Mathcad : математический практикум. Часть 1: Учебное пособие к спецкурсу

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И

В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т Ф акультетп рикладной математикиимеханики

К афедравычислительной математики

Е сипе нко Д .Г ., Э ксаре вская М .Е .

MathCAD : м а т ем а т и ч еск и й п ра к т и к ум Ч а ст ь I

У ч е бно е по со бие

к спе цкурсу

для ст уденто в 3 и 4 курсо в д/о и аспиранто в факульт е т а П М М

В ороне ж 2003

2 У тверж дено научно-методическим советом В ГУ факультетаП М М п ротокол № 5 от26.02.2003 г.

Составители: Э ксаревская М .Е ., Е сип енко Д .Г. Н ауч. ред. Рыж ковА .В .

П рограмма п одготовлена на кафедре В ычислительной математики факультетаП М М В оронеж ского государственного университета. Рекомендуется для студентов3 и 4 курсовд/о и асп ирантовфакультета ПМ М .

3

В ве де ни е MathCAD - один из самых п оп улярных и, безусловно, самых расп ространенных в студенческой среде математических п акетов. О н п редоставляет п ользователю обш ирный набор инструментовдля реализации графических, аналитических ичисленных методовреш ения математических задач накомп ью тере. В ып олняя рутинные илинесущ ественные (вконтексте изучаемой работы) оп ерации, п акет п озволяет студенту, не владею щ ему в п олной мере техникой математических п реобразований, самостоятельно вып олнять громоздкие вычисления, реш ать содерж ательные задачи, п риобрести устойчивые навыки реш ения п рикладных задач. П ри э том учащ ийся общ ается с комп ью тером на уровне математических п онятий, идей, общ их п одходов и за небольш ое время мож ет самостоятельно рассмотреть много п римеров. П редлагаемое учебное п особие п редставляет собой сборник комп ью терных занятий всредеMathCAD п о стандартному курсу математики в рамках факультета П М М . В учебном п особии п риводятся п римеры реш ения задач всредеMathCAD. Структурап рактикуматакова, что больш ая часть материалане связанас конкретным п рограммным обесп ечением иего мож но усп еш но исп ользовать не только с лю бой версией MathCAD, но ис другимиматематическимип акетами. Ц ель п особия – научить быстро и легко реш ать в среде MathCAD п ростейш иематематическиезадачи. П оэ тому вучебном п особиинетп олного оп исания возмож ностей и функций п акета, а п редоставляю тся только необходимые оп ерации, вынесенные вменю и кноп очные п анели, атакж е наиболеечасто исп ользуемыевстроенныефункции. В п ервой части п особия рассматриваю тся основы MathCAD и исп ользуемые инструменты п ри реш ении задач линейной алгебры и математического анализа. У чебное п особие адресовано ш ирокому кругу: студентам, асп ирантам, п реп одавателям вузовисп ециалистам, исп ользую щ им п акет вп рактической работе.

4

1

О с новы MathCAD

1.1

О с новны е характе ри с ти ки MathCAD

MathCAD – э то п рограммное средство, среда для вып олнения на комп ью тере разнообразных математических и технических расчетов, п редоставляю щ ая п ользователю инструменты для работы с формулами, числами, графиками и текстами, снабж енная п ростым в освоении графическим интерфейсом. В среде MathCAD доступ ны более сотни оп ераторов и логических функций, п редназначенных для численного и символьного реш ения технических п роблем различной слож ности. MathCAD содерж ит: • обш ирную библиотеку встроенных математических функций; • инструменты п остроения графиковразличных тип ов; • средствасоздания текстовых комментариевиоформления отчетов; • конструкции, п одобные п рограммным конструкциям языков п рограммирования, п озволяю щ ие п исать п рограммы для реш ения задач, которыеневозмож но илиочень слож но реш ить стандартными инструментамип акета; • удобно организованную интерактивную систему п олучения сп равки иоп еративной п одсказки; • средстваобменаданнымис другимиwindows-п рилож ениямичерез механизм OLE (Object Linking and Embedding – связь и внедрение объектов); • средствап ересылки готовых рабочих документовп о э лектронной п очтеиливИ нтернетточно втаком виде, вкаком онип редставлены наэ кране. П рограммные средстватакого тип а часто называю т униве рсальным и м ат е м ат ич е ским и паке т ам и, сист е м ам и илисре дам и. П ри п роектировании MathCAD ставилась цель – создать мощ ное, гибкое и п ростое в исп ользовании средство для п роведения инж енерных расчетов. Д ля достиж ения э той цели вMathCAD реализованы следую щ ие соглаш ения: • исп ользуется традиционный для математической литературы сп особ зап исифункций ивыраж ений; • п ользователю п редоставляется интерфейс, п ри котором не сущ ествуетскрытой информации– всеп оказывается наэ кране;

5 • п ростые выраж ения для п оследую щ ей обработки вводятся с клавиатуры; • для облегчения работы п редусмотрены п анелиинструментов; • п остроение графиков, вычисление интегралов, суммирование рядов и другие относительно слож ные оп ерации вып олняю тся зап олнением врабочем документеп омеченных п озиций; • возмож ности, п редоставляемыесредой, раскрываю тся п ользователю всоответствии с его п отребностями (если п ользователю что-то не нуж но, то он инезнаето том, что э то вообщ еесть вп акете); • для реализации п риближ енных вычислений отобраны самые надеж ныестандартныеалгоритмы; • наиболее часто исп ользуемые п роцедуры MathCAD оформлены в виде наборалегко доступ ных текстов– ш п аргалок (Quick Sheets), содерж ание которых легко «п еретаскивается» врабочий документ п ользователя; • в течение всего сеанса работы п ользователю п редоставлена обш ирная, легко доступ ная и логично организованная сп равочная система, снабж енная собственным п ростым интерфейсом, гип ертекстовымиссылкамиидр.; • доступ ен «настольный» сп равочник, содерж ащ ий множ ество п олезных формул, математических ифизических констант; • MathCAD п редоставляет п ользователю оп еративные возмож ности э лектронной таблицы итекстового п роцессора. О сновное отличие MathCAD от других п рограммных средств э того классасостоит втом, что математические выраж ения наэ кране комп ью тера п редставлены ввиде общ еп ринятой математической нотации– имею т точно такой вид, как вкниге, надоске, втетради. В данном п особии рассматриваю тся функции и инструменты, реализованные вп рофессиональной версиип акета, аименно MathCAD 2000 Professional. Расш иренныевозмож ностиматематических оп ераций: • оп ерациис действительными, комп лекснымичислами, атакж е с величинами, имею щ имиразмерность; • оп ераторы и логические функции, вып олняю щ ие действия с числами, векторамииматрицами; • оп ераторы дифференцирования, интегрирования, суммы и п роизведения;

6 • вычисление значений и п остроение графиков э лементарных и сп ециальных функций; • быстроеп реобразованиеФ урье; • немедленная обработкалю бого символьного выраж ения; • символьноереш ениеуравнений исистем; • символьное интегрирование, дифференцирование, вычисление п ределовисуммированиерядов; • п ростейш ие алгебраические п реобразования: раскрытие скобок, п риведениеп одобных, разлож ение намнож ители, разлож ениена п ростейш иедроби; • п рямыеиобратныеинтегральныеп реобразования; • обращ ение и трансп онирование матриц, вычисление оп ределителей, собственных значений исобственных векторов; • болееслож ныеоп ерациилинейной алгебры, вклю чая разлож ения Х олесского, LU-,QR- иSVD-разлож ения; • функции для реш ения обыкновенных дифференциальных уравнений (О Д У ), систем О Д У , уравнений в частных п роизводных играничных задач; • около двухсот статистических функций для анализаданных, от п ростейш их оп исательных статистик ип остроения гистограмм до п араметрических и неп араметрических критериев согласия, дисп ерсионного анализаиметодаМ онте-К арло; • ап п роксимация сп лайнами и п остроение интерп оляционных многочленов; • сглаж ивание данных, анализ временных рядов, метод наименьш их квадратов. У лучш енный интерфейс: • п оддерж иваю тся все соглаш ения и возмож ности интерфейса Windows NT иWindows 2000, вклю чая контекстныеменю ; • уп рощ ены ввод иредактированиевыраж ений; • п оддерж ивается механизм связиивнедрения объектовиз других п рилож ений (OLE2-технология клиент-сервер); • новыеп риемы форматирования областей рабочего документа.

7 А втоматическоеп реобразованиеразмерностей: • оп ределенап олная системаединиц СИ ; • оп ределены наиболеечасто исп ользуемыеединицы систем MKS, CGS, US; • вып олняю тся автоматическая п роверка и п реобразование размерности. В вод-вывод данных: • быстрый вводиудалениеданных; • п реобразованиеданных из Excel, m-файловMatlab, ASCII-файлов идр.; • п одготовкакомп онентдля Excel, Matlab иAxum. Ф ункциональноеп рограммирование: • п роцедурные оп ераторы для п остроения функциональных п рограмм; • оп ределение локальных п еременных, строк, данных слож ной структуры ивлож енных массивов; • вып олнение циклов, рекурсии и ветвления с п омощ ью оп ераторовReturn иContinue; • контроль ош ибок времениисп олнения; • исп ользованиевп рограммах символьных выраж ений. Графика: • интерактивная двумерная и трехмерная графика; в том числе декартовы, п араметрические, п олярные, точечные, линииуровня, п араметрическиеп оверхности, гистограммы, векторныеп оля; • трассировка, анимация; • быстроеп остроениеп лоских графиков. Ф орматированиетекстов: • п роверкаорфографии; • форматирование текстов, вставка формул в текст, форматированиестраниц; • п редварительный п росмотртекстап еред п ечатью . Сп равочныевозмож ности: • 300 ш п аргалок (быстрых п одсказок); • технические сп равочные таблицы ируководство п о п рикладной статистике; • руководство п о реш ению уравнений вMathCAD;

8 • руководство п о п рограммированию вMathCAD; • п остоянно обновляемая Web-библиотекадокументовMathCAD и Э лектронных книг; • контекстная сп равка, сп равка с оглавлением и инструментами п оиска. 1.2

Р аб ота в с ре де MathCAD

У становивп акет, создайтенарабочем столезначок MathCAD 2000. - значок MathCAD. Д войной щ елчок п о нему вызывает наэ кран комп ью теразаставку п акета, которая находится наэ кране все время, п ока п роизводится автоматическая загрузкап рограмм, необходимых для работы п акета. Ч ерез некоторое время заставка исчезает, и на э кране открывается окно, котороевтерминологииWindows называется о кно м прило ж е ния, адля нас э то окно MathCAD (Рис. 1) – п ространство, гдеразмещ ены всетребуемые для работы инструменты ирабочий документ, т.е. п ространство, вкотором будут вводиться команды и выраж ения для вычислений и вкотором будут отображ ены результаты вычислений. В дальнейш ем будем говорить «на э кране», имея ввиду вокнеMathCAD.

Рис. 1 О кно MathCAD 2000

9 В ерхняя строка окна (см. Рис. 1) – стандартная строка windowsп рилож ений. В ней слева п риведено имя п рилож ения – MathCAD Professional, затем имя файла, вкотором сохраняю тся результаты работы (на Рис. 1 э то надп ись: [В ид окна MathCAD]), а сп рава – три стандартные , функциональные кноп ки для работы с окнами Windows соответственно обозначаю щ ие: свернуть, развернуть на п олный э кран и закрыть окно п рилож ения. В се, что расп олож ено ниж е, относится к работевсредеп акета. В торая строкаэ крана– строкаменю (Рис. 2).

Рис. 2 Строкаменю MathCAD М еню имеетнаборстандартных для windows-п рилож ений п унктов: File (Ф айл), Edit (Редактировать), View (П росмотр), Format (Ф ормат), Window (О кно), Help (П омощ ь) и сп ецифические для MathCAD п ункты: Insert (В ставка), Math (М атематика), Symbolics (Символьныеоп ерации). Щ елчок п о п ункту меню открывает нисп адаю щ ее меню со сп иском доступ ных вданном п ункте меню оп ераций. П равилаработы с меню более п одробно оп исаны ниж е. Следую щ ие тристрокиокнасодерж ат п анелиинструментов, часть из которых – стандартные для windows-п рилож ений оп ерации работы с файлами и текстом (Рис. 3), а другая часть – сп ецифические функции MathCAD (Рис. 4), нап ример, кноп ка с надп исью f (x) открывает сп исок встроенных функций.

Рис. 3 П анель с кноп камиуп равления файламииформатирования текста

Рис. 4 П анель с кноп камисп ецифических оп ераций MathCAD

10 В отдельной строке обычно расп олагается п анель инструментовдля вып олнения математических оп ераций (Рис. 5), которую вдальнейш ем будем называть пане лью м ат е м ат ич е ских инст рум е нт о в или пане лью м ат е м ат ич е ских о пе раций.

Рис. 5 П анель математических инструментов М атематические оп ерациивMathCAD разделены нагруп п ы, икаж дая кноп ка п анели математических инструментов открывает доступ к оп ределенной груп п е оп ераций – щ елчок п о кноп ке э той п анелиоткрывает другую , доп олнительную , п анель, на которой и расп олож ены кноп ки математических оп ераций соответствую щ ей груп п ы. Более п одробно п равилаработы с п анелямиоп исаны ниж е. П од строками п анелей инструментов находится окно рабочего документа MathCAD – п ространство, в котором расп олагаю тся все введенные команды и выраж ения, куда MathCAD выводит результаты вычислений и графики и где размещ аю тся текстовые комментарии. Содерж имое э того окнамож но редактировать, форматировать, сохранять в файлах надиске, п ечатать идр. О кно снабж ено двумя п олосамип рокрутки– вертикальной и горизонтальной. Щ елчком п о соответствую щ ей кноп ке со стрелкой или «п еретаскиванием» кноп ки п олосы мож но п росматривать фрагменты окна, находящ иеся внеп ределаэ крана. П оследняя, ниж няя строкаокна– строка состояния (Рис. 6). В ней зап исаны рекомендации к дальнейш им действиям, оп исано текущ ее состояниесреды иуказан номер отображ енной наэ кранестраницы рабочего документа.

Рис. 6 Строкасостояния окнаMathCAD В п риведенном нарис.6 п римере всроке состояния указано, что видна п ервая страница рабочего документа (Page 1), что система находится в реж име автоматических вычислений (Auto) и п рограмма рекомендует п ользователю п ринеобходимостиобратиться зап омощ ью к сп равке, наж ав наклавиатуреклавиш у (Press F1 for help).

11 Т еп ерь п реж де чем п ереходить к более п одробному оп исанию меню и п анелей инструментов, п ознакомимся со сп особами вып олнения в среде MathCAD самых п ростых инеобходимых оп ераций.

1.3

П рос те йш и е вы чи с ле ни яи опе раци и в MathCAD

Здесь п риведено п одробное оп исание того, как в MathCAD мож но вып олнить п ростейш ие арифметические вычисления, ввести выраж ение, содерж ащ ее п еременные, оп ределить функцию и п остроить ее график, а такж е, как сохранить рабочий документ вфайле надиске или п рочитать ранее сохраненные файлы. В ып олняйте п оследовательно все действия, указанные в левом столбце п риведенного ниж е текста, сравнивая отображ ение результатов э тих действий на э кране с рисунками, п риведеннымивп равом столбцетекста. Д ля сокращ ения зап иси условимся обозначать клавиш и, которые нуж но наж имать наклавиатуре, угловыми скобками: нап ример, зап ись <x> означает, что необходимо наж ать наклавиатуре клавиш у с буквой x; если нуж но наж ать на клавиатуре одновременно две клавиш и, зап исываем <… >+<… >: следовательно, зап ись <Shift>+<x> означает одновременное наж атие двух клавиш <Shift> и, не отп уская ее, - клавиш у с буквой <x>. Зап ись п оказывает, что нуж но наж ать функциональную клавиш у, расп олож енную вверхнем ряду клавиатуры, с надп исью F1; зап ись <Space> наж ать клавиш у П роб е л. Н ачнем знакомство со средой MathCAD. Н айдите нарабочем столе значок п акета, щ елкните дваж ды мыш ью п о э тому значку, дож дитесь, п ока п оявится рабочее окно п акета и п риступ айте к работе, точно следуя п риведенным влевом столбцетекстаинструкциям.

12 За да ни е1. В ычислить значения арифметических выраж ений 16 + 16 +

12 и 7

12 . 9

П орядок вып олнения действий

И зображ ениенаэ кране

Щ елкните мыш ью п о лю бому месту в рабочем документе - в п оле п оявится крестик, обозначаю щ ий п озицию , с которой начинается ввод.

В ведите с клавиатуры символы следую щ ей п оследовательности: 16+12/7

в

В ведите с клавиатуры знак равенства, наж ав клавиш у <=>. MathCAD вычисляет значение выраж ения и выводит сп раваот знакаравенстварезультат. Щ елкните мыш ью нацифре 7 и наж мите клавиш у или. Т еп ерь значение выраж ения не оп ределено, место ввода п омечено черной меткой и ограничено угловой рамкой. В ведите с клавиатуры цифру 9 ищ елкните мыш ью вневыделяю щ ей рамки. Т еп ерь удалим выраж ение с э крана. Щ елкните мыш ью п о лю бому месту в выраж ении. Н аж имайте клавиш у <Space> до тех п ор, п окавсе выраж ение не будет выделено угловой синей рамкой. Н аж мите клавиш у (п оле ввода окрасится вчерный цвет) и, наж авклавиш у , удалите выделенное. В ыраж ение исчезнетс э крана.

13 И з п риведенного п римера мож но п онять п ростейш ие п ринцип ы организацииинтерфейсаиработы MathCAD: • формулы отображ аю тся на э кране в общ еп ринятой математической нотации; • п равильно оп ределяется п орядок действий; • п осле ввода знака равенства сп рава от него отображ ается результатвычислений; • п осле ввода знака деления MathCAD указывает черной меткой п озицию для вводазнаменателя; • п ри вводе выраж ения в рабочем документе выделяется ограниченноеп рямоугольником п олеввода; • введенное выраж ение мож но изменить (отредактировать) и п олучить вычисленное значение нового выраж ения, щ елкнув мыш ью вневыделяю щ ей рамки; • мож но выделить иудалить лю бой фрагментрабочего документа. За да ни е2. В ычислить значениевыраж ения П орядок вып олнения действий Щ елкнитемыш ью п о свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры символы a =.

В ведитес клавиатуры символы 9.8 и щ елкните п о свободному месту вне п оля ввода. Щ елкните мыш ью п о свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры t : 5. Щ елкнитеп о свободному месту вне п оля ввода. Щ елкните мыш ью п о свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры а * t^2 <Space> / 2 <Space> <Space> =

at 2 п риt = 5, a = 9.8 . 2

И зображ ениенаэ кране

14 и щ елкните п о свободному месту вне п оля ввода.

Е сли п ри вводе выраж ения была доп ущ ена ош ибка, выделите неп равильный символ угловой рамкой, удалитевыделенный символ ивведитев п омеченной п озицииисп равление. MathCAD читает и вып олняет введенные выраж ения слеванап раво и сверху вниз, п оэ тому следите, чтобы выраж ение для вычисления расп олагалось п равее или ниж е оп ределенных для него значений п еременных. За да ни е 3. О п ределить функцию

f ( x) =

x +1 , вычислить ее значение x2 + 1

п ри x = 1.2 ип остроить таблицу значений функциидля x ∈ [0,10] с ш агом 1. П орядок вып олнения действий Щ елкните п о свободному месту в рабочем документе, введите с клавиатуры f ( х ) : х + 1 <Space> / х^2<Space> + 1 изатем щ елкнитеп о рабочему документу внеп оля ввода. Щ елкните п о свободному месту врабочем документеивведитес клавиатуры f(1.2) =. Сразу п осле ввода знака равенства немедленно выводится вычисленное значениефункции f(x) п рих = 1.2. О п ределите дискретные значения А ргумента x ∈ [0,10] с ш агом 1: щ елкнув п о свободному месту врабочем документе, введите с клавиатуры x : 0 , 1; 10 и щ елкнитевнеп оля ввода.

И зображ ениенаэ кране

15 Щ елкнув п о свободному месту в рабочем документе, введите с клавиатуры f(x)= В результате п од именем функции п оявится таблицазначений функции.

За да ни е4. П остроить график функции f (t ) = e−t . П орядок вып олнения действий И зображ ениенаэ кране 2

Щ елкните п о свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры f ( t ) : е х р ( -t^2 <Space> ) . Щ елкните мыш ью вне п оля ввода. Щ елкните п о свободному месту врабочем документе, затем - п о кноп ке в п анели математических инструментов и в открывш ейся п анелищ елкните п о кноп ке .

К урсор установлен вп омеченной п озиции возле оси абсцисс. В ведите с клавиатуры имя аргумента t, затем щ елкните п о п омеченной п озиции возле оси ординат, введите с клавиатуры f ( t ) и щ елкните внеп рямоугольной рамки.

16 График п олучился невыразительным. О п ределим п ромеж уток изменения аргумента равным [-2, 2]. Д ля э того щ елкните п о п олю графика, затем - п о числу, задаю щ ему наименьш еезначение аргумента(число влевом ниж нем углу ограниченного рамкой п оля графиков), наж мите на клавиш у и введите с клавиатуры -2. А налогично измените вторую границу - вместо числа в п равом ниж нем углу п оля графикавведите2. Щ елкнитемыш ью внеп оля графика.

Д ля сохранения рабочего документа в файле на диске необходимо щ елкнуть вменю п о п ункту File (Ф айл) ивсп устивш емся меню п о строке Save As (Сохранить как), затем выбрать п ап ку и ввести имя файла. Д ля создания нового рабочего документа исп ользуется кноп ка п анели инструментов, адля чтения рабочего документаиз файланадиске – кноп ка . 1.4

М е ню MathCAD

Больш инство вычислений в MathCAD мож но вып олнить тремя сп особами: 1) выбороп ерациивменю ; 2) с п омощ ью кноп очных п анелей инструментов; 3) обращ ением к соответствую щ им функциям. П очти все оп ерации, закреп ленные зап унктами меню , дублирую тся соответствую щ ими кноп ками п анелей инструментов. Д ля обращ ения к встроенной функциимож но вставить функцию врабочий документ, выбрав нуж ное имя из сп искафункций, мож но ввести имя функции с клавиатуры иливставить щ елчком п о кноп ке вп анелиинструментов. Т аким образом, во всех случаях исп ользуется один итотж еп орядок действий:

17 • выбор оп ерациип роизводится щ елчком мыш ип о п ункту меню или п о кноп ке в п анели инструментов, п осле чего, если нуж но, п ользователь п олучаетдоступ к доп олнительной п анели; • когда необходимая оп ерация выбрана, п ользователь вводит необходимую информацию в окне диалога или зап олняет п омеченныеп оля, которыеоткрываю тся врабочем документе. Т еп ерь кратко излож им содерж имое каж дого п унктастроки меню и оп иш ем п равила вып олнения наиболее часто исп ользуемых оп ераций. П олное оп исание меню мож но найтивруководстве п ользователя [1] иливо встроенном сп равочникеп о работес п акетом. М е ню File (Ф айл). Щ елчком п о File открывается меню оп ераций с файлами (рис. 7). П ункты New (Н овый)

, Open (О ткрыть)

, Close

(Закрыть), Save (Сохранить) , Save As (Сохранить как) п редназначены соответственно для вып олнения оп ераций открытия нового рабочего документа, чтения с дискасозданного ранее рабочего документа, закрытия текущ его рабочего документа, сохранения рабочего документавфайле на диске в текущ ей п ап ке или сохранения в файле, имя и п ап ка которого указываю тся п ри сохранении. В се э ти оп ерации вып олняю тся стандартным для Windows сп особом: указанием имен ип ап ок вокнах диалога. П ункты Page Setup (П араметры страницы), Print Preview содерж ат соответственно (П редварительный п росмотр), Print (П ечать) оп ерациип одготовки, п росмотраип ечатирабочих документовMathCAD. Следом всп ускаю щ емся меню File расп олож ен сп исок имен п оследних четырех документовMathCAD. Щ елчком п о строкес именем мож но вызвать наэ кран лю бой из э тих документов. И п оследний п ункт- Exit (В ыход), как и у всех Windows-п рилож ений, заверш аетсеанс работы с MathCAD. М е ню Edit (Р е дакти ровани е ). Э то меню (Рис. 7) содерж ит стандартные для Windows-п рилож ений оп ерации редактирования рабочего документа: Undo (О тменить п оследню ю оп ерацию ) п оследню ю оп ерацию Undo), Cut (В ырезать)

, Redo (О тменить

, Copy (К оп ировать)

,

Paste (В ставить) , Paste Special (Сп ециальная вставка), Delete (У далить), Select All (В ыделить все), Find (Н айти), Replace (Заменить), Go to Page (П ерейти к странице), Check Spelling (П роверка орфографии) (Связывание), Object (Д ля MathConnex иOLE).

, Links

18 М е ню View (П рос мотр). Э то меню настройкиокнаMathCAD.

(Рис. 8) содерж ит оп ерации

Рис. 8 М еню

п росмотра

Рис. 7 М еню редактирования Е слиоднаиз строк меню Toolbar (П анель инструментов), Status Bar (Строкасостояния) илиRuler (Л инейка) п омеченасимволом √, то наэ кране размещ ается соответствую щ ая п анель. П ункт меню Toolbar открывает доступ к п анелям инструментов: Standard (Стандартная), Formatting (Ф орматирование), Math (М атематическая), а такж е доступ к сп ециализированным п анелям математических инструментов: Calculator (К алькулятор), Graph (Графики), Matrix (М атрицы), Evaluation (В ычисления), Calculus (М атематический анализ), Boolean (Л огические функции), Programming (П рограммирование), Greek (Греческие буквы), Symbolic (Символьные вычисления), Modifier (П реобразование тип а). П ункты Regions (О бласти), Zoom (М икроскоп ), Refresh (П ерерисовывание) содерж ат оп ерации п реобразования изображ ения в рабочем документе. Animate (А нимация) иPlayback (В осп роизвести) — оп ерациип остроения и зап уска анимаций. П ункт Preferences (Н астройки) открывает доступ к п анелям настройкиреж имазап ускаMathCAD, клавиатуры исвязис Internet.

19 М е ню Insert (В с тави ть). В э том меню (Рис. 9а) п унктGraph (График) открывает доступ к восьми оп ерациям п остроения различных тип ов графиков, которыесобраны вдоп олнительноеменю графиков(Рис. 9б).

Рис. 9 М еню вставкиа); меню графиковб) П ослещ елчкап о строкедоп олнительного меню (см. Рис. 9б) врабочем документеоткрывается п олеп остроения: • X-Y Plot — графикафункцииодной п еременной вдекартовых координатах; • Polar Plot — графикафункцииодной п еременной вп олярных координатах; • 3D Plot Wizard (М астер трехмерной графики) — открывает диалог настройкип араметровтрехмерных изображ ений; • Surface Plot — графикафункциидвух п еременных вдекартовых координатах — п оверхности; • Contour Plot — контурных линий (линий уровня функциидвух п еременных) вдекартовых координатах; • 3D Scatter Plot — изображ ения точек втрехмерном п ространстве, заданных декартовымикоординатами;

20 • 3D Bar Plot

— трехмерной гистограммы;

— векторного п оля. • Vector Field Plot П орядок действий п ри п остроении всех графиков одинаков. П осле щ елчка мыш ью п о строке меню в рабочем документе открывается п оле п остроения графикас п омеченными для вводап озициями, которые нуж но зап олнить для оп ределения графика. К огдаграфик оп ределен (зап олнены все п омеченныеп озиции), то для п остроения графикануж но щ елкнуть п о строке Calculate (В ычислить) вменю Math, наж ать наклавиатуре клавиш у илищ елкнуть вп анелиToolbar п о кноп ке . П риавтоматическом реж име вычислений график будетп остроен п ослещ елчкамыш ью внеп оля графика. MathCAD п редоставляет п ользователю разнообразные средства форматирования графика– изменение толщ ины и цветалинии, видаосей координат, координатные сетки, текстовые комментарии и т.д. Д ля того чтобы изменить вид изображ ения, нуж но дваж ды щ елкнуть п о п олю графика и установить требуемые п араметры в окнах настройки. Н аучиться форматировать графики лучш е всего э ксп ериментально: п остройте график, затем дваж ды щ елкните п о п олю графика, оп ределите п араметр в окне настройки, щ елкнитеп о кноп кеП ри ме ни тьип роанализируйтеизменения на графике. И сп ользуйте кноп ку контекстной п одсказки С правка в окне настройкип араметров. П равилавводаиформатирования графиковп одробно оп исаны в соответствую щ их разделах руководства п ользователя [1] и во встроенном сп равочнике. открываетврабочем документеокно Щ елчок п о Matrix (М атрица) оп ределения размерностиматрицы (число строк, число столбцов). П ослетого как размерность матрицы оп ределена, врабочем документеоткрывается п оле вводаматрицы с п омеченнымип озициямидля вводаэ лементов. открывает окно диалогасп иска Щ елчок п о Function (Ф ункция) встроенных функций MathCAD. Д ля того чтобы вставить функцию врабочий документ, нуж но выбрать в окне нуж ную функцию из сп иска функций, щ елкнуть п о кноп ке Insert и ввести в п омеченных п озициях аргументы (аргумент) функции. Щ елчок п о Unit (Е диница) открываетокно сп искаоп ределенных в MathCAD единиц измерения (Рис. 10). В окне System (Система) следует ввести исп ользуемую систему единиц (SI, CGS, US или MKS), в окне Dimension (Размерность) – выбрать стрелкамип рокруткисоответствую щ ую

21 размерность, авокне Unit – нуж ную единицу измерения. П осле щ елчкап о кноп ке Insert соответствую щ ее наименование будет вставлено в рабочий документ, аокно выбораединицы останется открытым; п осле щ елчкап о кноп ке OK будет вставлено наименование единицы измерения и окно закроется.

Рис. 10 О кно выбораединиц измерения П ункт Picture (Рисунок) задает оп ерацию вставки рисунка. Щ елчком п о п ункту Area (О бласть) в рабочий документ мож но вставить «закрываю щ ую ся» область. В рабочем документеп оявится изображ ениедвух разделительных линий со стрелками. М еж ду разделительными линиями мож но зап исать несколько оп ераторов, а затем «закрыть» э ту область двойным щ елчком п о стрелке – введенные оп ераторы исчезаю т, врабочем документе отображ ается только разделительная черта с изображ ением стрелки. Щ елчок п о стрелке «открывает» область. П ункт Text Region (О бласть текста) исп ользуется для оп ределения п оля текстовых комментариев; щ елчком п о строке Math Region (М атематическая область) в текстовый комментарий вставляется п оле вводаматематических символов; щ елчком п о строке Page Break (Разрыв страницы) в рабочий документ вставляется п ризнак концастраницы. О п ерации Hyperlink, Reference, Component и Object п редназначены содерж ит для создания достаточно слож ных конструкций: Hyperlink набор оп ераций для создания гип ертекстовых ссылок; Reference – оп ерация создания п ерекрестных ссылок для документовMathCAD,

Component и

22 Object – оп ерации внедрения комп онентов и объектов из других п рилож ений. М е ню Format (Ф ормат). В се оп ерации э того меню (Рис. 11) п редназначены для оп ределения стиля и формы отображ ения в рабочем документе выраж ений, данных, результатов вычислений и графиков – оп ределениецветовфонаинадп исей, размераитип аш рифта, выравнивания текстов, разделения рабочего документа на области и др. П ри установке MathCAD п о умолчанию выбран некоторый нейтральный стиль оформления. Е слип ользователь хочетразнообразить оформление, он мож етознакомиться с возмож ностямименю Format всп равочнике, руководствеп ользователя или «э ксп ериментально». Н иж е рассматриваю тся только п ункты Result (Результат) и Graph (График), которые часто исп ользую тся п ри реш ении математических задач. П ункт Result (Результат) содерж ит оп ерации оп ределения форматов отображ ения результатов вычислений. Щ елчок п о Result О ткрывает диалоговоеокно вводап араметров(Рис. 12).

Рис. 11 М еню форматирования

Рис. 12 О кно настройки отображ ения результатов

Щ елчком п о закладкеNumber Format (Ч исловой формат) открывается окно оп ределения формата п редставления числовых результатов. Здесь мож но выбрать: General (сп особ отображ ения меняется взависимости от величины результата), Decimal (число с десятичной точкой), Scientific (число с п орядком и знаком вцелой части) и Engineering (число с п орядком и

23 указанным количеством знаковвцелой части). В э том ж еокнеоп ределяется количество знаковдробной частиичисло п озиций для отображ ения п орядка. ЗакладкаDisplay Options (П араметры отображ ения) п озволяетвыбрать стиль отображ ения матриц (Matrix display style), обозначениедля мнимой единицы (Imaginary value) и систему счисления (Radix). Закладка Unit Display (О тображ ение единиц измерения) п озволяет настроить реж им отображ ения единиц измерения у п еременных с размерностью . В окне, связанном с Tolerance (Т очность), мож но оп ределить границу для отображ ения нуля (действительного имнимого) – числа, п орядок которого меньш е указанного, отображ ается ввиденуля. П ункт Graph (График) содерж ит оп ерацииформатирования графиков. Здесь открывается доп олнительное меню , п ричем возмож ность исп ользования его п унктовзависитотп озициикурсораврабочем документе иотоп ределений, введенных врабочий документ(Рис. 13).

Рис.

14

М еню

математики

Рис. 13 Д оп олнительноеменю настройки К огда курсор установлен вне п оля двумерного декартова графика, открывается меню оп ределения п араметровграфиковX-Y Plot, Polar Plot, 3D Plot - п лоского декартова, п олярного или трехмерного соответственно. Щ елчок п о соответствую щ ей строке открывает окно настройки п араметров изображ ения (см. оп исание Graph в меню Insert). Е сли ж е курсор установлен воткрытом для вводап оле двумерного декартоваграфика, то доп олнительноеменю содерж итстрокиX-Y Plot – форматированиеграфика, Trace (Т рассировка) – оп ределение координатточкинап омеченной линиии

24 Zoom (М икроскоп ) – увеличениемасш табаизображ ения п омеченной области графика. М е ню Math (М ате мати ка). Э то меню (см. Рис. 14) содерж итоп ерации уп равления вычислениями. П осле щ елчкап о Calculate (В ычислить) вычисляю тся выраж ения, расп олож енныевыш еилевеекурсора. П ослещ елчкап о Calculate Worksheet (П ересчитать рабочий документ) вып олняю тся все вычисления и п ерерисовываю тся все графики, оп ределенные врабочем документе. Е сли строка Automatic Calculation (В ычислять автоматически) п омечена символом √, то лю бое выраж ение вычисляется немедленно п осле окончания ввода, аграфик строится п осле щ елчкавне п оля графиков. Е слиж е п ометка отсутствует, то вычисления и п остроения п роизводятся только п осле соответствую щ ей команды (щ елчок п о Calculate, нап ример). Е сли строка Optimization (О п тимизация) п омечена символом √, то вклю чен реж им оп тимизации вычислений. Реж им оп тимизации – э то реж им вычислений с вклю ченным символьным п роцессором. В э том реж имесначалауп рощ аю тся все выраж ения, п омещ енные сп раваот знакап рисвоения :=, итолько затем выраж ение обрабатывается числовым п роцессором. В п ротивном случае числовой п роцессор обрабатываетвыраж ениевисходном виде. Щ елчком п о п ункту Options (Н астройки) открывается временное окно настройки п араметров реж има вычислений с п ятью закладками: Built-in Variables (встроенные п еременные), Calculation (В ычисления), Display (О тображ ение), Unit System (Системаединиц), Dimensions (Размерности). Здесь мож но установить номер п ервого э лемента массива (Array Origin), п огреш ность п ри вычислениях п ределов, в том числе и в итерационных п оследовательностях (Convergence Tolerance), п огреш ность вп риближ енных вычислениях (Constraint Tolerance), число, инициализирую щ ее датчик случайных чисел, количество значащ их цифр п ри зап иси данных вASCII (Precision), ш ирину столбцап ри зап иси данных вASCII (Column Width), автоматический реж им вычислений (Recalculate Automatically), реж им уп рощ ения выраж ений п еред началом вычислений (Optimize expressions before calculating), выбрать символы для отображ ения умнож ения (Multiplication), п роизводной (Derivative), ниж них индексов (Literal Subscript), п рисваивания (Definition), глобального илокального оп ределения п еременных (Global Definition, Local Definition), знакаравенства(Equality), выбрать систему единиц физических величин (SI, MKS, CGS и др.) и имя меры п еременной (масса, длина, время ит.д.).

25 М е ню Symbolics (С и мвольны е вы чи с ле ни я). Э то меню (Рис. 15) содерж ит оп ерации символьной математики. П ункт Evaluate (В ычислить) содерж ит триоп ерации(Рис. 16): Symbolically (Символьно), Floating Point (С п лаваю щ ей зап ятой), Complex (К омп лексное).

Рис. 15 М еню символьных оп ераций

Рис. 16 М еню реж имоввычислений

П осле щ елчка п о одной из э тих трех строк вычисляется значение выделенного в рабочем документе выраж ения, п ричем вычисления п роизводятся соответственно символьно, численно с п лаваю щ ей зап ятой или с исп ользованием арифметики комп лексных чисел. Щ елчком п о строке Simplify (У п ростить) символьному п роцессору п ередается выраж ение, выделенное в рабочем документе, а п реобразованное выраж ение отображ ается врабочем документениж еилисп раваотисходного выраж ения (см. оп исании оп ции Evaluation Style). Соверш енно аналогично п осле щ елчка п о Expand (Развернуть) в выделенном выраж ении раскрываю тся скобки, ап осле щ елчкап о Factor (Разлож ить намнож ители) выделенное выраж ение раскладывается намнож ители. В результате щ елчкап о Collect (Собрать) ввыделенном выраж ениип риводятся п одобные. Е сли выраж ение является многочленом относительно выделенного фрагмента, то п осле щ елчка п о строке Polynomial Coefficients (К оэ ффициенты п олинома) врабочий документ выводится вектор-столбец коэ ффициентов многочлена, зап исанных в п орядке возрастания степ еней выделенного выраж ения. К аж дая из следую щ их трех строк (Рис. 15) – Variable (П еременная), Matrix (М атрица), Transform (П реобразование) – объединяет груп п у символьных оп ераций: символьные вычисления относительно выделенной

26 п еременной, символьные вычисления с выделенной матрицей и интегральныеп реобразования соответственно. В п ункте Variable объединены оп ерации математического анализа (Рис. 17): • реш ениеуравнений (Solve); • заменап еременной; • п одстановка(Substitute); • дифференцирование(Differentiate);

Рис. 17 М еню оп ераций математического анализа • интегрирование(Integrate); • разлож ениеп о формулеТ ейлора(Expand to Series); • разлож ениенап ростейш иедроби(Convert to Partial Fraction). Е сли в рабочем документе в некотором выраж ении выделена п еременная, то п осле щ елчкап о соответствую щ ей строке меню врабочем документе отображ ается результат вып олнения оп ерации относительно выделенной п еременной. В п ункте Matrix (Рис. 18) объединены символьные вычисления с матрицами: • Transpose (Т рансп онирование); • Invert (О бращ ение) – вычислениеобратной матрицы; • Determinant (О п ределитель) квадратной матрицы.

–

вычисление

оп ределителя

27

Рис. 18 М еню символьных оп ераций с матрицами

Рис. 19 М еню интегральных п реобразований

О п ерацииэ той груп п ы вып олняю тся, только есливрабочем документе выделенаматрица. Т огдап ослещ елчкап о строкеменю врабочем документе отображ ается результатвып олнения соответствую щ ей оп ерации. В п ункте Transform объединены символьные вычисления п рямых и обратных интегральных п реобразований (Рис. 19) – Fourier иInverse Fourier (п реобразование Ф урье), Laplace и Inverse Laplace (п реобразование Л ап ласа), Z и Inverse Z (Z-п реобразование) – вычисление п роизводящ ей функции. Щ елчком п о строке меню Evaluation Style (Стиль выраж ения) открывается окно, в котором оп ределяется формат вывода результатов символьных вычислений (Рис. 20).

Рис. 20 П араметры форматасимвольных результатов

28 В п оле Show evaluation steps (П оказать результаты вычислений) мож но установить реж им отображ ения результатовсимвольных вычислений в строке, расп олож енной неп осредственно п од исходным выраж ением (Vertically, inserting lines), п рямо п од исходным выраж ением (Vertically, without inserting lines) илисп раваотисходного выраж ения (Horizontally). М е ню Window (О кно). Э то меню содерж итстандартныедля Windowsп рилож ений оп ерации. В частности, оно п озволяет устанавливать стиль расп олож ения окон, содерж ащ их различные рабочие документы MathCAD. О кна мож но расп олож ить «каскадом», чтобы они п ерекрывались, но п ри э том быливидны заголовкиокон (Cascade), без п ерекрытия п о горизонтали (Tile Horizontal) или п о вертикали (Tile Vertical). В ниж ней части меню расп олож ен сп исок всех окон, открытых втекущ ий момент. 1.5

П ане ли и нс труме нтов MathCAD

В окне MathCAD обычно размещ аю т три кноп очные п анели инструментов(см. Рис. 1). В ерхняя Toolbar (П анель инструментов) и средняя Format Bar (П анель форматирования) п анели, восновном, содерж ит страндартные для Windows-п рилож ений кноп ки. Больш инство э тих кноп ок дублирую т меню File иEdit. Более п одробно остановимся на ниж ней п анели Math (М атематическая), каж дая кноп ка которой открывает доп олнительную п анель, содерж ащ ую кноп ки оп ераций с математическими объектами оп ределенного класса. П еречислим кноп кип анелиматематических оп ераций ип риведем вид каж дой доп олнительной п анели. - Calculator Toolbar (К алькулятор) открывает п анель К ноп ка п ростейш их вычислений (Рис. 21). Щ елчком п о кноп ке э той п анели в рабочий документвставляем имя функции, символ, цифру илизнак оп ерации с п омеченнымидля вводап озициями. К ноп ка - Graph Toolbar (П анель графиков) открывает п анель, изображ енную на Рис. 22. Щ елчком п о кноп ке э той п анели в рабочий документвставляем п олеграфикасоответствую щ его тип а.

29

Рис. 21 П анель калькулятора

Рис. 22 П анель графиков

Рис. 23 П анель матричных оп ераций

- Vector and Matrix Toolbar (П анель векторных и К ноп ка матричных оп ераций) открывает п анель, изображ енную наРис. 23. К ноп ки э той п анелиип равилавып олнения соответствую щ их оп ераций с матрицами ивекторамип одробно будутоп исаны выш е. - Evaluation Toolbar (П анель вычислений) открывает К ноп ка п анель, п редставленную на Рис. 24. Щ елчком п о кноп ке э той п анели вставляем врабочий документсоответствую щ ий знак. К ноп ка - Calculus Toolbar (П анель оп ераций математического анализа) открываетп анель, изображ енную наРис. 25. К ноп ка - Boolean Toolbar (П анель равенств и отнош ений) открываетп анель, изображ енную наРис. 26. Щ елчком п о кноп кеэ той п анели врабочий документвставляю тся соответствую щ иезнакиотнош ений.

Рис. 24 П анель вычислений

Рис. 25 П анель оп ераций математического анализа

Рис. 26 П анель отнош ений

30 К ноп ка – Programming Palette (П анель п рограммирования) открывает п анель, п редставленную наРис. 27. Щ елчком п о кноп кам э той п анели вставляем в рабочий документ соответствую щ ую п рограммную конструкцию . – Greek Symbol Palette (П анель греческих букв) К ноп ка открывает п анель, изображ енную на Рис. 28. Щ елчком п о кноп ке с соответствую щ им символом вставляем его в нуж ное место рабочего документа.

Рис. 27 П анель п рограммирования

Рис. 28 П анель греческих букв

Рис. 29 П анель клю чевых слов

– Symbolic Keyword Palette (клю чевыесловасимвольных К ноп ка вычислений) открываетп анель, изображ енную наРис. 29. В идно, что кноп ки п анели дублирую т соответствую щ ие п ункты меню символьных оп ераций. Щ елчком п о кноп ке вставляем в рабочий документ клю чевое слово с п омеченнымип озициямидля вводаданных. 1.6

Р е ж и м с правки

О дно из удобств MathCAD – э то быстрое и легкодоступ ное исп ользованиесп равки. Щ елчком п о п ункту Help (П омощ ь) в меню окна MathCAD открывается меню сп равочного реж има(Рис. 30).

31

Рис. 30 М еню сп равочного реж има Щ елчок п о п ервой строке – MathCAD Help (Сп равка MathCAD) открывает окно диалогасп равочного реж имасо стандартными закладками С оде рж ани е , П ре дме тны й указате ль, П ои с к и кноп ками уп равления. О ткрыть окно сп равки мож но такж е щ елчком п о кноп ке вп анели Toolbar илиисп ользуя клавиш у . В сп равочном реж име мож но п олучить п одробное оп исание всех п равил и п риемовработы вMathCAD. В реж име п оискамож но п олучить сп равку п о введенному клю чевому слову. Щ елчок п о строкеResource Center (Ц ентр ресурсов) открывает окно содерж ания, давая доступ к следую щ им разделам: Overview and Tutorials (О бзор и учебники), Quicksheets and Reference Tables (Ш п аргалкиисп равочные таблицы), Extending MathCAD (Расш ирение MathCAD), атакж е доступ вInternet к Collaboratory (Ф орум п ользователей MathCAD), Web Library (БиблиотекаMathCAD вInternet), Mathsoft.com (Сервер Mathsoft), Training/Support (Соп ровож дение и п оддерж каMathCAD), Web Store (П родаж ивInternet). Раздел Overview and Tutorials п редставляет собой интерактивный сп равочник, оп исываю щ ий основные возмож ности MathCAD. Л ю бой фрагмент мож но скоп ировать в рабочий документ и исп ользовать в дальнейш их вычислениях. Quicksheets and Reference Tables – э то сп равочник, содерж ащ ий сборник п римеров реш ения задач из самых разнообразных п рилож ений. К аж дый раздел содерж ит разобранный п ример реш ения тип ичной задачи с необходимымитеоретическимиитехническимиуказаниями. П омимо оп исанных в меню возмож ностей сп равочного реж има, в MathCAD мож но восп ользоваться контекстно-зависимой сп равкой: наж ав<Shift>+ вмомент, когдакурсор установлен врабочем документе на оп ераторе (функции, выраж ении), п ользователь п олучает сп равку из соответствую щ его раздела.

32 Е слиуказатель мыш иразмещ ается накноп ке илинадругом э лементе уп равления окна, то через некоторое время на э кране в сп ециальном временном окош ке п оявляется название э того э лемента уп равления. В ниж ней, информационной строке окна MathCAD всегда размещ ена информация о текущ ей оп ерацииилип риглаш ениек следую щ ей оп ерации. Заверш ая краткое оп исание сп равочного реж имап акета, отметим, что п ользователь, не имею щ ий навыковработы всреде MathCAD, у которого возникла п отребность вып олнить технический расчет, п олучит все необходимыеинструкции, обративш ись зап омощ ью к сп равочнику. 1.7

Р е ш е ни е задач эле ме нтарной мате мати ки

Д ля окончательного знакомства с MathCAD реш им в среде п акета несколько расп ространенных п ростейш их задач э лементарной математики: п реобразуем алгебраическое выраж ение, вычислим значение функции, п остроим график функциииреш им уравнение. В MathCAD мож но вып олнить следую щ иесимвольныеп реобразования алгебраических выраж ений: simplify (уп ростить) – вып олнить арифметические оп ерации, п ривести п одобные, сократить дроби, исп ользовать для уп рощ ения основные тож дества (формулы сокращ енного умнож ения, тригонометрические тож дестваит.п .); expand (развернуть) – раскрыть скобки, п еремнож ить и п ривести п одобные; factor (разлож ить на множ ители) – п редставить, если возмож но, выраж ениеввидеп роизведения п ростых сомнож ителей; substitute (п одставить) – заменить валгебраическом выраж ениибукву иливыраж ениедругим выраж ением; convert to partial fraction – разлож ить рациональную дробь на п ростейш иедроби. Е сли MathCAD не мож ет вып олнить требуем ую оп ерацию , то он выводит в качестве результата вычислений исходное выраж ение. П риведенные вычисления вып олнены вп редп олож ении, что вменю Math установлен автоматический реж им вычислений и отклю чен реж им оп тимизации. О днако заметим, что MathCAD п реобразует далеко не всегда выраж ениек самому п ростейш ему.

33 П ри ме р 1. У п роститевыраж ение 2  9 x − 9 x 2  + 1   1− 3x + 1  3 x − 1 

  + 1.  

В ып олнение. У становим реж им отображ ения результатов вычислений п о горизонтали. В меню Symbolics строкаEvaluation Style п ункт Horizontally. Д ля того чтобы ввести выраж ение всвободном месте рабочего документа введем выраж ениес клавиатуры. Сначалавведем п ервый сомнож итель: <1><+><2><3><*><x><-><1>. Затем наж мите несколько раз клавиш у <Space> до тех п ор, п окавесь п ервый сомнож итель не будет выделен врамку. Т еп ерь введите следую щ ую п оследовательность: <*><(><1><-><9><*><x><-><9><*><x><^><2> <Space>… <Space> (для выделения 9 x − 9 x 2 ) <3><*><x><+><1> <Space>… <Space> (для выделения второго сомнож ителя) <+><1>. Д ля того чтобы уп ростить введенное выраж ение, щ елкните сп рава внизу у п оследнего символавыраж ения и выделите его, наж имая <Space>. Затем щ елкните в меню Symbolics п о строке Simplify. Результат будет отображ ен врабочем документесп раваотисходного выраж ения. П риведем фрагмент рабочего документа MathCAD с соответствую щ имивычислениями.

П ри ме р 2. Раскройте скобки и п риведите п одобные в выраж ении x( z + 1) 2 − 2 z ( x + z ) . В ып олнение. Сначала установим реж им отображ ения результатов вычислений п о горизонтали, как и в п редыдущ ем п римере (в меню Symbolics строка Evaluation Style п ункт Horizontally). Д алее введите выраж ение для п реобразования в свободном месте рабочего документа с клавиатуры,

34 выделите его и щ елкните вменю Symbolics п о строке Expand. Результат отображ ается врабочем документесп раваотисходного выраж ения. П ри ме р 3. Разлож итенамнож ителивыраж ение a 2 b + ab 2 + 2abc + b 2 c + a 2 c + ac 2 + bc 2 . В ып олнение. В ведите выраж ение для п реобразования, выделите его ищ елкните п о строке Factor в меню Symbolics. Результат отображ ается в рабочем документе сп рава от исходного выраж ения. П ри вводе выраж ения не забывайте вводить знак умнож ения (<*>), ап осле вводап оказателя степ ени (<^>) наж имать клавиш у <Space>.

П ри ме р 4. Разлож итенап ростейш иедробирациональную дробь x 2 − 3x + 7 . ( x − 1) 2 ( x 2 + x + 1) В ып олнение. В ведите оп исанным выш е сп особом выраж ение для п реобразований, выделитеп еременную x ищ елкнитеп о строке Convert to Partial Fraction в п унктеVariable меню Symbolics.

35 П ри ме р 5. П остройте таблицу значений функции f ( x ) = x sin

[

]

x на

отрезке 0,4π 2 . В ып олнение.

О п ределитефункцию

f ( x ) = x sin

x . Д ля э того введитес клавиатуры

имя функции и имя аргумента, заклю ченное в круглые скобки, знак п рисваивания (наж мите клавиш и <Shift>+<:>) и введите выраж ение для функции. Ч тобы ввести знак квадратного корня, щ елкните в п анели калькуляторап о кноп ке . П одкоренное выраж ение введите вп озиции, указанныеметкой. Знак абсолю тной величины вводитеаналогично, щ елчком . п о кноп ке О п ределите диап азон изменения индекса i узловсетки xi наданном отрезке. Д ля э того введитес клавиатуры (<Shift>+<:>)<0><;><20>. О п ределите узлы сетки x i = i

4π 2 . Д ля э того введите с клавиатуры: 20

<x><[><Space>(<Shift>+<:>)<*><4> (выберите из п анели символ π )<^><2><Space>… <Space><20>. О п ределите матрицу-столбец F для хранения таблицы значений функции в узлах сетки: <[><Space>(<Shift>+<:>)<(><x><[><Space><)>. Ч тобы вывести таблицу значения функции на э кран, введите с клавиатуры: <=>. В рабочем документе п оявится таблица значений функции. Щ елкнитеп о п олю таблицы – врабочем документеоткроется окно для п росмотравсей таблицы со стрелкамип рокрутки.

36 П ри ме р 6. П остройтеграфик функции f ( x ) = x sin В ып олнение. О п ределите функцию

x .

f (x) , как вп редыдущ ем п римере, щ елкните п о

свободному месту врабочем документеп равееиниж еоп ределения функции f (x) , затем щ елкнитеп о кноп кедекартоваграфика

вп анелиграфикови

введите вп озиции, указанной меткой возле осиабсцисс, имя аргументаx, а возлеосиординатимя функции- f (x) . График будетп остроен п ослещ елчка п о рабочему документу вне п оля графиков. П араметры изображ ения мож но изменить, щ елкнувдваж ды п о п олю графиковиоп ределивп араметры (вид отображ ения осей, толщ ину ицветлинии, надп ись награфике).

П ри ме р

7.

Реш ите

графически

уравнение

f ( x) = 0 ,

где

f ( x) = x 3 + 3 x 2 − 2 . В ып олнение. О п ределите функцию

f (x) и п остройте ее график, действуя, как в

п редыдущ ем п римере. Д ля того, чтобы найти корни уравнения – абсциссы точек п ересечения графикафункциис осью y = 0 , щ елкнитеп о строкеTrace в п ункте Graph меню Format. Затем щ елкните п о п олю графиков и установите (стрелкамиилимыш ью ) точку двух п ерекрещ иваю щ ихся линий (маркер) в точке п ересечения графика функции с осью абсцисс. В окне

37 диалогаотображ аю тся координаты маркера: значение координаты x вокне – есть искомоеп риближ енноезначениекорня.

П ри ме р 8. Реш ите уравнение 3 ( x − 2) 2 − 3 ( x − 3) 2 = 0 . В ып олнение. Щ елкнитеп о кноп кереш ения уравнений

вп анелисимвольных

вычислений . В ведите вп омеченной п озициислеваотклю чевого слова solve выраж ение для левой части уравнения, а в п озиции сп рава – имя п еременной, относительно которой нуж но реш ить уравнение, ищ елкните п о свободному месту в рабочем документе. Результат – значение корня уравнения – будетотображ ен врабочем документесп раваотстрелки.

П ри ме р 9. Реш итесистему уравнений  x( z + 1) 2 − 2 z ( x + z ) = 0,  2 2 (1 + x ) 4 y − 2 − 2 x = 0,  y − 2 ( z − 2) + z = 0. 

38 В ып олнение. В ведите с клавиатуры клю чевое слово Given, затем п равее и ниж е клю чевого слова – левую часть п ервого уравнения системы, далее – символьный знак равенства(+<=>) ип равую часть уравнения (нуль). А налогично введите остальные два уравнения системы. П равее и ниж е п оследнего уравнения системы введите имя функции Find, п еречислите в скобках именап еременных, значения которых нуж но вычислить, выделите Find (x,y,z), щ елкните п о кноп ке в п анели . В ычисленное реш ение системы будет отображ ено п осле щ елчка на свободном месте рабочего документасп раваот стрелки – ввиде матрицы, каж дый столбец которой содерж ит одно из реш ений системы. Т аким образом, имеем два реш ения: x = 0, y = 2, z = 0 и x = 1, y = 3, z = 1 .

2

Р е ш е ни е задач ли не йной алге б ры

В задачах линейной алгебры очень часто возникает необходимость работы с матрицами. П редварительно матрицу необходимо оп ределить. Д ля э того введите с клавиатуры имя матрицы и знак п рисваивания, затем щ елкните в п анели математических инструментов п о кноп ке , открываю щ ей п анель оп ераций с матрицами и векторами. В ней откройте окно диалогакноп кой и оп ределите число строк (Rows) и столбцов (Columns). В п оявивш емся п оле ввода матрицы, зап олняем п омеченные

39 п озициинуж нымиэ лементами. П еремещ ение п о п озициям осущ ествляется с п омощ ью табуляции. Больш инство вычислений с матрицами мож но вып олнять тремя сп особами – с п омощ ью п анелей инструментов, выбором оп ерациивменю илиобращ ением к соответствую щ ей функции. В MathCAD вп анели математических инструментовдля вып олнения оп ераций с матрицамиивекторамизакреп лены следую щ иефункции: - оп ределениеразмеровматрицы; - ввод ниж него индекса; - вычислениеобратной матрицы; - вычисление оп ределителя матрицы: длины вектора x ,

x

2

A = det A ; вычисление

n

= ∑ x i2 ; i =1

- п оэ лементные оп ерации с матрицами: если A = {a ij }, B = {bij }, то AB = {aij bij } ; - оп ределениестолбцаматрицы: М

< j>

- j -й столбец матрицы;

- трансп онированиематрицы: M = {mij }, M T = {m ji } ; n

- вычислениескалярного п роизведения векторов: xy = ∑ xi y i ; i =1

- вычисление векторного п роизведения a × b = (a 2 b3 − a 3 b2 , a 3 b1 − a1b3 , a1b2 − a 2 b1 ) ;

двух векторов:

n

- вычислениесуммы комп онентвектора: ∑ υ = ∑ xi ; i =1

- оп ределениедиап азонаизменения п еременной; - визуализация цифровой информации, сохраненной вматрице.

40 Д ля того чтобы вып олнить какую -либо оп ерацию , нуж но выделить матрицу и щ елкнуть в п анели на кноп ке оп ерации (мож но щ елкнуть на нуж ную оп ерацию , азатем п росто ввести имя п еременной, с которой мы хотим работать; п еременныедолж ны быть заранееоп исаны). Ф ункции, п редназначенные для реш ения задач линейной алгебры в MathCAD мож но разделить натригруп п ы: 1) функцииоп ределения матриц иоп ерациис блоками матриц; 2) функциивычисления различных числовых характеристик матриц; 3) функции, реализую щ ие численные алгоритмы реш ения задач линейной алгебры. О п иш ем наиболеечасто исп ользуемыефункции: 1 груп п а. • matrix(m,n,f) - создает и зап олняет матрицу размерности ( m × n) , э лемент которой, расп олож енный вi-й строке, j-м столбце, равен значению f (i, j ) функции f ( x, y ) . П ри ме р. Задаем функцию f :

ивводим матрицу A:

У казание: для того, чтобы п олучить матрицу, вводим имя матрицы и, как обычно, знак равенства. • diag(v) - создает диагональную матрицу, э лементы главной диагоналикоторой хранятся ввекторе v .

41 П ри ме р.

• identity(n) – создаетединичную матрицу п орядкаn. П ри ме р.

• submatrix(A,ir,jr,ic,jc) – формирует матрицу, которая является блоком матрицы А, расп олож енным встроках с ir п о jr ивстолбцах с iс п о jс (ir ≤ jr, iс ≤ jc ). П ри ме р. П олучениеп одматрицы G из матрицы F:

• augment(А, В ) – формирует матрицу, вп ервых столбцах которой содерж ится матрицаА, авп оследних – матрицаВ (матрицы А иВ долж ны иметь одинаковоечисло строк).

42 П ри ме р.

• stack(А, В ) – формирует матрицу, в п ервых строках которой содерж ится матрицаА, авп оследних – матрицаВ (матрицы А иВ долж ны иметь одинаковоечисло столбцов). П ри ме р.

2 груп п а. • last(v) – вычислениеномерап оследней комп оненты вектораv . П ри ме р.

У казание: Т ак как нет оп ератораORIGIN, то нумерация комп онент вектора начинается с нуля, и в наш ем п римере номер п оследней комп оненты вектораравен 3.

43 • length(v) – вычислениеколичествакомп онентвектораv . П ри ме р.

• rows(А) – вычислениечисластрок вматрицеА. П ри ме р.

• cols(А) – вычислениечисластолбцоввматрицеА. П ри ме р. Д ля п редыдущ его п римера:

• mах(А) – вычислениенаибольш его э лементавматрицеА. П ри ме р. Д ля п редыдущ его п римера:

• min(А) – вычислениенаименьш его э лементавматрицеА. П ри ме р. Д ля п редыдущ его п римера:

• tr(А) – вычисление следа квадратной матрицы А (след матрицы равен суммееедиагональных э лементов). П ри ме р. Д ля п редыдущ его п римера:

44 • rank(А) – вычислениерангаматрицы А. П ри ме р. Д ля п редыдущ его п римера:

• norm1(А), norm2(А), norme(А), normi(А) – вычисление различных норм квадратной матрицы А. Сущ ествует много сп особов введения нормы вектора. В MathCAD чащ е всего исп ользую тся следую щ ие три нормы для вектора x = ( x1 , x 2 , K , x n ) : n

n

i =1

i =1

|| x ||1 = ∑ | x i |; || x ||2 = ∑| xi |2 ; || x || i = max | xi | . i

В неш не столь различные, э ти нормы э квивалентны: когданекоторая п оследовательность векторовп о одной из э тих норм стремится к нулю , то онастремится к нулю ип о другой норме. Н ап омним, что если для векторов x = ( x1 , x 2 , K , x n ) введена норма || x || , то согласованной с ней нормой матриц называю твеличину || Ax || . x≠ 0 || x ||

|| A ||= sup

Т аким образом, вслучае нормы || x ||1 , согласованная нормаматрицы n

равна || A ||1 = max ∑ | aij | , в случае нормы || x || i , согласованная норма j

i =1

n

матрицы равна|| A || i = max ∑ | a ij | , авслучае нормы || x || 2 , точная формула i

j =1

имеет вид || A || 2 = λ max ( AAT ) , где λ max ( AA T ) - максимальное собственное значение матрицы AAT . О днако вычисление нормы || A || 2 оказывается трудоемкой задачей. Н о п оскольку сп раведливо неравенство || A || 2 ≤|| A || e , n

n

где норма|| A || e = ∑ ∑ | a ij | 2 вычисляется п росто, воценках вместо || A || 2 i =1 j =1

мож но исп ользовать || A || e . Н орму || A || e называю т е вклидо во й но рм о й м ат рицы. П римеры п одсчетанорм удобнеерассматривать нап рактике.

45 3 груп п а. • eigenvals(А) - вычисление собственных значений квадратной матрицы А ; • eigenvecs(А) - вычисление собственных векторов квадратной матрицы А (значением функции является матрица, столбцы которой есть собственные векторы матрицы А , п ричем п орядок следования векторов отвечает п орядку следования собственных значений, вычисленных функцией eigenvals(А )); • eigenvec(А,L) - вычисление собственного вектора матрицы А , отвечаю щ его собственному значению L; П ри ме р.

• lsolve(A,b) - реш ение системы линейных алгебраических уравнений Ax = b . П ри ме р. Реш ить как матричноеуравнение Ax = b СЛ А У  x + 2 y + 3z = 7  x − 3y + 2z = 5  x+ y + z =3 

46

М ож но э тотж еп римерреш ить другим сп особом:

М ож но такж ереш ить СЛ А У некак матричноеуравнение:

Знак «=» набирается наж атием +<=>, т.е. э то не символ п олучения результата, азап ись уравнений. Символ → находится в п анелиматематических инструментов(в«магистерской ш ап очке»). • rref(A) – п риведение матрицы к ступ енчатому виду с единичным базисным минором. Т ак вMathCAD э тафункция вып олняетп рямой иобратный ход методаГаусса. П ри ме р. Реш ить методом ГауссаСЛ А У  x + 2 y + 3z = 7  x − 3y + 2z = 5  x+ y + z =3 

47

Ф ункция rref(A) вып олняет э лементарные оп ерации только с расш иренными матрицами системы, состоящ ими из матрицы A и вектора свободных членов. П оэ тому сформируем расш иренную матрицу системы, исп ользуя функцию augment(A,b), которая формирует матрицу, добавляя к столбцам матрицы системы A сп рава столбец свободных членовb:

Д алее п рименим неп осредственно функцию rref(A). Результатом э той функции будет матрица, вп ервых столбцах которой стоит единичная матрица, а п оследний столбец содерж ит реш ение системы п осле п рямого иобратного ходовГауссовского исклю чения:

Т еп ерь выделим п оследний столбец – реш ение системы вотдельный вектор и сделаем п роверку, п озволяю щ ую убедиться вп равильности реш ения.

48 У казание. В се п еречисленные функции вып олняю тся стандартными для MathCAD сп особами. Ч тобы обратиться к функции, необходимо ввестис клавиатуры ее имя ивскобках п еречислить аргументы, азатем ввестизнак равенства. Е сли результаты п редп олагается исп ользовать в дальнейш их вычислениях, то их следует сохранить вп еременной. Д ля э того необходимо п еред именем функциисо сп иском аргументовввестиимя п еременной изнак п рисваивания. Н ап омним, что вычисления могут п роизводиться в двух реж имах: автоматическом и п оследовательном. Реж им вычислений устанавливается вменю Math. П о умолчанию стоит автоматический реж им. О днако если он отклю чен, то результат мож ет быть п олучен п осле вып олнения команды Calculate вменю Math. П риреш ениизадач линейной алгебры часто возникает необходимость вычислять оп ределитель. Н аиболее расп ространенные п рилож ения оп ределителя – исследование и реш ение линейных систем. Рассмотрим вы ч и сл ени еоп редел и т ел ей вMathCAD. П усть A - квадратная матрицап орядкаn, n > 1 :

 a11  a A =  21 K   a n1

a12 a 22 K an2

K a1n   K a 2n  K K .  K a nn 

Д адим одно из оп ределений оп ределителя. О пре де лит е ле м квадратной матрицы A п орядкаn, n > 1 , называется число

det A =

a11

a12

K a1n

a 21

a 22

K a 2n

K

K

K

a n1

a n2

K a nn

K

n

= ∑ a1 j (−1) j +1 M 1< j > , j =1

где M 1< j > - оп ределитель квадратной матрицы п орядкаn − 1 , п олученной из матрицы A вычеркиванием п ервой строки и j-го столбца. Э ту формулу называю т формулой вычисления оп ределителя разло ж е ние м по пе рво й ст ро ке . А налогично мож но вычислять оп ределитель разлож ением п о лю бой строкеилистолбцу, исп ользуя алгебраическиедоп олнения - M i< j > .

49 П ри ме р. В ычисление оп ределителя четвертого п орядкаразлож ением п о п ервой строкеисредствамиMathCAD.

У казание. Д ля того чтобы столбцы и строки матрицы нумеровались, начиная с единицы, п рисвойтеп еременной ORIGIN значение, равное1. Затем оп ределите и введите матицу А . Д ля оп ределения блоковM11, M12, M13, M14, п олученных вычеркиванием 1-й строкииз матрицы А исоответственно 1, 2, 3 и4-го столбцов, исп ользуйтефункцииsubmatrix иaugment. Ф ункция submatrix(A,2,4,2,4) формируетматрицу третьего п орядкаM11, содерж ащ ую э лементы 2-4-й строк 2-4-го столбцовматрицы A, т.е. матрицу, п олученную вычеркиванием 1-й строки и 1-го столбца; функция augment(submatrix(A,2,4,1,1), submatrix(A,2,4,3,4)) формирует матрицу третьего п орядкаМ 12 – матрицу, п олученную вычеркиванием 1-й строкии2го столбца: к блоку, содерж ащ ему э лементы 2-4-й строк 1-го столбца матрицы А , доп исываем сп раваэ лементы 2-4-й строк 3-го и 4-го столбцов матрицы А . А налогично сформируйте блокиМ 13 иМ 14. К огдавсе нуж ные матрицы третьего п орядкасформированы и выведены наэ кран, вычислите оп ределитель разлож ением п о 1-й строке. В ведите с клавиатуры имя detA, знак п рисваивания и формулу разлож ения п о п ервой строке. В ыведите на э кран вычисленное значение оп ределителя. Затем вычислите оп ределитель

50 матрицы, исп ользуя п анель матричных оп ераций, и сравните п олученные результаты. Т еп ерь рассмотрим реш ени е л и ней ны х си ст ем п о форм ул а м Кра м ера . П усть данасистемалинейных алгебраических уравнений (СЛ А У ) Ax = b . Е сли оп ределитель э той системы ∆ = det A отличен от нуля, то системаимеетединственноереш ение x1 , x 2 , K , x n , оп ределяемоеформулами ∆i , где ∆ i - оп ределитель матрицы n-го п орядка, п олученной ∆ из матрицы системы заменой i-го столбцастолбцом п равых частей. К рамера xi =

П ри ме р. Реш ить СЛ А У п о п равилу К рамера:  x1 + 2 x 2 + 3 x3 + 4 x 4 = 30 − x + 2 x − 3x + 4 x = 10  1 2 3 4  x 2 − x3 + x 4 = 3   x1 + x 2 + x3 + x 4 = 10

51

У казание. Д ля вычисления оп ределителей ∆1, ∆ 2, ∆3, ∆ 4 п рощ е всего скоп ировать матрицу А вбуфер обмена, затем щ елкнуть п о кноп ке

в

, вставить вп омеченной п озиции матрицу из буфераобмена п анели (+ или п ункт Insert меню . Edit) и затем заменить э лементы соответствую щ его столбцаэ лементамистолбцап равых частей. Рассмотрим теп ерь символьное вы ч и сл ени е оп редел и т ел я и некоторые символьные оп ерации с матрицами (т рансп они рова ни е и обра щ ени е). Рассмотрим их нап римереортогонализацииматрицы. П ри ме р. Рассмотрим п роизвольную п рямоугольную матрицу А. М атрица, п олучаю щ аяся из матрицы А заменой строк столбцами, называется т ранспо ниро ванно й п о отнош ению к матрицеА иобозначается AT . К вадратная матрица А называется о братим о й, если сущ ествует квадратная матрицаX, удовлетворяю щ ая соотнош ениям AX = XA = E , где Е – единичная матрица. М атрица Х называется о братно й к матрице А и обозначается A −1 , т.е. AA −1 = A −1 A = E . К вадратная матрицаА, для которой AT = A , называется сим м е т рич но й. Э лементы такой матрицы, расп олож енные симметрично относительно главной диагонали, равны. К вадратная матрица U, для которой U −1 = U T называется о рто го нально й матрицей. М одуль оп ределителя ортогональной матрицы равен единице; суммаквадратовэ лементовлю бого столбцаортогональной матрицы равна единице; сумма п роизведений э лементов лю бого столбца ортогональной матрицы на соответствую щ ие э лементы другого столбца равна нулю . Т акими ж е свойствами обладаю т строки ортогональной матрицы. Ф рагмент рабочего документа MathCAD, содерж ащ ий символьные вычисления с ортогональной матрицей, п риведен ниж е.

52

У казание. Д ля оп ределения символьной матрицы введитес клавиатуры ее имя, символьный знак равенства(наж мите наклавиатуре одновременно клавиш и и <=> — на э кране будет отображ ен знак равенства), оп ределите размеры матрицы и введите ее э лементы. В вести букву греческого алфавитамож но, щ елкнувп о кноп ке с нуж ной буквой вп анели . Символьные оп ерации с матрицами (трансп онирование, вычисление оп ределителя иобращ ение) вып олняю тся через меню символьных оп ераций Symbolics. Заклю читесимвольную матрицу ввыделяю щ ую рамку (щ елкните п о лю бому э лементу инаж имайтеклавиш у <Space> п окавыделяю щ ая рамка

53 неохватитвсю матрицу), затем выберитенуж ную оп ерацию вп унктеМ аtriх меню Symbolics. Ч тобы уп ростить выраж ение для оп ределителя матрицы U, заклю чите выраж ение ввыделяю щ ую рамку и выберите п ункт Symplify в меню

Symbolics. Д ля ввода AT щ елкните п о кноп ке трансп онирования вп анели

.

3 Ис пользуе мы е и нс труме нты MathCAD при ре ш е ни и задач мате мати че с кого анали за П риступ ая к реш ению в MathCAD задач математического анализа, п ознакомимся с инструментами, которыеп редоставляетдля э того п акет. К ак оп ределить функцию и вычислить ее значение, как п остроить график функции, реш ить п ростейш ее уравнение, уж е было оп исано вп редыдущ их разделах. Здесь ж е мы рассмотрим, как п ост рои т ь гра фи к и функ ци й , заданных в п олярных координатах и в п араметрической форме, как вы ч и сл и т ь п редел , п рои зводную , оп редел енны й и неоп редел енны й и нт егра л , найти ра зл ож ени е функ ци и п о форм ул е Тей л ора и вычислить сум м у ряда . Заметим, что мы будем рассматривать лиш ь некоторыефункции MathCAD, п редназначенные для реш ения задач анализа. Более п одробное изучениевозмож ностей MathCAD мож но найтив[1]. К ак отмечалось ранее, больш инство вычислений вMathCAD мож но вып олнить тремя сп особами: исп ользуя соответствую щ ее меню , с п омощ ью п анелей инструментов или обращ ением к функции. П редп олагается, что п редварительно в меню Math установлены реж имы автоматических вычислений и отображ ения результатов символьных вычислений п о горизонтали. 3.1

О пре де ле ни е функци й и пос трое ни е графи ков

Д ля того чтобы оп ределить функцию одной п еременной, введите с клавиатуры имя функции с аргументом в круглых скобках, знак п рисваивания (наж митеклавиш и<Shift>+<;>, врабочем документеп оявится знак п рисваивания '':=") и сп рава от него – выраж ение для вычисления функции. В зап иси выраж ения для функции мож но исп ользовать знаки (имена) э лементарных функций, вводя их с клавиатуры или вставляя в

54 рабочий документ функцию , выбранную из сп искаFunction (Ф ункция) в меню Insert (В ставка) (Рис. 31). П ри вводе выраж ения через меню установите курсор внуж ные п озиции, щ елкните п о строке Function меню Insert, выберите с п омощ ью стрелок п рокрутки имя нуж ной функции и щ елкнитеп о кноп ке

.

Рис. 31 В ид меню Insert иокнадиалогасо сп иском встроенных функций

В ыраж ение мож но вводить такж е с п омощ ью кноп ок п анели инструментовCalculator Toolbar (П анель вычислений) (Рис. 21), которая открывается щ елчком п о кноп ке в п анели математических инструментов. Д ля того чтобы вставить ввыраж ение имя или символ функции из п анели, установите курсор внуж ной п озиции, щ елкните п о кноп ке вп анели и введите в п омеченных п озициях аргументы и п араметры функции. В п анелиматематических инструментовесть кноп ка , щ елчок п о которой открывает п анель греческого алфавита. Д ля того чтобы вставить букву в выраж ение, установите курсор внуж ной п озиции и щ елкните п о кноп ке с нуж ной буквой. Ч тобы вычислить значение функции в точке, введите в рабочий документс клавиатуры имя функции, укаж итевскобках значениеаргумента, выделите выраж ение, введите знак равенства(из Рис. 21 видно, что знак равенстваизнак п рисваивания мож но ввестищ елчком п о соответствую щ ей

55 кноп ке вп анеликалькулятора) ищ елкните п о свободному месту врабочем документе. 1 П ри ме р. О п ределение функции f ( x) = 2 t sin(3t −1) − arctg . В ычисление t значений функциивточках t = 1 иt = 2 . Ф рагмент рабочего документа MathCAD с соответствую щ ими вычислениямип риведен ниж е.

И нструменты для п остроения графиков в MathCAD, как уж е уп оминалось вразделе«М е ню MathCAD», доступ ны вп анелиинструментов Graph Toolbar (П анель графики), которая открывается щ елчком п о кноп ке вп анели математических инструментов; через меню Graph вменю Insert (Рис. 9); через меню Graph вменю Toolbars вView (Рис. 32).

Рис. 32 В ид меню для п остроения графиков. Н ап омним, что для п остроения графиков функции, заданной в декартовых координатах, щ елкнитеп о рабочему документу, п о п ункту меню Х-У Р lot (илип о кноп ке

) (Рис. 9б); врабочем документеоткроется окно

56 п остроения графиков. В ведитевп омеченной п озициивозле осиабсцисс имя аргумента, а в п озиции возле оси ординат имя функции и щ елкните п о рабочему документу вне окна графиков. Е сли нуж но п остроить одновременно графики нескольких функций, введите их именаи п озиции возле осиабсцисс, разделяя занятой. В место именифункции мож но ввести выраж ение для ее вычисления. П араметры изображ ения (цвет и толщ ина линий, координатная сетка, разметкаосей, надп исинаграфиках идр.) п рощ е всего изменить, щ елкнувдваж ды п о п олю графикаиустановивнастройкив соответствую щ их окнах диалога(см. раздел «М е ню MathCAD»). П ри ме р.

П остроение

графиков функций

f ( x) = x + sin x

и

g ( x) = x sin x . Ф рагмент рабочего документаMathCAD с оп ределениями функций и их графикамип риведен ниж е.

Графики функций, заданных в п араметрической форме, строятся аналогично. О тличие состоит втом, что вп озициях аргументаи функции вводятся выраж ения илиименасоответствую щ их функций п араметра. П ри ме р. П остроение кривой, заданной в п араметрической форме выраж ениями: t2 t (1 − t 2 ) . , y = 1+ t2 1+ t2 Ф рагмент рабочего документаMathCAD с оп ределениями функций и их графиками п риведен ниж е. П редставленакривая y = y (x) , координаты x=

57 каж дой точки ( x, y )

которой вычислены

как функции п араметра

t : ( x, y ) = ( x(t ), y (t )) .

Д ля п остроения графикафункции, заданной вп олярных координатах, щ елкнитеп о рабочему документу, п о п ункту меню Р оlar Р lot (илип о кноп ке ) – врабочем документеоткроется окно п остроения графиков. В ведитев п омеченных п озициях имя аргументаи имя или выраж ение для функции, установите в окнах диалога, как и в п редыдущ их п римерах, п араметры изображ ения и щ елкните п о рабочему документу вне п оля графиков. П остроим для наш его п римераграфик вп олярных координатах.

58 3.2

В ы чи с ле ни е пре де лов

Больш инство инструментов для реш ения задач математического анализа в MathCAD собрано в п анели Calculus (А нализ), которая открывается щ елчком п о кноп ке в п анели математических инструментов. В ид п анели п риведен на Рис. 25 в разделе « П ане ли

и нс труме нтов MathCAD». Т риниж ниекноп кивп анелип редназначены для вычисления п ределов. К ноп кой

врабочий документвставляется оп ератор вычисления п редела

и - оп ераторы функциивточке илинабесконечности, кноп ками вычисления односторонних п ределовсоответственно сп раваислева. Д ля того чтобы вычислить п редел, щ елкните п о свободному месту в рабочем документе, затем щ елкнитеп о нуж ной кноп ке, введитес клавиатуры в п омеченных п озициях имя или выраж ение доп редельной функции и п редельной точки, выделите все выраж ение и щ елкните п о строке Symbolically вп ункте Evaluate вменю Symbolics (илищ елкните п о кноп ке вп анелисимвольных оп ераций П ри ме р. В ычислениеп ределов: lim x → +∞

x+ x+ x x +1

).

1

, lim e x x → +0

1

, lim e x . x → −0

Н аРис. 33 п риведен вид окнаMathCAD с вычисленнымип ределамии со всемиисп ользованнымивработеменю ип анелями.

59

Рис. 33 В ычислениеп ределов. У казание. У становите реж им автоматических вычислений и реж им отображ ения результатов символьных вычислений п о горизонтали. Д ля ввода символа квадратного корня и э ксп оненты исп ользуйте п анель калькулятора. П ри вычислении п ределовп оследовательностей оп ределяйте э лемент п оследовательности как функцию номераэ лементаи вычисляйте п редел набесконечности. 3.3

Д и ффе ре нци ровани е

В ыраж ение для п роизводной функциивMathCAD мож но найтидвумя сп особами: с п омощ ью п анели инструментов Calculus и через меню символьных оп ераций Symbolics. Ч тобы найтип роизводную , щ елкните п о свободному месту врабочем , введите с документе, щ елкните в п анели Calculus п о кноп ке клавиатуры в п омеченных п озициях имя или выраж ение функции и аргумента, заклю чите все выраж ение ввыделяю щ ую рамку и щ елкните п о строке Symbolically в п ункте Evaluate меню Symbolics (или наж мите на клавиатуре комбинацию клавиш <Shift>+). М ож но п оступ ить иначе:

60 выделить выраж ение для п роизводной и щ елкнуть вп анели

п о кноп ке

. П ривычислениип роизводных высш их п орядковщ елкните п о кноп ке , введите в п омеченных п озициях выраж ение для функции, имя аргумента и п орядок п роизводной, а дальш е действуйте так ж е, как п ри вычислениип роизводной п ервого п орядка. Д ля того чтобы найти п роизводную с п омощ ью меню , введите в рабочий документ выраж ение для функции, выделите аргумент ищ елкните п о строкеDifferentiate вп унктеVariable меню Symbolics (Рис. 34). П ри ме р. В ычисление п роизводных ( x x ) ′ и ( x x ) ′′ . Н иж е п риведен фрагментрабочего документаMathCAD с вычислением п роизводной.

У казание. У становите реж им отображ ения результатов символьных вычислений п о горизонтали и вычислите п роизводную , исп ользуя п анель Calculus.

Рис. 34 Символьноедифференцированиевменю Symbolics. Д ля зап иси «ш трихов», нап ример f ′′ , в MathCAD исп ользуется комбинация клавиш +.

61 3.4

Инте гри ровани е

Символьное вычисление неоп ределенного интеграла в MathCAD мож но вып олнить двумя сп особами: с п омощ ью п анели инструментов Calculus ичерез меню символьных оп ераций Symbolics. Д ля того чтобы найти неоп ределенный интеграл, щ елкните п о свободному месту врабочем документе, затем вп анелиCalculus – п о кноп ке , введитес клавиатуры вп омеченных п озициях выраж ениедля функции иимя п еременной интегрирования, заклю читевсевыраж ениеввыделяю щ ую рамку ищ елкнитеп о строкеSymbolically вп унктеEvaluate меню Symbolics (или наж мите на клавиатуре комбинацию клавиш <Shift>+). О п ределенный интеграл вычисляется аналогично: щ елкните п о кноп ке , введите вп омеченных п озициях выраж ение для функции, имя п еременной интегрирования ип ределы интегрирования, затем действуйтетак ж е, как п ри вычислениинеоп ределенного интеграла. Д ля того чтобы найти неоп ределенный интеграл с п омощ ью меню , введите в рабочий документ выраж ение для интегрируемой функции, выделите п еременную интегрирования и щ елкните п о строке Integrate в п унктеVariable меню Symbolics. П ри ме р. В ычислениеинтегралов π /2 1 1 dx и dx ∫ ∫ 1 + cos x 0 1 + cos x Н иж е п риведен фрагмент рабочего документа MathCAD с соответствую щ имивычислениями.

У казание. У становите реж им отображ ения результатоввычислений п о горизонтали, вычислите неоп ределенный интеграл, исп ользуя сначаламеню , а затем п анель Calculus. В ычислите оп ределенный интеграл, исп ользуя п анель Calculus.

62 3.5

С умми ровани е рядов

Символьное вычисление конечных сумм и сумм сходящ ихся рядовв MathCAD вып олняется с п омощ ью п анелиинструментовCalculus. Д ля того чтобы вычислить сумму, щ елкните но свободному месту в рабочем документе, затем – п о кноп ке вп анели Calculus, введите с клавиатуры вп омеченных п озициях выраж ение для функции, имя индекса суммирования, его п ервое и п оследнее значения (для рядов введите в качестве п оследнего значения символ бесконечности, щ елкнувп о кноп ке с символом ∞ втой ж е п анели), заклю чите все выраж ение ввыделяю щ ую рамку и щ елкните п о строке Symbolically в п ункте Evaluate в меню Symbolics (илинаж мите наклавиатуре комбинацию клавиш <Shift>+). Д ля того чтобы п олучить вычисленное значение в десятичном формате, выделите его, щ елкните втом ж е меню п о строке Floating Point ивведите в окне диалогатребуемое число десятичных знаков. М ож но сразу п олучить значение суммы вдесятичном формате, еслищ елкнуть вместо Symbolically п о строкеFloating Point. П ри ме р. В ычислениечастичных сумм рядаисуммированиерядов ∞

1 ∑ n =0 n!

и

∞

xn ∑ n =0 n!

Н иж еп риведен фрагментрабочего документаMathCAD с вычислением сумм рядов.

У казание. У становите реж им отображ ения результатов символьных вычислений п о горизонтали, вычислите сумму ряда, значение э ксп оненты, значение частичной суммы (суммы п ервых ш ести членов ряда) и п реобразуйте его в десятичный формат, вычислите значение второй частичной суммы сразу вдесятичном формате.

63 3.6

Р азлож е ни е функци й по формуле Т е йлора

В MathCAD мож но найтиразлож ение функциип о формуле Т ейлорав окрестности лю бой точки из области оп ределения функции. Сделать э то мож но через меню символьных вычислений илис п омощ ью п анелиSymbolic Keyword (П анель символьных оп ераций), которая открывается щ елчком п о кноп ке

вп анели метаматематических инструментов(Рис. 29 вразделе «П ане ли и нс труме нтов MathCAD»). П ри работе через меню введите функцию , выделите п еременную , щ елкните п о строке Expend to Series (Разлож ение вряд) вп ункте Variable (П еременная) меню Symbolics, введите в окне диалога степ ень старш его членавразлож ении(Рис. 35) ищ елкнитеп о кноп кеOK.

Рис. 35 М еню и окно диалога разлож ения п о формуле Т ейлора функцииcos x . П ри работе с п анелью символьных оп ераций щ елкните сначала п о свободному месту врабочем документе, затем п о кноп ке введите п еред клю чевым словом series выраж ение для функции, ап осле клю чевого словаимя п еременной иточку, вокрестностикоторой строится разлож ение, щ елкнитеврабочем документевневыделяю щ ей рамки. П ри работе с меню в рабочем документе отображ ается соответствую щ ее разлож ение с остаточным членом в форме П еано, п ри работе с п анелью клю чевых слов– только многочлен Т ейлора(частичная суммарядаТ ейлора).

64 П ри ме р. Разлож ение функции cos x п о формуле Т ейлора в π окрестностинуля ивокрестноститочки x = . 2 Н иж е п риведен фрагмент рабочего документа MathCAD с соответствую щ имивычислениями.

У казание. У становите реж им отображ ения результатов символьных вычислений п о горизонтали и найдите разлож ение в окрестности нуля, исп ользуя п анель символьных оп ераций. А налогично найдите разлож ение в π окрестности точки . И сп ользуя меню символьных оп ераций, найдите 2 разлож ениедо ш естой степ ени.

65

Л и те ратура

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8. 9.

Основна я MathCAD 2000. User’s Guide. – MathSoft, 1999. – 512 c. Сп равочник п о Mathcad Plus 7.0 Pro / В .П . Д ьяконов. – М .: СК П ресс, 1998. – 417 с. В оеводин В .В . Л инейная алгебра/ В .В . В оеводин. – М .: Н аука, 1980. – 235 с. О сновы математического анализа/ В .А . И льин, Э .Г. П оздняк – М .: Н аука, 1980. – 571 с. Доп ол ни т ел ьна я Ф едорю к М .В . О быкновенные дифференциальные уравнения / М .В . Ф едорю к. – М .: Н аука, 1980. – 287 с. Ч истяковВ .П . К урс теории вероятностей / В .П . Ч истяков. – М .: В ысш ая ш кола, 1992. – 315 с. В ентцель Е .С. Т еория вероятностей / Е .С. В ентцель. – М .: В ысш ая ш кола, 1999. – 617 с. Т еория вероятностей иматематическая статистика/ В .А . К олемаев идр. – М .: В ысш ая ш кола, 1991. – 327 с. БахваловН .С. Ч исленные методы / Н .С. Бахвалов. – М .: Н аука, 1975. – 512 с.

66

С оде рж ани е В ведение..................................................................................................... 3 1 О сновы MathCAD................................................................................. 4 1.1 О сновныехарактеристикиMathCAD .......................................... 4 1.2 РаботавсредеMathCAD .............................................................. 8 1.3 П ростейш иевычисления иоп ерациивMathCAD .................... 11 1.4 М еню MathCAD .......................................................................... 16 1.5 П анелиинструментовMathCAD................................................ 28 1.6 Реж им сп равки............................................................................ 30 1.7 Реш ениезадач э лементарной математики................................. 32 2 Реш ениезадачлинейной алгебры ..................................................... 38 3 И сп ользуемые инструменты MathCAD п ри реш ении задач математического анализа................................................................................... 53 3.1 О п ределениефункций ип остроениеграфиков......................... 53 3.2 В ычислениеп ределов................................................................. 58 3.3 Д ифференцирование................................................................... 59 3.4 И нтегрирование.......................................................................... 61 3.5 Суммированиерядов.................................................................. 62 3.6 Разлож ениефункций п о формулеТ ейлора............................... 63 Л итература................................................................................................ 65

67

Составители: Э ксаревская М аринаЕ вгеньевна, Е сип енко Д митрий Георгиевич Редактор БунинаТ .Д .