Espaces fonctionnels : utilisation dans la résolution des EDP

14 C H A P I T R E 1. RAPPELS D E TOPOLOGIE ET D’ANALYSE FONCTIONNELLE

Bien entendu, la réciproque de cette propriété est vraie. D’ailleurs, à partir de cette caractérisation, on peut prouver que C ( t l , C ) = em, espace des suites complexes bornées.

Remarque 1.16. Sous les hypothèses du théorème, il n’est pas vrai en général que la suite { u n }converge vers u dans l’espace C ( X ,Y ) (cf. exercice 1.6). 1.2. Formes linéaires, dual topologique, topologie faible 1.2.1. Dual topologique d’un e.v.t., théorème de Hahn-Banach

Définition 1.17 (dual topologique). Une forme linéaire continue sur un Respace vectoriel topologique X est une application linéaire de X dans R, continue pour la topologie de X et celle de R. On note X’ l’espace vectoriel constitué de ces formes. Lorsque X est de dimension finie, il est clair que X’ est r6duit au dual algébrique et que X‘ est de même dimension que X , un moyen de le voir étant de se donner une base { e i } de X et de lui associer la base duale constituée des formes linéaires e: définies par = 6:. Dans le cas où X est un e s p x e nornié de dimension infinie, le dual est aussi de dimension infinie. Un moyen de le voir est d’utiliser le théorème de Hahn-Banach, forme analytique, que nous énonçons ci-après sans démonstration. Dans la foulée, nous donnons aussi la forme géométrique de ce théorème, car cette version, permet non seulement de montrer certains théorèmes de ce chapitre, mais sera un argument clef dans la théorie des fonctions convexes développée dans le chapitre 6.

Théorème 1.18 (Hahn-Banach). Soient X u n espace vectoriel sur K, M un sous-espace vectoriel de X et p une semi-norme sur X . Soit m’ une forme linéaire sur Al? telle que Im’(z)l 6 p(z) pour tout z appartenartt à M . Alors il existe une forme linéaire x‘ sur X , telle que :

VmE M,

z’(m)= m’(rn) et V z E X ;

lz’(x)l< p ( z ) .

En particulier, si X est u n espace riormé, la semi-norme choisie étant alors la norme l l . l l ~ ,toute forme linéaire, m‘ continue sur le sous-espace M mun,i de cette norme, peut être prolongée en une forme linéaire continue sur X qui a la m ê m e norme. Le lecteur peut consulter 1461 pour une preuve. Ce théorème peut être énoncé dans le cas d’un e.v.t. quelconque sous la forme dite géométrique :

Théorème 1.19 (Hahn-Banach (forme géométrique)). Soit X un e.v.t. sur R. Soient C u n convexe ouvert n o n vide de X et M un sous-espace vectoriel

1.2. FORMES LINÉAIRES. DUAL TOPOLOGIQUE, TOPOLOGIE FAIBLE

15

de X ne rencontrant pas C . Alors il existe un hyperplan H , c’est-à-dire un sous-espace de X d e codimension 1, qui est fermé, qui contient A l et qui ne rencontre pas C .

La relation entre ces deux énoncés s’explique, en partie du moins, par la propriété suivante : Proposition 1.20. Dans u n e.v.t. X sur K, un hyperplan H , défini au moyen d’une forme linéaire f sur X et d’un scalaire a E K par H = {x E X 1 f (x)= a } , est fermé s i et seulement si la forme f est continue sur X . 1.2.2. Cas d’un norme et de son dual. Topologies sur ces espaces Topologzes fortes.

Définition 1.21. Soit X un K-espace nornié. L’espace C ( X ,W) est noté X’. I1 est appelé le dual topologique de X . C’est donc I’ensenible des formes linéaires continues sur X ou encore l’ensenible des fornies linéaires f sur X telles que :

3 K > O,

QX

EX,

<

If(r)l K l l ~ i l ~ .

On a une norme naturelle sur X’ définie par

À l’aide de l’étude précédente de l’espace C ( X ,Y ) ,on note que X’. muni de la norme Il.llxt, est un espace de Banach (que X soit un Banach ou non). La topologie de la norme sur X est dite topologie forte de X . La topologie de la norme précédente sur X‘ est dite topologie forte de X‘. Notons, pour cette norme, deux conséquences du théorème de HaliriBanach, l’une d’entre elles justifiant que le dual X’ n’est pas réduit à {O} :

Proposition 1.22.

(I) Si x (5” X) =

E

X , x # O , il existe un élément x’ E X’ tel que : Ilz’IlX~= 1 et

Ilxllx.

.)I.

( 2 ) La norme sur X peut être définie par ilxll~= s i q x , ~ ~ ~ l ~ ( x ’ , Grace à la dualité qui existe entre X et, sori dual X ’ , on peut définir d’autres topologies plus faibles (ou moins fines) que les topologies dites fortes, ce qui signifie que les ouverts relatifs à ces nouvelles topologies sont aussi des ouverts pour la topologie forte.

16

CHAPITRE 1. RAPPELS DE TOPOLOGIE ET D’ANALYSE?FONCTIONNELLE

Topologie faible sur X. Pour tout z’ E X’, la fonction z H I (z’, z) I est une senii-norme. Soit 3’ l’ensemble des parties finies de X’. Posons alors, pour tout F’ E 3’ :

Ces fonctions constituent une faniille de semi-norines sur X . On vérifie les hypothèses de la proposition 1.6 (cf. voir aussi l’exercice 1.5) : 0 La famille est filtrante. En effet, si on pose F’ = F{ ü Fi, 011 obtient, pour i E {1,2}, l’inégalité q F / qF;. 0 La famille est séparante. En effet, si 20 E X , avec 5 0 # O, la proposition 1.5 précédente fournit l’existence de d E X’ tel que r l ~ ~ , ) =( ~ )

I ( Q ’ ~ ’ ) l# 0. Cette faniille de semi-normes définit donc sur X une topologie d’e.1.c. séparé, que l’on note a ( X ,X ’ ) et qui est dite la topologie faible de X.Ainsi, la faniille I3 des parties de X définies, à partir des éléments z g E X , des parties finies F’ de X’ et des réels E > O, par :

B Z , 3 , ~zzf ,{E X €

x I v d € F’,

l(Z’,X - X g ) l

< E},

constituent une base pour cette topologie sur X (cf. exercice 1.5). On remarque qu’un ensemble B Z o , F f,E est une intersection finie d’images réciproques d’ouverts de R par les applications continues 2’ du riormé X dans K. Tout ouvert faible de X est ainsi un ouvert du riormé X , autrement dit, la topologie de la riorme est plus fine que la topologie faible. Topologie faible-étoile sur X’.De façon symétrique, on considère la famille des senii-normes indexée par les parties finies de X :

vz’

E X’,

Tp(X’) =

sup ~ ( X ’ J ) ~ . ZEF

De façon analogue A ce qui précède, elle est filtrante. Si, d’autre part, 2’ # O, ce qui exprime la non nullité de la forme linéaire d ,il existe q,E X tel que q{r,,)(z’)# O, ce qui établit que la famille est séparant,e. L’ensemble B’ de parties de X’ définies, à partir de E X’, de F partie finie de X et de E > O, par :

est une base pour une topologie d’e.1.c. séparé sur X ’ , notée o ( X ’ , X ) et appelée topologie faible-étoile de X’.Elle est plus faible que celle du normé X’. Notons que le norrné X’ possède un dual topologique, noté X” et qu’ainsi il est doté d’une troisième topologie, à savoir la topologie faible p ( X ’ , X”). Notons aussi que les topologies fortes peuvent être définies de façon analogue en remplaçant les parties finies par les parties bornées de X’ ou de X .

1 . 2 . FORMES

LINÉAIRES,DUAL

TOPOLOGIQUE,

TOPOLOGIE FAIBLE

17

Convergences faibles. Les définitions précédentes nous fournissent immédiatement la caractérisation de la Convergence faible pour les suites (corivergerice séquentielle faible) :

Définition 1.23. Soit X un e.v.n. Urie suite ( u n ) n E XN converge au seris de de la topologie faible (ou converge faiblement) vers I L dans X si : Yf Urie suite ( f n ) n E f E X’ si :

€

( f , u,< - u)+ o.

X’,

converge ail sens de la topologie faible-étoile vers

YJE

x,

( f n - f , J ) + o.

Continuité pour la topologie faible.

Proposition 1.24. Les fosrrnes linéaires continues sur X pour la topologie d e la norme et les formes linéaires continues pour la topologie faible de X co%Wcident. Preuve. 0 I1 est clair qu’une fornie lin6aire continue pour la topologie faible est continue pour la topologie forte. Réciproquement soit BE une boule de centre O dans K.L’image réciproque par f E X’ de ce voisinage est B{f}.E

= {.

EX

I l(.f?J)l< E ) ,

qui est un voisinage de O pour la topologie faible. I1 en résulte que f est aussi continue pour la topologie faible. O

Étude de compacttés. Un résultat important concernant la topologie faibleétoile est celui de la compacité faible-étoile de la boule unité fermée de X I . Nous en doririoris ici une version faible, valide lorsque X est séparable, c’està-dire lorsque X possède un sous-ensemble dénombrable partout dense, la conclusion, sous cette hypothèse, &rit seulement la compacité séquentielle pour la topologie faible-étoile de la boule unité ferniée dc X I . Nous choisissons de donner ce résultat dans ce cas particulier, d’une part, parce que tous les espaces utilisés dans ce livre sont séparables et que, dans les applications, la compacité faible séquentielle suffit ; d’autre part, parce que la démonstration du résultat général demande le théorème de Tichorioff ([46]) qui est A notre sens trop abstrait pour être inclus dans ce cours. Avant d’énoncer cette propriété, donnons quelques rappels de définitions et de propriétés :

18 C H A P I T R E 1. RAPPELS D E T O P O L O G I E E T D’ANALYSE FONCTIONNELLE

Définition 1.25 (relative a la compacité). 0 Un sous-ensemble A d’un espace topologique séparé est dit compact si, de tout recouvrement ouvert de A , on peut extraire un sous-recouvrement fini. 0 Uri sous-ensemble A d’un espace norrné X est dit préconipact si le complété de A est compact pour la topologie de X . 0 Un sous-ensemble A d’un normé X est dit relativement cornpact dans X si son adhérence est conipacte. 0 Un sous-ensemble A d’un nornié X est dit séquentiellenierit compact pour la topologie faible de X si, de toute suite de points de A, on peut extraire une sous-suite faiblement convergente dans A . Proposition 1.26. Les parties compactes, précom,pactes, relatiiiement compactes possèdent les propriétés suiva.ntes :

un ensemble compact d’un espace métrique X est f e r m é et borné, rnais la réciproque est fausse (sauf dans le cas où X est de dimension finie) ; un ensemble d’un espace niétrique E est précompact s i et seulement si pour tout E > O, il admet un recouiirement par un nombre fini de boules ouvertes de rayon E ; 1 ’adhérence d’un ensemble précompact est cornpacte; dans un normé, il est équivalent de dire que A est compact ou que toute suite de points de A admet une sous-suite convergente dans X uers u n élément de A ; u n ensemble précompact dans un espace de Banach est relativement compact. ~

~

~

La preuve de cette proposition est laissée au lecteur.

Proposition 1.27. Soit X un espace normé séparable et B I la boule unité fermée du dual XI.Alors B I est séquentiellement compacte pour la topologie faible-étoile. Preuve. 0 Soit { f r f } , L Eune ~ suite de formes linéaires dans BI.On fixe, dans ce qui suit, un sous-ensemble dénombrable {z,},~w partout dense dans X. La suite fn(x,) est bornée pour tout i . Par le procédé diagonal, on peut extraire de f n une sous suite, encore notée f n , telle que ( f 7 L ( z , ) converge )n vers 1,. Montrons alors que pour tout z E X la suite f n ( x )converge, ce qui prouvera la convergence pour la topologie faible-étoile de la suite { f n } . 0 Soit E > O et z E X . Alors il existe x J ,appartenant au sous-ensemble dense, tel que IIx-xJ IIx E . Cct élément xJ étant fixé. il existe un entier N

<

1.2. FORMES LINEAIRES, DUAL TOPOLOGIQUE, TOPOLOGIE FAIBLE

>

<

>

tel que : ‘dn N , lfn(xJ) 1,/ E . Alors, pour ri N et m utilisant le fait que les f n sont dans la boule unité de X’ : ~

Ifn(z)- f m ( ~ ~ < ) l I f n ( x ) - fn(2j)I

+ Ilj

+ lfn(xj) ~

-

> N, on a, en

ljl

< 4E.

+ I f i n ( x J )l).(2nf

fi&j)/

19

-

Tout ce qui précède et le fait que l’espace X’ est complet montrent que { f n ( x ) }est une suite convergente dans X’ vers un élément noté f ( : c ) . I1 reste à voir que f E B’. O Montrons que f est linéaire. Pour ce faire, fixons x1 et x2 dans X. Ori considère trois parties du sous-ensemble dense, autrement dit , dcs suites { z (j1 ) }, { z( j2 ) } et { y j } convergentes respectivement dans X vers 21, z z et) z 1

+ 2 2 . Par l’équicont,inuité des f i L on a : l f n ( X (1) j ) +fiL(Xy)) fiL(Yj)l 6 I l x y + “y)

-

~

Le second merribre tend vers O. Par conséquent

?jjIlX.

:

+

iirnfTL(yJ)= iiin(fn(zsl)) f n ( z j L ) = ) )f(x-1)

+ f(x2)

En agissant de manière analogue pour X z on obtient, que f est linéaire. 0 Elle est continue puisqu’eri passant à la limite dans l’inégalité de corition obtient : nuité ‘dxE X, lfn(:r)l < J/zJJ,y,

v:c

E X-

I.f(.)l

6

Ilzllx.

< 1, on a f

Cette derniere inégalit,é prouvant que Ji.fllxt tcrmiiie la preuve. 0

E B’, ce qui

O

1.2.3. Bidual, espaces réflexifs

Définition 1.28. Soient X un espace norm6 et X’ son dual, qiii est aussi nornié et même un Banach. Alors (X’)’, riot6 aussi X”, qui est l’espace des formes linéaires continues bur X’. est un espace de Banach, que l’on noniiiie bidual de X. L’espace X s’injecte contiriûrnent dans XI’ ainsi que le niontre l’analyse suivante. Soit z E X . L’application fz qui à 2’ associe (d, z) est clairement une forme linéaire continue sur X’. On peut donc tléfinir l’application .I qiii envoie X dans (X’)’ en associant à z la forme linéaire fer. Cette application est injective, niais pas surjective, sauf dans des cas d’espaces particuliers. à savoir les espaces réflexifs étudiés ci-après. En fait, l’image de .I est exactement l’eriseniblc des formes linéaires sur X’ qui sont continues pour la topologie faible-étoile de X ’ . Plus prkisénient , ~:nonçons:

20

C H A P I T R E 1 . R A P P E L S D E TOPOLOGIE E T D’ANALYSE FONCTIONNELLE

Théorème 1.29. Soit X un espace no7mé et X’ son dual. Une f o r m e linéaire f sur X‘ est continue pour la topologie faible-étoile de X’ si et seulement si on, n la propriété suivante :

3 2 E x,V X ‘

E

x’,

f ( d )= ( X ’ J ) .

Preuve. O Soit x E X , alors f z est continue pour la topologie faible-étoile. En effet, E > 0 étant donné, l’image réciproque par ,fz de l’intervalle {It/ < E } de IR,contient l’ensemble

BO+}

E

=

b’I I ( x ’ ,.)I

< E>.

Cet ensenible est un voisinage de O (cf. sous-section 1.2.2) pour la topologie faible-étoile. I1 en résulte la contiriuiti: de f s pour cette topologie. Soit f une fornie linéaire continue pour la topologie faible-étoile de X’. Alors, l’erisemble des z’ E X ’ tel que If(z’)l < 1 est un voisinage de O, donc il existe un réel 6 > O et un nombre fini z i d’élérrient,s de X telles que si z’E X’ satisfait pour tout i à \ ( d , z i ) \< 5, alors if(d)I< I. Ceci signifie qu’il existe 6 > O et un nombre fini de x i , 1 i n tel que pour tout

< <

2’ E

X’ 1 If(z’)l < -sup~(:I!,z;)~. 6

2

En particulier, si ( d .x i ) = O pour tout %,alors f ( z ’ ) = O. La forme linkaire f sur X’ s’aiinule airisi sur l’intersection des noyaux des formes linéaires f z , . Par le lemrnc algébrique 1.30 ci-dessous, il existe des complexes ( ~1i 6 ,i sr1 tels que f = E, a t f z 7Le . vecteur :I: = E, a,zi est donc tel que f = in;, ce qui termine la preuve. O

<

Lemme 1.30. Soit X un espace vectoriel. Soit f une forme linéaire sur X qui s’annule sur l’intersection des noyaux de n formes linéaires fi. Alors f est une combinaison linéaire des .f,. Preuiie du lemme 1.30. 0 On peut supposer que les fi fornicnt unc famille libre. Sinon, en réiiidexant éventuellement cette faniille, il cxisterait p < n et une sous-faniille librc { f l , . . . , f p } , engeridrant le même espace. Alors Ker f i c Kerf, pour tout 3 3 p 1 et donc Ker fi = Ker fi. Si le lemme est montré pour des formes iridéperidantes, il rxiste des A, tels que

nlGtGp

+


f7

pour i

< n.

1.2. FORMES LINÉAIRES, DUAL TOPOLOGIQUE, TOPOLOGIE FAIBLE

21

On suppose donc que la famille des f 7 est libre. I1 existe alors des vecteurs z3E X tels que fZ(Zj)

= 62.

On écrit pour tout z E X f 7 ( z ) z$72 .

z= 1< ? < n

Alors z E

n,,

Kerf,, donc f ( z ) = O, d’où

1<J
et donc, terniiriant ainsi la prcuvc du lemnie

:

16.7<71

On note .I l’injection de X daris X ” qui A

T

associe J,.

Définition 1.31. Un espace norrrié X est dit réflexif si l’application J est surjective ou encore si toute fornie linéaire continue sur X’ poiir la topologie forte l’est aussi pour la topologie faible-étoile dc X’. Notons qu’un espace réflexif est nécessairement un Banach, puisqii’il s’identifie aii dual d’un espact normi..

Théorème 1.32. La boule unité fermée d’ii,n, espace réflexif et séparable X est s6qwent,iellement compacte pour la topologie fuible d e X . Preuve du théorème 1.32. 0 On utilise la proposition 1.27 et la proposition ci-dessous :

Proposition 1.33. Soit X un espace norm6 d o n t le dual est skparable. Alors X l‘est aussi. Preuve de la proposition 1.33. 0 Soit, ( x : L ) 7un L sous ensemble partout dense dans la sphère unit6 de X’. I1 suffît de rrioritrcr qu’il cxiste un sous-ensemble dénombrable partout derise dans la sphere unité de X . Soit alors {z,~}telle que IIz,IJx = 1 et, :I$ (:xTL) 2 1/2. On nioritrt que l’espa(:e vectoriel AT trigcndr6 par les z71 est égal & X . On utilisera alors le fait que si { x T L }est dense dans X , les éléments de A l qui sont dcs corrihiriaisons linéaires à cocffîcients rationnels constituent encore un sous-ensemble dénombrable, qui est dense si A l est égal à X . Supposons par l’absurde que A.1 # X . Soit z E X - Al. Par le

22 C H A P I T R E 1. RAPPELS D E TOPOLOGIE ET D’ANALYSE FONCTIONNELLE

ZO

théorème de Hahn-Banach, il existe une forme avec l l z ~ l l = ~ ,1 telle que # O et zb(xn)= O pour tout ri. Alors, quel que soit n :

).(O.

ce qui contredit le fait que l’ensemble {zk} est partout dense.

O

Parmi les espaces réflexifs, il y a les espaces de Hilbert di.finis dans la sous-section suivante, les espaces L P pour p E ]1,+m[. La réflexivité de l’espace LP se déduit par exemple du fait que c’est un espace uniforménierit convexe. Pour les Hilbert, c’est beaucoup plus élémentaire.

1.2.4. Espaces de Hilbert

Définition 1.34. X étant un espace vectoriel sur @, un produit scalaire hermitien (., .) est une application de X x X dans C qui vérifie :

Y (x,Y,2) E x3,

( z ,a z

Y ( a ,b) E @*,

(z..)

+ by) = a ( z ,x) + b ( z ,y),

3 O, (z,z) = O

Y x € X,

*z = O.

On peut définir une riorme associée au produit hermitien précédent, dite riorrne hermitienne, par la formule : (1.35) Si X est un espace niurii d’une telle forme, il est dit aussi préhilbertien. S’il est en outre complet pour la nornie hilbertierine, 011 l’appelle espace de Hilbert. Uri espace norrrié est un espace préliilbertien si et seulement si l’identité, appelée égalité de la rnédiarie : (1.36)

llx

+ Y1I2 + 112

-

Y1I2 = 2(/1z1I2+ llYl12)

est vérifiée.

Théorème 1.37 (de représentation de Riesz). Soit X u n espace de Hilbert dont le produit scalaire est noté (., .). Une application linéaire f de X dans C uppartierit à X‘ si et seulement si :

gx

E

x,YY

X’

f(Y)

= (Z,Y).

L’élément z est alors unique et 1 ’application qui à f associe z est une isométrie de X dans son dual X ‘ , ù savoir : llfllx~= 1l~11x.

1.2.

FORMES LINÊAIRES,DUAL TOPOLOGIQUE, TOPOLOGIE FAIBLE

23

On en déduit la réflexivité dc X . D’autres propriétés importantes dans les espaces préhilbertiens résultent du théorème des projections, notamment la construction de bases liilbertiennes et la théorie des séries de Fourier. 1.2.5. Espaces uniformément convexes

Définition 1.38. Uri e.v.n. X est dit uniformément convexe si on a :

Théorème 1.39. Tout espace uniformément convexe est réflexif.

(I j Les espaces préhilbertieris sont Uniformément convexes ; cela résulte aisément de l’égalité de la médiane. (2) Les espaces LP, avec p E ] 1,+CO[, sont iiniforrriément convexes (cf. démonstration dans [l]). La preuve du théorème 1.39 nécessite le théorème de Helly qui est lui-même une conséquence du théorème de Hahn-Banach.

Théorème 1.40 (de Helly). Soient f i , 1 6 i < n des formes linéaires sur X . Soient y > O , et ai n nombres complexes. Une condition nécessuire et suffisante pour qu’il existe, p o u r tout E > O , u n élément x, E X tel que, pour tout 2 E [ l , n ] . fi(&) = (Yi,

est que, quel que soit le n-uplet

n71ec

<

/)5,))x y + E ,

(a)E RTL,on ait :

Preuve du théorème d e Helly. 0 On montre le caractère nécessaire. Si fi(x,) = llxEll y E alors pour tout 4, E IRn, on a :

< +

(II,pour

tout i avec

D’où le résultat puisque E est arbitraire. 0 On montre le caractère suffisant. On prouve tout d’abord qu’on peut supposer que les f 7 constituent une famille libre. Sinon, supposons f i , f i , . . . , f, aver p n un système libre et générateur de la famille {.fz}. On suppose que le résultat est montré pour des formes linéaires indépendantes. Soient (1% donnés en nombre ri. En prenant pz = O pour tout

<

24

CHAPITRE 1. RAPPELS DE TOPOLOGIE ET

et donc, pour tout

E

il existe

IIz,llx

T,

6Y+E

D’ANALYSE

FONCTIONNELLE

tel que : et

Vz


f , ( x E ) = a,.

+

I1 faut vérifier que ces égalités sont encore valables pour i 3 p 1. Pour ce faire, on remarque que, si f p + l = Clcz

Cette inégaliti? entraîne que

:

On en déduit : Qpfl =

CY%ft(.l:€) =

fp+l(G).

2

+

On peut faire cela pour tous les fi avec i 3 p 1. On a donc obtenu le résultat sous réserve qu’il soit vérifié pour des f 2 libres. 0 On suppose donc que les f i constituent une famille libre. L’application p qui envoie X dans R p ,définie par p(z) = ( f i ( z ) ,. . . , f p ( z ) )est , donc linéaire continue et surjective. En particulier si SE = {r E X 1 J J L / J6x? + E } l’image de S, est un convexe de IWP adniettarit O comme point intérieur. Supposoiis que 2 = ( c ~ ~ ) 1n’appartient c~<~ pas à p(S,). Par une conséquence du théorème 1.19, il existe un hyperplan qui sépare le convexe p(S,) du point de roordorinées cy,. Autrement dit, il existe ijj,, 1 < p , tel que

cipifillxi), l’hypothèse

Comme le second menibre n’est autre que ( y + ~ ) ( l j est contredite.

Preuve du théorème 1.39. 0 Soit z” E X” de norme 1. Par définition de la riorme, pour tout il existe f T Ldans X’ de norme 1 tel que : 1 z ” ( f n )3 1 - -. n Soient ai = d ’ ( f i ) , pour i < n. Quel que soit le n-uplet de réels pi, on a

O

‘11

1.2.FORMES

LINÉAIRES,D U A L

TOPOLOGIQUE, TOPOLOGIE FAIBLE

donc, par le théorème de Helly avec

/lxnllx< 1

+ n1

E =

et

-

25

1/n, il existe x,, E X tel que = :d’(fi).

fi(z,)= Q,

On remarque que la suite Ilxnllx tend vers 1. En effet, en utilisant i = n : 1-

1

< .”(fn) < ri

-

fn(GL)

1 < IIfnIIx’lI~nIlX< 1 + ;

On montre que la suite ( 2 , ) est de Cauchy avec l’uniforme convexité. Sinon, pour tout E > O, il existe des suites n k < ri& < n k + 1 < . . . avec : //27,k

-

:lkk

Par l’unifornie convexité, il cxiste fi(&)

+

Ilx,

Alors, puisque

Vi,k

, ,Z

2(1-

2)<

> O tel que

/I < 2(1 - fi(&)).

> rlk, f n r ( x n k )=

d’oi1 :

I/ 3 E .

fnk(Z?,k)

+

f7Lk(x?rL,)

fnk(Zmk)

< Il%, + x71>k1/< 2(1

On aboutit ainsi & iine contradiction. La suite x, converge donc vers un point //xOll = 1 et

Vz,

= x”(fn,),

20.

-

fi(€))

Par passage ii la limite on a

f i ( x o )= d ’ ( f i ) .

Montrons que 20 est unique. Supposons yo E X , yo # zO, qui vérifie les riiérnes égalités. Par l’uniforme convexité, 11x0 < 2. On a aiissi

+

11x0 + ? / O l l X

3

.fi(.O

+YO)

= 22”(f,)

3 2(1

1 - Y ) >

I,

ce qui est absurde en faisant tendre i vers l’infini. Soit fo E X’. On doit montrer que f O ( Z 0 ) = .”(fO).

En raisonnant coniine précédemment il existe zo E X tel que IlZOllX

= 1 et

vi,

f2(Zo) = Z ” ( f î ) .

En particulier, par l’unicité, on doit avoir zo = 2 0 , et le théorème est déniontré. O Le résultat d’uniforme convexité des espaces L P et t P pour , p > 1, p < oû est admis, sans démonstration. Sa preuve utilise les inégalités de Clarkson pour lesquelles le lecteur pourra consulter 1141,111.

26

C H A P I T R E 1. RAPPELS D E TOPOLOGIE E T D'ANALYSE FONCTIONNELLE

1.3. Espace des fonctions continues sur un ouvert de

RN

Définition 2.42. Soient X et Y deux e.v.n. On dit que X s'injecte continûment dans Y s'il existe une injection continue i de X dans Y , c'est-à-dire une injection i et une constante G > O, telle que : (1.42)

v x E x,

lli(.)IIY

On riote alors

x

-

< Cllxllx Y.

On dit que cette injection est compacte si i est un opératcur cornpact, ce qui signifie qu'elle transforme tout borné de X en un ensemble relativement compact de Y . On riote alors (1.43)

x-,Y

Définition 2.44. Soit R un ouvert de EXN. Pour 712 un entier positif, soit C" ( [ I ) l'espace des fonctions continues dont toutes les dérivées jusqu'à l'ordre m sont continues sur R.On définit aussi : (1.45) et on note C r ( f 2 ) ou encore D ( n ) l'espace des fonctions Cm(R) à support compact dans 0. Puisque R est un ouvert, les fonctions continues sur R ne sont pas nécessairement bornées. Un des sous-espaces utile et important de Cm(R) est le suivant :

DéJinition 2.46. Si R est un ouvert de R N ,on note Cb (R) le sous-espace de P ( 0 )constitué des fonctions de cet espace dont les dérivées d'ordre < m sont bornées et uniformément continues sur R. En dotant ce sous-espace de la norme : (1.47)

IIPllch. = sw lai<"

T€n

ID"P(Z)l'

on obtient un espace de Banach. Remarquons que lorsque (2 est un ouvert borné, toute fonction de cet espace et ses dérivées se prolongent continûnient sur 2.Cet espace est alors identique A l'espace C"(2). Parmi les sous espaces importants de C b ( R ) , on note :

1.3. ESPACE DES FONCTIONS CONTINUES SUR UN OUVERT D E

RN

27

Définition 1.48. Si O < X < 1, C;"(R) désigne l'espace des fonctions 1101dériennes d'ordre X sur ( 1 (espace des fonctions lipsrhitzienries, dans le cas X = I), à savoir :

cb"(n) = {'p E c b ( 0 ) 13c > 0, v ( x , g ) E R2, I'p(IG)- ( f ( Y ) l 6

~

Pliis ghéralernerit, on définit C r ' x (0)comme le sous-espace de fonctions p telles que :

3~ > O,

va.

IaI

< rn, V ( ~ , Y )E f12,

YIx}'

C b (O) des

<

I~"cp(z)- D"P(Y)/ Clx

-

YI x .

Munis des normes siiivantcs :

ces espaces sont des Banach. On remarque aussi : V(v,X), O


* c,-qn)

Lf

Cb"'"(S2)

-

Cb(R),

les inclusions étant strictes.

Définition 1.50. Si A est une algèbre munie d'une norme, on dit que c'est une algèbre norniée si la multiplication interne est continue pour la norme. Exemple 2.52. L'espace Cb(R) des fonctions continues et bornées sur est un ouvert de IRN, est une algèbre normée.

R où R

Définition 1.52. Soit A une algèbre. Alors, A' est une sous-algèbre de A, si c'est un sous-espace vectoriel de A stable pour la niultiplicatiori interne. Théorème 1.53 (de Stone-Weierstrass). Soit K un, compact de I R N . Soit A m e sosus-algèbre d e C ( K , @ )telle que : (1) Y a,
Alors, A est dense dans C( K , C).

Uri exemple de telle algèbre est l'algèbre des polynômes en N variables sur K 5. coefficients complexes, de parties réelle et imaginaire rationnelles ; en particulier, ceci prouve que C ( K )est séparable. Preuve du théorème de Stone- Weierstrass. O On se ramène au cas où l'algèbre est réelle, et où la fonction qu'on souhaite approximer est réelle, cela en utilisant la propriété 1. On adniet le thc'orèrne de Weierstrass qui permet d'approxirrier uniformément toute fonct,iori continue sur un compact par une suite de polynômes. Soit donc f E A. La fonctioii f est bornée uniformément. Soit M = sup I f l . En utilisant le

28

C H A P I T R E 1. R A P P E L S DE TOPOLOGIE E T D’ANALYSE FONCTIONNELLE

fait que t H It1 est une fonction continue sur le compact [-AI, MI, il existe une suite de polynômes {P,} telle que : 1 v t E [ - A l , M ] , lit1 - Pn(t)lcc6 n Par composition, on en déduit : 1 Ys E K,

llf(s)l

-

PîL(f(S))I

G

’;

Mais puisque A est une algèbre, P T L ( fE) A. On en déduit que Grâce aux forniulcs :

if1

E

2.

il s’ensuit donc que, si f et g sont dans A, alors les fonctions sup(f,g) et inf ( f ,g) sont dans l’adhérence 2. Soient maintenant h E C(K.IR), E > O donnés et s et t deux points de K . Par la propriété de séparation, il existe f E A telle que f ( s ) # f ( t ) . Posons :

Alors g coïncide avec h en les deux points s et t. Cornrne A est un espace vectoriel contenant les constantes, on obtient g E A. Cette fonction est notée gs,t. Puisque (gs.t / L ) ( s )= O, la continuité de ces fonctions implique qu’il existe, pour chaque point s de K , un voisinage ouvert de s,soit U ( s ) ,tel que : ~

E U(S),

sS,t(.) 3 h(u) - E .

Le compact K étant recouvert par les U ( s ) lorsque s décrit K , on peut trouver un nombre fini p de ces points, à savoir s i tels que

K

c

u

U(Si).

l
Posons alors, toujours pour tout t fixé : gt = suplGi
(*I

vu E K,

(It(.)

3 h ( U ) ~&

D’autre part, piiisyuc g s , , t ( t ) = h(t),on a g t ( t ) = h(t). On en déduit, par continuité au point! t , l’existencc d’un voisiriage ouvert V ( t )du point t tel que : V u E V ( t ) ,gt(u) h3(u) E . En extrayant encore de la famille des ouverts V ( t )un sous recouvrement fini par les V ( t , j ) on , peut définir g = inf gt,!. D’après (*), on a :

<

(**I

v u E K,

+

g(u)

3 h(u)- E .

1.4. DISTRIBUTIONS SUR UN OUVERT DE W N

29

Firialernent, or1 observe que : 1g - h / < E . En effet, on a pour tout j , gt, h E . Soit u t K , il existe un entier 3 tel que u E V(t,). Donc :

< +

d u ) < gt, (TL)

(***I

< h('1L) + E.

Le resultat s'en déduit par la conjorictiori de (**) et de (***). Oii a, en effct, inontré la propriété :

Théorème 1.54 (d'Ascoli-Arzela). Soit R un domaine borné de I R N . U n so'usenwmble K de C(a) est précompact duns C(a) si et seulenierit s%: (1) il existe AI > O tel que VGJ E K , V x t SIJ id(x)l ( 2 ) V E > O , 3 6 > O , v ~ € K , v ( x , y ) E S lx;-yi<6* I,


On peut trouver une preuve du théorème 1.54 dans [18] aiiisi que celle la proposition suivante, dont la deuxième affirmation en est iiiie coriséquenre : tit:

Proposition 1.55. Dans u n o w e r t R de IRN, on a les injections continues si~ivantes: (1.56)

(1.57)

V m E IV. V ( X , p ) E R2, O

c~'~+'(T~)


- c'"(Il)

< 1 ==+

C'">'(62)

Cnl,v(R)

Si R est borné, la deuxième injection est compacte. Il en est de même pour lu première si, en outre, R est coniiexe ou bien s'il existe u n entier K tel que deux quelconques de ses points puissent être joints par urie ligne polygon,nle constituée d e K segme*nts UIL plus inclus daris R .

1.4. Distributions sur un ouvert de

RN

1.4.1. Espaces de fonctions régulières dans un ouvert CI Soit R un ouvert de

EN

Définitions et structuye algébrique. Pour tout IC E K,on riote &'((I) l'crisemble des fonctions de classe C k dans R et, pour tout K compact de RN inclus daris R,on note Dk(R) l'espace des fonctions f qui sont de classe C k dans R et telles que supp(f) c K . L'erisembIe des fonctions f Cie E k t>elIesque supp(f) soit un compact inclus dans R cst noté ~ ~ ( On 0 )peut . donc écrire :

@(O) =

u

K , coinpact

DoS;(R).

30 C H A P I T R E 1. R A P P E L S D E TOPOLOGIE E T D’ANALYSE FONCTIONNELLE

L’ensemble des fonctions indéfiniment dérivables dans R et à support compact inclus dans 0, noté D ( Q ) ou quelquefois CC(0), en est le cas particulier : D(R) = D”(R). I1 est clair qu’on obtient airisi des espaces vectoriels sur @.

Indicatzons sur les topologzes. On pourra se laisser guider par l’exeniple 1.7. Dans ce qui suit, les indices de dérivation seront des N-uplets Q = ( a i ,a2, . . . , a ~ )a , étant le degré de dérivation en la variable 5, et l’ordre total de la dérivation est rioté la1 = a,. On utilisera la notation simplifiée

E,

Fixons k . Pour tout p E €‘(O), on pose, r n étant un entier avec et K étant un compact inclus dans R :

7n


r l m , K ( P ) = sup “P1m4.?:)l. lal<mztK

Pour chaque couple (m, K ) , on obtient ainsi une semi-norrne dans E k ( 0 ) et la famille de semi-normes ainsi définie est filtrante et sépararite (cf. exemple 1.7). On en déduit, comme il est affirmé daris la proposition 1.6, que la famille B des boules fermées B m , ~ ( r=) { f I q m , K ( f ) r } associées à ces semi-normes, constitue une base de voisinages de l’origine pour une topologie d’e.1.c. séparé. En utilisant une translation, 011 en déduit une base de voisinages d’un élément quelconque cpo de cet e.1.c. Remarquons que, d a m cet e.l.c., les semi-normes précédentes sont continues.

<

Famalle dénombrable de bases de voisanages. Considérons une suite croissante d’ouverts { O j } , inclus dans R , relativement conipacts, tels que 2,c R,+l et R = Un,. Le lecteur démontrera aisément l’existence d’une telle suite. Alors, si on pose KJ = la faniille des semi-normes { q m , ~ ,est } une base de semi-normes (continues) dans 1’e.I.c. €‘(O), en ce sens que les boules fermées associées à cette sous-famille de semi-normes constituent encore une base de voisinages de O dans cet e.1.c. Ceci conduit à dire qu’il existe, dans l’espace une base dénombrable de uozsinages d e O. En outre, si { U n } est une telle base dénombrable, alors en posant V,, = nm,,Um, on obtient encore une base de voisinages décroissants de O. On munit l’espace DK(CL)de la topologie induite par ia précédente. La même construction est valable pour l’espace I” (O).

q,

1 . 4 . DISTRIBUTIONS SUR U N OUVERT DE

RN

31

<

Considérons maintenant l’espace D’(62) pour IC +m. En utilisant le recouvrement ouvert précédent , D’ (O) apparaît comme la réunion d’une suite croissante de sous-espaces vectoriels, à savoir les DkK , (O) où 2,= K j . Considérons alors l’ensemble B de toutes les parties B convexes absorbantes et équilibrées (cf. définition 1.1) de Dk((n)telles que :

Y j E W, B

n DkJ(0)est

un voisinage de O dans D k , (Q).

On admet ici (cf. exercice 1.4) que B est une base de voisinages de O pour une topologie d’e.1.c. séparé et que cette topologic est indépendante de la suite des 12j. En outre, quel que soit le compact K , la topologie de Dh(62) est induite par cette topologie. Dans la suite de cet ouvrage, la topologie ainsi définie est dite la topologie naturelle de @(O). On admet aussi la caractérisation d’un voisinage de O dans un espace @(O), valable également en remplaçant k par 00 :

Proposition 1.58. Pour qu’un convexe U d e D‘(12) soit un voisinage de O pour la topologie naturelle d e V k ( ( n )il, faut et il su,fit que, pour tout K j ? l’intersection U n D k J( O ) soit un, iioisinage de O pour la topologie d e V k J( O ) . Bornés et suites convergentes dans l’e.1.c. D‘(O). Dans iin tel espace X = @(O), muni d’une topologie associée à une suite croissante de sous-espaces qui sont des e.l.c., on caractérise les bornés et les suites convergentes en utilisant une consequence d’un théorème dit lemme de Dieudonné-Schwartz. On extrait de ce lcniine des propriétes utiles dans l’étude des distributions :

Proposition 1.59 (de Dieudonné-Schwartz). Soit, pour k D k ( 0 ) ,muni de sa topologie naturelle d’e.1.c.

< 00 fixé,

l’espace

(1) Pour qu’une partie B de D‘(il) soit u n borné de cet espace, il faut et il suffit qu’il existe un compact K tel que :

( 2 ) Pour qu’une suite {pn} converge vers O dans V k ( 0 )il, f a t et il s u f i t qu’il existe u n compact K tel que Yri? supp(p,,) c K et : Y(a) E

/al

< k * {D“p,}

-

O uniformément sur K.

1.4.2. Régularisation des fonctions. Applications Dans beaucoup de problèmes, on souhaite approcher une fonction localement sornmable par une fonction de classe C“. Classiquement, on utilise la convolution par ce qu’on appelle une suite (ou famille) régularisante { p E } :

32 C H A P I T R E 1. R A P P E L S DE TOPOLOGIE E T D'ANALYSE FONCTIONNELLE

Construction de { p s } . Soit p une fonction il valeurs positives ou nulles, appartenant à D ( R ~ )avec , p ( x ) = O pour 1x1 1 et JRN p(x)dx = 1. Par exemple, on peut prendre :

avec k choisi de façon que

JRN

(1.60)

p(x)dx = 1. On définit ensuite pE par

p E ( x )= E - N p ( x / E ) .

En prenant, par exemple,

E

= l/j. on obtient une suite dite réyularisante.

Convolution avec f somm,able à support compact. Soit f une telle fonction sur I R N . Soit v = f * p s la fonction définie par : Y z E RN,

w(x)

=

lN

f (t)p,(x

-

t)dt

f ( x - t)p,(t)dt.

= Jy[N

Supposoiis x dans le complémentaire de supp(f)+B(O, E ) . Alors, pour tout t dans le support de f , on a /x- tl > E , d'où l'on déduit que ~ ( z = ) O. Le support de la convolée v = f ii ps est donc iiiclus dans supp(f) B(O,E ) . Par ailleurs, si zo se trouve dans ce voisinage, on peut appliquer le théorème de dérivabilité de Lebesgue, lequel permet de dériver à un ordre quelconque sous le signe intégral par rapport à s. On en déduit donc :

+

va! E IVN,

D"(f*p,)

= f *D"(pc).

Concluons que f * p, E D ( R N ) . En supposant que le support de f est dans l'ouvert R, on peut choisir E assez petit pour que siipp(f) B(O,E)c R. Or, tout élément de D(fl), prolongé par O hors de R est évidemment une fonction de D ( R N )à support dans 0. On en déduit que f * pE E D ( 0 ) .

+

Convolution avec f de classe C k à support compact. Prenons k = O. Pour I L continue, considérons d, (x)= u* pE(z)- u ( z ) .En utilisant l'intégrale de p, qui est égale à 1, on peut écrire :

+

Sur le compact I( = supp(u) B(O,I), la, fonction u est uniformément continue. I1 existe donc 6 > O tel que Ix - tl < 6 + lu(. - t ) - u(x)l6 E . On en déduit : ((d,((, E SRNp,(t)dt = E .

<

1.4.

DISTRIBUTIONS

SUR U N

OUVERT DE RN

33

Dans le cas de k = 1, puis pour toutes les valeurs de k , 011 se sert de la propriété de la dérivée d’une convolée. Le raisonnement reste le même et on en déduit q T , , - ~ ( upE - u)+ O. Résurrions :

Proposition 1.61. Soit f une fonction somrnable sur R et à support compact dans R. Alors, pour E assez petit, la convolée f * p E est un élément d e V ( 0 ) . ~ . ipour , un entier IC, f appartient à ~ ~ ( ( 2 alors 1 , lorsque E 4 O , la famille { f * p E } tend vers f dans l’e.1.c. D‘(a). En partic.ul%er, l’espace D(R), considéré, pour k E N, comme un sousespace d e D‘(O), est dense dans ~ ‘ ( a ) .

On retrouvera ces propriétés des suites régularisantes daris l’étude des espaces L P ( i 2 ) (section 1.5). 1.4.3. Formes linéaires continues sur ces espaces. Distributions

Définition 1.62. Une distribution dans R est une forme linéaire sur D(il), continue pour la topologie naturelle d’e.1.c. de cet espace. Pour k E N,une distribution dans R , d’ordre inférieur ou égal à k est une fornie linéaire sur D(R), continue pour la topologie naturelle d’e.1.c. de Dk (il). Une distribution est exactenient d’ordre k 3 1 si elle n’est pas proloiigeable en une forme linéaire continue sur Dkpl(il). On note ~ ’ ( 0et)

D’(a) les espaces constitués respectivement par ces

formes linéaires continues. C e sont donc les duaux des espaces D(R) et

D“R). Caractérisation de la continuité d’une forme 1inéu.ir-e. On énonce d’abord exercice 1.24) une condition nécessaire et suffisante de continuité d’une forme linéaire, en utilisant la base de voisinages de O définie à l’aide de la famille de semi-normes ( 7 7 ~ ) engendrant la topologie d’un e.1.c. X : (cf.

Proposition 1.63. Une forme linéaire T sur X est continue si et seulesrnent si : ]A,

311.1 > O, V X E X ,

lT(z)l < M~x(.z.).

L’iniportance de l’existence de bases dénombrables de voisinages daris les e.1.c. apparaît dans les deux propositions qui suivent, la deuxième caractérisant les distributions :

Proposition 1.64. Soit T une forme linéaire sur l’un quelconque des espaces &‘(a), &&(fi). Alors T est continue si et seulement si T est séquentiellement continue, ce qui signifie :

34 C H A P I T R E 1. R A P P E L S DE TOPOLOGIE ET D’ANALYSE FONCTIONNELLE

Preuve. 0 Soit {Vn}une base dénombrable de voisinages décroissants de O dans X = E k ( R ) (cf. paragraphe précédent). Supposons que la forme linéaire T sur cet espace soit séquentiellement continue, mais non continue. Alors, il existe un disque ouvert D de centre O dans C tel que T - ’ ( D ) ne contient aiicun élément V, de cette base. Soit C le complémentaire dans X de T p l ( D ) . Alors, utilisons une suite {IC,}de X telle que IC, E V, n C. Elle terid vers O dans X , alors que, quel que soit n, T ( z , ) D. Autrement dit, T n’est pas O continue. ce qui contredit l’hypothèse. Venons-en à la continuité des formes linéaires sur X = DI*([]). D’après la définition de la topologie d’e.1.c. de X = Dk(R) où IC +ml une forme linéaire T sur X est continue si et seulenierit si ses restrictions T, aux sousespaces X , = (0) sont continues. En effet, si T est continue sur X et si D est un disque ouvert de centre O dans @, le convexe T-’(D) est un voisinage de O dans X . Donc, d’après la définition de la topologie de X , (T’)-’(D) = T - ’ ( D ) n X , est un voisinage de O dans X, , ce qui signifie la continuité de T, . L’égalité précédente prouve la réciproque. On est ainsi conduit, par ce qui précrde, à la caractérisation suivante des distributions ou des distributions d’ordre k :

<

DK,

<

Proposition 1.65. Soit T une forme linéaire sur X I ; = @ ( c l ) où k E {+CO}. Alors, les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

Nü

(1) La f o r m e linéaire T est c m t i n u e sur X I * . ( 2 ) La forrrie linéaire T est séquentiellement continue sur Xk. (3) Pour tout compact K c R, la restriction de T à l’espace V k ( O ) est continue, ce qui signifie qu’il existe C > O et u n entier m IC, (rn E N dans le cas d e X , = D ( O ) ) tels que :

<

Preurve. 0 L’équivalence de (1) et ( 2 ) se démontre comme dans la proposition 1.64. Ce qui est dit ci-dessus exprime leur équivalence à la continuité des restrictions aux espaces D:? (O). Le fait que tout compact K est inclus dans un certain K, et la caracterisation donnée par la proposition 1.63, permettent d’établir l’équivalence avec ( 3 ) .

Remarque 1.66. Pour appliquer la condition de continuité séquentielle, il ne faut pas oublier la condition de convergence vers O des suites de l’espace D ( O ) , donnée dans le théorème 1.59 de Dieudonné-Schwartz.

1.4. DISTRIBUTIONS SUR U N OUVERT D E R N

35

1.4.4. Étude d'exemples

On laisse le soin au lecteur de justifier la continuité (s6queritielle) des formes linéaires envisagées. Exemple 1.67 (distribution associée a une fonction). Soit f localement soniiriable dans R. On lui associe la distribution, dite régulière, notée T f ou [ f ] , par la formule :

Exemple 1.68 (distributions de Dirac). On définit la distribution de Dirac en a E I W par ~ la formule :

W), (&OP) = da). aucune fonction f telle que 6, = [a]. Pour cette raison, cette 'p

E

I1 n'existe distribution est dite singulière. Elle est d'ordre

< O.

Exemple 1.69 (distributiondu type valeurprincipale). Dans le cas N = 1, on définit la valeur principale de l / x par :

On peut aussi écrirc :

La justification de la continuité de V p ( l / r ) peut être faite à l'aide du théorème des accroissernriits finis. Cette distribution est d'ordrc fini < 1. Exemple 1.70 (distribution du type partiesJinies). Soit N 3 1. La fonction z H f ( r ) = l/(lrINn'est pas localeiiient somniable dans IRN. On définit la distribution T = Pf(l/lrIN),en désignant par W N - 1 l'aire de la sphère unité ùe IR^, par :

<

On montre qu'elle est d'ordre 1. De mt.rrie, on définit la dist,ribution partie finie de l / l x J N + ' ' laquelle jouera un rôle important dans l'étude des tmnsforrnations de Riesz ( c f . chapitre 7). C'est la distribution qui associe à p E D(R") le nonibre :

36 C H A P I T R E 1. RAPPELS D E TOPOLOGIE E T D‘ANALYSE FONCTIONNELLE

1.4.5. Topologies sur l’espace des distributions D ’ ( 0 ) De la même manière que pour les espaces normés, de norribreuses topologies d’e.1.c. peuvent être placées sur le dual 23’.Notamment, au moyen de seini-normes, on &finit sur ce dual la topologic forte ct la topologie faible. Topologie fazble sur 73’. À toute partie finie F quelconque dc D(fl), on associe la scrni-norrne :

Y T E D’P). P,(q

=

SUP I(T,cp)l. PEF

I1 est facile de voir que ceci définit sur D’(il)une famille filtrarite et sépararite de scmi-normes. La proposition 1.6 s’applique. Par conséquent, la faniille des boules fermées associées aux p F constitue une base de voisinages de O pour une topologie d’e.1.c. séparé. Pour cette topologie dite topologie faible, la convergence d’u11e suite { T n } ,doiic aussi d’une série, de distributions équivaut à la convergence simple sur D(R) :

Proposition 1.71. La suite {T,} de D’(n) coniierge vers T d a m D’, m u n i de sa topolqyie de dual faible s i :

On a la proposition dorit on pourra trouver la preuve dans [13]

Proposition 1.72. Si (T,) est une suite de D’(O), telle que pour toute p E D ( O ) , (T,,,p) conwerge vers une limite fitinie, alors T, converge faiblement, o u encore (uoir la remarque i.73 ci-dessous) converge au sens des distributions. Topoloyie forte sur D ’ ( 0 ) . Soit B une partie bornée de D ( O ) ,ce qui signifie (cf. proposition 1.59) que B est inclus dans un certain D ~ ( 6 2et ) que les semi-normes q , , , , ~sont bornées sur B . Par analogie avec le cas des normés, on remplace, dans la définition précédente, les parties finies par les parties bornées. On considère donc les sein-normes p ~ puis , les boules fermées associées. La topologie d’e.1.c. séparé ainsi obtenue est appelée la topologic forte sur le dual D’(Q) ( c f . exercice 1.19).

Remarque 1.73. On adincttra la propriété suivante : une suzte de distributions converge vers O pour la topologie de dual faible si et seulement si elle converge vers O pour la topologie de dual fort. On omettra donc, dans les énoncés concernant lcs suites ou les séries, dc préciser la topologie considérée ; on parlera simplement de coiivergence.

1.4. DISTRIBUTIONS SIJR U N OTJVERT DE RN

37

1.4.6. Opérations sur les distributions

Outre les opérations algkbriques de la structure vectorielle, des opérations spécifiques sont envisagées :

Définition 1.74. Soit a une fonction de classe C” dans note aT la distribution telle que :

v’p E D(fl),

( O T ‘p)

=

et T E D’(R). On

(T Q‘p)

On peut vérifier que trT est bien line distribution et que l’application linéaire T H aT est continiic dc D ’ ( 0 ) daris lui-mhne, qu’il soit muni de la topologie forte oil de la topologie faible. Par exemple, on voit facilement que, pour toute fonction f localement sornmable dans RN,on a : ~ [ = f ][ a f ] que . ab, = o(o)b,. En particulier, si a(.) = O, on obtient (16, = O. Daris le cas où N = 1, si ( . E - a ) T = O, alors il existe une constante C telle que T = Cb,. On vérific aiissi que .CVp(l/*r)= 1.

Définition 1.75. Soit h E RN et T E ;n’(IRN).On definit la translatée d’indice h de T , notée rt,T ou Th, par :

vv E D(RN), où : ( T - h ‘ p ) ( C ) = $O(.

(Th,P)= (T T-h’p).

+ IL).

I1 est facile de voir que TfLest uiie distribution. 1.4.7. Support d’une distribution

Définition 1.76. On dit qu’un ouvert O de R est un ouvert de nullité polir T . élément de D’(0) si, quelle qiic soit ‘p E D ( Q ) ,A support conipact dans O, on a (T,p) = O.

Ori peut montrer que la réunion tie tous les ouverts de nullité de T cn est encore un, cc qiii doririe un sens ti : Définition 1.77. Le support de T , noté suppT est le complémentaire d u plus grand ouvert de riullité pour T .

Exemple 1.78. Le support de la distribution 6, est { a } . Si f est uiie fonction localerrieiit sorrirnable dans R,IC support de la distribution [ f ] est identique au support de la fonction f , Icqiiel s‘écrit : siipp(f) = {x I ,f(n.) # O}. On démontre le tliéorèmc siiivaiit :

38 C H A P I T R E 1. RAPPELS Di? T O P O L O G I E ET D'ANALYSE FONCTIONNELLE

Théorème 1.79. Soit T une distribution ù support K compact. Alors T se prolonge e n une forme linéaire continue sur 1'e.l.c. €(Q) des fonctions de classe C" dans R, autrement dit, s'identifie à un élément du dual €'(!I). En particulier, si T est à support compact, le symbole ( T ,p) garde un sens si p est seulement de classe C" sur R. Dans la preuve ( c f . exercice 1.20)' on utilise une-fonction a E D(R) qui vaut 1 sur un voisinage de K et on prolonge T en T au moyen de :

E E(R), @,P) = (T,c*.cp). 1.4.8. Dérivation des distributions

Définition 1.80. Soit un vecteur de dérivation a et une distribution T sur R ouvert de IRN. La dérivée DOT est la forme linéaire sur D(R) définie par :

v p E D ( O ) , ( D T ,p) = (-1)'a'(T, D"p) Ainsi définie, cette forme est uiie distribution sur R. Lorsque f uiie fonction de classe ~1.1, alors : ~ [ = f ]DO^]. O Kpeut ~ nioritrer qu'au sens de la topologie faible dans DI,on a, en supposant que h, E RN,avec h = h,iei : lim h,-O

T-hT - T ~

~

hi

c)T 8x2

'

Notons la propriété suivante, qui résulte des definitions : si la suite {T,} converge vers T dans DI,alors, la suite {D"(T,)} converge vers D " ( T ) .

Exemple 2.81. La distribution V p ( l / x ) est la dérivée de la distribution [ f ] associée à la fonction localement sommable z H f ( x ) = In 1x1.

On a la proposition, dont la preuve est dorirke dans [13] Proposition 1.82. Si T est une distribution sur Et, d'ordre inférieur o u égal à k , TI est d'ordre inférieur o u éqal ù IC 1. Si T est d'ordre égal à IC 3 1, TI est d'ordre k 1.

+

+

Exemple 1.83 (de dérivation). Soit, dans IR2, la fonction f définie par f(.r,y) = niin(z,?j). Cherchons la dérivée mixte de f au sens des distributions. Crt exeniple peut être généralisé au cas de I W ~ .

1.4. DISTRIBUTIONS SUR U N OIJVERT DE

La soninie J

+K

WN

39

des 2 intégrales du crochet se calcule par

On en déduit, en utilisant encore la formule de Fubini

1

:

.+(xi

-

-

.I_,

[d?Y)] x=y

+Oc&

-03

+O3

do/. Y)dY

Lm +m

=

p(z,z)dz.

Le résultat peut être écrit (da, p) et interpreté comme l’action, sur la foiiction test p, de la distribution de Dirac de support la droite A d’équation Y = 2 daris R2.

Exemple 1.84. Soit dans R N ,la fonction h dcs N - 1 variables XI.. . . , X N - 1 , supposée continue. On definit alors la fonction Uh telle que &(x) = 1 si O sinon. Dérivons par rapport à . E N . z~ 3 h ( z 1 , .. . , 2 ~ ~ et1 &(s) ) On pose z‘ = (zI,x2.. . . . . E N - ] ) . On a, par application de la propriéti. de Fiibini :

Ce résultat doit être interprété comme l’action sur cp d’une distribution de Dirac, dont le support est la surface d’équation cartésienne SN = h(z’).

Prirnatiua tion. Proposition 1.85. Si T E V ’ ( O ) , T admet m e ,infinité d e primitives, qui se déduisent l’une de 1 ’autre par. 1’addition d’une constante.

On termine ici ce rappel sur les distributions. On donne des complénients concernant les distributions tempérées au chapitre 4.

40 C H A P I T R E 1. RAPPELS D E TOPOLOGIE E T D’ANALYSE FONCTIONNELLE

1.5. Espaces LP, lorsque p E [l,+ml

On suppose connues la défiriition des applications mesurables pour la mesure de Lebesgue et la définition de L1(0), espace des fonctions sommables sur 0, muni de la norme définie par Ilfll1 = J,2if(x)ldz. Définition 1.86. L’espace des fonctions de puissance p-ièrrie sonimables dans R peut être défini par :

LP(R,C)= {u niesurables sur 0, à valeurs dans @. I luiPe L I } . Grâce à l’inégalité de Minkowski, c’est un espace norrné, dont la norme, notéc ll.llP ou II.II,p, est définie par :

Définition 2.87. Soit Lm(R) l’espace des fonctions f mesurables telles que :

3 a > O,

1 If(x)l > a } = O . : llflico = inf~,lrnCs(Eu)=o) a.

iriesE, = mes{x

C’est un espace normé, la norme étant

1.5.1. Inégalités de Holder et complétude de LP

Si f t LP(f2)et g E LP’(62), où les réels p et p’ satisfont à 1 < p < m et i / p I/p’ = 1, on a l’inégalité :

+

Cette inégalité se généralise en considérant les réels p j > 1 dont la somme des inverses est égale à 1 :

Théorème 1.88. L’espace LP(0) est complet. Preuve du théorème 1.88. O On commence par le cas où y E [1,m[. Soit ( u n ) une suite de Cauchy pour la norme de L P . On en extrait une sous-suite telle que : II%+1

- un7IIP

Soit alors i=.J

(1.89)

6

1

5’

1.5. ESPACES i,”, LORSQUE p E [ l ,+a]

41

On a, par l’inégalité de Minkowski

En conséquence, l’ensemble des points où v est infinie est de mesure nulle. Dans le même temps, on obtient que v est limite presque partout d’une suite de fonctions rnesurables, elle est donc mesurable. Par l’inégalité précédente, v E LP et v est limite dans LP d’une sous-suite de u n ,puisque :

Toute suite de Cauchy n’ayant qu’une seiilc valeur d’adhérence, la suite { u n } converge vers v , ce qui terrninc la preuve du théorènic 1.88 pour p E [ I , 4. O 0 Soit maintenant p = m. On considère une suite de Cauchy { u , ~ } . on définit les ensembles Ak = {z I ~ P L ~ ( s ) (> l ( ~ k ( / ainsi ~ } que Bn,m = {x 1 /un - unLI(x) > l/uTt- un,Ilm}. La réunion des Ak et des B,,,,,, est de mesure ~iullc.En outre sur le complémentaire la suite un est uniformément convergente. Soit u 5a limite. I1 est facile de voir que u E LDoet que lim IIu, - uII, = O.

On s’intéresse maintenant à la densité des fonctions régulières. 1.5.2. Densité des fonctions régulières

La propriété : C,(O)

L’(11)

= L1(0) est supposée connue.

Théorème 1.90. Soit R un ouvert d e RN.Alors, pour tout p tel que 1 < p < oc), l’espace D ( O ) est dense dans l’espace normé LP(O). Preuve d u théorème 1.90. Soit u E LP(62). On commence par approcher u par une suite de fonctions à valeurs dans @, continues. à support compact. Pour ceci, on fait une série de réductions. (1) On se ramène à 71 réelle en notant que, si u est mesurable et telle que (UIP E L1(R), ses parties réelle et imaginaire ont ces mêmes propriétés. De plus, si (u,,~,) E (C,(O,R))’ convergent vers (SReu,Srriu), alors

+

u,, iPI, + u. ( 2 ) On se ramène à u à valeurs positives. Soit IL = u+ - u - . Si u E L”(f2), il en est de mèrne de uf et de ü.Soient {u(L’} et {uc)}des suites de Cc(R,R), convergentes vers u+ et u- dans D‘(a).Alors {u!:) - u i ’ ) } + u dans LP (O).

42 C H A P I T R E 1. RAPPELS D E T O P O L O G I E E T D’ANALYSE FONCTIONNELLE

( 3 ) Soit u à valeurs positives. Alors u p E L1(f2). D’après ce qui a été admis, il existe une suite {un} de fonctions continues et à support compact qui converge vers U P dans L1(R). En considérant unf, on peut supposer que PI, 3 O presque partout et converge p.p. vers PLP. On peut aussi supposer que {un} est dominée par un élément de L1(R). Pour cela, comme dans le théorème précédent, on extrait de {un} une sousJ suite {un,}et on construit 110 = O et VJ = C1 - u T L J de ) façon que {llt1JllLi} soit majorée. En conclusion, la suite { T J J } , qui est une suite de fonctions coiitiiiues, converge presque partout vers u p , en restant dominée par la fonction g = I W , , ~ + ~ - v , ~1, laquelle appartient à L1(R). Ainsi, II:”tend presque partout vers u et, pour presque tout x, on a :

(v~~+~

xirn

Iu;’”

-

uIp(x)

< 2 p - 1 ( / v J‘”1

+ Iu”I)(x)< 2P-1(g + Iu”I)(r).

Donc, d’après le théorème de convergence dominée, u’/” - u terid vers O dans LP (R) . 0 Soit maintenant pE une suite régularisante ( C J section 1.4.2), une fonction u de LP(R), S un réel strictenierit positif et ‘p une fonction continue à support conipact dans R, telle que I/u - ‘p/IL.(n) S. Soit E assez petit pour que, 1 supp ( c p ) 1 désignant la mesure de Lebesgiie N-dinierisiorinelle du support de p, on ait :

<

IIPE

* CP

-

PlIca

G

s (I(s11pp (‘pl1 +

W’

Conirrie pE * ‘p E D ( f 2 ) ,la preuve est alors achevée grâce à :

(1.91)

llu

~

/)E

* ‘pll” 6 /lu

-

Notoris que. dans le cas de

(1.92)

PllP

+ IIP - * ’pIlP P E

EtN,on a un résultat plus précis.

v u E LP(RN),

llPE

O

6 26. à savoir :

* UIlL. < IIuIILP.

En effet. p’ désignant le conjugué de p , l’inégalité de Holder fournit :

En élevant à la puissance p , en intégrant par rapport à z et en utilisant le théorèmc de Fubirii. on obtient le résultat (1.92).

1 . 5 . ESPACES L”. LORSQUE

RN.Soit 6 > O, et

Termirioris dans ce cas de

1 1 -~ ‘plip < 6. Soit aussi EO assez petit E

< Eo

t [I,+CO]

‘p

43

E C,(RN), tel que

pour que :

===+ IIPE *P - Pllp

< E.

Alors, une majoration par l’inégalité triangulaire, fournit le résultat : llPE

* lL

- u\/P

llPE

*

-

9)lIP

+ IIPE * p - PllP +

- ullP

36‘

Remarque 1.93. I1 est clair qiie l’espace D(R) n’est pas dense dans L”(R) pour la riornie Urie telle densité impliquerait, cn effet, la continuité de toute fonction de Lm.

Il.I1co.

Le théorème qui suit nous sera utile pour les résultats d’injection conipacte dans les espaces de Sobolev. I1 donne unc condition nécessaire et suffisante pour qu’un ensemble de Lp(R) soit précompact (donc d’adliércnce compacte). 1.5.3. Compacité dans les espaces LP

Théorème 1.94. Soit R u n ouvert d e RN et p un réel tel que 1 6 p < oc. U n sous-ensemble K , borné dans Lp(R), est précompact dans LI’(R) si et seulement si, pour tout E > O, il existe u n nombre 6 > O et u n sous-enseïrible ouvert G , d’adhérence compacte dans 0, tel que pour tout u E K et pour tout h E RN,satisfaisant & jhl < S et lhl < d(G.ûR), on ait :

Remarquons qu’en prolongeant u par O hors de R , on peut remplacer G par R dans la première condition.

Preuiie du thkorkme 1.94. Ori peut supposer que R = RN.I1 suffit pour cela de prolonger les fonctions par zéro hors de R et de remplacer K par K’

= {su E

L”(RN)

I U ‘ ln E K }

Les arguments qui suivent rrioritreiit que la précoriipacité de K dans LP(f2) est équivalente à la précorripacité de K’ dans L ” ( R N ) .Soit en effet E > O et soit un entier N ( E )tel que B: désignant les boules de L P ( R N ) ,on ait la propriété de recouvrement : K’ c UiGN(E) B : ( p i , ~ )avec ‘pi E K’. Alors, B, désignant les boules de LJ’(R), on a :

K

c

u

B,(’pilR,&)’

i
les pz appartenant ?I K’. Réciproquement, si K c lJi
44

CHAPITRE 1. RAPPELS DE TOPOLOGIE ET D’ANALYSE FONCTIONNELLE

On suppose maintenant que K est une partie bornée et précompacte de

L P ( I W ~ ) . On commence par montrer le caractère nécessaire dans la proposition : Soit E > O donné, on peut recouvrir la partie K précompacte par un nombre fini de boules K3 = B, (di3,~ / 6 ) Par . la densité des fonctions coritinues à support compact dans L ” ( R N ) il , existe un ensemble fini S de telles ~ / 6 Alors, . si u E K , il existe j tcl que fonctions pJ telles que lipr,- IlP ?L E K I , d’où :

<

(1.95)

V I LE K . 3p, E S ,

IIu

- pullrl <

E

3.

L’ensemble S étant fini. il cxiste une boiilc B,, de rayon V pE

s, supp(p)

T,

telle que :

BT’

Ainsi, hors de B,, on a u = u - pIL; on peut donc conclure

:

La deuxième condition de l’énoncé est donc satisfaite avec G = B,. O Pour la première condition, soit h o , tel que Ihl h o implique :

<

r

Ceci implique J,I’p(z+ ~ E K :

h) - p(z:)(Pdz

< &“/P. I1 en résulte alors, pour tout

Inversement, supposons que les conditions données dans IC théorème 1.94 sont vérifiées et montrons que K est précompact dans LP(RN). Pour cela, soit p E D ( R N )avec p 2 O, JRN p(2)dz = 1 et, pour 71 > O. la fonction (dite régulurzsunte) p,(z) = 7 / - N p ( z / r / ) .Conimençons par vérifier. E > O étant donné, que, G étant le cornpact de RN donné par l’énoncé. il existe ho > O, tel que si 17 < h o , alors : O

(1.98)

1.5. ESPACES L?’. LORSQUE p E [ I , +ml

En effet on a, p.p. dans IPq *’LI -

45

RN,grâce à Holder et & J R N p ( ~ ) d=x1 : P

(x)<

,<

s/

p,(y)IU(X - y )

PT,(Y)(V

- U(Z)l”dlJ

P

-

u /(.r)4/.

En intégrant par rapport ii .r daris G , pour h o assez petit, on a :

LIpq

*IL -

u/ P < sup

h E B,,

sG

k

/ThU - UI

P

En particulier, lpll * u - uIp tend vers O quand ri 71 E K . Soit donc 71 fix@,tel que pour tout II E K ,

(.c)dz -j

< E.

O, uniformément pour

On va montrer que, toii.jours pour ri fixé, le sous-ensemble de C(RN) défini par K,] = {p7/* u 1 ’u E K } , vérifie les hypothèses du théorème d’Ascoli sur le compact G. Pour cela, d’une part, on prouve par l’inégalité : (1.99)

lpll

* 7~(5)( < siip [ p , ( ~ ) 1]i p J J 7 ~ l l p . ZERN

que cette fonction pv * 7~ est bornée miiforrnérrient pour z E G et u dans K . En effet, cette inégalité résulte de la majoration :

D’autie part, pour

L

E G :

(1 100) lpT1*u(.r+ h ) - p7

* u(.z)I <

sup TERN

1

[ Q ~ , ( “ . ) ] ” ~ ( 1 7 - h ~~ . G

u/P)l’p,

et donc pa * I L est bquicontiiiue. Finaletrierit, {pTl I I I u E IC} est précornpart daris C(G),dotic il existe un erisernble fini ( $ 3 ) , J = 1 , 2 . . . . . k , de C(G) tel que :

(1.101)

-

E

K , ’1,

//Ir/

*

P

-

gJ IC((;)

Soit 4, la prolongée par zéro hors de G de On obtient :

E

3 . 2 p - 1 /GI’

di3. Ellc appartient A L P ( R N ) .

Ce qui précède montre que K peut être recouvert par un nonibre fini de boules de L P , de rayon E .

46

C H A P I T R E 1. R A P P E L S DE TOPOLOGIE ET D’ANALYSE FONCTIONNELLE

En outre, montrons que les centres peuvent être choisis dans K . Pour cela, on utilise le résultat suivant : Si K est un ensemble d’un espace norm6 X , tel que pour tout E > O , il existe un nombre fini de boules d e centre vi et de rayon E qui recouvre K , alors K peut être recouvert par u n nombre fini de boules de centres dans K et de rayon 2 ~ . En effet, soient E > O et V I ,v2, . . . v p des éléments de X , tels que K c UIGiGpB(vi,E ) . Quitte à enlever des boules, on peut supposer que pour chaque i E [ l , p ] , B ( v i , ~ f‘ ) K # 0. Soit alors ui E B ( v i , ~n) K pour i E [1,p ] . Alors, l’ensemble des B(ui,2 ~ )qui , est fini, recouvrc K . En effet, si u E I<, pour tout %,il existe vi tel que l u - vil E . Ainsi, on a, ce qui termine la preuve : O l u - lLil 2E.

.

<

<

1.5.4. Dualité dans les espaces L p Théorème 1.102. Soit R u n ouvert d e EtN, et soit p un réel tel que 1 < p < +CO. Le dual topologique d e LP(R) est Lp‘(n) où p’ est le nombre conjugué de p , ce qui signifie : 1 1 Remarque 2.103. La preuve qui suit utilise l’uniforme convexité de LP pour l
Preuve du théorème 1.102. O On montre d’abord que si 9 E L p ‘ ( n ) , il permet de définir un élément du dual de LP(R)de la manière suivante : À tout g de Lp’(R) on associe L, définie sur Lp(R) par s,,fg = L , ( f ) . On vérifie que L , est linéaire et que : (1.104)

llLsllL.(n)/

< 191pJ,

ce qui entraîne que L, est bien dans le diial de Lp(R). Soit maintenant f = g1g1f”-2 si g # 0, f = O sirion. Alors f E Lp(R) et s,ifip = snIglp’.En outre :

(1.105) Mais :

(1.106)

On a donc : (1.107)

IL,(f)l

< IILs//(Lp(n))~llSll~.

47

1.5. ESPACES L”, LORSQUE p E [I,+ C u ]

d’où :

( 1.108) Ceci entraîne que l’application qui & y associe L, est une isoinétrie. Inversement, on veut montrer que toute forme linéaire sur Lp(R) est identifiable à un élément de D’’(a).Soit L une forme linéaire sur LP(R) de norme 1. On commence par montrer l’existence d’un 711 dans Lp(R), de norme 1, tel que L ( w ) = \lLil(Lp(n)), = 1. Pour le voir, riotoris que la définition de //LJJ(L,,(n)), assure qu’il existe une suite {w,} dans L p ( Q ) , telle que liwnllp = 1 et L(w,,) + /ILI/(Lp(n)),. On montre que {w,} est de Cauchy dans Lp(R). Sinon, il existerait E > O tel que : ‘dN E N

~TL,V)

> N, I w ,

-

W,,I~~

> E

Par l’uniforrrie convexité de Lp(R), il existe 6 > O, tel que II - I l P < 1-6. D’aiitre part, on pcut choisir N assez grand pour que )1w, w,JJp # O, puisque IIw,, w,Jp IlLll L(w,) L(iu,) + 2 . On a alors :

+

+

+

>

+

Mais lorsque n et 77) tendent vers l’infini, L(w,) L(w,) + 2 . On a donc obtenu une contradiction et donc {wn}est une suite de Cauchy. Soit 711 sa Iiniite dans Lp(R). On a L(w)= IlLll. Soit y = w I w I P - ~ . II est clair que 9 E ~ ’ ( 0et )que iiyii$ z i i u i l l ~= 1. On veut montrer que L = L,. On a déjà L ( w ) = L,(w).Pour u daris LP, on écrit : (1.110) Montrons que si ‘u est tel que ./;2vg = O, alors L ( v ) = O. Pour t > O, assez petit pour que /lui tvll, > i / 2 , on écrit :

+

(1.111)

D’où :

+

(1.112)

tL(‘u) 1 6

l(?&

+ o(t).

En effet, en utilisant le théorème des accroissenients finis pour la fonction t + Iw t$’, on a

+

où B ( t ) est une fonction telle que J B ( t ) i < t . La suite de fonctions gt définie par gt(x) = pv(7u d(t)?i)(w 8(t)vlpp2est, pour tout t , daris L1, et elle converge lorsque t tend vers O, pour presque tout 2 , vers go(:x) =

+

+

48

CHAPITRE 1. RAPPELS DE TOPOLOGIE ET D’ANALYSE FONCTIONNELLE

p t ~ v I w I p - ~ ( z )D’autre . part, gt est doniiriée par une fonction de L1, iridépendante de t puisque : Igt(.)l

6 P14(1~11+ l4)(l~~l + 1.~1)”-”(46 P ( b + Iwl)”(.).

En utilisant le théorème de convergence dominée, on obtient :

+

+

En particulier 1w tvl, = 1 to(1). En divisant par t > O, on obtient : L ( v ) 6 0(1), d’où L ( v ) 6 O. En changeant) u en -21, qui vérifie la même propriété, on a : L ( v ) >, O, d’où, finalement L(w) = O. En reprenant ( l . l l O ) , on termine la démonstration :

(1.113)

R

Proposition 1.114. Soit L”(R, R).

un ouvert de IRN. Le dual de L1(R, R) est

Preuve d e la proposition 1. i 14. O Traitons d’abord le cas où R est borné. Soit T E L1(R)’, alors, puisque LP(R) s’injecte continûment dans L1(f2) V p E ]l,+oo[, on a T E ( L p ( 0 ) ) ’ . Soit, gP E LY’(62) doririé par le théorème 1.102, d’où, V f E LJ’(s2),( T , f )= J n g p f . En particulier, lorsqu’on suppose que f E C,(n), on trouve que VPl, P2 > 1 : (1,115)

/;Yp’ ( x ) f ( z ) d z=

.b

g,,(z)f(.)dz.

Donc g = g p est indépendant de p , et g E LP’(R), Vp’

:

I (T,f )I 6 Il TI/( L I (O))’ Il f II 1 .

(1.116) Soit

< 00. En outre

=

lylP’-2g. Alors

E

P ( R ) et donc, en utilisant Holder

:

Finalement, en divisant par l l g l l ~ ~on ~ la, ( ( g ( ( p 6 t (mesR)l/P’((SI(Ll(n), et, en faisant tendre p’ vers l’infini. on obtient : 9 E Loo et

(1.117)

Ildm < IITIILl(n),.

Vérifions qu’en fait il y a égalité. En effet :

IlTl1 = SUP I(T.f)l = SUP ftLl

fEL’

Ifll
lfli
1 /fil 6

11911mllflll = 11911m.

1.6.

EXERCICES SUR L E CHAPITRE 1

49

O Soit à présent R non borné. Soient 0, = (1 n {x I 1x1 6 n } et T,, definie sur On par :

(1.118)

-

(TT11

f)

=

XL)>

(T,

-

où f, est la prolongée de f E L ' ( O n ) par O hors de Q,. Remarquons que f n appartient à L1(R) dès que f E L1(Rn). Cette forrriule entraîne aisémeiit

que I I T T L I I ( L1 (CL) ) / G I ITI I ( L I ( 6 2 ) ) ' . D'après la première partie de la preuve, il existe gTLE L"(f2,) tel que (T,,,f ) = g n f . En prenant des fonctions f dans D(f2,,), on voit que, si ri 6 rn,011 a sur l'égalité y,, = gm. Er1 particulier, g = limy,, a un sens. Soit xn la fonction caractéristique de 0, et .f E L1(R). Alors f x T L f dans L1(0) et comme f x n E L1(Q,), on en déduit, puisque T E ( L 1 ( Q ) ) ' , le résultat :

sa,,

(1.119)

= (S,fXn)

(T1,fxn)

+

(T,f).

Enfin, en utilisant : IliTnlll(Li(n,,))/ = lly,rll~30(6i), on conclut à :

1.6. Exercices sur le chapitre 1

Exercice [*]2.2 (complétude de l'espace L ( X ,Y ) ) . Soient X un espace riormé et Y un espace de Banach. Montrer que l'espace C ( X ,Y) des applications linéaires continues de X dans Y, norrné au moyen de L H lllLlll = s u q l ~ l l x IIL(II:)\I~, =l est un espace de Banach. Indications. Soit { L,} une suite de Cauchy daris C ( X ,Y ) .On démontre que, pour tout z E X , la suite { L T L ( z )converge } dans Y . On montre ensuite que la limite L ( z ) est telle que L : z H L ( z ) est linéaire. Par un passage à la limite concernant les normes, on montre que L est continue. Enfin, on prouve que lllLT2- LI// + O.

Exercice [*]2.2 (exemples d'espaces de Baire). Montrer qu'un espace métrique complet X est un espace de Baire (cf. définition 1.8). Indications. I1 faut,par exemple, montrer que si O,, est une suite d'ouverts tels que, pour tout n , O, = X , alors non = X . Soit W un ouvert de X . On veut montrer que wn(n # 0.Soit z1 tel que B ( z , , r 1 ) c wnoi,et par récurrence soient z, et ri < i / i tels que B ( z i ,Y,) c B(z,-i, ~ ~ - n 1 )O,. on montre que {z7,} est de Cauchy et que sa limite appartient à W n On). ~

(or,

Exercice [*]2.3 (complétude de l'espace des suites sommables). Soit l1(C)l'espace des suites coniplexes sommables. Montrer que l'application II: = {zn>H E:" Iz,I est une norme sur cet espace et montrer que, pour cette norme, cet espace est un Banach.

5 0 C H A P I T R E 1. RAPPELS D E T O P O L O G I E ET D’ANALYSE FONCTIONNELLE

Indscatzons. Soit line suite de Cauchy { z ( ~ ” ) } .On montre que, pour tout ri, la suite { z $ ~ ) }est ~ convergente. ~ M On démontre qu’en désignant sa limite par s, la suite s de coniposarites z n est sornmable et que lIdnL) - zlj + O.

Exercice 1.4 (topologie de l’espace Dk ([I)). Soit E = @(O). En utilisant les notations de la sous-section 1.4.1 (cf. Famalle dénombrable de bases de vozsznages), on sait que E est la réilriion d’une suite croissante d’espaces vectoriels topologiques, à savoir les E3 = D k , . On considère la faniille B des parties B de E qui sont convexcs, équilibrées ct absorbantes, telles que Vj,

B n E3 est un voisinage de O dans E3

Montrer que B est une base de voisinages de OE pour une topologie d’e.v.t. sur E .

Indscatzons. On utilise la proposition 1.5. Pour cela, on montre que si B E B et si X > O, alors AB t B et d’autre part, que l’intersection de deux éléments de B est encore dans 8.

Exercice [*]1.5 (topologie faible sur le dual d’un normé X ) . On considère la faniille B de parties de X définies, à partir des éléments zo t X , des parties finies F’ de X’ et des réels E > O, par : B,,,Fi,E = {z E X

IV

d E F’,

I(.

-

Q,Z’)/ < E } .

(1) Montrer que B constitue une base de voisinages pour une topologie sur X . Pour cela, on prouve les deux propriétés suivantes :

(a) U { B I B E B } = X ; (b) si BI et B2 sont dans B et si z E B1 n Bz, alors 3~~ E B,

z E

:

B~ c B~ n B ~ .

(2) Montrer que la topologie ainsi définie sur X , notée o ( X , X ’ ) , est séparée, et que, pour cette topologie, la multiplication externe et l’addition vectorielle de X sont continues. Montrer que c’est une topologie d’e.1.c. (3) Montrer que tout ouvert faible de X est un ouvert du norrné X , autrement dit, la topologie de la norriie est plus fine que la topologie faible. Indications. On s’aidera des propositions 1.5 et 1.6. Pour la question (3), on remarque qu’un ensemble B,,,.F/ ,E est une intersection finie d’images réciproques d’ouverts de R par les applications continues z’ du normé X dans R.

Exercice 1.6 (exemple de suite de formes linéaires continues). Soit X : l’espace des suites sommables. Soit la suite d’applications linéaires {!un}de X dans @. définies par u,(z) = 2,.

!’.

(1) Montrer la continuité de un et déterniirier sa norme.

l . û . EXERCICES SUR LE CHAPITRE 1

51

( 2 ) Montrer que la suite d’applications linéaires ( u n ) converge simplenient vers O, c’est-à-dire que quel que soit L E t’, u,(z) + O. Remarquer que la norme de un dans C ( X , C ) est égale à 1. En déduire que u,,ne terid pas verb O au sens de la norme d’opérateur dans C ( X .C).

Exercice I . 7 (fonctionnelle de Minkowski). On utilise les définitions, dorinees dans le cours, des parties convexes équilibrées et absorbantes (définition 1.1). (1) Soit hl un ensemble convexe, équilibré et absorbant d’un espace vectoriel topologique X , contenant O. On définit la fonctionnclle de Minkowski p ou encore jauge du convexe A I . par la formule :

‘dxE X , p ( x ) = inf{t 1 x / t E Al}. t>O

Montrer que p est sous-additive, positivement homogène de degré 1 (autrement dit, p est une serni-norme sur X ) . Montrer également la propriété : ‘dz E Al,p ( z ) 1. ( 2 ) Montrer inversement qiie, si p est une semi-norme, la partie M telle que : AI = {x I p ( z ) 1) est un convexe équilibré absorbant coiiteriarit O. ( 3 ) Montrer que Al est ouvert daris si et seulement si p est continue.

<

<

x

Indications. Remarquer que pow tout convexité, en déduire que : .

P(Z) + E

p(.)

+ p(y) +

En conclure que

2E

rc

p(x)

E

> O,

z / ( p ( x )+ E ) E M . En utilisaiit la

P(Y) + + p ( x ) + p(y) +

.

+E

E

2E

p(y)

+

E

M.

E

+ Y) < P ( Z ) + P(Y) + 2 E .

Exercice 1.8 (théorème de Mazur). Soit A f un convexe contenant O comme point intérieur. Montrer que, A l : il existe une forme linéaire coritinuc f telle quc : f o ( x , ~ )3 si xO SUPstM

lfo(z)l.

Indicntzons. Par l’exercice précédent, la fonctionnelle de Minkowski de M est une senii-norrne continue. On applique alors le théorenie de Hahn-Banach (fornie géoriiét,riqiie) 1.19.

Exercice [*]I.9(théorème du graphe fermé). Soit T une application linéaire d’un Banach X dans un Banach Y , dont, le graphe est fernié. Montrer que T est continue. Indicatio7rs. Par hypothèse, le graphe est fernié dans X x Y , qiii est u r i Banach, donc c’est une partie conipléte. La projection p l dii graphe sur le premier espace, (ce qui signifie p l (x,T z ) = 2;) est linéaire, continue et bijective. Elle admet donc une application inverse continue U . Soit p z la projection sur le deuxième espace, OII a T = p2 O U , qui est le composée dc deiix applications linéaires continues. Coriclurc.

52

C H A P I T R E 1. RAPPELS D E TOPOLOGIE E T D'ANALYSE FONCTIONNELLE

Exercice 1.10 (injections continues dans les espaces de Lebesgue). (1) Soit O un ouvert de niesure de Lebesgue finie. Montrer que si p 3 q , on a L"(62) L4(O).

-

(2) Montrer par un contre-cxeniple que ceci est faux si O est de niesure infinie. (3) Soit R un ouvert qiiclcoriqiie. Montrer que :

-

p G r G q ==+ ~ " ( 6 2 )n ~ ~ ( 6 2 ) L"(R). Montrer égalernent que :

Y f E L P ( R )f-L 4 ( 0 ) '

llfllr G suP(llfIlT1, llflld.

Exercice 1.11 (limite de normes LP lorsque p + +CO). Rappeler la definition de L"(O) et de la norme l l . l l m de cet espace. Montrer que, si f E L"(R) n L'(O) pour au moiris un indice T 3 1, alors :

Exercice 1.12 (moyennes de f lorsque f E L P ( R f ) ) . Soit p E ] 1, CO[ et f E LP(R+). Soit F définie sur R+ par

(1) Montrer q i i e F E Lp(R+)et qiie llFllP

P < ---Ilfllp.

P-1 (2) Montrer. en utilisant par exemple de5 fonctions à support conipact, qu'il existe f E L1(R+), telle que F n'appartient pas à L1(R+).

Exercice 1.13 (théorie des opérateurs compacts). Soit K uric fonction continue sur [a,b] x [a,b ] , avec a < b, (u, b ) E Et2. On définit l'opérateur :

Y f E C ( [ G bl),

Tf(l.1 = J b K ( r ,Y ) f ( Y ) d Y .

Montrer, en utilisant le théorènie d'Ascoli que T est un opérateur qui trarisforme la houle unité dc C ( [ a . b ] )en un ensenible relativement conipact de

4). Exercice 1.14 (théorie des opérateurs compacts, suite). Soit R un ouvert de IRN. Soit K E L2(U x O) et T défini par : Y f E L2(0)> Tf(.c) =

i,

K ( z ,Y ) f ( Y ) d Y .

Montrer que T envoie L2(f2) dans lui même ct que l'image de la boulc unité de L2(R) est un cnserrible relativement compact de L2(O).

1.6. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 1

53

Indications. Soit {fn} une suite telle que I l f n l l L ~ < 1. Alors T f n est bornée dans L 2 . On peut donc en extraire une sons-suite qui converge faiblement dans L 2 . On montre que (Tf,,)’ est dominée par une fonction fixe de L I . Conclure en iitilisant le théorème de convergence dominée. TJne autre preuve consiste à utiliser le critère 1.94 donné dans le cours.

Exercice 1.15 (espaces de suites. Complétudes et duaux). On définit les espaces C O , e’, e’, comme les sous-ensenibles de C N : +Ca

(xn)E

cg

si

lirn

2,

= O,

(x,) E

t?

TLk++Ca

O

+Ca

(x,) E

/z,,l~< CO,

P si

lx711< oû,

si

( z r LE)

si 3

~ i f r.i ~ z , < ~ lM .

O

(1) Montrer que ces espaccs sont des espaces de Banach. ( 2 ) Montrer que ch = = tp‘avec l / p 1/p’ = 1, si p E 11,+CO[. Montrer qiie (.e’)’ = mais que (tm)’ #

e ] , (ep)’

e’.

+

Exercice 1.16 (inégalité de Jensen). Soit j une fonction convexc sur R,et 11, une mesure de probabilit,é sur [a,b], n < b, c’est-à-dire une mesure p telle que Jdp = 1. Soit f E C ( ] n ,b [ ) . Montrer que :

En déduire que, si p E [1,+oû[ et si f E L p ( ] a ,b [ ) , alors :

Exercice 1.17 (espaces de Hilbert séparables). Soit f un élément de L’(]O. 27r[). prolongée par périodicité à R. On rappelle le théorème de Bessel-Parseval, & savoir, les c,,(f) étant les coefficients de Fouricr de f :

Montrer que L’(]O. 27r[) est un espace séparable.

Exercice 1.18 (somme de deux espaces de Lebesgue). Montrer que si p E [pl,p z ], p l < p:,, alors :

L”(i2) if L”’(0)+ L”“0). Indwatzons. On écrit, pour a > O donné

:

54 CHAPITRE 1. RAPPELS DE TOPOLOGIE E T D’ANALYSE FONCTIONNELLE

Exercice [*]2.29 (convergence faible ou forte des suites de distributions). Soient { a j } j E N une suite d’éléments de RN telle que lajl +cc et { A j } j E ~ une suite de nombres complexes. Montrer que la suite de distributions {XjGaJ}converge vers O dans D’(esN). -f

Exercice [*]1.20 (prolongement d’une distribution a support compact). On se contente de N = 1. Soit T une distribution à support compact K . Soit V E ( K= ) K + [-e, + E ] le voisinage fermé d’ordre E > O de K . (a) Montrer qu’il existe des fonctions a E D(R)telles que : v x E vE(K)) a(.)

(b) Pour toute fonction

‘p

de

€(IR),

=

1.

on pose :

(U’ ‘p) = (Tla’p). Montrer que U est une forme linéaire continue sur 1’e.l.c. &(IR). Montrer que U ne dépend pas du choix de Q et que U est un prolongement de T à l’espace €(E?). (c) Réciproquement, montrer que tout élément de €’(IR) s’identifie & une distribution à support compact.

Indications. On considère une fonction continue à support compact qui vaut 1 sur u n voisinage de K . En convolant avec une fonction régularisante pE ( c f . soussection 1.4.2), on obtient une fonction convenable. Pour l’indépeiidarice vis-à-vis de a , 011 considère ( T ,(a2 - ai)p) en se servant de la définition du support de T . Pour (c), la linéarité et la continuité sont immédiates. Pour le support, on raisonne par l’absurde, en faisant intervenir l’argument de la continuité de U sur E@).

Exercice [*]2.21 (partie relativement faiblement étoile séquentiellement compacte de L1 (O)). Soit R un ouvert borné de RN et A un sous-ensemble de L1(R). On suppose pour A les propriétés suivantes : (1) 3 M > O, Y f E A, J , If(~)l6 d ~M . (2) V e > O, 3 6 > O tel que la propriéti: suivante soit satisfaite

V B c 0 , mes(B) < 6

* Yf

E A,

JB

If(x)ldx

6 E.

Montrer qu’alors A est relativement faiblemerit séqiieritiellerrierit compact dans L1(CI).

Indications. Or1 pourra commencer par extraire de { f T L } ,suite de fonctions de A , line sous-suite qui converge vaguement vers une mesure bornée ,u sur 0 . L’étape suivante consiste à utiliser la senii-continuité inférieure pour la topologie vague de l’intégrale sur iin ouvert ( c f . chapitre 6). On montre ainsi que 11, est absolument continue par rapport à la niesure de Lebesgue.

1.6. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 1

55

Exercice 1.22 (fonctions équi-intégrables dans L1). On dit qu’une suite { f n } de fonctions de L1 est équi-intégrable si, pour tout E > O, il existe 6 > O tel que mes(E) < 6 entraîne pour tout n,

J, lfn(z)ldz G E . (1) Montrer la propriété suivante : Soit X un ensemble de mesure finie pour la mesure de Lebesgue de RN. Soit { f n } une suite de fonctions de L1(X) qui converge presque partout vers f , et qui est équi-intégrable. Alors f E L 1 ( X )et { f n } converge fortement vers f dans L1 ( X ) . (2) Montrer que ce résultat est faux si la mesure de X n’est pas finie. ( 3 ) Montrer le résultat analogue pour L p , à savoir : si { f n } converge p.p. vers f et si lfiLIP est équi-intégrable, alors { f n } converge fortement vers f dans LP. Zndzcatzons. En utilisant l’existence des z h E X , tels que X = Uy B ( z , ,S), la réunion étant finie, on obtient f E L 1 ( X ) .Alors, par le lemme de Fatou, on a .

Pour la convergence forte, soit 6 associé à la condition d’équi-intégrabilité pour ~ / et3 tel que mesE < 6 + JE If(x)ldz 6 & / 3 .On extrait de {f,} une sous-suite qui converge en mesure, à savoir qu’il existe NO tel que : n

2 NO

* rnes[{z E X I If7,

-

fl(z)

On achève avec les inégalités, où on a posé A,

3 ~/3mes(X)}]< 6.

= {z

I i f n - fi(.)

(2) On pourra considérer sur R la suite {fia}définie par fil =

< &/3mes(X)):

i ~ [ ~ , 2 ~ ~ 1 .

Exercice 1.23 (notion de fonction de réarrangement, cf. chapitre 7). Soit f une fonction mesurable sur X espace niesuré, à valeurs dans C, finie presque partout. On définit : ~ ( s=) E x 1 If(x)l >

I{.

.}I.

(1) Montrer que X est décroissante et continue à droite sur

IR+.

(2) s i f E LP avec p < +nû, montrer que s ~ ( s ) ’ / p6 (J ~ f ( z ) l ~ c i z ) ” ~ . On définit alors le réarrangement décroissant de f , sur IR+, par f * ( t ) = inf{s 1 X(s) t } . Montrer que f * est décroissante et continue à droite. (3) Soit f une fonction simple, donc f(z) = cJ pour z E E j , les E3 étant mesurables disjoints. On suppose que J c j J> Jcj-11 pour tout j . Soit d j = CkGg IEkI. Montrer que :

<

Qt,

dj-L

,< t < d j

+f * ( t ) = ~ j .

(4) On suppose p E [1,CO[. Montrer que si f E LP(R), il existe une suite de fonctions simples f i L telles que { I f n / } est une suite croissante convergerite

56 CHAPITRE 1. RAPPELS D E T O P O L O G I E ET D’ANALYSE F O N C T I O N N E L L E

vers If1 presque partout. Montrer alors que X,(s) converge en croissant vers X(s) et que, pour tout t > O, f i @ tend ) en croissant vers f * ( t ) . En déduire que :

Y f ELP,

f*ELP

et

IlfIlP = Ilf*llP.

Exercice [*]1.24 (formes linéaires continues sur un e.1.c.) Soit une forme linéaire f sur un e.1.c. X engendré par une famille de serriinormes { r l ~ } Montrer . que f est continue si et seulement si existe M > O et une semi-norme ‘rilx tels que : Y x E X , If(.)/ 6 M q x ( x ) . Indications. Pour tout D disque ouvert de @, f - ‘ ( D ) est un voisinage de O dans X , donc contient une bode fermée associée 2i une des semi-normes VA. On achève comme dans un nornié.

Exercice [*]Z.25 (bornés dans un e.1.c.) Par définition, un borné B dans un e.1.c. X est une partie de X telle que, pour tout voisinage U de O, il existe cy > O tel que Ipl cy 3 B c PU. Soit une famille de semi-normes { V A } définissant la topologie de X . Montrer que B est borné si toutes ces semi-normes sont bornées sur B . Indzcatzons. La boule unité associée à VA est un voisinage de O, donc absorbe B. On en déduit l’inégalité. Réciproquement, supposons que, pour tout A, supxEIIr / ~ ( z6) MA.Alors, en désignant les boules-unité par B A ,on a :

V r > O,

B C Bx(O, MA)= MxBx

nix

= -BA(O,T).

Donc, B est absorbé par tout voisinage de O dans X .

Exercice 1.26 (sous-espacesdenses dans P ( I )où I est un intervalle). Soit I un intervalle ouvert de R.Or1 considère l’espace L P ( I ) où p E [1,+CO[. On désigne par S ( I ) l’espace des fonctions simples sur I , c’est-àN dire des fonctions qui s’écrivent s = Cl C ~ X A où , les Ai sont des ensembles mesurables, par E ( I ) l’espace des fonctions en escalier sur I et par C J I ) , l’espace des fonctions continues à support compact dans I . (1) Montrer que S ( I ) est dense dans LP(1). Pour cela, f E LP étant donné positive, on utilisera les ensembles &-[) et f - ’ ( [ n , +oo[). (2) En admettant la propriété suivante de la mesure de Lebesgue p sur I : si J c I est p-mesurable, il existe une suite { J n } de parties de I qui sont des réunions finies d’intervalles ouverts disjoints telles que p ( J ) =

fpl([g,

limn-+, d J n ) , montrer que si I est borné, toute fonction simple est limite dans P ( I )d’une suite de fonctions en escalier. Conclure à la densité de E ( I ) daris L P ( I ) , puis à la densité de C,(I) dans LP(I). Montrer les mêmes résultats lorsque I n’est pas borné.

1.6. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 1

57

Indications. Pour ( l ) ,on utilise les fonctions simples suivantes, où Fi,,, et F, sont les images réciproques indiquées : R

2"

+

sn = - y ( i - 1 ) 2 - v c X F z , r L n X F " , . 1

On montre que O < s, < f et on applique le théorème de convergence dominée. On achèvera pour f de signe quelconque. Pour la densité de c c ( I ) > on approchera X [ a , b ] par une fonction continue (affine par morceaux) à support compact dans I . Dans le cas où 1 est non borne, on écrit I comme réunion croissante d'intervalles bornés I , = [a,,, h,] avec Ilf - f X I , ( I p + O.

Exercice

[**I

2.27 (distributions parties finies (cf. [13])). On se contente dans cet exercice des parties finies des fonctions U ( t ) t " , où U est la fonction de Heaviside, fonctions non localement sonimables lorsque Q < -1. (1) Cas de U ( t ) t a ,où cy = -n, n 3 1 entier. L'intégrale J, = JE+" p(t)t-" d t , où p est un élément de V(R), n'admet pas, en général, de limite lorsque E + O. Si ( t ) désigne le polynôme de Taylor de degré n - 1 à l'origine de la fonction p et si A majore le support de p, 011 peut écrire JE sous la forme :

Montrer que la première intégrale a une limite finie lorsque E O, la non existence de lirn J , provenant en quelque sorte du deuxième. terme. Ce deuxirme terme peut s'écrire : -f

l A p : - l ( t ) t - v c d t = KA -z~(pn-i(t)t-"), formule dans laquelle I,(pn-,(t)t-") désigne la valeur en E de la primitive sans ternie constant de la fonction p;-,(t)t-", K A étant la valeur de cette primitive au point A. La fonction -IE(p:-l(t)t-n) peut être qualifiée de

partie infinie. On retranche alors de l'intégrale JE,la partie infinie précédente, ce qui permet le passage à la limite lorsque E O. Montrer qu'ainsi on obtient une distribution T , notée Pf(M(t)t-"), distribution définie donc par : --f

(*) 'dp E V , (T,p) = lim O€'

58

C H A P I T R E 1. RAPPELS DE TOPOLOGIE ET D'ANALYSE FONCTIONNELLE

Montrer que s u p p T

c IR+.Prouver tP

que, si p est un entier

> O,

alors on a :

P f ( U ( t ) t P ) = Pf(U(t)t-(n-P)),

le symbole Pf disparaissant lorsque p > ri - 1. Déterminer la dérivée de Pf(U(t)t?). (2) Cas de IA(t)t", a complexe, non entier, avec Re ( a )< -1. On suppose -n - 1 < Re ( a )< -n,avec toujours n entier tel que n, 1. En appliquant la démarche précédente, donner la définition, par une égalité analogue à (*), de la partie finie Ta de U ( t ) t " . Établir la formule :

Déterminer les produits tn Pf(U(t)tN).Trouver la dérivée de Pf(U(t)f"). (3) On définit de mérne les parties finies & gauche Pf(l.l(-t)ltl-n), Pf(U(-t)tPn) et Pf(U(-t)ltj"), puis les parties finies bilatérales :

Pf(lt1") = Pf(U(t)t") + Pf(U(-t)ltl"), P f ( t P ) = Pf(U(t)tP)

+ Pf(U(-t)tP).

Déterminer la dérivée de Pf(t-n). (4) Exemples de parties finies logarithmiques. (a) En employant la même derriarche que la précedente, justifier la définition suivante :

(b) On définit f ( t ) = U ( t ) t - 5 / 2hi t , justifier la définition :

(Pf(f),p) = lirn €'O

Après avoir défini la distribution Pf( ltIp3/' In Itl), déterminer sa dérivée. (c) Montrer que, f étant la fonction t H f ( t ) = l n t / t , on a : [ P f ( W ) f ( t ) ) l '= [ P f ( W ) f / ( t ) ) l . 'Trouver également la dérivée seconde [Pf(U(t)f(t))]".

Exercice 1.28 (norme dans un espace quotient). Soient X un espace riormé et Y un sous-espace vectoriel de X . On définit les classes modulo Y par V'zEX,

IC={IL.+y/y€Y}.

Classiquement l'ensemble de ces classes est un espace vectoriel, noté X / Y , qui est appelé espace quotient de X par Y .

1.6. EXERCICES SUR L E CHAPITRE 1

59

+

(1) Montrer que l'application IC H infycy{llz yll} est une semi-norme et que c'est une norme sur X / Y si et seulement si Y est fermé daris X . (2) On suppose que X est un Banach et que Y est un sous-espace fermi: de X . Montrer que si {z,} est une suite de X / Y , alors il existe une suite {xn} dans X telle que, pour tout ri, on ait = z,,et Ilxnllx /Iz,J/x/y 1/2". En déduire que toutes les séries normalement convergentes dans X / Y , c'està-dire telles que llznll < fco, sont convergentes dans X / Y . Conclure que l'espace X / Y est un espace de Banach.

+

<

Indzcations. Pour la dernière conclusion, on considère une suite { z T 1 }de Cauchy dans X / Y . On peut trouver une application strictement croissante de N dans lui-même telle que : tlz"(pt1) - ""(P) IlX/Y

< YP.

En posant un = zc(o) et up = z o ( p )- z o ( p p ~ montrer ), qu'on obtient une série normalement convergente. On en déduit la convergence d'une sous-suite extraite de la suite {z,}. Conclure à la convergence de { z T L } .

Exercice [**I 1.29 (fonctions AC et distribution sur un intervalle I). Une fonction f de l'intervalle I dans IR est dite absolument continue (AC) s'il existe une fonction g : I H IR,appartenant à I&(I) telle que, pour tout couple de points (xiy) de I , on a : f(x) - f ( y ) = J : g(t)dt. Urie fonction AC sur I est alors p.p. dérivable dans I , sa dérivée étant égale & y p.p. (1) Soient U et V des fonctions AC sur I , u et 'u étant leurs dérivées p.p. En utilisant la densité de C,(]a,b [ ) dans L ' ( ] a ,b [ ) (cf. exercice 1.26), montrer la formiilc d'intégration par parties ; à savoir, pour tout couple ( a ,b) de points de I : (1.121)

[

U(t).u(t)dt= U ( b ) V ( b )- U ( a ) V ( a ) ~

Lb

V(t)u(t)dt.

(2) Soit IL E Ltoc(I) dont la dérivée au sens des distributions vérifie : [u]' E L:c>c(I). Soit a E I où u est définie. Soient ~ ( x=) .(a) - J,"[u]'(t)dt et p E D ( 1 ) de support inclus daris [ a ,/?I. Au moyen de la formule (1.121), montrer que [v]' = [u]' et en déduire que v - u est une constante C p.p. sur I . Montrer que, si 'u. est de plus continue sur I , alors u est absolument continue sur I et u' = [u]' p.p. dans I . Enfin, montrer que si u et [u]' sont continues dans I , alors ru E C1(I).

Indications. Pour ( l ) , les suites { u r l }et { v r L }de C,(I) étant convergentes vers u et v dans L 1 ( ] a , b [ )on , définit U,(z) = U ( a ) J:u,,(t)dt. On écrit l'intégration par parties pour les fonctions un et v, et on montre ainsi que Ur, converge uniformément vers U dans ] a ,b [ , de même pour V,.

+

CHAPITRE 2 LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION

2.1. Définitions et premières propriétés

Déjinition 2.1. Soit R un ouvert de IRN. Pour 7rt E N et 1 < p < +CO, l’espace de Sobolev, noté W7”>P(R),est constitué des fonctions de P ( R ) dont les derivées partielles jusqu’à l’ordre ni, au sens des distributions, s’identifient à des fonctions de LP (O). Pour ces dérivées, on pose la notation :

cy

= ( a l , .. . , U N ) ,

1 QI

=

ClN (Y,

et on utilise

La définit,ion précédente s’écrit donc : (2.3)

W7m’P(f2) = {u E L”(CL) I V n E W N , ( a (< ~n=+ D*u

E

U’(R)].

Remarque 2.4 (sur la structure des dérivées dans un espace W1,P(fl)). Pour se rendre compte plus précisément de la signification de : u E W’J’(O),on peut utiliser la notion de dérivée, au sens usuel, des fonctions absolument continues (cf. exercice 2 . 3 ) . Soit 7~ E W’J’(0).Alors, pour tout i , cette fonction TL est absolument continue sur presque toutes les parallèles au vecteur de la base de EN et la dérivée &u au sens usuel de u,qui existe alors presque partout dans R, est une fonction de Lr’(R) qui est égale p.p. à la fonction dérivée au sens des distributions. Réciproquement, si u E L P ( R )est absolument continue sur presque toutes les parallèles ii e,i, et ceci quel que soit i , avec des dérivées &u E LP(R), alors u E W‘>p(R).

I1 en résulte que si 7~ est de classe C1 dans R , l’appartenance u E W1>P(fl) se vérifie en montrant que les fonctions u et 4 7 1 sont dans LP(i2). Cette propriété est utilisée dans les exemples qui suivent.

62

CHAPITRE 2. LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D'INJECTION

Remarque 2.5. Pour p par H"(R).

= 2,

il est d'usage de remplacer la notation WnL>'((n)

Remarque 2.6. Lorsque R = R N , on peut, en utilisant les transformées de Fourier E H G(<)des fonctions u de L2(RN),donner la définition équivalente :

WmqRN)

=H

y P ) = {UEL2(RN)1

E H (1+ IE12)"/2û(E)EL2(PSN)}.

Exemple 2.7. Dans la boule R = B(0,l) de IR2, cherchons sous quelle condition la fonction u définie, sauf à l'origine, par u ( z ,y) = zy(z2 y2)-B, où p > O, est un élément de H 1(a). Plus précisément, montrons que u E H1(R) si et seulement si p < 1. L'intégrale de lui2 sur B existe si 5 - 4/3 > -1, laquelle se traduit par /3 < 3/2. En effet, en coordonnées polaires, l'intégrant s'écrit précisément :

+

~ , ~ / ~=~r 5d- 4 B~( sdi I I o~ cos q 2 d r d o . Pour la dérivée, en z par exemple, au sens habituel, a,u = y(z2 &fi - 2/3z"(z2 y2 ) -

+

+

p i

.

Elle est continue sauf en (O, O). L'intégrale de son carré se compose de trois termes où les puissances de r sont d'exposants égaux à 3 - 4/7, donc tous supérieurs strictement à -1, si et seulement si la condition ,O < 1 est réalisée. Puisque la fonction est symétrique en x et ?/, on en déduit que u et ses dérivées sont alors dans L 2 ( B ) ,ce qui implique d'ailleurs, d'après la remarque précédente 2.4, que ce sont des dérivées au sens des distributions. Ceci termine la preuve de la condition nécessaire et suffisante énoncée ci-dessus.

Exemple2.8. Soit, dans l'espace IRN, la boule unité ouverte R = B(0,l). On pose : r2 = Soit u définie par u ( z ) = (1 - r)fi(-ln(l - r))" où a est un réel quelconque et p > O. On cherche les conditions sur a et pour que u soit dans W'J'(R). Supposons a < O. La fonction u est continue dans B sauf au point z = O. Le logarithme étant équivalent à r", la fonction l u I P est sommable sur B sous la condition N - 1 û p > -1, c'est-à-dire cy > - N / p . La dérivée au sens ordinaire, en z1 par exemple, s'exprime par :

+

Sa seule singularité se situe en z a

=O

et, comme le logarithme est équivalent

, on obtient l'appartenance à P ( B ) sous la condition 1 - a < N / p . Donc, pour p < N , la fonction u est dans W I J ) ( B sous ) la condition O > Q > 1- N/p. TaPl

2.1. DÉFINITIONS E T PREMIÈRES P R O P R I É T É S

63

Si a > O, u se prolonge coritinûment sur B et, quel que soit p > 1, ZL est un élément de Lp(B).Si B > 1, cette dérivée est continue et bornée sur R , donc appartient à L p ( B ) . Si O < /3 < 1, l'utilisation de la formule de Fubini montre qu'elle appartient à L p si p ( P - 1) > -1, c'est-à-dire : p > 1 - l/p. Sous cette condition, les dérivées ordinaires appartiennent à L p ( B ) . Par conséquent, u E W 1 , p ( B )On . laisse au lecteur l'étude du cas p(p - 1) = -1.

Exemple 2.9. Soit, dans IR2, l'ouvert

R = {(&y) I O < L < 1, xk < y < 2L", où k > O est donné. On étudie, pour a E R, l'appartenance de ( T ' Y ) H u ( x , y ) = I/" aux espaces H", pour m E { 1 , 2 , 3 , .. .}. Si a > O, la fonction u est continue par prolongement sur d o , donc u E L2(R). La dérivée première dyu(x,y) = aye-' ne peut être prolongée au point z = O par continuité si Q < 1. Elle est cependant dans L2(R) si l'intégrale

existe, ce qui se traduit par (2a - 1 ) k > -1. On en déduit que, pour tout IC > O, on a u E H1(R) si a > 1/2 - 1/2k. La dérivée d'ordre 2 appartient à L2(62)si (La - 3 ) k > -1, soit encore a > 3 / 2 - 1/2IC. Sous cette dernière condition, on a u E H 2 ( B ) .C'est le cas, par exemple, lorsque IC = 1/6 (c,f. figure 2.1 ci-après) et cy > -3/2, cas où u peut être non bornée sur R.

1 FIGURE

x

2.1. Un ouvert 0 et des dérnerits de H".

On peut continuer. On trouve que la condition d'appartenance à H"(R) peut s'écrire : ( 2 a - 2m 1)k > -1. On en déduit que l'on peut choisir, 'm étant donné, a et IC, pour obtenir cette appartenance.

+

64

CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORËMES D’INJECTION

Proposition 2.10. L’espace WmJ’(R) m u n i de la norme définie par :

est un espace de Banach. Pour p E 11,+a[, cet espace est uniformément convexe, c’est donc u n espace réflexif. L’espace H m ( R ) , muni du produit scalaire : (ulu) = O<

I 1 <m »(

est u n espace de Hilbert. Une preuve est proposée dans l’exercice 2.1. Beaucoup de propositions de ce chapitre portent sur l’approximation des fonctions de W’J’(f2) ou sur la densité de certains sous-espaces. Pour de tels problèmes, on utilise souvent un recouvrement de l’ouvert R par une famille d’ouverts {Aj}. On admettra qu’alors (cf. exercice 2.2) on peut associer à un tel recouvrement une faniille de fonctions { ( $ j ) } dite partition de l’unité subordonnée ù ce recouvrement de R par les Aj :

DéJinition 2.11. Une partition de l’unité de classe C” subordonnée à un recouvrement ouvert {Aj}j,w de l’ouvert R est iin ensemble de fonctions dij vérifiant : (1) Pour tout j , la fonction $j est dans C”(R), positive et à support contenu dans A j . (2) Sur tout compact K de R , un nombre fini seulement de fonctions $ j rie sont pas identiquenient nulles sur K . (3) v x E 0, CjtNli?,(X) = 1. On utilise d’ailleurs une telle partition dans la proposition qui suit, permettant l’approximation par 1’intérieur des fonctions de WmJ’(R), lorsqu’on ne fait aucune hypothèse de régularité sur R. Cette proposition permet, par exemple, de remplacer dans les calculs, notamment lors des preuves des théorèmes d’injection de Sobolev, les fonctions de Wm>”(R)par des fonctions P ( R ) .

Proposition 2.12. Soit R un ouvert quelconque de R N . Alors le sous-espace Cm(R) n WTm>”(f?) est dense dans WmJ’(f?). Preuve de la proposition 2.12. 0 On commence par le cas de R = IRN. Soit u E WmJ’(RN). On considère une suite régularisante ( c f . section 1.4.2) 2 H p E ( x )= ~ / E ~ P ( x / et E ) un réel 6 > O. Dans la section 1.4.2, en particulier dans la preuve du théorème 1.90,

2.1. DÉFINITIONSET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS

65

on a vu que la fonction pE *u E Cm(RN) et ses dérivées, lesquelles satisfont à D " ( p E P L ) = pE * D"74 sont, des éléments de D'(EtN)et aussi qu'il existe EO tel que, pour E < E O , on ait (cj. relation (1.91)) :

*

* ~ L / I L ~ ] < 6 et, 'da, la1 < m, IID% p E * D a u I I ~

p ( R N et) qu'il existe une constante C, telle (2.13)

I~PL

-

pE

-

que :

I~PL

(2.14)

-

< Cm6,

*'uIIw~.P

ce qui termine la démonstration dans le cas de RN. O Soit maintenant un ouvert R # RN.On utilise un recouvrement ouvert { O J } j E ~ *de R , défini par :

f2j

= {z E

R I 1x1 < jC1 et d ( z , a R ) > Cz/j + I}

Les constantes G1 et C2 sont choisies pour que 0 2 # 0. Cette suite d'ouverts bornés est croissante et recouvre R. En posant alors : RO = f 2 - 1 = 0 , on définit la suite d'ouverts { A j } telle que : Aj = f 2 j + ~\ nj-1, avec : AO= f22, ~

Al

1 0 3 .

La famille { A j } constitue encore un recouvrement ouvert de R et on vérifie facilement que, si Ij - j'l 3 3 alors : A, n A,, = 0.Soit alors { $ j } une partition de l'unité associée au recouvrement { A j } . Soit aussi ~j assez petit pour que, E étant donné, on ait, à la fois : Vj22, V j 3 O,

A~+B(O,E,)CA~-~UA~UA~+~, E

* ($p)(+ju)llw.-.p < __ 23+1' -

On considère alors la fonction d E définie ) par : (2.15) O

Cette fonction est bien définie car la somme du second menibre est localemerit finie. On déduit des inégalités précédentes que ~ ( € E 1 W7n)p(R). En utilisant u = C;"(+,u), on peut terminer la preuve par l'inégalité :

66

CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉOKÈMES D'IN.JECTION

Corollaire 2.1 7. (1) Soient u E W ' J ' ( 0 )et v E W'"'(0) o ù p etp' satisfont ù la condition l / p l/p' = 1. Alors, le produit UV appartient ù W1>'(0) et :

+

vi E [l,N],

& ( ' U V ) = ud,v

+ ?/a,U,

toutes les expressions figurant dans cette égalité ayant un sens, compte tenu des hypothèses. ( 2 ) Soit u appartenant ù W1>N(f2).Alors juIN-'u E W1>'([2) ainsi que luiN avec :

~ ( 1 ~ 1= ~N I) U / ~ - ~ U V U et

V ( I U I ~ - ' U )=

~ l u l ~ - ' ~ u .

Remarque 2.18. Dans ( 2 ) , W1>N(f2)peut être remplacé par W',q(O), pour q E ] 1,m[; le résultat est alors : Soit 7~ E W'>q(O).Alors ~ u ~ et~lu1~ 4 appartiennent ' u ù W ' > ' ( O ) ,avec

V( IuIqp'u) = q l u / q - l ~ u et V( IuIq) = ~ ~ u / ~ - ~ u v u . Preuve du corollaire. (1) Par la proposition précédente, il existe une suite { u n } c C"(O) n W'J'(i2)qui converge vers u dans W ' , p ( O ) . Alors, au sens du produit d'une fonction de classe C" par une distribution, on a : 82(UnV) = &(Un)V

+ U,dZV.

Passons à la limite au sens des distributions dans le membre de gauche de cette égalité. On a U,V E L ' ( 0 ) et l l u , ~- U V I I L ~ IIu, - uljLI>IIuIILp( O. On en déduit que {u,v} + uw dans L', a fortiori au sens des distributions. Alors, par une propriété des distributions (cf. section 1.4.8), &,(u,u) + a,(uv) au sens des distributions. De même, puisque un + u et &IL, + 8,u dans L", le second membre converge au sens de D'(Q). Le passage ii la limite donne airisi l'égalité désirée et, en outre, l'appartenance ai(..) E L', d'où

<

UV

--f

E W'J(0).

(2) Soit une suite un E C"(O) n W',.(0) qui converge vers u dans W'>N(f2).On montre facilement que le gradient de /uniN est donné par N lu, I N-%,

[VUn].

Puisque I U , I ~ - ~ U , converge vers l,ulNp2u dans L ~ I ( et ~ que ~ ~ V )U , converge vers Vu dans L N , on en déduit que N I u , I ~ - ~ u , V U , converge vers N I U ~ ~ - ~ U dans V UL'. En outre, puisque Iu,,lN + luiN dans L1, cette coiivergence a lieu aussi dans D'(O). On en déduit que V(lunlN) converge vers V ( l u I N )dans 'D'(0).Le passage à la limite nous fournit donc l'identité : V(l.jN) = NIuIN-2uVu.

2 . 1 . DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÊTÉS

67

Enfin, en utilisant Holder avec les exposants conjugués N / ( N - 1) et N , on a ;

On a donc prouvé que luIN-lu E w1l1(62). Le raisonnement est analogue pour la deuxième affirmation concernant le gradient de J u J ~ - ~ u .

Coroliaire 2.19. Soit IL € w , ~ ~ ( R ce )qui , signifie que, pour toute fonction cp E D(R), on a cpu E W’>p(R).Soit 2 0 le point ( z b , t ) E R où 20 E et t E E%. O n désigne par B’(zL,r) une boule ouverte dans EtNp1 et par B * ( z o , r ) le cylindre ouvert B’(zb,r) x ] - r , r [ , dont l’adhérence, pour r assez petit, est incluse dans 0 . Alors, po’ur presque tous les couples ( x ‘ , t ) et ( ~ ’ , t ’d’éléments ) d e B*(x:o.r),o n a :

TW~P’

Preuve du corollaire 2.29. 0 Pour (t,t’)E (1 - r . r [ ) 2et z’ E ~ ’ ( z h , ~posons ), u(xL.I)

l,t 8,

%1(2’, ,5)&’.

On niontre que ii E Lp(B’(zb,r)). Comme B*(zo,r) c R, la fonction (.r’,s) H dNu(x’,.s) est dans LP(O), donc sorrirnable en s sur l’intervalle [t’,t ] inclus daris ] - r, r [ . I1 en résulte que w est presque partout définie sur B’(z0,r).Ensuite, en utilisant les formules de Holder et de Fiibini, on a pour presque tout, couple ( t ,t’) :

Soit {un}une suite de C”(B*) n WIJ’(B*) qui convtrge (cf. proposition prtkédeiite) vers u.On définit la suite { u n } sur B’ par la relation :

1, t

l J T L ( X ’ )=

d~

7LTL(XL.I, 5’)dS.

En remplaçant 71 par u,,- IL dans le calcul précédent. on voit que I I , 71 daris LP(B’). On peut donc extraire de cette suite une sous-suitc { u n , } qui converge presque partout vers u siir B‘. On peut. de niCiiie, extraire de -f

68

CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’IN.JECTION

la suite {un,} une sous-suite {ud(,)}qui converge p.p. vers u sur B * . Les fonctions ud(,) étant régulières, on a :

En utilisant la convergence p.p. des deux membres, on obtient la formule du corollaire. O Une autre conséquence du théorème 2.12 est très utile, en particulier, dans les procédés de prolongement d’une fonction de Wm>?’(R)en une fonction tie Wm>P(RN) lorsque R est un ouvert (( lipschitzien ». Ce procédé nécessite un changement de varia,ble pour une fonction de Wm,p(R).

Corollaire 2.21. Soient deux ouverts bornés R et R‘ d e RN et une fon,ction a réalisant une bijection de (1‘ sur R,a et a-’ étant de plus toutes deux lipschitziennes. Soit p donné > 1. Alors, si I L E W“~P(R),lu fonction composée v = I L O U est dans WIJ)(R‘), les dérivées de v au sens des distribution,s sont fourriies par les formules habituelles de dérivation des fonction,s composées et il existe une constante C(lVaim),dépendant de IVal,, telle que : Ilu O a l l W ’ . P ( f q

6~(I~~,/~)llullw’.p(n).

Preuve du corollaire 2.21. O Soit une suite { u n } de W’J’(R) n P ( R ) qui converge vers ‘II dans W’J’(R). La fonction y ++ wn(y) = u , ( a ( y ) ) est lipschitzienne dans R’, a fort,iorisur toutes les parallèles à l’un quelconque des axes de coordonnées yi. Comme le caractère lipschitzien implique l’absolue continuité,, on en déduit ( c f . remarque 2.4) que w, est p.p. dérivable dans R’et que :

Utilisons alors le lemme suivant :

Lemme 2.22. Les ouverts 12 et R’ étant bornés, soit a une bijection continue de R’ sur (1 telle que a-’ soit lipschitzienne. Alors, si u t LP(R), on a u o a E L”(0’) et il existe une constante c telle qu.e jjuoa((Lp(n,)6 c((uj(Lp(i2). Poursuivons la preuve du corollaire 2.21 en utilisant ce résultat. En l’appliquant à &(u,, u),l’inégalité du lemme fournit : ~

/I&(un)0

fJ

- &,7L)

6

0 alILl’(r2~)

C l l ~ i i ( ~ & )- & ( ~ ) / l L P ( Q )

Comme on sait que &(ulL) + &u. dans Lr’(SZ), on en déduit que { û ~ ( i ~ , ) o a } converge vers t$u 0 a dans Ll’(S2’). I1 en résulte, en utilisant (*) et les hypothèses selon lesquelles Ics ouverts et les dérivées 3,( ( 1 . j ) sont bornés, que la suite {ûz.(7in)> coriverge dans L P ( W )vers la fonction ~ l ( a j oua ) ai(aj)

2.1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS

69

qui est dans L”(G’). L’inégalité (*) fournit alors, par un passage à la limite pour une sous-suite : P.P. Y E a’,

O

a ) b ) = ,E?a,(lL)(a(Y))3,(aj)(y).

Puisque ces dérivées, au sens p.p., sont dans L”(O’), ce sont, d’après la remarque 2.4, des dérivées au sens des distributions. D’après le lenirne, on a : u o a E Lp(R’), il en résulte que u o a E W’>p(O’).Par ailleurs IIuoa.lILp(n,)

<

<

C I I ~ ~ , I I L P ( ~ ) et liÛi(u 0 ~ ) I I L ~ ( W ) ~’IIullwi,~(n)llV(a)ll~-(rz/). On en déduit l’existence d’une constante C qui ne dépend que des constantes de Lipschitz de a et a-’ teII(: que : /luO a l l w l , i l ~ n , ~C I I U I I ~ ~ . ~ ( ~ ~ ) . O

<

Presuve du lemme 2.22. Dans ce qui suit, on note L la constante de Lipschitz de a-’. On se sert toujours de la suite { u T L En } . recouvrant par un nombre fini n,, de N-hypercubes Ck d’arête 217 et en prolongeant IL,, O a par O hors de fl’, la définition dc la Riemann-intégrabilité de lu,,O a l p nous fournit :

Or1 peut supposer que tous ces hypercubes sont tels que CI, c a’. Soit g k le centre de C k , d’où x k = a ( y k ) E (1. Si z E û ( a ( C k ) ) ,les propriétés de a impliquent y = u-’(:r) E 3Ck. Donc, coniine lyk - y1 3 71, on a pour les distances dans RN : q Iy - ykl = I ü ’ ( x ) - a - ’ ( z k ) I Lin: x k 1 . On en déduit que a ( C k ) contient la boule de centre x k et de rayon q / L , d’où nics(a(Ck)) 3 w ~ T I ~> /Knies(Ck), L ~ où K ne dépend que de N et L. On eri déduit la majoration :

<

Un passage à la limite, lorsque q

<

+ O,

~

fournit ainsi :

On peut trouver une sous-suite u U ( ” )qui converge p.p. vers Fatou donne alors le résultat du lerrinie à partir de (**).

IL.

Le lenirrie de O

On donne maintenant pour W1.p une définition utilisant des approxirnations de dérivées par des opérateurs de translation.

Proposition 2.23. Si 1 < p < 03, les propriétés suivantes son,t 6yuivalen,tes : (1) u E W ’ q O ) ,

70

C H A P I T R E 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMEÇ D’INJECTION

(2) u E Lp(R) et il existe une constante C > O telle que, w étant u n ouvert d’adhérence incluse duns R, on a : V h E RN, lhl

Dans le cas p

=

< d(w,dR) ===+ /IThU

-

,UU//L+)

< Clhi.

1, la propriété (2) doit être remplacée pur :

(2’) Pour chaque ouvert w d’adh,érence incluse dans R, il existe une constante C ( W ) telle que c(w) < C , c ( w ) + O lorsque IwI + O et I17hU - 4 L ’ ( w ) < 4 w ) l h l .

Preuve de la proposition 2.23. O On suppose 1 < p < +m. Montrons d’abord que (1) + (2), lorsque la translation est parallèle à un vecteur de base. Soit u E W1,p(R), w c 0, e, le i-iènie vecteur de la base canonique de RN et ho = d(w,dR). Alors c R implique ho > O et, si Ihl < ho, on a l’iniplication II: E w + 5 + hei E R. Le corollaire 2.2 fournit alors, pour tout h tel que Ih,l < ho et pour presque tout II: dans w, l’égalité : (2.24)

+ hei)

U>(II:

-

.(x)

=

Donc, en utilisant Holder :

Puisque luIf’ E L I ( ( ] ) on , peut intégrer cette inégalitk sur w ,d’où, à l’aide de Fubirii et en observant que l’on a w B(O,h,) c R :

+

L’élévation de cette inégalité à la puissance d’exposant l i p fournit la propriété (2) pour la translation qLe,. Pour h E RN,il suffit, lorsque h satisfait à la condition w B(O,h ) c R, de remplacer 3, par la dérivée suivant la direction de h, à savoir dlLu = Vu . (h/lhl).Finalement, on a la propriété (2), la constante qui y figure N étant, par exemple, = (E, ~ ~ ~ , z L I I ‘ & < ~ ~ ) ~ / ’ . O Montrons maintenant (2) + ( I ) . Soit IL vérifiant (2). II s’agit de prouver que a,u E L”(w). Soit, en posant h = 1/71. par exemple, la suite { ( T , ~-~u~)u/ / ~de } distributions sur w. On sait ( c f . sous-section 1.4.8) que cette suite converge dans D’(w) vers la distribution û,u. Cela signifie :

+

c

2.1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS

71

Or, grâce à l’inégalité de Holder et à l’hypothèse 2, on a

Le passage à la limite, lorsque h 3 O, dans cette inégalité nous donne, à l’aide de (*), l’inégalité : I(&u,cp)I Cllp\lLp~. Or, puisque p’ < CO, D ( w ) est dense dans LP‘(w)(cf. théorème 1.90). La distribution diu définit donc une fornie linéaire sur LP‘ (w)et l’inégalité précédente devierit :

<

vg

~ ~ ’ ( w I)( ~,+ , Y ) I

< CttgtiLpr(+

ce qui prouve que & 7 ~ est continue sur LP’(w). Elle s’identifie donc à une fonction de LP(w)dont, en outre, la norme satisfait à ( ( & U I ( L ~ > ( ~C. ) Cela étant vrai pour tout ouvert w relativement compact dans R,on en déduit, en utilisant une suite croissante de tels ouverts, sur lesquels les normes dans LP de diu sont uniforrnérnent bornées, que &u E LP(R). Ce résultat étant ensuite vrai quel que soit i , il en résulte u E W1J’(f2), ce qui termine. O Cas où p = 1. Pour l’implication (I) + ( 2 ’ ) ) le raisonnement reste celui qui précède et on voit dans l’inégalité (2.25) qu’on peut utiliser une constante c ( w ) telle que C ( W ) Jw+B(O,h)IVu(~)Id~ qui tend donc vers Ju IVu(x)/dxquand h tend vers O. En particulier puisque Vu E L’, cette intégrale tend vers O lorsque mes(w) + O (au sens de Lebesgue). Inversement l’inégalité de (2’) donne, par un argument analogue à celui du cas p > 1, que Vu est dans le dual de C,(Q), ce qui signifie que Vu est une mesure ( c j . chapitre 6). Coriinie cette estimation ne dCpend pas du support de p, on en déduit que Vu est, une mesure bornée. De plus, l’inégalité J , lVul c ( w ) montre quc la mesure Ou (cf. cliapitre 6) est absolunient continue par rapport à la niesure de Lebesgue, ce qui montre que Vu E L1(w). Puisque w est arbitraire et que c ( w ) est borné O indéperidaniment de w ,on conclut Vu E L1(62).

<

<

<

Remarque 2.27. Dans le cas p = 1, il apparaît dans la preuve précédente qiie la condition ( 2 ) relative à p > 1 inipliqiie seulement l’appartenance u E B V ( R ) , espace des fonctions à variation bornée (cf. chapitre 6).

Définition 2.28. Soit R un oiivert de IRN, borné ou non. On note WT”(R) l’adhérence de l’espace D ( Q ) dans WmJ’(R) au sens de la norme ii.llm.p. Trouver une caractérisation intrinsèque des fonctions de W?” ( 0 )n’est pas évident en général et dépend forteirierit de la structiire de R. Dans le cas R = IRN, une méthode de troncature et de régularisation permet de montrer :

72

CHAPITRE 2. LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D'INJECTION

Proposition 2.29. L'espace D ( R N ) est dense dans W m J ' ( R N )donc , :

W-*p(rW")

=

W,-yRN).

Preuve de In proposition 2.29. 0 Soit 7~ E W m > p ( R Net ) , 72 E N*. Soit cp une fonction de D ( B ( O , 2 ) )qui , vaut 1 sur B(O,l) et telle que O 6 cp 1. Soit cp,(x) = cp(z/n).Alors la suite un, définie par u,,(x) = cp(z/n)u(z), converge vers u dans W m J ' ( R N ) . En effet, puisque l u l P E L1 :

<

D'autre part, la formule de Leibniz de dérivation d'un produit d'une fonction C" par une distribution entraîne que, si la1 = rn, alors D"(p,u) est la somme de cp,D"7~ et d'expressions de la forme ( l / r ~DN1cp(x/n)D"2u, )~ où la11 laal = rn et /a11= j 3 1. On peut majorer la norme dans LP de ces expressions par :

+

est la somme de deux quantités qui tendent vers O. On utilise ensuite une régularisation. Si p est une fonction régularisante, on lui associe p,(z) = n N p ( n z )et u, = p n * ((pILu). Alors, {un},suite de O fonctions appartenant à D ( R N )converge vers u dans W1>p. D'une manière générale, on verra que, sous des conditions de régularité concernant R , il suffira que la prolongée 6 de u par O hors de R appartienne à W m , ~ ( pour ~ N qu'on ) puisse conclure à la propriété : u E

wT'~(~).

Remarque 2.30. On proposera plus loin un résultat de densité de C1 (2) dans W m J ' ( ndans ) le cas où R est lipschitzien. 2.2. Injections de Sobolev pour Wmip(RN) 2.2.1. Rappels de définitions d'espaces fonctionnels Les entiers j 3 O étant donnés, on définit la faniille des espaces Cb(RWN) par :

Ci(RN)

= {'U E

Cj(RN) I v a € N N ,la1

<j,

3 K " , llD(")ullm 6 K a } .

Leurs sous-espaces c ~ " ( R N ) , où x est un réel strictement positif, sont constitués des fonctions de Cb(RN) telles que, si I C Y/ 6 j , alors :

IC+,

v x , y E RN, ID(")u(x)- D(")u(y)I 6 C",X

12 - YIX.

2 . 2 . INJECTIONS DE SOBOLEV POUR W7’L,p(RN)

73

2.2.2. Énoncé du théorème et remarques préliminaires

Théorème 2.31 (d’injectionde Sobolev). O n suppose p 3 1 et vi E N.Alors :

-

<

(I) Si N > m,p, pour tout q tel que p < q N p / ( N - m p ) , o n a la propriété :W m > P ( R N ) L q ( R N ) .L’inégalité d’injection continue peut être précisée comme suit. Sous les conditions énoncées, il existe une constante C telle que :

vw E WTnTRN),

Ilwllq

< ~llYllw~~~..(a”).

( 2 ) P o u r p = I, o n a : W N > l ( R N ) Cb(RN). (3) S i N = m p et p > 1, alors, pour tout q tel que p propriété : W - > ~ ( R ~ )L ~ ( R ~ ) . (4) S i p > N , alors :

-

O

<x

<1

-

~f

N / p ===+ W’JyIWN)

(5) Si rnp > N lorsque N / p alors :

si ~ tout

O
<j

-

/ E pw et m

2j

=~

-

< q < m , o n a la

C,OJ(RN).

W et si j est tel que ( j - 1)p < N < j p

N / p ==+ W m , P ( R N )

C,””p”X(RN).

/ p + I alors w ~ L , ~ ( R Nc )~ - ~ ” - - I , ’ ~f

( R ~pour )

x < 1.

Quelques remarques préalables permettent de mieux comprendre la démonstration du théorème 2.31 :

Remarque 2.32 (réduction aux fonctions de D ( R N ) ) . D’après la proposition 2.29 précédente, il suffit de prouver les affirniations du théorème pour les fonctions de D ( R ~ ) . Supposons par exemple que, dans les conditions de la propriété (1),on ait prouvé l’existence de C , dépendant de N , p , q , telle que :

(*I

vw E D(RN),

<

IIPIIQ CllPllW..L

P(RN).

Soit alors u E WmJ’(RN) et une suite {p,} de D ( R N )qui converge vers u dans WmJ’(RN). L’inégalité (*) montrant que c’est une suite de Cauchy dans L Q ( R N on ) , en déduit qu’elle converge dans cet espace vers v E Lq(RN). Comme, par ailleurs, elle converge vers u dans LP(RN),on conclut à u = î), soit encore à u E Lq(RN).De plus, par passage & la limite dans (*), on obtient qu’il existe une constante C, dépendant de N , p , q, telle que :

vu E WmyRN),

Ilu((*< c II~llW.”. ( R N ) ,

ce qui prouve la propriété d’injection continue. On raisonne de la même manière pour les autres types d’injection.

74

CHAPITRE 2 . LES ESPACES D E SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION

Remarque 2.33 (réduction aux cas des injections critiques). Si les propriétés sont prouvées dans les cas critiques, c’est-à-dire, pour l’affirmation (1),daris le cas : q = N p / ( N - mp) et, pour les affirmations (4) et (5), dans les cas respectifs X = 1- IV/p et X = j - N / p , alors les propriétés ( l ) ,(4) et (5) du théorème 2.31 en résultent. Supposons, en effet, l’affirmation (1)prouvée pour q =p* = N p / (N - m p ) . Soit q E ] p ,p* [ et O E ]O, 1[ tel que q = Op (1 - O)p*. L’inégalité de Holder, pour les exposants conjugués 1/0 et l / ( l - O ) , nous donne :

+

G 6 On sait que u E L P , que u E LP* et que, d’autre part, il existe C telle que IIu/JLî>* 6 CIIullwrrLP. Ainsi, l’inégalité précédente montre que u E LQ et pO+(l-Q)p’ que IIuIl4L‘l G Cllullw-7 P - CI/UII&~ P , ce qui démontre la continuité de l’injection dans Lq. Un raisonnement analogue permet de ramener la démonstration des affirmations (4)et ( 5 ) aux cas critiques envisagés ci-dessus. Remarque 2.34 (sur l’impossibilité d’améliorer (1)). Un siniple argument de changement d’échelle permet de voir qu’il ne peut y avoir, lorsque N > p , d’injection continue de W1+’(RN) dans Lq(RN)pour q < p ou q > p* (où P* = N P / ( N - m p ) ) . Supposons, en effet, l’existence de C, dans l’un ou l’autre de ces cas, telle que, pour tout u E W 1 > p ( R N ) , 1 1 ~ 1 1 ~ CIIUIIWI ~ p . Appliquons cette inégalité & la famille définie par : UA(.) = .(,/A). On obtient :

<

En utilisant alors la variable y = x/X et l’inégalité de Minkowski, cela devient : /IUI/,XN/Q

6 C [IIuIJpXN/P+ IIvu/lpX-l+”/P].

ou encore une inégalité de la forme :

Cl 6

C2XN(l/P-1/Q)

+ C3X-1fN(l/P-l/Q)3

où Cl, C,, Cs sont trois nombres fixés positifs. L’hypothèse q < p implique que les exposants du second membre sont strictement négatifs, d’où, une contradiction lorsque X -+ +co. De même,

2.2. INJECTIONS DE SOBOLEV POUR W ’ “ , P ( R N )

75

on voit que l’hypothèse q > p* implique que ces deux exposants sont strictement positifs, ce qui amène une contradiction lorsque X -t O.

Remarque 2.35 (argumentation dans la preuve donnée par Sobolev). L’idée, originellement utilisée par Sobolev pour montrer cette injection, consiste à écrire formellernerit I L sous la fornie u = u * 6 = u * A E , où E , solution élémentaire du laplacien, est définie ( c f . exercice 2.19) de la manière suivante : Si N > 2, c’est la fonction E = A N T â p N , avec k N = I/((z - ~ ) w N - i )où W N - ~désigne l’aire ( N - 1)-dimensionnelle de la sphère-unité de R N . Si N 1 2 , c’est la fonction E = Iczln(r) avec Ica = 1/(27r). Plus précisément, étant une fonction de D ( R N )égale à 1 au voisinage de O, on k r i t I L sous la forme :

<

(*I

u=u*A(<E)- u * V < . V E - u * ( A < ) E .

On remarque que les deux derniers termes de (*), à savoir I L * Vc . V E et u * ( A < ) Es’expriment, pour p 3 1, comme le produit de convolution de u E LP par une fonction de D ( R N ) .On en déduit que cette convolution est dans L ~pour , tout k 3 p . On est ainsi ramené à considérer le premier terme de (*) qui s’écrit u * A ( < E )= V I L V ( < E ) . Soit par exemple p = 1. En remarquant que V ( < E )C L4 pour tout q < N / ( N - 1) puis, en utilisant les propriétés de la convolution par une fonction de Li, on obtient alors, grâce à (*), l’appartenance u E Lq, sous la condition q < N / ( N 1). Le même calcul montre que si 1 < p < N , on a encore IL E Lq pour tout 4 < P N / ( N - P). Pour aller ensuite jusqu’à l’exposant critique, on utilise, dans le cas 1 < p < N avec N 3 2, le lemme de Sobolev ( c f , [37]), dans lequel l’uii des termes de la convolution est la fonction radiale a: H r-’. Ce lemme s’applique à la situation présente lorsque p > 1 en choisissant, coriforrnément à la définition de V ( < E )l’exposant s = N 1, indifféremment dans les deux cas N 3 2 et N = 2. Son énoncé est le suivant : ~

~

Lemme 2.36 (de Sobolev). Soit f un élément de L P ( R N )où p 3 1, 6, support compact. On considère le produit d e convolution g = r-” f . O n a les résultats suivants : (1) Si p > 1, alors la fonction g appartient ù Lq sur tout compact de E t N , pourvu que q vérifie : 1 3sup{Q1,0} 1

-

Q

où

I -

41

l s =-+--I P

76

CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION

( 2 ) Si p = 1, alors y appartient ù Lq sur tout compact dès que l / q l/q* = s / N . ( 3 ) Si l/p+s/N pour tout q < CO.

=

1, alors la fonction, g appartient

Lq

>

sur tout compact,

Dans tous les cas, o n a, sur tout compact, des majorations du type :

la constante C dépendant de q , du compact sur lequel o n rna~jor.ey et d u support compact de f . La preuve de ce lemme est difficile pour les cas non couverts par le théorème de convolution de Riesz et ne sera pas dorinée dans ce livre.

Remarque 2.37. L’exposant critique N / ( N - 1) pour p = 1 n’est pas couvert par le lernrrie de Sobolev. Notons que, dans ce qui suit, nous n’utiliserons pas la preuve de Sobolev, mais des argunierits phis élémentaires. 2.2.3. Organisation de la preuve du théorème de Sobolev

Étape A . On établit, pour les fonctions y de D ( R N ) ,l’inégalité : /IYIILN/(N-’)(RN)

6 CIIYIIW~l(iWN).

I1 en résultera, par la remarque 2.32, l’affirmation (1) du théorème dans le casp=m=l.

Étape B. On établit, dans le cas p < N , pour les fonctions y de D ( R N ) , l’inégalité : ll(PllLNP/iN-x’>(WN)

6 CII~II,~” ( R N ) .

Étape C. On établit, par récurrence, pour les fonctions y de D ( R N ) ,dans les cas 7n 3 2 et m p < N , l’inégalité : IlcpllLNp/(IWN)

6 CIIYIIW.~ P ( R N ) .

A

l’issue de ces trois étapes, l’affirmation (I), grâce aux remarques 2.32 et 2.33. sera prouvée.

Étape D. On établit, pour les fonctions y de D ( R N )l’inégalité :

llcpllm 6 ~ I I Y I I Wl ( W~N ) . En utilisant la densité des fonctions régulières, on en déduira l’affirmation ( 2 ) du théorème.

Étape E. On prouve l’affirmation ( 3 ) du théorème, en commençant par le cas m = 1, p = N et en poursuivant avec m 3 2 et N p = m. Étape F. On démontre les deux dernières propriétes (4) et (5) du théorème.

2 . 2 . INJECTIONS DE SOBOLEV POUR W ' ' ' . P ( W N )

77

2.2.4. Démonstration du théorème de Sobolev

Preuve concernant l'étape A . I1 faut prouver (2.38) O

IC,

:

vcp E D ( R ~ ) , JIcpJJLN/(N-i)< cIJpIJw1.1.

Soit cp E D(JRN).Alors, pour tout indice i E [ l , N ] ,on a :

L r,

vx E

RN,

cp(z) =

lcp(z)l

< &M2 + (s

@p(z

+ (s

-

z2)ez)dts.

On en déduit : (2.39)

-

z,)ez)lds.

On remarque que l'intégrale du membre de droite de (2.39) ne dépend pas de la composante xi de z. Le ( N - 1)-uplet ( 2 1 , . . . , z - I , zi+l,. . . , Z N ) est noté On définit, sur IRNp1, la foriction (pi à support compact, par la formule :

Les inégalitiis (2.39) s'écrivent donc :

v i E (hN1, v x E RN, Corrime le but est l'étude de

"(NI) Jcp(z)l,< Pi(%

l \ p l l L N / ~ N - i ~011 ,

note ici que :

On utilise alors le lemme :

Lemme 2.40. Soieat N 3 2 et N fonctions F,, clincime appartenant à LN-*(RNP1).Alors, o n a :

et o n a l'inégalité :

Preuve du lemme 2.40. On fait une démonstration par récurrence sur N . Si N d'autre que la propriété connue :

= 2,

ce n'est rien

Supposons la propriété démontrée à l'ordre N . On se donne alors, pour 1 j N 1, les éléments F3 de L N ( R N )chacun , d'eux étant fonction de la variable ( N + 1 ) ,

< < +

78

CHAPITRE 2. LES ESPACES D E SOBOLEV. THÉORÈMES D'INJECTION

Considérons, la variable d'intégration étant z = grale, à XN+1 fixée :

(z1, 5 2 , . . . ' X N ) ,

l'inté-

Dans cette intégrale, où x N + 1 est fixée, on applique l'inégalité de Holder, pour les exposants N et N / ( N - 1). On obtient l'inégalité suivante :

Considérons les N fonctions h, définies pour

(2.43)

XN+1

fixé et i


par :

h ~ ( 2 ( ~ ) ? z N +=i )IFz(z, " ( N I , X N + l ) l N / ( N - 1)

Par l'hypothèse de récurrence à l'ordre N , la fonction ( / L % ) ~ -étant ' sommable sur IWNP1, le produit de ces fonctions est dans L1(IWN).L'inégalité précédente (*) fournit alors I N < +m. Notons : [gz("N+i)IN

=

lNpl

Ipt(z2(N), "N+l)lNdz!N).

Par hypothèse de récurrence, les fonctions h, satisfont à (2.41)' à savoir :

Le deuxième membre de cette inégalité étant L'intégrale :

est l'intégrale sur

nl
IW de

Appliquons à I N l'inégalité de Holder et reniarquoris que

80

CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’IN.JECTION

Remarque 2.44. En fait, la dernière inégalité, qui traduit la continuité de l’injection, s’écrit, ici plus précisément :

Preuve concernant l’étape B. 0 On suppose maintenant m = 1 et p < N . On considère, pour u E D ( R N ) ,la fonction u = I ~ l p ( ~ - ~ ) / ( ~ - p ) - l u , où l’exposant est positif ou nul puisque p > 1. Par la définition 17~1“ = exp(cu ln(lul)), la dérivée partielle &v s’écrit :

En outre, la remarque précédente et l’utilisation de Holder fournissent :

Le membre de gauche n’est autre que ~~u~“;Iv“p‘;‘-p’.Donc, en divisant par

II ull

N N(p-l)’(N-p), p / (N - p )

(2.46)

on obtient l’inégalité IIuIINp/(N-p)

:

cIIvullp.

On a ainsi démontré l’affirmation (1)du théorème pour m = 1 et 1 < p < N . Preuve concernant 1’étape C. On fait maintenant une preuve par récurrence sur m. Supposons m 2 et m p < N . On a donc : ( m - 1)p < N et p < N . Par l’injection Wrn-lJj ~ - LiN p / ( N - ( m - ’ ) p ) supposée démontrée, on a, D désignant un opérateur différentiel d’ordre 1 : Du E liVm-’,p, donc Du E L N p / ( N - ( m - l ) p ) . Puisque u E WrnJ’, on a u E WmP1,p, donc aussi u E

>

LNP/(N-(m-l)P).

Finalement, en posant q = N p / ( N - ( m - l)p), on a u E Wl,q. D’après le théorème d’injection pour rn = 1 et puisque q < N , on obtient, en remarquant que q / ( N - q ) = p / ( N - m p ) , l’appartenance : E LN4IiN-Q) = LNP/(N-mP),

ce qui achève la preuve pour l’étape C. Nous avons donc démontré l’affirmation (1) du théorème.

2.2. INJECTIONS D E SOBOLEV POUR W’n.p(WN)

81

-

Preuve concernant 1 ’étape D. 0 On passe ii la preuve de l’affirmation (2) en montrant que : W N > l L”. L’utilisation de la densité des fonctions régulières entraînera ensuite la propriété d’injection : WNilL-) Cb(RN). Ori a déjà montré, dans la preuve de la propriété (1) ( c t (2.39)) que, si E w’>’(R~ alors ), : r u

Faisoris d’autre part l’hypothèse de récurence suivante. Si ‘u E WNP1>l (IRN-’), alors ii E Lm(RN-’) et :

On applique cette inégalité à la fonction d N u ( d , ~ N )pour , obtient

1cN

fixé. On

-

On a airisi obtenu W N ? l L”. Retournons à l’affirmation (2). Soit u E W N > l ( R N et ){un}une suite de D ( R N )telle que (lu,- U ( ( W N , I ( R N ) + O. D’après ce qui précède, on en déduit /luTL - ullLX(pgN) O, ce qui signifie que { u V L+ } IL uniformément sur R ~ Ainsi u est continue sur RN.Conirne u E L“, il en résulte que u E C b ( R N ) . De plus, l’inégalité l l i ~ / I ~ =C I I u l l W N , 1 fournit : -j

<

E

WN,l(w’

< CIIUlIWN.1.

II~IIC*(RN)

Cela termine l’étape D et la preuve de l’affirmation (2).

.

82

CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION

Preuve concernant l’étape E. Supposons que m p = N. O On commence par le cas m = 1, p = N > 1. Soit donc u E W 1 , N ( R NOn ) . montre que u appartient à 154 quel que soit q N . On commence par montrer que W 1 , N ( R Ns’injecte ) continûment dans LQ pour tout q E [ N ,N 2 / ( N - l)].Pour cela, on remarque que si u E W 1 , Nalors , uN E Wl,’. Ceci résulte de V ( u N )= N u N P 1 V uet de l’inégalité de Holder :

Par l’injection de Sobolev de W1>ldans L N / ( N - l )on , en déduit l’appartenance de u à L N 2 / ( N - 1 ) . On montre maintenant l’appartenance de u à tous les Lq pour q > N 2 / ( N - 1). Pour ce faire, on remarque que q peut alors s’écrire q = q ’ N / ( N I), avec q’ > N . Considérons, p étant une fonction régulière approchant u dans W1>N(RN) : ~

En utilisant V(lpIq”) = q/IpIQ’-2’pVp,la remarque 2.44, c’est-à-dire la majoration (2.45), puis l’inégalité de Holder, on obtient pour A les majorations :

On voit que (4’ - 1 ) N / ( N - 1) E [N, q ’ N / ( N - I)[. II existe donc un nornbre 0 E [O, 11, à savoir Q = l / ( q ’ 1 - N ) tel que :

+

Par suite, en utilisant encore l’inégalité de Holder, on obtient :

2 . 2 . INJECTIONS DE SOBOLEV P O U R W’n,p(RN)

En reportant dans l’inégalité précédente (2.47)’ on obtient

83

:

On a ainsi établi (cf. remarque 2.32) l’appartenance u E L q ’ N / ( N - l ) . Notons qu’on ne peut pas en déduire que 11 E Lm car la suite de scalaires dq‘-N+l)/q’ n’est pas bornée. I1 existe d’ailleurs des exemples de fonctions 4 de W 1 , Noù , N 3 2, qui ne sont pas bornées. 0 Supposons m 3 2, et m p = N . Alors ( m - l)p < N . De îi E Wm,p,on déduit u E W(“-’),” et, pour tout j , ûju E W(””’)sP. Donc, d’après l’affirmation (1) du théorème, on sait que u et ô,u appartiennent à L” avec ‘r = N p / ( N (rn - 1)p). De m p = N , on déduit r = N ; on a donc ru E W1,T,ce qui implique, d’après ce qui précède, u E Lq pour tout q , et achève la preuve pour l’étape E. ~

Preuve comerrmnt l’étape F. Supposons maintenant que m p > N . 0 On commence par le cas p > N , m = 1. Soit u E W I J ’ ( R Net ) p > N . On donne deux démonstrations du fait qu’alors I L E L “ ( I w ~ ) . Première preuve de l’appartenance u E Lm(RN) dans l’étape F. Cette démonstration repose sur l’intégration de la fonction sur un cône ch,@ de sonirnet 0, d’angle au soriiniet 8, limité par line sphère dc RN de rayon h.Cette preuve convient donc aussi à un ouvert R qui a la propriété de cône unifornie, c’est-à-dire un ouvert pour lequel il existe h, 8 , tels qiie, pour tout :L: E 12, il existe une rotation R de RN tel que z R(C,L.~) c 0. C’est le cas bien sûr pour les ouverts lipschitziens, dont on donnera la définition plus loin ; ce n’est, pas vérifié pour l’ouvert de l’exemple 2.9 du fait dc l’existence d’un point de rebroussemcnt de 362. On montre dans ce qui suit que :

+

Quitte à faire une translation, on se ramène à la majoration de Ip(0)l. On utilisera les coordonnées polaires ( p , O ) où p E [O. h] et O E A ( p ) , où A(p) est la surface d’intersection de C ~ ,avec Q la sphère de rayon p (cf. figure 2.2 ci-après). Soit

ô4

C H A P I T R E 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION

FIGURE 2.2. Le cône

Ch.0

L’élément de volume est défini par dx = pNP1s(a)dadp où s(a)do est l’élénient d’aire ( N 1)-dimerisionnelle sur la sphère-unité S N . Ori utilisera les coordonnées polaires ( p , a ) où p E [O, h] et a E A ( p ) . Le volume du cône étant proportionnel à tiN, l’intégration sur Ch,o de l’inégalité précédente nous donne, par Fubini, c1 > O étant une constante niinorée indépendamment de h : ~

(*I

IP(0)lhNCI

G

Lhs,,,,

s(o)IG(P’ a)lpN-ld&

+

L(p)

pN-ls(a)%

o)dodp.

La première intégrale de (*) n’est autre que A = Sc,,,,Ip(z)/dx. En utilisant l’inégalité de Holder pour les exposants conjugués p et p’: on obtient :

6 c i h N 1 “ ~ ~ ~ l l L p 8( )<’ ~ ~ L On étudie à présent la deuxième intégrale B de (*) et, d’abord l’intégrale I ( p , a ) que l’on écrit sous la forme : I ( p , a) =

LPpp@l(A’

,)X(N-l)/pX(N-l)/’X-(N-l)dX,

ce qui donne en lui appliquant l’inégalité dr Holder :

2 2 INJECTIONS DE SOBOLEV POIJR W”’ ” ( I R N )

85

Ori rcrriarque qu’en raison de p > N, l’exposant de la dernière intégrale vérifie la relation ( N - l ) ( l- p’) > -1, ce qui établit la finitude de cette iritkgralc. La dcuxièrrie intégrale B qui figure daris (*) fournit donc l’inégalité :

En majorant l’iritégrale intérieure par l’intégrale sur [O, h ] ,on a encore :

En utilisant encore l’inégalité de Holder appliquée cette fois A l’intégrale sur A ( p ) ,on a :

La rriesiire de A(p) étant bornée par l’aire de S N ’ donc indépendamment de / I > , le second rrierribre de l’inégalité précéderitc s’iritcrprétant, coinme une intégrale sur Ch,e et Iûp((p(X,~)I ktant rriajoré par lVp(x)l, or1 peut écrire firialeirierit, :

B 6 K‘h,ltNl“’ I I VP II L1>(Ch.O). Eii divisant par hN , on obt,ieiit, l’inégalité annoncée (2.48) par utilisatiori de (*). On passe ensuite aux fonctions de W1,P par derisité. Par ailleurs, et ce sera h i t un peu plus loin, on verra qiic’, dans le cas de I R N , puisque I I peut décrire la totalité de R,le second rnernbre de (2.48) est majoré, ce qui O doniic ci1 fait uiie majoration optirriale de la norme Deuzièrne démonstration de l’appartenanm u E L” ( I R N ) dans l’étape F. On considère la solution élémentaire E dii laplacien. On a, ce qui se vérifie facilement (cf.exercice 2.19) E = ~ N T si ~ N - 3 ~ 3 et E = kz I r i r pour N = 2, avec k2 = 1/(27r) et k~ = 1/((2 - N ) W N - ~W) N, - ~ étant l‘aire ( N - 1)-dirrierisioiirielle de la sphère unité dans F i N . Soit 8 une fonction de D ( R N )qui vaut 1 s i x iirie boule de centre O. Soit F = BE, alors :

AF où

= 860

~4)E D ( R ~ )Or1 . peut

+ 2V8. V E + ( A 8 ) E= So + (1/’

écrire

PI, =

60

AF

*u 4*u -

86

CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION

puis

AF*u=

d,F*d,u l
et les dérivées de F sont de la forme r l - N au voisinage de O et à support compact dans R N . Elles sont donc dans tous les Lq pour q < N / ( N - 1). Eri particulier, elles sont dans LP‘ puisque p > N . Le produit de convolution E, d,F*d,u appartient donc à L”. Puisque $ E D ( R N )et que, par exemple, u E L‘, le produit de convolution u 1c, est une fonction C” et bornée. On a ainsi obtenu l’existence d’une constante C telle que :

*

l l ~ l l wG c(IIVFllP/IIvullP + i l ~ i i P ~ i i ~ i’i P ) ce qui termine la preuve de l’appartenance

IL

E L”(RN).

O

Notons qu’on obtient une estimation optimale en utilisant des fonctions de la forme 7 ~ ~ ( 2 - )= 7 ~ ( 5 / X ) où X > O. En effet l’inégalité de continuité ~ ~ 6uC1liullp ~ ~ mC Z ~ ~ V appliquée U ~ ~ à~ U,A fournit :

+ ~

~

+

G ~C i~X N” / ~ I / U l l p C2X-1+NIqVUlIp.

U

En particulier, le rriinirnurn de la fonction de X exprimée daris le membre de droite est atteint pour X = n / l l / V ~ l ~ ~ ( 1où 1 uM~ l=~ Cz(p ) ~ ~- N ) / ( N C 1 ) . On obtient donc l’inégalité, où C est une constante qui ne dépend que de N et p et de données universelles :

I I 4 w 6 C ( ll~ll:-N~/”lI~~llin’~). On termine enfin la preuve de l’étape F en étudiant le caractère holdéricn de 7 ~ . Soit h E IRN. On a déjà observé dans la proposition 2.23 : O

ll%U -

< CW~ll,’

ullp

et d’autre part : IlV(~1iU - U)llP G 2 1 1 W P ’ de sorte qu’en utilisant l’inégalité précédente, on obtient : I I ‘ T I L U - UI,

< Chl-N/P II Vull L P . \

Ceci entraîne que u est holdérienrie d’exposant 1- N / p . La preuve du caractère holdérien est donc faite pour m = 1. 0 On passe au cas où rn 3 2 . Si 7np > N lorsque N / p N et J = [ N / p ] + l , alors : Wrn,P(pV)

Soit en effet

J

tel que ~p

-

> N > (J

u € W’JyRN)

Ch-W/P

-

1)p. Alors

* (u,D u ) E (WJ-’JyRN))2,

2.3. GÉNÉRALISATION À D’AUTRES OUVERTS

87

donc (u, Du) E ( L N p / ( N - ( j - 1 ) p ) ( I W N ) ) 2 (ceci d’après la première injection de Sobolev, puisque ( j - 1)p < N ) , d’où il résulte que

Ew

(RN1. En utilisant ce qui précède et en remarquant que Np/(N on obtient u E Cb(RN),et plus précisément : W P / ( W - l ) P )

O,l-N(N-(j-l)P)l(NP)

-

( j - i)p)> N ,

- 0,3-N/p

PN). u E c, - ‘6 Soit maintenant u E W ” > ~ ( Ret~p)m > N. Soit j tel que ( j - i ) p < N < j p . Avec ce qui précède, D(m-3)u E W j , p ( R N )donc , u E Cbm-’)(IWN), avec j = [ ~ / p$1. ] Puisque ~ “ p j E u C ; ” - ~ ’ ~ ( J R N ) , aiors u E C,m - j , j - N l ~ (RN). Si u E W ~ ? ” ( Ravec ~) j ( ~ / p ) i E N,alors DU E W ~ - ’ > P ( I W et,~ ) puisque ( j - 1)p = N , l’étape E entraine que Du E Lq pour tout q < 00. Ce qui précède montre que u E c ~ J ( R ~ quel ) que soit x < 1 - ~ / c’est-à-dire q u E c,O” ( R ~quel ) que soit x < 1. Si j = ( N / p ) 1 E W ce qui précède montre que Dm-ju E C ~ ~ ’ ( I W Nquel ) ) que soit x < 1. que soit X < 1, d’où u E Cb“-N/P-l’X ( R ~quel Ceci termine l’étape F et la preuve du théorème (2.31).

+

+

2.3. Généralisation à d’autres ouverts

Nous traitons ici le cas de certaines classes d’ouverts pour lesquels les théorèmes d’injection de Sobolev donnés dans la section 1.2 sont encore valables. 2.3.1. Méthodes utilisées, exemples et contre-exemples Urie méthode pour obtenir ces théorèmes est la suivante. On prolonge hors de R, si cela est possible, toute fonction u E W m > p ( C l ) en une fonction U E W m l p ( R N )On . utilise, pour C,les propriétés du théorème 2.31. En revenant à la restriction u à R de G,on obtient la propriété correspondante pour l’espace WmJ’(O). Nous allons voir que les possibilités de tels prolongements sont fortement liées à la structure géométrique de l’ouvert R. Donnoris d’abord un contreexemple.

Exemple 2.49. Soit l’ouvert R défini par :

R

= ((2,y)

1 O < 2 < 1, O < y < x”.

Alors, les injections de Sobolev rie sont pas toutes vraies pour cet ouvert

( c f . [411) : La fonction (z,y) H x“ appartient à H1(R) dès que Q > -1/2. D’autre part, elle appartient à LP si et seulement si crp 2 > -1. Ceci entraîne que

+

88

CHAPITRE 2. LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION

u E L P pour p < 6 mais non pour p = 6, alors que l’injection de Sobolev classique donnerait cette appartenance pour p quelconque. Nous proposons ici une classe relativement large d’ouverts pour lesquels les théorèmes d’injection sont vrais. Pour des contre-exemples et d’autres ouverts plus généraux, le lecteur peut consulter [il. 2.3.2. O p é r a t e u r d e (m,p ) - p r o l o n g e m e n t

Définition 2.50. On dit que R, ouvert de IRN, possède un (m,p)-prolongenient s’il existe un opérateur linéaire et continu E de WmJ‘(C1)dans I V ~ > P ( I Rtel ~ ) que , pour tout x E R,l’opérateur satisfait à Eu(%)= u(x). On a alors le théorème suivant :

Théorème 2.51. Supposons que R soit un ouvert de RN qui possède un (m,p)-prolongement. Alors les théorèmes d’injection concernant WmJ’dans le théorème 2.31 s’étendent a u cas de R. Preuve du théorème 2.51. 0 Supposons m p < N . Soit E un opérateur de prolongement continu de Wm>P(R)dans WmJ’(RN). Soit q 6 N p / ( N - m p ) . Puisque E u ( x ) = u(x) pour z dans 0, on a : IlullLqn) 6

IIE(U)IIL4(R”)

6 CllE(.)ilW..~

P(RN)

6 CllEll

Ilullw7rqn).

On utilise un procédé identique pour l’un des autres cas (2) ou (3) dans le théorème d’injection de Sobolev. O

On donne daris ce qui suit des conditions géométriques sur l’ouvert s1 qui sont suffisantes pour obtenir la propriété de (m,p)-prolongement. 2.3.3. Cas d u demi-espace ( E t N ) + On définit (EtN)+ = IRN-’ x ]O, +CO[.On montre dans ce qui suit l’existence d’un (m,p)-prolongement dans l’espace IVrn>.( (IRN)+).On commence par un lemme d’existence d’une (( trace >> sur la frontière. Ce résultat est une première approche du théorème de trace que l’on verra au chapitre suivant.

Proposition 2.52. Il existe u n e application linéaire continue, notée yo de WIJ’((RN)+) dans LP(RN-’) telle que, si u E C((RN-’) x [O,+CO[) n W’J’((RN)+), alors you(x’) = u(x’,O). En outre, si u est à support compact daris RNP1x [O,CO[, you est à support compact dans RN-’ et o n a la formule : (2.53)

8NU(X)dS = XIO,rn[

-

yo u(x’)dx’.

2 . 3 . GÉNÉRALISATION À D’AUTRES OUVERTS

89

Preuve de la proposition 2.52. 0 On montre que la suite des fonctions x’ H u(d, l / n ) est de Cauchy dans LP(RN-l). En utilisant le corollaire 2.19 de la proposition 2.12. on a en effet, pour presque tout x’ E R ~ : - ~

En utilisant Holder à x’ fixé, en élevant à la puissance p et en intégrant, on obtient :

Ceci fournit la condition de Cauchy en utilisant le fait que la dernière intégrale est b0rni.e par Ila~ull;.Soit yo u la fonction définie par yo ~ ( 5 ’=) linin++m u(.r’,l/n). Ce qui précède montre que you E L p ( R N - I ) . Par ailleurs, la linéarité de yo est évidente et, lorsque 7 1 E C1((RN)+),cette limite n’est autre que u(d, O), d’où, alors, yo(u)(d. O) = u(~’, O). 0 Montrons la continuité de yo sur Wl1p(RN-’ x ]O, m[). En utilisant le corollaire 2.19 de la proposition 2.12 avec l / m et y et en passant à la limite dans (*) quand m tend vers $00 on obtient :

(**I

p.p. y

€

R+,

you(z’) = u ( x ’ , y ) -

LY

&ru(x’,t)dt.

En intégrant (**) élevée à la puissance p , par rapport à y E [O, 11 et x’ E RN-l, on obtient par l’inégalité de Minkowski :

On en déduit la continuité de l’application yo. 0 Soit 71 à support compact qui appartient à W ’ > P ( R ~ x - ~[ o , ~ o [ )La . formule (**) nous donne : YX’

RNP1, yOu(x’) = -

Lm

dNu(X’, t)dt.

O

On obtient alors (2.53) en intégrant par rapport à IC’. Cette proposition est utilisée au cours de la preuve du :

Théorème 2.54. Quels que soient m E N* et 1 < p < 00, le dema-espace RN-l x R+ possède un opérateur de (m,p)-prolongement. Preuve du théorème 2.54. 0 On définit, pour u E WmJ’(RN+), la prolongée Eu de u pour (2.55)

E u ( x )=

XN


:

C H A P I T R E 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D'INJECTION

90

où le m-uplet (A,)

constitue la solution unique du système :

Q k E { O , 1,.. . ,rn - 1},

(2.56)

(-j)'A,

=

1.

163<m

On peut remarquer d'abord qu'avec ces conditions, si u E C"((RN)+),alors, pour tout k m - 1, la fonction u et les dérivées partielles d ' E u / d & sont continues à la traversée de {ZN = O} et on en déduit Eu E C7"-'(RN).I1 suffit pour cela d'utiliser la définition des dérivées 8; le long de {ZN = O}. En fait, dans le théorème 2.54, on peut prendre pour EU la même formule avec des A, en nombre m' > m, pourvu que les m conditions (2.56) où 1 j 6 m' restent vérifiées. C'est cette remarque qui est utilisée, pour le cas m = 1, dans la proposition 2.57 qui suit, laquelle a l'avantage d'amorcer sans difficulté la preuve du théorème 2.54 :

<

<

Proposition 2.57. Soit v dans W11P(RN+) et soient pj des réels en nombre k 3 1 tels que

Soit

5 défini sur RN par

:

Alors, 5 E W1,p(RN). On admet cette proposition 2.57 pour continuer la preuve du théorème 2.54, sa démonstration étant reportée plus loin. 0 D'abord, il faut montrer que u E WmJ'((RN)+) implique Eu E W m J ' ( R N )Soient . u E Wm,P((RN)+)et Eu définie par (2.55) et (2.56). Supposons montré que Eu E Wmp',p((RN)+). En utilisant la proposition 2.57, il suffit de vérifier que pour tout a avec = m - 1, la dérivée D a ( E ( u ) )répond aux exigences de cette proposition : pour ce faire, soit Da = Da'dN, avec a = (a',k ) et k 6 m - 1. Alors : m

D"(Eu)(z',Z N ) =

A,(-j)'Da'd;u(d,

-jzN).

1

Puisque les nombres p, = A,(-j)k en nonibre m 3 1 sont tels que z y p , = 1, les hypothèses de la proposition 2.57 sont satisfaites. Par conséquent, on conclut à D a ( E u )E W',p(RN). 0 Reste la continuité de E . Sa preuve est reportée à la fin de la preuve de la proposition 2.57.

2 . 3 . GÉNÉRALISATION À D'AUTRES OUVERTS

91

Preuve d e la proposition 2.57. Montrons que 6 appartient bien à W1ip(RN).Pour cela on a besoin du :

Lemme 2.58. Soit w E W ' , p ( ( R N ) +et) [1,N - 11 :

Sa

'p

est t e l l e que 'p(x',O )

= O,

'p

D ( R N ) .Alors pour tout i E

alors :

iRN)+

(2.60)

E

aW(z)'p(z)dz+ l R N ) +

u ( z ) d N p ( z ) d z = O.

Preuve d u lemme 2.58. 0 Établissons l'égalité (2.59). Soit 'p E D ( R N ) . Soit { u n } une suite de C"((RN)+) n W1ip((RN)+) qui converge vers v daris W ' i p ( ( R N ) + )On . a, pour presque tout X N , par définition de la dérivée dzv, au sens des distributions sur RN-l :

LI

a2un(X)(z', XN)'p(Z', ZN)dX'

+

ûZ'p(z', ZN)V,(X', ZN)dZ'

y

O.

L N - 1

En intégrant cette égalité par rapport à Z N , on obtient le résultat souhaité en passant à la limite. 0 Établissons l'égalité (2.60). Si p est telle que 'p(z.',O)= O, la fonction u p est dans W',p((RN)+) et vaut O sur le bord {XN = O}. En utilisant la proposition 2.52 on obtient : P

soit encore

:

dwu(X)p(X)dz= -

O

On termine la preuve de la proposition 2.57 en utilisant la dérivation au sens des distributions et le lemme 2.58. Soit 'p E D(R). ~a fonction w ( ~ ' , j z N ) est encore daris ~ l > p ( ( R ~ ) + ) et ~ ( z '-XN) , encore dans D ( R N ) ,donc, par le changenierit X N H - X N (à deux reprises) et par la première égalité du lemme 2.58, 011 a, pour i < N-1 : 0

92

CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION

Alors, toujours par la première partie du lemme :

(&G,P)= -@, 4P)

le deuxième rrierribre pouvant s’écrire encore

On a ainsi obtenu le résultat :

Pour la dérivation en x N , on utilise la variable

-jzN

à la place de ZN :

(dNZ,P)= -@, a N P )

La dernière égalité résulte de la deuxième partie du lemme 2.58 appliquée k à la fonction p(z’,ZN) - E, p3’p(z’,- z N / j ) qui est nulle sur X N = O en raison de l’hypothèse pL3= 1. En utilisant encore un changement de variable, on en déduit :

2 . 3 . GÉNÉRALISATIONÀ D’AUTRES OUVERTS

93

Ces deux relations (2.61) et(2.62) montrent que &6 pour i < N - 1 et d ~ i T appartieririeiit à L p ( R N ) .On a ainsi terminé la preuve de la proposition 2.57. O Achevons la preuve du théorème 2.54, à savoir la continuité de E . Les égalités précédentes montrent en outre que, pour tout i N : 0

<

I a,61LI’ (RN ) < 2 I I 3,11 I I LP ( (RN ) + ) . On en déduit qu’il existe une constante C telle que l’on a :

I I Eu I I r n , p < c 1 luI I w

fr) . P

((RN) + ) .

Ceci exprime la continuité de l’opérateur E .

O

Corollaire 2.63. L’espace W,’”((RN)+) est le sous-espace de W1,p((RN)+) des fonctions u de ce dernier espace telles que you = O, ou encore des foactaons u dont le prolongement par O hors de (RN)+appartient à W1,p(RN). Preuue du corollaire 2.63. 0 I1 est clair, cn utilisant la continuité de l’application trace yo,que pour toute suite de fonctions à support compact qui converge daris WIJ’(( I R N ) + ) , la limite a une trace nulle. On en déduit que, si u E Wi’”((RN)+),alors Y()?L= O. Inversernerit, soit u tel qiie you = O. Désignons par ii la prolongée par O pour I C N < O. Alors, pour i < N - 1, le calcul de la dérivée d’indice i de cette prolongée nolis donrie, en utilisant la première égalité (2.59) du lernrrie 2.58 : v p E D ( R N ) , (&C,p) = -(G,sip)

=

.a,p

-

L > O

=

J’

ZN

i3,’UCp. >O

Pour i = N , d’après la deiixiènie égalité (2.60) dii lemme 2.58: car PLYest à trace nulle, on a :

(a,ii,p)

=

-(“,&rp)

=-

J’

UaNp =

.I,,,

DNup.

XN>O

Soit ii,(x’) = G(d,ZN - l / n ) . Alors la suite { u ~qui ~ }est à support compact daris (RN)+ converge vers ?L dans W’J’(RN). Pour le voir, on reniarque que : (2.64)

- IIT~~W

‘dwE L p ( R N ) , lim Is

O

-

w / I p = O.

En effet, soit E > O et $ daris C,(RN)telle que I U I de l’uniforme continuité de $, il existe ho tel que :

Ainsi, pour Ih/ 6 ho, on a :

-

li,llp < ~ / 3En . raison

94

C H A P I T R E 2 . LES ESPACES D E SOBOLEV. THÉORËMES D’INJECTION

On en déduit lim Ijv,

-

n++cc

Gllp = O et V j E (1,NI,

lim lldjvn

-

n-+cc

E)jGllp =

O.

Soit ensuite p une fonction de D(R”). On définit ~2~ = ( 2 ~ ~ ) ~ p ( 2etn z ) un = pzn * u n . Alors { u n }est une suite de fonctions régulières à support compact dans (IRN)+ qui converge vers u dans W1>p(IRN), ce qui termine la preuve. O

2.3.4. Les ouverts lipschitziens, les ouverts de classe

C”

On commence par la définition d’un ouvert lipschitzien uniforme, puis d’un ouvert de classe C’-uniforme.

Définition 2.65. On dit que R est un ouvert lipschitzien uniforme si : (1) I1 existe un recouvrement ouvert (Ri)i>o de R tel que d(R0, d a ) > O et, pour tout i 3 1, Ri est borné avec Ri n dR # 0 et, ou bien la famille {Ri} a un cardinal fini, ou bien :

3k32,

Ii-jl>Ic

===+ R i n R , = O .

(2) I1 existe un ouvert borné 0: de I R N - l , une fonction ai lipschitzierine sur 0; et un système de coordonnées tel que, quitte à renurnéroter ces coordonnées :

c {(z’,zN) 1 z’ E U : , Z N > Q(Z’)}, Ri n dR = {(d, ai(^')) 1 Z’ E O:}. R, n R

(3) I1 existe une partition de l’unité (cf. définition 2.11) (cpi)i, subordonnee au recouvrement de R par les Ri et des constantes Cl et C2 tels que : Vi,

l l c p i l l ~ ~ ~< ( wClv ~ et

ll4~-(0) < C2.

Définition 2.66. On dit qu’un ouvert est de classe C1-uniforme s’il est lipschitzien uniforme avec des fonctions ai de classe C1. Remarque 2.67. On utilisera souvent dans la suite, pour alléger la lecture, le terme CI ou C k ou lipschitzien, en omettant le qualificatif régulier ou uniforme. Les ouverts lipschitziens possèdent la propriété de (1,p)-prolongement. Ceci fait l’objet de la proposition 2.70 qui suit. On va définir, plus loin, une classe d’ouverts qui possèdent la propriété de (m,p)-prolongement . Notons que cette dernière n’est pas nécessaire pour avoir les théorèmes d’injection, puisqu’ori verra qu’être (( lipschitzien )) suffit. Cependant la propriété pour un ouvert d’être de classe C”, avec m > 1, permet de définir des traces d’ordre supérieur (cf. chapitre suivant) et, en conséquence, d’obtenir des

2.3. GÉNÉRALISATION À D’AUTRES OUVERTS

95

résultats de régularité jusqu’au bord, qui interviennent dans l’étude des solutions d’équations elliptiques (cf. chapitre 5). I1 est utile, dans les questions qui utilisent la définition précédente, de connaître les relations existant entre les appartenances des restrictions de u E WIJ’(0) chacun des espaces W l > p ( R n O , ) ,ainsi que les relations entre les riorInes correspondantes. Cela est donné par la :

Proposition 2.68. Soit (1 u n ouvert lipschitzien. Si u E Lp(R) est telle que, pour tout i , u E W 1 l p ( n n f l i ) , alors u E W’>p(O). Par a.illeurs, il existe des constantes C et Cl indépendantes de u telles que : (2.69)

P r w v e de la proposataon 2.68. Seules, les inégalités sur les normes ne sont pas évidentes. 0 Soit u E LP(R). En utilisant la propriété (1) de la définition 2.65, on telles peut répartir la suite {O,} en la réunion de IC suites d’ouverts que les intersections R n [IxTL sont deux à deux disjointes. Pour une telle suite, la sonime E, ~ ~ u ~ ~ ~ est p ( majorée n t ~ L )par I I u ( / ~ ~ ( ~ ) . On en déduit l’inégalité E, J I u J J ~ ~ ( ~ ~ ~ k, J) / u J J t p ( , )Soit . alors u E W’>P(O).En utilisant la formule de dérivation de p,u et les majorations uniformes, dans la condition ( 3 ) de la définition 2.65, la norme II(P,uIIWI 13(nnn,) est majorée uniforménielit par Kllu((Wi.(nnn,) et la majoration précédente nous fournit donc :

<

i

D’autre part, u =

C ipiu. On en déduit la deuxième inégalité.

o

Nous donnons maintenant un premier résultat important de prolongement qui concerne les ouverts lipschitzieris.

Proposition 2.70. Sa R est lipschitzien, alors, pour tout p 3 1, il existe suri opérateur de (l,p)-prolongemen,t d e O dans IRN. Preuve de la proposition 2.70. e Soit u E W1,p(fl) et i E N. Alors, par la définition de la partition de l’unité {cpz}, la fonction piu est à support compact inclus dans Ri na et, en outre, p i u E WIJ’(Q n fl). On utilise la composée par piu d’une sgrnétrie dans 0: x R par rapport à l’hypersurface d’équation X N = a , ( d ) (voir la figure 2.3 ci-après).

96

CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION

FIGURE 2 . 3 . Construction du (1,p)-prolongement

Cette symétrze S est définie sur 0: xIR par S ( d ,X N ) = ( d ,2 a , ( d ) - z N ) . L’image de l’ouvert borné 0, n 62 par S est un ouvert borné 0:. On note = (O, n n)u (i3R n O,) u Cl;. Corriinençons par prolonger (p,u. À cet effet, à l’aide des coordonnées locales, on définit ce prolongenient noté P,(cp,u) de R, n R vers U, privé du morceau de frontière df2 n 0,. Précisément, pour tout (d, Z N ) E U,, on pose :

u,

On pose ensuite P,(p,u) = 0 pour (d, ZN) $ U,. On se propose de vérifier que la fonction ainsi prolongée appartient à l’espace WIJ’(RN) avec une norme dans WIJ’(RN)majorée à une constante près par la norme ~ ~ u / )”(Q), w I la constante ne dépendant que des constantes Cl et C2 de la définition 2.65. On remarque que S , qui est sa propre inverse est continue, puisque a, l’est, satisfait également à IS(X1) - S(z2)I

< (1+ 4 1 1 ~ ~ ~ l l m ) 1 ’ 2 1 221. ~l -

11 en résulte qu’on peut appliquer le lemme 2.22 à la fonction P , ( ~ , usur ) l’ouvert R,n R et son image par S . Soit, alors, v définie sur RN-l x ]O, +a[ Par

u(d,t ) = ( p , U ( d ,

U,(d)

+ t).

Le prolongernent par réflexion de î ~à, savoir E(d,t ) = (pzu(z’,a,(z’)-t) pour t < O, n’est autre, par le changement de variable t = X N - a,(d),qu’une traduction de la réflexion précédemment définie. Le lemme 2.22, assure que v E W1>p(RN-lx]O, +CO[). Comme G est obtenu par un (1,p)-prolongement sur IRN, on obtient V E W 1 i P ( I R N ) . On en déduit que E W’,p(RN). En outre, la constante e, qui figure dans le lemme 2.22, ne dépend que

2 . 3 . GÉNÉRALISATION À D'AUTRES OUVERTS

des constantes de Lipschitz de S et de S-' majoration précédente, rie dépend que de

llvllwl I > ( I w N )

97

donc, comme il résulte d'une Ainsi, on obtient :

< C(l + IlV4lm)II~~uIIw1 P(nnn2,).

De plus, en rappelant que les normes sont majorées (cf. définition 2.65) par C2, ce qui implique que C(1 IVn,/,) C, et en utilisant la continuité du (1,p)-prolongement précédent, on peut écrire :

+

II(p;ullw1 ?'(IWN)

< (1 + C 2 ) l l v l l W l

<

P(RN)

6 C(1 + C L ) I I 4 W 1 P ( I W N - ' x ] O , + m [ )

6 C(1 + C 2 ) C S / I P Z ~ 4 W ' P ( Z 2 ) . Revenons à l'ouvert 0. On pose :

+

et on note Ca la constante précédente C(1 C2)CS qui dépend des cartes locales intervenant dans la définition de la régularité de R. D'après la proposition 2.68, on a : E ( u ) E W1ip(RN).D'autre part, cette proposition nous donne :

< Ca E

I/E(~)IIW~,P(RN)

6

I I P ~ ( ( P ~ ~ ) I I ~ ~ , P ( RCaIIuIIwl%P(n). N)

a

Cette inégalité prouve la continuité de l'opérateur de prolongerrierit E . La proposition 2.70 est donc prouvée. O Corollaire 2.7Z. Si R est lipschitz.ien, C"(2)

est dense d a n s W7n3P(R).

Preuve du corollaire. O Soit u E w ~ ~ , ~ et (soit R )O, E D ( I R ~qui ) converge vers E ( U )dans Wm>.(RN); Alors les restrictions à R de un convergent vers la restriction de u & R qui n'est autre que u. o La proposition 2.70 nous permet, conformément aux principes énoncés ci-dessus, de prouver le théorème d'injection de Sobolev :

Théorème 2.72. O n suppose que l'ouvert R est lipschitzien, alors : (1) Si N (2) Si N

> m p , WnLJ'(0) Lq(R) pour tout q < N p / ( N - mp). w ~ ~ ~ -+J ~L (~ R ( R)pour ) tout q < 03. Si p = 1, w ~f

= rrp,

~ , ~ -+

c6(0).

(3) Si m p > N lorsque N / p on u :

w-4)(0)

-

Si N / p E N et rri 3 j = N / p tout x < 1.

N et si j est tel que ( j - i ) p < N < j p ,

c,"-jqR),

+I

VA

<j

alors Wmi.(R)

-

N/p.

c,rn- ( N I P ) l , X (0) Pour -

~f

98

CHAPITRE 2. LES ESPACES D E SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION

Pour la preuve, qui est laissée au lecteur, il sufit d’abord de voir qu’on peut se ramener par les techniques de la preuve du théorème 2.31 au cas où m = 1. Ensuite, on pourra utiliser l’opérateur de prolongement donné dans la proposition 2.70. On continue avec les opérateurs de (rn,p)-prolongenient où m > 1.

Définition 2.73. Un ouvert est dit C”-unifornie s’il est lipschitzieri avec des fonctions ai de classe C“ et les nouvelles majorations uniformes dans la condition 3 de la définition 2.65 : (2.74)

/la,Ilc.-(C?,)

+ IlPiIlC...

6

c3.

Théorème 2.75. Un ouvert de classe C”l possède la propriété de (m,p)prolongement pour tout p E [i,CO[. Preuve du théorème 2.75. On se ramène par cartes locales à prolonger une fonction du type cpiu. On laisse tomber les indices i pour la fonction at et les coordonnées locales et on définit alors ?J(,.’ t) = u(z’, a(.’) t),

+

qui est dans WmJ’((JRN)+) compte tenu des propriétés de a. On utilise alors le prolongement donné dans le théorème 2.54. La continuité du prolongement est une conséquence immédiate des propriétés de Cm-régularité, et de celle du prolongernent sur IRN. O Notons qu’on peut aussi définir directement

G par la forniule

m

G(x’,)z,

=

Xj’U(.’,

-jx,

+ (1 + j ) a ( z ’ ) ) ,

j=l

où les X j vérifient ;

Y k E [O,m- 11,

c(-j)’”Xj =

1.

j

Mais les calculs sont alors plus longs, puisqu’ils demandent d’utiliser la conservation des dérivées tangentielles le long de dR à savoir, pour l’ordre 1, les aiu ai(a)dNu, ceci pour tout i E [i,N - 11.

+

2.4. Injections compactes lorsque l’ouvert est borné On donne maintenant des résultats de compacité pour les injections de Sobolev dans les ouverts bornés lipschitziens, en commençant par des contreexemples dans le cas de l’exposant critique pour un ouvert borné, et pour toutes les injections dans le cas non borné :

2 . 4 . INJECTIONS COMPACTES LORSQUE L’OUVERT EST

BORNE

99

2.4.1. Deux contre-exemples préalables

-

Exemple 2.76. Montrons que si R = B(O,l), N > p , rn = 1, l’injection continue WmJ)(CL) L‘J(s1), où q est l’exposant critique N p / ( N - p ) , n’est pas compacte. Soit F une fonction de classe C’ sur IRN, à support compact dans B(O,1) et non ideritiquenient nulle. Soit {F,} la suite de fonctions définies sur B(O.1) par F,(r) = n ( N / ” ) - l F ( n x ) I1 . est facile de voir que (F,) terid vers O presque partout et dans Lr’(B(0,l)).D’autre part sori gradient est borné daris P(B(O,l)).En effet : ( N / P - 1+1)P IVFIP(nz)dz =

(2.77)

//VF(I;p.

S,,O,l)

En particulier (F,) est bornée dans W’J’(Cl2). D’autre part

(2.78)

I I Fn I I

v

p

/ N -p)

Il F I I L N ~ /-

(62)

(N

JJ)

011

a:

(n).

On eri déduit aisément (cf. section 6.1) que lF,,INp/(Npp) converge vaguement vers I F ( ~ ~ ~ $ ~où~&~désigne ~ ( n la~ niesure & , , de Dirac en zéro. En

tout cas, {F,} ne terid pas vers O daris

LN”/(Npp).

Donnons aussi un contre-exemple lorsque (1 est non borné.

Exemple 2.79. Montrons que l’injection de W’>’(RN) dans L1(RN) n’est pas compacte. Soit F E D ( R N ) ,non identiqiierrient nulle, et soit { r T Lune } suite qui terid vers l’infini. Alors {F7,} telle que F T L ( z= ) F ( z - z T Lest ) bornée dans WIJ’(RN) et elle converge presque partout vers O. Doric, si elle convergeait forterrierit daris L’, on aurait : ~ ~ F=7 IIFl/1 ~ ~ =\ O,~ ce qui apporte ime contradict ion. 2.4.2. Résultats de compacité

Théorème 2.80. Soit R u n ouvert borné et lipschitzien d e RN, oil, N > 1. Si N > rnp, 1 ’injection W”L’P(f2) L“R)

-

est compacte pour q < Np/(N - m p ) .

Pyeuve du théorème 2.80. Démontrons d’abord deux lernrnes : Lemme 2.81. Si R est un ouvert borné lipschitzien d e RN, alors :

wyn)

L’(a).

LJc

100

CHAPITRE 2. LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION

Preuue du lemme 2.81. Soit B un ensemble borné de W’>‘(R). On utilise le critère de compacité des bornés de P(R) donné dans le théorème 1.94 du chapitre 1. Ainsi, il faut vérifier les deux hypothèses de ce théorème : O Soit E > O donné. 011prouve qu’il existe un compact K de R tel que : E

B.

LK

/u(z)ldza

E.

En effet, en utilisant l’inégalité de Holder avec les exposants N et N / ( N - 1), on obtient :

L’ouvert (2 étant borné, on peut choisir mes K assez grande pour que la mesure de (0 \ K ) soit arbitrairement petite, le résultat s’ensuit. O En deuxième licu, on prouve qu’il existe 6 tel que, 6 désignant la prolongée de u E B par O hors de R,on a :

Soit 110 > O donné. On désigne par Bo la fermeture de la réunion de la famille B,lclde toutes lcs boiilcs oiivertes rentrées sur dR et de rayon h o . On pose w = R \ Bo. C’est un ouvert inclus dans bZ et on voit aisément que, si (hl < ho, alors E w =+ z h E 62. En coriséqucrice. pour tout z E w , Z(z + h ) = u(.r h ) . En utilisant la fonction composée t ++ U ( J . t h ) , 011 obtient lorsque u E B :

+

+

+

Par dérivation de la fonction absolument continue t (cf. exercice 2.3), on a :

Donc :

J1

llL(2

+ h ) I).(. -

./1 R; <

Ih p u ( x

H

u(z

+ th)

+ th)Iclz.

Par conséquent, puisque .7: +th E cette dcrriièrc intégrale est majorée par 1/11 IIVujlLil(n)(w(’/P? donc par C ( h (puisque , u E B.Ainsi, il existe hl < ho tel que : lu(.

+ h ) -I).(.

< Cl/,/< -.E2

2.4. INJECTIONS COMPACTES LORSQUE L’OUVERT EST BORNE

I1 reste à majorer l’intégrale sur

R w.Pour

lu(. + h ) - $4.11 <

101

cela, on on utilise l’inégalité

12\w + ( M X

+ ib(.>i).

fL)l

L’argument de la première partie de la démonstration entraîne alors l’existerice de 6 < hl tel que (hl S + 2 Jd(z,a62)626 lu(z)ldz< E . Finalenierit :

<

V U E B, Ihl < S ==+

IC(.

+ h,)

-

u(z)ldz < E .

Le théorème 1.94 assure alors que B est relativement compact dans L1(O).

O Lemme 2.82. Soit R un ouvert d e RN.Soit { u r Lune } suite convergente dans Lk((R) et bornée dans Lq(R) pour un certain q > k . Alors, elle conuerge d a n s tous les Lr)(R) tels que k < p < y . Preuve du lem,me 2.82. On utilise l’inégalité de Holder en écrivant : p = O k + ( l - Q ) q où B E 10, i[. Alors :

Le trierribre de droite tend vers zéro pour 71 et m tendant vers l’infini, car c’est le produit d’une suite bornée par une suite teridant vers zéro. On en déduit que { u r Lest, } de Caiidiy daris Lr)(R), elle converge donc dans L’(R). O Revenons à la preuve di1 théorème 2.80. Soit {‘un} une suite de W T r L , P ( Rbornée ), dans cet espace. Alors, puisque R est borné, L”(iZ) ~f L1(R) et donc { u n }est bornée dans Wi>’((R).D’après le lerrirne précédent 2.81: elle est relativement conipacte dans L 1(O). Par ailleurs! par le théorènie 2.72, la suite { u T Lest } bornée dans Ly(R) avec q N p / ( N - m p ) . En utilisant alors le lenirne 2.82, { u r Lest } relativenierit O conipacte daris tous les Lq(iZ), pour p < q < N p / ( N r n p ) . 0

<

~

On s’intéresse maintenant, dans le cas où m p > N , aux injections conipactes daris des espaces de foiictions holdériennes. Théorème 2.84. Soit R u n ou,ver.t borné et lipschitzien. Soit rrrp j = [ N / p ]+ 1. Alors, pour tout X < j - N / p , les %njection,s:

-

W7*I,P(fl)

> N et

c”-j.yq

sont compactes.

Preuiie du théorème 2.84. 0 On coinnience par le cas m, = 1 et p > N en utilisant, dans la preiivc, le résultat, suivarit dont la justification est reportée plus loin :

102

C H A P I T R E 2. LES ESPACES D E SOBOLEV. THÉOHÈMES D'INJECTION

Lemme 2.85. Soit un ouvert borné R d e RN et { u n } une suite de Co,'(R) relativement compacte dans C(2). Alors, pour tout p tel que O < 1-1 < X, la suite { u T L }est relativement compacte dans tous les c~+(o). Montrons, alors, que l'injection de W',p(R) dans C(2) est compacte. Pour ce faire, on utilise le théorème d'Ascoli. Soit K un ensemble borné dans W l q0) Alors, pour tout z E R,l'ensemble { u ( x ) 1 u E K } est borné uniforrnénient. Er1 effet, l'injection étant déjà continue (cf. théoreme 2.72), on a pour tout u E K : 1

6

ll~(~)llcc

IIu/Iw'~P(n) 6

c.

Montrons que K est équicoritinu. En effet, par la continuité de l'injection de W',P(R) dans C o . l - N / P (R)(encore par le théorème 2.72), on a :

Ceci entraîne que K est uniforniément holdérien, donc en particulier équicontinu. L'utilisation du lemme 2.85 permet de coriclure dans le cas m = 1 et p > N. 0 Soit maintenant K un borné de WJ,P((n) avec ( j - 1)p 6 N < j p . I1 est facile de voir coniine précédemment que K est relativement compact dans C ( 2 ) . On utilise encore le lcrnrrie 2.85 pour conclure que K est compact dans C0>^(R)pour tout, X < j - ( N / p ) . 0 Dans IC cas général, soit I ( un sous-ensemble borné de WTn3P(R)et soit j = [ N / p ] 1. Soit { u n }u ~ i csuite de points de K . Puisque {,un} est bornée dans W T 1 ' , P ( ( n ) ,cette suite, ainsi que les suites des dérivées {D"-jun} sont bornées dans W.f..(R). Par ce qui précède, on peut extraire de ces suites des sous-suites, notées de la même façon pour simplifier, qui convergent respectivement vers u et vers Y,,,~ dans Cb'"(R), à savoir :

+

lluTL- u1lW

-

O et

IIDni-3u,

-

urn,Jm

+ O.

La convergence dans L"" entraînant la convergence au sens des distributions, on a = Drn-Ju. Er1 outre, d'aprés ce qui précède, {D"pju,n} converge vers Dm-3u dans CO,'(0) pour tout X < j N / p . Ori en déduit que, pour tout X < j N / p , {uTL}tend vers u dans CT-'"(R). Par conséquent, il en résulte la compacité de l'injection de W"J'( O) dans Cb"" (O). et ceci pour tout 1-1 < j - N/p. O -

-

Preuve du lemme 2.85. Soit Q E ]O, l [ tel que p = QX. Soit { u ~ ( une ~ ) }sous-suite de { u n } qui converge dans C(2). Pour tout couple ( n ,m ) d'indices, posons : 4L,"

= I('Ua(n)

-

% ( m ) ) ( x+ h )

-

ba(7)

-%<,>)(.I

2.5. TRACE SUR LA FRONTIÈRE D’UN OUVERT C’

103

On a : d,,,, = d:,mdA;A. Grâce à la convergence de { u ~ ( dans ~ ) }C(a)), on peut choisir no assez grand et ho > O assez petit pour que, si n, m 3 n o et si z et 5 h sont dans R avec Ihl < ho, on ait l’inégalité suivante :

+

1-8

d,,,,n =

+ h)

~ ( u o ( n) ?Ao(Tï,))(x

-

(uo(n)- uo(rn))(x)~(’~’) G

Alors, sous ces conditions : d,,,,,

< 2hex,.

Par conséquent :

Il,%

-

U,IICw’(n)

< 2E.

2.5. Trace sur la frontière d’un ouvert

C’

On rappelle qu’on a défini un ouvert C’-uniforme comme un ouvert de I R N , lipschitzien avec des fonctions a , de classe C1.Daris cette situation, on peut donner un sens à l’intégration sur chacune des portions de frontière U, = 812 n R,lesquelles constituent des sous-variétés de dimension N - 1 et de classe C1 dans l’espace EtN.Une telle sous-variété étant définie par une équation cartészenne z’ H x~ = a , ( ~ ’ ) où , a, est de classe C1 sur l’ouvert 0; de IRNp1, l’élément d’aire ( N - 1)-dimensionnelle sur Ut est donné par d a ( m ) = , / m ( m )drn. On rappelle qu’alors l’intégrale de f , fonction sornrnable dans U,, est définie par :

Daris cette section, on définit coninie dans le cas de ( I R N ) + , ou plus généralement d’un bord droit, la trace d’une fonction u dc W’,p(R) sur le bord de R. Plus précisément :

Théorème 2.86. Soit R un ouvert C1-uniforme dans I R N . Alors, il existe une application linéaire et continue yo, dite application trace, de W’J’(R) dans LP(dR)telle que si u E C(2) n W’J’(R), l’image yo(7~)est la fonction x tf ~ ( xbien ) définie sur X I . Pour voir que l’hypothèse d e classe C1 sur 12 est importante, nous donnons un exemple d’ouvert non de classe C’ pour lequel les fonctions de W’,P(Q) n’ont pas une restriction à 80 dans LP.

Exemple 2.87. Reprenons l’exemple 2.9. Soit la fonction u(x, y) = l / y 2 qui appartient à H 1 ( R ) , cet ouvert étant défini par IC = 1/6. Cette fonction est la restriction d’une fonction 71 définie, sauf au point n: = O, sur 2.Examinons l’appartenance de vlan à L2(dR).

104

CHAPITRE 2. LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION

L’appartenance indiqu6e a été prouvée dans l’exemple 2.9. Raisonnons sur la partie de dR qui s’identifie à l’arc r défini par : {x E [O, 11 I y = z1/6} ou encore à l’arc : {x = y6 1 y E [O,i]}. L’abscisse curviligne est &(y) = Ji+36t2“dt, donc J, ~ ( y Y ) ~ d s (diverge y) en O. I1 en résulte que cette restriction, ou trace, n’appartient pas à L2(dR).

Preuve du théorème 2.86. Bien que l’existence de la trace dans le cas d’un ouvert lipschitzien puisse se montrer de manière analogue au cas de WIJ’((RN)+), on propose de fournir une preuve qui fasse mieux apparaître l’importance des termes des définitions 2.65 et 2.66. 0 Supposons que u E Cm(R)nW1>p(R). En utilisant la partition de l’unité et les coordonnées locales, on commence par définir la trace de v, = p,u. Cette dernière, qui appartient à W1ip(R,) peut être prolongée par O hors de son support dans l’ouvert 0: x {XN > a,(z’)}. En utilisant le corollaire 2.19, on écrit pour n. > O entier et y > O l’égalité :

(*) v,(x’,&(z’)

+ 1/n) -v,(x’,a(X’) +

+y)

=

-

4,

dN(.~)(d,a,(z’)+t)dt.

Posons : u,(z’)= v,(.~?,u,(x’) l / n ) . On déduit de (*), que, pour tout couple ( n ,m ) d’entiers non nuls, on a :

En utilisant Holder dans cette inégalité puis, en élevant à la puissance p et en intégrant par rapport à z’ E O:, après avoir multiplié à gauche par l’élénient d’aire da,, on prouve que A,,,, = I/u, - u ~ ~ I / L ~ ( o ; , ~ ~ , ) O: --f

Ceci, en utilisant la condition 2.66, exprimant notamment que IVa,(x’)I est majoré. Lorsque p > 1 et lorsque n et m tendent vers +m, le membre de droite tend vers zéro, donc le membre de gauche aussi. Lorsque p = 1, le membre de droite tend encore vers zéro par définition des fonctions de L1. Dans tous les cas, la suite (un)est de Cauchy dans l’espace LP(O:,da,), espace de Lebesgne pour la mesure bornée da,, donc complet. Cette suite est donc convergente dans L p ( 0 : , da,) vers une fonction w,E LP(O:,da,).

2 . 5 . TRACE SUR LA FRONTIÈRE D’UN OUVERT

c1

105

De plus, il existe une sous-suite { 7 ~ ~ ( ~ de ~ ) }{ u n }qui converge p.p. dans (9: vers wz(.d). Or, dire que lirn(p,u)(z’,a(z’) l/(q(n)))existe p.p. revient à dire qu’on peut définir la fonction z’ H p,u(z’,a(z’))= w,(z’). Ce prolongement w, de y,u sur 80 n 0, est la trace cherchée. On pose donc yO(pzu)= w,. D’après ce qui précède, cette fonction est dans l’espace LP(Q:,da,), donc dans l’espace L p ( d 0 n 0%). De plus, par un passage à la limite dans (*) en prenant y assez grand pour que v,(z’, a,(lr’) g) = O, on obt ierit (2.89)

+

+

r i m

I1 s’agit maintenant de définir la trace de u par recollement. On définit yo(u) par you = E, yo(p,u). Cette sornnie est localenierit finie et, d’après la condition (1) de la définition (2.65), on peut conclure ii yo(u) E LP(df2).On peut montrer aussi que la trace ainsi définie rie dépend pas du choix des éléments de la définition (2.65). 0 Si nous supposons que u E c1(2), les arguments précédents peuvent être repris. En particulier, l’égalité (2.89) nous fournit y0(pzu)(2-’,n,(z’)) = (pzU(z’,uz(x’)). On en déduit que TOU est, alors, le prolongement par coritinuité de u ( c f définition de C ( n ) ) sur le bord 80. 0 I1 reste 2. prouver la continuité de l’application 7 0 . Pour cela, on fait ii partir de l’égalité (2.89) les mêmes calculs que pour aboutir à (2.88). On obtient : 0

G

l l ~ o ( ( ~ llLqo;,dlT) ~7~)

CJmwJiZ lI~N(WIIL.(n,).

On en déduit, grâce à la condition (3) de la définition 2.65 :

z

< C’ SUP{IIPzllcar lldNcp,llm)

Ilullw1p(n,).

2

z

À l’aide de la condition (2.66), on en déduit qu’il existe une constante C * , qui ne dépend pas des éléments de la définition (2.65), tels que : VU E

<

~ “ ( 0n ) w’V), l l ~ o ~ l l ~ p (C a ~* )I I ~ / w). W~

0 On a ainsi défini la trace de u lorsque u E C”(f1) f’ W’>.(n). Pour u E W’,p(f2), on approche u grâce à la densité de la proposition 2.12 par

106

CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D'INJECTION

u, E Cm(R)nW',P(R).La forniule (2.89) donne finalement, par passage à la +O0 limite you = - JO d ~ ( ' p ~ u ) a( ,z( 'z ,' ) + t ) d t et il en résulte que ?ou, + you dans Lp(dR n 0%). On justifie airisi la continuité, à savoir : v u E W?

lIYoullLP(an)

G IIullwl>P(n).

O

Remarque 2.90. On peut normer l'espace image de l'application trace sans le caractériser exactement, comme ce sera fait dans le chapitre 3, en utilisant la norme induite. Soit 11, qui est la trace d'une fonction U E W'>p(R) sur le bord do. Posons : (2.91)

lllu'li

=

inf I I U I I w 1.71 (a) . {UEU'l.P(n)Ju=Ulan}

Ceci définit bien une norme, qui fait de l'espace image ?o(W',p(R)) un espace de Banach. En effet, soient u et v dans ro(W',p(R)) et U et V dans W'>p(R),telles que U = u,V = v sur ûR et teIIes que :

llull G III~III+ Alors U

et

11Vtl G Illvlll

+E.

+ V = u + I I sur dR et : Illu + v111 G

/lu+ VI1

IlUll + IlVll G

l l l ~ l l+l IIlvIII + 2 E ,

ce qui termine la preuve de la sous-additivité. La démonstration des autres axiomes, puis celle de la complétude, sont laissées au lecteur. On termine ce chapitre en revenant sur la caractérisation de l'espace

w,"P(o)lorsque R est C'

:

Théorème 2.92. Soit R un ouvert d e classe C l . Alors les propositions suivantes sont équivalentes : (1) u E W,'JyR). ( 2 ) (seulement s i p 'p E D(IRN), on ait :

> i) II existe une constante C telle que, quel que soit

l&'p)(+Z

6 CllwlL.
(3) La fonction 12 définie par :

appartient à w ' > ~ ( I R ~ ) . (4) La trace de u sur dR est nulle, soit

TOU = O .

2.6. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 2

107

Preuve du théorème 2.92.

Notons que l’implication 1 + 2 est toujours vraie (sans hypothèse sur l’ouvert et sans hypothèse sur p ) . 0 Montrons cette implication. En effet, soit 11, E W,”(R) et ( u n )E D(f2) qui converge vers u dans WlJ’(O). On a :

1.h

1-

un(z)at(p)(:E)dzl=

.h

a i u n ( z ) p ( z ) d z lIIvunIILp ~ ilpiiLp’.

On en déduit le résultat par passage à la limite. 0 11 est clair que 2 + 3 , car si ‘p E D ( R ~ )on , a :

et, en utilisant 2, on obtient que, si p > 1, alors ’Ü E W1>”(RN). 0 L’implication 3 + 4 est claire par unicité de la trace. 0 Montrons que 4 + 1. On se ramène à montrer que si u = O sur a R , on peut approcher up, par des fonctions de D ( 0 ) . Pour ce faire, on définit :

+

‘1

un,% =x up, x , -al(x’) .%N - - . ‘ n Les fonctions un,%sont dans W1>P(b2)à support compact. La suite converge vers u(pL dans WlJ’(IRN), donc elle converge vers up, dans W’J’(62). En régularisant ensuite par une fonction convenable, on obtient que u E W,,” (R). O

-(

2.6. Exercices sur le chapitre 2

Exercice [*]2.1(sur la complétude de l’espace de Sobolev H’(0)). Soit R un ouvert de RN.Rappeler la définition de H1(R). Montrer que

définit un produit scalaire sur l’espace H1(R). Montrer que H1(R) est un espace de Hilbert. Indzcations. Soit { u ~ } une ~ ~suite ~ Nde Cauchy dans H1(R). On montre que la suite des dérivées { 3 3 ~ nconverge } dans L2 vers uJ E L 2 . On montre ensuite que ces fonctions sont les dérivées distributionnelles de u = lim uT,. Enfin, on termine.

Exercice 2.2 (sur la construction d’une partition de l’unité). On dit qu’un recouvrement{Rk} de R est plus fin que le recouvrement {Rj} si, pour tout IC, il existe j tel que 0; c R j . On dit que le recouvrement {Qj} est localement fini si tout z appartenant à possède un voisinage ne rencontrant qu’un nonibre fini d’ouverts de la famille {Rj}.

108

CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’IN.JECTION

(1) Soit un recouvrement ouvert {a,} de l’ouvert R de IRN. Montrer qu’on peut trouver un recouvrement ouvert {Rl,} de R, localenient fini, plus firi que {Rj} et formé d’ensembles relativement compacts. (2) Soit un recouvrement { R j } constitué d’ouverts relativement conipacts. Prouver qu’il existe rj E D ( 0 , ) tel que rj 3 O et yj = 1 sur Ri. À l’aide de ces fonctions, construire une partition de l’unité associée au recouvrement donné. Dans le cas général, on utilisera le recouvrement ouvert de R , plus firi que et formé d’ensembles relativement compacts fourni par la question (1).

{a,},

Indications. Pour ( l ) ,on utilise une suite croissante compacts, recouvrant R et tels que :

{Uk}

d’ouverts relativement

-

UO

0,

uk c u k + l .

On utilise ensuite la compacité de pour trouver un recouvrement de ce compact par des Ur, en nombre fini. I1 est facile d’en déduire iin recouvrement de R possédant les propriétés requises. Pour ( 2 ) , à savoir la construction de y3, on pose K = Soit un voisinage V de O et un voisinage U compact tel que U + U c V (on prouvera l’existence de U ) . Soit une fonction régularisante pE ( c f . section 1.4.2) de support inclus dans U et soit x la fonction indicat,rice de K + U + U . On prend alors -yJ = y, * p E . La somme y = étant localement finie, on peut définir cette somme en chaque point de R et, par division, obtenir les fonctions d’une partition. Vérifier.

T.

Exercice [*]2.3(sur l’absolue continuité des fonctions d’un espace de Sobolev (cf. remarque 2.4)). La definition d’une fonction absolument continue (AC) a été donnée dans l’exercice 1.29. Pour deux fonctions AC sur un intervalle I , le produit U V est aussi AC et on a, pour tout [a,b] c I , la formule d’intégration par parties, où u et ’u sont les dérivées p.p. de U et V : (2.93)

I”

U ( t ) v ( t ) d t= U ( b ) V ( b ) U ( a ) V ( u )-

Soit u définie p.p. daris un ouvert R

~

c IR2.

.I*

V(t)u(t)dt.

(1) Soit R c R2.Soit u E W’>p(R) avec p 3 2 . On désigne par [azu]ia fonction de LP qui est égale à la dérivée de u par rapport à x au sens des distributions. On peut recouvrir R par des carrés Cj et poser vJ = $j-. où +j E D ( C j ) et $j = 1 sur R. On prolonge vj par O hors de Cj. Soit v définie sur R par v = Cvj Dans l’argumentation on raisonnera sur une fonction vj que l’on note v pour simplifier. Montrer que 11 E Lp(R). On définit v* par w*(x) = J!”,[&v](t,y)dt, pour tout y tel que S , \[alv](t,y)Idt< +CO. En déduire que v = w* p.p. et que, sur presque toutes les parallèles à Ox,la fonction IL est dérivable p.p. avec p l u ] = diu p.p.

2 . ü . EXERCICES SUR LE CHAPITRE 2

109

(2) Soit u E L:clc(0), absolunierit continue sur presque toutes les parallèles à Ox et telle que sa dérivée p.p. d,,u est dans U’(Q). Montrer que [3,;uI = 8 Z i U P.P. ( 3 ) Soit u E TV1)’(i2). On suppose que [ T , Z h] E O. Montrer que la dérivée de u : t H u,(x t h ) exist,e p.p. sur ]O, i[ et que dv/dt ( x + t h ) = il

’

VU(%

+ th).

+

+

Indications. Pour (2), il suffit d’intégrer par parties l’intégrale J,, pazludz. Pour (3), on utilise une décomposition de v(t’)- ~ ( ten) somme de différences di1 type U ( Z + t’h) - u(zi t’hi, z2 + t’hî, . . . ,z N - i + t ’ h N - 1 ~ZN + t h N ) et, pour chacune de ces différences,on écrit qu’elle est l’intégrale sur un certain intervalle d’une dérivée partielle. Le passage à la limite utilise la continuité d’une intégrale de Lebesgue par rapport à ses bornes.

+

Exercice [*]2.4(sur le (1,p)-prolongementdans le cas d’un intervalle de R). Soit u E W’J’(]O, +no[). On prolonge u sur ] - m’O[ par U ( Z ) = u - z ) . Montrer que u ainsi prolongée est xiti élément de W’J’(R). Soit u E W1,P(l) oii I = lu, b[. Montrer qu’on peut prolonger IL en un élément de WIJ)(R). I

Indzcatzons. On établit d’abord que

W’,*’(] - o o , O [ ) en montrant que (Ci)’ = -u’

Exercice 2.5 (produit de fonctions dans IV’i”(R) et lV’>‘I(R)). On considère un ouvert lipschitzien O de R ~Soient . p < N , y < N , et i / s = i / p + 1/q - I/N. Montrer que si %1 E W ’ , p ( Q ) et I I E W’>q(n),alors uu € W y Q ) . h~dzcatzoris.On utilise le théorèrnc de Sobolev 2.31 pour des exposants convenables et l’inégalité de Holder.

Exercice 2.6 (exemple d’ouvert non lipschitzien). Soit R = {O < .c < 1, O < I/ < T ‘ } . Montrer que la fonction .x H x-l appartient A H1(Q) et qu’elle n’appartient pas à L5(R). Conclure. Exercice [*]2.7(injection dans un espace de fonctions holdériennes qui est non compacte). S o i t p > N . Prouver que l’injection de WIJfB(O,l))dans Cb’l-N’p(B(O,1)) n’est pas compacte. Pour cela, soit F E D ( B ( O , l ) ) .telle qiie F 3 O ct F ( T ) = 1. Montrer que la suite FTL(z) = nPltN/”F(nz)tend vers O daris tous les espaces Cb”(B(O.1)) et a une norme constante @galeà 1 dans C:’’-N’p. Conclure. bUPI,I
Exercice 2.8 (recollement de deux fonctions à la traversée d’un bord droit). Soit y- I’opérateur Cie trace défini conirrie sur ( I W ~ ) niais + en utilisant l’ouvert I W x~ R-.Soient u+ E w’>.((R~)+) et U P E W”p((RN)-). On

110

CHAPITRE 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORQMES D'INJECTION

définit

u+(z) si 5 E ( R ~ ) + , u - ( x ) si

2

E

(EtN)-.

Montrer que U E W ' > p ( R Nsi) et seulement si -you+ = y-u- sur

RN-'.

Exercice 2.9 (inégalité de Poincaré généralisée). Soit R un domaine borné de RN,lipschitzien. Soit p E [I,+a[, et soit N une semi-norme continue sur W 1 > ~ ( R qui ) est une norme sur les constantes. Montrer qu'il existe une constante C > O qui ne dépend que de R, N , p telle que :

Appliquer ce résultat à N ( u )= J,, lu(z)ldz,où R est un ouvert C1 et est une partie de 80 de mesure de Lebesgue ( N - 1)-dimensionnelle strictement positive. Indications. On suppose par l'absurde qu'il existe une suite { u r L telle } que

-

En normalisant c'est-à-dire en considérant wn = U llwnlIwl&yn)= 1,

N(wn)

O,

-

,(IIU~~I/~~,~(~))-', IlvwnIlP

:

on obtient

:

0.

En utilisant la bornitude de R et la relative compacité dans L p de { w r L }en , déduire une contradiction.

Exercice 2.10 (fonction de R dans RN dont le tenseur des contraintes est dans LP(fi)). On considère l'espace (cf. chapitre 6) :

X,(R)

=

{u E LP(R,RN) I Y((i,j) E [1,NI2, & 2 3 ( u=) $(a3u2+ a 2 u j )E L y q }

où p E Il, +CO[. On admet (ce sera montré au chapitre 7) que, si 0 est un ouvert borné lipschitzieri de IRN, alors W l i p ( s 2 , IRN) coïncide avec cet espace lorsque p > 1 et, plus précisérnment, il existe C > O telle que pour toute u E W'>p(R,RN),on ait

(1) Montrer que X P ( n ) ,niuni de la norme

est un espace de Banach.

2.6. EXERCICES SUR L E CHAPITRE 2

111

(2) Les dérivées étant prises au sens des distributions, on remarque : d,(~,k)(u) - a,(&,k)(u). Montrer que l’ensemble noté R des fonctions de W1,P qui sont telles que E(.) = O sont les déplacements rigides, à savoir u = A B ( z ) , où A est un vecteur constant et B une matrice aritisymétrique. Déterminer la dimension de R. (3) On considère une semi-norme ni sur W1-p qui est une norme sur les déplacements rigides. Montrer qu’il existe une constante G > O telle que : U , , ~ ~=C &(E,)(u)

+

+

v u E W’JyO), Exercice 2.11 (meilleure constante pour l’injection de W1,p(RN) dans Lk (RN)). Soit p < N et k N p / ( N - p ) . On sait qu’il existe deux constantes Cl et Cz telles que :

<

vu E W1YRN)’ I l 4 k

< C i I I ~ u l l p+ C21IuIlp

On dit que Cl est une meilleure constante pour l’injection de W’J’ dans Lk si Cl est la plus petite constante pour laquelle il existe C2, telle que l’inégalité précédente a lieu. Montrer que si k < N p / ( N - p ) , il n’existe pas de meilleure corist ante.

indications. On suppose l’existence de Cl et on définit, pour X > 1, la suite = u(z/X). En déduire :

UA(.)

II7LXllk

< X-l+N’p-N/k

ci IIV~llP+ c2x- N / k.+ N / p

IluIlP.

À partir de là, montrer qu’il existe une constante meilleure que Ci.

Exercice 2.12 (fonction dont une dérivée est dans L’, l’autre dans L2). Soit Xo’z l’adhérence des fonctions de D(R2)pourla norme IdluIl +l&,u/2. Montrer que X i ’ z L4(R2). ~f

Indications. On écrit, lorsque u est une fonction régulière u 4 ( a , m )= u3(z1,z2)u(z1,s2).

On utilise ensuite

puis

:

:

:

112

CHAPITRE 2 . LES ESPACES D E SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION

Enfin, on utilise la formule de Fubini et Holder comme suit

.IS,

luj4dz1dz2 6

6

:

(p(z1)~(~1)h(~2)dzid22 llPll2 114,112llhll 1

Conclure.

sur un intervalle). Exercice [*]2.13(majoration de u,élément de Soit u E Wi”(]O,l[).Montrer que : ~ ~ u1 /~2 \ ~ u m ’Montrer ~ ~ ~ . que cette inégalité est la meilleure possible.

<

Indications. On écrit :

Exercice [ *]2.14 (conséquences de l’existence de yo(u)pour u définie dans un intervalle de R). Montrer l’inégalité, laquelle précise l’inégalité expriniant la continuité de l’application trace sur W1il (]O, I[) : rl

rl

Montrer que les seules fonctions qui vérifient l’égalité sont les fonctions constantes. Indzcatzons. La fonction u est absolument continue, donc, on a les deux égalités :

+

I’

\dx E [O, 11,

U(T) =

u(0)

[O, 11,

? i ( Z )=

~ ( 1 ) J(’?k(t)df.

‘dX E

7l(t)dt,

+

En passant aux valeurs absolues et en intégrant sur ]O, i [ la somnie des deux inégalités obtenues, on obtient (2.94). En supposant l’égalité dans (2.94) et en tenant compte des deux inégalités :

si

on en déduit que, pour tout z, Iu(z)I 3 lu(t)ldt,ce qui donne le résultat en appliquant cette inégalité au point z où la fonction continue 7~ atteint son minimum.

Exercice [**]2.15 (espaces W’J’(I)où I est un intervalle de R). On suppose 1 p < 00.

<

(1) En utilisant l’exercice 1.29, montrer que l’appartenance u E W’>P(l) est équivalente aux propriétés suivantes :

u E L p ( I ) , u est AC et la dérivée p.p. vérifie : u’E L p ( l ) .

2.6. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 2

113

(2) Montrer que toute fonction de W ’ > P ( I )peut se prolonger en une fonction continue sur 7. ( 3 ) Au cours de cette question, on utilisera la propriété W1>”(Iw)= w,””(R). Soit u une fonction de classe c1 sur IR à support compact. On pose w = ( u ~ P ~ ~Montrer u . que w est de classe C1 à support compact et que v’ = ~ / u l P - ~ uEn ’ . utilisant l’égalité ~ ( x=) v’(t)dt,montrer qu’il existe une constante C telle que :

ST”,

< cllullw~.P(R).

v x E R, lu(.)I

Eri déduire que W’J’(R) s’injecte continûment dans Lm (IR). Montrer que la constante C peut être choisie indépendante de p . Montrer que le résultat est encore vrai lorsque l’intervalle I est borné. Indications. (1) Si 7~ E W 1 , p ( I l’exercice ), 1.29 fournit les propriétés. Rkiproquemerit, on se sert de l’intégration par parties pour prouver que :

([ulI1cp)

Vcp,

=

(bI1,P).

(2) Comme u/ est somrnable sur I , u est AC sur 7 , d’où la continuité sur 7. (3) À partir de l’indication donnée, on majore Iu(z)I au moyen de Holder par ~ ‘ / ~ l l u I I pI I /U ~’ I ‘I ~ / ~ , d’où le résultat en utilisant p 1 l P < e et l’inégalité de convexité

On achève avec la densité des fonctions continues à support compact. Dans le cas où I est borné, on utilise ?L(.T)

= u(z0)

+

%L/(t)dt.

[* I

Exercice 2.16 (résolution de problèmes aux limites sur un intervalle). Soit I = ]O, l[.I1 s’agit, f E L 2 ( I )étant donnée, de trouver u soliition en un certain sens de

i

4’+ u = f’

u ( O ) = u(1).

(1) On suppose que TU E C2(7) n H t ( I ) et vérifie (*). On multiplie (*) par une fonction w E H A ( I ) et on intègre sur I en utilisant des intégrations par parties. Montrer qu’alors, en désignant le produit scalaire dans HA ( I ) par (.I.), on a : vuE

mQ),

(uIw)H1(I) = ( f J ) P ( I ) .

Réciproquement, montrer que si u E H i ( I ) vérifie cette relation, alors u est solution du problème u” étant prise au sens des distributions. En montrant ensuite que w H f ( t ) v ( t ) d tdéfinit un élément du dual de H i (1)’ montrer l’existence et l’unicité d’une solution au problème doriné

s,

114

CHAPITRE 2. LES ESPACES DE SOBOLEV. THÉORÈMES D’INJECTION

dans H i ( 1 ) (on utilisera le théorème de Riesz pour un espace de Hilbert). Montrer que cette solution est dans H 2 ( 1 ) et que, si f E C ( 1 ) , alors la solution est dans C 2 ( 1 ) . ( 2 ) En utilisant, par exemple, la solution élémentaire de u” u = O sur IR+, ou encore la méthode de variation des constantes, déterminer explicitement cette solution à l’aide d’intégrales portant sur la fonction f. ~

Exercice 2.17 (relations entre /IVullLzet

I~u/TIIL.L).

(1) Soit u E C,(RN)avec N 3 3. En calculant :

T-I

IVu+ ( N - 2) u ( x ) 2 2 r2

en intégrant ensuite sur

’

IR^ et enfin, en effectuant sur le terme

une intégration par parties, montrer que :

(2) En déduire que si N 3 3, on a l’implication u E H1 + u/lxl E L 2 . Montrer que ce résultat n’est pas vrai pour N = 2.

Exercice 2.18 (généralisation de l’exercice précédent). (1) Montrer que si u E W1,p(IRN),N > p et p > 1, p < CO alors, u/lxl E L P . Pour ce faire, on montrera l’inégalité de convexité (où l / p + i/p’ = 1) :

( 2 ) Appliquer cette inégalité aux expressions vectorielles Y = Vu et

En intégrant par parties le terme

JRN I U I P - ~ U ? ‘ / T P .

V u d x , en déduire que :

Indecatzons. Pour la convexité, on utilise f ( z ) = lzlp qui admet pour dérivée p l ~ l ~ - d’où ~ z , l’inégalité f(z y) 3 f(z) D f ( z ). y.

+

+

Exercice [**I 2.19 (solutions élémentaires du laplacien). Montrer qu’il existe une constante ka telle que, au sens des distributions, dans IR2, A ( 1 n J m ) = k2So. Montrer que, dans I R N , avec N > 2 , A ( r Z p N= ) k ~ 6 où 0 k N s’exprime simplement à l’aide de l’aire W N - ~ de la sphère unité de IRN. On utilisera des calculs élémentaires d‘intégrales

2.6. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 2

115

dans les cas N = 2 et N = 3 et, pour le cas général, on utilisera le second t héorèrrie de Green Indications. (1) On montre d'abord qu'au sens des fonctions et en dehors de l'origine, on a : i),[lnr] = z / r 2 et Ov[lnr] = y / r 2 . Montrer ensuite que ces fonctions sont localement somrnables. En utilisant enfin la fonction $(Y, e) = p(r cos O,r sin e), la

formule

:

a,p et la formule analogue pour

= cos 0

'py, on

a+

sin8

I

__ de$!?,

r

aboutira à

+ 3y+)

(3,;

-

:

= 27rp(O)

(2) On suppose N = 3 . On montre que les trois dérivées de u = localement somrnables et en déduire que :

(Au,$!?)= -

7-l

sont

r-3[23~p+y3yp+zdZp]dzd:ydz. L

3

Le passage en coordonnées polaires étant défini par z = rcos
/

n

[f(n;)Ap(z) - p(z)Af(x)]dz =

LC>

[ f ~ 4 ~ Z P-( $4! ? ( 4 a Z f ( . ) ] ( h

les dérivées normales 82 à 30 étant orientées vers l'extérieur de 62. On en déduit que (A(?-"), p) est la limite, lorsque E i O de :

1

+

1

p A ( ~ ~ - ~ ) d z [ p ( z ) & ( ~ " ~-) ~~--"d3(p)]e~-'da

7-2E

On montrera airisi que

?=E

= (2 - N ) w ~ - i G ( o )

CHAPITRE 3 TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

Au terme du précédent chapitre, nous avons montré l’existence d’une t,race (c’est-à-dire du prolongement d’un élément u de W’J)(R) ti la frontiere d o ) , cela lorsque R est un ouvert C l . Cette fonction yo(u) appartient à LP ( d o ) ,mais, bien entendu, cri l’absence de l'existence des prolongements des dérivées 4.1~ sur dR lorsque l’ouvert est tie classe C’ , l’appartenaiicc de you à un espace de Sobolev du type WlJ’(312) n’a pas de scns en général. Cependant: à l’aide de la notion de dé.r.%.uationfractionnuire, on peut envisager que l’appartenance ZL E W1~” (0) implique que certaines dérivées d’ordre s avec O < s < 1 de yo(u) soierit dans LP(3R). Ce chapitre débute ainsi par un exeniplc prt‘liniinaire où cett,e uppartermrice est constatée pour l’ordre s < I - 1 / p . Pour mieux imaginer cette notion, le lecteur peut, se placer dans IC cas p = 2. Dans ce cas, on peut utiliser la transformation de Fourier coinnie cela, sera fait d’ailleurs dans le chapitre 4. Une dérivée partielle di7~(:st transformée en le produit 227r<,ûdont l’appartenance à L2 est équivalente à celle de (1+<s)1/2G. Par utilisation de la transforniation de Fourier iriverse, il est ainsi naturel de dire quc ?L est dérivable à l’ordre 1 / 2 si la fonct,ion (1 IE12)‘/4û est dans L2. Plus précisément’ sauf dans le cas p = 1’la trace d’une fonction dont les dérivées sont dans L P , a une régularité meilleure que celle dcs fonctions de LP (di]). Nous nous proposons‘ dans ce chapitre’ de donner une caracthisatiori intrinsèque de la trace z H ~ ( 2 : ) ’(ce qui veut, dire : ind6pendante du choix de la fonction u de W’ip(R) telle que you = I I ) . Cette caractCrisat,iori nous conduira ti identifier, pour p > 1, l’espace iiriage de la trace 70 ii un nouvel espace W - ’ / P , ~ (XI), premier exerriple d’un espace dc Sot)olev fractionnaire. Le chapitre 4 généralisera ce cas particulier & toiis les espaces de Sobolcv fractionnaires.

+

118

CHAPITRE 3. TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

3.1. Espaces W1-llP,p(RN-l), pour p

>1

3.1.1. Exemple préliminaire

Exemple 3.2. On se propose pour commencer, d’étudier, sur un exemple simple, les propriétés de régularité vérifiée par les traces de certaines fonctions de W’J’, ceci dans le but d’introduire, grâce à la notion de dérivation fractionnaire, les nouveaux espaces de Sobolev. À cet effet, considérons l’ouvert s2 = R x ]O, +m[ et p une fonction de D(R), avec O < p < 1 et égale à 1 sur [O, 11. On définit la fonction u par : u ( z , y )= p ( @ q ) ( z 2

Pour p

+ y2)a’2

= (p(?-)P.

> 1 donné, on suppose

(*I

1- 2 / p

< Q < 1 - l/p.

Alors, on a u E W1>p(Q).La fonction u admet pour trace, ou encore ici pour restriction, sur la frontière R x {O}, la fonction z ++ f ( z ) = p(Izl)Iz1“. Sous la condition (*), on vérifie you = f E P ( R ) et f $ W’,P(IR).

Remarque 3.2. Pour justifier l’affirmation contenue dans l’avant-propos de ce chapitre, on peut utiliser la notion de dérivation fractionnaire d’ordre s avec O < s < 1 appliquée aux traces des fonctions u étudiées ci-dessus dans le but d’obtenir, pour caractériser l’appartenance d’une telle trace à L”(aR), l’inégalité O < s < 1 - i/p. Ce résultat est une première approche de la définition d’un espace de Sobolev fractionnaire, ii savoir, ici, l’espace WlWP>P(R). Cette remarque, qui s’appuie sur la notion de dérivation fractionnaire qu’on trouvera exposée dans l’ouvrage [37], est développée dans l’exercice 3.1. Considérons, dans l’exemple précédent, la restriction de u à [O, 11, à savoir la fonction .T H z“ sur cet intervalle. Sa dérivée d’ordre s est zaps. La condition suivant laquelle cette dérivée appartient à D’(Io, 1[) s’écrit p ( a - s ) > -1, soit encore s < a l/p. Gr;îce à (*). on a 1 - l / p < cy 1/11 < 1. On en déduit que les valeurs de s pour lesquelles Q satisfait à la relation (*) sont bien celles qui satisfont à l’inégalité O < s 1 - l/p. Par ailleurs, nous verrons dans ce qui suit que v E W’-’/”.P(] - 1,1[)est équivalente aux deux conditions :

+

+

<

v E Lp(] - 1, i[) et À titre de vérification, niontrons que, sous la condition précédente (*) de l’exemple 3.1, la fonction %r définie sur ] - 1,i[ par .(.E) = jzJ“ rend bien la deuxième intégrale, notée J ( v ) ,convergerite. On peut d’ailleurs se ranieiier à v ( z ) = xa sur ]O, i[.

119

+

En posant p = ( a - 1)p 1, nous avons, en utilisant une homothétie sur la variable et, deux fois, la formule de Fubini :

La fonction x ++((1- AO)/(I - A ) ( " est continue sur [O, 11. La première intégrale est donc convergente sous la condition /? = (cy - 1)p 1 > -1. Cette même condition permet d'écrire la deuxième intégrale, sous la forme :

+

Elle est donc aussi convergente puisque : résumé J ( v ) existe si û. > 1 - 2 / p .

(cy

- 1)p - ( a - i ) p - 2 = -2. En

3.1.2. Définition d'un espace de Sobolev fractionnaire. Exemples

DéJinition 3.3. Soit un réel p > 1 et un entier N 3 2. L'espace de Sobolev W'-l/pJ'(RN-l) est le sous-espace de L p ( R N - l ) caractérisé par : (3.4)

W1-1/p'yIWN-1) =

Théorème 3.5. L'espace

{.

E Lp(RN-1

W'-'/P,p(RN-'),

muni de la 'norme

est un espace de Banach. La preuve de ce théorème sera donnée au chapitre suivant dans le cadre d'espaces fractionnaires plus généraux et pour un ouvert R quelconque en place de De la mérrie façon, on définit pour 0 un ouvert de IRN-' :

On commence par étudier deux exemples simples en dimension 1.

Exemple 3.7. On étudie l'appartenance de z H u(x)= l n x , pour tout réel p tel que 1 < p 2, à l'espace W ~ - ' ~ P > P (i[). ]O, Pour 1 < p , on a u E L p ( ( ] O , l[).On étudie la finitude de :

120

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES D E SOBOLEV

Eri utilisant la variable t

= y/z

et la, forniule de Fubirii, on a :

Pour p < 2, la fonction t H 1 IntJ*/jI - t J P est continue sur ] O , I ] , intégrable au point t = O, ainsi que 2 l - P ; la première intégrale du second membre est donc corivcrgente. La deuxième intégrale, qui s'écrit alors :

est convergente puisque, d'une part, si t + $00, la fonction est majorée par KI lntl"/t2 et que, d'autre part, on a I lntl 11 - tl quarid t + 1. Pour p=2, J est supérieure à la première intégrale, laquelle est égale à +cc. On en déduit : N

E w 1 - l / P , P (]O, 1[) u 1 < p < 2.

Exemple 3.8. On suppose p > 1. On veut montrer que, si ( a - 1)p > -2, alors z H zol n z est dans W 1 - ' l P I P ( ] O , l[). La condition pour que u ( x ) = zal n z soit dans L p ( ( ] O ,1[)s'écrit

(*)

clip

> -1.

+ b l ~< 2 P - ' ( l u l P + / b l p ) appliquée à ia décomposition lxa l n z - yQ lnyl = /z"(lnz lny) + lny(z" y")l,

L'inégalité la

-

nous montre que l'appartenance de u à l'espace quée par la finitude des deux intégrales :

-

W~-'/P>P(]O,

i[)est irnpli-

Par des calculs analogues à ceux de l'exemple précédent, on voit que la première intégrale I est finie s'il en est ainsi pour les deux intégrales :

+

C'est le cas pour II si (cy - 1 ) p 1 > -1 ou a p > p - 2 , condition qui entraîne (*). Sous cette mêriie condition, l'intégrant de la deuxième intégrale I,, transformée par Fubini, est équivalent en f c c à I l ~ i t l P / t " p + ~ .On en déduit sa convergence puisque cyp 2 > 1. Donc :

+

I < m Ic u p > p - 2 .

De même, la deuxième intégrale J est finie s’il en est de même pour les intégrales suivantes, où on a posé /3 = p a - p 1 :

+

L’intégrale J I se comporte comme J ( u ) dans l’exeniple 3.1. Elle converge si a p > p - 2 quel que soit le signe de a . D’autre part, comme ,4 > 1, la fonction z H x’l lriz/P est dominée par z H z7 pour tout y tel que 1 < y < /3, lorsque J: < 1. Par suite, sa primitive au point 1/t est dominée par I ( t - l - 7 et il en résulte que l’intégrant de Jz est dominé cn fcc par t-((’-”)P+yf1), ce qui prouve l’existence de J2. On en deduit le résultat aniioncé. 3.1.3. Caractérisation de la trace de u E W1i”(RNpl x

R+)

On montre maintenant le résultat :

Théorème 3.9. Soat N 3 2. Alors 1 ’amuge de 1 ’upplacutaon truce yo satasfaat à : y o ( W y R N - 1 x ]O,

+Ca[))

=

Wl-l/pJpN-’).

On prouve tout d’abord le théorème pour N = 2 , après quoi, on passera au cas général. Preuve du th6ori.me 3.9 pour N = 2 . O Montrons, pour cornmericer, que : Wl-l/”’”(R)

-

yo(Wl,”(R x ]O, +oo[)).

Soit donc u E W1pi/P,P(R).Soit cp une fonction de D(R) telle que cp(0) = 1. La fonction u étant daris LP(R),on peut définir la fonction u par : (3.10)

La fonction O est nulle pour /ti assez grand. Montrons que O E LP(R x]O, +co[). Par l’inégalité de Holder, appliquée à l’intégrale définissant le menibre de droite de (3.10))’on a :

En utilisant Fubini, cette dernière intégrale se majore par :

s’/

/cp”(t)l;

O

R

lu(X)l”dXdsdt =

JO

+m

Cette dernière intégrale est finie, d’où le résultat.

l p l ” ( t ) d t / lu(z)lPdz. R

122

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

On montre maintenant que v est une fonction de WIJ’(IR x IRf). On calcule donc les dérivées de v par rapport à 2 et t. On a :

+

u(x t ) - u(x) Y(t). t En rentrant u(x+ t ) dans l’intégrale portant sur z,on a également (3.11)

d,v(x,t ) =

d,v(x,t)=

9 l(u(z + + + + JTI t )- u(z

1

t )- u(z t z ) dz t

u(2

= P(t)

D’après la définition de

W1-l/P>P(IR),on

y h’ + y JTI

z))dz

+

u(2

~

t

u(z

a, en posant t = y

-

:

+ s)ds

+ s)ds

x

:

Ceci prouve que d,v E LP(R x ]O, t o o [ ) . En remplaçant y par y’ dans la définition de v, on voit aussi par les calculs précédents que :

I1 reste à montrer que f E LP(R x ]O,+m[). En fait, on montre que f E L”(R2). En utilisant d’abord l’inégalité de Holder, on obtient :

+

+

Faisons le changement de variables X = z t z , T = x t dont le jacobien est IdX A dT1 = /z- 11 Idz A dtl. En utilisant Iz 11 < 1, p > 1, on a 11 - zit’ 3 I(1 - z ) t l p = IX - T I P d’où : ~

G

cll~ll;l-

* / P > P ( ~ ) .

À présent que l’on a prouvé que u E W’>P(IRx ]O, +CO[), il reste à montrer que you = u,autrement dit, que limt,o+ Ilv(., t ) - uIILP(R) = O. Pour cela, écrivons : rl

+

[u(2 t z ) - u(2)ldz

u ( x ,t ) - u(x)= p(t) 10

+ (y(t)

-

l)u(z).

3 . 1 . ESPACES

IV-’’“”(IWN-l ), POUR

En tenant compte de limt,o[cp(t) ramène à :

-

p

>1

123

l ] ( ( u (= ( , O, la propriété à prouver se

Or, cela revient après l’application de la formule de Holder, puis de celle de Fubini, à utiliser la propriété de continuité de la translation dans LP, à savoir limb-0 I I T ~ U - ulIp = O. On a ainsi prouvé l’égaliti: : yo(w) = u. Ceci termine la démonstration d’une inclusion pour N = 2. Inversement, on veut montrer que si u E W’>”(IW x ]O, +CO[), sa trace appartient à w ~ - ’ / P > P ( I wx {O}). Pour cela, on utilise le leninie :

Lemme 3.14. Soient v un réel e t f une fonction de ]O, +m[ dans R. On suppose que O < u l / p = O < 1 et 1 < p < +m. Alors :

+

(i) Si l’application t par :

H

t ” f ( t ) appartient à L P ( ] O , +CO[) et si y est définie

(3.15)

alors l’application t H t”g(t) appartient à LP(]O,+m[).D e plus, il existe une constante C(p,u ) qui n e dépend que de p et de u , telle que : (3.16) (ii) Soit C Y , /3 E k avec CY < p, f définie sur]O,+m[ x ] a ,/3[, et y définie sur ]O, +CO[ x ] a ,p [ par :

a[),

Alors, si tuf E LP(]û,+CO[ x ] a , o n a : t u g E D’(Io, +CO[x ] C Y , ,û[) et il existe une constante c ( p , u ) n e dépendant que de p et v telle que : (3.17)

.cJO*

t y g ( t , z ) l p d t d x < c ( p ,v )

Lm

tupl f

( t ,s)lPdt dz.

Remarque 3.28. Le résultat s’étend dans (ii) au cas où la variable t est dans un intervalle ] a ,b[ à la place de ]O, +CO[. Remarque 3.29. On utilise ici le lemme seulement avec servant dans le chapitre suivant. Preuve du lemme 3.14. a Soit F définie pour x > O par : (3.20)

F(z)=

Ju’

f(s)ds.

u =

O ; le cas u

#O

124

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

On commence par remarquer que les hypothèses sur f entraînent que z1F(z)1P est bornée et terid vers O lorsque z tend vers O. En effet, si p > 1 :

d’où

4F(:x)IP6 Cllt”f(t)llLp(,O,%[). En particulier zlF(z)IP tend vers O quand

4F(z)IPG

1c

tend vers O et, en outre,

~/l~’fllP,P(]o,+~[)~

Ces remarques nous permettent de faire l’intégration par parties suivante :

pjF(”-2F(z)F’(z)zdz+ M p ( M ) y .

Or : rz

F ’ ( z ) = (. - 1)z”-2 J, f ( t ) d t

(3.21)

+ .”-lf(z).

D’où :

z F ’ ( x ) = (v - l ) F ( z )+ z U f ( z ) . On obtient : (3.22)

1“

IFl”(z)dz = -p(.

M -

1)

IFIP(2)dz

d’où

ce qui ent,raîne,en utilisant les notations suivantes Xm1 = et a! = / l t ” f ( t ) l l L P ( ] O , + m [ )

hf I/” (JO IF(x)I”) dz

3.1. ESPACES W‘-l’p,r’(RN-’),

POUR p

>

1

par l’inégalité de convexité de la fonction s H I x j P . Or1 en déduit

XI,

125

:

< C(P, V)QP.

Finalement :

Pour la preuve de (ii), on calque la démonstration sur la précédente en fixant 2, puis en intégrant par rapport & L . Le lernrne est ainsi prouvé. On rcvierit à la démonstration du théorème pour N = 2. Soit ‘II dans WIJ’(R x ] O , +m[) et u ( x ) = u(x,O). On peut découper l’intégrale sur R2 de la fonction lu(.) - u(y)IpIx - yl-P suivant les deux ensembles : {y > z} et {x > y}. I1 suffit d’etudier l’intégralc sur le domaine {y > x} : O

En élevant à la puissance p et en intégrant en z et y la première intégrale intervenant dans cette égalité, on obtient :

Définissons la fonction f ( S , ).

= d,7/

Alors, f E LP(R x ]O, +m[). Puisque quer le lemme 4.38, (ii) :

+

(x s / 2 , s / 2 ) ‘u

E W1,p(R x ]O, +m[)! on peut appli-

En faisant de rnème pour l’intégrale

SV-”:

2 2-Y

a,v (y - s / 2 , s / 2 ) d s ,

O

on obtient le résultat souhaité.

126

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

Dans le même temps, on a montré qu'il existe une constante C que : (3.23)

I I uI I

UT1

~

1/ P . P

(R)

G

cII I I w

I

TJ

> O telle

(WX I O, +Co [) '

ce qui montre la continuité de l'application trace dans cet espace.

Remarque 3.24. On donnera à la fin de ce chapitre une autre classe de relèvements plus appropriés aux problèmes liés aux traces d'ordre supérieur. L'avantage du relèvement précédent est de permettre des calculs plus explicites. Avant de passer au cas général, traitons un exemple

:

Exemple 3.25. On illustre le théorème démontré pour N = 2 à l'aide de 'Hp, la fonction ip étant un élément de D(R) valant 1 sur [-1/2,1/2] et 'H étant la fonction de Heaviside définie par :

On examine, lorsque I < p < 2, l'appartenance ' ~ Ep w ~ - ' ~ P > P ( I R ) . Pour calculer la semi-norme

on remarque que sa finitude équivaut à celle de la somme A, des intégrales sur les produits ] - 1/2,O[ x ]O, 1/2[ et ]O, 1/2[ x ] - 1/2,O[. On est ainsi ramené à montrer la finitude de :

+

La condition d'existence s'écrit donc -p 1 > -1 ou encore p < 2. On peut remarquer ainsi que p = 2 est un cas critique, dans la mesure où X p appartient à tous les W~-'/P~P(R) pour p < 2, et ceci malgré ia présence d'un point de discontinuité au point x = O, alors que cette même fonction n'est pas dans H'/2(R). On peut aussi, dans cet exemple, calculer la dérivée fractionnaire d'ordre 1 - l/p de 'Hp pour p E D(R) (cf. exercice 3.1). La preuve précédente montre l'existence d'un relèvement de 'Hp dans W'J'(R x ]O, +CO[). On peut aussi exhiber une fonction appartenant à l'espace W1,P(lR x ]O, +m[) dont la trace vaut 'Hp sur le bord IR x {O} sans utiliser la définition intrinsèque de H1I2(IW):

3.1. ESPACES W"/p.p(RN-l),

Soit, I L définie par :

u(x,y) =

{+ p(z)

POUR p

>1

127

< O et O < 11 < - 2 , si x < O et y > -x > O ,

si x

six >O.

Soit .i1, une fonction de D(R) qui vaut 1 sur {y = O}. Alors, .i1,(y)u(x,y) appartient à W1+'(R x ]O, +m[) et vaut 'Flp sur R x {O}, lorsque p E ] i , 2 [ .

Remarque 3.26. Lorsqu'une fonction présente une discontinuité en un point, sa dérivée au sens des distributions fait intervenir une distribution de Dirac qui ne peut donc s'identifier à une fonction. Ici, on a l'occasion de trouver des fonctions admettant des discontinuités de première espèce dont la dérivée ,fractionnaire est un élément d'un espace Lp pour p < 2 . Preuve du thkorème dans le cas général. O Nous aurons besoin du lemme suivant

Lemme 3.27. Les propriétés suivantes, pour un élément u d e LP(RK),sont équivalentes :

Preuve du corollaire. 0 On utilise le lemme en exprimant U

=

~ ~ u ~ ~ ~lorsque -l~q,q,

u E W 1 - l / p J ' ( R N ) En . utilisant l'inégalité de Holder, on a :

lu(x

+ tei)

-

u(x)lq

dt dx

128

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

Preuve du lemme 3.27. 0 Montrons que (ii) entraîne (i). Soit donc u E L P ( R K tel ) que, pour tout i,

On utilise, pour z et y des éléments de IRK, les notations suivantes : $ = xJe3+E,",,yJeJ = (z1, z2,. . . , L,, yz+l,. . . , Y K ) avec ZK = x et z o = y. On en déduit l'écriture suivante de u(y) - u ( x ) : h

a=K-l U(Y) -

4.)

[..($)

=

-

u(zT1)].

,=O

On peut donc majorer la puissance p-ième de la semi-nornie dans W1-l/p~p(RK)par la somme d'intégrales Co-' I? où :

I1 s'agit de majorer ces intégrales I,. Pour cela, en posant vJ = lxJ - y3I2 et q = ( p + K - 1)/2, on commence par encadrer le dénominateur (E,q j ) q . Par exemple en utilisant l'équivalence de normes en dimension finie, il existe des constantes Cl, C2, C,, C, ne dépendant que de p et K telles que :

Étudions, par exemple, l'intégrale I K - ~en commençant par intégrer partiellement en y1. En utilisant la parité en y1 - 21, les inégalités précédentes avec des constantes Ck lorsque K devient K - 1, et aussi une homothétie sur une variable d'intégration, on a, pour xi fixé, i E [1,KI et YK fixé :

3.1. ESPACES W’”’r’.7’(iWN-’),

POUR p

>1

129

+

Puisque p K > 2 on a 2q > 1 et, par conséquent, la dernière intégrale est convergente. On se retrouve ainsi en présence d’une inégalité :

où la constante Ml ne dépend que de p et de K . En inthgrarit cette inégalité par rapport à y2 . les mêmes calculs fourniront la majoration de l’intégrale partielle de I K - ~ en . y l , y 2 , par : 11.11M2

).(. I

A

- U(XK-i)/p

p+K-3‘ [&3

1x3 - y311

I1 en résulte, par récurrence, que l’intégration partielle en ( y i , y z , . . . dorine la majoration :

~

YK-1)

Par un dernier changement de variable, on aboutit à l’existence d’une constante c ne dépendant que dc p et de K telle qiie :

En tenant compte de l’hypothèse (ii), cela entraîne la finitude de 1 ~ ~ 1 On procède de la niêrrie manière avec les autres intégrales 1,.On a donc prouvé que (ii) implique (i), et aussi l’inégalité :

Inversement, montrons que (i) implique (ii). Ici encore nous utilisons un argument de récurrence sur les exposants des termes au dénominateur. Posons d’abord : O

+ .(.->IP lo,+m, PK .(.I

Ji

=JXK

tKeK) -

t

dt,dz.

Avec une notation différente, il s’agit là de l’intégrale qui figure dans la conclusion (ii). On la généralise par des intégrales Jk où le nuniérateur de l’intégrant est du type \u(x’)- u(x)I avec une différence

.

130

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

t,ej que l’on dit, ici, de longueur IC et t, 3 O, à savoir x’ - x = CKpk+, K

:

En utilisant la variable x - y dans l’intégrale exprimant la semi-norme de u dans W1”’PJ)(RK)et en se restreignant à des intégrations sur ]O, +00[,on voit que, par hypothèse, J K < 00. I1 en résulte que l’implication (i)+(ii) sera prouvée, pour i = K , si nous établissons que, pour tout k E [1,K - 11, on a l’implication : Jk+1

Supposons donc

Jk+1

< 00

=+

Jk

< 00.

< 00. Soit

Servons-nous de

On en déduit que JI, est majoré par

On procède maintenant à une majoration du numérateur en utilisant un point intermédiaire, noté x*,ii savoir Z* = x + t’eK-k + E E - k + l ( t 3 / 2 ) e 3 qui est situé entre 12: + t,e, et T et en utilisant aussi l’inégalité la + b l P 6 2 P - ‘ ( l a l P + lbl”). On minore les dénominateurs au moyen de t’ + E;-,+, t, 3 t’ + t,/2. E I ~écrivant ainsi :

xE-k+l

~E-,,,

3.1. ESPACES W”’”’”(R“-l),

011 obtient

JI, < 2p-l [ A+ BI, avec

POUR p

>I

131

:

Dans cette majoration, le numérateur de l’intégrant porte sur une différence

x’ - (1: de longueur I; et en tenant compte du contenu du dénominateur, on voit que cette majorante est l’intégrale J k + i . On en conclut que A < CO. Pour l’intégrale B , il noils faut transformer le riurnérateur pour qu’il apparaisse de la forme lu(y) - u(y’)/. y étant la variable d’intégration et la différence y - y’ étant aussi de longueur k . Pour cela. daris 1’iIltégrale B , effectuons la transformation définie par :

Le déterminant jacobien de cctte transformation est triangulaire, les ternies diagonaux étant égaux à 1. Donc, l’intégrale B est majorée par :

Cette dernière intégrale est du type JI,+^ ; elle est donc finie. Pour conclure, on a : Jk

< K ( A + B ) < 30.

Pour les autres intégrales

le raisonnerrient est le rnênie. L’équivalence entre (i) et (ii) est donc prouvée. En outre, on a obtenu qu’il existe une constante c’ ne dépendant que de K F t y telle que :

Cela achève de prouver l’équivalence des normes énoncée dans le lerrinie.

O

C H A P I T R E 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

132

0 Nous revenons ii la preuve du théorème 3.9 pour N > 2. Soit u dans W1-l/pJ’(RN-l) et soit t i définie pour t > O par :

(3.29)

où cp E D(R) avec p(0) = 1. Alors. liiiit,o Cela résulte en effet de :

t ) - ullp = O.

117~(.,

cp(t)(îL(Z

+

tZ) -

car, u etalit daris LI’ (cf. propriéte (2.64)). on a lim,,,o Il-rhu - ulIp = O. I1 faut vérifier ensuite que v E W1,p(RN).La dérivée par rapport à 2 , où 1 i N 1 apparaît. a p e s l’application de la formule de Fuhini et l’utilisation de la variable d’intégration .E, z,, comme une dérivation par rapport aux bornes. On obtient airisi :

< <

(3.30)

~

+

+ +t N2%) -l

u(s’ te,

~ , u ( T ’ t>) = cp(t)

- 742-1

+ 2,) dZ,.

En utilisant l’inégalité de Holder et uii cliarigenient dc variable 6, = t i , on it :

On integre ensuite par rapport k variable

(d, t)

--f

2’

(X’

ct t , puis

= IT’

011

fait le changeirieiit de

+ ti,, t),

ce qui doii~ie,eii utilisarit le lemme 3.27 et la formule de Fubiiii :

3 . 2 . CAS DU BORD D’UN OUVERT A U T R E Q U E RN-‘ x ]O, m [

On calcule maintenant &u(z’, t ) . On obtient

133

:

I1 est clair que la, fonction

appartient à LP(RN-’ x ]O, +CO[). II restc & rnoritrei qu’il en est de même pour les iritégrales :

En faisant le changerrierit de variable z = t Z , puis cri utilisant l’inégalité de Hdder, on obtient :

Eii intégrant par rapport A n.’ ct t . et eri faisant le changenicnt tic variable ( x ’ > t+ ) ( ~ ’ = ~ ’ + t ~ , ~ = f ( l - z , ) ) , o r i o b t i e n t d (~l ’- z~, d) d~. = d~dt, d’où, p i des riiajoratioris évidciitcs :

< CO. Ceci terriiiric la prciive du théorème 3.9.

O

3.2. Cas du bord d’un ouvert autre que R N p l x ]O, m[

Loisque R est lin ouvcrt C’, or1 a montré daris IC chapitre 2 l’existence d’une application tract A valeurs daris L”(df2). De iiiaiiière analogue A la

134

CHAPITRE 3. TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES D E SOBOLEV

démarche précédente, on définit l’espace :

où d a désigne la densité superficielle sur 862. La propriété du théorème précédent possède l’extension suivante :

Proposition 3.31. Soit R un ouvert d e classe C1. Alors, l’image de l’application trace sur W1,P(R) satisfait ci : 7 0( W ’ ~ P

(0)

w1- ” p > p

(XI).

Preuve d e la proposition 3.31. 0 Soient u E W ’ > p ( f let ) , Ri, O:, Fi, ai et (pi coinine dans les définitioris 2.65 et 2.66 d’un ouvert de classe C1. Soit vi définie sur IRNp1 x]O, +coo[ par U i ( x ’ , x N ) = (p2u(x’, ai(x’) Z N ) .

+

I1 est facile de voir, en utilisarit le fait que ai est de classe C’ sur le compact Fi projection sur IRN-’ du support de y %que , vi E WL>p(RNp1 x ]O, +CO[). Par conséquent, grâce au théorème 3.9, la trace, notée yo’üi, de cette fonction de W1>p(RN-lx ]O, +mû[)est dans W1-l/pJ’(IRNP1). On va en déduire, en posarit, 2’= (z’, a t ( z ’ ) ) qiie , la fonction composée .;L, telle que G ( 2 ’ )= (p7u(2’)= ”y0~i(2’) est dans W1-’lp>p(dR n Q i ) . Notons I/G11?; sa serrii-riorine dans ce dernier espace. Pour la majorer, on utilise l’inégalité :

En utilisarit le prolongement par O hors de O:, la senii-norme la puissance p est égale à l’intégrale :

iiiilii:~, dont

fournit la majoration :

On a donc U, E W1-l/p.P(i3R). D’après le théorème 2.86, la trace ~ ~ ~ u ~ l la - l semi-riornie /p,p :

est définie par

E,lTt. En notant

3.3. TRACE DES FONCTIONS DE W'"(b2)

135

et en utilisant la proposition 2.68 et la continuité de l'application trace, on en déduit :

6

~"1

/ I V ~ T LP(n,nn) I / ~ ~

6 ~ ' " 1 1 ~ 1 1"(a). w1

1

Une partie de la proposition est ainsi démontrée. Inversement, supposons que u E LP(df2) et que la semi-norme I uli-l/P,P dans W1-'/p>*(dR) soit finie. Alors, pour tout i , iip,uili:p < 03 comme il est facile de le voir en utilisant le caractère lipschitzieii de p,. Posons, pour tout 5' E O:, 7 j a ( d ) = y,u(?'). En utilisant les inégalités

on obtient une inégalité de type inverse de (*), d'où l'on déduit que u, E

W1- 1 / P > P(p1). D'après le théorème 2.86, il existe donc V , E W ' J ' ( ( R N ) +à) support compact dans 0: x [O,S[ tel que I I , = yoV,. Soit alors, pour 5' E O; et X N E ] a , ( d ) , a , ( c ' ) S[, la fonction U, définie par U , ( X ' , X N= ) K ( d , -a,(d) z ~ ) Celle-ci . est définie sur R, n 62, vaut u, sur {ZN = a,(d)}et, en outre, Ut E W1,p(R, n 0 ) . Les calculs précédents montrent qu'il existe une constante C qui ne dépend que de XI,de p et de N , telle que :

+

+

llu~llwlp(n7nn)6

CI4-i/p,p.

Définissons U = E, U,. On a U ( d ,O) = E, U,(x', O) = E, p,u(d) = ~ ( z ' ) . D'autre part, U E W'>p(R),car, d'après la proposition 2.68 :

I I ~ I "(0) I ~ <~

I I K I r>(n2,nc2) I~~ a

(3.32)

3.3. Trace des fonctions de W1>l(R) On traite maintenant le cas des traces des fonctions de W1>'(0). Ce qui suit peut être vu comme un prolongement du résultat précédent si on interprète la dérivée d'ordre 1 l / p = O comme étant la fonction elle-même. -

Théorème 3.33. Soit R un ouvert d e classe C1. Il existe une application linéaire continue et surjective, notée 70,qui envoie W1,' ( O ) dans L1(dR).

136

CHAPITRE 3. TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES D E SOBOLEV

Cette trace coincide avec la restriction au bord d'une fonction lorsque u E wlJ(n)nc(2). E n outre il existe une constante C > O telle que, quel que soit II, E L1 (an), il existe U E W1il(fI) avec you = I L , et : I I ~ / l w l J ( nG) CllUIILl.

Preuve du théorème 3.33. O En utilisant le même procédé que pour les fonctions de W ' J ' ( 0 )on se ramène au cas où u est ti support compact dans (RN-l x [O, l[).On a alors, pour presque tout couple (s,t ) de réels strictement positifs, avec s < t pour fixer les idées :

Lorsque s et t tendent vers zéro, le membre de droite terid vers zéro. Or1 en déduit que u ( . , t ) est de Cauchy dans L1(IWN-') qui est complet. Soit you sa limite dans L1(pSN-'). I1 est facile de voir que l'application trace ainsi définie est continue. 0 Montrons que cette application est surjective sur L'(EtN-'). Soit donc 7~ dans L1(RNpl) et {uk} une suite de fonctions de classe C1 et à support compact, qui converge vers u dans L'(EtN-'). On peut supposer, quitte à extraire une sous-suite, que : (3.35) Soit alors

{ûk}

une suite de réels strictement positifs, telle que

:

Soit la suite de réels définie par :

(3.37)

t o = cal., tk+l = t k - N k

( v k > 1).

La suite { t k } tend vers O en décroissant strictement. On définit la fonction v, sur J R ~ - 'x ] ~t o, [ ,en posant, pour tout t E ]tk+l, t k [ et pour tout x' E R ~ : (3.38) En fait, v E W'>'(RN-' x ]O, t o [ ) . En effet, si j E [1,N t E]tk+l,tk[:

-

11, on a, pour tout

~

3.4. DENSITÉ D E C'(âR) DANS I&'-''" (80)

137

On en déduit :

La dérivée par rapport à t nous donne :

(3.39) Donc :


~

uk+llIl

< 00.

On a ainsi obtenu w E W1>l(RNplx ]O,to[). Par le théorème de l'image ouverte, l'image par "io de la boule de centre O et de rayon 1 contient une boule B(O,rO) pour un TO > O. Alors, pour tout u E L1(8R), il existe U E Wl,' tel que

3.4. Densité de C'(3R) dans W1-'1pJ)(dO) 3.4.1. Densité dans W1-l/pJ'(ûR). Propriétés de l'application trace

Proposition 3.40. On suppose que R est un ouvert de classe Cl duns E t N . Alors C1(dR) n W1-l/p,p(dR) est dense duns W1-l/p>p(dR). Remarque 3.41. Nous pouvons établir ce résultat à partir de la définition de w ~ - ' / P ~ P ( ~ R~a ) . preuve est aiors analogue à celle donnée dans IC chapitre suivant pour EtNp' et Wsip, s E ]O, l [ étant quelconque. Nous avons choisi ici d'utiliser << l'héritage >> des propriétés de W'J'(R). Preuve de lu proposition 3.40. O Puisque R est de classe C l , il existe un prolongement E linéaire et continu de W'~P(R)dans w ' > ~ ( R ~Soit ) . u E ~ ~ - l / p , p ( û II ~ )existe . un relèvement U E W',p(R) de u , soit TOU= u sur 80. Par la densité de D ( R N ) dans W',p(EtN), il existe une suite { U n } de D ( R ~ telle ) que : I ~ U , - E ( u ) I I ~ ~ . ~ ( ~+ N ) O. Soit un la restriction de Un à O. Comme la restriction de E ( U ) à R est U , on en déduit que

138

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

lluTL- UllWi

-+

O. En utilisant la continuité de l'application trace, il en

résulte : IIYo(un)

-

u I I ~ l - l / pp(an) =

-

II?o(Un) - Y o U I I W ~ - "(an) ~/~J

6 Cllu,

Ul/Wl "(n)

-

o.

Or, puisque la frontière est de classe C', la fonction -youll,,qui est la restriction de un à dR est de classe C' et, finalement, on obtient -youn E O ~ l ( d Rn) ~ ' - ' / p > p ( d R ) ,ce qui termine.

On prouve égalenierit, dans le cas d'un ouvert de classe C', l'existence d'une fonction régulière à l'intérieur de R qui a la même trace que IL sur le bord :

Théorème 3.42. Soit R u n ouvert d e classe C'. Soit u E W ' > p ( O ) .Alors, il existe une suite {uTL}c Cm(n)nW1J'(!2) qui converge vers u duns W ' , p ( O ) et telle que -you, = -you sur XI.

Preuve du théorème 3.42. O Or1 reprend la construction dans la preuve de la proposition 2.12 du chapitre 2. On rappelle que

U E

=C P E J

* (P34

3

converge vers u dans W'>p(R) lorsque

E

tend vers O. Soit

N VN,E =

(PEJ

* ((P.74

~

9 3 4 .

O

Par définition UN,,est à support compact et elle converge dans W'>p(fl)vers u, - u lorsque N + +CO.On en déduit par la continuité de l'application trace que : ?O(U, -

u ) = o.

O

La proposition 3.40 et ce qui précède, permettent, eri particulier, d'établir des formules de Green généralisées qui sont des extensions de la formule de Green classique concernant les fonctions de classe C'. C'est l'objet de la sous-section suivante.

3.4.2. Généralisation de la formule de Green et applications Théorème 3.43 (formule de Green généralisée). Soit R un ouvert de classe C' duns R N . Soient U dans W ' > p ( O )et p E D ( I R N , R N ) Alors . :

3.4. DENSITÉ D E C ’ ( i X 2 ) DANS W ’ - ’ / p . p(ac2)

139

où d a est la densité superficielle sur di2 et où ?1 désigne la normale extérieure unitaire ù 80, les termes V u ( x ) . p ( x ) et p(s) . $(s) étant des produits scalaires de vecteurs dans R N et la divergence d e p étant dififinie par d i v p ( z ) = &(cpi)(z).

Preuve du théorème 3.43. Dans la situation présente où R est de classe C1, on connaît déjà cette formule lorsque u est de classe C’ sur 2.Soit u E W1,p(f2). Par la proposition 3.40, il existe une suite {un}de C1(n) n W’J’(R) qui converge vers u dans WlJ’(f2) avec, en outre, Y O U , you dans W’-llp>p(ûR). Par les convergences dzu,,pi + diupi dans L p ( 0 ) , on a J , Vu, . ‘p -+ ln V u . p. De même, le terme J, undiv p tend vers J, u div p. Enfin, en considérant les intégrales Jan((n)2piy~(u- u,,)da, on obtient, puisque lIy0(un - P L ) I I L ~ > ( ~ R ) + O, la convergence du ternie de bord i Jan u,(cp. n ) d a vers Jan you(p . n’)da. Cela établit le résultat. O -f

Autre preuve du théorème 3.43. Nous proposons ici de redémontrer ce résultat en reprenant les arguments de la preuve du théorènie classique de Green dans l’un des ouverts du recouvrement donné dans la définition 2.65 du caractere C’ de 62. 0 Les composantes upi de la fonction (up) appartiennent à W’,p(R), coniine on peut le voir en utilisant la définition de la dérivée de (upi) au sens des distributions. On peut supposer après changement de cartes, que, quel que soit i, upi E W1>p(Onf2)est à support compact dans O,où O est un ouvert de I W ~ tel , qu’il existe un ouvert O’ de I W ~ - ~et, a une fonction de classe C1 par morceaux et continue sur 0’ avec :

c {(z’,zN)I Z N > a ( z ’ ) , z’ t O } , O n df2 = {(d, u(x’)) 1 2’ E 0’). O nR

Dans le cas présent, la trace de upi sur le bord de O n 0 est nulle sauf sur O n ûR (arc r/lni’ sur la figure 3.1). Le terme de bord dans la formule se réduit donc à

LI

-f

u(z’,a(z’))p(z’,u(z’)). n (z)da(z’).

Notons que la normale extérieure unité à dR est définie par -f

n ( x )=

Par ailleurs, dc(z’) = Jl

-

t?N

+ I V U ( ~ ’dz’) ~et~ on en déduit :

ni(z’)da(z’)= ûia(z’) et

nN(x’)da(z’): -1.

140

CHAPITRE 3. TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

\

_.__

FIGURE 3 . 1 . La localisation en un point frontière.

On doit ainsi, pour chacune des composantes, montrer les formules

pour tout i


-

:

1, et

Pour la première égalité, on approche u dans WIJ’(fl n 0 ) au moyen d’une suite { u n } de fonctions de classe C1. La fonction 5’ H S , j , , ) u , c p ~ ( d , ~ ~ N )étant d ~ ~ à support compact daris O / , on a donc :

Par ailleurs, on peut utiliser, dans cette intégrale, la dérivation par rapport à un paramètre, ce qui donne :

On fait tendre n vers +CO daris cette égalité. Le premier ternie du second membre adniet pour limite l’intégrale - Ju, a2a(d)(ucpi)(z’, a(z’))dz’. Par définition de la convergence daris IV’)?le ’,deuxième terme du second membre admet pour limite d~(ucpi)dx. En utilisant la dérivée du produit upi, on obtient la première formule (*).

3.4.DENSITÉ DE Cl(aC2) DANS W”/p31’ (8Q)

141

Dans le cas i = N , en utilisant la définition de la trace de : z (.cp)(z’, n(z’) 5 N ) :

H

+

LIL;

~ N ( , u ~ ) ( z ’ , . E N= )

~ O ( U C ~ ) ( Z ’ ,a ( d ) ) d z ’ ,

L

I

d’où la formule (w),en utilisant la forniule de dérivation de d~ ( p u ) au sens des distributions. O

Théorème 3.44. Soit O un, ouvert de classe C l . SoieBt u dans W1iP(f2), I I dans WIJ’(RN \ et G définie par :

a),

u

duns R ,

PI

dans

RN \a.

Alors ii appartient ù WIJ’(RN) s i et seulement si

you

= yov

sur dR.

Preuve du théorème 3.44. 0 Supposons que you = you sur df2. Soit alors p E D(RN,RN). En utilisant deux fois la formule de Green précédente sur R et RN \ les étant opposés : vecteurs normaux Ilf et

a,

Gdivy, = - k u d i v p

-

LN,nvdivp

Comme la normale extérieure unité à df2 est l’opposée de la normale extérieure unité à d ( R N \ O) et que you = yaw, on obtient :

(3.45)

vu = vu 1 c 2 + vu

IWN

,n.

Ainsi, G E W1>p(RN). 0 Inversement, supposons que G E WIJ’(RN). On désigne la distribution de Dirac de support ûR (cf. exemple 1.84) par S,,,, laquelle est une mesure. Le calcul précédent nous donne :

v’cp E D(RN,RN),

lc2 2.

p(z)yo(u - v ) ( z ) d a ( J )= 0.

Prenons pour p une fonction dont la seule composante non nulle est celle p~ E D ( R N )d’indice N . Alors, l’égalité précédente devient :

VP E D ( R N ) ,

(?“(TL

-

71)4,,1?NPN) =

0.

On en déduit que, comme fonction de LP(dO), on a : yo(u - v) = O, ce qui termine la prcuve. O

142

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

Corollaire 3.46. Soit R un ouvert de classe C ' . Alors :

W,'JyR) = {u I G E W 1 q P ) } , où

G est la prolongée par O

hors de R. O n a aussi

w,""(R)= { u t w'.P(R)

I you = O sur an).

3.4.3. Détermination de duaux d'espaces de Sobolev Dual de l'espace W'J'(C2).

Proposition 3.47. Soit 1 6 p < t o o . O n considère l'espace produit Lp(R)N+l muni de la norme /l.ullp = ~ ~ v J p ) l ' p .L'application J de W'ip(R) dans cet espace LP(f2)N+1, définie par :

(EO"

v u E W'Jyn),

J ( u ) = ( U , d ' U , d 2 U , . . . ,divu)

est une isométrie dont l'image Im J est un sous-espace f e r m é de Lp(R)N+l. Il en résulte que, si T E W'J'(fl)', alors o n a l'égalité :

Réciproquement, la formule précédente, où v E L P ' ( f l ) N + l , définit un élément T du dual d e W ' J ' ( 0 ) .La norme de la f o r m e linéaire T est alors : j J T l / ( ~ l= , ~inf{ll.ullpf ), I w satisfait ù (3.48)). Preuve de la proposition 3.47. La première affirmation concernant J est claire. Soit T un élément du dual de W'>p(R) et T * , défini sur Im J par T * ( J ( u ) ) T ( u ) .D'après le théorème de Hahn-Banach, T* se prolonge en une forme linéaire continue sur l'espace LP(R)N+', c'est-à-dire en un élément du dual de cet espace. I1 en résulte qu'il existe, pour O 6 i < N , v, E ~ ~ ' (tels 0 1que : N

v u E LP(fl)N+',

T * ( J ( u )= ) UP!O

+-y(&U,Ui) 1

En revenant à T, on obtient une affirmation de l'énoncé. La réciproque étant évidente, on a la caractérisation d'un élément du dual. Pour la norme, il faut remarquer que le ( N 1)-uplet (ui)oG2GN n'est pas nécessairement unique. Le prolongenierit précédent, qui conserve pour norme celle de T * ,nous fournit par l'inégalité de Holder :

+

N

llT(.)II

=

llT*(J(u))IlG

+

II~llPll~OIlP~

II~uiIlP'Il~Z~llP

3.4.DENSITÉ DE C ’ ( d a ) DANS W ’ - l ’ p ~ p ( X i )

143

<

On en déduit que, quel que soit ‘u réalisant (3.48)’ on a IIT(/ résulte l’égalité de l’énoncé concernant la norme de T .

~ ~ ‘ uI1~ en ~ p ~ .

O

Espace W - ‘,p’ ( C I ) , dual de WJ”( C I ) . Cornme une conséquence de la proposition précédente, on a :

Proposition 3.49. Soit 1 < p < $03. Tout élément L du dual de l’espace W,””(CI),lequel est noté W-’iP‘(R), s’identzfie à une distribution V conform é m e n t à la formule : v u E W,’JyCI),

L(u)= (V,u), N c1

v

où est associée à un élément (vi) E L P ’ ( c I ) ~ +par ’ :v = [ V ~ I 8, [ 7 ! i ] . La norme de cet élément de W-’J’‘(CI) est toujours définie par la proposition 3.47.

Preuve de la proposition 3.49. 0 Soit L un élément de ce dual. Le théorème de Hahn-Banach perniet de prolonger cet élément, avec conservation de la norme, en une forme linéaire continue sur W’,P(12).On en déduit qu’il existe des éléments 110,711,. . . , U N , tous appartenant L L P ‘ ( O ) ~ + tels ] , que : N

v‘.U E

WD’”(fl), L ( U )

=

c(a,’VU i ) +, 7L710. 1

Or, l’espace D(R) est dense dans Wt’p(R).La formule précédente pouvant alors être utilisée pour une suite { c p n } convergente vers u,on obtient à l’aide de dérivations au sens des distributions et de la coritinuiti: des crochets de dualité entre L P et LP‘ : N

le symbole V représentant la distribution V = [vol az[vi]. 0 I1 est aisé de voir, réciproquement, qu’une telle distribution définit un élément L du dual de Wi’P(0). La norme de L est toujours la borne inférieure précédente des normes dans Lp‘ des ( N + 1)-uplets (v,) qui servent à définir V . O

Indicatzom sur le dual de l’espace W1-’lpJ)(dR). Dans le cas de p = 1, l’espace des traces est L’(do). Donc, son dual est LM(ûfl).Pour l’étude du dual lorsque p > 1, on introduit l’espace WP‘(div) défini par WP’(div) = {O E Lp’(62)I div(a) E LP’(CI)}.

144

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

On définit aussi les espaces suivants :

R c RN de classe C l ,

Définition 3.50. Soient un ouvert l’exposant conjugué de p .

(I) Si p < N , on pose; pour q’

= Np/(Np- N

un réel p

> 1 et p’

+p ) :

W$(div) = { a E LP’(R,IRN) I div(a) E Lq’(R)}.

(3.51)

(2) Si p

> N , on pose

:

W t ( d i v ) = { a E LP’(62,RN)I div(a) E L1(R)}.

(3.52)

(3) Pour p = N , et pour

E

< i/(p

-

I), on pose :

Wf’(div) = { a E LP‘(R,RN)I div(a) E L1+E(62)}.

(3.53)

+

Ces espaces sont normés par ( ( ~ ( l ~= > ,( (~~ *( ( ~ c / ( d i v a ( ( q le- , nombre q* étant N p / ( N p - N p ) dans le premier cas, q* = 1 dans le deuxième cas et q* = 1 E dans le troisième cas. Alors, on a :

+

+

Théorème 3.54. O n suppose que R est u n ouvert d e classe C1 dans I R N . O n considère, pour tout a E W$(div), la forme linéaire S ( g ) définie par :

oc U est un relèvement de PI. dans W’J’(n).Alors, S ( a ) E W-l+l/P’~P’(o)O), dual d e W1-’/”J’(df2) et S est continue et surjective sur W$(div). E n fait, la forme S se prolonge d e façon continue, respectivement, à l’espace W: (div) si p < N , à l’espace Wf‘(div) si p > N et, pour E > O sufisamm e n t petit, à l’espace WF‘(div) si p = N . Remarque 3.55. En principe, dans ce qui précède, p > 1, niais on peut adapter les démonstrations qui suivent au cas p = 1 (cf. exercice 3.6). Dans ce cas où p

< N , on a p’

S(W$-(div))

-

= +cc

et q’ = N . On obtient alors :

L1(dR)’ = L“(dS1).

Preuve du théorème 3.54. On montre simultanément que S est continue sur W; (div) et sur les espaces W: suivant la position de p par rapport à N . 0 Supposons p < N . Montrons que le second membre de la définition de S ( a ) est bien défini. Cela résulte, d’une part, de a E LP’(R2) et, d’autre part, de la propriété, vraie si p < N (cf. théorème 2.31) U E Lq(R) où q = N p / ( N - p ) est l’exposant conjugué de q’. Par ailleurs, cette définition de S ( a ) est indépendante du choix du relèvement U . I1 suffit, pour le voir, de prouver que le second membre précédent est nul lorsque YOU = O.

3.4.DENSITÉ DE C’(d62) D A N S W1-l’p.J’ (an)

145

Or, YOU = O signifie (cf. corollaire 3.46) que U E W,’”(O). Ainsi, la cohérence annoncée résulte du fait que, lorsque U est daris D ( O ) , on a, par définition de la divergence au sens des distributions,

1,

+

1,

a(z) . ~ ~ ( : r * ) d z ~ ( xdiv) g(z) ùz = O.

(3.56)

En observant que toutes les quantités de cette égalité passent ù la limite, ce résultat reste vrai, en effet, par la densité des fonctions de D(f2) daris Wi,p(f2).I1 est évident que la forme S est linéaire. Pour la continuité de S , on utilise la continuité de l’injection de W’iP dans Lq et l’inégalité des normes (3.32) liant la fonction u à un de ses relèvements U . Cela nous doririe :

I(S(fl),U)I

< ll~IIL.II diva/lLd + I I ~ ~ I I L p I I ~ I I L ~ ~ < C l I I ~ l I W 1 , l ~diV~1ILd Il +ll~~llL~ll~llLP~ ClII~/IW’.p(R)Il~lil~~,4*

< CCl l l ~ ~ l l W 1 - l / ~ l ~ P ( n ~

I/gllp’,q*.

Cette inégalité nous montre la continuité de l’application S , sa norme satisfaisant à l’inégalité lllSlll CC1 l l ~ l l ~ ’ , ~ * . O Supposons p > N. On utilise la même définition de S ( a ) . Les éléments U appartiennent alors (cf. étape F dans la preuve du théorème 2.31) à L”(R). I1 en résulte que la définition de S ( o ) garde un sens puisque d i v a E L1(0). La cohérence de la définition‘ la linéarité et la continuité se démontrent coniine daris le cas précédent. O Enfin, dans le cas où N = p , le théorème 2.31 nous indique que U E Lq pour tout q 3 p . Puisque, par hypothèse a E WF’(div), on a a E Lp‘ et div a E LI+‘. Le gradient V U appartenant à L P , l’intégrale a ( z ). V U ( z ) d zest bien définie. D’autre part, puisque E l / ( p - 1), l’exposant conjugué q de 1 E vérifie : q = 1 l / 3~I>, ce qui implique que l’intégrale J, U ( z )div a ( z ) d zest égalernent finie. La première partie du théorème est donc prouvée. O On montre maintenant que S est surjective. Pour ce faire, soit f dans le dual Wp1+l/p’,p’(dR) de l’espace Wlp1lp>p(8R).On - définit f sur l’espace W’>p(O) en posant, pour tout U de cet espace ( f , U ) = ( f , ~ o U )Par . la continuité de l’application trace, on a :

<

+

s,,

<

+

I1 en résulte que f e s t un élément du dual W’,p(R)’. On en déduit, à l’aide ) ~ que : de la proposition 3.47, qu’il existe vo E ~ ~ ‘ ( fetl ) E ~ ’ ( ( 2 tel

yu

E

w1-1lP,P

(O),

(f,U)

=

1,

v o ( z ) U ( z ) d+ z

s,

O ( . )

. VU(z)dz.

146

CHAPITRE 3. TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

D’autre part, il est clair, en utilisant des fonctions U E D(R) que, lorsque U est dans Wi” la quantité ( f ,u)s’annule. On a donc vo = div e’ce qui revient à dire que o E W$ (div) et que S ( o ) = f . Le résultat sur la surjectivité en découle. On étudie à présent la densité des fonctions régulières dans les espaces du type W: (div), ce qui nous permettra d’interpréter les éléments des duaux précédents dans le cadre d’une extension de la formule de Green.

3.4.4. Résultats de densité et extension de la formule de Green I

On se contente, dans ce qui suit, d’examiner l’espace W; (div)(R) lorsque p < N , condition qui implique, comme il est facile de constater, que p’ > 4’. En simplifiant les notations, on démontre :

Proposition 3.57. Soat R un ouvert de classe C’ dans I R N . Soat, pour p et q dans [1,03[’avec p > ql 1 ’espace : W:(div)(R)

= {O E

LP(R,RN)I d i v e E Lq(R)}.

Alors D ( D , R N ) est dense dans W:(div)(R). Preuve de la proposataon 3.57. 0 On se donne O E W,P(div)(R). Soient O,, pz,O:,a, les 6léments intervenant dans la régularité C1 de R. Les fonctions vectorielles v, = apz,qui ont leur support borné dans A, = R, n R, appartiennent à W:(div)(A,) car P > q. En effet, on a d’abord < Ipzloollcllp.Par ailleurs, on a div(ap,) = pzdiv o+o.Vp,. Le premier terme appartient à LQ.En appliquant l’inégalité de Holder, avec les exposants t = p / q > 1 et t’ = t / ( t - 1)’ à l’intégrale SA,lo.Vp,1qdx, on obtient également l’appartenance du deuxième terme à L q . On est ainsi ramené à approcher up, par des fonctions de D(a’ IRN). Les fonctions p,e peuvent être prolongées à l’ouvert

et pzoappartient à W,”(div)(U,). L’ouvert U, étant étoilé par rapport à l’un de ses points noté 2, (cf. exercice 3.9)’ nous pouvons considérer la fonction 2 ++ hx(2) = 2 , X(2 - 2,). ) est un Pour X > 1, la fonction wz = op, O hX1 est définie dans h x ( A Lqui ouvert contenant strictement l’adhérence de A,. En utilisant les dilatations sur les distributions, (cf. [13, p. 1031) on a, pour tout j E [I’NI, l’égalité a,(w?) = +(a3w,) O hx1’ ce qui entraine que E W,P(div)(hx(A,)). D’autre part sa restriction à A, converge vers w, lorsque X tend vers 1.

+

3.4.DENSITÉ DE C’(8n)

(an)

DANS W’”’”

147

\

x \

\ \ \ \

\ \

.

At>:

FIGURE 3 . 2 . Utilisation des ouverts étoilés d’un recouvrement lipschitzieri.

Soit E: = d ( d R , 3 ( h ~ ( A , ) ) / 2A ,: = {x E h x ( A , ) I d(z,ûR) < E : } et p une fonction régularisarite. Alors la fonction p E ; * w> est définie sur A: et sa restriction à A, convergt’ vers w,, lorsque X tend vers 1, daris l’espace W:(div(A,). En multipliant p E ~ UJ? par une fonction appartenant à D(Ar) qui vaut I sur A, et en faisant ainsi sur chaque ouvert A,, la fonction E, ?,/j?(p,; wt) est une suite de D ( R N ) qui converge vers n dans W:(div(R)). U On ferait la merne démonstration dans les autres cas p 3 N .

+:

On applique ce résultat de densité & une extension de la formule de Green :

Proposition 3.58. Soit f l un ouvert de classe C1 de R N . Pour tout r E E , où E = W:‘(div) (resp. E = W: , E = Wf‘ s,uivant les ualew-s d e p ) , o n définit l’élément, noté r . du dual topologique d e WlP1/”>p(dl2),tel que : I

Cette formule constitue une extension de la .forrr~mled e Green car, lorsque r E v ( ~ , R ~La) forme , linéaire r . 3 coincide avec u cf J a n r . 2 y o ~ ( n ) d n . r .i r i l’application défin,ie sur W,$(div), Enfin, soit S : r alors S est ssurjective. En outre, al existe une constante C telle que, si f E W P ~ + ’ / ~ J ’ > P ’ ( X I ) , il existe r E W$(div)(o) tel que ~ ( r=) f et

Ilf Il ~//~llMi;:I(di”)(nj. Preuve de la proposition 3.58. O À l’él6rnent r E E donné, on associe l’élément T = S ( r ) di1 dual de ~ ~ - l I p > ” ( û Lorsque ~ ) . uE w ~ P ’ / ~ > et P u (E xw’.P(o) ~ ) t,el que you = u, on a ( c f . théorème 3.54) :

( T ,u)=

~ ( x ;div ) r(x)dx

+

148

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

Soit), grâce à la densité précédentje, une suite {pk} de D(RN,RN) qui converge dans E vers 7 . Alors, on a :

D’après la forniule de Green (3.43), on a

Or, puisque u E L ~ ( R et ) que div(r - c p k ) terid vers O dans L ~ ‘ ( olorsque ) k t o o , or1 en déduit que U ( x )divyk(x)ds 4J, U ( r )divT(r)dx. De irièrrie, on a Jn V U ( r ) p k ( x ) d x+ J,, V U ( r ) ~ ( x ) d a . On associe $ok la forme linéaire, notée (pk.n’)sur ~ ‘ - l / p + ( û ~définie )

s,

--f

par :

D’après ce qui précède, cette suite coiiverge daris le dual de W1-l/”,P(o)fl) -+ vers S ( r ) ,lequel peut ainsi être noté r . n .

Remarque 3.59. I1 est clair que si, outre les hypothèses faites bur r , il ap--f partient aussi à C(n,IRN), alors r . n coïncide avec sa restriction ai1 bord au se115ordinaire. Corollaire 3.60. Soien,t un ouuert R d e classe C1 et deux fo’nctioris U E W’J’(R) et V E W1J~(fl)où les exposan,ts p et q vérifient 1 < p < N et l l p + l / q = ( N + 1)/N. Alors, ces desuz fonctéon,s satisfont à la, formule d e Green :

12

U&Vdx t

V&Udx =

Ln

you yoVn,,da.

Preuve. e C’est clair, en utilisant le théori?iiie préckleiit, la fonction r 6tant égale à vei. O

3.5. Traces d’ordre supérieur 3.5.1. Remarques préliminaires Hypothéses de réqularité sur les ouverts R. Or1 désignc par le t,erme trace d’ordre supérieur de 11 E WmJ’(Q), lorsque m > 1, les traces des dérivées Dn’u qui sont d‘ordre I C Y/ tel que O 6 v i - 1. On a vu dans le chapitre 2 la coristructioii de la trace d’un élérrient 11, E W1.”(12).Cette construction

<

3 . 5 . TRACES D’ORDRE SUPERIEUR

utilise l’existence de V u daris l’ouvert utilisant les coordorin6es locales

R

149

et s’appuie sur l’égalité (2.89)

Cette relation n’a (le sens que si la frontière locale, définie par x’ H ui(z’) est de classe Cl.

Nature d e s dérivations SUT df2. Remarquons d’abord que si on est daris le cas R = R ~ -x’]O, +CO[,ICS dérivations sur ia frontière d o = R ~ -x’{O) sont les restrictions des N - 1 premières tihivations daris RN.I1 n’y a alors aucune difficult6 pour définir les dérivations au sens des distributions sur df2 et, donc, pour définir les espaces de Sobolev W”J’(dR). I1 n’en est pas de même dans les autres cas, car la dérivation, par rapport à la variable x,i (te n: E IRN, qui est bien définie dans 0 n’a généraIerrient plus de sens sur l’liypersiirfacc d a . I1 se pose donc le problème dc la nature des dérivations daris 30 et de la défiriitioti des espaces de Sobolev sur 812. On rappelle à ce siijct que, ét,atit, donnés les objets Ri,O:, nt intervenant dans la définition de la régularité de il, c’est & partir de ces cartes que 1’011 définit dans 0, n i3R la mesure de Lcbesgue induite p i . Par recollernerit des morceaux, on obtient sur 812 la mesure p de Lebesgue. On montre ensuite que cette niesure est unique et qu’elle rie (lépetid pas du choix des cartcs lo(:ales, ce qui permet la définition des espaces L”(312). C’est ainsi que nous avons prouvé, par la considération des limites des iritégrales J’ IU(:x’,a L ( x ’ ) l/ri)lPdx’, que la trace TOU était bien dans 0: L”(3R). On procède de la rnêirie façon pour définir les traces des dérivées a J U , puis la trace de VU. En étendant, la définition d’une dérivée par rapport & un vecteur, on peut alors, au rrioyeri de ?(,VU, définir les dérivécs par ra.pport iides dirt ions intrinsèquenient liées à BR,en particulicr, suivant, un vecteur tangent, ii dR ou suivant le vecteur riormal. Ainsi, ces dérivées rie sont tlotic pas définies, du moins directenierit? a,u sens des distributio,ns

Ci

+

tit, supposons qu‘on soit au voisinage d’uti point m o dt: i3R possédant u t i voisitiagc V’ dans lequel cette fronti soit rcprkscntée dans uri rcpere local orthonormé { e ; } par les coordorir du point ni‘ à savoir ( : d , : ï= ~ a ( i : ’ ) ) où a est une fonction de classe C1.Alors, la dérivée de r n par rapport à x3 s’écrivant e3 djn(n:)rN,une base de vecteurs tarigents unitaires 6. db2 en m, mais généralement non orthotiormale‘ est constituée par les vecteurs (oil 1 6 j 6 N 1) :

+ ~

+

t,=

+ aju(z)en, JI + I V a ( z ) l ~ e;

150

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

On peut alors définir, pour 1

<j < N

-

1:

+

ce qui permet de définir une dérivation par rapport à un vecteur t quelconque de l’espace tangent S ~ ~ l ( d C l ) (En z ) ce . qui concerne la dérivation normale, c’est-à-dire, par rapport au vecteur orthogonal à l’espace tangent, on a déjà vu qu’un tel vecteur s’exprimait par :

-Va(z) Ji

+eN

+ IVa(z)l2

On en déduit l’expression d’une dérivée normale de u,à savoir :

(3.61) Cette dernière dérivation, qui a déjà joué un rôle iniportant dans la formule de Green, est d’ailleurs essentielle dans la formulation des problèmes de Neumann (cf. chapitre 5 ) . La généralisation aux dérivées d’ordre supérieur à 1 exigent alors l’utilisation des opérateurs itérés V ( k qui ) sont des gradients de fonctions vectorielles (voir ci-après). Supposons les traces de U etj de VU obtenues. En principe, on devrait obtenir, pour you, élément de W1-ll”,P(f2), une meilleure régularité que pour yoVU. Cette régularité se traduit-elle par l’appartenance à un sousespace de W1>p(dR),lequel serait un autre espace fractionnaire de Sobolev, généralisant ainsi l’espace w ’ - ’ ~ P . P ( ~ x I ) ? C’est, entre autres à cette question, que nous consacrons la section présente. En particulier, si k 2 , on verra que le comportement de you et yo(Vu) sur le plan de la régularité est analogue à celui de U et V U , à savoir

>

que, si you E

~ “ l p l l p > p ( d ~ alors ), ~ O ( V U ) E w“’-’~P.P

(an).

Rappels de calcul différentiel. Dans ce qui suit, la dérivée V(‘)(u)(x), où k est un entier > O, est l’application multilinéaire dont les composantes sont les dérivées partielles de u au point LC de longueurs égales à k . Par exemple, soit, pour k = 2 , l’application Minéaire V(’),U(Z), dite aussi /iessienne, de u au point IC. La dérivée a$)u(z) est définie conime l’image, par cette + + application, du couple ( n , n ), à savoir, { n J }étant les composantes de 2 :

3 . 5 . TRACES D’ORDRE SUPÉRIEUR

On généralise, pour Q de longueur au nioyen de la formule :

(QI

=k

en posant

151

%(a) = n:’

ni2 . . . n g N ,

i

On définit de même les dérivées 8:’ lorsque t est un vecteur tangent. L’exercice 3.14 propose des calculs de telles dérivées lorsque 80 est un cylindre ou une sphère.

3.5.2. Généralisation des relèvements Pour mettre en évidence les propriétés des traces des dérivées d’ordre supérieur ou égal à 1, nous introduisons un autre relèvement de 7 4 mieux adapté aux problèmes concernant les classes d’ordre supérieur, autre que celui jusqu’ici utilisé.

Proposition 3.62. Soit p E ’D(RN) et p y ( z ) = l/yNp(z/y). À tout u E W1-’lp1p(RN), o n associe la fonction (z, y) H U ( z ,y) = py * u . Alors, U E W1,p(RNx ]O, I[) et on a YOU = au où Q = JRN p ( z ) d z . E n outre, il existe une constante C n e dépendant que d e p de N et de p telle que : E W1-l’p’p(RN),

llpy

*

<

~IIw~,P(RNx]o,I[)

CI/uIIW1-l/p.p(RN).

Preuve de la proposition 3.62. O Par les propriétés de la convolution, on a, en utilisant

a i p ( t )d t = O :

Montrons que cette dérivée appartient à P ( R N x ]O, l[). On utilise le procédé de la preuve du lemme 3.27. I1 s’agit de majorer l’intégrale :

On pose

.^, = 11: - y( xi t s e s ) , d’où .O = z et

x?

= 11:

-

yt, de sorte que

N-l

).(. I

A

-

u(x

-

Yt)l

14% -) +3+1)/.

6 O

On

utilise d’abord l’inégalité de Holder discrète 1 E:-’ a,Ip 6 la2/p, puis, on majore par l’inégalité de Holder chacune

Np-’

des intégrales du type précédent où la différence u(s - yt)

- ~(11:)

est

152

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

A

remplacée par u(:G)- u(x3+1).Ainsi, on peut écrire : I les intégrales I, sont de la forme :

< Cx"-'Ij,

où

Intégrons le premier terme 10 partiellement en la variable y. En utilisant la variable z1 telle que y t l = 21, cette intégrale partielle s'écrit :

Le domaine d'intégration des variables t j étant borné dans RN par les bornes du support de p, en particulier It11 K I , on obtient ainsi l'existence de constantes Co et Cg telles que :

<

où la dernière inégalité résulte du lemme 3.27, en raison de l'hypothèse u E W1-'lp>p(RN). On a ainsi 10 finie. Soit l'intégrale I,. En y posant 2' = .^,, elle devient :

L1LN[b.J

"(")

-

u(x'- Y t J + l e 3 + 1 ) lpdt dz dy,

Y I, = En utilisant la variable zj+1 = y t j + i dans l'intégrale partielle en y, on obtient de même par le lemme 3.27 :

< ~ ~ l l ~ l l ~ + l ,<~ fm. -~/p Finalement, toutes les dérivées &U sont dans P ( R N x ]O, l[). Pour donner l'expression de la dérivée par rapport à y, on suppose que u E D ( R N ) .Alors, en posant &(x:,y) = u(z- yt) et < j ( t ) = t j p ( t ) ' on peut écrire :

3 . 5 . TRACES D’ORDRE SUPÉRIEUR

153

Si 7~ est dans W1-l/pJ’(RN) soit { u n } une suite de D ( R N ) qui converge vers u dans W1-’/pJ’(RN). Alors, il est clair que Un définie par la formule U,, = py un converge, par exemple dans LP, vers U = py * u.En outre, la suite {a,U,} est alors de Cauchy dans L p ainsi que la suite {&Un} compte tenu de leurs expressions en fonction de uTL.Par passage à la limite, on obtient que l’expression

est encore valable pour presque tout ( 2 ,y), coniine conséquence d’égalités entre fonctions de LP. À partir de cette forniule, les calculs sont analogues à ceux concernant les dérivées aJU et aboutissent, grâce au lemme 3.27. On a donc obtenu l’appartenance U E WIJ’(RN x ]O, l[).En outre, les différentes majorations nous conduisent à l’existence d’une constante C ne dépendant que de p, de N et de p telle que : IIUIIW1,~’(IWNx]0,1[) G cIIuIIl-i/p,p

G

~ ( R N ) .

cIIu//W1-l/p

O

Pour généraliser cette proposition, nous avons besoin de définir d’autres espaces :

3.5.3. Espaces fractionnaires de Sobolev à exposant de dérivation plus élevé La définition de W 2 - l / p J ’ ( I W N ) s’obtient en gériéralisarit celle de W1-l/p>p(RN),c’est-à-dire en remplaçant l’appartenance 7~ E LP(RN) par u E W1-l/P>P(RN)et en reniplaçarit u par les dérivées &u dans la semi-riorrne

On poursuit cette extension, dans le cas d’un ouvert R de RN de classe C”, en considérant les dérivations tangentielles, c’est-à-dire par rapport aux + vecteurs t de l’espace S ~ - 1 ( x ) tangent , en x à dR. + Définition 3.65. On pose, lorsque f E C’”(L)et que t est un vecteur tangent à dR au point x : ~j

< m,

t$)f(x)

=W

+

+

) f ( x ) .t . . . t .

(1) Soit R un ouvert de classe C k ,avec IC 3 1 et 1 < p la semi-norine, notée ~ ~ ~ ~ ~ ~ -par l , p : , N ,

< oc). On explicite

154

CHAPITRE 3. TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

(2) L'espace W"-'/p>p(dR) est alors défini par : Wk- 1/P,P (80)= { U

E W"l,p(dR)

= {TL E W"l,p(dR)

I VT E T N - ~~, ~ ~ ~ ~ ~<- CO} l , p , N I VT E T N - ~d+-'~ , E W1pl'p'p (df2)).

Remarque 3.66. Dans le cas de R = RN x]O, +m[, ceci se traduit simplement par u E W"'/P>P(RN), ses dérivées diu, prises par rapport aux N variables z, de EtN,appartenant à W"lp1/pJ'(EûN). Théorème 3.67. Les hypothèses étant celles d e la définition ci-dessus, on a alors : W " - l l P > P ( 8 0 )= "lo(W"'P(R)). On commence par la preuve pour N = 2 avec R = Rx]O, +CO[. Dans cette preuve, nous nous proposons d'utiliser le relèvement déjà employé au début du chapitre (cf (3.10)). Ce relèvement, qui fonctionne bien en dimension 1, s'avère difficilement exploitable en dimension supérieure. C'est la raison pour laquelle, dans le cas général N 3 2, on utilisera ( c f . remarque 3.24) le relèvement régularisant introduit dans la proposition 3.62 pour la dimension N . La différence entre ces deux façons de relever est la suivante : dans le premier cas, on convole avec une fonction caractéristique de produits d'intervalles, dans l'autre cas avec une fonction C" à support compact ce qui permet de dériver plus facilement à n'importe quel ordre et d'utiliser un procédk récursif. Cependant, 011 propose dans l'exercice 3.12 de prouver le théorème à l'aide du relèvement, au sens de la convolution par une fonction caractéristique, pour N = 3 avec R = Eû2 x ]O, +a[. Remarquons aussi que dans les cas où R = IR x ]O, +CO[, la dérivée tangentielle est alors la dérivée par rapport à x dans IR pour le premier cas et, dans le cas où N 3 2, ces dérivées tangentielles sont les dérivées &u par rapport aux coordonnées xi dans EtNp'.

Preuve du théorème 3.67 dans R = Eû x E%+. O On commence par montrer que : To(WkJyE%x

-

Rf))

W k - l l P ) p (RI.

Notons que cette preuve n'utilise pas la dimension 2 et peut donc être généralisée. On utilise pour cela la commutation entre la dérivation par rapport à z et la restriction à y = O. On fait aussi une preuve par récurrence sur k . Si k = 1 on connaît le résultat. Le résultat étant supposé acquis pour IC - 1, supposons que u E W"p(Eû x Et+). Alors &u E W"'J'(Eû x IR+) donc, par l'hypothèse de récurrence, d,u(z, O) E W""/P (E%) ce qui signifie que

3 . 5 . TRACES D'ORDRE S U P É R I E U R

155

a,u(x, O) E w"'>P(R), et (ûzu)(k-2)(.,O) E W'-'/P>P(R). Ceci entraîne que TL(., O) E w"-l-'/pqR). 0 On passe à la réciproque. La propriété étant évidente pour k = 1, on suppose k 3 2 . Soit u E WIC-'/p~p(R),avec / ~ u ~ ~ ~ < ~CO.l La , P fonction ,2 y étant donnée dans D(R), avec y ( 0 ) = 1, on définit le relèvement :

On montre dans ce qui suit que U E Wk,P(Rx]O, m [ )et que U ( x ,O) = u(x). La preuve est faite par récurrence sur k . On suppose donc démontré que : (3.68)

Vj,

1

<j < k

-

( R )U E W 3 > p ( f 2 ) . 1, u E W J - l / P > P==+

Puisque, par hypothèse, u E W"'/P.P(R), la définition 3.65 nous fournit &u E W k P 2 J ' ( Ret) Ila~~llk-~,, < + ~ oet, par conséquent, on obtient l'appartenance û,u E W"'-l/PJ'(R). Avec la formule du relèvement, on en déduit pour U , grâce à l'hypothèse de récurrence (3.68) :

azu €

Wk-l,p(R x ]O, +Co[).

I1 reste donc à montrer que : (3.69)

diu € LP(R x ]O, +Co[).

Pour démontrer le résultat, montrons d'abord par récurrence, la formule, k ! (- 1)"' où KI, = yk+1

1, établi pour @-'U. 1 Cette fonction U étant écrite sous la fornie U ( x , y ) = JO u ( z z y ) d z , sa dérivée nous fournit immédiatement : On suppose ce résultat (3.70), qui est vrai pour k

=

+

apU(2,y) =

J' O

Par intégration par parties, on a :

1

z"("(x

+ zy)dz.

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

156

Utilisant alors l'hypothèse de récurrence (3.70) pour l'exposant k voit que ~ ~ u y) ( Is'écrit I:, : -

5!'&zL

Y

.I"

(u(x+ Z )

-

+

u(x y)

( z - y ) W ) ( z +y) -

j!

l<j
-

1, on

1

dz

La formule (3.70) est ainsi prouvée. Posons, pour toute la suite de la démonstration : (3.71)

+

k-1

+

A k ( u ) ( zy, , Z ) = (.2) ( -I ~ ( II I : y) : 1

j !

On remarque que :

@ - ' A I , ( u ) ( z ,Z~) ,= u("')(II:

+

Z) -

u("-')(z

+ y),

et aussi que A k ( u ) ( zy, , y) = @ A ~ ( u ) (y,zy) , = 0 pour tout indice j tel que - 1. On en déduit, en primitivarit k - 1 fois, la relation :

j 6k

(3.72) A ~ ( u ) ( IY, I :2),

Grâce à des homothéties sur les variables, le secorid membre de cette relation s'écrit encore :

Effectuons encore, dans KI,J ,A I , ( zy, , z ) d z , où y est fixé, le changement de variable z = y t l ; on obtient :

3 . 5 . TRACES D'ORDRE SUPÉRIEUR

157

par l'expression :

+

+

Effectuons le changement de variable (x,y) ( X , Y )= (x y , : ~ t k y ) . Son jacobien est 1 - t k , le dénominateur s'écrit y = ( X - Y ) / ( i- t k ) et le domaine d'intégration devient X > Y . En échangeant le rôle de x et de y, on obtiendrait la majoration précédente avec un domaine où Y > X . D'où l'inégalité, en utilisant aussi la formule de Fubini et le fait que (1-tk)pp1 1

<

En résuni@,on a montré que dy")U E LP(Rx]O,+CO[), ce qui finit de prouver O (3.69). Le théorème est donc prouvé dans le cas N = 2. O On poursuit pour N > 2 avec des propositions sur le nouveau relèvemerit ' en commençant par un théorème généralisant la proposition 3.62 et qui, en fait, termine la preuve du théorème 3.67 :

Théorème 3.73. Soit p E D ( R N ) et, comme dans ce qui précède, p y ( z ) = (i/y")p(z/y). A la fonction u appartenant à VV"'/~,"(R~), on associe la fonction U telle que U ( x ,y) = py * I L . Alors :

(I) O n a u E w " ~ ( Ixw]O,~I[). (2) si,de pllLs : Y s = {si},

< IC-

O < Is1

I,

on a

t S p ( t ) d t = O,

+ où t S = II%(t;'), la trace de U satasfait aux relatzons :

(3.74) U ( . r , û ) =


p(t)dt)u(x)

et

~j

E [ i , k - il,

~;U(.E,O) =

O.

Remarque 3.75. L'existence d'une telle fonction p peut se montrer par exemple en utilisant une fonction 'p E D(R) telle que, pour tout entier P verifiant O < e < IC - 1, on a 'p(t)tedt= 6:. Cette existence fait l'objet de l'exercice 3.8. En définissant alors p ( t ) = rIpp(tJ),il est facile de voir qu'elle satisfait A la condition énoncée ci-dessus.

s,

158

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

Preuve du théorème 3.73. O On fait l'hypothèse de récurrence suivante sur IC :

vp E D(RN))

u E W'"-'Ip,p(RN)

* py * u E w k q R N x ]O, l[).

Si k = 1 c'est la proposition 3.62. Supposons le théorème montré jusqu'au rang k 1. Soit u E W"'Ip>p(RN) avec IC 3 2. En utilisant l'hypothèse de récurrence, on a déjà l'appartenance U ( x ,y) = py u E Wk-liP(RNx ]O, l[). D'après laremarque 3.66, on sait que 8,uE Wkpl-'Iplp(RN) où k-1 3 1. On peut donc calculer 8,U = py 8,u comme convolution de fonctions et l'hypothèse de récurrence nous donne 8,U t Wkp1>p(RNx ]O. l[). Pour obtenir la conclusion suivant laquelle U E W'"ip(RN x ]O, l[),il suffit, à présent, de prouver que 8 , E~w"-'~P(IR~ x ]O, I[). Pour cette dérivée, on a, classiquement : ~

*

*

N , .

I

En posant encore & ( t )= t , p ( t ) , l'un quelconque des termes de la somme précédente s'écrit -

LN

5z(z/Y)&u(IL.- z)dz

* azu. part CÎ E 'D(RN)et

= -(<,)y

Par l'hypothèse de récurrence, puisque d'une que, d'autre part 8,u.E W'"-l-'/p>p(RN), on en déduit que chacun de ces termes est dans W'"-'>p(RN x]O, l[),d'où la conclusion pour aYU.I1 est ainsi prouvé que E W ' ~ P ( I R ~ x ]O, I[). O II reste à voir que ~ ; U ( X O), = O pour k - 1. Pour fixer les idées, on fait d'abord le cas = 1. On a d,U(z, y) = E, Ç,(t)&u(z- y t ) d t et, puisque 8,u E W'pllp,p, la proposition 3.62 nous donrie, en utilisant J R N p ( t ) t 3 d t= O pour tout j E [I,NI, la conclusion : 8,U(x, O) = O. IC - 1. Puisque la corivolutiori On suppose maintenant i? > 1 avec peut être dérivée jusqu'à l'ordre k - 1 en faisant subir cette dérivation à la fonction u , on en déduit la forniule :

u

e<

e

SRN

<

+ On en déduit que %yU(x,O) est une somme de termes JRN p ( t ) t S d t D s u ( z ) , O tous nuls par le choix de p puisque s # O et Is1 IC - 1.

<

Les deux propositions qui viennent particularisent les relèvements précédents pour qu'ils satisfassent iides conditions frontières, lesquelles, portant sur des dérivées, s'apparentent à des conditions de Neumann :

3 . 5 . TRACES D'ORDRE SUPÉRIEUR

159

Proposition 3.76. Soit k 3 1. Alors, pour tout u t W1-"pJ'(RN) et tout p E D ( R N ) , la fonction V définie par V(x,y) = (ykP1/(k - l)!)py * u(x) possède les propriétés suivantes :

v E W"P(RN x ]O, l[), 'dP < k

et

-

ay-lV(2, O) = u(x)

p(t)dt

t$V(x,O) = O.

2,

Preuve de la proposition 3.76. 0 On fait une récurrence sur k . Si k = 1 c'est la proposition 3.62. On suppose que le résultat énoncé pour tout p E D ( R ~ est ) vrai pour l'exposant IC - 1. Soit alors : yk--l

V(2,Y) = (IC ~

où

'u

-

YkPL py * ? L = yPy ( k - l)! l)!

*

= YU,

E WkP'J'(RN x ]O, 1[)par hypot,hèse de récurrence.

Soit Si Si

Q:

un indice de dérivation tel que

a N = O, QN =j

IQI

=k

-

1.

on a D"(yu) = yD"v t P ( R N x ]O, I[).

> O, la formule de Leibniz nous donne DyD"'(y?;)= T J D p q U ) +jD;-lD"'(t1),

+

ce qui, puisque j ( a ' (= k - 1, prouve également que cette dérivée est dans L P ( Rx~]O, I[). On en conclut que v E w " - ' > ~ ( R x~ ]O, I[). On note dans ce qui suit U Z , y ( t )= u(x - y t ) de sorte que :

7Lz,y(t)

=

1

--atJ Y

G,y(t).

En procédant comme dans la proposition 3.62 (cf. relations (3.63) et (3.64)), on a pour le calcul de ajV :

cela, en intégrant par parties le terme JRN p( t ) at 7u( z- y t ) d t . La fonction ( a j p ) y étant dans D ( R N ) et u étant dans W'"'p>p(RN), l'hypothèse de récurrence implique que 8,V E Wk-l,p(RN x ]O, l[).I1 nous reste à prouver la rnênie propriété pour 8,V. On utilise encore, pour l'un des termes de cette dérivation, le procédé décrit dans les relations (3.63)

160

CHAPITRE 3. TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

et (3.64). Cela donne

d'où 1'011 tire :

Le premier terme est dans W"'>P(RN x]O, l[).Tous les termes du deuxième également, grâce à l'hypothèse de récurrence, en utilisant les fonctions q,7= aj(tjP)qui appartiennent â D ( R ~ ) . Pour résumer, on a obtenu V E W k ) p ( R Nx ]O, l[). Les relations au bord sont immédiates. En effet, la formule de Leibniz appliquée à la dérivée en y d'ordre IC - 1 donne, pour y = O, des termes nuls sauf un seul terme, à savoir

:

Proposition 3.78. Soit u E Wj-l/pJ'(RN) et, pour IC 3 O

U ( z ,y)

=

:

Yk -PI/ * u,

IC!

avec p telle que :

Alors : (1) La fonction U appartient ù W k + j ~ p ( R x]O, N 1[)avec une norme dans cet espace contrôlke par celle de u dans Wj-'/*J'(RN). ( 2 ) Les truces de U satisfont aux relations

Y e E [O,k + j

-

il,

e # IC * ayu(x,O)= o .

161

3 . 5 . TRACES D'ORDRE SUPÉRIEUR

Preuve de la proposztaon 3.78. O On utilise une preuve, en partie, par récurrence sur k . D'abord, si Icy/ = j - 1 ct Q N = O, oil a D a i ~E W1-'/p,p(RN). Donc, d'après la proposition précédente : Yk

D"U

= -py

IC!

* D"u

E W""p(RN),

ce qui implique que toutes les dérivées autres que ~ ; + J Usont dans LP. I1 reste à voir que ??;+jU est dans D'(FiN x ]O, l[).Or :

ayu=

~

Y"-l p,*u+ ( k - l)!

7C(7&* u.

L'liypotlièse de récurrence assurant que 8 , E~ W'"+J-'>P(R~ x ]O, I[), 0x1 en déduit finalement que U E W k + J J ) ( RxN]O, l[).Cela prouve la première affirmat ion. La niajoration de la norme de U dans W3+k,p(RN x]O, l[),à une constante près, par celle de u dans W J - ' / P > ~ ( Rrésulte ~) des calculs précédents. Pour les conditions au bord. on remarque d'abord que, par la formule de Leibniz, on a ûhU(x,O) = O pour tout 1 tel que 1 < k et a,"U(x,O) = ( J R N p ( t ) d t ) u ( x ) . Pour les exposants 1 tels que k < 1 IC j - 1, on fait encore une preuve par récurrence sur IC, j étant fixé. Pour k = O, c'est le theorèrne 3.73 où IC est remplacé par 3 . On suppose que la proposition est prouvée pour j et IC - 1, autrenient dit, on suppose que, si U ( J ,y) = (y"-'/((IC l)!)) py * U , alors u est dans W ~ + J - ' > " x( R]O,~I[) avec les conditions :

< +

~

ye

< k +j

-

2,

a;u(L,O) = SF-'

(lN

p(t)tlt)+).

Soit V ( x ,y) = (yk/IC! )py * 71. En posant encore qJ = 8, ( t 3 p ) et en utilisant des calculs déjà faits (cf. relation (3.77) et celles qui suivent), sa dérivée par rapport à y s'écrit :

Par l'hypothèse de récurrence, la fonction p étant dans D ( R N )et satisfaisant + à la condition JRN p ( t ) t'dt = O pour E [ i , j- I], on a :

e

Pour les termes de la somme V,, il importe de vérifier la propriété d'orthogonalité de la fonction q,?.

162

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

+

Soit, pour Is1 E [ î , j - 11, l'intégrale JRN q,(t)t"dt. Puisque riJ une intégration par parties sur la variable t, nous donne :

y

a,(t,p),

On peut donc appliquer aux termes de V2l'hypothèse de récurrence. On en déduit ainsi que :

ti (e(6 I;

+j

-

2,

apex, O) = u(.)s;

I1 en résulte bien que a i V ( x ,O) = O pour k

(LN

p(t)dt)

< IC + j

<

-

O

1.

On étend les résultats précédents au cas d'un ouvert quelconque dans le théorème suivant :

Théorème 3.79. Soit un ouvert R borné de classe C" dans RN.

<

(1) Pour O 6 j m - 1, l'application cp H û$)p de l'espace C"'((S1) dans 1 'espace C"-j (30) se prolonge e n u n e application linéaire continue, notée yj, de WmJ'(R) dans W"-j-l/p,p(dR). ( 2 ) D e plus, l'application y qui, ù u E WmJ'(R) associe le m-uplet :

(u, d,u, . . .

,a,(7. 1u,. . . ' 8 , (m-l)u)

est linéaire, continue et surjective sur 1 'espace produit :

W"-l/P>P(dR) x . . . x

W m - . 7 - l / P > P ( d ~x)

... x

W1-llP>P

(an).

Preuve du théorème 3.79. O On prouve la première affirmation. On commence par montrer la continuité de U H y3U où j 6 m - 1. Par 4 + + définition a$ = V(j) . n . n . . . n . En développant, on obtient l'expression :

D'après ce qui précède, puisque l'ouvert est de classe C'", les applications U H yO(D"U) où = J sont continues. Le passage aux dérivées normales fait intervenir des produits d'une fonction %t de WJ-l/p,p(dR) par une fonction f élément de C". On montre (cf. exercice 3.13) que l'on a

IN/

l l ~ f l l W ~ - l .(an) / " G cll4lwJ-1/""(an) où la constante C dépend des normes de f . On en déduit l'existence de constantes cJ telles que : lIyJ~//W""3-1/1'

"(an)

<

CJ IIUIlW..L

"(n).

3.5.TRACES D’ORDRE SUPÉRIEUR

163

Les applications yj étant linéaires et continues, on obtient aussi ce résultat pour l’application y à valeurs dans l’espace produit muni de sa topologie de normé correspondante. 0 On prouve la surjectiviti: de y en nous plaçant d’abord dans le cas où R = RN-l x ]O, +CO[. Soit une fonction donnée u = (urn,‘ ~ ~ - .1. .,, u1)dans l’espace produit. On note U u 3 , k la fonction de la proposition 3.78 qui vérifie

ayk UtLJ, k = uj et, pour

# IC

:

e

0. On définit alors la somme U = ?lu, ,m-3. C’est un élément de W l n , p qui satisfait à l’égalité y(U) = u,ce qui démontre la surjectivité. 0 On considère à présent le cas où R est quelconque. En ut,ilisarit les termes de la définition de la régularité de R,on se ramène‘ pour mett,re en place les relèvements, à raisonner dans l’ouvert Ai = Ri n R. Soit wpi E W“-’/f’J’(d*Ai) où d*Ai = dR n Ri. Pour simplifier, ucpi sera noté u et on omettra les indices i . On peut supposer que O’ = B N - ~ , boule daris RN-l. Considérons l’application de A dans IRWNp1x ]O, +CO[ qui envoie IC point (d, ZN) de A sur le point (Z’, y ) défini par : Z’ = x’,y = xpJ - a(z’). a,Uu,,k

Diagramme d u relèvement de

Y

FIGURE 3 . 3 . Siirjectivité de y.

I1 est facile de voir que cette applicatiori est iriversible et que c’est un difféoniorphisnie de classe C“ sur son image. L’image de d*A est un ouvert de EN-1. Les propriétés d’appartenance aux espaces de Sobolev pourront se transporter par cette applicatiori a. Cette situation est illustrée dans la figure ci-dessus.

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

164

Venons-en à la surjectivité de y sur dR. Pour simplifier, on étudie le cas m = 2. Soit donc 7~ E W’-’/PJ’(A). On nioiitre l’existence de V E W2J’(fl) avec : V(X’,

a ( z ’ ) ) = O ct

dzV(.E’.a(%’)) = U ( T ’ , u(2-l)).

Pour cela, soit U E W2>p(IWNp1 x ]O, t o o [ ) telle que :

~(d O) = , O et

O)

NNu(T’,

+

u(T’, a(s’))z/i JVa(z/)l2.

=

L’existence d’une telle fonction est assurée par la proposition 3.78. On définit V ( T ’ , X N ) = U(Z’,TN - a($)).

Alors, on a V ( d , a ( s ’ ) )= O. Par ailleurs, on a, en derivant par rapport à 2, :

d , V ( d . Z N ) = d,U(T’, J N

-

a(z’)) ~

& U ( . X / ) 3 N U ( X ’ , .XN

-

a(z’)),

d’où :

tI,V(d,a(%’))= d,U(z’, O)

-

d î U ( X ’ ) d N U ( L ( O).

En tenant compte de d,U(s’, O) = O et en se reportant A l’expression de la dérivée norniale (cf. (3.61)) le long de la frontière, on obtient : &V(z’,

-

O(%’))

=

E,d , U ( T / ) d , V ( X ’ , a(?!)) Ji

-

-t d N V ( S ’ , n ( x ’ ) )

+ (VJn(z’)j2

+

CL(aiCC(d))2dNU(x’, O) djVU(z’:O) Ji JVa(:r’)l2

+

= Ji

+ \Va(x’)12dNU(Z’;O)

= U(X’,

a(z’)).

Pour terminer la preuve de la surjectivité, il suffit, sous l’hypothèse de l’appartenance u E W2-1/p+‘(A), de montrer l’existence de V daris W2,P(0) qui soit tclle que :

V ( d ,&’))

= Il>(rC’, f L ( X ’ ) ) .

Soit U E W 2 ~ r ’ ( ~ Nx- 1JO. +m[) avec :

U ( d ,O)

= u(z’,n ( z / ) )

et

dNU(T’, O)

Alors, si V ( d ,: E N ) = U ( d .3:N - a(%’)),on a bien

V ( d , a ( z ’ ) )= U(.C’, O).

= O.

:

CI

Remarques (concernant des cas particuliers). Notations daris le cas p = 2. Lorsque p = 2, et IC un entier autre que O, on dbsigne par ( X I ) ,l’espace W“1/2s2 (an).

3 . 5 . TRACES D’ORDRE SUPÉRIEUR

165

Étude du cas p = 1. Soit u E W2>l(RN-’x ] O , +oo[).Alors il est clair que you t W1,l(RN-l). Cependant, cornnie il est rrioritré dans [12],l’espace des traces est pliis petit que W1>’(RN-’). C’est d’ailleurs un problènie ouvert que de caractériscr l’espace yo ( W 2 >(lR N - l x ]O, +oo[)). En revanche, on sait caracteriser la deuxième trace axu. Plus généralement, on a le résultat suivant :

Proposition 3.80. Soit ni 3 1. Alors l’image de l’application trace ym-l satisfait rL : ym-l ( W y a ) ) = L ’ ( d a ) .

Preuve de la propostfaon 3.80. II est clair que ylll-l(W711~1(i2)) c-t L’(d62). 0 Illoritroiis le résultat poiir m = 2 (cf. [12]). Soit donc g t L1(RNP1)et une suite { p p } p t Oincluse dans C,?(RNp1)qui converge vers g dans L1(IWNp1). On peut en extraire une sous suite telle qiic (cri la iiotant de la niêrne façon), on ait :

Soit {a,} une suite de réels strictemerit positifs t,elle que

Soit t o = Co a?)et t,+l = t, - op. La suite {t,} ainsi définie est strictement décroissante et teiid vers zéro quand p tend vers l’infini. Soit t verifiant O < t t o . Alors, il existe t , et X E [O, 1[,imiqucs, tels que t = At,+, (1 X)t,. On definit alors, sur mgN-1 x [O, t o ] , la fonction 71 par : Co

+

Pour tout x’ E IWNP1, on a linit,o les fonctions suivantes :

ilv(..t)

-

<

-

SII~I(*N-I)

=

O. Montrons que

sont (laris L’ ( I W ~ - ‘x ] O , t o [ ) . Pour u , cela résulte du fait que X p, t L ’ ( I w ~ - ~Par ) . ailleurs, on a pour z = I , 2 et pour 3 t [I.N

< 1 et que -

11. grâce

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES D E SOBOLEV

166

à la définition de

ap :

O tn;;

O

Sur [ t p + 1 , t p ] , on a = (t - tp)/(t,+i - t p ) ,donc la dérivée en t sur cet intervalle s’écrit (‘pp+l - ‘p,)/(t,+i - t,). On en déduit :

+oc

O

so

Soit niairitcilarit u définie par u(d, Z N ) = ( ~ ( z N ) Z N w j d , t ) ùt où la fonction p est une fonction de D(R) qui vaut 1 au voisinage de zéro. Alors : 31L

u E W2”(ÏRN-’X ] ( ) . t o [ ) , -(.’,O)

= g(d)

rt

u ( d , o ) = 0.

0

aXN

3.6. Théorèmes d’injections continues. Injections compactes

3.6.1. Résultats d’injections continues

Théorème 3.81. Soit R un ouvert d e R N , d e classe CIC. Alors, o n a les injections continues suiiiantes : (1) si N

> kp

:

w“ (2)

1 l P J J(80) Lf

si N = k p : y q < 00; W”-1/”.”

l)p/(N-b)

-

(an)

(an).

L4(3R).

( 3 ) Si N < k p , alors, [Nip]désignant la partie entière d e N i p supposé n o n entier : VA

< [N/p] + 1

-

N/p,

Si N / p E N,Wk-’/PJ’(3f2)

-

W”-‘/P>P(d62)

C,IC-

[ N / p ]- 1 . A

(an).

Ch-N’p-l’A ( 8 0 ) quel que soit X < 1.

~ - i

3.6. THÉORÈMES D'INJECTIONS CONTINUES. INJECTIONS COMPACTES 167

-

Remarque3.82. Si on étend la formule Wk,P(lWNP1) Lq(IWNp1)dans le cas k p > N - 1 à des exposants k non entiers, en particulier dans la situation présente, on trouve bien la condition :

On peut faire des remarques similaires dans les autres cas, k p > N et kp = N . En fait, on montrera au chapitre suivant, une fois définis les espaces WsJ' où s est > O et non entier, l'existence d'injections analogues pour tout s non entier. Dans ce qui suit, on note (RN)+ l'ouvert IWNP1 x ]O, +m[. on debutera les preuves du théorème 3.81 par ce cas particulier.

Preuve des assertzons (I) et ( 2 ) dans le cas où O = (R~)+. O Assertion (1). On suppose dans ce paragraphe que k = 1 et donc quc p < N. Soit C une constante telle que, pour tout u E W1>~(IWN-l), il existe pour u un relèvement U E W1>p(IRN-' x ]O, +m[), (donc U ( d ,O) = u(d)) tel que : lIUllW l P ( R N - 1 X ] O , + m [ ) Soit y = ( N - l)p/(N (3.83)

~

p ) , d'où y

1 U (d,O) lY < y

-

<~ I l 4 1 , P ~

1 = ( N ( p- l ) ) / ( N - p ) . On écrit :

lm 1 1 1 U ( d Y)

En utilisant Holder, on obtient

d N U ( Z / Y) ,

14,.

:

Finalement, en intégrant par rapport à d et en utilisant l'inégalité de Holder, on obtient pour la norme de daris L Y ( I W N - l ) : TU

<

c ~ ~ U ~ ~ & l , ~x]O,+m[)' ( ~ N - ~

ce qui donne le résultat souhaité dans l'affirmation (1) pour k = 1. Pour la suite de l'affirmation (1) dans le cas de (RN)+, on fait une preuve par récurrence sur k . Supposons donc que l'assertion 1 soit démontrée pour k - 1. Soit 71 E Wk-l/P>p(RN-l).Alors, par définition, 011 a u E W"l>p(RN-l) et af-luE w'-'/~>~(Iw pour ~ -tout ' ) i N - 1.

<

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES D E SOBOLEV

168

Par le théorème d'injection du chapitre 2 , puisque (IC

u

-

1)p < N

-

1, on a

L(N-l)P/(N-l-(lc-l)p).

implique, par l'hypothèse de récurL'appartenance aiu E W ' " - ' - ' / p , P rence, a i E~L ( N - l ) p / ( N - ( k - l ) p ) . Ainsi, on a

E LP

et

E L(N-l)P/(N-1-("1)")

et, puisque

( N - l ) P / ( N - (IC - 1 ) P ) E [P?( N - l ) P / ( N - 1 - (IC - 1)P)l' 011 en déduit u E L ( N - l ) P / ( N - ( k - l ) P ) , Finalement, on a u E W1,(N-l)pl(N-(k-l)p).On en déduit encore par le théorème d'injection du chapitre 2 que u E L ( N - l ) p / ( N - k P ) . L'assertion (1) est donc prouvée dans le cas de ( I R N ) + . 0

On montre (2).

- Si IC = 1, p = N , W 1 > N ( ~ N x - l ]o,co[) L) L4(IRN-l x 1 0 , 4 Pour tout q < CO. En utilisant l'inégalité (3.84) avec y quelconque, on obtient w ~ - ~ L) I ~q~ pour > ~ tout q < CO. Supposons maintenant IC 3 2 et ICp = N . Alors, on a (IC - 1)p < N , ce qui implique : -

w ~ - - ~ - ' / P , P ( R N - ~ )Lf ~ ( N - l ) p l ( N - ( " - l ) p ) ( ~ ~ N - l )= L N - ~ ( R N - ~ ) ,

Mais u et Vu appartiennent à W"l-l/")p(RN-l), d'où il résulte que u E W1,N-'(RN-l). Par le théorème d'injection de Sobolev pour les espaces W1,N-1 ( I R N - ' ) , on en déduit que u E L Q ( R N - ' )pour tout q < 00. L'assertion (2) est donc prouvée dans le cas de ( I W N ) + . O

Preuve des assertions (1) et ( 2 ) dans le cas général. 0 Soit maintenant R un ouvert de classe C k . Montrons, en reprenant les conditions de la régularité de R, la continuité des injections sur Wk,p(f2)dans les cas (1) et ( 2 ) . Soient Ri des ouverts qui recouvrent R, {Oi} des ouverts de et { u i } des fonctions de classe C k sur 0 1 , tels que pour tout i 3 1 :

Ri n 0 c { ( x ' , z N ) I X N > ui(z'),5' E O i } , Ri n dR = { (d, ai(d))I X' E Oi}. Soit (pi) une partition de l'unité C k subordonnée au recouvrement de R par les 0,. Les hypothèses de régularité uniforme de l'ouvert R entraînent qu'il existe une constante Cl telle que

\Ji?

Il4C"(O,)

+ IIPillcyn,) < Cl,

3.6. THÉORÈMES D’IN3ECTIONS CONTINUES. I N J E C T I O N S COMPACTES 169

Notons que cette propriété entraîne aussi l’existence d’une constante C3 telle que : vu E

w ” - ” ~ ’ ~ ( ~ R )IIuillWk-l/i’.P(annn,) , < ~ 3 1 1 u l l w ~ - l(an)‘ /i~.p i

Soit u E W”l/p>p(dR). Ainsi, la fonction IL^ = ( P ~ I Lsatisfait à l’appartenance u . ~E ~ ~ - ~ l p l n p f( i id) .~ Soit q ( d ) = u i ( d , u a ( d ) ) . Par les propriétés de a t , il est clair que vi E W”’/”,”(RNp1). On en déduit que iii E LQ(RN-’) pour q < ( N - l)p/ ( N - k p ) , d’où 1’011 déduit que ui E LQ(Ri n 80). En outre, il existe des constantes toutes désignées par C, telles que :

Preuve de l’assertzon (3) dans le cas d e (RN)+. On suppose aussi pour commencer que k = 1 et p > N . Soit une constante telie que, pour u E W ~ - ’ / ~ > ” ( I Wil~existe -~),u E W 1 , p ( ~ N - xl ]O, + m [ ) avec ~ ( z ’O), = u ( d ) , et

c

llullW1 z ’ ( W N - l ~ ] O , + m [ )

< CIIullW-

p(WN-1).

On utilise le théorème d’injection 2.31 dans l’espace précédent, à savoir :

vu au chapitre

U E W y R N - 1 x [O, m [ ) ==+ u E C,OJ-(NI”)(IWN-1).

Alors, pour tout t E [O, b] où S > O et pour tout ( x ,y) E (RN-1)2, on a : lU(J’t) - U ( Y , t ) l

< ClIUllWl

”(WN-1X[O,m[)IZ

-

YI l - ( N / p ) ,

En faisant tendre t vers O, on obtient le résultat (3) pour k = 1. Soit maintenant k > 1 et supposons pour commencer que k p > N ( k - 1)p. Soit D un opérateur différentiel portant sur les variables 5 , autres que X N . Si D est de degré inférieur ou égal à k , on a DU E Lp(RN-l x [O, m [ ) donc, par le théorènie de trace appliqué successivement à chaque dérivée d’ordre inférieur ou égal à k - 1, on obtient u(d, O) E W”l,p(RN-l). D’autre part si D est homogène de degré k - 1, l’appartenance de U à W’”-l>pentraîne celle de D u à W1-’/pip(RN-l) et, par la première partie de la preuve, D u E Ch’l-(N/p)(RN-l). Finalement, u E W “ - ’ ) p et D u appartient donc à C:’l-(N’p) (R - 1 et, par conséquent, on obtient u E (RN-1).

Cb:’”-(”’”)

170

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES D E SOROLEV

Si k p > N et si N / p n'est pas un entier, soit j E N tel que et j p > N > ( j - 1)p (autrenient dit j = [ N / p ] 1). On a D("-')u E W-'-(l/p)J'(RN-l) et, par ce qui précède, Dk-3u E C:'J-N/p(RN-l). On en déduit que :

+

Le cas où N l p E N est laissé au lecteur.

On passe à présent à la compacité de certaines de ces injections

O

:

3.6.2. Résultats de compacité pour dS2 borné

Théorème 3.85. O n suppose que dR est borné et C k . (1) Soit p > 1 et N - 1 la dimension de dS2. On suppose que k p < N . Alors, l'injection de W"'lpJ'(df2) dans Lq(dS2) est compacte pour tout q < ( N - l)p/(N kP). ( 2 ) Si k p = N, l'injection de Wk-1/pJ'(dS2) est compacte dans tous les LY (df2). (3) Si k p < N . l'injection de W"'/p.P(dR) dans Ck-'-[N/pl,X(aR) est compacte pour tout X < [ ( N / y ) 11 - N / p . ~

+

Preuve du théorème 3.85. 0 Daris le premier cas, il suffit de montrer que l'injection de W"'lpJ'(dR) dans LP(dS2) est compacte, puis d'utiliser le lemme 2.82 du chapitre 2. I1 suffit de montrer le résultat avec k = 1, et pour des fonctions de 1 l P J J(p1 x {O}) à support dans un compact fixe. Soit donc { u n } une suite bornée dans W1-l/p)p(RN-l) à support dans un compact fixe. Par la continuité du relèvement de W'-'/pJ'(RN-l) dans W ' , p ( ( R N ) + )il, existe E, égale à urLsur le bord telle que G, est bornée dans I+"J'((RN)+). Soit $ E D ( R N - ' ) , égale à 1 sur tous les supports des u n ,et p E D ( R ) ,égale à 1 en O. Alors la suite des un définie par I I , ( X ) = Gn(x)ljl(d)p(z~) a la même trace que G, et est à support dans un compact fixe de RN-' x [O, cm[.

w1-

3.7. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 3

171

Par le théorème de compacité pour les bornés de W',p(n) lorsque R est borné, { u n } est relativement corripacte dans L P ( R N ) .On a pour n et m deux indices d'une sous-suite convergente dans L P , encore notée { u n } : "1

et. en intégrant par rapport à

11%

-

u&,~(RN-I~{~))

2'

et en utilisant Holder

G ~IlvrL

-

%Il;-'(

+lbn,~Ilp)

IIvn,~ilp

qui tend vers O quand n,m + 00. La suite { u T Lest } donc de Cauchy dans Lp(pSNp1),donc elle converge dans LP(RN-l) vers 2' ++ u(.r', O). Supposons k p > N . I1 suffit de montrer que l'injection W"'lP>P(]

-

1, q N - 1 x{O})

-

C([-1, 1IN-' x {O})

est compacte et d'utiliser le leninie 2.85. Soit {un}une suite bornée de W"'lPJ'(]-1, l[N-lx{O}), et une suite bornée de Wk3p(]-1, l[N-l x]O, 1[)qui vaut unsur le bord. Par la conipacite de 1'iri.jection de WkJ'(] - 1, l[N-lx]O, 1[)dans C( [-1, 1IN-l x [O, il),on peut extraire une sous-suite de u, qui converge dans e([-1, ilNpi x [O, 11). En particulier, elle converge dans C ([ 1,1]N - l x {O}). ce qui donne le résultat. O

7x

-

3.7. Exercices sur le chapitre 3 Exercice [**I 3.1 (dérivationfractionnaire). I1 s'agit, dans cet exercice, de donner des propriétés de la dérivation fractionnaire des distributions. En particulier, on pourra justifier la remarque 3.2 du début du chapitre 3. Dans ce qui suit, on désigne par 'Ft la fonction qui est égale à i sur ]O,+m[ et nulle sinon. Pour la définition des parties finies qui sont utilisées ici, on se reportera, par exemple. à l'exercice 1.27 du chapitre 1, niais on peut aussi se contenter de la formule suivante, valable si (I: E ]O, l [ :

On rappelle la définition de la convolée de deux distributions T et S de D'+(IL?).La fonction q E D(R) valant 1 sur un voisinage de siipp(cp), cette convolée est définie par :

(T*S,cp)= ( T : ( ( S , 7 7 ( ~ ) 7 1 ( Y ) C p ( Z + Y)))). Dans la plupart des cas, on pourra se contenter de calculs formels en négligeant l'intervention de cette fonction 7 .

172

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

On admettra que la dérivée de la distribution obtenue est la coiivolée SI * T ou la convolée S TI. On rappelle la définition de la fonction eulérienne B , à savoir :

*

v a > O, t i p > O

B(cy,/j) =

t-yl

-

t)wit.

Elle satisfait aux relations :

Enfin, on prolonge suivantes :

r sur les réels négatifs non entiers au moyen des formules

et ainsi de suite, sur tous les segments ] - n - 1, - n [ . La dérivée fractionnaire d'ordre m de la distribution T E D$(R) (cf. 1371) est, pour m non entier > O :

et P ( T ) = S ( m ) A T = T ( m )lorsque rn est entier.

(1) On considère, comme premier exemple, la dérivée d'ordre 1/2 de cy > O. Prouver le résultat suivant, où K est une constante :

'R(z)z" lorsque

Plus généralement, déterminer la dérivée d'ordre s de cette fonction X(z)zcy lorsque s E ]O, l [ (on pourra se servir de la définition (*)). En utilisant la dérivation d'une convolution et les dérivées des parties finies, déduire du résultat précédent la dérivée d'ordre s de Y(z)z" lorsque s E Il, 2[. Généraliser à un ordre de dérivation non entier positif quelconque. (2) Lorsque a et /3 appartiennent à ]0,1[,déterminer la convolée des distributions S = K ( X ) X -et~ T = K ( z ) z - f i , convolée qui peut être alors considérée au seils des fonctions. Préciser le résultat lorsque a ?!, = 1. Eri déduire l'expression de la composition des deux dérivations d'ordres non entiers m > O et k > O à l'aide de la dérivation d'ordre m k . (3) (Question en relation avec l'exemple 3.25). Soit f la fonction valant 1 sur ]O, l [ et nulle hors de ]O, l[. On suppose p > 1. Déterminer la convolée de fonctions ' F ~ ( X ) X ~ / "*- f~ . Er1 déduire la dérivée fractionnaire d'ordre 1 - l / p de f . on remarque que le résultat est une fonction, contrairement aux dérivées d'ordre entier qui font intervenir des distributions de Dirac. Montrer que cette dérivée fractionnaire n'appartient à Lp(R)que si p < 2 (cf. exemple 3.25).

+

+

3.7. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 3

173

Indications. Pour ( l ) ,en appliquant la définition d'une convolution de distributions, on obtient : ( T ,'p) = ('Ft(z)z", (Pf('Ft(Y)lY3/">(P(~ + Y)))

Ensuite, une intégration par parties fournit

:

I1 en résulte, à l'aide d'une translation sur la variable

:

En utilisant ensnite la formule de Fubini et la fonction eulérienne B ( o + 1 , 1 / 2 ) , obtient : ( T ,p) = K ' ~ ~ m ~ ' y + 1 / 2Une p ' (intégration ~). par parties donne firialement, puisque O, le résultat souhaité :

011

Un calcul analogue détermine la dérivée d'ordre s E ]O, l [ . On trouve encore la fonction K,'Ft(x)za+. Or1 généralise la formule en remplaçant lorsqiie a - s - 1 la fonction puissance par la partie finie associée. Pour cela, par exemple, si s E ] 1 , 2 [ (d'où cr = s - 1 E ]O,i[)eto-s<-l: d" ('H(:c)z") = d[d"('Fl(x)z")]= K , d [ ( ~ ( z ) z " - " = ] K,\ Pf(lF1(z)x;"p").

En utilisant une dérivation d'ordre entier, cette formiile est générale. Poiir (2), le calcul arialogue est valable, on trouve, à une constante près qui s'exprime à l'aide de la fonction eulérienne B , la fonction 'H(z)z'-("+~). En dérivant la formule obtenue, on obtient la propriété demandée. POW ( 3 ) On trouvera pour la corivolée y z ' l p sur 10, il et, p [ r l l " - ( x - i)'/i1 1 si :c > 1. La dérivée fractionriaire est la dérivée d'ordre 1 de cette fonction. On étiidie sans peine l'appartenance à L"(R).

Exercice 3.2 (continuité faible d'une application trace). Soit R uri ouvert de RN de classe C1 et soit p > 1. Montrer que I'applicatiori trace est contiriue pour la topologie faible de W'i"(62).Plus précisérnerit, si {u,}coriverge faiblement vers 'II dans W1."(~2),(c'est-à-direque un 2 u daris L P airisi que Vu, vers Vu.) alors converge faiblement vers yyu daris W1-llPJj (XI). Indications. Soit f E Wp1+1/"'3p'(d62). On utilise la surjectivité de l'application S introduite dans le théorème 3.58. Ainsi, il existe cr E W"'(div)(R) avec i

f =cr, n.

On a

:

d'où le résultat.

174

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

Exercice 3.3 (exemple d'application trace non faiblement continue). On demande de vérifier que l'application trace de l'espace W1,'(]O, l[") dans l'espace L1 (]O, l[N-lx {O}) n'est pas faiblement-étoile continue. Pour cela, on utilise la suite {un}définie par u n ( z " z N ) = (1 - nz")x]o,l/n](~N). (1) Montrer que {uTL}est bornée daris l'espace W1,'(]O, l[N). (2) La suite {un} est incluse dans l'espace BV des fonctions (cf. section 6.3 du chapitre 6) qui sont dans L'(Io, l [ N )et dont le gradient est une mesure bornée sur ]O, l [ N On . définit dans ce chapitre 6 la convergence faible de la suite { u n }vers ru dans BV par les conditions :

11%

-

ull1

-

0,

v p E CC(l0, I[">,

et

I(Vun

-

Vu,p)l

+

o.

Montrer qu'effectivement cette convergence faible est vérifiée avec ru = O. En considérant la trace de un sur ZN = O, et en comparant à la trace de la fonction nulle, en déduire que l'application trace n'est pas faiblement continue.

Exercice 3.4 (injection non compacte dans un espace de traces). (1) On suppose N 3 2 et O < p - 1 < N . h4ontrer que l'injection de l[") dans L N p / ( N - p + l ) n'est pas compacte. (2) Ori suppose que N + 1 < p . Montrer que l'injection de W1-'/pJ)(]O, l[") dans Co>l-(N+l)/p(]O, l[") n'est pas compacte. W'-'/">p(]O,

Indications. Pour ( l ) ,on utilise une fonction p de D(]O,l[") et on définit la suite { P n } par : p,(x) n(N-P+l)/P cp(nx). On nioritre que {pTL} est bornée dans W1-llp,p(JO,l [ N )puis , qu'elle teiid vers O dans tous les Lq tels que q < N p / ( N - p 1),mais qu'elle ne converge pas pour ~

+

l'exposant critique. Pour (2), soit 'p E D(J0,l[") satisfaisant à la condition sup (.>Y)t(lo,1lN)2

Soit {p,} la suite telle que

I +;y 1

:

= 1.

: p,,(X)

~

n("-P+l)/P

(P(?LX).

Montrer que cette suite est bornée dans W1pllp.p(JO, l[") et qu'elle terid vers O dans tous les Co,' pour X < 1- ( N + l)/p, mais qu'elle a une semi-norme constante égale à 1 daris Co,l-(N+l)lp.

Exercice 3.5 (injection non compacte dans un espace de traces, suite). Montrer que l'injection de W - ' / p 1 p ( I W N ) dans L1(RN) n'est pas compacte. Soit p une fonction de D ( R N )non nulle. Soit p,(z) = p(z n e i ) , où el est un vecteur de la base de R".

+

3.7. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 3

175

Montrer que 'pn a une norme dans W1-l/p,p(IWN)constante alors qu'elle tend vers O presque partout.

Exercice 3.6 (fonction de W r (div) et formule de Green). Soit O un ouvert C1. Montrer que si a E L"(R) et d i v a E LN(R), il existe un élément 0 . 'L E Lm tel que pour tout u E W'>'(O) la formule de Green suivante ait lieu : la.V
Montrer que l'application qui à a associe a.i? est continue pour la topologie associée à la norme

IlfllI

= Ilallm

+ II div(a)IIAJ.

Exercice 3.7 (traces dans W' ,Oo(O)). Soit R un ouvert de classe C'. Montrer que les fonctions de W'@(R) ont une trace sur dR dans W'>O"(dO). Inversement montrer que toute fonction de W1>"( d a ) est la trace d'une fonction dc W1>m(0). Exercice 3.8 (fonctionsde D ( R ) orthogonales a des espaces de polynômes).

< < p . Quel que soit le compact [a,b] de IR, montrer

(1) Soit p E W et O k l'existence d'une fonction

'p

de D ( ] q b [ ) telle que pour tout i E [ O , p ] ,on a :

(2) Soit p E Ri. Montrer qu'il existe une fonction de D(IW") qui sataisfaità :

quel que soit le polynôme P de valuation au moins 1 sur I R N , de degré inférieur ou 6gal à p . Indzcatzons. Pour ( i ) ,on peut supposer pour fixer les idées que [a,b] = [-1, I]. Soient 'pJ où J E [O,p],des fonctions de L 2 ( ]- 1, i[)telles que d e t ( h cp,t3dt) # O. On montrera leur existence par exemple en prenant pour cp. les polynômes de Legendre sur ] - 1, l[.On utilise ensuite la densité de D ( ]- 1,i[)dans L 2 ( ]- 1,1[) pour trouver des 'p3 dans D ( ]- 1,1[)telles que le déterminant d e t ( ( h 'p,t'dt),,,), dans lequel les indices z et j appartiennent à [O,p],ne soit pas nul. On considère alors le systèmc D

où les û3 sont donnés. I1 adniet une unique solution (A", A i , . . . , A p ) . En particulier en prenant Co A,p, = cp et les a3 = 6:, on obtient le résultat.

176

CHAPITRE 3. TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

s,

s

Pour ( 2 ) , on prend une fonction p telle que cp(t)dt = 1 et p(t)t’dt = O pour tout j 2 1. On vérifie ensuite que p(t1, t 2 , . . . , t,v) = p(tz)a les propriétés souhaitées.

n;”

Exercice 3.9 (preuve pour un ouvert lipschitzien d’être localement étoilé). Soit R l’ouvert { ( z ’ , x N ) I X N > a ( z ’ ) ,z’ E 0’) où a est lipscliitzierine et 0’une boule ouverte bornée de IRNp1 (ou un convexe). Montrer que R est étoilé par rapport à un point. Indzcatzo~is.On peut supposer que le point (0.0) t 862 (donc a(O) = 0). Soit m > ( ( a ( ( ~ , m ( ~(r/)V ( L ( / L ~ sup ( O( I~)’ ( 0Alors ,. l’ouvert est étoilé par rapport à (0, m ) . Soit A E 10, I [ et (z’,.cN) E 62. I1 faut montrer que X ( O , ~ L ) + ( ~ - A ) ( Z ’ , Z N ) E L?. Pour cela il suffit de montrer que a ( ( 1 - A ) d ) < Am (1 - X)a(x’).Pour ce faire, on considère la fonction cp(A) = Am (1 - A)a(r’) - a ( ( 1 - A ) d ) . Cette fonction vaut O en A = O et est croissante car si a est C1,

+

+

+

p’(A) = m

-

+ ~ ( a ( i A)T’)

u(T’)

-

‘2‘

>O

par les hypothèses sur m, sur la boule 13’. Cette preuve marche encore pour a lipschitzienne car p est croissante. En effet si X > A’, on obtient, par l’utilisation du caractère lipschitzien de a : p(A) - cp(A‘) = ( A

3 (A

-

+

X‘)(m- a ( z ‘ ) a ( ( 1 - A)%’)

- X’)(7n-

-

a ( ( 1 - X’)Z’))

a ( & ) - Kl1Va(lm).

Exercice 3.10 (appartenance de x H sin J.à des espaces de Sobolev). Montrer que la fonction z H sin J.appartient à W ’ ? ~ ( I[) ] Opour , tout p < 2 , et qu’elle appartient à W1p1/~7p(]0, I[) pour tout p < 4. indications. On majore la semi-norme

Si p > 2, l’intégrant est équivalent en O à xippl2 et, si p < 2 , à zi-p’2 (( 1

+1

/%)1-”/2

-

1)

N

1.

Cette intégrale converge donc si 1 - p / 2 > -1 ou encore p < 4. Pour voir qu’elle ne converge pas pour p = 4, on utilise :

3.7. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 3

177

Exercice 3.11 (fonction de W1-'/J'ip(R) qui n'appartient pas à W ' J ' ( 0 ) ) . Soient R = ]O, l [ et p(z) = zp1lkoù IC E N*.Reniarquer que p ri'appartient à aucun W ' > p ( ] O ,l[).Montrer que p E LVp1/X'J'(]O, 1[)si et seulement si p < %/(IC + 1). Indzcatzons. La fonction p ri'est niême pas bornée, elle ne peut donc être daris aucun W'.P(]O, 11). On majore la semi-norme ~ ~ p ~ ~comme ~ - l ~suit P ,: P

La deuxième intégrale Jz converge au point u = O si p / k < 1, ce qui implique d'ailleurs que p E LP(]O,l[,elle converge également cn f cy> si p > 1. L'intégrale 11 est finie si et seulement si 1 p - p / k > -1, ce qui donne p < 2 k / ( k + 1). On a 2 k / ( k + 1) < k , donc p < 2 k / ( k + 1) est une condition suffisante pour que E W " / P > P (]O, l[).I1 est facile de voir que la condition est nécessaire. ~

Exercice [**]3.12(relèvement dans 62 = IR2 x Rf). Pour u E W.'"-1/"rP(R2),on pose 2 = (zl, za) et on définit le relèvement :

où p E D(R) avec p(0) = 1 (cf théorème 3.67). Justifier que cette fonction est bien un relèvement,

Indzcatzons. Or1 fait, comme dans le théorème du cours, une démonstration par récurrence pour prouver que pour Icy1 < k - 1, on a D"U E W'3p(fl). On suppose que : (3.86)

tig,

J

< IC

-

i et

7L

E

WJ-'/P,P(IW~) j

u E w3xP(n).

(w avec ~ )la forOn montre que, si u E W ~ - ' / P > P ( I R ) , alors a,u E w ~ - ' - ' ~ P , ~et, mule du relèvement doriné, on en déduit pour U , grâce à l'hypothèse de récurrence (3.86) : d,U E W " " P ( I w 2 x ]O, + C o [ ) . I1 reste donc à montrer que : (3.87)

a,"uE L"(IW2x ]O,

+Co[).

En traitant à part les termes en p ' ( y ) qui sont simples, on se ramène à

:

178

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

On montre, pour la dérivée d’ordre 1, l’expression suivante de &,U &,U =

J’

[ti&u(Z

:

+ y t ) + tz&u(Z + y t ) ] d t i d t i .

(10>1[)2

On pose Il(??,y) = ~ ( , o , i , ) zt l & u ( Z

J’ J’ l i l = / J’ Y o =

1

y

-

Y3

-

O

En déduire que

1:

1111

y

[u(zl

O

O

[.,(XI

+ y 7 ) d t i d t î . Montrer :

+ y, + 22

+y,m

22) -

+ tzy)

u(z1 + Z I , z2 + Z.)] d a d z z

- u(z1

+ t1y,z2 + tiy)]dtldtz.

dans IR2 x ]O, +mû[) est majorée par l’intégrale en y sur

]O, +oo[ de :

Er1 utilisant ensuite les variables Xi = prouver

51

+ tiy, XZ= xz + t z y , Y = + y, 21

puis, par une majoration de l’intégrale intérieure’ une translation et en posant t finalement X = (XI,X , ) :

t Conclure par l’utilisation du lemme 3.27 du cours, qu’en raison de l’appartenance u E W ~ ~ ” P ~ ~ la ( Inorme W ~ ) I ,~ I , ~ I P est majorée par :

Le même raisonnement peut s’appliquer à l’intégrale suivante :

Dans le cas de la dérivée en y d’ordre IC quelconque, observer que 8,kU est la somme d’intégrales dii type

avec ( a (= IC - 1. En appliquant l’hypothèse de récurrence & la dérivée D”u et en utilisant des arguments semblables aux précédents, terminer la démonstration.

3 . 7 . EXERCICES SUR LE CHAPITRE 3

179

Exercice 3.13 (application associant a U la dérivée normale de sa trace). (1) Soit U E W"P(R) où R est régulier. Montrer que si f E C"'(G), avec D"f lipschitzienrie pour \al = k , alors Ir produit Uf est encore daris W"p(0) et que l'on a J J f u J J W iJ(q A ,< CfJ1uJJI.t'" p(n). (2) Soit R de classe C k . Montrer l'existence d'une constante C telle que :

Exercice 3.14 (détermination de gradients itérés et dérivée normale). I1 s'agit de déterminer des gradients itérés et des dérivées tangentielles ou normales sur des cylindres ou des sphères en dimension N = 3. (1) La fonction U étant daris C2(R3), déterminer, par des dérivations de fonctions composées, les dérivées partielles de U à l'aide des coordonnées cyliridriques z = rcosû, y = r s i n û , z . Déterminer, de niêrrie, les dérivées partielles d'ordre 2. ( 2 ) Soit le cylindre (1 = ( ( 5 ,y, z) 1 xz y' < 1, z E R}. Soit le vecteur --t tangent à 30 défini au point z E dR par t = (- sinû, cosû, O). Déterniirier la dérivée tangentielle dtu où u est la trace de U sur 39. Déterminer égalerrierit la dérivée ilorniale. Déterminer ensuite les dérivées d$u et d$u. (3) On se propose tie retrouver les résultats précédents par une autre méthode. Trouver la relation entre les opérateurs D = zd, yay et d r . En déduire l'expression de V2u . 2 . ?;' iil'aide de D et de D2 et retrouver le résultat précédent. De rnî.rrie, trouver la relation entre les opérateurs Dl = -y& z:i3y et 80. Eri utilisant D et Df , trouver l'expression de la derivée tangentielle + + V2u. t . t . (4) En utilisant une niéthode analogue, effectuer les calculs des dérivées normales d'ordre 1 et 2 lorsque R est la boule de centre O et de rayon 1, les coordoiiriées choisies étant les coordoririées sphériques :

+

+

+

T

=

rcosûcosp,

y = rsinocosy.

z= rsinp.

Exercice 3.15 (étude d'un espace de Zygmund). On rappelle la définition du tenseur des contraintes (cf. exercice 2.10) :

Soient 'u E L"(R2,R2) telles que E ( U ) E L"(R2). Montrer que u l ( z , O ) E L"(R) et que u ~ ( zO), appartient à l'espace de Zygmund

180

CHAPITRE 3 . TRACES DES FONCTIONS DES ESPACES DE SOBOLEV

Par les hypothéses A ~ est u rriajoré en module par

~

~

~

~

~

E

(

u

)

~

Exercice 3.16 (réciproque, entièrement rédigée, de l'exercice précédent). Soit cp E Z . Ori introduit H ( x . c / ) = i/?jJ?., p(x - t ) ( y - Itl)dt ct définit u l ( r , y )= -?lZH, uz(z.y) = ûl,H. On rriontrc que E ( U ) E L". On a E , ~ ( u ) = O. Alors :

À l'aide de deux intégratioiis par parties, on montre :

qui tend vers

-Sp(nl)

ce qui prouve que

+ p(z) lorsque y

1 1 2 , ~est

bornée.

3

O. On eri tire :

~

~

011

,

~

CHAPITRE 4 ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

Ce chapitre constitue une suite du chapitre 3. Dans les deux premières sections, on étudie les espaces W ’ > ’ ( R ~ )où , s est un réel quelconque, ii l’aide de la transforrnation de Fourier, laquelle fait l’objet, ail début du chapitre, des rappels nécessaires. Les sections suivantes sont consacrks A diverses di:finitioris des espaces Ws$p(fl)où O < s < 1 et 1 < p < +oo avec p # 2, qui généralisent les espaces W’-’/”P(CI) du chapitre préc”icicnt. Les résultats de densité et de régularité, les théorèmes d’iri.jectioris continues ou compactes et les théorèmes d’existence de traces lorsque l’ouvert, R a une certaine régularité, sont établis dans ces nouveaux espaces de Sobolev. Toutcs ces propriétés s’ét,eriderit ensuite aux cspaces W”>” où s E R,après que la défiriitiori de ceux-ci ait été doririée 21 partir du cas où O < s < 1.

4.1. Distributions tempérées et transformation de Fourier 4.1.1. Fonctions à décroissance rapide et distributions tempérées

Déjînition 4.1. Une forict,ion 9 est dite à décroissance rapide dans RN si cp t Cm(RN) et si, Dj désignant l’opérateur de dérivation par rapport au multi-indice j = ( j l ,j 2 , . . . j N ) , on a : ~

(*I

tjj €

N N , Y k E N,

1X1Wcp

EP(RN).

L’ensenible de ces forict,iorisest un espace vectoriel noté S ( R N ) .

Remarque 4.2. La condition (*) peut être mise sous deux autres formes équivalentes :

Y ( . j . k ) , 1J:I”Jcp

E L1(RN).

CHAPITRE 4 . ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

182

Structure topologzque et dual. L’espace S ( R N )est naturellement muni de la topologie engendrée par la famille dénombrable de semi-normes :

% ( c p ) = III~lkDJPllco. On note S’(RN)le dual topologique de S ( R N ) .C’est un e.l.c., sous-espace de D’(RN),car :

Proposition 4.3. L’espace D ( R N ) est dense dans S ( R N ) . Preuve de la proposataon 4.3. 0 Soit p E S ( R N )et 1c, E D ( R N ) ,4 = 1 sur la boule B(O,l ) ,vérifiant, en outre O $ < 1. On définit la suite {cp,} par y,(.) = +(x/n)p(x). Alors {cp,} converge uniformément vers cp car, cp tendant vers O à l’infini, on a :

<

SUP XER”

Pour k E

IVn(x)

N et J E N N ,on

IxlkDJ(cp,)

=

-

<

CP(Z)~

+

0.

a :

+

c,p-Dps)(x/n)o3-pp. Idk

l“/k+(x/n)D3cp

IPl a l

On en déduit

l~(x)l

SUP

IxIZn

I

n p

:

O

d’où, puisque le secorid membre tend vers O, la conclusion énoncée.

Les éléments de s’(IRN) sont ainsi identifiés à des distributions ; elles sont appelées distributions tempérées. I1 est facile de voir que les dérivées d’une distribution tempérée, les produits d’une distribution tempérée par des fonctions à croissance lente, sont encore des distributions tempérées.

4.1.2. Transformation de Fourier On donne les résultats suivants sans démonstration.

Théorème 4.4. La transformation de Fourier 3, définie par :

v< E RN,vcp € S(RN),

/

3(cp)(<) = e - 2 z . r r fd. xx )dx, R”

est un automorphisme de S ( R N ) . L’opérateur inverse de 3, noté défini par :

F,

est

v< E RI G4(<) = F(cP)(-t). La transposée de cette transformation de Fourier fournit iin automorphisnie dii dual, noté encore 3,son inverse étant, lui aussi, noté 7:

4 . 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV H " ( R N )

183

Théorème 4.5. La transformée de Fourier de T E SI, définie par

v'p E s,

(.F(T)> cp)

=

(T,.F(cp)),

est une distribution tempérée. La transformée de Fourier d'une fonction cp est souvent notée @, niais, dans ce qui suit, les transformées des distributions T sont notées indifféremment F ( T ) ou On voit facilement que, si f E LJ'(RN),alors la distribution associée [ f ] est tempérée. En particulier, si f E L1(RN), la fonction f =.F(f), laquelle appartient à L", coïncide avec la transformée .F([f ] ) . Grâce à la densité du sous-espace L2 n L1 dans L2 et du théorème de Plancherel-Parseval, on prolonge la transformation de Fourier sur L1 en un automorphisme isornétrique de l'espace de Hilbert L2(IRN).Si on désigne encore par Ycette transformée de f E L 2 , elle s'identifie à . F ( [ f ] ) . En dehors de ces exemples, notons :

T.

Proposition 4.6. Les distributions à support borné, dont on sait qu'elles appartiennent à &'(EtN) (cf. exercice 1.20)' sont tempérées. La transformée d e Fourier d'une telle distribution T s'identifie à la fonction défin,ie par :

I

(T(Z)'

exP(-2W.

.)I

On voit ainsi que .F(60) = 1 et, par utilisation de la transformation de Fourier inverse F(1)= 60.Pour d'autres détails, le lecteur pourra consulter (131.

4.2. Les espaces de Sobolev H " ( R N ) 4.2.1. Définitions. Densité des fonctions régulières

Définition 4.7. Soit s un réel. Pour s > O, on pose :

H " ( R N )= {u E L 2 ( R N )I {< ++ (1 Pour s

< O, on pose

:

H " ( R N )= {u E S'(RN) 1 { E

-

(1

+ ~ ~ ~ 2 ) " ~ " ( Eu L) 2( (~R)N} ) } .

+ ~ g z ) s ' 2 . F ( u ) ( E[ ) L} 2 ( R N ) } .

Pour voir que cette dernière définition a un sens, on remarque que, si 'p E S , la fonction H (1 l<12)s/2cp(<), produit d'une fonction de classe C" et à croissance lente par une fonction de S , est aussi dans S . Donc, la définition permet d'écrire :

+

+ I E 1 2 ) S / 2 . F ( 7 ~ ) ,cp) = (u,.F((l + 1<12)"/2cp)).

((1

184

CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

+

I1 est facile, alors, de vérifier que (1 1[12)s'2F(u) est une distribution tempérée (d'ailleurs, c'est, le produit d'une fonction de classe C" lente par une distribution tempérée).

et à croissance

Proposition 4.8. Muni de la norme définie par

l'espace H ç ( R N )est un espace de Banach. Preuve de la proposition 4.8. 0 On suppose s > O. Si { u n } est une suite de Cauchy, la suite de terme général (i+I[12))"/2F(un) converge dans L 2 ( R N vers ) U E L 2 . La fonction f telle que f ( [ ) = (1 / < I 2 ) - ) " / ' étant bornée sur RN,on en déduit que f U E L2. En posant u = F - ' ( f U ) , on obtient un élément de H S ( R N ) tel que l'on puisse écrire, en utilisant la continuité de la transformation de Fourier dans L 2 , la conclusion Ilun - ~ 1 1 + ~ " O. La même démonstration est valable si s < O, à ceci près que, cette fois, la fonction f : [ H (1 1[ / 2 ) - s / 2 n'est plus bornée. Cependant, f étant une fonction Ci croissance lente et de classe C", le produit de U considéré comme une distribution tempérée par cette fonction f est encore une distribution tempérée. On acheve de façon analogue à ce qui précède en utilisant la continuité de 3 daris S'. O

+

+

Nous commençons par une proposition concernant le cas où s est un entier.

Proposition 4.9. Si s = m E N, l'espace H s ( R N )cotncide avec l'espace de Sobolev classique W m , 2 ( R N ) . Preuve de la proposition 4.9. En effet, si u E H " ( R N ) , la fonction u ainsi que toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre m appartiennent à L2. En transformant par Fourier, on obtient que Fu E L 2 ( R N )et ( - 2 i ~ < ) ~ FE uL 2 ( R N )avec , cy un multi-indice tel que \cy\ < m et ta = [y1 ...[gN. Ceci entraîne, en particulier, que (1 1<1")""2F(u) E L2(RN). Inversement, si F ( u ) vérifie (1 1[12)"'23(u) E L 2 , 011 a aussi (2i7r<)JF(u) E L2 pour tout j vérifiant Ijl m et donc les dérivées jusqu'à l'ordre rn de u sont daris L2. De plus, en développant la puissance d'exposant entier m de 1+Er on peut montrer l'équivalence des normes I / . I I w ~ ~ ~ z et cette dernière ayant été définie dans ce qui précède. 0

+

+

<

185

4 . 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV H ” ( W N )

Proposition 4.10. L’espace H - ” ( R N ) cofncide avec le dual H s ( R N ) ’ pour s > o. Preuve de la proposition 4.10. Soit 71 E H - “ ( R N ) .On définit une forme linéaire L, sur H“ de la façon suivante :

vu E H “ ( R N ) , L,(u)=

1..

G(()û(E)dt.

On établit la continuité de cette forme linéaire par : IL1,(u)I=

IJ’

(1 RN

+ l t 1 2 ) - s ~ 2 ~ ( E ) (+1 l E l 2 ) ” 2 u ^ ( E ) d E I

< II(1+ I ~ 1 2 ~ - ” 2 ~ ( E ) l 1 2I I ( l + l ~ 1 2 ) s ~ 2 ~ ( E ) l 1 2 < cII’uIIHy(RN). I1 est clair ainsi que l’application qui à v associe L, est une injection continue. Et donc :

-

H-”(RN) H s ( R N ) ’ . Inversement soit T E (H“)’. La proposition 4.11 qui suit établit que l’injection de S ( R N )dans H ” ( R N )est dense et donc Hs(IRN)’ c-1 I1 en résulte que T E S’. Notons que si g E L 2 , la transformée de Fourier de ( I 1<12)-“/2gappartient à H ” ( R ~ avec ) ia norme

s’(IRN).

+

(.l i

(l

+ /<12)-s/2g)IIHS = 119112.

Soit g E S(R”). Par définition de la multiplication de F ( T )par la fonct,iori à croissance lente (1 I E ~ ~ ) - ~ / ~on , a:

+

1((1+ I E I ” ) “ ’ ” F ( n ) l

=

l(.m (1 + I E 1 2 ) - S ~ 2 ~ ) I

=

I(T’F((1-t i E i z ! - s ~ 2 L ? ) l

< ~ ~ ~ ~ l ( H s ) ’+d I(E~1 2( )l- s / 2 g ) / I f f 5 = llTil(H~)~llgI12.

+

Par conséquent, ( I IE/2)-“/2F(T) E L2, puisqu’elle définit une forme liO néaire continue sur L2. Finalement T E H-”.

Proposition 4.11. L’espace S ( R N ) est dense dans H S ( R N ) . Preuve de la proposition 4. il. O Soit {&} une suite dans D ( R N ) telle que, par la densité de D(R”) dans L’(EtWN), on ait : ll+n -

(1

-

+ IE12)“/2~(~)l12

0.

186

CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

Alors, pn = (1+ I < 12) p " / 2 $, , est dans D(IRN)et converge vers F ( u )dans L2. Par la continuité de F-',on en déduit que Fp'(pn) est dans S(IRN)et converge dans H " ( R N )vers u. O

4.2.2. Espace H " ( R N )considéré comme espace de trace On s'intéresse & présent à une caractérisation des fonctions de H" pour s > O. Dans le théorème qui suit, on établit que ce sont les restrictions à { X N = O} des fonctions de H"+1/2(RN).

Théorème 4.12. Soit N 3 2 et s entier ou non, tel que s > 112. Alors, les fonctions de H " ( R N ) ont une trace sur {XN = O } qui appartient à ff-1/2(RN-l).

Réciproquement, toute fonction d e H"-1'2(RN-1 x { O } ) peut être étendue de façon linéaire et continue en une fonction de H Ç ( R N ) . Preuve du théorème 4.12. 0 On commence par établir un lemme qui exprime la transformée de Fourier de la restriction de la fonction u à { X N = O} à l'aide de la transformée de Fourier de u par rapport aux N - 1 premières variables.

Lemme 4.13. Soit I I E S ( R N )et u E S ( R N - ' ) . Alors, si Û désigne la transformée de Fourier d e u par rapport aux N - 1 premières variables, on a 1 'équivalence :

En prenant alors, dans les deux membres de cette relation (*), la transformée de Fourier en d,on obtient le résultat, à savoir :

La réciproque est immédiate. Le lemme 4.13 est donc prouvé.

O

4 . 2 . LES ESPACES DE SOBOLEV H s ( R N )

187

O On revient à la preuve du théorème 4.12. On suppose que 21 E H " ( R N ) et on pose u(d)= v ( d ,O). On montre alors qu'il existe une constante C > O telle que :

En effet, à l'aide du changement de variable

EN

+

H

&/2/i+TslT", on a :

On en déduit que E' H (1 (c'12)s/2-1/4;ii(E') est dans L2(IWN-l) et que sa norme dans cet espace est inférieure ou égale à (1 ~ ~ 1 2 ) ) " / 2 F 2. ( w ) On suppose maintenant que u E H " - ' I ~ On( prolonge R~ cette -~ foric). tion de la façon suivante : étant donnée 'p E D(R), d'intégrale égale à 1, on écrit

Alors, F(71)est à support dans le cylindre { E puisque :

II +

II

I ItNI < CJi+TrlT"}

et,

= F(4(EI),

on a bien v ( d , O) = u(d). I1 reste à montrer que v E H " . Pour ce faire, on écrit :

Utilisant alors la relation

ce qui permet d'intégrer en EN par le changement de variables = < ~ / ( 1 1['12)1'2, on obtient par l'intégration en E des deux membres

t

+

CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

188

de la relation (4.15) :

Ceci termine la preuve de la surjectivité de l’application trace de H “ ( R N ) sur H“-~/’ (R~-’). O

4.2.3. Généralisation pour les traces d’ordre supérieur

On généralise le théorème de traces du chapitre 3 :

Proposition 4.16. Soit m E N,s E ] m+ 1/2, ni + 1 + 1/21 et y l’application associant à u E H “ ( R N ) le ( m 1)-uplet des traces des dérivées successives (u(z’,O ) , dNu(z’, O ) , . . . , dNu(z’, O ) ) appartenant au produit d’espaces H”-’/2(RNp1) x ff-1-1/2(RNp1) x . . . x ff“-mpl/2(RN-1). Alors, y est linéaire, continue et surjective.

+

Preuve de la proposition 4.16. O En effet, soit u E Hs-lc-’/’ (EXN-’), où IC est fixé dans [O,m].Soit cp une fonction de ’D(R), telle que (cf. exercice 3.8 du chapitre 3) :

Soit alors

î!

définie dans

RN par sa transformée de Fourier

:

Posons v(j)(z’) = d~v(z’, O). D’après la caractérisation donnée dans le lemme 4.13, on a :

Donc en rappelant que F(#iv) = ( 2 i r < ~ ) j T ( et v ) en utilisant une hornothétie sur la variable EN qui permet de tenir compte des propriétés de la

4.2. LES ESPACES DE ÇOBOLEV H s ( R N )

189

fonction y , on parvient aux résultats suivants :

Les traces des dérivées successives de v sont donc nulles, sauf celle d’ordre IC qui est égale à la fonction ‘u donnée daris H s p k - 1 / 2. I1 r este donc à montrer que ii E H s ( R N ) .Pour cela, 011 intègre l’égalité :

EN/^-

par rapport à E , en utilisant le changement de variable t = dans l’intégrale en EN et en remarquant que 1yI2(t)(1 t2)“dt < CO. On obtient airisi :

sR

+ It12 1

ll(1

s/2

+

F ~ I I6zCIIuIIH8-~-1~2,

ce qui prouve l’appartenance annoncée.

O

4.2.4. Autre définition des espaces H”

La proposition qui suit permet de montrer que les espaces H” coïncident dans le cas de RN avec les espaces W”i2dont la définition est donnée daris la section suivante. Proposition 4.17. Soit s E ]O, l[. Alors, ‘u E H ” ( R N )si et seulement si

Preuve d e la proposition 4.1 7. O Supposons que u E H “ ( R ~ )On . verra plus loin (cf. lemme 4.33) que les deux propriétés d’appartenances :

et

190

CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

sont équivalentes. Prenons pour fixer les idées i = 1. Utilisant Il 4sin2(a/2), on a :

-

eiaI2 =

2 < CIIUIIHS <

car, pour s E IO, i[,l’intégrale J , 4sin2 u/u2“+lduest convergente. Inversement, ces calculs montrent que :

4.2.5. Résultats d’injections continues à l’aide de

F

Dans la section 3.6.1, on donne l’extension des théorèmes d’injection de Sobolev vus aux chapitres 2 et 3 pour les espaces Wmip, avec m entier, et W1-l/P,P. Dans le cas de H “ , l’utilisation de la transformée de Fourier permet de montrer de façon assez élémentaire certains de ces résultats. Nous énonçons ici ces résultats, en renvoyant, pour des résultats plus complets, aux théorèmes d’injection plus généraux, relatifs aux espaces Ws,P,montrés A la fin de ce chapitre. En particulier, ne sont cités dans la proposition qui suit, ni le cas de l’injection critique, pour q = 2 N / ( N - 2 s ) , ni les injections dans les espaces de fonctions holdériennes.

Proposition 4.18. Soit s > O. O n a les injections continues suivantes :

(1) Si 1 / 2 < s < N/2, alors H S ( R N )c-f L Q ( R Npour ) q < 2 N / ( N - 2s). ( 2 ) Si s = N / 2 , alors Hs(RN) c-f LQ(RN)pour tout q < 00. (3) Si s > N / 2 , alors H ” ( R N ) C,(RN). ~f

Preuve d e la proposition 4.18. 0 Dans le cas s < N/2, u est la transformée de Fourier inverse de F ( u ) qui s’écrit ~ ( u=)( 1 I < 1 2 ) s / 2 ~ (La u ) fonction . ( 1 1<12)ps/2 appartient à LQ pour tout q > N / S et (1 I < 1 2 ) s / 2 ~ (appartient u) à L ~ , donc le produit appartient à L‘ avec l / r = 1 / 2 l / q . i On peut alors utiliser le théorème 4.19 énoncé ci-après (et montré en appendice), lequel assure (cf. les remarques qui précèdent la preuve de ce théorème 4.59) que la transformée de Fourier d’une fonction de L’ avec T E [l,21 est dans LT‘ (où T’ est le conjugué de r ) , donc, dans tous les espaces Lk pour k E [ 2 , 2 N / ( N- 2s)[.De plus, ce même théorème, appliqué à

+

+

+

+

+

4.3.LES ESPACES

W'3P(n) POUR O < s < 1

191

la transformation de Fourier conjuguée, assure l'existence d'une constante C telle que I / u I I L k CIIu11H.. 0 Dans le cas s = N / 2 , 011 peut utiliser, ce qui sera généralisé plus loin ( c f . corollaire 4.341, que si s' < s alors H" s'injecte continûment dans H"'. I1 suffit, pour le voir, d'utiliser la définition des normes ( c f . 4.8). On obtient alors le résultat souhaité en utilisant, pour s' < N / 2 , le résultat précédent. O Dans le cas s > N / 2 , la transformée F ( u ) s'écrit toujours comme le produit de la fonction g, telle que g(E) = (1 I<12)-s/z qui est dans L 2 , par (1 l[12)s/2.F(u) qui est aussi dans L2. Le produit est donc dans L I , et par conséquent u est la transformée de Fourier d'une fonction de L1. Elle est donc coritiiiue et tend vers O à l'infini. En outre, on a :

<

+

+

+ IEl2 1s / 2 a u ) I l L l < llgIlL2 ll(1+ I E 1 2 ) s ~ l " . F ( ~ ) I I L =2 l b I l L 2

IIul/L=-= G Ilg(1

ce qui termine la preuve dans ce dernier cas.

I b I I H S r

O

L'énoncé du théorème utilisé ci-dessus et démontré dans l'appendice est le suivant :

Théorème 4.19. Soit T un opérateur linéaire défini sur tous les L p ( J R N ) et qui est continu de LPa((IWN) dans Lqt(RN)pour i = O, 1, où p , et 9%sont donnés dans [l,C O ] . O n note k, sa norme d'opérateur, c'est-à-dire que

où q: désigne le conjugué d e qi. Alors, si t E ]O, l [ avec i / p = t / p o (1 - t ) / p l , l'opérateur est continu d e Lp dans L'J avec l / q = t/qo (1 - t ) / q l . E n outre, on a l'inégalité de continuité :

+

IITllP,'J

4.3. Les espaces W'J'(0)pour O

+

G kOk:Ft.

<s <1

On commence par quelques rappels sur les espaces de Lebesgue de fonctions à valeurs dans un Banach B :

4.3.1. Espaces LP(]O, +CO[, B ) Pour une fonction simple t H X A , ( t ) a zoù les A, sont des ensembles niesurables de I = ]O, +CO[ disjoints deux à deux et les a, des éléments de B , l'intégrale est définie par / A ,la,.

192

CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

Soit f une fonction de I dans B. On dit qu’elle est fortement rnesurable, s’il existe une suite { f n } de fonctions simples telles que, pour presque tout t dans ]O, +m[, on ait :

som

Si, en outre, une de ces suites satisfait à limn-+rJ I(f ( t ) -fn(t)llBdt = O , on dit que f est intégrable, l’intégrale de f étant alors définie par la limite des intégrales des fonctions simples f n . On montre que cette limite est indépendante du choix de la suite d’approximation de f . On admettra, pour la suite, qu’une fonction f fortement niesurable est intégrable si et seulement si la fonction t H l l f ( t ) l [ B est sornniable sur ]O, +a[. Ainsi, si cette fonction est de puissance pième sommable, on écrira

f

E LP(I0, +Co[,

BI.

Définition des espaces de truces T . Dans ce qui suit, on note i” f la fonction t H t ” f ( t ) et la notation f ’ désigne la dérivée de f prise au sens des distributions. En particulier, si f est à valeurs dans le Banach B et localement intégrable au sens précédent, cela signifie que, pour toute fonction p de D(]O,+m[),on a :

ces intégrales, pour des fonctions à valeurs dans le Banach B , étant définies par ce qui précède.

Déjinition 4.20. Les nombres réels u et p , où 1 < p < +m étant donnés ainsi qu’un ouvert R de IRN, on désigne par T ( p ,v,R) l’espace des fonctions f de ]O,+m[ dans 0 telle que, la dérivée de f étant prise au sens des distributions : t ” f E ~ ~ ( 1+a[, 0 , w’J’(R))

et

t”f’ E ~ ” ( 1 0+m[, , L”(R)).

Cet espace est un espace de Banach lorsqu’il est muni de la norme suivante :

Une première propriété de régularité dans cet espace est donnée par la

Proposition 4.21. Soit f E T ( p ,v,O). Alors, il existe a E LP(R) tel que : pour presque tout t E IO, + C o [ ,

f ( t )= a

+

1‘ t

f (7)d7.

:

4.3.LES ESPACES W’

”(n) POUR

O

<s<

1

193

Preuve de la proposztzon 4.21. 0 Le facteur t” étant borné sur tout compact de I = ]O,+m[, on a les appartenances f E Lroc(I,WIJ’(R))et f ’ E L ~ o c ( I I L P ( f l )On ) . peut donc définir, presque partout sur I , la fonction y par g ( t ) = f ( t ) - Jtf’(7)d.r qui appartient à Lroc(I,Lp(R)). Soit b appartenant au dual de Lp(R), c’est-à-dire à Lp‘(R).Pour prouver que g est une constante presque partout, on considère la fonction t H g b ( t ) = ( g ( t ) ,b ) p où ce dernier crochet est celui de la dualité (LP,LP’). Er1 utilisant Fubini et Holder, 011 voit que cette fonction est dans Lyo,(I). Alors, le résultat, noté A = ( ( g b ) ’ , c p ) , de la dérivée de g b au sens des distributions sur unc fonction scalaire cp E D ( I ) ,satisfait à :

la formule de Fubini utilisée pouvant être justifiée par une approximation de g ( t ) sur le conipact suppcp par des fonctions sirriples, pour lesquelles cette formule est évidente.

Le même procédé permet de remplacer le dernier terme de l’égalité précédente par :

1’”

[(f’(.),

cp’(t)

b)&dt.

Or, d’après ce qui précède, la fonction 7 H (f’(.), b ) p est localement sornniable. On peut donc dériver son intégrale sur [O, t]; en particulier, au sens des distributions. On peut donc écrire :

1-

cp’(t)[ ( f ’ ( T ) , b),d7

=

=

i+a -( i+”:

-

cp(t)(f’(t), b),dt

f’(t)cp(t)&b ) P

Soit t tel que g ( t ) existe. Alors, on déduit de ce qui précède que, pour presque tout t’ et pour tout b E LP‘, on a ( g ( t ) , b ) , = ( g ( t ’ ) , b ) p . Finalement, la fonction g ( t ) est un élément fixe a E Lp(R), ce qui assure la relation donnée. O

On en déduit

(gb)’ = O.

194

CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

Corollaire 4.22. Sous les hypothèses précédentes, la fonction f de ] O , +KI[ dans Lp(R), est continue.

application

Cela résulte de la continuité par rapport à la borne supérieure d’une intégrale portant sur une fonction localement sommable. 4.3.2. Espaces WsJ’(fl) pour O

<s <1

Définition 4.23. Soient s E ]O, l [ et p E 11,KI[. On définit l’espace fractionnaire de Sobolev :

Cette définition des espaces Ws>pgénéralise celles des espaces du chapitre 3 . On a d’abord :

Proposition 4.24. Pour s E ]O, l[’l’espace W‘J’(0) muni de la norme

est un espace de Banach. Preuve de la proposition 4.24. 0 Soit {un}une suite de Cauchy pour la norme I I U ~ ~ ~ , En ~ . particulier {un)est de Cauchy dans LP. Elle converge donc dans LP vers line fonction u appartenant à LP. D’autre part, la suite {un}des fonct,ions telles que :

est une suite de Cauchy dans LP, elle converge donc aussi vers un élément de LP. Extrayons une sous-suite {uo(n)> de { u n )qui converge presque partout vers u.On remarque alors que ~ ~ ( ~ ) y)(converge, x, pour presque tout couple ( 2 ,y), vers v(z, y) = ( u ( ~ ) - u ( y ) ) I ~ - y / I ~ ~En ~ ~utilisant /P. le lemme de Fatou, on obtient :

Donc u E W’iP(R) et, en réutilisant un passage à la limite, quand m i CO, dans /lu, - v , I I ~ ~ ( n ~ non ) , obtient un + u dans WsJ’(n). O

Exemple 4.25. On étudie l’appartenance de la fonction z H In 1x1 à l’espace W’>.(]O, 1[)sous la condition pol+ 1 > O et l’appartenance de 5 H (xIaIn 1x1 à ce même espace si s - cy < l/p. On en déduit facilement les conditions d’appartenance de ces fonctions, considérées comme des fonctions radiales sur RN aux espaces W , U ~ ( R ~ ) .

4.3.LES ESPACES W ’ ’ p ( Q )POUR O

<s<1

On évalue d’abord la semi-norme I = 1) In /ZIII;,~ lorsque sp

195

< 1:

Dans la première intégrale de la parenthèse, l’intégrant est équivalent en u = O à IlnuJP et, en u = 1 à (1 - u ) p - ’ p - l . L’intégrale en u est donc convergente, et l’intégrale en y l’est sous la condition s p < 1. On en déduit, toujours sous cette condition, l’existence du premier terme I I . Par la formule de Fubini, I, s’écrit :

Son étude est ainsi ramenée à celle de

Comme, pour celle-ci, la fonction intégrant est équivalente au voisinage de +cc à 1 Inu(p(u/-’ et, en u = 1, à (1 - u)P(’-’)-’, 011 obtient la convergence de 1 2 . La conclusion en résulte. Pour z H xN In 1x1, on évalue sa semi-norme comme on l’a déjà fait dans le chapitre 3 ( c f . exemple 3.8). I1 est ainsi suffisant de prouver l’existence des deux intégrales :

et En suivant les calculs faits pour s = 1 - 1/p (exemple 3.8)’ on obtient l’existence de J I sous réserve que p a - sp > -1 et p a 2 > 1, c’est-à-dire sous les conditions énoncées. Enfin, en posant y = ( a - s ) p , la deuxième intégrale Jz devient :

+

Le premier ternie est le produit d’une intégrale en y qui est convergente, puisque p ( a - s) > -1, par une intégrale en u convergente sous cette même condition, puisque la fonction est équivalente en u = 1 à K ( 1 - u)P(’-’)-’.

196

C H A P I T R E 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

Le deuxième terme se ramène. par application de Fubini, à l'intégrale :

Lorsque y < 1, on peut majorer par y-E+(aps)~'pour tout E > O. I1 en rrsulte qu'on peut trouver, pour l'intégrant de J;, une fonction majorante équivalente au voisinage de +cc & uT où r = -2 E Cela établit l'existence de J 2 , d'où la conclusion attendue. Dans le cas o i i IC doniairic d'intégration est K x K , K étant uii compact de IRN, la seule difficulté coirespoiid au cas où O E K . En utilisant les coordonnées polaires dans un voisinage de O, on est ramené aux intégrales précédentes dans lesquelles cup est remplacé par a p N - 1. On en déduit facilement les conditions d'appartenaricc iil'espace W'; (IRN).

+

+

4.3.3. Premières propriétés de l'espace WSJ'(f2)

Proposition 4.26. L'espace W"J'(Q)est de type locul, c'est-à-di,re que pour tout u,duns W".P(f2) et pour tout p E D(f2) le produit p u appartient à WS>P(R). Preuve de lu proposition 4.26. 0 Soit, u, E W","(ft) et p E D(62). I1 est clair que u p que :

E

L". On inoritre

Pour ce faire, on décompose la difference située au numérateur e11 deux morceaux. L'un d'eux est cp(x)(u(x) - ~ ( y ) )qui donnera une inthgrale convergente car p est bornre. La deuxième intégrale, à savoir :

se majore en utilisant le théorilme dcs accroissenients finis et en int6grant par rapport à r :

où p est un majorant du diarnètre d u support de p. Proposition 4.27. On suppose que W"JJ (RN).

R

O

= RN. Alors D ( R N ) est dense dans

4.3. LES ESPACES

W s 3 p ( nPOUR ) O <s < I

197

Preuve de la proposition 4.27. On utilise classiquement une troncatiire et une régularisation. On fait la démonstration daris IC cas N = 1, le cas général s’en déduisant aisément. Montrons que les fonctions à support compact de W s + sont denses dans W”Ji. Soit E W“>P(IR)et cp E D(R) qui vaut 1 sur la boule de centre O et de rayon 1, et qui est nulle pour 1x1 3 2, O < p < 1. Soit u, définie par p(x/!rl,)!u(:r:).I1 est clair que IL, est à support compact à valeurs daris W“>p et il est classique que u, + u dans L”. I1 reste A riioritrcr que la suite { u n } où : y) =

((IL,

-

.)(.)

xl) y()u

- (?Ln -

- yl-s-1/7j

tend vers O daris Lp(R2). Pour cela, on est amcrié à montrer que les intégrales suivantes et celles que l’on en déduit par l’échange dcs variables z et y tendent vers O :

En eff(.t (uTL - u) (x)- (u,, - u) (y) est nulle lorsque .I:et Pour l’intégrale I,, on a :

sont daris [ -n , n].

La fonction (1 - cp(u))(!u- i)-”est eri effet bornée pour ru 2 1. Cela résiilte: lorsquc u > 2, de la majoration ( u - l)-‘ < 1 et, lorsque IL E [1,2], de l’inégalité I(1 cp(u))(u 1)-”1 < (TL l ) l ~ s / / p ’ l l laquelle oo, est, obtenue, puisque s E ]O, i[,en appliquant cp l’inégalité des accroissements finis. On obt,ient donc I , 4O. Désignons maintenant par w, la fonction telle que -

-

(:I;, y) = (u,, ( 3 ; )

oii montre que K ,

-

-

ILT1 (Y/))

Iz

-

IJ

I -s-l/p

= :J , :J , 11ij,~(x, y) lpdx ciy + O, ce qui suffit pour obtenir O, puisque par hypothèse J :, Jncy‘IT)(Z, y)Ipd:r:dy + O. Pour cela, on remarque d’abord, par le choix de cp, que :

J,,

4

198

CHAPITRE 4. ESPACES D E SOBOLEV FRACTIONNAIRES

En intégrant d’abord en x,en utilisant les propriétés de cp ensuite, le ternie KA2)nous donne :

KL~)

Puisque u E L P ,on a + O. D’autre part, en utilisant l’inégalité triangulaire, l’inégalité des accroissements finis pour (P, l’hypothèse u E WsJ’ et le maximum sur [n,an] de la fonction x H (2n - x ) ~ ( l - ~ )(x - n ) p ( ’ p S ) , on peut Pcrire :

+

cette dernière ligne étant justifiée par l’appartenance de u à LP. 0 On approche maintenant, au rnoyeri d’une régularisation, les fonctions u à support compact par des fonctions de 2). Soit p une fonction de D(R) et p E ( t ) = $ p ( x / ~et, ) u étant une fonction à support compact dans R,on pose uE= pE * u. La convergence, daris LP, de u, est connue ; nous allons prouver que :

Eri effet :

<s<1

199

D'autre part, en posant v ( z , y) = ( u ( z )- u ( y ) ) l z-ylpspl/P, merit, pour presque tout couple (z, y), la convergence :

on a classique-

4 . 3 . LES ESPACES W " p ( 6 2 ) P01JR O

Par le lenime de Fatou, on en déduit :

On en déduit, en particulier, qu'alors, la suite définie par

vérifie IlvEllP+ iltllP. Nous avons ainsi obtenu la convergence presque partout et la convergence des normes. Or, puisque p > 1, l'espace LP est uniformément convexe et dans un tel espace (cf. exercice 4.5), ces deux convergences entraînent alors I/v,-vllP + O. Finalement, on en déduit la convergence de I/uE- ~ l l , , ~ vers O, O ce qui achève la preuve. On verra à la fin de la section que, si R est un ouvert de classe C1, l'espace

~'(2) est dense dans w S > ~ ( O ) . 4.3.4. Comparaison des espaces W et T pour

R = RN

On montre dans ce qui suit que Ws,P(f2) est égal à l'espace des traces au point t = O des éléments de T ( p , 1 - l / p - s, R). Un résultat partiel est donné par la :

Proposition 4.28. Soit s E ] O , l [ et soit u E T ( p , 1 - i / p - s , R). Alors la limite, dans LP(R), notée u(O),de la suite {un}où u, = .(A,) la suite {A,} étant une suite arbitraire de réels tendant vers O , existe et 1 'application trace u H u(0) d e T dans Lp(R), ainsi définie, est continue. Preuve d e la proposition 4.28. O Ori suppose toujours O < s < 1 et on pose v = 1 - i / p - s. Soit u E T ( p , v,f l ) . En prenant, pour fixer les idées A, = l / n , on étudie la suite {un} de fonctions définies sur R par u, = u ( l / n ) .En utilisant la propositiori 4.21

200

CHAPITRE 4 . ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

et l’inégalité de Holder, on obtient pour n

> rn

:

(4.29)

la dernière majoration tenant compte de l’hypothèse suivant laquelle Y u ’ appartient à l’espace L p ( ] O , +a[, Lp(R)). Puisque u i / p < 1, on a up’ = u p / ( p - 1) < 1. I1 en résulte que le premier facteur tend vers O lorsque rn et n tendent vers +cc et qu’en conséquence, la suite { u n }est de Cauchy dans l’espace complet Lp(R). Remarquons que l’inégalité précédente (4.29) est valable, avec la même preuve, pour obtenir Ilu(t1)- u(tz)ljL.(n), à savoir :

+

(4.30)

Ilu(t1) - 74t2)l/;p(n)

À partir de cette équation (4.30), on voit que, pour toutes les suites {A,} tendant vers O+, les limites de {.(A,)} existent et sont égales. Cela termine la preuve de l’existence de la limite. On note u(0) la limite dans Lp(R) de ces suites. En faisant tendre ti vers O et en utilisant l’inégalité triangulaire, on déduit alors de (4.30) :

ri intégrant cette inégalité sur [O, il et en transformant J; llu(t)llL,G CllullT.

L’application trace u H u(0) est donc continue.

O

4.3.LES ESPACES W,”’’(n) POUR O

<s<

1

201

Dans la suite, on note y o ( T ) le sous-espace de Lp(R),ensemble des u(0) lorsque u décrit l’espace T . Nous montrons maintenant la relation entre W~>~(IR et ”yo ) ( ~ ( pi ,- i/p - s, IR”)) :

Proposition 4.31.

Schéma de la preuue. On s’intéresse d’abord au cas N = 1, que l’on montre grâce à deux propositions réciproques l’une de l’autre (propositions 4.32 et 4.37). Pour le cas général on utilisera une récurrence sur la diniension N à l’aide du lerrime 4.33.

Proposition 4.32. Soit u E WsJ’(R),et v définie sur ]O, +cal x R pur

:

formule dans laquelle ‘p E D(W) et ’p(0) = 1. Alors, la fonction t H v ( t ,.) appartient à T ( p , 1 - l/p - s, R). Plus précisément, si 711 et v2 désignent respectivement les fonctions :

on a

Preuve de la proposition 4.32. Ori conimence par vérifier que, si v = I Lp(]O,+CO[ x IR). En effet :

-

i/p

-

s , vu

On montre maintenant que t”8,v E LP(I0, +ca[ x IR). En effet : t”aZv = ’p(t)t-l/P-s(lL(x + t ) - U(x)), d’où, en élevant à la puissance p et en intégrant :

=

t”v E

CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

202

Enfin, on vérifie que t”&v E LP(]O,+oo[ x R) :

t”&v

= p(t)t-l’p-”

= t ” f ( t ,z)

Jc

t

+

+

+

(u(z t ) - u(x s ) ) d s p’(t)t”

1’ -

+ p’(t)t”

u(z

.II’

u(z+ st)ds

+ st)ds. +

11 est clair que t p ’ ( t ) t ” J i u(x s t ) d s E L P , avec, par ailleurs, une norme dans LP majorée, à une constante multiplicative près, par IIullp. En utilisant l’inégalité de Holder et un changement de variable on a :

+ +

Enfin, le changement de variable (2, t , z ) + (z t , z t z , z ) dont le jacobien est Il - zI permet de majorer la dernière intégrale :

O

ce qui donne le résultat attendu.

On commence à étudier le cas où N 3 2 en établissant le résultat d’équivalence suivant qui est l’analogue du lemme 3.27 : Lemme 4.33. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes

;

u E WsyRK),

(il

et il existe une constante universelle c telle que :

On en déduit facilement l’existence d’injections continues qui nous seront utiles dans la suite :

Corollaire 4.34. Les espaces WsJ’(RN) satisfont aux propriétés d’injections continues suivantes : (i) si O

< s’ < s < 1, alors w , ~ , P ( R ~ )w ” > ~ ( R;~ )

(ii) s i s E ]O, I[, alors

L)

w ~ > ~ ( Iws)p w ~( R) N ) . CJ

Preuve du lemme 4.33. 0 Montrons que (ii) entraîne (i). Soit donc u E D’(EtK),tel que :

4 . 3 . LES ESPACES W “ > ” ( n )POUR O

<s<

1

203

Comme dans la preuve.du lemme 3.27, on utilise, pour z et y dans ]O, l [ K , la décomposition de [u]:= -u(x) u(y) et 011 utilise la fonction 6i selon les deux formules :

+

i=K-l

;I.[

=

Eu(. c x 3 e j +

yjej)

-

jgi

k l

(

6,(z,y) = ?L z

-

cx3e3 3

-

u(z

j
+ ~ Y W , )

-E

xjej

j
u(x

3

On peut ainsi décornposer la semi-norme intégrales I , où :

+E?&ej) j
-E +EY A ) . 23%

3
3
W s > p ( ] Ol, [ K en )

la sonirrie des

Pour majorer ces intégrales, on remarque, comme dans la preuve du lenirne 3.27 du chapitre 3 , qu’il existe une constante C telle que :

Dans chaque intégrale I , rencontrée, on peut considérer que le numérateur ne dépend que de z, et y%.En effet, par exemple pour i = K , en commençant par intégrer par rapport à dyj, on obtient grâce à la majoration

nJGK-,

précédente :

d’où le résultat en utilisant (ii). O Montrons que (i) entraîne (ii). Supposons pour fixer les idées que i = K . En raisonnant par récurrence, on voit que le résultat sera établi dès qu’on aura montré l’implication suivante :

alors

204

CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

+ +

En intégrant la quantité (t t’ Id’- y”I)psppK par rapport à t’ entre O telle que : et +cm,on obtient qu’il existe une constante

Par ailleurs, on a :

+

où t’ E [O, +KI[.En utilisant l’inégalité triangulaire, l’inégalité suivante t t’+/x’’-y’’I 2 t/2+t’+SI~’’-y’’I et, enfin, l’inégalité classique de convexité la + b l p < 2 P p 1 ( l a l P + lbl”), on majore l’intégrale :

par la somme, à une constante multiplicative près, des deux intégrales suivantes :

0

ce qui termine la preuve du lemnie 4.33.

Preuve du corollaire 4.34. O On utilise la caractérisation donnée par le lemnie. Découpons l’intégrale

en la somme :

La deuxième intégrale est majorée par

Pour la première intégrale, on utilise pour It(

1

1 Itls’p+l

< 1, l’inégalité :

G

It/sp+l’

4.3. LES ESPACES IV‘.”(n) POUR O

<s <1

205

d’où, par iitilisatiori du lemme précédent, la preuve de l’injection annoncée, avec, en outre, l’existence d’une constante C qui rie dépend que de N , p , s et s’ telle que :

Pour la deuxième injection, on considère u E W1ip(RBN). Ori utilise, porn It1 6 1, l’expression de lu(. + t e Z )-I).(. SOUS forme intégrale et l’inégalité de Holder, ce qui fournit :

lu(. 011en

+tet)

-

u(x)Ip< tp-’

déduit, par l’utilisation de la formule de Fubirii :

car. en raison de p - s p - 1 > -1, l’intégrale en t converge. Par ailleurs, la même fonction, intégrée sur [1,00]donne une expression majorée par

cll4lp.

O

Preuve d e la proposition 4.%?1pour N 3 2. O Soit u E W . ’ > ~ ( R et, ~ )p étant une fonction de D(R) vérifiant p(0) = 1, on définit u par :

On utilise les notations suivantes :

de sorte que

La dérivation de u par rapport à z, peut se faire en utilisant, outre ce qui précède, la formule de Fubini. Cela donne :

CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

206

En élevant à la puissance p , en utilisant l’inégalité de Holder et en multipliant par t u p , on obtient :

+

En utilisant un changement de variable X = x Sit 011 obtient le résultat. En posant $(tlx) = p’(t) u(x z t ) d z , la dérivation par rapport à t nous donne :

hO,l,N +

=

f(t,

+ $(tI

I1 est clair que ( t , x ) H t’$(t,x) appartient à LP. D’autre part, en niultipliant I f ( t , .)I” par t u p et en intégrant, on obtient : It”f(t,x)lpdtdx

En faisant le changement de variable X

Iu(x

+ zit + t e i ) pP+l

~

u(x

=x

+ z t , on obtient :

+ z t ) / pd t d z dx

l u ( X )- u ( X

+t(1

-

zi)ei)lP

pp+l

d z d t dX

ce qui achève la preuve.

O

On donne maintenant la réciproque de la proposition 4.32.

+

Proposition 4.37. Soit Soit u un réel tel que O < u i / p < 1, u tel que t’u(t, .) E L P ( ] oI[, , w ’ > P ( I et R tuatu ~ ) ) E ~ ~ ( 1+CO[ 0 , x R~).ors U ( O , .) E W l - l l P - % P (IRN).

4.3. LES ESPACES

W s , p ( nPOUR )

O

<s <

1

207

Preuve de la proposition 4.37. 0 Pour montrer cette proposition, on rappelle le lemme démontré dans le chapitre 3 :

Lemme 4.38. Soit u un réel, f une fonction de IR dans IR. On suppose que O < l / p + v = Q < 1 et 1 < p < 03. Alors : (i) Si I’application qui à t associe t ” f ( t ) appartient ù D’(Et+),et s i g est définie par : (4.39)

alors l’application qui ù t associe t’g(t) appartient à Lp(R+) et il existe une constante c ( p ,u ) n e dépendant que de p et u telle que :

Lm

tuplg(t)lpdt< c ( p ,u )

(4.40)

Juw

tUPlf(t)lpdt.

(ii) Soient a , p appartenant à E avec a < fi ;soit f définie sur IR+ x ] a , f i [ et g définie par g ( t , x ) = i / t ~ ,f“( s , x)ds. si t u f E LP(IR+ x ICI, p [ ) , alors t u g appartient à LP(IR+ x ] a ,f i [ ) et il existe une constante c ( p ,u ) n e dépendant que de p et v telle que :

[~mtup~g(tlz)~p< d tcd( pz, u )

(4.41)

loi”

tuplf(t,x)lpdtdx.

On peut maintenant montrer la proposition 4.37 et, compte tenu du lemme 4.33, on peut se ramener à montrer que

Pour cela, u ( 0 ,x )

-

u(0,z

+ t ) est décomposé selon trois différences :

u(0,x)-u(O, z+t) = u(0,x ) - u ( t , x)+u(t, 5)-u(t,x+t)+u(t, z+t)-u(O, z+t) que l’on remplace par

6’

Bxu(A, z)dA,

&u(t,z

+ A)dA

et

6’

dxu(A, z

+ t)dX

respectivement. On utilise alors le lemme 4.38 successivement avec les fonctions suivantes f ( t ,x , A) = &u (A, x ) , f ( t , II:, A) = &u(t,x+A) et f ( t , x , A) = &u (A, II: t ) . On obtient ainsi :

+

ce qui entraîne que :

208

CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

Après l’étude de la comparaison dans les cas de maintenant le cas général d’un ouvert R :

4.3.5. Comparaison de W et T lorsque

R et

de

RN,on aborde

R # RN

Quelques notions préliminaires, à propos du ( 9 , p)-prolongement, sont nécessaires, ces notions étant d’ailleurs très utiles pour l’établissement des théorènies d’injection.

Préliminaires sur les ( s ,p ) -prolongements.

Définition 4.42. On dit que R possède un (s,p)-prolongenierit s’il existe un opérateur E linéaire et continu qui, à u E WSJ’(O), associe E ( u ) = G E Ws,p(RN)tel que : vx E

R, E u ( z )= u(x).

Dans le cas d’un ouvert de classe C1, ou lipschitzien, on a :

Proposition 4.43. Soit 62 u n ouvert lipschitzien. Alors, il possède un opérateur d e (s, p)-prolongement. Preuve de la proposztaon 4.43. O Par hypothèse, il existe un recouvrement de R par des ouverts 0, bornés, des ouverts O: de RN-l et des fonctions a,, définie sur O:, lipschitziennes, avec des normes de gradients uniformément bornées, tels que pour i>1:

{e,}

On note aussi une partition de l’unité subordonnée au recouvrement de 61 par les R,. La fonction u t WsJ’(R) étant donnée, on va construire E ( u ) .Pour cela, on opère localement. Soit le produit u, = u0, dans l’ouvert U, = 0 n 0,. Si nous définissons une fonction Eu,qui prolonge u,hors de R n 62, et qui appartient à WsJ’(RN), il suffira, comme à l’habitude, de faire la somme de ces prolongements Eu, pour obtenir le (s,p)-prolongement cherché et terminer la preuve de la proposition. Montrons d’abord que u, E W”+’(U,). On a déjà u,E LP(U,). Pour la semi-riorme I I U ~ I I ~ , ~ on , écrit : etu(5) - H,U(Y)

= ea(x)(.(x)

-

u(g))

+ U ( Y ) ( Q % ( ~ ) @,(Y)). -

4.3.LES ESPACES

W’3P(n) POUR

O

<s<

+

1

209

+

Donc, en utilisant au numérateur, (la1 lbl)” 6 2P-l [la]” / b l p ] et l’inégalité des accroisserrierits finis pour B i , on obtient pour l’expression 2-P+’ IIu, :

6

~

/

+ IIv&/IP, ~ ~

I

~

~b(y)I”[/ ~ ’

Ut

Iz ~-

~ , l ~~ dx] - dY.~ ~ - ~

UL

Or, la dernière intégrale est finie. En effet, l’origine étant prise au point y et les hypothèses permettant de supposer que Ui c B ( y ,fi), on a : R

1% Iz

-

dz

Y/lP-sP-N

<~

dP

N - 1 1f-sp-N+N-l

< 00,

ceci en raison de la relation p - 1 - s p = (1 s ) p - 1 > - 1, puisque s < 1. I1 résulte alors de l’inégalité précédente que u,E W”J’(U,) et que, H et K étant des constantes, on peut écrire : ~

luil::p

6

Kll~115:p

+ Hllull; 6 Cl l174:,p.

Construction du (s,p)-prolongement. On omet, dans ce qui suit, le facteur B i . Tout revient ii prolonger dans l’ouvert 0’ défini par 0’ = {d E O’ I Z N < a i ( z ’ ) } , la fonction u E W.’,P(R). Pour cela, on utilise la réflexion P définie par :

R ~ X,N < ~ ( z ’ ===+ ) P(z’,z N ) = (d, 2 ~ i ( z ’-) z N ) . Posons G ( d , z N ) = u(z’, z N ) si z E !I et U(d,z N ) = u(P(z’,z N ) ) si z E 0’. 0 Vérifions que G E Ws,p(RN). si

(IC’,z N ) E

On décompose la semi-norme I I U ~ l ~ s . p ( Ren N ) la somme de quatre intégrales J i , 52, J3 et J4 prises respectivement sur R x R, R x R’,R‘ x R et R’ x 0’. Par hypothèse, lJll < +CO. Pour les trois autres, on minore le dénominateur qui est de la forme Ix - y]sP+N. On établit pour cela l’existence d’une constante Cz telle que

Y(.,

(4.44) (4.45)

et

Y) E

VI2,

Y(z,y) E

< c21z YI P(y)I < C2/z- y / .

IP(z) - P ( Y ) /

R x R’,

/ z-

-

On remarquera que ces propriétés généralisent celles de la symétrie oblique (cj. figure 4.1 qui en donne l’illustration dans le cas de N = 2, le bord étant droit et la norme utilisée étant la somme des modules des coordonnées). N En effet, pour la première, en utilisant la distance E, i
+

yNI

< (1 + 2 l l v a i / l a ) ( / z ’ !/’I + I z N - ! / N I )

6

IP(z) - P(y)I zz

15’ -

y’]

+ 12ai(z’)

-

on en tire (4.44).

XN -

2ai(y’)

c21z

-

YI,

210

CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

FIGURE 4.1. Une symétrie pour le s , pprolongement.

puis, d’autre part, puisque X N 2%(Y’)

-

YN

xN

6

> u2(x’):

2(az(Y’)

< 2(az(Y’)

-

a,(x’))

- az(X’))

+ 2az(x’) + xN Y N

xN

-

YN

-

6 IYN - Z N 1 $- 2llvazilcolx’ G (1 + 2 l l ~ ~ z l l c o )-( YI). l~

-

?J’I

De ces deux inégalités, on déduit bien (4.45). En outre, d’après les conditions de régularité uniforme de l’ouvert s1, on peut remplacer. dans C2, la norme ~ ~ V u par z ~la~ borne m supérieure supz d’où une constante C2 indépendante de i . En utilisant la minoration (4.45), l’étude de la deuxième intégrale 5 2 conduit, par le changement de variable y N = 2a,(y’) - Y N à :

Le même résultat est obtenu pour 53 en échangeant x et y. Quant à 54, la minoration de (4.44) donne aussi un résultat identique à l’aide de deux changenients de variables analogues au précédent. Finalement, en retournant à la fonction ui,on peut conclure à l’appartenance Eui E W s , p ( R N ) .

4 . 3 . LES ESPACES W””(I2) POUR O

<s<

1

211

De plus, on a :

ilEuzIIL%

p(RN)

G 211utII:~(n)+ 4 C ~ 1 ( ~ ~ u % ~ ~ ~ , p ) p ~

I1 en résulte : /IEuZIILs

p(pgN)

G

C/lullL+

P ( ~ ) I

où C est indépendante de 2. Finalement, on a montré l’existence de Eu E Wsip(RN)prolongeant u E WsJ’(R) et tel que l l E u l i w q p ( R ~ ) ClIullw. p ( c 2 ) , majoration exprimant la continuité de l’application E de (s,p)-prolongement. O

<

Retour à la comparaison des espaces W et T . Avec ce qui précède, on peut alors généraliser le résultat précédent :

Proposition 4.46. Soit p > 1, s E ]O, l [ et u = 1 - l / p - s. Alors, si R est un ouvert Iipschitzien de R ~on,a : Yo(T(P, v,fi)) = ws>p(fl).

Preuve de la proposition 4.46. O Soit IL E T , on lui fait correspondre (cf. remarque précédente) la fonction Eu qui appartient à S ( p , v , R N ) .En effet, puisque par liyO, on en déduit qu’à t > O fixé, pothèse t’u(t,.) E W ’ , ~ ( ]+m[,R”), t V E u ( t .) , E WIJ’(RN) et que IIEu(t, . ) l l w l , r , ( R N ) < Cllu(t,.)llw1.r2(n),la constante C étant indépendante de t. On obtient ensuite, grâce à cette propriété, la convergence :

1

+m

IltUEu(t,.)IlWl.I’(R”)dt G C

./ii”

IltUu(t,.)llwl%P(n)dt < +m.

On fait la même démonstration pour tVütu,d’où IC résultat énoncé. On en déduit que ~ o ( E u qu’on ), peut noter Eu(0,.), est un élément de W s > p ( R N ) . Or, pour tout z E R, on a d’après la proposition 4.28 : Eu(O,x) = lim Eu(t,x) = Iim u ( t ,x) = u(0,x). t-O

t-O

O Réciproquement, soit u E W,’i.(O). Alors, on a EU E W s > p ( R N ) et, par la proposition 4.32, il existe une fonction I I telle que u E T ( p ,v, W I J ’ ( R N L ) ,p ( R N ) )et telle que ~ ( 0x), = E u ( x ) .Par restriction des fonctions de z à l’ouvert O, il est facile de voir que ( t ,x) H v ( t ,x) définit un élément 71* de T ( p , v,W’J’(O),Lp(R)) et cette restriction de 71 vérifie, O pour tout x E R , la relation u*(O,x) = IL(.).

Une application immédiate de cette comparaison d’espaces est l’existence d’injections continues des espaces W s > pdans des espaces Lq. C’est ce qui va être traîté dans la section suivante.

212

CHAPITRE 4. ESPACES DE SOROLEV FRACTIONNAIRES

4.4. Théorèmes d’injection pour les IVs>p(R) 4.4.1. Cas de R

= RN

-

Théorème 4.47. Soit s E ]O, 1[,p E 11,CO[. Alors -

-

<

si s p < N , W “ > ~ ( R ~L“P) ) pour tout q N p / ( N - s p ) ; si N = s p , WSJyRN) c-1 L“RN) pour tout q < Co ; si s p > N , W.>~(R”)L) L ” ( I W ~et, ) plus précisément : w s , p ( ~ N c---f ) c~,~-N/P N

(R

1.

Remarque 4.48. Ce théorème a déjà été déniontré pour s = 1-l/p en utilisant les théoremes d’iiijection dans les espaces de Sobolev d’ordre entier. Preuve du théorème 4.47. O Soit u E W’ ”(R~) et soit u E D’(Io, +30[ x I W ~avec ) ?)(O, z)= u ( z ) , tel que t H tut)soit dans ~ ~ ( 1+CO[, 0 , w’>P(Iw et~tel ) )qiic t H t’&w soit dans ~ ~ ( 1+CO[, 0 , L P ( ( I W (où ~ ) )11 = 1 - i / p s). O Oii suppose, pour commencer, que N > p . Fixons z et définissons f par f ( t ) = v ( t , x ) .On a : -

t

f(0) = f ( t )

f’(5)ds

-

O

de sorte qu’en rriultipliant et divisant par t”, en intbgraiit sur ]O, I[, cri utilisant ensuite Holder et l’inégalité -up’ > -1. on obticrit :

En utilisant la fonction f x ( t ) = f ( A t ) il vient, pour tout X > O, l’iiiégaliti: :

ce qui donne la majoration optimale :

Soit r tel que

4.4. THÉORÈMES D’INJECTION POUR LES

W,‘.p(n)

213

(Ji

1g(t)l”)’/”, l’utilisation de l’inégalité de Holder nous En riotant lglp fournit la majoration de JRN Iw(0, z)l‘dz par :

de sorte qu’en élevant à la puissance l / r on obtient :

Cette relation nous doririe le resultat pour le cas où N > p . Notons quc cette niéthode ne s’adapte pas au cas p > N : 0 Lorsque p > N et s p < N , on est amené à utiliser d’autrcs argiirnents. On utilise la solution élémentaire E du laplacien, laquelle rappeloiisle (cf. exercice 2.19 du cl-iapit,re 2), est définie en dimension N 1 par : E(t,:x)= k N + 1 ( / x I 2 t2)(1-N)/2avec k ~ + 1choisi de fason à obtenir exactement A E = So. Soient O et y‘) des fonctions respectivt:nient dans D(RN) et D(R), conprises entre O et 1 et qui valent 1 sur des voisinages de O. On peut reiiiplacer So: qui est de support, {O} par le produit û(n:)$(t)So. Alors, en utilisant du produit d’une distribution par une fonction de classe C”, la formule doririarit le laplacien d’un tel produit et celle donnant la dérivation d’une convolution, & savoir 8,( V ) U = 3,(U * V ) = diU * V , on pciit écrire‘ PJ étant telle que li(0,z)= u ( x ) :

+

+

II

= So * I I = A(O(z)li,(t)E) * P I - ~ ( V ( Q ( X ) $ ( ~ ) ) . V*E~) I - A ( O ( ~ ) ~ J ( ~ ) ) E * U

Vi(O(x)li/(t)E)Vi’u

=

+ &(Q(n:)S>(t)E) *&I

l<,L
L(V(Q(n:)d;(t)) . VE) * v

-

E A ( Q ( z ) $ ( t )* I)I

ou encore, en not,ant V,E le gradient par rapport à x et V,A soinme des convolées & A &I? : (4.49)

PI

=

* V,B

la

(û(x)$J(t)V,E) * Vz71+ ($J(t)O(X)&E) * 867)

+ (y‘/(t)EV,O(x))* V,c71+ (Q(z)Edt,$)* a t v

-

2(V(O(x)?j;(t)). VE) -

* li

(EAO(z)ll/(t)) *II.

Les quatre derniers ternies du second rriernbre de (4.49) sont des sonimcs finies de convolutions du type ((1

(4 z)E) * V ,

(Mt:x ) & E ) * v, (Mt’n:)d*E)* PJ,

((& z ) E ) * a,71 où ics fonctions

et

( & ( t :x ) E ) * &v,

sont des fonctions de D ( R N + l ) .

214

CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

On donnera une estimation de ces termes au point (O, x) après avoir traité les cas des deux premiers termes du second membre de (4.49), lesquels font intervenir à la fois les dérivées de PI et celles de E . Ces premiers termes de (4.49) sont des sommes de ternies de la forme :

I1 nous faut donc évaluer ces produits de convolution au point ( 0 , ~ ) alors que, d’une part, la fonction v est telle que t H t”v(t,.) est dans l’espace L P ( ] O , +CO[, W1>P(IRN)),ce qui implique que t”8,v est dans LP(]O,+CO[, LP(JRN))et, d’autre part, que la fonction t’&v est aussi dans ce même espace. Les deux produits de convolution précédents peuvent donc s’écrire sous la forme :

I

( + ( t ) û ( z ) &*~g) et

J

=

( + ( t ) û ( x ) *~g~, ~ )

où la fonction g est telle que t H t’g(t, .) est dans LP(]O,+CO[, LP(RN)). Pour traiter I on note h(t,x) = û(x)+(t)t (lxlz+t2)-(N+1)/2 et on calcule le produit de convolution qui exprime I au point (O, x) :

En utilisant Holder dans les intégrales en t , on majore (g * h)(O,x) par une Convolution G * H dans I R N , les fonctions G et H étant définies par :

La fonction H se majore ainsi par

et, comme cette dernière intégrale est, à une constante près, la puissance de 1x1 d’exposant 1 v l/p’ - ( N 1) = -7 - N , on obtient H ( x ) ~

Cjû(x)I 1x1s-N.

+

+

<

*

Le produit G H est donc majoré par la convolution en z d’une fonction de L P , à savoir par hypothèse G, et d’une fonction de la forme qui appartient à Lk avec k < N / ( N - s ) . Par le corollaire 4.60 donné dans l’appendice, la fonction G * H appartient donc à L‘ avec l / p 1/k = 1 1/r, c’est-à-dire pour T < N p / ( N s p ) . Notons que, pour avoir le résultat optimal, il faut utiliser le lemme de Sobolev 2.36. Pour traiter J , on note h,(t,z) = û ( x ) + ( t ) z (1xI2 , t2)-(N+1)/2. On calcule le produit de convolution g * h, au point (O, z), toujours lorsque t u g E ~ ~ ( 1+CO[ 0 , x R ~ )L’expression . (g*h,)(~ z), peut être majoré, au

+

+

~

+

4.4. THÉORÈMES D’INJECTION P O U R LES W9.p(C2)

215

moyen de l’inégalité de Holder, par :

produit de convolution qui peut aussi être majoré par C û ( ~ ) l x l ” - Cela ~. termine pour I et J et on voit que le cas des deux termes ( < 2 ( t , J ) & E )* ‘u et ((‘3 ( t , E ) ‘u sont égalemerit réglés. On s’intéresse maintenant aux termes de la forme (‘1 E u ou (4E 8,’u ou (SE * &v, c’est-à-dire les termes qui ne font pas intervenir Ics dérivées de E niais E lui-même. Le procédé est analogue au précédent : On considère, par exemple, un terme de la forme 1 9 1 ( ~ ) $ 1 ( t ) E ( x t, )*‘u au point (O,.T), sachant que 6’ et $ sont dans D ( R N )et D(R) respectivement.

%)at *

*

*

En utilisant l’inégalité de Holder dans les intégrales en t , en multipliant par tut-u, on obtient que Il(rc) est majorée en module par le produit de convolution de GI * H l dans RN avec

et La fonction

H 1

se majore par

donc par une fonction du type

q~l(x)l l x I ( 1 - u P ‘ - ( W P’)/P’ = Cld,(Z)l I Z I “ - N + l . Le produit GI * HL est donc la convolution d’une fonction de LP et d’une fonction à support conipact multipliée par I Z ( ~ - ~ + ’ , iaqueiie appartient à Lk pour tout IC < N / ( N - s - 1). En particulier, ce produit appartient à L‘ pour tout T < N p / ( N ( s l)p), donc aussi à L N p / ( N - “ p ) . -

+

Les autres termes se traitent de façon analogue. Le cas s p < N est donc entièrement traité. e Considérons le cas sp = N . En utilisant le corollaire 4.34, on a WsJ’(RN)-+ W8’,P(RN) pour tout s’ E ]O, s [ .On en déduit, en utilisant les injections continues obtenues précédemment pour sp < N , que : WS’>P(RN)

LNP/(N-“‘P)

(RN)

et, puisque N p / ( N - s’p) est arbitrairement grand, on peut conclure que WS,P(IWN) s’injecte continûment dans L q ( R N )pour tout q E [ p ,m[.

C H A P I T R E 4. ESPACES D E SOBOLEV FRACTIONNAIRES

216

0 On passe au cas s p > N . On utilise encore la solution élémentaire du laplacien dans IRN+l. Comme dans le cas sp < N , on est amené à montrer l’appartenance à Lm de somnies de produit de convolution du type (1 E * v ou <SE &u ou N , on a : 5 ( h * g ) ( O , x )E L”(RN).

*

*

*

+

-

En effet :

car la dernière intégrale s’exprime par

qui est borné, puisque sp > N . Pour majorer les fonctions du type ( 1 E v ou <SE*&v ou encore (4E*ôzul il suffit de remarquer que l’un quelconque de ces produits est majoré par un produit de convolution d’une fonction de L* et d’une fonction de LP‘ qui n’est autre que B i ( ~ ) l z l “ - avec ~ + ~Bi une fonction de D ( R N ) . 0 Montrons, à présent, que u est holdérienne d’exposant s - N/p. Pour cela, on montre qu’il existe une constante C telle que : I-u-(N+l)/p

(4.50)

II4m G CIltVullp

u+N+l/p

Ilt”V(t:X)vll,

En effet, soit u telle que u ( 0 , z ) = u ( z ) .Par ce qui précède, il existe des constantes Cl et C2 telles que : IIUIIm

Soit alors

6 C1lltUullp+ c211~Vv(t,z)ullp.

définie par uA(t, z) = v ( A t ,Ax). Le calcul des normes fournit :

Donc, en choisissant A = ( Ilt”ulIp)(Ilt”V(t,z)vllp)-ll011 obtient l’inégalité :

4.4. THÉORÈMES D'INJECTION POUR LES W"J'(C2)

Soient h E IR et i E [1,NI. Supposons, pour fixer les idées h inégalité maintenant classique, on a :

lv(t,z - h e i ) - v ( t ,.)I

<

217

> O. Par une

Lh

l&w(t, z - sei)\&.

En multipliant par tw puis en intégrant à la puissance d'exposant p et en utilisant l'inégalité de Holder, on obtient : rl

r

J, J,- t w P ( u ( t , x he;) -

-

v(t,x)lpdzdt

En élevant à la puissance l/p, on obtient

Comme, d'autre part

Iltvvt,z(w- v)llp

< 2/ltwvjt,z')"'lIp,

on obtient, en appliquant l'inégalité (4.51) à utL- u , la majoration :

< Puisque 1 - v - (N+ i ) / p = s llUh -

d'exposant s

-

ulloo C l h / l - " - ( N + w P (IltWvll,+ lltwV(t,z)41P).

- N / p , il en résulte que u est holdérienne N / p . Le théorème est ainsi démontré pour R = W N . O

4.4.2. Le cas d'un ouvert possédant une propriété de prolongement L'analogue du théorème 4.47 est vrai pour des ouverts possédant une certaine régularité. En particulier, il est vrai si 0 est un ouvert qui possède la propriété de (s,p)-prolongement qui a été étudiée précédemment.

Conséquences de l'existence d'un ( s ,p)-prolongement. On obtient de façon simple le résultat de densité suivant :

Proposition 4.52. Soit s E [O, l[ et p > 1. Soit R un ouvert qui possède un ( s ,p ) prolongement. Alors, .O@), espace des restrictions à R des fonctions de D(IRN) est dense dans WsJ'(R). Preuve de la proposition 4.52. Soit u E W'J'(0).Soit E un prolongement continu de W'ip(0) sur W S ~ ~ ( I R N Puisque ). ~ ( 7 1 )E Wsi~(IRN), il existe une suite (9,) de fonctions de D(IR") qui converge vers E ( u ) dans W s ) p ( I R N ) . Alors la suite des O restrictions des pn converge vers u dans Ws>p(R).

CHAPITRE 4 . ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

218

Un corollaire de la proposition 4.52 et du théorème 4.47 est le suivant :

Corollaire 4.53. Soit s E ]O, I[, p E 11,m[. Soit R un ouvert lipschitzien. Alors : -

-

-

si SP < N , W”P(R) si N = sp, WsJ’(R) s i sp > N , W’J’(0)

L‘I(R) pour tout 4 6 N p / ( N - S P ) ; Lq(R) pour tout q < 03 ; ~f Lm(R) et plus précisément : ~f ~f

W”,P(R)

-

c,Q,s-N/p (0).

4.5. Injections compactes pour les Ws,P(R), (1 borné

Théorème 4.54. Soit R un ouvert borné de IRN, qui est lipschitzien uniforme. Soient s E [ O , 1 [ , p > 1, N 2 1. Alors : si s p < N l’injection de W‘>P(R) dans Lk est compacte, pour tout k < N P / ( N - SPI ; - si s p = N l’injection d e Ws>p(R) est compacte dans Lq, pour tout -

q<m; -- si s p > N l’injection de W’iP(R) dans Cb”(R), pour X < s compacte.

-

N / p est

Preuve du théorème 4.54. O On commence par le cas s p < N. Pour montrer l’affirmation énoncée, il suffit de montrer que l’injection est compacte dans L1. En effet, WsJ’ if L N p / ( N - s p ) et toute suite bornée dans L k , avec k > 1, qui converge dans L1 est convergente dans Lk’ pour k’ < k , en utilisant le lemme 2.82. On utilise donc le critère de compacité des bornés de L1 (cf. théorème 1.94). Soit B un sous-ensemble borné dans W’iP(0). Soit U E B, i E [1,NI, -f h > O et R h = {x E R I d(z,d(2) > h}. Posons h = hei et considérons l’intégrale :

lx =

.1,.s,,,, 14. +

hei) - 4z)Idydx.

En premier lieu, l’intégrant ne dépendant pas de y, on a, en désignant par volume de la boule unité :

W N - ~ le

(4.55)

Ix

=UN-1

Ihl

lh

Iu(x

+ +h,)

I).(.

-

dx.

En utilisant alors, pour x E R h et y E B ( z ,h ) , l’égalité : + + U(X h ) - ~ ( z ) U ( Z h ) - ~ ( y ) ~ ( y -) ~ ( z ) ,

+

+

+

4.5. INJECTIONS COMPACTES POUR LES Ws,*(s2),R

et en posant

CT

= (sp

BORNE

219

+ N ) / p , l'intégrale I h peut être majorée par

En les transformant au préalable, par translation sur g, en intégrales sur le domaine Ah = Q h x B(0,h ) , on majore ces intégrales 12)et I!?) au moyen h h de l'inégalité de Holder. Par exemple :

La première intégrale dans le deuxième membre, qui est égale à

est majorée, puisque, d'après les hypothèses B ( z , h ) c grale

f2h

c R,par l'inté-

qui est bornée lorsque u décrit B. Par ailleurs, on a

< (rnesf2)'-'/pC'

IhlNfS,

(où la constante A droite ne dépend que de la senii-nornie

~ I Z L ~ ~ ~ ,On ~ ) . peut

procéder de manière analogue pour l'intégrale 12).Finalement, en utilisant h l'inégalité (4.55) et les relations suivantes, 011 parvient à :

à savoir, la première condition du critère de compacité daris L'(f2) :

D'autre part, comme l'ensemble B est borné dans Lp(R), et puisque R est borné, on peut trouver K un compact assez grand pour que pour tout u E B, on ait :

220

CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

On a ainsi obtenu que B est relativement compact dans L1(0), donc dans tous les ~ ' ( 0avec ) k <~ N / ( N - sp). Si s = N p on utilise W " J j L) W s ' i P avec s' < s, d'où la seconde affirmation. On suppose maintenant que sp > N . Soit B un sous-ensemble borné dans Ws+'(0). Pour montrer que 23 est relativement compact dans on utilise le théorème d'Ascoli. Or, une conséquence du théorème 4.47 est la suivante : il existe une constante C > O telle que pour tout u E B,on a :

C(a),

llullL-(n)

G C/lullw",P(n)

et, comme, pour tout couple d'éléments

).(. I

-

( 2 ,y)

de O, on a également :

4 Y ) l 6 Cllullw~.P(n)I~ -

on en déduit que l'ensemble 23 est borné dans L" et qu'il est équicontiriu, ce qui termine pour l'affirmation 3) dans le cas de C(2). Enfin, on conclut à la compacité dans des espaces holdérieris en utilisant o le théorème 4.47 et le lemme 2.85.

4.6. Les espaces W",P(51),avec s E ]O, +CO[ 4.6.1. Définitions et théorème d'injection

Définition 4.56. Soit [s]2 1, s $! N.L'espace WsiP(0)est défini par + + Ws>P(O) = {. E WI"l>P((n) I D j , E WS-["I>P (O), j I j I = [SI>. 7

I1 est clair que W"J'(f2) est un Banach lorsqu'il est muni de la norme :

I1 est facile de vérifier en outre que les fonctions de D ( R N )sont denses dans W s + ' ( R N )Nous . donnons le théorème d'injection, analogue aux précédents :

4.6. LES ESPACES

W 5 . p ( n )AVEC ,

8

E ]O, +a[

22 1

Preuve du thkorème 4.57. 0 Si s p < N ,on fait une récurrence sur [s]. Si [s] = O, c'est le théorème 4.47. Supposons montré le théorème pour [s] = rn - 1, et soit u t W"J'(0) avec [s] = m, et s p < N.Alors Vu E WSp1J)(C2)et u E W["]>P(R),donc en utilisant l'hypothèse de récurrence, V U E ~ " ( 0avec ) 'r = N ~ / ( N - (s - i)p) et 'u E L ~ ~ I ( ~ - [ ~ I ~ ' ) ( Q ) . En utilisant p < N p / ( N - (s - 1)p) N p / ( N - [SIP), on obtient

<

IL E W'>'(R). Puisque r p L N P l (N- .w)

alors

< N on obtient u t LN'/(N-")(0)

=

(a).

0 Supposo11s s p = N. Alors [SIP < N et (s - 1 ) p < N. Si u E Ws)p(R), en raisoiillarit corrirne précédemment 'u E W','(R) avec r = ( N p ) / ( N- ( s - 1)p) = N. Comme r = N ,on en déduit u E Lq(R) pour tout q < 00. 0 Soit s p > N et j un entier tel que s - 1 - N / p < j < s - N / p . Alors, I L t W".p et TI = Vju vérifie TI E W"-~J', donc 11 et Vu appartiennent à WS-j-1.p et (s - j - 1 ) p < N entraîne que 11 et Vu appartiennent à L" avec 'r = ( N p ) / ( N- ( s - j - 1)p). Ainsi, TI E W','(R) et r > N ,donc 7/ C y V ' (0) = c1""-"!"-.'

Finalement, on obtient u E C [ " - N I P l , s - N l p - [ s - N l p l (O). Si s - N / p = j t W, alors u t W">p(R) entraine ( L F 1 u , I P u ) E (W"j;p(b2))' = ( W " I p J ' ( 1 1 ) ) ' . On en déduit Dj-lu E W'>q(R) pour tout q < 30 et donc D J P 1 ut C:"(R) quel que soit X < 1. Finalenieut 'u E c;-N:"-l>X ((2) pour tout X < 1.

4.6.2. Injections compactes

On a aussi pour un ouvert borné les résultats d'injection compacte :

Théorème 4.58. Soit R un ouuert borné lipschitzien. Alors : si sp < N ,l'injection W"J'(0) ci Lq(R) est compacte pour tous les exposants q tels que q < N p / ( N - s p ) ; si sp= N,l'injection W"J'(0) Lq(R) est compacte pour tout q < 03 ; s a sp > N , -

~ - f

~ b ~ (0)est ' compacte ~ l ~ ~

si s - ~ / 6pN,l'injection WS~P(R) ci pour tout X < s - N / p - [s- N/p](b2); si s - ~ / E pRI,l'injection w " , P ( c L-f~ ) pacte pour tout X < 1. -

~ b - ~ : " (-( 2~) ~est~ com-

222

CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

4.7. Appendice : théorème de convexité de Riesz Soit T la transformation de Fourier. On sait que l’image par T d’une fonction de L1 est une fonction de L“O et que l’image d’une fonction de L2 est une fonction de L2. On a donc, en particulier, pour tout g E L1 et pour fEL1: I(Tf’9)I 6

IITfll”Ollsll16 Ilfll1llslI1

et, pour tout couple ( f , g ) d’éléments de L2 :

I(Tf’dI 6

Ilfllzll~llz.

Le théorème suivant permet d’en déduire que, lorsque p E [1,2], T envoie LP dans LP’. C’est cette propriété qui a été utilisée dans la preuve de la proposition 4.18. Dans la preuve qui suit, du résultat connu sous le nom de théorème de Riesz, on utilise les arguments de Stein et Weiss, [39]. Le lecteur intéressé pourra consulter cet ouvrage pour le théorème plus << fort )> de MarcinkieWitz.

Théorème 4.59. Soit T un opérateur linéaire défini sur tous les LP(RN,@) et qui est continu d e L P ‘ ( R ~@) , dans L ~ % ( e) R ~pour , i = O, 1, où p, et q, sont donnés dans [1,C O ] . On note ses normes d’opérateur par

y: désigne le conjugué de qi. Alors, si t E ] O , l [ et si l / p = t / p o (1 - t ) / p l , l’opérateur T est continu d e LP(RWN, @) dans Lq(RN,@) avec l / q = t / q o (1 - t ) / q ~En . outre, o n a 1’inégalité de continuité : 0.ù

+

+

Preuve du théorème. b On commence par montrer le résultat pour des fonctions simples. Soit f = E, U , X E , , que l’on suppose de norme dans LP égale à 1, les E j étant des ensembles intégrables et deux à deux disjoints. On(5note a3 = la, /e2*,. Soit g = E kb k X F k où les Fk sont intégrables et deux à deux disjoints, avec b k = lbkle2vk et llgllp = 1. On définit pour p E [i,CO] le réel t dans [O, 1 1 tel que : i / p = t / p o (1 - t)/pl. Soit cy et ,6’ les fonctions définies sur @ par :

+ ).(yc

=

1-2 + Po Pi z

-

~

,

P(z) =

-z+ 40

1-2 -.

41

4.7. APPENDICE

:

THÉORÈME DE CONVEXITÉ DE RIESZ

sRN

223

avec 7 3 , k = S R N T ( ~ ~d x, . )On ~ vérifie ~ k que F(t)= Tfgdx. On commencera par montrer que IF(iy)I 6 kl et que IF(1 iy)l 6 ko. On utilisera ensuite le fait que F est holomorphe et est bornée sur la bande O 6 x 6 1, y E: IR et le théorème de Phragmèn-Lindelof qui entraîne qu'alors, pour tout couple ( x , y ) avec O 6 x 6 1, on a I F ( X iy)/ 6 On en déduira alors l'inégalité de continuité sur la norme d'opérateurs avec n:+iy=t. On évalue donc IF(@)(.On a Re(a(iy)) = l/p1, donc !J?e(a(iy)/a(t))= p / p l , de sorte que :

~col~i-~.

+

Ilf(iY)ll::

=

+

IlflpP = 1.

la31PIEJI=

3

D'autre part, SJZe(P(iy)) = l/q1, de sorte que :

1 - %e(P(iy)) 1 - l/q1 1 P(t) l-l/q

-

g 41'

-

Donc : IC

+

+

On a aussi : !J?e(a(l i y ) ) = l/po, donc !J?ea(l i y ) / a ( t ) = p / p o , d'où

Ilf(1 + iY)II;: Enfin SJZe(P(1

=

,

la,lPIE,I

=

ilfil;

=

1.

+ i y ) ) = 1/40, ce qui implique :

+

1 - !J?e(P(i i y )

1- P(t)

1 l/q0 1- l/q

- ~-

-

q' 4;'

Doric : Ildl +iY>ii$

Ibklq'lFkl = ilgii$ =

=

1.

k

En utilisant la continuité de l'opérateur, on a alors :

I

IF(iY)/ = /Wiy)g(iy)I

IF(1+iv)l

6 ~ l l l f ( ~ Y ) l l lPl ! ld ~ Y ) l l q ;

6 koIlf(l+ i d l l P " l l d 1 +

D'où le résultat pour les fonctions simples.

iy)IIq; = ko.

= kl'

:

CHAPITRE 4 . ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

224

Dans le cas général, soit f E LP(RWN, C."). On va montrer qu'il existe une suite f n de fonctions simples telle que llfn - f i l p 4O et T f n ( x ) 4T f ( x ) pour presque tout x. En supposant que cette suite existe, montrons d'abord qu'on obtient le résultat. La suite {Tf,}est bornée dans Lq. Par le lemme de Fatou, on a, avec kt = l ~ k k i - ~ , 0

IITfllq G

lim

G kt

ll~fmllq

m-m

lim

m-co

IIfrnllP

G ktllfllp,

en particulier T f E L Q ,et le théorème est alors obtenu Reste à montrer l'existence de fn : on se ramène & f réelle et f 3 O. Supposons que po < p l . Pour f E L", soit fo qui vaut f quand f(x) > 1, f(x) = O sinon et soit f 1 = f - fo. On a fo E LPOet f 1 E L P ~Soit . gm une suite croissante de fonctions simples, convergente vers f presque partout. Par le théorème de convergence monotone on a : IlSm - f i l P + O. De même igk - f n l l p o + O ct igh fillpl -+ O. Puisque T est continu de LP1 dans LQ1et de L P O dans Lqo, on a : ~

IITgk - TfOIIq,

-

0 et

IITgrn - TflIIq,

-

0.

Pour une certaine sous suite, on a donc T g k + T f o presque partout, et Tgm Tf' presque partout. Alors, la suite {fm}définie par fm = g k +g& fournit la suite souhaitée. 0 --f

Corollaire 4.60 (théorème de Hausdorff-Young). S i f E LP(RN) et g E L Q ( R N )avec l / p + l / q > 1, alors le produit de convolution de ces fonctions satisfait à f * g E L" avec 1 + i / r = i / p + l / q . Preuve du corollaire. Daris tout ce qui suit, f E L P est un élément fixé. On lui associe l'opérateur, noté T f tel que, pour tout g appartenant à un espace LQconvenable, on ait Tf(g) = f * g. Considérons deux situations qui correspondent aux hypothèses du théorème : 0 Si g E L p ' , par une propriété connue, on a T f ( g )E L" et, en outre,

Ilf * gllm G

IlfllPll~llP5

ce qui prouve la continuité de T considérée comme opérant de LP' dans Loo. On peut donc prendre dans le théorème po = p' et qo = $03. La norme d'opérateur IlTf IIPf, m vérifie les égalités suivantes : I I ~ f l l P ~ , c= o

sup I ( ~ f ( S ) , Y l )= I sup Ilgllpt=l ll91llP=1

Ilslip)=1

Is,(f

* g)(x)gl(xWl.

II91 I l p = l

Ce dernier terme est, par définition de la norme dans un dual et de la propriété de réflexivité, la borne supérieure de Ilf * glloo lorsque llglP, = 1.

4.7. APPENDICE

1

THEORÈME D E

CONVEXITÉD E RIESZ

225

On en déduit : llTf IlP’,oo =

IlfllP.

Si g E L’, alors, puisque f E LP, le théorème de Young nous assure que

Sf(g) E LP et que, d’autre part, I l f *slip6 l l f l l p Ilglli. L’opérateur T opère donc continûment de L1 dans LP. On peut donc prendre dans le théorème p l = 1 et

y1

= p . La norme d’opérateur associée à cette situation vérifie

encore l 1 ~ f l l l . P= I l f l l P .

Soit maintenant q tel que 1/p 1

+ I/q > I et soit t tel que

t

I-t

Po

Pl

-

Y

t

--+l-t. P’

On en tire t = p ( 1 - l / q ) qui est bien compris strictement entre O et 1. Cette condition du théorème étant remplie, on en déduit que T f applique continûment Lq dans L‘, le nombre r étant celui qui vérifie

= -t+ -

t I-t 1 =-+-=-+--I. 790 41 03 P P Ainsi, on a la première affirmation du corollaire. Soit, à présent l’inégalité 1

-

llTf IlW 6

1-t

G ( h ) l - t 6 ilfiipiifii;-t

1

q

= IlfllP.

On en déduit, en revenant à la définition des normes d’opérateurs, que

llf * gllr 6

llfllpll~llq~

Remarque 4.61. Ce corollaire permet de retrouver des résultats utilisés à plusieurs reprises dans l’ouvrage, notamment au cours des preuves des théorèmes d’injection. Soit, en effet, pour p 3 1, la convolée g = f * C r l P N dans laquelle f E L P et C une fonction régulière de support compact. La fonction z H g(x) = est donc dans Lq si (1 - N)(y - I) > -1 ou encore si q < N / ( N - 1). Alors le corollaire s’applique et nous fournit l’appartenance f * y E L’ où 1+ l / r = l / p + l / q . Comme q < N / ( N - I), on en déduit que l’exposant T vérifie : 1 1 (N-1) - 1 = N - P - > - + r P N NP On retrouve ainsi que la convolée envisagée f *
~,

Remarque 4.62. On établira au chapitre 6 une version un peu plus forte du théorème de convexité de Riesz. qui est la suivante :

226

CHAPITRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

O n définit l'espace L1 faible comme l'ensemble des fonctions f mesurables qui vérifient Ys >O,

.{I

(Notons que L' est inclus dans L' faible.) Soit T un opérateur qui envoie de façon continue L' dans L' faib 2 et L2 dans L 2 , alors, pour 1 < p 6 2 , T envoie de façon continue LP dans lui-même. Notons que ce résultat est un cas particulier du théorème de Marcinkiewitz, que nous donnons plus loin dans ce cours ( c f . théorème 7.34).

4.8. Exercices sur le chapitre 4

Exercice 4.1 (fonction propre de la transformation de Fourier). Soit f ( x ) = exp(-7r/xI2) sur RN.Montrer qu'elle est sa propre transformée de Fourier. Indications. Poiir le cas N = 1, on peut utiliser l'équation différentielle du premier ordre dont f est solution ; ou bien encore utiliser le théorème de Cauchy appliqué à la fonction holomorphe z H exp(-7rz2) et à un chemin rectangulaire dont un côté est le segment [-R, RI de l'axe des réels (on fera ensuite tendre R vers $00). Pour le cas où N est quelconque, on utilisera le fait que f est un produit d'exponentielles di1 type précédent.

Exercice 4.2 (transformation de Fourier de x H 1). Calculer la transformée de Fourier de la fonction caractéristique xn de [-n,n,], où n E W * . Montrer que la suite des transformées de Fourier { F ( x ~ converge ) } ~ dans S' vers F(1).En déduire que

F ( 1 )= 6". En déduire

F.(eZiTXnt ) = 6Z". Exercice 4.3 (formule de réciprocité pour la transformation de Fourier). Montrer la formule de réciprocité de Fourier pour les fonctions de S(RN); autrement dit, si cp E S ( R N ) ,alors -

FF((P)= cp. En déduire la formule de réciprocité pour les distributions tempérées.

Zndicatzons. Soit y

= F ( p ) . Remarquer

que

F(ppa)(A)= e 2 z " y A ) .

Intégrer par rapport à A, et utiliser F ( 1 ) = 6.

4.8. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 4

227

Exercice [**] 4.4 (transformées de Fourier des distributions homogènes). (1) Soit f E L1(RN).Pour tout X > O, on définit H x ( f ) par H x ( f ) ( z )= Montrer que, si [ f ]est la distribution associée à la fonction localement sorrimable f , on a : f(X5).

([Eix(f)l'cp)= x-"([fl'cp(./X)). Soit T une distribution sur IRN. On étend la propriété précédente en la définition de H x ( T ) comme étant la distribution telle que :

( f f x ( T )cp) , = X-yT' cp(./X)). Déterminer, à l'aide de f i a transformée de Fourier de H x ( f ) . Montrer ensuite la formule concernant la distribution tempérée T :

. F ( H x ( T ) ) = XPNHx-i ( F ( T ) )

(4.63)

(2) On dit que T est homogène de degré k si 'dX

> O,

H A T = X'T.

Soit T s'identifiant à la fonction radiale f définie par f ( r )= lzl' où z E RN et

IJI

(E,52, )112 . (a) On suppose -N < k < O. Montrer que T est tempérée en remarquant qu'elle s'écrit comme la somme :

T = TX{IZl
+ TX{Z11ZI41}

d'une fonction de L1 et d'une fonction de L P avec p > -N/k. Moiitrer que sa transformée de Fourier existe et que c'est une distribution radiale ( c f . exercice 7.12 du chapitre 7). Montrer que cette transformée de Fourier est homogène de degré -k - N . (b) On suppose que 2k < - N . Alors T est la somme d'une fonction de L1 et d'une fonction de L2. Montrer que .F(T) est une foiictiori. En utilisant la positive hornogéneité montrer qu'il existe une constante c(N , k ) telle que .FT(T)(E)= c ( N ,k)III"".

(3) En utilisant la fonction p(z) = e-n1Z12,en déduire que

r est la fonction eulérienne ([13], 1361 ou exercice 3.1 du chapitre 1). Ces résultats sont repris dans le chapitre 7 dans le cas où k : -N+ 1, qui vérifie bien la condition 2k < -N lorsque N > 2. On y montre, au moyen où

228

CHAPlTRE 4. ESPACES DE SOBOLEV FRACTIONNAIRES

d’une dérivation par rapport à la variable xt,que l’on a :

7). (4) On suppose maintenant O > 2k > - N . On montrera, en utilisant la formule de réciprocité, que les résultats précédents restent valables. Soit la distribution T = /xik; on pose k’ = - N - k . Montrer que l’on peut appliquer les résultats précédents à la fonction z H 1 . ~ 1 ~ ’ . Er1 déduire la transformée de Fourier de T . Étudier le cas 2k = - N . (cf. transformation de Riesz dans le chapitre

Indications. Pour la formule 4.63, il suffit d’utiliser les définitions

( p ( H x ( T ) )9) , = (HAP),G) A

= X - y T , @(./A)) =

= ( T ,WP))

( p ‘ ( n H x < P >=) X-N(Hx--l ( W ) ) > P )

Si T est lioniogérie de degré k , on a

:

F ( H x ( T ) )= X-NHi/x(F(T)) =

X-N-“l/X

(Hx(F(T))= ) X-N-”(T)

Dans le cas oii la distribution radiale devient ilne fonction, on sait ( c f . exercice 7.12 du chapitre 7) qu’alors la transformée de Fourier de T s’identifie il la fonction H g(I O, l’égalité g(Xi
<

F ( T ) = c ( N ,k ) l < i - k - N À l’aide de la fonction z H exp(-.rrlz12) dont la transformée est la même fonction, on obtient :

En utilisant la variable s = m 2 ,cette égalité devient

+

.rr-(k-N)hy(k ~ ) / 2 = )

:

k)Tk/2r(-~/2).

On en déduit le résultat aririoncé. Le nonibre k‘ appartient à l’intervalle ] -N , -N / 2 [ .Le résultat précédent fournit

En appliquant à cette formulc la trarisforriiation inverse F-’, on obtient

:

À l’aide de l’expression de la constante c ( N ,k ) trouvée précédemment, on voit que le coefficient [ c ( N ,-N - k)]-’ est égal à la constante précédente c ( N . k ) . En faisant tendre k vers - N / 2 , ori obticnt encore la même formule.

4.8. EXERCICES SUR L E CHAPITRE 4

229

Exercice [*]4.5 (convergences de suites dans un espace LP). Soit un une suite de LP, oil p > 1, qui converge ou bien faiblement ou bien presque partout vers u, et t,elle quc ~ ~ u n ) ~/ u~) )Montrer f~ ~. que u,, converge fortenient vers u daris LP. -f

Indications. On se rarrièrie à u de norme 1 en divisant par IIunllP,c’est-à-dire un = un/IIu,,/IP.Alors vn terid faiblement vers I I = u/llullP et les normes sont égales à 1. On moritrc erisiiite que 1 1 1 ) ~ + vilp + 2. Pour cela, on utilise la semicontinuité de la norme L” pour la topologie faible. On a donc lim ))v,+ Z I )3~ 2,~ car lin + 71 2 271 daris L” faible. En outre, par Minkowski et la convergence des riorrnes, on a /lu7> 1 1 1 1 ~ < 2. Finalement, (uTL v ) / 2 a unc riorme qui tend vers 1, donc, par l’iiriiforrne convexit,é dans L p , on peut concliire :

+

+

I)1L

-

v

+

o.

Si, à la place de la corivergence faible, on a la convergence presque partoiit, on peiit se ramener encore a une suite ( 7 1 ~ ~ )de riorme 1 qui converge vers I) de norme 1 et taclleque ( I ) + ~ ~v ) / 2 converge presque partoiit vers v . Ori utilise alors, d’iirie part le lenime de Fatou pour dire que :

et, d’autre part, l’iiniforrnc convexité, poiir obtenir le resultat

Exercice [*] 4.6 (convolution d’une fonction de L p ( R N )et d’une fonction de D(RN)>. Soit f E LP(RN),et E D ( R N ) .Montrer que la convolée f * ( appartient à n L ~ ( ( I pour w ~ )tout IC 3 p .

<

Indzcatzons. Soit k > p et T > 1 défini par l + l / k = l / ~ + l / p Puisque . { E D(RN), on a { E L’ . Eii conséquence C * f t L h .

CHAPITRE 5 EDP ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES

Dans ce chapitre, nous donnons une méthode de résolution de certaines équations aux dérivées partielles elliptiques, à savoir, celles qui se présentent sous la forme D J ( u ) = O où D J représente la différentielle (en un sens faible) d’une fonctionnelle J , convexe dans la plupart des cas. Les propriétés des fonctions convexes permettent de chercher une solution de l’équation aux dérivées partielles (EDP) comme le mininiuni d’une fonctiorinelle, sous réserve que cette fonctionnelle ait la propriété de tendre vers +m à l’infini. Après un exposé rapide des ingrédients théoriques permettant de concliire à l’existence d’un minimum pour J , on décrit quelques exemples classiques de problèmes aux limites régis par des EDP elliptiques linéaires ou non, la méthode variationnelle aboutissant à leur résolution. On donne ensuite des résultats de régularité pour les solutions de ces problèmes. D’autres propriétés, notamment celles qui généralisent le principe du maxiniuni pour les fonctions harmoniques, sont développées en relation avec ces résolutions.

5.1. Présentation de quelques résultats utiles Une suite { u n } 7 Lest E ~dite bornée dans L P ( f 2 ) s’il existe une constante C > O telle que

v n E IV,

lu,l~(z)dz< C.

À propos d’une telle suite, on utilisera souvent dans ce chapitre les notions et les résultats suivants :

Conséquence de la compacité faible des fermés bornés d’un espace réflexif : de toute suite bornée de LP(O), 1 < p < 00,on peut extraire une sous-suite faiblement convergente dans LP (O). ~

232

C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES

Conséquence de 1 ’étoile-faible séquentielle compacité de la boule unité du dual d’un espace normé séparable : de toute suite bornée dans L1(sl),on peut, extraire une sous-suite qui converge vaguement au sens des niesures vers une mesure bornée sur 0. Conséquence des théorèmes d’injection compacte dans les W’J’(R) : soit 62 un ouvert borné de IRN, et p un réel appartenant à ] l , N [ ; de toute suite bornée de W’>p(R), on peut extraire une sous-suite faiblement convergente dans W’J’(R), fortement convergente dans Lq(R), avec q < N p / ( N - p ) , et convergente presque partout. - Conséquences du théorème de Banach-Steinhaus : soit p E 11,cal ; toute suite de Lp(R) qui converge faiblement daris D’(fi) est bornée dans Lp(R) ; toute suite de mesures ou de fonctions de L:,,(R) qui converge vaguement vers une mesure est telle que la suite de ses modules est d’intégrale sur tout compact de R uniformément bornée par rapport à n. ~

~

On suppose dans tout le chapitre R connexe sauf mention du contraire.

5.2. Rappels d’analyse convexe Dans cette section, on rappelle des résultats sur la convexité dont nous ne donnons pas les démonstrations. Elles sont détaillées dans l’ouvrage (141. Dans ce qui suit, X désigne toujours un espace de Banach. X’ désigne son dual topologique et on note (., .) le crochet de dualité entre X et X’. Dans cette section, on suppose les fonctions à valeurs dans E = RU{+OO}U{ -CO}.

5.2.1. Ensembles convexes. Séparation. Fonctions s.c.i.

Définition 5.1. Un sous-ensemble C de X est dit convexe s’il est stable par conibinaison convexe, autrement dit si : Y(IL., y )

E

c2,V A E ]O, 1[,

AIL.

+ (1

-

A)y E

c.

Définition 5.2. Un hyperplan est un sous-espace vectoriel de codimension 1, c’est-à-dire un sous-espace différent de X tel qu’il existe 20 E X pour lequel l’espace engendré [zo] satisfait à [20]8 H = X . Proposition 5.3. Soit f une f o r m e linéaire sur X , non, identiquement nulle. Alors son noyau est un hyperplan et, ou bien f est continue et cet hyperplan est fermé, ou bien elle n’est pas continue et l’hyperplan noyau est partout dense dans X . Définition 5.4. Soient Cl et Cz deux convexes. on dit que l’hyperplari H de direction orthogonale à b E X ’ , donc défini par H = {IL. E X I (b,s) = a},

5.2. RAPPELS D’ANALYSE CONVEXE

233

les sépare si

Cl c E + = { ~ E XI ( b , z )> u }

et

C2 c E- = { X E E X

I ( b , z )G a }

Définition 5.5. On dit que Cl et Cz sont séparés strictement par H s’il existe E > O tel que :

Cl

+ B(O,E)c E+

et

C2

+ B(O,E)c E - .

Une fornie faible du théorème de Hahn-Banach s’énonce comme suit :

Théorème 5.6. Soit C un convexe relativement compact dans X et 1cI une sous-variété a f i n e de X , telle que MnC = 0.Alors il existe un hyperplan H qui sépare nil et C . Déjînition 5.7. Soit J définie sur X , à valeurs dans E. Elle est dite semicontinue inférieurement (s.c.i.) en x si, pour toute suite { z n }telle que 2 , converge vers 11:’ on a : (5.8)

J(z)G

lim

J(x,).

n-Dc)

Cette propriété peut s’exprimer sous la forme équivalente :

V A E R,A < J ( z ) j{y 1 J ( y )

> A}

est un ouvert contenant z.

On dit que J définie sur X est s.c.i. sur X si elle est s.c.i. en tout point de X . Cette propriété peut s’exprimer sous la forme équivalente :

V A E R,V x E X ,

{x I J ( z ) > A} est un ouvert.

Cette semi-continuité se traduit aisément par une propriété de l’épigraphe :

Proposition 5.9. La fonction J est s . c . ~ .sur X si et seulement si son épigraphe défini par {(z, y) E X x IR I y > J ( z ) } est fermé. On passe à des résultats utiles concernant la niininiisation des fonctions convexes.

Déjînition 5.20. Une fonctionnelle J de X dans E est dite propre si elle n’est pas identiquement égale à +m et ne prend pas la valeur -00. En particulier, son domaine dom( J ) = {z E X I J ( z ) E R} est non vide. Théorème 5.11. Si J est convexe, et majorée sur un voisinage d e xo en lequel .J(xo) est finie, alors elle ne peut pas prendre la valeur -CO et elle est continue sur ce voisinage et m ê m e lipschitzienne. Théorème5.12. Si J est convexe, s.c.~.,et ne prend pas la valeur -a, elle est l’enveloppe supérieure des fonctions afines continues qui la minorent.

234

C H A P I T R E 5 . EDP ELLIPTIQUES

:

TECHNIQUES VARIATIONNELLES

Corollaire 5.13. Tout convexe f e r m é d’un espace de Banach est aussi faiblement séquentiellement fermé. - Une fonctionnelle convexe est s.c.i. si et seulement s i elle est faiblement séquentiellement s.c.i. 5.2.2. Sous-différentiabilité. Gâteaux-différentiabilité

Définition 5.14. On appelle sous-différentiel de J en z le sous-ensemble de X’ :

a J ( z )= { a E X’ I Q y E d o m ( J ) , ( a ,y

~

x) < J ( y ) - J ( z ) }

Si J est convexe, a J ( z ) est un convexe de X’. Ce sous-differentiel peut être vide, comnie c’est le cas pour une fonction dont le domaine est réduit à un point ou plus généralement pour une fonction dont le domaine a un intérieur vide. Si J est différentiable (au sens de Fréchet) de dérivée notée D J ( z ) en z, a J ( z ) = { D J ( z ) } .On dit qu’une fonction est sous-différentiable en z si son sous-différentiel en z est non vide. Par exemple, la fonction z H 1x1 est différentiable partout sauf en O où elle est cependant sous-différentiable, le sous-différentiel en ce point étant égal au convexe [-1, 11.

Proposition 5.15. Sozt J une foncfaon c o n w z e de X dans E, finze et contznue au poznt u E X . Alors, û J ( u )# 0. Un cas particulier de fonctions soils-différentiables est celui des fonctions Gâteaux-différentiables. À ce sujet, on rappelle la notion de dérivée directionnelle :

Définition 5.16. Soit J une fonction convexe sur X . On définit la dérivée de J au point z, directionnelle à droite relativement à y E X’, comme étant J’(x,y) = inf

+

J ( z A!/)

X>O

-

J(x)

x

Lorsque f est une fonction d’une variable, si y

> O, f ’ ( z ,y)

=y

fi(.) et

si Y < O, f’(z,lJ)= f y ( x ) ! / . I1 est clair, dans le cas général, que cette borne inférieure, qui est aussi une limite, existe. Cette dérivée est liée au sous-différentiel grâce au :

Théorème 5.17. O n suppose que J est continue et finie e n x (ou encore que x est un point intérieur au domaine de J ) . Alors : v y EX,

J’(z,y)

=

sup Z*ti?f(Z)

(x*,y).

5.2. RAPPELS D‘ANALYSE CONVEXE

235

La notion de Gâteaux-différeritiabilité se déduit de celle de dérivée directionnelle :

Définition 5.18. Une fonctionnelle .J convexe sur X , est dite Gâteauxdifférentiable en PL élément de X si, pour tout w E X , w H J’(u, w) est un élément de X ’ , qui est alors noté J’(u). Ainsi, pour tout w E X I on a : J’(*u,‘u -

(J’(u),w

r u )

=

lim

-

u)=

lim

J ((1- t ) u + t u ) - J ( u )

t-O,t>O

+ t(7)

J ((u

-

t

u ) )- J ( u )

t

t-O,t>O

Corollaire 5.19 (du théorème 5.17). Si J est convexe et continue en u,son sous-dzflérentiel en ce point u est réduit à u n singleton de X’ si et seulement si J est Gâteaux-différeritiable en u.O n a alors ô J ( u ) = { J ’ ( u ) } . Exemple 5.20 (de fonction Gâteaux-différentiable). Soit F définie sur LP(R), où 1 < p < 00, par F ( u ) = l / p s n (u(p(z)dz.Alors, F est Gâteaux-différentiable partout et : F’(u) = ~

~ T L I ~ ~ ~ u .

En effet, on remarque d’abord que IulPp2u E LP‘. En intégrant, sur Q, l’inégalité de convexité appliquée pour u et h dans Lp(R), à savoir : l u

+ hlP(z)

-

IuI”(z)3 p17Ll~-2U(2)h(z)l

on obtient l’appartenance plulPp2u E B F ( u ) . De plus, pour presque tout .7: E R,le théorème des accroissements finis assure l’existence d’un nombre Q,,t E ]O, l [ tel que :

).(. I

+ th(z)l” = pth(z) ).(.I(

- IU(.)I”

- ptll(Z)IU(Z)/P-2U(.)

+ to,,th(Z)/P-2(u(z)+ tQ,,th(x))

- ~U(Z)~p-”(z)).

Par continuité, la parenthèse dans le second membre tend vers O presque partout dans R lorsque t 4 O. En majorant ce secorid membre par 2(lu(z)l+/h(z)l)pp’, on a :

Enfin, en utilisant l’inégalité de Holder, on voit que l’intégrale de cette dernière fonction est majorée par ~ l h l l ~ ( l l u l ~\ ~~ ~ ~ ~ P On ) p peut p l . donc appliquer le théorème de convergence dominée et conclure à la G-différentiabilite de F , au point u.

+

236

CHAPITRE 5 . EDP ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES

Remarque 5.21. Cet exemple peut se généraliser dans des espaces de Sobolev : Soit G définie sur bVIJ’(fl) pour p > 1 par G ( u ) = l/pJ, jVulP(z)dz. Alors, G est Gâteaux-différentiable partout avec (cf. section 5.8) :

5.2.3. Minimisation d’une fonctionnelle convexe

Définition 5.22. Une fonctionnelle J définie sur un espace de Banach séparable X est dite coercive si : lim J ( z )= t o o . I 1 4 x ++cc On se préoccupe du problème de riiiriimuni de J sur un convexe fermé de X . Deux résultats sont utiles :

Proposition 5.23. Soit J une fonction convexe sur X ti rualeurs dans IR U {fm}. Pour tout IL E dorn(J), les deux propriétés suivantes sont équivalentes : (1) J ( u ) = inf,,x J ( z ); (2) pour tout v E d o m ( J ) , on a : J’(u, I I - u)3 O.

Preuve de la proposition 5.23. 0 Si u vérifie (I), alors :

J ( uf t(v - u) J(u) 3 o. t En faisant tendre t vers O, on obtient la propriété (2). Réciproquement, pour tout x E X , 011 peut écrire, lorsque t E ]O, l [ : V u E dorri(J), V t E ]O, 1[,

~

+ (X - u ) )- J ( u ) 3 J ( u + t ( z

-u)) J(u) 1 t D’où, en faisant tendre t vers O, l’inégalité J ( z ) - J ( u ) 3 J’(u,z - u ) 3 O, d’où la propriété (1). O

J(z) - J(u) =

J(u

~

Proposition 5.24. S’il existe une solution u E X au problème infuEXJ ( u ) et si J est Gâteaux-différentiable en ce point u, alors le sous différentiel en u , q’ui s’écrit a J ( u ) = { J ’ ( u ) } est réduit & O . Réciproquement si J est convexe et Gâteaux-différentiable en u avec J’(u) = O , alors u est un m i n i m u m pour J . Théorème 5.25. Soient X u n espace de Banach séparable et réflexif, U un convexe fermé d e X et J une fonctionnelle convexe, propre, coercive et semi-continue inférieure. Alors il existe une solution au problème : inf J ( u )

UtU

5 . 2 . RAPPELS D’ANALYSE CONVEXE

237

Ce minimum u est alors caractérisé par : b’v E dom J

Dans le cas où U

=X

n U , J’(u, v - u)3 O.

, cette caractérisation devient : b’u E dom J ,

J‘(u, v)

= O,

ou bien encore O E ô J ( u ) , ce qui redonne J ’ ( u ) = O si J est G-différentiable en I L . Dans le cas d’un sous-espace a f i n e U = xo + Y , où Y est un sous-espace vectoriel fermé de X , le minimum xo ‘Li se traduit par :

+

b’5 E Y , xo + G E dom J n li et, s i ,I est G-différentiable e’n xo

* J’(Q

+il,:)

=O

+ 6,par J’(x0 + 6 ) = O.

Preuve du théorème 5.25. O Montrons que l’infirriurn est fini. Sinon, il vaut -0û et il existe alors { u T LE} UN, telle que J ( u n ) -0û. Si {un}était bornée. c’ri extrayant une sous-suite qui converge faiblement vers u,le fait que J est s.c.i. entraînerait que J ( u ) = -00, -f

ce qui est absurde. Donc { u n } est non bornée. I1 existe donc une sous-suite ~ ~ u n+ ( n+oo ) ~et~en~ utilisant la coercivité de .I,J(IL,(,)) 4 +00. ce qui constitue une contradiction. Finalement

rn

=

irif J ( u ) >

-00.

UEU

Soit { u n } une suite rninimisaiite du problème. Alors, J ( u T L ) rn et en particulier { u n } est bornée (sinon il existerait une sous-suite de ( u ~ ~ rio), tée qui tendrait vers l’infini, et donc telle que J ( I L , ( ~ + ~ ) 00). Puisque X est reflexif, et que ci est faiblement séquentiellement fernié, on peut extraire de { u ~une ~ }sous-suite qui converge faiblement vers u dans U . Puisque J est convexe et s.c.i., elle est aussi faiblement s.c.i., d’où : -f

J(u)6

lim

J ( u n ) = m,

n i a

ce qui prouve que u est une solution. Le reste du théorème résulte des définitions de la dérivée directionnelle et du sous-différentiel. O

Remarque 5.26. Si J est strictement convexe, la solution u est unique. Remarque 5.27. Si u appartient à l’intérieur de U , J est alors corit,inue en u, et possède un sous différentiel non vide en u.La condition de niiriimurri donne alors (proposition précédente) : O E a J ( u ) .

238

C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES

:

TECHNIQUES VARIATIONNELLES

5.3. Résolution d’EDP linéaires elliptiques de type Dirichlet 5.3.1. Introduction Considérons le problème de Physique qui consiste en l’étude de la position d’équilibre d’une membrane élastique dans le plan. La membrane se projette sur le plan dans un ouvert (1, son bord restant confondu avec la courbe frontière dR de cet ouvert. La membrane est soumise en chaque point z = (21, z 2 ) à une tension, force verticale définie par une fonction z H f ( z ) . Le déplacement de ce point z s’identifie à la cote de la membrane z = u(z) en ce point. Les équations de la physique conduisent à l’équation vérifiée par u , à savoir -Au = f avec, en outre, la condition frontière u = O sur dR. C’est un des modèles physiques du problème de Dirichlet. En remplaçant la condition frontière u = O par u = uo, où uo est une fonction donnée sur ûR, on obtient un problème de Dirichlet non homogène.

FIGURE 5.1

En modifiant la condition frontière, d’autres types de problèmes apparaissent et, parmi eux, ceux de Neumann qui seront étudiés plus loin.

5.3.2. Problème [Dr]Lde Dirichlet dans H1(R)associé au laplacien

Énoncé d’un problème d e Dirichlet. Soit A l’opérateur de Laplace, défini pour une distribution T appartenant à D’(fi), où R est un ouvert de IRN, par :

On considère pour commencer le problème dit de Dirichlet. Soit R un domaine borné de classe C1 de IRN, et f une fonction de L2(s2).On cherche u

5 . 3 . RÉSOLUTIOND’EDP LINEAIRES ELLIPTIQUES DE T Y P E DIRICHLET 239

solution du problème : [;l)Zr]i:

-Au= f

dans R , sur do.

Dans la suite, on pourra considérer le même problème avec une donnée non nulle sur le bord. Cette donnée devra avoir une certaine régularité : par exemple si on cherche une solution dans H1(R), on imposera à la donnée au bord d’être au moins dans N112(dR).

Unicité de la solution dans H1(R) si elle existe. Supposons u et w dans H’(R) qui vérifient toutes deux l’équation. Par différence, u - 71 vérifie : A(u - u ) = O. En multipliant par u - w, en intégrant sur R et en utilisant la formule de Green généralisée vue au chapitre 3 , on obtient

Comme u - u = O sur le bord, on obtient le résultat.

Existence d’une solution duns H1( O ) . Pour démontrer l’existence d’une solution, on transforme le problème en un problème dit variationnel. On utilise alors les résultats précédents 5.24 et 5.25 pour une fonctionnelle J que nous allons associer au problème de Dirichlet : Soient R un domaine borné de IRN, f 6 L2(R) et J , définie sur Hi(R) = w;l2(n) par :

Supposons que J soit convexe, continue et coercive sur Hd(R). Le théorème 5.25 nous apporte alors l’existence du minimum de .I. Comme J est Gâteaux-différentiable (et même, Fréchct-différentiable) en tout point u E H1(0),avec :

( J ‘ ( u ) ,II)

=

Vu . Vv

-

.I,f

v,

il en résulte que, si u est un minimum, alors la condition (proposition 5.24) (J’(u),w) = O nous donne, avec u E D(R), le résultat -Au = f , autrement dit, u est une solution du problème de Dirichlet. I1 est facile de voir que J est convexe et continue, et il nous reste à montrer que J est coercive sur HU(O). Cela nécessite l’inégalité suivante, dite de Poincaré (cf. aussi, sa généralisation : exercice 2.9).

Proposition 5.28. Soit R un domaine borné de classe Cl. Alors il existe une constante Cp > O telle que, pour tout u dans HA(O), on ait l’inégalité :

C H A P I T R E 5 . EDP ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES

240

Preuve de la proposition 5.28. Si on contredit la proposition, il existe une suite {un}dans Ho(R) telle que = 1, et IIVunl12 6 i / n . D’après la compacit,é de l’injection de Sobolev H1(n) ~t L2(R), on peut extraire de {un}une sous-suite qui converge faiblement dans H1(O), et fortement dans L2(R). Soit u sa limite. Puisque IIVz~~112 O, la semi-continuité inférieure pour la topologie faible de la norme dans L2 nous donne :

llVull2

< lim llVunIl2 = O.

Donc u est constante et comme 7~ appartient à HA, 7~ est nulle. Mais on a aussi, puisque {un}converge fortenient vers 7~ dans L2 : IIuIl2

= lim l l 7 h t l l 2 = lim IlunIlH; = 1,

O

ce qui constitue une contradiction.

Or1 revient à la coercivité de J . On peut écrire, en utilisant la constante Cp de la proposition 5.28 : O

fui 6 l I f l l 2 l l u l l a 6 llf 1 1 2 I l ~ l l H ’ ( R ) 6 C;llf

1

llz” + qllull;1(c).

112,

Puisque J ( u ) 3 1/4Cgllull&l
5.3.3. Problème de Dirichlet opérateur A

[2)ir]i dans

H1(R) pour un autre

Énoncé du problème. Soit R un domaine de classe C1 et borné et f un élément de L2(R). Soit A = (Aij)ij E C1(R,RNXN) telle que :

(1) pour tous i et j dans [1,NI, on a Aij (2) il existe cy > O tel que :

= Aji ;

‘dxE RN, X A i j x i x j 2 a / z l 2 . ..

23

Cette dernière propriété est dite uniforme ellipticité de A. On cherche u solution du problème :

Remarque 5.29. Ce problème s’écrit - div(A(x)Vu) = f , donc conime une EDP (cf. préambule) sous forme divergence. Un avantage, entre autres, à l’existence de cette écriture, est d’obtenir une formulation sous forme

5.3. RÉSOLUTION D’EDP LINÉAIRES ELLIPTIQUES DE T Y P E DIRICHLET 241

variationnelle du problème. Ce problrme est une généralisation de [Dr]:, puisqu’il suffit de choisir A,, = 6: pour l’obtenir.

Existence et unicité d’une solution. 11 suffit de suivre les mêmes arguments, aussi bien pour l’unicité que pour l’existence, que ceux utilisés dans le problème précédent [Du-]:. La fonctionnelle J que l’on associe à ce problème s’écrit :

où A ( x ) X . Y désigne le scalaire Aij(x)X,Y,. La formulation variationnelle de [Dir]5est ainsi : uEHO(C2) inf

cil

A ( x ) V u . V u d x - l fudx}.

On prouve facilement la convexité et la continuité de J . La coercivité est une conséquence de l’inégalité de Poincaré et de l’uniforme ellipticité de A. La fonctionnelle J est Gâteaux-différentiable, sa dérivée étant définie par : ( J ’ ( u ) u) , =

h

A ( z ) V u ( x ). V‘PI(Z) dx

-

Jn

f ( x ) w ( x dz. )

À l’aide de la formule de Green, on prouve que le minimuni sur H; (R) de J est bien la solution du problème [Dr]L.

Remarque 5.30. Notoris aussi qu’on peut remplacer f E L2 par f E H - l ( R ) . Daris ce cas, on remplace l’intégrale fu par le crochet de dualité ( f ,u). La fonctionnelle précédente ainsi modifiée reste continue et coercive.

s,,

Cette remarque sera utile dans la section sur les problèmes non honiogènes, qu’il s’agisse de Dirichlet ou de Neumann.

5.3.4. Problème de Dirichlet [ D L ~ ] sur : , ~ H1(R) On ajoute au premier membre des EDP précédentes le ternie Xu.

Énoncé du problème. Soit R un domaine borné de classe C1. Soit C une constante de Poincaré, à savoir C = Cp2, où Cp satisfait à la proposition 5.28. Soit aussi X un réel tel que X > -C. On cherche une solution u du problème :

-Au u=o

+ Xu = f

dans R, sur dR.

242

C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES

:

TECHNIQUES VARIATIONNELLES

Existence et unicité. On cherche u comme solution du problème variatiorinel (5.31)

La fonctionnelle est coercive car X > -C. Dans le cas où X 3 O, cette fonctionnelle étant également convexe et continue, on peut conclure, comme dans les deux problèmes précédents. Si -C < X < O, la fonctionnelle n’est pas convexe, mais cependant, on peut utiliser la convexité des termes autres que Xl(ull2 pour montrer l’existence d’une solution. En effet soit { u n } une suite niininlisante. Elle est bornée dans Ht(R) puisque la fonctionnelle est coercive. On peut en extraire une sous-suite qui converge faiblement dans H1 et fortement dans L 2 . Cette convergence fort,e dans L2 permet de dire que XIIunll; XlIull;. D’autre part, la semi-continuité inférieure de l’application ‘u ++ 1 / 2 l l V v ~-~ ~ f ( x ) v ( s ) d z pour la topologie faible, entraîne que su est un minimum. On vérifie, dans tous les cas, par le calcul de J’ et l’utilisation de la formule de Green, que ce minimum est une solution du problème [2)ir]a,x. f --f

s,

Remarque 5.32. On peut remplacer X par une fonction a continue et bornée sur (1, telle que, pour tout 2 E 0, a(.) > -C. 5.3.5. Problèmes

[ D ~ r ] a , Valeurs ~. propres et vecteurs propres

de -A

On suppose toujours R un domaine borné de classe C1. Lorsque X = -C = -Cp2, où Cp est optimale dans la proposition 5.28, le raisonnement précédent n’est plus valable. Cette valeur de la constante C est donnée par 1

+l/Xl,

où : XI =

inf .ilCH:(n)

/’

l~u12(x)ciz

R

ll4l2=1 Nous allons voir que cette valeur critique X I est une valeur propre de -A et que le problème homogène associé, à savoir possède des solutions non nulles qui seront ainsi des vecteurs propres de -A associés à XI. Plus précisément :

Proposition 5.33. Soit XI définie ci-dessus. Alors XI est strictement positive et il existe u 2 O, qui réalise llulla = 1 et lIVu1I2 = X i . D’autre part u est u n vecteur propre d e -A associé ù XI, ù savoir, u est solution de [ Z h ] ~ , p A , . Enfin, R étant connexe, l’espace propre associé est de dimension 1. En particulier, sous cette hypothèse, toute fonction propre est de signe constant.

5.3. RÉSOLUTIOND’EDP LINÉAIRES ELLIPTIQUES D E T Y P E DIRICHLET 243

Preuve. 0 On commence par montrer que X i > O. Cela résulte de l’inégalité de Poincaré, mais nous la montrons ici directement pour faciliter la lecture. On a X1 3 O. Supposons X1 = O. Alors il existe une suite { u n }dans H t ( O ) telle que lluTL112= 1 et llVu,\~2+ O. Puisque l’espace Hg(O) est un Hilbert, donc réflexif, on peut extraire de { u n }une sous-suite qui converge faiblement dans H1(O) vers une fonction I L de cet espace. Par la compacité de l’injection de H i dans L2 on a IIu(/zx 1 et, finalement, la convergence forte de { u n } vers u dans H1 puisque { u n }terid vers u dans L2 et { V u n }+ O dans L2. On en déduit : V I L= limn-+oo V u , O d’où u = O, puisque u = O sur le bord, ce qui constitue une contradiction avec IIu(/2= 1. Finalement X1 > O. Soit maintenant { u n } une suite minimisante, donc telle que IIVu,ll; 4 X1 avec JJ?L,,J]~ = 1. La suite est bornée dans HO, donc pour une sous-suite encore notée { u n }on a : IL,

2

u dans HO,

un

-

u dans L2.

En particulicr lJuIJ2= 1 et, par semi-continuité inferieure pour la topologie faible de u H lDu112, on a :

Xi

<

IV~1~(x)dx < vu,^^^

= Xi.

En conséquence u satisfait à /lu112 = 1 et lJVu\ii= A l . De plus, en remarquant que Il(Olul)li= IIVu(/(cf. en fin du chapitre, le lemme 5.64), on voit qu’il existe une solution positive. Montrons à présent que I L satisfait à l’équation -Au = Xlu. Pour ce faire, soient u , solution du problème variationnel, tel que IluIIZ = 1. cp E D ( O ) et f t R tel que 21tl < liyliT1. Alors IIu tyllz # O et on a u tcp E HO. donc, par définition de Xi :

+

On en déduit, en utilisant les hypothèses

+

:

En divisant par t supposé strictement positif et en faisant tendre t vers O, on obtient V u . Dydx 3 X I u y ( r ) d z .La même démarche lorsque t < O, ou en cliaiigearit cp en -p, conduit à l’inégalité inverse, d’où :

so

sa

J, Q u . V y d x

= X1

ln

uy(x)dx.

On en déduit le résultat, en utilisant la définition de Au au sens des distribut ions.

244

C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES

:

TECHNIQLJES VARIATIONNELLEÇ

Montrons que A1 est la plus petite valeur propre. Supposons X et w E If;, I I et en utilisant la forniule de Green généralisée, on obtient :

w non identiquement nulle t,elle que -Au = Xv. En multipliant par

et, donc, X 3 X i . Montrons, à present, que l’espace propre est de dimension 1. Soit I I un vecteur propre pour X I et, en utilisant selon une reniarque précédente le fait qu’il existe des fonctions propres de signe constant dans O. soit u unc fonction propre à valeurs 3 O. On multiplie l’équation satisfaite par IL par 1 1 ~ / ( u E ) , où E > O, fonction qui appartient à HA. On obtient :

+

Transformons le ternie de droite ; on a :

VU.V(-)

II U+E

=2-

II IL

+

Y2

VU.VV-E

(11,

+

E)2

/VUl2

Doric :

Or, grâce au tliéorèrnc de convergence dominée, le terme de gauclic tend w2(z)dz= IVv12(z)dz.Par conséquent : vers XI

s,

2

‘II

!%llutcVIL - V7i/

= O,

ce qui entraîne que lini,,oV(v/(t+e)) = O dans L2 fort sur tout compact. D’après un principe de maxiniurn strict(cf. proposition 5.74), ‘u > O à l’intérieur de R. Soit alors RI un compact connexe dans R et mcl, telle que u m c 2 , sur RI.La suite {71/(u E ) ) } converge vers I I / U dans L’(RI). Le passage a la limite précédent montre que son gradient est riul dans (21. On en déduit v = ~ $ 2 ~ Finalement, 7 ~ . en considérant des ouverts connexes coiitenarit (21, on voit que cette constante ne dépendant pas de ( 2 1 . L’ouvert I l ktant coiiiiexe, on a donc prouvé l’existence de C telle qiic v = C u dans (1. Or1 a prouvé eri d i n e temps quc toute fonction propre est de signc O constant, ce qui achève la démonstration.

+

Remarque 5.34. À la place de la déniorist,ratiori précédente, 011 peut aussi utiliser le résultat de régularité des solutions des problèmes de Dirichlet (voir plils loin) et le principe de Hopf qui est énoncé dans le théorème 5.83.

5.4. RÉGULARITÉ DES SOLUTIONS PRÉCÉDENTES

245

On constate alors que la fonction v 2 / u est alors dans H1 ce qui permet d’éviter l’intervention d’un paramètre E (cf. exercice 5.1).

5.3.6. Problèmes [ D U - ] L , _avec ~ O

< X < XI

Alors, la fonctionnelle & minimiser n’est pas convexe mais coercive et faiblement s.c.i. On suppose O < X < XI. I1 s’agit, R étant iiii domaine borné dc classe C1 dans R N ,de trouver u solution dans HO(R),de [ZXr]L.pA, avec f E L”(62).

E:ristence d’une solution. 0

Cette équation conduit à considérer la fonctionnelle dkfiriic sur HO (R)

par :

Cette fonctionnelle est coercive puisque X < X I . Le minimum est donc dans R.Soit alors ( 7 ~ ~une ~ ) suite niinimisante pour J . Elle est bornée dans HO donc. quitte & extraire une sous-suitc, elle converge vers u E H i , faiblcnient dans H~ et forternerit dans L 2 . On en déduit qiie le terme non convexc -A ln ~ I L , , ~ ~ (converge J)~x vers -A Jr2I I L ~ ’ ( J : ) ~ ~ . L’autre terme en gradient etant s.c.i. pour la topologie faible, on en dkluit que u est solution dtl

ce qui montre le résultat. 0 Puisque J admet un minimun~ en 7 ~ on , a J’(u) X!u = f . dans HA(R) par I L , à savoir -Au

= O,

d’où I’EDP vérifiée

-

Urvicité. Puisque l’iiquation est linéaire, il suffit de vérifier que U J ,solution de [Dr]a,pX est nulle dans R. Pour cela, il suffit de se rappe1t:r que, si w n’est, pas ideritiquement nulle, elle est une fonction propre pour une ~ialeur propre X < XI ce qui est impossible par la proposition précédente.

5.4. Régularité des solutions précédentes

On s’iriteresse niaintenant iila régularité des solutions des problèrnes [ D r ] précédents. 5.4.1. Problèmes [2)(,r]i

Théorème 5.35. Soit R un, domaine borné de classe C2 et f un élémen,t de L‘((il). Soit A vérifiant les hypothèses précédentes. Alors, s i u est la solution dans HU (O) de elle appartient (i. H’((11).

[&]A,

246

C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES

:

TECHNIQUES VARIATIONNELLES

Preuve du théorème 5.35. Faisons un préambule à la preuve pour en faciliter la lecture. Elle se fera en trois étapes qui sont justifiées par ce qui suit : En utailisant une partition de l’unité {pi} attachée au recouvrement de classe C’ de 0, on se ramène à montrer que chaque cpiu est dans H2(R).En effet si ‘pk est dans D ( R N ) ,elk vérifie aussi une équation div (A( z)V ( ‘ p k u ) ) E L2(O), car le second membre de l’expression :

appartient à L’(a). Dans le cas de k = O, puisque pou est à support compact dans 0, elle satisfait une équation de la forme div(A(r)V(pou)) E L z ( R N ) , ce qui justifie une première étape, à savoir :

Étape 1. On commence par niontrer Ie résultat sur R ~ autrement , dit : si u E H ~ ( R est ~ )à support compact et satisfait à l’équation -

div(A(2)Vu) = f ,

avec f E L’(EXN) et A symétrique, lipschitzienne et coercive, alors, u E H2(RN).

Pour les autres fonctions ( p k u , on doit donc montrer que si u est à support compact dans un ouvert de la forme RI, n 2,avec la condition au bord (Pku(Z’,u(d)) = O et satisfait par ailleurs à div(A(z)Vpku) E L 2 , alors pku E H 2 . Outre le fait que a peut être la fonction nulle et donc que le bord est localement droit, on peut par un changement de cartes, comme on le montre plus loin, se ramener à ce cas. Par conséquent. cette remarque justifie une deuxième étape, & savoir :

Étape 2. On étend le résultat obtenu à la première étape à l’ouvert R ]O, +a[ avec la condition IL = O sur { r =~O}.

~x-

La démonstration se terminera par : Étape 3. On étend à l’aide de cartes locales et de partitions de l’unité, le résultat au cas de 0. Ici la difficulté provient du fait qu’en changeant de cartes, A(z) est rnodifiée. Cette difficulté sera surmontée en reniarquant que A ( z ) est remplacée

~

5.4. RÉGIJLARITÉ DES SOLUTIONS PRÉCÉDENTES

247

par une matrice B ( z ) ,elle aussi uniformément clliptique. On pourra donc conclure en utilisant les résultats déjà obtenus sur IRWNp1x ] O , + m [ .

Première étape. Soit u E H1(IRN)à support compact. On fixe une direction e,, et on définit la translatée u h : z H u(z+he,).Puisque l’équation est linéaire en u on a div(At,Vuh) = fh, de sorte qu’en retranchant cette équation translatée de l’équation et en multipliant ensuite par utL u,on obtient par intégration sur R et utilisation de la formule de Green sur H1x W2(div) : ~

+

On développe le premier facteur en : (Ah - A)Vuh A(Vuh -Vu),pour en déduire, à l’aide d’une translation de la variablc dans l’intégrale du second membre :

En divisant par h2 on obtient :

Pour le second membre, considérons u = (uh - u ) / h . Alors, on a la relation (u- ‘uU-tL)/h = (uh - 2u u - h ) / h 2 .Puisque ‘u E H ’ ( R N ) ,on déduit de l’inégalité (2.26) de la proposition 2.23 appliquée pour R = RN,la niajoration

+

En utilisant en outre l’uniforme ellipticité de A, la relation précédente fournit :

Finalement, on obtient

248

C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES

:

TECHNIQUES VARIATIONNELLES

Puisque le membre de droite est indépendant de h, on peut utiliser la caractérisation des fonctions de H 1 à l'aide de différences finies, donnée (cf. encore la proposition 2 . 2 3 ) dans le chapitre 2. En faisant décrire à e, une base de RN,on obtient, pour u solution de [Dr]A,l'appartenance VVu E L2 avec, pour la norme, l'inégalité :

1 IIVVUlI2 6 p u 1 1 2 IlVAllm + Ilfllz).

Deuxième étape : cas de RN-l x ] O , +CO[. On peut reproduire les calculs + ci-dessus, avec h = he,, où z < N . En raison de la nullité de u h - u sur le bord, la formule obtenue en intégrant le produit div(AhVuh - AVu)(uh- u) nous donne, par la forniule de Green, si l'un des indices ( z , ~ ) est différent de N , l'appartenance :

a,,u E L2(RNP1 x ]O,

I1 reste à obtenir que

~ N N UE

+CO[).

L2. Pour cela, on écrit l'équation sous la

forme : 8N(ANNaNu)

=f

&(A&u) E L 2 .

-

z
On est ramené, en posant A N N ~ N=Ubv à montrer le

:

Lemme 5.36. Si b E I.I/l'"(RN-l x ]O,+m[) avec b 3 cy > O et si v E LyRN-1 x ] O , +m[) satisfont, au sens des distributions, à l'appartenance d N ( b V ) = v E L2(RNP1 x ]O,+m[), alors : d ~ = v (V - ( û N b ) u ) / b appartient à L 2 ( R N - l x IO, +4.

Preuve du lemme 5.36. O Commençons par le cas où, en outre, b est de classe C1, situation où l'argument est plus simple. En effet, d ~ est v une distribution d'ordre 1, on peut dériver son produit par b qui est dans C 1 selon la formule d ~ ( b 7 i= ) b d N v d N b , de sorte que b3Nv L2. Puisque l / b E L", le résultat en découle. En fait, le résultat est encore vrai si b E IV1,". En effet, on peut utiliser le fait que, si ûN(b'u) E L 2 ( ~ " p 1 x ]O, +CO[), alors, en prolongeant b et 'u par la réflexion (d, zN)++ (d, -IC"), à savoir w(d,Z N ) = ,U(IC', -zN) et la même chose pour b, on obtient a ~ ( b E~L)2 ( R N )d'où, , en utilisant encore la proposition 2.23, la majoration ll((bw)h - bv)/hllz < C où C ne dépend + pas de h = h e N . On en déduit que la fonction b(wh - v ) / h 'uh(bh - b ) / h est uniforménierit bornée dans L2(IR"). La fonction b étant lipschitzienne, ce qui implique que vh (bh - b)/h est uniformément bornée dans L2(IRN),on déduit de la propriété précédente que b(vh - u ) / h est uniformément bornée

<

+

+

5.4. RÉGULARITÉ DES SOLUTIONS PRÉCÉDENTES

249

dans L2(IRN).Enfin, b étant minorée, la fonction (utL- u ) / h est aussi bornée dans L ~ ( I R ~ ce) qui , fournit dN7i E L ~ ( I R ~ ) .

Remarque 5.37. Notoris que, dans le cas où A est une matrice diagonale ou telle que ses coefficients AiN sont nuls, ce qui est le cas pour l’opérateur laplacien, on peut utiliser le prolongement 2i(z’,zN) = --U(z’. - J . N ) qui satisfait une équation div A(VU)(z’, z ~ =)f(z’, Z N ) avec f l’antisyniétrisee de f , et cela sur I R N . Troisième étape. On passe au cas d’un ouvert de classe C2. Soit donc u une solution du problème [2)ir]A.Soit pk une fonction régulière iisupport compact dans ?i n R k , où RI, est tel qu’il existe a k une fonction de classe C2 sur un ouvert O’ de et

R n R k c {(z’,zN)1 z’ E O , X N > a k ( z ’ ) } ,

dR n Rk = { ( ~ ’ , u ~ ( zj ’2’) )E O}. Montrons que la fonction

y k i ~a

la propriété suivante :

div(A(z)V(pku))= g E L2(R n 6 2 k ) . Pour le vérifier, on écrit, pour faciliter la lecture, en remplaçarit PI, par p et la notation 62 n RI, par R :

+ div (A(z)(Vp)u) = pdiv(A(z)Vu) + V p . A(z)Vu + div(u, A(z)(Vp)) = 9.f + h,

div(A(z)V(pu))= div(A(z)pVu)

où il, E L2(R). En effet A E L” et Vu E L2 entraîne A(z)Vu E L 2 , et O p E D(IRN) donc A(x)VuVy E L2. D’autre part (Vp)u E H I , donc UA(%). Vp, produit d’une fonction de W1im par une fonction de H I , est dans H1. On est donc rarnerié à montrer la régularité suivante :

Lemme 5.38. Soit u , à support compact dans RI, na, tel que div(A(z) . VU) = g E

L’(RI,

n $1) et u = O sur dR n RI,,

alors u E H2(IWNp1 x IO, f4. Preuve du lemme 5.38. Soit u, définie sur 0’ x ]O, +CO[ par u(d,zN) = u(z’, u ( d ) + zN). Alors, on voit, comme conséquence de la régularité de 0, que v appartient à H1(O’x ]O, +m[) et qu’elle est à support compact dans 0’ x [O, -too[. On niontre qu’elle vérifie une équation du type div(B(Vw)) = h, où h est un élément de L2 et où B est une matrice que l’on va déterminer à l’aide de A.

C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES

250

Les relations :

nous incitent, pour x fixé dans tel que :

R n Rk,à associer à X E BN, le vecteur Y

Y Z E [1.N - 11, Y, = X ,

-

tlZuXN et

YN

= XN.

On est ainsi amené à déterminer la matrice B , symétrique, telle que pour tout x E I W on ~ ait :

(*>

x B z , X t X , = EAz,7’,Y,. 23

23

En développant cette égalité et en identifiant, on obtient les relations : (2,

j ) E [I,N

-

Il2, B,,= A,,

V Z E [I,N

-

11, B,N

= A%N -

A,,d,a 3GN-I

B N N= A N N+

diaAi~

Aijôiudja2,gGN-l

i
Alors la matrice B est à coefficients dans IV1>”. Les hypothèses faites sur u permettent aussi d’affirmer que la fonction ( x ’ , x ~H ) h ( z ’ , x ~= ) ~ ( x ’ , u ( x ’ ) + x Nest ) dans L 2 ( 0 ’ x ] O+CO[). , Puisque .(.’,O) = u ( d ,a(%’)), u est solution du problème [237-]h,. Pour appliquer les résultats de la deuxième étape, il reste à voir l’uniforme ellipticité de B . Pour cela, soit C la matrice telle que Y = C X , c’est-à-dire :

V’i


-

1, Cij

= d,j

-

diUbNj,

CNj = d N j .

Cette matrice est inversible et la relation (*) se traduit par B =t CAC. I1 est clair alors que C et son inverse appartiennent à LM et qu’en conséquence, la matrice B est uniformément elliptique. L’uniforme ellipticité étant ainsi prouvée, la fonction u est dans la situation de la deuxième étape. Donc

v

E ffZ(IWN-1 x IO, +CO[). De retour à u,on a finalenient :

pku E f f 2 ( R k

n O),

ce qui donne l’appartenance annoncée dans le lemme.

O

Puisque u est la somme des (pku, elle est dans ff2(R). La démonstration du théorème 5.35 est ainsi terminée. O

5.4. RÉGULARITÉ DES SOLUTIONS P R ~ C É D E N T E S

251

[%-]a, un

Remarque 5.39. Dans le cas où A = Id, donc dans le cas de argument de régularisation peut être utilisée pour la première étape : On commence par montrer que, si ’u E D ( R N ) ,alors :

L

N

=

Jh“

On obtient cet te égaliti: en faisant successivenient deux intégrations par parties :

On considère ensuite u, = pE * u.On a A’lL, =

*

pE f

et, par le calcul qui vient d’être fait, VVu, est une suite de Cauchy dans L2(IRN).Puisqu’elle converge au sens de D’vers VVu, on obtient que u E H2(RN).

5.4.2. Résultats sur la régularité d’ordre supérieur

Proposition 5.40. Soit, pour m 3 O , ‘un domaine borné R de classe et f E H”(R). On suppose que la matrice A satisfait aux hypothèses du théorème 5.35 et, e n outre, à la régularité A E Cm+’(n). Alors u , solution du problème appartient à Hr‘L+2(R).

[%]A,

En particulier notons, à l’aide des injections de Sobolev, les résultats suivants, conséquences de ce théorème : 0 Lorsque 2(m 2) > N , la solution u est continue et lorsque 2 m > N , elle est de classe C2. 0 De même, si f E Cm(R) et A E Cm(n), ce qui implique f E H;U(R), alors u E HI,, n”+”(n)= c-(n).

+

n,

n,

Preuve de la proposition 5.40. 0 Pour montrer la proposition, on raisonne par récurrence sur m. Corrimençons par supposer que u est la solution dans H1(RN-l x 1 0 , + 4 ) du problème [Zhr]2,où f E Hm(RNpl x ]O, +a[). Supposons la proposition montrée à l’ordre nb-1. On a donc u E H“+l(RNpl x]O, +cm[). Si IC 6 N-1, en dérivant l’équation par rapport à la variable x k , OII obtient :

252

C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES

Donc, compte tenu des hypothèses et du résultat à l'ordre m - 1, le membre de droite g de l'équation (**) appartient à H"-l. Par ailleurs, sur dR,on a dku = O, car w,(z',O) = O entraîne d k u ( d , O) = O. La relation (**) exprime donc que d k u est solution de [Dk]:. En utilisant une seconde fois l'hypothèse de récurrence pour d k u , l'appartenance de g à H7n-1(RN-1 x ]O, +CO[) entraîne celle de la dérivée &u à H"+l(RN-' x 10, +CO[). II reste à nioritrer que dNu E H ~ ~ + ~ x( ]O, R +CO[). ~ - ~ Or, puisque u E H"+l(RN-l x ]O, +CO[), on a déjà 3 ~ EuH"(RN-l x ]O, +CO[). Comme on vient de montrer que dku E Hm+' (IRN-' x ]O, +CO[), on a, pour k 6 N - 1, le résultat & N U E H"(IRNpl x ]O, +oo[).D'autre part :

Enfin, par l'uniforme ellipticité de A, il existe une constante (Y > O telle que ANN 3 (Y > O. Doric, en notant que si une fonction u t et si b E C" est telle que b # O, alors v/b E H", on obtient ~ N N UE H"(RNpl x ]O, +KI[). De tout cela, il résulte que u E HTn+'(RN-l x ]O, +CO[). En fait on peut aussi, dans ce qui précède, supposer seulement que A est un élément de Wm+l,oo. 0 On passe au cas général. On utilise encore la partit,ion de l'unité et la localisation. Les notations concernant les définitions de la régularité Cmf2 restent toujours les mêmes, on est donc ramené à montrer que l'on a pku E H m f 2 ( R k n R) en supposant que div(A(Vu)) E H"(Rk n 0 ) . Soit 11 la fonction définie dans RI*n R par

où a une fonction de classe C T n f 2 sur 0'. Alors w est à support compact dans 0'x [O, CO[. En utilisant B introduite dans la preuve de la proposition 5.35, elle est solution de div(B(Vv)) = g avec g E H"(C3' x ]O, +CO[), et B E C"+'(R n 0,) donc, par Ia première partie de la proposition, E H " f 2 ( O / x ] O , +CO[) et en utilisant le fait que a est Cm+2, on trouve que (PkU E H m f 2 ( R k n O). En utilisant un recollernent, on a finalement la conclusion u E H m f 2(fl).

O

5.5. PROBLÈMES DE N E U M A N N

253

5.5. Problèmes de Neumann

Lorsque la condition frontière fait intervenir dans le modèle physique de Dirichlet, non plus une égalité portant sur la fonction inconnue, mais sur une dérivée de cette fonction, le problème est dit d e Neumann.

5.5.1. Trace normale et dérivée normale Soit

R

un domaine horrié de classe C1 et A une fonction appartenant à

C1(D) à valeurs dans l’espace des matrices symétriques sur RN.On suppose que CT E L2(R,IRN) de sorte que n: H A(z)u(a) est défini comme fonction sur R à valeurs daris RN.On a, puisque R est t)orné, Au E L2(R,I R N ) , donc, si on suppose que div(Au) E L2(R),on en déduit que ACTE Wz(div)(R), espace introduit au chapitre 3 (§ 3.4.3). Alors, par la formule dc Green généralisée 3.58, I t symbole ACT. Z’ a un sens sur 30. Ainsi :

V U E H’(R).

b

( A c T . Z ’ , ~ ~=U ) Ao(z).VU(x)dn:+

U ( x )div(Au)(z)dz.

Définition 5.41. Cette forme linéaire Au . $, qui appartient au dual de l’espace de traces H’/2(df2),donc & ~ ? - l / ~ ( d R est ) , appelée la trace norrnale de .4u sur di]. En particulier, si u E H’(f2) et div(AVu) E L2,la dérivée nor~nale, ou plus précisément la dérivke A-norm,& de u , à savoir A(n:)Vu . 2 = Ai,?&unj, appartient à H-1/2(dR). En prenant pour A, la matrice identité, 011 obtient que, sous les conditions A’u E L2(R)et u E H1(0), on peut parier de la dérivée iiorrnale & I L L qui appartient ~ - l / ’ ( d n ) . 5.5.2. Problème de Neumann homogène

[Neu];

Énoncé du p r o b l h e . Le problème consiste à chercher u dans H’(f2) tel que : dans R , - div(A(z)Vu) = f

[Neu];:

{

A(Vu) .nI = O

sur 30.

Remarque 5.42. Notons que ce problème n’a de solutions que si :

.1/1

f (n:)dx= O.

(5.43)

En effet, si u est une solution, en appliquant la formule de Green avec p et A(n:)Vu qui appartient à W;(div), on a :

1

f(z)dn:=

1

-

=

1 ~ 2

div(A(n:)V,u(n:))dn:= ( A ( x ) V u . Z’, i n ) = O.

On supposera donc cette condition remplie et, également, que A vérifie les hypothèses éiioiicées dans l’étude du problème [Dr];.

254

CHAPITRE 5. EDP ELLIPTIQUES

:

TECHNIQUES VARIATIONNELLES

Formulation variationnelle. Comme dans ce qui précède, on associe à ce problème, la minimisation : inf J ( u ) =

(5.44)

inf utW’(R)

{

L ( A ( x ) V u ) . Vudx

~

fudz]

s,

Compte tenu de l’hypothèse f ( x ) d x = O, on remarque que, si u est une solution, alors u cte est aussi solution, et plus généralement que la fonctionnelle J définie dans (5.44) vérifie J ( u + cte) = J ( v ) , ‘iv E H I ( [ ] ) .En identifiant l’espace des fonctions constantes à R, on peut alors travailler sur l’espace quotient H1(R) = H1(R)/R. Muni de la norme quotient, à savoir (cf. exercice 1.28) :

+

-

(5.45) cet espace est un Banach séparable et réflexif. Pour montrer la coercivité _ I

-

de Jdéfinie sur H1(R) par J ( V ) = J ( v ) , on utilise une inégalité analogue à celle de Poincaré :

Proposition 5.46. Soit R u n domaine borné de RN . Pour tout u appartenant u(z)dx. à H1(R), o n définit [u]n par [u],= (mes(R))-’ Alors, il existe une constante C > O telle que :

Preuve de la proposition 5.46. Si u = cte, l’inégalité est évidente. Dans le cas contraire, posons, pour u E H1(R), m(u) = [u]nln. Supposons par l’absurde qu’il existe une suite { u n }E H 1 , un non constante, telle que : Ilun - m(urJ/lHl(n)3 ~

I I ~ U n I l 2

Soit alors la suite des termes v, = (llu, - m(u,,)/)2)p1(u, - m ( u n ) )On . a l/Vunl12 1/n, et Ilvn/12 = 1, donc {un} est bornée dans H1(f2),et puisque l’ouvert est borné, on peut extraire de {un} une sous-suite, notée de la même façon pour simplifier, qui converge dans H1(R) faible et dans L2(R) fort. Puisque lIVv,l/~ converge vers O, on a la convergence forte. En particulier, la sous-suite choisie converge vers une fonction qui est constante. Mais la fonctionnelle ‘riétant linéaire, on a m(urL) = O et, puisque vi est évidemment continue pour la norme de N 1 , on en déduit que {m(v,)} converge vers m ( v ) , qui est égal à 11, car I) est une constante. Finalement v = O. Ainsi, en utilisant llunllH1 = 1 et la convergence forte, on en déduit IIwIILz(n) = 1, ce qui const it ue une contradiction. O

<

5.5.PROBLÈMES D E N E U M A N N

255

Existence d’une solution. Retournons à la formulation variationnelle (5.44). La convexité de J résulte de la convexité de l’intégrale et de la linéarité du terme f(z)u(x)dz.La continuité est évidente. Pour la coercivité, on a d’abord, par la propriété d’ellipticité : J ( u ) 3 allV.ull2 - l l f / / 2 1 1 w ( / 2 , puis, en utilisant la proposition 5.46 :

J@) 3%lI;c

- IIf11211~llH1.

-

On en déduit l’existence d’un minimum pour 2 sur H1(R). I1 reste à caractériser la fonction u réalisant ce minimum et & vérifier qu’elle satisfait la condition de Neumann. En utilisant la différentiabilité de J , u est caractérisé par :

tip E D(R),

.h

A(x)Vu(z). Vp(z)dx -

I1 en résulte que l’on a, dans 62, l’égalité : tix E 62,

Jn

f(x)p(z)dx = O.

-div(A(x)Vu(x)) = f ( z ) .

Tenons compte, à présent, de cette égalité dans s1 et appliquons, pour tout p E H1(R),la formule de Green. On obtient :

On peut conclure à l’égalité A(z)V,u . = O comme élément du dual de H1I2( d o ) .L’existence d’une solution est donc assurée. Unicité dans l’espace quotient. Supposons u et u deux solutions et montrons que leur différence est une constante. Cette différence w satisfait à [Neal:, à savoir : tix E 62,

-

div(A(z)Vw(x))

O

et, sur df2

:

A(x)Vw. 3 = O.

En multipliant par w et en appliquant la formule de Green, on obtient :

h

A(z)Vw(z) . Vw(z)dx =

Lo

w ( z ) A ( z ) V w . %do

= O.

Le premier membre étant minoré, grâce à l’uniforme ellipticité, par l’expression 0llIVw11’&(~),on en déduit w = cte ou 211 = O.

Régularité de la solution. On suppose l’ouvert R de classe C2,la fonction f dans L2(R) et la fonction matricielle A de classe C1 sur et, bien entendu, uniformément elliptique. Soit, enfin, u la solution du problème [.N’eu]:. On démontre des résultats de régularité analogues à ceux de Dirichlet :

Théorème 5.47. (1) Sous les hypothèses précédentes, la solution d e [Neu]: appartient ù HZ(f2).

256

C H A P I T R E 5 . E D P ELLIPTIQUES

:

TECHNIQUES VARIATIONNELLES

C”+’(a),

(2) Sa f t H m ( R ) et A E l’ouvert R étant de classe Cmf2, alors cette solutaon satasfaat à u E Hm+2 (O). Preuve du théorème 5.47. Comme dans le théorème de régularité pour Dirichlet on fait la preuve en plusicurs étapes. 0 La première étape sur RN est la même. 0 On passe au cas de IRNp1 x ]O, +m[. Soit u à support compact dans EXNp1 x [O, CO[. On remarque que, grâce à la condition de Neumann homogène, la formule de Green

J’

RN-1

(A(x)VU). VU

+

L1

fv =O

xl0,4

X]O,nû[

est encore vérifiée, quel que soit u E H ~ ( I R x~]O,m[). - ~ On peut donc procéder conirrie dans la preuve de Dirichlet, à l’aide des translations dans les directions autres que e N . On obtient ainsi, en retranchant les équations satisfaites par u et u h , en multipliant par wh - u et en intégrant sur IRNp1 x ]O, CO[, une estimation uniforme qui permet de montrer que &,u t L2 dès que l’un des indices est autre que N . On termine, pour l’appartenance de ~ N N Udans L 2 , cornme pour la preuve de Dirichlet, en écrivant l’equation sous la forme :

~ N ( A N N =~ -f N ~ )

,< N - 1

&(A,,&u) E L 2 ,

,J

et en utilisant le lemme 5.36. 0 Cas général. On utilise le matériel habituel de la régularité de : le recouvrement, les cartes locales, les fonctions p ~d’une , partition de l’unité ... En raisonnant conime dans le cas de Dirichlet. on voit que la fonction v k u satisfait dans R n RI, à : div(A(4V(cpI,u)) = 9 avec y t L2(R n RI,). Mais, contrairement au cas de Dirichlet, la condition au bord A(z)V(cp~,u). n’ = O sur dR n RI, n’est plus nécessairement vérifiée. Cependant, en développant O(p~,u), en utilisant la linéarité de la trace normale sur L2 et en factorisant par les fonctions à valeurs scalaires, on obtient : AV(cpku). n’ = ( A V U .Z)pk ( A ( V ~ I -t ,n)). u = ( A ( V p k ) . X),.

+

Considérons la fonction A*, définie sur dR par d H ( A ( d ) ? L ( d ) . n’(d)). Elle est de classe C1 et, par hypothèse d’uniforme ellipticité, ne prend pas la valeur nulle. La frontière étant de classe C2, la fonction ( l / A * ) A ( V p k ) ,n ‘ u est alors, sur dR, le produit de la trace you E H1/2(dR)par une fonction de classe C1 sur 2.En adaptant la preuve du caractère local de H1/2dans

5.5. PROBLEMES D E NEUMANN

257

la proposition 4.26 du chapitre 4, on prouve que cette fonction appartient à H1/2(dfl).On applique alors, 0 étant de classe C2, le théorème de trace 3.79 du chapitre 3 pour rri = 2 et p = 2. I1 y est prouvé que l'application y = (y0,yI)de I f 2 ( ( ] )dans l'espace produit H"/'(dfl) x H1/2(df2)qui associe à O , le couple (yov,d~v) est surjective. Dans le cas présent, on peut donc trouver V E H2(fl)telle que :

{

si x E df2 :

V(x) = O

axv =

(A(Vvk) .il>.si z E 862.

Alors, on en déduit :

La fonction U -

= (PIÇU-

V satisfait donc à la relation

div(A(x)VU) = - div(A(z) . V(pku)

:

+ div(A(z)VV) E L2

avec maintenant la condition A ( x ) V U . 2 = O. On définit alors 'u dans H1(IWN-' x 1 0 , + 4 Par

Comme dans la preuve de la régularité de Dirichlet, la fonction u vérifie div(B(s)Vv) = h, cette fonction fi étant daris l'espace L'(EtNp1 x IO, +4). Nous alloris montrer que v est solution d'un problème de Neumann sur RN-l x ]O, +ca[), ce qui permettra d'utiliser le résultat de régularité sur cet ouvert. On rappelle que

'di E [1,N - 11, B%N = A%N-

A,,~,u jGN-1

BNN= ANN

+ AUaVu

AN,d,a.

-

jCN-1

On vérifie alors la relation :

En effet la relation A(2)VU. 2 = O

C H A P I T R E 5 . EDP ELLIPTIQUES

258

:

TECHNIQUES VARIATIONNELLES

s'écrit, compte tenu du fait que 2 est colinéaire à -Va+eN et des relations entre les dérivées partielles de U et w calculées dans la section précédente :

O=

Aij(8,U

-

i,j
J
=-

A,,û,vd,a

+ A , N ~ , u+ ~ ; I I ( A N N + AUaUa

zjGN-1

=

AN,ûja)

-

jGN-1

N

B , N ~ ,uBNN~NU.

-

1

La relation (*) est ainsi prouvée. Or, cette relation exprime que la trace normale BVu.e< est nulle sur { X N = O}. La fonction 11 est donc, ainsi qu'on le voulait, solution du problème [Neu]; dans l'ouvert R = R N p l x ]O. +m[. On est donc ramené au résultat de régularité sur IRN-' x ]O, +CO[.Ainsi, w E P ( R N - 1 x ]O, +CO[), ce qui entraîne aisément, en utilisant le fait que a est de classe C2, que u E H2(Rn f 2 k ) .

Régularaté à l'ordre supéraeur. On montre la régularité d'ordre H m f 2 en supposant le bord de R de classe A E C'"+'(si) et f E H"(R). 0 On se place d'abord dans le cas de R = IRNp1 x ]O, +mû[, espace que l'on note RN+. On suppose donc que u satisfait à div(A(z)Vu) = - f dans IRN+ et à C , A z ~ d , u= O sur le bord { I G N = O}. La preuve est faite par récurrence. On suppose donc montré que si f E H"-l et A E C"(a), alors u E H"+l(RN+). Soit, maintenant, f E H m ( R N + )et A E C"+'(RN+). La dérivée de u par rapport à I G ~ avec , IC < N - 1, satisfait à l'équation : div(A(z)V(&u)) = - a k f

-

div(dkA(z)Vu).

Le second membre de cette équation appartient ti HnL-' puisque VILE H m par hypothèse de récurrence et que & A E C" (adaptation de l'argumentation du caractère local). La condition au bord n'est plus nulle mais on a : A(X)V(aku)

'

eN =

ak(AVu. e N ) - (dkA)Vu. eN = - ( d k A ) V l ~ .€ N .

Cette dernière fonction -(&A)Vu . e~ est la trace d'une fonction de ,',(IRN+). C'est donc un élément de H"-112(RN-1). En utilisant la surjectivité de y rappelée précédemment, objet du théorème de trace 3.79, on prouve l'existence de V E Ilm+' tel que A(x)VV . e N = (dkA)Vu. e N . La fonction w = ûku - V satisfait aux relations : div(A(.c)Vw) E HnL-l(R), A ( z ) O w . On en déduit w E Hm+', ce qui entraîne ûku E H'"+'.

= O.

5.5.PROBLÈMEÇ DE NEUMANN

259

I1 reste à voir que d ~ EuHnL++'(R). Comme on a déjà E H"(R), il suffit de vérifier 8 ~ , 7 ~E H"(R). Cela s'obtient, comme on l'a déjà fait dans le cas de Dirichlet, en écrivant :

0 Cas d'un ouvert de classe On utilise d'abord une localisation puis uri changement de fonction pour se ramener à RNp'x ]O, +CO[. Soient RI, des ouverts de classe qui recouvrent R et {pk} une partition de l'unité subordonnée à, ce recouvrement, coniine dans la définition d'lin ouvert La fonction pI,u satisfait à une équation de la forme

tliv(A(z)V(cpku)) E H", niais la condition au bord de Neumann n'est pas nulle. Pour pouvoir appliquer l'hypothèse de récurrence, on remarque que :

car u E Hm+'(62). Soit donc V une fonction de Hm+2 telle que, sur on ait :

(5.48)

V

=O

et) (A(z)n.,n)d,V= A ( ~ ) ( V y k )n' u.

Alors la fonction p ~ , u - V satisfait, sur ûR n R k , à -

dR,

div(A(z)V(cpku - V)) E Hnl

et

:

A(z) . V(cp~,u- V ) .7i? = O.

On fait ensuite le changernent de fonction liabitucl

et on vérifie comme on l'a fait dans le cas de la régularité d'ordre H 2 que :

Par la régularité dans le cas du demi-espace, on a l'appartcriance de I I à l'espace H"+2(RN-1 x]O. + C O [ ) . En utilisant la régularit6 de A ori en déduit p k u € N"+'(f] rink). On en déduit enfin u = p k u E Hm+' en utilisant les propriétés de rccouvrcment localement fini de R. Cela termine la preuve du tliéorèrrie 5.47. O

260

C H A P I T R E 5. EDP ELLIPTIQUES

:

TECHNIQUES VARIATIONNELLES

5.6. Problèmes de Dirichlet et de Neumann non homogènes 5.6.1. Problème de Dirichlet non homogène On désigne toujours par R un domaine born6 de classe C1. Soit TIO E H1I2(an).Le problème non homogène de Dirichlet [ D L D ~consiste T ] ~ ~à‘ clier~ cher u dans H1(R) tel que :

i

-

[

D

T

p

:

div(A(x)Vu) = f

u = UO

dans

sur

R,

m.

Exzstence et unzczté. I1 se résout en considérant le problème variatiotinel : (5.49)

Ce problème cst une niiriimisatiori sur un convexe fernié, mais or1 peut le traduire en une minimisation sur l’espace entier H 1 . Pour cela, on remarqua que ILO est dans l’espacc de traces H1/2(dR); on peut donc relever (cf. chapitre 3) cette fonction en Uo élément de H1( [ I ) . En fixant cette fonction et en iitilisarit la trarislatiori IL = Uo Y , on voit que le problèriie précédent s’énonce :

+

Cette nouvelle forictiorinelle v H JI(.). où le premier terme est une forme linéaire continue, est toujours cotivexe et cotitinuc sur H ’ ( n ) . En usant riotarrirricnt de l’uniforme ellipticité de A , la coercivité de J I résulte de l’inégaliti. : lJl(U)l

3 allv4;

- 1 1 ~ ~ ~ 0 / 1 2 1/ I~ l ~ f l ~l Y/ l /l ~2

~ ~-l l /KI. 2

On peut donc appliquer IC théorèrrie 5.25. ct comme ,I1est stricterrieiit convexe, on peut conclure à l’existence et à l’unicité d’une solution au problème 5.49. O Poiirsuivoris. La fonctionnelle JI cst G-dif€ér entiable. Par iin calcul maintenant classique, on a , pour tout p t D ( 0 ) :

Par cotiséquent :

Ji ( P I )

=

-

div(A(V(v

+ UO))

-

f.

5 . û . PROBLÈMES DE DIRICHLET ET DE NEUMANN N O N HOMOGÊNES

261

+

En annulant cette dérivée en u,on obtient que u = v Uo du problème 5.49 est bien solution de [ 2 3 ~ ] 2 ' ~ " . Notons qu'on peut se ramener directement A un problème de Dirichlet homogène en utilisant la translation 7~ - Uo.Alors u - Uo est cherchée coinnie solution de -

div(A(z)V.i/) = f

+ div(A(z)VUo),

u = 0 sur 861. Corrirrie divergence d'iiiie fonction de L 2 , on a div(A(:ï)VUo) E H-l(R), cc qui ét,ablit que le second rncmbre est dans H - ' ( O ) . On conclut avec la remarque 5.30.

Piopriétés de régularité. Proposition 5.50. Soit rn 3 O. O n suppose que O est u n domaine (le classe C7rL+2,borné, yue A E C T n + ' ( 2 ) , que E H"+3/2(30) et f E H"(62). Alors la solution, d e : -

div(A(z)Vu) = f

d m s 61,

u

= 110

s u r df2.

vérifie : 'u, E H T n f 2(O). Preuve d e la propositiori 5.50. La preuve est évidente en utilisant cncore une translation. D'après IC théorème de traces 3.79: puisque 110 E H""+3/2(dO).il existe U E Hm,+2(f2) de tract: 7 ~ 0sur 312. Alors, par les propriétés de A et celles de U : -div((A(z)V(u

~

U ) ) = .f

+ C(üz(A,,j)d,U+ A,,&,U)

= ,9.

i,j

Par les hypothèses de régularité de f . A , 7 4 on voit q i i e g E H'" (62). En utilisant, alors le théorème de régulariti: 5.40 pour le problème [Dir];, on obtient la coriclusiori attendiie' à savoir u E H77L+2 (O). O 5.6.2. Problème de Neumann non homogène

Soit 62 un domaine borné de classe C1.Ori suppose dans un premier temps que u1 E H-1/2(30).On se propose dc résoudre

C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES

262

Existence et unicité d’une solution. En vue de démontrer l’existence d’une solution u dans H1(f2),multiplions l’équation par u élément de H 1 ( 0 ) .En utilisant la formule de Green généralisée (cf. proposition 3.58), on obtient : O

ce qui suggère de considérer la minimisation :

(5.51)

irif

?,EH’(n)

J(v)

Puisque les fonctions constantes appartiennent à H 1 (O), on remarque que, si f(z)dz ( u l , i n ) # O, alors l’infimum précédent est égal à -00. On se place donc dans l’hypothèse f(z)dn: ( 7 1 , 1 , 1 ~ 2 ) = O, ce qui généralise l’hypothèse nécessaire pour le problème de Neumann homogène.

sn

+

+

I V

La fonctionnelle 7, définie sur l’espace quotient H’ (0) est alors strictenient convexe, continue et coercive sur cet espace séparable et réflexif. On en déduit l’existence et l’unicité, modulo les fonctions constantes, d’une O solution au problème 5.51, d’où le résultat pour [.h’-eu]Au1. Résultat d e régularité. Bien entendu, on suppose toujours (.1,

sn f ( z ) d z +

10) = o.

Théorème 5.52. Si f E H r n ( R ) , avec rn 3 -1, si A E C m f l ( n ) et si Hrn+1/2 (an),alors la solution u de [.h’-eu]2”1 appartient (I Hm+’(0).

7L1 E

Preuve du théorème 5.52. O La preuve se fait en utilisant, comme cela est fait par exemple dans le cas de Neumann homogène (cf. relation(5.48)), une fonction V dans Hm+’ telle que (A(z)VV) . n = 761. On conclut alors, en remarquant que div(A(z)VV) E H”(O) et en utiliO sant les résultats de régularité pour Neumann homogène.

5.7. Problème de l’élasticité On trouvera une 6tude des problèmes de l’élasticité dans [lo].

5.7.1. Élasticité linéaire, cas des petites déformations Dans ces problèmes, R étant un domaine borné O de classe C l , on considère le tenseur des contraintes E ( U ) associé à la fonction déplacement IL élément de H1(0,IRN) inconnue du problème. Ce tenseur, d’ordre 2 , a pour

5 . 7 . PROBLÈME DE L’ÉLASTICITÉ

263

composantes E ( u ) , ~ = s(aju,+d,u,), appartenant à L2(R). On définit dans l’espace ~ ‘ ( 0IR^) , la semi-norme u H I E ( U ) ~ ~ par la formule : IHu)/22 =

IE(427l$(R).

Classiquement, cette semi-norme devient une norme dans l’espace HO(O,RN),coinnie on peut le voir avec l’exercice 2.10. La divergence du tenseur E(.) étant le vecteur de composantes div(E(u))), = E, a J ( ~ ( ~ et ) 2fJétant ) un vecteur donné de L 2 ( 0 , R N ) , le problème [ & l a ~ t ] consiste f>~ en la recherche de la solution TL daris H 1 (O, IRN) de : [Ilast]f>O :

- d i v ( ~ ( u ) )= j

daris 0, sur d o .

Formulation variationnelle du problème. Elle s’écrit

Existence et unicité. Sous cette forme, il est clair que la fonctionnelle J précédente est strictement convexe et continue. Pour montrer la coercivité, on utilise d’abord l’inégalité de Poincaré, à savoir

1l ( f

’

u)(4dzl

< l l f l l 2 l l ~ 4 1 2< Cllfll21I~~I12,

puis l’inégalité de Korn (cf. chapitre 7, section 7.4) qui fournit l’existence de C’ telle que : l l ~ u l l 2,<

C’ 1().12.

On en déduit ensuite :

Enfin, ce qui donne la coercivité annoncée :

I1 en résulte l’existence et l’unicité de u solution du problème variationriel.

On laisse au lecteur le soin d’étudier la différeritiabilité de J permettant de montrer que cette solution est aussi la solution de [ & l a ~ t ] f > ~ .

264

C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES

:

TECEINIQUES VARIATIONNELLES

5.7.2. Extension au cas où p # 1 et p # CO Soit maintenant p > l , ~ E L ” ’ ( R , I W On ~ ) .pose

IE(u)~P=

( Cij~ i j ( u2 ))P

P

et on part du problème variationnel :

Le système des équations d’Euler, associé à cette minimisation s’écrit : i=N

E [l’NI’

~J(lE(u)IP-2E(U),J) =

-

fi.

j=1

On démontre l’existence et l’unicité d’une solution en utilisant la convexité et la coercivité de la fonctionnelle, cette dernière propriété étant une conséquence de l’inégalité de Korn (cf. section 7.4). Nous abordons, à présent, des exemples de résolution d’EDP non linéaires.

5.8. L’équation du plaplacien 5.8.1. Énoncé du problème du ylaplacien

Le problènie envisagé maintenant consiste à reniplacer l’opérateur de Laplace A = div(V) par l’opérateur non linéaire, noté AP, défini par :

A,u

= div(lVu/P-2Vu).

I1 gcnéralise les problèmes de Dirichlet proprement dits. Soient p > 1 un réel, dont le conjugué est noté p’, et R un domaine borné de classe C1. On veut résoudre, pour X 3 O et f dans LP’ (0)’le problème, noté [Lap]: :

On cherche u dans W,”p(0).Notoris que I V U ~ ~ - ~est VU la fonction vectorielle appartenant à LP’(0)qui est colinéaire à Vu et a pour module I V U I P - ~ . Cela définit bien une distribution et on peut donc parler de sa divergence.

Remarque 5.54. Ce même problème peut également être envisagé lorsque f appartient à un autre espace que L P ‘ . Nous détaillerons ces différents cas dans ce qui suit.

5.8. L’ÉQTJATIONDU p-LAPLACIEN

265

5.8.2. Résultat d’existence

Proposition 5.55. La fonction u est solution du problème [Lap]: si et seulem e n t si u réalise le minimum de la fonctionnelle définie sur W,’”(R) par :

La preuve de cette proposition nécessite dans le cas où X = O, une généralisation de l’inégalité de Poincaré, montrée sur H i :

Proposition 5.57. O n se donne 1 < p < 00 et R un domaine borné de classe C’ de RN.Soit N u n e semi-norme continue sur W’J’(fl), qui, e n outre, est une norme sur les constantes. Alors il existe une constante C > O telle que : (5.58)

v u E W ” P ( f l ) , IIVullp + N ( u )3 C(IIullp

+ll~4p).

La preuve de cette proposition a été proposée dans l’exercice 2.9, nous n’en reprenons pas la démonstration. Dans ce qui suit, nous utiliserons la 1lP semi-norme N ( u )= (J,, lu/”) . On en conclut que, dans W;’”(f2), IIVullp est une norme équivalente à la norme Il.llw~,. 1, on obtient :

16

f ( 4 W Z l

6

llfllP/ IIUllP

cllfllPJIIVUIIP.

ax

+

On utilise ensuite l’inégalité de convexité X “ Y 0 6 +BY,où Q /3 = 1, dans laquelle on choisit X = 2pPIIV~IIPet Y = (2C)p’lIfl($. On a ainsi :

On en déduit

J ( u n )3

1

,O P

-

2-p)llVunIlp

+ XIIunllp + K .

Puisque X 3 O, il en résulte, d’une part, en remplaçant un par u que i n f J ( u ) > -00 et d’autre part, que {un}est bornée dans W’,p(R). En utilisant la compacité faible des bornés de P ( R ) (cf. section 5.1) lorsque

C H A P I T R E 5.E D P ELLIPTIQUES

266

:

TECHNIQUES VARIATIONNELLES

1 < p < m et la semi-continuité inférieure faible de J pour la norme LP, on obtient, à l’extraction d’une sous-suite près, encore notée unpour simplifier, les deux propriétés suivantes : d’une part, cette suite converge faiblement vers u dans W’+‘(O), d’autre part, on a le résultat :

J ( u )6

J(UTL). n-CXI

On montre maintenant que u = O sur 80. Pour ce faire, puisque youn = O, il suffit d’utiliser la continuité de l’application trace de W1>P(0) sur W1-’lpJ’(dO) pour la topologie faible de W’J’. C’est l’objet de l’exercice 3.2 du chapitre 3. Ce qui précède fournit ainsi la première partie de la démonstration. O Montrons la rhciproque. On suppose donc qiie

J ( u )=

71

est solution de

J(v).

inf vtw,; ” ( C I )

La fonctionnelle J est bien définie sur W’>P(0). En l’exprimant & l’aide de liuIIP et IlVullE et en utilisant Holder, on voit qu’elle est continue sur W,’”(0). Elle est convexe, puisque le premier terme fait intervenir la coniposition de V qui est linéaire avec la fonction convexe t H t P et l’intégration. Pour la coercivité, on utilise, conime c’est fait ci-dessus, Holder et la proposition 5.57. Montrons que J i : u H Jn IVu(z)lPdzest Gâteaux-différentiable avec :

( J i ( u ) w) , =p

b

lV71l”-2(II:)Vu(z)Vv(z)dz. ‘

On procède comme dans l’exemple 5.20. Par le théor$me des accroissements finis, pour presque tout II: E R et pour t > O, il existe une fonction û à valeurs dans ]O, l [ telle que l’on puisse écrire : (5.59)

p u + tVv)(z)lP

-

IVu(z)l” - tplVu(z)l”-2VoU(z). Vv(II:)

+ O(t,~ ) t o 7 ~ ( ~ ) ) l P - ~+( O(t, ( o uz)tVw(z)) (~) . Vv(z)

= tp/Vu(z)

-

tplVu(z)lp-2Vu(z). Vv(z).

En divisant par t , on obtient pour presque tout z :

D’autre part, on peut majorer le deuxième membre de l’égalité (5.59) divisée par t par h ( z ) = LIVv(z)l(Vu(z)l IVv(z)lP-l En utilisant ensuite l’inégalité de Holder, on a :

+

Ihl 6 c I I ~ ~ l I P ( I I ~ u I I p+- lI l ~ ~ i i p - ’ )

5.8. L’ÉQUATION DU p-LAPLACIEN

267

On peut donc appliquer IC théorème de convergence dominix et conclure à :

(J{(u),w) = p

b

jVlL~”-2(x)Vu(T). V u ( x ) d z .

Le deuxième terme de J est également G-différentiable, comme l’exemple 5.20 le nioritre. En tenarit compte de cet autre résultat, on peut écrire :

En particulier, en utilisant cette égalité lorsque w est dans l’espace D(fl), lequel est dense dans W,””(O), on peut conclure à la caractérisation du niininiurn u de J , à savoir : -

avec u E

+

div( I V U I ~ - ~ V UXIulp-2u ) - f = O,

~,‘”(n).

Remarque 5.60. Ce qui précède est valable quel que soit X 3 O. Cela reste valable aussi si f est une fonction dans LN”/(N”-N+p) si p < N , dans L1(f2) si p > N et dans L1+‘ pour un nombre E > O si p = N . I1 suffit de voir que, dans chacun de ces cas, on peut définir l’intégrale J, f(z)u(z)d.clorsque u E W;’”(
-div(ai - a : ! ) . ( u - u 2 ) d z + X

b( I U # - ~ U ~

-IU~~~’-~,U~)(ZL~

-uz)dz

= O.

On considère les signes des fonctions intégrées. Soient X et Y des vecteurs de R N . Développons, pour p > 1, le produit scalaire U ( X , Y ) = (IXlp-2X lYlP-2Y) . ( X - Y ) . En utilisant X ‘Y IYI, 011 a : U ( X , Y ) 3 l Y l P - (IXlP-2 IYIp-”)IXI /YI, c’est-à-dire : -

< 1x1

1x1”+

U ( X , Y )3

(1xip-l-

IYl”-’)(lXl-

+

IYI) 3 o.

268

C H A P I T R E 5 . E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES

Ce résultat est aussi valable pour les scalaires X = ul(x)et Y = ua(2) où z E [ I , donc : (1u1(x)1”-2ul(x)- Iu2(z)l”-’u2(x))(ul(x) - u2(x)) 3 O, ce qui signifie que la seconde intégrale de (5.62) est positive. Quant à la premiere intégrale, en la transfoririarit par la formule de Green généralisée et eri teriarit conipte de yo(u1 - u2) = O, elle s’écrit :

~(lVu1Ip-2Vu1 - /Vu2/p-2Vu2) . (Vu1 Vv2)dr. ~

Alors, la relation U(Vu1(x),Vu~(~)) 3 O entraîne, si X presque partout sur 0 :

u1(x)= u2(x) et

# O,

les égalités,

Vu1(x)= V u z ( x ) .

Si X = O, la seule conclusion Vu1 = Vu2, suffit aussi à conclure à u l = u2 sur 0, puisque u1 = u2 = O sur le bord 80. D’où le résultat d’unicité. O Quelques résultats sur la régularité de la solution du problème du plaplacien, sont établis, notamnient par des méthodes d’estimation a priori, dans l’appendice de l’ouvrage.

5.9. Principes du maximum pour des EDP elliptiques On rappelle le principe classique du maximum. Urie fonction u,non constante, harmonique dans un ouvert connexe borné R de RN et qui se prolonge en une fonction continue sur 2,prend les valeurs de ses bornes supérieure ou inférieure seulement sur la frontière 3R. Cela revient à dire que si, sur dR, on a U ( J ) 3 ‘rn,on en déduit u(x)3 m dans 0. En utilisant u - m ,on est ainsi amené à étudier le signe d’une solution d’une EDP à partir du signe de sa trace sur 30. Ajoutons que, cependant, cette technique n’est valable que dans le cas des EDP linéaires. Dans ce qui suit, on étudie des principes du rnêrne type qui peuvent être associés aux solutions des EDP elliptiques, lesquelles généralisent ici les fonctions harmoniques.

5.9.1. Principe du maximum faible

Cas de la solution d e [Dir];,,. Dans ce paragraphe, R désigne toujours un domaine borné de RN,de classe C l . On rappelle la définition de la première valeur propre de l’opérateur - div(A(z)Vu) sur HO (O) : On procède, comme dans la sous section 5.3.4, dans l’étude de [ 2 2 i . ] ~ , p x . On obtient, notamment par l’inégalité de l’uniforme ellipticité de A, que le réel défini par : X1 =

t

E H:

inf (n)I I u I 2 =1}

A ( x ) (V u ( s ) ). V u ( z ) d z } ,

5.9. PRINCIPES DU MAXIMUM P O U R DES E D P ELLIPTIQUES

269

est strictement positif et que ce iiornbre est la plus petite valeur propre de l'opérateur - div(A(Vu)) sur Hi(R).

Théorème 5.63. Soit A, un réel tel que O u E H1(S1),la solution du problème : -

<X

div(A(x)Vu) - X u = f

<

XI,

f 3 O dans O. Soit

dans f2.

Alors, sz u 3 O sur dO, o n a aussi u 3 O daris O. Preuve d u théorème 5.63. On utilise un résultat sur les parties positives et négatives des fonctions de W1.P :

Lemme 5.64. O n suppose que u E W',P(O) et o n désigne par H la fonction de Heaviside telle que :

H(z)=

1 si x

> O,

O

< O.

si z

Alors ,u+.u-, lu1 E W ' J ' ( 0 )et :

V ( u + )= H(U)V'IL, V ( u - ) = -H(-u)Vu, Vlul

=

Vu ( H ( u )- H ( - u ) ) .

Preuve du lemme 5.64 (iioir aussi [7]ou [28]). I1 est clair qu'il suffit de montrer le résultat avec p = 1. Er1 effet, si p > 1, alors pour tout ouvert RI d'adhérence compacte dans (1, on obtient Vu. E L'(RI), donc V ( u + )= H ( u ) V u . Cette écriture prouve donc que, O1 étant arbitraire, le gradient V ( u + )au , sens des distributions, appartient A LP(R). Soit ,jE la fonction définie sur R par : trt

> O,

j E ( t )=

+t2)1/2 E

( E ~

-

et

trt

< O'

j E ( t )= O.

I1 est facile de voir que j , converge uniformément vers j ( t ) = t+ et que j : ( t ) converge pour tout t vers H ( t ) . Soit u E Lfoc(R).Par le théorème de convergence dominée, j , (u)converge vers j ( u )= u+ daris LfOc(O). D'autre part V ( j E ( u ) = ) (c2 + V ~ ) ~ ~ / ~ ( U +converge, V U U ) pour presque tout z de R , vers H ( v ) V uet est dominé par lVul. On en déduit que, daris Cl((]), on a : lim V ( j , ( ~ )=) H ( u ) V u . O€'

La conjonction de ces deux résultats entraîne que H ( u ) E WIJ' et que V H ( u ) = H ( u ) V u . Puisque TL- = ( - u ) + , on obtient l'autre forrriule, à savoir V ( u - ) = H ( - u ) V ( - u ) . O

270

C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES

:

TECHNIQUES VARIATIONNELLES

0 On revient & la démonstration du théorème 5.63. On multiplie l’équation du théorème 5.63 par u-. Puisque f 3 O sur R, on obtient :

h

-div(AVu)(z)u-(z)dz -

Xw(z)u-(z)dz: f ( z ) u - ( z ) d z 3 O.

Par ailleurs. puisque u- = O sur X I , la formule de Green nous fournit :

L

-

div(AVu)(z)u-(z)dz =

Or :

A ( z ) V u ( z .)V u - ( z ) d z= Ainsi, en utilisant

s, s,

A ( z ) V u ( z ). V ( u - ) d z .

A(z)Vu-(z) . V u - ( z ) d ~ .

s,, f ( z ) u - ( . ~ ) d 3z O, on a :

On en déduit :

ce qui contredit la définition de X i sauf si u- = O. I1 en résulte que u 3 O dans R.

<

Bien entendu la linéarité de l’équation permet lorsque f O de montrer que u 6 O dans 0 si elle est 6 O sur le bord de 0 . On verra plus loin un principe du maximum strict, dû sous une forme plus générale à Vazquez. I1 assure que, si u est une solution 3 O de l’inéquation - div(A(z)Vu) 3 O, alors dans chacune des composantes connexes de R , ou bien u est identiquement nulle, ou bien u est strictement positive. Le lecteur peut consulter 1241%[35)pour des principes du maximum plus généraux.

Cas de la solution de [Cap]:. Théorème5.65. Soit X 3 O donné. Si u est solution de -

+

div( I V U ~ ~ - ~ V U )

=f

et si f 3 O duns R, et u 3 O sur le bord de R, alors u 3 O duns R . Preuve du théorknie 5.65. On multiplie par 7 ~ - comme on l’a déjà fait pour l’équation du laplacien. On obtient :

5.9. PRINCIPES DU MAXIbfUM P O U R DES E D P ELLIPTIQUES

271

Nous avons deux intégrales de fonctions négatives à gauche et une intégrale de fonction positive à droite. Finalerrierit, on en déduit :

ce qui entraîne :

/vuy + X(u-)” = O. Puisque X 3 O, on en déduit V ( u - )= O, et donc u p = O, car ubord d o .

=O

sur le

O

Dans l’exemple 5.84, on montre l’existence d’une première valeur propre comme dans le cas du laplacien. Alors, pour X strictement plus grande que l’opposée de la première valeur propre, le résultat est encore vrai (cf. [il]). Le théorème suivant est un résultat qui généralise ce principe du maximum au signe de u1 - u 2 , différence de deux solutions de 1’EDP considérée. I1 n’a pas lieu d’être daris le cas d’équations linéaires comme celles de la section précédente, puisqu’ori peut alors se ramener par la différence de deux solutions à une solution de l’équation homogène et utiliser finalement IC principe classique du rnaxirriuni.

Comparaison de deux solutions dans des équations n o n linéaires.

Théorème 5.67. Soit X 3 O donné. Soient d e s fonctions u1 et u 2 qui satisfont à: -

On suppose que

fi

div(lVuilP-2Vui)

>f 2

+x I u ~ ~ P - ~ ~ L ~ =fL.

dans s1 et que u1 >u2 sur 862. Alors

u1 > u 2

dans 0.

Remarque 5.68. Contrairement au cas du laplacien, ce résultat ne se déduit pas du principe du maximum, car l’équation n’est pas linéaire. Notons aussi que ce principe de comparaison est l’argument clef pour obtenir le priricipe du maximum strict de Vazquez qui fait l’objet du paragraphe suivant. Daris le cas X > - X I , où X1 est la première valeur propre, ce résultat de comparaisori est encore valable mais il plus délicat à montrer (cf. [il]). Preuve du théorème 5.67. Or1 multiple l’équation différence par (u2 - u1)+,on intègre sur 30 et on utilise le fait que le terme de bord est nul. Cela nous donne :

272

C H A P I T R E 5 . E D P ELLIPTIQUES

:

TECHNIQUES VARIATIONNELLES

De cette égalité résulte que la première intégrale doit être positive. Or, d’après les propriétés du gradient de (u2 - u l ) + , vues dans ce qui précède, on a : (IVulI”-2Vu1 - IVu2/p-2vu2). V((u2- U 1 ) + ) = -H(u2

-

u1)(Jvu1Jp-2Vu1- /Vu:!Jp-2V121>;?) . (Vu1 - Vu2),

et cette expression est toujours négative ou nulle. Comme elle est nulle si et seulement si V((u2 - .I)+) = O, l’égalité précédente impose donc (u2- .I)+ = cte et, puisque cette fonction est nulle sur le bord, on conclut 6. u2 u1. O

<

Cette propriété de comparaison peut se généraliser :

IR. Soient

u1

~ 1 3 1 1 . 2dans

0.

Théorème 5.69. Soit /? une fonction croissante et continue sur et 1 ~ 2qui satisfont à : -

O n suppose que

fi

div(/Vu$-20ui)

+ P(u,) =

fi.

3 f 2 dans R et que u1 > U Z sur d a . Alors

Preuve. Elle est identique à la preuve précédente.

O

5.9.2. Principe du maximum strict

Principe du m a x i m u m strict pour le cas du laplacien. On conimence en rappelant un résultat certainement coimu du lecteur familier de la théorie des fonctions harmoniques, tout au moins dans le cas où N = 2 :

Proposition 5.70. Sa u est de classe C2 et positive et si Au = O dans u n domaine R, alors, ou bien u est identiquement nulle, ou bien u > O dans 0. Preuve de la proposition 5.70. En effet, puisque u est continue, l’ensemble des points 2 où u = O est fermé. Montrons qu’il est ouvert. Soient 20 E 2 et T > O tel que la boule de centre 20 et de rayon T soit incluse dans R. Pour tout E < r , la propriété de moyenne pour une fonction harmonique (cf. exercice 7.2 du chapitre 7 ) fournit, WN-1 étant l’aire ( N - 1)-dimensionnelle de la sphère unité de RN :

En particulier, puisque u 3 O, la continuité de u entraîne que u = O sur le bord dB(z0,E ) . Cette propriété étant vraie quel que soit E E ]O, r [ , on en déduit que u = O dans B(z0,r ) . Par conséquent, l’ensemble 2 est ouvert. L’ouvert R étant connexe, il en résulte que, ou bien 2 = 0, ou bien 2 = R , ce qui termine. O

5.9. PRINCIPES DU MAXIMUM P O U R DES E D P ELLIPTIQUES

273

On se propose dans ce qui suit, d’obtenir la même propriété pour une fonction u continue et sous-harmonique dans 0, cette dernière propriété signifiant que -Au > O dans R. Auparavant, nous avons besoin d’expliciter les solutions de classe C2 du problème de Dirichlet lorsque la fonction frontière est continue. On utilisera ensuite l’expression définissant ces solutions, dans un procédé de comparaison, pour obtenir la stricte positivité de la fonction sous-harmonique. On rappelle d’abord le résultat d’existence et d’unicité pour ce problPme de Diriclilet dit classzque, classique dans le sens qu’on exige des solutions qu’elles soient de classe C2 dans l’ouvert considéré. La preuve de ce résultat, lorsque l’ouvert est la boule unité B = B(0,l). est donnée dans l’exercicc 7.5. On y utilise le noyau de Poisson ( s , x ) H p ( s , x ) , relatif à d B . défini pour s E d B et x dans B :

Alors, f étant une fonction continue sur d B , la fonction boule B par :

Pf définie sur la

est harmonique dans la boule B et admet un prolongement continu sur la frontière, lequel est identique à f.

Remarque 5.71. En utilisant le principe du maximum, on peut voir que la fonction Pf est la solution unique de classe C2 du problème de Dirichlet associé à la condition frontière continue f . Remarque 5.72. En utilisant une translation et une horriotliétie, on déduit facilement du résultat précédent la solution du problème de Dirichlet classique pour la boule B ( Q , r ) :

On compare maintenant la solution classique ci-dessus, donc de classe C2 & la solution du problème variationnel sur la boule B lorsque la condition

frontière est continue. De façon précise :

Proposition 5.73. Soit u t C ( d B )n H’/’(aB). Soit, d’une part, u E H ’ ( B ) O la solution du problème [Du-]iw, ce qui impose à son laplacien Au,pris a u sens des distributions dans B,d’être nul et de vé$er u = u sur d B . Soit, d’autre part, w la solution, de classe C2, harmonique dans B , et telle que w = u sur d B , fonction définie par w = Pu. Alors, sw = u dans B .

274

C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES

Preuve d e la proposition 5.73. 0 Soit, par densité, une suite {un} incluse dans C"(3B) qui converge dans C ( d B ) n H 1 / 2 ( d Bvers ) la fonction u. On désigne par Pu, = w, l'image dans B de un par l'opérateur de Poisson et par un la solution, dans H 1 ( B ) , du problème de Dirichlet assorti de la donnée frontière un qui appartient en particulier à H ' / 2 ( d B ) . Cette dernière solution est définie comme le minimum de P, :

On va d'abord montrer que u,, est de classe C", propriété d'où l'on déduira que un= w,. Pour voir que 7~, est C", on peut utiliser les résultats de régularité de la solution de Au = O lorsque la fonction frontière est de classe C". Puisque le bord est C", que le second membre, qui est nul, appartient & H k ( B )pour tout IC entier, et que la donnée frontière O, est dans H k + l I 2 ( d B ) ce , résultat de régularité nous assure que un E H k pour tout IC. I1 en résulte que 76, est de classe C" daris B et, par conséquent, on a bien u , = w, dans B . I1 est clair, en utilisant le noyau de Poisson, que w, tend vers w dans C(B). Ceci résulte, en utilisant la positivité de p et la propriété p(s)ds = 1 ( c i . exercice 7.5), de la convergence uniforme de v, vers v sur d B :

sB(o,I)

I1 reste à montrer que un tend vers u , même si c'est seulement au sens des distributions. On le montre en fait au sens de la convergence forte dans H1. Pour ce faire, on montre que l'infimum de P,, :

converge vers inf P défini par

Soit u, qui réalise l'inf de P,.I1 est clair que unest bornée dans H1. I1 suffit, pour cela, de considérer un relèvement V, de un, c'est-à-dire un élément de H ' ( B ) de trace un sur ûB.Par la continuité de cette application relèvement, il existe C telle que, quel que soit n E N :

Il VnIl H I (BI) CllunII H ~ / z ( ~ B ) . Comme la suite { u n } converge vers u dans H1/', on en déduit que la suite {VV,} est bornée dans L 2 ( B )par une constante K . La fonction u, assurant

5.9. PRINCIPES DU MAXIMUM P O U R DES E D P ELLIPTIQUES

le minimum dans P,, on obtient

275

:

Alors, la suite { u n } étant bornée dans H1, on peut en extraire une soussuite qui converge vers une fonction u*E H1 qui vaut sur le bord. Enfin, par semi-continuité inférieure, on a :

.I,IVu*I2< liLIIVun112. I1 reste à voir que inf P,, 6 inf P. On en déduira que u* est un rninirnurn pour P.Pour ce faire, soit E H 1 ( B )avec = I ) sur le bord. On montre qu’il existe E H 1 ( B )vérifiant Cn = u, sur le bord et qui converge dans H 1 vers <. En effet, par la continuité du relèvement de H 1 1 2 ( d B )sur H 1 ( B ) , il existe qui tend vers O dans H1 et vaut 71, - w sur le bord. Soit alors = tn (. La suite {Ç1,} converge vers dans H 1 ( B ) .Choisissons ( qui rPalise l’infimurn de P.Alors, pour n assez grand :

<,

<

<

<,

<

+

infp,

<

10<~12

6 irifp + E.

Comme, dans ce qui precède, on a la convergence de VU,^^^ vers ~ ~ O ~ i ~ ~ ~ cela entraîne la convergence forte de un vers u dans H1. ce qui terrninc la preuve. U

On revient, à présent, au problème de la stricte positivité des fonctions sous-harmoniques :

Proposition 5.74. Soit u une fonction appartenant ù H1, continue, positive et satisfaisant à l’inégalité Au < O dans un ouvert connexe R . Alors, ou bien, 71, > O dan,s R, ou bien u est identiquemesnt nulle d a m 62. Pre3uSve de la proposition 5.74. D’après la proposition 5.63, on sait déjà que u 3 O dans 62. I1 siiffit donc encore de montrer que, si l’ensemble 2 des points de 62 où u est nulle est non vide, c’est un ouvert. Soit z o tel que ~ ( 5=~O )et, E < T avec B ( z 0 , ~c) 62. Soit u la fonction, solution de classe C2 du problème de Dirichlet dans B ( Q , E )lorsque la fonction dorinée à la frontière d B ( z 0 , ~est ) u,continue par hypothèse. Par l’expression de 11 au moyen du noyau de Poisson, à savoir u = Pu, cette fonction w est continue et, par le principe du maximum faible, elle est positive ou nulle. Par la proposition 5.70, w est ou strictement positive dans B(z0,E ) ou bien identiquement, nulle. D’autre part, le principe de coniparaison entraîne que, puisque u = 71 sur ~ B ( J : ~et, ,E -A(u ) - u ) > O, alors u > 1) dans B(z0,E ) . En particulier, O 6 ~ ( z g < ) u ( z 0 ) = O, ce qui iinpliqiie

276

C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES

:

TECHNIQUES VARIATIONNELLES

que 7, est identiquemerit nulle sur B ( x 0 ,E ) et, par conséquent, aussi sur le bord, là oii elle coïncide avec u. On en déduit que %1 = O sur d B ( z o , ~et) en faisant croître E jusqu’à r , on voit que u est identiquement nulle dans B ( z 0 , r ) .L’ensemble 2 est donc à la fois ouvert et fermé. Eii utilisant la O connexité de R, on obtient le résultat annoncé.

Principe du maxirriurn strict pour des problèmes de Dirichlet plus généraux.

On montre maintenant une expression simplifiée du principe du niaxiilium strict pour des opérateurs plus génixaux que h : Proposition 5.75. Soit u une solution, d e classe Cl de 1 ’inéquation -

div(A(z)Ou) 3 O

dans 0, dorriaine borné de RN.Si u 3 O dans R, alors, ou bien idmtiquement n,irlle dalis It, ou bien ‘u, > O dans 0.

II

est

Preuve de la proposition. Remarquons encore que, si R n’&ait pas supposé coiinexc, on raisonnerait sur chacune des corriposarites connexes. On siippose qu’il existe des points rn E (1 tels que u(,rn) > O et d’autres vi’tels que u(rn’) = O. Alors, il existe une boule incluse dans (1 où cette niéme propribté est vrai(:. Sinon, une boule B incluse dans R étant dorinée; alors, ou bien .(x) > O cn tout point :I:E B, ou bieii u ( x ) = O eii tout point 5 E B . La réuiiioii des premières est 1111 ouvert f2+ et celle des secondes est Roet ces ouverts seraient disjoints, de rkuniori 62. Cela contredit la coririexité. Oii peut donc supposer pour la suitde qiic 62 est une boule R = B. I1 existe donc z0 et :x’1 dans I3 tels qiie O.() =O et u ( x 1 ) > O. Quitte ti recoinmeiicer le raisonnement de coniiexité, on peut supposer que z1 est le ceiitre de la boiile B. d’où 62 = B ( z l , R ) , ~ ( 2 1 )> O et0.1 - ~ O. On a r 6 1x1 - :LOI. Si nous considérons r1 = sup{r I V z E B(z1,r ) , u(z)> O } , alors la frontière ri de la boule B(z1,T I ) contient’ au moins un point zo en lequel IL(:CO) = O. S’il en était autrement, on pourrait, trouver des voisinages de chacun des points de I‘1 sur lesquels I L > O et en extrayant de ces voisinages un recouvrement fini de la frontière, on obtiendrait une boule B(:cl’r ) : avec r > 7’1 ’ possédant 10. propriété, réduisant ainsi à l’absurde l’hypothèse faite sur la borne supérieure. Coiisidéroris la couronne de RN : G = {z I r1/2 < 111: - 211< T I } > sur laqiiclle, donc, u > O. Soit nil défini par : ml = irif{’u(z) 1 1% - X I \ = r1/2}. Par la continuité de ‘u, on a ml > O. 011définit égalernerit, en supposant qiie R > 3r1/2, la courmiic G’ = {:L. I q / 2 6 13; 6 3r1/2}. Le principe

5.9. PRINCIPES DU MAXIMUM POUR DES EDP ELLIPTIQUES

277

FIGURE 5.2. Une argumentation dans le principe du rnaximiim strict. On a ~ ( z g = ) O, u(z1) > O, 1x0 - z lj = T I . G et G’ sont des couronnes de centre . T I .

de la preuve est le suivant : Nous a l l o m con,stru%reune fonction conditions suivantes soient vérafiées : vx; E GI

(*I

(**I

-

P I , PI

> O dans G’ telle que les deux

div A(.)v(~

E dG’,

(

- 1)))

3 O,

,o(x) < ~ ( x ) .

L’utilisation du principe du maximum, faible f o w n i r a alors u 3 v dans la couronne G‘ , donc aussi dans G. En, supposant IL de classe C1, la considération de la dérivée normale au point ~0 E 8G nous apportera la contradiction attendue. On suppose donc que 7~ est C’ en xo. Soit O < [j < fm1. On va choisir le rionibre c > O assez grand pour que la fonction v = ,!j(ePclzPziI -e-rlzo--T1l1, qui s’annule au point 2 0 ,satisfasse aux deux conditions (*) et (**) ci-dessus. - c - “ 7 ” ) < p, ~ i i la r splière SI = {lx 11’1I = r1/2}, 011 a v = d’où 71 < !u sur 5’1 , puisque /3 < m1. Sur la sphère 5’2 = { lz ~1 I = 37.1/ 2 } , on a 71 = / j ( ~ ~ ~ ~-. ~1 “ / ‘ ~1 ) < O, d’où encore v < ‘u sur S Z puisque ti > O sur cette sphère. On en déduit la condition (**), & savoir I I < I L sur dG’. Pour la condition (*), on pose f(z)= e?lZPz1l ct on calcule d’abord V f ; on en déduira div(A(z)Vv), qui n’est autre que [jdiv(A(:c)Vf). On a a j f ( x ) = - c f ( x ) ( x - x1),/1x X I I , puis : ~

~

~

=

-v + u.

278

CHAPITRE 5 . E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES

Dans le dernier terme U , la parenthèse, qui s’écrit [c/Ix- ~11~](cIz-x11 - 1) est positive si c > 2/73, Sous cette condition, grâce à l’uniforme ellipticité de A, on a donc U ( x ) > O dans G’ et on obtient la minoration

U ( x ) 3 a f ( z ) [cz

-

2 3,

où

Q est une constante d’ellipticité de A. En développant la dérivée qui figure dans le premier terme -V, lequel est négatif, on voit que V cf(x)(IIVAllm NllAl/m/rI). En résumé, on a :

+

<

I1 existe donc des valeurs de c assez grandes pour que div(A(z)Vv) 3 O sur G’, c’est-à-dire la condition (*). Puisque - div(A(z)Vu) 3 O, on a - div(A(x)V(u - u))3 O. On applique alors le principe du maximum faible (cf théorème 5.63) à cette situation. On en déduit donc u 3 TI dans G‘, donc aussi dans G. En particulier, au point zo, nous savons que u ( z o )= U ( Q ) = O. Soit, en ce point, la normale extérieure Ti’ = ( T O - xl)/lxo - x l J au bord de G. Pour h > O assez petit, on a :

u(&J- hx?)- u(xg) 3

1/(2O

-h

2 ) - TI(z0).

Le théorème des accroissements finis appliquf. au membre de droite de cette inégalité fournit ensuite : O.(.

-

h7F) - U ( Z ” ) 3 pch.

En divisant par -h et en faisant tendre h vers O on obtient :

anu < -pc < O, ce qui contredit le fait que u,fonction de classe C1 admet un minimum au point zo . O

L e principe du m a x i m u m strict pour le p-laplacien. Le résultat précédent est appelé principe du maximum strict et est dû à Vazquez [44].Plus généralement, ce principe du maximum strict de Vazquez s’applique aux équations relatives au p-laplacien. Sa démonstration repose, comme dans ce qui précède, sur la comparaison locale à une solution strictement positive. Ce phénomène se généralise d’ailleurs à d’autres types d’opérateurs. Dans ce qui suit, on se donne une fonction p continue, croissante sur [O, +KI[,avec p(0) = O et satisfaisant d’autre part à la condition :

(5.76)

5.9. PRINCIPES DU MAXIMUM P O U R DES E D P ELLIPTIQUES

Si on définit la primitive j ( s ) = S

-P(./2) 2

P ( t ) d t et si l’on remarque

6 j(*q)

<

279

:

SP(S)’

la condition (5.76) s’exprime sous la forme équivalente : (5.77)

Théorème 5.78. O n suppose donnée une fonction p continue, croissante, telle que p(0) = O , et satisfaisant ci la condition 5.76. Soit u E c’(O), positive et bornée, solution dans le domaine borné s1 de l’inéquation :

n,u

+ P(u) 3 O.

Alors, ou bien u est identiquement nulle dans (2, ou bien u > O dans 0. Remarque 5.79. Une solution de l’inéquation précédente est dite sursolution de 1’EDP -A,u P(u) = O. Dans la plupart des cas, on utilise le principe énoncé dans ce théorème pour des solutions de l’équation et non pas seulement pour des sursolutions. Dans le cas où il est énoncé pour une solution, les conditions de continue-dérivabilité et de bornitude de u peuvent être généralement omises, en raison des résultats de régularité des solutions d’EDP elliptiques qui assurent que u est bornée et de classe C1.

+

À ce propos, le lecteur pourra se reporter au préambule de l’appendice et aux résultats partiels qui y sont établis. Pour la preuve de résultats complets relatifs à la régularité C1, on pourra lire Evans [21], Moser [33],Tolksdorff [43],Lewis [32],Di Benedetto [17].

Preuve du théorème 5.78. On reprend la première partie de la preuve précédente, en rernplaçant T I par T . Considérons l’anneau G = {x I r / 2 < Ix - 2 1 1 < T } , sur lequel u > O. Soit ml défini par : ml = inf{u(x) I 12 - 211 = r / 2 } > O. Le procédé de démonstration restant le même que dans la proposition précédente, on va construire une solution convenable de -A,u + p(u) 6 O, c’est-à-dire une sous-solution. Pour cela, on établit le :

Lemme 5.80. Soient Ici, k 2 , r1 et ml des réels > O , p > 1, et soit P une fonction croissante au sens large avec @(O) = O. Alors, il existe une (unique) fonction u = u ( r ,Ici, k 2 , r1, m i ) , d e classe C2 sur [O,’rl[,qui satisfait ù :

et ù u ( 0 ) = O, u ( ~ 1 = ) mi.De plus u 3 O , w’ 3 O, O < ‘u < mi sur ]O, T I [.

280

C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES

:

TECHNIQUES VARIATIONNELLES

Preuve du lemme 5.80. Dans cette preuve, on pose

:

w*= {uE w q O , T l [ )I u(0) = O,

u(r1) = rnl},

et on considère le problème variationnel :

Puisque exp(-ICis) 3 exp(-klrl), et que j 3 O, on vérifie facilement les hypothèses du théorème 5.25 appliqué, dans l’espace séparable et réflexif W’,.(]O, r1[) pour p > 1, sur le convexe fermé W * .De plus, la fonctionnelle v H J ( w ) , dont la minimisation est l’objet du problème précédent, est Gdifféreritiable. En reprenant l’expression de la dérivée de la fonctionnelle u H i / p s n ( V u ( z ) ( p d zobtenue , dans la preuve de la proposition 5.55, on obtient pour dérivée J’(v),la forme linéaire définie par :

On en déduit la dérivée au point v :

Puisque W * est un espace affine, J ’ ( v ) = O fournit la solution du problème, à savoir : (5.81) Multiplions cette équation par w- exp(-kls) et procédons comme dans le théorème 5.63. On obtient, après intégration, car w- = O en O et en r1 :

ce qui s’écrit encore :

<

Par la croissance de /3, on a p(v)wO. Oil en déduit, par la négativité de l’intégrale du premier membre, que V’ = O. Donc, puisque w(0) = O, on a v- = O, autrement dit u 3 O. Par ailleurs, puisque kzp(v) 3 O, l’équation (5.81) nous montre que la fonction Iw’Ip-2u’exp(-ICls) est croissante, donc que v’ est croissante. Puisque u(O) = O et w 3 O, on a ~ ’ ( 0 3 ) O et, puisque v’ est croissante, on obtient u ’ ( T ) 3 O sur [O,rl]. On montre à présent que w > O et v’ > O sur ] O , T ~ Pour ]. cela, soit TO le plus grand T appartenant à ]O,r1[ tel que v(r) = O. On veut montrer

5.9. PRINCIPES DU MAXIMUM P O U R DES E D P ELLIPTIQUES

281

que TO = O. On a 71’ > O sur ]r0,7-1[, sinon il existerait un r E ]7-0,7-1[, tel que ~ I ’ ( T ) = O. Puisque îi’ est croissante, u’ = O sur [7-0,7-1], et donc v(7-1) = O aussi, ce qui contredit le fait que TO est le plus grand nombre tel que U ( T ~ = ) O. La fonction ‘u est donc bijective de [ T O , 7-11 dans [O, w i l l . Alors :

On définit w = (ut),. On pose a = p / ( p - 1). On a :

Or, puisque

îi’

3 O, l’équation (5.81) s’écrit

:

On en déduit par le choix de a

Supposons que ~’(7-0) = O. Alors, en intégrant cette expression de TO à T , 011 obtient, en majorant l’exponentielle par 1 et en utilisant j(v(7-0)) 2 O, exp( -aklr)

(îi‘)”(

r ) = ak2

exp(- a h s)p(v)( s )w‘( s ) d s 6 ak2j (u) (Y).

<

Or1 en déduit (îi’(r))((j(îi)(r))-’/p (ak2 exp(aklr))llP, expression bornée sur [ T O , T I ] , ce qui rend, contradictoirement avec (*), l’intégrale du premier membre finie. I1 eri résulte u’(r0) > O. Par continuité, il existe un voisinage de rO,à savoir [TO -CI!, T O [ sur lequel w’ > O. On aurait donc, si 7-0 > O, l’inégalité ~ ( s<) O sur cet ensemble, d’où encore une contradiction. Finalement, O 7-0 = O et ~ ’ ( 0 > ) O. Nous terminons la preuve du théorème : on utilise ce lemme avec la fonction O

sur l’anneau G. Calculons d’abord A,f pour une fonction f radiale dans RN. On a, pour le gradient d, f = x,f ’ ( r ) / r , d’où l’on déduit lof1 = I f ’ ( r ) l .

282

C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES

:

TECHNIQUES VARIATIONNELLES

Le p-laplacien est alors donné par :

d

= -[I dr

+ ( N - 1)IfYr 2 f I

f’]

On en déduit :

G ainsi obtenue est,

I1 en résulte qu’en prenant k1 3 2 ( N - l)/r, la fonction puisque kz = 1, la sous-solution annoncée :

(5.82)

-ApÛ

+ p(G) < O.

D’autre part, par construction, on a G(0) = O, donc u 3 G sur la sphère lx - 211 = r et, sur la sphère 111: - 2 1 1 = r / 2 , on a aussi G(z) = ml u(x). Appliquons alors le théorème 5.69 aux deux équations dans G :

<

+

- ~ , u p(u) = f 3 O

et

-

apû+

=

F< O

A

avec f 3 f et aussi IL 3 ii sur dG. On conclut donc u 3

2i sur G. Achevons la réduction à l’absurde. Puisque ~ ’ ( 0>)O, on a 1 lim -u(xo h(x1 - xo) 3 lim d ( r h ) = d ( O ) > O. hiO,h>O Th-0

+

Ce résultat contredit le fait que, xo réalisant un minimum, et u étant de classe C’, nécessairement V u ( x 0 )= O. Finalemcnt, u ne peut atteindre son minimum dans R. O

Principe de Hopf. Supposons, en outre, que u 3 O est une solution dans C ’ @ ) de -Apu p(u) 3 O, u = O sur 80. On a ce qu’on appelle un principe d e Hopf qui fournit une propriété de signe sur les dérivées normales sur la frontière dR, plus précisément :

+

Théorème 5.83. Soit xo E dR tel qu’il existe 2 1 E R satisfaisant à la condition d ~ ( x l1x1 , - xol) n dR = ( 5 0 ) . Soit 2 la normale extérieure à ô0 en xo. Alors, sous les hypothèses précédentes, il existe y > O tel que

5.10. PROBLÈMES COERCIFS SUR DES ESPACES NON R É F L E X I F S

283

Preuve du théorème 5.83. O En effet, soit 20 E dR, et une sphère B(z1,1x1 - ql)dans O, telle que ûB(z1,Iz1 ql)n ûR = {q}. Par le résultat précédent, on sait que u > O daris B(z1,1zoDe plus, en reprenant la définition de G = ( 2 E B I Iz - 211 3 1x0 - x11/2}, et celles de u et de û, on a : ~

XI ).

u 3 ii et y = ~ ’ ( 0 > ) O,

O

ce qui termine la preuve du théorème.

Exemple 5.84 (d’application). p-laplacien, c’est-à-dire : inf

ut

Soit A1 la première valeur propre du

w,; .n (n)

{

j~rrl~(z)dz}.

II Il P = 1 I1 est facile de voir que A1 est atteint et qu’il existe une solution solution vérifie I’EDP -a,u = A1 lul~-2u.

3 O. Cette

En particulier -A,u 3 O et u 3 O. En admettant le fait que u E C1 (voir, à ce propos, le préambule du chapitre ou celui de l’appendice)] et en appliquant le théorème précédent avec = O, on obtient que 7~ > O daris 0.

5.10. Problèmes coercifs sur des espaces non réflexifs 5.10.1. Un problème modèle en calcul des variations L’ouvert (1 borné dans IRN, de classe C1 et f E LN(R) étant donnés, on considère le problème suivant : (5.85) U

La fonctiorinelle

est convexe et bien définie, compte tenu des injections de Sobolev. Elle peut ne pas être coercive, puisque les termes ]Vu\ et f u ont des croissances comparables et peuvent donc se compenser. Soit C une constante telle que :

s,

s,

et supposons que Ilf//,,,~(n)< i/C. Alors la fonctionnelle J est coercive sur Wl.1(O).

284

C H A P I T R E 5 . E D P ELLIPTIQUES

:

TECHNIQUES VARIATIONNELLES

Cette première difficulté écartée, on remarque que l’espace IV1,’ n’étant pas réflexif, une suite minimisante pour (5.85)’ qui est donc bornée dans IV1>’si l’on suppose I l f I I L N ( n ) < i/C, n’est pas nécessairement relativement compacte dans IV’,’.En revanche, elle l’est dans B V ( 0 ) ,pour la topologie faible (cf. chapitre 6). Ce dernier espace est celui des fonctions u appartenant à L 1 ( 0 ) telles que Vu appartient à l’espace des mesures bornées hir’(n). On est amené alors à prolonger la définition de l’infimurn dans (5.85). On considère donc : (5.86) et on admet momentanément le résultat de densité suivant qui sera montré au chapitre 6 : Si u E B V ( 0 ) satisfait à u = O sur d o , ce qui est la définition de l’appartenance à BVo(f2), alors il existe u n e suite {un}dans W’,’(0) avec un = u = O sur ô62 telle que :

Ce théorème a pour conséquence que inf(5.85) = inf(5.86).

I1 reste à montrer l’existence d’une solution dans BV au problème (5.86). Soit { u r Lune } suite minimisante, donc bornée dans B V ( 0 ) .On peut en extraire une sous-suite qui converge faiblenient dans B V ( 0 ) ,fortenient dans tous les Lq pour q < N / ( N - 1) et faiblement dans L N / ( N p l ) ( REn ) . utilisant la semi-continuité inférieure de l’intégrale sur un ouvert d’une mesure positive pour la topologie vague, on obtient :

.b

lVul

< lim 11-00

JL,

IVu,I(z)dz.

On a aussi, par la convergence faible de {un}vers u dans L N / ( N - l ) ( 0:)

Le seul point délicat concerne le comportement à la limite de unsur le bord. On verra au chapitre 6 que l’application trace sur BV n’est pas faiblement continue. Pour pallier cette difficulté, on introduit le problème dit relaxé : (5.87) Notons qu’on a inf(5.87) = inf(5.86)’

5.1 1. SURFACES MINIMALES

285

en utilisant le théorème de densité de W1>’(R) dans BV(R) (cf. théorème 6.56 du chapitre 6). Nous rriontroris rriainteriarit que le problènie (5.87) admet une solution. Pour cela, soit { u n } une suite rriinirriisante à (5.86). L’étude précédente niontre que { u n } est bornée dans B V ( 0 ) . En définissant IZ qui prolonge un par O à l’extérieur de R, on a Un E BV(IWN),avec

V(Un)= Vu,xn

+ (O

-

u,)ban.

On en déduit : I=nI

=

+ IunIkKb

IV’LLnIxn

Si { u n } converge faiblement dans B V ( R ) vers u,alors Un converge faiblement vers un élément w dans B V ( R N ) .Mais, nécessairement, w = O dans le complémentaire de 2 et w = u dans R. En particulier] V u = V u x n (O - u)Sar2. Par semi-continuité inférieure faible, puisque le terme J, f u n converge vers Jn fu,on a :

+

Finalement :

et donc ‘u est solution du problème (5.87). 5.11. Surfaces minimales 5.11.1. Présentation du problème

Le problènie des surfaces minimales se traduit de la façon suivante : considérons l’ensemble des fonctions scalaires u définies sur un domaine Cl borné de RN qui sont de classe C’ et telles que u = y sur dR, y étant donnée dans L1( 8 0 ); on cherche, dans cet ensemble, la fonction I L telle que l’hypersurface d’équation cartésienrie ( X I ,. . . X N - 1 , I L ( X I , . . . , Z N - I ) ) ait une aire N - 1 dimensionnelle minimale.

Formulation iiariationnelle du problème. Ceci revient à chercher :

Le point d’interrogation étant là pour signifier un espace dans lequel toutes les quantités entrant en jeu ont un sens. Nous allons d’abord définir un espace qui convient. Notons que si g est une constante, la surface qui convient est unique et est plane, donc correspond à un gradient nul, et on trouve alors que, bien entendu, l’infimum est égal à IR/. D’après le théorème de trace, la

286

C H A P I T R E 5 . E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES

fonction g appartenant à l'espace des traces y ~ ( W l >on ~ )voit , qu'un espace <( minimal >> sur lequel toutes les quantités ont un sens est l'espace W1?'(Q). On cherche donc à résoudre :

Transformation de ce problème. Dans ce qui suit, on se propose encore de remplacer le problème précédent par un problème équivalent appelé problème relaxé qui est un problème de minimisation sur BV(S2). On remplace encore, compte tenu de la non réflexivité de W ' > ' ( O )cet , espace par l'espace BV(S2) dont la définition et les principales propriétés sont étudiées dans le chapitre 6. Commençons le raisonnement, en vue de montrer l'existence d'une solution, comme dans le cas d'un espace réflexif. I1 est clair que l'infimum est 3 1, donc strictement positif, et que la fonctionnelle J est convexe. Par ailleurs, la fonctionnelle J est coercive sur W1>l(S2)à cause de l'inégalité de Poincaré. Soit en effet U appartenant à W1i1(S2),qui est un relèvement de g E Ll(aS2) dans W ' > ' ( Q Alors, ). u - U = O sur dR donc, par l'inégalité de Poincaré :

lP(u - U)IILl
J ( u ) 3 lIVuII1 3 llV(u - U)lll - IIVUIIl 3 /lu - UIIW'>1- pull' 3 IIUllW1.1

-

2llUllWl.l.

Soit donc {un}une suite minimisante. Alors, elle est bornée dans W ' > ' ( Q ) et, par conséquent, bornée aussi dans BV(S2).De la proposition 6.52, sur la faible compacité des suites bornées de BV(S2),on en déduit qu'on peut extraire de {un}une sous-suite qui converge faiblement dans BV(S2) vers un élément u E BV(S2). Ceci signifie que :

cette dernière propriété exprimant la convergence vague de Vu,(,) vers Vu. Cependant, comme dans le paragraphe précédent, on n'a pas nécessairement u = g sur do. Nous devons donc à la fois prolonger la fonctionnelle aux fonctions de BV et ensuite pallier la difficulté que l'on vient de reniarquer dans la sous-section 5.10.1. Pour la première difficulté, on utilise la théorie des fonctions convexes de mesure qui est développée au chapitre 6 (cf. section 6.8 et, en particulier, l'exemple f ( p ) = qui y est explicité) pour la mesure bornée p = Vu. Cette fonction f admet une fonction

d

d

w

m

5.11. SURFACES MINIMALES

287

asyniptote, à savoir limt-t+oof ( t z ) / t= 1x1.I1 résulte donc de ce chapitre 6 que; si Vu = Vu””+Vus est la décomposition de Lebesgue de cette mesure Vu, on peut définir f ( V u ) ( c f . théorème 6.138) par :

s,

Ainsi prolongée, la fonctionnelle u H f ( V u )est semi-continue inférieurement pour la topologie faible sur B V (0). Afin de résoudre le problème de la trace, nous considérons une fonction G E W1>’(RN de trace g sur d(RN qui prolonge donc u hors de R , on obtient une fonction vérifiant G E B V ( R N ) . À l’aide de l’exercice 6.18 et en utilisant la fonction f - 1 qui prend la valeur nulle pour z = O, 011 obtient :

\n)

\a),

Enfin, on a les deux résultats de densité suivants. En premier lieu (cf.théorème 6.144), il existe une suite u,,E C”(f2) n W1>’(f1)telle que u, -f 71 dans L1(0) et : llVunIl1

---)

.hPul, .1

-1

f(Vun)

fPu)

D’autre part, si u E B V ( 0 ) et si g E L 1 ( d O ) ,la remarque 6.73 montre, en deuxième lieu, qu’il existe une suite ( 7 ~ ~ dans ~ ) W’>’(O)qui converge vers u dans B V faiblement avec :

Le premier de ces résultats de densité permet de montrer que l’infirnum

coïncide avec l’infimum correspondant sur IV1>’,la condition aux limites étant toujours you = 9. Le deuxième résultat permet de montrer que ces bornes inférieures sont aussi égales à :

C’est pour ce dernier problènie, qui est le problènie relaxé, que 1,011 montre l’existence d’une solution.

288

C H A P I T R E 5 . E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES

5.11.2. Existence d'une solution

a) n)

Dans ce qui suit, on utilise encore G un élément de W1>l(IWN\ qui vaut g sur X I . Soit {un}une suite minimisante qui est dans W ' ? ' ( Q avec ) un = g sur d o . Alors la prolongée de un par G E W1?l(IWN\ (que l'on peut prendre à support compact) est dans W1,'(RN). Elle est donc bornée dans W1il(IRN).On peut donc en extraire une sous-suite qui converge faiblement vers V E B V ( R N ) .Par construction, on a V = G sur RN \ 2. En outre, par semi-continuité inférieure, on a :

<

Lnl (Jm+ / -

1)

-

RN\R

(Ji+ioG7"

-

1).

+

Soit u la restriction de V à fl. Alors, V = uxn GxRN,~ et, comme le saut à la traversée de dS1 pour V est g - u,le gradient satisfait à :

VV

=

+

V u ~ n (9 - u)bannf

+ VGXRN,~.

Alors, puisque (G - u)basl est singulière, (voir le théorème 6.138 et l'exercice 6.17) la relation :

JTqvvp = J

W

x

n

+ ly

~

ul6an

+

XRN \fi

nous fournit :

On en déduit

donc, que u est une solution du problème relaxé, autrement dit, du problème proposé au départ. Les résultats de régularité pour la solution ainsi obtenue ne sont pas traités dans ce cours. Les lecteurs intéressés pourront se reporter, par exemple, aux ouvrages [23], [25] et [38].

5.12. Exercices sur le chapitre 5

Exercice 5.1 (régularité des fonctions propres du laplacien). Montrer que si R est un ouvert de IRN, de classe C", alors toute solution u E HA(S1) de -Au = Xu, où X est un réel, est C" à l'intérieur de 0.

5.12. EXERCICES SUR L E CHAPITRE 5

289

Indications. Par le théorème de régularité (cf. proposition 5.40), on a u E H 2 ( R ) donc, de proche en proche, on parvient à l’implication :

vu,

u € H”(I2) ===+ u € H”+2(f2).

Exercice 5.2 (existence d’une première valeur propre pour le p-laplacien). Soit p tel que 1 < p < CO et soit R un domaine borné de classe C1 de I R N . On considère : =

{/

~~u(z)l~dz).

inf uEW;.P(R) II u I I ,521 = 1

R

Montrer que X1 > O et que cette borne inférieure est atteinte. Montrer qu’un minimum u vérifie :

-apu= x1 I ~ I P % . Soit un nombre p, tel qu’il existe w E Wi”, w # O avec -Apv = ~ I w U J P - ~ V . Montrer alors que ce nombre vérifie p 3 XI. Pour p = 2 on retrouve ainsi la première valeur propre du laplacien.

Zndzcatzons. On utilise la proposition 5.57 (inégalité de Poincaré) pour en déduire que X i 3 C pour une constante C donnée par cette proposition. Soit maintenant une suite {u,} de norme 1, telle que (IVu7,11P+ X i . On en déduit une sous suite qui converge faiblement vers u dans W1,”et fortement vers u dans LI’, en particulier IIullp = 1. Par semi-continuité inférieure pour la topologie faible de la semi-norme, on montre que llOullP < X i . À l’aide de llVuilP 3 X i , on conclut. En utilisant, pour t E R et p E D ( O ) , l’inégalité llV(u + tp)IIP 3 X1IIu + tplj; et les accroissements finis (cf. premier chapitre par exemple), on niontre :

3 xi

s,

lqdz

+pt

s,

lulP-2upda

+ o(t).

Avec llVullP = XiIIuIIP, en divisant par t > O puis en faisant tendre t vers O, on obtient : lwl”-2updz. IVulP-2Vu ’ Vpdz 3 xi

l

JI,

On termine en changeant p en -p. Soit p tel qu’il existe v E W;,”, v # O avec -A,v = p l ~ l ” - ~ vI1. suffit de multiplier par v et d’intégrer pour obtenir, grâce à la définition de X i , la propriété annoncée, à savoir p 3 X i .

Exercice [ * *]5.3 (régularité de fonctions propres d’un opérateur divergence). Soit $2 un ouvert borné de classe C’ de I R N . Soit A E avec IC 3 l+[N/2], la matrice A étant symétrique et uniformément elliptique. Montrer qu’une solution u de div(A(z)Vu) = Xu est de classe C1 à l’intérieur de R. On montrera par récurrence que u E HL:’(R). En utilisant les injections de Sobolev, on en déduira u E C1>“pour un a que l’on calculera.

C‘(a)

290

C H A P I T R E 5 . E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES

Exercice [*] 5.4 (compléments au principe du maximum strict : principe de HOPf). Soit R un domaine de RN de classe C1 et p un réel > 1. On suppose que u est solution de -A,u 3 O et u = O sur d o . On suppose aussi que u est de classe C1 sur 2.Montrer que, sur la frontière, on a :

m. Exercice [**I 5.5 (simplicité de la première valeur propre du laplacien). On reprend les notations de la sous section 5.3.5. (1) Montrer qu’il existe une solution de -Acp = Alp, avec A 1 la première valeur propre du laplacien et cp dans H i (O). (2) Montrer, en utilisant le principe du maximum strict, que cp > O dans O. Montrer que, pour tout u et tout w dans HO(R) tels que 2, > O, alors on a l’inégalité dite identité de Picone :

/VuI2- V(u2/u) Vu 3 O, ’

avec une égalité si et seulenient s’il existe X E (3) Soient u et w deux solutions positives :

-Au = X l l L et

-

Aw

R tel que l’on ait u = Xu. = Xiu.

Montrer que u et w sont proportionnelles. Pour ce faire, en utilisant le priricipe de Hopf, on établira qu’il existe E > O tel que u 3 EW dans R.On en déduit que u2/wappartient à H 1(O). Ensuite, en multipliant l’équation en w par u2/u, en intégrant et en utilisant l’identité de Picone, on montrera le résultat demandé. Indications. (1) La fonction p est solution du problème de minimum (cf. exercice 5.1) :

inf

1

~vu(x)/zdx.

U€HOP) c2 Ilu.l12=1

L’existence d’une solution non négative résulte de lVlul I < IVul. Si p 3 O, alors - A p 3 O. On utilise ensuite le principe du maximum de Vazquez avec /3 = O. (2) En développant le premier membre de l’inégalité de Picone, on obtient : IVu12

ce qui n’est rien d’autre que

~

2U -vu U

‘

vu vu, vv + u2 U2 ’

: u 2 IVu - -Vu1

C’est donc une expression positive et, si cette expression est nulle partout, cela entraîne que, dans fi, on a V(u/v) = O. Finalement, u / u = cte. Cette constante est 3 O.

5.12. EXERCICES SUR L E CHAPITRE 5

(3) Puisqu’il existe C E HO(0).

> O telle que u

291

< Cu sur le bord, on a l’appartenance

u2/u

On multiplie l‘équation en ainsi :

71

par u 2 / u et l’équation en u par u ; on obtient

de sorte que, partout, il y a des égalités au lieu d’inégalités, ce qui implique u = Xv.

Exercice [**I 5.6 (simplicité de la première valeur propre du p-laplacien). Soit (2 un domaine borné de classe C I . Montrer que si p > 1, si u et v appartiennent à W,’”’(O) et vérifient u O et v > O, on a l’identité dite de Picorie, généralisation de celle de l’exercice précédent :

1vuy

- V(uP/.rip-l)

‘

.(v)

3 O,

O(.) = /VvIPp2Vv,et que l’égalité intervient seulement si 7~ = Xv. En utilisant le principe du maximum strict et l’identité de Picone, montrer que si u et v sont solutions de

où

- 4 7 L = X I IuIP%,

alors, il existe X E

-Apu

= A 1 /vIP%,

IR tel que u = Xu.

Indications. En développant ce qui précède, on obtient l’inégalité de convexité

:

avec, par la stricte convexité de z

H IzIp,l’égalité si Vu = (u/v)Vw. Conclure. On miiltipiic l’équation en 7~ par u et l’équation en v par up/(u”-’) et, en remarquant que u”/(v”-’) E Wd (grâce au principe de Hopf), on obtient :

de sorte qu’on a partout des égalités au lieu d’inégalités. En particulier, dans l’identité de Picone, ceci entraîne que u = Xu.

Exercice [**I57(fonctions propres de V2 dans H i ) . Soit s1 un domaine borné de RN et de classe C2. On rappelle que V V ~ L est le vecteur de R N z de coniposantes a,,u et que :

On considère le problème variationnel :

292

C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES

:

TECHNIQUES VARIATIONNELLES

Montrer que X > O et que ce problème a une unique solution. h4ontrer que, si u est solution du problème, on a A2u = Xu.

> O grâce à la généralisation de l’inégalité de Poincaré :

Indicatio~ns.La valeur X est

vu E

HO(R),

II1Lll2

< CIIVVull2.

Pour la prouver, on raisonne par l’absurde en utilisant la suite { u r L }tel que IIVVun112 6 l/nllunli2. En divisant par la norme JIIu7L/12+ /IVun112,on a llvnIIH~= i et I/VVv,112 < 1/n. Par extraction d’une soils-suite et l’utilisation de la compacité de l’injection de H 2 dans H I , il existe une sous-suite {tin} telle que vlL + v dans H 1 fort et VVv, + VVv faiblement. Par la semi-continuité inférieure de la serni-norme, on a VVu = O. En particulier, 7) est un polynôme du premier degré, mais puisque v = O = d71/37~= O sur df2, on a finalenierit v = O, ce qui contredit l l 7 1 i l & ~ = lim = 1. Soit niainteriarit uric suite iriinirriisarite { 7 i V L } pour la valeur A. La suite I/VVu, 112 est bornée et donc, en utilisant Green et d-i;v,, = O sur dR,on obtient : llVvnJ12=

1

-

llvii

div(V~orl)i <

lJVV7)rLJ12,

J ) V ~ ~ / J ~

ce qui entraîne que vrLest bornée dans H I . On extrait line sous-suite qui converge donc faiblement dans H 2 vers v et fortement dans H I . En particulier, par semicontinuité inférieure, on a J/VOvJJz < lim /JVV.ii,,112 = X et J J t i / J=2 liin J / v n J /=2 1. Finalement, v est solution du problème défiiiissant A. On utilise t E R+ et p E D(C2). On écrit IIVV(u

+ tp)1I23 Xll’U + tcp1I2.

En di.velopparit, on obtient, en utilisarit la notation VVu : V V p = E,,,dt,,ud,,cp 2 t / ; VVU : V V p

+ O(t2)3 X2t

:

J’, up + O(t2).

En intégrant par parties, on obtient

ce qui donne le résultat en divisant par t et en faisant t = O. En changeant cp en -cp on obtient l’équation A2u = Xu En effet :

Exercice [**]5.8(fonctions propres pour A’ - A). Soit I2 un doniaine borné de RN et de classe C2. On considère le prol-dènie variationnel :

A= UGH:

{l + l

inf (a)nHL(n)

I,,1M2=1

J V V ~ L ~ ~

j~ul’).

5.12. EXERCICES SUR L E CHAPITRE 5

293

Montrer que ce problème admet une solution et que l’infinium est strictemerit, positif. Montrer qu’une telle solution u vérifie :

(5.88)

a 2 u - All, = xu,

d2U ~

an2

= ‘11. = O

sur 30.

Indications. Pour montrer la positivité de la borne inférieure, 011 utilise l’inégalité de Poincaré IIull2 < CIIVu112 si TL = O sur le bord. Supposons, par contradiction, que l’infiniuni soit nul. Alors, il existe une suite { u , }telle Ilunll2 = 1, urL= O sur le bord et /Iun/12+ 1/VVun1/2< l/n. En extrayant une sous-suite, on voit que { u T L }converge fortement daris H l vers u avec I I u I I 2 = lim llun112 = 1 et 11Vu112 + I(VVr~112< û par semi-coiitinuité inférieure de la serrii-riornie. Puisque 7~ est nulle sur le bord, on en déduit u = O, ce qui contredit lluilz = 1. On démontre de la même façon l’existence d’une solution. On utilise alors u+tp et (7L IO(u tp)12 IVV(u tp)12 3

+

+

En développant, on obtient 2t

L, + w 2 .

+

:

vvp + O(t2) = X2t : V V p = E,,,iJ,,7~L),,p,ce qui donne, e11 utilisaiit

vp . vu + 2t

VVTL

:

en utilisant la notation Q Q u la définition de A2u au sens des distributions

:

c’est-à-dire la première équatioii daris (5.88). On montre la condition aux limites en prenant p dans H’, p = O sur ab2 dans re qui précède. On obtient :

A21Lp f

=

et

1,

V U . vp = -

L,,

Jli AU^ +

&JPLC),(P~~~J

O.

s,

Finiderrierit, en utilisant l’équation (5.88), or1 obtient ût,,7~0)Lp7~3 = O. Notons que i),,u E H P ’ / ~ ( ~ c ~ ) . On rappelle que, par la surjectivité de l’application trace montrée aii chapitre 4, quel que soit ( 0 , ~ E) H:3/2x H ’ / ’ ( X l ) , il existe p E H‘((b2) telle que p = O sur et a,,p = 71 sur 8 0 ) . En utilisant (3,p = UTI,, sur ab2, on en déduit J, d7J7~,~071,,n3 = O; ce qui entraîne, piiisqiie PI est arbitraire dans H’”(X2), qiic d L u / i ) n 2= O.

Exercice [**I 5.9 (résolution d’une EDP par une méthode variationnelle). Soit (2 un doniaine borné de classe C1. O n considère l’équation

-au+ I‘ILIP-211. IL = O

sur 362,

=f,

294

C H A P I T R E 5. E D P ELLIPTIQUES : TECHNIQUES VARIATIONNELLES

où f appartient à L2(R), où p est un réel tel que i où p’ est le conjugué de p .