Funktionentheorie 006

Funktionentheorie Vorlesung WS 94/95 Neuauflage Mai 2001 W. Kaup Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

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Funktionentheorie Vorlesung WS 94/95 Neuauflage Mai 2001

W. Kaup

Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 Der Satz von Montel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Der Riemannsche Abbildungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Die Riemannsche Zahlenkugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Der Satz von Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 Einige spezielle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6 Existenzs¨ atze fu ¨ r meromorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7 Elliptische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 8 Randeigenschaften eigentlicher holomorpher Abbildungen. .34 9 Kleiner Exkurs in Juliamengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 10 Mehrdeutige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 11 Riemannsche Fl¨ achen und Funktionenk¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ¨ 12 Anhang: Uberlagerungen und Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 13 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2

Symbole

Einige Symbole H(D)

. . . . . . . . . . . .

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

K . . . . . .

Inneres von K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

F \A

. . . .

{x ∈ F : x ∈ / A}

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

C(D)

. . . .

Raum der stetigen Funktionen auf D . . . . . . . . . . . . . . .

6

A(D)

. . . .

Raum der reell-analytischen Funktionen auf D

. . . . . . . . . .

6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

pK

. . . . . . . . .

◦

b

. . . . .

Raum der holomorphen Funktionen auf D Seminorm zu K

relativ-kompakt

∆ . . . . . .

offene Einheitskreisscheibe

OBdA . . . .

Ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit

. . . . . . . . . . . . . .

7

R∗

Einheitengruppe des Ringes R . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

C

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

. . . . . .

Riemannsche Zahlenkugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

A . . . . . .

abgeschlossene H¨ ulle von A in C . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Pf

Polstellenmenge einer meromorphen Funktion

. . . . .

. . . . . . . . . . . 11

M(D) . . . .

Ring der meromorphen Funktionen auf D . . . . . . . . . . . . . 11

C(z)

K¨orper der rationalen Funktionen in z

. . . .

Aut(U )

. . .

Automorphismengruppe von U

. . . . . . . . . . . . . . 11

. . . . . . . . . . . . . . . . . 13

GL(n, C) . . .

Gruppe aller invertierbaren komplexen n × n-Matrizen

SL(n, C)

Untergruppe aller Matrizen mit Determinante 1

. . .

. . . . . . . 13

. . . . . . . . . . 13

wf (a)

. . . .

Wertigkeit von f in a

vf (a)

. . . .

Verzweigungsordnung von f in a . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

DV

. . . . .

Doppelverh¨altnis

IPn

. . . . .

komplex projektiver Raum

IK[x]

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Ring aller Polynome in x mit Koeffizienten aus IK

. . . . . . . . . 16

Γ(z) . . . . .

Gammafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

ζ(z) . . . . .

Zetafunktion

℘(z) . . . . .

Weierstraßsche ℘-Funktion

Resg (c)

Residuum von g in c

µ(U ) H(U, V )

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Modul des Kreisrings U

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Raum aller holomorphen Abbildungen U → V

. . . . . . . . . . . 42

F (f )

. . . .

Fatoumenge von f

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

J(f )

. . . .

Juliamenge von f

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Fix(f )

. . . .

Fixpunktmenge von f

W (a)

. . . .

Attraktionsbereich von a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

A(a)

. . . .

Attraktionsgebiet von a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

π1 (X)

. . . .

Fundamentalgruppe von X

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3

Funktionentheorie

1. Der Satz von Montel Im folgenden sei D ⊂ C stets eine offene Teilmenge und H(D) der Raum der holomorphen Funktionen auf D. Zur Abk¨ urzung schreiben wir in diesem Abschnitt auch F := H(D). Dann ist F ein C-Vektorraum (sogar eine komplexe Algebra). Wir wollen F topologisieren. F¨ ur jedes Kompaktum K ⊂ D definiere pK : F → IR durch pK (f ) := supz∈K |f (z)|. Dann gilt (i) pK (f ) ≥ 0 (ii) pK (tf ) = |t| pK (f ) f¨ ur t ∈ C (iii) pK (f + g) ≤ pK (f ) + pK (g) (man sagt, pK ist eine Seminorm auf F ). Zur Erinnerung: Eine Folge (fn ) holomorpher Funktionen auf D konvergiert kompakt gegen die Funktion f auf D (in Zeichen: f = lim fn ), wenn die Konvergenz auf jedem Kompaktum von D gleichm¨aßig ist (und der Satz von Weierstraß sagt dann, daß f holomorph ist und die Folge (fn0 ) der Ableitungen kompakt gegen die Ableitung f 0 konvergiert). 1.1 Bemerkung. Die Folge (fn ) konvergiert genau dann kompakt gegen f ∈ F , wenn f¨ ur jedes Kompaktum K ⊂ D gilt lim pK (f − fn ) = 0 . n→∞

1.2 Definition. U ⊂ F heißt Umgebung von f ∈ F ⇐⇒ ∃ Kompaktum K ⊂ D und ∃ ε > 0 mit UK,ε (f ) := {g ∈ F : pK (g − f ) < ε} ⊂ U . U ⊂ F heißt offen ⇐⇒ U ist Umgebung von jedem f ∈ U . Das System aller offenen Teilmengen in F liefert die Topologie der kompakten Konvergenz auf F = H(D). Offenbar gilt: f = lim fn ⇐⇒ F¨ ur jede Umgebung U von f gilt fn ∈ U f¨ ur fast alle n . n→∞

Die Topologie von F ist vertr¨aglich mit der Vektorraumstruktur in folgendem Sinne: Die Abbildungen F × F −→ F und C × F −→ F (f, g) 7→ f + g

(t, f ) 7→ tf

sind stetig. Man spricht deshalb auch von einem topologischen Vektorraum. Da die Topologie von einem System von Seminormen definiert wird (n¨amlich allen pK mit K ⊂ D kompakt), spricht man von einem lokal-konvexen topologischen Vektorraum. Wir wollen zeigen, daß man schon stets mit abz¨ahlbar vielen Seminormen auskommen kann. Dazu zun¨achst 1.3 Definition. Eine Folge (Kn ) heißt Aussch¨opfungsfolge von D, wenn gilt ∞ S (i) Jedes Kn ist kompakt und D = Kn , ◦

(ii) Kn ⊂ K n+1 f¨ ur alle n.

n=1

Beispielsweise ist f¨ ur ∆ := {z ∈ C : |z| < 1} (offene Einheitskreisscheibe) und Kn := {z ∈ C : |z| ≤ 1 − 1/n} f¨ ur n ≥ 1 die Folge (Kn ) eine Aussch¨opfungsfolge von ∆. Es gilt allgemein

4

Funktionentheorie

1.4 Satz. Jede offene Teilmenge D ⊂ C besitzt eine Aussch¨opfungsfolge. Beweis. Es sei R := {R ⊂ D : R kompaktes, achsenparalleles Rechteck mit Eckpunkten in Q + iQ} . R ist abz¨ahlbar, etwa R = {R1 , R2 , R3 , . . .}. Wir definieren die Folge (Kn ) rekursiv. Sei K1 := R1 und unter der Voraussetzung, daß Kn−1 bereits definiert sei, w¨ahle ein k ≥ n mit k [

Kn−1 ⊂

◦

Rj .

j=1

¡◦ ¢ ¨ Das ist m¨oglich, da Kn−1 kompakt ist und Rj eine offene Uberdeckung des Kompaktums Kn−1 ist. Setze k [ Kn := Rj . j=1

Damit ist (Kn ) eine Aussch¨opfungsfolge.

u t

1.5 Folgerung. Jedes f ∈ H(D) besitzt ein abz¨ahlbares Fundamentalsystem von Umgebungen (d.h. eine Folge (Un ) von Umgebungen von f mit der Eigenschaft, daß jede beliebige Umgebung von f mindestens ein Un enth¨alt). Beweis. Sei (Kn ) Aussch¨ opfungsfolge von D und εn := 1/n. Dann bilden alle UKn ,εn (f ) ein Fundamentalsystem von Umgebungen von f .

u t

Die Bedeutung von 1.5 besteht darin, daß man mit (abz¨ahlbaren) Folgen arbeiten kann (statt mit Netzen oder Filtern). Eine Folge (fn ) in F heißt Cauchy-Folge ⇐⇒ F¨ ur jedes ε > 0 und jedes Kompaktum K ⊂ D existiert ein n0 ∈ IN mit pK (fn − fm ) < ε f¨ ur alle n, m ≥ n0 . 1.6 Lemma. F ist vollst¨andig (d.h. jede Cauchy-Folge in F konvergiert). Beweis. Sei (fn ) eine Cauchy-Folge in F . F¨ ur jedes a ∈ D ist K := {a} kompakt und pK (f ) = |f (a)|, folglich ist (fn (a)) Cauchy-Folge in C, d.h. f (a) := lim fn (a) ∈ C existiert f¨ ur jedes a ∈ D (Cauchy-Kriterium in C). Ist K ⊂ D beliebig kompakt und ε > 0, so gilt pK (fn − fm ) < ε f¨ ur alle n, m ≥ n0 , d.h. |fn (z) − fm (z)| < ε und folglich

|fn (z) − f (z)| ≤ ε

f¨ ur alle n, m ≥ n0 und alle z ∈ K, d.h. (fn ) konvergiert kompakt gegen f : D → C. Als kompakter Limes ist f holomorph und somit in F . u t Zusammengefaßt erhalten wir 1.7 Satz. F¨ ur jede offene Teilmenge D ⊂ C ist H(D) ein komplexer Fr´echetraum (d.h. ein vollst¨andiger topologischer Vektorraum, dessen Topologie durch abz¨ahlbar viele Seminormen gegeben werden kann). Man kann z.B. den Weierstraßschen Satz auch wie folgt formulieren: F¨ ur jede offene Teilmenge D ⊂ C definiert die Ableitung f 7→ f 0 eine stetig lineare Abbildung H(D) → H(D). Wir wollen nun die kompakten Teilmengen A ⊂ F = H(D) charakterisieren. Nach Defini¨ tion heißt A ⊂ F kompakt ⇐⇒ Jede offene Uberdeckung von A besitzt eine endliche Teil¨ uberdeckung. Wegen 1.5 ist f¨ ur Teilmengen von H(D) kompakt ¨aquivalent zu folgenkompakt (d.h. jede Folge in A besitzt einen H¨aufungspunkt in A).

ABZF

5

Funktionentheorie

Bekanntlich sind die kompakten Teilmengen K ⊂ IRn genau die beschr¨ankten, abgeschlossenen Teilmengen (Satz von Heine-Borel). F¨ ur F = H(D) (wie in jedem topologischen Raum) heißt eine Teilmenge A ⊂ F abgeschlossen, wenn das Komplement F \A offen ist. Ferner heißt A ⊂ F beschr¨ankt, wenn f¨ ur jedes Kompaktum K ⊂ D die Menge pK (A) := {pK (f ) : f ∈ A} beschr¨ankt in IR ist – anders ausgedr¨ uckt: Zu jedem Kompaktum K ⊂ D existiert eine Schranke c ∈ IR mit |f (z)| < c f¨ ur alle f ∈ A und alle z ∈ K. Man beachte, daß jede Teilmenge A = {f } ⊂ F , die aus einer einzelnen Funktion f besteht, eine beschr¨ankte Teilmenge von F darstellt, auch wenn die Funktion f auf D unbeschr¨ankt sein sollte. 1.8 Satz von Montel. F¨ ur jede offene Teilmenge D ⊂ C und jede Teilmenge A ⊂ H(D) sind ¨aquivalent: (i) A ist kompakt (ii) A ist beschr¨ankt und abgeschlossen. Beweis. “triviale Richtung (i) ⇒ (ii)” Sei A kompakt. Wegen pK : F → IR stetig ist pK (A) ⊂ IR kompakt und insbesondere beschr¨ankt. A abgeschlossen ist trivial. “nichttriviale Richtung (ii) ⇒ (i)” Sei A ⊂ F beschr¨ankt und abgeschlossen. Wegen 1.5 gen¨ ugt es zu zeigen, daß A folgenkompakt ist. Sei also (fn ) eine Folge in A. W¨ahle eine in D dichte Punktfolge (zk ) (etwa durch Abz¨ahlung von (Q + iQ) ∩ D). Wegen {fn (z1 )} beschr¨ankt in C existiert eine Teilfolge (gn1 ) von (fn ) mit (gn (z1 )) konvergent in C. Analog existiert Teilfolge (gn2 ) von (gn1 ) mit (gn2 (z2 )) konvergent in C — allgemein existiert f¨ ur jedes k eine Teilfolge (gnk ) k k−1 von (gn ) mit (gn (zk )) konvergent in C. F¨ ur die Diagonalfolge (gn ) definiert durch gn := gnn gilt also: (gn ) ist Teilfolge von (fn ) und limn→∞ gn (zk ) ∈ C existiert f¨ ur alle k. Sei nun K ⊂ D kompakt und ε > 0 fest gegeben. W¨ahle c, r > 0 wie im folgenden Hilfssatz 1.9 und setze s := min(r, ε/3c). Dann existiert ein k0 ∈ IN, so daß zu jedem z ∈ K ein k ≤ k0 mit |z − zk | ≤ s existiert (da K kompakt und (zk ) dicht in D). F¨ ur dieses existiert ein n0 mit |gn (zk ) − gm (zk )| < ε/3

f¨ ur alle

n, m ≥ n0 und k ≤ k0 .

Ist nun z ∈ K beliebig, so gilt |z − zk | ≤ s f¨ ur ein k ≤ k0 und somit |gn (z) − gm (z)| ≤ |gn (z) − gn (zk )| + |gn (zk ) − gm (zk )| + |gm (zk ) − gm (z)| < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε , d.h. pK (gn − gm ) < ε f¨ ur alle n, m ≥ n0 . Folglich ist (gn ) eine Cauchy-Folge in H(D), und g := lim gn ∈ H(D) existiert. Wegen A abgeschlossen ist sogar g ∈ A, d.h. A ist folgenkompakt. u t 1.9 Hilfssatz. Ist A ⊂ H(D) beschr¨ankt und K ⊂ D kompakt, so existieren c, r > 0 mit |z − w| ≤ r ⇒ |f (z) − f (w)| ≤ c |z − w| f¨ ur alle z, w ∈ K und f ∈ A. Beweis. Es gibt ein Kompaktum L ⊂ D und ein r > 0 mit {z ∈ C : |z − w| ≤ 2r} ⊂ L f¨ ur alle w ∈ K. Setze c := r−1 · sup pL (A). Seien z, w ∈ K mit |z − w| ≤ r gegeben. Dann gilt Z1 f 0 (w + t(z − w))dt · (z − w) .

f (z) − f (w) = 0

0 F¨ ur jedes v = w +t(z −w) mit 0 ≤ t ≤ 1 gilt {λ ∈ C : |λ−v| ≤ r} ⊂ L, ¯R d.h. |f (v)| ≤ c als Konse¯ ¯ 1 0 ¯ quenz der Cauchyschen Integralformel f¨ ur die Ableitung und somit ¯ 0 f (w + t(z − w))dt¯ ≤ c. u t

In der a ¨lteren Literatur finden sich etwas andere Formulierungen des Montelschen Satzes. Dazu zun¨achst

HISA

6

Funktionentheorie

1.10 Definition. Eine Teilmenge A ⊂ H(D) heißt normale Familie, falls jede Folge in A eine in H(D) konvergente Teilfolge besitzt (d.h. die abgeschlossene H¨ ulle A von A in H(D) ist folgenkompakt). A ⊂ H(D) heißt beschr¨ankte Familie, wenn sie beschr¨ankte Teilmenge im vorher definiertem Sinne ist. Damit lautet dann die Triviale Richtung von Montel: Jede normale Familie ist beschr¨ankt. Nichttriviale Richtung von Montel: Jede beschr¨ankte Familie ist normal. Als Anwendung erhalten wir den 1.11 Satz von Vitali. Sei D ⊂ C ein Gebiet und T ⊂ D eine Teilmenge, die mindestens einen H¨aufungspunkt in D besitzt. Ist dann A ⊂ H(D) beschr¨ankt und (fn ) eine Folge in A, so daß lim fn (t) ∈ C

n→∞

f¨ ur alle t ∈ T existiert, so existiert f := lim fn ∈ H(D) . n→∞

Beweis. Wegen A ⊂ H(D) kompakt gen¨ ugt es zu zeigen, daß die Folge (fn ) h¨ochstens einen H¨aufungspunkt in H(D) hat (dabei heißt f ∈ H(D) H¨aufungspunkt der Folge (fn ), wenn f¨ ur jede Umgebung U von f schon fn ∈ U f¨ ur unendlich viele n gilt). Seien also f, g H¨aufungspunkte von (fn ). Wegen f, g holomorph auf D und f |T = g|T liefert aber der Identit¨atssatz, daß notwendig f = g gelten muß. u t Wir h¨ atten alle bisherigen Definitionen statt f¨ ur H(D) auch f¨ ur den Raum C(D) aller stetigen Funktionen f : D → C machen k¨onnen. Dann ist H(D) ⊂ C(D) ein abgeschlossener linearer Teilraum. Es gilt aber keinesfalls der Montelsche Satz f¨ ur C(D). Er gilt nicht einmal f¨ ur den Teilraum A(D) aller reell-analytischen Funktionen f : D → C, die wie folgt definiert sind: F¨ ur jedes a ∈ D existiert eine Umgebung U ⊂ D von a und eine in U gleichm¨aßig konvergente Potenzreihenentwicklung ∞ X f (z) = cjk (z − a)j (z − a)k j,k=0

mit Koeffizienten cjk ∈ C. 1.12 Beispiel. F¨ ur D ⊂ C offen und n ∈ IN sei fn ∈ A(D) definiert durch fn (z) = sin(n(z + z)) = sin(2nx) f¨ ur

x = Re(z) .

Dann gilt |fn (z)| ≤ 1 f¨ ur alle n und alle z ∈ D, d.h. A := {fn : n ∈ IN} ist beschr¨ankt in C(D), aber man u ¨berzeugt sich leicht, daß die Folge (fn ) keine in C(D) kompakt konvergente Teilfolge besitzt. In einem Hausdorffraum X heißt eine Teilmenge S ⊂ X relativ-kompakt, und wir schreiben S b X, wenn eine kompakte Teilmenge K ⊂ X mit S ⊂ K ⊂ X existiert. Der Montelsche Satz kann dann auch so formuliert werden, daß f¨ ur jedes offene D ⊂ C in H(D) die beschr¨ankten Teilmengen genau die relativ-kompakten Teilmengen sind.

Funktionentheorie

7

¨ 1.13 Ubungsaufgabe. Es seien B ⊂ D Gebiete in C und λ : H(D) → H(B) die durch λ(f ) = f |B definierte Einschr¨ankungsabbildung. Man zeige (i) λ ist eine injektive, stetig lineare Abbildung, die genau dann surjektiv ist, wenn B = D gilt. (ii) Ist B b D, so ist λ kompakt (d.h. ∃ Umgebung U der 0 ∈ H(D) mit λ(U ) b H(B)). (iii) Ist λ kompakt und B beschr¨ankt, so gilt B b D. Hinweis: F¨ ur geeignete a ∈ ∂D und r > 0 betrachte die Funktionenfamilie aller r(z − a)−n . (iv) Ist B unbeschr¨ankt, so ist λ nicht kompakt. ¨ 1.14 Ubungsaufgabe. Es seien D ⊂ C ein Gebiet, A ⊂ H(D) eine beschr¨ankte Teilmenge und (fn ) eine Folge in A. Dann sind f¨ ur jedes a ∈ D ¨aquivalent. (i) Die Folge (fn ) kovergiert auf D kompakt gegen eine holomorphe Grenzfunktion. (k) (ii) F¨ ur jedes k ∈ IN existiert in a der Limes der k-ten Ableitungen limn→∞ fn (a) in C. ¨ 1.15 Ubungsaufgabe. Es seien D ⊂ C ein Gebiet und K, L ⊂ D kompakte Teilmengen. Die Menge K sei nicht endlich. Dann gibt es eine Nullfolge reeller Zahlen (εn ) mit folgender Eigenschaft: F¨ ur jede holomorphe Funktion f auf D mit |f (z)| ≤ 1 f¨ ur alle z ∈ D und |f (z)| ≤ 1/n f¨ ur alle z ∈ K gilt |f (z)| ≤ εn f¨ ur alle z ∈ L.

2. Der Riemannsche Abbildungssatz Seien D, E ⊂ C Gebiete und f ∈ H(D). Gilt f (D) ⊂ E, so sprechen wir auch von einer holomorphen Abbildung f : D → E. Diese heißt biholomorph, wenn sie bijektiv ist (in diesem Fall hat die Ableitung f 0 keine Nullstelle in D, und insbesondere ist die Umkehrabbildung f −1 : E → D ebenfalls holomorph). Die beiden Gebiete D, E heißen biholomorph ¨aquivalent, wenn eine biholomorphe Abbildung f : D → E existiert. Biholomorph ¨aquivalente Gebiete haben offenbar funktionentheoretisch gleiche Eigenschaften. 2.1 Beispiel. F¨ ur ∆ := {z ∈ C : |z| < 1} und jedes a ∈ ∆ wird durch g(z) := biholomorphe Abbildung g : ∆ → ∆ mit g −1 = g und g(0) = a definiert. Beweis. F¨ ur a, z ∈ ∆ gilt 0 < (1 − aa)(1 − zz) = (1 + aazz) − (zz + aa) und damit

z−a eine az − 1

BEIS

|z − a|2 = (zz + aa) − (az + az) < (1 + aazz) − (az + az) = |az − 1|2 , d.h. |g(z)| < 1 und somit ist g : ∆ → ∆ eine holomorphe Abbildung. Man rechnet unmittelbar g(g(z)) = z f¨ ur alle z ∈ ∆ nach. u t Sei D ⊂ C ein Gebiet und f ∈ H(D) eine auf D holomorphe Funktion. Dann heißt f schlicht, wenn f (a) 6= f (b) f¨ ur alle a 6= b aus D gilt (wenn also f als Abbildung injektiv ist). Aus dem Satz u ur jedes schlichte f ∈ H(D), daß das Bild f (D) ebenfalls ¨ber die Gebietstreue folgt f¨ ein Gebiet in C ist. Insbesondere ist dann die Abbildung f : D → f (D) biholomorph. F¨ ur schlichte holomorphe Funktionen gilt nun der bemerkenswerte 2.2 Satz. Sei D ⊂ C ein Gebiet in C und (fn ) eine Folge schlichter holomorpher Funktionen auf D, die kompakt auf D gegen eine nicht-konstante Funktion f ∈ H(D) konvergiert. Dann ist auch f schlicht. Beweis. Angenommen, f ist nicht schlicht. Dann existieren a 6= b aus D mit f (a) = f (b). OBdA d¨ urfen wir f (a) = 0 annehmen und ebenso f 0 (a) 6= 0 6= f 0 (b) (denn ist f 0 (a) = 0, so existieren in jeder Umgebung von a Punkte c 6= d, in denen f den gleichen Wert und nicht-verschwindende Ableitung hat). Wegen f nicht-konstant existiert ein r > 0, so daß f¨ ur K := {z ∈ C : |z − a| ≤ r} gilt: K ⊂ D und a ist die einzige Nullstelle von f in K. Auf einer geeigneten Umgebung U von K gilt c 1 = + h(z) f (z) z−a

HURW

8

Funktionentheorie

mit c = 1/f 0 (a) 6= 0 und einer auf U holomorphen Funktion h. Also gilt Z

dz = 2πic 6= 0 . f (z)

|z−a|=r

Wegen f = lim fn existiert ein n0 so, daß f¨ ur alle n ≥ n0 gilt (i) fn hat keine Nullstelle auf ∂K = {|z − a| = r} und Z dz (ii) 6= 0. f |z−a|=r n (z) Wegen des Cauchyschen Integralsatzes heißt das aber: F¨ ur jedes n ≥ n0 hat fn im Innern von K mindestens eine Nullstelle. Mit dem gleichen Argument folgt: Es gibt ein n1 ≥ n0 und eine Umgebung V ⊂ D\K von b, so daß f¨ ur jedes n ≥ n1 die Funktion fn eine Nullstelle in V hat. Das widerspricht aber unserer Voraussetzung, daß alle fn schlicht sind. u t Wir wollen nun als Hauptresultat dieses Abschnitts diejenigen Gebiete D ⊂ C charakterisieren, die zum offenen Einheitskreis ∆ biholomorph ¨aquivalent sind. Aus topologischen Gr¨ unden ist klar, daß solche D einfach-zusammenh¨angend sein m¨ ussen. Zun¨achst gilt 2.3 Bemerkung. C ist nicht biholomorph ¨aquivalent zu ∆. Allerdings ist C reell-analytisch (und damit insbesondere topologisch) ¨aquivalent zu ∆. Beweis. Angenommen, es existiert eine biholomorphe Abbildung f : C → ∆. Dann ist f als beschr¨ankte holomorphe Funktion auf C nach Liouville konstant und damit doch nicht biholomorph. Andererseits definiert f (z) := (1 + zz)−1/2 z eine reell-analytische Abbildung f : C → ∆. Diese hat mit g(w) := (1 − ww)−1/2 w eine reell-analytische Umkehrabbildung g : ∆ → C, d.h. C und ∆ sind reell-analytisch ¨ aquivalent. u t 2.4 Riemannscher Abbildungssatz. Jedes einfach-zusammenh¨angende Gebiet D ⊂ C mit D 6= C ist biholomorph ¨aquivalent zum Einheitskreis ∆. Beweis. Fall 1: 0 ∈ D ⊂ ∆. Sei A := {f ∈ H(D) : f (D) ⊂ ∆, f schlicht , f (0) = 0, |f 0 (0)| ≥ 1}. F¨ ur f (z) ≡ z gilt offenbar f ∈ A, d.h. A 6= ∅. Behauptung. A ist kompakt! Beweis Behauptung. Da A ⊂ H(D) beschr¨ankt ist, gen¨ ugt es wegen Montel zu zeigen, daß A abgeschlossen in H(D) ist. Sei also (fn ) eine Folge in A mit f = lim fn ∈ H(D). Dann gilt auch f (0) = 0 und |f 0 (0)| = lim |fn0 (0)| ≥ 1. Also ist f nicht konstant und somit f (D) ⊂ ∆ offen, d.h. f (D) ⊂ ∆. Ebenso ist f schlicht wegen Satz 2.2, d.h. f ∈ A, und die Behauptung ist somit bewiesen. Da die Abbildung f 7→ |f 0 (0)| stetig ist, existiert folglich ein g ∈ A mit |g 0 (0)| = sup |f 0 (0)| ≥ 1 . f ∈A

Behauptung. g(D) = ∆, d.h. g : D → ∆ ist biholomorph. Beweis Behauptung. Angenommen, es existiert ein a ∈ ∆\g(D). Dann ist a 6= 0, und es existiert ein b 6= 0 mit a = b2 . Definiere ϕ, ψ, F ∈ H(∆) und H ∈ H(D) (vergl. 2.1) durch ϕ(z) =

z−a , az − 1

ψ(z) =

z−b , bz − 1

F (z) = ϕ(ψ(z)2 ),

H(z) = ϕ(g(z)) .

Dann gilt (i) F (0) = 0, F (∆) ⊂ ∆ und |F 0 (0)| < 1 nach Schwarzschen Lemma (vergl. 2.7), da F nicht schlicht ist

9

Funktionentheorie

(ii) H(0) = a, H schlicht und somit H(D) ⊂ C∗ einfach-zusammenh¨angendes Gebiet. √ Da somit auf H(D) ein Zweig von z existiert, gibt es ein h ∈ H(D) mit h(z)2 ≡ H(z) und h(0) = b. F¨ ur dieses h gilt h(D) ⊂ ∆, und h ist schlicht (da H schlicht). Daraus folgt f := ψ ◦ h ∈ H(D) schlicht, f (D) ⊂ ∆, f (0) = 0 und weiter wegen ϕ ◦ ϕ = ψ ◦ ψ = id: F (f (z)) = ϕ(ψ(f (z))2 ) = ϕ(h(z)2 ) = ϕ(H(z)) = g(z) , d.h. F 0 (0) · f 0 (0) = g 0 (0) und folglich |f 0 (0)| =

|g 0 (0)| > |g 0 (0)| , |F 0 (0)|

d.h. f ∈ A, und wir erhalten einen Widerspruch zur Wahl von g, d.h. g(D) = ∆. Fall 2: D ist nicht dicht in C. Dann existiert ein a ∈ C und ein r > 0 mit |z − a| > 2r f¨ ur alle z ∈ D. W¨ahle ein b ∈ D und definiere f ∈ H(D) durch f (z) = r/(z − a). Dann gilt |f (z)| < 1/2, d.h. g(z) := f (z) − f (b) definiert eine schlichte Funktion g ∈ H(D) mit g(D) ⊂ ∆ und g(b) = 0. Folglich ist D biholomorph ¨ aquivalent zu g(D) und damit wegen Fall 1 auch zu ∆. Allgemeiner Fall: Wegen D 6= C existiert ein a ∈ C\D. OBdA ist a = 0, d.h. D ⊂ C∗ ist ein einfach-zusammenh¨ angendes Gebiet. Dann existiert f ∈ H(D) mit f (z)2 ≡ z (Zweig der Wurzelfunktion). Also ist f schlicht, und f¨ ur E := f (D) ist f : D → E biholomorph. Angenommen, es existiert ein c ∈ E ∩ (−E), d.h. ∃ x, y ∈ D mit c = f (x) = −f (y) und somit x = f (x)2 = (−f (y))2 = y bzw. f (x) = −f (x) = 0, was nicht m¨oglich ist. Also liegt das Gebiet −E im Komplement von E, und E ist nicht dicht in C. Mit Fall 2 folgt die Behauptung. u t 2.5 Folgerung. Je zwei einfach-zusammenh¨angende Gebiete D ⊂ IR2 sind topologisch ¨aquivalent. F¨ ur jede offene Teilmenge D ⊂ C ist H(D) ein kommutativer Ring mit Eins 1 (der Funktion ≡ 1). Sei H(D)∗ die Einheitengruppe in H(D), d.h. die Menge aller f ∈ H(D), f¨ ur die ein g ∈ H(D) ∗ mit f g = 1 existiert. Offenbar ist H(D) gerade die Menge aller holomorphen Abbildungen f : D → C∗ , wobei C∗ = C\{0}. Der Gruppenhomomorphismus exp : H(D) → H(D)∗ ist im allgemeinen nicht surjektiv (i.a. kann nicht der Logarithmus einer holomorphen Funktion gebildet werden, auch wenn diese den Funktionswert 0 nicht annimmt). Als Anwendung des Riemannschen Abbildungssatzes (genauer des Beweises) erhalten wir nunmehr 2.6 Folgerung. F¨ ur jede offene Teilmenge D ⊂ C sind ¨aquivalent (i) D ist einfach-zusammenh¨angend, d (ii) dz : H(D) → H(D) ist surjektiv, (iii) exp : H(D) → H(D)∗ ist surjektiv, (iv) q : H(D)∗ → H(D)∗ ist surjektiv, wobei q durch q(f ) = f 2 definiert ist. ¨ Beweis. Wir d¨ urfen D zusammenh¨ angend annehmen. (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) Ubungsaufgabe. (iv) ⇒ (i) Es gelte (iv). Wir d¨ urfen D 6= C annehmen. Der Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes funktioniert auch unter der Annahme (iv), also ist D biholomorph ¨aquivalent zu ∆. ∆ ist einfach-zusammenh¨ angend und damit auch D. u t

AEQU

Wir m¨ ussen noch nachtragen die auch f¨ ur sich interessante Aussage 2.7 Schwarzsches Lemma. Sei f : ∆ → ∆ eine holomorphe Abbildung mit f (0) = 0. Dann gilt |f (z)| ≤ |z| f¨ ur alle z ∈ ∆ und ebenso |f 0 (0)| ≤ 1. Gilt |f (z)| = |z| f¨ ur ein z ∈ ∆ mit z 6= 0 0 oder |f (0)| = 1, so existiert ein t ∈ C mit |t| = 1 und f (z) = tz f¨ ur alle z ∈ ∆. Beweis. Definiere g : ∆ → C durch ½ g(z) =

f (z)/z f 0 (0)

z= 6 0 z=0.

SCHW

10

Funktionentheorie

Dann ist g stetig auf ∆ und holomorph auf ∆\{0}, d.h. g ist holomorph auf ganz ∆. F¨ ur jedes 0 < r < 1 folgt mit dem Maximumprinzip pKr (g) = p∂Kr (g) ≤ 1/r f¨ ur den Rand ∂Kr der Kreisscheibe Kr := {|z| ≤ r}. F¨ ur r % 1 folgt daraus |g(z)| ≤ 1 f¨ ur alle z ∈ ∆. Der Fall |g(z)| = 1 f¨ ur ein z ∈ ∆ kann nur dann eintreten, wenn g konstant ist, d.h. f (z) ≡ tz f¨ ur ein t ∈ C mit |t| = 1. u t ¨ 2.8 Ubungsaufgabe. Es f eine holomorphe Abbildung ∆ → ∆. Man zeige |f 0 (0)| ≤ (1 − aa) f¨ ur a := f (0). Gleichheit gilt z.B. f¨ ur f (z) = (z − a)/(az − 1). Insbesondere impliziert also |f 0 (0)| = 1 bereits f (0) = 0.

3. Die Riemannsche Zahlenkugel Wir wollen im folgenden Holomorphie und Meromorphie auch im ‘unendlich fernen Punkt’ ∞ betrachten. Dazu sei zun¨ achst an die Riemannsche Zahlenkugel C := C ∪ {∞} erinnert: Die algebraischen Verkn¨ upfungen + und · k¨onnen nicht sinnvoll von C auf C fortgesetzt werden – dennoch wollen wir zumindest a/∞ := 0 und ∞ ± a = a ± ∞ := ∞ falls a 6= ∞ sowie a/0 = a · ∞ := ∞ falls a 6= 0 setzen. Die restlichen Verkn¨ upfungen (wie z.B. 0/0) heißen unbestimmte Ausdr¨ ucke, ihnen entspricht kein Wert in C. Außerdem sei ∞ := ∞ und |∞| := +∞ definiert. Der Name Zahlenkugel (besser w¨ are die Bezeichnung Zahlensph¨are gewesen) und Pol f¨ ur den Punkt ∞ r¨ uhrt bekanntlich her von der Realisierung von C als 2-Sph¨are verm¨oge stereographischer Projektion, genauer: Sei S 2 := {(x, y, t) ∈ IR3 : x2 + y 2 + t2 = 1} die Einheitssph¨ are N

t

y

im IR3 und N := (0, 0, 1) ∈ S 2 der “Nordpol”.

τ : S 2 \{N } → C durch τ (x, y, t) = τ −1 (z) =

x

Definiere

x + iy . Dann ist τ Hom¨oomorphismus wegen 1−t

³ 2x 2y zz − 1 ´ , , , zz + 1 zz + 1 zz + 1

wobei

z := x + iy .

Durch τ (N ) = ∞ wird τ zu einer Bijektion τ : S 2 → C fortgesetzt. Die Topologie auf C wird nun so definiert, daß diese Bijektion ein Hom¨oomorphismus wird (d.h. U ⊂ C ist Umgebung von ∞ ⇐⇒ C\U ist beschr¨ankte Teilmenge von C ⇐⇒ ∃ r > 0 mit {z ∈ C : |z| > r} ⊂ U ). Offenbar ist die Riemannsche Zahlenkugel C kompakt und zusammenh¨angend. F¨ ur jede Teilmenge A ⊂ C wollen wir im folgenden stets mit A die abgeschlossene H¨ ulle von A in C bezeichnen. F¨ ur Elemente a ∈ C sei dagegen a die zu a konjugiert komplexe Zahl. Definiere σ : C → C durch σ(z) := 1/z. Dann ist σ ein Hom¨oomorphismus mit σ 2 = idC und σ(∞) = 0. 3.1 Definition. Sei D ⊂ C offen mit ∞ ∈ D und f : D → C eine komplexwertige Funktion. Dann heißt f holomorph, falls (i) f |D ∩ C holomorph im bisherigen Sinne und (ii) f ◦ σ ist holomorph in Umgebung von 0 ∈ C. P∞ Ist g(z) = n=0 cn z n die Potenzreihenentwicklung von g := f ◦ σ um 0 ∈ C, so heißt f (z) =

∞ X n=0

cn (1/z)n =

0 X n=−∞

dn z n

PEST

11

Funktionentheorie

(dn = c−n ) die Potenzreihenentwicklung von f um ∞ ∈ D. Diese konvergiert gleichm¨aßig auf einer geeigneten Umgebung von ∞. Sei wieder H(D) der Raum aller holomorphen Funktionen auf der offenen Teilmenge D ⊂ C. Die einschl¨ agigen S¨atze f¨ ur holomorphe Funktionen (Identit¨atssatz, Maximumprinzip, ...) gelten auch f¨ ur D ⊂ C offen. 3.2 Bemerkung. H(C) = C, d.h. jede auf C holomorphe Funktion ist konstant. Beweis. Sei f ∈ H(C). Wegen C kompakt nimmt |f | das Maximum an. Wegen C zusammenh¨angend ist nach dem Maximumprinzip f konstant. u t (Alternativer Beweis: f |C ist beschr¨ankt und somit nach Liouville konstant). 3.3 Definition. Eine stetige Abbildung f : D → C heißt eine meromorphe Funktion auf der offenen Teilmenge D ⊂ C, wenn gilt (i) Pf := {z ∈ D : f (z) = ∞} ist diskret in D (d.h. hat keinen H¨aufungspunkt in D), (ii) die Einschr¨ankung von f auf die offene Teilmenge D\Pf ist holomorph. Die Menge Pf heißt die Polstellenmenge von f . Die Menge M(D) aller meromorphen Funktionen auf D kann zu einem (kommutativen) Ring mit Eins gemacht werden, der H(D) als Unterring enth¨alt: Die Verkn¨ upfungen + und · k¨onnen allerdings nicht (wie bei H(D)) punktweise eingef¨ uhrt werden, z.B. w¨ urde (f + g)(z) := f (z) + g(z) f¨ ur alle a ∈ Pf ∩ Pg zu einem unbestimmten Ausdruck f¨ uhren. Wir definieren deshalb Summe und Produkt von f, g ∈ M(D) (eindeutig) so, daß sie auf D\(Pf ∪ Pg ) mit der entsprechenden Bildung holomorpher Funktionen u ¨bereinstimmen (man u ¨berlege sich, daß das stets funktioniert). Ebenso definieren wir f¨ ur jede meromorphe Funktion f ∈ M(D) die Ableitung f 0 ∈ M(D) dadurch, daß sie auf (D\Pf ) ∩ C mit der u ¨blichen Ableitung u ¨bereinstimmt. P∞ Im Fall ∞ 6= a ∈ D gestattet f ∈ M(D) eine Laurententwicklung f (z) = n=−∞ cn (z −a)n um a, die f¨ ur alle z 6= a nahe a konvergiert, und wir setzen of (a) := inf{n ∈ Z : cn 6= 0}. P∞ Gilt a = ∞, so hat die Laurententwicklung von f um ∞ die Form f (z) = n=−∞ cn z n , und wir setzen of (∞) := inf{−n ∈ Z : cn 6= 0}. In jedem Falle heißt of (a) ∈ Z ∪ {+∞} die Nullstellenordnung und − of (a) ∈ Z ∪ {−∞} die die Polstellenordnung von f in a. Offenbar sind Nullstellen- wie auch Postellenordnung invariant gegen¨ uber biholomorphen Abbildungen. Der Leser mache sich klar, daß mit den getroffenen Definitionen M(D) wirklich ein Ring ist, und daß M(D) genau dann ein K¨ orper ist, wenn D zusammenh¨angend ist. Wie sieht nun der K¨orper M(C) aus? Aus der Definition folgt unmittelbar, daß jedes Polynom f (z) vom Grad n eine auf C meromorphe Funktion mit of (∞) = −n darstellt, d.h. insbesondere daß der Raum C[z] aller komplexen Polynome ein Unterring von M(C) ist. Folglich gilt auch C(z) ⊂ M(C), wobei C(z) := {p/q : p, q ∈ C[z] mit q 6= 0} der K¨orper der rationalen Funktionen (in z) ist. 3.4 Satz. M(C) = C(z), d.h. jede auf C meromorphe Funktion ist rational. Beweis. Sei f ∈ M(C) und P := Pf . Da P keinen H¨aufungspunkt in C hat, ist P endlich. Wir f¨ uhren Induktion u ¨ber die Anzahl der Polstellen von f : Induktionsbeginn: P = ∅, d.h. f ∈ H(C) und folglich ist f konstant. Induktionsschluß: Angenommen, a ∈ P . Es gen¨ ugt, ein h ∈ C(z) so zu finden, daß f¨ ur g := f − h ∈ M(C) gilt Pg = Pf \{a} – denn dann ist nach Induktionsvoraussetzung g ∈ C(z) und folglich f = g + h ∈ C(z). Ist a ∈ C, w¨ahlen wir h wie folgt: Wegen a ∈ P hat f positive Polstellenordnung k = − of (a) in a. Sei ∞ X n=−k

cn (z −a)n die Laurententwicklung von f f¨ ur 0 < |z − a| < ε und h(z) :=

−1 X n=−k

cn (z −a)n .

WUTR

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Funktionentheorie

Dann ist h ∈ C(z) und Ph = {a}. Da g = f − h holomorph in a ist, erf¨ ullt h die geforderte Eigenschaft. Ist schließlich a = ∞, so w¨ahlen wir analog k k X X h(z) = cn z n , wenn f (z) = dn z n die Laurententwicklung f¨ ur |z| > r ist. u t n=1

n=−∞

Einen alternativen Beweis von 3.4 liefert ¨ 3.5 Ubungsaufgabe. Man zeige ohne Verwendung des Fundamentalsatzes der Algebra f¨ ur jede nicht-konstante meromorphe Funktion f auf C: (i) Es existiert eine (bis auf Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Darstellung f (z) =

c (z − a1 )(z − a2 ) · · · (z − an ) (z − b1 )(z − b2 ) · · · (z − bm )

wobei c, ai , bj ∈ C und ai 6= bj f¨ ur alle i, j. (ii) Anhand der Produktdarstellung in (i) bestimme man f¨ ur jedes a ∈ C die Nullstellenordnung of (a) von f in a. Insbesondere verifiziere man X

of (a) = 0

a∈C

(d.h. f hat gleichviele Null- wie Polstellen in C, wenn diese entsprechend ihrer Vielfachheit gez¨ahlt werden). 3.6 Definition. Seien U, V ⊂ C offene Teilmengen. Dann heißt f : U → V eine holomorphe Abbildung, wenn zu jedem a ∈ U eine offene Umgebung D ⊂ U von a so existiert, daß f¨ ur σ(z) = 1/z gilt: (i) Ist f (a) 6= ∞, so ist f |D ∈ H(D). (ii) Ist f (a) = ∞, so ist σ ◦ f |D ∈ H(D). Ist f bijektiv, so ist die Umkehrabbildung f −1 ebenfalls holomorph, und wir nennen f auch biholomorph (und U, V heißen biholomorph ¨aquivalent). 3.7 Bemerkung. Jede holomorphe Abbildung ist stetig. Die identische Abbildung idU : U → U f g ist holomorph. Sind U →V →W holomorphe Abbildungen, so ist auch die Komposition g ◦ f : U → W holomorph. Beweis. Kettenregel. u t 3.8 Beispiel. (i) Jede meromorphe Funktion f ∈ M(D) ist eine holomorphe Abbildung f : D → C. (ii) Die konstante Abbildung f ≡ ∞ ist eine holomorphe Abbildung f : D → C aber keine meromorphe Funktion auf D. (iii) Ist D ⊂ C ein Gebiet, so ist jede holomorphe Abbildung f : D → C mit f 6≡ ∞ eine meromorphe Funktion auf D. ¨ F¨ ur holomorphe Abbildungen gilt insbesondere (Ubungsaufgabe) Identit¨ atssatz. Ist D ⊂ C Gebiet und sind f, g : D → C holomorphe Abbildungen, so daß T := {a ∈ D : f (a) = g(a)} einen H¨aufungspunkt in D hat, so gilt f = g. Satz von der Gebietstreue. Ist D ⊂ C Gebiet und f : D → C eine nicht-konstante holomorphe Abbildung, so ist f (U ) offen in C f¨ ur jedes offene U ⊂ D.

UEBU

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Funktionentheorie

3.9 Folgerung. Jede nicht-konstante holomorphe Abbildung f : C → C ist surjektiv (insbesondere hat jedes nicht-konstante Polynom eine Nullstelle in C). Beweis. f (C) ⊂ C ist offen und abgeschlossen in C (da kompakt), d.h. f (C) = C wegen C zusammenh¨angend. Ist speziell f ∈ C[z], so existiert ein a ∈ C mit f (a) = 0. Wegen f (∞) = ∞ ist a ∈ C. u t 3.10 Definition. F¨ ur jedes offene U ⊂ C heißt jede biholomorphe Selbstabbildung ϕ : U → U ein (holomorpher) Automorphismus von U . Mit Aut(U ) werde die Gruppe (bzgl. Komposition) aller Automorphismen von U bezeichnet. Wie sieht nun z.B. Aut(C) aus? Sei GL(n, C) die Gruppe aller invertierbaren komplexen n × n-Matrizen und ¶ SL(n, C) die Untergruppe aller Matrizen mit Determinante 1. µ a b ∈ GL(2, C) definiert F¨ ur A := c d PA(z) :=

az + b cz + d

eine nicht-konstante meromorphe Funktion auf C und damit eine holomorphe Abbildung C → C, die M¨obiustransformation oder auch gebrochen lineare Abbildung genannt wird. Es gilt nun 3.11 Satz. P : GL(2, C) → Aut(C) ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit Kern {λI : λ ∈ C∗ }, wobei I ∈ GL(2, C) die Einheitsmatrix ist. Beweis. Durch Einsetzen folgt leicht, daß P ein Gruppenhomomorphismus mit dem angegebenen Kern ist. Es bleibt nur zu zeigen, daß P surjektiv ist. Sei also f ∈ Aut(C) fest. Dann ist insbesondere f ∈ M(C) und es existieren wegen 3.4 Polynome p, q ∈ C[z] mit f (z) = p(z)/q(z). Wir d¨ urfen annehmen, daß p, q keinen gemeinsamen Teiler haben, d.h. p, q haben keine gemeinsame Nullstelle. Da f genau eine Nullstelle und genau eine Polstelle hat (jeweils der Ordnung µ 1), gilt ¶ a b p(z) = az + b, q(z) = cz + d f¨ ur a, b, c, d ∈ C geeignet. Wegen f nicht-konstant ist A := c d invertierbar und f = P(A). u t ∗ Wir k¨onnen 3.11 auch so formulieren, daß Aut(C) = PGL(2, C) ∼ = GL(2, C)/C I. Offenbar gilt auch PGL(2, C) = PSL(2, C).

WIRT

3.12 Lemma. Die Gruppe G = Aut(C) operiert scharf 3-fach transitiv auf C, d.h. zu je zwei dreipunktigen Mengen {a1 , a2 , a3 } und {b1 , b2 , b3 } in C existiert genau ein g ∈ G mit g(ai ) = bi f¨ ur i = 1, 2, 3. Beweis. Spezialfall a1 = ∞, a2 = 0, a3 = 1: F¨ ur jedes a ∈ C sei Ga := {g ∈ G : g(a) = a}. Dann gilt G∞ = {z 7→ az + b : a ∈ C∗ , b ∈ C} G∞ ∩ G0 = {z 7→ az : a ∈ C∗ } G∞ ∩ G0 ∩ G1 = {id} . Man rechnet nach, daß ein f ∈ G mit f (∞) = b1 existiert. Dann existiert ein g ∈ G∞ mit g(0) = f −1 (b2 ) ∈ C und schließlich existiert ein h ∈ G∞ ∩ G0 mit h(1) = (f g)−1 (b3 ) ∈ C∗ . F¨ ur ϕ := f ◦ g ◦ h ∈ G gilt dann ϕ(ai ) = bi f¨ ur i = 1, 2, 3. Gilt gleiches f¨ ur ψ ∈ G, so gilt ϕ−1 ◦ ψ ∈ G∞ ∩ G0 ∩ G1 , d.h. ϕ = ψ. Allgemeinfall: Bilde (a1 , a2 , a3 ) nach (∞, 1, 0) und dieses nach (b1 , b2 , b3 ) ab. u t 3.13 Satz. Es sei D ⊂ C ein Gebiet, f¨ ur das jede nicht-leere Teilmenge des Komplements C\D einen isolierten Punkt besitzt. Dann kann jede injektive holomorphe Abbildung g : D → C zu einer M¨obiustransformation fortgesetzt werden. urfen wir oBdA ∞ ∈ g(D) annehmen. Dann Beweis. Da Aut(C) transitiv auf C operiert, d¨ existiert ein Kompaktum K ⊂ D und ein r > 0 mit g(K) = {z ∈ C : |z| ≥ r}. Sei nun U die Menge aller Gebiete U ⊂ C, so daß D ⊂ U und g zu einer holomorphen Abbildung

TZTZ

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Funktionentheorie

f : U → C mit |f (z)| ≤ r ∀z ∈ U \K fortgesetzt werden kann. Dann gilt D ∈ U und mit dem Lemma von Zorn folgt die Existenz eines (bzgl. Inklusion) maximalen Elements U ∈ U. Angenommen, U 6= C. Nach Voraussetzung hat dann U einen isolierten Randpunkt a. Da |f | auf U \K durch r beschr¨ankt ist, gilt (U ∪ {a}) ∈ U , Widerspruch. Also gilt doch U = C, und somit ist f : C → C eine holomorphe Abbildung. W¨are f nicht injektiv, m¨ ußte es disjunkte offene Teilmengen U, V ⊂ C mit f (U ) = V geben. Das ist aber wegen D dicht in C nicht m¨oglich. Folglich ist f injektiv und somit eine M¨obiustransformation. u t Die Voraussetzung an D in Satz 3.13 ist z.B. dann erf¨ ullt, wenn D = C\T f¨ ur eine endliche Menge T (oder f¨ ur die Menge T aller Folgenglieder samt Limes einer konvergenten Folge in C). 3.14 Folgerung. Erf¨ ullt das Gebiet D ⊂ C die gleichen Voraussetzungen wie in Satz 3.13, so gilt Aut(D) = {g ∈ Aut(C) : g(D) = D}.

UBCZ

3.15 Folgerung. (i) Aut(C) = {z 7→ az + b : a ∈ C∗ , b ∈ C} (ii) Aut(C∗ ) = {z 7→ az ε : a ∈ C∗ , ε = ±1} (iii) Aut(C\T ) ist endlich, wenn T ⊂ C eine endliche Teilmenge aus mindestens 3 Elementen ist. Es sei D ⊂ C ein Gebiet und f ∈ M(D) eine nicht-konstante meromorphe Funktion. Zu jedem a ∈ D w¨ahlen wir eine M¨ obiustransformation g so, daß die meromorphe Funktion h := g◦f in a verschwindet und nennen wf (a) := oh (a) die Wertigkeit von f in a (h¨angt nicht von der Auswahl von g ab und kann als die Vielfachheit angesehen werden, mit der f den Wert f (a) in a annimmt). Die Zahl vf (a) := wf (a) − 1 ≥ 0 heißt die Verzweigungsordnung von f in a. Zum Beispiel gilt im Fall a ∈ C und f (a) ∈ C gerade vf (a) = of 0 (a). ¨ 3.16 Ubungsaufgabe. Es sei D ⊂ C ein Gebiet und f ∈ M(D) nicht konstant. (i) Zu jedem a ∈ D existiert eine offene Umgebung U ⊂ D von a und ein kommutatives Diagramm f U −−−−−→ f (U )   ϕ  y yψ , g ∆ −−−−−→ ∆ wobei ∆ = {|z| < 1} der offene Einheitskreis, ϕ und ψ biholomorphe Abbildungen mit ϕ(a) = 0 und g(z) = z n f¨ ur n = wf (a) und alle z ∈ ∆. (ii) Man zeige unter Verwendung von (i): Ist D = C, so existiert ein b ≥ 1 (genannt Bl¨atterzahl von f ) mit X wf (a) b= a∈f −1 (c)

f¨ ur alle c ∈ C (jeder Wert wird bei Beachtung der Vielfachheit genau b-mal angenommen). (iii) Sei D = C und f = p/q mit teilerfremden Polynomen p, q und f 0 nicht konstant. Es seien n := grad p, m := grad q sowie k (bzw. l) die Anzahl der jeweils einfach gez¨ahlten Polstellen von f in C (bzw. C). Man bestimme die Bl¨atterzahl von f und f 0 . 3.17 Definition. Seien a1 , a2 , a3 , a4 paarweise verschiedene Punkte in C. Ist dann g ∈ Aut(C) der durch g(a1 ) = ∞, g(a2 ) = 0, g(a3 ) = 1 eindeutig bestimmte Automorphismus, so heißt DV (a1 , a2 , a3 , a4 ) := g(a4 ) ∈ C\{0, 1} das Doppelverh¨altnis der Punkte a1 , a2 , a3 , a4 (in dieser Reihenfolge). Der Name r¨ uhrt daher, daß f¨ ur a1 , a2 , a3 , a4 ∈ C gilt DV(a1 , a2 , a3 , a4 ) = Damit gilt dann

a1 − a3 a2 − a3 : . a1 − a4 a2 − a4

VERZ

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Funktionentheorie

3.18 Lemma. Seien a1 , . . . , a4 und b1 , . . . , b4 zwei 4-punktige Teilmengen von C. Dann existiert genau dann ein g ∈ Aut(C) mit g(ai ) = bi f¨ ur 1 ≤ i ≤ 4, wenn gilt DV(a1 , a2 , a3 , a4 ) = DV(b1 , b2 , b3 , b4 ) . Beweis. Angenommen, g(ai ) = bi f¨ ur 1 ≤ i ≤ 4. W¨ahle f ∈ Aut(C) mit f (b1 ) = ∞, f (b2 ) = 0 und f (b3 ) = 1. Dann gilt f¨ ur h := f ◦ g ∈ Aut(C) auch h(a1 ) = ∞, h(a2 ) = 0 und h(a3 ) = 1, d.h. D(a1 , a2 , a3 , a4 ) = h(a4 ) = f (b4 ) = D(b1 , b2 , b3 , b4 ). Die Umkehrung folgt analog. u t Anderes Modell f¨ ur C: F¨ ur jedes n ∈ IN sei IPn := IPn (C) die Menge aller komplexen Geraden (d.h. komplexer Unterraum der Dimension 1) L ⊂ Cn+1 . F¨ ur jedes v ∈ Cn+1 \{0} sei [v] := Cv die Gerade durch v. Dann gilt [v] = [w] ⇐⇒ w = λv f¨ ur ein λ ∈ C∗ . IPn heißt komplex-projektiver Raum der n. Wir betrachten den Spezialfall IP1 der ¡v1Dimension ¢ £v1 ¤ 2 komplex-projektiven Geraden. F¨ ur v = v2 ∈ C \{0} ist [v] = v2 ∈ IP1 der zugeh¨orige Punkt. £z¤ £¤ Identifizieren wir z ∈ C mit 1 und ∞ mit 10 (ordnen wir also jedem z ∈ C die komplexe Gerade mit Steigung z zu) k¨onnen wir C mit IP1 identifizieren. µ Dann ¶ ist klar, daß GL(2, C) auf a b C2 und damit auf IP1 in nat¨ urlicher Weise operiert: Ist A = ∈ GL(2, C), so ist c d · ¸ · µ ¶¸ · ¸ · az+b ¸ z z az + b A = A = = cz+d 1 1 cz + d 1 £¤ falls cz + d 6= 0 (und = 10 falls cz + d = 0). Dieses verdeutlicht auf geometrische Weise, warum die Abbildung P : GL(2, C) → Aut(C) ein Gruppenhomomorphismus ist (vgl. 3.11). Aber auch andere Eigenschaften von M¨obiustransformationen k¨onnen sofort geometrisch abgelesen werden: Zum Beispiel, daß jedes g ∈ G := PGL(2, C) mindestens einen Fixpunkt in C hat (denn jedes A ∈ GL(2, C) hat mindestens einen Eigenvektor in C2 und damit eine Fixgerade in IP1 ) oder, daß g 2-fach transitiv auf C operiert (denn G operiert transitiv auf der Menge aller Basen des C2 ). Dar¨ uber hinaus kann nun in offensichtlicher Weise f¨ ur je 4 verschiedene Geraden L1 , . . . , L4 in C2 das Doppelverh¨ altnis DV(L1 , L2 , L3 , L4 ) ∈ C\{0, 1} eingef¨ uhrt werden. Dieses ist unter der Wirkung von GL(2, C) auf C2 invariant. ¨ 3.19 Ubungsaufgabe. Es sei D := C\{0, 1} und G := Aut(D). F¨ ur jedes a ∈ D sei G(a) := {g(a) : g ∈ G} die Bahn von a. Man zeige (i) G ist kanonisch isomorph zur Permutationsgruppe S3 der Menge {0, 1, ∞}. Man gebe die Elemente von G explizit an. (ii) Es gibt genau eine Bahn in D bestehend aus 2 Punkten und genau eine weitere Bahn aus 3 Punkten. Alle anderen Bahnen in D haben 6 Punkte. Man bestimme die beiden Ausnahmebahnen explizit. X 2 (iii) f (z) := g(z) definiert eine rationale Funktion f mit f ◦ g = f f¨ ur alle g ∈ G und g∈G

f (D) = C. (iv) F¨ ur alle a ∈ D gilt G(a) = f −1 (f (a)) (d.h. die Bahnen sind genau die f -Urbilder). ¨ 3.20 Ubungsaufgabe. Es sei D := C\{0, 1}, G := Aut(D) und f wie in Aufgabe 3.19. Weiter sei S4 als Permutationsgruppe der Menge {∞, 0, 1, 2} realisiert, und G sei mit der Untergruppe S3 (= Permutationsgruppe von {∞, 0, 1}) identifiziert. (i) F¨ ur jede Permutation σ ∈ S4 existiert genau ein g ∈ G mit DV(aσ(∞) , aσ(0) , aσ(1) , aσ(2) ) = g(DV(a∞ , a0 , a1 , a2 ))

BAHN

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Funktionentheorie

f¨ ur alle 4-elementigen Teilmengen {a∞ , a0 , a1 , a2 } von C. Hinweis: F¨ ur alle g ∈ G = S3 zeige DV(ag(∞) , ag(0) , ag(1) , a2 ) = g −1 (DV(a∞ , a0 , a1 , a2 )). (ii) Sind A = {a∞ , a0 , a1 , a2 } und B = {b∞ , b0 , b1 , b2 } zwei 4-elementige Mengen in C, so sind die Gebiete C\A und C\B genau dann biholomorph ¨aquivalent, wenn die Doppelverh¨altnisse DV(a∞ , a0 , a1 , a2 ) und DV(b∞ , b0 , b1 , b2 ) den gleichen Wert unter der obigen Funktion f haben (die Biholomorphieklassen von Gebieten D in C mit genau 4 Randpunkten stehen also auf nat¨ urliche Weise in 1-1-deutiger Beziehung zu den Punkten von C).

4. Der Satz von Runge F¨ ur jeden K¨ orper IK sei IK[x] der Ring aller Polynome in x mit Koeffizienten aus IK, analog IK[x1 , . . . , xn ] der Polynomring in x1 , . . . , xn . F¨ ur IK = IR oder IK = C kann jedes Polynom p ∈ IK[x1 , . . . , xn ] als stetige Funktion p : IRn → IK aufgefaßt werden. Da Polynome leicht numerisch berechnet werden k¨ onnen, interessiert man sich f¨ ur Approximierbarkeit vorgelegter Funktionen durch Polynome. Aus der reellen Analysis zitieren wir ohne Beweis den folgenden Spezialfall des Approximationssatzes von Stone-Weierstraß: 4.1 Satz. F¨ ur jede kompakte Teilmenge A ⊂ IRn , jede stetige Funktion f : A → C und jedes ε > 0 existiert ein Polynom p ∈ C[x1 , . . . , xn ] mit |f (x) − p(x)| < ε f¨ ur alle x ∈ A. 4.2 Folgerung. Sei D ⊂ C eine offene Teilmenge. Dann ist der Polynomring C[z, z] und damit insbesondere der Raum A(D) aller reell-analytischen Funktionen auf D dicht in C(D).

FOGE

Klar, denn f¨ ur z = x + iy, z = x − iy (aufgefaßt als Funktionen) gilt C[z, z] = C[x, y], und alle p ∈ C[z, z] liefern reell-analytische Funktionen auf D. Es ist klar, daß Folgerung 4.2 f¨ ur C[z] anstatt C[z, z] nicht mehr gilt: Jedes f ∈ C(D), das durch Polynome aus C[z] kompakt approximiert werden kann, muß holomorph sein. Wir wollen im folgenden die Frage kl¨ aren, wann C[z] in H(D) dicht liegt. So gilt etwa als erste Beobachtung 4.3 Bemerkung. Ist D ⊂ C eine offene Kreisscheibe, so ist C[z] dicht in H(D). Ist D ein offener Kreisring mit Mittelpunkt a, so l¨ aßt sich etwa die holomorphe Funktion f (z) = (z − a)−1 nicht auf D durch Polynome approximieren. Beweis. Sei zun¨achst D eine offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt a ∈ D. Dann hat jedes f ∈ H(D) eine Potenzreihenentwicklung, die kompakt auf D gegen f konvergiert. Die Partialsummenfolge ist eine Folge von Polynomen, die f approximiert. Sei nun D = {r R< |z−a| < s} ein offener Kreisring. F¨ ur r < ρ < s fest ist dann K := {|z −a| = ρ} kompakt und K f (z) dz = 2πi 6= 0. W¨areRf auf K durch eine ußte im Gegensatz R Folge (pn ) von Polynomen in z approximierbar, m¨ dazu K f (z) dz = lim K pn (z) dz = 0 gelten. u t 4.4 Hilfssatz. Sei D ⊂ C offen, K ⊂ D ein Kompaktum und ε > 0. Dann existieren zu jedem f ∈ H(D) Zahlen c1 , . . . , cn ∈ C und Punkte a1 , . . . , an ∈ D\K, so daß f¨ ur die rationale Funktion n X 1 r(z) := cj z − aj j=1 gilt |f (z) − r(z)| < ε f¨ ur alle z ∈ K.

◦

Beweis. W¨ahle ein Kompaktum L ⊂ D mit st¨ uckweise glattem Rand ∂L, so daß K ⊂ L gilt. Es existieren also glatte Kurven γ1 , . . . , γm : [0, 1] → D\K mit 1 f (z) = 2πi

Z ∂L

m

X f (ζ) dζ = ζ −z ν=1

Z1 0

f (γν (t))γν0 (t) dt . 2πi(γν (t) − z) | {z } =: hν (t, z)

PUNK

17

Funktionentheorie

Aus der Integrationstheorie (Approximation durch Riemannsche N¨aherungssummen - gleichm¨ aßig auf K) folgt: F¨ ur geeignetes q ∈ IN gilt ¯Z ¯ q ¯ 1 ¯ X ε ¯ ¯ hν (t, z)dt − hν (k/q, z)/q ¯ < , ¯ ¯ 0 ¯ m k=1

d.h.

¯ ¯ q m X ¯ ¯ X ¯ ¯ hν (k/q, z)/q ¯ < ε ¯f (z) − ¯ ¯ ν=1 k=1

f¨ ur alle z ∈ K.

u t

F¨ ur jedes A ⊂ C sei im folgenden Aˇ die Zusammenhangskomponente von C\A, die ∞ ˇ Dann gilt enth¨alt. Ferner sei Aˆ := C\A. (i) A ⊂ Aˆ ⊂ C ˆ (ii) A ⊂ B ⇒ Aˆ ⊂ B ˆ kompakt (iii) K ⊂ C kompakt ⇒ K ˆ =K ˇ offen, d.h. K ˆ ⊂ C ist abgeschlossen und damit kompakt). (denn C\K ist offen, d.h. C\K 4.5 (i) (ii) (iii)

Satz von Runge. F¨ ur jede offene Teilmenge D ⊂ C sind ¨aquivalent: D ist einfach-zusammenh¨angend, C\D ist zusammenh¨angend, C[z] liegt dicht in H(D) (d.h. zu jedem f ∈ H(D), jedem Kompaktum K ⊂ D und jedem ε > 0 existiert ein p ∈ C[z] mit |f (z) − p(z)| < ε f¨ ur alle z ∈ K). Beweis. (i) ⇒ (ii) Es gelte (i) aber nicht (ii). Dann ist C\D kompakt und unzusammenh¨angend, d.h. C\D = A ∪ B mit A, B 6= ∅ kompakt und A ∩ B = ∅ sowie ∞ ∈ B. Folglich ist U := C\B offen in C. Wegen A ⊂ U existiert ein Kompaktum L ⊂ U mit st¨ uckweise glattem Rand ∂L, ◦ so daß A ⊂ L und somit ∂L ⊂ U \A = D. F¨ ur a ∈ A ist h(z) = 1/(z − a) eine holomorphe R Funktion auf D mit ∂L h(z)dz = 2πi 6= 0, was dem Cauchyschen Integralsatz widerspricht. ˆ Sei K ⊂ D kompakt. Dann gilt K ˆ ⊂D ˆ = D, und C\K ˆ ⊂C (ii) ⇒ (iii) Es gelte (ii), d.h. D = D. ˆ ist ein Gebiet. Folglich ist auch W := C\K ein Gebiet, da es durch Herausnahme eines Punktes ˆ entsteht. F¨ (n¨amlich ∞) aus C\K ur jedes a ∈ W definiert fa (z) :=

1 z−a

ˆ eine holomorphe Funktion fa auf einer offenen Umgebung von K. Behauptung. W = Ω f¨ ur Ω := {a ∈ W : ∀ ε > 0 ∃ p ∈ C[z] mit pK (fa − p) < ε}. ˆ ist fa holomorph auf Beweis Behauptung. F¨ ur jedes a ∈ W mit |a| > sup {|z| : z ∈ K} der Kreisscheibe {|z| < |a|}. Die zugeh¨orige Potenzreihenentwicklung konvergiert gleichm¨aßig auf K, d.h. a ∈ Ω und insbesondere folgt Ω 6= ∅. Sei nun a ∈ Ω und r > 0 so gew¨ahlt, daß B := {z ∈ C : |z − a| ≤ r} ⊂ W . Sei b ∈ B und ε > 0 beliebig gew¨ahlt. Dann ist fb holomorph auf dem Kreisring {|z − a| > r}, der K enth¨alt. Die Laurententwicklung von fb auf diesem Kreisring liefert ein m ∈ IN mit ¯ ¯ m ¯ ¯ X ¯ ¯ ck (z − a)k ¯ < ε/2 f¨ ur alle z ∈ K ¯fb (z) − ¯ ¯ k=−m

und geeignete Koeffizienten ck ∈ C. F¨ ur k ≥ 0 gilt gk (z) := ck (z − a)k ∈ C[z]. F¨ ur −m ≤ k < 0 existiert wegen a ∈ Ω ein gk ∈ C[z] mit |ck (z − a)k − gk (z)| < ε/2m

RUNG

18

Funktionentheorie

f¨ ur alle z ∈ K (man u ur k = −1 und dann durch Potenzbildung f¨ ur ¨berlege sich das zun¨achst f¨ die restlichen k). Daraus folgt ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ m m −1 ¯ X X X ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ k¯ k ¯fb (z) − ¯ ¯ ¯ ¯ gk (z)¯ ≤ ¯fb (z) − ck (z − a) ¯ + ¯ ¯ck (z − a) − gk (z)¯ < ε k=−m

k=−m

k=−m

f¨ ur alle z ∈ K, d.h. b ∈ Ω und folglich B ⊂ Ω. Also ist Ω offen. Mit dem gleichen Argument folgt W \Ω offen, denn zu jedem b ∈ W \Ω gilt {|z − b| < 2r} ⊂ W f¨ ur ein geeignetes r > 0 und damit: F¨ ur jedes a ∈ W mit |a − b| < r ist b ∈ B := {|z − a| ≤ r} ⊂ W , d.h. a ∈ W \Ω, da sonst ¨ B ⊂ Ω wegen der obigen Uberlegung. Wegen W zusammenh¨angend gilt folglich W = Ω, und die Behauptung ist bewiesen. ˆ existieren Sei nun f ∈ H(D) beliebig und ε > 0. Wegen Hilfssatz 4.4 (angewandt auf K) c1 , . . . , cn ∈ C und a1 , . . . , an ∈ W mit µ ¶ n X ε pK f − . cj faj < 2 j=1 Wegen W = Ω existiert zu jedem j = 1, . . . , n ein gj ∈ C[z] mit ¡ ¢ ε pK cj faj − gj < , 2n n P d.h. f¨ ur p := gj ∈ C[z] gilt j=1

µ ¶ X n n X ¡ ¢ pK (f − p) ≤ pK f − cj faj + pK cj faj − gj < j=1

ε .

j=1

(iii) ⇒ (i) OBdA ist D zusammenh¨ angend. Sei f ∈ H(D) und (Kn ) eine Aussch¨opfungsfolge von D. Zu jedem n existiert ein Polynom fn mit pKn (f − fn ) < 1/n, d.h. f = lim fn . W¨ahle a ∈ D fest. Zu jedem n existiert genau ein Fn ∈ C[z] mit Fn0 = fn und Fn (a) = 0. Also existiert ¨ F := lim Fn und F 0 = f (Ubungsaufgabe). Wegen 2.6 ist D einfach-zusammenh¨angend. u t Zusatz Mit ein wenig mehr Aufwand kann der Satz von Runge auf beliebige offene Teilmengen D ⊂ C wie folgt ausgedehnt werden (vergl. z.B. [3]): Sei E ⊂ C\D eine Teilmenge, die jede Zusammenhangskomponente von C\D in mindestens einem Punkt schneidet und sei R der Raum aller rationalen Funktionen, die h¨ochstens Pole in E haben (z.B. gilt R = C[z] im Fall E = {∞}). Die allgemeinere Version von Satz 4.5 lautet dann: R — aufgefaßt als Teilraum von H(D) — liegt dicht in H(D). F¨ ur jeden Kreisring D = {r1 < |z| < r2 } liefert Pn das z.B. die bekannte Tatsache, daß (f¨ ur E = {0, ∞}) der Raum der Laurentpolynome k=−n cn z n dicht in H(D) liegt. ¨ Die Aquivalenz der ersten beiden Bedingungen im Rungeschen Satz 4.5 ist rein topologischer Natur. Auf die 2-Sp¨are S 2 u ¨bertragen, kann das auch wie folgt formuliert werden: Die offene Teilmenge D von S 2 ist genau dann einfach-zusammenh¨angend, wenn das Komplement S 2 \D zusammenh¨angend ist. Das Streifengebiet D := {z ∈ C : | Im(z)| < 1} zeigt, daß in 4.5.ii das Komplement C\D in C nicht durch das Komplement C\D in C ersetzt werden darf. n ¨ 4.6 Ubungsaufgabe. Sei h : C → C definiert durch h(z) := 1 Im(z) > 0 . 0 sonst F¨ ur jedes n sei ferner Kn := {z = x + iy ∈ C : |z| ≤ n und y ≤ ny 2 }. Man zeige (i) Zu jedem n existiert ein Polynom pn ∈ C[z] mit |h(z) − pn (z)| < 1/n f¨ ur alle z ∈ Kn . (ii) Die Folge (pn ) konvergiert punktweise - aber nicht kompakt - gegen h. ¨ 4.7 Ubungsaufgabe. Es sei K ⊂ S := {z ∈ C : |z| = 1} eine kompakte Teilmenge und f : K → C die durch f (z) = z definierte Funktion. Man zeige (i) Ist K = S, so existiert keine Folge (fn ) in H(C), die gleichm¨aßig auf K gegen f konvergiert. (ii) Ist K 6= S, so existiert eine Folge (pn ) in C[z], die gleichm¨aßig auf K gegen f konvergiert.

19

Funktionentheorie

5. Einige spezielle Funktionen F¨ ur jedes offene D ⊂ C, jedes f ∈ M(D) und jedes Kompaktum K ⊂ D sei in Verallgemeinerung der fr¨ uheren Definition pK (f ) := sup |f (z)| ∈ IR ∪ {+∞} , z∈K

wobei |∞| := +∞ und +∞ > r f¨ ur jede reelle Zahl r gesetzt sei. Damit gilt dann also: pK (f ) = +∞ ⇐⇒ f hat Pol in K . Analog wie f¨ ur Folgen holomorpher Funktionen kann f¨ ur Folgen (fn ) in M(D) der Begriff der kompakten Konvergenz eingef¨ uhrt werden: f = lim fn ⇐⇒ Zu jedem Kompaktum K ⊂ D und jedem ε > 0 existiert ein n0 ∈ IN mit pK (f − fn ) < ε f¨ ur alle n ≥ n0 (d.h. also insbesondere, daß f − fn holomorph in einer Umgebung von K f¨ ur alle n ≥ n0 ist, und somit, daß wegen f = fn + (f − fn ) die meromorphen Funktionen f und fn f¨ ur n ≥P n0 gleiches Polstellenverhalten auf K haben). Damit ist auch klar, wann eine unendliche Reihe fn meromorpher Funktionen fn ∈ M(D) kompakt auf D konvergieren soll (wenn die zugeh¨orige Partialsummenfolge kompakt konvergiert). Etwas handlicher ist der folgende st¨arkere Konvergenzbegriff 5.1 Definition. Sei D ⊂ C offen und (fn ) eine Folge meromorpher Funktionen auf D. Dann P heißt fn normal konvergent auf D, wenn zu jedem Kompaktum K ⊂ D ein n0 ∈ IN mit ∞ X

pK (fn ) < +∞

n=n0

P existiert (dabei sei vereinbart, daß die Reihe pK (fn ) insbesondere dann den Wert +∞ haben soll, wenn wenigstens einer der Summanden den Wert +∞ hat). Man zeigt leicht P 5.2 Lemma. Jede normal konvergente Reihe fn ist kompakt konvergent auf D, und es gibt genau eine meromorphe Funktion f ∈ M(D) mit folgender Eigenschaft: F¨ ur jedes offene U b D existiert ein n0 ∈ IN, so daß ∞ X fn |U n=n0

eine Reihe holomorpher Funktionen auf U ist, die gleichm¨aßig gegen die auf U holomorphe Funktion X ¢ ¡ f− fn |U konvergiert. Wir schreiben f =

P

n
fn .

P Kompakt konvergente Reihen sind im allgemeinen nicht normal konvergent: Ist etwa cn eine konvergente Reihe komplexer Zahlen, die nicht absolut konvergiert, und werden die cn als konstante Funktionen auf D aufgefaßt, so haben wir schon ein Gegenbeispiel. Die normale Konvergenz hat den Vorteil, daß Konvergenz und Reihenwert nicht von der Reihenfolge der Summation abh¨angen. Normale Konvergenz ist somit f¨ ur alle unendlichen Reihen meromorpher Funktionen wohldefiniert, sofern der Indexbereich abz¨ahlbar ist. Betrachten wir einige Beispiele X 1 konvergiert normal auf C. Behauptung. Die Reihe (z − n)2 n∈Z

Beweis. Sei fn (z) := (z − n)−2 f¨ ur alle n ∈ Z und sei K ⊂ C ein beliebiges Kompaktum. Dann existiert ein n0 ∈ IN mit Re(z) < n0 f¨ ur alle z ∈ K =⇒

|z − n| > n − n0 f¨ ur alle n > n0 , z ∈ K

20

=⇒

Funktionentheorie

X ¯¯ 1 ¯¯2 X X 1 1 ¯ ¯ < = < +∞ f¨ ur alle z ∈ K . ¯z − n¯ (n − n0 )2 ν2 n>n n>n ν=1 0

0

Analog folgt die Existenz eines n1 ∈ IN mit X ¯¯ 1 ¯¯2 ¯ ¯ ¯z − n¯ <

n<−n1

∞ X 1 f¨ ur alle z ∈ K , 2 ν ν=1

was die normale Konvergenz auf C zeigt. u t P ur fn (z) = (z − n)−2 . Aus der Definition liest man sofort Also existiert f = fn ∈ M(C) f¨ ab, daß f (z + 1) = f (z) f¨ ur alle z ∈ C gilt und ebenso, daß f Polstellen genau in allen Punkten von Z besitzt (und zwar von der Ordnung 2). ³ π ´2 Behauptung. f = g f¨ ur g(z) := . sin πz Beweis. Offenbar gilt g ∈ M(C) und h := f − g ∈ H(C) (da f und g gleiches Polstellenverhalten in C haben). Ferner gilt h(z + 1) = h(z) f¨ ur alle z ∈ C (da f und g diese Eigenschaft haben). Man zeigt nun leicht, daß (∗)

lim h(x + iy) = 0

|y|→∞

gleichm¨aßig in x ∈ IR gilt. Daraus folgt, daß h auf C beschr¨ankt ist (denn alle Funktionswerte von h werden schon auf dem Streifen {z ∈ C : 0 ≤ Re(z) ≤ 1} angenommen). Wegen Liouville ist h konstant, und wegen (∗) kann diese Konstante nur 0 sein. u t Zusammengefaßt haben wir also ³ π ´2 X 1 5.3 Satz. = . sin πz (z − n)2 n∈Z

Anwendung: Betrachte ³ F (z) :=

X π ´2 1 1 − 2 = . sin πz z (z − n)2 n6=0

Wegen

µ ¶ sin πz (πz)2 = z 1− + ... π 3!

hat (π /sin πz )2 im Kreisring {0 < |z| < 1} die Laurententwicklung 1 z2 d.h.

µ

π2 2 1+ z + ... 3

X 1 π2 = F (0) = 3 n2 n6=0

¶ =

1 π2 + + ... , z2 3

und folglich

∞ X 1 π2 = . n2 6 n=1

21

Funktionentheorie

Durch Vergleich h¨oherer Terme erh¨ alt man durch Differenzieren beispielsweise (vergl. auch 5.11): ∞ X 1 π4 = , n4 90 n=1

∞ X 1 π6 = , n6 945 n=1

...

Analog kann man zeigen (vergl. [2]) ∞

π 1 X 2z = + . tan πz z n=1 z 2 − n2 5.4 Definition. Sei D ⊂ C offen und (fn ) eine Folge in M(D). Das unendliche Produkt ∞ Y

fn

n=1

heißt normal konvergent in D, wenn die unendliche Reihe ist.

P

(fn − 1) normal konvergent in D

Q Man kann jedem normal in D konvergenten Produkt fn einen Produktwert f ∈ M(D) wie folgt zuordnen: Sei U b D eine offene Teilmenge und K := U die abgeschlossene H¨ ulle. Dann existiert ein n0 ∈ IN mit pK (fn − 1) < 1/2 f¨ ur alle n ≥ n0 , d.h. f¨ ur den Hauptzweig log des ur alle n ≥ n0 und alle z ∈ U definiert, Logarithmus auf {z ∈ C : Re(z) > 0} ist log(fn (z)) ∈ C f¨ und es gilt |log(fn (z))| ≤ 2 |fn (z) − 1| ≤ 2pK (fn − 1) (denn f¨ ur alle w ∈ C mit Re(w) ≥ 1/2 gilt | log(w)| = | log(w) − log(1)| ≤ c|w − 1| f¨ ur c := sup{|1/z| : z ∈ [w, 1]} ≤ 2). Wir definieren fU ∈ M(U ) durch   Ã ! Y X fU := (fn |U ) · exp  log(fn |U ) , n
n≥n0

wobei auf der rechten Seite der erste Faktor als endliches Produkt eine auf U meromorphe Funktion und der zweite Faktor eine auf U holomorphe Funktion ohne Nullstellen ist. Es ist klar, daß die Definition von fU nicht von der Auswahl von n0 ∈ IN abh¨angt. Ist V b D eine weitere offene Teilmenge, so stimmen folglich fU und fV auf U ∩ V u ¨berein. Es existiert also genau ein f ∈ M(D) mit f |U = fU f¨ ur alle offenen U b D. ∞ Y Behauptung. Das unendliche Produkt (1 − z 2 /n2 ) konvergiert normal auf C. n=1

Beweis. Sei K ⊂ C kompakt und r := sup{|z| : z ∈ K}. Dann gilt f¨ ur fn (z) = (1 − z 2 /n2 ) die 2 2 Absch¨atzung pK (fn − 1) ≤ r /n . u t Q∞ Also definiert f (z) = πz n=1 (1 − z 2 /n2 ) eine auf C holomorphe Funktion f , deren Nullstellen genau in Z liegen (alle von der Ordnung 1). F¨ ur die logarithmische Ableitung gilt weiter (vergl. 5.6) ∞ X 1 2z π (sin πz)0 f 0 (z) = + = = , f (z) z n = 1 z 2 − n2 tan πz sin πz d.h. f (z) = c · sin πz f¨ ur eine geeignete Konstante c ∈ C. F¨ ur z → 0 folgt f (z) sin πz = lim c · = c, z→0 πz z→0 πz

1 = lim

5.5 Satz. sin πz = πz

∞ Y n=1

(1 − z 2 /n2 ).

d.h.

22

Funktionentheorie

Q ¨ 5.6 Ubungsaufgabe. Sei D ⊂ C offen und f = Pfn ein auf D normal konvergentes Produkt meromorpher Funktionen. Dann gilt f 0 /f = fn0 /fn , wobei die Reihe normal auf D konvergiert. Die bisher angegebenen Beispiele normal konvergenter Reihen und Produkte meromorpher Funktionen ergaben letztlich bereits zuvor bekannte Funktionen – allerdings in neuem Gewande. Wir wollen im folgenden zwei weitere wichtige neue Funktionen einf¨ uhren, die in vielerlei Zusammenhang von besonderer Bedeutung sind: F¨ ur alle z, w ∈ C mit Re(z) > 0 sei z w := exp(w · log(z)) die allgemeine Potenz, wobei log der Hauptzweig des Logarithmus auf {Re(z) > 0} sei. Damit gilt dann z w 6= 0, z w1 z w2 = z w1 +w2 und z1w · z2w = (z1 z2 )w , falls Re(z1 z2 ) > 0 gilt. F¨ ur jedes ganze n ≥ 1 und z ∈ C sei gn (z) : = z(1 + z)(1 + z/2) · · · (1 + z/n) n−z =

z(z + 1)(z + 2) · · · (z + n) −z n . n!

Offenbar gilt gn ∈ H(C) und fn (z) : =

³ gn (z) z ´³ 1 ´z = 1+ 1− gn−1 (z) n n

definiert f¨ ur alle n ≥ 2 eine holomorphe Funktion fn ∈ H(C) mit einziger Nullstelle in z = −n (der Ordnung 1). Ebenso hat f1 (z) := g1 (z) = z(z + 1) einfache Nullstellen in 0, −1. Man zeigt nun (vergl. [2]) ∞ Y f := fn ∈ H(C) n=1

konvergiert normal auf C. Nat¨ urlich gilt auch f = lim gn , und f hat Nullstellen genau in −IN ⊂ C (der Ordnung 1). F¨ ur z ∈ C\Z gilt offenbar f (z) gn (z) nz = lim = lim = z, d.h. f (z) = zf (z + 1) . n→∞ n→∞ f (z + 1) gn (z + 1) z+n+1 Dar¨ uber hinaus gilt f (1) = limn→∞ gn (1) = 1. 5.7 Definition. Γ := 1/f ∈ M(C) heißt die Γ-Funktion. Γ hat Pole genau in −IN (der Ordnung 1) und es gilt Γ(z + 1) = zΓ(z), Γ(1) = 1, was insbesondere Γ(n+1) = n! f¨ ur alle n ∈ IN impliziert. Die Γ-Funktion spielt in vielerlei Zusammenhang eine wichtige Rolle. Zum Beispiel berechnet sich das Volumen der n-dimensionalen euklidischen Einheitskugel in IRn zu π n /2 f¨ ur alle n ≥ 1 . n/2 · Γ(n/2) ¨ (vergl. z.B. Fischer-Lieb) Uber die Funktionalgleichung Γ(z)Γ(1 − z) =

π sin πz

ist den trigonometrischen Funktionen verkn¨ upft, woraus z.B. sofort Γ(1/2) = √ die Γ-Funktion mit 1√ π und Γ(3/2) = 2 π folgt. F¨ ur Re(z) > 0 gilt auch Z Γ(z) = 0

∞

e−t tz−1 dt

PUST

23

Funktionentheorie

als uneigentliches Integral, das auf {Re(z) > 0} kompakt konvergiert (vergl. z.B. Conway). Wir wollen noch eine weitere Funktion kennenlernen, die besonders f¨ ur die Zahlentheorie von Bedeutung ist. F¨ ur jedes z ∈ C mit Re(z) ≥ r > 1 und jedes ganze n > 0 gilt |n−z | = | exp(−z log(n))| = exp(− Re(z) log(n)) ≤ exp(−r log(n)) = n−r , P∞ d.h. die Reihe n=1 n−z konvergiert normal auf der Halbebene {Re(z) > 1} und stellt dort eine holomorphe Funktion dar. P∞ 5.8 Definition. ζ(z) := n=1 n−z f¨ ur Re(z) > 1 heißt die Riemannsche Zetafunktion. Die Verbindung zur Zahlentheorie wird hergestellt durch den folgenden Satz von Euler, wobei IP ⊂ IN die Menge aller Primzahlen sei (d.h. IP = {2, 3, 5, 7, 11, . . .}). 5.9 Satz. Auf der Halbebene {Re(z) > 1} gestattet ζ(z) die normal konvergente Produktdarstellung ´ Y³ 1 ζ(z) = . 1 − p−z p∈IP

Beweis. Sei r > 1 beliebig aber fest gew¨ahlt. F¨ ur alle p ∈ IP gilt p−r ≤ 1/2 und folglich −z |1 − p | ≥ 1/2, d.h. ¯ ¯ ¯ p−z ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ − 1 ¯ ¯ ≤ 2p−r ¯=¯ 1 − p−z 1 − p−z P f¨ ur alle z mit Re(z) ≥ r, d.h. das Produkt konvergiert normal (da p∈IP p−r < +∞). Sei nun m ∈ IN mit m ≥ 1 fest gew¨ahlt und seien p1 , . . . , pm die ersten m Primzahlen. Dann gilt

m ³ Y n=1

m ³X ∞ m ³X ∞ ´ Y ´ Y ´ 1 −z k k −z = (p ) = (p ) n n 1 − p−z n n=1 k=0 n=1 k=0

=

∞ X

(pk11 pk22 . . . pkmm )−z =

k1 ,...,km =0

X

n−z ,

n∈INm

wobei INm ⊂ IN die Menge aller n ≥ 1 sei, die h¨ochstens p1 , . . . , pm als Primfaktoren haben. F¨ ur m → ∞ folgt die Behauptung. u t X ¨ 5.10 Folgerung. Die Reihe 1/p divergiert (Ubungsaufgabe). p∈IP

Man kann zeigen (vergl. z.B. Conway): Die Riemannsche Zetafunktion kann zu einer auf ganz C meromorphen Funktion ζ(z) fortgesetzt werden. Diese hat genau einen Pol in z = 1 (der Ordnung 1 und mit dem Residuum 1, d.h. ζ(z) − (z − 1)−1 ist holomorph auf C), und es gilt die Riemannsche Funktionalgleichung ζ(z) = 2(2π)z−1 Γ(1 − z)ζ(1 − z) sin(πz/2) . Ein wichtiges Problem ist die Lokalisierung der Nullstellen von ζ(z). Da Γ(1 − z) Pole in z = 1, 2, 3, 4, . . . hat und ζ(z) holomorph in z = 2, 3, 4, . . . ist, folgt ζ(1 − z) sin(πz/2) = 0 f¨ ur z = 2, 3, 4, . . . und somit daß ζ(z) einfache Nullstellen in z = −2, −4, −6, −8, . . . hat, die trivialen Nullstellen. Analog kann man zeigen: ζ(z) hat keine weiteren Nullstellen außerhalb des kritischen Streifens {0 ≤ Re(z) ≤ 1} (f¨ ur Re(z) > 1 wegen des Eulerprodukts und f¨ ur Re(z) < 0 wegen der Funktionalgleichung). Die ber¨ uhmteste Vermutung der Mathematik (bis heute unbewiesen) ist die sogenannte Riemannsche Vermutung. Im kritischen Streifen besitzt die Zetafunktion nur Nullstellen auf der kritischen Geraden {Re(z) = 1/2}.

24

Funktionentheorie

Es ist bekannt, daß ζ(z) auf der Geraden {Re(z) = 1} (und damit auf dem ganzen Rand des kritischen Streifens) keine Nullstelle besitzt. Schon diese schwache Teilaussage impliziert den P sogenannten Primzahlsatz: Wird f¨ ur jedes reelle x ≥ 2 mit π(x) = 1 die Anzahl aller p≤x Primzahlen p ≤ x bezeichnet, so gilt lim

x→∞

π(x) =1 x/ log x

(d.h. asymptotisch verh¨alt sich π(x) wie der Quotient x/ log x). Ein anderes Problem betrifft Aussagen u ur spezielle t ∈ C. Beispielsweise ¨ber die Werte ζ(t) f¨ wissen wir bereits π2 π4 ζ(2) = und ζ(4) = . 6 90 Allgemeiner gilt 5.11 Satz. F¨ ur alle k ≥ 1 ganz gilt

SATT

ζ(2k) = (−1)k−1

(2π)2k B2k , 2(2k)!

wobei f¨ ur jede n ∈ IN die Bernoullizahl Bn durch ∞ X z Bn n = z z e − 1 n=0 n!

f¨ ur |z| < 2π definiert ist. Beweis. F¨ ur w := πiz gilt ∞

2k X πz cos πz ew + e−w 2w k (2π) = πz =w· w = w + = (−1) B2k z 2k tan πz sin πz e − e−w e2w − 1 (2k)! k=0

(da die linke Seite eine gerade Funktion in z ist). Andererseits gilt ∞ ∞ ∞ X ∞ ³ ´2k X X X πz 2z 2 (z/n)2 z =1+ =1−2 ¡ ¢2 = 1 − 2 2 2 tan πz z −n n n=1 n=1 1 − z/n n=1 k=1

∞ ³X ∞ ∞ X X 1 ´ 2k =1−2 z = 1 − 2 ζ(2k)z 2k , zk n n=1 k=1

k=1

und die Behauptung folgt durch Koeffizientenvergleich.

u t

Man zeigt leicht, daß B2k+1 = 0 f¨ ur alle k ≥ 1 gilt. Andererseits erh¨alt man aus ∞ ∞ ³X 1 j ´³ X Bn n ´ ≡ z z z j! n! n=0 j=1

sofort Rekursionsformeln f¨ ur Bk und insbesondere, daß alle Bk rational sind. Insbesondere sind alle ζ(2k) transzendent f¨ ur k ≥ 1 (denn mit π ist auch π 2k transzendent). 5.12 Problem. Ist ζ(2k + 1) irrational f¨ ur k ≥ 1? Nach Ap´ery (1978) gilt: ζ(3) ist irrational.

25

Funktionentheorie

6. Existenzs¨ atze fu ¨ r meromorphe Funktionen ¨ Ausgangspunkt der folgenden Uberlegungen ist die folgende 6.1 Bemerkung. Sei a ∈ C und h eine meromorphe Funktion in einer Umgebung von a. Dann existiert eine rationale Funktion f mit f holomorph auf C\{a} und f − h holomorph in a (d.h. f und h haben das gleiche Polstellenverhalten in a). P∞ n Klar, denn oBdA sei a = 0. Ist dann h(z) = die Laurententwicklung von h f¨ ur −k cn z P0 n 0 < |z| < ε und k ∈ IN passend, so setze z.B. f (z) := −k cn z . u t 6.2 Satz von Mittag-Leffler. Es sei U ⊂ C eine offene Teilmenge und A ⊂ U eine in U diskrete Teilmenge. Zu jedem a ∈ A sei in einer Umgebung von a eine meromorphe Funktion ha gegeben. Dann existiert eine meromorphe Funktion f auf U so, daß gilt (i) f ist holomorph auf U \A (ii) f − ha ist holomorph in a. Ferner ist f + H(U ) die Menge aller meromorphen Funktionen auf U , die ebenfalls (i) und (ii) erf¨ ullen. Beweis. f¨ ur Spezialf¨alle: Man darf oBdA U als zusammenh¨angend ansehen (sonst l¨ose das Problem f¨ ur jede Zusammenhangskomponente separat). Fall 1: U = C. Dann ist A endlich wegen C kompakt. urfen wir ha ∈ C(z) PWegen Bemerkung 6.1 d¨ mit ha holomorph auf C\{a} ansehen. Setze f := a∈A ha . ur ein 0 < r ≤ +∞. Sei (Kn ) Fall 2: U ⊂ C ist eine offene Kreisscheibe, oBdA U = {|z| <Sr} f¨ ∞ urfen eine aufsteigende Folge kompakter Kreisscheiben mit U = n=1 Kn und K1 = ∅. Wir d¨ annehmen, daß jedes ha meromorph auf U und holomorph auf U \{a} ist. F¨ ur jedes n ≥ 1 sei X fn := ha ∈ M(U ) a∈(A∩Kn+1 )\Kn

P∞ gesetzt (ist eine endliche Summe – die leere Summe sei ≡ 0). Wenn die Reihe n=1 fn normal konvergieren w¨ urde, w¨aren wir fertig. Leider ist das nicht zu erwarten, es m¨ ussen sogenannte konvergenzerzeugende Summanden (die holomorph sind und das Polstellenverhalten nicht a¨ndern) zugef¨ ugt werden. F¨ ur jedes n ist fn holomorph auf Umgebung von Kn , d.h. ∃ un ∈ H(U ) (sogar aus C[z] wegen Potenzreihenentwicklung auf geeigneter Kreisscheibenumgebung von Kn ) mit |fn (z) − un (z)| ≤ 2−n P∞ f¨ ur alle n und alle z ∈ Kn . Da (Kn ) eine aufsteigende Folge ist, konvergiert f = 1 (fn − un ) normal auf U , und f l¨ ost das Problem. Fall: 3 U einfach-zusammenh¨angend. Folgt z.B. mit dem Riemannschen Abbildungssatz (da jedes einfach-zusammenh¨angende Gebiet U ⊂ C zu C, C oder ∆ biholomorph ¨aquivalent ist). Statt Riemannschem Abbildungssatz k¨onnte man auch den Rungeschen Approximationssatz f¨ ur einfach-zusammenh¨angende offene Teilmengen U ⊂ C bem¨ uhen. Dieser Zugang ist um so angemessener, als der allgemeine Fall wie im Fall 2 aus dem allgemeinen Rungeschen Satz gewonnen werden kann. u t Mittag-Leffler bedeutet, daß man f¨ ur jedes a ∈ A im Fall a ∈ C den Teil P−1Der Satz von P∞ n c (z − a) (auch Hauptteil von f in a genannt) der Laurentreihe n −k −k cn (z − a) von f um a beliebig vorschreiben kann. Es ist klar, daß die Bedingung ‘A diskret in U ’ notwendig ist (da sich Polstellen von f in U nicht h¨ aufen d¨ urfen). Im Fall a = ∞ haben die Hauptteile in ∞ Pk gerade die Form 1 z k mit k ∈ IN, sind also gerade die Polynome ohne konstanten Term. Wir wollen nun das multiplikative Analogon von 6.2 behandeln. F¨ ur jeden Ring R mit Eins 1 sei R∗ ⊂ R die Einheitengruppe (d.h. die Gruppe aller Elemente e ∈ R, so daß ef = f e = 1 f¨ ur ein geeignetes f ∈ R). Zum Beispiel gilt Z∗ = {±1}. F¨ ur den Ring M(U ), U ⊂ C offen, ist M(U )∗ = {f ∈ M(U ) : f −1 (0) diskret in U } = {f ∈ M(U ) : of (a) 6= +∞ f¨ ur alle a ∈ U }

BEME

MILA

26

Funktionentheorie

H(U )∗ = {f ∈ H(U ) : f (U ) ⊂ C∗ } = {f ∈ H(U ) : of (a) = 0 f¨ ur alle a ∈ U } 6.3 Weierstraßscher Produktsatz. Sei U ⊂ C offen und sei A ⊂ U eine in U diskrete Teilmenge. Zu jedem a ∈ A sei ein da ∈ Z gegeben. Dann existiert ein f ∈ M(U )∗ mit f |(U \A) ∈ H(U \A)∗ und of (a) = da f¨ ur alle a ∈ A. Die Menge aller Funktionen aus M(U )∗ mit dieser ∗ Eigenschaft ist f · H(U ) . Beweis. Spezialfall U ⊂ C offene Kreisscheibe: W¨ahle die Folge (Kn ) wie im Beweis von 6.2 und definiere analog Y (z − a)da ∈ M(U )∗ . fn (z) :=

WEIP

a∈(A∩Kn+1 )\Kn

Q

W¨ urde fn normal konvergieren, w¨aren wir wieder fertig. Konvergenz wird durch sogenannte konvergenzerzeugende Faktoren erzwungen: Da fn holomorph und nullstellenfrei auf einer einfach-zusammenh¨ angenden Umgebung von Kn ist, existiert log(fn ) auf einer Umgebung von Kn und ist dort holomorph. Deshalb existiert gn ∈ H(U ) (sogar in C[z]) mit | log(fn (z)) − gn (z)| ≤ log(1 + 2−n ) f¨ ur alle n und alle z ∈ Kn , d.h. |fn (z) exp(−gn (z)) − 1| ≤ 2−n f¨ ur alle z ∈ Kn , d.h. f (z) :=

∞ Y

(fn · exp(−gn (z)))

n=1

ist normal konvergent auf U und l¨ ost das Problem. Allgemeinere F¨alle: Riemannscher Abbildungssatz oder 4.5 f¨ ur einfach-zusammenh¨angende Gebiete. Der allgemeine Runge liefert den allgemeinen Fall. u t 6.4 Definition. Sei U ⊂ C offen. Dann heißt jede Abbildung d : U → Z mit {a ∈ U : d(a) 6= 0} diskret in U ein Divisor auf U . Dieser heißt ein Hauptdivisor, wenn ein f ∈ M(U )∗ mit d = of existiert (d.h. d(a) = of (a) ist die Nullstellenordnung von f in jedem a ∈ U ). Die Divisoren auf U bilden (bez. +) eine kommutative abelsche Gruppe, die Hauptdivisoren bilden wegen of g = of + og eine Untergruppe. Die Faktorgruppe heißt die Divisorenklassengruppe von U . 6.5 Umformulierung von 6.3. Auf jeder offenen Teilmenge U ⊂ C ist jeder Divisor ein Hauptdivisor (d.h. die Divisorenklassengruppe verschwindet). 6.6 Folgerung. Sei U ⊂ C ein Gebiet. Dann besitzt jede meromorphe Funktion f auf U eine Darstellung f = p/q mit p, q ∈ H(U ) und q 6= 0 (d.h. M(U ) ist der Quotientenk¨orper von H(U )). Beweis. Sei f ∈ M(U ) mit f 6= 0. Dann existiert ein Divisor d ≥ 0 mit (of +d) ≥ 0. Sei q ∈ M(U )∗ mit oq = d gew¨ahlt. Dann gilt q ∈ H(U ) und ebenso p := f q ∈ H(U ). u t Im Ring R := H(U ) sagt man: f teilt g ⇐⇒ ∃ h ∈ R mit g = f h ( ⇐⇒ og ≥ of ). Ferner sagt man im Fall f 6= 0 6= g: f und g sind teilerfremd ⇐⇒ Nur die Einheiten teilen f und g zugleich. Offenbar sind f, g ∈ H(U ) genau dann teilerfremd, wenn of og ≡ 0 bzw. genau dann, wenn f −1 (0)∩g −1 (0) = ∅ gilt. Man sieht unmittelbar aus dem Beweis, daß in 6.6 die Darstellung f = p/q teilerfremd gew¨ahlt werden kann. Anders als bei Mittag-Leffler ist auf U = C nicht jeder Divisor ein Hauptdivisor. Vielmehr gilt (vergl. auch Aufgabe 3.5):

TEFE

27

Funktionentheorie

6.7 Satz. Der Divisor d auf C ist Hauptdivisor genau dann, wenn

X

d(a) = 0 gilt, (insbeson-

a∈C

dere ist die Divisorenklassengruppe isomorph zu Z). Beweis. F¨ ur alle b 6= c in C ist der durch D(b) = −D(c) = 1 und = 0 sonst definierte Divisor D := D ein Hauptdivisor (denn im Fall a, b ∈ C ist etwa Da,b = of f¨ ur f (z) = (z − a)/(z − b)). b,c P Ist d(a) = 0, so ist d endliche Summe von Divisoren der Form Db,c und damit ein Hauptdivisor. Ist umgekehrt d = oP ur ein nicht-konstantes f ∈ M(C), so folgt die Aussage etwa durch f f¨ Induktion u ¨ber n := |d(a)| > 0. Da f mindestens eine Nullstelle b und eine Polstelle c besitzt, P Pe gilt die Induktionsvoraussetzung f¨ ur den Divisor de := d − Db,c und somit d(a) = d(a) = 0. u t Divisoren spielen auch in anderem Zusammenhang eine Rolle. So ist schon in Kapitel 3 der Verzweigungsdivisor von nicht-konstanten meromorphen Funktionen definiert worden. ¨ 6.8 Ubungsaufgabe. Es sei ∆ der offene Einheitskreis. (i) Zu jeder diskreten Folge (zk ) in ∆ mit paarweise verschiedenen Folgengliedern existiert eine holomorphe Funktion f auf ∆ mit f (zk ) = k f¨ ur alle k. (ii) Unter Verwendung von (i) zeige man: Es existiert eine holomorphe Funktion f auf ∆, die in keinen Randpunkt von ∆ holomorph fortgesetzt werden kann. (iii) Man charakterisiere alle in ∆ diskreten Teilmengen A mit folgender Eigenschaft: Jeder Divisor d auf ∆ mit d|∆\A = 0 ist Nullstellendivisor einer geraden holomorphen Funktion auf ∆.

7. Elliptische Funktionen In Kapitel 5 haben wir die auf C normal konvergente Reihe f (z) =

X n∈Z

1 (z − n)2

³ betrachtet und

f (z) =

π ´2 sin πz

P nachgewiesen. Die normale Konvergenz folgte dabei unmittelbar aus n6=0 n−2 < ∞. Das obige Vorgehen zeigt, daß auch ohne Kenntnis der Sinusfunktion durch die Reihendefinition eine Zperiodische meromorphe Funktion definiert werden kann - d.h. f (z + n) = f (z) f¨ ur alle z ∈ C und alle n ∈ Z. Wir wollen das von Z auf andere Untergruppen Ω ⊂ C verallgemeinern. 7.1 Definition. Ω ⊂ C heißt ein Gitter, falls ω1 , ω2 ∈ C existieren mit (i) ω1 , ω2 sind linear unabh¨ angig u ¨ber IR und (ii) Ω = Zω1 + Zω2 . Die Elemente ω1 , ω2 heißen eine Gitterbasis von Ω. Diese ist nicht eindeutig bestimmt, z.B. bilden auch ω1 , ω1 + ω2 eine Basis von Ω. Die Bedingung (i) kann auch so formuliert werden, daß ω1 6= 0 und Im(ω2 /ω1 ) 6= 0 gelten muß. Jedes Gitter Ω ⊂ C ist eine diskrete Untergruppe von C, insbesondere existiert ein d > 0 mit |ω| ≥ d f¨ ur alle ω ∈ Ω\{0}. Zun¨achst gilt X 1 7.2 Hilfssatz. < +∞. |ω|3 ω6=0

Beweis. F¨ ur jedes k ≥ 1 sei Ωk := {nω1 + mω2 : k = max(|n|, |m|)}. Man sieht sofort, daß Ωk genau 8k Punkte enth¨ alt und |ω| ≥ kd f¨ ur alle ω ∈ Ωk gilt, d.h. ∞ ∞ X ∞ X X X X 1 1 1 −3 −3 8k(kd) ≤ 8d = ≤ < +∞ . |ω|3 |ω|3 k2

ω6=0

k=1 ω∈Ωk

k=1

k=1

u t

HILS

28

Funktionentheorie

7.3 Satz. F¨ ur jedes Gitter Ω ⊂ C konvergiert X 1 ℘(z) := 2 + z

µ

ω6=0

1 1 − 2 2 (z − ω) ω

¶

normal auf C und stellt dort eine Ω-periodische meromorphe Funktion dar. Sie wird Weierstraßsche ℘-Funktion (zum Gitter Ω) genannt. Beweis. Sei eine kompakte Kreisscheibe K = {z ∈ C : |z| ≤ r} fest gegeben. Dann gilt |ω| ≥ 2r f¨ ur fast alle ω ∈ Ω. F¨ ur diese ω und alle z ∈ K gilt zudem ¯ ¯ ¯ 1 |z||z − 2ω| 1 ¯¯ r · 3|ω| 12r ¯ ¯ (z − ω)2 − ω 2 ¯ = |z − ω|2 |ω|2 ≤ |ω/2|2 |ω|2 = |ω|3 , d.h. die Reihe konvergiert nach Hilfssatz 7.2 normal auf C. Offenbar ist ℘(z) eine gerade Funktion, d.h. ℘(−z) = ℘(z). F¨ ur die Ableitung gilt ℘0 (z) = −2

X ω

1 , (z − ω)3

d.h. ℘0 (z) ist insbesondere Ω-periodisch, oder anders ausgedr¨ uckt: F¨ ur ω = ω1 oder ω = ω2 0 festgew¨ahlt und f (z) := ℘(z + ω) − ℘(z) gilt f (z) ≡ 0 auf C. Folglich existiert eine Konstante c mit f (z) ≡ c. Einsetzen von z = −ω/2 ergibt c = ℘(−ω/2 + ω) − ℘(−ω/2) = 0, d.h. f = 0. u t Jede meromorphe Funktion f auf C, die Ω-periodisch bez¨ uglich eines Gitters Ω ⊂ C ist (d.h. f (z +ω) = f (z) f¨ ur alle ω ∈ Ω), heißt auch doppelt-periodische Funktion - oder (aus historischen Gr¨ unden) eine elliptische Funktion. 7.4 Lemma. Jede doppelt-periodische holomorphe Funktion ist konstant. Beweis. Sei Ω = Zω1 + Zω2 ein Gitter und f eine Ω-periodische holomorphe Funktion. Das sogenannte Periodenparallelogramm P := {sω1 + tω2 : 0 ≤ s, t ≤ 1} ist kompakt. Da jeder Wert von f bereits in P angenommen wird (d.h. f (C) = f (P )), ist f beschr¨ankt und somit nach Liouville konstant. u t 7.5 Folgerung. Die ℘-Funktion erf¨ ullt die Differentialgleichung ℘02 = 4℘3 − 20a2 ℘ − 28a4 , wobei (7.6)

a2 = 3

X 1 ω4

und

ω6=0

a4 = 5

X 1 ω6

ω6=0

die Koeffizienten vor z 2 und z 4 in der Laurentreihe von ℘ um 0 sind. Beweis. Wir bestimmen die ersten Terme der Laurententwicklung von ℘(z) um 0. Da ℘(z) gerade ist und ¶ Xµ 1 1 1 f (z) := ℘(z) − 2 = − 2 z (z − ω)2 ω ω6=0

im Nullpunkt den Wert 0 hat, gilt ℘(z) =

1 + a2 z 2 + a4 z 4 + a6 z 6 + . . . z2

f¨ ur geeignete Koeffizienten a2 , a4 , a6 . Durch Differentiation von f (z) erh¨alt man (7.6). Folglich gilt 4 8a2 1 3a2 ℘0 (z)2 = 6 − 2 − 16a4 + . . . und ℘(z)3 = 6 + 2 + 3a4 . . . z z z z

DOHO

DGLE

FORM

29

Funktionentheorie

d.h.

℘0 (z)2 − 4℘3 (z) + 20a2 ℘(z) + 28a4 = c2 z 2 + c4 z 4 + . . .

Da die linke Seite Ω-periodisch sowie holomorph auf C\Ω sowie in 0 ist, ist sie auf ganz C holomorph und damit konstant wegen 7.4. Auswerten in z = 0 ergibt schließlich die Behauptung. u t Eine geometrische Deutung der obigen Differentialgleichung stellen wir zur¨ uck und betrachten zun¨achst f¨ ur fest vorgegebenes Gitter Ω ⊂ C die Faktorgruppe T := C/Ω, d.h. die Gruppe aller Restklassen a := a+Ω f¨ ur a ∈ C. Sei π : C → T die durch π(a) = a gegebene kanonische Projektion. Neben der Gruppenstruktur tr¨agt T auch eine topologische Struktur: V ⊂ T sei genau dann offen, wenn π −1 (V ) ⊂ C offen ist. Damit ist dann π eine stetige (sogar lokal-topologische) Abbildung und T ein kompakter, zusammenh¨angender Hausdorffraum (denn T = π(P ) f¨ ur das kompakte Periodenparallelogramm P , vergl. Lemma 7.4). T hat die topologische Struktur eines 2-Torus (d.h. S 1 × S 1 ) wie aus folgendem Bild ersichtlich: b0 a0

a

b0

b0 a

a0

b b

a ∼ a0 b

T = C/Ω hat aber auch eine funktionentheoretische Struktur (die einer sogenannten Riemannschen Fl¨ache – vergl. auch Kapitel 10 und 11), was wir hier nur kurz andeuten wollen: F¨ ur jede offene Teilmenge V ⊂ T heißt eine Funktion f : V → C holomorph, wenn die zur¨ uckgeliftete Funktion f ◦ π : U → C auf U := π −1 (V ) ⊂ C holomorph ist (analog meromorphe Funktion auf V ). Die zus¨atzliche funktionentheoretische Struktur auf T = C/Ω besteht darin, daß f¨ ur jedes offene V ⊂ T im Raum C(V ) aller stetigen komplex-wertigen Funktionen auf V der Unterraum H(U ) aller holomorphen Funktionen ausgezeichnet ist. Diese zus¨atzliche Struktur h¨angt nat¨ urlich von dem zu Beginn fixierten Gitter Ω ab, wir nennen T = C/Ω eine elliptische Kurve oder auch einen komplexen Torus. F¨ ur jedes f ∈ H(T ) ist zum Beispiel f ◦ π eine Ω-periodische holomorphe Funktion auf C. Lemma 7.4 kann also auch so formuliert werden, daß H(C/Ω) = C f¨ ur jedes Gitter Ω gilt. Offenbar kann M(C/Ω) mit dem K¨orper der Ω-periodischen meromorphen Funktionen auf C identifiziert werden. So k¨onnen wir die ℘-Funktion zu Ω als meromorphe Funktion auf dem komplexen Torus T deuten, die genau im Punkt 0 (d.h. der Nebenklasse Ω) einen Pol der Ordnung 2 besitzt. Sei jetzt f ∈ M(T ) eine beliebige meromorphe Funktion auf T und g := f ◦π die zugeh¨orige Ω-periodische meromorphe Funktion auf C. Dann ist der Nullstellendivisor og auch Ω-periodisch, und wir definieren of : T → Z ∪ {+∞} durch og = of ◦π. Ebenso den Verzweigungsdivisor vf : T → Z, falls f nicht konstant ist. F¨ ur jede st¨ uckweise glatte Kurve γ : [0, 1] → C, die durch keinen Pol von g l¨auft, und f¨ ur jedes ω ∈ Ω gilt offenbar Z Z g(z)dz = g(z)dz und damit insbesondere Resg (c) = Resg (c + ω) γ

γ+ω

ur alle a ∈ T und alle f ∈ M(T ) f¨ ur alle c ∈ C und ω ∈ Ω. Damit k¨onnen wir auch Resf (a) f¨ definieren. Mit diesen Bezeichnungen gilt nun, wobei f¨ ur alle n ∈ Z und alle a ∈ T der Punkt na ∈ T durch 1a = a und (k ± 1)a = ka ± a bestimmt sei.

30

Funktionentheorie

7.7 Satz. Sei Ω ⊂ C ein Gitter, T = C/Ω und f ∈ M(T ) eine meromorphe Funktion mit f 6≡ 0. Dann gilt X (i) Resf (a) = 0 . a∈T

(ii)

X

of (a) = 0

X

und

a∈T

of (a)·a = 0 .

a∈T

(iii) Ist f nicht-konstant, so h¨angt die (Bl¨atter)-Zahl X

b :=

wf (a)

a∈f −1 (c)

nicht von c ∈ C ab (d.h. jeder Wert aus C wird in T unter Ber¨ ucksichtigung von Vielfachheiten genau b-mal angenommen). Beweis. ad (i): Sei wieder g := f ◦ π ∈ M(C), und nach Auswahl einer Gitterbasis ω1 , ω2 sei P := {sω1 + tω2 : 0 ≤ s, t ≤ 1} das zugeh¨orige Periodenparallelogramm. Wir nehmen an, daß auf dem Rand ∂P von P keine Polstellen von g liegen (wenn doch, so verschiebe P mit einer geeigneten Zahl c ∈ C zum Parallelogramm Pc := c + P ). Dann entsprechen sich Polstellen von g in P und von f in T verm¨ oge π eineindeutig und somit Z X X 1 Resf (a) = Resg (a) = g(z)dz = 0 , 2πi a∈T

a∈P

∂P

da sich die Teilintegrale u uberliegenden Seiten gerade wegheben. ¨ber gegen¨ ad (ii): Die erste Gleichung folgt wegen of (a) = Resf 0 /f (a) sofort aus (i). Die zweite Gleichung macht eine Aussage u ¨ber eine Summe in der abelschen Gruppe T . Sei wieder g := f ◦ π und P das Periodenparallelogramm. Wir d¨ urfen annehmen (sonst verschiebe P ein wenig), daß die logarithmische Ableitung h := g 0 /g keinen Pol auf ∂P hat und betrachten die komplexe Zahl

b :=

X

og (a)·a =

a∈P

X a∈P

1 Resh (a)·a = 2πi

Z

Zω1 zh(z)dz =

ωZ 1 +ω2

α+

α+ ω1

0

∂P

Zω2

Z0 α+

ω1 +ω2

α , ω2

wobei α = (2πi)−1 zh(z)dz und alle Integrationswege die geraden Verbindungswege sind (ω1 , ω2 seien so numeriert, daß Im(ω2 /ω1 ) > 0 gilt). Nun gilt z.B. f¨ ur die Summe des ersten und dritten Teilintegrals Zω1 I1 :=

Zω2 α+

0

Zω1 α =

ω1 +ω2

ωZ 1 +ω2

α− ω2

0

1 α = 2πi

Zω1 ¡ ¢ (z − (z + ω2 ))h(z)dz = H(0) − H(ω1 ) ω2 , 0

wobei H(z) ein Zweig von (2πi)−1 log g(z) auf ¡ einer kleinen¢ einfach-zusammenh¨angenden Umgebung des Integrationsweges [0, ω1 ] ist, d.h. H(0) − H(ω1 ) ∈ Z wegen g periodisch und somit I1 ∈ Ω. Ebenso folgt ωZ 1 +ω2

I2 :=

Z0

α+ ω1

α ∈ Ω, ω2

d.h.

X

og (a) · a ∈ Ω .

a∈P

Anwendung des Gruppenhomomorphismus π : C → T liefert

P a∈T

of (a)·a = b = 0.

31

Funktionentheorie

ad (iii): F¨ ur alle c ∈ C und h := f − c gilt wegen (ii) X

wf (a) =

a∈f −1 (c)

X

oh (a) =

a∈h−1 (0)

X

X

− oh (a) =

a∈h−1 (∞)

− of (a) =

a∈f −1 (∞)

X

wf (a) .

u t

a∈f −1 (∞)

¨ 7.8 Ubungsaufgabe. Es sei Ω ⊂ C ein Gitter und T := C/Ω der zugeh¨orige ( 1 c=a komplexe Torus. Es seien a 6= b zwei Punkte in T und d der durch d(c) := −1 c = b 0 sonst definierte Divisor auf T . Man zeige: (i) d ist kein Hauptdivisor auf T , (ii) 2d ist genau dann ein Hauptdivisor auf T , wenn 2a = 2b in der abelschen Gruppe T gilt. Wir betrachten nun die Funktionen ℘, ℘0 als Funktionen auf T . Dann gilt: ℘, ℘0 : T → C haben Bl¨atterzahl 2, 3, denn 0∈T ist einziger Pol und hat Ordnung 2 bzw. 3. Was ist nun v℘ (a) f¨ ur a ∈ T ? Fall 1: Ist a 6= −a, so gilt v℘ (a) = 0 wegen ℘(a) = ℘(−a). Fall 2: Ist a = −a 6= 0, so gilt 2a = 0 ∈ T und damit ℘0 (a) = ℘0 (−a) = −℘0 (a) = 0 ∈ C , d.h. v℘ (a) = 1. Fall 3: Ist a = 0, so ist o℘ (a) = −2 und somit ebenfalls v℘ (a) = 1. Insgesamt haben wir also n 2a = 0 v℘ (a) = 1 0 sonst. Nun hat die Gleichung 2a = 0 in T genau 4 L¨osungen, n¨amlich (7.9)

ρ0 = 0, ρ1 = ω1 /2, ρ2 = ω2 /2, ρ3 = (ω1 + ω2 )/2 .

Setzen wir noch ek := ℘(ρk ) f¨ ur k = 0, . . . , 3, so folgt: e0 , e1 , e2 , e3 sind paarweise verschieden (da Bl¨atterzahl = 2 und v℘ (ρk ) = 1). Ferner folgt, daß ρ1 , ρ2 , ρ3 genau die Nullstellen von ℘0 sind. Wir kommen nun auf die Differentialgleichung (7.5) zur¨ uck und betrachten zun¨achst ein beliebiges Polynom p(z) ∈ C[z] vom Grad 3. Sind dann e1 , e2 , e3 die Nullstellen von p, so gilt f¨ ur geeignetes r 6= 0 p(z) = r(z − e1 )(z − e2 )(z − e3 ) . Sei

A := {(z, w) ∈ C2 : w2 = p(z)} .

Man u ¨berlegt sich leicht, daß

b := A ∪ {(∞, ∞)} A 2

die abgeschlossene H¨ ulle von A in C ist. A heißt eine komplexe Kurve dritten Grades in C2 oder p auch eine affine Kubik. Offenbar kann A als Graph der ‘zweideutigen Funktion’ p(z) aufgefaßt werden (wir werden sp¨ater allgemeiner mehrdeutige Funktionen untersuchen). b aus? Wie sieht nun die topologische Struktur von A Fall 1: e1 , e2 , e3 paarweise verschieden. Sei γ eine glatte Kurve in C, die e0 := ∞ u ¨ber e1 , e2 mit e3 ohne Selbst¨ uberschneidung verbindet und sei γk die Teilkurve, die ek−1 mit ek f¨ ur k = 1, 2, 3 verbindet. Das KomplementpU der Spur von γ ist einfach-zusammenh¨angend. Folglich existieren zwei Zweige der Funktion p(z) auf U , die sich genau um das Vorzeichen unterscheiden. Bei ‘hinreichend kleinen Uml¨aufen’ um jeden der Punkte e0 , . . . , e3 werden zudem die beiden Zweige vertauscht,p d.h. es gibt sogar auf dem Komplement V der Spur von γ1 ∪ γ3 holomorphe Zweige ur k = 1, 2 wird folglich V auf zwei disjunkte offene f1 , f2 von p(z). Durch z 7→ (z, fk (z)) f¨

LO

32

Funktionentheorie

Teilmengen von A abgebildet. Durch geeignetes Verkleben von 2 Exemplaren von V entsprechend b die topologische den folgenden Bildern erh¨alt man einen anschaulichen ‘Beweis’ daf¨ ur, daß A Struktur eines 2-Torus hat: e0

e0 e1

e2

e2 e3

e0

e0 e1

e1 e3

e1

e2

e2

e3

e3

b die topologische Struktur der Einpunktkompaktifizierung von Fall 2: e1 6= e2 = e3 Jetzt hat A ∗ C (eingeschn¨ urter Torus): b die topologische Struktur der 2-Sph¨are (nicht glatt): Fall 3: e1 = e2 = e3 In diesem Fall hat A e0

e0

e1

e2 = e3

e1 = e2 = e3

Fall 2

Fall 3

Im Spezialfall e1 ≤ e2 ≤ e3 reell und r > 0 erhalten wir f¨ ur den reellen Schnitt A ∩ IR2 die folgenden Bilder:

e1

Fall 1

e2

e3

e1

e2 e3

Fall 2

e1 e2 e3

Fall 3

Wir betrachten nun den Fall 1 aus analytischer Sicht: Sei f (z, w) := w2 − p(z). Da im Fall 1 die Polynome p und p0 keine gemeinsame Nullstelle haben, ist in jedem Punkt von A mindestens eine der beiden partiellen Ableitungen ∂f /∂z = −p0 (z) oder ∂f /∂w = 2w von 0 verschieden (man sagt: A ist analytisch glatt – die obigen reellen Bilder deuten dieses schon an). b → C sieht aus wie die durch die Weierstraßsche Die durch τ (z, w) = z definierte Abbildung τ : A ℘-Funktion vermittelte Abbildung C/Ω → C (Bl¨atterzahl=2 und 4 Verzweigungspunkte, deren Bilder in C s¨amtlich verschieden sind).

33

Funktionentheorie

Ist Ω ⊂ C ein Gitter mit zugeh¨ origem komplexen Torus T = C/Ω und ist speziell p(z) = 4z 3 − 20a2 z − 28a4 mit durch (7.6) definierten Zahlen a2 , a4 , so erhalten wir b gestiftet. 7.10 Satz. Durch ϕ(a) = (℘(a), ℘0 (a)) wird ein Hom¨oomorphismus ϕ : T → A b ist gerade die G¨ Beweis. ϕ ist stetig und ϕ(T ) ⊂ A ultigkeit der Differentialgleichung (7.5). ur a 6= b aus T . Dann gilt a 6= 0, und wegen ℘(a) = ℘(b) gilt Angenommen, ϕ(a) = ϕ(b) f¨ a = −b, denn ℘ nimmt auf T jeden Wert h¨ochstens zweimal an. Wegen ℘0 (a) = ℘0 (b) = ℘0 (−a) = −℘0 (a) = 0 und (7.9) gilt also a = −a im Widerspruch zur obigen Anname, d.h. ϕ ist injektiv. Angenommen, es existiert ein (x, y) ∈ A\ϕ(T ). Dann existiert ein a ∈ T mit x = ℘(a), und es muß y = −℘0 (a) gelten. Aber dann gilt (x, y) = ϕ(−a), d.h. ϕ ist bijektiv und somit ein b kompakt sind. Hom¨oomorphismus, da T und A u t Wie verh¨ alt sich nun Satz 7.10 zum Fall eines beliebigen kubischen Polynoms p(z) ∈ C[z] mit getrennten Nullstellen e1 , e2 , e3 ? Zun¨achst kann nach einer holomorphen Transformation (ersetze z durch λz f¨ ur λ ∈ C∗ geeignet) r = 4 angenommen werden. Nach einer geeigneten Parallelverschiebung kann sodann zus¨ atzlich e1 + e2 + e3 = 0 angenommen werden, d.h. p(z) = 4z 3 − 20a2 z − 28a4 f¨ ur gewisse a2 , a4 ∈ C. Man kann zeigen (vergl. z.B. [2]), daß ein Gitter Ω ⊂ C so existiert, daß a2 , a4 gerade die Formel (7.6) erf¨ ullen, d.h. (bis auf ‘Biholomorphie’) beschreibt Satz 7.10 schon die allgemeine Situation, und jede glatte Kubik gestattet eine holomorphe Parametrisierung der Form z 7→ (℘(z), ℘0 (z)). ¨ 7.11 Ubungsaufgabe. Es sei Ω: = Zω1 + Zω2 ⊂ C ein Gitter mit ω1 , ω2 /i reell und positiv. ℘ ∈ M(C) sei die zugeh¨orige Weierstraßsche ℘-Funktion. (i) ℘(z) = ℘(z) f¨ ur alle z ∈ C. (ii) Man bestimme alle Nullstellen von ℘ sowie das ℘-Urbild von IR ∪ {∞}. (iii) e1 : = ℘(ω1 /2), e2 : = ℘(ω1 /2 + ω2 /2) und e3 : = ℘(ω2 /2)) sind reelle Zahlen mit e1 < e2 < e3 . (iv) Das offene Rechteck {x + iy : 0 < x < ω1 /2, 0 < y < ω2 /2i} wird durch ℘ biholomorph auf die obere Halbebene {x + iy : y > 0} abgebildet. [Hinweis: Holomorphe Abbildungen bilden die ‘linke Seite’ einer Kurve in die linke Seite der Bildkurve ab] e ⊂ C Gitter und ℘, ℘e ∈ M(C) die zugeh¨origen Weier¨ 7.12 Ubungsaufgabe. Es seien Ω, Ω straßschen ℘-Funktionen. F¨ ur jede ganze Zahl n ≥ 1 sei Zn := {e2πik/n : k ∈ Z}. ∗ e = λΩ gilt ℘e = λ2 ℘. (i) F¨ ur jedes λ ∈ C mit Ω ∗ (ii) Aut(Ω) := {λ ∈ C : λΩ = Ω} kann nur eine der Gruppen Z2 , Z4 oder Z6 sein. (iii) Man zeige an Hand von Beispielen, daß die Gruppen Z2 , Z4 oder Z6 vorkommen k¨onnen. ¨ 7.13 Ubungsaufgabe. F¨ ur jedes Gitter Ω ⊂ C sei TΩ := {z + Ω : z ∈ C} der zugeh¨orige komplexe Torus und πΩ die durch z 7→ z + Ω definierte kanonische Projektion πΩ : C → TΩ . Eine Abbildung f : TΩ → TΩ0 heiße holomorph, wenn eine holomorphe Abbildung F : C → C existiert mit f ◦ πΩ = πΩ0 ◦ F . Ist H = {z ∈ C : Im z > 0} die obere Halbebene und Ω = Z + Zω f¨ ur ein ω ∈ H, so schreiben wir statt TΩ auch Tω . Man zeige: (i) Sind f, F wie oben, so existieren a, b ∈ C mit aΩ ⊂ Ω0 und F (z) ≡ az +b. Hinweis: Betrachte F (z + ω) − F (z) und dann F 0 (z). (ii) Die Tori TΩ und TΩ0 sind genau dann biholomorph ¨aquivalent, wenn Ω0 = aΩ f¨ ur ein a ∈ C∗ . (iii) Jeder komplexe Torus TΩ ist biholomorph ¨aquivalent zu einem Torus Tω mit ω ∈ H. (iv) Die Tori Tω , Tω0 mit ω, ω 0 ∈ H sind genau dann biholomorph ¨aquivalent, wenn eine Matrix µ ¶ aω + b a b . ∈ SL(2, Z) existiert mit ω 0 = c d cω + d [Hinweis: Stelle die Gitterbasis {1, ω} von Ω in der Gitterbasis {1, ω 0 } von Ω0 dar und umgekehrt.]

SIBI

34

Funktionentheorie

8. Randeigenschaften eigentlicher holomorpher Abbildungen Es seien R, S beliebige lokal-kompakte Hausdorffr¨aume. 8.1 Definition. Die stetige Abbildung f : R → S heißt eigentlich, wenn f¨ ur jedes Kompaktum K ⊂ S auch das Urbild f −1 (K) kompakt ist. Man u ur jede eigentliche Abbildung f : R → S gilt: Ist A ⊂ R ¨berzeugt sich leicht, daß f¨ abgeschlossen (bzw. diskret) in R, so ist das Bild f (A) auch abgeschlossen (bzw. diskret) in S. F¨ ur jede Folge (an ) in R ohne H¨ aufungspunkt besitzt also auch die Bildfolge (f (an )) in S keinen H¨aufungspunkt. Suggestiver als das Wort ‘eigentlich’ f¨ ur diesen Begriff w¨are somit ‘randtreu’ gewesen (bei der Einpunktkompaktifizierung R∪{∞} f¨ uhrt man ja gerade einen ‘unendlichfernen Punkt’ ∞ ein, gegen den alle Folgen in R ohne H¨aufungspunkt in R konvergieren). 8.2 Beispiel. (i) Jeder Hom¨ oomorphismus f : R → S ist eigentlich. (ii) Ist R kompakt, so ist jede stetige Abbildung f : R → S eigentlich. (iii) F¨ ur jedes n ≥ 1 definiert f (z) = z n eine eigentliche holomorphe Abbildung f : D → D, wobei D = C oder D = ∆ (offener Einheitskreis). (iv) Ist f : R → S eigentlich, so ist f¨ ur jedes offene V ⊂ S und U := f −1 (V ) die Einschr¨ankungsabbildung f |U : U → V ebenfalls eigentlich. (v) Kompositionen eigentlicher Abbildungen sind eigentlich. 8.3 Satz. Seien U, V ⊂ C Gebiete und f : U → V eine nicht-konstante, eigentliche, holomorphe Abbildung. Dann existiert eine ganze Zahl b := bf ≥ 1 (Bl¨atterzahl von f ), so daß (8.4)

b=

X

wf (a)

a∈f −1 (c)

UZ

f¨ ur alle c ∈ V gilt. Es existiert eine in V diskrete Teilmenge A ⊂ V , so daß jedes c ∈ V \A genau b verschiedene f -Urbilder in U hat. f ist genau dann biholomorph, wenn b = 1 gilt. Beweis. Sei β(c) die rechte Seite von (∗). Wir haben zu zeigen, daß β als Funktion auf V konstant ist. Dazu sei c0 ∈ V beliebig aber fest gew¨ahlt. Dann ist f −1 (c0 ) diskret und wegen f eigentlich somit endlich, d.h. etwa f −1 (c0 ) = {a1 , . . . , ar } mit paarweise verschiedenen aj . W¨ahle in U disjunkte offene Umgebungen W1 , . . . , Wr von ar , . . . , ar so, daß W := f (Wk ) unabh¨angig von k und jede Einschr¨ankung fk := f |Wk eine eigentliche holomorphe Abbildung fk : Wk → W mit bfk ≡ nk f¨ ur nk ∈ IN ist (das geht, da f¨ ur Wk gen¨ ugend klein f wie die Potenz z 7→ z nk aussieht, vergl. Aufgabe 3.16). Dann ist aber β(c) = n1 + . . . + nr konstant auf W , d.h. β ist als lokalkonstante Funktion auf dem Gebiet V sogar konstant. Der Verzweigungsort {a ∈ U : vf (a) 6= 0} ist diskret in U und damit auch das f -Bild A in V . u t F¨ ur holomorphe Abbildungen f : C → C werde die Bl¨atterzahl von f auch der Grad von f genannt. Konstante Abbildungen sollen dabei den Grad 0 haben. ¨ 8.5 Ubungsaufgabe. Man zeige (i) F¨ ur jedes b ≥ 1 besteht die Menge aller eigentlichen holomorphen Abbildungen f : ∆ → ∆ mit Bl¨atterzahl b genau aus allen Transformationen b Y z − ck z→ 7 λ , ck z − 1 k=1

wobei c1 , . . . , cb ∈ ∆ und λ ∈ ∂∆. (ii) Man bestimme alle eigentlichen holomorphen Abbildungen f : ∆ → C. (iii) Ist A ⊂ C eine in C diskrete Teilmenge, so existieren holomorphe Funktionen f1 , f2 auf U := C\A derart, daß f = (f1 , f2 ) eine eigentliche Abbildung f : U → C2 definiert. Problemstellung: Wir betrachten f¨ ur Gebiete U, V ⊂ C und holomorphe Abbildungen f : U → V die folgenden Fragen:

EIGE

35

Funktionentheorie

(A) Wann ist f zu einer stetigen Abbildung f : U → V fortsetzbar? (B) Wann existiert eine offene Umgebung W von U so, daß f zu einer holomorphen Abbildung f : W → C fortgesetzt werden kann? Wir wollen im folgenden beide Fragen behandeln im Spezialfall, daß f : U → V eigentlich ist. Existieren dann Fortsetzungen wie in (A) oder (B), so muß offenbar notwendig f (∂U ) ⊂ ∂V gelten. Wir wollen uns dabei auf den Spezialfall beschr¨anken, daß U, V ⊂ C beschr¨ankte Gebiete sind (auf diesen k¨onnen viele F¨ alle durch Anwendung geeigneter M¨obiustransformationen zur¨ uckgef¨ uhrt werden). Wir betrachten zun¨achst ein triviales 8.6 Beispiel. Es √sei U := {x + iy ∈ ∆ : x > 0 oder y 6= 0} und V := {x + iy ∈ ∆ : x > 0}. Dann definiert f (z) = z eine biholomorphe Abbildung f : U → V , deren Umkehrabbildung g = f −1 sich holomorph auf ganz C fortsetzen l¨aßt. f selbst l¨aßt sich nicht stetig auf U fortsetzen. Schwierigkeiten machen gerade die Randpunkte t ∈ ∂U mit t < 0 – diese m¨ ußten eigentlich jeweils als 2 Randpunkte gez¨ahlt werden – einer als Randpunkt des ‘oberen Ufers’ und der andere als Randpunkt des ‘unteren Ufers’. Wir wollen das im folgenden pr¨azisieren. Es sei im folgenden ein beschr¨anktes Gebiet U ⊂ C gegeben. Die euklidische Metrik δ(a, b) := |a − b| ist vollst¨ andig auf C, und die abgeschlossene H¨ ulle U kann als Komplettierung von U bez¨ uglich der Metrik δ angesehen werden. Sei δU die Einschr¨ankung von δ auf U × U . Bezeichnen wir mit L(γ) die Bogenl¨ange einer (stetigen) rektifizierbaren Kurve γ : [0, 1] → C, so erhalten wir auf dem Gebiet U eine weitere Metrik dU wie folgt: F¨ ur alle a, b ∈ U sei dU (a, b) das Infimum u ¨ber alle Bogenl¨angen L(γ), wobei γ : [0, 1] → U eine beliebige rektifizierbare Kurve in U ist mit γ(0) = a und γ(1) = b. Offenbar gilt stets dU ≥ δU . 8.7 Beispiel. Es sei C ⊂ IR eine kompakte, total-unzusammenh¨angende Teilmenge (z.B. die Cantor-Menge) und D ⊂ C ein beschr¨anktes konvexes Gebiet. Dann gilt dU = δU f¨ ur U := D\C. Die Metriken dU und δU sind zwar mit der Topologie des Gebietes U vertr¨aglich, sie sind b des Gebiets aber im allgemeinen nicht ¨aquivalent. Betrachten wir deshalb die Komplettierung U b ein vollst¨ U bez¨ uglich dU . Dann ist U andiger metrischer Raum (dessen Metrik ebenfalls mit dU bezeichnet werde), der U in nat¨ urlicher Weise als dichten Teilraum enth¨alt. Zudem existiert eine b → U mit τ (z) = z f¨ kanonische stetige Abbildung τ : U ur alle z ∈ U (denn id : (U, dU ) → (U, δU ) ist gleichm¨aßig stetig). F¨ ur jedes a ∈ ∂U heißen die Elemente von τ −1 (a) die (in endlicher Zeit) erreichbaren Randpunkte von U . Diese Bezeichnung wird motiviert durch die b . Dann existiert eine rektifizierbare 8.8 Bemerkung. Sei (an ) eine Folge in U mit b a = lim an ∈ U b mit γ(t) ∈ U f¨ Kurve γ : [0, 1] → U ur t < 1, γ(1) = b a und an ∈ γ([0, 1]) f¨ ur unendlich viele n. Beweis. Da (an ) eine dU -Cauchy-Folge ist, existiert eine Teilfolge (ank ) mit nk+1 > nk und dU (ank , am ) < 2−k f¨ ur alle k und alle m ≥ nk . Also existiert f¨ ur jedes k eine rektifizierbare Kurve γk der L¨ange L(γk ) < 2−k , die ank mit ank+1 verbindet. Diese Teilkurven k¨onnen zu γ zusammengesetzt werden. u t 8.9 Beispiel. a1 a2

a∞

a0

a

U entstehe aus einem offenen Rechteck durch Herausnahme von abz¨ahlbar unendlich vielen ‘Stacheln’ in der oben dargestellten Weise. Dann liegen u ur k = 0, 1, 2, ∞ jeweils k ¨ber ak f¨ erreichbare Randpunkte, und u ¨ber a liegen u ¨berabz¨ahlbar viele erreichbare Randpunkte.

BEMM

36

Funktionentheorie

b → U ist also im allgemeinen weder injektiv noch surjektiv. Die Abbildung τ : U 8.10 Definition. Es sei D ⊂ C ein Gebiet. Der Randpunkt a ∈ ∂D = D\D heißt C r -glatt, wenn eine offene Umgebung W ⊂ C von a und ein C r -Diffeomorphismus ϕ : W → ∆ mit

ZULA

ϕ(W ∩ D) = {z ∈ ∆ : Im(z) > 0} existiert (0 ≤ r ≤ +∞). Kann dabei ϕ biholomorph gew¨ahlt werden, so heißt a auch analytisch glatter Randpunkt oder einfacher ein analytischer Randpunkt von D. b → U ein 8.11 Lemma. Besitzt das beschr¨ankte Gebiet U ⊂ C C 1 -glatten Rand, so ist τ : U b Hom¨oomorphismus, und insbesondere ist auch U kompakt. Beweis. Es gen¨ ugt, die Existenz einer Konstanten c > 0 mit dU ≤ cδU zu zeigen, da dann die Metriken dU und δU ¨aquivalent sind. Nehmen wir also an, daß kein derartiges c existiert. Dann existieren Folgen (an ), (bn ) in U mit dU (an , bn ) > n|an − bn | f¨ ur alle n. OBdA existieren a := lim an und b := lim bn in U . Ferner existieren Diffeomorphismen ϕ : W → ∆ und ψ : V → ∆ mit ϕ(U ∩ W ) und ψ(U ∩ V ) konvex, wobei W, V geeignete Umgebungen von a, b in C sind. Dabei d¨ urfen wir annehmen, daß f¨ ur eine geeignete Konstante k ≥ 1 und alle z, w ∈ W sowie u, v ∈ V gilt k −1 |z − w| ≤ |ϕ(z) − ϕ(w)| ≤ k|z − w| k −1 |u − v| ≤ |ψ(u) − ψ(v)| ≤ k|u − v| . F¨ ur alle n ≥ m mit einem geeigneten m ∈ IN gilt an ∈ W , bn ∈ V . Wegen ϕ(W ∩ U ) konvex existiert f¨ ur jedes n ≥ m eine glatte Kurve γ : [0, 1] → W ∩ U mit γ(0) = an , γ(1) = am und ¯ ¯ L(ϕ ◦ γ) = ¯ϕ(an ) − ϕ(am )¯ . Dann gilt wegen L(γ) ≤ kL(ϕ ◦ γ) aber auch dU (an , am ) ≤ k|ϕ(an ) − ϕ(am )| und somit n|an − bn | < dU (an , bn ) ≤ dU (an , am ) + dU (am , bm ) + dU (bm , bn ) ≤ k|ϕ(an ) − ϕ(am )| + dU (am , bm ) + k|ψ(bm ) − ψ(bn )| ≤ k 2 |an − am | + dU (am , bm ) + k 2 |bm − bn | . Also bleibt n|an − bn | f¨ ur n → ∞ beschr¨ankt, insbesondere muß deshalb a = b gelten. Aber dann d¨ urfen wir W = V , ϕ = ψ annehmen, und n|an − bn | < dU (an , bn ) ≤ k|ϕ(an ) − ϕ(bn )| ≤ k 2 |an − bn | ergibt n ≤ k 2 f¨ ur alle n ≥ m, ein Widerspruch.

u t

8.12 Bemerkung. Im Beweis von 8.11 wurde f¨ ur das beschr¨ankte Gebiet U nur benutzt, daß jeder Randpunkt a von U eine in C offene Umgebung W zusammen mit einem Diffeomorphismus ϕ : W → ∆ besitzt, f¨ ur den ϕ(W ∩ U ) konvex ist. Wir wollen das Problem (A) der stetigen Randfortsetzbarkeit f¨ ur eine hinreichend große Klasse von Randpunkten behandeln, die wir im folgenden zur Vereinfachung der Sprechweise kurz zul¨assig nennen wollen. Die Definition mag zun¨achst etwas technisch aussehen, sie ist jedoch b werde so gehalten, daß der Beweis von Satz 8.14 gerade noch funktioniert. F¨ ur jedes b a ∈ U mit Ω(b a) die Menge aller wegzusammenh¨angenden Teilmengen S von U bezeichnet, die b a als H¨aufungspunkt haben.

CGLA

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Funktionentheorie

b \U heiße ein zul¨assiger Randpunkt von U , wenn zu je zwei Mengen 8.13 Definition. b a∈U S, T ∈ Ω(b a) eine offene Umgebung W ⊂ C von a := τ (b a), eine biholomorphe Abbildung ϕ : W → ∆ mit ϕ(a) = 0, eine meßbare Teilmenge R ⊂ [0, 1] und f¨ ur jedes r ∈ R eine zusammenh¨angende Teilmenge Kr ⊂ W ∩ U mit den folgenden Eigenschaften existiert: Z dr (i) ϕ(Kr ) ⊂ {|z| = r}, (ii) Kr schneidet S und T , (iii) = +∞ . R r b \U in diesem Sinne zul¨assig, so sagen wir, U habe zul¨assigen Rand. Ist jeder Randpunkt b a∈U

DEFF

Die Bedingung (iii) in (8.13) ist trivialerweise dann erf¨ ullt, wenn R f¨ ur ein ε > 0 das offene Intervall (0, ε) ⊂ IR enth¨alt (dieser Fall ist in den meisten interessanten Anwendungen gegeben). Offenbar ist jeder isolierte wie auch jeder analytische Randpunkt von U zul¨assig. Es kann gezeigt werden, daß sogar jeder C 0 -glatte Randpunkt zul¨assig ist. Wir wollen das hier nicht ausf¨ uhren. Die Bedeutung der obigen Definition ergibt sich aus dem folgenden b sei ein zul¨assiger Randpunkt, und 8.14 Satz. Es seien U, V ⊂ C beschr¨ankte Gebiete, b a∈U f : U → V sei eine eigentliche holomorphe Abbildung. Ist dann Vb kompakt, so existiert eine stetige Fortsetzung fb : U ∪ {b a} → Vb von f . Beweis. Angenommen, die Behauptung sei falsch. Wegen Vb kompakt existieren dann Folgen (en ) und (cn ) in U mit b a = lim en = lim cn und eb := lim f (en ) 6= b c := lim f (cn ). OBdA e e e e e f (cn ) ∈ Te f¨ existieren Mengen S ∈ Ω(b e), T ∈ Ω(b c) mit ρ := dV (S, T ) > 0 und f (en ) ∈ S, ur −1 e alle n (vergl. den Beweis von 8.8). Sei b die Bl¨atterzahl von f . Dann haben f (S) und f −1 (Te) ¨ jeweils h¨ochstens b Wegzusammenhangskomponenten (Ubungsaufgabe). Also gibt es Teilmengen −1 e −1 e S ⊂ f (S), T ⊂ f (T ) mit S, T ∈ Ω(b a). W¨ahle nun die biholomorphe Abbildung ϕ : W → ∆, die meßbare Teilmenge R ⊂ [0, 1] und jedes Kr ⊂ W wie in Definition 8.13. Sei B := ϕ(U ∩ W ) und sei die holomorphe Abbildung h : B → V definiert durch h(ϕ(z)) = f (z). Ist dann r ∈ R fest, so definiert γ(θ) := h(reiθ ) f¨ ur geeignete reelle Parameter α < β < α + 2π eine Kurve Rβ e e γ : [α, β] → V , die S und T schneidet und somit ρ ≤ L(γ) = α |h0 (reiθ )|rdθ erf¨ ullt. Definieren wir noch h0 (z) := 0 f¨ ur alle z ∈ C\B, so k¨onnen wir auch einfacher Z2π |h0 (z)|rdθ

ρ ≤ 0

schreiben, wobei z = x + iy = reiθ gesetzt sei. Nach der Schwarzschen Ungleichung gilt

ρ

2

³ Z2π ≤

0

|h (z)|rdθ

´2

Z2π 0

≤ 2π

0

2 2

|h (z)| r dθ ,

d.h.

0

K ≤ r

Z2π |h0 (z)|2 rdθ 0

f¨ ur K := ρ2 /2π > 0 und alle r ∈ R. Somit folgt Z K R

dr ≤ r

Z Z2π

Z1 Z2π 0

2

R 0

ZZ |h0 (z)|2 rdθdr =

|h (z)| rdθdr ≤ 0 0

|h0 (z)|2 dxdy ≤ bF , B

wobei F der euklidische Fl¨acheninhalt von h(B) ⊂ V ist (beachte, daß |h0 (z)|2 die Funktionaldeterminante im Punkte z ist, wenn h als reell-differenzierbare Abbildung zwischen Gebieten des IR2 aufgefaßt wird). Das ist jedoch ein Widerspruch, da die linke Seite im Gegensatz zur rechten nicht endlich ist. u t

HILF

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Funktionentheorie

8.15 Satz. Seien U, V ⊂ C beschr¨ankte Gebiete mit Vb kompakt. Hat dann U zul¨assigen Rand, so gestattet jede eigentliche holomorphe Abbildung f : U → V eine stetige Fortsetzung b → Vb . fb : U b w¨ Beweis. F¨ ur jedes b a∈U ahle eine Folge (an ) in U , die gegen b a konvergiert. Wegen Satz 8.14 existiert dann fb(b a) := lim f (an ) in Vb , und dieser Limes h¨angt nicht von der Wahl der Folge (an ) b → Vb stimmt offenbar auf U mit f u ab. Die so erhaltene Abbildung fb : U ¨berein. Mit einem b mit dU (b Standardargument folgt, daß fb stetig ist: Sei etwa (b an ) eine Folge in U a, b an ) < 1/n. b F¨ ur jedes n existiert ein an ∈ U mit dU (an , b an ) < 1/n und dV (f (an ), f (b an )) < 1/n. Folglich b ¨ gilt lim an = b a und damit auch lim f (an ) = f (b a). Nach Ubergang zu einer Teilfolge darf also dV (f (an ), fb(b a)) < 1/n und folglich dV (fb(b an ), fb(b a)) < 2/n angenommen werden, d.h. fb ist stetig in b a. u t

FORT

Das zu Beginn gestellte Problem (B) kann mit dem sogenannten Schwarzschen Spiegelungsprinzip angegangen werden. Dazu zeigen wir zun¨achst 8.16 Hilfssatz. Es seien U ⊂ C ein beschr¨anktes Gebiet und f ∈ H(U ) eine auf U holomorphe Funktion. F¨ ur jedes a ∈ ∂U existiere eine offene Umgebung Wa ⊂ C von a und ein ga ∈ H(Wa ) mit f (z) = ga (z) f¨ ur alle z ∈ U ∩ Wa . Dann existiert eine offene Umgebung W von U und eine auf W holomorphe Funktion g mit g|U = f . Beweis. Wegen ∂U kompakt existiert eine endliche Teilmenge A ⊂ ∂U derart, daß die Familie {Wa : a ∈ A} den Rand ∂U u ur alle a, b ∈ A sei Ka,b die in C abgeschlossene H¨ ulle ¨berdeckt. F¨ von {z ∈ Wa ∩ Wb : ga (z) 6= gb (z)}. Die Vereinigung K aller Ka,b ist abgeschlossen in C und ist disjunkt zu U (Identit¨ atssatz). Sei nun W die Vereinigung von U mit allen offenen Mengen Wa \K, a ∈ A. Dann enth¨alt W den Rand ∂U , und durch ½ f (z) z ∈ U g(z) : = ga (z) z ∈ Wa \K wird eindeutig eine holomorphe Funktion auf W definiert.

FOSE

u t

8.17 Satz. Es seien U, V ⊂ C Gebiete mit analytischem Rand und f : U → V eine eigentliche holomorphe Abbildung. Dann existiert eine offene Umgebung W ⊂ C von U zusammen mit einer holomorphen Fortsetzung g : W → C von f . Beweis. Im Fall U = C ist nichts zu zeigen, wir d¨ urfen also U 6= C annehmen. Wegen f eigentlich ist dann auch V 6= C. Da U analytischen Rand hat, ist U nicht dicht in C, und nach Anwendung einer geeigneten M¨obiustransformation d¨ urfen wir annehmen, daß U und analog b , Vb mit U , V identifiziert auch V beschr¨ankte Gebiete in C sind. Wegen Lemma 8.11 k¨onnen U werden. Wegen Satz 8.15 kann sodann f zu einer stetigen Abbildung f : U → V mit f (∂U ) ⊂ ∂V fortgesetzt werden. Sein nun a ∈ ∂U beliebig, aber fest vorgegeben. Nach Voraussetzung existiert eine offene Umgebung Wa ⊂ C von a und eine biholomorphe Abbildung ϕ : Wa → ∆ mit ϕ(Wa ∩ U ) = {z ∈ ∆ : Im(z) > 0}. Ebenso existiert eine offene Umgebung Q von b := f (a) und eine biholomorphe Abbildung ψ : Q → ∆ mit ψ(Q ∩ V ) = {z ∈ ∆ : Im(z) > 0}. Wir d¨ urfen zudem f (Wa ∩ U ) ⊂ Q ∩ V annehmen (falls nicht, so verkleinere Wa geeignet und kompensiere dieses durch Multiplikation von ϕ mit einem Faktor > 1). Durch  Im(z) ≥ 0  ψ ◦ f ◦ ϕ−1 (z) h(z) =  h(z) Im(z) > 0 wird eine stetige Abbildung h : ∆ → ∆ definiert, die auf ∆\IR holomorph ist. Dann ist aber bereits h holomorph auf ganz ∆, und ga := ψ −1 ◦ h ◦ ϕ : Wa → C ist eine holomorphe Abbildung mit ga |Wa ∩ U = f |Wa ∩ U . Wegen Hilfssatz 8.16 ist damit der Satz bewiesen. u t ur Eine Teilmenge K ⊂ C heiße ein Kreis in C, falls entweder K = {z ∈ C : |z − a| = r} f¨ a ∈ C, r > 0 oder K = {ta + b : t ∈ IR} ∪ {∞} f¨ ur a ∈ C∗ und b ∈ C geeignet. Im letzteren Falle ist K die Vereinigung einer reell-affinen Geraden in C mit dem unendlich fernen Punkt (Kreis durch ∞).

ANAP

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Funktionentheorie

¨ 8.18 Ubungsaufgabe. (i) Kreise in C sind genau die in C abgeschlossenen H¨ ullen von Mengen der Form {z ∈ C : azz + 2 Re(bz) + c = 0} , wobei a, c ∈ IR und b ∈ C die Bedingung ac < bb erf¨ ullen. (ii) Aut(C) wird als Gruppe erzeugt von der affinen Gruppe A := {z 7→ az + b : a ∈ C∗ , b ∈ C} und der Transformation z 7→ 1/z . Hinweis: M¨obiustransformationen sind durch drei Werte eindeutig bestimmt. (iii) K ⊂ C ist genau dann ein Kreis, wenn f¨ ur IR = IR ∪ {∞} ein g ∈ Aut(C) mit K = g(IR) existiert. Das Schwarzsche Spiegelungsprinzip im Beweis von Satz 8.17 wird deutlich an der durch h(z) = h(z) gegebenen Erg¨anzung von h auf die untere H¨alfte des Einheitskreises – man sagt durch Spiegelung an der reellen Achse (der gew¨ohnlichen Konjugation). Diese ist auf ganz C definiert, und stellt dort eine antiholomorphe Abbildung σ dar, die involutorisch ist (d.h. σ ◦ σ = id) und Fix(σ) := {z ∈ C : σ(z) = z} = IR erf¨ ullt. Ist K ⊂ C ein beliebiger Kreis, so existiert nach Aufgabe 8.18 eine M¨obiustransformation g mit K = g(IR), und folglich ist σK := gσg −1 eine involutorische antiholomorphe Abbildung mit K = Fix(σK ). Dadurch ist σK aber auch schon eindeutig bestimmt, dann ist σ e eine weitere antiholomorphe Involution mit K = Fix(e σ ), so ist g := σK σ e biholomorph mit K ⊂ Fix(g), d.h. C = Fix(g) nach Identit¨atssatz. Wir nennen σK die Spiegelung am Kreis K. Ist z.B. K = ∂∆ der Einheitskreis, so gilt σK (z) = 1/z = z /zz , d.h. f¨ ur jedes z hat w = σK (z) das gleiche Argument wie z, der Betrag von w ist jedoch invers zum Betrag von z. Wir wollen nun einige Anwendungsbeispiele geben: Sei f : ∆ → ∆ eine eigentliche holomorphe Abbildung des Einheitskreises ∆ ⊂ C. Diese gestattet eine stetige Fortsetzung auf ∆ mit f (∂∆) ⊂ ∆. Ist σ(z) = 1/z die Spiegelung am Kreis ∂∆, so erhalten wir verm¨oge z 7→ σf (σz) f¨ ur z ∈ C\∆ eine Fortsetzung von f zu einer holomorphen Abbildung f : C → C. Insbesondere folgt die schon aus Aufgabe 8.5 bekannte Tatsache, daß jede eigentliche holomorphe Abbildung f : ∆ → ∆ rational ist. 8.19 Definition. Sei 0 < r < R < +∞. Dann heißt µ(U ) := log R/r ∈ IR der Modul des Kreisrings U := {z ∈ C : r < |z| < R}. 8.20 Satz. Es seien U := {z ∈ C : r < |z| < R} und V := {z ∈ C : s < |z| < S} zwei Kreisringe. Dann sind ¨aquivalent (i) Es existiert eine eigentliche holomorphe Abbildung f : U → V mit Bl¨atterzahl b. (ii) µ(V ) = b · µ(U ). Jede eigentliche holomorphe Abbildung f : U → V der Bl¨atterzahl b ist zudem von der Form f (z) = cz b oder f (z) = cz −b f¨ ur eine geeignete Konstante c 6= 0. Beweis. Sei f : U → V eigentlich holomorph mit Bl¨atterzahl b. Wegen 8.17 hat f eine stetige Fortsetzung f : U → V mit f (∂U ) = ∂V . Wir d¨ urfen |f (z)| = s f¨ ur |z| = r annehmen (sonst komponiere f mit dem durch ϕ(z) = sS/z definierten Automorphismus von V ). Daher gilt auch |f (z)| = S f¨ ur alle |z| = R. Durch sukzessives Spiegeln an den inneren Randkreisen erhalten wir eine eigentliche holomorphe Fortsetzung {0 < |z| < R} → {0 < |z| < S} und durch eine weitere Spiegelung an den ¨außeren Randkreisen eine eigentliche holomorphe Fortsetzung f : C∗ → C∗ . Durch holomorphe Fortsetzung auf C erhalten wir schließlich ein Polynom vom Grade b mit einziger Nullstelle in 0, d.h. f (z) = cz b f¨ ur eine Konstante c. u t

KREI

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Funktionentheorie

8.21 Folgerung. Zwei Kreisringe sind genau dann biholomorph ¨aquivalent, wenn sie gleichen Modul haben (es existieren also u ¨ berabz¨ahlbar viele Biholomorphieklassen von Kreisringen). Ist K ⊂ C ein Kreis, so zerf¨allt das Komplement C\K in zwei Zusammenhangskomponenten, von denen keine vor der anderen ausgezeichnet ist. K ist eindeutig bestimmt durch Angabe dreier verschiedener Punkte a, b, c auf K. Unter einem orientierten Kreis verstehen wir einen Kreis K mit Durchlaufungssinn – dieser kann durch ein geordnetes Tripel (a, b, c) verschiedener Punkte auf K gegeben werden (von a u ¨ber b nach c). Jedem orientierten Kreis K ⊂ C ordnen wir als Inneres diejenige Zusammenhangskomponente von C\K zu, die im Sinne der Orientierung links von K liegt. Wir wollen nun durch zwei weitere Beispiele demonstrieren, wie durch Gebiete, die durch endlich viele Kreisbogenst¨ ucke berandet werden, in nat¨ urlicher Weise Gruppen Γ biholomorpher Transformationen und Γ-invariante meromorphe Funktionen definiert werden k¨onnen. Im ersten Beispiel w¨ahlen wir eine besonders einfache Situation und erhalten als Funktion einen alten Bekannten, die (einfach-periodische) Exponentialfunktion: Betrachte in C den Parallelstreifen U := {z ∈ C : 0 < Im(z) < π}. Der Rand von U besteht aus den beiden Kreisen A = IR und B = πi + IR.

−∞

+∞ 0

A

−∞ +∞

0 A

B

Im Sinne unserer fr¨ uheren Betrachtungen ist U (genauer das Bild verm¨oge einer geeigneten M¨obiustransformation – ein nullwinkliges 2-Seit) zul¨assig. Der Punkt ∞ muß allerdings doppelt gez¨ahlt werden – wir bezeichnen diese in naheliegender Weise als +∞ und −∞. Es sei G die von den Spiegelungen σA , σB aufgespannte Gruppe und Γ die Untergruppe (vom Index 2) aller biholomorphen Transformationen in G. Offenbar ist Γ die Gesamtheit aller Produkte aus geradzahlig vielen Spiegelungen und somit Γ = {z 7→ z + 2nπi : n ∈ Z} . Ist H := {z ∈ C : Im(z) > 0} die obere Halbebene, so existiert als Konsequenz des Riemannschen Abbildungssatzes eine biholomorphe Abbildung f : U → H. Diese kann zu einem Hom¨oomorb → H = H ∪ IR fortgesetzt werden. Verlangen wir zus¨atzlich f (−∞) = 0, f (0) = 1 phismus f : U und f (+∞) = ∞, so wird damit f eindeutig festgelegt. Durch sukzessives Spiegeln an A und B erhalten wir eine holomorphe Fortsetzung f : C → C∗ , die invariant unter der Translationsgruppe Γ ist. Offenbar gilt f (z) = exp(z). ¨ 8.22 Ubungsaufgabe. Es sei Q = {x + iy ∈ C : 0 < x, y < 1} das offene Einheitsquadrat und ℘ die zum Gitter Ω = 2Z + 2iZ geh¨orende ℘-Funktion. (i) Es existiert genau eine biholomorphe Abbildung f von Q auf die obere Halbebene H := {x + iy ∈ C : y > 0} mit den Randwerten f (0) = ∞, f (1) = −1 und f (1 + i) = 0. (ii) f l¨aßt sich zu einer Ω-periodischen meromorphen Funktion f : C → C fortsetzen. Hinweis: Spiegele an Randgeraden. (iii) Es existiert eine Konstante c 6= 0 mit f = c℘. Hinweis: Betrachte die Divisoren der Ableitungen f 0 und ℘0 . Im letzten, etwas komplizierteren Beispiel betrachten wir in ∆ ein nullwinkliges (hyperbolisches) Dreieck U , dessen Rand aus drei Kreisst¨ ucken A, B, C besteht, die den Kreis ∂∆ orthogonal

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Funktionentheorie

schneiden. Zur einfacheren Darstellung nehmen wir an, daß die den drei Seiten A, B, C gegen¨ uberliegenden Eckpunkte a, b, c rotationssymmetrisch auf ∂∆ liegen. Offenbar hat U zul¨assib kann mit U identifiziert werden. gen Rand, und U

b C a

A B c

Sei G die von σA , σB , σC aufgespannte Gruppe. Offenbar gilt g(∆) = ∆ f¨ ur jedes g ∈ G und Γ := G ∩ Aut(∆) ist eine Untergruppe vom Index 2 in G. Es existiert genau eine biholomorphe Abbildung τ : U → H mit τ (a) = ∞, τ (b) = 0 und τ (c) = 1. Durch Spiegelung von U = U0 an jeder seiner Seiten wird τ zu einer surjektiven holomorphen Abbildung τ : U1 → C\{0, 1} fortgesetzt, wobei U1 ein rotationssymmetrisches nullwinkliges 6-Eck ist. Spiegelung von U1 an jeder seiner 6 Randseiten liefert eine holomorphe Fortsetzung τ : U2 → C\{0, 1}, wobei U2 ein nullwinkliges 30-Eck ist. Fahren wir so fort, erhalten wir eine Γ-invariante holomorphe Funktion ¨ τ : ∆ → C\{0, 1} – und es ist nicht schwer zu zeigen, daß τ eine Uberlagerungsabbildung (vergl. Anhang) ist. 8.23 Folgerung. (Kleiner Picard): Jede holomorphe Funktion auf C, die mindestens 2 Werte ausl¨aßt, ist konstant. Beweis. Wir d¨ urfen f (C) ⊂ C\{0, 1} annehmen. Zu dem Diagramm ∆   yτ C

f −−−−−→ C\{0, 1}

existiert wegen 12.9 eine stetige und damit auch holomorphe Liftung fe : C → ∆ mit τ ◦ fe = f . Nach Liouville ist fe und somit auch f konstant. u t ¨ 8.24 Ubungsaufgabe. (i) Man gebe die Spiegelung am Kreis K = {z ∈ C : |z − a| = r} explizit an. (ii) F¨ ur jedes t ∈ IR und 0 < ε < π/2 hat der Orthokreis durch ei(t±ε) ∈ ∂∆ den Mittelpunkt a = eit / cos ε und den Radius r = tan ε.

9. Kleiner Exkurs in Juliamengen

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Funktionentheorie

9.1 Definition. Sei U ⊂ C eine offene Teilmenge und f : U → U eine holomorphe Abbildung. Dann heißt (U, f ) ein (holomorphes) dynamisches System. Zwei dynamische Systeme (U, f ) und (V, g) heißen ¨aquivalent (oder auch konjugiert) wenn ein kommutatives Diagramm

DYNA

f U −−−−−→ U   ϕ ϕ y y g V −−−−−→ V mit einer biholomorphen Abbildung ϕ existiert, wenn also g = ϕ ◦ f ◦ ϕ−1 gilt. F¨ ur jedes n ∈ IN ist f n : U → U induktiv durch f 0 = id und f n+1 = f ◦ f n definiert (d.h. f n ist die n-fache Komposition - nicht das n-fache Produkt). Dann ist F := {f n : n ≥ 0} eine Halbgruppe (bez¨ uglich Komposition), und man interessiert sich f¨ ur Fragen der folgenden Art: Wie verh¨alt sich f¨ ur jedes a ∈ U die Folge der Iterierten f n (a) asymptotisch f¨ ur n → ∞, n wie sieht der uckw¨artsorbit S∞sogenannte Vorw¨artsorbit F(a) := {f (a) : n ∈ IN} aus, wie der R¨ F −1 (a) := n=0 (f n )−1 (a)? Welche Teilmengen A ⊂ U sind invariant, d.h. f (A) ⊂ A, oder sogar vollst¨andig invariant, d.h. A und das Komplement U \A sind invariant? Was sind die Fixpunkte von f oder allgemeiner die periodischen Punkte von f (d.h. die Fixpunkte geeigneter f n mit n > 0)? Wie sehen die abgeschlossenen H¨ ullen all dieser Mengen aus? ¨ 9.2 Ubungsaufgabe. (i) Es sei f : C → C eine holomorphe Abbildung. Dann sind ¨aquivalent: (a) Es existiert ein a ∈ C mit f −1 (a) = {a}. (b) Als dynamisches System ist f konjugiert zu einem Polynom. (ii) Jede M¨obiustransformation ist zu einem der folgenden Polynome konjugiert: p(z) = z + 1 oder p(z) = cz mit |c| ≥ 1. (iii) F¨ ur jeden der F¨alle aus (ii) bestimme man die zugeh¨orige Juliamenge. ¨ Ubungsaufgabe. Es sei f : C → C ein Polynom vom Grade 2. Es existiert genau ein c ∈ C so, daß f zum Polynom z 2 + c konjugiert ist. Es existiert ein λ ∈ C so, daß f zum Polynom λz + z 2 konjugiert ist. F¨ ur die Zahlen c, λ gilt die Relation 4c = λ(2 − λ). In (ii) kann λ stets so gew¨ahlt werden, daß |λ| > 1 oder λ = 1 gilt. F¨ ur jedes derartige λ liegt 0 in der Juliamenge des Polynoms λz + z 2 . Hinweis: Man betrachte die Fix- und Verzweigungspunkte von f .

9.3 (i) (ii) (iii) (iv)

F¨ ur beliebige offene Teilmengen U, V ⊂ C sei H(U, V ) der Raum aller holomorphen Abbildungen U → V , der in nat¨ urlicher Weise als Teilraum von H(U, C) aufgefaßt werde. Wir wollen den Begriff der kompakten Konvergenz ausdehnen auf beliebige Folgen (fn ) in H(U, V ). Dazu w¨ahlen wir eine Metrik ρ auf C, die mit der Topologie vertr¨aglich ist. Da wegen C kompakt je zwei derartige Metriken ¨aquivalent sind, kommt es f¨ ur das folgende nicht auf die Auswahl dieser Metrik an - wir k¨onnen etwa die Einschr¨ankung der euklidischen Metrik von IR3 auf S 2 w¨ahlen, wobei S 2 und C verm¨ oge stereographischer Projektion identifiziert seien. Die Folge (fn ) in H(U, V ) heißt nun kompakt konvergent gegen f ∈ H(U, C) (oder auch einfach konvergent gegen f ), wenn f¨ ur jedes Kompaktum K ⊂ U die Folge der Einschr¨ankungen (fn |K) gleichm¨aßig (bez. ρ) gegen f |K konvergiert. Nat¨ urlich muß dann f (U ) ⊂ U gelten. Man beachte, daß der hier eingef¨ uhrte Begriff ‘kompakte Konvergenz’ f¨ ur holomorphe Abbildungen nicht identisch ist mit dem in Abschnitt 5 eingef¨ uhrten Begriff ‘kompakte Konvergenz’ von meromorphen Funktionen. Es ist klar, daß die Folge (fn ) genau dann kompakt konvergiert, wenn sie lokal gleichm¨aßig konvergiert (d.h. zu jedem a ∈ U existiert eine Umgebung V ⊂ U von a, auf der die Folge gleichm¨aßig konvergiert). 9.4 Definition. Eine Teilmenge A ⊂ H(U, C) heißt eine normale Familie, wenn jede Folge (fn ) in A eine in H(U, C) (kompakt) konvergente Teilfolge besitzt.

POLY

POLP

Funktionentheorie

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9.5 Lemma. F¨ ur jede Familie A ⊂ H(U, C) existiert genau eine offene Teilmenge V ⊂ U mit den folgenden Eigenschaften: (i) Die eingeschr¨ankte Familie A|V := {f |V : f ∈ A} ⊂ H(V, C) ist normal. (ii) F¨ ur jede offene Teilmenge W ⊂ U mit A|W normal gilt W ⊂ V . Beweis. Es sei V die Menge aller a ∈ U mit der folgenden Eigenschaft: Es gibt eine offene Umgebung Wa ⊂ U mit A|Wa normal. Es gen¨ ugt, die Eigenschaft (i) f¨ ur diese Menge V nachzuweisen. ¨ Es existiert eine Folge (an ) in V derart, daß {Wn : n ≥ 1} eine Uberdeckung von V ist, wobei zur Abk¨ urzung Wn := Wan gesetzt sei. Sei nun (fn ) eine beliebige Folge in A. Nach Voraussetzung existiert eine Teilfolge (gn1 ) von (fn ), deren Einschr¨ankung auf W1 kompakt konvergiert. Induktiv erhalten wir f¨ ur jedes k ≥ 1 eine Teilfolge (gnk+1 ) von (gnk ), deren Einschr¨ankung auf Wk+1 kompakt konvergiert. Die Diagonalfolge (gnn ) ist sodann eine Teilfolge der Ausgangsfolge (fn ), die auf ganz V kompakt konvergiert. u t

NFAM

Die offene Teilmenge V in 9.5 ist offenbar die gr¨oßte offene Teilmenge von U , auf der A normal ist. Wir nennen sie den Normalit¨atsbereich der Familie A (kann leer sein). 9.6 Satz. L¨aßt A ⊂ H(U, C) mindestens drei verschiedene Punkte a, b, c ∈ C aus (d.h. A(U ) ⊂ C\{a, b, c} f¨ ur A(U ) := {f (u) : f ∈ A, u ∈ U }), so ist A eine normale Familie. Beweis. Nach Anwendung einer geeigneten M¨obiustransformation d¨ urfen wir A(U ) ⊂ C\{0, 1} annehmen. Sei (fn ) eine Folge in A und a ∈ U ein beliebig aber im folgenden fest gew¨ahlter Punkt. W ⊂ U sei eine einfach-zusammenh¨angende Umgebung von a, und τ : ∆ → C\{0, 1} sei ¨ die im vorhergehenden Kapitel beschriebene Uberlagerungsabbildung. Dann existiert zu jedem n eine stetige und damit holomorphe Liftung fen : W → ∆ (d.h. τ ◦ fen = fn , vergl. 12.5). Nach Montel besitzt die Folge (fen ) eine konvergente Teilfolge (fenk ). Dann ist aber auch die Folge (fnk |W ) kompakt konvergent, d.h. a liegt im Normalit¨atsgebiet von A. u t 9.7 Definition. Sei U ⊂ C ein Gebiet und f : U → U eine nichtkonstante holomorphe Abbildung. Der Normalit¨atsbereich F := F (f ) der Familie F := {f n : n ∈ IN} heißt die Fatoumenge von f in U . Das Komplement J := J(f ) := U \F heißt die Juliamenge von f in U . 9.8 Bemerkung. F¨ ur jedes f ist die Fatoumenge F offen und die Juliamenge J abgeschlossen in U . Beide Mengen sind vollst¨ andig invariant unter f , und es gilt J = J(f k ) f¨ ur alle k ≥ 1. n Beweis. Jede Folge in {f : n ≥ 1} hat die Form (gn ◦ f ) f¨ ur eine geeignete Folge (gn ) in F. Da (gn ) eine auf F konvergente Teilfolge besitzt, hat (gn ◦ f ) eine auf f −1 (F ) konvergente Teilfolge, d.h. f −1 (F ) ⊂ F und somit f (J) ⊂ J. Ist andererseits (gn ) eine Folge in F, f¨ ur die die Folge (gn ◦ f ) auf F konvergiert, so muß auch die Folge (gn ) auf der offenen Menge f (F ) konvergieren. Also gilt auch f (F ) ⊂ F . Die letzte Behauptung folgt sofort aus der Tatsache, daß jede Folge in IN eine Teilfolge besitzt, die f¨ ur ein geeignetes m ∈ IN in kIN + m liegt. u t

DRPK

JULI

NILL

Wegen Satz 9.6 ist die Juliamenge J(f ) stets dann leer, wenn das Komplement C\U min¨ destens 3 Punkte enth¨ alt. Bis auf Aquivalenz sind f¨ ur U somit nur die drei folgenden F¨alle ∗ interessant: C, C und C . Wir wollen uns im folgenden nur mit dem Fall U = C besch¨aftigen – in diesem Fall ist jede holomorphe Abbildung f : U → U eigentlich und hat einen Grad d ∈ IN. Dieser ist dadurch charakterisiert, daß bis auf endlich viele Ausnahmen jeder Punkt a ∈ C genau d f -Urbilder besitzt. Der Fall d = 1, d.h. f ist eine M¨obiustransformation, ist nicht weiter interessant, da in diesem Fall wegen 9.2 J(f ) aus h¨ochstens einem Punkt bestehen kann. Andererseits gilt 9.9 Lemma. F¨ ur jedes holomorphe f : C → C vom Grad ≥ 2 ist die Juliamenge J kompakt und nicht leer. Zudem gilt f (J) = J und f (F ) = F . ur alle k existieren, urde eine Folge (f nk ) von Iterierten mit nk+1 > nk f¨ Beweis. W¨are F = C, w¨ die kompakt gegen ein holomorphes g : C → C konvergiert. Da jede Iterierte surjektiv ist, kann g nicht konstant sein. Ist d > 0 der Grad von g, so d¨ urfen wir mk := nk − d > 0 f¨ ur alle k annehmen sowie, daß die Folge (f mk ) gegen ein h konvergiert. Aber dann hat g = f d ◦ h im Widerspruch zur Definition von d einen Grad ≥ 2d > d. u t

NILE

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Funktionentheorie

9.10 Beispiel. Es sei f (z) = z d f¨ ur d ≥ 2. Dann gilt offenbar J = ∂∆. Denn auf ∆ konvergiert (f n ) kompakt gegen ≡ 0, und auf C\∆ konvergiert (f n ) kompakt gegen ≡ ∞. ¨ 9.11 Ubungsaufgabe. Man zeige (ohne Verwendung von 9.19), daß J = [−2, 2] ⊂ IR im Fall 2 f (z) = z − 2 gilt.

AUEI

AUZW

Man u ¨berzeugt sich sofort, daß f in 9.11 zum Polynom g(z) = 4z(z − 1) konjugiert ist, dessen Juliamenge deshalb das Einheitsintervall [0, 1] ⊂ IR ist. Die Dynamik von g|[0, 1] ist im Rahmen der ‘logistischen Abbildung’ intensiv untersucht worden. Im allgemeinen sind Juliamengen keine glatte Teilmengen, wie 9.10 und 9.11 vermuten lassen k¨onnten. Sie sind h¨aufig sogenannte Fraktale (wir wollen diesen Begriff hier nicht pr¨azisieren). Sei wieder f : C → C eine holomorphe Abbildung und Fix(f ) := {a ∈ C : f (a) = a} die Menge aller Fixpunkte von f . F¨ ur jedes a ∈ Fix(f ) fest w¨ahle eine M¨obiustransformation ϕ ∈ Aut(C) mit ϕ(a) = 0. Dann hat g := ϕ ◦ f ◦ ϕ−1 um 0 eine Potenzreihenentwicklung (∗)

g(z) = λz + a2 z 2 + a3 z 3 + . . . ,

wobei λ ∈ C nicht von der Auswahl von ϕ abh¨angt (Kettenregel) und Eigenwert von f im Fixpunkt a genannt wird. Im Fall a ∈ C ist λ offenbar gerade die Ableitung f 0 (a). Die Gr¨oße von |λ| gibt wichtige Informationen u ¨ber das dynamische Verhalten von f nahe des zugeh¨origen Fixpunktes: Ist z.B. |λ| < 1 und r ∈ IR mit |λ| < r < 1 fest gew¨ahlt, so existiert eine offene Kreisscheibe W um 0 mit |g 0 (z)| ≤ r f¨ ur alle z ∈ W und damit insbesondere |g(z)| ≤ r|z| f¨ ur alle z ∈ W – oder f¨ ur den Fixpunkt a von f formuliert: Es gibt eine f -invariante Umgebung D von a derart, daß die Folge (f n ) auf D gleichm¨ aßig gegen die konstante Funktion ≡ a konvergiert. Wir nennen deshalb den Fixpunkt a attraktiv (anziehend), wenn |λ| < 1 gilt und super-attraktiv, wenn sogar λ = 0 gilt. Offenbar geh¨ort jeder attraktive Fixpunkt zur Fatoumenge von f . Sei nun |λ| > 1. Die Abbildung g : C → C besitzt eine lokale holomorphe Umkehrfunktion h mit h(0) = 0 und h0 (0) = 1/λ. Wie oben existiert ein r > 1 mit |h(w)| ≤ |w|/r f¨ ur alle w einer geeigneten Umgebung der 0 ∈ C, d.h. mit w = g(z) gilt |g(z)| ≥ r|z| f¨ ur alle z eine geeigneten Umgebung von 0 ∈ C. Wir nennen deshalb im Fall |λ| > 1 den Fixpunkt a abstoßend (repelling). Jeder abstoßende Fixpunkt geh¨ ort zur Juliamenge. Ist |λ| = 1, so heißt der Fixpunkt a neutral. Diese Situation ist wesentlich komplizierter, sie f¨ uhrt insbesondere auf zahlentheoretische Eigenschaften von λ. Wir wollen diesen Fall nicht weiter behandeln. 9.12 Definition. a ∈ C heißt ein periodischer Punkt von f , wenn ein n ≥ 1 mit f n (a) = a existiert, wenn also a Fixpunkt einer geeigneten Iterierten f n ist. Das minimale n mit dieser Eigenschaft heißt die Periode von a. Ist a ein periodischer Punkt von f der Periode n, so besteht der Vorw¨artsorbit F(a) genau aus den n verschiedenen Punkten a0 , a1 , . . . , an−1 , wobei ak := f k (a) gesetzt sei. Der Eigenwert λ des Fixpunktes a von f n heißt auch Eigenwert des periodischen Punktes a von f . Offenbar stimmen alle Eigenwerte in den Punkten a0 , . . . , an−1 u ¨berein, denn nach Konjugation von f mit einer geeigneten M¨obiustransformation d¨ urfen wir F(a) ⊂ C annehmen und dann gilt mit Qn−1 der Kettenregel λ = k=0 f 0 (ak ). Wir nennen den periodischen Punkt a (super-)attraktiv, neutral oder abstoßend, wenn a als Fixpunkt von f n diese Eigenschaft hat. Offenbar geh¨ort jeder abstoßende periodische Punkt von f zur Juliamenge von f . Ohne Beweis zitieren wir vergl. [1] p. 113 9.13 Satz. Hat f einen Grad ≥ 2, so ist die zugeh¨orige Juliamenge die abgeschlossene H¨ ulle der Menge aller abstoßenden periodischen Punkte von f . Die Aussage von Satz 9.13 kann geometrisch auf suggestive Weise auch so formuliert werden, daß die Juliamenge in jedem Punkt a einer dichten Teilmenge von J selbst¨ahnlich in folgendem Sinne ist: “Wird eine kleine Umgebung von a ∈ J durch eine Vergr¨oßerungslupe angeschaut,

SATZ

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sieht man im wesentlichen das gleiche wie zuvor”, genauer: Ist a ein abstoßender periodischer Punkt von f und g = f n mit g(a) = a, so gilt g(J) = J, und g sieht um a ungef¨ahr so aus wie die Drehstreckung z 7→ λz um 0 ∈ C f¨ ur ein λ mit |λ| > 1. Wir wollen noch eine weitere Darstellung der Juliamenge geben, die den Vorteil hat, unmittelbar einen einfachen Algorithmus zur Generierung von Computerbildern zu liefern, vergl. ¡ ¢ 9.18. Dazu betrachten wir f¨ ur jede offene Teilmenge U ⊂ C\ F ∩ Fix(f 2 ) mit U ∩ J 6= ∅ die Menge EU : = C\F(U ) , die wegen 9.6 h¨ochstens 2 Punkte enthalten kann. 9.14 Lemma. EU ist stets in der Fatoumenge F enthalten. Ist EU 6= ∅ f¨ ur mindestens ein U , so sind nur die beiden folgenden F¨alle m¨oglich: (i) EU = {a} mit f −1 (a) = {a}. Insbesondere ist dann f konjugiert zu einem Polynom. (ii) f ist konjugiert zu g(z) = z ±d mit d ≥ 2. Beweis. Aus der Definition folgt unmittelbar f −1 (EU ) ⊂ EU . Da f surjektiv und EU endlich ist, muß sogar f −1 (EU ) = EU gelten. Enth¨alt EU genau einen Punkt, so gilt folglich Fall (i) (vergleiche 9.2.i). Andernfalls d¨ urfen wir EU = {0, ∞} annehmen. Wegen 9.2.ii kann dann f nur einen Grad d ≥ 2 haben. Gilt f (0) = 0, f (∞) = ∞, so hat f genau eine Pol- und genau eine Nullstelle, d.h. f (z) = cz d , und man darf oBdA c = 1 annehmen. Der verbleibende Fall f (0) = ∞, f (∞) = 0 ergibt sich analog. Die Inklusion EU ⊂ F ist im Fall d = 1 eine direkte Konsequenz von 9.2.ii. Im Fall d ≥ 2 ist jeder Punkt von EU ein super-attraktiver periodischer Punkt von f und somit in F enthalten. u t 9.15 Folgerung. EU h¨angt nicht von U ab. Wir k¨onnen also E statt EU schreiben (im Fall J = ∅ sei E := ∅). Die Punkte von E heißen exzeptionelle Punkte von f . Beweis. Wegen EU ⊂ F ∩Fix(f 2 ) gilt die Inklusion V ⊂ F(U ) f¨ ur alle EV . Also gilt F(V ) ⊂ F(U ) und damit EV ⊃ EU . Vertauschen der Rolle von U und V ergibt EU ⊃ EV . u t 9.16 Folgerung. Besitzt die Juliamenge J einen inneren Punkt, so gilt J = C. Beweis. Sei U ⊂ C eine nicht leere offene Teilmenge mit U ⊂ J. Dann gilt wegen f (J) = J auch F(U ) ⊂ J und somit C\EU ⊂ J. Da EU endlich und J abgeschlossen in C ist, folgt die Behauptung. u t

RULP

NIAB

INNP

Daß der Fall J = C vorkommen kann, zeigt ¨ 9.17 Ubungsaufgabe. Es sei Ω ⊂ C ein Gitter, T := TΩ der zugeh¨orige komplexe Torus und g : T → T die durch (z + Ω) 7→ (2z + Ω) definierte holomorphe Abbildung. Ferner sei ℘ : T → C die zugeh¨orige Weierstraßsche ℘-Funktion. Man zeige: (i) Es gibt genau eine Abbildung f : C → C mit ℘ ◦ g = f ◦ ℘. (ii) Die Abbildung f ist stetig. (iii) f ist holomorph und hat Grad (= Bl¨atterzahl) 4. (iv) ∞ ist ein Fixpunkt von f , dessen R¨ uckw¨artsorbit dicht in C liegt. (v) Der Eigenwert von f im Fixpunkt ∞ ist 4. (vi) C ist die Juliamenge von f . Als weitere Folgerung erhalten wir 9.18 Satz. F¨ ur jedes a ∈ C\E ist die Juliamenge J in der abgeschlossenen H¨ ulle des R¨ uckw¨artsorbits F −1 (a) enthalten. F¨ ur jedes a ∈ J gilt sogar die Gleichheit, d.h. J = F −1 (a). Beweis. Sei a ∈ / E und b ∈ J beliebig. Zu jeder Umgebung U von b existiert ein n mit a ∈ f n (U ), n −1 d.h. (f ) (a) ∩ U 6= ∅ und somit J ⊂ F −1 (a). Ist a ∈ J, so folgt die Behauptung wegen J = f −1 (J) abgeschlossen. u t

RUEK

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Funktionentheorie

9.19 Folgerung. Ist K ⊂ J eine nicht-leere, abgeschlossene Teilmenge mit f −1 (K) ⊂ K, so gilt K = J.

RTRT

Daß nicht beliebige kompakte Teilmengen von C als Juliamengen auftreten k¨onnen, zeigt schon 9.16. Es gibt aber noch weitere Einschr¨ankungen 9.20 Satz. Besitzt f einen Grad ≥ 2, so enth¨alt die Juliamenge J keinen isolierten Punkt (ist also insbesondere u ¨ berabz¨ahlbar). Beweis. Sei a ∈ J ein festgew¨ ahlter Punkt und U eine Umgebung von a. Wir behaupten, daß ein b ∈ J mit a ∈ F(b) und b ∈ / F(a) existiert: Ist a nicht periodisch, so kann jedes b ∈ f −1 (a) daf¨ ur gew¨ahlt werden. Ist dagegen a periodisch mit der Periode n, betrachten wir die Abbildung g := f n vom Grad dn ≥ 2. W¨ are dann g −1 (a) = {a}, w¨are g zu einem Polynom konjugiert und a ein super-attraktiver periodischer Punkt von f im Gegensatz zur Voraussetzung a ∈ J. Folglich muß ein b ∈ g −1 (a) existieren mit b 6= a, und die Behauptung ist klar. Sei E die ihn 9.15 definierte Menge. Wegen f (E) = E gilt in jedem Fall b ∈ / E und somit insbesondere b ∈ F(U ), d.h. es existiert ein c ∈ U und ein k ∈ IN mit f k (c) = b. Wegen J = f −1 (J) gilt c ∈ J, und wegen b ∈ / F(a) gilt c 6= a. Also liegen unendlich viele Punkte von J in der Umgebung U von a. u t F¨ ur jedes f sind die Juliamenge J und die Fatoumenge F invariant unter f . Wir wollen ein wenig die Dynamik der Einschr¨ankung f : F → F studieren, die offensichtlich auch eigentlich ist. Ist Z eine Zusammenhangskomponente von F , so ist insbesondere Z offen und abgeschlossen bez¨ uglich F . Das Bild f (Z) ⊂ F hat die gleiche Eigenschaft und ist deshalb ebenfalls eine Zusammenhangskomponente von F . Bezeichnen wir also mit F die Menge aller Zusammenhangskomponenten von F , so induziert f in nat¨ urlicher Weise eine Selbstabbildung f : F → F , deren Dynamik wichtige Informationen u ¨ber die Dynamik von f enth¨alt. 9.21 Definition. F¨ ur jeden attraktiven Fixpunkt a von f heißt W (a) := {c ∈ C : lim f n (c) = a} n→∞

der Attraktionsbereich von a. Die a-Zusammenhangskomponente A(a) von W (a) heißt das Attraktionsgebiet von a. Man macht sich sofort klar, daß W (a) die gr¨oßte offene Teilmenge von F ist, auf der die Iteriertenfolge (f n ) kompakt gegen die konstante Abbildung ≡ a konvergiert. Insbesondere ist W (a) eine Vereinigung gewisser Zusammenhangskomponenten von F . Eine weitere Charakterisierung der Juliamenge erhalten wir in gewissen F¨allen wie folgt 9.22 Satz. F¨ ur jeden attraktiven Fixpunkt a von f gilt f¨ ur die R¨ander von A(a) und W (a) in C: ∂A(a) ⊂ ∂W (a) = J. Beweis. ∂A(a) ⊂ ∂W (a) ⊂ J sind abgeschlossene, nicht-leere Teilmengen. Die Behauptung folgt aus 9.18 und aus der Konsequenz f −1 (∂W (a)) = ∂W (a) von f −1 (W (a)) = W (a). u t Wir wollen zum Schluß den Spezialfall genauer behandeln, daß f ein Polynom (vom Grad d ≥ 2) ist. Dann ist a = ∞ ein super-attraktiver Fixpunkt, f : A(∞) → A(∞) ist eigentlich, und es gilt 9.23 Bemerkung. A(∞) = W (∞). Insbesondere ist ∂A(∞) die Juliamenge von f . Beweis. Sei Z eine Zusammenhangskomponente von W (∞). Ist w ∈ Z fest gew¨ahlt, so existiert wegen lim f n (w) = ∞ ein n mit f n (w) ∈ A(∞). Folglich gilt f n (Z) = A(∞), und insbesondere existiert ein c ∈ Z mit f n (c) = ∞. Da f n ein Polynom ist, gilt c = ∞, d.h. Z = A(∞). u t Zum Schluß des Abschnitts soll noch kurz auf die Visualisierung von Juliamengen eingegangen werden. Dazu sei im folgenden f (z) = z 2 + c f¨ ur ein festes c ∈ C und J ⊂ C die zugeh¨orige Juliamenge. Zur Generierung von Computerbildern sollte zun¨achst die ungef¨ahre Lage von J bekannt sein. Eine erste Absch¨ atzung wird gegeben durch

ATTR

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Funktionentheorie

n ¨ 9.24 Ubungsaufgabe. J ⊂ z ∈ C : |z| ≤

1 2(

o 1 + 4|c| + 1) .

p

Um nun Satz 9.18 anwenden zu k¨onnen, brauchen wir zun¨achst einen Startwert a ∈ J. Wegen 9.3.iv kann als a stets der betragsgr¨oßte Fixpunkt von f genommen werden, was auf das L¨osen einer quadratischen Gleichung hinausl¨auft. Definieren wir sodann induktiv die Teilmengen Mn ⊂ J durch M0 := {a} und Mn+1 := f −1 (Mn ) , erhalten wir wegen 9.18 mit der Vereinigung aller Mn eine in J dichte Teilmenge. Man wird also f¨ ur eine Bilddarstellung die endliche Punktmenge ∪kn=0 Mn berechnen und zeichnen, wobei k ‘m¨oglichst groß’ ist. Es ist zu erwarten, daß jede der Mengen Mn nicht wesentlich weniger als 2n Elemente enth¨ alt, so daß auf diese Weise nicht allzugroße Werte von k realistisch sind. Hinzu kommt, daß i.a. die Mengen Mn in keiner Weise gleichverteilt in J sind, so daß die entstehenden Bilder nicht viel von der wahren Natur der Juliamenge zeigen. Eine wesentliche Verbesserung kann man schon durch eine geringe Modifikation des Ver¨ fahrens erzielen. Die einfache Uberlegung ist dabei, daß Punkte aus der weiteren Betrachtung ausgeschlossen werden, die nahe genug an bereits fr¨ uher aufgetretenen Punkten liegen. Die folgenden Andeutungen d¨ urften gen¨ ugen: Man w¨ahle zun¨achst eine komplexe Zahl x0 + iy0 , ein δ > 0 (die Bildaufl¨ osung) und nat¨ urliche Zahlen n, m so, daß J in dem offenen achsenparallelen Rechteck mit linker unterer Ecke x0 + iy0 und rechter oberer Ecke xn + iym liegt, wobei xj := x0 + jδ und yk := y0 + kδ. F¨ ur alle 1 ≤ j ≤ n und 1 ≤ k ≤ m betrachte man das halboffene Quadrat Qjk := {x + iy ∈ C : xj−1 < x ≤ xj , yk−1 < y ≤ yk } und definiere die n×m–Matrix q = (qjk ) durch qjk = 1 falls Qjk ∩ J 6= ∅ und qjk = 0 sonst. Mit der Kenntnis der Matrix q kann dann ein Bild dadurch erzeugt werden, daß Qjk schwarz eingef¨arbt wird genau dann, wenn qjk = 1 gilt. Es wird somit darum gehen, die Matrix q (m¨oglichst genau) iterativ zu erzeugen. Dazu verschaffe man sich Speicherpl¨atze S1 , S2 , S3 , . . ., in denen jeweils eine komplexe Zahl (etwa als Paar reeller Zahlen) zwischengespeichert werden kann. Zu Beginn des Verfahrens wird nun q als die Null-Matrix angesetzt und der Startwert a ∈ J in den Speicherplatz S1 geschrieben. Ist a ∈ Qjk , so wird f¨ ur dieses Indexpaar qjk = 1 gesetzt. Anschließend ist S2 die n¨achste Schreib- und S1 die n¨achste Leseposition. Der Iterationsschritt sieht dann jeweils wie folgt aus: An der n¨achsten Leseposition wird die √ dort gespeicherte komplexe Zahl b ausgelesen. Sodann wird f¨ ur jedes der beiden f -Urbilder ± b − c dasjenige Quadrat Qjk bestimmt, in dem es liegt, und ob qjk = 0 gilt. Trifft das zu, wird qjk = 1 gesetzt und das entsprechende Urbild in den Speicher geschrieben. Zu Beginn entsprechen jeweils einer Leseoperation zwei Schreiboperationen, sp¨ater wird es dagegen zunehmend unwahrscheinlicher, noch nicht besuchte Quadrate Qjk zu finden. Das Verfahren kommt somit nach endlich vielen Schritten dadurch zum Stillstand, daß nichts mehr zum Lesen gespeichert ist. In einem realen Rechner kann nat¨ urlich nicht eine unendliche Folge (Sn ) verschiedener Speicherpl¨atze reserviert werden. Man sollte also den Index n modulo einer geeigneten großen Zahl N laufen lassen (man hat dann einen Ring von Speicherpl¨ atzen, auf dem Schreib- und Lesezeiger im Kreis laufen und sich auch durchaus u berholen k¨ o nnen). Dann muß man allerdings nach jeder Leseoperation den ¨ jeweiligen Speicherplatz mit einem unsinningen Eintrag belegen, damit der Lesezeiger jeweils erkennen kann, ob es noch etwas Neues zu lesen gibt. F¨ ur alle z ∈ J gilt wegen f (−z) = f (z) ∈ J auch −z ∈ J, d.h. J ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Durch Ausnutzen dieser Symmetrie kann z.B. der Aufwand des obigen Verfahrens halbiert werden.

10. Mehrdeutige Funktionen √ Bekanntlich kann z.B. auf C∗ die Funktion f (z) = z nicht sinnvoll als holomorphe Funktion definiert werden. Man k¨ onnte die Schwierigkeiten umgehen, wenn f als mengenwertige Funktion betrachtet w¨ urde (genauer als Funktion mit Werten in der Menge aller Teilmengen von C,

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Funktionentheorie

d.h. der Potenzmenge von C). Wir wollen einen anderen Weg gehen, indem wir die m¨oglichen Definitionsbereiche holomorpher und meromorpher Funktionen allgemeiner fassen. Im Falle von √ z etwa h¨atte man jedes Argument z ∈ C∗ doppelt zu z¨ahlen und k¨ame so zu einer eindeutigen Funktion, etwa nach folgendem Schema: Auf der negativ geschlitzten Ebene C\[−∞, 0] existieren √ genau 2 Zweige f1 , f2 von z, die dort holomorph sind und sich um den Faktor −1 unterscheiden. Werden somit 2 Exemplare der negativ geschlitzten Ebene l¨angs [−∞, 0] ‘kreuzweise verheftet’, erh¨alt man einen topologischen Raum X zusammen mit einer Projektion τ : X → C, wobei 0,√∞ genau ein Urbild und jedes z ∈ C∗ genau 2 Urbilder bez¨ uglich τ hat. Die Funktion f (z) = z kann dann als eindeutige Funktion auf X aufgefaßt werden. Etwas pr¨aziser kann X auch erhalten werden in der folgenden Form: Sei mit der Festsetzung ∞2 :=: ∞ X := {(z, w) ∈ C × C : w2 = z} und τ (z, w) = z, f (z, w) = w. Dann hat jedes z ∈ C∗ genau 2 τ -Urbilder, in denen f genau die beiden Wurzeln von z annimmt. Die Punkte 0, ∞ haben genau ein Urbild, in denen f den Wert 0 bzw. ∞ annimmt. Offenbar ist f stetig auf X. 10.1 Definition. Das Paar (X, τ ) heißt ein (verzweigter) Bereich u ¨ ber C, wenn gilt (i) X 6= ∅ ist ein hausdorffscher topologischer Raum, (ii) τ : X → C ist eine stetige Abbildung, (iii) zu jedem a ∈ X existiert ein kommutatives Diagramm ϕ U −−−−−→ ∆    q yτ y ψ V −−−−−→ ∆, wobei U ⊂ X eine Umgebung von a, V ⊂ C eine Umgebung von τ (a), ϕ und ψ Hom¨oomorphismen mit ϕ(a) = ψ(τ a) = 0, sowie q(z) ≡ z k f¨ ur ein k ≥ 1 sind. Ist X zusammenh¨angend, so heißt (X, τ ) auch ein (verzweigtes) Gebiet u ur ¨ ber C. Ist k = 1 f¨ jedes a ∈ X in (iii), so heißt X unverzweigt. Statt (X, τ ) schreiben wir h¨aufig auch k¨ urzer X, wenn klar ist, welche Abbildung τ gemeint ist. Ist (X, τ ) Bereich u ur jedes z ∈ C das Urbild τ −1 (z) diskret in X. Ebenso ¨ber C, so ist f¨ ist der Verzweigungsort A von τ (d.h. die Menge aller a ∈ X, so daß die Einschr¨ankung auf keine Umgebung von a injektiv ist) diskret in X, und die Abbildung τ : X\A → C ist lokaltopologisch. Als topologischer Raum ist X eine 2-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit (auch topologische Fl¨ache genannt), d.h. jeder Punkt in X besitzt eine Umgebung, die topologisch ¨aquivalent zu einer offenen Teilmenge des IR2 ist. Die Abbildung τ ist stetig und offen. Insbesondere ist das Bild τ (X) offen in C. Der Bereich (X, τ ) u ¨ber C heißt schlicht, wenn τ injektiv ist – das ist offenbar genau dann der Fall, wenn τ : X → τ (X) ein Hom¨oomorphismus ist. Insbesondere ist f¨ ur jeden Bereich X ⊂ C und τ : X → C die kanonische Einbettung das Paar (X, τ ) ein schlichter Bereich u ¨ber C. 10.2 Beispiel. (i) Ist U ⊂ C offen und τ : U → C eine offene holomorphe Abbildung, so ist (U, τ ) ein Bereich u ¨ber C. ur σ = τ |Y (ii) Ist (X, τ ) ein Bereich u ¨ber C und Y ⊂ X offen und nicht leer, so ist auch (Y, σ) f¨ ein Bereich u ¨ber C. (iii) Ist Ω ⊂ C ein Gitter, T = C/Ω der zugeh¨orige komplexe Torus und ℘ die zugeh¨orige Weierstraßsche ℘-Funktion, so ist (T, ℘) ein kompaktes Gebiet u ¨ber C. Wir wollen im folgenden den Begriff der holomorphen bzw. meromorphen Funktion auf Bereiche u ¨ber C ausdehnen:

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Funktionentheorie

10.3 Definition. Es sei X = (X, τ ) ein Bereich u ¨ber C. Dann heißt eine stetige Abbildung f : X → C eine meromorphe Funktion auf X, wenn f¨ ur jedes offene U ⊂ C und jeden stetigen Schnitt σ : U → X (d.h. τ ◦ σ = idU ) die Funktion f ◦ σ : U → C im bisherigen Sinne meromorph ist. f heißt holomorphe Funktion, wenn f meromorphe Funktion ist und die Polstellenmenge Pf := f −1 (∞) leer ist.

MERO

Zum Beispiel ist f¨ ur jeden Bereich (X, τ ) die Abbildung τ eine meromorphe Funktion auf X. Der Raum M(X) aller meromorphen Funktionen auf X bildet in nat¨ urlicher Weise einen Ring, der den Raum H(X) aller holomorphen Funktionen auf X als Unterring enth¨alt. M(X) ist sogar ein K¨ orper, wenn X zusammenh¨angt. Viele S¨atze der Funktionentheorie (wie z.B. der Identit¨atssatz, das Maximumprinzip, der Montelsche Satz) gelten auch f¨ ur Bereiche u ¨ber C und Begriffsbildungen wie Nullstellenordnung, Verzweigungsordnung usw. k¨onnen in naheliegender Weise auf den allgemeineren Fall u ¨bertragen werden. 10.4 Definition. Ein Tripel F = (X, τ, f ) heißt eine mehrdeutige meromorphe (holomorphe) Funktion, wenn (X, τ ) ein Gebiet u ¨ber C und f eine meromorphe (holomorphe) Funktion auf X ist. Ist F = (X, τ, f ) eine mehrdeutige Funktion, so sei F (z) := f (τ −1 (z)) ⊂ C f¨ ur jedes z ∈ C (kann leer sein). In diesem Sinn kann F als Abbildung F : C → P(C) (= Potenzmenge von C) interpretiert werden. Man kann sich u ¨berlegen, daß das Gebiet X u ¨ber C stets abz¨ahlbare Topologie hat und die Menge F (z) ⊂ C folglich h¨ochstens abz¨ahlbar ist. Wir ben¨otigen diese Aussage jedoch im folgenden nicht weiter. 10.5 Beispiel. (i) F = (C, q, id) f¨ ur q(z) = z 2 kann als die mehrdeutige Funktion F (z) = werden. F¨ ur alle y, z ∈ C mit z = y 2 gilt F (z) = {±y}.

√

z angesehen

(ii) F = (C, exp, id) kann als die mehrdeutige Funktion F (z) = log z angesehen werden. (iii) Ist allgemeiner U ein Gebiet in C und g eine nicht konstante, meromorphe Funktion auf U , so kann die mehrdeutige Funktion F = (U, g, id) als die mehrdeutige Umkehrfunktion von g angesehen werden. Daß Definition 10.4 mit dem bisherigen Begriff von meromorphen Funktionen vertr¨aglich ist, zeigt: ¨ 10.6 Ubungsaufgabe. Sei U ⊂ C ein Gebiet, τ : U → C eine nicht-konstante holomorphe Abbildung und f : U → C eine beliebige Abbildung. Dann sind ¨aquivalent (i) (U, τ, f ) ist eine mehrdeutige meromorphe Funktion auf C (ii) f ist eine meromorphe Funktion auf U . ¨ 10.7 Ubungsaufgabe. Man stelle die mehrdeutige Funktion q F (z) =

√ 3

z−1

explizit in der Form F = (X, τ, f ) dar, wobei f : X → C biholomorph ist. Was ist die Bl¨atterzahl b von τ (wenn diese als kleinstm¨oglich gew¨ahlt wird) und wo liegen die Verzweigungspunkte? Man skizziere die Menge F ([0, ∞]) und markiere darin die Punkte von F (0) und F (1), wobei [0, ∞] := {t ∈ IR : t ≥ 0} ∪ {∞}. Wie kann X durch geeignetes Aufschneiden von b Exemplaren von C l¨angs [0, ∞] und anschließendes Verheften (topologisch) gewonnen werden? Ist X ein Bereich u ur jedes offene U ⊂ X im Ring C(U ) aller stetigen kom¨ber C, so ist f¨ plexwertigen Funktionen auf U der Unterring H(U ) aller holomorphen Funktionen ausgezeichnet (im Fall U = ∅ sei C(U ) := H(U ) := {0}). Die Kollektion aller dieser H(U ) mit U ⊂ X offen kann als die Struktur angesehen werden, die die funktionentheoretische Natur von X beinhaltet. Wir wollen dieses formalisieren, dabei sei X ein beliebiger Hausdorffraum.

MEDE

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Funktionentheorie

10.8 Definition. Eine Strukturgarbe auf X ist eine Vorschrift F, die jedem offenen U ⊂ X einen Unterring F(U ) ⊂ C(U ) so S zuordnet, daß f¨ ur jede Familie (Ui )i∈I offener Teilmengen von X und f¨ ur jedes f ∈ C(U ), U := i∈I Ui , gilt: f ∈ F(U ) ⇐⇒ f |Ui ∈ F(Ui ) f¨ ur alle

i∈I .

10.9 Definition. Ist F eine Strukturgarbe auf X, so heißt das Paar (X, F) ein geringter Raum. Ein Morphismus geringter R¨aume (X, F) → (Y, G) ist eine stetige Abbildung ϕ : X → Y so, daß f¨ ur jedes offene V ⊂ Y und jedes g ∈ G(V ) die zur¨ uckgeliftete Funktion f := g ◦ ϕ|U ∈ C(U ) schon in F(U ) liegt, wobei U := ϕ−1 (V ). Offenbar kann H f¨ ur jeden Bereich (X, τ ) u ¨ber C als Strukturgarbe angesehen werden, die sogenannte holomorphe Strukturgarbe. In diesem Sinne m¨ogen im folgenden alle Bereiche u ¨ber C (und damit insbesondere auch alle offenen Teilmengen in C) als geringte R¨aume aufgefaßt werden. Man u ur beliebige offene Teilmengen U, V ⊂ C sofort: Die Abbildung ¨berlegt sich dann f¨ ϕ : U → V ist genau dann holomorph, wenn sie ein Morphismus geringter R¨aume ist. ¨ 10.10 Ubungsaufgabe. Es sei X ein Bereich u ¨ ber C. Dann besitzt jedes a ∈ X eine offene Umgebung U ⊂ X, die als geringter Raum isomorph zu ∆ ⊂ C ist. Wir nehmen 10.10 als Anlaß f¨ ur die folgende 10.11 Definition. Ein geringter Raum (X, H) heißt eine Riemannsche Fl¨ache, wenn X zusammenh¨angend ist und wenn jedes a ∈ X eine offene Umgebung U ⊂ X besitzt, die als geringter Raum zu ∆ ⊂ C isomorph ist. Holomorphe Abbildungen zwischen Riemannschen Fl¨achen seien genau die Morphismen geringter R¨aume. F¨ ur jede Riemannsche Fl¨ache X ist H(X) der Ring der holomorphen Funktionen und M(X) der K¨orper der meromorphen Funktionen auf X (das sind die holomorphen Abbildungen f : X → C die nicht ≡ ∞ sind). Offenbar sind die Gebiete (X, τ ) u ¨ber C genau die Riemannschen Fl¨achen X mit ausgezeichneter nicht-konstanter meromorpher Funktion τ ∈ M(X). Man kann zeigen: Zu jeder Riemannschen Fl¨ache X und je zwei Punkten a 6= b in X existiert ein f ∈ M(X) mit f (a) 6= f (b) (man sagt, X ist meromorph separabel – vergl. Kap. 11). Insbesondere kann damit jede Riemannsche Fl¨ache X als Gebiet (X, τ ) u ¨ber C realisiert werden. Statt ‘Gebiet u ¨ber C’ sagt man deshalb auch konkrete Riemannsche Fl¨ache. F¨ ur die zusammenh¨angende topologische Fl¨ache S heißt jede Strukturgarbe F auf S, f¨ ur die das Paar X = (S, F) eine Riemannsche Fl¨ache ist, eine komplexe Struktur auf S (‘holomorphe Struktur’ w¨are als Bezeichnung verst¨andlicher, ‘komplexe Struktur’ hat sich jedoch eingeb¨ urgert). Es ist nicht schwer zu zeigen: Existiert auf S eine komplexe Struktur, so ist die Fl¨ache S orientierbar. Das M¨ obiusband besitzt also z.B. u ¨berhaupt keine komplexe Struktur. 0 Zwei komplexe Strukturen F und F auf S heißen ¨aquivalent oder auch isomorph, wenn die Riemannschen Fl¨achen (S, F) und (S, F 0 ) biholomorph ¨aquivalent sind, wenn also ein Hom¨oomorphismus ϕ : S → S existiert, der ein Isomorphismus geringter R¨aume (S, F) → (S, F 0 ) ist. ¨ 10.12 Ubungsaufgabe. (i) Es sei D ⊂ C ein einfach-zusammenh¨angendes Gebiet mit der kanonischen komplexen Struktur H. F¨ ur jede offene Teilmenge U ⊂ D sei F(U ) = {f : f ∈ H(U )}. Dann sind F, H isomorphe komplexe Strukturen auf D, die aber verschieden sind. (ii) Man gebe zwei nicht-isomorphe komplexe Strukturen auf C an. Hinweis: C und ∆ sind topologisch ¨aquivalent. (iii) Man gebe eine m¨oglichst große Menge von paarweise nicht-isomorphen komplexen Strukturen auf C∗ an. Gebiete u ¨ber C liefern den geeigneten Rahmen, um Fragen nach der holomorphen (meromorphen) Fortsetzbarkeit von Funktionen auf m¨oglichst große Definitionsgebiete zu behandeln. Dazu ben¨otigen wir zun¨achst den Begriff des Funktionskeims:

NEHE

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Funktionentheorie

Es sei im folgenden a ∈ C ein fest gew¨ahlter Punkt U und U die Menge aller offenen Umgebungen U ⊂ C von a. Auf der disjunkten Vereinigung U ∈U H(U ) f¨ uhren wir die folgende ¨ Aquivalenzrelation ∼ ein: F¨ ur f ∈ H(U ) und g ∈ H(V ) gelte f ∼ g genau dann, wenn ein W ∈ U ¨ mit W ⊂ U ∩ V und f |W = g|W existiert. Die Menge aller Aquivalenzklassen werde mit Oa bezeichnet (h¨ angt nat¨ urlich vom zu Beginn gew¨ahlten Punkt a ab). Die Elemente von Oa heißen holomorphe Funktionskeime im Punkt a. F¨ ur jede offene Umgebung U des Punktes a und jede holomorphe Funktion f ∈ H(U ) sei fa ∈ Oa der von f in a induzierte Funktionskeim (d.h. die ¨ Aquivalenzklasse, in der f liegt). Sind nun p, q ∈ Oa beliebige Funktionskeime in a, so existieren Darstellungen p = fa und q = ga mit Repr¨asentanten f, g, die als holomorphe Funktionen gleichen Definitionsbereich haben. Wir k¨onnen deshalb Verkn¨ upfungen p + q := (f + g)a und pq := (f g)a definieren, die offensichtlich unabh¨angig von der Auswahl der Repr¨asentanten sind. Mit diesen Verkn¨ upfungen wird Oa zu einem (kommutativen) Ring, der den Konstantenk¨orper C als Unterring enth¨ alt (jede komplexe Zahl c werde mit dem Keim in a der konstanten Funktion ≡ c identifiziert). Als Ring ist Oa isomorph zum Ring Chhzii aller konvergenten Potenzreihen u ¨ber C, allerdings existiert kein kanonischer Isomorphismus. In der folgenden Weise kann man Isomorphismen erhalten: W¨ ahle eine offene Umgebung V von a und eine biholomorphe Abbildung ϕ von V auf eine offene Umgebung von 0 ∈ C. Jede konvergente Potenzreihe aus Chhzii stellt dann auf einer gewissen Umgebung W ⊂ ϕ(V ) von 0 eine holomorphe Funktion f dar, und durch f 7→ (f ◦ ϕ)a wird ein Ringisomorphismus Chhzii → Oa definiert. F¨ ur jeden Keim q = fa kann der Wert q(a) := f (a) unabh¨angig von der Auswahl des Repr¨asentanten definiert werden, und wir erhalten somit durch q 7→ ε(q) := q(a) einen Ringhomomorphismus ε : Oa → C, den wir auch Auswertungsabbildung nennen wollen. Man u ¨berzeugt sich leicht, daß der Kern von ε genau aus den Nichteinheiten von Oa besteht und folglich auch das einzige maximale Ideal dieses Ringes ist; wir wollen darauf nicht weiter eingehen. Mit O sei im folgenden die disjunkte Vereinigung aller Ringe Oa bezeichnet, wobei a alle Punkte von C durchl¨ auft. Mit π werde die durch π −1 (a) = Oa definierte Abbildung π : O → C bezeichnet (f¨ ur jeden Keim q ∈ O werde a := π(q) ∈ C auch der zugeh¨orige Fußpunkt genannt). O hat keine algebraische Struktur (zwei Keime k¨onnen nur dann mit + oder · verkn¨ upft werden, wenn sie gleichen Fußpunkt haben – wenn sie also gemeinsam in einem der Ringe Oa liegen) daf¨ ur jedoch eine topologische Struktur, die wir gleich einf¨ uhren wollen: Dazu werde f¨ ur jedes offene U ⊂ C und jedes f ∈ H(U ) [f ] := {fa : a ∈ U } ⊂ O gesetzt. O sei mit der gr¨obsten Topologie versehen, f¨ ur die alle Teilmengen der Form [f ] offen sind. 10.13 Lemma. (O, π) ist ein unverzweigter Bereich u ¨ ber C, und die Auswertungsabbildung ε : O → C ist eine holomorphe Funktion auf O. Beweis. Aus der Definition der Topologie folgt sofort, daß π : O → C lokal-topologisch ist. Wir m¨ ussen zeigen, daß O hausdorffsch ist: Seien p, q ∈ O Keime, die nicht durch Umgebungen in O getrennt werden k¨onnen. Da π stetig ist, haben p, q gleichen Fußpunkt a ∈ C. F¨ ur eine geeignete offene, zusammenh¨angende Umgebung U von a existieren Repr¨asentanten f, g ∈ H(U ), d.h. p = fa und q = ga . Wegen [f ] ∩ [g] 6= ∅ existiert ein b ∈ U mit fb = gb , d.h. es existiert eine Umgebung W ⊂ U von b mit f |W = g|W . Dann muß aber f = g nach dem Identit¨atssatz gelten, d.h. p = q. F¨ ur jedes f ∈ H(U ) mit U ⊂ C offen definiert σ(a) := fa einen stetigen Schnitt σ : U → O mit ε ◦ σ = f , d.h. ε ist holomorph auf O. u t Ist U ⊂ C ein Gebiet und f ∈ H(U ) eine auf U holomorphe Funktion, so ist [f ] ⊂ O zusammenh¨angend, und es existiert genau eine Zusammenhangskomponente X von O, die [f ] enth¨alt. F¨ ur τ := π|X und g := ε|X ist dann G := (X, τ, g) eine mehrdeutige Funktion, die die Ausgangsfunktion f in einem gewissen Sinne maximal auf unverzweigte Bereiche fortsetzt z.B. u ur jedes a ∈ C ist G(a) ⊂ C die Teilmenge aller Funktionswerte ¨berlegt man sich sofort: F¨ in a, die verm¨oge holomorpher Fortsetzung von f l¨angs Kurven gewonnen werden k¨onnen, die

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Funktionentheorie

U mit a verbinden. Da O weder Polstellen noch Verzweigungspunkten Rechnung tr¨agt, wollen wir den Raum O verallgemeinern: Zun¨achst ist klar, daß die obige Konstruktion von Oa und O in gleicher Weise funktioniert, wenn u ¨berall ‘holomorph’ durch ‘meromorph’ ersetzt wird. Auf diese Weise gelangt man zum Ring Ma der meromorphen Funktionskeime in a ∈ C, der Oa als Unterring enth¨ alt. Ma ist sogar ein K¨orper, und es gilt Ma = {p/q : p, q ∈ Oa und q 6= 0} (d.h. Ma ist der Quotientenk¨ orper von Oa ). Die disjunkte Vereinigung M aller Ma , a ∈ C, kann wie zuvor topologisiert werden und stellt verm¨oge der Fußpunktabbildung π : M → C wieder einen unverzweigten Bereich u ¨ber C dar. Die Auswertungsabbildung ε : M → C ist jetzt eine meromorphe Funktion auf M. Der Unterraum O ⊂ M ist offen und M\O ist gerade die Polstellenmenge von ε. Um auch Verzweigungspunkte behandeln zu k¨onnen, m¨ ussen wir den Begriff der Funktionskeime noch allgemeiner fassen: Sei a ∈ C fest und Φa die Klasse aller mehrdeutigen Funktionen F = (X, τ, f ) u ¨ber C mit den beiden Eigenschaften (i) τ : X → τ (X) ist eigentlich und (ii) τ −1 (a) besteht aus genau einem Element. Zwei Funktionen F, G ∈ Φa heißen ¨aquivalent, und wir schreiben F ∼ G, wenn eine Umgebung U von a mit F (z) = G(z) f¨ ur alle z ∈ U existiert. Die Elemente von Aa := Φa / ∼ heißen algebroide Funktionskeime in a. Offenbar kann Ma in nat¨ urlicher Weise als Teilmenge von Aa aufgefaßt werden (die Verkn¨ upfungen + und · k¨onnen allerdings nicht sinnvoll auf Aa fortgesetzt werden). Sei A die disjunkte Vereinigung aller Aa und sei die Fußpunktabbildung π : A → C wieder durch π(Aa ) = {a} definiert. Ist F = (X, τ, f ) eine beliebige mehrdeutige Funktion u ¨ber C und x ∈ X ein Punkt, so existiert eine offene, zusammenh¨angende Umgebung Y ⊂ X von x mit F |Y := (Y, τ |Y, f |Y ) ∈ Φa f¨ ur a := τ (x) ∈ C. Wir bezeichnen mit Fx ∈ Aa die zu F |Y geh¨orige Restklasse. A werde mit der gr¨obsten Topologie versehen derart, daß alle Teilmengen der Form [F ] := {Fx : x ∈ X} offen in A sind, wobei F = (X, τ, f ) alle mehrdeutigen Funktionen u auft. Ohne Schwierigkeiten zeigt man, wobei die Auswertungsabbildung ε : A → C ¨ber C durchl¨ in naheliegender Weise eingef¨ uhrt sei: 10.14 Lemma. (A, π) ist ein verzweigter Bereich u ¨ ber C und ε : A → C ist meromorph. M ist offen in A, und A\M ist der Verzweigungsort von π. Sei q ∈ M ein meromorpher Funktionskeim und X diejenige Zusammenhangskomponente von A, die q enth¨alt. F¨ ur τ := π|X und f := ε|X ist dann F := (X, τ, f ) eine mehrdeutige Funktion mit Fq = q. Ist umgekehrt G = (Y, σ, g) eine beliebige mehrdeutige Funktion mit Gy0 = q f¨ ur ein y0 ∈ Y , so definiert ϕ(y) := Gy eine stetige Abbildung ϕ : Y → A mit ϕ(y0 ) ∈ X, d.h. ϕ(Y ) ⊂ X. Offenbar gilt σ = τ ◦ ϕ. Da g und f ◦ ϕ auf einer Umgebung von y0 u ¨bereinstimmen, gilt g = f ◦ ϕ nach dem Identit¨atssatz. Insbesondere folgt G(z) ⊂ F (z) f¨ ur alle z ∈ C. Die mehrdeutige Funktion F kann somit als ‘Repr¨asentant von q mit gr¨oßtem Definitionsbereich’ angesehen werden. Wir nennen (X, τ ) die zum meromorphen Funktionskeim q geh¨orende (konkrete) Riemannsche Fl¨ache (manchmal auch analytisches Gebilde von q genannt). Die topologische Struktur von X beinhaltet wichtige Informationen des Keimes q. Wir nennen den Keim q ∈ Ma algebraisch, wenn eine offene Umgebung U ⊂ C von a, eine meromorphe Funktion f ∈ M(U ) mit fa = q und ein Polynom P (z, w) ∈ C[z, w] in z, w so existiert, daß V := U \{a} ⊂ C, f holomorph auf V ist und P (z, f (z)) = 0 f¨ ur alle z ∈ V gilt. Zum Beispiel ist jeder Keim von gilt nun

√ z algebraisch, von log z dagegen nicht. Es

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Funktionentheorie

10.15 Satz. Der meromorphe Funktionskeim q ist algebraisch genau dann, wenn die zugeh¨orige Riemannsche Fl¨ache X kompakt ist.

ALGB

Wir wollen den Beweis im n¨achsten Kapitel f¨ uhren. Dazu merken wir an, daß statt Gebieten (mehrdeutigen Funktionen, usf.) u ¨ber C allgemeiner solche u ¨ber beliebigen Riemannschen Fl¨achen betrachtet werden k¨onnen: Ein Gebiet u ¨ber Y ist etwa ein Paar (X, τ ), wobei X eine Riemannsche Fl¨ache und τ : X → Y eine nicht-konstante holomorphe Abbildung ist.

11. Riemannsche Fl¨ achen und Funktionenk¨ orper Im folgenden seien X, Y stets (abstrakte) Riemannsche Fl¨achen. M(X) sei der K¨orper der meromorphen Funktionen auf X und H(X) der Unterring der holomorphen Funktionen. Wir identifizieren C stets mit dem Unterk¨orper der konstanten Funktionen von M(X). F¨ ur jeden Unterk¨orper K ⊂ M(X) und jedes f ∈ M(X) sei K(f ) ⊂ M(X) der kleinste Unterk¨orper, der K und f enth¨ alt. Ebenso sei K[f ] der kleinste Unterring, der K und f enth¨alt (= alle Polynome in f mit Koeffizienten aus K). Sind K ⊂ L ⊂ M(X) Unterk¨orper, so heißt L K¨orpererweiterung von K vom Grad d = dimK L (L als K-Vektorraum aufgefaßt). Wir wollen im folgenden nur Unterk¨orper betrachten, die C umfassen. Ebenso wollen wir auch nur solche Riemannsche Fl¨achen betrachten, die gen¨ ugend viele meromorphe Funktionen besitzen, genauer 11.1 Definition. X heißt meromorph (bzw. holomorph) separabel, wenn f¨ ur alle a 6= b in X eine meromorphe (bzw. holomorphe) Funktion f auf X mit f (a) 6= f (b) existiert. Man kann zeigen (nicht so einfach), daß jede Riemannsche Fl¨ache X meromorph separabel ist und daß X genau dann holomorph separabel ist, wenn X nicht kompakt ist (eine sogenannte offene Riemannsche Fl¨ache). Unterk¨orper von M(X), die C enthalten, gewinnt man wie folgt: Sei ϕ : X → Y eine nichtkonstante holomorphe Abbildung und sei ϕ∗ : M(Y ) → M(X) durch ϕ∗ (f ) := f ◦ ϕ definiert. Dann ist ϕ∗ die Identit¨at auf C und ein K¨orperhomomorphismus, d.h. ϕ∗ ist ein Isomorphismus auf den Unterk¨orper ϕ∗ (M(Y )) ⊂ M(X), den wir mit M(Y ) identifizieren k¨onnen. In diesem Sinne ist M(Y ) ⊂ M(X) ein Unterk¨ orper (solange klar ist, welches ϕ gemeint ist). Besonders einfach liegen die Verh¨altnisse, wenn ϕ : X → Y eine eigentlich holomorphe Abbildung ist (stets als nicht-konstant vorausgesetzt). Die Verzweigungspunkte von ϕ (auch kritische Punkte von ϕ genannt) bilden eine in X diskrete Teilmenge A, und wegen der Eigentlichkeit von ϕ ist dann auch B := ϕ(A) ⊂ Y (die Elemente von B heißen auch Verzweigungswerte oder kritische Werte von ϕ) eine diskrete Teilmenge von Y . Es existiert ein b ≥ 1, so daß jedes y ∈ Y \B genau b verschiedene ϕ-Urbilder besitzt. Die Zahl b heißt wieder die Bl¨atterzahl (oder auch Grad) der eigentlichen holomorphen Abbildung ϕ. F¨ ur die offenen Teilmengen U := X\A ¨ und V := Y \B ist sogar ϕ : U → V eine b-bl¨attrige Uberlagerung im Sinne des Anhangs. Der Bl¨atterzahl b von ϕ entspricht algebraisch der Grad der zugeh¨origen K¨orpererweiterung, genauer 11.2 Satz. Ist ϕ : X → Y eine eigentliche holomorphe nicht-konstante Abbildung zwischen Riemannschen Fl¨achen mit der Bl¨atterzahl b, so hat die durch ϕ gegebene K¨orpererweiterung M(Y ) ⊂ M(X) den Grad ≤ b. Ist X meromorph separabel (gilt immer!), so gilt die Gleichheit.

KORP

Zum Beweis ben¨otigen wir den folgenden 11.3 Hilfssatz. Sei ϕ : X → Y wie in 11.2 und sei V ⊂ Y eine offene Teilmenge mit den ¨ beiden Eigenschaften: Y \V ist diskret in Y und ϕ : U → V ist eine b-bl¨attrige Uberlagerung f¨ ur −1 U := ϕ (V ). Sind dann f ∈ H(U ) und a0 , . . . , ab ∈ H(V ) vorgegeben mit (∗)

b X k=0

ak (z)θk =

Y

(θ − f (w))

w∈ϕ−1 (z)

f¨ ur alle z ∈ V (θ eine Unbestimmte), so sind ¨aquivalent:

MEFO

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Funktionentheorie

(i) f ist meromorph auf X fortsetzbar. (ii) Alle a0 , . . . , ab sind meromorph auf Y fortsetzbar. Beweis. (i) ⇒ (ii) Nach Voraussetzung ist B := Y \V diskret in Y . Sei nun ein z0 ∈ B gegeben. Wegen ϕ−1 (z0 ) endlich und f ∈ M(X) existiert ein k ≥ 1 mit k + of (w) ≥ 0 f¨ ur alle w ∈ ϕ−1 (z0 ). W¨ahle eine zusammenh¨ angende offene Umgebung E ⊂ Y von z0 und ein h ∈ H(E) mit E ∩ B = {z0 } und oh (z0 ) = k. Ist dann D := ϕ−1 (E) und q := h ◦ ϕ|D, so gilt q ∈ H(D) und oq (w) ≥ k f¨ ur alle w ∈ ϕ−1 (z0 ), d.h. p := q · f ∈ H(D). Wir d¨ urfen zudem annehmen (eventuell E verkleinern), daß p und q auf D beschr¨ankt sind. F¨ ur alle z ∈ E mit z 6= z0 und alle w ∈ ϕ−1 (z) gilt wegen q(w) = h(z) und (∗) b X

Y

h(z)b ak (z)θk =

k=0

(q(w)θ − p(w)) .

w∈ϕ−1 (z)

Da p, q auf D beschr¨ankt sind, sind die Funktionen hb ak auf E\{z0 } beschr¨ankt und folglich auf E holomorph fortsetzbar, d.h. alle ak sind meromorph auf E fortsetzbar und damit insbesondere nach z0 . (ii) ⇒ (i) Wie im ersten Teil w¨ ahle z0 ∈ B := Y \V und eine offene, zusammenh¨angende Umgebung E von z0 mit E ∩ B = {z0 } sowie ein h ∈ H(E) derart, daß hk := hb−k ak holomorph auf E f¨ ur alle k ist und |hk | ≤ 1/b f¨ ur k < b (offenbar gilt hb ≡ 1). Dann gilt q := h ◦ ϕ|D ∈ H(D) f¨ ur D := ϕ−1 (E), und es gen¨ ugt zu zeigen, daß die auf D\ϕ−1 (z0 ) definierte holomorphe Funktion p := qf beschr¨ankt ist, denn dann ist sie wegen der Endlichkeit von ϕ−1 (z0 ) holomorph auf D fortsetzbar, und f = p/q ist meromorph auf D. Nun gilt aber f¨ ur alle z ∈ E\{z0 } und −1 alle w ∈ ϕ (z) b b X X k b hk (z)p(w) = h(z) ak (z)f (w)k = 0 k=0

k=0

und damit |p(w)| ≤ 1: Denn w¨are |α| > 1 f¨ ur α = p(w), so w¨ urde wegen b−1 b−1 ¯X ¯ X ¯ k¯ |α| = ¯ hk (z)α ¯ ≤ |α|b−1 /b = |α|b−1 b

k=0

k=0

doch wieder |α| ≤ 1 folgen.

u t ∗

Beweis von 11.2 Sei L = M(X) und K := ϕ (M(Y )) ⊂ L. Sei f ∈ L beliebig aber fest gegeben. Dann existiert eine offene Teilmenge V ⊂ Y mit den folgenden Eigenschaften: (i) Y \V ist diskret in Y , (ii) f ist holomorph auf U := ϕ−1 (V ), ¨ (iii) ϕ : U → V ist b-bl¨attrige Uberlagerung. F¨ ur k = 0, . . . , b und z ∈ V definiere ak (z) ∈ C durch die obige Formel (∗). Dann gilt ak ∈ H(V ) f¨ ur alle k. Wegen 11.3 und f meromorph auf X gilt ak ∈ M(Y ), d.h. ck := ϕ∗ (ak ) ∈ K. Das Polynom vom Grade b b X ck θk ∈ K[θ] P := k=0

erf¨ ullt wegen (∗) die Beziehung P (f ) = 0 ∈ L. Da f ∈ L beliebig war, heißt das: K ⊂ L ist eine K¨orpererweiterung vom Grade d ≤ b. Aus der Algebra zitieren wir, daß ein Element f ∈ L mit L = K[f ] existiert (Satz von der einfachen K¨orpererweiterung) und weiter, daß ein normiertes Polynom P ∈ K[θ] vom Grad d mit P (f ) = 0 existiert (das sogenannte Minimalpolynom von f ; es ist das normierte Polynom kleinsten Grades mit P (f ) = 0). Es existiert ein a ∈ Y , in dem

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Funktionentheorie

alle ck ∈ K ∼ ur jedes = M(Y ) holomorph sind und so daß ϕ−1 (a) genau b Elemente enth¨alt. F¨ −1 w ∈ ϕ (a) ist f (w) eine Nullstelle von d X

Q :=

ck (a)θk ∈ C[θ] .

k=0

Ist also X meromorph separabel, so muß f wegen L = K[f ] in allen Punkten von ϕ−1 (a) verschiedene Werte haben, d.h. Q hat mindestens b Nullstellen, d.h. d ≥ b und folglich d = b. u t 11.4 Satz. Sei Y eine Riemannsche Fl¨ache und P ∈ M(Y )[θ] ein normiertes, irreduzibles Polynom vom Grade n ≥ 1. Dann existiert eine mehrdeutige Funktion F = (X, τ, f ) u ¨ ber Y , so daß gilt: (i) τ : X → Y ist eine eigentliche holomorphe Abbildung mit Bl¨atterzahl n, (ii) P (f ) = 0, falls ) (verm¨oge τ ) als Unterk¨orper von M(X) angesehen wird. PM(Y n Beweis. Sei P = k=0 ck θk f¨ ur ck ∈ K := M(Y ) und sei δ ∈ K die Diskriminante von P (der Wert eines gewissen Polynoms u ¨ber K in den Koeffizienten c0 , . . . , cn−1 ; die Bedingung δ 6= 0 ist ¨aquivalent dazu, daß P in keinem Erweiterungsk¨orper von K mehrfache Nullstellen besitzt vergl. Scheja-Storch, Algebra 2). Wegen P irreduzibel ist δ 6= 0. Sei nun V := {a ∈ Y : ck (a) ∈ C f¨ ur alle k und δ(a) ∈ C∗ } . F¨ ur jedes a ∈ V ist δ(a) 6= 0 die Diskriminante des Polynoms n X

ck (a)θk

∈ C[θ] ,

k=0

das damit n verschiedene Nullstellen in C hat. Definiere H : V × C → C durch

H(a, t) =

n X

ck (a)tk

k=0

und setze U := {(a, t) ∈ V × C : H(a, t) = 0} . Durch τ (a, t) := a und f (a, t) := t werden stetige Abbildungen τ : U → V und f : U → C definiert. Nach Konstruktion von V hat jedes τ -Urbild genau Sei (a, t0 ) ∈ U ein Pn Punkte. beliebiger Punkt. Da t0 eine einfache Nullstelle des Polynoms ck (a)θk ist, gilt ∂H(a, t0 ) 6= 0 . ∂t Nach dem Satz u ¨ber implizite Funktionen (der im komplexen genau wie im reellen gilt) existiert eine offene Umgebung W ⊂ V von a und eine komplex-differenzierbare Funktion h : W → C mit h(a) = t0 und H(z, h(z)) = 0 f¨ ur alle z ∈ W . Durch σ(z) := (z, h(z)) wird ein stetiger Schnitt σ : W → U mit σ(a) = (a, t0 ) definiert. Daraus folgt, daß τ : U → V eine n-bl¨attrige ¨ Uberlagerung und f : U → C eine holomorphe Funktion ist (denn f ◦ σ = h ist holomorph auf W ). Wir m¨ ussen nun den Raum U durch geeignete weitere Punkte erg¨anzen, die ‘¨ uber B = Y \V ’ liegen. Ist Y = V , so sind wir mit X := U bereits fertig. Andernfalls w¨ahlen wir einen Punkt z0 ∈ B und eine offene Umgebung E ⊂ V ∪ {z0 } von z0 zusammen mit einem Hom¨oomorphismus ψ : E → ∆, wobei ψ(z0 ) = 0 gilt. Sei ∆∗ := ∆\{0} und E ∗ := E\{z0 }. Dann zerf¨allt τ −1 (E ∗ ) in h¨ ochstens n Zusammenhangskomponenten, sei D∗ eine von diesen. ∗ ∗ ¨ Dann ist τ : D → E eine Uberlagerung mit der Bl¨atterzahl k ≤ n, und es existiert ein ∗ ∗ Hom¨oomorphismus ϕ : D → ∆ mit ψ ◦ τ = q ◦ ψ, wobei q(z) = z k (vergl. 12.16). Wir f¨ ugen

UBER

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Funktionentheorie

nun zu D∗ einen weiteren Punkt α hinzu und topologisieren D := D∗ ∪ {α} so, daß durch ϕ(α) = 0 ∈ ∆ ein Hom¨oomorphismus ϕ : D → ∆ entsteht. In gleicher Weise f¨ ugen wir f¨ ur jede weitere Zusammenhangskomponente von τ −1 (E ∗ ) je einen weiteren Punkt β usf. hinzu. Setzen wir noch jeweils τ (α) = τ (β) = . . . = a und f¨ uhren das gleiche Verfahren f¨ ur alle u ¨brigen Punkte von B durch, erhalten wir einen Bereich (X, τ ) u ¨ber Y mit den folgenden Eigenschaften: Die Abbildung τ : X → Y ist eigentlich und U ⊂ X ist eine offene Teilmenge mit X\U diskret. Nach Konstruktion von U erf¨ ullt die holomorphe Funktion f : U → C die Bedingung (∗) in Hilfssatz 11.3 f¨ ur ak := ck ∈ K, d.h. f ∈ M(X) und somit P (f ) = 0. Es bleibt lediglich zu zeigen, daß X zusammenh¨ angend und damit eine Riemannsche Fl¨ache ist. X zerf¨allt in endlich viele Zusammenhangskomponenten X1 , . . . , Xr . Da jedes τ : Xk → Y ebenfalls eigentlich ist und Bl¨atterzahl bk ≤ n hat, gilt r ≤ n. Nach Satz 11.2 existiert f¨ ur jedes k ein normiertes Polynom Qk ∈ K[θ] vom Grad bk mit Qk (f )|Xk = 0. F¨ ur Q := Q1 Q2 . . . Qr ∈ K[θ] gilt folglich ebenfalls Q(f ) = 0. Da P, Q gleichen Grad besitzen und f f¨ ur jedes a ∈ V die n Punkte von τ −1 (a) trennt, gilt Q = P . Da P irreduzibel ist, gilt notwendig r = 1. u t Wir wollen die Beweisidee an einem einfachen Beispiel verdeutlichen: Es sei Y = C und P = θ2 + c1 θ + c0

∈ K[θ]

f¨ ur K = M(C) = C(z). Dann gilt δ = c21 − 4c0 . Ist z.B. c1 (z) = −2z 2 und c0 (z) = z, so gilt δ(z) = 4z(z 3 − 1). Insbesondere gilt δ(0) = δ(1) = δ(ε) = δ(ε2 ) = 0 und δ(∞) = ∞ f¨ ur ¨ ε := exp(2πi/3), also V = C\{0, 1, ε, ε2 , ∞}, und τ : U → V ist eine 2-bl¨attrige Uberlagerung. F¨ ur die zugeh¨orige mehrdeutige Funktion F = (X, τ, f ) gilt offenbar F (z) = z 2 ±

p

z(z 3 − 1) ,

also F (0) = {0}, F (1) = {1}, F (ε) = {ε2 }, F (ε2 ) = {ε} und F (∞) = {∞}, alle anderen F (z) bestehen aus 2 Punkten. √ Was sind nun die Verzweigungspunkte von τ ? Auf ∆ existiert ein Zweig von z 3 − 1, d.h. bei Umlauf um 0 in ∆ ⊂ Y wechselt man das Blatt in X (insbesondere muß also X zusammenh¨angend sein). Mit dem gleichen Argument folgt, daß bei einfachem Umlauf um genau eine der dritten Einheitswurzeln 1, ε, ε2 das Blatt in X gewechselt wird. Daraus folgt sofort, daß bei Umlauf um ∞ (auf hinreichend großer Kreislinie) das Blatt nicht gewechselt wird (denn es werden die 4 Punkte 0, 1, ε, ε2 simultan umlaufen), also besteht τ −1 (∞) aus genau zwei Punkten, in denen f jeweils einen Pol hat. Wir kommen auf den Fall von Gebieten (X, τ ) u uck. Bezeichnen wir mit z ¨ber Y = C zur¨ die durch die identische Abbildung von C gegebene meromorphe Funktion auf C, so ist K := M(C) = C(z) der rationale Funktionenk¨orper. Insbesondere enth¨alt f¨ ur jedes a ∈ C der K¨orper Ma den K¨orper C(z) in nat¨ urlicher Weise, und man macht sich f¨ ur jeden Keim q ∈ Ma sofort klar: q ist algebraisch (vergl. Kapitel 10) genau dann, wenn q algebraisch u ¨ber K = C(z) ist (d.h. K(q) hat endlichen Rang u ¨ber K). Beweis von 10.15: Sei q ∈ M und F = (X, τ, f ) die zugeh¨orige mehrdeutige Funktion, wobei X ⊂ A die q-Zusammenhangskomponente ist und τ = τ |X, f = ε|X gilt. Ist X kompakt, P so existiert ein Polynom P = ck θk ∈ K[θ] mit P (f ) = 0. Nach Ausmultiplizieren mit den Nennern aller ck ∈ C(z) in P darf angenommen werden, daß alle ck in C[z] liegen, d.h. q ist algebraisch. Nehmen wir umgekehrt an, daß q algebraisch sei. Dann annulliert f ein normiertes Polynom P ∈ K[θ], und wegen 11.4 ist X kompakt. u t ¨ Zum Schluß sei noch auf eine weitere Konsequenz unserer obigen Uberlegungen eingegangen: F¨ ur jedes a ∈ C kann Aa mit der Menge aller irreduziblen normierten Polynome in Ma [θ] identifiziert werden. Dabei entspricht q ∈ Ma das lineare Polynom θ − q ∈ Ma [θ].

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Funktionentheorie

¨ 12. Anhang: Uberlagerungen und Homotopie Sei X ein Hausdorffraum und I := [0, 1] das Einheitsintervall. 12.1 Definition. (i) Eine stetige Abbildung γ : I → X heißt eine Kurve in X. Das Bild Sp(γ) := γ(I) heißt die Spur der Kurve. γ(0) bzw. γ(1) heißt der Anfangs- bzw. Endpunkt von γ. (ii) Seien γ0 , γ1 : I → X zwei Kurven in X mit γ0 (0) = γ1 (0) und γ0 (1) = γ1 (1). Dann heißen γ0 und γ1 homotop (bei festen Endpunkten) in X ⇐⇒ Es gibt eine stetige Abbildung F : I × I → X, so daß f¨ ur alle t, s ∈ I gilt F (t, 0) = γ0 (t), F (t, 1) = γ1 (t), F (0, s) = γ0 (0), F (1, s) = γ0 (1). F¨ ur jedes s ∈ I wird also durch γs (t) := F (t, s), t ∈ I, eine Kurve in X definiert, deren Anfangs- bzw. Endpunkt mit dem von γ0 (und damit auch γ1 ) u ¨bereinstimmt. Sei x0 ∈ X ein fester Punkt und Ω die Menge aller Kurven γ : I → X mit γ(0) = γ(1) = x0 . Zwei Kurven γ0 , γ1 ∈ Ω heißen ¨aquivalent, γ0 ∼ γ1 , falls sie homotop in X sind. Hierdurch wird ¨ ¨ eine Aquivalenzrelation auf Ω definiert. Sei Ω/ ∼ die Menge der Aquivalenzklassen. F¨ ur jedes ¨ γ ∈ Ω sei [γ] ∈ Ω/ ∼ die zugeh¨orige Aquivalenzklasse. F¨ ur jede Kurve γ : I → X werde die Kurve γ − : I → X definiert durch γ − (t) := γ(1 − t) (r¨ uckw¨arts durchlaufene Kurve). Weiter sei f¨ ur zwei Kurven γ, η : I → X die Kurve γη : I → X definiert durch ½ (γη)(t) :=

γ(2t) η(2t − 1)

0 ≤ t ≤ 1/2 1/2 < t ≤ 1.

Wir wollen Ω/ ∼ mit einer Gruppenstruktur versehen. Man zeigt leicht, daß f¨ ur γ, η ∈ Ω die Klasse [γη] nur von [γ] und [η] abh¨ angt, und wir definieren: [γ] · [η] := [γη] . Hierdurch wird Ω/ ∼ zu einer Gruppe, die die Fundamentalgruppe von X bez¨ uglich x0 genannt und mit π1 (X, x0 ) bezeichnet wird. Das Einselement dieser Gruppe wird durch die konstante Kurve γ ≡ x0 repr¨asentiert und [γ]−1 = [γ − ]. Seien nun X, Y Hausdorffr¨aume und x0 ∈ X, y0 ∈ Y . Die Abbildung f : X → Y sei stetig, und es gelte f (x0 ) = y0 . Dann ist die Abbildung π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ) [γ] 7→ [f ◦ γ] ein Gruppenhomomorphismus, der mit f∗ oder auch π1 (f ) bezeichnet werde. π1 kann also als ein Funktor von der Kategorie der Hausdorffr¨aume mit Basispunkt in die Kategorie der Gruppen aufgefaßt werden. Sei nun η : I → X eine feste Kurve und x0 := η(0), x1 := η(1). Dann liefert π1 (X, x0 ) → π1 (X, x1 ) [γ] 7→ [ηγη − ] einen Gruppenisomorphismus. Ist also X wegzusammenh¨angend, so sind alle Gruppen π1 (X, x0 ), x0 ∈ X, isomorph. Wir schreiben daher kurz π1 (X) statt π1 (X, x0 ) und nennen π1 (X) die Fundamentalgruppe von X. Fundamentalgruppen stehen in engem Zusammenhang mit den soge¨ nannten Uberlagerungen:

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Funktionentheorie

12.2 Definition. Seien X, Y Hausdorffr¨aume und τ : X → Y eine stetige Abbildung, Y sei zusammenh¨angend. ¨ ¨ (i) τ : X → Y heißt eine triviale Uberlagerung ⇐⇒ Es gibt eine Uberdeckung {Ui : i ∈ I} von X mit offenen, paarweise disjunkten Mengen Ui , so daß τ : Ui → Y f¨ ur jedes i ∈ I ein Hom¨oomorphismus ist. ¨ (ii) τ : X → Y heißt eine Uberlagerung ⇐⇒ τ ist surjektiv und zu jedem y ∈ Y gibt es eine ¨ offene Umgebung U ⊂ Y von y, so daß τ : τ −1 (U ) → U eine triviale Uberlagerung ist. ¨ ¨ (iii) Die Uberlagerung τ : X → Y heißt universell ⇐⇒ Zu jeder Uberlagerung σ : Z → Y mit Z zusammenh¨angend, und zu je zwei Punkten x0 ∈ X, z0 ∈ Z mit σ(z0 ) = τ (x0 ) existiert ¨ genau eine Uberlagerung ξ : X → Z mit ξ(x0 ) = z0 und σ ◦ ξ = τ . 12.3 Beispiel. ¨ (i) Die Abbildung t 7→ t2 definiert eine triviale Uberlagerung IR∗ → IR∗+ := {t ∈ IR : t > 0}. ¨ (ii) Die Abbildung z 7→ z 2 definiert eine Uberlagerung C∗ → C∗ , die nicht trivial ist. ¨ (iii) Die Abbildung exp : C → C∗ ist eine Uberlagerung (die universell ist, wie wir sp¨ater zeigen werden). ¨ Man zeigt leicht, daß jede Uberlagerungsabbildung lokal-topologisch, insbesondere also offen ¨ ist. Sind τ1 : X1 → Y und τ2 : X2 → Y zwei universelle Uberlagerungen, so gibt es offenbar einen ¨ Hom¨oomorphismus σ : X1 → X2 mit τ1 = τ2 ◦ σ. Wenn also Y eine universelle Uberlagerung besitzt, so ist diese bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Sei X ein Hausdorffraum. X heißt einfach-zusammenh¨angend ⇐⇒ F¨ ur jedes x ∈ X ist π1 (X, x) = 1 (d.h. die triviale Gruppe). X heißt lokal einfach-zusammenh¨angend (bzw. lokal weg-zusammenh¨angend) ⇐⇒ Jeder Punkt in X besitzt eine Umgebungsbasis aus einfachzusammenh¨angenden (bzw. weg-zusammenh¨angenden) Umgebungen. Jede offene Teilmenge des IRn ist lokal einfach-zusammenh¨angend und lokal weg-zusammenh¨angend. 12.4 Satz. Sei Y ein zusammenh¨angender, lokal weg-zusammenh¨angender und lokal einfachzusammenh¨angender Hausdorffraum. Dann gilt ¨ (i) Eine Uberlagerung τ : X → Y ist genau dann universell, wenn X zusammenh¨angend und einfach-zusammenh¨angend ist. ¨ (ii) Y besitzt eine universelle Uberlagerung.

UNIV

Der Beweis st¨ utzt sich auf eine Reihe von Lemmata, die auch von selbst¨andigem Interesse sind. ¨ 12.5 Lemma. Sei τ : X → Y eine Uberlagerung und seien x0 ∈ X, y0 := τ (x0 ) gegeben. Dann existiert zu jeder Kurve γ : I → Y mit γ(0) = y0 genau eine Kurve γ e : I → X mit γ e(0) = x0 und τ ◦ γ e = γ (e γ heißt die Liftung von γ mit Anfangspunkt x0 ). Beweis. Sei γ gegeben. Es gibt eine Zerlegung 0 = t0 < . . . < tn = 1 von I in Teilintervalle Iν := [tν−1 , tν ] und f¨ ur jedes ν = 1, . . . , n eine offene Menge Vν ⊂ Y so, daß γ(Iν ) ⊂ Vν und τ : ¨ τ −1 (Vν ) → Vν eine triviale Uberlagerung ist. Damit erh¨alt man sukzessive Kurven γ eν : Iν → X mit τ ◦ γ eν = γ|Iν , γ e1 (0) = x0 und γ eν (tν−1 ) = γ eν−1 (tν−1 ). Die Zusammensetzung dieser Kurven liefert die gesuchte Liftung γ e. Die Eindeutigkeit von γ e ist klar, da τ lokal-topologisch ist u t ¨ 12.6 Lemma. Sei τ : X → Y eine Uberlagerung und sei y0 = τ (x0 ) f¨ ur ein x0 ∈ X. Seien γ0 , γ1 : I → Y zwei Kurven mit gleichem Anfangspunkt y0 und gleichem Endpunkt. Ferner seien γ e0 bzw. γ e1 die Liftungen von γ0 bzw. γ1 mit γ e0 (0) = γ e1 (0) = x0 . Sind dann γ0 und γ1 homotop in Y , so haben γ e0 und γ e1 gleichen Endpunkt und sind homotop in X. Beweis. Sei F : I × I → X eine Homotopie und γs (t) := F (t, s) f¨ ur alle s, t ∈ I. Jede Kurve γs hat eine Liftung γ es mit Anfangspunkt x0 . Da die Endpunkte γ es (1) stetig von s abh¨angen und in der diskreten Teilmenge τ −1 {γ0 (1)} liegen, ist γ es (1) unabh¨angig von s. u t ¨ Insbesondere gilt f¨ ur eine Uberlagerung τ : X → Y mit y0 = τ (x0 ), daß der Gruppenhomomorphismus τ∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ) injektiv ist.

LIFT

MOND

Funktionentheorie

59

¨ 12.7 Lemma. Sei τ : X → Y eine Uberlagerung und τ (x0 ) = y0 f¨ ur ein x0 ∈ X. Sei A ein zusammenh¨angender, lokal weg-zusammenh¨angender Hausdorffraum und sei f : A → Y stetig mit f (a0 ) = y0 f¨ ur ein a0 ∈ A. Dann sind ¨aquivalent: (i) Es existiert eine stetige Abbildung fe : A → X mit fe(a0 ) = x0 und τ ◦ fe = f (und diese ist dann eindeutig). (ii) f∗ (π1 (A, a0 )) ⊂ τ∗ (π1 (X, x0 )). Beweis. (i) ⇒ (ii) ist trivial wegen f∗ = τ∗ ◦ fe∗ . (ii) ⇒ (i) Zu zeigen ist nur die Existenz von fe. Sei a ∈ A gegeben. Dann gibt es eine Kurve σ : I → A mit σ(0) = a0 und σ(1) = a. Nach (12.5) hat die Kurve γ := f ◦ σ in Y eine eindeutige Liftung γ e : I → X mit γ e(0) = x0 . Wir zeigen, daß γ e(1) unabh¨angig von der Wahl von σ ist. Denn seien σ1 , σ2 : I → A zwei Kurven mit σk (0) = a0 , σk (1) = a f¨ ur k = 1, 2. Setze γk := f ◦σk , k = 1, 2, und γ := γ1 γ2− = f ◦ (σ1 σ2− ). Wegen [γ] ∈ f∗ (π1 (A, a0 )) ⊂ τ∗ (π1 (X, x0 ) existiert ein [η] ∈ π1 (X, x0 ) mit γ ∼ τ ◦ η. F¨ ur k = 1, 2 sei γ ek : I → X die Liftung von γk mit γ ek (0) = x0 . − Wegen γ1 γ2 ∼ τ ◦ η gilt γ1 ∼ (τ ◦ η)γ2 , d.h. τ ◦ γ e1 ∼ (τ ◦ η)(τ ◦ η) = τ ◦ (ηe γ2 ). Nach (12.6) gilt γ e2 (1) = (ηe γ2 )(1) = γ e1 (1). Definiere fe(a) := γ e(1). Dann gilt f¨ ur die Abbildung fe : A → X sicher τ ◦ fe = f . Da A lokal weg-zusammenh¨angend ist, ist fe stetig. u t 12.8 Lemma. Sei Y zusammenh¨angend, lokal weg-zusammenh¨angend und lokal einfach-zusammenh¨angend. Sei y0 ∈ Y fest und sei Γ ⊂ π1 (Y, y0 ) eine Untergruppe. Dann existiert eine ¨ Uberlagerung τ : X → Y mit Γ = τ∗ (π1 (X, x0 )) und τ (x0 ) = y0 . Beweis. Sei Ω := {γ : γ Kurve in Y mit γ(0) = y0 }. Zwei Kurven γ1 , γ2 ∈ Ω m¨ogen ¨aquivalent ¨ genannt werden ⇐⇒ γ1 (1) = γ2 (1) und [γ1 γ2− ] ∈ Γ. Hierdurch wird auf Ω eine Aquivalenzre¨ lation definiert. Sei X die Menge der Aquivalenzklassen. F¨ ur γ ∈ Ω sei hγi ∈ X die zugeh¨orige ¨ Aquivalenzklasse. Durch hγi 7→ γ(1) wird eine Abbildung τ : X → Y definiert. F¨ ur jede offene, zusammenh¨ angende und einfach-zusammenh¨angende Menge U ⊂ Y und jedes γ ∈ Ω mit γ(1) ∈ U setze Uγ := {hγσi : σ Kurve in U mit σ(0) = γ(1)}. Das System aller Uγ bildet die Basis einer Topologie auf X. Weiter ist τ : Uγ → U hom¨oomorph f¨ ur alle Uγ . Da zwei Mengen ¨ Uγ , Uη entweder gleich oder disjunkt sind, ist τ : X → Y eine Uberlagerung. Setze x0 := hγi f¨ ur ein γ ∈ Γ. Dann gilt nach Konstruktion τ∗ (π1 (X, x0 )) = Γ. u t ¨ Beweis von (12.4): Nach (12.8) existiert eine Uberlagerung τ : Z → Y (oBdA sei Z zusammenh¨angend), so daß τ∗ (π1 (Z)) = 1 gilt. e ⊂ X eine Zusammenhangskompo¨ ad (i) Sei τ : X → Y eine universelle Uberlagerung und sei X e e und X sind hom¨oomorph, ¨ nente. Dann ist auch τ : X → Y eine universelle Uberlagerung, d.h. X ¨ d.h. X ist zusammenh¨angend. Da τ eine universelle Uberlagerung ist, folgt τ∗ (π1 (X)) = 1, d.h. X ist einfach-zusammenh¨angend. Die umgekehrte Richtung von (i) folgt aus 12.7. ad (ii) Nach (i) ist τ universell. u t 12.9 Folgerung. Seien X, Y zusammenh¨angend, lokal weg-zusammenh¨angend und lokal eine → X und σ : X e → Y universelle Uberlagerungen ¨ fach-zusammenh¨angend. Seien τ : X und τ (e x0 ) = x0 , σ(e y0 ) = y0 . Dann gibt es zu jeder stetigen Abbildung f : X → Y mit f (x0 ) = y0 e → Ye mit fe(e genau eine stetige Abbildung fe : X x0 ) = ye0 , so daß das Diagramm e e −−−f−−→ Ye X     yτ yσ, f X −−−−−→ Y kommutiert. Beweis. Verwende (12.7) und (12.8).

u t

Sei X ein lokal-kompakter Hausdorffraum und G(X) die Gruppe aller Hom¨oomorphismen von X auf sich.

WURT

TUMP

LIFF

60

Funktionentheorie

12.10 Definition. Sei Γ ⊂ G(X) eine Untergruppe. Man sagt (i) Γ operiert eigentlich-diskontinuierlich auf X ⇐⇒ Zu je zwei Punkten x, y ∈ X existieren Umgebungen U, V ⊂ X von x, y mit {g ∈ Γ : U ∩ g(V ) 6= ∅} endlich. (ii) Γ operiert frei auf X ⇐⇒ F¨ ur alle x ∈ X und alle g ∈ Γ mit g 6= id gilt g(x) 6= x. 12.11 Beispiel. Sei Γ = {z 7→ 2n z : n ∈ Z}. Dann gilt (i) Γ operiert eigentlich-diskontinuierlich und frei auf C∗ (ii) Γ operiert weder eigentlich-diskontinuierlich noch frei auf C. ¨ Jede Untergruppe Γ erzeugt eine Aquivalenzrelation auf X: x ∼ y = ∃ g ∈ Γ mit g(x) = y. ¨ Sei X/Γ := X/ ∼ die Menge der Aquivalenzklassen, versehen mit der Quotiententopologie. Sei p : X → X/Γ die kanonische Projektion. Diese ist stetig und offen. 12.12 Satz. Γ operiere eigentlich-diskontinuierlich und frei auf X. Dann ist X/Γ ein Haus¨ dorffraum und p : X → X/Γ ist eine Uberlagerung. 12.13 Satz. Sei Y ein zusammenh¨angender, lokal weg-zusammenh¨angender und lokal einfach¨ zusammenh¨angender Hausdorffraum. Sei τ : X → Y die universelle Uberlagerung von Y . Dann operiert die Gruppe Γ := {g ∈ G(X) : τ ◦ g = τ } eigentlich-diskontinuierlich und frei auf X, und es existiert ein Hom¨oomorphismus σ : X/Γ → Y mit τ = p ◦ σ. Die Gruppe Γ ist isomorph zu π1 (Y ), und f¨ ur jedes x0 ∈ X, y0 := τ (x0 ), ist die Abbildung Γ → τ −1 (y0 ) g 7→ g(x0 ) bijektiv. Beweis. sei dem Leser u ¨berlassen.

u t

Γ heißt die zu Y geh¨orige Decktransformationsgruppe. 12.14 Beispiel. (i) π1 (C∗ ) ≈ Z. Denn die Abbildung C → C∗ z 7→ exp(2πiz) ¨ ist universelle Uberlagerung, und Γ := {z 7→ z + n : n ∈ Z} ist die zugeh¨orige Gruppe von Decktransformationen. (ii) Sei S 2 := {x ∈ IR3 : x21 + x22 + x23 = 1} die 2-Sph¨are, und g : S 2 → S 2 sei definiert durch g(x) := −x. Dann operiert die Gruppe Γ := {g, id} ⊂ G(S 2 ) eigentlich-diskontinuierlich und frei auf S 2 . Der Quotientenraum P2 := P2 (IR) := S 2 /Γ wird die reell projektive Ebene genannt. Wegen π1 (S 2 ) = 1 folgt π1 (P2 ) ≈ Z2 . (iii) Sei S 1 := {z ∈ C : |z| = 1} der 1-dimensionale Torus (auch 1-Sph¨are genannt). T 2 := S 1 ×S 1 heißt der 2-dimensionale Torus. Dann sind die Abbildungen τ : IR → S 1 t 7→ exp(2πit) ¨ bzw. τ × τ : IR2 → T 2 universelle Uberlagerungen mit den zugeh¨origen Decktransformationsgruppen Γ := {t 7→ t + n : n ∈ Z} ≈ Z bzw. Ω := {(s, t) 7→ (s + m, t + n) : m, n ∈ Z} ≈ Z × Z. Also gilt S 1 ≈ IR/Γ und π1 (S 1 ) ≈ Z und ebenso T 2 ≈ IR2 /Ω und π1 (T 2 ) ≈ Z × Z. (iv) Sei U := E\{a, b}, a, b ∈ E, a 6= b. Dann ist π1 (U ) die freie Gruppe mit zwei Erzeugenden, d.h. π1 (U ) ist nicht abelsch.

Funktionentheorie

61

12.15 Satz. Sei Y zusammenh¨angend, lokal weg-zusammenh¨angend und lokal einfach-zusammenh¨angend. Dann sind ¨aquivalent: (i) Y ist einfach-zusammenh¨angend. ¨ (ii) Jede Uberlagerung τ : X → Y mit X zusammenh¨angend ist ein Hom¨oomorphismus. ¨ Sei U ⊂ C∗ ein einfach-zusammenAnwendung: exp : C → C∗ ist universelle Uberlagerung. −1 ¨ h¨angendes Gebiet. Setze V := exp (U ). Dann ist exp : V → U eine triviale Uberlagerung. F¨ ur jede Zusammenhangskomponente V0 von V ist also exp : V → U biholomorph, d.h. es existiert ¨ eine Umkehrabbildung log : U → V0 . Man kann somit also auch mit Hilfe von Uberlagerungen ∗ Zweige des Logarithmus auf einfach-zusammenh¨angenden Gebieten in C erhalten. ¨ 12.16 Satz. Sei ∆∗ := ∆\{0} und τ : X → ∆∗ eine eigentliche Uberlagerung mit X zusam∗ menh¨angend. Dann existiert ein n ≥ 1 und ein Hom¨oomorphismus ψ : X → ∆ , so daß τ = ψ ◦ σ f¨ ur die Abbildung σ : ∆ ∗ → ∆∗ . z 7→ z n ,

EINH

Beweis. Da τ eigentlich ist, hat τ∗ (π1 (X)) ⊂ π1 (∆∗ ) endlichen Index. Da ∆∗ und C∗ hom¨ oomorph sind, gilt π1 (∆∗ ) ≈ Z. Also gibt es ein n ≥ 1 mit τ∗ (π1 (X)) ≈ nZ. Daher gibt es ein n ≥ 1 mit τ∗ (π1 (X)) ≈ nZ. Sei σ(z) := z n f¨ ur z ∈ ∆∗ . Dann sind τ∗ (π1 (X)) und σ∗ (π1 (∆∗ )) in ∗ π1 (∆ ) konjugiert. Daraus folgt die Behauptung. u t

13. Literatur 1. Blanchard, P.: Complex analytic dynamics on the Riemann sphere. Bull. AMS 11, 85-141 (1984) 2. Cartan, H.: Elementare Theorie der analytischen Funktionen einer oder mehrerer komplexen Ver¨anderlichen. Mannheim BI 1966 3. Conway, J.B.: Functions of one Complex Variable. Berlin - Heidelberg - New York: Springer 1978 4. Fischer, W. und Lieb, I.: Ausgew¨ ahlte Kapitel aus der Funktionentheorie. Vieweg Braunschweig/Wiesbaden 1988 5. Forster, O.: Riemannsche Fl¨achen. Berlin - Heidelberg - New York: Springer 1977 6. Hurwitz, A. und Courant, R.:Vorlesungen u ¨ber allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen. Berlin - Heidelberg - New York: Springer 1964 7. Remmert, R.: Funktionentheorie I und II. Berlin - Heidelberg - New York: Springer 1984 und 1991

BLAN

CART

CONW

FISH

FORS HUCO

REMM

62

Index

Index Ap´ ery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Konvergenz, kompakte

Attraktionsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Konvergenz (iv) , normale

Aussch¨ opfungsfolge

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

. . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . 19, 21

Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 14

Automorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Lemma von Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bereich u ¨ber C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 28, 41

Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

meromorph

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 49

beschr¨ ankte Familie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

M¨ obiustransformation . . . . . . 13-15, 35, 39, 43-44

biholomorph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

biholomorph ¨ aquivalent . . . . . . . . . . . . . . 7, 12

Modul

Bl¨ atterzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, 34, 39

Montel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 5

Bogenl¨ ange

25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39-40

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

normal konvergent . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 21

Cantor-Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

normale Familie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 42

Cauchy-Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-5 ¨ Uberlagerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Normalit¨ atsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Nullstellendivisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Decktransformationsgruppe

Nullstellenordnung . . . . . . . . . . . . 11-12, 26, 49

. . . . . . . . . . . .

60

Diagonalfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Periodenparallelogramm

. . . . . . . . . . . . . .

28

diskret in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 34

periodischer Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26-27

Picard

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Divisorenklassengruppe . . . . . . . . . . . . . . .

26

Polstellenmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

doppelt-periodisch . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Polstellenordnung

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Doppelverh¨ altnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-15

Primzahlsatz

dynamisches System . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

projektiver Raum

eigentlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

reell-analytisch . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 8, 16

eigentlich-diskontinuierlich . . . . . . . . . . . . .

60

relativ-kompakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Einheitengruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

R¨ uckw¨ artsorbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

elliptische Funktion

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

42

. . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Riemann . . . . . . . 7-10, 17, 23, 25, 29, 40, 50, 53

Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Riemannsche Zahlenkugel

. . . . . . . . . . . . .

10

exzeptionelle Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Familie, beschr¨ ankte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

schlicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 48

Familie (iii) , normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Schwarzsches Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Fatoumenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Seminorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-4

folgenkompakt

43

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Fraktal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

44

Strukturgarbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Fr´ echetraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Fundamentalgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Funktionskeim

50

unbestimmter Ausdruck . . . . . . . . . . . . . . ¨ universelle Uberlagerung . . . . . . . . . . . . . .

58 29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gammafunktion

10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Verzweigungsdivisor . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gebiet u ¨ ber C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Verzweigungsordnung . . . . . . . . . . . . . . 14, 49

gebrochen linear

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Verzweigungsort

geringter Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 34, 48, 52

50

Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27, 30

vollst¨ andig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Gitterbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

vollst¨ andig invariant . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Grad

34

Vorw¨ artsorbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hauptdivisor

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26-27

Weierstraß . . . . . . . . . . .

3-4, 16, 26, 32, 45, 48

Hauptteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Weierstraßsche ℘-Funktion . . . . . . . . . . . . .

28

Juliamenge

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Wertigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

kompakt konvergent . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Zetafunktion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

zul¨ assiger Randpunkt . . . . . . . . . . . . . . . .

37

komplexe Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

komplexe Kurve