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≡ an (z − c)n , falls a0 = . . . = ak = 0
≡
n=k+1 ∞ X a0n (z n=1
− c)2n , falls 0 = a1 = a3 = . . .
18
(a0n = a2n )
∞ X
Satz 4.7 Sei < P > ≡
an (z − c)n eine Potenzreihe. Dann existiert eine eindeutig
n=0
bestimmte Zahl R, 0 ≤ R ≤ ∞, so daß gilt: (1) < P > konvergiert absolut lokal gleichm¨aßig auf UR (c). (2) < P > divergiert auf C\UR (c). R heißt Konvergenzradius von < P >. Mit P : UR (c) → C wird die Grenzfunktion auf UR (c) bezeichnet. Es gilt ¶−1 µ p n , R = lim sup |an | n→∞
wobei 0−1 = ∞ und ∞−1 = 0 zu lesen ist. Beispiel: (1)
∞ X
nn · z n :
lim sup
√ n
nn = ∞, also R = 0.
n=0
(2)
∞ X
n−n · z n :
lim sup
√ n
n−n = 0, also R = ∞.
n=0
(3)
∞ X
zn:
lim sup
√ n
1 = 1, also R = 1.
n=0
Korollar 4.8 < P > ≡
∞ X
n
an (z − c) und < P > ≡
n=0
< a · P > :≡
∞ X
an+k (z − c)n , k ∈ N, haben den
n=0
gleichen Konvergenzradius.
Korollar 4.9 Es sei < P > ≡
∞ X
∞ X
an (z − c)n eine Potenzreihe, a ∈ C und
n=0
a · an (z − c)n . Dann haben < P > und < aP > den gleichen Konver-
n=0
genzradius, und die Grenzfunktion aP von < aP > stimmt u ¨berein mit a · P , wobei P die Grenzfunktion von < P > ist.
Satz 4.10 (Quotientenkriterium) Sei < P > ≡
∞ X
an (z −c)n eine Potenzreihe und fast
n=0
alle an seien 6= 0. Dann gilt
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ an ¯ ¯ an ¯ ¯ ≤ R ≤ lim sup ¯ ¯ lim inf ¯¯ ¯ an+1 ¯ . an+1 ¯ ¯ ¯¾ ¯ ½¯ ¯ an ¯ ¯ an ¯ ¯ konvergiert, so gilt R = lim ¯ ¯ Falls ¯¯ ¯ an+1 ¯ . an+1 ¯ 19
Korollar 4.11
(a) F¨ ur c ≥ 0 gilt lim √ (b) F¨ ur c > 0 gilt lim n c = 1.
√ n
n + c = 1.
∞ X Beispiel: (1) Geometrische Reihe: F¨ ur a ∈ C sei < Ga > ≡ an · z n . n=0 ¯ ¯ ¯ an ¯ 1 1 ¯= Es gilt ¯¯ . Nach dem Quotientenkriterium gilt also R = . ¯ an+1 |a| |a|
Außerhalb von U1/|a| (0) divergiert die Reihe. F¨ ur die Grenzfunktion Ga : U1/|a| (0) → C gilt Ga (z) =
∞ X
an z n =
n=0
1 . 1 − az
Ga hat also eine stetige Fortsetzung u ¨ber U1/|a| (0) hinaus, n¨amlich auf C\{1/a}. ∞ X 1 n (2) Exponentialreihe: < exp > ≡ z . n! n=0 ¯ ¯ ¯ an ¯ ¯ = n + 1. Nach dem Quotientenkriterium gilt also R = ∞. Es gilt ¯¯ an+1 ¯ ∞ X 1 n Hierdurch ist die Exponentialfunktion exp : C → C, exp(z) = z definiert. n! n=0 à r !−1 r r n 1 n 1 n 1 Es folgt lim sup = R = ∞ und damit lim = lim sup = 0. n! n! n! ∞ X (−1)n−1 n (3) Logarithmische Reihe: < lgr > ≡ z . n n=1 ¯ ¯ ¯ an ¯ n + 1 ¯= Es gilt ¯¯ . Nach dem Quotientenkriterium gilt also R = 1. an+1 ¯ n ∞ X (−1)n−1 n Hierdurch ist die Grenzfunktion lgr : U1 (0) → C, lgr (z) = z definiert. n n=1 ∞ ∞ X X (−1)n 2n+1 (−1)n 2n (4) Sinus–und Cosinusreihe: < sin > ≡ z , < cos > ≡ z . (2n + 1)! (2n)! n=0 n=0
Das Quotientenkriterium ist nicht anwendbar, da unendlich viele Koeffizienten Null sind. r ³ ´−1 p 1 m = 0 gilt in beiden F¨allen R = lim sup n |an | Wegen lim = ∞. m! Damit ergeben sich die beiden Grenzfunktionen sin : C → C,
∞ X z3 z5 z7 (−1)n 2n+1 z =z− + − + −... sin z = (2n + 1)! 3! 5! 7! n=0
cos : C → C,
cos z =
∞ X (−1)n n=0
(2n)!
z 2n 20
=1−
z2 z4 z6 + − + −... 2! 4! 6!
Definition 4.12 Es sei < P > ≡ < DP > :≡
∞ X
X
an (z − c)n eine Potenzreihe. Dann heißt Ã
(n + 1) · an+1 · (z − c)n
≡
∞ X
n=0
! n · an · (z − c)n−1
n=1
die formale Ableitung von < P >.
Satz 4.13 Es sei < P > ≡
∞ X
an (z−c)n eine Potenzreihe mit formaler Ableitung < DP >.
n=0
Dann gilt:
(a) < DP > hat den gleichen Konvergenzradius R wie < P >. (b) Die Grenzfunktion P : UR (c) → C von < P > ist holomorph und es gilt P 0 = DP = Grenzfunktion von < DP >. Potenzreihen k¨onnen also ‘gliedweise differenziert’ werden.
Korollar 4.14 Die Grenzfunktion P : UR (c) → C einer Potenzreihe ∞ X
≡ an (z − c)n ist beliebig oft komplex differenzierbar. n=0
Es gilt an =
1 · P (n) (c), wobei P (n) : UR (c) → C die n–te Ableitung von P ist. n!
Beispiel: (1) < D lgr > = < G−1 > ≡ 1 ⇒ ( lgr ) (z) = G−1 (z) = . 1+z
∞ X
(−1)n−1 · z n−1 =
n=1
n=0
0
(2) < D exp > = < exp >, d. h. (3) < D sin > = < cos >, d. h. (4) < D cos > = < − sin >, d. h.
∞ X
exp0 = exp. sin0 = cos. cos0 = − sin.
21
(−1)n · z n .
5 5.1
Elementar–transzendente Funktionen Die Exponentialfunktion
∞ X 1 n ur die Exponentialfunktion exp : C → C, exp(z) = z , gilt: Satz 5.1 F¨ n! n=0
(E1) exp(0) = 1. (E2) exp(z) = exp(z), f¨ ur alle z ∈ C. (E3) exp hat keine Nullstellen und es gilt: exp(−z) =
1 . exp(z)
(E4) Sei f : C → C holomorph mit f 0 = f . Dann gilt f = c·exp mit einem c ∈ C (c = f (0)). (E5) exp(z1 + z2 ) = exp(z1 ) · exp(z2 ), f¨ ur alle z1 , z2 ∈ C, d. h. exp ist ein Gruppenhomomorphismus von (C, +) in (C\{0}, ·). (E6) exp(R) = (0, ∞) = R+ . (E7) F¨ ur x ∈ R gilt exp(x) = 1 ⇐⇒ x = 0. (E8) | exp(z)| = exp( Re z), f¨ ur alle z ∈ C. (E9) | exp(z)| = 1 ⇐⇒ Re z = 0. (E10) F¨ ur alle z ∈ U1 (0) gilt exp( lgr (z)) = 1 + z. (E11) exp : C → C\{0} ist surjektiv. (E12) Der Kern des Exponentialhomomorphismus ist ker exp = iaZ = {iak : k ∈ Z}, f¨ ur ein gewisses a ∈ R+ ( ker exp := {z ∈ C : exp(z) = 1} ). a Man setzt π := . (Sp¨ater wird gezeigt, daß dies das ‘alte’ π ist). 2 (E13) exp(iπ) = −1. ∞ X 1 = 2.7 . . . schreibt man exp(z) = ez . Es gilt dann Bemerkung: Mit e := exp(1) = n! n=0 µ ¶ √ p z1 +z2 z1 z2 e = e · e , f¨ ur alle z1 , z2 ∈ C und f¨ ur alle p ∈ Z, q ∈ N gilt exp = ep/q = q ep . q
22
M
Bezeichnung: F¨ ur M ⊂ R sei S(M ) := {z ∈ C : Im ∈ M }. Falls M ein Intervall ist, so ist S(M ) ein Streifen parallel zur reellen Achse.
Satz 5.2 (a) Ist J ein halboffenes Intervall der L¨ange 2π (z. B. J = (−π, π], J = [0, 2π)), dann bildet exp den halboffenen Streifen S(J) bijektiv auf C\{0} ab. (b) Die Gerade S({t}), parallel zur reellen Achse, wird bijektiv auf den Strahl (eit ) := {r · eit : r > 0} abgebildet.
5.2
Der Logarithmus
Definition 5.3 (a) Sei z ∈ C\{0}. Dann heißt a ∈ C ein Logarithmus von z, wenn exp(a) = z. (b) Sei G ⊂ C\{0} ein Gebiet. Eine stetige Funktion ` : G → C heißt Logarithmusfunktion, wenn exp ◦`(z) = z, f¨ ur alle z ∈ G.
Satz 5.4 Es gebe auf G eine Logarithmusfunktion `. Dann gibt es auf G genau abz¨ahlbar viele verschiedene Logarithmusfunktionen, n¨amlich die Funktionen `k : G → C, `k (z) := `(z) + 2kπi, k ∈ Z.
Satz 5.5 log : U1 (1) → C, log(z) := lgr (z − 1) ist eine holomorphe Logarithmusfunktion.
Korollar 5.6 Sei a ∈ C\{0} und b ein Logarithmus von a. Dann ist z loga,b : U|a| (a) → C, loga,b (z) := log + b eine holomorphe Logarithmusfunktion. a
Korollar 5.7 Jede Logarithmusfunktion ` : G → C ist holomorph.
23
Korollar 5.8 Sei G ⊂ C\{0} ein Gebiet und f : G → C eine Funktion. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (i) f ist eine Logarithmusfunktion. (ii) f ist holomorph mit f 0 (z) =
1 und exp(f (a)) = a, f¨ ur ein a ∈ G. z
Korollar 5.9 Die Exponentialfunktion ist eine offene Abbildung, d. h. ist U ⊂ C offen, so ist exp(U ) ⊂ C\{0} offen.
Bezeichnung: F¨ ur u ∈ C mit |u| = 1 sei C[u] := C\{ru : r ≥ 0}
u
die durch u geschlitzte Ebene.
Satz 5.10 F¨ ur alle t ∈ R bildet exp den offenen Streifen S((t − π, t + π)) bijektiv auf die geschlitzte Ebene C [eit ] ab. Die Umkehrfunktion logt : C [eit ] → S((t − π, t + π)) ist eine Logarithmusfunktion.
t + π t
exp
t−π
24
e
it
Definition 5.11 log := log0 : C[−1] → S((−π, π)) ⊂ C heißt Hauptzweig des Logarithmus.
π
log
−π
Bemerkung: (1) Es gilt log((0, ∞)) = R. log : (0, ∞) → R ⊂ C ist der gew¨ohnliche reelle Logarithmus. (2) F¨ ur z ∈ S((−π, π)) gilt exp(z) ∈ R ⇐⇒ Im z = 0. (3) F¨ ur den reellen Logarithmus gilt log(ab) = log(a) + log(b). Warnung: log(zz 0 ) = log(z) + log(z 0 ) ist i. a. falsch f¨ ur z, z 0 ∈ C[−1]. Satz 5.12 Es gibt keine Logarithmusfunktion ` : C\{0} → C.
5.3
Die trigonometrischen Funktionen sin, cos
Satz 5.13 F¨ ur die Funktionen sin, cos : C → C gilt: ur alle z ∈ C. (T1) exp(iz) = cos z + i · sin z, f¨ (T2) cos(z) = cos(−z), sin(−z) = − sin(z), f¨ ur alle z ∈ C. (T3) cos(0) = 1, sin(0) = 0, cos(R), sin(R) ⊂ R. (T4) cos z = 12 (eiz + e−iz ),
sin z =
1 2i
(eiz − e−iz ), f¨ ur alle z ∈ C.
(T5) cos2 z + sin2 z = 1, f¨ ur alle z ∈ C. (T6) sin(z + w) = sin z cos w + cos z sin w,
cos(z + w) = cos z cos w − sin z sin w,
f¨ ur alle z, w ∈ C. (T7) sin z − sin w = 2 cos
z+w z−w · sin , 2 2
cos z − cos w = −2 sin
z+w z−w · sin , 2 2
f¨ ur alle z, w ∈ C. (T8) sin z = 0 ⇐⇒ z = mπ, m ∈ Z,
cos z = 0 ⇐⇒ z = mπ + π/2, m ∈ Z.
(T9) sin z = sin w ⇐⇒ w = 2πm + z oder w = 2πm + π − z, cos z = cos w ⇐⇒ w = 2πm ± z. 25
Definition 5.14 Sei K ∈ {R, C}, X beliebige Menge und f : K → X. f heißt periodisch mit Periode p ∈ K, wenn f (z +p) = f (z), f¨ ur alle z ∈ K. Ferner sei Per (f ) := {p ∈ K : p ist eine Periode von f }. Beispiel: Wegen exp(z) = exp(w) ⇐⇒ z − w ∈ 2πiZ gilt Per (exp) = 2πiZ. Satz 5.15 F¨ ur die Funktionen sin, cos : C → C gilt: (T10) Per (cos) = Per (sin) = 2πZ. (T11) sin und cos sind surjektiv. Wegen (T9) hat dann jedes c ∈ C abz¨ahlbar unendlich viele Urbilder. (T12) F¨ ur t ∈ [0, 2π] gilt: sin(t) > 0 ⇐⇒ t ∈ (0, π). ³ iπ π π´ 2 (T13) sin = 1, e = i, cos z = sin z + . 2 2 (T14) sin(R) = cos(R) = [−1, 1], sin z, cos z ∈ [−1, 1] ⇐⇒ Im z = 0. (T15) cos ist streng monoton wachsend auf [2πm − π, 2πm] und streng monoton fallend auf [2πm, 2πm + π], m ∈ Z.
−π
sin
cos
π
2π
−2π
5.4
Winkel
− → − → Um den Winkel zwischen den zwei Strahlen 01 und 0z zu definieren, wird eine reelle Parametrisierung der Kreislinie S 1 = {z ∈ C : |z| = 1} ben¨otigt, d. h. eine Funktion w : R → S 1 . Diese sollte die folgenden ‘vern¨ unftigen’ Eigenschaften besitzen. (W1) w ist stetig und w(0) = 1. (W2) w ist periodisch, Per (w) = dZ, d > 0. (W3) w bildet [0, d) bijektiv auf S 1 ab. (W4) |w(ϕ1 + ϕ2 ) − w(ϕ2 )| = |w(ϕ1 ) − 1| und |w(ϕ1 + ϕ2 ) − w(ϕ1 )| = |w(ϕ2 ) − 1|. 26
Existiert eine solche Funktion? Satz 5.16 w erf¨ ullt (W1)–(W4) genau dann, wenn w ein stetiger und surjektiver Gruppenhomomorphismus von (R, +) nach (S 1 , ·) ist. Satz 5.17 cis : R → S 1 , cis (ϕ) = eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ ist ein stetiger surjektiver Gruppenhomomorphismus. Satz 5.18 Sei w : R → S 1 ein stetiger, surjektiver Gruppenhomomorphismus. Dann existiert genau ein c ∈ R\{0} mit w(ϕ) = cis (cϕ), f¨ ur alle ϕ ∈ R. 2π Bemerkung: (1) Die Konstante c legt die Skala fest. F¨ ur c = erh¨alt man z. B. die 360 Gradskala. c > 0 bedeutet ‘gegen den Uhrzeigersinn’, c < 0 ‘mit dem Uhrzeigersinn’. (2) Die hier gew¨ahlte Einf¨ uhrung des Winkels ist analytischer Natur. Man kann den Winkel auch geometrisch mit Hilfe des Bogenmaßes definieren. Dabei wird die L¨ange des Bogens ⊂ S 1 von 1 nach z ∈ S 1 gemessen. Bezeichnung: Seien z1 , z2 ∈ C\{0}. Der (orientierte) Winkel zwischen z1 und z2 ist wie folgt definiert: W¨ahle ϕK ∈ R mit zk cis (ϕk ) = ∈ S 1 , k = 1, 2. |zk |
z2
z1
Es sei ϕ2 ∈ [ϕ1 , ϕ1 + 2π). Dann setzt man
ª (z1 , z2 ) := ϕ2 − ϕ1 .
Bemerkung: Die Definition h¨angt nicht von der Wahl der ϕ1 , ϕ2 ab (wegen der Periodizit¨at). Bezeichnung: Der von z1 , z2 6= 0 eingeschlossene Winkel (nichtorientiert) ist ^(z1 , z2 ) := min(ª (z1 , z2 ), ª (z2 , z1 )) ∈ [0, π]. Bemerkung: Es gilt (1) ª (z1 , z2 )+ ª (z2 , z1 ) = 2π, f¨ ur z1 6= z2 (und = 0, f¨ ur z1 = z2 ). (2) cos ª (z1 , z2 ) = cos ª (z2 , z1 ) = cos ^(z1 , z2 ). ur z1 , z2 6= 0 gilt < z1 , z2 >= |z1 | · |z2 | · cos ^(z1 , z2 ), Satz 5.19 F¨ wobei < ·, · > das reelle Skalarprodukt auf C = R2 bezeichnet. Bemerkung: Da cos das Intervall [0, π] bijektiv auf [−1, 1] abbildet, k¨onnte man Satz 5.19 auch zur Definition von ^(z1 , z2 ) benutzen. 27
5.5
Polarkoordinaten
Bezeichnung: F¨ ur jedes z ∈ C\{0} existiert genau ein Paar (r, ϕ) ∈ R+ × [0, 2π) mit z = r · eiϕ .
z r
Es gilt r = |z|. ϕ ist der Winkel zwischen 1 und z: ϕ =ª (1, z). (r, ϕ) heißen Polarkoordinaten von z.
ϕ
ϕ heißt Argument von z. Man schreibt ϕ = arg z, arg : C\{0} → [0, 2π).
Bemerkung: (1) [0, 2π) kann durch jedes beliebige halboffene Intervall der L¨ange 2π ersetzt werden. (2) arg ist unstetig in allen x ∈ R+ . (3) Es sei zk = rk ·eiϕk , k = 1, 2. Dann gilt z1 ·z2 = r1 r2 ·ei(ϕ1 +ϕ2 ) , d. h. bei der Multiplikation werden die Betr¨age multipliziert und die Winkel addiert. Satz 5.20 (Formel von Moivre) Sei z = r · eiϕ = r · (cos ϕ + i sin ϕ). Dann gilt z n = rn · einϕ = rn · (cos nϕ + i sin nϕ).
Satz 5.21 Sei n ≥ 1. Dann gibt es genau µ ¶ n verschiedene komplexe Zahlen ξ1 , . . . , ξn mit 2π 2π ξkn = 1, k = 1, . . . , n. Es gilt ξ1 = cis = ei n und ξk = ξ1k , k = 2, . . . , n. n Die ξ1 , . . . , ξn heißen n–te Einheitswurzeln.
Korollar 5.22 Jedes c ∈ C\{0} hat genau n verschiedene n–te Wurzeln.
28
6
Komplexe Integration
6.1
Wege, Kurven und Kurvenintegrale
Zun¨achst sollen einige Begriffe wiederholt werden. Im folgenden sei [a, b] ⊂ R stets ein abgeschlossenes Intervall. Bezeichnung: (1) F : [a, b] → C (bzw. R) heißt stu ¨ ckweise stetig, wenn F in h¨ochstens endlich vielen tk ∈ [a, b] unstetig ist und in diesen tk die einseitigen Grenzwerte lim F (t) und lim F (t) existieren (im Fall tk = a oder tk = b lese man t→tk ,t∈[a,tk )
t→tk ,t∈(tk ,b]
[a, a) = {a} bzw. (b, b] = {b}). (2) F : [a, b] → C heißt (stetig) differenzierbar, wenn in jedem t0 ∈ [a, b] die Ableitung F 0 (t0 ) existiert (und die Funktion F 0 : [a, b] → C stetig ist). (3) F¨ ur st¨ uckweise stetige F : [a, b] → C definiert man Z b Z b Z F (t) dt := Re F (t) dt + i · a
a
b
Im F (t) dt. a
Bemerkung: (1) Ist F st¨ uckweise stetig, dann ist F beschr¨ankt, d. h. es existiert kF k := supt∈[a,b] |F (t)|. (2) F ist genau dann differenzierbar, wenn Re F und Im F differenzierbar sind. In diesem Fall gilt F 0 = ( Re F )0 + i · ( Im F )0 . (3) Mit F 0 (a), F 0 (b) sind die rechtsseitige Ableitung F+0 (a) = F (t) − F (b) gemeint. t→b,t
F (t) − F (a) bzw. die t→a,t>a t−a lim
linksseitige Ableitung F−0 (b) = lim
Das Integral hat die folgenden Eigenschaften. R R R R (1) Re F = Re F , Im F = Im F . R R R (2) (c1 F1 + c2 F2 )(t) dt = c1 · F1 (t) dt + c2 · F2 (t) dt, f¨ ur c1 , c2 ∈ C. Rb Rx Rb (3) F¨ ur x ∈ [a, b] gilt a F (t) dt = a F (t) dt + x F (t) dt. (4) Falls F stetig ist, so kann man Fˆ : [a, b] → C definieren durch Z t ˆ F (t) := F (u) du. a
Dann ist Fˆ differenzierbar und es gilt Fˆ 0 = F . Ist G : [a, b) → C eine Stammfunktion von F , (d. h. G differenzierbar mit G0 = F ), so gilt G = Fˆ + const. Insbesondere gilt Z b F (t) dt = Fˆ (b) − Fˆ (a) = G(b) − G(a). a
29
(5) Das Integral kann durch Riemannsche Summen approximiert werden. Eine Zerlegung von [a, b] ist eine endliche Folge Z = (t0 , . . . , tn ) mit a = t0 < t1 < . . . < tn = b. |Z| = max |tk+1 − tk | heißt die Feinheit der Zerlegung. Eine Besetzung von Z k=0,...,n−1
ist eine endliche Folge B(Z) = (s0 , . . . , sn−1 ) mit sk ∈ [tk , tk+1 ]. Es gilt ¯Z ¯ n−1 ¯ b ¯ X ¯ ¯ ∀ ² > 0 ∃ δ > 0 ∀ Z, B(Z) : |Z| < δ ⇒ ¯ F (t) dt − F (sk ) · (tk+1 − tk )¯ < ². ¯ a ¯ k=0
¯ Z b ¯Z b ¯ ¯ ¯ |F (t)| dt. F (t) dt¯¯ ≤ (6) ¯ a
a
Definition 6.1 (a) Ein Weg (in M ⊂ C) ist eine stetige Funktion γ : [a, b] → C (mit γ([a, b]) ⊂ M ). (b) γ heißt geschlossen, wenn γ(a) = γ(b). (c) γ heißt linear, wenn γ(t) = γ(a) +
γ(b) − γ(a) (t − a). b−a
(d) Die Menge Sp (γ) := γ([a, b]) heißt Spur von γ. (e) Der Weg γ −1 : [a, b] → C mit γ −1 (t) := γ(a + b − t) heißt invers zu γ. Beispiel: (1) c : [a, b] → C, c(t) ≡ c ∈ C (konstanter Weg). (2) F¨ ur z0 , z1 ∈ C ist die Strecke von z0 nach z1 gegeben durch [z0 , z1 ] : [0, 1] → C, [z0 , z1 ](t) = z0 + t(z1 − z0 ). (3) ∂Ur (c) : [0, 2π] → C, [∂Ur (c)](t) = c + r · eit ist ein Kreis mit Radius r um c ∈ C. Bemerkung: Verschiedene Wege bzw. Kurven k¨onnen die gleiche Spur haben, z. B. γ : [0, 4] → C, γ(t) = t + it und γ˜ : [0, 2] → C, γ˜ (t) = t2 + it2 . Man kann Wege ‘aneinanderkleben’. Definition 6.2 Die Wege γk : [ak , bk ] → C, k = 1, . . . , n, heißen aufeinanderfolgend, wenn γk (bk ) = γk+1 (ak+1 ), k = 1, . . . , n − 1. Man definiert dann mit ∆k = bk − ak , k = 1, . . . , n − 1 den Weg γ1 ∗ . . . ∗ γn : [a1 , a1 + ∆1 + . . . + ∆n−1 ] → C durch à à !! " # m m m+1 X X X (γ1 ∗. . .∗γn )(t) := γm+1 am+1 + t − a1 + ∆k , t ∈ a1 + ∆k , a 1 + ∆k . k=1
30
k=1
k=1
Bemerkung: (1) In der Literatur findet man meistens γ1 + . . . + γn statt γ1 ∗ . . . ∗ γn . (2) Sind γ1 , . . . , γn+p aufeinanderfolgend, dann sind auch γ1 ∗ . . . ∗ γn und γn+1 ∗ . . . ∗ γn+p aufeinanderfolgend und es gilt (γ1 ∗ . . . ∗ γn ) ∗ (γn+1 ∗ . . . ∗ γn+p ) = γ1 ∗ . . . ∗ γn+p , d. h. Klammersetzen ist u ussig. ¨berfl¨ Definition 6.3 Ein Weg γ : [a, b] → C heißt stu ¨ ckweise stetig differenzierbar, oder kurz Kurve, wenn es stetig differenzierbare aufeinanderfolgende Wege γ1 , . . . , γn gibt, so daß γ = γ1 ∗ . . . ∗ γn . Sind die γk sogar linear, so heißt γ Polygonzug. Bemerkung: (1) Die Zerlegung γ = γ1 ∗ . . . ∗ γn ist nicht eindeutig. (2) Es seien γ1 , . . . , γn aufeinanderfolgend. Dann gilt: γ1 ∗ . . . ∗ γn ist Kurve ⇐⇒ Alle γk sind Kurven. (3) Eine Kurve ist in allen t ∈ [a, b) rechtsseitig differenzierbar und in allen t ∈ (a, b] linksseitig differenzierbar. F¨ ur h¨ochstens endlich viele Knickstellen θk ∈ (a, b) gilt 0 0 γ+ (θk ) 6= γ− (θk ). Definition 6.4 Sei γ : [a, b] → C eine Kurve. Dann sei γ 0 : [a, b] → C definiert durch γ 0 (a) := γ+0 (a) und γ 0 (t) := γ−0 (t), f¨ ur t ∈ (a, b]. Bemerkung: (1) γ 0 ist st¨ uckweise stetig. (2) γ 0 stetig ⇐⇒ γ stetig differenzierbar. (3) Ist γ stetig differenzierbar, so ist γ 0 die gew¨ohnliche Ableitung. Definition 6.5 Sei γ : [a, b] → C eine Kurve. Z b Dann heißt L(γ) := |γ 0 (t)| dt die L¨ ange von γ. a
Bemerkung: (1) Es gilt L(γ) ≥ 0, f¨ ur alle Kurven. (2) Sind γ1 , . . . , γn aufeinanderfolgend, dann gilt L(γ1 ∗ . . . ∗ γn ) = L(γ1 ) + . . . + L(γn ). (3) Es gilt L(γ −1 ) = L(γ), f¨ ur alle Kurven. γ(b) − γ(a) (4) Ist γ linear, so gilt γ 0 (t) = . Die L¨ange ist L(γ) = |γ(b) − γ(a)|, also gleich b−a dem Abstand zwischen Anfangs– und Endpunkt. (5) Nach (4) ist die Definition der L¨ange f¨ ur Polygonz¨ uge sinnvoll. Beliebige Kurven k¨onnen durch Polygonz¨ uge approximiert werden. Beispiel: Es seien z0 , z1 ∈ S 1 und ϕ ∈ [0, 2π) der orientierte Winkel zwischen z0 und z1 . Ferner sei γ : [0, ϕ] definiert durch γ(t) = z0 · eRit . Es gilt γ(0) = z0 , γ(ϕ) = z0 · eiϕ = z1 und ϕ γ 0 (t) = z0 · i · eit . Mit |γ 0 (t)| = 1 folgt L(γ) = 0 1 dt = ϕ. Dies kann als Rechtfertigung f¨ ur das Bogenmaß herangezogen werden. Insbesondere ist die L¨ange des oberen bzw. unteren Halbkreises π und der Umfang von S 1 ist 2π. 31
Definition 6.6 Es sei γ : [a, b] → C eine Kurve, Sp (γ) ⊂ M und f : M → C stetig. Dann heißt Z Z b f (z) dz := f (γ(t)) · γ 0 (t) dt γ
a
das Kurvenintegral von f entlang γ (F : [a, b] → C, F (t) = f (γ(t)) · γ 0 (t) ist st¨ uckweise stetig). R Bemerkung: Das Integral γ f (z) dz wird approximiert durch die Riemannschen Summen n−1 X f (γ(sk )) · (γ(tk+1 ) − γ(tk )), mit Zerlegungen Z = (t0 , . . . , tn ) von [a, b] und Besetzungen k=0
B(Z) = (s0 , . . . , sn−1 ). Definition 6.7 Seien γ1 : [a1 , b1 ] → C, γ2 : [a2 , b2 ] → C Kurven. Eine differenzierbare Bijektion ϕ : [a1 , b1 ] → [a2 , b2 ] mit γ2 ◦ ϕ = γ1 heißt Parametertransformation. In diesem Falle schreibt man γ1 ≡ γ2 . ¨ Bemerkung: (1) ≡ ist eine Aquivalenzrelation f¨ ur Kurven. ¨ (2) Aquivalente Kurven sind ‘identisch bis auf Durchlaufgeschwindigkeit’. Lemma 6.8 Es sei M ⊂ C und γ1 : [a1 , b1 ] → M , γ2 : [a2 , b2 ] → M ¨aquivalente Kurven. Ferner sei f : M → C stetig. Dann gilt (a) L(γ1 ) = L(γ2 ). R R (b) γ1 f (z) dz = γ2 f (z) dz. Satz 6.9 Es sei M ⊂ C und f, f1 , f2 : M → C stetig. Ferner seien γ, γ1 , . . . , γn Kurven in M und γ1 , . . . , γn aufeinanderfolgend. Dann gilt Z Z Z (a) f (z) dz = f (z) dz + . . . + f (z) dz. Z
γ1 ∗...∗γn
(b)
γ1
Z
f (z) dz = − γ −1
γn
f (z) dz. γ
Z
Z
Z
(c1 f1 + c2 f2 )(z) dz = c1 ·
(c) γ
f1 (z) dz + c2 · γ
f2 (z) dz, f¨ ur Konstanten c1 , c2 ∈ C. γ
Beispiel: Es sei γ = ∂Ur (c). F¨ ur n ∈ Z gilt ½ Z 0 , n 6= −1 n (z − c) dz = . 2πi, n = −1 ∂Ur (c) 32
Man kann den Betrag eines Kurvenintegrals mit Hilfe der L¨ange der Kurve absch¨atzen. Satz 6.10 Es sei M ⊂ C, γ : [a, b] → C, eine Kurve in M und f : M → C stetig. Dann gilt ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ f (z) dz ¯ ≤ kf k Sp (γ) · L(γ), ¯ ¯ γ
wobei kf kK = sup |f (z)|, f¨ ur K ⊂ C. z∈K
Korollar 6.11 Es sei M ⊂ C und f, g : M → C stetig. Ferner sei γ : [a, b] → C eine Kurve in M . Dann gilt ¯ ¯Z Z ¯ ¯ ¯ f (z) dz − g(z) dz ¯ ≤ kf − gk Sp (γ) · L(γ) ¯ ¯ γ
γ
(‘Stetigkeit des Integrals in f ’).
Korollar 6.12 Es sei M ⊂ C und γ : [a, b] → C eine Kurve in M . Ferner sei {fn } eine Folge stetiger Funktionen fn : M → C, die lokal gleichm¨aßig gegen eine Funktion f : M → C konvergiert. Dann gilt Z Z f (z) dz = lim γ
n→∞
fn (z) dz. γ
P Korollar 6.13 Es sei M ⊂ C und γ : [a, b] → C eine Kurve in M . Ferner sei ∞ n=0 fn eine Reihe stetiger Funktionen fn : M → C, die lokal gleichm¨aßig gegen eine Funktion F : M → C konvergiert. Dann gilt Z F (z) dz = γ
∞ Z X n=0
33
fn (z) dz. γ
6.2
Stammfunktionen
Wie in der reellen Analysis m¨ochte man auch hier den Prozeß der Differentation umkehren. Ist F : [a, b] → R eine Stammfunktion der stetigen Funktion f : [a, b] → R, dann gilt nach Z b dem Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung f (t) dt = F (a) − F (b). a
Will man eine Funktion f : G → C von z1 ∈ G bis z2 ∈ G integrieren, so ist zun¨achst die Frage, welchen Weg man dazu w¨ahlt. Es stellt sich die Frage, unter welchen Bedingungen das Integral unabh¨angig vom gew¨ahlten Weg (bzw. der Kurve) ist. Definition 6.14 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C eine stetige Funktion. Eine Funktion F : G → C heißt Stammfunktion von f , wenn F holomorph ist mit F 0 = f . Bemerkung: Polynome und Grenzfunktionen von Potenzreihen haben Stammfunktionen. Lemma 6.15 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C eine stetige Funktion. Sind F1 , F2 : G → C zwei Stammfunktionen von f , dann gilt F2 = F1 + c, mit einer Konstanten c ∈ C.
Definition 6.16 Zwei Wege γ1 : [a1 , b1 ] → C, γ2 : [a2 , b2 ] → C heißen gleichendig, wenn γ1 (a1 ) = γ2 (a2 ) und γ1 (b1 ) = γ2 (b2 ).
Definition 6.17 Sei G ⊂ C ein Gebiet. Die Funktion f : G → CZ heißt wegunabh angig ¨ Z integrierbar, wenn f¨ ur je zwei gleichendige Kurven γ1 , γ2 in G gilt f (z) dz = f (z) dz. γ1
γ2
Lemma 6.18 Sei G ⊂ C ein Gebiet. Die Funktion f : G → C ist Z wegunabh¨angig integrierbar genau dann, wenn f¨ ur alle geschlossenen Kurven γ in G gilt
f (z) dz = 0. γ
Satz 6.19 Sei G ⊂ C ein Gebiet. Die Funktion f : G → C habe eine Stammfunktion F . Dann gilt f¨ ur jede Kurve γ : [a, b] → C in G Z f (z) dz = F (γ(b)) − F (γ(a)). γ
Insbesondere ist f also wegunabh¨angig integrierbar.
34
Bezeichnung: F¨ ur w0 , w1 ∈ C heißt
w1
(w0 , w1 ) := [w0 , Re w1 +i Im w0 ]∗[ Re w1 +i Im w0 , w1 ] w0
der rechtwinklige Weg von w0 nach w1 .
Lemma 6.20 Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C stetig und F : G → C eine Funktion. Dann ist F genau dann Stammfunktion von f , wenn f¨ ur alle w0 , w1 ∈ G, deren rechtwinkliger Weg ganz in G verl¨auft, gilt Z F (w1 ) − F (w0 ) = f (z) dz. (w0 ,w1 )
Korollar 6.21 Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C stetig und a ∈ G. Ist f wegunabh¨angig integrierbar, dann ist Z F (w) = f (z) dz, γw
γw eine beliebige Kurve von a nach w, wohldefiniert. Ferner ist F : G → C eine Stammfunktion von f .
Korollar 6.22 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C stetig. Dann gilt
f hat eine Stammfunktion ⇐⇒ f ist wegunabh¨angig integrierbar.
Z Beispiel: Es gilt ∂U1 (0)
Also ist
1 z
1 dz = 2πi 6= 0 = z
Z 1
1 dz. z
nicht wegunabh¨angig integrierbar, d. h.
1 z
hat keine Stammfunktion.
Genauer: f : C\{0} → C, f (z) = z1 , hat keine Stammfunktion. Aber: fˆ : C[−1] → C, fˆ(z) = z1 , hat eine Stammfunktion, z. B. log : C[−1] → C.
35
6.3
Der Cauchysche Integralsatz
Bezeichnung: Ein Rechteck ist eine Menge der Form
z4
y
z
3
2
R = [x1 , x2 ] × [y1 , y2 ] ⊂ R2 = C,
R
mit x1 < x2 und y1 < y2 .
y1
z2
z1
Die Ecken von R sind z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy1 , z3 = x2 + iy2 , z4 = x1 + iy2 . x
1
x2
Der Rand von R ist der geschlossene Kantenzug ∂R = [z1 , z2 ] ∗ [z2 , z3 ] ∗ [z3 , z4 ] ∗ [z4 , z1 ]. Zur Abk¨ urzung setzt man γj (R) := [zj , zj+1 ], f¨ ur j = 1, 2, 3, 4 (mit z5 := z1 ).
Lemma 6.23 Sei R ⊂ C ein Rechteck und z, z 0 ∈ R. Dann gilt |z − z 0 | ≤
1 L(∂R). 2
Satz 6.24 (Cauchyscher Integralsatz fu ¨ r Rechteckswege) Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph und R ⊂ G ein Rechteck. Dann gilt Z f (z) dz = 0. ∂R
Satz 6.25 Sei G eine offene Kreisscheibe oder G = C. Ferner sei f : G → C holomorph. Dann hat f eine Stammfunktion. Als Folgerung erh¨alt man, daß das Kurvenintegral von holomorphen Funktionen entlang ‘nicht zu verschiedener’ Kurven gleich ist. Korollar 6.26 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Ferner seien β, γ : [a, b] → C zwei gleichendige Kurven in G mit kβ − γk < dist ( Sp (β) ∪ Sp (γ), C\G). Dann gilt Z Z f (z) dz = f (z) dz. β
γ
36
Z F¨ ur holomorphe Funktionen f soll nun das Integral
f (z) dz u ¨ber einen WEG χ definiert χ
werden. Dazu wird χ durch Kurven approximiert. Nach dem vorigen Korollar ist das Integral u ¨ber diese Kurven dann identisch. Lemma 6.27 Es sei χ : [a, b] → C ein Weg. Dann gibt es zu ² > 0 eine Kurve (einen Polygonzug) γ : [a, b] → C, die mit χ gleichendig ist, mit kχ − γk < ².
Satz 6.28 Es sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Ferner sei χ : [a, b] → C ein beliebiger Weg in G. Dann gibt es genau eine Zahl I(χ, f ) mit folgender Eigenschaft: Ist Z γ : [a, b] → C einen mit f (z) dz = I(χ, f ). χ gleichendige Kurve mit kχ − γk < 13 dist ( Sp (χ), C\G), dann gilt Ist χ selbst eine Kurve, so gilt I(χ, f ) =
γ
R χ
f (z) dz.
Bemerkung: I(χ, f ) hat die folgenden Eigenschaften mit dem Integral gemein: (1) I(χ, c1 f1 + c2 f2 ) = c1 · I(χ, f1 ) + c2 · I(χ, f2 ). (2) I(χ−1 , f ) = −I(χ, f ). (3) I(χ1 ∗ . . . ∗ χn , f ) = I(χ1 , f ) + . . . + I(χn , f ), f¨ ur aufeienanderfolgende Wege χ1 , . . . , χn . Darum ist es sinnvoll, die Zahl I(χ, f ) als Integral u ¨ber den Weg χ aufzufassen. Definition 6.29 Es sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C HOLOMORPH. Ferner sei χ : [a, b] → C ein WEG. Dann heißt Z f (z) dz := I(χ, f ) χ
das Wegintegral von f entlang χ. Bemerkung: Man beachte, daß die Definition nur f¨ ur holomorphe Funktionen g¨ ultig ist. Sie erweitert den bisherigen Integralbegriff. Korollar 6.30 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Dann gilt Z f hat eine Stammfunktion ⇐⇒ f (z) dz = 0, f¨ ur alle geschlossenen Wege χ in G. χ
37
Um den Cauchyschen Integralsatz allgemeiner als in Satz 6.24 zu formulieren, wird der Begriff der Homotopie ben¨otigt. Definition 6.31 Sei H : [a, b] × [c, d] → C eine stetige Funktion. F¨ ur t ∈ [c, d] sei Ht : [a, b] → C, Ht (s) = H(s, t). F¨ ur s ∈ [a, b] sei H (s) : [c, d] → C, H (s) (t) = H(s, t). H heißt Homotopie (zwischen Hc und Hd ). Sp (H) = H([a, b] × [c, d]) wird die Spur von H genannt.
H
d
c
a
b
Der Rand von H, ∂H := Hc ∗ H (b) ∗ Hd−1 ∗ (H (a) )−1 , ist ein geschlossener Weg. Definition 6.32 Sei G ⊂ C ein Gebiet. Zwei gleichendige Wege γ0 , γ1 : [a, b] → C in G heißen homotop, wenn es eine Homotopie H : [a, b] × [0, 1] gibt mit (1) Sp (H) ⊂ G. (2) H0 = γ0 , H1 = γ1 . (3) Alle Ht , t ∈ [0, 1], sind gleichendig mit γ0 bzw. γ1 . (γ0 wird stetig in γ1 transformiert).
Beispiel:
γ0
γ0 : [−1, 1] → C, γ0 (t) = ei(
t π2 + 3π 2
),
γ1 : [−1, 1] → C, γ1 (t) = t. γ1
γ0 ist homotop zu γ1 .
38
Definition 6.33 Sei G ⊂ C ein Gebiet. Zwei geschlossene Wege γ0 , γ1 : [a, b] → C in G heißen geschlossen homotop, wenn es eine Homotopie H : [a, b] × [0, 1] gibt mit (1) Sp (H) ⊂ G. (2) H0 = γ0 , H1 = γ1 . (3) Alle Ht , t ∈ [0, 1], sind geschlossen. Beispiel: Es sei Ur (w) ⊂ UR (c) ⊂ G. Dann sind ∂Ur (w) und ∂UR (c) geschlossen homotop ˜ = G\{w}. Eine m¨ogliche zugeh¨orige Homotopie ist in G H : [0, 2π] × [0, 1] → C, H(x, t) := (t · w + (1 − t) · c) + (t · r + (1 − t) · R) · eix . Definition 6.34 Sei G ⊂ C ein Gebiet. Ein geschlossener Weg in G heißt nullhomotop in G, wenn γ geschlossen homotop in G zu einem konstanten Weg ist. Beispiel: ∂Ur (c) ist nullhomotop in C. Satz 6.35 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Ferner sei H : [a, b]×[0, 1] → C eine Homotopie mit Sp (H) ⊂ G. Dann gilt: Z f (z)dz = 0. ∂H
Bemerkung: F¨ ur H : [a, b] × [c, d] → R2 = C, H(x, t) = (x, t), ergibt sich Satz 6.24 als Spezialfall (Integral u ¨ber den Rand eines Rechtecks). Korollar 6.36 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Ferner seien γ0 , γ1 : [a, b] → C gleichendige Wege in G. Sind γ0 , γ1 homotop, dann gilt Z Z f (z) dz = f (z) dz. γ0
γ1
Korollar 6.37 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Sind γ0 , γ1 : [a, b] → C geschlossen homotop, dann gilt Z Z f (z) dz = f (z) dz. γ0
γ1
Insbesondere gilt f¨ ur nullhomotope Wege γ in G Z f (z) dz = 0. γ
39
Definition 6.38 Eine Menge M ⊂ C heißt einfach zusammenh¨ angend, wenn M zusammenh¨angend ist und wenn jeder geschlossene Weg in M nullhomotop in M ist. Beispiel: Jede sternf¨ormige Menge M mit Zentrum c ist einfach zusammenh¨angend. Ist γ : [a, b] → C ein geschlossener Weg in M , so kann man die Homotopie H : [a, b]×[0, 1] → C, H(x, t) := (1 − t) · γ(x) + t · c w¨ahlen. Bemerkung: Konvexe Mengen sind einfach zusammenh¨angend. Satz 6.39 (Cauchyscher Integralsatz) Sei G ⊂ C ein einfach zusammenh¨angendes Gebiet. Dann hat jedes holomorphe f : G → C eine Stammfunktion F : G → C, d. h. f ist wegunabh¨angig integrierbar. Z
1 dz = 2πi 6= 0 ist die Funktion f : G → C, f (z) = ∂U1 (0) z 1 nicht wegunabh¨angig integrierbar. Also ist C\{0} nicht einfach zusammenh¨angend. z Z 1 Beispiel: Gesucht ist I = dz. Partialbruchzerlegung ergibt 2 z −1 ∂U (0) 2 µ ¶ 1 1 1 1 = · − . Es folgt z2 − 1 2 z−1 z+1 µZ ¶ µZ ¶ Z Z 1 1 1 1 1 1 I = dz − dz = dz − dz 2 2 ∂U2 (0) z − 1 ∂U1 (1) z − 1 ∂U2 (0) z + 1 ∂U1 (−1) z + 1 = 1/2 · (2πi − 2πi) = 0, Beispiel: Sei G = C\{0}. Wegen
da ∂U2 (0) geschlossen homotop zu ∂U1 (1) (bzw. ∂U1 (−1)) in C\{1} (bzw. in C\{−1}) ist.
6.4
Folgerungen aus dem Cauchyschen Integralsatz
Satz 6.40 (Cauchysche Integralformel) Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Ferner sei c ∈ G und U = Ur (c) mit U ⊂ G. Dann gilt f¨ ur alle w ∈ U
1 · f (w) = 2πi
Z ∂Ur (c)
f (z) dz, z−w
d. h. die Werte von f im Innern einer Kreisscheibe sind durch die Werte von f auf ihrem Rand eindeutig bestimmt. Bemerkung: ∂Ur (c) wird als Kurve in G\{w} aufgefaßt. 40
Lemma 6.41 Sei γ : [a, b] → C eine Kurve und ϕ : Sp (γ) → C eine stetige Funktion. Dann sind die Funktionen Z ϕ(z) ϕn : C\ Sp (γ) → C, ϕn (w) := dz n γ (z − w) holomorph. Es gilt ϕ0n = n · ϕn+1 . Satz 6.42 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Dann ist auch f 0 : G → C holomorph. Also ist f beliebig oft komplex differenzierbar. F¨ ur jede offene Kreisscheibe U = Ur (c) mit U ⊂ G gilt Z n! f (z) (n) (a) f (w) = · dz, f¨ ur alle w ∈ U . 2πi ∂U (z − w)n+1 ¯ ¯ n! (b) ¯f (n) (c)¯ ≤ n · sup |f (z)|. r |z−c|=r Korollar 6.43 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C ein Funktion. Dann ist f = u + iv holomorph genau dann, wenn f stetig partiell differenzierbar ist und die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen ux = vy , uy = −vx sind erf¨ ullt. Es gilt die folgende ‘Umkehrung’ des Cauchyschen Integralsatzes. Korollar 6.44 (Satz von Morera) Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C eine stetige Funktion. Ist f wegunabh¨angig integrierbar, so ist f holomorph. Z Bemerkung: Es gen¨ ugt zu fordern, daß
f (z) dz = 0, f¨ ur alle Rechtecke R ⊂ G. ∂R
Definition 6.45 Eine ganze Funktion ist eine holomorphe Funktion f : C → C. Korollar 6.46 (Satz von Liouville) Jede ganze, beschr¨ankte Funktion ist konstant. Korollar 6.47 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes komplexe Polynom p mit Grad ≥ 1 hat eine Nullstelle in C, d. h. es gibt ein z0 ∈ C mit p(z0 ) = 0. Definition 6.48 Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph und c ∈ C. Die Potenzreihe ∞ X f (n) (c) n=0
n!
· (z − c)n
heißt Taylorreihe von f in c. 41
Bemerkung: Sei U ⊂ R offen und g : U → R eine beliebig oft reell differenzierbare Funktion. ∞ X g (n) (x0 ) F¨ ur x0 ∈ U kann man formal die Taylorreihe · (x − x0 )n aufstellen. Es k¨onnen n! n=0 jedoch die folgenden Probleme auftreten: (1) Konvergenzradius 0 ist m¨oglich! (2) Ist der Konvergenzradius > 0, so braucht die Grenzfunktion der Taylorreihe nicht mit gu ¨bereinzustimmen. F¨ ur holomorphe Funktionen ist dies jedoch ausgeschlossen. Korollar 6.49 (Entwicklungssatz) Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph und c ∈ G. Ferner sei d := dist (c, C\G) > 0. Dann hat die Taylorreihe von f in c Konvergenzradius R ≥ d und ihre Grenzfunktion stimmt auf Ud (c) mit f u ¨berein, d. h. f ist um c in einer Taylorreihe entwickelbar:
f (w) =
∞ X f (n) (c) n=0
n!
· (w − c)n ,
f¨ ur alle w ∈ Ud (c).
1 ur n = 0, 1, . . .. Beispiel: f : C\{0} → C, f (z) = . Es gilt f (n) (z) = (−1)n · n! · z −(n+1) , f¨ z ∞ X Damit ist die Taylorreihe von f in c = 1 gegeben durch (−1)n · (z − 1)n . n=0
Ihr Konvergenzradius ist 1.
Bemerkung: (1) Die Taylorreihe von f in c ist die einzige Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius, deren Grenzfunktion in einer Umgebung von c mit f u ¨bereinstimmt. ∞ X Gilt n¨amlich f (z) = an (z − c)n f¨ ur z ∈ U = Umgebung von c, so folgt durch Differenn=0
f (n) (c) . n! (2) Ist f ganz, so ist der Konvergenzradius der Taylorreihe ∞. Damit sind die ganzen Funktionen genau die Grenzfunktionen von Potenzreihen mit unendlichem Konvergenzradius. zieren auf beiden Seiten: f (n) (c) = n! · an , d. h. an =
Korollar 6.50 (Identit¨ atssatz) Sei G ⊂ C ein Gebiet und f, g : G → C holomorph. Gibt es ein c ∈ G und eine Folge {ck } aus G\{c} mit (1) ck → c
(k → ∞),
ur alle k, (2) f (ck ) = g(ck ), f¨ dann gilt f = g. 42
Korollar 6.51 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f, g : G → C holomorph. Gibt es ein c ∈ G mit f (n) (c) = g (n) (c), f¨ ur alle n = 0, 1, 2, . . ., dann gilt f = g.
Korollar 6.52 Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph und nicht konstant. Ferner sei K ⊂ G kompakt und a ∈ C. Dann gibt es h¨ochstens endlich viele z ∈ K mit f (z) = a. Insbesondere haben Nullstellen holomorpher Funktionen f : G → C keine H¨aufungspunkte in G.
Definition 6.53 Sei G ⊂ C ein Gebiet. Eine holomorphe Funktion f : G → C heißt transzendent, wenn es kein Polynom p gibt mit f = p/G.
Satz 6.54 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent (i) f ist transzendent. (ii) f (n) 6= 0, f¨ ur alle n. (iii) F¨ ur alle c ∈ G gilt f (n) (c) 6= 0, f¨ ur unendlich viele n. (iv) Es gibt ein c ∈ G mit f (n) (c) 6= 0, f¨ ur unendlich viele n.
Satz 6.55 Sei f eine ganze Funktion. Dann ist f ein Polynom mit Grad ≤ k genau dann, wenn ∃ M > 0 ∃ R > 0 ∀ z ∈ C : |z| ≥ R ⇒ |f (z)| ≤ M · |z|k . Durch Negation von Satz 6.55 ergibt sich Satz 6.56 Sei f eine ganze Funktion. Dann ist f genau dann transzendent, wenn ∀k≥0∀M >0∀R>0∃z∈C:
|z| ≥ R
und |f (z)| ≥ M · |z|k .
Satz 6.57 Sei G ⊂ C ein Gebiet und {fn } eine Folge holomorpher Funktionen fn : G → C, die lokal gleichm¨aßig gegen eine Grenzfunktion f : G → C konvergiert. Dann ist f holomorph (k) und f¨ ur alle k konvergiert die Folge {fn } lokal gleichm¨aßig gegen f (k) .
43
7
Nullstellen und Singularit¨ aten
Definition 7.1 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. z0 ∈ G heißt Nullstelle k–ter Ordnung, wenn (1) f (n) (z0 ) = 0, n = 0, . . . , k − 1. (2) f (k) (z0 ) 6= 0.
Lemma 7.2 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Gilt f 6= 0, dann hat jede Nullstelle von f eine (endliche) Ordnung.
Satz 7.3 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. z0 ∈ G ist eine Nullstelle von f der Ordnung ≥ k genau dann, wenn es eine holomorphe Funktion fk : G → C gibt mit f (z) = (z − z0 )k · fk (z),
f¨ ur alle z ∈ G.
Die Ordnung ist = k genau dann, wenn fk (z0 ) 6= 0. In vielen F¨allen kann man dem Verhalten von f auf dem Rand einer Kreisscheibe entnehmen, ob f eine Nullstelle im Innern der Kreisscheibe hat. Satz 7.4 Sei G ⊂ C ein Gebiet, g : G → C holomorph und Ur (z0 ) ⊂ G. Gilt |g(z0 )| <
inf
|z−z0 |=r
|g(z)|,
so hat g eine Nullstelle in Ur (z0 ).
Satz 7.5 (Satz von der Gebietstreue) Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph und nicht konstant. Dann ist f eine offene Abbildung, d. h. f¨ ur U ⊂ G offen ist f (U ) ⊂ C offen. Insbesondere ist f (G) ein Gebiet.
Definition 7.6 Sei z0 ∈ C. Eine gelochte Umgebung von z0 ist eine offene Menge U ◦ ⊂ C mit / U ◦. (1) z0 ∈ (2) U² (z0 )\{z0 } ⊂ U ◦ , f¨ ur ein ² > 0.
44
Definition 7.7 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Ein Punkt z0 ∈ C heißt Singularit¨ at von f , wenn G eine gelochte Umgebung von z0 ist, d. h. z0 ist ein ‘Loch’ in G. 1 Beispiel: F¨ ur f : C\{0} → C, f (z) = , ist z0 = 0 eine Singularit¨at von f . z Bezeichnung: Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Dann bezeichnet Sing (f ) die Menge der Singularit¨aten von f . Bemerkung: (1) Ist M ⊂ Sing (f ), dann ist G ∪ M wieder ein Gebiet. (2) Eventuelle H¨aufungspunkte von Sing (f ) liegen außerhalb von G∪ Sing (f ). Insbesondere liegen die Singularit¨aten von f isoliert. Beispiel: Die Funktion
1 ¡ ¢ hat in 0 keine Singularit¨at. sin z1
Definition 7.8 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Eine Singularit¨at z0 von f heißt hebbar, wenn es eine holomorphe Funktion F : G ∪ {z0 } → C gibt mit F/G = f .
Satz 7.9 (Riemannscher Hebbarkeitssatz) Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph und z0 ∈ C eine Singularit¨at von f . Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent (i) Die Singularit¨at z0 ist hebbar. (ii) f ist beschr¨ankt auf einer gelochten Umgebung U ◦ ⊂ G von z0 . (iii) Es gilt (z − z0 ) · f (z) → 0, f¨ ur z → z0 . Beispiel:
sin z hat in 0 eine hebbare Singularit¨at mit Grenzwert 1. z
Definition 7.10 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Ferner sei z0 eine nicht hebbare Singularit¨at von f . Dann heißt z0 Pol (bzw. wesentliche Singularit¨ at), falls ein (bzw. kein) n ≥ 1 existiert mit (z − z0 )n+1 · f (z) → 0,
f¨ ur z → z0 .
Ist z0 ein Pol, so heißt das kleinste n mit dieser Eigenschaft die Ordnung des Pols. 1 Beispiel: Die Singularit¨at z0 = 0 der Funktion fm : C\{0} → C, fm (z) = m , m ≥ 1, ist z ein Pol der Ordnung m: z m+1 ·
1 → 0 (z → 0) zm
und
45
zm ·
1 6→ 0 (z → 0). zm
Satz 7.11 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Eine Singularit¨at z0 von f ist ein Pol der Ordnung m genau dann, wenn es eine gelochte Umgebung U ◦ ⊂ G von z0 und Zahlen M1 , M2 gibt mit 0 < M1 ≤ M2 und M1 · |z − z0 |−m ≤ |f (z)| ≤ M2 · |z − z0 |−m ,
f¨ ur alle z ∈ U ◦ .
Satz 7.12 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Eine Singularit¨at z0 von f ist ein Pol genau dann, wenn |f (z)| → ∞, f¨ ur z → z0 .
Satz 7.13 (Casaroti–Weierstrass) Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Eine Singularit¨at z0 von f ist eine wesentliche Singularit¨at genau dann, wenn ∀ U◦ ⊂ G ∀ a ∈ C ∀ ² > 0 ∃ z ∈ U◦ :
|f (z) − a| < ²,
d. h. in jeder gelochten Umgebung von z0 kommt f noch jeder komplexen Zahl beliebig nahe, d. h. f¨ ur jede gelochte Umgebung U ◦ ⊂ G von z0 ist f (U ◦ ) dicht in C.
Sin(1/x)/x
Beispiel: Die Funktion f : C\{0} → C,
f (z) =
sin(1/z) z
hat in z0 = 0 eine wesentliche Singularit¨at.
46
8
Laurentreihen
Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Falls eine offene Kreisscheibe U ganz in G enthalten ist, so kann man f auf U in eine Potenzreihe entwickeln. Was ist, falls nur eine gelochte offene Kreisscheibe in G liegt? 1 1 Z. B. f : C\{0} → C, f (z) = oder g : C\{0} → C, g(z) = . z sin z K¨onnen solche Funktionen durch ‘einfache’ Funktionen approximiert werden? Hier sollen die Funktionen z m ,
1 zur Approximation benutzt werden. zm
Definition 8.1 Sei c ∈ C und an ∈ C, n ∈ Z. Definiere holomorphe Funktionen Fm : C\{c} → C durch ½ a0 , m=0 Fm (z) := . m −m am · (z − c) + a−m · (z − c) , m>0 Die Funktionenreihe
∞ X
Fm wird kurz mit < L > ≡
m=0
∞ X
an · (z − c)n bezeichnet und
n=−∞
heißt Laurentreihe mit Entwicklungspunkt c. Falls an = 0, f¨ ur n < k ∈ Z, so schreibt man < L > ≡ Falls an = 0, f¨ ur n > k ∈ Z, so schreibt man < L > ≡
∞ X
an · (z − c)n .
n=k k X
an · (z − c)n .
n=−∞
Bemerkung: Eine Laurentreihe der Form nenreihe
∞ X n=1
µ a−n ·
1 z−c
−1 X
an · (z − c)n ist das selbe wie die Funktio-
n=−∞
¶n .
Bezeichnung: F¨ ur jede Laurentreihe < L > ≡
an · (z − c)n gibt es die charakteri-
n=−∞
stischen Potenzreihen < L+ > ≡
∞ X
∞ X
an · z
n
< L− > ≡
n=0
∞ X
a−n · z n
n=1
mit den Konvergenzradien R+ und R− und den Grenzfunktionen L+ : UR+ (0) → C, L− : UR− (0) → C. < L > heißt regul¨ ar, wenn < L > auf einer offenen Teilmenge von C\{c} lokal gleichm¨aßig konvergent ist. 47
F¨ ur 0 ≤ r1 < r2 ≤ ∞ sei R(c; r1 , r2 ) := {z ∈ C : r1 < |z − c| < r2 } das Ringgebiet mit Zentrum c und den Radien r1 , r2 . Beispiel: R(c; 0, ²) = U²◦ (c) und R(c; 0, ∞) = C\{c}. Satz 8.2 Sei < L > ≡
∞ X
an · (z − c)n eine Laurentreihe. Dann gilt
n=−∞
< L > ist regul¨ar ⇐⇒
1 < R+ . R−
In diesem Fall gilt ¶ 1 (a) < L > konvergiert absolut lokal gleichm¨aßig auf R c; , R+ . R− µ ¶ 1 (b) < L > divergiert auf C\R c; , R+ . R− µ ¶ 1 Die Grenzfunktion L : R c; , R+ → C von < L > ist holomorph und es gilt R− ¶ µ 1 . L(z) = L+ (z − c) + L− z−c µ ¶ 1 R c; , R+ heißt Konvergenzring von < L >. R− µ
Bemerkung: Laurentreihen k¨onnen gliedweise differenziert werden. ∞ X
Satz 8.3 Sei < L > ≡ an · (z − c)n eine regul¨are Laurentreihe mit Konvergenzring n=−∞ µ ¶ 1 RL = R c; , R+ und Grenzfunktion L : RL → C. Dann gilt R− Z L(z) 1 · dz, ak = 2πi ∂Ur (c) (z − c)k+1 wobei r beliebig mit
1 < r < R+ . R−
Korollar 8.4 Seien < L > und < L∗ > regul¨are Laurentreihen mit Entwicklungspunkt c und Konvergenzringen RL bzw. RL∗ . Gilt R := RL ∩ RL∗ 6= ∅ und L/R ≡ L∗ /R, so ist < L > = < L∗ >. 48
Definition 8.5 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Ferner sei R = ∞ X R(c; r1 , r2 ) ⊂ G. Eine regul¨are Laurentreihe < L > ≡ an ·(z − c)n heißt Laurentreihe n=−∞
fu ¨ r f auf R, falls (1) R ⊂ RL = Konvergenzring von L. (2) f /R = L/R.
Bemerkung: Nach Korollar 8.4 gibt es h¨ochstens eine Laurentreihe f¨ ur f auf R. Satz 8.6 Sei f : R(c; r1 , r2 ) → C holomorph. Dann gibt es eindeutig bestimmte holomorphe Funktionen f+ : Ur2 (c) → C und f− : C\Ur1 (c) → C mit (1) f (z) = f+ (z) + f− (z), f¨ ur alle z ∈ R(c; r1 , r2 ). (2) f− (z) → 0, f¨ ur |z| → ∞. Das Paar (f+ , f− ) heißt Laurentzerlegung von f . Korollar 8.7 Sei f : R(c; r1 , r2 ) → C holomorph. Dann gibt es eindeutig bestimmte holomorphe Funktionen λ+ : Ur2 (0) → C und λ− : U 1 (0) → C mit r1 ¶ µ 1 , f¨ ur alle z ∈ R(c; r1 , r2 ). (1) f (z) = λ+ (z − c) + λ− z−c (2) λ− (0) = 0. Korollar 8.8 Sei f : G → C holomorph und R = R(c; r1 , r2 ) ⊂ G. Dann gibt es genau eine Laurentreihe f¨ ur f auf R. Die Koeffizienten ergeben sich wie in Satz 8.3. 1 . Die Laurentreihe f¨ ur f ergibt sich durch + z2 ∞ ∞ X 1 1 1 X 2 n f (z) = 2 · = 2· (−z ) = (−1)n+1 · z 2n . z 1 − (−z 2 ) z n=0 n=−1
Beispiel: Sei f : U1◦ (0) → C, f (z) =
z4
Satz 8.9 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph mit Singularit¨at z0 . Ferner sei ∞ X an · (z − z0 )n die Laurentreihe f¨ ur f auf U²◦ (z0 ). Dann gilt n=−∞
(a) z0 ist hebbar ⇐⇒ an = 0, f¨ ur alle n < 0. (b) z0 ist ein Pol der Ordnung N
⇐⇒ an = 0, f¨ ur alle n < −N < 0 und a−N 6= 0.
(c) z0 ist eine wesentliche Singularit¨at ⇐⇒ an 6= 0, f¨ ur unendlich viele n < 0. Beispiel: sin(1/z) hat in 0 eine wesentliche Singularit¨at. 49
9 9.1
Der Residuensatz Umlaufzahlen
Sei γ : [a, b] → C ein geschlossener Weg, c ∈ C und r > 0 mit K = Ur (c) ∩ Sp (γ) = ∅. Man verbinde c und γ(a) mit einem Gummiband und durchlaufe γ. Wenn man wieder bei γ(b) = γ(a) angelangt ist, hat sich das Band um die Kreisscheibe K gewickelt. Anschließend z¨ahle man die Anzahl der Windungen: Dieses ist die Umlaufzahl von γ um c. Definition 9.1 Es sei γ : [a, b] → C ein geschlossener Weg und c ∈ / Sp (γ). Dann heißt Z 1 1 n(γ, c) := · dz 2πi γ z − c die Umlaufzahl (oder Windungszahl) von γ um c. Diese Definition spiegelt den obigen anschaulichen Zugang wider, wie man durch folgende Betrachtungen f¨ ur Polygonz¨ uge erkennen kann. Bezeichnung: (1) Sei γ : [a, b] → C ein linearer Weg in C\{c}. Ferner sei γ(a) − c = ra · eiϕa , γ(b)−c = rb ·eiϕb mit |ϕ(a)−ϕ(b)| < π. Dann heißt w(γ) := ϕb −ϕa der von γ u ¨berstrichene Winkel um c (das Vorzeichen gibt die Richtung an). (2) Sei γ = γ1 ∗ . . . ∗ γm ein geschlossener Polygonzug in C\{c}. m X Dann nennt man w(γ) := w(γk ) den von γ u ¨berstrichenen Winkel um c. k=1
Lemma 9.2 Sei γ : [a, b] → C ein linearer Weg in C\{c}. Ferner sei α ein Logarithmus α α von γ(a) − c. Dann Z gibt es einen Weg γ : [a, b] → C mit exp(γ (t)) = γ(t) − c. Es gilt 1 γ α (b) − γ α (a) = dz und w(γ) = Im (γ α (b) − γ α (a)). γ z −c
Lemma 9.3 Sei γ = γ1 ∗ . . . ∗ γm ein geschlossener Polygonzug in C\{c}. Dann gilt (a) w(γ) = 2πn, mit n ∈ Z. (b)
1 · w(γ) = n(γ, c). 2π
Satz 9.4 Es sei γ : [a, b] → C ein geschlossener Weg und c ∈ / Sp (γ). Dann ist die Umlaufzahl n(γ, c) ganzzahlig.
50
Bemerkung: Die Umlaufzahl hat folgende einfache Eigenschaften: (1) n(∂Ur (c), c) = 1. (2) n(γ −1 , c) = −n(γ, c). (3) Haben γ1 , . . . , γm alle den selben Anfangspunkt und Endpunkt, dann gilt n(γ1 ∗ . . . ∗ γm ) = n(γ1 , c) + . . . + n(γm , c). (4) Jede ganze Zahl ist die Umlaufzahl einer geeigneten Kurve um c. γ , c). (5) Sind γ, γ˜ geschlossen homotop in C\{c}, so gilt n(γ, c) = n(˜ (6) Man kann zeigen, daß auch die Umkehrung von (5) gilt.
9.2
Residuen und Residuensatz
Lemma 9.5 Sei U ⊂ C offen. Dann ist U disjunkte Vereinigung von Gebieten Gj , j ∈ J, d. h. es gilt [ (1) U = Gj . j∈J
(2) Gj ∩ Gj 0 = ∅, f¨ ur j, j 0 ∈ J, j 6= j 0 . Die Gj werden die Zusammenhangskomponenten von U genannt. Lemma 9.6 Sei K ⊂ C kompakt. Dann hat C\K genau eine unbeschr¨ankte Zusammenhangskomponente G∞ und C\G∞ ist kompakt ( C\G∞ besteht aus K und den u ¨brigen Zusammenhangskomponenten).
Satz 9.7 Sei γ : [a, b] → C ein geschlossener Weg. Dann gilt (a) n(γ, c) = n(γ, c0 ), falls c und c0 in der selben Zusammenhangskomponente von C\ Sp (γ) liegen. (b) n(γ, c) = 0, falls c in der unbeschr¨ankten Zusammenhangskomponente liegt.
Definition 9.8 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Ferner sei z0 eine Singularit¨at von f und ² > 0 mit U²◦ (z0 ) ⊂ G. Dann heißt Z 1 Res (f, z0 ) := · f (z) dz mit 0 < δ < ² 2πi ∂Uδ (z0 ) Residuum von f in z0 . 51
Bemerkung: (1) Res (f, z0 ) h¨angt nicht von der Wahl von ² und δ ab. ∞ X (2) Ist an · (z − z0 )n die Laurentreihe f¨ ur f auf U²◦ , so gilt Res (f, z0 ) = a−1 . n=−∞
(3) Hat f in z0 eine hebbare Singularit¨at, so gilt Res (f, z0 ) = 0. Satz 9.9 Seien f, g : G → C holomorph und g habe eine k–fache Nullstelle in z0 . Sei ϕ : G → C holomorph mit g(z) = (z − z0 )k ϕ(z). Dann gilt µ ¶ µ ¶(k−1) f 1 f Res , z0 = · (z0 ). g (k − 1)! ϕ µ ¶ f (z0 ) f Ist die Nullstelle einfach, so gilt Res , z0 = 0 . g g (z0 ) Satz 9.10 Seien f : G → C holomorph und z0 sei ein einfacher Pol von f . Ferner sei g : G ∪ {z0 } → C holomorph. Dann gilt (a) Res (f, z0 ) = lim (z − z0 ) · f (z). z→z0
(b) Res (f g, z0 ) = g(z0 ) · Res (f, z0 ). Satz 9.11 (Residuensatz) Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph und Sing (f ) abgeschlossen. Ferner sei G∗ := G ∪ Sing (f ) und γ : [a, b] → C ein geschlossener Weg in G. Ist γ nullhomotop in G∗ , so gilt Z
X
f (z) dz = 2πi · γ
Res (f, z) · n(γ, z),
z∈ Sing (f )
wobei n(γ, z) 6= 0 nur f¨ ur endlich viele z ∈ Sing (f ). Z Bemerkung: abh¨angen.
f (z) dz wird durch Ausdr¨ ucke dargestellt, die nur von f oder nur von γ γ
1 gilt Sing (f ) = πZ, also G∗ = C. sin z Jeder geschlossene Weg in C\πZ ist nullhomotop in C. z f hat in 0 einen einfachen Pol. Nach Satz 9.10 folgt Res (f, 0) = lim = 1 und damit z→0 sin z Z 1 dz = 2πi · Res (f, 0) · 1 = 2πi. ∂U1 (0) sin z Beispiel: (1) F¨ ur f : C\πZ → C, f (z) =
52
Z
∞
(2) Gesucht ist der Wert des uneigentlichen Integrals I = −∞
1 dx. 1 + x2
1 Definiere f : C\{−i, i} → C durch f (z) := . 1 + z2 µ ¶ 1 1 1 Es gilt f (z) = − . 2i z − i z + i Z Z 1 1 1 1 1 Damit gilt Res (f, i) = · f (z) dz = · · dz = . 2πi Uδ (i) 2πi Uδ (i) 2i z − i 2i γ+ γ i [−R,R] −R
R
−i
Sei γ = [−R, R] ∗ γ+ wie in der Skizze. Dann gilt Z f (z) dz = 2πi · ( Res (f, i) · n(γ, i) + Res (f, −i) · n(γ, −i)) = 2πi · Res (f, i) · 1 = π. γ
Also Z
Z
π=
Z
f (z) dz = γ
Z
f (z) dz + γ+
Z
f (z) dz = [−R,R]
R
f (z) dz + γ+
−R
1 dt 1 + t2
(mit der Parametrisierung ϕ : [−R, R] → C, ϕ(t) = t). Ferner gilt f¨ ur R ≥ 1 ¯Z ¯ ¯ ¯ 1 ¯ f (z) dz ¯¯ ≤ L(γ+ ) · sup |f (z)| ≤ πR · 2 ¯ R −1 z∈ Sp (γ+ ) γ+ Z
Z
und damit
R
f (z) dz → 0, f¨ ur R → ∞. Es folgt I = lim
R→∞
γ+
−R
1 dt = π. 1 + t2
Definition 9.12 Ein Weg γ[a, b] → C heißt einfach geschlossen, wenn γ(a) = γ(b) und γ/[a, b) injektiv ist.
ur einfach geschlossene Wege sei Definition 9.13 F¨ Int (γ) := {z ∈ C\ Sp (γ) : n(γ, z) 6= 0} = n(γ, −)−1 (Z\{0}) Ext (γ) := {z ∈ C\ Sp (γ) : n(γ, z) = 0} = n(γ, −)−1 (0) 53
Bemerkung: (1) Int (γ) und Ext (γ) sind offen. (2) Int (γ) ist beschr¨ankt, Ext (γ) ist unbeschr¨ankt. (3) Man kann zeigen, daß Int (γ) und Ext (γ) Gebiete sind. Definition 9.14 Ein einfach geschlossener Weg heißt regul¨ ar, wenn n(γ, z) = 1, f¨ ur alle z ∈ Int (γ). Bemerkung: Ist γ einfach geschlossen, so kann man zeigen, daß entweder γ oder γ −1 regul¨ar ist. Korollar 9.15 Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph, Sing (f ) abgeschlossen und γ ein regul¨arer Weg in G. Ist γ nullhomotop in G∗ = G ∪ Sing (f ), so gilt Z X Res (f, z). f (z) dz = 2πi · γ
z∈ Sing (f )∩ Int (γ)
1 Beispiel: Sei f (z) = 2 und γ = ∂U2 (0). Die Singularit¨aten von f sind ±i. z +1 µ ¶ i/2 i/2 Mit f (z) = − folgt z+i z−i Z −i/2 i 1 · dz = − . Res (f, i) = 2πi ∂U² (i) z − i 2 i Analog gilt Res (f, −i) = . Somit gilt 2 Z 1 dz = 2πi · ( Res (f, i) + Res (f, −i)) = 0. 2 ∂U2 (0) z + 1
Definition 9.16 Sei G∗ ein Gebiet. Eine meromorphe Funktion f auf G∗ ist eine holomorphe Funktion f : G → C mit G ⊂ G∗ , so daß (1) G∗ = G ∪ Sing (f ). (2) Alle Singularit¨aten von f sind Pole. Man schreibt: ‘f : G∗ → C meromorph’. Bemerkung: Ist f meromorph auf G∗ , dann ist dies auch f¨ ur f 0 der Fall, denn Pole bleiben beim Ableiten erhalten. 54
Satz 9.17 Sei G∗ ⊂ C ein Gebiet, f : G∗ → C meromorph, f 6= 0 und Sing (f ) abgeschlossen. Ferner sei γ ein nullhomotoper regul¨arer Weg in G∗ . Liegen weder Nullstellen noch Pole von f auf γ, so gilt Z 1 f 0 (z) · dz = N (f, Int (γ)) − P (f, Int (γ)), 2πi γ f (z) wobei N (f, M ) (P (f, M )) die Anzahl der Nullstellen (Pole) von f in M ist (Pole bzw. Nullstellen k–ter Ordnung z¨ahlen k–mal). Beispiel: Die Funktion f (z) = z 2 + z hat (einfache) Nullstellen bei 0 und −1 und keine Z 2z + 1 Pole. Es folgt dz = 2πi · (2 − 0) = 4πi. 2 ∂U2 (0) z + z Korollar 9.18 Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph, Sing (f ) abgeschlossen und γ ein nullhomotoper regul¨arer Weg in G. Hat f keine Nullstellen auf γ, so gilt Z 1 f 0 (z) · dz = N (f, Int (γ)). 2πi γ f (z)
Lemma 9.19 Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph und γ ein geschlossener Weg in G. Hat f keine Nullstellen auf γ, so gilt Z 1 f 0 (z) · dz = n(f ◦ γ, 0). 2πi γ f (z)
Satz 9.20 (Rouch´ e) Sei G ⊂ C ein Gebiet, f, g : G → C holomorph, Sing (f ) abgeschlossen und γ ein nullhomotoper regul¨arer Weg in G. Ferner gelte |f (z)| > |g(z)|, f¨ ur alle z ∈ Sp (γ). Dann gilt N (f + g, Int (γ)) = N (f, Int (γ)). Bemerkung: g wird als eine ‘St¨orung’ aufgefaßt. Beispiel: Gesucht ist die Anzahl der Nullstellen von h(z) = 2z 9 − 4z 2 + 1 in ∂U1 (0). Setze f (z) = −4z 2 und g(z) = 2z 9 + 1. F¨ ur |z| = 1 gilt |f (z)| = 4 > 3 ≥ |g(z)|. Es folgt N (h, U1 (0)) = N (f, U1 (0)) = 2.
55
9.3
Anwendungen in der reellen Analysis
Der Residuensatz hat u ¨berraschende Anwendungen bei der Berechnung von uneigentlichen Integralen und unendlichen Reihen. Der Begriff des uneigentlichen Integrals l¨aßt sich auf offensichtliche Weise auf Funktionen f : I → C, I ⊂ R ein nichtkompaktes Intervall, u ¨bertragen. Bemerkung: (1) Ist |f | : I → R uneigentlich integrierbar, dann ist auch f : I → C uneigentlich integrierbar. Die Umkehrung gilt nicht. (2) f : I → C uneigentlich integrierbar ⇐⇒
Re f und Im f uneigentlich integrierbar.
(3) f, g : I → C uneigentlich integrierbar, α, β ∈ C ⇒ α · f + β · g uneigentlich integrierbar. 1 , ist uneigentlich integrierbar. x2 Bezeichnung: F¨ ur Funktionen f : R → C definiert man Z ∞ Z R CHW− f (x) dx := lim f (x) dx, Beispiel: Die Funktion f : [1, ∞) → C, f (x) =
R→∞
−∞
−R
falls dieser Grenzwert existiert. Er wird Cauchysches Hauptwertintegral von f genannt. Z
∞
Bemerkung: Ist f : R → C uneigentlich integrierbar, dann existiert CHW−
f (x) dx. −∞
Die Umkehrung gilt nicht.
Satz 9.21 Seien P, Q komplexe Polynome mit Grad (Q) ≥ Grad (P ) + 2. Hat Q keine P reellen Nullstellen, so ist : R → C absolut uneigentlich integrierbar und es gilt Q µ ¶ Z ∞ X P (x) P Res dx = 2πi · , zj . Q −∞ Q(x) Q(zj )=0, Im zj >0
¶¶ 3iπ 1 Beispiel: (1) Res + Res ,e 4 4 −∞ µ z +1 ¶ 1 1 3iπ iπ z1 = e 4 und z2 = e 4 sind einfache Nullstellen. Darum gilt Res , zj = 3 . 4 z +1 4zj √ Z ∞ ³ ´ ³ ´ −i3π −iπ 1 1 πi π 2 Es folgt dx = 2πi · · e 4 + e 4 = · −2i · sin = π. 4 4 2 4 2 −∞ x + 1 Z
∞
(2) F¨ ur a > 0 gilt Z ∞ −∞
1 dx = 2πi · 4 x +1
µ
a2 dx = 2πi · Res x2 + a2
µ
µ
iπ 1 ,e 4 4 z +1
a2 , ia z 2 + a2
56
¶
µ
¶ = 2πi ·
a2 = πa. 2ia
Lemma 9.22 Sei I ein Intervall der Form (−∞, α], [α, ∞) oder (−∞, ∞). Ferner sei ϕ : I → C differenzierbar mit (1) ϕ(x) → 0, f¨ ur |x| → ∞. (2) ϕ0 absolut uneigentlich integrierbar. Dann sind die Funktionen ϕ(x) · sin x, ϕ(x) · cos x, ϕ(x) · eix uneigentlich integrierbar. Beispiel: (1) Seien P, Q komplexe Polynome mit Grad (Q) > Grad (P ). Hat Q keine reellen P Nullstellen, so gen¨ ugt ϕ = : R → C den Bedingungen in Lemma 9.22. Q (2) Sind eventuelle Nullstellen von Q in R allesamt einfache Nullstellen, welche die Form kπ P (z) (bzw. kπ + π/2) mit k ∈ Z haben, so sind alle reellen Singularit¨aten von · sin z (bzw. Q(z) P (x) P (z) P (x) · cos z) hebbar. Man darf daher · sin x (bzw. Q(x) · cos x) als stetige Funktionen Q(z) Q(x) von R nach C betrachten, die meromorphe Fortsetzungen auf C haben. Nach Lemma 9.22 sind die Funktionen also uneigentlich integrierbar. Satz 9.23 Seien P, Q komplexe Polynome mit Grad (Q) > Grad (P ). Hat Q keine reellen Nullstellen, so gilt µ ¶ Z ∞ X P (z) iz P (x) ix Res · e dx = 2πi · · e , zj . Q(z) −∞ Q(x) Q(zj )=0, Im zj >0
Z
∞
x · sin x dx, f¨ ur a > 0. Es gilt 2 2 −∞ x + a µ ¶ x · eix z · eiz iae−a dx = 2πi · Res , ia = 2πi · = iπe−a x2 + a2 z 2 + a2 2ia
Beispiel: (1) Gesucht ist Z
∞ −∞
und mit sin x = Im (eix ) folgt I = Im (iπe−a ) = πe−a . Z ∞ a cos x ¨ (2) Ahnlich zeigt man dx = πe−a . 2 + a2 x −∞ Die beiden Integrale aus (1) und (2) heißen Laplacesche Integrale Z ∞ sin x (3) Gesucht ist I = dx. Es gilt x −∞ ¯ Z ∞ ¯ 2 ¯Z ∞ ¯ Z ∞ Z ∞ ¯ a sin x ¯ ¯ ¯ x sin x sin x a2 ¯ ¯≤ ¯ ¯ dx ≤ dx − dx dx = πa. ¯ ¯ ¯ 2 2 2 2 ¯ 2 2 x −∞ x + a −∞ x(x + a ) −∞ −∞ x + a Mit πa → 0, (a → 0) folgt I = lima→0 πe−a = π. 57
Satz 9.24 Sei F eine komplexwertige Funktion in zwei komplexen Variablen z, w und die Funktion µ ¶ z − z1 z + z1 1 ∗ F (z) := ·F , iz 2i 2 sei auf einem Gebiet G holomorph. Ferner sei S 1 ⊂ G und U1 (0) ⊂ (G ∪ Sing (F ∗ )). Dann gilt Z 2π X F (sin x, cos x) dx = 2πi · Res (F ∗ , zj ). 0
zj ∈ Sing (F ∗ )∩U1 (0)
Z
2π
1 dx. 2 + cos x 0 1 1 1 2/i Mit F (z, w) = erh¨alt man F ∗ (z) = · = 2 . z+1/z 2+w iz 2 + z + 4z + 1 2 √ √ F ∗ ist definiert auf C\{−2 ± 3} und dort holomorph. Also Sing (F ∗ ) = {−2 ± 3} und G ∪ Sing (F ∗ ) = C. Nach dem vorigen Satz gilt µ ¶ √ 2/i 2/i 2π √ I = 2πi · Res , −2 + 3 = 2πi · =√ . 2 z + 4z + 1 2(−2 + 3) + 4 3 Beispiel: Gesucht ist I =
Auch unendliche Reihen k¨onnen mit Hilfe des Residuensatzes berechnet werden. Satz 9.25 Sei f : C → C meromorph mit endlich vielen Polen z1 , . . . , zr ∈ C. Ferner gelte ∞ n X X f (n) und es gilt lim z · f (z) = 0. Dann existiert f (n) = lim z→∞
N →∞
n=−∞ n6=z1 ,...,zr
∞ X
f (n) = −
n=−∞ n6=z1 ,...,zr
r X
n=−N n6=z1 ,...,zr
Res (f (z) · π · cot πz, zk ).
k=1
∞ X 1 1 Beispiel: Gesucht ist . Setze f : C\{0}, f (z) = 2 . 2 n 2z n=1
Dann gilt zf (z) = 1/(2z) → 0 (z → ∞) und f ist meromorph mit einem Pol in z1 = 0. Nach dem vorigen Satz gilt µ ¶ ∞ ∞ X 1 X X 1 1 = = f (n) = − Res · π · cot πz, 0 . 2 2 2 n 2n 2z n=−∞ n=−∞ n=1 n6=0
1 z Mit cot z = − + . . . folgt z 3
n6=0
∞ X 1 π ³ π ´ π2 =− · − = . n2 2 3 6 n=1
58
