Funktionentheorie 1

^ < 1^1 < P. Wegen der Eindeutigkeit der LAURENTzerlegung sind wir dann schon fertig, denn die Vereinigung aller dieser verkleinerten Ringgebiete ergibt das urspriingliclie Ringgebiet. Die Beliauptung ergibt sicli dann aus dem folgenden Hilfssatz, welclier eigenstandiges Interesse beanspruclit und den man als Cauchy'schen Integralsatz fur Ringgebiete bezeiclmen kann. 5.1]^ Hilfssatz.

Seien

n = {ze€ ein Ringgebiet und G : TZ gewdhlt, dass

r <\z\ < R}

{0
R
C eine analytische Funktion. r < g

gilt, dann ist

<

Sind P und g so

142

Kapitel III. Folgen und Reihen analytischer Funktionen, Residuensatz

Beweis. Wir fiihren den Beweis auf den CAUCHY'schen Integralsatz fiir Sterngebiete (II.2.7) zuriick, indeni wir geeignete Kurven einfiihren, die jeweils in sternforniigen Kreisringsegnienten verlaufen, auf die also der CAUCHY'sche Integralsatz anwendbar ist (s. II.2). Nacli den Reclienregeln fiir Kurvenintegrale ergibt sicli dann durcli Summation die gewiinsclite Formel, da sicli die Integrationen iiber die in beiden Riclitungen je einmal durclilaufenen Geradenstiicke gegenseitig auflieben. Wir deuten das Gesagte in der folgenden Skizze an:

Da jedes a^ in einem Sterngebiet verlauft, hat man J G(C) dC = 0- Summiert man nun samtliclie Integrale iiber die in der recliten Abbildung dargestellten Kurven 5 ^ , . . . , 5^^ auf, so lieben sicli die Integrale iiber die Verbindungsstrecken weg, und es ergibt sicli unter Beaclitung des Durclilaufsinnes die Beliauptung. D Nun keliren wir zum Beweis von 5.1 zuriick. Sei z E TZ fest. Dann ist die Funktion G : 7^ -)• C mit

G{C)

C-z /'(C),

C = z.

in TZ stetig und analytiscli in 7?, — {^}. Mit Hilfe der Potenzreilienentwicklung von / oder des RiEMANN'sclien Hebbarkeitssatzes sielit man, dass G an der Stelle C = z eine hebbare Singularitat hat. Aus Hilfssatz 5.1^ folgt nun:

^ \<:\=e

also

G{OdC=

j) \<:\=p

G{C)dC,

§5. Laurentzerlegung

143

•^^^^ dC - f{z) J) J—dC= C-z T C-z \C\=e


\C\=e

f{z)
\C\=P

\C\=P

Sei z & TZ so gewahlt, dass g < \z\ < P gilt, z also ein innerer Punkt des kleineren Kreisringes ist. Dann folgt (II.3.1) einerseits dC = 0

C-z

wegen \z\ > g,

\C\=e andererseits gilt 1 C-z

dC, = 27ri

wegen \z\ < P.

K\=P Damit erlialten wir

ICI=^ g{z)

\C\=e h{llz).

+

Das ist dann die gewiinsclite LAURENTzerlegung, denn wegen II.3.3 sind

9 ( ^ ) : = ^ j) {^JC,

\z\
und

ICI=^

ICI=e

analytiscli, und es gilt h{0) = 0.

D

Entwickelt man die Funktionen g und h in Potenzreilien, so erlialt man eine sogenannte LAURENTreilie fiir / : oo

g{z) = ^

oo

a^z" fiir

\z\ < R,

n=0

h{z) = ^

..

h^z"^ fiir

n=l

Mit a_jj := b^ erlialt die LAURENTreilie die Form oo

f{z)=g{z)+h{l/z)=

Yl

V"-

n= — oo

Anmerkung:

Eine Reihe der Gestalt oo

y^

a^ mit a^ G C fiir n G ^ ,

\z\ < - .

144

Kapitel III. Folgen und Reihen analytischer Funktionen, Residuensatz

heiBe konvergent, falls die beiden Reihen oo

oo

^ a „

und

^a_„

71=0

71=1

konvergieren. Alinlicli wie bei gewolinliclien Reihen bezeichnet man auch hier niit '}2'^=-oo ^n ^u™ einen das Paar der Reihen J2^=o ^n und J2'^=i '^-m ^ ^ ^ anderen im Falle der Konvergenz der beiden Teilreihen dann auch die Suninie S ^ o *7i "I" S ^ i C'-n ilirer Grenzwerte. In demselben Sinne sind Begriffe wie absolute, gleichmdfiige und normale Konvergenz zu verwenden. 5.2 Folgerung (Laurententwicklung). gehiet 7^={^eC; r<\z-a\
Die Funktion f sei in dem Ring{0
analytisch. Dann Idsst sich f in eine Laurentreihe entwickeln, welche in diesem Gebiet normal konvergiert, oo

/(^)= E «7.(^-ar fur zen. n= — oo

Zusatz. Diese Laurententwicklung

"

27ri

r

ist eindeutig bestimmt, und zwar gilt

(^-a)"+i

1st M (f) := sup{ 1/(01; |C — ^1 = s}, sch atzungsfo rm e In

so gelten die Cauchy'schen

Ab-

MJf) Mit Hilfe der LAURENTreihen lassen sich jetzt auch die isolierten Singularitaten einer analytischen Funktion / : D —)• C neu klassifizieren. Ist namlich a G C isolierte Singularitat der analytischen Funktion / , dann ist / in einer geeigneten punktierten Umgebung U^{a) = U^{a) - {a} C D {r >0

geeignet)

analytisch. Die punktierte Kreisscheibe U^{a) ist ein Ringgebiet gemaB unserer Definition. Daher lasst / sich dort in eine LAURENTreihe entwickeln: oo

f{z)= E

«j^-«r-

n= — oo

Den Typ der Singularitat kann man an dieser Reihe ablesen. Es gilt die

§5. Laurentzerlegung

145

5.3 Bemerkung. Die Singularitdt a ist a) hebbar genau dann, wenn a„ = 0 fiir alle n < 0 ist, b) tin Pol der Ordnung k (& Nj genau dann, wenn a_i. 7^ 0 und a„ = 0 fiir alle n < —k ist c) und wesentlich

genau dann, wenn Ojj 7^ 0 fiir unendlich viele n < 0 ist.

Der einfache Beweis sei dem Leser iiberlassen. Bemerkung. Mit Hilfe der LAURENTentwicklung erhalt man auch einen weiteren (durchsichtigeren) Beweis fiir die nichttriviale Richtung des RiEMANN'schen Hebbarkeitssatzes (vgl. 4.2): Ist die analytische Funktion f in einer geeigneten punktierten beschrdnkt, dann besitzt f in a eine hebbare Singularitdt.

Umgebung U^ (a)

Zunaclist sei o. B. d. A. a = 0. Dann ist die LAURENTzerlegung von der Form

f{z)=g{z)+h(^-^ Dabei ist in diesem Falle h eine in ganz C analytische Funktion. Sie ist beschrankt, da / in der Nahe von 0 beschrankt ist, nach dem Satz von LiOUVILLE also konstant. Mit derselben Sclilussweise wie beim Beweis des LiouviLLE'sclien Satzes kann man aucli direkt folgendermaBen sclilieBen. Man entwickle / in U^.{a) in eine LAURENTreilie, oo

f{z)=

Y^

a„(z-a)".

Nacli dem Zusatz von 5.2 gilt \a \ < — fiir alle n E I^ und 0 < g 0 und daher |a„| < ^ " " M fiir alle n G Z. Ist n < 0, d. h. —n := A; > 1, so ist also \a-k\ < e'^M fiir fee N.

146

Kapitel III. Folgen und Reihen analytischer Funktionen, Residuensatz

Aus lim ^'^ = 0 folgt daher a_j. = 0 fiir alle A; G N , d. h. der H a u p t t e i l verschwindet identisch.

D

Beispiele. 1) Die Funktion cine

/ : C" ^

C mit f{z)

z hat an der Stelle a = 0 eine hebbare Singularitat, denn wegen z

7

z

-2 _|_

gilt fiir 0 e C* 3! "^ 5!

7!

2) Die Funktion f{z) =

-, 0<|z|<2^, exp z — 1 hat an der Stelle z = 0 eine hebbare Singularitat. Es gilt (s. Beispiel 3 zu den Rechenregeln fiir Potenzreihen 111.2)

3) Die Funktion

/(.) = ^

(z/0)

hat an der Stelle z = 0 einen Pol der Ordnung 3, denn es ist r^

,3

,4

,5

/(^ z3 + z2 + 2 ! 0 + 3! + 4 ! ^ + 5 ! ^ ' h{l/z)

g{z)

4) Die Funktion

/(^)=exp(-l)

(^^0)

hat an der Stelle z = 0 eine wesentliche Singularitat, denn hier gilt

/W = 1 - ^ + 1 ^ - ^ ^ + -••• = 1 + Mi/^). Der Hauptteil enthalt also unendlich viele Koeffizienten ^ 0. Fiir die Eindeutigkeitsaussage ini Zusatz zu 5.2 geniigt es nicht, nur den Entwicklungspunkt a anzugeben. Ein und dieselbe Funktion / kann bei gleichem Entwicklungspunkt, aber unterschiedlichen uingebenden Ringgebieten verschiedene LAURENTreihen besitzen.

§5. Laurentzerlegung

147

Beispiel. Wir betrachten die durch

fiz)

Z^ -4:Z + 3

definierte analytische Funktion / : C — { 1 , 3 } ^ C . Wir wollen / in den drei Ringgebieten mit Mittelpunkt 0 0<|z|
l<|0|<3,

3<\z\

jeweils in eine LAURENTreihe entwickeln: Die Partialbruchzerlegung lautet ff ^

2 z2-4z + 3

I- z

1 . 1 z-3

a) Fiir z mit 0 < |z| < 1 gilt OO

_l_ = ^," ,nd ^

^

X

OO

^

^

n=0

= n^_L^j=i^(|)"

n=0

Daher ist OO

f(z) = •'^ '

^ z^ -4z

= V +3

f 1 - - i - ) z"

^n=0^ V

fiir

3"+iy

\z\ < 1. ' '

Die LAURENTreihe ist diesein Falle die Potenzreihenentwicklung von / um 0. b) Fiir \z\ > 1 gilt y

1

z - l

X

OO

1 / 1

z

\l-l/z

und fiir \z\ < 3 3-z

^

3"+i '

n=0

insgesamt also fiir 1 < |z| < 3 OO

^^^"^ " 02 - 4z + 3 ^ 1^~ n= l

/i(i/0)

OO

^ 1^ 3^^ ^ ' n=0

5(0)

148

Kapitel III. Folgen und Reihen analytischer Funktionen, Residuensatz

c) Fiir \z\ > 3 gilt 1 z—3

1 z(l — 3/z)

^—' z n=0

und daher /(^)

z2 - 40 + 3

E(3""

Wir beschlieBen den Paragraplien mit einem Exkurs iiber Komplexe Fourierreihen Sei ]a, 6[ ein oifenes Intervall in M. Wir lassen die Falle a = —cx) und b = oo zu, das Intervall kann also aucli eine offene Halbgerade oder die reelle Gerade sein. Wir betrachten den Horizontalstreifen ImA D = { z e C;

a
n

ib

und interessieren uns fiir analytisclie Funktionen / : D —^ C, welche eine reelle Periode uj ^ 0 besitzen, d. li. f{z +uj) = f{z)

{zeD,

z+

coeD). -€3-

Re

Die Funktion g{z) = f{u)z) hat dann offenbar die Periode 1. Es ist daher keine Einschrankung der Allgenieinheit, von vornherein f[z -|- 1) = f{z) anzunehnien. Wir betrachten nun die Abbildung R=e'

Diese bildet den Parallelstreifen D auf den Kreisring 7^={geC;

r<\q\
r = e

-27Tb

ab. Dabei ist natiirlich -27va

CX) im Falle a

-00

und -2TTb

0 ini Falle b = oo

zu setzen. Wie wir wissen, gilt ^2'Kiz

2'Kiz'

z- z' ei^.

R = e — 2-Ka

§5. Laurentzerlegung

149

Durch wird also eine Funktion g : 1Z —> C definiert. Diese ist wie / analytisch, denn die Abbildung ist im Kleinen konform, da ihre Ableitung in keinem Punkt verschwindet. Zu jedem Punkt von D existiert also eine offene Umgebung, welclie konform auf eine offene Umgebung des Bildpunktes abgebildet wird. Die Funktion g lasst sicli in eine LAURENTreilie entwickeln: oo

9{Q)=

««^"'

Y.

h
j'-^^dx

27ri

\n\=Q

(r
u

Sclireibt man Q = e-''-y

(2/e]a,6[),

so erlialt man 1

0

Damit ergibt sicli also 5.4 Satz. Sei f eine analytische Funktion in dem D = [z^
a
mit der Periode 1 {f{z + 1) = f{z)). konvergente komplexe Fourierreihe

Parallelstreifen

{-oo < a < b < oo) Dann Idsst sich f in eine in D normal

m= E

« e^^'"-^

entwickeln. Die Koeffizienten a^ — die sogenannten Fourierkoeffizienten sind eindeutig bestimmt, und es gilt fur jedes y G ]a,b[ 1

a„ = / / ( z ) e - ^2'Kinz ™ ^ dx

{z = x + iy).

0

Umgekelirt lasst sicli aus 5.4 wieder die LAURENTentwicklung ableiten.

150

Kapitel III. Folgen und Reihen analytischer Funktionen, Residuensatz

Anmerkung. Man kann Satz 5.4 auch mit den Methoden der reellen Analysis folgenderniaBen beweisen: Fiir jedes feste y ist / in Abhangigkeit von x eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und gestattet daher nach dem bekannten Satz aus der reellen Analysis eine FouRiERentwicklung /(^) =

1•2 (^niy)<

^27Tinx

n= — ex:

mit 1

o-niy) =

/

/(^)e-2^'"^ dx

0

oder 1

a„(?/)e'™^ =

Jme--^'^'"-^ dx 0

Wir sind fertig, wenn wir zeigen konnen, dass a„:=a„(j/)e2-^ von y nicht abhangt, denn dann gilt ex:

f{z)=

J2 ^n^^™'n= — oo

Hierzu zeigen wir

oder, was dasselbe bedeutet, <(?/) = -27rna„(?/). Zum Beweis benutzen wir die CAUCHY-RiEMANN'sclien Differentialgleicliungen df{z) dx

_

.dfjz) dy

Aus der Integralforniel fiir a^{y) ergibt sicli mit Hilfe der LEiBNiz'sclien Regel 1

0

1

0

und durcli partielle Integration die gewiinsclite Differentialgleicliung fiir a^{y).

a

Ubungsaufgaben zu §5

151

Die Potenzreihenentwicklung ist ein Spezialfall der LAURENTentwicklung. W i r erhalten also auf diesem Wege auch einen neuen Beweis fiir die lokale Entwickelbarkeit (zweimal stetig) komplex ableitbarer F u n k t i o n e n in Potenzreihen. Es ist jedoch zu bedenken, dass die reelle Theorie der FouRiERreihen alles a n d e r e als trivial ist.

Ubungsaufgaben zu III.5 1. Man entwickle die durch f{z) = z/{z n = {zeC;

+ 1) definierte Funktion in 0<|z-i|<2}

in eine LAURENTreihe. Welcher Typ von Singularitat liegt bei a = i vor? 2. Man entwickle die durch f(z) = definierte Funktion in den Ringge^ ' {z- l ) ( ^ - 2 ) ^^ bieten 7^(a;r,fl) := {« e C; r <\z-a\
z{z-\){z-2)

definierte Funktion in den Ringgebieten 72,(0; 0,1), 7?.(0;1,2) und 72,(0; 2, oo) jeweils in eine LAURENTreihe. 4. Widerspricht die folgende „Identitat" dem Satz von der Eindeutigkeit der LAURENTentwicklung: ^ 1 , 1 1 1 , 1 1— z z 1 — 1/z 1— z z — \ oo

cxD

oo

n=0

n = —oo

z n= l

5. Seien /^ = /^ = 1 und / „ := / „ _ i + f^_^ fiir n > 2. Man zeige: a) Durch f{z) := X^^^Q /„^^" wird die rationale Funktion

f{z) = 1 — z — z^ definiert. b) Fiir aUe n G NQ gilt (die BiNET'sche Formel fiir die FiBONACCi-Zahlen)

1 fi + ^Y+' Jn

V5\

'2 J

1

fi-^^"+'

V5 V 2

152

Kapitel III. Folgen und Reihen analytischer Funktionen, Residuensatz

6. Hat f in a einen Pol der Ordnung m G N und ist p ein Polynom vom Grad n, so hat g = po f in a einen Pol der Ordnung niM. 7. Fiir ;/ G Z, w G C sei Jy{w) der Koeffizient von z" in der LAURENTentwicklung von / : C* —>C, / ( z ) : = e x p f- fz ) " ' ) ' ^1^° OO

i^ = —OO

Man zejge: a) J^{-w) = J_^{w)

= {-iyj^{w)

fiir alle ly e Z und alle w e C.

277

7r

b) i7„(w) = - — / cos{vt — w sin t) dt = — / cos(i^i — w sini) di. 27r y TT J 0

0

c) Die Funktionen Jjj{w) sind analytisch in C Ihre TAYLORentwicklung um den NuUpunkt hat fiir i^ > 0 die Gestalt

d) Die i7j, erfiillen die BESSEL'sche Differentialgleichung (*)

w f"{w) + wf' (w) + {w — V )f{w) = 0.

Die i7j, heifien Besselfunktionen

der Ordnung ;/ (vgl. auch S. 118).

8. Man zeige direkt (ohne die Verwendung allgemeiner Satze), dass die Funktion

f{z) := exp in jeder punktierten Umgebung U^{0) jeden Wert w G C anniniint.

(sogar unendlich oft)

9. Sei 72, das Ringgebiet n={zeC;

r<\z\
0 < r < R.

Die Funktion f{z) = 1/z lasst sich in TZ nicht gleichmafiig durch eine Folge von Polynoinen approxiniieren. 10. Die Funktion cot nz hat die Periode 1 und ist sowohl in der oberen als auch in der unteren Halbebene analytisch. Man bestininie die FouRiERentwicklungen.

Anhang zu §4 und §5. Der Begriff der ineroinorphen Funktion

153

Anhang zu III.4 und III.5. Der Begriff der meromorphen Funktion. Es ist naheliegend, die Polstellen einer analytischen Funktion mit in den Definitionsbereich aufzunehmen und dort der Funktion den Wert cx) zuzuschreiben. Es sei also C := C U {oo}. A l Definition. Eine Ahhildung f -.D —^ C, heifit meromorphe

Funktion,

DdC

offen,

falls gilt:

a) Die Menge S{f) = /^^({oo}) der Unendlichkeitsstellen D. b) Die Einschrdnkung

von f ist diskret in

von f, fo-.D-

S{f) -^

C,

ist analytisch. c) Die Punkte aus S{f)

sind Pole von / Q .

Addition von meromorphen Funktionen Seien f^g : D ^ £. zwei meromorphe Funktionen mit Polmengen S,T. Die Funktion / +
- ^^^^

Q{z)

-

" " ^ " ^ « « - i ^ " " ^ + • • • + flo

6„z™ + 6„_iz™-i + • • • + 6o

Funktionen

154

Kapitel III. Folgen und Reihen analytischer Funktionen, Residuensatz

wobei P und Q Polynome sind und m,n & NQ, b^ ^ 0. Die Singularitatennienge von R ist hier endlich; sie ist in der Nullstellenmenge N{Q) des Nennerpolynoms enthalten. Ein typisches Beispiel fiir eine Funktion niit unendlicher Singularitatenmenge ist cos TTZ c o t TTZ

S m TTZ

Wegen sin TTZ = 0 -^^

z E Z

ist die Singularitatenmenge die Menge Z der ganzen Zahlen. Ist / G M.{D) und a ein Pol von / , so gibt es wegen der Diskretheit der Polstellennienge S{f) eine punktierte Unigebung U{a) von a mit U{a)riS{f) = 0. Ist k die Polordnung von / in a, so gilt fiir z E U{a)

m

(z — a)^

mit einer in U{a) analytisclien Funktion /g. Lokal laBt sicli also eine meromorplie Funktion inimer als Quotient analytischer Funktionen darstellen. Es ist ein niclittrivialer Satz, dafi dies aucli stets global nioglicli ist, d. li. daB es zu einer Funktion / e Ai{D) stets analytisclie Funktionen g,h E 0{D), /i ^ 0, gibt mit

Diesen Satz werden wir im Falle D = C in Kapitel IV mit Hilfe von Weierstrafiprodukten beweisen. Algebraiscli besagt dies: Der Quotientenkorper Q(0(i?))=||;

g,hEO{D),h^O^

des Integritatsbereiclies 0{D) ist der Korper Ai{D) der meromorplien Funktionen. Verallgemeinerung Wenn man sclion oo als Wert zugelassen hat, warum soU man dann oo nicht auch in den Definitionsbereich aufnehmen? Dazu benotigt man eine Topologisierung der Menge C = C U {oo}.

Anhang zu §4 und §5. Der Begriff der ineroinorphen Funktion

A 3 Definition. Eine Teilmenge D c C heifit offen, falls folgende gen erfullt sind:

155

Bedingun-

a) -D n C ist offen. b) Ist cx) G -D, so existiert tin R> 0 mit DD

{zeC]

\z\ > R}.

Im folgenden verwenden wir die Konvention: 1

1

- = cx),

— = 0.

0

CX)

Eine Menge D C C ist offenbar dann und nur dann offen, wenn die Menge {z G C; z-'^ G D} offen ist. A 4 Definition. Eine Funktion f -.D —^ C, heifit meromorph,

falls gilt:

a) / ist in D nC b) Die Funktion

meromorph.

Dec

offen,

f{z):=f{l/z) ist in der offenen Menge D:={ZEC]

1/ZED}

meromorph. 1st CO ^ D, D also eine offene Teilmenge von C, dann ist diese Definition mit Al aquivalent. Gilt jedocli oo G D, so ist 0 ein Element von D und b) ist eine eclite weitere Bedingung. Sie bedeutet die Meromorpliie von / in cx). Das Verlialten von / „in der Nalie" von z = oo entspriclit also definitionsgemafi dem Verlialten der Funktion / „ in der Nalie" von z = 0. In diesem Zusammenliang bietet sicli aucli folgende Sprechweise an: Ist D c C eine offene Teilmenge, die oo enthdlt, und ist f : -D — {oo} —> C eine analytische Funktion, so nennt man die „Singularitdt oo " von f a) hehhar, b) aufierwesentlich bzw. Pol (der Ordnung k G NJ, c) wesentlich, falls die Funktion f : D — {0} —)• C die entsprechende Eigenschaft fur die Singularitdt 0 besitzt.

156

Kapitel III. Folgen und Reihen analytischer Funktionen, Residuensatz

Beispiele. 1) Sei

ein Polynom. Welches Verhalten zeigt p in der Nahe von co ? Nach Definition niiissen wir das Verhalten von p in der Nahe von 0 untersuchen:

1st p nicht konstant, d. h. n > 1, a^ ^ 0, so hat also p an der Stelle z = 0 einen Pol der Ordnung n und daniit p in co einen Pol der Ordnung n. 2) Durch f{z) = exp{z) =

^ Tl=0

n!

wird bekanntlich eine ganze Funktion definiert. Urn ihr Verhalten in co zu untersuchen, hat man / I \

/(.)=exp

z J '

OO

= ^ - — + 1 - ^ n! z' n=l

ZU betrachten. Die Funktion / = exp hat also in oo eine wesenthche Singularitat. Bei den ganzen Funktionen, d. h. den in ganz C analytischen Funktionen / , unterscheidet man deshalb zwischen zwei Klassen, den ganz rationalen Funktionen (Polynomen), die dadurch charakterisiert werden konnen, daB sie in cx) auBerwesenthch singular sind, und den ganz transzendenten

Funktionen, welche in cx) wesenthch singular sind.

Wir bezeichnen wieder mit Ai{D) die Menge aller meromorphen Funktionen auf D und mit 0{D) die Teilmenge aller analytischen Funktionen auf D. Das sind definitionsgemafi diejenigen meromorphen Funktionen, welche den Wert (X) nicht annehmen. Eine offene Teilmenge D C C heifit Gebiet, falls der Durchschnitt D D C im bisherigen Sinne ein Gebiet ist.

Anhang zu §4 und §5. Der Begriff der ineroinorphen Funktion

157

In Analogic zu A2 gilt A 5 Bemerkung. Die Gesamtheit der meromorphen Funktionen Ai{D) auf einem Gebiet D c C bildet einen Korper, welcher 0{D) als Unterring enthdlt. A6 Satz. Die meromorphen Funktionen auf ganz C sind genau die rationalen Funktionen. Beweis. Sei / G A4(C). Die Funktion / ist in einer vollen punktierten Unigebung von co, also in einem Bereicli {z G C;

1^1 > C},

C geeignet,

analytiscli. Dalier hat / nur endlicli viele Pole s E C Der Hauptteil von / in einem Pol s hat die Gestalt /ig I

J,

/ig ein Polynom.

Die Funktion

9{z) = f{z)-

Yl

K(-^^

sec f(s)

^

= OD

ist in der ganzen Ebene analytisch. Nach Voraussetzung ist sie in oo aufierwesentlich singular und daher ein Polynom. D Damit ist nicht nur A6 bewiesen, sondern auch A 7 Satz (Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen). Jede rationale Funktion ist Summe eines Polynoms und einer endlichen Linearkombination von speziellen rationalen Funktionen (Partialbriichen) der Gestalt z^^

(z-s)-"-

,

riG N.

Ferner ergibt sich jetzt unmittelbar A 8 Satz (Variante des Liouville'schen Satzes). Jede analytische / : C —^ C ist konstant.

Funktion

Man kann so schliefien: / | C ist eine rationale Funktion ohne Pole, also ein Polynom. Da es in co keinen Pol hat, ist es konstant. D Obwohl wir davon vorerst keinen Gebrauch machen, wollen wir darauf hinweisen, dass C mit der Definition A3 ein kompakter topologischer Raum wird.

Kapitel III. Folgen und Reihen analytischer Funktionen, Residuensatz

158

Er ist homoomorph zur Kugeloberflache S'^ = {{w,t)

eCxR^R^;

\wf+t'^

=

l},

wie man mit Hilfe der stereographischen Projektion cr : 5^ —^ C = C U {00} zeigen kann. Diese ist definiert durch W,t)y^

(0,1),

iw,t) =

iO,l)=:N. S'^ wird gegeben durch 2z I

|2

I 1 ' I |2 , 1 1^1 +1 1^1 + 1

00,

Z ^

00.

Betrachtet man S'^ als „Modell" fiir C, so nennt man C auch (oder Riemann'sche Zahlkugel).

Riemann-Sphdre

Die Variante des LiouviLLE'schen Satzes A8 lai3t sich dank der Kompaktheit von C auch in einem anderen Licht betrachten. Jede stetige Funktion auf C mit Werten in C hat ein Betragsmaximum! Nach dem Maximumprinzip mui3 sie konstant sein, wenn sie analytisch ist. Mobiustransformationen Eine rationale Funktion definiert genau dann eine bijektive Abbildung der Zahlkugel auf sich, wenn sie von der Gestalt

az + b cz + d^

a, 6, c, d G C, ad — bc^ 0,

ist. Wir nennen solche Abbildungen gebrochen lineare Transformationen auch Mobiustransformationen. Jeder invertierbaren Matrix M =

a c

oder

b d

ist also eine MoBlUStransformation Mz:

az + b cz + d

zugeordnet. Die Menge aller invertierbaren 2 x 2-Matrizen bildet die Gruppe GL(2, C). Die Menge Tt aUer MoBiustransformationen ist ebenfaUs eine Gruppe, Gruppenverkniipfung ist die Hintereinanderausfiihrung von Abbildungen.

Ubungsaufgaben zum Anhang zu §4 und §5 A 9 S a t z . Die

159

Ahhildung GL(2,C) —^971,

die einer Matrix M die entsprechende Mobiustransformation zuordnet, ist eine Gruppenhomomorphismus. Zwei Matrizen definieren genau dann dieselbe Mobiustransformation, wenn sie sich um einen skalaren Faktor ^ 0 unterscheiden. F o l g e r u n g . Die zu M gehorige

inverse

M-^z

Mobiustransformation

ist

dz — b -cz + a

Naheres zu diesem T h e m a findet sich in den U b u n g s a u f g a b e n zu diesem P a r a graphen.

Ubungsaufgaben z u m Anhang zu III.4 und III.5 1. Sei D C C ein nicht leeres Gebiet. Die Menge M[D) Funktionen ist ein Korper.

der in D meroinorphen

2. Die Nullstellennienge einer auf eineni Gebiet D definierten von Null verschiedenen nieroniorphen Funktion ist diskret in D. 3. Sei oo Singularitat einer analytischen Funktion / . Man klassifiziere die drei Typen von Singularitaten durch das Abbildungsverhalten. 4. Man beweise, dass die im Anhang zu §4 und §5 definierte stereographische Projektion bijektiv ist und dass ihre Umkehrabbildung durch die angegebene Forniel geliefert wird. 5. Sei / : C ^ C eine ganze Funktion, ferner sei / injektiv. Man zeige, dass / von der Form f{z) = az + b, a ^ 0, ist, und folgere, dafi jedes solche / eine konforme Selbstabbildung von C ist. Die Gruppe Aut(C) der konformen Selbstabbildungen von C besteht genau aus den afSnen Abbildungen z i-^ az + b, a,b G C, a / 0. 6. Man bestimme alle ganzen Funktionen / mit f{f{z)) 7. Ein Autoniorphismus Eigenschaften

= z fiir alle z £ C

der Zahlkugel C ist eine Abbildung / : C ^

C mit den

160

Kapitel III. Folgen und Reihen analytischer Funktionen, Residuensatz a) / ist meromorph, und b) / ist bijektiv. Man zeige, dass a) die Umkehrabbildung f~^ wieder meromorph ist und b) jeder Automorphismus von C eine MOBIUStransformation ist und umgekehrt:

Aut(c") = m. 8. Eine von der Identitat verschiedene MOBIUStransformation hat mindestens einen aber hochstens zwei Fixpunkte. 9. Seien a, b und c drei verschiedene Punkte der Zahlkugel C

Man zeige, dass es

genau eine MOBIUStransformation M mit der Eigenschaft M a = 0,

Mb=l,

Mc = oo

gibt. Tip. Man betrachte z — a h— a : -; . z — c 0— c Bemerkung. Der rechts stehende Ausdruck heifit auch das Doppelverhaltnis z, a, b und c, abgekiirzt DV(z,a, 6, c). Mz :=

von

10. Eine Teilmenge der Zahlkugel C heifit verallgemeinerte Kreislinie, falls sie entweder eine Kreislinie in C oder eine (nicht notwendig durch 0 gehende) Gerade vereinigt mit dem Punkt oo ist. Eine Abbildung der Kugel in sich heifit kreisverwandt, falls sie verallgemeinerte Kreislinien auf verallgemeinerte Kreislinien abbbildet. Man zeige, dass MOBIUStransformationen kreisverwandt sind. 11. Zu jeweils zwei verallgemeinerten Kreislinien existiert eine MOBIUStransformation, welche die eine in die andere iiberfiihrt. 12. Folgenden Satz beweist man in der linearen Algebra mit der JORDAN'schen Normalform: Zu jeder Matrix M G GL(2,C) existiert eine Matrix A G G L ( 2 , C ) , so dass AMA~^ eine Diagonalmatrix oder eine Dreiecksmatrix mit zwei gleichen Diagonalelementen ist. Man gebe hierfiir einen funktionentheoretischen Beweis. Anleitung. Nach geeigneter Wahl von A kann man annehmen, dass oo Fixpunkt von M ist. 13. Zu jeder Matrix endlicher Ordnung M G SL(2, C) existiert eine Matrix A G GL(2, C), so dass

mit einer Einheitswurzel C, gilt.

§6. Der Residuensatz

161

6. Der Residuensatz Vorbemerkungen fiber Umlaufzahlen In II.2.8 hatten wir den Begriff des Elementargebietes

eingefiihrt:

Ein Gebiet D C C heiBt Elementargebiet, wenn jede analytische Funktion / : -D —^ C eine Stanimfunkion in ganz D besitzt, oder — Equivalent hierzu —, fiir jede geschlossene Kurve a in D und jede analytische Funktion / : D —)• C gilt:

^ f{C)dC = 0. Eine in diesem Zusammenliang nalieliegende Frage ist: Sei D c C ein beliebiges Gebiet. Wie lassen sich diejenigen geschlossenen Kurven a in D charakterisieren, fur die J /(C) d^ = 0 fur jede analytische Funktion f : D ^ C gilt? Wir werden ini Anliang B zu Kapitel IV selien, dass dies genau diejenigen geschlossenen Kurven a in D sind, die keinen Punkt des Koniplenients C — D „unilaufen". Insbesondere ergibt sich, dass Elenientargebiete dadurch charakterisiert sind, dass das „Innere" jeder geschlossenen in D verlaufenden Kurve zu D gehort. Anschaulich bedeutet dies, dass D keine Locher hat. Wie lasst sich nun das „Unilaufen" einer geschlossenen Kurve a in D urn einen Punkt a niit a ^ Bild a definieren? Wir lassen uns zur Motivation der anschlieBenden Definition von eineni anschauUchen Beispiel leiten: Fiir A; e Z - {0} und r > 0, Zg G C, sei £^(t) = Zg+ rexp(27riA;t),

0 < i < 1,

die fc-fach durchlaufene Kreislinie niit Mittelpunkt ZQ und Radius r. Es gilt 1 /" 1 , . 27ri J C — z

{k \0

fiir alle z niit \z — Z(,\ < r. fiir alle z niit jz — ^Q| > r.

Dieses Beispiel gibt Anlass zu der 6.1 Definition. Sei a eine geschlossene, stuckweise glatte Kurve, deren Bild den Punkt ^ G C nicht enthalt: Die Umlaufzahl (auch die Windungszahl oder der Index) von a beziiglich z ist definiert durch

162

Kapitel III. Residuensatz

Diese Definition ist ganz und gar ungeometrisch. Fiir den Augenblick geben wir uns daniit zufrieden, dass diese Definition ini Falle von Kreislinien mit der Anscliauung iibereinstimnit. Der Leser niacfie sicli klar, dass eine exakte Definition der Umlaufzalil, die der Anscliauung nafiekommt, niclit einfacli ist. Man kann zeigen (vgl. Aufgabe 3e) aus III.6), dass das die Umlaufzahl definierende Integral die Gesamtdnderung des Arguments von a{t) misst, wenn t das Parameterintervall von a durclilauft. Im Anliang zu Kapitel IV werden wir zeigen, dass man jede gesclilossene Kurve in der punktierten Ebene in eine fc-fach durchlaufene Kreislinie stetig deformieren kann. Hieraus wird sich ergeben, dass die Umlaufzalil gerade die ganze Zalil k ist, im Einklang mit der Anscliauung. Wer nicht auf den Anhang vertrostet werden will, findet in den Ubungsaufgaben zu diesem Paragraphen die Moglichkeit, die wesentlichen Eigenschaften der Umlaufzahl, insbesondere ilire Ganzzahligkeit, abzuleiten. Ist a eine geschlossene Kurve in einem Elementargebiet, so ist nacli dem CAUCHY'sclien Integralsatz die Umlaufzalil um jeden Punkt des Komplements von D Null. Wir werden im Anhang B zu Kapitel IV zeigen, dass hiervon auch die Umkehrung gilt. Anschaulich ist dies eine Prazisierung der schon mehrfach erwahnten Tatsache, dass Elementargebiete genau die Gebiete ohne Locher sind.

Ist TZ ein Ringgebiet, r < \z\ < R, so umlaufen die Kreislinien vom Radius g, r < g < R, Punkte des Komplements, namlich alle z mit \z\ < r.

§6. Der Residuensatz

163

Mit Hilfe der Umlaufzahl lasst sich auch prazisieren, was man unter dem „Inneren" bzw. „ AuBeren" einer geschlossenen Kurve zu verstehen hat. 1st a : [a, 6] —^ C eine (stiickweise glatte) geschlossene Kurve, dann heiBt Int {a) := { z G C — Bilda;

x(a; z) ^ 0 } das Innere von a

und Ext {a) := { z G C — Bilda;

x(a; z) = 0 } das Aufiere von

a.

Es gilt stets Bild a = Int (a) U Ext (a)

(disjunkte Vereinigung) .

Fiir den Fall a = EJ. (sielie unser Beispiel) stimnit der eingefiilirte Begriff mit der Anscliauung iiberein: Int (a) = { ^ e C - B i l d a ;

x{a;z)y^O}

E x t ( a ) = {^ e C - B i l d a ;

xia;z)

= {zeC;

= O} = {z e C;

|2;-^o|r}.

Fiir Elementargebiete D gilt: 1st a eine geschlossene Kurve in D, dann ist Int (a) C D. Wir schliefien diese Vorbemerkungen mit einem Verfahren zur Bestimmung der Umlaufzahl, mit dem man sie in konkreten Fallen (z. B. in den Anwendungen 7.2) leicht berechnen kann. Schlitzt man die komplexe Ebene langs einer von z E C ausgehenden Halbgeraden, so erhalt man ein Sterngebiet (also ein Elementargebiet). Das Kurvenintegral — dC

c a

iiber irgendeine Kurve a : [a,6] —)• C, z ^ Bilda, hangt also nur vom Anfangsund Endpunkt von a ab, so lange die Kurve die Halbgerade nicht iiberschreitet. Dies kann man ausnutzen, um eine vorgelegte geschlossene Kurve zu vereinfachen, ohne die Umlaufzahl zu verandern. 1. Beispiel. Fiir die beiden Kurven a und /? (s. Abbildung) gilt 1

C-z

f dC = /

^

JC

1 dC-

Kapitel III. Residuensatz

164 2. Beispiel. Sei r > 0 und a{t) --

t,

fiir

—r
dann ist X(a;i

1, 0,

falls r > 1, falls 0 < r < 1.

Statt liber das Intervall von —r bis r zu integrieren, kann man namlich aucli liber den „ unteren Halbkreis" integrieren. Insgesamt erlialt man dann ein Integral iiber eine Kreislinie. 6.2 Definition. Sei a G C eine Singularitat der analytischen Funktion

f,

oo

f{z) = J2 ««(^-a)" ihre Laurententwicklung in einer punktierten Umgebung von a. Der Koeffizient a_^ in dieser Entwicklung heifit Residuum von f an der Stelle a. Bezeiciinung. Res(/; a) :=a_]^. Nacli der KoefFizientenformel 5.2 gilt Res(/;a)

1 2^\

fiOdC \C-a\ = 0

fiir geniigend kleines g. In liebbaren Singularitaten ist das Residuum Null. Es kann jedocli aucli in ecliten Singularitaten verscliwinden. Ist beispielsweise f„{z) = z", n E Z, so ist Res(/„; 0) = 0 fiir n ^ —I und = 1 fiir n = —1. Wir kommen nun zum Hauptsatz des Kapitels: 6.3 Tiieorem (Residuensatz, A.-L. C A U C H Y , 1826). Es seien D c C ein Elementargebiet und z-^^^...^Zf. G D endlich viele (paarweise verschiedene) Punkte, ferner sei f : D — {z^,... jZ/.} —)• C eine analytische Funktion und a : [a,b] —> D — {z^,..., Zf,} eine geschlossene (stuckweise glatte) Kurve. Dann gilt

Residuenformel j f{C)dC =

2mY,Kes{f-Zj)x{a;Zj).

§6. Der Residuensatz

165

Beweis. Wir entwickeln / um jede der Singularitaten z- in eine LAURENTreihe, oo

Nach Definition ist a_[ = R e s ( / ; ^3) , I < j < k. Da jeder Hauptteil

^^'\z-zj] eine in C — {zA analytische Funktion definiert, hat die Funktion

»(.)^/(.)-E'..(7^) an den Stellen z,, I < j < k, hebbare Singularitaten, lasst sich also in ganz D analytiscli fortsetzen. Da D ein Elenientargebiet ist, folgt

0 = jgiOdC = /(/(C) - E ^ ( ^ ) ) dC

a

^

a K

/

n

OO

fiOdc-Y. E«n'(c-^,rrfc j=^i

"=-1

/(c)rfc-E E«nW(c-^,rrfc J=l"=-1

a

= f fiOdC-Ya^llf •

a

= j

'

-^dC a

f{0dC-2mY,Ke^{f-Zj)x{a;Zj) ^=1

nach Definition des Residuums und der Umlaufzahl, also k

f /(C) dC = 2mERes(/; a

3= ^

z.)x{a;

z-).

U

Kapitel III. Residuensatz

166 Bemerkungen.

1) In der Residuenformel von Theorem 6.3 liefern nur diejenigen Punkte z, einen Beitrag, fiir die x(ct;-2,) ^ 0 ist, d.h. die Punkte z,, die von a umlaufen werden, ni. a. W. die Punkte ini Innern von a, z- G Int [a). 2) Ist / in die Punkte ^ ^ , . . . , z^ hinein analytisch fortsetzbar, dann ist

/(C)rfC = o. Der Residuensatz ist also eine Verallgenieinerung des CAUCHY'schen Integralsatzes fiir Elementargebiete. 3) Ist / analytisch in dem Elenientargebiet D, und ist z E D, dann ist die Funktion h:D-{z}

c

analytisch, und es gilt Res(/i; z) = f{z).

— f h(C)dC= 2m.

^^' ^

—

27ri

/(C) C-z

Nach der Residuenformel ist

/(C) dC = Res(/i; z) x{a; z) = f{z) x(a; z).

C-z

Damit haben wir eine Verallgemeinerung der CAUCHY'schen Integralformel gefunden:

Bevor wir uns mit den Anwendungen des Residuensatzes beschaftigen, geben wir noch einige fiir das folgende niitzliche Rechenregeln fiir die Berechnung spezieller Residuen im Falle auBerwesenthcher Singularitaten an. 6.4 Bemerkung. Seien D c C tin Gehiet, a E D ein Punkt aus D und f,g:D — {a} —)• C analytische Funktionen mit aufierwesentlicher Singularitdt in a. Dann gilt: 1) Istord{f;a) > —I, so gilt Res(/; a) = lim {z — a)f{z). 1st allgemeiner a ein Pol der Ordnung k, so gilt Res(/; a)

{k-l)l

mit f{z) =

2) Ist ord(/; a) > 0 und oid{g; a) = 1, so gilt

{z-aYf{z).

§6. Der Residuensatz

167 Res{f/g;a)

= —-—. 9 [a)

3) 1st / ^ 0, so ist fur alle a E D

Res(/7/;a) =ord(/;a). 4) Ist g analytisch, so gilt Res U —; aj =

g{a)ord{f]a).

Beispiele. 1) Die Funktion exp(i2;) Z2 + 1

h{z)

hat bei a = i einen Pol erster Ordnung. Aus 6.4,1) folgt wegen z^ + \ = [z — \){z + i) Res(/i; i) = lim(^ — \)h{z) = . z^i 2e Dasselbe Resultat erhalt man aus 6.4,2) mit f{z) = exp(i2;) und g{z) ^2 + 1,

Res(/.;i) = 4 ^ = H 3 ^ i ^ = _ l . ^

'

9'(i)

2i

2e

2) Die Funktion cos(7r2;) sin(7r2;) hat in k E Zi Pole erster Ordnung mit 7rcos(7rA;) 3) Die Funktion

f{z

(^2 + 1)3

hat an der Stelle z = i einen Pol der Ordnung 3. Nach 6.4,1) gilt f'(2)(i) Res(/;i) = ^ h2!- ^

~ 1 mit •" f{z)' (z + iy

also Res(/;i) = - — . yj^ /

16

168

Kapitel III. Residuensatz

U b u n g s a u f g a b e n zu III.6 1. Fiir die durch die folgenden Fomieln definierten Funktionen bestiinine man jeweils in alien ihren Singularitaten die Residuen: 1 — cos z -. . z^ , 1 9 ' b) (1 + Z ) 3 ' ' (^2 + 1)3' Z^ 1 ({z, 2^++ ! )l )( (, z_--1I)P2 '^ 1 {z-^ + l ) ( z --i ) 3 '

,N d)

N exp(z) e) ^ ^ - ^ , h)

f)

1 exp(z) + 1

(_LJ\ ^exp^^-^j,

.s

1

2. Sei D C C ein Gebiet, a : [0,1] —>• D eine glatte geschlossene Kurve, a ^ B i l d a . Man zeige: Die Umlaufzahl

a

ist stets eine ganze Zahl. Anleitung:

Man definiere fiir t G [0,1] t

G{t) := /

" '•^^

ds

und F{t) := (Q(i) - a) e x p ( - G ( i ) ) .

0

Man berechne -F'(i) und zeige a{t) — a = (a(0) — a) exp G(i) fiir alle t G [0,1]. 3. Rechenregeln fiir die Umlaufzahl a) Ist a eine geschlossene Kurve in C, so ist die Funktion C — B i l d a —> C,

z i—> x{oi\ -2),

lokal konstant. b) Sind a und [5 zwei zusammensetzbare geschlossene Kurven, so gilt x ( a Q)li;z)=

x ( a ; z) + x(/3; z),

falls z weder im Bild von a noch im Bild von ji liegt. Insbesondere gilt X{a~;z)

=

-x{a\z).

c) Das Innere einer geschlossenen Kurve ist stets beschrankt, das Aufiere jedoch stets unbeschrankt, insbesondere nicht leer. d) Verlauft eine geschlossene Kurve a in einer Kreisscheibe, so ist das Komplement der Kreisscheibe im Aufieren von a enthalten. e) Ist a : [0,1] ^ C ein Kurve und ist a ein Punkt in ihrem Komplement, so existieren eine Partition 0 = OQ < ttj < • • • < a^ = 1 und Elementargebiete (sogar Kreisscheiben) D j , . . . , D ^ , welche a nicht enthalten, und so, dass Oi[0'v-nO'v\ C -D^, ^ < V < n, gilt. Aus der Tatsache, dass in jedem D^ ein stetiger Zweig des Logarithmus von (z — a)~^ existiert, ergibt sich ein neuer Beweis fiir die Ganzzahligkeit der Umlaufzahl von a, wenn a geschlossen ist, d.h. a(0) = a ( l ) .

Ubungsaufgaben zu §6 4.

169

Hat / in oo eine (isolierte) Singularitat, so definiert man Res(/;oo) := — R e s ( / ; 0 ) ,

dabei sei

m = j,m = j,f (;) • Warum der Faktor z~'^ angefiigt wird, zeigt sich in den folgenden Rechenregeln, insbesondere der Rechenregel aus Aufgabe 5. a) Man zeige: Res(/;oo) = - ^ ^ / ( C ) d C , dabei ist a^it) = Rexp{it), t G [0, 27r], und R so grofi gewahlt, dafi / im Komplement der abgeschlossenen Kreisscheibe vom Radius R um 0 analytisch ist. b) Die Funktion

f(z) = l

1/z,

falls z ^ CO,

hat in oo eine hebbare Singularitat, aber Res(/;oo) = —1 (nicht Null!). Hier scheint oo eine Sonderrolle zu spielen. Diese Sonderrolle wiirde aufgehoben, wenn man den Begriff des Differentials eingefiihrt hatte. Der Ordnungsbegriff bezieht sich auf die Funktion / , der Begriff des Residuums auf das Differential f(z)dz. 5. Sei / : C ^ C eine rationale Funktion. Man zeige: y

Res(/;p)=0

(Geschlossenheitsrelation).

6. Man berechne die folgenden Integrale

a) /:=
b) '=

ICI=2

7.

j

^l'^-

ICI=io

Hat / in a G C einen Pol erster Ordnung und ist g analytisch in einer (offenen) Umgebung von a, dann gilt Res(/3; a) = g{a) Res(/; a).

8. Das Residuum einer analytischen Funktion / in einer Singularitat a G C ist die eindeutig bestimmte komplexe Zahl c, so dass die Funktion

/W - ^— z —a in einer geeigneten punktierten Umgebung von a eine Stammfunktion besitzt. 9. Sei / analytisch in f7^(0) := U^{Q) - {0}, r > 0. Man zeige: R e s ( / ' ; 0) = 0.

170

Kapitel III. Residuensatz

10. Sei (fi : D ^ D eine konforme Abbildung zwischen zwei Gebieten der Ebene, a eine Kurve in D und a = ip~^{a) ihr Urbild in D, so gilt fiir jede stetige Funktion f:D^C

' f(ri)dri= f fMCWiOdCMan leite folgende Transformationsformel

fur Residuen ab:

R e s ( / ; ip{a)) = R e s ( ( / o ip)ip'•, a). Dabei sei / eine analytische Funktion auf D — {93(a)}. Dies beinhaltet auch eine Invarianzaussage der Umlaufzahl bei konformen Abbildungen.

7. Anwendungen des Residuensatzes Wir greifen von den zahlreichen Anwendungen des Residuensatzes einige wenige lieraus. Zunachst behandeln wir einige funktionentheoretische Anwendungen. Beispielsweise fiihren wir ein Integral ein, welches Null- und Polstellen zahlt. Eine andere wichtige Anwendung ist die Berechnung von bestimniten Integralen. Der Residuensatz liefert ein Instrument zur Berechnung vieler, auch rein reeller Integrale. Schliefilich wenden wir den Residuensatz zur Reihensummation an: Wir werden die Partialbruchentwicklung des Kotangens ableiten. In den Ubungsaufgaben wird der Residuensatz auch zur Berechnung GAUSS'scher Sunimen verwendet.

Funktionentheoretische Konsequenzen aus d e m Residuensatz W i r beginnen mit einem Satz, der die Anzahl der Nullstellen einer F u n k t i o n in einem Elenientargebiet mit der Anzahl ihrer Polstellen in Beziehung setzt. Aus der Rechenregel 6.4,3) folgt u n m i t t e l b a r : 7.1 S a t z . Sei D c C ein Elementargebiet (etwa ein Sterngebiet), f eine in D meromorphe Funktion mit den Nullstellen G D und den Polstellen b^,... ,b^ G D. Dann gilt fiir jede geschlossene stiickweise glatte Kurve a in D, auf deren Bild keine der Pol- oder Nullstellen von f liegt:

Eine A n w e n d u n g von Satz 7.1 ist folgender Satz von A . HURWITZ:

§7. Anwendungen des Residuensatzes

171

7.2 Theorem (A. HuRWiTZ, 1889). Sei /Q, f^, f^, • • • • D ^ C eine Folge von in einem Gebiet D c C nuUstellenfreien analytischen Funktionen, welche lokal gleichmdfiig gegen die (analytische) Funktion / : -D —)• C konvergiert. Dann gilt: f ist entweder identisch Null, oder f hat ebenfalls keine Nullstelle in D. Beweis. Wir schliefien indirekt, nehmen also an, dass / nicht identisch 0 ist, aber eine Nullstelle a besitzt. Wir wahlen e so klein, dass die Kreisscheibe voni Radius 2e urn a in D entlialten ist, und so, dass / fiir 0 < jz — a| < 2e keine Nullstelle hat. Man iiberlegt sich leicht, dass / 4 / / „ in U2^{a) — {a} lokal gleichmafiig gegen / ' / / konvergiert. Insbesondere gilt 2m

r

/„

27ri

T

f

im Widerspruch zur Annahnie / ( a ) = 0.

D

7.3 Folgerung. Sei D c C ein Gebiet, /Q, /^, / 2 , - - - eine Folge von injektiven analytischen Funktionen f^ : D ^ C, die lokal gleichmafiig gegen die (analytische) Funktion / : D —^ C konvergiert. Dann ist f entweder konstant oder wieder injektiv. Beweis. Sei / nicht konstant und a & D. Wegen der Injektivitat der f^ ist dann jede Funktion f„{z) — f„{a) nuUstellenfrei m D — {a}. Nach 7.2 ist auch die Grenzfunktion z ^ fiz) - / ( a ) nuUstellenfrei in D — {a}, also f{z) ^ f{a) fiir alle z & D — {a}. Varianten von Satz 7.1 und weitere Anwendungen 7.4 Satz (Spezialfall von 7.1). Wir definieren (mit den Bezeichnungen von 7.1) n

N(0) : = y

ord(/;a )

= Gesamtanzahl der Nullstellen,

p.=\ m

N{oo) : = — N ord(/;6j,) = Gesamtanzahl der Polstellen v= l

(mit Vielfachheiten gerechnet). Wir nehmen an, dass die Kurve a alle Pol- und Nullstellen umlauft und zwar jede genau einmal. Dann gilt Anzahlformel

1 ff

fiir Null- und

Polstellen

2^i , ^-(C)dC = A^(0)-Af(oo).

D

172

Kapitel III. Residuensatz

Wenn / keine Pole hat, so erhalten wir eine Formel fiir die Anzalil der NuUstellen. Mit Hilfe dieser Formel kann man liaufig numeriscli entsclieiden, ob eine analytisclie Funktion in eineni vorgegebenen Bereicli eine Nullstelle hat oder nicht. 7.5 B e m e r k u n g ( A r g u m e n t p r i n z i p ) . Die Funktion / : D —>• C sei analytisch, a sei eine geschlossene Kurve in D, auf deren Bild f keine Nullstelle hat. Dann gilt

Dies ist eine game Zahl (s. Uhungsaufgahe 2 in III.6 oder Folgerung aus A10). Unter den Voraussetzungen und Bezeichnungen von 7.1 und 7.4 ist diese Zahl gleich N{Q). Die Anzahl der NuUstellen von / (mit Vielfachheiten gerechnet) ist also gleich der Umlaufzahl der Bildkurve f o a um den NuUpunkt. Die Richtigkeit von 7.5 ergibt sich aus 7.4 und der Substitutionsregel fiir Integrale. D Beim Beweis des Satzes von der Gebietstreue (111.3.3) haben wir gezeigt, dass sich jede in einem Gebiet D, 0 G D, nichtkonstante analytische Funktion mit der Eigenschaft /(O) = 0 nach eventueller Verkleinerung von D als Zusammensetzung einer konformen Abbildung mit der n-ten Potenz darstellen lasst. Hieraus ergibt sich unmittelbar folgender Satz, den man auch aus dem Residuensatz ableiten kann. 7.6 Satz. Sei f : D ^ C eine nichtkonstante analytische Funktion auf einem Gebiet D C C Sei a £ D ein fester Punkt und b = f{a). Die Ordnung von f{z) —b an der Stelle z = a sei n £ fi. Dann giht es offene Umgehungen U C D von a und V C C von h, so dass zu jedem w £V, w ^ h genau n Urhilder z-^^... ,z^ G U existieren. Es gilt also f{z-) = w fiir 1 < j < n. Uherdies ist die Ordnung von f{z) — w an alien Stellen z, gleich 1. Beweis mit Hilfe des Argumentprinzips. Wir wahlen eine e-Umgebung von a, deren Abschluss ganz in D enthalten ist. Wir konnen e so klein wahlen, dass / keine 6-Stelle auf ihrem Rand hat, und so, dass die Ableitung fiir 0 < [2; — a| < e von 0 verschieden ist. Wir wahlen U = U^{a) und V = Vg{b), wobei wir 5 so klein wahlen, dass

VnfidU)

=11).

Dies ist moglich, da das Bild des Randes von U kompakt, sein Komplement also offen ist. Nach dem Argumentprinzip (7.5) ist die Anzahl der w-Stellen, w £ V, von / in U gleich der Umlaufzahl xif ° a; w). Dabei bezeichne a die Kreislinie a(i) = a + £e^''",

0 < t < 1.

Diese Umlaufzahl hangt offensichtlich stetig von w ab. Da sie nur ganze Werte annimmt, ist sie konstant (= n). Die Einfachheit der w-Stellen fiir w ^ b ergibt sich aus der Voraussetzung iiber die Ableitung von / . D Satz 7.6 beinhaltet natiirlich einen weiteren Beweis des Satzes von der Gebietstreue.:

§7. Anwendungen des Residuensatzes

173

7.6j^ F o l g e r u n g . Sei f : D ^ C eine analytische Funktion auf einer offenen Teilmenge D C C, und sei a £ D ein Punkt. Die Funktion f ist genau dann injektiv in einer geeigneten offenen Umgehung a £ U C D, falls f'{a) / 0. In diesem Fall hildet f eine kleine offene Umgehung von a konform auf eine offene Umgheung von f{a) ah. Dainit haben wir einen funktionentheoretischen Beweis fiir den Satz fiir iinplizite Funktionen. (Diesen Satz batten wir in 1.5.7 unter Riickgriff auf den reellen Satz fiir implizite Funktionen bewiesen).

7.7 Satz v o n R o u c h e (E. ROUCHE, 1862). Seien f und g analytische Funktionen auf einem Elementargehiet D und a eine geschlossene Kurve in D, welche jeden Punkt in ihrem Inneren Int(a) genau einmal umlduft. Wir nehmen der Einfachheit halher an, dass f und f + g nur endlich viele Nullstellen in D hahen. (Diese Bedingung ist in Wahrheit iiherflussig, siehe Kapitel IV, Anhang B.) Annahme:

|5(C)I < 1/(01

/«r C e Bild a.

Dann hahen die Funktionen f,f + g auf dew, Bild von a keine Nullstelle, und es gilt: Die Funktionen f und f + g hahen im Innern der Kurve a gleich viele Nullstellen (mit Vielfachheiten gerechnet) . Dieser Satz bedeutet die Invarianz der Nullstellenanzahl bei einer kleinen Storung. Beweis von 7.7. Wir betrachten die Schar von Funktionen h^{z) = f{z)^sg{z),

0<s
welche / (= ft.g) mit f + g {= ft-i) verbindet. Es ist klar, dass diese Funktionen keine Nullstellen auf dem Bild von a haben. Das „nullstellenzahlende Integral" hangt stetig von s ab, ist eine ganze Zahl (7.5) und daher konstant. D Will man nicht nur die Anzahl der Nullstellen, sondern auch ihre Lage bestimmen, so kann man folgende offensichtliche Verallgemeinerung von 7.1 verwenden:

7.8 S a t z . Sei D C C ein Elementargehiet, f eine in D meromorphe den Nullstellen Oj^,..., a^ und den Polstellen b^,... ,b^ G D . Sei

Funktion

mit

g : D ^ C eine analytische Funktion. Dann gilt fur jede geschlossene stuckweise glatte a : [a, b] —>• D, auf deren Bild keine der Pol- oder Nullstellen von f liegt:

Kurve

i f f " "^ 2^1 / j 5 = ^ o r d ( / ; a ^ ) x ( a ; a ^ ) 5 ( a ^ ) + ^ o r d ( / ; 6 J x ( a ; & j 5 ( & J fl: = 1

V= l

Wenn man beispielsweise weifi, dass / genau eine Nullstelle (von erster Ordnung) hat, so erhalt man die Lage dieser Nullstelle durch die Wahl g{z) = z.

174

Kapitel III. Residuensatz

B e i s p i e l e und A n w e n d u n g e n 1) Mit Hilfe des Satzes 7.4 ergeben sich weitere Beweise des Fundamentalsatzes Algebra. Beispielsweise kann man so schliefien:

der

Wegen Ivca,,^^ \P{'^)\ = oo gibt es ein _R > 0, so dass P{z) fiir z mit \z\ > R/2 keine Nullstelle hat. Die Anzahl aller Nullstellen von P ist

\C\=R

Im Bereich \z\ > R/2 hat man eine Entwicklung der Form P'(z) n Cy Co c. , „ , „s Pyz) z z^ z-^ z^ mit geeigneten Konstanten c . Zum Integral tragt nur der erste Term bei, da die anderen Summanden Stammfunktionen haben. Es folgt 7V(0) =n = Grad P. Ein Polynom P vom Grad n hat also n Nullstellen (jede entsprechend ihrer Vielfachheit gerechnet). Eine etwas andere Schlussweise benutzt den Satz von R O U C H E , angewendet auf die Funktionen f{z) = a^z^ und g{z) = P{z) - f{z), wobei P das vorgegebene Polynom vom Grad n > 0 ist. Der Satz von RouCHE kann zur Losung von Gleichungen verwendet werden, insbesondere erhalt man mit seiner Hilfe Informationen iiber die Lage von Nullstellen; man kann die Nullstellen in gewisser Weise „separieren". Dies soil an zwei Beispielen verdeutlicht werden: 2) Wir betrachten das Polynom P(2;) = 2; +6z+3. man f{z) = z und g{z) = 6z + 3, dann gilt fiir |2;| = 2 \g{z)\

< 6\z\

+3

= 15 < 16

Setzt

Ima

=\f{z)\.

Daher haben / und f + g = P in der Kreisscheibe |2;| < 2 dieselbe Anzahl von Nullstellen. Da / in ZQ — 0 eine Nullstelle der Ordnung 4 und sonst keine hat, hat auch P in \z\ < 2 genau vier Nullstellen. wobei Wendet man dieselbe Schlussweise an mit der Zerlegung P = f^+g^, f-^{z) := 6z und g^iz) := z* + 3, so gilt fiir \z\ = 1 \g,{z)\ = | / + 3| < Izl" + 3 = l + 3 = 4 < 6 = \6z\ = \f,{z)\ . Nach dem Satz von RouCHE haben also f^ und f^ + g^ = P in der Einheitskreisscheibe U-^^ (0) = E die gleiche Anzahl von Nullstellen. Da / j dort genau eine hat, hat auch P dort genau eine. Damit haben wir folgende Information iiber die Lage der Nullstellen von P erhalten: Von den vier Nullstellen von P liegt eine in der Einheitskreisscheibe E, die anderen liegen im Ringgebiet 1 < |z| < 2. Die

§7. Anwendungen des Residuensatzes

175

genaue Lage der NuUstelle a iin Einheitskreis konnte man nun durch nunierische Auswertung des Integrals

ICI=i bestininien, man erlialt a « —0, 5113996194.... 3) Sei Q G C eine komplexe Zahl vom Betrag |a| > e = exp(l). Wir behaupten, dass die Gleichung Qzexp(z) = 1 ( <;=^ az — exp(—z) = 0)

(*)

genau eine Losung im Einheitskreis E besitzt. Zusatz. 1st a reell und positiv, dann ist die Losung ebenfalls reell und positiv. Hier liegt es nahe, f{z) = az und g{z) = exp(—2;) zu definieren. / hat genau eine NuUstelle (bei z^ = 0), und fiir 1^1 = 1 gilt \g{z)\ = | e x p ( - z ) | = e x p ( - Re{z)) < e < |a| = \f{z)\. Nach dem Satz von ROUCHE hat dann auch / + p in E genau eine NuUstelle, d.h. die Gleichung (*) hat genau eine Losung z G E. Der Zusatz ergibt sich aus dem reellen Zwischenwertsatz. B e r e c h n u n g v o n Integralen m i t Hilfe d e s R e s i d u e n s a t z e s Ist a G C eine isolierte Singularitat der analytisclien F u n k t i o n / , d a n n ist / in einer p u n k t i e r t e n r - U m g e b u n g U^{a) in eine LAURENTreihe

Y^

an{z-a)

entwickelbar, u n d es gilt (sielie III.5.2) Res(/;a) = a _ i = —

4)

f{C,)dC,,

0 < ^ < r.

dUgia)

lasst sich also das R e s i d u u m R e s ( / ; a) auf andere Weise b e s t i m m e n , so lassen sich mit Hilfe des Residuensatzes Integrale berechnen. W i r beschranken uns auf drei T y p e n . T y p I . Integrale der Form

i?(cos t, sin i) dt. 0

Kapitel III. Residuensatz

176 Dabei sei

P{x,y) Q{x,y)

R{x,y)

eine komplexe rationale Funktion (= Quotient von zwei Polynonien) in zwei Variablen, fiir die Q{x, y) ^ 0 fiir alle x,y EM. mit x^ +y^ = 1 gilt. Solclie Integrate lassen sicli durcli geeignete Substitutionen auf Integrate rationaler Funktionen zuriickfiiliren, welclie man mittels Partialbruclizerlegung gesclilossen integrieren kann. Einfaclier ist oft der Weg iiber den Residuensatz, indem man das Integral als Kurvenintegral iiber eine geeignete gesclilossene Kurve interpretiert. 7.9 Satz. Seien P und Q ganzrationale Funktionen (= Polynome in zwei Verdnderlichen), ferner sei Q{x,y) T^ 0 fiir alle (x, y) G M mit x'^ +y'^ = 1. Dann gilt P{cost,smt) Q{cost,smt) wohei E die Einheitskreisscheibe

f(

\ -

dt = 27ri 2_. -'^6s(/; ^ ) ' aGE

bezeichne und f die durch

i^(K^+;)'i(^-;)

^

\"

•

Z/

Zl\

Z

definierte rationale Funktion bedeute. Beweis. Wegen cos t =

exp(ii) + exp(—it) , 2 '

sm t =

exp(it) — exp(—it) ; 2i

hat die in C rationale Funktion / keinen Pol auf der Einlieitskreislinie. Fiir alle a G E ist die Umlaufzahl 1. Daher liefert die Residuenformel aus 6.3 271

27ri Y, Res(/; a) = j)f{0

dC, = jf{e^')

271

ie'* dt =

P(cosi, sint) j dt. Q{cost,smt)

D

ICI=i Beispiele. 1) Fiir alte a G E gilt 27r

1 dt 1 — 2a cos t + a^

27r l-a2

Fiir a = 0 ist das offensiclitlich; ansonsten ist die dem Integranden zugeordnete

§7. Anwendungen des Residuensatzes

177

rationale Funktion / gegeben durch

m

1 0? — az — {a/z))

\z (\^

i/a {z — a){z — 1/a)

In E liegt offensichtlich genau ein Pol von / , namlicli a. Da a ein Pol erster Ordnung ist, gilt nacli 6.4,1) Res(/; a) = lini [z — a)f{z)

a2-l

Also ist wie beliauptet 271

. i = 27ri- a'^ — I 1 — 2a cos t + a?dt~~

27r I — a'^

0

2) Analog ergibt sicli etwa fiir a,b EM. niit a > 6 > 0 271

1 , dt (a + bcost)^

27ra ^ ( a 2 - 62)3

0

V \

y

Weitere Beispiele linden sicli in den Ubungsaufgaben. T y p I I . Uneigentliclie Integrale der Gestalt / ( x ) dx. Anmerkung. Wir setzen liier den Begriff des uneigentliclien Integrals aus der reellen Analysis als bekannt voraus (man vergleiclie jedoch auch IV.1). Bei der Berechnung von reellen Integralen niit Hilfe des Residuensatzes wird man liaulig auf den Grenzwert R

lim

/ f{x) dx,

-R—>oo J -R

den sogenannten Cauchy'schen Hauptwert gefiihrt. Aus der Existenz dieses „gekoppelten" Grenzwerts, folgt i. a. niclit die Existenz des uneigentlichen Integrals /_ f{x)dx, fiir dessen Existenz (= Konvergenz) ja gefordert wird, dass -Ri

oo

f{x)dx:=

lim

/ f{x)dx

Rl^OO J 0

0

0

und

/ f{x)dx:= J -oo

0

lim

/

i?2^00 J -ii„

f{x)dx

Kapitel III. Residuensatz

178

getrennt existieren (s. Kap. IV.1). Die Existenz (Konvergenz) des uneigentlichen Integrals /_ f{x)dx impliziert die Existenz des CAUCHY'schen Hauptwerts (niit demselben Wert). Fiir eine gerade oder eine nicht negative Funktion / jedoch folgt aus der Existenz des CAUCHY'schen Hauptwerts auch die Existenz des uneigentlichen Integrals und die Gleiclilieit ilirer Werte. Die Bereclinung uneigentliclier Integrale berulit auf folgender Idee: Sei D c C ein Elementargebiet, welches die abgeschlossene obere Halbebene {zeC; enthalt, und seien a^,... ,ai. G nen) oberen Halbebene und

lni^>0}

paarweise verschiedene Punkte in der (offe-

eine analytische Funktion. Wir wahlen r > 0 so grofi, dass r > Ittj,! fiir 1 < v < k •1,

Im A

Wir betrachten die in der Abbildung skizzierte Kurve a. Sie setzt sich aus der Strecke von —r bis r und deni Halbkreisbogen a^ von +r bis —r in der oberen Halbebene zusanimen.

r

Re

Die Residuenformel liefert (wegen x{ct',(ii,) = 1) / f{x) dx+

j f{z) dz=

f{z) dz = 27ri ^

Res(/; a^).

Gilt nun lim

f{z)dz

= {),

r—7-00

SO folgt aus dieser Forniel r

k

lim / / ( x ) dx -= 27ri ^ R e s ( / ; a ^ ) . r—7-00

j

—r

v=l

Weifi man (etwa aus anderem Zusammenhang), dass sogar J_ stiert, dann ist also auch

f[x)dx

exi-

§7. Anwendungen des Residuensatzes

179

oo

f{x) dx ==

/

a^).

27ri v=l

— oo

Seien P und Q zwei Polynome mit der Eigenschaft G r a d Q > 2 + GradP. Das Polynom Q moge keine reelle Nullstelle haben. Dann erfiillt die rationale Funktion

Q{z)

^^' mit dem Definitionsbereich Im2;>—£,

£ > 0 geniigend klein,

trivialerweise die Voraussetzung lira f f{z)dz

= 0. Es gilt dalier der

7.10 S a t z . Seien P, Q zwei Polynome mit GradQ > G r a d P + 2 . Das Polynom Q habe keine reelle Nullstelle, a^,... ,ai. durchlaufe die in der oberen Halbebene liegenden Pole der rationalen Funktion f = P/Q- Dann gilt

OO

/

f{x) dx ==

27ri

a^)-

— oo

Beispiele. 1) Wir bereclinen das Integral oo

1

l + t^

, 1 at = -2

/•

1

// 1 + ^67T

, dt.

Die Nullstellen von Q{z) = z^ + 1, die in der oberen Halbebene liegen, sind a^ = exp ( — i) ,

^2 = 6xp ( — i) und Og = exp I — i

Nach 6.4,2) gilt / 1

\

1

a,.

Kapitel III. Residuensatz

180 Daher ist

1 + ^6

rf, = _ ^

57r

exp(^i)+exp(|i)+exp(-^i) TT

(2sin^ + l) 2) Wir zeigen

{f + 1)

dt

TT

(2n-2)!

2^^^'

{{n-iy.f

(n G N),

insbesondere also

it' + i;

d t = TT,

(t2 + 1)

dt

it' + 1)

rft

STT

Die meromorphe Funktion / ( z ) = 1/iz' + 1)" besitzt in der oberen Halbebene nur den Pol ZQ = i. Die LAURENTentwicklung uni diesen Punkt erlialt man niit Hilfe der geometrisclien Reilie (oder QA^), und man zeigt Res(/;

1/2n - 2\ 1 iVn-iy22"-i

1 22«-ii

(2n-2)! ((-^_x)!V

3) Seien k,n E I^, 0 < k < n. Dann ist

Die NuUstellen von Q{z) = 1 + z'^'^ in der oberen Halbebene sind (2I^ + 1)TTV

a^, = exp

2n

{)
Die Ableitung Q' ist an diesen Stellen von Null verscliieden, so dass alle a^, NuUstellen erster Ordnung sind. Nacli 6.4 ist daher fiir die Funktion R = fig,

f{z) = z"'

Kes(K,ayj - — a ^

und g{z) = 1 + z'^-, _-—a^

§7. Anwendungen des Residuensatzes

181

Aus der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion ergibt sich ferner n—1

n—1

i/=0

i/=0

/

2n %-\

(2A; + l)7ri\ exp

2n

1 - exp((2A; + l)7ri 1 -exp((2A; + l)7ri/n)

sin((2A; + l)7r/2n) ' Mit Satz 7.10 erhalt man die behauptete Identitat. Der folgende Satz kann als Verallgemeinerung von 7.10 angesehen werden. 7.11 S a t z . Seien P und Q Polynome. Das Polynom Q habe auf der reellen Achse keine Nullstelle, und es set GradQ > 1 + G r a d P . Sind a^,... jUf, die Nullstellen von Q in der oberen Halbebene, so gilt fiir alle positiven reellen Zahlen a > 0

/

Pit) ——- exp{iat) dt = 27ri ^

Res(/; a^).

Hierbei sei f die durch

m definierte meromorphe

Q{z)

• exp^ia^j

Funktion.

Beweis: Unter der scharferen Voraussetzung GradQ > 2 + G r a d P schlieBt man wie in dem vorhergehenden Beispiel, da der Exponentialfaktor dem Betrage nach durch 1 abgeschatzt werden kann. Es geniigt jedoch GradQ > 1 + G r a d P , wie man folgendermai3en zeigen kann: Man wahle zunachst P > 1 so, dass alle Nullstellen von Q in C^^(O) liegen. Fiir beliebiges r > R betracliten wir anstelle des Halbkreises den Streckenzug von r iiber r + ir und —r + ir bis —r, was natiirlich erlaubt ist. Auf den beiden Vertikalstrecken betracliten wir die Punkte {r + i^/r) und {—r + i^/r). Die Beitrage zu I m z > ^/r und Imz < \/rwerden getrennt abgeschatzt.

Im,

r.y

-r-V r

' —i

-R

]\

r+ir I

R r

Re

182

Kapitel III. Residuensatz

1) Nach der Standardabschatzung fiir Integrale gilt

±r

mit einer geeigneten Konstanten C. Dieser Ausdruck konvergiert gegen 0 fiir r —)• cx). 2) Fiir liaz > y ^ gilt |exp(iQ;^)| < e^"^. Da dieser Ausdruck starker als jede rationale Funktion gegen 0 konvergiert (fiir r —^ oo), folgt die gewiinsclite Abscliatzung unmittelbar. Aufierdeni folgt, dass das Integral iiber die obere Horizontale des Reclitecks fiir r —)• cx) gegen 0 konvergiert. Dieser Beweis zeigt zunachst nur die Existenz des CAUCHY'schen Hauptwerts. Das Integral konvergiert jedoch im Sinne uneigentlicher Integrale (allerdings niclit imnier absolut). Man zeigt dies dadurch, dass man obiges Recliteck durcli ein anderes Recliteck ersetzt, das niclit notwendig symnietriscli zur iniaginaren Aclise ist. D Beispiel. Wir zeigen fiir a > 0 oo

cost , TT t^ + a^ dt= — la e " ° . 0

Es ist offensiclitlicli oo

cost

, 1^ / di = - Re

t^ +a^

2

/" exp(ii) , / . ^ ^ „ dt

\ J f^ +a \-oo

0

exDi i^^ 1

Die Funktion f(z) = -^ r- hat nur einen einfaclien Pol in der oberen z^ + a^ Halbebene, namlicli an der Stelle ZQ = ia. Dalier ist nacli 6.4 Res(/;ia) =

| - ,

und Satz 7.11 liefert die Beliauptung. T y p I I I . Integrale der Form oo

x^-^R{x)dx,

A G K,

X^Z,

A > 0.

0

Dabei sei R = P/Q eine rationale Funktion, P und Q also ganzrational. Q liabe keine NuUstelle auf M_|_. Ferner sei R{0) ^ 0 und lim x^\R{x)\

=0

§7. Anwendungen des Residuensatzes

183

(dies ist aquivalent zu GradQ > A + G r a d P ) . Wir betrachten dann in der langs der positiven Halbgeraden geschlitzten Ebene die Funktion

m

\X-1

R{z) fiir z G

Hier ist {—z)"^ ^ := exp((A— 1) Log(—z)) mit dem Hauptwert des Logarithmus definiert. Aus z E C_^_ folgt —z G C_; die Funktion / ist also analytisch in C_|_. 7.12 S a t z . [Inter den obigen Voraussetzungen gilt

Beweisskizze. Die Funktion / ist meromorph in C ^ . Wir betrachten die geschlossene Kurve a := a^ ® a2 ® a^ (B a^, wobei die Kurven a • bis auf eine Verschiebung der Parameterintervalle (um diese aneinanderstoi3en zu lassen) wie folgt gegeben sind: a^{t) •.= exp{i(p)t,

1 -
^2(0

If
•=rexp{it),

"3(0 :=-exp(-i(/))i, a^{t) : = - exp (i(27r — t))

-r ip

1 <—, r


<2TT — ip.

Dabei sei r > 1 und 0 < ip < 2TT. Da C ^ ein Elementargebiet ist, gilt nacli dem Residuensatz fiir geniigend grofies r > 1 f{z) dz = / f{z) dz + / f{z) dz + / f{z) dz + / f{z) dz = 27ri 2_. R e s ( / ; a ) . Fiilirt man bei festem r > 0 den Grenziibergang 1/5 —)• 0 durcli, so ergibt sicli aufgrund der Definition von (—z)'^^^, dass die Integrale iiber a^ bzw. ctg gegen exp ( —(A — l)7ri) / x l/r

R{x) dx

Kapitel III. Residuensatz

184 beziehungsweise — exp ((A — l)7ri) / x

R{x) dx

l/r

konvergieren. Andererseits gilt lim / f{z)dz=

lim / f{z)dz

r—7-00 J

=0

r—>oo J

gleichmaBig in (p, wie man niit einfachen Abschatzungen zeigt. Beispiel.

/ -7—— dx

1+x

fiir

sin(A7r)

0 < A < 1.

Die Partialbruchentwicklung des Kotangens Als eine weitere Anwendung des Residuensatzes leiten wir die wicklung des Kotangens her: COSTT^

cotnz :=

,

Partialbruchent-

z G
SmTTZ

7.13 S a t z . Fiir alle z eC -Z

gilt

IT c o t TTZ =

^ z E -^^ M I^—n

1 z

^-^

1" 1

_z — n

1 1 ^+ n J

\

n_

^ 2z z ' - ^ z"^ — n^ I

Die hier auftretenden Reihen konvergieren absolut (sogar normal). Wir erinnern an die Definition 00

00

!]"« •= I ] "« + ! ] * - " • 777^0

n=\

n=l

Beweis. Die absolute Konvergenz folgt aus der Uniforniung 1 1 _ -2 z—n n [z — n)n und aus der Tatsaclie, dass die Reilie 1 + 1/4 + 1/9 + . . . konvergiert. Aus der absoluten Konvergenz der Reilie 2 „ J o *« folgt iibrigens

§7. Anwendungen des Residuensatzes

185 lim

Af^oo

>

a„ ,

nes. wobei Si, S2, S^,... eine Folge von endlichen Teilmengen von Z — {0} mit den Eigenschaften ^ i C ^2 C ^3 C • • •

und

Z - {0} = 5 i U ^2 U 53 U • • •

sei. Dies ist eine Konsequenz des sogenannten „groi3en Umordnungssatzes", den wir als aus der reellen Analysis bekannt voraussetzen wollen. Um die Partialbruchzerlegung zu beweisen, fiihren wir fiir (zunachst) festes ^ e C — Z die Funktion

fH

w{z — w)

TT c o t TTW

ein. Die Singularitaten dieser Funktion liegen bei w = z und w = n & Z. Mit Ausnahnie der Stelle w = 0 handelt es sich um Pole erster Ordnung. Der NuUpunkt ist ein Pol zweiter Ordnung. Die Residuen in den Polen erster Ordnung sind offensiclitlicli -TTCotiTZ

und

fiir n ^ 0.

n{z — n)

1 Ein kleine Reclinung liefert fiir das Residuum im NuUpunkt den Wert — . Die z auftretenden Residuen sind also genau die Terme in der Partialbruclientwicklung 7.13! (-l+i)(N+i)

— Wir integrieren die Funktion / iiber die Randkurve dQj^ eines aclisenparallelen Quadrats Q ^ der Kantenlange 2N + 1, A^G N, A^> \z\.

I™^

-^>

-N-iu.

(l+i)(N+i)

*

(_l-i)(N+i)

N+l

Re

(l-i)(N+i)

Auf dem Integrationsweg liegen dann keine Singularitaten von / . Wir erlialten ^

/ dQ^

/(C)dC=-7rcot7rz+i+

^ 0<|«|
niz — n)

Es bleibt zu zeigen, dass das Integral fiir A^ —^ 00 gegen 0 konvergiert. Dazu geniigt es zu zeigen, dass -Kcoi-Kw auf dem Integrationsweg besclirankt bleibt,

Kapitel III. Residuensatz

186 d e n n d a n n gilt

fiOdC < const • 4(2iV + 1)

{N+\){N+\-\z\)

dQ^ Im Bereich |2/| > 1 gilt l + exp(-27r)

l+exp(-27r|2/|) COtTT^ <

-,

—f

1 - e x p ( - 2 7 r |j/|)

<

1 - exp(-27r)

Die Bescliranktlieit von TT cot T^ \ N + - +\y ] fiir

\y\ < 1

folgt aus der Periodizitat des K o t a n g e n s .

Im zweiten Paragraphen dieses Kapitels hatten wir die BERNOULLi'schen Zahlen B^ durch die TAYLORentwicklung 9iz)

B

exp(z)

- = B, + B,z + Y,m2k

,2fc

k= l

eingefiihrt und aufierdem BQ = 1 sowie B^ = —— gefunden. Mit Hilfe der BERNOULLi'schen Zahlen erhalt man auch die TAYLORentwicklung von nzcoiiTZ um den NuUpunkt und damit die Werte der RiEMANN'sche ^-Funktion in den geraden natiirlichen Zahlen. Zunachst ist nach Definition . exp(i2;) + exp(—i^;) . exp(2i2;) + 1

zcotz = \z ^;. { —^; . { = \z ^;„. [ ^ exp(i2;) — exp(—12;) exp(2i2;) — 1 2iz + iz = 3(2iz) + iz exp(2i2;) — 1 r,2k

1 + Y.^-lf (2fc)!I-"2fc^ l - ¥ + E7l!i(2i^)" {2k)V k= l

Ersetzt man z durch TTZ, SO erhalt man °°

(*)

TTZ c o t TTZ

92fc

(2fc)!

(in einer geeigneten Umgebung von Null). Andererseits ist (vgl. 7.13) TVZ c o t TTZ = 1 +y

Mit Hilfe der geometrischen Reihe zeigt man

•

Iz'

Ubungsaufgaben zu §7

187

4Ef4 fc=0

und damit TTZcot%z = 1 + 2z

y

7

n=l \

( ^

fc=0

^

Durch Vertauschung der Summationsreihenfolge ergibt sich oo

/

oo

\

7r0cot^z = l - 2 ^ K ] - ^ fc=l \n=l

/*=. )

Der Vergleich init (*) liefert die Werte C(2fc). 7.14 Satz (L. EuLER, 1737). Fur die Werte der RiemMnn'schen (-Funktion geraden naturlichen Zahlen gelten die Euler'schen Formeln

in den

oo

c(2fc)-Ei

2(2fc)!

-B,,,

ken.

Beispiele. Mit den am Ende des zweiten Paragraphen angegebenen Werten B^/, gilt etwa

C(2) = ^ , C ( 4 ) = g , C ( 6 ) = | ^ , C ( 8 )

und C(10) 9450 "'"' 35-5-7-n • Uber die Werte C{2n + 1), n G N, ist wenig bekannt. Man weifi jedoch, dass C(3) irrational ist (R. APERY 1978), vgl. [Ape].

Ubungsaufgaben zu III.7 1. Man bestimme jeweils die Anzahl der Losungen der folgenden Gleichungen in den angegebenen Gebieten: 2/-5^ + 2= 0

in { z e

z'^ - Sz" + iz^ - 2 = 0

in {z e

z^ + iz^ -4:Z + i = 0

in {z e

N>1}, N<1}, 1 < 1^1 <2}.

2. Das Polynom P{z) = z^ — 5z + 1 besitzt a) eine NuUstelle a mit \a\ < \. b) Die drei anderen NuUstellen liegen im Ringgebiet | < |z| < ^ . 3. Sei A > 1. Man zeige, dafi die Gleichung exp(—z) + 2; = A in der rechten Halbebene {2; e C; Re2; > 0} genau eine Losung besitzt, die iiberdies reell ist. 4. Fiir n G N^ sei

188

Kapitel III. Residuensatz

v=0

Zu gegebenem _R > 0 gibt es ein rig, so dafi e^ fiir alle n > n^ in der Kreisscheibe !7^(0) keine NuUstelle besitzt. 5. Sei / analytisch kreisscheibe E = jedes n G N hat dies ini Fall n =

in einer offenen Menge D, welche die abgeschlossene Einheits{z G C; \z\ < 1} enthalt, ferner sei \f{z)\ < 1 fiir \z\ = 1. Fiir die Gleicliung f{z) = z" genau n Losungen in E. Wendet man 1 an, so folgt, dass / genau einen Fixpunkt in E hat.

6. Sei f : D ^ C eine injektive analytische Funktion auf eineni Gebiet D C C Sei U (a) C D eine abgeschlossene Kreisscheibe in D. Man beweise fiir w G fiU (a)) die folgende explizite Forinel fiir die Umkehrfunktion

/-^w^^

/

C/'(C)

dC-

|C-o|=e

7. Seien a^,... ,0,1 G C paarweise verschiedene Zahlen, von denen keine ganz rational ist. Gegeben sei eine in C — {a^,...,«;} analytische Funktion / , so dass 2:^/(2;) aufierhalb eines geeigneten Kompaktums nach oben beschrankt ist. Sei TV

g{z) := TT cot{nz)f{z)

und h{z) := —

f{z

Man zeige lim

V " f{n) = n=-N

lim

V

-y^Res{g;aA, j=l

( - l ) " / ( n ) = -VRes(/i;a^.)

n = -N

j = l

8. Mit Hilfe von Aufgabe 7 zeige man _1

TT

rn^

,

V^/

6

wsn.+l

•^—'

1

n^

TT

12

9. Man berechne die Integrale 27r

5 —4cosi 0

i^*' '

/ 7 vJ '^*' J (a + cost)^

a G K, a > 1.

0

10. Man zeige 27r

2TT

«i°3* di = 0, 5-3cosi ' 0

11. Man zeige

—^——dt y (5-3sini)2 0

^" 32

Ubungsaufgaben zu §7

189

x* + l

dx

/

b)

V2

X

J x* + l

dx =

TT

^ 4'

0 oo

'^^ /^^^=i'

TT / 1 dx = J X* + X' ' +1 2^3

d)

0

0

12. Man zeiee 2

TT

(a;2+a2)2 dx = — 2a ,

(a > 0)

da; TT (a;2+4a; + 5)2 " 2"

b)

da; (a;2+a2)(a;2 + 62)

2a6(a + 6) '

{a,b> 0).

0

13. Man zeiee cos X (a;2 + 1)2

b)

/

TT

(^2 + ; 2 7 ( l 2 +52) dx = ^

^

( ' — - — ] ,

{a,b>0,a^b),

cos 27ra; , —TT -TTJ^ . a;" + a;2 + 1 dx = — 2 ^=3e 0

14. Man zeiee da;

l + a;5

_ - ^ V 5 T ; ^ , , O 6 9

896_

25

0

Tipp. Sei ^ eine geeignete fiinfte Einheitswurzel. Der Integrand nimmt auf den Halbgeraden {t; i > 0} und {fX', t > 0} dieselben Werte an. Man vergleiche die Integrale langs dieser Halbgeraden. Man ersetze in deni Integral den Exponenten 5 durch eine beliebige ungerade natiirliche Zahl und berechne das Integral. 15. Man zeige ^^&"^ dx=^, l + a;2 8 ' 0

f^SS^dx y 1 + -2 0

= 0.

Kapitel III. Residuensatz

190 16. Man zeige xsma; , % -7\ dx = —a;2 + 1 2e 17. Man beweise die Forniel

oo

/ e-*^dt ==

(GauB'sches

^/TT

Fehlerintegral),

— CXD

indeni man die Funktion exp(—z^) niit a := e^^' \/% 1 + exp(—2a2;) langs eines Parallelogramms mit den Ecken —R, —R + a, R-\- a und R integriert und danach den Grenziibergang R ^ oo voUzieht. Man hat die Identitat f{z) - f{z + a) = e x p ( - 2 ; ) zu benutzen. Im;

1

-R+a

<

/'

^

-R

R+a

a

.'a 2

.'

R

18. (MORDELL'S Trick) Man berechne auf zweierlei Weise das Integral exp( I-E'XZ^ jn )

exp( 2'K\z ) — 1

dz ,

und leite hieraus fiir den Wert der GAUSS'schen Sunime n-l

G„

2TTik'

fc=0

die folgende explizite Forniel ab:

Dabei nehnie man fiir a = a{R) eine der beiden folgenden Kurven:

^

Re

Ubungsaufgaben zu §7

191 n — £-\-aR

iR+n

•f

4

•

>•

iR+n

a := — :^^ ,

Rea > 0 .

27ri

Spezialfalle: G^ = 1,0^=

0, G^ = iVs, G^ = 2(1 + i

19. Die Polynome P und Q und die Zahl a mogen die Eigenschaften aus Satz III.7.11 erfiillen, init der Ausnahme, dass wir allgeineiner einfache Pole auf der reellen Achse x^ < X2 < • • • < Xp for P/Q zulassen. Wir betrachten die Funktion exp(iQz),

f(z)

Q > 0

Q{z) und das folgende Integral fiir hinreichend grofie Werte von r und hinreichend kleine Werte von e > 0: XI —e

X2—£

I{r,e)

+ ...+ -r

Xp-l+£

xi+e

f{x) dx .

+ Xp+£

Dann heifit der Grenzwert / := liin

lir.e)

e-jO

CAUCHY'scher Hauptwert des Integrals, welcher manchmal niit P.V. / fix)

dx

bezeichnet wird. Man zeige niit Hilfe des Residuensatzes und der in der folgenden Abbildung skizzirten geschlossenen Kurve / = 27ri ^

Res(/; a) + 7ri ^ j = i

Res(/;

Kapitel III. Residuensatz

192

r + ir

-r + ir

jTTy. 0

X p-i

Beispiele: (a)

P.V.

1 {x-i)^{x-

(b)

P.V.

1 dx = 0. x{x^ — 1)

1)

dx

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

In diesem (zentralen) Kapitel beschaftigen wir uns mit der Konstruktion analytischer Funktionen. Wir werden drei verschiedene Konstruktionsprinzipien kennenlernen: 1) Wir untersuchen detailliert eine klassische Funktion mit funktionentheoretischen Methoden, nainlich die F-Funktion. 2) Wir behandeln die Satze von W E I E R S T R A S S und M I T T A G - L E F F L E R zur Konstruktion analytischer Funktionen mit vorgegebenem Null- und Polstellen-Verlialten. 3) Wir beweisen den kleinen RiEMANN'schen Abbildungssatz, welclier besagt, dass jedes Elementargebiet D ^ C konform auf die Einlieitskreissclieibe E abgebildet werden kann. In diesem Zusammenliang werden wir noch einmal auf den CAUCHY'schen Integralsatz eingehen, allgemeine Varianten beweisen und verschiedene topologische Charakterisierungen von Elementargebieten erhalten, welche zum Ausdruck bringen, dass Elementargebiete genau die Gebiete „ohne Locher" sind. NuUstellenmengen bzw. Polstellenmengen analytischer bzw. meromorpher Funktionen / ( / 0) sind diskrete Teilmengen des jeweiligen Definitionsbereichs. Folgende Frage liegt nahe: Sei S eine diskrete Teilmenge eines Gebiets D C C Jedem Punkt s e 5* sei eine natiirliche Zahl m,{s) zugeordnet. Gibt es dann eine analytische Funktion / : D ^ C, deren Nullstellenmenge N{f) gerade 5* ist und fiir die aufierdem o r d ( / ; s) = m{s) fiir s G 5* = N{f) gilt? Die Antwort ist immer positiv, wir geben den Beweis allerdings nur im Fall D = C Als Folgerung ergibt sich, dass man sogar eine meromorphe Funktion mit vorgegebenen (diskreten) Null- und Polstellenmengen und vorgegebenen Ordnungen konstruieren kann. Ein anderer Satz besagt, dass man zu gegebener diskreter Polstellenmenge eine meromorphe Funktion konstruieren kann, wobei man sogar den Hauptteil an jeder Polstelle willkiirlich vorgeben kann. Allerdings hat man dann keine KontroUe niehr iiber die Nullstellen. Die Losungen beider Probleme sind mit den Namen W E I E R S T R A S S und M I T T A G L E F F L E R eng verkniipft (WEIERSTRASS'scher Produktsatz und Partialbruchsatz von M I T T A G - L E F F L E R ) . Man erhalt auf diese Weise interessante und fiir die Anwendungen wichtige neue Beispielklassen von analytischen und meromorphen Funktionen. Ferner ergeben sich auch neue Darstellungen bekannter Funktionen, sowie neue Zusammenhange zwischen ihnen. Beide Konstruktionsprinzipien sind schon am Beispiel der Gammafunktion sichtbar, mit deren Studium wir dieses Kapitel beginnen woUen.

194

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

1. Die Gammafunktion Wir fiihren die Gammafunktion als das Euler'sche Integral {zweiter (L.EULER, 1729/30) ein:

Gattung)

m = /,-..-,«. 0

mit t''-^ := e(-^-i)i°g*,

logt G K, Re{z) > 0.

Name und Bezeichnung stammen von A. M.

LEGENDRE

(1811).

Wir miissen einige Bemerkungen iiber uneigentliche Integrate vorausschikken. Vorbemerkung. Sei 5 C C eine unbeschrdnkte Menge, / G C und / : 5 —)• C eine Funktion. Die Aussage f{s) -^ I

(s —> oo)

oder

lim f{s) = I

moge bedeuten: Zu jedem e > 0 existiert C > 0 mit \f{s) -l\

< £, falls

\s\ > C.

1st 5 = N, so erhalt man als Spezialfall den Begriff der konvergenten Folge. Es gelten die iiblichen Rechenregeln fiir das Rechnen mit Grenzwerten. Diese braucht man nicht neu zu formulieren und zu beweisen, denn es gilt ja lim f{s) = lim / ( 1 / e ) . 5—7-00

£—>0

£>0

Eine stetige Funktion f : [a, b[ —> C, heifit uneigentlich

a < b < oo (der Wert b = oo ist zugelassen),

integrierbar,

falls der Grenzwert

b

t

fix) dx := lim / fix) dx a

a

existiert. Man nennt / absolut integrierbar, wenn die Funktion | / | integrierbar ist. Aus der absoluten Integrierbarkeit folgt die Integrierbarkeit. Genauer gilt:

§1. Die Gaininafunktion

195

Die stetige Funktion / : [a, 6[ —^ C ist uneigentlich Konstante C > 0 mit der Eigenschaft

integrierbar,

wenn eine

| / ( x ) | dx < C fur alle t G [a, h\ existiert. Da diese Aussage unmittelbar aus dem entsprechenden reellen Satz folgt, woUen wir den Beweis iibergehen und nur anmerken, dass man den entsprechenden reellen Satz durcli Zerlegung in positiven und negativen Anteil nur fiir nirgends negative Funktionen beweisen muss. Man kann dann mit einem Monotoniekriterium argumentieren. In voUiger Analogie definiert man den Begriff der uneigentliclien Integrierbarkeit fiir links offene Intervalle: / : ]a, b] —> C,

—00 < a < b,

und sclilieBlicli fiir beidseitig offene Intervalle: Eine stetige Funktion f : ]a,b[ —> C ,

—cx) < a < 6 < oo,

heifit uneigentlich integrierbar, wenn fur ein c G ]a,b[ gilt: Die Einschrdnkungen von f auf ]a,c] und [c,b[ sind uneigentlich integrierbar. Es ist klar, dass diese Bedingung sowie die Definition b

f{x)dx:=

c

b

/ f{x)dx+

/

f{x)dx

niclit von der Walil des Stiitzpunktes c abliangen. 1.1 Satz. Das

Gammaintegral

konvergiert in der Halbebene Re ^ > 0 absolut und stellt dart eine analytische Funktion dar. Fiir die Ableitungen der Gammafunktion gilt [k G Ng) oo

F^^\z) = f

t/--\\ogtfe-^dt.

196

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

Beweis. Wir zerlegen das -T-Integral in die Teilintegrale 1

oo

0

1

und benutzen \e-^e-^\=e'-h-*

(x = Re^).

Die Teilintegrale beliandeln wir einzeln. Zu jedeni Xg > 0 existiert bekanntlicli eine Zalil C > 0 niit der Eigenscliaft ^x-i ^ (7g«/2 f^j. g^Ug X mit 0 < X < Xg und fiir t > I. Dalier konvergiert oo

1

absolut sogar fiir alle z G C Fiir die Konvergenz des Integrals an der unteren Grenze verwenden wir die Abscliatzung \t'-^e-^\ 0 und die Existenz von 1

— dt

is
0

Diese Abscliatzungen zeigen iibrigens aucli, dass die Folge n

Uz):= I e-'e-'dt i/n lokal gleiclimafiig (gegen F) konvergiert. Dalier ist F eine analytisclie Funktion. (Derselbe Scliluss zeigt, dass das Integral von 1 bis cx) sogar eine ganze Funktion ist.) Die Forniel fiir die A;-te Ableitung ergibt sich durch Anwendung der LEiBNiz'sclien Regel (vgl. II.3.3) auf/^^ und durcli Grenziibergang n —^ oo. D

Offenbar ist r ( l ) = / e-*dt=

-e-

1.

0

Durcli partielle Integration {u{t) = F, v'{t) = e^*) erlialt man die Funktionalgleichung F{z + l) = zF{z) fiir Rez>0.

§1. Die Gaininafunktion

197

Insbesondere gilt fiir n G Ng r ( n + l) = n ! Die P-Funktion „interpoliert" also die Fakultat. Iterierte Anwendung der Funktionalgleicliung liefert

r{z)

r{z + n + l) z-{z

+ l)---{z

+ n)

Die reclite Seite der letzten Gleicliung hat einen groBeren Definitionsbereicli als die linke, namlicli die Menge der ^ e C mit der Eigenscliaft Re ^ > —(n + 1) und 2; ^ 0, —1, —2, . . . , —n. Sie stellt eine analytisclie Fortsetzung von F in einen grofieren Bereicli dar. Diese analytisclien Fortsetzungen, die ja wegen in.3.2 eindeutig sind, bezeiclinen wir aucli mit F. Wir fassen die bislier gewonnenen Eigenscliaften der P-Funktion zusamnien:

1.2 Satz. Die F-Funktion ist in die ganze komplexe Ebene mit Ausnahme der Stellen ^ e 5 : = { 0 , - 1 , - 2 , - 3 , ...} (eindeutig) analytisch fortsetzbar und geniigt dort der Funktionalgleichung F{z + l) = Die Ausnahmestellen

Die F-Funktion menge S.

zF{z).

sind Pole erster Ordnung mit den Residuen

ist also eine in C meromorphe Funktion mit der Polstellen-

Beweis. Wir niiissen nur nocli die Residuen bereclinen. Es gilt Res(r;

lira (z + n) F{z) 2—7- — n

F(l)

(_„)(_„+ 1)...(_1)

(-1)"

D

198

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

Wegen der Abschatzung \r{z)\
fiir

x>0

{x = Rez)

^™^

ist die P-Funktion in jedem Vertikalstreifen 0
beschrankt.

Durch die bisher abgeleiteten Eigenschaften ist die P-Funktion bereits eindeutig charakterisiert: 1.3 Satz (Charakterisierung der T-Funktion, H. WiELANDT, 1939). Sei D c C ein Gehiet, welches den Vertikalstreifen 1 < X< 2 enthdlt. Es sei eine analytische Funktion / : -D —)• C mit folgenden schaften gegeben: 1) / ist in dem Vertikalstreifen

Eigen-

beschrankt.

2) Es gilt f{z + l) = zf{z)

fiir

z,z +

leD.

Dann gilt f{z) = f{\)r{z)

fiir

zeD.

Beweis. Mit Hilfe der Funktionalgleichung zeigt man, dass in Analogie zur -T-Funktion gilt: Die Funktion / ist in die ganze Ebene mit Ausnahme der Stellen ^ e 5 = {0, - 1 , - 2 , - 3 , . . . } analytisch fortsetzbar und geniigt fiir z E C — S der Funktionalgleichung f{z + l)=zf{z). Sie hat an den Ausnahmestellen Pole erster Ordnung oder hebbare Singularitaten, und es gilt Res(/;-n) = ^ ^ / ( l ) . Die Funktion h{z) := f{z) — / ( I ) r[z) hat daher in den Ausnahmestellen hebbare Singularitaten und stellt somit eine ganze Funktion dar. Sie ist in dem Vertikalstreifen 0 < X< 1

§1. Die Gaininafunktion

199

beschrankt. Dies folgt aus der Beschranktheit in 1 < x < 2 mit Hilfe der Funktionalgleichung zunachst unter der zusatzlichen Bedingung \liaz\ > 1. Der Bereich |Ini^| < 1, 0 < R e z < 1, ist aber kompakt. Leider reicht dies nicht aus, um den Satz von LIOUVILLE anzuwenden. Aber man kann einen kleinen Trick benutzen. Aus der Funktionalgleichung h{z + 1) = zh{z),

{h{z) = f{z) - / ( I )

r{z)),

folgt, dass die ganze Funktion H{z)

•=h{z)h{l-z)

periodiscli ist bis auf das Vorzeiclien: H{z + 1) = —H[z). Da der Streifen 0 < X < 1 unter der Tranformation z ^ \ — z invariant bleibt, ist H in deni Vertikalstreifen 0 < x < 1 beschrankt und wegen der Periodizitat iiberhaupt beschrankt, nach deni Satz von LiouviLLE also konstant. Wegen /i(l) = 0 ist H daher identisch 0. Daniit ist auch h = 0. D Wir streben nun eine Produktentwicklung fiir die P-Funktion an und stellen hierzu die grundlegenden Eigenschaften unendlicher Produkte zusanimen. Die Behandlung unendlicher Produkte wollen wir mit Hilfe des Logarithmus auf die bekannte Theorie unendlicher Reihen zuriickfuhren. Wir wollen also im Prinzip oo

oo

Jj6„ :=exp^log6„ n=\

n=l

definieren. Hier muss man nun eine gewisse Vorsicht walten lassen, da einzelne Faktoren 0 sein konnen, und auch wegen der bekannten Problematik mit dem komplexen Logarithmus. Wir wollen von vornherein annehmen, dass die Folge 6jj gegen 1 konvergiert (so wie entsprechend das allgemeine d i e d einer konvergenten Reihe gegen 0 konvergiert). Wir schreiben dann ^« = 1 + a« mit einer NuUfolge (a„). Es existiert eine natiirliche Zahl A^ mit der Eigenschaft lOjjl < 1 fiir n>

N.

Wir definieren daher etwas vorsichtiger oo

A'^

/

oo

n^«-= n^« -exp E Log(i+

\

Kn=N+l

wobei wir fiir den Logarithmus den Hauptwert nehmen wollen. Er wird in dem benotigten Bereich {\z\ < 1) durch die Reihe

200

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen °°

n

Log(l + .) = - ^ ( - l ) « i «=i

geliefert. Wir wollen das Produkt (absolut) konvergent nennen, wenn die Reihe absolut konvergiert. (Mit nicht absolut konvergenten Produkten wollen wir uns niclit befassen.) Fiir liinreicliend kleines \z\ (etwa \z\ < 1/2) gilt -\z\

< |Log(l + 2;)| < 2 | 2 ; | .

Die absolute Konvergenz der Logaritlimusreilie ist also gleiclibedeutend mit der Konvergenz der Reilie oo n=l

Diese Bedingung impliziert umgekelirt, dass die Folge (6„) gegen 1 konvergiert. Sie hat den Vorteil, dass kein A^ auftritt. Dalier wollen wir sie zur Definition erlieben: 1.4 Definition. Das unendliche

Produkt

(l + a i ) ( l + a2)(l + a3)--konvergiert absolut,

wenn die Reihe l^il + 1^2! + l^^al + • • •

konvergiert. Aus den Vorbemerkungen erlialten wir: 1.5 Hilfssatz. Wenn die Reihe a^ + 02 + a^ + • • • absolut konvergiert, so existiert eine natiiriiche Zahl N mit ja^ | < 1 fur v > N, und es gilt 00

a)

2_,

Log(l + Ojj)

konvergiert absolut.

n=N+l n

/

b) lini J ] ( l + a J = (l + a i ) - - - ( l + ajv)exp v=l

00

^ \n=N+l

\

Log(l + a„)

. /

Wir nennen den in b) auftretenden (von N unabliangigen) Grenzwert den Wert des unendliclien Produkts und bezeiclinen ilin mit

n(i+a.

§1. Die Gaininafunktion

201

Aus 1.5 b) folgt: 1.6 Bemerkung. Der Wert eines ahsolut konvergenten {1 + a,){l +

Produkts

a^)...

ist genau dann von 0 verschieden, wenn alle Faktoren (1+0,^) von 0 verschieden sind.

" 1 1 lira 1 I — = lini —- = 0. «—!-oo -'•-'• v «—!-oo n!

Hingegen gilt

1^=1

Dieses Produkt ist niclit konvergent in unserem Sinne! 1.7 Bemerkung. Sei / l + /2 + /3 + • • •

erne normal konvergente Reihe von analytischen Funktionen auf einem Gebiet D c C. Das unendliche Produkt (l + / l ) ( l + /2)(l + /3)--definiert eine analytische Funktion F : D ^

C.

Zusatz. Die Nullstellenmenge von F ist die Vereinigung der Nullstellenmengen der Funktionen 1 + /jj(^), n G N. Ist F nicht die Nullfunktion, dann gilt F'{z) _ ^ /;(z)

F{z)

; ^ i i + /„W

wobei die Reihe rechts im Komplement konvergiert.

der Nullstellenmenge

von F normal

Sprechweise. Das unendliche Produkt (l + / i ) ( l + /2)(l + /3)""" heifit normal konvergent, falls die entsprechende Reihe A + /2 + /a + • • • normal konvergiert. Beweis. In einem vorgegebenen Konipaktuni gilt |/„(^)| < 1/2 fiir fast alle n. Hilfssatz 1.5 ergibt dalier aucli die normale Konvergenz der deni unendliclien Produkt unterliegenden Reihe. Der Zusatz ergibt sicli aus deni WEiERSTRASS'sclien Satz durcli gliedweises Ableiten. D Nacli dieseni Exkurs iiber unendliche Produkte wenden wir uns wieder der P-Funktion zu. Die Funktion 1/P hat die NuUstellen z = 0, - 1 , - 2 , - 3 , . . . . Man konnte daher vermuten, dass sie niit deni unendlichen Produkt

202

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

zusammenhangt. Doch dieses konvergiert nicht absolut. Aber es gilt 1.8 Hilfssatz. Die Reihe oo n=l

konvergiert normal in ganz C. Folgerung. Das unendliche

Produkt n'

• e

oo n=l

definiert eine game Funktion H mit der Eigenschaft H(z) = 0 ^^ -z e N. Beweis. Es gilt (1 + w)e *" — 1 =

W

9

+ Glieder liolierer Ordnung.

Zu jedem Kompaktum if c C existiert dalier eine Konstante C = C ^ mit der Eigenschaft | ( l + « ; ) e " ' " - l |
fiir

w £ K.

Die in 1.8 auftretende Reihe wird also bis auf einen konstanten Faktor durch oo

..

n? majorisiert.

Es gibt noch eine wichtige Umformung des unendlichen Produkts H{z), welche auf GAUSS (1811) zuriickgeht, L. E U L E R aber schon gelaufig war. Aus der reellen Analysis ist bekannt, dass der Grenzwert 7 := lim (1 + - + ••• + - - log n) Ti—>oo

2

(= 0,577 215 664 901532 860 606 512 ...)

n

existiert (EuLER-MASCHERONi'sche Konstante, vgl. auch Aufgabe 3 aus IV.1).

§1. Die Gaininafunktion

203

1.9 Hilfssatz. Sei n

Dann gilt lim GJz)

=

ze^'H{z)

Folgerung. Die Funktion ex:

ist in ganz C analytisch und hat Nullstellen erster Ordnung genau in der Menge 5 = {0, - 1 , - 2 , . . . } .

Beweis. Es ist G^{z) = ^e^{i+-+i/«-iog«) n

(l + - )

,-z/,^

D

1.10 Satz (Gaufi'sche Produktentwicklung). Es gilt fur z E

Folgerung. Die F-Funktion hat keine

Nullstellen.

Beweis. Wir priifen nach, dass die Funktion 1/G die charakterisierenden Eigenschaften der P-Funktion hat. Zunachst ist zu bemerken, dass sie in einem Gebiet analytisch ist, welches den Vertikalstreifen 1 < x < 2 umfaBt. 1) Beschrdnktheit

von 1/G{z) in dem

Vertikalstreifen.

Es gilt und z + 1/ > X + v\ 2)

Funktionalgleichung.

Fine triviale Rechnung zeigt

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

204

zG(z 3)

+ l) =

^^^^^G(z)

Normierung. G (1) = 1 + -

fiir alle n.

Wie wir schon beim Beweis von Satz 1.3 bemerkt haben, ist die Funktion

f{z):=r{z)rii-z) periodisch (bis auf das Vorzeichen):

f{z + l) = -fiz). Sie hat Pole erster Ordnung an alien ganzen Zalilen, und es gilt Res(/; - n ) = lini {z + n) r{z) r ( l - z) = ( - 1 ) " . Dieselben Eigenscliaften hat offenbar die Funktion -K/sm-KZ. 1.11 Satz (L. EULER, 1749). Fur z e C - Z gilt: Erganzungssatz

r{z)r{i-z) 1. Folgerung. 2. Folgerung.

r(l/2) =

SmTTZ

SmTTZ

^ .

n 1-^

(ahsolut konvergentes

Produkt).

Beweis. Die Funktion

f{z):=r{z)r{i-z)

sm-KZ

ist in dem Bereich 0<x 1, offenbar beschrankt. Sie hat an den Stellen z = n fiir n G Z hebbare Singularitaten und stellt soniit eine ganze Funktion dar. Da der Bereich 0 < X< 1 ,

|?/| < 1,

kompakt ist, ist sie ini ganzen Streifen 0 < x < 1 und wegen der Periodizitat dann iiberhaupt beschrankt, nach dem Satz von LIOUVILLE also konstant. Diese Konstante muss aber 0 sein, denn es gilt

§1. Die Gaininafunktion

205

f{z) =

-n-z).

D

AUgemeiner gilt die Formel ri-1

N 0k=0

Bemerkung. Aus der Produktentwicklung des Sinus erhalt man einen neuen Beweis fiir die Partialbruchentwicklung des Kotangens (III.7.13). Man benutzt sm z sm^ und erhalt mit dem Zusatz von 1.7 IT c o t TTZ =

cot z

-+E

7.

«ez ^ «7^0

1.12 Legendre'sche Relation (A. M.

Beweis. Die Funktion

1 1 + —n n

LEGENDRE,

1811).

z + 1-

/W^^-r(|)r(i±i) hat die charakterisierenden Eigenschaften der P-Funktion. Den Normierungsfaktor / ( I ) = ^/^T erhalt man aus 1.11. D Wir woUen abschliefiend die klassische Stirling'sche

Formel

auf die P-Funktion verallgemeinern und mit funktionentheoretischen Mitteln beweisen. Wir verstehen unter Log z den Hauptwert des Logarithmus in der langs der negativen reellen Achse geschlitzten Ebene. Dort ist die Funktion ^ 2 - i .— g{2-i)Logz

analytisch.

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

206

Wir suchen nun eine in der geschlitzten Ebene C_ analytische Funktion H zu konstruieren, so dass

h{z) =

z'-h-'e"^'^

die charakterisierenden Eigenschaften der P-Funktion hat, d. h. wir wollen die STiRLiNG'sche Formel als Folgerung aus einer Identitdt r{z)=A-h{z)

AGC,

beweisen. Die Funktionalgleichung h{z + 1) = z h{z) ist sicher dann erfiillt, wenn

H{z)-H{z

+

l)=H,{z)

niit ^o(^) ={'+l)

[Log(^ + 1) - Logz] - 1

gilt. Offenbar hat man eine solche Funktion in der Reihe

H{z):=J2H,{z + n), n=0

sofern sie konvergiert (GuDERMANN'sche Reihe, C. GUDERMANN, 1845). 1.13 Hilfssatz. Es gilt \HJz)\

<

1

1 2z + l

fiir z G C_, z +

1

> 1.

Folgerung. Die Reihe H{Z) = J2H,{Z

+

n=0

konvergiert in der langs der negativen reellen Achse geschlitzten Ebene normal und stellt dart eine analytische Funktion dar. In jedem Winkelbereich Imi -•K + 6<(p
Beweis. Im Bereich R e ^ > 1 gilt die Identitat

§1. Die Gaininafunktion

Hoiz)

207

1 mit w :2z + \

(^+2) [Log(l+^)-Log^]-l = ^ L o g Y — ^ - 1

Da in dem angegebenen Bereich z, 1 + z, 1 + 1/z und w niemals negativ reell sind, handelt es sich um Identitaten analytischer Funktionen, welche man nur fiir reelle positive z beweisen muss, wo sie klar sind. In dem angegebenen Bereich gilt |«;| < 1, und in dieser Kreisscheibe existiert eine Potenzreihenentwicklung. Eine einfache Rechnung zeigt 9

,, , ,

w

4

w

fi

w

Mit Hilfe der geometrischen Reihe folgt fiir \w\ < 1/2 die Abschatzung ^ov

- 9' ' - 2' '

Beweis der Folgerung. Die normale Konvergenz der Reihe H[z) in der geschlitzten Ebene ist eine offensichthche Folgerung aus dem Hilfssatz. Es bleibt zu zeigen, dass H{z) in den angegebenen Winkelbereichen gegen 0 konvergiert. In jedem Winkelbereich W^ gilt eine Abschatzung \H,{z + n ) \ < ^

n>N{d),

wobei C{6) und N{6) nur von 6 abhangen. Wahlt man N{6) geniigend grofi, so wird der Reihenrest I'^nyNiS) "t^l kleiner als jede vorgegebene positive Zahl £. Die endlich vielen Anfangsterme konvergieren einzeln gegen 0. In dem angegebenen Winkelbereich W{6) konvergiert somit H{z) wie behauptet gegen 0. D Wir wissen nun, dass die Funktion

hiz) :--

-kp-^'pH(z) 26

in der geschhtzten Ebene analytisch ist und dort der Funktionalgleichung h{z + 1) =

zh{z)

geniigt.

1

i\

Behauptung. Die Funktion h ist im Vertikalstreifen [x + hj] 2 < X < 3, ?/ G K } beschrankt.

2

Beweis. 1) Wir zeigen zunachst, dass die Funktion z-" 2 = exp

(^-^)Log;

3

Re

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

208

in jedem Vertikalstreifen {{x,y);

a <x
0 < a < b,

beschrankt ist. Dazu ist nachzuweisen, dass Re H z - - j L o g ^ j = \^x- -j Log 1^1

-yArgz

nach oben beschrankt ist. Nun gilt offensichtlich Arg^ -^ ± - , je nachdem, ob y gegen cx) oder — oo konvergiert. Es folgt nun leicht Re I (^ -

-)Logz

-00

f \y\ (wegen \log 1^1

fiir

0 fiir

\y\

\y\

00

00

2) Aus 1.13 folgt leiclit, dass H{z) und damit exp(^H{z)) im Bereicli 2 < x < 3 beschrankt ist. Aus der Funktionalgleichung folgt, dass die Funktion auch in 1 < X < 2 beschrankt ist. D Damit sind die charakteristischen Eigenschaften der P-Funktion nachgewiesen, und wir erhalten r{z) = A • h{z). Den Norniierungsfaktor bestimnit man mit Hilfe der LEGENDRE'schen Relation (1.12): l\n/2

V^ = A 1 + V n'

1 ^^/"A ^^/n + 1^ -2-2 • e x p [ - - + F ( ^ - j + F ( •22.expI

Fiir X —)• 00 konvergiert H{x)

ii(n\

-

—^ 0 u n da:/2

1+

1

Ve,

so dass sich A = v27r ergibt. 1.14 S a t z (Stirling'sche F o r m e l ) . Hiz)

E Tl=0

z+n +

Mit

ly

Log 1 +

z+ n

gilt fiir z E C_

r(z) = V2^z'-h-'e"^'K In jedem Winkelbereich W{6) konvergiert H{z) fur z —)• oo gegen 0.

Ubungsaufgaben zu §1

209

Die gewohnliche Stirling'sche Formel Aus den angegegeben Umformungen fiir HQ{Z) erhalt m a n fiir positive reelle x 1 1/1 0 < HJx) < • , , — , °^ ' 12x x + 1 12 Vx also 0 < H{x)

<

-t(-

12-^\x + n

1 x +

,, i y

x + n + lJ

12x

19 T ^-^ l = 0 \ T- 4-

u n d somit H{x) Wegen n\ = n r[n)

=

mit 0 < -i? = 'dix) < 1 fiir x > 0.

12x folgt /77.\"

i! = V 2 7 r n f - j

•d(n)

e i2« ,

0 <-i?(n) < 1.

Dies ist die klassische SxiRLiNG'sche Formel fiir n!.

Ubungsaufgaben zu IV. 1 1. Man untersuche folgende Produkte auf absolute Konvergenz und ermittle gegebenenfalls iliren Wert. oo

n(-^) n>

v=2

^

v=2 oo

^

v=2

2. Das Produkt H ^ o ( l + -^^ ) ist genau dann absolut konvergent, wenn \z\ < 1 ist, und dann gilt

n('-'>T^ 3. Man zeige, dafi die durch , 1 1 7„ := 1 + 2 + 3

1

logn

definierte Folge (7^) (streng) monoton fallt und durch 0 nach unten beschrankt ist. Also existiert 7 := lim 7^ = 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 431042 159 . . . n—^oc

{Euler-Mascheroni^sche

Konstante).

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

210

4. Man zeige, dafi die EuLER'sche Produktformel fiir l/F aus der GAUSS'schen Darstellung von F gewonnen werden kann und unigekehrt. Zur Erinnerung: lini oo z(z + 1 ) . . . (z + n)

r{z) 1

n('-f)

r{z)

(C.F.GAUSS)

-z/n

(L. E U L E R )

r{z + n)

5. Fiir 0 e C - S gilt

lini n-s-oo n^r(n) -2,-3,...}. dabei sei S = {0, — 1, 6. Eine weitere Charakterisierung von T: Sei / eine analytische Funktion niit den Eigenschaften a)

f{z + l)=zf{z)

Dann ist f{z) = f{l)r{z)

und

fiir alle

b)

{S wie in 5.

f{z + n) n->oo

n'-f(n)

zeC-S.

7. Man zeige:

-a)--"i!)^(i)

Man zeige:

\niy)Y

r \+'y)

y sinh %y

cosh Tvy

9. Ein anderer Beweis der Verdoppelungsformel. Die durch r(z)r(z + j j und r(2z) definierten Funktionen liaben dieselben einfaclien Polstellen. Es gibt daher eine ganze Funktion g : C ^ C niit ri^)r[z

+ ^) = exp(5(z))r(2z).

Man zeige, dass g ein Polynom vom Grad < 1 ist, und folgere

r{z)r(^z +

^)=2'-'^^r{2z).

10. Eine Charakterisierung von F durch die Verdoppelungsformel. Sei / : C ^ eine meroinorphe Funktion und f{x) > 0 fiir alle a; > 0. Ferner gelte f{z+l) Dann ist Hilfssatz:

f{z)

= zf{z)

und

C

V^/(2z) = 2 2 ^ - V ( ^ ) / ( ^ + i )

F{z) fiir alle z G

Zum Beweis verwende man folgenden

Ist g : C ^ C eine analytische Funktion, g{z + 1) = g{z), g(2z) = g{z)g (z + ^j fiir alle z G C und g{x) > 0 fiir alle x > 0, dann gilt g{z) = ae ^ mit geeigneten Konstanten a und h. 11. Die GAUSS'sche Multiplikationsformel. Fiir p G N gilt

r\ -\F{ i ^ 1 . . - r ' ^ + ^~ -^

/

.p-i

(27r)

1

2 p2-

''F{z)

Ubungsaufgaben zu §1 Anleitung:

211

Man weise fiir

/(.,:= ,2.,*..-*r(i)r(i±i)...r(i±ii^ die charakterisierenden Eigenschaften von F nach. 12. Die EuLER'sche B e t a f u n k t i o n . Fiir z, w G C niit R e z > 0 und R e w > 0 sei

B{z,w):=

/ e-\l

- t)""-^ dt.

Die so definierte Funktion heifit EuLER'sche Betafunktion (nach A. M. LEGENDRE (1811) Euler'sches Integral erster Gattung). Man zeige: a) B ist stetig (als Funktion beider Variablen!). b) Fiir festes w (mit R e w > 0) ist z i-^ B[z^w) analytisch in der Halbebene R e z > 0. Fiir festes z (mit R e z > 0) ist z i-^ B{z,w) analytisch in der Halbebene Re w > 0. c) Es gilt B{z + l,w) = ^^-Biz^w), z+ w d) Die Funktion B{z,w)r{z

B{l,w)

= - .

+ w)

/(^

hat die charakterisierenden Eigenschaften von F, es gilt also die EuLER'sche Identitat fiir R e z > 0 und Rew > 0:

Die Betafunktion ist somit auf die Gammafunktion zuriickgefiihrt. oo j - Z - 1

e)

r

B{z,w)

(l + i) z-\-w

dt.

0 K/2

f) B{z,w)

= 2 / (sin 93) ^~ (cos 99) ^~ dip. 0

13. 1st n^ das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel im R", so gilt 1 n/2

H„ = 2 M „ - I

/

(1 - *

dt

r ( | + i)

14. Die GAUSS'sche r/)-Funktion sei definiert durch tp{z) := F'{z)/F{z)

.

Man zeige: a) V ist meromorph in C mit einfachen Polstellen in S = {—n; Res (r/j; —n) = —1.

n G Ng} und

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

212

b) r/)(l) = —7 (EuLER-MASCHERONi'sche Konstante). c) r/)(z + l) -tl^iz)

= -.

d) r/)(l — z) — il>{z) =

ncotnz.

00

00

f) ^b'(z) = >

-.

TTT , wobei die Reihe rechts in C normal konvereriert.

Fiir positives x ist 00

{x + vY die reelle F-Funktion ist also logarithniisch konvex. 15. S a t z v o n B o h r - M o l l e r u p (H. Bohr, J. Mollerup, 1922). Sei / Funktion niit den Eigenschaften a) fix + 1) = xf{x)

fiir alle x > 0

Dann ist f{x) = f{l)r{x)

und

b) l o g / ist konvex.

fiir alle x > 0.

16. Fiir a G C und n G N sei Q\

Q(Q

— 1) • • • (a — n — 1)

la

1.

Man zeige, dafi fiir alle a G C — NQ gilt: ^

^

r{-a)r{n+l)

^

—n

r{-a)

[n —>• 0 0 ) ,

d.h. der Quotient von linker und rechter Seite hat den Grenzwert 1. 17. HANKEL'sche Integraldarstellung fiir — (H. HANKEL, 1864). Fiir z G C ist

7i) = 2^/^"''"P("')'^"'' dabei ist 7^ ^ der in folgender Abbildung skizzierte „uneigentliche Schleifenweg ImA

§2. Der Weierstrafi'sche Produktsatz

213

2. Der Weierstrafi'sche Produktsatz Wir betrachten folgendes Problem: Gegeben sei ein Gebiet D c C sowie eine in D diskrete Teilmenge S. Jedem Punkt s G 5 sei eine natiirliche Zahl m^ zugeordnet. Existiert eine analytische Funktion / : D —^ C mit den Eigenschaften a) f{z) = 0 <=> z & S und b) ord(/; s) = m^ fiir s e 5 ? Solche Funktionen kann man mit Hilfe von Weierstrafiprodukten tatsachlich konstruieren. Wir wollen uns der Einfachheit halber auf den Fall D = C bescliranken. Da die abgesclilossenen Kreissclieiben kompakt sind, existieren nur endlicli viele s ^ S mit \s\ < N. Man kann dalier die Menge S abzalilen und nacli waclisenden Betragen ordnen:

kil < IS2I < ksl < •••• Wenn S eine endliclie Menge ist, wird das Problem durcli

l[{z-sr^ ses gelost. Fiir unendliclie Mengen S wird dieses Produkt i. a. niclit konvergieren. Wir wollen und konnen annelimen, dass der Nullpunkt niclit in S entlialten ist, da man eine NuUstelle der Ordnung m im Nullpunkt durcli Multiplikation mit z™ naclitraglicli erzwingen kann. Dies hat den Vorteil, dass man das unendliclie Produkt 00

/

nh

z

m„ := m .

«=i

betrachten kann, welches bessere Konvergenzchancen hat. Dieses Produkt konvergiert manchmal, z.B. fiir s^ = n^, m^ = 1, aber nicht immer, beispielsweise fiir s^ = n und m„ = 1. Nach W E I E R S T R A S S wird der Ansatz nun dahingehend modifiziert, dass man dem Produkt Faktoren hinzufiigt, die am Nullstellenverhalten nichts andern, aber die Konvergenz erzwingen. Ansatz. 00

/

/w:=n 1

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

214

Dabei sei P„{z) ein Polynom, das noch zu bestimmen ist. Wir niiissen zumindest dafiir Sorge tragen, dass fiir jedes z G C lim (1-—)™«e^"(")

1

gilt. Wir bemerken nun: In der offenen Kreisscheibe Uu |(0) gibt es eine analytische Funktion A^ mit der Eigenschaft 1

oAJz)

1 fur

^Gf/|,j(0)

und

MO) = 0Die Existenz von A^ ergibt sich unmittelbar aus II.2.9^. Diese Funktion ist natiirlich eindeutig bestimmt. Spater werden wir A^ explizit angeben. Die Potenzreihe von A^ in der Kreisscheibe U,,, ,{0) konvergiert in jedeni Kompaktum K C Ui^ |(0) gleichmai3ig. Bricht man die Potenzreihe an einer geeigneten Stelle ab, so erhalt man ein Polynom P^ mit der Eigenschaft 1

< -^ n^

s.

fiir alle z mit

\z\ < - \s^ ' ' 2 ^

Da die Reihe 1 + | + ^ + • • • konvergiert, erhalten wir: Die Reihe =n.{2)

ist normal konvergent, denn in der abgeschlossenen Kreisscheibe \z\ < R wird sie bis auf endlich viele Glieder (Ws^\ < R) durch die Reihe ^ -^ majorisiert. Die bisherigen Uberlegungen zeigen: 2.1 Weierstrafi'scher Produktsatz (1. Form) (K. WEIERSTRASS, 1876). Sei S C C eine diskrete Teilmenge. Ferner sei eine Abbildung m :S

N,

gegeben. Dann gibt es eine analytische

m„ Funktion

/ : C —>C mit den

Eigenschaften

a) S = N{f):= {zeC; f{z) = b) TTij, = ord(/; s) fiir alle s E S.

0}und

§2. Der Weierstrafi'sche Produktsatz

215

/ hat also genau in den vorgegebenen Stellen s e 5 Nullstellen vorgegebener Ordnung nig. f hat die Gestalt eines (endlichen oder unendlichen) Produkts, aus dem man Lage und Ordnung der Nullstellen von / ablesen kann. Wir sagen auch: / ist eine Losung der vorgegebenen Nullstellenverteilung Mit / ist dann natiirlich auch

{(s,mj,); s G S}.

F{z):=exp{h{z))f{z) eine Losung der Nullstellenverteilung, wobei /i : C —)• C eine beliebige ganze Funktion ist. Umgekehrt hat jede Losung F der Nullstellenverteilung diese Gestalt, denn g := F/f ist dann eine ganze Funktion ohne Nullstellen, daher existiert nach IL2.9 eine ganze Funktion h mit der Eigenschaft g = exp/i. Eine wichtige Anwendung des WEiERSTRASS'schen Produktsatzes ist 2.2 Satz. Jede in ganz C meromorphe Funktion ist als Quotient zweier ganzer Funktionen darstellbar. Mit anderen Worten: Der Korper M.{C) der in C meromorphen Funktionen ist der Quotientenkorper des Integritdtsbereiches C(C) der ganzen Funktionen. Beweis. Sei / G A1(C), / ^ 0, und S := S{f) sei die Polstellenmenge von / . Dann ist S diskret in C Sei m^, := — ord(/;5) die Polstellenordnung von / in s. Nach unseren Uberlegungen gibt es eine ganze Funktion h mit N{h) = S und ord(/i; s) = rUg. Die in C meromorphe Funktion g := fh besitzt daher nur hebbare Singularitaten und ist deshalb analytisch in C. Es gilt / = g/h. Die so konstruierten Funktionen g und h haben iibrigens keine gemeinsame Nullstelle. D P r a k t i s c h e K o n s t r u k t i o n von Weierstrafiprodukten Der obige Existenzbeweis fiilirt oft dazu, dass die Polynome P^ einen zu hohen Grad haben. Eine Verbesserung erhalt man durch die folgenden verfeinerten Uberlegungen: Zunachst bestimmt man die Potenzreihe A^. Eine einfache Rechnung zeigt

Man konstruiert das Polynom P^ durch Abbruch dieser Potenzreihe an einer geeigneten Stelle: Pni^) = ^'n"^

- ij-]

(fc„ e N geeignet) .

Fiihrt man die sogenannten WEiERSTRASS'schen Elenientarfaktoren Ej^ ein, E,{z):={l-z),

E,{z)

:= {l - z)e^p

(z + ^ + • • • + ^Y

fc

£ N,

216

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

so schreibt sich das unendliche Produkt in der Form

n U,{£} Fiir dieses unendliche Produkt (ein sogenanntes WEiERSTRASSprodukt) gibt es nun einen verbesserten Konvergenzbeweis, der genauere Bedingungen fiir die Wahl der Grade der Polynome P^ liefert. Dieser benutzt die beiden folgenden Hilfssatze: 2.3 Hilfssatz. Seien rn- > 0 und k > 0 zwei game Zahlen. 2\z\
Unter der

Voraussetzung

und 2m|z|*'+^ < 1

gilt

\E,{z)

1 < 4m b

fc+i

Der elementare Beweis sei dem Leser iiberlassen. 2.4 Hilfssatz. Sei (s„)„>i erne Folge von 0 verschiedener komplexer Zahlen mit der Eigenschaft lim |s„| = oo n—>-oo

und (?«•„)„>i erne heliehige Folge naturlicher Zahlen. Dann giht es eine Folge (fc„)„>]^ nicht negativer ganzer Zahlen, so dass die Reihe fcn+l n=l

fur alle z in C konvergiert. m^ + n wahlt.

Dies ist heispielsweise dann der Fall, wenn man k^ >

Beweis von 2.4 • Bei festem z £ C gibt es wegen lim, ' n—>oo dass fiir alle n > HQ gilt: z -

I nI

OO ein rig G N , so

2

Daher ist fiir n > «„ kn+l

1 \

< m„ ( - 1 .2)

n-\-mji

< < (2)

•

Damit erhalt man eine zweite Form des WEIERSTRASS'schen Produktsatzes: 2.5 Satz. Wahlt man die Folge (k^) wie in 2.A, so konvergiert das

Weierstrafiprodukt

normal in C und definiert eine in C analytische Funktion f, deren Nullstellen genau in den Funkten Sj, s^, S3, • • • liegen und die vorgeschriehenen Ordnungen hahen. Die Funktion fo{z) := z"^" f{z) «m Nullpunkt.

hat zusdtzlich noch eine Nullstelle

Wir miissen lediglich noch zeigen, dass aus der Konvergenz von

der Ordnung rrig

§2. Der Weierstrafi'sche Produktsatz

217

n=l

fiir alle z £ C, die (normale) Konvergenz von OO

y

n= l

folgt. Es ist die (normale) Konvergenz von

n= l

zu beweisen. Sei R > 0 vorgegeben. Wir wahlen TV so groB, dass fiir n > N

K\ - 2 gilt. Da die Suinmanden einer konvergenten Reihe eine Nullfolge bilden, gilt — nacli eventueller Vergrofierung von N — 2m„ I I—r 1

< 1 fiir n > TV.

Aus Hilfssatz 2.3 folgt fiirn > TV und \z\ < R

-4t)'

\z\

< 4m„

kn+l

fcn+l

< 4:m„

Die normale Konvergenz ergibt sich nun aus Hilfssatz 2.4. Beispiele z u m Weierstrafi'schen

Produktsatz

Bei den folgenden Konvergenzbeweisen ist es bequem, den P r o d u k t s a t z in der feineren Form 2.5 zu verwenden. M a n kann darauf a b e r verzicliten, d a die Konvergenzbeweise in j e d e m Einzelfall selir einfacli direkt gefiilirt werden konnen. 1. Gesucht sei eine ganze F u n k t i o n / , deren NuUstellen genau in den Q u a d r a t e n ganzer Zalilen liegen u n d alle die O r d n u n g 1 h a b e n . D a Yl'^=i \'^' n^'^\ fiir alle z £ C konvergiert, kann m a n k^ = Q fiir alle n G N nehnien. D a h e r h a b e n wir eine Losung in

no-^)

i{'-)

«=i

2. Gesucht sei eine ganze F u n k t i o n / , deren NuUstellen genau in den ganzen Zahlen liegen u n d die O r d n u n g 1 h a b e n . W i r zahlen die ganzen Zahlen folgendermaBen ab: 0, s^ = 1, S2 -1, '0 Nach deni WEiERSTRASS'schen P r o d u k t s a t z ist

m

z

nh

n=l

z

z/ s^

218

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

eine Losung des Problems, denn die Reihe oo

^

E ist fiir jedes ^ G C konvergent. Es gilt 2N

'

' e^h.

T l = l

= z lira If I 1 J V ^ o o -'•-'• «=i OO /

\

Das letzte unendliclie Produkt konvergiert absolut! Eine andere Losung des Problems ist sinTrz. Die logaritlimisclien Ableitungen der beiden Losungen stimmen wegen der bekannten Partialbruchentwicklung des Kotangens (III.7.13) iiberein: ..

cos TTZ TT

=

sm -nz

TTCOt TTZ —

oo

2z

7z + ^—' E z^ — n^ ,

,

n=l

Die beiden Funktionen sind dalier bis auf einen konstanten Faktor identisch. Dividiert man sin nz durch z und voUzielit den Grenziibergang ^ —)• 0, so erlialt man fiir die Konstante den Wert TT. Damit liaben wir die Produktentwicklung von sin TTZ auf eine andere Art und Weise als in §1 gewonnen:

3. Seien w^, ^2 G C zwei komplexe Zalilen, die iiber M linear unabliangig sind. Sie liegen also niclit auf einer Geraden durcli den Nullpunkt. Man nennt L : = L{uj-^^,UJ2) : = ^w^ + Zwg

das von w^ und ^2 aufgespannte Gitter. Gesuclit ist eine ganze Funktion a : C —)• C, die genau in alien Gitterpunkten NuUstellen erster Ordnung be-

§2. Der Weierstrafi'sche Produktsatz

219

sitzt. Fiir A; G N sei

Diese Menge besitzt 8k Elemente, und es gilt L = IJfe^o-^fcdieser Zerlegung zahlen wir die Punkte von L wie folgt ab: •^0 =

0,

Si =

— U)-^ — UJ2,

SY

Wi,

S^

= UJ^+

UJ^,

53 =

^2,

S4 =

Entsprechend

- W i + UJ2, 55 =

-Wi,

^6

=

= —1^2' •^g ~ "^1 ~ ' ^ 2 ' •'9 ~ 2W]^, S^Q = 2uJ-^ + ^ ^ 2 ' • • • •

Die s„ sind dann zwar nicht nach wachsenden Betragen geordnet, aber es gilt lira |s„| = (X). •*—r—<—r 11

2.6 Hilfssatz. Fiir jedes z G C konvergiert 3

E

«=i

Beweis. Wegen

Es gibt eine Konstante d, so dass fiir uj E Lj. immer |u;| > kd gilt. ,3

E

E E

<£8fc fc=r

00

rf3 ^Z ^^ A1.;2 < fc=r

gilt die Beliauptung. Man kann also k^ = 2 fiir alle n G N walilen und findet in a(.):=.(.;i):=..n|(l-i-).exp(^f+

00

D

l f f 2 Vs

eine ganze Funktion niit den gewiinscliten Eigenscliaften. Aufgrund der absoluten Konvergenz des Produkts kommt es auf die Reilienfolge der Faktoren niclit an. Man sclireibt dalier aucli

.,..,:... n{(i-^)-»p(^i(ir)}^

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

220

M a n n e n n t a die WEiERSTRASS'sche a - F u n k t i o n z u m Gitter L ( W E I E R S T R A S S , 1862/63). Ihre logarithmische Ableitung 1

—

z

a[z]

^^0

Z — UJ

z

1

+- +— UJ

LO-^

heiBt WEiERSTRASS'sche ^-Funktion (zum Gitter V). D a s Negative ihrer Ableitung, also

n e n n t m a n Weierstrafi'sche

p-Funktion

(zum Gitter L), explizit:

Diese F u n k t i o n spielt eine fundamentale Rolle in der Tlieorie der elliptischen Funktionen (s. Kapitel V). M a n kann die p - F u n k t i o n aucli als M I T T A G - L E F F LER'sclie Partialbruclireilie auffassen. Mit diesen Reilien werden wir uns im naclisten P a r a g r a p l i e n bescliaftigen.

Ubungsaufgaben zu IV.2 1. Man zeige, dafi fiir die Weierstrafi'schen Elementarfaktoren S^, gilt: a)

E',{z)

-z exp ( z + Y

b) 1st E^{z) = Y^'^^ga^z"

die TAYLORreihe von Ef, urn den NuUpunkt, so 1st 0 und a„ < 0 fiir v > k. -l\<\z \k + l

1, a^ = 02

c) Fiir 1^1 < 1 ist \E^{z) 2.

WALLis'sche Produktformel (J. WALLIS, 1655). TT

lim TT

2"

Anleitung: 3.

^v'

v= l

Man benutze die Produktentwicklung von sinTrz.

Man zeige a)

b)

cosnz = H

(l " J^^;^)

TTZ

.

nz

= J[

T T / -,

(^ "

(-1)" 2n-l

^ )

Ubungsaufgaben zu §2

221

4. Sei / : C ^ C eine ineroinorphe Funktion init lauter einfachen Polen und ganzzahligen Residuen. Dann gibt es eine ineroinorphe Funktion h : C —V C m\i f{z) = h'{z)/h{z). 5. Iin Folgenden sei R ein koinmutativer Ring init Einseleinent. Man nennt die Menge R' := {r G -R; r s = 1 fiir ein s G R) die Einheitengruppe des Ringes. Ein Element r £ R — {0} heifit irreduzihel oder unzerleghar, falls es keine Einheit ist und aus r = ah inimer a £ R' oder b £ R' folgt. Ein Primelenient p £ R — {0} ist durch p ^ R' und {p I ab => p \ a oder p \ b) charakterisiert, wobei „|"hier die Teilbarkeitsrelation bezeichne. 1st R niclit nur ein kommutativer Ring niit Einselement, sondern auch noch nullteilerfrei, so heifit R auch Integritdtshereich. Hat jedes Element r G -R, r ^ 0, eine (bis auf die Reihenfolge und Einheiten eindeutige) Zerlegung der Form r = £PiP2---Pm'

ee-R*,

in endlich viele Primelemente, so nennt man R faktoriell oder

ZPE-Ring.

Ein Ideal im Ring R ist eine additive Untergruppe a von R mit der Eigenschaft a G a, r £ R =^

ra G a.

Ein Ideal heifit endlich erzeugt, wenn es endlich viele Elemente aj^,...,a^ G R gibt, so dafi

E-

G-R

gilt. Man nennt a Hauptideal, falls n = 1 gewahlt werden kann. Sei R = C ( C ) der Ring der analytischen Funktionen in C a) Sei a die Menge aller ganzen Funktionen / mit folgender Eigenschaft: Es existiert eine natiirliche Zahl m,, so dass / in alien Punkten aus m Z verschwindet. Man zeige, dass a ein nicht endlich erzeugtes Ideal ist. b) Was sind die unzerlegbaren Elemente und was die Primelemente in C ( C ) ? c) Was sind die invertierbaren Elemente (die Einheiten) in

0{C)7

d) Nicht jedes von 0 verschiedene Element von R kann als Produkt von endlich vielen Primelementen geschrieben werden, d. h. in der Sprache der Algebra: 0 ( C ) ist kein ZPE-Ring. e) Jedes endlich erzeugte Ideal in 0{C) ist ein Hauptideal. Anleitung. Die Aufgabe ist nicht einfach. Es geniigt zu zeigen, dass je zwei ganze Funktionen / , g mit disjunkter NuUstellenmenge das Einheitsideal erzeugen, es gibt also Funktionen A,B £ 0{C) mit Af + Bg = 1. Ansatz. A = (1 + hg)/f,

h G C(C).

Zum Beweis darf benutzt werden, dass es zu jeder diskreten Teilmenge S C C und zu jeder Funktion h^ : S ^ C eine ganze Funktion /i : C —>• C gibt, deren Einschrankung auf 5* mit ft.g iibereinstimmt. Man kann sogar in jedein Punkt 8 endlich viele TAYLORkoeffizienten beliebig vorgeben (s. Aufgabe 5 des nachsten Abschnitts).

222

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

3. Der Partialbruchsatz von Mittag-Leffler Ersetzt man in 2.5 die Funktion / durch 1 / / , so erhalt man eine Funktion mit vorgegebenen Polen und Polordnungen. Aber es gilt ein viel scharferer Satz. Man kann nicht nur die Polordnungen vorsclireiben, sondern sogar die Hauptteile der LAURENTzerlegungen. 3.1 Partialbruchsatz von Mittag-Leffler (M. G. M I T T A G - L E F F L E R , 1877). Set S C C eine diskrete Menge. Jedem Punkt s E S set eine game Funktion

K-.c-^c,

/i,(o) = o,

zugeordnet. Dann existiert eine analytische f •C - S ^

Funktion C,

deren Hauptteil in s E S durch h^ gegeben wird, d. h.

hat in z = s eine hebbare Singularitdt. Wenn die Menge S endlicli ist, so ist

ses

eine Losung des Problems. Im allgemeinen wird diese Reilie niclit konvergieren. Man kann aber — alinlicli wie bei den WEiERSTRASSprodukten — konvergenzerzeugende Summanden einfiiliren. Sei also S eine unendliclie diskrete Menge. Wir numerieren die singularen Stellen durch und ordnen nach wachsenden Betragen an: ^ ~ I'^O' • ' l ; •^25 • • • } ;

Pol S P i I S P2I S • • •

Jede der Funktionen

ist in der Kreisscheibe 1^1 ^ P«l analytisch und daher in eine Potenzreihe entwickelbar. Indem man diese Potenzreihe abbricht, erhalt man ein Polynom P^^ mit folgender Eigenschaft: Die Reihe 00

r

n=N ^

..

§3. Der Partialbruchsatz von Mittag-Lefller

223

konvergiert im Bereich \z\ < | s ^ | normal. Man bestimme beispielsweise P„ so, dass

(jh:)

1 < — n^

PJz]

1, \z\ < - \s

fiir

1 1 -

2 1

gilt. 1st die obige Eigenschaft erfiillt, so wird durch die Reihe I

ex:

/w

PJz)

eine im Bereich C — 5 analytische Funktion mit dem gewiinschten singularen Verhalten definiert. Eine auf diese Weise gewonnene Reihe nennen wir eine Mittag-Lejfler'sche Partialbruchreihe. Man sagt auch: / ist eine Losung der gegebenen

Hauptteilverteilung.

1st / eine Losung der gegebenen Hauptteilverteilung, so ist fo '•= f + g,

g eine ganze Funktion,

die allgemeine Losung der gegebenen Hauptteilverteilung. Sind namlich /g und / beides Losungen der gegebenen Hauptteilverteilung, dann haben sie die gleichen Singularitaten, und die jeweihgen Hauptteile stimmen iiberein. Daher ist die Differenz f^ — f ='• g eine ganze Funktion. Umgekehrt andert die Addition einer ganzen Funktion nichts an den Singularitaten und Hauptteilen. Beispiele. 1. Partialbruchentwicklung

von

. SlUTTZ

Wir benotigen eine Funktion mit der Singularitatenmenge 5 = Z. Der Hauptteil an der Stelle z = n soil

f-D" sein. Die Potenzreihenentwicklung dieser Funktion lautet i«+i

-1)"

z

z

n

n^

1+ - + ^ +

z—n

n

\

Wir brechen an der nullten Stelle ab. Im Bereich \z\ < r, r > 0, gilt -l)"+i

-1)

n

<

2r

fiir

Die Reihe

Hz)

z

^-^ ^

+

n > 2r.

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

224

ist also eine MiTTAG-LEFFLER'sche Partialbruchreihe. Fasst man die Terme zu n und —n zusammen, so erhalt man 1

1 z—n

M^) = 7 + E(-i) Behauptung.

1 z+ n

Es gilt TT

1

S m TTZ

Z

+ E(-i)

+

«=1

z—n

z+ n

Beweis. Man folgert dies leiclit aus der Partialbruclientwicklung des Kotangens III.7.13 unter Verwendung von 1

z = cot

cot z. smz 2 Einen direkten Beweis mit Hilfe des Satzes von LIOUVILLE moge sicli der Leser als (niclit ganz einfaclie) Ubungsaufgabe iiberlegen. 2. Die P-Funktion hat die Polstellenmenge S = {—n; n G Ng}. In jedem Punkt z E S hat r einen Pol erster Ordnung mit dem Residuum Res(-r; —n) = ' / . Also lauten die Hauptteile 1

_ (-1)" 1 n! z + n

h„ " \z + nJ Daher ist

-1)" 1 n! z + n

g{z):=r{z)-Y^ n=0

eine ganze Funktion. gesichert.

Die Konvergenz ist wegen des Faktors n! im Nenner

Die ganze Funktion g lasst sich bestimmen: Es gilt oo

g{z) = j

e-^e-^dt.

1

Dies zeigt man, indem man in dem Integral 1

0

oo

1

die Funktion e^* in eine Potenzreihe entwickelt und anschlieBend Summation

§3. Der Partialbruchsatz von Mittag-Lefller

225

und Integration vertauscht. Dieses Verfahren liefert iibrigens einen neuen Beweis fiir die analytische Fortsetzbarkeit der P-Funktion. Die P-Funktion besitzt also die Zerlegung von E. F .

m = E n!-1) n=0

1 + z+ n

PRYM

(1876)

/ t'-^'e^' (it

3. Wir konimen nochmals auf die WElERSTRASS'sche p-Funktion zuriick (vgl. § 2 Beispiel 3.) Gesucht ist eine meromorphe Funktion, die in den Punkten des Gitters L Pole zweiter Ordnung mit dem Residuum 0 und folgenden Hauptteilen hat:

K

z — s^

[z — s^

Fiir n > 1 ist 1

1

1

.Z-SnJ

Si{l-Z/Sj^

1

z

z

S^

S-

SI

und es geniigt, fiir Pn{z) = l / s ^ zu nelimen. Dann ist namlicli 1 K ( z^ - ^s^1

-PJz)

1

2zs„ - z^

{^-Snf

Sei R > 0 eine feste positive Zalil. Fiir fast alle n ist \s^\ > 2R. Fiir diese n und fiir |^| < i? gilt 1

PJz]

z — s^ Da die Reilie ^ \s^\

<

Rms,\ + R)

<

?>R \s^

12R

konvergiert (2.6), hat man in

eine Losung des Problems. Wegen der absoluten Konvergenz schreibt man oft auch p{z] i ) := — + E

17

^2"

2r

Fassen wir zusammen: Die WElERSTRASS'sche p-Funktion zum Gitter L ist eine meromorphe Funktion, deren Polstellen genau in den Gitterpunkten liegen. Die Polordnung ist jeweils 2, die Hauptteile haben die Gestalt

226

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen 1

\

1

Insbesondere verschwinden alle Residuen. W i r werden diese F u n k t i o n in Kapitel V ausfiihrlich studieren.

Ubungsaufgaben zu IV.3 1. Man beweise den WEiERSTRASS'schen Produktsatz niit Hilfe des Satzes von M I T T A G - L E F F L E R , indeni man zunachst die Hauptteilverteilung

lost und beachtet, dafi / genau dann eine Losung fiir die Nullstellenverteilung {{s.^,m^); n G N} ist, wenn ^ die Hauptteilverteilung | ^™^ ; n G N j lost. 2.

Unter Verwendung der Beziehung z z ^ cot — — tan — = 2 cot z 2 2 und der Partialbruchentwicklung des Kotangens beweise man 7rtan(7r2;) = 82; \

3.

1 (2n+l)2 -4^2

Man zeige ^ (-l)"(2n+l) ^(2n+l)2-402 und foleere

n=0

- = > (-1) = 1 4 Z^^ ^ 2n + l 4.

1 3

1 5

.

7

Man bestimme eine in C meromorphe Funktion / , die in der Menge 5' = {V^;

nGN}

einfache Polstellen mit Res(/; \/n) = \fn hat und in C — S analytisch ist. 5.

Man beweise folgende Verscharfung des Satzes von MITTAG-LEEELER, den sogenannten AnschwAegungssatz von Mittag-Lefjier. Sei 5* C C eine diskrete Teilmenge. Man kann eine analytische Funktion / : C — 5* ^ C konstruieren, wobei man fiir jeden Punkt s £ S nicht nur die Hauptteile, sondern aufierdem noch endlich viele weitere LAURENTkoefRzienten zu nicht negativen Indizes vorgeben kann. Anleitung. Man betrachte ein geeignetes Produkt einer Partialbruchreihe und eines WEiERSTRASSprodukts.

§4. Der kleine Rieinann'sche Abbildungssatz

227

4. Der kleine Riemann'sche Abbildungssatz Der kleine Riemann'sche Abbildungssatz besagt, dass jedes von der ganzen Ebene C verschiedene Elementargebiet niit der Einheitskreisscheibe E konfomi aquivalent ist. Wie der Name andeutet, ist er ein Spezialfall des grofien Riemann'schen Ahbildungssatzes, welcher besagt, dass jede einfach zusammenhangende RiEMANN'sche Flache konfomi aquivalent ist zur Einheitskreisscheibe, zur Ebene oder zur Zahlkugel. Wir werden den grofien RiEMANN'schen Abbildungssatz ini zweiten Band beweisen und dort auf seine Geschichte eingehen. Schon in Kapitel 1.5 h a t t e n wir den Begriff der konformen Abbildung eingefiihrt u n d uns niit einigen elenientaren geonietrischen A s p e k t e n dieses Begriffs beschaftigt. W i r prazisieren noch einmal die Definition des Begriffs der (im GroBen) konformen Abbildung zwischen offenen Mengen D,D' c C 4 . 1 D e f i n i t i o n . Eine

Abbildung ip:D

zwischen offenen Teilen der komplexen Bedingungen erfullt sind:

—> D' Ebene heiflt konform,

falls

folgende

a) Lf ist bijektiv, b) (fi ist analytisch, c) (fi^^ ist analytisch. Anstelle von c) kann m a n natiirlich auch fordern, dass die Ableitung von cp nirgends verschwindet. Bemerkenswerterweise ist die d r i t t e B e d i n g u n g autoniatisch erfiillt: 4 . 2 B e m e r k u n g . In 4.1 ist c) eine Folge von a) und, b). Beweis. Aus dem Satz von der Gebietstreue III.3.3 folgt, dass '^{D) offen ist. D a h e r ist (yS^^ stetig. (Das Urbild einer offenen Menge U G D u n t e r (p^^ ist genau das Bild '^^(C/).) Nach d e m Satz fiir implizite F u n k t i o n e n 1.5.7 ist ip^^ sicherlich aufierhalb der Menge aller w = (p{z), ip'{z) = 0, analytisch. Diese Menge ist das Bild einer diskreten Menge u n t e r der topologischen A b b i l d u n g (p u n d d a m i t selbst diskret. Die B e h a u p t u n g folgt n u n beispielsweise aus d e m RiEMANN'schen Hebbarkeitssatz (III.4.2). D W i r n e n n e n zwei Gebiete D u n d D' konform aquivalent, wenn eine konforme A b b i l d u n g (p : D ^ D' existiert. Dies ist offenbar eine Aquivalenzrelation auf der Menge aller Teilgebiete von C . W i r erinnern noch einmal (II.2.12): 4.3 B e m e r k u n g . biet ist selbst ein

Jedes mit einem Elementargebiet Elementargebiet.

konform

dquivalente

Ge-

228

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

4.4 Bemerkung. Die beiden

Elementargebiete

C sind nicht konform

und

E = {zeC;

\z\ < 1}

dquivalent.

Beweis. Da E beschrankt ist ist, ist jede analytische Funktion ip : C ^ ¥< nach D dem Satz von LIOUVILLE konstant. C und E sind jedoch topologisch dquivalent (homoomorph), wie man niittels der Abbildungen z l+\z\' w E —). C, w 1 i r ' 1 — \w\ erkennt. Dieses Beispiel zeigt, dass die notwendige topologische Aquivalenz zweier Gebiete fiir die konforme Aquivalenz nicht hinreichend ist. Ein Hauptproblem der Theorie der konformen Abbildungen bestelit in der Beantwortung der folgenden Fragen: 1) Wann gelioren zwei Gebiete D,D' c C zur gleiclien Aquivalenzklasse? 2) Auf wieviel verscliiedene Weisen lassen sicli zwei Gebiete einer Klasse aufeinander konform abbilden? Die zweite Frage ist gleiclibedeutend mit der Bestimmung der Gruppe der konformen Selbstabbildungen eines festen Gebietes Dg einer Klasse. Man iiberlegt sicli leiclit, dass Aut(D) := {tf : D ^ D]

(p konform }

eine Gruppe beziiglicli der Hintereinanderausfiilirung von Abbildungen als Verkniipfung ist. Sind namlicli (p,il> : DQ —^ D^ zwei konforme Abbildungen von DQ auf ein anderes Gebiet D^ der Klasse von DQ, SO ist i'^'^p eine konforme Abbildung von DQ auf sicli selbst. Die erste Aufgabe beinlialtet die Aufstellung einer Liste von Normgebieten, so dass 1) jedes Gebiet zu einem Normgebiet konform Equivalent ist und 2) zwei verscliiedene Normgebiete nicht konform Equivalent sind. Wir wollen uns hier ganz auf Elementargebiete beschranken. Die Normgebiete sind hier die komplexe Ebene und der Einheitskreis. (Der allgemeine Fall ist schwieriger, vgl. [Sp] oder [Ga].) 4.5 Theorem (Riemann'scher Abbildungssatz, B. RiEMANN, 1851). Jedes von der komplexen Ebene verschiedene nichtleere Elementargebiet D C C ist zur Einheitskreisscheibe E konform dquivalent.

§4. Der kleine Rieinann'sche Abbildungssatz

229

Der Beweis erfolgt in drei Teilen. Der erste Teil besteht darin, das gegebene Elementargebiet konform auf ein Teilgebiet des Einheitskreises abzubilden, das den NuUpunkt enthalt. Dies geschieht in den Schritten 1) und 2). Im zweiten Teil wird der Abbildungssatz auf ein Extrenialproblem zuriickgefiilirt (Scliritt 2) und 3)). Der Rest des Beweises (Scliritt 4) bis 7)) besteht in der Losung des Extrenialproblems. 1. Schritt. Zu jedeni Elenientargebiet D c C, D ^ C, existiert ein konform aquivalentes Gebiet D^ c C, so dass im Komplement C — D^ eine voile Kreissclieibe entlialten ist: Nacli Voraussetzung existiert ein Punkt 6 G C, 6 ^ D. Die Funktion f{z) = ^ — 6 ist in dem Gebiet D analytiscli und nullstellenfrei. Sie besitzt dalier eine analytische Quadratwurzel (II.2.9^) g:D

C,

g^z)

=

z-b.

g^{zi)=g^{z2)

=^

Offenbar ist g injektiv: 9izi) = giz2) =^

^1 = ^2

und definiert dalier eine konforme Abbildung auf ein Gebiet D^ = g{D). Der Beweis der Injektivitat zeigt melir: Aucli aus g{z-^) = —(7(^2) folgt z-y = z^Mit anderen Worten: Wenn ein von 0 verschiedener Punkt w in D^ enthalten ist, so ist —w nicht in Dy enthalten. Da Dy offen und niclit leer ist, existiert eine Kreissclieibe, welclie den NuUpunkt niclit enthalt und ganz in D^ enthalten ist. Die am Nullpunkt gespiegelte Kreisscheibe liegt im Komplement von D^.

Der erste Schritt lasst sich am Beispiel der geschlitzten Ebene C_ verdeutlichen. Man nimmt 6 = 0 und fiir g den Hauptzweig der Wurzel. Dieser bildet C_ konform auf die rechte Halbebene ab. 2. Schritt. Zu jedem Elementargebiet D c C, D ^ C, existiert ein konform aquivalentes Gebiet Dg ™it 0 G Dg C E.

230

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

Im Hinblick auf den ersten Schritt konnen wir annehmen, dass eine voile Kreissclieibe C/^(a) im Komplement von D entlialten ist (Wir diirfen D durcli D^ ersetzen). Die Abbildung 1 z—a bildet D konforni auf ein beschrdnktes Gebiet D[ ab wegen 1 1 -. r< - . jz — a| r Durcli eine geeignete Translation z i-^ z+a erlialt man ein konform aquivalentes Gebiet, welches den Nullpunkt entlialt. Nacli einer geeigneten „Sclirumpfung" z ^ D =^

\z — a\ > r =^

Z I

> QZ,

Q >

0,

ist das Bildgebiet D2 sogar in der Einlieitskreissclieibe E entlialten.

D

Nacli dieser „Aufbereitung des Problems" kommt der eigentliclie Beweis des Abbildungssatzes. Zu seinem besseren Verstandnis scliicken wir einen Hilfssatz voraus: 3. Schritt. 4.6 Hilfssatz. Sei D ein Elementargebiet, 0 G D C E. Wenn D in E echt enthalten ist, existiert eine injektive analytische Abbildung lA : D —)• E mit den Eigenschaften a) V(0) = 0 und b) |^'(0)| > 1. Im Falle D = E ist dies nacli dem ScHWARz'sclien Lemma (III.3.7) falscli! Beweis. Wir walilen einen Punkt a & E, a ^ D. Wir wissen (III.3.9), dass die Abbildung h{z) =

az — 1 den Einlieitskreis konform auf sicli abbildet. Die Funktion h hat in D keine NullsteUe. Wegen II.2.9^ besitzt sie eine analytische Quadratwurzel

§4. Der kleine Rieinann'sche Abbildungssatz

231

H -.D —^ C mit H{zf

= h{z).

Diese Funktion bildet D injektiv in den Einheitskreis ab. Nochmalige Anwendung von III.3.9 ergibt, dass auch die Funktion H{0)H{z)

- 1

das Gebiet D injektiv in E abbildet. Offensichtlich gilt V'(O) = 0. Wir miissen noch die Ableitung ini Nullpunkt berechnen. Fine einfache Rechnung zeigt V' V

^'

|F(0)|'-r

hat H^{. ^

z — a =^ az — I

2H{{))-H'{{)) = \af

-I.

er gilt |iy(0)|^ = |a| =^

|i7(0)| = vlof-

it findet man

l^'(o)l = -

\H'{0)\ \H{0)f

-I

|a|^-l

1

|a| + l

2- y|af

|a| - 1

2- ,J\a\

> 1.

D

Fine unmittelbare Folgerung aus deni Hilfssatz besagt: Sei D ein Elementargebiet, 0 G D C E. Unter alien injektiven analytischen Abbildungen (/? : D —^ E mit der Eigenschaft Lp{0) = 0 existiere eine mit maximalem \(p'{0)\. Dann ist ip surjektiv. Insbesondere sind dann D und E konform dquivalent. Ware nanilicli (p niclit surjektiv, so existierte auf Grund von Hilfssatz 4.6 — angewendet auf das Flenientargebiet ip{D) — eine injektive analytisclie Abbildung tJj:ifi{D)^E, tjj{0)=0, mit der Figenschaft |^'(0)| > 1. Man hatte dann |(Vov.)'(0)|>|^'(0)| im Widersprucli zur Maximalitat von |(y9'(0)|.

D

Damit ist der RiEMANN'sche Abbildungssatz auf ein Extremalproblem zuriickgefiilirt: Sei D ein beschrdnktes Gebiet, welches den Nullpunkt enthdlt. Existiert in der Menge aller injektiven analytischen Abbildungen (p : D ^ E, Lp{0) = 0, eine mit maximalem \(p'{0)\?

232

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

In den restlichen Beweisschritten werden wir zeigen, dass die Antwort auf dieses Extremalproblem stets positiv ist. Dabei muss nicht vorausgesetzt werden, dass D ein Elementargebiet ist. 4- Schritt. Sei D ein beschranktes Gebiet, welches den Nullpunkt enthalt. Wir bezeichnen mit A4 die (nichtleere) Menge aller injektiven analytischen Funktionen (p : D —> E mit (p{0) = 0 und mit M := sup{ \(p'{0)\ ; (fi E M}

[M = oo ist zugelassen) .

Wir wahlen eine Folge <^-y, ^p^^ V's? • • • von Funktionen aus Al, so dass |(/5j^(0)| -^M

fiir r n - cx).

(M kann cx) sein, dann wachst |(/3^(0)| iiber alle Grenzen.) Hauptproblem. Wir werden zeigen: 1) Die Folge (ip^) besitzt eine lokal gleiclimafiig konvergente Teilfolge. 2) Der Limes cp ist ebenfalls injektiv. 3) ifi{D) c E. Dann ist der Grenzwert (p eine injektive analytisclie Funktion mit der Eigenscliaft |'y5'(0)| = M. Insbesondere ist 0 < M < oo. Der Beweis des Abbildungssatzes ist damit erbraclit. 5. Schritt. Die Folge ((/3„) besitzt eine lokal gleiclimafiig konvergente Teilfolge. Dies ergibt sicli als eine Folge des Satzes von M O N T E L , dem wir uns nun zuwenden wollen. Als Vorbereitung beweisen wir zunaclist zwei Hilfssatze. 4.7 Hilfssatz. Sei D c C offen, K c D ein Kompaktum und C > 0. Zu jedem e > 0 existiert ein 6 = S{D, C,K) > 0 mit der folgenden Eigenschaft: Ist f : D ^ C eine analytische Funktion, die auf D durch C beschrdnkt ist, d. h. \f{z)\ < C fiir alle z E D, so gilt fiir alle a,z E K: \f{z) — /(a)I < £, falls nur

\z — a\ < 6.

Anmerkung. Ist K = {a}, so lasst sicli die Aussage des Hilfssatzes in iibliclier Terminologie aucli folgendermafien formulieren: Die Menge T der analytischen Funktionen / : D —^ C mit \f{z)\ < C fiir alle z E D ist gleichgradig stetig in a. Da a nocli in einem Kompaktum variieren kann, konnte man von lokal gleichmdfiiger gleichgradiger Stetigkeit spreclien. Beweis. Wir nelimen zunaclist einmal an, dass K eine kompakte Kreissclieibe ist. Es exisitieren also ZQ und r > 0 so, dass K •.= U^{ZQ) = {ZEC;

|^-^OI<^}C-D

§4. Der kleine Rieinann'sche Abbildungssatz

233

gilt. Wir nehmen sogar an, dass die abgeschlossene Kreisscheibe mit dem doppelten Radius C^2r(-^o) ganz in D enthalten ist. Fiir z,a E K gilt aufgrund der CAUCHY'sclien Integralformel (II.3.2)

\m-f{a)\

1

(m

/(c)

2^

\C-z

C-a

dC

K-z„\ = 2r

m 2TT

\C-z„\=2r <

C

iC-zKC-a)

dC

2C ,

47rr • — = — \z a\. r^ r Walilt man dalier zu vorgegebenem e > 0 ein ^ > 0 mit der Eigenscliaft r 8 < min- ^ ' ^ ^ } ' 2TT

so ist also |/(^) — /(a)I < £ fiir alle a,z E K mit jz — a| < 6. 1st K c D ein beliebiges Kompaktum, so existiert eine Zalil r > 0 mit folgender Eigenscliaft: Ist a ein Punkt aus K, so ist die voile Kreisscheibe Uj.{a) vom Radius r um a ganz in D enthalten. Man nennt die Zalil r manclimal aucli eine LEBESGUE'sclie Zalil. Die Existenz einer solclien Zalil ergibt sicli mittels eines einfaclien Kompaktlieitssclilusses. Man walilt zu jedem Punkt a E K eine Zalil r{a), so dass die Kreisscheibe vom doppelten Radius 2r(a) noch ganz in D enthalten ist. Es gibt dann endlich viele Punkte a^,... ,a^ mit der Eigenschaft K c U^ (r^ Offenbar ist das Minimum der r„ eine LEBESGUE'sche Zahl. Aus der Existenz einer LEBESGUE'schen Zahl folgert man leicht, dass das Kompaktum K durch endhch viele Kreisscheiben U^{a), a E K iiberdeckt werden kann, wobei noch die abgeschlossenen Kreisscheiben vom doppelten Radius U2j.{a) in D enthalten sind. Der Hilfssatz ist damit auf den SpezialfaU zuriickgefiihrt. D 4.8 Hilfssatz. Sei JlJ

J2T

J^J

• • • '•

^

Dec

offen,

eine beschrdnkte Folge von analytischen Funktionen (d. h. |/„(^)| < C fur alle z E D und n E NJ. Wenn sie auf einer dichten Teilmenge S C D punktweise konvergiert, so konvergiert sie sogar in ganz D und zwar lokal gleichmdfiig.

234

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

Beweis. Wir werden zeigen, dass die Folge {f^) eine lokal gleichmafiige Cauchyfolge ist, d. h.: Sei K c D ein Kompaktum. Zu jedem e > 0 existiert eine natiirliche Zahl N > 0, so dass fur alle m,n > N und alle z & K gilt:

\fjz)-fjz)\<s. Dabei geniigt es, fur K abgeschlossene Kreisscheiben zu nehmen. Dann ist K der Abschluss seines Inneren, und K f] S ist dicht in K. Es ist leicht zu beweisen und aus der reellen Analysis wohlbekannt, dass jede lokal gleichmafiige Caucliyfolge lokal gleiclimafiig konvergiert. Sei nun also e > 0 vorgegeben. Wir walilen die Zalil 5 wie in Hilfssatz 4.7. Wegen der Kompaktlieit von K existieren endlicli viele Punkte S n K mit der Eigenscliaft I

j=i

(Man walilt eine geniigend kleine Lebesguesclie Zalil r und iiberdeckt K die Kreisscheiben U^,2{a), a E K. Es ist klar, dass dann K durch die scheiben U^j.u{a), a G SDK, iiberdeckt wird.) Sei nun z ein behebiger aus K. Es existiert dann ein Punkt a- mit der Eigenschaft |^ — a | < der Dreiecksungleichung folgt

durcli KreisPunkt S. Aus

Der erste und der dritte Term sind nach Hilfssatz 4.7 kleiner als e, der Mittelterm wird kleiner als e, wenn m, n geniigend grofi sind, d. h. n,m > N, wobei fiir alle der endlich vielen Punkte a • das gleiche N gewahlt werden kann. D

4.9 Satz von Montel ( P . MoNTEL, 1912). f„f,,f„...:D^C,

Sei Dec

offen,

eine beschrdnkte Folge von analytischen Funktionen. Es existiere also eine Konstante C > 0 mit der Eigenschaft |/„(^)| < C fur alle z E D und alle n G N. Dann existiert eine Teilfolge / j , ^ , /^.g, f^^, • • •, welche lokal gleichmdfiig konvergiert. Beweis. Sei ScD,

5 = {si, 52, Sg,...}

eine abzahlbare dichte Teilmenge von D. Man kann beispielsweise die Menge S={z = x + iyED; x E Q, y E Q} nehmen. Nach dem Satz von

Ubungsaufgaben zu §4

235

existiert eine Teilfolge von /^, /g, f^,---, Si konvergiert. Wir bezeichnen sie mit

BOLZANO-WEIERSTRASS

welche in

/ill /l2; /l3'• • • •

Hiervon existiert eine Teilfolge, welche aucli in ^2 konvergiert. Man konstruiert auf diesem Wege induktiv eine Folge von Folgen, so dass jede dieser Folgen eine Teilfolge von der vorliergelienden ist. Die n-te dieser Folgen Jnl'

Jn2^ Jn3^ " " "

konvergiert in 5 ^ , . . . , s„. Offenbar konvergiert die Diagonalfolge ill;

J22J

/SS'• ••

fiir alle s & S. Die Beliauptung folgt nun aus 4.8. 6. Schritt. (p ist injektiv. Wir erinnern daran, dass wir eine Funktion (p als lokal gleiclimafiigen Limes von Funktionen aus einer Klasse A4 injektiver analytisclier Funktionen konstruiert liaben. Diese Funktion lost unser Extremalprobleni, falls die Funktion (p ebenfalls dieser Klasse angeliort. Der einzige offene Punkt ist die Injektivitat von (p. Diese ergibt sicli aber aus deni Satz von HuRWiTZ (in.7.2): Sei fi, /2, / s , • • • erne Folge von injektiven analytischen Funktionen auf einem Gebiet D c C, welche lokal gleichmdfiig konvergiert. Die Grenzfunktion f ist dann entweder konstant oder injektiv. Wir niiissen aussclilieBen, dass (p konstant ist. Fiir alle Funktionen aus der (niclitleeren) Klasse Ai ist die Ableitung ini NuUpunkt von 0 verscliieden. Wegen der Extrenialeigenscliaft ist somit aucli (p'{0) von 0 verscliieden. 7. und letzter Schritt: p{D) c E. Wir wissen lediglicli, dass das Bild von ip ini Abscliluss von E liegt. Entliielte jedocli p{D) einen Randpunkt von E, so ware p nacli deni Maximuniprinzip konstant. Damit ist der

RIEMANN'SCIIC

Abbildungssatz vollstandig bewiesen.

D

Ubungsaufgaben zu IV.4 1. Sei -D = {z e C; \z\ > 1}. Kann es eine konforme Abbildung von D auf die punktierte Ebene C* geben? 2. Die beiden Ringgebiete r^<\z\
236 3.

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen Die Abbildung

im

/:E ist konforin. 4.

Durch

viz) - ' wird eine konforme Abbildung von D := {z = re'^; den Einheitskreis E definiert. 5.

Man bestimme das Bild von D = {z £ C; unter der Abbildung (p{z) = z^.

0 < 9 9 < - | , 0 < r < l } auf

| R e z | | Im2;| > 1, 0 < Kez,

Imz}

6. Seien D, D* C C konform aquivalente Gebiete. Man zeige, dafi die Gruppen der konformen Selbstabbildungen Aut(D) und Aut(-D*) isomorpli sind. 7.

Man beweise die folgende Eindeutigkeitsaussage (H. POINCARE, 1884): Ist D C C ein von C verschiedenes Elementargebiet und ZQ £ D ein fester Punkt in D, so gibt es genau eine konforme Abbildung (p : D —> E

8. IstL» = { z G E ;

niit "^(^Q) = 0 und 0-

R e z > 0} und «o := V 2 - 1 , so wird durch ip{z)

z'^ +

2z-l

«2 - 2z - 1 die nach 7. eindeutig bestimmte konforme Abbildung 99 : D ^ E mit I^^ZQ) = 0 und 95'(^o) > 0 definiert. Man zeige, dass sich 93 zu einer topologischen Abbildung von _D —>• E fortsetzen lafit. (Im Allgemeinen ist die Fortsetzung auf den Rand ein schwieriges Problem, s. z.B. [Po].) 9. Sei -D C C ein Elementargebiet und / : D —>• E eine konforme Abbildung. Ist iyZ^) eine Folge in D mit lim^_j.^ 2;^ = r G (3-D, so konvergiert {\f{z^)\) gegen 1. Man zeige an einem Beispiel, dafi die Konvergenz der Folge [z^) gegen einen Randpunkt von D i. a. nicht die Konvergenz der Bildfolge {f{z^)) gegen einen Randpunkt von E zur Folge hat. 10. Sei D = {zeC;

lmz>0}-

{z = iy;

0 < j / < 1}.

a) Man bilde D konform auf die obere Halbebene H ab. b) Man bilde D konform auf E ab. 11. Die allgemeinste konforme Abbildung / : EI —>• E ist vom Typ z I—> e'^ ^ ^ mit A G H, .^ G R. z —X Im Spezialfall (p = 0, A = i, spricht man von der CAYLEYabbildung.

Anhang A. Die Homotopieversion des Cauchy'schen Integralsatzes

237

Anhang A. Die Homotopieversion des Cauchy'schen Integralsatzes Wir wollen zeigen, dass der Begriff „Elementargebiet" topologischer Natur ist. 1st also ip:D —>D'; D, D' c C Gebiete, eine topologisclie Abbildung und D ein Elementargebiet, so ist aucli D' ein Elementargebiet. In dieseni Ralinien ist es niclit angemessen, sicli auf stiickweise glatte Kurven zu bescliranken; wir wollen dalier kurz zeigen, dass man analytische Funktionen aucli langs beliebiger (stetiger) Kurven integrieren kann. A l Hilfssatz. Sei a : [a, b] —> D,

D c C

offen,

eine (stetige) Kurve. Dann existieren eine Unterteilung a=

UQ

< tti < • • • < a„ = 6

und ein r > 0 mit der Eigenschaft Uj.{^a{a^)) C D und " ( K > a , . + i ] ) C C/r(a(a^)) n[/^(a(a^_^i)) C £> fiir Zusatz. Sei / : D —)• C eine Funktion. Die Zahl It

±

0 < v < n.

analytische a(b)

n

hdngt nicht von der Wahl der Unterteilung ab (integriert wird jeweils iiber die Verbindungsstrecke). Wenn a stiickweise glatt ist, stimmt obige Summe mit dem Kurvenintegral J /(C) d^ iiberein. Wenn a nur stetig, also niclit notwendig stiickweise glatt ist, so definieren wir das Kurvenintegral durcli obige Summe. Der Beweis von Hilfssatz Al folgt unmittelbar aus (A) und (B): (A) der Existenz einer LEBESGUE'sclien Zalil, (s. §4): Ist if C -D eine kompakte Menge in einer offenen Menge D c M", so existiert ein e > 0, so dass xe K ^

U^{x) C D.

(B) dem Satz von der gleichmdfiigen Stetigkeit: Zu jedem e > 0 existiert ein (5 > 0 mit x,y & [a,b] und

|x — ?/| < 6 =^

\a{x) — a{y)\ < s.

D

238

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

Wir betrachten nun stetige Abbildungen H -.Q —> D,

Dec

offen,

des Quadrats Q = {zeC]

0 < x , 2 / < 1} = [0,1] X [0,1]

in offene Mengen D c C Das Bild des Randes von Q kann man als eine geschlossene Kurve auffassen:

a^{t) = H{t,0)

fur

0 < i < 1,

a^{t) = H{l,t-\)

fiir

1 < t < 2,

a^{t) = H{i-t,l)

fiir

2 < i < 3,

a^{t) = H{0,4-t)

fiir

3
(0,0)'

(1,0) ^

Wir bezeiclinen diese Kurve ini Folgenden einfach niit H\dQ. Diese Kurve ist natiirlich gesclilossen, aber niclit jede geschlossene Kurve in D Itann auf diesem Wege gewonnen werden. Anschaulicli gesprochen liandelt es sicli urn in D „auffiillbare" geschlossene Kurven.

A2 S a t z . Sei H -Q — > D ,

Dec

offen,

eine stetige Ahhildung und / : D —)• C eine analytische Funktion. Dann gilt

f{C)dC = o. H\dQ

Beweis. draten

Sei n eine natiirliche Zahl. Wir zerlegen Q in ein Netz von n^ Qua^

' IIV

zeQ;

a -<x
a+\ n

V ,-
V +1 n

(0 < M,i^ < n - 1).

Anhang A. Die Homotopieversion des Cauchy'schen Integralsatzes

239

Da H[Q) kompakt ist, existiert bei geeigneter Wahl von n fiir jedes Paar (//, v) eine Kreisscheibe U mit der Eigenschaft

H{Q,J c c/^, c D.

H

Wegen des CAUCHY'schen Integralsatzes ist

(0,1) 1

(1.1) 1—

/(C)rfC = o (m

und aui3erdem gilt

E

/(OrfC

0
H\dQ

(1,0) ^

fiOdC.

u

H\dQ^

A 3 Definition. Zwei Kurven a, 13: [0,1] ^

D,

D cC

offen,

heifien homotop in D (bei festen Endpunkten), falls eine stetige Ahhildung — eine sogenannte Homotopie — H : Q ^ D mit folgenden Eigenschaften existiert: sn

a) a{t) = H{t,0), b) m = H{t,l), c) a(0) =/3(0) = H{0,s)

(0,1)

(1,1)

(0,0)

(1,0) t

unc

a{l)=p{l)=H{l,s) fiirO <s <1. a und /? miissen also denselben Anfangs- und denselben Endpunkt liaben. Offenbar ist dann fiir jedes s G [0,1] a^{t):=H{t,s)

eine Kurve mit dem Anfangspunkt a{0) = /3(0) und dem Endpunkt a{l) /3(1), und es gilt a^ = a und a^ = /?.

=

Das bedeutet also anscliaulicli eine stetige Deformation von a in /] bei festgelialtenem Anfangs- und Endpunkt. A 4 Bemerkung. In einem konvexen Gebiet D c C sind je zwei Kurven a und P mit gleichem Anfangs- und Endpunkt homotop. Beweis. Man betraclite die Homotopie

240

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

H{t, s) = a{t) + s{/3{t) -

a{t)).

Aus A2 ergibt sich: A5 Theorem (Homotopieversion des Cauchy'schen Integralsatzes). Seien D C C offen, a und (i seien zwei in D homotope Kurven. Dann gilt fur jede analytische Funktion f : D ^ C

f = J fa

13

Beweis. Sei H : Q = [0,1] x [0,1] —^ -D eine Homotopie zwischen a und (i. Dann gilt nach A2

j f{C)dC = o H\dQ

fiir jede analytische Funktion / : D —^ C Nun ist aber

a

H\dQ

p-

a

l3

also a

j3

A6 Definition. Ist a : [0,1] -^ D eine geschlossene Kurve in D, a(0) = a{l) = ZQ. Man nennt a nullhomotop in D, falls a zur konstanten Kurve I3{t) := ZQ homotop ist. Ein Gebiet D c C heijit einfach zusammenhangend, Kurve in D nullhomotop in D ist.

falls jede geschlossene

A 7 Bemerkung. Ist a : [0,1] —)• D eine geschlossene, in D nullhomotope Kurve, so gilt

fiir jede analytische Funktion / : -D —)• C. Folgerung. Ist D c C ein einfach zusammenhdngendes

/ =0

Gebiet, so gilt

Anhang A. Die Homotopieversion des Cauchy'schen Integralsatzes

241

fur jede geschlossene Kurve a in D und jede analytische Funktion / : -D —)• C. Jedes einfach zusammenhdngende

Gebiet ist also ein

Elementargebiet!

Hiervon gilt auch die Umkehrung. A 8 Satz. Fiir ein Gebiet D c C sind folgende beiden Aussagen gleichbedeutend: a) D ist ein Elementargebiet, b) D ist einfach zusammenhdngend. Beweis. dass a) aus b) folgt, haben wir eben gezeigt. a) => b) ergibt sich unmittelbar aus den folgenden beiden Bemerkungen: 1) Der Begriff des einfachen Zusammenhangs ist topologisch invariant: Ist <^ : D ^ D' eine topologische Abbildung zwischen zwei Gebieten D,D' c C, so ist D genau dann einfach zusammenhangend, wenn D' einfach zusammenhangend ist. Ist namhch H : [0,1] x [0,1] —)• D eine Homotopie in D, so ist H' := (p o H eine solche in D'. 2) Der Einheitskreis und die Ebene sind einfach zusammenhangend (A4). Der Beweis folgt nun aus dem kleinen Riemann'schen

Abbildungssatz.

D

Als „Nebenprodukt" erhalten wir noch einen tiefliegenden Satz der Topologie der Ebene: A 9 Satz. Je zwei einfach zusammenhdngende gisch dquivalent (homoomorph).

Gebiete der Ebene sind topolo-

Beweis. Da jede konforme Abbildung automatisch topologisch ist, geniigt es wegen des kleinen RiEMANN'schen Abbildungssatzes nochmals festzustellen, dass C und E topologisch aquivalent sind. D Zum Schluss beweisen wir noch AlO Satz. Jede geschlossene Kurve a in dem Gebiet D := C* mit a{Q) = a[\) = 1 ist zur k-fach durchlaufenen Einheitskreislinie homotop. Die Definition der Umlaufzahl iiber ein Integral ist damit nachtraglich voU gerechtfertigt. Insbesondere gilt: Folgerung. Die in III. 6.1 definierte Umlaufzahl ist stets ganz. Der Beweis wird mit Hilfe der Exponentialfunktion exp : C —> C* gefiihrt und beruht auf folgender

242

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

Behauptung. Sei a : [0,1] —)• C* erne geschlossene Kurve, a{0) = a{l) = 1. Dann existiert eine (eindeutig bestimmte) Kurve

(P

ay

exp

5 : [0,1] —^ C 'mit den Eigenschaften a) 5(0) = 0, b) expo a = a.

[0,1]'

»• (p-

Aus dieser Behauptung folgt AlO: Es gilt 5(1) = 27riA; mit k & Z. Da C konvex ist, gibt es eine Homotopie H zwisclien 5 und der Strecke a von 0 nacli 27riA;. Dann liefert aber H := expo H eine Homotopie zwisclien a und exp o a. Es ist exp o (T — £^ J die fc-facli durclilaufene Einlieitskreislinie. Damit ist a zu S). liomotop, insbesondere liaben a und S). dieselbe Umlaufzalil, namlicli k.

a Beweis der Behauptung. Wir zeigen zunaclist: Zu jedem Punkt a G C* existiert eine offene Umgebung V = V{a), so dass das Urhild von V in eine disjunkte Vereinigung von offenen Mengen zerfdllt,

exp -i(T/) = IJ [/„ (disjunkt) , wohei jedes U^ durch exp topologisch auf V abgebildet wird. Wenn a niclit auf der negativen reellen Achse liegt, so kann man fiir V die langs dieser Achse geschlitzte Ebene nehmen. Ihr Urbild zerfallt in offene Parallelstreifen der Breite 27r, wie wir im Zusammenhang mit Satz 1.5.9 gesehen haben. Sollte a auf der negativen reellen Achse liegen, so nehme man fiir V die langs der positiven reellen Achse geschlitzte Ebene. Das Urbild von V zerfallt dann ebenfalls in offene Parallelstreifen. Mit Hilfe des HEiNE-BoREL'schen Uberdeckungssatzes zeigt man nun: Es existiert eine Zerlegung 0 = ttg < a^ < • • • < a^ = 1, so dass jedes Kurvenstiick a{[a^,a^+i]),

0 < ly < m,

in einer offenen Menge V der angegebenen Art enthalten ist. Man kann dann die Kurve „Stiick fiir Stiick" in die Parallelstreifen hochheben. D

Anhang B. Eine Homologieversion des Cauchy'schen Integralsatzes

243

Anhang B. Eine Homologieversion des Cauchy'schen Integralsatzes Im Zusammenhang mit dem CAUCHY'schen Integralsatz fiir Sterngebiete wurden wir auf folgende Frage gefiihrt: 1) Fiir welche Gebiete D c C gilt

fiir jede analytische Funktion / : D —)• C und jede geschlossene Kurve a in D? Diese Gebiete hatten wir Elementargebiete getauft, und im Anhang A batten wir geseben, dass die Elementargebiete gerade die im Sinne der Topologie einfach zusammenhdngenden Gebiete sind. In diesem Teil des Anbangs werden wir eine weitere Cbarakterisierung von Elementargebieten erhalten. Allgemeiner werden wir uns mit folgender Frage befassen: 2) -D C C sei ein beliebiges Gebiet. Wie lassen sicb diejenigen gescblossenen Kurven a in D cbarakterisieren, fiir die / = 0

fiir jede analytiscbe Funktion / : D —> C gilt?

Die Antwort wird sein, dass dies genau diejenigen gescblossenen Kurven sind, deren Inneres in D entbalten ist. B l Definition. Eine geschlossene Kurve in einem Gebiet D heifit molog in D, falls ihr Inneres Int(a) := { z e C - B i l d ( a ) ;

nullho-

x{a;z)^0}

ganz in D enthalten ist. B2 Bemerkung. Jede in D nullhomotope Kurve ist auch nullhomolog in D. Beweis. Fiir D = C ist die Bemerkung klar. Sei a G C — -D ein Punkt aus dem Komplement von D. Die Funktion

z—a ist analytiscb in D, ibr Integral iiber a verscbwindet daber. Der Punkt a liegt somit im Aufieren von a. D

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

244

Es gibt jedoch nullhomologe Kurven, die nicht nullhomotop sind. Ein Beispiel (ohne Beweis) ist in der Abbildung skizziert: Hier ist D = C - {-1,1}. Wir kommen nun zur Forniulierung des Hauptsatzes dieses Anhangs. Er stellt eine globale Version des CAUCHY'schen Integralsatzes dar. Fiir seinen Beweis geben wir die iiberraschend einfache Darstellung von J. D. DIXON wieder (vgl. [Dix]), die in der Zwischenzeit auch Eingang in die Lehrbuchliteratur gefunden hat (vgl. etwa [ReS, FL] oder [Ru]). B 3 Theorem (Homologieversion des Cauchy'schen Integralsatzes). Sei a eine geschlossene Kurve in einer offenen Teilmenge D c C. Die folgenden heiden Eigenschaften sind dquivalent: 1) J / = 0 fiir jede analytische Funktion / : D —)• C. 2) a ist nullhomolog in D. Zusatz. [Inter diesen Voraussetzungen gilt fiir alle z & D — Bild(a) die allgemeine

Cauchy'sche

f{z)x{a]z)

=

—

Integralformel

m

dC,.

Beweis. Die Richtung 1) ^ 2) ist klar. Wir miissen die Umkehrung zeigen. Seien also a eine in D nullhomologe geschlossene Kurve und f : D ^ C eine analytische Funktion. Wir beweisen zunachst den Zusatz, also die CAUCHY'sche Integralformel. Diese ist nach Definition der Umlaufzahl

x(«;^) = ^ / ^ r f C gleichbedeutend mit

/(C)

c

/w

rfC = o

fiir aUe z E D — Bild a.

Die Idee besteht nun darin zu zeigen, dass durch das Integral auf der hnken Seite — aufgefasst als Funktion des Parameters z — eine analytische Funktion G : D ^ C definiert wird, die sich zu einer ganzen Funktion F : C ^ C

Anhang B. Eine Homologieversion des Cauchy'schen Integralsatzes

245

fortsetzen lasst. Von dieser ganzen Funktion F werden wir zeigen, dass sie beschrankt ist. Nach dem Satz von LIOUVILLE ist sie dann konstant. Der Beweis wird auch den Wert der Konstanten (= 0) liefern. Wir miissen den „Differenzenquotienten" /(C) - fjz) als Funktion von ^ C-z und z untersuchen. Zunachst benotigen wir eine Reihe von Hilfssatzen. B3]^ Hilfssatz. Sei D c C offen, / : -D —)• C analytisch. Die durch if. D X D —^ C,

r /(c) - m iCz)

c-z l/'(^),

'

falls C ¥" z, falls C = z,

definierte Funktion ist stetig (als Funktion von zwei Variablen!) Beweis (s. auch Aufgabe 14 aus II.3). Kritisch ist nur die Stetigkeit in den Punkten (Co?-2^0) '^^^ Diagonalen. Wir wahlen 6 so klein, dass die Kreisscheibe voni Radius 6 um a := Co = ZQ ganz in D enthalten ist. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt f{{l-t)z

c-z

+ tC)dt,

falls C und z zwei verschiedene Punkte in der ^-Umgebung von a sind. Es folgt 1

^{C,z)-^{a,a)=

l[f{a{t))-f'{a)]dt

(a{t) = {1 - t)z + tC).

0

Diese Gleichung gilt auch fiir C = z- Die Behauptung folgt nun leicht aus der Stetigkeit von / ' . Die Funktion (p{(!^, z) ist bei festeni C, analytisch in z (auch in ^ = ^ nach dem RiEMANN'schen Hebbarkeitssatz oder auch schon nach 11.2.7^^). Aus der LEiBNiz'schen Regel (II.3.3) folgt: B32 Hilfssatz. Die Funktion G{z)= ist analytisch in D.

U{C,z)dC

246

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

BSg Hilfssatz. Es gibt eine game

Funktion

F : C —^ C mit F\D = G.

Beweis. Erst jetzt machen wir von der Voraussetzung Int(a) C D Gebrauch. Sei Ext(a) = { z e C - B i l d a ; x{a]z)=0} das Aufiere von a. Dann ist Ext(a) offen, und es gilt i : ' U E x t ( a ) = C. Fiir z E D f] Ext (a) gilt wegen X(Q;; Z) = 0 G{z) = /

—^

dC=

ex

—^

dC - 2Tnf{z)xia;

—^ dC,-

z) =

ex

ex

Die Funktion H : C - B i l d a —^ C,

H{z)= j

^^dC,

a

ist analytiscli (wieder aufgrund der LEiBNiz'sclien Regel), insbesondere ist H aucli analytiscli in Ext (a). Da H ini Durclisclinitt D fl Ext (a) mit G iibereinstimmt, wird durcli ^ '

\H{Z),

falls z G E x t ( a ) ,

eine ganze Funktion definiert, die eine analytisclie Fortsetzung von G in die gauze Ebene ist. D B34 Hilfssatz. F ist die

Nullfunktion.

Beweis. Wir walilen dazu ein i? > 0, so dass die Kurve in der Kreissclieibe vom Radius R urn 0 verlauft. Es gilt dann {^eC;

1^1 > i?} C Ext(a).

Wir walilen eine stiickweise glatte Kurve /?, welclie in D n [ / ^ ( 0 ) verlauft und zu a lioniotop ist. Eine solclie Kurve existiert in Form eines Streckenzugs gemaB Al. In der Definition von F konnen wir die Kurve a durch P ersetzen und danacli die Standardabschatzung fiir Integrate verwenden. Fiir \z\ > R gilt F{z) = H(z) und man erlialt

m ,^< -

\Fiz)\ = \H{z)

C /3

C R

Anhang B. Eine Homologieversion des Cauchy'schen Integralsatzes

247

mit einer Konstanten C. Hieraus folgt, dass F auf C beschrankt ist. Als beschrankte ganze Funktion ist F nach dem Satz von LlOUVlLLE konstant. Wegen lim \F{z)\ = 0 |,j|->oo

ist die Konstante gleich 0, F also die NuUfunktion.

D

Nun komnien wir zuni eigentlichen Beweis zuriick. Da F, wie wir gesehen haben, die NuUfunktion ist, verschwindet insbesondere auch G identisch. Fiir alle z E D — Bild a gilt also

^{C,z)dC = 0 d.h. a

I l^^)-^l^

dC = Q

a

oder, wenn man die Definition der Unilaufzahl einsetzt,

a

Damit ist der Zusatz gezeigt. D Der Beweis von f) ist nun einfach: Wir wahlen einen Punkt a E D — Bild a (ein solcher existiert, da D niclit kompakt ist) und betracliten g : D —> C mit g{z) := {z -

a)f{z).

Dann ist g analytiscli in D, g{a) = 0, und die allgemeine CAUCHY'sche Integralformel fiir g anstelle von / ausgewertet an der Stelle a liefert

fiC)dC = j ^ d C = 27Tig{a)x{a-,a)=0.

D

B4 Definition. Zwei geschlossene Kurven a, (i in einem Gebiet D heifien homolog, falls die Umlaufzahlen xict',o-) und x(/?; a) fur alle Punkte des Komplements von D iibereinstimmen. Die Anfangs- und Endpunkte der beiden Kurven konnen dabei verschieden sein. Haufig spricht man Theorem B3 auch in der folgenden Form aus: B5 Folgerung. Seien D c C ein Gebiet, a und /? zwei in D homo geschlossene Kurven. Dann gilt fur jede analytische Funktion / : D —^ C

/=

//•

248

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

Beweis. Man verbinde die Anfangspunkte von a und /? in D durch eine geeignete Kurve a und betrachte die Kurve 7:=(a-)g©ao©/?o©(fT")oDer untere Index 0 bringe zuni Ausdruck, dass die Kurven zunachst so umzuparametrisieren sind, dass ihre Parameterintervalle richtig aneinanderstoi^en. Offenbar ist 7 eine geschlossene, in D nullhomologe Kurve. D Mit der Homologieversion des CAUCHY'schen Integralsatzes erhalt man auch folgende allgemeine Version des Residuensatzes (vergl. III.6.3) B6 Theorem. Seien D c C offen und S C D eine in D diskrete Teilmenge. / : D — 5 —)• C sei analytisch und a eine geschlossene Kurve in D — S, deren Inneres in D enthalten ist: Int(Q;) C D (d. h. a ist nullhomolog in D). Dann gilt die Residuenformel

Beweis. Die Menge Int(a) UBild(a) ist beschrankt und abgeschlossen. Es existieren daher nur endlich viele s & S im Innern von a. Obige Sumnie ist insbesondere endlich, und man kann dank B3 den Beweis des Residuensatzes III.6.3 iibernehmen. D

Anhang C. Charakterisierungen von Elementargebieten Bereits im Anhang A hatten wir festgestellt, dass der Begriff des Elementargebiets in Wahrheit topologischer Natur ist (vergleiche A8): Die Elementargebiete D C C sind genau die einfach zusammenhdngenden biete.

Ge-

Mit Hilfe der Homologieversion des CAUCHY'schen Integralsatzes erhalten wir weitere Charakterisierungen. In dem folgenden Aquivalenzsatz listen wir eine Reihe von Eigenschaften eines Gebiets D c C auf, die alle den einfachen Zusammenhang charakterisieren. Manche Autoren empfinden diesen Aquivalenzsatz als (einen) dsthetischen Hohepunkt der klassischen (elementaren) Funktionentheorie. Seine praktische Bedeutung sollte man aber nicht iiberschatzen.

Anhang C. Charakterisierungen von Eleinentargebieten C I Theorem. Folgende Eigenschaften D c C dquivalent:

249

sind fiir tin (nichtleeres)

Gebiet

Funktionentheoretische Charakterisierungen 1)

Jede in D analytische Funktion besitzt in D eine Stammfunktion, ist ein Elementargebiet.

d. h. D

2) Fiir jede in D analytische Funktion f und jede geschlossene Kurve a in D ist

d. h. in D gilt der allgemeine Cauchy'sche

Integralsatz

3) Fiir jede in D analytische Funktion f und jede geschlossene Kurve a in D und alle z E D — Bild a ist

a

d. h. in D gilt die verallgemeinerte

Cauchy 'sche Integralformel.

4)

Jede in D nuUstellenfreie und analytische Funktion f besitzt einen analytischen Logarithmus in D, d. h. es gibt eine analytische Funktion I : D ^ C mit f = expo I.

5)

Jede in D nuUstellenfreie analytische Funktion besitzt eine Quadratwurzel in D.

analytische

6) D ist entweder ganz C oder konform dquivalent zum Einheitskreis

E.

Eine potentialtheoretische Charakterisierung 7)

Jede in D harmonische Funktion ist Realteil einer in D analytischen Funktion.

Geometrische Charakterisierungen 8) D ist (homotop) einfach zusammenhangend, a in D ist nullhomotop in D.

d. h. jede geschlossene Kurve

9) D ist homolog einfach zusammenhangend, d. h. das Innere jeder geschlossenen Kurve a in D ist ganz in D enthalten. 10) D ist homoomorph zur Einheitskreisscheibe

E = {z G C;

jz] < 1 } .

11) Das Komplement von D in der Riemann'schen Zahlkugel ist zusammenhangend, d. h. jede lokal konstante Funktion h : C — D ^ C ist konstant. Man kann 11) — oline Benutzung der Topologisierung von C — aucli folgenderniafien forniulieren:

12) Ist C — D = K Li A, K kompakt, A abgeschlossen und if fl A = 0, so ist K = %.

250

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen Wer den Begriff der Zusainmenhangskoinponente kennt, kann 11) aucli folgendermafien uinformulieren:

13) C — D besitzt keine beschrdnkte

Zusammenhangskomponente.

Beweis. dass die funktionentlieoretischen Charakterisierungen Equivalent sind, haben wir voUstandig bewiesen. Schwierigster Teil war hierbei der Beweis des RiEMANN'sclien Abbildungssatzes. In dessen Beweis wurde von der Eigenschaft „Elementargebiet" nur benutzt, dass nuUstellenfreie analytische Funktionen auf Elenientargebieten analytische Quadratwurzeln besitzen. Es gilt also 5) => 6). Wir liaben aufierdeni gezeigt, dass aus der funktionentlieoretischen Charakterisierung 1) die potentialtheoretische Eigenschaft 7) folgt. Umgekehrt folgt aus der potentialtheoretischen Eigenschaft die Existenz eines analytischen Logarithmus einer nuUstellenfreien analytischen Funktion / , da die Funktion log I/I harmonisch ist. Wir wissen auch bereits, dass die geonietrischen Eigenschaften 8)-10) niit den funktionentheoretischen Equivalent sind. Es bleibt zu zeigen, dass die Eigenschaft 12) den einfachen Zusamnienhang charakterisiert. (Wir wollen den Begriff „ Zusammenhangskomponente" sowie die Topologie der Zahlkugel hier nicht benutzen. Wer diese Begriffe kennt, kann sich leicht die Aquivalenz von 11)-13) iiberlegen. Allerdings bezahlt man diese Beschrankung damit, dass man mit dem etwas holperigen Begriff 13) anstelle der sehr griffigen Bedingung 11) zu arbeiten hat.) Wir zeigen nun 12) => 9). Sei also a eine geschlossene Kurve in D. Wir zerlegen das Komplement von D in zwei disjunkte Teilmengen. K = {aeC-D;

x(a;a)7^0},

A = {a e C - D;

x{a;a)=0}.

Beide Mengen sind abgeschlossen (als Urbilder der abgeschlossenen Mengen {0}, Z — {0} unter einer stetigen Abbildung). Die Umlaufzahl ist fiir alle Punkte aus dem Komplement einer Kreisscheibe 0, sofern diese die Kurve a enthalt. Folgedessen ist die Menge K beschrankt und damit kompakt. Aus 12) folgt K = % und daher Int(Q;) C D. Die Umkehrung zeigen wir indirekt. Sei also £. — D = A\J K eine disjunkte Zerlegung des Komplements in eine abgeschlossene und eine nichtleere kompakte Teilmenge. Es gilt D[JK

=
D{^{
Die Menge [/ = D U if ist also offen! (Man stelle sich K als ein Loch vor, das man gestopft hat.) Fiir die Behauptung (und den damit vollstandigen Beweis von Theorem CI) benotigt man noch den folgenden Hilfssatz: C2 Hilfssatz. Sei U C C offen, K c U ein nichtleeres Kompaktum. Menge D := U — K ist nicht einfach zusammenhangend.

Die

Anhang C. Charakterisierungen von Eleinentargebieten

251

Dieser anschaulich klare Hilfssatz bringt noch einmal schlagend zum Ausdruck, dass einfach zusammenhangende Gebiete keine Locher haben diirfen. Beweis von C2. Wir miissen beweisen, dass es eine geschlossene Kurve in D gibt, deren Umlaufzahl um mindestens einen Punkt von K von 0 verschieden ist. Das Innere dieser Kurve ist dann nicht in D enthalten. Ein strenger Beweis ist leider etwas knifflig. Die Idee besteht darin, K niit eineni Netz von Quadraten zu pflastern und die Kurve a aus Randkanten zusammenzusetzen. Konstruktion der Pflasterung. Sei n eine natiirliche Zahl. Wir betrachten die (endliche) Menge aller Quadrate „ f . U a+\ V V+ 1 Quv-= \ z = x + Yy] - <x< , -
J = l,

c-

fiir alle a aus deni Innern von Q ergeben. Insbesondere wird jeder Punkt von K von mindestens einer der endlich vielen Kurven umlaufen. Bei der Konstruktion entstehen gewisse kombinatorische Schwierigkeiten. Man muss vermeiden, eine Randkante zweimal zu durchlaufen. Konstruktion der Randkurven (nach Leutbecher [Le]). Der Rand von Q setzt sich aus gewissen Kanten der endhch vielen Quadrate zusammen. Wir nennen diese den Rand von Q ausschopfenden Kanten auch kurz Randkanten. Zunachst ordnet man jeder dieser Randkanten eine Richtung zu, so dass das Integral langs dieser Randkanten definiert ist. Eine solche Richtung ist einfach eine Reihenfolge der beiden Ecken der Kante. Jede Randkante grenzt an genau ein Quadrat der endhchen Menge an. Wir orientieren die Randkante im iiblichen funktionentheoretischen Sinn so, dass das angrenzende Quadrat zur Linken liegt. Die eigentliche Konstruktion besteht nun darin, dass man jeder Randkante eine weitere Randkante als Nachfolger in eindeutiger Weise zuordnet. Der Endpunkt der gegebenen Randkante s ist Eckpunkt von vier Quadraten des Ausgangsnetzes. Man hat zwischen vier Konfigurationen zu unterscheiden, je nachdem, welche der vier Quadrate in Q enthalten sind. Im folgenden Bild sind die vier moglichen Falle und die jeweilige Wahl des Nachfolgers s' dargestellt.

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

252

sV •« I

s'

S

«

Aus dem Bild ist ersichtlich: Zwei Kanten haben nur dann denselben Nachfolger, wenn sie iibereinstimmen. Wir konstruieren nun die Kurve a^ und wahlen dazu irgendeine Randkante SQ aus. Wir betrachten dann die Kette der Nachfolger s^ = S'Q, 53 = s[,.... Da nur endlich viele Randkanten vorhanden sind, gibt es eine kleinste natiirliche Zahl m niit der Eigenschaft s^ G {•'o'• • •'•^m-i}- ^^^ ^^'" Tatsache, dass verschiedene Kanten verschiedene Nachfolger haben, ergibt sich leicht s^ = SQDie so konstruierten Randkanten schliefien sich also zu eineni geschlossenen Streckenzug a^. Wenn a^ noch nicht den gesamten Rand von Q durchlauft, so wahlt man eine neue Randkante und verwendet sie zur Konstruktion von a 2 ' u. s. w. Sei nun q^ eines der Quadrate der gegebenen Pflasterung Q irgendein Punkt ini Inneren. Es gilt k

dC

E

dC

E

c-

und a & q^

dq

c-

— wobei iiber alle Quadrate q der Pflasterung summiert wird —, da sich die Integrale iiber Nichtrandkanten paarweise aufheben. Dabei seien die Rander der endlich vielen Quadrate in der iiblichen Weise orientiert. Das Integral hat fiir q = QQ den Wert 27ri, fiir alle anderen q den Wert 0. Es folgt also k

E

dC

c

27ri,

falls a keiner Randkante angehort. Aus Stetigkeitsgriinden gilt dies dann fiir alle a aus dem Innern von Q. D Jordankurven Eine geschlossene Kurve heifit JORDANKURVE, falls sie aufier Anfangs- und Endpunkt keinen Doppelpunkt hat. In der alteren Funktionentheorieliteratur wurde der CAUCHY'sche Integralsatz meist nur fiir JORDANkurven bewiesen, was fiir praktische Zwecke ausreicht. Es liegt nahe, die JORDANkurve durch einen Polygonzug zu approximieren und das Integral in eine Suninie von Integralen langs Dreieckswegen zu zerlegen und den Integralsatz auf den fiir Dreieckswege zuriickzufiihren.

Ubungsaufgaben zu den Anhangen A, B und C von Kapitel IV

253

Will man dies streng durchfiihren, so ist man auf den JORDAN'schen Kurvensatz angewiesen: Jordan'scher K u r v e n s a t z . Inneres und Aufieres einer Jordankurve menhdngend, das Innere ist sogar einfach zusanimenhangend.

sind zusani-

Leider ist dieser anschaulich einleuchtende Satz ziemlich tiefliegend. Aber selbst wenn man ilin als bewiesen annimmt, ist die Durchfiihrung dieses Programms unerfreulich, wie beispielsweise in dem ansonsten ausgezeichneten Lehrbuch von DINGHAS [Dil] iiberzeugend demonstriert wird. Die Einschrankung auf JORDANkurven bedeutet keine Vereinfacliung, sondern eine unnotige Komplikation.

Ubungsaufgaben zu den Anhangen A, B und C von Kapitel IV 1. Man weise die im Hilfssatz A.l behauptete Invarianz des Kurvenintegrals (fiir analytische Integranden und stetige Kurven) von der Wahl der Unterteilung nach. 2. Eine M e t h o d e zur B e r e c h n u n g der Umlaufzahl Sei a : [0,1] -^ C* eine geschlossene Kurve, welche die reelle Achse I m z = 0 nur in endlich vielen Punkten i-^ < ij < • • • < ijv schneidet. Sei a{t) = £,{t) + i??(i), ^{t),ri{t) e R, die iibliche Zerlegung in Real- und Imaginarteil. Genau in den Punkten t-^,...,tj^ wechselt 7] das Vorzeiclien. O . B . d . A. sei [0,1] = [ti,tj^], so dass a ( i i ) = a(ijv) und a{t) ^ 0 fiir alle t G [0,1] gilt. Wir setzen a TAX einer periodisclien Funktion auf ganz R mit der Periode 1 = tj^ — t^ fort. Die Punkte ij^,. . . , ijY setzen sich aus folgenden Teilmengen M j , . . . , M^ zusammen: Mj^:

Es gilt S,{t^) > 0 und rjit) wechselt (bei wachsendem Parameter) beim Durchgang durch t^ das Vorzeiclien von — zu + .

Mji

Es gilt S,{t^) > 0 und rjit) wechselt (bei wachsendem Parameter) beim Durchgang durch t^ das Vorzeichen von + zu — .

Mji

Es gilt S,{t^) < 0 und ri{t) wechselt (bei wachsendem Parameter) beim Durchgang durch t^ das Vorzeichen von + zu — .

M4:

Es gilt £,{t^) < 0 und 77(i) wechselt (bei wachsendem Parameter) beim Durchgang durch t^ das Vorzeichen von — zu + .

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

254

Wir setzen dann fiir 1 < i^ < A^ _ f + 1 , falls i^ G M 1 U M 3 , d " ~ I - 1 , falls t G M2 U M, . Dann gilt iV — i

3. Ein Gebiet D C C ist genau dann einfacli zusammenhangend, wenn je zwei in D verlaufende Kurven a und l3 niit gleicliem Anfangs- und Endpunkt liomotop in D sind. 4. 1st a = (QJ^, . . . , a^) ein System von gesclilossenen Kurven a^ und Bild a^ C D n

{$^ D CC Gebiet), dann wird fiir a ^ | J Bild a^

v= l

definiert. Sind a und /3 zwei solche Systeme von gesclilossenen Kurven in D, dann heifit a homolog zu /3 in D, falls xicf] -2) = xW', z) fiir alle z £ C — D gilt. Man zeige: 1st / : D —>• C analytisch und sind a und /3 zwei in D homologe Systeme geschlossener Kurven, dann gilt

f^Jf a

13

= E//(Odc). /3„

(vergl. auch die Folgerung B5). 5. Sei G die im Hilfssatz BSj definierte Funktion. Man zeige, dass G analytisch ist, indem man nachweist, dass G stetig ist, und dann den Satz von M O R E R A anwendet. 6. Man fiihre die im Beweis des Aquivalenzsatzes CI angedeuteten Beweisschritte im Detail aus.

Kapitel V. Elliptische Funktionen

Historischer Ausgangspunkt der Theorie der elliptischen Funktionen waren elliptische Integrate, die ihren Namen daher erhielten, dass sie u. a. bei der Berechnung der Lange von Ellipsenbogen aufgetreten sind. Bereits seit 1718 (G. C. FAGNANO) wurde ein spezielles elliptisches Integral X

E{.

^

•

^*

0

detailliert untersucht. Dieses stellt im Interval! ]0,1[ eine streng monoton wachsende Funktion dar. Man kann daher die Umkehrfunktion / betrachten. Nacli einem Satz von N. H. (1827) besitzt die Funktion / eine Fortsetzung als meromorphe Funktion in die gesamte komplexe Ebene. Neben einer offensichtlichen reellen Periode entdeckte ABEL eine verborgene komplexe Periode. Die Funktion / erwies sich also als doppelt periodisch. Man nennt heute allgemein in der Ebene meromorphe Funktionen mit zwei unabhangigen Perioden auch elliptische Funktionen. Es stellte sich dann heraus, dass viele der iiber das elliptische Integral bekannten Satze — wie z. B. das beriihmte Euler'sche Additionstheorem fur elliptische Integrale — sich iiberraschend einfach aus funktionentheoretischen Eigenschaften der elliptischen Funktionen ableiten lassen. Dies fiihrte K. W E I E R S T R A S S dazu, den Spiefi umzukehren. In seinen Vorlesungen im Wintersemester 1862/1863 gab er eine rein funktionentheoretische Einfiihrung in die Theorie der elliptischen Funktionen. Im Mittelpunkt seines Aufbaus steht eine spezielle elliptische Funktion, die p-Funktion. Sie geniigt einer Differentialgleichung, aus welcher hervorgeht, dass die Umkehrung der p-Funktion ein elliptisches Integral ist. Die Theorie der elliptischen Integrale erscheint somit am Ende des Aufbaus der elliptischen Funktionen als Nebenprodukt. Die WEiERSTRASS'sche p-Funktion haben wir schon als Beispiel fiir eine M I T T A G LEFFLER'sche Partialbruchreihe kennengelernt, allerdings ohne ihre Doppelperiodizitat nachzuweisen. Wir werden zeigen, dass man aus der p-Funktion alle anderen elliptischen Funktionen in konstruktiver Weise gewinnen kann. Der historisch altere Zugang zur Theorie der elliptischen Funktionen ( A B E L (1827/1828), JACOBI (ab 1828)) fiihrte nicht iiber die p-Funktion, sondern iiber sogenannte Thetafunktionen. Im Zusammenhang mit dem ABEL'schen Theorem, welches die moglichen Null- und Polstellenverteilungen elliptischer Funktionen beschreibt, werden wir am Ende von §6 dieses Kapitels auch diesen Zugang streifen.

256

Kapitel V. Elliptische Funktionen

Funktionen mit zwei unabhangigen Perioden oij und oij konnen auch als Funktionen auf der Faktorgruppe C / L , L = Zwj + Zwj, aufgefasst werden. Diese Faktorgruppe kann man geometrisch dadurch realisieren, dass man in der Grundmasche {tjWi +t^u)^;

0 < t i , t 2 < 1}

gegeniiberliegende Kanten verheftet. Man erhalt einen Torus. Zwei Tori sind stets topologisch aquivalent. Sie sind jedoch nur dann konform aquivalent, wenn die zugehorigen Gitter durch eine Drehstreckung auseinander hervorgehen. In solch einem Fall nennt man dann die beiden Gitter aquivalent. Das Studium der Aquivalenzklassen fiihrt in die Theorie der Modulfunktionen, deren Studium am Ende dieses Kapitels begonnen und im folgenden Kapitel systematisch weitergefiihrt wird.

1. Die Liouville'schen Satze W i r erinnern (vgl. den Anliang zu §4 u n d §5 von Kapitel III) an den Begriff der meromorphen F u n k t i o n auf einem offenen Teil D c C Eine solche F u n k t i o n ist eine A b b i l d u n g f -.D ^ , C = CU{oo} mit folgenden Eigenscliaften: a) Die Menge der Unendlichkeitsstellen

S = f-\^)

= {a e D;

/(a) =00}

ist diskret in D (d. li. S h a t keinen H a u f u n g s p u n k t in D). b) Die Einsclirankung

foiz)=fiz)

fiir

zeD,

z^S,

ist analytiscli. c) Die Unendlichkeitsstellen von / sind Pole von / Q . W i r erinnern als nachstes d a r a n , wie die S u m m e zweier m e r o m o r p h e r Funktionen / u n d g erklart ist. Zunachst kann m a n die analytische F u n k t i o n f{z)+g{z)

auf

C-{SUT),

5 = /-i(oo),

T =

g-'{^).

b e t r a c h t e n . Diese h a t in S UT nur auBerwesenthche (moglicherweise h e b b a r e ) Singularitaten. W i r setzen {f +

g){a):=lim{f{z)+g{z)) ( : = cx), falls a ein Pol von f{z)

u n d erhalten so eine m e r o m o r p h e F u n k t i o n

+ g{z) ist)

§1. Die Liouville'schen Satze

257

Ahnlich definiert man das Produkt / • g und den Quotienten f/g, wobei im letzten Fall vorauszusetzen ist, dass die Menge der Nullstellen von g diskret ist. Wenn D ein Gebiet ist, so bedeutet dies gerade, dass g niclit identiscli verscliwindet. Es folgt: Die Menge der meromorphen Funktionen auf einem Gebiet D c C hildet mit den angegebenen Verknupfungen einen Korper. Elliptische Funktionen sind doppelt periodisclie meromorplie Funktionen auf

1.1 Definition. Fine Teilmenge i C C heifit Gitter, > wenn es zwei W.-linear unabhdngige „Vektoren" w^ und u)2 in C gibt, so dass L

lu-y + T,oj2 = {mu-y + nu)2]

'm^n^T,}

gilt. [Anmerkung. Zwei komplexe Zalilen sind genau dann M-linear unabliangig, wenn beide von 0 verscliieden sind und ilir Quotient niclit reell ist.)

1.2 Definition. Fine elliptische Funktion zum Gitter L ist eine meromorphe Funktion / : C ^ C = CU{cx)} mit der Figenschaft f{z + uj) = f{z)

fur

uj E L und z E C.

Es geniigt, dies nur fiir die Erzeugenden w^ und Wg von L zu fordern: f{z + u;,)=f{z+U2)

= f{z).

*) Diese „ad-hoc-Definition" wird im Anliang durch eine invariante Definition ersetzt werden.

Kapitel V. Elliptische Funktionen

258

Man nennt daher elliptische Funktionen aucli doppelt periodisch. Die Menge V der Polstellen einer elliptisclien Funktion ist selbst „ periodisch", a + uj &V fiir uj ^ L. aeV Dasselbe gilt natiirlich auch fiir die Menge der NuUstellen. J. LiouviLLE bewies 1847 in seinen Vorlesungen die folgenden drei grundlegenden Satze iiber elhptische Funktionen. 1.3 Erster Liouville'scher Satz (J. LiouviLLE, 1847). Funktion ohne Polstellen ist konstant.

Jede elliptische

Beweis. Man nennt die Punktmenge T = T{uj-^T^2)

{t^UJ^ + 2^2' t

0
eine sogenannte „Grundmasche" oder auch ein „Periodenparallelogramm" Gitters L in Bezug auf die „Basis" (w^jWg)-

des

Offensichthch existiert zu jedem Punkt z G C ein Gitterpunkt uj E L, so dass z — uj E J- ist. Eine elliptische Funktion nininit soniit jeden ihrer Werte schon in der Grundmasche !F an. Da J^ beschrankt und abgeschlossen ist, besitzt jede stetige Funktion auf J- ein Maximum. Eine elliptische Funktion ohne Pole ist also auf J^ und daher auf ganz C beschrankt und deswegen konstant. D Der Periodentorus Sei / eine elliptische Funktion zum Gitter L. Wenn z und w zwei Punkte aus C sind, deren Differenz in L enthalten ist, so gilt f{z) = f{w). Daher ist es naheliegend, die Faktorgruppe C/L einzufiihren. Die Elemente dieser Faktorgruppe sind Aquivalenzklassen beziiglich der Aquivalenzrelation w modL

w £ L.

Wir bezeichnen die Aquivalenzklasse (Bahn) von z mit \z], also [z] = {w E C]

w-zeL}

= z + L.

§1. Die Liouville'schen Satze

259

Die Definition [z] + [w] := [z + w]

hangt offenbar nicht von der Wahl der Reprasentanten z und w ab. Durch diese Addition wird auf C / L eine Struktur als abelsche Gruppe definiert. 1st / eine elliptische Funktion zum Gitter i , so existiert eine eindeutig bestimmte Abbildung

so dass das Diagramm

b] kommutiert. Man muss nur beachten, dass die Definition /([^]) := f{z) nicfit von der Walil des Reprasentanten z abliangt. Wir werden im Folgenden einfacli / anstelle von / sclireiben, wenn Verwecfislungen niclit zu befiirctiten sind. Wir wollen also eine elliptiscfie Funktion / : C —)• C als Funktion auf dem Torus C / L „interpretieren" (/ : C / i —^ C), wenn es uns als niitzlicli ersclieint. Geometrische Veranschaulichung des Periodentorus Wie sclion beim Beweis des Ersten LiouviLLE'sclien Satzes erwalint, hat jeder Punkt aus C / i einen Reprasentanten in der Grundmasclie J- = {z = ti^i + t2U)2', 0 < t ^ , i 2 < l } Zwei Punkte z,w ^ !F definieren genau dann denselben Punkt in C / i , wenn sie entweder ubereinstimmen oder beide auf dem Rand von JF und sicli gegeniiber liegen. Man erlialt also ein geometrisches Modell von C/L, indem man in der Grundmasclie die gegeniiberliegenden Kanten miteinander verlieftet. (0,

J

(B,+(B, a

vb

k

^ bi

a

*

r

260

Kapitel V. Elliptische Funktionen

Wir werden erst im zweiten Band eine strenge Definition von C / L als eine (kompakte) RiEMANN'sclie Flaclie erlialten und vorerst den Torus C / L nur zur Veranscliauliciiung benutzen. Es ist jedocli seiir niitzlicli, sicii stets vor Augen zu iialten, dass elliptisciie Funktionen „in Walirlieit" auf einem Torus „leben". Nacli dem ersten LiouviLLE'sclien Satz ist es nalieliegend, die Pole einer elliptischen Funktion genau zu studieren: Wie sclion erwahnt, ist mit z E C die ganze Bahn [z] in der Polstellenmenge einer elliptisclien Funktion / entlialten. Da die Translation z \-^ z + uj, uj E L, die elliptische Funktion invariant lasst, stimmen aucli die Residuen von f in z und z + uj iiberein, Res(/; z) = Res(/; z + UJ). Die Definition Res(/;[z]):=Res(/;z) ist dalier niclit von der Walil des Reprasentanten z abliangig. 1.4 Zweiter Liouville'scher Satz. Eine elliptische Funktion hat nur endlich viele Pole modulo L (d. h. auf dem Torus C/L), und die Summe ihrer Residuen verschwindet:

^Res(/;z)=0. z

Hierbei durchlaufe z ein Vertretersystem

modulo L oiler Pole von f.

Beweis. Die Menge der Pole V einer elliptischen Funktion ist diskret, ihr Durchschnitt mit einem Kompaktum, beispielsweise der Grundmasche J- daher endlich. Es gibt also nur endlich viele Pole modulo L. Wir berechnen nun die Residuensumme durch Integration langs des Randes einer modifizierten Grundmasche (auf dem Rand von !F selbst konnten Pole von / liegen) und betrachten hierzu fiir a G C J"^ = a + J" = {a + z;

z E T}.

Dieses ParaUelogramm hat wie !F die Eigenschaft, dass jeder Punkt z G C durch Translation mit einem geeigneten Gitterelement oj E L in J^^ iiberfiihrt werden kann, d.h. z + UJ E ^F^^. Im Inneren von !F^ sind zwei verschiedene Punkte modulo L inaquivalent. Bemerkung (zum Beweis von lA). Nach geeigneter Wahl von a liegen auf dem Rand von T^^ keine Polstellen von f. Der Beweis der Bemerkung beruht auf der Diskretheit der Polstellenmenge und sei dem Leser iiberlassen. Wir integrieren nun die Funktion / langs des Randes von J^^ und erhalten

§1. Die Liouville'schen Satze

261 Z

.

Da kein Pol von / auf dem Rand von JF^ liegt, wird auf der rechten Seite genau iiber ein Vertretersystem der Pole modulo L summiert. Zum Beweis des LiouviLLE'sclien Satzes ist also zu zeigen, dass das Integral verscliwindet. Dies ist aber trivial, da sicli die Integrate iiber gegeniiberliegende Randkanten wegen der Periodizitat von / weglieben, z. B.

''f{OdC=

Jf{C)dC= - JfiOdC

•

Wir Ziehen einige wiclitige Folgerungen aus dem zweiten LiouviLLE'sclien Satz. Zunaclist benotigen wir: 1.5 Definition. Die Ordnung einer elliptischen Funktion ist die Anzahl aller Pole auf dem Periodentorus C / i , wohei jeder Pol so oft gezdhlt wird, wie seine Vielfachheit angibt, d. h.

Ord(/) = - ^ o r d ( / ; a ) . a

Hierbei durchlaufe a ein Vertretersystem

(modulo L) der Menge aller Pole von

/• (Das Minuszeiclien in der Definition riilirt dalier, dass die Definition der Ordnung ord(/; a) fiir Pole einen negativen Wert ergibt. Die Ordnung Ord(/) ist also niclit negativ.) Der erste LiouviLLE'sclie Satz besagt: Ord(/) = 0 <=> / ist konstant. Eine unmittelbare Folgerung aus dem zweiten LiouviLLE'sclien Satz besagt, dass die Polstellenmenge (modulo L) einer elliptischen Funktion nicht aus einem einzigen Pol erster Ordnung bestehen kann, denn das Residuum eines Pols erster Ordnung ist stets von 0 verschieden. Halten wir fest:

262

Kapitel V. Elliptische Funktionen

1.6 Satz. Es gibt keine elliptische Funktion der Ordnung 1. Wir wollen nun auch die NuUstellen einer elliptischen Funktion untersuchen. Unter der Nullstellenordnung einer elliptischen Funktion / , welclie niclit identiscli verscliwindet, verstelien wir in Analogie zu 1.5 die Anzalil aller NuUstellen in C/L, wobei jede so oft gereclinet wird, wie ilire Vielfaclilieit angibt. Man kann auch einfach definieren: Die Nullstellenordnung einer elliptischen Funktion / , welche nicht identisch verschwindet, ist die (Polstellen-)Ordnung von 1 / / . Wir wollen dies noch verallgemeinern: Sei / eine nichtkonstante elliptische Funktion und 6 G C eine feste Zahl. Dann ist auch

g{z) = f{z) - h eine elliptische Funktion. Eine NuUstelle von g nennt man auch eine 6-Stelle von / . Die 0-Stellenordnung von g nennt man auch die 6-Stellenordnung von / . Man bezeichnet sie mit 6-Ord/

(= Anzahl der 6-Stellen auf C / i mit Vielfachheit gerechnet)

und erganzend oo-Ord/ = O r d / .

1.7 Dritter Liouville'scher Satz. Eine nichtkonstante elliptische Funktion f nimmt auf C/L jeden Wert gleich oft an, wobei die Werte mit ihren Vielfachheiten zu rechnen sind, d. h.

0 r d / = 6-0rd/ fur b EC. Insbesondere hat f modulo L gleichviele Null- und Polstellen. Beweis. Mit / ist auch die Ableitung / ' eine eUiptische Funktion: f{z + u) = f{z)

=^

fiz

+ u;)=f'iz)

ffir

co e L.

Wenn / nicht konstant ist, so ist infolgedessen auch

eine nichtkonstante elliptische Funktion. Wir wenden auf diese elliptische Funktion den zweiten LlOUVlLLE'schen Satz an. Der Punkt a ist genau dann ein Pol von g, wenn a eine NuUstelle von / oder ein Pol von / ist, und es gilt

§1. Die Liouville'schen Satze

263

< 0, , ^ ^^

Res{g; a) = ord(/; a)

falls a Pol von / , ^^^^ ^ ^^^^^^^^^ ^^^ ^^

wie man leiclit mittels der LAURENTreilie zeigt (s. aucli III.6.4, 3)).

D

Sei / eine niclitkonstante elliptisclie Funktion. Ein Punkt 6 G C lieiBt Verzweigungspunkt (in Bezug auf / ) , falls es eine Stelle a G C gibt, so dass a eine melirfaclie (d. li. mindestens zweifaclie) 6-Stelle ist. (Im Falle b = oo bedeute „6-Stelle" natiirlicli „Pol".) Aus dem dritten LiouviLLE'sclien Satz ergibt sicli 1.8 Bemerkung. Sei f eine nichtkonstante elliptische Funktion der Ordnung N, interpretiert als Funktion auf dem Torus / : C// ^

C.

Es gibt nur endlich viele Verzweigungspunkte 6 G C, also auch nur endlich viele Punkte [a] aus C/L, welche iiber einem Verzweigungspunkt liegen {f{a) = b). Fiir die Anzahl i^f^^{z) der Urbildpunkte eines beliebigen Punktes z E C gilt _iif-i(

\ ^ '

j <^ J \ = N,

fO'^^s z ein Verzweigungspunkt ist, falls z kein Verzweigungspunkt ist.

Wir maclien nocli eine Aussage iiber die Lage der Verzweigungspunkte: Eine Potenzreilie OQ + a^{z — a) + 02(^ — a)^ -!-••• (welche in einer Unigebung von z = a konvergieren nioge) hat genau dann eine NuUstelle in z = a, wenn OQ = 0 ist. Die Nullstelle ist genau dann mehrfach, falls auch a^ verschwindet, falls also die Ableitung der Potenzreihe an der Stelle z = a verschwindet. Aus dieser einfachen Uberlegung folgt: 1.9 Bemerkung. Sei

eine elliptische Funktion und 6 G C (also b ^ ooj. Der Punkt b ist genau dann Verzweigungspunkt, wenn es einen Urbildpunkt a G C,

/ ( a ) = b,

gibt, in dem die Ableitung von f verschwindet (f'{a) = Q). Zusatz. Genau dann ist cx) Verzweigungspunkt gungspunkt von 1 / / ist.

von / 7^ 0, falls 0 Verzwei-

264

Kapitel V. Elliptische Funktionen

Anhang zu V . l . Zur Definition des Periodengitters Sei L c M" eine additive U n t e r g r u p p e , d. h. a,b E L =^

a±b

E L.

W e n n L diskret ist, so kann m a n zeigen, dass k {0 < k
linear u n a b h a n g i g e

L = T,u)-y + • • • + Zw;^ existieren. W i r warden diesen Struktursatz im zweiten B a n d im Z u s a m m e n h a n g mit den ABEL'schen F u n k t i o n e n beweisen. Die G r u p p e L ist insbesondere isomorph zu Z . M a n nennt k den Rang von L. Im Falle k = n n e n n t m a n L ein Gitter. Im Falle n = 2 existieren also drei T y p e n von diskreten U n t e r g r u p p e n : l ) i = {0} 2) L = Zuj-^^, uj-^ ^ 0 (zyklisclie G r u p p e ) 3) i = Zuj-^ + Zwgi t^i u n d ^2 K-linear unabliangig

(A; = 0), (A; = 1), (A; = 2).

Sei / : C —^ C eine niclitkonstante meromorplie Funktion. Aus dem Ident i t a t s s a t z folgt, dass die Menge der Perioden L^:={UJEC; eine diskrete

Untergruppe

/ ( Z + W) = / ( Z ) fiir alle Z G C } von C ist. Es gibt also drei Mogliclikeiten

1) Lf = {0} ( / h a t keine von 0 verscliiedene Periode), 2) Lf ist zykliscli ( / ist einfacli periodiscli), 3) L , ist ein Gitter ( / ist eine elliptische F u n k t i o n ) . Im Falle n = 2 ist der Beweis des S t r u k t u r s a t z e s besonders einfach (s. Aufgabe 3 zu diesem A b s c h n i t t ) .

Ubungsaufgaben zu V . l 1. Sei J' eine Grundmasche eines Gitters L. Man zeige

C= U(u;+.F). 2. Sei / : C ^ C eine niclitkonstante ineromorphe Funktion. Die Menge der Perioden L^:={weC; f{z + uj) = f{z) im al\e zeC} ist eine diskrete Untergruppe von C 3. Man beweise den Struktursatz Anleitung. gilt dann

fur diskrete Untergruppen L C C

Ist L ^ {0}, so existiert ein Wj ^ 0 in L von minimalem Betrag. Es

Ubungsaufgaben zu §1

265

L n R w j = Zwj. Wenn L in der von u)-^ aufgespannten Geraden enthalten ist, sind wir also fertig. Andernfalls existiert ein Wj aus L, welches nicht in Rwj enthalten ist. Man wahle ein Wj mit minimalem Betrag und zeige L = ZUJ-^ + ZoijAus dem Struktursatz folgt: Ist L C C eine diskrete Untergruppe, welche ein Gitter umfafit, so ist L selbst ein Gitter. Insbesondere ist jede Gruppe L', welche zwischen zwei Gittern L und L" liegt, L C L' C L", ein Gitter. 4. Die Anzahl der Miniinalvektoren (das sind von 0 verschiedene Vektoren ininiinaler Lange) eines Gitters L ist 2, 4 oder 6. Man gebe Beispiele zu jedem Fall an. 5. Seien / und g elliptische Funktionen zum selben Gitter. a) Wenn / und g dieselben Pole und dieselben Hauptteile in den Polen haben, so unterscheiden sie sich nur um eine additive Konstante. b) Haben / und g dieselben Pol- und NuUstellen jeweils mit denselben Vielfachheiten, so unterscheiden sie sich um eine multiplikative Konstante. 6. Zwei Gitter L = "Lu)-^ + Zwj und L' = Zui[ + Zui'^ stimmen genau dann iiberc

d

Eigenschaft a c

b d

gibt. 7. Sei J^ := {z £ C; z = ij^oij + i2'^2' 0 ^ ^u *2 ^ 1} die Grundmasche des Gitters L = Zwj^ + Zwj in Bezug auf eine vorgegebene Basis. Das euklidische Volumen der Grundmasche ist |Im(uJjW2)|. Es ist unabhangig von der Wahl der Gitterbasis. 8. Die Gruppe Z + ZV2 hegt dicht in R. 9. Man beweise folgende Verallgemeinerung des Ersten LiOUViLLE'schen Satzes: Sei / eine ganze Funktion und L ein Gitter in C existiere ein Polynom P^ mit der Eigenschaft f{z + u,)=f{z)

+

Zu jedem Gitterpunkt to £ L

Pjz).

Dann ist / selbst ein Polynom. 10. Eine andere Variante des Ersten LiOUViLLE'schen Satzes besagt: Sei / eine ganze Funktion und L ein Gitter in C existiere eine Zahl C^ G C mit der Eigenschaft f(z + co) =

CJ{z).

Dann gilt

f{z) = Ce^'

Zu jedem Gitterpunkt to £ L

Kapitel V. Elliptische Funktionen

266

mit geeigneten Konstanten C und a. Anleitung. Man kann o. B.d. A. Wj^ = 1 und C^ = 1 annehmen und / dann in eine FoURIERreihe entwickeln. Einen anderen Beweis erhalt man, indeni man zeigt, dass die Funktion / ' / / konstant ist.

2. Die Weierstrafi'sche p-Funktion Wir woUen ein moglichst einfaches Beispiel einer elliptischen Funktion konstruieren. Da keine elliptische Funktion der Ordnung 1 existiert, ist es nalieliegend, eine elliptische Funktion der Ordnung 2 zu suchen. Eine solche Funktion hat entweder (modulo L) genau zwei Pole erster Ordnung oder einen Pol zweiter Ordnung. Wir verfolgen den zweiten Fall weiter und fragen: Warum sollte nicht eine elliptische Funktion zweiter Ordnung existieren, welche in 0 einen Pol zweiter Ordnung besitzt? Jeder andere Pol muss dann ein Gitterpunkt sein! Es ist naheliegend, eine solche Funktion als MiTTAG-LEFFLER'sche Partialbruchreihe zu konstruieren. Wir wollen hier der Einfachheit halber die Theorie dieser Partialbruchreihen nicht benutzen, sondern zum besseren Verstandnis noch einmal an diesem Beispiel entwickeln. Man konnte zunachst daran denken, den Ansatz 1

E (z

coeL

zu wagen, doch diese Reihe konvergiert nicht absolut, denn im Falle z L = Z + Zi, ist fiir uj = m + ni 1

iz

•UJ

1 m + ni

1 m^ + n^

Es gilt aber: 2.1 Hilfssatz. Die Reihe

E

{m,Ti)eZxZ {m,«)7^{0,0)

(m2 + n 2 ) « '

aG

konvergiert dann und nur dann, wenn a > 1 ist. Beweis. Der Hilfssatz wurde im Prinzip bereits im Zusammenhang mit Satz IV.2.6 bewiesen. Ein anderer Beweis ergibt sich durch Vergleich mit einem

§2. Die Weierstrafi'sche p-Funktion

267

uneigentlichen Integral, und zwar zeigt man leicht: Die angegebene Reihe konvergiert genau dann, wenn das uneigentliche Integral dxdy (x2 + ?/2)a konvergiert. Dieses lasst sicli mittels Polarkoordinaten bereclinen: X = r cos (fi,

y = r sin (p.

Die Funktionaldeterminante ist r, also erlialten wir 27r oo

oo

rdrdifi 0

f

1

dr

1

Das liierbei auftretende Integral konvergiert genau fiir 2a — 1 > 1. Aus Hilfssatz 2.1 folgern wir

D

2.2 Hilfssatz. Sei L c C ein Gitter. Die Reihe

Y^ l^r", s > 2, wei-{o} konvergiert. Beweis. Sei L = liuj-^ + ZwgWegen 2.1 geniigt es zu zeigen, dass es eine nur von w^ und Wg abliangige Konstante ^ > 0 mit der Eigenscliaft \muji+nuj2\

>(5(m^+n^)

gibt. Wir zeigen allgemein, dass die Funktion f^^^y)

= t^^l+y^^ x^ + y^

(x,2/)eK^-{(0,0)},

ein positives Minimum besitzt. Da / liomogen ist, brauclit man dies nur auf der Kreislinie S':={ix,y)eR'; x^ + y^ = 1} zu zeigen. Diese ist kompakt, und dalier hat jede stetige Funktion auf ilir ein Minimum. Da / nur positive Werte annimmt, muss aucli das Minimum positiv sein. D Man verdankt K. W E I E R S T R A S S eine Modifikation des urspriingliclien Ansatzes. Durcli Einfiilirung konvergenzerzeugender Summanden wird die Konvergenz erzwungen.

Kapitel V. Elliptische Funktionen

268

2.3 Hilfssatz. Sei M c L — {0} erne Menge von Gitterpunkten. 1

E wSM

Die Reihe

1

konvergiert in C — M normal und stellt dort eine analytische Funktion dm: Beweis. Es gilt 1

1 {z-cof

\z\ \z — 2uj\ I

UJ^

|2~i

a

\uj\ \z — uj\ Die Zahl uj kommt im Zahler in der ersten u n d ini Nenner in der vierten P o t e n z vor. M a n folgert hieraus leicht: Sei K = U^{Q) die abgeschlossene 1

Kreisscheibe

1

<

und fur fast alle UJ E L (z. B. \oj\>

vom Radius r um 0. Dann

fur

I2r\uj\

gilt

z E K

2r).

Hilfssatz 2.3 ist eine u n m i t t e l b a r e Folge liiervon u n d von 2.2. 2.4 D e f i n i t i o n ( K . W E I E R S T R A S S , 1 8 6 2 / 6 3 ) . Die

p{z; L) = p{z) =-^ +

Yl wei-{o}

{z — ujy

durch

up-

fur

z^L,

p{z) = 00 fiir z E L, definierte Funktion heifit Weierstraj3'sche

p-Funktion*)

zum Gitter L.

Aus den bislierigen Uberlegungen sclilieBen wir: 2.5 Satz. Die Weierstrafi'sche p-Funktion zum Gitter L ist (in ganz C) meromorph. Sie hat Pole zweiter Ordnung in den Gitterpunkten und ist aufierhalb von L analytisch. Die p-Funktion ist gerade, d. h. Piz) = Ihre Laurententwicklung

p{-z).

um ZQ = 0 ist von der Form

p{z) = 1/z'^ + ttg^^ + a^z"^ + • • •

( also OQ = 0).

Neben der p-Funktion spielt auch ihre Ableitung eine groBe Rolle. Aus 2.3 und 2.5 folgt Diese Reihe findet sich aUerdings schon 1847 bei G. EISENSTEIN [Eis], s. auch [We]

§2. Die Weierstrafi'sche p-Funktion 2.6 Hilfssatz. Die Ableitung der

269 p-Funktion

hat Pole drifter Ordnung in den Gitterpunkten und ist aufierhalb von L analytisch. Sie stellt eine ungerade Funktion dar, d. h. p'{-z)

=

-p'{z).

2.7 Satz. Die Weierstrafi'sche p-Funktion ist eine elliptische Funktion der Ordnung 2. Ihre Ableitung ist eine elliptische Funktion der Ordnung 3. Beweis. Die Ableitung der p-Funktion ist elliptisch, denn es gilt fiir Wg e i

da mit oj aucli oj —OJQ alle Gitterpunkte durclilauft. (Fiir die p-Funktion selbst kann man wegen der konvergenzerzeugenden Summanden so niclit sclilieBen!) Es folgt, dass die Funktion p{z + u)f^) - p{z)

fiir

Wg e £

konstant ist, da ilire Ableitung verscliwindet. Wir zeigen, dass diese Konstante verscliwindet, und konnen dabei annelimen, dass WQ eines der beiden Basiselemente ist. Dann ist ^Wg niclit in L entlialten. Wir setzen speziell z = — ^WQ und erlialten fiir den Wert der Konstanten

da p eine gerade Funktion ist. Damit ist die Elliptizitat von p bewiesen.

D

Wir bestimmen die NuUstellen von p'. 2.8 Hilfssatz (Invariante Kennzeichnung der NuUstellen von p ' ) . Fin Punkt a E C ist genau dann eine Nullstelle von p', falls a ^ L ,

2a E L,

gilt. Es gibt genau drei NuUstellen auf dem Periodentorus NuUstellen sind einfach.

C/L.

Alle drei

Beweis. Wenn a die angegebene Eigenscliaft {a ^ L, 2a E L) hat, so gilt

270

Kapitel V. Elliptische Funktionen p'{a) = p'{a — 2a) = p'{—a) = —p'{a)

t

t

2a & L

p' ungerade

und daher p'{a) = 0. Wir haben somit drei Nullstellen von p' gefunden, denn die Punkte —!- , -^ und — 2 ' 2 2 sind modulo L paarweise verschieden. Nach deni dritten LiouviLLE'schen Satz kann es keine weitere Nullstelle geben. Aus demselben Grund kann keine dieser Nullstellen melirfaclie Nullstelle sein. D Bezeichnung.

ei:=p(YJ,

e2:=p(yj,

e, := p ^-^^

j.

2.9 Bemerkung. Die sogenannten „Halbwerte" der p-Funktion

sind paarweise verschieden und hdngen — abgesehen von der Reihenfolge — nur vom Gitter L, nicht jedoch von der Wahl der Basis uji, ^2 ab. Beweis. Wir nelinien einnial an, es gelte e^ = 62- Dann wird der Wert b = e^ = 62 niindestens viermal angenomnien, nanilicli niindestens zweifacli an den Stellen ^ und ^ ( beachte p' ('^) = o). Diese sind modulo L paarweise inaquivalent. Die p-Funktion hat jedocli die Ordnung 2 und kann dalier nur zwei 6-Stellen besitzen! Die Eindeutigkeit von 6^,62,63 bis auf die Reihenfolge ergibt sich aus der invarianten Kennzeichnung 2.8. (Man beachte, dass die Gitterbasis nicht eindeutig bestimmt ist. Mit LO-^^LO^ ist beispielsweise auch LO-^^LO^ + W I eine Gitterbasis.) D 2.10 Satz. Seien z und w zwei beliebige Punkte aus C. Es gilt p{z) = p{w) genau dann, wenn z = w mod L oder z = —w mod L.

§2. Die Weierstrafi'sche p-Funktion

271

Beweis. Die F u n k t i o n z \-^ p{z) — p{w) ist bei festem w eine elliptische F u n k t i o n in z der O r d n u n g 2 u n d h a t also i n o d L genau zwei Nullstellen. Diese sind offenbar z = w u n d z = —w. (Im Falle w = —w m o d L h a t m a n eine doppelte NuUstehe, sonst zwei einfache NuUstehen.) D D a m i t ist das Abbildungsverhalten

der p - F u n k t i o n

P

C / rL

weitgehend geklart. Es liegen vier Verzweigungspunkte in C vor, n a m h c h e^, 63, 63 u n d cx). Diese h a b e n jeweils genau einen U r b i l d p u n k t in C/L. Ahe a n d e r e n P u n k t e h a b e n genau zwei U r b i l d p u n k t e . W i r bestinimen abschliei^end die LAURENTreihe der WEiERSTRASS'schen p - F u n k t i o n u m den Entwicklungspunkt ZQ = 0:

P(^)

3 + I]«2

^2n

n=0

Der Konvergenzradius dieser Reihe muss gleich min{|w| ; uj & L, uj ^ 0} sein. M a n ermittelt die Koefiizienten a m einfachsten aus der TAYLOR'schen Formel fiir die F u n k t i o n

fiz):=p{z)-^,

a,„ =

^^-^.

W i r wissen bereits, dass OQ = 0 ist. Im Fahe n > 1 gilt 1

/(")(z) = (-ir(n + l)! Yl wei-{o}

{z-uj) n+2

wie m a n leicht durch I n d u k t i o n nach n zeigt. W i r erhalten (2n + l ) ! (2n)!

N-^ E ^

1 a;2(n+i)

Fassen wir z u s a m m e n : 2 . 1 1 S a t z . Die

Reihe ( j „

- E-wei-{o}

konvergiert

absolut,

und es gilt

n G N , n > 3,

272

Kapitel V. Elliptische Funktionen

in einer geeigneten punktierten punktierten offenen Kreisscheibe punkt enthdlt.)

Umgebung von z = 0 (ndmlich in der um 0, die keinen von 0 verschiedenen

grofiten Gitter-

A n m e r k u n g . Die Zahlen G^ verschwinden fiir ungerades n, wie die Substitution uj —)• —uj zeigt. Die Reihen G^ sind sogenannte Eisensteinreihen. genauer untersuchen.

W i r werden sie noch

Ubungsaufgaben zu V.2 1. 1st L C C ein Gitter, so wird fiir jede natiirliclie Zalil n > 3 durcli

LoeL

eine elliptisclie Funlction der Ordnung n definiert. bestelit mit der WEIERSTRASS'sclien p-Funlction?

Welclier Zusammenliang

2. Die WEIERSTRASS'sclie p-Funk;tion liat aufier den Gitterpunkten keine weiteren Perioden. 3. Fiir eine ungerade elliptisclie Funktion zu eineni Gitter L sind die Halbgitterpunkte c<;/2, to £ L, Null- oder Polstellen. 4. Sei / eine elliptisclie Funktion der Ordnung m. Dann ist ihre Ableitung / ' eine elliptische Funktion der Ordnung n, und es gilt m, + 1 < n < 2m,. Man konstruiere Beispiele zu den Eckwerten n = m + 1 und n = 2m. 5. Sei L C C ein Gitter. Unter L verstelie man die Menge aller konfornien Selbstabbildungen von C der Form z I—> ±z -|- w, to £ L. Identifiziert man (ahnlicli zur Konstruktion des Torus C / L ) zwei Punkte in C immer dann, wenn sie sich durch eine geeignete Substitution aus L ineinander iiberfiihren lassen, so erhalt man den Quotienten C / L , zunachst nur als Menge. Man zeige, dass die p-Funktion eine Bijektion

induziert. Der Korper der L-invarianten meromorphen Funktionen wird von p erzeugt. Fiir die mit Grundbegriffen der Topologie vertrauten Leser: Versieht man C/L mit der Quotiententopologie, so erhalt man eine Sphare. Dies kann man funktionentheoretisch mit der p-Funktion beweisen, aber auch direkt topologisch einsehen.

§3. Der Korper der elliptischen Funktionen

273

6. Fiir zwei Gitter L und L' sind die folgenden beiden Bedingungen aquivalent: a) Ihr Durchschnitt L Cl L' ist ein Gitter. b) Ihre Summe L + L' := {to + u)';

u! £ L, uj' £ L'} ist ein Gitter.

Man nennt die beiden Gitter dann

komniensurahel.

Man zeige: Die Korper der elliptischen Funktionen zu zwei Gittern L und L' haben genau dann eine nichtkonstante Funktion genieinsani, wenn die beiden Gitter komniensurabel sind. 7. Jede elliptische Funktion der Ordnung < 2, deren Pole im Gitter L enthalten sind, ist von der Form a + bp{z).

3. Der Korper der elliptischen Funktionen S u m m e , Differenz, P r o d u k t u n d Quotient (falls der Nenner nicht identisch 0 ist) zweier elliptischer F u n k t i o n e n sind wieder elliptische Funktionen. Die Menge der elliptischen F u n k t i o n e n (beziighch eines festen Gitters L) bildet also einen Korper. Bezeichnung.

K{L)

= K o r p e r der elliptischen F u n k t i o n e n z u m Gitter L.

Die k o n s t a n t e n F u n k t i o n e n sind elliptische Funktionen. O r d n e t m a n einer komplexen Zahl C G C die k o n s t a n t e F u n k t i o n mit d e m Wert C zu, so erhalt m a n einen Isomorphismus vom K o r p e r der komplexen Zahlen auf den U n t e r k o r p e r der k o n s t a n t e n F u n k t i o n e n aus K{L) C ^

K{L),

C I—> k o n s t a n t e F u n k t i o n mit dem Wert C. Solange Verwechslungen nicht zu befiirchten sind, identifiziert m a n die Zahl C G C mit der k o n s t a n t e n F u n k t i o n mit d e m Wert C. Nach dieser Identifikation wird C ein U n t e r k o r p e r von K[L). W i r woUen in diesem Abschnitt die S t r u k t u r von K{L) Sei / G K{L)

bestimmen.

eine elliptische F u n k t i o n u n d P{w) =

CQ

+ a^w H

h a^w™

ein Polynom, so ist auch z i-)- P{f{z)) eine elhptische Funktion, welche mit P{f) bezeichnet wird. Diese ist nicht identisch 0, wenn / nicht konstant u n d P nicht identisch 0 ist (da / d a n n jeden Wert a n n i m m t ) . Sei aUgemeiner R{z) eine rationale Funktion, also eine m e r o m o r p h e F u n k t i o n

welche sich als Quotient von zwei P o l y n o m e n darstellen lasst.

274

Kapitel V. Elliptische Funktionen

Die elliptische Funktion gHy liangt niclit von der Walil der Darstellung von R als Quotient zweier Polynome ab. Sie wird mit R{f) bezeiclinet. Sei R eine weitere rationale Funktion. Man zeigt leiclit

R{f) = R{f) ^

R = R.

Mit anderen Worten: 1st / eine niclitkonstante elliptische Funktion, so definiert die Zuordnung R — i ^ Rif) einen Isoniorphismus voni Korper der rationalen Funktionen auf einen Unterkorper von K{L). Diesen Korper bezeichnet man mit C ( / ) = { g; g = R{f), R ist eine rationale Funktion }. Wir werden nun alle geraden eUiptischen Funktionen {f{z) = f{—z)) bestimmen und zunachst nur solche, deren Polstellenmenge in L enthalten ist. Ein Beispiel ist die WEiERSTRASS'sche p-Funktion. Allgemein hat jedes Polynom in p diese Eigenschaft. 3.1 S a t z . Sei f G K{L) eine gerade elliptische Funktion, deren Polstellenmenge in L enthalten ist. Dann Idsst sich f als Polynom in p darstellen, f{z) =%+

a^piz) + ••• + a^p{zY

{a^ e C).

(Offenbar muss der Grad dieses Polynoms gleich der halben Ordnung von f sein.) Beweis. Wenn / nicht konstant ist, was wir annehmen konnen und wollen, so muss / einen Pol in einem Gitterpunkt und damit in 0 haben. Da / gerade ist, konnen in der LAURENTreihe von / nur gerade Potenzen von / auftreten. Sie hat also die Gestalt

Die LAURENTentwicklung von p{z) hat die Gestalt (vergl. 2.11) p{z)

=z-'^

+ •••.

Hieraus folgt

p{zY = z-2" + .... Die Funktion 9 = f - a-2nP" ist genau wie / eine gerade elhptische Funktion, deren Polstellenmenge in L enthalten ist. Die Ordnung von g ist echt kleiner als die von / . Der Beweis von Satz 3.1 erfolgt nun leicht durch Induktion nach der Ordnung von / . D

§3. Der Korper der elliptischen Funktionen

275

3.2 Satz. Jede gerade elliptische Funktion ist als rationale Funktion in der Weierstrafi'schen p-Funktion darstellbar. Mit anderen Worten: Der Korper der geraden elliptischen Funktionen gleich C(p) und daher isomorph zum Korper der rationalen Funktionen.

ist

Beweis. Sei / eine nichtkonstante gerade elliptische Funktion und a ein Pol von / , welclier niclit deni Gitter L angeliort. Die Funktion z I—> {p{z) - p(a))

f{z)

hat in z = a eine hebbare Singularitat, wenn N geniigend grofi ist. Da / modulo L nur endlich viele Pole hat, findet man en endlich viele Punkte a- E C — L und natiirliche Zahlen N, {1 < j <m), so dass

9{z) =

f{z)'[[{p{z)-p{aj)) N,

aufierhalb von L keine Pole hat. Nach 3.1 ist g{z) ein Polynom m p{z). D Jede elliptische Funktion lasst sich als Summe einer geraden und einer ungeraden elliptischen Funktion schreiben,

m = l{f{z) + fi-z)) + l{f{z) - fi-z)), denn mit z i-)- f{z) ist auch z \-^ f{—z) eine eUiptische Funktion. Wir richten unser Augenmerk auf ungerade elliptische Funktionen. Der Quotient zweier ungerader elliptischer Funktionen ist offenbar gerade. Wir erhalten also: Jede ungerade elliptische Funktion ist das Produkt einer geraden Funktion und der ungeraden Funktion p'. Aus Satz 3.2 folgt nun der Struktursatz fiir

elliptischen

K{L):

3.3 Theorem. Sei f eine elliptische Funktion. Es existieren rationale Funktionen R und S, so dass f = R{p) + p'S{p) gilt, d.h. K{L) = C{p) +

C{p)p'.*)

Das zum Beweis der Satze 3.1 bis 3.3 verwendete Verfahren ist konstruktiv. Beispiel. Nach Satz 3.1 muss die Funktion p'^ als Polynom in p darstellbar sein. Wir wollen wie beim Beweis von 3.1 vorgehen und berechnen zunachst *) Der Korper K{L) ist insbesondere ein zweidimensionaler Vektorraum iiber deni Korper C(p).

Kapitel V. Elliptische Funktionen

276

einige LAURENxkoeffizienten der in diesem Verfahren auftretenden Funktionen (p,p^p^p^p'^)• 1) Wir wissen bereits (vergl. 2.10) p{z)

= z-^

+ 3G^z^

+ 5GQZ^ +

•••.

2) Durch gliedweises Ableiten folgt p'{z)

= -2z-^

+ 6G^z

+ 20GQZ^

+

•••.

3) Durch Quadrieren von p{z) erhalt man p{zf

=Z-^

+ 6G^ + WGQZ^

+

---.

4) Multipliziert man p{z) mit p(^)^, so folgt p{zf 5)

= z-^ + 9G4Z-2 + i5Gg + . . . .

Quadrieren von p'{z) ergibt schliei31ich p'{zf

= Az-^ - 24G4Z-2 _ 80Gg + . . . ,

Wir stellen nun p'(^)^ nach dem im Beweis von 3.1 beschriebenen induktiven Verfahren als Polynom in p dar. Zunachst bilden wir die Differenz p'{zf

- Ap{zf

= - 6 0 ^ 4 ^ - 2 - WOGg + • • •.

Addition von &QG^p{z) ergibt p'{zf

- Ap{zf

+ mG^p{z)

= -MOGg + • • •.

Dies ist eine elliptische Funktion ohne Pole und daher eine Konstante. Die Konstante muss — 140Ge sein. 3.4 Theorem (algebraische Differentialgleichung der p-Funktion). Es gilt

p'i^f

= 4:p{zf mit

-92p{z)-93

92 = 6OG4 = 60 ^

w"^

wei-{o}

93 = MOGg = 140 ^

u)-^.

wei-{o}

Man kann die algebraische Differentialgleichung von p benutzen, um auch die hoheren Ableitungen von p allein durch p und p' auszudriicken (was nach 3.3

Anhang zu §3. Der Torus als algebraische Kurve

277

moglich sein muss). Differenziert man die Differentialgleichung und dividiert anschliefiend durch p', so resultiert

2p"{z) =

\2p{zf-g^.

Durch nochmaliges Ableiten folgt nun p"'{z) =

I2p{z)p'{z)

und hieraus p^'\z)

= l2p'{zf

+

l2p{z)p"{z)

=

\2p'{zf+&p{z)[\2p{zf-g^]

= \2p\zf

+ 12p{zf

= l2Qp{zf

- 1852P(^) - 1293

- &g^p{z)

u. s. w.. Diese Gleichungen lassen sich auch als Relationen zwischen den Eisensteinreihen G^ auffassen, und zwar lassen sicli die liolieren Eisensteinreilien Gji, n > 8, als Polynome in G^ und Gg darstellen (s. Aufgabe 6 zu diesem Absclinitt).

Anhang zu V.3. Der Torus als algebraische Kurve Unter einem „Polynom in n Veranderliclien" verstelien wir eine Abbildung P : C" — ^ C , welclie sicli in der Form

sclireiben lasst. Dabei durclilaufe [v^,...,v^) alle n-Tupel niclit negativer ganzer Zalilen, jedocli diirfen nur endlicli viele der Koeffizienten a^ ^ G C von 0 verscliieden sein. Es ist leiclit zu selien, dass die Koeffizienten durch die Funktion P eindeutig bestimmt sind. A3.1 Definition. Eine Teilmenge X c C heifit ebene affine Kurve, wenn es ein nichtkonstantes Polynom P in zwei Variablen giht, so dass X die genaue Nullstellenmenge dieses Polynoms ist, X = {z&

P(z)

0}.

Kapitel V. Elliptische Funktionen

278 Erlduterung zur Begriffsbildung.

bezieht sich auf den zweidimensionalen komplexen Raum C . :,affin" C ist die affine Ebene iiber dem Korper der komplexen Zahlen. .,Kurve" X soil man sicli komplex eindimensional (reell zweidimensional) vorstellen. :, then "

Beispiel einer ebenen affinen Kurve. Seien g2 und g^ komplexe Zalilen: P{z^,Z2) =zl -Azf+g^z^ X =X(52,53) = { (^1,^2);

+53, 4 = 4 ^ ? - 5 2 ^ 1 -93 }•

Zur Veranscliaulicliung ist es niitzlicli, (/g und g^ als reell anzunelimen und den ..reellen Anteil" der Kurve X zu betracliten: Xm

{x,y) e

xn

y

Ax-"

92^

53}-

yn

y = Ax

- g^Q

93

V

4a;-'

92^ - 93

Man muss jedocli bedenken, dass das reelle Bild i. a. nur ein unvoUstandiges Bild einer affinen Kurve wiedergibt. Es kann iiberliaupt leer sein, wie z.B. im Falle p{x,Y) = x2 + y2_^i. Wir maclien nun die Annahme, dass ein Gitter i c C mit 92 =92{L)

und g^ = g^iL)

existiert. Wir werden spater selien (§8), dass dies dann und nur dann der Fall ist, wenn g^ — 11g\ von 0 verscliieden ist. Aus der algebraisclien Differentialgleicliung der p-Funktion folgt, dass fiir z E C^ z ^ L^ der Punkt {p{z),p'{z)) auf der Kurve X{g2,gr^) liegt. Wir erlialten also eine Abbildung

[z]^{p{zlp'{z)).

Anhang zu §3. Der Torus als algebraische Kurve

279

A3.2 Satz. Die Zuordnung [z]^{p{z\p'{z)) definiert eine bijektive Abbildung des punktierten Torus auf die ebene affine Kurve X{g^,g^), * ^ / i - { [ 0 ] } ^^ X{g^,g,).

Beweis. 1) Surjektivitdt der Abbildung. Sei {u,v) G X{g2,g^) ein Punkt auf der Kurve. Da die p-Funktion jeden Wert annimmt, existiert ein z E C — L, p{z) = u. Aus der algebraischen Differentialgleichung der p-Funktion folgt p'{z) = ±v. Daher gilt entweder {p{z),p'{z)) 2) Injektivitdt

= {u,v)

oder {p{—z),p'{—z))

= {u,v).

der Abbildung. Es sei

p{z) = p{w) und p'{z) = p'{w)

{z,w beide G C — L) .

Dann gilt (2.10) entweder z = w m o d i oder z = —w m o d i . Wir miissen den zweiten Fall nalier untersuclien: Aus z = —w mod i folgt p'{z) =

-p'{z),

also p'{z) = 0. Dann ist aber 2^ G i , also z = w m o d i .

D

In der aflinen Kurve X{g2,g^) felilt offenbar der Punkt [0] des Torus. Dieser ist in dem „projektiven Abschluss'' der Kurve entlialten. Der projektive R a u m Wir definieren den n-dimensionalen projektiven Raum P " C iiber dem Korper der komplexen Zalilen. Dazu betracliten wir in C " ^ — {0} folgende Aquivalenzrelation: z ^ w -^^

z = tw fiir eine Zalil t G C*.

Die Balm eines Punktes z unter dieser Aquivalenzrelation werde mit [z] = {tz]

tE
280

Kapitel V. Elliptische Funktionen

bezeichnet.

) Die Menge dieser Bahnen ist der projektive P " C = {[z];

Raum

^eC"+i-{0}}.

(Zwei Punkte z und w liegen genau dann in derselben Bahn, wenn sie in derselben Gerade durch 0 liegen. Man kann daher P " C auch als die Menge aller eindimensionalen Untervektorraume von C " ^ auffassen.) Wir bezeichnen mit A"C = {[z]e

P"C;

z = {z„ ...,zje

C"+\

z,^0}

den durch „ZQ ^ 0" definierten Teil des projektiven Raumes. (Obwohl wir in diesem Zusammenhang auf P " C keine topologische Struktur einfiihren wollen, sollte man sich A"C als offenen und dicliten Teil von P " C vorstellen.) A 3 . 3 B e m e r k u n g . Die Abbildung C " —^ A"C, [Z^, . . . , Z^j I

> [l,Zi,

. . . , Z^\,

ist bijektiv. Die Umkehrabbildung wird durch r

1

/ ^1

^jj

gegeben. Beweis. Man muss nur verifizieren, dass die beiden Abbildungen wolildefiniert sind und sich gegenseitig umkehren. D Wir untersuchen noch das Komplement P " C — A^C A3.4 B e m e r k u n g . Die Zuordnung [z^,...,

z^\ I > [0,Zi,...,

z^\

definiert eine bijektive Abbildung P " - i C —y

P"-C-A"-C.

Auch dies ist sofort zu verifizieren und kann dem Leser iiberlassen bleiben. Halten wir noch einmal das Wesentliche aus der Konstruktion des projektiven Raumes fest: Der n-dimensionale projektive Raum P " C ist die disjunkte Vereinigung eines n-dimensionalen affinen Raumes v4"C und eines [n — \)-dimensionalen proNicht zu verwechseln mit dem Bild eines Punktes z G C in dem Torus C/L.

Anhang zu §3. Der Torus als algebraische Kurve

281

jektiven Raumes P " ^ ^ C . Man nennt A"-C den endlichen das Komplement den unendlich fernen Tail.

Tail von P " C und

Beispiele. 1) n = 0: Der O-dimensionale projektive Raum besteht aus einem einzigen Punkt P'C = {[l]} = {[z];

z^O}.

2) n = 1: Der durch „ZQ ^ 0" definierte Teil der projektiven Geraden P^C ist bijektiv auf C abbildbar (A3.3). Das Komplement P^C — C besteht aus einem einzigen Punkt. Wir konnen daher P^C mit der Riemannschen

Zahlkugel

identifizieren:

piC —^C, [ZQ,

Zi\

I

> <

ZQ

y 00 ,

falls ZQ = 0.

Wir definieren nun den Begriff einer projektiven ebenen Kurve. Ein Polynom P lieifit homogen, wenn es eine Zalil rf e N gibt, so dass P{tz„...,tzJ

=

t''Piz„...,zJ

gilt. Man nennt d den Grad von P. Offenbar bedeutet die Homogenitatsbedingung %,...,^„ ^ 0

=^

^i + --- + ^n = d-

Sei P{ZQ^ZI,Z2) ein homogenes Polynom in drei Variablen. Wenn {ZQ,Z-J^,Z2) eine Nullstelle von P ist, so ist wegen der Homogenitat aucli {tzQ,tz-j^,tz2) eine NuUstelle von P. Es ist dalier sinnvoU, die Punktmenge X={[z]eP^C;

P{z) = 0}

zu definieren, da die Bedingung „P{z) = 0" nicht von der Wahl des Vertreters z der Balm abhangt. A3.5 Definition. Eine Teilmenge X c P'^C heifit ebene projektive Kurve, falls es ein nichtkonstantes homogenes Polynom P in drei Variablen gibt, so dass X={[z]eP^C; gilt.

P{z)=0}

282

Kapitel V. Elliptische Funktionen

Die projektive Abschliefiung einer ebenen afflnen Kurve Sei

ein nichtkonstantes Polynom. Wir betrachten rf:=max{iyi+1/2;

a^^^_^ 7^ 0}

und definieren ^(^0'^l'^2) = 1 ] % ^ 2

'0

^1 ^2

Dies ist ein homogenes Polynom in drei Variablen. Man nennt das Polynom P die Homogenisierunci von P. Deni Polynom P istjsine ebene affine Kurve X und dem Polynom P eine ebene projektive Kurve X zugeordnet. A3.6 Bemerkung. Sei P ein nichtkonstantes Polynom in zwei Variablen, P das assoziierte homogene Polynom in drei Variablen (s. 0.). Bei der Abbildung C^^Sl^A^C,

(^1,^2) ^ ^ [ 1 , ^ 1 , ^ 2 ] ,

wird die affine Kurve X = Xp bijektiv auf den Durchschnitt X f] A'^C der projektiven Kurve X = X~ mit dem „endlichen Teil" des projektiven Raumes abgebildet. Es lasst sicli leiclit zeigen, dass X mit dem unendlicli fernen Teil (dem Komplement von A'^C) nur endlicli viele Punkte gemeinsam hat. Dies reclitfertigt die Sprechweise. Die projektive Kurve X ist ein projektiver Abschluss der affinen Kurve X. Das Polynom P ist durcli die affine Kurve X nicht eindeutig bestimmt. Beispielsweise definieren P und P^ dieselbe affine Kurve. Man kann aber dennoch zeigen, dass X nur von X und nicht von der Wahl von P abhangt. Man kann also von dem projektiven Abschluss sprechen. Versieht man den projektiven Raum mit der Quotiententopologie des C""*"^ — {0}, so ist X gerade der topologische Abschluss von X. Der projektive Raum ist im iibrigen ein kompakter topologischer Raum. Die projektive Kurve X ist somit ebenfalls kompakt. Sie ist als eine natiirliche Kompaktifizierung der affinen Kurve X anzusehen. Zuriick zu unserem Beispiel P ( ^ i , ^2) = 4 - 4^? + 52^1 + 93Durch „Homogenisierung" erhalt man ^(^0>^l>^2) = ^0^2 - 4 ^ 1 + 9 2 ^ 0 ^ 1 + 5 3 ^ 0 -

Ubungsaufgaben zu §3

283

W i r b e s t i m m e n die unendlich fernen P u n k t e auf der assoziierten projektiven Kurve. Diese sind durch „ZQ = 0" gekennzeichnet, also ^0 = 0 u n d Zi = 0. Die P u n k t e (0,0,^2) liegen alle in einer einzigen B a h n [ 0 , 0 , 1 ] . W i r erhalten daher: Die projektive Kurve X = X~ ndmlich den Punkt [ 0 , 0 , 1 ] .

enthdlt

genau

einen

unendlich

fernen

Punkt,

Dies ist der fehlende P u n k t , nach deni wir gesucht h a b e n . A 3 . 7 T h e o r e m . Durch die

Abbildung

L-^P"' [l,p(^),p'(^)], [0,0,1],

z

falls falls

z^L, zeL,

wird cine bijektive Abbildung des gesamten Torus auf eine ebene Kurve X{g2,g^) gegeben. Die Gleichung dieser Kurve ist

Setzt man in dieser Gleichung Kurve. M a n nennt X{g2,g^)

ZQ = 1, so erhdlt man den affinen

die zuni Gitter L gehorige elliptische

projektive

Anteil

dieser

Kurve.

Ubungsaufgaben zu V.3 1. Man stelle p ' ~ " fiir 1 < n < 3 in der Normalform R{p) + S{p)p' Funktionen R und 5* dar.

mit rationalen

2. Fiir jede ganze Zahl n ist p{nz) ein rationale Funktion in p{z). 3. Man zeige mit den Bezeichnungen von 2.9 P" ( Y ) = 2 ( e i -e^){e-^

-63)

und leite entsprechende Formeln fiir die beiden anderen Gitterhalbpunkte ab. 4. Seien g^ = 52 (-^)' ^3 = 53 (^) die einem Gitter L zugeordneten p-Invarianten. Ist / eine in einem nichtleeren Gebiet nichtkonstante meromorphe Funktion mit der Eigenschaft /'2 = 4 / 3 - g^f - g^^ so ist / ein Translat der p-Funktion, also f{z) = p{z + a). Anleitung.

Man betrachte eine lokale Umkehrfunktion f~^ von / und h :=

f~^op.

284

Kapitel V. Elliptische Funktionen

5. Die algebraische Differentialgleichung der p-Funktion lasst sich in folgender Form schreiben: p'2 = 4(p - e j ( p - e^){p - 63). Dabei seien e die drei Halbwerte der p-Funktion (2.9). 6. Man zeige, dass die Eisensteinreihen Gjm '^ur m > 4 folgenden Rekursionsformeln geniigen: m-2

(2m + l ) ( m - 3)(2m - 1)G,„^ = 3 ^ ( 2 i - l)(2m - 2j -

l)G,^G^^_,^,

beispielsweise G-^^ = -^G^Gg. Jede Eisensteinreihe ist also als Polynom in G^ und Gg niit nicht negativen rationalen Koeffizienten darstellbar. 7. Fine meromorphe Funktion / : C ^ C heifie „reell", falls f{z) = f{z) fiir alle z gilt. Fin Gitter L C C heifie „reell", falls mit w auch uJ in L enthalten ist. Folgende Aussagen sind aquivalent: a) 5 2 ( L ) , 5 3 ( L ) G R . b) G„ G R fiir alle n. c) Die p-Funktion ist reell. d) Das Gitter L ist reell. 8. Fin Gitter lieifit Rechteckgitter, falls eine Gitterbasis Wj, Wj so gewahlt werden kann, dass Wj reell und Wj rein imaginar ist. Fin Gitter L heifit rhomhisch, falls die Gitterbasis so gewahlt werden kann, dass ui^ = ^i gilt. Man zeige, dass ein Gitter genau dann reell ist, wenn es ein Rechteckgitter oder rhombisch ist. 9. Die WEiERSTRASS'sche p-Funktion zu einem Rechteckgitter L = Zwj + Zui^, oij G K^ und UI2 G iR+, nimmt auf dem Rand und auf den Mittellinien der zugehorigen Grundinasche nur reelle Werte an. 10. Sei L = Zoij + Zoij ein Rechteckgitter wie in Aufgabe 9. Man zeige, dass D:=^zeC;

^= tiY+i2Y.

0
durch die WEiERSTRASS'sche p-Funktion zum Gitter L konform auf die untere Halbebene H_ := {z e C; Imz < 0 } abgebildet wird. 11. Bei der folgenden Aufgabe verwenden wir den Begriff der Korpererweiterung k C K und der algebraischen Abhangigkeit. Man nennt Flemente a ^ , . . . ,a^ aus K algebraisch abhangig (iiber fc), falls es ein nicht identisch verschwindendes Polynom P in n Unbestimmten mit Koeffizienten aus k gibt, so dass P{o,i,..., a„) = 0 gilt. Wir benutzen aus der elementaren Korpertheorie folgende Tatsache:

§4. Das Additionstheorem

285

Es mogen n Elemente Oj^,..., a^ existieren, so dass K iiber dem von diesen Elementen erzeugten Zwischenkorper k{a^,... ,a^) algebraisch ist. Dann sind je n + 1 Elemente aus K algebraisch abhangig iiber k. Man zeige, dass je zwei elliptisclie Funktionen (zuni selben Gitter L) algebraisch abhangig (iiber C) sind. 12. Es gibt bei vorgegebenem Gitter L keine elliptische Funktion / , so dass jede weitere elliptische Funktion als rationale Funktion in / darstellbar ist. Anleitung. Man analysiere die Gleichung f[z) = f{w) und zeige, dass / eine elliptische Funktion der Ordnung 1 ware.

4. Das Additionstheorem Mit f{z) ist audi g{z) := f{z + a) eine elliptische Funktion. Es muss daher nioglich sein, beispielsweise p{z + a) in der Form p{z + a) = R^ {p{z)) + S^{p{z))

• p'{z)

mit gewissen von a abhangigen rationalen Funktionen R^ und 5^ darzustellen. Die explizite Berechnung von R^ und S^ langs des beim Beweis von Theorem 3.3 vorgezeichneten Weges fiihrt zu dem Additionstheorem der Weierstrafi'schen pFunktion. Bei diesem Ansatz muss man p{z + a) + p{z -a) 2

''''

p{z + a) - p{z - a) 2^)

als rationale Funktionen von p{z) darstellen. Die Pole der zweiten Funktion sind unter den Polen des Zahlers und unter den Nullstellen von p'{z) zu suchen. Wir wissen, dass p' nur in den Punkten a & C, a ^ L, 2a E L, verschwindet und dass diese Nullstellen einfach sind. In diesen Punkten verschwindet aber auch der Zahler wegen p{a + a) = p{—a — a) = p{—a — a + 2a) = p{a — a). Die Funktionen p{z + a) + p{z-a) und

2

p{z + a) - p{z-a) 2p'{z)

r .2 [p{z) - P{a)\ r .2 [p{z) - P{a)\

haben offensichtlich keine Pole aufierhalb von L und miissen sich daher als Polynome in p{z) darsteUen lassen. Im ersten FaU hat dieses Polynom den Grad < 2, im zweiten den Grad 0, ist also konstant. Man ermittelt die Koeffizienten

Kapitel V. Elliptische Funktionen

286

dieser Polynome durch Vergleich einiger LAURENXkoeffizienten. Wir verzichten auf die Rechnung im Einzelnen, da man das Resultat leichter direkt verifizieren kann. Analytische Form des Additionstheorems 4.1 Theorem (Additionstheorem der p-Funktion). Es seien z und w zwei komplexe Zahlen, so dass z+w, z — w, z undw nicht im Gitter L enthalten sind. Dann gilt

Zum direkten Beweis dieser Formel halte man w fest und betrachte die Differenz beider Seiten als Funktion von z. Sie ist eine elliptische Funktion, deren Pole unter den Stellen z & L, z = ±w m o d i , zu suclien sind. Man reclinet leiclit nacli, dass die Hauptteile der beiden Seiten sicli bei der Differenzbildung weglieben, und verifiziert auf diesem Wege das Additionstheorem. Die Einzelheiten seien dem Leser iiberlassen. (Wir geben welter unten noch einen anderen eleganteren Beweis.) Im Falle z = w entartet die Formel aus dem Additionstheorem. Wir wollen in einer Ergdnzungsformel auch p{2z) als Funktion von p{z) darstellen. Wir halten im Additionstheorem w fest und fiihren den Grenziibergang z ^ w durch. Aus den Entwicklungen p'{z) - p'{w) = p"{w){z -w)

+

p{z) - p{w) = p'{w){z -w)

+

> + hohere Potenzen von {z — w)

folgt

p'{z) - p'{w)

lim — z^w p[Z) — p[W)

p"{w) p'[W)

und daher (fiir 2z ^ L): 4.2 Erganzungsformel oder Verdoppelungsformel.

§4. Das Additionstheorem

287

Den Ausdruck [p"(z)/p'(z)]"^ kann man mit der Differentialgleichung der pFunktion umformen, p''^ = 4p^ — (/gp — 53, 2p" = 12p^ — g2. Man erhalt dann eine explizite Forniel fiir p{2z) als rationale Funktion von p{z):

Geometrische Form des Additionstheorems Das Additionstheorem 4.1 besitzt eine geometrische Deutung, welche zu einem tieferen Verstandnis fiihrt und aui3erdem einen neuen einfachen und durchsichtigen Beweis erlaubt. Zundchst eine kurze Vorbereitung. wenn es zwei verschiedene Punkte alien Punkten der Form

Eine Teilmenge G C P^C heii3t Gerade, [wgjW^jWg] gibt, so dass G aus

[ZQ,Z-^,Z2],

P : = [XZQ + IJ,WQ , Xz-^ + iJLW^, A^2 + l^w^],

(A, /z) G C^ - { ( 0 , 0 ) } ,

besteht. Die Zuordnung

liefert eine Bijektion zwischen P^C und der Geraden G. Offenbar sind je zwei verschiedene Punkte aus P^C in genau einer Geraden enthalten. Der Torus C/L ist als Faktorgruppe der additiven Gruppe C selbst eine additive Gruppe. Wir iibertragen diese Gruppenstruktur mittels der Bijektion C/L —^ X{g2,g^) zu einer Gruppenstruktur auf der elhptischen Kurve, diese Bijektion ist dann ein Gruppenisomorphismus. Wir schreiben die Gruppenverkniipfung auf X{g2,g^) wieder als Addition. Eine geometrische Form des Additionstheorems besagt: 4.3 Theorem. Drei paarweise verschiedene Punkte a, b, c auf der elhptischen Kurve X{g2,g^) haben genau dann die Summe Null, wenn sie auf einer Geraden liegen. Anmerkung. Man kann sich iiberlegen, dass eine Gerade mit der eUiptischen Kurve genau drei Schnittpunkte hat, wenn man diese mit geeigneten Vielfachheiten rechnet. (Beriihrungspunkte sind mehrfach zu rechnen.) Liegen umgekehrt drei Punkte a,b,c G X{g2,g^) auf einer Geraden, so summieren sie sich zu 0. Durch Theorem 4.3 ist das Gruppengesetz in X{g2,g^) also voUstandig beschrieben.

Kapitel V. Elliptische Funktionen

288

Beweis von 4.3. Drei Punkte [00,0^,03], [&0'^i'^2] ^^'^ ['^0''^i''^2] liegen genau dann auf einer Geraden, wenn die Vektoren (aQ,a^,a2), (69,6^,62)5 (co;C^,C2) linear abhangig sind. Dies ist gleichbedeutend damit, dass die Determinante der aus den drei Vektoren gebildeten Matrix verschwindet. Eine Gerade hat niit der elliptischen Kurve offensichtlich hochstens 3 Punkte gemeinsam. Zu je zwei verschiedenen Kurvenpunkten a, b gibt es also hochstens einen weiteren Kurvenpunkt c, welcher von a, b verschieden ist und so, dass a, 6, c auf einer Geraden liegen. Die den Punkten a, 6, c entsprechenden Punkte auf deni Torus seien [u], [v], [w]. Wir nehmen an, dass u,v,w und u + v keine Gitterpunkte sind. (Wenn dies nicht der Fall ist, braucht man eine kleine Sonderbetrachtung, die wir iibergehen.) Die drei Punkte hegen genau dann auf einer Geraden, falls det

1 p{w) 1 p{v) 1 p{u)

p'{w p'{v p'(u

gilt: Die in 4.3 formuherte Bedingung besagt u + v + w = 0 mod L. Das es nach der Vorbemerkung nur einen einzigen dritten Punkt c = [1, p{w), p'{w)] mit dieser Eigenschaft geben kann, ist Satz 4.3 gleichbedeutend mit: 4.4 S a t z . Es gilt

det

(^ 1

V

P(M + W)

p[v) p[u)

-p'(u^v)\

P'iv) p'{u)

= 0.

1

Man kann den Exkurs iiber projektive Kurven unbeachtet lassen, wenn man mit dieser Form von 4.3 zufrieden ist. Wir zeigen zunachst, wie man das Additionstheorem 4.1 aus 4.4 folgern kann, und geben anschheBend einen eleganten Beweis von 4.4 und damit des Additionstheorems. Wir betrachten die drei Punkte (a;i>?/i) =

{p{u),p'{u)),

{X2,y2) =

{p{v),p'{v)),

(a^s' %) = (p(u + ^ ) ' - P ' ( « + '"))•

§4. Das Additionstheorem

289

Dabei konnen wir annehmen, dass x^, Xg und Xg paarweise verschieden sind. Aus dem Verschwinden der Determinante folgt, dass diese drei Punkte auf einer Geraden y = mx + b liegen. Die Steigung der Geraden ist p{v) - p{u) • Aus der algebraischen Differentialgleichung der p-Funktion folgt, dass x^, Xg und Xg NuUstellen des kubischen Polynoms

sind. Da sie paarweise verschieden sind, gibt es keine weiteren NuUstellen. Durcli Koeffizientenvergleicli bei den quadratisclien Termen erlialt man fiir ilire Suninie m x^ + X2 + Xg = — - .

Dies ist genau das Additionstheorem in der analytischen Form.

D

Ein eleganter Beweis des Additionstheorems Wir geben nun einen direkten Beweis des Additionstheorems in der Fassung 4.4. Dabei machen wir einen Vorgriff auf das AsEL'sche Theorem (V.6.1), allerdings nur auf die einfache Richtung dieses Theorems. Sie besagt: Sei Vertretersystem modulo L der NuUstellen einer nichtkonstanten elliptischen Funktion und b^,... ,b^ ein Vertreter system der Polstellen, wobei jede der Stellen so oft hingeschrieben sei, wie ihre Vielfachheit angibt. Es gilt dann m = n und (ai + --- + a „ ) - ( 6 i + --- + 6 „ ) G L . Zum Beweis von 4.4 wahlen wir nun zwei feste Punkte u und v, welche beide nicht in L liegen und so, dass p{u) und p{v) verschieden sind. Wir betrachten dann die elliptische Funktion /I f{z) = det 1 \l

p{z) p{v) p{u)

p'{z) p'{v) p'{u)

Diese Funktion hat die Form A + Bp[z) + Cp'{z) mit einer von 0 verschiedenen Konstanten C. Sie hat in den Gitterpunkten Pole dritter Ordnung und sonst keine Pole. Sie ist also eine elhptische Funktion der Ordnung 3. Sie hat NuUstellen in den Punkten z = u und z = v. Nach dem AsEL'schen Theorem hegt die dritte NuUstelle bei z = —{u + v). D Man kann auch umgekehrt die geometrische Form des Additionstheorems aus der analytischen zuriickgewinnen (Man vergleiche Aufgabe 2 zu diesem Paragraphen).

290

Kapitel V. Elliptische Funktionen

Ubungsaufgaben zu V.4

1. Man fiihre den angedeuteten direkten Beweis fiir das Additionstheorem 4.1 in Einzelheiten durch. 2. Man leite die geometrische Form des Additionstheorems aus der analytischen Form ab. 3. Sei L C C ein Gitter mit der Eigenschaft 32(^) = § und g^{L) = 0. Der Punkt (2,4) liegt auf der affinen Kurve y^ = 4a;^ — 8a;. Sein Doppeltes der in der elliptischen Kurve eingefiihrten Addition ist der Punkt ( | , — x ) Anleitung.

Man bringe die Tangente an (2,4) mit der Kurve zum Schnitt.

4. In den Bezeichnungen aus dem Beweis von Satz 4.4 gilt "3 —

_

Dies kann als Additionstheorem fiir p' aufgefafit werden.

5. A d d i t i o n s t h e o r e m fiir b e l i e b i g e elliptische F u n k t i o n e n 1st / eine elliptische Funktion, so gibt es ein von 0 verschiedenes Polynom P in drei Unbestimmten mit komplexen Koeffizienten, so dass P{f{z),f{w)J{z+

w))=0

gilt. Anleitung. Wir benutzen einige einfache Tatsachen aus der elementaren Algebra, insbesondere die in der Aufgabe 5 aus §3 erwahnten Tatsachen iiber Korpererweiterungen. Eine Funktion F:C

xC

^C

heifit analytisch, falls sie stetig und in jeder der beiden Variablen analytisch ist. Die Menge all dieser Funktionen bildet einen kommutativen nullteilerfreien Ring 0{C X C) mit Einselement. Wir betrachten seinen Quotientenkorper H. Er dient als Ersatz fiir den Begriff der meromorphen Funktion zweier Variabler, welchen wir erst im zweiten Band einfiihren werden. Man betrachte den Unterkorper, welcher (iiber C) von den fiinf „ Funktionen" p{z), p{w), f{z),

f{w)

und f{z + w)

erzeugt wird. Dieser Korper ist algebraisch iiber dem Korper C(pj{z),pj{w)). Hierzu benutze man, dass die Eigenschaft „ algebraisch" fiir Korpererweiterungen transitiv ist.

§5. Elliptische Integrale

291

5. Elliptische Integrale Unter einem elliptischen Integral erster Gattung versteht man ein Integral z

dt

wobei P ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache NuUstelle sei. Der Wert eines solchen Integrals liangt sowolil von der Walil der Wurzel als aucli von der Walil einer Verbindungskurve von a nacli z ab. 5.1 Theorem. Zu jedem Polynom P{t) dritten oder vierten Grades ohne mehrfache NuUstelle existiert eine nichtkonstante elliptische Funktion f mit folgender Eigenschaft: 1st D c C eine offene Teilmenge, auf welcher f umkehrbar ist *), und ist g : f{D) -^ die Umkehrfunktion

C

von f, so gilt (nach geeigneter Wahl der Wurzel)

9{z)

v^/m-

Kurz und biindig aber unprazise: Die Umkehrfunktion tische Funktion.

eines elliptischen Integrals (erster Gattung) ist eine ellip-

Wir woUen dieses Theorem in diesem Paragraphen bis auf eine Liicke, welche wir erst in den Paragraphen 7 und 8 schheBen werden, beweisen. In einem ersten Schritt reduziert man 5.1 auf Polynome dritten Grades, sogar auf solche, deren quadratischer Term verschwindet. Wir nehmen an, wir hatten fiir ein festes Polynom P eine elliptische Funktion / mit der in 5.1 angebenen Eigenschaft gefunden. Wir betrachten irgendeine komplexe Matrix a b M- , c d mit Determinante 1 und bilden die neue elliptische Funktion *) Man kann fiir D eine kleine offene Unigebung eines beliebigen Punktes a G mit f{a) ^ oo, /'(a) ^ 0 nehmen.

Kapitel V. Elliptische Funktionen

292

df-b -cf + a Offenbar ist az + b ^cz + d

~9{z)

eine lokale Umkehrfunktion von / . Es gilt

g'{z) = mit

l/VW)

4 „ / az + b Q{z) = {cz + dyP cz + d

Dies ist wieder ein Polynom. 5.2 Bemerkung. Sei P ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache NuUstelle. Es existiert eine Matrix M der Determinante I, so dass das Polynom

ein Polynom dritten Grades ohne quadratisches Glied ist. Beweis. Wir nehmen zunachst an, das Polynom liabe den Grad 4 und sclireiben es in der Form P ( X ) = C{X-e-^){X-e2){X-er^){X-e^), e^i^ {). Anwendung der Matrix M

64

0

1

e~.

fiilirt P in ein Polynom dritten Grades ohne mehrfache NuUstelle iiber. Man kann also annehmen, dass P vom Grad 3 ist. Anwendung einer Matrix N

1 0

b 1

mit geeignetem b bringt den quadratischen Term zum Verschwinden.

D

Zum Beweis von Theorem 5.1 geniigt es also anzunehmen, dass P{t) = at^ + bt + c. Es ist sicherlich keine Einschrankung der AUgemeinheit, wenn wir a = 4 annehmen. Um mit klassischen Bezeichnungen in Einklang zu kommen, verwenden wir die Bezeichnungen a = 4

-92

-93

§5. Elliptische Integrale

293

und erhalten die sogenannte WEiERSTRASS'sche Normalform P{t) = 4t''-

g^t - g^.

Dieses Polynom hat genau dann keine mehrfache NuUstelle, falls die Diskriminante A := gl - 27gl von 0 verscliieden ist. Sclireibt man namlicli P in der Form P{t)=A{t-e^){t-e^){t-e^), so zeigt eine einfaclie Reclinung gl - Tlgl = 16(ei - e^)\e^

- e^f{e^

-

e,f.

5.3 A n n a h m e . Es existiert ein Gitter i C C mit der Eigenschaft 92 =92{L)

,

53

=9dL)-

In §8 werden wir beweisen, dass diese Annahme stets erfiiUt ist. 5.4 Theorem. Set L c C ein Gitter. Im Falle P{t:)=At^

-g^t-g^,

g^=g^{L),

g^=g^{L),

hat die Weierstrafi'sche p-Funktion zum Gitter L f{z) ••= p{z) die in 5.1 angegebene Eigenschaft. Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus der algebraischen der p-Funktion (3.4)

Differentialgleichung

Fiir eine lokale Umkehrfunktion g von p folgt namlich

^^^^ - v m ? ~ V ( 5 ( 0 ) - 9 2 P { 9 { t ) ) - 9 , ~ W ) '

°

Die Theorie der elliptischen Integrale war urspriinglich eine rein reelle Theorie. Um der historischen Entwicklung gerecht zu werden, wollen wir Theorem 5.1 im Spezialfall reeller Polynome prazisieren: Sei P{t) ein Polynom dritten oder vierten Grades mit reellen Koeffizienten. Wir nehmen an, dass P{t) keine mehrfache (komplexe) NuUstelle hat. Wir

Kapitel V. Elliptische Funktionen

294

woUen (o. B. d. A.) annehmen, dass der hochste Koeffizient positiv ist. Es gilt dann P{x) > 0 fiir hinreichend groBes x, etwa fiir x > XQ. Fiir X > XQ konnen wir dann die positive

Wurzel

betrachten und das uneigentliche Integral oo

(it

Ex)

VW)

fiir

X > X0

bilden. Dieses konvergiert absolut, da das Integral

t-'dt fiir 5 > 1 konvergiert. Die Funktion E{x) ist streng monoton waclisend, da der Integrand positiv ist. Wir konnen dalier die Umkelirfunktion von E{x) betrachten. Diese ist auf eineni gewissen reellen Intervall definiert. Aus 5.4 folgt 5.5 Theorem. Die Umkehrfunktion

des elliptischen Integrals

oo

E{x

dt JL ^

JyQ ^

P(t) = U^ - g^t - g^, 92 = 92{L),

Qs = QsiL)

{LcC

ein Gitter),

ist in die komplexe Ebene fortsetzbar und stellt dort eine elliptische dar, ndmlich die Weierstrafi'sche p-Funktion zum Gitter L.

Funktion

Dies bedeutet konkret:

(wobei u in eineni gewissen reellen Intervall variiert, p{u) variiert dann in (io,oo)).

§5. Elliptische Integrale

295

Anwendung der Theorie der elliptischen Funktionen auf elliptische Integrale Wir haben gezeigt, dass sich p{u-^ + Ug) durch eine Formel aus p{u-^) und ^(ug) berechnen lasst. In diese Formel gehen nur rationale Operationen und Quadratwurzelzielien ein. Es existiert eine „Formel" der (nehen den Konstanten §2 und g^) nur rationale Operationen und Quadratwurzelziehen auftreten, so dass

gilt. Diese Formel wurde allgemein erstmals von E U L E R (1753) bewiesen und lieiBt das Euler'sche Additionstheorem. In dem Spezialfall P{t) = i^ — 1, x^ = Xg, wurde sie im Jalire 1718 von dem italienisclien Matliematiker FAGNANO bewiesen. Bringt man P{t) in die WElERSTRASS'sclie Normalform und wendet dann die Verdoppelungsformel der p-Funktion an, so erlialt man FAGNANOS Verdoppelungsformel dt

dt

^/Y^¥

^/Y^¥

mit y = y{x) =

2xVl - x4 l+x"

Dieses spezielle elliptische Integral lasst sicli im iibrigen als Bogenlange der klassisclien Lemniskate (vgl. Aufgabe 6c) aus I.l), die angegebenen Formeln als Verdoppelungsformeln fiir den Lemniskatenbogen deuten.

Die Verdoppelungsformel impliziert, dass man einen Lemniskatenbogen mit Zirkel und Lineal verdoppeln kann.

296

Kapitel V. Elliptische Funktionen

Wir weisen noch einmal darauf hin, dass wir noch nicht bewiesen haben, dass jedes Zahlenpaar (32,53) mit von 0 verschiedener Diskriininante A al 27(73 ^^^ einein Gitter L stainint. Dies wird am Ende von §8 mit funktionentheoretischen Mitteln bewiesen werden. Wir wollen an dieser Stelle lediglich plausibel machen, wie aus dem Polynom P{X) = AX^ — g^X — g^ ein Gitter bzw. ein Torus entspringt. Dazu erinnern wir daran, dass dem Polynom P eine projektive Kurve X[P) zugeordnet wurde (s. Anhang zu §3). Wir wollen versuchen, anschaulich klar zu machen, dass diese Kurve topologisch ein Torus ist. Dazu betrachten wir die Projektion des affinen Teils der Kurve auf die erste Koordinate. Diese liefert eine stetige Abbildung der projektiven Kurve auf den eindimensionalen projektiven Raum, also die Riemann'sche Zahlkugel, p : X{P) —> C Aus der Tatsache, dass das Polynom den Grad 3 hat, folgert man, dass es vier Punkte auf der Kugel gibt, welche genau einen Urbildpunkt, alle anderen Punkte jedoch genau zwei Urbildpunkte haben. Man sagt, dass die Kurve die Zahlkugel zweiblattrig mit vier Verzweigungspunkten iiberlagert. Man teilt die vier Punkte in zwei Paare auf und verbindet die beiden Punkte jedes Paars mit einer Kurve. Die Bilder der beiden Kurven seien disjunkt. Man betrachtet dann das Komplement der Bilder der beiden Kurven in der Kugel. Dies ist also eine zweifach geschlitzte Kugel. Man muss sich nun iiberlegen, dass das Urbild der geschlitzten Kugel beziiglich p in zwei Zusammenhangskomponenten zerfallt, welche beide durch p topologisch auf die geschlitzte Kugel abgebildet werden. Die projektive Kurve kann also aus zwei Exemplaren der geschlitzten Kugel gewonnen werden, indem man diese langs der Schlitze, wie im folgenden Bild skizziert, richtig zusammenheftet. Das Resultat ist ein Torus.

In der Theorie der RiEMANN'schen Flachen werden wir das angedeutete Verfahren exakt durchfiihren und so einen neuen Zugang zur Theorie der elliptische Funktionen erhalten.

Ubungsaufgaben zu §5

297

Ubungsaufgaben zu V.5 1. Die NuUstellen Cj, 63 und 63 des Polynoms 4X^ — p j - ^ — 53 sind genau dann reell, wenn ^j und 33 reell sind und die Diskriminante A = g2 — 27g3 nicht negativ ist. 2. Die folgende Aufgabe ist niit den bisherigen Mitteln so gerade zu bewaltigen: Sei L C C ein Gitter und P(t) = 4i^ — g^t — ^3 das zugehorige kubische Polynom. Gegeben sei eine geschlossene Kurve a : [0,1] —>• C in der Ebene, auf der keine Nullstelle des Polynoms liegt. Gegeben sei aufierdem noch eine stetige Funktion ft. : [0, 1] —>• C mit den Eigenschaften 1

N2

Man nennt die Zahl 1

1

h(t)a'(t) dt = / 0

" ^ ^ (it

0

eine Periode des elliptischen Integrals J Xj^jP{z) dz. Man zeige, dass die Perioden des elliptischen Integrals in L liegen. (Man kann sogar zeigen, dass L genau aus den Perioden des elliptischen Integrals besteht.) Diese Tatsache eroffnet einen Zugang zu deni Problem, dass jedes Paar (g^jQ^) komplexer Zahlen mit von 0 verschiedener Diskriminante A = g^ — 27^3 von einem Gitter kommt. Wir werden diesen Weg erst wieder im zweiten Band im Zusammenhang mit der Theorie der RiEMANN'schen Flachen aufgreifen. In diesem Band werden wir einen anderen Beweis geben (s. V.8.9). Eine detaillierte Analyse liefert in konkreten Fallen explizite Formeln fiir eine Basis von L: Die NuUstellen e-^, Cj und 63 des Polynoms 4:X^—g2X—g^ seien reell und paarweise verschieden und so geordnet, dass 63 > 63 > Cj gilt. Die beiden Integrale ei

00

Wj^ = 2i / — j ^ ^ ^ ^ = ^ ^ ^ ^ = dt und Wj = 2 / — j ^ ^ ^ ^ i ^ ^ ^ ^ dt J ^/-'Xt^ + g^t + 9z J V4i3-g2t-53 — 00

€2

bilden eine Basis des Gitters L. 3. Man beweise mit Hilfe der Verdoppelungsformel der WEiERSTRASS'schen p-Funktion die FAGNANO'sche Verdoppelungsformel fiir den Lemniskatenbogen V

1

VT^^ 0

, dt =

/• 1 , . „ ^/\-r^ —^^=^= dt mit y = 2xJ VT^^ 1 +x 0

4. Man zeige: Die Rektifikation einer Ellipse mit der Gleichung ^ +|-=1 a/ b^ fiihrt auf ein Integral vom Typ

(0<6
1 _ i-2.^2

V'(l-a;2)(l-Fa;2)

: dx.

298

Kapitel V. Elliptische Funktionen Welche Bedeutung hat dabei fc? Der gesamte Umfang der Ellipse ist 7r/2

1

U = Aa I —,

dx = Aa I \J\ - hP-^\v?tdt.

J V(l-a;')(l-fc'a;2)

J

0

0

(Dies ist ein sogenanntes elliptisches Integral zweiter Gattung. Von elUptischen Integralen spricht man allgeniein, wenn der Integrand das Produkt einer rationalen Funktion mit einer Quadratwurzel eines Polynoms dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle ist. Der Begriff „elliptische Funktion" hat seine historische Wurzel darin, dass die Berechnung von Ellipsenhogen auf solche Integrate filhrt.)

6. Das Abel'sche Theorem Wir woUen uns mit der Frage bescliaftigen, unter welchen Bedingungen eine elliptische Funktion zu vorgegebenen Pol- und NuUstellen existiert. Es ist niitzlich, zunachst den viel einfaclieren Fall der rationalen Funktionen /W = ^ ,

Q^O

(P,QPolynome),

zu behandeln. (Rationale Funktionen sind als meromorplie Funktionen /: C - ^ C auf der Zalilkugel aufzufassen, und jede meromorplie Funktion auf C ist eine rationale Funktion.) Die rationale Funktion f{z) = z-a

{a EC)

hat in z = a eine Nullstelle und in ^ = co einen Pol erster Ordnung. Da sich jede rationale Funktion in der Form , . ^

{z - a^y^ • • • {z - aj''r^

•^^ ^

{z-b,r^---{z-bj^r.

schreiben lasst, folgt aUgemein: Eine rationale Funktion hat auf C gleich viele Null- und Polstellen, wenn man jede so oft rechnet, wie ihre Vielfachheit angibt. Diese Bedingung ist auch hinreichend fiir die Existenz einer rationalen Funktion: Sei M c C eine endliche Menge von Punkten. Jedem a G M sei eine ganze Zahl i/^ zugeordnet. Es gelte

§6. Das Abel'sche Theorem

299

aeM

Die rationale Funktion

/(^) = n (^ aeM

hat in a G M eine Nullstelle bzw. Polstelle der Ordnung v^ (je nachdem ob v^ positiv oder negativ ist). Durch diesen Ansatz hat jedenfalls f{z) im Endhchen [z ^ cx)) das geforderte Pol- und NuUstellenverhalten. Die Gradbedingung

aeM

garantiert das richtige Verhalten auch m z = oo. Wir behandeln nun den Fall der elliptischen Funktionen. Wir wissen, dass eine elliptische Funktion gleichviele Pole wie NuUstellen hat (niit Vielfachheiten gerechnet). Aber diese Bedingung ist nicht hinreichend, well z. B. keine elliptische Funktion der Ordnung 1 existiert. Wir woUen eine elliptische Funktion / mit vorgegebenen NuUstellen t i l J ... J Q/jj und Polstellen b^,... ,b^ konstruieren. Dabei setzen wir (im Folgenden stillschweigend) voraus, dass kein a- mit einem b). modulo L aquivalent ist. Es ist hingegen zugelassen, dass Punkte a- (bzw. 6 ) mehrfach auftreten. Die Funktion / soil dann eine entsprechende mehrfache Nullstelle (bzw. Polstelle) haben. Im einzelnen ist also zu fordern f{z) = 0 f{z) = CX)

<=> <=>

z = a- m o d i fiir ein j , z = 6- m o d i fiir ein j .

Die Nullstellenordnung von / in a • ist gleich der Anzahl aller k mit ttf. = a- m o d i . Entsprechendes gelte fiir die Pole. 6.1 Abel'sches Theorem ( N . H . A B E L , 1826). Eine elliptische Funktion zu vorgegebenen NuUstellen a^,... ,a^ und Polstellen b^,... ,b^ existiert dann und nur dann, wenn m = n und die Abel'sche Relation + • • • + a^ = bi + • • • + b^ m o d

i

gilt. Beweis. Wir wissen bereits, dass m = n gelten muss (1.7). Wir zeigen zunachst, dass die Kongruenzbedingung notwendig ist, nehmen also die Existenz einer elliptischen Funktion mit dem angegebenen Verhalten an. Wir wahlen einen Punkt a G C, so dass die verschobene Grundmasche

Kapitel V. Elliptische Funktionen

300

den Nullpunkt nicht enthalt und auf ihrem Rand weder Pole noch NuUstellen von / liegen. Da die Kongruenzbedingung aus 6.1 sich nicht andert, wenn man die Punkte a• und 6- modulo L abandert, konnen wir Inneres von T„ annelimen. Wir betracliten nun das Integral 1

^

MdC

2ni J ^ /(C)

Der Integrand hat Pole erster Ordnung in den SteUen a^, Die Residuensumme ist offenbar (s. III.6.4)

j'^TC'

0^,...,6„

Wir miissen I E L zeigen. Dazu vergleichen wir die Integrale zweier gegeniiberliegender Seiten. Wir sind fertig, wenn wir a+cU]^

1 2^

a-\-0J2

+

/

ei

(entsprechend, wenn man uj-^ und UJ2 vertauscht) zeigen konnen. Es gilt allgemem

a+cu2

a+cU]^

a+cU]^+cu2

9(0 dC

9(0 dC

9{C + ^2)dC-

a-\-uj2

a+io-^^+iJ2

Im Spezialfall 9{z)

zfjz)

gilt g{z) -g{z

+ u)2) = - ^ 2

Daher erhalt man (bei analoger Rechnung fiir die beiden anderen Seiten)

27ri J a

m''^^2ni

J

/(C) ^^^

a

Da uji und UJ2 in L enthalten sind, lauft das ganze darauf hinaus,

§6. Das Abel'sche Theorem

301 a-\-io

1 f f'(C) 27ri y /(C) a

zu zeigen. Die Funktion f{z) hat nach Voraussetzung auf der Verbindungsstrecke zwischen a und a + w keinen Pol und keine NuUstelle. Daher existiert ein offenes Rechteck (insbesondere ein Elementargebiet), welches die Strecke enthalt und in welchem /(^) analytisch und ohne NuUstellen ist. In diesem Gebiet konnen wir f{z) = e''(") mit einer analytischen Funktion h schreiben (n.2.9). Diese ist eine Staninifunktion von / ' / / • Es gilt also

/'(C) ——— dC = h{a + w) - h{a). a

Wegen ghla+c) ^ j ( ^ + u) = f{a) = e''(°) konnen sich h{a + uj) und h{a) nur urn ein ganzzahhges Vielfaches von 27ri unterscheiden, was zu beweisen war. D Wir komnien nun zu deni (schwierigeren) Beweis der Umkehrung. Die Bedingung aus 6.1 sei erfiiUt. Wir konstruieren eine passende elliptische Funktion / . {Nebenbei. Die Funktion / ist bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestinimt, da der Quotient zweier elliptischer Funktionen mit demselben Nullund Polstellenverhalten nach dem ersten LiouviLLE'schen Satz konstant ist.) Die Konstruktion beruht auf folgendem 6.2 Hilfssatz. Funktion

Es existiert (zu gegebenem Gitter L c C) eine

analytische

0-: C — ^ C mit folgenden

Eigenschaften:

1) a{z + uj) = 6°'+''(7(2;), UJ & L. Dabei sind a,b gewisse komplexe Zahlen, welche von UJ abhdngen diirfen {a = a^, b = b^), nicht aber von z. 2) a hat eine NuUstelle ZQ erster Ordnung, und jede andere NuUstelle von a ist modulo L mit ZQ dquivalent. Da der Faktor 6"^+^ von 0 verschieden ist, sind mit ZQ auch alle aquivalenten Punkte ZQ + UJ NuUstellen erster Ordnung von a{z).

302

Kapitel V. Elliptische Funktionen

Wir zeigen nun, wie aus diesem Hilfssatz das AsEL'sche Theorem folgt, und geben danach zwei verschiedene Existenzbeweise fiir cr{z). Konstruktion

von f{z) mittels cr{z).

Wir konnen und woUen annehmen, dass «! + ••• + «« = ^1 + ••• + ^n (und nicht nur „= modL") gilt, indeni wir einen der Punkte — etwa a^ — durch einen modulo L aquivalenten ersetzen. Wir bilden dann die Funktion

f{z) - —

-

Diese Funktion hat wegen 6.2,2) das gewiinschte Pol- und NuUstellenverhalten. Sie ist aber auch elliptischl Denn wegen 6.2,1) gilt

Der rechts auftretende Faktor ist wegen der Voraussetzung a-^ + • • • + a^ = bi + • • • + b^ identisch Fins! D Erster Existenzbeweis fur a (nach

Weierstrafi).

Als Beispiel zum WEiERSTRASS'schen Produktsatz hatten wir schon eine gauze Funktion a konstruiert, die Nullstellen erster Ordnung genau in den Punkten von L hat. Wir wiederholen kurz die Konstruktion. Es ist naheliegend, ein WEiERSTRASSprodukt z aiz] = z II 11 le^-<^>

n1

anzusetzen. Da die Reihe

E

l

|-3

konvergiert, kann man die konvergenzerzeugenden Polynome P^{z) in der Form

mit einem festen Polynom P ansetzen. Dieses hat man so zu wahlen, dass die ersten drei TAYLORkoeffizienten von 1 _ (1 _ ,)en^-) verschwinden (dass die Taylorreihe also mit Cz"^ beginnt). Dann gilt namlich

§6. Das Abel'sche Theorem

303

l_(l_:i)e^.(-)

< Const. \uj\

wobei die Konstante unabhangig von z gewahlt werden kann, wenn z in einem Kompaktum variiert. Das unendliche Produkt konvergiert dann normal. Offenbar hat das Polynom

P{z) = z+^z' die gewiinschte Eigenschaft. Halten wir fest: Das unendliche Produkt a{z):=zl[{l-^)-e^p(^

+

^ )

konvergiert in C normal und stellt daher eine ganze ungerade Funktion a dar. Diese Funktion verschwindet in den Gitterpunkten in erster Ordung und hat aufierhalb von L keine Nullstellen. Als nachstes beweisen wir das Transformationsverhalten a{z + u) = e'''+^a{z)

{uj E L).

Da a{z) und a{z + uj) dieselben Nullstellen liaben, ist jedenfalls a{z + uj)/a{z) eine in ganz C analytisclie Funktion oline Nullstellen und daher von der Form QH'V jjiif^ einer ganzen Funktion h{z) (n.2.9): a{z + u)

=a{z)e''^'K

Unsere Behauptung lautet h" = 0. Eine einfache Rechnung zeigt a{z + uj)

a{z)

Die Behauptung lautet also

mit anderen Worten: — 1 ist eine elliptische a

Funktion.

Die „ logarithmische Ableitung" a'(z) a z

:„{logo a)'{zY

Kapitel V. Elliptische Funktionen

304 berechnet sich zu a'(z a z

1-J:

wei-{o}

1/uj l-zj. U!

1

z

U!

U!^

Nochmaliges Ableiten ergibt das Negative der WEiERSTRASS'schen p-Funktion!

Die (T-Funktion steht also in engem Zusammenhang mit der p-Funktion. Zweiter Existenzbeweis fur a. Zunachst muss das Gitter L prapariert werden. Wir setzen

und richten das Vorzeichen so ein, dass T in der oberen Halbebene liegt. Sei f{z) eine elliptische Funktion zum Gitter L. Dann ist g{z) = f{oJiz) eine elliptische Funktion zum Gitter Z + Z T und umgekehrt. Es ist daher keine Einschrankung der Allgemeinheit, wenn wir von vornherein T, I m r > 0,

1 und I

annehmen. Schliissel fiir die zweite Konstruktion ist die Thetareihe

welche wir zu festem T als Funktion von z betrachten. Wir stellen den Beweis ihrer normalen Konvergenz fiir einen Moment zuriick und leiten — Konvergenz vorausgesetzt — ihre Transformationseigenschaften ab. Es gih '&{T,Z + 1)

'd{T,Z+T)

'd{T,z) oo V^

(wegen e^'^™ = 1), 7ri{«^T+2«T+2«z)

n= — oo g-7rir

oo y^

g7ri[{«+l)V+2«z]

§6. Das Abel'sche Theorem

305

Da mit n auch n + 1 alle ganzen Zahlen durchlauft, erhalten wir ^ ( r , z + T)=e-^'(^+2-^'^(T,z).

Damit haben wir fiir die Erzeugenden w = w^ und w = Wg ^in Transformationsgesetz der Art bewiesen. Es folgt dann durch iterierte Anwendung fiir beliebige uj. Es lolint sich also, die Konvergenz zu untersuchen. Konvergenzbeweis.

Sei T = u + iv

(w > 0) und z = x + iy.

Dann gilt „7ri(n

T+2nz)

p — 7T{n v + 2ny)

Wenn z in einem vorgegebenen Kompaktum variiert (also y besclirankt bleibt), gilt n V + 2ny > —n v mit Ausnalime lioclistens endlicli vieler n . Die Reilie oo

'^

q" ,

q = e^^"" < 1.

konvergiert aber, denn die durch n > 0 und n < 0 definierten Teilreilien sind Teilreihen der geometrischen Reihe. Die normale Konvergenz ist damit bewiesen, ^{T, Z) ist eine ganze Funktion mit dem gewiinscliten Transformationsverlialten. Wir miissen nocli zeigen, dass •d{T, z) modulo L genau eine NuUstelle hat. Dazu betrachten wir eine verschobene Grundmasche J^^, auf deren Rand keine NuUstelle von •d{T,z) liegt, und zeigen 27ri J

^(T,C)

Da der Integrand die Periode 1 hat, heben sich die Integrale der linken und rechten Randkante gegenseitig auf. Um die Integrale iiber die obere und die untere Randkante zu vergleichen, beachten wir, dass fiir

^(") = ? ^

(=„(logo^)'(r,.)")

306

Kapitel V. Elliptische Funktionen

gilt: g{z + T) - g{z) =

-2m.

Hieraus folgt a+\

a+r

9(0 dC+

f

a+\

9(0 dC=

f [9{C)-9{C + T)]dC = 2TTi.

a+l+T

Wir erhalten

^ / . ( C ) r f C = i, wie behauptet.

D

Man kann die NuUstelle nebenbei bemerkt konkret angeben, denn es gilt offenbar

Die NuUstellen von -d sind also genau die mit (1 + T ) / 2 dquivalenten (modulo Z + TIT).

Punkte

Anmerkung. Wir liaben liier die Funktion -d bei festem Parameter T G H betraclitet. Variiert man jedocli das Gitter L^ := Z + ZT (vergl. §7), dann kann man •& als Funktion auf H x C auffassen. Mit den analytisclien Eigenscliaften dieser Funktion (speziell als Funktion von r ) werden wir uns in VL4 ausfiilirlicli bescliaftigen. Historische Notiz. Man kann die Tlieorie der elliptisclien Funktionen voUstandig auf der Tlietareilie •d{T, z) anstelle von p{z) aufbauen. Dies war der liistoriscli erste Zugang von A B E L (1827/28) und J A C O B I (ab 1828).

Ubungsaufgaben zu V.6 1. Seia-(z) =a{z;L) die WEiERSTRASS'scheCT-Funktionzum Gitter L = Zw^ + ZwjDie Funktion

C(.):=C(.;^):=^ heifit Weierstrafi'sche ^-Funktion zum Gitter L (niclit zu verwechseln mit der RiEMANN'schen ^-Funktion!). Es ist dann -C'(z) = p{z) die WEiERSTRASS'sche p-Funktion zum Gitter L. Wirnehmen Im( Wj/wj^) > 0 an. Man zeige: Mit ?7^ := (,{z-\-u)^)—C,{z)iuT v = 1,2 gilt die

Ubungsaufgaben zu §6

307

LEGENDRE'sche Relation 27ri.

ni^2 - % " ! Anleitung.

Man betrachte ein geeignetes nuUstellenzahlendes Integral.

2. Man kann die Existenz von ^ aucli anders erlialten: Durch Z

^-^

\Z-LJ

LJ

LJ^ J

wird eine (ungerade) Stammfunktion von p definiert. (Es ist S^{z) = —C,{z).) 3. Man beweise, dass die NuUstellen der Thetareihe d{T, z) genau in den zu ^ ^ L^ = Z + ZT aquivalenten Punkten liegen. 4. Fiir z,a e C - L gilt a{z + a)a{z — a) a(z)V(a)2

p{z) - p{a) und

r(2a) P'(a)

5. K o n s t r u k t i o n elliptischer F u n k t i o n e n mit v o r g e g e b e n e n H a u p t t e i l e n Sei / eine elliptische Funktion zum Gitter L. Wir wahlen ein Reprasentantensystem m o d L b^,... ,b^ der Pole von / und betrachten die Hauptteile von / in den Polen, li

a,,

^ \ z - b y ' Nach dem zweiten LiOUViLLE'schen Satz gilt dann n

Man zeige: a) Seien C j , . . . , c„ G C vorgegebene Zahlen und b^,... ,b^ mod L inaquivalente Punkte. Die mit Hilfe der WEiERSTRASS'sche ^-Funktion zum Gitter L gebildete Funktion

h{z)

E'A^ -b j = i

ist genau dann elliptisch, wenn N!]Si = 0 gilt. b) Seien b^,... ,b^ paarweise mod L inaquivalente komplexe Zahlen und l-^,... ,1^ vorgegebene natiirliche Zahlen. Sind a^, {^ < j < n, 1 < v < L) komplexe Zahlen mit X^fli , = 0 und O;, ^ 0 fiir alle j , dann gibt es eine elliptische

308

Kapitel V. Elliptische Funktionen Funktion zum Gitter L, deren Pole mod L gerade die Punkte 6 j , . . . , 6^ sind und deren Hauptteile durch

gegeben sind. 6. Sei L C C ein Gitter, 6^,63 G C niit b^ — b^ ^ L. Man gebe eine elliptische Funktion zum Gitter L an, die in 6j und 63 Pole hat und deren Hauptteile durch z — 6j

{z — 6j)^

und

z — b^

gegeben sind. 7. Wir interessieren uns fiir alternierende R-bilineare Abbildungen A: C X C —^R. Man zeige: a) Jede Abbildung A dieser Art ist von der Form A{z, w) = ft. Im (zw) mit einer eindeutig bestimmten reellen Zahl ft. Es gilt ft =

A{l,i).

b) Sei L C C ein Gitter. Man nennt A eine Riemann'sche Form auf L, falls ft positiv ist und falls A auf L x L nur ganzzahlige Werte annimmt. Ist L = Zwi + Zw2,

Im ^

> 0,

so wird durch A(ijWj^ + i2'^2J *i'^i + S2'^2) •=
eine RiEMANN'sche Form auf L definiert. c) Eine nichtkonstante analytische Funktion 0 : C —>• C heifit Thetafunktion Gitter L C C, falls sie einer Gleichung vom Typ

zum

e{z + w) = €''-'+'"-' -eiz) fiir alle z G C und alle to £ L geniigt. Dabei seien a^ und b^ Konstanten, die nur von L, aber nicht von z abhangen. Die WEIERSTRASS'sche c-Funktion zum Gitter L ist also eine Thetafunktion in diesem Sinne. Man zeige, dass eine Riemann'sche Form A auf L existiert, so dass A{u!,X) =—^{a

\ — uia^J fiir

W,AGL

ZTTl

gilt. Anleitung. Um die Ganzzahligkeit von A auf L x L zu beweisen, zeige man, dass A{ui,\) im Falle Im(A/c<;) > 0 gleich der Anzahl der Nullstellen von 0 im Parallelogramm P = P{uj,\) ist (vgl. Aufgabe 1).

= {sto + t\;

0<s,i
§7. Die elliptische Modulgruppe

309

Man kann allgeineiner RiEMANN'sche Formen zu Gittern L C C" betrachten. Darunter versteht man alternierende Bilinearformen, welche Realteile positiv definiter Hemiite'scher Formen sind und welche auf L x L nur ganzzahlige Werte annehmen. Im Gegensatz zum Fall n = 1 stellt im Falle n > 1 die Existenz von RiEMANN'schen Formen eine starke Einsclirankung an das Gitter dar. Wir werden liierauf im zweiten Band ausfiilirlicli zuriickkommen.

7. Die elliptische Modulgruppe In diesem Absclinitt wollen wir niclit ein festes Gitter betrachten, sondern die Mannigfaltigkeit aller Aquivalenzklassen von Gittern. Dabei niogen zwei Gitter LcC,

L'cC,

Equivalent heiBen (L ~ L'), wenn sie durch eine Drehstreckung auseinander hervorgehen, wenn es also eine komplexe Zahl a niit L' = aL

(a ^ 0)

gibt. Die elliptischen Funktionen beziiglich L und L' entsprechen sich dann unikehrbar eindeutig mittels der Zuordnungen /(^) '—>f{a'^z),

g{z)\—> g{az).

Aquivalente Gitter sind „ini wesenthchen" gleich. Jedes Gitter L' c C ist Equivalent zu eineni der Form L = Z + ZT,

T

e

H,

d. h. ImT > 0.

Wann sind zwei Gitter und L' = Z + ZT',

L = Z + ZT

T, T' G H ,

Equivalent? Nach Definition genau dann, wenn es eine komplexe Zahl a ^ 0 mit der Eigenschaft Z + Z T ' = a(Z + Z T ) gibt. Dann muss insbesondere T'

= a{aT + (i)

und

1 = a(7T + 5) mit ganzen a, /3, 7 und 5 gelten. Dividiert man die beiden Ausdriicke, so folgt

Kapitel V. Elliptische Funktionen

310

Der P u n k t T ' geht also aus r durch eine spezielle M o B i u s t r a n s f o r m a t i o n hervor. Bevor wir diese Analyse zu E n d e fiiliren, wollen wir ganz allgemein die Abbildungen Tl

y

—r, 7T + 0

ImT>0,

fiir reelle a, /?, 7 u n d 6 untersuclien. W i r nelimen an, dass 7 oder 6 von 0 verscliieden ist. D a n n ist 7T + (5 7^ 0. W i r bereclinen den Imaginarteil von T ' : Ini

ar + /3

ar + /3

ar + (i

7T + ^

^T + 5

^T + 5

1 {-jT + 5){aT + P) - [aT + I3){'^T + 5) 2i

i7T+^r

W i r bezeiclinen mit D = a 7

die D e t e r m i n a n t e der M a t r i x

aS-l3-f

P 5

u n d erhalten

7.1 H i l f s s a t z . Seien a, (i, 7 und 6 vier reelle Zahlen, so dass 7 oder 6 von 0 verschieden ist. Ist T ein Punkt in der oberen Halbebene, so gilt Ini

ar + P

D • IniT

7T + (5

hT + 6\

2 •

Fiir uns ist n u r der Fall von Interesse, dass aucli r ' in der oberen H a l b e b e n e liegt, dies b e d e u t e t a6 - f3j > 0. Bezeichnung. GL^(2,:

M

a 7

P 5

;

a , / ? , 7 , (5 G M, a ^ - / ? 7 > 0

Diese Menge von Matrizen ist eine G r u p p e , d. h. 1 a) ^ = (^ 0 b) Mit

0^ 1 j G GL42,

§7. Die elliptische Modulgruppe

311

ist auch das Matrizenprodukt

'aa' + pi

al3' + p5'

in GL^(2,K) enthalten. c) Mit M ist auch die inverse Matrix M i_

1

5

-p

det M V ~ 7

ct

in GL^(2,K) enthalten. Jedeni Element M G GL^(2,M) ist also eine analytische Abbildung der oberen Halbebene in sich zugeordnet. Dem Produkt zweier Matrizen entspricht hierbei die Hintereinanderausfiihrung der Abbildungen. Dies kann man leicht nachrechnen, wurde aber auch schon in Kapitel III im Anhang zu §5 bemerkt. Wir erhalten insbesondere, dass diese Selbstabbildungen der oberen Halbebene konform sind, die Umkehrabbildung wird durch die inverse Matrix geliefert. Fassen wir zusammen: 7.2 Satz. Sei M = ( " Die

J ) reell, a5 - ^j > 0.

Substitution Mr-'^^^^

JT + 5

definiert eine konforme Selbstabbildung der oberen Halbebene H. Es gilt

a) b)

Er = r, E=(^l ^^ M{NT) = {M • N)T,

M,N

eGL^{2,:

Die Umkehrabbildung ist durch die inverse Matrix a5 - /]^ \-J

a

gegeben. Zwei Matrizen definieren genau dann dieselbe Abbildung, falls sie sich um einen skalaren Faktor unterscheiden. Da die obere Halbebene H durch die Abbildung T—i

T+ i

312

Kapitel V. Elliptische Funktionen

auf den Einheitskreis konform abgebildet werden kann und da die konformen Selbstabbildungen des Einheitskreises bekannt sind (III.3.10), kann man leicht beweisen, dass jede konforme Selbstabbildung der oberen Halbebene von dem in 7.2 beschriebenen Typ ist (s. Aufgabe 6 aus V.7). Nach dieseni Exkurs iiber gebrochen lineare Substitutionen kehren wir zu unserem Aquivalenzproblem Z + ZT'

= a{Z

+ZT)

zuriick. Die Inklusion „ c " ist gleichbedeutend niit der Existenz einer ganzen Matrix M niit der Eigenschaft

; > - ( ; ) ^ Die umgekehrte Inklusion ist Equivalent niit der Existenz einer ganzen Matrix N niit

also

Da T und 1 iiber M linear unabliangig sind, folgt NM = E, also insbesondere d e t A ^ - d e t M = 1. Da die beiden Deterniinanten ganze Zahlen sind, folgt detM = ±1, Nach Hilfssatz 7.1 ist die Determinante positiv. Es folgt dann sogar detM = +1. 7.3 Definition. Die elliptische r = SL(2,Z) : = { M = ( "

Modulgruppe ^ j ;

a,/],-f,S

ganz, aS - ^j = 1}

besteht aus alien ganzen 2 x 2-Matrizen der Determinante dass r eine Gruppe ist, folgt aus der Forniel "7

a

1.

§7. Die elliptische Modulgruppe

313

Wir haben gezeigt: Wenn die Gitter TL ^ TLT und Z + Z T ' ( I m r , I m r ' > 0) Equivalent sind, so existiert eine Matrix

Mar,

T'

=

MT.

Umgekehrt folgt hieraus die Aquivalenz der beiden Gitter: Man schreibe die Beziehung ,

ar + /3 JT + 6

in der Form

Halten wir fest: 7.4 Satz. Zwei Gitter der Form IJ + TIT und 'L + 'LT' mit I m r > 0 und I m r ' > 0 sind dann und nur dann dquivalent, wenn eine Matrix M a F mit der Eigenschaft T' = MT existiert. Wir nennen zwei Punkte r und T' der oberen Halbebene dquivalent, wenn es eine Substitution M a F gibt, welche T in r ' iiberfiihrt ( T ' = Mr). Es ist klar, dass hierdurch eine Aquivalenzrelation definiert wird. Bezeichnungen. H [r] H^

= = =

{ T G C ; ImT>0} { MT; M e F} { [T];

Te H }

(obere Halbebene) , (Bahn eines Punktes T G H bei dieser Aquivalenzrelation), (Gesanitlieit aller Balinen).

Wir haben gezeigt, dass die Aquivalenzklassen von Cittern i C C umkehrbar eindeutig den Punkten von M/F entsprechen. Bedeutung der Mannigfaltigkeit

M/F.

Es ist unser Ziel zu zeigen, dass zu jedem Paar komplexer Zalilen (52,53),

gl-27gl^0,

ein Gitter i c C mit der Eigenscliaft 92 =92{L) , existiert.

93 =93{L)

314

Kapitel V. Elliptische Funktionen

Die GroBen g2{L),g^{L) andern sich, wenn man L durch ein aquivalentes Gitter ersetzt, und zwar gilt allgemein fiir a E C G,iaL)=a-'G,iL), insbesondere also 52(ai) = a-^g^iL)

und g^{aL) =

a-^g^{L).

Wir liatten gerne einen Ausdruck, welclier nur von der Aquivalenzklasse eines Gitters abliangt. Wir fiiliren die folgenden Bezeichnungen

ein:

1) A := gl — 27gl

nennt man

2)

lieiBt absolute Invariante (nacli F.

j := -^—-—TT

Diskriminante, KLEIN,

1879).

Es gilt A{aL) =

a-''A{L

und dalier JiaL)=j{L)

(aeC).

Wir nelimen einmal an, es sei bereits bewiesen, dass zu jeder komplexen Zalil j G C ein Gitter i C C mit J{L) = j existiert. Wir zeigen, dass man dann ein Gitter zu vorgegebenem {g2,gs) mit A ^ 0 konstruieren kann: Zunaclist existiert nacli Voraussetzung ein Gitter L mit ^•(^) =

W ^ s '

Da jede komplexe Zalil eine 12te Wurzel besitzt, linden wir eine Zahl a G C mit der Eigenschaft A{aL) = a-^^A{L)

= A = gl - 27g|.

Da sich j nicht andert, folgt g^iaLf

=gl

und gl{aL) = gl.

Ersetzt man L durcli i i , so andert sich g2{L) nicht (i^ = 1), aber 53(i) andert sein Vorzeichen. Wir konnen also \3

3

92{L) =92

und g^{L) = g^

§7. Die elliptische Modulgruppe

315

annehmen. Multipliziert man L mit einer 6ten Einheitswurzel {C,^ = 1), so andert sich g^{L) nicht mehr, aber

52(Ci) = r % ( i ) Wenn ( alle 6ten Einheitswurzeln durchlauft (e^^^"^^, 0 < i^ < 5), so durchlauft ("^^ offensichtlich die drei dritten Einheitswurzeln. Nach geeigneter Wahl von C gilt dalier 52(Ci) = 92 (und g^iCL) = g^). Unser Problem ist also — wie beliauptet — auf die Frage zuriickgefiihrt, ob jede komplexe Zalil die absolute Invariante eines Gitters ist. Wir wollen diese Frage funktionentlieoretisch angreifen und fassen dalier die EiSENSTEiNreihen, die Diskriminante und die absolute Invariante als Funktionen auf der oberen Halbebene auf. Wir definieren also fiir r G H:

und analog

92{r),

gA-r),

^M,

J{T).

Dies sind Funktionen auf der oberen Halbebene. Die Invarianzaussage j{L) = j{aL) ist Equivalent mit der Invarianz von J{T) unter der Modulgruppe

Im naclisten Paragraplien werden wir mit funktionentheoretischen Mitteln unter wesentliclier Ausnutzung der obigen Invarianzbedingung zeigen, dass die j-Funktion i : H —yC surjektiv ist. Wir besclilieBen diesen Absclinitt, indem wir die expliziten Formeln fiir G^ als Funktionen von T angeben:

+ d)--k

G,(r) = {c,d)eZxZ

und liieraus abgeleitet

[k >4)

Kapitel V. Elliptische Funktionen

316

92(^) ==

60G^{T),

93(^) =-- 140^6 (^),

--gl{T)-27gl{r),

A{T)--

j{r) --

glir)

- A{r) •

Ubungsaufgaben zu V . 7 1. Die elliptische Modulgruppe F = SL(2, Z) wird von den beiden Matrizen

S:=('

-l]

1 0

undT:

1 1

erzeugt (vgl. VI. 1.9). Anleitung. Man betrachte die von den beiden Matrizen S und T erzeugte Untergruppe Fg und zeige, dass eine Matrix M G SL(2, Z) in FQ enthalten ist, wenn einer ilirer vier Eintrage 0 ist. Danach schliefie man indirekt und betracli, I G -T, welche nicht in F^ enthalten ist und so

te eine Matrix M

dass n = min{|a| , |6| , \c\ , |d|} minimal ist. Durch Multiplikation dieser Matrix von rechts oder von links mit einer Matrix aus FQ lasst sich die positive Zahl jj, verkleinern. 2. Man stelle die Matrix M

11

9 G -T in der Form 25^

M = SF"^ SF"^ ... SF"", mit 5* :

0

1

-1

oy

undT:

1

1

\^o 1

9, G Z, 1 < i/ < n,

dar. Ist eine solche Darstellung eindeutig?

3. Bestimme alle Matrizen M £ F, die a) mit S vertauschbar sind, d.h. fiir die MS = SM gilt b) mit SF

'O 1

-1 1

vertauschbar sind.

4. Man bestimme die kleinste natiirliche Zahl n mit

[SFf

E:

1 ^0

O' 1

5. Man zeige: a) Im Gitter L; = Z + Zi gilt ^3(1) = 0 und g^i'i) G R", speziell A{i) = g§(i) > 0.

§8. Die Modulfunktion j

317

b) Fiir das Gitter L^ = Z + Zto, to := e^'''/^ gilt g^iuj) = 0 und ^3(0;) G R ' , speziell A{u!) = —27g^(uj). 6. Jede konforme Selbstabbildung der oberen Halbebene ist von der Gestalt

Man kann sogar erreichen, dass die Determinante ad—be gleich 1 ist. Die Matrix ist dann bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt, d.h. Aut(EI) = SL(2, ]R)/{±_E}. Anleitung. Man benutze, dass man die konformen Selbstabildungen von E kennt (III.3.10) und die Tatsache, dass die obere Halbebene und der Einheitskreis konforni aquivalent sind. Da bereits die Gruppe aller affinen Transformationen T !->• a r + 6, a > 0, 6 reell, auf der oberen Halbebene transitiv operiert, geniigt es, den Stabilisator eines Punktes zu bestimmen. Es geniigt beispielsweise zu zeigen, dass sich jede konforme Selbstabbildung der oberen Halbebene, welche den Punkt i festlasst, durch eine spezielle orthogonale Matrix a c

b\ _ I cos ip — sin ip dJ \ sin (fi cos ip

darstellen lasst.

8. Die Modulfunktion j W i r wissen, dass die sogenannte

Eisensteinreihe

fiir A; > 3 absolut konvergiert. Der Stricli a m Summenzeichen deute an, dass iiber alle P a a r e (c, d) ^ (0,0) ganzer Zahlen summiert wird. Aus der Theorie der p - F u n k t i o n wissen wir, dass die Diskriminante

A{r)=gl{r)-27glir) (52 = 6 0 ^ 4 ,

g, =

UOG,)

in der oberen Halbebene keine NuUstelle h a t . AuBer dieser Tatsache woUen wir ini Folgenden von der Theorie der ehiptischen F u n k t i o n e n nichts m e h r benutzen. W i r zeigen nun, dass die Gf, analytische 8.1 H i l f s s a t z . Seien C,6 > 0 reelle Zahlen. mit der Eigenschaft

Funktionen Es existiert

\cT + d\ > e |ci + rf| = e v c^ + d^ fiir alle T G H

mit

in H sind. eine reelle Zahl s > 0

318

Kapitel V. Elliptische Funktionen |ReT|
ImT>S

und alle {c,d) e K X K.

Beweis. Fiir {c,d) = (0,0) ist die Behauptung trivial (und uninteressant). Wir konnen daher (c, d) ^ (0,0) annehmen. Da sich die behauptete Ungleichung nicht andert, wenn man (c, d) durch {tc, td) ersetzt, konnen wir sogar c^ +d^ = 1 annehmen. Die Ungleichung lautet dann \cT + d\>£

(c^+rf^ = l).

Es gilt \cT + d\

= (c(Re T) + df

+ (c ImT)''

und daher \cT + d\>\cT

+ d\]

T = ReT + i(5.

Die Funktion / ( c , d, u) = \c{u + i5) + d\ ist positiv und nimmt auf dem durch c2 + rf2 = 1 , \u\< C, definierten Kompaktum im M ein positives Minimum e an.

D

Aus Hilfssatz 2.1 folgt nun, dass die EiSENSTEiNreihe in den angegebenen Bereichen gleichmaBig konvergiert. Sie stellt insbesondere eine analytische Funktion dar. 8.2 S a t z . Die Eisensteinreihe

vom „Gewicht" k >3

G,{T)=Y^{cT+d)-^ definiert eine analytische Funktion auf der oberen Halbebene. Insbesondere sind die Funktionen 52(T)=60G4(T),

A{r) = g,{rf

- 27g,{rf,

53 (T) = 140^6 ( T ) ,

j{r) =

gl{r)/A{r)

analytisch in H. Als nachstes bestimmen wir das Transformationsverhalten von Gf. unter der elliptischen Modulgruppe. An sich folgt dies aus „Gj.{aL) = a^^Gj.{LY\ aber wir woUen ja von elliptischen Funktionen keinen Gebrauch mehr machen.

§8. Die Modulfunktion j

319

8.3 Bemerkung. Es gilt

0.[",^)-i.r.SrO,ir, M JT + 6

a P 7

5

er.

Beweis. Eine einfache Rechnung zeigt c

aT +13 , +a ^T + 5

d' ^T + 5

C'T +

mit c' = ac + 76? ,

d' = I3c + 6d.

D

Mit (c, d) durchlauft auch {c',d') alle von (0,0) verschiedenen Paare ganzer Zahlen. Dies sieht man am besten in der Matrixschreibweise a

7W c

-P

a \d'

Die EiSENSTEiNreihen sind insbesondere periodisch GJT

+ 1) =

1 1 T = T+ 1 0 1

GJT)

Sie verschwinden, wie wir schon bemerkt haben, fiir ungerades k: Die Substitution (c,rf) -)• {-c,-d) zeigt G^{T) = ( - 1 ) ^ G ; . ( T ) . 8.4 Bemerkung. Es gilt fiir gerade k > 4

G,(T)=2C(A:) = 2 f ] : .-k

lim inir—7-00

^—'

n=l

Beweis. Wegen der Periodizitat von Gj.{z) ist es ausreichend, den Grenziibergang in dem Bereich iRerl < - ,

I m r > 1,

zu voUziehen. Da in diesem Bereich die EiSENSTEiNreihe gleichmai^ig konvergiert (8.1), kann man den Grenziibergang gliedweise voUziehen. Oifensichthch ist hm {cT + dy = 0 fiir c 7^ 0. Im

r—>OD

Es folgt Imr—^cx:

^—'

d#0

^—' d=l

D

Kapitel V. Elliptische Funktionen

320

Fiir die Diskriminante A{T) erhalt man aus 8.4 lim Im T

A{T) = [60 • 2C(4)]3 - 27 • [140 • 2C(6)]2. I-oo

Die Werte der ("-Funktion in den geraden natiirlichen Zahlen haben wir berechnet (III.7.14). Es gilt ^4

TT

c(4) = E^

90

«=1

c c i J«-= E " - - ^945^ i Hieraus folgt 8.5 Hilfssatz. Es gilt

lim

A{T)

= 0.

Ini r —> oo

Aus den bislierigen Resultaten iiber die EiSENSTEiNreilien erhalt man 8.6 Satz. Die j-Funktion ist eine analytische Funktion in der oberen Halbebene. Sie ist invariant unter der elliptischen Modulgruppe:

ar + (i J

J{T)

^T + 5

fur

a P 7

5

er.

Es gilt lim Im r

| J ( T ) | = OO. >-oo

AUein aus den in 8.6 formulierten Eigenscliaften werden wir auf die Surjektivitdt von j : H —)• C scliliefien. Man soUte sicli vor Augen lialten, dass niclitkonstante elliptische Funktionen / : C —)• C, also unter einem Gitter i C C invariante meromorphe Funktionen, ebenfaUs surjektiv sind. Die Theorie der Modulfunktionen (unter F invariante Funktionen auf der oberen Halbebene) ist jedoch in zweierlei Hinsicht komplizierter: 1) Die Gruppe F = SL(2, Z) ist nicht

kommutativ.

2) Es gibt keinen kompakten Bereich if c H, so dass jeder Punkt aus H durch eine Modulsubstitution in K transformiert werden kann (sonst ware J{T) konstant, wie der Beweis des 1. LiouviLLE'schen Satzes zeigt).

§8. Die Modulfunktion j

321

Wir konstruieren nun ein Analogon zur Grundmasche eines Gitters. 8.7 Satz. Zu jedem Punkt T der oberen Halbebene existiert eine Modulsubstitution M ^ r, so dass Mr in der „Modulfigur" (auch Fundamentalbereich der Modulgruppe genannt) J- = { T e H;

|T| > 1, iRerl < 1/2 }

enthalten ist. Zusatz. Man kann sogar erreichen, dass M in der von den beiden Matrizen 1 0

T

1 1

0 1

S

-1 0

erzeugten Untergruppe enthalten ist. (Wir werden spater sehen, dass die voile Modulgruppe von diesen beiden speziellen Matrizen erzeugt wird, vergl. VI.1.9 und Aufgabe 1 aus V.7.) Im,

I

1

i

2lli

2lli

e 3^,

//

//

1 1 1

-1

1 1

:

-

1

Re

Beweis. Wir erinnern an die Formel Ini' Im

MT

•-

\cT + d\ Wenn (c, d) irgendeine Folge von Paaren ganzer Zalilen durclilauft, wobei kein Paar doppelt auftreten soil, so gilt \CT + d\

> 00.

Es existiert also eine Matrix MQ G -T = SL(2, Z), so dass Im MgT > Im M r fiir alle M E T gilt. Wir setzen To =

M^T.

322

Kapitel V. Elliptische Funktionen

Da sich der Imaginarteil von TQ nicht andert, wenn man TQ durch 1 0

To + n

n I'^o

( n e Z)

ersetzt, konnen wir I

01-2

annehnien. Wir nutzen die Ungleichung Im MQT > Ini

MT

speziell fiir 0

M

-r ) - M o

aus und erhalten Im Tg > Im

0 1

-I)

_ IniTg

Tol

Hieraus folgt

^ol >

1-

Wenn man den Beweis analysiert, so sieht man, dass man die Gruppe SL(2, Z) durch die von T und S erzeugte Untergruppe ersetzen kann. D Wir beweisen nun die Surjektivitat der j-Funktion. 8.8 Theorem. Die j-Funktion

nimmt jeden Wert aus C an.

8.9 Folgerung. Zu je zwei komplexen Zahlen §2 und g^ mit gf — 27gl ^ 0 existiert ein Gitter i C C mit der Eigenschaft

Beweis vom 8.8. Nach dem Satz iiber die Gebietstreue ist i(IHI) ein offener Teil von C Wir werden zeigen, dass i(IHI) auch abgeschlossen in C ist. Hieraus folgt dann j{M) = C, da C zusammenhangend ist. Wir wahlen eine Folge von Punkten aus i(IHI), welche gegen einen Punkt b konvergiert, J ( T „ ) —)• b fiir

n —)• cx).

Wir konnen und wollen annehmen, dass alle T„ im Fundamentalbereich !F enthalten sind. 1. Fall: Es existiert eine Konstante C > 0, so dass Im T„ < C fiir alle n

Ubungsaufgaben zu §8

323

gilt. Die P u n k t m e n g e {TGJ";

ImT
ist offenbar k o m p a k t . Nach U b e r g a n g zu einer Teilfolge kann m a n a n n e h m e n , dass (TJJ) konvergiert T„ - ^ T G JP C H . Aus der Stetigkeit von j folgt 6 = i(T)Gi(H). 2. Fall: Es existiert eine Teilfolge von ( T „ ) , deren Imaginarteile nach cx) konvergieren. Die j - W e r t e dieser Teilfolge sind unbesclirankt! Dalier kann {J{T^)) niclit konvergieren. Dieser Fall kann also gar niclit eintreten. Es gilt dalier b E i ( H ) .

D

W i r werden im naclisten Kapitel sogar zeigen, dass die j - F u n k t i o n eine bijektive A b b i l d u n g liefert.

Ubungsaufgaben zu V.8 1.

Man bestimme einen Punkt T £ T, der mod F aquivalent ist zu | | ^ G H b:zw. ^ + ^ieH.

2.

Die Surjektivitat von j : H —> C wurde im Text folgendermafien begriindet: a) i(IHI) ist nach dem Satz von der Gebietstreue often und nicht leer. b) i(IHI) ist abgeschlossen (in C). Daraus folgt, dass j(M) = C ist, denn C ist zusammenhangend. Man fiihre die Details aus.

3.

Die EiSENSTEiNreihen sind „reeUe" Funktionen, Gf,{T) = G^.{—T).

Hieraus folgt

Auf den Vertikalgeraden Re T = ± i sind die EiSENSTEiNreihen und die j-Funktion reell. Fiegt T auf der Einheitskreislinie, \T\ = 1, so gilt J{T) = jir). Insbesondere ist die j-Funktion reell auf dem Rand der Modulfigur und auf der imaginaren Achse. 4.

Bei der folgenden Aufgabe darf benutzt werden, dass die FouRiERentwicklung der Diskriminante die Form

324

Kapitel V. Elliptische Funktionen A{T) = a-^q + a^q'^-\

,

a^ ^ 0

(g = e^"'^),

hat (VI.2.8). Man zeige, dass es zu jeder reellen Zahl j einen Punkt T auf dem Rand des Fundamentalbereichs oder der imaginaren Achse gibt, so dass J{T) = j gilt. Anleitung. Man untersuche die Grenzwerte von J{T), wenn der Imaginarteil von r auf den beiden Vertikalgeraden Re r = —1/2 bzw. Re r = 0 nach unendlich strebt.

5. Es gilt i ( e ¥ ) = 0,

i(i) = l.

6. Man beweise den Zusatz von 8.7 im Detail: Zu jedem r G H gibt es ein M aus der von

erzeugten Untergruppe von SL(2, Z) mit MT

eT.

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

III! Zusainmenhang init der Frage, welche koinplexen Zahlen als absolute Invariante eines Gitters vorkoininen, sind wir auf einen neuen Typ analytischer Funktionen gestofien: Es handelt sich hierbei um auf der oberen Halbebene analytische Funktionen, welche unter elliptischen Modulsuhstitutionen ein gewisses Transformationsverhalten liaben, nanilicli

Funktionen niit dieseni Transforniationsverhalten nennt man Modulformen. Wir werden sehen, dass die elliptische Modulgruppe von den beiden Substitutionen z I—> z + 1 und z I—> z erzeugt wird. Es geniigt daher, das Transforniationsverhalten unter diesen beiden Substitutionen nachzupriifen. Man kann dies als eine Analogic zuni Transforniationsverhalten elliptischer Funktionen ansehen, welche ja unter zwei Translationen invariant sind. Ini Gegensatz zu eineni Translationsgitter ist jedoch die elliptische Modulgruppe nicht kommutativ. Die Theorie der Modulformen ist deshalb schwieriger als die der elliptischen Funktionen. Bereits bei der Konstruktion des Fundamentalbereichs der Modulgruppe — eines Analogous zur Grundmasche eines Gitters — war dies zu sehen. In §2 werden wir zunachst ein Pendant zu den Satzen von LlOUVILLE beweisen, die sogenannte fc/12-Formel. Sic gibt Auskunft iiber die Anzahl der Nullstellen einer ganzen Modulform. Ini Zusainmenhang hiermit beweisen wir einige Struktursatze, die zunachst darin gipfeln, dass der Ring aller Modulformen von den EiSENSTEiNreihen G4 und Gg erzeugt wird. Der Korper der Modulfunktionen dagegen wird von der j-Funktion erzeugt. In §4 lernen wir dann Thetareihen als neues Konstruktionsmittel fiir Modulformen kennen. Dank des Struktursatzes werden wir nichttriviale Identitaten zwischen analytischen Funktionen erhalten. Diese Identitaten haben interessante zahlentheoretische Anwendungen, welche wir in Kapitel VII welter verfolgen werden. Thetareihen sind i. a. keine Modulformen zur voUen Modulgruppe, sondern lediglich zu Untergruppen von endlichem Index. Wir werden so dazu gefiihrt, den Begriff der Modulform zu verallgemeinern. In §5 wird der Begriff der Modulform zu Untergruppen der Modulgruppe auch halhganzen Gewichts prazisiert und in §6 studieren

326

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

wir ein dann konkretes Beispiel dazu. Der voile Ring der Modulformen fiir iGUSA's Kongruenzgruppe r[4:, 8] wird bestimmt. Dieser Ring wird von den drei jACOBl'sclien Thetareilien erzeugt.

1. Die Modulgruppe und ihr Fundamentalbereich Wir erinnern daran, dass die elliptische Modulgruppe F = SL(2, Z) auf der oberen Halbebene operiert: r x H —^H, /,, N ,, az + b (M,z) I—> Mz := -—. ^ ' •' cz + d Zwei Matrizen M und A^ definieren genau dann dieselbe Substitution, d. li. Mz = Nz

fiir alle z

eU,

wenn sie sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden, M = ±N. In V.8 haben wir die „ Modulfigur" 7":= { z G H;

|Re^| < - , |^| > 1 }

eingefiihrt und

H = IJ MjP Mer bewiesen. Wir woUen in diesem Abschnitt mehr beweisen, namlich, dass diese „Pflasterung" der oberen Halbebene „iiberlappungsfrei" ist, d. li. fiir M, N E F, M 7^ iN, haben MJF und N!F keine inneren Punkte gemeinsam, sondern liochstens Randpunkte. Dazu miissen wir alle M E F niit der Eigenscliaft MJF r\J-^$ dass dies nur endlich viele sind, folgt aus dem 1.2 Hilfssatz. Sei ^ > 0 und, :F{S) := { z e H;

|X| <S-\

y>s}.

Es existieren nur endlich viele M E F mit der Eigenschaft MT{5) n T{5) ^ 0.

bestimmen.

§1. Die Modulgruppe und ihr Fundamentalbereich 1.2-^ Folgerung. Zu je zwei Kompakta K,K cM M e r mit M{K) n A" 7^ 0, (denn es gilt K Li K c ^(S),

327 existieren nur endlich vide

S geeignet).

1.22 Folgerung. Sei p G H und K tin Kompaktum in H. Es existieren nur endlich viele Elemente MET mit Mpe K. Insbesondere ist die Punktmenge {Mp; M e F}, also die Bahn von p unter F, diskret in H. 1.23 Folgerung. Der

Stabilisator Fp={MeF;

Mp = p]

ist fiir jeden Punkt p G H erne endliche Gruppe. Beweis von Hilfssatz 1.2. Wenn c = 0 ist, so ist z ^ Mz eine Translation. Da aber die Realteile von z und Mz beschrankt sind, gibt es nur endlich viele solclier Translationen. Wir konnen also c 7^ 0 annelimen. Seien y

y = lv(iz >5 und

j = Ini(Mz) > 5. \cz + d\

Dann gilt y > S{cx + df + dc^y^ > dc^y'^ und dalier

Hieraus folgt zunaclist, dass nur endlich viele ganze c, und danach, dass auch nur endlich viele ganze d diese Ungleichung erfiillen konnen. Die in 1.2 forniulierte Bedingung wird mit M auch von M^^ erfiiUt. Es folgt, dass a, c und d in einer endlichen Menge variieren. Die Determinantenbedingung ad — bc= 1 zeigt, dass auch b (und dann M) einer endlichen Menge angehoren muss. D

Als nachstes wollen wir alle Matrizen M £ F bestimmen, welche die rechte untere Ecke Q von !F, g := e^'/^ = ^ + ^ ^ , festlassen. Es gilt g^ = —'g = g — I und g^ = —1.

328

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

1.3 Hilfssatz. Es gibt genau sechs Matrizen M e r

mit

MQ

= Q,

= Q,

MQ^

ndmlich

Folgerung. Die Gleichungen MQ

= Q^,

MQ^

= Q^,

haben auch jeweils sechs Losungen in F, ndmlich

2)

{MQ' = Q):

±(_{

3)

{MQ' = Q'):

±(J

0 1

n 1 i\ 1 0 : i , ± ( : : i , ± o i ' l o i / ' l i 1

J0 )\ , ±, (/ O1

- 1 \

1j '

, /-1

-1

I

0

Die Folgerung ergibt sich, indem man 2 fO ^? = 1

-1 0'^

beachtet. Hieraus folgt beispielsweise 2

MQ=g' Beweis von 7.5. Sei M = ( " '^e + b

/ 0 ^^ (

1

^\Mg

= Q.

J J e r . Aus der Gleichung

, , , 2 , , = Q Oder aQ + 0 = CQ + dg

CQ + a folgt mittels Q^ = —'Q = g — I ag + b = —eg + dg = eg — c + dg, a = c + d, b = —c, also

M=('^-[ ^ \ —0 d Die Determinantenbedingung ergibt b^ -bd + d^ = 1.

1

§1. Die Modulgruppe und ihr Fundamentalbereich

329

Die einzigen ganzzahligen Losungen dieser Gleichung sind ( 6 , r f ) = ± ( 0 , l ) , ±(1,0), ±(1,1).

D

Nach dieser Vorbereitung konnen wir nun die an T angrenzenden transformierten Bereiche bestimmen: 1.4 Satz. Sei M E F eine Modulmatrix mit der Eigenschaft R{M) •=MTV\T

i-%.

Dann liegt einer der folgenden Falle vor: I. 11.

M = ±E

(R{M) = T).

1)

M = ± 1> 0

2)

M = ± I

j

(R{M) ist die linke Vertikalkante von T).

M = ± I

j

(R{M) ist der Kreisbogen von T).

III.

; ) 1

inm

.St ,l,e r^Me VeH.mkar,,.e ,,on

n

IV. In den restlichen Fallen besteht R{M) aus einem einzigen Punkt, und zwar ist dieser Punkt ^= 2+ 2 ^

'^^^^ e^ = -e = Q-'^ = -^

+ 2^-

Es gibt vier Fdlle, ndmlich

3)

MQ^

=

Q"

% Z^^

}

(«<*^)=(-i)'

Die Liste der betreffenden Matrizen findet sich in Hilfssatz 1.3 und seiner Folgerung. Beweis. Wir konnen wieder annehmen, dass der linke untere Eintrag c von M von 0 verschieden ist. Ist z ein Punkt aus deni Fundamentalbereich, so gilt offenbar |c^ ± rf| > 1 fiir alle zweiten Zeilen von Modulniatrizen (sogar fiir alle von (0,0) verscliiedener Paare ganzer Zalilen). Wenn auch Mz in JF entlialten ist, so gilt | — cMz + a\ > 1. Dies bedeutet jcz ± d| < 1. Wenn also z und Mz beide in JF entlialten sind, so folgt \cz + d\ = 1 fiir dieses M. Aus {ex + d)^ + c^y^ = 1 in Verbindung mit der in JF giiltigen Ungleicliung y > 2 folgt, dass c und d nur die Werte 0 und ± 1 annehmen konnen. Da man M durch M^^ ersetzten kann, nimmt auch a nur diese Werte an. Dasselbe gilt

Kapitel VI. Elliptische Modulfomien

330

fiir b, wie man aus der Determinantenbedingung ableitet. Schreibt man alle Modulmatrizen mit Eintragen 0 und ± 1 nieder, so sieht man, dass alle diese Matrizen in der in 1.4 angegebenen Liste vorkommen. D Wir geben einige offensiclitliche Folgerungen aus Satz 1.4 an.

1.4]^ Folgerung. Zwei verschiedene Punkte a und b aus T sind genau dann dquivalent (modulo F), falls sie auf dem Rand von T liegen und falls

gilt, d. h. es gibt zwei Fdlle: 1)

a)

Re a

- - und b = a + 1,

b)

1 R e a = + - und b = a — l

(a und b liegen sich auf den beiden Vertikalkanten von T gegeniiber). 2)

\a\ = |6| = 1 und b = —a (a und b liegen sich einander gegeniiber auf der Kreislinie von J^).

1.42 Folgerung. Seien M und N mit M ^ ±A^ zwei Elemente aus F. Die Bereiche MJ^ und N!F haben hochstens Randpunkte gemeinsam. Insbesondere sind innere Punkte von T indquivalent. Ein Bereicli NJ^ lieiBt Nachbarbereich von ]\/FF {M und N beide in F), falls sie voneinander verscliieden sind (d. h. M ^ ±N) und MJ^ n NJ^ ^ 0 ist. Es ist niitzlicli, sich die Gestalt der Naclibarbereiclie von !F vor Augen zu fiiliren.

§1. Die Modulgruppe und ihr Fundamentalbereich

331

1.43 Definition. Ein Punkt p G H heifit elliptischer SL(2, Z), falls der Stabilisator

r^={M

EF;

Fixpunkt von F

Mp = p]

ein Element 7^ ±E enthdlt. Die Ordnung des Fixpunkts ist

e = e{p) = l#F^. Der Faktor 1/2 wird angebracht, well M und —M dieselbe Abbildung bewirken, e ist insbesondere eine natiirliclie ZaliL Sei p G H und M ^ F. Der Stabilisator des Punktes Mp entstelit aus dem Stabilisator von p offenbar durcli Konjugation mit M, Fj^^ =

MF^M-K

Aus der in 1.4 angegebenen Tabelle liest man unmittelbar ab: 1.44 Folgerung. Es gibt genau zwei F-Aquivalenzklassen elliptischer Fixpunkte. Sie werden reprdsentiert durch die beiden Fixpunkte i (e{i) = 2) und g (e{g) = 3). Es gibt insbesondere nur elliptische Fixpunkte der Ordnung 2 und 3. Man kann sicli allgemein fragen, wann eine Matrix M E SL(2, M) einen Fixpunkt in H hat. 1.5 Bemerkung. Eine Matrix M G SL(2,M), M ^ ±E, hat dann und nur dann einen Fixpunkt in H, falls \a{M)\ < 2

Spur)

332

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

gilt, und dieser ist gegebenenfalls eindeutig bestimmt. Man nennt eine Matrix M e SL(2, M) mit dieser Eigenschaft auch elliptisch. Beweis. Die Fixpunktgleichung Mz = z bedeutet cz"^ + {d — a)z — 6 = 0. Diese quadratische Gleichung hat im Fall c 7^ 0 die Losungen

^ ~

a — d± ^J{a — dY + 46c 2c ~

a — d± ^J{a + d)^ — A{ad — he) 2c •

Im Falle (a + d)^ > 4 sind ilire Losungen reell. Im Fall (a + d)^ < 4 liegt genau eine in der oberen Halbebene, die andere ist dazu konjugiert komplex und liegt dalier in der unteren Halbebene. D 1.6 Bemerkung. Sei M G SL(2, M) erne Matrix endlicher Ordnung, d. h. M^ = E fur geeignetes /i G N. Dann hat M einen Eixpunkt in H. Beweis. Zu jeder 2 x 2-Matrix M existiert eine invertierbare komplexe 2 x 2 Matrix Q mit der Eigenschaft QMQ^^

= i r.

j]

(JoRDAN'sche Normalform),

wobei a = d gilt, falls b von 0 verschieden ist. Wenn M endliche Ordnung hat, so sind a und d Einheitswurzeln (aufierdem ist 6 = 0). Aus der Determinantenbedingung folgt d = a^^ = a. Fiir eine Einheitswurzel a ^ ± 1 gilt aber |a + a"M = |2Rea| < 2. D Aus 1.5 und 1.6 folgt in Verbindung mit 1.2 31.7 Satz.

Fiir M ^ F sind aquivalent:

a) M hat einen Eixpunkt in H. b) M ist von endlicher Ordnung, M^ = E. c) M ist elliptisch oder M = ±E.

Die elliptisehen Eixpunkte sind also genau die Eixpunkte der elliptisehen Substitutionen aus E.

Die Klassifikation elliptischer Eixpunkte liefert nun ein rein gruppentheoretisches Resultat:

Ubungsaufgaben zu §1

333

1.8 Satz. 1st M E r, M ^ ±E, konjugiert zu einer der Matrizen

tin Element endlicher Ordnung, so ist M

-'\ -;)• - i i :;)• - i i -I Ein anderes gruppentheoretisches Resultat, welches man mit Hilfe des Fundamentalbereichs der Modulgruppe beweisen kann, ist 1.9 Satz. Die elliptische Modulgruppe wird von den beiden Matrizen

erzeugt. Zum Beweis wahlen wir einen inneren Punkt a von JF. Sei M E SL(2, Z,). Aus V.8.7^ folgt, dass es eine Matrix N der von den beiden Matrizen erzeugten Untergruppe gibt, so dass NM{a) in JF enthalten ist. Es folgt NM = ±E. Da die negative Einlieitsniatrix in der Untergruppe enthalten ist,

0 -iV

fl

1

vo 1,

oy

0

folgt die Behauptung.

D

Ubungsaufgaben zu VI. 1 1. Man bestimme alle Matrizen M = ( "

j ) G SL(2,]R) mit Fixpunkt i.

Ergehnis. M\ = \ <;=^ M e S0(2,]R) := { M e SL(2,]R);

M'M = E}.

2. Man zeige: a) Die Gruppe SL(2,R) operiert auf der oberen Halbebene H transitiv, d.h. zu je zwei Punkten z, w G H gibt es ein M G SL(2, R) mit w = Mz. Anleitung. Es geniigt, w = i anzunehmen. Man kommt dann mit c = 0 aus. b) Die Abbildung SL(2,]R)/

^

^

. iHf

M-S0(2,]R) I > Mi, ist bijektiv (sogar topologisch, wenn man die linke Seite mit der Quotiententopologie versieht).

334

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

3. Sei M e SL(2,R) und I eine ganze Zahl mit der Eigenschaft M' / ±E. Matrix M ist genau dann elliptisch, wenn M' elliptisch ist.

Die

4. Sei G C SL(2,]R) eine endliche Untergruppe, deren Eleinente einen geineinsainen Fixpunkt in H besitzen. (Man kann zeigen, dass jede endliche, allgemeiner jede kompakte Untergruppe diese Eigenschaft besitzt.) Man zeige, dass G zyklisch ist.

2. Die fc/12-Formel und die Injektivitat der _7-Funktion Sei

eine analytische Funktion auf einer oberen Halbebene Uc. = {zeM;

ImzyC},

C > 0.

Wir nehmen an, dass / periodisch ist, fiz + N)=f{z),

N^O,NeR.

Sie gestattet daher eine FoURiERentwicklung (III.5.4) ex:

n= — oo

welche einer LAURENTentwicklung ex:

9iQ)= Yl *««" (g = e ^ ) in der gelochten Kreisscheibe um 0 vom Radius e^^^c:/^

entspricht.

Sprechweise. Die Funktion / ist a) aufierwesentlich singular in icx), falls g auBerwesentlich singular in 0 ist, b) regular in ioo, falls g eine liebbare Singularitat im NuUpunkt hat. Man definiert dann /(ioo) := 5(0)

(=ao).

Diese Begriffe liangen niclit von der Walil von N ah. (Wenn / niclit konstant ist, so ist die Menge der reellen Perioden eine zyklische Gruppe.)

§2. Die fc/12-Formel und die Injektivitat der j-Funktion 2.1 Definition. Eine meromorphe Modulform meromorphe Funktion / : H —>C mit folgenden a) f{Mz)

335

vom Gewicht k ^T, ist eine

Eigenschaften:

= {cz + dff{z)

fur die M = ( *

Insbesondere gilt f{z + 1) =

^

f{z).

b) Es existiert eine Zahl C > 0, so dass f{z) im Bereich Iraz > C keine Singularitdt hat. c) / hat eine aufierwesentliche Singularitdt bei icx). Da die negative Einheitsmatrix —E in F enthalten ist, folgt aus dem Transformationsverhalten a) insbesondere

fiz) = {-l)'f{z), d.h. Jede Modulform ungeraden Gewichts k verschwindet identisch. Eine meromorphe Modulform / gestattet also eine FouRiERentwicklung oo ^,2TTiz

wobei nur fiir endlich viele n < 0 die Koefiizienten von 0 verscliieden sind. Wenn / von 0 verschieden ist, so ist ord(/; icx)) := min{ n; a^ ^ O}

(= oid{g; 0))

wolildefiniert. 2.2 Bemerkung. Eine meromorphe Modulform f ^ 0 hat modulo SL(2, Z) nur endlich viele Pole und Nullstellen in H. Die Ordnung o r d ( / ; a ) , a G H, hdngt nur von der F-Aquivalenzklasse von a ab. Beweis. Nach Voraussetzung existiert eine Konstante C, so dass die Funktion / im Bereich „Im^ > C" keine Pole hat. Wahlt man C geniigend grofi, so hat sie dort auch keine NullsteUen, da sich die NullsteUen einer analytischen Funktion nicht gegen eine aufierwesentliche Singularitat haufen konnen, wenn die Funktion in einer Umgebung der Singularitat nicht identisch verschwindet. Der abgeschnittene Fundamentalbereich {^z E J-] Im ^ < C } ist offenbar kompakt, kann also nur endlich viele Pole und Nullstellen enthalten. Diese enthalten ein Reprasentantensystem modulo F. D

Kapitel VI. Elliptische Modulfomien

336

2.3 Theorem (fe/12-Formel). Set f eine von der Nullfunktion meromorphe Modulform vom Gewicht k. Dann gilt Yl ^

OTd{f] a) + ord(/; icx)) =

k

~ 12 •

Dabei durchlaufe a ein Reprdsentantensystem stellen von f, und es set

e(«) = \*r^

verschiedene

(modulo F) oiler Pole und Null-

falls a falls a sonst.

Q mod r, i modP,

Man kann die A;/12-Formel als ein Analogon des Satzes von LIOUVILLE ansehen, welcher besagt, dass eine nichtkonstante elliptische Funktion gleicli viele Polstellen wie NuUstellen hat. In der Tat kann man ja Satz 2.3 im wichtigen Spezialfall k = 0 folgendermafien aussprechen: Die Funktion f hat in M/F U {ioo} gleich viele NuUstellen wie Pole, wenn man sie mit Vielfachheit rechnet und wenn man die Punkte a G H mit der Gewichtung l/e(a) versieht. Beweis von Satz 2.3. Wir nehmen zunachst einmal der Einfachheit halber an, dass aufier moghcherweise in i, Q und Q^ keine NullsteUen und Pole von / auf dem Rand des Fundamentalbereiches J^ hegen. Wir wahlen die Zahl C > 0 so grofi, dass f{z) fiir I m z > C keine Pole und NullsteUen hat. Wir konnen dann das Integral

langs der Kontur a

Re

§2. Die fc/12-Formel und die Injektivitat der j-Funktion

337

betrachten. Der Radius der kleinen Kreise um ^^, i und ^ sei e > 0. Wir warden spater den Grenziibergang e —)• 0 vollziehen. Wenn e klein genug gewahlt ist, so ist das Integral gleich Y^

ord(/;a).

a mod r a^'i^Q m o d r

Auswertung des Integrals 1) Die

Vertikalkanten

Mit / ist auch g eine periodische Funktion. Die Integrate iiber die Vertikalkanten lieben sicli dalier gegenseitig auf. 2) Die Integrale von C nach D und D' nach C. Die beiden Bogen werden durcli die Transformation z i—)• —z^^ ineinander iiberfiilirt. Es ist dalier nalieliegend, das Transformationsverlialten von g{z) = f'{z)lf{z) unter dieser Substitution zu erniitteln. Aus

f{-llz) folgt

= z^f{z)

n-\iz)-z-^ = z^nz)+kz^-^f{z)

und dalier g{-llz)

= z'^g{z) + kz.

Bezeiclinet /? : [0,1] ^

C

eine Parametrisierung des Kreisbogens von C nach -D, so paranietrisiert Pit) = - / ? ( i ) - i den Kreisbogen von C" nach D'. Es folgt also D

1

g{OdC = j c

gm))P'{t)dt,

0

C'

1

g{OdC = - j g{m)P'{t)dt D'

0 1

1

g[li{t))li'{t)dt-kj^dt. 0

Damit ist

0

Kapitel VI. Elliptische Modulfomien

338 C'

D

1 2^

9{C)dC + JgiOdC .C

D'

k 7(LogD-LogC). 27ri

Wir sind nun am Grenziibergang e —^ 0 interessiert. Der Grenzwert ist __^(Logi-Log(^2)) = A . 3) Integration von A nach A' Die FoURlERentwicklung von g

gewinnt man aus der von / mittels f • g = / ' . Der konstante FoURlERkoeffizient von g ist offenbar gleich ttg = 27riord(/;ioo). Es folgt A'

A'

I g{0 dC = 2m • ord(/; ioo) + Y.a^

j

A

4

"7^0

e ^ - ^ dC-

Es fehlen nur noch die Integrate iiber die kleinen Kreise. 4) Das Integral von B nach C Die Funktion g{z) hat in z = g^ eine Entwicklung g{z) =b_,{z b-i

+ -g)-'+bo

+ b,{z + Q) + ---,

=ord{f;g^).

Der Grenzwert des Integrals (e —)• 0) iiber g{z) — b_-^{z + 'g)^^ ist 0. Benutzt man die Formel dC C— a

la

(Das Integral wird iiber ein Kreissegment um Mittelpunkt a und Offnungswinkel a im BogenmaB erstreckt),

so folgt

- ^ ]im [g{C)dC = Entsprechend zeigt man

-loTd{f;g'

§2. Die fc/12-Formel und die Injektivitat der j-Funktion

339

B'

I f 1 —^ lim / g{C) dC = - - ord(/; g) ZTTl E^O J

und

6

D'

^lim/,(C)rfC = 4ord(/;i) D

Beachtet man noch ord(/; ^) = ord(/;^^), so folgt schlieBlich die behauptete A;/12-Forniel. Wir haben bisher angenomnien, dass aui3er moglicherweise bei g"^, i und g keine Nullstellen oder Pole von / auf dem Rand von !F liegen. Wenn dies der Fall sein sollte, so betraclitet man eine wie im Bild angedeutete modifizierte Integrationslinie.

-14

0

i

Re

Damit ist Theorem 2.3 vollstandig bewiesen. Folgerungen aus der

D

fe/12-Formel

Wir beliandeln zunaclist einige Anwendungen auf game Modulformen. Eine meromorplie Modulform lieiBt ganz, falls sie in alien Punkten aus H U {ioo} regular ist: 2.4 Definition. Eine (game) Modulform vom Gewicht k & Z ist eine analytische Funktion / : H —)• C mit folgenden Eigenschaften: a b a) f{Mz) = {cz + dYf{z) fur alle M c d er. b) / ist in Bereichen der Art „Iinz >C>0"

beschrdnkt.

Die Bedingung b) ist nacli dem RiEMANN'sclien Hebbarkeitssatz aquivalent mit der Regularitat von / in icx).

340

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

Eine meromorphe Modulform ist genau dann ganz, wenn ord(/; a) > 0 fiir alle a G H U {ioo} gilt. Aus der A;/12-Forniel folgt unmittelbar 2.5 Satz. Jede game Modulform negativen Gewichts verschwindet Jede game Modulform vom Gewicht 0 ist konstant.

identisch.

Der zweite Teil dieser Aussage ergibt sich durch Anwendung der A;/12-Formel auf/(z)-/(i). 2.5]^ Folgerung. Eine (game) Modulform vom Gewicht k, k E N (k ^ 0) hat mindestens eine Nullstelle m H U {icx)}. Hatte / keine Nullstelle, so ware aucli 1 / / eine ganze Modulform, und / oder 1 / / liatte negatives Gewicht. Ist / 7^ 0 eine ganze Modulform vom Gewicht k und ist a G H U {ioo} eine Nullstelle von / , so folgt aus der A;/12-Formel _k_ ^ ord(/; a) ^ 1 12 e(a) - 3' wobei wir erganzend e(icx)) = 1 definiert haben. Hieraus ergibt sich 2.6 Satz. Es gibt keine game Modulform / ^ 0 vom Gewicht 2. Beispiele fiir ganze Modulformen sind die EiSENSTEiNreihen

G^{z)=

Yl

(cz + d)-'',

k>3.

{c,d)eZxZ (c,d)#(0,0)

Im Falle A; G N, A; > 4, A; = 0 m o d 2 gilt (V.8.4) G,(i(X)) = 2C(A:). 2.7 Satz. 1) Die Eisensteinreihe G^ verschwindet in g in erster Ordnung. Sic hat aujier Q (und den F-dquivalenten Punkten) keine weitere Nullstelle in MU {icx)}. 2) Die Eisensteinreihe GQ verschwindet in i in erster Ordnung. Sic hat aujier i (und den F-dquivalenten Punkten) keine weitere Nullstelle in H U {ioo}. Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus der A;/12-Formel. 2.7]^ Folgerung. Die Funktionen G\ und G\ sind C-linear

unabhdngig.

§2. Die fc/12-Fomiel und die Injektivitat der J-Funktion

341

Die eine Funktion ist also kein konstantes Vielfaches der anderen. Natiirlich kann man eine Linearkombination von G | und Gg finden, welche in icx) verschwindet. Wir kennen bereits eine seiche, namlicli die Diskriminante A = gl-

27gl mit g^ = 6OG4 und g^ = 140Gg.

Aus der Tlieorie der elliptisclien Funktionen wissen wir, dass A keine NuUstelle in H hat. Dies konnen wir nun — ohne die Theorie der elliptischen Funktionen — neu beweisen. Aus 2.7^ folgt zunachst, dass A nicht identisch verschwindet. Aus der A;/12-Formel folgt, dass die einzige NuUstelle von A in icx) liegt. Wir erhalten dariiber hinaus, dass A in ioo in erster Ordnung verschwindet. 2.8 Satz. Set / ^ 0 eine game Modulform (z. B. f = A) vom Gewicht 12, welche in ioo verschwindet. Dann hat f in ioo eine NuUstelle erster Ordnung und sonst keine weitere NuUstelle in H. Wir wissen, dass die j-Funktion eine surjektive Abbildung

induziert. Wir sind jetzt in der Lage, auch die Injektivitat dieser Abbildung zu beweisen. 2.9 Theorem. Die j-Funktion

definiert eine bijektive Abbildung

Beweis. Sei 6 G C Wir miissen zeigen, dass die Funktion f{z) = j{z) — b genau eine NuUstelle modulo P in H hat. Wir wissen (wegen 2.8) ord(/;ioo) = —1. Die Behauptung folgt hieraus und aus der A;/12-Formel. D Wir sprechen Theorem 2.9 noch einmal in der Sprache der elliptischen Funktionen aus: Zu jeder komplexen Zahl j existiert eine und nur eine Aquivalenzklasse cher Gitter mit absoluter Invariante j .

dhnli-

Geometrisch sollte man sich H / P so vorstellen, dass man im Fundamentalbereich aquivalente Randpunkte identifiziert. Stellt man sich den Fundamentalbereich als Raute mit Ecken ^^, i, g und der fehlenden Ecke ioo vor, so hat man die beiden unteren und die beiden oberen anliegenden Kanten miteinander zu verheften. Das entstehende Gebilde ist offenbar topologisch eine Ebene. Wir werden spater M/F mit einer Struktur als Riemann'sche Fldche versehen. Die Abbildung j erweist sich dann als konform. 2.10 Definition. Gewicht 0.

Eine Modulfunktion

ist eine meromorphe Modulform

vom

342

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

Beispielsweise ist j eine Modulfunktion. Die Gesamtheit der Modulfunktionen bildet offensichtlich einen Korper, den wir mit K{r) bezeichnen. Jede konstante Funktion ist eine Modulfunktion, der Korper der koniplexen Zahlen ist also in natiirliclier Weise als Unterkorper in K[r) eingebettet. Jedes Polynoni in einer Modulfunktion ist selbst eine Modulfunktion, allgenieiner ist jede rationale Funktion in einer Modulfunktion eine Modulfunktion. Bei den elliptisclien Funktionen wurde dieser Sacliverlialt genauer erlautert (s. V.3). 2.11 T h e o r e m . Der Korper der Modulfunktionen wird von der ahsoluten Invarianten j erzeugt, mit anderen Worten: Jede Modulfunktion ist eine rationale Funktion in j ,

K{r) = c{j). Beweis. Sei / eine Modulfunktion. Durcli die Gleicliung R{3{z)) := f{z) wird tatsaclilicli eine Funktion i? : C —)• C wolildefiniert, denn aus j{z) = j{w) folgt wegen der „Bijektivitat" von j (2.9), dass z und w modulo F Equivalent sind. Da / unter F invariant ist, folgt f{z) = f{w). Sei a G H ein Punkt, in dem die Ableitung von j niclit verscliwindet. Wenn aufierdem f{a) endlicli ist, so folgt aus dem Satz fiir umkelirbare Funktionen, dass R in einer offenen Umgebung von j(a) analytiscli ist. Aus der bekannten Information iiber die Reilienentwicklung von j sclilieBt man, dass eine Konstante C > 0 existiert mit der Eigenscliaft j'{z) ^ 0 fiir Ivaz >C. Insbesondere besitzt die Ableitung von i im Fundamentalbereicli nur endlicli viele Nullstellen (s. Aufgabe 1 zu diesem Absclinitt). Da / im Fundamentalbereicli nur endlicli viele Pole liaben kann, folgt nun, dass die Funktion R im Komplement einer endliclien Punktmenge analytiscli ist. Mittels des Satzes von C A S O R A T I - W E I E R S T R A S S sclilieBt man, dass diese Ausnalimepunkte keine wesentliclien Singularitaten sein konnen. (Man betraclite zu einem beliebigen Punkt a E H, / ( a ) 7^ cx), eine offene Umgebung [/ c H. Diese wird nacli dem Satz von der Gebietstreue in.3.3 auf eine offene Umgebung V = j{U) abgebildet. Walilt man U klein genug, so ist / ( [ / ) niclit diclit in C. Insbesondere ist R{V) = f{U) niclit diclit in C.) Ersetzt man / durcli 1 / / , so erlialt man, dass i? in C meromorpli ist. Ein analoger Scliluss zeigt, dass R aucli in 00 meromorpli ist. Die Funktion R ist also meromorpli auf der ganzen Zalilkugel und dalier rational (s. III.A6). D Der Korper der Modulfunktionen (zur voUen elliptisclien Modulgruppe) ist isoniorpli zuni Korper der rationalen Funktionen, also zuni Korper der nieroniorphen Funktionen auf der RiEMANN'schen Zalilkugel. Dies hangt damit zusammen, dass der Quotientenrauni M/F nach Hinzufiigung eines unendlich fernen Punktes mit der Zalilkugel identifiziert werden kann.

§3. Die Algebra der Modulformen

343

Fiir einen anderen Beweis von Satz 2.11 vergleiche m a n Aufgabe 6 aus VI.3. Ubungsaufgaben zu VI.2 1. Die Ableitung einer Modulfunktion ist eine meroinorphe Modulforin voni Gewicht 2. 2. Sind / und g ganze Modulformen vom Gewicht k, so ist f g — g'f eine ganze Modulform vom Gewicht 2fc + 2. 3. Die Nullstellen von j ' sind genau die zu i oder g modulo F aquivalenten Punkte. Bei den folgenden drei Aufgaben werden einige topologische Grundbegriffe verwendet, insbesondere der Begriff der Quotiententopologie. 4. Versieht man M/F (s. V.7) mit der Quotiententopologie (eine Teilmenge in M/F heifie offen, falls ihr voiles Urbild in H offen ist), dann induziert die j-Funktion eine topologische Abbildung 5. Man zeige ohne Verwendung der j-Funktion, dass M/F zur Ebene C topologisch Equivalent ist. Anleitung.

Man studiere die Randaquivalenzen im Fundamentalbereich.

6. Sei F die Gruppe aller Selbstabbildungen der oberen Halbebene der Form z I—> Mz

bzw.

«i—>M{-1)

mit M e r = SL(2,Z).

Man zeige, dass der Quotientenraum M/F TAX einer abgeschlossenen Halbebene topologisch aquivalent ist.

3. Die Algebra der Modulformen Fiir k E Zi bezeichnen wir mit [F, k] den V e k t o r r a u m aller ganzen Modulformen vom Gewicht k u n d mit [P, k]^ den U n t e r r a u m der Spitzenformen, das sind diejenigen / G [F, k], welche in der Spitze icx) verschwinden: /(ioo):=

lim

f{z)=0.

I m /3—7-00

Offenbar gilt:

a) Ist A e [r,ki], /2 G [r,fcg], dann ist fj^ e [r,ki + k^]. b) D a s P r o d u k t einer Spitzenform mit einer beliebigen ganzen Modulform ist eine Spitzenform. Der U n t e r r a u m [-T, A;]g der Spitzenformen h a t hochstens die Kodimension 1, d.h.

344

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

3.1 Bemerkung. 1st g G [r,k] eine Nichtspitzenform,

[r,k] =

so gilt

[r,k\®Cg.

Beweis. 1st / G [-T, A;], so ist

9(100)

eine Spitzenform, und es gilt

f = h + Cg mit C

/(ioo) g[ioo)

Wir werden sehen, dass [F, k] stets endlichdimensional ist. Fiir die Bestimmung einer Basis von [F, k] ist die Existenz einer Spitzenform / 7^ 0 vom Gewicht 12 von grundsatzlicher Bedeutung. Aus der A;/12-Formel folgt, dass eine seiche Modulform in icx) notwendig eine Nullstelle der Ordnung 1 hat und in der oberen Halbebene keine weiteren NuUstellen besitzt (2.8). Fiir die Konstruktion einer solchen Spitzenform gibt es viele Moglichkeiten. Eine kennen wir bereits, die Diskriniinante A hat diese Eigenschaft, andere werden wir noch kennenlernen. Halten wir fest: 3.2 Satz. Es existiert eine Modulform zi ^ 0 vom Gewicht 12, die in der oberen Halbebene keine NuUstellen besitzt, in icx) jedoch eine Nullstelle (notwendig erster Ordnung). A ist also eine Spitzenform. Ein solches A ist bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt. Eine mogliche Darstellung ist A = {GOG^f - 27(140^6)^-

Die Bedeutung der Spitzenform vom Gewicht 12 zeigt sich in 3.3 Satz. Die Multiplikation

mit A vermittelt einen

Isomorphismus

[r,fc-i2]^[r,fc]o, Beweis. Da A nicht verschwindet, ist diese Abbildung injektiv. Ist andererseits g G [-T, A;]g, dann ist /:=|e[r,A:-12], denn / hat das richtige Transformationsverhalten, ist in der oberen Halbebene analytisch, da A dort keine Nullstelle hat, und ist auch in ioo regular, da A dort nur eine Nullstelle erster Ordnung hat. D

§3. Die Algebra der Modulformen

345

Vorstufe fiir den angestrebten Struktursatz ist eine offensichtliche Folgerung aus der A;/12-Formel (s. 2.6). Jede game Modulform vom Gewicht 2 verschwindet

identisch.

3.4 Theorem (Struktursatz). Die Monome {G?G(?;

a,/?

G NO, 4 a +

6/? =

A;}

bilden eine Basis von [F, k]. Jede Modulform f G [F, k] ist also eindeutig als Linearkombination a,/3>0 4a+6/3 = fc

darstellbar. Zusatz. Die Dimension des Vektorraums der Modulformen ist endlich, und es gilt { \^] , falls k = 2 mod 12, dinif,[r,A;] = I ^''^ U T I ] + 1' /«^^« '^ ^ 2 mod 12. Beweis. Wir zeigen zunachst durch Induktion nach A;, dass [-T, A] von den angegebenen Monomen erzeugt wird. Als Induktionsbeginn kann A = 0 gewalilt werden, da jede Modulform vom Gewicht 0 konstant ist (2.5). Sei nun / eine von 0 verschiedene Modulform vom Gewicht A > 0. Es gilt dann A; > 4. Jede gerade Zahl A > 4 lasst sich in der Form k = Aa + Qf5 mit nicht negativen ganzen Zahlen schreiben. Es existiert eine Konstante C, so dass / — CG"GQ eine Spitzenform ist. Diese lasst sich nach 3.3 in der Form / - CG«G(?

=A-g

mit einer Modulform g kleineren Gewichts schreiben. Da wir durch vollstandige Induktion schlieBen woUen, konnen wir annehmen, dass g eine Linearkombination von Monomen in G4 und Gg mit den entsprechenden Gewichten ist. Man erhalt dann eine Darstellung von / als Linearkombination von Monomen in G^ und Gg. Eine einfache kombinatorische Uberlegung zeigt, dass die Anzahl der Monome gleich der im Zusatz angegebenen Zahl ist. Die lineare Unabhangigkeit der Monome und die angegebene Dimensionsformel sind also Equivalent. Die Dimensionsformel folgt aber ebenfalls durch Induktion nach A, denn es gilt dime [r, 0] = 1, dime [F, 2] = 0 und dime [F, k] = l + dim^ [F, k - 12]

fiir A; > 4.

Die angegebene Dimensionsformel geniigt derselben Rekursion.

D

346

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

W i r geben noch einen zweiten — von der A;/12-Forniel u n a b h a n g i g e n — Beweis fiir [F, 2] = {0}. G a b e es namlich eine nicht verschwindende Modulform / G [ r , 2 ] , sofolgte / 2 e [r,4],

also f

= aG^

f

also f

= 6Ge mit h G C*.

G [r,6],

mit a G C ,

D a m i t waren a b e r G\ u n d Gg linear abliangig ini Widersprucli zuni Niclitverscliwinden von A (2.7^). Man kann den Struktursatz aucli ringtheoretisch forniulieren, indeni man die direkte Suninie aller Vektorraunie von Modulformen einfiihrt,

-4(r):=0[r,fc]. fc>0

Auf dieser direkten Summe lasst sicli in naheliegender Weise eine Ringstruktur, genauer eine Struktur als C-Algebra einfiihren. 3.5 T h e o r e m . Die Ahhildung X I—> G4,

induziert einen Algehrenisomorphisnius Y auf die Algebra der Modulformen,

Y I—> Gg,

des Polynomrings

c[x,y]

in zwei Unhestinimten

X,

-^A{r).

Ubungsaufgaben zu VI.3 1. Sei / : H ^ C eine ganze Modulform ohne Nullstelle (in H). Dann ist / konstantes Vielfaches einer Potenz der Diskriminante A. 2. Sei df, = dim^, [F, fc] die Dimension des Vektorraumes der (ganzen) Modulformen vom Gewicht k. Zu jedem dj,-Tupel komplexer Zahlen ag, Oj^,..., a^ _j existiert genau eine Modulform vom Gewicht k, deren erste d^. FouRiERkoefSzienten gerade die vorgegebenen Zahlen sind. Anleitung. Wenn die ersten d^. FouRiERkoeffizienten einer Modulform verschwinden, so ist sie durch A''^*' teilbar, d. h. der Quotient ist wieder eine ganze Modulform. 3. Es gibt kein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom P G C[X] mit der Eigenschaft P{j) = 0. Man leite hieraus einen neuen Beweis dafiir ab, dass die EiSENSTEiNreihen G^ und Gg algebraisch unabhangig sind, d. h. die Monome G4 Gg, 4a + 6/? = k, sind fiir jedes k linear unabhangig.

§4. Modulfomien und Thetareihen

347

4. Zu jedem Punkt a G 11 existiert eine ganze Modulform (sogar vom Gewicht 12), die in a verschwindet, die aber nicht identisch verschwindet. Anleitung.

Man benutze die Kenntnis der Nullstellen von A.

5. Jede meromorphe Modulform ist als Quotient zweier ganzer Modulformen darstellbar. 6. Mit Hilfe der vorangehenden Aufgabe und dem Struktursatz fiir die Algebra der Modulformen (3.4) leite man einen weiteren Beweis dafiir ab, dass jede Modulfunktion eine rationale Funktion von j ist.

4. Modulformen und Thetareihen Im Prinzip haben wir alle (ganzen) Modulformen im vorhergehenden Abschnitt bestimmt. Es gibt jedocli andere Konstruktionsmogliclikeiten fiir Modulformen. Der Darstellungssatz liefert dann nichttriviale Identitaten zwischen analytischen Funktionen. Wir wollen in diesem Abschnitt einige dieser Identitaten lierleiten. Solclie Identitaten haben oft zahlentheoretische Bedeutung. In VII. 1 werden wir auf einige zahlentheoretische Anwendungen naher eingehen.

Die Jacobi'sche

Thetatransformationsformel

4 . 1 H i l f s s a t z . Die beiden

Reihen

oo

konvergieren fiir {z,w) analytische Funktionen

oo

EM x C normal. Sie stellen in w dar und umgekehrt.

insbesondere

bei festem

z

Die zweite dieser beiden Reihen h a b e n wir schon in V.6 im Z u s a m m e n h a n g mit d e m ABEL'schen T h e o r e m kennengelernt. D o r t w u r d e sie mit

^{z,w) := Y^

Trin

z+2TTinw

bezeichnet. Allerdings w u r d e damals die N o t a t i o n (T, Z) anstelle von {z, w) verwendet, u n d der P u n k t r war dabei ein fester P a r a m e t e r . J e t z t interessiert uns •d{z, w) vor allem als F u n k t i o n von z bei festem w. In V.6 w u r d e auch die Konvergenz der T h e t a r e i h e bei festem ersten A r g u m e n t bewiesen. Ein analoger Schluss hefert auch die normale Konvergenz in beiden Variablen.

Kapitel VI. Elliptische Modulfomien

348

4.2 Jacobi'sche Thetatransformationsformel (C. G. J.

JACOBI,

1828).

Fiir {z,w) EM X C gilt die Formel ex:

IT

oo

Vf E

n-\-w

e'^'

=E

•'z

gi"i«^{ - 1 / z)-\-27Tinw

n= — oo

Dabei ist die Quadratwurzel aus zj'i durch den Hauptzweig des Logarithmus definiert. Beweis. Die Funktion oo

f{w) •= J2

e^'"("+'")'

{z fest)

n= — oo

hat ofFenbar die Periode 1 und gestattet daher eine FoURiERentwicklung oo

fiw)

=

^

a^,

^27rir77U'

777= — o o

mit /.

^m=

oo

Yl

e^'"("+'")'-2^'™'" du.

Dabei sei «; = u + iv. Der Imaginarteil v von w kann dabei beliebig gewahlt werden. Wir werden iiber ihn noch geeignet verfiigen. Wegen der lokal gleichmai^igen Konvergenz darf man Suninie und Integral vertauschen. Anschliei3ende Substitution u \-^ u — n zeigt ^^ni{zw'-2mw)

^^_

Durch quadratische Erganzung erhalt man zw — 2mw = z [w also (Jjm

my z )

z ^m^,

^•K\z(w-m/z)''

C.

^^_

Nun walilen wir den Imaginarteil v von w so, daB w — m/z reell wird. Nacli einer Translation von u erhalt man dann a^ = e

iT\m^(-llz)

/

e'^i^^^du

§4. Modulfomien und Thetareihen

349

Es bleibt das Integral zu berechnen. Wir mussen die Formel OO

"1^

^-KlZU

Z

du

beweisen. Da beide Seiten analytische Funktionen in z darstellen, geniigt es, sie fiir rein imaginare z = iy zu beweisen. Die Substitution t = u-

-^

fiihrt die Berechnung auf das bekannte Integral e-^'^^dt = 1 zuriick.

D

Spezialisiert man die JACOBi'sclie Tlietatransforniationsforniel, so erlialt man 4.3 Satz. Die Funktion OO

§{z)=

Yl e

stellt eine analytische Funktion dar. Sie geniigt den a)

^{z + 2) = -diz) und

b)

,(_!) = y|,(,).

Transformationsformeln

Die Thetareilie 'd{z) hat nur die Periode 2. Um zu einer Modulform zu gelangen, betrachten wir neben -d aucli •d{z) = •d{z + 1), ^{z) = J2

TTin^z. (-l)"exp7ri

Die Funktion § ist ein spezieller Wert der jACOBi'sclien Tlietafunktion ^{z, w) namlicli d{z) = ^ ( ^ , 1 / 2 ) . Man erlialt aus 4.2 eine Transformatinsformel fiir d, namlicli

350

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

mit oo

g7ri{«+l/2)^^_

Halten wir fest: 4.4 Bemerkung (C. G. J.

JACOBI

'd{z) = y ^

1833/36, 1838). Die drei Thetareihen

expyrin^^,

n= — (yo ex:

^{z) = y ] (-l)"exp7rin^2:

un

n= — oo ex: ^ d{z) = ^

genugen den

expTri{n +

l/2fz

Transformationsformeln

^{z + l)=^{z),

{f{z + l)=^{z),

^{z +

l)=e'''^H{z),

"14)=#«• -'(-i)=#('->• ''(4)=yf'^<^'Aus diesen Transformationsformeln folgt, dass sich die Funktion

f{z)=[^{z)d{z)d{z)y unter den beiden Substitutionen z\—>z + l und z\—> — z wie die Diskriminante transformiert, die Funktion f{z)/A{z) ist also invariant unter diesen beiden Substitutionen. Sie ist dann sogar invariant unter der vollen Modulgruppe, da diese von den beiden speziellen Substitutionen erzeugt wird. D.li.: Die Funktion / transformiert sich wie eine Modulform vom Gewiclit 12. Sie ist sogar eine Modulform, da alle drei Thetareihen im Bereich Im z > 1 beschrankt sind. Weil die Reihe •d{z) fiir Im^ —^ oo gegen 0 konvergiert, ist die Funktion / dariiberhinaus eine Spitzenform. Wir erhalten

§4. Modulfomien und Thetareihen

351

4.5 S a t z . Es gilt

mit einer geeigneten

Konstanten

C.

Z u s a t z . Wir werden spdter fiir die Konstante

C

den

Wert

28

ermitteln.

Ein Z u s a m m e n h a n g z w i s c h e n der D i s k r i m i n a n t e und P e n t a g o n a l z a h l e n Ein ganze Zahl der Form

heifit Pentagonalzahl.

3n^ + n r , n G Z, Die ersten Pentagonalzahlen sind 0 , 1 , 2, 5, 7,12,15, 22.

4.6 Satz. Es gilt

A{z) = Ge'--

Y. (-1'

n 7ris{3n

+n)

\n= — co

Es wird sich zeigen, dass die Konstante

C den Wert (27r)"'"^ fiat.

Beweis von Satz 4-6- Die rechte Seite hat die Periode 1 und verschwindet in ioo in erster Ordnung. Es geniigt daher zu zeigen, dass sich die rechte Seite wie eine Modulforni vom Gewicht 12 transformiert. Dazu betrachtet man

(-r n

f{z) := ^

7Tiz{3n + n )

n = —cxD

Diese Reihe kann niit der jACOBl'schen Thetareihe in Verbindung gebracht werden, und zwar gilt fiz)

= ^ ( 3 . , I + I)

und damit / ( - 1 ) = , ( - f , i - ^ ) .

Mit Hilfe der Thetatransformationsformel zeigt man mittels einer kleinen Rechnung

/H)

re "- ^

e'"''"^

'^'6^

u =

2n+l,ne

Da die rechte Seite unter u i-^ —u invariant ist, gilt oo

. /

1\

A^

^LL

v^

^i^al

e e

+ e"

352

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

wobei u alle ungeraden ganzen Zahlen durchlauft. Der Ausdruck

2 I' ' + ' ' j='°HTJ kann leicht durch Fallunterscheidung berechnet werden. Da u ungerade ist, gilt M = ± 1 oder

= 3 mod 6.

Man sieht leicht, dass der Ausdruck im Falle u = 3 mod 6 verschwindet. Da die Summanden sich nicht andern, wenn man u durch —u ersetzt, geniigt es iiber die Nebenklasse u = 1 mod 6 zu summieren und die Summe dann zu verdoppeln. Man substituiert nun u = 6v> + 1 und beachtet

Eine einfache Rechnung zeigt nun

/(4)

^e(*+*)/(0)

woraus sich die Behauptung ergibt. Die bisher b e t r a c h t e t e n T h e t a r e i h e n sind Spezialfalle eines allgemeineren T y p s von T h e t a r e i h e n , welche m a n quadratischen Fornien bzw. Gittern zuordnen kann.

Quadratische Formen Wir bezeichnen im Folgenden mit

/an A = A'"'™' =

•''

^Im

•

nm

; \a«i

eine M a t r i x von n Zeilen u n d 'in Spalten. Im Fall 'in = n schreibt m a n auch einfach A = A^^> u n d nennt A eine n-reihige M a t r i x ,

ist die zu A t r a n s p o n i e r t e M a t r i x . Seien S = 5(") u n d A = A*"'™). D a n n ist die M a t r i x S[A] : =

A'SA

m-reihig. W e n n S symmetrisch ist {S = S'), so ist auch S[A] symmetrisch. Es gilt die Rechenregel S[AB]

= S[A][B]

{S = S'*"', A = A*"'™', B = B*™'*'').

Ist z spezieU ein n-reihiger Spaltenvektor, so ist

§4. Modulfomien und Thetareihen

353

eine 1 x 1-Matrix, die wir mit einer Zahl identifizieren. Die Funktion z i—)• S\z\ ist die der Matrix S zugeordnete quadratische Form. Eine symmetrische Matrix ist durch die ihr zugeordnete quadratische Form eindeutig bestimmt. Eine reelle symmetrische Matrix S = 5 ' " ' heii3t positiv definit — oder auch einfach positiv —, faUs S{x\ fiir aUe von 0 verschiedenen reellen Spalten x positiv ist. Wir benutzen aus der hnearen Algebra zwei einfache Eigenschaften positiver Matrizen ohne Beweis: Ist S eine (reelle symmetrische) 6 mit der Eigenschaft

positive Matrix, so existiert eine positive Zahl

S[x] > 6{xl +--- + xl). Jede positive Matrix S Idsst sick in der Form S = A'A mit einer invertierbaren reellen (quadratischen) Matrix schreiben. Man kann erreichen, dass die Determinante von A positiv ist. Natiirlich ist auch jede Matrix dieser Form positiv definit. Allgemeiner gilt: Ist S = 5^"' eine positive Matrix und A = A^"'™' eine reelle Matrix vom Rang m, so ist auch die Matrix S{A\ positiv. Jeder positiven Matrix S = 5 ' " ' kann eine Thetareihe zugeordnet werden, d{S]z)=

2_, exp7ri5[(ji]^.

Diese Reihe hat zahlentheoretische Bedeutung, wenn S ganz ist, denn dann ist 'd{S] z) eine periodische Funktion mit Periode 2, deren FoURlERentwicklung die Gestalt oo

§{S;z) = ^

A(5,m)e'^'™-^

m=0

hat, wobei A(5,m):=#{5GZ";

S[g]=m]

die Anzahl der Darstellungen einer natiirlichen Zahl m durch die quadratische Form S bezeichne. Wir werden in den Ubungsaufgaben zu diesem Abschnitt und in Kapitel VII zahlentheoretische Anwendungen der Theorie der Modulformen fiir diese Darstellungsanzahlen erhalten. Im Falle der Einheitsmatrix S = E = E^^> zerfallt diese Thetareihe formal in ein CAUCHYprodukt von n Thetareihen 'd{z), 'd{E;z)

='d{z)''.

Die Konvergenz von 'd{E; z) folgt hieraus mittels des CAUCHY'schen Multiphkationssatzes. Da es zu beliebigem positiven S eine positive Zahl 6 mit der

354

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

Eigenschaft S[x] > 6E[x] fiir alle reellen Spalten x gibt, folgt die Konvergenz der Thetareihe allgemein. Wie schon im Falle der Reihe 'd{z) werden wir allgemeiner die Reihe f{z,w):=

y ^ exp7ri5[ff + w]^,

z G H, w G C",

gel."

betrachten. Im Falle der Matrix S = (1) ist dies genau die JACOBi'sclie Thetareihe. Die JACOBi'sche Thetatransformationsformel gestattet folgende Verallgemeinerung: 4.7 Verallgemeinerte Thetatransformationsformel. positive Matrix. Es gilt

Sei S = 5*^"' erne

Beide Reihen konvergieren m H x C " normal. Beweis. Mit Hilfe einer Abschatzung S[x] > SE[x] fiihrt man den Konvergenzbeweis leicht auf den Fall der jACOBi'schen Thetafunktion zuriick. Fiir den Beweis der Transformationsformel betrachten wir wieder die Funktion f{w) = f{z,w) bei festem z. Sie ist stetig als Funktion von w und analytisch in jeder Variablen w,, 1 < j < n. AuBerdem hat sie die Periode 1 in jeder Variablen. Jede Funktion mit diesen Eigenschaften kann man in eine absolut konvergente FoURlERreihe f{w) = Y a . e ' " ' ' ' " hez"

{h'w = h,w, + ••• +

h„wj

entwickeln. Der FoURlERkoeffizient kann mittels der Formel /(«;)e-2'^''*'"'rfMi...du„ berechnet werden. Dabei ist w = u + iv mit festem aber beliebigem v. Das FoURlERintegral hangt nicht von der Wahl von v ab. Wir haben diesen Entwicklungssatz nur im Falle n = 1 bewiesen. Aber das reicht fiir unsere Zwecke aus, denn man kann folgendermaBen vorgehen. Man entwickelt zunachst / in eine FouRiERreihe in der Variablen w^. Die FoURlERkoefFizienten hangen dann noch von Wgj-.-Wjj ab. Ihre Darstellung durch das FouRiERintegral zeigt, dass sie stetig in C " ^ sind und analytisch in den verbleibenden Variablen w-, 2 < j < n, sind. Man kann dann die FoURlERkoefFizienten wieder in FoURlERreihen nach u'2 entwickeln. Mehrfache

§4. Modulfomien und Thetareihen

355

Anwendung fiihrt genau auf obige FouRiERreihe mit der angegebenen Koeffizientenformel, jedoch mit einer Einschrankung: Die FoURlERreihe muss in folgender Form geklammert sein: oo

I

E

I

•••

oo

E

«.^'"'''"

Die Klammern kann man weglassen, wenn die ungeklammerte Reihe absolut konvergiert. In dem bei uns vorliegenden Fall folgt dies unmittelbar aus der expliziten Bereclinung der FoURlERkoeffizienten. Die FouRiERintegrale werden wie im Fall der jACOBi'sclien Tlietafunktion bereclinet. Wir konnen uns dalier kurz fassen: Man sielit zunaclist oo

oo

g^i{SM2-2/,'«,}^^^___^y^^ — oo

—oo

Dem Prinzip der quadratisclien Erganzung (babylonisclie Identitat) ist folgende Formel nacligebildet: S[w]z - 2h'w = S[w - z-^S-^h]z

-

S-^[h]z-\

Dank des Prinzips der analytisclien Fortsetzung konnen wir annelimen, dass z = \y rein imaginar ist. Wir setzen dann

und erlialten oo

a^ = e-^^"'Ws/"'

oo

/ . . . / e - ^ ^ M ^ d u i . . . du^. — oo

—oo

Fiir die Bereclinung des Integrals ist es zweckmaBig, die Integraltransformation u ^

y-^l'^A-\i

(5 = A'A)

durclizufiiliren. Ilire Determinante ist j / ^ " ' ^ det A^^. tionsformel fiir n-faclie Integrale folgt oo

oo

— cx:

—oo

oo

oo

2/-"/2|detA-i| / ... / — OO

Aus der Transforma-

—OO

e-'^("i+-+""'rfMi...du„

Kapitel VI. Elliptische Modulfomien

356 ?/-"/2 Vdet 5 - 1

du

Damit ist 4.7 bewiesen.

D

Als wichtigen Spezialfall der jACOBi'schen Thetatransformationsformel erhalten wir 4.8 Satz. Es gilt die

Thetatransformationsformel

An dieser Formel stort noch, dass neben z \-^ z ^ auch der Ubergang S \-^ S ^ zu vollziehen ist. Unter speziellen Voraussetzungen ist dies jedoch nicht notig: Eine invertierbare Matrix U = f/^"' heii3t unimodular, falls sowolil U als aucli C/-1 ganzzalilig sind. Es gilt dann detU = ± 1 , und nacli der CRAMER'sclien Regel ist jede ganze Matrix mit dieser Eigenscliaft unimodular. Die Menge all dieser Matrizen bildet die unimodulare Gruppe GL(n, Z). Zwei positive n-reiliige Matrizen S und T lieiBen (unimodular) dquivalent, falls es eine unimodulare Matrix U mit der Eigenscliaft T = S[U] gibt. Dies ist offensiclitlicli eine Aquivalenzrelation, die Aquvalenzklassen nennt man aucli unimodulare Klassen. Ist U eine unimodulare Matrix, so durclilauft mit g aucli Ug alle ganzen Spaltenvektoren der riclitigen Reilienzalil. Hieraus folgt: Sind S und T aquivalente positive Matrizen, so gilt ^{T;z)

=^{S]z).

Wenn S selbst unimodular ist, so sind S und S^^ Equivalent, denn es gilt S = S^^[S]. Die Thetatransformationsformel besagt in diesem Fall

'd{S;

§iS;z)

Wir mocliten Tlietareilien mit der Periode 1 betracliten. Dazu miissen wir positive Matrizen mit der Eigenscliaft g ganz

S[g] gerade

betracliten. Man nennt symmetrisclie Matrizen mit dieser Eigenscliaft aucli gerade. Eine symmetrisclie Matrix ist genau dann gerade, falls sie ganz ist und falls ilire Diagonalelemente gerade sind. Dies folgt aus der Formel

§4. Modulfomien und Thetareihen

357

v=l

l
4.9 Satz. Sei S = 5^"' erne positive gerade und unimodulare Matrix mit durch 8 teilbarer Reihenzahl n. Dann ist "diS; z) eine (game) elliptische Modulform vom Gewicht n/2. Jedenfalls hat •d{S; z) unter den beiden Erzeugenden der elliptischen Modulgruppe das richtige Transformationsverhalten. Insbesondere ist •d{S; z)/G^,2 eine unter diesen Erzeugenden invariante (meromorphe) Funktion. Sie ist dann sogar invariant unter der vollen Modulgruppe. "diS; z) transformiert sich also unter der vollen Modulgruppe wie eine Modulform. Die Bescliranktlieit im Bereich y > 1 und damit die Regularitat in icx) sind klar. D Es lasst sicli iibrigens zeigen, dass positive gerade und unimodulare Matrizen nur bei durcli 8 teilbarer Reihenzahl existieren konnen (s. Aufgabe 11). Ein Beispiel einer solchen Matrix im Falle n = 8m ist /2m 1 1

1 1 2 1 1 2

1 1 1

1 1 \ 1

1 1 1 1 2 2

2 1 2 1 2 2 2 2 4/

1 l\ 1 2 1 2

S„

Im Falle n = 16 erhalten wir zwei positive gerade und unimodulare Matrizen, namlich S 16 und 0 ^8 OQ ffi '-'« 0 Es lasst sich zeigen, dass die beiden nicht unimodular Equivalent sind. Da die Vektorraume der Modulformen vom Gewicht 4 und 8 jeweils eindimensional sind, erhalten wir wieder nichttriviale Identititaten. 4.10 Satz. Es gelten die G,{z) GJz)

Identitdten

2C{A)§{S,-z), 2C{8) HS,,-z)

2C{8)'d{S^®S^-z)

Die konstanten Faktoren ergeben sich durch Vergleich der konstanten F o u RiERkoefiizienten. Fiir die Thetareihen sind diese 1. D Wir werden sehen, dass diese und ahnliche Identitaten zahlentheoretische Bedeutung haben.

358

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

P o s i t i v e M a t r i z e n und G i t t e r Eine Teilinenge L C R " heifit Gitter, falls es eine invertierbare reelle Matrix A = A ' " ' gibt, so dass L = AZ"={Ag; geZ"} gilt. Die Matrix A ist nicht eindeutig bestiinint. Die heiden Gitter AZ" C R " und BZ""' C R " sind genau dann gleich, falls es eine unimodulare Matrix U mit der Eigenschaft B = AU giht. Gitter sind diskrete Untergruppen von R", die eine Basis des R " enthalten. Hiervon gilt auch die Umkehrung, wie wir iin zweiten Band beweisen werden. Wir nennen zwei Gitter L und L' kongruent, wenn es eine reelle orthogonale Matrix (5 = Q ( " ) ,

Q'Q = E

(Einheitsmatrix),

mit der Eigenschaft L = QL' gibt. Die beiden Gitter ylZ" C R " und BZ" C R " sind also genau dann kongruent, wenn es eine unimodulare Matrix U und eine orthogonale Matrix Q mit der Eigenschaft B = QAU gibt. Wir betrachten die positiven Matrizen S = A'A und T = B'B. Es giU T = S[U]. Damit erhalten wir: Die Zuordnung A i—>• 5* = A'A definiert eine Bijektion zwischen den Kongruenzklassen von Gittern und den unimodularen Klassen positiver Matrizen. Es gilt iibrigens S[g] = {Ag, Ag), wobei {z, w) = ^ -^7'"') '^^^ Standardbilinearform auf dem C " bezeichne. Ersetzt man h := Ag, so erhalt man fiir die Thetareihe ^5(5'; z) folgende Darstellung in der Gittersprache: heL

Wir nehmen nun an, dass 5* ganz ist. Der n-te FouRiERkoeffizient dieser Thetareihe ist offensichtlich gleich der Anzahl A^(n) aller Gittervektoren h £ L mit mit der Eigenschaft n = (ft., ft-). Dieser Ausdruck ist das Quadrat der euklidischen Lange von ft. Halten wir noch einmal fest: Die Darstellungsanzahl A{S, n) einer naturlichen Zahl n durch die quadratische Form S ist gleich der Anzahl Aj^{n,) aller Vektoren mit der euklidischen Lange ^Jn eines assoziierten Gitters L . Ein Gitter heifit vom Typ II, falls die Determinante einer erzeugenden Matrix 1 ist und falls das euklidische Sklarprodukt eines Gittervektors mit sich selbst stets gerade ist. Dies bedeutet, dass die assoziierten quadratischen Formen gerade und unimodular sind. Der Gitterbegriff hat wegen seiner hoheren Flexibiltat manchmal Vorteile. Nach der angegebenen Charakterisierung ist jede Gruppe L, qZ'' cLc{l/q)Z"-

9 £ N,

ein Gitter, beispielsweise ist n

L„ = {a; G R";

2x^ e Z, x^ - x^ e Z, "^x^

e 2Z}

v= l

ein Gitter im n-dimensionalen Raum. Es ist genau dann vom Typ II, falls n durch 8 teilbar ist. Die Kongruenzklasse dieses Gitters entspricht im Falle n = Srn- genau der unimodularen Klasse von S^ , womit diese Matrix etwas durchsichtiger erklart wird.

Ubungsaufgaben zu §4

359

Ubungsaufgaben zu VI.4 1.

Seien / und g zwei elliptische Modulformen vom Gewicht k. Die Funktion h{z) = f{z)g{z)y'' ist F-invariant.

2.

Sei / eine Spitzenforin vom Gewicht k. Die Funktion h{z) =

\fiz)\y'^^'

nininit ein Maximum in der oberen Halbebene an. Anleitung. Wegen Aufgabe 1 geniigt es zu zeigen, dass h{z) im Fundamentalbereich ein Maximum annimmt. Dies folgt aus lim ^ ^ h{z) = 0. 3.

Sei oo

fiz) = J2"'r e eine Spitzenform vom Gewicht k. Man beweise eine Abschatzung laj

< C""*^^

(E. H E C K E ,

1927)

mit einer geeigneten Konstanten C. Anleitung. Man benutze die Integraldarstellung fiir die FouRiERkoefRzienten und nutze die Abschatzung \f{z)\
< C(£)n<*'-'>/'+" fiir jedes £ > 0.

Bei dieser Aufgabe verwenden wir die Formel fiir die FouRiERkoeffizienten der EiSENSTEiNreihen, welche wir in VII. 1 ableiten werden,

n= l

Sei L C R™, m = OmodS, ein Gitter vom Typ II und fiir n G Ng ^L i"^) = #{3; G -^i

{^7 ^) = n}.

Es gilt

d. h. der Quotient der beiden Seiten konvergiert fiir n —>• 00 gegen 1. In den Fallen m = 8 und m = 16 gilt das Gleichheitszeichen, allgemein jedoch nicht. Umso bemerkenswerter ist folgender Satz von C. L. SIEGEL [Si2]: Fiir natiirliche Zahlen n gilt LW E ^e(L) L

^ 'Sp (

^ \

-™

L.ye{L) L

^

Y ^ ,m/2-l

B^f,2^ '

'

d\n

360

Kapitel VI. Elliptische Modulformen Dabei durchlaufe L ein Vertretersystem der Kongruenzklassen aller Typ-II-Gitter. e{L) ist die Ordnung der Automorphismengruppe von L. (Ein Automorphismus von L ist eine orthogonale Abbildung von R " auf sich, welche L in sich iiberfiihrt. Die Anzahl dieser Klassen ist 1 ini Falle rn- = 8; 2 im Falle m = 16; 24 im Falle rn- = 24 und mindestens 80 Millionen im Falle m = 32 (vgl. [CS]).

5. Ist / eine beliebige Modulform voni Gewiclit fc, so gilt fiir die FouRiERkoeffizienten a^ eine Abschatzung vom Typ \a„\ < Cn''-'^

(E. H E C K E , 1927).

6. Man bestimme die Anzahl aller ganzzahligen orthogonalen Matrizen {U'U = E) beliebiger Reilienzalil. 7. Am Ende des Abschnittes wurde das Gitter L^ definiert. a) Man zeige, dass das Gitter L^ genau dann vom Typ II ist, wenn n durch 8 teilbar ist. b) Man bestimme im Falle n = 0 m o d 8 die Minimalvektoren von L^, das sind die Vektoren a £ L mit {a, a) = 2. c) Indem man die Winkel zwischen den Minimalvektoren studiert, zeige man, dass die Gitter L-^g und Lg x Lg nicht kongruent sind. (Dennoch stimmen die Gitterpunktanzahlen Aj^{n) iiberein!) 8. Seien a und b reelle Zahlen. Die Thetareihe — ein sogenannter Thetanullwert

—

oo

n = —oo

verschwindet genau dann identisch, wenn a — 1/2 und b — 1/2 beide ganz sind. In alien anderen Fallen hat sie keine NuUstelle in der oberen Halbebene. Anleitung. Man driicke sie durch die jACOBi'sche Thetareihe •&{z,v:)) aus und benutze, dass deren Nullstellen bekannt sind (V.6, Aufgabe 3). 9. Die Thetareihen (s. Aufgabe 7) -d^ j, andern sich hochstens um einen konstanten Faktor, wenn man a und b um eine ganze Zahl abandert. Man leite aus der jACOBl'schen Thetatransformationsformel die Thetatransformationsformel ^a,b

(-l)=e'-''^/|\-aiz)

ab. 10. Sei n eine natiirliche Zahl. Wir betrachten alle Paare ganzer Zahlen (a, 6),

0
mit Ausnahme des Paares (a, b) = (n, n) und bilden die Funktion

Ajz)=

n

'^(^,^)(^)-

(a,t)^(„,„) Q
Man zeige, dass eine geeignete Potenz von A^ eine Modulform zur vollen Modulgruppe ist.

§5. Modulfomien zu Kongruenzgruppen

361

Anleitung. Das endliche System von Thetareihen wird bis auf elementare Faktoren nach Anwendung von den Erzeugenden der Modulgruppe permutiert. Man folgere mittels Aufgabe 1 aus §3

Man bestimme die Konstante C. 11. Sei S = S^'"' eine positive gerade und unimodulare Matrix. Es gilt n = OmodS. Anleitung. Man benutze die Relation

und berechne ^{S; w) auf zwei Weisen durch iterierte Anwendung der Formeln ^{S;z + l)=^{S;z),

d{S;-l/z)

= J^

d{S;z).

Man erhalt die Forniel

y;7i" = v^/(i(i-^))" 7(7^1)71". Wertet man diese Gleichung fiir z = i aus, so folgt l = e^™/^

also n = OmodS.

5. Modulformen zu Kongruenzgruppen Wir woUen den Begriff der Modulform in zweierlei Hinsiclit verallgemeinern. Zum einen soil die Modulgruppe SL(2, Z) durch eine Untergruppe von endlichem Index ersetzt werden, zum anderen sollen auch Formen halhganzen Gewichts betrachtet werden. Beispiele fiir solche Modulformen sind die Thetareihen ^{S, z) zu beliebigen rationalen positiv definiten Matrizen 5* (auch ungerader Reihenzahl). Eine U n t e r g r u p p e H einer G r u p p e G h a t endlichen viele Elemente g^,... ,gf^ E G mit G = ( ^ ^

G =

Index, falls es endlich

Hg,U---UHg^ gY'HU---Ugf^'H)

gibt. M a n kann erreichen, dass diese Zerlegung disjunkt ist. Die Zahl h ist d a n n eindeutig b e s t i m m t u n d heiBt Index von H in G. F u n d a m e n t ales Beispiel fiir eine U n t e r g r u p p e von endlichem Index in der eUiptischen M o d u l g r u p p e ist die Hauptkongruenzgruppe der Stufe (/ ( c N ) . r[q] := [ M = i'^

MeSL(2,Z);

a = d = I m o d q , 6 = c = Omodg

Sie ist der K e r n des natiirlichen H o m o m o r p h i s m u s

362

Kapitel VI. Elliptische Modulformen SL(2,Z) — ^ S L ( 2 , Z / q Z ) .

Da die Zielgruppe SL(2, Ij/qT,) endlich ist, ist r\q] sogar ein Normalteiler endlichem Index in SL(2, Z). Deswegen gilt Nr[q]N-^

= r[q]

von

fiir A^ G r [ l ] = SL(2, Z).

5.1 Definition. Eine Untergruppe F c SL(2, Z) heifit falls sie eine geeignete Hauptkongruenzgruppe umfasst,

Kongruenzgruppe,

r[q]crcr[i]. Kongruenzgruppen sind Untergruppen von endlichem Index in SL(2,Z). Es gibt jedocli Untergruppen von endlichem Index, welche keine Kongruenzgruppen sind. Von Bedeutung fiir die Theorie der Modulformen haben sich nur die Kongruenzgruppen erwiesen. Da r[q] ein Normalteiler ist, erhalten wir: 5.2 Bemerkung. Sei F eine Kongruenzgruppe. Fiir jedes L G F[l] ist die konjugierte Gruppe LFL^^ ebenfalls eine Kongruenzgruppe. Spitzen von Kongruenzgruppen Eine Spitze K einer Kongruenzgruppe F ist definitionsgemaB ein Element von Q U{ioo}. Die Gruppe SL(2, Z) operiert nicht nur auf H, sondern auch auf der Menge der Spitzen vermoge der Formel K I

>

aK + b CK + a

mit den iiblichen Konventionen fiir das Rechnen mit icx): aioo + b := cioo + d an + b := CK + d

a — c . 100 ,

(:= 100 , laUs c = Oj, falls K ^ 100 und c/€ + a = 0 (dann ist an + b ^ Q) .

Zwei Spitzen heifien aquivalent beziiglich P , faUs sie durch eine Substitution aus F ineinander iiberfiihrt werden konnen. Die Aquivalenzklassen beziiglich dieser Aquivalenzrelation nennt man auch Spitzenklassen. 5.3 Hilfssatz. Die Gruppe SL(2, Z) operiert auf der Menge der Spitzen transitiv, d. h. zu jeder Spitze n existiert ein

§5. Modulformen zu Kongruenzgruppen AeSL(2,Z)

363 mit AK = ioo.

Folgerung. Sei F eine Kongruenzgruppe.

Die Menge der

Spitzenklassen

(QU{icx)})/r ist endlich. Beweis von Hilfssatz 5.3. Sei K=^,

a , 6 e Z , 6 ^ 0 , ggT(a,6) = l.

Wir wahlen eine Matrix

Eine solche exisitert, da wegen der Teilerfremdheit von a und h die Gleichung ax + by = I ganzzahlig losbar ist. Offenbar gilt An = ioo. Zuni Beweis der Folgerung sclireibe man

SL(2,z) =

rA^u---urAf^.

Offensiclitlicli entlialt die Menge { A^ioo,... jAf^ioo } ein Reprasentantensystem aller Spitzenklassen. Natiirlicli konnen in dieser Menge nocli aquvalente Spitzen auftreten. Die Anzalil der Spitzenklassen ist also lioclistens gleicli deni Index von F in F[l]. Wir werden im zweiten Band sehen, dass der Quotientenraum M/F eine Struktur als RiEMANN'sche Flache hat. Diese RiEMANN'sche Flache kann durch Hinzufiigen endlich vieler Punkte — und zwar genau der Spitzenklassen — zu einer kompakten RiEMANN'schen Flache vervoUstandigt werden. Multiplikatorsysteme Wir woUen Modulformen aucli lialbganzen Gewiclits r k = -,

r e Z,

definieren. Dazu miissen wir die Quadratwurzel von cz + d definieren. Wir definieren in diesem Zusammenliang die Quadratwurzel ^/a aus einer von 0 verscliiedenen komplexen Zalil a durcli den Hauptwert des Logarithmus

Offenbar ist ^/a durcli die beiden Bedingungen a)

Re ^/a > 0,

364 b)

Kapitel VI. Elliptische Modulformen \fa = i\/|a|, falls a negativ reell,

ausgezeiclinet. Die Funktion z I—> Vc^Td

((c, d) eRxR-

{(0,0)})

ist in der oberen Halbebene analytiscli, da cz + d im Falle c 7^ 0 niemals negativ reell wird. Bezeichnung. I^{M, z) := {cz + dyl"^ := Vcz + d\

r E Z.

5.4 Bemerkung. Es gilt I,{MN, z) = w,(M, A^)/,(M, Nz)I^{N,

z).

Dabei ist w^{M,N) ein Zahlensystem, das nur die Werte ± 1 annimmt. Es hdngt von r nur modulo 2 ab, also nur davon, oh r gerade ist oder nicht. Nur fiir gerade r ist das Zahlensystem identisch 1. Beweis. Eine triviale Reclinung zeigt, dass die angegebene Formel fiir gerade r niit w^ = 1 riclitig ist. Sie folgt dann aucli fiir ungerade r durcli Wurzelzielien. Das Vorzeiclien w^ konimt wegen der Zweideutigkeit der Quadratwurzel ins Spiel. Beispielsweise gilt

'''^~^'~^^=hFsSf=^

= - = -^

fur 5:=^^

Q

(Nacli unserer Konvention der Auswalil der Wurzel ist \ / ^ = i und niclit etwa

5.5 Definition. Ein Multiplikaiorsystem vom Gewicht r/2, r G Z, ) beziiglich einer Kongruenzgruppe F ist eine Abbildung, welche jedem M ^ F eine Einheitswurzel v{M)eC, w(M)' = l, einer von M unabhdngigen Ordnung I G N zuordnet, so dass I{M,z)=v{M)I^{M,z) ein Automorphiefaktor

ist, d. h.

I{MN,z)

= I{M,Nz)I{N,z)

{M,Ner).

Aufierdem soil I{—E, z) = I gelten, falls die negative Einheitsmatrix enthalten ist. *) Es kommt nur auf die Restklasse von r modulo 2 an.

in F

§5. Modulfomien zu Kongruenzgruppen

365

Aquivalent zu der Automorphieeigenschaft ist v{MN)

=

w^{M,N)v{M)v{N).

Wenn r gerade ist, so bedeutet dies, dass v ein Charakter, also ein Homomorphismus von F in die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen ist. Die Bedeutung der Multiplikatorsysteme zeigt sich in folgender Beobachtung: Sei / : H —)• C erne Funktion mit dem

f{Mz) =

Transformationsverhalten

I{M,z)f{z)

fur alle M aus einer gewissen Menge M. C F. Es gilt dann fur alle M aus der von Ai erzeugten Untergruppe von F. Beispiele 1)

r ist gerade.

Wie schon erwahnt, bedeutet die Automorphieeigenschaft einfach, dass v ein Charakter ist, v{MN) =v{M)v{N). Der wichtigste Fall ist der des Hauptcharakters (w = 1). Nach Voraussetzung konnen Multiplikatorsysteme nur endlich viele Werte annehmen. Der Kern des Charakters v FQ = {M EF; V{M) = 1 } ist also eine Untergruppe von endlichem Index in F. 2)

r ist ungerade.

Sei F^ die von

erzeugte Untergruppe von SL(2,Z). Wir werden im Anhang zu diesem Abschnitt zeigen, dass F^ aus alien Matrizen , I G SL(2, Z),

a + b + c + d gerade,

besteht. Insbesondere enthalt F^ die Kongruenzgruppe F[2] und ist mithin selbst eine Kongruenzgruppe. Wir haben eine Formel 'd{Mz) = v^{M)Vcz

+ d'd{z)

{v^{Mf

= l)

fiir die beiden Erzeugenden der Thetagruppe bewiesen. Eine solche folgt dann automatisch fiir alle M E F^. Die Abbildung

366

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

r ^ ^ C ,

M^v^iM),

ist notwendigerweise ein Multiplikatorsystem vom Gewicht 1/2. Dieses ist festgelegt durch die speziellen Werte

0 i j "^ ' '"''1^1

oj "^

Man nennt dieses Multiplikatorsystem das Thetamultiplikatorsystem. niclit ganz leiclit, eine gesclilossene Formel fiir v^ zu linden (s. [Ma3]).

Es ist

Sei nun v ein beliebiges Multiplikatorsystem nicht ganzen Gewichts beziiglicli der Kongruenzgruppe F. Der Cliarakter v/v^ nimnit nur endlicli viele Werte an. Es existiert dalier eine Untergruppe Pg C F f] F^ von endlicliem Index, so dass die Einsclirankung von v und v^ auf F^ iibereinstimnien, d. li. v{M) = v^{M)

fiir alle M E F^ .

Wir liaben bereits erwalint, dass eigentlicli nur die Kongruenzgruppen interessant fiir die Tlieorie der Modulformen sind. Aus demselben Grund sind aucli nur Multiplikatorsysteme v mit folgender Eigenscliaft von Interesse: 1) r sei gerade: Es existiert eine Kongruenzgruppe FQ C F, SO dass v auf FQ trivial (d. li. der Hauptcliarakter) ist. 2) r sei ungerade: Es existiert eine Kongruenzgruppe FQ C F Ci F^, SO dass die Einsclirankung von v auf F^ mit dem Tlietamultiplikatorsystem iibereinstimmt. Das konjugierte Multiplikatorsystem Wir verwenden (fiir r G Z) die modifizierte PETERSSON'sclie Bezeiclinung {f\M){z)

= {f\M){z):=V^^+d

f{Mz).

r

Dabei sei / irgendeine Funktion auf der oberen Halbebene und M G SL(2, Z) eine Modulmatrix. Es gilt (5.5) f\MN

=

w^{M,N)U\M)\N.

Die Niitzliclikeit der PETERSSON'sclien Bezeiclinung liegt in folgender einfaclier ist 5.6 Bemerkung. Ein System von l-ten Einheitswurzeln { w ( M ) } ^ genau dann eine Multiplikatorsystem vom Gewicht r/2, falls es eine Funktion f auf der oberen Halbebene gibt, welche nicht identisch verschwindet und welche der Transformationsformel f\M = v{M)f r

genugt.

§5. Modulformen zu Kongruenzgruppen

367

Beweis. 1) Es existiere eine Funktion mit der angegebenen Eigenschaft. Man wahle einen Punkt a, in welchem die Funktion nicht verschwindet, und nutze die Gleichung (/|M)(a) = v{M)f{a) aus. 2) Wir wahlen einen Punkt a ini Innern des Fundanientalbereichs der vollen Modulgruppe aus. Aus der Gleichung Ma = Na {M, N E F) folgt dann M = ±N. Man betrachtet dann die Funktion / auf der oberen Halbebene, welche nur in den Punkten der Form Ma, M £ F, von Null verschieden ist und in ihnen den Wert f{Ma) = I{M, a) anninimt. Natiirlicli ist die so konstruierte Funktion unstetig. D Seien v ein Multiplikatorsystem voni Gewiclit r / 2 beziiglicli der Kongruenzgruppe F und / : H —^ C eine Funktion mit der Transformationseigenscliaft f\M

= v{M)f

fiir alle M e T.

Wir woUen zeigen, dass die Funktion / := f\L^^ fiir beliebiges L G SL(2, T,) ein analoges Transformationsverlialten beziiglicli der zu F konjugierten Gruppe F •= FFL-^ hat: Sei M G T, d.h. M = LML-\ M E F. Dann gilt f\M

= if\F-')\M =

w^{F-\M)f\F-'M

w^{F-\M)f\MF-'

= mit

=

w,{F-\M)w,{M,F-')if\M)\F-'

= v{M)w^{F-\M)w^{M,F-^)f = v{M)J _,^ _,^ v{M) = v{F-^MF)w^{F-^,M)w^{F-^MF,F-^).

Aus 5.6 folgt nun:

5.7 Bemerkung. Sei v ein Multiplikatorsystem vom Gewicht r/2 beziiglich einer Kongruenzgruppe F. Sei L G SL(2, T,) beliebig. Durch v{M) =

v{F-^MF)w^{L-\M)w^{L-^MF,F-^)

wird ein Multiplikatorsystem vom Gewicht r/2 beziiglich der zu F konjugierten Gruppe F = LFF^^ definiert, das sogenannte konjugierte Multiplikatorsystem. Zusatz. /si / : H —)• C eine Funktion mit dem f\M so geniigt f = f\L^^

dem

= v{M)f

fiir M

Transformationsverhalten eF,

Transformationsverhalten

f\M = v{M)J fiir M

eF.

368

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

Der Begriff der Regularitat (Meromorphie) in einer Spitze Sei V ein Multiplikatorsystem vom Gewicht r / 2 beziiglich einer Kongruenzgruppe r und / : H —)• C eine meromorphe Funktion mit der Eigenschaft f\M = v{M)f fiir alle M G -T. Es existiert eine ganze Zahl q ^0 mit r

J

j ) e r

und

fiz + q)=v(^l

j)/(z).

Da V nur Einheitswurzeln als Werte hat, gilt 1 0

q 1 •

1

fiir eine geeignete natiirliche Zahl /. Es folgt die Existenz einer Zahl N ^ Q (z. B. N = Iq) mit der Eigenschaft f{z + N) = f{z). Wegen 5.7 sind auch die transformierten Funktionen f\L^^ periodisch. Damit konnen wir, wie in §2 ausgefiihrt, davon sprechen, dass f\L^^ in icx) regular bzw. aufierwesentlich singular ist. Wir werden sehen (5.9), dass diese Bedingungen nur von der Spitzenklasse von i^^(ioo) abhangen.

Der Begriff der Modulform 5.8 Definition. Es seien F eine Kongruenzgruppe und v ein Multiplikatorsystem vom Gewicht r/2, r E Z. Eine meromorphe Modulform, vom Gewicht r/2 zum Multiplikatorsystem v ist eine meromorphe Funktion f : H —yC mit folgenden 1) f\M

Eigenschaften:

= v{M)f

fiir alle M £ F.

r

2) Zu jedem L G SL(2, Z) existiert eine Zahl C > 0, so dass

f--=f\L-' r

in der Halbebene Im ^ > C analytisch ist und eine aufierwesentliche laritdt bei icx) hat.

Singu-

Zusatz. Ist f sogar eine analytische Funktion / : H —)• C, und ist f\L^^ sogar regular in ioo (fiir alle L e SL(2,Z)j, so nennt man f eine (ganze) Modulform,. Sie heifit Spitzenform,, falls iiberdies {f\L-^){ioo)=0 gilt.

fur alle i G SL(2, Z)

§5. Modulfomien zu Kongruenzgruppen

369

Tatsachlich braucht man die in 5.8 formulierten Bedingungen nur fiir endlich viele L nachzupriifen. 5.9 Bemerkung. Set C eine Menge von Matrizen L e SL(2, Z), so dass L^^(ioo) ein Vertretersystem der r-Aquivalenzklassen von Spitzen durchlduft. Es geniigt in Definition 5.8, die Matrizen L E £ zu betrachten. Im Falle der vollen Modulgruppe geniigt es insbesondere, L = E zu nehmen. Definition 5.8 steht also im Einklang mit der Definition 2.4. Beweis. Seien M^^{\oo) und iV^^(ioo) zwei -T-aquivalente Spitzen. Es existieren dann eine Translationsmatrix P = ± I M =

j und eine Matrix L (^ F mit

PNL.

Die beiden Funktionen f\M^^ und /|A^^^ unterscheiden sich bis auf einen konstanten Faktor nur um eine Translation im Argument. D Bezeichnungen. {F,r/2,v} U [F,r/2,v] U [-T, r/2,w]g

Menge aller meromorphen Modulformen, Menge aller ganzen Modulformen, Menge aller Spitzenformen.

1st r gerade und v das triviale Multiplikatorsystem, so lasst man v in der Bezeiclinung einfacli weg und sclireibt beispielsweise [F,r/2]:=[F,r/2,v].

SclilieBlicli sclireibt man nocli K{F) := {F,0}. Die Elemente von K{F) sind P-invariant und lieiBen Modulfunktionen. Offenbar bildet die Menge aller Modulfunktionen einen Korper, welclier die konstanten Funktionen entlialt. Unmittelbar klar aufgrund von 5.9 ist folgende 5.10 Bemerkung.

Sei L G SL(2, Z) eine Modulmatrix.

f^.f\L-' r

definiert

Isomorphismen {F,r/2,v}

^

{F,r/2,v},

[E,r/2,v]

-^

[E,r/2,^,

[F,r/2,v],^

[E,r/2,v],.

Die Zuordnung

370

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

Dabei set f =

LFL-^

die zu r konjugierte Gruppe und v das zu v konjugierte Multiplikatorsystem Sinne von 5.7.

im

Aufierdem gilt. Sei / : H —)• C eine Funktion mit dem Transformationsverhalten f\M

= v{M)f

fiir alle M G T.

und seien PQ, F mit F^ C F Kongruenzgruppen. Genau dann ist / meromorphe Modulform (ganze Modulform, Spitzenform) beziiglich der Gruppe F, wenn dies beziiglich der Gruppe FQ der Fall ist. Als eine einfaclie Anwendung dieser Bemerkung beweisen wir

5.11 S a t z . Jede (ganze) Modulform negativen Gewichts zu einer Kongruenzgruppe F verschwindet. Jede Modulform vom Gewicht 0 ist konstant. Beweis. Wir zerlegen SL(2, Z) nacli Nebenklassen k

SL(2, Z) = U FM^ v=\

und ordnen einer Funktion

/G[r,r/2,«] die Symmetrisierung

F=Vi^W, zu. Offensiclitlicli ist F eine Modulform vom Gewicht kr jl zur vollen Modulgruppe, und eine geeignete Potenz von F hat das triviale Multiphkatorsystem. Wenn k negativ ist, so verschwindet F identisch, da Satz 5.11 fiir die voile Modulgruppe bewiesen wurde. Es folgt, dass ein f\M^ und somit / selbst identisch verschwindet. Im Falle A; = 0 muss man eine kleine Modifikation anbringen. Man ersetzt / ( z ) durch f{z) — f{ioo) und kann daher o. B. d. A. annehmen, dass / in icx) verschwindet. Dann ist aber F eine Spitzenform vom Gewicht Null, die nach den Resultaten iiber die voUe Modulgruppe identisch verschwindet. D

§5. Modulformen zu Kongruenzgruppen

371

Genaue Beschreibung der Fourierentwicklung Sei r eine Kongruenzgruppe und f&{r,r/2,v} eine von 0 verschiedene meromorphe Modulforni. Es existiert eine Meinste natiirliche Zahl R > 0, so dass die Substitution z \-^ z + R in F enthalten ist, d. h. entweder I

1 G -T oder — I p.

^ 1 G -T. Aus deni Transforniations-

verhalten fiir / folgt f{z + R) = sf{z) mit einer Einheitswurzel e, £ = e^""'"^',

0
ggT{iy, I) = 1.

Mit N = IR gilt insbesondere f{z + N) = f{z) und daher n= — oo

Aus der Gleichung f{z +

R)=ef{z)

folgt nun 2.i«„/w = e2--/'« Aquivalent liierzu ist Definiert man h^ := &„_!_;„, so bekomnit die FoURlERentwicklung die Form /(^)e-2--/'=

Y.

b,

2TTinz/R

Man sielit aucli, dass im Falle v ^ 0 {d.h. e ^ I) f zwangsweise in dem von uns definierten Sinne in icx) verscliwinden muss, /(icx)) := lim fiz) = 0.

5.12 Definition.

Sei / G { r,r/2,v

}, / ^ 0. Die Ordnung von f in ioo ist

ordp(/;ioo) = min{n; 6„ ^ 0}.

Dieser Begriff hat Tiicken. Es gilt zwar

372

Kapitel VI. Elliptische Modulformen o r d p ( / ; i o o ) > 0 <=> /

regular in icx),

aber die Konklusion o r d ^ ( / ; i o o ) > 0 =^

/(ioo) = 0

gilt nur in der einen Riclitung. Der Begriff der O r d n u n g in ico h a t folgenden Vorteil: Sei N e SL(2, Z ) ; N{ioo)

= ioo. Dann

gilt

o r d ^ ( / ; i c x ) ) = o r d ^ ^ j y - i ( / | i V " ^ ; icx)).

F o l g e r u n g . Sei n eine Spitze

von F und

iVGSL(2,Z); Die

A^K = ioo.

Definition ord^(/;[/€])

:=ordjvrAr-i(/l^"^ioo) r

hdngt nur von der F-Aquivalenzklasse

von K ah.

Wir wollen diese Probleine, die voin Standpunkt der RiEMANN'schen Flachen aus darin bestehen, einer beliebigen Modulform einen Divisor zuzuordnen, an dieser Stelle niclit weiter vertiefen. Wir werden statt dessen im zweiten Band die Theorie der RiEMANN'schen Flachen verwenden, urn folgende Probleme zu losen: 1) Die Zuordnung eines „Divisors" zu einer Modulform und die Verallgemeinerung der fc/12-Formel auf beliebige Kongruenzgruppen. 2) Der Beweis der Endlichdimensionalitat von [F, r / 2 , v\ und die Berechnung der Dimension (in vielen Fallen). 3) Die (grobe) Bestimmung der Struktur des Korpers K{r)

der Modulfunktionen.

Ebenfalls im zweiten Band werden wir folgenden Satz zeigen: Set S = S*"' eine positiv definite rationale Matrix. Die

i}{S; z)=Y^

Tfietareihe

e"'''^''^"

ist eine Modulform heziiglich einer geigneten Kongruenzgruppe. existiert eine naturliche Zahl q mit der Eigenschaft

Genauer gilt:

Es

i){S;z)e[r[2qlr/2,vl].

In diesem Band werden wir in §6 ein nichttriviales Beispiel einer Kongruenzgruppe detailliert behandeln.

Anhang zu §5. Die Thetagruppe

373

Anhang zu VI5. Die Thetagruppe Wir wollen in diesem Anhang ein wichtiges Beispiel einer Kongruenzgruppe, die sogenannte Thetagruppe genauer untersuchen. Es gibt modulo 2 genau sechs verschiedene ganze Matrizen mit ungerader Determinante, namlich 1 0

0 1

0 1

1 0

1 0

1 1

1 1

0 1

0 1

1 1

1 1

1 0

Die ersten beiden bilden eine Gruppe beziiglich der Matrizenmultiphkation. Hieraus folgt A5.1 Bemerkung. Die Menge alter Matrizen M E SL(2, Z) mit der Eigen-

schaft M

1 0

0 1

oder

0 1

1 0

mod 2

hildet eine Untergruppe von SL(2,Z) Man nennt diese Untergruppe auch die Thetagruppe F^. Ein Bhck auf obige sechs Matrizen zeigt, dass man F^ durch die Bedingung a + b + c + d= 0 mod 2 oder durch ab = cd= 0 mod 2 definieren kann. Wir fiihren eine Punktmenge J-^ ein, welche fiir die Thetagruppe eine ahnhche Rohe spielt, wie der Fundamentalbereich JF fiir die vohe Modulgruppe, namhch :F^ = {z eM; 1^1 > 1, |x| < 1}.

Kapitel VI. Elliptische Modulfomien

374

A5.2 Hilfssatz. Die Menge T^ ist eine Fundamentalmenge

der Thetagruppe,

Mer,. Die Thetagruppe enthalt die beiden Matrizen 1 0

2 1

und

'0 1

-1 0

Sei FQ die von diesen beiden Gruppen erzeugte Untergruppe von F^. Es gilt sogar niehr: Zu jedem Punkt ^ G H existiert eine Matrix M E F^ mit der Eigenschaft

Mz e ^^. Der Beweis verlauft genauso wie ini Falle des gewohnlichen Fundanientalbereichs (V.8.7). D Wir wollen die Fundamentalmenge J-^ starker mit dem Fundamentalbereicli J- der voUen Modulgruppe in Verbindung bringen und betracliten liierzu den Bereicli '0 - 1 ' JP. 0 1

^.=^u(; ;wu J ;

Offenbar ist der Bereicli

0

1

-1 0 \z\
J^ durcli die Ungleicliungen |^±1|>1

cliarakterisiert. Wir definieren 1 0

1 1

In der folgenden Abbildung sind die Bereiclie S!F und !F^ dargestellt:

1 Re

Anhang zu §5. Die Thetagruppe

375

Verschiebt man den durch „x > 1" definierten Teil von T^ niittels der Translation z ^ z — 2 nach links, so erlialt man aus T^ genau den Bereicli T^. Es folgt also A5.3 Hilfssatz. Der Bereich 1 ist eine Fundamentalmenge

1\_,,/1

l\/0

-1

der Thetagruppe,

Wir liaben in Wirkliclikeit melir bewiesen, JF^ ist sogar eine Fundamentalmenge der Untergruppe FQ. Wir zeigen jetzt jedocli die Gleiclilieit der beiden Gruppen. /I A5.4 Satz. Die Thetagruppe F^ wird von den beiden Matrizen I ^

2\ 1 und

Q j erzeugt.

Beweis. Wir bemerken zunaclist, dass die negative Einlieitsmatrix in FQ entlialten ist:

0 -iV

fl

1

vo 1

oy

0

Sei nun M E F^. Wir betracliten einen inneren Punkt a des Fundamentalbereiclis J- und linden nacli A5.2 eine Matrix N E FQ mit der Eigenscliaft NM{a)

G J"^.

Es gibt nun drei Mogliclikeiten: 1) NM[a)

G J-. In diesem Falle gilt wegen 1.4 M = ±N-'^

und dalier M E FQ. 2) NM{a)

e ( J

} j J". Jetzt folgt

Dieser Fall kann aber gar niclit eintreten, da I j nicht in F^ entlialten ist. ^ ^ 3) Der dritte Fall verlauft analog zum zweiten, da aucli

376

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

1 iWo

-lUfi -1

0 ly \i

oy

\i

0

nicht in F^ enthalten ist.

Weitere Eigenschaften der Thetagruppe Mit Hilfe obiger Liste der sechs mod 2 verschiedenen ganzen Matrizen mit ungerader Determinante zeigt man leicht folgende Eigenschaft der Thetagruppe: A5.5 Satz. Es gilt

Die Thetagruppe ist also eine Untergruppe vom Index 3 von F = SL(2, Z)

2)

F, = F[2]UF[2].

Die Hauptkongruenzgruppe F,.

(J

-J

der Stufe 2 ist eine Untergruppe vom Index 2 in

3) Es gilt

a)

^.^•=(o l j ^ ' ' ( o

1

MeT;

M=

(I

M eF]

Af=(J

0

M Oder 1/

(J % \ 1 1

mod2

J j Oder

(J

mod 2

Insbesondere ist F^ kein Normalteiler Gruppen F^, F^ und F^ sind paarweise

M

von F, denn die drei

konjugierten

verschieden.

4) Es gilt

F^nr^nr^

= F[2].

Wir Ziehen noch eine interessante Folgerung fiir die Kongruenzgruppe der Stufe 2.

Ubungsaufgaben zu §5

377

A 5 . 6 S a t z . Die Hauptkongruenzgruppe 1

2\

(I

r[2] wird von den drei 0\

,

(I

Matrizen

0

erzeugt. Beweis. Sei Pg die von den drei Matrizen erzeugte U n t e r g r u p p e zu r\2\. geniigt offenbar '0 - 1 ' r ^ = M : = To U To 1 0

Es

zu zeigen. Dies b e d e u t e t zweierlei 1) Die Erzeugenden (

j und I

j von F^ sind in M. e n t h a l t e n .

Dies ist trivial. 2) Ai ist eine G r u p p e . Dies folgt aus der offensichtlichen Beziehung

4\-l)-{\-i^^' u n d aus 0 1

- 1 \ ^ 0 /

(I 10

0 1

D

Ubungsaufgaben zu VI.5 1. Die Gruppe SL(2,_R) lasst sich fiir jeden assoziativen Ring mit Einselement 1^ definieren. Man zeige, dass sie im Falle R = Z / g Z von den beiden Matrizen ^

^ I und

I

^

^

erzeugt wird. 2. Der natiirliche Honiomorphismus SL(2,Z) —>SL(2, Z / g Z ) ist surjektiv. Insbesondere gilt [r:r[q]]

=#SL(2,Z/gZ).

3. Sei p eine Primzalil. Die Gruppe GL(2, Z / p Z ) bestelit aus {p^ — l)(p^ — p) Elenienten. Anleitung. Wieviele erste Spalten gibt es? Wie oft lasst sicli eine Spalte zu einer invertierbaren Matrix erganzen?

378

Kapitel VI. Elliptische Modulformen Man folgere, dass die Gruppe S L ( 2 , Z / p Z ) aus (x/ — l)p Elementen besteht.

4. Seien p eine Priinzahl und m eine natiirliche Zahl. Honioniorphisnius GL(2, Z / p ^ Z ) -^

Der Kern des natiirlichen

GL(2, Z / p ' ^ - ' Z )

ist isomorph zur additiven Gruppe der 2 x 2-Matrizen niit Eintragen aus Z / p Z . Man folgere # GL(2, Z / p ' - Z ) = / ' " - 3 ( / - l)(p - 1), # S L ( 2 , Z / p ' ^ Z ) = / ' " - ' ( / - 1). 5. Seien t/-^ und q^ zwei teilerfremde natiirliche Zahlen. Der Chinesische Restsatz besagt, dass der natiirliche Honioniorphisnius Z/g^t/jZ -^ Z/g^Z x Z/t/jZ ein Isomorphismus ist. Man folgere, dass der natiirliche Honioniorphisnius GL(2, Z/q-^q^Z) —> GL(2, Z/q^Z)

x GL(2,

Z/q^Z)

ein Isomorphismus ist. 6. Man leite mittels der Aufgaben 2, 4 und 5 die Indexformel

[r:r[q]]=q^ll('-^

p2

ab. 7. Eine Teilmenge J-g C H heifit Fundamentalbereich einer Kongruenzgruppe Fg, falls die folgenden zwei Bedingungen erfiillt sind: a) Es gibt eine Teilmenge S C J-^Q vom LEBESGUE-Mafi 0, so dass J^Q — S offen ist und je zwei Punkte aus J^g — S beziiglich FQ inaquivalent sind. b) Es gih

H = I J Mjc-Q. MGTo

Sei h

v= l

die Zerlegung der voUen Modulgruppe in Rechtsnebenklassen nach Fg und sei J' die gewohnliche Modulfigur. Dann ist h

^0 = U ^^^ v= \

ein Fundamentalbereich von Fg. 8. Das (invariante) Volumen dxdy «(^o) -

;

y2

ist von der Wahl eines Fundamentalbereichs unabhangig, hangt also nur von der Gruppe Fg ab. Es gilt

Ubungsaufgaben zu §5

379

«(^o) = [^ : ^o] • I • Anleitung. Sei T die Vereinigung von 5* mit der Menge aller Punkte aus ^ Q , welche zu einem Randpunkt des gewohnlichen Fundamentalbereichs der Modulgruppe beziiglich SL(2, Z) aquivalent sind. Man „zertrummere" die offene Menge T^ — T mit Hilfe eines Quadratnetzes in abzahlbar viele disjunkte Mengen, so dass sich jedes Triimmerstiick mittels einer geeigneten Modulsubstituion in das Innere des gewohnlichen Fundamentalbereichs der Modulgruppe transformieren lasst. 9. Sei FQ ein Normalteiler von endlichem Index in der vollen Modulgruppe. Die Faktorgruppe G operiert auf dem Korper der Modulfunktionen KiyF^) durch

f{z)^^f'{z):=f{Mz). Dabei sei M G P ein Reprasentant von g £ G. Der Fixkorper ist

K{r) = K{r,f. Insbesondere ist K{rg)

algebraisch iiber

K{r).

10. Aus Aufgabe 9 folgt, dass je zwei Modulfunktionen zu einer beliebigen Untergruppe der Modulgruppe von endlichem Index algebraisch abhangig sind. Nehenhei. Aus dem Satz vom primitiven Element folgt die Existenz einer Modulfunktion / mit der Eigenschaft Es lasst sich zeigen, dass die Abbildung H/^ ^

C X C,

[z]^(j{z),f{z)\ injektiv ist und dass das Bild eine algebraische Kurve ist, genauer, ihr Durchschnitt mit C X C ist eine affine Kurve. Dies werden wir erst im zweiten Band mit Hilfe der Theorie der RiEMANN'schen Flachen beweisen. 11. Sei q eine natiirlich Zahl. Man zeige, dass rJg]:={M=P

MeSL(2,Z),

c = Omodg},

r°[9]:={M=p

MGSL(2,Z),

h=

QmoAq}

Kongruenzgruppen sind. Die beiden Gruppen sind in der vollen Modulgruppe konjugiert. Es gilt

i ; = r°[2], r^ = rj2]. 12. Sei p eine Primzahl. Die Gruppe -TQIJ*] besitzt genau zwei Spitzenklassen, welche durch 0 und ioo reprasentiert werden konnen.

380

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

6. Ein Ring von Thetafunktionen Die Thetagruppe r^ = lh^

JjeSL(2,Z);

a + b + c + d gerade |

wird, wie wir wissen, von den beiden Matrizen 1

2\

fO

-1

erzeugt. Aus den wohlbekannten Formeln

'd{z + 2) ='diz); 'd(--j

= J^'diz)

folgt, dass sich die Thetareihe oo

^{z) :=

y^

expyrin^^

wie eine Modulforni voni Gewicht 1/2 beziiglich eines gewissen Multiplikatorsystems v^ transforniiert. Wir werden keine allgenieinen expliziten Formeln fiir v^ benotigen. Mit Hilfe des in A5.5 angegebenen Vertretersystems der Nebenklassen von r^ in r zeigt man: 6.1 Hilfssatz. Die Thetagruppe besitzt zwei Spitzenklassen, und 1 reprdsentiert werden konnen.

welche durch icx)

Die Thetareihe 'd{z) besitzt drei konjugierte Formen: Neben 'd selbst handelt es sich um die beiden Formen oo

d{z) = Y,

(-I)"exp7rin2z,

^{z)=

exp7ri(n + l / 2 ; 'z.

Y^

welche wir schon in §4 kennengelernt haben. Wir erinnern an die Transformationsformeln aus 4.4 'd{z + l)=d{z),

d{z + l)='d{z),

d{z +

l)=e'''/^d{z),

§6. Ein Ring von Thetafunktionen

381

Die drei Reihen sind in icx) regular, § ist infolgedessen in den beiden Spitzen von r^ regular und dalier eine (ganze) Modulform voni Gewiclit 1/2. Die beiden anderen konjugierten Fornien sind dann ebenfalls (ganze) Modulformen voni Gewiclit 1/2 zu den entspreclienden konjugierten Multiplikatorsystemen, d. li.

'de

-^19'

1/2, «^

de

-^•(9;

1/2,^^

n.

de

-^tf

1/2,^^

r.

1 0

1 1

0

r,. l\~

0

0

-1 o j ^ n i

Die Werte der drei konjugierten Multiplikatorsystenie bereclinet man fiir jede vorgegebene Matrix aus einer der konjugierten Gruppen am einfaclisten dadurcli, indem man diese Matrix durcli die Erzeugenden der vollen Modulgruppe ausdriickt und obigen Formelsatz anwendet. Der Durclisclinitt der drei Konjugierten der Tlietagruppe ist die Hauptkongruenzgruppe der Stufe 2, r[2]

r^nr^nr.

: = Kern ('SL(2, Z) —^ SL(2, Z / 2 Z ) y Wir wissen, dass die Hauptkongruenzgruppe der Stufe 2 von den drei Matrizen 1 0

2 1

1 2

0 1

erzeugt wird. Die drei konjugierten Multiplikatorsysteme stimmen jedocli auf r[2] niclit liberein. Dies gescliielit erst auf einer kleineren Gruppe, namlicli auf der von J.-I. IGUSA eingefiilirten Gruppe r[4,8]

d

E F; a = d = 1 mod 4; b

0 mods

Die von dieser und der negativen Einlieitsmatrix erzeugte Gruppe bezeiclinen wir mit r [ 4 , 8]. Es gilt r[4,8]

d

E F; a = d = 1 mod 2; b

0 mod 8

Die beiden Gruppen definieren dieselben Transformationsgruppen. 6.2 Hilfssatz (J. I G U S A ) . Die Gruppe r[4:, 8] ist ein Normalteiler in der vollen Modulgruppe. Die Gruppe

382

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

^Pl/r[4.8l ist isomorph zur Gruppe Z/4Z Der Isomorphismus

X Z/4Z.

wird durch die Korrespondenz

hergestellt. Folgerung. Die drei Multiplikatorsysteme v^, v^ und v^ stimmen auf der Gruppe r[4,8] iiberein. Sie nehmen auf dieser Gruppe nur die Werte ± 1 an. Gerade Potenzen von ihnen sind insbesondere trivial. Beweis von 6.2. Jedes Element von _r[2] kann in der Form

mit einem Element der K der Kommutatorgruppe von _r[2] gesclirieben werden. Wie man mit Hilfe der Erzeugenden leiclit naclireclinet, ist K in _r[4,8] entlialten. Es folgt, dass M genau dann in -r[4,8] entlialten ist, wenn das Plus-Zeiclien gilt und x und y beide durch 4 teilbar sind. Wir konnen nun den Homomorpliismus

betracliten. Man reclinet leiclit nacli, dass sein Kern genau 4Z x 4Z ist. Zum Beweis der Folgerung muss man beacliten, dass sicli je zwei der drei Multiplikatorsysteme lediglicli um einen Cliarakter untersclieiden. Cliaraktere sind auf Kommutatoren trivial. Dalier muss man nur nocli verifizieren, dass die drei Multiplikatoren auf den beiden Basiselementen iibereinstimmen. D 6.3 Theorem. Der Vektorraum [-r[4,8],r/2,w5] wird von den Monomen ^"/^^,

a + /3 ++ 77 == r,r,

erzeugt. Es gilt die Jacobi'sche

a, /3, 7 G NQ ,

Thetarelation

/=/+^^

§6. Ein Ring von Thetafunktionen

383

Infolgedessen braucht man fur die Erzeugung nur Monome mit der Nebenbedingung a < A zu betrachten. Diese sind sogar linear unabhdngig, bilden also eine Basis. Insbesondere gilt 3, 6, 10, I 4r - 2,

dimc[r[4,8],r/2,«5]

falls falls falls falls

r r r r

= = = >

1 2 3 4

Man kann Theorem 6.3 eleganter forniulieren, indeni man den graduierten Ring von Modulformen

-4(^4,8]) = 0 [ r [ 4 , 8], r/2,«;] betrachtet. Theorem 6.3 besagt: 6.3' Struktursatz. Es gilt

^(r[4,8]) Definierende

^,^,-&

Relation ist die Jacohi'sche 4

Thetarelation ^-4

^-4

1st C [X, Y, Z] der Polynomring in drei Unbestimmten und

C[X,Y,Z]^A{r[4:,8]),

X^^d,

Y^^d,

Z

^^d,

der Einsetzungshomomorphismus, so ist dieser surjektiv und sein Kern wird von X'^ — Y^ - Z^ erzeugt.

Theorem 6.3 ist ein Spezialfall sehr viel tieferer Resultate von J. IGUSA (s. [Igl, Ig2]). Abweichend von IGUSA woUen wir einen ganz elementaren Beweis dieses Theorems darlegen, welcher ohne weiteres im Rahmen eines einfiihrenden Seminars in die Theorie der Modulformen behandeh werden kann. Zum Beweis dieses Satzes nutzen wir aus, dass die endhche abelsche Gruppe

^ = ^[Vf[4,8] auf dem Vektorraum [_r[4,8],r/2,w5] vermoge f{z) ^

f^{z)

:= v^'-{M){cz

+

d)-'l^f{Mz)

operiert. Wir erlautern kurz, was dies bedeutet: Sei G eine Gruppe und V ein Vektorraum iiber dem Korper der komplexen Zahlen C. Man sagt, dass G auf V (hnear) operiert, faUs eine Abbildung y xG (/,a)

r

384

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

mit folgenden Eigenschaften gegeben ist: ^) f^ = f (e das neutrale Element von G), 2) (/«)'' = /«^ fiir alle f eV, a,b E G, 3) (/ + 9)° = r + 5 ° , (A/)° = A / ° m r a l l e / , 5 e F , a G G, A G C. Sei nun X-.G^C ein Charakter, also ein Homomorpliisnius von G in die niultiplikative Gruppe der von Null verscliiedenen koniplexen Zalilen. Wir definieren einen Teilrauni V^ von V. Er bestelie aus alien Elenienten f eV

mit / ° = x{a).f

fur alle a e G.

Wegen 3) ist V^ ein Untervektorraum. 6.4 B e m e r k u n g . Sei G eine endliche abelsche Vektorraum V linear operiert, dann gilt

Gruppe, die auf dem C-

wobei G die Gruppe der Charaktere von G bezeichnet. Beweis. Sei f & V. Das Element

aeG

ist offensiclitlicli in V^ entlialten, denn es gilt

{Ff

= Y.^{a)-'r'

=

Y.xib)x{b)-'x{a)-'r' = x{h)F.

= Y,x{h)x{ah)-'r' Behauptung. Es gilt

f = -}-\^

fX

xeG wobei X dlle Charaktere von G durchlduft. Der Beweis ergibt sicli unmittelbar aus der Formel

E^X{a)

r 0,

falls a ^ e

= I ^^^

^^jj^ ^ ^ ^^

Diese wolilbekannte Formel fiir endliche abelsche Gruppen folgt beispielsweise aus dem Hauptsatz fiir endliche abelsche Gruppen.

§6. Ein Ring von Thetafunktionen

385

1st X

irgendeine Zerlegung von / in Eigenfornien, so folgt aus obigen Charakterrelationen

die Darstellung ist also eindeutig. Wir werden Bemerkung 6.4 nur ini Fall G = l/AI

X

D

l/AI

anwenden. Hier ist die Forniel trivial, da man die Cliaraktere explizit liinsclireiben kann: Da jedes Element von G die Ordnung 1, 2 oder 4 hat, konnen die Cliaraktere nur die Werte 1, —1, i oder —i annelimen. Offenbar kann man diese Werte auf den beiden Erzeugenden (1,0) und (0,1) von G beliebig vorgeben und erlialt somit 16 Cliaraktere von G. Wir konnen dalier [-r[4,8], r / 2 , wj] nacli den 16 Cliarakteren dieser Gruppe zerlegen, d. li. es gilt [r[4,8],r/2,«5]=0[r[2],r/2,««5]. V

Hierbei durclilauft v alle 16 Cliaraktere von P[2] mit der Eigenscliaft v{±M)

= 1 fiir M e r [ 4 , 8 ] .

Diese Cliaraktere sind durcli ilire Werte auf den Matrizen \

\)

"^^

(2

\

bestimmt und konnen auf ilinen beliebige vierte Einlieitswurzeln als Werte annelimen. Wir kodieren sie durcli Zalilenpaare [a, 6], a = v[]^

?)

und 6 = « Q

\

Da sicli zwei Multiplikatorsysteme desselben Gewiclits r / 2 nur um einen Cliarakter untersclieiden, untersclieiden sicli die drei fundamentalen Multiplikatorsysteme nur um einen der 16 Cliaraktere. Eine einfaclie Reclinung zeigt

Als naclistes nutzen wir aus, dass die Gruppe r\2\ in F Normalteiler ist. Dies bedeutet, dass die Zuordnung / H-^ f\N^^ einen Isomorpliismus

386

Kapitel VI. Elliptische Modulformen [r[2],r/2,««5]-^[r[2],r/2,«(^''-)«5]

bewirkt. Dabei ist die Zuordnung v i-)- v*^''"' fiir jedes r G Z und jedes N ^ F eine Permutation der 16 Charaktere. Diese Permutation hangt natiirlich nur von r mod 4 ab. Wir erhalten also vier Darstellungen der Modulargruppe SL(2,Z/2Z)

{^S.SJ

in der Gruppe der Permutationen der 16 Charaktere. Es ist leicht, diese Permutationen explizit zu berechnen. Mit Hilfe der Formel v^^'^'> = v^ (^] V ^i9 /

,

v^{M)

:=

v^iNMN-^),

kann man v^^'^^ fiir konkrete A^ berechnen. Eine kleine Rechnung, welche dem Leser iiberlassen bleibe, zeigt beispielsweise: 6.5 Hilfssatz.

1) Im Fall N = (I

0

M gilt

1

[a,6](^''-) = 2) Im Fall N = { '] 1

[a,{-iYab-^].

^\ gilt -1 ^

Die beiden angegebenen Matrizen erzeugen SL(2, Z), denn es gilt

0 -lUfi iU-1 1

0

lo

1/ I

6.6 Hilfssatz. Die drei Basisthetareihen in der oberen Halbebene.

1

oWi

1

-1 M 0

1

•&, •& und -d haben keine

Nullstellen

Beweis. Die achte Potenz ihres Produkts ist bis auf einen konstanten Faktor die Diskriminante. D Eine anderer Beweis ergibt sich aus der Tatsache, dass die Nullstellen der jACOBl'schen Thetafunktion •d{z,w) als Funktion von w bekannt sind. Sie liegen genau in den zu ^y^ aquivalenten Punkten beziighch des Gitters Z+zZ. Einen dritten direkten Beweis werden wir in VII. 1 kennenlernen. 6.7 Hilfssatz. Die Gruppe F[2] besitzt drei Spitzenklassen, icx), 0 und 1 reprdsentierten.

ndmlich die durch

§6. Ein Ring von Thetafunktionen

387

Der Beweis erfolgt ahnlich wie der von 6.1 und kann iibergangen werden.

D

Die Thetareihe 'd besitzt in ico eine Nullstelle der Ordnung 1, wobei die Ordnung in deni Parameter q := e'^''/^ gemessen wird. Da jede Modulform aus [r[4,8],r/2,w5] die Periode 8 hat, also eine Entwicklung nach Potenzen von q zulasst, erhalten wir: 6.8 Hilfssatz. Die Zuordnung f ^ f •'& definiert einen Isomorphismus von [r[2],r/2,vv^'\ auf den Unterraum aller in icx) verschwindenden Formen aus

ZwangsnuUstellen Wir nehmen

MJ ? ) ^ I an. AUe Formen aus [-r[2],r/2,wwj] verschwinden dann zwangsweise in der Spitze ioo, wie man aus der Gleichung

f{z + 2)=v(^l

j)/(z)

durch Grenziibergang j/ —)• cx) zeigt. 6.9 Definition. Wir henutzen im weiteren folgende Sprechweise: 1) Eine Form f aus [r[2],r/2,vv^,] hat eine Zwangsnullstelle

in ioo, falls

2) Sei N e SL(2, Z) eine Modulmatrix. Die Form f hat eine Zwangsnulleine stelle in der Spitze N^^{ioo), falls die transformierte Form f\N^^ Zwangsnullstelle in icx) hat.

6.10 Bemerkung. Wenn die Form f G [-r[2],r/2,w5] eine in einer Spitze hat, so ist eine der drei Modulformen

f/^,

f/l

fid

eine (auch in den Spitzen reguldre) Modulform.

Zwangsnullstelle

388

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

Aus Hilfssatz 6.5 folgt 6.11 S a t z . Nur in dem Fall r = 0 mod 4 und v = I haben die Formen aus [r[2],r/2,vv^] keine ZwangsnuUstelle in irgendeiner Spitze. Wir beweisen nun durch Induktion nach r, dass der Raum [_r[2],r/2, wwj] von den Potenzprodukten •& •& 1) erzeugt wird. Wenn eine ZwangsnuUstelle vorliegt, so kann man durcli eine der drei Basisformen dividieren und gelangt in einen (isomorplien) Raum kleineren Gewiclits. Wenn keine ZwangsnuUstelle vorliegt, ist r durcli 4 teilbar und v trivial. In diesem Falle liegt 'd"^ in dem Raum. Die Differenz einer gegebenen Form aus dem Raum und einem konstanten Vielfaclien von 'd"^ verscliwindet in der Spitze icx). Man kann dalier durcli •& dividieren und die Induktionsvoraussetzung anwenden. Eine leiclite Verfeinerung dieser Sclilussweise liefert aucli die definierenden Relationen: 4

~4

Offensiclitlicli verscliwindet § — 'd m icx) in mindestens vierter Ordnung ~4

und kann dalier durcli 'd geteilt werden. Der Quotient ist eine Modulform vom Gewiclit 0, mitliin konstant. Auf diesem Weg beweist man die JACOBi'sclie Tlietarelation _ Dalier ist jede Modulform aus [-r[4,8],r/2,w5] Linearkombination von Monomen _

'd"d'^d^, a + /? + 7 = r,

0
Die Anzalil dieser Monome ist

< ,' , p„ ^ „' \ 4r - 2, falls r > 2. Andererseits liefert obiger Induktionsbeweis aucli die Dimension der 16 Konstituenten von [P[4,8],r/2, wj]. Summiert man sie auf, so erlialt man genau die Anzalil der Monome. Diese bilden dalier eine Basis. Wir iiberlassen die Einzellieiten dieser Reclinung dem Leser.

Ubungsaufgaben zu VI.6 1. Man zeige, dass die Menge r[q, 2q] aller Matrizen a b\ „r , J e r[q], c dj '• '

ah cd ^ ,„ — = — = 0mod2, q q

fiir jede natiirliche Zahl eine Kongruenzgruppe ist.

Ubungsaufgaben zu §6

389

2. Die Gruppe S L ( 2 , Z / 2 Z ) und die symmetrische Gruppe 5*3 haben beide sechs Elemente. Da je zwei nicht kommutative Gruppen der Ordnung 6 isomorph sind, miissen S L ( 2 , Z / 2 Z ) und 5*3 isomorph sein. Man gebe einen Isomorphismus explizit an. Anleitung. Man hat eine natiirliche Operation von SL(2, Z) auf den drei Basisthetareihen. 3. Es gibt eine Kongruenzgruppe, die in der vollen elliptischen Modulgruppe den Index 2 hat. 4. Man bestimme alle Kongruenzgruppen der Stufe 2, d. h. alle Untergruppen F niit r\2\ C -T C -^[1]. Man gebe in jedeni Fall ein Vertretersysteni der Nebenklassen von r[\\ nach F und von F nach F\2\ an. 5. Ein Mononi i)" i) d , a + /? + 7 = r, ist genau dann eine Modulforni beziiglich der Thetagruppe zum Multiplikatorsystem v^, wenn l3 = "f = OniodS gilt. Man zeige, dass diese Mononie eine Basis von [F^,r/2,w^] bilden. Insbesondere ist der graduierte Ring

A{F,) =

^[F„r/2y,]

ein Polynomring, welcher von den zwei algebraisch unabhangigen Modulfornien

erzeugt wird. Es folgt dime [ r ^ , r / 2 , « ; ] = 1 + 6. Man driicke die EiSENSTEiNreihen G^ und Gg als Polynome in i^'', -d und i) aus. Anleitung. Das Polynom ist homogen vom Grad 2 oder 3. Allzuviele Moglichkeiten gibt es nicht, wenn man ins Spiel bringt, wie sich die drei Thetareihen unter den Erzeugenden der Modulgruppe transformieren. 7. Im Spezialfall der Gruppe r[4:, 8] reichen die vorliegenden Mittel aus, um folgende (nicht ganz einfache) Aufgabe zu losen. Die Abbildung

^r[4,8]

C X C, •d{z)

i){z)

^{zY i){z) ist injektiv. Ihr Bild ist aufgrund der jACOBl'schen Thetarelation in der durch X -\-Y = 1 definierten afhnen Kurve enthalten. Das Komplement des Bildes besteht aus genau den 8 Punkten, welche durch XY = 0 definiert sind.

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

In der analytischen Zahlentheorie findet sich eine der schonsten Anwendungen der Funktionentheorie. In deni vorliegenden Kapitel behandeln wir einige ausgesuchte Perlen. Wir haben bereits in VI.4 gesehen, dass quadratische Fornien bzw. Gitter zur Konstruktion von Modulfornien dienen konnen. Die FoURIERkoeffizienten der Thetareihen zu quadratischen Fornien bzw. Gittern haben zahlentheoretische Bedeutung. Sie sind als Darstellungsanzahlen quadratischer Fornien bzw. als Gitterpunktanzahlen zu interpretieren. Dank der allgenieinen Struktursatze fiir Modulfornien kann man Thetareihen niit ElSENSTEINreihen in Verbindung bringen. Wir werden die FoURIERkoeffizienten der ElSENSTEINreihen berechnen und auf dieseni Wege zahlentheoretische Anwendungen erhalten. In §1 werden wir insbesondere die Anzahl der Darstellungen einer natiirlichen Zahl als Suninie von vier und von acht Quadraten ganzer Zahlen auf rein funktionentheoretischeni Weg ableiten. Ab deni zweiten Paragraphen befassen wir uns niit DiRiCHLETreihen, insbesondere der RiEMANN'schen (^-Funktion. Zwischen Modulfornien und DiRiCHLETreihen besteht ein Zusammenhang (§3). Wir beweisen HECKE'S Satz, dass zwischen DiRiCHLETreihen niit Funktionalgleichung und FoURIERreihen niit eineni gewissen Transformationsverhalten unter der Substitution z >->• — 1/^ unter geeigneten Wachstumsbedingungen eine umkehrbar eindeutige Beziehung besteht. Diese wird iiber die MELLINtransforniation der F-Funktion gewonnen. Als Anwendung erhalten wir insbesondere die analytische Fortsetzung der ^-Funktion in die Ebene und ihre Funktionalgleichung. Die Paragraphen 4, 5 und 6 enthalten einen Beweis des Prirazahlsatzes niit einer schwachen Form fiir das Restglied. Wir haben versucht, den Primzahlsatz mit moglichst geringen Mitteln abzuleiten. Aus diesem Grunde haben wir die Tatsachen iiber die ^-Funktion, soweit sie benotigt werden, noch einmal zusammengestellt und einfache Beweise gegeben. Man kommt mit weniger aus, als in §3 bewiesen wurde, beispielsweise benotigt man nicht die analytische Fortsetzung der ^-Funktion in die voile Ebene und ihre Funktionalgleichung. Es geniigt die Fortsetzung ein Stiick iiber die Vertikalgerade Re s = 1 hinaus; und dies geht einfacher. Die Funktionalgleichung kommt erst bei den feineren Restgliedabschatzungen ins Spiel, worauf wir hier aber nicht eingehen woUen. Wir verweisen auf die Spezialliteratur ([Lan, Pr, Sch]).

392

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

1. Summen von vier und acht Quadraten Sei k eine natiirliche Zahl. Wir interessieren uns dafiir, wie oft man eine natiirliche Zahl n als Summe von k Quadraten ganzer Zahlen schreiben kann: ^fc(«-) := # { « = («!, • • •, a;;.) G Z*;

x^-\

\-xl=n}.

Wir werden diese Anzahlen in den Fallen fc = 4 und k = 8 bestimmen, und zwar gilt fiir positives n

A^{n) = 8 y~^ d 4:\d, d\n l
und

A,{n) = 16 J2 (-l)""'rf'd\n l
Der Beweis wird auf funktionentheoretiscliem Wege erbracht. Durcli formales Potenzieren erlialt man

^

\ m = —c

«•"

=E-"•('"«"

Wir werden zunachst die Funktion

E

Q

(sie konvergiert fiir \q\ < 1) durch funktionentheoretische Eigenschaften charakterisieren und die Charakterisierung benutzen, um sie in den Fallen k = 4 und k = 8 mit Hilfe von EiSENSTEiNreihen auszudriicken. Obige Formeln fiir die Darstellungsanzahlen sind eine unmittelbare Folgerung aus diesen funktionentlieoretischen Identitaten. Der Fall fc = 4 ist wesentlich schwieriger als der Fall k = 8, da in diesem Fall die EiSENSTEiNreihe (vom Gewiclit 2) nicht absolut konvergiert. Die zahlentheoretischen Identitaten werden sich aus Identitaten zwischen Modulformen und zwar zwischen Tlietareihen und EiSENSTEiNreihen ergeben. Wir werden die benotigten Identitaten mit moglichst geringen Mitteln ableiten und insbesondere von dem relativ schwierigen Struktursatz VI.6.3 keinen Gebrauch machen. Die Fourierentwicklung der Eisensteinreihen W i r erinneren a n die Partialbruchentwicklungen des K o t a n g e n s u n d des Negativen seiner Ableitung: ..

oo

TT cot nz 2

1 z + n

oo

..

E

[z -^n)

1

+

Die beiden Reihen konvergieren in C — Z normal.

z —n

§1. Summen von vier und acht Quadraten

393

Die beiden Reihen sind analytische Funktionen in der oberen Halbebene und haben die Periode 1. Sie miissen sich daher in FouRiERreihen entwickeln lassen.

1.1 Hilfssatz. Mit q = e^'^'', lmz>0, OO

gilt

^

OO

«=1

Beweis. Es ist cosTTZ TT c o t TTZ =

TT —

. q+1 =

.

TTl

=

27n =

q —1

s m TT^

.

TTl

. v-^ ,,

TTl — ZTTl

>

q

.

1 — (/

^

^

n=0

Differenziert man diese Reihe nach z, so ergibt sich OO

7r2

= (27rif^n^",

" > " " " " " ' '

K = l

was zu beweisen war.

D

Durch iteriertes Ableiten nach z erhalt man: 1.2 Folgerung. Fiir natiirliche Zahlen k >2 gilt OO

^

^

n= — oo ^

^

^

OO

^

n=l

Wir formen die EiSENSTEiNreihe

Gk(^)=

E

T^^TdV^

(c,d)#(0,0) ^

{k>4,k^0mod2)

''

um: OO

^

OO

^

^

Aus 1.2 folgt (man ersetze z durch cz und n durch d) \k °° °°

G,(.) = 2cw + ^ ^ Ec = lEd=l^ ' - v

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

394

Wir behaupten nun, dass die Reihe cd c=l

kl < 1)

d=l

fiir k > 2, also auch fiir A; = 2, in H normal konvergiert. Zunaclist fornien wir die Reilie um, indem wir alle Terme zu festeni cd zusammenfassen. Man erlialt dann die Reihe

E n=l

E d'-n,-. I

d\n l
Diese Reihe konvergiert fiir |q| < 1 wegen der trivialen Abschatzung k-l

E d'-' < n

•n

d\n l
Da man diese Umformung auch fiir \q\ anstelle von q lesen kann, ist sie nach dem Umordnungssatz fiir absolut konvergente Reihen erlaubt. Dieselben Umformungen zeigen nun umgekehrt, dass die Reihen

G,(z)

EI

E

= —ool

d= — oo d # 0 , falls c = 0

(-+rf)-n J

fiir k > 2, also auch im Falle k = 2, konvergieren. Wir haben also auch eine EiSENSTEiNreihe Gg vom Gewicht 2 definiert, allerdings ist die angegebene Klammerung notwendig! Diese Reihe kann keine Modulform sein, da ja jede Modulform vom Gewicht 2 identisch verschwindet. Wir werden sie detailliert untersuchen. Bezeichnung.

y^

a,, n

d''

mit

A; e Ng und n G N.

d\n l
1.3 Satz (Fourierentwicklung der Eisensteinreihen). Fur gerades A; G N gilt

Guiz)

E j

E

(cz + d)A

d # 0 , falls c = 0

2- I (k Die auftretenden Reihen konvergieren

normal.

n=l

§1. Summen von vier und acht Quadraten

395

Die Eisensteinreihe Gg Da die Reihe -2 \cz + d\

y^ (c,d)#(0,0)

nicht konvergiert, mussen wir mit Umordnungen, wie sie etwa beim Beweis von

Gk[-l) =^'G,iz), k>2, benutzt wurden, vorsichtig sein. Es wird sich in der Tat herausstellen, dass diese Forniel fiir k = 2 falsch ist. Wir erhalten ein interessantes Beispiel einer bedingt konvergenten Reihe. Wir miissen bei Umordnungen groi^te Vorsicht walten lassen! Es gilt

c = —oo I

z'

d= — oo d # 0 falls c = 0

E I ; = —oo I

E (-c+dz)-A. d= — oo d^O falls c = 0

J

Nun kann man in der inneren Summe d durch —d ersetzen und erhalt

GA-l)=^'f:l

E (dz+ c)-'

c = —oo I d = —oo ^ d # 0 falls c = 0

Indem man die Symbole c und d vertauscht, erhalt man GA-^->\=Z^G\(Z) mit G\{z)

EI

E

= —oo I

c = —oo c^O d=0 ^-i.{\ falls f^Wc^ ^—n

V

(-+^)-nI ^

Diese Reihe entsteht aus G2{z), indem man die Summationen vertauscht. Aber daraus kann man wegen der fehlenden absoluten Konvergenz nun nicht schUeBen, dass ^2(2;) und Gl{z) iibereinstimmen.

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

396

Tatsachlich gilt 1.4 Satz.

2m

G;{z)=G,iz) Folgerung.

Die Grundidee fiir den folgenden raffinierten Beweis von 1.4 stamnit von G.EiSENSTEiN [Eis], s. auch [Hul, Hu2] oder [Se], S. 95/96. Es werden die Reihen Hiz)

E

c = —oo (^

d= — oo

^

oo

oo

H*(z)

E(

d=-oo I

1 [cz + d){cz + d - 1) f

E

E

c= —oo c#0, falls de{0,l}

{cz + d){cz + d —1)

eingefiihrt. Es gilt

E

H{z)-G^{z)

c = —oo I

E

d = —oo (iT^O u n d di^l, falls c = 0

{cz + dy{cz + d- 1)

1.

Nun untersclieiden sicli 1 {cz + dY{cz + d-l)

und

1 {cz + df

niclit so selir, denn man findet bei festem z ein e > 0, so dass Icz + rfpjc^ + d — 1| Die Reilie

^

<

1 oder Equivalent e < 1 Icz + rf|"

1 cz + d

\cz + d\ ^ konvergiert, wie wir wissen. Damit ist zunaclist

{c,d)7^{0,0)

einmal die Konvergenz von H{z) bewiesen. Da man in der Formel fiir die Differenz H[z) — G2{z) nun c und d vertausclien kann, folgt

Hiz)-G2iz) oder

=

H*{z)-G;{z)

§1. Summen von vier und acht Quadraten 1.5 Hilfssatz.

397

Es gilt

G,{z)-G;iz)

=

H{z)-H*iz)

Die beiden Reihen H{z) und H*{z) werden nun getrennt aufsumniiert, und zwar zeigen wir 1.6 Hilfssatz. Es gilt a)

H{z) = 2,

b)

H*{z) =

2-2mlz.

Fiir die Summation der beiden Reihen wird die Formel 1 1 1 {cz + d){cz + d — \) cz + d—1 cz + d benutzt. Bei der Summation verwenden wir mehrmals das folgende einfache Prinzip: Sei a-^^a^-,- • • eine konvergente Folge komplexer Zahlen. Dann gilt oo

E (a

— a„ 11) = a^ — lim a 77,—^no

(Teleskopsumme).

Aus diesem Prinzip folgt sofort 1

E

cz +

rf-l

\ _ \ _ r 0, cz + dj 1 2,

falls c 7^ 0 falls c = 0,

c^+(i(d-l)7^0

und liieraus H{z) = 2. Etwas miiliseliger ist die Summation von H*[z).

H*{z)=

(

Yl ~ lim

E

c= —oo c^O, falls de{0,l} N

>

(

—1

-/V->oo Af

I c=-oo ^ c^O, falls de{0,l} oo

E E

lim <

^d=-N+l

c=-oo

d=2 c= —oo

cz + d

1 CZ + d —\

1

1

CZ + d— 1

CZ + d

oo

+EE

CZ + d — 1

E

J

d=-N+l

[-'

Es ist

c^ + d — 1

1 cz + d

cz + d

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

398 1 cz — I

+ E

E

lim

c = —oo, CT^O

1 cz

+ E

1 cz

1

1

CZ - N

CZ + N

1 cz + 1

+ 2.

Die Reihe 1 cz - N

E

1 cz + N

kann man mit der Partialbruchentwicklung des Kotangens in Verbindung bringen, und zwar ergibt eine einfache Umformung

E c = —oo

1 CZ- N

1 cz + N

-•E

1

1

c-N/z

c+Nlz_ N\

.cot!-.-

z

+ -

Wir niiissen den Limes N ^ oo vollziehen und beachten hierzu 27r ,. ( N\ — lim cot —TT — Z N^oo

\

27r ,. . g-^'riw/^ + i = — lim 1 —„ .,-,

Z J

Z

N^oo

=

e^^TTiAf/z _ J

2m z

Hieraus ergibt sich die Behauptung. Eine funktionentheoretische Charakterisierung von -d^ Die Thetareihe oo

konvergiert in der oberen Halbebene und stellt dort eine analytische Funktion dar. Wir stellen die im Folgenden benotigten Eigenschaften zusammen (vgl. VI.6): 1.7 Bemerkung. Die Thetareihe •d{z) hat die Eigenschaften aj

'd{z + 2)='d{z),

b)

lim •d{z) = 1,

'd

1 z

lim W y^oo V i

-dil V

r^(^),

] e " ^ = 2. Z,

§1. Summen von vier und acht Quadraten

399

Beweis. Die Transformationsformel a) ist ein Spezialfall der jACOBi'schen Thetatransformationsformel. Die Eigenschaft b) ist trivial, und c) folgt mit Hilfe der Transformationsformel

ebenfalls einer unmittelbaren Folgerung aus der jACOBi'sclien Thetatransformationsformel (VI.4.2). D Das ergibt eine funktionentheoretische Charakterisierung von -d^: 1.8 Satz. Sei r E Z und / : H —^ C eine analytische Funktion mit den Eigenschaften

a) b)

fiz + 2) = fiz), / ( ^ - i ) = y i /(^), lim f{z) Z

I

1

/( 1 V

/ Dann gilt

existiert, 1 \

Ie zI

TTirz

^

existiert.

f{z) = const. • 'd{zY. (Die Konstante ist natiirlich lim

f{z)).

y—>oo

Zum Beweis betrachten wir die Funktion

Hz)

^{z)

Wir wissen (und werden weiter unten nocli einmal selien), dass die Tlietafunktion ^{z) keine NuUstelle in der oberen Halbebene hat. Die Funktion h ist also in der oberen Halbebene analytisch. Dank 1.7 folgt Satz 1.8 einfach aus 1.9 Satz. schaft

Gegeben sei eine analytische Funktion /i : H —^ C mit der Eigenh{z + 2) = h{z),

h{-\/z)

= h{z).

Die beiden Grenzwerte a := lim h{z) und b := lim h{l — 1/z) y—>oo

y—>oo

mogen existieren. Dann ist h konstant. Beweis von 1.9 und 1.8. Die Bedingungen a), b) und c) besagen, dass h eine ganze Modulform vom Gewicht 0 beziiglich der Thetagruppe ist. Daher ist h konstant. D

400

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

Wegen der schonen zahlentheoretischen Anwendungen dieses Satzes skizzieren wir einen direkten Beweis, sowie auch der Tatsache, dass die Thetareihe keine Nullstelle in der oberen Halbebene hat: Mit

l(

\

(

^''^((o i j ' ( l wird die von den beiden Matrizen I

0

J und I

J erzeugte Unter-

gruppe von SL(2, %) bezeichnet. Wir haben diese Untergruppe im Anhang zu VI.5 eingefiilirt. Dort wurde gezeigt, dass diese Gruppe gleicli der durch a + 6 + c + d = 0 mod 2 definierten Untergruppe von SL(2, Z) ist. Da wir von dieseni Satz keinen Gebraucli maclien miissen, definieren wir liier die Thetagruppe als die von den beiden angegebenen Substitutionen erzeugte Gruppe. Ebenfalls ini Anhang zu VI.5 haben wir den Bereich

eingefiihrt und in wenigen Zeilen gezeigt: Zu jedem Punkt z EM existiert ein M E F^ mit Mz G J^^. Dies sind die Mittel, die man braucht, um Satz 1.9 zu beweisen: Man betrachtet die Funktion H{z) = {h{z) - a) {h{z) - b). Diese ist ebenfalls analytisch und invariant unter z \-^ z + 2 und z i-)- —1/z . Aus der Voraussetzung folgt lim H{z) = 0, y—7-00

lim H{z) = 0. ,3—7-1

Insbesondere nimmt |iif(^)| ein Maximum in J^^ an. Andererseits ist H{z) invariant unter der Thetagruppe F^. Es folgt, dass |iif(^)| ein Maximum in ganz H annimmt. Nach dem Maximumprinzip ist H{z) konstant. Weil die Konstante 0 sein muss, nimmt h nur die beiden Werte a und b an. Da h stetig und H zusammenhangend ist, kann h nur einen der beiden Werte annehmen und ist daher konstant. Wir geben noch einen direkten Beweis dafiir, dass 'd in der oberen Halbebene keine Nullstelle hat. Wegen der Transformationsformeln geniigt es zu zeigen, dass •d{z) in dem Bereich J^^ keine NullsteUe hat. Dies wiederum bedeutet, dass die drei Funktionen ^{z), ^(^ + 1) und ^ M keine Nullstelle in JF haben:

§1. Summen von vier und acht Quadraten

401

Zieht man aus der Thetareihe 'd den zu n = 0 gehorigen Term 1 heraus und schatzt den Rest durch die Betragsreihe ab, so folgt

|^(^)-1| <2^e-™'^ <^Y1 e-T^r, n=l

< 2^

n=l

e-f ^ " =

— = = 0,14... < 0,2.

(Die beiden tiefsten Punkte der Modulfigur JF sind ± ^ + f'v/S •) Bei der zweiten Reihe scliliefit man analog, ebenso bei der dritten Reilie, bis auf von 0 verscliiedene Faktoren ist ^yz/l ^{l — l/z) gleich oo

Y^

g7ri,j(n+«) ^ 2 ^ e ' ' ' ^ < " +"> = 2 - ( l + e2'''-' + ---).

n= — oo

D

n=0

Darstellungen einer natiirlichen Zahl als S u m m e von acht Quadraten Wir werden nun mit Hilfe der Eisensteinreilie G^ eine in der oberen Halbebene analytische Funktion f{z) konstruieren, welche die cliarakteristischen Eigenschaften von •d^{z) hat. Dies sind die beiden Transformationsformeln f{z + 2)=f{z),

f{-l/z)

=

z'f{z)

und die Existenz der Grenzwerte a)

lim f{z)

und b)

lim z-\f{l

-

l/z)e-^^'\

y^oD

Man konnte daran denken, dass G^ selbst diese cliarakterisierenden Eigenscliaften hat. Jedenfalls gelten die Transformationsformeln, und es existiert der Limes lim G^{z) =2C{4), wie man beispielsweise aus der g-Entwicklung abhest. Aber wie steht es mit dem Grenzwert in b)? Es ist

GA\-^

z

=GS-^\ \

z

=Z''GAZ)

also z-^G,

( 1 - - ] 6-2^^'^ =

GAz)e-'^''''

402

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

Hiervon existiert der Grenzwert fiir y ^ oo nicht, denn einerseits hat G^ einen von 0 verschiedenen Grenzwert, und andererseits wachst |g-27riz| _ g27ry

liber alle Grenzen fiir j / —)• oo. Also muss man nach etwas anderem suchen. Zunachst bemerken wir:

1.10 Hilfssatz.

geniigt den

Die Funktion

Transformationsformeln 9ki^ + 2) = gkiz),

Qki-'^/z)

= z^Qkiz).

(Uns interessiert der Fall k = 4.) Beweis. Die Periodizitat ist klar, da die Eisensteinreihen die Periode 1 haben. Wir wenden uns der zweiten Formel zu. Mittels der Formel -7 + 1 2

. / ^ + 1\ A

....,

(i±i)

. fl A.il

-1 ;;UsL(2

erlialt man ilk

(-;) = ( 2 - ^ - i ) ^ . ( ^ ) = A.(^).

(Diese Vereinfachung des Beweises gegeniiber friiheren Auflagen verdanken wir einer Mitteilung von J. Elstrodt.) Sollte vielleiclit g^{z) die charakteristisclien Eigenschaften von 'd^{z) liaben? Die Transformationsformeln sind ja erfiillt, und auBerdem existiert lim g^{z) = 2C(4). y—>oo

Aber wieder ist die Bedingung b) verletzt, denn es gilt ja

und das gleiclie Argument wie bei G^ selbst zeigt, dass der Grenzwert b) niclit existiert. Man kann nun aber Linearkombinationen f{z):=aG^{z)

+hGj'-^\,

a,b e C,

§1. Summen von vier und acht Quadraten

403

bilden. Diese haben jedenfalls die gewiinschten Transformationsformeln

f{z + 2) = f{z),

f(-^^=z'f{z),

und der Grenzwert lim f{z) = 2{a + 6)C(4) existiert. Die Idee besteht nun darin, die Konstanten a und b so einzurichten, dass der Grenzwert b) existiert. Die bisherigen Rechnungen ergeben jedenfalls z-^f(l

- -\-^^''

= e-^^''- • {aG^iz) +

lQhG^{2z)).

AUes, was wir nun wissen miissen, ist, dass G^ eine Potenzreilie m q = e^'^'^ ist: G^{z) = ag + a^q + 02^^ H

.

Es folgt z^^f I 1

) e^^'^'^ = q^^ \P'Q{0' + 16&) +

lioliere Potenzen von q\ .

Wir stellen nun an die Konstanten a und h die Bedingung a + 166 = 0 und erlialten eine Potenzreilienentwicklung

da der Faktor g^^ von den liolieren Potenzen absorbiert wird. Nun gilt y —^ 00 <=> g —^ 0, somit existiert der gewiinsclite Grenzwert b). Das bedeutet a = - 1 6 6 =^

f{z) = const,

^^{z).

Wir liatten gerne, dass die Konstante gleicli 1 ist, und betracliten dazu nocli einmal den Limes fiir y ^ 00. Die Bedingung lautet (wegen lim ^ ^ •d{z) = 1) 2(a + 6)C(4) = l.

404

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

Zusammen mit der Gleichung a + 166 = 0 ermittelt man nun die Werte 1 , 30C(4) und a

b

16 30C(4)

Mit diesen beiden Zahlenwerten hat man nun

bewiesen. Bekanntlich gilt C(4) = — . ^^ ^ 90 (Nebenbei: Dies kann man mit Hilfe obiger Formel erneut beweisen, indem man etwa den ersten Koeffizienten in der g-Entwicklung vergleicht.) Unser Resultat lautet nun 1.11 Theorem.

Es gilt

Tragt man fiir die ElSENSTElNreihen die g-Entwicklung 1.3 ein, so folgt l + ^ A 3 ( n ) e - - = 1 + 1 6 2 ^ ^ 3,n e 2-K\nz

16^a3(n)(-l)"e--.

«=i

«=i

1.12 Theorem (C. G. J. J A C O B I , 1829).

A^{n) = 16

Fiir n G N gilt

^{-\Y-'^(f. d\n

Fiir ungerade n liest man die Formel direkt ab, gerade n erfordern eine kleine Umformung, die wir iibergelien. D

§1. Summen von vier und acht Quadraten

405

Darstellungen einer natiirlichen Zahl als S u m m e von vier Quadraten Wir woUen nun mit Hilfe der ElSENSTElNreihe -2

d#0, falls c=0

eine Funktion / konstruieren, welche die charakteristischen Eigenschaften von -i?^ hat. Das entscheidende Transformationsverhalten ist

Eine Linearkombination der F o r m / ( z ) = aGg ( ^ ^ ) + ^ ^ 2 ( - ^ ) anzusetzen, ware aussichtslos, man kame damit hochstens auf Funktionen mit dem Transformationsverhalten

/(4) = =vw. Aber ein anderer Ansatz fiihrt zum Ziel, namlich f{z)=aG,{z/2)

+ bG^{2z).

Jedenfalls hat / die Periode 2, denn es gilt G,iz + l)=G,iz)

=^

f{z + 2) = f{z).

Wir kennen aufierdem die Transformationsformel (1.4, Folgerung) Ggf--)

=z'^G^{z)-2mz.

Hieraus ergibt sich

= a{2zfG^{2z)

- A-Kxaz + b (^

^ a f f ) "^i^-^

Wir unterwerfen nun a und h der Bedingung b = -4a und erhalten dann f(^-l^=z'(^4aG,i2z) =

+

-z'f{z),

also genau das, was wir haben wollten.

^G,Q'^=-z'[aG,[^)+bG,i2z))

406

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie Fiir die Funktion / ergibt sich daher

f{z)=a{G^{zl2)-AG^{2z)). Wir niiissen nun noch die Existenz der beiden Grenzwerte lim f{z)

und

y-!-oo

lim z^^fi

1

y->oo

^

z

beweisen. Die Existenz des ersten Grenzwertes ist trivial, denn es ist (1.4, Folgerung) lim G^iz) = 2Ci2), wie man etwa an der g-Entwicklung abliest. Die Konstante a ist notwendigerweise gleicli 1

Wir miissen nun / ( I — 1/z), also insbesondere GJ2--] '2-

b)

und

z

cy-'/^ 2

untersuclien. Wir liaben dabei niclits in der Hand als die Formeln GJz + l) = GJz)

und GJ --]= 2-

z

z'^GJz)-2Triz.

Teil a) ist einfacli, denn es ist

b) ist etwas trickreicli. Man beaclite zunaclist, dass die Matrix I

j die

Determinante 1 hat. Daher liegt mit z auch [z — l){2z — 1)^^ in der oberen Halbebene. Fine einfache Rechnung zeigt nun

2^2^-1/

V ^ - 1 /

H

z-1

2.-1 z-1

_2

1 z - l

Beachtet man

so folgt

J '

'"

z-1

§1. Summen von vier und acht Quadraten G.

z-1 2z-l

407

2

2z-l z-l

1 z-1

G. J ^\

+ 2m

2z-l z-l

A2z-lf .2z-\ 27ri -^ z-1 r ^ + 2-K\ z - l 2m{Az-2).

2z-lfG^{z-l 2z-l?GJz

In dieser Gleichung ersetzt man z durch ^/2 + 1/2 und erhalt G.

-l/z + l

Z'GJ^

+ ^

• ATTIZ.

Zusamnienfassend ergibt sich z-'f

1

1 z

z ^a z'Go GTO

Amz - z G.

+ G.

+

(I) + A-KXZ

:(l)

Wir wissen, dass sich G2{z) als Potenzreihe in e"^^^^ schreiben lasst, hieraus folgt, dass sich G{^z/2 + 1/2) und G2{z/2) als Potenzreihen in h := e'^'^ schreiben lassen, und zwar beide mit denselben 0-ten Koeffizienten (2^(2)). Es folgt also z^'^fil - 1/z) = a^h + 03/1^ H mit nicht welter interessierenden Entwicklungskoeffizienten a^,a2, • • • • Beachtet man y —^ 00 <=> /i —^ 0, so folgt z^'^f{l

- l/z)h^^

-)• a^

fiir y ^ 00.

Genau die Existenz dieses Grenzwertes war noch zu beweisen. Wir haben damit endgiiltig

gezeigt. Entweder man weiB

C(.) -

^

oder ermittelt es aus den bewiesenen Identitaten durch Vergleich der ersten FourierkoefFizienten. Es folgt somit 1.13 Theorem. Es gilt ^\z)

AG2{2z)-G2{zl2)

408

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

Hieraus ziehen wir die uns interessierenden zahlentheoretischen Konsequenzen. 1.14 T h e o r e m ( C . G . J . J A C O B I , 2 4 . 4. 1 8 2 8 ) . Fiir n & N gilt

A^{n)

= # 1 X e Z" ;

xl + xl + xj + xl = n\

= 8 ' ^ d. 4t(i|« l
Der Beweis ergibt sich einfach aus 1.13, indem m a n die g-Entwicklung 1.3 von G2 einsetzt u n d die KoefRzienten vergleicht. 1.15 F o l g e r u n g ( J . L. LAGRANGE, 1 7 7 0 ) . Jede natiirliche von vier Quadraten ganzer Zahlen darstellhar.

Zahl ist als

Summe

Ubungsaufgaben zu VII. 1 1. Die Funktion f{z) = j'{z)A{z) ist eine game Modulforin (vgl. VI.2, Aufgabe 1). Man schreibe sie als Polynom in G^ und Gg. 2. Die Funktion G'-^^A - G-^^A' ist eine Modulform voni Gewiclit 26 (VI.2, Aufgabe 3). Man driicke sie als Polynom in G^ und Gg aus. 3. Man schreibe Gjj als Polynom in G4 und Gg, indem man den Struktursatz 3.4 und die Formeln fiir die FouRiERkoeffizienten der EiSENSTEiNreihen verwendet und vergleiche das Resultat mit der Rekursionsformel aus Aufgabe 6 in V.3. 4. Wieviele Vektoren x mit der Eigenschaft [x, x) = 10 existieren im Gitter Lg (s. VI.4)? Man fiihre die Rechnung auf zweierlei Weisen durch: a) direkt, b) iiber die Identitat G^{z) = 2C(4)i5(Lg; z). 5. Die FouRiERkoeffizienten rin) von

sind ganz rational. Ebenso sind die FouRiERkoeffizienten c{n) von 1728i(z) = 1/q + c(0) + c{l)q + c{2)q^ + • • • ganz rational. Man berechne einige Koeffizienten explizit und verifiziere (27r)"^^Zi(z) =q-

24g^ + 252^^ - 14729" + 4830^® - 6048^'' + • • •,

1728i(z) = l/q + 744 + 196 884g + 21 493 760^^ + 864 299 970g^ + •

Ubungsaufgaben zu §1

409

Die RAMANUJANvemiutung besagt | r ( n ) | < Cv}^^'^""'

fiir jedes e > 0 (C = G{e)).

Sie wurde von H. PETERSSON auf beliebige Spitzenformen verallgeineinert. Wir haben schon in den Aufgaben zu VI.4 darauf hingewiesen, dass diese Vermutung von P . DELIGNE bewiesen wurde. Es gilt iibrigens sogar |r(n)| < n " ^ V o ( n ) . 6. Die DEDEKIND'sche ?y-Funktion ist definiert durch

nc

r\{z)

Man beweise, dass dieses Produkt in der oberen Halbebene normal konvergiert und dort eine analytische Funktion darstellt. Man berechne die logarithmische Ableitung und zeige r]{z) Aus der Transformationsforniel

G,{-l/z)

AM

G,{z).

= z'G,(z)

2mz

schliefie man, dass die beiden Funktionen

'(4)

und

TV{Z)

dieselbe logarithmische Ableitung haben. Sie stimmen also bis auf einen konstanten Faktor iiberein. Dieser ist 1, wie man durch Spezialisieren (z = i) zeigt. Es folgt

Aufierdem gilt trivialerweise fj{z + 1) = e 24 r]{z). 7. Man beweise die Identitat

A{z) =

{2nV'v'\z).

Man beweise fiir \q\ < 1 die Identitat oo

n = —oo

Anleitung.

oo

-nc

-Q

)•

n= l

Man wende VI.4.6 und die vorhergehende Aufgabe an.

9. Unter einer Partition der natiirlichen Zahl n verstehen wir hier ein fc-Tupel

410

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie (aij^,.. .Xf,) (k beliebig) natiirlicher Zahlen mit den Eigenschaften Sei A^ die Anzahl aller Partitionen mit geradem k und B^ diejenige mit ungeradem k. (Die Summe A^ + B^ ist also die Summe aller Partitionen.) Man zeige oo

oo

Hieraus und aus der vorhergehenden Aufgabe folgt das beriihmte Euler'sche Pentagonalzahlentheorem (L. EULER, 1754/55) 3m^ + m K = B„ fur n ^ A^ = B^ + 1

tur n =

A^ = B^ — 1

, m gerade,

fiir n =

, m, ungerade

2. Dirichletreihen Eine (gewohnliche) DiRiCHLETreilie ist eine zunachst formale Reilie der Form oo

'^a^n^',

a„ G C, s

eC.

n=l

Setzt man dabei alle Koeffizienten a^^ = 1, so erlialt man die beriihmteste aller DiRlCHLETreihen, die RiEMANN'sche ("-Funktion

Wir wissen, dass diese fiir Re(5) > 1 absolut konvergiert. 2.1 Definition.

Eine

Dirichletreihe oo

^(•^) = '^"•n^^'^

«« G C , s e C ,

«=1

heifit (irgendwo absolut) konvergent, dass die Reihe

im iiblichen Sinne

konvergiert.

falls eine komplexe Zahl SQ existiert, so

§2. Dirichletreihen

411

Wir folgen der historischen Konvention (RiEMANN, nung der komplexen Variablen und setzen s = a + it,

SQ

LANDAU)

in der Bezeich-

= aQ + itQ,

Es gilt Ig-slogTll

g-{cr+ii)logTi

und „ o" < „ o"o fur a > a^. Wenn also die DiRlCHLETreilie in SQ absolut konvergiert, so konvergiert sie in der Halbebene o" >CTQabsolut und gleiclimafiig (sogar ilire Betragsreilie). 2.2 Definition. Eine rechte Halbebene {s E C]

a

>a}

heifit Konvergenzhalbebene einer Dirichletreihe, falls die Reihe fiir alle s aus dieser Halbebene absolut konvergiert. Hierbei ist auch der Fall a = —cx)

zugelassen. Die Konvergenzhalbebene entartet dann zur vollen komplexen Ebene. Die Vereinigung aller Konvergenzlialbebenen ist selbst eine Konvergenzhalbebene: {5 G C; (J > CTQ}. Sie ist die groBte aller Konvergenzlialbebenen und wird dalier auch die Konvergenzhalbebene (genauer die Halbebene der absoluten Konvergenz) genannt. Sei also {5 G C; a > dg} die Konvergenzhalbebene. Dann konvergiert D{s) fiir alle s mit a > a^, aber fiir kein s mit a < a^ absolut. Uber das Verhalten auf der Vertikalgeraden a = CTQ kann man ohne weitere Uberlegungen nichts sagen. Man nennt CTQ auch die Konvergenzabszisse (genauer die absolute Konvergenzabszisse) von D{s). Natiirlich stellt D{s) in ihrer Konvergenzhalbebene eine analytische Funktion dar. Die Konvergenzhalbebene der RiEMANN'schen ^-Funktion ist Re(s) > CTQ = 1. 2.3 Definition. Eine Folge polynomial, falls es Konstanten

komplexer Zahlen wachst C > 0 und N gibt, so dass

hochstens

K\
412

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

Beispiel. Im Fall der ("-Funktion kann man N = 0 nelimen. Der Beweis ergibt sicli aufgrund der Abscliatzung

unmittelbar aus dem Konvergenzverlialten der RiEMANN'sclien ("-Funktion. Alinlicli wie im Falle von Potenzreilien sind die Koeffizienten einer DlRlCHLETreilie durcli die von der Reilie dargestellte Funktion eindeutig bestimmt. 2.5 Eindeutigkeitssatz. Sei oo

^(•^) = '^"•n^^'^

erne Dirichletreihe, Dann gilt

«« G C , s e C ,

die in einer Konvergenzhalbebene identisch

verschwindet.

Ojj = 0 fur alle n. Beweis. Wir sclilieBen indirekt: Sei k der kleinste Index, so dass a^ niclit verschwindet. Es gilt

n=k

und dalier lim D{a)k" = a,. = 0 . DiRiCHLETreilien konnen dazu dienen, multiplikative Eigenschaften Zalilenfolgen in funktionentlieoretisclier Form auszudriicken. Sei

D von

oo

eine DiRiCHLETreilie. Fiir irgendeine niclitleere Menge A c N natiirliclier Zalilen betracliten wir die Teilreilie neA 2.6 Hilfssatz. Seien A, _B c N zwei nichtleere Mengen natiirlicher Zahlen und (Ojj) eine Folge komplexer Zahlen. Die folgenden beiden Bedingungen seien erfiillt: 1) Die Multiplikationsabbildung AxB—).

sei injektiv.

N,

(a, 6) I—> ab,

§2. Dirichletreihen

413

1st C das Bild von Ax B bei der Multiplikationsabbildung,

so gilt

Dc{s)=D^{s)-Dj,{s) in der Konvergenzhalbebene von D{s). Durch Induktion nach A^ folgt aus obigem Hilfssatz Dc{s) =

D^^{s)-...-D^Js),

falls die Multiplikationsabbildung A^x

.. •

(rii,.

X Ajy

..,n^)

* rii • ... • ri]^,

'ijektiv ist und ««,.

• . . . • • • • « «

•

a

~

"'N

gilt. Der Beweis des Hilfssatzes ist eine triviale Folgerung des CAUCHY'sclien Multiplikationssatzes neA

veB

{ii,v)eAxB

nee

Ein wiclitiger Spezialfall besagt: Sei Pi = 2; P2 = 3; P3 = 5; • • • die Folge der Primzalilen. Wir bezeiclinen niit ^„:={K;

i' = 0 , 1 , 2 , . . . }

die Menge der Potenzen der n-ten Primzalil. Die Multiplikation A^ X . . . X Ajy

)• N ,

( r i ] ^ , . . . , rij^) I > 111 • ... • rijy, ist injektiv. Bezeiclinet man mit B die Menge aller natiirliclien Zalilen, welclie keine der Primzalilen Pi, • • • ,Pjq als Primfaktor liaben, so wird die Abbildung A^ X . . . X Ajy X B —)• N, ( r i i , . . . , rijv, m) i—> n^- ...-n^

-m,

sogar bijektiv. Dies ist gerade der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung. Wir nelimen nun an, dass die Koeffizienten der DiRiCHLETreilie der Bedingung

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

414

fiir beliebige teilerfremde n, m geniigen, d. h. fiir (n, m) = 1. Aufierdem fordern wir a^ = 1, was lediglich bedeutet, dass D{s) nicht identisch verschwindet. Dann folgt aus dem Hilfssatz Af

/ oo

Pn"' n=l

D^{S)

\y=0

Aus der Bedingung (n,p^ • . . . • p ^ ) = 1 folgt n = 1 oder n > N. Wir erhalten lim D^is)

=1

und somit N

D(s)

/ OD

\

A-^n E V A -

Es liegt die Frage nahe, ob es sich hierbei um absolut konvergente Produkte im Sinne von IV.1.4 handelt, ob also oo

oo

E Ev^""'"^ <EE v=0

n=l

(Ipi^Pn

v=\

konvergiert. Tatsaclilicli entstelit diese Reilie einfacli durcli Umordnen einer Teilreilie von

E a„n n=l

Wir erhalten also einen auf L.

EULER

(1737) zuriickgelienden

2.7 S a t z . Sei

Dis) = Ea„n n=l

eine (irgendwo absolut) konvergente Dirichletreihe, deren Koeffizienten das fol gende multiplikative Verhalten haben mogen: a^ = 1 und a„.TO = 0^-0^^

fiir

{n,m) = 1.

Dann gilt

p prim

77=0

Das Produkt ist iiber die Folge aller Primzahlen zu erstrecken und konvergiert in der Konvergenzhalbebene von D{s) normal.

Ubungsaufgaben zu §2

415

Speziell lasst sich dieser Satz auf die RiEMANN'sche ("-Funktion anwenden. Es gilt Cj,(s) = /^P~^^

=

^-

(geometrische Reihe)

in der Konvergenzhalbebene. Somit ergibt sich die Euler'sche lung der ("-Funktion in der Halbebene u > 1.

Produktentwick-

2.8 S a t z (L.EULER, 1 7 3 7 ) . Es gilt

as)=

n {^-p-')-'

(^>i)-

p prim

Insbesondere

hat ({s)

in der Konvergenzhalbebene

keine

Nullstelle.

Ubungsaufgaben zu VII.2 1. Wir liaben in diesein Abschnitt die Konvergenzhalbebene a > a^ einer DlRICHLETreihe oo

n=l

eingefiihrt, genauer handelte es sich hierbei urn die Halbebene der ahsoluten Konvergenz. Man zeige, dass es auch eine rechte Halbebene der gewohnlichen Konvergenz {s G C; R e s > cTj^} (cj > —oo) gibt, wenn die Reihe in niindestens eineni Punkt (moglicherweise bedingt) konvergiert. In dieser Halbebene konvergiert D{s) normal und stellt dort eine analytische Funktion dar. Sie konvergiert fiir kein s niit a < a^. Anleitung. Man niache von der ABEL'schen partiellen Summation Gebrauch. Zusatz. Wenn die DiRICHLETreihe in niindestens eineni Punkt bedingt konvergiert (wenn also Cj existiert), so konvergiert sie auch in mindestens einem Punkt absolut, d. h. es existiert CTQ , und es gilt o-Q > f^i > o-Q -

1-

Man gebe ein Beispiel fiir den Fall CTQ = 1, Cj = 0 an. 2. Die FoURIERkoeffizienten der normierten ElSENSTEINreihe | ^ G , ( . ) geniigen den Gleichungen

= g a ( n ) e - - ^ fc > 4,

416

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie a)

a{n)a{m,) = a{nm,),

b)

falls (n, rn-) = l, p^'~'^a{p"~'^).

a(p''+^) = a{p)a{p'") -

Man folgere

1

HTT (1 -p-'){l

-pfc-l-»)

p

= C ( s ) C ( s + l - f c ) fiir o- > fc. 3. Sei p eine Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl v^ 1 < v < p, existiert eine eindeutig bestimmte ganze Zahl /i, 1 < /^ < p, so dass die Matrix 1 I.W 0 ,0 p ) \ - i

i W i Q)\Q

/.'"' P^

ganz und damit in der Modulgruppe enthalten ist. Die Zuordnung i^ i->- /i ist eine Permutation der Ziffern \,.. .p — 1. Anleitung.

Durch direkte Rechnung erhalt man als Bedingung fiir /i die Kongruenz i^/i = — 1 modp.

Man benutze, dass Z / p Z ein Korper ist. 4. Sei / eine elliptische Modulform (zur vollen Modulgruppe) vom Gewicht k. Die Funktion

(T(p)/)(z) : = / - V M + i E / ( ^ ^ ist fiir jede Primzahl p wieder eine Modulform vom Gewicht fc. Wir erhalten also fiir jedes p einen Operator (eine lineare Abbildung)

T(p):[r,fc]^[r,fc]. Anleitung. Die Periodizitat von T{p)f ist sehr einfach. Fiir das Transformationsverhalten unter der Involution z i-^ — 1 / ^ verwende man Aufgabe 3. Die Operatoren T{p) wurden von E. H E C K E (1935) eingefiihrt (vgl. [He3]). Diese HECKEoperatoren haben sich fiir tiefergehende Untersuchungen in der Theorie der Modulformen als fundamental erwiesen. 5. Sei oo

/(^) = E«( n e

27rinz

n=0

eine Modulform vom Gewicht fc und sei ^ . 2'Kinz T{p)f{z) = Y,Hn)e

ihr Bild unter T{p). Wir definieren erganzend a{n) := 0 fiir nicht ganz rationale Zahlen n.

Ubungsaufgaben zu §2

417

Man zeige: bin) = aiypn) -\-p'~

a{n/p).

6. Man folgere aus der expliziten Kenntnis der FouRiERkoeffizienten der EISENSTEiNreihen, dass die EiSENSTEiNreihen Eigenformen aller T(p) sind, d. h.

T{p)G,=\,{p)G„

XMeC.

7. Sei / G [r,k], f{z) = X ] ^ g a(«)e^'^'"^ eine Eigenform aller Operatoren T(p),

T{p)f = Kp)f. Die Form / sei normiert, d. h. a ( l ) = 1. Man zeige a{p) = \{p). Mit Hilfe von Aufgabe 5 folgere man a{n) = a{pm) -\-p'~

a{n/p)

und leite hieraus die Relationen

a{p)a{i/)

=a{i/'^'^)+Ij''

a{rn)a{n) = a{mM),

^a{i/

^),

falls (m, n) = 1,

ab. Tipp. Die zweite Relation braucht man nur fiir Primzahlpotenzen m = p" zu beweisen. Dies geschieht durch Induktion nach v unter Ausnutzung der ersten Relation. Sei / G [r,k] eine normierte Eigenform aller T{p). (Normiert bedeutet a ( l ) = 1.) Wir betrachten die DiRiCHLETreihen

m = y^'-^ n= l

1^=0

Man zeige, dass diese Reihen fiir a > k (sogar fiir a > k/2-\-1, falls / Spitzenform ist) absolut konvergieren. Mit Hilfe der Relationen aus Aufgabe 7 zeige man D(S) = T T D

(s) mit D(s)

= -

i

T-r^-

V

Ini nachsten Abschnitt werden wir sehen, dass die DiRiCHLETreihen D{s) sich in die ganze Ebene meromorph fortsetzen lassen und dort einer gewissen einfachen Funktionalgleichung geniigen. 9. Die Operatoren T[p) fiihren Spitzenformen in Spitzenformen iiber, infolgedessen ist die Diskriminante A{z) Eigenform aller T(p). Als Spezialfall von Aufgabe 8 erhalt man (fiir cr > 7) n" n= l

J-J-1 - r ( p ) p - ^ + p " - 2 »

418

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie Dabei ist r ( n ) die RAMANUJAN'sche r-Funktion, d. h. T{n) ist der n-te FouRiERkoeffizient von Zi/(27r)^^. Die mit obiger Produktdarstellung aquivalenten Relationen fiir r ( n ) waren von S. RAMANUJAN (1916) vermutet und von L. J. MORDELL (1917) bewiesen worden. Die in VII. 1 Aufgabe 5 forniulierte RAMANUJANverniutung ist iibrigens gleichbedeutend mit der Aussage, dass die beiden Nullstellen des Polynoms 1-T{P)X+P^^X^

konjugiert komplex sind. 10. Sei / e [r, k] g eine Spitzenforni, p eine Prinizahl und / — T{p)f. Die Funktionen 5(z) = 1 / ( ^ ) 1 / / ^ und 5(z)

/(^

fc/2 y '

nehnien Maxima m, m in W an (s. Aufgabe 2 in VI.4). Man zeige ~

- - 1 /

m < p'^ (1 + p)m. Wir nehnien nun an, dass / eine nicht identisch verschwindende Eigenform von T{p) zum Eigenwert \{p) ist. Man zeige |A(p)|
=

A(p) = l + / - \ Man folgere hieraus (J. ELSTRODT, 1984, vgl. [El]): Die Eisensteinreihe Gf,, k > 4, k = 0 m o d 2 , ist his auf einen konstanten Faktor die einzige Nichtspitzenform, welche Eigenform wenigstens eines Heckeoperators ist.

3. Dirichletreihen mit Funktionalgleichungen Wir woUen nun eine Briicke zwischen DiRICHLETreihen mit Funktionalgleichung und Modulformen schlagen. Wir folgen dabei im wesentlichen der von E. H E C K E (1936) in seiner klassischen Arbeit „Uber die Bestimmung DiRiCHLET'scher Reihen durch ihre Funktionalgleichung" (vgl. [IIe2]) vorgezeichneten Linie. 3 . 1 D e f i n i t i o n . Sei R{s) eine meromorphe Die Funktion heifit in einem vorgegebenen

Funktion in der komplexen Vertikalstreifen

Ebene.

a < a
falls es zu jedem e > 0 eine Zahl C > 0 mit der \R{s)\

gibt.

<s

fur a

\t\ > C,

Eigenschaft

§3. Dirichletreihen init Funktionalgleichungen

419

Wir sind insbesondere an Funktionen interessiert, welche in jedem Vertikalstreifen abklingen. Die Konstante C darf natiirlich von a, b abhangen. Wir betrachten nun drei Parameter, namlich zwei positive reelle Zahlen A > 0 und A; > 0, sowie ein Vorzeichen e, £ = ±1. Wir ordnen diesen Parametern zwei Raunie von Funktionen zu, namlich a) einen Raum {A,fc,e} von DiRiCHLETreihen, b) einen Raum [A,fc,e] von FouRiERreihen. Beide Raume werden sich als isomorph erweisen. 3.2 Definition. Der Raum {A,A;,e}

(A > 0, A; > 0, e = ±1)

bestehe aus der Menge der Dirichletreihen

D{s) = Y.^n mit folgenden

Eigenschaften:

1) Die Dirichletreihe konvergiert

(irgendwo).

2) Die durch die Dirichletreihe in ihrer Konvergenzhalbebene dargestellte Funktion ist als meromorphe Funktion in die game Ebene fortsetzbar. Sie ist aufierhalb von s = k analytisch und hat in s = k hochstens einen Pol erster Ordnung (d. h. cine hebbare Singularitdt oder einen Pol erster Ordnung). 3) Es gilt die Funktionalgleichung R{s) = eR{k - s) mit R{s) := ( ^

1

r{s)D{s).

4) Die meromorphe Funktion R{s) klingt in jedem Vertikalstreifen ab. Anmerkung.

Die Funktion s-{s-k)-

R{s)

ist in der rechten Halbebene a > 0 analytisch. Aufgrund der Funktionalgleichung ist sie bis aufs Vorzeichen invariant unter s \-^ k — s. Sie ist daher eine ganze Funktion. Als nachstes definieren wir den korrespondierenden Raum von reihen. Es handelt sich um FouRiERreihen der Periode A.

FOURIER-

420

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

3.3 Definition. Der Raum [X,k,e]

(A > 0, k>0,

s = ±1)

bestehe aus der Menge aller Fourierreihen oo 2

A f{z) = ^ a „ e ' ™

Tl=0

mit folgenden Eigenschaften: 1) Die Folge (a^) wdchst hochstens polynomial. Insbesondere konvergiert f{z) in der oberen Halbebene und stellt dart eine analytische Funktion dar. 2) Es gilt die Funktionalgleichung

wobei {z/l)^

durch den Hauptwert des Logarithm's

3.4 Tiieorem (E.

HECKE,

1936).

Die Zuordnung

oo

oo

f{z) = Y, a„e^^i^ I

> D{s) = ^

n=0

definiert einen

definiert set.

a^n-'

n=l

Isomorphismus [A,A;,e]

> {A,A;,e}.

Das Residuum von D bei s = k ist Res{D; k) = a^e ( ^

j

r{k)-K

Insbesondere ist D genau dann eine game Funktion, wenn OQ verschwindet. Vorbemerkung zum Beweis. Auf der rechten Seite der Zuordnung gehen nur die KoefRzienten a„ fiir positive n ein, auf der linken dagegen auch noch OQ. Dies wird insbesondere bei der Konstruktion der Unikehrabbildung zu beachten sein. Jedenfalls ist die Zuordnung injektiv, denn in ihreni Kern liegen nur konstante Funktionen und diese geniigen nicht deni Transformationsverhalten. Beweis des Theorems. Erster Teil. Sei / G [A, A;,e]. Urn die analytische Fortsetzbarkeit und die Funktionalgleichung fiir D{s) zu beweisen, miissen wir einen funktionentheoretischen Ubergang von f{z) zu D{s) schaffen. Dieser wird durch das -T-Integral oo

r(,,:=/,-.e-',« 0

(Re,,>0)

§3. Dirichletreihen init Funktionalgleichungen

421

ermoglicht. Ersetzt man die Integrationsvariable 27rn

t^—t, so erhalt man

0

Multipliziert man diese Gleichung mit a^ und summiert iiber n, so erhalt man ex:

r{s)D{s) --=

" oo

!]««

«=1

.0

Diese Entwicklung ist in einer rechten Halbebene giiltig (namlich im Durchschnitt der Konvergenzhalbebene von D{s) mit der Konvergenzhalbebene des P-Integrals). Wir wollen nun Summation und Integration vertausclien. Dazu darf man wegen des polynomialen Folgenwaclistums a^ durch eine Potenz n^ ersetzen; aufierdem t^^^ durcli t^^^. Da jetzt alle auftretenden Terme positiv sind, folgt die Beliauptung aus dem aus der LEBESGUE'schen Integrationstlieorie bekannten Satz von B. L E V I iiber die Vertausclibarkeit von Integration und Summation bei monotoner Konvergenz. Will man diesen Satz vermeiden, so muss man eine kleine konkrete Abscliatzung vornelimen und das uneigentliclie Integral durcli ein eigentliclies approximieren, um die gewolinte Vertauscliung von eigentlicliem Integral mit gleiclimafiiger Konvergenz anwenden zu konnen. Wir iiberlassen diese dem Leser und weisen nur darauf liin, dass eine alinliclie Scliwierigkeit bei dem Beweis der Analytizitat des P-Integrals auftrat. Nacli der Vertauscliung von Integration und Summation erlialten wir den angekiindigten analytisclien Zusammenliang von f{z) und D{s): oo

R{s) =

jnf{\t)-a,]j.

Wie bei der P-Funktion liandelt es sicli liier um ein i. a. beidseitig uneigentliclies Integral. Wir spalten es dalier auf in zwei Teilintegrale 1

oo

^oo(^) = / i ^ [ / ( i i ) - «o] J

und R,{s) = JfUm

1

0

so dass also gilt

R{s)=Ro{s)

+ R^{s).

- ao] y ,

422

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

Das Integral Rods) konvergiert in der ganzen Ebene und stellt eine ganze Funktion dar. Dies liegt daran, dass der Ausdruck f{it) — a^ fiir i —)• oo exponentiell abklingt, denn e^[/(iO-ao] bleibt fiir t ^ oo besclirankt (weil eine Potenzreilie in der Nalie des Nullpunkts besclirankt bleibt). Etwas scliwieriger ist das Verlialten von f{it) bei i —)• 0 zu untersuclien. Hier liilft die Funktionalgleicliung fiir f{it),

/Q)=rfV(iO, welclie die Rollen von oo und 0 vertausclit. Es ist dalier nalieliegend, in dem Integral RQ{S) die Substitution t \-^ \/t durclizufiiliren und dann die Funktionalgleicliung einzusetzen. Das Resultat ist oo

R,{s)=

jt-^[ef'f{\t)-a,]j. 1

Eine kleine Uniforniung ergibt oo

oo

1

oo

1

Das erste der drei Integrate ist durcli R^ kann man bereclinen. Es ergibt sicli Rois) = sR^{k

- s)

1

auszudriicken, die beiden anderen £

1

k —s

s

und daniit Ris) = R^{s)

+ sR^ik •

e

1

k — s

s

Da R^{s) bereits als ganze Funktion erkannt ist, bedeutet diese Darstellung eine nieroniorplie Fortsetzung von R{s) (und daniit von D{s)) in die Ebene. Die Funktionalgleicliung fiir R{s) ist aus dieser Darstellung unniittelbar evident, ebenso die Lage der Pole. Aus der Intergraldarstellung folgt unniittelber die Bescliranktlieit von R{s) in Vertikalstreifen. Durcli partielle Integration {u{t) = f{\t — aO), v{t) = t*^^) zeigt man leiclit, dass R^{s) und damit R{s) sogar in jedem Vertikalstreifen abklingt (vgl. aucli Hilfssatz 6.10). Zweiter Teil. Wir miissen die Umkelirabbildung {A,A;,e} —> [X,k,e]

§3. Dirichletreihen init Funktionalgleichungen

423

konstruieren. Es liegt nahe, dies durch Umkehrung der Integraldarstellung von R{s) zu bewerkstelligen. Da diese auf dem P-Integral beruhte, benotigen wir eine Umkehrformel fiir das P-IntegraL Eine solche ist unter dem Namen MELLIN-Integral bekannt, welches wir nun herleiten wollen. Bevor wir dies tun, niachen wir noch auf eine asymptotische Eigenschaft von r{s) bei Im s —)• cx) aufmerksani. Sie ergibt sich aus der STiRLiNG'schen Formel. Wie wir bereits wissen, ist die P-Funktion in endlichen Vertikalstreifen — weg von den Polen — beschrankt. Eine wesentlich scharfere Aussage erhalt man aus der S T I R LlNG'schen Formel, in welclier als wesentliclier Term die Funktion 5**^2 = Qis-2)^°ss

(Logs der Hauptwert)

auftritt. Wir wollen diese Funktion in einem Vertikalstreifen a < a < b weg von den Polen, also unter der zusatzliclien Voraussetzung \t\ > 1 untersuclien. Wegen der Reclienregel r{s) = r{s) geniigt es, sich auf die obere Halbebene, genauer also auf t >1 zu beschranken. Schreibt man Logs = log |s| + i Args und benutzt 71"

lim Arg s = — i—7-00

(in dem Vertikalstreifen),

2

so kann man das asymptotische Verhalten von S

2

^Re[(s-i)Logs]

leicht iiberblicken, denn es gilt Re

^)Logs

- ) log |s| — tArgs.

Wir erhalten also, dass die P-Funktion in endlichen Vertikalstreifen fiir |t| —)• cx) stark (exponentiell) abklingt. Genauer gilt 3.5 Hilfssatz. Sei s eine beliebig Heine positive Zahl, 0 < e < 7r/2. In jedem Vertikalstreifen a < a
\t\

>l,

einer Abschdtzung \F{s)\ < Ce-(^/2-£)|t|

mit einer geeigneten positiven Zahl C = C{a, b, s). Sei nun a irgendeine reelle Zahl, welche den Polen der P-Funktion ausweicht. Wir betrachten das uneigentliche Integral

424

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie ex:

r{a ^., + it) (it. — oo

Dabei sei wiederum ^CT+ii _ g{CT+ii)Logz

durch den Hauptwert des Logarithmus definiert. Benutzt man das asymptotische Verhalten der P-Funktion auf eineni Vertikalstreifen und beachtet dabei l^cr+iil _ gO-log|z|-iArg,s

SO folgt die absolute Konvergenz des Integrals unter der Voraussetzung |Argz| < - , also in der rechten Halbebene R e ^ > 0. Wir lassen nun speziell a die Folge der Zahlen 1

3

5

~2 ' ~2 ' ~2'•••

durclilaufen. Mit Hilfe der Funktionalgleicliung und dem daraus resultierenden Abklingverhalten der Funktion r[z) fiir Re(z) —)• - c o scliliefit man lim

f r(^-k

/

^^_

+ it) ,

.—'-dt = 0.

— cx:

Aus dem Residuensatz folgt nun leicht fiir a > 0 oo

i /

^ Z,

dt = 27ri > Res

— ^ ; s = -n

= 27ri >

^^—^ .

Insgesamt erlialten wir die MELLiN'sclie Umkelirformel fiir das -T-Integral. 3.6 Hilfssatz (H.

MELLIN,

1910). Unter den

Voraussetzungen

a > 0 und Re ^ > 0 gilt die

Mellin'sche

Umkehrformel oo

§3. Dirichletreihen init Funktionalgleichungen

425

Mit Hilfe dieser Formel kommen wir nun zu dem angekiindigten funktionentheoretischen Ubergang von D{s) zu f{z). Wir gehen also von der DiRiCHLETreihe D{s) aus und bilden mit einer noch zu bestimnienden Konstanten a^ die Funktion oo

n=0

Sie konvergiert nach 2.4 in der oberen Halbebene und es gilt oo

fi^y)-%

r(s) =^ — Y.'^n Jj C-lny)

(it

mit s = a+it, a > 0. Man zeigt nun leiclit mit Hilfe des asymptotisclien Verlialtens der P-Funktion auf Vertikalgeraden die Vertausclibarkeit von Summation und Integration und erlialt unmittelbar die gewiinsclite Formel oo

— oo

((jg = Konvergenzabszisse von D{s)). Unser Ziel ist es, aus der Funktionalgleicliung fiir R{s) (s. 3.2) die gewiinsclite Funktionalgleicliung fiir f{iy) abzuleiten. Nacli der Waclistumsvoraussetzung klingt R{s) in jedem Vertikalstreifen der komplexen Ebene ab. Wir konnen daher die Abszisse a beliebig verscliieben, aucli in den negativen Bereicli, worauf lediglicli beim Ubersclireiten der Pole a = 0 und a = k Residuen aufzunelimen sind. Wir woUen die Abszisse a nacli k — a verscliieben. Da wir dabei beide Pole iibersclireiten, folgt oo

— oo

Wir verfiigen jetzt liber die Konstante a^: ttg := - R e s ( — y ^ ; 5 = 0 ] = -Res{R{s);s

=0).

Benutzt man die Funktionalgleicliung R{k — s) = sR{s), so ergibt sicli nun unmittelbar / (^^) = e / / ( i 2 / ) und durcli analytisclie Fortsetzung

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

426

s{j)'m

/ Einige Beispiele. 1) Wir untersuchen die Schar

2,-,1 ' 2' also Funktionen mit dem Transformationsverhalten f{z + 2) = f{z)

und

1

/

rm-

Eine solche Funktion ist •d{z). Wir behaupten 3.7 Satz. Es gilt:

1

C-^(^)

'2'

Beweis. Wir benutzen die Resultate iiber die Bestimmung der Modulformen halbganzen Gewichts zur Thetagruppe (s. VI, Anliang 5), welche ja von z + 2 und z erzeugt wird. Der Vektorraum [r^,l/2,v^] ist eindiniensional. Dies folgt beispielsweise aus dem allgemeinen Struktursatz VI.6.3. Wir miissen daher nur zeigen, dass jedes Element / G [2,1/2,1] in diesem Vektorraum entlialten, d. li. in alien Spitzen der Thetagruppe*) regular ist. Dazu stelit uns nocli die Information zur Verfiigung, dass in der FoURlERentwicklung oo

/(.) = ^ a „ e - n=0

die KoefFizienten lioclistens polynomial waclisen. In den beiden naclisten Hilfssatzen wird gezeigt, dass sich liieraus die Regularitat in alien Spitzen ergibt. 3.8 Hilfssatz. Die Zuordnung ''n)n>0

/(^) = Y.^n^'"" n=0

stiftet eine Bijektion

zwischen

1) der Menge aller Folgen (a„)„>o i^it hochstens polynomialem Die Thetagruppe besitzt zwei Spitzenklassen.

Wachstum,

§3. Dirichletreihen init Funktionalgleichungen

427

2) der Menge aller in der oberen Halbebene analytischen Funktionen f{z) den Eigenschaften a) f{z + X) = f{z), b) f{z) ist im Bereich y >l beschrdnkt,

mit

c) es gibt positive Konstanten

A, B mit der Eigenschaft

l/WI<^f-)

fury
(f wdchst also hochstens polynomial bei Anndherung an die reelle Achse und zwar gleichmdfiig in x). Beweis. Es gilt

°°

,

\f{z)\
Da (ttjj) nach Voraussetzung hochstens polynomial wachst, konnen wir \a^\ durch n^ mit einer geeigneten natiirlichen Zahl K abschatzen. Die Funktion

E"V,

kl
n=0

ist eine rationale Funktion in q, wie man durch mehrfache Differentiation der geometrischen Reihe (induktiv nach K) zeigt. Ihre Polordnung in g = 1 ist b := K +1. Es gilt dann ^n^g" n=0

c < —

r fiir ^ lb

I

lo — ll < 1 '^

'

—

2-Ky

mit einer geeigneten Konstanten C > 0. Ersetzt man nun q \-^ e~ ^ , so folgt 1/(^)1 <

n

ffir

0
e - ^ - 1 Dieser Ausdruck wachst hochstens polynomial in 1/y (fiir y —^ 0). 3.9 Hilfssatz. Sei oo n=0

eine Fourierreihe, deren Koeffizienten a„ hochstens polynomial wachsen. Die durch f{z) dargestellte Funktion habe das Transformationsverhalten einer Modulform aus [F,r/2,v] bezuglich irgendeiner Kongruenzgruppe und zu einem beliebigen Multiplikatorsystem v. Dann ist f{z) eine Modulform, sic ist also in alien Spitzen regular!

428

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

Beweis. Wir mussen zeigen, dass f{z) in den Spitzen regular ist, d. h. dass g{z) = {cz+ (£)-"/"^fiMz)

(MGSL(2,Z))

fiir y >1 beschrankt bleibt. Nach Voraussetzung ist / in der Spitze ioo regular. Wir konnen dalier annelimen, dass M{\oo) von ico verscliieden ist. Wir wissen, dass g{z) eine periodisclie Funktion ist. Als Periode konnen wir A annelimen. Es gibt dann eine FoURlERentwicklung oo

n= — oo

Die Beliauptung lautet: 1

b_^ = f g{\z)e^™''

dx = 0 ffir n > 0.

0

Wir wollen in deni Integral den Grenziibergang y ^ oo vornelinien. Da der Exponentialterm stark abklingt, geniigt es zu zeigen, dass g{z) lioclistens polynomial waclist. Dies folgert man leiclit aus der Definition von g{z) in Verbindung mit Hilfssatz 3.8. Man beachte, dass der Imaginarteil von Mz fiir z —)• icx) gegen 0 konvergiert. Aus dem Hauptresultat erhalten wir nun d i m | 2 , i , l | = l. Dies bedeutet eine Charakterisierung der korrespondierenden DiRiCHLETreihen oo

1 + 2^

oo

e""^ ^

n=l

2 ^ ( n ^ ) - = 2C{2s). n=l

Wir erhalten nun die beriihmte Funktionalgleichung der RiEMANN'schen ("Funktion und ihre eindeutige Charakterisierung durch diese Funktionalgleichung. 3.10 Theorem (B. RiEMANN, 1859). Die Riemann'sche

C,-Funktion

oo

«=i

ist in die ganze komplexe Ebene meromorph fortsetzbar; sie ist aufierhalb s = I analytisch und hat in s = I einen Pol erster Ordnung mit dem Residuum 1. Definiert man

Ubungsaufgaben zu §3 so gilt die

429

Funktionalgleichung

Die Funktion ^{s) streifen abklingt.

ist eine meromorphe

Funktion,

welche

in jedem

Vertikal-

Z u s a t z . Sei D{s) eine in einer rechten Halbebene a > a^ analytische mit folgenden Eigenschaften:

Funktion

Umgekehrt gilt ( E . H E C K E , 1936):

1) D{2s)

ist in a > GQ in eine Dirichletreihe

2) D{s) ist in ganz C meromorph Ordnung mit Residuum 1. 3) D{s)

geniigt der

klingt in jedem

Dann stimmt

D{s)

entwickelbar. und hat in s = I einen Pol

erster

Funktionalgleichung

R{s) = R{1 - s) 4) R{s)

fortsetzbar

mit

R{s) := v r ^ ' / ^ r (^]

Vertikalstreifen

mit der Riemann'schen

D( s .

ah. C,-Funktion

iiberein.

Die erste eindeutige Cliaralcterisierung der RiEMANN'sclien ^-Funktion durcli ilire Funktionalgleicliung und Waclistumsbedingungen stammt bereits von H. HAMBURGER (1921, 1922), allerdings unter modifizierten Voraussetzungen. Insbesondere wurde die starkere Voraussetzung verwendet, dass sich die Funktion D{s) selbst und nicht nur D(2s) in eine DiRICHLETreihe entwickeln lasst. Die Funktionalgleichung wurde urspriinglich von Riemann (1859) in der (aquivalenten) Form

C(i-s) = 2i-V-^cos^r(s)c(s) angegeben. Aus dieser Forniel kann man die trivialen NuUstellen ({—2k) = 0 (fc G N) ablesen.

Ubungsaufgaben zu VII.3 1. Sei D eine in der ganzen Ebene meromorphe Funktion, welche in jedem Vertikalstreifen von endlicher Ordnung ist und sich in einer geeigneten rechten Halbebene in eine DiRICHLETreihe entwickeln lasst. Es existiere eine natiirliche Zahl k, so dass sie der Funktionalgleichung R{s) = {-lfR{2k

- s) mit R{s) =

{2Tv)~'r{s)D{s)

geniigt. D{s) sei aufierhalb s = 2k analytisch und besitze in s = 2k hochstens einen Pol erster Ordnung. Man zeige, dass D im Falle fc = 1 verschwindet. In den Fallen A; = 2,3,4 gilt D{s) = CC(s)C(s + 1 - 2fc), C

eC.

2. Sei D eine in der ganzen Ebene meromorphe Funktion, welche in jedem Vertikalstreifen von endlicher Ordnung ist und sich in einer geeigneten rechten Halbebene

430

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie in eine DiRiCHLETreihe entwickeln lasst. Es existiere eine natiirliche Zalil r, so dass sie der Funktionalgleichung R{s) = R{r/2 - s) mit fl(s) = 7r""r(s)L»(s) geniigt. D{s) sei aufierhalb s = r/2 analytisch und besitze in s = r / 2 hochstens einen Pol erster Ordnung. Man zeige, dass ini Falle r < 8 diese DiRiCHLETreihe bis auf einen konstanten Faktor die Form oo

n=l

hat, wobei A^{n) die Anzahl der Darstellungen von n als Sunime von r Quadraten ist. Im Falle r = 1 gilt D-j^{s) = 2^(2s). Die DiRiCHLETreihe D^is) kann man auch in der Form C^{s) := D,{s) = Y. \a\-'^ aGZ+iZ

schreiben. (Dies ist die Zetafunktion des GAUSS'schen Zahlkorpers K = Q(^/—1).) 3. Sei D eine in der ganzen Ebenen meromorphe Funktion, welche sich in einer geeigneten rechten Halbebene in eine DiRiCHLETreihe D{s) = X^ - i '*n™~^ ^^^~ wickeln lasst. Es gelte a, = 1 und

lim —^ = 0.

Die Funktion D geniige der Funktionalgleichung R{s) = R{l2-s)

mit R{s) =

{2%)~'r{s)D{s).

Man zeige, dass a^ mit der RAMANUJAN'schen r-Funktion iibereinstimmt, a^ = rin) (s. Aufgabe 5 aus VII.1). 4. Man verifiziere die Identitaten oo

f{z) : = Y^

oo

( - l ) " ( n + i/2)e'^'^("+i/2)' = 2 ^ ( - l ) " ( n + i/2)e'^'^("+i/2)'

n = —OO

= 4 y

n=0

(n+l/4)e^-^("+i/^)^ =

_iMl£l^

n=-oc

•u> = l / 4

und leite aus der jACOBi'schen Thetatransformationsformel VI.4.2 die Identitat

ab. Es gih also / G [8,3/2,1]. 5. Sei

{

0 1 —1 Man folgere aus der vorhergehenden

falls n gerade, faUs n = l m o d 4 , falls n = 3 m o d 4 . Aufgabe, dass die DiRiCHLETreihe

Lis) = Y,x{n)n-' n=l

{a > 1)

Ubungsaufgaben zu §3

431

sich in die ganze Ebene analytisch fortsetzen lasst. Sie geniigt dort der Funktionalgleichung

R{s) = R(l - s) mit R{s) = ( j ) " ' ^ ' T ( ^ )

L{s)

6. Man leite aus den Aufgaben 2 und 5 die Identitat C^{s) =

4as)L{s)

ab. Diese hat folgende zahlentheoretische Anwendungen: a) Die Anzahl der Darstellungen einer natiirlichen Zahl n als Suinme von zwei Quadraten ganzer Zahlen ist gegeben durch

A,{n) : d\n

d\r^

d\n d= l mod 4

d= 3mod4

sie auch als Iderititat von Fotenzreihen lolgendemiail /

>

oo

1 E^ \ n = —oo

1

1 1 1 \^C

Tl"

/

b) Es gilt

L{s)= n

(i

x{p) pS

p prim

Man folgere aus Aufgabe 6, dass die Funktion L{s) in s = 1 keine Nullstelle hat und hieraus: Es giht unendlich p = 3 mod 4.

viele Primzahlen

p mit der Eigenschaft p = 1 mod 4 hzw.

Dies ist ein Spezialfall des DiRiCHLET'schen Primzahlsatzes, der besagt, dass es in jeder arithmetischen Progression {a + kb, k G N} unendlich viele Primzahlen gibt, falls a und b teilerfremd sind. Man kann diesen Spezialfall auch sehr einfach direkt beweisen, die hier verwendete Methode ist als Hinweis auf einen allgemeinen Beweis dieses Satzes zu sehen. Auch der allgemeine Beweis beruht darauf zu zeigen, dass eine DiRiCHLETreihe der Form oo

n=l

bei s = 1 von 0 verschieden ist. Dabei ist x sin beliebiger DiRiCHLETcharakter. Die Formel aus Aufgabe 6 besitzt ebenfalls eine Verallgemeinerung. An die Stelle des GAUSS'schen Zahlkorpers tritt ein beliebiger imaginar quadratischer Zahlkorper.

432

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

4. Die Riemann'sche ^-Funktion und Primzahlen Die Theorie der Primzahlverteilung basiert auf der Riemann'schen

C,-Funktion

oo

C,{s) •.= 2_\^^''

(n** := exp(5logn)).

Diese Reihe konvergiert, wie wir wissen, in der Halbebene R e s > 1 normal und stellt in dieser Halbebene eine analytische Funktion dar. Der Zusammenliang mit den Primzahlen ergibt sich aus der Euler'schen Produktentwicklung der C-Funktion (L. EuLER, 1737): Fiir Re{s) > 1 gilt (vgl. 2.8) OO

pep

v=i

wobei F := {Pi^ P2T P^T • •) ^i^ Menge der Primzahlen in ihrer natiirlichen Reihenfolge bezeichne, p^ = 2, P2 = 3, Pg = 5 , . . . . Der VoUstandigkeit halber skizzieren wir noch einmal einen direkten Beweis: Mit Hilfe der geometrischen Reihe oo

zeigt man mittels des CAUCHY'schen Multiplikationssatzes 777

777

k=l

OO

k = l v=0^^

^

OO

v^,...,v^=0

Aus der Tatsache, dass sich jede natiirhche Zahl eindeutig in Primfaktoren zerlegen lasst (Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie), folgt 777

11(1-prr'= Y. ""^ k=l

neA(m.)

hierbei bezeichne A{m) die Menge aller natiirlichen Zahlen, die keinen von PIT • • TPTTI verschiedenen Primteiler besitzen. Zu jeder natiirhchen Zahl N existiert eine natiirhche Zahl m, so dass {!,..., A^} in A^ enthalten ist. Hieraus folgt , k=l

Aus der Abschatzung

77=1

n

§4. Die Rieinann'sche iJ-Funktion und Priinzahlen

433

^ |i - {i-p-n-'\ < E E b^^l < E h^l p

p

n=l

m

folgt, dass das EuLERprodukt fiir Re(s) > 1 normal konvergiert.

D

Die ("-Funktion hat in der durch Re(s) > 1 definierten Konvergenzhalbebene keine NuUstelle, da keiner der Faktoren des EuLERprodukts dort eine NuUstelle hat. Wir formulieren noch einmal (vgL 2.8) die grundlegenden Konvergenzeigenschaften der ("-Funktion und ihre Entwickelbarkeit in ein EuLERprodukt in der Konvergenzhalbebene. 4.1 Satz. Die Reihe

CW:=E^ «=1

konvergiert in der Halbebene {s G C; Re{s) > 1} normal und stellt dort eine analytische Funktion dm; die Riemann'sche C-Funktion. Sie besitzt in dieser Halbebene eine Darstellung als (normal konvergentes) Eulerprodukt

Insbesondere gilt C{s) 7^ 0 fiir Re(s) > 1.

Die logarithmische Ableitung der Riemann'schen ^-Funktion Die Ableitung von 5 i-)- 1 — p^** ist (logp)]?^**, die logarithmische Ableitung daher {\ogp)p{log P)J2P "' \ —p v=l

Es folgt

C'js) Cis)

E(^°s^)E^

Die Doppelreihe konvergiert wegen \p '"^\ = p "^'^i-'^) absolut. Ordnet man nach festen Potenzen n = p" um, so erhalt man

434

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

4.2 Hilfssatz. In der Konvergenzhalbebene Re{s) > 1 gilt:

Cis) Cis)

y ^ A{n)n

** mit

n=l

A{n) = { log p, 0

falls n = p" (p prim), sonst.

Es ist unser Ziel, das asymptotische Verhalten der summatorischen ^(x) := ^

Funktion

A{n)

n<x

mit funktionentheoretischen Methoden zu bestimmen. Man nennt A{n) auch Mangoldt'sche Funktion und ^ Tschebyscheff-Funktion. Bei den auftretenden Restgliedabschatzungen ist es zweckmai3ig, die LANDAu'schen Symbole „ 0 " und „o" zu verwenden. Seien / , <; : [XQ, oo[ —)• C Funktionen. Die Bezeichnung f{x) =

0{g{x))

bedeute: Es gibt eine Konstante K > 0 und tin x^ > XQ, SO dass \f{x)\ < K \g{x)\ fur allex > x-y.

Insbesondere gilt f{x) = 0(1) <=> / ist besclirankt fiir x > x^, x^ geeignet . Die Bezeichnung f{x) = o{g{x)) bedeute: Zu jedem e > 0 existiert eine Zahl x(e) > XQ, SO dass \f{x)\ < e \g{x)\

fiir x > x{s).

Insbesondere gilt / ( x ) = o(l) <^^

lim / ( x ) = 0. X—7-00

Ist sclilieBlicli h{x), x > XQ, eine dritte Funktion, so sclireiben wir / ( x ) = h{x) + 0{^g{x)) f{x) = h{x) + 0 ((/(x))

anstelle von anstelle von

/ ( x ) — h{x) = 0{^g{x)), / ( x ) — h{x) = a {^g{x)).

§4. Die Rieinann'sche iJ-Funktion und Priinzahlen

435

4.3 Hilfssatz. 1st

0W := XI ^°S^' per p<x

dann gilt tl){x) = 0{x) + 0((logx)-\/x)Man nennt 0 ( x ) die Tschebyscheff 'sche

Thetafunktion.

Beweis. Da man jeden Term logp durch logx abschatzen kann, geniigt es #{(i/,j3);

2
<x}=OiV^)

zu zeigen. Wegen p" <x^p<

„/— , logx logx i(/x und 1^ < log — p^ < log^2

kann man obige Anzahl durch

E

'X =

VX

abschatzen. Den zweiten Term auf der rechten Seite schatzen wir durch logx log 2

/^ = 0{V^)

ab. Wir benutzen dabei, dass logx = O(x^)

fiir jedes

e> 0

ist.

a Ziel der folgenden Abschnitte ist es, folgenden Primzahlsatz zu beweisen:

4.4 Theorem.

Es gilt

4.4^ Bemerkung. Wegen logx • ^/x = o(x) und Hilfssatz 4-3 ist Theorem 4-4 dquivalent mit tjj{x) = 2_] J^{n) = X + o(x). n<x

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

436

Der P r i m z a h l s a t z wird iiblicherweise in einer etwas anderen Form ausgesprochen: 4.5 T h e o r e m . Sei TT{X) : = # { p G P ;

p < x}.

Es gilt der

Primzahlsatz X

lira I 7r(x

logx

Obwohl die Umformulierung ohne funktionentheoretische Relevanz ist, wollen wir die S t a n d a r d f o r m 4.5 der Vollstandigkeit halber kurz aus 4.4 ableiten. Wir zeigen: Theorem 4.4 =^ Theorem 4.5 Wir definieren r{x) durch y

logp = x{l + r{x))

p<.x

(also r{x) —>• 0 fiir

a; ^ oo nach 4.4).

Es eilt trivialerweise /

logp < Tv{x) lo, 'gX

p<x

und daher 7r(a;) > ^1 ( l + r(a;)). log a; Etwas schwieriger ist die Ahschdtzung von TT{X) nach ohen. Wir wahlen eine Zahl q, 0 < q < 1. Aus der trivialen Abschatzung n{x'^) < x'' ergibt sich fiir x > 1 /

logp >

y

logp > log(a;') • # { p ;

x'^ < p < x}

p<x

q\og{x){n{x)

— 7r(a;')) > q\og{x){n{x)

— x'').

Hieraus folgt 1 I ^9 T^ix) < -, (l+r(x))q + log a; Diese Ungleichung wird fiir geeignetes q ausgewertet, namlich fiir q = 1 — l/yTag (a; > 2). Es folgt

Ax)< r^il log a;

+ R{x))

mit i?(a;) = - l + (l + r(a;)) Offensichtlich gilt -R(a

1

0 fiir a; ^ oo.

Vloga;

(loga;)a;

-l/\/logX

§4. Die Rieinann'sche iJ-Funktion und Priinzahlen

437

Anhang. Restgliedabschatzungen Es erhebt sich die Frage, ob man iiber die qualitative Aussage r{x) = o(l) explizite Restgliedabschatzungen linden kann. Tatsachlich ergibt unsere funktionentheoretische Methode folgende 4.6 R e s t g l i e d a b s c h a t z u n g e n . e{x)=x{l

Es existiert eine naturiiche Zahl N, so dass

+ r{x)),

r(a;) = 0 ( 1 / V i o g ^ )

TT{X) = {1 + R{x)), log a; gilt. (Wir werden N = 128 erhalten).

i?(a;) = 0 ( 1 / V E ^ )

Mit anderen Metlioden kann man beweisen, dass A^ = 1 gewalilt werden kann. Es gilt sogar < R{x) < —^ (Oi, O2 geeignet) log X log X Bessere asymptotische Formeln fiir 7r(a;) erhalt man, wenn man a;/log a; durch den Integrallogarithnius X

lA(x) := /

dt

2

ersetzt. Man zeigt leicht (durch partielle Integration) Li(a;) = p ^ (1 +s(a;)),

s(a;) = 0 ( 1 / l o g a;).

Im Primzahlsatz 4.5, 4.6 kann man daher a;/log a; durch Li(a;) ersetzen. Es zeigt sich nun, dass n{x) durch Li(a;) hesser approximiert wird, und zwar gilt (vergl. etwa [Pr] oder [Sch]) %{x) = Li(a;) + 0(a;exp(—Oyloga;)) mit einer positiven Konstanten C Vermutet wird eine noch viel bessere Restgliedabschatzung, namlich V e r m u t u n g . Es gilt 7r(a;) = Li(a;) + O (\/xloga;j . Aquivalent mit dieser Vermutung ist die Riemann'sche Vermutung C(s) ^ 0 fiir Re(s) > i . Diese 1859 von B. RIEMANN aufgestellte Vermutung konnte trotz grofier Anstrengungen bis heute nicht entschieden werden. Man weifi, dass unendlich viele Nullstellen auf der kritischen Geraden a = 1/2 liegen.

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

438

Das folgende Bild zeigt die analytische Landschaft von ({s) C erscheinen als Polstellen.

^, die NuUstellen von

Die Abbildung niacht die ersten sechs nichttrivialen NuUstellen g^ = ^ + U^ der C-Funktion niit t^ > 0 deutlicli: Die Imaginarteile liegen bei 14,134725.

21,022040,

25,010856.

30,424878,

32,935057.

37,586176,

Der Pol der (^-Funktion bei s = 1 erscheint in der Abbildung als das (einzige) absolute Minimum von | l / ^ ( s ) | . Der „Kuhlturm" links verdeutliclit die triviale Nullstelle der C-Funktion bei s = —2.

Vielleicht war es B. RIEMANN'S Absicht, den Primzahlsatz iiber seine Vermutung zu beweisen. Der Primzahlsatz wurde schlieBlich unabhangig von J. HADAMARD und C.DE LA VALLEE-POUSSIN 1896 bewiesen. Beide Beweise stiitzen sich auf eine Abschwachung der RiEMANN'schen Vermutung:

Die (-Funktion

hat kerne Nullstelle auf der Geraden a = 1.

Im nachsten Abschnitt werden wir diese Aussage beweisen. Um hieraus den Primzahlsatz abzuleiten, benotigt man einen sogenannten TAUBERsatz. Er gestattet Aussagen fiir das asymptotische Verhalten summatorischer Funktionen von Koeffizienten gewisser DiRlCHLETreihen. Im letzten Abschnitt werden wir einen TAUBERsatz beweisen, welcher auch eine schwache Form fiir das Restglied im Primzahlsatz liefert. In seiner beriihmten Arbeit [Ri2] hat B. RIEMANN sechs Behauptungen iiber die (^-Funktion aufgestellt, von denen eine noch unbewiesen ist. Fiir weitere historische Bemerkungen zur Geschichte des Primzahlsatzes und der RiEMANN'schen Vermutung vergleiche man auch die Ausfiihrungen am Schluss dieses Kapitels.

Ubungsaufgaben zu §4

439

Ubungsaufgaben zu VII.4 1. Die MOBius'sche /^-Funktion werde durch die Gleichung

— C(s) definiert. Man zeige 1, (-1)*, H{n) 0, 2. 1st a : N

E

= TTci -p"-^^ - ' ^ '^("^

falls n = 1, falls n = pi---pfc das Produkt k verschiedener sonst.

Primzahlen p- ist,

irgendeine Folge koinplexer Zalilen und A{x):='^a{n)

ihre sumniatorische Funktion, f : [x,y] ^ C, 0 < y < X, die

(A(0) = 0)

so gilt fiir jede stetig differenzierbare Funktion

Ahel'sche

Identitdt X

J2

a{n)f{n)

= A{x)f{x)

- A{jj)f{y)

-

f A{t)f\t)

dt.

yKnKx

3. Wenn einer der folgenden Grenzwerte existiert, so existieren auch die anderen, und alle Grenzwerte sind gleich: 0{x) •K{X) V'(a;) lim lim liin a;->oo X ' x-s-oo a;/log(a;) 4. Fiir Re s > 2 gilt C(g-l) _ ^ C(s)

Y.-Vin)

Dabei ist ^(n) = # ( Z / n Z ) * . ^{n) ist also gleich der Anzahl der primen Restklassen mod n. definierte Funktion 99 : N ^ N heifit EULER'sche 99-Funktion.

Die hierdurch

5. Man zeige, dass die Reihe

divergiert. Anleitung.

Man nehme an, die Reihe konvergiert und folgere dann, dass die Reihe ^log(l-p-^)

fiir 1 < o" < 2 gleichmafiig konvergiert. Hieraus wiirde folgen, dass C(o"); o- > 1, bei Annaherung an cr = 1 beschrankt bleibt.

440

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

6. Man zeige C(o-) < 0 fiir 0
lim

f"

n->oo nlogn

= 1.

5. Die analytische Fortsetzung der ^-Funktion Wir formulieren die Eigenschaften der RiEMANN'schen ("-Funktion, die wir zum Beweis des Primzahlsatzes benotigen, in folgendem 5.1 Satz. I. Die Funktion s \-^ {s — l)C{s) Idsst sich auf eine offene Menge, welche die abgeschlossene Halbebene {s EC; Re{s) > 1 } enthalt, analytisch fortsetzen. Sie hat den Wert I bei s = 1, d.h. ( hat einen Pol erster Ordnung mit Residuum 1 bei s = 1. II.

Abschdtzungen in der Halbebene {s E C;

Re{s) > 1}

1) nach oben: Es existiert fiir jedes m G NQ eine Konstante C^, so dass die m-te Ableitung der Abschdtzung C<™'('S)
fur

\t\>lunda>l

{s = a + it)

geniigt. 2) nach unten: Es existiert eine Konstante 5 > Q mit der Eigenschaft |C(s)| > (^l^r" fur

\t\>lunda

>l.

Die ^-Funktion hat insbesondere auf der durch Re(s) = 1 definierten Geraden keine NuUstehe. (Wir wissen bereits, dass C, fiir Re(5) > 1 keine Nuhstelle hat.) Der Beweis von Satz 5.1 erfolgt durch eine Reihe von Hilfssatzen (5.2-5.5). Zu I.: Wir haben an anderer Stehe (vgL 3.10) viel niehr bewiesen: Die Funktion s I-)- (s —l)C(s) besitzt eine analytische Fortsetzung in ganz C und geniigt einer Funktionalgleichung. Fiir den Prinizahlsatz mit schwachem Restglied ist dieser Satz jedoch nicht notwendig. Da sich die Fortsetzung von C, ein Stiick iiber die Gerade Re(5) = 1 hinaus viel leichter bewerksteUigen lasst, woUen wir einen einfachen Beweis hierfiir aufnehmen.

§5. Die analytische Fortsetzung der ^-Funktion 5.2 Hilfssatz.

441

Fur t G K sei

fi{t) := t-[t]-

1/2

{[t] := max{ n G Z ,

n
Dann gilt pit + I) = P{t) und \l3{t)\ < \. Das Integral oo

F{s) := j

t-'-^p{t)dt

1

konvergiert fur Re(s) > 0 absolut und stellt dort eine analytische Funktion F Es gilt f'lir Re(s) > 1

Bemerkung. Definiert man ((s) fiir Re{s) > 0 durcli die rechte Seite von (*), so hat man (" in die Halbebene Re(s) > 0 meromorph fortgesetzt. Die einzige Singularitat ist ein Pol erster Ordnung bei s = 1, und wir erhalten einen neuen Beweis fiir l i m ( s - l ) C ( 5 ) = R e s ( C ; l ) = 1. Beweis von Hilfssatz 5.2. Aus der Abschatzung

t-'-'p{t)\


-0--1

Re(s))

ergibt sicli die Konvergenz des Integrals fiir Re(s) > 0 und die Analytizitat von F. (Man vergleiclie die entsprecliende Argumentation bei der P-Funktion.) Durcli partielle Integration beweist man fiir beliebige natiirliclie Zalilen n G N die Formel Tl+l

Tl+l

/?(t)|r^)rft

1

{{n +

l)-'+n-')

t-'dt.

Summiert man diese Formel von n = 1 bis n = iV — l , i V > 2 , auf, so folgt mittels einer kleinen Reclinung

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

442

N

N

N

f

1 1

2

2

sjf

J

1

1

N

- + -N^' 2 2

H

I3{t)dt 1-s

1 N

1 1 ^ , 2 2

iVi-^ 1 1 - S 5 - 1

I3{t)dt. 1

Vollzieht man den Grenziibergang N ^ oo und beachtet N^',

N'^^' -)• 0 fiir N ^ oo

(wegen cr > 1),

so folgt die in Hilfssatz 5.2 behauptete Identitat. Zu II.1) Abschdtzung nach oben. Im Bereicli a > 2 ist (" iiberhaupt besclirankt:

Dasselbe Argument zeigt, dass auch die Ableitungen von ( in diesem Bereich besclirankt sind, da man die C-Reilie gliedweise ableiten darf. Wir konnen daher 1 < a < 2 annehmen. Es geniigt im)i

( l < a < 2 , \t\ > 1),


zu zeigen. Wir benutzen hierzu die Integraldarstellung des Hilfssatzes 5.2. (Genausogut kann man die Integraldarstellung aus §3 benutzen.) Da man die Ableitung von sF{s) mit Hilfe der Produktformel als Linearkombinationen von F''''''{S) und sF^^^\s) ausdriicken kann, geniigt es zu zeigen, dass jede Ableitung von F in dem durch 1 < a < 2 definierten Streifen beschrankt ist. Es gilt oo

f{-\ogt)"'t-'-^li{t)dt.

F(™'(S)=

Benutzt man eine Abschatzung |log(OI < C'^t^

m > 1),

C'^ geeignet,

in Verbindung mit \/3{t)\ < 1, so folgt p(™)i

< C'

/ t-^dt

< 00.

§5. Die analytische Fortsetzung der ^-Funktion

443

Anmerkung. Obiger Beweis zeigt die Beschranktheit von Bereichen 0 < S < a.

sogar 111

In der Abschatzung II 1) aus Satz 5.1 kann man also „a > 1" durch „a > 6 > 0" ersetzen. Benutzt man die Integraldarstellung aus §3, so kann man auch noch die Voraussetzung „^ > 0" fallen lassen. Natiirlich kann man auch „\t\ > 1" durch „\t\ > e > 0" ersetzen. Zu II.2) Abschatzung nach unten. Man benotigt eine einfache Ungleichung. 5.3 Hilfssatz.

Sei a eine komplexe Zahl vom Betrag 1. Es gilt R e ( a ' ' ) + 4 R e ( a 2 ) + 3 > 0.

Beweis. Aus der binomischen Formel [a + af =a'^ +a^ + 4(a^ + a^) + 6 folgt Re{a'^) + 4Re{a'^) + 3 = 8{Reaf

(fiir aa = 1).

D

Nutzt man diese Ungleichung 5.3 fiir a = n^'*/^ aus, so folgt Re(n"2it) + 4 R e ( n - " ) + 3 > 0. Multipliziert man diese Ungleichung mit n^'^ und mit einer nichtnegativen reellen Zahl b^^, so folgt, nach Summation iiber n: 5.4 Hilfssatz. Sei b^, 635 ^31 • • • ^^fi^ Folge nichtnegativer Zahlen, so dass die Reihe 00

D{s) = J2b„n-^

(a>l)

«=i

konvergiert. Dann gilt ReD{a + 2U) +4ReD{a

+ U)+ 3D{a) > 0.

Folgerung. Sei Z{s) •.= e^^'\ dann gilt \Z{a + iOl" \Z{a + 2it)\ \Z{a)f

> 1.

Wir woUen zeigen, dass sich dieser Hilfssatz auf ^(s) = Z{s) anwenden lasst, und betrachten hierzu r l/f 0

falls n = p" , p prim. sonst.

444

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

Es gilt dann p

v

p

und daher e.Dis)^Yl{l-p-T'=C{s]

Wir erhalten also nacli einer trivialen Umsclireibung 5.5 Hilfssatz. Fiir a > 1 gilt

aa + it) ' cr-1

\aa +

2it)\[aa){a-l)f>ia-l)-K

Hieraus folgt unmittelbar, dass ( keine NuUstelle auf der Geraden Re(s) = 1 liaben kann: Ware namlicli C(l + i^) = 0 fiir ein t ^ 0, so konvergierte die linke Seite der obigen Ungleicliung fiir u —)• 1^ gegen den endliclien Wert

|C'(i + i0l'lC(i + 2it)|, die reclite Seite jedocli gegen cx). Die nun folgenden feineren Untersucliungen ergeben dariiberliinaus die Abscliatzung II.2) aus Satz 5.1 von |C(s)| nacli unten. Wir konnen uns dabei wieder auf den Streifen 1 < a < 2 bescliranken, da fiir (J > 2 die Funktion |C(s)| sogar durcli eine positive Konstante nacli unten besclirankt ist oo

IC(5)l>l-|C(s)-l|>l-^n-2>o. n=2

Um eine Abscliatzung von |C(s)|, 1 < o" < 2, nacli unten zu erhalten, sclireiben wir die Ungleicliung 5.5 um: \as)\>i
+

2it)\-'^'[aa)ia-l)]

-3/4

Die Funktion a i-)- C(o")(o" — 1) ist auf deni durcli 1 < o" < 2 definierten Intervall stetig und hat dort keine NuUstelle. Ihr Betrag ist daher nach unten durch eine positive Konstante beschankt. Nutzt man die bereits bewiesene Abschatzung \aa + it)\
{\t\>l)

aus, so folgt (*)

IC(s)l > A{(^ - 1)'^' l ^ r ' ^ '

(1< a < 2 ,

\t\>l)

Ubungsaufgaben zu §5

445

mit einer geeigneten Konstante A. Mit einer geniigend kleinen Zahl e, 0 < e < 1, iiber die wir noch verfiigen werden, definieren wir a{t) :=

l+e\t\

(G]0,1[

fiir

\t\ > 1)

Wir beweisen nun die behauptete Ungleichung |C(s)| > ^1^1 a > a{t) und a < cr{t).

getrennt fiir

1. Fall. (J > a{t). Aus der Definition von a{t) und der Abschatzung (*) ergibt sich unmittelbar \Cia + it)\> A{e \t\-'f^' \t\-'^' = AE^I^ \t\-^ . 2. Fall,

a < a{t). Es gilt a(t)

({a + it) = C{<j{t) +it) -

/ C{x + it) dx

und daher a{t)

\C{a +

\t)\>\CHt)+\t)\

C,'{x + \t) dx

Benutzt man die bereits bewiesene Abschatzung von |C'('S)| nach oben, so folgt mit einer weiteren (von e unabhangigen) Konstanten B \C{a +

\t)\>\C{a{t)+it)\-B{a{t)-l)\t\ > A{a{t) - 1)3/4 |^|-i/4 _ ^^^^^^ _ ^^ 1^1

=

{As'/^-Bs)\t\-\

Verfiigt man iiber e so, dass S := Ae'^/^ — Be > 0, so folgt die behauptete Abschatzung. D

U b u n g s a u f g a b e n zu V I I . 5 1. Man zeige, dass die RiEMANN'sche iJ-Funktion in der punktierten Ebene C — {1} die LAURENTentwicklung C(s) = j - j +'y + a^{s-l)+a^{s-l)^

+ ...

besitzt. Hierbei sei 7 die EuLER-MASCHERONi'sche Konstante (vgl. IV. 1.9 oder Aufg.a aus IV.l).

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie

446

2. Eine weitere eleinentare Methode fiir die Fortsetzung der ^-Funktion in die Halbebene c > 0 ergibt sich aus der Betrachtung von °° ( ' _ n " - i

Q(.):=(l-3-^)C(.)=

E

^-^Y.

n^OmodS

^-

n=0mod3

Man zeige, dass P{s) und Q{s) in der Halbebene c > 0 konvergieren, und folgere daraus, dass sich die (^-Funktion in die Halbebene cr > 0 niit Ausnahme eines einfachen Pols bei s = 1 analytisch fortsetzen lasst und dass Res(C; 1) = 1 ist. 3. Die Funktionalgleichung der ^-Funktion lasst sich in der Form C(l-s) = 2(2^)-^r(s)cos(^)c(s) schreiben. Man folgere: In der Halbebene cr < 0 hat (,{s) genau die Nullstellen s = —2k, A; G N. Alle weiteren Nullstellen der iJ-Funktion liegen iin Streifen 0 < R e s < 1.

y I 0.05-

-12

-10*^

-?,

-6

-4

A

X

4. Die Funktion #(s) : = s ( s - l ) 7 r - ' / ' r ( s / 2 ) C ( s ) hat die folgenden Eigenschaften: a) # ist eine ganze Funktion. b) #(s)

=
c) # ist auf den Geraden t = 0 und a = 1/2 reell. d) #(0) = # ( 1 ) = 1. e) Die Nullstellen von