae,2+A^2

[J] bzw. — = ^ +^ ^ dt dt dt

(4.82)

4.4.5.2 Energieanderung durch Warmeubergang Die einem thermodynamischen System zugefuhrte bzw. von ihm abgefuhrte Warmemenge, welche bei einer konstanten Masse m und einer konstanten spezifischen Warme Cp die Temperaturanderung von Ti nach T2 hervomift, berechnet sich zu: " Brown, Robert *21.12.1773 Montrose (Schottland) tlO.6.1858 London, Botaniker '•• Mayer, Julius Robert *25.11.1814 Heilbronn t20.3.1878 ebenda, Arzt und Physiker, 1842 '^ Joule, James Prescott, 1843, siehe FuBnote 7

4.4 Erhaltungssatz der Energie - Energiebilanz

Q,,=c^m]dT = c^m{T,-T,) [-^kgK = j]

79

(4.83)

4.4.5.3 Volumenanderungsarbeit Die Arbeit, die bei der Anderung des Volumens von Vi auf V2 eines thermodynamischen Systems verrichtet wird, heiBt Volumenanderungsarbeit. Sie berechnet sich zu: W,^=-jpdV

[J]

(4.84)

4.4.5.4 Enthalpie In einem offenen System mit festen Systemgrenzen tritt neben dem Warmeubergang und der Volumenanderungsarbeit noch ein Stoffubergang durch zu- bzw. abflieBende Massenstrome auf. In diesen Fallen ist es iiblich, anstelle der inneren Energie U die Enthalpie zu verwenden. Die Enthalpie ist bei einem offenen System mit festen Systemgrenzen die Summe aus der inneren Energie Uund der Stromungsenergie bzw. Verdrangungsarbeit/»F. Es gilt: H = U + pV

[J]

(4.85)

Zwischen einem thermodynamischen System - Anlage der Verfahrenstechnik - und der Umgebung bestehen iiber die Enthalpie H folgende Wechselwirkungen durch: stoffgekoppelte Enthalpiezuflihr H^, uber den eintretenden Massenstrom M^, stoffgekoppelte Enthalpieabfuhr H^ iiber den austretenden Massenstrom M^, stofflose Warmezufiihr /J,, z.B. iiber eine Heizung, stofflose Warmeabfiihr P^ iiber die Grenzen der Anlage an die Umgebung, Leistung Technischer Arbeit in der Anlage. Damit setzt sich die zeitliche Anderung der Enthalpie aus o.a. Komponenten zusammen: — = H-H+P-P+V^ dt ' " ' "

dt

U = Wl L' ^

(4.86)

4.4.5.5 Enthalpieanteile Stoffgekoppelte Enthalpiezuflihr durch einen eintretenden Massenstrom A4 H.=c„^M^T^ [-^!^K = i = w] -

(4.87)

Stoffgekoppelte Enthalpieabfiihr durch einen austretenden Massenstrom Mg Ha=c,^M^T

[W]

(4.88)

80

4 Modellbildung

4.4.5.6 Warmeanteile Stofflose WarmezufUhr, z.B. iiber eine Heizung P.. = U„ / =—U^ c

-

c

^

c

\VA = W] L

(4.89)

J

mit dem ohmschen Widerstand der Heizung R,,. Stofflose Warmeabfuhr iiber die Grenzen der Anlage an die Umgebung P„=A„k{T-T„)

Km-

(4.90)

..2\)] beschreibt den Ubergang der Warme vom Der Warmedurchgangskoeffizient k [W/{K m Systeminneren zur Systeminnenwand mit dem Warmeiibergangskoeffizienten a,, die Leitung der Warme durch die Wand mit der Warmeleitfahigkeit A und den Ubergang der Warme von der Wand zur Umgebung mit dem Warmeiibergangskoeffizienten «„.

4.4.5.7 Technische Arbeit Allgemein gilt fur die Technische Arbeit folgende Beziehimg: W.

jVdp

(4.91)

Sie ist positiv bei Arbeitsaufwand und negativ bei Arbeitsaufhahme. Fiir ein eingeschlossenes gasformiges Medium ergibt sich aus der Arbeit zum Einfiillen eines Volumens Kj die Fiill- oder Verdrangungsarbeit, aus dem Verandem des Volumens von V] nach V2 die Volumenanderungsarbeit und aus dem Ausschieben des Volumens V2 die Ausschubarbeit: Verdrangungsarbeit Beim Einstromen eines gaslormigen Mediums vom Volumen Vi in das thermodynamische System verdrangt dieses das in ihm befindliche Medium um das Volumen Ki mit dem Druck px und gibt dabei ohne Zustandsanderung an das im Inneren befindliche Medium die Verdrangungsarbeit ab: ^.,^-M -

-

[f'»'=j]

(4-92)

Volumenanderungsarbeit Die Volumenanderungsarbeit Wu ist aufzuwenden, um das Volumen von Vi nach V2 zu verandem, siehe hierzu Gleichung (4.84). Ausschubarbeit Um das durch die Veranderung des Volumens von Vi auf V2 veranderte Volumen im Inneren des thermodynamischen Systems bei einem Druck p2 abflihren zu konnen, ist die Ausschubarbeit: W,^v,=P2V2 [J] aufzubringen.

(4.93)

4.6 Beschreibung im Zustandsraum

81

Mit den drei Bestandteilen der Gleichungen (4.84) sowie (4.92) und (4.93) ergibt sich fur die Technische Arbeit: W,=-p,V,+ \pdV + p,V,

4.5

(4.94)

Erhaltungssatz des Impulses - Impulsbilanz

Zur vollstandigen Beschreibung eines konkreten technischen Systems ist zu beriicksichtigen, dass auch fur die mechanische BewegungsgroBe fmpuls: I[t) = mv{t)

\_^ = Ns]

(4.95)

eine Bilanzgleichung gilt. fn einem abgeschlossenen System, d.h. die Elemente des Systems unterliegen keinen Kraften von auBerhalb des Systems, ist die Vektorsumme aller Impulse konstant. l[t) = Y,miV.{t) = const. [ ^ ]

(4.96)

1=1

Die Impulsbilanz hat besonders bei rasch verlaufenden Stromungsvorgangen eine Bedeutung, d.h. wenn im System groBe und schnelle Druckanderungen auflreten. Eine Untersuchung des Verhaltens eines Systems, das durch Massenbilanz, Energiebilanz und Impulsbilanz beschrieben wird, ist jedoch auBerordentlich kompliziert, so dass meistens versucht wird, das Aufstellen der Impulsbilanz zu umgehen oder Naherungen zu verwenden [Brack-1972].

4.6

Beschreibung im Zustandsraum

4.6.1 Grundlagen zur Beschreibung konkreter Systeme Die Umwelt, in der wir leben, wird durch eine groBe Anzahl physikalisch-chemischer GroBen, die untereinander in Wechselbeziehungen stehen, gepragt. Aufgabe im Zusammenhang mit der Modellbildung ist es, aus der Vielzahl von Moglichkeiten zur Beschreibung von Teilen dieser Umwelt diejenige auszuwahlen, die fur den Gegenstand der Aufgabe, d.h. ein System - Maschine, Anlage oder Prozess - zu simulieren bzw. zu automatisieren, am besten geeignet ist. Zur Beschreibung eines konkreten Systems stehen zwei wichtige Kategorien von Einwirkungen der Umwelt auf das System und umgekehrt zur Verfligung. Es sind dies die Begriffe wesentlich und unwesentlich, mit denen die Kopplungen zwischen dem zu automatisierenden System und der Umwelt beurteilt werden. Siehe Bild 1.1. Grundlage fur die Existenz konkreter Systeme sind die wesentlich zahlreicheren und starkeren

82

4 Modellbildung

Kopplungen der Elemente eines Verbandes untereinander, im Gegensatz zu der Anzahl und Intensitat der Kopplungen des Verbandes mit der Umwelt, sowie die Abgrenzung des Verbandes zu seiner Umgebung. Die Kopplungen erfolgen uber den Austausch von Stoffen und/oder Energien, verbunden mit einem Austausch von Informationen. Fiir die mathematische Beschreibung eines dynamischen Systems liefem die stofflichenergetischen Zusammenhange einen Satz von Gleichungen. Der Informationsaustausch erfolgt uber Signale, die sich in Nutz- und Storsignale unterteilen. Wird der beschriebene Zusammenhang unter dem angestrebten Steuerungsaspekt betrachtet, so ergeben sich die Begriffe steuerbare und nichtsteuerbare Eingangsgrofien, wobei die letzteren als Storgrofien bezeichnet werden. Neben den Eingangs- und Ausgangsgrofien eines dynamischen Systems, die dessen Beziehungen zur Umwelt angeben, wird dieses aber auch durch GroBen beschrieben, die sein inneres Verhalten, also seinen Zustand, widerspiegeln. Diese GroBen werden folglich als Zustandsgrofien bezeichnet. Ihre wohl erste Verwendung geht auf Ljapunov"* bei der Behandlung des allgemeinen Problems der Stabilitat der Bewegung im Jahre 1892 zuriick.

4.6.2

Allgemeine Aussagen zur Beschreibung im Zustandsraum

Die Beschreibung der Bewegung eines Systems, z.B. eines Korperverbandes oder eines Maschinenteils, liefert einen Satz von Differenzialgleichungen und algebraischen Gleichungen. Die Variablen der Differenzialgleichungen dieser mechanischen Systeme sind die Ortskoordinaten - Wege oder Winkel - sowie ihre Ableitungen nach der Zeit, auch als Geschwindigkeitskoordinaten bezeichnet. Die Koordinaten geben fiir einen bestimmten Zeitpunkt die Lage des betrachteten Systems im Raum an. Sie beschreiben also den Zustand des Systems in Abhangigkeit von der Zeit und von den auBeren Einwirkungen auf das System, was zu dem Namen Beschreibung im Zustandsraum gefuhrt hat. Die ZustandsgroBen werden ebenso wie die Eingangs- und AusgangsgroBen zu einem Vektor, dem Zustandsvektor, zusammengefasst. Die Differenzialgleichungen liefem die Zustandsgleichungen. Entsprechendes gilt fur ZustandsgroBen anderer physikalischer Systeme, wie in der Verfahrenstechnik: Druck, Temperatur, Konzentration, Masse sowie Mengen- bzw. Volumenstrom; Elektrotechnik: Spannung, elektrische Ladung, Strom und Drehzahl. Die Beschreibung von Systemen im Zustandsraum hat ihren Ursprung in der Mechanik. Bedeutung fur die Simulation hat sie durch das Aufkommen des Digitalrechners bekommen, fur den sie durch die Verwendung der Vektor-Matrix-Darstellung besonders geeignet ist. Die Beschreibung von Systemen im Zustandsraum stellt eine wesentliche Erweiterung der Methoden zur Beschreibung dynamischer Systeme dar. Auf der Grundlage der Beschreibung im Zustandsraum, im Zusammenhang mit immer leistungsfahigeren Rechnern, wurde eine breite Palette von Verfahren fur die Synthese, Analyse und Simulation von Systemen entwickelt und praktisch eingesetzt. Einen wesentlichen Beitrag dazu liefern MATLAB und Simulink mit ihren umfangreichen Werkzeugen - Tools.

Ljapunov, Alexandr Michajlowitsch *6.6.1857 Jaroslawl, Russland t3.11.1918 Odessa, Russland, Mathematiker

4.6 Beschreibung im Zustandsraum

83

4.6.3 Geometrische Deutung der Beschreibung im Zustandsraum Mit Hilfe des Bildes 4.6 wird die geometrische Deutung der Beschreibung im Zustandsraum anhand der Steuerung eines Massenpunktes auf einer Trajektorie in einem dreidimensionalen Raum dargestellt [Burmeister_6-84]. Der Zustandsvektor x(t) entspricht den drei Koordinaten des Massenpunktes auf der Bahn. Seine momentane Richtung wird durch die Tangentenrichtung im entsprechenden Bahnpunkt angezeigt. Mit Hilfe einer Steuerung, reprasentiert durch den Steuervektor u{t), wird fiir jede Zeit t die Tangentenrichtung der Trajektorie festgelegt und somit eine Entscheidung uber ihren weiteren Verlauf getroffen. Die Steuerung eines dynamischen Systems ist ein Xlit) kontinuierHcher Entscheidungsprozess. Bild 4.6 Steuerung eines Massenpunktes auf einer Trajektorie in einem 3-dimensionalen Raum - Darstellung des Zustandsgedankens Das System wird durch die Zustandsgleichung:

x{t) = f\_x{t),u{t),t]

(4.97)

in allgemeiner Form beschrieben. Das zwischen 0 < t < T dargesteUte Kurvenstiick entspricht dem Verlauf des Zustandsvektors im Zustandsraum. Das Kurvenstiick wird als Trajektorie oder Zustandsbahn bezeichnet. Die zu jedem Zeitpunkt gultigen Koordinaten der Trajektorie werden durch den Zustandsvektor angegeben: x,(?)'

c(0 = ^2(0

(4.98)

Die zeitliche Ableitung des Ortsvektors x(t) ist der Geschwindigkeitsvektor: dx{t) x(0 = dt

X,

•^2(0

(4.99)

X, it)

4.6.4 Das Zustandsmodell Fiir ein System, das durch eine Differenzialgleichung «-ter Ordnung:

y^"^=F[y,y,...J"-'^;u,t)

(4.100)

84

4 Modellbildung

beschrieben wird, welche nach der hochsten vorkommenden Ableitung auflosbar ist und die keine Ableitungen der EingangsgroBen enthalt, konnen die n Phasenvariablen als ZustandsgroBen eingeflihrt werden: j ; = X,,J> = X2,j) = X 3 , . . . , y " " ' ' =X„

(4.101)

Damit ergibt sich ein System von n Differenzialgleichungen 1. Ordnung:

:

(4.102)

y =x^ Aus der Theorie der Differenzialgleichimg ist bekannt, dass bei Vorgabe dieser Werte an der Stelle / = /o die Losung eindeutig bestimmt ist [Burmeister_6-1984].

4.6.5

ZustandsgroBen

Die Wahl der ZustandsgroBen ist keinesfalls eindeutig, d.h. ein und dasselbe System kann durch verschiedene Satze von ZustandsgroBen beschrieben werden. Dies hangt unter anderem von der bei der theoretischen Prozessanalyse gewahlten Methode ab. So kann z.B. ein mechanisches System mit Hilfe des Prinzips von d'Alembert, des Impulssatzes oder des Erhaltungssatzes der Energie beschrieben werden. Entsprechendes gilt fur elektrische Systeme, je nachdem, ob Stroma, Spannungen oder Ladungen bzw. nur eine Art davon als ZustandsgroBen gewahlt werden. Dies alles liefert aber gewohnlich physikalische ZustandsgroBen. Dagegen ergeben die Phasenvariablen bei Systemen deren Ordnung groBer als zwei ist, ab der dritten Phasenvariablen, mathematische ZustandsgroBen, da sie physikalisch nicht mehr direkt interpretiert werden konnen. Entsprechendes trifft fur die spater noch zu behandelnden Normalformen zu. In der Praxis treten meist keine Differenzialgleichungen hoherer Ordnung auf, sondem vielmehr Systeme von Differenzialgleichungen 1. imd 2. Ordnimg. G. Doetsch" [Doetsch-1989] bemerkt dazu: "Wenn in einem physikalischen System mehrere Zeitfunktionen vorkommen, die mehrere Differentialgleichungen erftillen, in denen Jeweils alle oder einige dieser Funktionen auftreten (simultane Differentialgleichungen), so wird in der Technik hdufigftir eine bestimmte, besonders interessierende von diesen Funktionen durch Elimination eine einzige Differentialgleichung abgeleitet, die im allgemeinen von hoherer Ordnung als die urspriinglichen Gleichungen ist und fur die sich dann die heikle Frage nach den Anfangswerten der hoheren Ableitungen stellt." Die M-functions ode... gehen davon aus, dass fiir die numerische Losung von gewohnlichen Differenzialgleichungen, egal ob linear oder nichtlinear, diese als eine Differenzialgleichung " Doetsch, Gustav Heinrich Adolf *29.n.1892 Koln t9.6.1977 Freiburg i.B., Mathematiker

4.6 Beschreibung im Zustandsraum

85

bzw. als ein Satz von Differenzialgleichungen erster Ordnung vorliegen, die allgemein wie folgt angegeben werden konnen.

4.6.6

Systemgleichungen nichtlinearer dynamischer Systeme

Die mittels der Theoretischen Prozessanalyse gefundenen Systemgleichungen - Differenzialund Koppel-Gleichungen - sind gewohnlich nichtlinear. Das nichtlineare Verhalten resultiert aus Termen dieser Gleichungen, die aus nichtlinearen Verknilpflingen der Systemvariablen, also der Eingangs- und ZustandsgroBen, bestehen. Diese Terme werden als dynamische Nichtlinearitaten bezeichnet. Weiterhin liegt ein nichtlineares System vor, wenn es mindestens ein Ubertragungsglied mit einer nichtlinear statischen Kennlinie enthalt. 4.6.6.1 Nichtlinear zeitvariables System Tritt in den Systemgleichungen die Zeit explizit auf, bzw. unterliegen die Systemkoeffizienten zeitlichen Anderungen, so handelt es sich um ein nichtlinear zeitvariantes System. Es besteht aus nichtlinearen Funktionen, die Satze nichtlinearer Differenzial- und nichtlinearer Ausgangsgleichungen sowie die Zeit enthalten: ^ -^ ^ ' y{t) = g{x,\\,z,t)

(4.103)

4.6.6.2 Nichtlinear zeitinvariantes Systems Bei nichtlinear zeitinvarianten Systemen fehlt in den Funktionen der Differenzial- und Ausgangsgleichungen die Zeit: x(/) = f(x,u,z) \ \ y(?) = g(x,u,z)

(4.104)

Das durch die Gleichungen (4.104) beschriebene nichtlineare zeitinvariante System lasst sich in Anlehnung an [Scheel-1968], wie im Bild 4.7 gezeigt, darstellen. Kemstiicke dieses Modells zur Nachbildung eines nichtlinearen zeitinvarianten Systems sind neben dem Block zur Integration der nichtlinearen Zustands-Differenzialgleichungen die Matrizen, der Koppelvektor k(/), der nichtlineare Funktionsbildner sowie der Nichtlinearitatenvektor v(0. Aus dem Vektor-Matrix-Signalflussplan im Bild 4.7 ergeben sich nachfolgende Gleichimgen. Die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung: x(/) = A„x(?) + B„u(0 + B,„z(?) + B,,v(?)

x(? = 0) = X„

(4.105)

86

4 Modellbildung

Bild 4.7 Vektor-Matrix-Signalflussplan eines nichtlinearen MehrgroBensystems, aufgespalten in einen linearen und einen nichtlinearen Anteil Die Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung: y(?) = C„x(?) + D„u(/) + D,„z(?) + C „ v ( 0

(4.106)

Der Nichtlinearitatenvektor v(/): Der in den Gleichungen (4.105) und (4.106) auftretende Nichtlinearitatenvektor v(0 besteht aus Funktionen, die durch nichtlineare Verkniipfungen der Zustands-, Steuer- und StorgroBen, gebildet sind. Die fur die nichtlinearen Fimktionen benotigten: die Zustande X/(t) werden mit Hilfe der x-Koppelmatrix Kx imd des Zustandsvektors x(/) in dem Teilvektor: k.(0 = K.x(/)

(4.107)

die SteuergroBen Uj{t) werden mit Hilfe der M-Koppelmatrix K„ und des Steuervektors u(f) im Teilvektor:

4.7 Linearisierung nichtlinearer zeitinvarianter Systeme

k„(/) = K„u(0

87 (4.108)

die StorgroBen ZiJ^i) werden mit Hilfe der z-Koppelmatrix K^ imd des Storvektors z(?) in dem Teilvektor:

abgebildet und zum Koppelvektor k(?) wie folgt zusammengefasst:

k(0 = [k,(?)|k„(/)|k,(0]'

(4.109)

Der Koppelvektor k(/) wird dann dem im Kapitel 3.7 beschriebenen Embedded MATLAB Function-Block zum Bilden der einzelnen Nichtlinearitaten, die im Nichtlinearitatenvektor v(/) zusammengefasst sind, iibergeben: V = V[K,X(?),K„U{0,K,Z(?)]

4.7

(4.110)

Linearisierung nichtlinearer zeitinvarianter Systeme

4.7.1 Ableitung der Matrizen des linearisierten Systems Die oben beschriebenen nichtlinearen Systemgleichungen konnen vielfach um einen stationaren Punkt - Arbeitspunkt mit genugender Genauigkeit linearisiert werden, wodurch die umfangreichen Methoden der linearen Theorie auch auf diese Systeme angewendet werden konnen. Voraussetzung fur die Giiltigkeit der Linearisierung nichtlinearer Systeme um einen stationaren Punkt ist, dass im untersuchten dynamischen Vorgang die Abweichungen der Variablen von den stationaren Werten stets hinreichend klein sind.

S*^

Bild 4.8 Linearisierung einer nichtlinearen Kennlinie um einen Arbeitspunkt Diese Forderung durfte bei automatisierten Systemen durch das Grundprinzip der Regelungstechnik "Kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt sindzugelassenV erfullt sein. Die nichtlineare Vektorfunktion f der Vektor-Matrix-Differenzialgleichung (4.103) lasst sich fur einen Arbeitspunkt: AP = ^ P ( x ^ ^ = X , u ^ ^ = U , z ,

(4.111)

4 Modellbildung wie folgt schreiben: (4.112) = f [ X + Ax(?),U + A u ( ? ) , Z + Az(?)] Die Vektoren Ax(/), Au(/) und Az(?) beinhalten die zeitlichen Abweichungen der Zustands-, Steuer- und StorgroBen vom Arbeitspunkt (X, U, Z). Da es sich hierbei um Abweichungsvariable handelt, werden sie mit dem A-Vorsatz versehen, worauf spater, im Sinne der besseren Schreibweise, so auch unter MATLAB, verzichtet wird. Entsprechend kann fur die nichtlineare Vektorfunktion g die Vektor-Matrix-Ausgabegleichung (4.103) geschrieben werden: y{t) =

g[x{t),u{t),z{t)]

(4.113)

= g[X + Ax(?),U + Au(?),Z + Az(?)]

4.7.2

Die nichtlineare Vektorfunktion f der Differenzialgleichung

Unter der Voraussetzung, dass die Vektorfunktion f stetig differenzierbar ist, kann Gleichung (4.112), wie folgt, in einer nach dem linearen Glied abgebrochenen, nach Taylor'* benannten, Reihe entwickelt werden, siehe auch Gregory": x(/)*f(X,U,Z) +

Ax(?)-

df_

Au(?)-

df_ Az{t) "dz

(4.114)

Der Abbruch nach dem linearen Glied, d.h. die Vernachlassigung der Terme hoherer Ordnung, ist gerechtfertigt, da von genugend kleinen Abweichungen vom Arbeitspunkt ausgegangen werden kann. Die drei letzten Terme der Gleichung (4.114) entsprechen der zeitlichen Anderung der Abweichung des Zustandsvektors vom Arbeitspunkt:

Ax(0 = — Ax(t) + — ^'

dx

,

Au(t) + — ^ ' dz

Az{t)

(4.115)

Diesen Vorgang auf die Gleichung (4.105) angewendet, liefert: x(?)~f(X,U,Z) + A + B . r

B+B

9v

dv_ dx

Ax{t)

(5v Au(?)+ B,„+B 'dz

(4.116) Az{t)

Die letzten drei Terme der Gleichung (4.116) entsprechen der Gleichung (4.115). Die partiellen Ableitungen der nichtlinearen Vektorfunktion v, mit ihren / nichtlinearen Funktionen, nach den Vektoren der Zustands-, Steuer- und StorgroBen addiert mit den bereits vorhandenen Matrizen, ergeben die Systemmatrix A, die Steuermatrix B und die Stormatrix B^. Die Matrizen Ap, Bp ' Taylor, Brook *18.8.1685 Edmonton, England t29.12.1731 London, Mathematiker ' Gregory, James *11.1638 Drumoak, Schottland fl0.1675 Edinburgh, Mathematiker, ihm war nach [Lexikon-NW-2000] die nach Taylor benannte Reihe schon bekannt.

4.7 Linearisierung nichtlinearer zeitinvarianter Systeme

89

und B^n weisen eine groBe Anzahl von Nullelementen auf.

4.7.3 Die nichtlineare Vektorfunktion g der Ausgangsgleichung Bei der nichtlinearen Vektorfunktion g der Ausgangsgleichung ist die Vorgehensweise zur Linearisierung, wie flir die nichtlineare Vektorfunktion f der Differenzialgleichung beschrieben. Somit ergibt sich flir die Gleichung (4.113):

y(0-g(X,U,Z) + ^

Ax{t) + ^

U\

in

Cll

,

Au(03 ^'

dz

Az{t)

(4.117)

und damit fur die Gleichung (4.106): y(/)-g(X,U,Z) +

c +c^ n

/

D +C

Sv

V

\ AP J

4.7.4

Ax(^)

^ OX AP

(4.118)

f Au(/) + D + C \

5v

Az(?)

Systemmatrix A

Die Systemmatrix A ist eine Jacobi-°-Matrix, welche aus den n ZustandsgroBen und / Nichtlinearitaten auf der Grundlage von Gleichung (4.116) mit Hilfe der nichtlinearen EingangsMatrix Bv gebildet wird: A = A +B

9v

ra-, *vll

Ko

• ••

Ki

*v21

*v22

• ••

K21

Knl

K2

• ••

dxi

avi dx.

5V|

dx„

dv2

^n2\

a ,

^n22

a

C/i 1

U] -

t/')i

Ct'i-

b,nl_

5t7

A=

' Jacobi, Carl Gustav Jacob *10.12.1801 Potsdam tl8.2.1851 Berlin, Mathematiker

dv,

dv,

8x2

dx„

(4.119)

90

4 Modellbildung

4.7.5 Steuermatrix B Die Steuermatrix B wird entsprechend Gleichung (4.119) aus den m SteuergrSBen und / Nichtlinearitaten auf der Gmndlage von Gleicliung (4.116) mit Hilfe der nichtlinearen Eingangsmatrix Bv gebildet: B

=

=

+ B ^ on AP

Kn

Kn

••

^n2\

"n22

_"mil

"nn2

4.7.6

^nlm

nnm _

bu

•••

hm

K

•••

b^n,

A. -

n\m

+

'Kn

b,l2

*v21

^v22

K\

b,n2

du,„

(4.120) dv, du,„

i nm _

Stormatrix Bz

Die Stormatrix wird entsprechend Gleichung (4.120) aus den k StorgroBen und / Nichtlinearitaten auf der Grundlage von Gleichung (4.116) mit Hilfe der nichtlinearen Eingangsmatrix By gebildet: 5v dz

B, = B , +B

B,

B,

"znll

"znl2

bzn2\

b^„22

znn\

znn2

Ku~ ft,,,,

b^.

KnX K„2

Kn

• ••

*zlt

bz2i

• ••

^z2*

*z«l

• ••

*z«t_

b,2,

K„i_

ft', dz,

ft, "I az,

a..

dv2

dz,

•ST

ft) dz.

ft, Szk \

(4.121)

4.7.7 Ausgangsmatrix C Die Ausgangsmatrix wird auf der Grundlage der Gleichung (4.118) flir die r AusgangsgroBen aus den n ZustandsgroBen und / Nichtlinearitaten mit Hilfe der nichtlinearen Ausgangsmatrix

4.7 Linearisierung nichtlinearer zeitinvarianter Systeme

91

Cv wie folgt gebildet: C = C +C — OX

-«U

'^n\2

C = c ,

^11

Cj.1

c

^vr\

^vrl

c,„.,

5v,

avi

d\\

dx\

dxj

dx„

dvj

dv2

dvj

dx\

dxj

"^

dv,

d\'i

dv,

dx\

dxj

dx„

(4.122)

A'

C^

4.7.8 Durchgangsmatrix D der SteuergroBe Entsprechend Gleichung (4.122) wird die Durchgangsmatrix D der SteuergroBe aus den m EingangsgroBen und / Nichtlinearitaten mit Hilfe der nichtlinearen Ausgangsmatrix Cv auf der Grundlage der Gleichung (4.118) fur die r AusgangsgroBen gebildet: D = D„ +

d„u

du

AP

"nl2

"n\m

D=

+ '^m\

<^»r2

firm _

dn

"12

'^\m

drl

d^2

d

dv,

cVi

du,

ai^

dv2

dv2

a^

3 ^

dv.

a.,

dti.

3 ^

(4.123)

n— u—

rm _

4.7.9 Durchgangsmatrix D^ der StorgroBe Die Durchgangsmatrix D^ der StorgroBe wird auf der Grundlage der Gleichung (4.118) fflr die r AusgangsgroBen aus den k StorgroBen und / Nichtlinearitaten mit Hilfe der nichtlinearen Ausgangsmatrix Cv wie folgt gebildet:

92

4 Modellbildung 9v D,=D,„+C — oz a.i 3z, "mil

"zn\l

'"

"zn\k

D. = "znr\

/-wl

"znr2

"zU

"rl2

^zrl

^zr2

''ir2

ft..

'\

dvj

dv2

~

•57

dv. _Sz,

3^*

(4.124)

cV,

D, '""

" zrk

4.8

Linear zeitinvariante Systeme in der Standardform

4.8.1

MehrgroBensysteme

Die Zustandsgleichung eines linearen, zeitinvarianten MehrgroBensystems, wie sie sich aus der Prozessanalyse eines linearen MehrgroBensystems ergeben bzw. wie sie, unter Beachtung der in dem vorhergehenden Abschnitt 4.7 gemachten Aussagen, aus einem nichtlinearen MehrgroBensystem abgeleitet werden konnen, lassen sich allgemein wie folgt schreiben. Zur Beachtung! Die Eingangs-, Zustands- und Ausgangs-GroBen linearisierter Modelle sind Abweichungsvariable. Im Sinne einer einfacheren Darstellung bzw. Schreibweise ist es iiblich, den A-Vorsatz, der die GroBen als Abweichungsvariable kennzeichnet, entfallen zu lassen.

4.8.2

Die linearen Systemgleichungen

Die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung: x(/) = Ax(?) + Bu(?) + B^z(?)

x{t = 0) = Xg

(4.125)

Die Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung: y(?) = Cx(/) + Du(?) Es bedeuten: dx(?)/dt: x(t): x(0):

(«,1) Spaltenvektor der ersten Ableitung der n Zustandsgrofien («, 1) Spaltenvektor der n Zustandsgrofien mit dem («, 1) Vektor der Anfangswerte

(4.126)

4.8 Linear zeitinvariante Systeme in der Standardform u{t): z(?); y(t): A: B: B^: C: D:

93

(m,l) Spaltenvektor der m Steuergrol3en (k, 1) Spaltenvektor der k StorgroBen (r,l) Spaltenvektor der r AusgangsgroBen («,«) System- oder Zustandsmatrix {n,m) Eingangs- oder Steuermatrix {n,k) Stormatrix (r,«) Ausgangs- oder Beobachtungsmatrix {r,m) Durchgangsmatrix

Die Gleichungen (4.125) und (4.31) lassen sich wie folgt als Vektor-Matrix-Signalflussplan darstellen:

Ausgangsvektor

Storvektor

Bild 4.9 Vektor-Matrix-Signalflussplan eines linearen, zeitinvarianten MehrgroBensystems

4.8.3

EingroBensysteme

Bei einem linearen, zeitinvarianten Ubertragungsglied mit einem Eingang und einem Ausgang verandem sich die Systemmatrizen wie folgt: B Bz C D

^ ^ ^ ^

b b, c' d

(«,1) - Spaltenvektor (K,1) - Spaltenvektor (l,n) - Zeilenvektor Skalar

Damit ergeben sich aus den Gleichungen (4.125) und (4.31) die Zustandsgleichungen flir ein EingroBen-System: x(/) = Ax{t) + hu{t) + h^z[t)

\{t = 0) = X(,

(4.127) (4.128)

94

4 Modellbildung

4.8.4 Lineare Zustandsmodelle mit der M-function ss Eigenschaft von ss: Bildet das Modell eines linearen Systems im Zustandsraum. Syntax: ZM = ss(A,B,C,D) Beschreibung: Mit der M-function ss wird aus der System-, Eingangs-, Ausgangs- und Durchgangsmatrix eines linearen EingroBen- oder MehrgroBensystems das Modell im Zustandsraum gebildet Mit dieser kompakten Einheit 'System' konnen die verschiedensten Untersuchungen durchgefuhrt werden. Weitere Funktionen siehe help /doc ss.

5. Systeme und ihre mathematischen Modelle In diesem Kapitel werden fiir verschiedene technische Systeme die dazugehorenden mathematischen Modelle abgeleitet. Diese Modelle spiegeln Klassen imterschiedlichen dynamischen Verhaltens wider. Auf sie wird immer wieder in Fonn von Beispielen ziiriickgegriffen werden.

5.1

Das System Stab-Wagen y(t)

A

(p\t) = oii)

F{s,(p,t)

Fit)

-*—

o-

— • • • •

x{t) s\t) = vii)

s{t)

mig

Bild 5.1 Prinzipskizze des Systems Stab-Wagen zur Systemanalyse Das System eines auf einem Wagen zu balancierenden Stabes - System Stab-Wagen - ist besonders durch sein dynamisch instabiles Verhalten gekennzeichnet. Seine Stabilisierung gelingt nicht einfach dadurch, dass die das System beschreibenden Parameter geeignet gewahlt werden, derm es ist strukturbedingt instabil und kann somit nur mit Hilfe einer geeigneten Riickkopplung stabilisiert werden. Die im Zusammenhang mit diesem System auftretenden Probleme sind so vielseitig, interessant imd anspruchsvoll, dass es als besonders geeignet fur die regelungstechnische Ausbildung und speziell mit MATLAB und Simulink angesehen wird.

96

5 Systeme und ihre mathematischen Modelle

5.1.1 Verallgemeinerte Koordinaten des Systems Stab-Wagen Das System soil entsprechend Bild 5.1 aus einem spurgefuhrten Wagen mit der Masse rtii bestehen, der durch eine Kraft F(t) horizontal in einer Ebene so bewegt werden kann, dass der auf ihm urn eine Achse drehbar angebrachte Stab mit der MasseOT2und der Lange L = 2l durch den Einfluss der Massenkrafte balanciert wird. Fiir das dynamische Verhalten spielen der Drehwinkel (p{t) des Stabes, der Weg s{t) des Wagens und die am Wagen angreifende Kraft F{t) eine besondere Rolle. Nachfolgend wird das System einer theoretischen Prozessanalyse mit dem Ziel unterzogen, das dynamische Verhalten durch Modellgleichungen zu beschreiben. 5.1.1.1 Schwerpunkt des Stabes y(t) A Die im Bild 5.2 dargestellte Skizze beschreibt die Schwerpunktveranderung des Stabes bezogen auf die beiden Koordinaten x und y. Mit yo- I # ihrer Hilfe werden die Gleichungen der vom Schwerpunkt zuriickgelegten Wege entlang der yi(t) beiden Koordinaten abgeleitet. Die Geschwin(pit) digkeit und die Beschleunigung des Stab•ii-schwerpunktes ergeben sich aus der ersten und zweiten Ableitung des Weges nach der Zeit. > x{t)

Q:...

s{t)

x,<0

Bild 5.2 Skizze der Schwerpunktveranderung des Stabes Weg des Stabschwerpimktes entlang der Koordinate x bzw j : x{t) = s{t) + x.[t) = s{t) + l^in(p{t) y{t) = y^ - yi{t) = I -I co?,(p{t) = l\\-

(5.1) cos(p{t)\

(5.2)

Geschwindigkeit des Stabschwerpunktes entlang der Koordinate x bzwj^: x(t) = i(?) + (^(?)/cos^(?)

(5.3)

_>>(?) = 0(?)/sin^(?)

(5.4)

Beschleunigung des Stabschwerpunktes entlang der Koordinate x bzwy: X (?) = s (?) + ^ (?) / cos (p (?) - (p^ (?) / sin (p (?)

(5.5)

j)(?) = ^(?)/sin^(?) + ^"(?)/cos^(?)

(5.6)

5.1 Das System Stab-Wagen

97

5.1.1.2 Symbolische Berechnung der Schwerpunktkoordinaten Die Bestimmung der Geschwindigkeit und der Beschleunigung fiir die x-Koordinate wird zum Vergleich mit den oben gewormenen Ergebnissen mit der M-function diff aus der Symbolic Math Toolbox wiederholt. siehe GleichungSOl.m Die beiden Ergebnisse stimmen mit denen der Gleichungen (5.3) und (5.5) iiberein. 5.1.1.3 Schwerpunkt des Wagens -

Weg x{t) = s{t)

-

(5.7)

Geschwindigkeit x{t)^s{t)

(5.8)

5.1.2 System Stab-Wagen - Nichtlineares Modell Fiir die hier gesuclite Beschreibung des dynamischen Verhaltens eines mechanischen Systems wird die im Kapitel 4.4.4 behandelte Lagrange'sche Bewegungsgleichung 2. Art genutzt. 5.1.2.1 Verallgemeinerte Koordinaten Welclie GroBen als verallgemeinerte Koordinaten zu wahlen sind, ist wie bereits ausgeftihrt, nicht eindeutig bestimmt. Im vorliegenden Beispiel bietet es sich an, den Winkel des Stabes zur Senkrechten und den Weg des Wagens zu wahlen: q,{t) = (p{t)[md];

^j (?) = s(?) [w]

(5.9)

5.1.2.2 Kinetische Energien -

Kinetische Energie der Translation Tj^[t) = ^^{m,+m^)s^t)

-

+ l^m^q)^t)~\

[j]

(5.10)

Kinetische Energie der Rotation

7;W=iA>'(0 [A -

+ 2lm^s{t)g){t)cosq){t)

(5-11)

Gesamte kinetische Energie T{t) = Tr{t) + T,{t)

(5.12)

98 -

5 Systeme und ihre mathematischen Modelle Mit dem Satz von Steiner' - Huygens^ - ergibt sich das auf den Drehpunkt des Stabes bezogene Massentragheitsmoment: J,^^=J^+l'm,

[kgm'~\

(5.13)

und damit die gesamte kinetische Energie: r(?) = ^r(w, +m^)s^{t) + 2lm^s{t)(p{t)cos(p{t)

+ J-,^(p^{t)]

(5.14)

5.1.2.3 Potentielle Energie V =0

(5.15)

5.1.2.4 Dissipation der Energie D{t) = D^^[
[i = W]

(5.16)

mit den Dampfungskoeffizienten: ligm

;

4T

5.1.2.5 Potentiale Das im Bereicli der verallgemeinerten Koordinate des Winkels (p{t) wirkende Moment der Erdanziehung: y^{t) = glm,sm(p{t)

[^m

= j]

(5.17)

Die im Bereich der verallgemeinerten Koordinate des Weges s(t) wirkende Seilkraft: y,{t) = F{t)

[N]

(5.18)

5.1.2.6 Nichtlineare Differenzialgleicliung des Winkels Ableitung der Energiebilanz nach dem Winkel: Kinetische Energie bezogen auf den Winkel Partielle Ableitung der Gleichung (5.14) nach der Winkelgeschwindigkeit und anschlieBend nach der Zeit: d_ —- =lm^ s{t)cos,(p{t)-lm^ dt

i(?)^(?)sin^(?) +J^^ (p{t)

(5.19)

Partielle Ableitung der Gleichung (5.14) nach dem Winkel:

Steiner, Jakob *18.3.1796 Utzenstorf (Kanton Bern) tl.4.1863 Bern, Mathematiker ' Huygens, Christiaan *14.4.1629 Den Haag t8.7.1695 ebd., Mathematiker, Physiker, Astronom und Ulirenbauer; nach [Rudiger/Kneschke_III-1964] wurde dieser Zusammenhang bereits 1673 von ihm erkannt.

5.1 Das System Stab-Wagen

dip

-

-1 m2 s{t)(p[t) sin (p{t)

(5.20)

Potentielle Energie bezogen auf den Winkel Der Anteil der potentiellen Energie ist null, somit auch die Ableitung nach dem Winkel: ^ =0 o(p

-

99

(5.21)

Dissipation der Energie bezogen auf den Winkel Partielle Ableitung der Gleichung (5.16) nach der Winkelgeschwindigkeit: - r = 25
(5.22)

Aus den Gleichungen (5.17) imd (5.19) bis (5.22) ergibt sich mit der Beziehung ftir die Gesamtenergiebilanz des Winkels: d^ dT\ dT dV XdD + + = >"„ dt — dip) d(p d(p 2 d(p die nichtlineare Differenzialgleichung der verallgemeinerten Koordinate Winkel: Jj (p{t) + lm2s[t)cos(p[t) +5(p[t) = g/OTj sing}(^t)

_ ^,, (5.23)

(5.24)

5.1.2.7 Nichtlineare Differenzialgleichung des Weges Ableitung der Energiebilanz nach dem Weg: Kinetische Energie bezogen auf den Weg Partielle Ableitung der Gleichung (5.14) nach der Geschwindigkeit und nach der Zeit: — —

dt\ds )

= (w,+ff22js-/OT2^ sm(/? + /ffj2(^COS(^

(5.25)

Partielle Ableitimg der Gleichung (5.14) nach dem Weg: ^

=0

(5.26)

OS

-

Potentielle Energie bezogen auf den Weg Der Anteil der potentiellen Energie ist null, somit auch die Ableitung: dV

— =0 OS

-

Dissipation der Energie bezogen auf den Weg Partielle Ableitung der Gleichung (5.16) nach der Geschwindigkeit:

(5.27)

100

5 Systeme und ihre mathematischen Modelle — = 2ds{t) ds

(5.28)

Aus den Gleichungen (5.18) und (5.25) bis (5.28) ergibt sich mit der Beziehung fur die Gesamtenergiebilanz des Weges: d_(dT\_dT_

dV_ \_dD__

..

die nichtlineare Differenzialgleichung fur die verallgemeinerte Koordinate Weg: (w, +m2)s[t)-lm2

5.1.3

(j)^ (/)sin9?(/) + /w2 (f>{t)coi(p{t) + ds(t) = -^(0

(5.30)

Die nichtlinearen Differenzialgleichungen des Systems Stab-Wagen

Die Gleichungen (5.24) und (5.30) liefem die gesuchten nichtlinearen Differenzialgleichungen fur das System Stab-Wagen:

Im^ (f>[t)cos(p[t) + ms{t)-lm^

mit: m = m^+m2

(5.32)

Es handelt sich um ein System von zwei verkoppelten bzw. simultanen nichtlinearen Differenzialgleichungen 2. Ordnung. Die in impliziter Form vorliegenden beiden nichtlinearen Differenzialgleichungen (5.31) des Systems Stab-Wagen sind explizit nach der Beschleunigung des Winkels und des Wagens umzustellen. Das Umstellen erfolgt mit Hilfe der Symbolic Math Toolbox wie folgt. siehe Gleichung5_31 .m Aus der symbolischen Berechnung folgen die expliziten Gleichungen fur die Winkelbeschleunigung: ^[t) = N[t)\ -(/W2) cos[(p)sin[(p)cp^ [t) + dIm2 cos[(p)s[t) - 5 ff?^(?) + g,^, /OT Wj sin(97) -/OTj cos(^)F(/)] mit: N{t) =

. J2

und die Beschleunigung:

\

, ,,,2

m-Um2C0s\
(5-34)

5.1 Das System Stab-Wagen

101

(5.35)

-gN{l"^2)^ ^os{q))sm{q))-d J2j{t)

+ J2^ F{t

Nach dem Einfuhren von zehn Nichtlinearitaten und den dazugehorenden Koeffizienten ergibt sich mit: (p{t) = co[t) und s{t) = v{t)

(5.36)

folgende Vektor-Matrix-Differenzialgleichung: cp{t) d dt

«(0 .(0 v{t)

0 1 0 0" cp{t) "0" 0 0 0 0 w{t) 0 + F[,) 0 0 0 1 s{t) 0 0 0 0 0 v(0 0

"v,(0" 0 •'vlX

^v25

0

0

0 0

0

0

i>410_

(5.37)

VsW

v.(0 _v,o (0_

Die in der Gleichung (5.37) enthaltenen Nichtlinearitaten und die dazugehorenden Koeffizienten, haben folgenden Aufbau: v,(?) = sin(2^)ft)-(?)#(?) V2{t) = co^{(p)v{t)N{t)

Ki\ =-0,5(/w2) h^22 =dlm2 k-23 =-Sm

V4(?) = sin((p)#(?)

^24= 8N I mm2 K25 =-lm2

v , ( 0 = sin(9.)«^ (?)#(?)

^46=-^2jfn2

v^{t) = zo%{(p)co{t)N {{)

b^„ = 811712

V8(/) = sin (2 )#(/)

*v48 = - 0 , 5 g ^ ( / »

^v410 ~

(5.38)

''2„

mit dem Nenner: N{t) =

(5.39) J2^ m-\lm2

cos(^)]

102

5 Systeme und ihre mathematischen Modelle

Die Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung hat folgenden Aufbau:

cp°{t)

L^oJ

cp{t) 180/;r 0 0 0 co{t) 0 0 1 0_ s{t)

(5.40)

v(0

Die Embedded-MATLAB-Function, einschlieBlich Signalflussplan und die Zeitantworten der freien Bewegung des Systems Stab-Wagen ftir den Winkel und den Weg, konnen dem Kapitel 3.7, Beispiel 3.7, entnommen werden.

5.1.4

System Stab-Wagen - linearisiertes Modell

Die lineare Regelungstheorie setzt voraus, dass die betrachteten Systeme linear sind und damit auch ihre Modelle bzw. bei nichtlinearen Systemen, die Modelle in linearisierter Form vorliegen. Aus diesem Grund soil das nichtlineare mathematische Modell des Systems Stab-Wagen linearisiert werden. Grundlage sind die Gleichungen (5.37) bis (5.40) und die Betrachtungen im Kapitel 4.7. Siehe auch die in Kapitel 8.7.4 behandelte M-function linmod und dazu das Beispiel 8.26. 5.1.4.1 Linearitatsbereich Der Linearitatsbereich fiir den Winkel (p{t) wird wie folgt vereinbart: 18

^ '

-10°<^°(?)<10°

18

(5.41)

Mit Gleichung (5.41) wird: cos(9>)=;l; sin((/?)=;^

(5.42)

wodurch der Nenner l^(t) in Gleichung (5.39) mit: (5.43)

zu der Konstanten A'o wird:

N{t)

N„

3 fm^ (4m-3m2)

(5.44)

Unter Beachtung der Beziehungen in den Gleichungen (5.41) und (5.44) verringert sich die Anzahl der Nichtlinearitaten in Gleichung (5.38) auf die folgende: ^[t) = (p[t)o}^[t)

mit

b^.,^

3 m, (4OT|

+^2)

und

h,

Aim, {Am^ +^2)

(5.45)

5.1 Das System Stab-Wagen

103

5.1.4.2 Vektor-Matrix-Differenzialgleichung fiir den Linearitatsbereich Fiir den Linearitatsbereich ergibt sich die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung in Gleichung (5.37) wie folgt: 0

v(/)

0 1 38 m 0 / m2 (4?w, +OT2)

0

0 3<5 /(4w, + w,)

3g.vW; (4w, +W2)

0

/(4OT,

0 0

+^2^

1 4
-

v(0

(4w, +W2)

(5.46)

[^W«^(0] (4»j, +m2)

(4m, +m2)

Die partiellen Ableitungen der verbliebenen Nichtiinearitat in Gleichung (5.46) nach den ZustandsgroBen bzw. nach der EingangsgroBe ergibt: 5((/jffl^)

2 s{^(po}^^

d(p

dco

= 2%«o

diipco^j

d((pa)^)

d(q)a^]

ds

dv

dF

=0

(5.47)

5.1.4.3 Arbeitspunkt Die Werte des Arbeitspunktes betragen: AP{(PQ={)

fflo=0

^0=0

Vo=0

^0=0)

(5.48)

5.1.4.4 Vektor-Matrix-Differenzialgleichung des linearisierten Modells Mit den in Gleichung (5.48) gegebenen Werten des Arbeitspunktes, werden auch die restlichen partiellen Ableitungen in Gleichung (5.47) zu null, d.h. die Anteile der Nichtlinearitaten sind bereits in die zu den Abweichungsvariablen der Zustande und der SteuergroBe gehorenden Koeffizienten iibergegangen, sie entsprechen somit denen der Gleichung (5.46). Die nachfolgend dargestellten Zustandsvariablen sind Abweichungsvariable vom Arbeitspunkt, so dass sie eigentlich mit dem Vorsatz A geschrieben werden miissten, der aber vereinbarimgsgemaB entfallt. Die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung des linearisierten Modells entspricht somit, ohne den zur Nichtiinearitat: (p{t)(o\t)\

-^

0

gehorenden Vektor, der Gleichung (5.46):

(5.49)

104

5 Systeme und ihre mathematischen Modelle 'cp{t)

0

d co{t) dt s{t)

0

0

0 0 0

'^.541

ag^2

0

'^SIX

^

v[t)_

1 '^Sll

X, (t) = A<; X, (t) +

0

iH^y

a^.24

a{t)

^S44

1

" 0 " +

W) [<').

*S21

0

F{t)

(5.50)

_*S41_

bsF[t)

Das linearisierte Modell des Systems Stab-Wagen besteht aus den zwei Teilsystemen Stab und Wagen. Die Systeme Stab und Wagen liegen, wie aus der Systemmatrix A^ in Gleichung (5.50) zu ersehen, in Reihe. Die Geschwindigkeit v(/) des Wagens wirkt iiber den Koeffizienten as24 auf den Stab zuruck. Der Winkel (p(t) und die Winkelgeschwindigkeit aj(t) des Stabes wirken als Vorwartskopplung iiber die Koeffizienten as4i und as42 auf den Wagen. Als Systemmatrix ergibt sich fur den Stab: 0

1

(5.51)

und fur den Wagen: 0 0

1 a,,,.

(5.52)

5.1.4.5 Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung des linearisierten Modells Da am Ausgang der Winkel des Stabs zur Senkrechten in Grad und der Weg des Wagens interessieren, ergibt sich folgendes Gleichungssystem: (p{t) 180

s{t)

0

0

"o~""o"jr

ys{t)-

• ^ s

^.s

(0

(5.53)

5.1.4.6 Eigenwerte des Systems Stab-Wagen mit den M-functions eig und esort Die Werte der Koeffizienten bzw. der Systemmatrizen konnen mit der function invpendel, siehe Kapitel 5.3, ermittelt werden. Die Systemmatrizen des Stabes nach Gleichung (5.51), des Wagens nach Gleichung (5.52) und des Systems Stab-Wagen nach Gleichung (5.50) liefem als Eigenwerte mit der M-fiinction eig: » Pos = eig(As) Pos = 3.2541 -3.8041

» Pow = eig(Aw) Pow = 0 -0.1143

» PoS = esort(eig(AS)) PoS = 3.2434 0 -0.0905 -3.8172

5.2 Antrieb - Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor

105

Ein Eigenwert, bzw. Pol, des Teilsystems Stab befindet sich im positiven Bereich der GauBschen Zahlenebene. Wie sich welter unten, bel der Behandlung der Stabllltat linearer Systeme herausstellen wlrd, 1st em derartlges System instabil, genauer gesagt strukturinstabil, was auch die Erfahrung lehrt. Da der elne Eigenwert, bzw. Pol, des Teilsystems Wagen Im Ursprung der GauB'schen Zahlenebene, d.h. bel null llegt, 1st dieses System grenzstabil\ Die Elgenwerte des Gesamtsystems welchen, bedlngt durch die oben beschrlebenen Riickkopplungen, von denen der Tellsysteme ab, sle wurden noch mlt der M-functlon esort sortiert.

5.1.5

Signalflussplan des linearisierten Stab-Wagen-Modells

Blld 5.3 Signalflussplan des linearisierten Stab-Wagen-Modells

5.2

Antrieb - Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor

Gesucht ist das mathematlsche Modell elnes Antriebes, bestehend aus einem permanent erregten Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor mlt Seilscheibe imd Umlenkrollen, wle im Blld 5.4 dargestellt. Der Motor soil als Antrieb fur das System Stab-Wagen dlenen.

5.2.1

Grundgleichungen - elektrische Seite

5.2.1.1 Spannungsbilanz Fiir den Motorkrels lasst sich folgende Spannungsbilanz aufstellen:

106

5 Systeme und ihre mathematischen Modelle

'

dt

• + Raia{t)

+ e,{t)

=

(5.54)

Ua{t]

^

'^a^ 'a

Bild 5.4 Antrieb - Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor mit Seilscheibe und Umlenkrollen 5.2.1.2 Geschwindigkeit eines Seilpunktes Zwischen der zeitlichen Anderung des Drehwinkels des Ankers, welche der zeitlichen Anderung des Drehwinkels der Seilscheibe d(ps{t) sowie den zeitlichen Anderungen der Drehwinkel der Umlenkrollen d(pi{t) und der zeitlichen Anderung des Weges ds eines Seilpunktes entspricht, bestehen nach Bild 5.4 folgende Zwangsbedingungen, wenn vorausgesetzt wird, dass sich die Seillange infolge der Belastung nicht verandert: ds = r^ d(p^ = r^ d(p^ = r, d(p^ = r^ d(p2

(5.55)

Die Ableitung der Gleichung (5.55) nach der Zeit liefert: ds dt

d(p^ dt

d(p^ dq>^ dt dt

dq)^ dt (5.56)

v{t) = r„ft)„(?) = r,ffl,{t) = rift),(t) = r^ co^ (?) Fiir den Zusammenhang zwischen der Winkelgeschwindigkeit des Ankers, die der Winkelgeschwindigkeit der Scheibe entspricht, und der Geschwindigkeit eines Seilpunktes gilt somit folgende Beziehung:

uo=>w

ft),

(5.57)

5.2 Antrieb - Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor

107

5.2.1.3 Im Motor induzierte Spannung Fiir die Kopplung zwischen der elektrischen und mechanischen Seite gilt unter Beachtung von Gleichung (5.57) mit der elektrischen Motorkonstante ke[Vs]: e^[t) = k^a„{t) = ^v{t)

(5.58)

5.2.1.4 Differenzialgleichung fiir den Ankerstrom Aus den Gleichungen (5.54) und (5.58) folgt die lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten fur den Ankerstrom:

^'

5.2.2

^"

^"''

^"

(5.59)

Grundgleichungen - mechanische Seite

5.2.2.1 Mechanisch-elektrische Kopplung des Motors Die Grundgleichungen der mechanischen Seite beschreiben das vom Motor abgegebene Moment als die Differenz zwischen dem elektrisch erzeugten und dem Dampfiingsmoment. Mit Gleichung (5.55) folgt: M{t) = K h {t)-k, «„ (?) = k„ /„ {t)-^v{t)

(5.60)

Mit der mechanischen Motorkonstante k„ [N m ^''] imd der geschwindigkeitsproportionalen Dampfungskonstante kd [N m s]. In der Dampfungskonstante sind alle Dampfungsverluste die im Motor auftreten, wie z.B. Eisenverluste, Reibung, Luftverwirbelung, enthalten. 5.2.2.2 Beschleunigungsmoment Das Beschleunigungsmoment ist die Summe der Momente, die zur Beschleunigung aller beweglichen Massenteile, wie Anker, Seilscheibe und UmlenkroUen, vom Motor aufgebracht werdenmuss: MAt) = J,„—- + J,—- + J,—- + J2—(5.61) "^ ' '" dt ' dt ' dt ' dt Mit den Massentragheitsmomenten J, [Nm s^ = kg m^] der bewegten Telle. Unter der Annahme, dass die beiden UmlenkroUen gleich sind und mit den Zwangsbedingungen nach Gleichung (5.55) ergibt sich das Beschleunigungsmoment des Motors zu:

MM-

J^+J^2jAdv{t) - . ^ 1 ^

(5.62)

108

5 Systeme und ihre mathematischen Modelle

5.2.2.3 Lastmoment Das Lastmoment entsteht durch die an der Seilscheibe angreifende Seilkraft F(t): M,{t) = r,F{t)

(5.63)

5.2.2.4 Gesamtmoment des Motors Das Gesamtmoment ist die Summe aus Beschleunigungsmoment und Lastmoment, entsprechend Gleichung (5.62) imd (5.63):

M[t)

(5.64)

—[i K +-^, +2'-,. •^.]-^+': ^ 0 r.r,

-'at

5.2.2.5 Differenzialgleichung fiir die Geschwindigkeit eines Seilpunktes Mit der nacli der Besclileunigung eines Seilpunktes umgestellten Gleichung (5.64) und der Gleichung (5.60) fur das Motormoment ergibt sich die gesuchte lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten fur die Geschwindigkeit eines Seilpimktes: dv[t) dt dv{t)

• K,Kr,nia

{t)-kakjf,v{t)-k,r^r^F{t) (5.65)

aania{t)

dt

+ aa22v{t)

+

b^^,F{t)

mit: r, ( J , „ + j J + 2r,J|

(5.66)

kgm

5.2.3 Zustandsbeschreibung des Antriebs Das Modell des Antriebs wird aus den Gleichungen (5.59) und (5.65) gebildet. Der Ankerstrom ijj) und die Geschwindigkeit v{t) eines Seilpunktes sind dabei die ZustandsgroBen Xa{t). Die Ankerspannung Uaif) ist die steuerbare EingangsgroBe Ua{t) und die Seilkraft F{t) wirkt als StorgroBe Za{t). 5.2.3.1

Vektor-Matrix-Differenzialgleichung d_ dt v[t)

.11

^an

al\

aaii_

raoi +

'*«ii'

\ym [ 0 J

w, ( 0+

0

k.2ij

F{t)

(5.67)

5.2.3.2 Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung Als AusgangsgroBen interessieren die beiden ZustandsgroBen, die Drehzahl des Motors und das vom Motor abgegebene Moment. Die Drehzahl ergibt sich aus:

5.2 Antrieb - Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor

v(t) = — ^

30

W

nr^.

V(0 = '^»32V(0

109 (5.68)

[M

und das Motormoment aus der Gleichung (5.60) mit: (5.69) Mit den Gleichungen (5.68) und (5.69) folgt die Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung zu: 1 v{t) n{t)

0 0

M{t)

^a4l

0 " 1 ^-032

UM

L-wJ

(5.70)

'^cA2 _

Der Aufbau der Koeffizienten und die Werte der Konstanten konnen der function antrieb.m, Abschnitt 5.2.4.7, entnommen werden. 5.2.3.3 Signalflussplan des Antriebs Mit den Gleichungen (5.67) und (5.70) ergibt sich der Signalflussplan des Antriebs:

•CD ia(t)

Bild 5.5 Signalflussplan des Antriebs 5.2.3.4 Eigenwerte des Antriebs Der Antrieb - Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor mit Seilscheibe und Umlenkrollen - wird durch zwei ZustandsgroBen beschrieben, d.h. er ist ein System 2. Ordnung und hat zwei Eigenwerte, die mit den M-functions eig berechnet und mit esort der GroBe nach geordnet ausgegeben werden: » Poa = esort(eig(Aa))

110

5 Systeme und ihre mathematischen Modelle Poa = -713.52 -21425.45

Die Eigenwerte entsprechen den Polen, d.h. den Losungen des Nennerpolynoms der Ubertragungsfunktion, sie bestimmen maBgeblich das dynamische Verhalten des Systems. Die Betrage der Kehrwerte der Pole sind die Zeitkonstanten des Systems.

5.2.4

Vereinfachtes Modell des Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motors

5.2.4.1 Mechanische und elektrische Zeitkonstante Der Betrag des Kehrwerts des betragsmaBig kleineren Pols entspricht der mechanischen Zeitkonstante: ^

0,0014s

(5.71)

Ki^) Sie bestimmt maBgeblich das dynamische Verhalten des Systems, denn sie betragt das 30fache der elektrischen Motorzeitkonstante: T, = -.—^-—j = 4,6673e-005s

(5.72)

die der ZustandsgroBe Ankerstrom 4(/) zuzuordnen ist. Die wesentlich kurzere Zeit ergibt sich aus der gegenuber den anderen, die Motordynamik bestimmenden Konstanten, um GroBenordnungen kleineren Ankerinduktivitat: Z„ = 45,7 MH = 0,0000457^ Die in Henry' gemessene Ankerinduktivitat tritt in den Nennem der drei Koeffizienten der Gleichung (5.59) fur die zeitliche Anderung des Ankerstromes auf, so dass diese sehr groB werden, was u.a. zu dem so weit links liegenden Pol fuhrt. Es handelt sich hier um ein steifes Differenzialgleichungs-System, wie in Kapitel 4.1.9 beschrieben. 5.2.4.2 Grundgleichungen - elektrische Seite Wird fur die weitere Rechnung die Differenzialgleichung (5.59) des Ankerstromes mit La multipliziert und anschlieBend die Ankerinduktivitat La = 0 gesetzt, so geht die Differenzialgleichung in die folgende algebraische Gleichimg tlber:

4(0 = - ^ v ( 0 + ^ « „ ( 0 Damit ergeben sich nachfolgend aufgefuhrte vereinfachte Grundgleichungen.

Henry, Joseph *17.12,1797 Albany (USA) tl8.5.1878 Washington, Uhmiacher, Mathematiker, Physiker

(5.73)

5.2 Antrieb - Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor

111

5.2.4.3 Differenzialgleichung des reduzierten Antriebsmodells Wird in die Differenzialgleichung (5.65), sie folgt aus der mechanischen Gmndgleichung fiir die Geschwindigkeit eines Seilpunktes, die algebraische Gleichung (5.73) fur den Ankerstrom eingesetzt, so ergibt sich: dv(t) -

^

,, = aruV{t)

,, + brU«a{t)

,, + br.nF{t)

(5.14)

Nachdem die zeitliche Anderung des Ankerstroms vemachlassigt wurde, wird das dynamische Verhalten des Antriebs - Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor mit Seilscheibe - nur noch durch das gegeniiber dem elektrischen Teilsystem wesentlich tragere und damit dominierendere mechanische Teilsystem beschrieben. Die Koeffizienten, sie wurden mit der function antrieb.m berechnet, weisen folgende Werte auf

K„

(5.75)

*.n = ^ ' V ' ' ^ ' = 22,55^

Z),,„ = -k, r, r^ = -10,10^

5.2.4.4 Eigenwert des reduzierten Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motors » Por = eig(Ar) Por = -702.8577 Der Eigenwert ist geringfugig, d.h. um 1,49 %, gegentiber dem dominierenden Eigenwert von -713.52 des nicht reduzierten Modells in Richtung Stabilitatsgrenze verschoben. Die Reduzierung ist somit vollig berechtigt. 5.2.4.5 Reduzieren der Modellordnung mit den M-functions modred und ssdelete Das bereits abgeleitete Ergebnis der Reduzierung der Modellordnung des Antriebs um die erste ZustandsgroBe soil mit der M-fUnction modred nachvollzogen werden. Eigenschaft von modred: Reduziert die Ordnung eines Zustandsmodells. Syntax: [Ar,Br,Cr,Dr] = modred(A,B,C,D,elim) Beschreibung: Reduziert die Ordnung eines Zustandsmodells durch die Eliminierung der im Vektor elim durch ihre Indizes vorgegebenen Zustande unter Berilcksichtigung der urspriinglichen Zusammenhange zwischen den Zustanden sowie den Relationen zwischen Ein- und Ausgang. siehe Gleichung5_74.m

112

5 Systeme und ihre mathematischen Modelle

Durch die Elimination des Ankerstroms ijj) als ZustandsgroBe, aber Beibehalten des Ankerstroms und des von ihm abhangigen Motormoments als AusgangsgroBen sind die betreffenden Elemente der Durchgangsmatrix verschieden von null. Es handelt sich folglich um ein sprungfahiges System. Ein Vergleich der Simulationsergebnisse beider Modelle ergibt nur wahrend des Starts geringfiigige Abweichungen, die aus dem sprungfahigen Verhalten des Ankerstromes bei dem reduzierten Modell herriihren. Auf eine graphische Darstellung wird verzichtet. Die Werte der Koeffizienten der Matrizen A^ und B^ stimmen mit den Werten der Gleichung (5.75) iiberein. Da im Weiteren nur die Geschwindigkeit als AusgangsgroBe interessiert, ist von der VektorMatrix-Ausgangsgleichimg (5.70) nur die zweite Zeile zu iibemehmen. Fiir die Elimination der iiberflilssigen AusgangsgroBen wird die M-function ssdelete verwendet. Eigenschaft von ssdelete: Loscht Eingangs-, Ausgangs- und ZustandsgroBen eines Zustandsmodells. Syntax: [Ard,Brd,Crd,Drd] = ssdelete(A,B,C,D,ein,aus,zust) Beschreibung: Die zu loschenden GroBen sind in ein, aus bzw. zust festzulegen. EingangsgroBen sind nicht zu streichen, somit ist fur ein eine Leermatrix [ ] zu setzen. Von den AusgangsgroBen sind die 1., 3. und 4. zu streichen, d.h. es ist aus = [1 3 4] zu setzen: siehe Gleichung5_74.m Es ergibt sich das erwartete Ergebnis. 5.2.4.6 Signalflussplan des reduzierten Modells

Bild 5.6 Das reduzierte Modell des Antriebs - GSL-Motor mit Seilrolle und UmlenkroUen 5.2.4.7 Funktion zur Berechnung der Modellgleichungen siehe function antrieb.m

5.3 Inverses Pendel

5.3

113

Inverses Pendel

Das Inverse Pendel ist durch seine charakteristischen Systemeigenschaften ein in der Literatur haufig anzutreffendes Beispiel. Die Vereinigung der Modelle des Systems Stab-Wagen und des Antriebs bilden das Model! Inverses Pendel mit der Kraft F{t) als KoppelgroBe.

5.3.1 Die Seilkraft als KoppelgroBe zwischen den Teilsystemen Die im System Stab-Wagen auftretende Geschwindigkeit v{t) entspricht im reduzierten Modell des Antriebs der Geschwindigkeit eines Seilpunktes. SteuergroBe des Systems Inverses Pendel ist die Ankerspannung des Motors Ua{t). Ein Zusammenhang zwischen der Seilkraft, der Geschwindigkeit und der Ankerspannung des reduzierten Antriebs-Modells besteht ilber die Differenzialgleichung (5.74). Fur die Seilkraft ergibt sich durch Umformen von (5.74): F{t)-.

1

dv[t)

' ,,

dt

<')-^K{t)

(5.76)

Bild 5.7 Prinzipskizze des Systems Inverses Pendel Die in Gleichung (5.76) auftretende Beschieunigung ist durch die rechte Seite der vierten Zeile der Vektor-Matrix-Differenzialgleichung (5.50) des Systems Stab-Wagen zu ersetzen. Nach einigen Umformungen ergibt sich die flir beide Teilsysteme verbindende Seilkraft:

114

5 Systeme und ihre mathematischen Modelle cp{t) F[t) = /'rzU

''S41

'^rzW

''.S41

^rzW

Kn-bsM

".">41

Ua{t)

(5.77)

F{tX^{t)+fMt) Die Seilkrafl nach Gleichung (5.77) ist eine Funktion der ZustandsgroBen Winkel, Winkelgeschwindigkeit und Geschwindigkeit des Wagens bzw. der Geschwindigkeit eines Seilpunktes und der Ankerspannung des GSL-Motors. 5.3.2

Vektor-Matrix-Differenzialgleichung

Die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung fur das Inverse Pendel folgt aus der Vektor-MatrixDifferenzialgleichung (5.50) des Systems Stab-Wagen, durch Einsetzen der Gleichung (5.77). Die Zustande entsprechen denen des Systems Stab-Wagen, wobei die Geschwindigkeit in beiden Teilsystemen als Zustand auftritt. Es gilt: x{t) = A.g\{t) + \3sF[t) (5.78)

x{t) = [ A , + b , f;]x(?) + b , / „ « , (?) mit der neuen, erweiterten Systemmatrix: A.,+b,f; !0 ^^541 "S21

A=

'S42 ^S21 "rzll

•^rzW

"6" ^S4\

0

Qg

"S41

(%.

^ r l l )^S21 ^rzll

^^541

(5.79)

0

fi';41

^S42 ".S-41

0 a^

Ku -bs4\ I

\^S44

^rn)^S'

"rz\ 1 ~ ^S4I

und mit dem neuen, erweiterten Eingangsvektor: b = b,X

ft.o, b,, -bs»

bs»Ku Ku-bs4>

(5.80)

Der Aufbau der Koeffizienten in den Gleichungen (5.79) und (5.80) lasst den Einfluss des Antriebs im Gesamtsystem Inverses Pendel iiber die Koeffizienten Oru, b^n und b^zw erkennen. Die Zahlenwerte konnen der function invpendel entnommen werden. Der auBerliche Aufbau der Systemmatrix hat sich durch die Hinzunahme des Modells fur den Antrieb nicht verandert, aber der Wert ihrer Koeffizienten.

5.3 Inverses Pendel

>(0" d coit) L

dt s{t) v[t)_

^

0

1

"21

022

0

0

0 0 0

0 «24

1

0 "44 x(/) = Ax(?) + bM(?)

5.3.3

"41

«42

r^w

"0"

Lv(o

115

^21

+

0

u{t)

(5.81)

Ai_

Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung

Am Ausgang interessieren der Winkel in Grad, den der Stab zur Senkrechten einnimmt, der Weg, den der Wagen zurucklegt und die Seilkraft nach Gleichung (5.77). Dies ergibt folgendes Gleichungssystem: 0

s{t) F{t) 5.3.4

0

0" 0 '34 _

~cp{t) " 0 •

co{t) + 0 s{t)

_v(0.

(5.82)

"a (0

^31

Eigenwerte des Inversen Pendels, die M-functions eig und esort

Die Werte der Koeffizienten konnen mit der function invpendel ermittelt werden. Die Systemmatrix des Inversen Pendels nach Gleichung (5.81) liefert als Eigenwerte: Inverses Pendel » Po = esort(eig(A)) Po = 2.9338 0 -3.3363 -71.6764

System Stab-Wagen » PoS = esort(eig(AS)) PoS = 3.2434 0

Antrieb » PoM = eig(Ar) PoM = -702.8577

-0.0905

-3.8172

Durch Hinzunahme des Antriebs erfolgt, bis auf den Eigenwert im Ursprung, eine Linksverschiebung der Eigenwerte des Inversen Pendels gegeniiber denen des Systems Stab-Wagen. Auch hier befindet sich ein Eigenwert im positiven Bereich der GauB'schen Zahlenebene.

5.3.5

Funktion zur Berechnung der Modellgleichungen siehe function invpendel.m

116

5.3.6

5 Systeme und ihre mathematischen Modelle

Signalflussplan des Inversen Pendels

•>1

CD y(t)

Bild 5.8 Signalflussplan des Inversen Pendels

5.4

Modellregelkreis

Der nachfolgend beschriebene, vereinfachte elektrische Modellregelkreis soil den Zusammenhang zwischen der durch einen Laststrom gestorten Regelstrecke, der Einrichtung zum Bilden des Regelfehlers - Soll-lstwert-Vergleich, dem Regler und dem Stellglied veranschaulichen. Die Regelstrecke wird durch ein elektrisches Netzwerk - RLC-Schaltxing mit vorgeschaltetem RC-Glied - 3. Ordnung beschrieben. StorgroBe ist ein Laststrom. Der Istwert der zu regelnden Ausgangs-Spannung Uc{t) = y(,t) wird dem als Subtrahierer aufgebauten nichtinvertierenden Operationsverstarker neben der Sollspannung Ugoiiit) = w{t) zum Zwecke des SoU-IstwertVergleichs imd dem Bilden des Regelfehlers zugefflhrt. tran 0 500m 0 1 u

Bild 5.9 Vereinfachtes Schaltbild des Modellregelkreises Der Regler besteht aus einer Schaltung von zwei nichtinvertierenden Operationsverstarkem. Mit den Parametem des ersten Operationsverstarkers wird die Reglerverstarkung und mit den

5.4 Modellregelkreis

117

Parametem des zweiten wird die Nachstellzeit eingestellt. Der zweite Operationsverstarker ist iiber ein RC-Glied rilckgekoppelt. Die Gesamtschaltung der zwei Operationsverstarker mit ihren Bauteilen, d.h. der Regler, weist /'/-Verhalten auf. Als Stellglied wird ein aus zwei Transistorstufen bestehender Leistungsverstarker - Darlington-Sclialtung - verwendet. Besonders von Bedeutung ist der als StorgroBe z{t) wirkende Laststrom 4(0- Ausgehend von dem vereinfachten Schaltbiid werden die einzelnen Bauteile im Hinblick auf die Beschreibung ihres dynamisclien Verhaltens untersucht.

5.4.1

Die Regelstrecke

Bild 5.10 Netzwerk der Regelstrecke 5.4.1.1 Die SystemgrolJen Das Netzwerk in Bild 5.10 besteht aus den drei Energiespeichem Ci, C2 und L. Die Kondensatorspannungen sowie der Spulenstrom werden als die drei ZustandsgroBen gewahlt:

^i(0 = "r, (0 Xj ( ? ) = M,.^ ( ? )

(5.83)

X3 ( ? ) = /j ( ? )

Die EingangsgroBen sind die Spannung Us,{t) nach dem Leistungsverstarker - Q3/Q2 - und der Laststrom iXt):

«i (0 ="«(0

(5.84)

«2 (0 = h (0 Als AusgangsgroBen werden die Kondensatorspannung iiber C2 und der Gesamtstrom ii(t) gewahlt: (5.85) y, (?) = ?, (?)

118

5 Systeme und ihre mathematischen Modelle

5.4.1.2 Die Zustandsgleichungen Fiir den Gesamtstrom ii{t) ergibt sich mit der ZustandsgroBe xj{t) = 12(1) und dem Strom durch den Kondensator Ci, beschrieben durch die Ableitung der ersten ZustandsgroBe: 4. {t) = C, M,. {t) = CiXi (t)

(5.86)

folgende Beziehung:

h (0 = 'c, {t) + h (0 = ^1^1 (0 + ^3 (0

(5-87)

Fiir die Spannung, die ilber dem Widerstand Ri abfallt, folgt:

««, (0="st{0-"c, (0 RJj{t) = u{t)-Xi{t)

(5.88)

= C,i?,x, (/) + 7?,X3(?) Aus der Gleichung (5.88) ergibt sicii durcli Umstellen die Differenzialgleichung fiir die erste ZustandsgroBe:

Fiir den Strom 12(1) gilt unter Beachtung, dass er als dritte Zustandsgr5Be festgelegt und die Summe aus dem Strom durch den Kondensator C2 und dem Laststrom 4(?) ist: h (t) = -^3 ( 0 = ^2^2 ( 0 + "2 ( 0

(5.90)

Aus der Gleichung (5.90) folgt die Differenzialgleichung fur die Spannung uber dem Kondensator C2 als zweite ZustandsgroBe: ^2(0 = - ^ ^ 3 ( 0 - ^ " 2 ( 0

(5-91)

Die Spannung iiber der Spule: , , dL (t) u(t) = L-^^-^ '^ ' dt = u^^{t)-u^^{t)-u^^{t)

(5.92)

liefert die Differenzialgleichung fiir die dritte ZustandsgroBe:

^3(0 = 7^1(0-7^2(0-^^3(0

(5-93)

5.4 Modellregelkreis

119

5.4.1.3 Die Ausgangsgleichungen Als AusgangsgroBen wurden die Spannung uber dem Kondensator C2 und der Gesamtstrom ii(t) ausgewahlt. Die Spannung uber dem Kondensator C2 entspricht der zweiten ZustandsgroBe. Der Gesamtstrom ergibt sich aus den Gleichungen (5.87) und (5.89): (5.94)

h{t) = - — x,{t) +—"t{t) R, R,

5.4.1.4 Das mathematische Modell im Zustandsraum Die Vektor-Matrix-Differenzialgleichimg folgt aus den Gleichungen (5.89), (5.91) und (5.93): 1

X, ( / ) "

^2(0 = X3{t)_

-i i -f

0

0

0

1 L

1 L

1

0 "

"x,(0" QR, ^2(0 + 0 _x,{t)_ 0

1

c. 0

"2 (0.

(5.95)

X, (?) = AgXg (?) + B ^ u , (?)

Mit der Gleichung (5.94) wird die Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung gebildet: 1 0

"x,(?)"

0 0 ^2(0

.72(0.

_X3 ( ? ) _

0 0

M,(?)

i- 0

M2 ( ? )

(5.96)

5.4.1.5 Ausgangsgleichung und Matrixubertragungsfunktion Im Kapitel 6 wird gezeigt werden, dass zwischen der Beschreibung eines Systems durch ein Zustandsmodell - Zeitbereich - und durch eine Ubertragungsfunktion - Frequenzbereich folgender Zusammenhang gilt: Y(s) = r c ( 5 l - A ) " ' B + D l u ( 5 )

(5.97)

Da die EingangsgroBen und die AusgangsgroBen in Form von Vektoren vorliegen konnen, wie es auch in dem hier behandelten Beispiel der Fall ist, ergibt sich aus der Gleichung (5.97) die Matrixiibertragungsfunktion: (5.98) Mit den Gleichungen (5.95) und (5.96) in allgemeiner Form:

a„

0

«13

"x, (?)"

^2(0 = 0

0

'^23

^2(0

X, ( / ) "

X3(?)_

_«31

«32

« 3 3 _ _X3(?)_

0

'bu + 0

*22

0

0

M, ( ? )

"2 (0.

(5.99)

120

5 Systeme und ihre mathematischen Modelle

0 Cj,

x,(/)'

1 0 0

0 0 d-,, 0

^2(0

0

«i(0 "2(0

X3 ( ? )

(5.100)

folgt die Losung mit der Symbolic Math Toolbox ftir den gemeinsamen Nenner: (5.101) mit:

•*o

c,«,c,i

5.4.1.6 AusgangsgroBe Kondensatorspannung iiber C2 Filr die Kondensatorspannung yi(t) = Uait) tiber Ci ergibt sich unter Anwendimg der Gleichung (5.97) auf die Gleichungen (5.99) und (5.100) folgende Ausgangsgleichung als Funktion der Steuerspannung und des Laststroms: Y,{s)^U,^{s)

1

= K,

YA^) =

uAs)-

Ns{s)

Ns{^)

bj^s +b,,s + b,

Nsi'^)

M^) (5.102)

4(^)

mit: K..

1 t',«,C2i '

• ^^23 "^31 ''1 I

1 o

^^22

,a

bu ={an+aAt>2:

('^11'^33

'^i 3'^31 j "2;

C|/(|C2i

Die Ausgangsgleichung (5.102) liefert die zwei Ubertragungsflinktionen 3. Ordnung: Kondensatorspannung uciit) in Abhangigkeit von der Eingangsspannung MS,(0 und Kondensatorspannung uciit) in Abhangigkeit vom Laststrom 4(0- Durch den Laststrom ergibt sich fur die zweite libertragungsfunktion noch ein Zahlerpolynom 2. Ordnung, d.h. ein Vorhaltverhalten. Sie ist negativ, da der Laststrom versucht, die Eingangsspannung zu verringern.

rv^ K-LJ

^

IZ(S)

bL2.s2+bLl.s+bL0 | s3+a2.s2+al.s+a0 | Storung

r~r^ LJ_J Ust(s)

KS w

1

s3+a2.s2+al.s+a0 |

^(^ >

—KT3 UC2(S) = Y1(S)

Regelstrecke Bild 5.11 Signalflussplan der Regelstrecke, AusgangsgroBe Kondensatorspannung uber C2

5.4 Modellregelkreis

121

5.4.1.7 AusgangsgroBe Gesamtstrom der Regelstrecke Fiir den Gesamtstrom der Regelstrecke >'2(0 = hiO ergibt sich unter Anwendung der Gleichung (5.97) auf die Gleichungen (5.99) und (5.100) folgende Ausgangsgleichung als Funktion der Steuersparmimg und des Laststroms: 7, (.) = / , ( . ) :

b^.s^ -\-bj2S^

+bi^s-\-b,^

uM-

K,. Ns{s)

L{s)

(5.103)

mit: '^SI ~ '^U^^l'^ll'^lX

^/3 ~ ^21

~ QRC^L

*/2=*llC21-(a„+«33)^21 = - ^

*/0=«23«32(an^21-*llC2l) = 0

Auch diese Ubertragungsfunktionen sind von 3. Ordnung, deren Nenner iibereinstimmen. Der Zahler der Ubertragungsfunktionen Strom zu Spannung hat zusatzlich noch ein Vorhaltverhalten 3. Ordnung. KSl s3+a2.s2+al.s+a0

Iz(s)

Storung bI3.s3+bI2.s2+bIl.s s3+a2.s2+al.s+a0 I

(X>-

•XT)

I(s) I(; = Y2(s) Regelstrecke Bild 5.12 Signalflussplan der Regelstrecke, AusgangsgroBe Gesamtstrom Ust(s)

5.4.2 Soll-Istwert-Vergleicher R

w{t)

k w(t)

Bild 5.13 Soll-Istwert-Vergleicher zum Bilden des Regelfehlers

122

5 Systeme und ihre mathematischen Modelle

Der als Soll-Istwert-Vergleicher wirkende gegengekoppelte nichtinvertierende Operationsverstarker des Bildes 5.13 ist als Differenzbildner beschaltet. Er gibt die Differenzspannung, die sich aus den auf die beiden Eingange geflihrten Spannungen w(t) und y(t) bildet, als Regelfehler aus. Mit Ry = R„ folgt aus: w(t) —

kw{t) — der Riickkoppelfaktor k -

R ' R.+R...

R., R.+R..

(5.104)

und damit wird: y{t)-kw{t)

y{t) = R/^{t) + kw{t)

e{t)-kw[t)

4(0 = e{t) = RJ^{t) + kw{t)

^(t)-kw[t)

y{t)-kw(t)

R„

R..

KO

kw{t)-^y{t) V

RRyj

Ry

^

e{t) =

(5.105)

R,

:^w{t)-^y{t) Ry

Ry

Die sich ergebende Ausgangsspannung entspricht dem Regelfehler e{t) und folgt aus der rechten Gleichung der vierten Zeile von Gleichung (5.105):

5.4.3

^[At)-y{t)\

(5.106)

PI-Regler

Der PI-Regler wird aus zwei nichtinvertierenden Operationsverstarkem mit unabhangig einstellbaren Parametem gebildet:

Bild 5.14 PI-Regler mit unabhangig einstellbaren Parametem Aus dem Schaltbild 5.14 leitet sich fllr die Ausgangsspannung mit:

5.4 Modellregelkreis

123 (5.107)

R, folgendes ab:

(5.108) Mit der Kondensatorspannung: (5.109) und dem Strom durch den Kondensator Ci bzw. durch den Widerstand /?,: (5.110)

iR{t) = t
ergibt sich die Steuerspannung im Zeit- und Frequenzbereich am Ausgang der Schaltung in Bild5.14: Uif{t) = -^

{e{T)clT + ke(t)

1

^>— Ug(s) = k

- + 1 E{s)

(5.111)

CRRRS

Die im rechten Teil der Gleichung (5.111) angegebene Fimktion zwischen der Regelabweichung und der Steuerspannung mit der Ubertragungsfunktion eines PI-Reglers gleichgesetzt, liefert:

'^ '

E{s)

R,

C,R,s

" T^s

(5.112)

Der Koefifizientenvergleich ergibt fur die Reglerverstarkung: K,=k:

Rg+R<)

(5.113)

R, und fiir die Nachstellzeit: T =C R

5.4.4

[—^ = s

(5.114)

Stellglied

Das Stellglied ist ein Leistungsverstarker, der als komplementarer Emitterfolger ausgefuhrt ist, er besteht aus einem NPN- und einem PNP-Transistor. Diese komplementare Konfiguration wird auch als push-pull-Konfiguration bezeichnet, da sie die Ausgangsspannung - hier U^tit) sowohl in Richtung "V+" drticken - push - als auch in Richtung "V-" ziehen - pull - kann. Die Spannungsverstarkung ist < 1, im hier interessierenden Fall wird:

124

5 Systeme und ihre mathematischen Modelle i0,95

(5.115)

angenommen. Das Stellglied hat folglich P-Verhalten, so dass gilt: (5.116) Die Konstante Ksi wird mit dem Wert der Reglerverstarkung multipliziert.

5.4.5

Signalflussplan des Modellregelkreises in der Standardform

Der Regelkxeis wird aus den Ubertragungsgliedem Regelstrecke, Regler, SoU-IstwertVergleicher und Stellglied gebildet. Der Signalflussplan entspricht in seinem Aufbau der Standardform eines Regelkreises mit einer Stoning am Streckenausgang.

Bild 5.15 Standardform eines Regelkreises mit einer Storung am Streckenausgang 5.4.5.1 Ubertragungsfunktionen der offenen Kette Die tJbertragungsfunktion der offenen Kette berechnet sich aus den Ubertragungsfiinktionen des Reglers und der Regelstrecke als Reihenschaltung: GO{S) = GAS)GS{S)

=

js) Z, (s) ^ Z„ [s] N,{s)N,{s) N„{s) ZR

(5.117)

bzw. in der Polynomform, unter Beachtung dass der Koeffizient der hochsten Potenz von "s" im Nenner zu eins wird:

G„(.) = -

*»''^*»»

5"*+a(,,5^+ao2'^^+'3'oi'S

_Zo{s)

N„(^s)

(5.118)

Mit den Koeffizienten: (5.119) ^03 ~

^2'

Um

Wi,

5.4 Modellregelkreis

125

In der Ubertragungsfunktion (5.119) fehlt der Koeffizient fiir s". Bei den Betrachtungen ziir Stabilitat linearer Systeme wird sich ergeben, dass derartige Systeme instabil sind. 5.4.5.2 Gleichungen des Regelkreises Aus dem Signalflussplan im Bild 5.15 lasst sich mit der Ubertragungsfunktion der offenen Kette GQ{S) und der Ubertragungsfunktion der Last Gi{s) folgende Ausgangsgleichung des Regelkreises aufstellen: Y{s)= ^°("\^(5)+ ^'^'},Z{s) ^ ' \ + G,{s) ^ ' \ + G,{s) ^ '

(5.120)

5.4.5.3 Fiihrungsiibertragungsfunktioii Mit der StSrgroBe Z{s) = 0 folgt aus der Gleichung (5.120) die Ubertragungsfunktion des geschlossenen Kreises fur Filhrungsverhalten:

Die Gleichung (5.118) in die Gleichung (5.121) eingesetzt, ergibt die Fiihrungsiibertragungsfunktion in Polynomform:

GA^) = —,

^^^^,

—

s +a^35 +a^^s +aj,|5 + a^„

(5-122)

mit:

wobei dieser Zahler mit dem Zahler der offenen Kette iibereinstimmt und im Gegensatz zum offenen System nach Gleichung (5.118) der Koeffizient fur s" im Nenner vorhanden ist. 5.4.5.4 Storubertragungsfunktion Mit der FuhrungsgroBe W(s) = 0 folgt aus Gleichung (5.120) die Ubertragungsfunktion des geschlossenen Kreises fiir Stoning: G(.) =^ i i ^ = ^o(^)^-(^) ^^^'^ 1 + G„(.) N,{s)[N,{s)^Z,{s)] Fiir den Ausdruck: No{s)Z,{s)

kann, unter Bertlcksichtigung der Gleichungen (5.102) und (5.117), d.h. dass: ^0 {^)=N, {s)N, (s) und N, (s) = N, {s)

(5 123) ^'- '^

126

5 Systeme und ihre mathematischen Modelle

gilt, folgendes geschrieben werden: N,{s)Z,{s)

N,{s)Z,{s)

(5.124)

Die Storiibertragungsfunktion nimmt damit folgendes Aussehen an: N,{s)Z,{s) N,{s) + Z,{s) Z (s) (5.125)

N,{s) + Z,{s) b,_^s^ +b^2^^ +b^^s s* + a^^s^ + Qg^s^ + a^^s + a^^ mit: *z3=*L2; b^2=hi'

K=ho

Der Nenner der Storiibertragungsfiinktion entspricht dem der Fiihrungsubertragungsfunktion nach Gleichung (5.122).

5.4.6

Fehlerfunktionen des geschlossenen Systems

FehlerfUnktionen spielen fur die Benrteilung der ausgewahlten Regelung, neben der Aussage znr Stabilitat, eine wesentliche Rolle. Aus diesem Grund werden nachfolgend die beiden Fehlerfunktionen behandelt. 5.4.6.1 Allgemeine Beziehung Aus Bild 5.15 und Gleichung (5.120) folgt fiir den Regelfehler: E{s) = W{s)-Y{s)

Durch Einsetzen der Fiihrungsiibertragungsflinktion nach Gleichung (5.122) und der Storubertragungsflinktion nach Gleichung (5.125) in die Gleichung (5.126) lasst sich der Regelfehler wie folgt beschreiben:

5.4.6.2 Fehlerfunktion bei Anderung der FuhrungsgrolJe Mit Z{s) = 0 folgt aus Gleichung (5.127) die Fehlerfiinktion bei Fiihrungsanderung:

5.5 Elektrisches Netzwerk - sprungfahiges System N.

EA^) = N„+Z„ W{s)^-

s'' +ai,jS +a„2S +ao,5

W{s) 5 +a^jS' +a^2S +a^^s + a^f,

127

(5.128)

Die Polynomkoeffizienten des Nenners entsprechen denen des Nenners der Ubertragungsfunktion fiir Fiihrung in Gleichung (5.122) und Stoning in Gleichung (5.125). Der Zahler entspricht dem Nenner der Gleichung (5.118) fur die offene Kette. 5.4.6.3 Fehlerfunktion bei Anderung der StorgrolJe Mit W{s) = 0 folgt aus der Gleichung (5.127) die Fehlerfiinktion bei StorgroBenanderung:

^^(^) = -N„{s) T 7 7+§Z„{s) ^^(^)^

K.s +b^,s +ft,. ^^^^ 5" + a^^s^ + a^y +a^,s + a^„

^5_^29)

Sie entspricht der negativen Storiibertragungsfunktion nach Gleichung (5.125). 5.4.6.4 Funktion zur Berechnung des Modellregelkreises siehe function mod rk.m

5.5

Elektrisches Netzwerk - sprungfahiges System

Das nachfolgend behandelte RC-Netzwerk wird in Abhangigkeit vom Frequenzbereich zur nach- und voreilenden Korrektur von Phasenverlaufen eingesetzt. ic\(t) Ci UR(t)

Bild 5.16 Elektrisches Netzwerk - sprungfahiges System Da sowohl die Ableitung als auch das Integral des Eingangssignals erzeugt werden, ist auch die Bezeichnung Integrier-Differenzier-Glied ublich. Das System enthalt die zwei Energiespeicher Ci und C2, so dass die Ausgangsfiinktion durch eine lineare, zeitinvariante Differenzialgleichung 2. Ordnung beschrieben wird. Dies triffl auch auf seine Eingangsfunktion zu. Das Netzwerk reagiert infolgedessen auf einen Eingangssprung mit einem Sprung am Ausgang, woraus auch die weitere Bezeichnung sprungfahiges System resultiert.

128

5 Systeme und ihre mathematischen Modelle

5.5.1 Das mathematische Modell Das mathematische Modell soil den Zusammenhang zwischen der Ausgangs- und Eingangsspannung sowie den KenngroBen der Netzwerkelemente herstellen. Es soil von den Spannungen und den Stromen der Bauteile sowie dem Gesamtstrom ausgegangen werden. Zunachst folgt fur die Spannungsbilanz: U[,{t) + u^{t) + u„{t) = u^{t)

(5.130)

bzw. mit der Spannung iiber dem Widerstand R: u„{t) = Ri{t)

(5.131)

und der Spannung der Parallelschaltimg U\{t) tiber Ri bzw. iiber Cj:

«,(0 = '^.'.,(0 = 7^'j'c,(0^^

(5.132)

C, „

Somit ergibt sich: 1V Ri{t) + R^i,f^ {t) + u^{t) = Ri{t) + —J/,,^ {T)dr + u^\t) = u^{t)

(5.133)

C, „

Die Ausgangsspaimung des Netzwerkes und ihre Ableitung nach der Zeit: / X 1 V/ x u^{t) = Rj{t) + —\i{T)dT

du (t) di(t] 1 , , -J±l = R ^ ^ + — i{t)

«

(5.134)

Die Gleichung (5.133) liefert die beiden Teilstrome: Ri{t) + R^i^\t) + u^{t) = u^{t) R ^ ^ U i t U ^ =^ dt a ^'^ ' dt dt

^

1

1

i^\t) = —u^-—u^«, rt,

=> ilt) = ^'^ '

dt

R

—i «,

(5.135)

C,^-C,^-C,R^ dt dt

Fiir den Gesamtstrom gilt:

,, ^'

1 R + R^

1 R + R^

QR . R + R^

QR . R + R^

QRRdi R + R^ dt

(5.136)

Die noch storende Ableitung des Gesamtstromes nach der Zeit folgt aus der rechten Teilgleichung der Gleichung (5.134), so dass sich fur den Gesamtstrom mit dem Nenner:

C,R^{R + R,)-C,R^R ergibt:

5.5 Elektrisches Netzwerk - sprungfahiges System /(/) = C2 R^ Nu^+C^ R^ C2 R^Nii^-C^ R^ Nu^ -C^ R^ Q {R^+R)Nu^

5.5.2

129 (5.137)

Lineare, zeitinvariante Differenzialgleichung 2. Ordnung

Die Gleichung (5.137) flir den Strom und ihre Ableitung nach der Zeit liefert die gesuchte Differenzialgleichung des sprungfahigen Netzwerkes. Es soil der Koeffizient der hochsten Ableitung zu eins werden, damit ergibt sich folgende Differenzialgleichung: ii^ ( ? ) + a j M„ ( / ) + «gM„ ( ? ) = ^2 W'c ( 0 + ^1 " e ( O ' ' ~ ^ o " e ( 0

(5.138)

mit den Koeffizienten: ""'^CRC

(R + R )

b^ = Og

«I='^O[Q^I+C2(^ + «I+«2)] Z), = a^ (C,i?, + C2R2)

^2 =

R. R + R^

Die Gleichung (5.138) ist eine inhomogene, lineare, zeitinvariante Differenzialgleichung 2. Ordnung, deren Eingangsfunktion - Storfunktion - ebenfalls eine lineare, zeitinvariante Differenzialgleichung 2. Ordnung ist. Sie stellt eine Relation zwischen der Ausgangs- und Eingangsspannung des Netzwerkes her.

5.5.3

Ubertragungsfunktion des sprungfahigen Netzwerkes

Aus der Differenzialgleichung (5.138) folgt die Ubertragungsfunktion: n( \ ^a{s) b,s^+b,s + b, G[s) = — T T " 2 ^mit« = w = 2

/c1,o^ (5.139)

Die Werte der Koeffizienten kormen mit der function nw_spf.m ermittelt werden.

5.5.4

Zustandsraummodell

Die im vorhergehenden Abschnitt abgeleitete Differenzialgleichimg wurde durch die Elimination einer weiteren Differenzialgleichung, z.B. der Spannimg der Parallelschaltung oder des Stromes, gewonnen. Nachfolgend soUen fur diese beiden GroBen die simultanen Differenzialgleichungen 1. Ordnung als Zustandsmodell dargestellt werden. Die Spannung ui{t) und der Strom i{t) werden als ZustandsgroBen ausgewahlt. Aus dem Gesamtstrom: i{t) = \{t) ., ^

1

+ icSt) ,^

^du,[t)

(5.140)

130

5 Systeme und ihre mathematischen Modelle

folgt flir die erste ZustandsgroBe durch entsprechendes Umstellen, die gesuchte Differenzialgleichung 1. Ordnung: du^ (?) dt

1 QR,

(5.141)

(0+-^'(0

Aus der Gleichung (5.130) folgt ebenfalls durch Umformen unter Verwendung von Gleichung (5.131) die Gleichung flir die Ausgangsspannung: M„ (t) = -u^{t)-Ri{t)

+ u^ [t]

(5.142)

die gleichzeitig die Ausgangsgleichung des Zustandsmodells ist. Die zeitliche Ableitung der Gleichung (5.142) gleichgesetzt mit der Gleichung (5.134) liefert unter Verwendimg der ersten Zustandsgleichung (5.142) die Zustands-Differenzialgleichung fur die zweite ZustandsgroBe: di{t)

1 du^, (?) 1 c,+c i+-u. dt ~~C,R,{R + R^)"' qC^{R + R,y ' R + R

(5.143)

Diese Differenzialgleichung beinhaltet auf der rechten Seite u.a. die Eingangsfunktion in ihrer 1. Ableitung, was der Beschreibung im Zustandsraum widerspricht. Abhilfe kann die Wahl einer anderen ZustandsgroBe schaffen. Zunachst soil aber das gewonnene System in der Vektor-Matrix-Form dargestellt werden. Wird der Zustandsvektor mit z(t) bezeichnet, wobei:

«i(0

^(0

i(t)

gilt, dann ergeben sich als Vektor-Matrix-Differenzialgleichung: a,2

u,{t)-

0

M,, [t]

«22

(5.144)

z(?) = A z ( / ) + biM^(/) + b2M, (?)

und als Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung nach Gleichung (5.142):

"<,(0^[-l ^n]

= (0.

•[i]«.(0

(5.145)

u^[t) = Cz[t) + du^(t) Der Aufbau der Koeffizienten ist aus den entsprechenden Gleichungen bzw. der fiinction nwjspf.m zu ersehen. Zur Kompensation der 1 Ableitung der Eingangsspannung wird ein neuer Zustandsvektor x(/) eingefuhrt: z[t) = \{t) + h2U^{t)

(5.146)

Die erste Ableitung von Gleichung (5.146) in die Gleichung (5.144) eingesetzt, ergibt nach einigen Umformungen mit:

5.6 RLC-Netzwerk als Bruckenschaltung

131

die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung: x(?) = Ax(/') + [b, +Ab2]M(/) ~x,{t)

3(0_

a„ _«21

(5.147)

a, 2 "x,(?)" «22_

+ "*n" u[t) x,(?)_ Ai_

und mit:

die Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung: y{t) = CTi{t) + [d + C\i^]u{t) = [-\

x,(?)

c,2] ^2(0

-[^ii]"(0

(5.148)

Der Aufbau der Koeffizienten ist aus den entsprechenden Gleichungen bzw. der function nw_spf.m zu ersehen. Durch die Transformation des Zustandes mit dem Ansatz nach Gleichung (5.146) wurde die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung so umgeformt, dass die Ableitung der Eingangsspannung nicht mehr auftritt. Die neue erste ZustandsgroBe entspricht auch in diesem Fall der Spannung der Parallelschaltung u\{t). Die neue zweite ZustandsgroBe ist zwar ebenfalls ein Strom, aber nicht mehr der Gesamtstrom. Sie berechnet sich wie folgt: Xj (?) = i{ty

1 Mt) R + R.

[A

(5.149)

Der zu den Gleichimgen (5.147) und (5.148) gehorende Signalflussplan entspricht dem des Bildes 5.18, lediglich die Werte der C Matrix sind vertauscht. Die analytische und numerische Losung dieser Gleichungen erfolgt im Kapitel 6 bei der Behandlung von Differenzialgleichungen bzw. Ubertragungsfiinktionen.

5.5.5

Funktion zur Berechnung der Matrizen des Netzwerkes siehe function nw_spf.m

5.6

RLC-Netzwerk als Bruckenschaltung

Das letzte Beispiel ist ein RLC-Netzwerk in Form einer Bruckenschaltung. Mit der Bruckenschaltung konnen einige grundsatzliche Eigenschaflen linearer Systeme, wie z.B. die Nichtsteuerbarkeit und Nichtbeobachtbarkeit, beschrieben werden.

132

5 Systeme und ihre mathematischen Modelle

5.6.1 Mathematisches Modell Die Schaltung besteht aus z = 6 Zweigen und k=A Knoten, somit ergeben sich: m = z-(A:-l) = 3

(5.150)

Maschengleichungen. Mit Hilfe dieser drei Maschengleichungen sind die Vektor-MatrixDifferenzialgleichung und die Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung zu ermitteln. Das System beinhaltet die zwei Energiespeicher Spule und Kondensator, so dass zwei ZustandsgroBen zu bestimmen sind. Die Spannung zwischen den Knoten 3 und 2 soil als AusgangsgroBe gewahlt werden. Kt)

1

i\ h - in Ueit)

II

)

"P -Ua{t) •

'i - 'ill

R2 hn J

R, 3 C

Bild 5.17 RLC-Netzwerk in Form einer Briickenschaltung 5.6.1.1 Maschengleichungen Aus dem Bild 5.17 lassen sich folgende drei Maschengleichungen ableiten: I:

i?,/, +L 'dh dt

II: III:

dt

^'^L^^(,._,._^) = „^^ dt (5.151)

dt

-R2{h-im) + —\imdt = u^

Fiir den unbelasteten Zustand gilt zwischen den Klemmen zwei und drei: l^=l^—1^^

= i| — 'm

=>

i^ — 'm = '2

(5.152)

und damit lasst sich der Gesamtstrom wie folgt beschreiben: (5.153)

5.6 RLC-Netzwerk als Bruckenschaltung

133

5.6.1.2 Zustandsgrofien Die Wahl der ZustandsgroBen ist bekanntlich nicht eindeutig, wird aber vom Energiekonzept ausgegangen, dann ergeben sich fiir die Spule der durch sie flieBende Strom ii(t) und fiir den Kondensator die iiber ihm anstehende Spannung uC(t) als ZustandsgroBen, d.li. es soil gelten: X, (t) = i, (t) ' '^/

(5.154)

5.6.1.3 Differenzialgleichungen der ZustandsgroBen Aus den Maschengleichungen berechnet sich mit den Gleichungen (5.152) bis (5.154) und: "c ( 0 = ~ \hdt => Wf ( 0 = ~h ( 0

(5.155)

der Strom i2 = in = im wie folgt: J

R

1

h (0 = ^ ^ 1 (O + ^ ^ i ( 0 - ^ ^ 2 [t) /v^

K-^

(5.156)

K^

Nach einigen Umformungen ergibt sich aus der Gleichung (5.156) die Differenzialgleichung fur den Strom in der Spule ii(t), als erste ZustandsgroBe: X,(t) = '^ '

; ^ L(R,+RA

L{R,+R,)

r

^X, ( n + ^ ' '^ ' L(R,+R.)

rXjt) -^ '

'^>

Mit den Gleichungen (5.155) bis (5.157) ergibt sich nach einigen Umformungen die Differenzialgleichung fiir die Spannung ilber dem Kondensator Uc{t), als zweite ZustandsgroBe:

'^ '

CiR+RA H

'^ '

C(R,+RA

'^ '

U (t)

C{R,+R,)

'^>

5.6.1.4 Ausgangsgleichung AusgangsgroBe soil die Spannung Ua(t) zwischen den beiden Knoten 3 imd 2 sein. Die Abhangigkeit der Ausgangsspannung von den beiden ZustandsgroBen beschreibt die Gleichung (5.151), so dass gilt: u^{t) = -R2Xi{t) + X2{t)

(5.159)

134

5.6.2

5 Systeme und ihre mathematischen Modelle

Vektor-Matrix-Gleichungen des Zustandsmodells

Mit Hilfe der Gleichungen (5.157) bis (5.159) und der Koeffizienten: R,R,+R,{R,+R,) L{R,+R,)

_

R^ L{R,+R,) 1

R C{R,+R,) R.

K=""

k,=" L{R,+Rj)

1 C{R,+Rj)

C„=-i?2

ergeben sich mit u(t) = u^t) die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung: x,(?)" x, (t)

Ct') 1

C/T'

x, (t)

u{t)

(5.160)

und mit y(t) = Ua{t) die Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung:

[j^W] = h. 1] x, (?) -[o]«(0 5.6.3

(5.161)

Signalflussplan der Briickenschaltung

Die Gleichungen (5.160) und (5.161) lassen sich wie folgt als Signalflussplan darstellen:

Bild 5.18 Signalflussplan der Briickenschaltung

5.6 RLC-Netzwerk als Bruckenschaltung

5.6.4

135

Funktion zur Berechnung der Modellgleichungen siehe function bruecke.m

5.6.5

Ubertragungsfunktion der Bruckenschaltung

Die Laplace-Transformierte der Gleichung (5.160) in die Laplace-Transformierte der Gleichung (5.161) eingesetzt, liefert die Ubertragungsflinktion der Bruckenschaltung: A, s

G{S):

5.6.6

(5.162)

Parameterproportionen der Bruckenschaltung

Es soil untersucht werden, fur welche Parameterkonfiguration die Bruckenschaltung konjugiertkomplexe Eigenwerte aufweist, so dass ihre AusgangsgroBe schwingt. Ausgangsbasis flir die Ermittlung dieses Zusammenhanges ist die Systemmatrix A nach Gleichung (5.160): (5.163) und deren charakteristische Gleichung: det(5l-A) = |5l-A| = 0

(5.164)

Die charakteristische Gleichung ergibt sich aus: s

0"

[u

s

[5I-A]:

«ii _'^2l

«I2 (722 _

^

(5.165) —flji

und berechnet sich zu: [ i ' l - A ] = S^ -(<3n +(322) •5'+ ^11 "^22 ~<^12'^21 - ^

(5.166)

Die Losungen der charakteristischen Gleichung (5.166) liefem die Eigenwerte: (5.167) Fiir den Fall eines konjugiertkomplexen Paares von Eigenwerten muss der Ausdruck unter der Wurzel in der Gleichung (5.167) negativ bzw. kleiner null werden, dies lasst sich wie folgt ausdriicken: 1 Cti 1

Ci-y-y } ^~~

\l

^17 ^ i 1

(5.168)

Nach dem Einsetzen der Koeffizienten der Matrix A und einigen Umformungen ergeben sich folgende Zusammenhange:

136

5 Systeme und ihre mathematischen Modelle

RA+R2{R,+R,)<^-^R^^ (5.169) -2R,

i?, (i?2+i?3) + i?2-^3

bzw.:

i-R,R, 2^

+ R^+R^

< R.

<

XL

(5.170)

lie

Der Ausdruck:

I

[-"]

(5.171)

wird als charakteristischer Widerstand des Schwingkreises bezeichnet. Aus dem Zahler des linken Terms von Gleichung (5.170) lasst sich ftir das Produkt der Widerstande R2 und R3 folgende Bedingung ableiten:

C

(5.172)

>R,R,

die bei den Betrachtungen zur Steuer- imd Beobachtbarkeit im Kapitel 8.6.5 von Bedeutung sind. Der Nenner der Ubertragungsfunktion eines Schwingimgsgliedes entspricht der charakteristischen Gleichung (5.166). Ein Koeffizientenvergleich zwischen ihnen ergibt folgendes: 5^ - ( a , , + (322 )'S + <2l 1^22 -Cli2'^2\

= "^^ +2d

(5.173)

Q}gS + Col

Fiir die Eigenkreisfrequenz des ungedampften Systems wird:

{R,+R,f

mit R., = R, CO,,

?lM

(5.174)

und der Dampfungsfaktor: C{R^R2+RiR.+R2R3) + L 2^C L\_Rf + R^R^ +i?,/?3 +R2Ri mit i?2 = ^3 C[2RiR,+R^) + L d-

2{R^+R,)^CL

(5.175)

6. Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter Systeme In diesem Kapitel werden die Moglichkeiten der mathematischen Beschreibung des zeitlichen Verlaufs der physikalischen GroBen eines linearen, zeitinvarianten Systems in Abiiangigkeit von den auf das System wirkenden auBeren GroBen behandelt. Das dynamische Verhalten von Systemen wird durch gewohnliclie Differenzialgleichungen nter Ordnung beschrieben. Diese konnen sowohl nichtlinear als auch linear sein. In den Differenzialgleichungen treten die AusgangsgroBen y{f) mit ihren Ableitungen, die EingangsgroBen u{t) teilweise ebenfalls mit ihren Ableitungen und gegebenenfalls die Zeit / auf 1st das Verhalten neben der Zeit auch noch von den Ortskoordinaten abhangig, so sind die beschreibenden Differenzialgleichungen nicht gewohnlich sondem partiell. Gegenstand dieses Kapitels sind Systeme, deren dynamisches Verhalten linear bzw. um einen Arbeitspunkt linearisierbar ist, und deren Modellkoeffizienten unabhangig von den Ortskoordinaten und der Zeit sind. Die mathematischen Modelle zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens dieser Systeme konnen von folgender Art sein: - lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, - Systeme linearer Differenzialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten in Vektor-Matrix-Darstellung, d.h. als Zustandsraummodelle, - tJbertragungsfunktionen, - Frequenzgange, graphisch dargestellt als Ortskurven bzw. Bode-Diagramme, - Pol-Nullstellen-Darstellungen als Wurzelortskurven, - Zeitantworten als Reaktion auf einen Sprung, einen Impuls, eine Rampe bzw. ein beliebiges Signal am Eingang des Systems.

6.1

Lineare Ubertragungsglieder

6.1.1 Eindeutigkeit und Linearitat Die linearen Differenzialgleichungen, die Ubertragimgsfiinktionen und die Frequenzgange beschreiben das Verhalten eines linearen Ubertragungsgliedes zwischen seiner EingangsgroBe u{t) und seiner AusgangsgroBe >>(/): g{t) u{t)

I I

•CI3 y{t)

Bild 6.1 Lineares Ubertragungsglied als kleinste Einheit eines linearen Systems

138

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

In (6. l)entspricht g(t) die das System beschreibende Gewichtsfunktion, es gilt: y{t) = g{t)*u{t) y{t)=]g{T)u{t-T)dT 0

Der '*' in Gleichung (6.1) bedeutet die Faltungsoperation, wie sie in der zweiten Zeile durch das Faltungsintegral beschrieben ist. Das Verhalten eines Ubertragungsgliedes wird durch den stationaren und den dynamischen Zustand beschrieben. Bin dynamischer Zustand liegt stets zwischen zwei stationaren Zustanden. Grundlage dieser Beschreibung ist das Kausalitatsprinzip von Ursache und Wirkung. Die zeitlichen Anderungen der EingangsgroBen u(t) - steuerbare EingangsgroBen bzw. SteuergroBen - und z{t) - nicht steuerbare EingangsgroBen bzw. StorgroBen - sind die Ursachen. Die darauf folgenden zeitlichen Anderungen der AusgangsgroBe y(t) sind die Wirkungen auf o.a. Ursachen. Der mathematische Zusammenhang kann ganz allgemein wie folgt dargestellt werden:

y{t) = f[u{t)]

(6.2)

Dieser funktionale Zusammenhang kann sowohl linear als auch nichtlinear sein. Im Weiteren werden Systeme untersucht, deren funktionale Zusammenhange durch lineare bzw. linearisierte Gleichungen beschrieben werden konnen. Bei linearen Ubertragungsgliedem besteht ein eindeutiger und linearer Zusammenhang des Ausgangssignals mit dem Eingangssignal. 6.1.1.1 Eindeutigkeit Eingangssignal imd Ausgangssignal sind stets gleich zugeordnet, d.h. Nichtlinearitaten wie Hysterese, Lose, Reibung, Sattigung usw. sind, weim uberhaupt vorhanden, von vemachlassigbarer GroBe. 6.1.1.2 Linearitat Der Zusammenhang zwischen den AusgangsgroBen und Eingangsgr5Ben kann durch eine lineare Gleichung, zumindest in einem kleinen betrachteten Bereich, beschrieben werden. Bei Linearitat gilt das welter unten beschriebene Uberlagerungsgesetz bzw. Superpositionsgesetz.

6.1.2

Aktive und passive tJbertragungsglieder

6.1.2.1 Aktive tJbertragungsglieder Aktiven Ubertragungsgliedem wird Hilfsenergie zugefuhrt. Das von u(t) gesteuerte Ausgangssignal y(t) bezieht seine Leistung aus der Hilfsenergie, z.B. Verstarker, hier bleibt die EingangsgroBe u{t) beim Steuem unbelastet.

6.1 Lineare Ubertragungsglieder

139

6.1.2.2 Passive Ubertragungsglieder Das Ausgangssignal y(t) bezieht seine Leistung ausschlieBlich vom Eingangssignal u(t), z.B. Hebeliibertragungen, Federsysteme zur Umwandlung von Wegen in Krafte sowie die Kombination von ohmschen Widerstanden, Spulen und Kondensatoren in elektrischen Netzwerken.

6.1.3

Speichervermogen von Ubertragungsgliedern

Die Eigenschaften der Ubertragungsglieder werden wesentlich von den in ihnen vorhandenen Widerstandselementen und Speicherelementen gepragt. In Widerstanden tritt ein Verlust an Signalenergie auf, wogegen diese in Speicherelementen in Form von potentieller oder kinetischer Energie gespeichert wird, d.h. es gibt potentielle und kinetische Speicherelemente. Siehe hierzu Kapitel 4.4.

6.1.4

Prinzipien linearer Ubertragungsglieder

6.1.4.1 Prinzip der Zeitinvarianz Das Prinzip der Zeitinvarianz beniht auf der zeitlichen Unveranderbarkeit der Koeffizienten bzw. Parameter der Signalgleichungen. Bewirkt das Eingangssignal u(t) das Ausgangssignal y{t), dann liefert ein zeitinvariantes System, das mit dem Eingangssignal u{t-x) beaufschlagt wird, das Ausgangssignal ^^(/-T). Vorausgesetzt wird, dass die jeweiligen Anfangswerte gleich sind. 6.1.4.2 Prinzip der Homogenitat Das Prinzip der Homogenitat entspricht der Proportionalitat zwischen Ursache und Wirkung. Weim das als Ursache wirkende Eingangssignal u(t) das als Wirkung auftretende Ausgangssignal y(t) hervorruft, d.h. wenn Gleichung (6.2) gilt, dann bewirkt die Ursache a-u{t) {a = const, und geniigend klein) das Ausgangssignal a-y(t). 6.1.4.3 Prinzip der Superposition Das Prinzip der Superposition besagt, dass mehrere Signale iiberlagert werden dilrfen, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. Es gilt fur lineare Systeme und erlaubt eine Strukturumformung.

g(t)

g(t) u2(t)

h h

y1(t) g(t) u(t) = u1(t)+u2(t)

J y ( t ) = y1(t)+y2(t)

CZ3 y2(t)

Bild 6.2 Darstellung des Prinzips der Superposition (6.3)

140

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

Wenn das Eingangssignal Ui(t) das Ausgangssignal yi(t) imd das Eingangssignal U2(t) das Ausgangssignal j2(0 hervorruft, dann ist die Antwort des Systems auf das kombinierte Eingangssignal: M(/) = M,

(/) + M2(?)

(6.4)

das Ausgangssignal; y{t) = y,{t) + y,{t)

(6.5)

6.1.4.4 Prinzip der Riickwirkungsfreiheit Das Ausgangssignal y(t) eines Ubertragungsgliedes wirkt nicht auf das Eingangssignal u(t) zuriick, d.h. das Signal kann das Ubertragungsglied nur vom Eingang zum Ausgang durchlaufen und nicht umgekehrt. 6.1.4.5 Prinzip der Linearitat Linearitat liegt vor, wenn als Eingangssignal eines Ubertragungsgliedes die Linearkombination zweier Teil-Eingangssignale:

am Ausgang des Ubertragungsgliedes die Linearkombination der beiden Teil-Ausgangssignale: y{t) = k,y,{t) + k,y,{t)

(6.7)

hervorruft, d.h. es gilt das Superpositionsprinzip. Kleine Anderungen am Eingang bewirken kleine Anderungen am Ausgang. 6.1.4.6 Prinzip der Ortsunabhangigkeit der Systemparameter Fiir das betrachtete Ubertragungsglied gelten unabhangig vom Ort bzw. von den Ortskoordinaten, dass die Parameter konstant oder auch konzentriert sind. 6.1.4.7 Grundeigenschaften eines Systems Unter Beriicksichtigung der aufgefuhrten Prinzipien lassen sich die folgenden Systemeigenschaften unterscheiden: - linear und nichtlinear - zeitinvariant und zeitvariant - mit konzentrierten und mit verteilten Parametem. Zeitinvariante lineare ortsunabhangige Systeme werden durch lineare Differenzialgleichimgen mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Die Systeme mit verteilten Parametem werden beschrieben durch partielle Differenzialgleichungen, die nichtlinearen durch nichtlineare Differenzialgleichungen und die zeitvarianten Systeme durch Differenzialgleichungen, deren Koeffizienten Funktionen der Zeit sind.

6.2 Lineare Differenzialgleichungen und ihre Losung

6.2

Lineare Differenzialgleichungen und ihre Losung

6.2.1

Grundlagen

141

Das dynamische Verhalten eines linearen, zeitinvarianten Ubertragungsgliedes wird durch eine lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten folgender Art beschrieben: >>*"' (?) + «,_,>>*""'' (?) + ••• + a,y{t) + a,j>(f) + «„>'(r) n>m

(6.8)

6^,M*"^ (?) + 6^, |M*""'^ (?) + ••• + &,«(?) + 6,M (?) + &„M (?)

Die Koeffizienten von Gleichung (6.8) ergeben sich aus den physikalischen Parametem der betrachteten Systeme. Es erleichtert den Rechengang, wenn der zur hochsten Ableitung der AusgangsgroBe gehorende Koeffizient eins ist, was aber gewohnlich erst durch entsprechendes Umformen erreicht wird. Fiir eine gegebene EingangsgroBe u(t) im Zeitraum ? > 0, mit den Anfangswerten y{t = 0) = yo der AusgangsgroBe y(t) sowie ihren Ableitungen: y{+0),y{+0),y{+0),...,/"-\+0)

(6.9)

besitzt die Differenzialgleichung (6.8) eine eindeutige Losung. Es interessiert der zukunftige Verlauf der AusgangsgroBe y{t) in Abhangigkeit von der EingangsgroBe u{t). Einfliisse von u{t) auf >'(?) fur die Zeit ? < 0 spiegeln sich in den Anfangswerten wider.

6.2.2

Numerische Losung von Differenzialgleichungen

Allgemeine Aussagen zur numerischen Losung von Differenzialgleichungen mit den odefunctions sind unter Kapitel 4.1.9 und zur symbolischen Losung mit dsolve sind unter Kapitel 4.1.6.5 zu finden. Wie eine Differenzialgleichung K-ter Ordnung in einen Satz von n Differenzialgleichungen 1. Ordnung iiberfuhrt werden kann ist unter 4.6.4 fur den allgemeinen Fall aufgezeigt, wenn die EingangsgroBe nicht in ihren Ableitungen auftritt. Dazu wird nachfolgend ein Beispiel angegeben, um die notwendige Voraussetzung fur die Anwendung der ode-function zu schaffen. Beispiel 6.1 Gegeben ist die lineare, zeitinvariante Differenzialgleichung 3. Ordnung mit der SteuergroBe u{t): y[t) + a^y[t) + a^y[t) + a^y[t) = b^u{t)

(6.10)

Gesucht ist die Beschreibung im Zustandsraum mit den Phasenvariablen als ZustandsgroBen. Der zu u{t) gehorende Koeffizient im Eingangsvektor soil den Wert 1 aufweisen.

142

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

Losung: Als ZustandsgrSBen werden die mit bo dividierten Phasenvariablen - die Wahl der ZustandsgroBen ist nicht eindeutig - wie folgt bestimmt: 1 1 . --—y; x^=—y;

1 .. x^=—y

On

Of,

(6.11)

0„

Daraus ergeben sich die Differenzialgleichungen 1. Ordnung fur die beiden ersten ZustandsgroBen: ^' ~ ^ '

(6.12)

Diese beiden Differenzialgleichungen und die Tatsache, dass ^y{t)

= x,{t)

(6.13)

OQ

gilt, liefert mit der nach:

umgestellten Ausgangsgleichung die noch fehlende dritte Differenzialgleichung 1. Ordnung: —y{t) = - — aoy{t)- — a,y{t)-—a^y{t) Ofl

0(1

OQ

+ u{t)

OQ

X, (?) = -flgX, (?)-(3,X2 (t^-ajX,^

(6.14)

(?) + M(?)

Die drei Differenzialgleichungen 1. Ordnung in der Form einer Vektor-Matrix-Gleichung dargestellt, ergibt den gesuchten Satz von Differenzialgleichungen:

"x,(/)" x^{t) = _X3 ( / ) _

0 0

1 0 -a,

0 1

r^iW"

"0"

x^{t) + 0 u[t)

[x, {t)_

1

(6.15)

x[t) = Ax[t) + \yu[t) Die Ausgangsgleichung folgt aus dem Ansatz der ZustandsgroBen: 'x,{t) y{t) = b,X,{t) = [b, 0 0] x^{t) x^{t)

-[o]«(0

(6.16)

6.2 Lineare Differenzialgleichungen und ihre Losung

143

Diese Darstellung wird als Regelungsnormalform bezeichnet. Die darin enthaltene Systemmatrix A ist die Frobenius'- oder Begleitmatrix. 6.2.2.1 Zustandsgleichungen fiir sprungfahige EingroBensysteme Der zum Beispiel 6.1 kompliziertere Fall tritt bei Differenzialgleichungen «-ter Ordnung auf, wenn neben der EingangsgroBe auch noch ihre Ableitungen vorhanden sind und deren hochste Ableitung mit der der AusgangsgroBe iibereinstimmt, d.h. m = n gilt. Diese Systeme sind sprungfahig, da sie auf einen Eingangssprung mit einem Sprung am Ausgang antworten. Nachfolgend sind die zur Umrechnung notwendigen Beziehungen angegeben. Diese Gleichung wird nach dem Einfuhren der Laplacetransformation imd der Ubertragungsfunktion abgeleitet. Aus Gleichung (6.8) ergibt sich mit m = n folgendes System von n Differenzialgleichungen 1. Ordnung in der Vektor-Matrix-Darstellung: • X, ( ? ) "

0

1

0

0

0

0

\ ^i ( 0 ' "0" x^{t)

0 +

0

0 -a.

0 -a.

^„-, (0

Wt)\

u[t)

(6.17)

0 1

und der Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung: (6.18) Aus den Gleichungen (6.17) und (6.18) ist ersichtlich, dass bei dem hier gewahlten Ansatz die Ableitungen der EingangsgroBe lediglich Einfluss auf die Ausgangsgleichung austlben, die Systemmatrix ist auch hier eine Frobenius-Matrix. Die Koeffizienten der Differenzialgleichung des Beispieles 6.1 hier eingesetzt, liefert ebenfalls das dort gefundene Ergebnis. 6.2.2.2 Losung der Dgl. eines EingroBensystems mit der M-function odeAS Die Vorgehensweise wird anhand eines Beispiels erlautert. Beispiel 6.2 Die in Kapitel 5.5 gefiindene Differenzialgleichung 2. Ordnimg: ])(?) +a, j ( ? ) + a p j ( ? ) = Z)2M(?) + ^,M(?) + ^QM(?)

(6.19)

fur ein sprungfahiges elektrisches Netzwerk, ist fur einen Sprung u{t) = f/o = 1 mit Hilfe der function odeAS numerisch zu losen, d.h. es sind die Zeitantworten zu berechnen. Losimg: Die Losung erfordert es, diese Differenzialgleichung zuvor in ein System von zwei Differenzialgleichungen 1. Ordnung nach Gleichung (6.17) und (6.18) zu iiberfuhren.

Frobenius, (Ferdinand) Georg *26.10.1849 Berlin ^3.8.1917 Berlin-Charlottenburg, Mathematilcer

144

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System i, (t)

0

1

u{t) (6.20) 'x,{t)'

3(0.

-[*2]«(0

siehe function Beispiel6_02.m und Beispiel6_02a.m Das Programm zur numerischen Losung der Differenzialgleichung 2. Ordnung wird durch Eingabe von Beispiel6_02a J im Command Window gestartet. Verlauf der Zustandsgrb(Jen des sprungfahigen Systems 0.08

Xi{t) 0.06

1—"

•"•

1

1

1

r

0.04 0.02 0

~-~—_i 0

0.5

1

1.5

2

"2^'^ i 2.5

3

Verlauf der AusgangsgroUe y(t) des sprungfahigen Systems

0.9

0.8

0.7

0.5

1.5 t[s]

2.5

Bild 6.3 Losungsverlaufe zum Beispiel 6.2

6.3

Die Laplacetransformation

Mit Hilfe der Laplace^-Transformation wird eine Zeitflmktion J{t) in eine Frequenzfunktion F(s) einer komplexen Veranderlichen transformiert, d.li. es wird eine Funktion des Zeit- bzw. Oberbereichs in eine Funktion des Bild-, Unter- oder Frequenzbereichs uberfflhrt. Bei dem Vorgang der Abbildung wird der Zeitflinktion eine entsprechende oder auch korrespondierende Unterfunktion des Frequenzbereichs zugeordnet. Folglich muss fur jede Operation im Zeitbereich eine korrespondierende Operation im Bildbereich existieren.

' Laplace, Pierre Simon Marquis de (seit 1817) *28.3.1749 Baumont-en-Auge (Calvados) t5.3.1827 Paris, Mathematiker und Physiker. Diese Transformation wurde Laplace zu ehren, nach ihm benannt.

6.3 Die Laplacetransformation

145

Der Vorteil der Transformation einer Funktion aus dem Zeitbereich in den Frequenzbereich tritt besonders deutlich bei der Losung von linearen Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten hervor. Die korrespondierende Funktion im Unterbereich ist gewohnlich eine algebraische Gleichung. Die Losung dieser algebraischen Gleichung wird durch Riicktransformation in den Zeitbereich uberfuhrt und stellt die gesuchte Losung der Ausgangsgleichung dar.

6.3.1

Definition der Laplacetransformation

Fiir die Laplacetransformation C{f{t)} einer Oberfunktion y(0> die im Zeitintervall 0 < t < co definiert ist, gilt fur die gesuchte Unterflmktion F(s) im Frequenzbereich die Abbildungsvorschrift: F{s)= jf{t)e-"dt

(6.21)

0

mit der komplexen Variablen s^: s = 8 + ja

(6.22)

wobei S und o reelle Variable sind und fur:

gilt. Mit Hilfe des Integrals in Gleichung (6.21) wird eine Zeitflinktion y(0 aus dem Oberbereich in eine Frequenzflinktion F{s) des Unterbereichs transformiert. Die Frequenzfunktion F{s) = F{5^j(o) ergibt sich durch die Laplacetransformation der Zeitfunktiony(0» dargestellt durch: F{s) = £{f{t)]

(6.23)

Mit dem Korrespondenzzeichen <>-• wird zum Ausdruck gebracht, dass aus der Zeitfimktion J{i) die Frequenzfunktion F{s) entsteht: f{t)

^

F(s)

(6.24)

Fiir die Riicktransformation der Frequenzfunktion in die Zeitfunktion, was als LaplaceRticktransformation bezeichnet wird, gilt folgende Vereinbarung:

f(t) = J'-'{F(s)} ^ ' F{s)

^

^ ^ '^ f{t)

(6.25)

Die Rucktransformation entspricht dem Aufsuchen der zu der Frequenzfunktion F{s) korrespondierenden Zeitfunktion/(t).

Vielfach wird statt "s" der Buchstabe "p" verwendet, der nach [Doetsch-1989] aus dem Heaviside-Kalkiil stammt.

146

6.3.2

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

Die M-functions laplace und ilaplace

Mit der M-function laplace der Symbolic Math Toolbox kann eine in symbolischer Form vorliegende Zeitfunktion in die dazugehorende Frequenzfunktion iiberfiihrt werden. Dies wird an Hand einiger bekannter Zeitflinktionen im nachfolgenden Beispiel gezeigt. Beispiel 6.3 Gesuciit ist die Laplacetransformierte fiir folgende Funktionen: • e

f,{t)

= U,{\-e-'^')

f,{t) = t

/ , ( 0 = cos(0

Losimg: Vereinbarung der symbolischen Variablen: » syms a s t T UO Die Sprungfunktion a(t), sie entspricht der M-function Heaviside\t): » fl = feaviside(t)

fl= heaviside(t) »Fl=laplace(n) Fl= 1/s

/ (0 = ^(0 <>-• i ^(^) = '

Der Einheitsimpuls d{t), er entspricht der M-flinction Dirac\t): » f 2 = dirac(t)

f2= dirac(t) » F2 = laplace(f2) F2=

m

= 5[t)

o-» p IA-^ ^2l^j-i

1 Die e-Funktion: » G = exp(a*t)

f3= exp(a*t) » F3 = laplace(f3) F3= l/(s-a)

m = e"' »-• 1 F,{s) =

^ ^ '^

Die Antwortflinktion eines Verzogemngsgliedes 1. Ordnung: »f4=U0*(l-exp(-t/T)) * Heaviside, Oliver *18.5.1850 Camden Town t3.2.1925 Paignton, Pliysiker und Elelctroingenieur ' Dirac, Paul Adrien Maurice * 18.8.1902 Bristol f 20.10.1984 Tallahassee (Florida), Physiker

(6.26)

6.3 Die Laplacetransformation f4 = UO*(l-exp(-t/T)) » F4 = laplace(f4) F4= U0*T*Beta(2,s*T) »F4 = expand(F4) F4 = U0/s/(s*T+l)

147

'^ Ua s(Ts + l) ^ ^

^'^^^^

Die Rampenflinktion: » f5 = t f5= t » F5 = laplace(f5) F5= l/s^2

f5{t) = t ^ ^5(^) = -T 5

Die Kosinusfunktion: » f6 = cos(t) f6= cos(t) » F6 = laplace(f6) F6= s/(s^2+l)

/ 6 ( 0 = cos(0 c^-« „ ^6(^) = ^ s'+l

Die M-fiinction ilaplace der Symbolic Math Toolbox transformiert die in symbolisciier Form vorliegenden Frequenzflmktionen zurilck in den Zeitbereicli. Es wird zur Ubung empfohlen, die im Beispiel 6.3 gefundenen Unterfunktionen durch Anwenden der M-function ilaplace in den Zeitbereich zu tiberfflhren.

6.3.3

Regeln fiir das Rechnen mit der Laplacetransformation

Mit Hilfe der nachfolgend angegebenen Regeln werden mathematische Operationen des Oberbereiches nach Anwendung der Laplacetransformation zu entsprechenden Operationen im Unterbereich. Es soil gelten: f,[t)

^

F,{s) unA f,{t)

^

F,[s)

(6.27)

6.3.3.1 Additionssatz Die Laplacetransformation ist eine lineare Transformation zwischen Fimktionen im Zeitbereich flj) und im Frequenzbereich F{s), daraus ergibt sich mit den Konstanten k\ und k2. kj,{t) + kj,[t)

^

k,F,{s) + k,F,{s)

Beispiel 6.4 Die Beziehung (6.28) ist auf/i(?) und^(?) des Beispiels 6.3 anzuwenden.

(6.28)

148

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

Losimg: f(t) = t(j(t) + LS(t) J^

»symsklk2 » F = laplace(kl*fl+k2*f2)

F(s) = '^ + k,

kl/s+k2

5

6.3.3.2 Ahnlichkeits$atz Aus: f{t)

-,

F{s)

(6.29)

folgt die 1. Variante des Ahnlichkeitssatzes: fiat)

o^

-F\-] a>0 a \a)

(6.30)

Beispiel 6.5 Gesucht ist die Laplacetransforaiierte vonXO = cos(a /) unter Anwendung des Ahnlichkeitssatzes auf die Funktiony^(/) des Beispiels 6.3. Losimg: Im Beispiel 6.3 wurde fury^(/) folgende Laplacetransformierte gefiinden: / , ( 0 = cos(?)

c^

F,{s) = ^

(6.31)

damit wird unter Anwendung der 1. Variante des Ahnlichkeitssatzes: f{t) = cos (a/)

J7( \

1

i

» F = laplace(cos(a*t)) F= s/(s^2+a^2) '

Die 2. Variante des Ahnlichkeitssatzes:

Beispiel 6.6 Gesucht ist die Laplacetransformierte von: / ( 0 = ie"'/' unter Anwendung des Ahnlichkeitssatzes auf die Funktiony^(^) des Beispiels 6.3.

(6.33)

6.3 Die Laplacetransformation

149

Losimg: Im Beispiel 6.3 ergab sich fur die Fun]<;tion^(/) folgende Laplacetransformierte: f,{t)

= e'"

—

^3(^) = ^

(6.34)

damit wird unter Anwendung der 2. Variante des Aiinlichkeitssatzes: » F = laplace(l/b*exp(a*t/b)) » F = simplify(F) F= -l/(-s*b+a) 6.3.3.3 Dampfungssatz Existiert zu einer Funktiony(0 ihre Laplacetransformierte F(s), so ergibt sicii fur die Funktion: e'"f{t)

<>-• F{s-a)

bzw. e""7(?)

^

F{s + a)

(6.35)

Beispiel 6.7 Gesucht ist die Laplacetransformierte von: f{t) = te-"'

(6.36)

unter Anwendung des Dampfungssatzes auf die Fimktion/5(/) des Beispiels 6.3. Losung: Im Beispiel 6.3 ergab sich fur die Funktion/^(/) folgende Laplacetransformierte: f,{t)

=t

^

Fs{^) = \

(6-37)

damit wird unter Anwendung des Dampfungssatzes: f{t) = te

c^

1 F{s) = -r ^^^^)

» F = laplace(t*exp(-a*t)) F= l/(s+a)^2

6.3.3.4 Verschiebungssatz Gehort zu J[t) die Laplacetransformierte F(s), so ergibt sich fur die um einen Zeitintervall - Totzeit - verspatet beginnende Funktion: f{t-T,) mit der Bedingung:

o-

e-'''F{s)

(6.38)

150

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System / ( / - ? ; ) = 0 flir

t
und 7; > 0

Beispiel 6.8 Gesucht ist die Laplacetransformierte von fit-T^ = a{t-T,) unter Anwendung des Verschiebungssatzes auf die F\inktionfi{t) des Beispiels 6.3. Losung: Im Beispiel 6.3 wurde fur/i(/) folgende Laplacetransformierte gefunden: 1

(6.39)

f,{t) = a{t) <^ F,{s) = Mit dem Verschiebimgssatz fur die um T, verschobene Funktion folgt:

f{t-T,)

= (j{t-T,)

-"F(.):

(6.40)

MATLAB liefert dazu kein Ergebnis! 6.3.3.5 Differenziationssatz Wenn fur die «-te Ableitung/"'(/) eine Laplacetransformierte existiert, so besitzen die dazugehorenden niedrigeren Ableitungen und die Funktion J{t) selbst Laplacetransformierte. Das Umgekehrte ist nicht immer der Fall. [Doetsch-1989] Die Bildfunktion der Differenziation einer Zeitfunktion ergibt sich durch eine Multiplikation der Funktion im Frequenzbereich mit dem LaplaceOperator s sowie der Subtraktion eines Polynoms dessen Koeffizienten die rechtsseitigen Anfangswerte/(^ ^ +0) .../(«-!)(/—> +0) der Funktion im Zeitbereich sind. Es gilt:

df{t) ' dt

d'fjt) df

#(+0) dt

a,5^ F{^s^- a^s f (+0) — a.^

(6.41)

d"f{t) a

"

df

^^

t^-»

mit den n Anfangswerten:

Z— 1=0

" /

(6.42)

6.3 Die Laplacetransformation

151

Beispiel 6.9 Die Spannung liber einer Spule entspricht dem Prodiikt aus der 1. Ableitimg des diirch die Spiile flieBenden Stromes ii(t) und der Induktivitat L. Gesuclit ist die dazugeliorende Laplacetransformierte, mit der Anfangsbedingung ii(0) = Ii: Losung: » syms IL ILO L » UL = laplace(sym('L*diff(iL(t),t)')) UL^ L*(s*laplace(iL(t),t,s)-iL(0)) » UL = expand(subs(UL,'laplace(iL(t),t,s)',IL)) UL = L*s*IL-L*iL(0) » UL = subs(UL,'iL(0)',ILO) UL = L*s*IL-L*ILO

dii ( 0 «i ( 0 = ^~Jr~ •^ U,{s) = LsI,{s)-LI^

6.3.3.6 Integralsatz Die Laplacetransformierte des Integrals einer Funktion flj), deren Laplacetransformierte F{s) ist, ergibt sich zu: '

J/(r)JT

1

o-» -F{s)

(6.43)

Beispiel 6.10 Gegeben sind die Gleichung fllr die Spannung iiber einem Kondensator im Zeitbereich und Frequenzbereich: ^c{t) = ^]ic{r)dT

^

U,{s) = ^I,{s)

(6.44)

Gesucht ist die Laplacetransformierte der Integralgieichung in (6.44) mit der Symbolic Math Toolbox an der Stelle MC(0) = 0. Losung: Die Aufgabe lasst sich symbolisch nur dadurch losen, dass zunachst die Integralgieichung (6.44) ftir die Kondensatorspannung als symbolische Funktion/dargestellt wird: / = symi:uC{t) = 1/Cl*int(/C(0,0') Die Gleichung (6.45) wird nun symbolisch wie folgt gelost: siehe Beispiel6_10.m Das Ergebnis stimmt mit dem der Gleichung (6.44) iiberein.

(6-45)

152

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

6.3.3.7 Anfangswertsatz Der Anfangswerty(+0) einer Funktion/(0> deren Laplacetransformierte F{s) ist, betragt: f{+0) = \imf{t)

= \imsF{s)

t>0

(6.46)

Beispiel 6.11 Gesucht ist der Anfangswert der in Beispiel 6.5 berechneten Funktion: f,{t)

= co,{t)

^

^6(^) = ^

(6.47)

Losung: /(+0) = lim/(0 = l i m 5 — ^ = 1

(6.48)

Die Gleichung (6.47) wird nun symbolisch wie folgt gelost: siehe Beispiel6_l l.m Alle Ergebnisse stimmen iiberein. 6.3.3.8 Endwertsatz Der Grenzwert/(°°) von/(/), deren Laplacetransformierte F{s) ist, betragt: /(oo) = lim/(?) = lim^F(5)

(6.49)

wenn: lim/(0 existiert! Beispiel 6.12 Gesucht ist der Endwert der in Beispiel 6.3 gegebenen Funktion/i(?):

Losimg:

/ , H =lim/,(0-liin^—^-t/„ Die Gleichung (6.50) wird nun symbolisch wie folgt gelost: siehe Beispiel6_12.m Es ergibt sich der erwartete Endwert.

(6.51)

6.3 Die Laplacetransformation

6.3.4

153

Losen von linearen, zeitinvarianten Differenzialgleichungen

Lineare, zeitinvariante Differenzialgleichungen und ihre Losungen sind fur regelungstechnische Aufgabenstellungen von besonderer Bedeutung. Ein entsprechender Stellenwert kommt damit auch der Laplacetransformation zum Losen dieser Gleichungen zu. Das dynamische Verhalten wird durch die Differenzialgleichimg (6.8) ganz allgemein beschrieben. Ihre Losung, d.h. im hier betrachteten Fall, die Ermittlimg der Systemantwort, setzt die Kenntnis der Anfangsbedingungen: / * ' ( / ^ + 0 ) = >-<*', ^ = 0,1,2,...,K-1

(6.52)

der Ausgangsfiinktion j'(/) und M<*'(/^+0) = M<*', k ^0,1,2,...,m-l

(6.53)

der Eingangsfiinktion u(t) voraus. Die Anwendung des Differenziationssatzes der Laplacetransformation auf die Differenzialgleichimg (6.8) liefert mit den angegebenen Anfangsbedingungen:

[s"Y{s)-y,s"-'—-/;-'']

+

(6.54)

b^[s"U{s)-y,s'"-'--/r'^y

+b,[sU{s)-y,] + b,U{s) 6.3.4.1 Die Laplacetransformierte einer Differenzialgleichung Gleichung (6.54) lasst sich aufgliedem in den Anteil: der AusgangsgroBe n-l

7V(i') = 5"-i-^a,.5' =s" +a„_js"~'' +... + ajS + ag

(6.55)

7 =0

-

der EingangsgroBe Z{s) = Y,b/ j=0

=b„s"'+b„_,s"'-'+... + b,s + b„

(6.56)

154

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System der Anfangsbedingungen der AusgangsgroBe nach s geordnet

(6.57) («2>'o + ^3 Jo + • • • + a„-i>'o""' + yt^^) s {a,yo + aiPo + a^yo +••• + «»-i J'o"'^' + >'o"'" ) der Anfangsbedingungen der EingangsgroBe nach s geordnet U^ {s) = -b^u^s'"-^ (6.58) - [b,u,+b^ii,+b,u,+...+ft„,_,M<"'-''+*„,«;,"'-") Damit lasst sich die Gleichung (6.54) in iibersichtlicher Form schreiben: N{s)Y{s)

(6.59)

= Z{s)U[s] + Y,{s) + U,{s)

und nach der gesuchten Variablen Y{s) umstellen: , ,

Zis)

, ,

#(.)

YAS)

UAS]

N{s)

#(5)

(6.60)

Die aus der Differenzialgleichung durch die Laplacetransformation geflmdene Funktion Y{s) ist cine gebrochene rationale Funktion mit einem Zahlerpolynom und einem Nennerpolynom der komplexen Variablen 5. Die Rilcktransformation der Gleichung (6.60) mit Hilfe von Tabellen zur Laplacetransformation in den Zeitbereich liefert die gesuchte Losung ftir >>(?). Zeitbereich:

A

Differenzialgleichung + AB

Losung >'(/)

V

LaplaceRiicktransformation

Laplacetransformation

V Frequenzbereich:

V algebraische Gleichung

=>

Losung Y{s)

Bild 6.4 Schema zum Losen von Differenzialgleichungen mittels Laplacetransformation

6.3 Die Laplacetransformation

155

Beispiel 6.13 Die im Kapitel 4.1.6 beschriebene DifFerenzialgleichung (4.8): T^^

+ y{t) = Ku[t)

(6.61)

mit der Anfangsbedingung ^^(O) = Y^ ist durcii Laplacetransformation in den Frequenzbereich zu ilberflihren, nach Y{s) umzustellen und ftir u{t) = UQ durch Laplace-Rilcktransformation zu losen, d.h. y{t) ist fur einen Eingangssprung UQ ZU bestimmen. Losung: Die Differenzialgleiciiung wird wie folgt der Laplacetransformation unterzogen: Ty{t) + y{t) = Ku{t)

c^

T SY{S)-TY„+Y{S)

= KU{s)

(6.62)

Das Ergebnis ist cine algebraische Gleichimg. Das Ausklammem und Umstellen nach der gesuchten Variablen Y(s) liefert die Losung im Frequenzbereich: 7(s) = — ^ { / ( 5 ) + ^ — 7 „

(6.63)

Y(s) ist eine algebraische Funktion der EingangsgroBe U(s), der Anfangsbedingung Yg und der beiden Konstanten. Mit der Zeitfunktion/i(/) = a{t) des Beispiels 6.3 ergibt sich fur den Eingangssprung: u(t) = U„cr{t) <^

Uis) = U,-

(6.64)

und damit ist Y(s) nur noch eine Funktion der komplexen Variablen s: Y(s) = ^ ^ + ^ Y , ^ ' Ts + l s Ts + l Der erste Term von Y{s) entspricht der Frequenzfiinktion F4{s) des Beispiels 6.3 multipliziert mit K, so dass die dazugehorende Zeitfunktiony^(?) ebenfalls lediglich mit K zu multiplizieren ist. Die Laplace-Riicktransformation liefert: i:F,(.) = ^

/^"^

^

KfA')

= KU,{l-e-"')

(6.65)

Der zweite Term von Y(s) entspricht der Frequenzfiinktion F2(s) des Beispiels 6.3 multipliziert mit Yf, und mit a = -T'\ so dass die dazugehorende Zeitfunktiony^(?) ebenfalls mit Yg zu multiplizieren und flir a = - r ' zu setzen ist. Die Laplace-Riicktransformation liefert: Y,F,{s) = Y , ^

—

YJ,{t) = Y,e-^'

S+Y

Die Addition beider Teilergebnisse ergibt die gesuchte Zeitantwort:

(6.66)

156

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System y{t) = KU,[l-e-^)

+ Y,e-^

(6.67)

Symbolische Losung: siehe Beispiel6_13.m Das Ergebnis stimmt mit der Gleichung (6.67) iiberein. 6.3.4.2 Partialbruchzerlegung Haufig sind die in der Gleichung (6.60) enthaltenen Terme Polynome hoherer Ordnung, wie in nachfolgender Gleichung (6.68) gezeigt, so dass es dafiir keine direkten Korrespondenzen in den Tabellenwerken gibt. Diese Polynome sind vor der Rucktransformation mit Hilfe der Partialbruchzerlegung auf bekannte Teilflinktionen zu zerlegen. Jeder echte Bruch entsprechend Gleichung (6.68): vf \ ^i^) by+b,„_,s"'~'+... Y[s) = — 7 4 = -^^^ •'^-^—.

+ b,s + b„ • n>m

(6.68)

dessen Zahler und Nenner teilerfremd sind, lasst sich auf eindeutige Weise in eine Summe von Partialbriichen der Form: und (s-Pi)

''"'^'''^ , [s^+as + b)

(6.69)

unter der Bedingung zerlegen, dass:

gilt. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat das Neimerpolynom N(s) der Gleichung (6.55) «-ten Grades n Wurzeln bzw. Pole/>, als Losung: n-l

N{s) = s"+Y,a/

=0

(6.70)

Die Losungen der Gleichung (6.70) konnen einfach reelle, mehrfach reelle sowie paarweise konjugiertkomplexe Wurzeln bzw. Pole sein. Folgende Falle sind moglich: - N{s) = 0 besitzt einfach reelle Wurzeln und m = n

N{s)

{s-p,}

{s-p,)

{s-p„)

6.3 Die Laplacetransformation

157

Nach [Bronstein/Semendjajew-1991] berechnen sich die Residuen der Pole aus: ,, , dN(s) mit N'{p,)^"'^ ds^ '

Z(A)

'

^^'' N'{p,)

(6.72)

N(s) = 0 besitzt ein- und mehrfach reelle Wurzeln und m = n m

n^) = ^

=K ^ Y L Y ^

(6.73)

wo «, der Anzahl der gleichen Wurzeln entspricht. Die Residuen r/, ermittein sich nach [DiStefano_u.a.-1976] bzw. [Doetsch-1989]:

1

I d"--"

"=?r^&-[('-''')"''M (",-*)

(6.74)

Filr die einfachen Wurzeln gilt: r,={s-p^Y{s)\

(6.75)

bzw. Gleichung (6.72). Fiir die oben angefuhrten und alle weiteren Falle, wenn z.B. N{s) = 0 komplexe einfache oder komplexe mehrfache Wurzeln besitzt, konnen die Residuen nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten - Koeffizientenvergleich - ermittelt werden. Fiir w < « ist b„, = 0 zu setzen. Beispiel 6.14 Die in Kapitel 5.5 abgeleitete lineare Differenzialgleichung 2. Ordnimg mit konstanten Koeffizienten fiir ein sprungfahiges System: y[t) + a^y{t) + ao>'(0 = ^2" ( 0 "*" ^1" ( 0 "*" *o" ( 0

(6.76)

ist mit Hilfe der Laplacetransformation fiir einen Sprungeingang u{t) = UQ a{t) zu losen. Samtliche Anfangswerte sind null. Losung: Mit den Anfangswerten null ergibt die Laplacetransformation der Differenzialgleichung 2. Ordnung: (5' +a,s + a„)Y{s) = [b,s' +b,s + b„)u{s)

(6.77)

Umstellen der Gleichung (6.77) nach ¥{$):

y.^bZ^hllKuis) s +a,s + a„

(6.78)

158

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

und Einsetzen der Laplacetransformierten des Eingangsspmnges: u{t) = U„(j{t)

U(s) = U,s

(6.79)

ergibt die Laplacetransformierte der AusgangsgroBe: (6.80) sis +a,s + a,, Es ist eine gebrochene rationale Funktion der komplexen Variablen i' mit einem Zahlerpolynom und einem Nennerpolynom. Dieses Ergebnis entspricht der Gleichung (6.69) fur den Fall, dass samtliche Anfangsbedingungen identisch null sind. Fiir das Auffinden der Zeitfunktion y{t) aus der Frequenzfiinktion Y(s) - LaplaceRiicktransformation - fmdet sich in den einschlagigen Transformationstabellen gewohnlich keine geschlossene Formel. Vielmehr ist es notwendig Y(s) in Partialbruche bekannter Teilfiinktionen zu zerlegen. Es gilt: Y{s) = U„

Ls +b,s + b,. -U, m s^ +a,s + a,) - - # ( . )

(6.81)

A

Voraussetzung fur die Zerlegung in Partialbriiche ist die Bestimmung der Wurzeln bzw. Pole des Neimerpolynoms N{s). Mit den unter 5.5 ermittelten Werten folgt: N{s) = s[s

>)-o

p, =0

Pir. = -

/?! = 0

/^z = -2

«!__!_ (a,

«o ft

Pir. = - 5 + ^ 2 5 - 1 6

(6.82)

= -8

Da alle drei Pole reell und verschieden sind, kann fur Y{s) geschrieben werden: (6.83) [S-P2)

{S-Pi),

Fiir Y{s) lasst sich durch Laplace-Rucktransformation folgende Zeitfunktion angeben: y{t) = U,[r,+r,e''^- +r,e''')

(6.84)

Die Koeffizienten bzw. Residuen der Pole berechnen sich mit: " '

z{p^ ^^'^ mit N'iP.)

,, , N'{p,)-

dNis) ^ ' ds

(6.85)

6.3 Die Laplacetransformation

159

Ennittlung der zu den Residuen gehorenden Nenner: dN{s) ds

N'[p,)N'{P,)-

:flg=16 =Pi=0

dN{s) ds

3p2 +2a,/>2 +"20 = ~12

dN{s) ds

(6.86)

j=ft=-2

: 3 /73 +2a^pj+ag =48 .v=ft=-8

Berechniing der Residuen: j . _ ^ ( A ) _0,8pf+7,2;7i+16_^ ''' N'{p,) 16 ^ ^ Z(;;,) ''

^0,Hpl+7,2p,+l6

N'{P2)

-0,4

-12

_ Z ( f t ) _ 0,8/^3^+7,2/^3+16

(6.87)

0,2

48

Damit ergibt sich: Y{s) = U,

N{s)

-•u.

0,4

s

0,2 • + -

{s + 2)

(s + S)

(6.88)

und durch Laplace-Riicktransformation in den Zeitbereich die analytische Funktion des Verlaufes der Ausgangsspannung des sprungfahigen Netzwerkes: >'(?) = t / „ ( l - 0 , 4 e - " + 0 , 2 e - " )

(6.89)

Aus der Gleichung (6.89) ergibt sich flir ? ^ 0 y(0) = UQ, ein Zeichen fur die Sprungfahigkeit des Systems. Mit der function nw_spf.m ergeben sich die tJbertragungsfunktion sowie der Zahler und Nenner der zur Gleichung (6.80) gehorenden gebrochenen rationalen Funktion in s. Der Nenner A^ ist noch, entsprechend Gleichung (6.80), mit s aus dem Nenner des Eingangssprunges zu multiplizieren, was zu einem Polynom 3. Ordnung fuhrt. Dies lasst sich leicht durch eine Stellenverschiebung nach links, wie folgt realisieren: Die Matrix K ist eine Leermatrix, da der Grad des Nenners groBer als der des Zahlers ist. Die Schritte sind: Riicktransformation mit ilaplace, Festlegen der Variablenzahl auf eine Stelle nach dem Komma mit vpa und Multiplikation des Ergebnisses mit UQ. siehe Beispiel6_14.m Ein Vergleich der Ergebnisse der Funktionen lasst die Ubereinstimmung erkennen.

160

6.4

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

Die Ubertragungsfunktion

Mit der Ubertragungsfunktion wird das dynamische Eingangs-Ausgangs-Verhalten eines linearen Ubertragungsgliedes im Frequenzbereich beschrieben.

G{s) U{s)

I I

•CX) Y{s)

Bild 6.5 Signalflussplan eines Ubertragungsgliedes Fiir das in Bild 6.5 dargestellte Ubertragungsglied, auch als System bezeichnet, gilt mit verschwindenden Anfangsbedingungen - AB - die Ubertragungsfunktion: , , ^{y{t)} Y(s) G(s)= Y)[{=^-1

^ ' £{u{t)}

AB^O

(6.90)

U{s)

Voraussetzung fur das Bilden einer Ubertragungsfunktion ist die Laplacetransformation der Differenzialgleichung des zu beschreibenden Systems unter der Bedingung, dass die Anfangsbedingungen gleich null sind. Die Ubertragungsfunktion ist fur ein lineares Ubertragungsglied defmiert als der Quotient der Laplacetransformierten des Ausgangssignals zu der Laplacetransformierten des Eingangssignals. Die Ubertragimgsfunktion ist fur beliebige Eingangssignale definiert. Sie kann in der Polynomform, Pol-Nullstellen-Form und Zeitkonstantenform dargestellt werden.

6.4.1

Ubertragungsfunktion in der Polynomform

Bei einem beliebigen Eingangssignal und Anfangsbedingimgen die gleich null sind, ergibt sich die Ubertragungsfunktion in Polynomform durch die Laplacetransformation der in (6.8) dargestellten linearen Differenzialgleichung: Gis)=

bj"-b s---....b,.^ s"+a^_^s" +... + a2S +a^s + a^

^^^

als eine gebrochene rationale Funktion der komplexen Variablen: s = 5 + ja

^^^^^

6.4 Die Ubertragungsilinktion

161

6.4.1.1 Polynomform mit der M-function tf Eigenschaft von tf: Bildet die UbertragungsfUnktion in Polynomform. Syntax: G = tf(Z,N) Beschreibung: Mit der M-function (fwird aus je einem Zahlerpolynom und einem Nennerpolynom die Ubertragungsfimktion in Polynomform gebildet. Weitere Fimktionen siehe help /doc tf. Die Ubertragimgsfunktion in Polynomform besteht aus einem Zahlerpolynom: Z{s) = b„s'"+b„^_^s"-' +... + b^s + ba=0

(6.92)

welches die Nullstellen rij liefert und einem Nennerpolynom: #(.?) = .s"+a„_,s""' +... + a2.?^+a,5 + a|, =0

(6.93)

dessen Losungen oder Wurzeln als Polepi bezeichnet werden. VereinbarungsgemaB wurde der Koeffizient der hochsten Potenz von s in N{s) zu eins gemacht, d.h. a„= \. Das Nennerpolynom wird entsprechend seiner Bedeutung fur das Systemverhalten als charakteristisches Polynom des Ubertragungsgliedes bezeichnet. Die Gleichung (6.93) ist die dazugehorende charakteristische Gleichung des Systems. Die Eingabe der Ubertragungsfiinktion in Polynomform geschieht in folgender Form: fur den Zahler 2 = [b„, b„_,

••• b, bb,]

(6.94)

fur den Nenner N = [\ a„_, • ••

flj

<3,

flo]

(6.95)

Dabei ist zu beachten, dass flir nicht vorhandene Koeffizienten mit dem Index < m bzw. < n eine '0' einzugeben ist. Beispiel 6.15 Die in Kapitel 5.5 fur das sprungtahige Netzwerk angegebene Ubertragungsfunktion: ^,

. ^ '

0,Ss^+7.2s + l6 ^'+10^ + 16

ist imter Beachtung der Eingabevorschrift entsprechend Gleichung (6.94) und (6.95) im Command Window einzugeben und mit der M-function ^die Ubertragungsfunktion zu bilden.

162

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

Losimg: » Z = [ 0 . 8 7.2 16]; » N = [ 1 10 16]; » G = tf(Z,N) Transfer function: 0.8s^2 + 7.2s+ 16 s ^ 2 + 1 0 s + 16 6.4.1.2 Systemparameter mit den M-functions tfdata und celldisp Eigenschaft von tfdata: Gibt die Vektoren des Zahlers und des Nenners eines linearen, zeitinvarianten Systems aus. Syntax: [Z,N] = tfdata(System,'v') Beschreibung: 'System' kann eine Ubertragungsfianktion oder ein Zustandsmodell sein. Bei Zustandsmodellen mit mehreren EingangsgroBen und/oder mehreren AusgangsgroBen ergeben sich z.B. die Werte des Zahlers fur den i-ten Eingang und den j-ten Ausgang, d.h. fiir Z{ui,yj): Zij = celldisp(Z(i,j)) Weitere Funktionen siehe help /doc tfdata. Beispiel 6.16 Gesucht sind die Zeilenvektoren des Zahlers und des Nenners der in Beispiel 6.15 gebildeten tJbertragungsfiinktion. Losung: » [Z,N] = tfdata(G,'v') Z= 0.8000 7.2000 16.0000 N= 1 10 16 bzw. ohne V:

6.4 Die Ubertragungsilinktion

163

» [Z,N] = tfdata(G) Z= [1x3 double] N= [1x3 double] » celldisp(Z) Z{1} = 0.8000 7.2000 16.0000 6.4.1.3 Pole und Nullstellen mit der M-function pzmap Eigenschaft von pzmap: Berechnet die Pole und Nullstellen eines Systems und stellt sie graphisch im Pol-NuUstellen-Bild, d.h. in der komplexen Ebene, dar. Syntax: [Po,Nu] = pzmap(System) Beschreibung: 'System' kann eine Ubertragungsfunktion oder ein Zustandsmodell sein. Das Pol-NuUstellen-Bild wird dargestellt, wenn nur der Teil rechts des Gleichheitszeichens angegeben ist. Im Pol-Nullstellen-Bild werden die Pole durch ein Kreuz 'x' und die Nullstellen durch einen Kreis ' 0 ' gekennzeichnet. Weitere Funktionen siehe help / doc pzmap. Achtung! Bei einem Zustandsmodell berechnet die Funktion bei mehrspaltigen Eingangsbzw. mehrzeiligen Ausgangsmatrizen nicht die Nullstellen der einzelnen Ubertragungsflinktionen, in diesem Fall werden die Transmissions-Nullstellen ausgegeben! Beispiel 6.17 Filr das unter 5.5 beschriebene sprungfahige Netzwerk - siehe Beispiel 6.15 - sind die Pole und Nullstellen mit der M-function pzmap zu berechnen und als PN-Bild mit der M-function grid fur das Gittemetz darzustellen. LQsung: » [Po,Nu] = pzmap(G) Po = -8 -2 Nu = -5.0000 -4.0000 » pzmap(G), grid

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

164

Fble-Zero Map 1 I

I

1 0.8

0.989.^

I

+

•esse ^

^—

1

;

;

t

0.4 -0:699

;

;

1

^

1

^

^

t

~^^

t ^ ^ ^ ^

I

'

^

1

1

'

1

1

1

1

r u

1 I

^^

; "^^ ^

^

1

1

^s ^

"^"^ 1

~ ~ ~ ~ ~ L

'>

l

^

1

0.8?

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0.9?

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0.4

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1 ^'l'' 1 ^•'1 ! 0.978^ ',

!

'l' /''I 0.9^ '

/ 0.^

,'' I > \

/ / 0.§2

)\ / S 0.95 \

-1 -5

-4 Real Axis

Bild 6.6 PN-Bild zu Beispiel 6.17

6.4,2

Ubertragungsfunktion in der Pol-NuUstellen-Form

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat jede Gleichung K-ten Grades, deren Koeffizienten reelle oder komplexe Zahlen sind, genau n reelle oder komplexe Wurzeln, wobei die A:-fachen Wurzeln ^-mal gezahlt werden. Sind, wie es hier der Fall ist, die Koeffizienten konstant, so treten die komplexen Wurzeln nur paarweise konjugiert auf und fur das Zahlerpolynom gilt: Z{s) = b^{s-n,){s-n^)---{s-n^)

=

b^Y{[s-ni)

(6.96)

Fiir den Fall eines konjugiertkomplexen Nullstellen-Paars wird mit:

-*,.
(6.97) = (^-<5,. - a j j ) [ s - 5 . + cOjj] (6.98)

6.4 Die Ubertragungsilinktion

165

Entsprechendes gilt fur die aus dem Nenner resultierenden Pole bzw. konjugiertkomplexen Polpaare. Somit ergibt sich die Ubertragungsilinktion in der Pol-Nullstellen-Form zu: m

n(^-«/) G„{s) = K^

(6.99)

m^-p:) mit dem Verstarkungsfaktor:

6.4.2.1 Pol-Nullstellen-Form mit der M-function zpk Eigenschaft von zpk Bildet die Ubertragungsflmktion in der Pol-Nullstellen-Form. Syntax: Gp = zpk(Nu,Po,K) Gp = zpk(G) Beschreibung: Mit zpA:(Nu,Po,K) wird die Ubertragungsfunktion in der Pol-Nullstellen-Form aus den Nullstellen Nu und Polen Po, die jeweils in einem Zeilenvektor angeordnet sind sowie dem Verstarkungsfaktor K gebildet. Mit der Anweisung zpk{G) wird eine Ubertragungsfunktion aus der Polynomform in die Pol-Nullstellen-Form transformiert. Weitere Funktionen siehe help / doc zpk. Beispiel 6.18 Die in Beispiel 6.15 berechnete Ubertragungsfunktion in Polynomform ist mit der M-fiinction zpk in die Pol-Nullstellen-Form zu uberfuhren. Losung » Gp = zpk(G) Zero/pole/gain: 0.8 (s+5) (s+4) (s+8) (s+2)

166

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

6.4.2.2 Systemparameter mit der M-function zpkdata Eigenschaft von zpkdata Gibt die Nullstellen, Pole und den Verstarkungsfaktor eines linearen, zeitinvarianten Systems aus. Syntax: [Nu,Po,K] = zpkdata(System,'v') Beschreibung: 'System' kann eine Ubertragungsflinktion oder ein Zustandsmodell sein. Bei Zustandsmodellen mit mehreren EingangsgroBen und/oder mehreren AusgangsgroBen ergeben sich z.B. die Werte der Nullstellen mit celldisp(Nu): Nu = celldisp(H\\) Weitere Funktionen siehe help/ doc zpkdata. Beispiel 6.19 Die Pole und die Nullstelle sowie der Verstarkungsfaktor der Ubertragungsflinktion der Stoning am Streckenausgang des Modellregelkreises - Kapitel 5.4 - sind mit der M-function zpkdata zu berechnen und in die Pol-Nullstellen-Form mit zpk(G) zu iiberfiihren. Losung: » GLU = mod_rk('GLU') Transfer function: -le005 s^2 - 5.05e008 s - 1.25e011 s^3 + 5050 s^2 + 1.125e007 s + 5e008 » [NuL,PoL,KL] = zpkdata(GLU,'v') NuL = l.Oe+003* -4.7890 -0.2610 PoL = l.Oe+003 * -2.5023 + 2.18211 -2.5023-2.18211 -0.0454 KL = -l.OOOOe+005 » GLUp = zpk(GLU) Zero/pole/gain: -100000 (s+4789)(s+261) (s+45.36) (s^2 + 5005s + 1.102e007)

6.4 Die Ubertragungsilinktion

6.4.3

167

Ubertragungsfunktion in der Zeitkonstantenform

Eine wesentliche Rolle spielen bei der regelungstechnischen Betrachtung die einem System innewohnenden Verzogerungs- und Vorhaltzeiten, die in einem unmittelbaren Zusammenhang mit den Polen und Nullstellen des Systems stehen. So gilt fiir die Verzogerungszeit bzw. Zeitkonstante T, und die Vorhaltzeit Tof. 7;=T^

und T„=j^

(6.100)

Weisen die Pole und Nullstellen negative Realteile auf, so ergibt sich durch Ausklammem die Ubertragungsfunktion in der Zeitkonstantenform: ,

(m-l)l2

n(i+v) n (i+2^o/v+^fl/)

G,{^) = y'^, g|^ n(i+7;^) n (i+2a',j;^+7;v) 7=1

(6-101)

1=4+1

mit der sich ergebenden stationaren Verstarkung V im Falle eines Einheitssprungs am Eingang und dem Verstarkimgsfaktor K:

n(-«.)

•_M V = K^ n

(6.102)

n(-A) Beispiel 6.20 Die Ubertragungsfunktion des sprungfahigen Netzwerkes - Kapitel 5.5.3 - ist in die Zeitkonstantenform zu iiberfiihren. Bemerkung: MATLAB hat dafur keine geeignete Funktion. Losung: siehe Beispiel6_20.m Damit ergibt sich die Ubertragungsfunktion in der Zeitkonstantenform:

G,{s) = V

{\ + T,s)(\ + T,s) ^ ' '^ ^ ' ^ ^ ^ ( l + 0,25)(l + 0,25.) '

(l + 0,1255)(l + 0,55)

(6.103)

168

6.5

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

Der Frequenzgang

Wird auf den Eingang eines linearen Systems ein harmonisches Signal, wie z.B. Mi(?) = [/gCos(ft)/)

(6.104)

aufgegeben, so ist seine Antwort wiederum ein harmonisches Signal mit gleicher Frequenz, aber gewohnlich unterschiedlicher Amplitude und Phase: y^ {t) = Yf) cos(cot + cp)

(6.105)

Das Einsetzen dieser Signale und ihrer Ableitungen in die Differenzialgleichung (6.8) kann verhaltnismafiig komplizierte Ausdriicke ergeben.

6.5.1 Die Antwort auf ein komplexes harmonisches Eingangssignal Vereinfacht wird der Vorgang des Auffindens des Frequenzganges, wenn dem Eingangssignal noch ein weiteres harmonisches Signal ilberlagert wird: U2{t) = UJsm{(ot)

(6.106)

so dass unter Verwendung der Eulerschen'* Formel geschrieben werden kann: u{t) = U„\_cos{ojt) + jsm{(oty\ = uy"

(6.107)

Die Antwort ist wiederum ein harmonisches Signal mit gleicher Frequenz, aber gewohnlich unterschiedlicher Amplitude und Phase:

;.(0 = V*°""'''

(6-108)

Die Gleichungen (6.107) und (6.108) sowie die Ableitungen des Ausgangssignals: ^ ^

=ro(»"e-'e-

(6.109)

und die des Eingangssignals: ^ A i = t/^(^-«)-e-'

(6.110)

in die Differenzialgleichung (6.8) eingesetzt, liefert mit der Definitionsgleichimg fur den komplexen Frequenzgang eines Ubertragimgsgliedes: F ( » = ^e>''=|F(>)|e"' die Frequenzganggleichung mit m
(6.111)

6.5 Der Frequenzgang

r yJOj =

;;

—^

169

(6.112)

^

[ja)" +a„_^{jco)"~ +... + a^{jo)) +aJo) + a^ Der Betrag des komplexen Frequenzganges bzw. sein Amplitudenverhaltnis YQIUQ in der Gleichung (6.111) ist ein MaB fiir die Amplitudenanderung und sein Argument (p ein MaB fur die Phasenverschiebung die eine Schwingung der Frequenz co beim Durchlaufen des Ubertragungsgliedes erfahrt. Es ist ersichtlich, dass die Ubertragungsflinktion in Polynomform ganz formal in den Frequenzgang ilberfuhrt werden kann, wenn ftir den Realteil der komplexen Variablen 5=0 gilt und somit die komplexe Variable von: s = S + j(o in 5 ^ jco

(6.113)

iibergeht. Der entgegengesetzte Weg fuhrt zwar bei den meisten technischen Systemen zum richtigen Ergebnis, ist aber aus mathematischer Sicht nicht immer eindeutig.

6.5.2

Die Ortskurve als graphische Darstellung des Frequenzganges Im(F)

(-1J0)

^

(0 = 0

Re(F)

Bild 6.7 Ortskurve eines Ubertragungsgliedes fiir 0 < co < co mit Betrag und Phase Die Ortskurve ist die graphische Darstellung des Frequenzganges mit der Frequenz a als Parameter, wenn o den Bereich von -oo bis +co durchlauft. Ihre Darstellung beruht auf der Tatsache, dass der Frequenzgang eine komplexe Variable ist, die sich in ihren Real- und Imaginarteil bzw. in ihren Betrag und ihre Phase aufspalten lasst. Die Lange des Zeigers vom Ursprung des Koordinatensystems bis zur Ortskurve entspricht dem Betrag des Frequenzganges fur eine bestimmte Frequenz. Der Winkel, den der Zeiger mit der positiven reellen Achse einschlieBt, entspricht der Phasendifferenz zwischen dem Eingangssignal und dem Ausgangssignal.

170

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

Werden in einem rechtwinkligen Koordinatensystem Realteil und Imaginarteil des komplexen Frequenzganges fur a> von 0 bis oo aufgetragen, so ergibt sich der positive Teil der Ortskurve. Der negative Teile der Ortskurve ist spiegelbildlich zum positiven Teil. Fiir die Amplitude des komplexen Frequenzganges gilt: F{(o) = \F{jco)\ = ^%e[F{j(o)]

+:im[F[jcD)]

(6.114)

Da der komplexe Frequenzgang eine gebrochene rationale Funktion mit einem Zahlerpolynom und einem Nennerpolynom ist, kann auch geschrieben werden:

F[co) = — ^yie{N{jco)f+^m{N{jco)f

(6.115)

Fiir die Phase gilt: 9j(ft)) = arctan

:im{F{jco)] ^e{F{jo))

bzw. aufgeteilt nach Zahler und Nenner, wobei der Zahler ein Voreilen und der Nenner ein Nacheilen der Phase hervorruft: C3(ffl) = arctan ' ; '\ -arctan ^^ ' 91e Z >

6.5.3

; 'l ^e{N{ja)}

(6.116)

Berechnung der Ortskurve mit der M-function nyquist Eigenschaft von nyquist:'' Berechnet die Ortskurve eines Frequenzganges und stellt sie graphisch dar. Syntax: [Re,Im,w] = nyquist(System,w) Beschreibung: 'System' kann eine Ubertragungsflinktion oder ein Zustandsmodell sein. Bei Zustandsmodellen mit 'w' EingangsgroBen und 'r' AusgangsgroBen ergeben sich fur jede Frequenz a mxr Werte fiir die Realachse und die Imaginarachse. Die Ortskurve wird als Graphik ausgegeben, wenn nur der Teil rechts des Gleichheitszeichens angegeben ist. Zur Berechnung des Realteils die und des Imaginarteils 3m fiir spezielle Frequenzen sind diese im Vektor w anzugeben. Weitere Funktionen siehe help / doc nyquist.

' Nyquist, Harry *7.2.1889 Nilsby, Schweden t4.4.1976 Harlingen Texas USA, Elektrotechniker

6.5 Der Frequenzgang

6.5.4

171

Spezielle Punkte der Ortskurve

6.5.4.1 CD = 0 bei Ubertragungsgliedern mit Ausgleich Mit 0 = 0 folgt aus Gleichung (6.112): F{jO) = \F{jO)\ = F{co = 0) = ^ = V

(6.117)

d.h., der Frequenzgang ist eine reelle Zahl, welche dem Betrag bzw. der Zeigerlange entspricht und gleich der stationaren Verstarkung ist. Da der Imaginarteil gleich null ist, wird die dazugehorende Phase (p = 0°, d.h. der Startpunkt liegt auf der positiven reellen Achse. Beispiel 6.21 Gegeben ist der Frequenzgang eines Verzogerungsgliedes 1. Ordnung:

F(7fi)) = — L = _^^iZ^ Ja> + a^

(6.118)

J CO + 0 , 5

Es ist der Startpunkt der Ortskurve zu berechnen. Losung: siehe Beispiel6_21 .m Der Startpunkt liegt bei (Re,Im) = (1.5,0)! Es betragen, die Amplitude =1.5 imd die Phase = 0°! 6.5.4.2 0 = 0 bei Ubertragungsgliedern ohne Ausgleich Filr den Frequenzgang eines /-Gliedes - Ubertragungsglied ohne Ausgleich - ist der Koeffizient tzo = 0. Dafur strebt der Betrag gegen co und der Winkel betragt (p = -90°. Beispiel 6.22 Gegeben ist der Frequenzgang eines /-Gliedes 1. Ordnung: '^(7») = - ^ = — - J = JCO

CO

J

(6.119)

CO

d.h. der Frequenzgang ist eine komplexe Zahl dessen Realteil null ist. Es ist der Startpunkt der Ortskurve zu berechnen. Losung: siehe Beispiel6_22.m Der Startpunkt liegt bei (Re,Im) = (0,-75000)! Es betragen, die Amplitude = 7.5e+004 und die Phase = -90°!

172

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

6.5.4.3 o —> 00 bei Ubertragungsgliedern mit oder ohne Ausgleich Strebt co^-x, dann gilt flir den Betrag: f0 Xim F[jco) = \ ,

fur

m
d.h. flir beide Falle endet die Ortskurve in einem reellen Punkt. Die Phase berechnet sich wie folgt: \im(p{a)) = -{n-m)9Q°

(6.121)

Beispiel 6.23 Flir die Beispiele 6.21 und 6.22 sind die Werte der Ortskurven mit o ^ co, d.h. ftir eine genugend groBe Frequenz, wie z.B. o)= le+05 s"', zu berechnen. LQsimg: siehe Beispiel6_23.m Der Endpimkt des 1-Glieds liegt bei (Re,Im) = (0,-0)! Es betragen, die Amplitude = 7.5e-006 und die Phase = -90°! Da jeweilsOT= 0 und n = 1 ist, mussen die Amplituden null und die Phase -90° betragen. Beispiel 6.24 Filr das in Kapitel 5.5 behandelte sprungfahige System: F{jm) - -^—'(jo)) +aJ(o + a^ sind die speziellen Punkte fur die Frequenzen:

CO =

0 < wenn 3w = 0 10^ fur o ^ 0 0

auf der Basis der Werte des Kapitels 5.5 zu berechnen und die Ortskurve darzustellen. Der gegebene Frequenzgang ist mit Hilfe der Symbolic Math Toolbox in Form einer komplexen Variablen in seinen Real- und Imaginarteil aufzuspalten. Die Ergebnisse sind mit den Mfunctions nyquist und atan2 zu iiberpriifen. Losung: siehe Beispiel6_24.m w = 0 liefert den Ortskurvenpunkt (Re,Im) = (1,0)! w = ~> inf liefert den Ortskurvenpunkt (Re,Im) = (0.8,0)! Fur die Frequenzen: wl = 0 1/s, w2 = +7.4833 1/s, w3 = -7.4833 1/s wird der Imaginarteil = 0!

6.5 Der Frequenzgang

173

Die Frequenz w = 7.4833 1/s liefert einen Punkt auf der Ortskiirve bei (Re,Im) = (0.72,0)! Daraus folgt fiir den Frequenzgang eines sprungfahigen Systems 2. Ordnung als komplexe Variable abhangig von der Frequenz in allgemeiner Form: b2a)'^-{a^b2-ajbj+b(,)(0'^+a^b^ ')'^ CO

(ajb2-bAco'+(a^b^-a^bg)(a

+(af -2aA(o^ +al

Oi' +

(af-2ao)

2

2

(6.122)

und im speziellen Fall fur die Werte des Netzwerks: O,80''+43,2ffl'+256

F[jco

ffl"+68ft)"+256

0,80^-44,8© J ffl''+68ffl'+256

(6.123)

Fiir die Frequenzen, die gegen null bzw. gegen unendlich gehen, betragen die Phasendifferenzen zwischen dem Eingangssignal und dem Ausgangssignal null. Dieses Ergebnis entspricht dem der Gleichung (6.121), deim die Grade von Zahler und Nenner stimmen uberein. » nyquist(G),axis([0.7 1.01 -0.2 0.2]) Nyquist Diagram

0.15

-

0.1

0 05

(0 = 0

1

>^^

CO - >

+ <»

^1

1 °

/

-^0.05

-0.1

^ .

CO ->

± 7,4833 s"''

-

-0.15

0.8

0.85 Real Axis

Bild 6.8 Ortskurve des sprungfahigen Netzwerkes 2. Ordnung Der obere, negative Teil der Ortskurve ergibt sich fur -co < o < 0. Der untere Teil der Ortskurve ist das Ergebnis fur einen Frequenzverlauf 0 < co < +00. Im deutschen Sprachraum wird der negative Teil der Ortskurve gewohnlich nicht dargestellt. Die Ortskurve der offenen Kette dient zur Beurteilung von Stabilitatsaussagen iiber den geschlossenen Kreis mit Hilfe des Kriteriums von Nyquist.

174

6.6

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

Das Frequenzkennlinien-Diagramm

Das auch als Bode*-Diagramm [Bode-1945] bezeichnete Verfahren geht von der Darstellung des Ubertragungsverhaltens eines Systems durch seinen Frequenzgang aus. Die sinnvollste Darstellungsweise fiir ein Bode-Diagramm ist die Ubertragungsllinktion in der Zeitkonstantenform. Die vorliegende Ubertragungsfunktion wird in der unter 6.5 beschriebenen Weise in den dazugehorenden Frequenzgang uberfuhrt. Im Gegensatz zur Darstellung durch Ortskurven wird der Frequenzgang in die beiden Telle Amplitudengang und Phasengang zerlegt und getrennt iiber dem Logarithmus der Frequenz aufgetragen. Da fur die Darstellung und Untersuchung ein relativ breiter Frequenzbereich notwendig ist, werden sowohl die Frequenz als auch die Amplitude logarithmisch abgebildet, was auch zu der Bezeichnung logarithmische Frequenzkeimlinien gefuhrt hat.

6.6.1

Systeme minimaler Phase und Allpassglieder

Aus der Systemtheorie ist bekannt, dass die Ubertragungsfunktionen real existierender Systeme wie folgt beschrieben werden konnen: - Die Pole und NuUstellen sind entweder reell oder konjugiertkomplex. - Fiir stabile Systeme gilt: die Pole miissen auf jeden Fall einen negativen Realteil haben, NuUstellen konnen dagegen auch einen positiven Realteil aufweisen. - Ebenfalls real sind Systeme mit einem oder mehreren Polen im Ursprung, sie werden als Systeme ohne Ausgleich bzw. mit /-Verhalten bezeichnet. - Ungedampfte Systeme, so genannte Dauerschwinger, haben ein konjugiertkomplexes Polpaar auf der imaginaren Achse, d.h. der Realteil ist null. - Systeme, die mindestens einen Pol mit positivem Realteil aufweisen, sind ebenfalls real, aber instabil. Die Frequenzganggleichung eines Systems kann gewohnlich in einen Phasenminimumanteil und in einen Allpassanteil aufgespalten werden. Der Phasenminimumanteil eines Systems besitzt nur NuUstellen und Pole mit negativem Realteil und wird auch als System minimaler Phase bezeichnet. Systeme minimaler Phase haben den kleinstmoglichen Betrag an Phasenverschiebung zwischen dem Eingangssignal und dem Ausgangssignal, der bei einer gegebenen Anzahl von Energiespeichem moglich ist. Das Allpassglied besitzt im Endlichen gleich viele NuUstellen wie Pole. Hierbei haben alle Pole einen negativen Realteil, d.h. sie liegen links der imaginaren Achse. Die NuUstellen jedoch weisen einen gleichgroBen, aber positiven Realteil wie die Pole auf, d.h. die NuUstellen liegen symmetrisch zu den Polen mit der imaginaren Achse der komplexen Ebene als Symmetrieachse.

' Bode, Hendrik Wade *24.12.1905 Madison USA "|"21.06.1982 Cambridge Massachusetts, Forscliungsingenieur, Prof. systems engineering Harvard University

6.6 Das Frequenzkennlinien-Diagramm

175

H.W. Bode erkannte, dass nach dem Abspalten des Allpassanteils bei dem verbleibenden Phasenminimumanteil ein eindeutiger Zusammenhang zwischen dem Verlauf der Phase und dem der Amplitude besteht. Phasenminimum-Systeme lassen sich in nachfolgend aufgefiihrte typische Ubertragungsglieder zerlegen: - Proportionalglied, P-Glied - Verzogerungsglied 1. Ordnung, Ti-Glied - Integrierglied, /-Glied - Vorhaltglied 1. Ordnung, T^))-Glied, praktisch nur in Verbindimg mit einem Ti-Glied moglich - Differenzierglied, D-G\ied, praktisch nur mit einem Ti-Glied moglich - Schwingungsglied, r2rf-Glied wobei, bis auf das Schwingungsglied, alle von 1. Ordnung sind. Durch die multiplikative Verknilpfung dieser Grundglieder lassen sich die entsprechenden Frequenzgange bilden.

6.6.2

Logarithmischer Amplituden- und Phasengang

Der Frequenzgang:

F{jco)=

Z(ico) b^i icoX'+b„ A icoY +... + hia) + b„ Y '= "^-^ ' ""'^-^ \

(6.124)

N{j6)) [jco)" +a„_^{jco)" +... + aJco + a^ ist eine komplexe Funktion, fur die es die zwei nachfolgend angegebenen Moglichkeiten der Darstellung gibt. 6.6.2.1 Zerlegung des Frequenzganges in seinen Real- und Imaginarteil Der Frequenzgang kann, da er eine komplexe Zahl ist, in seinen Realteil !Re((B) und seinen Imaginarteil '3m{(o) zerlegt werden: F{jco) = '^e[co) + j'5m{ca)

(6.125)

Dies bezieht sich auch getrennt auf seinen Zahler und Nenner. Dadurch wird die Behandlung wesentlich vereinfacht. Es gilt fur den Zahler: Z(yft)) = 9?e2(®) + 73wz(fi')

(6.126)

und fur den Nenner: N{jco) = 3?e,, (ffl) + 73OT^, (o)

(6.127)

6.6.2.2 Zerlegung des Frequenzganges in seine Amplitude und Phase Zum Bilden des logarithmischen Amplitudenganges und Phasenganges wird der Frequenzgang: F ( 7 « ) = | F ( > ) | e ' * W =7^(«)e'*<'"'

(6.128)

176

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

zerlegt in den Betrag oder die Amplitude: \F{j(o)\ = F{co) = VlRe' + 3 w '

(6.129)

und die Phase: O,. (ffl) = arctan

'-

(6.130)

1st L der in Dezibel [dB] ausgedriickte Wert einer Zahl F und wird dieses L uber dem dekadischen logarithmischen FrequenzmaBstab Igico) aufgetragen, dann ergibt sich der logarithmische Amplitudengang: L{w) = 20lgF{6))

[dB]

(6.131)

Der Betrag F(a)) des Frequenzganges F(Ja)) ist der Quotient der Amplituden am Ausgang und Eingang des Systems, was zu dimensionsbehafteten Quotienten fuhren kann. Der Phasenverlauf 0(ft)) [°], uber dem dekadischen logarithmischen FrequenzmaBstab Igico) aufgetragen, liefert den logarithmischen Phasengang. Der Amplitudengang eines Systems, welches aus n in Reihe geschalteten Teiliibertragungsgliedem besteht, wird wie folgt gebildet: L{co) = 20\g[F,{o,)-F,{<,):..-F„{co)]

^^

L{co) = 20\gF,{co) + 20\gF^{a) + --- + 20\gF„{a) Die multiplikative Verkniipfung entspricht bekanntlich einer Reihenschaltung der einzelnen tJbertragungsglieder, was bei der logarithmischen Darstellung zur Addition sowohl der einzelnen Amplitudengange als auch Phasengange fuhrt: cI)(ft)) = cD|(ft)) + cD2(ft))-H--- + cD„(ft))

(6.133)

Eine Frequenz erhoht sich um eine Oktave, wenn sie verdoppelt und um eine Dekade, wenn sie verzehnfacht wird

6.6.3

Amplituden- und Phasengange mit der M-function bode Eigenschaft von bode: Die Funktion berechnet die Werte fur die Amplitudengange [Am] und Phasengange [Ph] eines Frequenzganges. Syntax: [Am,Ph,w] = bode(System,w) Beschreibung: 'System' kann eine Ubertragungsfunktion oder ein Zustandsmodell sein. Bei Zustandsmodellen mit m EingangsgroBen und r AusgangsgroBen ergeben sich

6.6 Das Frequenzkennlinien-Diagramm

177

fiir jede Frequenz co mxr Werte fur die Amplituden und Phasengange. Das BodeDiagramm wird als Graphik ausgegeben, wenn nur der Teil rechts des Gleichheitszeichens angegeben ist. Zur Berechnung der Amplituden Am imd Phasen Ph fur spezielle Frequenzen sind diese im Vektor w anzugeben. Weitere Funktionen siehe help / doc bode.

6.6.4

Bode-Diagramme typischer Grundglieder

Wesentlich fur die Darstellung der graphischen Verlaufe ist, dass die Amplitudengange, bis auf einen kleinen Frequenzbereich bei dem Schwingungsglied, durch Geraden approximiert werden konnen. Die Phasengange sind entweder typische Arcustangens-Funktionen oder Geraden. 6.6.4.1 Das Proportionalglied, P-Glied Der Frequenzgang eines P-Gliedes ist eine Konstante und damit unabhangig von der Frequenz: G{s) = Kp

=> F{ja) = Kp

(6.134)

Der Amplitudengang: Lp[a) = 20\gKp=Lp

(6.135)

ist eine Parallele zur 0 dB-Achse bzw. stimmt bei Kp= \ mit dieser ilberein. Der Phasengang wird mit einem Imaginarteil von null ebenfalls null: ^p{co) = 0°

(6.136)

6.6.4.2 Verzogerungsglied 1. Ordnung, ri-Glied Der Frequenzgang eines TpGliedes ergibt sich zu: G^{s) = —^ ^'^ ' \ + Ts

^

Fj{jco) = ^'^ ' l + Tjco

(6.137)

Aus dem in Gleichung (6.137) angegebenen Frequenzgang ermittelt sich fur den logarithmischen Amplitudengang: L^^ (a) = 20lgl-20lg^f

+{To}f = -20Ig^f

+{Tcof

(6.138)

und fur den logarithmischen Phasengang: Oy, {o}) = arctan — arctan

= -arctan(^Ta))

(6.139)

Spezielle Punkte: Nachfolgend werden mit den Gleichungen (6.137) und (6.139) fur spezielle Punkte bzw. spezielle Bereiche Werte des Amplitudenganges und des Phasenganges berechnet:

178 -

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System Tffl=10"'«l » L = -20*logl0((l+(le-5)'^2)'^(l/2)) L= -4.3429e-010 » Phi = -atan2(le-5,l)*180/pi Phi = -5.7296e-004

Fiir sehr kleine Frequenzen konnen der Amplitudengang durch die Null-dB-Achse imd der Phasengang durch die Null-Grad-Achse angenahert werden. - T » = 10"'^> 0 = 0,1 C()k » L = -20*logl0((l+0.1^2r(l/2)) L= -0.0432 » Phi = -atan2(0.1,l)*180/pi Phi = -5.7106 Betragt die Frequenz 0 = 0,1 cok, mit der Knickfrequenz a)k= T"', dann ist die Abweichung von der als Approximation angenommenen Null-dB-Achse -0,0432 dB, eine fur den schnellen Uberblick durchaus vernachlassigbare Abweichung. Der dazugehorende Winkel von -5,7106° ist durch die Darstellung des Graphen der Arcustangens-Funktion beriicksichtigt. - T (0=1 ^> (0= (Of Knickfrequenz » L = -20*logl0((l+l)^(l/2)) L= -3.0103 » Phi = -atan2(l,l)*180/pi Phi = -45 An der Knickfrequenz bettagen die Werte des Amplitudenganges L{(d) « -3 dB und des Phasenganges 0(ft)) = -45°. Der Fehler, der die Approximation des Amplitudenganges durch seine Asymptote - Gerade auf der Null-dB-Achse - von co ^ 0 bis zur Knickfrequenz ergibt, betragt damit -3,0103 dB. - T (o=\0^ (o=\Q o\ » L = -20*logl0((l+(10r2)'^(l/2)) L= -20.0432 » Phi = -atan2(10,l)*180/pi Phi = -84.2894

6.6 Das Frequenzkennlinien-Diagramm

179

Fiir Frequenzen von der Knickfrequenz bis o ^ co kann der Amplitudengang wiederum mit geniigender Genauigkeit dnrch seine Asymptote mit einem Gefalle von 20 dB/Dekade dargestellt werden. - T ffl=10'» 1 ^ f t ) = 10^ ft)t » L = -20*logl0((l+(le5)^2)^(l/2)) L= -100.0000 » Phi = -atan2(le5,l)*180/pi Phi = -89.9994 Bei dem Sfachen der Knickfrequenz weiBt der Amplitudengang erwartungsgemaB einen Wert von 5 Dekaden*(-20dB/Dekade) = -\QQ dB auf. Der Phasengang hat die fur ein Verzogerungsglied 1. Ordnung maximal mogliche Phasendrehung von -90° erreicht. Nachfolgend die graphische Darstellung des Amplitudenganges und des Phasenganges: » b o d e ( l , [ l 1]), grid

Bode Diagram

« 3 dB bei co = 1/T

Frequency (rad/sec)

Bild 6.9 Amplituden- und Phasengang - Bode-Diagramm - eines Ti-Gliedes Der Amplitudengang des Verzogerungsgliedes 1. Ordnung kann mit geniigender Genauigkeit durch seine zwei Asymptoten: Einer Geraden auf der Null-dB-Achse von « ^^ 0 bis zur Knickfrequenz o^ = \IT und einer Geraden mit 20 dB/Dekade Gefalle von der Knickfrequenz o^ bis « ^^ CXD approximiert werden. Der Phasengang verlauft von 0° bis -90°, an der Knickfrequenz o^ befragt er -45°.

180

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

6.6.4.3 Das Integrierglied, / - d i e d Der Frequenzgang des /-Gliedes ist eine komplexe Zahl, deren Realteil null ist: T,s

(6.140)

T,jco

Aus Gleichung (6.136) ermitteln sich fur den logarithmischen Amplitudengang: L,(ft)) = 201gl-201g^(7;ft))' =-20lgT,co

(6.141)

und fur den logarithmischen Phasengang: $,(«) = arctan — arctan —— = - arctan co = -90° '^ ^ 1 0

(6.142)

Der Amplitudengang fallt mit steigender Frequenz kontinuierlich um 20 dB/Dekade. Die Phasendrehung betragt unabhangig von der Frequenz -90°. Bode Diagram 10

1

1

1

1

1

1

5 0

^ 3

= 1/T,i=2s-^ i

i

-5 -10 -15 -89

89.5

-90

90.5

-91

10

10 Frequency (rad/sec)

Bild 6.10 Bode-Diagramm eines /-Gliedes mit der Integralzeit // = 0,5 s Interessant ist die Frequenz bei der die Null-dB-Achse von dem Amplitudengang geschnitten wird: 1 (o.

6.6 Das Frequenzkennlinien-Diagramm

181

Fiir eine Integralzeit von 7} = 0,5 s, was einer Schnittfrequenz von 0)^ = 2 s"' entspricht, ergibt sich das Bode-Diagramm im Bild 6.10 mit: »bode(l,[0.5 0]), grid 6.6.4.4 Vorhaltglied 1. Ordnung, Jfli-Glied Der ideale Frequenzgang eines Vorhaltgliedes 1. Ordnung ergibt sich zu: Gm{s)^l

+ Ti,^s => Fo,{j(o) = \ + TaJCO

(6.143)

Der Frequenzgang ist eine komplexe Zahl. Aus dem in Gleichung (6.143) angegebenen Frequenzgang ermittelt sich fur den logarithmischen Amplitudengang: z„,(ffl) = 20ig^i^+(r„,«f

(6.144)

und fur den logarithmischen Phasengang: O^, (ffl) = arctan—2^— = arctan(r^,ffl)

(6.145)

Bode Diagram

30

J

|_4.-I-I-I-14-I

1

1 1

i - - t - i -1-1-1 i-i 1 1 1 1 1 1 1 1

1— 1 • - ^ - t - l - n - l - t 1 -p^-\rrrni 1 1 1 1 1 1 1 11 y ^

\

III;

i

i

1 1 1 1 1 1 1 1 r 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

i i i i i 11 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 1 1 1

1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 111 111 1 r n 1 1 1 1 1111 1 111 1 111

4 - - 1--t-1-1. 4-U

U_|_l_4-4-U J

V- - ^ ^ _I_UI-I-|.

r — i - - i -i-i-i-i -r 1 1 J 1 J 1 1 1

1 1 l l j i i h ^ ^ ;^ 3 dB bei (0 = 1/Tp^ = 1 s"'' i

i 1

1 1 i

1 1 1

i i i i 1 11

i

i

i i i 1 iij

r

i

i i i i i i

1

1 1 1 1 1 1 1 1 I I i^j-rXTi 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 > ^ l III! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 j T i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 'v^i 1 I I 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 >f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 / 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \ \ \ \ \ \\ / 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i/ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r r r T r r y f T I I I r n r r r i r n r n T r 1 1 1 1 1 \jr\ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I I I y r 1 II 1 1 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 1 1 1 I I y \ 1 1 11 1 1 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i X i 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 11 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1^,.—-—•'T I I I -L-U'-rr^'^ 1 1

10

1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11

1

10 Frequency (rad/sec)

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 111 1

10

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

10

Bild 6.11 Bode-Diagramm eines Toi-Gliedes mit der Vorhaltzeit To = Is » b o d e ( [ l 1],1), grid Amplitudengang und Phasengang sind spiegelbildlich zu denen des Verzogerungsgliedes erster Ordnung, bezogen auf die Null-dB-Achse. Bis zur Knickfrequenz stimmen der Amplitudengang mit der Null-dB-Achse iiberein, danach wird er durch eine Gerade mit einem Anstieg von

182

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

20 dB/Dekade approximiert. Der Phasengang verlauft von 0° bis +90°, an der Knickfrequenz betragter+45°. 6.6.4.5 Differenzierglied, ideales Z)-Glied Der Frequenzgang ergibt sich zu: GD{S) = T^S

=^

F^{jo))^TJo

(6.146)

Er ist eine komplexe Zahl, deren Realteil null ist. Aus dem Frequenzgang in (6.146) ermitteln sich fflr den Amplitudengang: z , ( « ) = 20ig^(r,«)

=20igr„«

(6.147)

und fiir den logarithmischen Phasengang: 0 „ (ft)) = arctan—^— = arctanoo = 90°

(6.148)

»bode([0.5 0],l), grid Bode Diagram 15

1

1

1

1

1

1

1

\

10 5 0 -5

^^,..^-^^^^7^

^

i 1 i M i_

C03 = 1/Tp = 2 s - 1

1

i

1

1

i

1 i i

-10 91

90.5

90

89.5

10"

10' Frequency (rad/sec)

Bild 6.12 Bode-Diagramm eines idealen £)-Gliedes mit T^ = 0,5* 6.6.4.6 Schwingungsglied, 7'2d-Glied Der Frequenzgang eines Schwingungsgliedes ergibt sich mit der Dampfung d und der Zeitkonstante T als dem Kehrwert der Eigenkreisfrequenz coo des ungedampften Systems zu:

6.6 Das Frequenzkennlinien-Diagramm

183

1 \ + 2dTs + T^s^

Grid (-s)

(6.149) 1 \ + 2dTj(o + T^[ja)

\-[Ta)

+2dT jco

Aus Gleichung (6.149) ermittelt sich der logarithmische Amplitudengang: '^r2rf(®) = -2Olg^(7'0) + 2 ( 2 ^ ' - l ) ( r » ) +1

(6.150)

und der logarithmische Phasengang: ^ / \ 0 2dT(o 2dTco ^^-.^.^ O^,, tt)) = arctan — arctan = -arctan (6.151) ^ ' 1 \-{Tco)' \-{Ta)' Beispiel 6.25 Gesucht sind die Resonanzfrequenz und die maximale Amplitude eines Schwingungsgliedes unter Verwendung der Gleichungen (6.150) und (6.151). Losung: siehe Beispiel6_25.m Die Frequenz, fur den die Amplitude ihren maximalen Wert annimmt - Resonanzfrequenz, ist von wrl_3 die zweite Losung: (o^=-^\-2d^

Achtung! Es gilt: d^ < | V 2 = 0,7071

(6.152)

Maximalwert der Amplitude des Frequenzganges: F^.M)

=

^ ^ 2d^\-d^

(6-153)

Maximaler Wert des Amplitudenfrequenzganges:

\ni2^d^-d'] L^H)

= -20I—^'

'-' =-2Q\g\2d^\-d'y = -201g(2^VW

(6.154)

Der zum Maximalwert der Amplitude gehorende Phasenwinkel: 0 ( ( » J = - a r c t a n - ^ 1 - 2 c/'

', in MATLAB = In im deutschen Sprachraum, es gilt ln(a) = ln{W) x /g(a)

(6.155)

184

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

Beispiel 6.26 Fiir drei Schwingungsglieder mit der Zeitkonstante T = Is imd den Dampfungswerten di = 0,007; d2 = 0,07 und d^ = 0,7 sind die Resonanzfrequenzen cOri, 0^2 undffl^ssowie die dazugehorenden Amplitudenwerte imd Phasenwerte zu berechnen und in einem gemeinsamen Bode-Diagramm darzustellen. LQsung: siehe Beispiel6_26.m Bode Diagram

-135 -180 Frequency (rad/sec)

Bild 6.13 Bode-Diagramme von 3 Schwingungsgliedem mit di • 0,007; d2 = 0.07 und d^ = 0,7 sowie T= Is Zusammenfas sung: Der Amplitudengang des Schwingungsgliedes kann fur den Bereich: - 0 durch eine Gerade mit einem Gefalle von 40 dB/Dekade approximiert werden. Der Bereich um die Eigenkreisfrequenz des ungedampften Systems Ob ist, wie aus dem Bild 6.13 zum Beispiel 6.26 entnommen werden kann, durch die Dampfung gepragt. Bei einer Dampfung von 0,1 < d < 0,007 ergeben sich Amplitudenwerte im Bereich 0,0017 dB < L < 37,0777 dB fiir die Eigenkreisfrequenz fflo = 1 5"'. Bei einem Dampfungswert von d= I ergibt sich ein Amplitudenwert von -6,0206 dB.

6.6 Das Frequenzkennlinien-Diagramm

6.6.5

185

Bode-Diagramme von Systemen nichtminimaler Phase

Zwei haufig auftretende Systeme nichtminimaler Phase sind das Allpassglied und das Totzeitglied. Beide werden nachfolgend behandelt. 6.6.5.1 Das Allpassglied Es wird nur das Allpassglied 1. Ordnung untersucht. Seine Ubertragungsflinktion und der daraus abgeleitete Frequenzgang lauten: => F.„{j(i)) = ^— ^ ' \ + Tjco

GAP{S) =

""^^ •'

Ts + \

(6.156)

Aus Gleichung (6.156) leitet sich der logarithmische Amplitudengang: L^,{(o) = 20\g^\ + [Tco) -20\g^\

+ {T(o) =0

(6.157)

ab. Die Gleichung (6.157) stellt im Bode-Diagramm eine von der Frequenz unabhangige Gerade auf der Null-dB-Achse dar. Fiir den logarithmischen Phasengang folgt: ,

N

—{To})

O^p (fflj = arctan—^^

TCO

^-arctan

,

N

= -2arctan(rft)j

(6.158)

Beim Durchlaufen der Frequenz von 0 bis co wird die Phase von 0° bis -180° gedreht, d.h. urn den doppelten Betrag eines Ti-Gliedes. Beispiel 6.27 Da die M-function bode den Phasengang urn +360° verschoben darstellt, was bei vorhergehenden Versionen nicht der Fall war, ist fiir Allpassglieder 1. Ordnung die flinction bode_ap.m zu schreiben und das Bode-Diagramm fiir eine Zeitkonstante von T=5s darzustellen. Losung: Die iJbertragimgsfunktion des Allpassgliedes 1. Ordnimg mit einer Zeitkonstante von T = 5 s lautet: G,^(5) = ^ ^ ^ siehe Beispiel6_27.m bzw. flinction bodeap.m

(6.159)

186

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System Amplitudengang eines Allpassgliedes 1. Ordnung mit T= 5s 1|

r1

0.5

I

-0.5

T

1

1 1 1 1 M 1

T

n i T T r

1

r

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 l-t--l-*-+4-l 1 1 1 1 1 1

1

! ! ! ! 11! 1

10

1

1 1 1 1

-i

n

y n i T r

1 1 1 1 11

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 +4-(-( 1 1 1

1 1 1 1 1

1

1 1 1 1 M 1

1

1

1 1 1 1 + 1

1

r

1 1 1 t ) 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1

1 ! 1 ! ! 11!!

10

!

1

1 1 1 1 1 M

i

i

n

m

T

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I-1--I-I-I + I 1 1 1 1 1

r

r

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1

i

-i

1 1 1 1 1 1

T T - I T T

1 1 1 1

1

1 1 1

!!!!!!!!

10

1

1 1 1 [ 1 1 1 [ 1 1 1 [ 1 1 1 1 1 1 - + -( - l - l - l 1 1 1 1 1

!

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

!!!!...

10

10

Phasengang des Allpassgliedes 1. Ordnung

0

1

1 —r-|-H-HK-4—______!

-45

1

1__|_4-44-|.4.|

1

|__|_4.-rjXj-l

-90

1

i--i-n-t-tTi

1

i--i-r-t-i-t-ri

1

1 1 1 II 1 1

1

1

1

1

1 1 1 1 1 1 1

1

1

1 1 1 1 1 1

1-4--1-14 4.1

1

1

1-4.-1-1-1-1-

^S
1

1—i-T-t-i-i-r

-135

l^-~4^UiM

-180

10"

10"'

10'

10"

10

Bild 6.14 Bode-Diagramm eines Allpassgliedes 1. Ordnung 6.6.5.2 Das Totzeitglied - TrGlied Die iJbertragungsflinktion und der daraus abgeleitete Frequenzgang lauten: —T, io)

G„ {s) --

FTI

(6.160)

(i®) =

Zunachst wird die in Gleichung (6.160) beschriebene e-Funktion mit Hilfe der Eulerschen Formel dnrch ihren Realteil und Imaginarteil dargestellt: FT,

(7®)

_

„-?;./'»

_

cos(0 7^)-7sin(»r,)

(6.161)

Aus der Gleichung (6.161) folgt der logarithmische Amplitudengang: Lj, (a) = 201g.^cos^ [(oT,) + sin^ [coT,) = 201gVl = 0

(6.162)

Er ist, wie der des Allpassgliedes, eine Gerade auf der Null-dB-Achse imabhangig von der Frequenz. Der logarithmische Phasengang: /

\

^Ti (®) = arctan

-sin(ffl7^) cos

t

/

\\

r T

j -^ = -arctan (^tan(«7^ jj = -07^ |^°J {wT,)

(6.163)

fallt mit wachsender Frequenz kontinuierlich, bzw. beim Durchlaufen der Frequenz von 0 bis 00 wird die Phase von 0° bis -00 gedreht.

6.6 Das Frequenzkennlinien-Diagramm

187

Mit Hilfe der M-fUnction bode lasst sich fiir ein Totzeitglied kein Bode-Diagramm ermitteln! Beispiel 6.28 Gesucht ist eine function bodejt.m zur Berechnung und graphischen Darstellung des BodeDiagramms fur Systeme mit Totzeiten im Bereich 0,2s < Tt < 600s. Die function ist fur eine Totzeit von T,= 10s zu testen. Losung: Amplitudengang eines Totzeitgliedes mit T = 10 s

0.5

-0.5

1

1

1 1 1 r 1 1 1 1

1 1 1 -i 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 M 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

1 1 1 r 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + -1 _(-( 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 TnmT 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

r 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1

1

1 1 1 1 1 II

1 1 1 1 1 1 i -i T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

10

1 1 1 n 1 1 1 1

1

1 1 1 1 11 1 1 1 t 11 1 1 1 1 11 - m r r 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 M 1 1 1 1 1 1 11

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1-4-1 -M 41 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 11 1 11 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1

1 1 1 1 1 1 1

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i r x n - m T r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1- 4 -l-l-l 4-1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

10

1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i - n i-|-r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

r

1 1 1 1 1 1 1 1 \ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1- 4 -l-M-l1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

10

10

Phasengang des Totzeitgliedes 0

1

I I I

^5

1

1

-90

Mill

1

1—h-M_Lm____^

1

1

1- 4. -1 -14 4 J

1

1

1

U^^^isKJ-l-l-l 4 J

1

1

1

1 — 1 - T -1 -1 -t -t 1

1

1—1- -r -1 -(-)-i 1

1

1 — r T -1-1-1^,1

1

1—1- -t - l - l - l - r

1

1 1 1 1 1111

1 1 1 1 1 11II

1 1 ! 1 1 1111

M 1 1 1 1 111

10

10

10

10

1 - 4 4 -l-l 41

1 1 1 111 1

1

1

1 1 1 11 1

1- 4-1-1-1-1-

-135 -180 10

\

Bild 6.15 Bode-Diagramm fur ein Totzeitglied mit bodejt.m siehe function bodett.m Beispiel 6.29 Es ist eine function bodejitt.m zu schreiben, die es ermoglicht, in Verbindung mit der Mfunction bode fiir die Reihenschaltung eines linearen Ubertragungsgliedes und eines Totzeitgliedes mit der Totzeit T, das Bode-Diagramm darzustellen. Als Beispiel soil das sprungfahige Netzwerk im Kapitel 5.5 G = nw_spJ{'G'), welches mit einem Totzeitglied mit der Totzeit T, = 2s in Reihe zu schalten ist, dargestellt werden. Losung: siehe function bode litt.m

188

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System Amplitudengang eines linearen Ubertragungsglieds 2. Ordnung mit 2 s Totzeit 0

10

10

10

10

Phasengang des linearen Ubertragungsglieds mit Totzeit 0

1

1

1

~i—T—i- i i-LL-

i

i

i

r--r-T-n-|-n

T

1

J L J . I _ J J I I

1

!

i i i i 1

i

i

i

i

i i i i

r - r - r n n

1

1

i^^-TrrT

L I I _ I L J J J

L

-45 -90 -135 -180

J

l _ J I

J,\l_LJ_

1 1

1 1

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1 1 \ 1 1 1 1 i\i

1

1

1

1 1 1 t 1 1

1

1

1

1 1 1 1 1 1

r

1

1

1 r r 1 i\

10"' 10" 10' 10" Bild 6.16 Lineares, sprungfahiges Ubertragungsglied 2. Ordnung mit 2 s Totzeit

6.7

Das Wurzelortverfahren

6.7.1

Einfiihrung

Mit der Ubertragungsfuniition der offenen Kette Go(s) lasst sich folgender vereinfachter Sig nalflussplan fur den geschlossenen Regelkreis angeben:

Go(s) U(s)

^ ^

Y(s)

Bild 6.17 Signalflussplan des vereinfachten einschleifigen Regelkreises Sind /?i ... K„ die Nullstellen und/?! ... p„ die Pole der Ubertragungsfunktion Go{s), so gilt folgende Darstellung in der Pol-Nullstellen-Form:

6.7 Das Wurzelortverfahren

n(^-"/)

{s-n,)...{s-n„) _^ j__, G,{s) = Ky - • ; - ; " •'""=KJ^

(6.164)

Der Verstarkungsfaktor A^darf nicht mit der stationaren Verstarkung Feines Systems verwechselt werden. Es besteht folgender Zusammenhang, dargestellt an der Ubertragungsflinktion in Polynomform: ^

(^)^fi.-^ +

+^,^ + ^ ^ ^ N

W

(6.165)

mit der stationaren Verstarkung:

r =N

(6.166)

Die Berechnung von Kmit der M-function dcgain ist in Kapitel 8.2 behandelt. Fiir 5 ^ 0 geht die Ubertragungsfunktion der offenen Kette in die stationare Verstarkung uber: Go(0) = F

(6.167)

V ist der Betrag des stationaren Wertes der AusgangsgroBe nach einem Einheitssprung am Eingang. Folgende Beziehung leitet sich aus Gleichung (6.164) zwischen der stationaren Verstarkung Fund dem Verstarkungsfaktor ^ fur.? —> 0 ab: m

n(-.) G,{Q) = K^

=V

(6.168)

n(-A) Die Ubertragungsfunktion des geschlossenen Kreises fur Fiihrungsverhalten, entsprechend Bild 6.17, ergibt sich zu: , ,

Y{s)

"^ '

U[s)

GAS)

\ + G,{s)

Mit der Gleichung (6.164) lasst sich die Gleichung (6.169) als gebrochene rationale Funktion mit je einem Zahlerpolynom und einem Nennerpolynom darstellen: m

GA^) = -

-.

n(^-^-)+^n(^-«/) ,=1

j=\

(6-170)

190

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

Das dynamische Verhalten des Regelkreises wird wesentlich durch die Lage der Wurzeln des Nenners - Pole - von Gleichung (6.170) bestimmt. Die Pole sind die Losungen der charakteristischen Gleichung des geschlossenen Kreises: n

m

Y{{s-p,) + KY{[s-n-)

=Q

(6.171)

bzw. m

m

n(^-«.) \ + G,{s) = \ + K^

n(^-«.) =0 ^

G,{s) = K^

n(^-A)

= -1

(6.172)

n(-A)

Bei der Auswertung der Gleichung (6.171) ist zu erkennen, dass fflr einen Verstarkungsfaktor AT = 0 die Losungen mit den Polen der offenen Kette iibereinstimmen. Wird dagegen Gleichung (6.171) mit 1/A^erweitert und wachst A^—> co: 1

m

n

n(^-«.>-^n(^-A)=o

(6.173)

so ist zu erkennen, dass die Losungen den Nullstellen der offenen Kette entsprechen: Die Pole des geschlossenen Systems wandem fur ein veranderlichen Verstarkungsfaktor K auf Kurven, den so genannten Wurzelortskurven, die fur AT = 0 in den n Polen />, des offenen Systems beginnen imd fur AT —> oo in den dazugehorenden m endlichen Nullstellen rij sowie den (n-m) Nullstellen im Unendlichen enden. Jeder Punkt der Wurzelortskurve entspricht einem Pol des geschlossenen Systems fljr einen bestimmten Verstarkungsfaktor K. Diese Punkte s = Py,„t(Re,Im) milssen die Gleichung (6.172) erflillen. Sie lasst sich in ihren Betrag, den Verstarkungsfaktor K:

ni(^.»*-ft)i |GO (5)1 = 1 ^

K =^

= K,K,

(6.174)

n|(^™*-"/)| ./=i

welcher ein Produkt der Verstarkungsfaktoren des Reglers KR und der Strecke Ks ist, und ihre Phase: m

n

Z'?'A?-Z'?'« ,/=i

=±(2^-1)180° ^ = 1,2,3,...

(6.175)

1=1

zerlegen. In der Gleichung (6.175) bedeuten: cp^^: Winkel zwischen der reellen Achse und dem von dery-ten Nullstelle zum betrachteten Punkt der Wurzelortskurve gezogenen Zeiger.

6.7 Das Wurzelortverfahren (p;,,:

191

Winkel zwischen der reellen Achse und dem von dem /-ten Pol zum betrachteten Pimkt der Wurzelortskurve gezogenen Zeiger.

Die Wurzelortskurve hat soviel Aste wie die Ubertragungsfunktion der offenen Kette Pole besitzt. Fur den ublichen Fall, dass es weniger Nullstellen im Endlichen als Pole gibt, d.h. m
6.7.2

Die Methode der Wurzelortskurve nach Evans

Die Methode zur Bestimmung des Wandems der Pole des geschlossenen Systems auf so genannten Wurzelortskurven in Abhangigkeit eines veranderlichen Parameters wurde 1948 von W.R. Evans'" [Evans-1948] angegeben. Neben der Ermittlung des Stabilitatsverhaltens eines Systems, ist es gleichzeitig eine wichtige Grundlage fur den Entwurf von Regeleinrichtungen auf der Basis des Pol-Nullstellen-Bildes. Mit dem Wurzelortverfahren ist es moglich, die Pole des geschlossenen Kreises in Abhangigkeit eines veranderlichen Parameters aus den Polen und Nullstellen der offenen Kette mit relativ leicht handhabbaren Regeln graphisch-rechnerisch zu bestimmen. Die M-flmctions rlocus und rlocfind haben die Methode von Evans zur Grundlage. 6.7.2.1 Die Wurzelortskurve mit den M-functions rlocus und rlocfind Eigenschaft von rlocus: Berechnet die Wurzelortskurve eines Systems und stellt sie graphisch dar. Syntax: rlocus(System,K) [P, K] = rlocus(System) Beschreibung: 'System' karm eine Ubertragimgsfiinktion oder ein Zustandsmodell sein. Bei der Eingabe von 'r/ocMi'(System)' wird die Wurzelortskurve gezeichnet. Mit '[P, K] = r/ocM5(System)' wird die Matrix P mit n Zeilen ausgegeben, wenn n der Grad des Nermers der Ubertragungsfunktion ist, d.h. entsprechend der Anzahl der Pole. Jedes Element einer Zeile der Matrix P gibt fiir einen bestimmten Verstarkungsfaktor K die Position der n Pole des geschlossenen Kreises in der komplexen Zahlenebene an. Wird der Verstarkungsfaktor K als Skalar oder als Zeilenvektor vorgegeben, dann werden die dazugehorenden Pole mit 'rlocM5(System,K)' dargestellt und mit '[P, K] = r/ocM^(System)' ausgegeben. Als Zustandsmodelle sind nur EingroBensysteme, d.h. Modelle mit einer EingangsgroBe und einer AusgangsgroBen, zugelassen. Weitere Fimktionen siehe help / doc rlocus.

'" Evans, Walter R. *15.01.1920 Sant Louis Missouri USA tlO.07.1999 Wiiittier California USA, electrical engineer automatic control

192

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System Eigenschaft von rlocfind: Berechnet den zu einem vorgegebenen Wurzelort - Pol - gehorenden Verstarkungsfaktor K und alle dazugehorenden Pole Po. Syntax: [K,Po] = rlocfmd(System) Beschreibung: 'System' kann eine Ubertragungsfunktion oder ein Zustandsmodell sein. Es wird die mit 'rlocus' gezeichnete Wurzelortskurve vorausgesetzt. Bei der Eingabe von '[K,Po] = rlocfind(Systemy blendet die 'Figure' mit der Wurzelortskurve auf, um mit der Maus die gewiinschte Stelle der Wurzelortskurve markieren zu konnen. In der Wurzelortskurve werden die zu dem markierten Pol korrespondierenden Pole eingetragen und im Command Window die Pollagen und die dazugehorende Verstarkungsfaktor an die Variablen 'K' und 'Po' iibergeben. Siehe auch help /doc rlocfind.

Zum Verstandnis der beiden Funktionen werden nachfolgend die Regeln in Form von Merksatzen und Beispielen behandelt. 6.7.2.2 Grundlegende Regeln des Wurzelortsverfahrens Kegel 1:

Kegel 2:

Kegels:

Kegel 4: Kegel 5:

Die Darstellung erfolgt in der komplexen oder Gaufi'schen Zahlenebene. Eingetragen werden von der Ubertragungsfunktion der offenen Kette ihre durch ein Kreuz x gekennzeichneten Pole und ihre durch einen Kreis o gekennzeichneten Nullstellen. Wenn n die Anzahl der Pole und m die Anzahl der endlichen Nullstellen der offenen Kette ist, dann enden n-m Aste der Wurzelortskurve im Unendlichen. Die Wurzelortskurvenaste des geschlossenen Kegelkreises beginnen fur A^ = 0 in den Polen der offenen Kette und enden fur AT ^ oo in den endlichen Nullstellen bzw. im Unendlichen. Die Wurzelortskurve ist symmetrisch zur reellen Achse der komplexen Zahlenebene. Der Teil der reellen Achse ist ein Wurzelort, wenn auf dessen rechter Seite die Summe der Pole und Nullstellen eine ungerade Zahl ist.

Beispiel 6.30 Auf die nachfolgend gegebene Ubertragungsfunktion einer offenen Kette: (. + 1)

G,{s)- {s + 2)[s + 3)[s + A) sind die Regeln 1 bis 5 anzuwenden.

(6.177)

6.7 Das Wurzelortverfahren

193

Losung: siehe Beispiel6_30.m Root Locus

Bild 6.18 Wurzelortskurve zu den Regeln 1 bis 5, Beispiel 6.30 zu Regel 1:

zu Regel 2:

zu Regel 3:

zu Regel 4:

Die Pole p\ = -2;p2 = -1 und p^ = -4 sind durch Kreuze x und die Nullstelle «i = -1 ist durch einen Kreis o in der Zahlenebene zu kennzeichnen. Die Wurzelortskurve hat drei Aste, davon enden r = n-m = 2 Aste im Unendlichen. Der dritte Ast endet in der einen Nullstelle «i = 1. Die drei Aste der Wurzelortskurve beginnen fiir A^ = 0 in den drei Polen/»i = -2; p2 = -3 und/>3 = -4. Ein Ast endet in der Nullstelle «i = -1, die restlichen zwei gehen gegen unendlich. Symmetrie zur reellen Achse liegt vor, da die aus den Polen p2 = 3 undp3 = -4 austretenden Aste, nachdem sie bei ca. -3,5 aufeinander gestoBen sind, die reelle Achse verlassen und nach + 700 streben.

194

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System zu Regel 5:

Folgende Teile der reellen Achse sind Telle der Wurzelortskurve: zwischen dem Pol /ii = -2 und der Nullstelle «i = -1, da rechts vom Pol Pi = -2 die Nullstelle wi = -1 liegt, zwischen den Polen/>3 = -4 und/>2 = -3, da rechts vom Pol/>3 = -4 die Pole />2 und/)i sowie die Nullstelle rix liegen, und somit in beiden Fallen die Summe der rechts liegenden Pole und NuUstellen eine ungerade Zahl ergibt. 1st die Ubertragungsfunktion der offenen Kette negativ, was einer Mittkopplung entspricht, so ist der Teil der reellen Achse ein Wurzelort, auf dessen rechter Seite die Summe der Pole und NuUstellen eine gerade Zahl ergibt. Die Zahl Null ist dabei als eine gerade Zahl zu werten.

Beispiel 6.31 Fiir den Verstarkungsfaktor, der in Beispiel 6.30 gegebenen Ubertragungsfunktion, soil K= -I gelten. Es ist mit der M-function rlocus die Wurzelortskurve darzustellen und mit der Mfunction axis{[Re_min Rejnax Imjnin Imjnax]) ein iibersichtlicher Ausschnitt darzustellen. Losung: siehe Beispiel6_31 .m Root Locus 2

1

1

1

1.5

1

0.5

-

-

-

-

-

-

0

0.5

-1

1.5

-?

1

-4.5

1

-4

1

-3.5

-3

1

-2.5

1

-2

1

-1.5

1

-1

1

0.5

Real Axis

Bild 6.19 Wurzelortskurve zur Regel 6, Beispiel 6.31

1

0

0.5

6.7 Das Wurzelortverfahren

195

zuRegel 6:

Es sind die Bereiche der reellen Achse Teile der Wiirzelortskurve, die es im Beispiel 6.30 nicht sind. Die aus den Polen/ii = -2; p2 = -3 austretenden Aste treffen aufeinander, heben in jeweils entgegengesetzter Richtung zum imaginaren Bereich ab und kommen in einem Bogen zur reellen Achse zuriick. Ein Zweig endet in der Nullstelle «i = -1, der zweite wendet sich nach rechts entlang der reellen Achse —>+ co. Der dritte Ast verlauft aus ps = -4 kommend ebenfalls auf der reellen Achse, aber ^ - oo.

Kegel 7:

Die Asymptoten der (n - m) gegen unendlich strebenden Aste der Wurzelortskurve sind (n - m) Geraden, die sich in dem Wurzelschwerpunkt s„ auf der reellen Achse schneiden: 1 . '=1

./=i

;

Die zu diesen Asymptoten gehorenden Neigungswinkel gegen die reelle Achse betragen bei einer Gegenkopplung: (2A:-1)180° Yk

n-m

k=

1,2,3,...,[n-m)

und bei einer Mitkopplung: A:360° n-m Regel 8:

Aus einem p-fachen Pol (in eine p-fache Nullstelle) der Ubertragungsfunktion der offenen Kette laufen p Aste der Wurzelortskurve unter den Winkeln: ft

Regel 9:

[(flp -a,„-l)l80° + *360°

heraus (hinein). Es bedeuten: ap = Anzahl der rechts von dem betrachteten Pol (der betrachteten Nullstelle) liegende Pole. aj^ = Anzahl der rechts von dem betrachteten Pol (der betrachteten Nullstelle) liegende Nullstellen. k=\,2,3...p. Aus einem p-fachen Pol (in eine p-fache Nullstelle) eines konjugiertkomplexen Paares der Ubertragungsfunktion der offenen Kette laufen p Aste der Wurzelortskurve unter den Winkeln: ft

S f t . - Z f t - 1 8 0 ° + /t360°

196

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

Kegel 10:

heraus (hinein). Es bedeuten: (pi = Winkel zwischen der reellen Achse und den Vektoren, die die Pole und Nullstellen mit dem p-fachen Pol verbinden. (PNk = Winkel zwischen der reellen Achse und den Vektoren, die die Pole und Nullstellen mit der p-fachen Nullstelle verbinden. /i:=l,2,3...p. Wenn die Ubertragungsfunktion der offenen Kette mindestens zwei Pole mehr als Nullstellen aufweist, dann ist die Summe der Realteile aller Wurzelorte s(K) fur jeden Wert des Verstarkungsfaktors K konstant: ^91e(p,-) = konstant

Kegel 11:

n-m>2

Wenn die Ubertragungsfunktion der offenen Kette einen Pol p = 0 besitzt, dann ist das Produkt der Pole des geschlossenen Kreises proportional dem Verstarkimgsfaktor K:

Y\p. Kegel 12:

fiir

cK

Ein Punkt v„ auf einem reellen Teil der Wurzelortskurve ist ein Verzweigungspunkt dieser Wurzelortskurve, wenn nachfolgende Beziehung gilt: dG^is)

=0

Eine weitere, recht niitzliche Beziehung bei der Anwendung des Wurzelortsverfahrens ist die Moglichkeit den zu einem Punkt Py,ok der Wurzelortskurve gehorenden Ubertragungsfaktor K mit Hilfe der Gleichung (6.174) zu berechnen: -Pi,

K =^

(6.178) I

I

n|(^w„*-«,)| .7=1

Fiir den Fall, dass keine Nullstellen im Endlichen existieren, wird der Zahler von Gleichung (6.164) zu eins, woraus folgt, dass sich fur den Nenner von Gleichung (6.178) ebenfalls eins ergibt und somit sich der Ubertragungsfaktor wie folgt berechnet:

^=ni(^--AOi Beispiel 6.32 Fiir die Ubertragungsfunktion einer offenen Kette:

(6.179)

6.7 Das Wurzelortverfahren

Go{s)=

;

(5 + 0,75) ; '

197

(6.180)

5(5+1) ( 5 + 2 )

sind nachfolgende Aufgaben zu losen: a) Die Pole, nach der GroBe als Zeilenvektor sortiert, sowie die NuUstelle. b) Die Ordnung des Zahlerpolynoms und des Nennerpolynoms. c) Der Schnittpunkt Sy, der Asymptoten auf der reellen Achse nach Kegel 7. d) Die Neigungswinkel der Asymptoten. e) Der Schnittpunkt der Asymptote mit der imaginaren Achse. f) Die Winkel der aus den Polen austretenden Aste und der Winkel des in die NuUstelle eintretenden Wurzelortskurvenastes nach Regel 8. g) Die kritische Verstiirkung mit Hilfe der Regel 10 - Summe der Realteile der Pole - imd mit Hilfe der Gleichung (6.178). h) Die nach Regel 11 berechnete Konstante fiir die kritische Verstarkung. i) Der Abhebepunkt v„ der Wurzelortskurve von der reellen Achse nach Regel 12. Losimg: siehe Beispiel6_32.m zu a) Die Pole hegen bei pi = 0, p2/3 = -1, p4 = -2! und die NuUstelle liegt bei nl=-0.75! zu b) Der Grad des Nenners betragt n = 4 und der des Zahlers m = 1! zu c) Der Schnittpunkt auf der reellen Achse liegt bei sw = -1.0833! Die Asymptoten schneiden sich im Wurzelschwerpunkt (-1.0833;0j)! zu d) Die Neigungswinkel der Asymptoten liegen bei gammal = 60°, gamma2 = 180°, gamma3 = 300°! zu e) Der Schnittpunkt der Asymptote mit der imaginaren Achse liegt im Punkt: (0;1.8764j)! zu f) Die Winkel der die Pole verlassenden Aste betragen: phi(pl) = 180°, phi(p2) = 90°, phi(p3) = 270°, phi(p4) = 180° Der Winkel des in die NuUstelle eintretenden Astes betragt: phi(nl) = 0° zu g) Da die Anzahl der Pole um drei groBer ist, als die Anzahl der NuUstellen, gilt Regel 10! Die Summe der Realteile aller Wurzelorte betragt SRe = -4.0 Es wird angenommen, dass der 4. Pol bei pw4 - -3.25 liegt! Der Verstarkungsfaktor fur den 4. Pol betragt K = 8,2266! Das Nennerpolynom von Gw: Nwkr = 4 3 2 s + 4 s + 5 s + (Kkrs + 2) s + 3/4 Kkrs Die kritische Verstarkung betragt Kkr = 8,3246! Die Pole fur die kritische Verstarkung betragen: Powkr = -0.0000+1.60661 -0.0000 - 1.60661 -0.7426 -3.2574 zu h) Der Proportionalitatsfaktor nach Regel 11 betragt ckr = 0.75! zu i) Der Abhebepunkt liegt bei vw = -1.0!

198

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

Bemerkungen zur Losung von Punkt g: Fiir jede Verstarkimg ergibt die Summe der Realteile der Pole des geschlossenen Systems -4. Fur den kritischen Fall betragt folglich die Summe der beiden Pole, die ausschlieBlich auf der reellen Achse wandern, />„3 + Av4 = ~4. Somit ist eine relativ genaue Bestimmung dieser beiden Pole moglich. Der Pol/^ws muss vor -0,75 liegen, denn diesen Wert erreicht/'w3 erst fiir K ^ co. Somit wird/7„4 « -3,25 angenommen, da er auf eine Andenmg des Verstarkungskoeffizienten viel unempfindlicher reagiert, als der Polp„3. Fiir diesen angenaherten Wert berechnet sich mit Hilfe der Gleichung (6.178) der Verstarkungsfaktor an der Stelle/)„4: - Pl\\P.4

K\I A , 4 = - 3 , 2 5

- PIWP.A

-

Pi\\P..

= 8,2266

kw4-«l|

Der exakte Wert ergibt sich mit Hilfe des Hurwitz"-Kriteriums - siehe Kapitel 8.4.1.1, angewendet fiir den Fall, dass mindestens eine Losung der charakteristischen Gleichung (6.171) des geschlossenen Kreises auf der imaginaren Achse liegt: Yl{s-P.)

+ KUs-n,)

= s'+4s'+5s'+{2

+ K^)s + 0J5K,.

= 0

(6.181)

s* +a,s^ +a-,s^ +a,i„s + an Aus Gleichung (6. 181) ergibt sich folgende Hurwitz-Determinante: «ifr H'ikr

=

H^h- =

a^

0

aw

0

^Okr

0

0

1

0 - a^i^a^a-^ 0 1

flj

^oh-^T,

^w ~ ^

(6.182)

3b + AK^--Kl = ()

Von den beiden Losungen der Gleichung (6.182) kommt nur der positive Wert in Frage, s.o.

6.7.3

Die Wurzelortskurve mit der M-function rltool Eigenschaft von rltool: Die M-function rltool offhet einen Tool zum interaktiven graphischen Entwurf der Regeleinrichtung fur ein EingroBensystem auf der Grundlage der Wurzelortskurve der vorgegebenen Regelstrecke. Syntax: rltool(System) Beschreibung: 'System' kann eine Ubertragungsfunktion oder ein Zustandsmodell sein. Es muss mit den M-functions tf, zpk oder ss gebildet worden sein. Als Zustandsmodelle sind nur EingroBensysteme, d.h. Modelle mit einer EingangsgroBe und einer AusgangsgroBe, zugelassen. Weitere Funktionen siehe help / doc rltool.

Hurwitz, Adolf *26.3.1859 Hildesheim f 18.11.1919 Zurich, Mathematiker

6.7 Das Wurzelortverfahren

199

Beispiel 6.33 Gesucht ist die Wurzelortskurve zum Beispiel 6.32 mit der M-fonction rltool. Losung: » GO = zpk(-0.75,[0 -1 -1 -2],1); » rltool(GO)

-inlxl

1 *> SISO Design Tool File

Edit

y

View

Compensators

X o -g- -§• ^ I

Analysis

U •N I

X

Tools

Window

Help

^

Current Compensartor C(s)=

b.42|

Root Locus Editor (C) —I

r-

2 at

II ni

E -2 -

-3

-2 Real Axis

-1

Loop gain changed to 8.42

Bild 6.20 Wurzelortskurve der Beispiele 6.32 und 6.33 mit den Polen an der Stabilitatsgrenze

6.7.4

Das Wurzelortverfahren fiir beliebige Parameter

Im vorhergehenden Abschnitt wurde davon ausgegangen, dass die Wurzelortskurve den Verlauf der Pole des geschlossenen Systems fur einen veranderlichen Verstarkungsfaktor beschreibt. Das Verfahren berechnet aber fur jeden beliebigen Parameter, z.B. fiir die Nachstellzeit des _P/-Reglers einer offenen Kette, den gesuchten Verlauf. Fiir diesen Fall lasst sich die Gleichung (6.164) wie folgt umformen:

200

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System m

m

G,{s) = K,^

=

•'-' „

1=1

(6.183)

1=1

Werden die Bezeichnungen der Ubertragungsfanktionen des im Bild 6.20 oben rechts dargestellten Signalflussplanes bei der Verwendung der M-function rltool fur die Losung der Aufgabe verwendet, was zu empfehlen ist, so gilt fur die einzelnen Telle der Gleichung (6.183): m

G{s)--

^ ; C{s) = -n, Ylis-p,) + K,sYl{s-nj) ;=i

(6.184)

,/=2

F{s) = -—{s-n,);

'^(*) = 1

"i

Mit den Gleichungen in (6.184) kann die fiir die Untersuchung mit dem Verfahren der Wurzelortskurve relevante Fiihrungsiibertragungsfunktion nach Gleichung (6.169) wie folgt geschrieben werden: m

,,

, ,

C{s)G{s)

^o(^-«i)n(-«/)

1=1

j=2

(6.185)

^on(^-«.) Yl{s-p,) + K,Yl{s-nj) '=1

./=i

Das Ergebnis von Gleichung (6.185) stimmt mit der Gleichung (6.170) iiberein. Zur Ermittlung des gesuchten Parameters mit der M-fLinction rltool ist die gegebene Ubertragungsfunktion der offenen Kette Go(s) in die Gleichungen von (6.184) zu uberfiihren. Nachfolgend ein Beispiel, welches den in diesem Abschnitt vorgetragenen Sachverhalt so erlautert, dass auf weitere allgemeine Aussagen verzichtet werden kaim. Der Parameter, flir welchen die Wurzelortskurve berechnet und gezeichnet werden soil ist die Nachstellzeit Tff eines PI-Reglers, d.h. die Ubertragungsflmktion der offenen Kette ist entsprechend umzuformen. Beispiel 6.34 Im Kapitel 5.4 wurde fur die Regelstrecke des Modell-Regelkreises - mod_rk.m - folgende Ubertragungsfunktion ermittelt:

6.7 Das Wurzelortverfahren

Gs{s) =

201

5-10^ (^ + 45,36)(^'+50055 + 1,102-10') (6.186)

Gs{s) =

{S - P,)[s^ -{P2+ P3)S + P2Pi~\

An diese Regelstrecke ist ein PI-Regler mit der Ubertragungsfunktion: G,{s) = K,^

'^ = K,^ s

^

(6.187)

s

anzupassen. Die Reglerverstarkung ist mit K^ = 6,3824 vorgegeben. Fiir das noch zu bestimmende TV = -l/«i ist zur Bewertung die Ubergangsfunktion fur einen Fuhmngssprung heranzuziehen. Die Uberschwingweite soil bei einmaligem Uberschwingen ca. 4 % vom Endwert betragen. Hinweise zur Losung: Fiir die Losung ist die function mod_rk.m zu verwenden. Es ist die Wurzelortskurve fxir die Ubertragungsfunktion der offenen Kette mit dem Kehrwert der Nachstellzeit TV als Parameter zu zeichnen, als Startwert fiir Tf^ soil 1/58,9 gewahlt werden. Die sich ergebende Fiihrungsilbertragungsfunktion und die dazugehorenden Pole und die Nullstelle sind anzugeben. Die Nullstelle des geschlossenen und die des offenen Kreises sind zu vergleichen. Losung: Aus der offenen Kette - Reihenschaltung von Regler und Strecke: G.{s) = K,\ " ^ 5(.?-/i|)L5 -[P2+P^)S + P^P^

(6.188)

mit: Kfl = Ki,Kg

ergeben sich die Gleichungen in (6.184) mit HQ = 4 undOTQ= 1 zu: "•0

G{ C(5) = - « ,

(6.189)

H{s) = \ Aus den Gleichungen (6.189) folgen die Ubertragungsfunktionen fiir die Variation von: (6.190) T,

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

202

als Parameter fur die Wurzelortskurve. siehe Beispiel6_34.m Mit Beispiel6_34.m ergibt sich der SISO Design Tool nach Bild 6.21 Die Werte der Kompensatoren C und F ergeben sicli aus der Gleichung (6.189). Sie sind in den Bildem 6.23 und 6.24 dargestellt. Nach Variation von C und F ergibt sich die Wurzelortskurve im Bild 6.21 -} SISO Design Tool File

Edit

View

[^ X o ^ -I- ^ —

.slQjJSi

Compensators

Analysis

t4 m I

Tools

X

Window

Help

^?

Current Compensator

C(s5=

f\

Root Locus Editor (C) 5000

en E

I

-5000 -SOOG

^000

-4000

-2000

0

2000

4000

RealAjfis Loop gain changed to 71

Bild 6.21 Wurzelortskurve zum Beispiel 6.34 fiir 7)v = 0,0141 s Das Kriterium fur den geeigneten Wert von TV ist der Verlauf der Sprungantwort, sie wird im Fenster 575*0 Design Tool - Bild 6.21 - wie folgt gefunden: Analysis -^ Response to Step Command, es offiiet sich das Fenster LTI Viewer for SISO Design Tool - Bild 6.22. Die Prozedur wird so oft wiederholt, bis die gestellte Forderung "Die Uberschwingweite soil bei einmaligem iJberschwingen ca. 4 % vom Endwert betragen." erfullt ist. Die Pole kSnnen im Fenster SISO Design Tool - Bild 6.21 - unter View -^ Cloesd-Loop Poles abgelesen werden, sie liegen bei: Pi

\\,2;

/72 =-277,8; /^^ =-2.345,5 ±2.010,5/

Bei EingroBensystemen wird die Nullstelle durch das SchlieBen des Kreises nicht verandert, d.h. fur das offene und geschlossene System liegt sie bei:

6.7 Das Wurzelortverfahren «, = - 7 1

^JnJisJ

} LTI Viewer for SISO Design Tool File

Edit

Window

D a «.€!,

Help

0 step Response

System: Closed Loop: rto y I/O: r t o y Peak amplitude: 1.04 Overshoot (%}: 4.14 I At time (sec): 0.0159

0

0.005

0.01

0.015

0.02 0.025 Time [sec)

0.03

LTI Viewer

p

0.035

0.04

Real-Time Update

Bild 6.22 Sprungantwort des Modell-Regelkreises mit Ah = 4,07 % Die Sprungantwort erfullt die Forderung nach ca. 4 % Uberschwingen. J Edit Compensator C Gain:

.

j/l

Format: ZeroiPole Location Zeros

Delete

-Inlxi

Poles

Real

Add Real Zero

d

Imaginary Add Complex Zero OK

Cancel

Delete

Real

Add Real Pole Help

Imaginary Add Complex Pole

Apply

Bild 6.23 Wahl des Verstarkungsfaktors des Kompensators C

203

204

6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System

^ ^ ^ ^ r.lnlxi

' ^ Edit Compenisator F Gain:

|l /711

Zeros Delete

r

Poles

Real

Imaginary

Delete

Real

Imaginary

1-71 Add Real Zero Add Complex Zero

I

J

Format: Zero^ole Location

OK

Cancel

Add Real Pole Help

Add Complex Pole

Apply

Bild 6.24 Wahl des Verstarkungsfaktors und der Nullstelle des Kompensators F

7. Testsignale und Zeitantworten In diesem Kapitel werden die zeitlichen Verlaufe der AusgangsgroBe eines linearen Systems in Abhangigkeit von verschiedenen Signalen, so genannten Testsignalen, beliandelt. Typische Eingangssignale sind meist ein momentaner Sprung der GroBe UQ von einem Arbeitspunkt zu einem anderen oder ein Impuls. Ebenso sind alle mogliclien anderen Signalverlaufe denkbar. Die typischen Einwirkungen in der Gestalt eines Sprunges oder eines Impulses haben den Charakter von Einheitssignalen. Durch die Wahl von Einheitssignalen lassen sich die Ergebnisse leicht durch Multiplikation mit der wahren GroBe des Sprunges bzw. Impulses umrechnen. Auch ist es moglich, aus der Reaktion eines Systems auf den Einheitsimpuls Schlusse iiber die Vorgange bei anderen Einwirkungen zu ziehen. Andere gebrauchliche Einwirkungen sind zum Beispiel Rampenfunktionen und harmonische Schwingungen. Mathematisch gesehen sind die Zeitantworten eines Systems die Losimg der das System beschreibenden Differenzialgleichung fur eine konkrete Storfunktion. Die mathematische Storfunktion ist aus systemtheoretischer Sicht das Eingangssignal eines Systems welches sowohl eine SteuergroBe als auch eine StorgroBe sein kann. Jede dieser Losungen setzt sich aus einem Anteil der freien und einem Anteil der erzwungenen Bewegung an der Gesamtbewegung zusammen. Der freie Anteil an der Gesamtbewegung, die Eigenbewegung, ist eine Folge der Anfangsbedingungen. Die erzwungene Bewegung ergibt sich als Folge eines Eingangssignals. Die dazugehorenden Antworten werden entsprechend mit Sprungantwort, Ubergangsfunktion, Impulsantwort usw. bezeichnet.

7.1

Anfangswertantwort mit der M-function initial Eigenschaft von initial: Berechnet die Ausgangsfunktionen beim Vorliegen von Anfangswerten imd fehlenden Eingangssignalen. Syntax: [y,t,x] = initial(System,xO,t) Beschreibung: Berechnet fur das in der Zustandsraumbeschreibung vorliegende 'System' den Vektor der Ausgangsfiinktionen y beim Vorhandensein von Anfangswerten XQ und dem Fehlen von Eingangssignalen. Der Vektor x enthalt die Werte der ZustandsgroBen. Fiir den Zeitvektor t gilt: t = 0:dt:Tfmal

206

7 Testsignale und Zeitantworten Werden nur die Angaben rechts des Gleichheitszeichens angegeben, so wird die Anfangswertantwort graphisch auf dem Bildschirm ausgegeben. Weitere Funktionen siehe help / doc initial.

Beispiel 7.1 Gegeben ist das im Kapitel 5.1 beschriebene System Stab-Wagen. Fiir dieses sind bei einem Anfangswert des Winkels von 1° = 71/I8O die zeitlichen Veranderungen des Winkels und des Weges fur die Zeitspanne von einer Sekunde graphisch darzustellen. Die Ergebnisse sind zu diskutieren. Losung: siehe Beispiel7_01 .m

Anfangswertverlauf des Winkels i^(i i n n 15

1

1

1

1

1

1

1

10

5

0

0

()

1

1

1

1

0,1

0.2

0.3

0.4

1

—1

0.1

0.2

0.5 0.6 0.7 0.8 t in [s] Anfangswertverlauf des Weges s(t) in [m] 1

'~———!—__

0.9

1

1

0.8

0.9

1

0.02

0.04

n riR

0.3

0.4

0.5 t in [s]

0.6

0.7

Bild 7.1 Anfangsantwort des Winkels und des Weges des Systems Stab-Wagen Das System Stab-Wagen ist instabil, siehe Kapitel 8, so dass eine geringe Anfangsauslenkung des Stabes aus der Senkrechten eine standige VergroBerung des Winkels, d.h. ein Umfallen des Stabes, zur Folge hat. Die dabei auftretenden Krafte bewirken eine Verschiebung des Wagens nach hinten, also in negativer Richtung. Was deutlich zu erkennen ist.

7.2 Sprungantwort - Ubergangsfunktion

7.2

Sprungantwort - Ubergangsfunktion

7.2.1

Einheitssprung

207

Der Einheitssprung o(?) ist wie folgt defmiert: fO flir ? < 0 Die Linearitat eines Ubertragungsgliedes erlaubt es, vom Verhalten eines durch einen Einheitssprung beaufschlagten Systems, auf den Veriauf bei einer behebigen Sprunghohe zu schheBen, in dem das Ergebnis des Einheitssprunges nur mit der wahren Sprunghohe multiphziert wird. Die Laplacetransformierte des Einheitssprunges lautet: a{t)

7.2.2

^

-

(7.2)

Sprungantwort

Die Sprungantwort ist der zeitHche Veriauf des Ausgangssignals 3^(0 als Ergebnis einer sprungformigen Anderung des Eingangssignals u{t) des Systems vom Wert null auf den Wert UQ, was wie folgt definiert ist: , , f 0 fur u(t) = \ ^ M M„ fur

7.2.3

^<0 ? >0

(7.3)

Ubergangsfunktion

Aus der allgemeinen Sprungantwort geht die Ubergangsfunktion h{t) durch Bilden des Quotienten aus dem zeitlichen Veriauf des Ausgangssignals y{t) mit der Sprunghohe UQ, wie folgt hervor: h{t) = ^^^

(7.4)

bzw. wird aus y{t) die Ubergangsfunktion h{t), wenn das Eingangssignal u{t) gleich dem Einheitssprung a{t) ist: , , fO fur u{t) = (j{t) = \ ^ ^' ^ ^' [l fur

?<0 ?>0

(7.5)

Die Ubergangsfunktion eines linearen Ubertragungsgliedes ist seine Antwort auf den Einheitssprung (7(t). Die Antwort auf ein beliebiges Eingangssignal lasst sich bestimmen, wenn die Ubergangsfunktion des Ubertragungsgliedes bekannt ist.

7 Testsignale und Zeitantworten

208

7.2.4

Die Ubergangsfunktion mit der M-function step Eigenschaft von step: Berechnet fur ein System die Sprungantwort. Syntax: [h,t,x] = step(System,t) Beschreibung: Berechnet ftlr ein 'System' die Ubergangsfunktion h{i), bzw. fur ein Zustandsmodell die Ubergangsfiinktionen entsprechend der Anzahl der Ausgangs- und EingangsgroBen. Der Vektor x enthalt die Werte der ZustandsgroBen. Filr den Zeitvektor t gilt: t = 0:dt:Tfmal Werden nur die Angaben rechts des Gleichheitszeichens angegeben, so wird die Ubergangsfianktion graphisch auf dem Bildschirm ausgegeben. Weitere Funktionen siehe help / doc step.

Beispiel 7.2 Filr das im Kapitel 5.5 beschriebene Netzwerk ist mit fiinction nw_spf.m die Ubertragungsfiinktion zu ermitteln. Mit ihr ist mit Hilfe der M-fiinction step die Ubergangsflinktion h(t) graphisch darzustellen. Der Anfangswert und der Endwert sind mit den Grenzwertsatzen zu berechnen und mit denen der Ubergangsfunktion zu vergleichen. Losung: siehe Beispiel7_02.m Ubergangsfunktion des sprungfahigen Netzwerkes

0.95

^

^

1.

0.9

E

<

0.85 1 I I I I

I I I I I

I I I I I

I

I

I

1.5

2

2.5

0.75 0.5

1

Time (sec)

Bild 7.2 Ubergangsflinktion des sprungfahigen Netzwerkes mit der M-fiinction step

7.3 Impulsantwort - Gewichtsfiinktion

209

Das Netzwerk ist ein sprungfahiges System, da die Grade des Zahlerpolynoms und des Nennerpolynoms iibereinstimmen. Folglich weist die UbergangsfUnktion zur Zeit / = 0 einen Wert - Anfangswert - verschieden von null auf, wie dem Bild 7.2 zu entnehmen ist. Der Anfangswert der Ubergangsflinktion ergibt sich aus dem Anfangswertsatz der Laplacetransformation und dem Einheitssprung nach Gleichung (7.2) wie folgt: h{0) = limsG{s)U{s)

= \im.

0,8^^+7,2^ + 16 1 s'+\0s + l6 s

:0,8

(7.6)

Der Endwert folgt aus dem Endwertsatz und dem Einheitssprung: //(oo) = \imsG[s)U[s)

7.3

= lims

0,8^^+7,2^ + 16 1 _

(7.7)

Impulsantwort - Gewichtsfunktion

7.3.1 Die Impulsfunktion Bin lineares Ubertragungsglied wird am Eingang mit einem Rechteckimpuls beaufschlagt, dessen Hohe gegen unendlich und dessen Breite gegen null geht. Es ist vorstellbar, dass sich der Rechteckimpuls aus einem Aufsprung zur Zeit t = 0 und einem Absprung zur Zeit t = At zusammensetzt. Damit kann der Rechteckimpuls wie folgt definiert werden:

u{t)-

0 fur ? < 0 Mo fur 0 < ? < 0 far t>At

(7.8)

Somit lasst sich das Eingangssignal wie folgt beschreiben: (7.9)

U{t) = Ufi [(T{t) - (j{t - A?)]

u{t)

u{t) Mo

«0

At M

-Wo

Bild 7.3 Bilden einer Impulsfunktion aus zwei Sprungfunktionen

7 Testsignale und Zeitantworten

210

7.3.2

Die StoBfunktion

Die StoBfunktion S{t) ist eine Impulsfunktion von der Dauer A? ^ 0:

5{t) = \\m — \<j(t)-a{t-M)\

(7.10)

Es gilt: 0 5{t) =

fur

— fur At 0 fur

? <0 0
mit

M ^Q

(7.11)

? > A?

mit: »

1 '^^

^^1

1

\S(t) dt = lim r—dt = lim — \dt = lim —1\" = 1 J

i,^o J A/

«^» A^ „J

(7.12)

i'^" A? '"

Der Inhalt der Flache mit der Breite At und der Hohe At' ist gleich eins. Bei einer Flache von eins und einer Zeit At ^ 0 muss folglich die Hohe —^ oo gehen. Dieses Testsignal wird als Einheitsimpuls, Diracsche Deltafiinktion oder als Nadelimpuls d(ty bezeichnet. Sie ist das mathematische Aquivalent flir eine physikalische Einwirkimg, die aus einem momentanen Schlag oder StoB besteht.

t

u(t)

• - ^

00

At

i At^O

t

Bild 7.4 Symbolische Erzeugung eines Diracimpulses Die Laplacetransformierte des Diracimpulses ergibt sich unter Beriicksichtigung von FuBnote 1 mit:

J5(?)e-"J? = <5(0) = 1

(7.13)

Die Funktion S{t) soil nach [Doetsch-1989] an alien Stellen t * 0 verschwinden, wahrend sie in f = 0 unendlich groB sein soil, derart dass sie unter einem Integral stehend, die Fahigkeit hat, den Wert des ijbrigen Integranden an der Stelle '0' aus dem Integral iierauszuheben: 00

\f{t)S{t)dt

= f{Q)

7.3 Impulsantwort - Gewichtsfiinktion

211

zu: S{t)

o^

1

(7.14)

7.3.3 Die Gewichtsfunktion Die Antwort eines linearen Ubertragimgsgliedes auf einen Rechteckimpuls, welcher aus einer positiven Spmngfunktion a(t) —> h{t) und einer zeitlich verscliobenen negativen Spmngilinktion a(t-At) -^ h(t-At) gebildet sein kann, wird als Impulsantwort: y{t) = u„[h{t)-h{t-At)]

(7.15)

bezeichnet. Wird das Ubertragungsglied mit dem Einlieitsimpuls S(t) beaufschlagt, so ergibt sich als Antwort die GewichtsfUnktion g(t). Die Gewichtsfunktion g(t) beschreibt das Ubertragungsverhalten eines linearen Systems vollstandig. Wenn g(t) bekannt ist, kann daraus die Antwort des Systems auf jede beliebige zeitliche Erregung berechnet werden. Jede solche Erregung lasst sich als Faltungsintegral, d.h. als Uberlagerung von 5-Impulsen, darstellen [Kindler/Hinkel 1 -1972]: u{t)= ju{T)S{t-T)dT

(7.16)

0

Da fur lineare Systeme das Superpositionsgesetz gilt, ergibt sich far die Systemantwort: y{t)=lu{T)g{t-T)dT

(7.17)

0

bzw. aufgrund der Giiltigkeit des Kommutativgesetzes far die Faltung: y{t)=lg{T)u{t-T)dT

= g{t)*u{t)

(7.18)

0

Fiir den Fall, dass u{t) = a(t) ist, gilt: h{t)=jcT{t-T)g{T)dT=lg{T)dT 0

(7.19)

0

bzw. wird durch Differenziation bei h(+0) = 0: dhit) ^ = *;(')

('20)

212

7 Testsignale und Zeitantworten Die Gewichtsfunktion ist fur ? > 0 die Ableitung der Ubergangsfiinktion nach der Zeit, d.h. die zeitliche Ableitung der Systemantwort auf einen Einheitssprung.

7.3.4

Die Gewichtsfunktion mit der M-function impulse Eigenschaft von impulse: Berechnet die Gewichtsfunktion eines Systems. Syntax: [g,t,x] = impulse(System,t) Beschreibung: Berechnet fur ein 'System' die Gewichtsfunktion g{t) - Impulsantwort - und fur ein in der Zustandsraumdarstellung beschriebenes System die Gewichtsflinktionen entsprechend der Anzahl der AusgangsgroBen und der EingangsgroBen. Der Vektor x enthalt die Werte der ZustandsgroBen. Fur den Zeitvektor t gilt: t = 0:dt:Tfmal. Werden nur die Angaben rechts des Gleichheitszeichens angegeben, so wird die Gewichtsfunktion graphisch auf dem Bildschirm ausgegeben. Weitere Funktionen siehe help /doc impulse.

Beispiel 7.3 Fiir die in Kapitel 5.6.5 beschriebene Ubertragungsfunktion der Briickenschaltung: G{s) = ^ ^ ^

(7.21)

ist der Verlauf der Gewichtsfunktion im Command Window darzustellen. Das Ergebnis ist mit Hilfe der Grenzwertsatze zu interpretieren. Losung: siehe Beispiel7_03.m Der Anfangswert der Gewichtsfunktion folgt aus dem Anfangswertsatz der Laplacetransformation und der Laplacetransformierten des Einheitsimpulses nach Gleichung (7.14) wie folgt: g(0) = \\msG(s)U{s)

= \ims-,—'^—

1 = 7,9

(7.22)

A—>co

Entsprechend berechnet sich der Endwert der Gewichtsfimktion mit Hilfe des Endwertsatzes und der Transformierten des Einheitsimpulses nach Gleichung (7.14): g(oo) = lim5G(5)f/(5) = Wms-,—'^— 1=0 ^ ^ '-o ^ > ^ ' ,v^o ^2+10,5^ + 84

(7.23)

Wie aus Bild 7.5 zu ersehen ist, stimmen der Anfangswert und der Endwert mit den berechneten Werten der Gewichtsfunktion iiberein.

7.4 Antwort mit der M-function Isim auf beliebige Signale

213

Gew ichtsf unktion der BrCickenschaltung

"T

-

4

"i

-

\

n

r

r

1

r

r

r

T

r

-

21—\ —-A

\_A^ \ \ 1 1

1

0.2

0.4

r

0.6 Time (sec)

1

1

0.8

1

1.2

Bild 7.5 Gewichtsfiinktion der Briickenschaltung mit der M-flinction impulse

1.4

Antwort mit der M-function Isim auf beliebige Signale

Beliebige Eingangssignale waren z.B. Rampenfiinktionen, harmonische Funktionen, Rechteckflinktionen, stochastische Signale usw. Eigenschaft von Isim: Berechnet fur ein System die Antwort auf ein beiiebiges Signal. Syntax: [y,t,x] = lsim(System,u,t,xO) Beschreibung: Berechnet flir 'System' die Ausgangsfiinktionen y(t) flir ein beiiebiges Signal u, einem Vektor mit m Spalten entsprechend der Anzahl der m Eingange und soviel Zeilen wie der Zeitvektor t Elemente besitzt. Der Vektor x enthalt die Werte der ZustandsgroBen. Soil bei Zustandssystemen nur ein bestimmter Eingang verwendet werden, so ist aus u nur die zu diesem Eingang gehorende Spalte auszuwahlen. Der Vektor der Anfangswerte XQ ist wahlweise. Ftir den Zeitvektor t gilt: t = 0:dt:Tfinal Werden nur die Angaben rechts des Gleichheitszeichens angegeben, so wird die Gewichtsfiinktion graphisch auf dem Bildschirm ausgegeben. Weitere Funktionen siehe help /doc Isim.

214

7 Testsignale und Zeitantworten

Beispiel 7.4 Fiir den Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor nach Kapitel 5.2 sind die Zeitantworten des Ankerstroms - erste AusgangsgroBe - und der Drehzahl - dritte Ausgangsgr5Be - bei einer mit dem 20fachen der Zeit proportional ansteigenden Ankerspannung - Rampenfunktion - und einer als Einheitssprung aufgegebenen Last graphisch darzustelien. Hinweise zur Losung: Da nur die Zeitverlaufe des Ankerstroms und der Drehzahl als AusgangsgroBen dargestellt werden sollen, sind die Ausgangsmatrix und die Durchgangsmatrix entsprechend zu reduzieren. Die Matrix u wird in Verbindung mit dem Zeitvektor t wie folgt gebildet: Aus den zwei EingangsgroBen folgen « = 2 Spalten. Der Zeitvektor t hat m Elemente, woraus sich m Zeilen fur u ergeben, u ist folglich eine Matrix vom Typ(m,«). Die erste Spalte Wi = 20*/ enthalt die zur ersten EingangsgroBe - Ankerspannung - gehorenden Werte. Die Werte U2=l - Einheitssprung - der zweiten Spalte gehoren zur zweiten EingangsgroBe - Kraft. Losung: siehe Beispiel7_04.m Ankerstrom i (t) in [A]

0.015

0.005

0.02 t in [s]

0.025

0.035

0.04

Drelizalil n(t) in [min

^ • ^ « ^ « ^ « ^ « ^ : « ^ a ^ * ^ a ^ aW K ^ K ^ K ^ K ^ K v a ^ a ^ a ^ f l ^ *v « ^ * ^ « ^ E ^ a V • ^ • H ^ ^ B M H • ^ • ^ • ^ • ^ • ^ • ^ • ^ • ^ • ^ • K K H

0

0.005

0.01

0.015

0.02 t in [s]

0.025

0.03

0.035

0.04

Bild 7.6 Strom- und Drehzahlverlauf des Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motors Der Ankerstrom i{t) steigt als Folge des Lastsprunges zunachst schneller, danach kontinuierlich durch die stetige Erhohung der Ankerspannung.

7.4 Antwort mit der M-function Mm auf beliebige Signale

215

Durch den Lastsprung - Parallele zur Zeitachse mit einem Abstand von 1 - sinkt zunachst die Drehzahl n{t) ab, um dann durch die stetige Erhohimg der Ankerspannung - strichpunktierte Gerade - kontinuierlich anzusteigen. Beispiel 7.5 Auf ein /-Glied mit der Ubertragungsflinktion:

G{sy.

(7.24)

ist das Eingangssignal u(t) = 0,5*sin(/) aufzugeben. Die Verlaufe der Zeitantwort >>(/) und der Eingangsfiinktion u{i) sind graphisch darzustellen. Die Zeitachse ist in Schritten von 0,5 n einzuteilen. Die Kurven sind mit der M-function legend zu kennzeichnen. Die Phasenverschiebung zwischen den beiden Signalen ist anzugeben und rechnerisch mit der Symbolic Math Toolbox nachzuweisen. Losung: siehe Beispiel7_05.m

Antwortfunktion y{t) eines l-Gliedes bei sinusformiger Eingangsfunktion u(t)

0

0.5*pi

pi

1.5*pi

2*pi 2.5*pi t in [s]

3*pi

3.5*pi

4*pi

Bild 7.7 Antwortfunktion j;(?) eines /-Gliedes bei sinusformiger Eingangsfiinktion u{t) Das Ausgangssignal eines /-Gliedes bei einem sinusformigen Eingangssignal:

216

7 Testsignale und Zeitantworten u{t) = 0,5 sm{t)

c ^ U{s) = - ^

(7.25)

berechnet sich wie folgt: v(,).l-'JG(«)(/(»)|

-s-f4^\

(7.26)

Is s +\\

;;(?) = 0,5[l-cos(/)] Die Phasenverschiebung des Ausgangssignals zu seinem harmonischen Eingangssignal betragt bei einem /-Glied -90°, d.h. das Ausgangssignal erreicht seinen Maximalwert gegeniiber dem Eingangssignal um -7i/2 verzogert. Die Kurven in Biid 7.7 zeigen dies eindeutig.

7.5

Der LTI Viewer mit der M-function Itiview

Zum Abschluss dieses Kapitels soil noch auf die aiiBerst umfangreiche und leistungsfahige Mfunction Itiview hingewiesen werden. Eigenschaft von Itiview. Stellt fur ein lineares System die Antwort auf beliebige Signale dar. Syntax: Itivie w( System) Beschreibung: Itiview offhet ein Fenster, den so genannten LTI Viewer. Der LTI Viewer ist eine interaktive graphische Anwenderschnittstelle (GUI) fiir die Analyse der Zeitantworten und der Frequenzantworten linearer Systeme. Der LTI Viewer ist weitestgehend selbsterklarend. Weitere Funktionen siehe help /doc Itiview.

8.

Systemeigenschaften

In diesem Kapitel werden die grundsiitzlichen Eigenschaften linearer, zeitinvarianter, dynamischer Systeme und die zu ihrer Bestimmung unter MATLAB, vorwiegend der Control System Toolbox, vorhandenen Kommandos bzw. Funktionen behandelt.

8.1

Das Schwingungsglied

Charakteristische Werte eines linearen, zeitinvarianten Ubertragungsgliedes lassen sich ganz besonders aussagekraflig an Hand eines Schwingungsgliedes beschreiben und darstellen. Im Kapitel 6.6.4.6 wurden bereits dazu Ausfiihrungen gemacht.

8.1.1

Differenzialgleichung eines Schwingungsgliedes

Ein Ubertragimgsglied 2. Ordnung wird als Schwingungsglied bezeichnet, wenn es durch folgende Differenzialgleichung 2. Ordnung beschrieben werden kann und deren Losung fiir einen Einheitsspnmg ein konjugiertkomplexes Polpaar ergibt. Mit der Zeitkonstanten T als dem Kehrwert der Eigenkreisfrequenz COQ des ungedampften Systems und der Dampfimg d ergeben sich folgende Zusammenhange im Zeitbereich und im Frequenzbereich fur: y{^) = y.(0) = 0

•1.:

(8.1)

IdT

dy{t) dt

+ y{t) = u{t)

^

[Th^+2dTs

+ \)Y{s) = U{s)

(8.2)

bzw. mit: (8.3) y{t) + 2d(o„y{t) + coly{t) = o)lu{t)

8.1.2

^>-» i^s'^+2dco^,s + 0}l^Y[s) = colU{s) (8.4)

Ubertragungsfunktion eines Schwingungsgliedes

Aus dem rechten Term der Gleichung (8.2) ergibt sich die Ubertragungsfunktion eines Schwingungsgliedes in der Zeitkonstantenform:

GW = 4 4 = ^ '

U{s)

'-^-

\ + 2dTs + T^s^

'-

r

\ + a,^s+a^j^s^

(8-5)

8 Systemeigenschaften

218

Aus den rechten Termen der Gleichung (8.4) folgt die UbertragungsfUnktion eines Schwingungsgliedes in der Polynomform: G{S):

8.1.3

(8.6)

KenngroBen eines Schwingungsgliedes Im P\

Re -J(Oe

Bild 8.1 Charakteristische Werte eines Schwingungsgliedes in der komplexen Ebene Nachfolgend werden die wesentlichen KeimgroBen eines Schwingungsgliedes unter Bezug auf die Gleichungen (8.5) und (8.6) sowie auf das Bild 8.1 in Tabellenform angegeben: Eigenkreisfrequenz des ungedampften Systems. Zeitkonstante

<»(, = ^flp = sjS'^ +0)^ T = ^jajj = —

s ^

\s\

Dampfung

2 V«^ Periodendauer des Systems.

ungedampften

TJ, =

2 ^

= 2K T

\s\

CO,

Der zur Resonanzfrequenz gehorende Phasenwinkel, siehe Kapitel 6.6.4.6. Uberschwingweite der Ubergangsfunktion des gedampften Systems.

(p = arccos((i)

Konjugiertkomplexes Polpaar als Losung der Differenzialgleichung (8.2) bzw. (8.4). Dampfungsfaktor

Py^ =-d ^a^+ajx-d^

Eigenkreisfrequenz des gedampften Systems.

A/z = exp

(

dn

^

I 4\-d'' ) i = -5^ ± j co^

8^ = d (Dff = -J{e(/)|) 0}^, =a(,\i\-d^

= 3w (/),)

s~^

8.1 Das Schwingungsglied Periodendauer Systems.

des

219

gedampften

Zeit bis zum erstmaligen Diirchlaufen des sich spater einstellenden stationaren Endwerts. Zeit bis zum Erreichen des ersten Maximimis — Einschwingzeit. Die Zeit, die verstreicht, bis die Einhiillenden das Toleranzband von + 2 % erreichen - Beruhigungszeit. Die UbergangsfUnktion h(t) erreicht im Allgemeinen das Toleranzband frilher, so dass gewohnlich noch cine Korrektur nach unten erforderlich ist. Schnittpunkt der Ortskurve mit der imaginaren Achse = (p~ -90°

;T-arccos((i)

r - ^ '"

"" 1

.n

7

7^%=--^ln(0,02

r.l L J

V l - i ' ) [s]

(9^e(«);3m(
[

1 ^ m i t (0 = cOn

2d)

Die charakteristischen Kennwerte der Ubergangsfunktion eines Schwingungsgliedes sind im Bild 8.2 dargestellt.

8.1.4

Die Gewichtsfunktion eines Schwingungsgliedes

Die Gewichtsfunktion als Antwort auf einen Einheitsimpuls: ft)„

i,)-^e 8.1.5

sm KO

(8.7)

Die Ubergangsfunktion eines Schwingungsgliedes

Die Ubergangsfunktion als Antwort auf einen Einheitssprung: CO,

h(^t) = \-^^e

8.1.6

''"'"' sm{wJ+ (p) mit 9? = arc cos (.i)

(8.8)

Die Einhullenden der Ubergangsfunktion

(8.9) CO.

220

8.1.7

8 Systemeigenschaften

Eigenschaften eines Ubertragungsgliedes mit der M-function damp Eigenschaft von damp: Berechnet die Eigenwerte bzw. Pole, die dazugehorende Dampfong d und die Eigenkreisfrequenz COQ des ungedampften Systems. Syntax: [wO,d,Po] = damp(System) Beschreibung: 'System' ist eine Ubertragungsfunktion oder ein Zustandsmodell. In den Vektoren Wo, d und Po sind die Eigenkreisfrequenzen coo des ungedampften Systems, die dazugehorenden Dampfungen und die Eigenwerte bzw. Pole enthalten. Werden nur die Angaben rechts des Gleichheitszeichens angegeben, dann wird eine Tabelle mit den Eigenwerten, der Dampfiang und der Eigenkreisfrequenz ausgegeben. Sind die Eigenwerte bzw. Pole konjugiertkomplex, dann entspricht der Realwert dem Dampfiingsfaktor und der Imaginarwert der Eigenkreisfrequenz des gedampften Systems. Weitere Funktionen siehe help I doc damp.

Beispiel 8.1 Gegeben ist die Differenzialgleichung:

d^yit)

dyit)

- ^ ^ + 2dco,^^ dt

dt

, ,,

, ,,

+ (Dly{t) = colu{t)

7(0) = j>(0) = 0

(8.10)

+ AQQy{t) = AQQu{t)

eines Schwingungsgliedes. Die Differenzialgleichung ist durch Laplacetransformation in die dazugehorende Ubertragungsfiinktion zu ilberfuhren. Die charakteristischen Werte nach Kapitel 8.1.3 sind mit Hilfe der M-fimction damp zu berechnen. Die Sprungantwort, in welche die charakteristischen Werte imd die Einhiillenden einzutragen sind, ist darzustellen. In der graphischen Darstellung der Sprungantwort ist mit File -^ Generate M-file der zur figure gehorende M-file zu bilden und mit der unten angegebenen Losung zu vergleichen. Losimg: siehe BeispielSOl .m Ys = U(s) 400 2 s + 8 s + 400 Transfer function: 400 s^2 + 8 s + 400

8.2 Stationare Verstarkung mit der M-function dcgain

221

Ubergangsfunktion eines Schwingungsgliedes mit d = 0,2 und cOg = 20 s '

1.5 t[s]

Bild 8.2 Ubergangsfunktion eines Schwingungsgliedes mit ihren charakteristischen Werten

8.2

Stationare Verstarkung mit der M-function dcgain

Die stationare Verstarkung V ist der Wert, den ein stabiles System einnimmt, wenn es nach einer Sprungstorung wieder in einen stationaren Zustand eingetreten ist. Wie im vorhergehenden Kapitel beschrieben, ist die Antwort eines Systems auf einen Einheitssprung, die Ubergangsfunktion h{t): (8.11)

h{t) = £-'{H{s)] = £-'\G{s)

Mit Hilfe des Endwertsatzes der Laplacetransformation lasst sich dies wie folgt beschreiben: V = \\mh{t) = l i m s G f s ) - = limGf^)

(8.12)

bzw. bei der Darstellung der Ubertragungsfunktion in der Polynomform: C(^^)-^-"^'"+--- + ^i^ + ^ o - K

f5'"+... + f 5 + l

^ i^ ^ ^ ^ ^ l mit V= bo/ao. Im Falle der Beschreibung eines Systems durch Zustandsgleichungen:

(8.13)

222

8 Systemeigenschaften x(?) = Ax(/) + B u ( 0 y{t) = Cx{t) + Du{t)

ergibt sich die Matrix der stationaren Verstarlcungen fiir: x(^(X))

und

u(t) = o(?)

(/^oo)

(8.15)

zu: V = -CA-'B + D

(8.16)

Eigenschaft von dcgain: Berechnet die stationare Verstarkung fur ein stabiles System. Syntax: V = dcgain(System) Beschreibung: 'System' kann durch eine Ubertragungsfunktion oder ein Zustandsmodell beschrieben sein. Fiir ein Zustandsmodell liefert die M-flinction eine Matrix vom Typ {r,m) mit dem zu jedem Wertepaar - Ausgang r I Eingang m - gehorenden Wert der stationaren Verstarkung entsprechend Gleichung (8.16). Fur den Fall der Ubertragungsilinktion liefert dcgain ein Ergebnis entsprechend Gleichung (8.12). Weitere Funktionen siehe help / doc dcgain. Beispiel 8.2 Gesucht ist die stationare Verstarkimg der Ubertragungsfunktion des Laststromes bei Ua des im Kapitel 5.4 behandelten Modellregelkreises mit der Gleichung (8.12) imd mit der Mfunction dcgain. Die Ubertragimgsfiinktion wird mit G = mod_rk('GLU') gefunden. Losimg: ,, ,. ,t^ ,. 10'/+5,05-10''5 + l,25-10" V = \imh{t) = hm—-, = -250 ' - " ^' *-» 5^+50505'+l,125-10'5 + 5-10' » G = mod_rk('GLU') Transfer fianction: -le005 s^2 - 5.05e008 s - 1.25e011 s^3 + 5050 s^2 + 1.125e007 s + 5e008 » V = dcgain(G) V= -250 Die stationare Verstarkung betragt -250.

8.3 Eigenschaften der Systemmatrix A

223

Beispiel 8.3 Fiir den unter Kapitel 5.2 behandelten Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor sind die stationaren Endwerte unter Verwendung der mit der function antrieb.m berechneten Zustandsgleichungen unter Nutzung der Gleichung (8.16) und der M-flinction dcgain zu ermitteln. Losung: » V = -ZM.c*inv(ZM.a)*ZM.b V= 0.5560 0.2016 0.0321 -0.0144 11.9665 -5.3610 -0.0000 0.0256 » V = dcgain(ZM); » [n,m] = size(ZM.b) n= 2 m= 2 » [r,n] = size(ZM.c) r= 4 n= 2 Das Zustandsmodell des Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motors hatOT= 2 EingangsgroBen und r= A AusgangsgroBen, so dass die sich ergebende K-Matrix vom Typ {r,m) = (4,2) ist. Die Ergebnisse stimmen iiberein. Die vier AusgangsgroBen Ankerstrom, Geschwindigkeit, Drehzahl und Motormoment sind in ihren stationaren Endwerten sowohl von der Ankerspannung als auch von der als StorgroBe wirkenden Kraft abhangig.

8.3

Eigenschaften der Systemmatrix A

Im Zusammenhang mit der Untersuchung dynamischer Systeme im Zustandsraum und dem Losen der Vektor-Matrix-Differenzialgleichung spielen die Eigenschaften der Systemmatrix A cine wesentliche RoUe. Die Losung der oben angefiihrten Differenzialgleichung liefert nicht nur die zeitlichen Verlaufe der ZustandsgroBen sondern auch tiefere Einsichten in die dynamischen Eigenschaften von Systemen. Ausgangsbeziehung ist die wiederholt angefiihrte Zustandsgleichung: x(/) = Ax(?) + Bu(^)

mit

x(0) = Xo

Aus der Erfahrung ist bekannt, dass sich ihre Losungen aus: - der freien ungestorten Bewegung oder Eigenbewegung fur u(t) = 0

(8.17)

224

8 Systemeigenschaften

- und der erzwungenen Bewegung fflr u(t) ^ 0 zusammensetzen. Es gilt somit: (8.18) Im weiteren Verlauf treten immer wieder Begriffe wie charakteristische Matrix, charakteristisches Polynom, charakteristische Gleichung, Eigenwert und Eigenvektor auf, die in den nachfolgenden Abschnitten behandelt werden.

8.3.1 Losungsansatz fiir die Eigenbewegung des Systems An Hand des Losungsansatzes fur die Eigenbewegimg des ungestorten Systems sollen o.a. Begriffe beschrieben werden. Aus u(0 = 0 folgt: x(?) = Ax(^)

(8.19)

X/(0

Mit dem Losungsansatz: x^(?) = Ke'' x^(?) = 5Ke"

(8.20)

dem Einfuhren der Einiieitsmatrix I und dem Ausklammern von K kaim die Gleichung (8.19) wie folgt geschrieben werden: (sI-A)K =0

(8.21)

Der in Gleichung (8.21) enthaltene Ausdruck: (sI-A) = [sI-A]

(8.22)

wird als charakteristische Matrix der Systemmatrix A bezeichnet. K ist eine Matrix, die aus n Spaltenvektoren k,:

t

t

t

K

=

i

i

i

«,,

A:,2

^21

Ki

••

K,

k„2

••

(8.23)

gebildet wird. Die zum /-ten Eigenwert s =pi gehorende Losung von (si-A) = 0 hat die Form: k,=r,r,

(8.24)

Die Vektoren k, setzen sich aus einer beliebigen von null verschiedenen reellen Zahl Xi und dem Eigenvektor r, zusammen [G6ldner_2-1982] und [KE-Mathe-1977]:

8.3 Eigenschaften der Systemmatrix A

K = RT =

11

12

• ••

In

r2^

I2

• ••

'"2„

r„i

r„2

•

.. r

0 • •

T,

0

^2

0

•

0 •

nn _

0

• 0

•

225

(8.25)

•^"n

Weiterhin besteht zwischen dem /-ten Eigenwert p, und dem zu ihm gehorenden Eigenvektor r, der folgende Zusammenhang [G6ldner_2-1982]: (8.26)

Ai", =Ar,.

Aus diesem Zusammenhang folgt obige Gleichung in Form einer Vektor-Matrix-Gleichung fiir den Eigenwert JCJ: ..

-a,„

• ..

-a^„

a,2

Pi-an

A-«22

-«21

rti

rt = [.I-A]r,

i L -««i

-a„2

•

••

(8.27)

i

P,-a„„\

Die Vektor-Matrix-Gleichung ist ein homogenes Gleichungssystem ftir die Komponenten von K. Die spaltenweise Anordnung der Eigenvektoren r, hefert die Matrix der Rechtseigenvektoren: R = [r,

Y, ... r„]

(8.28)

Dieses Gleichungssystem ist genau dann erfullt, werm ftlr die Determinante der charakteristischen Matrix (sI-A) gilt: P^.(A) = d e t ( 5 l - A ) = | ^ I - A | = 0

(8.29)

/'c(A) ist ein Polynom «-ten Grades in s. Im Zusammenhang mit der Systemmatrix A ergeben sich: 1. Das charakteristische Polynom P^ ( A ) = 5" + a„_, 5""' + • • • + ^2 s^ + a, 5 +

flg

(8.30)

2. Die charakteristische Gleichung P, (A) = 0 fur die der Satz von Cayley-Hamilton' besagt: Jede quadratische Matrix A genugt ihrer eigenen charakteristischen Gleichung, d.h.: P^{K) = A"+a„_^A"-'+••• + a^K + a^\ = iS

' Hamilton, William Rowan, seit 1835 Sir, *4.8.1805 Dublin tl2.9.l865 Dunsik, Matliematiker und Physiker

(8.31)

226

8 Systemeigenschaften

3. Die Eigenwerte pi als Wurzeln der charakteristischen Gleichung (8.31). 4. Der Eigenvektor r^ oder der charakteristische Vektor wenn />, ein Eigenwert von A ist und ein oder mehrere linear unabhangige Vektoren r, ^ 0 existieren, die die Gleichung (8.27) erfullen. Die Systemmatrix A bestimmt die dynamischen Eigenschaften des Systems. Mit der Kenntnis der Rechtseigenvektoren nach Gleichung (8.28) und den Eigenwerten p, ist der Anteil der freien Bewegung an der Gesamtbewegung, bis auf die Werte von x, bestimmt: X,j\t)

v(0 =

= Ke'=RTe"

.v(0. bzw. x^- {t) = T^ r, e''' + T2 rj e'''+••• + T„ r„ e'"'

(8.32)

Die Gleichung (8.32) kann ganz allgemein wie folgt geschrieben werden: Xf{t) = e^'x,=
(8.33)

(D{t) wird als Fundamental- oder Ubergangsmatrix bezeichnet. Sie beschreibt den Ubergang vom Anfangszustand in einen beliebigen Zustand des Systems.

8.3.2

M-functionspo/j, roots und eig zur Berechnung von SystemgroBen Eigenschaft Yon poly: Berechnet aus einer Matrix bzw. einem Vektor das charakteristische Polynom. Syntax: Pc = poly(A) Pc = poly(Ew) Beschreibung: Die M-function poly berechnet fur eine quadratische Matrix A vom Typ («,«) bzw. aus einem Vektor E^ vom Typ («,1) von n Eigenwerten einen Vektor vom Typ (1,«+1) dessen Elemente die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms nach Gleichung (8.29) bzw. (8.30) sind. Weitere Funktionen siehe help / doc poly . Eigenschaft von roots: Berechnet die Wurzeln, d.h. Nullstellen bzw. Pole, eines Polynoms. Syntax: w = roots(P) Beschreibung: Die M-ftinction roots gibt den Spaltenvektor w aus, der die Wurzeln des Polynoms P enthalt. Weitere Funktionen siehe help I doc roots.

8.4 Stabilitat linearer Systeme

227

Eigenschaft von eig: Berechnet die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix. Syntax: [R,Ad] = eig(A) Po = eig(A) Beschreibung: Die M-fUnction eig gibt die Matrix R der Rechtseigenvektoren und die Matrix Aj aus. Die Matrix A^ enthalt in Diagonalform die gesuchten Eigenwerte, so dass sie auch als Diagonalmatrix bezeichnet wird. Mit 'Po = e/g(A)' werden nur die Eigenwerte der quadratischen Matrix A ausgegeben. Dieses Kommando ist eine Stammfunktion. Sein Anwendungsbereich ist groBer als hier angegeben. Weitere Funktionen siehe help /doc eig. Beispiel 8.4 Fiir das Inverse Pendel nach Kapitel 5.3 sind aus der Systemmatrix das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und Eigenvektoren zu berechnen. Die Systemmatrix ergibt sich mit Hilfe der function invpendel.m. Losung: siehe Beispiel8_04.m Auswertung: Das charakteristische Polynom lautet: P^, (A) = /+72,08^^+19,05s--701,57^ + 0 Die Eigenwerte und Pole sind identisch. Ein Pol liegt in der positiven Halfte und einer im Ursprung der komplexen Zahlenebene. Dies ist, wie noch gezeigt wird, die Ursache dafflr, dass das Inverse Pendel nicht ohne Regeleinrichtung in der Senkrechten stehen bleibt. Auf der Hauptdiagonale von A^ stehen die Eigenwerte. Da sie alle reell sind, miissen die restlichen Koeffizienten null sein. Die Matrix R wird im weiteren Verlauf als Transformationsmatrix verwendet.

8.4

Stabilitat linearer Systeme

Eines der wichtigsten Kriterien fur die Beurteilimg eines dynamischen Systems ist sein Stabilitatsverhalten. Allgemein kann dies wie folgt ausgedriickt werden: Ein lineares System ist stabil, wenn es nach einer beschrankten Erregung mit einer beschrankten Bewegung am Ausgang reagiert oder in den urspriinglichen Zustand zuriickkehrt. Tritt keines der beiden Verhalten ein, ist das lineare System instabil. Die beschrankte Erregung kann entweder eine Anfangsauslenkung des Systems oder eine von auBen auf das System wirkende GroBe sein. Eine Aussage zur Stabilitat ist folglich mit der Losung der Differenzialgleichung:

228

8 Systemeigenschaften

/"\t)

+ ... + a,y{t) + a,y{t) = b„u^"'\t) + ... + b,u{t) + b,u{t)

(8.34)

bzw. der Ubertragungsfunktion:

s" +a„_| 5" +... + a^s + a^, die beide das Systemverhalten beschreiben, eng verbunden. Die Zeitantworten als Losungen bestehen, wie auch unter 8.3 gezeigt, aus den Anteilen: - der freien Bewegung j^^?), abhangig von den Anfangsbedingungen - und der erzwungenen Bewegung yXt), abhangig von der EingangsgroBe sowie ihren Anfangswerten: y{t) = y^{t) + y,{t)

(8.36)

Der Anteil der freien Bewegung ergibt sicli aus dem homogenen Teil der die Systemdynamiic beschreibenden linearen Differenzialgleiciiung. Die Losungen werden fur reelle bzw. konjugiertkomplexe Pole durch den Ansatz: >'^(?) = C e "

bzw.

^"^ (/) = e'" [C, cos»? + C2 sin©?]

(8.37)

ermittelt. Die Koeffizienten C sind von den Anfangswerten:

y{Q),y{Q),...J"-\0)

(8.38)

abhangig. Durch den LSsimgsansatz wird der homogene Teil der Differenzialgleichung in das charakteristische Polynom - Gleichung (8.29) bzw. (8.30) - des betrachteten Systems ilberfiihrt. Es stimmt mil dem Nenner der Ubertragungsfunktion nach Gleichung (8.35) ilberein. Die Losimgen der durch Nullsetzen des charakteristischen Polynoms gebildeten charakteristischen Gleichung sind die Pole des Systems.

8.4.1

Losungen der charakteristischen Gleichung

Die Pole kSnnen in sechs Klassen entsprechend ihrer Lage in der komplexen Zahlenebene eingeteilt werden. Damit ist es moglich, charakteristische Aussagen iiber den Verlauf der freien Bewegung eines Systems zu machen. Das Bild 8.3 liefert zu den Losungen der charakteristischen Gleichimg eines Systems, welches einer Anfangsauslenkung unterliegt, folgende Aussagen: 1. Das System strebt aperiodisch einem endlichen Wert zu und ist damit stabil, da gilt: 5<0

^

y At ^ co) = \imC e"' =0

(8.39)

2. Das System strebt periodisch einem endlichen Wert zu und ist damit stabil, da gilt: s = 5±jw 8
=> yf[t ^'x,) = \\me^'[CiCOS(ot + C^s,\na)t] = Q

^'

'

8.4 Stabilitat linearer Systeme

229

' ^ ](!>

2: oszillatorisch stabil x

X 6: oszillatorisch instabil

'• 4: oszillierend grenzstabil 3: monoton grenzstabil 1: monoton stabil

5: monoton instabil

"^ 5

- 4

stabiler Bereich

instabiler Bereich 2X

X 6

Stabilitatsgrenze

Bild 8.3 Die sechs moglichen Pollagen eines Systems zur Stabilitatsaussage 3. Das System hat iiber alle Zeiten eine konstante Amplitude in der GroBe der Anfangsauslenkung und ist damit monoton grenzstabil, da gilt: ^• = 0 => >'^(?^oo) = limCe" = C

(8.41)

4. Das System fuhrt Schwingungen mit konstanter Amplitude um die Anfangsauslenkung aus und ist damit oszillierend grenzstabil, da gilt: s = ±jco =i' yj (^t ^^tx)'j = Cj cos at + Cj sin 031

(8.42)

5. Das System entfernt sich mit wachsender Amplitude von der Anfangsauslenkung und ist damit monoton instabil, da gilt: s>0

^

y^ ( ? ^ c o ) = limCe" =<

(8.43)

6. Das System entfernt sich mit oszillierend wachsender Amplitude von der Anfangsauslenkung und ist damit oszillatorisch instabil, da gilt: s = 5±jw 8>Q

yf{t —>oo) = lime'" [C, coso^ + Cj sino?] = ±oo

;.44)

Die Aussage, ob ein lineares System stabil, grenzstabil oder instabil ist, kann folglich nicht eine Frage der von auBen auf das System einwirkenden Signale sein, sondem ist vielmehr im System selbst begrundet. Ein lineares dynamisches System ist asymptotisch stabil, wenn alle seine Eigenwerte - Pole - einen negativen Realteil aufweisen, d.h. 9ie < 0 gilt.

230

8 Systemeigenschaften

Aus systemtheoretischer Sicht entspricht der erste Fall einem PTi-G\ied, der zweite einem Schwingungsglied und der dritte Fall einem /-Glied. Durch eine Rtlckkopplung lasst sich das /-Glied in ein /T,-Glied, also ein stabiles System, iiberflihren. Bei der im Kapitel 9 behandelten Reihenschaltung von Ubertragungsgliedem und anschlicBender Riickkopplung, wie es bei der Bildung eines Regelkreises aus der Regelstrecke und dem Regler geschieht, besteht die Gefahr, dass aus stabilen Einzelgliedem ein instabiler Regelkreis entsteht. Das Problem der moglichen Instabilitat riickgekoppelter Systeme fuhrte schon friih zu seiner Untersuchung, so z.B. Routtf (1860) [Routh-1898], Ljapunow [Ljapunow-1892], Hurwitz [Hurwitz-1895], Nyquist [Nyquist-1932] u.a. Bis auf das Verfahren von Nyquist, welches von der Ortskurve der offenen Kette Aussagen iiber die Stabilitat des geschlossenen Kreises macht, haben die anderen Verfahren die Differenzialgleichung bzw. ihre Koeffizienten als Grundlage zur Beurteilung des Stabilitatsverhaltens. MATLAB stellt fur die Beurteilung des Stabilitatsverhaltens die M-functions margin, nyquist und rlocus mit rlocfind zur Verfligung. Mit diesen Funktionen konnen die kritischen Werte bestimmt werden, die das System an die Grenze der Stabilitat fuhren. Selbstverstandlich konnen auch die M-flinctions impulse oder step sowie eig, pzmap und roots zur Beurteilung des Stabilitatsverhaltens genutzt werden.

8.4.2

Das Hurwitz-Kriterium

Das Hurwitz-Kriterium geht von den Koeffizienten der charakteristischen Gleichung (8.29) bzw. (8.30) aus imd lautet wie folgt: Das System (8.19) ist asymptotisch stabil, wenn: - alle Koeffizienten OQ ... a„.\ des charakteristischen Polynoms (8.29) bzw. (8.30) positiv sind und a„=\ vorausgesetzt wird, - der Wert der nachfolgenden Determinanten (8.45) und (8.46) groBer als null ist.

H,

H,

a,

flj

«5

«o 0

flij

a^

0 0

a,

a,

0

0 0

a„-3

a«-i

0

0

«„-4

a„-2

1

a, > 0; H,=

a, C/rj

flj

>0;

>0

H,=

(8.45)

a,

a.

Cf n

Cf-^

C/T

a, a. >0

^„-,>0

(8.46)

Das Hurwitz-Kriterium wurde im Beispiel 6.32 angewendet.

• Routh, Edward John *20.01.1831 Quebec Canada t07.06.1907 Cambridge England, Mathematiker und Mechaniker

8.4 Stabilitat linearer Systeme

8.4.3

231

Von der offenen Kette zum geschlossenen Kreis

Grundlage zur Erlauterung des Zusammenhangs zwischen der offenen Kette und dem geschlossenen Kreis ist nachfolgender Signalflussplan 8.4:

CD Z(s)

ci>>0—•

GR{s)

W(s) Regler

h

GS{s)

-

^

Y(s)

Regelstrecke

Bild 8.4 Regelkreis in der Standardform, StorgroBe am Ausgang der Regelstrecke Aus ihm lasst sich fur die AusgangsgroBe des Regelkreises mit der Ubertragimgsfunktion Go(s) der offenen Kette folgende Gleichung ableiten: Y{s

Gois) W{s)l + G„{s)

1 -Z{s) l + G„{s)

mit

G„{s) = G^{s)G,{s)

(8.47)

Wird aus der Gleichimg (8.47) die charakteristische Gleichung des geschlossenen Kreises: \ + G„{s) = 0

(8.48)

in den Frequenzgang uberfuhrt und wie folgt umgestellt: l + G,{s = jo)) = l + F,{j(o) = 0 => F,{jw) = -l

(8.49)

so lasst sich die Beurteilung der Stabilitat des geschlossenen Kreises auf die offene Kette iibertragen. Da, wie oben festgestellt, die Stabilitat eine dem linearen System innewohnende Eigenschaft ist, gilt nach der Selbsterregungsbedingung von Barkhausen" folgendes: Bin von auBen zum Schwingen angeregtes lineares System schwingt welter, wenn die auBere Erregung entfemt und dafur das Ausgangssignal gegengekoppelt auf den Systemeingang geschaltet wird. Diese Aussage in einen Zusammenhang mit der Gleichung (8.49) gebracht, bedeutet, dass das geschlossene System sich an der Grenze der Stabilitat befmdet, wenn der dazugehorende Frequenzgang der offenen Kette '-1' ist. Da der Frequenzgang in seine Amplitude, Gleichung (6.115), imd in seine Phase, Gleichung (6.116), zerlegt werden kaim, gilt: Betragen bei einer offenen Kette die Amplitude des Frequenzganges |Fo(/o)l = 1 und die Phasendrehung (p = arg|Fo(/'(B)| = -n, dann befindet sich das dazugehorende geschlossene System, der Regelkreis, an der Grenze der Stabilitat. Aus der imaginaren Achse in der komplexen i'-Ebene, als Grenze zur Beurteilung der Stabilitat, ist der Barkhausen, Heinrich Georg *2.12.1881 Bremen •['20.2.1956 Dresden, Prof, fur Schwachstromtechnik

232

8 Systemeigenschaften kritische Punkt (-1,70) geworden.

Nachfolgend werden die beiden Formen des Nyquist-Kriteriums behandelt.

8.4.4

Das Nyquist-Kriterium

Das Nyquist-Kriterium dient zur Beurteilung der Stabilitat linearer Regelkreise, indem es vom Verlauf der Ortskurve - Kapitel 6.5.2 - der offenen Kette auf die Stabilitat des geschlossenen Kreises schlieBt. Die M-function nyquist ist im Kapitel 6.5.3 beschrieben. Fiir Ubertragungsfonktionen der offenen Kette Go(s), die aus Grundgliedem entsprechend der Punkte 1 und 2 - stabile Systeme - sowie 3 - grenzstabiles System - des Abschnitts 8.4.1 gebildet sind, lautet das vereinfachte Nyquist-Kriterium, auch als Linke-Hand-Regel bezeichnet: Wenn die tJbertragungsfunktion der offene Kette Ga{s) stabil oder grenzstabil ist", dann ist fur die Stabilitat des zugehorigen geschlossenen Systems notwendig und hinreichend, dass beim Durchlaufen der Ortskurve von FoQct}) in Richtung wachsender Frequenzen 0 < « < oo der kritische Punkt (-1,70) links von ihr liegt. Das Nyquist-Kriterium macht neben der Aussage iiber der Art der Stabilitat auch Angaben iiber den Stabilitatsvorrat eines im offenen Zustand stabilen Systems bezogen auf die Amplitude: Der Amplitudenrand Am^ ist ein MaB fiir die relative Stabilitat und berechnet sich aus dem Kehrwert des Betrages des Frequenzganges der offenen Kette fur die Frequenzft)|.igo°bei der der Phasenwinkel (p = -180° betragt. Er gibt an, um welchen Faktor die Kreisverstarkung vergroBert werden kann, ehe die Stabilitatsgrenze erreicht wird. Am„

1

1 - = K,,

(8.50)

^ o ( CO]

und iiber den Stabilitatsvorrat bezogen auf die Phase: Der Phasenrand Phu ist ein MaB fur die relative Stabilitat und bezeichnet die Winkeldifferenz zwischen der negativen reellen Achse der komplexen F-Ebene und dem Punkt, an dem die Ortskurve der offenen Kette mit der Schnittfrequenz (0^ in den Einheitskreis eintritt, d.h. wo \FQ(J(OS)\ = 1 wird. Er gibt an, um welchen Winkel die Phase noch in Richtung ^ = -180° verdreht werden kann, bis die Stabilitatsgrenze erreicht wird. P/!^ =180°-U(fflJ|

(8.51)

' Mit anderen Worten, wenn in der charakteristischen Gleichung der offenen Kette No = 0 keine Wurzeln mit positivem Realteil auftreten, wohl aber Nullwurzeln vorlianden sein konnen. [Popow-1958]

8.4 Stabilitat linearer Systeme

233

Nyquist Diagram

Real Axis Bild 8.5 Phasenrand PHu und Kehrwert des Amplitudenrandes a eines im geschlossenen Zustand stabilen Systems, dargestellt an der Ortskurve einer offenen Kette

8.4,5

Das allgemeine Nyquist-Kriterium

Die Ubertragungsfunktion Go(s) des aufgeschnittenen Regelkreises besteht aus einem gebrochenen rationalen Teil und gegebenenfalls einem Totzeitglied. Sie iiat auBer den Polen in der linken Halfte der komplexen 5-Ebene noch rip Pole mit positivem Realteil und «,„ Pole auf der imaginaren Achse: G,{s)-

1

Z),,,*" +... + \s + i + a„_(^^^i)S" ''*'* + ... + a^s^ +a|5' + a„

(8.52)

mit q<2,m
(8.53)

234

8.4.6

8 Systemeigenschaften

Berechnung von Stabilitatswerten mit der M-function margin Eigenschaft von margin: Berechnet Stabilitatswerte eines Systems. Syntax: [AmR,PhR,wa,wp] = margin( System) [AmR,PhR,wa,wp] = margin(Am,Ph,w) Beschreibung: Die M-function margin berechnet den beim SchlieBen einer stabilen offenen Kette verbleibenden Amplitudenrand Amu und Phasenrand PHR sowie die dazugehorenden Frequenzen des mit 'System' gegebenen EingroBensystems. 1st nur die kritische Verstarkung Ky gesucht, so gilt: Kkr = margin(System) Die M-function margin stellt bei Aufruf nur des rechts vom Gleichheitszeichen stehenden Teils, entsprechend der Darstellung im Bode-Diagramm, den Amplitudenverlauf und den Phasenverlauf getrennt dar und gibt die entsprechenden Werte an bzw. zeichnet sie ein. Das Kommando '[AmR,PhR,wa,wp] = ?Marg/H(Am,Ph,w)' geht von den Werten fiir die mit der M-function [Am,Ph,w] = bode{Syst&ra) ermittelten Amplituden, Phasen und Frequenzen aus und berechnet den Amphtudenrand und den Phsaenrand bzw. stellt sie graphisch dar. Weitere Funktionen siehe help /doc margin.

Beispiel 8.5 Der Amplitudengang und der Phasengang der aus Regelstrecke und Regler bestehenden offenen Kette des Modell-Regelkreises ist mit der M-fLinction margin darzustellen. Die Werte des Amplitudenrandes und des Phasenrandes sind anzugeben. Losung: siehe Beispiel8_05.m Aus dem Bild 8.6 lassen sich folgende Werte ablesen: - Fiir den Amplitudenrand: G„, = 20\g{Am„) = 25,2dB

-

^

Am„ ^iQioJ^^) = IQ'''" =18,197

Da der Amplitudenrand gleich der kritischen Verstarkung ist, befmdet sich der geschlossenen Kreis bei ^o = ^ir = 18,197 an der Stabilitatsgrenze. Fiir den Phasenrand: Ph^=%2,^°

Beispiel 8.6 Das im Kapitel 5.1 behandelte System Stab-Wagen ist mit Hilfe des allgemeinen NyquistKriteriums dahingehend zu untersuchen, ob durch eine negative Riickfiihrung des Wegsignals auf die am Eingang wirkende Kraft, das System stabilisiert werden kann. Zur graphischen Darstellung ist die M-function margin zu verwenden.

8.4 Stabilitat linearer Systeme

235

B o d e Diagram Gm = 25.2 d B (at 3 . 3 2 e + 0 0 3 r a d / s e c ) ,

Pm = 8 2 . 8 d e g {at 2 7 5

rad/sec)

50 1

1 1 1 1 1 111

-50

1

l - J . - 1 - i. J- Ul J

100

-1

1

1

1 1 1 1 1 11

1

1 1 1 1 1 111

1

1

1 1 1 1 1 1

0

A-4.1 UJ-I-I-IJI

a X 1 i. i, l-U 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1

X J.1- l_J_I_IJJi. 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

II II II II

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

I4--1-UJ. oTtCai,^-

J 4 . U l_XJ.i.U

1 1 1 1

1 1 1 1

1

-L

U - U - l -l-l-l -1-

U 1- -JTsq^J-l-

1 1 1 1

1 1 1 1

11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

l_J_l_4.4.1. U

1 ir~r-Ku 1 1 11 1 1 1 1 111 1 1 1 1111 1 1 1 1 1 1 1 PK. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ^S^ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 _ .l . _ i . _ l _ l - l - l - l l - - % ^ l 1 + J _ u a JXUI |__4--4--l-UUI-U

1 1 1 1 1

1 j1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 r - T - n - r r nT 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11

1 1

1 I I iN. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i--|-r "f^jri i--r-T - r rrrr 1 1 1 1 1 1 1 iN^^ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 111 ^—i^_^i 1 1111 1 1 1 1 1 1 111 1 ""i^^t—1 1 1 1 1

1

1_ j _ i _ j.j.4.1-1

t__i__^_._i_i_i_i4.

1

i _ _ i _ i _ ^ ^ + i_|

150 -90

135

180

225

?70

1 1 1 1 1 1 1 TrTTrn 1 1 1 1 111 1 1 1 1 111 1 1 1 1 111

10

10

1 1

10 Frequency (rad/sec)

10

i - - * - - + -'-'-'-l-=C

10

Bild 8.6 Bode-Diagramm der offenen Kette des Modell-Regelkreises mit den Werten des Aplitudenrandes und des Phasenrandes, Beispiel 8.5 Losung: siehe Beispiel8_06.m Das System besitzt folgende Pole: [Pt Pi ft /'4] = [-3,8172 -0,0905 0 3,2434] Die Pole Pi und p2 befmden sich in der linken Halbebene. Der Pol ps liegt im Ursprung, er liefert «,„ = 1. Der Pol p4 liegt rechts von der imaginaren Achse, er liefert «p = 1. Das System ist also im offenen Zustand instabil. Die Winkelanderung muss: Ag) = 270° betragen, damit das geschlossene System durch die Ruckfuhrang stabilisiert werden kann. Wie die Auswertung des im Bild 8.7 gezeigten Bode-Diagramms ergibt, betragt in dem Bereich 0 < co
236

8 Systemeigenschaften Bode Diagram Gm = Inf dB (at Inf rad/sec), Pm = 5.54 deg (at 0.958 rad/sec) 100

m

50

ra

0

l\. -135

-180 10

10

10

10

10

Frequency (rad/sec)

Bild 8.7 Bode-Diagramm eines instabilen offenen Systems, welches diirch eine einfache Rtickkopplung nicht stabilisiert werden kann, Beispiel 8.6

8.4.7

Stabile offene Systeme mit Totzeit

Fiir stabile offene Systeme mit Totzeit gilt: Bin System mit Totzeit, dessen offene Kette stabil ist, wird als geschlossenes System ebenfalls stabil sein, wenn die Ortskurve des Frequenzganges der offenen Kette mit wachsender Frequenz o den kritischen Punkt (-l,jO) nicht umfasst, d.h. ihn links liegen lasst. Linke-Hand-Regel. Beispiel 8.7 Im Beispiel 3.4 des Kapitels 3.4.4 wurde fiir ein /Ti-Glied mit einer Totzeit T, = 1,5 s; einem Verstarkungsfaktor K = 1 und einer Verzogerungszeitkonstante Ti = 0,025 s die Verstarkung fur den Fall ermittelt, dass die Ortskurve den kritischen Punkt (Re;Im) = (-1^0) durchlauft, was einem Betrag von |F| = 1 und einer Phase von 0 = -180° entspricht. Fur die ermittelten Werte Ktr = 2,193 mit der Kreisfrequenz Ot = 78,08 s'^ sowie mit den zwei zusatzlichen Verstarkungen K = 1,5 und K = 2,9 sind die Ortskurven graphisch darzustellen. Die Ergebnisse sind auszuwerten. Losung: Gegeben ist die Ubertragungsfunktion eines /Ti-Gliedes mit einem Totzeitglied:

8.4 Stabilitat linearer Systeme GpT,is) = ^^e-''''

237 (8.54)

Fur: s = S + jo)

geht mit <5 = 0

s —> Ja

(8.55)

ergibt sich aus der UbertragungsfUnktion G{s) der Frequenzgang: F^,{jco) = -^e-''^''

(8.56)

Die Erweiterung der Gleichung (8.56) mit: (8.57) l-TJa liefert den komplexen Frequenzgang, aufgespalten in seinen Realteil und seinen Imaginarteil: F,r. ( > ) = — ^ e " " " i^-TJco)

(8.58)

l + (7^fi))

Ersetzen des Totzeitanteils in der Gleichung (8.58) durch die Eulersche Formel: e"'''^"' =cos(7;»)-7sin(7;e;)

(8.59)

So folgt der durch seinen Reaheil und Imaginarteil beschriebe komplexe Frequenzgang: FpT,{J^^) = — : -^[cos{T,co)-T^Q}&m{T,o})] l + {T,co) ^^ ' z -Y[sm{T,6)) + T^acos{T,a)]j

(8.60)

l + (7^ffiij

Fiir das Totzeitglied ist der Betrag des Frequenzganges, d.h. die Amplitude, iiber alien Frequenzen gleich eins, siehe Kapitel 6.6.5.2, so dass der Betrag des Gesamtfrequenzganges dem Betrag des Frequenzganges des /Ti-Gliedes entspricht: \PpT,{j(o)\ = K^

,

,

(8-61)

und fur die Phase ergibt sich: 0°(«) = -7;«-^arctan(7;«) O ( 0 ) = -7^ft)^-arctan(7J0)

[°] [rad]

^^^^2)

238

8 Systemeigenschaften

Fiir die Berechnung der Realteile und Imaginarteile wird die Gleichung (8.60) herangezogen, hierbei ist zu beachten, dass die Argumente der cos- und sin-Funktionen in BogenmaB [rad] anzugeben und folglich durch die Erweiterung mit dem Faktor 7r/180 umzurechnen sind: Re{co)--

K

-[cos{T,co-^)-T,(osm{T,(o^)'] (8.63)

K

[sm{T,w^)

+ T,cocos{T,o}^)]

siehe Beispiel8_07.m Ortskurven eines FT -Gliedes mit T = 0.025s, einer Totzeit T = 1,5s und 3 Verstarkungen

0

0.5 Real Axis

1

Bild 8.8 Losung zum Beispiel 8.7 Aus Bild 8.8 ist mit Hilfe der Linken-Hand-Regel deutlich zu erkennen, dass ein geschlossenes System, dessen offene Kette aus einem /Ti-Glied mit Totzeitanteil besteht, durch VergroBerung der Verstarkung, aber auch durch VergroBerung der Totzeit, instabil werden kann. Bekannthch hat der geschlossene Kreis, der aus einem riickgekoppelten PTi-G\ied gebildet wird, wieder/TpVerhalten und ist fur alle Verstarkungswerte stabil. Die Zusammenhange, die das Bild 8.8 wiedergibt, batten auch mit der function bodejitt.m, Beispiel 6.29, gefunden werden konnen.

8.5 Normalformen der Systemmatrix

8.5

239

Normalformen der Systemmatrix

Wie bereits im Kapitel 4.6.4 - Das Zustandsmodell - beschrieben, ist die Wahl der ZustandsgroBen nicht eindeutig. Gewohnlich werden die ZustandsgroBen im Zusammenhang mit der theoretischen Prozessanalyse aus den Energiebilanzen abgeleitet und weisen damit einen physikalischen Charakter auf. Die so gewonnenen Zustandsgleichungen bilden die Standardform: x(/) = Ax(?) + Bu(?) x(? = 0) = x„ y{t) = Cx{t) + T)u{t) Vielfach ist es wiinschenswert Zustandsgleichungen in einer anderen, fur den entsprechenden Einsatzfall giinstigeren, als der Standardform darzustelien. Dies erfordert eine Transformation der gegebenen Zustandsgleichungen in die gewiinschte Form, was voraussetzt, dass geeignete Transformationsverfahren gegeben sind. Die so gewonnenen neuen Formen der Darstellung des Zustandes werden als Normalformen bezeichnet. Die Transformation der Zustandsgleichungen in eine Normalform lasst aus den urspriinglichen ZustandsgroBen neue ZustandsgroBen entstehen. Dies ist auch verstandlich, denn von den EingangsgroBen, ZustandsgroBen und AusgangsgroBen des Systems sind nur die ZustandsgroBen nicht eindeutig bestimmt, also weitestgehend frei wahlbar. Grundlage dieser Untersuchungen sind die in der Standardform mit Gleichung (8.64) vorliegenden Vektor-MatrixDifferenzialgleichungen und Vektor-Matrix-Ausgangsgleichungen des Zustandsmodells. Sie beschreiben ein lineares, zeitinvariantes System vollstandig. Nachfolgend werden die Diagonalform sowie die Regelungsnormalform und Beobachtungsnormalform behandelt, dem schlicBt sich ein gemeinsames Beispiel an.

8.5.1

Transformation der Zustandsgleichungen in die Diagonalform

8.5.1.1 Die Systemmatrix A Wenn es gelingt, eine reelle quadratische Matrix A durch eine nichtsingulare Transformationsmatrix in eine Diagonalmatrix zu iiberfuhren, dann gehort die Systemmatrix A als Spezialfall zur Klasse der diagonaliihnlichen Matrizen. Dies ist immer dann moglich, wenn A keine mehrfachen Eigenwerte besitzt. In der numerischen Mathematik und in den hier behandelten technischen Anwendungen gibt es keine scharfe Grenze zwischen den Fallen einfacher und mehrfacher Eigenwerte. Durch kleine Anderungen an den Elementen ay der Systemmatrix kann diese in eine Matrix mit einfachen Eigenwerten iibergehen. Damit kann der bei technischen Anwendungen hochst seltene Fall von mehrfachen Eigenwerten uberfuhrt werden in eine Systemmatrix mit dicht benachbarten Eigenwerten [Faddej ew/Faddej ewa-1964]. Die Anderungen an den Elementen der Systemmatrix sind sicher bei der Vielzahl von Koeffizienten aus denen sie zusammengesetzt sind, ohne Qualitatsverlust moglich. Durch die geringfugige Veranderung eines oder mehrerer Elemente ay der Systemmatrix andem sich die Koeffizienten der zu A gehorenden charakteristischen Gleichung und damit ihre Eigenwerte. Liegt also der gewohnlich anzunehmende Fall vor, dass die in der Standardform vorliegende Systemmatrix A nur verschiedene Eigenwerte besitzt, dann existiert stets eine nichtsingulare

240

8 Systemeigenschaften

Matrix mit der die Systemmatrix in eine Diagonalform transformiert werden kann. Als Transformationsmatrix, die diese Bedingungen erfullt, ergibt sich die bereits weiter oben behandelte Matrix der Rechtseigenvektoren R, auch als Modalmatrix bezeichnet. Mit Hilfe der Modalmatrix R und ihrer Inversen R"', gebildet aus den Linkseigenvektoren, kann die Systemmatrix A in eine Diagonalmatrix A^, mit Blocken auf der Hauptdiagonalen in denen die Eigenwerte von A entlialten sind, transformiert werden. Diese Matrix entspricht einem Sonderfall der Jordarf-Normalform weiche auch als Diagonalform bezeichnet wird: Diese Normalform stellt, neben noch anderen Normalformen, eine gunstige Ausgangsbasis fur den Entwurf von Regeleinrichtungen im Zustandsraum dar. 8.5.1.2 Transformation der Standardform in die Diagonalform Mit der Modalmatrix R wird der Zustand x{t) der Standardform in den Zustand xj^t) der Jordan-Normalform bzw. Diagonalform transformiert. Mit dem Ansatz: (8.65)

x(0 = RXrf(0 folgt flir die Zustandsgleichungen aus den Gleichimgen (8.64): x(/) = Rx,, (/) = ARx^ (/) + Bu(?)

x(0) = Rx^ (O)

y(?) = C R x , ( 0 + Du(?)

(8.66)

Da R eine nichtsingulare Matrix ist, existiert ihre Inverse R"', so dass sich damit das Zustandsmodell in die Diagonalform uberflihren lasst: Xrf(/) = R"'ARx^(^) + R"'Bu(/)

(8.67)

Mit der Systemmatrix: (8.68)

A^ = R AR und der Eingangsmatrix:

(8.69)

B,=R B folgt die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung in der Diagonalform:

0

Pi

0" 0

0

0

Pn_

0

^d\ ^d2

_'*'*_

+

Mit der Ausgangsmatrix:

' Jordan, Marie Ennemond Camille *5.1.1838 CroixRousse •['21.1.1922 Paris, Mathematiker

(8.70)

8.5 Normalformen der Systemmatrix Crf=CR

241 (8.71)

und der unveranderten Durchgangsmatrix: D,=D

(8.72)

folgt die Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung: y(/) = C,x,(/) + D,u(/)

(8.73)

Das Ergebnis der Transformation liefert eine besonders einfache Struktur der Differenzialgleichungen, da in jeder Gleichung nur die zur Ableitung gehorende ZustandsgroBe auftritt. Damit sind die einzelnen Zustande untereinander nicht verkoppelt und nnr von den EingangsgroBen abhangig. Filr das entkoppelte System von Differenzialgleichungen kann jede unabhangig von den anderen gelost werden. Die Eingangsmatrix B^ der Diagonalform gibt Auskunft dariiber welche Zustandsgrofien von welchen der einzelnen SteuergroBen gesteuert werden. 8.5.1.3 Von der Standard- in die Diagonalform mit der M-function canon Eigenschaft von canon: Transformiert ein in der Standardform vorliegendes Zustandsmodell in die Diagonalform. Syntax: ZMd = canon(ZM,'modal') Beschreibung: Die Kommandofolge 'ca«o«(ZM,'modar)' iiberfuhrt ein in der Standardform vorliegendes Zustandsmodell in die Diagonalform, wie durch die Gleichungen (8.70) imd (8.73) beschrieben. 'modal' bezieht sich auf die im Abschnitt 8.1.1 berechnete Modalmatrix R, sie spiegelt die Art und Weise - Modi - des dynamischen Verhaltens eines Systems wider, womit der Einfluss jedes Eigenwertes auf das Systemverhalten beurteilt werden kann. Weitere Funktionen siehe help / doc canon. Beispiel 8.8 Das Zustandsmodell des Inversen Pendels nach Kapitel 5.3 ist aus der Standardform in die Diagonalform zu iiberfuhren. Der dazugehorende Signalflussplan ist darzustellen. Filr die Ermittlimg der Modellmatrizen ist die fimction invpendel.m zu verwenden. Losung: » ZM = invpendel('IP'); ZMd = canon(ZM,'modal') a= 1 2 3 4

xl 0 0 0 0

x2 0 2.934 0 0 0

x3 0 0 -3.336

x4 0 0 0 -71.68

242

8 Systemeigenschaften b= ul xl 0.03203 x2 -0.04455 x3 0.06215 x4 3.253 c= xl x2 x3 x4 0 0.3226 -0.2871 0.009904 1 -0.002967 -0.003348 -0.009825 -0.7734 -44 0 0.6082

yi y2 y3 d=

ul 0 yi 0 y2 2.005 y3 Continuous-time model. bd11

^^2^>Q^^^^

>©—KID *

: 1 > u(t)

y2(t)

bd31

•€>KD bd41

dxd4/d

<;^|^44ll

• cd^^^ >

cd34

-KT) y3(t)

Bild 8.9 Signalflussplan des Inversen Pendels in Diagonalform

8.5 Normalformen der Systemmatrix

243

Da das System vier reelle Eigenwerte hat, entsprechen diese den Elementen der Hauptdiagonalen der Systemmatrix A^, alle ilbrigen Werte sind null. Natiirlich auch der Wert des ersten Diagonalelementes, da ja dieser Eigenwert null ist. Wie aus dem Signalflussplan im Bild 8.9 zu ersehen ist, wirkt das Eingangssignal u{t) = uJJ) - Ankerspannung des Motors - auf jeden Zustand des Inversen Pendels in der Diagonalform. Zwischen den Zustanden existiert keine Kopplung. Die Ausgangssignale y\(t) = (p(t) und yiit) = s{t) - Winkel und Weg - sind, im Gegensatz zur Standardform, wo sie jeweils einem Zustand entsprechen, eine Linearkombination der neuen Zustande. Die dritte AusgangsgroBe y^{t) = F{t) - Antriebskraft - ist eine Linearkombination des zweiten bis vierten Zustandes und der EingangsgroBe. In der Standardform ist die AusgangsgroBe y^{t) dagegen eine Linearkombination des ersten, zweiten und vierten Zustandes sowie ebenfalls der EingangsgroBe.

8.5.2

Regelungsnormalform fiir EingroBensysteme

Die Beschreibung der Zustandsgleichungen in der Regelungsnormalform wird hier nur fur Systeme mit einer EingangsgroBe behandelt, daraus folgen die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung: x,(?) = A,x,.(0 + b,M(/)

(8.74)

und die Ausgangs-Gleichimg: y[t) = c^x^{t) + d^u[t)

(8.75)

Es existieren zwei grundsatzliche Moglichkeiten zum Erzeugen dieser Normalform, je nachdem ob das entsprechende System als Ubertragungsflinktion oder als Zustandsmodell in der Standardform vorliegt. In der Regelungsnormalform besteht die letzte Zeile der Systemmatrix aus den negativen Koeffizienten der zur Systemmatrix A gehorenden Koeffizienten der charakteristischen Gleichung Qj, wenn a„ = 1 gilt. Ihre Bedeutung ergibt sich aus dem Umstand, dass der Einfluss der Polverschiebung in einem Regelsystem durch ein Steuergesetz in der Form von Ruckfuhrungen der ZustandsgroBen besonders iibersichtlich nachvollzogen werden kann. 8.5.2.1 Regelungsnormalform aus der Standardform - Transformationsvorschrift Der Zustandsvektor fur die Regelungsnormalform ergibt sich aus der Transformation: x^(?) = Tx(?) -

(8.76)

Transformationsmatrix <-t'^> •^^t'A^

(8.77)

244

8 Systemeigenschaften

Der Zeilenvektor t' bestimmt sich aus folgenden Gleichungen: t'b = 0 t ' A b = 0 ••• t'A"-'b = 0

(8.78)

Anfangsvektor Der Vektor der Anfangswerte ergibt sich mit der Gleichung (8.76) fur ? ^ 0: (8.79)

x,(0) = Tx(0)

Systemmatrix in der Regelungsnormalform, Voraussetzung fiir die weitere Darstellung ist, dass fur a„ = 1 gilt: 0 0

1 0

0 1

A, = T A T

(8.80) 0

0

0

Ctrl

Cti

CtT

-a„

Eingangsvektor b^=Tb = [0 0

0 1]'

(8.81)

Ausgangsmatrix (8.82)

C, = C T ' Durchgangswert d, = d

(8.83)

8.5.2.2 Regelungsnormalform aus der Ubertragungsfunktion Es wird von einem gleichen Zahlergrad und Nennergrad ausgegangen:

G{s)-.

Y{s) U[s)

b„s"+b„_,s"-'+... + b,s + b. s" +a^_,s" ' +... + a2S^ +a^s + ag

(8.84)

1. Schritt Bilden der Funktion fiir die AusgangsgroBe aus Gleicliung (8.84):

Y(s) = b„s"+Kf-'^...f.s + b, s" +a^_^s"

,.

+...+a2S +a^s + aQ

(8.85)

2. Schritt Einflihren einer Abkiirzung fiir den Nenner von Gleichung (8.84): Ni^s^ = s" + a„_^s"~^ +... + a2S^ + a^s + a^

(8.86)

8.5 Normalformen der Systemmatrix

245

3. Schritt Zerlegen von Gleichimg (8.85) in ihre Teilbriiche: (8.87) 4. Schritt Festlegen der ersten ZustandsgroBe: (8.88) 5. Schritt Einfiihren der ersten ZustandsgroBe in Gleichung (8.87): Y{s) = [b,+b,s + ... + b„_,s"-'+b„s"]x,{s)

(8.89)

6. Schritt Festlegen der zweiten bis «-ten ZustandsgroBe: sX^{s) = X^

Xi ( ? ) = .

s^X,{s) = sX^ =Xj

x,(0 =

Jv'^

wA/T

(8.90) J"-!)

s"-^X,{s) = ... = X„ s"X,{s) = ... = sX„

J")

{t) = ... = x„

7. Schritt Differenzialgleichung ftir die «-te ZustandsgroBe. Aus der ersten ZustandsgroBe im Frequenzbereich folgt: ^'^'^ = ^

^

A^(.)X,(.) = f/(.)

mit den Zwischenschritten:

und x\"' (t) + a„_^x{' {t) + ... +fljX,(t) + a,x, (f) + AQX, (?)

^„ (0+"^"-i^" (0+• • •+^2^3 (0+^1^2 (0+'^o^i (0 "" (0

(8.91)

246

8 Systemeigenschaften

Daraus folgt die gesuchte Differenzialgleichung fflr die n-te ZustandsgroBe: x„ (?) = -a^x, (/) - a,X2 ( ? ) - . . . - a„_,x„ (/) + M (/)

(8.92)

8. Schritt Bilden der Vektor-Matrix-Differenzialgieiciiung flir den Zustand. Die letzte Zeile der Systemmatrix enthait die Koeffizienten der charakteristischen Gleichung. Diese Darstellung entspricht der Vektor-Matrix-Differenzialgleichung mit der Systemmatrix Ar nacli Gleichung (8.80) und dem Eingangsvektor b^ nach Gleichung (8.81). Auf eine Wiedergabe der Matrizen wird verzichtet. 9. Schritt Bilden der Vektor-Matrix-Ausgangs-Gleichung. Die AusgangsgroBe folgt aus der Gleichung (8.87) mit (8.88): Y{s) = b,X,{s) + b,sX,{s) Y{s) = b,X,{s) + b,X,{s)

+... +...

+b„_,s"-'X,{s) + b„s''X,{s) +b„_,X„{s) + b„sX„{s)

y{t) = b,x,{t) + b^x^{t)

+...

+b„_2X„_,{t) + b„_,x„{t) + bJ„{t)

Nach einigen Zwischenschritten ergibt sich ftir die AusgangsgroBe y{t) der Zeilenvektor c^:

c,. =[(&„-flA)

(*,-«,*„) -

(V,-«„-,*„)]

(8-93)

und die Durchgangsmatrix als Skalar d,- zu: d,=b„

(8.94)

8.5.2.3 Regelungsnormalform mit der function rn_form.m Eigenschaft von rnjbrm: Transformiert ein Zustandsmodell bzw. eine Ubertragungsfunktion in die Regelungsnormalform. Es ist eine Funktion des Verfassers. Syntax: ZMr = m_form(System,'ZMr') Tr = m_form( System,'TMr') Beschreibung: Mit der fiinction rnjbrm wird ein Modell in die Regelungsnormalform unter Verwendung der Gleichungen (8.76) bis (8.94) iiberfuhrt. Diese Funktion wurde geschrieben, da die in der Control System Toolbox enthaltene und oben bereits behandelte M-fiinction canon keinen geeigneten Transformationstyp bereitstellt bzw. die noch zu behandelnde M-fiinction ss2ss eine Transformationsmatrix erfordert. Siehe help rnjbrm bzw. type rnjbrm.

8.5 Normalformen der Systemmatrix

247

Beispiel 8.9 Das Zustandsmodell des Inversen Pendels nach Kapitel 5.3 ist aus der Standardform in die Regelungsnormalform zu iiberfuhren. Der dazugehorende Signalflussplan ist darzustellen. Fiir die Ermittlung der Modellmatrizen ist die function invpendel.m zu verwenden. Losimg: » ZM = invpendel('IP'); » [ZMr] = m_form(ZM,'ZM')

y2(t)

(X) y3(t)

Es gilt: xr4 = dxr3/dt; xr3 = dxr2/dt; xr2 - dxr1/dt

Bild 8.10 Signalflussplan des Inversen Pendels in der Regelungsnormalform Die letzte Zeile der Systemmatrix enthalt die negativen Koeffizienten OQ bis a^, der charakteristischen Gleichung. Die EingangsgroBe wirkt nur auf die vierte ZustandsgroBe. Das Bild 8.10 entspricht einer Reihenschaltung der vier Teilsysteme mit Ruckkopplung der Zustande zwei bis vier auf den Eingang. Der erste Zustand wird nicht zuruckgefuhrt, da der dazugehorende Koeffizient null ist. Beispiel 8.10 Fiir das im Kapitel 5.5 beschriebene sprungfahige Netzwerk - function nw_spf.m - ist die Ubertragungsfunktion in die Regelungsnormalform zu uberfuhren. Die Werte der stationaren Verstarkimgen beider Beschreibungsformen sind zu vergleichen. Losung: » G = nw_spf('G'); [ZMr] = m_form(G,'ZM') a= xl x2 xl 0 1 x2 -16 -10

248

8 Systemeigenschaften

ul xl 0 x2 1

yi

xl x2 3.2 -0.8

ul yl 0.8 Continuous-time model. » VG = dcgain(G); VZM = dcgain(ZMr); » [VG, VZM] ans = 1 1 In der zweiten Zeile der Systemmatrix A^ sind erwartungsgemaB die negativen Werte der Koeffizienten OQ und a\ des Nennerpolynoms enthalten. Die stationaren Verstarkungen sind, wie zu erwarten war, gleich.

8.5.3

Beobachtungsnormalform fiir EingroBensysteme

Die Beobachtungsnormalform ist im Zusammenhang mit dem noch zu behandelnden Problem der Beobachtbarkeit eines Systems besonders iibersichtlich. Es werden nur die Systemgleichungen und nicht der erforderliche Algorithmus angegeben, hierzu siehe z.B. [FoUingerua1994] und [Lunze-1996]. Die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung: x*(0 = A„x„(?) + b,M(?)

^w (0

Ki (0 ^Bn {t)_

=

"0 0 . . 0 1 0 . . 0

-«o -a,

^M ( 0 x,2 ( 0

0 0 . . 1

-a„-i_

_^/,„ (0_

+

K-aA h-aA

u[t)

(8.95)

_*„-!-a„-i*„

Die Ausgangsgleichung: y{t) = c,x{t) + d,u{t) y{t) = [0 0 ... \]x{t) + b^u{t)

(8.96)

8.5.3.1 Analogien zwischen der Beobachtungs- und Regelungsnormalform Zwischen den Systemmatrizen sowie den Eingangsvektoren und Ausgangsvektoren der Regelungsnormalform und der Beobachtungsnormalform ein und desselben EingroBensystems bestehen folgende Zusammenhange:

8.5 Normalformen der Systemmatrix

249

Systemmatrix: A„=AV

(8.97)

Eingangsvektor: b,=cV

(8.98)

Ausgangsvektor: c,=bV

(8.99)

Die Durchgangsmatrizen sind gleich. 8.5.3.2 Beobachtungsnormalform mit der function bn^form Eigenschaft von bnjbrm: Transformiert ein Zustandsmodell bzw. eine Ubertragungsfunktion in die Beobachtungsnormalform. Es ist eine Funktion des Verfassers. Syntax: ZMb = bn_form(System,'ZM') Tb = bn_form(System,'Tb') Beschreibung: Mit der function bnj'orm wird ein Modell in die Beobachtungsnormalform unter Verwendung der Gleichungen (8.95) und (8.96) iiberfuhrt. Diese Funktion wurde geschrieben, da die in der Control System Toolbox enthaltene und oben bereits behandelte M-fiinction canon keinen geeigneten Transformationstyp bereitstellt bzw. die noch zu behandelnde M-fiinction ssiss eine Transformationsmatrix erfordert. Die dazu notwendigen Ableitungen sind der Fachliteratur zu entnehmen, wie z.B. [Follinger_ua-1994] und [Lunze-1996]. Siehe help bnjbrm bzw. type bnj'orm. Beispiel8.ll Das Zustandsmodell des Inversen Pendels ist in die Beobachtungsnormalform zu iiberfuhren. Losung: » ZM = invpendel('IP'); » ZMb = bn_form(ZM,'ZM') Achtung! Von den Matrizen 'C und 'D' werden jeweils nur die zur 1. AusgangsgroBe gehorenden Zeilen verwendet! Achtung! Mit der 1. AusgangsgroBe ist das System nicht beobachtbar! ZMb = [] Uber die erste AusgangsgroBe ist das System nicht beobachtbar, so dass dafiir nicht die Beobachtungsnormalform erzeugt werden kann. Um zu ermitteln, ob sich fur die zweite Ausgangs-

250

8 Systemeigenschaften

groBe das System in die Beobachtungsnormalform iiberfiihren lasst, wird nun nur der zweite Ausgang betrachtet. weiter siehe BeispielSl l.m Fiir die zweite AusgangsgroBe ergibt sich die gesuchte Beobachtungsnormalform, d.h. liber diese AusgangsgroBe ist das Inverse Pendel beobachtbar. Die letzte Spalte der Matrix A^ enthalt die negativen Werte der Koeffizienten QQ bis der charakteristischen Gleichuns. Beispiel 8.12 Fiir das im Kapitel 5.5 beschriebene sprungfahige Netzwerk - function nw_spf.m - ist die tibertragungsfiinktion in die Beobachtungsnormalform zu iiberfuhren. Das Ergebnis ist mit der im Beispiel 8.10 gefundenen Regelungsnormalform auf der Basis der Gleichungen (8.97) bis (8.99) zu vergleichen. Losung: siehe Beispiel8_12.m Die Transponierte von Aj entspricht der Systemmatrix A^ in der Regelungsnormalform. Die Koeffizienten des Eingangsvektors sind in der Regelungsnormalform die Koeffizienten des Ausgangsvektors. Die Werte der Durchgangsmatrix sind gleich.

8.5.4

Regelungs- und Beobachtungsnormalform mit der M-function ss2ss Eigenschaft von ss2ss: Transformiert ein Zustandsmodell bei vorgegebener Transformationsmatrix in die entsprechende Normalform. Syntax: ZMT = ss2ss(ZM,T) Beschreibung: Die Uberflihrung eines Zustandsmodells in die Diagonalform geschieht mit der inversen Modalmatrix R'^, welche mittels der M-function eig gefiinden wird. Die Beobachtungsnormalform eines Zustandsmodells ist mit der Transformationsmatrix Tt aus der function bnj'orm.m und in die Regelungsnormalform mit der Transformationsmatrix Tr aus der function rnj'orm.m moglich. Jede beliebige andere Transformationsmatrix liefert entsprechende Zustandsgleichungen Weitere Funktionen siehe help /doc ss2ss.

Beispiel 8.13 Fiir das Inverse Pendel nach Kapitel 5.3 sind die Transformationsmatrizen R mit der Mfiinction eig bzw. mit den functions bnj'orm und rnj'orm zu ermitteln und damit die drei Normalformen zu berechnen. Die Ergebnisse sind mit denen der vorhergehenden Beispiele zu vergleichen. Losung: Da die Ergebnisse iibereinstimmen, wird auf eine Wiedergabe verzichtet!

8.6 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit

8.6

251

Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit

In den vorhergehenden Abschnitten wurden grundsatzliche Eigenschaften des Systems, ausgehend von der Systemmatrix A, betrachtet. Daneben spielen die Systemeigenschaften der vollstandigen Steuerbarkeit und vollstandigen Beobachtbarkeit eine zentrale Rolle im Zusammenhang mit der gezielten Steuerung eines zu automatisierenden Systems und der Erfassung seiner Systemzustande. Diese Eigenschaften geben an, ob in einem dynamischen System durch die Eingangssignale alle Energiespeicher und oder Informationsspeicher in linear unabhangiger Weise beeinflussbar sind bzw. ob aus den Ausgangssignalen auf den Systemzustand geschlossen werden kann [Schwarz-1979]. Die Begriffe der Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit gehen auf Kalman' zuriick, der sie 1960 im Zusammenhang mit einer allgemeinen Theorie zur optimalen Steuerung von Prozessen eingeflihrt hat. Gilbert' ist es zu verdanken, dass er sie am Beispiel multivariabler, linearer, zeitinvarianter Systeme naher erlauterte [Kom-1974].

8.6.1

Steuerbarkeit Ein lineares zeitinvariantes System heiBt vollstandig zustandssteuerbar, wenn es in einem Zeitintervall 0 < / < Taus jedem beliebigen Anfangszustand x(0) durch einen geeigneten Steuervektor u(/) in jeden beliebigen Endzustand x(7) uberfuhrt werden kann.

Der Eingangsvektor u(?) ist dabei keinen Beschrankungen unterworfen. Anschaulich ist es, die o.a. Aussage im Zusammenhang mit den in der Diagonalform dargestellten Zustandsgleichungen zu betrachten. Fiir die Uberflihrung der Standardform in die Diagonalform siehe Abschnitt 8.5.1.2. Das System ist entsprechend o.a. Definition steuerbar, wenn es in einem Zeitintervall beliebiger Dauer T aus jedem beliebigen Anfangszustand x{t = 0) durch einen geeigneten Steuervektor u(0 in jeden beliebigen Endzustand x^it) uberfuhrt werden kann. Da in der Diagonalform die einzelnen Zustande xjj) nicht miteinander verkoppelt sind, ist unmittelbar zu schlieBen, dass die Eingangsmatrix der Diagonalform B^ keine Nullzeilen besitzen darf, damit eine gezielte Beeinflussung der Zustande durch die SteuergroBen u(/) moglich ist. Beispiel 8.14 Die nachfolgend angefiihrte Vektor-Matrix-Differenzialgleichung ist aus der Standardform in die Diagonalform zu tiberfuhren. An den entkoppelten Systemgleichungen ist zu zeigen, dass die SteuergroBe U\{t) nur den ersten Zustand steuem kaim. Die zur Transformation notwendige Modalmatrix R ist mit der M-function eig zu berechnen. Die Koeffizienten der Modalmatrix sollen moglichst ganzzahlig sein, d.h. die mit der M-function eig gewonnene Matrix ist mit der Gleichung (8.23) umzurechnen. Der Signalflussplan fur die Diagonalform ist darzustellen.

' Kalman, Rudolf Emil *19.5.1930 Budapest, Systemwissenschaftler in den USA ' Gilbert, Elmer Grant *29.3.1930 Joliet III, USA, Regelungstheoretiker

252

8 Systemeigenschaften x,(/)

3

2

-1

x,(?)

Xiit) Xj{t)

= -2 -2

-1

4

x,(/)

-2

-4

X3(0

1 0 -1 0 0 1

(8.100) Mj ( ? )

Losimg: siehe Beispiel8_14.m Die Modalmatrix K ist ungunstig konditioniert, aus diesem Grunde erscheint es sinnvoU, sie spaltenweise mit einem willkiirlich gewahlten Koeffizienten x, zu dividieren, so dass sich eine Modalmatrix R mit moglichst ganzen Zahlen ergibt. Durch Probieren haben sich die in Beispiel8_14.m angegebenen Werte fur x,- als giinstig erwiesen. Damit ergeben sich die einzelnen Rechtseigenvektoren, die dazugehorende Matrix R sowie die Diagonalmatrix A^ und die Eingangsmatrix B^ in Form der Vektor-Matrix-Differenzialgleichung: 1

0

0

Xji ( 0

xji ( 0 = 0 0 Xd3 ( 0

-1

0

0

-2

Xd2 ( 0 + 0 0 Xd3 ( 0

irfi ( 0

1

1 M, ( ? )

(8.101)

Mj ( ? )

Die SteuergroBe U](t) hat nur Einfluss auf den Zustand xjiit), U2(t) beeinflusst alle drei Zustande und steuert sie damit. Das durch den Signalflussplan in Bild 8.11 und die Gleichung (8.101) beschriebene System ist somit durch die SteuergroBe MI(?) nicht vollstandig steuerbar.

xd1{t)

xd2(t)

xd3(t)

Bild 8.11 Signalflussplan eines nicht vollstandig steuerbaren Systems

8.6 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit

8.6.2

253

Kriterium der Steuerbarkeit nach Kalman

8.6.2.1 Die Steuerbarkeitsmatrix und ihr Rang Von Kalman wurde im Jahre 1960, ausgehend von der als Steuerbarkeitsmatrix bezeichneten Kombination der Eingangsmatrix und Systemmatrix: S,, = [ B

AB

A'B

•••

A"-'B]

(8.102)

das Kriteriimi: ^g(S^.,) = i?g[B

AB

A'B

•••

A"-'B] = K

(8.103)

zur Beurteilung der vollstandigen Steuerbarkeit eines Systems n-ter Ordnung angegeben. Es besagt: Jede der n ZustandsgroBen x{t) kann iiber mindestens eine der m SteuergroBen up) gesteuert werden, wenn der Rang der Matrix Sj, gleich n ist. Eine Matrix AB vom Typ {n,m) hat den Rang Rg(AB) = r, wenn mindestens eine r-reihige von null verschiedene Unterdeterminante vorhanden ist, aber alle (r+l)-reihigen Unterdeterminanten verschwinden, d.h. r < min(n,m). Der Rang einer Matrix gibt gleichbedeutend an, dass in der Matrix r Spalten und Zeilen linear unabhangig sind [Schwarz-1979] Wird die Steuerbarkeitsmatrix fllr jede SteuergroBe «;(?) getrennt aufgestellt und untersucht, so liefert der Rang dieser Matrix die maximal mogliche Anzahl der Zustande die diese SteuergroBe steuern kann. Die sich aus dem Rang ergebende Zahl soil als maximaler Steuerbarkeitsindex stUirrmx bezeichuet werden: stu.^^^^ = Rg[h^^

Ab„^

A'b„^

••• A""'b„_ ]

(8.104)

Gilt fur alle u,{t), dass ihr maximaler Steuerbarkeitsindex stu,,„^^ = n, d.h. gleich der Systemordnung ist, dann ist das System streng zustandssteuerbar. 8.6.2.2 Steuerbarkeitstest mit der M-function ctrb und anderen M-functions Eigenschaft von ctrb: Berechnet aus der Systemmatrix und Eingangsmatrix eines Zustandsmodells, bzw. aus dem kompletten Zustandsmodell, die Steuerbarkeitsmatrix nach Kalman. Syntax: Sst = ctrb(A,B) Sst = ctrb(System) nst = length(A) - rank(Sst) Sstui = ctrb(A,B(:,i)) stui = rank(Sstui) Beschreibung: Der Funktionsaufruf Sst = c?rft(A,B) = ctrb(7M.&,ZMh) bzw. Sst = c?r/)(System)

254

8 Systemeigenschaften gibt die in Gleichung (8.102) angegebene Steuerbarkeitsmatrix Sj, aus. Mit dem Kommando nst = length(A) - rank(Sst) wird die Anzahl der nichtsteuerbaren Zustande berechnet. Sstui ist die zur /-ten SteuergroBe gehorende Steuerbarkeitsmatrix. stui = rank(Sstm) berechnet die Anzahl von ZustandsgroBen, die von der /-ten SteuergroBe gesteuert werden konnen. Weitere Funktionen siehe help / doc ctrb.

Beispiel 8.15 Das in Beispiel 8.14 gegebene Modell ist mit der M-function ctrb zu untersuchen, d.h. es sind getrennt fur die beiden SteuergroBen die Steuerbarkeitsmatrix fur das Gesamtsystem sowie die Anzahl der Zustande, die durch die SteuergroBen gesteuert werden konnen, zu berechnen. Losung: Steuerbarkeitsmatrix fiir beide SteuergroBen: siehe Beispiel8_15.m Mit den beiden SteuergroBen konnen alle drei Zustande gesteuert werden. Die SteuergroBe U\{t) kann nur einen der drei Zustande steuem, dagegen konnen mit der SteuergroBe Uiit) alle drei Zustande gesteuert werden. Die in diesem Beispiel berechneten Zusammenhange konnen an Hand des Signalflussplanes Bild 8.11 iiberprufl werden. Bemerkung: Nur wenn die Systemeigenschafl der voUstandigen Zustandssteuerbarkeit vorliegt, koimen folgende Aufgaben gelost werden: - Erzeugen jeder beliebigen Eigenwertverteilung durch Zustandsruckfuhrung - Modale Regelung. - Losen der durch das Prinzip der optimalen Steuerung - optimal control - vorgegebenen Aufgabenstellung.

8.6.3

Beobachtbarkeit Ein lineares zeitinvariantes System heiBt voUstandig zustandsbeobachtbar, wenn der Anfangszustand x(0) eindeutig aus den iiber einen Zeitintervall 0 < / < T bekannten Verlaufen des Eingangssignals u(/) imd des Ausgangssignals y(/) bestimmt werden kann

Vereinfacht gilt, dass ein System beobachtbar heiBt, wenn Messimgen des Ausgangsvektors y(/) hinreichend Informationen enthalten, um damit samtliche Glieder des Zustandsvektors x(/) identifizieren zu konnen. Da im Allgemeinen nicht jeder Zustand gemessen werden kann, ist wichtig zu klaren, inwieweit die nicht messbaren Zustande aus dem am Ausgang zur Verfugung stehenden GroBen iiber Linearkombinationen nachgebildet werden konnen.

8.6 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit

255

Wird als Grundlage der Betrachtung wieder die Diagonalform gewahlt, so gilt:

x{t) = Rx,{t) = ARx,{t) + Bn{t) y{t) = CRx,{t) + Du{t)

x(0) = Rx,,(0)

(8.105)

Beispiel 8.16 Fiir das in den Beispielen 8.14 und 8.15 behandelte System ist mit der Ausgangsgleichung:

y. (0'

1 1 0 1 0 0

x,{t)_

0

0

0

0

(8.106) Mj ( ? )

zu untersuchen, wie viel Zustande iiber die AusgangsgroBen beobachtet werden konnen. Der Signalflussplan fur die Diagonalform ist anzugeben. Losung: 1

i

u1(t)

I

xd1

t

•

\

<

:

^

>.;^*^r^[ ^ Hy-Hij^^^ U2(t)

D>^

-<:t 1

I xd3

i

y2(t)

•

j

y1(t)

^

Bild 8.12 Signalflussplan eines nicht vollstandig steuerbaren und beobachtbaren Systems siehe Beispiel8_16.m Die Ausgangsmatrix in Diagonalform lautet:

[0

-1,5

-ll

1

2

1

< •'.' =

(8.107)

Die Durchgangsmatrix bleibt eine Nullmatrix. Da das Element QH = 0 ist, kann iiber den Ausgang yi(t) nicht auf die ZustandsgroBe Xrfi(t) geschlossen werden, d.h. Xrfi(t) ist durch>'i(?) nichtbeobachtbar. Dies ist an Hand des Signalflussplanes Bild 8.12 deutlich zu sehen. Andererseits kann durch die SteuergroBe u\(t) nur der Zustand x^i(t) von den drei Zustanden gesteuert werden. Mit dem Ausgang y2it) konnen alle drei ZustandsgroBen beobachtet werden.

256

8.6.4

8 Systemeigenschaften

Kriterium der Beobachtbarkeit nach Kalman

8.6.4.1 Die Beobachtbarkeitsmatrix und ihr Rang Von Kalman wurde 1960, ausgehend von der als Beobachtungsmatrix bezeichneten Kombination der Ausgangsmatrix imd Systemmatrix: 5", = [ C

CA

••• CA" -11'

CA'

(8.108)

das Kriterium: Rg[S,^) = Rg\C

CA

CA'

••• CA""']' = «

(8.109)

zur Beurteilung der Beobachtbarkeit eines Systems n-ter Ordnung angegeben: Jede der n ZustandsgroBen x,(?) kann iiber mindestens eine der r AusgangsgroBen yj{t) beobachtet werden, wenn der Rang der Matrix S^ gleich n ist. Wenn auch hier die Beobachtbarkeitsmatrix fiir jede AusgangsgroBe getrennt aufgestellt und untersucht wird, liefert der Rang dieser Matrix die maximal mogliche Anzahl der Zustande, die iiber die entsprechende AusgangsgroBe yj{t) beobachtet werden konnen. Die sich ergebende Zahl soil als maximaler Beobachtbarkeitsindex by, bezeichnet werden: Gilt fur alle _>>//), dass ihr maximaler Beobachtbarkeitsindex byj^^ = n, d.h. gleich der Systemordnung ist, dann ist das System streng zustandsbeobachtbar. ->

<-

c, A

->

S.A-

^

b_yj^^=Rg ^

(8.110)

8.6.4.2 Beobachtbarkeitstest mit der M-function obsv und anderen M-functions Eigenschaft von obsv: Berechnet aus der Systemmatrix und Ausgangsmatrix eines Zustandsmodells, bzw. aus dem kompletten Zustandsmodell, die Beobachtbarkeitsmatrix nach Kalman. Syntax: Sb = obsv(A,C) Sb = obsv(System) nb = length(A) - rank(Sb) Sbyj = obsv(A,Ca,:)) byj = rank(Sbyj) Beschreibung: Der Funktionsaufruf Sb = obsv{A,C) = ctrb(ZM.a,ZM.c) bzw. Sb = ctrb{Systcm) gibt die in Gleichung (8.108) angegebene Beobachtbarkeitsmatrix S^ aus. Mit dem Kommando nb = length(A) - rank{Sh) wird die Anzahl der nichtbeobachtbaren Zu-

8.6 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit

257

stande berechnet. Sby^ ist die auf die j-te AusgangsgroBe yj{t) bezogene Beobachtbarkeitsmatrix. byj = rank(Shy}) berechnet die Anzahl von ZustandsgroBen, die von dery-ten AusgangsgroBe _>>//) beobachtet werden konnen. Weitere Funktionen siehe help /doc obsv. Beispiel 8.17 Fiir das in Beispiel 8.16 behandelte System sind die Beobachtbarkeitsmatrizen fur das Gesamtsystem und fur die beiden AusgangsgroBen zu bereciinen. Die Anzaiil der nicht beobachtbaren Zustande ist anzugeben. Mit den Beobachtbarkeitsmatrizen ist die mogliche Anzahl der durch die beiden AusgangsgroBen zu beobachtenden Zustande zu ermitteln. Die Ergebnisse sind mit denen des Beispiels 6.16 zu vergleichen. Losung: siehe Beispiel8_17.m Da die Anzahl der nichtbeobachtbaren Zustande null ist, konnen alle Zustande beobachtet werden. Uber die AusgangsgroBe y[(t) koimen nur zwei Zustande, dagegen koimen iiber die AusgangsgroBe y2(t) alle drei Zustande beobachtet werden. Diese Ergebnisse bestatigen die Ergebnisse von Beispiel 8.16.

8.6.5

Kanonische Zerlegung eines Systems

Wie aus den vorhergehenden Abschnitten dieses Kapitels zu ersehen ist, kann unter Bezugnahme auf die Eigenschaften der Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit ein System in folgende vier Teilsysteme mit den Eigenschaften: - steuerbar und beobachtbar - steuerbar aber nichtbeobachtbar - nichtsteuerbar aber beobachtbar - nichtsteuerbar und nichtbeobachtbar zerlegt werden. Die Zerlegung ist aus der Darstellung in der Diagonalform gut zu ersehen. Mit den Mfiinctions ctrbfsowie ofcv/'gelingt die Zerlegung in einen steuerbaren und einen nichtsteuerbaren Teil. Entsprechendes gilt fur die Beobachtbarkeit. 8.6.5.1 Zerlegung nach seiner Steuerbarkeit mit der M-function ctrbf Eigenschaft von ctrbf. Zerlegt ein durch sein Zustandsmodell beschriebenes System in einen steuerbaren und einen nichtsteuerbaren Teil, fur den Fall, dass der Rang r der Steuerbarkeitsmatrix kleiner oder gleich der Ordnung « des Systems ist, d.h. wenn r
258

8 Systemeigenschaften A

A., =

I

0

(8.111)

A„ ^ A,„

Die linke obere Matrix A„j, verkorpert den nichtsteuerbaren imd die rechte untere Matrix den steuerbaren Teil der Systemmatrix A. A21 stellt die Kopplung zwischen dem nichtsteuerbaren und dem steuerbaren Teil her. b„. ist der Eingangsvektor, der im oberen Bereich den nichtsteuerbaren und im unteren Bereich den steuerbaren Teil beinhaltet: 0

(8.112)

c„. ist die zum aufgeteilten System gehorende Ausgangsmatrix. T„. ist die Transformationsmatrix, mit der die Matrizen des geteilten Systems wie folgt gewonnen werden; A . =T„,AT„^ (8.113)

b„, =T„B(--'0 c, =CT.'

k„, ist ein Vektor vom Typ (1,K). Die Summe der Elemente von k„, ergibt die Anzahl der steuerbaren Zustande. Weitere Funktionen siehe help /doc ctrbf. Beispiel 8.18 Die Zustandsgleichungen des in den vorhergehenden Beispielen dieses Kapitels behandelten Systems sind fur die SteuergroBe U\{t), die laut Beispielen 8.14 nur einen der drei Zustande steuem kann, mit der M-function ctrbf zu untersuchen. Das Ergebnis ist durch die Zustandsgleichungen sowie als Signalflussplan darzustellen. Losimg: » [Astl,bstl,cstl,Tstl,kstl] = ctrbf(A,B(:,l),C); » kstl kstl = 1 0 0 Es wird nur der Vektor kst^ ausgegeben. Die Systemmatrizen werden zur besseren tjbersicht als Vektor-Matrix-Gleichungen dargestellt: p

—1

-4,0000 2,1213 -*-m/2 v) = _ Kn [t] _ -3,T3T5" Ksn ( 0

2,8284 1 0 1,0000 1 0 4,0000^1 '

1 _

+

0 0 1,4142

,w

(8.114)

8.6 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit

0 1,4142

0"

0 0,7071 0,7071

+

L ^.« (0 J

"0" M, ( ? )

0

259

(8.115)

Das Ergebnis ist ein nichtsteuerbares Teilsystem 2. Ordnimg und ein steuerbares Teilsystem 1. Ordnung, was auch der Vektor kst^ aussagt.

QD yi(t)

(r~r>>| 1.41 y2(t)

Ul(t)

Bild 8.13 Signalflussplan eines Systems mit den Teilen nichtsteuerbar und steuerbar 8.6.5.2 Zerlegung nach seiner Beobachtbarkeit mit der M-function obsvf Eigenschaft von obsvf: Zerlegt ein durch sein Zustandsmodell beschriebenes System in einen beobachtbaren und einen nichtbeobachtbaren Teil, fur den Fall, dass der Rang r der Beobachtbarkeitsmatrix kleiner oder gleich der Ordnimg n des Systems ist, d.h. wenn r
IA

_nbo_\

^\2_

O"[A"

(8.116)

Die linke obere Matrix A„i,o verkorpert den nichtbeobachtbaren und die rechte untere Matrix den beobachtbaren Teil der Systemmatrix A. A|2 stellt die Kopplung zwischen beiden Teilen her. b^ ist die zum aufgeteilten System gehorende Eingangsmatrix. c^ ist der Ausgangszeilenvektor der den nichtbeobachtbaren und den beobachtbaren Teil beschreibt:

260

8 Systemeigenschaften

^[0|c.J

(8.117)

T^ ist die Transformationsmatrix, mit der die Matrizen des geteilten Systems entsprechend Gleichung (8.113) gewonnen werden. ky ist ein Vektor vom Typ (1,K). Die Summe der Elemente von ky. ergibt die Anzahl der beobachtbaren Zustande. Weitere Funktionen siehe help /doc obsvf. Beispiel 8.19 Die Zustandsgleichungen des in den vorhergehenden Beispielen dieses Kapitels behandelten Systems sind flir die AusgangsgroBe y\it), die laut Beispiel 8.16 nur zwei der drei Zustande beobachten kann, mit der M-fUnction obsvf zu untersuchen. Das Ergebnis ist durch die Zustandsgleichungen sowie als Signalflussplan darzustellen. Losung: » [Abol,bbol,cbol,Tbol,kbol] =obsvf(A,B,C(l,:)); »kbol kbol = 1 1 0 Es wird nur der Vektor kjo, ausgegeben. Die Systemmatrizen werden zur besseren Ubersicht als Signalflussplan in Bild 8.14:

Bild 8.14 System mit den Teilen nichtbeobachtbar und beobachtbar bzw. als Vektor-Matrix-Gleichungen dargestellt: 1 I 3,5355

-4,0000

To

0l"-4~0000~~-2,8284

=(0

0 I 2,1213

I

1,0000

^nboi

^1,4142 I 0"

V)

%„ (0

U*». (0_

+

0

TT

1/2(0

(8.118)

8.6 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit

^,{0] = [0|0

1'4142]

. (0"

0 I 0"

To

oTo 0 I0

"'ill "2(0

261

(8.119)

Das Ausgangssignal>'i(?) wird direkt aus der zweiten ZustandsgroBe xjojCO und indirekt aus der ersten ZustandsgroBe xi,oi(t) des beobachtbaren Teilsystems erzeugt, so dass beide Zustande aus yi(t) rekonstruiert werden konnen. Das nichtbeobachtbare Teilsystem wirkt nicht auf das beobachtbare zuriick, so dass sein Zustand x„4o,(?) nicht aus yi{t) rekonstruiert werden kann. Dieser Sachverhalt wird besonders iibersichtlich, wenn das System mit den beiden gleichen Wertepaaren (yi,Mi) imd (yi,U2) in der Diagonalform dargestellt wird, wie in Bild 8.14 geschehen. Beispiel 8.20 Das Modell der Bruckenschaltung nach Kapitel 5.6 ist mit den M-function ctrbf und obsvf&n den Fall der Abgleichbedingung: ILR^

C

(8.120)

zu untersuchen. Dieser Zustand wird erreicht, wenn fur /?2 = 4 Q gilt. Bemerkimg: Zur Losimg dieser Aufgabe ist die function bruecke.m zu verwenden. Losung: siehe Beispiel8_20.m Unter Beachtung der Gleichungen (8.111) bis (8.113) fur das Aufspalten des Systems in einen steuerbaren und einen nichtsteuerbaren Teil ist zu erkennen, dass der zu dem Eigenwert -40 gehorende Zustand nichtsteuerbar ist - Element (1,1) der Matrix A„, bzw. A.„st in Gleichung (8.111). Dies ist auch aus dem Element b„,(l,l) = 0 zu ersehen. Unter Beachtung der Gleichungen (8.116) und (8.117) fur das Aufspalten des Systems in einen beobachtbaren und einen nichtbeobachtbaren Teil ist zu erkennen, dass der zu dem Eigenwert -10 gehorende Zustand nichtbeobachtbar ist - Element (1,1) der Matrix A^y bzw. A.„i,o in Gleichung (8.116). Dies ist auch aus dem Element %(1,1) = 0 zu ersehen. Da ein System sowohl steuerbar als auch beobachtbar sein muss, um eine Ubertragungsfunktion bilden zu koimen, kann fur die abgeglichene Brtickenschaltung keine Ubertragungsfunktion gebildet werden, was der Nullvektor des Zahlers bestatigt.

8.6.6

Minimalkonfiguration eines Systems

8.6.6.1 Die Matrixubertragungsfunktion und die Ausgangsgleichungen Fiir die Behandlung von Systemen im Zusammenhang mit dem Entwurf der Automatisierungseinrichtung konnen nur die Telle eines Systems verwendet werden, die sowohl steuerbar als auch beobachtbar sind. Die aus einem Zustandsmodell gebildeten moglichen Ubertragungsflinktionen werden in der Matrixubertragungsfiinktion zusammengefasst:

262

8 Systemeigenschaften

G{s) = —j-^ = C{sl^A) U 5

B+ D

(8.121)

1st die Ordnung der einzelnen Ubertragungsfiinktionen der Matrixiibertragungsfunktion kleiner als die durch das Zustandsmodell angegebene Systemordnung, so ist die Differenz eine Folge der Kiirzung von Nullstellen mit den Polen des Systems. Ursache fur das Kurzen von Polen und Nullstellen ist das Vorhandensein von Teilsystemen die entweder nichtsteuerbar, nichtbeobachtbar oder weder steuerbar noch beobachtbar sind. Aus der Gleichung (8.121) ergibt sich fur die Ausgangsgleichungen als Kombination der einzelnen Ubertragungsfimktion mit den EingangsgroBen:

Y{s] = G{s)V{s) U, G„,

(8.122)

U„

Bemerkung: im Allgemeinen gilt r ^ ml 8.6.6.2 Die M-function minreal zur Bestimmung der Minimalkonflguration Eigenschaft von minreal: Reduktion von Zustanden, die keine Verbindung zwischen dem Eingang und Ausgang eines Systems herstellen. Syntax: ZMm = minreal(ZM) [Zm,Nm] = minreal(Z,N) [Num,Pom] = minreal(Nu,Po) Beschreibung: Das mit ZMm = minreal{ZM) berechnete System enthalt nur den steuerbaren und beobachtbaren Teil des Gesamtsystems ZM. [Zm,Nm] = minreal(Zahlerpolynom,Nennerpolynom) gibt die nach der Kiirzung verbliebenen Polynome aus. [Num,Pom] = minreal(Nullstellen,Pole) gibt die verbliebenen Nullstellen und Pole aus. Es wird eine Information iiber die Anzahl der gestrichenen Zustande bzw. Pol/Nullstellen-Kilrzungenausgegeben. Weitere Funktionen siehe help /doc minreal. Beispiel 8.21 Fiir das in den vorhergehenden Beispielen behandelte System 3. Ordnung in Diagonalform, entsprechend der Gleichungen (8.101) und (8.107), mit zwei EingangsgroBen und zwei AusgangsgroBen sind flir die vier Ausgangs-ZEingangs-Kombinationen: (yi,ui), (y\,U2), (y2,«i) und (y2,U2), die jeweiligen Minimalrealisierungen gesucht. In einem ersten Schritt sind die Matrixiibertragungsfunktion nach Gleichung (8.121) und ihre Ubertragungsfiinktionen zu berechnen.

8.6 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit

263

Losung: Bemerkung: Das System ist von dritter Ordnung und hat folglich auch drei Eigenwerte bzw. Pole. Zu jeder ZustandsgrSBe korrespondiert ein Eigenwert. siehe Beispiel8_21 .m

5+1

G(5): 5-1

5-1

5+2

5+1

(8.123)

5+2

Wertepaar (yi,Mi) Die Gleichung (8.123) ergibt tiir die Ubertragungsfiinktion Gn(s) = 0, d.h. es wurden alle drei Pole durch entsprechende NuUstellen gektirzt, was durch nachfolgende Berechnungen bestatigt wird. Es wurden alle drei Zustande gestrichen, was bedeutet, dass kein Zustand existiert der eine Verbindung zwischen dem Eingang und dem Ausgang herstellt. Es kann somit weder ein Zustandsmodell noch eine Ubertragungsfiinktion gebildet werden.

y1(t)

Bild 8.15 System 3. Ordnung ohne Kopplung zwischen Eingang imd Ausgang Wertepaar (juUi) Die Gleichung (8.123) ergibt fur das Wertepaar (yi,U2) die Ubertragungsfianktion: 0,2(5):

5+1

5+2

(8.124)

8 Systemeigenschaften

264

d.h. es wurde der zum ersten Zustand gehorende Pol durch die entsprechende Nullstelle gekiirzt. Die Ubertragungsfonktion beschreibt ein stabiles System 2. Ordnung, was durch nachfolgende Berechnungen bestatigt wird. Es wurde ein Zustand gestrichen, somit verbleibt ein System mit zwei ZustandsgroBen, die eine Kopplung zwischen dem Eingang und Ausgang herstellen. Die Zustande X\ und Xi entsprechen den urspriinglichen Zustanden xi sowie X3 und U\ entspricht der 2. SteuergroBe Ui, wie im folgenden Signalflussplan dargestellt.

u2(t)

Bild 8.16 Teilsystem 2. Ordnung durch Reduktion des Zustandes x^x Wertepaar (>'2,«i) Die Gleichung (8.123) ergibt fur das Wertepaar (y2,ui) die Ubertragungsflinktion: G j , (s) -•

1

(8.125)

5-1

d.h. es wurden der zum zweiten und zum dritten Zustand gehorende Pol durch entsprechende Nullstellen gekiirzt. Die Ubertragungsflinktion beschreibt ein instabiles System 1. Ordnung, was durch nachfolgende Berechnungen bestatigt wird. Es wurden der zweite und dritte Zustand gestrichen, somit verbleibt ein System mit einer ZustandsgroBe, die eine Kopplung zwischen dem Eingang und Ausgang herstellt, wie im folgenden Signalflussplan dargestellt.

y2(t): y1

Bild 8.17 instabiles Teilsystem 1. Ordnung durch Reduktion von zwei Zustanden Wertepaar (y2,ii2) Die Gleichung (8.123) ergibt flir das Wertepaar (y2,U2) die Ubertragungsflinktion:

8.7 Transformationen

<^22 (s)

••

-1 s + l

s+2

265 (8.126)

d.h. es wurden keine Pol gekilrzt. Die Ubertragungsfunktion beschreibt das voUstandige System 3. Ordnimg. Es wurde keiner der drei Zustande gestrichen, was bedeutet, dass mit U2it), in der Berechnung mit ui bezeichnet, alle drei Zustande gesteuert und iiber y2it), in der Berechnung mit j i bezeichnet, alle drei Zustande beobachtet werden konnen. Fur dieses Wertepaar ist das System vollstandig steuerbar und beobachtbar, darum existiert auch die in Gleichung (8.126) angegebene Ubertragungsfunktion 3. Ordnung.

Bild 8.18 iJber U2 steuerbarer und iiber j2 beobachtbarer Teil des Systems 3. Ordnung

8.7

Transformationen

Wie vorangehend behandelt, besteht zwischen den Modellformen im Zeitbereich und Frequenzbereich ein eindeutiger Zusammenhang. Nachfolgend werden Moglichkeiten der Transformation zwischen dem Zeitbereich und dem Frequenzbereich sowie den verschiedenen Darstellungsformen der Ubertragungsfunktion angegeben.

8.7.1

Zustandsmodelle

Die als Zustandsmodell beschriebenen Systeme:

\{t) = A\{t) + Bu[t) y{t) = Cx{t) + Dii{t)

(8.127)

266

8 Systemeigenschaften

lassen sich durch Laplacetransformation in die Matrixubertragungsfiinktion:

G(s) = — H = C ( ^ I - A )

B+D =

(8.128) GM

-

G„„(5)_

iiberflihren. 8.7.1.1 Transformation in die Polynomform mit der M-function ss2tf Eine Ubertragungsfianktion in Polynomform besteht aus einem Zahlerpolynom und einem Nennerpolynom in s, d.h. es ist eine gebrochen rationale Funktion. Der Koeffizient der hochsten Potenz des Nennerpolynoms soil eins sein, somit gilt:

N[s)

s"+a,,_,s

+... + a2S +a,s + a„

Eigenschaft von ss2tf: Berechnet aus den Koeffizienten der Matrizen nach Gleichung (8.127) die Koeffizienten des Zahlerpolynoms und Nennerpolynoms fflr das i-te Eingangssignal M,(0 nach Gleichung (8.129). Syntax: [Z,N] = ss2tf(A,B,C,D,iu) Beschreibung: Fiir den Fall, dass es r AusgangsgroBen gibt, ist Z eine Matrix, deren Zeilenzahl mit der Anzahl der Ausgangssignale r iibereinstimmt, siehe auch Gleichung (8.121) bzw. (8.128). Weitere Funktionen siehe help /doc ss2tf: Beispiel 8.22 Fiir das mit Hilfe der function invpendel.m zu gewinnende Zustandsmodell des Inversen Pendels nach Kapitel 5.3 sind die Ubertragungstunktionen in der Polynomform zu berechnen, die Pol-Nullstellen-Kiirzungen zu ermitteln und diese Ergebnisse mit den drei ^-Vektoren, die sich aus dem Beobachtbarkeitstest ergeben, zu vergleichen. Losung: siehe Beispiel8_22.m -

Die Zahler-Matrix Z besteht aus den drei Zeilen Z(l,:) Z(2,:) und Z(3:), es sind die zu den drei AusgangsgroBen gehorenden Zahlerpolynome Z\{s), Zjis) und Z^{s). Die erste Zeile von Z liefert mit N:

N[s)

/+72,08^'+19,05^'-701,6^ + 0

die tJbertragungsfiinktion zwischen der Ankerspannung Uait) des Motors und dem Winkel (p°{t) des Stabes.

8.7 Transformationen

-

267

Die Ubertragungsfunktion G\(s) hat zwei NuUstellen und einen Pol im Ursprung der komplexen Ebene, so dass sich ein Pol-Nullstellen-Paar/)i = «i = 0 kiirzt, siehe unten. Die zweite Zeile von Z liefert mit N: ,_Z,(^)_ 2,292^^+0,9986^-22,47 ' ^ ^ ' ~ N{s) ~ s' +72Ms' +\9,05s- -10\,6s + 0

-

die Ubertragungsfiinktion zwischen der Ankerspannung M„(/) des Motors und dem Weg s{t) des Wagens. Die dritte Zeile von Z liefert mit N: C( ) - ^' ^^^ - ^'QQ^^' +1>3325^ -24,72^^ -2,247 JT '^^' N{s) ~ / + 7 2 , 0 8 ^ ' + 1 9 , 0 5 s ' - 7 0 1 , 6 5 + 0 die Ubertragungsfunktion zwischen der Ankerspannung M„(/) des Motors und der Kraft F(t) als KoppelgroBe zwischen dem Wagen und dem Antrieb. Die Ubertragungsfunktion G^is) hat cine Nullstelle und einen Pol im Ursprung der komplexen Ebene, so dass sich ein PolNullstellen-Paar/)i = «i = 0 ktirzt, siehe unten.

Wird die M-flinction minreal auf die drei UbertragungsfLmktionen angewendet, so ergibt sich fur G\{s) und GT,{S) die Kiirzung eines Pol-Nullstellen-Paars. Die mit der M-function obsvf geflindenen drei A:-Vektoren:

K=[^ 1 1 0] = X*, =3 K=[^ 1 1 l] = I ^ , = 4 bestatigen dieses Ergebnis, da kyi und ky3 als Summenwert 3 aufweisen, sind somit nur drei von vier Zustanden iiber die AusgangsgroBen eins und drei beobachtbar. Uber die zweite AusgangsgroBe, den Weg s(/), konnen dagegen alle vier Zustande beobachtet werden. Die Ubertragungsfunktion G2{S) weist auch keine Pol-Nullstellen-Kurzung auf 8.7.1.2 Transformation in die Polynomform mit der M-function tf Eigenschaft von tf: Berechnet aus einem Zustandsmodell die moglichen Ubertragungsfunktionen. Syntax: G = tf(ZM,'inv') Beschreibung: Liefert fur m EingangsgroBen die zu den r AusgangsgroBen gehorenden Ubertragungsfunktionen in m Blocken. Weitere Funktionen siehe help / doc tf. Die im Beispiel 8.22 geflindenen drei Ubertragungsfunktionen wiirden, da w = 1, in einem Block ausgegeben werden.

268

8 Systemeigenschaften

Beispiel 8.23 Filr die Regelstrecke des Modellregelkreises nach Kapitel 5.4 sind aus dem Zustandsmodell die Ubertragungsfunktionen mit der M-fiinction tf{ZM,'mV) zu bestimmen. Losimg: siehe Beispiel8_23.m Transfer function from input 1 to output... 5e008 #1: s^3 + 5050 s^2 + 1.125e007 s + 5e008 0.005 s^3 + 25 s^2 + 55000 s + 3.14e-011 #2: s^3 + 5050 s^2 + 1.125e007 s + 5e008 Transfer function from input 2 to output... -Ie005s^2-5.05e008s- 1.25e011 #1: s^3 + 5050 s^2 + 1.125e007 s + 5e008 5e008 #2: s^3 + 5050 s^2 + 1.125e007 s + 5e008 Die Regelstrecke des Modellregelkreises ist von dritter Ordnung, hat zwei EingangsgroBen und zwei AusgangsgroBen, so dass sich fflr jede EingangsgroBe ein Block von zwei Uberttagungsfiinktionen ergibt. 8.7.1.3 Transformation in die Pol-Nullstellen-Form mit der M-function ss2zp Eine Ubertragungsfianktion in Pol-Nullstellen-Form besteht aus dem Faktor K sowie den in Produktform angeordneten NuUstellen als Zahler und Polen als Nenner: , . (s-n,)(s-n^]...(s-n G{S) = K} ^) ^^-A

) 'il

n>m

(8.130)

mit dem Verstarkungsfaktor: K =^

(8.131)

Die Koeffizienten a„ und b„ ergeben sich aus den zu den jeweils hochsten Potenzen von i' gehorenden Koeffizienten des Zahlerpolynoms und Nennerpolynoms der Ubertragungsfiinktion in Polynomform nach Gleichung (8.129). Uber den Zusammenhang zwischen dem Verstarkungsfaktor _^ und der statischen Verstarkung Ksiehe Kapitel 6.4.3.

8.7 Transformationen

269

Eigenschaft von ss2zp: Berechnet aus den Koeffizienten der Matrizen nach Gleichung (8.127) die Pole Poj, die Nullstellen Nuj und den Verstarkungsfaktor K der Ubertragungsflinktion in Gleichung (8.130). Syntax: [Nu,Po,K] = ss2zp(A,B,C,D,iu) Beschreibung: Fur den Fall, dass es r AusgangsgroBen gibt, ist Nu eine Matrix, deren Spaltenzahl mit der Anzahl r der Ausgangssignale iibereinstimmt, d.h. die zu jedem Ausgangssignal gehorenden endlichen Nullstellen sind spaltenweise angeordnet, siehe auch Gleichung (8.121) bzw. (8.128). Weitere Funktionen siehe help /doc ss2zp. Beispiel 8.24 Es sind die im Beispiel 8.22 gestellten Aufgaben mit der M-function ss2zp zu losen. Die Ergebnisse sind zu vergleichen. Auf die Angabe der Losung wird verzichtet!

8.7.2

Ubertragungsfunktion in Polynomform

Ein durch seine Ubertragungsfunktion nach Gleichung (8.129) beschriebenes System kann in folgende Beschreibungsformen iiberfuhrt werden. 8.7.2.1 Transformation in ein Zu$tand$raummodell mit der M-function tf2ss Eigenschaft von tJ2ss: Uberfuhrt eine in der Polynomform nach Gleichung (8.129) vorliegende Ubertragungsfijnktion in ein aquivalentes Zustandsmodell nach Gleichung (8.127). Syntax: [A,B,C,D] = tf2ss(Z,N) Beschreibung: Fijr den Fall, dass das System r AusgangsgroBen hat, besteht Z aus r Zeilen imd die Ausgangsmatrix C sowie die Durchgangsmatrix D haben ebenfalls r Zeilen. Da eine Ubertragungsfunktion nur von dem steuerbaren und beobachtbaren Teil eines Systems gebildet werden kann, fehlen bei der Riicktransformation in den Zustandsbereich eventuelle nichtsteuerbare und/oder nichtbeobachtbare Telle eines Zustandsmodells. Weitere Funktionen siehe help / doc tf2ss.

270

8 Systemeigenschaften

8.7.2.2 Transformation in die Pol-Nullstellen-Form mit der M-function tf2zp Eigenschaft von tflzp: ijberfuhrt eine in der Polynomform nach Gleichung (8.129) vorliegende Ubertragungsflinktion in eine aquivalente Ubertragungsflinktion der Pol-NullstellenForm nach Gleichung (8.130). Syntax: [Nu,Po,K] = tf2zp(Z,N) Beschreibung: Fiir den Fall, dass das System r AusgangsgroBen hat und Z somit aus r Zeilen besteht, wird Nu zu einer Matrix mit r Spalten. Weitere Funktionen siehe help /doc tflzp. 8.7.2.3 Transformation in Partialbruche mit der M-function residue Die Ubertragungsfunktion in Polynomform nach Gleichung (8.129) kann mit Hilfe der Partialbruchzerlegung - Residuensatz - in eine fiir die Laplace-Riicktransformation besonders gilnstige Formzerlegt werden: G{s)-

Z(s)

''i

— A. 1

-Pi

s-p-

(8.132)

-+•

-p.,

mit den Residuen und Polen: R = \r,

^2

•••

' ; ] '

und

Po = [A

P2 -

Pn\

(8.133)

Eigenschaft von residue: Zerlegt eine in der Polynomform nach Gleichung (8.129) vorliegende Ubertragungsflinktion in ihre Pole und Residuen sowie einen eventuellen Koeffizienten. Syntax: [R,Po,K] = residue(Z,N) Beschreibung: Die Funktion residue ist eine MATLAB-Grundfunktion Weitere Funktionen siehe help / doc residue. Beispiel 8.25 Fiir die Ubertragungsilinktion des im Kapitel 5.5 beschriebenen sprungfahigen Netzwerkes mit der fiinction nw_spf.m ist die Sprungantwort im Zeitbereich anzugeben. Zuvor ist die um 1/s erweiterte Ubertragungsfimktion in seine Pole Po und Residuen R sowie in den eventuell vorhandenen Koeffizienten K zu zerlegen. Losung: siehe Beispiel8_25.m

8.7 Transformationen

271

Die Sprungantwort im Frequenzbereich: H[s) = G{s)U[s) = Die Sprungantwort im Frequenzbereich, zerlegt mit der Residuenformel: rrr \ ^ n '2 r, 0,2 H(s) = K + —-— + —-— + —-— = 5-/7,

S-P2

S~P3

-^ + 8

0,4 S+2

1 + S

Die Sprungantwort im Zeitbereich durch Laplace-Rucktransformation: h{t) = r,e"''+rX''+';e'"'' h{t) = 0,2e-^' -0,4e-^' +1

8.7.3

Ubertragungsfunktion in Pol-Nullstellen-Form

Auf Beispiele fiir die M-function in diesem Abschnitt wird verzichtet! Es wird empfohlen die Beispiele der vorhergehenden Abschnitte entsprechend zu verwenden. 8.7.3.1 Transformation in ein Zustandsmodell mit M-function zp2ss Eigenschaft von zp2ss: Uberfiihrt ein durch seine Pole, seine NuUstellen und seinen Verstarkungsfaktor gegebenes System nach Gleichung (8.130) in ein aquivalentes Zustandsmodell nach Gleichung (8.127). Syntax: [A,B,C,D] = zp2ss(Nu,Po,K) Beschreibung: Die Pole des Systems werden in einem Spaltenvektor Po abgelegt. Die NuUstellen sind spaltenweise in der Matrix Nu anzuordnen, fur jedes Ausgangssignal eine Spalte. Die zu jeder Spalte der Matrix Nu gehorenden Verstarkungsfaktoren sind in einem Vektor K anzuordnen. Da eine Ubertragungsfunktion nur von dem steucrbaren und beobachtbaren Teil eines Systems gebildet werden kann, fehlen bei der Riicktransformation in den Zustandsbereich eventuelle nichtsteuerbare imd/oder nichtbeobachtbare Telle eines Zustandsmodells. Weitere Funktionen siehe help /doc zp2ss. 8.7.3.2 Transformation in die Polynomform mit M-function zp2tf Eigenschaft von zp2tf. Uberfuhrt ein durch seine Pole, seine NuUstellen und seinen Verstarkungsfaktor gegebenes System nach Gleichung (8.130) in eine aquivalente Ubertragungsfunktion nach Gleichung (8.129). Syntax: [A,B,C,D] = zp2tf(Nu,Po,K) Beschreibung: Die Pole des Systems werden in einem Spaltenvektor Po abgelegt. Die NuUstellen

272

8 Systemeigenschaften sind spaltenweise in der Matrix Nu anzuordnen, fur jedes Ausgangssignal eine Spalte. Die zu jeder Spalte der Matrix Nu gehorenden Verstarkungsfaktoren sind in einem Vektor K anzuordnen. Weitere Funktionen siehe help / doc zp2tf.

8.7.4

Signalflussplan

8.7.4.1 Linearisierung mit der M-fuiiction linmod Eigenschaft von linmod: Linearisiert ein diirch seinen Signalflussplan gegebenes nichtlineares System um den gegebenen Arbeitspunkt und gibt die Zustandsmatrizen aus. Syntax: [A,B,C,D] = linmod('Name',xO,uO) Beschreibung: 'Name' entspricht dem Namen, unter dem der Signalflussplan abgelegt ist. In dem Vektor xO sind die Arbeitspunktwerte der ZustandsgroBen und in dem Vektor uO sind die Arbeitspimktwerte der steuerbaren und nichtsteuerbaren EingangsgroBen abgelegt. Weitere Funktionen siehe help /doc linmod. Beispiel 8.26 Gegeben ist der Signalflussplan des nichtlinearen Systems Stab-Wagen entsprechend Beispiel 3.7 und Bild 3.21 ohne den Zahlerausgang n. dx/dt &

^

K*uvec^^|

xb

XO E XO

(X) phi(t)

Cn

Integrator

s(t) JK*uvec^r^

-<^K*uvecL

t£ •

Kx

An

uib K*uvec

Bv

vi

10

nl_f

U2|

u3i Embedded

F(t)

Bild 8.19 Signalflussplan des nichtlinearen Systems Stab-Wagen Gesucht sind die Zustandsgleichungen des mit der M-function linmod linearisierten nichtlinearen Systems Stab-Wagen mit den Arbeitspunktwerten nach Gleichung (5.48). Das Ergebnis der Linearisierung ist mit den Modellgleichungen im Kapitel 5.1.4 sowie den Eigenwerten zu vergleichen. Die notwendigen Daten ergeben sich mit der function Beispiel3_07.m.

8.7 Transformationen

273

Losung: siehe Beispiel8_26.m Das Ergebnis stimmt mit den unter Kapitel 5.1.4 ermittelten bzw. mit der function invpendel.m berechneten Werten uberein. Auf die Wiedergabe der numerischen Ergebnisse wird verzichtet. 8.7.4.2 Mit der M-function lininod in den Zeit- oder Frequenzbereich Eigenschaft von linmod: Berechnet fur ein durch seinen Signalflussplan gegebenes lineares System die Zustandsmatrizen bzw. das Zahler- und Nennerpolynom einer Ubertragungsfimktion und gibt sie aus. Syntax: [A,B,C,D] = //wOTOfi^CName') [Z,N] = //nwo^'Name') Beschreibung: 'Name' entspricht dem Namen, unter dem der Signalflussplan abgelegt ist. Weitere Fimlctionen siehe help /doc M-function linmod. Beispiel 8.27 Fiir die Briickenschaltung nach Kapitel 5.6 ist fur den Signalflussplan nach Bild 5.18 mit Hilfe der M-fiinction linmod die Ubertragungsflmlction zu bestimmen und mit der Ubertragimgsfianktion zu vergleichen, die sich mit der function bruecke.m ergibt. Losung:

^ ^

Bild 8.20 Signalflussplan der Briickenschaltung nach Bild 5.18

y(t)

274

8 Systemeigenschaflen

Die Koeffizienten des Signalflussplanes ergeben sich mit der function brucke.m. siehe Beispiel8_27.m Die Ergebnisse stimmen iiberein, auf einen Wiedergabe wird verzichtet! 8.7.4.3 Mit den M-functions blkbuild, connect in ein Zu$tand$modell Auf eine Beliandlung dieser M-function wird verzichtet, da sie im Gegensatz zu der Mfiinction linmod mit wesentlich mehr Aufwand verbunden sind.

9. Zusammenschalten von Systemen Ein aus mehreren Teilsystemen bestehendes dynamisches System ist im Allgemeinen dadiirch gekennzeichnet, dass seine Teilsysteme untereinander seriell, parallel oder (Iber einen Rilckkopplungszweig verbunden sind. Folglich kann als einfachste Form der Verbindung zweier linearer Systeme, beschrieben durch ihre Ubertragungsfunktionen oder Zustandsgleichungen, die Reihenschaltung, Parallelschaltung oder Rilckkopplungsschaltung angegeben werden.

9.1

Beschreibung durch Ubertragungsfunktionen

In diesem Kapitel wird die Verknupfung zweier dynamischer Systeme, beschrieben durch ihre Ubertragungsfunktionen, behandelt. Grundlage ist ein Ubertragungsglied mit seiner Ubertragungsfunktion: G.(s) = - ^

mit

/ = 1,2

bzw. i = v,r

(9.1)

und seinem Signalflussplan: G{s)

^^^J

U{s)

I—•CT^

Y(s)

Bild 9.1 Signalflussplan eines Ubertragungsgliedes im Frequenzbereich

9.1.1 Reihenschaltung mit der M-function series Bei der Reihenschaltung zweier Ubertragungsglieder wird davon ausgegangen, dass das Eingangssignal des zweiten Ubertragungsgliedes gleich dem Ausgangssignal des ersten Ubertragungsgliedes ist: Y,{s) = U,{s)

(9.2) •^ G1(s)

U1(s)

J

Y1(s) = U2(s) G2(s)

1 ^n—^ Y2(s)

Bild 9.2 Reihenschaltung der Ubertragungsglieder Gj imd G2 Damit ergibt sich fur die Reihenschaltung zweier Ubertragungsglieder: G,.(^) = | | ^ = G,(.)G,(.)

(9.3)

276

9 Zusammenschalten von Systemen Eigenschaft von series: Bildet fur die Reihenschaltung zweier Ubertragungsglieder die resultierende Ubertragungsfunktion. Syntax: G12 = series(Gl,G2) Beschreibung: Die Ubertragungsfunktion der Reihenschaltung wird entsprechend der Gleichung (9.3) gebildet. Weitere Funktionen siehe help / doc series.

Beispiel 9.1 Es ist die Ubertragungsfunktion aus der Reihenschaltung eines /"-Gliedes und eines /-Gliedes: G, [s) = K„= 6,3824 ; G^ {&

1 T,s

1 0,0034 5

(9.4)

gesucht. Das Ergebnis ist in der Standardform darzustellen. Losung: siehe Beispiel9_01.m Es ergibt sich ein /-Glied mit einer um die Verstarkung des P-Gliedes vervielfachten Verstarkung des ursprunglichen /-Gliedes. Mit der M-flinction minreal lautet die Standardform: Gn {s) =

9.1.2

6,3824

1877

(9.5)

0,0034.?

Parallelschaltung mit der M-function parallel

Bei der Parallelschaltung wird vorausgesetzt, dass beide Ubertragungsglieder mit dem gleichen Eingangssignal versorgt werden, d.h. es gilt:

U{s) = U,{s) = U,{s) U1{s),

(9.6)

G1(s)

Y1{s)

->CD

CI3-

Y(s)

U(s) G2(s) U2(s)

Y2(s)

Bild 9.3 Parallelschaltung der Ubertragungsglieder Gi und G2 Das gemeinsame Ausgangssignal ergibt sich aus der Summe der einzelnen Ausgangssignale:

9.1 Beschreibung durch Ubertragungsfunktionen Y{s) = Y,{s) + Y,{s)

277

(9.7)

damit folgt fur die Ubertragungsfunktion der Parallelschaltung: (9.8) Eigenschaft von parallel: Bildet aus zwei parallel geschalteten Ubertragungsgliedem die Gesamtubertragungsfunktion. Syntax: Gl|2 = parallel(Gl,G2) Beschreibung: Die Ubertragungsfunktion der Parallelschaltung wird entsprechend der Gleichung (9.8) gebildet. Im Falle eines negativen Ausgangssignals ist die entsprechende Ubertragungsfiinktion mit negativem Vorzeichen einzutragen. Weitere Funktionen siehe help / doc parallel. Beispiel 9.2 Die in Beispiel 9.1 gegebenen beiden Ubertragungsfunktionen sind als Parallelschaltung miteinander zu verknupfen. Das Ergebnis ist in der Standardform darzustellen. Losimg: siehe Beispiel9_02.m Das Ergebnis ist ein /-Glied mit Vorhalt 1. Ordnung:

'*'

_0,0217^ + 1_ 6,382 s + 294,1 0,0034 5 ~ s

(9.9)

9.1.3 Riickfiihrschaltung mit der M^-iunci\on feedback Eine Ruckfiihrschaltung besteht aus einem Vorwartszweig und Riickflihrzweig. Wird das Ausgangssignal im Riickflihrzweig negativ auf den Eingang des Ubertragungsgliedes im Vorwartszweig geschaltet, so liegt eine Gegenkopplung vor, anderenfails handelt es sich um eine Mitkopplung. Die Gegenkopplung stellt das Grundprinzip des einschleifigen Regelkreises dar. Uv(s)

Gv{s)

Yv(s)

-KX) Y(s)

U(s)

Gr(s) Yr{s)

Jur(s)

Bild 9.4 Gegenkopplung der Ubertragungsglieder G^ und G^

278

9 Zusammenschalten von Systemen

Aus Bild 9.4 ergibt sich mit dem Eingangssignal des Vorwartsgliedes:

u^,{^) = u{s)-K{s)

(9.10)

die Ubertragungsfunktion fur eine Gegenkopplung (-):

GA^)-

Y{s)_ U{s)

G,{s) l + G^\s)G^{s)

CI>-KS> U(s)

Uv{s)

(9.11)

Gv(s)

Yv{s) Y{s)

Gr{s) Yr{s)

J Ur{s)

Bild 9.5 Mitkopplung der tjbertragungsglieder G^ und G^ Aus Bild 9.5 ergibt sich mit dem Eingangssignal des Vorwartsgliedes: U,{s) = U{s) + l{s) die Ubertragungsfunktion fur eine Mitkopplung (+): '"^>

U{s)

l-G^.{s)G^{s)

(9.12)

mit der fur beide Falle geltenden Signalverzweigung: Y{s) = Y,{s) = U,.{s)

(9.13)

Eigenschaft \on feedback: Bildet von je einem im Vorwartszweig und im Riickflihrzweig befindlichen Ubertragungsglied die gemeinsame Ubertragungsfunktion. Syntax: G = feedback(Gv,Gr,sign) Beschreibung: Bei Vorgabe der Ubertragungsfiinktionen der Ubertragungsglieder im Vorwartszweig und Riickflihrzweig wird nach dem Prinzip Vorwdrts durch Eins plus Vorwdrts mal Riickwdrts bei einer Gegenkopplung imd Vorwdrts durch Eins minus Vorwdrts mal Riickwdrts bei einer Mitkopplung die Ubertragungsfunktion gebildet. Fur eine Gegenkopplung gilt sign = -1 oder es kann entfallen. Bei einer Mitkopplung ist fur sign = 1 zu setzen. Weitere Funktionen siehe help / doc feedback.

9.2 Beschreibung durch Zustandsgleichungen

279

Beispiel 9.3 Die in den beiden vorhergehenden Beispielen verwendeten Ubertragungsfunktionen eines PGliedes und eines /-Gliedes sind wechselseitig als Gegenkopplung zu verschalten. Die Ergebnisse sind zu vergleichen und in der Standardform darzustellen. Was liefert eine Mitkopplung? Losung: siehe Beispiel9_03.m Im Vorwartszweig ein P-Glied und im gegengekoppelten Riickfuhrzweig ein /-Glied liefert ein Z)ri-Glied - Z)-Glied mit Verzogerung 1. Ordnung: G«12 {') •

0,0217^ ^ 6,382.; 0,0034^ + 6,382" 5 + 1877

(9.14)

Im Vorwartszweig ein /-Glied und im gegengekoppelten Ruckfuhrzweig ein P-Glied liefert ein PTI-GMQA - Verzogerung 1. Ordnung. Fur beide Falle ergibt sich der gleiche Neimer. ^«21 {s) =

1 0,0034.5 + 6,382

294,1 .? + 1877

(9.15)

Bei einer Mitkopplung, sign = 1, ist der Koeffizient GQ des Nenners negativ, so dass der dazugehorende Pol in der rechten Halfte der GauBschen Zahlenebene liegt: 6,3825 G,„n («) = 5-1877

(9.16)

und damit ist das System instabil! Siehe Hurwitz-Kriterium.

9.2

Beschreibung durch Zustandsgleichungen

Nachfolgend wird die Verkniipfung dynamischer Systeme, beschrieben durch Zustandsmodelle, behandelt. Gnmdlage ist ein Zustandsmodell mit seinen Zustandsgleichungen:

x,(0 = A,x,(?)+B,u^(0 mit / = 1,2, • • •,«

(9.17)

y,(/) = C,x,.(/)+D,u,(?)

und dem dazugehorenden Signalflussplan:

u(t)

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

y(t)

state-Space Bild 9.6 Signalflussplan eines Ubertragungsgliedes im Zeitbereich - Zustandsmodell

280

9 Zusammenschalten von Systemen

9.2.1 Vereinigung nicht gekoppelter Systeme mit der M-function append Zwei nicht untereinander verkoppelte Systeme, entsprechend Gleichung (9.17), lassen sich wie folgt zu einem Gesamtsystem vereinigen. Die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung: "x,(/)"

"A,

[^2[t)\

L»

0 " \,{t)

+

B,

A J 1^2 Wj [o

0 " \,{t)

(9.18)

BJ L"2(0j

Die VeJitor-Matrix-Ausgangsgleichung:

"y.(0" "c, Ly2(0j [o Der Signalflussplan:

0 " \,{t)

"".(0" cj 1^2 (Oj [o D J L"2(oJ +

D,

0"

(9.19)

x' = Ax+Bu y = Cx+Du u1(t)

y1{t) System ZM1

ay

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

u2(t)

•KID y2(t)

System ZM2

Bild 9.7 Nichtgekoppelte Parallelschaltung der Systeme ZMi imd ZM2 Eigenschaft von append: Bildet aus n nicht untereinander verkoppelten Teilsystemen ein neues System mit den Eigenschaften der n Teilsysteme. Syntax: ZM = append(ZMl,ZM2, ... ,ZMn) Beschreibung: n einzelne Systeme, beschrieben durch einen Satz von zueinander unabhangigen Vektor-Matrix-Gleichungen, entsprechend Gleichung (9.18) und (9.19) sowie Bild 9.6, werden zu einem System verbunden. Es werden Diagonalmatrizen gebildet, deren Elemente auf der Hauptdiagonale aus den entsprechenden Matrizen der Teilsysteme bestehen. Weitere Funktionen siehe help /doc append.

9.2.2 Reihenschaltung mit der M-function series Fijr den Fall, dass die Anzahl der Ausgange yi von System eins gleich der Anzahl der Eingange U2 von System zwei ist, gilt:

9.2 Beschreibung durch Zustandsgleichungen "x,(0

x,(0

B,D,

_x,(?)

BjC,

u,(?) mit

y,{t)^[D,C, C,]

x,(0"

281

M2(?) = >'i(?)

(9.20)

•[D,D,]u,(/)

Hierfiir haben die Ausfflhrungen des Abschnitts 9.1.1 Giiltigkeit, wenn die Ubertragungsfiinktionen durch die Zustandsmodelle ersetzt werden. Fiir den Fall, dass nicht alle AusgangsgroBen yi(/) des ersten Systems gleich EingangsgroBen U2{t) des zweiten Systems sind, wird fur yi(?) und 02(1) folgende Aufgliederung angenommen: y.W^

yuW'

"21(0 "22 ( 0

'.{')••

yi2(0

mit

(9.21)

U2,(/) = y , 2 ( ? )

Mit den Gleichungen in (9.21) ergibt sich der in Bild 9.8 angegebene Zustand. Nur die zum Teilausgangsvektor yuit) gehorenden Ausgange sind gleichzeitig Eingange fiir das zweite System und im Teilvektor U2i(0 vereinigt. Daneben existiert fur System eins noch der Ausgangsvektor yii(0 und fur System zwei noch der Eingangsvektor U22(0x' = Ax+Bu y = Cx+Du

-t n

y11(t)

y12{t) = u21(t)

System ZM1 ^ ^ L . fc r ^

X' = Ax+Bu y = Cx+Du y2(t)

u22(t) System ZM2

Bild 9.8 Reihenschaltung der Systeme ZMl und ZM2 iiber juit) = U2i(/) gekoppelt Als Ergebnis des in Bild 9.8 dargestellten Gesamtsystems ergeben sich als Zustandsgleichungen:

\Jt)~ x,{t)_

vuity = y.(0_

[A, "21^12

D C

0 1[5^1(0 K,_

3(0_

0

"x,(?)"

3(0_

+

[B, B,,D,2

+ D2,D,2

0 1" " i ( 0 ' B22

_"22 (0_

0

"u,(0"

D22

_"22(0_

(9.22)

Die nachfolgend angefuhrte M-fiinction series liefert nicht die kompletten in der Gleichung (9.22) angegebenen Systemmatrizen, sondem nur den zu Ui(/) imd y2(0 gehorenden Anteil:

282

9 Zusammenschalten von Systemen

x,(0"

=

"x,(0"

0

"A,

+

A2.

y.W -

C2]

.^21*^12

"x,(0"

82,0,2

u,(?)

(9.23)

+[D2,D,2]

Eigenschaft von series: Bildet von zwei hintereinander geschalteten Systemen im Zustandsraum die resultierenden Zustandsgleichungen. Syntax: [A,B,C,D] = series(ZMl,ZM2,ausl,em2) Beschreibung: Mit der M-function series wird nur der Teil berechnet der die direkte Kopplimg zwischen den beiden Teilsystemen herstellt, wenn in ausl die Ausgange yi2 des 1. Systems und in einl die Eingange U21 des 2. Systems eingetragen werden, die miteinander korrespondieren. Das Ergebnis ist wie in der Gleichung (9.23) angegeben. Fiir den Fall, dass die Anzahl der Ausgange yi von System eins gleich der Anzahl der Eingange U2 von System zwei ist, gilt: [A,B,C,D] = series(ZMl,ZM2) Weitere Funktionen siehe help / doc M-ftmction series. Beispiel 9.4 Fiir die nachfolgend gegebenen zwei Systeme sind die Zustandsgleichungen des Gesamtsystems gesucht. Zwischen ihnen soil die Eingangs-Ausgangs-Beziehungen M21 =yi3 und M22 = yu gelten. Das Ergebnis ist mit der M-function linmod und einem Signalflussplan entsprechend Bild 9.8 zu tiberpriifen. - System eins

x,(0 = A,x,( ^) + BiUiW x„ (/) _X,2 {t)_ / \

yiW =

>'n(0 yn (0 y7{t)

M^)_

"-1 2

"c„" ^12

1 0

0" x^^{t) -4

X,2 ( ? )

"1 0" M,,(?) 0 2

(9.24)

M,2 ( ? )

Du / \ / \ X,1V( n/ + u, it ) D,2 1 V /

0" 1 x„(?)

~r~ ~~\ _X,2 {t)_ -2

+

1

"0 2" 1 0 «ii(0 +

o"o 0 1

System zwei X2(?) = A2X2(?) + [B2, JB22]U2(?)

_M,2 {t)_

(9.25)

9.2 Beschreibung durch Zustandsgleichungen

X2, (t)

0

r

X22 [t)

-12

-7_

x,, (/) X22 ( f j _

+

"1 0

0

0 2 -1

"21 ( 0 "22(0 "23 ( 0

283

(9.26)

y2it) = C2^2{t) + [^2^ !D22]"2(0

y,{t) = [0 1]

X21 ( ? ) X22 ( ? )

"21 ( 0

-[1 0 | 0 ] "22(0

(9.27)

«23 ( 0

Losung: siehe Beispiel9_04.m und ZMReihe.mdl Der Vergleich der Ergebnisse ergibt: - Die Systemmatrizen stimmen iiberein. - In den Matrizen B und D fehlt jeweils die Spalte i^r die EingangsgroBe M23 des zweiten Systems. - In den Matrizen C und D fehlt jeweils die zu den Ausgangen >'i 1 und^'n des ersten Systems gehorenden Zeilen. Es treten bei dem mit der M-function series berechneten System nur die Eingange des ersten und die Ausgange des zweiten Systems auf, was zu erwarten war.

9.2.3

Parallelschaltung mit der M-function parallel

Fiir den Fall, dass fur die Eingange: (9.28)

U.(0 = "2W = "W und fiir den gemeinsamen Ausgang:

(9.29)

y(0 = yi(0+y2W gilt, ergibt sich als Zustandsmodell des Gesamtsystems:

x,{t) X2(0

A, 0

0 A,

x,{t) x,{t)

u(0

x,{t) y(0 = [Ci C2] x,{t) + [D,+J),]u{t)

(9.30)

Hierfiir gelten die Ausfflhrungen des Abschnitts 9.1.2 und das Bild 9.3 sinngemaB, wenn die Ubertragungsfunktionen durch die Zustandsmodelle ersetzt werden. Fiir den Fall, dass die parallelgeschalteten Systeme neben den durch die Gleichungen (9.28) und (9.29) beschriebenen Eingangsvektoren und Ausgangsvektoren noch separate Eingangsvektoren:

284

9 Zusammenschalten von Systemen

u,(?) =

""„(0"

^u(?) ^ und

(9.31)

Uj (?) =

_u(0 _

_U22 (0_

sowie Ausgangsvektoren: "y.iW"

"y2.(0"

(9.32)

y,W = _yi2(0_ und Yj (?) = 722 (0_ besitzen, ergibt sich mit dem 1. System: x,(?) = A,x,(?)+B,u,(?)

= A,x,(?) + [B„ jB,,]

(9.33)

u(7)

y,(?) = C,x,(?)+D,u,(/)

lu{t) ynlt)

'-'11.1

(0

" 1 1 . 1 1

I

" 1 1

D,

!D,.

(9.34)

^11 (t)

u(7)

und mit dem 2. System: ^2 ( 0 = ^2^2 (0+^2"2 ( 0 = A2X2(?) + [B2, j B,,]

u(0_-

(9.35)

U22 ( 0 y2(?) = C2X2(/)+D2U2(?)

c ^-"21.2

x,{t)-

y22(0

^^21

I -*^21.22

«(0_

-^^22

j -^22.22

"22(0

(9.36)

fur das Gesamtsystem die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung:

fiW' _X2"(0.

"A, 1 0 ""x,(?)" B„_^B_,,_jO__ 0 ^ A,_ _x;("o_ + 0 rB„iB,

UllW

u(0_

(9.37)

«22 ( 0

und die Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung: y ( 0 = yi2(0+y2i(0 y.iW yW_ y22 ( 0

r

'0

— L ' L L '__

r '-12.1

~i r I '-'21.2

o""Tc~~

x,(0 x,("0

D

'D

"11.11

I

"12.11

I " 1 2 + " 2 1

I "21.22

I D,.

i D,.

"11

!_o_

^n(0 «22 ( 0

(9.38)

9.2 Beschreibung durch Zustandsgleichungen

(JD u11(t)

rh • ^

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

+y-^ClD

System ZM1

(X> u22(t)

:h

285

y(t) = y12 + y21

x' = Ax+Bu y = Cx+Du System ZM2

Bild 9.9 Parallelschaltung der Systeme ZMl und ZM2 mit zusatzlichen Eingangsvektoren und Ausgangsvektoren Eigenschaft von parallel: Bildet die resultierenden Zustandsgleichungen von zwei parallel geschalteten Systemen im Zustandsraum ZM = parallel(ZMl,ZM2,einl,ein2,ausl,aus2) Beschreibung: Mit der M-fiinction parallel werden fiir den Fall, dass die parallelgeschalteten Systeme Eingangsvektoren nach Gleichung (9.31) und Ausgangsvektoren nach Gleichung (9.32) aufweisen, die Zustandsgleichungen des resultierenden Modells entsprechend der Gleichungen (9.37) und (9.38) berechnet. Mit ein\ werden die zu Ui2 und mit einl die zu U21 gehorenden EingangsgroBen, die den gemeinsamen Eingangsvektor u bilden, festgelegt. Entsprechendes gilt fur aus\= y\2 und aus2 = y2i als gemeinsamer Ausgangsvektor nach Bild 9.9. Fiir den Fall, dass die Systeme einen gemeinsamen Eingangsvektor nach Gleichung (9.28) haben imd sich der Ausgangsvektor nach der Gleichung (9.29) berechnet, gilt: ZM = parallel(ZMl,ZM2) Weitere Funktionen siehe help / doc parallel. Beispiel 9.5 Gegeben sind die Systemmatrizen der beiden parallelgeschalteten Systeme mit zusatzlichen Eingangen und Ausgangen: - Das 1. System hat drei Eingange und vier Ausgange. " 1 A,=

"-1 0" 2 -4

B,=

"1 j 0 2" 0

1 0_

c,=

0 1

0" 1 -1

-2

1

"0 1 2 0" 1 0 Di =

0

0 ! 0 0 0 1 0 1

(9.39)

286

9 Zusammenschalten von Systemen

Das 2. System hat drei Eingange und Ausgange.

A,=

r 0

-r;

11 -7

[0 «2 =

2 1 Ol

1 01 1

0 1

0 21 0

1 II i 0

D,= 1 0 1 0

1

c,=

(9.40)

0 ol"o 1 _

Die Eingange zwei und drei vom 1. System sowie eins und zwei vom 2. System sind die gemeinsamen Eingange u. Die Ausgange drei imd vier vom 1. System sowie eins und zwei vom 2. System bilden den gemeinsamen Ausgang y. Gesucht sind die resultierenden Gleichungen nach (9.37) und (9.38). Das Ergebnis ist mit der M-function linmod imd einem Signalflussplan entsprechend Bild 9.9 zu iiberprufen. Losung: siehe Beispiel9_05.m und ZMParallel.mdl Die Ergebnisse stimmen iiberein.

9.2.4

Riickfiihrschaltung mit der ^-{unction

feedback

Die verschiedenen Moglichkeiten der Ruckfuhrschaltung wurden im Abscimitt 0 behandelt. ^

Ul(t) ^

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

y1(t)

u(t)

y{t) System ZM1 x' = Ax+Bu y = Cx+Du y2{t)

u2{t)

Bild 9.10 Ruckfuhrschaltung der Systeme ZMl und ZM2 Grundlage der weiteren Betrachtungen ist der Vektor-Matrix-Signalflussplan 9.10 mit dem Vorzeichenfaktor: -1 = Gegenkopplung +1 = Mitkopplimg

(9.41)

Es gelten folgende Beziehungen: n,{t) = n{t) + vj^{t)-

y , ( 0 = y ( 0 und ix^{t) = y{t)

(9.42)

Die Ausgangsgleichung des Systems ergibt sich zu: (9.43)

9.2 Beschreibung durch Zustandsgleichungen

287

In der Gleichung (9.43) ist die Ausgangsgleichung: (9.44)

= D,C,x,(?) + C,x,(^) + D,D,u(?) + KD,D,y,(?)

zu ersetzen. Die Terme flir y2(t) werden zusammengefasst und mittels der vorausgesetzt nichtsinguldren Matrix: E = (l-v,D,D,)"

(9.45)

vereinfacht, so dass y2(0 nur noch von den beiden Zustandsvektoren und dem Eingangsvektor abhangt: y2(?) = ED2C,x, (?) + EC2X2(?) + ED2D,u(?)

(9.46)

Damit ergibt sich die Ausgangsgleichung des Systems zu: y(/) = [(l + v,D,ED,)C, ]+D,EC2

•D,(l + v^ED2D,)u(/)

(9.47)

Mit der Gleichung (9.47) lasst sich dann die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung des riickgekoppelten Systems wie folgt angeben:

\,{t)_ x,{t)

\,{t)_ B2(l + v^D,ED2)C, ^(A,+v_B,D,EC2) x,{t)

^^J^l^J^P.fAi

+v^BiEC2

(9.48)

B,(l + v,ED2D,)

B;D;(frv;E'D7Dj 'W y1.1(t) x' = Ax+Bu y = Cx+Du System ZM1 x' = Ax+Bu y = Cx+Du

1.

•A

yi,2(t)

1

-

•(X) y(t)

u2{t) = y1. 2(t)

Bild 9.11 Riickfuhrschaltung der Systeme ZMl und ZM2 mit einemzusatzlichen Eingangsvektor und Ausgangsvektor von ZMl Fiir den Fall, dass das System im Vorwartszweig noch einen zusatzlichen Eingangsvektor und Ausgangsvektor entsprechend Bild 9.11 aufweist, werden folgende Beziehungen abgeleitet.

288

9 Zusammenschalten von Systemen

Die Gleichimgen des Systems im Vorwartszweig:

".(0 =

»...(0 "1.2(0

"1.2(0="(0+^.y2(0

u(0+^zy2(0

x , ( 0 = A , x , ( 0 + [B,,i IB,,^]

(9.49)

Uu_(_0" (9.50)

"1.2(0 X, (t) = A,x, (?) + B, „ u , , (?) + B, ,2u(/) +v,B, ,2y2 (?) D, yi(0^

,(0-

yi.2 ( 0

D,

1.1i ( 0 '

u,' 1 . 2,(0 ' (9.51)

yi.i ( 0 = Ci.iix, ( 0 + D,„u,,, ( 0 + D,,2u(?) + v,D,,,2y2 ( 0 yi.2 ( 0 " C,.2,X, (?) + D, 2,U, , (?) + D, 22U ( 0 + K-D, 22y2 ( 0 Die Gleichungen des Systems im Ruckfuhrzweig: "2(0=y(0=yi.2(0

(9.52)

" 2 ( 0 = C,.2,X,(0 + D,.2,",.,(0 + D,.22"(0 + ^zD,.22y2(0 X2 ( 0 = AjXj (?) + B2U2 (?)

x,(?y X2 (?) — [B2CJ21 I A2J X2("0

"i.i (0" + [B2DI,21 1 62^1,22]

u(0

(9.53) + V^B2D,22y2(0

y 2 ( 0 = C2X2(0 + D2U2(?)

(9.54)

y2 (?) = C2X2 (?) + D2 [C,,2,Xi + D, 2,u,,, (?) + D, 22U (?) + v,D, 22y2 ( 0 ] Mit der vorausgesetzt nichtsingularen

Matrix: (9.55)

E = (l-v,D,D,„)-' und den folgenden Zusammenfassungen: F = I + v,ED2D,22

(9.56)

und G = I + v^D,22ED2

ergeben sich fur das Gesamtsystem die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung:

X2(0

A,+v^B, ijEDjCjj

^zBi.nECj

B2GC,^2i

A2 + v^B2Dj 22E C2

X2("0

(9.57) Bi.ii+VzB,^,2ED2D,^2i ! B,^,2F '^1.1 ( 0 +B2G D^ 21 I B2G D, 22

"(0

9.2 Beschreibung durch Zustandsgleichungen

289

und die Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung:

y,., (0 y(0

x,(/)

Ci.ii+i'zDi.i2ED2Ci,2i I v^Di^ijECs GC, ! v_D,„EC,

(9.58) Di.ii+v.D,,2ED2D,2, j D,,2F GD,

I FD,.22

u(t)

Die Ergebnisse der Gleichungen (9.57) und (9.58) lassen sich mit der M-function feedback berechnen. Eigenschaft von feedback: Bildet die resultierenden Zustandsgleichungen von je einem im Vorwarts- und Riickfuhrzweig befindlichen System. Syntax: ZM = feedback(ZMl,ZM2,einl,ausl,sign) Beschreibung: Die in den Gleichungen (9.57) und (9.58) angeiuhrten Ergebnisse ergeben sich mit der o.a. Befehlsfolge, wenn in einl alle Eingange vom 1. System, die gleich den Ausgangssignalen des 2. Systems sind, angegeben werden. Alle Ausgange vom 1. System, die Eingange des 2. Systems sind, werden in aus\ definiert. Fiir eine Gegenkopplung gilt sign = -1 bzw. kann es entfallen. Eine Mitkopplung ist durch sign = 1 gekennzeichnet. Die Ergebnisse der Gleichimgen (9.48) und (9.47) berechnen sich mit: ZM = feedback(ZMl,ZM2,sign) Fiir sign gelten die oben gemachten Aussagen. Weitere Funktionen siehe help / doc feedback. Liegen die Systeme als Simulink-Signalflussplane vor, so empfiehlt sich die Ermittlung der Systemgleichungen mit Hilfe der M-function linmod. Beispiel 9.6 Gegeben sind die Systemmatrizen der beiden Systeme: - Das 1. System hat drei Eingange und vier Ausgange, es liegt im Vorwartszweig. " 1 "-1 2

0" -4

"1 I 0 2 B,= 0 10

c,

0 =1 -2

0^ 1 -1 1

^0 1 2 0^ D,=

1 0 0 0 ! 0 0

(9.59)

0 1 0 1_

Das 2. System hat zwei Eingange und zwei Ausgange, es liegt im Riickfuhrzweig. " 0

L-12

1 " -7

"0 2 Bj =

\\ oj

C2 =

"0 r

[i oJ

"0 2" D2 =

[} oJ

(9.60)

290

9 Zusammenschalten von Systemen

Die Ausgiinge drei und vier vom 1. System sind die beiden Eingange des 2. Systems. Die beiden Ausgange des 2. Systems werden negativ auf die Eingange zwei und drei des 1. Systems geschaltet. Gesucht sind die resultierenden Gieichungen nach (9.57) und (9.58). Das Ergebnis ist mit der M-function linmod und einem Signalflussplan entsprechend Bild 9.11 zu uberpriifen. siehe Beispiel9_06.m und ZMGegen.mdl Die Ergebnisse stimmen iiberein.

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293

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Verzeichnisse Stichworter Algebra, Fundamentalsatz der 156 Algebraic Constraint-Block 51 Algebraic Loops 47ff Algebraische Schleifen 47ff Allpassanteil 174 Allpassglied 174, 185 Amplitude 229 Amplitudenrand 232 Anfangswert 209 - antwort 205 - probleme 67 Ankerstrom, Dgl. des 107 Anlage 2 Antrieb 105 -Eigenwerte 109 - Signalflussplan 109 - Zustandsmodell 108 Arbeit 70 Arbeitspunkt 87, 88, 103 Array 44 Ausgabeblock 43 AusgangsgroBen 82 - matrix 90 Ausschubarbeit 80 Automation 1, Automatisierung 1, 3 Automatisierimgsanlage 60 - funktion 60 -objekt60 - system 60 - technik 6 B Barkhausen, Selbsterregungsbed. 231 Behalterfllllstand 65 Beobachtbarkeit 254ff - nach Kalman 256ff B eobachtungsnormal form - Analogien zur Regelungsnormalf. 248

Beschreibung, mathematische 137 Bewegung, erzwungene 62 - freie 62 Bilanzgleichungen 69 - raume 69 Binominalkoeffizient 15 Bode-Diagramme 174 - 177ff, 179-184 - nichtminimaler Phase 185 - 188 Briickenschaltung 131, 212 Buchstaben, griechische 39 D DAEs 67 Data Viewers 43 DDEs 67 Dekade 176 Dekomposition 69 Demux-Block 45 Determinante 15, 225 Dezimalkomma 14 -punkt 14 Differenzengleichung 60 Differenzialgl. 62, 67, 82, 84, 118, 137 - Losung von linearen 141ff, 153ff, 228 - nichtlineare 88 - Signalflussplan 65 - simultane 84 - steife und nicht steife 67 - symbolische Losung 64 D-Glied50, 175, 182 Differenzierglied 50, 175, 182 Diracimpuls 210 Dissipation 70, 98 Durchgangsmatrix der SteuergroBe 91 - StorgroBe 91 E Eigenkreisfrequenz 183, 218 - vektor 225 Eigenwert 224

296

Verzeichnisse

Eindeutigkeit 138 Eingabeblock 42 Eingaben, direkte, indirekte 8 Eingangsblock 42 - groBen 82 - steuerbare und nichtsteuerbare 82 - system 93, 143, 202 EingroBensysteme - Beobachtungsnormalform 248ff - Regelimgsnormalform fur 243 ff Einheitssprung 207ff Elektrisches Netzwerk 127 Embedded MATLAB Function-Block 87 - Fimctions 56 Energie, auBere 78 - Dissipation der 75 - elektromagnetische 74 - elektrostatische 72 - innere 78 - kinetische 73, 78, 97 -potentielle71,98 - -Masse-Beziehung 70 Enthalpie 79 Erhaltimgssatz der Masse 69

Faltungsintegral 211 Feder 72 Fehlerilinktionen 126 Felder 44 Frequenzgang 168ff -Amplitude 175 - Imaginarteil 175 -Phase 175 -Realteil 175 Frequenzkennlinien-Diagramm 174ff Fiihrungsilbertragungsfunktion 125, 189 Funktionen, haufig benotigte 1 Iff Funktionsblock 41 - datei 8 G Gain-Block 48 Gegenkopplung 48, 277ff, 286ff Geschwindigkeit, verallgemeinerte 77 Geschwindigkeitsvektor 83

Gewichtsfunktion 209, 21 Iff - eines Schwingungsgliedes 219 Gleichung, charakteristische 190, 225, - Losungen der charakteristischen 228 Gleichungen 59 Graphiken 37ff Grenzwertsatze 209, 212 Grundoperationen, mathematische lOff GSL-Motor53, 105,214,223 -elektrische Seite 105 - mechanische Seite 107 -vereinf Modell 110 H Hurwitz-Kriterium 23 Off I I-Gliedl75, 180,215 Impuls, Erhaltungssatz des 81, 84 - antwort 209 - fimktion 209ff Information 4 Informationsaustausch 82 - erfassung 60 - nutzung 60 - tibertragung 60 - verarbeitung 60 - wandlung 60 Integrierglied 175, 180 Inverses Pendel 112, 241, 249 -Eigenwerte 115 - Signalflussplan 115 K Kanonische Zerlegung 257ff Kette,offene231 - Ortskurve einer offenen 233 Knickfrequenz 178 Kommandos, nutzliche 9ff Kondensator 71, 77 Koordinaten, verallgemeinerte 76, 96, 97 Koppelmatrix 86 Kopplungen - wesentliche 4, 82 - unwesentliche 4, 82 Kopplungsgleichungen 69

Stichworter Kreis, geschlossener 231 Kybemetik 3

Lagrange'sche Bewegungsgl. 2. Art 76ff Laplace-Riicktransformation 154 Laplacetransformation 144ff -Losen V. Dgl's 153 - Rechenregeln 147 Leistung 70 Leistungsverstarker 117, 123 Linearitat 138 Linearitatsbereich 102 Logarithmischer Amplitudengang 175 - Phasengang 175 LTI Viewer 216ff M Maschengleichung 132 Mask editor 54 Massentragheitsmoment 97 Matlab Editor 8 MATLAB-Grundoperationen lOff - Kommandos, niltzliche 9 Matrix, charakteristische 224 - Diagonalelemente einer 18 - inverse 17 - Rang einer 16, 253 - singulare quadratische 15, 287 - nichtsingulare quadratische 15, 288 - spezielle 18 - Spur einer 18 - transponierte 17 - Untermatrizen einer 15 -operationen 19 - iibertragungsfiinktion 119, 261 Matrizen 12ff - erweiterte 22 - Operationen mit 20ff -quadratische 14 - spezielle 18ff Mechanisierung 3 MehrgroBensystem 92 - nichtlineares 86 MEX-file 53 Mitkopplung 278, 286

297

Modalmatrix 239 Modell, mathematisches 59, 95, 108, 110, 118,127, 131 - bildung 66 -regelkreis 116 N Nachstellzeit 116 Nadelimpuls 210 Netzwerk, sprungfahiges 117, 208, 250 Nichtlinearitaten 56, 101 - vektor 85 Null-dB-Achse 178 -Grad-Achse 178 -stellenl61, 174, 190,202 - bei EingroBensystemen 202 Nyquist-Kriterium 232ff - das allgemeine 233 O ODEs 67 Oktave 176 Operation Division links 27 - Invers 27 Operationsverstarker 116 optimal control 254 Ortskurve 169 - vektor 83

Parallelschaltung 276 Partialbruch 270 -zerlegung 156 PDEs 67 P-Glied 175, 177 Phase 232 Phasenminimumanteil 174 - rand 232 - variable 84 PI-Reglerll6, 122 Pole 161, 174, 190 -Residuender 158 Polynom, Ableitung eines 36 - charakteristisches 225 -Grad eines 33 - Nullstellen eines 35

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Verzeichnisse

Polynom, Wert eines 36 - Wurzeln eines 35 - Eingabe von 33 - Operationen mit 33 Polynome 32ff Potentiale 98 Prinzips von d'Alembert 84 Proportionalglied 175, 177 Prozess, technologischer 2 - analyse 68 R RC-Glied 116 Rechtseigenvektor 225 Regelkreis, einschleifiger 3, 125 Regelstrecke 117 Regelung, modale 254 Regelungsnormalform 143 - aus der Ubertragungsfunktion 244ff - Analogien zur Beobacht.-normalf. 248 Reibung 73 Reihenschaltung 275 Residuensatz 270 Resonanzfrequenz 183 RLC-Netzwerkl31 Rtickkopplungsschaltung 277

Satz von Steiner 97 Schnittfrequenz 181 Schwingkreis 134 Schwingungsglied 134, 217ff - KenngroBen eines 218 Seilkraftsll2 -pnnkts, Geschwindigkeit eines 106 Selbsterregungsbed. von Barkhausen, 231 S-Function 53 Signal, Antwort auf beleibiges 213 - virtuelles 45 Signalbuss 45 - flussplan 45, 105, 109, 112, 115, 120, 121, 124, 134, 160, 188, 242, 252, 255, 259, 264, 265, 272ff, 275 Signalverbindungen 44 - verzweigung 45 Simulation 3

Simulation, Arten der 60 Sinks 43 Skalar 23ff -produkt25, 28, 30 Skript-Dateien 8 Soll-Istwert-Vergleicher 121 Spaltenvektor 24 Sprungantwort 207ff Spule 74 Stabilitat 105, 115 - linearer Systeme 227ff Stabilitatsaussage 229 - grenze 229, 232 - vorrat 232 Stabschwerpunkt 96 Stab-Wagen 206 - lineares Modell 102 - nichtlineares Modell 97 - Signalflussplan 105 Standardform 92 Stationare Verstarkung 221 Stellglied 123 Steuerbarkeit 25 Iff - nach Kalman 253 Steuerbarkeitsindex 253 Steuermatrix 89 Steuerung, Prinzip der optimalen 254 StorgroBen 82 - matrix 90 -ubertragungsfunktion 125 Sto6funktion210ff Structure 44 Summierglied 44 Superpositionsgesetz 211 Symbole, mathematische 39 System 2 - Stab-Wagen 56, 95 - Eigenwerte 104 - zur Energie- und/oder Stoffwandlung 5 -abstraktes 61 - Eigenbewegung 224 - Grundeigenschaften 140 -konkretes 1, 61, 82 System, Maskieren von 54 - Minimalkonfiguration eines 262fF - nichtlinear 65

Stichworter System, nichtlinear zeitinvariant 85 - nichtlinear zeitvariabl 85 - Signalflussplan des nichtlinearen 66 - sprungfahig 48, 127, 143, 208 - thermodynamisches 78 - minimaler Phase 174 - Beschreibung konkreter 81 - Linearisierung nichtl.. zeitinvari. 87 - stabile offene mit Totzeit 236 - eigenschaften 217ff - gleichungen, lineare 92 - matrix 89, 223 - Normalformen der 238ff

Ti-Glied 175, 177 Tzd-Glied 175, 183 Taylorreihe 88 TDi-Glied 175, 181 Technische Arbeit 79, 80 Theoretischen Prozessanalyse 85 Torsionsstab 72 Totzeitghed - TrGlied 186 Trajektorie 83 Transformationen 266ff Transformationsmatrix 244 U Ubergangsflinktion 207ff - eines Schwingungsgliedes 219 Ubertragungsfaktor 48 tJbertragungsfunktion 120, 124, 129, 137, 160ff - offene Kette 188 - Pol-Nullstellen-Form 164, 189 - Polynomform 160, 269, 271 - Zeitkonstantenform 167 - Parallelschaltung 276ff - Reihenschaltung 275ff - RiickfiJhrschaltungen 277ff - Zusammenschaltung von 275ff Ubertragungsglied 211, 275 -aktives 138 -Homogenitat 139 -lineares 137ff -Linearitat 140

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Ubertragungsg., Ortsunabhangigkeit 140 -passives 138 - Ruckwirkungsfreiheit 140 - Speicherverm5gen 139 - Superposition 139 - Zeitinvarianz 139 V Variable 59 - abhangige 59 - unabhangige 59 Vektor 23 - Betrag 25 - Eingabe 24 Vektoren 23ff - Winkel zwischen zwei 29 - Operationen mit 31 Vektorfunktion, nichtlineare 88,89 - Matrix-Ausgangs-Gleichung 92 - Darstellung 82 - - D g l . 85,92, 114 - Signalflussplan 93 - operationen 24 - produkt 25, 29 Verdrangungsarbeit 80 Verfahren nach Runge-Kutta-Fehlberg 68 Verstarkung, stationaren 189 Verstarkungsfaktor 48 189 Verzogemngsglied 1. Ordnung, 175, 177 Volumenanderungsarbeit 79 Vorhaltglied 1. Ordnung 175, 181 W Warmeenergie 78 - iibergang 79 Weg, nichtlineare Dgl. 99 Werte, spezielle 11 ff Widerstand, ohmscher 76 Winkel, nichtlineare Dgl. 98 Wurzelortskurve 190, 191ff, 193, 194 Wurzelortverfahren 188ff, 192ff Wurzelortverf £ beliebige Parameter 199

Zahlen, komplexe 12ff Zeilenvektor 24

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Verzeichnisse

Zustand 82 Zustandsbahn 83 - gedankens, Darstellung des 83 - gleichungen, Diagonalform der 239ff - groBen 82, 84, 132 -modell84, 118,129, 133,266 Zustandsmodelle - Parallelschaltung 276ff, 283ff - Reihenschaltung 280ff, - Riickfllhrschaltung 286ff - Zusammenschaltung von 278ff Zustandsraum, Beschreibung im 81ff - geometrische Deutung 83 Zustandsvektor 82

Namen B Baridiausen, Heinrich Georg 231 Bode, Hendrik Wade 174 Brown, Robert 78

Cayley, Arthur 21 Coriolis, Gaspard Gustave de 70 D d'Alembert, Jean Le Rond 76 Diebold, John 1 Dirac, Paul Adrien Maurice 146 Doetsch, Gustav Heinrich Adolf 84 E Einstein, Albert 70 Euler, Leonhard 168 Evans, Walter R. 191

Fehlberg, Erwin 67 Frobenius, (Ferdinand) Georg 143 G GauB, Carl Friedrich 35 Gilbert, Elmer Grant 251 Gregory, James 88

H Hamilton, William Rowan 225 Harder, Del S. 1 Heaviside, Oliver 146 Henry, Joseph 111 Hurwitz, Adolf 198 Huygens, Christiaan

Jacobi, Carl Gustav Jacob 89 Jordan, Marie Ennemond Camille 240 Joule, James Prescott 71, 78 K Kalman, Rudolf Emil 251 Kirchhoff, Gustav Robert 76 Kutta, Wilhelm 67

Lagrange, Joseph Louis de 76 Laplace, Pierre Simon Marquis de 144 Ljapimov, Alexandr Michajlowitsch 82 M Mayer, Julius Robert 78 N Nyquist, Harry 170

M-functions R Rayleigh, John William Strutt 77 Rothe, Rudolf 24 Routh, Edward John 230 Runge, Carl David Tolme 67

Steiner, Jakob 97 Sylvester, James Joseph 12

Taylor, Brook;

Veltmann, Wilhelm 77

M-functions A antan2 172 append 279ff axis 194 B bode 177ff C canon 24 Iff celldisp 162ff conv 33 cos 147 cross 30 ctrb 253ff ctrbf 257ff, 261 D damp 220ff dcgainl89, 222ff deconv 34 diag 18 dirac 146 diff97 dot 28 dsolve 64ff

E eigl04, 110, 115,227ff,230 esort 104, 110, 115 exp 146

feedback 278ff, 286ff function 9ff G grid 163 H heaviside 146 I impulse 212ff, 230 initial 205ff ilaplace 146, 159 isempty 9ff L laplace 146 legend 215 length 33, 254, 256 linmod 102, 273ff linmod zur Linearisierung 272ff

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Verzeichnisse

lsim213ff ltiview216ff M margin 230, 234ff minreal 262ff modred 11 Iff N nargeout 9ff nargin 9ff nchoosek 15 norm 25, 28, 30 nyquist 170ff, 172,230 O obsv 256ff obsvf 259ff 261 ode... 85 odell3 67 -15s 67 -15s 67 -23 67 -23s 67 - 23t 67 - 23tb 67 - 4 5 67, 143 odeset 68

parallel 276ff, 283ff pdepe 68 persistent 9ff poly 35, 226ff polyder 36 polyval 36 pzmap 163ff, 230 R rank 253, 256 residue 270ff rlocfmdl92ff,230 rlocusl91ff,230 rltool 198ff, 202 roots 35, 226ff, 230

series 275ff, 282ff sflintmpl 53 SISO Design Tool 202 solver 68ff ss 94ff ss2ss 25Iff ss2tf266ff ss2zp 269ff ssdelete 112ff step 208ff, 230 summe.m 9 tfl61ff,267ff tfZss 269ff tfZzp 270ff tfdata 162ff trace 18 V vpal59 Z zp2ss271ff zp2tf271ff zpkl65ff zpkdata 166ff

Beispiele und Gleichungen

Beispiele und Gleicliungen B Beispiel2_01.m 8 -2_13.m25 -2_15.m30 - 2_26.m 39 - 2_27.m 40 Beispiel3_02.m 48 - 3_07.m 57 - 3_07a.m 57 Beispiel4_01.m64 - 4_02.m 68 Beispiel6_02.m 144 - 6_02a.m 144 -6_10.ml51 -6_ll.ml52 -6_12.ml52 -6_13.ml56 -6_14.ml59 -6_20.ml67 -6_21.ml71 -6_22.ml71 -6_23.ml72 -6_24.ml72 -6_25.ml83 -6_26.ml84 -6_27.ml85 - 6_30.m 193 -6_31.ml94 - 6_32.m 197 - 6_34.m 202 Beispiel7_01.m206 - 7_02.m 208 -7_03.m212 -7_04.m214 -7_05.m215 Beispiel8_01.m220 - 8_04.m 227 - 8_05.m 234 - 8_06.m 235 - 8_07.m 238 -8_ll.m250 -8_12.m250 - 8 14.m252

- 8 15..m254 - 8 16..m255 - 8 17..m257 - 8 20.,m261 - 8 21.,m263 - 8 22.,m266 - 8 23.,m268 - 8 25.,m270 - 8 26..m273 -8_ 27..m273 BeispieI9 01.m276 - 9 02.,m277 - 9 03. m279 - 9 04.,m283 - 9 05. m286 - 9 06.m290 G Gleichung5 01.m97 - 5 31. mlOO - 5 ' 74,m i l l

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Verzeichnisse

Eigene functions und Signalflussplane

antrieb.m 112ff, 223 Antrieb 109 -reduziert 112 Algebraische Schleife 48, 50 Algebraic Constrain Block 52 B bn_form.m 249ff bode_ap.m 185ff bodelitt.m ISSff bodejt.m 187ff bmecke.m 134ff, 261, 273 Briickenschaltung 134, 273 D dglfst.m 68ff

Gegenkopplung 277 gsl_motor.m 53

invpendel.m 104ff, 115, 266, 273 Inverses Pendel, Diagonalform 242 - Regelimgsnormalform 247 - Zustandsmodell 115 M MehrgroBensystem, linear 93 - nichtlinear 86 Mitkopplung 278 mod_rk.m 127ff Modellregelkreis 120, 121 N nl_f.m 57ff nw_spf.m 13 Iff

Parallelschaltung 276 - nichtgekoppelte 280 R Regelkreis 188 - Standardform 231 - mit Storung 124 Reihenschaltung 275 mform.m 246ff S Signal - Summation 44 - Verzweigung 45 Signalbus 45, 46 Superposition 139 System - 1. Ord. m. einer algebrai. Schleife 48 - 2. Ord. m. einer algebrai. Schleife 50 - linear 1. Ordnung 65 - mit aufgelo. algebrai. Schleife 49, 51 - nichtlinear 1. Ordnung 67 - nicht steuer- u. beobachtbar 263 System, nicht vollstandig steuerbar 252 - nicht volst. steuer- und beobachtbar 255 - reduziert 264 - steuer- und beobachtbar 265 - teilw. beobacht- u. n. beobachtbar 260 - teilweise steuer- u. nicht steuerbar 259 System Stab-Wagen - linearisiert 105 - nichtlinear 57, 272

Zustandsmodell 279 - Parallelschaltung 285 - Reihenschaltung 281 - Riickfuhrschaltung 286, 287